214 1: JSROY ES - ALPAUT ARTE Ai WU SH re HE CNT, EL Le ait SL PTE nu RAT ME Ve HET À NL LENS ki LE MURS ft té ue A" nus NE Er OR. - k By NA A 14 {NTI ANNE MERNENRErS j a pi 0 TU URI M ete e +1 Emers Noa x ve: ie Lt LA de À Lee À Û 1x j f 4 114 ANT 1 1u 0 a Et CAT Ne ur Me LH RENTE Ta # \ ne moe MAN PU MER Ki. Me ns peu CP . | | ET ny bé " HOSAMRA AA “4 qu 16 bn ba ï TE pi TA : = +4 y Ar [ Le HOT “MARS Re at à l Ûr V NDS dr CORRE vi foi A ch TS fl } ha Vrrs Na 1, ME pe get at he Fi us pa , pt R à Cp ip t' # } 1! à : TR PA HR À ) a: tie 1e [ st Ma mr Là HN ML Fi CU PUB ALES LATE : D ut 1 1 on LS S 44 ANS D QAR (73 LT UT À nr ni Mer or de dr HE és 2 A “a à 7e Roue nl ‘Nb 4 L | : ] ln Lt IR ri 2: toi à 4 % tu | nf hi Le 14 AE AE de 4 LR ARE it LCL t AR NOTE DATE | SA pe LA WI? fe \ A 11 D Ai Hal pi AU | RAT MAN RER 4 TE CAL ANT ON LH DESTINE DEN NT RO CRETE RTL ER NNEMTNE | A NT L n: “ AT be D LRU d id ia CU Fr. 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TOME HUITIEME.. sa Le : RHECUEZLL DES PIECES QUI ONT REMPORTÉ LES PRIX DE L’ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, DEPUIS LEUR FONDATION EN M. DCC.XX. TOME HUITIEME. Qui contient une partie des Pieces de 1763, celles de 1766 & 1757, € le reffe de celles de 1760. ée à A Dh ANRT 08, Chez PANCKOUCKE , rue des Poitevins, à l'Hôtel de Thou. nt SON vs me eh 7 1 BRUNET co \ PRE 2 re We La | Dee % . Lt 4 se. a ue 3 Ke! je Espace FE et; LE LE Re) RER RE Med REX Œ MOST Dene ni oocne ii Durs À RL RTE RE, LS PEN RER Ps es j x ANVEREISSEMENT. Au fuet des Pieces qui compofent ce VIII Volume. 1): l’'Avertiflement que j'ai placé à la tête du feptieme Vo- Jume, publié en 1769, je rendis compte des raifons qui avoient fait intervertir l’ordre chronologique des Pieces des Prix, Ce Vo- lume contenoit la Piece de M. BErNoOULLT, qui avoit remporté le Prix de 1753, fur la maniere la plus avantageufe de fuppléer à lation du vent fur les grands vaiffeaux. Celles de M. Eurer & de M. MATHON de la Cour, qui avoient eu l’Acceffir, font les deux premieres de ce huitieme Volume. En 1754 le Prix ne fut point adjugé, La Piece de 175$ cft imprimée à part chez Delatour. En 1756, l'Académie propofa [a Théorie des inégalités de Ja Terre 3 la Piece de M. Euler eft la troifieme de ce Volume. En 1757, M. Bernoulli remporta le prix fur le Roulis & Le Tangage des vaifleaux ; fa Piece eft la quatrieme de ce Volume. La Piece de 1758, par le P. Frifi, a été imprimée en Italie. En 1759, fur le Roulis & le Tangage, il y eut deux Pieces, Yune de M. Grognard, qui eft dans le Tome VII; l’autre, de M. Euler, qui eft la cinquieme de ce VIII: Volume. En 1760, on propofa l'examen des altérations du moyen mou- vement des planetes ; la piece de M. Charles Euler eft [a fixieme de ce Volume; celle du P. Frifi, qui eut l'Acceffir, et imprimée dans le fecond Volume du Recueil qu’il a donné en Italie. La Piece compofée à l’occafion du Prix extraordinaire, fur les Verreries, eft dans le VII® Volume. En 1761, il y eut deux Pieces fur l’Arrimage des Vaifleaux ; elles font dans Le feptieme Volume, AVERTIS SEM FE Ne En 1762, M. l'Abbé Boffut remporta le Prix, par fes Recher- ches fur les altérarions que la réfiflance de l'Ether peut produire dans le mouvement moyen des Planetes, imprimées à part en 1766; elles font jointes à ce Volume. La Piece de M. Jean-Albert Euler, que l’Académie cira avec éloge, eft auffi dans le Volume que nous publions aujourd’hui, Pour 1763, l’Académie demanda la defcription des différentes méthodes qu'on emploie pour l’arrimage des vaifleaux, & la ma- niere de les perfeétionner; le Prix ne fut point adjugé, il ne l’a été qu’en 1765. En 1764, le Prix fut remporté par M. de la Grange, fur [a Jibration de la lune. Cette Piece commencera le neuvieme Vo- lume, que nous efpérons de publier inceffamment, LA fondation du Prix de l’Académie , par M. ROUILLÉ DE MEsray, eft une époque intéreflante dans l'Hiftoire des Sciences; elle a produit des recherches ineftimables fur les plus belles par- ties de la Phyfique Célefte & de la Théorie de la Navigation. Nos connoiffances fur les effets de l'attraction font dûes en grande partie à ce bel érabliffement ; & il n’y a gueres de Recueil auffi intérefflant que celui que nous continuons de donner au Public. On fera peut-être furpris que l'exemple de M. Rouillé de Meflay n'ait déterminé perfonne à le fuivre, & à contribuer , par quelque établiflement de même genre, au progrès de nos Scien- ces. Ces études, auf difficiles & aufli rares qu’elles fonc curieufes & importantes, ont befoin de l’émulation & des fe cours que procurent de femblables inftitutions. À Paris, le pre- mier Avril 1771, DE LA LANDE. MÉMOIRE MEMOIRE SU R LA MANIERE LA PLUS AVANTAGEUSE D E SUPPLÉER A L'ACTION DU VENT SUR LES GRANDS VAISSEAUX. Préfenté à l’Académie à l’occafon du Prix de 1763. Tali remigio navis fe carda movebat. Virg. Æneid. Liv. s. Prix de 1753. À va ra n * Yi ne Cr ds RE W: Pi ii At |: ENT it a : 00e oe j'ur L ! n [LP ‘1 à L Fu “4 à 3 | 4 | w 0 AL FE HAN 4 Tv te A 1 | Vo! Li [JR ST 11,2 ji k y v LA i Fr A mr" ar’! Po Te ”} DA A f PU ue « À ” “ \j 4 PETER re n E N pal M ù ; : + LD » À Le n°2 + + x x x 2 #22 he te te Led he te ea pr | ohohecke fase fe cle iron ote ste uote feet fe RL alf, Ê Hits PES Feb * é SE z EE CSA Enr ® |* nè SE ASC Ha Ed, 7 H | # 2 D RE en ++ LE pet [HAE + X 2 ay 4x A + +44 [xl 4 SAN a ETES RETIENS LE à # text Î AE LT | A EE SUR AUE NCIS CRETE PASSES Sr STTTSESTETEESTSSETET ST MÉMOIRE Sur la maniere la plus avantageufe de fuppléer à Paëlion du Vent fur les grands V'aiffeaux. DE PROMOTIONE NAVIUM SINE VI VENTI. $. Cum vento utinonlicet ad navem propellandam, aliæ vires non reliquuntur, præter eas, quas homines in nave verfantes præltare valent. Primum igitur difpicien- dum erit, qua ratione homines ad quodvis opus applicari conveniat, ut maximum effectum producant. Determi- nari {cilicet opportet, quanta celeritas actioni hominum tribui debeat, ut ex viribus, quas tum exercent, ma- ximus effeétus oriatur. Experientia quidem conftat , quo majori celeritate homo operetur , eo minorem vim eum exercre, nihilo tamen minus , cum effectus non folum ex vi fed etiam ex celericate , qua agit, æftimandus fic, Ai] 4 DE PROMOTIONE NAVIUM etiamfi aucta ejus celerirate vis dimintatur, ramen fieri potelt, ut inde major effectus exfiftat, qui, quo cafu omnium maximus evadat, hic primum definiendum vi- detur, quocumque enim modo a viribus hominum naves propelli poffe deinceps deprehendemus, id femper ma- ximo cum lucro efficietur fi atio hominum adjuftum celeritatis gradum temperetur. $.II. Primumautem confideranda eft vis, quam homo quietus edere valet; quæ quidem non major eftcapienda, quam ut homo eam aliquamdià fine nimia defatigatione fuftinere queat; exponatur hæc vis pondere M, ira ut homo huic ponderi fufpenfo tenendo par fit. Hoc pon- dus fi ad experientiam fpetemus 70 circiter librarum conftitui potelt, feu æquale ponderi unius pedis cubici aquæ. $.III. Secundo loco fpeétari debet maxima celeritas, qua homo vel currere vel membra fua vibrare five nimia defatigatione valet, tanta enim celeritate, fi homo actu movetur, nullam omnino vimexerere valebit, cum omnes ejus conatus in proprio motu confumantur. Sic igitur ifta celeriras =ve feu debisa altiudini c; cum igitur ifta maxima celeritas cenferi pollit fex pedum uno minuto fecundo, altitudo huic celeritati debita erit L£ pedis. $-IV. Cum igitur homo, in quiete conftitutus, vi polleat == M, motus autem celeritate =v ce omni vi deftituatur, videndum eft, quanta vis in eo fit fucura , fi celeritate quacunque minore progrediatur. Exprimat vy celeriratem minorem quam Ve, fitque © vis, qua homo in hoc ftatu erit præditus, atque manifeftum eft Q ejufmodi efle debere funétionem ipfus y, ut, pofito v= 0, fiat Q — M: fato autem v —c, prodear Q —0: quibus quidem conditionibus infinitis modis facis fieri . vi sm poteft , veluci fi ponatur : Q = M (à — =) À $. V. Ad experientiam autem cafus videtur maxime accomodatus fi ponatur » = À & m0 == 2 à ita ut fit SUTIN EM V ET VEN TT TS # Vo: e=M G— y : . Veritas hujus formulæ ex vi aquæ illuftrari potef, fi enim aqua celeritate Ve in planum = ff directe in- curram vim exeret — fc, f£n. autem idem Planum ce- lericate =V c cum fluvia progrediatur, nullam vim ex- cipiet ; celeritate minore Vu latum, a fluvio propelletur vi=ff(vVc—vu)r: jam fc refpondet noitro M, unde ob f = = fic Q feu vis celeritati Vu refpondens = M Vu 2 Cr $. VI. Ur hinc actionem hominis maxime fucrofam definiamus , ponamus, hominem ope axis in peritrochio datum pondus 2 elevare debere ; adhunc enim cafum omnes machinas utcunque pofitas reducere licet. Sitergo femidiameter cylindri = a, & longitudo Scytalæ cui homo eft applicatus = 7; homo autem procedat cele- 22 ritare = Vu, eric celeritas , qua pondus P elevatur — # r Vu: vis aucem hominis hac celeritate operantis et = M Vu\z à y ( Vu 2. I I — De) : cujus MOICTITUM MF | 1 7) jæqua e effe debet momento ponderis ? renitentis, quod eft = Pa j ita ut habeamus hanc æquationem Vu \2 Pa—= Mr ( DRE ) ; Qua dererminatur ftatus machinæ. . . a . VII. Ex hac æquatione inventa elicimus; > — M Vu \2 PL up Hinc ergo celeritas, qua pondus P actu elevatur eric: M Vu / P ( pas Ve ) Va Quam perfpicuum eftmaxime pendere a celeritate Vu; five enim fit» = 0, five v==c, pondus plane non ele- vatur, quare necefle et, certum dari valorem pro vv, $ DE PROMOTIONE NAVIUM quo pondus citiffime elevetur, atque hic ipfe eft gradus ille celeritatis, quo homo operans maximum effe&tum producere eft cenfendus. Ifte igicur valor ipfus v per methodum Maximorum & Minimorum détermina- bitur. $. VIT. In hunc finem ponamusVr=7&vVc—e ia ut maximum reddi debeat 7( 1 —:)° 5 cujus diffe- rentiale nihilo æquatum præbet; d7 (1 —:} —2=# (Gi — 5) =0; unde elicitur 7 ==3 e ideoque Vy —=+vc: Celeritas ergo hominis maximo effeŒ&ui conveniens præ- cisè eft pars tertia maximæ celeritatis cujus homo eft capax. Quæ cum æftimata fit 6 pedum uno minuto fe- cundo, eric celeritas hominis efkcaciflima duorum pe- dum pro uno minuto fecundo : ficque five homo cele- rius five cardius vires fuas impendat, debiliorem femper effeétum producat. $. IX. Cumfit Vvr—21vceritr —+c: ideoque Af- titudo huic celeritati maximæ lucrofæ debita erit =$$# feu —;$ pedis; vis autem, quam homo, hac celeri- tate nicens exercebit erit —$ M. Unde fi M æftimetur 70 librarum , eric ifta vis = 334 libr. feu æqualis pe deri $ pedis cubiciaquæ. Hæc igicur determinatio latif- fime parer atque ad omnes cafus, quibus opus, quod- cunque viribus humanis perficiendum proponitur, ex- tendi debet. Omnes igitur Machinæ, cujufcunque fint generis, ita inftrui debent ut celeritas hominum agitan- aum fingulis minutis fecundis binos pedes conficiat, five ut altitudo huic celeritati debita fit = À; pedis. $. X. Hanc igitur regulam obfervari opportet in ïs operationibus quibus navis vi hominum eft propellen- da, quod, quibus modis effici queat, nunc diligentius fum perfcrutaturus. $. XI. Quibufcunque autem viribus homo in nave coniftitutus moliatur, nullam omnino vim ad navem propellendam exeret, nifi in objecta extra navem fita nitatur, dum autem navis in Alto verfaiur, aliud objec- k SUTN EMI IV EIN TT 7 tum externum, in quo homo vires fuas confumat, non occurrit præter ipfam aquam, nifi forte aërem quoque huc numerare velimus. $. XII. Omnes autem vires, quæ in hunc finem ab aqua peti poflunt, ad duo genera referri obfervo. In altero fcilicet genere eas complector vires, , quæ à per- cufione aquæ nafcuntur, quorfum pertinent vires à remis oriundæ , ad alterum autem genus refero vires , quas reactio aquæ, dum ex receptaculo quopiam eflluit, fup- peditar, Urrumque ergo genus hic feorfim evolvam. ATY HE d4 5 x TaguzA I. Fig. 1. 8 DE PROMOTIONE NAvruM 23 RAR SECTIO PRIMA. De viribus ex percuffione aquæ oriundis. $. xt. L'an ex Theoria quam Experientia fatis cons {tac : fi fuperficies plana, quæ fit æqualis f contra aquam directe impingat celeritate altitudini y debita, fore vim aquæ æqualem ponderi maffe aqueæ, cujus volumen fit = ffv; hanc ergo vim per fr exprimam. Perfpi- cuum porro eft hanc vim eandem efle futuram; five planum in aquam, five aqua in planum pari celeritare incurrat, five etiam utrumque moveatur, dummode celeritas relativa fuerit = v v. I. Primus modus Navem propellendi $. XIV. Ex hoc jam principio fequentes modi navem propellendi obrinentur. Primum fcilicet ponamus; fu- perficiem vel tabulam planam FF, cujus area ff, in aqua horizontaliter agitari ope veétis inflexi 4 B G, qui ab hominibus fuper crochlea € horizontaliter promovea- tur; ubi quidem perfpicuum eft, hunc vectem, fi in prora applicetur attrahendo ad navem, fin aurem in puppi applicetur à nave repellendo , movere deberc. Calculus autem perinde fe habebit five hæc machina in prora, five in puppi adhibeatur. Norandum autem cf, cum ifte veétis vel faris fuerit attraétus vel protrufus, Tabulam, inclinando ve&em, fuper aquam elevari de- bere, donec iterum ad novam aétionem producendam aquæ immergatur, $. XV, SODENAE NV OV SE CN" TT. 9 $. XV. Quoniam autem hic imprimis ipfus navis motus ratio haberi debet, ponamus navem jam fecun- cundum direétionem 42 moveri celeritate = Ve: ta- bulam autem FF cum vecte GB A in navi promoveri celerirare —=Vv, quæ fi æqualis effet celeritati navis ve, nulla vis inde in navem redundaret, eatenus igitur tan- tum hinc vis ad navem propellendam orietur , quatenus eft Vy > Vc, tum enim Tabula aquam ferier celeritate = Vy — Ve. $. XVI. Alcitudo ergo huic celeritati, qua tabula in aquam impingit, debita erit (Vs —Vc)*; ideoque vis, quam ab aqua fuftinet erit = ff(Vy—Vc):, qua ta- bula æque ac ipfa navis fecundum direétionem G À ur- gebitur; per hypothefin autem hæc direétio convenit cum direétione navis. Unde, fi vis ifta æqualis fuerit refiftentiæ , quam navis in aqua fuftinet, navis fuam celeritatem Vc confervabit, fin autem illa vis vel major fuerit vel minor quam refiftentia motus navis vel acce- lerabitur vel rerardabitur. $. XVII. Quoniam autem potifimum ad motum uni- formem attendi convenit, ponamus, navem jam eum affecutam effle motum, quo ab hac vi impulfa unifor- miter progredi valet, ita ut reliftentia, quam navis ce- leritate Vc procedens patitur , æqualis fit vi inventæ f\Vc—Vy)". Convenientius enim effeŒ&us virium de- cerminari non poteft, quam fi ipfam celeritatem navi inde impreflam aflignavero. $. XVIII. Quacunque autem figura navis fuerit præ- dita, femper exhiberi poteft fuperficies plana, quæ pari celeritate in aquam direéte incurrens eandem refiften- tiam patiatur atque ipfa navis. Si igicur ifta fuperficies pro navi propolita vocetur Æ£k, quoniam navis celeri- rate Ve progredicur, erit refiftentia = KKc;.upde erit kkc—=f(Vr— ve): $. XIX. Hinc erço celeritas navis determinari pote- rit, quam vires, quæ ad machinam noftram, celeritare PrHeNIT33. B 10 DE PROMOTIONE NAVIUM vv agicandam » réquiruntur, navi inducere valent. Ex- traéta enim radice quadrata erit AVc=fVy—fve unde dicitur Ve—=/#"; unde manifeftum eft, quod quidem per fe eft clarum, celeritatem navis Ve femper minorem efle celerirate Vy & quidem in ratione f ad k+ f. 4. XX. Videamus nunc, quot hominum vires ad hunc motum requirantur; ponamus igitur z homines adhiberi, qui eum præfcripta celeritate agere debeant, quæ forrafle diverfa erit à celéritate veétis Vy ; quæ di- verfitas cum innumeris modis obtineri queat: rem ita confideremus , ac fi machina noftra ope vectis O À circa polum © mobilis agiretur, huicque veéti in punéto M vires hominum fecundum direétionem M N eflent appli- catæ. Sit igitur OA—=a à O Z1—= x 5 eric celeritas vis motricis in M applicatæ == Y+. $. XXI. Sir nunc celeritas, qua quifque homo ma- ximo cum fucceflu agere inventus et Ve; ita ut fit e= À, pedis, vis autem fingulorum horainum ponatur = À, que, ur vidimus eft 3 5+ librarum vel & pedis cu- bici aquæ. Oporter igieur fit :V=vVe & quia vis omniumhominum in M applicata eft — 7 4, vis huic in punéto 4 æquivalens ==, qua veétis 4 B G au retrahicur, quæ propterea æqualis efle debet vi aquæ relutandi = ff (Vv—Vc): feu vi refiftentiæ=£&8k c. $ XXII Tres igitur affecuti fumus æquationes : L kkc=f(Vy—Ve)r: five kve=fvVy —fve. I]. Ve — Ve. IL = (fVv= ve)? Harum fecunda dat ?=— Ÿ£ : qui valor in tertia fubfti- tutus præbet : EM f(Vy—ve)} =kkc: Hinc reperitur/: Vy = Gé: & cum fit Ve = IV rit cvc— Ye; inventa hinc celeritate Ve definietur locus applicationis virium M per formulam + k£Êc nA° S'AUNLEUNMEOVCE NOTE I. À à $. XXII. Ex hac formula patet, fi celeritas navis cum numero hominum comparetur, fore cubum cele- ritatis numero hominum proportionalem. Ut igitur navi celeritas duplo major imprimatur numero hominum octuplo majore erit opus. Unde patet, celeritatem na- vis non ultra certum terminum augeri pofle, cum na- vis non nifi modici hominum numeri fit capax. Sin autem celeritas navis Ve cum quantitate f conferatur, parer fi fit f— o, celeritatem navis quoque evanefcere, crefcente autem f, celerirtatem quoque crefcere, maxima igitur celeritas prodit fic fiat fr ©, quo cafu erit : cv =" ; ideoque Ve — Vi. Ù $. XXIV. Cum autem tabula major capi nequear, quam ut ab hominibus reoi poflit : perfpicuum eft, quantitatem f non ultra cercum limitum augeri pofle, qui limes à numero hominum ideoque à quantitate na- vis plerumque pendebit. Viderur igitur ftarui pofle f= RE; ira ut fit: eVe= Ve; cubus ergo hujus ee- leritatis femifis eft cubi celeritatis maximæ, unde ipfa celeritas tantum parte quinta circiter deficiet à celeri- rate maxima; quod difcrimen non admodum eft nota- bile. Sin autem accipiatur f— 2 £, celeritas prodibit à celeritate maxima deficiens parte circiter octava. Unde patet opere non efle pretium ut tabula tantopere ampli- ficerur. $. XXV. Conferamus etiam celeritatem navis Ve cum ejus 7e/iffentia abfoluta : (quam area &k mens ure= mus,) ac manifeftum eft fore cVe ut;}, feu cubum celeritatis reciproce effe proportionalem refiftentiæ abfo- lutæ. Hinc fi refiftentia abfoluta oéties fiat minor, ce- lericatem tantum duplo fieri majorem : unde pater, di- minuendo refiftentiam abfolutam parum notabile cele- ritatis incrementum inde refultare. $ XXVI. Imprimis autem obfervandum eft hromi- nes, quos hic fumus comtemplati, non continuo: vires luas ad nayem propellendam impendere : quoniam , ad: Bij TasuL14 I. Fig. 2, 12 DE PROMOTIONE NAvIum admota tabula ad navem , coguntur eam ex aqua extrahere, ac per aërem vibrando denuo aquæ immer- gere, quæ operatio duplo diutius durare cenfenda et quam operatio in navis promotione confumpta , quo- circa celeritas navis fupra inventa V c non eft efleétus z hominum fed fpectari deber tanquam effetus 3 2 homi- num. Dato ergo numero hominum, qui huic operi ap- plicantur, ejus numeri tantum pars tertia nobis valerem litteræ x præbebit. $. XXVII. Videamus jam, quanta proditura fit na- vis celerias in quolibet cafu, fi homines modo effica- ciflimo operi aamoveantur. Vidimus autem efle 4 —4 ped. eub. & e— 5 ped. omnibus igitur reliquis quanti- 4anfV 5 9 RAC HS), Unde celeriras maxima, quæ prodit fi tatibus in pedibus expréflis, erit cVc = nf = RARES st f—=infin. cognofcetur ex formula cvVe= 5%. Sufficier autem celeritarem maximam aflignavifle, cum quolibet cafu, quo f finitum obtinet valorem, defectus à maxima celeritate facile æftimari poflit. $. XXVIIL. Ponamus igitur pro navi non nimis ma- gna effe refiftentiam abfolutam #£ = çe ped. quad. & numerum hominum operantium efle = 30 ita ut fit = 10; hoc ergo cafu habebitur cVe= -% unde alti- tudo celeritati maximæ debita erit c= 0,079 ped. Unde conficiet navis uno minuto fecundo fpatium 21 pedum, cui intervallo unius horæ triens feræ milliaris germanici refponder. Ut igitur eadem navis fingulis horis milliare germanicum abfolvat , viribus 810 homi- num utendum effet: vel manente hominum numero tri- ginta , refiftentia abfoluta #£ ad 12 ped. quad. diminui deberet. $ XXIX. In hoc cafu expoñto, quo 2— 10 & kk= 50 fier = {= 0,888—ŸÀ. Vires ergo ho- minum in veétis O4 punto M applicari debent , ita ut fit AM = 5% OM; & quo pluribus hominibus locus SYIENME LE VIE VOEUN TT, 13 operandi procuretur veéti in punéto M trabs tranfverfa- lis NN adjungi poterit , in quam urgendo homines vires fuas exerceant, atque hujufmodi machina tam in Prora quam in puppi conilitui poterit, fi quidem cir- cumftantiæ id permittant, $. XXX. Hoc autem modo ingens fe offert incom- modum , quando tabula ex aqua extrahi & per aërem recrudi deberer, quoniam ad hanc operationem machina a vete © À liberari, aliaque virium applicatio inftitui deberet; huic autem incommodo occurri poterit , fi ta- bula quafi feneltris fit inftructa, quæ , dum tabula at- trahicur, claudantur & aquæ vim excipiant. Sic enim tabula ope ejufdem vectis O À in aqua removeri pote- tit, quo motu, cum feneftræ apperiantur, nulla fere refftentia fentietur ; quo continuo motu operatio & agi- tatio machinæ fatis commoda reddetur. II. Secundus Modus Navem propellendi. $. XXXI. Huc pertinet quoque vulgaris remorum ufus, qui autem, cum jam fais fit pertraétatus, tum vero in grandioribus navibus pluribus incommodis eft obnoxius, eum hic non attingam; ejus vero loco pro- ponam machinam affinem , qua utrinque ad latera navis abulæ FF ope axis incurvati D BCCBD in aqua vibrantur, dum vires hominum parti CC applicantur , qui motus, ut fine intermiflione réciprocari poflit, ta- bula iterum feneftris inftrui poterunt. $: XXXII. Ponatur utriufque tabulæ juné&tim fumtæ fuperficies = ff, quarum vis in punétis G excipiatur; fit hujus punéti ab axe rotationis D AB diftantia DG— a & axi curvati diftantia BC = x; progrediatur navis ce- leritate = Ve & rabulæ vibrentur in aqua celeritate Vy; eric celeritas refpectiva , qua tabula aquam percutit TAaBgvL14 I. Fig. 3. 14 DE PROMOTIONE NAVIUM —Vy—"Vc Hoc fcilicet locum habet, fi rabula fitum verticalem tenet, in fitu enim obliquo vis aliquantum diminuetur, cujus ratio facile haberi poterit, etiamfi in calculo brevitatis gratia negligatur. $. XXXIII. Erit ergo vis aquæ in utramque tabu- lam= ff (Vv — Vc):, quæ ad navem propellendam impenditur, ut ergo navis celeriratem fuam Ve confer- ver, necefle eft, hanc vim refiftentit efle æqualem. Pofita igitur refftentia abfoluta = KE, oportet fit kke= fF(Vv —Vc): feu 4Vc = fr fc. Ejuf- dem ‘autem: vis momentum refpeëtu axis DB: eft = ffa(vyv—Vc):feu—ék£kac, que à viribus homi- num fuftineri debet, $. XXXIV: Ponamus igitur z homines trabem CC impellere, & cujufque Honaiets celeritate Ve agencis vim valere À erit vis onmnium hominum — 7 4 « cujus mo- mentum = 724x, quod ergo æquari debet £Kac ita ut fit: » 4x Kkac: unde prodit £=— É*; præterea autem efle opportet : Vy: Ve—a: x feu: =Y. $. XXXV. Habemus ergo ?==#2— ff; unde fit vy== "Vs; qui valor in æquatione kVc— fVv— fVc, feu fVv=(Kk+fjve fubfticutus præbet: "FEV: (+ fe unde elicitur cVc= -. Quæ formula cum à fu- periori non difcrepet, paret five homines hoc modo ap- plicentur five modo præcedente , navem. utroque cafu pari velocirate promoveti. $. XXXVI. Ex reliquis ergo circumftantiis dijudicari che utrum hoc modo! an præcedente uti expe- diat; quin etiam nihil impedit, quomius uterque mo- dus fimul adhibeatur & ex: polteriori plures-hujufmodi machinas in navi fecundum longitudinem conftitui pof- fent. Quod fi fiat, notandum eft in caleulo, fummam omnium tabularum in ff comprehendi bete parique modo 2 denotabit numerum omnium Laine ; omnes machinas fimul urgentium: SATIN ET MA LVL E NI TI. 15 LUE Tertius Modus Navem propellendi. $. XXXVII. Si in Machina precedente Tabula FF circa axem 4 4 omnino in gyrum agantur, feneftris non erit opus. ac ne, dum tabulæ per aérem vibrantur, vires hominum inutiliter confumantur, plures hujufmodi tabulæ circaaxem 4 4 difponi poterunt, ut, dumaliæ ex aqua tolluntur aliæ de novo immergaotur. Hoc ergo modo vires hominum fine intermiffione ad navem pro- pellendam impenduntur neque tantum tertia pars ut in modis præcedentibus ufu venit, navem actu propellere crit cenfenda. $ XXXVIIT. Neque tamen numerum hujufmodi ra- diorum 4 G nimium augeri convenit, ne machina ni- mis fiat complicara, aliifque navis deftinationibus adver- fetur. Ita commodiflimum videtur, axem utrinque quaternis tantum hujufmodi alis inftrui , perpendi- culariter inter fe difpofitis.. Sic enim ne tormentorum quidem ufus impedietur, cum enim tormenta explo- dere opus fueric, dato figno, axis 4 À in eo fitu po- rerit, detineri, ut-binæ alæ in fitu verticali ,alteræ in horizontali ferventur. $. XXXIX. Pro hac machina calculus dificilior non evadit quam cafu præcedente : cum enim axis 4 4 fu- pra aquam elevatus effle debeat, dum una tabula FF in fitu verticali verfatur , reliquæ tres utrinque fupra aquam eminebunt , illaque unica vim aquæ eandem quam fupra definivimus excipiet , quando verum in fitum fatis obliquum pervenerit, ejufque vis proinde debilitata fuerit, cum alia ala aquæ immergetur ficque jactura illa compenfabitur ; ex quo efficitur ut tota vis perperuo eadem fit proditura ac fi femper una ala firum verticalem teneret, 16 DE PROMOTIONE NAVIUM $. XL. Denotabit ergo ff fuperficiem duarum tabu- larum ut ante & a diftantiam centri cujufque tabulæ ab axe À 4, unde fi celeritas navis ponatur æqualis Ve & celeritas gyratoria punétorum G circaaxem 4 4—Vy erit vis, quæ perpetuo ab aqua excipietur = ff(Vy—Vc)?, quæ refiftentiæ navis kkc æqualis pofita dabit kkc = fivr— ve): feu(k+f)Vce—= fyv. $. XLT. Nunc autem machina non amplius ope axis inflexi commode agitari poterit, fed potius conveniet axem 4 À verticillo D inftrui, qui à rota dentata hori- zontali Æ convertatur. Ipfa autem rota conjunéta fit cum axe verticali O , qui ope fcytalarum OM ab homi- nibus in gyrum agatur. Quoniam igitur homines hoc paéto femper eandem refiftentiam offendunt motu fem- per æquabili vires fuas exercere poterunt ; quo iplo non contemnendum virium incrementum impetrabitur, cum contra, quando motus eft inæquabilis non exigua pars virium in ipfus machinæ motu tam accelerando quam retardando confumatur , quin etiam homines hujufmodi actione æquabile non tantopere defatigabuntur. $. XLIL. Sic igicur hominum numerus = 7 qui cele- ritate Ve progredientes fcytalis © M in diftantia OM= x ab axe O fint applicatii fingulique vi = 4 pitantur, deinde fit nnmerus dentium rotx £—; nume- rus autem bacillorum verticilli D ==. Dum igitur rota £ femel circumagitur, verticillus 2 cum axe 4 4 fa- ciet L revolutiones. Unde celeritas punétorum M, qui- bus homines func applicati erit ad celeritatem punéto- : Ô u . rum G, quæ aquæ vim fuftinent ut x ad a , ideoque , / habebitur Ve : Vi x? a feu #2 y Ve vx $. XLIIT. Cum autem porro vires hominum cum vi aquæ in æquilibrio effe debeant ex univerfali æquili- brii principio, necefle eft, ut fit vis hominum, quæ et 7 4, ad vimaquæ, que eftf(Vv—Vc)=Kkkc; ut SCNESIVIPNVENTE b dy ut celeritas punétorum G ad celeritatem punétorum M, hoc eft uc Vy ad Ve unde nancifcimur kkcVv = n AVe:aquietfvVr=(£+f)vc; ergo = TMS. Unde elicimus ut ante: cVcz= HE, Quam celeri- tatem cum z homines navi imprimant , in præceden- tibus autem machinis ad eandem celeritatem 3 » homi- nes requirantur, patet hoc modo cubum celeritatis na- vis ter fieri majorem ipfamque adeo celeritatem fere in ratione fefqui altera augeri. $. XLIV. Perfpicitur ergo, hanc machinam iis, quas ante expofui, atque etiam folitæ remorum aétioni longè effe anteferendam , cum à pari hominum numero navi celeritas fere femifli major induci queat, dum fcilicet utrinque homines æquali vi operari ponuntur. Hloc au- tem commodum eo majoris momenti evadet, cum in hac machina homines perpetuo motu æquabili agant cafdemque vires exerceant. Unde non contemnendum lucrum in totum effetum redundac. $. XLV. Quamobrem non dubito iftum modum na- ves propellendi præ haétenus explicatis ad ufum praëti- cum commendare. Ac fi is nonnullis diffcultatibus adhuc obnoxius videatur, eo magis in id erit incum- bendum, ur ïis dificultatibus, quantum fieri poteft occurratur. Equidem non ignoro incommoda, quibus rotæ huic machinæ fimiles, eujufmodi jam fæpius ad naves propellendas funt propofitæ, laborant : verum hæc incommoda plerumque evanefcere confido, cum non totam rotam fed tantum axem; quaternis utrin- que radis inftruétum, adhiberi velimus, qua ratione nonfolum fimplicicati confulitur , fed etiam tempefta- tes ipfufque navis agitationes ufui hujus machinæ vix quicquam nocituræ videntur. $. XLVT. Imprimis autem in ideft ineumbendum, ut vires hominum maximo cum lucro applicentur , quæ circumitantia, fi negligatur, fieri utique poflet, ut hæc machina confuetæ remigationi poftponenda Prix.l1553: 18 DE PROMOTIONE NAVIUM videretut. Hunc in finem aétionem hominum maximié efficacem follicite inveftigavi, atque hic rotam dentaram in machina introduxi, ut; commodo dentium numero conftituto, feytalis OM ejufmodi longitudo tribui queat, quæ quamplurimis hominibus excipiendis fatis fit ido- nea. Quin etiam axis verticalis OO O vel in fuperius vel in inferius pavimentum continuari poteft, ut homines in duobus pontibus ad eum circumagendum adhiberi queant. : nAVe . 2 A & a $. XLVII. Cum enim Vr = 5; erit 75 —= y X Urnde determinatio machinæ aptiffima facile deducitur. Tribuatur enim fcytalis O M x tanta longitudo, : : LE ; 172 nAx quantam capacitas navis permittit , eritque + = F3. Unde ratio rotæ Æ ad verticillum D cognofcitur, quæ fi in praxi obfervetur, vel dummodo non nimium ab ea recedatur, machina eric ita perfeéta ut ab iifdem viribus alio modo applicatis major effe&tus nullo modo produci queat. $. XLVIIL. Ut rem exemplo illuftremus, ponamus navis refiftentiam abfolutam # £ — 100 ped. quad, quæ jam in grandiores naves competit, fitque numerus hominum #7 = 100: fit porro fumma tabularum aquam fimul percutientium f— 100 ped. quad. Hincque cum fit A—$&e— #, prodibit cVc—0,056 unde reperitur c==0, 1464 ped. Cui alritudini refpondet celeritas, qua fingulis fecundis fpatium 3 pedum, ideo- que fingulis horis fere femiflis milliaris germanici con- ficietur. Unde facile coljigitur , quanta futura fit navis celericas fi vel plures homines operi admoveantur vel refiftentia navis abfoluta minor majorve exfiftat. $. LXIX. Ponamus porro fcytalarum longitudinem x — 10 pedum & longitudinem 4G = a = 20 ped. Las 2000 ac prodibic ratio À = 7% +. Hinc fi verticillo 10 bacilli tribuantur ; rota 15 cujus valor proxime eft SIN E MAIN EN TL 19 dentibus inftructa effe deber, ficque machina ad praxin maxime videtur accommodata. I V. Quartus Modus Navem propellendr. $. L. Ad fimiliudinem Molarum alararum , quæ vento impelluntur, ejufmodi rota navi vel in Prora vel in Puppi applicari poterit, quæ alis oblique pofitis in- ftrudta & circa axem vibrara 2b aqua vim excipiat ad navem propellendam idoneam. Cujufmodi machina, cum non folum fit nova fed etiam fingulari principio innixa, omnino digna videtur, ut effetum, quem præ- ftare caleat, accuratius inveltigemus ; fortafle enim paucioribus difficultatibus erit fubjeéta , ita ut, fi vires fufficientes fuppeditaverit non fine infigni commodo in praxi ufurpari queat, quin etiam nihil impediret, quo minus fimul cum machina ante defcripta ad ufum adhi- beatur. $. LI. Sir igitur axis AB Proræ horizontaliter incum- bens, qui initruétus fit quatuor radits AG, quibus oblique affixæ funt tabulæ FF. Quod fi jam axis 42 circumagatur vel una vel dux tabulæ fub aqua verfa- buntur, quæ aquam oblique percutientes vim quoque obliquam ab aqua excipient qu refoluta dabit cum vim navem propéllentem tum etiam vim motui alarum refif- tencem. Sicque à determinatione hujus duplicis vis pen- debit machinæ effectus. $. LIL. Teneat unus radius À G fitum verticalem, ita ut nunc folus aquæ fit immerfus, ac per punétum G, quod fit quañi centrurn tabulæ, exiftente diftantia AG—a; & area tabulæ— ff, facta concipiatur fectio horizontalis, in qua fit ab‘recta axi 4 B feu navis di- rectioni parallela & Ff repræfentet fectionem tabulæ, cujus obliquitatis angulus a GF feu à Gf ponatur = 9. Ci TazuiA Il. Fig. ÿ: Fig. s & 6 20 DE PROMOTIONE NAvIUM Motus tabulæ circa axem 4 B it fit comparatus ut unétum G fecundum direétionem GZ ad ab norma- É vibretur celeritate = V v. $. LIT. Hinc fi navis quiefceret, tabula eandem vim fuftinerer ac fi aquæ celeritate — V y in direétione Z G in tabulam oblique impingeret, verum ponamus na- vem jam totum acquifivifle motum, quem ab hac ma- china impetrare poreft, efleque ejus celeritatem fecun- dum direétionem Ga= vec. Unde idem refultabit ef- fetus , ac fi aqua celeritate Vc in directione a G in ta- bulam impingeret. Capiatur G « ad G ZL ur Ve ad vs, & completo rectangulo « G Z N diagonalis N G repræ- fentabit & direétionem & celeritatem , qua aqua in ta- bulam impingere eft concipienda. Cujus diretio, fi effet in tabulam perpendicularis , inde oriretur vis = ff N G°, cum autem aqua oblique in tabulam im- pingat fub angulo incidentix FGN vis illa diminui deber fecundum rationem duplicatum finus iftius anguli ficque vis aquæ in tabulam erit = f NG: (fin. FGN):. $. LIV. Ac in triangulo NGy et NG: Ny = fin .«7G: fn. FGN : unde ft NGfn. FGN = N'y fin.ayG; cumaurem fit Ga=Vvc; GL=Vy; & FGa—o ecrit: fin.ayG—=cof.®; a y=—=tang eve & Ny—=Vv—ranggvc; unde fi: NG fin. FGN=(Vyv—tangevc)cof g—cof gVy— fin. & Ve: Confequenter vis aquæ in tabulam = ff{cof. EVv — fin. eVc):; ® Cujus vis directio c{t reéta G Æ ad tabulam normalis. $. LV. Hic obiter notari convenit, hanc expreflio- nem multo facilius erui potuifie, confiderando tantum ex utroque aquæ motu eam celeritatem , quæ in tabu- Jam eft perpendicularis, & quam propterea celeritarem Impulfus vocari licea. Sic ex motu aquæ a G oritur celeritas impulfus = /£n.@V c ac ex motu L G eric cele- ritas impulfus = cof. gV v, cui cum præcedens fit con- traria eric cota celeritas impulfus==co/. @v y — fin. ve, SE NE VX VENT EL 21 Unde manifeftum eft, vim aquæ in tabulam fore = ff (cof.gVv— fin. @Vc)': urante. $. LVI. Cum nunc hujus vis direétio fic reéta G Hin tabulam normalis , refolvatur ea in duas alias GJ & GK Se illa cum directione navis convenit, hæc vero ad illam fit normalis, eric igitur vis GJ=f fin. ® (cof. eV y — fin. eVc):: & vis GK=ff cof. @ (cof. eV — fin. eVc)?. Cum nunc illa vis ad navem propellendam impenda- tur, æqualis fit necefle eft refitentiæ navis, quæ cum, poñira refiftentia abfoluta = KK, fit = KKc: erit fin. @ (cof. eV v — fin. eVc)'—=kKc feu fcof.ov vin. o=(k+ f fin. eV fin. qe) Ve. $. LVII. Altera autem vis GX, quæ eft rt tota motui machinæ reluétatur , ideoque inftar oneris movendi fpeétari debet, Quare fi axi 4 8 verticillus ut ante y bacillis inftruétus concipiatur annexus, qui ope rotæ y dentibus præditæ moveatur. Rotæ autem adjunc- tus fit axis in peritrochio, qui ab #2 hominibus fingulis ad diftantiam = x ab axe applicatis, in gyrum agatur. Unufquifque autem homo vi = 4 & celeritate = Ve operetur, erit celeritas vis moventis ad celeritatem one- ris ut x ad y + 2 f ( Pr =). Extendamus has vires per totum tubum. Ponatur ergo tota alcitudo 4 8 = a & horizontalis BF=—6 & hic abeat in (4 & quia hic 7? abic in ff eric J À affdv = É ae Vis verticalis tota Mu sus 2f*4v % PE ) diVy (A2 bffdv En EN fines dtVy 2f*v Te ir) 4. LXXXII. Hx ergo funt vires ad motum aquæ requifitæ , quas fupra in genere littera Q fum comple- xus. Ita ut Q defgnet duas vires, alteram verticalem Mu & alteram horizontalem My, quarum virium quan- titatem in paragrapho præcedente determinavi. Circa has vires obfervo, fi motus aquæ per foramen ÆF fuerit uni- formis, qui cafus plerumque in hujus generis machinis locum habere folet, ita ut fit = 0, tum has vires fore : Vishorizontalis tota My — : SUR ñ cof. & cof.e Vis vercicalis Mu=—=2f*ty FT ANRIOTS ce fin. 8 fin. « HU lee ) 4. LXXXIII. Præterea notari debet, has vires neque à figura tubi neque ab ejus amplitudine endere , fed tantum per feétiones extremas ÆÊ E & FF una cum carum inclinationibus € & Ë determinari. Hinc parer, etiamfi in calculo amplitudinem tubi tanquam infinite parvam fpeétaverim , ramen has determinationes ad tu- bos vel cafa cujus cunque figuræ æque pertinere. $. LXXXIV. Inventis nunc viribus Q, contemple- Vishorizontalis My = 2 f * v 30 DE PRroMoTIoNE NAVIUM mur vires P, quibus aqua aétu follicitatur; ac primo quidem occurrit graviras aquæ cujus pondus litterxa M indicemus ; hinc ergo ? in fe compleétetur vim ver- ticalem M deorfum tendentem. Præterea ponamus , æquam impelli à quadam vi F7 fecundum direétionem V T, quæ ad fupremam feétionem £ Æ fit normalis, quæ cum ad verticalem inclinetur angulo +, inde orie- tur vis verticalis fecundum My = F cof. e & vis hori- zontalis fecundum My W/in.« Omnino ergo P conti- nebit vim verticalem fecundum Mu = Vcof.e & vim horizontalem fecundum My = F fin. e. . LXXXV. Hinc ergo vis reaétionis aquæ, feu vis, quam vas ab aqua fuftinet, definietur ; cum enim in- venta fit hæc vis R=—P—Q, hæc vis duas vires in fe compleétetur alteram verticalem fecundum Mu: L affdv cof. of. + Que ere M Fragfe— TE 2 far (TE EE) Alteram horizontalem fecundum My, : bffdv fin. & fin.e : Û DE RARE a Re NE TUE ——) Quæ erit = F fin. e TE 2f AG = . LXXXVI. Quod fi jam hujufmodi vas cum aqua effluente navi adjungatur, ipfa quoque navis has vires fuftinebit, ac prior quidem vis verticalis Mu nihil con- feret ad nayem movendam, unde tantum vis polterior ad motum navis imponditur, ficque navis propelleretur fecundum direétionem My vi bffdv fin. € fine — A mt 4 SO ee RE V fin. RES 5 F = ). Verum cum vis 77 in ipfa navi exerceatur ob renitentiam pe æqualem iterum deftruituz, unde navis fecundum diretionem MP propelletur vi bffdv fin. € fin « ——— je 4 — — — je ditVy 2f 2 ff 5 ee SIÉANVE RIVITOINIENNTT: I. 31 Ac fi motus aquæ fe jam ad uniformiratem compofuerit eric d y — 0 & vis navem propellens erit = 2 f*y GE En), PU ee $. LXXXVII. Quo nunc hæc vis maxima reddatur, navifque quam fortiffime propellatur, angulus « ita con- ftitui debet ut ejus finus non folum evanefcac fed etiam fiat negativus & quidem maximus quam fieri potelt, fieri ergo debet angulus « = — 90°, deinde manifeftum eft angulum € commodiflime ftatui = 90°, ut fit fin. Ë=+ » quare vas hujus modi habebit figuram, ut tam fupra quam infra definat in tubum horizontalem utrumque in eandem plagam fpeétantem , eritque hoc cafu vis navem propellens = 2 f+v (5+1) $. LXXXVII. Hxc ergo vais conftitutio & aptifli- ma ad propulfionem navis, verum fi aqua fuper ne nulla vi adigatur, fuprema fuperficies ee erit horizontalis ideoque angulus e — 0. Unde hoc cafu vis navem pro- pellens , fi quidem aqua per foramen FF horizontaliter efluac, ut fit (= 90°, erit=2f4v}%—21/fv; quæ ergo vis reattionis æquatur duplo cylindro cujus bafis eft foramen FF & altitudo æqualis altitudini celericati debitæ 1. LXXXIX. Verum hic opus eft celeritarem noffe qua aqua quovis cafu per foramen FF eft eruptura, quæ ecf facile definitur, cum motus ad uniformitatem fuerit perduëtus & quafi per experientiam conftet, tamen, quoniam hic jam præcipua Hydraulicæ fundamenta jecis non abs re fore arbitror, fi etiam modum ipfam celeritatem determinandi ex Theoria propofuero. $. XC. Ad hoc confiderari debet ftatus compreffonis aquæ in quovis tubi loco. Quamquam enim aqua in minus fpatium fe cogi non patitur, tamen comparari poteft cum eo ftatu, quem aqua ad diverfas profundi- tates obtinet; hinc ftatum compreflonis per altitudinem TazuLa 11. Fig.s. Tszu1A Il io, 8 Fig. 8. 32 DEPROMOTIONE NAVIUM defignabo, vel potius profunditatem, ad quam aqua ftagnans in pari ftatu compreflonis reperitur. $. XCI. Exponarur ergo ftatus compreffonis aquæ in fectione M N per altitudinem p, five hic aqua in ecdem fic ftatu, ac fi columna aquea altitudinis — p immineret. Hinc ergo aqua circa feétionem MN, quam fupra pofui — 73, propelletur vi=p77. Simili autem modo in fectione #1 {tatus compreflonis erit p+ dp, unde ori- tur vis, abs qua aqua anterior #2 FF propellitur, pof- terior vero repellitur. $. XCITL. Élementuin igitur aquz M Nm n ad bafin MN propellitur vi=p37 ad alteram vero bafin m2 repellitur vi =(p+ dp) (77+27d7) Qux vires cflent in æquilibrio fi rationem bafum cenerent, hoc eft hi effet: prt: (p+dp)({i+22d7)=33: 11+ 2147 Hoc ergo aquæ elementum effet in æquilibrio fi eflec dp = 0. Siergo dp non eft — 0, hoc aquæ elemen- sur atu repelletur vi=dp (77+ 2 td?) = z1dp. $. XCIIT. Præterea autem hæc aqua, quia eft gravis, deorfum nititur fuo pondere = 7745; unde ob oravi- ratem hæc aqua fecundum direétionem tubi M pro- pelletur vi = 77dscof.oç—3%;3dx; hinc ergo con- junétim propter gravitarem & ftatum compreflionis ele- mentum aquæ MNnm fecundum direétionem tubi Mr propelletur vi=};7dx—7;7}dp, hæcque eft vera vis, qua motus hujus aquæ acceleratur. $. XCIV. Supra autem (. LXXVII) vidimus ad motum elementi aquxz MAN nm requiri duas vires Mu & My, ex quibus conficitur vis aquam feeundum direc- tionem tubi Mm, propellens = vis Mu cof. @ + vis M fin, e = ds — 225, Hæc ergo vis æqualis effe debet vi ante inventæ ; unde oritur hæc æquatio ff dv 4aftvdz gidx—idp= y Dita Ex SINE VI VENTI 33 Ëx qua definiri deber alcitudo p ftatum compreffionis exponens, ubi quidem ad huc celeritatem vy tanquam cognitam fpeétamus. $. XCV. Hinc ergo nancifcimur iftam equationem : ER ffdr, ds 4fin4% dp=dx— it RAA ape Hxc formula irerum ita intégrata, ut Vy & # pro conftantibus habeantur, quoniam tantum ftatum com- prefionis aquæ pro præfenti momento determinare eft propofitum , prodibit ergo : pP=x—- fi L+C. Hic perfpicitur , valorem integralem 2: à figura tubi ejufque amplicudine pendere , quæ, fi fuerit cognita, gtiam valor illius formulæ poterit aflignari. $. XCVI. Hic jam primo obfervandum eft in ori- ficio FF nullam compreflionem totum habere, fi qui- dem à prefliose Atmofphærx animum abftrahamus ; eric ergo hic p — 0: ponatur ergo integralis / 4 per ‘rotam longitudinem tubi fumti valor = F; erit o — a—Î F— y + C. Unde conftans C determinatur; ficque pro loco tubi quodcunque M ftatus compreflo- pis erit: pal ff ffdv ds P=X—a+y (1 —£ + (F— =) $. XCVITI. Exprimat altitudo C ftatum compreffionis in fectione fuprema EE eric: C——a+ 1 (—# + Æ Tota ergo vis, qua fuperficies aquæ EE propellitur , erit = Cee; quæ ergo vis æqualis effe de- bet vi fupra in calculum indud&æ F ita ut fit C= =; unde obtinemus hanc æquationem: Prix de 1753. E TazviA Ill. Fig. 10, 34 DE PROMOTIONE NAVIUM L+a—v(i—£)+Æir. LE} Ex qua celeriras y poterit determinari feu celeritas V + ad quodvis rempus determinari. $. XCVIII. Integrationi hujus æquationis , quia nihil habet dificultatis, non immoror, fed tantum obfervo , cum motus perduétus fuerit ad uniformitatem, quod plerumque fatis cito’fieri folec, celeritarem, ob dy —o, hac æquatione determinari: v=(£+a):(1—£). ç. XCIX. Hinc igitur patet, fi amplitudo fuperior E E mulco major fuerit quam foramen #°F celeritaremt aquæ per FF effluentis debitam fore altitudini y, ut fit y—a+£. Ac fivas fupra fueritapertum, neque ulla vi W'urgeatur fore v — a, fcilicet aqua effluet celerita- te, quæ erit debita altitudini æquali altitudini aquæ in vafe fupra foramen. I. Primus Modus Navem propellendr. $. C. Conftituatur in Puppi navis vas amplifimum AEËEFB, quod aqua jugiter plenum ferveur, ex quo aqua horizontaliter effluat per foramen FF = ff, fit- que alritudo aquæ fupra hoc foramen £ F=— a, arque ut vidimus aqua effluer celeritate Vy = Va. Vis igitur reactionis aquæ fecundum direétionem horizontalem eric —2ffv— 2ff4; uti in $. LXXX VIII eft often- fum. $. CI. Tanta igicur vi navis actu propelletur, unde fi navis jam celeritate = Vc progrediatur, ejufque refif- tentia abfoluta fuerit = #£, ita ut refiftentia ipfa fit —kkc, necefle eft uc fit K£c=— 1 /ffa, fi quiiem motum navis jam ad uniformitacem pervenifle ponamus. Hinc ergo ex datis quantitatibus a, ff & kK celerias PRIS PIS NA EM OV AT IV OENNETAI: 35 navis ita erit comparata ut fit c— #{< feu ipfa celeri- tas eric Ve—£Via. $. CIT. Cum autem conftanter tantumdem aquæ fu- pernæ in vas affundi debeat, quantum per foramen efluit, videndum eft, quantum aquæ fingulis minutis fecundis per foramen uee Ponamus igitur, grave minuto fecundo cadere per alritudinem /, ac fi aqua cfflueret celeritate V/ uno minuto fecundo prorumpe- ret volumen aquæ — 2/ff/ Quare cum aqua effluat celeritate — Va, quantitas aquæ fingulis minutis fecun- dis elapfæ erit = 2 ff V al: hinc fingulis minutis fecun- dis perpetuo tantumdem aquæ fupra in vas infundi debet. $. CIIT. Quæ aquæ, cum ex mari hauriri , atque ad alcitudinem tanto rajorem , quam eft altitudo vañis a elevari debeat, quanto magis ipfum vas fupra aquam fuerit elevatam hoc fine difpendio virium fieri nequit. Sit altitudo vañs fupra aquam FO —:, atque cantis viribus opus erit , quæ fuficiant quantitati aquæ = 2/ffV al fingulis minutis fecundis ad altitudinem a+ elevandæ, alticudo autem FO =: tanto major accipi debet, quo magis navis à fluctibus'agitatur, ne- le) ceffe enim eft ut foramen FF femper fupra aquam emi- neat. $. CIV. Ponamus igitur ad hoc 7 homines adhiberi, qui finguli celeritate V2 agant & vim — 4 exerceant. Quilibet ergo homo fingulis minutis fecundis onus — 4 promovebit per fpatium = 2 V #4 Unde effeŒus unius hominis uno minuto fecundo editus æftimandus eft — 2 AVI & effetus 7 hominum=—2124VBbl. Qui cum æqualis effle debear effeétus eodem rempore præf- tando , quo maflam aquæ 2 ffV al ad alritudinem (a +2) attolli opportet, fequentem obrinebifnüs æqua- tionem. 2 (a+:)ffVal=2nAVEl, feu (a+:)ffVazn AVE. LE y 36 DE PROMOTIONE NAVIUW $. CV. Hinc non derermino utrum homimes imme- diate aquam hauriant an ope cujuspiam machinæ, fermn- per enim idem obtinetur effectus, fi quidem homines pari celeritate operentur. Machina autem, fi qua ut videatur , ita comparata efle debet , ut homines ea ce- leritate V4, quæ fupra commodiflima cft oftenfa, agere ueant. Quod, quomodo efficiendum fit, ex iis, quæ fps de conftitutione machinarum funt expofira, non dificulter colligere licer. $. CVI.. Ex æquatione igicur inventa nancifcimur n AVE ose unde alritu- aki)Va amplitudinem foraminis ff — CAT : : : 122 AV ab , 5 = "©, Hic do celeritati navis debita reperitur c GED H quantitates n, A,b,Rkk, &i funt datæ ac fola altitudo vañs a arbitrio noftro relinquitur ; quam ergo definiri convenit, ut navis maximam celeritatem adipifcatur : ae V2 : ê exprefho igitur ——— maxima eft reddenda, quod evenit ai 7 A h fi ftatuatur a=— À unde fit c— ÊE = $. CVII. Applicemus hoc ad cafum navis fupra ($. XLVIIL) confideratæ, fique K£= 160,7— 100, —=#&b—,,, ac tribuamus altitudini z quantita- tem $ pedum, ut fit := 5; hinc.ergo eruitur c— 0,056283, cui refpondet celeritas fere 14 pedis in minuto fecundo. Machina autem fupra adhibira navem ab eadem celeritate fere duplo majori propelli vidimus. Unde hic modus præ fuperioribus non admodum com- mendabilis videtur, $ CVIIL. Difparias hic infignis inter hujus machinæ effetum & fuperiorum machinarum notanda occurrit, cum enim ibi cubus celeritatis navis numero hominum » SINE VI VENTI 37 proportionalis effet inventus , hic cantum quadratum ce- lericatis numero hominum proportionale eft repertum. Ja hic ad duplam navi celeritatem imprimendam, nu- mero hominum quadruplo majori erit opus, cum ante octuplo majori erit opus fuiflet. Unde fequitur, fi nume- rus hominum pro lubitu multiplicari poflet, hoc modo tandem navi multo majorem celeritatem impreffum iri, quam modis præcedentis feétiones, quod tamen minime probabile videtur. $. CIX. Ratiocinium autem, quo hic ufus fum, effet juftum, fi elevatio aquæ, tam pro cafu navis quief- centis, quam motæ eandem vim requireret; verum ma- nifeftum eft, fi navis ipfa progrediatur, aqua antequam elevari queat motum ipfus navis motui æqualem im- primi debere. Quod cum fine vi effici requeat, eo mayjori vi opus erit ad aquam elevandam, quo celerius navis progrediatur. Exiftimare autem licer ad hoc tan- tam vim requiri, quanta opus eft ad aquam ad altitudi- nem — c elevandam. - $. CX. Quod fi ergo fuperius ratiocinium hinc emen- dare velimus. aqua non folum ad altitudinem a + : fed potius ad alcitudinem a+z+c elevari debere , cen- d ae : 22 AV ab fendaeft. Hinc ergo prodibit iftaæquatio c — PTS ita ut hæc refolvenda fit æquatio quadratica : 2nAVab cc+(a+i)c= = es 1 + ONE 2n AVab Exquaelicitur C——;(a+i) © V7 (4 (a+i) + HE Qui valor jam proxime ad veritarem acceder. $. CXI. Uchæc celeritas fiat maxima, non amplius locum habet valor, a—:, fed per differentiationem æquationis quadraticæ , pofito a variabili, reperitur naVb naVb gps ideoque Va=-—, qui valor fubftitucus £—= 38 DE PROMOTIONE NAvVIUM 3 £ an AAb ne nn AAb : dabic ce+ic= 7 feuci+icc=——.Acujus æquationis cubicæ refolutione pendet determinatio ce- lericaris. $. CXIT. Cum altitudo z tam exigua capiatur quam : ù AVE fieri potelt, fiefleti— 0, foret cvc—!27?, Qux P Ù k& formula fimilis eft illis, quæ pro modis præcedentibus func inventæ ({. XXII). Unde pater hoc cafu navi eandem celeritatem impreffum iri atque fupra. Sed cum c vix unquam exfurgat ad unum pedem , altitudo autem i aliquor pedes fuperare debeat, certe erit > ec, pofiro FR . à naVb jgituri= 3csernitcVc= 7. Quæ expreflio con- venit prorfus cum ea quæ €. XXIV, tanquam ad praxin idoneam eft inventa: ita ut hoc modo parem hominum vim adhibendo, navis æque celeriter propelli poflit at- que iis modis præcedentibus , quibus nulla inutiliter impenditur. $. CXIIT. Cum hic cafus ad praxin fatis accommo- n AVE 2 j datus videatur, ponamus = 3cutfitcVc= . 3 . . . . erit c— nn À Ab, qui valor fubftitutus pro altitudine —— q - P É n AV b nd: 3 an AVE vañis a dabit V a — PRET EE éberaen Unde . . . 3 ipfa altitudo colligitur a = 7/ 16rrAAb = 4 c. k4 $. CXIV. Confideremus iterum cafum ante allatum, quo erat 2=— 100; KkK— 1005 AR is: reperitur © = ÿ A ped. — 0, 14675 ped. Unde celeritas nafcitur fingulis minutis fecundis fpatium 3 pe- SREENSE MO VELA Ne EN, TUE 39 dum abfolvens, erit ergo i —0,44015; porro prodit altitudo vañs a = 0,58700; orificii denique, per quod aqua efluit, amplitudo erit ff—#= 122 pedum quad. $. CXV. Arca igitur ampliffima ad puppin navis ad- junoi deberet, cujus altitudo , cum femiifem pedis pa- rum fuperare debeat , foramen per totum latus polte- rius inftar rimæ exfcindi deberet , cujus altitudo, fi ca- peretur + pedis, latitudo vañs so pedum effe deberety ut hinc amplitudo foraminis prodiret 111 pedum qua- dratorum. Quia autem hæc area vix dimidio pede fupra aquam prominere deberet, minima agitatio effectum hujus machinæ penitus turbarer, Quin etiam hauftus aquæ ad tam parvam altitudinem magnis dificultatibus foret obnoxia. $. CXVI. Quod incommodum , quo evitetur , alti- tudini z multo major valor tribui debet ; quod fi ergo ponamus :— 15$c, erit cVc— Ve a 16c. Qui cafus jam propius ad praxin effet accommodatus, verum hinc celeritas navis multo minor evaderer, ideoque hæc ma- china præcedentibus merito poftponenda videtur, quippe quibus navi ab iisdem viribus major celeritas imprimi poteft. Re Secundus Modus Navem propellendi. $. CXVII. Quemadmodum aqua libere effluere eft pofita, ira nunc ponamus aquam præter gravitatem vi quadam expelli. Jam vero vidimus maximam hinc vim obtineri fi canalis tam fupra quam infra fueric horizon- taliter reclinatus. à $. CXVIIL Hic autem non fufficit propulfionem aquæ , quacunque vi perficiatur, dererminafle, verum TaguLA Ill Fig. 11. 49 DEPROMOTIONE NAVIÜM imprimis opus eft, ut modus exponatur, quo aqua con- tinuo elevetur , atque machina ita inftruatur, ut, vel fine incermiflione aquam expellat, vel alternatim aquam cum attrahendo tum ejiciendo effeétum fuum præftet. Commodiffima igitur ad hoc inftiturum viderur machina anticis ordinariis fimilis, qua aqua motu reciproco attol- litur & expellitur. 4. CXIX. Concipiamus ergo in fuperiori parte vas inftruétum efle tubo horizontali 4 €, in quo embolus E E fit agitandus, infra autem definat in duplicem ra- mum, alcerum VF, qui aqua fit immerfus, alterum autem M F horizontaliter reflexum,, per cujus orificium FF aqua in aërem expellatur. Valvulisautem #, # efi- ciatur, ut, dum embolus extrahicur, valvula #2 claufa, altera 7 aperiatur & aqua ex mari attollatur, contra vero, dum embolus intruditur, occlufa valvula , aqua per alteram #2 apertam expelli poflit ; ficque alrerna em- boli agitatione machina tam aquam attollar quam ite- rum ejiciat. $. CXX. Caufa aurem quæ aquam , dum embolus extrahitur, furfum pellit eft preflio atmofphæræ, quæ, uci conftat, æquipollet columnæ aquæ 32 pedes altæ. Unde altitudo tubi horizontalis AC fupra aquæ fuper- ficiem 32 pedes excedere nequit; ergo alritudo 4 N aliquot pedibus minor effe deber, ita ut nunquam tri- ginta pedes fuperare poflit. $. CXXI. Ponamus igitur vim embolum extrahen- tem efle — Ÿ & emboli amplitudinem EE — ee: ejus vero alcitudinem fuper aqua = 4 atque ex hydrofta- cicis conftat vim Ÿ/ æqualem efle debere ponderi volu- minis aquæ —eea. Tanta ergo vi opus erit ad embo- lum extrahendum fcilicet erit V—=eea & a € 32 ped. $. CXXIT. Exponat z altitudinem debitam celeritati, Le embolus extrahitur, eritque V4 celeritas aquæ in ectione £ Æ , amplitudo autem eubi in Z fit æqualis 88» SOINR ES ONANNY EN TI. 4T eo, critque celeritas, aqua aqua ad À in tubum intrat 85 2 — ce ‘- 1 £ 1 — = ;+ Vu. Quæ, quia aqua in cubum ingreditur, com paranda eft cum —Vv, quam fupra adhibuimus, uti etiam gg pro ff fcribi opportet. Hinc ad motum hujus aquæ requiritur vis horizontalis =1ec, per S.LXXXVI, ob (= 0 & 6 — — 909, $. CXXIIT. Tanta ergo vi quoque navis propelletur, dum embolus extrahitur. Hinc ergo patet iftum.mo- dum præcedenti efle anceferendum , quoniam vis aquam elevans quoque aliquid confert ad navem propellendam, cum fuperiori modo inutilicer impendatur. Quare hinc quoque præcedentem modum perficere liceret, fi fcili- cet aquam, quæ ibi fimpliciter hauriri ponebatur, hoc modo ope hujus antliæ elevaretur, verum, quia hæc perfeétio jam in hoc modo continetur, eam tantum in- dicafle fuffciat. $. CXXIV. Hæc vis eriam ulterius augeri poteft, fi ima pars tubi À etiam horizontaliter réflectatur, ut tubo MF fiat parallela ÿ tum enim ob fn. Ë = 1 pro- dibit vis navem propellens = 2 e4u(£+2). Quia autem amplirudo #2 admodum magna faltem in cal- culo-afflumi debet, quoniam alioquin aqua afcendens motum emboli non fequeretur, hoc augmentum parvi erit momenti. Si enim celeritas V4 propterea diminue- retur, mulcomajus decrimentum inde vis propellens pate- retur. $. CXXV. Confideremus nunc etiam alteram par- tem, qu: embolus intruditur & aquam per orificium FF expellit, pofta autem amplitudine orificii = ff, celeritate , qua aqua expellitur =v y, & vi embolum urgente = Ÿ. Supra invenimus vim navem propellen- tem ee = 2ftv(5+2) (5 LXXXVII). Tum vero celeritas aquæ V v ita eft definita ur fit: Prix de 1753. EF te y E PROMOTIONE NAVIUM =; denotante a altitudinem emboli fupra orificium FF, $. CXXVI. Valore ergo hoc fuftituto, vis navem propellens erit : 2fi(£+a) (+) 2/f(F+uee) |. ne CR Neminenm 1 —/; ee— ff hic offendat, quod cafu ff— ee, hæc vis prodeat in- finita, hoc enim cafu celeritas nunquam ad uniformi- tatem, uti affumfimus, reducitur, fed continuo in infi- nitum ufque augetur ; id quod etiam evenit fi ee € ff. Quare, ut mox motusobtineatur uniformis, necefle eft, ut amplitudo ee notabilitèr major ftatuatur quam Te 4. CXXVII. Cum igicur fit celeritas aquæ effluentis FH aee Ve aps + erit celeritas , qua embolus in- ; f V + ace rec PP troducitur = — ny Sicigiur elicuimus tam celeritaem quam vim , qua embolusintruditur , quor- fum deinceps vires hominum accommodari opportet. $. CXXVIIT. Ponamus nunc ram extraétionem em- boli quam ad intrufionem eafdem vires eademque cele- rirate adhiberi, quo commodius machina traétari queat. Deber ergo efle = VU —eea; ubi a aliquantum major eit quam in formulis præcedentibus quia hic totam altitudinem fuper aquæ fuperficiem denotat, qui exceflus feu elevatio foraminis FF fuper aquam fi vo- cœur —a, ecrit V—ee(a+a). Deinde efle deber celeritas, qua embolus extrahitur 1h VW + aee 14 æ M eee re e— $. CXXIX. Visergo, qua navis, dum embolus ex- SATNNE EVER VIEN TL 43 trahitur, ad motum incitatur, erit Æ (ee + go) zacekuee d . 4 { Be le Dum autem embolus intruditur, erit vis navem propellens = 2 eff (ET). Ut igitur na- vis perpetuo æquali vi propellatur, conveniet duas hujuf- modi machinas in nave conftitui, quæ ita agitentur , ut, dum in altera embolus extrahitur, in aitera intru- datur : fic vis conftanter navem propeilens erit = 2eef+ 2a + a 24 + a DORE meer) $. CXXX. Ab hujufmodi igitur machina geminata navis perperuo æquali vi incitabitur : unde cum motus navis jam ad uniformitatem fuerit perduétus, hæc vis refiftentiæ debet efle æqualis. Quare, pofita celeritate navis = V ce & refiftentia abfoluta = 4 K erit 2eeft 2440 24a—+ « kkc=—= Vas (ee+ppe) (2 ) +zeeff (2 LS). $. CXXXI. Ponamus ad utramque machinam agitan- dam fimul 7 homines applicari, ita uc numerus homi- num unam moventium fit = 17; quilibet autem homo operetur vi — À & celeritate = V/. Agiretur autem embolus ope veétis #C cirea C mobilis, cui vires homi- num applicatæ fint in punéto P, ac vocetur CF = x & CP—7; huc enim omnis generis machinæ, quibus uti vifum fuerit, reduci poflunt. $. CXXXII. Cumigitur celeritas hominum feu pun&i P fit =vé; erit celeritas puni V—=2Ve; de æqua- lis efle debet celeritati emboli. Ex quo nafcitur hæc L de NEA 2a+k a æquatio a vb = $ CXXXIII Porro vis uni machinæ in P ap- plicata eft — 1» À, cujus momentum ergo +» 47 æquari debet momento vis, ad motum emboli re- F ij 44 DE PROMOTIONE NAVIUM quifitæ x. Cum autem fit W—ee (a+a), habe- bitur ifta æquatio, 22 Âz—ee (a+a) x. Ex qua (ee Pur Zn À : I É d cliciur == Qui valor in præcedente æqua- . : z AVE 1 aa tione fubftiutus præbet : BE) = ff nee AVb EL EEE A 46% (2aex > + nn A Ab) 6. CXXXIV. Cum nunc fit ff — 7 erit, valorem hunc in prima æquatione fubftituendo : (ee+gg)nnAAb 2ggee(a+a)? 2ee(2a+a)n AVE Tyaettza+a)(eta) +rn AAb)—n AVE quæ reducitur ad formam fequentem (ee+gg) nn AA £Æc —_ kkc=— 2zggee(a+a) n'AVb(V(4et(2 a+a)(a+a)*+nn A Ab)+nAvb) # 26e(a+a) nn AAb(i1+£< 2ee(a+a)* 4 2AVE (4et(2a+a)(at+a)*+nn AA D) 2 eea Rid) 2100 8. CXXXV. Quod fi brevitatis gratia ponatur nr AVE 2ee(a+ a) prodibit facta fubftitutione : £kc—2eep(1+1) +ieevp(2a+a+p). Unde fic altitudo celerirari navis debita c= p(2+5+V(1+2%%)) Qux è : 2n A Ab exprefio etiam in hanc transformatur == zkkKec(a-a) (++ ra desmeehenes)e sels) nnAA& feu 4Akc— Vip) utfitr AVb—2ee(a+avp); SINE VI VENTI. 45 $. CXXXVI. Quoniam autem vidimus ad id, ue motus aquæ erumpentis quavis actione ftatim ad unifor- mitatem reducatur, requiri, utee multis vicibus exce- dar foramen ff quia alioquin vis hic per calcufum defi- nita vel nunquam vel nimis fero exifteret , ponamus ee—mff, ut fit »# numerus unitate multo major; = x n À > 3 . b critque À = ——— & tertia æquatio præbet : € z2mfflata) : b — . ff = _#AVI(RR T1) ; ynde conficitur 1m(aka)V(raa+a) 2a+ a AT Es L2 MIN os | ) 1* $. CXXXVII. Pofito autem ee = » ff, ac pro ff fubfticuro valore invento, æquatio prima fuppeditat n AV b(1a+ = ; HhennePCeRe Enr 2), Unde altitudo (aa) V (mm—:) ss nAVb(12a+ a) Kk(a+Ha)Y(mm—:) (2+m+ 5%). Ubi ratio ce ad gg ita accipi debec, ut in extractione emboli aqua embolum fequatur ; ficque conveniet fractioni Æ valorem unitate minorem tribui. $. CXXXVIIT. Hic ftatim ingens fe offert difcrimen inter effectum hujus machinæ ac præcedentium, cum hic numerus hominum quadrato celeritatis navis, fupra autem eju cubo proportionalis fit inventus, ita ut hanc machinam adhibendo fi navis duplo celerius progredi debeat, numerus hominum rantum fit quadruplicandus, cum ante oétuplicar! debeat. In quo non exigua præ- rogativa pre machinis præcedentibus eft fica. $ CXXXIX. Ex hac formula quoque apparet expe- dire, ut altitudines a & « quam minimæ ftatuantur, quia tum celeritas navis prodir maxima. Si enim a & « evanefcerent , celeritas nawis revera infinita prodiret , qui autem cafus locum habere nequit, cum in fora- celericati navis debita erit c— 46 DE PROMOTIONE NaAvium men À F deberet efle infinitum & ratio x ad 7 infinite parva. Quar ob caufam necefle eft ut litteris a & « mo- dici valores tribuantur, quo hypothefis calculi ratione motus uniformis melius obtineatur. $. CXL. Præterea vero ipfa navis agitatio requirit, ut alticudo 4 unum vel aliquot pedes fuperet. Deinde etiam necefle eft, ut altitudo & mulris vicibus excedat diametrum foraminis, quia alioquin amplitudinis fora- minis ratio ad altitudinem a haberi debuifiet in calculo, quæ tamen eft prætermifla. Oportet ergo efle aa multo naVbimm— :) rus valde magnus & & tam parvum affumitur quam cir- majus quam 5 feu quia #2 eft nume- cumftantiæ permittunt, debet efle a Va multo majus quam "V2. $. CXLI. Evolvamus igitur caffum fupra confideratum {$.CXIV.) quo erat n=1005 Rk=—100: A=$&b— Atque flatim reperitur &3 V a multo majufquam 4, feu a7 multo majus quam 16. Ponamus ergo efle « = 10 ped. & a = $ ped. Prærerea fitm—= 5 & € — ! unde LYS VERL ES fic = EE five c=2iv;-=—0,0574ped. cui alcitudini refpondet celeritas fingulis fecundis fpa- tium 1 > pedum abfolvens, quæ multo minor eft quam ea, quæ pro eodem cafu per modum tertium feétionis fuperioris eft inventa ($. XLVII.). $. CXLIT. Ponamus autem, quo navi majorem cele- ritatem conciliemus, alticudinem a — ped. &a— 2 ped., reliquis quantitatibus ïifdem reliétis, prodibitque CV ;—0,085ÿ2 pedis, cui altitudini refpondet celeritas 2 + pedum in minuto fecundo, quæ præceden- SÉTENTE OV ENV AE ENT ere 47 tem tantum fere dimidio pede fuperar & adhuc multo minor eft quam per machioas præcedentis fectionis navi ab iisdem viribus imprimi porelt. $. CXLII. Cum igitur hoc modo à 100 hominibus navi minor celeritas imprimatur, quam modis in feétione priori defcriptis, mulco minorem effeétum ab hoc modo expectare licebit, fi pauciores homines adhibeantur , quoniam hic celeritas navis fecundum rationem fubdu- plicatam, ibi vero fecundum rationem fubrriplicaram numeri hominum decrefcit. Unde fi non nimis magno hominum numero uti licet , refpectu refiftentiæ abfo= lutæ £K, femper præftabit machinas prioris feétionis ufur- pare, quam iftam hic defcriptam. $. CXLIV. Contra autem fi mulro plures homines operi admoveri queant, quam hic aflumfimus, tum uti- que effectus hujus poftremæ machinæ præccdentes fu- perare poñlet. V erum, quia tunc altitudo a major affumi debet ob rationes ante allaras: inde ipfa quoque navis celeritas minor eflec proditura, quamobrem etiam hoc cafu nullum lucrum impetraretur. $. CXLV. His perpenfis merito concludi pofle vide- tur, machinas hujus feétionis multo debiliores effe cen- fendas quam præcedentes , ideoque à praxi removen- das. Quocirca machinas prioris fectionis præcipue ad ufum commendandas efle arbitror, ex iifque imprimis modos tertio & quarto loco defcriptos » quippe qui navi maximam celeritatem imprimunc , fi quidem paribus viribus uramur. Quin etiam ïfti modi ad praxin magis videncur accommodati, neque adeo difhcile viderur obftacula, quæ forte occurrere queant, removere, FLN I S, RUANDEEETS # tee e exberiqe 3. DeLa Car delle Sug. u77 »ber à l'action du lent. Piece de 1753.PUZL d Mantere de De La Gardette Seufp- » A ce A NE pre Non A + 1 pee = me ts rt me 2 2 > e LISE ; re 2 £ LA ÿ He A Re QT RUE eu AT ] al 1 { À = 5 ts ; "SENTE . de nues 9 ce ass D EE — fi ee « Là eh dt Bd à 2 4 ds Retro, Maniere de suppleer a l'achion du lënt. PEL 2788 PONR MEMOIRE PÉRMÉCSSE UN T'E A L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, A L'OCCASION DU PRIX DE M.DCC.LIII. Par M. MATHoN De 14 Cour, de l’Académie Royale des Sciences & Belles-Lettres de Lyon. ls | Parmä inglorius alba. Prixderrs3. FAAIES ns LE nu “a HE He ! ie M it nr | AR rsnot a SIAUON Shea a, on à . Resa ad AEa Le ri nue ss se M } ae: toi) AS DD LAS ARE à til mue ne me ur pt 1e Be amet — = == LE eu ALIEN PITEN, TPAQ TA, TAN TR UL Ed PT Ie kIIXY À he hot Mot Mont” Nos fo AS JA /) = ! =, 7 | MÉMOIRE Sur la maniere la plus avantageufe de füppléer à Padion du Vent fur les grands V'aiffeaux , foit en y appliquant les rames, foit en employant quelgw’autre moyen que ce puiffé étre. UT vaifleau environné de deux fluides, l'air & l’eau, peut recevoir fon mouvement de leur aétion ou de leur réaction : de leur aétion, lorfqu’il eft poufié par le vent ou entraîné par un courant : de leur réaction, fi on fait mouvoir contre ces fluides une furface tellement liée au vaifleau, qu’il ferve comme de point d'appui à la ré- fiftance qu’elle éprouve; elle lui procurera alors un mou- vement en fens contraire au fien. L'air a fi peu de denfité en comparaifon de l’eau, qu’on peut du premier coup négliger les moyens fondés fur fa réaction. Celle de l’eau fera toujours infiniment plus efficace, & c’eft de ce côté-là qu'il faut tourner nos pre- mieres vues. Tâchons donc de préfenter à la réaction de l'eau une furface qui la frappe le plus directement qu'il fera pof- Ai] 4 MANIERE DE SUPPLÉER fible ; car la vitefle du fillage réduiroit à prefque rien la vitefle refpective des furfaces qui frapperoient l'eau obli- quement. Cherchons en même rems les proportions les plus convenables pour procurer une grande vitefle fans trop fatiguer les agens que nous emploierons, & fans dé- ranger ni incommoder les autres opérations de l'équi- page. Celui qui parviendra à remplir ces différens objets, peut efpérer le fuffrage de la célebre compagnie qui a pps la queftion que j'entreprens de traiter, & dont a fimple approbation eft le prix le plus flatteur de tous pour un cœur fenfible à la véritable gloire. Comme les diverfes manieres de procurer le mouve- ment de la furface qui doit éprouver la réaétion de Peau peuvent fe réduire prefque routes au principe du levier du premier genre, c’eft fous cette forme que je les exa- minerai en général. On peur appliquer fi aifément les mêmes principes aux autres cas où il ne fe trouve point de bras de levier, qu’il n’eft pas néceflaire d'en faire un article féparé. C’eft donc fous l’idée des rames ordinaires que je con- fidererai le moteur du vaiffeau. La réfiftance de l'eau ou fa réaction fur la furface des pales doit être en équili- bre avec la force ou puiflance de l'agent qui meut la rame. Le point d'appui eft le vaifleau même, ou fi l’on veut, c’eft la réfiftance de l’eau au mouvement de la roue. I] faut obferver cependant que le vaiffeau ne fupporte pas ici l’action des deux forces qui font en équilibre aux deux extrêmités de la rame, comme il femble que le point d'appui d’un levier du premier genre devroit les fupporter. Dans le cas préfent où la puiffance motrice n’eft pas étrangere & extérieure au vaifleau, elle ne fau. roit agir fans être buttée contre lui, & fans lui rendre par conféquent autant de mouvement en arriere que le point d'appui en a reçu en avant de cette même puif- fance. De-la vient qu'il ne conferve pour aller en avant A L'ACTION DIU: VENT. K que la feule force de la réaction de l’eau fur la pale. Celle de la puiffance, fe détruifant elle-même par rap- port à fon action fur le poinc d'appui, ne mérite plus d’être confidérée que par rapport à l’équilibre où elle doit être avec la réaction de l’eau fur la pale. C’eft faute d’avoir fufffamment développé cette idée qu’on a été fi longtems embarraflé à expliquer nettement l’aétion des rames. Je diviferai mon ouvrage en deux pärties. Dans la premiere j'établirai les principes de Théorie néceflaires pour choifir entre les moyens divers qu’on peut em- ployer. Dans la feconde j'en tirerai les conféquences pratiques qui font l'objet principal de la queition pro- polée. 6 MANIERE DE SUPPLÉER ADAM NN LNN I LOMME SONATA LNNDE ONE LNNIE LR LNNI ON SANDRINE RM PIN EN ON ND NN D NN ANNE AIS PREMIERE" PARTIE, J: PPELLE la mañfe ou le poids du vaiffeau exprimé en livres, M La furface de la proue, qui éprouve la réfiftance de Veau , réduire à une furface plane qui feroit cho- quée directement & exprimée en piés quarrés, f La furface dont la réaction produit le mouvement du mouvement du vaifleau, c'eft-à-dire la furface de toutes les pales prifes enfemble, s La force de la puiflance motrice exprimée par un poids, c’eft-à-dire par un certain nombre de livres ñn La viteffe avec laquelle cette puiffance eft mue, ex- primée par le nombre de piés qu’elle parcourt dans une feconde, V La vicefle du fillage, c Le bras de levier de la puiffance, ou manche de la rame, Celui de la réfiftance, c’eft-à-dire la longueur de la rame depuis le point d'appui jufqu’au point que nous regarderons comme le centre d'impulfion des pales, 4 La virefle de ce centre des pales fera donc égale à = Et a étant = 1, elle fera égale à 2v. &R Pour avoir des formules moins compliquées, je com- mencerai par examiner en général les propriétés des ra- mes en faifant abftraétion de leur poids (il eft aifé d’y avoir égard dans la pratique en ajoûrant à la force mo- trice ce qui elt néceffaire pour cela), en fuppofant la puiflance 7 appliquée en un feul point à l'extrémité du bras de levier a , & La réaction de l’eau fur Les différentes A L'ACTION DU VENT. 7 bandes des pales comme agiffant toute entiere à la dif- tance b du point d'appui, fur une furface épale as Ce que cette fuppofition pourroit avoir de contraire à la réalité, n’empêchera pas que nous n’en tirions des con- féquences générales utiles pour tous Les cas. Elles feront d'autant plus fenfibles, que Les formules feront plus fim- ples. J'y ajoûcerai une méthode pour calculer la force & le moment des rames avec plus de précifion. Je laiffe de côté les frottemens légers, la réfiftance de l'air au mouvement du vaifleau , l’adhéfion des particu- les d'eau, &c. & je calcule dans l’hypothefe la plus fim- ple, d'autant mieux qu'il s’agit bien fe ici de compa- rer entr'eux les différens moyens de donner du mouve- ment au vaifleau que de mefurer leur effet abfolu, & que cette comparaifon n’exige pas, avec la même rigueur, qu'on fafe entrer tous ces élémens dans le calcul. Il y a deux cas à examiner; le premier, lorfque la force motrice agit fans interruption, comme par exem- ple lorfqu'au lieu de rames ordinaires on emploie une roue dont les vannes où aubes choquent l’eau continuel, lement. Le fecond lorfque Paétion n’eft pas continue, comme fur les galeres, où l’on eftime communément que l'intervalle entre deux coups de rame eft double du tems de l’action de la rame. PROBILEME, PREMIER. Trouver les rapports entre les forces , les furfaces , les bras de levier & les vitelles , & Les changemens que produifent leurs différentes combinaifons. Po navesous enfeigne que la réaétion de eau, choquée direftement par une furface , avec une certaine vitefle, fe réduit au poids d'une co- $ MANIERE DE SUPPLÉER lonne d’eau qui auroit cette même furface pour bafe ; avec une hauteur, égale à la hauteur d’où un corps tombant acquerroit par fa chute la vicefle avec la quelle fe fait le choc. Ceft pour quoi, en fuppo- fanc les expériences qui donnent foixa ie-douze livres de poids au pié cubique d’eau marine & 30= piés par feconde de viteffe à un corps, après l'efpace d’une feconde de chûte, fi la viteffe refpective de la furface s de la pale eft 4 —c, la force de la réaction de l’eau fur cette furface étant exprimée en livres fera 4x s (bv—c)*. La réfiftance de l'eau à la furface réduite f de [a . 72 proue fera par la même raifon égale à %:fc?, ou ref c°. Dans l’action continue la virefle c du fillage ne peut plus croître, lorfque la réaction de l’eau fur les pales eft égale à la réfiftance de l'eau au mouvement du vaifleau. Toute la force eft alors en équilibre avec la réfiftance, & ne fert qu'à empêcher la vitefle de décroître. Alors s(bv—c):=fc, doùjetirec— y. La vire vV: c ne peut plus croître lorfqu’elle eft parvenue à cette valeur. L'équilibre nécefaire entre la puiffance & la réfif= à ; $ 6c+ tance nous fournit l'égalité 77=5(bv—c)=fct, b le bras de levier a étant fuppofé égal à 15 la force mo- . . A A Le , trice » doit donc être égale à #5 & fc? & la vitefle clorf- w’elle ne croît plus eft égale à V (5) ». q P 8 7z AVES : * bu L'égalité c =1-v y nous montre que plus on au- gmentera la furface s des pales fans toucher aux autres proportions, plus la vitefle c du fillase fera grande, pourvu cependant qu'on augmente fufifamment la force motrice À L'ACTION DU VENT. 9 motrice 2, puifque c ne peut pas être plus grande que Si la furface des pales pouvoit croître jufqu'à devenir infinie , la vitefle du fillage deviendroit égale à celle de la rame, mais elle ne peur pas être plus grande, On trouvera la longueur du bras de levier pour ce cas-là en combinant les deux valeurs de C. La premiere eft 6°; alors c—4by, & la feconde c— V 37 2 ce qui donne Vo ñ 3/60; ñ) D = /7 (5: 7). Mettant cetre valeur de 4 dans l’éga- fr? 3 607 lité cv, elle fe change en celle-ci c— AE nv) ce qui eft le terme de la plus grande viteffle qu'il foit poffible de fuppofer au vaiffeau lorfque 2» & f font dé- AE + ) terminées. Si l’on faifoit à plus court que £7 > r Far fans augmenter la vitefle v de la puiffance, celle du fil- Jage (qui eft égale à #v dans la fuppoñtion où nous fom- mes d’une furface s infinie) diminueroit ; & une partie de la force motrice refteroit inutile, puifqu’elle doit A J TS être égale à = fc? St rip Il ne faut donc jamais faire le bras extérieur 4 de la ÿ (6e rame plus petic que // Cr), &&il faut toujours le UE faire plus long, puifque la fuppoñtion d’une furface s infinie eft impofhble, & que dans la pratique elle ne peut pas même être exceflivement grande; mais d’un au- tre côté plus on allongera ce bras pour diminuer la fur- face s des pales, la force x reftant la même, plus la vi- teffe du fillage fera petite, puifqu’elle eft en raifon in- Prix de 1793 B 10 MANIERE DE SUPPLÉER verfe de Vb, carc—V(r, Ceft ce qu'on favoit VrE Fr déja en partie par la raifon qu'on ne peut augmenter le bras de levier de la réfiftance, en confervant cependant l'équilibre , fans diminuer en même tems cette réfiftance . ’ s.-72 qui eft égale à cos J C 2, bv Les combinaifons des deux mêmes égalités c=1*7# Vs 603 n &c—" 7: _ nous donneront les rapports entre V5f b,s,v, c & n lorfque la furface des pales n'eft . ; 3 60ÿn TN pas infinie. On aura donc à — VE Es ) Fr? ee re D = (1+5) =" 7 607 ÉTEINT vs ZT? = aVf+fvvs n b3 Vs = - - mettant cette valeur de b 3 f Vin 5 7 72 RL dus À 3 CE nv 1 b dans l'égalité c= 1+Vf on entirec— 72 1 Vf Vs f Vs Jen conclus que fi lon veut faire croître la virefle du fillage en augmentant la force x & en donnant au bras 3 LES em . 60+ n 2Z extérieur 4 de la rame fa valeur & — l” eye ne Vs fans toucher au réfte , il faut que la force 7 croiffe comme les cubes de c ; au lieu qu'il fufit qu’elle croiffe comme les quarrés de c, lorfque 2 reftant le même on augmente la vitefle y, en donnant à la furface s la pro- portion réquife, puifque nous avions ci-devant l'égalité = VA, VfE A L'ACTION DU VENT. 11 Lorfqu'on commence à ramer & que c eft encore — o la force n doit être — RE b3v:spour être en équilibre contre l'effort de la rame. Maépliane cette valeur par la fraction Fi on aura la force qui s + fufic pour maintenir la vitefle du fillage lorfqu’elle ne croit plus. Il fembleroit que puifque 7 v eft comme le cube de c, il doit être indifférent d'augmenter z où v, pourvu ue leur produit foit un plus grand ; mais nous verrons dans le problème fuivant qu’une plus grande vitefle » procure plus promptement le mouvement au vaifleau, Je conclus de tout cela qu'il faut 10. tâcher que la viteffe v de l'agent foit la plus grande que faire fe pourra, fans diminuer fon produit par la force 7. 2°. Augmen- ter plutôt la furface des pales que la longueur du bras extérieur b de la rame, à moins qu'on ne foit forcé à ce dernier parti, foit parce que la force motrice ne manque pas & que fa vitefle v eft trop petite; alors en augmentant le bras de levier & par conféquent la vireffe des pales, on augmentera auf la viteffe du fillage. 30. Il fauc par la même raifon prendre garde de ne pas accour- cir le bras intérieur ou manche a de la rame en plaçant des rameurs trop près du point d'appui. 4°. Il eft très- utile, dans tous les cas, de diminuer la furface de ré- fiftance f de la proue le plus qu'on pourra , fans nuire aux autres opérations du navire. B jj 12 MANIERE DE SUPPLÉER a à PROBLEME SECOND. Trouver la viteffe c que le vaiffeau acquiert pendant un ems déterminé T, lorfque l’aëion de la rame ef? continue. Qu la vitefle c étant donnée , trouver le tems T. DE le Problème précédent nous avons trouvé la plus grande vitefle que l’action continue pouvoit don- ner au vaifleau. Il eft important de favoir s'il faut long- tems pour acquérir cette vitefle, ou au moins pour en approcher (car il eft aifé de comprendre qu’on ne pour- roit y parvenir qu'au bout d'un tems infini); & quels font les moyens de la procurer plus promptement, Nous favons que l'effort abfolu fur Les pales des rames eft as s(bv—c):, & la réfiftance de l’eau au mou- 3 . 72 . vement du vaifleau 6. fc*;5 ainfi la force que poufe le vaifleau étant exprimée par un poids fera VAL eo (S(Ëv—c)?— fct), On peut comparer fon effet & la viteffe qu’elle donne au vaifleau.à l'effet de la pefanteur , & à la vitefle de la chute des corps graves. J'appelle g l'élément de la vitefle des corps dans leur chute caufée par la pefantenr ; je veux dire la portion de viteffe que les graves acquierent à chaque inftant. La pefanteur leur en donne une égale lorfque les tems de leur chute font égaux & que rien ne leur réfifte, parce w'étant proportionnelle à leur mafñle, c’eft-à-dire étant également dans toutes les parties de leur mafle, elle agit fur cette même mafle 5 au lieu que dans le cas que A (L’A C/TIOÏN| D'UVVE NT, 13 nous examinons, le poids qui pouffe le vaiffeau eft va- riable, & agit fur la mafle du même vaifleau qui ne lui cft point proportionnelle. L'égalité qui doit fe trouver entre la caufe & l'effet donnera pour la chute des graves l'équation différen- tielle g M dr = dc (M exprimant la maffe des Corps pefans & c leur vitefle) d’où l’on tire l'égalité :—£ qui fignifie que le tems z eft à celui qu'on a pris pour l'unité, par exemple, à une feconde ce que c eft à la virefle élémentaire g , ou que les tems font en même proportion que les virefles, & que cette efpece de rap- port des rems aux vitefles à + pour expofant. Si l'on veut à préfent exprimer les vitefles c & g par les efpaces que chacune d’elles fait parcourir dans une feconde, on fait par l'expérience que 2 eft — 30 + piés par feconde ; c’eft-à-dire que la vitefle acquife dans la chute, fait parcourir à un corps grave autant de fois 301 piés par feconde, que le tems de la chutes contient de fe- condes. Nous ferons donc dans la fuite de nos calculs LT 30 Dans le cas que nous examinons, où la force Æ (s. (dv —c):— fc?) qui poufle le vaifleau eft égale à un poids, qui n’eft pas en même raifon que la mafle M du vaiffeau qu’elle fait mouvoir, l'égalité qui doit fe trouver entre la caufe & l'effet nous donnera pour équa- tion élémentaire de la vicefle c du fillage ig(s (bv—c)—fc:)dT=Mdc, d'où je cire en écrivant 304 au lieu de ?, de AB x Enr st A if verni sx T= 5 M Dome pour intégrer la fraction qui eft fous le figne f je la par- tage en deux autres qui lui font égales. dc de 2bvVYsf & 2bvV sf ms D ES —sbvV—bvVsf+c sbv— bvVsf —c s—f } GES 14. MANIERE DE SUPPLÉER On remarquera, pour rendre l’incégrale complette, que lorfque 7 eft= 0, il faut que c foic aufi —0. On aura donc T= +7 M (ME —shbv—bvVsfæc Tévrsf À 174 )— L (re 2 pis L (res STE (Æ SA) } 5 s—f réduifant ces logarithmes à un feul & divifant par s—f 72 RAA PE a AC + (s—Vsf)c LA on aura M EP PRET AE EE Pour ré duire ce logarithme à ceux des tables ordinaires, il faut le multiplier par la fraction décimale 2 302 $ 8 5 &c. (Voyez Wolfius Element. Analyfeos , Part. IL, Se&. 2, N°.259.) ce qui donne, en employant les fraétions décimales, 31.2692. bvVsf.T __ — sbv H(s—Vsf)e ne D qe Pre ee AP La vicefle c étant donnée, il fera aifé de trouver le cems 7 par cette formule. Si c’eft au contraire le tems ui eft connu, voici comment on trouvera la virefle. Appellons N la quantité qui eft fous le figne Z. Elle fera connue, puifque fon logarichme eft fuppofe connu. —sbv +? LA ( : vi (1—m')yic +(i—m)te). Mais on obfervera que lorfque les rames ne font pas un angle droit avec la direction du fillage , leur effort qui eft perpendiculaire à la pale, n’agit pas dans la direc- tion du fillage. Il faut donc le décompofer en le mulci- pliant par + pour avoir la portion avec laquelle il agit utilement pour le mouvement du vaifleau, & avec la- quelle il s’oppofe à la réfiftance de la proue conf ci On aura donc VERRE 2 d: TND (En (i—m) vEc+(im)À ch Dre. L'égalité qui doit fe trouver entre le moment de l'effort abfolu & celui de la puiffance 7 nous donnera l’équation 22 MANIERE DE SUPPLÉER 1 Lh: (= 1—7) vert (rm) Le) = an, On en peut conclure qu'il eft plus avantageux d'au- gmenter la largeur Z des rames que leur longueur 4, puifque leurs momens font comme les quarrés de À & feulement comme les largeurs Z , dite m eft une quantité conftante, c’eft-à-dire que la longueur de la . pale eft proportionnelle à celle du bras extérieur 4. Si nous voulons connoître l'effort ou le moment d’une roue à aubes, il faudra prendre la fomme des efforts ou des momens de chaque aube. EE PROBLEME SIXIEME. Trouver les rapports entre les tems T € les vieffes €, tant lorfque l'aëion des rames ou des roues à aube eff continue , que lorfqu’elle ef? interrompue, P... trouver plus aïfément les rapports entre les tems & les vicefles, & abréger les calculs, on peut fe contenter de prendre les efforts moyens. En donnant par exemple à : une valeur moyenne entre fes différen- res valeurs, on aura l'effort moyen d’une râme qui par- court dans fon mouvement un arc connu. Si c’eft une roue qui fait mouvoir le vaifleau , il faut calculer fes principales fituations , & prendre l'effort moyen entr'el. les. Dans tous ces cas, il fera toujours exprimé par une formule qui fe réduira à cette forme : 7 3 0 nl LA +bc:!, P, q & b exprimant des coëfficiens connus, compofes des quantités (1—m) L, À, +, &c. ATILYA C TTONCDIU CG VIEN T. 13 L'élément de la vicefle fera, comme dans le Problème de UT RE om pes met AS fecond , dT => Msn Lo ne . Pour in tégrer, je partage la fraction qui eft fous le figne /'en deux autres qui lui font égales, & j'écris s au lieu des quantités connues b—/f; ce qui me donne Le rs dc SAUT vV(qg*— aps) vV(g*—aps) TM [En at 2$ 1$ Après avoir intégré, ajoûté & fouftrait les quantités qui rendent l'intégrale complette, comme dans Le Problême fecond , & réduit le logarithme à ceux des tables ordi- naires, j'aurai 166346. VV(g2—4ps)T —2pv#(q9—V(q—4ps)).e Jp M RE En rurrore z2pV . aiNr. QUO mn ts JV GXprimant laiquantité g+ Vi — aps) © © È qui eft fous le figne L. Si le vaiffeau avoit une vicefle &, lorfque l’action des rames, ou des roues a commencé , le rapport entre les tems & les vitefles, fera exprimé par certe formule : RE di ses AR, 0-28 arr , 1 2pvi—v(g 4 V(9—aps))k—v(g—V(qgt—aps))c Hiske 2pvt—v(g—V(gt—aps)) k—v(9+V(g®—4ps))cHiske 2pv—qgk+Ë V(g —a4ps)k na = (9° 4ps) Onaura la plus grande vireffe c où puife arriver le vaiffeau, lorfque alternativement l’aétion eft interrompue pendant le tems : & agit pendant un tems 7, fi lon écrit dans la 21 formule précédente, au lieu de &, fa valeur 5 tirée du Problème troifieme , cela donnera l'égalité 24 MANIERE DE SUPPLÉER c+2v(g9M—36pvfr)c 361 (9v4+V RE Vig aps) 2 M »pv° M d’où l’on tirera les valeurs de À & de c; ou, au con- traire , ces vitefilés étant connues, on trouvera les tems T'&z SECONDE A L'ACTION DU VENT: if mem D © ar me D mt à SECONDE PARTIE. L ES principes démontrés dans la premiere Partie de cet ouvrage, indiquent l'effet que nous devons atten- dre des moyens divers qu’on peut employer pour pro- curer le mouvement d'un vaifleau abandonné par le vent, & guident dans Le choix. Ces moyens peuvent être différens felon les circon- ftances particulieres de la forme & de la grandeur du vaïfleau, de la force de l'équipage, de la nature des mers où l’on navige, &c. C'eft pourquoi nous devons paturellement laifler une grande partie du détail de l'exécution à l’habileté des conftructeurs des navires & de ceux qui les commandent, & nous contenter de marquer en gros le méchanifme qui nous à paru le plus propre à donner une plus grande viteflé au vaiffeau en fatiguant moins l'équipage. On ne peut gueres penfer à avoir d’autres moteurs que des hommes, les chevaux exigent pour leur fub- fiftance une trop grande quantité d'eau, de foin & de grains; ils auroient trop de peine à fupporter Le tra- vail, joint à la fatigue du voyage, & on ne peut les employer qu'avec des machines trop compofées & qui uennent trop de place. Tächons donc de tirer le meil- leur parti que nous pourrons de la force des hommes. Rien de plus fimple que les rames ; mais fi on les fait. femblables à celles des galeres, leur longueur & leur poids les rendront pénibles, embarraffantes, & d’un mouvement trop lent pour en attendre un effet qui ré- ponde à la fatigue qu'elles caufent à l'équipage. Prix de 1753. D 16 MANIERE DE SUPPLÉER On éviteroit la plus grande partie de ces inconvé- niens, en attachant aux deux côtés du vaifleau des rames verticales tournant autour d’un eflieu placé à la hauteur la plus convenable. Les pales feroient des van- nes à charniere qui ne réfifteroient que dans un fens, & qui laïfleroient un pañlage libre à l’eau lorfqw’elles feroienc mues dans une direction contraire ; je comp- tois d'en propofer qui me paroifloient afflez commodes ; mais, toutes réflexions faites, j'ai penfé que linterrup- tion inévitable entre Les deux coups de rame, & Ja re- fifance qu'on éprouve néceflairement en les ramenant de la pouppe vers la proue (d’autanc plus que leur mou- vement eft alors augmenté par la vitefle du fillage), jai penfé, dis-je que ces inconvéniens rendoient leur pro- duit beaucoup moindre que celui des roues. Quelque éloignement que les marins aient toujours montré pour ce dernier moyen, on ne peut s'empêcher de convenir qu'il a l'avantage de la continuité de la&tion, & de ce qu'on ne porte pas le poids de la rame. Il ne s'agit ici que de fuppléer au défaut de vent, c’eft-à-dire, d’avoir le moyen de naviger lorfque la mer eft calme. Alors les roues peuvent être employées fans inconvénient. Rien n'empêche de les conitruire affez légeres pour être enlevées commodément & de- montées lorfqu'on ne voudra plus s’en fervir. Nous les ferons d’un diametre qui ne couvrira pas trop les flancs du vaifleau, & qui n’empêchera pas l’ufage de lartille- rie. Enfin nous leur donnérons un moteur qui multi- plie en quelque façon la force des hommes fans qu'il foit befoin d'en multiplier le nombre. On les placera aux deux côtés du vaifleau, leur centre élevé de trois piés au-defluis de la furface de l'eau, hauteur où l'on pratique fans danger des ouvertures & des fabords. Elles auront fix piés de rayon; mais il fufht que les vannes en occupenttrois, car nous avons vu dans le cinquieme Problème que la partie la plus près du centre ne doit pas être plongée dans l’eau. ABrer AENTILIO NC D'UN VIE NE, 27 Une maniere fort fimple pour les faire tourner, & qui caufe peu de frottemens, c’eft d'y joindre du côté k plus proche du vaiffeau une autre roue DE (Fio. à 6 2) d'un moindre diamètre, autour de laquelle on fera paf- fer une corde ou chaîne fans fin, qui enveloppera de même une roue verticale À (Æïg. z) placée au-deflus de celle-ci; enforte qu'elle lui communiquera fon mou- vement par le moyen de la corde qui les environnera toutes les deux. L'arbre de la roue 4 fera appuyé fur deux ou fur plufieurs piliers de bois FG, qu'on placera & qu'on affermira fur le cillac lorfqu'on voudra fe fervir des roues. D'autres roues verticales Z, € fixes fur le même arbre porteront une efpece d'échelle tournante & fans fin, faite avec des cordes où avec des chaînes, lefquelles feront jointes par des traverfes ou échelons de bois XZ, OP, & par des cordes À 7, MN, &c. Le mouve- ment des roues 2 & C entraînera celui de la roue À, qui eft fixe fur le même arbre ; & celle-ci fera tourner la roue à vannes. Les Méchaniciens connoïffent plu- fieurs manieres de communiquer ainfi le mouvement d'une roue à l’autre, foit par des chaînes fabriquées ex- près pour cet ufage, foit par des cordes à nœuds, à olives, &c.; & je crois pouvoir me difpenfer de prefcrire ici aucun de ces moyens en particulier. Je deftine le poids des hommes pour être le principe du mouvement de cette machine. En voici la raifon. Un homme qui tire ou qui poufle ne peut agir quelque tems de fuite qu’en Eaifne un effort d'environ vingt- cinq livres , avec une vitefle qui ne pafle gueres un pié & demi par feconde. Au lieu que le poids des hommes ordinaires étant de cent quarantelivres, fi on leur donne une vitefle d'un pié par feconde, qui ne diminuera pref- que pas Faétion de leur pefanteur , an triplera, & au- dela l'effet des machines tirées par des hommes. D ij 28 MANIERE DE SUPPLÉER On placera un échaffaut ou plateforme À S (fig. 3) capable de contenir le nombre d'hommes néceflaire au fervice de la machine, environ trois ou quatre piés au- deflous du diametre horizontal des roues B €, & à deux piés de diftance au plus de l'échelle tournante qu'elles portent. Ceux qui feront rangés fur Le bord de la plateforme , faifiront une des cordes telles que Z 7, ou MN (fs. 1), dans Pinftant qu’elle fe trouvera à la portée de leurs mains, & fans perdre de tems> ap- puyercnt leurs piés fur la traverfe ou échelon de bois qui eft au-deffous, & fe laifferont couler avec elle juf- u’à terre. Les diftances entre ces échelons feront combinées avec la hauteur & le diametre des roues 2 & C, de forte que lorfqu'une bande d'hommes arrive à terre, une autre fe jette en même tems fur la machine, afin de conferver l'égalité de fon mouvement. Si on trouve à propos d'élever affez les roues Z & C, & toute la machine, pour que cette efpece d'échelle puifle con- tenir plufeurs rangs d'hommes les uns fur les autres, on augmentera d'autant la force. Il eft à propos que ces traverfes qui portent les hommes ne puiflent parvenir que jufqu'à deux ou trois pouces au-deflus du tillac, de peur qu'ils ne fe frappent en arrivant à terre. Cette précaution peut être fuperflue, mais elle coute peu. Ils uitteront l'échelle fans perdre de tems, & remonteront du la plateforme pour redefcendre de nouveau bande par bande, lorfque leur tour fera venu. Je crois qu'il faut un peu moins de deux piés d’inter- valle entre le bord de la plateforme & léchelle tour- nante , afin d’un côté que les travailleurs ne foient pas obligés de s'élancer de trop loin, au rifque de manquer d'appuyer leurs piés fur les traverfes. En out cas, les plus maladroits en feront quittes pour refter fufpen- dus fur leurs mains pendant un intervalle de tems aflez court, s'ils n'ont pas eu aflez d’adreffe pour ap- A L'ACTION DU VENT. 29 uvet auf leurs piés. D'un autre côté, cette diftance eft néceflaire, de peur qu'ils ne fe bleffent en defcen- dant & en frottant contre la plateforme. On pourra, par un excès de précaution, garnir ce bord d'une bande de natte de paille, où le rembourrer de quelqu’autre façon. IL fera aifé de gouverner le vaifleau avec cette ma- chine. Il fuffira pour cela d'arrêter ou de diminuer le mouvement d’une ou de plufieurs roues d’un côté du vaifleau, tandis qu’on laiffera mouvoir celles de l’autre. Ces roues, avec les plateformes & les échelles pour y monter, n'embarrafferont pas plus le tillac pendant le calme que les voiles, leurs cordages & leurs agrès l'em- barraflent lorfqu’on cingle avec le vent. Tout cela fe *démontrera lorfqu'on voudra & fe réduira en un aflez petic efpace, & il fera aifé de le remonter, même très- folidement , lorfqu'on voudra s'en fervir. Rien n'empêche d'employer un feul de ces équipages d'échelles & de plateformes, &c. pour plufieurs roues à vannes à la fois. La circonférence de la roue À peut avoir deux cannelures différentes (#2. 3) dent chacune recevra la corde d’une des roues à vannes. L’effort que ces cordes auront à fupporter, n’en exige que d’une grofleur très-médiocre, & qui ne demande- ront pas que les roues 4 & D foient d’un fort grand rayon pour fe plier autour d'elles fans réfiftance. On peut leur donner communément trois ou quatre piés de diametre. Quand à celles qui forment l'échelle tour- nante, on peut multiplier à volonté les roues qui la portent, telles que À & C. Par ce moyen, on ne don- nera que peu de largeur à chaque échelle; elles ne porteront qu'un poids médiocre ; & il ne faudra point de groffe corde. Si on veut fupprimer la roue A, une des deux au- tres roues À ou € portera dans une cannelure particu- liere deftinée à cet ufage une corde fans fin, ee 30 MANIERE DE SUPPLÉER paffant par une ouverture du tillac, ira envelopper & faire tourner entre les deux ponts inférieurs une autre roue. Celle-ci, par le moyen d’un engrenage, fera tour- ner la roue à vannes. Je n'ai placé cette roue À en- dehors du vaiffeau que pour ne rien changer à fon inté- rieur. On pourra encore fupprimer les roues 32 ou €, en élevant un feul timpan affez haut pour qu'il puifle porter une échelle tournante , qui contiendra plufeurs hommes placés d'étage en étage les uns fur les autres, mais qui ne feront tour au plus que deux de front fur le même échelon. La plus grande hauteur pourra compen- fer ce qu'on perdra par le défaut de largeur. Si on réduit ainfi Le tout à un feul timpan, ne peut- on pas fe fervir d’un mat pour l’appuyer en partie, alors chaque mât pourra avoir le fien. Les plateformes feront* fort petites, & le tillac en fera fi peu embarrafé, qu'à peine s’en appercevra-t-on. Si on craint que le peu de roulis qui pourroit refter au vaifleau, malgré le calme, ne caufe trop d’inégalité au mouvement de cetté machine, en enfonçant dans l'eau alcernativément les vannes d'un côté & les retirant de l'autre, on peut y remédier en plaçant ces vannes de forte qu’elles foient au-deflous de la fuperficie de l'eau dans leur fituation verticale. Etant ainfi plongées plus avant, elles feront fujettes à de beaucoup moindres iné- galités. On me demandera quel effet on peut attendre d’une telle machine, & quelles doivent en être les principa- les dimenfions ? Je vais tâcher d'y répondre en peu de mots. J'ai calculé la force & le moment des roues de douze aubes, en fuppofant leur rayon de fix piés, & leur centre élevé de trois piés au-deflus de la furface de l'eau, Les vannes occupant trois piés de l'extrêmité du rayon. Le Problème cinquiéme m'a fait connoître l'effet des deux fituations principales de la roue. Dans l'une un rayon eft vertical, & deux autres font éloignés A L'ACTION DU VENT. 31 de la vérticale de trente degrés. Dans l'auire, deux rayons font éloignés de la ligne verticale de 15°, & deux autres de 45°. Les portions de vannes qui cho- quent l’eau, fe trouvent différentes, felon que chaque rayon cft différemment incliné ; ce qui donne des va- leurs de #2 différentes pour chacune dans les formules du Problème cinquieme. J'ai fuppofé dans ces calculs la largeur Z de dix-huic piéss c’eft-à-dire que toutes les roues avoient enfemble dix-huit piés de large. Ainfi, fi l'on met trois roues de chaque côté du vaïfleau , il faudra leur donner à cha- cune trois piés de large, & les fix enfemble en auront dix-huit; ce qui n’eft point exceflif, d'autant plus que l'extrémité extérieure de leur eflieu peut être foutenue par quelque appui porté par une efpece de confole en faillie (Fig. 2, où la roue eft vue de côté, portée par le flanc XY du vaifleau). Il peut , outre cela, être placé à l'ouverture d’un fabord, & affermi très-folide- ment par une charpente buttée en-haut & en-bas, entre deux ponts. J'ai cherché la vireffe du fillage que chacune de ces deux fituations de la roue pouvoit produire par fa con- tinuité; d’un autre côté, j'ai cherché celle que donnoit Ja force moyenne, entre la fomme des deux forces de ces deux fituations. Tous ces calculs ont concouru à donner , à peu de chofe près, pour la vireñe que le mouvement continu pouvoit procurer au fillage c—0 415 vi d’où l’on voit que la machine aura peu de variation dans fon mouvement lorfque les roues au- font douze aubes. Pour trouver le nombre d'hommes néceflaire au mouvement du vaifleau , je me fuis fervi de la formule du Problème cinquiéme, qui donne le moment; & pour tout mettre au pis, jai calculé fur le plus grand des deux efforts des deux fituations des roues avec la vitefle moyenne c—0 415 v. Mertant cette valeur 32 MANIERE DE SUPPLÉER de c dans la formulé, j'ai trouvé que fi les hommes qui font mouvoir la machine defcendent avec un pié de vitefle par feconde, & que la circonférence de la roue à aubes en parcoure fix dans le même tems, il faudra foixante-quatre hommes fur les échelles pour donner une virefle de fillage de deux piés & demi par feconde à un des plus grands vaifleaux du premier rang, dont la furface réduite f de la proue feroit de cent cinquante piés. Le tems qu’il faut pour acquérir à-peu- près certe vitefle eft très-court. Je n'ai même compté que cent vingt-cinq livres au lieu de cent quarante pour le poids de chaque homme, tant à caufe que la vitefle avec laquelle ils defcendent, diminue un peu Pation de leur pefanteur fur la machine, que pour avoir égard aux frottemens, quelque peu confidérables qu'ils foient. IL faut deux ou trois fois plus de tems aux hommes pour remonter fur les plateformes que pour en defcen- dre; ainfi on aura deux ou trois autres bandes de foi, xante-quatre hommes pour entretenir le mouvement & tenir les plateformes garnies de gens toujours prêts à defcendre. C’eft pourquoi on deftinera deux cent cin= quante hommes ou environ pour faire faire demi-lieue par heure à ce grand vaifleau. Il en faut beaucoup moins pour les vaifleaux plus petits. Leur travail eft rès-modéré ; ce qu'il y a de plus pénible, c’eft de monter fur les plateformes par des échelles. Ce n’eft plus un travail de forçat comme fur les galeres. La proportion qu’on mettra entre la roue 4, la roue DE, & les roues 2 & C, donnera celle que nous fouhaicons entre la virefle de la defcente des hommes & celle que doivent avoir les vannes. Si on veut que celle-ci foit de fix piés, tandis que l’autre n’eft que d'un pié, on pourra faire les diametres des roues 4 & D de quatre piés chacun, & celui des roues ou timpan B & C de deux piés. Si A L'ACTION DU VENT. 33 Si les plateformes font élevées de douze piés, on pourra charger l'échelle tournante de deux étages d’hom- mes, les premiers auront leurs piés fur la traverfe ou échelon O P, & leurs mains fur la corde M N (Fig. 1), tandis que les autres mettront leurs piés fur la traverfe Æ L, qui eft éloignée de fix piés de O P, & leurs mains fur Ja corde 7. Les cordes doivent être près de cinq piés au-deflus des traverfes ou échelons de bois. On peut, fi l'on veut, garnir coute l'échelle d'éche- lons de bois de deux piés en deux piés, & de cordes entre deux. Un homme occupera environ deux piés de largeur fur cette échelle. Ils peuvent cependant en cas de néceflité s’y tenir un peu de côté, n'appuyant qu'un pe & une main. Il eft aifé de calculer la-defius Le nom- re qu'il en faut, & la largeur qui leur eft nécef- faire. On peut encore multiplier l'effet de cette machine, en ne lui donvant pas un mouvement continu. Nous avons vu, dans la premiere partie, qu'il étoit très-avan. tageux d'augmenter la vitefle de la puiffance, pour pou- voir augmenter en même tems fon bras de levier, c’elt- à-dire, fon éloignement du point d'appui ; ce qui re- vient au même que de diminuer le bras extérieur de la same. Or la feule raifon qui nous oblige de ne donner qu’un pié par feconde de viteffe à l'échelle tournante, c’eft la difficulté de la faifir lorfque fon mouvement feroit rapi- de. On peut cependant remédier à cet inconvénient, & augmenter fa vitefle, fans ôter la facilité de s'y placer commodément. Il faut pour cela ne faire defcendre qu'un feul rang d'hommes à la fois. Dans l’inftant qu'ils feront à terre, le mouvement fera fort diminué, parce que la roue à vannes ne recevra plus que la feule impul. fion de la vitefle du fillage. On profitera de ce moment pour faïfir l'échelle & s'y placer. Rien n’empèche alors de faire defcendre les hommes Prix dex753. E 34 MANIERE DE SUPPLÉER avec une vitefle beaucoup plus grande, comme par exemple avec celle de cinq ou fix piés par feconde, qui n'eit pas exorbitante, puifqu’on les fait fouvent en mar- chant. L'action de leur pefanteur ne fera diminuée que de peu, comme il eft aifé de s’en convaincre. S'ils def- cendent, par exemple , d’une hauteur de quinze pies avec cinq piés de vitefle par feconde, il faudra fouftraire les quinze piés qu'ils parcourront pendant les trois fe- condes qu’ils emploteront à defcendre, des cent trente- cinq que leur pefanteur leur auroit fait parcourir pen- dant ces trois fecondes, pour juger de la force qu’elle confervera pour agir fur la machine. Cette maniere de calculer la diminution moyenne de leur pefanteur eft affez jufte fans être véritablement géométrique. Il fau- dra dans ce cas donner des proportions différentes aux diametres des roues 5 les problèmes précédens fervironct à les déterminer, felon les circonftances. Si on craint que la vitefle du fillage ne conferve trop de mouvement à la roue à vannes, & trop de rapidité à l'échelle tournante pour être faifie commodément ; on pourra la réduire à peu de chofe, en employant des vannes qui ne réfifteront que dans un fens, & cederont fans difficulté , lorfqu’elles feront prefées dans une direc- tion contraire. Quoique ce moyen ne foit pas toujours abfolument nécellaire , il peut être employé très-uti- lement. Les deux rayons 8 D, 4 C de la roue à aubes (f2- 4) deftinés à porter une vanne, auront des plaques rs & ty percées d’une ouverture ronde, dans laquelle tour- neront librement les deux exrêmités »# & » d’une verge de fer attachée à la vanne F# G. Ainf cette vanne fera appuyée par les rayons 2 D & AC, lorfqu'on voudra qu'elle augmente le mouvement du vaïfleau , & cedera au contraire à la preflion de l’eau lorfqu’elle fera pouf- fée de lautre côté. On peut faire en fer la portion des rayons 4C & BD À L'ACTION DU VENT. 35 qui eft deftinée à être plongée dans l'eau ; elle en aura moins de volume, & éprouvera par conféquent moins de réfiftance. On aura foin de leur donner, du côté de la proue, une furface qui diminue la réfiftance, & de mettre leur plus grande largeur dans le fens parallele au vaifleau. Il eft à propos que les vannes de bois FG aient plus de pefanteur fpécifique que l'eau, afin qu’elles fe refer- ment plus promptement, Quelques lames de fer ou de plomb les rendront plus folides & plus pefantes. C'eft par la même raifon qu'il peut être utile d'en mettre plufieurs étages fur les mêmes rayons, comme en 7s & 2v. Ayant moins de largeur, & par conféquent moins de chemin à parcourir pour fe fermer , elles appuieront plutôt fur les rayons B D & AC, lorfque l’action re- commencera, & il y aura moins de tems à perdre. Les deux extrémités », nr de la verge qui porte la vanne, étant inférées dans les plaques 75 & z:v, pour- ront, fi l'on veut, porter chacune une écroue qui em- pèchera les rayons # D & AC, de s’écarter, & rendra tout l’afflemblage plus folide. Il faudra pour cela qu'el- les foient taillées en forme de vis. On peut auffi les ar- rèter plus fimplement de la même maniere que les roues de charrette font arrêtées fur leurs effieux Cette conftruction de roue aura aufli l'avantage de diminuer la réfiftance nuifble des vannes pendant l’in- ftanc de l'interruption. Elle n’eft pas confidérable, & retarderoit peu le fillage , à caufe du peu de frortemens de toute la machine, qui fait que la roue cederoit aife- ment, quand même les vannes ne feroient pas mo- biles. Jai calculé par le Problème fixieme l'effet de cette machine pour un vaiffeau de 7000000 de livres, ou de 3500 tonneaux, & dont la furface de réfiftance feroit de 150 piés. C’eft un vaifleau plus grand & plus pefant que ceux qui font en ufage. Cependant il y à lieu d'etre 1] 36 MANIERE DE SUPPLÉER étonné du peu de monde qu'il faut pour lui douner près de demi-lieue de vitefle par heure. J'ai fuppolé, comme ci-devant, fix roues à vannes de douze aubes chacune, de fix pies de rayon & de trois piés de large, la plateforme élevée de dix-huit piés, pour donner à l'échelle tournante fix piés de vitefle par feconde, pen- dant trois fecondes confécutives. Je n’ai compté que cent livres de poids à chaque homme, laiflant les qua- rante autres tant pour la virefle de leur defcente que pour les frottemens & la réfiftance de la roue à vannes pendant l'interruption que j'ai fuppofée de trois fecon- des; ce qui eft un tems plus que fufhfant pour donner aux travailleurs le loifir de fe placer à leur aife fur Pe- chelle, & à la roue de reprendre fon mouvement. Seize à dix-fepc hommes fufliront pour donner deux iés par feconde de vitefle au vaifleau, lorfque celle de lextrêmité des vannes fera de fix piés. I faudra un plus grand nombre d'hommes fi les van- nes ne font pas mobiles, parce que les roues étant mues par la vicefle du fillage, lorfque l'échelle eft vuide, on ne pose allonger le bras de levier de la puiflance que jufqu’au point où l'échelle vuide ne garderoit qu'un pié de vitefle, afin de pouvoir être faifie aifément. Je fuis perfuadé qu’on pourroit aufi, fans vannes mo- biles, diminuer la vicefle de la roue à aubes pendant linterruption, par Le peu de méchanifme qu’on em- ploiera dans les cordes qui communiqueront le mouve- ment; on peut en imaginer quelqu'an qui donnera à Îa corde la faculté d’entraïner la roue avec elle, fans donner à la roue à aubes celle de faire mouvoir la corde & de communiquer fon mouvement à l’échelle tournañte. On peut conclurre de tout cela que ces roues AURe dent, pas leur avantage fur les autres moyens de faire mouvoir les vaifleaux, quoique leur action foit inter- rompue ,. furtout fi le tems de l'interruption n’eft pas plus long que celui de l’aétion. C’eft même la maniere ANL'A € TTONMDU VENT. 37 la plus commode de donner une plus grande viteffe au fillage du vaifleau fur lequel j'ai fait tous ces calculs, fans augmenter le nombre des roues ni leur rayon. Par exemple, cent foixante hommes fur les échelles tour- nantes lui donneroient quatre piés de vicefle par fe- conde, s'ils en avoient une de cinq piés, & fi la cir- conférence de la roue à vannes mobiles en parcouroït douze dans le même tems. J'ai eu égard, dans ce cal- cul, à la hauteur où le mouvement des vannes fait refter l’eau au-deflous de fon niveau. C'eft une atten- tion qu'il ne faut pas négliger dans ces fortes de cas. Il fera toujours utile d'élever les plateformes le plus qu'on pourra, pour que le tems de laétion foit plus long par rapport à l’autre. Je crois aufli qu'il eft à pro- pos qu'un de ceux qui fonc prèts à fair l'échelle, donne un fignal avec la voix à tous les autres du même rang , afin qu'ils le faffent tous enfemble. Quoique je croie l'avantage des roues démontré, j'avoue cependant qu’il y a des cas où la fimplicité du mé- chanifme des rames ordinaires, lorfqu’on ne manque ni de monde, ni de place, pourra plaire par préférence à une machine qui épargne à la vérité le nombre d'ouvriers, mais qui eft plus compofée. Je ne blâmerai pas alors ceux qui les emploieront, J'ai tâché de donner, dans la premiere Partie de cet ouvrage, les principes néceffaires pour décider de ce qui convient le mieux à chaque cir- conitance, Je n’en dirai pas davantage, d'autant plus que J'écris pour des lecteurs fi éclairés, que fi le fond de mon idée peut leur plaire, leurs lumieres fuppléeront au défaut de la maniere de l'expliquer, FT Ne ; Lu hi at: te pa hu ï ut: ‘A ) & : “fer! AM: H ladite " . L f M ‘4 | Jictin ‘6 AE NL GAP: Apt + PU à ULTIME dt } Ha Li (4 LUC à : En INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Quibus Planetarum motus ob adionem eorum mutuam afficiuntur. Autore LEONARDO EULERO, Mathefeos Pro- feflore, Academiarum Parifenfis, Berolinenfis & Petropolitanæ Socio. Sidera quod tantis cieant fe viribus æquis In motu terræ plurima figna docent. Hec Differtario meruitP ræmium duplicaum anno M.DCC.LVI, Prix de 1756. A hit .. rs RE ri PNR Te Ur S Sn ES E DE AL + =. CEE : » CU aTrE ‘0 ip L ! Fi fi fit À Die. pm Lu LNLNAN AN SLNAN AN ANÉN SN AN EE LM LNLRLNANANLIRARARAN Le ä NET AT > = <= GR HN EDS NI < 22 AD AA NAN AC A NAN EN NA NP NN A NA PAL PRÆFATI O. pas ET AS non folum ad Solem fecundum inverfam diftantiarum rationem duplicatam im- pelli, fed etiam fimili ratione fe mutuo incitare ex perturbationibus motuum Saturni & Jovis manifefto eft perfpe&tum. Cum enim Tabulæ Aftronomicæ ita conftrui foleant, quafi pla- netæ ad folum Solem follicitati fecundum regu- las Keplerianas in ellipfbus revolverentur , fi ex iis loca Saturni vel etiam Jovis definiantur ea nonnunquam ad plura minuta prima à ve- ritate aberrare deprehenduntur; neque jam ullum eft dubium, quin 1fti errores ab aétione mutua , qua hi duo planetæ fe invicem impel- lunt, proficifcantur. Reliquorum quidem pla- netarum motus ac præcipue terræ regulis ils Keplerianis magis eft conformis, ac fi quando errores in eorum motu à Tabulis occurrunt, incertum plerumque eft, utrum ill vel non refte conftitutis Tabularum elementis , vel ipfarum obfervationum imperfeétioni cuipiam potius fint tribuendi, quam ipfi Theoriæ, cui Tabulæ innituntur. Interim tamen jam ipfa : Ai 4 PIRÆ FE ATIKRO: tabularum ratio, qua pro quolibet planeta tam lineæ abfidum quam lineæ nodorum motus peculiaris aflignatur , manifeftum indicium aberrationis cujufdam à Theoria continet : fi enim planetæ nullam aliam impulfionem præ- ter eam qua fecundum rationem quadrati dif- tantiarum inverfam ad folem urgentur , fufti- nerent, non folum circa folem tanquam fo- cum perfeétas defcriberent ellipfes, fed etiam erpetuo in eodem plano ferrentur , axefque iftarum ellipfum omnino fixi manerent; neque idcirco linea abfidum neque linea nodorum ulli obnoxia foret mutationi, faltem refpeëtu ftellarum fixarum. Ad hanc quoque normam computatæ funt à ftretio Tabulæ Carolinæ, in quibus tam apheliis quam nodis fingulorum planetarum in cœlo fidereo loca fixa affignan- tur; at vero infignis harum tabularum à veri- tate diflenfus mox luculenter monftravit, huic hypothef locum concedi non poife. Cum igi- tur certum fit tam aphelium quam linea nodo- rum cujufque planetæ motu peculiari per cœ- lum proferri, atque etiam refpeétu ftellarum fixarum continuo mutari; minime amplius du- bitare licet, quin præter eam vim conftan- tem, qua finguli planetæ ad folem pelluntur, alæ quoque vires in eos effeé&tum quempiam exerant,. Quemadmodum enim in Saturno & Jove præter alias perturbationes ab eorum ac- PUR\IENFREANT TI O: j tione mutua utriufque lineæ abfidum & nodo- rum certus imprimi motus eft inventus obfer- vationibus fatis confentaneus, ita multo minus dubitare poterimus , quin fimilis variatio in aphelis & nodis reliquorum quoque planeta- rum ab eorum aétione mutua profcifcatur, etiamfi in cæteris motus horum planetarum elementis nulla alteratio perciperetur. Sunt autem effedus talium virium in loca aphelio- rum & nodorum ita comparati, ut etiamfi fint minimi, tamen cum tempore continuo cref- cant, & poîft fatis longum intervallum fenfibi- les evadant dum reliquæ perturbationes inde oriundæ funt periodicæ, & polt certas revo- lutiones iterum penitus in nihilum redigantur, unde ft ut fi fint minimæ, percipi omnino non poffint. Interim tamen Theoria motus tellu- ris, cujus elementa per obfervationes Solis multo accuratius definire licet quam reliquo- rum planetarum , haud obfcura talium muni- marum perturbationum figna exhibet, dum excentricitas ejus orbitæ prouti alia atque alia tempeftate per obfervationes imvefligatur , modo aliquantum major modo minor depre- henditur, quæ inconftantia ad integrum minu- tum aflurgere videtur. Quibus perpenfis palam omnino eft non folum motum Saturni ac Jovis, fed etiam reliquorum planetarum ab alus viri- bus præter eam qua lege conftanti ad Solem 6 PARENT ANT MO, pelluntur, perturbari, earumque adeo effec- tum ab Aftronomis manifefto efle obfervatum. Quamvis enim Aftronomorum Princeps Hal- leyus Mercurii motum ab hujufmodi pertur- batiomibus prorfus immunem fit arbitratus, propterea quod ob fummam folis vicinitatem reliquorum planetarum vires præ vi Solis quafi evanefcere crediderit, qua fententia fretus in tabulis fuis etiam neque Aphelio Mercuru neque ejus lineæ nodorum motum ullum ref- pettu ftellarum fixarum adfcripfit : tamen ex poftremo potiffimum tranfitu hujus planetæ per folem Aftronomi didicerunt Halleyi Tabulas infigni emendatione ex hac parte indigere, dum aphelio Mercurii motum annuum quai ss”, ejufque nodo 45" ratione æquinoxu tri- bui debere eft compertum ; ex quo manifef- tum eft etiam Mercurium aétiones reliquorum planetarum fentire ob eafque certis perturba- tionibus efle obnoxium. Cum igitur extra dubium fit pofitum pla- netas in fe invicem attrahendo agere, difpi- ciendum eft quamnam rationem eorum vires refpeëtu ad diftantias habito fequantur. Ac præ- terquam quod conftantia naturæ eandem legem quadratis diftantiarum reciproce proportiona- lem, quam in Sole ftabilitam cernimus, exi- gere videtur, Theoria Lunæ atque Satellitum Jovis & Saturni hanc fufpicionem pleniffime PRÆFATIO. 7 confirmat , ita ut amplius dubitare non liceat, qu'n Jupiter Saturnufque fuos Satellites, & Terra Lanam ad fe alliciant viribus quadratis ditantiarum reciproce proportionalibus ; & quamquam motus Apogei Lunæ sbehione tantillam ab hac lege innuere effet vifus , ta- men à celeberrimo CLAIRAUT primum pul- cherrimus confenfus eft eviétus, ita ut jam au- dater afleverare queamus non folum Solem fed etiam cunétos planetas vi attraétrice efle prædiétos, qua omnia corpora ad maximas etiam diftantias remota ad fe præcife fecundum illam conftantem legem attrahant. Quin etiam pari fere fiducia pronunciare licet, fingulo- rum planetarum vires, quas ad diftantias æqua- les exerunt , ipforum maflis efle proportiona- les, id quod communis centri gravitatis fta- tus poftulare videtur: de cætero maflam feu quantitatem materiæ , quam quifque planeta continet , alunde be cognofcerce non datur; nihilque impedit quo minus 1d, cui vis ablo- luta cujuique planetæ revera ft proportiona- lis, nomme maflæ ejus defignemus ; hinc fal- tem nullus certe error eft pertimefcendus.Terra igitur perinde ac reliqui planetæ omnes non folum verfus Solem, fed etiam verfus fingulos rehiquos planetas viribus legi 1fti facræ confor- mibus follicitatur , à quibus fine dubio præter promotionem 1llam apheliorum & nodorum 8 PIRCÆ FA TMNO: ale vehementer exiguæ perturbationes eff- ciuntur, quarum inventio in Aftronomia fine dubio maximi eft momenti. Hinc nafcitur quæftio latiffime patens ad Mechanicam referenda , qua determinatio mo- tus plurium corporum, quæ fe mutuo attra- hant in ratione reciproca duplicata diftantia- rum, requiritur, cujus folutio eo ardentius eft expetenda , quod omnia incrementa Aftrono- nuæ, quæ adhuc defiderantur, ex ea derivanda videantur. Verum enodatio hujus quæflionis tot tantifque difhcultatibus eft involuta, ut fi in genere fpeétetur , vires ingeni Do longe fuperare videatar; etfi enim cafus duo- rum corporum facilem habeat folutionem , tamen ftatim ac tria aflumuntur, nulla adhuc inventa funt artificia, quorum ope ad motus determinationem pervenire licuerit , unde multo minus pro cafu plurium corporum quic- quam fperare poffumus. Interim tamen cum perturbationes , quas planetæ fibi mutuo in- ferunt, fint perquam exiguæ , neque eæ , quæ aber cuns oriuntur, à reliquis ffci fint cenfendæ; hinc non contemnendum fubfidium, impetramus aliquid faltem in hoc arduo nego- tio præftandi, dum effe@us fingulorum plane- tarum feorfim invefligare licebit, & quoniam funt minimi, confuetis calcul approximatio- nibus, quarum in hujufmodi quæltionibus uberrimus PRÆFATIO. 5 uberrimus folet efle ulus , totum negotium confici debebit. In hunc etiam modum ILLUS- TRIS ACADEMIA REGIA PARISINA iftam quæftionem traétandam judicavit, cujus præ- ceptis ut pro viribus fatisfaciam, operam dabo, ut primo hoc abftruffimum argumentum ex primis Mechanicæ fontibus dilucide evolvam; atque ad æquationes analyticas perducam : tum vero quibufnam modis ex ts aliquid per approximationes concludi queat , accuratius inveftigabo. Denique præcepta quæ elicuero, ad perturbationes motus terræ accommodabo, examinaturus, quantum fingula hujus motus elementa ab aétione reliquorum planetarum continuo immutentur , quod inftitutum fe- quentibus feétionibus abfolvere conabor. Prix de 1756. B INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Quibus Planetarum motus ob aëlionem eorum mutuam afficiuntur. S'EsCME RO UP RIEM A: Generalis invefligatio motus corporis à viribus quibuf- cunque impulfr. $. I. S UMATUR pro lubitu cum planum, ad quod motus corporis referatur, quodque plano tabulæ repræ- fentari concipiatur , tum vero in hoc plano linea recta fixa C À, atque in hac ipfa punétum fixum €, ubi quafi motus fpeétator fic conftitutus. Jam ad quodvis tempus, ubicunque corpus motum verfetur veluti in À, de ejus loco R inillud planum demittatur perpendiculum RQ, ita ut puntum Q ejus locum ad hoc planum relatum exhibeat, deinde etiam ex punéto fixo € ad ambo loca B ij F1G. L 12 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM R & Q ducantur re&æ CR & CQ. Quo faéto per- fpicuum eft, fi ad quodvis tempus aflignare valeamus cum angulos 4CQ & QCR, tum magnitudinem five retæ CQ five CR, locum corporis À perfeéte fore cognitum , indeque verum corporis motum innotefcere ; ica ut plena motus cognitio determinatione horum trium elementorum contineatur. $. II. Hoc autem potiffimum modo inveftigationem motus inftituo, cum quod videtur maxime naturalis , tum vero præcipue quod ad confuetudinem Aftronomo- rum, qua motus corporum cæleftium confiderare fo- lent , imprimis eft accommodatus. Namque fi planum fixum tanquam planum eclipricæ fpeétemus, reétamque C A tanquam rectam ad ejus quodpiam punétum fixum direétam , corpore moto in À exiftente, angulus 4CQ ejus longitudinem, angulus vero Q CR ejus latitudinem referet ; & quemadmodum reéta C À ejus diftantiam veram à punéto € denotat, ira recta C Q diftantiam ejus curtatam defignabit, quarum alceram tantum in calcu- lum introduxifle fufficier. Vocemus igitur pro quovis tempore propofito. I. Longitudinem corporis feuangulum 4CQ — @. - I Latitudinem ejus feu angulum QCR..:— "4 III. Diftantiam curtatam feu reétam CQ ...— x. $. IIT. Cognitis vero his tribus elementis, omnia , quæ ad motus notitiam pertinent, definiri poterunt. Primo enim ex diftantia curtata € Q = x & latitudine QCR—= + habetur diftantia vera CR —+4 feu CR = ES pofito finu toto conftanter = 1. Tum vero ipfa diftantia corporis à plano erit Q R = x tan, @. Deinde fi à punéto Q ad reétam fixam C4 ducatur nor- malis Q P, ex diftantia curtara C Q = x & longitu- MOTUS PLANETARUM. 13 dine 4ACQ= ?; eliciur CP=x cof çe RL PQ —x Jen. @ 5 arque hoc modo pro loco punéti À, uti in Geo- metria fieri folet, ternas obtinemus coordinatas inter fe rectangulas CP, PQ & QR. A quibus cum etiam inveftigatio mechanica incipiat, has lineas tantifper pe- culiaribus fignis indicemus , quoad calculum ad illa primaria elementa perducere licuerit. Sic igitur € P — xcof ep; PQ =xfin çe—=g8& QR— x rang. d = 7; ficque habebimus x=v (pp+ gg); cof. og — É VCPp+99) $. IV. Hæc autem motus elementa ex follicitatione virium quarum actioni corpus fuerit fubjetum , fecundum præcepta mechanica determinari opportet, A quibuf- cunque autem viribus corpus impellatur, eas femper per notam refolutionem ad ternas directiones determinatas revocare licet. Concipiamus igitur corpus à tribus viri- bus follicitari , quarum prima urgeat fecundum direc- ionem À Q ad planum fixum normalem, binarum au- tem reliquurum directiones fint ipl plano parallelæ ; al- tra quidem habeat diréctionem diftantiæ curtatx QC parallelam, altera vero huic normalem, cui in plano fixo parallela fit reta Q N ad CQ normalis. Has vires ftacuamus acceleratrices, five jam ad corporis maflam ap- plicatas, eafque denotemus : . Æ Vim acceleratricem fecundum QC=V. . IE Vim accéleratricem fecundum QWN= T III. Vim acceleratricem fecundum RQ=R Ita, ut, quomodo per has vires terna illa elementa ® » À & x determinentur, fit inveftigandum. Re UT Re en mal —3 TETE PME À V(pp +94) 84 $. V. Cum autem regulz mechanicæ ad ternas coor- dinatas normales , quarum direétiones perpetuo maneant fixæ accommodatæ efle foleant, harum autem virium ter- tia tantum RQ cum una coordinatarum conveniat, dum 14 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM diarum reliquarum dire&tiones QC & QN maxime func variabiles, & has ad airectiones fixas revocari con- veniet. Dabicigicur vis Ÿrefoluca : Secundum direétionem PC = Fcof. 9 & fecundum Q P vim = F fin. @; vis vero T° fimili modo refoluta : Secundum direétionem PC=—T fin 9 & fecundum Q P vim= T'cof. 4. Hinc iraque pro directionibus noftrarum ternarum coor- dinarazum PC, QP, & RQ obrinebimus tres vires acceleratrices fequentes quæ func: I. Visacceleratrix fecundum P C= Fcof.g —T fin. @ : IL. Visacceleratrixfecandum QP= VF fin.®+ Tcof.@ HI. Visacceleratrix fecundum RQ — À. $. VI. Quoniam aétio harum ternarum virium ad diminutionem coordinatarum refpondentium tendit, accelerationes quæ corpori inde fecundum eafdem coordinatas inducuntur negativæ funt concipiendæ. Cum igitur pofito temporis elemento= dr, fint cor- poris celeritates fecundum has coordinatas 5 7 & 97; fi elementum temporis Zz pro conftanti affumamus, erunt ipfæ accelerationes fecundum ïftas directiones EU; Et; de, quæ viribus illis acceleratricibus nega- tive fumtis debent effe proportionales. Proportionalitate ergo, uti fieri folec, ftabilita obtinebimus ternas fequen- tes æquatlones. - Lddp=—+}dt:(Vcof.g —T fin.) I. ddg=——;dit?(V fin. @ + T cof. +) Il. ddr=—2?Rdr quarum æquationum refolutione tota motus determina- tio continetur, MOTUS PLANETARUM., 15 $. VII. Jam iterum ambas vires F7 & T commode à fe invicem feparare licec, ut pateat quid utraque feor- fim præfter. Nam Î x cof. 9 + IL x fn. @ dat dd p cof.@ + dd g fin. @ —— 1} Vder: Deinde IT x cof. @ — I x fin. @ præbet hanc æquationem ddg cof. @ — d'dpfin.@ =—+?Td:? at ex tertia vi À nafcitur æquatio ddr ——1R dr. Nunc igitur recordandum eft nos fupra pofuifle p=cof.@; g=x fin. @ &r—= x rang. À unde loco quantitatum fubfidiariarum p , g, r, elementa noftra principalia @, + & x in calculum introduci pote- runc. Tres autem emergent æquationes, quæ proprerea his tribus elementis definiendis fufficient : atque ita tota inveftigatio à principiis mechanicis ad Analyfin puram traducetur. $. VIII. Cumfitp== x cof. &q — x fin, @ crit dif. ferentiando ; e dp=dxcof.o—x dofin.q & dg=dxfin.g+xd@cof.@ denuoque differentiando ddp—ddx cof.®—2dxdg fin. @—xdg cof.®g—xdd@ fin.@ ddg=ddx/fin.o+21dxde cof.o—xd@: fin. g+xddecof.o unde per combinationem elicitur ddpcof.çg+ddqfin.@ = dd x— xd?" & ddgcof.®g—ddpfin.g—:dxdg+xddg. Walorem autem ipfus 7= x sang. L nullàa adhibita evo- lutione tantifper retineamus, donec compererimus ; quo- modo aptifime eum traétari conveniar. Hoc itaque pacto totum negotium ad refolutionem trium fequen- tium æquationum eric perductum : L ddx— x do ——;Vd:: IL. 2dxdç+xddo——;:Td:? IL dd, x rang. de — LRdr:. 16 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM $. IX. Cum hæ æquationes fint differentiales fecundi gradus, temporis différentiali dr fumto conftante, pri- mum difpiciendum eft, quamnam proportionem dife- rentialia prima d@, d4 & dx cuminter fe tum ad tem- poris différentiale ds teneant, quod erf fine introduc- tione formularum integralium fieri nequit, quamdiu vires follicitantes #, T & R in genere confideramus, ta- men €æ proportionem quæfiram minus perturbare funt cenfendæ. Quin etiam in negotio quod fufcipimus, ipfæ vires Ÿ7, T & À quantitates incognitas, @, Ÿ & x cum rempore £ implicare reperientur , quominus earum fepa- ratio perfecta expectari porerit. Pro initio igitur con- centi efle debebimus, formulas noftras à contemplatio- ne differentialium fecundorum liberaffe | & quocunque modo relationem différentialium primorum determi- nafle, ut deinceps, approximationum artificio in fubf- dium vocato, ipfarum quantitatum finitarum relarionem inde colligere valeamus. LL $. X. Tertiam quidem æquationem dd. x rang. d = — ; À dr® tantifper feponamus, poftmodum inveftiga- curi, quo modo ejus ratio convenientiflime haberi queat ; ambas igicur priores, quæ funt: L ddx—xde——1?: "dr & IL. 2dxdço+xddg——?Tdr accuratius perpendamus, ut inde relationem differen- tialium primorum dx, d@ & dr eliciamus. Ac primo quidem prius membrum fecundæ æquationis fi per x multiplicetur, reddicur integrale ; proditque d(xxdp)=—1?:[Txd:! feu xxdp—ïdt(C—fTxdt) unde fi vis 7’ fecundum diretionem Q N trahens eva- nefcat, oritur æquabilis aréarum defcriptio. Hinc au- tem patet eandem illam æquationem integrabilem reddi fi multiplicetur non folum per x, fed etiam infuper per functionem MOTUS PLANETARUM. 19 functionem quamcunque ipfius xx 4; Mulriplicetur ergo per x d ; eritque integrale: zxtdq®=—;}dr[Tx:do, feu xtdp*=dr (A—[Tx:d@); unde invenitur x4 do? xxd® d' Ÿ A=[Trsd0 & de de; $. XI. Cumigitur fitxdp:—%(4—/[fTx;d@), hoc valore in prima æquatione fubftituto habebimus: ddx=dit(£—=fTx dp—1:i"), quæ per 2dx mulriplicata & integrata præbet : dxt= det(B—<—21/T/[Txsdp—/fVdx). Ateft —12/S[Txido— = fTxsdp—[Txdo quo valore introducto erit : dx*=dr(B-£<+1[Txd@-fTxdo-f[Vdx), vel x'dx'=dr(Bxx-A+fTxid@-xxf(Txde+Wdx)), ynde nancifcimur dt + xdx V(Bxx —A+[Txi dp—xxf(Txd?+Vdx)) +dxV(A—/[Tx:d9) Lorean do—xxf(Txdp+Vax, Ji $. XII. Ambiçuitas fignorum, quam motus natura involvic, itaaba rbitrio Dee pendet , ut pofitivum var Jeac, fi motum ab eo loco, ubi corpus punéto fuit pro- ximum, definire velimus, negativum vero fi à diftantia maxima éherte Quoniam icitur in Aftronomia ufuseft, motäm corporum à maxima diffantia computare, valeat fignum negativum , ut habeamus has duas æquationes: —xdx di= V(Bxx— A+[Tx dp—xxf(Txdp+ dx)) d —dxV(A—/[fTx:4®) LE XV(Bxx— A+ [Txide—xxf(Txdg + V2) Prix de 1756. C 18 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM cujus pofterioris loco & hæc primum inventa de — SV(A—/[Tx;d@) ufurpari poreft. Suntautem 4 & B quantitates conftantes, per duplicem integrationem invectæ, quæ deinceps ad quemvis cafum oblatæ accom- modari debent. $. XIII. Quando vis normalis T evanefcit, alrera- que vis Ÿ ad € tendens per folam diftantiam x derermi- natur , utraque æquatio habebit variabiles feparatas , ita ut non folum differentialium ds & d@ ratio ad dx ab- folute poffit afignari, fed etiam per inregrationem ipfæ quantitaces finitæ : & @ per diftantiam x definiri: hoc- que ergo cafu problematis folutio perfeéta porerit exhi- beri. Neque vero in genere hæ formulæ magis ad ufum accommodari pofle videntur. Sed contentos nos efle opportet, hoc paéto rarionem differentialium dr, dq & dx elicuifle. Quamvis enim adfint formulæ integrales [Txdo, [Txide, & [dx hanc ipfam rationem involventes, eæ tamen negotium approximationis non multum turbant, dummodo earum valores fint perquam exiui, propterea quod tunc fuficit rationes diffcrentia- lium prope veras nofle. Verum ipfum approximationis negotium alias requirit confiderationes, antequam cum fucceflu fufcipi queat, quas deinceps evolvemus. $. XI V. Perduétis igitur binis prioribus æquationibus differentio-differentialibus ad formulas fimpliciter diffe- rentiales, quæ ad ufum maxime videntur accommo- datæ, tertiam quoque æquationem ddr =—7k di? inftituto convenientius transformare conemur. Quæ cum latitudinis 4 determinationem ob r= x rang. 4 conti- neat commodiffime ea inftituetur, fi more apud Aftro- nomos recepto lineam nodorum cum inclinatione orbitæ ad planum affumtum in calculum introducamus. Hunc in finem confideretur quovis momento planum, quod punéto fixo € & fpatiolo à corpore jam jam percurrendo MOTUS PLANETARUM. 19 determinetus. Quodque pro ifto faltem momento pla- num orbitæ appellare liceat. Sit igicur dum corpus ver- facur in X reéta C Q interfe&tio plani orbitæ & plani affumti, quæ linea nodorum vocari folet, atque ad lati- tudinem commodius inveftigandam ponamus : I. Longitudinem linex nodorum feuangulum 4CQ—7+, IL: Inclinationem plani orbitæ ad planum affumtum —G; quæ duo nova elementa tanquam utcunque variabilia contemplor. $. XV. Ad inclinarionem autem definiendam ex punctis À & Q ad lineam nodorum CQ ducantur nor- males RS & QS, quarum inclinatio feu angulus QSR inclinationem metietur, ita ut fit QS R== G. Deinde ob angulum QC Q—p— 7 & CQ— x, erit QS— xfin. (g—+); unde fit QR= x/fin.(p— T) rang. G. Cum igicur habeamus Q R = r = x tang 4, erit: tang. À = fin. (® — +) rang. G; ficque ex elementis @, æ & G, latitudo quæfita 4 re- perietur. Quoniam autem loco latitudinis 4 duo nova elementa æ & G æque ad locum corporis fequentem pertineant ; unde differentiale ipfus 4 feu rang. 4 idem prodire deber five elementa ambo 7 & G fumantur con- ftantia , five ambo variabilia, ex qua proprietate relatio inter æ & G innotefcet, quæ locum quartæ æquationis fuftinebit, fi quidem jam quatuor elementa x,@, x & G in calculo habemus. $. XVI. Cum igitur poñtis æ & G conflantibus fit d. tang. 4 — d@ cof. (9 — x) rang. G, iifdem autem tanquam variabiles tractatis prodeat dtang L=(d@-dr) cof. (o-x)tang.G+fin. (p-x) d. rang.Gi his valoribus inter fe æquatis obtinebimus C ï 20: INVESTIGATIO PERTURBATIONUM d'æ cof. (®—+) Jin. (g— +) d, tang. G drcof.(®— +) el Sufñcit igitur longitudinem nodi + ejufque variationent determinavifle, indeque facile inclinatio orbitæ G defi- d. tang. G 2 nietur; eftenim =" differentiale logarithmi ipfus tang. G. = d. tang. G— tang. G, eu G, quod fi ia indicemus d. / rang. G, erit dx cof.(® — 7} fin. (p— 3) Patet igitur nif linea nodorum fit fixa ideoque dr = 0, inclinationem orbitæ continuis variationibus efle obno- xiam, quarum autem alteræ ex alteris facile definiri po- terunt. d, lang. G— = dæcot.(®—ær). $. X VII. Propoñtum autem eft invenire ddr, cujus valor ob r= x rang. eft: ddxtang.V+2dx d. rang. L+ x dd rang. 4 = —?Rdr?, Verum invenimus: tang. À = fin. (g — x) rang. G , atque d,tang. À = d@cof.(g—7) tang. G ; unde ob dcof. (® —7 d. tang. G = EG — tang. G, erit porro differen- tiando dd, tang, À — dd cof. (g—x) rang. G— d@ (do—dr) CL aa Se zang. G, MERE ddr five dd tang.—=dd9 (cof. (g—2)—d9 Jin. (p—73) + RATER D G. fin. (® — +) tang. G + Quibus valoribus fuftitutis tertia æquatio induet hanc formam + ddx fin. (p—3) + 2dxd cof. (9—7) nc tré" . dods + xddocof. (p—5)—xd 9" fin.(p—7) RE MOTUS PLANETARUM, 21 At ex binis prioribus æquationibus erat : ddx— xd? =—}Vdrr & 1dxdg+xdde=—1Tdr; ficque fiet : LE me A En xdods» 2e A : (-2 de fin.(g=3)-2Tdr cof.(@ en) tang.G=—<{Rdt:, feu xdpd® R ee —!dr (7 fn. (p— 7) +Tcof. Care pere :) . $. XVIII Ex viribus igitur follicitantibus F7, T & R quaterna noftra elementa x, @, x & G ad quodvis tempus z per fequentes quaternas æquationes differen- ciales primi gradus determinantur. LT dé ts le Re A MURS Da VRP TS V(Bxx— A+ JTx5 de —xxf(TxdQ + Vax)) I de V(4—[Txde) 2 fin. (® — 7 R II. d7 — (Pno-m)Tcof(o-m) À). dacof. (p— 7) IV: d'l'tans. G= AGE feu d, L, rang. G = dt® cof.(p— x) US (7 fn. En + Tom). quæ æquationes in genere vix traétabiliores reddi pofle videntur, nifi certa quædam virium follicitantium rela- tio accedat. Fic. L 22 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM SECTE LOT Reduéio harum formularum ad cafum quo COrpus EPIPrEMIS ad punélum Jixum urgerur VL En quadratis diflantiarum reciproce pro- portionali, cujus refpeëlu reliquæ vires [unr valde parve. $ XIX. OS nobis eft propofitum in per- rurbationes motus planerarum quatenus ab eorum aétione mutua orluntur inquirere, tantum jam pro certo affu- merelicet, eorum motum, proxime faltem , regulis Kep- plerianis effe conformem ac perturbationes quas definiri opportet, vehementer effe exiguas. Moderario igitur præcipua motus eorum effcitur à vi quadam ad punc- tum fixum fecundum rationem reciprocam duplicatam diftantiarum tendente, præ qua reliquæ vires quafi eva- nefcant. Diferte enim fateri cogor, nifi huxifmodi vis inter reliquas vires follicicantes longe emineat, nullo plane modo me perfpicere, qua ratione ad aliqualem faltem motus cognitionem pertingere nobis licear. Mi- nime autem eafui tribuendum videtur, quod hujufmodi motus, quorum inveftigatio vires noltras penitus fu- peraret , etiamfi æque facile exiftere potuiflent , in mundo non deprehendantur. $. XX. Sic igicur C id punétum, ad quod vis illa principalis quadratis diftantiarum reciproce proportio- nalis dirigatur , fi quidem haétenus hoc punétum ab arbitrio noftro pendebat. Neque tamen hanc vim qua- drato diftantiæ veræ R C reciproce proportionalem {ta- tuamus quoniam ejus reduétio ad noftras formulas denuo MOTUS PLANETARUM. 23 latitudinem involveret. Sed quoniam planum fixum femper ita affumere licet, ut corpus ab eo non nifi quam minime recedat, angulufque 4 perpetuus fit valde exi- guus , cafurn ita ftabiliamus, ut vis F7 fecundum direc- ionem QC follicitans habeat partem eximiam quadrato diftantiæ QC—x reciproce proportionalem , cujus refpeétu tam reliqua pars quam binæ reliquæ vires T & À pro minimis haberi queant,. Statuamus igicur = {Î4S ira ut vires S, T & R præ vi Æ quañ evanefcant. $. XXI. Pofito autem V=É+S ecrit fFdx— HH+fS dx & xxfVdx=—ffrx+xxfS dx, quo valore in noftris formulis furrogato habebimus, PE EE — V(Bxx + ffx —A+ÎT x do—xx([Txdp+-fSdx)) IL de=#2V (4—/[Txide), feu de — —dx(A—[Tx149) ; xV(Bxx+ffx— AT x; de —xx([Txdg+fSdx)) * dt? fin. (g—x TRE a), z2xd® e En. (p—m)+S fin. (9—7) +Tcof (gr) — À à tang. G — xdx CR NT A rang.G= Jin. (g —®&) dtcof.(g_—) 2x4 IV. d. L'tang. G= >< CE GR ire (p—7) FA Tcof. (g—7) ET — . Unde latitudo 4 ita determinatur ut fit sang. L — fin. (9 — x) tang. G. Hafque æquationes, quatenus ter- mini litteras S, T7 & R involventes funt minimi , ad infbitutum noftrum propius accommodari opportet, $. XXII. Quo rationem parvitatis virium T& S fa- eilius in calculum introducere queamus, contemplemur 24 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM primum cafum, quo iftæ vires penitus evanefcunt ; bi- næque priores æquationes fequentem induent formam: —xdx L. LÉ Ep ee Le ff A) & ditV A — dxV A IL de xx Tulle fre A) quarum evolutio ita eft in promtu , ut introducendo quodam angulo y, qui anomalia vera vocari foler, fi ponatur x = , conftantes illæ 4 & 2 per has 1 — k co. v novas & & & ita defniri queant, ut formula irrationalis V(Bxx+ffx— A) evanefcar five anoulus v fit = 0 five duobus reétis æqualis. Atque hine oritur notiflima motus elliprici ratio , pro quo litrera b denotat femipara- metrum elliphs & Æ ejus excentricitarem, feu focorum diftantiam per axem tranfverfum divifam. Accedentibus autem viribus minimis 7 & S$ mous aliquantillum ab bac lege difcrepabit. $. XXIII. Difcrimen fcilicet inhoc confiftet, quod jam quantitates b & Æ non amplius futuræ funt conftan- tes, {ed variabilicatem à viribus 7 & S oriundam im- DE tnt. 1 — gcof, v ut ante y ejufmodi angulus, quo five evanefcente five ad 180o° increfcente, diftantia x fiat five maxima five minima: feu quod eodem redit ut fiat dx —0, = 101 . Le d fi fit Jen. v — 0. Cum igitur fit: dx=—£Xx V(Bxx+ffx—A+fTxide—xx([Txde+/fSdx)) formula irrationalis, pofito x= ne SP ages , factorem /£n, v 1 — q cof. v , fitque plicent. Quamobrem ponamus x = involvere feu hujufmodi formam #7 fn. y habere debe- bic : quod ut eveniat ipfæ quantitates variabiles p & gq debito modo definiri conveniet. At polito præterquam in MOTUS PLANETARUM, 25 : ou aitén RE à, in formulis integralibusx =: À habebimus: dx=-#%% V(Bpp+ffp(i-qcofv)-Ai-qcof v°+1-qcofv) f Tx'do-pp(f[Txdp+fSdx)). 4. XXIV. Evolvamus hanc formulam fecundum cof.v hoc modo: : Bpp+fp—A+[Txde—pp([Txdo+fS dx) dx" — ffp q cof.v +2 Agcof. v—21q cof.v.fTx3 do 1 — 4 gg cof v + gqcofv[Txsd® jam ut in figno radicali fin. » * feu 1 — cof. v* involva- tur, reddamus terminos ipfum co/. v continentes nihilo æquales, unde divifione per 2 g cof. v inftituta fic: —?ffp+A—[Txide=0o, feu 4—/Txde=;}ffp, hocque valore fubftituto orietur: Late ds Bpp+:ffp=pp(fTxde+#+fSdx) Le None t Fiat porro: Bpp+iffp—pp{UTxde+fSdx)=:ffpgg) feu 2 ffq99=Bp+iff—p([Txde+fSdx) quo facto habebitur : 1 . d'! fin. nn AC LE à ag — Effpagcr)= Te, $. XX V. Pofito ergo x = » Ut p exprimat 1— gcof v femiparametrum, & g excentricitatem ellipfis , utram- que ob perturbationes variabilem, atque v anomaliam veram , hæ quantitaes ita per vires 7°& $ determinari debent ur fit ; | 2A4—2/Tx3d CREME ET Re] & P ff ff+2Bp—1p([Txde+fS dx) opus Prix de 1756, D 26 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Cum autem hæ ipfæ quantitates, evanefcentibus viri- bus 7 & S$,evadant conftantes, ficque earum valores quañi medii prodire debeant , ponantur hi p—6 & gg=Kk k, hincque conftantes 4 & B inftituto con- venienter ica definientur ut fit: bi feu A—=p hæc forma ob 1 — cof. v?=— fin. y? perducicur ad iftam Tx di fin. v? Spdi fin.v cof.v, dp +dqcofv=— —— D (2 —q cof.v)+ TE 2 TE Dij — ed D — Pi g cof.» 28 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM quo valore in fuperiori expreffione pro gdvfin.v in- venta fubftituto, divifione facta per g fén. v, habebitur : far ; Tx dt fin. v Spdtcof.v dv= VE va. (2— 9 cof. y) + AVS Hxc autem porro, ob x (1— 9 cof. y) —p, tranfit in for- mas fequentes : ; Tdt fin v Txdrinv.cof.v. Spdtcof.v du VE pe NV 3 p— + — , feu saVzP f9 P fV2p faV2p >? dt(2 Tfin.v—sS cof.v) Txd! fin.vcofv : flex 2 D TETE EI: TIRE ,veletiam FREE D CU EE Pre 2 EU ce Le A Tr LUS :P faVzp $. XXIX. Quoniam porro et: AR e ee. fadtfiniv ue de={=V'ip&dx=— Vip [Txide=ffTxdiV hp STrxde=ff#V Ep & JS de ff, ideoque [Txde+fSdx= ff (Ti gcofv) —Sqfinr). His igitur valoribus fubftituendis non folum formulæ integrales, quæ etiamnunc in calculum ingrediuntur , ad differentiale temporisreducuntur, fed etiam omnium quantitarum variabilium , quibus jam erit urendum, dif- ferentialia per idem remporis diferentiale dr erunt ex- refla. Neque vero adhuc ulla approximatione fumus ufi, unde hæ determinationes etiam locum habent, tametfi forte vires 7°& S non fuerint adeo exiguæ. In- terim tamen parum fubfidii inde confequi liçet, nifi iftæ vires valde fucrint parvæ. $. XX X. Hæ autem formulæ maxime videntur ido- neæ , ad motus aberrariones à regulis Kepplerianis defi- . . D . . pe . niendas ; referuntur enim ad motum in ellipf continuo MOTUS PLANETARUM. 13 variabili tam ratione ejus parametri & excentriciratis quam fitus lineæ abfidum. Quovis enim tempore mini- mo motus corporis ita confiderari poteit, quaf fierec in ellipfi fecunduim regulas Keppleri, ac fi pro quoli- bet tempore conftet magnitudo iftius ellipfis, ejufque excentriciras una cum ficu lineæ abfidum, ex formulis inventis verus corporis locus, quatenus ad planum af- fumtum refertur , affignari poterit. Affumo igitur ad tempus propoficum £ orbitæ ad planum noftrum fixum relatæ efle I. Semiparametrum orbitæ =p, IT. Excentricitatem ejus = 9, IT. Atque anomaliam veram COrPOris == 7. Unde cum longitudo corporis pofita fit = 9, longitudo abfidis fummæ definietur angulo = 9 — y. $ XXXI Ex his igicur elementis ellipticis primo deducitur diftantia curtata € Q = x ope formulæ x = 5 og — joi Ï L RE r unde poto angulo y = 0 collicitur diftan via abfidis fummæ = > & poto y = 180° diftantia s > \ — f 1 abfidis imæ à punto € — 2, quarum fumma EE præbet axem traniverfum orbitæ ellipticæ , cujus prop- cerea femiflis eft — Er , & femiflis diftantiæ focorum 28 F4 … 2 S e u PER P = 577, : tum vero femi axis conjugarus erit = Deinde vero ipfa corporis longitudo feu angulus 4 C Q — Q ita per hæc elementa determinatur, uc fit: HOUSE ; __ fdt(i—g of)? de=— HR COQ ES j unde ea per integrationem elici poterit, dummodo lex conftet , qua quantitates variabiles p, q & y cam tem- pore mutentur, hanc autem variabilitacis lesem jam CrUuimus, 30 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM 4. XXXII. Si nullæ adeflent vires perturbantes T &S, tam parametér orbitæ 2p quam excentricitas q effent quantitates conftantes, atque anomalia veray cum longitudine @ paria caperet incrementa; ficque ob de — dy —o, linea abfidum immota maneret. Videamus igi- tur quales mutationes hæ quantitates fubire debeant ac- cedentibus iftis viribus perturbatricibus 7 & S. Ac pri- mo quidemob Tx3d@=fTxdev:p, tempufculo de femiparameri p incrementum inventum eft : ALLIE as VS “hMastes TpdtV2p LEE TER PTT fi gco.r) quod ergo tantum à vi 7 pendet, nifi quatenus variabi- Jiras quantitatum g & y fimul alteram vim S involvit. Hinc igitur erit : dp TdtVi : T dtV2 BC rer te LE LOU feu cum medius valor ipfus p fit = à eric: Tdi: ) 4 TÉL Ur! " CE PERL Lee MIE Vr = vi Tv er $ XXXIII. Secundo incrementum excentricitatis dg ita expreflum invenimus pro tempufculo dr, ut fit: Txdt{rcofv—qg—qcof.v°)+ Spdtfin v d g —= fV2p » quo fubftituto pro x valore RS abit in dy (EG cofv-g-gcofv"}+Sfin.v), feu fV 2p\i— gcof. v dy (Teof.v+S fin.v+ 7. EE) va pivel etiam dg=® (2 Tcof. v + S fin. v — TE) V 1 ps in qua formula ultimus terminus præ binis præcedenti- MOTUS PLANETARUM. 31 bus eric valde parvus, fi quidem excentricitas g non adeo fuerit notabilis. Cognitis igitur viribus 7 & S cum anomalia vera, hinc facile colligitur, quantum excentricitas intervallo minimi tempufculi d 2 immute- tur, quemadmodum ex formula precedente variatio femiparamerri p inotefcit. $. XX XIV. Hinc etiam definiri poteft variabilitas axis tranfverfi ellipfis , cum enim ejus femiflis fit =, erit ejus differentiale : Fi denis 2.p 9.49 Li A (i— 939)" ; Quod fi jam valores pro dp & dq inventi fubftituantur, reperitur reduétione rite faéta: dtV2p C RP TT Cole ex fre y = RÉRE (T gi T of + fi Quare fi femi-axis tranfverfus ponatur = 7, ut fit r — P PY2p 1-73 ob M = pr Vs fict rrdt va (T—g(Tcofv+s fin.v)), feu dr = gr UT (Te 4 Sfr. v)) CE Vip n Unde, fi femi-axis tranfverfus medius ponatur = «, fiet Den er (T—q(Tcof.v + S fin. v)). $. XX XV. Denique mutatio inftantanea lineæ abf- dum eft indaganda, cujus longitudo cum fit = @— , eric ejus incrementum tempuiculo dt ortum = d ç — dy. Verum invenimus: pdt: fa (1 — 9 cof. v)? - do =ftV Ep — Va Done & xdt(Scofiv(1—g cofv) —T fin.v (1—qcof.v)) fui y YEAR faVip SHIEU 4 #1 INVESTIGATIO PERFURBATIONUM FARM | Ce V:?r. L — 4 cof, v Unde colligimus de — dy =} EE ONE PEN ETATS VAR ES 1 — gcof.v T fin. v AT +Tfin.v—sS cof.v) Vip, five dg—dv=$ (2 T fine y —S eofv+ EE) V2 pe : 1 a 60 Hinc igitur patet motum linex abfidum eo fieri notabi- liorem, quo minor fuerie excentricitas g ÿ qua evanef- cente etiam in infinitum abire videtur. Verum notan- dum eft, quo minor fuerit excentricitas , eo MINUS re ferre verum lineæ abfidum locum nofle. $. XXX VI. Poftremo ad eadem elementa reducere potérimus æquationum principalium ($. XXI) binas pofteriores; cum enim fit deg" vip erit- = mutationes momentaneæ, quas cum linea nodorum tum inclinatio orbitæ ad planum fixum fubibunt, ita per rem- pufculum minimum de erunt expreflæ : Lx di fin (on ff LR dr—= AT (£ fin. (o—r)+ Sfn(o—s)+ Ted (o—7)— 5, c) _xdtcof(o-»)fff, FA AR d Sr en er (enrieSinle=naTeaf(e=n)— EE Je Unde latitudo L ita definicur ut fit sang. 4 =fin.(p—)1ars G. Hic quidem partes adfunt à viribus percurbatricibus non pendentes, verum hoc inde venit, quod vim quadratis diftantiarum reciproce proportionalem in plano fixo affumfmus. Sienim ea, uti rei natura poftulat, fecun- dum diftantiam veram R € affumatur, iftæ partes à vi tollentur, id quod in applicatione fiet manifeftum. 4475. SECTIO IIL MOTUS PLANETARUM, 33 S*E GT Oil TE Ænvefligatio Virium quibus motus Planeræ principalis ab aclione alius Planetæ per- turbatur. $. XXX VII. €: UM perturbationes, quibus pla- netæ principales fe mutuo afficiunt, fint vehementer parvæ, dum uniufcujufque planetæ perturbationes in- veftigamus , motum reliquorum tanquam regulis Kep- pleri perfeéte conformem fpeétare licebit: tancillus enim error, qui hac ratione in motu planetæ perturbantis ad- mictitur, in effectu multo minorem, hoc eft evanefcen- tm producere eft cenfendus. Quoniam igitur quæftio ad planetas principales adftringitur, punétum fixum € in centro folis aflumi conveniet; & quia motus planetæ perturbantis in plano fieri poteft judicari, hoc ipfum plhanum pro plano illo fixo, ad quod motum planetæ turbati referre conftituimus , commodiflime aflumemus. Cum enim invenerimus, quomodo motus iftius planetæ refpectu hujus plani immuterur, facile erit perturbatio- nes ad quodvis aliud planum in cœlo fixum traducere, ficque inconftantiam , cui planum orbitæ planetæ per- turbantis eft obnoxium, exuere. $ XXXVIII. Conveniat igitur planum tabulæ cum plano orbitæ planetæ perturbantis, in quo C fit centrum folis, & C À recta inde ad fixum cœxli punétum duéta, unde longitudines numerentur. Ad datum ergo tempus 1 planeta perturbans fic in hujus plani punéto F, à quo dudtà re&à CF, ponatur: Prix de 1756. E FIG. 11 34 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM I. Diftantia hujus planetæ à fole . . . CF=7y II. Longitudo ejus feu angulus ACF . . . —6 Quod fi ergo vis, qua hic planeta in ad folem urgetur fit — {, ejufque orbitæ femi latus retum, feu femi- parameter — c, ejus excentricitas —e, & anomalia vera = 4, Cric per formulas fupra inventas : Ex e cofiu) = RU, Re pe PNR nn ne 1—ecof.u cVic cedufin.u ef d' fin. unde fo VS pa ou ec? ficque hxc différentialia ad elementum temporis de habemus reduéta. $ XXXIX. Alter jam planeta , cujus perturbatio- nes morus indagamus, extra hoc planum reperiatur in R unde ad id duéto perpendiculo RQ, janifque reétis RC & QC, fit utante: I. Ejus diftantia à fole curtata feu reéta CQ == II. Longitudo ejus feu angulus ACQ . . —=9® III. Latitudo ejus feu ançgulus QCREST. —+ X Unde fic ejus diftantia à fole vera. . . — cof. + Verum pro latitudine confiderentur linea nodorum € @ & inclinatio orbitæ ad planum orbitæ prioris planetæ ; fiique IV. Longitudo nodi afcendentis feu angulus 4CQ => V. Inclinatio orbitæ feu angulus QSR. . . — ex quibus elementis latitudo “ira exprimitur ; ut fic rang. À = fin. (9 —T) tang. G. Quod fi porro jungantur rx QV& RW, erit QP=V (xx+IY 2x y cof. (9 —$) ), & VRk —V EE +yy—2xy cof(p—0)=3 MOTUS PLANETARUM. 35 ponamus enim brevitatis gratia hanc diftantiam WR — ce $. XL. Cum jam planeta R tam ad folem quam ad alterum planetam #7 attrahacur in ratione reciproca du. licata diftantiarum, fit utraque vis ita comparata, ut ad diftantiam d habeatur vis acceleratrix ad folem tendens . | . = 7, vis acceleratrix ad planetam tendens « , —= Da Hinc itaque planeta in À urgcbitur E cof. 4: primo ad folem fecundum RCvi= 2, F7 pa deinde äd planetam in fecundum RF vi — su À Quoniam vero ipfe fol quoque ad planetam F7 follici- tatur fecundum € F7 vi acceleratrice = Æ, ut folem in quiete retineamus hæc vis fecundum directionem contrariam Q v in planetam À ‘transferri debet, hinc= que ifte præterea follicitabitur : Secundum directionem Q v vi =; Quin etiam ipfe planeta 77 omnino ad folem urgeri cen- fendus eft fecundum .7C vi = ÊXT y quam modo As pofueramus = #. $. XLI. Nunc vero ante omnia vires planetam À follicitantes revocari. debent ad directiones QC, ON & RQ, utinde valores virium affumtarum #, 7 & R obtineantur. Ac primo quidem vis fecundum RC—= E cof. + : XX L k : : x E cof. À: à Secundum direétionem QC vim= ——— pro vi 4 E fin. cof. +? * x præbet pro vi; Eij Secundum directionem RQ vim— 36 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Secunda vis fecundum RV=£, ob QR = xrane. À, CA ET præbet F.QR Fxtang.Ÿ Secundum directionem RQ ner ne Æ pro R, Le ï 2È Tum vero fecundum Q F7 vim = _. quæ, ob QFcofCQV—=—ycof(9—86)+x & QV fin. COQ = y fin. (ge —80);, reducitur ad binas fequentes Secundum QC yim = TZ { (y cof. (®—8) Le) pro s: F. Sceundum. Q Nuim — 72 Denique tertia vis fecundum Q y = 5, ob CQr— @—8, dat pro vi T5 F cof. (g —8) x — F fin. (® —8) VY. 8. XLII. Colligamus fingulas has vires ad dire&tio- nes QC, QN & RQ reduétas, ratque habebimus Ecof43 F Vin He Ne VimT=Fy(£—;) fin. (g—8), à UE VinoRe E fin. Ye h cof +° Sans; xx ? ce nihilque fupereft , nifi ut hæ expreffiones in [ocum lit. terarum Ÿ, T & R fubftituantur. Quoniam vero an- gulus L femper eft valde parvus, , ejus cofinus ne ad unitatem accedet; unde cum pofuerimus = +S, ita uc fic Secundum QC vim= Secundum Q N vim = MOTUSPLANETARUM. 27 ze Ecof.t3 Fx ï à S$S = = + rss HT Yan) of. (Q— 0), pro ff aflumi poterit £ ; & quamquam ante invenera- mus ff —£ + F, tamen quantitas F præ Æ tam elt exigua, ut nullus plane error fit metuendus, fi pona- mus ff — E ÿ ita ut habeamus : — E(1—cof. |: Fx I 4 ge LA + — Fy(5—£) cof. (p —8). $. XLIII. Antequam autem hujus reductionis ra- tionem habeamus , fubfticutio virium Ÿ, T & R in æquationibus variationem lineæ nodorum & inclina- tionis continentibus commode fieri poterit, quæ eo magis eft notatu digna , quod uti jam innuimus termini à vi perturbatrice non pendentes deftruantur. Cum enim tang. fit ans. G = Eos) factoris F7 fin. (® — x) + T cof. (9 — 7) — ditur, valor fatis concinne definietur, habebitur namque: V fin. (®-— x) = ER, (p—7) + À fin (Gr) Fy(3— 2%) cof. (g—8) fn. (o— +), T cof. (g — 7) = Fy (5 —55) fn. (g —#6) cof. (p— 7), — E cof.Ÿ3 Ex Rsique fin (er) = In. (®— x); R ki u —. G» qui illas exprefliones ingre- Lang. — — ang. G. XI Quare cum fit— cof. (9 — 5) fên. (9 — x) + fin. (p —#) ‘cof (®—m) = — fin. (0— 7), erit Win. (p—7r)+ Too (on 2 = Fy (45) fin. (8m) $ XLIV. Perfpicuum ergo eft totam hanc expref- fionem, qua variatio in linea nodoram & inclinatione determinatur, unice à vi perturbaute Æ pendere, cæte- 38 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM rifque paribus finui anguli ô— +, qui oritur longitudi- nem nodi + a longitudine planetæ turbantis 8 fubtra- hendo, effe proportionalem. Quodfi ergo ur ante femi- parametrum FR planetæ R ponamus = p, ex $. XXXVI, pro variatione tam lineæ nodorum , quam inclinationis, fequentes nancifcemur æquationes : Fxydtfin.(®- x ) fin. (9 7) à Hg. 29,71 6 BR ER EME Ce (3 5)» : Ce (g—7) fin.(8— 7) PNA USERS eme ae AP RS g.G FV2p dréae Ubi imprimis eft memorabile has exprefliones tanto fimpliciores prodiiffe. Quamvis autem exædem facilius ex ip virium follicitantium indole erui potuiflent , ramen earum derivationem ex formulis generalibus perere con- veniencius eft vifum. ; $. XLV. Progrediamur ergo ad reliquas perturba- tiones, & cum pofuerimus pro orbita planctæ R turbata : Semiparametrum . . . . . ==p; Excentricitatem_ ...% .l.'. =19; Et anomiliam veram . . . . =; iautfit P — f g dt fin. v MT rl Vip > primo variationem parametri ita invenimus expreflam Txrxdt TpdtV2ip d > V 2 = ——— P f P fa— goes)? quæ ideoque hanc induet formam : Fxydrfin.(®—®0),, À DES or e (5—35) V2P, neque enim adhuc pro x, y & 7 valores fupra defigna- tos fubititui conveniet, quia illi nonfolum jam func MOTUS PLANETARUM. 39 cogniti, fed etiam eorum differentialia per dr exhiberi poflunt € fdt = ———— , di=duz — 1 QUE ob y A a V ; 1 — e cof. u o fedtfin. u : dy =— Vic $. XLVI. Secundo excentricitatis g variatio (, XXXIIL eft inventa dq=# (Toy +S fin.» + TEE) V1», feu 1— q cof.v Tqfin. v? d=# (2 Tcof.v +8 fin. v — TE) V'1?, ubi recordari debemus efe : S DR AE) Le. F: —— Fy(3—ZL) cof.(p—8), & T=Fy Gr) fin. (g—0); & quorum valorum fubftitutionem fieri non eft opus : quod cum etiam in reliquis commode fieri nequeat, eas apponamus uti invenimus {. XXXV. Tertio fcili- cet pro moru lineæ abfidum obrinuimus do—dy=f (2 Dfin.v—S cofv+ TEE) 1 ps 1 — q cofe v à fdt(1— qcof.v)° 4 == fdi QT RP TR Tr PE UT & quia do“ 1p— P.V1p 2 eric incrementum momentaneum anomaliæ veræ dy=ft eee T fin. v—S cof.v + cree) V':p. 1— 9 cof. v 2 XX $. XLVII Nunc autem elementum temporis ds eliminari conveniet, cujus loco commodifime motus medius folis five cerræ introducitur. Ponamus ergo dif- tantiam mediam terræ à fole efle — 2, hocque motu medio abfolvi tempufculo de angulum = dw, 40 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Quoniam hoc cafu excentricitas adeft nulla, vifque ad Tolem tendens et —{—", erit ex principiis ante flbiliis: do —/£:V£a— #5 ideoque fdr= adoVia, à aduwV2a adwuV1a nb AUX EE E Tempore ergo abfoluto s eliminato, ejufque loco an- oulo « quem fol motu medio interea abfolvit, noftræ formulæ differentiales omnes ad elementum iftius motus medii d« reduci poterunt. Ac fi infuper ponatur F— n E, ubi x femper frattionem vehementer parvam de- notabit, erit = ny (4—:) fin. (g — 6), S (Gi—-cof eo) E=— ET ce or GA re cof. (p — 86). LE Le . XLVIII. Subftituto ergo pro d£ ifto valore, habebimus primo pro planera perturbante : di—du—="“"vVac; &dy—=—aedo fin uV?, at pro planeta perturbato : do“ Vap; &dx=——ag da fin. vV+ porroque dp=—T.2axdovap= —anaxyde(i—;)fin.(p—8).Vap DT S T fin. v° dg=ade (cvs fn de). 4 a P» ado 4 adw adw f1T S T qfin.v.cof.v nee Va per Ve CO PE) $ q (4 E f ME cer) vVap. 2T S T gfin.vcof.v de—dy= (Envoyer) Vars & EL LT Si ulterius femi-axis tranfverfus ponatur = 7; erit d ee T: S = V5 rl cof. v—" q in. v ), uti ex XXXIV colligere lice, MOTUS PLANETARU M. 41 6 XLIX. Simili modo & mutariones, quas linea no- dorum & inclinatio orbitæ tempufculo, quo fol fecun- dum medium motum per angulum de progreditur fub- cunt, exprimi poterunt. Polito enim F= 7 £, & folis diftantia media à terra == 4, quoniam invenimus : ar naduwVia . Fdt Fdt F= x — erit F =raduvia, & = formulæ fupra exhibitæ abibunc in has : da——naxyducof.(®—3) fin. (1— x). ( Eh. V4 d. L.tang. G—= — naxydaucof.(g—s) fin. (1æ 7) Gr) Ve Cum autem valor ipfus dæ jam fuerit inventus, erit fuccinius d. tang. G cof(p— 3) d. L tang. G = RU yes) Lang. G Per has igitur formulas omnium quantitatum, quibus determinatio perturbationum continetur , incrementa, quæ tempufculo per motum folis medium de expreflo capiunt, definiri poterunt, neque haétenus ulla appro- ximatione fumus ufi, nifi quatenus pro motu planetæ perturbantis loco F+F fimpliciter Æ fcripfimus, unde autem nulla aberratio à vero oriri potelt. $. L. At vero in calculi fubfidium jam multo gravio- rem hypothefin aflumfimus , dum motum planetæ per- turbantis, quem in W fingimus, tanquam regulis Kep- pleri perfeéte confentaneum fpeétamus; fi enimifte pla- neta effet Saturnus, cujus motum non mediocricer ab ac- tione Jovis turbari novimus, nullum certè eft dubium, quin ejus perturbationes effe&us , qui ab ejus aétione in motum reliquorum planetarum redundant, aliquantil- lum eflent affeuræ. Interim tamen pro certo ftatuere licet, iftas variationes incomparabiliter futuras efle mi- nores, neque effe&um Saturni verum fenfibilicer effe Prix de 1756. F 42 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM difcrepaturum ab eo, quem regulas Keppleri exaéte fe- cutus , effet produéturus; imprimis cum confter, univer- fam perturbationem efle quam minimam, atque adeo nos contenti efle debeamus eam tantum vero proxime determinafle. Ædque parvi autem momenti fine ullo du- bio æftimanda erit ea aberratio, quæ dum pro E+ F tantum Æ feu 1 pro 1+ 7 femper eft fraétio quam minima, $. LI. Non parum paradoxon videri debet, quod etiamfi vis planetæ perturbantis, feu fractio » penitus evanefceret, tamen pro altero planeta tam excentriciras g quam Linea abfidum mutationibus effet obnoxia : prop- terea quod evanefcente fractione 7, quantitas S nonin Ë — 1 + cof. 4: BRAS quo utrumque differentiale dg & de— dy affcitur. Verum perpendendum eft, quod dum orbitam planetæ in aliud planum projicimus , projectio quidem quoque futura fic elliphis, fed cujus focus non amplius fururus fit in punéto C. Etiamfi ergo motus projectus fiat in ellipf, areæque adeo circa punétum € defcriptæ tempo- ribus fint proportionales , ramen quia in C non eft focus ellipfis, motus regulis Keppleri non erit conformis. Cum autem nihilominus fingi poflet quovis momento ellipfis focum habens in €, cujus elementum cum illius ellipfs elemento congruat, mirum non eft hujus ellipfis fitæ tam excentricitatem quam poftionem lineæ abfidum continuo variari: notatu autem eft dignum parametrum ellipfis femper invariatum rclinqui. nihilum abeat, fed valorem — retineats $. LII. Cum igitur cafu 7 —o hoc incommodum penitus evitaremus, fi motum planetæ non in plano alieno fed proprio contemplaremur , idem quoque in- commodum in genere evitabimus , fi motum quovis MOTUS PLANETARUM. 43 tempore ad planum orbitæ ipfum referamus,. ita ut x diftantiam veram CR & 9 longitudmem planetæ in proprio plano denotaret. Hinc quidem oborbitæ incon- {tantiam alia incommoda nafcerentur, quæ autem, dum- modo inclinatio G fit valde parva, quemadmodum id quidem femper ufu venit, fere penitus removebuntur , propterea quod inde ipfs perturbationibus minima per- turbatio inducetur. Quo circa totum negotium ita promtius expedietur ut primo dum variationes quantita- tum p,g, &1@ — v, exquiruntur,; à quibus locus pla- netæ in propria orbita pendet , latitudo 4 prorfus ne- gligatur ponendo 4 — 0 ; deinde vero feorfim ad quod- vis tempus tam pofitio lineæ nodorum quam inclinatio inveftigetur : & his denique inventis more apud Aftro- nomos recepto ex loco planetæ in propria orbita ejuf- que argumento latitudinis ipfa Jatitudo eliciatur, cum reductione Jongitudinis. ( $. LIII. Hanc ob caufam quæftionem noftram com- mode bipartito pertractare licebit dum feorfim primo motus planetæ in propria orbita, quafi eflec plana, deinde vero hujus orbitæ pofñtio refpeétu orbitæ pla- netæ perturbantis inveftigatur. Primo igitur x denota- bit diftantiam veram planetæ à fole, & @ ejus longi- tudinem ; um pofiro : z=V(xx+yy—2xy cof. (p—8)),; ob =0, fi brevitatis gratia ftatuamus M=y(5— 5) fin. (@—0); —=#%— y (5— %)cof. (o—8)); habebimus: J= ci dy=—aedufinu. V #; adw + do=du= TV ac; D ee ns dx=— ag do fin. v.V' +; 1— q cof. v ? 44 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM de= = V' ap; itemque: dpæ—æ1nMaxdu. V' «pr: M q fn. v° dg=n a da (2 M cofv + N fin. PE NV ap, & do dv = (M fin Ncofy + PE) W ap; 1 — q Co). v ubi eft x — : » Cujus valor pro fingulis planetis ex ob- fervationibus, quantum quidem id fieri licet, concludi debet. $. LIV. Cum deinceps ex his formulis locus planetæ Æ in propria orbita cum ejus diftantia à fole fuerit in- ventus, porro inveftigetur ad quodvis tempus propofi- tum pofitio hujus orbitæ refpeétu plani fixi affumti, in quo orbita planetæ perturbantis verfatur, linea fcilicer nodorum cum inclinatione mutua, ope formularum in $. XLIX exhibitarum ; hincque facillime verus locus planetæ in cœlo aflignabitur. In priori quidem invefti- — 14 cof. À; xx gatione neglectio partis in valore W nullum errorem creat , quippe quæ per reduttionem ad pro- priam orbitam compenfatur. Sed ob pofñtionem L = 0, valor ipfus 7 aliquantillum immutatur, fed tam parum , nifi inclinatio fit enormis, ut error præ ipfa quantitare 7 fit vehementer exiguus. Quoniam igitur ipfa quantitas 7 aliter non intrat in calculum nifi per fraétionem mini- mam »z multiplicat errores illi denuo hinc diminuen- eur, ut tuto pro nihilo xftimari queant, MOTUS PLANETARUM. 4$ SAC TL: O TV. Confiderationes necef[ariæe ad refolutionem for- mularum inventarum expediendam. 6. LV. EF X his formulis primo fine integrationis adju- mento variationes horariæ, quas fingula motus elementa capiunt incervallo unius horæ , fatis exacte colligi pof- funt, cum enim tantillo tempore omnes variationes fint quam minimæ, error plane erit imperceptibilis fi ipfa différentialia tanquam variationes horarias fpectemus. Cum igitur Sol fecundum motum medium una hora an- gulum conficiat = 2’ 28/' feu accuratius 147£", fi dif. ferentiali do hunc valorem tribuamus, ut fit do — 147 £", feu in partibus radii, pro quo unitatem aflu- mimus, do=0,00071672, reliqua differentialia dp, dq, dg—dv, do, dx, dæ, d.tang. G, di=du, & dy incrementa horaria iftorum elementorum exhibe- bunt, quæ igitur fine ulla integratione definire licebit, dummodo pro tempore propoñto ipfa hæc elementa fuerint cognita. Neque etiam error erit fenfibilis, fi hoc modo variationes diurnas tribuendo ipfi do valorem vi- cies quater majorem definire vellemus, dummodo neu- trius planetæ motus rempore unius diei admodum fit notabilis. $. LVI. Si quis hunc laborem fufcipere vellet, rotum negotium fine inregratione expedire pofflet. Cum enim pro dato quopiam tempore : explorati fuerint valores clementorum fingulorum , quibus determinatio motus continetur, inventis finsulorum incrementis horariis, . 5 D colligemus hinc eorundem elementorum valores ad tem- 46 INYVESTIGATIO PERTURBATIONUM Ca pus :+ 1 hora; unde deinceps fimili modo eadem ele- menta ad tempus :+2 horis obrinebimus, ficque ad tem- pora quotcunque horis remota progredi licebit. Interim tamen quia in fingulis gradibus error quidam, etiamfi in fe fpectatus fit infenfbilis commictitur, is per conti- nuam repetitionem ita accumulabitur, ut tandem fatis notabilis evadat. Neque etiam is minoribus hora inter- vallis affumendis quo paéto quidem labor omnino infu- perabilis redderetur, evitari poffec, erfi enim finguli erro- res fierent mulro minores tamen ob majorem operatio- num numerum tandem quoque ad magnitudinem nota- bilem excrefcere pofñlent. $. LVII. Nif igitur integratio in fubfidium vocetur, fperari omnino nequit, ut fingulas motus perturbatio- nes unquam exacte definire valeamus, vel faltem ut tem- pore quantum vis magno interjecto error non fiat nota- bilis. Huc quoque accedet, quod priori methodo uten- ces ad nullum tempus, unde calculum inchoare velle- mus, per obfervationes fingulorum elementorum veros valores affignare valeremus, ideoque etiam hi errores fequentes operationes plurimum contaminarent. Quando autem iptegrationes in genere perficere licuerit, tum per obfervationes plurimas diverfis temporibus inftitucas , dum eæ cum calculo generali conferentur, veri fingu- Jorum elementorum valores colliei poterunt , quibus femel definitis formulæ integratæ perpetuo ufum defi- deratum præftabunt. Quocirca ad perfeétam omnium erturbationum cognitionem abfolure neceflarium eft , ut formulæ differentiales inventæ per integrationem ad determinationes finitas reducantur. $. LVIII Ac per reduétiones quidem haétenus fac- tas jam eximium commodum fumus confecuti, quod formulas differentio-differentiales, ad quas principia Me- chanica nos immediate perduxerant, ad formulas is citer differentiales revocaverimus, quæ nullis amplius MOTUS PLANETARUM. 47 formulis intecralibus fint involutæ, quemadmodum ufu venic in iis quas primum ((. XXI) elicueramus, quæ partim ob irrationalitatem partim ob integrales, vix trac- cri potuiflent. Præcipuum autem commodum fine du- bio in hoc confiftere eft cenfendum, quod omnes for- mulas ad fimilicudinem motus regularis , feu notiffimis Keppleri regulis conformis explicuerimus, quæ reduétio quoque ad ufum Aftronomicum maxime videtur ac- commodata. Neque etiam amplius premimur ejufmodi formulis irrationalibus, quarum valores ira fint vagi, ut modo in nihilum abire, modo etiam negativi fieri queant , uti in formulis {. XXI ufu venerar. $. LIX. Verum antequam integrationis negotium fufcipiamus , nonnulla moneri eft necefle, quibus ope- rationes inftituendæ dirigantur. Cum enim integratio- nem abfolutam ac perfeétam nullo modo fperare quea- mus, ad approximationes confugere cogimur, in quo negotio cum multa arbitrio noftro relinquantur, prouti alias atque alias particulas negligere velimus , præcipua cura hoc erit collocanda , ut nihil negligamus, unde error fenfbilis refultare poflet. Ex circumitantiis igicur judicari opportebit, quid ratione fingulorum elemento- rum negligere liceat : ac primo quidem cum 2 fit frac- tio-tantopere exigua, quippe qua ratio maflæ planetæ erturbantis ad maflam folis exprimitur, nullum eft du- pue » quin ejufmodi terminos, qui per quadratum hujus fraétionis altioremve poteftarem eflent multipli- cati, fine hæfitatione rejicere queamus. Ex ipfa autem hujus numeri z parvitate cognofcimus , perturbationes efle quam minimas, quæ adeo omnes evanefcerent fi effet 21—0. 4. LX. Deinde etiam fi orbitas fingulorum planeta- rum confideremus , earum excentricitates tam parvas deprehendimus, ut in determinatione perturbationum, fi non ipfæ, tamen earum quadrata altiorefque poref- 48 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM tates tuto negligi poffint. De Mercurio quidem & Marte hic dubium Rbbrin poffet , quorum planerarum excen- cricitas eft maxima, à contrario eorum mafñlæ tam func exiguæ præ mafla Solis, ut cotæ perturbationes inde oriundæ fere contemni queant. Quamquam autem in reliquorum planetarum motu proprio dererminando qua- drarum excentricitatis perperam negligeretur , unde ple- rumque effectus fatis fenfbilis oriri folet, tamenf per- turbationes quæ ab ejus actione in alios planetas redun- dant, inveftigentur, quoniam effetus quadrati infuper per fractionem mulciplicatur , is plane omnino 1m- perceptibilis reddetur. Hinc quantitates e & g hujuf- que quantitatem mediam Æ tamquam tam parvas affu- memus, ut in perturbationum inveftigatione earum qua- drata certe ac plerumque etiam eæ ipfæ tuto rejici queant, quod dum evolutionem infticuemus , clarius perfpi- cietur. $. LXI. Neque tamen pro planeta perturbato ex- centricitas g nimis parva concipi potelt fed falcem ram magna, ut mutationes quas ipli aétio reliquorum pla- netarum inducere valet, præ tora ejus magnitudine tan- quam minimæ fpectari queant. Çum enim formula pro- greflionem aphelii exprimens divifa fit per g, evidens eft fi valor ipfus g nimis effet exiguus, ac fortaffe in- erdum plane evanefceret, motum aphelii maximis dif- ficulratibus impeditumiri, ita ut fi talis cafus in mundo exifteret, vix quicquam ex noftris formulis concludi liceret. Verum hic iterum ad infigne noftrum commo- dum ufu venit, uc nullius planetæ excentricitas tam fic exigua , ur inde quicquam nobis fit extrimefcendum. Cum enim Veneris excentricitas fit omnium minima, nullum tamen eft dubium, quin mutationes, quas ea unquam ab aétione reliquorum planetarum fubit, præ ejus valore medio quafi evanefcant. Quare fi valor me- dius excencricitatis g ponatur = &, différentia inter 4 & MOTUS PLANETARUM. 49 & g præ & feu fratio LT femper tanquam minima tuto fpeétari pocerit. ‘$. LXII. Maximam autem in hac inveftigatione moleftiam nobis faceflic valor quantitatis 7 =V(xx+ YY— 2x y. cof. (9 —8)) qui eo magis eft variabilis , quo propius amborum planerarum orbitæ ad fe invicem accedunt. In calculo quidem hic valor, uti eft irratio- nalis, relinqui non poteft, quia incegrationes inftituen- dæ nullo modo fuccederent. Cum enim caiculum ali- ter tractare non liceat, nifi ut omnes perturbationes ad finus cofinusve certorum angulorum revocentur, omni- no necefle eft, ut quantitates M & N, quæ hanc quan- tiratem 7 involvunc , in ejufmodi feries evolvant 7, quæ hujufmodi finus vel cofinus fimpliciter contineant. Hoc enim folo modo integratio fufcipi pofle videtur, néque etiam ulla via patet, quemadmodum calculus ita expediri poflit, ut valores integrales adhuc quantitatem 7 aliafve independentes in fe contempleétentur. $. LXIII. Infignem hic Analyfeos, quatenus qui- dem etiamnunc eft exculta, defeétum agnofcere cogi- mur, quod aliter formularum inventarum integralia exhibere non valeamus, nifi per feries, quarum finguli cermini fimplices finus vel cofinus angulorum @—4, , V, P—r; Ô— +, ex iifque compolitorum contineant. Fieri certe poflet ut vera integralia vel quantitates ex his complexas neque in hujufmodi ferie commode refo- lubiles continerent, vel etiam alios angulos veluti CVQ vel CQ V qui utique fi vis principalis ad pla- netam Ÿ tenderet , numerufque » foret prægrandis, primarias partes in calculo effent obrenturi. Atque cum ab his angulis, fi 2 effet numerus valde magnus, totus calculus maximam partem penderer, eco minus dubitare poffumus , quin iidem etiam præfenti cafu, fi calculum accurate expedire liceret, fint ingrefluri. In- terim tamen plane non patet, quomodo ifti anguli per Prix de 1756. G s° INVESTIGATIO PERTURBATIONUM inresrationem in calculum invehi queant. Quod fi ergo ex hac parte fines analyfeos extendere unquam conti- gerit, tum demum majores fruétus pro Aftronomia nobis polliceri poterimus. $. LXIV. Fo igitur fumus redaéti ut quantitatem furdam 7 =V(xx+yy— 2x7 cof.(@—8)) in feriem transformemus , ubi quidem eo potifimum eft incum- bendum, ut ifta feries quantum fieri poteft reddatur convergens , atque fecundum finus vel cofinus cerco- rum angulorum progrediatur. Et quoniam ufus poftu- lat convergentiam five x fit majus, five minus quam y, terminus tantum 2 x y cof. (g— 6), qui modo afhirmati- vus, modo in nihilum abire, modo negativus fieri po- teft, moleitiam creat. Binomii ergo partem alteram conftituo xx+yy, alteram vero 2x y cof. (g—8), ftatuoque : 2 x } XXHYY = TT à z=V(rr—rrscof.(g—8))=7V(1—scof.(g—8)), atque hic perfpicuum eft s femper effe unitate minus nifi fit x= y, & eo fieri minus, quo magis diftantiæ x & y fuerint inter fe inæquales : hinc ergo multo magis pars s cof. (@—8) minor eric parte 1, prout feriei con- vergentia poftulat. ‘ = 5; utfit 4. LX V. Quoniam angulus g— 8 tum frequenter occurret, ponamus ad abbreviandum g—8=— 1, & eum fitr=V(xx+yy) Rs EE, erit7 =7V(1-s cof.n), ideoque + = X (1—s cof. n} 75 unde formulam irra- tionalem (1— 5 cof.»)"? in feriem evolvi opporter. Modo ergo communi adhibito reperiemus : f (ä+scofn) TE + is cofn + Es ss cofen + DIT sicofent + LIT 2 +st cofnt 8e. quæ feries, dummodo s co. » fuerit unitate minus, uti quidem femper ufu venit, certe convergit. Interim ta- MOTUS PLANETARUM. si men nifi s cof. » fit valde parvum nimis lente conversit, quam ut aliquot terminis colligendis ejus fumma fatis exacte obtineri queat. Verum hic quoque commode accidit, ut dum hæc feries per fequentes integrationes cractatur , multo promtiorem convergentiam acquirat, quod nifi eveniret, non perfpicerem quomodo quæf- tioni propolitæ fatisfieri poflet; neceflitas tunc cogeret inveftigationi mutationum horariarum unice adhæref- cere, illafque pro quantumvis magnis temporis inter- vallis in unam fummam colligere. $. LXVI. Verum cum poteftates ipfus cof.n in dif- ferentiale dy dutæ integrari nequeant ; nifi prius in co- finus ançgulorum multiplorum 2», 3», &c convertan- LEE P 31 tur, quoniam differentiale dn ad noftrum commune dif- ferentiale du reducere licet, eadem conditio poftu- lato ur hujus cof. n poteftaces in cofinus angulorum multiplorum refolvantur id quod ope noti lemmatis: cof. a. cof. G— + cof. (a+6)+ + cof. (a —C) facile præ- ftarur , reperiecur enim cof.n —=cof.n;, cof.n* —=3cof.12n+7, cof.n3=}cof 3n+icof.r, cof.nt—=+%cof. 4n+#tcof.21++, cof.n = cof. s n+%cof 3n+ re cof.1, 10 cof.n$ = #%cof. 6n+Écof.4an+cof.2n+3%, cof. n7 = cof. 7n+Zcof. sn+icof. 3n+ ÉÉcof.r, 6 3 cof.n = cof. 8 n+Ëcof. 6 n + H cof. an +igcof. 2 n+ 4, EC. $. LXVII. Quodf hi valores fubfticuantur, obti- nebitur (1— 5 cof. n) “à -5.79 1 143. scofin+is, lss cofc2n+if.Lsicof. 3n+ 7. g st cof.4n, HS ss + EST, 4 53 cof.n HE %S. #s4 cof. 2, 3-$-7-9 3 HELENE 1 &c. Gij 52 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Unde fi ponamus (1— 5 cof.n) 4 P+Qs cof.n + Rsscof.12n+ S53 cof. 3n+ Tstcof. 4n+, &c. hi coëfficientes aflumti ita definientur uc fit: (ei 3-$- x er RE) PISE TIOTIT 70 JO 26 P=1+i.iss+357. a ste IDE. LP s6+ &ec. EE CITES $79.11 10 S-791113.15 35 .6 Qi (+ ss HR 2 544 orne sé + &c.) EN A 791113 1$ 7911131517 $6 € , R=jS( +78 $ss+ nn NL ste 72e 128 S + &c.) 2% 1 DALTÈNS 9 I1-13.1$ 21 : TS FH: SSH ro rre 84 54H RC.) Ti (+, Lss+&c.) II 10.12° 32 $ LXVIII Hinc igitur habebimus: B= (PH Qscof.n+R sscof. 204 S 53 cof. 3» Ts* cof. 4n &c) atque feries pro ?, Q, R;, S, &c., invent& fatis con- vergunt, ut hi valores per confuetas methodos appro- ximando erui queant. $Sequenti modo autem in alias formas transfundi poflunt, quæ aptiores videntur P=ir+iss+iSTe st Sr 56 pe RC, CENT | $.7. $.7.9.11 f-79.11.13. 18 6 O7 (1 ESS En Sr Esenrirre LC) R 3.5 S 8 TE es Ne TU 7 $ 3 12.12°24 8 8 12.12.16. 16° $ 2 G iensagrée je St irriréré oies 87 5° + EC.) HR (EE 4 DA RE ss + M és Rec) Pr a nn TS F9 TL LIU XL. 117) 22354; 15 17.19.21, 3:4:$ NE rene e drror 57 SS Fiotese not #78 S + + EC.) ble Hi br ble ln Dj $. LXIX. Nunc perfpicuum eft fingulas has feries in infinitum continuatas fieri geometricas, denomina- tore exiftente ss; quare ex fi per 1—55 multipli- centur, multo magis convergentes reddentur. Hoe modo confequemur : MOTUS PLANETARU M, 53 P(i=ss)= 1 ss — RS 4 EEE 56 — &c. 2Q(—ss) = (+ ss + ie st RTE 56,+ &C.) TR(I—ss) m(H ESS ss + ETS Este TPE & 56 + &c.) LS (rss) ST (+ TE ss + Ed st + SES # sé &c.) LT (iss) RER GE + ss + AS EE ç4 + &c.) Vis 5) = ÉR (T RRE se ANR 8 54 EC.) Ass) = RES (Hé + EN. dé ss + &c.) 2 V(—ss) = ER (+ HS Et ss + &c.) 22 (ss) = ER (ES + DT RAS 55 + &c.) $ LXX. At vero non opus eft ut finguli ifti valores evolvantur, fufficit enim duos priores collecifle , ex quibus reliqui per fequentes formulas facile formari po- terunt. 4@— 3.1P R—Ss R= <= EE 5 S=—-— Q, 11S$—7R 16T—9S T= PRE 5 TEA VIN Cd Quin etiam ex prima derivari poteft fecunda , fi inte- grationem in fubfidium.vocare velimus, eft enim Q=2P—1:fPsds. Sin autem quæratur valor primæ feriei, dico eum per integrationem inveniri:pofle , fumendo s conftans, & introducendo variabilem 7 foreque : ds (1=8)3 P(1—5s)— d TX van Si poft integrationem ponatur 7= 55 utrumque autem inte- grale ita capi fumo, ut evanefcat pofito 7 = 0, quo cafu 54 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM quidem" fit denominator JE (-2:):=$, denorante hic æ peripheriam ; cujus diameter = 1. $: LXXI. Siergo eflets— 1, quo cafu hæ feries "minime conververent, foret ob numeratorem noftræ ex- preflionis integralis =ff=2Vz=2Vs—= 2, pri- ma feries P(1— 55) = V2 = 0, 9003162, qu fumma per confuetas approximandi methodos non difiiculter erueretur, unde paret ejus fummam multo facilius obti- neri fi valor ipfus s uci femper evenit fit unitate minor. In genere autem erit V2 CE ar AT TES }* —— EE Es : 3 P (1—55) 5 Ve Ce poñto poft intecrationem 7 = s : quæ expreflio eo ma- gis eft notatu digna, quod éjus veritas inveftiganti non tam cito occurrit. Interim tamen expediet quovis cafu, quo valor ipfhus s datur, aliquot terminis harum ferie= rum actu addendis earum fummas prope veras colli- gere , qued negotium eo promtius fucceder quo minor fuerit numerus s. Hoc igitur modo inventis quantitati- bus. P,,0:,.R; SSe&cherir 1=L(p4+Qs cofin+Rss cof.in+s s° cof.3n+Tstcof.4n+ wc) brevicatis gratia autem pofuimus : r=V(xx+yy), &s= ES. $. LXXII. Pro faciliori autem quantiratum PQ; R,S$,&c. computo conveniet ferierum illarum coëfh- cientes infractiones decimales transformari, unde obti- nebicur, fubfcriptis logarithmis MOTUS PLANETARU M. s5 P(1— ss) | LQ(i—5s) | ER (155) | LS (1—55) "fr 1, 000000 + 0,750000 +0, 468750 H0,173437 O3 0000000 9, 8750613 9 6709413 9, 4368580 7 0,062$00.5s | 0,070313.55 | +o, 146490. 55 | 0, 149536.55 8, 7958800 8, 8470326 9, 1657913 9 1747461 — 0,014648. 5 Le 025635:5t | 0,072098. st |H 0, 092525. 51 8, 1657913 8, 4088294 8, 85792120 8» 9662614 T0, 006409.56 | Ho, 013218. 56 He; 044983. 55 | 0, 061647. 56 7 8067694 8, 1211634 8, 6530468 8, 7969035 .0,003580:* | 0, 0080$$.s! Loos iorose 167, st 75538655 7 9060481 8, 4552557 8, 6548287 — 0, 002281.5'° AE 005420,s'°|+0,020325.5"°7 po 034088, 1e 73583457 T > 7340094 8, 3080408 » 5325953 — 0,001$81.5'*|+40,003896.51? Ho 0152 17eats Han 2 75 1988962 7» 5205873 8, 1823473 8, 4253853 — 0,2011$9.5'À À s'FR 0, 011825, 514 7» 0642489 7: 4675831 8, 0726486 —9, 000887.5 6] 0, 002190.515 6, 9477098 7 3598899 — 0, 000700. s'£ } 6, 8449800 Fr de tit 56 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM ED I © EEE SP RE SEEN SAÉNCNFIMOSEV Evolutio formularum differentialium in feries Jécundum finus cofinusve angulorum Jempt- citer progredi entes. $. LXXIIT. OO, NrAM defeétus Analvfeos ne- cefliratem nobis imponic-omnia integralia, quibus opus eft, per feries fecundum finus cofipusve apgulorum fim- pliciter progredientes exprimendi, fimilem formam fin- oulis formulis differentialibus induci opportet. Cum igi- tur primum pro planeta perturbante fit y = 75 erit terminos qui quadratum excentricitatis e altioref- que poteftaces involvunt omittendo : y=c(i+ecofiu); & £— 4 (1—2ecof/.u). aduwuVac g 77: d'—du—="%{du(i—2ecof.u). Quia enim hujus motus ratio tantum in perturbationes ingredicur non opus eft has formulas accuratius evol- vere. $. LXXIV. Simili modo cum pro planeta pertur- Deinde cum fit di=du—= , habebimus bato fit x = —?7 , eric: 1— 9 cof. v PRE € Æ Le 1 \ E=ñU+:9q 2qcof.v++ggcof.2v}) in qua nihil eft negleétum. Hac igitur erit utendum, ubi non proprie quæftio circa perturbationes verfatur, ex hac énim formula, etiamfi nulla contingeret pertur- batio, MOTUS PLANETARU M. s7 batio, motus planetæ regularis deduci deberet.. Id quod evenit in definiendo elemento motus veri de, quod partim fequicur leges Sn partim vero mini- mis, inxqualitatibus perturbatur. Illo refpectu verusejus valor capi debebit, qui erit aVa de=;y,dou#sgg2gcf.v+xggcof.2y). Quatenus vero idem valor d@ ad folas perturbationes inveftisandas adhibetur, fufficiet ram pro femiparame- tro p quam pro excentricirate g valores medios con-, ftantes 4 & Æ ufurpare, atque adeo quadratam ipfius & rejicere, ita ut pro hoc ufu habeamus: de= da (ik cof.v). b LE pe x - nor Va — 4VE $. LXX V. Quia formulæ. == & DE caleulum ma- xime ingrediuntur ponamus brevitatis gratia : AVANN ; aVa = VE cVc ficque erit pro formulis perturbationes-implicantibus : dô—du=mduo(i—2ecof.u), & d@=1do(i1—2Kcof.v). Unde cum angulus ® — 8 nonnifi in hoc negotio oc- currat, quoniam pofuimus @g — 0 ==n1,& diferentiale anguli » hinc ad differentiale d w revocatur. Fiet enim dn=(i— m) da —2ikduwcof.v+2medocof.u, ubi notandum eft effe : 2: 1 ut motus medius planetæ perturbati ad motum me- dium Solis vel Terræ ; gti , L 1 3 . m:1 ut motus medius planetæ perturbantis ‘ad motum medium Solis. vel Terrx. Prix de 1336. . H 5$ INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Quare fi perturbationes in motu terræ inveftigentur rit 2 —1. Verum pro toto motu planetx perturbati erit : : d@—tida(i+Egg—2qcofv+ggcof.2 v). $. LXX VI. Nunc agrediamur valorem =, qui quo- niam tantum in perturbationibus ineft, minores ejus particulas negligere licebit. Quia igitur pro eo pofui- mus V(xx+yy)=7, erit = (xx+yy) 5 {bb(1æ+2Ækcof.v)+cc(i+2ecof.u)) , ideoque 1 I 3bbKcof v— 3 ccecof.u 7 (bbæcc)+ (bb+cc)i & Ponamus brevitatis gratia V(bb+cc)=f, ut fic: I 1 3 bbkcof.v 3ccecof.u Fist clin MUQUN | Deinde cum itidem pofuerimus s= 235 fiet per cafdem poñitiones : __ 2bc{1#kcofiv)(1 He cof u) TE 2bbkKcof.v + 2ccecof.u” quæ exprellio pari modo evolura evadet : DbE? : 0 bg papa 2bc(cc—bb}ecof.u Fat fe A . LXX VII. Quo etiam hanc formulam commo- diorem reddamus , ftatuamus: 2bc _"2be ce—bb c—bb : ff ec 4 TS Tobtui=t Ut uu+Yyy=—=1; €rit bb IV, CC 1 Hi te ù lorib . RE em QT se e s autem valoribus intro- iii 2 RTE 2 duétis, habebimus = has (1 y) kcof v— (1) ecof. u), & —=p+uykcof.v—uyecofu=n(a+ykcof.v—yecol.u), unde pro litteris P, Q, R, &c. fit MOTUS PLANETARU M. s5 s'=pt(1+2vkcof.v —z2yecof.u); 53=u3 (1+ 3»Kcof.v— 3vecof.u); sut (14+4ykcofv— 4vecaf.u); . sæus (1æ+ sr£cofiv— svecof.u); (Ed tam vero porro: I—5s—yy— 2uy#cof.v+2utyecof.u,hincque 1 I 24#?Kkcof.u 2w'ecof u a S A ee fs 1— 55 y LE "3 & LXX VIII. Si his valoribus adhibitis formulas $. LXXII evolutas ad calculum revocemus, & quantita. res P, Q,R,S, &c. inveltigemus, ex fequenti modo expreflæ reperientur : R(g+AKkcof.v+lecof.u); A(g'+Æk'k cof.v + l'e cof.u); A(g"+ AR cof. v + le cof.u); A(g"+ 4" kcof. v + le cof. u); &c. quovis enim cafu valores idonei pro g, 4, 1,2", k l, &c. per merum calculum numericum reperientur, quos ergo numeros tanquam cognitos fpectare licebic. Hinc itaque elicimus 5 = ; X +g +g'cofin +g'cof.2n + g"cof. 3n +hkcofv+ + h'k cof(n—v)+ 3 A'k cof.(an—v) ++ 4" kcof(3n—1), +rhkcof (+ v)+E4"Æcof (an v)+LAE cof(3n +5) +lecof.u++ l'e cof(n—u)+ + l'e cof.(1n—u)+ + l"e cof(31—u) +: l'e cof(n+æu)+ le cof(2n+u)+2l"e cof(3n+u) &cC, > 2 $ LXXIX, Nunc paulatim ad valores litterarum M & N° definiendos procedere poffumus. Cum enim Hi 60 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM ft M = LR fr , primo habebimus 33 Æ Re = (fin. n — e fin, ( 1—u) )— e fin. ( (n+u)). Deinde HUE AC (frnses Rien, (—u)+ : Le fin. ( (2) yfinen c erit É fs 5 + gfiner + ig'fin.2 Lg"fne 3% +16" fn 2 2 ge fin. (n—u) +4 > g'efin. HER x i g' fin. D += ge fin. (nu) + + g'e fin. (2w4-u) — 2gle fin. (n + u) — Lee fie (2x4 u) MR RES ose )=HEg'efin{(3n—u) 4% ge fin. (4n et) HEAR fin. (nv) + AK in. (2n4-v) x 8'efin. ( (n—u) HER (2n—u) 21e fin.(n—u) Ll'e fin. (au—u) He Egle fins (3 4u) +3 ge fin. (an) 2 e fin (nu) + 2 l'e Jin. (ru) — HAS »—v) — LUUK jé. (2n= v) + LA Kfin. (3u— v) AR EAUX fin. (4 — v) = AK fin. (n HV) — FER fin.(2n4-v) + AK fin. ( 3 ny) +5 AUR fin. (4) — le fin. (nu) + Ëe fin (zv — 1) + 'efin.(3v— 1) Hé fin. (gn —u) — }l'e fin. (v Hu) — Fe fin. (2n4u) + l'e fin. (3142) ++ le fin.(4n+u) &C. 290 ç. LXXX. Omittendis | jam terminis, qui plufquam triplum anguli » involvunt colligemus valorem 1p# us M= + + SX Hg 22") a eg 38" in rp)oe(g— 8") fin(2r—u)e ge ("7 pp in. 6 311) Éd(g—i 8 fin-(raeu) à eg 8" fn. (andeu) 4 3e" —g "En (sv=2) + ee Vire Le(l=s l) fn. Qu) Re (LV) fin (oi 2) (I) in. (3n — 2) C0 Le(di LU) fin ru) ee (LL) finent 2) el =") fin (31) gp") gu L(—LA "in (nv) RAA En (2) RCA AN fre | &Ce LA") En.)n + v) RP A fin. puy Es KART fin (sr) — Un. m— € fin. (1—ù) 6 Jin: (1 0) ). ] &c. In qua ‘expreffiéne lex eft manifefta, cujus ope plures termini, fi quis laborem fufcipere velit, formart pof- MOTUS a ne 61 funt, Si quidem numerus u — ri eft valde par- vus, quod evenit, fi quantitates Bb & c multum à ra- fione æqualitatis recedunc, vix ultra litteras &, L, una virgula notatas progredi eft opus ; etfi aurem eæ quantitates propius ad æqualiratem accedunt , tamen calculum vix ultra binas virgulas continuari eft opus, quia per integrationem hæ feries admodum redduntur convergentes. Ob eandem caufam multo magis terminos per ee, Kk & e Æ affeétos rejiceré licuerat, præter- quam quod excentricitatem utramque e & £ valde par- vam afflumimus. 4. LXXXI. Deinde cum fit N = SE ne 2 habebimus primo rte (cof.n — ecof.(u— u) —e cof. (n+4)), porro vero, ob x= 6 (1#Ækcof.v), & Jcof.n=c(cof.n++ecof. (n—u)++ecof (n+u)), erit valor ipfius NX (cof.n—e cof.(n—u) -—e cof. (n+u)). ,N TE + g'cofs + g'cof. #9 2 LHRk(g HE 4) cofe v He 3 KB À) cof (1 — v) AL Kg" A) cof (2 n — +) L']Hiecofu HER HA!) cofe (nv) LAS EH) cof (2 n Hs) = l'ecof. (n— x) + } ve cof. (1 — u) 2 l'e cof. (nu) These cofi(nu) + (g +5) cofin ; +2 (g Hg") cofc2n + tp + Lk LE LA") cof. (nv) == LK(H 4 4) cofe (1 — v) bi — LE HERE cof v ++ bin Wim be ble nie Re nn: + Le (g' +) cofe u + + $ LXXXII. Excentricitas planetæ perturbantis e has formulas i imprimis tantopere reddit prolixas, quæ fi KR HA") cof. (nv) HER) cof. (2 » + v) BA Een EEE D Ga (g+ +8") cof. (» + A TR (HE PT cof. ( — 4e (4 2") cof. (2 (L ++!) cof. (» AUS (a 2") cof. ir 62 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM evanefceret , hi valores commodius & fuccinétius ita ex- primerentur F . fin, (a — v) +(g—1g") finntL Ai) Len +1 (g—g" fines", ER Mn fon) Deinde vero eft : +£ +k(g+k) cof.v Nr fie +g'cofin +EA(gN AR) PACE +g''cof.2n +24(g"+4",. pt +ig + LA K cof. v _sd+(g+tg") cf Lhunin teen 1 1! 1 ! 01 caf. 2 — v)\ lo cof. L h", +t(g+p) cof2n+2k (4 +4") tee Attendenti autem mox patebit hanc excentricitatem € fine errore fenfbili negligi pofle, unde his poftremis for- mulis utemur. $. LXXXII. His jam valoribus pro M & N inventis ipfa differentialia quibus perturbationes continentur ad formam defideraram reducere poterimus. Quod igitur primum ad variabilitatem femiparamerri p attinet, quo- niam invenimus dp——2nMaxdovap in hac expreffione ob # minima loco p ejus valorem medium & loco x valorem #(1+Kcof. v) fcribere licebit, unde fit : dp=—2a1nabde. M(1+Æcof.v)Vab, feu T——1naVal. M(1+£kcof.v) do. Cum autem pofuerimus aVa—ibvb, ei L —— 2nibbMdw(i+kcof.v); hincque pro M valorem inventum fubftituendo MOTUS PLANETARUM. 63 dp 2nib T=+ © d'u (fin. n + 3 K fin. (n—v) +21 kfin.(n+v)); 7) A Jin. (n — v) dsribie nr, ape PVR TT ET EN ET UR Pn| Ve ANT (Me 7) / En. (2n—1 + 1 (g-2 Vin.2n+1Kk(e'-9 +22"), RAR mais m Sn) : Sipta te HUE is ubi ex denominationibus fadis f—=-V -=—, 2bc pu 1—Y & = hincque © F7 = , erit 5 = av —. Quare ex cognita ratione motuum medio- rum habebitur zViimm . Vi4— ÿ m4 VIF Vmt Vit+ mt $ LXXXIV. Pro variabilitare autem excentrici- tatis 7, quia ea quoque eft minima , in ejus expreffione ponamus itidem pb & g=—= #, & quoniam termi- nos qui quadratum 4 & continerent, Free erit ob aVa=ibVb;dq=nibbdu(M(1cofv—1t+ LE cof. 2 v) + N fin. v); unde pro M & N fabliivuts “bus obtinebitur : Ag do (2 fn (n—v) +: fin (n+v) — 3 kfinn+ ik fin. (n—2v) +34 fin. (+2v)) Lin +22 fin. (n+v)+2g" fin. (2n+v) d APE on ont fénitr=sn}ed gl fé (2 #—) +ik K(g/+h fin. ( (+29) + 5 Æ(g"+ À”) fên. (21427) LR(o+h)fin2v * ET nt Hoche ( (29) + k(g"+ 4) Jen. (2121) 64 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM — 2g fin. v —LAkfin.z v +R (4h22 gg") fine (re (— v) REA A — A+ 2g—p") fin. (n— 2 v) nibe} D + g— 28") fin. + y) +Ek(24—3h"+ 2g—g')fin n+2v) f3 VE (gg) fine —v) HA (2 Ba A — p'+ g") fin. 20 fr: g'— 3 8") fin. (nv) + (3 ke h4 g' 9") fin (2r= tv) HEA(A — 3 Ag —g") fin. (2142) $. LXXXV. Pro motu aphelii autem habebimus negligendis fimili modo minimis terminis, & pro a Va fcribendo :bVB; nibbdo de—dv= rs (M(à fin.v +3 Kfin. 21) —Ncof.v)); bi= quæ exprefo, fi loco M & N valores eruti fubftituan- ur, abibit in formam fequentem — du cck se Rae v) 2 FEU) do=dv nibb À 5 UE (à copine y) — Lcd {n+) + + g cofe v. HLEk(g +) cofin +£g cofin—v)+5k (g+4) +Lk(g +4!) co. (a—2v) ) nid} + geaf (as) HÉRC HA) ef (x +29) f3k a d'eof(ar VHS K(g HE) cof 2 v SA (g" 4 A) cofe2x + £Lg'cof.(2n+v) HE (g" +8") cof (an—2v) +Ek(g'+ 4") cof.(2"+ 2 v) + 2£ cof. y + F k (z h+ ke") cof.» ++(ég—$g)cof.(n—v) Hs lx HEA(GA— h'—2g—$g')cof(n—2) Que) Rise SE) een) —4k (LA yhHigg'hcof +2) f5K +5 (38 —g')cof(an—v)+flkcofav + k (A + A") cof.2n é D 3 g')cof Cauv) HER GÉ—E gg") of 22 y) ? RAGE 3h" g —g")cofla +2) 6. LXXX VI Reftac ut fimili modo variationes, quibus cum longitudo lineæ nodorum +, tum inclina- tio G funt obnoxiæ, exprimamus : Ac negleéta quidem excentricitate planetæ perturbantis e, ut fit y—c & x—b(1#+ #4 cof. v); eric dr==—n106 bcde çt+kcof.v) (5 — 2) fin. \@— x) fin. (B— Tr); | d. l'tang. MOTUS PLANETARUM. 6$ d. l'tang. p——nibbcdo(i+kcof.v} (+ — +4) cof. (® — x) fin. (— x); ubi valor ipfius 5 debet fub- ftitui qui eft pofito e— 0 +g+Ak cof. y = 4+g'cof.n+rh'Æcof.(n-3 Al (2n- 7) + g'cofezn+ AK cof.(n+v) +2 AK co. (2n+v) ) Tum vero ob g—0— 1 eft fin. (g—m) fên. (0— x) —+cof.n—+cof.(p+0— 27) cof.(®— 7) fên.(Ô— æ) =-+ fenen + + Jin. (p+0— 27). $ LXXXVII Introducamus ad has formulas ali- quanto fimpliciores reddendas, argumentum latitudinis ®—T, ponamufque pg— = 0, eritque Lcof. n—Z cof. (n— 2 0) dr=-mbbcdo(s-1)4 +2 k cof(n = v) — x À cof. (1-20 -7) +3 Kcof.(n4+v) — 2 Kcof.(n- 2047) & fubftituto pro 4 valore : L'cof.n—+cof.(n— 20) dæ=+"lldo A (a—v)— 2 Æcof. (n—2 5) ++ 1 k co. (a+) —%£Æcof (n—25+7) +ig HSAGALHA + 2g +8") cof.(n —v) Hi(ig+g'cofin HEk(2h+h" +2 +8" cof. (1+v) ++ (g+g") cofzn HER ++ 8°) cof.v @Q— 38 cof.n— 20) HER HA + SH") cof (an —v — }g'cof 29 HER" 9 +8") cof. (av — + g'eof(2n—1s) —5Kk (2h + 2g) cof (n— 20 —+) Le UMP ET Lh+21g)cof.(n— 204) (4"+g")cof.(n+2o—v) (4"+g')cof m+20+v) (h'+g')cof.(2e—v) AR Ace een) ( ( iibbe y (1) h'+g')cof(2»—23—7) h'+ g") cof. (2n—29+7) I Je de ee] 7 > 7 Prix de 1756. 66 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM $. LXXXVIII, Simili vero modo æquatio diffe- rentialis pro inclinationis variatione eric : Sfinn + fin. (n— 20) + 54 fn. (nv) + LA fine (1—2 0 —v) d.ltang.p=nibbcdo(s-r)è+ C4 fin. ( (iv) + +4 fin. (2 ce y) d. tang. SR hincque ob d. / rang. p = ="Æ" obrinebitur lang. P 1 Fa 1 fin. n+ + fin. (n— 20) 1ang PES ENT a p" se ti 3 D be ES nn A+ EE fin (n—v) +3 fin (1—20—1) + fin(n+ v)+Ek/fin(n—210 +7) g'—8") fin. 2n HE g+L4— gl — N") fin. (n+v) Lefin io) HER (HA 8") fin.(zn—v) ro 19 ++ kKg+ kg" — h") fin. (2x+) Re (zu—20) Hik(g+A ) fin. (n— 29 —v) — +0" fin. (no) HEk(g+h ) fin. (n— 204 v) —+k(g + A) fin. (20—v) (g'+#) fin. (234 y) HEk(g +) fin. (2n—209—Y) HER (g + A) fin. (2 n — 2049) —+k(g' + A") fin. (1H 209) — + k(g"+ À") fin. (n + 20 + y) Sr me n Herr (2g+2h—@"—h") fin.(n—v) ee +7 do Si quis vellet has formulas ad plures terminos conti- nuare , lex eft perfpicua, fecundum quam hoc opus, quoufque libuerit perfici poñlet , verum pro noftro infti- tuto, ne his quidem terminis exhibitis omnibus indi- gebimus, MOTUS PLANETARUM. 67 EC TONI Invefhigatio inœqualiratum quibus ipfa orbita cujufque Planetæ ab athone religuorum Planetarum perturbatur. $. LXXXIX. UAMVIS igitur motus cujufque Planetæ ab actione reliquorum perturbetur, is nihilo mious fecundum ellipfin, in cujus alterutro foco Sol verfetur, fieri concipi potelt, dummodo hæc ellipfis tanquam variabilis tam ratione magnitudinis & fpeciei quam ratione fitus lineæ abfidum confideretur. ÂAique ilta perturbationum repræfentatio Aftronomorum initi- tuto maxime conveniens videtur, qui dum calculo el- liptico jam funt aflueti, huic curvæ inhærere malunt, quam alias curvas magis perplexas in calculum Aftro- nomicum admittere, Quod propofitum cum adeo in Juna fequi foleant, etiamfi ejus aberrationes à motu elliptico fint enormes , id multo magis in motu pla- netarum principalium retinebitur, quemadmodum euam Aftronomi eorum orbitas jam mobiles afflumferunt con- tra indolem motus propril Keppleriani. $. XC. Ac primo quidem vidimus parametrum orbitæ cujufque planetæ ab actione reliquorum continuo im- mutari. Notari fcilicer debet ejus valor quidam medius, à quo verus mox in exceffu mox in defeétu difcrepet ita valorem medium femiparametri orbitæ planetæ, de quo quæritur, hic littera ? defignamus, dum littera ps pro quovis tempore ejus valorem verum denotat. Quan- li 68 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM cum ioitur p ob aétionem certi alicujus planetæ ab 2 dif- crepet, ex æquatione differentiali fupra $. LXXXTIT evoluta per integrationem definiri poteric, ac fi ft. efleus, quatenus ab unoquoque planera in parame- trum propofiti redundant, feorfim computentur, atque in unam fummam colligantur, cognofcetur inverfa perturbatio, quæ parametro illi ab aétione omnium reliquorum planetarum inducitur, cujus colleétionis fandamentum in eo eft fitum, quod fingulæ perturba- tiones fint quam minimæ, 4. XCI. Totum autem integrationis formulæ . LXXXIIL datæ negotium huc reducitur, ut fequen- tium formularum fimplicium : do fin.n; dofin. 115 dofin.3n5 dofin.(n+7v); dofin.(21+7Y) &c. integralia definiantur , quæ hac methodo inveftigo : Primo quia hic excentricitatem planetæ perturbantis negligimus, & motus anomaliæ veræ y quam minime à motu longitudinis @ differt, fi quidem motus aphe- lii certe eft tardiflimus , habebimus ex . LXXV. dn—({—m) dou—21Kkdocof.v, & dy —ido— 21ikdo cof. v. Jam pro prima formula do fin.n» differentiale do ita ad dn revoco ut fit 7 2ikdu ; do= — + — cof. v, unde conficitur : I— m I— mm d'u fin. n ik do 1Kkdo dofin.n1= ee (a v) + 2, fins (n +) 3 quo paéto primum membrum jam redditum eft inte- grabile. $. XCIL. Si idem valor pro do etiam in formulis dofin.2n & do fin, 3n fubftituaur, erit fimili modo MOTUS PLANETARUM. 6c d'u fin. 24 1kdo du frein | i— m 1m Jen (2n=— 7) dofin.21= 1kdo + TT, Jin. (2n+7); dy» fin. 3 ikdw ALAN IE EN Aa 1—m — dofin. 3n= 1kdw i— m + fin. (3n+v) 1k Intecratis erco partibus prioribus, habebimus + le] le) P P — cof. # Sdofinn= = +5 [do fin. (n—v) + fdo fin. (n+v); Shan LE fa o fin (inv) 2 (D TE) + [do fin. (2n+9); — cof. 3» ik [do fin. ju + {do fin. (3n— y) + © fé afin. (3n+ 9). Sicque integrandæ reftanc reliquæ formulæ, quas nof- tra expreflio pro dp inventa combinet, hæ autem for- mulæ quia per excentricitatem Æ funt multiplicatæ , multo minores funt prioribus partibus jam integratis, ideoque nifi precifio ultra neceflirtatem urgeri debear, fatis tuto omitti poffent ; fi quidem jam ob fimilem cau- fam excentricitatem e negleximus. $. XCIII. Interim rtamen quo darius perfpiciatur, integrationem ex hac parte non impediri, atque pari facilitate perfici poffe etiaml nullos terminos rejeciffe- mus, etiam horum integralia definiam: Pro / d w fin. (n — Y) igitur quæro primum 70 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM — (dr — dv), m ficque erit f'd o fin. (n—v) = =), Deinde pro f d « fin. (n +v) colligo dn+dy=(21—m)do—4ikdocof.v; dn+ dv 4ik dwcof.v 2 i—m 21m ik + —fda cof: v fin. (n+v)}e dn—dv=—m do, ut fit do — unde erit do — , ideoque — MCE [da fin. (+) = a Sed quia in noftra formula f'de fin. (n + v) jam per & eft multiplicatum , pofterius membrum, quod adhuc inte- grari deberet, omittimus, qui produceret quantitatem per Æ£ affetam. Hac omiflione pariter faéta pro reli- us formulis, habebimus etiamnunc in differentiali- us : 2dn—dy=(i—1m)de,& 1dn+dy—(3i—2m)de, ; zdn— dv 2dn+ dy ideoque do —= EN ns & dos $. XCIV. His igitur valoribus adhibitis adipifce- mur facile formulas integrales fequentes: [do fin. (n— y) == EI? ; — cof. ("+ y), fdofin. (1+v)= x 5 — cofe(2n—) [da fn (a nv) = ET; — cof(ir +v). [dafin.(2n—7v)= CU atque ex his jam priora inteoralia completa red- dentur : MOTUS PLANETARU M. UE TA En ne HN SRE) PRE Sr) im (1— m) m (i—m)(2i—m) [dofinin=— cof.2n aus cof. (2»—v) __ ikcof(1r4) 2(1—m) (— m)(i— 2m) (i—m) (3i—2m) cof. 3 » 1k cof. (3n— v) ik cof. (3n+v) Jdafin.3 er 3G—m) (Ü—m)(2i— 3m) (im) (im) &c. Quæ integralia non folum ad valorem integralem ip- fius p, fed etiam ipfus g inveniendum inferviunt. $. XCV. Cum nimirum valor medius ipfus p de- beat efle — 2, in integratione circa adjeétionem con- ftantis nullum eric dubium ; fingulis igitur partibus in- TEgratis reperiecur PAL 2nibl cofen sa tSs (3i— m) k cof (n — v) ER PRET im 2(i—m)m LE RENE RAr) 2(1—m)(2i—m) + (2g—g) cof.» ik(2g—g") cof. (n — v) ———— D br 77 z(i—m) 2(i—m)m DL mm 0 NP rm 9) Cm JE 4(i—m) 4m gg" icoesn _ik(g —g")cof(2v— v) G(i—m) 2(i— m)(i—2m) K(g'—g" + h'—R") cof (ze v) A2 2m) ikR(2g—g") cof. (nv) k(2g— "+ 2 h—h";cof.(n +-v) M in on dE Titrn)(si2n) K(g—8" HA") cof(zn4-v) HSE CEE TEOINNER 72 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Ac fi terminos per excentriciratem Æ affeétos, ut pote SE P : HS præ reliquis valde parvos negligamus, erit fuccinétius : pi 2nibbcof.» nibbe : 11 ; LT DR RO SRE (2g—g'') cof.n ë (i— mjcc G— m)f3 8 / 141 +i(g—g"") cof2n+7(gl—g'")cof. 3 n+&c.) : ; E 35m E VRP EL à ubi notandum efle ==", &ff—bb+cce. $ XCVI. Ope earundem formularum fimplicium intesralium etiam vera excentricitas orbitæ g per inte- grationem differentialis ($. LXXXIV) evoluti afignari poterit; modo adjiciatur do fén.v =f% fin. v ==, fi quidem porro ex his expreflionibus minimis terminos excentricitatem # involventes negligere pergamus. Hinc igitur pofita excentricitate media = #, eric excentrici- tas vera : ee AE); 2m Matane) ? Ra LE LED lcof. (n + v) f3 ë 2m 2 (21 — m) 2. _g"cof(z ”— 1) = g'cof(2nHv) ‘ 2z (i— 2m) 2(3i1— 21m) ni + g'cof. v K (Eg—8") cof. tv) Gg—38")cof (+v) f3 21 4m 4(2i— m) Gg'—g")coflan—) (8 —28")cof (ant 4(i— 21m) 4(31—2 nm) &c. Ubi quidem affumimus excentricitatem mediam # tan- tam efle, ut ejus refpectu iftæ inæqualitates longe finc minimæ ; patet autem has inæqualirates non ab ipfa magnitudine media excentricitatis £ pendere , fed cafdem prodire five £ fit major five minor. Quod fecus accidit in variationibus lateris reéti, quæ funt propor- tionales ipfi magnitudini mediæ parametri. SX CI: MOTUS PLANETARUM. 75 $. XCVII Cognito jam femiparamerro p & ex- cencricitate g ;. femiaxis tran{verfus orbitæ facile defi- nietur, cum fit — 1; Erit igicur variabilis tam ob — 99 variabilitatem ipfus p, quam iplus g, fed hxc polte- rior tantum terminos producit per k affetos , unde his neoiectis variatio axis tranfverli potiflimum pendebit à variatione parametri, hincque ergo erit UE b znibb Semiaxis tranfverfus = —— — -——, b cof. ni à 1 kk (i=m)c? nibbc : he He ST FETE (eg—s") C0 ÉVRRDEN Ve r AT) cof. 2n+5(g'— p'"") cof. 3 + &e.) Quare tam parameter & axis tranfverfus quam excen- tricitas, variationes tantum fubeunt periodicas, quæ poit certa temporis intervalla ad ftatum priftinum re- vertantur, nèque perpetua five incrementa five decre- menta capiunt; fed quantum certis temporibus fuerint auta, tandundem altis temporibus diminuentur. Cete- rum ex hac applicatione ad axem tranfverfum pater, valorem inventum pro g, etfi terminos tantum primi ordinis continet, tamen æque longe produétum efle æitimandum atque valorem ipfus p in quo terminos primi & fecundi ordinis evolvimus. $. XC VIII. Denique defniendus occurrit motus aphelii, in quo præcipuus efféétus aétionis mutuæ pla- netarum, quem quidem obfervationes evidenter mani- feftarint, cernitur ; is autem per integrationem formulæ ($. LXXXV) datæ determinabitur. Alix autem hic adfunt formulæ fimplices integrandæ, quarum ingegra- tionem quoque ad fecundum ordinem céncinr or. tet, uti circa parametrum fecimus , non quo termini fecundi ordinis præ primo minus negligi queant, fed Prix de 1756. K 74 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM quia fecundus ordo continet partes omnino conftantes , unde per integrationem hujufmodi termini « © nafcun- tur, qui Quantumvis coëfficiens « fuerir parvus, tamen cum tempore continuo crefcunt, Quia enim angulus « eft tempori proportionalis, hi termini motum medium aph li declarabunt ; in quorum idcirco inveftigatione vel minima particula perperam negligitur. At rerminis hujus formæ exceptis, reliqui ad fecundum ordinem pertinentes, quia periodicas inæqualitates continent , & præ primo ordine valde funt parvi fine errore omitti poterunt; cum etiam levis error in loco aphelii com- miflus nullius fit momenti. $. XCIX. Simili igitur modo integrationem infti- tuendo , ante omnia fequentes formulas expendere *oportet dy—ido—2ikdacof.v; d'y — d y — dun+dy—(2i— m) do—41kdocof. v; 2dn—dy={i— 1m do—2ikdocof.v; 2dn+ dy —(3i—2m)do—6ikdacof,v;3 do=%= + 21kdo cof.v; — m do —0; PP En Cible À m du dr 1 k dwcof. v Den EST ss rAOr 21— m 2i—m 2dn— dv 21kdo cof.v 3 do = — - i— 2m i— 2m. 2 dun dv Gikdo cof. v do — 5 3i— 1m 3i— 21m tum + terminis fecundi ordinis : do — du, _—(dn—adv) _ ditidy RAA MAT im FI PS Le ml —(rzdn—1dv) __2d»+ 24% 2m FAT 2(12:m) MOTUS PLANETARU M. 75 Hinc omittendis terminis fecundi ordinis, qui non funt Jin.v. formæ à & fiet f du cof. y — ne [d'a fin. v i (1 + cof. 1 v) — + Kw; JS d'« cof. (n—») LE em à : m2 J do cof. (2n—+) = EU, 1—2m Î do cof. (n + v) aan Z'L == TIL fdecof(an+r) = frArrto), 31— 2m quæ formulæ ad motum aphelii definiendum fuff- ciunt, $. C. Ex his igitur differentiale (4. LXXXV ) inte- gratum præbebit motum aphelii fequenti modo ex- preffum : pv = Conf. + (D + EE) 2m 2i21— m g Jin. v DMÉAGES Peer (nu +) rip} LE FAN 2m 2(21— m) Î felkGgæho LFfmGr LE fner) z(£— 2m) 2(312— 2m) g' Jin. v (ÉD CRE e (av) nibbc 212 4m 4(i— 21 m) ER KG ghje nm CETTE frere) tp =5g) fa. (2vtev # 4 (2 i— 1m) 4(31— 2m) Huyjus expreffionis pars præcipua formæ æe motum me- dium aphelii præber , qui ergo uti perfpicuum eft non à quantitate excentricitatis pendet. Tempore fcilicet Ki] 76 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM quo fol fecundum motum medium percurrit angulum nibboe 4f3 nib3 TE Re (282! + 4!) © — En (3g+A)e reliqui vero termini inæqualitates periodicas aphelii comple@æuntur, quæ eo evadunt majores quo minor fuerit excentricitas orbitæ. = 6 aphelium planetæ proferetur per angulum $. CI. Prærer hunc autem motum uniformem, quo aphelium profertur , ejus locus ad quodvis tempus cor- rigi debet per inæqualicates periodicas , quæ finibus an- gulorum v,n+v, 2n+v, &c. funt proportiona- les : arque in hunc finem longitudo aphelii ita expri- metur : n&bbc 4/7 zibb ee in fin. (n + v) : zcck nib? (2 g/+ 45 0 — AE (32+/A)05 ®—7Y= Conf. + m 21m 2 RE g'fin.(n— v) g' fin. (n Æ v) — > à — © + ———— 4f5k b mm 2i— m "fin. (2n — v) fin. (21n + v) i— 2m 3i—2m aibbeÇzg finv (6g—g")fin.(n—v (2g—38")fin. (4 v) nt THAT m REPARER ; (GS —8" fine) (g—3g")fin(i2ntr) RUN MT RE Cujus exprefonis pars prima exhibet fongitudinem me- diam aphelii ad quodvis tempus, cui porro fi applicen- tur inæqualitates reliqua parte contentæ, imperrabitur locus aphelii verus. Quodfi ponatur w = 360, ex prima parte innotefcet motus aphelii annuus refpeétu ftellarum fxarum. $. CII. Quia in motu Lun inveftigatio motus ejus apogei tantam diligentiam ac fagaciratem , rotque cal- culos intricatos exigebat, dubium hic oriri poteit, an MOTUS PLANETARUM. 77 hoc modo verus motus apheliorum eliciatur? Quodfi enim idem calculus ad Lunam transferretur, formula inventa femiflem rantum veri motus apogei prope mo- dum eflec oftenfura. Verum in hac applicatione ad Lu- nam numerus z {eu potius termini hunc numerum con- tinentes incomparabiliter prodeunt majores, quam no- ftro cafu , arque termini quadratum numeri 2 involven- tes demum veram motus apogei quantitatem complent. Hic autem ob valores terminorum numero 7 afféo- rum minimos, nullum eft dubium, quin terminos, qui ejus quadratum complecterentur , fine ullius erroris fen- fibilis metu prætermittere queamus. Deinde etiam ex formulis generalioribus evidens eft, excentriciratem fée perturbantis e nihil ad motum aphelii con- CITES, 53 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM GR GEI SI NE NS II IEEE S BC EIONVIEE Invefligatio Anomaliæ veræ quatenus ea ad quodvis tempus ab acione Planetarum mutua perturbatur. SACEFF Er fuperiori feétione formulas eruimus ; quibus ad quodvis tempus veri valores cum parametri & excentricitatis orbitæ , tum etiam vera longitudo aphelii definiuntur ; in has autem formulas præter an- gulum potiflimum ingreditur angulus y qui planetæ anomaliam veram defgnat. Præcipuum opus igitur ad- huc perficiendum in hoc confiftit, ut merhodum tra- damus ad quodvis cempus anomaliam veram inveniendi ; uæ cum, fi nullæ adfnt perturbationes ex anomalia media colligi foleat; hic quoque anomaliam planetæ mediam in computum introduci conveniet, quæ quo- niam uniformiter cum tempore crefcit, ad quodvis tem- pus tempore crefcit, ad quodvis tempus expedite affigna- tur; five quod eodem redit anomalia media reperitur, fi à lanetæ longitudine media, aphelii loçcus medius fubtra- hatur, Quæitio ergo hac feétione enodanda dererminatio- nem anomaliæ veræ v ex data anomalia media poftular. $. CIV. Si nullæ adeflenc vires turbantes , foret d@—dy, atque anomalia vera y ex hac æquatione adowVap PVrP dv x x ; LB dote ape do=dy— definiri deberet ; effent enim p & g quantitates conftan- tes, & dœ incremento anomaliæ mediæ proportionale. In noftro autem cafu neque quantitates p & q funt con- MOTUS PLANETARUM, 79 ftantes, neque do— dy, unde manifeftum eft rela- tionem inter anomalias mediam & veram quoque ab actione planetarum mutua perturbari. Interim tamen IN : adoVa hæc relatio erit petenda ex æquatione dg — - £ xx À PVP do feu hæc du = (i—q co v): fubftituendo pro d 9 valorem, qui ipfi ex æquatione differentiali motus aphelii convenit ; hæcque æxquario in $. LXXXV habetur evoluta vi cujus cum non fit d®— dy —0o; ponamus breviratis gratia loco hujus æquationis diffe- rentialis d@—dy=nVdw, eritque PVP dv PVP nVdu aVa (1 —39cof. DA ae (1— 9 cof. v) ** do —= $. CV. Cum jam p & g non fint quantirates con- ftantes, eorumaue valores in fuperiori feétione fint de- finiti, ponamus quoque brevitatis gratia Pb LEP), &q=k+nQ; tautrP,nQ, & n F fint eff@us pérturbationis, eritque ob numerum 7 minimum pVp=b(1+in2), & quia pofuimus Æ: — z habebimus IN T(i+ir 2?) aVa— Deinde fra&tio -— + in feriem converfa dat proxime {1 gg)" i(1+2gcof.v+?ggcof.2v+ 93 cof. 3 v &c.) quæ ponendo & + » Q loco 9, & negligendo terminos per 22 & nÆk affeétos abit in hanc: (1— 80 (14 2 & cof. v + +R Kcof. 2 v + KS cof. 3 v) +2n2Q cof.y + 3nrkQ cof.1y +3nkQ. Hinque erit d PYP dy ___ dv(tæ2kcofv+ ik cof 2 v + K3 cof: 3 v) aVa (1—gco.v): i(1—KR)V(I—Kk) 80 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM + (2Qcof v+iP+3k Pcof.v+3kQ+3ÆQ cof. 2v). $. CVI. In parte alera autem formulæ integrandæ tam p quam g pro conftantibus haberi poflunt , eritque ergo ea pari Zdo(F+2kVocof.yv), & quiain his particulis minimis eft dv=ido(1-2k cof.v) obtinebimus æquationem fequentem : 7 dv(iHikcofv Hikkcoft:v Hk3cf3v) . = —————————— 4 HR ENTER) ? +rdo(i:Qcofvrv+kQ +kQcfrv+i2P) + (V+2KkVocof v); ” cujus pars principalis integrata deducet ad hanc æqua- tionem integralem : v+ikfinv+ikkfin2v+zk5 fin 3v E(I—kK)V (I —RE) : 3 +nfdo(iP+2Qcofv +kQ+kQcof.17 +iV+ikFoof.v); cujus poftremæ partis non amplius erit difficile inte- grale eruere. à —= $. CVII. Pro integratione hujus poftremæ formulæ notandum eft partem n f V dx exprimere motum aphe- li, cujus ergo integrale jam fupra ç. CI eft inventum, Reliquas partes tantifper indicemus figno fummatorio , ac pro anomalia vera quafita fequentem nancifcemur æquationem : VIRE ©—2kfénv—3 Kk fin. 2v— 5 K fEn.3v—nf Vdu; —infdaiP+2 Qcof.v+2?kF cof.v); in bac enim ultima parte perfpicuum eft terminos k Q & kQ cof.v præ P & Q pofle rejici, at vero À Wcof.v iifdem MOTUS PLANETARUM. 81 jifdem efle quañi homogeneum unde tantum opus eft valores fupra pro PA Q, & W invencos fubiftituere. Hic aurem primo Lee terminum 2 (1—Æk4)+o cum partibus formæ & do, quas pofteriora membra in- cegralia forte continent, defignare anomaliam mediam, quæ ad quodvis tempus facile HE Si ergo ano- maliam mediam ponamus = %, habemus ne æqua- tionem inter # & v, per cujus bi one non diffi- culter pro quavis anomalia media ejus refpondens ano- malia vera elicietur. $. CV III Statuamus ad abbreviandum : 3P+21Qcofv—A14+Bcof.1v +Cocof.n +ikKVcof.v + Docof. 2n +E cof.(n- 2 v} + Fcof.(n+2v)+Gcof.(2n-27) + AH cof.(21+27) atque horum coëfficientium valores ex fuperioribus for- mulis colliguntur : DIR NON CNE B—PE: 2 265. SE ral ) En) = | M y-rnau 4 | f: & 3 £ fi 3 ÊE 1bb Le à 3 1 I i1b3 ce Vin 2m 2 (2i— 1m) F Von 25, & g' C= É ns FAT — ) ibbe [G(2g—8" cg—g") (eg 8e" Lo AC cm PA Co Oh) 4f$ N ITA PL ASIE | GE) Gé re") 2i—m i 1b3 = [1 2 1 11 CUT mm ASIN AIR =) D 2° lI— 27m pire 32, 2/17 :bbc 3 (g' —g'! Ja Gr — AD ue (32! Gg'—8!) 4] À 1 m 1— 2m i Messe TE =) 82 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM 5ÿ ib5 ' 7 bb 4 El opE x ï me g' ibbe F= Zcc ( 2i— 1m i 2f3 SEA ET &. CIX. Valoribus autem Hhorum coëfficientum de- finitis facile eric fingulorum terminorum integralia ex hibere, quia ultra ordinem primum ea deducere non eft opus: Erir itaque [de ( ER A ee ES 29 + pen + “as ME ne rene er RE — À fin. (2n— 2 9) + fin. (2 n+29), Deinde fi ponamus fimili modo ad abbreviandum SVdu=Ao+— fin v + = fin. (n — Y) d' £ +— fin. (+9) +7 fn. (2n—v) + fin. (20 +9); erunt hi coëfficientes ex &. CI. MOTUS PLANETARUM. 83 ibbe À ñ 3 nan age EE A) bbc r Bb. 71e ane bb 3: b5 ig' bbce (6g—g"}i Bnec-2im HS im Naf m ; PARTS ER TE TL 2 2CC 2i— 1m 2f3 21—m 4f9 2i—m 9 F &5 ig" PER (3g' NE DÉPIT EST 5f; FES ; b 5 ig" bbc (g—3g'"')i £ EE 3i— 1m A dima $. CX. Si jam hos valores determinaverimus, habe- bimus primo anomaliam mediam : Yÿ—2(1—KK) 0 — nAw—in/Ao; qua cognita anomalia vera v ira debet definiri ut fic: V=g— 2 k Jin. v— £RK fin 2 y — LS Jin. 3 v5 — + (a inv + G fin (n — 7) +7 Jin (n+v) + dfin. (2n—7Y) +efin.(an+)); Ci Di r fin 2v+ faut fér. 24 F: 3i—m Jin (n+ 2») H i Gi — fin (2n— 2%) + fin. (242%) 2(2i—m) Si effet 2 = 0, nota eft operatio, qua ex data anoma= lia media y elicitur vera » ; cum igitur fit 2 fractio valde parva, per eandem operationem, omittendis primum términis per » affectis quæratur anomalia vera v mediæ L ij 84 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM y conveniens, eaque deiïnceps per terminos fraétione y: affeétos corrigatur. Tum fi eam accuratius definire ve= limus, valorem pro v modo inventum in expreflione illa pro v reperta fubftituamus , ex eoque denuo y de- terminemus. $. CXI. Facilius autem per confuetas tabulas ano- maliarum torum hoc negotium expediri poteft. Cum enim perturbationes func minimæ, fufficier pro ils ano- maliam veram » proxime faltem nofle, ejufque ergo loco anomalia media ipfa $ uti licebir, namque erro- res, qui hoc modo committentur, ad fequentem termi- norum, quos negligimus, ordinem pertinerent. Tum valor horum terminorum minimorum ad anomaliam me- diam & referatur, feu ex data anomalia media 4 quæra- tur anomalia media correcta $’ ut fit g'=g— (a fins +6 fin. (n—4) +y fin. (n +) + Dfin. (12n—5) +e fin. (1n+%)); ubi quidem partem pofteriorem , urpote præ hac valde arvam omitto, atque jam pro data excentricitare # ex tabulis confuetis quæratur anomalia vera quæ huic ano- maliæ mediæ corre&tæ refpondeat ; hocque modo obti- nebitur ipfa illa anomalia vera y, qua pro evolutione omoium formularum haétenus inventarum indigemus , erit fcilicet D c'es 2 K fin. v —?£E fin. 2 y — 2183 fin. 3 Y. $S=CXIL. In Tabulis autem Aftronomicis pro data quavis anomalia media non tam ei refpondens anoma- lia:vera, quam differentia, quæ proftaphærefis feu æquatio centri vocatur, exhiberi folet, neque etiam ro: noftro fcopo quicquam in hoc inftituro immutari eft opus. Ad manus igirur fit tabula more folito ador- nata; Quæ pro excentricitate # cuique anomaliæ me- di& refpondentem æquationem centri exhibeat. Ante- MOTUS PLANETARUM. 85 quam autem hac tabula utamur, anomalia média pla- netæ ad datum tempus colleca, per inæqualitates fupra expofitas & tam ab ea ipfa quam ab angulo », cujus valorem quoque ex motu medio utriufque pla- netæ collegifle fufficit, pendentes corrigatur , ut obti- peatur anomaha media correcta 8! Tum in dicta Ta- bula quæratur æquatio ifti anomaliæ mediæ &! conve- niens, quæ fit = + Æ, qua inventa ftaim habebitur anomalia vera quafita y = %'+ Æ, qua in determi- natione & evolutione omnium formularum fupra In ventarum uti opportebir. Simul vero hæc æquatio + Æ ex tabula defumta verum valorem formulæ — 3 & fin. v— + R& fin. 2v— 5 43 fin. 3 v exhibebit, id quod pro fequenti calculo probe notafle conducet, $. CXIII Ad Anomaliam mediam autem pro dato tempote colligendam motum aphelii medium duntaxat nofle opporter, qui membro primo formulæ (. CI erutæ continetur, ex quo habemus : nibbc 41° Long. aphelii mediam — Confl. + n1ib3 (2g'+h')o — 2f: (3S+A)o, feu abbreviationem ante introdu“tum adhibendo erit : Long. aphelii media — Confl. + n A &. Quoniam autem omnes planetæ ad motum medium aphelii aliquid conferunt, fingulorum effeétus exquiri deber, ut inde ad quodvis tempus propofitum longi- tudo aphelii media rite obtinearur. Vel cum ex colla- tione recentiorum obfervationum cum antiquis motus medius aphelii cujufque planetæ fatis accurate jam fic exploratus, eo porius uti convenier. Quare cum hinc ad tempus propolitum longitudo media aphelii fit def- nita, ea à longicudine media ipfus planetæ fubtracta præbebit ejus anomaliam mediam & pro eodem tempore propolito, quæ etiam in nonnullis tabulis immediare exprimi folet, 86 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM $. CXIV. Deinde fi perturbationes, quæ ab ac- tione certi cujufdam planetæ proficifeuntur , indagare velimus, primum ex collatione femi parametri ejus or- bitæ c, cum femi paramerro à planetæ examinandi ope formularum 6. LXXII & LXXVIII dararum compu- entur valores litterarum g, g', g'', &c. ex hifque orro per rationem mediorum motuum : & m valores Hd æ, 6, y de, itemque 4, B, C, D,E, F, G, H, qui omnes in meris numeris exprefli pro- dibunt, Tum etiam mafla Planetæ per maflam Solis divifa dabit fraétionem 2. Quibus inventis ad tempus propofitum colligatur longitudo media planetæ pertur- bati & perturbantis, quia pofteriori à priori ablata re- manebit angulus , quo loco » uti licebit in indagatione correétionum anomaliæ mediæ ($. CXI). Vel quod ex- pediet, utriufque planetæ longitudo per tabulas ordina- rias definiatur, ac differentia pro angulo » aflumatur, quandoquidem hic valor à vero nonnifi in minutiis dif- crepabit, y? D MOTUS PLANETARUM. 87 SECTE O VIIL Expofirio Univerfi Calculi quo verus Pla- netæ locus in orbita ob aclionem reliquo- rum planetarum perturbatus affignatur. EX NV: P. 1MA operatio in hoc confiftet, ut pro quolibet planeta, à cujus actione motus planetæ pro- poñiti perturbatur, ope formularum €. LXXII & LXX VIII expoftarum primo valores litterarum g, g', g!', &c..(licteris enim reliquis 2, k'Z, l', &c. ibi- dem adhibicis carere poflumus), tum vero ex his porro valores litterarum 4, 8, €, D, &c, ex (. CVII, & litrerarum quoque A, «, Cyr d, &c. ex $. CIX per calculum evolvantur : pro quo calculo recordari debe- mus , fractionem 7 obtineri, fi mafla planetæ pertur- bantis per maflam folis dividatur: deinde fi motus diur- nus medius folis unitate exponatur, exprimer littera £ motum diurnum medium planetæ perturbati, & m plas netæ perturbantis. Calculus quidem pro valoribus illa- rum litterarum infticuendus admodum eft moleftus ; verumtamen per fubfdia indicata, fatis exacte abfolvi poterit. $. CX VI. Sratim aurem ex valore 4 cognofcetur, quantum aphelium ab aétione cujufdam planetæ promo- veatur;. fi enim pro angulo « ponamus 3 60° terminus n A dabit motum aphelilannuum , ac fi hune. valo- rem ab aétione cujushiber planetæ deducamus , omnes conjunétim oftendént verum motum annuum planetæ refpeétu ftellarum fixarum , qui vix quicquam ab eo, 88 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM quem per vbfervariones cognovimus , difcrepare depre- henderur. Cognito autem tam helii quam ipfus, planetæ motu medio ad: quodvis tempus propofirum tam hujus pfanetæ longitudo media quam anomalia me- dia facile aflignabitur. Statuamus ergo ejus longitudinem mediam = Ci& anomaliam mediam = #; rum vero:ex- ceniricitas media fit = À. $ CXVII. Deinde hæxc anomalia media g ex ta- bulis mediorum motuum defumta corrioi deber per for- mulam $. CXI allatam, ut obtineatur anomalia media correcta g’. Vel fi tabulæ mediorum motuum loco ano- maliæ mediæ exhibeant locum aphelïi medium, eædem correctiones fignis verfis ad aphelium applicari debe- bunt : hoc aurém modo repetietur ipfa longitudo aphe- hi vera, unde hæc correétio magis eft naturalis priori anomaliæ illata. Quare ex longitudine aphelii media quæracur longirudo ejus vera per hanc formulam Longitudo Aphelii vera = Longitudini Aphelii medix +? (a fin. + G fin. (n— 8) +'y fin n+ 8) + A fin. (ane) +efin. (in +8) ); quæ correctio, quia per excentricitatem # eft divifa fatis notabilis effe poteft, Tum ifta Longitudo apheli vera fubtrahatur à longitudine planeræ media Œ ut obtinea- tur anomalia media ejus çorrecta g!, - $ CV XIII Tertio in promtu efto tabula æquatio- num centri more folico ad excentricitatem £ computata, ex qua pro anomalia media £' excerpatur æquatio cen- ti refpondens quæ fit +Æ , atque hinc reperietur Ano- malia vera = &' + _Æ qüix-ob düpliéem caufam ab ano- malia vera, quæ more folicélléx tabülis &quationum col. ligicur nullo refpeétu ad perturbationes habito ; difcre- pat, primo enim etfi ex eadém tabula defumta eft, ramen alii anomaliæ mediæ ac vulgo refpondet, ideo- que MOTUS PLANETARUM, 59 que tantumdem difcrepat 5 deinde quia alii anomaliæ mediæ refpondet, etiam æquatio + Æ erit diverfa. Ma- nifeftum autem eft hoc pofterius difcrimen multo fore munus priores cum hoc ad:o eo majus evadat, quo minor fuerit excentricitas £, tum veio æquatio + Æ diminuatur. Er ergo in calculo perturbationum non adeo accurate noffe opus eft anomaliam veram y, tamen correctio anomaliæ mediæ feu loci aphelii neutiquam negligi potelt. $. CXIX. Defnita hoc modo anomalia vera v fta- tim locum planetæ in orbita affignare poterimus , ita ut non opus habeamus ante variationem parameri & excentricitatis exquirere: quantum enim hæ variationes ad locum planetæ in orbita perturbandum conferunt, id jam fumus complexi in exprellione pro loco aphelii vero fupra $. CI inventa. Nam quia jam valorem ipfus y exacte expreffum habemus, erit longicudo vera g—=v+nf V du+ Conft. Si ergo pro / Ÿ” du valorem $ CIX poftum & pro y valorem .CX affignarum fubftituamus, confequemur @—= Conf. +i(1—kk)io —in Au —21kfin.v mn æ nCi nDi rEi nFi nGi — — fin. (n+29) + fin. (21-29) — 3t-1R na Hi n.(2n4+2 AE e (a+ ?) neque igitur hic amplius inæqualicates illz majores in forma » / W d w contenta aliter ingrediuntur, nifi qua- tenus illis ipfa anomalia vera y jam eftimmutata, $ CXX. Prima portio hujus expreflionis 7 « ((1 — KR) in À) motum medium hujus planetæ ex- Prix de 1756. M 90 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM ponit , quem erco etiam ab aétione planetarum ali- quantillum perturbari manifeftum eft; hinc fi longi- tudo planetæ media, ponatur = €, erit Ë = Conf. +i(1—4Æ)e —1nAa Deinde vidimus portio- nem — 2 Æ fin. v—ŸXE fin. à y — + ES fin; v de- fignare æquationem centri + Æ quæ in tabulis ordi- nariis anomaliæ mediæ corretæ #! refpondet , dum- modo hæ tabulæ excentricitati Æ fint jufto calculo fu- perftruétæ. Cum igitur tam longitudo media € quam ifta æquatio + Æ conftet, habcbitur lonoitudo vera planetæ in fua orbita : IE nCi nDi nt A the one M LCL LC n Ei nFi # Ne (n— 27) CHÉREE Te Jin. (n+ 2%) ra Y n Hi + 2 m fin. (2n— 2%) Rnb Ne (21+27%) ubi portio Ë z Æ exhibet longitudinem modo ordina- rio inventam, nifi quatenus anomalia media hic- eft correéta, tum vero reliqui termini continent ceteras inæqualitates ab aétione planetæ perturbantis profeétas, quarum quidem: portio quædam jam in ipfa æquatione centri + Æ ob anomaliam mediam correétam compre- henditur. $ CXXI. Adionum ergo planetæ perturbantis ad duplicem effetum perduximus, dum altero longitudo aphelii feu anomalia media , altero vero ipfa longitudo perturbatur. Quia vero & priori effeétus valde eft par- vus , uterque commode ad unum revocari poterit. Cum enim -anomalia vera tantumdem immutetur quantum anomalia media, fi » denotet eam ipfam anomaliam veram , quæ anomaliæ mediæ non corretæ feu natu- rali y refponder, in expreflione pro vero planetæ loco inventa, loco y fcribi opportet y —? (« Jen, v + G fin. MOTUS PLANETARUM. ot (av) + fin. (n +7) + À fin. (2n—v) + e fin. (2 n + v)) quæ mutatio quidem in terminis minimis nullam variationem fenfibilem gignit. Arf jam + Æ denotet æquationem centri ipli anomaliæ mediæ ÿ con- venientem, quia €ft + Æ =— 2 K fên.v— À KKk fên.1 v — > À5 Jin. 3 v, in primo termino mutatio fenfbilis orietur, ideoque loco + Æ fcribi debebit + Æ + n(a fin 2V+(C+y) finn + (S+e) fin. 25 + GC Jin. (— 29) + fin. (1+2v) + I fin. (2n— 2) + fin. (2n+2%)); ficque jam + Æ denotabit æquationem centri anomaliæ mediæ naturali g refpondentem, & anomalia vera v erit €tiam ea quæ more folito fumitur fcilicer = ++ x. $. CXXIT. Hinc igitur faciliorem modum adipif- cimur effectum perturbationis in loco planetæ determi- naodi. More fcilicet folito ad datum rempus colliga- tur anomalia media #, eique ex tabula ordinaria capia- tur refpondens æquatio centri + & , indeque formetur anomalia vera y = + Æ. Qua ftabilita, fi longitudo. planecæ media fuerit = € & x délignet angulum , qui relinquitur fi à longitudine planetæ perturbati longi- tudo planetæ percurbantis fubcrahatur, habebitur lon- gitudo planetæ perturbari vera. QG Æsn |(«— =) Jen: 2 + (Gvnee)fnn + (a+: = jf 24 + (c+ +=) fin{n-2v)+ (7=2=) fin. (n + 2 v) PA (ae 2) fn (21- 2Y) + Cr flame À | Mi; 92 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM ubi Ê+ Æ exprimit longitudinem planetæ, quam tabulæ ordinariæ præbent , toraque perturbatio jam in terminis annexis continetur, $ CXXIII. Hic ftatim obfervo fieri a —2—0, unde fi ad reliquos terminos contrahendos ponatur : g=C+Æ+nBfinn+n C'fin. 2n+nD'fin. (1-2) +n E'fin.(n+2v) +nF'fin. (2n—2v) + a G'fin. (2n+2v) + &c. per valores fupra exhibitos reperiemus Bbf 3i: ii AMEL CPL pres cc mm) (i—m)(2i—m) A nG—m) Gin) En Bbefi@g—g")ii (6g—g'hii _ (2g—38") ii 2f. (i— m) * m(i—m) (i—m) (2i—m) p3 EP f5 (i—m)(i—2m)(3i— 21m) C— “y LL bbefslg=s")ii (38 gi | (g'—3g")i 4fiGi—m)? (i=mfi-im) (i—m)(3i—21m) D'=0; E'=o; F'=0o; & G'=0. Hanc ob rem tota correttio ira contrahitur, ut tan- tum duobus cerminis conftet ; fiquee=<+Æ+n B'finn + n C'fin. 215 fiquidem in perturbationibus excentricitatem À rejicimus. $ CXXIV. Diftantia vera planetæ à fole x nunc P 1—gcof.v fi ponamus ut fupra p= 8 (1+2P) &qg=k+nQ, ent obr? & nr Q minima: +nb(P+Q cof.r). quoque facile definiri poterit; cum enim fit += RE CS Supra autem jam valores quantitatum P & Q afignavi- mus, hic vero pro y capi debet ea anomalia vera , quæ MOTUS PLANETARUM. 93 anomaliæ mediæ cerrectæ #/ refpondet : fin autem ano- malia vera tabulari uti velimus , eamque littera » indi- cemus, pro v in ifta formula fcribere debemus v— 7 (a fin. v +Gfin.(n— 7) + y fin. (n+ v) + À fin. (2n—v) + € fin. (2n+»)); ideoque pro # cof: v fcribi opportebit : k cof. v + (a — @ cofe 2 y —(C— y) cof.n + CG cof. G—2v) +ycof (14+2v) —(N— ce) cof2n + S'cof. (2n—2v)—ecof. (2 n+2v)). Hinc fi ponamus & cof. y — Kkcof.v +nR, erit b ere +nb(P+Q cofv+R), ubi ras diftantiam ex tabulis more folito erutam exprimit; ne- que vero plerumque operæ eft pretium pro diftancia hanc correctionem adhibere, T 94 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM D LOGE MROSULEX. Evolutio Træqualiratum quibus cum linea zodorum tum inclinatio ab aüione Pla- netarum afficitur. G'EXXV: UN in 6. LXXXVII & LXXX VIII formulas exhibuimus differentiales, quibus mutatio mo- mentanea tam in fitu lineæ nodorum quam in inclinatione orbitæ planetæ perturbati ad orbitam perturbantis, quam tanquam fixam confidero exprimitur. Produétæ autem funt iftæ formulæ ufque ad terminos excentricitate fimplici k affeétos , omiflis is, qui vel per quadratum altioremve poreftarem ejufdem excentricitaris £, vel per excentri- citatem orbitx planetæ perturbantis e funt mulriplicati, quos autem fi quis laborem fufcipere velit eidem me- thodo infiftendo non effet difficile infuper adjicere : ne- que etiam cum ïftarum formularum integratio majori premeretur difiicultate. Verum quia aétio planerarum eft minima, hic adeo terminos excentricitartem # invol- ventes rejicere licebic, ficque exprefliones integrales & facilius invenientur, & multo fient fimpliciores. $. CXX VI. Quod igieur primum ad longitu- dinem nodi attinet, quam refpectu ftellarum fixarum littera æ indicavimus , in ejus differentiale ingredi- tur angulus «, qui denotat argumentum latitudinis ®— 7. Cum ergo hoc calculo negligamus , & differen- ciale ipfius + præ 4 fit minimum, tuto affumere licec do=dp=ido, & quia porro eft dy (i—m) da, MOTUS PLANETARUM. 95 integrando obtinebimus pro longitudine lineæ no- dorum : nbbc Ë nibb Gr. » fin. (n— 2 0 æ=—= Conf? — . 0j & + — Aro + ) «fs © cc 2 (1— m) 2(i+m) Cats" )fn) (gg")fmov… 2gfinl—re) nibbc 1— m SL 2(i— m) TE im 4f3 g'fin 25 … g'fin.(2n— 20) g'! fin. (14-20) SANTE 2m NET Sim Hinc ergo erit longitudo media nodi = Conf. — nbbce AU CU: à ! sp £'iv) & quia g' femper eft quantitas poftiva, patet lineam nodorum femper regredi, & quidem fin- : . 9o°nbbe , , ulis annis per angulum = =. ; 0! graduum, po- £ D f: 5- à ? P nendO — 3600. $. CXX VII. Formulam pro differentiali rs inventam , quia etiam eft valde parva, loco tang. G po- terimus per tangentem inclinationis mediæ multiplicare, fit igicur inclinatio media = À, denotante G inclinatio- nem veram, atque integrando obrinebimus Lang.G nibb (Æ 2) = I — lang. À ZCC i— m 2+m M) cofezn 2gcof. ("— 20) ft MN Ci nibbc DE 2(1—m) SH 1 m 4 4f3 g'cof.21o g'cof.(2n— 23) g''cof (n+ 2e) a GRATOS 2 m 3i—m Cum igitur inclinatio vera G minime difcrepet à media À, ponamus G=—A+d A, eritque rang. G = tang. À d'A tang.G d x zd A CAES AEE Fe y LR TE AS ÿ qua cof. À ? & tang. À 374 formula cum illa expreflione collara eliciemus valorem iphus ZA, quo fubitituco reperietur 96 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM GRR em? (== us) 4cc i— m 7 itm (2g—g''hcofin 2gcofin—23) g'eof.(2—2) RDC ER) NE ul RU PE El Se Bifre 4 GE g'cof.1a g"cof.(n+ 20) 2z2(i—m) ZE 31—m $. CXXVIIT Inæqualicates igitur iftæ non folum ob fraétionem minimam 7 fed etiam ob /£7. 2 À erunt tam exiguæ, ut nullo modo obfervari queant : atque etiam inæqualitates periodicæ in linea nodorum vix unquam in fenfus occurrant, undein ufu aftronomico tuto negligi poterunt. Tantum ergo notafle fufficiet motum lineæ nodorum medium, qui continetur hac formula : c nbbe eh a m —= onfé— 7 g'lo; unde conftat lineam nodorum motu uniformi contra fignorum feriem recedere. Erfi enim hic motus fingulis annis fit cardifimus ut percipi nequeat, tamen fuccef- fione plurium annorum, quia continuo accumulatur , maxime fenfbilis cvadere poteft. Effe&tus autem qui inde in phænomena Aftronomica redundat, in hoc porifli- mum cernetur, quod fi pro planeta perturbato terra accipiatur, laticudo ftellarum fixarum aliquantillum immutetur , qui cffectus propterea imprimis meretur , ut accuratius evolvatur. $ CXXIX. Ifta autem latitudinis mutatio pen- debit à longitudine cujufque ftellæ fixæ ratione nodo- rum: Pofita enim longitudine nodi afcendentis terræ fuper orbita planetæ perturbantis = 7, quæ convenit cum longitudine nodi defcendentis ejufdem planetæ fuper ecliptica, fi longitudo cujufpiam ftellæ fxæ fue- tit — 7, ejus lacicudo fi fuerit borealis poft tem- pus, quo fol arcum « ablolvit, diminuetur particula nbbc af: MOTUS PLANETARUM. CE Hz bkc tantumdem augebitur. Contrarium evenier fi longitudo ftellæ fuerit 180° ++, tum enim eodem tempore, cui folis motus « refpondec, ejus latitudo fi fuerit borealis g'to fin. À, fin autem latitudo fuerit auftralis : nbbc a bei augcbitur particula 7 810 fin. À, fin autem fic auf- tralis tantumdem diminuetur. Ac fi longitudo ftellæ 90° diftet à nodis tum ejus latitudo nullam patietur muta- tionem. In genere autem fi longitudo ftellæ fixæ fuerit = £, codem tempore ejus latitudo fi fuerit borealis di- . . bb . minuetur particula =" p'1 0 fin. À cof. (E — +) VE fin autrem latitudo fit auftralis tanturndem auge- bitur. $ CXXX. Maxime igicur notabiles effe&us, qui ab aétione planetarum in terram exercentur, funt primo ifta exigua mutatio in latitudine ftellarum fixarum, quæ autem cum obfervationibus vetuftis circa latitudinem ftellarum fixarum infticutis minus fidere liceat, utrum veritati fit conformis ? non tam facile explorari poteft. Interim tamen ftudiofa collatio veterum obfervationum cum recentioribus vix dubitare finit, quin in quibus ftellis fixis laticudo parumper fit immutata , quod phæ- nomenum fine dubio actioni planetarum eft tribuen- dum. Deinde maxime confpicuus effeétus cernitur in motu aphelit , cujus confenfus cum veritate facillime explorari poteft, quandoquidem ex obfervationibus certum eft, aphelium terræ quotannis per fpatiolum 11" circiter promoveri ; fimilique modo motus apheliorum in reliquis planetis ab eorum aétione mutua oriundus cum obfervationibus comparari poterit. Reliqui effec- sus in plerifque planetis minus perceptibiles confiftune Prix de 1756. N 98 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM in mutatione excentricicatis, in inæqualitatibus perio- dicis loci apheliorum , unde anomalia media afficitur ac denique in variatione parametri orbitarum ; quibus cognitis, Loca planetarum per præcepta vulgaria Aftro- nomica facile aflignari poterunt. MOTUS PLANETARUM. 99 PRE C PE CPAS DR DAS DROLE DAT A EC AT ET EC EC PANNE EEE CET AS BARS AE TFER A: Continens Applicationem T'heoriæ ad motum T'erræ gufque perturbationes ab adhionc reliquorum Planetarum oriundas. Te parte fuperiori Theoriam actionis planetarum mutuæ ita in genere conftitui, ut ex ea inæqualitates cujufque planetæ, quæ ejus motui ab aétione reliquo- rum planetarum inducuntur, definiri aique aflignari queant. Quas inæqualitates ira ad commodum calculi aftronomici traduxi, ur pateat, quantum primo latus rectum feu parameter orbitæ , cum vero excentricitas, tertio locus aphelii, & quarto pofitio plani, quod or- bita in cœlo occupat, quovis tempore immutetur. Cognitis enim his variationibus, manifefto apparebit, quantum motus planetæ quovis tempore à ne Kep- plerianis recedere , & quales correctiones Tabulis con- fuetis adhiberi debeant, ut ad quodvis tempus verus planetæ locus in cœlo affignari queat. 2. Labor autem foret nimis operofus, limitefque huic differtationi præfixos longe excederet, fi hanc Théo- riam ad fingulos planetas accommodare vellem. Ipfa quoque Illuitrifima Academia Regia tam prolixum opus non requirit, dum poftquam Theoria perturbationum folide fuerit ftabilita ejus applicationem tantum ad mo- rum Terræ exigit: cujus præcepto morem gefturus N ïj 100 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM cun@as perturbationes , quibus terra in motu fuo ob ationem reliquorum planetarum eft obnoxia , data opera determinabo. Ex hac autem applicatione facile perfpicietur, quomodo per eandem Theoriam & reli- quorum planetarum omnium perturbationes , quas fibi mutuo induunt, definiri oportear. 3. Ad motum autem terræ perturbandum reliqui pla- netæ omnes concurrunt, fingulorumque effeétus fecun- dum præcepta fuperiora feorfim inveftigari conveniet , quod opus pro fingulis fimili calculo abfolvetur. Quo- niam igitur terram in locum planetæ perturbati confti- tuimus , littera z perpetuo unitatem denotabit : atque ex tabulis folaribus pro ejus excentricitarte media aflu- memus £=—0,0168. Quanquam enim cunétis inæqua- litatibus rite determinatis demum verum valorem excen- tricicatis mediæ Æ definire licet, tamen in ipfa harum inæqualitatum inveftigarione valore ipfus Æ proxime vero tuto uti poterimus, quandoquidem hic minimas aberrationes merito negligimus. Interim valor £—0,0168 tam prope ad veritaem accedere videtur , ut error nul- lius certe fit momenti. Habebimus igicur conftanter 2—1 & K—0,0168, neque quicquam præterea ex terræ theoria repeti eft necefle, propterea quod non tam quantitas abfoluta ejus parametri quam ejus ratio ad parametrum cujufque alterius planetæ in computum ingreditur. 4 Quicunque planetarum pro perturbante affumitur, ejus primum vim abfolutam, feu rationem ejus maffæ ad mafläm Solis noffe opportet, quam rationem littera Aa indicavimus. Ex phænomenis quidem Satellicum New- tonus conclufit, fi Sacurnus fit planeta perturbans fore n= 5: fin autem fit Jupiter efle = -%> 5 pro reliquis autem planetis, quoniam Sarellitibus deftituun- tur, valor fraétionis x ex phænomenis determinari ne- E MOTUS PLANETARUM, Tor quit. Er autem Mars & Venus ratione voluminis terræ funt minores, fortaffe ob majorem denfitatem ratione maffz non multum difcrepant, foretque ergo pro illis n= ,,0556 pro Marte tamen hanc fraétionem ob ce- leb. Monnierii obfervationes notabiliter imminuere vel- lem , uc effet quai =, nullumque eft du- bium, quin pro Mercurio hæc fractio multo minor fit Li accipienda forfitan =. Verum ex ipfa quan- titate effetuum forte hæc accuratius definire licebit. s: Porro pro quovis planeta noffe oportet motum me- diumffeu rationem anguli, dato tempore circa folem defcripti ad motum medium folis pro eodem tempore. Hanc rationem littera » indicavimus , unde tabulas aftronomicas confulentes reperiemus pro Saturno Mm= ÿ —=0,0339 pro Jove nm= 7 ==0,0843 pro Marte = =0,$316 pro Venere = i—1,6260 pro Mercurio = Ù—4,151$ Excentricitate horum planetarum lictera e indicata non eric opus, fiquidem vidimus perturbationes inde pen- dentes tam prodire exiguas, ut præ reliquis facile rejici queant, Saltem in hac applicatione ejus rationem non habebimus, etiamfi in Theoria non fit neglecta ; prop- terea quod ad motum apogei medium nihil plane con- fert. aVa __bVe == cVc cVc liquas expreffiones, quæ in calculum ingrediuntur, de- terminare poterimus. Si . bb DA bb Vimt cc I CENT EE 5 7 I cc PRET 1egnt ff y 6. Cumigitur fit #1 ob a — 6, hinc re- 702 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM m m bbc V mt s . — ps — É b RS AE PUIE f> — (1+ÿmi)i Tum etiam hinc elicientur valores numerorum w & # fupra ($. LXXVII) introduétorum , eritque : 2bc 1 Ÿmm FRA TA Cc—'bth 1— m4 FT RE Ex his autem negleéta excentricitate e habemus : 3 IA (iii né cofr)= (1 ke v) s=œuw(i+ykcofiv); ss —=pt(1+2»Kcof.v); s'=u3(1+ 3 vécof.v) &c. atque 1—ss=—vy—2wpmvkcof.v, & 1 I z2wmkcof.v — 1— 55 Ds LE 7. Jam præcipuus labor in computo litterarum p, #, g', A, &c. confiftet, pro quibus primum ex . LXXII valores expreflionum P(i—ss); LQ(1—s5); 2 R(1—s55)5 ES (155) Ke. hincque ipfæ hæ litterz P, Q, R, S, &c. colligi debent. Quæ fingulæ cum habituræ finc formam A + B k cof. y, erit porro g + Rk cofv = P (1—Ï?(1—1) À cof.v) g +k kKcof.v = Qs (1 — À(1— 1) À cof. v) g'+k"kcof.v =Rs( — 3(1— 1) & cof. v) ge AE cof.v =S s3(1— (1 — 1) Kcof. ») &c. MOTUS PLANETARUM. 103 quoniam excentriciratem e, ac proinde numeros inde pendentes /, /', /", &c. negligimus. Negligimus vero ctiam terminos quadratum Æ? ejufque altiores potefta- tes involventes , unde calculus in numeris fatis expe- dite abfolvi poterit. Atque hoc modo omnia elementa, quæ ad perturbations motus in orbita inveniendas fpec- tant, erunt cognita. 8. Denique vero quod ad variationem plani orbitæ attinet id pro quovis planeta perturbante ad planum ejus orbitæ , quæ faltem ad tempus ut fixa fpe&atur, eft relatum. Ex tabulis autem Aftronomicis colligimus pro An. 1750. Si orbita terræ referatur ad | Effe longitudinem nodi Inclinationem afcendentis orbitæ Orbitam Saturni |95, 21°, 20, 6"|2°, TOR LO, Orbitam Jovis TS IS 0 LL T9 10 Orbitam Martis |7, 17, ODA ENT, ft 0 Orbitam Veneris | 8, 14, 23, 43:13, 23, 20 Orbitam Mercurii| 7, 18, 29, 0,16, 59, 20 His igicur notatis perturbationes, quas quilibet planeta in motu terra producit , per calculum numericum in- veftigemus, unde quantum Theoria cum veritate con- fentiat, facile erir judicare, CE 104 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM il Invefligatio inæqualitatum motus Terræ ab adione Saturni ortundarum. 2. À Per igitur Saturnus locum teneat planetæ perturbantis, atque ut vidimus pro eo habemus n= yrr K M—0,0339, & quantitates hinc derivatas cum fuis Logarichmis : (2: Te —= ©» 01097 Li tn OnES Pari 00114 Fi — 7; 055293 tie = 0, 01079 =, 033159 h —=0,20725 lu = 9 316425; pu Y=0;, 20217 u'=0,04195 lut=8,6328$05 pr 0, 0410 pi=0,0089; [ui= 7, 949275; p}y=0;, 0087 ut=0,0018;5 lut=— 7, 265700; uty=0, 0018 —0,9783; lv —9,990465i 1-1—0, 0217 = = 1, 04495 1== 0, 019070; — 0, 0459 10. Ex his valoribus formabimus fequentes EE — 1—3(1—v)4cof v==1—0, 0326 Kcof.v s —=0,2071 + ©, 2027 k cof. v — 0,0419 + 0, 0840 & cof. v 55—0,0089 + 0, 0261 K cof.v s54—0,0018 + 0,0071 k cof. v 55—0,0003 + 0, 0017 k cof. v Es Sé— 9,090! 0, 0003 k cof. v Tum MOTUS PLANETARUM. 10$ Tum vero 5 = 1, 0449 + 0, 0918 K cof. v, unde L—jss u valores P (1—55); + Q(i—ss);5 5 R(1—55), &c. colliguntur . P (1—5s)—0o, 99729 —0,00$535 Æcof.v Q(i1—5ss)—=0, 75307 +o,00609 Æ cof. y R(1—5s5)=0,47518 +0,01283 Æ cof.v S (1— 55) —0, 28004 +0,01326 k cof. v SI% De nr 11. Ex his deducitur: — 1, 0421 Ho,085$9 kcof.v; hinc 1, 5746 0, 1512 kcofev; Qs—0,3257 H0,3560 k cof. v 0, 9930 H0,1140kcof.v; Rs°—=o, 042$ 4 0,0877 k cof. v 0, $8$2+0,0790kcof.v; Ss53—0,00$1+0,0161 Kcof.v à © I HI multiplicentur jam hæ formulæ per 1—0,0326Æcof.v, indeque pro licteris g, 4, 2", 4’, g'!, h'', &c. fequen- ces obrinebuntur valores: DT = 042; V2 = 0; 0519 BU 0532575 4 0394 g'' =0;,0425; h''1= 0, 0863 g'!æ= 0,005; PAM IO NOT SD &c. qui per fe tantopere decrefcunt, ut circa convergen- tiam feriei in quam fupra terminum £ transformavimus nullum dubium fuperefle poflir. 12. His valoribus inventis inquiramus primo in mo- tum aphelii terræ, quatenus ab actione Saturni afficitur, & quoniam per (101) tempore quo Sol motu medio con- ficit angulum © , aphelium terræ refpeëtu ftellarum fixa- rum promovetur per fpatiolum nbbce af (ag +h)0 (3S+/A)o; ob Prix de 1756. 0 1G6 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM = 0,002698; 2g'+h'=0,9908, erit | Th > a (2g'+h')=0, 001673; b à <|S —0,000570; 39 +h = 3, 1782, crit b: 7 (38+4)=o,0018r7. Hinc ifto tempore aphelium proferetur per fpatium ©, 000862 w 19 0, 000861 n10—= —) 0br= —, 3021 3021 Tempore ergo unius anni, quo w == 360°=—1296000", aphelium terræ à Saturno propellitur per fparium 0,370 "= 22"!!, ideoque tempore 100 annorum per fpatium = 37!" fi ergo terra tantum à Saturno per- turbaretur, aphelium refpectu ftellarum fixarum pro- moyeretur : Tempore unius anni per fpatium 212”, Tempore 100 annorum per fpatium 37". * 13. Hinc ad quodvis tempus longitudo media aphe- li terræ innotefcic, quæ autem porro per inæqualitates periodicas corrigi debet. Pendent autem eæ à duobus angulis y & y, quorum ille » habetur fi longitudo Sa- turni ÿ à longitudine terræ @ fubtrahatur, hic vero y. denotat anomaliam terræ veram. Cum igitur fic 12 0,00 548 5; &m=—0,0339, hinc22—m—1, 9661; 1—im—=O0, 93121, K3i—2m—=72, 93221, ob 2 = z51 à ÆO,0168, formula pro motu aphelii ($. CT) inventa ad angulos reduéta dabir : Longitudo À phelii vera — Longitudini aphelii mediæ + 1973" Jên. (n—v) + 11" fên. (1+v) —5"fin.v + 12 [in (n—y)— L fin. (n+v) MOTUS PLANETARUM, 107 + 7 Jin v —1010 fin. (n—v)—11 fin. (n4+v) + 12" /ün. (2n—v) — 1" fin. (2r+v) 5 unde patet has inæqualitates tantum non fe mutuo deftruere dum ex reducuntur ad + 2° fine v — 15" fin. (a—v) + 12" fin. (2n —v) quare dum nunquam ad dimidium minutum affurgunt, tuto ncgligi poflunt; ira ut fufhciat effe&tum in motu aphelii medio notafe. 14. Variationes , quæ ab actione Saturni excentrici- rati & parametro inducuntur, tam func exiguæ utomnino fentiri nequeant. Neque vero etiam has inæqualitates evolvifle elt opus, cum quoniam funt minimæ, fupra (6. CXXIIT) effetum inde in locum terræ redundantem expreflerimus , fumta fcilicet æquatione, quæ fecun- dum sabulas ordinarias anomaliæ mediæ convenit, quæ ft= + Æ, & pofta longitudine terræ media = 6, vidimus fore longitudinem ejus veram e=C+Æ+nB'/fin.s + n C'fin. 2. Ibidem autem valores litterarum 2’ & C' dedimus, ex quibus hos coëfficientes in minutis fecundis colligimus : n B'—=—1!!, & n C'=0; unde patet longitudinem terræ regulis ordinariis com- putatam nullam fenfibilem alterationem ab aétione Sa- turni pati, cum ea vix dimidio minuto fecundo mutari offit. Pro orbita igitur terræ nil aliud relinquicur, nifi exigua illa aphelii terræ promotio, cujus effeétus poft integrum feculum demum ad 37'' exfurgit. 15. Tantum ergo fupereft, ut in mutationem plani, in quo orbita terræ verfatur, inquiramus; à Saturno autem linea nodorum, feu interfectio orbitarum trerræ % Saturni contra fignorum ordinem removebitur rem- Oij 108 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM pore quo fol motu medio angulum « abfolvit per fpa- 4 nbbc tiolum — pge— nis linea nodorum fuper orbita Saturni regredietur per 0,377", feu 22", fæculo autem elapfo hic motus eric quafi 387, Inæqualitates periodicas, quibus locus nodi afficitur, quia nullius plane funt momenti, hic non evolvo, multoque minus eas, quibus in genere incli- natio turbari eft inventa : illæ enim nunquam ad mi- nutum fecundum, hæ vero ne ad tertium quidem affur- gere reperientur. Si ergo terra à folo Saturno perturban- tur, linea nodorum terræ fuper orbita Saturni retro- moveretur ——— 0 ñ o Ï . Pre Hinc ergo fingulis an Tempore unius anni per fpatium 22", Tempore unius feculi per fpatium 38/!, qui ergo motus motui aphelii proxime eft æqualis. 16. Phænomena, quæ hinc in latitudinem ftella- rum fixarum fuunt, ita fe habebunt. Cum fit inclina- tio orbitæ terræ ad orbitam Saturni À = 2°, 30!, 10/, erit pro tempore unius anni Æ£ o/. « fin. A= 0, © 1 64": Hinc ftellarum fixarum, quarum longitudo eft 95, 21°, vel 35, 21°, latitudo tempore unius anni mutabitur fere uno minuto tertio. Seculo autem elaplo, mutatio lati- tudinis ita fe habebit : Si longitudo ftellæ fit 95, 21° circiter . RS l F . jus latitudo pr 1, 38" fi lacitudo fuerit Das ie crefcit auftralis At fi longitudo ftellæ fit 35, 21° circiter 3 ; -refci À : borealis ejus latitudo . L ? 1”, 38" fi latitudo fueric $ es ie decrefcic auftrahis Hujufmodi ergo ftellarum fixarum latitudo intervallo decem feculorum mutari potuit 16, 24", idque ob fo- lam actionem Saturni. MOTUS PLANETARUM. 109 IL Tnvefhigano inæqualitatum T'erræ ab alone Jovis oriundarum. 17: C OLLOCATO jam Jove in Îlocum planetæ perturbantis habebimus R= 5587, À M—0,0843; indeque quantitates derivatas cum logarithmis fub- fcripris H=0,0369645 À = 0,0067305 = 0,03500% 8, 567770; 7828010; 8,544124 Porro erit u—=0,37081 &r=0,97871, hincque s —=0O,37081 +O,34437 kcof.v; 95691517 95 537029 St = 0,13750 +O,25539 Kocof.v; 65138302 9407210 55 —O, 05099 +0,14206 & cof. y; 8, 707453 9152452 54 — 0, 01891 +o0,07023 K cof. v; 8,276604 8,8465s42 55 = 0, 00701 +0,03255 Æ cof. vi 7 845755 8, 5126903 — 0, 00160 +0, 01449 Æcof. y; 7» 414906 8, 160935 s7 = 0, 00096 +0, 00627 Æ cof. v5 6» 985057 7: 797033 119 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM 5? a. 00036 +0, 001266 & cof. v; 6, 553208 7, 414176 59 —0,00013 +0,@0111 À cof. v; G,122359 7»044479 59 —0,0000$ +0, 00046 Æcof.v; $» 691510 6, 659388 r5= 115943 +0:34332 Æcof. v; 0, 064244 9, 535698 — 1 —0,10694 K cof. vi 9, 029140 18. Ex his jam calculo fecundum ($. LXXIT) fub- duéto invenitur P (1—55) = 0, 991111—0,017094% cof. vi 9» 996122 8,231844 Qs(1—55) —=0,563774+0, 533394 k cof. v; 9.751195 9 3 752 X00 Rs1—ss) —0,134856+0, 262368 k cof. v; 95129870 9, 418910 Ssi(1—55)—=0,030176 +0, 088736 k cof. v; 8,47918 8, 948100 hafque formulas primum per = deinde per £; mul. tiplicari oportet, hoc eft conjunétim per 1,1$943 +0, 21933 & cof. vi OC, 064144 9; 341098 unde prodeant formæ g + À & cof. v. Faëta igitur r mul tiplicatione reperietur : nl £g = 1,14912; h—0O,19756; g 0, 653665 h—o,74788; g'—0,15636; "=; 33378; g"=0,03498 5 h"æO; 10950; MOTUS PLANETARU M. 111 19. Hinc pro motu aphelii terre medio erit 1289 +h'=1,05$205 3g+h— 3, 64492 (29 +4)=0,0179855 #5 (38+/4) —=0,011265; unde tempore, quo fol motu medio angulum «. confi- cit, aphelium terræ promovetur per fpatium I O; 00572010 = FyT5T3 » ob 7 — To67" Ponamus jam © — 360°=— 1296000", ut obtineamus aphelii motumannuum, qui prodibit =6”, 9 $—6", 57"; & motus feculalaris = 69$"=— 11", 35". Quare fi terra tantum à Jove perturbaretur, aphelium ejus refpectu ftellarum fixarum promoveretur Tempore unius anni per fpatium 6", $7", Tempore centum annorum per fpatium 11°, 35", Saturnus igicur & Jupiter conjunétim imprimunt aphe- lio terræ motum annuum 7", 19". Revera autem quot- annis promoveri obfervatur per fpatium 11” circicer. 20. Omiflis mutationibus , quæ excentriciratem & paramerrum affciunt, quæramus flatim correttionem , quam locus terræ in orbita exigit, ac pro coëfficienti- bus Z' & C'($. CXXIID) obrinemus valores fequentes: B'=—0,036505 C'—+0,01381. Quare fi » jam denotet angulum, qui oritur, fi longi- tudo Jovis à longitudine terræ fubirahatur, lonçgitudo wrræ per tabulas folito more computatas fequentem correctionem recipere deber : — 71,06 fin. n +2", 67 fin. 25; quæ ergo nunquam ad decem minuta fecunda exfur- gere poteft. Verumtamen hæ correétiones maximi funt momenti, quandoquidem Theoria motus folis jam ad tantam perfetionem eft perduéta, ut in calculo vix unum minutum fecundum negligere fas fit. Deinde cum Luna 112 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM fore tantumdem motum terræ perturbare fit inventa , acuter effetus per obfervationes rite comprobari po- telt, nifi utriufque vera quantitas per Theoriam fit ex- plorata. 21. Motus lineæ nodorum motui aphelii tam exaéte æqualis deprehenditur, ut differentia vix ad partes mil- lionefimas afcendat, difcrimen autem in hoc verfatur, quod aphelium fecundum fignorum ordinem progredi- tur, dum nodi motum retrogradum tenent. Motus igi= tur hujus lineæ nodorum ita elt COMparatus Ut retro- grediatur TFempore unius anni per fpatium SENTE Tempore 100 annorum per fpatium 11", 35". Viciffim ergo linea nodorum orbitæ Jovis ad eclipticam relatæ tanto motu retrogredierur , quatenus ipfa terra actioni Jovis eft fubjecta : qui effetus probe diftingui debet ab eo, quem reliqui planeræ aétione fua imme- diate in Jovem exerunt, unde peculiaris lineæ nodo- rum Jovis motus oritur non pendens à mobilitare plani eclipticæ. Ex quo intelligitur morum obfervatum no- dorum cujufque planetæ efle effe&um mixtum partim ex mobilitate ejus propriæ orbitæ partim vero ex mo- bilicate ipfus eclipticæ oriundum, qui propterea modo magis rationalis definietur, fi orbitæ planerarum non cum plano eclipticæ, utpote mobili, verum cum plano refpectu ftellarum fixo , veluti forfitan cum plano æqua- toris folis comparentur, 22. Seorfim autem hæc mobilitas orbitæ terræ ab actione Jovis profecta fenciri debec in latitudine ftella- rum fixarum, quæ inde variabilis reddetur. Maximam vero mutationem fubibunt eæ ftellæ fixæ, quarum lon- gitudo in nodos orbitæ Jovis incidit, & quæ eft vel 95, 8°, vel 35, 8°5 hæcque maxima mutatio ob inclinatio- nem orbitæ Jovis = 1°, 19! 10" fingulis annis valebit 1 © » MOTUS PLANETARUM. 113 OLUTOE—=I0, fingulifque feculis 16”; quæ propterca elapfo quovis feculo ita fe habebit : Si longitudo ftellæ fit 95, 8° ejus laticudo LAS 16" fi laticudo fuerit se crefcit auftralis At fi longitudo ftellæ fic 35, 8° : : crefcit \ : : Fe ) ejus latitudo Hé 16" fi latitudo fuerit ir pro reliquis ftellis fixis hæc mutatio fecularis in latitu- dine diminui debet in ratione finus totius ad cofi- num differentiæ longitudinis ftellæ ab his duobus limi- tibus. Prix de 1756. P 114 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM qe TITI. Invefligatio inæqualitatum Terræ ab aëione Marüs oriundarum. HS: mafla Martis æqualis effet maflæ terræ habe- remus 4 = 35 Cum autem fecundum celeb. Mon- nierii obfervationes volumen Martis fit quafi quadragies minus volumine terræ, fi mafla in eadem ratione eflet minuenda haberemus 7 = 1 : Nihil autem im- pedit quominus ftatuamus = 5555, fi enimaliunde conftiterit hanc fraétionem z efle five majorem five mi. norem, inæqualitates, quas reperiemus in eadem ra- tione erunt five augendæ five diminuendæ. Ob hunc autem tantillum valorem ipfus » facile intelligitur inæ- qualitates, ab aétione Martis oriundas multo fore mi- nores, quam quæ ab aétione Jovis oriri funt inventæ , neque hanc parvitatem ab vicinitate compenfari poffe ftatuamus ergo pro his inæqualitatibus inveniendis : ] n — 1000000 ? & M= 0; O, 5316. 24. Ex valore ipfius # deducuntur fequentes va- lores : É1—=0,43064 5 D —o,16515 5 —0,25166 9» 634114 9»217875 940081 9. Deinde eft: PERSO OT MN=CE 0 9m 9» 962557 9 599857 unde porro colligitur fore : MOTUS PLANETARUM. $ 091740 + 0, 36510 K cof. v; 9» 962557 9: 562414 S?= 0, 84162 + 0, 66989 K cof v; 9:92$114 9, 826001 S3=—0,77210 + 0,92183 Kocof. vi 9, 887671 9, 964649 S5+#—0,70831 + 1,12757 Kcof. v; 9: 850228 0O,05$52145 S5—0, 64981 + 1,29304 & cof. v; 9» 81278$ OO, 111612 S5—0,59613 +1,42348 K cof. v; 9:775342 0,1533590 S7æ=0,54689 +1,52354 K cof. v; 25737899 O0, 182854 S$æ=O,çOI71 +1,59736 Kcof. vi 9» 700456 0, 203403 S?=0,46017 +1, 64859 k cof. v; 9: 663013 O0, 217113 5°=—=0,42225 +1,6804$ Kcof. v; 9» 625570 O,125427 = 0, 38737 +1, 69581 À cof. vi 9: 588127 O,229377 5®æ=O, 35537 + 1:69716 Kocof. vi 9» 550684 OO, 2129722 550, 32601 +1,68671 Kcof.v; 9» $13241 O0,227041 Ss4—=0,29909 +1,66642 Kcof. y; 9:475798 ©,221783 S5—0,27438 4+1,63796 Kcof.v; 9438355 O©,214303 58æO0,25172 + 1,60184 À cof. vs 9» 400912 O,204889 Pi 116 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM 25. Poteftates has iplus s ulterius continuare opus crat, quam pro Saturno feu Jove, quoniam feries pro litteris P, Q, R, &c. multo minus convergunt: cujus rei ratio eft quod orbitæ Martis & terræ longe minus à fe invicem magnitudine difcrepant. Quam ob rem illarum ferierum pro P, Q, R, &c. inventarum plu- res terminos actu colligi oportet, antequam de illarum veris valoribus certi efle queamus. Præterea vero ex va- loribus u & » habebimus : = = 631373 +16,70380 Æ cof.v 0, 800286 1,426573 &Ë=1—o,9030$ Æcof. 9» 258482 Quoniam igitur deinceps per harum duarum quantita- tum produétum eft multiplicandum , iftud produ&tum reperitur. Fa = 6,31373 +21,00219 Æcof.v 0, 800286 LN32226$ 26. Seriebus igitur illis fammatis, quæ ($. LXXII) fant exhibitæ, primum valores P (1—55), Qs(i—ss), Rs:(1— 55), &c. reperientur, tum vero ex iis, dum per S. 2 multiplicantur, litterx g, 4, g', h', &c, eliciuntur, ut fequuncur: P (1—55)—0, 912886 — 0,0870$ kcof.v; g — $; 86464 9» 96795$ 38,939784 h —18, 95868 Qs(1—ss) =, 55082 H0,87719 Kcof.v; g'—= 9,79134 0, 19056 9, 943094 h'=38;, 10857 Rst(1— ss) —=1,19171 1, 67272 Keof.v; g'— 7, $2407 0, 076167 : :0,223418 k"=35)58930 Ssi(1— ss) io, 87773 —- 2, 04009 k cof, v; Fu 5» 54175 9 943361 0,3096$1 AE 31, 31489 MOTUS PLANETARUM. 117 Ex his valoribus ftatim elicicur bbe b3 by (22 +21) — mU8g+/)=0,61137, unde fi 2 = 5556655, tempore unius anni, quo, w—= 1296000", €rit n0—132% —0", 648. Hing ergo aphelium terræ à Marte quotannis promovebitur per fpatium 0", 396 — 23". Atfi maflam Martis maflæ terræ æqualem poluifflem, ifte motus annuus proditurus ; 00 nantes (D nr fuflet= 22223) 41 40 27. Quæramus fimili modo correctiones longitudinis terræ ab actione Martis oriundas, atque ex valoribus numericis inventis obtinebimus coëfñicientes Z! & C' ita expreflos : B'=— 3,90193, & C'—=— 31, 33048. À ; 1 ; Hinc fi ftatuamus 2= ;——, correctio loci terræ ex tabulis ordinariis computati erit in minutis fecundis — 0", 403 finn— 3,231 fin. 2n fin autem ftatueremus 2 = +2, foret ifta correctio — 4", 735 fin.n— 37", 964 fin. 27. Ubi » prodit fi longitudo Martis à longitudine terræ fub- crahatur. Hinc ftatim apparet, maflam Martis certe effe minorem mafla terræ, propterea quod tantæ inæquali- tates in motu terræ non deprehenduntur ; atque etiam motus aphelii à tribus planetis fuperioribus genitus jam veritatem excederet. 28. Motus nodorum fuper orbita Martis iterum præ- cife æqualis deprehenditur motui aphelii , quod qui- dem quoties z eft fractio minima femper evenire deber. Nodi ergo hi pofita n = 55555 quotannis regredien- tur per fpatium 2 3" at vero per fpatium 4", 40", fi pone- semusñ= ss. In hac ultima hyporhef , qua mafla 118 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Martis maflæ relluris æqualis fumicur erit motus fecularis = 466!, hincque ob inclinarionem 1°. 51, maxima mu- ratio fecularis in ftellarum fixarum latitudine prodit 1 $", quam eæ ftellæ fixæ patiuntur, quarum longitudo eft vel 75, 17°, vel 15, 19°, illæ fcilicet rantum à polo eclipricæ boreali removebuntur, hæ vero tantumdem eo admove- buntur quovis feculo elapfo. At hic effeétus toties ft mi- nor, quoties mafla Martis minor fuerit mafla celluris. An. requam autem effeétum à Venere oriundum definive- rimus, nihil certi hic ftatuere licebit; aétionem autem Mercurii cum ob parvitatem, cum ob folis vicinitatem tuto negligere poterimus. MOTUS PLANETARUM. 119 E V: Tavefligatio inœqualitatum T'erræ ab adione V'eneris oriundarum. 29. JA celeb. Monnierium Venus tellure major eft credita, nunc autem ejus volumen quaf triplo efle minus certum eft, ejus tamen mafla pro ratione fortaffe eft major, quoniam Newtonus obfervavit, quo quifque planeta foli fuerit propior ejus denfirarem efle majorem. Haud mulrum ergo fallemur fi maffam Veneris maffæ terreftri æqualem affimamus, quoniam deinceps con- ferendis phænomenis cum calculo certius judicium circa mafflam tam Veneris quam Martis ferre licebit. Habemus itaque pro calculo noftro ad actionem Vene- ris traducendo PAL Pr > RU 1= 555%, À M= 1,6250; Unde cum #2 fit unitate majus, calculus multo aliter fe habebit ac pro planeris fuperioribus, interim tamen ex iifdem formulis erit perendus. 30. Ex hoc valore iplus #7 primo deducuntur fe- quentes valores. Er 3 Axa « Hs 1, 91046 5 F0 53181 5 = 0, 38477 5 0, 281138 9,725765 9 585197 p—=0;, 94981 5.7=— 0,30$71 9 977638 9, 485300 unde collicitur fore 120 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM s —0,94981 —0,29036 k cof. vi 9» 977638 9462938 s2—=0,9021$ —0,5$$158 Kcof.v; 95955276 9741606 55—=0,8$687 —0,78947 k cof. v5 9» 932914 9897335 s54—0,81386 —0,99$20 kcof.v; Dat9LOS SEUL 2997902 5$æ= 0: 77302 —1,181$7, k cof. vi 9, 888190 ©, 072460 5€—0,73422 — 1, 34673 kcof. v; 9» 865828 0, 129279 57— 0; 69737 —1,49233 kcof. vs 9, 843466 0, 173864 s5—0, 66237 —1,61992 kcof.v; 93 821104 O3 209494 52=0, 61913 —1,7309$ Kcof.v; 9, 798742 0,238285 50= 0, 59752 — 1; 82676 k cof.v; 9» 776380 0, 261680 5U= 0, 56757 — 1: 90858 k cof. v5 9, 754018 O0, 260711 52—0,53908 —1,97759 À cof. vi 9» 73166 0, 296137 55æ=0,$1203 — 203487 k cof. v 5 9 709294 O0» 308537 SM 0, 48633 —2,08142 & cof. vs 9, 686932 0, 318360 S$— 0, 46191 — 1» 11827 k cof. v; 9 664570 0, 325961 s'6=0;, MOTUS PLANETARUM. 127 356—=0,43874 — 21,14599 kcof.v; ‘93 642208 0, 331628 S7æ= 0, 41672 — 2, 16568 Àkcof.v; 9 619846. 0:335595. ME SB= 0, 39581 —2,17800 kcof.v; 9, 597484 O3 338057 31. Quoniam hic valor ipfus # propius ad uniratem accedit quam pro Marte, feries pro inveniendis litreris P,Q,R,&c. minus convergunt, unde plures termi- nos actu addere eft opus, infuperque neceffe eft regu- las paflim expolñitas pro fummandis feriebus minus con- vergentibus in fubfidium vocare. Hæ fcilicet feries comparentur Cum progreflionibus séometricis , & cum exponentés continuo Varientur, medius quidam ; cum jam plures termini ‘au fuerint fummati ; eligatur, quo acto iftæ fummæ facile proxime faltem obrinebuntur. Fin vero ex valoribus pro u & » invencis eliciemus. 11 1—5; = 10, 70040 — 63, 15470 Æcofv, T5 029400. : 1:13 800406 raies KE i—r,95874cof.v; Tie Ai quarum duarum formularum produétum eft Dm 10: 70040 — 84, 112120 Æcof.v. 1, 019400 1, 924859 32. Colligamus igicur fummas ferierum , quæ fupra ($. LXXIT) funt propoñitæ, & cum invenerimus va- lores pro P(i— ss); Qs(1—5s); Rs2(1— 55); Ss3(1—5s); eos ftatim per À. =: muliplice- mus, ut cadem opera valores g, , 9’, h", &c. nan- cifcamur , Prix de 1756. Q 123 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM P (1—5s)—=0,91034 + 0,08475 kcofiv; g = 9» 84800 9» 963948 8, 9128140 h —=— 76, 50484 Qs(1—ss) = 1, 63454, — 0,78298 kcof.v;3 g'— 17, 49020 ©, 213394 9, 893751 h'=—138, 32232 Rs(1—ss)—=1, 35681 — 1,70112 kcof.v; g"— Ta, $r830 0132516 0, 230730 R=—132, 32640 Ss(1—ss)—1,09218 — 2,35350 k cofv; g"— tr, 68800 0, 038340 0,371714 A"=—117, 05800 Ex his valoribus ftatim pro motu aphelii invenitur bb el : 5: Per ON A roL 00 Ps nn US8+/)=:2,5466, Cum autem in prægrandibus illis numeris error facile irrepferit qui ef iplos parum afficit, tamen in diffe, rentiis notabilis evadit, & aliunde conftet hunc valo- rem convenire cum 52". hujus valor eft 1, 6746, quo fi utamur pofito 1 1 tempore unius anni aphelium promovebitur per fpatium 12, 7", feu 12", 41 Bis À * 33. Si ergo mafla Veneris æqualis effet maffæ terræ, ab ejus aétione Aphelium Terræ fingulis annis promo- veretur per fpatium 12", 42", & quidem refpeétu ftel- larum fixarum, cum tamen conftet totum ejus motum annuum vix 12” fuperare. Quare cum certum fit, ac- tioncm Saturni & Jovis jäm ipfi imprimere motum 7", 197” quotannis& qui à Marte aliquantillum augetur , evidens eft pro Venere vix 5" relinqui. Multo igitur minor fit Veneris mafia quam mafla celluris necefe eft, & quia ejus volumen jam æriplo minus eft , mafla quo- que im eadem ratione diminui debet ; unde fipro Ve- ner ponamus 7 = +555 5 us effeétus in aphelio igrræ promovendo erit. quotannis.4", 14". Verumta- men fi ordinem, quo planetæ Soli propiores fimul den- fiores obfervantur, fecuti denfitatem Veneris.aliquan- MOTUS PLANETARUM. 2 tum augeamus , effeŒus aliquantillum major prodibit. Pro Marte autem, cujus volumen fere quadragies mi- nus elt terra, ob denfitatem minorem ejus mafla pluf- quam quadragies minor mafla terræ ftarui deberet. Unde cum Marti parem cum terra maflam tribuentes, ejus effectum annuum in motu aphelii invenerimus 4", 40", hic effectus revera minor crit quam 5", ideoque penitus rejici porerit. 34. Si conje@uris aliquid tribuere licet; quia New- tonus ftatuit denfitares Saturni, Jovis & Terræ ut 67, 95 & 400, videntur eæ proportionales efle radici qua- dratæ motuum mediorum , quos littera #2: indicavimus. Hanc igicur regulam fi fimul ad reliquos planetas tranf- feramus, eorumque volumina fecundum celeb. Mon- nierium conjungamus, poterimus eorum mafñlas colli- gere ut fequitur Volumen| Denfitas! Maffa Saturnus 132 -|0, 184 24,288 Jupiter 270 |o,292178;84a Mars We 0,730 0,018 Terra I 1; 1, L Venus 5 1,127 | O,4120 Mercurius| 2,04 | 0,040 Maffam vero Terræ ad Maffam Solis ftatuit Newtonus ut 1 ad 170000 circiter, quæ ratio paralaxi Solis 10! nicitur, quæ, fi effet major minorve, fractio Free in ratione duplicata parallaxeos deberet auseri mi- nuive, 35- Quia ergo Martis effectus in motu aphejii eft nullus & Veneris effectus ex hypocheñ 2 = 5. inventus et — 12", 42", hic per o, 42 mulriplicari debet, ur prodeat verus efféétus annuus qui ergo eric Qi 124 INVESTIQATIO PERTURBATIONUM — $”, 20. Cum ergo ab aétione Saturni & Jovis con- junétim fit 7, 19", ob aétionem omnium planeta- rum aphelium terræ refpetu. ftellärum fixarum quot- annis promovebitur per fpatium 12'', 39” & fi. ob Martem addamus circirer. 4", habebimus 12", 43, id quod fatis convenir cum obfervationibus ; cum enim ræceflio media æquinoétiorum fit fingulis annis 50", 1 8, erit refpectu æquinoétif motus aphelii annuus 63" & unum " quæ determinatio tantum tertio major eft quam motus 63", qui aphelio ju noviflimis tabulis affi- ognatur., Viderur erco determinatio maflæ Veneris veri- tati maxime conformis, ac proinde pro Venere erit va- lo rt = %,, qui cum rationi maxime fit conformis, nefcio an gravius argumentum proferri poñfit, pro evincenda planetarum aétione mutua, quan- doquidem motus aphelii terræ exaétiffime inde dedu- citur. 36. Cognito itaque vero valore ipfius » = qualirates in loco terræ inde oriundæ certius definiri poterunt : colliguatur autem valores : B'=—11,2886;5 C'—+11, 7993. Quodfi jam longitudo Veneris à longitudine terræ fub- trahatur & angulus refiduus vocetur =», tum longi- tudinis terræ more confueto computatæ correctio ab aétione Veneris profecta erit : ! = 5,75 fin. n + 6", O2 fin. 2 #; quæ correétio, quando fit maxima, ufque ad 101 mi- nuta fecunda increfcere poteit, id quod evenit, quando angulus » eft VE n = 45, 70, ven 208, 70, | illo cafu 102" à longitudine terræ fubtrahi hoc vero addi debent. À Marre autem talis correctio vix fenfbilis MOTUS PLANETARUM. 125$ orituf, quoniam enim ea, quæ ex hypothefi » — 774555 eft inventa, plufquam quadragies minor accipi debet, ea fempeér infra minutum fecundum fubfiftec , ideoque nifi fumma precifio defideretur, fine errore negligi po- terit. 37. Motui aphelii æqualis eft motus nodi retrogra- dus, unde linea nodorum orbitæ terræ fuper orbita Ve- neris quotannis per fpatium $", 20" regredietur; quæ præcellio integro fæculo valebit $33 minuta fecunda. Cum igicur inclinatio orbitarum harum fit 3°, 23/, 20", maxima mutacio fecularis, quæ hinc in latitudinem ftel- larum fixarum redundat erit 3 12", qui effectus certe no- tbilis poft plura fecula effe debet. Quoniam longitudo lineæ nodorum terræ fuper orbita Veneris cadic in 85, 14°, erit latitudinis variatio fecularis ut fequitur Pro ftellis quarum longitudo eft 85, 14° à diminuitur : s borealis Latitudo { ARS Ÿ 317! fi latitudo fuerit { ns augetur At pro ftellis quarum Jongitudo eft 25, 14° : augetur ; È borealis Latitudo { : j 313 fi lacitudo fuerit on diminuitur ë D 126 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM LR IONIN IN INLNANNNMN TE MANN NN NAN ANANANAN IDE PAPA PAIN PNA APN EE NADIA NRA AA AA DAS E ON CLS O Continens difhinctam expofitionem omnium inœqualitatum quibus motus telluris ab adlione omnium Planetarum corjunélim perturbatur. E X is quæ hactenus fingulatim circa effe&tum cujus- liber Planetæ in motum terræ per calculum funt eruta, perfpicuum eft, omnes perturbationes , quibus motus terræ afficitur, ad tria genera reduci pofle. Primum {cilicer genus fpetat ad promotionem aphelii terræ;, five apoget orbitæ Solis, prouti in Tabulis exhiberi foler. Ad fecundum genus refero correctiones, quibus locus terræ five folis fecundum confueta Tabularum Affronomicarum præcepra computatus ad veritarem per- duci deber. Tertium vero genus refpicit latitudinem ftellarum fixarum, quæ, quia ab aétione planerarum planum eclipticæ paulatim immutatur , variabilis eft deprehenfa. Hos igitur ternos aétionis planetarum ef- fetus in motum Telluris exertos hic breviter comple- xurus diftinéte proponam: quo tam eximius Theoriæ cum veritace confenfus clarius perfpiciatur, quam ipfa Theoria motus folis ad majorem perfcétionis gradum evehatur, MOTUS PLANETARU M. 127 ] Ë De effelu Planetarum in Aphelio Terre [eu Apogeo Sols promovendo. Quilibet Planeta aliquid ad aphelium terræ refpe&u fellarum fixarum promovendum confert, Ac Saturni qui. dem & Jovis effeétus nulli dubio eft fubjeŒus, quoniam horum duorum planerarum mafñla feu vis abfoluta ex motu fatellitum fatis exacte concludi poteft. Si enim maffam folis unicate defignemus; ex remporibus perio- dicis Sacellitum novimus efle maffam Saturni = -;, & Jovis == =. Hincigitur inveni ab atione Saturni aphelium Terræ fingulis annis promoveri debere per fpatium o", 22", ab aione Jovis autem per fpatium 6", 57", ideoque ab ambobus conjun@im per fpatium 7",19". Pro Marte fecutus fum recentiflimas conclufo- nes celeb. Monnierii, qui ejus volumen 42 vicibus minus ftatuit quam volumen terræ, unde cum ejus mafla ob minorem denfitatem ad minimum quinquagies mi- nor fit putanda, ejus effectus in motu aphelii terræ pro- movendo per annum $'” fuperare nequit. Eidem auc- toritati innixus volumen Veneris triplo minus aflumf volumine terræ & quia ejus denfitas probabiliter ali- quanto eft major, ejus maflam fumfi ££ mafæ terræ, unde pro Venere prodierat valor ipfus 2= 5; hinc vero pro aphelio telluris adeptus fum motum an- nuum 5”, 20". Mercurii plane nullam habui rationem, cum ob fummam ejus parvitatem, tum quod ingens difcrimen inter ejus orbitam & orbitam Terræ effeétum diminuit ; unde calculo fubduéto apheliam Terræ vix per 1° quotannis promoveri reperitur. Ex his igitur effeétibus particularibus colligendis adi- pifcemur univerfum aphelii cerræ motum annuum, ut fequitur : ; 128 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Promotio annua Aphelii Terræ d VL SAM ENST QG «se à à vi Jovis mo aotadoh,l $7 à vi Maruti ét MEME OR TES \ . . 4 AVI VENENS NS TR ETS QU STI N av MerCHr I se MOINE ORAN Motus totalis annuus : . . 12", 44" Per tantum ergo fpatium aphelium terræ feu apogeum Solis quotannis refpectu ftellarum fixarum promoveri debet, refpeétu æquinoétiorum autem , quorum præz ceflio media annua ftatuitur ab Aftronomis $0”; 18", hæc aphelii terræ promotio erit 63”, 2". Convenit autem hæc dererminatio ram accurate cum veritate, ut certe ne uno quidem minuto fecundo dif- crepet. Atque hic quidem primo pulcherrimus con- fenfus Theoriæ, qua cunéta corpora cœleftia fe mutua in ratione reciproca duplicata diftantiarum attrahere aflumuntur, cum veritate luculentiflime agnofcitur, ita ut nefas effet iftam Theoriam amplius in dubium. vo- care. Deinde vero imprimis notari velim , me in confti. tuendis maflis Martis & Veneris exquifitiflimas celeb, Monnierii determinariones effe fecutum , quæ propte- rea & Theoriam confirmant & ab ea vicifim confir- mantur. Quodfi enim vulgarem Aftronomorum opinio- nem eflem fecutus, qui Martem tantillum minorem terra, Venerem vero adeo majorem func arbicrati, ab his folis duobus planetis aphelium Terræ quotannis per fpatium fere 17" promorum fuiflet, ficque ab omnibus planetis conjunétim tota progreffio annua ad 24" afcen- difet, qui enormis error hanc opinionem fufficienter refutat. Cum igicur jam fatis audaéter affirmare poli- mus, pofita maflh Solis = 1 , effe maflas Saturn = 55 Jovis MÔôÔTUS PLANETARU M. 26 _ EX En Mate ea z : Sarre ef Jovis =n 7%; Martis == &isss5 Veneris = 7 quandoquidem his valoribus verus motus aphelii terræ obrinetur ; ipfus terræ maffa hic plane non concurrit, etf eam cum Newzono affumferam = 2 5 hæc enim à parallaxi horizontali Solis, quam 10" pofuit, pendet, atque e2 mutata in ratione cuborum immu- tari debet, manentibus illis reliquorum planetarum maflis. Si ergo Solis parallaxis horizontalis effet 121", ifta maffà affumta per (Æ5);= 1,95 multiplicari de- beret, ficque prodiret = 5555. Hinc igitur mafla Veneris foret 4% vicibus minor mafla terræ; & quia volumen tantum triplo eft minus, denfitas multo mi- nor effet ftatuenda 5 quod etf nullo jure inficiari poffu- mus, tamen prior hypochefis Newtoni 10" elegantius cum ordine, quo denfitas planetarum ad folem acce- dendo crefcere videtur, confifterer. Verum cum hæc conjeétura nimis debili nitatur fundamento, hinc mi- gime argumentum contra parallaxin 122" perendum effe cenfeo. LL De Effeéu Planetarum in longitudine terræ vel Sois alteranda. Supra vidimus effé@tum Saturni nimis effe parvum auam ut in loco terræ folisve perceptibilem mutatio- nem generare valeat, quod idem de Marre & Mer- curio eft renendum, omnis ergo perturbatio , quæ qui- dem 2b aétione planetarum in locum terræ redundare poreft , tantum à Jove & Venere oritur, qua ft, ut etfi locus folis fecundum tabulas ordinarias veris ele- mentis rite inftruétas fuerit computatus , is ramen.ad Prix de 1756. R 130 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM plura minuta fecunda à veritate difcrepare poflit. Re- quirit itaque accurata loci terræ folisve dererminatio duplicem correétionem , alteram à loco Jovis alteram à loco Veneris oriundam , quæ utraque adhiberi de- bebit ad locum ex tabulis ordinariis fupputatum, quas quidem tam ratione motuum mediorum quam excen- rricitatis rete conftitutas efle poftulo. Primum igitur ad tempus propofitum quæratur lon- gicudo Jovis heliocentrica, eaque à longitudine terræ, {quæ à longitudine folis 6 fignis diftac) fubtrahatur, ac refiduo per » indicato, erit correétio à Jove orta: — 7, fin. n+ 27!!, fin. 2 n. Deinde fimili modo ad tempus propofitum colligatur Longitudo Veneris heliocentrica, quæ à longitudine terræ fubtraëta, relinquat angulum littera » indican- dum, ex quo habebitur correctio à Venere — 52" fin. n + 6" fin. 2 n. Atque hac duplici correétione adhibita verus locus terrx vel Solis obtinebitur , quatenus is quidem ab adtione planetarum principalium turbatur. Nam fatis certum videtur locum terræ etiam ab actione lunæ aliquan- tillum alterari, qui effeétus ad 10” ufque exfurgere pofle videtur; & fi adhuc non fatis diftinéte eft ani- madverfus , ignoratis illarum duarum inæqualitatum Jovialis & Venereæ in caufa fuifle eft credenda. Nullum autem eft dubium , quin adhibendis his correétionibus locus folis exactiffime definiri poffit , dum ex ex iifdem fontibus promanant, unde illa egre- gia motus aphelii determinatio eft deduéta. Aftronomi quidem etiamnunc conqueri folent loca folis ex opti- mis tabulis deduéta quandoque ultra femiminutum pri. mum ab obfervationibus diffentire, etiam fi eædem tabulæ pluribus aliis obfervationibus exatte refpondeant : nure autem facile perfpicimus inæqualitates à Joye & Venere MOTUS PLANETARUM. 11 profectas, fi lunarem adjicianus interdum fere ad 30" aflurgere pofle. Verum tabularum fumma cura inftruc- tarum error etiam major evadere potelt, propterca quod his correctionibus ignoratis neque excentricitas neque apheliurm ueque luca media exaétiflime confti- tui potuerint, Quando autem plures accuratiflimæ folis obfervationes præfto fuerint, ex quibus ejus longitudo ad aliquot minuta fecunda vere definiri pofit, non fo- lum confenfus harum correétionum cum veritare facile explorabitur , fed etiam vulgaria elementa quibus ta- bulæ func fuperftru&tæ , exactiflime emendari pote- FUNt, XII. De effeu Planetarum in Larirudine ffellarum fixarum mutanda. Quatenus planetæ vi fua planum ecclipticæ de firu pellunt, eatenus nobis ftellx fixæ latitudinem mutare videntur. Hic quidem effeétus à Marte & Mercurio otiundus rejici poteft, cum à priori integro feculo va- riatio nodi ?'' affurgat;s qui autem à Saturno oritur , uia lineæ nodorum Saturni & Jovis tantum 13° dif- Abe , ejus effectus utpote valde parvus fine errore cum effeŒu Jovis conjungi atque ad lineam nodorum Jovis referri poterit quorfum eft exiguum effédum Martis conjicere licebit. Variatio igitur fecularis maxima, quæ à Saturno, Jove & Marte fimul in latitudine ftellarum fixarum generatur ita fe habebit : Pro fkellis fixis, quarum longitudo eft 95, 8° (A. 1750) . decrefcit 1S . : borealis ? Latitudo Lace ? F7" fi latitudo fuerit $ trs R ij 132 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM Pro fifisiGuiss quarum longitudo eft 35, 8° . crefcir 115 : . borealis ? Laticudo Le 17/5 fi laticudo fuerit $ quais Major autem effe&us à Veuere editur, quia ejus orbita magis ad Bebe eft inclinata : atque variatio fecu- laris ita fe habere inventa eft : Pro ftellis quarum longitudo eft 85, 14° (A. 1750) borealis ? . decrefci : | . Latitudo j ag: 31'"E fi latitudo fuerit À tal Pro ftellis quarum longitudo eft 2 S, 14° Latitudo ton 312", fi lacicudo fuerit { AR Hæc fcilicet valent pro ftellis quarum longitudo nune eft vel 85, 14°, vel 25, 14°. Erf enim labentibus feculis longitudo ftellarum fixarum notabiliter mute- tur, tamen earum diftantia à nodis planetarum multo minorem mutationem patitur, unde quarum ftellarum longitudo nunc eft 85, 14°, vel 25, 14°, eæ etiam ante plura fecula nodis Veneris tam fuerunt propin- quæ, ut in variatione feculari nulla fenfibilis mutario oriri queat, Arque ob hanc caufam iftæ expofitæ va- riationes ad plura fecula retro & in pofterum fine fen- fibili, errore extendi poterunt. Quantum autem bæc cum experientia conveniant tam facile non patet, dum plures Aftronomi omnino negant latitudinem ftellarum fixarum ulli variationi effle obnoxiam; quæ fententia fi veritati effet confentanea, certe ingens detrimentum pareretur. Verum ejus falf- tas argumente maxime obvio luculenter oftendi potelt. Qui enim ftatuere velit laticudinem ftellarum fixarum efle invariabilem, quia orbitæ planetarum fitum fuum gefpeëtu eclipricæ continuo mutant, is concedere cogi- MOTUS PLAN ETARUM 133 ur, diffantias flellarum fixarum ab orbitis planetarum efer variäbilés é. corumque lñeol4$ muütationem quan- dam îa ftellarum latitudine iphsivifa percipere debere. : Cum igitur omnium planetarum incolæ: varfationem in? liticudiñe ftellarum fixarum obfetvent, ’ridiculum férec hocde incolis Terræ negare velle. - be Verum non dico , omnes ftellas in atitudine parem Variationem pati ,. quin potius dantur ftéllæ, quippe quarum longitudo vel intra hos lfnites” 05,089, & 115, 149, vel intra Hos 65:89, &55,:142:conti- netur ,: quæ «nullam ‘fere mutationiem: ‘in: laticudine fubeunt. Ac fortafle tales ftellæ fixx Aftronomos fe- duxerunt; ut crederent latitudinem nulli mutationi ef obnoxiam.: Ad hoc acéedit;'quod veréres cbferva- tiones plérumque nimis funt craflæ, quam ut ulla/mu- tatio ex earumcüim hodiernis compardcione tuto ‘con cludi_ queat, præcipüue fi ejufmodi ftelle fixæ examini fubjiciantur, in quibus non fatis notabilis variatio latie tudinis evenire debuit.. Verum f .examinaretur. ftella cujus longitüdo hodie éft'circiter vel 35 vel of, ejus latisudo tempore:Prolemei ad 13! diverfaseflé debuir ab ca quæ hodie obfervatur, Josh msbmuios Interim tamen ‘in catalogo Ptolemei plerumque multo majus difcrimen laticudinis deprehenditur, quam Theoria poftulat, & Quam-hic «errori obfervationum haud parum eft tribuendum, tamgp, inde iftam varia- tionèm fatis manifeftim reddi Soit quidem vide: tur, præcipue fi ad ftellas principaliorés "refpiciamüs.- Ita à Landsbergio ad initium Æïræ Chriftianx affi- gnatur tft Oculi Tauri latitudo 6, 44! À que hodie eft 5°, 30’ A; Cordis Scorpiilatitudo 4, 12 A quæ hodie eft 4°, 311 À, At hodie oculi Tauri longitudo eft 25, 5°, 52! & Cordis Scarpii, +. + «+ 85 > 19 134 ÎNVESTIGATIO PERTÜRBATIONUM Secundum noftram ergo Theoriam latirudo oculi Tauri à À.o ad A. 1750 decrefcerc debent 17: X 48! = 14% id quod exadiffime cum decremento à 5°, 44'ad $°, 30" convenir. Deinde latitudo Cordis Scorpii ab A, oad A.1750, quia eft auftralis & longitudo fere 85 14, crefcere Hebuié incremento 175. 48"— 14; cum ergo nunc latitudo fit 4°, 3 14", tempore A. o crar 4°, 17 quæ à Landsbergio affignatur 4°, 12!, ubi error s' incuriæ obfervationum adfcribi deber, Quæ duo exem- pla mihi quidem ad variationem per Theoriam ftabi- litam confirmandam fuficere videntur , neque- du- bito quin indidem plura hujufmodi argumenta peti queant. Quo autem clarius appareat quomodo cujufque ftellæ fixæ variatio laticudinis fecularis definiri queat, pona- mus ftellæ fixx longitudinem A. 1350.efle — /, atque ejus lacicudo fi fuerit borealis labente quoque fecula crefcet particula 37 2" cof. (1 3, 8°) + 5 12" cof (= 25, 14°) fin autem latitudo fuerit auftralis, ea fingulis feculis tantumdem decrefcet. Hæc autem formula fimplicius ita exhiberi poteft, ut fit 47 $'" fin. l+ GE" cof. l; unde fequens cabut pro variatione feculari ftellarum. Gxarum eft fuppurata. MOTUS PLANETARUM. TER TABULA INDICANS Quantum latitudo cujufque flellæ firæ fi fuerit borealis elapfo quoque feculo varletur. ARGUMENTUM. Longiudo flelle ad An. 1750 fumra. Y ÿ H S (91 np Grad| os |2:.4 in sus Im Sr :s nm ele ler o [+ 6",2/+29",5l+aa",5 +478 +38", 3|+18",5 sl+i0,; 3|#32,)5|+45 91447, 11435, 6lH14,6 10 |+-14, 4|435, 5|+47 ,0|446, 0 +32, 6|+10,5 15 |+18,4|+38,2|<+47, 8|+44, 629, 4l+ 6,3 20 |-11,2|+40,6|#+48 ,21+42,8|+i6,o|+ 25 [4253 8|+42,7|+48,2|+#+40,7|+12,3|— 30 129, 344, 5|4+47,8l238,3|+18,5|— Le m + % ES Dé Grad.| VI S'| VII SWIII S\IX S| X S|x1S © |— 6,2] —19",3|—44",5|—47",38|—38",31—-18", 5 $ |T10,3|—32,5|—4$,59|—47,1|—35$,61—14,68 : 10 |—14,4|—35,5|—47,0|—46,0[—32,6|—10,$ 15 |—18,4|—38,2]—47,38|—44,6|—219,4|— 6,3 10 |—22,1|—40,6|—48,2|— 41, 8|—16,0|— 2,2 25 |[—25,8|—42,7|—48,12|—40,7|—22,3|# 2,0 30 2923 — 4455147: 8i—38,3l—18,5|+ 6,2 Si ftellæ latitudo fuerit auftralis , tum figna hæc verfa funt intellisenda. Veluti fi quæratur latirudo Sirii tempore Prolemei feu À, 150 quæ nunceft 39°, 32', 8/ A. quia ejus lon- 136 INVESMIGATIOPERTURBATIONUM oitudo nunc eft 35, 10°, 14, ejus latitudo fingulis fe= culis labéntibus minuitur 46", érso A! 150 major fue- rit quam nunc 16 X 46”, hoc eft 12, 16”, erat ergo ” Lactudo Sirii A..150.,.., 399,49 52° À. Similique modo ope hujus tabulæ latitudé omnium fte- larum fixarum ad quodvis tempus definiri poterit. * Quodfi Catalogos Fixarum Prolemæi & Tychonis, quos Flamftedius cum fuo proprio edidit confulamus, manifefto inde fequentes quatuor ebferyationis collige- mus. I. Quod fixarum borealium, quarum longicudo eft H vel &, latitudo olim fuerit minor, quam nunc. IT, Quod fixarum auftralium, quarum longitudo el H vel &, laritudo olim fuerit major, quan nunc. HE. Quod fixarum borealium, quarum longitudo eft + vel %, laticudo olim fuerit major, quam nunc. IV. Quod fixarum auftralium , quarum longitudo eft » vel # , latitudo.olim fuerit minor, quam nunc. | et ; Li f t { Etf enim ex comparatione horum catälogorum ob noe tbiles errores. ir antiquis obfervationibus commiflos, de vera differentia nihil certe ftatuere yaleamus, tamen infignis confenfus nullum dubium cirça veritatem ha- rumi4 régularum relinquic. . Hac igitur ratione noftra Thcpria, quæ jam ex motu ‘aphelii-orbitæ térræ egre- gie ft confirihata, novum firmametitum acquirit, fimul« que quæftionem maximi momenti de variabilitate lati- cudinis ftellarum fixarum, circa quam omnes Aftronomi adhuc-ancipiter hæfere ; ita dilucide! decidit, ut eriam cujufque ftellæ fixæ ad quodvis cempus véfam latitudi- nenr aflignare-valeamus, 00021501 T0 i | | JE, pit ic à IV S MOTUS PLANETARUM. 137 EY. De effelu Planetarum in obliquirate Ecclipricæ im- mutanda. Tametfi jam fatis conftat, ab aétione planetarum nullum effeétum in axem terræ redundare poffe, unde ejus fitus immutetur, tamen quoniam pofitio plani ec- clipricæ variatur, dum planum æquatoris neuticam affi- citur, manifeftum eft hinc mutationem in horum duo- rum planorum mutua inclinatione oriri debere. Ad quam dilucide definiendum, ne effetus à mutatione axis terræ oriundos , qui in præceflione æquinoctiorum & mutatione quadam periodica obliquitatis ecclipticæ confumuntur , cum hoc effectu actioni planetarum de- bito confundamus, quia urerque eft valde parvus, al- terum fine altero in hoc negotio confiderare licebit : Animum ergo prorfus à nutatione axis terræ abftraha- mus; ita ut neque æquinoctiorum præceflio, neque mutabilicas illa in obliquitare ecclipticæ locum habeat, & quoniam planum æquatoris ee fpatii abfoluti nulli mutationi effet obnoxium, omnium ftellarum fixa- rum declinario effet immuctabilis. Confideremus ergo ftellam fixam, cujus afcenfio reéta fit 90°, ejufque propterea longitudo in initio caniri, cujus declinatio fit = d conftantis magnitudinis; lati- tudo vero præfenti rempore fit = /, caque borealis ; atque nunc quidem erit obliquitas ecclipticæ — d — /. Verum poftquam feculum fuerit elapfum, declinatio etiamnunc erit eadem = d, latitudo vero tum ex noftra cabula erit = /+ 45", 8 , ideoque pot feculum obli- quitas eclipticæ erit d—/— 47", 8, hincque fero 43" minor quam nunc. Quod ratiocinium cum ad plu- rima fecula elapfa accommodari queat, evidens eft obli- Prix de 1756. S 138 INVESTIGATIO PERTURBATIONUM, &C« quicatem eclipticæ fingulis feculis 48" diminui. Cum igitur hic idem effeétus ad phænomena ab axis terræ nutatione oriunda accedat , per Theoriam certum eft, mediam obliquiratem eclipricæ fingulis feculis 48! mi- norem feri; quare cum nunc €a obfervetur 23°, 28, 30” ea ante feculum feu A. 1650 fuerit 23°, 29', 18" necefle eft , at À. 1550, 23°, 30, 6; tempore au- tem Prolemæi feu À. 150, obliquitas eclipticæ fuir 2 HOME NTAE Verum fi veteres obfervationes examinemus, nullum lane dubium relinquitur, quin quo magis regrediamur, obliquitas eclipticæ major fuerit, quam hodie unde de- nuo quæftio maximi momenti in Aftronomia deciditur, & quod adhuc in fumma dubitatione erat conititurum, ad infignem lucem revocatur ; quo ipfo veritas Theo- xiæ hic expolitæ ad fummum certitudinis gradum eve- hicur. FINIS. »rtubalones Planetarum, à L. Eutero. Prix de 1746! de La Gardes Soulr d 405 à Phetbn)s ire got em 15 à pe tr PORN CTP ES HYDROSTATIQUES ET MÉCHANIQUES, Sur la queftion propofée pour la feconde fois par l’Académie Royale des Sciences : Quelle ef? la meilleure maniere de diminuer le Roulis à le Tangage d'un Navire, fans qu'il perde fenfr- blement par cette diminution aucune des bonnes qualités que fa conftruction doit lui donner. Piece qui a remporté le prix de l'Académie Royale des Sciences en 1767. Par M. Danrrz BrrNovuzrzr, Affocié Etranger de l’Académie Royale des Sciences, Membre des Académies de Berlin, de Perersbourg , de Bologne , &c. Qui dubis aufus committere flatibus alnum Quas natura negat, præbuit arte vias. ER EE AE CE A UC 2 ESS SEE USED LÉ Lu , a 2. (Nr 0 noir 7 rh ” Mir . F0) di GE UE e à | vié AULÉTR TEEN FACNRC sv pui: FA l (Ve : es ii ds * re LM D h sn è RUE cr ie 44 L E 4 PI FEX 1 ’ Te ; ! mn: 2 RE Der cena pe Ru PANIE: ac te #14 MÉMOIRE Sur la maniere de diminuer le Roulis & Le è) : LE T'angage d’un navire, Jans qu’il perde fèn- Jiblement, par cette diminution, aucune des bonnes qualités que fa confiruchion doit lui donner. $-I. UoIQUE l'Académie Royale des Sciences ait adjugé le prix de l’année 175$ à M. Chauchot, très- favaut & très-habile Conftruéteur de Vaifleaux, elle na pas laiffé de propofer une feconde fois la même queftion pour le Prix de 1757. Ce fujet étoit, Za maniere de diminuer le plus qu’il ef? poffible le Roulis & le Tangage d’un navire, fans qu'il perde fenfiblement, par cette diminution, aucune des bünnes qualités que fa conftruc- ion doit lut donner. L'Académie donne en même tems à connoîrre la rai- fon qui l'a engagée à ce nouveau procédé: Elle a voulu Ai] 0 4 RECHERCHES SUR LE RouLIs couronner l'excellence & la beauté de la piece de M. Chauchot ; mais en même tems, elle a eu égard à l'im- portance d’un fujer qu’elle juge /ufceprible de recherches plus profondes. Ces recherches plus profondes ne peu- vent confifter fans doute que dans un examen exaét & précis de tout ce qu’une bonne Méchanique & Hydrof- tatique peuvent nous diéter fur ce fujer. $. II. De toutes les recherches qu’on peut faire fur notre queftion, la plus effentielle eft celle qui concerne la ftabilité des navires. C’eft aufi ce qui a engagé M. Bouguer, cet illuftre Géometre, & l’homme du monde le plus entendu dans tout ce qui regarde la navigation & la conftruction des vaifleaux, à traiter cette queftion avec une fcrupuleufe attention & toute la fagacité poflible, dans fon Trasté du Navire, de [a conftruélion & de [es mou- vemens. M. Chauchot, à fon exemple, n’a pas manqué de cirer là-deflus quelques formules, & d’y ajoûter quel- ques réflexions , maïs fans cette précilion & ce détail que lPimpo tance de la queition exige. Je ne faurois donc me difpenfer de reprendre rout de nouveau certe ma- tiere, mais toujours dans la vue d'appliquer mes recher- ches à notre fujet principal; & comme depuis très long- tems jai tâché de me la rendre familiere, j'ofe me flatter de n’en rien dire dans ce Mémoire de fuperflu ou d’étranger à la queftion de l'Académie. L ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 5 C'HBSPEMTOR E PREMIER, Sur la flabilité des corps flottans. SAIT Le UT corps flottant dans des eaux calmes, affectera une certaine polition déterminée ; il n’y a que les corps fphériques, dont le centre de gravité fe trouve placé au centre même des corps, qui foient abfolumenc indifiérens à toute pofition. La moindre free peut faire quitter à ces corps leur premiere polition, & ils ne la reprendront point, quoique la force cefle d'agir. Dans les corps cylindriques ou fphéroïdiques, qui auroient leur centre de gravité placé dans l'axe, il n’y auroit que axe même qui prendroit toujours une certaine pofi- tion déterminée ; mais rien ne détermineroit leur pofi- tion autour de leur axe, Tous les autres corps flottans prennent une certaine potion déterminée en tous fens. Il eft vrai que la moindre force leur fait encore quitter cette pofition ; mais la force ceflant d'agir , les corps re- prennent toujours leur potion d'équilibre. C'eft cer effort de fe rapprocher de fa potrion d'équilibre qui for- me la ftabilité des corps ottans, comparable en tout à celle d'un corps arrondi pofé fur un plan horizontal, qui auroit le centre de gravité au deffous du centre de la courbure pour le point d'attouchement & pour le plan vertical, dans lequel on rouleroit le corps. Ordi- -nairement la force réquife pour éloigner les corps plon- gés, de leur polition naturelle, elt d'autant plus vrande que les corps s’en éloignent davantage ; cependant cette augmentation de force ne va que jufqu'a un certair de- gre. Cette force dépend encore de plufieurs autres cir- 6 RECHERCHES SUR LE ROULrIs conftances , ce qui fait que les corps plongés ont plus ou moins de ftabilité, quoique rapportée au même plan & à une inclinaifon égale. Je me propofe donc, avant toutes chofes , d'examiner les circonftances qui déter- minent la ftabilicé des corps plongés ; & comme les na- vires font fort fujets à s'éloigner extrêmement de leur pofition droite, je pouflerai à cet égard mes recherches plus loin qu’on ne fait ordinairement ; je confidererai des inclinaifons finies quelconques. Il faut confidérer d’abord deux points dans les corps plongés ; Pun eft le centre de gravité du corps, & l'autre, le centre de gravité de fa partie fubmergée , confidérée comme homogene; on regardera enfuite la pefanteur de tout le corps comme concentrée dans le premier de ces deux points ; de-là il réfulre une force égale au poids du corps appliquée à fon centre de gravité, agiflant verticalement de haut en bas, Dans l’autre point on fuppofera une force égale qui agit verticalement de bas en haut ; cette feconde force provient de la pouflée de Peau qui foutient le corps. Lorfque le corps plongé fe trouve dans fa pofi- tion naturelle, les deux dits centres de gravité fe trou- veront néceflairement dans une même ligne verticale ; mais fuppofons le corps, par des forces purement hori- zontales, arrêté dans une autre pofition , il faudra alors, par les deux dits centres de gravité , tirer des verticales, & la diftance entre ces verticales marquera le levier, fur lextrèmiré duquel le poids du corps agit & fait effort pour remettre le corps dans fa pofition naturelle. Je pañle légerement fur ce principe comme clair par lui- même. Si on nomme donc P le poids du corps & 7 la diftance entre les deux dites verticales, le produit Pr marquera le momentum de la force, qui tend à rappro- cher le corps plongé de fa pofition naturelle, & qui fera fon effet auffitôt que les forces horizontales étrangeres cefleront d'agir. Ainfi notre queition fe trouve réduire à celle de déterminer la quantité 7 pour chaque pofi- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 7 tion du corps, dont le volume fubmergé eft fuppofé conftamment égal. Je remarquerai cependant ici, que cette fuppoñion ne trouve plus lieu auffitôt que (ei COrps eft abandonné à lui-même & qu’il commence à balancer, & que ce corps tirera alternativement plus & moins d’eau. $. IV. Commençons par une fimple tranche unifor- mement épaifle, plongée verticalement dans Peau, & perpendiculaire à l'axe de rotation. Suppofons la tran- che d'une figure quelconque, telle que ace, qui peut repréfenter e plus g orande fection verticale d’un navire perpendiculaire à Fi longueur. Suppofons aufli que dans la pofition naturelle de la tranche la ligne a e foit hori- zontale , & que de cette pofition naturelle la tranche foit parvenue dans la pofition oblique ace: foit alors bd la ligne d'eau, & bcd la partie fubmergée. De cette maniere l'angle entre les prolongées e a & db fera lPan- gle de rotation, que j'appellerai «, & que je mefurerai par un arc de Ce qui a lunité pour rayon. Ii eft queftion de trouver une équation entre la différentielle do & l'incrément de force correfpondant. Soit donc pour la pofition infiniment proche de la précédente la ligne d'eau #7, & comme la partie fubmergée eft fup- pofée cote ait égale , il faut que le triangle élé- mentaire b x m foit égal au “triangle oppofé FA ce qui fait bx= dx; le petit angle hxm ou dxn rs expri- mé par do. Soit le centre ‘de gravité de la tranche ace au point s , les centres de gravité de la partie fubmer- te] gée homogene pour les lignes d'eau bd & mn aux points f &g. Si après cela on tire des points s & f, les lignes s 7 & fo perpendiculaires à la ligne d’eau 4 d, Pinterceptée ro: fera, en vertu du . IT, la longueur du levier fur lequel le poids de la Re fait for pour rapprocher cette tranche de fa pofition naturelle relativement à la ligne d'eau 4 di & fi pareillement on tire des points s & g, les lignes s z É gy perpendi- FIG. I 8 RECHERCHES SUR LE ROULTIS culaires à la ligne d’eau mn, l'interceptée z y fera dané le même fens le levier relativement à la ligne d’eau #75 ainfi la différence entre :y & ro, marquera l'incrément du levier pendant que le poids appliqué à ces leviers refte conftamment le même. Il s’agit donc de dérermi- ner la différentielle £y — r 0 : or tirant encore la ligne fo perpendiculaire à 2 d, on aura ty — ro = yq— op+ut;& comme la petite ligne gf eft néceflairement parallele au niveau d’eau » 7, on aura yg =gf; & par conféquent 1y — r0 —=2f—0p+uri nous allons maintenant déterminer analytiquement ‘ces trois élé- mens. Soit bd = q, la furface ra M, on trouvera . 5 $ . gÿ d a par les premiers principes de la Sratique gf—= Confidérant enfuite légalité des angles à x», ofp & st, & dénotant la verticale fo par y, la verticale sr par 7, onauraop=yde Kut—7do, & enfin la dé , Etat & quantité cherchée gf—op+ut= ( —y + de. Si on indique par s la hauteur verticale du centre de gravité de la tranche par- deflus le centre de gra- vité de la partie fubmergée homogene, ladite quan- tité devient (= —5s | do. Voilà pour chaque rota- 12 M tion élémentaire dc l'accroifflement du levier; & fi on multiplie cette quantité par le poids de la tranche, on aura l’accroiflement du #0omentum de Ja force. Soit donc l'épaifleur de la tranche = à & la quantité M « expri- mera la quantité d’eau déplacée, au poids de laquelle le poids de la tranche eft égal. Ainfi nous exprimerons o E ce poids par Mu, & de cette maniere nous aurons le- dir accroiflement du momentum de la force =(5—Ms) ado, & le momentum total fera exprimé par l'intégrale de ladire quantité ou par f( 9 —Ms)ado. $, V. La ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 9 $. V. La folurion que nous venonsde donner de no- tre problème, s'étend à tous les corps prifmatiques, l'é- paifleur de la tranche indiquée par « pouvant ètre quel- conque ; mais sil éroit queftion d’autres corps, il fau- droit prendre des abfcifles x dans une ligne perpendi- culaire au plan ace, enfuite fubftituer dx pour 4, & faire une feconde intégration, puifqu’il eft clair que le momentum total fera exprimé par /d x (2 95 — Ms) do. Cette derniere expreffion eft a la vérité générale & com- prend abfolument tout ee qu'on peut defirer fur cette matiere ; mais comme il n’y a aucune loi de continuité, qui puifle exprimer la valeur de s pour chaque tranche d’un navire, verticale & parallele à Ja tranche principale, la formule devient tout-à-fait inutile pour cet ufage, & il faudra avoir recours à d'autres expédiens ; mais avant que d'entrer dans ces difcuflions , nous examinerons d’abord les corps prifmatiques, & il eft indifférent que toutes les tranches de ces corps foient uniformément char- gées de matiere ou non, pourvu que ces tranches de- meurent dans des plans verticaux. $. VI Pour trouver la valeur de f(= qg5— Ms)ado, il faut connoître pour chaque angle & les quantités q & s, & il feroir extrêmement difficile de déterminer une rela. tion entre ces quanrités, fi on ne vouloir demeurer dans des fuppofitions bien fimples touchant les configurations des fections ace. Je fuppoferai premierement la figure ace former un grand fegment de cercle: ceft la fuppoñition la plus fimple, & en même tems celle qui approche le plus de la feétion principale d’un navire. Dans ce cas la quan tité g devient conftante 5 mais pour trouver la quantité s, confidérons la tranche dans fa pofition naturelle , & fuppofons alors la hauteur du centre de la figure par deflus le centre de gravité —f, & puis la hauteur de ce dernier centre par deffus le centre de gravité la la partie fubmergée = g: fi après cela la tranche à pris Prix de 1757. 10 RECHERCHES SUR LE ROULIS une autre fituation quelconque , on voit facilement qu'on aura toujours la hauteur verticale du centre par- deflus le centre de gravité = f cof. «, pendant que la hau- teur du centre par-deflus le centre de gravité de la par- tie fubmergée eft conflamment f+g; d'où l'on tire s—f+g—fcof.o; ainfi nous aurons / (595 — M5) adce=f(# gi—Mf—Mge+ M f cof. o) ado = (ZE 9’ —Mf— Mg) ao + M f à fin. o5 mais la nature du cercle eft telle, que la quantité = g95— Mf— Mo eft toujours = o ; donc toute la quantité qui exprime le momentum de la force devient fimplement = Mf à fin. o. Cette formule nous montre que ladite force eft propor- tionnelle au finus de l’angle d’inclinaifon. Elle augmente donc continuellement jufqu'à une inclinaïfon de 90 de- grés 5 mais les augmentations deviennent continuellement plus petites. Cette remarque mérite quelque attention, parce que les roulis d’un navire ne fauroient manquer d'être à-peu-près pareils à ceux qu’auroient les corps que nous confidérons ici, Or les vaifleaux font fouvent fort incli- nés par un vent de côté permanent, & alors c’elt cette pofition , quoi qu’oblique , qui doic être regardée comme naturelle ; en ce fens on peut dire que la ftabilité devient d'autant plus petite, que la pofition naturelle eft plus oblique. Il me femble cependant qu’il faudroit tâcher de donner d'autant plus de ftabilité aux navires, qu’ils font plus inclinés par quelque caufe uniforme, parce qu’alors un nouveau degré d'inclinaifon peut être dangereux, Il fuit auffi de-là que les balancemens d’un navire con- fidérablement incliné dans fa pofition moyenne, feront plus lents que ceux d’un navire dont la poftion moyenne eft droite: ces derniers balancemens differeront encore entre eux en ce qu'ils feront d'autant plus lents qu’ils feront plus grands. Notre expreflion marque auili que la fabilité de ces corps elt proportionnelle à laiquantité f, c’elt-à-dire, à la plus grande hauteur du centre par def. fus le centre de gravité, fans que la hauteur du centre de ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. IL gravité de la partie fubmergée y entre pour rien pour ces corps figurés en fegmens de cylindres. Enfin, la fta- bilité eft encore proportionnelle à la quantité d’eau dé- placée par le corps: le corps aura donc d'autant plus de {bi té, qu'il tirera plus d’eau, pourvu que fon centre de grivité ne change pas. En confidérant donc la figure ace comme un grand fegment de cercle creux, s’il eft queftion de quelle maniere il faut le charger de matiere pour lui donner la plus grande ftabilité, je répons qu'il faut tâcher de faire la quantité Mf la plus grande qu'il eft polfible. Si donc par exemple [a hauteur du centre par deflus le centre de gravité étoit de cinq piés, toute la charge qu'on ajoûtera au-deflus de ces cinq piés di- minuera la ftabilité, & l'augmentera fi c'eft au deflous. De-là on peut conclurre qu’en pompant les eaux d'un navire, on diminuera le plus fouvent fa ftabilité. Mais d'un autre côté le mouvement des eaux qui coulent du même côté que le navire s'incline , diminue pareil- lement la ftabilité. $. VII. La matiere qui nous occupe eft fi eflentielle à notre fujet principal, qu’elle mérite toute notre at- téntion ; examinons donc encore l'efer de quelques au- tres figures. Voici une obfervation fortimportante : Soit abcdef (Fig. 2) la fection du corps prifmatique plon- gée dans l'eau jufqu’en be; fuppofons que les bords ac & fd foient des arcs d'un même cercle, & que jamais les inclinaifons ne foient aflez grandes pour que l’une des extrèmités c ou d forte hors de l'eau: je dis que l’on pourra facilement déterminer la ftabilité , quelle que foit la figure de la bafe c d, en joignant les deux bords circulaires par l'arc intermédiaire cg d, de maniere que tout l’arc a cod f foit un arc circulaire. Comme l’eau n'exerce aucun effort dans l’eau, il eft clair que pourvu que le plan code foit d’eau, le plan propofé a cd Je aura la même ftabilité qu'auroit tout le plan acgdf, fi la partie fupérieure a c d f reftant chargée comme elle Bi 12 RECHERCHES SUR LE RoOULIS left, la partie inférieure cg d évoit toute d'eau. Soit donc le centre commun des arcs abc, cod & daf au point o, le centre de gravité de tout le plan acgdf, chargé comme nous l'avons dit , au point #5; ces deux points o & m font dans une même ligne verticale pour Ja pofition naturelle; qu’on fuppofe om— & l’efpace bcgde—u; on aura, en vertu du $. VI, la ftabilité pour la figure plongée a c d f égale à la quantité h © æ Jin. . Cette formule nous fait voir que pour une même quan- tité fubmergée, la ftabilicé eft ici beaucoup plus grande qu'elle n’eft dans les hypothefes du précédent article , le rapport des deux ftabilités étant celui deu o à Mf; or puifque M r’eft qu'une partie de x, de même que f de @, la quantité Mf doit être beaucoup plus petite que la quantité # @, lorfque les ares 2c ou c d font pe- tits, & par conféquent la largeur 4 c aflez grande pour que l'efpace 2 c de foit = M. La quantité #@ croit en raifon des cubes de be, ou en raïfon réciproque des cubes de #c, ou du tirant d’eau. Ainf de deux navires qui ont la folidité de la carene égale, celui qui aura le moindre creux aura la plus grande ftabilité. Je ne n''ar- rêterai pas à tirer de notre formule tous Îes corollaires qu'elle offre ; remarquons feulement que la force ré- quife pour incliner ces corps rifmatiques, dont la fec- on elt repréfentée par a'c À en fuppofant c d droite ou courbe : que dis-je, cette force eft encore propor- tionnelle au finus d'inclinaifon ou à fn, a. De tour ce que nous venons de dire, il s’en fuit que le creux d’un navire ne fauroit augmenter où diminazr fort fenfiblement fa ftabilité, Il me paroît important d'examiner l'effet que le pius où moins de creux doit faire dans un navire ; voici cet effet : Suppofons la bafe c d s'éloigner de la ligne d’eau be, ce qui augmente le creux: Pour favoir fi cette augmen- tation du creux augmente ou diminue la ftabilite , il ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 13 n'y a qu'à examiner fi le furcroît du creux furvenu elt rempli d’une matiere plus ou moins pefante que Peau: daos le premier cas, la ftabilité eft augmentée ; & dans l'autre, diminuée, Mais un autre effet plus fenfible con- fiftera dans la rerardarion ou l'accélération des balance- mens: plus le tirant d’eau eft grand, plus les balance- mens font retardés ; & dans les balancemens, il ne faut pas feulement avoir égard aux excurfions, on doit en- core confidérer la durée de chaque balancement. Il faut également tâcher de diminuer & de retarder les balan- cemens des navires lorfque la chofe eft poffible. $. ViIl. La maniere finguliere dont je me fuis fervi dans le précédent article pour déterminer la ftabilité dans le cas que les deux bords ac & fd font des arcs d'un même cercle, quelle que foit au refte la figure du fonds cd, & lexpreflion y @ a fin. +. m’engagent à faire ici encore une remarque qui marquera en même tems la juftefle de nos méthodes & répandra quelque nouveau jour fur nos formules. Voici cette remarque. Soit la hauteur & c ou ed de la partie fubmergée bcdeb très-petice; alors le centre de gravité de tout le fyftême que nous avons fuppofé au point », fera le même que le centre de gravité du fegment homogene Bcode; en prenant donc le point "7 en ce fens, la Géo- métrie & la Méchanique nous apprennent que la quan- tité wo (ceft-à-dire l'efpace 2code multiplié par la diftance du point » au centre o) eft toujours égale à x cub. be. Cette propriété convient admirablemenc bien avec la formule générale marquée à la fin du 4. IV (139 3-—Ms) ado, puifque dans ce préfent cas g eft conftant & 5 —o, & que cette intégrale devient = + gas; mais à caufe de la petitefle de 4e, les in- clinaifons doivent toujours être très-perites ; on peut donc cenfer o— fin. s. Ainfi = qiac=pu@ afin. c. $. IX. Après avoir déterminé généralement la ftabi- lité, pourvu que les bords a ç & fd foient circulaires, 14 RECHERCHES SUR LE ROULIS je mettrai encore ici le calcul en fuppofant les bords ac & fd droits & verticaux. La différence des réfulrars ne fauroit manquer de répandre quelques nouvelles lumieres fur cette matiere ; mais quoique nous ayons donné à la fin du $. IV la formule générale pour déter- miner la ftabilicé , il faut pourtant avouer que chaque nouvelle figure demande un nouveau calcul; la mé- thode cependant: eft toujours la même 5 je ne ferai que mettre ici le réfulrat pour le nouvel exemple, Soit donc 4 8 C D (Fig. 3) la fection verticale du rifme flottant ; que dans la pofition naturelle du pa- ralielepipece , 4 5 & DC foient verticales, BC hori- zontales & GA ia ligne d'eau; foit enfuite GH=— 2 a, GP ou AC—c, la hauteur du centre de gravité du navire par-deflus le centre de gravité de la partie fub- mergée — d. Qu'on fuppofe à préfent la fe&tion 4 C D inclinée de maaiere que que gx foit la ligne d'eau; l'angle G Zg fera l'angle d’inclinaifon 5 mais dans ce cas il vaut mieux de déterminer lobliquité de la pofi- tion par Gg, & nous fuppoferons Gg = x. Sur ces dénominations, on trouvera le m0omentum = (ds =) xp — x M ou LPPEEE Afin d'approcher la formule de celles des $$. VI & VII, LA . nous remarquerons que == €Ît — /én. «, En fubfti- Vaarxx tuant cette valeur, on pourra donner à la force de fta- a 4 1 x Nous aurons enfin (ee—00); ® notre formule =—— DÉS 1) $. XXVI. Voilà la formule qui exprimera toujours à-peu-près l'étendue des balancemens du navire perma- nens & caufés par des efforts réguliers. Elle nous ap- prend donc que la quantité des roulis dépend de la force qui agite le navire, de la ftabilité du navire, & du rapport qu'il y a entre les cems : & 8, c’eft-à-dire, entre la durée d’un balancement naturel du navire, & la durée de chaque accès de la force qui agite le navire. Nous voyons aufli que les cas les plus à craindre font ceux où les balancemens des eaux qui caufent les rou- lis font à-peu-près de la même durée avec les Pa/ance- mens naturels du navire. Je n’examinerai pas encore toutes les conféquences qu’on peut tirer de cette for- mule. On voit généralement que plus la quantité +, qui eft proportionnelle à l'intenfité de la fabilité , eft gran- de, plus l'étendue des roulis fera petite. Il eft vrai que le tems z dépend le plus fouvent de la ftabilité, puif- que fi la ftabilité eft plus grande, les balancemens na- turels du navire en doivent être accélérés. On peut dire que tout le refte étant égal, le tems z eft à-peu- près réciproquement proportionnel à la racine quarrée de la ftabilité ; mais on remarquera qu'on peut changer E ï 36 RECHERCHES SUR LE RouULzIs le tems , fans rien changer du côté de la ftabilité ; en éloignant ou en approchant la matiere, qui fait toute la charge du vaifleau , de l’axe de rotation. La relation qu'il y a entre les quantités +, : & 8, pourroit faire, dans de certains cas, qu’en augmentant la ftabilité, on ren- dit les agirations du navire plus grandes. C’eft donc une queftion bien importante , sl convient d’augmen- ter La ftabilité du navire. Lä-deffus on peut faire les réflexions fuivantes. Comme le tems 8 eft incertain, puifqu'il dépend de la nature des agitations des eaux de la mer, & par conféquent des mers même où l’on fe trouve, & de plufeurs circonftances accidentelles ; 1] arrivera toujours , quel que foit le tems #, ou que 6 foit plus grand que z, ou qu'il foit plus petit, ou qu'il lui foit égal. Si 9 eft plus grand que r, il eft clair que la quantité re , devient d'autant plus petite ; que l'intenfité de la ftabilité æ eft plus grande, puifqu'on peut fuppofer la quantité 217 à-peu-près conftante ; & on remarquera qu'il eft indifférent que la valeur du dé- nominateur foit affirmative ou négative pour la quan- ticé de l’excurfion, & que certe différence marque fim- plement fi les forces 9 & + agiflent du même côté ou du côté oppofé ; mais fi 8 eft plus petit que z, on au- gmentera au contraire les roulis en augmentant la ftabi- lité, parce que le dénominateur devient plus petit, en fuppofant toujours la quantité #1# conftante. On fera peut-être furpris d'entendre qu'il peut y avoir des cas où une augmentation de ftabilité caufe une augmenta- tion de roulis. Je réponds à cela, que la ftabilité dimi- nue à la vérité toujours linclinaifon caufée par une force uniforme & permanente; mais que l’excurfion des roulis caufée par des accès de force, ne fe regle pas toujours fur ladite inclinaifon. Si 8 étoit infiniment plus grand que r, l'étendue des roulis feroit exprimée par +, & on diminueroit Les roulis à mefure qu’on augmente- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 37 roit la ftabilité. Si au contraire 8 étoit infiniment plus petit que s, la même étendue de roulis feroit exprimée par = , & la ftabilité ne changeroit prefque pas l’éten- due des roulis; d’ailleurs les balancemens feroient en ce cas très-petits par eux-mêmes, à caufe de la petitefle fuppofée de #, Le premier cas mérite donc plus d’at- tention que le fecond ; outre cela, il femble que le premier cas fera beaucoup plus fréquent que l'autre; car lorfque les accès, qui font rouler le vaifleau, font réguliers, je ne doute pas que ces accès ne foient ifo- chrones avec les mouvemens réciproques des lames, & ceux-ci font le plus fouvent beaucoup plus tardifs que ne font les balancemens naturels d'un navire. Après tout, il n’y a que le feul cas à craindre où les rems : & 6 font à-peu-près égaux; & comme on ne fait pas le- quel prévaudra fur l’autre, c’eft fans doute prendre le parti le plus fûr que d'augmenter la ftabilité tant qu'il ft poffible, puifque pour la même quantité :1— 69, les roulis en font certainement diminués, Je ferai voir ci-delious de quelle façon particuliere on pourra fe pré- cautionner contre ce cas, qui eft le plus ficheux. Au refte, on voit aiez que nos principes font toujours les mêmes, quelle que foit la fource des forces qui agitent le navire. Après avoir examiné tous les cas qui peuvent arriver, & après avoir fait voir, que le meilleur parti & le plus fûr pour diminuer les balancemens d’un navire, eft coujours d'augmenter fa ftabilité, il eft tems de con- fidérer ce dernier article avec tout Le détail réquis. 5 æ ÿ 1) K 38 RECHERCHES SUR LE ROUL1S oo + CANCPAMR ME" CTI Expofition des moyens qu'on peut employer pour dimiuuer le roulis & Le Langage des navires fondés fur leur flabiluté. $. XX VIT. Ï L s’agit, dans ce Chapitre, d'examiner quels font les moyens convenables d'augmenter la ftabi- lité du navire, & de diminuer par-là fes balancemens. Je ne parle pas de cette augmentation de ftabilité qu'on obtiendroit en augmentant les dimenfons principales du navire. Tout le monde fait qu'un grand vaifleau a plus de ftabilité qu'un petit. Nos formules montrent à cet égard que la flabilité croit en raifon biquarrée des dimenfions homologues pour les vaifleaux femblables , fuivant toutes les circonftances. Mais l’inertie de toute la matiere rélative aux balancemens du vaifleau , croit comme la cinquieme puiffance des dimenfions homo- logues. D'où il fuit que la longueur du pendule fimple ifochrone avec les ha/ancemens naturels du navire, fuit la raifon des dimenfions homologues ; & la durée de chaque balancement, la raifon fous-doublée des dimen- fions homologues. Aiïnfi un grand vaifleau pliera moins fous les voiles, dans les routes obliques, qu'un petit » en raifon réciproque des dimenfions Romele ÿ parce que le momentum de l'effort du vent pour faire plier le vaifleau, en fuppofant la mâture & les voiles garder la même proportion en tour fens , ne fuit que la raifon de la troifieme puiffance des dimenfions homologues, pen- dant que la ftabilité croit en raifon de la quatrieme puif- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 39 fance. On pourroit donc employer plus de voiles à pro- portion fur un grand vaifleau que fur un petit. Mais auf, d’un autre côté, le centre de gravité du navire eft à proportion plus haut dans les grands navires que dans les petits, tant à caufe de la charge & de l’artille- rie, que parce que. la ftructure n’eft pas entierement femblable ; & cette circonftance diminue la ftabilité des grands vaifleaux, furtout celle qui eft rélative aux roulis, car la ftabilité dans le fens de la longueur ne fera pas fenfiblement diminuée par cette circonftance. Quant à la proportion des forces, qui agiflent fur des navires de différente grandeur pour les faire balancer, & dontnous avons fuppofé, au (. XXV, l’intenfité — 9, an voit, pour peu qu’on y fafle attention , que c’eft un probléme abfolument indéterminé que d’indiquer cette proportion, Ces forces pourront confilter quelquefois dans l’action d’une petite mafle d’eau , qui exercera tout fon pouvoir tant fur le petit que fur le grand navire, de maniere que ces forces feroient égales; d’autres fois ce feront de grandes mafles d’eau, qui agiflent fur toute la carene , où fur une grande partie de la carene ; outre cela la direétion moyenne des efforts pañlera tantôt plus Join, tantôt plus près de l'axe de rotation du navire, &c. C'eft denc là une queftion fur laquelle on ne peut rien affirmer de poficif. Mais voyons aufli quelle fera la proportion entre les balancemens des deux navires, lorfqu'ils fe trouvent en même tems, dans les mêmes circonftances proches lun de l’autre. Car quoique la théorie fur l'étendue des ba- lancemens devenus tout-à-fait réguliers , que j'ai expofé depuis le $. XXI jufqu’a la fin du chapitre, ne fauroit jamais convenir aux balancemens des navires avec une précilion entiere, parce qu'il y aura toujours un refte d'irrégularité dans les circonftances, il n’eit pourtant pas douteux que ces balancemens ne fuivent plus ou moins les loix de cette théorie, fuivant Le plus ou le moins de régularité dans leurs caufes, 40 RECHERCHES SUR LE RoOUL1S Suppofons donc deux navires de grandeur différente, mais entierement femblables en toutes chofes. Soir la longueur de l’un à la longueur de l’autre, comme 1 an; & que l'étendue des balancemens foit exprimée } pour 68% {re —08)x nous avons trouvée à la fin du 4. XXV. Il s’agit d'exa- miner comment cette formule fera changée pour le grand vaifleau. Pour cer effet, on remarquera que le tems ÿ eft le même pour l’un & l'autre navire ; que le tems z doit être, en vertu de ce que nous avons marqué au commencement de ce {, changé en :Vn, & renn#r; & enfin qu’on ne peut rien affirmer de pofitif fur le changement de la force ç. J'appellerai donc g' cette force pour le grand vaifleau, quelle qu'elle puille être. le) De cette façon, l'étendue des balancemens du grand le petit navire, par , qui eft la formule que navire? fera exprimée par ETES Ainfi les balan- t— 6% )n4z cemens pour le petit & pour le grand navire feront comme 68 \ 68! e = À Krrrs,» OÙ comme On voit aflez, par ce rapport, que les balancemens du grand vaifleau doivent naturellement être plus petits que ceux du petit navire, parce que le plus fouvent le dé- nominateur z:— 09 fera beaucoup plus petit que l'autre dénominateur 25 11— 1488. Si on veut fuppofer : beau- coup plus petit que 8, & je crois qu’on fe trouve fouvent dans le cas à le pouvoir faire, ces balancemens feront en raifon de r4@ à @’. Je crois aufli que pour l’action des gran- des lames régulieres on peut Tue àa-peu-près = n3@, parce que les forces agiflent fur la furface de la carene proportionnelle à 22, & fur des leviers qui font naturellement proportionnels à 7. Dans cette feconde fuppofition, les balancemenr feront en raifon de na1, c'elt-à-dire, en raifon réciproque des dimenfions homo- logues, Mais je vois aufli qu’on pourroit fe trouver, par un ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. AT un concours de hazards, dans des circonftances que le grand navire fit de plus grands balancemens que l'au- tre ; cela pourroic arriver lorfque la quantité 242 feroit à-peu-près égale à la quantité 09. C'eft aux Marins en- tendus & accoutumés aux obfervations, à juger d’un tel paradoxe ; du moins fuis-je bien afluré que fouvent les grands navires feront d'auffi grands balancemens que d’autres navires confidérablement plus petits, & que par- ticulierement les grandes lames régulieres & uniformes doivent faire cet effet. $. XX VIII Voyons maintenant ce qu’on peut faire pour augmenter la ftabilité du navire, & pour diminuer par-là fes balancemens, fans changer aucune de fes di- menfions principales. Nous avons démontré dans le cha- pitre fur la ftabilité des corps flottans , que cette ftabi- lité dépend uniquement de deux chofess favoir, de la fection horizontale du corps à fleur d'eau, & de la hauteur verticale du centre de gravité du corps par- deflus le centre de gravité de la partie homogene fubmergée. Confidérons douc ces deux chofes l’une après l’autre; car en les confondant, on obtient fou- vent des quantités qui fe détruifent , & les deux four- ces de la ftabilité ne font plus reconnoiflables par la formule qui exprime la ftabilité abfolue. La fe&ion horizontale du navire à fleur d’eau fait à-peu-près une ellipfe. La ftabilité qui en réfulre dans le fens de la lar- geur du navire, eft en raifon compofée du cube du petit axe de l'ellipfe & du grand axe ; & la ftabilité dans le fens de la longueur , eft au contraire en raifon com- pofée du cube du grand axe & du petit axe (f. XIIL). De-là on voit combien il y auroit à gagner à augmenter la largeur du navire pour diminuer les roulis, & la lon- gueur pour diminuer les rangages. Si cependant on veut conferver la plus grande largeur, de même que la plus grande longueur dans la fection du navire à fleur d’eau, il y aura encore un autre moyen d'augmenter la ftabilité ; Prix de 1757. E 42 RECHERCHES SUR LE ROULIS c’eft de diminuer moins la largeur de ladite feétion vers la proue & vers la ROURT : plus la feétion approchera du reétangle circonfcric, plus la ftabilité du navire au- gmentera, & cela nonfeulement par rapport aux roulis, mais encore par rapport au tangage. J'ai démontré au milieu du dit $. XII, qu’en changeant lellipfe en fon rectangle circonfcrit, chacune des deux ftabilicés, en- tant qu’elles réfultent de la coupe du vaiffleau à fleur d’eau , eft augmentée en raïfon de 3 à 5. Voilà tout d'un coup une grande augmentation de ftabilité, mais qui devient encore plus grande du côté des roulis, en confidérant la ftabilité abfolue, c’eft-à-dire, en confi- dérant les deux termes qui l’expriment enfemble, puif- que j'ai fait voir, à la fin du . XHII, que la ftabilité en- tiere & abfolue feroit doublée, par ce changement, pour les roulis, quaiqu’elle ne foit pas fenfiblement augmen- tée au-delà de la proportion de 3 à $ pour les tan- gages. On devroit, au lieu de confidérer la coupe horizon- tale du vaifleau à fleur d'eau comme une ellipfe, la re- ss plutôt comme compofée de deux demi-ellipfes ur un petit axe commun, & dont les demi- grands axes feroient comme 5 à 7, parce qu’on ne fait pas le fort du vaifleau précifément au milieu, mais environ à de toute la longueur, depuis la proue, & Z depuis la pouppe. J'avoue cependant que je ne vois pas ce qui a pu engager les conftruéteurs de vaifleau à fuivre cette maxime , qui ne fait qu'augmenter la réfiftance des eaux contre la proue : c’eft peut-être pour donner aux vaifleaux plus de foutien vers la proue que vers la pouppe, & pour occafionner par-la cette pente de la quille dans le fens de la proue vers la pouppe , que l'expérience a montré être utile, & que plufieurs raifons me font en- vifager comme telle. Mais on peut obtenir une telle pente par la fimple difpofition de la charge. M. Bou- guer fait voir pourtant que le navire en gouverne mieux. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 43 Quoiqu'il en foit, & quelque parti qu'on prenne là-deffus, l'augmentation de la ftabilité que nous confeillons, eft la même pour les deux demi-ellipfes & pour la fimple ellipfe entiere. $. XXIX. II me femble que dans la conftruétion des vaifleaux, on ne dirige pas aflez directement fes vues du côté de la figure que prendra la coupe du vaiffeau à fleur d’eau , qui fait cependant un des points les plus eflen- tels, puifque la charge qu’on peut mettre fur le vaifleau, aufli-bien que la ftabilité de celui-ci, dépendent pref- que uniquement de cette fection. Par-là il arrive qu’une différence aflez légere dans la conformation de |a ca- rene, jette une diverfité affez confidérable fur la figure de ladite coupe. Ayant examiné quelques exemples fur ces figures , J'ai remarqué qu’elles n’étoient aflujetties à aucune loi fixe. J'ai vu feulement que la figure étoit toujours plus large vers la proue que vers la pouppe, quoique tantôt plus tantôt moins. Je ne faurois approu- ver cette maxime; car quand même l'expérience auroit entierement démontré qu'il faut rendre la proue plus grofle que la pouppe, & renfler la carene vers l'avant, rien n'empêche de fe relâcher fur cette maxime, peut- être mal fondée, aux environs de la flottaifon. Je ne veux pas qu'on retrécifle l'avant de la figure, mais qu’on en élargifie l’arriere. En un mot, il me femble que cette figure devroit approcher de la figure d’un reétan- gle arrondi par les quatre coins. Si on confidere la dite coupe comme compofée de deux demi-ellipfes, faites fur un petit axe commun, quelle que foit la proportion entre Les deux demi grands axes, l'aire de la figure fera toujours égale à = du pro- duit de la longueur par la largeur. Si donc la coupe a 120 piés de longueur fur 29 piés de largeur, (c'eft un exemple que M. Bouguer donne dans fon [raité du Navire, p.142), l'aire de la coupe devroit être de 1734 piés quarrés. Cependant M. Bouguer, par une F ij 44 RECHERCHES SUR LE ROULIS regle qu’il cite, ne la trouve que de 2655 piés quarrés. La fection étroit done encore plus petite que n’eft l'aire des deux demi ellipfes. Il eft vrai que la regle alléguée par M. Bouguer, pêche toujours en défaut à caufe du rand nombre de petits fegmeas curvilignes qu’on né- glige; & je fuis für que pour la conftruétion ordinaire des väifleaux, on trouvera Paire de la feétion pour le moins avec une précifion égale, en multipliant fimple- ment la plus grande largeur par la plus grande longueur , & en prenant les À du produit. $. X XX. J'ai déja indiqué, que par le moyen que nous venons d'expoler , on augmentera également la ftabilité dans le fens d’un bord à l’autre, & dans celui de la proue à la pouppe ; & qu’ainfi on diminuera éga- lement le roulis & le rangage. Celui que je vais ajoûter eit à-peu-pres de la même nature , quoiqu'il paroifle ne regarder que la diminution des roulis. Cet autre moyen confiite à faire les Aances du vaifleau, aux environs de la flottaifon, plus droits & verticaux, qu'on n'a cou- tume de faire. Entrons, fur cet article , dans le dérait qu'il mérite. Dans les routes obliques , le vaifleau in- cline confidérablement, par la force du vent fur les, voiles. Il faut alors confidérer le vaifleau, ainfi incliné, comme dans fa pofition naturelle, que j'appellerai obli- que. Le vaifleau ne fera pas moins fujer aux balance- mens, dans cette poñtion forcée, qu'il l’étoit dans fa potion droite. Les balancemens farigueront davantage la matur:, & feront plus à craindre parle péril de ren- verfer., La ftabilité eft donc plus néceflaire pour les pofitions naturelles obliques que pour les droites. Mais brique la pofition naturelle eft droite, fi le vaifleau eft balancé, 1l faut abfolument que la force qui le repouffe vers fa poltion naturelle , augmente à chaque nouvel incrément élémentaire d’inciinaifon , fans quoi le na- vire feroit bientôt renverfé. On conviendra fans doute, qu'il eit bon de donner auxdites augmentations de force ETLE TANGAGE DES VAISSEAUX. 45 élémentaire le plus d'écendue qu'il eft poflible. Plus un vaifleau incliné trouve d’obftacle à s’incliner davantage, plus fes balancemens feront diminués. On peut entendre par le mor de f/abilité momentanée le fureroir ce la force réquife pour ajoûter au vaifleau déja incliné un nouveau petit degré d'inclinaifon conftant, que nous avons ex- rimé ci deflus par da. Dans ce fens on peut dire, qu’il réfulte de la conftruétion ordinaire du navire, que fa flabilité momentanée diminue à mefure que l'inclinaifon du navire augmente; car, fuivant cette conliruétion, on fe trouve aflez dans le cas du (. XV, pour lequel le calcul nous à conduit au beau théorème marqué à la fin dudit $. XV, qui donne la ftabilité (ce mor y eft pris dans un autre fens, & il y exprime le m#omentum de la force qui repoufle le corps vers fa pofition naturelle, lorfque l'angle de fon inclinaifon eft = 6) égale à Pg fin. s, en entendant par P le poids du corps, & par g la hauteur de l'axe de la figure génératrice par-deflus le centre de gravité. Comme donc les quantités P & g font conftantes, la différentielle de ladite quantité de- vient — Pgdo cof. «5 & cette formule nous apprend que la ffabiliié momentanée du navire diminue à mefure que l'inclinaifon augmente , puifqu’elle eft proportion+ nelle au cofinus de l'inclinaifon aétuelle. Cette dimi- nution de ftabilité peut fans doute occafionner de grands roulis. Il fau donc faire tout fon poffible pour que cette nouvelle efpece de ftabilité devienne, au lieu de dimi- nuer, d'autant plus grande que le navire fera plus in- cliné. Les roulis vont fouvent jufqu'à 3 $ degrés ; un leger accident pourroit alors achever de renverfer le vaifleau ;, s'il n’eft retenu par une grande ftabilité 5 d’ail- leurs, le navire ne fera ces roulis énormes & les incli. naifons moyennes exceflives, qu'a caufe même de ladite diminution de ftabilité, qu’on ne fauroit prendre trop de foin de prévenir. $. XXXI. Examinons la caufe qui fait que la ftabi- 46 RECHERCHES SUR LE RoULIS lité en queftion diminue; c’eft que la feétion du navire à fleur d'eau demeure à-peu-près toujours la même, pendant ue la hauteur verticale du centre de gravité du navire par-deflus le centre de gravité de la carene homogene augmente. Cette derniere circonftance, qu’on ne fauroit prévenir, à moins qu'on ne vienne à bout de placer le premier centre de gravité plus bas que le fecond , fait que la quantité à retrancher pour avoir la ftabilité abfo- lue, devient d'autant plus grande, que le vaifleau eft incliné davantage, & par conféquent que la ftabilité abfolue devient plus perire. Le moyen pour prévenir cette diminution de ftabilité, fera de faire enforte que la feétion horizontale du vaifleau à fleur d’eau augmente à mefure que le vaifleau incline. C'eft dans certe vue ue je confeille d'élever verticalement les ancs du vaif- Fan , tant au-deflus qu'au-deflous de la flottaifon, puif- que de cette façon la coupe en queftion augmente comme les fecantes des inclinaïfons , & que la {tabilité provenante de cette fection augmente comme les cubes de ces fecantes ($. IV). Si les conftruéteurs de vaifleau trouvent un tel changement exceflif, ils pourront du moins diminuer la rentrée des vaifleaux, & conferver un peu au-deflous de la flottaifon toute la largeur des coupes verticales perpendiculaires à la longueur. C’eft pour faire voir le grand fuccès qu'on peut fe promettre [e) . . d’un tel changement, que j'ai donné, au $. X, la petite table qui montre aflez la grande différence entre les ftabilités, lorfque les inclinaifons commencent à deve- nir fenfibles. On voit, par cette table, que la premiere efpece de ftabilité eft pour une inclinaifon de 10 de- grés , augmentée par ce changement, en raifon de 28, 50 à 51,15; & que la feconde efpece de ftabilité, de- puis 204. jufqu'à 25 4, eft augmentée en raifon de 35, 212— 28, 50à 81, 17—$1, 15 ou en raifon de 7, 72 à 30, 02. On remarquera, dans cette table, que les différences des nombres de la feconde & de la ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 47 troifieme colonne marquent les //abilités momentanées. Ces différences diminuent dans la feconde colonne, comme les cofinus des inclinaifons ; mais elles augmen- tent confidérablement, au lieu de diminuer, dans la troifieme colonne. Je ne doute donc nullement qu'un tel changement, aflez leger, ne diminue très-confidé- rablement le roulis. La ftabilité latérale étant augmen- tée, la longitudinale le fera auffi, puifque celle-ci eft proportionnelle à la largeur du vaifleau (4. IV). Delà il fuit que plus les roulis font grands, plus les tangages feront petits (car ces deux fortes de balancemens peu- vent fort bien coëxifter en même tems), parce que les roulis augmenteront la ftabilité longitudinale. $ XXXII Tant qu'on confdere à part les deux membres de la formule qui exprime la ftabilité, on voit facilement que nous avons indiqué aétueilement tout ce qu'il eft poflible de faire pour augmenter la ftabilité, rélativement au premier membre ; car routes les parties du navire qui ne plongent jamais dans l’eau , de même que celles qui n’en fortent jamais, n’ont aucune relation avec la ftabilité qui réfulre de la valeur du premier mem- bre. Ce n’eft qu'en tant qu’elles font varier les deux centres de gravité, qu’elles pourront augmenter ou di- minuer la ftabilité, comme le fecond membre de {a formule l'indique. La ftabilité rélative à ce fecond mem- bre, eft exprimée par / P s ds, en entendant par P le poids du navire, ou le volume de la carene, & pars la hauteur du centre de gravité du navire par-defius le centre de gravité de la carene homogene ; & la //abr- lité momentanée eft fimplement exprimée par Ps. Ce fecond membre doit toujours être retranché du pre- mier, tant que le premier centre de gravité eft plus haut que le fecond; & il faudroit trop s'écarter des principes ufcés, pour qu'il fût plus bas. Aïnfi, pour rendre la ftabilité abfolue plus grande, il faut diminuer la quantité Ps. C'elt ce précepte général qu'il ne faut 43 RECHERCHES SUR LE ROULIS jamais perdre de vue en conftruifant le vaiffeau. Il faut donc baïifler le centre de gravité du navire tout chargé qu'il eft, & haufler le centre de gravité de la carene tant qu'il eft poflible. Le centre de gravité du navire eft ordinairement autour d’un cinquieme du tirant d’eau plus bas que la furface d’eau. Sur ces préliminai- res, voici les maximes qu’on pourra fuivre. Î (a) Il faut ménager également la hauteur & la ma- tiere dans toutes les parties qui font au-deffus de la fur- face d’eau, autant que les circonftances peuvent le per- mettre. J'entens ici les mârs, les vergues , les voiles, les cordages, les châteaux, &c. Il femble que la hau- teur des mâts n'eft diétée que par la hardieffe de l'homme, crop fouvent funefte au genre humain. (4) Le left doic fervir en quelque façon de contre- poids à toutes ces parties indiquées dans la remarque précédente : il faut le proportionner en partie à la hau- teur des mats. S'il y avoit donc quelque chofe à gagner au fujet de la remarque (a), on gagneroit en même cems fur le left requis; le navire enfonceroit moins; la réfiftance des eaux contre le fillage en deviendroit plus petite: on feroit dédommagé, en partie, de ce qu'on fe relâcheroit fur la hauteur des mats. (c) En fe mettant dans les circonftances qui deman- dent moins de left, le poids P diminue, & la quantité Ps en devient d'autant plus petite, comme nous le fouhaitions. (d) Il faut prendre du bon left, pour pouvoir placer plus bas fon centre de gravité pour le même poids. Enfin on fe conformera aux principes connus de la Starique, dans l’arrimage & dans l’arrangement de la charge. . & XXXIII Ilne nous refte qu’à examiner la figure la plus convenable de la carene, en fuppofant {a furface horizontale donnée , comme ayant déja été déterminée, Plus on l'élargira vers la Aottaifon, & plus on la rétrécira vers ET LE.TANGAGE DES VAISSEAUX. 49 vers la quille, plus on élevera le centre de gravité de la carenc homogene. Plus aufli le navire tirera d'eau fans changer le volume de la carene, plus on augmentera le momentum du left. Voila les deux confidérations prin- cipales à faire fur la carene , ou du moins fur cette par- tie de la carene qui, pendant les plus grands roulis, refte conftamment fubmergée, puifque cette partie ne peut avoir aucun rapport avec le premier membre de la formule qui exprime la ftabilité. Il réfulte de ces confidérations , que depuis la flottaifon on doit confer- ver aux navires toutes leurs largeurs jufqu’à une cer- taine profondeur. Cette premiere réflexion s'accorde heureufement avec le confeil que j'ai donnné au com- mencement du $. XXX, de faire les flancs du vaiffeau, tant au-deflous qu'au-deflus de la flottaifon, droits & verticaux. À une certaine pro‘ondeur ,; on commencera à retrécir fenfiblement les coupes verticales & perpen- diculaires à la longueur du navire. Vers les deux tiers de la profondeur, on les retrécira brufquement. On pourra enfin donner à la courbure un point d inflexion contraire, & faire diminuer très-peu jufqu'à la quiile ces petites largeurs deftinées à recevoir un bon left. Je dirai ci- deflous un autre avantage eflentiel qu'on donnera à la carene par une telle conftruction, les loix de la Théorie ne laiflant pas douter du bon fuccès d’une telle conftruc- tion à l'égard de notre fujets mais je ne prétens pas qu’on les fuive aux dépens des Loix de l'Architecture Navale abfolument conftatées, me contentant d indi- quer tous les principes qui méritent l’attention du con- ftructeur. Voici quelques réflexions générales fur la figure de la carene. Si on partage la carene toute char- gée, en tranches horizontales, les tranches inférieures feront plus pefantes qu'un volume égal d’eau, & les fupérieures feront plus légeres, parce qu’on doit arran- ger, fuivant l’ordre de la péfanteur, tout ce qui doit être mis fur le vaifleau , en tant qu'on eft libre fur ce Prix de 1757. G s° RECHERCHES SUR LE ROUL:IS point. Il ÿ aura donc une tranche moyenne qui fera égale en poids au volume d’eau égal. Cependant il fauc confidérer le volume de la carene comme donné, parce qu'il n’eft queftion que de la figure de la carene. 11 me femble qu'il convient d’eftimer ladite place de la tran- che moyenne, de conferver aux vaïfleaux prefque toure leur largeur , jufqu’aux environs de ladite tranche ; mais après cela on diminuera fubitement les largeurs, pour ne plus emplover le refte du volume de la carene qu'en profondeur. Plus on voudra accorder de profon- deur à la carene, plus on pourra donner de ftabilité au navire, tout le refte demeurant égal. C’eft pourquoi il faut plus de left aux navires qui fonc plats de Varangues ; qu'aux autres, qui font bien taillés, & dont les fonds font fins. On ne doit applauir les navires par leur fond, que lorfqu’on eft dans la néceflité de donner au navire peu de cirant d’eau. Je voudrois même, lorfqu’on fe trouve dans cette néceflité, qu’on augmentât un peu au-delà des regles ordinaires la largeur du navire, pour pouvoir lui donner plus de façon, fans changer la foli- dité de la carene, d'autant plus que le navire en rece- vra plufieurs autres avantages. En un mor, on prendra pour maxime de jetter beaucoup de volume vers le haut, & beaucoup de poids vers le bas; mais comme on s'é- carteroit infiniment des loix de l'Architecture Navale, fi on ne vouloit fuivre que ce feul principe pour déter- miner la figure de la carene, & que cependant on a la liberté de l’obferver jufqu’à un certain point, je me contenterai de l'avoir indiqué ; en recommandant Ja profondeur de la carene , pour augmenter par-la leffec du left, comme aufli de ne commencer les rétrécifle- mens que vers la région deftinée à contenir les chofes pe- fantes. J'ai déja remarqué que le dernier confeil s'accorde heureufement avec ce que j'ai dic, de faire les flancs du vaifleau , tant au-deflous qu’au- deflus de la focrai- fon, droits & verticaux; & comme la coupe horizon- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. SI tale du navire à fleur d’eau doit aufli, en vertu du $. XXVIIT, approcher de la figure rectangulaire, il en réfulte que près de la flottaifon le corps du navire doit former à-peu-près un parallelepipede convenablement arrondi par les coins. J’excepte cependant de cette re- gle la proue & la pouppe, fur lefquelles je me réferve quelques petites réflexions particulieres, que j'expofe- rai vers la fin de ce Mémoire, MAIL a DE Cr + s2 RECHERCHES SUR LE ROULI1S CHA PP RERUE TN Remarques fur l'axe de rotation autour duquel Je font les balancemens du navire , avec quelques autres moyens de diminuer ces ba- lancemens. 6 XXXIV. US navire incliné fe rapproche de fa pofition droite par un mouvement de rotation, & nous devons râcher de connoître l'axe de cette rotation, c'elt-à-dire la ligne qui, durant les balancemens, n'a aucun mouvement h Hizontal. Les Auteurs ne con- viennent pas fur la poftion de cet axe , & il me fem- ble que c’eft pour n'avoir pas diftingué je cas qui peu- vent arriver. Quelques- uns le font pafler par le centre de gavité du navire, & d’autres le placent autre- ment, Qu'on me permette de traiter en peu de mots cette queftion. On peut confidérer, dans cette queftion, toute la matiere du corps comme concentrée dans un feul & même plan vertical, que je fuppofe être le plan de ro- tation. Pour les roulis, on pourra choifir la premiere coupe verticale du vaifleau perpendiculaire a la lon- gueur. Pour connoître fur quel point ce plan, venant à faire des balancemens, tournera ; je dis qu’il faut dif- tinguer les balancemens & leurs nn ted Suppofons da- Do ledit plan détourné de fa pofñtion droite & natu- relle dans des eaux parfaite ment calmes, & que tout d'un coup les caufes qui ont détourné le plan viennent à cefler ; en ce cas Le plan fera des balancemens que je EM LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 63 confidere fe faire avec une liberté entiere, & que j'ap- pellerai par conféquent balancemens Zhres. Je dis que dans ces balancemens le centre de rotation fera nécef- fairemenc le centre de gravité, & voici comme je le Trouve. ; Durant les balancemens Zres, il n'y à abfolument que la force de la pefanteur qui agifle fur les parties. Une telle force agiflant verticalement, ne fauroit pro duire aucun mouvement horizontal abfolu ; il faut donc que la quantité de mouvement horizontal de droite à gauche foit précifément égale à celle qui fe fait de gau- che à droite: il faut, en un mot, que le centre de gravité n’ait aucun mouvement horizontal ; donc le cen- tre de gravité fera le centre de rotation. On pourroit objeéter ici que quand même le centre de gravité du plan auroit un mouvement horizontal, il ne s’en fuivroit pas qu'il y eût dans le fiftème une quan- tité de mouvement horizontal abfolu, parce que le cen- tre de gravité commun au plan & à l’eau qui l’environne, ne laifle pas de demeurer entierement en repos par rap- port au mouvement horizontal. Mais on voir affez quil ne s'agit pas ici dudit centre de gravité commun, puif- de pour donner un mouvement horizontal à un corps ottant , il faudra toujours employer une force horizon- tale; & que rien ne peut occalionner ici une telle for- ce, tant qu'on faic abftraction de la réfiffance des eaux. Voici un autre principe, qui mene à la même con- clufion. Le momentum de la force qui agit fur le plan durant fes balancemens, eft le même, fur quel point que ce plan fe tourne, puifque lexpreflion de ce m0- mentum eft ind‘pendanre du centre de rotation. Il eft donc clair que le centre de rotation fe placera de lui- même là où le plan aura la moindre inertie pour rece- voir le même degré de vitefle angulaire (je confidere ï “D k s la vicefle angulaire, parce que l'amplitude angulaire des s4 RECHERCHES SUR LE ROULIS balancemens doit être la même, quel que foit le centre de rotation); & il n’eft pas difficile de démontrer que c'eft le centre de gravité qui a cette propriété réquife. Tout corps qui doit être courné fur un certain axe par une force donnée, agiflant fur un levier donné, ou bien appliquée à une même diftance, depuis l'axe de rota- tion , aura Ja moindre inertie angulaire , & recevra dans un tems donné la plus grande vitefle angulaire, lorf- qu'on fait pañler l’axe de rotation par le centre de gra- vité du corps. Je n'ajoûte pas la démonftration de certe propofition méchanique, parce que, quoiqu'affez facile, elle ne laifle pas de demander plufieurs éclairciffemens, qui pourroient nous écarter trop de notre fujet principal. $. XX X V.. Mais il n'arrivera pas toujours, ou pour mieux dire, il arrivera rarement que le vaifleau faffe des balancemens Zbres. Les eaux ne font point calmes; elles font agitées, & n’agiflent pas fimplement par le principe de la pefanteur fur le navire ; elles pourront agir d’une infinité d’autres manieres. En ces cas, il faut confidérer la direction moyenne de toutes les im- preflions de l’eau contre le navire. Si cette direction moyenne prolongée pafñle au-deffous du centre de gra- vite du navire, le centre de rotation momentanée fera au-deflus, & réciproquement. On peut appliquer ici toute la théorie de la percuflion excentrique, expofée dans le IX Tome des Mémoires de l’Académie de Pe- rersbourg, fervant pour l'année 1737, p. 189. Le théo- rême principal de cette théorie eft, que fi un corps, dont on ne confidere que l’inertie , eft animé par une puifflance dont la direction ne pañle pas par le centre de gravité du corps, il faut tirer une ligne par le centre de gravité du corps perpendiculaire à la ligne qui mar- que la direction de la puiflance ; que par le point d'in- cerfection de ces deux lignes , il faut tirer une ligne per- pendiculaire au plan de rotation ; confidérer enfuite le ‘corps comme fufpendu par cette derniere ligne hori- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX, 55 zontale , comme par un axe; du corps ainfi fufpendu, il faut prendre le centre d’ofcillation ; & c’eft ce point autour duquel le corps tournera, ou plutôt autour de la ligne parallele à l'axe de fufpenfion, & qui pañle par ledit centre d'ofcillation. Quelques Auteurs ont enfuite nommé le centre fur lequel le corps animé par la puif- fañce excentrique tourne, le centre de rotation Bob ! tanée. C’eft donc ce point fur lequel le navire tournera, entant qu'il eft agité par l’impulfion des eaux. Or on fait, par les théorèmes du grand Huguens, que la dif- tance du centre de gravité à l'axe horizontal de fuf- enfion , & la diftance du même centre au centre d'of- cillation , font réciproquement proportionnelles. Plus donc la direétion de l’impulfñion moyenne pafle près du centre de gravité, plus l’axe de rotation /ponranée fera éloignée du centre de gravité, & réciproquement ; & fi la premiere diftance eit nulle, l’autre fera infinie. La vérité de cette conclufion eft bien palpable; car lorf- que limpulfion moyenne des eaux pañle par le centre de gravité du navire, fon effet ne peut être que celui d’emporter horizontalement le navire, fans lui faire faire aucune rotation ; ce qui marque que la diftance du centre de rotation eft infinie. Lorfque la direction de Pimpulfion moyenne eft à une grande diftance du cen- tre de gravité, le centre de rotation fera très-près du centre de gravité ; limpulfion ne caufera prefque au- cun mouvement progrefif, & fon effet fera tout em- ployé à faire tourner le navire. Tel eft l'effec d’un coup de vent fur les voiles, parce que pe moyenne eft extrêmement éloignée du centre de gravité du na- vire ; c’eft pourquoi ces coups de vent font fort dange- reux ; aufli ne manque-t-on pas de caler virement les voiles quand on les appréhende. Dans l'inftant que les impulfions contre les navires ceflent, celui-ci ne tour- ncra plus que fur fon centre de gravité ; mais cepen- 56 RECHERCHES SUR LE RouUL1ts dant le mouvement horizontal, que le centre de gra- vité aura acquis, continuera jufqu’a ce que des impul- fions contraires commencent à agir contre le navire (car ces impulfions ne fauroient manquer d'être réci- proques);5 à arrêter fon mouvement horizontal ; & enfin à lui imprimer un mouvement contraire. On voit par-la que le navire, outre les balancemens de rotation, fera toujours des allées & venues horizontales. Ce font fans doute ces mouvemens horizontaux & réciproques, qui, mélés avec le fillage moyen , occafonnent ces élans qu’on remarque; les allées & venues horizontales feront d'autant plus grandes, que la direction de L'im- ulfion moyenne pañlera plus près du centre de gra- viré, & les balancemens de rotation en feront d’autant plus petits. $. XX XVI. Il réfulte de ces principes, qu'outre les balancemens Zbres qui fe font autour du centre de gravité, il y a une autre efpece de balancemens, que Jappellerai forcés , qui fe font autour du centre de rota. tion /pontanée. Ce dernier centre fera extrêmement va- riable, à caufe de la variabilité des forces momenta- nées, qui caufent les balancemens forcés. Une remarque eflentielle à faire fur les balance- mens forcés , eft qu'ils ne font à chaque inftant qu'un mouvement compofé d'un mouvement de rotation autour du centre de gravité , & d’un mouvement parallele, Soit pd (Fig. IV) la direction de la force moyenne qui agit fur la carene; foir le centre de gravité du vaifleau en c, & que par ce point c on tire une ligne ae perpendiculaire à pd. Sion fait ab- ftraétion de l’action de la pefanteur , & fi on con- fidere fimplement l’inertie de la matiere, la force pd fera prendre à la ligne ae, après un petit rems donné, la pofition f A; le point d’interfeétion b fera le centre de rotation fpontanée. On voit d’abord que le mouve- ment, par lequel la ligne ae prend la fituation f#, peut ÊT LE TANGAGE DES VAISSEAUX. s7 peut être réfolu en deux mouvemens, par le premier def quels la ligne ae garde lé parallelifme, & prend la fituation /7, en jetant le centre de gravité de c en g3 pendant que par le fecond, la ligne a e tourne autour du centre de gravité c, de maniere que /7, par cette rotation, prenne la fituation f 4. Ainfi ce mefurera la viceffe du mouvement parallele, & l'angle f2/ mefurera la vitefle angulaire de la rotation. La proportion de ces viteffes fera la même pour la même direétion p di mais plus la force moyenne eft grande ou petite, plus l’une & l’autre virefle feront grandes ou petites. Pour déter- miner le point 2, je dis que ce point à eft le centre d'ofcillation, fi le navire étoit fufpendu par le point d. Soit #7 une ligne conftante, & cd == x; on aura, par la nature du centre d’ofciliation, bc—"#, Soit auf cg, qui exprime la viteffe du centre de gravité, —c; on voit que la même cz, rapportée au rayon &c, ou bien &m rapportée au rayon gm, exprime la vi- trefle angulaire. Mais comme Ja ligne bc Ê regle fur [a ligne cd, que je regarde comme variable , il fera bon de rapporter les vitefles angulaires à un rayon conftant a, par cette analogie, bc: cg: a: ff x ac. Ainf la viteffle du centre de gravité étant = c, la vitefle angulaire ou rotatoire autour du centre de gravité, fera toujours exprimée par c, $. XXXVII. Nous voyons par-là que les balane cemens du navire autour du centre de gravité, pro- duits par les impreflions des eaux agitées, font pro- portionnels à la diftance x, où à la diftance du centre de gravité depuis la direction de la force moyenne ; & ue fi depuis le centre de gravité on prend une diftance a, la vitefle de la rotation fera pour cette diftance =@ ci il convient d'expliquer encore ce que c’eft Prix de 1757. H + 58 RECHERCHES SUR LE ROUL1S que la conftante # que nous avons introduite ; c’eft {a moyenne proportionnelle ente ce & cd. Soit donc o c égale à cette moyenne proportionnelle , ce point o aura pour tous les corps deux propriétés remarquables ; la premiere eft que fi on fufpend le corps par un axe perpendiculaire au plan de la figure paflant par le point o (ou par un point quelconque pris dans la circonfé- rence du cercle décrit autour du centre c par le rayon co), il fera fes balancemens brachyftochrones, c’eft-à- dire, de moindre durée que s’il éroit fufpendu par tout axe parallele. La feconde propriété du point o eft, qu'il eit en même tems le centre des forces vives, lorfque le corps tourne autour d’un axe paflanc par le centre de gravité ci c'elt-à- dire, que fi coute la matiere étoit con- centrée au point o, la force vive feroit la même que celle du corps. De cette derniere propriété on voit, que plus les extrêmités du corps, tournant autour du centre de gravité , font chargées de matiere, plus le point o fera éloigné du point c, & plus par conféquent la ligne »# devient grande. Tachons à préfent de mettre à profit la chéorie que nous venons d’expofer. $. XXX VIII. Nous avons dit que l'effet des im- pulfions réciproques des eaux contre la carene , eft en partie de lui faire faire des allées & venues par un mou- vement parallele, & en partie à faire tourner le navire autour du centre de gravité; le premier effect n’a abfolu- ment aucun inconvénient, & le fecond eft le feul qu’on prétend de diminuer, Mais nous avons vu, dans le pré- cédent article , que le mouvement de rotation réful- 4x 9 — Cj tant de limpulfion des eaux, eft exprimé par pour faire que ce mouvement ait le moins de rapporc à l’effer total, il faut que la quantité =, foit la plus petite qu’il eft poflible; & de-là nous tirerons ces deux maximes, premierement d'augmenter la ligne #2, & en fecond lieu de diminuer la ligne x, fi l'on voit quel- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 59 que moyen à cela. La premiere maxime demande d’éloi- gner la matiere du centre de gravité le plus qu’on peut; cu ce que jai démontré be le précédent article. Effk&ivement, fi toute la matiere du navire étoit con- centrée au centre de gravité , tout l'effet de l'impulfion tant foit peu excentrique confifteroit à faire tourner le navire fur fon centre de gravité. En fuivant cette ma- xime , on augmente en même tems l’inertie de la ma- tiere ; l'effet d chaque impulfon fera diminué, outre que les balancemens libres en feront rallentis. Mais y auroit-il aufi quelque moyen de diminuer la quantité x, c'elt-a-dire, de faire pafler la direction de l'impul- fon moyenne près du centre de gravité du navire? On peut remarquer fur cela que fi la carene étroit une por- tion de fphere dont le centre fût en même tems le cen- tre de gravité du navire, non-feulement la direction de l'impalhon moyenne pafleroit par le centre de gravité, mais même la direétion de chaque petite impulfion ; parce que toute lir pulfion fe far perpendieularrement à la furface. Mais on voit aufli qu'un tel corps n ’auroit plus aucune force de ftabilité. Un autre principe fe oic de faire enforte que le momentum de tour:s les impul- fions dont Les direétions pafleroient au deflus du centre de gravité, devint plus égal au momentum de toutes Jes impulfions dont les direëtions pañferoient au-deflous. S'il y a quelque profit à efpérer dece principe, ce ne fera que fur un grand nombre d’obfervations & d’ex- périences faites, par des gens entendus, fur la nature des agitations He l'eau: : la place du US de gravité, la profondeur ou le creux de la carene, & fa figure, ne fonc pas aflez déterminés par les autres runs) qu'on n'y puifle avoir égard au principe de rapprocher les deux momentum que je viens d'indiquer. Si les im- pulfions de Peau font tout-à-fait irrégulieres, elles ne pourront jamais caufer de grands balancemens ; & fi elles font régulieres & aflujetties à de certaines loix, il faudroit H ji 6o RECHERCHES SUR LE RouUzrts râcher d'en connoître la nature, favoir à quelle pro- fondeur elles ont le plus de force, & comment elles diminuent vers la quille & vers la furface de Peau ; com- ment elles peuvent différer entre elles d’un tems à l’au- tre & d’une mer à l’autre, fuivant que les agitations des eaux font plus ou moins fortes, & les lames plus ou moins grandes. Si on éroit un peu inftruit fur ces points, & fur quelques autres d’une même nature, je ne doute pas qu'on n’en pût profiter, rélativement à notre der- niere remarque. Je reprendrai cette matiere dans le chapitre fuivant. Un autre moyen pour diminuer [es balancemens des navires, eft celui de la réfiftance des eaux. M. Chau- chot l’a expofé dans fon Mémoire couronné. Ce nou- veau principe me paroïît fort convenable , à caufe de la nature de la réfiftance des fluides , qui agit à fort peu près en raifon quarrée des virefles; elle ne fauroit donc mettre aucun obftacle au navire à fe relever, après avoir achevé fon excurfion, parce qu’alors la virefle eft nulle ; au contraire, lorfque le vailleau eft près de fa poñition naturelle, les eaux s’oppofent avec le plus de force pour l'empêcher d'outrepañler cette pofition, & s'efforcent à l'y retenir. La réfftance des eaux n'agit jamais qu'avec avantage, & il faut furtouc en profiter à l'égard des roulis Ceux-ci fe font prefque avec une liberté entiere , à caufe de la figure arrondie de la ca- rene, & du peu d'éloignement qu'il y a depuis l’axe de la carene, confidérée comme fphéroïdique , à l'axe de rotation qui pafle par le centre de gravité du navire parallele à l’axe de la figure. Audi voit-on que les rou- lis fe fonc avec tant de liberté, qu'ils fe continuent d’eux- mêmes pendant afflez longrems, pendant que la feule ré- fitance des eaux arrête tout d’un coup le tangage, qui ne fauroit fe renouveller fans une nouvelle attaque. $ XXXIX. Pour mettre ce moyen, fondé fur fa réftance des eaux, à profit contre les roulis, il faut ET LE TANGAGE DES VAISSEAU x. 61 faire attention à la configuration de la carene & à la pofition de l’axe de rotation , qui doit pañler par le cen- tre de gravité du vaifleau; & alors on verra facilement fur quelle partie les eaux portent le plus de réfiftance. Je rrouve en général, que c’eft la hauteur de la quille, & les acculemens qu'on donne aux varangues , qui produifent la plus grande réfiftance des eaux dans les roulis. La maitrefle varangue n’a que très-peu d’accule- ment, mais ces acculemens augmentent à mefure que les varangues avancent vers la proue & vers la pouppe. Par cette conftruétion , il provient comme une bande des façons , foutenue verticalement par la quille, dont les deux côtés font comme deux plans verticaux. Certe bande des façons échancrée, choque direétement les eaux pendant les roulis, conjointement avec les côtés verticaux de la quille. On augmentera donc la réfiftance des eaux contre “les roulis, en augmentant les acculemens , les hauteurs des façons, & la ha teur de la quille ; par là on dimi- nuer1 en même tcems la dérive dans les routes obliques, Le refte de la carene eft trop arrondi, & l’axe de ro- tation trop près de l'axe de l’arrondiflement, pour en atrendre une grande réfiftance. En examinant la dite bande des façons, il paroît que les deux parties, depuis la maïrefle varangue jufqu'aux deux extrêmités, font aflez inégales ; celle de larriere étant plus longue & plus haute que celle d'avant, ne fauroit manquer de trouver plus de réfittance. Il me femble que cette iné- alité doit caufer un mouvement de nutation horizon- tale dans les navires, lorfqu'ils roulent confidérable- ment, & que cette nutarion doit être nuifible au fillage. Je voudrois que les conftrnéteurs examinaflent fcrupu- leufement, fi les raifons qu’ils alléguent pour donner une pente à la quille de la proue vers la pouppe, pour mettre la maïtrefie varangue plus près de la proue que de la pouppe, & pour donner plus d’acculement aux C2 RECHERCHES SUR LE RoULIs varanoues de l'arriere qu’à celle de Pavant, font bien réelles & fufhfantes pour l'emporter fur les raifons con- traires. Si la quille étoit horizontale, & que les deux parties fuffent égales & femblables , la bar de des façons d'avant en feroit augmentée, les deux demi-bandes de- viendroient égales, & on éviteroit ladite nutation. Je dirai encore, à l'occalion de cette réfiftance, que celle de Pair contre les voiles peur faire le même effet. Les Marins affurent que le navire roule plus avec un vent arriere, & qu'il tangue plus au plus près. C’eft appa- remment parce que l'air, dans le premier Cas, s’oppofe moins aux voiles pendant que le vaifleau roule, que pendant qu’il rangue ; & que dans le fecond cas, c'eft le contraire. Si cela eft vrai, on peut encore fe fervir fouvent des voiles pour modérer les balancemens du navire, furcout dans les calmes, pendanc lefquels le navire roule quelquefois exceflivement. $. X L. Un remede bien fûr pour diminuer le roulis, cft c’appliquer aux flancs du vaïffeau deux ou trois ban- des faillantes & horizontales un peu au-defius de la flot- raifon, De telles banues agiront par deux principes à la fois; car lorfque , pendant le roulis, elles atteignenc les eaux, elles les frappent d'abord par leur faillant, & puis forment cette réfftance dont je viens de parler; & auffirôt qu’elles font fubmergées , il furvient un nouvel accroiflement de pouflée d’eau de bas en-haut, qui n'a- giflant que d’un côté, emploie tout fon effet à relever le navire. Je fuis perfuadé qu'avec une telle bande de chaque côté, dont la faillie & la hauteur fût un peu confidérable , on pourra parvenir à borner les roulis dans de certaines limites. Un navire , dans fes roulis exceffifs, fair quelquefois jufqu’a 35 4. d’excurfion de chaque côté , & alors ces roulis font certainement dan- gereux., Je crois qu'avec tous les moyens que j'ai ex- pofés, on diminuera aifémenc jufqu'à 25 d. les plus grands roulis, & ainfi la plus haute bande (fi on en veut ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 63 employer plus d'une) fera placée au-deflus de la fot- taifon, tout au plus de la hauteur de la cinquieme par- tie de la largeur, fans quoi elle pourroit devenir inu- tile à l'égard des rouliss c’eft auffi jufqu'à cette hauteur, du moins, que je confeille de ne donner aucune ren- trée aux coupes verticales du vaifleau faites perpendicu- lairement à la longueur. $. XLI. Les bandes faillantes, dont je viens de par- ler, ne fauroient manquer d’être en même tems d’un grand fecours contre le tançage, fi on les prolonge juf- qu'aux extrémités des flancs, furtout fi on vouloit augmenter leur largeur ou leur faillie à mefure qu’el- les approcheroient de la proue & de la pouppe; ce qu'on obriendroit fi on faifoit leurs côtés oppolés aux flancs entierement droits, puifque les côtés appliqués aux flancs auront toujours quelque concavité, malgré le confeil que j'ai donné ci-deffus d'approcher la fetion horizontale du vaifieau à fleur d’eau de la figure rectan- gulaire. Ces bandes ou ces aîles feroient naturellement hors de l’eau , & ne feroient par conféquent en aucune facon nuifibles aux autres qualités du navire, pendant que par leurs extrèmités élargies, elles soppoferoient efficacément au tangage , aufhrôt qu'elles atteindroient aux eaux, & cela par le double principe que j'ai ex- pofé dans le précédent article. Je prie donc les Con- ftruéteurs de faire quelque attention à ce moyen, & de juger par eux-mêmes jufqu'a quel degré on peut l’em- brafler , fans comber dans des inconvéniens, C’eft tou- jours avec cette réferve que je propofe m°s moyens. $. XLII. Confidérons enfin ces cas fâcheux dont Ja parlé au $. XXII & les fuivans, jufqu'à la fin du chapitre , où jai fait voir que les roulis ne fauroient manquer d’être extraordinairement forts, lorfque le rems 8 eft à peu-près égal au tems s; c’eft-à-dire lorfque les roulis forcés font a-peu-près de même durée avec les roulis libres. J'efpere qu'on ne voudra pas craicer mes 64 RECHERCHES SUR LE RoULIrs théorèmes fur cette matiere de fpéculations purement hypotériques, ou du moins mal appliqués à notre fujet. L'expérience phyfique, alléguée à la fin du $. XXI, en prouve aflez la réalité. D'ailleurs, perfonne n’ignore qu'un fon fort met en vibrations très-fenfibles une corde rendue à luniflon, pendant que toure autre corde ne fait aucune vibration fenfble. C’eft ici abfolument no- tre cas. Le fon forme des ondulations de l'air, compa- rables aux ondes de la mer. Ces ondulations de l'air mettent la corde dans des vibrations , parce que les allées & venues de la corde font ifochrones avec les mêmes ondulations, & que la force motrice confpire toujours avec Le mouvement de la corde. Les ondes de la mer feront le même effet fur un navire mis à l'ifo- chronifme avec le mouvement réciproque des ondes, comme il left lorfque fes balancemens libres font de même durée que les balancemens des eaux, ou bien que les balancemens forcés du navire. Aufli a-t-on re- marqué fouvent, qu'un navire rouloic extraordinaire- ment lorfqu'on ne voyoit rien d’extraordinaire ni dans la force du vent, ni dans les agitations des eaux. N'au- roit-on jamais remarqué que de deux vaifleaux inégaux lun rouloit quelquefois plus extraordinairement que l'autre, quoiqu'ils fuffenc l’un & l’autre dans les mêmes circonftances ? Je vois bien que ces roulis extraordinai- res & exceflifs doivent être rares, parce qu'il faut que non-feulement les balancemens des eaux foient fynchro- nes avec les balancemens Lbres du navire, mais encore que les forces motrices foient pendant quelque tems uniformes & permanentes. Cependant tout cela peut arriver; & comme notre fujer demande de remédier aux roulis exceflifs, nous devons examiner s'il n'y a abfo- lument aucun moyen particulier pour cela. $. XLIII. Remarquons dabord que les moyens que nous avons déja donnés, ne manqueront pas de modé- rer aufli ces roulis extraordinaires; mais je fuis perfuadé que ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 65 que fi on pouvoit mettre queique achronifme entre les deux e peces de balancemens, ou du moins troubler certe harmonie qu'il y a entre les accès des forces mo- trices & les balancemens du vaifleau, ceux-ci en fe- roient auflicôc confidérablement diminués. Je crois qu’on y arrivera en remuant habilement & à propos le gou- vernail , tantôt à droite, tantôt à gauche; c’eft une ma- nœuvre qu'on devroic étudier, fi elle peut être utile; fur quoi je m'en rapporte aux experts. Je crois auff qu'il fera toujours bon de connoître exa@ement pour chaque vaifleau la durée d’un batancement entierement libre ; il en faudroit faire l’eflai dans le port même. deux bandes d'hommes oppofées pourront, moyennant deux longues cordes attachées au mât, ébranler affez fenfiblement le navie, par des efforts duement appli- qués, pour diftinguer les roulis ; alors je voudrois qu'on en comprac le nombre pour trois ou quatre minutes de tems. Si on pouvoit parvenir à exciter de grands roulis, on pourroit alors reconnoître l'achronifme qu'il y auroit entre les grands roulis & Les petits. Enfuite de quoi on pourra toujours, dans l’occalion, comparer les balance- mens aétuels ou forcés avec les balancemens /bres, en comptant les premiers pour une ou deux minutes de tems. Si le navire eft irrégulierement balotté, ces agitations, à monavis, ne pourront pas être fort grandes , & elles ne font pas dans le cas dont nous parlons, mais lorfque les roulis font réguliers & uniformes en durée & en grandeur, on faura s'ils avancent ou retardent fur les roulis libres ; & je préfume que l'un & l’autre peut arri- ver. S'ils avancent, il faudra râcher de retarder davan- tage les roulis Lbres ; & s'ils retardent, il conviendra d'accélérer ces roulis : une très-petite accélération ou retardation des roulis libres, pourra faire ici quelque effet. On remarquera à ce fujet, qu’on retardera les roulis Zbres, tant en diminuant la ftabilité, qu’en au- Prix de 1757. 66 RECHERCHES SUR LE ROUL:s gmentant l’inertie du navire roulant. Quant à la ftabi- lité, on ne pourra pas la faire changer autrement qu’en changeant la hauteur du centre de gravité par-deflus le : centre de la carene homogene ; fi on augmente cette hauteur, on diminue la flabilité , & réciproquement. On peut haufler le centre de gravité par-deflus Le cen- tre de la carene, en plaçant plus haut rout ce qui eft mobile, & qu'on pourra remuer commodément ; & comme dans ces cas la grandeur des roulis n’eft pas caufée par aucun défaut de ftabilité, un tel change- ment pourra fe faire ici fans tomber dans de nouveaux inconvéniens. S'il s’agifloit d'accélérer les roulis libres, il faudroit faire rout le contraire, ; Quant à l’inertie du navire roulant , on l’augmentera en éloignant cout ce qui elt mobile de l’axe de rotation, qui pale par le centre de gravité; & comme l’inertie des parties augmente en raifon quarrée de leurs diftances à l'axe de rotation, un tel éloignement en fera d'autant plus d'effet. On haufle encore le centre de gravité en hauffant les vergues & les voiles, aufli-bien qu’en mouil- lant ou empefant les voiles. La ftabilité diminue & l'i- nertie augmente. $. XLIV: Voyons enfin ce qui doit arriver, quand on augmente ou diminue la charge du vaifleau. Soit la coupe horizontale du navire à fleur d'eau = S , & con- fidérons-la comme demeurant la même, pendant qu'on augmente ou diminue la charge, conformément au con- feil que j'ai donné de faire les flancs droits & verticaux, Soit la folidité de la carene — a $, & que dans cet état la diftance du centre de gravité à la furface de l'eau foie — b (je fuppofe ce point plus bas que la furface de l'eau), & la diftance du centre de gravité de la carene homogene depuis la furface de l'eau —c. Qu'on au- gmente enfuire la charge jufqu’à rendre la folidité de la carene — a S$ + aS$. Pour connoître l’effer que fera la nouvelle charge fui Le navire , il faut favoir l'endroit où ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 67 lon placera cette nouvelle charge, ou plutôt fon cen- tre de gravité ; fuppofons cet endroit plus bas que n'é- toit auparavant le centre de gravité du navire, de la hau- teur G. Sur cela les regles de la Statique donnent la hau- teur de la furface d’eau par-deflus le centre de gravité 124 ; GC; & la hauteur de la furface de l’eau par-deffus le centre après l'augmentation de la charge, = b+a+ A = « de gravité de la carene homogene, = c + 4 T°#2, a+ a Aiof la hauteur du centre de gravité du navire par- deflus le centre de gravité de la carene, eft avant l’au- gmentation de la charge = c — 4, & après l’au- gmentation , = c=—— b — ru le 1 1 aa cette hauteur devient plus petite par l’'augmenta- tion de la charge tant que 6 eft affirmatif. En confidé- rant la quantité 4 comme fort petite, il faudroit que 6 fût —=— c pour que la diftance entre les deux centres de gravité für la même avant & après l'augmentation de la charge; c’eft-à-dire, qu'en plaçant A nouvelle charge autant au-deffus du centre de gravité du navire, que la furface de l’eau étoit élevée par-deflus le centre de gravité de la carene. On voit ici le grand effet du Jeft pour approcher le centre de gravité du navire du centre de gravité de la carene. Car fuppofons un navire avec toute fa charge & non lefté, & qu'on ait dans cet état a=æ= 10 piés, c — 6 piés: qu’on lefte enfuire le navire, & que [a quantité du left fafle la cinquieme par- tie du poids de tout le refte du navire chargé ; on aura a== 1 p.; & comme ce left eft placé au fond de cale, on pourra fuppofer 6 = 14p. Ces fuppoñrions, qui ne font ca Lu LP TS =3!p Ii pas incongrues, font la quantité 68 RECHERCHES SUR LE ROUL:S De forte que le centre de gravité du navire s'approche de celui de la carene de trois piés & demi par le left, Voilà le changement qui arrive à l'égard dela diftance mutuelle des deux centres de gravité en queltion ; mais comme le fecond membre, de la formule qui ex- prime la ftabilité eft proportionnel à la folidité de [a carene mulripliée par la haureur entre les deux dits centres , il faut, pour voir fi la ftabilité croît ou dé- croît par l’augmentation de la charge, multiplier c — à cat iauakée = premier produit eft ca S—baS, & le fecond produit MPa GR Phaf en ER RS Re REG ne Gr QEie aka cat Lace aka par aS, &c—b— par aS+asS; le aS. Le premier produit eft plus grand que reua+aCasbax+bau+?ai+Cau ATOME Es A0 Et comme ces produits doivent être retranchés de la valeur du premier membre de la formule, il s'en fuic que l'augmentation de [a charge augmente toujours la ftabilité abfolue, tant que 6 n’eft pas négatif. Ainfi les eaux qui font à fond de cale augmentent la ftabilité ; mais elles font plonger davantage le navire, & le fillage en eft retardé. Si la quantité « eft très petite, on peut cenfer le gain qu’on fait fur la ftabilité, par l’augmen- tation de la charge, = (b+6)a4S. Lorfqu'on diminue la charge, il faut prendre négativement la valeur de «5 & fi l'endroit d'où l’on ôte la charge eit plus haut que le centre de gravité, il faut auffi prendre négativement la valeur de @. Par cette double négation, on gagne confidérablement fur la ftabilité, en coupant les mâts, à caufe de leurs hauteurs. Si on donne beaucoup de pro- fondeur à la carene, fi on emploie du bon left & em quantité, & fi la charge eft bien arrangée & pefante - . Le fecond, de la quantité ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 69 par elle-même, on pourra faire defcendre le centre de gravité du navire jufqu’à celui de la carene, & peut- être plus bas ÿ on pourra alors fe relâcher fur le pre- mier membre de la formule qui exprime la ftabilité, & diminuer la largeur du vaifleau, lorfque d’autres rai- fons, étrangeres à notre fujet , le demandent. 79 RECHERCHES SUR LE ROULIS CH: AP PESRGE: > VQ Explication de la caufe principale des roulis & des tangages, G de la merlleure maniere de les diminuer, relative à cette caufe, avec quelques réflexions [ur la nature des lames. $. XLV. No avons confidéré jufqu'ici la furface des eaux comme horizontale; ôn plutôt, nous n'avons pas encore fait attention à la figure ondoyante des lames. C'eft cependant dans cette figure ondoyante & variable que confifte la principale caufe des agitations du navire. L'équilibre des corps qui nagent an milieu de ces ondes, eft cout différent de celui.qui convient aux eaux dont la furface eft unie & horizentale; quand le navire ne feroit que fuivre conftamment fa pofition d’équilibre, il feroit obligé de faire des balancemens très-confidérables, que j'appellerai balancemens d'équilibre ; & les balance- mens abfolus feront toujours plus grands que les fimples balancemens d'équilibre. C’eft ici un nouveau fujet de réflexion fort effentiel & très-important; mais ce fujet nous meneroit extrêmement loin, fi nous voulions le traiter avec toute l’exaétitude dont il eft fufceprible. Les loix hydrodynamiques connues l’éclairciroient fuffi- famment , moyennant des hypothèfes phyfiques bien choifies & telles qui ne peuvent nous écarter fenfible- ment de la vérité, Mais il nous faudroit examiner la figure des lames , le mouvement des eaux, tanc près la furface qu’à des profondeurs données, quelle eft à cha- que inftant & à chaque profondeur la compreflion des ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 71 eaux, qui n'eft plus exactement proportionnelle à la colonne verticale terminée par la furface des eaux. C'eft cette compreffion qui marque [a pouflée de l’eau contre chaque élément de la carene, & elle ne fauroic être déterminée fans connoître les accélérations & re- tardations du mouvement des eaux, ni par conféquent la vraie pofition d'équilibre du navire. Toutes ces re- cherches demandent un Traité à part, & je dois me con- tenir dans les bornes d’un Mémoire, que j'ai peut-être déja pañlée. Je n’expoferai donc que le plus précis de mes idées fur cette matiere, & je fimplifierai les hypo- thèfes autant qu’on peur le faire, fans tomber dans des er:eurs fenfibles, $. XLV I. Si nous fuppofons que le vent fouffle con- ftamment avec la même force, & fous la même direc- tion, que la mer eft à une très-grande étendue fort profonde & libre, & que le fond de la mer eft uni & horizontal , il n’y a aucun doute que les lames exci- tées par un tel vent, & fous de telles circonftances, ne foient extrêmement uniformes & régulieres. C’eft fous cette forme que nous allons le confidérer. Soit donc 4 B (Fig, V.) la furface horizontale de la mer, ou plutôt une ligne de cetre furface prife pa- rallelement à la direétion du vent; & fuppofons que pendant les agitarions des eaux, cette ligne fe change en acdefob. Toute cette ligne continuée de part & d'autre, formera une courbe continue qui pourra être exprimée par une feule & même équation; & pour peu qu'on fafle attention à routes les propriétés que cette courbe doit avoir manifeftement , on voit affez qu’elle ne fauroit s'éloigner beaucoup de la nature de celle que prend une longue corde tendue, lorfqw’elle fait des vibrations, en formant plufieurs nœuds, tels que fonc ici les points c, e,g, &c. Ainfi, pour exprimer la na- ture de notre courbe ondoyante, je me fervirai de Pé- quation y = a fin. Arc. = æ, en entendant par x une 72 RECHERCHES SUR LE ROULIS abfciffe quelconque c/, par y l’appliquée /m, par « [a plus grande appliquée À Z prife au milieu de la lame, ti a toute la largeur de la lame ce, & enfin par 7 le emi-cercle, dont le rayon eft égal à l'unité. Suivant cetre idée, toute la ligne acdefgb prend au même inftanc la pofition du niveau À 2; les nœuds, tels que c,e,g, reftant immobiles ; chaque onde, telle que cde, fair des balancemens alternativement au-deflus & au-deflous la droite che; à mefure qu’elle s’éleve ou fe baifle, celle qui lui eft voifine fe baifle ou s'éleve. En difkrentiant notre équation, on trouve dy = = d x cof. Arc. LT. Cette équation différentielle mar- que qu'aux points de la plus grande élévation & de la plus grande dépreflion, tels que d, f, la furface eft conftamment horizontale, & que c’eft dans les nœuds que la furface des eaux prend la plus grande pente. La tangente de chaque angle de 2 fera =. Si donc on fup- pole, par exemple, la plus grande hauteur d’une lame par-deflus la furface horizontale de la mer faire la fixie- me partie de la largeur de la lame 5 c’eft-à-dire, fi dh—Z1?ce, on aura l'angle deh = 27° 40! Je n'ai rien trouvé dans aucun Auteur qui détermine ni la largeur ni la plus grande hauteur d’une lame ; il y à cependant apparence qu’en général les lames fonc d'autant plus grandes, que le venc eft plus fort, & que la mer eft plus profonde. Je remarquerai feulement qu'on fait dans la Phyfique que la moindre circonftance ou la plus petite caufe imaginable fuffit pour fixer les nœuds dans ces fortes de fyftèmes , & que la nature re- cherche avec un foin fans bornes le fynchronifme dans les variations périodiques combinées. Ces raifons me font foupçonner, que dans la mer profonde la lame fera précifément un balancement entier dans le tems que le vent emploie pour parcourir la largeur de la lame; & qu'à ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 73 qu'a mefure que la profondeur de La mer diminue, le nombre des balancemens augmentera, pour le même vent en raifon des nombres ou naturels impairs ; & jai plus de penchant pour la derniere opinion. Il en eft comme des tons qu’on tire en variant l'embouchure d’un feul & même tuyau fimple, & qui dans les tuyaux ouverts vont comme les nombres 1, 2, 3, &c.; & dans les tuyaux bouchés, comme Les nombres 1, 3, $, &c. Si donc un vent produit dans l'Océan des lames de 300 piés de largeur, ce même vent pourra produire dans d’autres mers moins libres & moins profondes des lames de 1 00 piés de largeur. Voici une expérience qui éclaircit ce fujet: une corde tendue fera ébranlée en pinçant une autre corde mife à l'uniffon ; partagez la premiere en trois parties égaies, dont chacune donne la douzieme, & chaque partie fera encore ébranlée. Les grandes lames de l'Océan répondent aux fons fon- damentaux ; & les petites, excitées par le même vent, aux fons accefloires , qu’on remarque dans chaque corde pincée. Quant à la durée de chaque lame, on ne fau- roit la déterminer précifément ; mais il eft affez avéré ue ces durées font pour les lames femblables en raifon Bus doublée des laroeurs des lames. $. X LVITI M, Newton, pour expliquer la nature des lames, fuppofe, en prenant par-tout eo = c/, un tuyau uniformément large, qui defcende verticalement de chaque point / jufqu'à une certaine profondeur, qui fe replie enfuite horizontalement, & qui enfin remonte verticalement jufqu’au point o ; après quoi il confidere le mouvement des lames comme formé par des balance- mens de l’eau dans toute cette fuite infinie de tuyaux communicans , & il démontre qu’en fuppofant la lon- gueur de chacun de ces tuyaux — L , les balancemens de: viennent ifochrones avec ceux d’un pendule fimple de [a longueur + Z. De cette manicre, les balancemens des lames dépendent, quant à leur durée , de la profondeur Prix de 1757. 74 RECHERCHES SUR LE ROULIS des eaux agitées ; & cette profondeur peut être fuppo- fée proportionnelle à la largeur de chaque lame. Suppo- fons donc la largeur d'une lame = x, & la profondeur à laquelle les eaux font agitées = m1 x 5 fuppofons aufli que le vent parcoure 12 piés dans une feconde , & donnons fimplement 3 piés à la longueur du pendule fimple à fecondes. Dans ces fuppofitions , le tems que le vent emploie pour parcourir la largeur de la lame, fera — * fecondes, & le rems d’un balancement entier ñn de la lame fera — pete fecondes, & fi on fait 2mXx+ x À zmnnkann ner = V——=— » On obtient x=——— pies. CTRI Soit, par exemple, = 30, & m=— 6, la largeur de la lame fera = 1950 piés ; mais dans les mers peu pro- fondes, cette largeur peut, à mon avis, fe reduire au tiers, ou à la cinquieme, ou à la feptieme partie, &c. H eft vrai cependant que cette maniere d’envifager les balancemens des lames, fouffre beaucoup de difi- cultés ; car tous ces tuyaux devroient fe croifer; ce qui blefle abfolument l'imagination. Outre cela, on voir que rien ne fauroit empêcher les eaux dans la partie de f de rouler vers l'endroit Le plus bas ; de forte que le mou- vement alternatif des eaux doit être manifeftement en partie horizontal & en partie vertical ; les balancemens horizontaux feront les plus rapides vers les nœuds, parce que la pente y eft la plus grande; & ils feront nuls au milieu, entre deux nœuds, parce que les eaux n’y ont point de pente. Les balancemens horizontaux doivent retarder les balancemens verticaux, parce que lation de la pefanteur eft partagée; & comme cependant tous les balancemens doivent être abfolument, ifochrones & fynchrones , il s'enfuit que les tuyaux communiquans ne fauroient être partout d’une longueur égale. Je con- fidere donc plurôt chaque deux demi-lames de & fe ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 75 comme compofées de canaux ou tuyaux emboîñtés les uns dans les autres, & que routes ces paires de demi- lames alternatives formenc chacune un fyftème à part, fans fe troubler les unes les autres &:fans jamais mêler leurs eaux. Les extrêmités de chacun de ces tuyaux font également éloignées du point e; près des'points d &:f, le mouvement des eaux fera prefque purement verti- cal, pendant que près du point e, ce mouvement eft pour la plus grande partie horizontal. On voit donc que les extrémités de chaque tuyau font d'autant plus in- clinées, qu'elles font plus proches du point e, & que ces tuyaux font plus courts ; & c’eft-là précifément la fource de l'ifochronifme commun à tous les tuyaux. Car fi d'un côté les balancemens font accélérés par la diminution de la longueur du tuyau, ils font d’un au- tre côté retardés par l'inclinaifon des extrêmités du mè- me tuyau. Soit la longueur du tuyau uniformément large — x & le finus de Pangle que le ruyau fait avec lhorifon vers fes extrêmités = 5; on aura la longueur du pendule fimple ifochrone avec les balancemens des À ° ., aux dans ce tuyau = + Il arrivera donc, fuivant ces idées, que s foit partout proportionnel à À , pourvu qu'on fuppofe les tuyaux d'une même largeur dans toute leur longueur. $. XLVIIT. Il nous refte à examiner les loix hydro- ftariques, fuivanc lefquelles fe fair la poufée de l'eau, dont la furface n’eft pas horizontale , pour foutenir les corps flottans. C’eft ici la queftion la plus eflentielle. Voici un problème dont la folution pourra éclaircir en quelque maniere notre queftion. Soit acde (Fig. VI) un canal uniformement large & recourbé, dont la partie 4e d foit remplie d'eau qui fe meurt dans le fens 4 cd il eft queftion de déterminer la compreflion dans chaque point g. Qu'on tire les horizontales fd & bg, & les verticales K ij 76 RECHERCHES SUR LE ROULIS Bf&ghl Soi bf=x, gh=7; la longueur 2 c d = l; la longueur 9 4—=7, & qu'on nomme æ la hauteur vercicalé de la colonne qui indique la compreilion cher- chée pour le point g: on aura la force acceélcratrice X + 7Y— s : . 7 : 2 qui anime la partie 2 co — DR & celle qui ani- Lre;/ me la partie gd= ; &ileft clair que ces deux forces accélératrices doivent être égales entre elles, puit que les vitefles de Pune & de l'autre partie fonc, durant tout le mouvement, égales entre elles. Nous avons x + y — 7 By donc NE im TN ce qui donne T=y+$ x Cette valeur nous fournit beaucoup de corollaires. (a) Pour un tuyau fimple & droit, la compreffion eft partout nulle, de quelque façon qu'on l'incline ÿ parce ue x=nl, Kky=-—n% (b) La formule.indique, comme il doit arriver, que la compreflion eft nulle tant au point 2 qu'au point d, puifque pour le point à, ilfautfaire y=—x &7—/; & que pour le point d, il faut fuppofer y — 0 & 0. (c} Au moment que les points & & d font de ni- veau, la compreflion eft la même que dans les eaux calmes. (d). La, formule fatisfait aufli à {a converfibilité dés extrêmités # & d; car fi on veut rapporter à d'extré- mité. d, ce que j'ai dir par rapport à l'extrêmité 4, on voit bien qu’il faut fubitituer — x à la place de x, /—7 à la place de 7, & y+x à la place de y. Si l’on fub- ftitue donc ces valeurs, on trouve, à la place de y ++ x, Ja quantité y+x—""x; ce qui fait, comme aupara- ant > Y + TA (e) Lorfque le point g eft fort près du point 4, & ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX, 77 qu’on nomme cette petite diftance &, on aura /— 7= &y——x+6, en entendant par 6 la petite hauteur verticale du point à par-deflus le point g, pris fort près de l’autre ; fubiticuant donc ces valeurs, on trouve la compreflion —6—+%a. Cette compreflion eft donc plus petire que fuivant les loix de l'Hydroftatique ordi- paires. (f) Si au contraire, le point g eft fort près de l’autre extrèmité, favoir du point d; & fi on fuppofe la petite diftance gd— a: on aura 7 =« & y—6, en enten- dant par @ la petite hauteur verticale du point d par- deflus le point g 5 fur cela la compreflion de l'eau de- vient =6+fa, qui eft par conféquent plus grande que fuivant les loix hydroftatiques ordinaires. $. XLIX. Pour appliquer, ce que nous venons de trouver, aux lames, 1l faut examiner quel peut être le tuyau qui pañle par le point, pour lequel on cherche la compreflion ; & quoiqu’on ne puifle rien déterminer de précis là-deflus, on voit cependant que toutes les eaux élevées par-deflus le niveau de la mer calme, font moins comprimées que fuivant les regles communes. La différence peut être fenfible près la furface des eaux, comme on voit par les corollaires (e) & (f); car en fuppofant les deux branches verticales près la furface de l'eau, ce qui fait « — 6, la compreflion pourra dif- férer en raifon de ra1 +5; & comme ÿ pourroit fort bien faire £, il s'enfuit que ladite différence pourroit bien s'étendre jufqu'à un fixieme de [a compreflion ordinaire. Cependant il n’en faut pas conclurre que le navire plonge plus ou moins qu'à ordinaire, lorfqu’il fe trouve au-deflus où au-deffous du niveau moyen de la mer, parce que le navire aura lui-même à-peu- près le même mouvement qu’auroit l'eau qu'il déplace. Les réfulrats de notre problème font à la vérité fort utiles e# 78 RECHERCHES SUR LE ROULIS A \ \ : à : enr pour connoître à-peu-près ce qui doit arriver dans diffé- rens cas ÿ mais ils n’admettent pas un calcul exa&. Il faut furtouc faire attention à la laroeur des lames, & la comparer avec les dimenfons du navire, puifqu'il eft tout fimple que les lames fort courtes doivent faire fur le navire un tout autre effet, que les grandes lames de Océan, fur lefquelles le navire ne repréfentera qu'un aflez petit corps. C’eft furtout ce dernier cas que nous devons examiner avec plus d'attention. $. L. On voit bien que chaque point de la carene peut être confidéré comme étant fort près de l'extre- mité du tuyau, qui pañle par ce point; où voit auffi que lorfque le navire eft cenfé occuper une petite éten- due, chaque point de la carene eft foutenu par une colonne d’eau, dont la hauteur verticale eft, en vertu des corollaires (e) & (f) du précédent $., =6+a, en entendant par 6 la hauteur verticale depuis le point en queftion jufqu’à la furface de la lame, par « la pofi- tion du tuyau intercepté entre la furface de la lame & le même point en queftion, par / la longueur entiere du tuyau, & par x la hauteur verticale entre les deux extrêmités du tuyau. Remarquons ici que & doit être à-peu-près proportionnelle à @, parce que la petite portion de tuyau peut être confidérée comme une ligne droite inclinée, & tous Les points de la carene répon- dront à-peu-près à des cuyaux dont les extrémités feront également inclinées, La quantité ou le rapport de + peut aufi être cenfé le même pour tous les tuyaux qui ré- pondent aux différens points de la carene , tant à caufe de la petite étendue de la carene par rapport à la grande largeur de la lame, que parce que la quantité x ne fau- roit manquer d’être à-peu-près proportionnelle à / pour des tuyaux peu éloignés entre eux. Toutes ces confidé- fatlons nous menent à la conclufion, qu'on peut fup- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 79 pofer pour chaque point de la carene la quantité + proportionnelle à 6; de forte que la quantité 6 + à « peur être cenfée = 26, en entendant par z un nom- bre un peu plus grand où un peu plus petit que l'unité, fuivant que le vaifleau fe trouve au-deflous ou au-deflus du niveau de la mer calme. Nous voyons de-là que chaque point de la carene eft foutenu à peu-près par une force proportionnelle à la hauteur verticale prife depuis le point en queftion & terminée par la furface des eaux ondoyantes ; & c’eft ici la propriété principale que je prétendois établir. $. LI. Il fuit de la dite propriété, que quelque cour- bée & inclinée que foit la furface de l’eau , la pouflée de l’eau qui foutient un corps flottant, peut toujours être confidérée comme concentrée dans le centre de. gravité de la partie fubmergée cenfée homogene , tout comme dans les eaux calmes, fans tomber dans aucune erreur fenfible , pendant que la pefanteur du corps doit être confidérée comme concentrée dans fon centre de gravité, L'équilibre pour chaque moment demande en- core que les deux dits centres de gravité fe trouvent dans une feule & même verticale ÿ mais nous allons voir qu'un tel équilibre doit néceflairement, faire incli- ner Je corps lorfque la furface de l’eau eft inclinée, & nous ne pouvons nous difpenfer de rechercher quelle fera la relation entre linclinaifon de la furface d’eau, & celle du corps fuppofé en équilibre. Pour facili- cer cette nouvelle recherche , nous fuppoferons lin- clinaifon de la furface d’eau très-petite, & la furface d’eau, pour la petite étendue que le corps occupe, être plane. Ces fuppofñtions ne pourront nous écarter fenfi- blement de la vérité, & les théorêmes qui réfulteronct feront également utiles. Outre ces fuppoñtions , nous confidérerons fimplement un plan ver:icalement plongé dans les eaux, & parallelement au plan de la cinquieme I & 80 RECHERCHES SUR LE RouULI1s figure. Nous fimplifions ainfi la queftion, afin de pou- voir exprimer, par des formules analytiques, la ftabi- lité ordinaire, fans employer aucun figne fomma- toire. $. LII. Soit donc à préfent 4 D (Fig. VII) la fur- face horizontale des eaux calmes, & que PC marque l'interfeëtion du plan vertical Rottant avec ladite fur- face d’eau 5 foit le centre de gravité du plan flottant en F, & le centre de gravité de fa partie fubmergée cen- fee homogene en G; qu’on tire par les deux points F & G la ligne £FG, qui, pour l'équilibre que nous fuppofons , fera verticale. 1l eft queftion de dérermi- ner la pofition d'équilibre du même plan, lorfqu'on fuppofe la furface d'eau inclinée comme ad, ou de dé- terminer l'angle 8 £ b, en fuppofant la ligne Z C pren- * dre la poñrion 2c. Confidérons dabord Le plan flottant comme ayant pris là même inclinaifon que la furface des eaux, deforte que À C foit parvenu dans la poñtion #7, & que la ligne £ F9 ait pris la poñtion £ fg perpendiculaire à la ligne mn; langle GEg fera égal à l'angle AE a, le point £ fera encore le centre de gravité de la partie fubmergée confidérée comme homogene, puifque cette partie eft La même qu'elle éroit avant l'inclinaifon de la furface d'eau, & le point f fera le centre de gravité du plan. Mais cette poftion du plan ne fauroit être celle de l'équilibre, puifque la ligne fg n’eft plus ver- ticale ; il faut donc que la ligne BC, après avoir pris la polition mn, fubifle un fecond changement, & qu'elle prenne la poñition #c, qui remettre les points f & g dans la même verticale ; & on remarquera à cet égard , que dans tous les corps qui ont naturellement un certain degré de ftabilité, la ligne fg fe rapproche de la verticale en augmentant l'angle 8 E m. Suppofons mañfitenant l'angle cherché mEb—= 5; l'angle donné BEm=S; BC; FG ou fes; la partie fubmergée ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 81 fubmergée du plan — M5 qu'on tire du centre Æ les petits arcs de cercle f F & Gg, avec la verticale f4, il y aura entre l'angle m E & & l'angle gfA la même relation que nous avons trouvée dans le premier chapi- tre, puifque, par la petite inclinaifon de la ligne a d, cette relation ne fauroit être changée ÿ or en appliquant nos formules générales aux angles extrémement petits, 3 q : ï on trouve g k —= ( —_—5 ) s, ce qui donne le petit cE A LA angle vf — (= Re ) s, & ce même angle étant aufli égal à l'angle BE m, ou = S, nous aurons ( a 1) s=S$, & par conféquent l'angle #£ 6, 12 Ms 12 Ms . d e A ou 5 ———— S. Si on ajoûte à l'angle mEb, l’an- g—11Ms 3 ele BE m, on aura l'angle BEb =, 1 2 g’ —12MSs $. LIII. Les réfultats que nous venons de trouver, méritent toute,notre attention. Nous voyons que l’an- gle BE B elt toujours plus grand que l'angle BE m, tant que le centre de gravité du corps plongé eft plus haut que le centre de gravité de la partie fubmergée homogene. Il eft vrai que nous n'avons confidéré qu'un plan plongé verticalement; mais on n’a qu’à fuppofer le navire être un prifme conftruit fur un cel plan, pour pouvoir appliquer nos formules aux navires ; remarquons d’ailleurs, que le dénominateur fera pour tous les vaif- feaux, quelque figure qu’ils aient, proportionnel a la ftabilité naturelle du vaifleau, & que cette ftabilité eft toujours compofée de deux parties, dont l’une dépend uniquement de la feétion du vaifleau à fleur d'eau , & l'autre de la hauteur verticale du centre de gravité du vaifleau par-deffus le centre de gravité de la carene. Si nous dénotons donc généralement la premiere partie Prix de 1757. | 82 RECHERCHES SUR LE ROULIS par P, & l’autre par Q, nous aurons généralement > S, & langle B e b — l'angle m E b — EM 0) Suivant la conftruétion des navires, leur charge & le left qu'on emploie, le rapport de P à Q eft tantÔt plus grand , tantôt plus petit; mais il eft certain que fouvent la quantité Q va jufqu'à la moitié, & peut-être même jufqu'aux deux tiers de la quantité P. Suppo- fons, par exemple, Q —+ P : dans cer exemple l'an- gle BEB fera le double de l'angle BE m; c’eft-à-dire, que l’inclinaifon du navire fera deux fois aufli grande que l’inclinaifon de la furface des eaux. Si donc les eaux étoient inclinées de 15 out10 degrés, le navire pour- roit s’incliner de 30 ou 40 degrés, en faifanc abftrac- tion de l’erreur que la grandeur de tels angles peut jet- ter fur nos formules, & il eft à remarquer que les vaif- feaux feront quelquefois obligés de prendre de telles in- clinaifons uniquement pour fe mettre à l'équilibre; & fi lon fait attention qu'ils pourront s’élancer par l'impref- fion reçue au-delà de l'équilibre, on doit être effrayé de ces énormes agitations qui peuvent arriver, furtout aux roulis; car par rapport au tangage, la quantité P eft coujours beaucoup plus grande que Q. Il pourroir même y avoir des corps qui auroient un certain degré de fta- bilité dans les eaux calmes, & qui feroient renvetfés par une petite inclinaifon des eaux. $. LIV. Ce font les angles BE & qui forment les balancemens d’équilibres dont jai fait mention au com- mencement de ce chapitre, & qui pourroient devenir excefifs, fi on n’y apportoit aucun remede. Ces balan- cemens feront ifochrones & fynchrones avec les balan- cemens des eaux, qui par bonheur fe font beaucoup plus lenrement dans les grandes lames que les £a/ance- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 83 mens naturels du navire, fans quoi Pinclinaïfon BE & feroit encore extrêmement augmentée par les élance- mens qui furviendroient, à caufe de la viceffe des ba- lancemens d'équilibre, & cela en raïfon de 86 à 89—z7, en entendant par 8 le tems d’un balancement entier des lames, & par r le tems d’un balancement naturel du navire ($$. XXV & XXVI). Comme cependant ces ba- lancemens d'équilibre dépendent de la proportion qu’on mer entre les quantités P & Q, & qu’on eft le maître de donner de grands changemens à certe proportion, il ne fera pas difficile d'y remédier après en avoir découvert la nature. On voit qu'une planche qui nageroit fur les eaux, formeroit fes balancemens d'équilibre parfaite- ment égaux aux balancemens des eaux, & que l'angle m E b deviendroit nul; on voit aufli qu'une très-lon- gue poutre, chargée de plomb par une de fes extrémi- tés, conferveroit fa pelicion verticale malgré les balan- cemens des eaux (car je fais abftraction des impulfions de l’eau, ne confidérant ici que l'effet du principe de la pefanteur) ; de forte que les angles B £& feroient entierement anéantis. Aufli l’un & Pautre cas font-ils parfaitement bien indiqués par notre théorie ; car dans le premier cas on peut fuppofer Q —0, comme étant proportionnel à la hauteur verticale entre le centre de gravité de la planche & celui de fa partie fubmergée, laquelle hauteur peut être cenfée nulle ; deforte que Pangle m E b (= Fr s) devient nul ; & dans le fe- cond cas, c’eft P qui peut être cenfé nul, à caufe de la petiteffe de la feétion de la poutre par la furface des eaux, ce qui donne l'angle BE (= F0 ) = 6; $. LV. Mais quel eft le but qu’on doit fe propofer à l’égard de ces balancemens? Doit-on tâcher d’imiter l'exemple de la planche, ou celui de la poutre, ou Li 84 RECHERCHES SUR LE ROULIS quelqu’autre état moyen? Il me femble que c’eft ab- folument celui de la planche. Car fi on vouloit anéan. tir les balancemens d'équilibre, ou les diminuer trop, il arriveroit toujours qu'une moitié du navire feroit comme noyée, & que l’autre fortiroit trop des eaux; & comme le navire eft toujours fujet à d’autres balan- cemens, CEUX-CI pourroient devenir dangereux aux na= vires déja fortement noyés par un côté ou par une moitié. Je fuis donc d'avis qu'on doit fe propofer d’a- néantir fimplement l’angle » £ B, & de rendre les ba- lancemens d'équilibre égaux aux balancemens des eaux; c'eft ce que les Marinsappellent obérr à la lame. M. Chau- chot dit, à la fin de la page 38, qu'il ne faut pas que Le navire obéiffe trop à la lame ; mais je ne doute pas qu’il ne foit de mon avis, quant aux lames que j'ap- pelle régulieres ; car quant aux lames irrégulieres, qui agiflent brufquement & fans ordre ni régularité, l’iner- ue de la matiere du navire l'empêchera bien d’obéir entierement à cette efpece de lames. Il eft de confé- quence de diftinguer les lames & d'en examiner les dif- férens effets, aufli bien que de diftinguer les balance- mens du navire , tels que les halancemens naturels, les balancemens forcés & les balancemens d'équilibre. $. LVI. Après avoir bien établi la maxime qu’on doit fe propofer à l'égard des balancemens d'équilibre, il eft queftion d'examiner ce qu'on peut faire pour y fatisfaire. Jai déja dit qu’il faut faire Q —0o, & par conféquent $ — 0, c’eft-à-dire, qu'il faut, pour Ja po- fition droite du navire, faire defcendre le centre de gra- vité du navire jufqu’au centre de gravité de la carene cenfée homogene, & faire tomber précifément l’un fur l’autre. Je crois cet article fi eflentiel à tous égards, que je voudrois qu’on y mît toute l'attention réquife. Ordi- nairement le centre de gravité du navire eft plus haut que celui de la carene , & il fera difficile de faire tom- ber ces deux points l'un fur l'autre, fi on ne veut done ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 8s ner beaucoup de creux au navire, employer du bon left & en quantité fuffifante, arranger avec foin tout ce qui doit être mis fur le vaifleau , élargir le navire vers la floitaifon afin de hauffer le fecond centre, ménager la matiere en tout ce qui eft hors de l'eau, & prodiguer en quelque façon le fer vers le fond du navire. Il eft für qu'avec toutes ces attentions on pourra déprimer le centre de gravité du navire chargé jufqu’au centre de gravité de la carene , & encore plus bas fi on le vou- loit, Après qu'on fera parvenu à mettre les deux centres de gravité dans un feul & même point, la ftabilité du navire pour les petites inclinaifons ne dépendra plus que de la fection du navire par la furface horizontale de l’eau, & fion appelle 9 la largeur de cette fection, pour une abfcifle x, prife dans la longueur, la ftabilité {era fimplement = 6/35 93 dx, en entendant par & le peritangle d'inclinaifon (. XHI). Cette fimple for- mule fervira à reconnoître par une expérience facile à faire, fi l’on aura bien réufli à mettre les deux centres de gravité à la même hauteur. Si ladite feétion éroic irréguliere, on pourroit trouver la quantité / g5dx par parties, comme M. Bouguer le fait en plufeurs occa- fions. Si certe feétion étoit un rectangle, qui eût pour largeur a, & pour longueur 4, la ftabilité en largeur deviendroit = ao; & j'ai confeillé de la rendre 12 a-peu-près telle, & de ne s’en écarter qu'’autant que Parrondiflement des angles le demande; mais pour la conftruétion ordinaire des navires, on peut fuppofer la fe&tion formée par deux demi-ellipfes, fans tomber dans aucune erreur fenfible; & j'ai démontré, au milieu du $. XIII, qu'alors la ftabilité en largeur devient — 4556, en entendant par a & par 2 la plus grande largeur & la plus grande longueur de la fection. Si l’on exprime en piés les quantités a & 2, la formule donnera un certain nombre de piés cubes d’eau agifflanc fur un 86 RECHERCHES SUR LE ROULIS levier pris à volonté; & fi on divife la formule par 28, on aurä, au lieu de piés cubes d’eau, des tonneaux à raifon de 2000 liv. chacun; le momentum de la ftabi- lité fera donc, en conneaux pour le poids, & en piés Ê 3h x , pour le levier, 777, Après avoir calculé cette quan- 5790. tité, on pourra appliquer horizontalement & perpen- diculairement à la longueur du navire un certain nom- bre de leviers qui débordent le navire, & fufpendre par les extrêmités de ces leviers des poids aflez forts pour faire pancher le navire de côté d'un angle d'en- viron deux degrés; on mefurera cet angle avec beau- coup de précifion , par le moyen d'un bon inftru- ment, & on prendra [æ fomme de tous les r0omen- zum des forces appliquées pour faire pancher le na- aba jé 579 une marque que les deux centres de gravité font réunis dans un même point; fi elle eft plus pete ou plus grande, le centre de gravité du navire fera plus haut ou plus bas que le centre de gravité de la carene ; & fi on connoît la folidité de [a carene, on pourra exacte- ment déterminer de combien le premier centre eft plus hauc ou plus bas que l’autre ; car fi la fomme des m0- “vire. Si on trouve cette fomme égale à , ce fera 3ha - ir mentum en queftion eft à la quantité 53 comme nà m, on aura P: P— Q—m:n, & par confé- m— HN quent Q = ——P, & comme Q=ms0o, en en- tendant par M la folidité de la carene, on aura Mss m—n m—n aïbo = —— — dé m m 570 ; & par conféquent s = IN = 11 ab 8x M9 & dans cette formule, il faudra ex- m ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 87 primer la folidité de la carene pareillement en tonneaux de 2000 livres. Une telle expérience demande que les eaux foient entierement calmes. Voici un exemple qui éclaircira ces regles. Soit a— 30 piés;s b— 100 piés; la folidité de La carene = 750 tonneaux; c = 0, 03 qui répond à une añba . . . m 21}à inclinaifon de 14, 43 "., on aura ro 142 55 qu'on applique cinq leviers, chacun de 30 piés de lon- gueur, depuis le milieu du tillac ; fi lon avoit chargé 8 l’extrêmité de chaque levier de + de tonneau, on en con- clurra, que le centre de gravité du navire eft précifé- ment au centre de gravité de la carene; mais fi dans l'expérience on n'y avoit fufpendu que +£ de tonneau, on auroitm— 6 &n—= $, ce qui donneroit s = € p. & d'où il faudroir inférer que le centre de gravité du navire eft élevé par-deffus le centre de gravité de la carene d'un pié 7 + lignes. En ce cas, je confeillerois de lefter davantage le navire, quand même ce feroit au préjudice de Îa charge, à moins qu’on ne puifle faire defcendre un peu le centre de gravité par un arrange- ment plus convenable de la charge ; mais quand même on ne voudroit rien changer, il feroit toujours bon de faire cette forte d'expérience pour chaque navire, car un Pilote entendu doit être exaétement informé de l’état de fon vaifleau. Si on ne trouvoit pas néceflaire de dé- primer le centre de gravité du navire tout-à-fait juf- qu'au centre de gravité de la carene, il faudroit du moins fixer à quelle hauteur on doit mettre le premier par-deflus l’autre, & cette hauteur doit toujours faire une partie aliquote de la plus grande largeur de la fec- tion du navire par la furface de la mer, comme. fa ving- tieme , fa vingt-cinquieme, ou fa trentieme partie, & par-là on fe.mettra en même tems en état de fixer le left, qu’on ne détermine que d’une maniere fort vague; 88 RECHERCHES SUR LE ROULIS il ne faut donner au hazazard que le moins qu'il eft pofiible. ; $. LVII. Nous avons confidéré jufqu’ici le vaifleau comme beaucoup plus petit, tant en longueur qu’en largeur, que n’eft soute la largeur d’une lame. Je ne m'arrécerai pas à détailler tous les autres cas qui peu- vent arriver ; ils font en trop grand nombre. IL fau- droit avoir égard à la largeur des lames , à la longueur & à la largeur du navire, à l’angle que le navire forme avec le plan de la cinquieme figure, à la viteffe du na- vire, à la durée de chaque balancement des lames, &c. & fi on vouloit combiner toutes ces varïations, il en ré- fulceroit des queftions infinies, que j'aime mieux aban-. donner à l'intelligence de mon leéteur ; je me conten- terai de remarquer qu'aux points d & f linclinaifon des eaux eft nulle; que cette inclinaïfon eft la plus grande dans les nœuds; que les caux font d'autant moins comprimées qu’elles font plus élevées, & d'autant plus comprimées qu’elles font plus bafles ; que lorfque le vaifleau fe trouve fur la convexité des eaux, il doit être foutenu plus par le milieu que par les extrèmités ; & que fur la concavité il arrive le contraire ; que les in- clinaifons des eaux font tantôt affirmatives, tantôt né- gatives, à la même diftance des nœuds; & qu'au mi- lieu de chaque balancement la furface des eaux devient tout-a-fait plane. Je ne fais pas ces réflexions comme devant nous fervir à trouver quelques nouvelles cor- rections , quant à la conftruétion du navire ; mais plu- tôt comme tendantes à expliquer la nature du roulis & du tangage, & leur variations fuivant les différentes cir- conftances où le navire fe trouve à chaque moment, & même à diminuer ces balancemens par quelques au- tres attentions ; comme, par exemple, de tâcher de tenir le milieu entre deux nœuds , lorfque les lames prennent par le travers ; de franchir les nœuds, lorfque [a lame eft prête à fe mettre de niveau; de couper la lame fous un ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 89 un angle plus ou moins grand, fuivant qu'on craint da- vantage le tangage ou le rouliss de faire force de voiles, lorfqu'’on n’appréhende pas le venc, d'autant qu'un vaif- feau cinglant fera toujours moins agité qu'un vaifleau flottant ; de faire à plufeurs reprifes de faufles routes, mais bien entendues, &c. L’art de bien gouverner ne fera pas fans fuccès dans ces occafions ; & quoique les lames ne foient jamais aufli régulieres que je les ai fuppofées dans ce chapitre, nos réflexions n’en feront pas moins utiles. La maxime principale que j'ai prérendu établir, elt celle de réunir , s’il eft poflible , les deux centres de gravité dans un feul & même point. CÉHOASP FER ES VIE Quelques réflexions parriculieres fur le angage. e $. LVIIL 1 5 tout le cours de ce Mémoire, j'ai traité également du Roulis & du Tangage; & je n'ai pas manqué, toutes les fois que l’occafion le demandoit, de confidérer en particulier lune ou l’autre ‘efpece de balancemens. J'ajoûrerai cependant encore quelques réflexions par- ticulieres fur le Tangage. La ftabilité eft beaucoup-plus grande pour le tangage que pour le roulis, fi on prend des inclinaifons égales de part & d’autre. En fuppofant les centres de gravité du navire & de la carene à la même hauteur, en confidérant la fetion horizontale du navire à fleur d’eau comme elliptique ou formée par deux demi-ellipfes , & en ne confidérant que de petites inclinaifons , les deux ftabilités feront entre elles comme Prix\de a757. M 990 RECHERCHES SUR LE ROULIS le quarré de la longueur au quarré de la largeur. Cette raifon, jointe à la grande réfiftance de l’eau, fair que lé mouvement angulaire du tangage eft beaucoup plus petit que celui du roulis; mais la grande diftance de la proue & de la pouppe, depuis l'axe de rotation, fait aufli que leur mouvement abfolu ne laifle pas de fur- pafler fouvent celui des flancs dans les roulis ; aufli exhaufle-t-on les bords vers la proue & la pouppe pour prévenir les fuites funeftes de ce mouvement abfolu. Le mouvement du tangage eft ordinairement arrêté brufquement par la grande réfiftance de l’eau, qui ne fauroit être déplacée affez vite, & qui eft frappée dans une très-grande furface. Il eft für que la matiere & le corps du navire font fort fatigués par ces rudes coups ; mais comme ils arrivent dans un tems où l’une des deux extrêmités peut-être déja extrêmement baifflée, pendant qu'il lui refte encore beaucoup de mouvement, on peut dire que ce font précifément ces violens & fubits efforts qui fauvent le navire. Le tangage ne fauroit re- pondre à la nature des balancemens libres, parce que la grande réfiftance des eaux arrêteroit auflitôt ces balan- cemens. Le sangage d'équilibre fera aufñli tel qu'il doit être fur les grandes lames régulieres, parce que la par- tie de la ftabilité qui dépend de la fetion du navire à fleur d’eau , eft ici comme infiniment plus grande que celle qui dépend de la hauteur verticale entre les deux centres de gravité ; je veux dire que le navire obéira affez bien à la lame par fa longueur , lorfque la lame et ; 5 grande & réguliere, IL n’y a donc que le tangage forcé & forme par des caufes irrégulieres, qui puifle mériter notre attention, L’inégalité du vent ne fauroit faire ici aucun effort fenfible à caufe de la grande ftabiliré ; le mouvement horizontal des eaux contre le navire ne fau- roit faire non-plus un grand effet pour le faire ranguer. En un mot, le tangage excefhf ne fauroit être produit que par un mouvement fubic & violent des eaux du ET LE TANGAGESDES VAISSEAUX. 9€ bas en-haut, ou parce que l'eau cefèra fubitement de foutenir le navire dans toutes les parties de la carene. Les brifants d’eau peuvent occafionner ces deux caufes ; car lorfque deux lames viennent à fe choquer, les eaux du milieu font extrèmement comprimées, & cette com- preffion lance les eaux en-haur avec beaucoup de force, après quoi les eaux des deux lames brifées fe retirent avec un mouvement contraire & laiflent un vuide au milieu. La partie du navire qui fe trouve au milieu de ces eaux comprimées, fera lancée pareillement en-haut ; & puis le poids de cette partie, faute d’être foutenu, caufera un mouvement contraire également violent, jufqu'à ce que le navire retrouve les pleines eaux & en foit foutenu dans toute la carene ; après quoi ce mouve- ment fera arrêté affez promptement. $. LIX. Ces agitations irrégulieres du navire feront toujours compofées de deux mouvemens ; favoir, d'un mouvement de rotation autour de l'axe qui pafle par le centre de gravité, & d’un autre par lequel tout le corps du navire montera ou defcendra un peu avec pré- cipitation ; le mouvement abfolu fe fair fur l'axe de rotation fpontanée ; mais comme le fecond mouvement allégué n'entre pas ici en compte, il faut, dans le tan- gage, toujours confidérer la ligne qui pañle par le cen- tre de gravité comme l'axe de rotation, Si donc certe ligne eft plus proche de la proue que de la pouppe , le mouvement fera plus grand vers la pouppe que vers la proue, & cela arrive en plaçant le fort du navire plus près de la proue que de la pouppe; car le centre de gravité de la carene étant par-là appro- ché de la proue, le centre de gravité du navire doit Pêtre pareillement. Je confeillerois donc de placer le fort du navire au milieu de la carene, à moins qu'on ne prétende exprès de jetter dans le tangage plus de mouvement fur la pouppe que fur la proue ; il eft für que le navire n’en filleroit que mieux, quoique quel- 1} 92 RECHERCHES SUR LE ROULIS ques-uns prétendent le contraire. L'autorité de M. Bou- guer devroit fuffire à ceux-ci pour fe d‘fabufer de ce fiux préjqugé. Il eft vrai, & ce même illuftre Auteur Va fort bien démontré , qu’en bien des cas le navire gouverne mieux, tant par les voiles que par le gouver- nail, lorfqu'il eft renflé vers la proue; mais je doute que cela foi généralement vrai. Je crois aufli que lorf- qu'on ne réuflit pas à bien gouverner le navire, c’elt le plus fouvent plutôt par la faute d’une manœuvre bien entendue , que par aucune mauvaife conftruétion du navire; une manœuvre réuflira quelquefois, & man quera une autrefois, fimplement parce que la vitefle du navire eft un peu plus grande. Je fuis d'avis qu'il faudroit plutôt s'appliquer à perfetionner la mañœr- vre pour routes les circonftances où l’on peut fe trou- ver, qu'à gagner un peu plus de facilité à gouverner par une conftruction nuifible aux qualités les plus eflen+ tielles du navire; peut-être aufli qu'on ne feroit pas mal d’ajoûter à l’ufage du gouvernail celui de longues rames , fimplement mobiles dans le plan vertical, qui doit être aufli celui des pales, & perpendiculaires à la longueur du navire. Il eft für qu'en plongeant ces pales dans l’eau, elles feroient plus d’effer que le gouvernail, pour peu qu'on leur donnac de furface, & qu’on en mulripliàt le nombre ; un gouvernail de moyenne gran- deur n’a qu'environ $0 piés quarrés de furface, & il faut, à caufe de l’obliquité , lors même qu’elle: eft la plus avanrageufe, en retrancher prefque les deux tiers, & enfin le corps de la carene empêche encore l'eau d'agir de route fa force fur le gouvernail ; d'où l'on voic aflez que l'effet des pales ne fauroit manquer d'être con- fidérable, furtout fi on fait duement incliner leurs plans verticaux à l'égard de celles qui ne feroient pas appli- quées au milieu du navire, De pareilles rames pourront encore être employées utilement dans plufeurs autres occafions & avec un maniement convenable & bien ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 93 exécuté ; elles pourront même fervir à modérer un peu les agitations du navire. $. LX. C’eft à-peu-près fur le même principe qu'on doit déterminer la quéte de l'eflambot , de laquelle les conftruéteurs ne conviennent pas. Je voudrois que l’in- clinaifon de l’eftambot, qui eft une piece droite, fût égale à l’inclinaifon de la tangente de l'eftrave à l'endroit qui eft à fleur d’eau 5 on fait que cette eftrave eft une piece courbe faifant un arc de cercle de 70 degrés, & par conféquens inégalement inclinée dans toute fa lon- gueur, L’élancement de leftrave eff fans doute très-né- ceflaire ; & fi on pouvoit laugmenter fans nuire à la force de l’aflemblage des pieces qui forment l’'éperon, ou fans tomber dans d’autres inconvéniens, on devroit le faire à mon avis; on diminueroit la réfiftance de l’eau dans le fillage , & on augmenteroit la ftabilité du na- vire contre le tangage , parce qu’on augmenteroit la fection du navire à fleur d'eau ; on éleveroit un peu le centre de gravité de la carene, & il feroit d’autant plus facile de le réunir avec celui du navire. Ces mêmes raifons , excepté la premiere, concourent pour faire augmenter la quête de l’eftambot ; d’ailleurs, il fera utile de rendre égales & femblables les deux moitiés de l'a- vant & de l'arriere de [a fetion horizontale du navire à fleur d’eau, afin de diftribuer également fur la proue & fur la pouppe le mouvement du tangage. En fuivant ma regle fur la quête de l’eftambot, cette égalité fub- fiftera même dans le navire lorfqu’il fera un peu incliné, au lieu que fi on vouloit élever l’eftambot tout droit, & que la proue s’élevat par-deflus la furface de la mer, il arriveroit que ladite feétion feroit confidérablement raccourcie , & que les deux moitiés en deviendroient d'autant plus diffemblables. M. Chauchot n’a pas man- qué de confeiller pareillement de rendre la proue fem- blable à la pouppe un peu au-deflus & au-deflous de la ligne de Hé, 04 RECHERCHES SUR LE ROULIS $. LXI Il eft naturel de dire, qu’on diminuera en- core le tangage en augmentant la longueur du navire. Ce’ qu'il y a de fûr, eft que la ftabilité en feroit confi- dérablement augmentée. Cependant comme la quille n’eft déja que trop fujette à s’arquer , il eft à craindre qu'on n’augmente ce mal en augmentant trop la lon- gueur de la quille ; car quand même on pourroit diftri- buse la charge d’une maniere que le poids de chaque tranche verticale du navire perpendiculaire à fa longueur fût égale au poids de l'eau déplacée par cette tranche, ce qui feroit apparemment le meilleur moyen pour empècher la quille de s’arquer, on voit aflez que cet équilibre ne fubfifteroit plus pendant les agications de la mer & du navire, qui font prefque continuelles. IL fe peut d’ailleurs qu’il y ait une certaine proportion en- tre les dimenfions du navire & celles de la mafñle d’eau qui tend à agiter le navire, qu'on doive craindre davan- rage; & eit-il bien für qu'on s'éloigne le plus commu- nément de cette proportion en augmentant la longueur du navire ? Je crois bien qu'on diminuera prefque tou- jours par-là le mouvement angulaire du tangage, & que par conféquent la mâture en fera moins fatiguée; mais il n'eft pas fûr qu’on diminue généralement parlant le mouvement abfolu de la proue & de la pouppe. Il ne faut pas non plus que le navire fe refufe trop à l'impref- fion des lames, ce qu'il pourroit faire à caufe de fa grande mafle , furtout à l'égard des lames irrégulieres, qui agiflent avec promptitude, & qui ne répliquent pas leurs efforts. Un navire qui conferveroit fa pofition droite à l'égard de l'horizon , & qui par conféquent n’auroit ni roulis ni tangage, feroit continuellement noyé foic par la proue foit par la pouppe, & courroit rifque de fe remplir d’eau & de couler à fond. Il y a tels articles fur lefquels il faut confulter l'expérience plutôt que la fimple théorie. $. LXII, On aidera le navire à obéir à la lame en ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 95 le chargeant & le leftanc beaucoup plus vers le milieu que vers les extrêmités ; car de cette maniere la matiere du navire oppofe moins d'inertie aux efforts de la lame. Si au contraire on remarquoit au navire trop de promp- titude à obéir aux efforts des eaux agitées, il faudroit jetter plus de charge vers les extrêmicés , & foulager le milieu. Les halancemens libres, s'ils trouvoient lieu dans le tangage , fe feroient plus rapidement dans le premier cas que dans le fecond. Cette réflexion ne doit pas nous prévenir contre Ja maxime de furcharger le milieu du navire, parce que les balancemens du angage appar- tiennent prefque uniquement à la clafle des ba/ancemens forcés , dont les durées dépendent fimplement des agita- tions de l’eau. Je dirai à certe occafon que les #a/ance- mens libres du tangage ne fauroient manquer de s’a- chever beaucoup plus rapidement que ceux du roulis. Je trouve même qu'ils ne dépendent prefque point de la longueur du navire, & que leur durée eft pour la plus grande partie déterminée par la fimple hauteur du tirant d'eau; le pendule ifochrone fera tout au plus égal à cette hauteur; mais je ne l’eftime pas fi long, parce qu'il y a plus de matiere vers le milieu du navire, que vers les extrêmités, qui ont le plus de mouvement. Un parallelipipede, dont la longueur feroit beaucoup plus grande que fa largeur & fa hauteur, s'il étoit uniforme- ment pefant dans toute fa longueur, feroit fes balance- mens, dans le fens de longueur, ifochrones avec un pendule fimple , dont la longueur feroit égale à la hau- teur de fon tirant d’eau ; & cette remarque fuffic pour voir la vérité de ce que je viens de dire. Ainfi un navire qui a 18 piés de cirant d'eau, fera fes halancemens libres du tangage en moins de 2+ fecondes. Ceux du roulis fonc plus lents par plufeurs raifons, dont la principale eft à mon avis la hauteur qu’on donne ordi- nairement au centre de gravité du navire par-deflus le centre de gravité de la carene, laquelle hauteur dimi- 96 RECHERCHES SUR LE Rouz1s aue trop fenfiblement la ftabilité du navire dans le fens de fa largeur, & par conféquent la force qui tend à redrefler le navire. En réuniflant les deux centres de gravité, comme j'ai confeillé de faire, autant qu'il eft pofñble, les rouls libres fe feront plus rapidement. Ce feroit là un inconvénient, fi les roulis actuels n’écoient prefque toujours des roulis forcés & non des roulis libres, Les roulis forcés, je le répete, font ifochrones avec le balancemens des lames, qui le plus fouvent font beaucoup plus lents que les roulis libres du navire. On gagnera donc par l'accélération des roulis libres, parce qu'on évitera prefque toujours ce cas fâcheux duquel J'ai parlé aux $$. XXII, XXVI & XLII, qui arrive lorfque les accès de forces qui agitent le navire font ifochrones avec les balancemens bee du navire. $. LXIII. Voilà les principes que jai cru pouvoir fervir à la folution de notre queftion ; jefpere qu'ils feront de quelque utilité, tant aux Pilotes qu'aux Con- ftructeurs de Vaifleaux. C’eft à eux que je laifle Le foin d'en faire ufage avec les précautions néceflaires, fui- vant leurs connoïflances acquifes , les priant feulement de les écouter fans ce préjugé qui retarde fi fouvent la perfection des arts & des fciences. Ils fuppléeront faci- lement à ce que j'ai pu omettre, & fauront employer ces principes avec beaucoup plus de fuccès que je n'ai pu faire dans les circonftances où je me trouve. FIN: Mankre de diminuer le Loubs par ML. Berroullr. Dela Cardele Jeupi OURS : Qi Su PPT a "RATE CRT MT MA br à EXAMEN Des efforts qu'ont à foutenir toutes les parties d’un Vaifleau dans le Roulis & dans le Tangage. 61 RECHERCHES SUR LA DIMINUTION DE CES MOUVEMENS. Piece qui a partagé le Prix de l'Académie en 1759. Par M. L. Evzer, Direëteur de l’Académie Royale des Sciences & Belles-Lertres de Pruffe. ge mm mg fes =" Tnfequitur clamorque viräm flridorque rudentum. CN Prix de 1759. A > CD RER <$e AVANT-PROPOS. GT on fe propole de diminuer les mouvemens de Roulis & de Tangage des navires , 1] ne s'agit pas tant de rendre ces mouvemens réguliers & conformes à ceux d'une pendule, que d'empêcher les funeftes eflets que leur impétuofité pourroit caufer. M. Chauchot, qui a remporté le premier prix fur cette queftion, a très-judicieufement remarqué , que l'intention de l'Académie Royale des Sciences de Paris étoit de prévenir les rifques auxquels font expofés la miture & l’aflemblage des parties d'un navire, & les incommodités que les Marins éprouvent lorf- que les agitations, d’où réfultent les mouve- mens de roulis & de tangage, deviennent trop violentes. Cependant ce même Auteur ne femble pas s'être exprimé aflez exaftement, quand il dit que la trop grande vitefle de ces mouvemens caufe les inconvéniens qu'il faut tâcher d'évi- ter: car quelque rapide que foit un mouve- ment, dès que toutes les parties d’un vaifleau en font également portées, leur aflemblage n'en fauroit plus fouffrir, que fi elles fe trou- voient dans un repos parfait. Tant qu'un corps A ij À AVANT-PROPOS. fe meut d'un mouvement uniforme, qui foit le même dans toutes fes parties, leur laïfon mutuelle n’en éprouve aucun effort, quelque rapide que foit le mouvement. Ce n’eft donc pas la viteffe même, quelque grandè qu’elle foit, d’où réfultent les incon- véniens dont 1il eft queftion; mais leur vérita- ble fource doit être cherchée dans laccéléra- tion ou retardation du mouvement : & c’eft de-là que naïflent les efforts que les diverfes parties d'un vaifleau éprouvent, pour changer le mouvement qu'elles ont aétuellement, & pour fuivre celui dont le vaifleau tout entier eft porte. Un corps ne s'oppofe au mouvement, qu’en- tant qu'il eft différent de celui qu'il a déja, & par cette raifon auf les parties d'un vaifleau n’é- prouvent des efforts qu ‘entant qu’elles font obli- gées de changer leur état foit de repos ou de mouvement. C'eft donc de ce principe que je me propofe de rechercher jes efforts auxquels les parties dun vaifleau font “affujetties , pendant qu'il eft agité d'une maniere quelconque ; & cette même recherche découvrira enfuite les moyens de détérminer & de diminuer ces efforts, au- tant que les autres GreOnRanCes le permet- tent. EXAMEN Des efforts qu'ont à foutenir toutes les parties dun vaiffeau dans le Roulis & dans Le T'angage. PREMIERE PARTIPE. Des efforts que l’aflemblage des membres éprouve des forces quelconques dont le navire eft follicité. LE AL qu'un corps n’eft follicité par aucun force, sil neft pas en repos, il fe mouvra uniformement felon la même direétion, ou il tournera fur foi-même autous d’un axe qui pale par fon centre de gravité, Fic. 1. 6 RECHERCHES SUR LE RoULIs Dans le premier cas, la liaifon des parties du corps ne fouffre rien du tout, & chacune fuit d’elle-même le mouvement du corps entier. Mais fi le corps rourne autour d’un axe , les parties en acquerrent une force centrifuge , par laquelle elles s’éloigneroient actuellement de l'axe de rotation, fi elles n’étoient pas aflez fortement liées enfemble. Dans ce cas donc, quoique le mouvement foit uni- forme, & qu'aucune force n’agifle fur le corps, la liai- fon des parties éprouve des efforts auxquels elle doit réfifter, & qui font égaux aux forces centrifuges de cha- que partie. Or on connoît tant a quantité de ces forces que leur direction, qui eft toujours perpendiculaire à l'axe de rotation. LI IA Un tel mouvement de rotation fe trouve dans le rou- lis & le tangage, & quoiqu'il ne foit pas uniforme, on peut néanmoins déterminer par la même regle la force centrifuge de chaque partie du vaiffeau, en fachant, pour chaque inftant la viteffe de rotation. Soit G le centre de gravité d'un vaiffeau par lequel pañle l’axe, autour duquel fe fait le roulis ou le tan- gage, & qu'on conçoive cet axe perpendiculaire au plan de la figure. Qu’a l’inftant préfent le mouvement de rotation foit tel, qu’à la diftance == d de l'axe la vireffe foit dûe à la hauteur = x. Qu'on confidere maintenant une partie quelconque du vaifleau M, dont la mañle foit — m, & la diftance à l’axe de rotation M G—7. : La viceflé de rotation de cette maffe fera donc dûe à tt la h 5 fa # if a nauteur FTPRE & partant a iorce centr] uge F5 ? z2MmTU ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 7 dont la maffe fera follicitée felon la direé&tion MP op- pofée à MG. Il faut donc que la connexion de cette partie avee le corps du vaifeau foit aflez forte pour foutenir cec effort. ITE Cet effort eft le réfultat du feul mouvement de ro= tation, & ne dépend point des forces à l’aétion def- quelles le vaifle:u eft affujerti. Je m'en vais donc aufli déterminer les efforts que les diverfes parties d’un vaïfleau éprouvent de la part des forces actuelles dont le vaifleau eft follicité , afin que connoiffanc toutes les forces qui y agiflent, on foir en étac de déterminer les efforts que chaque partie en fou- tient. Alors on n’aura qu’à ajoûter enfemble tous ces efforts, pour connoître la force totale dont l’aflemblage de cha- que partie et follicité ; & de-là on jugera aifément fi l'affemblage eft fuffifant pour foutenir ces forces. Enfuire, quand on verra comment ces efforts qu’é- prouvent toutes les parties d’un vaifleau dépendent des forces auxquelles le vaifleau entier eft aflujetti, & quel- les circonftances contribuent à les augmenter ou dimi- nucr, il ne fera plus difficile de découvrir tous les moyens poflibles pour adoucir les ficheux effets qu’on a à craindre. TV Pour déterminer les efforts que l’affemblage des mem- bres d'un vaifleau éprouve de la part des forces quelcon- ques qui le follicirent, je commencerai par le cas où - toutes les parties font follicitées par des forces particu- lieres, qui foient proportionnelles aux mafles de chaque partie, & qui agiffenc felon la même direction. Dans ce cas, il eft évident que toutes les parties re- IG 2. 8 RECHERCHES SUR LE RouLts cevront le même mouvement, foit qu'elles foient liées enfemble , où non; & partant leur aflemblage n’éprou- vera aucun effort. Puifque la gravité agit felon cette loi également fur routes les-parties, l’aflemblage des parties d'un vaiffleau n’en fouffre rien : d’où l’on voit, qu'à l'égard des au- tres forces , la liaifon des parties n’eft mile en ation qu'en tant que les forces qui follicitent féparémenc chaque partie, ne font pas proportionnelles à leurs mafies , ou qu'elles n’agiflenc pas felon la mème direc- tion, Vi Confidérons deux corps 4 & PB, liés enfemble par Ja corde ab; & dont l’un À foit follicité felon la di- rection fg par une force = P, qui ne fauroit être mis en mouvement fans que l'autre 2 fût aufli entraîné par l'action de la corde ab, dont il s’agit de déterminer la force ou la tenfon. Soit cette tenfion — 7', laquelle tirant le corps 4 en arriere, celui-ci ne fera follicité que par la force P-—T, pendant que l’autre 2 eft entraîné par la force 7. Donc} puifque ces deux corps doivent recevoir le même mouvement , il faut que les forces P—T foient proportionnelles aux mafles 4 & P ; ou qu'il foit P:A+B—T;: B; d'ou l’on trouve la tenfon cher- B A4+8B liaifon de ces deux corps À & 2, ou la corde a& doit foutenir. : Sil y avoit plufieurs corps liés enfemble , on déter- mineroit de la même maniere les efforts que chaque liaifon éprouve, chée T— + P, qui eft égale à la force, que la VI De la même maniere, fi l'on confidere piufieurs par- ties dans les corps, on pourra déterminer les forces | donc ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 9 dont chacune fera follicitée, Mais cela fe trouve plus aifément par la théorie de l'accélération qu'une force follicirante produit dans chaque partie du corps ; dans cette recherche, il faut diftinguer deux cas, felon que la direction de la force pale par le centre de gravité du corps, ou non. Pour le premier cas, foit 4 8 C D un vaifleau ou un autre corps quelconque, dont la mafle entiere foit — M; & que ce corps foit follicité par la force F P — P, dont [a direction pañle par le centre de gravité G du corps. Cela pofé, on fait, par les principes de la Mécha- nique, qu'une telle force tend à imprimer à toutes les parties du corps une égale vitefle, felon la direction de la force FP, & que l'accélération eft exprimée par P + ; 5e en fuppofaat le corps roide, de forte que les in- cervalles entre toutes fes parties foient inaltérables. NTE Concevons maintenant une partie quelconque M de ce corps, donc la mañle foit = m; & puifqu’elle re- : . P , . çoit une accélération <> felon la direction Mp paral- lele à FP, elle fera mife également en mouvement, que fi elle étoit détachée du corps entier, & qu’elle fût follicitée à part par une force Mp = p; enforte que 2 = = & partant p — ee Il faut donc que l'aflemblage qui affermit cette partie au corps entier , fafle cette fonction, & qu'elle en foit m P M entraînée par la force trouvée M p = Par conféquent, dès qu’on faic la maniere dont cette partie eft liée avec le corps entier, foit par des corda- Prix de 1759. B FIG. 3 YO RECHERCHES SUR LE ROULIS ges ou autrement, il fera aifé de déterminer les efforts que la liaifon doit foutenir, pour en juger fi elle eft aflez forte pour cet effet. Il en eft de même de toutes les parties dont le corps ABDC eft compofé, & par conféquent on eft en état d’afligner tous les efforts que l'aflemblage tout en- tier foutient à caufe de l’action de la force FP—=P. VIEIL Pour fe former une idée plus jufte de ces efforts, on peut tranfporter l’accélération felon un fens con- traire fur cout le vaiffleau, pour pouvoir fe repréfenter le vaifleau comme étant & demeurant en repos, D'où l'on conclud que la force F P produit le même effet fur la partie M que fi le vaiffeau demeurant en repos, cette partie étoit follicitée felon la direction centraire P M# par une force —. x P = En effet, fi cette partie m’étoit pas attachée, elle feroit quaft pouflée en arriere felon la direction Mr, relativement au vaifleau. Cetre maniere de fe repréfenter la chofe eft auffi la lus propre pour nous faire connoître l'effort que Paf- Émblige éprouve: car cet effort, par rapport à la par- tie M= 1m, eft le même que sil ÿ avoit effeétivement P : 1 une force M FT) qui tendroit à arracher cette partie du corps du vaifleau; & dès qu'une telle force F P commence à agir fur le vaifleau, toutes les parties s'en reffenrent de la maniere que je viens d'indiquer. EX. Tel eft l'effet d’une force dont la direction pañle par le centre de la gravité du vaifleau ; mais fi la direc- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUx. II tion de la force FP — P ne pafle pas par le centre de gravité G, l'effet que chaque membre en reflent eft compofé de deux partics. La premiere partie eft la même que fi la direction de la force pañoit par le centre de la gravité. Donc, fi nous confidérons un membre quelconque M, dont la mafñle foit — m, celle du vaiffeau entier étant — M, ce [RAD P membre fera follicité par une force M p — — , dontla direction Mp eft parallele à FP. Ou bien l'affemblage qui tient ce membre uni au vaif. feau , éprouvera Le même effort que s’il y avoir appliqué au membre M une force contraire & égale Mr= qui tendit à l’arracher du vaiffeau. Mais ce n’eft qu’une partie de l'effort que ce mem- bre M foutient à caufe de la force FP2& P. X. L'autre partie doit être déduite du mouvement de rotation que cette force tend à imprimer au corps. Pour cet effet, il faut tirer du centre de gravité G une perpendieulaire GN, fur la direétion F?P, & le produit ?. G N donne le moment de cette force, qui tend à faire tourner le corps autour d’un axe, qui pafle par G, & qui eft perpendiculaire au plan GFP. Maintenant, par rapport à cette axe, il faut chercher le moment d'inertie du corps, lequel fe trouve en mul- cipliant tous les élémens de matiere par le quarré de leurs diftance à l'axe de rotation, & en affemblant tous ces produits dans une fomme. Ce moment d'inertie fera donc exprimé par une telle formule, M4#Æ, par laquelle, fi l'on divife le mo- ment de force PGAN, ou aura l'accélération abfolue P.GN CITÉ à. Bi} FIG. 4 12 RECHERCHES SUR LE RouULzrs Qu'on tire du membre M, que nous confdérons comme une mafle très-petite à l'axe de rotation, la perpendiculaire GM, & l'accélération rotatoire fur ce P:GM.GN TT Ce membre fera donc emporté par une force P.GM.GN MKkk Mr perpendiculaire à MG, felon la direction du mou- vement de rotation que l’action de la force FP doit produire. membre M fera , dans le fens Mr; ayant tiré la droite XI. Donc, puifque le membre M, dont nous fuppofons la mañle — », éprouve, à caufe du mouvement de ro- tation , une force 7”. TT, felon la dire&tion Mr, c'eft en vertu de fa connexion avec le corps du vaif- feau qu'il eft emporté par certe force égale & con- traire. L'effec donc qui en réfulte fur l’affemblage, fera le P.GM.GN MK actuellement appliquée au membre M, felon la direc- tion MG, oppofée à Mr, qui tâcheroit de l’arracher du corps du vaifleau ; de forte que fi l’aflemblage étoit anéanti, ce membre feroit effeétivement emporté par cette force. Or cela doit s'entendre de fon état refpectif par rap- port au vaifleau ; car puifque le vaiffeau obéit à l’aétion de la force FP, le mémbre M n’en étant point en- traîné , il en fera de même que fi le vaifleau demeu- sa en repos, le membre 41 étoit follicité par ladire orce. mème que s'il y avoit une égale force #. XII. Donc le vaiffeau étant follicité par une force quel- ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 13 conque F P — P, tous les membres en reffentent des cflorts pour rompre leur union mutuelle qu'on connot- tra, en prenant enfemble les deux forces Mr & MG, que nous venons de trouver. Ainfi un membre quelconque M dont la mafle foit — m exerce fur l’aflemblage une force compofée de P ces deux forces ; l’une felon M + — m. 1e & l'autre felon M G—= 1m. , où la direction M + eft parallele à FP & MG perpendiculaire à MG. Enfuite GN eft tirée du centre de gravité G per- pendiculairement fur FP, ayant mené par G l'axe de rotation, qui eft perpendiculaire au plan GFP. Auf eft-il bon de remarquer que la droite MG eft tirée de M, non au point G, mais perpendiculairement à l'axe de rotation. | Il faut encore remarquer que la dire&ion MG perpendiculaire à M G doit être tirée dans un plan pa- rallele au plan GFP. Enfin je confidere ici la gran- deur du membre M, comme extrêmement petite, ou prefque comme un point. XIII. Si le membre A étoit d’une grandeur confidérable , : p la premiere des deux forces trouvées M7 = m. n? demeureroit bien la'même , mais Pautre doit être trou- vée par la voie’ d'intégration. ” On concevra le membre entier M partagé dans fes élémens infiniment petits, & on cherchera pour cha- cun la force MG, qui lui convient tant par rapport à la quantité qu’à la direion, & on déterminera par le calcul intégral la force équivalente à toutes ces for- ces élémentaires , qui fera celle qu’on doit joindre à la premiere M G. 14 RECHERCHES SUR LE RouULIS Mais fi le membre M eft aflez petit par rapport au vaifleau entier, on pourra bien l’envifager comme réuni dans fon centre de gravité, & cela avec d'autant plus de raifon, puifque les recherches dont il ‘agit ici ne font pas fufcepribles, par leur nature, d’un plus haut degré de précifion. XIV. Si le vaiffeau eft én même tems follicité par plu- fieurs forces , ou on cherchera l'effet de chacune fur les divers membres, pour en conclure l'effet total que chaque membre en doit reflentir, ou on réduira toutes les Fa foilicitances à une feule. Et c’eft par ce moyen qu'on connoîtra les efforts que laflemblage de toutes les parties a à foutenir, le vaiffeau étant follicité par des forces De Mais cela doit s'entendre feulement des parties qui ne font pas elles-mêmes follicitées par aucune force , étant uniquement emportées par leur union avec le corps du vaifleau. Si la queftion regarde la partie qui foutient immé- diatement l’aétion de la force externe , il faut encore ajoûter cette même force à celles que nous venons de trouver ci deflus. Ainf l’aflemblage, dont chaque partie tient au corps du vaiffeau, foutient premierement les forces qui font appliquées immédiatement à cette partie, & enfuite encore les forces Mr & MG qui réfultent, felon les regles dennées de l’action, de toutes les forces qui agif- fent fur le vaifleau. X V. D'abord, toutes les parties d’un vaifleau étant ani- mées par la gravité, jai déja remarqué que puifque la gravité fuic la raifon des males, l’aflémblage ne fouffre rien de ce côté, ET LE TANGAGE.DES VAISSEAUX. 15 En effec, fi le vaiffeau n’étoit pas foutenu par la pref- fion de l'eau, & qu’il püc librement tomber en-bas, il n’en réfulteroit aucune force pour altérer la liaifon des membres. Mais le vaifleau étant foucenu par la force de l'eau, l'aflemblage fent bien la force de la pefanteur ; or c’eft à caufe de la force même dont le vaiffeau eft foutenu; & cet effet et très-conforme aux formules trouvées, Car foit FP Ia force de l'eau, & elle fera égale au poids du vaifleau, ou P = M, & la direétion FP fera verticale , paffant par le centre de gravité G; d’où GN=o, & la force M G—o. Donc le membre M agira de même fur laffemblage que s'il étoit follicité verticalement en bas par la force M7=—m, qui eft égale à fon propre poids, X VI. Ainfi tant que le vaifleau eft en repos, l’affemblage des parties ne foutient d’autres efforts que ceux de leur gravité, à l'exception de la furface de la carene, qui eft pouffée par la preffion de l’eau, De-là on pourra déterminer quelle doit être la force de laflemblage des membres du vaiffleau, afin qu'il foit fuffifant pour réfifter à ces efforts, & que la figure du vaifleau n’en foit point altérée. C'eft au défaut d'une fuffi ante force de l’afflemblage, que les vaiffeaux changent fouvent de figure, & que la quille s’arque. Comme: c'eft un grand inconvénient ; uoïiqu'il ne regarde pas direétement la queftion propo- fe. il ne fera pas hors de propos de chercher la force que la quille d’un vaiffeau à à foutenir; puifque nos principes y conduifent naturellement, & que quelques Auteurs qui ont traité certe matiere, n'ont pas fait ré- flexion à toutes les circonftances auxquelles il fauc avoir égard dans cette recherche, FIG. ss. 16 RECHERCHES SUR LE Rouzrts X VII. Concevons un vaïfleau 4 BCD, coupé en EF par une feétion verticale ou perpendiculaire à la quille CD, & examinons routes les forces qui agiflenc fur la partie BE FD pour la féparer ; ou rompre fon union du refte AE FC, que je confidere comme immobile. Cette partie BE F D eft d'abord follicitée en-bas par fa gravité, dont la direction pañle par le centre de gra- vité g de cette partie : donc fi nous pofons le poids de cette partie = p, la verticale xp fera la direction de cette force. Enfuite , pour avoir la force qui réfulre des preflions de l’eau fur certe partie, concevons cette partie comme féparée & fermée dans la fetion £F par un plan, & alors Ja force de l’eau la pouffera verticalement en-hauc, étant égale au poids d’un volume d’eau, quicelt égal à la partie fubmergée. Soit donc cette force —g, & fa direction pañlera par le centre de gravité o, du volume fubmergé de cette partie. Donc fi cette partie BE F D étoit féparée du vaifleau , elle feroit follicitée par Les deux forces gp=—p ë og=g, dont celle-là tireroit en-bas & celle-ci en- aut. XVIII. Mais puifque cette partie n'eft pas féparée du refte du vaifleau, & qu’elle ne foutient aucune preflion par la fection EF, il en faut retrancher ou appliquer fous une direction contraire la force que la feétion Æ F éprou. veroit de la preflion de l’eau. Soit donc e le centre des preflions de Peau fur la fec- tion Ë F de la carene ; fi elle éroit fermée par un plan, & que la preffion totale fur ce plan fût=7, dont la direction feroic horizontale, l’aflemblage en EF fou tiendroit ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 17 tiendroit Le même effort que fi la partie BE FD étoit tirée par ces trois forces : 1% gp=p;i 2%0q—=qi & 3. er—7r. Par conféquent la quille foutient en Æ ces mêmes forces qui tendront à la courber ou rompre en F, en- tant que l'afflemblage des parties fupérieures n’en fou- tient pas une partie. Donc le moment de ces trois forces fur le point Æ et p.Fx—qg.Fy—7r. Fe; & partant, fi cette ex- preflion évanouifloit, la quille n’éprouveroit aucun ef- fort, & il n’y auroit point à craindre qu’elle s’arqur. 2, (2. Concevons la fetion Æ F faite par le milieu du vaif- feau , puifque c’eft ordinairement là que la quille rif- que le plus d’être courbée ; & dans ce cas on pourra fuppofer 9 = p. de forte que le moment en queftion eft alors p.xy— 7. Fe. Or les extrêmités du vaifleau étant ordinairement les plus pefantes, tandis que la carene eft vers ces endroits très-mince, la force gp eft beaucoup plus éloignée du milieu que la force og: par conféquent le terme p.x y fournit un grand moment pour arquer la quille par le milieu F en-haut. Quelque inévitable que paroiïfle cet inconvénient, on le pourra pourtant éviter ou diminuer. Pour cet effet on n’a qu’à faire la feétion du milieu fort fpatieufe, & beaucoup plus large par en-haut qu’en- bas; le premier fervant à aggrandir la force r, & l’au- tre à augmenter l'intervalle Fe. Cependant les autres circonftances ne permettent pas de changer beaucoup à cet égard, (@) Prix de 1759. 18 RECHERCHES SUR LE ROULIS LR LNLRLN SN IN IN IN TEAM ANA AN ANLNAN AN AN ANA De RO OPA APR AS AS à LADA AA AA NP RONA NDS SECOND.ExPARTIE Des efforts que l'aflemblage des membres éprouve pendant que le vaifleau marche, fans être aflujetti aux mouvemens de roulis & de tangage. X X. A NT que de chercher les efforts dont Paffem- blage des membres d’un vaifleau eft agité pendant les ofcillations comprifes fous les noms de roulis & de tan- gage, il fera bon de déterminer ceux qu'il éprouve pendant que le vaiffeau marche uniformément, & que la force dont il eft pouffé demeure toujours la même , comme aufli la force de la réfiftance de l’eau ; de forte que le vaifleau ne foit porté que d’un mouvement pro greffif, On diftingue ici deux cas, felon que le vaifleau marche direétement ou obliquement : or dans Pun & l'autre il n’y a que deux forces à confidérer, favoir la force mouvante & celle qui réfifte. Ces deux forces fe tiennent en équilibre, tandis que le vaifleau marche uniformément; mais fi l’une furpañle l'autre, le mou- vement fera ou accéléré ou retardé. XXI. Tant que le vaifleau marche uniformement, puifque ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 19 les forces d’impulfon & de réfiftance fe détruifent, les membres du vaifleau auxquels ces forces ne font pas immédiatement appliquées, n'en fentenc aucun effet ; & par conféquent ils n’agiflenc fur l’afflemblage que par Jeur propre poids. Mais pour Les membres qui reçoivent immédiatement le choc ou de l’impulfion ou de la réfiftance, leur af- femblage foutient encore ce choc outre leur poids; d'où il eft aifé de déterminer les efforts auxquels laf- femblage de tous les membres du vaifleau eft aflu- jecci. Pour les efforts qui tendent à arquer la quille, le mouvement, quoiqu'il foit uniforme, y caufe quelque changement, d'où leur effer eft pour la plupart dimi- nué; car puifque la réfftance augmente la prefion de l'eau fur la proue, fi nous confidérons la partie BEFD (fig. s:) comme la proue, la force og devenant plus grande , il en réfultera un moindre moment pour cour- ber la quille; & de-là vient fans doute que les vaifleaux érant en mer font moins aflujectis à fe courber que quand ils font en repos. XXII. Quand le mouvement du vaifleau n’eft pas uniforme, ce qui arrive lorfque les forces d’impulfion & de réfif- tance ne font pas en équilibre , il fuftira d'examiner deux cas principaux ; l'un, où le vaifleau, étant en- core en repos, reçoit fubitement une impulfion ; & l'autre, où le vaifleau ayant jufqu’ici marché unifor- mement, limpulfion vient fubirement à manquer. Dans le premier cas, la force d’impulfion n'étant pas encore contrebalancée par la réfiftance, tous les membres du vaifleau s’en reflentiront , conformément aux principes que j'ai établis ci-deflus ; & la même chofe doit arriver dans l’autre cas, où la réfiftance, puifque le vaifleau continue encore fon mouvement, n'étant Ci Frc, 4 20 RECHERCHES SUR LE ROULI1S plus balancée par la force d’impulfon, produit un fem- blable effet fur toutes les parties du vaifleau. Il eft vrai que cer effet fera de peu de durée, & qu'il diminuera affez promptement, parce que le vaif- feau approche fort vite de l'état d'équilibre; mais un effort bien court peut fouvent produire des effets fà- cheux; & il fera bon de connoître auffi ces effets, puif- qu'ils fe mélent fouvent à ceux du roulis & du tan- gage, & les rendent plus redoutables. XXIII. Suppofons donc que la force d’impulfion vienne fubi- tement à manquer; & puifque, du moins au premier inftant, le vaifleau continue encore fon mouvement, il éprouvera encore la même réfiftance, qui fera d’au- tant plus grande , que fa vitefië aura été plus ra- pide. Que la ligne F P (fg. 4) exprime donc la force de la réfiftance, qui foit — À, dont la direétion tend en arriere & eft élevée au-deflus de l'horizon. Soit G le centre de gravité du vaifleau, d’où lon tre fur Æ#P la perpendiculaire GN, & qu'on con- çoive mené par G un axe perpendiculaire au plan GFP, par rapport auquel le moment d'inertie du vaifleau foit — MAX, fa mafle étanc — M. Maintenant fi l’on confidere une partie quelconque du vaifleau en M, dont la mafle foit — », on n'a qu'à tirer d’abord la droite M+ parallele à FP , & en fens contraire ; & ayant mené à l’axe de rotation de M la perpendiculaire MG, qu’on tire enfuite la droite Me perpendiculaire à MG & parallele au plan GFP, de forte qu'une force felon M£ produiroit un mouvement de rotation contraire à la force F2. Cela pofé, laflemblage qui affermit la partie M au corps du vaiffau, éprouvera les deux forces fuivantes : ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 21 R 1°, Une force felon Mr = m. um? R.GN.GM © — n RON GM, 2°. Une force felon Mg = m ——; auxquelles il faut encore ajoûter la pefanteur de la par tie M, qui eft =». XIXIV Pofons que la proue éprouve la même réfiftance hori- zontale qu'un plan = ff, qui fe mouvroit directement dans l’eau avec la même vitefle, & que la vicefle du vaifleau foit dûe à la hauteur — v ; alors la réfiftance horizontale feroit ff v. Donc fi l'élévation de la droite F P au-deflus de l'horizon eft 8, la force entiere de l’eau fur la proue fera = R; pofons aufli le poids du vaiffeau en- tier égal à celui d’un volume d’eau = ffh, pour avoir g B M=ffh; & dans les vaifleaux femblables la quantité À fera proportionnelle ai. : De-là nous aurons, pour la partie M, la force Mr=m.,; d'où il eft clair, que la viefle étant Ja même, cette force eft plus petite dans les grands vaifleaux. R.GN.GM. Mkk 9 car quoiqu’en fuppofant toutes les chofes femblables , les lignes GN & G M foient en raifon des côtés homologues, la quantité À fuit auffi la même raifon. D'où il eft clair, que fuppofant la vireffe la même; les fecoufles que les membres d’un vaiffleau éprouvent dans le cas préfent, font moindres dans les grands vaifleaux que dans les petits, par conféquent dans ceux- là l'équipage en eft moins fatigué, Il en eft de même de l’autre force Mo = m. 22 RECHERCHES SUR LE ROULIs XX VV: Il eft auffi clair que plus la direction de la réfiftance FP séleve au-deflus de l'horizon , plus la force R devient grande, & conféquemment aufli les fecoufles qu'en reflent la partie M; mais furtout l'effort felon M doit devenir beaucoup plus violent, Car fi la diretion F P étoit horizontale, & qu’elle paffàt par le centre de gravité, la force Mg évanoui- roit tout-à-fait ; mais écant inclinée à l'horizon, tirons à elle l'horizontale GR qui foit — a, & à caufe de l'angle GR N—6, nous aurons GN— a fin.B, donc À.GN= a ff vtang.8; d’où l'on voit que le refte étant égal, l'effort M2 (Tig. 4) croît en raifon de la tangente de l'angle d'élévation GR N =. Cependant cette raifon n’eft pas fuffifante, pour qu’on doive tâcher de diminuer l’angle GRAN; car il y a d’autres raifons beaucoup plus importantes, qui demandent le contraire ; & d’ailleurs l'inconvénient rap- porté n’eft d'aucune conféquence, puifque le vaifleau doit être capable d’efluyer des fecouffes beaucoup plus violentes. : XXVI. Si, au lieu de la réfiftance de l’eau, nous fuppofons que le vaifleau heurte contre un écueil, les formules trouvées marqueront les fecouffes que tous les membres en doivent reflentir. .. Alors on n’a qu'à fubftituer pour À la force que le vaifleau éprouve par le choc, qui dépend premiere- ment de la mafle du vaifleau, enfuite de Ë virefle , & en troifieme lieu de la dureté tant du vaifleau que du rocher à l’endroic où fe fair le choc. Si les deux corps, qui fe choquent, étoient parfai- tement, ou ce qui revient au même, infiniment durs, ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 23 de forte qu'ils ne foient point du tout fufceptibles du moindre enfoncement, leur mouvement devroit fubir dans un inftant un changement fini, dont la produc- tion demande une force infiniment grande. Dans ce cas donc la force R feroit infinie, & tous les affemblages dont les membres du vaifleau font affer- mis enfemble , quelques forts qu'ils puiffent être, fe devroient brifer fubitement. Mais le vaifleau étant ré- duit en repos par ce choc dans un inftant, ces fe-. coufles infiniment violentes ne fauroient durer qu’un moment. XXVII. Il eft auffi évident que le choc fera d'autant plus doux , que les deux corps qui fe choquent feront plus mous & plus fufceptibles d'enfoncement; d'où l’on voit, que pour connoître la violence d'un choc, il ne fuffit pas qu'en fache les mafles & les vitefles des corps cho- quans , comme on pourroit le croire en confultant les idées communes des forces des corps, mais qu’il faut auf faire attention à leur dureté. Mais le degré de dureté fe détermine par l’enfence- ment que deux corps prefés l’un contre l’autre par une force donnée reçoivent; & l’enfoncement fe mefure par lefpace dont les deux corpsfe pénetrent, ou dont leurs centres de gravité fe rapprochent au-delà de leur diftan- ce dans le contact fimple. Pour tenir compte de cet effet dans le calcul, nous pourrons confidérer un reflort comme 4 entre les corps choquans, dont l’un foit le vaifleau ACDB, & l'au- ; tre l’écueil 7. Soit donc z la longueur naturelle de ce reflort, qu'il a au premier inftant du choc, & fuppofons qu’elle à réduiroit à £—«, fi le vaifleau étoit fimple- ment preflé contre l’écueil par une force donnée À, de forte que « mefure l’enfoncement produit par la force 4. 24 RECHERCHES SUR LE RoULIs EAN LIT: De-là on comprend que plus les corps font durs ; & plus petit fera l'enfoncement « produit par la force donnée À ; & fi les corps éroient infiniment durs, l’en- foncement « évanouiroic tout-a-fait. Mais fachant l’enfoncement 4 qui répond à la force A, une force plus grande en produira aufli un plus grand ; ce qui dépend de la nature des corps; cepen- dant quand les enfoncemens font très-petits , il fera permis de les fuppofer proportionnels aux forces com- primantes ; de forte que pour produire un enfoncement Ut À A7 7» la force doit être —. Or 7 exprime en même tems l’efpace’ dont le vaifileau fera avancé à l’écueil depuis le premier conta& : pofant donc la vicefle du vaifleau, avant que de rencontrer l’é- cueil, dûe à la hauteur c (Fig. 5), & celle qu’il aura après s'être enfoncé par l’efpace 7, dûe à la hauteur y; on — A3d}z 7 AZ? He ETE = — ? aura dy —, par conféquent v=c Te AXt ou GE Eee De-là on connoîtra pour chaque degré de viteffe que le vaifleau aura pendant le choc, l’enfoncement 1— PE = ; & de-là aufli la force dont le . r À zAM(c—Vv) vaifleau fera alors repouflé —< = _ = XXIX. Cette force fera donc la plus grande , lorfque le mouvement du vaifleau fera cout-à-faic détruit, ou V=0, ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX, 25 y —0, & c'eft de ce point d'où il faut eftimer la force du choc. Pofons donc y— 0, & la force que le vaiffleau efluiera 2 AMc : À 9 par ce choc fera PAS d'où l’on voit qu'elle fe- roit infinie , fi la dureté était infinie ou a — 0, & qu’en général elle dépend principalement du degré de dureté, & qu'elle eft réciproquement comme la racine quarrée de l’enfoncement & caufé par une preflion don- née À. Mais fa dureté demeurant la même, certe force eft comme Mc, c'eft-à-dire comme la racine quarrée de la force vive Mc (Fig. 6) du corps chocquant , le corps chocqué ou l’écueil étant immobile. On 5'a donc qu'à fubltituer cette expreffion W/ au lieu de R, pour connoître les efforts que tous les membres du navire reflentent d’un cel choc, 2A4Mc L4 XXX, Pañlons maintenant à l’autre cas, & fuppofons que le vaifleau étant encore en repos, foit frappé fubitement par la force FP = P, dont la direction foit horizon- tale ; pour toute autre direction quelconque, la re- cherche n’en deviendroit pas plus difficile. Qu'on y tire du centre de gravité G la perpendicu- hire G N, & l'axe de rotation fera perpendiculaire au plan GN P, en‘uite confidérant une partie quelcon- que M, dont la mañle foit m, on tirera d’abord la droite M7 parallele à F P, mais en fens contraire; & après avoir mené de M à l’axe de rotation la perpen- diculaire Mg, on y fera Mo perpendiculaire dans un plan parallele au plan GF P ; enforte qu’une force M 2 auroit un moment contraire au moment de la force FP, Prix de 1759. D | FIG. 6. 26 RECHERCHES SUR LE ROULIS Maintenant la mafñle du vaiffleau entier étant M, & fon moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation Mt, laflémblage qui tient la partie M foutiendra ces deux forces : P 10, Une force felon M7 = m, mi P.GN.GM. 2°, Une force felon Mg = mm, "" ; MRR & cela à caufe de l’aétion de la force F P : car outre ces deux forces la partie M agit encore par fon pro- pre poids fur laffemblage, comme je lai remarque ci- deflus. NN: Donc auffitôt qu'un vaifleau, qui a été jufqu'’ici en repos, eft pouffé par la force F P en avant, tous les membres s’en reflentent, étant d'abord pouflés en ar- riere felon M7 par des forces proportionnelles à leurs mañles. Mais outre cela, entant que la force F P ne pañfe pas par le centre de gravité G, chaque membre fe RU ; trouve encore follicité par une force felon Mg, qui eft 7. RARE par laquelle il s’oppofe à l'incli- naifon du vaiffeau en avant, que la force F P tend à produire; & cet effort Mo fera d'autant plus grand , que les deux diitances GM & GN feront plus grandes ; mais réciproquement un grand moment d'inertie du vaifleau diminue cet effort. , Comme ces efforts font affez ordinaires, il ne fufit pas que l’añlemblage foit affez fort pour les foutenir ; c'eit à des fecoufes plus rudes qui fe trouvent dans les mouvemens de roulis & de rangage, qu'il faut tä- cher de remédier. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 27 D ARR RS TROISIEME PARTIE. Des efforts que les membres d’un navire éprouvent des mouvemens de Roulis. XXXII. CO il s’agit de déterminer les efforts que l'aflemblage des membres d'un vaifleau éprouve par les mouvemens de roulis, il faut diftinguer deux efpeces de forces ; l’une qui imprime au vaifleau un tel mou- vement, & l’autre dont ce mouvement, tant qu’il dure, eft accompagné, Toute force qui fait incliner le vaiffeau de côté aurour de l'axe longitudinal, quand elle ceffle d'agir, lui im- prime un mouvement réciproque, ou un balancement, qu'on nomme roulis. Ce mouvement eft ordinairement produit ou par un choc contre les flancs du va fleau, ou parce que la furface de la mer fe trouve plus élevée d’un côté que de l'autre. Dans l’un & l’autre cas le vaiffeau doit s’incliner vers un côté; & connoiffant la force qui produit cet efler, il fera aifé, par Les principes que je viens d'établir, de déterminer les efforts que l'aflemblage fourient. XXXIII. Si ce n’eft que le choc d’une lame 4 le côté que le vaifleau reçoit, la furface de l’eau demeurant hori- D i] Zrc. 7. 28 - RECHERCHES sur LE Rouzts zontale , l’effec n’en fauroit être fort confidérable par rapport à l'inclinaifon. Car fi le contour des gabaris E D F étoit circulaire, & que l'axe longitudinal paf- fàt par le centre G, la direction d’un choc quelcon- que en P pañleroit par. le centre G, & n’auroit, par conféquent , aucun moment pour incliner le vaif- feau. à La même chofe arrivercit, fi la figure du gabaris étoir un polygone infcrit dans ce cercle. Mais quoi- que la figure des gabaris n'ait point cette propriété , elle n’en differe pas aflez énormément pour qu'il en puifle naître une grande inclinaifon ; & il ne vaut pas la peine de tirer de là une re le pour la conftruction des gabaris, qui doit être reglée fur des maximes beau- coup plus importantes. XXXI V. Mais fi la furface de la mer n’eft pas horizontale, & que d’un côté la partie Æe (Fig 7) au-deflus de l’ho- rizon Æ F foit enveloppée dans Tes flots, pendant que de l’autre côté une partie FÆ f en eft dégagée, deforte que la ligne ce ft repréfente la furface de la mer 5 le vaifleau ne fauroit plus être en équilibre, & doit fubir quelque inclinaïfon, fon poids n'étant plus balancé par la preflion de leau. : Pour ce qui regarde la détermination mathémati- ue de la preflion que le vaifleau éprouve dans cet état, il faut avouer que les principes de l'Hydroftati- que ne font pas encore développés pour en pouvoir déterminer Les preflions d’un fluide agité ; ou dont la furface n'eft pas horizontale. Cependant, quelle; que foit cette force, ce n’eft pas ici le lieu de s’en embarrafler beaucoup, puifque cetté force ne fauroit jamais devenir fi grande, qu'il y faille faire attention, quand il s'agit de délivrer les ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 29 vaifleaux des effers fâcheux que peuvent caufer les mouvemens de roulis & de tangage. XXX V. De ce que j'ai expliqué dans l’article précédent, il eft aflez clair que ce ne font pas tant les forces mê- mes qui font les plus dangereufes, que leurs momens par rapport à un axe de rotation, Car quelque grande que foit une force (je ne parle ici que des forces qui fe trouvent dans les agitations ordinaires), fi fa direc- tion pañoit par le centre de gravité du vaifleau, les efforts des membres fur laffemblage ne feroient gueres à craindre; mais fi fa direction pañle fort loin au-delà du centre de oravité, la force en acquiert un grand moment, & pourra bien caufer un mauvais. effec, quand même la force ne feroit pas fort grande. On comprend aifément que quoique nous ne puif- fions pas déterminer la preflion d’une eau agitée, ou dont la furface n’eft pas horizontale, fa dire@ion ne fauroit être fort éloignée de l’axe de rotation, ni fon moment très-grand. Par conféquent, puifque l’afem- blage doit réfifter à des momens beaucoup plus grands, comme nous verrons bientôt , il n’y a rien à craindre des forces dont je parle ici. XXXVI. Le vaifleau ayant été incliné par quelque force que ce foit, dès que la force cefle d'agir , il fe remettra en équilibre, & paflant encore au-delà , recevra un mou- vement d'ofcillation qui durera jufqu’a ce qu'il foit éteint par la réfiftance de l'eau, ou quelque autre caufe. S'il n’y a que la réfiftance de l’eau qui s’oppofe au mouvement de roulis, il fe perpétue affez longrems, 30 RECHERCHES SUR LE ROULI1S parce que la réfiftance, dans ce cas, n'eft pas confi- dérable. Car fi tous les gabaris étoient des cercles, dont les centres fe trouvañlent dans l’axe de rotation, le mouvement de roulis fe pourroit continuer fans au- cun déplacement d’eau, & conféquemment la réfiftance évanouiroit : donc puifque la véritable figure des gaba- ris ne diffcre pas tant de la dite figure circulaire, qu'il en puifle naître une réfiftance aflez confidérable, le mouvement de roulis ne fera pas fitôt éteint, à moins qu'une autre force étrangere ne furvienne. Mais il n’en eft pas de même du mouvement de tan- gage, qui doit être bientôt éteint par la réfiftance de l'eau. XXXVII. Suppofons que le vaifleau ait acquis une inclinaifon autour de l’axe longitudinal, & qu’il foit relâché pré- fentement, n'étant plus aflujetti à l’action d'aucune force étrangere, & que la mer foit aufli parfaitement calme. Le vaifleau fera donc des ofcillations femblables à celles d’un pendule, pourvu que l'inclinaifon ne foic pas trop grande , & qu'on faffe abitraction du mouve- ment du centre de gravité, entant qu'il monte & defcend alternativement ; car ce mouvement étant fort petit, n’eft d'aucune conféquence dans la recherche LA ré'ente. Ces ofcillations feront par conféquent ifochrones à celles d'un pendule fimple, dont la longueur fe déter- mine par cette regle bien fimple : Soit Sz la ftabilicé du vaifleau par rapport à l'axe Jonoicudinal, & MKkk le moment d'inertie par rapport n , Mkk au meme axe 5 cela pofé CÊTtE expreflion var donne t la longueur du pendule fimple, ifochrone au mouve- ment ofcillatoire du vaiffeau, canc qu’il dure. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 31 XXXVIII Ces ofcillations feront donc d'autant plus vives; n MEE è que la quantité == fera plus petite, & fi l’on veut ra- L lentir leur mouvement, on n’a qu’à procurer une grande Mkk RE valeur à l’expreffion —— pour rendre ces ofcillarions ifo. L chrones à celles d'un pendule fort long. Pour cet effet il faut tâcher d'augmenter d’un côté le moment d'inertie Mkk autant qu'il eft poffible, & de diminuer de l’autre côté la ftabilité S 3 mais ce dernier remede eft diretement oppofé aux autres bon- nes qualités qu’un vaifleau doit avoir. Aufli à l'égard des ofcillations il faut remarquer que la diminution de la ftabilité ne fauroit produire un bon effet; car alors le vaiffeau fouffriroit par l’action de la même force une plus grande inclinaifon, & puifque les ofcillations deviendroient par-là plus grandes, elles feroïent aufli incommodes que fi elles étoient plus prom- tes, mais plus petites en même tems. Par cette raifon, il fera toujours bon de laiffer à Ja ftabilité fa jufte valeur, mais d'augmenter le moment d'inertie MKK autant qu'il eft poflible ; ce qu'on ob- tiendra en éloignant les fardeaux le plus qu’on peut de laxe longitudinal du vaiffleau. XXXIX. Pour s'éclaircir tout-a-fait fur cette matiere, il faut confidérer les efforts que l’aflemblage des membres a à foutenir dans le mouvement de roulis, Que le vaiffeau fe trouve incliné de fon état naturel par l’angle @, le moment de force pour fe remettre en équilibre fera Fc. 8. 32 RECHERCHES SUR LE ROULIS Sro; le vaifleau entier eft donc follicité à un mou- vement de rotation autour de l'axe longitudinal par le dit moment de force, fans qu'il y ait une force qui agifle fur le centre de gravité même. De-là naïîtra dans chaque membre du vaifleau un effort fur l’aflemblage, que nous connoîtrons par la for- P.GN GM. G — ) MK fabftituons , au lieu de P.G N, le moment S:9;, quia lieu dans cer état d'inclinaifon. Par conféquent, l'effort dont chaque membre agit fur l'afflembiage , fera exprimé par cette formule m, SC M FMEEN mule expliquée ci-deflus, 7. nous y XL: Pour rendre cela plus clair, confidérons un mem- bre quolconque M du vaifleau, par lequel on fafle pañler une feétion verticale £ D F, perpendiculaire à l'axe longitudinal qui pañle par le point G de la fec- tion. Soit ef la ligne horizontale, & l'angle d’inclinaifon ECe—%; fuppofant que la droite £ F foit horizon- tale dans l’état naturel du vaifleau. La ftabilité S 4 fera donc tourner le vaiffeau autour du point G dans le fens EDF, & par conféquent l'affemblage du mem- bre M, dont la mafle foit », ‘foutiendra un effort felon la direction My, perpendiculaire à la droite MG; St9.GM Mkk ment contraire à celui de la ftabiliré. Dans cer état donc, l’aflemblage qui tient le mem- bre M (Fig. 8) attaché au corps du vaifleau , fera follicité , fuivanc la diretion Mp, par la force S:19. GM 174 PACE 2 & cer effort fera m7. , qui auroit un mouve- d'où lon voit, que plus le membre M eft ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 33 eft éloigné du point. G, plus aufli fera grand l'effort qu'il exerce fur l'affemblage. XHErls;: De-là on pourra, à chaque inftant du roulis, dé- terminer l'effort que foutient l'aflemblage de vous Les membres du vaifleau; & par confequent juger fi l’aflem- blage eft aflez fort pour réfifter. Mais il et évident que ces efforts fonc en raifon de l'angle @, de forte qu'ils évanouiflent, tout-à-fait quand le vaifleau pañle à fon état naturel, ou cet angle £Ce=— @ eft = 05 quoi- qu'alors la vitefle du mouvement de roulis foic la plus grande, Au contraire, les efforts fur l’afflemblage feront les plus grands dans les plus grandes inclinaifons où le mouvement de roulis évanouit; & puifqu’alors $ z@ eft égal au moment de forces qui a d’abord imprimé au vaifleau la premiere inclinaifon, fi nous pofons ce mo- ment, P p, le plus grand effort dont le mouvement de Pp.GM MkKk° Donc, pour diminuer cet effort par la conftruction du vaifleau, il ne refte d'autre moyen que d’augmen- ter le moment d'inertie MÆÆ autant qu'il eft poflible. roulis fera accompagné fe trouve 72. XLIT: On voit donc que la ftabilité elle-même n’entre point ici en compte, puifque les fecoufles qui produifent le mouvement de roulis étant données, l’exprefion S 19 obtient la même valeur, foit que la ftabilité S'z foit plus grande ou plus petites par conféquent cette con- dition ne s'oppofe pas à la maxime générale, qui exige une aufli grande ftabilité qu’il eft poflible. Prix de 1750. E 34. RECHERCHES: SUR LE RouL1s Comme il neft pas dans notre pouvoir de modérer m GM, MK ? donc outre l'augmentation: du mouvement d'inertie, on en peut tirer encore ces regles: 1°. Qu'on n'éloigne pas trop les parties d'un) vaiffeau de l'axe longrtudr- nal. 2°, Qu'on rende les parties les plus élorgnées auffe légeres qu’il ef? poffible. Il eft bien vrai que par un tel arrangement on dimi- nueroit aufli le moment d'inertie! : Mais fi lon confi- dere une des parties les plus éloignées , on voit bien m. G M MKK nonobftant que le dénominateur MEKK en fouffre auf quelque diminution. les fecoufles, il s'agit de diminuer lexpreffion que la diminution de fa mañle diminue la valeur XLIIL. Ce que je viens de dire fuppofe qu'après avoir reçu la fecoufle, la mer foit calme, & que le vaifleau ne foit plus aflujetti à aucune force étrangere. Cependant on comprend aifément que quoique le vaifleau marche direétement felon fa longueur, ce mouvement ne fau- roit troubler le roulis; donc puifque le roulis fe con- tinue aifément, à caufe du peu de réfiftance qu'il ren- contre, lorfque le vaiffleau va vent arriere, il roulera à-peu-près autant que s'il demeuroit en repos, la force d'impulfion minfluant point fur le mouvement de roulis. Mais il n’en eft pas de même lorfque le vaifleau va obliquement, ou qu'il court au plus près, car alors la force du vent inclinanc le vaifleau à côté , concourt tout entiere avec les forces dont dépend le roulis; & “on obferve effeivement que dans ce cas le mouvement de roulis eft d'abord éteint. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 3 XLIV. Ce phénomene paroît dabord aifé à expliquer; car puifque le vaifleau , lorfqu'il court au plus près, fe trouve incliné à un côté par la force du vent, cette force , dit-on, doit modérer le roulis & empêcher qu’il ne fe perpétue. Mais quelque fatisfaifante que femble cette explica- tion au premier coup d'œil, elle perd toute fa force dès qu'on lexamine plus exattement. Car confidérons d'abord le vaifleau incliné à un côté par la force du vent Ÿ A, que j'envifage comme venant du côté oppofé, en faifanc abftraction du mouvement progreflif, & le vaifleau fera incliné jufques-là , ou la ftabilité tiendra en équilibre la force inclinante. Dans cet état, il y aura donc un vrai équilibre, le- quel étant troublé par quelque caufe que ce foi, il {emble qu'il en devroit réfulrer un moment ofciflatoire auvour de l'état d'équilibre; en faifant des excurfions de part & d'autre, tout comme dans le mouvement d'un pendule ; ‘& jufqu’ici il ne paroït rien qui puife arrêter la continuation d’un tel mouvement réciproque. XLW. “Soit GA (Fig. 9) un mât dont les voiles reçoivent Fimpulfion ‘du vent V:H,: la droite G J étant verti- cale, & par conféquent l'angle J GA la mefure de l'inclinaifon où Le vaiffeau fe trouve en équilibre. Concevons que le vaifleau ait acquis quelque mou- vement dans le fénsÆS, par lequel linclinaifon foit d'abord augmentée; & puifque de moment dela fta- bilité groit avec l'inclinaifon, le mouvement fera re- tardé jufqw'à ce qu'il foircéteint ; & enfuire le vaifleau retournera vers l’état d'équilibre GA par un mouve- E y FI1c. 3° 36 RECHERCHES SUR LE ROULIS ment accéléré, & fera porté au-delà ; & ainfi il en réfulteroit un mouvement ofcillatoire aflez régulier , puifque la réfiftance n’y met pas d’obftacle fenfible. Et il n'y a aucun doute que ce mouvement fe continue- roit prefque auf facilement que dans le cas précédent, pourvu que la force du venc fur le mâc demeurâc tou- jours la même pendant le mouvement de roulis. XLVI. Mais dès que le mât G Æ acquiert un mouvement vers GS, l'impulfon du vent devient plus petite que s'il demeuroit en repos, & par conféquent le moment qui tend à rétablir le vaifleau fera plus grand. Donc le mouvement qui aura été imprimé au mât vers AS fouffrira une plus forte retardation , & fera par certe raifon une moindre excurfion que fi le mât demeuroit en repos ; & que l’impulfion du vent fût la même. Enfuite, quand le mât retournera de la fituation plus inclinée GS vers G À, puifque fon mouvement eft dirigé contre le vent, il:en recevra une plus forte im- pülfon, qui s'oppofe au moment de la ftabilité, d’où la force reftituante deviendra plus petite que fi limpul- fion du vent demeuroit la même que dans l'état de repos. Le mouvement de retour du mât fera donc moins accéléré, & quand il parviendra en À, il aura une beaucoup plus petite vitefle-que celle dénc il s'eft éloi- gné, puifque les deux raifons alléguées concourent à Ce) Î À produire cet effet. XLVIT Dans les ofcillations ordinaires, le corps retourne à létat naturel ,'avec la même vitefle avec laquelle il en eft parti 5 mais ici le mât étanc forti de la pofition G À avec une vitefle quelconque, il y reviendra avec une vitefle beaucoup plus petite ; fa digrefion fuivante ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 37 vers J fera encore moindre: & puifqu’auffi dans cette digreffion la retardation eft plus grande, & enfuite l’ac- célération plus petite, au fecond retour en A fa viteffe fe trouvera encore davantage diminuée; d’où il eft évi- denc que dans ce cas le mouvement de roulis ne fauroit fe conferver longtems. IL peut même arriver que la feconde digreffion vers J n'ait point lieu, & qu'au retour de la premiere, le mouvement foit déja éteint. Car puifque dans le mou- vement par $ À (Fig. 9) l'accélération eft moindre que dans les ofcillations ordinaires, & que dans celles- ci l'accélération à l’arrivée en À évanouit, elle ‘de- viendra même négative dans le mouvement du mât par $ À; de forte que le mouvement en foit enfin retardé, & , felon la force de l’impulfion du vent, tout-à fait éteint ; ce qui eft la véritable raifon pourquoi dans ces cas le roulis n’eft pas continué. 38 RECHERCHES SUR LE RouzIs LADA N AN LAN IN INMONAON EE ONANAN ANR LN NM AVAN ADI NAN NN AAA AAA END AAA NOR AAA A AP ADS QUATRIEME PARTIE. Des efforts que les membres d'un navire éprou- vent des mouvemens de Tangage. DC LE VELLNE C E que je viens de dire du mouvement de roulis, s'applique aifément à celui de tangage ; & la derniere remarque nous découvre auff la raifon pourquoi les vaifleaux qui courent vent arriere , ne font prefque point fufceptibles de tangage, parce que la force qui pouffe le vaifleau en avant, détruit bientôt ce mouve- ment, Un vaiffeau n’eft donc affujetti au tangage, que quand il eft en repos, ou quand: court au plus près. Or toutes les forces qui font capables d’incliner le vaifleau , ou par la proue, ou par la pouppe, le font aufli ranguer. Ce font donc les chocs que le vaïfleau reçoit par avant ou par derriere, qui lui impriment un tel mouvement, en- tant qu'il en réfulte un moment par rapport à l’axe lati- tudinal du vaifleau; & outre cela l'agitation de la fur- face de la mer peut produire un ÉmBBbIE effet. XIE Concevons le vaiffeau dans une fituation inclinée au- tour de l'axe qui traverfe le vaifleau felon fa largeur FIG. to. fée le centre de gravité G (Fig. 10), & foit l'angle de ’inclinaifon CD c—®. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 39 Que Sz marque ici la ftabilité du vaifleau par rapport à l'axe latitudinal, & le moment de force par lequel le vaifleau tend à fe rétablir en vertu de fa ftabilité fera S1@, auquel eft égal le moment d’une force externe qui feroit capable de produire cette inclinaifon. Soit enfuire MkÆ le moment d'inertie du vaifleau par rapport au même axe latitudinal, Cela pofé, fi nous voulons définir les efforts qu’une partie quelconque M exerce fur l'aflemblage dans cet état incliné, foir la mafñle de cette partie », & qu'on en zire à l'axe d'inclinaifon la perpendiculaire M, S19.GM MRkK & agira felon la diretion M£ perpendiculaire à MG, & oppofée à celle de la ftabilité. Cer effort fera donc d’aurant plus grand, que le mem- bre M fera plus éloigné de l'axe laticudinal, & qu'il fera plus pefant lui-même. alors la force, que l’affemblage foutient, fera ». E Le moment d'inertie MKK étant beaucoup plus grand dans le cas du rangage que dans celui du roulis, on pourroit conclure de notre formule, que le rangage ne feroit pas fi dangereux que le roulis. Mais quoique les chocs qui caufent le tangage foient fouvent plus rudes que ceux qui produifent ie roulis, d’où le numérateur eft auf auguenté, cette feule force ne feroit jamais fort à craindre, & il fiut chercher ailleurs la caufe des funeftes effets auxquels les vaiffleaux font quelques fois expofés par le tangage. M. Chauchot croit avoir trouvé cette caufe dans l'inégalité des deux extrèmités d'un vaifileau, & lorfque les fonds fonc trop taillés par rapport à la ligne d’eau en charge, parce qu'en ce cas tout le foutien du navire fe trouvant à a flottaifon, pour peu que la lame s'échappe 49 RECHERCHES sUR LE Rourts foit à l'avant, foit à l'arriere, le navire doit tanguer d'une force prodigieufe, Il n’y a aucun doute que cette raifon ne foit très- bien fondée, mais il faut la ramener aux premiers prin- cipes, qui contiennent la caufe immédiate des effets en queftion. ET M. Chauchot à ici principalement en vue les care- nes qui fe retréciflent fubiremenc fous la ligne d’eau , tant avant que derriere; car alors dès que le vaifleau s'incline, fa feétion faite à fleur d’eau devient fubite- ment fort mince vers ce côté, d'où fon aire étant plus petite dans l'inclinaifon, la ftabilité en fera diminuée; par conféquent la même force pourra produire une plus grande inclinaifon: ce qui contribuera beaucoup à lau- gmentation du tangage. Pour remédier à ce défaut , on n’a qu’à donner à la carene une celle figure , que lorfque le vaifleau s'in- cline ou vers la proue ou vers la pouppe, fa feétion faite alors à fleur d’eau ne foit pas plus petite que celle qui convient à l’état d'équilibre; car on fait que la {tnbilité dépend beaucoup de Paire de la fection faite à fleur d’eau. . : Il faut donc éviter une telle ftruéture , qui rendroit cette fection plus petite dans l’état incliné que dans ce- lui d'équilibre ; & il ne paroït pas qu’un égal rétrécif- fement vers la proue & vers la pouppe puifle remédier à ce défaut, l'un & l’autre étant également dangereux. JR Cette circonftance mérite bien d’être examinée plus foigneufement. Soit 4 B (Fig. 11) la ligne d’eau pour l'état d'équi- libre; & que pour les plus grandes inclinaïfons, tant en arriere ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 41 auriere qu'en avant, les lignes a JE & 4J6 qui fe trouvent à fleur d'eau, répréfentent en même tems les fections du navire faites à la furface de la mer. IL faut donc que les feétions a Jb & «JG ne foient pas moindres que la feétion 4JB; par conféquent , en confidérant deux gabaris, 7PpR & qQES, l'un vers la proue & l’autre vers la pouppe, fi le vaiffleau eft plus large en P qu’en p, il fauc qu’il foit plus large en g qu'en Q; & pareillement , fi la largeur eft plus grande en © qu'en £, il faut qu'elle foit aufhi plus grande en + qu'en P. Les gabaris æ R & qS doivent donc être les plus larges en + & en g, pendant que celui du milieu, ou le maître gabaris JA, peut avoir fa plus grande largeur en J. Les plus grandes largeurs de tous les gabaris fe doivent par Lette trouver dans une ligne courbe &#Jg&6 qui s'éleve vers la proue & vers Ja pouppe. LIIL IL faudroit même que les fetions aJ& & a JC fuf- fent plus grandes que la feétion 4JB, puifque ce n’eft pas tant leur aire qui entre dans la détermination de la ftabilité, que le moment d'inertie, qui leur convien- droit, fi on leur concevoit une épaifleur infinimenc mince ; ce moment d'inertie devant être pris par rap- port à laxe laticudinal tiré par leur centre de gra= vité. Donc puifque la fection a J eft plus large vers 4 que vers a, fon centre de gravité fera plus proche de b que de a; par conféquent, quoique Îa largeur vers & für plus grande que vers a, le moment d'inertie pour- roit être plus petit: de-là il s'enfuit que les aires des fetions aJb & 4J6 doivent être non-feulement Ééga- les, mais auffi plus grandes que l’aire de la feétion 472, afin que leurs momens d'inertie ne foient pas plus petits. Prix de 1759. F 42 RECHERCHES SUR LE ROULIS Il feroit bon fi l'on pouvoit rendre ces momens encore plus grands que celui de la fe&tion 4J 2. LV: Par ce moyen on obtient l’avantage, que fa ftabilité du vaiffeau croît avec l’inclinaifon, ce qui doit dimi- nuer les inclinaifons produites par la même force. Mais la divergence des gabaris de la proue & de la pouppe au-deflus de la furface de [a mer procure en- core aux vaifleaux un autre frange , qui eft que les vaifleaux courrans au plus près s’inclinent moins à côte, ce qui les rend propres à porter plus de voiles. Car fi dans ce mouvement oblique la feule ftabilité s’oppofoic à linclinaifon, la force ne feroit que très-médiocre : il eft donc fort important de donner aux navires une telle figure, que la réfiftance que les côtés éprouvent dans les routes obliques, produife auffi un moment qui rende à diminuer l’inclinaifon. Cet effet ne fauroit prefque manquer, fi les gabaris æR & qgS font plus larges en + & g qu'en P &Q, puifqu’alors la direction si la réfiftance s’éleve davan- tage au-deflus de l'horizon, & quand on forme les oa- baris enforte que leurs élargiflemens au-deflus de la fec- tion horizontale 4 B (Fig. 11) furpaflent leurs rétre- Ciffemens au-deflous, cet effet deviendra encore plus confidérable. . L V. Mais les plus funeftes effets du tangage ne font pas caufés uniquement par la force de la ftabilité qui s'op- pofe à l'iuclinaifon , la réfiftance que Le vaiffeau éprouve dans ce mouvement, y a ordinairement la plus grande part. C'elt auffi à l'égard de la réfiftance , que Le rangage ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 45 differe principalement du roulis; car au lieu que dans le roulis on peut prefque entierement négliger la réfif- tance de l’eau, ce qui eft la raifon que ces mouvemens fe confervent longrems; il n’en eft pas de même du tan- gage , où le vaifieau, en s’'inclinant ou par la proue où par la pouppe, déplace une fi grande quantité d’eau, qu'il en doit naître une très-grande réfiftance, qui fera d'autant plus grande que Le mouvement eft plus rapide; & c’eft auf la raifon pourquoi le tangage eft bientôt dé- truit, à moins que les forces externes qui le produifent, ne foient répétées. LV IE Pour tenir compte de l'effet de la réfiftance dans le tangage, il faut diftinguer deux tems, l’un où le navire s'éloigne de l'état d'équilibre 4 2 (Fig. 10), en allant à la plus grande inclinaïfon, & l’autre où le vaifleau revient à fon érat d'équilibre; dans le premier tems la ftabilité s’oppcfe au mouvement, & dans l’autre elle Le favorife : dans l’un & l’autre la réfiftance s’oppofe au mouvement. Soit donc la réfiflance R, & fon moment par rap- ort à l'axe de rotation À7r, la ftabilité étant comme ci-deff:s S'z. Dans le premier tems, où le vaifleau s'éloigne de l’é- tat d'équilibre, fon inclinaifon étant @, La force qu’un membre quelconque M exerce fur l’aflemblage fera (St®+Rr). GM MEET SAR Or dans l’autre tems où le vaifleau retourne à l’état d'équilibre à la même inclinaifon @, cette force fera (St —Rr). G M PR ne MER LV ET. De-là il eft clair que c’eft le premier tems du tan- Fi 44 RECHERCHES SUR LE RoOUL1Ys gage où le vaiffeau s'éloigne de l’état d'équilibre, qui eft Le plus dangereux à laflemblage, puifqw’alors les deux forces de la ftabilité & de la réfiftance fe joignent enfemble. Or la force totale étant compofée de deux parties, la premiere S2 @, qui vient de la ftabilité , eft nulle au commencement du premier tems, ou g—=0, & croît enfuite avec l’inclinaifon ; maïs l’autre partie R7 qui vient de la réfiftance, eft au commencement de ce tems la plus grande, puifque la vitefle du mou- vement eft alors la plus grande, & enfuite elle va en diminuant, à caufe de la diminution de [a vitefle ; à moins qu'une nouvelle partie très confidérable ne vienne fubitement fe plonger dans l’eau, d’où pourroit bien ré- fulter une plus grande réfiftance, quoique la viteffe foic moindre, LVIIE Il y a apparence que tous les effets ficheux du tan- gage tirent leur origine d’une telle caufe : car conce- vons un vaifleau dont la proue C4 (Fig. 12) foit éten- due au-deflus de l'eau dans un grand volume 4 X°, qui pendant que la proue fe baïfle , vienne fe plonger fubi. tement dans l'eau, en la frappant d’une grande vitefle ; il eft clair que le moment 7e pourroit acquérir une très- grande valeur. Quand cela n'arrive que lorfque le vaifflcau à déja acquis une médiocre inclinaifon @, leffec eft d'autant pius vioient; effet qui fera encore augmenté, fi ce corps A X fe précipite avec une grande vitefle dans l'eau, & qu’il la frappe perpendiculairement. Enfuite ce corps fe trouvant à l’extrêmité du vaiffeau, il doit réfulter de ce choc un très-grand moment par rapport au centre de gravité G, d’où le moment de route la réfiftance À 7 pourra devenir crès-confi- dérable. ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 45 LI X; Ce cas à principalement lieu dans la pouppe qui porte l’accailillage , car lorfque la pouppe entre dans l'eau jufqu’à fon fort, & cela avec une grande virefle, tout le mouvement eft prefque fubitement arrêté, & de-là doit naître une prodigieufe réfiftance, qui au- gmentera d'autant plus les efforts fur l’'affemblage, que la viceffe fera plus grande. Si la vitefle, avant que d'entrer jufqu’à fon fort, a été petite, la virefle de ce choc fera plus grande, d’où (St Rr)GM nee devienne il peut arriver que l'effort m7. plus foible, fi le moment d'inertie MÆK eft plus pe- tit. Car alors l'effet de la feule ftabilité, ou la partie St9.GM HOTTE de fe plonger jufqu’à fon fort, perdra plus de fon mou- vement, & fa viceffe à l'entrée du fort fera moindre ; d’où le moment de la réfiftance À 7 étant plus petit, (St®@+HRr). GM MMM NT In étant plus grande, le vaifleau , avant que l'expreffion entiere "1. pourra avoir une moindre valeur, quoique le dénominateur MA&K foit plus petit. | C’eft auffi l'expédient que M. Chauchot propofe pour diminuer dans ce cas le danger du tangage. EX, Je ne fais pas fi l’on peut toujours recourir fürement à cet expédient, en diminuant le moment d'inertie M £&EÆ; car il faudroit être bien afluré que le numéra- _ StoHRr ais. teur de cette fraction —— füt par ce moyen dimi- 46 RECHERCHES SUR LE ROULIS nué dans une plus grande raifon que le dénominateur; ce qui dépend de quantité d’autres circonftances ; & fi cela n’arrivoit pas on courroit encore de plus grands rifques. mm! CO NC ELUS.I ON. | 3 femble donc plus convenable qu’en procurant au moment d'inertie la plus grande valeur, on tâche de diminuer par d’autres moyens le moment de réfiftance R r; ce qui fe pourroit faire en donnant au navire une telle figure, qu'avant de s’enfoncer jufqu’à fon fort, il éprouve déja une grande réfiftance, qui foit capable de diminuer aflez fa vitefle. Mais enfuite le fond de laccaftillage ne devroit pas être plan, mais terminé obliquement, afin que l'enfon- cement fe fafle peu-à-peu, & que la direction du choc ne foit pas verticale, mais inclinée à l'horizon autant qu'il fe peut. Comme le tangage eft le plus dangereux, lorfque la force qui s’oppofe à fon mouvement eft extrêmement grande, la même chofe doit avoir lieu dans le mouve- ment de roulis, où la réfiftance de l’eau, que j'ai négli- gée ci-deflus, doit auf augmenter les efforts des mem- bres fur l'aflemblage. Mais le plus grand danger doit fe trouver dans le roulis, lorfque le vaifleau court au plus près, & cela par la même raifon qui éteint fitôr le mouvement. Car puifque la force du vent fur les voiles concourt avec la fhabilité , pour s'oppofer à une inclinaifon ulte- rieure, les efforts des membres fur l’aflemblage en fonc Ce auffi augmentés , & ils feront d'autant plus violens, ET LE TANGAGE DES VAISSEAUX. 47 que la continuation du mouvement trouvera plus d’ob- ftacles. Et c’eft précifément le cas où le mouvement de roulis eft capable de démârer les vaiffeaux : or connoif- fant la véritable caufe de ces effets, il ne fera plus dif- ficile de découvrir des moyens propres à Les éviter. FIN. ss sk: — a sr ra dit Ha : TA | à ! cet die que Ar pers sf c PE £ TR 2 sa AA NAN à PATTES ii AO” UE AL - LS FM JAN EE U l = | | | ., : Vésiie SG ES DE MNT Prix 1752 .PL.L Recherches sur Le Rouler el & Tin x M.L.,£Æuler. de LB Crardelte Jeulp . n° INA VW tnth read | ; ET ] MOTTE À : x bi 1? L | er ts nt Ê = Ch | : A Q L É À f (| 1 , ue mir = - + A À -Tha l PC Fr. à DRUINES te : | (1 N + j 1 = Te” tn 2 ee AT PES TARRRE La € L Le] ve. LL «a _ H d L ; 4 à 3: s u à RTS ui Re. EL: Le ù Li “ ; à ñ (108 “} $ LU be L | | L = 1 | | | : P s'16 CP Lait +! 22e; N , ù ORAN LAC DIT PLEUET TITRE T TEL Recherches sur Le Routes el Le Lanoure pars M. 2. Zuder Prix de 1759. PI. Dr à (A 2 de pe fe tofs € ET hotes have s ru sde ERP Az ; LE QUE NE MEDITATIONES IN QUÆSTIONEM Utrum motus medius Planetarum femper maneat æœque velox , an fucceffu temporis quampiam mu- sationem pañatur ? & quænam fit jus caufa ? Ipfe Pater fatuit, quævis cœli affra moveret. A Carozo EULER, LEONARD: Filio. Prœmio donatæ anno M. DCC. L X. Prix de 1760. À | mamoïre: mt | | E À (pi d tu ik | il fl 5, “ARTE d 12 (La LAN ju UT 'ananen sg, PR can “nos s y | Ra eur ASS UR dogs disais sa eee ss se 1h “its | tt Li Ant n À lit os fil ss: 4 11 te 3 ? | Je ct He AR Eh Ag MURAT. : 4 | (in À ARS < ur î x for | ni | fil HET ul fe 4 1 hi , e : DIRE “is FLEPETER Vas 14 a, je do24d Fa ur “ l | Hu f [ We + 14 puits Le x D. | Lo À " 2 So % à pèa M. aime ss sin ei 5 ; x ) … L | : k % s L SRE Fes Ut 4 .". ju 1. 4 Kyt 18 : LeN (4 S $ T4 ua Ai A" TE : é 1, 1 ,# Ÿ ; k. À d . 1 # PL à } ne JA | : Fu ] ; ñ CRE # ae De e1 ? à + { É MEDITATIONES IN QUÆSTIONEM Utrum motus medius planetarum Jemper ma - neat æœque velox , an fuccefflu temporis JUAMpuUN IRUÉAELONEIM patiatur ? & quæ- fit qus cauja ? | A motus medius, utrum perpetuo eandem celeritatem confervet , an cuipiam variationi labente tempore fit obnoxius? quæftio eft eo magis ardua, quod ei in Aftronomia ne locus quidem relin- qui videtur, Cum enim ab Aftronomis cujufque pla- netæ motus medius ex collatione antiquifimarum ob- fervationum cum noviflimis definiri foleat, dum fpa- i À ij 4 DE SUCCESSIVA MUTATIONE tium interea confeétum in partes tempori proportio- nales difpertiunt, hoc modo omnis inæqualitas à motte medio excluditur : neque morus medius cujufquam planete. Reéte affignatus putatur , nifi cum vetuftif- fimis obfervarionibus æque conveniat atque cum lis, qua hodie infticuuntur. Hoc quoque modo anni quan- diras recte determinari exiftimatur , fi ad tempora Hip- archi remora æquinoétiis ab eo obfervaris (rdfaciae : fimilifque eft ratio reliquorum planerarum , quorum motus medius per cujufque tempus periodicum deter- minatur, IE Ob errores autem obfervationum Aftronomi coaéti fuere ad tempora maxime remota confugere ; ut erro- res inde in motum medium redundantes quam minimi redderentur, quod remedium potiflimum circa inftau- rationem Aftronomiæ aliquot abhinc feculis neceffa- rium erat. Poftquam autem obfervationes majori cura infticui funt captæ, pari atque meliori fuccefflu motus planerarum medios ex comparatione recentifimarum obfervationum cum aliis non ita pridem inflitutis defi- nire licuit. Quo in negotio aliquod difcrimen à conclu- fionibus fuperioribus eft animadverfum, quod utrum ab erroribus obfervationum profifcatur, an revera cuipiam perturbationi in moru planetarum Az fit tribuendum > incertum videri debebat antequam Theoria adjuti ple- niorem motuum cœleftium cognitionem effemus adepti. IIE Notabile imprimis eft difcrimen quod in quantitate anni folaris diverfomedo determinata cernitur, Com- paratio enim obfervationum Hipparchi eum Proiemæi aliquoc minutis annum majorem præber quam fi Pro- MOTUS MEDII PLANETARUM. N lemæi obfervaiones cum recentioribus comparentur. Quæ différentia five in obfervationum errores fit reji- cienda, five inde oriatur quod reduétio temporum à Ptolomæo notatotum ad calendarium Julianum minus fit certa, nulla caufa fatis firma reperitur, cur anni quan- tiratem perpetuo eandem fuifle ftatuamus. De Luna quidem vix jam dubitare licet, quin ejus motus me- dius nunc aliquanto fit incitatior quam olim: tum vero etiam in Saturni & Jovis motu medio quædam muta- tio agnofci debet quemadmodum follertifimus motuum cœleftium fcrutator Le Monnier evicir, Ex quo opinio de perpetua horum motuum conftantia nunc quidem penitus profligata eft cenfenda. LV Quodfi hæ inæqualitates-ob parvitatem À pertinaci- bus veteris opinionis propugnatoribus adhuc in dubium vocentur iis profeto Cometa initio hujus anni vifus omnem defenfionem adimere debet. Cum enim hic Co- meta idem fit qui À. 1682 apparuit, ejus tempus pe- riodicum, in quo jam infigne difcrimen ex præceden- tibus apparitionibus erat animadverfum, non folum fere ad biennium eft protraétum , fed etiam hæc retar- datio à fagaciflimo Viro Clairaut jam ante eft prædiéta & exacte defnica ita ut nullum amplius dubium fuper- effe queat quin hic Comera idem plane fit, qui jam ali quories eft confpeétus etiamfi in temporibus periodicis haud exiguum difcrimen effet d:prehenfum. Cum igi- tur hic Cometa tantam variationem in motu fuo medio fit perpeflus, eo minus fimilem variationem in plane- tis negare poterimus , quod caufæ utrinque fimiles exiftunt, quæ hujufmodi effe&um producere valcant. LA DE SUCCESSIVA MUTATIONE Ve Ac caufæ quidem iftæ non amplius funt ignotæ polt- quam principium gravitationis univerfalis toc ram feli- cicer explicatis phænomenis abunde eft confirmatum ita ut nunc quidem vix ullum fcientiæ naturalis princi- pium ad tantum certitudinis gradum eveétum videatur quam omnia corpora cœleftia perinde moveri, ac fi fe mutuo attraherent in ratione direéta maflarum & reci- proca duplicata diftantiarum. Neque adeo ad fum- mam Aftronomiæ perfectionem quicquam defideratur, nifi ut motus huic principio confentanei per calculum determinentur, quod opus à fola analyf eft expectan- dum. Quo in genere plurima præclariffima fpecimina edita func ab ïis, qui cum in determinatione motuuni lunarium , cum perturbationum Jovis ac Saturni, um vacillationis axis ipfius cerræ cum vero nuperrime in re= tardatione Cometæ operam fuam collocarunt, VI. Quæ cum ita fint, fontes, unde refolutio quæftionis propofitæ eft haurienda func detecti, rorumque nego- tium huc revocatur, ut oftendarur; utrum ex gravi- tatione mutua corporum cœleftium ulla mutatio in motu €orum medio nafcatur nec ne ? Cum autem idea motus medi per fe non fatis fit fixa, neque etiam tempus periodicum commode ejus loco introduci poffit. Quippe quod per inæqualitates periodicas fœpe fhaud mediocriter turbatur veluti in luna eft perfpi- cuum, quæftio noftra optime ad axem tranfverfum cujuf- que orbitæ adftringi videtur. Quomodo cunque enim motus cujufpiam ‘planeta vel cometa perturbatur , is femper ita concipi poteft, quafi in feétione conica fie- set, cujus tam pofitio quam fpecies & quantitas conti- MOTUS MEDII PLANETARUM. 7 nuo varietur : motu Cæteroquin manente regulis Kep- plerianis conformi, VE Quare fi hoc modo motus cœleftes per feétiones conicas variabiles reprefententur, hoc negotium no- bis erit impofitum, ut inveftigemus utrum axis tranf- verfus cujufpiam orbitæ planetariæ vel cometariæ ali- quam mutationem patiatur nec ne? ubi quidem no- tari convenit , fi axis tranfverfus poft fingulas revolutio- nes ad eandem magnicudinem revertatur quantumvis interca fuerit variatus hinc tamen nullam inæqualita- tem in motum medium transferri. Ac fi per plures re- volutiones continuo vel crefcat vel decrefcat , etiamfi forfitan deinceps aliquando in magnitudinem priftinam reftituatur : talis variatio in motum medium commode çconjicitur. Imprimis autem fi axis tranfverfus ab aétione cujufpiam cometæ , cujus adventus quafñ ex improvifo accidit, neque prævideri poteft, incrementum vel de. crementum patitur, hunc effeé&tum aliter nifi per motus medii retardationem vel accelerationem reprefentare non licer, MIIE Quandoquidem perturbationes motus funt ingentes; quemadmodum fic in luna, præter axem tranfverfum etiam reliquorum elementorum mutationes ad tempus periodicum hincque ad motum medium conftituendum concurrunt, Quando autem motus proxime regulas Kep- plerianas fequitur, uti fic in planetis primariis & come- tis mutatio axis tranfverfi, cujus quippe cubo quadra- tum temporis periodici eft proportionale , fola motum medium afficere eft cenfenda. Ita fi axis tranfverfus or- bita telluris hodie major minorve effet, quam tempore Prolemæi, mous ejus medius hodie lentior vel inçitas $ DE SUCCESSIVA MUTATIONE tior effet ftatuendus quam illo tempore. Ac fi cometa hujus anni, dum haud adeo procul à terra prærervo- lavit, aétione fua axem orbis magni, uti videtur ali- quantillum, auxit, in pofterum aunus folaris major, motufque medius folis tardior eflet futurus : cujus effec- tus quantitatem autem ob maflam cometæ incognitam non nifi ex obfervationibus deinceps inftituendis def- nire licebit, : I X. Quo igitur quæftioni ab Illuftriffima Academia pro- pofitæ fatisfaciam , quantum motus five planetæ five cometæ ab actione alius planetæ five cometæ, cujus quidem motus ut cognitus fpeétatur, perturbatur, pri- mum quidem in genere inveftigabo , tum vero quia omnes inæqualitates neque ad hoc inftitutum funt ne- ceflariæ, neque quæruntur, ad axis tranfverfi variatio- nes omnem curam intendam ; facile autem intelligitur antequam univerfa mutatio dato tempore in axe tranf- verfo produéta definiri queat, mutationem ejus momen- tancam determinari opportere. Unde hoc commode confequemur , ut fi forte non licuerit per integrationes ad fcopum pervenire , ex formula differentiali pro par- tibus temporis fais exiguis mutationes axis fcorfim de- fineantur , tumque ÿn unam fummam colligantur. Hæc methodus ufum habebit , quando aétio notabilis corpo- ris attrahentis non diu durac uti in tranfitu cometæ fere fit, ac deinceps ob infignem diftantiam quafi prorfus in gihilum abit. X. Sit igicur fol in 4, & planera vel cometa cujus at- tractione motus alrerius perturbatur moveatur in plano tabula repræfentato in quo £Q fit ejus orbita 4 E£ vero linca reéta fixa à qua longitudines computemus, Alter MOTUS MEDII PLANETARUNM. 9 After vero planeta , cujus perturbationes motus invefti- gamus, moveatur in alio plano, quod nunc quidem illud planum fecec fecundum re&tim 4 &, quæ eft linea nodorum, fitque ÆZ ejus orbita ab Æ in fu- blime afcendens. Nunc autem ille planeta feu cometa verfetur in Q hic vero in Z du&ifque re&is Q 4, Z A & QZ, ex Z in planum tabulæ demittatur per- pendiculum Z Ÿ tum vero ex Q & F ad ZE nor- males Q P & FX. Porro ex Ÿ queque ad lineam nodorum 4 & normaliter ducatur FR ut jun@a ZAR angulus Y À Z exhibeat inclinationem binarum orbi- tarum. Denique ex À tam ad 4Æ quam XF du- cantur perpendiculares À T & À V. Hæcque fere funt, quibus Geometrica quæftionis continetur. X IL “Jam faciamus fequentes denominationes firque 1°. Longicudo lineæ nodorum £ 4 & = \; 20, Inclinatio orbicarum mutua feu Y RZ —w; 3°. Longitudo planetxæ Q feu angulus £4Q =; 4°. Ejus diftantia à fole feu reéta 4 Q =; s°. Planetæ Z diftantia à fole AZ =; 6°. Ejus argumentum lacitudinis feu & 4Z = Ë, Hinc reliquæ lineæ ita definientur- AP=ucof6;s AR—veof ë;5 YR=v fin Ecof.o; PQ—=ufin.$; ZR=vfin.ËE; YZ = v fin. E fin. o; Porro cum angulus À FF æquetur angulo £ 4 R—+ erit AT= ycof.Ëcef. À; VY fin. E cof. « cof. 4; TR=— vcof. Ecof. 4; RV fin. E cof. « fin. À. Prix de 1760. B 10 DE SUCCESSIVA MUTATIONE Quare fi pro puncto fublimi Z ternas coordinatas vo- cemus AX= X;, KT; & F7 —Z habebimus X—AT—R V—=v cof.E cof. À — v fin. E cof. « fin. ; Y=TR + VY = cof E fin. À + v fin. E cof.«cof.À; & Z' = v fin. Ë fin. «. XIT Ex his denique etiam definitur diftantia planeta- rum OZ quæ brevitatis gratia ftacuatur QZ=7T. Cum enim fit PX=AP—AX=ucf.i—X, & PQO—XF—=u fin. 8— F, eric QY'=uu—iu(Xcof.0+F/finb)+XX+YY; cui quadratum Ÿ Z = Z'? additum dabit QZ'=rT—uu—ziu(X cof.0+ F fin. 0) +XX+rYrY+ZZ. Atet XX+YY+ZZ=— 1", ideoque Ti=uu—2u(X cof. 8 + F fin. 8) + y v. Verum ob cof. 8 cof. 4 + fin.8 fin. À = cof. (0 —L), & fin. 8 cof. 4 — cof. 8 fên. À = fin. (8— 4); ubi noteturô—{l—ÆA4Q—E A & exprimere an- gulum 6 4Q, feu longitudinem planetæ Q à linea nodorum fumtam, MOTUS MEDII PLANETARUM. II crit À cof. + F fin. 0 = v cof. E cof. (8— 4) + v Jin. Ë cof. a fin. (3— À); ita ut fit T=V (uu— Cole fl) + fin. Ë cof. & fin. (3 —+)) +vv); unde perfpicuum eft formulam cof. Ë cof. (8 — 4) + fin. £ cof. « fin. (8 — +) exprimere cofinum anguli Q AZ, qui eft diftantia planetarum e fole vifa. XII Quomodo cunque ab aétione planetæ Q planum or- bitæ alterius planetæ Z immutatur, ita ut momento temporis tam pofitio lineæ nodorum 4 & quam incli- natio mutua utriufque orbitæ variationem patiatur, certa quædam relatio inter has variationes intercedat. Si enim punéto temporis planeta ex Z in 7 fuccedat, ut an- gulus elementaris Z 4 7 fit — dp punétum 7 æque ad pofitionem orbitæ præcedentem angulis 4 & « deter- minatam atque ad pofitionem fequentem angulis 4 + d'A, & w+dax contentam referri oporter. Ex quo differentialia dX, dY & dZ eadem prodire debent , five anguli 4 & « conftantes fumantur, & pro anguli & À Z —Ë différentiali fcribatur d@ quippe qui hoc elemento augetur; five idem anguli 4 & « etiam pro variabilibus habeantur, angulufque £ vero fuo differen- tiali dE augeri ftatuatur, quod ob mutationem in linea aodorum & inclinatione faétam non amplius angulo ele- mentari de æquale eft æftimandum. Ex hac autem duplici differentiatione gemina relatio inter angulos ele- mentares d@, d£, d 4 & do concludetur. Bij 12 DE SUCCESSIVA MUTATIONE XIV. Prima differentiatio, qua.anguli 4 & w conftantes & d£—d@ fumuntur præbet : dX = — y do (in. E cof. 4 + cof.E cof. a fin. +); — v de (fin. Ë fên. À — cof. E cof. « cof. +): dZ= © +yd0 cof. E fin. o. Fdwv d?=— Altera autem differentiatio hos fuppeditat valores dX = y dE (fin.Écofd + cof Ecof.w fin. À) —v d (cof.E fên. À +fin. E cof o cof.À)+v de fin.E fin.o fin.+s dY = y dE(fin. Efin. À —cof.Ecof.a cof 4) vd} (cof. E cof. 4—fin. Ë cof. a fin) —v d'a fin. E fin. w cof.-Ls dZ = TT + y dE cof. E fin. o + y do fin. E cof. a. y, Hinc æquatis poftremis formulis pro 4Z inventis col- ligicur, d'w fin. £ cof: w de=dE+ rs > QE Quo facilins relatio ex prioribus oriunda eliciatur , confideremus has formulas inde derivatas MOTUS MEDII PLANETARUM. 13 Ex priori differentiatione dXcof L+dY fin. 4 = (X cof L + F fin. À) — y d@ fin Ë; d X fin. 4 —dYcof +=" (X fin. 4 — F éof. +) — vd cof. Ë cof. w; Ex pofteriori differentiatione dXcof4+dF fin d= (XV +T fin. 4) — v dE fin. Ë— v d'4 fin. E cof. «3 AXfin4—dYcof4 =" (X fin. à — Y cof. +) —v dEcof.Ecof.«— vd cof. E + v d'a fin. E fin. «; quarum æqualitas dat de=d£+d{cof.«, & do dY _ dufinEfin.o, ? ET re cof. & cof. w ? ex quibus conjunétis fequitur (= cof #*) _ defin.E fin. « _ dufin * dy cof. w 75 cof. E cof.w ? feu dJ= cof. £ Jin. w° XVI. Semper ergo variationes in linea nodorum & incli- natione à fe invicem pendent, ut fit do fin. Ë dV= cof. £ Jin. w > feu du= Jin. € Tum vero angulus elementaris Z 4 7; = d@ per quem dYcof.E fin. (. _d® do 2 rang Ë fau 14 DE SUCCESSIVA MUTATIONE corpus Z revera progreditur tempufculo infinite parvo dum variationes dE, d 4 & do gignuntur, ita deñ- nitur uc fit do fin. £ cof. a vel de=dé+ rime vel d@=dE+ d4{ cof.«; quarum æqualitas jam infuperiori continetuf , ita ut hinc duæ tantum relationes inter quaterna elementa do, dE, d4 & do conftituantur, quas in fequen- tibus, ubi effectus virium follicitantium fumus invefti- gaturi, probe meminifle juvabir. VIDE Antequäm ad partem mechanicam hujus quæftionis progrediar haud abs re erit quafdam relationes obfer- vare , quæ in fequentibus infignem ufum funt habi- turæ. Scilicer cum differentialibus d X, d Y & dZ ex priori différentiatione natis uti liceat. Ad quæ quippe altera jam funt perduéta, inde deducimus VAX—X AY = 1 de( Y(fin.E cof-L+ cof.e cofEfinÀ) — X (fin. E fin. À — cof. E cof. « cof. 4)); feuYdX— XdY——1d9 ((F cof. 4 — X fin. À) fin. E + (Y fin. 4 + X cof.L) cofe E cof. w ). At eft " Fcof 4 —X fin. À = v fin. E cof. «, & F fin. 4 + X cof. À = v cof E; quibus valoribus fubftitucis fic FAX — XdY—=— y y do (fin. Etcof.w+ cof. E*cof.«); ita ut fit MOTUS MEDII PLANETARUM. 15 YdX—XdY=—vyd@cof.oe, feu XdY—YdX—vryd co. a. XVIII. Simili modo habebimus XdZ—ZdX—=1vd (X cof. E fin. w + Z (fin. EË cof. À + cof. E cof. « fin. #) > & pro X & Z in membro pofteriori fubftitutis valo- ribus XdZ-ZdX=y v de fin.&(cof.E(cof.E cof-finEcofofin) + fin. E (fin. £ cof. À + cof. € cof. « fin. d)); quæ manifefto in hanc fimplicem contrahitur, XdZ—ZLdX—vyd@ fin. « cof. À. Denique eodem veftigio infiftentes colligimus :* FYdZ—ZdY= y de(Y cof. E fin. w+Z (Jin. Ë fin. À — cof. E cof » cof. +) DE & pro Y & Z & valoribus fubftitutis YdZ-ZdY-vvd@fin.« (cof.E (cof.E find +finécof.o cof.d) + fin. Ë (fin. E fin. À — cof. E cof. « cof. L) ); quæ fponte in hanc fimplicem formulam abit : FdZ — ZdY=vvd6 fin. fin. À. ee Denique cum ex elementis {X, dY & dZ fit ele- mentum revera defcripeum Z7=v(dX?+dF:4+ 42) ob AZ — y & AL—v+dy fi centro À arculus Z y defcribatur erit 7? = dy & cum pofitus fit an- 16 DE SUCCESSIVA MUTATIONE gulus elementaris Z Az—=d®, eri Zrv—vd, hincque Z z2—= dv2+yyd@:. Ex quibus evidens TE id ‘ : eift fore dX+dY'+dZ'=dy+vvd@" quam æqualitarem etiam ex formulis pro differentiali- bus dX, dY & dZ.ante inventis, fed per plures ambages deducere licuiffer. Atrque hæc fere funt, quæ Geometria & Analyfis pro folutione quæftionis propo- fita fubminiftrant , quibus inftruéti facilius parrem me- chanicam, qua-totum negotium continetur , agredi poterimus. Hæc autem feorfim exponere vifum eft, ne relationes circa lineæ nodorum & inclinationis mu- rationes momentanea principiis mechanicis inniti vi- deantur, X X. Sit igitur mafla Solis — À, Planetæ in Z= 28, & Planetæ Cometæve perturbantis in Q — €: ac primo planeta in Z primo ad folem urgetur fecundum Z A : : A d UE . vi acceleratrice = —, unde pro directionibus fixis coordinatarum nafcuntur vires A+ B)xX feu RARE (A+HB)F feu RE (AH B)Z feu ee Deinde verfus Q urgetur fecundum direétionem Z Q + ; C AN é yi acceleratrice — —, unde “per fimilem refolutio- cle nem nafcuntur ,vires hx feu MOTUS MEDII PLANETARUM. 17 N C'ucof Ô— X) fecundum AXEL EE: a + T C(u fin. 0 7) à Go, dy CE S . “ Dis cz {ec. Z Y — —. Denique cum etiam fol ad Q@ follicitetur vi accelera- . G : « : 4 « trice — hæc contrarie fecundum diretionem Z S ipfi Q Æ parallelam in planetam Z applicata eft conci- piend, unde oriuntur hæ duæ vires : € cof. Û C fin. 8 f 8 ec TX = uv fec. X 4 = X X I. His jam viribus novimus accelerationes corporis in Z fecundum eafdem direétiones efle proportionales : unde fi elementum temporis ftatuimus = Ÿ: idque conftans fumamus, habebimus tres fequentes. æqua- tiones : dd X=— a dr (ENTRER SES) $ L4 Ti uu CAM BNP 2 Lo 7) SC fr Ë ddV=— a de ( =) 14 CR Lu LA Bin Nc z ddZ=— a dti ——© + — V3 T à ubi 4 certam conftantem qua proportionaliter deter- minatur, defignat, quam deinceps ex motu quodam cognito veluti motu terræ medio, qui nunc-quidem locum habet, definiri conveniet. Quo paéto fimul loco elementi temporis vagi In fe dr fpatium motu terræ medio interea defcriptum in calculum introducetur. Prix de 176 o. ; C 18 DE SUCCESSIVA MUTATIONE Ceterum hic notetur, maffam folis 4 tantopere maf- fas planerarum & comerarum excedere, ut pro 4+ 8 tuto fcribere liceat Æ. quantitafque q ed c ro frac- 3P tione minima haberi poflt. XXII. Omnes nunc vires Analyfeos in hoc intendi opor- ter, ut iftas tres æquationes differentio-differentiales refolvamus, hoc eft vel integremus, vel ad commo- dam approximationem perducamus. Acprimo quidem binis conjugendis fimpliciores formas adipifcemur KATY = FIX DR = —— Ti €E(F cof8— X fin, 0, feu XddY— FddX=aCdr (X fn. 0 — Fcof.8) 1/2 1 Deinde fimili modo colligimus XddZ—ZddX=a des (RL + | uw =— «CZ di cof 0 (£ 7 Fdd2—ZddY=adr (EL nr en “x =—aCZ di fn if ubi autem manifeftum eft barum trium æquationura binas jam tertiam in fe complet. MOTUS MEDII PLANEKTARUM, 19 OX MIEL Hic primo.obferverur formulas XddY —Y4dx, XddZ— ZddX, YddZ—7Zdd} eflé diffe- rentialiæ formularum XdY—Y4dX, XdZ—ZdX, YdZ— ZdY, quarum valores fupra ($. XVII, XVIII) MERE. Deinde cum fit Z = y fin. £ 1.0), DE di ee dose cof. & cof. (4 — +); fuperiores tres æquationes has induent formas : d. (vvdqcof.o) =aC vdi? (cof. Ë fin. (8— +) — fin. £ cof. w cof. (3 — + H)(£—2); d. (vvd@ fn. o fin. À) —=— a C y det-cof. 8 fin. E fin. s(2—x), d. (v y d@ fin. « fin. M Are Ib à fin. Ë Jen. a(£—x); quarum binæ etfi jam continent tertiam, tamen quia nulla eft ratio, cur unam præ reliquis omittamus, con- veniet omnes tres retineri, quo inde facilius formulas deinceps ufum habituras » eliciamus, XXI V. Cum igitur binæ pofteriores, fi ex parte evolvan- tur Prbedes Ci 20 DE SUCCESSIVA MWTATIONE caf. + d (nv don.) = vd @ fra fin. Les | —e Code cof 8 fin.E fine (5 — 2) ; fin. à d.(vv do fin.o}+ vs de fin.a.d'4 cf. = — a Cdi fin. 8 fin. E fine (=); illa per /£r. L hæc vero per — cof. 4 ryielehe con- junéte producent — vv de d{ fin. ae Cote Jin. Ë fin. su (8— +) =); quæ per — y fin. e dat yd@d4=— a Cd* fin. E fin. (8 —4) (=); ia ut hinc elementum d4 pro temporis elemento d£ determinetur à a Cdt? fin. E fin.(9— 4) fu I PC EE EN LE "47 vd T3 Lu unde fimul colligitur dE = d@— d4 cof.w, atque d'Ycoft fin. » a C dt? cof. E fin. w fin. (g— Ÿ) f u 1 pote Ne fanc gs EN fin. E + d9 T3 uu XX V. Sin autem earumdem binarum æquationum prior per cof. 4 & polterier per /£r. 4:multiplicecur junétim 4h d(vvd@fin.o) = — a Cv di* fin. Ë fin. à of (8 —4) u I Ti uu ? quæ ex parte evoluta fic tr MOTUS MEDII PLANETARUM. 21 fin. o d(vv de) + v vd da cof. o=— a Cv dt: fin, E fin. o cof. (8—+) EE) Prima autem fimili modo ex parte evolüta dac cofod.(vvd@g)—vydç@dofin wu=—=—4Cyd:! (En. E cof. o cof. (B— 4) — cof.Ë fin. (b— pe .") T4 uu Nunc igitur illa per cof: « hæc vero per — /£r. w mul- tiplicata conjunétim producent : vydpdo—=— à Cyde? cof. E fin. o fin. (8— 4) TA u u) 9 quæ cum modo ante inventa congruit. Quod eo minus eft mirandum, quod uti jam obfervavimus , noftræ ternæ æquationes nonnili pro duabus funt habendæ, neque propterea plures duabus conclufiones fuppe- ditant. XXVI Mulriplicemus autem binarim poftremarum æqua- tionum illam per /in. w hanc vero per co/. « , atque earum aggregatum præbebit : d(vydq) =—.a Cv de (fin. cof. (@-L)— cof. E cof.a Jen. (2—+4+)) (== Ti uu quæ ad fequentem ufum maxime accomodabitur fi per 2vvd@ multiplicetur , & inregretur. Quia enim ele- mentum de conftans afflumitur, integrale hoc modo reprefentabitur : y4dq:=—12aCdtf y; do (fn. E cof (8 —4) ban EN) 0) 22 DE SUCCESSIVA MUTATIONE ac videbimus totum negotium potiffimum ad inven- tionem hujus integralis revocari. Hæ ergo fant illæ duæ conclufiones , quas externis noftris æquationibus derivatis deducere licet, quarum altera valorem iphus v4d@* altéfa vero ipfus d 4 vel do oftendit. XXVIT Cum igitur vis noftrarum trium æquationum princi- palium ($.X XI) nondum fit exhaulta fequenti com- binatione novam inde æquationem formemus. Multi- plicentur fcilicet prima per 24 X, fecunda per 2 dY, ac tertia per z d Z, ut hoc modo fummæ prius mem- brum fiat integrabile, & cum fit XdX +Yd Y + Z dZ = y dy obtinebimus 14dXddX+2dY ddY+1dZddZ=—1adtt (DE 4 Cr céXcoft+d fn (5 —7)) L22 Ti Ti du ex formulis autem differentialibus ($. XIV ) colli- gimus dX cof.8+ dY fin. = LX cof.8 + F fin) —v de (fn. E cof. (B— 4) —cof. E eg. » fin. (8 —Y)), quæ ob . X cof. 8 + Y fin. 8 = v (cofE cof. (— +) + fin. E cof. o Jên. (3—+)); tandem præbet 24XddX+21dY ddY+21dZddZ=—1adit (A+ B)dv pe r) à vv 2 +aaC de (dv (cofe E cof. (-4)+/fn. Écof.a fin.(-4)) y de (fnEcof. E-4)-cafEcofafin. E-4)) (52) MOTUS MEDII PLANETARUM. 213 XXVIILI Jam partis prioris integrale eft dXt+dY:+dZ:=dy+vvdç* pro parte autem pofteriori ponamus brevitatis gratia cof.E cof. (4 —4) + fin. E cof. e fin. O—4{)= cof.p, & Jin. E cof. 8 —+) —cof. E cof. « fin. B—4)= fin. 0, ut fit p— angulo Q 4Z & propterea T=V(uu—zuvcof p+vy) Hincque æquatio noftra integralis ira fe habebit dys+yvdot=2a(4+B)di(1—})—2a Car f se | +iaCdr:f(dycof.p—vdgfin.c) (SE) Tum vero ex fupra inventis habemus: v+id@g"——2aCdt:f v3d@ fin. so —r u Lu quibus duabus æquationibus folutio problematis potif- fimum continetur, XXIX. Ponamus præterea ad Has formulas contrahendas : [v3d@ fin. (5 —:) = P ; FF =0Q; [dv cof.p— v d@ fin. o) (= —::) = R; quas quantitates, quia in terminis valde parvis tantum infunt , tantifper tanquam cognitas fpeétemus: & nof- træ æquationes erunt 24 DE SUCCESSIVA MUTATIONE v4dq—1adt:((4A+B)G— CP); dv+vvdg"=1adt:((A+B)(-7 —CQ+CRi; ubi uc parvitas maflæ € præ 4+ 2 clarius in oculos incütrat ponamus — 2, da uc 2 fit fratio, 4A+8 quam minima : induentque noftræ æquationes has formas : 4494 —2a(4A@B)dr (G—nP?P); dvi+yvyd®=2a(A+B)de(i—i—n Q+nR). X XeX. 4 Hinc jam commode exui poteft confideratio tempuf- culi dy, fietque (C—nP)dv+vvdp)=vtde (Et +n(R- Q)); unde colligitur L dv(G—nP)=vtdq({—i+n(R—Q)— (GP); hincque porro EV(G—nP)= de V(L—i+n(R— QC P), qua æquatione relatio inter differentialia dy & d@ ex- primitur, reliqua autem jam fupra ad d@ funt reduéta: tum vero nunc etiam tempufculum ds: eodem revo- catur ope æquationis ds PA ee AV 2e (A+ BC — R PIS fi fraétio z plane evanefceret, hinc cognitæ regulæ Ke- À pran( FA SU plerianæ deduci folent. "XX x Quo nunc motus determinationem ad fimilicudi- nem regularum Keplerianarum perducamus, diftantiæ AZ =7V MOTUS MEDIIPLANETARUM. 25 AZ — y formam fimilem ei, quæ in fectionibus co- RTE ; ubi p denotat femiparametrum feétionis conicæ, q excen- tricitatem , ex x eum angulum qui anomalia vera ap- pellatur. Cum autem vulgo anomalia vera ab aphelio computari foleat, liceat hic mihi ab hoc more rece- dere, eamque à perihelio computare, quo fimul in cometarum orbitis locum inveniri queat. In motu re- gulari quantitates p & q eflent conftantes, nunc autem eas ut variabiles traétemus, ut quemadmodum initio obfervavi, motus perturbatio in variatione elemento- rum fectionis conicæ comprehendatur, Dum autem femi- parameter eft = p, & excentricitas = gq erit femi- nicis occurrit, tribuamus, fitque y — axis tranfverfus = = » quem vocemus = 7, in cujus variatione definienda tota quæftio verfatur. XXXIL Cum igitur hoc modo loco unius variabilis v tres novæ varlabiles p, g, & x in computum ingerantur, binas pro lubicu definire licet, in quo quidem ratio ab- fidum eft habenda, qua hbæ duæ conditiones præfcri- buntur, ut cafibus quibus fit vel cof. x — 1, vel cof. x = — 1 differentiale dy ideoque & formula irra- ticnalis V(E£—}+7(R—Q)— SP) evanefcat: fit brevitatis ergo —n(R—Q)=M & G—nrP —"YV, ut habetur LV N=doV(—M+i—X); & binæ conditiones præfcriptæ præbent : z — N(1—9) Me EME 6 ge = M ML 0; 4 PP P PP Prix de 1760, D 26 DE sUCCESSIVA MUTATIONE quarum differentia dar 7 = 427, feu p = 2 W; unde ft M=— 1 0x0: ideoque 2 M=:,obr— 1; exit ergo p=2(g—nP), Ri=i— 2n(R—Q). XXXIEL His jam FEAR MER ue pro M & NN iventis for- mula noftra irrationalis fic : V(-M+i-<)= dpt 1 9 cof # le (1 + g cof. x DEEE 2P HEIN TR 2 unde ob N— ? colligitur dv d® fin.x dv d'Q fin. + FEV Cum autem fit L— "HI ere Ê L do fin. PP (rbgeot Me ere, PIE P P P unde fequitur fore pro anomalia vera dp{i+agcof: x d q cof. x Pt bp ARR ER ci tie P 9 Jin. x g Jin. x Atobi— gg? eft qg dg — rt, ficque fr dx=4d@— A CRE hr AE dp cof.x a pdrocof. x P 4 fin. x 2ggrfin.x 2qgrrfin.xY d + Ga + co r cof. + feu dx = d@ — ACER md g 4) cof:x je LORARES f. 2p9gfin. x rr 14qfnx? ubi cum fe dp=—2ndP, &Kt=—2#r COQ LR) ep NEATEMO RENE Te > °. , > MOTUS MEDII PLANETARUNI. 27 Don Ce tp CO SR)APE Paqjin. x qq Jin. x XXXI V. u 1 Jam vero cum fit ZP—v:d@ fin o (ii $ erit primo variatio in femi-parametro p producta: dp=—rnv define (sx . uu : v vd fin. x Deinde ob PRE PAU TE P ® À © v3 do fin. x erit d Q — Die ie quvd@ fin. x cof.p MObEnY dR— (ER y d 0 fin. o ) (£ AS unde pro viriatione femi-axis tranfverfi 7 peperitur: JR nine 2nYd@ (= Ut — fin. c) TT pis F Tum vero relatio inter de & dx prodit: nv5d@(2q9+ (1H ggeof x) fin. o fu 1 dx=d@+ rSaan enr 1e QU TUE nv3d npvdocof.xfin.of u 1 Donne veofenfe RE Ti PE gain. x 75 uw q u TNT 737 au) 2 Li . . . R ubi meminifle oportet eff. v = - ua Dij 28 DE SUCCESSIVA MUTATIONE XXX V. In hac poftrema formula termini per /£r. « affe&ti commode in unum colligi poffunt: fi enim pofterior vv(i + gcof.x)? DEN PP erunt APP ATIEe u =) ( RU 0) ENT — cof.x — 2 q cof, x © — qq cof. x ? ? P94/fn.x T 3 u qui ergo in hunc evalefcunt = 1 multiplicetur ambo conjun&inr avi dofin.xfin.a u 1 RIRE CEA Poe ae ——— ); P3 30 Lu hincque ergo habebimus nv; do nvvd®cof. x cof. u ï de dot LORROR (EE), qT q T zu nv3do fin. x fin. 4 TAN « + ; Lg CO]. X)E — = — Dé (2+gcof. (= DL quæ forma etiam hoc modo exprimi poteft : LA _rvid® nvvd 2-9 cof.x dx=d@ nier (cofx cafe + TT fn.x fi.) 74 I — —— — “ (= au} 9 ubi notandum eft Zo— dx definire progreffionem momentaneam lineæ abfdum. XXXVI. Confideremus nunc etiam relationem, quæ inter an gulum elementarem de & tempufculum 4 interce- dit, & cum fit G—nrP—}?p,eitvrvde=diVe (4+ B)p. Quod fi jam loco tempufculi dz angulum à terra motu medio interea confectum introducere ve- MOTUS MEDII PLANETARUM. 29 limus, ut conftans vaga « eliminetur, ponamus à terra fecundum motum medium , quoquidem nunc gaudet, tempufculo ds abfolvi angulum elementarem dT: & formula ifta ad motum terræ accommodata , quæ pro motu medio tanquam circulus fpeétari debet, cujus radius feu diftantia media à fole fit ma fier =p=a & de—=dT, ira ucfit audT—ditVa(A4+B)a, feu a(A+B)dir'=a dT:; ubi quidem À maffam terræ denotat ; fed ob infignem mañlæ folis magnitudinem pro omnibus planetis quan- titas 4 + 8 pro eadem haberi potelt, Tempufculo ergo, quo terra motu medio angulum d 7 abfolvit eric pro noftro planeta v vd vyd@=adTVap. ideoque dT= XXXVIL vd9° , : inc fit « dr: ———— ; erit hoc valorein Cum nunc fit « = (A+ B)p? fuperioribus formulis ($. XXIV) fubftituto ob _. = x # T3 u u ? dE (2 ENS P hincque porro pro variatione inclinationis nv3d@ cof.E fin. « fin. (4 — L) [2 I ci or NE 6 TT ac pro variatione argumenti latitudinis feu anguli RAZ—E nv3d@fin. £cof.o fin. (5—+) fu Rte dë Te PE ET TION PPS TT T3 uu) ? ubi d 9 — d'É exprimit promotionem lineæ nodorum 30 DE SUCCESSIVA MUTATIONE in orbita planetæ, quem in Z confideramus. Atque hoc modo omnes mutationes momentaneas ab actione planetæ comercve in Q verfantis profectas per angu- lum elementarem d @ ideoque etiam per pate motu medio terræ vel folis confeé&tum d: expreflas dedimus. XXXVIII. Si hæ formulæ integrari poflent, non folum quæf- tioni ab Illuftriima Academia Regia Scient. perfeéte facisfieret, fed etiam omnes perturbationes, quas pla- netæ vel cometæ mutua aétione in motu fuo patiun- eur, ira exacte definiri poflent, ut vix quicquam am- plius in Theoria Aftronomiæ eflec defiderandum, quod autem antequam Analyfis infignibus incrementis locu- pletetur, nec fperare quidem licet. Quamdiu autem his fubfidiis caremus, cutifima via videcur his ipfis for- mulis differentialibus ita utendi ut mutationes intervallo fingulorum dierum produétæ tanquam differentialia fpectentur ficque valor ipfus d T ftatuatur = 59', 8". Tum enim pro fingulis temporis intervallis ex iplis for- mulis differentialibus valores variationum dp, dr, d4 & do collisi, ous pro tempore quantumvyis magno cædem mutationes faris exaéte æflimari poterunt. Hæxc methodus præcipue ufum habebit fi perturbationes à cometa oriantur cujus effeétus cum per modicum tem- pus duret, non nimis prolixos calculos poftulabit. Peri- culum igitur feci in perturbatione motus terræ à nu- pero cometa orta æftimanda. MOTUS MEDII PLANETARUM. 31 De effeu nuperi Comeræ in motu T'elluris perturbando. >, Da C UM hujus Cometæ nondum ejufmodi obfervatio- nes ad me pervenerint , ex quibus elementa motus, quem nunc tenuit, definire potuiflem, ïis ufus fum elementis , quæ pro ejus apparatione A. 1682 funct ftabilita ; atque quantum ex obfervationibus crafori- bus colligere licuit affumfi hanc comeram ad diem 14 Marti hujus anni per Perihelium tranfiifle. Quamvis autem verifimile fit elementa motus perinde ac tempus periodicum à precedente apparatione mutationem efle pafla, tamen loca cometæ vifa fatis cum fuperioribus elementis convenire , funt deprehenfa, ut hinc nullus enormis error fit metuendus. Erat ergo hic cometa terræ proximus circa diem 27 Aprilis, ejufque diftan- tia ad diftantiam folis fere fe habebat ut 2 ad 17. De mafla autem ejus nihil fufpicari licet, quam ad maf- fam Solis rationem tenere pono ut »# ad 1, ïta ur fi cometæ mafla æquaretur maflæ terræ foret prope mo- dumr—-—. Atverum valorem fraétionis 7 non- nifi ex effectu in pofterum obfervando definire licebit. NE Quoniam igirur aétio cometæ in terram circa 27 Aprilis erat maxima , pro pluribus diebus ante & poit hoc tempus variationes in orbita terræ produétas ex for- mulis ; ante datis computavi. . 32 DE SUCCESSIVA MUTATIONE Intervallum | Variâtio femi-| Variatio Variatio lincæ |Variatiolineæ| Variatio incli* temporis paramecri. femi - axis. abfdum. nodorum. nationis. Aprilis, P d P dr dp— dx d + du 10—21 | 4531on|+ 44570n|— 493756on"|+ 850; n"|+ 6717n1 2$—26 Hiss6son|+154346 2]—190$9570n 1128807] +1113647 26—27 +1353142|#+135466n|—18445310 n|+#+152436n 1599967 27—28 + 66010n1+ 67438 n|—11$93600n|+155398n|+173911n7 23—19 — 3162n|— :o14n|— 3778470n +Hi19840n|+1435$0n 29—30 — 37$60n|— 35616n|<+ 878107 n|+ 78234n|+100724n 30—1Maji|— 46088n|— 44210 n|+ 1759210 n|+ 4830$n|+ 67183n 1 — 2 — 43260n|— 41772n|+ 2959610 n|+ 29734n|+ 449337 GI=AT, PE 19031n|— 17736n|+ 1554230 n|-+ 3608n|+ 95067 poñiro femi-axe ab aétione cometæ immuni 7 = 100000. De Hinc patet 19. femi-parametrum p ad 28 Aprilis augeri, tum vero icerum minui, ita tamen ut InCre- mentum multum fuperet decrementum. Totum qui- dem augmentum exfurgere videtur ad 700000 7; ex quo cum ante adventum cometæ femi-parameter eflet — 97144, is pofthac erit — 97144 + 700000 7. Quare fi maflha cometæ ad maflam terræ ftatuatur ut m ad 1, erit nunc femi- parameter orbitæ terræ — 97144+Z7m, 2°. Pares fere mutationes patitur femi-axis tranfverfus r, qui ab aétione cometæ augmen- tum accepifle videtur — 690000 7. unde ifquidem nunc erit — 100000 + #2 ». denotante perpetuo 72: 1 rationem maflæ cometæ ad terræ. 3°. Hinc fequitur, cum excentricitas orbitæ terræ ante adventum cometæ cflett — 0, 0169, eam nunc aliquanto fore minorem = 0,0169—0,000044 m. Quando vera elementa motus cometæ fuerint ereéta, operæ pretium erit hunc calculum repetere & ad plures dies tam ante quam poft perigæum extendere. XLII. MOTUS MEDII PLANETARUM. 33 D, 4 Cum ab aétione cometæ axis orbitæ terræ certe fit auétus in pofterum quantitatem anni folaris majorem fieri necefle et , idque in ratione 1 ad (1 + 2 jé, feu 1 ad 1 + 227%, Quare cum ante adventum 4000000! cometæ annus folaris fuifler 365$ d, $h, 49'= 525949" incrementum anni in pofterum hinc prodit = 27 m° quod fane admodum et notabile fi enim. maffa cometæ æqualis effet maflæ terræ, quantitas anni folaris pofthac futura effet 365, d, 6h, 16 unde non exigua muta- tio in calendarium inferretur. Imprimis autem tabulæ aftronomicæ omnes mediorum motuum, quatenus ad annos referentur; infigni correctione indigerent. Quin etiam fi cometa tantum parti -S terræ æquaretur, in- crementum unius minuti primi in annos mox fentiri de- beret arque hinc mafla cometæ accuratiflime cognofci pofle videtur. XAETTE Quia motus cometæ erat retrogradus 5 motufque lineæ abfidum terræ ad ejus orbicam relatur, fignum — quod in columna dp—d x prævalet oftendit lineam abfdum terrx promotam efle. Idque per fpatium, quod haud minus quam 10000000 7 æftimari poteft. Fo- rét €ergo nunc aphelium terræ magis promotum per fpatium $00 #" unde fi cometa eflec terræ æqualis nunc quidem locus aphelii, quem rabulæ oftendunt, augeri deberet 8, 20" quod incrementum mox ex accuratiffimis obfervationibus folis poft ationem co- metæ infticuendis percipi deberer. Denique ex binis ultimis columnis parer ambos angulos 4 & « infigne augmentum capere debere. Quod utrinque haud minus quam 950000 2" vel 473%" æftimari poteft, funt Prix de 1760. Fc. 2. 34 DE SUCCESSIVA MUTATIONE enim ambo fere æqualia. Cujufmodi autem phœno- mena hinc oriantur, opera pretium erit accuratiflime definire. X LEN. Sit igitur in cœlo & € via cometx ex fole vifa & Q + & eclipticæ fitus ante cometæ adventum, erit ex elementis orbitæ cometæ angulus Ræ C— 17° $6'— « & arcus Q:&=— 570,16. Jam per pun&um 2 tranfeat æquator Æ = Q ut fic angulus Æ = — 230, 28°". At poiftquam cometæ effleum fuum produxit , fit #0X«@ ecliprica fecans priori in o, erit Rw—d+, & Coo =w+ do. Ducatur arculus vu ad @ o nor- malis, eric Qu=—=d4cof.« & œu—d4 fin.w. Hinc ob do— d{ reperitur arcus @ o— 170 7', & angu- lus minimus ad o=— som", ob d£—dw—471m". Cum ergo fit &0—— 34°, 9’ ecliptica motu aggra- torio circa punétum o, quod cadit in m 4°, 9' con. verfa eft angulo $o #7" ficque pun@um folftitiale & magis ab æquatore removetur & obliquitas eclipticæ augetur, Ac fi obliquitas eclipticæ augetur. Âc fi obliquitas eclipticæ priftina ponatur = +. Prefens — < + de, invenitur de 41m" & cum fit uA—=— 63m". Punéta æquinoctialia fuper ecliprica promota erunt fpa- tio 63 m" fuper æquatore autem fpatio 70!7». In lati- tudine igitur ftellarum fixarum hic effectus potifimum fpectabitur , & maxime quidem in iis quarum longitudo eft vel :? 4°, 9', vel = 4°, 9! quarum illæ ad polum eclipticæ borealem accefifle, hæ vero ab eo recefliffe videbuntur intervallo $o 2". MOTUS MEDII PLANETARUM. 35 Refponfio ad Quæflionem. XL V. EC UM ergo dubitari nequeat, quin axis orbitæ Tel- luris ab actione nuperi Comeræ augmentum acceperit; nifi forte quis vel fiftema gravitationis univerfalis ever- tere, vel corpora comerarum omnes materia expertia ftatuere velit. Quorum alcerum graviffimis argumentis , alterum natura corporum adverfaretur , omnino agnof- cere debemus, quantitatem anni folaris in pofterum aliquantum majorem efle futuram , quam adhuc fuerat. etiamfi verum augmentum ob maffam cometæ incogni- tam definire haud liceat. Ex quo neceflrio fequitur, motum medium folis aliquanto tardiorem fieri oportere, Cujufmodi mutatio cum nunc quidem in terra contige- rit, omnino probabile eft fimilem perturbationem jam antehac nonfolum in terra fed etiam in reliquis plane- tis efle fatam , ita uc fine ulla dubitatione afleverare offimus, motus medias planetarum quandoque altera- tionibus effe obnoxios. AÉNSE Hujufmodi alreratio toties evenire debet , quoties cometa cuipiam planetæ fit admodum vicinus, quod- quin fæpius jam contigerit vix dubitare licer. Utinam Hiftoria Cometarum majori cura ab Aftronomiæ peri- tis omni tempore fuiflec confignata ! inde enim qui= nam cometæ ad quempiam planetam fatis prope accef- ferinc, cognofci ecrumque cffetus per fimilem calcu- lum, quo hic fum ufus, determinari poñfet ; fed ve- E ïj 36 DE SUCCESSIVA MUTATIONE tuftiores relationes ita plerumque fabulis funt refertæ. Ut parum fidei mereantur; quantus enim effectus oriri debuiflet ab illis cometis quorum magnitudo apparens Lunam fuperafle perhibetur ? Qui quin terræ multo viciniores fuiflent quum hic poftremus , dubitare non poflec, cum tamen obfervationes aftronomicæ, vix ullam alterationem indicare videantur. Merico igitur hujufmodi cometarum , qui adeo in regiones fubluna- res defcendifle ferantur relationes fabulis vulgi annu- merantur. XLVII. Neque tamen omnino negare poflumus , ante hoc tempus ullas hujufmodi perturbationes in motu terræ effe produétas, etiamfi fortaffe aliquot abhinc feculis, quibus Aftronomica majori ftudio cractare eft capta, nihil tale evenerit. Fieri enim poflet, ut ob defeétum idonearum obfervationum hujufmodi alteratio non eflec animadverfa, vel ut motus medius jam ita fuerit con- ftitutus ut etiam cum illis fatis prope convenirer. Suf- picio hinc faltem nafci pofler, quoniam Prolemæi obfer- vationes, cum noftris collocatæ, anni quantitatem ali- uanto minorem oftendunt, nifi error reduétionis Ca- lendarii Ægyptiaci ad Romanum in caufa fit, inter- vallo temporis ab Hipparcho ad Ptolemæum elapfi cometam quendam annum contraxifle, deinde vero ab alio quopiam comera annum iterum nonnihil fuifle protractum. Verum de his nihil præter conjeéturas pro- ferre licec, fuficiac igitur exemplo nuperi cometæ, oftendifle ab ejus actione utique alcerationem in motu medio terræ oriri debuiffe. XLVIII. At G ab ifla cometa non folum terræ motus medius fed etiam poftio & fpecies ejus orbitæ quandam varia- MOTUS MEDII PLANETARUNM. 37 tionem eft pafla, fieri omnino nequit, quin Luna in motu fue mulro majores perturbationes fit pafla, quas cum per Theoriam definire vix liceat, _obfervationes pofthac inftituenda declarabant. Ubi quidem non pa- rum eflec dolendum, cum jam poft tot tantofque labo- res Theoria Lunæ ad id perfeétionis fit perduéta ut lunæ loca fere æque exaëte ac folis definire valueri- mus, fi ingens hoc opus polthac nulli ufui amplius eflec futurum , plures enim anni novæ Theoriæ con dendæ vix fufficerent, Hoc autem eo magis eit veren- dum, cum revera mutatio quædam in motu lunæ me- dio poit tempora vetuftiffimarum obfervationum facta deprehendatur. Quæ quin effeétui cujufpiam cometæ fic cribuenda, nunc quidem extra dubium pofitum videtur. NET Atque hæ caufæ perturbationum ab a@tione come- tarum profectæ ita funt incertæ ut neque quæ antehac evenerunt ob defetum obfervationum afignari, neque futuræ prædici queant, nifi forte pro iis cometis, quo- rum reverfiones jam fatis funt exploratæ , etiamfi per- turbationes, quas ipfi in fuo curfu à planetis patiuntur, haud levi fint impedimento, Certiores aurem ex funt perturbationes , quæ ab adione mutua planetarum oriuntur, & ad quas definiendas fupra expolitæ for- mulæ fimili modo adhibueri poflunt, ita ut pro fingu- lis diebus vel etiam minoribus majoribufve temporis m- tervallis variationes fingulorum elementorum per ipfas formulas differentiales definiantur, ac deinceps in unam fummam colligantur. Qui caleulus fortafle minori opera expedietur quam fi integratio completa harum formula- rum in noftra efler poteftace ; integralia enim, fiqui- dem unquam ea eruere licebic, tantopere implicata fore videntur, ut nonnif prolixiffimis ac tædiofiflimis calculis evolvi queant. 38 DE SUCCESSIVA MUTATIONE E: Cum igitur quæftio propofita non omnes perturba- tiones requirat, fed ad variationem axis tranfverfi fit aditricta eam fequenti formula exprimi fupra vidimus : dr —212n2q9v5d@ fin. x q v fin. x cof. me : al Es ps +anvdg (UE fre) 74 1 Ë 28 ca) quam aliquanto attentius confiderari convenier. Eft autem z fraétio tam parva ut nifi diftantia + admo- dum fit exigua, hæc expreflio nullius fit momenti: tum vero parer eam proxime cubo diftantiæ Q Z =r reciproce cffe proportionalem jita ut dimidia diftantia effectum oéties majorem afferat. Deinde etiam diftan- da À Q = quando fit minima , hanc expreflionem mulrum augere poteft, ramen quia tantum ratio inverfa duplicata diftantiæ adeft, hic effe&us illo longe minor eft cenfendus , nifi forte ingens cometa in perihelio fuo folem fere attingar, uti À. 1681 eveniffe conftac: fed hæc vicinitas nimis cito tranfit, quam ut effectus inde notabilis oriri pofie videatur. LE Qui formulam non tam integrare quam ad commo- dam approximationem perducere voluerit, vehementer vercor ne oleum operamque perdiderit. Primo enim ipfa quancitas 7 tali irrationalirate eft implicata, ut ad hunc ufum vix in feriem fatis convergentem evolvi poffe videarur : namque fi cafu quo r eft quantitas parva, fuerit convergens, id quod imprimis eft opus, pro re- liquis cafñbus plane erit inepta. Deinde tam in ea quam in reliquis formulæ partibus ineft angulus p cum an- MOTUS MEDII PLANETARUM. 39 gulo &, qui ipfi formulis nimis perplexis definiuntur , quam ut fucceffum fperare valeamus. Cujus difficul- tacis ratio potiffimum in inclinatione binarum orbita- rum feu angulo + eft fita, qui cum in cometis quan- tumvis magnus efle poflit, ne tentare quidem hujuf- modi reductionem volui, præfertim cum omnino minus fit moleftum, calculum ex ipfa formula differentiali re- petere, quemadmodum pro cometa hujus anni feci, cademque methodo pro omnibus reliquis cometis uti mallem , à quorum aétione motus cujufpiam planetæ turbari videatur. TT Verum pro aétione mutua planetarum, quoniam eo- rum orbitæ parum inter fe inclinatur, noitra formula äliquanto fimplicior reddi poteft. Si enim inclinatio « evanefcat, uti pro planetis affumere licet, confidera- tio lineæ nodorum penitus exuitur ob cof.o — 1, eric dé=dp—d4 & £=g@—4% hincque cof. p = cof. (p—0) & Jin. o = fin. (p— 8) ita ut litteræ p & 6 eundem angulum $ — 4 qui eft diftantia amborum pla netarum ex fole vifa, denotent. Quare hoc cafu eric T=V(uu—iuvecof.(p—6) +vy), & dr _—2nqvid@fin.x (RheReeURes . rh RQ fn, (6-3) quæ ob Ê = 1 + 9 cof. x transformatur in hanc dr —2n9v3d0 fin.x 2nvvd® = CES LS À fine (g—8) + 9 fn (p—S—x)) (£— 3 0 1 uu) LE 1 » 490 DE SsUCCESSIVA MUTATIONE LT: In hac formula, quia per fraétionem minimam » eft multiplicata atque omnes perturbationes valde funt exi- guæ, primo quancitates p & g pro conftantibus haberi poflunt. Tum vero ponere licet dx = d@ neglecta motu lineæ abfidum. Deinde quo tempore terra motu : : : adTVap medio conficit angulum d 7 eodem eric d@= ——; rt :ce De 1+ 9 cof. x turbante in Q fit femiparameter = 2, excentriciras—e & anomalia vera à perihelio computata = y erit fimili exiftente 7 —= + Ac fi pro altero planeta per- b modo == & di=——— dy, unde 1e cof. y omnia differencialia ad idem d T reducuntur. Sed ma- xima difficultas etiamnum in formula irrationali r refi- der. Quæ quomodo fuperari queat , ita quidem ut nof- um ioftitutum poftulat, nondum perfpicio : immanes enim calculos evitare vellem quia inde parum fubfdii fuppetiturum prævideo. TA Simplicifimus eft cafus, quo ambæ orbitæ ftatuun- ur circulares & excentricitas negligitur. Unde fit SIA D MT RE eErre & dô 1 rVr = dr, tum vero r=V (bb+rr—2 Brcof. (p-8) ), & variatio quæfita dr—=—2nr* d@ fin. (g— 8). b TAN : à s : ; (is ; ubi quidem ipfa quantitas 7 ob mutabi- FH E litatem MOTUS MEDII PLANETARUM. 4x litatem minimam ut conftans fpeétari potelt. Hic igi- BA . tur obfervo quomodocunque formula —in feriem con. Ti vertatur, in eo tantum anguli 9 — 8 cofinum cum fuis poteftatibus occurrere quæ cum ad cofinus multiplo- rum ejufdem ançguli reducantur, fi ponamus brevitatis . b . ë gratia @—B= 1 factor = — un. hujufmodi formam 17: induet A+ B cof. n + € cof. 1 n + D cof. 3 n, &c. unde intesrale ipfius dr, quia d@ ad dy conftantem habet rationem, fimili quoque forma exprimetur ; îta ut durante qualibet revolutione quantitas 7 variationes quidem patiatur, fed poteft quamiibet iterum eundem quantitatem recuperet: ex quo motus medius nullam alterationem pati cenfebitur. IVe Quamdiu ergo ambæ orbitæ excentricitate carent, à plancrarum aëtione mutua nulla alteratio in eorum motu medio efficitur: quas enim mutationes axis tranf- verfus per fingulas revolutiones fubit , eæ inter inæqua- litates morus referri folent. Fieri autem poteit ur ab eadem actione poft longum demum tempus utrique orbitæ excentricitas quædam inducatur, quod cum eve- nérit, hæc ratio ceflat arque in noftro calculo excen- tricicatis ratio erit habenda. Tum autem perpenden- dum eft, tam formulam = quam v y (= did ti [2772 hujufmodi feriem evolvi. A + B cof.n + C cof. x + D cof. y + &c. in qua occurrent cofinus omnium angulorum, qui ex combinatione horum trium oririn, x &,y poflunt, unde dr æquabitur produéte ex elemento d@ in fe- riem finuum hujufmodi angulorum À finn+B fin. x + C f(n—x) D [+ x) HE [(n+ y + Fr y) &c Prix de 1760. 42 DE SsUCCESSIVA MUTATIONE qui fcilicet oriantur , fi illa forma vel per fén. x vel per Jin n vel per fên. (n— x) mulriplicetur. LIVE: Tum vero ad integrationem abfolvendam notetur effe, de=dx—dT(a+6cof. x +ycof:2x&c.), & di dy—=dT(x'+C'cof. y + y" cof 2 y &c.). Unde cum hujufmodi formulæ integrandæ occurrant dofin.(1y+ux+vy) tum d@ ira reprefentari po- æ(Aidn+udx+id}y) C ne NE Pa Ut M dt cof. x + N dt cof. y + &c. cujus feriei primum membrum in = : d — a cof (Ar ux + y) integratione dat: TT Era membra, quæ funt multo minora, in formula differen- tiali novos præbent terminos fimiles integrandos , qui pari modo funt tractandi., Sicque cum continuo ad terminos minores perveniatur, tandem hoc modo cujuf- que termini integrale facis exacte obtinebitur. teft, ut fit 29 — ; reliqua autem ENT Cum autem hic non de omnibus inæqualitatibus axis tranfverfi fit quæftio, fed iis rancum quæ per plures re= volutiones continuo vel augentur vel diminuuntur: hic imprimis fpeétandi func ii différencialis termini in qui- bus fit A(æa— a )+uwa+yal —=o, qui continent finum anguli n— x + y vel ejus multiplorum. Cum enim ob #—@—8 hic angulus fit (g—x) —(8—y), ubi o— x longitudinem perihelii planetæ Z & 0— longitudinem parihelii planetæ Q defignet, angulus x—x+y exprimit diftantiam utriufque perihelii, quæ cum conftans haberi poflit. Erit partis d @ fin. (n—x+y) incegrale = fn. (1-— x+y), hinc- MOTUS MEDIIPLANETARUM. 43 que axis tranfverfus continuo vel crefcet vel decrefcet uniformiter, nifi quatenus poft plurima fecula diftan- tia periheliorum mutatur. Quæ fi tandem ad eundem valorem redieric iterum axem ad priftinum quidem fta- tum reducit, Verum cum hoc quafi nunquam even- turum fit cenfendum quamdiu quidem Aftronomia vi- guit & vigebit, axes tranfverfi orbium planetarum con- tinuo vel augebuncur vel diminuentur. LVITE Evidens quoque eft coëfficientem termini /£n. (1-x+) utramque excentricitatem g & e in fe compecti ; unde ceteris paribus ifta axis tranfverfi mutatio eo major erit, quo majus fuerit produétum excentricitatum eg; ac fi alterutra falrem fueric minima nifi altera fit maxima, hæc axis tranfverfi ideoque & motus medii variatio vix erit fenfbilis Tum vero hæc variatio potifimum à diftantia periheliorum pendet , qua fi fuerit vel nulla vel fex fignorum, nullam etiam variationem in motu medio gignit. Maxima autem evadet hæc variatio, fi ambo perihelia tribus fignis à fe invicem diftent, Præ- terea vero ‘hic effeétus potiflimum à magnitudine pla- neta perturbantis ejufque vicinitate pendebit. LIX. Cum igitur hujufmodi terminus d@ fin. (n— x +7) Certo in variationem axis tranfverfi ingrediatur, jam re perpenfa ad quæftionem , Illuftr. Academiæ Regiæ ita- refpondeo , ut dicam, motus medios planetarum non folum ab aétione cometarum fatis prope prætereuntium mutationibus effe obnoxios , fed etiam ab aétione mu- tua eorum pro ratione excentricitatis pofitionifque peris heliorum feu apheliorum ejufmodi mutationes pari, ut continuo fere æquabilicer vel accelerentur vel rerarden- 44 DE SUCCESSIVA MUTATIONE tur. Atque ex formulis inventis, fi analyfis fufficeret ; & quifpiam laborem fufcipere veller vera adeo quan- titas hujus alterationis aflignari poflèt, quæ cum ab IL. Academia non exprefle requiratur quæftioni equi- dem farisfecifie videor, interim quid de fingulis plane- cis fit cenfendum, hic fubjungam. D: € Primo igicur Mercurius, etfi excentricitatem haber maximam ab infignem reliquorum planetarum diftan- tiam præ diftantia folis vix ullam mutationem in motu medio patietur nifi forte à Jove, cujus aphelium ab aphelio Mercurii diftat 64° effetus quidam exiguus oriatur, In Venere autem ob ejus excentricitatem fere evanefcentem nulla mutatio producetur. Terræ au- tem motus medius à Jove imprimis affici debet, cum diftantia apheliorum fit 88 quam autem parum fenfi- bilem effe Obfervationes teftantur. Mars tam à Jove qua Saturno pati deber, idque multo magis quam terra quia his planetis eft propior fimulque majori excen- tricitate præditus. Saturnus autem & Jupiter uti funt à Sole remortiflimi, & maximas maflas continent , eo magis in fe invicem agere debent , quod cum excen- tricitas in utroque facis eft magna, tum vero eorum aphelia 79° à fe invicem diftanc; unde in utroque motus medius haud exiguam variationem patitur, quæ adeo jam per obfervationes fatis vidétur confirmata. F'EN TS: De molu medo Plancéirum a €. Fuler. Llrix 17 6». réelle Seul RECHERCHES Sur les altérations que la réfiftance de l’'Ether peut produire dans le mouvement moyen des. Planetes. Piece qui a remporté le Prix de l Académie Royale des Sciences , en l’année M. DCC.LXIT. Par M. l'Abbé BOSSUT, ci-devant Correfpondant de l'Académie Royale des Sciences, & Profeffeur Royal de Mathématiques aux Ecoles du Génie, aujourdhui Membre de l'Académie Royale des Sciences, & Examinateur des Ingénieurs, &c. Prix de 1762. À * = 5" t = = ne + : Ÿ Cr" * | 22.1 es , .t LI . PAPE) à L Al WF 15e RE sv FRE orne ‘2 | wub. ne papa a Verbe are Dal L DE ïi + 4 | Ca ER + * ? # f PA A 51 l > CRE. te | ss "2 | ÿ LE te CERTA LA ae a H EU n * ee + r AP" DA Fe 7 cr PL E “ \ L » . M # L2 1 4 Le “ ï 18 PTE NZ NE | à | | T= A # L 4 v R. | Le | agr RER "+ ie . spip si à ; his de 4, VA D L ue SRE M NA E METRE FES Ja AT Ex AL: h se Etre 3. +ue80) ‘) me ge EA É : ADIBNDE 13D° iso Aout CRAN Es PES LS rie 256) al. és COR pas stef RL AN F3 Has ke 1:17 | 28 Aus Rat sb. rade FE LE EXT [OR laues rer dm. ee ft ' 5 1 | Fe | jus An" L RAT at JM à VE 34 = vi st . 3 " UE : : $ 4 1 h L À EE ide | | : = x Le - nl nl , 20 MT à ( 4, . Ai [es L Ai TA 1 4H " € mm y, À Î ui _ ri k: * d À. ns Û ' k 1h " F L à #. LA n ï L L MÉMOIRE DANS LEQUEL ON EXAMINE Si des Planetes Je meuvent dans un milieu dont la réfifiance produife quelque effet fenfible fur leur mouvement ? PP. R répondre à cette queftion, il y a trois cho- fes à examiner. Premieremenr : Quelle eft la nature du milieu dans lequel les Planetes fe meuvent ? En fecond lieu : IL faut rechercher fi ce milieu eft capable de caufer quelque altération dans le mouve- ment des Planetés ? Etc enfin : Il faut déterminer, par le calcul, tous les dérangemens qui font en effet caufés par cette réfif- tance dans le mouvement des Planetes? A ij 4 SUR LA RÉSISTANCE Abe br xs Ne x NE abs or D XD NE KE ÉD LE EE EE CEE CE SRE CEE SRE, SEC QE QE PREMIERE PAR", I E: Sur La nature du milieu dans lequel les Planetes fe meuvenr. E D. BORD, on ne fauroit foutenir que l'efpace dans lequel les planetes fe meuvent foit un vuide parfait. Outre tant d’autres raifons, la feule lumiere prouve fuf- fifamment, que tout l’efpace du ciel eft rempli de certe matiere fubtile dont les rayons de lumiere font formés. Si les rayons de lumiere étoient des émanations aétuel- les des corps luifans, lancées avec cette prodigieufe vicefle qui leur fait parcourir l'efpace immenfe du foleil jufqu’à nous en moins de huit minutes de tems, tout l'efpace du ciel feroit rempli de ces émanations lumi- neufes qui le traverferoient prefque en tout fens avec la même rapidité. Maïs quoique le grand Newton ait foutenu ce fentiment , il eft aflujetti à tant d’inconvé- niens , qu'il me fera permis de labandonner & d’em- brafler l’autre fentiment, qui explique la propagation de la lumiere d’une maniere femblable à celle du fon. LE Sans parler de lépuifement que les corps luifans de- vroient fouffrir , fuivanc le fentiment de Newton, le DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. s feul phénomene, que plufeurs rayons de lumiere paf- fenc fans fe troubler par le même point, le détruit tout- à-fait. IL eft contre les principes les mieux établis de la Mécanique, que plufeurs particules, quelques fub- tiles qu’on les conçoive, pañlent à la fois par le même point & en tout fens avec une virefle auffi prodigieufe que celle de la lumiere, fans fe choquer & troubler le mouvement les unes les autres. Or dans l’autre fif- tème, nous favons non-feulement par l’expérience, que plufieurs fons traverfent le même point fans fe trou- bier; mais M. de la Grange a fait voir très-claire- LA . La À LA . ment, dans les Mémoires de la Société de Turin, que ce phénomene eft parfaitement d'accord avec les prin- cipes de Mécanique, & qu’il en eft même une fuite néceffaire. III. I eft donc certain, que la lumiere eft produite par les corps luifans de la même maniere que le fon eft produit par les corps fonores, & que la propagation dans l’un & l’autre cas fuit les mêmes loix. Il faut donc que tout l'efpace des cieux foit rempli d’une matiere propre à tranfmertre les petites impulfions ou ébran- lemens qui conftituent la nature de la lumiere , tout comme nous favons à préfent , par les heureufes re- cherches’ de M. de la Grange, que le fon eft tranfmis par l'air. De-là il s'enfuit que cette matiere céleite doit être fluide & femblable à l'air, en joignant à un certain degré de denfité un certain degré d’élafticité, pour produire à la propagation de la lumiere la même virefle que l'expérience nous donne à connoître. PV Or puifque la vireffe de la lumiere eft connue, étant environ fix cent mille fois plus grande que celle du 6 SUR LA RÉSISTANCE fon, nous en pouvons conclure un beau rapport entre ce milieu du ciel & notre air. Sachant que la viefle des ébranlemens cranfmis par un milieu élaftique eft comme la racine quarrée de l'élatticité divifée par la denfité , fi nous pofons l’élafticité du milieu des cieux m fois plus grande que celle de l'air, & fa denfité » fois plus perite que celle de l'air, nousauronsVmn—600000, ou bien m nr — 360 000 000 000. Et partant, fi nous favions l’élafticité de ce milieu, nous en pourrions con- clure fa denfité, & réciproquement ; par exemple, fi fon élafticité étoit 600 000 fois plus grande que celle de l'air, fa denfité feroit précifément d'autant de fois plus petite. V. Qu'il me foit permis de donner à ce milieu le nom d'Echer, qui eft donc une matiere fluide & élaftique femblable à l'air, mais qui en differe tant par fa den- fité que par fon élafticité;s & quoique nous ne fachions ni l’une ni l'autre féparément, nous connoiflons que, pofant l'élafticité de l'éther » fois plus grande & fa denfité z fois plus petite que celle de Fair, le produit de ces deux nombres » n doit être 360 000 000 00e. Il ny a donc aucun doute que l’un & Pautre de ces deux nombres ne foit très-grand. Puifque Pair, en mon. tant, devient de plus en plus rare, & qu'il fe perd enfin dans lécher, il LEA bien que l’éther foit incompara- blement plus rare que l'air, & fi l'élafticité de l’éther eft la caufe de la cohéfion , dureté & du reflort des corps terreftres, comme il paroît très-vraifemblable, il faut bien que fon élafticité foit pour le moins r000 fois plus grande que celle de Fair. Or, fuppofanc m— 1000, la denfité de l’écher feroit 360 000 000 fois plus petite que celle de l'air; & fi l'on ne fuppo- fpic l'élafticité que 100 fois plus grande que celle de DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 7 l'air, la denfité de l’écher deviendroit encore dix fois plus petite. VI. Puifque nous fommes affurés que les planetes & co- metes ne fouffrent prefque aucune réfiftance dans leur mouvement par lécher, il faut abfolument que cette matiere ou l’éther foic plufieurs mille fois plus rare que l'air, ce qui s'accorde parfaitement bien avec ce que la vitefle de la lumiere nous vient de fournir. Donc un pied cubique d’écher renfermeroit plufeurs mille fois moins de matiere qu'un pied cubique d'air; & puifque l'air eft 800 fois plus léger que l'eau, & celle-ci 19 fois plus légere que lor, fi nous fuppofons lécher 360 000 000 fois plus rare que Pair, un pied cubi- que d’écher contiendra 19 x 800 x 360 000 000 moins de matiere qu'un pied cubique d’or ; ou bien, un pied cubique d’or contiendroit autant de matiere que $ 472 000 000 000 pieds cubiques d’éther; ou encore, qu'un cube d’éther dont le côté feroic de 17500 pieds, c'eft-à-dire à-peu-près d'une lieue de France, VILLE Ici il fe préfente d'abord une queftion très-impor- tante : S’il feroit poffible de divifer & fubrilifer la ma- tiere d’un pied cubique d’or, enforte qu’elle rempliffe tout l’efpace d’une lieue cubique ? Je fais bien que Keïl a prétendu en avoir démontré la poffibilité, ayant prouvé que les intervalles entre les particules pourroient de- venir moindres qu'une quantité donnée , quelque petite qu'elle fût; mais l'élafticité femble abfolument exiger ue les moindres particules fe touchent tour-à-fair, & qu'elles fe trouvent dans une continuité donc il s’en faut beaucoup que Keïl aic démontré la pofhbilité, à 8 SUR LA RÉSISTANCE moins qu’on ne veuille donner aux particules une figure linéaire prefque géométrique, qui ne fe touchent que par les pointes ; mais une telle ftructure feroit trop ré- voltante pour en parler férieufement dans la Phyfique. Je crois plutôt qu'on peut hardiment nier qu'il foic poffible de former une lieue cubique d’éther d’un pied cubique d’or, par la fubtilifation, quoique la quantité de matiere foit de part & d'autre la même. Il y a ici un équivoque qui femble avoir trompé tous ceux qui ont écrit fur cette matiere, VEPE Pour mettre cette matiere dans tout fon jour, je commence par une remarque générale , que dans tous les corps il faut bien diftinguer leur véritable étendue de la maffe ou quantité de matiere dont ils font com- pofés. Or je nomme /a véritable étendue d'un corps le volume ou la folidité géométrique , qui refteroit, fi l'on retranchoit de fon volume apparent tous les pores dont il eft rempli. On fait que l'or même eft tout rempli de pores : donc la véritable étendue d’une mafñle d'or fera toujours beaucoup plus petite que fon volume ap- parent. Cette véritable étendue de chaque corps eft une quantité géométrique, & partant bien différente de la quantité de matiere ou de la mafle, qui eft une quantité mécanique, en vertu de laquelle les corps s'op- pofent au changement de leur état; c’eft donc /’inertie , & ces termes, quantité de matiere, malle & inertie fignifient la même chofe. | IX, Les expériences fur la gravité prouvent fuflifam- ment, que le poids de chaque corps eft proportionnel à DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 9 à fa mafle ou à fon inertie. Donc puifque un pied cubi- que d’or eft 1 9 fois plus pefant qu’an pied cubique d'eau, il eft certain que celui-là contient 1 9 fois plus de matiere que celui-ci; mais il ne s'enfuit pas que la véritable éten- due de l'or foic 1 9 fois plus grande que la véritable éten- due de l’eau; ou bien qu'il feroit poffible de réduire une mafle d’eau en en tant tous les pores à un vo ume plus que 1 9 fois plus petit. I n'eft pas encore prouvé que deux corps, donc les mafles font égales, aient aufli la même véricable étendue; & je ne vois nulle néceflité pour- quoi deux érendues égales de matiere devroient tou- jours avoir la même inertie; ou bien, pourquoi la quantité mécanique devroic toujours fuivre la quantité géométrique, X. Cependant, quand nous réfléchiflons fur la caufe de la gravité, quoiqu’elle nous foit inconnue, il fem- ble qu'on ne la fauroit chercher que dans la preflion d’un fluide extrêmement fubtil, qui pañle librement, même à travers les moindres pores des corps. Or une telle preffion agit toujours en raifon des volumes ; & cela pofé, le poids de chaque corps feroit toujours pro- portionnel à fa véritable étendue. Donc puifque le poids eft auffi proportionnel à l’inertie ou à ia mafle de chaque corps, il en fuivroit que la véritable éten- due fût toujours proportionnelle à l'inertie , comme prefque tous les Philofophes ont cru jufqu’ici. Mais quelque fort que puiffe paroître cet argument, il ne regarde que les corps terreftres fur lefquels la gravité agit, & par la même raifon auffi fur tous les corps grof- fiers dont les planetes font formées , parce qu’elles font foumifes à la même loi de gravitation; mais on n'en fautoit encore rien conclure de certain à l'égard des matieres fubriles étendues partout le monde, qui ap- Prix de 1762. B 10 SUR LA RÉSISTANCE paremment ne font pas affujecties à la gravitation ; & qui en contiennent plutôt la caufe. XI. Il eft pourtant fort remarquable, que quoique nous ne voyons aucune liaifon entre l'inertie & la vraie éten- due d’un corps, tous les corps grofliers non-feulement de la terre mais aufli de tous les corps céleftes aient cette propriété, que dans tous l'inertie foit proportion- nelle à la vraie étendue, en vertu de laquelle une certaine étendue de matiere ne fauroit exifter, fans qu’elle ait une certaine inertie ou male. De-là on peut foutenir que tous les corps grofliers, quelques diffé- rens qu’ils foient en eux-mêmes, font compofés d’une matiere homogene ; en prenant, par exemple, des morceaux de routes fortes de matieres différentes, cha- cun d'une livre, fi nous les concevons réduits à n'a- voir plus de pores, tous auront la même étendue & auffi la même inertie. Donc, n'ayant plus de pores, il feroit difficile de dire en quoi tous ces morceaux de matieres feroient différens entr'eux, , AIT Mais quelque effentielle que puifle être cette liaifon dans les corps grofliers, rien n'empêche que les ma- tieres fubriles ne foient d'une efpece différente, & qu'une certaine étendue vraie de ces matieres fubriles ait beaucoup moins d'inertie qu'une égale érendue vraie des matieres groffieres : ce feroit alors une autre efpece de matiere; & peut-être y a-t-il encore plu- fieurs efpeces dont chacune joint à la même étendue vraie une inertie plus petite que les précédentes. De- forte que le dernier degré, où à une étendue ne con- DELA MATIERE ÉTHÉRÉE. Ti viendroit aucune inertie, feroit une étendue purement géométrique & un vuide véritable. Mais fans admet- tre un tel vuide, pourvu qu’on accorde deux efpeces de matieres, dont l’une contienne fous la même éten. due moins de mafle ou d'inertie que l'autre, on eft en état de lever toutes les difficultés qu'on fait ordi- nairement contre Le Syfléme du plein, XIII. Puifque dans les corps grofliers l'étendue vraie eft le plus étroitement liée avec l’'inertie, & que l'inertie d’un corps ne fauroit être changée par quelque caufe que ce fûc; il s'enfuit que la vraie étendue d'un corps groflier ne foufire aucun changement dans fa quantité. Mais pour les matieres fubriles, peuc-être que leur na- ture eft rout-à. fait différente à cet égard. IL femble être bien néceflaire que la même quantité conferve toujours la même inertie; mais ne feroit-il pas poflible que la vraie étendue qui exclut tous les pores, devint tantôt lus grande tantôt plus petite? Ne feroit-il pas encore poflible qu’une telle matiere foit douée d’une force de s'étendre continuellement davantage dans fa propre fubftance, fans y recevoir des pores ou des efpaces vui- des ? Cela ne feroit pas un agrandiffement réel ; il eft bien vrai, l'inertie qui femble conftituer l'eflence des matieres y demeurant la même, un tel aggrandiile- ment ne fauroit être admis fans un miracle; mais dans ce cas, ne feroit-on pas moins embarraflé de la caufe de l’'élafticité de lécher ? Je n’ofe entrer dans ces fu- blimes recherches; la pénétration m'y manque, & le fujet préfent ne l'exige pas. XIV. Je me contente d’avoir prouvé la poffbilité que les B ij 12 SUR LA RÉSISTANCE efpaces du ciel, par lefquels les planetes femblent fe mouvoir librement, peuvent être remplis d'une ma- tiere extrêmement fubtile & très-élaftique , fans les fuppofer prefque vuides , comme on eft obligé de faire quand on joint partout à la même inertie la même étendue vraie de matiere. Nonfeulement un tel vuide choque notre efprit, mais il paroït encore très-incompatible avec certe grande élafticité qu’on eft obligé d’attribuer à l’éther. Donc quand on dit que l’éther ef? tant de mille fois plus rare que l’air, il ne faut pas entendre que l’érendue propre d’un certain vo- lume d'éther foit autant de fois plus petite que l'étendue propre d’un éval volume d'air, mais que cette propor- zion reoarde uniquement l'inertie renfermée en des volu- mes évaux. DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 13 ANAL LNANANLNALN ANA AR FE LNLRALNLNANLNANARAR LNIR RNA NA NO AAA AAC EE NN NP NN NN NM NDS AC IE SECONDE”"PARTIE. SURILARESISTANCE;DE L'ÉTHER. X V. Ie I il fe préfente d’abord la queftion : S'il ne feroit pas poffible que les planetes fe meuflent par lécher fans fouffrir la moindre réfiftance ? Quoiqu'elles en foient pouffées en arriere, ne feroit-il pas pollible qu’elles en fufflent pouflées aufli en avant avec une force égale ? car lorfqu'un corps fe meut dans lécher , il en déplace continuellement une partie; & en lui imprimant un mouvement, il en perd bien autant; & puifque l’éther derriere le corps eft pouffé par fon élafticité dans les lieux que le corps quitte, il femble qu'il le pourroit accélérer autant qu'il aura été retardé en avant. Ce fentiment a été foutenu par de grands Géometres, qui lont cru conforme à la confervation des forces vives ; ils tombent bien d'accord que dès le premier inftant le corps communique à l'éther une partie de fa force vive, pour y produire le mouvement donc l’éther, chaffé en avant, va fuivre le corps par un détour; mais dès que ce mouvement eft une fois engendré, ils pré- tendent qu'il fuffit pour accompagner le corps par tout fon mouvement, fans qu'il ait befoin de foufirir une nouvelle perte. Ils regardent cette confervation comme l'effet de la parfaite élafticité de lécher. Si les planè- tes, difent-ils, perdoient continuellement de leur mou- vement, cette force vive ou périroit tout-à-fait , ou 14 SUR LA RÉSISTANCE s’'accumuleroit dans l’éther. Or l’un & l’autre leur pa- roït également abfurde. XVI. Mais quelque fondé que puifle paroître ce raifonne- ment , il eft détruit par l'expérience. L'air éranc un fluide affez parfaitement élaftique, il devroit au moins participer de la même qualité, & caufer une moindre réfiftance aux corps qui s'y meuvent, que sil étoit def- titué de toute élafticité. Or nous favons que tous les corps qui fe meuvent dans l'air y fouffrent une réfif- tance très-confidérable, & M. Luloffs prétend même avoir prouvé, par la force que le venc exerce fur les aîles de moulins à vent, que la réfiftance de l'air eft encore plus grande que celle qu’on trouve par les re- gles ordinaires de Mécanique. Il eft auf incontefta- ble, qu'un boulet de canon éprouve une plus grande réfiftance que felon ces regles, parce qu’il laifle der- riere lui un efpace vuide, que Pair ne fauroit remplir affez rapidement. D'où l’on peut conclure que quoi- que lécher foit beaucoup plus élaitique que l'air, cela n'empêche point qu'il n’oppofe une réfiftance très-réelle au mouvement des planeres, XNALT, Puifque les planetes fe meuvent incomparablement plus vite qu’un boulet de canon, on en pourroit con- clure de même, qu’en arriere lécher dût être plus rare qu'ailleurs, & en avant plus denfe & plus accu- mulé, tout comme cela arrive. dans l'air. En appli- quant cela à la terre , on verra que la plus grande ra- reté de lécher répond aux lieux qui voient le foleil dans le couchant, & la plus grande denfité aux lieux DE EA MATIERE ÉTHÉRÉE. ÈS auxquels le foleil fe lève. Donc partout au foir FPat- mofphere fera le moins chargée d’echer, & au matin le plus; & cerre variation ne fauroit manquer de pro- duire des phénomenes bien finguliers. Si électricité eft caufée par un dérangement dans l’état d'équilibre de l’éther, & que l'électricité pofirive ait liéu où l’é- ther fe trouve en trop grande abondance , & la néga- tive où l’écher eft trop rare, il s’enfuivroit que par- tout vers le foir il regne dans l’armofphere une élec- tricité négative, & vers le matin une pofitive. Il s’a- git donc de confulter l'expérience, fi une telle varia- tion a lieu ou non? mon but ne me permet pas d'en- trer dans cette difcuflion. MENT Cependant lorfqu'un corps fe meut dans l’éther, on n'en peut pas déterminer la réfiftance fur le même pied que dans l'air ou dans l'eau, où toute la furface antérieure du corps reçoit l'impulfion du fluide. Comme lécher cft une matiere extrêmement fubtile, il péne- tre prefque librement tous les pores des corps; il en eft prefque de même que fi par exemple un crible fe mouvoit dans l’eau ou dans l'air, qui fans doute fouf- friroit une réfiftance beaucoup plus petite qu’une fur- face folide. Les planetes ne rencontrent donc de ré- fiftance dans lécher qu’entant que leurs parties folides empêchent que lécher ne pafle tour à-fait librement à travers de leur mafle. D'où l’on voit que la réfiftance déterminée par la regle ordinaire doit être diminuée de la partie qui répond au libre paflage de l’éther ; ou bien il ne faut confidérer qu’une certaine partie de la furface de la planete qui eft expofée à 1a réfiftance, & qui, felon toutes les apparences, fera très-perire à Pégard de toute la furface. D'ailleurs, lobliquité donc les particules folides font choquées par l'éther, peut encore confidérablement diminuer la réfftance, 16 SUR LA RÉSISTANCE XIX. Concevons donc un corps fphérique, dont la maffe foic 4, lerayon = a, & qui fe meut avec une virefle égale à celle qu'un corps pefant fur la terre acquerre- roit en tombant de la hauteur — v. Soit la denfité du corps z fois plus grande que celle de lécher, & felon la regle commune la réfiftance qu'éprouve le grand cercle eft exprimé par le poids d’un cylindre d’écher, dont le rayon de la bafe — a & la hauteur = y, & partant la folidité = + a a y. Or la folidité du globe étant #ra3 & la mafle — 4, la mafle de ce cylindre, OPEL - . 3 Av s'il étoit de [a même matiere, feroit — FR donc la Ë A : 3 mafñle de ce cylindre d'éther = 27", qui exprime- 4na roit la réfiftance d’un grand cercle du globe, réduifant la maffe au poids que ce même corps auroit fur la verre. Mais la réfiftance qu'éprouve le globe même eft A . 127, & il la faudra 8na . encore diminuer, à caufe de la pénétration de l’éther, & peut-être aufli à caufe d’une plus grande obliquité d'impulfion, d'abord deux fois plus petite, ou XX, Comme nous devons nous contenter de favoir cette diminution en gros, & qu'il eft impoffble de la dé- : É SE : Av terminer à priori, pofons la véritable réfiftance — À 8Ang où, felon toutes les apparences , le nombre à doit être aflez confidérable ; or le nombre » eft prodigieufement grand; car fi nous fuppofons la denfité de lécher 369 000 000 fais plus petire que celle de Pair, & que Ja DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 17 la denfité du corps foit égale à celle de l'eau, Le nombre n {era — 800 x 360 000000 —= 288 000 000 000. Eofuite la vraie étendue du corps étant pour le moins 19 fois plus petite que l’apparente , à caufe de fa na- ture criblée à l'égard de lécher , le nombre À pourroit ñ à : ; L L DS bien furpafler 10; donc pofant pour abréger ne la valeur de cette fraétion feroit environ u = 1: 10 009 009 000 000, laquelle demeureroit à-peu-près la même, fi le corps étoit plus ou moins denfe. Or fi nous fuppofons l’é- ther encore dix fois moins denfe, nous aurions pour u une fraction encore dix fois plus petite; & comme il eft poffible que la valeur de à foit confidérablement plus grande que dix, la fration # pourroit être en- core plus petite que 1: 100 000 000 000 0005 & on verra par la fuice que la réfiftance qui en réfulte, pourra très-bien fubfifter avec les obfervations. XXI. Appliquons cela au mouvement d’une planete qui fe meuve autour du foleil dans un cercle parfait, puif- que nous favons que l'effet de cette réfiftance eft ex- trèmement petit, & que le mouvement continuera de fe faire dans un cercle pendant très-longtems, cher- chons la diminution du mouvement pendant un tems quelconque. Soit la diftance de la planete au folei] = c, fa vitefle dûe à la hauteur =», & l'attraction du foleil à cette diftance c = #f; prenant pour l'unité la gravité fur la terre, & parce que le mouvement fe fait dans un cercle; il faut que la force centrifuge foit = #, & partant y=/; donc la réfiftance de 2c Prix de 1762. C 18 SUR LA RÉSISTANCE “ff , av l'éther — = — , que nous pouvons regarder comme Z 24ac conftante pour un très-long tems. De-là, pendant que la planete parcourre l’efpace ds, nous aurons HAL Ris AU par conféquent Zac ARE A ES Fate 24c TE )5 XXII. Pour mieux connoître les élémens de cette expref- fion , foit le tems périodique de la planère — © fe- condes, pendant lequel elle parcourre toute la circon- férence du cercle = 2æc5 deforte que dans une fe- 27 » € conde elle parcourre Pefpace == — , fa vicefle érant dûe à la hauteur = v. Or pofant g pour la hauteur par laquelle un corps grave tombe dans une feconde; cet efpace parcouru par la planete dans une feconde » eft aufi = 2 Vgv; donc Vgr=—— ST, bar 2770C3 conféquent ff — =: 50 3 d'où l'on connoïtra le rap- port de la force accélératrice du folsil à chaque dif- tance à la force accélératrice de la gravité naturelle {ur la terre. XXIIL Quoique le retardement du mouvement dérange d’a- bord le mouvement circulaire ; avant que d’entrepren- dre les recherches réquifes pour développer cette quef- tion, je confidererai ici la chofe comme fi la pla- ncte fe mouvoit dans un canal circulaire, qui lem- DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 19 pèchât d'en fortir. Ce cas, quoique imaginaire, nous fera connoître en gros après combien de tems Peféc de la réfiftance peut devenir fenfible; parce que pen- dant une révolution la planete parcourt l'efpace = 1 6, & pendant y révolutions où dans le tems dé y © fe- condes l'efpace = 2#æc; pofant cette valeur pour s; nous aurons pour la vitefle de la planete après ce tems 11100 2uVTeC V=Æ= (I 3 2 C a & la vitefle même ns Cie) À Mr d’où nous voyons que la diminution de la virefle vaut : . BYrcC . . la partie —— de la viteffe initiale. XXI V. Faifons l’application de cette formule ay mouve- ment de la terre, où l’on a environ c = 18,000 x & = 31556930", & cherchons après combien de tems la diminution de la vitefle pourroit devenir BYTE L F OC NES puifqu’un changement d’une feconde dans le tems pé- riodique de la terre feroit déja rémarquable. Suppo- fons que cela arrive après y ans, & nous aurons 1 y = Te 000 X 31 s56pj0. ua Donnons à w la valeur marquée ci-defflus (XX), & nous obtiendrons 10 000 000 000 000 18000 X 31556 930 7 ou bien == 192 à-peu-près. Cij y —= 20 SUR LA RÉSISTANCE De-là il s'enfuivroic qu'un tel effet .pourroic être pro- duit en fix ans. Or quand même la valeur de x feroit . ; LA 1 encore plus petite, l'effec de la réfiftance de léther fur le mouvement des planetes, pourroit toutefois de- venir très-fenfible après un aflez grand nombre d'an- : nées. X X V. Mais il ne fuit pas de la diminution de la vitefle; que le tems périodique doive devenir plus long; il en doit même réfulrer un effet entierement contraire. L& planete étant rallentie dans fon mouvement, s'appro- chera plus du foleil, & décrira une orbite plus petite, à laquelle répond néceffairement un tems périodique lus court. Par cetre raifon, il sen faut beaucoup que a détermination précédente foit jufte, quand même le nombre y feroit aflez exaét. Le véritable dérange- ment, que la réfiftance de lécher peut caufer dans le mouvement des planetes, demande des recherches beau: coup plus profondes, & qui feront le fujer de ma Tioifieme Partie. DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE 21 D Rp de TROISIEME PARTIE. Sur Le dérangement du mouvement des Pla- netes caufé par la réfiftance de P Ether. gij 7 À EP O X XVI. Confidérons donc une planete quelconque, dont fa mañle foit 4, fon rayon a, & laquelle étant atti- rée vers le foleil en © & aflujettie à la réfiftance de Péther, décrive {a ligne courbe 4 M; que cette pla- nete ait parcouru après un tems de # fecondes l'arc AM, & foit l'angle au foleil 4 © M —#%. Soit en- fuite la diftance de la planete au foleil © M—7, & Ia force accélératrice du foleil étant pofée —Æ£, nous avons vu que fi nous exprimons le tems périodique de la cerre par © fecondes, fa diftance moyenne au foleil 22 S'UREL' A" RES IS TAUNICE par c & la hauteur par laquelle un corps grave tombe 2R%c$ fur la terre dansune feconde par g, il fera ff = ga? où æ marque Îa circonférence d’un cercle dont le dia- metre eft — 1. Or la force accélératrice du foleil agit fur la planete felon la dire&tion M6, & en la décompofant felon les directions fixes des caordonnées OP=x;, PM=y5 à caule dé x=17 of @) & = fin. @, nous aurons Les forces felon MP /in.@ & felon MQ— cof. +. RENTE: Maintenant pour connoître la vitefle de la planete de laquelle dépend la réfiftance, foit Mm l'élément d’efpace parcouru dans le tems dr & à caufe de Mn=3;dg & mn—d7, nous aurons Mm—V (d7°+73d@*) que je nommerai pour abréger =ds & faifant la proportion dr: ds= 1: #4. Or prenant v pour la hauteur dûe à la viceffe de la planete, ce même efpace parcouru par la planete dans une feconde ; + Ce etant? Vip, donrnousitirons +166 4agdt partant la force accélératrice de la réfiftance, contraire au mouvement & agiflant felon la tangente MT, fera fuivant les principes établis ci-deffus == où x eft une fraétion extrêmement petite, que j'ai efti- mée ci-deflus (XX). Enfuite pour la décompofition de cette force qui eft felon MT, ayant MT: PT: MP=ds:—dx:dy, nous trouvons la force felon PTE & felon MP= udyds 4gadt* F ° 4gadt*? DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 23 D, 2 (08 1 A Donc conjointement la planete en M eft follicitée par ces deux forces accélérarrices : L'une felon ROLE ER EEE tt 4gads?? ffin.g kdyds Et l’autre felon M P — DRE . tt Age De-là les principes de la Mécanique nous fourniffent ces deux équations : — 1gffdt° cof.® uwdxdes eo bg RP RER tt 22 —1 dt? fin. ® udyds, Enr Referer: Pay? ; Zi Zz 4 où il faut remarquer que lonax=7}cof.q;y=3/in.03 donc dx d7cof.® — 7 d@ fin. +; dy=d3fin.g + 7; dçcof.?; & ddx— ddzcof.g— 1d3d@fin.@— x dç*cof.& — 7 ddç fin. ; ddy=dd;fin.o+2dzdç@cof.®—zfin.o+ de? 7; dd cof.+; enfuite ds=V(dx+dy)=vV(dyt+77d@"); d'où nous tirons aifément ces deux équations : L ddxfin g—ddycof.q=—21d;d@—3;ddé@ LÀ, ARE IL ddxcof.o + ddyfinç =dd;—-7d9= As fieut nuudrds, ZT Dam? 24 SUR LA RÉSISTANCE où l'élément du tems dz eft fuppofé conftant, & 437c} 28ff—= >, de forte que la quantité g fort du calcul. XXIX. La premiere de ces deux équations étant divifée par z de, donne 2 d? dd ds SOC ee pa É d ? z 4 dont l'intégrale eft = © y PTT NETTe e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique eft l'unité, & G une quantité conftante, Énfuite puifque dsdds= d;dd;+ed;dç+;;zdçddo, fi nous multiplions la premiere par — 7d@, & la feconde par d7, la fomme en fera ns) d'A 5 = RME ET IARE ; 1 tt 24 or l'équation 77 d@.e°“=Gdr, à caufe de 77dç=dst—d7?, en éliminant d@, donne us R 2.) e *77(ds®—d7)=GGdr:. Deforte que nous avons deux équations entre les trois variables 7, 5,2; fi nous multiplions celle-là r.) par 75» l'intégration fournira dise & ds es LANTERNE APE ze = 4gff(E +9 4 di: 9 qui DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE 25 qui à caufe de x prefque évanouiffant fe réduit à ee Zn 4e ff + DE ds +. NX Xe Puifque nous favons que l'effet de {a réfiftance eft extrêmement pie négligeons d’abord les termes af- feclés par u5 & ayant ces ” deux équations Ti =A4gff(i+r) & GGde=z7(dst dt), en éliminant ds°, nous trouvons ds zrz(ds®—d7:)(1+12); donc pofant, pour abréger, AE Srrc: St CC CCoNRr Tr? deforte que G=Vick (XXVL) uous obtriendrons 7 dzV(E+E dz d TE L 1 d ss . LAMHÉRE UNUES) XXXI. Cette valeur de ds fuffit pour être introduite dans les petits termes de nos équations affectés par w. Soit di bh LE EG + 0 dans tous les termes affectés par , au lieu de s, la Prix de 1762. D donc vi — do, ou bien quon écrive 26 SUR-LA RÉSISTANCE lettre o, & nous aurons les équations fuivantes : & 2 = 2 2 Bsrch 2j Les zz(dst dr) =Cdi= ares ds? Brsc3 Ie (+ /fdo(r en IILen gg de = "EP de; où & eft une fonétion de 7. Donc éliminant ds: des deux premieres équations, nous obtiendrons: er qutds de )(E+i—É fdo(i+t))=hds; & de-là end; V(+iifdelt+) V CE +i—ffdo(1+1) )— a D'où l'on trouve plus exactement s par 7. Enfuite on aura, 1)ds— je CRE Panne 23cCV2c TE CC Hide + 5-4) Se dv De ED RON nn 3 VC Ges ao) — 4) XXXII. Pour profiter de ces équations, il faut tâcher d’en appliquer la folution à l'ufage de l’Aftronomie. Pour cer effet, prenant 4= £ & = =£,ona pour le nn)? DE LA MATIERE ÉTHÉRÉLE. 27 Cas où la réfiftance évanouit 7 = LS HV ai g= 1 + 2 cof. « da; deforte que £ exprime le demi-parametre, » l'ex: centricité, & « l’anomalie vraie de l'orbite comptée de- puis le périchélie. Cette expreflion de 7, comme très- approchante, étant introduite pour avoir la valeur de c, On trouve, KdwuV(sHrncofu nn), er (1 + 2 cof. w) ? ? laquelle expreffion eft affez exaête, pourvu qu'on ne fuppofe pas un tems affez long , pour que l'effet de la réfiftance devienne trop confidérable. Or en n'étendant le calcu! qu'à quelques fiecles, pendant lefquels l'effec de la réfiftance demeure encore prefque infenfible, on peut enfuite répéter le même calcul pour les fiecles fuivans de la mème maniere. XXXIII. Puifque dans le cas de nulle réfiftance on à k TT 1 nee ? fuppofons, en tenant compte de la réfiftance k Tin co v +uu? & tâchons de déterminer z enforte qu'il demeure dp==d«. Pour cet effet, ayant PT LUES 1 ncofokuu CR k 2 la différentiation nous fournit ndofin.u—wdu, — k FH laquelle valeur doit être introduite dans la troifieme Dij 28 SUR LA RÉSISTANCE ÉAAUIOR (XXXI), qui à caufe de de=do & Pr 1 + fe réduit à cette forme : d?;Vh VC + Der +) EL) ou bien à caufe de — + Do Def dre fÉ = — ; nes “+rn) {do fin. «=—n/[do fin. jrs à celle-ci: dzVh duY(i+2ncofu+nn Vin dant re) XXXIV. Or + étant = =1%2*, nous aurons 1+z2ncfo+knn+kiuu, 2 À 7 & puifque 4 = # nous obriendrons 1 TRUE LL mes p2 ñ » nnfinwu?—1uwu.ncof.e, Li LOUE TRES RTE TOM Par conféquent n do fin. o—u du Van fin.o—21pnucof. o— °#" [6 do fin. «) d'où prenant les quarrés, on trouve, en négligeant les termes qui renfermeroient uw, nndo fin. «* —2unudocof.w— 2° do [cd fin.e —=nndo fin. w?— 2 ru d'u fin. «53 & partant, du fin.o—udocof.o = [fo do fin «; do—= DE LA MATIERE ÉTHÉRÉE. 29 qui étant divifée par fn. w* & intégrée, donne u 1 do _— —cof.e me =: j=fedefn.s= Mr - Jo do fin. a +2:/0dacof.o; ou bien = ? (fin. ef do cof. w — cof. « fo d a fin. «); duV(r+o2 ncof.w—<+ nn) ayant GR En este 1° XXX V. Pourvu que l’excentricité foit moindre que lunité ou z < 1, comme il arrive toujours dans les ellipfes, l'arc o« fe réduit à une telle expreflion : o=k(Au+Bnfin.o+Cn:/fin. 20+ D n3/fin. 3 © +E »3 fin. 4 0 + &c.) Or pour en trouver d'autant plus facilement la valeur de z, prenons Ja différentielle de l'équation trouvée ci- deflus, dufin o —udocof.«—=%f[f5 du fin. o, qui eft: d'du fin. w+ u do? fin. o = %° 6 fin. w, ou bien ul =< (4o+Bnfin.o+ Cn? fn.20+D n;fin. 30+En4/fn.40 + &c.). Pofons maintenant # = à © + G fin. w +7 fn. 2 © + d\ Jfin.3 « + e fin. 40 + &c. d & puifque — = a + G cof. & + A cof. à — A «© fin. n + 27 cof. 2 & + 3 S\'cof. 3 w + 4e cof. 4 w + Ec, ré enfuite = — G fin. © — 2 A fin. o — A « cof. © — 47 fin. 20—9 fin. 30 — 16cfin,4u —&c. 30 SUR LA RÉSISTANCE dd donc = +u— au —2 A fin. w— 3 yfin. 20— 8 À fin. 3 @— 15 6 Lay; =, 180 = 5 OUR Dies ATEN SECRET CRDI IIS 11 : d'où = pi —= ©; 058 > CE qui eft la diminution annuelle de l’année, & partant la diminu- tion féculaire = 5/, 48/1. EN IT. M. l'Abbé de la Caille ayant fuppofé l’année, dans fes Tables, de 365), 5h, 48’, 49'', qu’il a uniquement conclu des obfervations modernes , de maniere que ce doit étre ja jufte quantité de l'année pour le milieu de 48 SUR LA RÉSISTANCE ce fiecle , le mouvement moyen pour 100 années Ju- liennes eft of, 0°, 45', 55"; donc fi, pour faris- faire aux obfervations faites avant deux fiecles, il falloit fuppofer le mouvement moyen féculaire de 05, o°, 45', 42!', il faudroit ajoûter à la longitude trouvée par les Tables de M. de la Caille 27 "= 40 000 4, & partant « feroit = 555 ''; d'où l’on trouveroit Ô— 0,033, & la diminution féculaire de lannée = 3, 18", d'où il femble qu’on devroit fuppofer la fration u = 755555506600 0003 Ce qu'on pourrait encore aflez bien accorder avec les principes établis ci- deffus fur la denfité de lécher, & fur la maniere dont il réfifte au mouvement des corps. cyrit. Corme on ne fauroit encore rien décider de précis li-deflus , pofons la diminution féculaire de l'année Y y" & à caufe de P — 5 > NOUS aurons : Y LE M pe tissue ne 11 100 X 31 558 176 00 DPSEOSEEE a = 180°, donc l'augmentation de la longitude moyenne pour l'in- tervalle d’un fiecle fera = 2-5 y fecondes, & pour l'incervalle de 10 fiecles ou de 1000 ans, elle fera Y © 536 oUU 020 000 000 — 205$ y fecondes, & de-là uw — De-là, en tenant compte du demi-diametre des autres planeres, on aura l'augmentation de leur longitude moyenne pour l'intervalle de 1000 ans, Pour Saturne == 13$v'5 Pour la Terre 205 5 Pour Jupiter — 62w5 Pour Vénus == 103 "5 1. Pour Mars —254v!; Pour Mercure =x 13575 S « À E ré £% + EU NT per Gi LL | A L, 20 >, l'A Ne AL OU AN D) 0 À + k > 11 EL »! "1% à h. fa NN SALUE DIT OT TOR ‘h, (r, be Mn 1 " 11 A M T, jf 54 }\: OR 4 | fr \ a HANTEL NEA LU 0 Nr: ire HS LMI RS è 1 A l \ \ Pa î , fl dun) ne Û | LA Ve. CRC. AN à à L L) } ut OTITRE ue” on N k \ ai j do 4" A DER CV UN L'ANPE Le qe mic PATES | A PTE COM DLL A w!, L D ATPOR ORTTIE PNR LU ù AR Abe 4 PET d 7 NT) AG IE NTI : 7 (à , APN 14 L } fl At A à l su Nu PAM MIRE M ONENAAr OS Jen où \ ( Fe LA LM TU NON ù ne 4 L Ds (i 1 Li LEA \ Hd, , be Û PAT AU PR UNUe ba, PA PSE NL AONTIE Un ‘à RS NT 0 ER fl A ; : L, He v AW , | l ! PAU Dr a nl A j % M" it im : L ha af LE LL M” \ | ' M ! ( LP à | î ) ) ne D Le | Aer et ON) FOUR: PAL DL U cage AA? Liu | RS TER AR NS sù Le : , : * dd ll f l ; [ à, À à a CU. | à Ù n # L il à ra PU lu ds A à PACE f n ; { = p ) 0 ï « ll ll ‘ ‘au 0 ‘. i » : f ' , or 1 ; 1 "PM ‘ n : « D... n e= : } ï © © . ï ô h 4 0 M" \æ