0^í(^ HARVARD UNIVERSITY LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY \d,tJi\^C>.y^A.^o¡i.^ ■ay\x\{UJL^^L< 31 - ])ju \^ üL ¡"lO-í. JAN 31 REVISTA DH T.A REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID REVISTA DE l^A REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DK MADRID -r 03Vt o ATI MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLE DK PONTKJOS, KÜM. 8, l©07 \1!T. m W LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA «La Academia no adopta ni reliusa las opiniones de sus Individuos; cada autor es responsable de lo que con- tengan sus escritos.» ■>■.'> r ■^%^^o REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID TC>:h/Lo 'vi.-isrxjivis. i, s -^ s, (Julio, Agosto y Septiembre de 1©07.) ^MADRID IMPREHTA DE LA GACETA DÉ MADRID CAIiLiE DB PONTEJOS, KÚM. 8. 1907 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. REAL ACADEMIA DE CMCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y M ATÚRALES DE MADRID ACADÉMICOS DE NUMERO Excmo. Sr. D. 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Sr. D. Leonardo de Torres y Ouevedo. Válgame Dios, 3. Sr. D. José María de Madariaga, Vicesecretario. Ziirbano, iS. Ilrao. Sr. D. José Rodríguez Mourelo. Píamente, 14. limo. Sr. D. José Marvá y Mayar. Campomancs, 8. Sr. D. Rafael Sánchez Lozano. Genova, 17. Sr. D. José Gómez Ocaña. Atocha, 127 dupdo. Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco. Amnistía, 10. Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez. Hernán Cortés, 3, Excmo. Sr. D. Gustavo Fernández y Rodríguez San Bernardo, 2, ACADÉMICOS ELECTOS Sr. D. Eduardo Mier y Miura. Infantas, 33. limo. Sr. D. Ignacio Bolívar. Pasco del Obelisco, 17. limo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta. San IMateo, .!2. Sr. D Pedro de Avila y Zumarán. Travesía de la Ballesta, 8. Sr. D. Ignacio González Martí. Hernán Cortés, 7. Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi, Plaza de la Lealtad, 4. Sr. D. Miguel Vegas y Puebla-Collado. Pez, I y j. - 7 - Sr. D. Vicente de Garcini. Retiro. — Escuela de Caminos. Sr. D. Juan Fagés y'Virgili. San Bernardo, iS. La Academia está constituida en tres Secciones: i.^ Ciencias exactas.— Sres, Saavedra, Presidente; Torres, Secretario; Arrillaga, Torroja, Navarro-Reverter, Ollero, Ventosa, Ugarte y Fernández y Rodríguez. 2.^ Ciencias físicas. — Sres. Puerta, Presidente; Mou- relo. Secretario ; Echegaray, Carracido, Salvador, Rojas, Muñoz del Castillo, Madariaga y Marvá. 3.'' Ciencias naturales. — Sres. Hidalgo, Presidente; Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada, Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano. ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES Sr, D. Andrés Poey. París, Excmo. Sr. D. Eduardo Benot. Madrid. Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina. Madrid. Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia. Sr. D. Luis Mariano Vidal, Gerona. Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera, Madrid. Excmo. Sr, D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid. Sr, D, Ramón de Manjarrés y de Bofarull, Sevilla. Sr, D. Modesto Domíng^uez Hervella. Madrid. Sr. D. Salvador Calderón y Arana, Madrid. limo. Sr, D, Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid. Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza. Sr. D. Eduardo J. Navarro. Málaga. Sr. D, José María Escribano y Pérez. Murcia. Sr. D, José Florencio Cuadras, Manila. Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona. Excmo, Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia. - 8 - Excmo. Sr. D. José María de Castellarnáu y Lleopart. Sep;ovia. Excmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde de Villamar. San Fernando. Sr. D. Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real. Sr. D. Juan Vilaró Díaz. Habana. Excmo. Sr. D. Pablo Alzóla y Minondo. Bilbao. Excmo. Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca. Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencia. Sr. D. José Eugenio Ribera. Madrid. Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona. Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona. ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS Barboza de Bocage (J. V.). Lisboa. Anguiano (A.). Méjico. Gaudry (A.). Parts. Lemoine (V.). Reims (?). CoUignon (E.). París. Barrois (Ch.). Lille. Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Rio de Janeiro (?). Gomes Teixeira (F.). Porto. Lapparent (A.). París. Príncipe de Monaco (S. A. el). Monaco. Choffat (P.). Lisboa. Arata (P. N.). Buenos Aires. Carvallo (M.). París. Laisant (C. A.). París. Enestrom (G.). Estocolmo. Ferreira da Silva (A. J.). Porto. Nery Delgado (P. F.). Lisboa. Pina Vidal (A. A. de). Lisboa. Brocard (H.). Bar-le-Dnc. Ocagne (M. d'). París. Romiti (G.). Pisa. — 9 - Wettstein Ritter von Werstersheim (R.). Viena. Engler (A.). Berlín, Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa. Pilsbry (E.). Filadelfia. Arrhenius, (S.)- Estocohno. Ramsay (G,). Londres. Rayleig (Lord). Londres. Castanheira das Neves (J.), Lisboa. Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- rales. Méjico. 11 — I. - Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray Conferencia novena. Señores: Hemos terminado la primera parte de estos elementos ó nociones generales de la teoría de la Elasticidad, al obtener las tres ecuaciones fundamentales, ya para los cuerpos hete- rogéneos, ya para los cuerpos homogéneos, ó bien para los sistemas isótropos. Ecuaciones que se aplican al problema del equilibrio, cuando no contienen las fuerzas de inercia, así como se apli- can al movimiento del sistema cuando las contienen. Estas tres ecuaciones son las únicas que hay que tener en cuenta, si el sistema es indefinido, y por eso sirven de base para la teoría de la Luz, es decir, para la teoría clásica de este fluido. Pero son insuficientes y no resuelven sino la primera parte del problema, cuando el sistema elástico está encerrado entre superficies límites. Expresan el equilibrio ó el movimiento de todos los pun- tos interiores; mas hay que completar la solución del pro- blema estableciendo las ecuaciones que se llaman de los lími- tes en este caso general de un sistema limitado. Ya dijimos en otra conferencia anterior, que quizá pudiera intentarse el paso del interior del cuerpo á ía superficie, estableciendo ecuaciones para el equilibrio ó para el movi- miento en la zona de espesor e contigua á la superficie. Mas siempre encontraríamos una dificultad para el caso — 12 - en que las fuerzas exteriores pasasen bruscamente de un valor á otro, al pasar del interior del cuerpo á la superficie, es decir, desde F á P Esta eá, en general, una descontinuidad, y el salvarla de una manera rigurosa, no es tan fácil como parece. Tal dificultad no existía, cuando se consideraban todos los puntos como libres, y para cada uno de ellos se establecían las tres ecuaciones de equilibrio, porque entonces teníamos aun en el caso más general, 3/2 ecuaciones en diferenciales simultáneas, y en este sistema importa poco que los segun- dos términos de la ecuación obedezcan ó no á la ley de con- tinuidad. La circunstancia de la continuidad podrá facilitar la inte- gración; pero sean distintas ó sean continuas las componen- tes X, Y, Z...... la naturaleza del problema no cambia. Ahora bien; como tantas veces hemos explicado, al pasar de las ecuaciones en diferenciales simultáneas á las ecuacio- nes en diferenciales parciales, lo cual equivale en el fondo á pasar de la discontinuidad á la continuidad, el que las com- ponentes de P no estén en ley de continuidad con las com- ponentes de F, es un obstáculo serio para la solución del problema. Podrá resolverse en muchos casos, aunque son muchos más aquellos en que no se sabe encontrar la solución; mas de todas maneras, la discontinuidad dificulta los problemas: esto es evidente. Hay métodos para salvar estos obstáculos, como veremos en las conferencias próximas, y, sobre todo, en el curso inmediato; pero es, por decirlo así, saltando por encima de la dificultad misma, cerrando los ojos, como vulgarmente se dice, y prescindiendo, hasta cierto punto, de la zona de espesor t. * * * - 13 - De todas maneras, para llegar á esta segunda parte del problema, necesitamos definir un nuevo concepto, una nueva entidad mecánica, por decirlo así, de la cual nada hemos dicho hasta ahora. Concepto importantísimo y eminentemente práctico, del cual no puede prescindir la experiencia; pero que, en rigor, mirando las cosas desde un punto de vista abstracto, es ajeno á la hipótesis y al método de Cauchy, y más propio de los demás sistemas, como, por ejemplo, del sistema de Lame. Nos referimos á las compresiones, tensiones y deslizamien- tos, ó, en general, á los esfuerzos elásticos del interior del sistema. En rigor, y dada la hipótesis de Cauchy, casi nos atreve- ríamos á decir, que este concepto no tiene sentido. En un sistema de puntos libres sometidos á fuerzas que actúan á distancia, ¿qué quiere decir una compresión ó una tensión del sistema? ¿Qué quiere decir -repetimos —la compresión ó tensión de un sistema planetario, si en el espacio no existen más que fuerzas actuando en cada astro, y entre unos y otros cuerpos no hay otra cosa que el vacío? Ahora, si en el espacio consideramos el éter, rellenando, en cierto modo, los huecos astronómicos, ya las compresio- nes y las tensiones tendrán un sentido; pero no lo tienen en la teoría de la Elasticidad que por ahora vamos explicando. Sobre cada átomo, sobre cada punto material, existirán fuerzas internas ó externas, que tendrán una resultante para cada uno de estos puntos; pero esta resultante, ni puede llamarse compresión ni tensión tampoco, ni fuerza de desliza- miento, es una fuerza actuando sobre un punto y nada más. La acción á distancia, que era la que dominaba en la Física matemática del pasado siglo, excluye en pura teoría estos conceptos. — 14 — Y, sin embargo, la realidad los impone; y como hay que introducirlos en la teoría, es forzoso introducir ciertas con- venciones, y sobre todo, definirlos de un modo claro y pre- ciso. Materia es ésta, que ahora no podemos tratar por com- pleto; ya la trataremos en el próximo curso, porque como antes decíamos, más se relaciona con el método de Lame que con el método de Cauchy. La prueba de que hay en estos conceptos algo vago aun- Figura 36. que sean eminentemente prácticos y aunque la realidad los imponga, es que no todos los autores los definen del mismo modo, y así ha tenido que hacer Mr. Poincaré en su notabi- lísima teoría de la Elasticidad, un estudio de estas diferentes definiciones para demostrar, que todas ellas conducen al mis- mo resultado. Nosotros, por el pronto, daremos una defini- ción provisional en la forma siguiente: Supongamos (fig. 36) un sistema elástico, compuesto, según la hipótesis de Cauchy, de un número inmenso de pun- tos materiales A, c, c', c" d', d" , sometidos á fuerzas — 15 - interiores y recíprocas, según la ley de la curva de Saint- Venant, y sometidos á fuerzas exteriores. Supongamos que el sistema ha llegado á la posición de equilibrio, que es el que representa la figura. En el interior de este sistema imaginemos un plano, que con el pensamiento materializaremos, convirtiéndolo en una lámina ó placa rígida, ab; pero inerte, es decir, incapaz de producir acción alguna, y además sin masa. Esta lámina ó plano, determinará dos regiones en el sis- tema, R y R; y antes de seguir adelante haremos dos hipó- tesis. 1.^ Que dicho plano ab, aun siendo de pequeña exten- sión, es muy superior al radio de actividad e. 2^ Que todas las moléculas de la región R' comprendi- das en un prisma, cuya base sea ab y cuya altura sea e, están ligadas de una manera invariable á la lámina ab como si este pequeño sistema fuera un sólido ideal de los que con- sidera la Geometría. Todos los puntos materiales de la región R ejercerán atrac- ciones ó repulsiones sobre los puntos A, c' c" d', d" del prisma abt. Pero es claro, que según las hipótesis que hemos hecho en otras conferencias, no todos los puntos c de la región R actuarán sobre los puntos c , d' , sino sobre los que estén dentro del radio de actividad de cada centro c • Por ejemplo, sobre el punto A, de la región R', sólo actuarán aquellos puntos c que estén á una distancia de A menor que £. Si desde el punto A como centro trazamos una semi- esfera p con el radio p = í, sólo los puntos comprendidos en esta semiesfera de la región R actuarán sobre A. Si para cada punto comprendido en el prismas 6 e hiciéra- mos este cálculo, y si llamamos IIP á la resultante y pres- cindimos del par resultante, que supondremos nulo ó des- preciable, esta resultante nos permitirá definir la tracción, - 16 - la compresión ó fuerza de deslizamiento, que en el interior del sistema existiría, suponiendo que todas las hipótesis que llevamos hechas se realizasen. Y el caso es, que en la Naturaleza, algo parecido á esto debe suceder, porque este concepto de tensión, de compre- sión ó de esfuerzo de deslizamiento, tiene una significación práctica y material que puede medirse y que se mide en los experimentos de resistencia de materiales. Completemos ahora la definición. Hemos dicho que la placa ideal ab se consideraba unida invariablemente á los puntos materiales comprendidos en el cilindro o 6 e de la región R' Consideremos ahora otra placa, a' b', muy cerca de la pri- mera, ab, y unida á ella por resortes ideales. Ambas placas forman como una especie de dinamómetro ideal, que imagi- namos colocado en el interior del cuerpo y en el punto A, para el cual queremos conocer los esfuerzos interiores. Es evidente, que si los esfuerzos de las dos regiones R y R' tienden á aproximar una placa á otra, en- tre ellas, mejor dicho entre sus resortes, se desarrollarán esfuerzos de compresión que, prescindiendo de los pares de fuerza que resulten, darán una resultante, la cual po-- demos suponer aplicada al centro A y que representará el esfuerzo de compresión en el dinamómetro correspondiente á la super- ficie ab. Por el contrario, si la acción de las moléculas de /? y las de R' tienden á separar ambas placas, resultará un esfuerzo de tensión en los resortes j (fig. 36 bis). Y el esfuerzo de compresión ó de tensión, dividido por la superficie de ab, diremos que es la compresión ó la tensión por unidad de superficie sobre el plano ab que pasa por el punto Ay \o mismo para las fuerzas de deslizamiento. Pero fijemos bien las ideas. b b' MSi ■J1A5L 3' ■ a i Flyura 36 bis. - 17 - La acción de R' sobre R y de R sobre R' llevan nombre contrario, que el que llevan sobre las placas ideales ab, áb\ ó sea sobre el dinamómetro (fig. 36 bis). Si las placaslienden á comprimir los resortes, es que R tira de R', y R', de R. Luego R y R' están sujetas á tensión. Es como si el prisma R' estuviese empotrado en la superficie a^bi y tirasen de la base ab. Si, por el contrario, las placas tienden á separarse, es que R comprime á R" y R' procura comprimir á R. Para calcular este esfuerzo, no hay más que determinar la fuerza elástica, según la curva de Saint-Venant, de cada punto c de la región R ó del prisma a b' t' (fig. 36) sobre todos los puntos materiales del cilindro abi. Claro es que no tendremos que considerar otros puntos c que los que disten de la placa una longitud menor que s, y que este punto c sólo ejercerá su acción sobre los puntos A c c" d' d" que estén dentro de su radio de actividad, según dijimos antes. En suma, calcularemos la acción del punto c sobre un punto cualquiera c' del prisma abi\ esta fórmula la aplica- remos á todos los pares de puntos de ambos cilindros ab¡., a'b'e y la resultante será el esfuerzo que buscábamos. * * * Pero antes de hacer este cálculo, prevengamos una obje- ción que pudiera ocurrirse á los que por primera vez estu- dian esta materia. Pudiera decirse: parte de la acción que ejerzan entre sí los puntos materiales de los dos cilindros abt, ab'e, los demás puntos materiales de la región R', ¿no ejercerán su acción sobre el primer cilindro abt, y los demás puntos materiales de R, no ejercerán también su acción sobre el segundo, a'b'e, oprimiendo uno contra otro ó procurando Rkv. Acad. Ciencias.— VI. —Julio, Agosto y Septiembre, 1907. 3 - 18 - separarlos; y esta transmisión de presiones, no liará variar el esfuerzo que antes habíamos calculado entre las placas ab y ab'? Más claro; los esfuerzos sobre las caras s, z', ¿no se transmitirán á las caras ab, ab"? Esta objeción carece de fuerza; porque las acciones de las masas exteriores á ambos cilindros, lo único que hacen es variar las posiciones de las masas contenidas en ambos deter- minando sus desplazamientos, y el cálculo de los esfuerzos entre los cilindros expresados, se hace contando con las nue- vas posiciones de dichos puntos. Sobre esto insistiremos en otra ocasión. Por ahora, sigamos el método indicado: acción de ambos cilindros, uno sobre otro, y cálculo, de las presiones, ten- siones y fuerzas de deslizamiento de las placas ab, ab', determinando á este fin la acción entre dos masas c, c: una del primer cilindro y otra del segundo, que disten entre sí una longitud menor que e, que es cuando únicamente la acción entre ambas es sensible, y, por fin, después de calcular la acción elemental P entre dos puntos c, c, haremos la suma de todas estas acciones. Por el pronto, daremos á la placa ab tres direcciones: una, según el plano de \d&yz; otra, según el plano de las xz, y, por último, según el plano de las xy, y sólo con- ^ sideraremos estos tres casos particulares, porque son los úni- ^ eos que necesitamos para nues- tro objeto. En el curso próximo estudiaremos el problema en ge- neral. La acción elemental, ó sus componentes entre dos masas, m y ni, de un sistema elástico, la hemos determinado ya en la Fisura 37. •' conferencia quinta, y estas com- ponentes, las designaremos por P, Q, R (fig. 37); de modo, - 19 - que su resultante tendrá, en general, una dirección oblicua respecto á los tres planos coordenados. Dichas componentes del esfuerzo interno, entre dos puntos cualesquiera c, c', de masas m, ni , son (conferencia quinta), Q --= mm' \f{r) oy + ¿-^ (oxS« -f- ^^,v + ozow) I R = /n/72' \f{f) ow f ¿-íi (íxo« + ly^v + ozow)l; prescindiendo de tres términos de que luego hablaremos. La acción sobre c', de todos los puntos útiles del prisma a' b' t', serán las sumas determinando convenientemente los límites de - como luego ha de explicarse. Y sumando todas estas sumas para los puntos c' c" de una normal á ab, y después, sumando todas las acciones de todas las normales c', c" d', d" comprendidas en el cilindro abí, tendremos las componentes de la tracción ó compresión ó fuerzas de deslizamiento del cilindro abt, y por lo tanto, del esfuerzo sobre el plano ab que forma parte de dicho sólido abt. De los pares de fuerzas podemos prescindir, porque los esfuerzos parciales son, ó suponemos que son, próxima- mente paralelos é iguales; luego sus diferencias, multiplica- das por los brazos de palanca, que serían del orden de la distancia ab, serán infinitamente pequeños de orden su- perior. Empecemos por calcular ^P,ZQ,^R para un punto A de R' muy próximo á la placa ab. — 20 - Si desde el punto A (fig. 36) trazamos en la región /? una semiesfera de radio e y aplicamos las fórmulas elementales citadas á todos los puntos comprendidos en esta semiesfera, dichas sumas serán las tres componentes de la acción sobre el punto A de todos los puntos útiles del cilindro a' b' t. Estas sumas, en forma general, ya las hemos calculado en la conferencia citada y las reproduciremos aquí, con lo cual tendremos, en primer lugar, el valor de la componen- te i:p. Pero en la fórmula de donde vamos á tomar esta expre- sión, hay que prescindir de los dos primeros términos, por- que éstos son la fuerza de inercia — m y la fuerza ex- terior X (Conferencia V, fórmulas (1)). Sólo la última parte es la que expresa la componente para- lela al eje de las X de todas las fuerzas internas comprendi- das en la esfera s y que actúan sobre m. Y, ante todo, vamos á hacer una simplificación, y es, prescindir en el desarrollo de las fórmulas (1) de todas las derivadas segundas; porque estos términos contienen todos ellos cuatro factores ox, oy, uz, por ejemplo ox', ox- , ly , al paso que los términos correspondientes á las derivadas de primer orden, sólo contienen tres, y los limites de la integra- ción se refieren en uno y otro caso á la esfera de radie e ó á una parte de ella. Nótese, dicho sea de paso, que por la naturaleza del pro- blema que ahora estamos resolviendo, vamos á hacer lo con- trario de lo que hacíamos en la conferencia á que nos hemos referido. En aquella ocasión despreciábamos todos los términos relativos á las derivadas primeras de //, y, iv, y sólo conser- vábamos los términos que comprendían las derivadas se- gundas. Ahora hacemos lo inverso; despreciamos todos los térmi- nos relativos á las derivadas segundas, porque son de cuarto — 21 — orden, y los coeficientes de las derivadas de primero no pasan del tercer orden. Si allí despreciábamos estos últimos términos, es porque la integración comprendía toda la esfera t, y en cada suma, por razón de simetría, había siempre dos términos iguales y de signos contrarios; mas ahora no consideramos la esfera completa, sino una parte de ella. Tenemos, pues, según lo expuesto, que el valor de 11 P será el siguiente: SP = llmm' f{r) ox + — /" ^-mni' f{ryjx | ^mm' ¿^^ ox = \ + '02 ox-^^z + -\ 1/72/72 -^ ^ ^ OX- oy H 1/77/77 -^ ^ ^ OX- í/x /• -^ í/x r ^^(-2mm'f{r)^yi-^2mm'^^x2^y\^ H 1/72/n -^ ^ ^ oxí/y- H 1/7Z/7Z • ^ ^ ^jx^jyZz (1) í/y '' dy f + ^I^Zmm'fir) oz + 1/72/n' ¿^^^^ - -' ^ H 1//Z//7 •' ^ ^ ^XoyóZ A -1//7/77 -^ ^ ' OX^ZK dz r "^ ' dz r Claro es que estas 1 tienen una significación distinta, como veremos pronto, de la que tenían en las fórmulas fun- damentales. Debe notarse que la fórmula anterior contiene el término 1/72 777 '/(/■) o X, que no contenía la fórmula de la conferencia quinta, de donde está copiada la (1) de esta conferencia. Pero entraba en la fórmula fundamental de la conferencia cuarta. Después suprimimos dicho término ^mm'f{r)ox al supri- mir el grupo Xi |- ^mm'f{r)úx que expresaba el equilibrio en el estado inicial. Mas ahora queremos calcular los esfuerzos elásticos tota- — 22 — les, partiendo del estado na.'ural en que son cero, y por eso los tenemos en cuenta. Sobre esto insistiremos después. Para obtener X Q no tenemos más que aplicar á la última fórmula las substituciones circulares (u, v, w), {x, v, z), según hemos explicado ampliamente en otra ocasión, y tendremos de este modo: )^Q=''lmmf{r)ly-\- — l^mm'f(ryjy + :ímm' ^^ ^jyA dy \ r I H 1/77 /;? ^ ^ o V- OZ -4 1/77/77 • ^ ' O V- ox dy r "^ ' dy r ^ + — í^mm'fir) oz + l/n/77' í-^^- o/-' ^jz\ H 1/77/7? • ^ ^ o;;c2- H 1/77/77 ^^— >-^ o^^zox (2) dz f dz f + — (1/77 7777 (/-) ox + 1 777/77' -^^^ o);-' ox\ -j 1 777 777 O X O >"> Z -^ 1 /77 /7? -i— ^^- o y O X ". dx dx f Del mismo modo, aplicando á esta última ecuación, las expresadas substituciones circulares (ii, v, w), (x, y, z), obten- dremos el valor de la tercera componente de la acción sobre la masa /77, situada en Á, de todo el cilindro a' b' t; así, 1/?= ^2mm'f(ryjz + — (^-mm'f{r)oz + 1//7/77' -^^ oz '"j , í/w . , , /' (r) ^ , ^ . dv . , , f{r) ^ , . H 1/77/77 -^ ^ ^ OZ- ox H 1/77 7/7 "^ ^ OZ^ dy dz r ' dz r + — í^2mm'f{r) ox -f I/77//7' -^^^ íz- ¿x\ (3) — 23 — dx r dx r 4. ^/v nim'fir) ^y + Zmm' ^-^ ^z'^hy] dy \ r ) ^" y^mm'^x^jy^jz^-^ Zmm' ¿^ oz^y\ dy dy r Teniendo las tres expresiones de -P, -Q, I/? podemos calcular fácilmente las tres componentes de la presión ó de la tensión sobre el plano ó placa ideal de que antes hablába- mos en los tres casos indicados: cuando coincide con el plano de las y z, cuando coincide asimismo con el plano de las X z, y, por último, cuando coincide con el plano de las X y. En todos estos casos, y en general, existirán las tres com- ponentes para cada plano ó placa, y, por lo tanto, la acción y la reacción serán oblicuas á dicho plano. Para determinarlas, no habrá más que acomodar á cada uno de estos tres casos los límites de la ^ correspondiente, aplicando las simplificaciones, que vayan presentándose. Precisemos estas ideas. Pero antes fijemos bien las notaciones, para dar más cla- ridad á la explicación. Llamemos en general Ná la tensión, compresión ó fuerza de deslizamiento correspondiente á un plano cualquiera muy pequeño trazado en el interior del cuerpo ó del sistema. Por el pronto, sólo vamos á calcular la acción de la re- gión /?(fig. 36) sobre un punto A, por ejemplo, de dicho plano, ó infinitamente próximo á él, en la región R'. Esta acción ó esfuerzo, en general, será oblicua al plano y tendrá tres componentes que vamos á calcular para los tres casos: primero, plano ó placa ideal, paralela á y z; segundo, paralela á x z; tercero, paralela á x y. 24 A N le pondremos un primer subíndice, que indique á qué eje e's perpendicular la placa ideal: así, Figura 38. N.v es la acción resultante correspondiente á un punto Á, cuando el plano ó placa es perpendicular al eje x (fig. 38). -•p Flaura .39. El contorno del plano ó de una parte está marcado con líneas gruesas. Ny es la acción expresada cuando el plano es perpendicu- lar al eje de la y (fig. 39). — 25 - Nz es la acción ó esfuerzo cuando la placa es perpen- dicular á z (empleamos indiferentemente ambas palabras, aunque la primera no sea muy propia; en este caso, para nosotros, acción es esfuerzo) (fig. 40). ^^^^ * I -*— f A'.. ^N í/ Figura 40« Cada uno de estos tres esfuerzos ó acciones N^, Ny, N^, tendrá sus tres componentes, que designaremos por otro subíndice colocado á la derecha del primero. Así, los tres componentes de N^ (fig. 38), serán, paralelamente al eje x TV^x, paralelamente al eje }' Nxy, paralelamente al eje z Nx^- Del mismo modo, las tres componentes de Ny (fig. 39), serán , para el eje x 7Vj,;^-, para el eje j' Nyy, para el eje z Ny^. 26 Por último, las tres componentes de Nz (fig. 40), se repre- sentarán del mismo modo, eje X AT^x, ejej N^y, ejez N^;,. Las tres fórmulas (1), (2), (3), nos permiten calcular las N con sólo determinar para cada caso la significación y ex- tensión de 1, según hemos dicho antes. Empecemos calculan Jo las tres componentes de N^, que son N:,^, N:,y, Nx,. Las fórmulas son las (1), (2), (3), que dan X P, I Q, ^ /?. ¿ Tracemos (fig. 38 bis) desde A, con un radio i, la semiesfe- ra bbB cuya base ó círculo má- ximo bb se apoya sobre el pla- no de las y z y cuyo eje A B perpendicular á dicha base coin- o cide con el eje de las x. Recordemos que P, Q, R son las componentes del esfuerzo entre el punto A y un punto cualquiera a del interior de la semiesfera. Y ^P, XQ, 11/? son las componentes de la resul- tante de todos los puntos materiales comprendidos en la semiesfera bbB. Así es que aplicando á las fórmulas (1), (2), (3), que dan los valores de -P, -Q, -R, como límite de las 1, la semiesfera bbB, las -P, -Q, ^R, se convertirán en N N N ^'.vx> ^'.\'3') '^xz' Pero la aplicación de este límite semiesférico permite sim- plificaciones importantes á causa de los dos planos de sime- tría, el de las xz, y e\ de xy de la semiesfera. Figura 38 bis. - 27 — Por ejemplo, en la fórmula (1) el término dx desaparece; porque tomando dos puntos simétricos respecto al plano de la xz, la 1 contendrá estos dos términos, dx r ' dx ^ V -^z que se destruyen. Y, por otra parte, todos los puntos se pueden asociar dos á dos de esta manera. Así el término que consideramos desaparece. Lo mismo puede decirse del término dw .. , f {r) . ,, dx '' asociando los puntos simétricos por relación al plano x y, dos á dos. Cada par de puntos simétricos dará términos iguales y de signo contrario. l^mm ^-^-^ óx-^iz, >, min ■' ^ ' ox- ( - o z) dx r dx r y el término en cuestión se anulará. En resumen, y en general: puede suprimirse todo término de las fórmulas (1), (2), (3), que contengan una potencia impar de o y, o z, sean cuales fueren los demás factores de dicho término. Hecha esta simplificación, 10 que quede de IP expresará el valor de Nxx 1 1 resto de i: Q - el — de N^y y el de v/? — el — de N^,,. - 28 - Así en ^ P tendremos: A^xx = -^ [2 mm'f{r)lx + Smm ' /ií r^x^ 1 + A 1/77/7Z -^ ^ ^ OXOV- A 1/72/7Z -^ ^ ' OX^Z' -f- -{-^mm'firyjx. Haciendo lo mismo en 11 Q, quedará: dy r j^AL(s2mm'f{r)hx + Zmm'í^oy'^ox\ Y, por último, la misma simplificación, aplicada á 17? nos dará: ^f du ., , f (r) ^ .,^ , Nxz = 1//Z/77 - ^ ^ i^Z-^X + dz '' + — fi: mni'f(r) ox + 1 mm' ¿^ hz'dx dx\ r * Para obtener Nyx, Nyy, Nyz seguiremos el mismo método y aplicaremos las mismas fórmulas (1), (2), (3), que dan '!ilP,^Q,'^ R; pero los límites de las sumas ó integrales serán distintos. En vez de tomar como límite la semiesfera de la figura 38 bis, tomaremos la de la figura 39 bis, en la que la base bb se aplica sobre el plano de las xz y el eje A B, sobre el eje de las y. - 29 - Las simplificaciones se efectuarán suprimiendo en ^P, SQ, Figura 39 bis. S/? todos los términos en que entran potencias impares de (¡X, (iz, y tendremos: *r dv „ , f'{r) ^ .,^ , Nyx = 1/72/72 •' ^ ' ^X" íy + áy \ ^ , N^ yy dv dy ^Zmm f{ry>y i^^lmm ?.M A. ^^ r,-, r,-,' LAlL ;^i.3 ' ia.,3^ + ^ dw ^ , f (r) ^ ^ ^ , da ., > f U) > í/z r ' ' dx r ' ^x2 N, + S/72/727(r)íy í/z S/72/22'^^-^^S2:ny + + ^l-^Zmm'fir) oy + S/72/72' ^í-^ íz'^ íy í/y \ /- * * * — 30 - Aplicando las mismas fórmulas (1), (2), (3), pero tomando por límite la esfera bbB (fig. 40 bis), cuya base se apoya sobre el plano de las xy y el eje AB coincide con el de las z, y aplicando para las simplificaciones la simetría de los Figura 40 bis. planos xz, yz, es decir, anulando los términos que conten- gan potencias impresas de ox, oj, obtendremos: A^^^ =^ Jl^ ^mm' ¿-^ ox- 02 + dx r -\ I -mm f{r) oz -]- L.mm ^—^-^ ex- oz . dx \ ^ / N^y = — ;— i.mm ^^—>-^ oy- oz -\- dy + ( Imm /(/') oz -f- -mm ■'— ^^ oy^ oz dz \ f N^z = Y^- ( ^-nunf(r) oz i ^2mm' ^ oz^' \ -f- — 31 - , í/« „ , f'{r) , , , , ¿/y ^, //(/')-- 9 , A ^ m m 'jZox-A 1 m m -¿--^^- o zoy- -f- + l,tnm'f{r) oz . Los valores de 7V.vx, Nxy, Nxz, ^yx que hemos obte- nido, expresan, según dijimos, las componentes del esfuerzo que sobre el punto A de la placa ó plano ejerce toda la región útil del lado de las x positivas cuando dicha placa coincide con el plano de las y z (hg. 38); ó del lado de las y positivas cuando la placa coincide con el plano de las xz (figu- ra 39); ó del lado de las z positivas si suponemos que la placa ó plano ideal se confunde con el plano de las xy (figu- ra 40); conforme habíamos indicado en la figura 36. Emplea- mos la palabra útil, porque para cada punto A (fig. 41 ) que supo- nemos aplicable á estos tres casos, sólo hay que contar con los pun- tos materiales contenidos en la es- fera a c b trazada desde A como centro con el radio s. Consideremos ahora sobre la normal al plano, en A, otro punto cualquiera A'. El esfuerzo que sobre él ejerce la región /?, se calculará exactamente del mismo modo que para el punto A, y las expresiones resultantes serán de la misma forma que las que dan las fórmulas (1) (2) (3). Pero con esta diferenciabas S no tendrán la misma extensión que cuando hacíamos el cálculo para el punto A. En este último caso, calculábamos P, Q, R, y luego ÜP, 2]Q, -R, considerando los puntos mateiiales comprendidos en la semiesfera acb. Figura 41. - 32 - Para el punto A' deberemos trazar otra esfera de radio s como la anterior, desde el punto A' como centro, y la parte útil de la región R no será ya la semiesfera, sino el segmen- to a' c' ¿7' contenido en dicha región /?. Por eso decimos que se aplican las fórmulas (1) (2) (3); pero que los límites de las 2 son los del expresado seg- mento y no los de la semiesfera. Ahora bien, como el segmento tiene los mismos planos de simetría que la esfera, las simplificaciones serán las mis- mas, y, por lo tanto, si hacemos el cálculo del esfuerzo sobre A', cuando la placa coincide con los tres planos coordena- dos, obtendremos para las componentes N las mismas expre- siones, ó, mejor dicho, expresiones de la misma forma que las Nxx, NxyyNxz , sólo que ahora las v tendrán por lími- te el segmento a' b' c. Calculando para todas las moléculas A, A', A" hasta la distancia e, que están sobre la normal en A, todos estos valores de N, tendrán , como acabamos de decir, siempre la misma forma, pero los límites serán la semiesfera a c b para el punto A; el segmento a' b' c para el punto A'; el a" b" c", para A", y así sucesivamente, hasta que la esfera de radio e sea tangente al plano ab. Lo que hemos dicho de las moléculas colocadas en la normal al plano del punto A, pudiéramos repetir para todas las demás normales que comprende la placa ab. Todos los esfurzos parciales vienen expresados del mis- mo modo; y como para toda la extensión de la regiones R y R' inmediatas á la placa ab, las componentes de los esfuer- zos parciales tienen la misma forma que las Nya obtenidas, es decir, dependen de las derivadas parciales de primer orden de ¿/, v y w, con relación á x, y, z; además, como pue- den suponerse con errores infinitamente pequeños de orden superior, que dichas derivadas son constantes, al hacer la suma para todos los puntos podremos sacarlas como facto- res comunes. - 33 - Por lo tanto, y para no acumular las notaciones, supon- dremos que las nueve componentes N representan las del esfuerzo resultante sobre toda la placa. El segundo miem- bro contendrá á las derivadas de primer orden de u, v, w. Los coeficientes serán la suma de una serie de ^ para cada normal, teniendo cada IS por límite el segmento correspon- diente. Y, por último, como el cuerpo es isótropo y el es- fuerzo sobre las moléculas de cada normal será próxima- mente el mismo, multiplicaremos todos los coeficientes por k; y si queremos que las N representen el esfuerzo por unidad de superficie, dividiremos por w, designando por esta letra la superficie de la placa. Así, pues, las componentes del esfuerzo sobre unidad de superficie de la placa, cuando ésta coincide con el plano de las yz, serán: N..= 'XX = f-^ h mm'f{r)Zx + Imm' ^'-^ 8x=0 + + - — - ^mm ■' ^ ' Sx'ív^ -f. 2/72/72 ■' ^ ' ^xoz- -f- dy r ^ ' dz r -Y^lmm T {ry.A -^, k_ O) Vdy r j^^ Umm'tiryjx-^'^Zmm' í-^^ynx\ dx \ ^ J N^z = 2/77/72 ■' ^ ' ^jZ'oX + I dz f + ^-^ (zmm'f{r)ox+Zmm' Í1¿1 Bz^íx^l— . dx \ f /J w Y haremos dos advertencias como resumen de lo que pre- cede: I."* Que las N ya. no representan componentes parcia- Rkv. Acad. Ciencias.— VI.— Julio, Agosto y Septiembre, 1907. 3 - 34 ~ les del esfuerzo sobre un punto de la región /?, ni tampoco la resultante de dichos esfuerzos sobre todos los puntos de cada normal, sino las componentes del esfuerzo total por unidad de superficie de la placa. Por eso entra el factor k que es el número de normales, y el divisor (o que es la su- perficie de la placa. 2.'^ Que cada - representa una serie de 1; así 2:-2a6c + 2.Vc' + 2;VV' + (fig. 41), en que hemos puesto por subíndice la semiesfera ó el seg- mento que corresponde á cada 1!. Del mismo modo escribiremos las componentes del es- fuerzo total de la región R sobre la /?', tomando de ambas regiones las partes inmediatas á la placa en el espesor z, cuando dicha placa coincida con el plano de las xz, en esta forma: y dx ^ I + -^- [^mm'firy.y^^Zmm' ^ '^'^^)1~' Nyy= \-^^{^-mm-f{ry>y + v,„,„' LÍA 7^y\ _|_ dz f H ^mm ^^— ^ oyox- -y "^mm ¡{r^z — , J ^ dx r ' /(O >.o: ^y^ = -T- ^'"'" "^r- '^^-'^y + L dz , dw /., ,/•/ \- I ' f O') 's o- M ^ -f — — /lm/;z/(/-)o); + y;m/77 ^^y^ ^^ '^^^ ] — y repetiremos aquí las advertencias anteriores. - 35 — Por último, las componentes del esfuerzo por unidad de superficie sobre la placa, cuando ésta coincide con el plano de las xy, serán: \ dx r OJ Idy r + -^ Íi:mm'f{r)oz + ^mm -¿-^ oy^^jz^ N,, = [~^ hlmm'firy.z + ^-mm' J^ ?,zA H -rnm —^^-ozox- 4- dx r \ dv ^ f'{r) . . , , ^, '// X- " ^ dy f y en cuanto á estas tres últimas fórmulas, podremos repetir todo lo dicho para las anteriores respecto á la significación k de las N, del factor ^ y de las 12. (O * * Como algunos de éstos coeficientes son ¡guales, los va- mos á representar por una letra, á fin de simplificar la es- critura. Para comparar dos lil y ver si son iguales, no tendremos más que comparar las - parciales correspondientes al mismo segmento, porque todas contienen el mismo número de tér- -sé- minos, tantos como moléculas hay en una normal, y lo que de dos ^ digamos, diremos de todas las restantes compara- das dos á dos. Los términos que vamos á escribir son iguales y los repre- sentaremos por la misma letra: f (r) y ¡jifji' ¿J^L c¡x-' teniendo - por límite la esfera bBb r f'(r) (figura 38 bis), ó un segmento cualquiera; X mm -^^-'-^í;^'^ teniendo X por límite la esfera bBb (fig. 39 bis), ó el seg- f'ir) mentó análogo al anterior; y ^ mm' ^ oz'\ siendo el lí- mite de 1, la esfera bBb (fig. 40 bis), ó el segmento que corresponde á los anteriores, son evidentemente iguales, por ser el sistema isótropo y tener por límites segmentos iguales; así: tíi r oi r ti> r Los dos coeficientes ^///w' í^^ ^xoy\ Y.mm í^ ^jx^jZ'^ de Nxx son iguales, porque en la figura 38 bis todo es simé- trico alrededor del eje de las x. Por la misma razón son iguales ^mm' — —-oy^jz^ y):fnm' LSIjL ^jylx- en Nyy, según se ve en la figura 39 bis, en que todo es igual alrededor de y. Además son iguales á los anteriores: la única diferencia de las figuras 38 bis y 39 bis es que la y reemplaza á la x. Por último, son iguales — 37 — r r ^ por idénticas razones. De modo que tendremos — 2/72/72 -^ ^ ^ ox'jv- = — ^mm - — -ox^z- = w r 10 r = 1/72/72 OVOZ^ — 1/72/72 ^ ^ o yo^- = 10 r (¡i r = — 1/72/72 ^^>-^02'0X- = l/n/72 — -'^^ OZÓ V- = ¿?. 10 r oj r De ios dos coeficientes ^^mm' ^yHx de N^y; de los dos 1/72772' -¿-^ ^x2^y de TV^^; de ''Imm' ¿~^ hz'^hx de f (r) Nxz, y de ^mm' ' ox^áz: de TV^v. nada tenemos que decir, porque están comprendidos en los anteriores y los hemos representado por h. Otro tanto repetiremos respecto á los coeficientes de Zmm' ■' ^ ' oz'^^y y ^ mm' ^' Zy-^záeNy^y N^yVQS- pectivamente: también están comprendidos en las ecuaciones anteriores y también los representaremos por b. Las nueve ecuaciones que dan los valores de N podrán escribirse por lo tanto de este modo: ^xx = -^ [^ ^mm'f(r)^x + al + + — — b-\- —-b -t—^mmf{r)ox, dy dz ^ N,,= ^ b + ^(b + A ^_r„m'f(ryox\ - 38 - ^7■ dU . . dw / , . k .. /// NN \ ^yy=-^ (— lnim'f(r)oy -[-a\ + dy \ ^' J + -— b + — - ft + 77 -/"^ /(O'^}', í/2 dx ^ (4) TV,, =-— ¿?+ -— ¿; + — 1/72/77 /(/-)o);. dz dy \ '-'^ ) bV^-(b + -!^^mm'f{r)oz\ dz \ ^-J / N - — í/x ay í/z \ ^-* / iV.z = ^- (4 1//2/7Z '/(/•) ^^^ -I a\ + dx dy '-'* En los valores anteriores de N hemos dejado explícitas en sus varios términos las tres expresiones siguientes: 1/77/72 7(r) o X, 1 /72 /72 ' f(r) oy, ^min /( r) ^j z, porque vamos á ver inmediatamente que pueden suprimirse. La simplificación que vamos á introducir se enlaza íntima- mente con una cuestión que hemos tratado ya en otra con- ferencia, y á la cual tendremos que volver el curso próximo - 39 — y quizá antes, á saber; el estado en que se encuentra el sis- tema al aplicarle las fuerzas exteriores, que han de producir la deformación elástica, ó en general el movimiento elástico de los diferentes puntos. Dijimos que sobre esto no había unidad en los autores. Unos parten de lo que llaman el estado natural del cuerpo ó del sistema, y admiten, que en el estado natural no actúan fuerzas exteriores, que el cuerpo está abandonado á sí mis- mo, y que los esfuerzos interiores, es decir, las compresio- nes ó las extensiones, que acabamos de representar por N, son nulos. Esto merece discutirse; mas por ahora, lo admiti- remos como punto de partida, en esta primera hipótesis: la del estado natural. Mr. Poincaré parte de un caso más general á que hemos dado el nombre de estado inicial, que en rigor, es un estado de equilibrio, de equilibrio forzado, dicen algunos autores; de equilibrio natural, pudiera decirse también, porque tal es el estado de los cuerpos en la Naturaleza, al paso que la primera hipótesis, es puramente ideal En los cuerpos de la Naturaleza, y en los sistemas elásti- cos, actúan, por lo menos, la presión atmosférica y la gra- vedad, de modo que su equilibrio será un equilibrio forzado, por pequeñas que sean las deformaciones. Además, Mr. Poincaré, para admitir esta hipótesis, con preferencia á la del estado natural en que todas las N son nulas, tiene otras razones aún de más importancia, aunque por el momento no podemos exponerlas. Admitamos por el pronto el estado natural de la primera hipótesis, es decir que las N sow nulas. En este caso, si consideramos el sistema antes de que sobre él actúen las fuerzas X, Y, Z P, al anularse éstas se nularán todas las deformaciones, de modo que tendremos para todos los puntos del cuerpo w = O, V = O, w = 0, — 40 - y serán nulas todas las derivadas de estas tres funciones, con lo cual, quedarán reducidos los valores de N á los siguientes: ■^mm'f(ryjx, -iVxx CO N,y -0, A^xz = 0, A^n- u, Nyy k 0) Ny, = 0, Nzx = 0, N,y-- -0, N k Zmtn'f{rpjy, zz (O ^mm'f{r)^z; luego las tres expresiones indicadas, se reducen á cero en este caso; toda vez que en las hipótesis del estado natural las TV son cero. De aquí se deduce, que los valores de N en el caso gene- ral, se simplifican, porque debemos hacer en ellos, I.mm'f{ryjx = O, ^lmm'f{ryy = O, ^mm'f{ryz = 0. Tendremos, pues, para los valores de N, introduciendo esta simplificación, el cuadro siguiente: -, du , , / dv , dw \ ., ,/ dii . dv dx \ dy dz / \ dy dx -, , / du , dw \ \T uí dv . du\ .. dv . , í dw . du - 41 - f dw , du\ ., . f dw . dv ,, dw . ,( du . dv\ Estas son las fórmulas generales á que llegan todos los autores, sea cual fuere el procedimiento que sigan para deter- minar las componentes de los esfuerzos interiores (compre- siones, tensiones ó fuerzas de deslizamiento) por unidad de superficie, en el caso de que se parta del estado natural, para el cual las Nson todas nulas. Por consiguiente, los que hemos determinado son esfuer- zos totales. Además, recordemos que se refieren á tres posiciones de la placa ideal, paralelas á los tres planos coordenados, según marcan las figuras 38, 39 y 40. Que en el caso del estado natural ha de tenerse S mm'firyjx = 0; I mm'f{r)oy = 0; 2 mm'f{r)f>z = O, es evidente. En primer lugar, estas tres expresiones, aun no siendo cero, serían iguales, porque el sistema es isótropo; y no se hace, para pasar de una á otra, más que cambiar el nombre del eje, llamar y en la segunda ó 2: en la tercera á lo que en la primera es x. Basta, pues, que nos fijemos en una de las tres; tomemos la primera. Recordemos que/(r) es la función de Saint-Venant /^ (r) dividida por r. Así Ix -mni' f{r)6x = -mm f^{r) r ' — 42 - que representa la suma de las acciones de cada dos molécu- las m, m' de un lado y otro de la placa ideal, multiplicadas por los cosenos de su dirección con la normal á la placa, que es lo que representa - — como ya hemos visto anterior- mente. Luego la expresión de que se trata, es la componente nor- mal á la placa de los esfuerzos moleculares en el estado ini- cial, que por hipótesis es igual á cero. Las otras dos componentes vemos que son iguales á cero, como deben ser, porque en el sistema isótropo, y sin defor- maciones, aunque existieran esfuerzos interiores serían nor- males á la dirección que se considerase, en razón á que todo es simétrico alrededor de cada normal. * * Pasemos ahora á la segunda hipótesis, á la de Mr. Poin- caré. En este caso, las tres expresiones consideradas no son nulas, porque en el estado inicial existen fuerzas X,-, 7/, Zi Pi que determinan deformaciones. Y por eso los valores de N se componen de dos partes; la una, que contiene las derivadas de ii, v, w, y representan los esfuerzos correspondientes á IdS nuevas fuerzas X,Y,Z P; las otras, que son los tres términos que antes despreciá- bamos y que ahora no podemos despreciar. Pero si convenimos en que las N representen las nuevas presiones ó tensiones creadas por las nuevas fuerzas, pres- cindiendo de las que ya existían, en este caso no hay incon- veniente ninguno en prescindir de los tres términos en cuestión. Pero entiéndase bien, y lo repetiremos una vez más, que las N en este caso no repres jntarán esfuerzos totales. - 43 - Todavía conviene hacer otra simplificación en esta segun- da hipótesis del estado inicial, no del estado natural. Y es la siguiente: Que los términos en que entran las de- rivadas de //, V y IV, multiplicadas por las tres expresiones -mm'f{r) o x pueden despreciarse. Porque esta última cantidad representa un esfuerzo del estado inicial, y si lo referimos á otro estado anterior en que las N sean cero, y que tomemos como origen, las expre- siones ^mm'f{r)lx, ^mm'f{ryjy, Zmm'f{ryjz, se determinarán en función de las derivadas de las deforma- ciones que corresponden á este estado inicial, en cuyo caso todos los términos que estamos considerando, podrán des- preciarse. Por ejemplo: en N^x, el término — . — -mm'f{r)^x, dx ^ puesto que -mm'f{ryjx = A siendo z/^ la defor- dx mación correspondiente al estado inicial, se convertirá en . k du diL A . '- + ^' dx dx que es de segundo orden, puesto que hemos convenido que las derivadas de las deformaciones son infinitamente peque- ñas de primero. Estas simplificaciones reducen las fórmulas (4) á las (4'). Pero conviene repetir, para fijar bien las ideas, algunas observaciones que ya apuntamos antes. I."* Si se parte del estado natural y se suponen nulas las Ampara dicho estado, las N de las fórmulas f4') significan esfuerzos totales de comprensión, extensión ó deslizamiento — 44 - en el interior del cuerpo por unidad de superficie y sobre planos paralelos á los tres planos coordenados. Si no se parte del estado natural, sino de un estado inicial en que ya existían fuerzas exteriores, siquiera no sean más que la de la gravedad y la presión atmosférica, en este caso, las componentes N de esfuerzos internos, no son totales, sino las que se refieren á las nuevas fuerzas X, Y, Z P; son el aumento ó variación de los esfuerzos interiores, sobre los que ya existían, debidos estos aumentos á las nuevas fuerzas y á las nuevas deformaciones. 2:' Otra observación más y ésta es muy importante: si se parte del estado natural, y el cuerpo es isótropo, todas las simplificaciones que hemos hecho para obtener la fór- mula (4') son legítimas; pero si se parte del estado inicial en que existían deformaciones causadas por X„ 7„ Z, P„ en este caso, para obtener las fórmulas (4') hay que agre- gar una hipótesis más, á saber: que las deformaciones ini- ciales no han cambiado de una manera apreciable la estruc- tura del cuerpo, y que éste continúa siendo isótropo. Lo cual, hasta cierto punto, puede considerarse como una con- secuencia aproximada de la superposición de efectos. De todas maneras, de aquí en adelante, sólo considerare- mos para los cuerpos isótropos las fórmulas (4') que son las clásicas. En ellas vamos á hacer un cambio de notación y á trans- formar algunas. En primer lugar vamos á substituir la notación Nxx, Nyy, N,„ por esta otra, N„ N,, N.,. De modo que Nxx, = N,, Nyy = N,, N,, = N,: N, , representará, pues, la componente paralela al eje de - 45 - las X, cuando el plano para el cual se quieren calcular los esfuerzos es perpendicular al eje x. Del mismo modo N^ representará la componente del es- fuerzo paralelo al eje de la Y, cuando el plano ó placa ideal de que hablábamos sea paralelo k xz. Y, por último, N- será la componente normal al plano xy. Además, la forma de los segundos miembros puede sim- plificarse, porque tendremos evidentemente .. , / du . dv . dw\ . . ,. du dx dy dz } dx . , , ( dü , dv ^ d\v \ . . u\ dv dx dy dz ] dv . , . ( du , dv . dw\ . , ,. dw V dx dy dz ) dz y llamando c á la constante a — ¿7, y recordando que du , dv , dw o dx dy dz resultará por último: N^ = b^-^c—; TV.. = fte + c — dx dy dw N.^b'i^rc dz En cuanto á los demás términos de las fórmulas (4') se ve desde luego que A^x;; = Ny:, ; A^.,^ = N ,^ j Ny, = N,y ; de modo, que estas seis componentes se reducen á tres, que representaremos por T, poniendo un solo subíndice, que - 46 será 1, cuando los subíndices son y, z, toda vez que la inver- sión de los dos subíndices no altera el valor de A^. Será 2, cuando los subíndices sean x, z. Por último, será 3, cuando sean los subíndices x, y. De suerte, que tendremos N^y = Ny,= T,; N,, = N,,= T,; N,y = Ny,= T,', con lo cual, las nueve fórmulas de los esfuerzos interiores sobre planos paralelos á los coordenados, se reducen á las siguientes de forma sencillísima: AT ue, i du „ , / dv dw \ ;V, = M + c4^; r, = í,íf- + 4í!^) (1) dy \ dz dx J dz \ dy dx ) que son las fórmulas clásicas de todos los autores, aunque obtenidas por otros procedimientos, que explicaremos en el curso inmediato, Al explicar estas mismas fórmulas cuando empleemos el método de Lame y otros autores, veremos, que las fuerzas A^xy, Nyx, N.vz, Nzx, Nzy, Ny^, sou las fuerzas de desliza- miento y que dos á dos son iguales como hemos visto, y que son iguales y contrarias las perpendiculares á cada eje, como condición necesaria para que no haya giro alrededor de este eje. También veremos que se puede calcular la compresión ó tensión sobre un plano, sea cual fuere la dirección respecto á los planos coordenados; mas sobre esto no insistiremos, porque, por el momento, sólo tratamos de resolver la se- gunda parte del problema de la Elasticidad por el método de Cauchy; ó sea determinar las condiciones relativas á los límites. * * — 47 — Vemos que en las fórmulas de las componentes del esfuerzo interior, entran dos constantes, b, c: estas constan- tes pueden calcularse directamente; pero esto nos conduci- ría á cálculos largos y enojosos, aunque sencillos, y por esta causa vamos á emplear un método indirecto que, en cierto modo, será anticiparnos al método de Lame y de otros auto- res de su escuela, método que hemos de explicar en el curso próximo. El que seguiremos es el siguiente: Vamos á considerar en el interior del cuerpo, ó del siste- ma, un paralelepípedo trirrectángulo, cuyas caras sean para- lelas á los tres planos coordenados. Vamos á considerar asimismo los esfuerzos normales y tangenciales sobre sus seis caras, expresados por los Ny T, y vamos á escribir, por último, las ecuaciones de equilibrio, que vendrán en función de las derivadas parciales de u, v y w, con relación á x, y, z, y de las constantes h, c. Como este paralelepípedo puede ser tan pequeño como se quiera, las ecuaciones que obtengamos expresarán el equi- librio de un elemento cualquiera de la masa y deberán coin- cidir con las tres ecuaciones fundamentales que obtuvimos en la lección precedente, en las cuales entran las constantes > y p. Y comparando ambos grupos de ecuaciones, expre- saremos b y c en función de > y ¡j^. Esto dicho en general, que á continuación precisaremos más las mismas ideas. Consideremos en el interior del cuerpo ó del sistema un paralelepípedo trirrectángulo (fig. 41 bis), cuyas caras sean paralelas á los tres planos coordenados yz, xz, xy. Como ya indicamos antes, admitiremos que este paralele- pípedo es sumamente pequeño y designaremos sus aristas por ox, oy, oz, aunque estas magnitudes no sean precisa- mente las que hasta aquí hemos usado como representando las componentes de la distancia r, distancia entre dos mo- léculas inmediatas. - 48 - Al contrario, supondremos que el paralelepípedo contiene un gran número de puntos materiales ó masas. Si el sistema total está en equilibrio, una parte de él, gran- de ó pequeña, pequeña en este caso, deberá estar en equili- brio también. Figura 41 bis. Y tomaremos, como elemento del sistema, el paralelepípe- do indicado, proponiéndonos determinar sus ecuaciones de equilibrio, como si fuera un sólido invariable, siguiendo en esto un postulado general de la Mecánica. El paralelepípedo estará sometido á las siguientes fuerzas: 1.° Las fuerzas exteriores X, Y, Z , que actúan en todos los elementos del paralelepípedo y que supondremos referidas á la unidad de masa. Dada la pequenez del parale- lepípedo podemos admitir con errores infinitamente peque- ños de orden superior, que todas estas fuerzas tienen una resultante aplicada al centro del volumen, de suerte que representando por D la densidad en dicho centro, que será próximamente la misma para todos los puntos de dicho volumen, tendremos para las tres componentes de la fuerza resultante. — 49 — hxZy^jz.D.X; ^jx^y^jz. D. V; oxhyoz.D.Z. Es decir, volumen multiplicado por densidad, multiplicado por fuerza aplicada á la unidad de masa. 2." Las acciones que se ejercen sobre las seis caras del paralelepípedo y que ya sabemos calcular. Serán compresio- nes, tensiones ó fuerzas de deslizamiento y serán oblicuas en general respecto á las caras; estarán referidas á la unidad de superficie; y supondremos, que están aplicadas al centro de cada cara. Así, en la cara A'BOC la fuerza tendrá tres componen- tes, según se ve en la figura 41 bis, á saber: N^, T.,, T.¿, cada una con su signo propio. Comparando esta figura con las 38, 39 y 40, se obser- vará la conformidad en las notaciones, ya establecidas; por ejemplo: en esta cara, vemos evidentemente, que TV^ repre- senta á Nxx', T.> representa asimismo á Nxz, y N.¿ representa á Nxy, sólo que las tres fuerzas que en la figura 38 están aplicadas qüA, hemos supuesto en la figura 41 bis, que están aplicadas en el punto a. Podemos repetir lo mismo para la cara A O CB', en que las tres componentes de la acción sobre dicha cara, serán N2, Ti, Tg. Y pudiéramos repetir aquí todas las advertencias anteriores. Por último, en la cara A OBC actuará un esfuerzo oblicuo en general, cuyas componentes serán N^, T^, T^. Para las otras tres caras del paralelepípedo, correspon- dientes al ángulo triedro O' opuesto al O, puede repetirse lo mismo; con la diferencia que las Ty las N variarán al pasar de una cara á la paralela por razón de los incrementos Sx, (iy, oz que expresan los intervalos entre estas dos caras. Todas estas fuerzas, según el equilibrio de los cuerpos sólidos, hay que trasladarlas al centro del paralelepípedo y resultarán tres componentes paralelas á los ejes y tres pares cuyos ejes serán también paralelos á los ejes coordenados. Rev. Acad. Ciencias.— VI.— Julio, Agosto y Septiembre, 1907. 4 — 50 - Las fuerzas A^i, N.,, N.¿ no engendrarán ningún par, por- que pasan todas ellas por el centro del paralelepípedo. Las fuerzas T darán lugar á pares, pero estos pares se destruirán dos á dos. Por ejemplo: Las fuerzas T^, T.¿ aplicadas ena y b, darán los siguientes pares, si recordamos que estas fuerzas están referidas á la unidad de superficie. Tg aplicada á a para toda la superficie OBA'C será Tc^'^ylz cuyo brazo de palanca, con relación al centro, será — , luego el par tendrá por momento Del mismo modo, T.¡ aplicada en b dará la fuerza total 2 T^ox^jz y su brazo de palanca será — ^, luego el momento resultará igual al anterior, T^'hxoyoz No olvidemos que T. y 7o son iguales en valor y en signo; si la primera es positiva, como marca la figura, la segunda también lo es y tienden á hacer girar al cuerpo en sentido contrario. Y lo mismo podemos decir de las reacciones — T!j, — Tg sobre el paralelepípedo. Otro tanto se repite para T^y T^\ para T., y Tr, así como para las fuerzas de las otras tres caras del triedro O'. Y resulta que el sistema dentro de la aproximación aceptada, no tiende á girar. Calculemos ahora las tres componentes paralelas á los tres ejes, por ejemplo al eje de la x. Lo que de él digamos, podremos repetir para los otros. Sobre el centro del paralelepípedo actuarán la fuerza N, — 51 - por unidad de superficie aplicada al punto a, y la correspon- diente sobre la cara opuesta O' CAB', que será N^ + — — Bx. Pero hemos de considerar no A^^, sino la reacción — N^; es decir, no el esfuerzo de los puntos interiores del paralelepí- pedo que están á la derecha de dicha cara en la región que llamábamos R (fig. 36), sino por el contrario, la acción de los puntos que están á la izquierda sobre las masas que es- tán dentro del paralelepípedo inmediatas á la cara expresada, de suerte que en a actuará — A^i y sobre a' una fuerza por unidad de superficie igual á + Ni -f -— ^ ^x, dx Trasladando al centro del paralelepípedo — N^y quedará, N, + -—i- ^ X dx N, + N, + -^^ ox - + -^^ ox. d X dx Pero como N^ está referida á la unidad de superficie, á fin de obtener la fuerza total habrá que multiplicar la expresión precedente por o y . o z y tendremos: I dN^ , , , dx De todas las demás fuerzas, sólo tendremos que trasla- dar T.^ aplicada en c, y T¿ aplicada en b; mejor dicho, las reacciones, que son iguales de signo contrario. — 52 - Así, la aplicada en c, dará T^; y la de la cara opuesta, que es -\- T, H o z; d z y sumándolas y multiplicándolas por el área o x . o y, (■ dz ) dz Del mismo modo la aplicada en b es - T,, la aplicada en el centro á la cara opuesta ^ T.¿-\ o y dy y sumándolas y multiplicándolas por el área S x S z ( - n + n + .-^ '^y] - + -^ ^^^3^^^- dy ) dy Sumando ahora: XD^>xly^z, + -^^ ^x^^y^z, + -^^ Sx^y^z, í/x í/z • — áx^yoz, dy é igualando á cero, tendremos la primera ecuación de equi- librio del paralelepípedo; y dividiendo por í x, o y, o z, ó bien. dx dz dy dN, , dT, . dT, _f_ JLJLA. 4_ ^LUL. = _ XD. dx dz dy Substituyendo por Ni', T>, T.¿ sus valores (I) resulta . í/0 , d'u . .( dUi . Í/-IV \ , dx dx" \ dz- dxdz + K^+Íí7)-^^- <"' — 53 - Esta ecuación es la que debemos comparar con la primera de las tres fundamentales del equilibrio de un punto, á saber, ax Pero debemos hacer una observación: aunque ambas ecua- ciones representan el equilibrio del sistema en el interior del mismo, hay entre ellas una diferencia. La primera expresa el equilibrio de un paralelepípedo infi- nitamente pequeño. La segunda, el equilibrio de un punto de masa m. Si el sistema fuera continuo, no habria dificultad en com- parar directamente ambas ecuaciones; pero como la pri- mera de las dos que hemos indicado se refiere á un punto y parte de la discontinuidad, tenemos que suponer lo que ya hemos supuesto varias veces, es decir, que el sistema dis- continuo se divide en celdillas y que la masa de cada punto, se distribuye de una manera continua dentro de cada celdi- lla, y en este caso, la comparación ya es posible, compa- rando los elementos diferenciales á que se refieren una y otra fórmula. Partiendo de esta hipótesis, dividiendo la segunda por la densidad D, ya que toda ella se había dividido antes por e volumen, para que los segundos miembros sean iguales, y designando por b^ y c^ las nuevas constantes que serán — , c , tendremos que comparar las dos ecuaciones citadas. D desarrollando previamente la (II) en la que pondremos por 'i su valor: y nos dará, V dx^ dxdy dxdz / — 54 — \ dy~ dxdy J Desarrollando asimismo la primera de las tres fundamen- tales, tendremos, (X + ,.) C_ÍÍÜL + _üi^ + _fí!f_\ + V dx- dxdy dxdz ) ^\dx'^ dy' dz"- j é igualando los coeficientes de las mismas derivadas, puesto que suponemos que ambas ecuaciones han de ser idénticas, hallaremos: que se reducen á y dan /?, = p; bi = l; Ci — 2[^, ó D ''' D ^' D ^' Así, pues, las fórmulas (I) se convierten, repitiendo el mismo cálculo para las otras dos componentes, en - 55 - que coinciden con las fórmulas clásicas obtenidas por otros procedimientos, con estas diferencias: que las dos constan- tes X y pi se reducen á una sola, y que aparece D que gene- ralmente se considera comprendida X y ^. Sobre esta circunstancia algo indicaremos en la conferen- cia próxima. II.— Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray Conferencia, déclnna. Señores: Tratamos en esta conferencia de indicar la solución gene- ral de la segunda parte del problema de las deformaciones elásticas, cuando el sistema no se extiende indefinidamente en el espacio, sino que, por el contrario, está limitado en éste por una ó varias superficies. Y para fijar las ideas no trataremos, por el pronto, más que del problema del equilibrio. Obtuvimos en conferencias anteriores las tres ecuaciones fundamentales del equilibrio para un punto cualquiera del interior del sistema, que eran de esta forma: dx (x + íx)-f-+txAv+r = o}(>i) dy ' dz - 56 - en que 8 y A tienen esta significación o du , dv , dw . d'^ , d'^ , d'^ ^ = -V- + -7-+-T-; ^=-TT + -T-: + dx dy dz dx^ dy- dz^ Y obtuvimos asimismo, en la última conferencia, las seis componentes de los esfuerzos interiores (tensiones, compre- siones, deslizamientos) por unidad de superficie sobre tres planos que, pasando por un punto cualquiera, fuesen para- lelos á los tres planos coordenados. Pero fijemos bien las ideas. Por un punto cuyas coorde- nadas sean x, y, z hacemos pasar tres planos paralelos á los planos coordenados yz, xz, xy. En estos tres planos, y alrededor del punto O, consideramos tres pequeñas áreas, iguales ó desiguales, importa poco; por ejemplo, do), du/, dio". Determinamos el esfuerzo sobre el área í/w, y dividiendo dicho esfuerzo por esta última área, tendremos la compre- sión, la tensión ó fuerza de deslizamiento sobre la unidad de superficie, y sus componentes serán las que hemos de- signado por Ni, 7\>, T.^, en la figura 41 bis de la conferencia anterior. No estarán de más algunas aclaraciones. Si consideramos dos moléculas del sistema, una á la derecha del plano, OAB' C, otra á la izquierda, y queremos calcular la acción de la región de la derecha sobre la de la izquierda (figu- ra 41 bis); si suponemos que estas moléculas se atraen, y en la curva de Saint-Venant, el término que representa la atracción se considera como positivo, y el término que repre- senta la repulsión, como negativo; por último, si la recta que une estos dos puntos forma ángulos agudos con los tres ejes, es evidente que sus componentes serán cantidades esencialmente positivas y expresarán, como hemos dicho, el esfuerzo que ejerce la región de la derecha de la figura sobre la región de la izquierda, que será evidentemente una — 57 - tensión en general oblicua. Repitiendo esto mismo para cada dos puntos de ambas regiones, á igual conclusión llegaremos para N^ , T., , T^ . Si, por el contrario, queremos calcular la acción de la región de la izquierda sobre la derecha, que será igual y con- traria á la anterior, sus componentes serán —N^y — T.,, — T^, y representarán también una tensión oblicua. Tendremos, pues, para el equilibrio, dos tensiones obli- cuas iguales y contrarias. Otro tanto podemos decir para los otros dos planos. Por el contrario, volviendo al principio, si las dos mo- léculas se rechazan, habrá que repetir iguales consideracio- nes, pero los esfuerzos serán de compresión. Por las teorías generales del Álgebra y de la Trigonome- tría se sabe que estos resultados son generales respecto á los signos. Hemos obtenido para las N y T las siguientes fórmulas, en las que, para atenernos á las notaciones generalmente admitidas, en vez de representar la densidad por D la repre- sentaremos por p; resultará. Para facilitar la lectura de las obras sobre esta materia, de diferentes matemáticos, convendrán algunas aclaraciones. Todas las fórmulas escritas son correctas; pero en ciertos tratados se pone en evidencia la densidad en las tres (A), para lo cual basta multiplicar por p y se tiene: - 58 cix dy d'i Pero como entonces las seis últimas pueden escribirse de este modo: . , -v n I o ^« ^ í dv . dw\ yv, = >.?.o + 2,.? 4^; ■ r, = ¡.p (-^ + fl)' V az dz dx ., -. fi I o ^w^ -r ( du , dv\ az V "J' " ^ / claro es que podrá substituirse á Xo la letra X, y á [xp la letra \t., distintas evidentemente de las anteriores, y-obtene- mos las nueve fórmulas clásicas de la Elasticidad: dx dy (X+iJL)4^-f{.Au/ I pZ=0: dz .j . ,^ , ^ du ^ ( dv . dw\ dx \dz dy J iV, = /Jj-f 2jx — -; r, = [i ---f — -; í/x \ í/2: dx / W, = .f, + 2,-; r,, = , ^^-+— j. — 59 - Algunos autores suponen p = 1 en las tres primeras fór- mulas. * * Una observación todavía, y ésta es fundamental. Al calcular en la conferencia anterior los valores de Ty N, hemos obtenido la igualdad de los coeficientes X y [x; de modo que las fórmulas de la Elasticidad no dependerían de dos constantes, suponiendo siempre los cuerpos isótropos, sino de una sola constante, y en esto difieren las fórmulas de Cauchy de las fórmulas clásicas obtenidas por otros pro- cedimientos, que hemos de explicar en el curso próximo. No es ésta una limitación que impusiera Cauchy arbitra- riamente; es el resultado del método del ilustre autor y del cálculo que desarrolla con dicho método, así como de las sim- plificaciones que admite y aplica. De todas maneras, esto constituye una divergencia entre unos y otros métodos, que no podíamos menos de tener en cuenta y que debíamos señalar á nuestros oyentes. Todavía, sobre este punto, insistiremos en otra ocasión. Y vamos ya al objeto principal de esta conferencia. * * * Hemos dicho, que para los sistemas limitados en el espa- cio, el problema no estaba resuelto más que en su primera mitad, al obtener las tres ecuaciones fundamentales del equi- librio de un punto del interior del sistema. Falta obtener las ecuaciones de equilibrio para cualquier punto de la superficie. Y á este fin, como problema auxiliar, hemos determinado los esfuerzos interiores para cualquier punto y para tres direcciones particulares sobre tres planos, que pasen por dicho punto paralelamente á los planos coordenados. Veamos qué partido se saca de este problema de los esfuer- - 60 — zos interiores y de las componentes jVy T para el equilibrio de cualquier punto de la superficie. La aplicación es natural y es sencilla, y se funda en un nuevo concepto de gran importancia. El del tetraedro elemental de Elasticidad, que, según algu- nos autores, es debido á Cauchy. Si aplicásemos á los puntos de la superficie el método de Cauchy, que hemos aplicado á los puntos del interior, para cada uno de los primeros puntos, tendríamos que establecer tres ecuaciones. Pero ya hemos indicado en otras conferencias las dificul- tades de este método cuando se trata de reducir todas las ecuaciones simultáneas relativas á la zona de espesor t inme- diata á la superficie límite, á tres ecuaciones diferenciales parciales. Así es que, para determinar las condiciones de la super- ficie, en rigor vamos á abandonar el método de Cauchy, acu- diendo al método, que constantemente han seguido los demás autores para resolver este problema. La diferencia entre unos y otros métodos en el problema general de la Elasticidad, puede condensarse brevemente de este modo. Cauchy establece las condiciones de equilibrio de un punto. Los demás métodos establecen las condiciones de equilibrio de un PARALELEPÍPEDO infinitamente pequeño, pero que con- tendrá un gran número de puntos materiales, aun en el caso de la discontinuidad. Esto en cuanto al interior del cuerpo. Para la superficie, se establecen las ecuaciones de equilibrio de un tetraedro sumamente pequeño, que es el procedimiento que vamos á seguir en la presente conferencia. Sea (fíg. 42) un sistema elástico limitado por la superficie S, á la cual corresponderá otra superficie S , paralela á ella á la distancia e. Consideremos un punto p de la superficie S, punto cuyas coordenadas sean x, y, z. - 61 - En este punto p admitamos, para fijar las ideas, que actúa sobre la superficie una fuerza P, referida á la unidad super- ficial, y nos proponemos establecer las ecuaciones de equili- brio de dicho punto p. O con más exactitud; vamos á escribir las condiciones de equilibrio de una región infinitamente pequeña, de la cual forme parte este punto y que supondremos que es un tetrae- dro sumamente pequeño. Porque, volvemos á repetirlo, el carácter distintivo de es- tos métodos y el que les diferencia del método de Cauchy, Figura 42, es que en ellos se establecen las condiciones de equilibrio, no de un punto, que en este caso sería p, sino de un sólido sumamente pequeño y que vamos á suponer que es un tetrae- dro, sobre la superficie del cual estará p. Por eso en el curso próximo, al aplicar al problema de la Elasticidad el método de Lame y otros autores, diremos: Para el interior del cuerpo hay que establecer las ecuacio- nes de equilibrio de un paralelepípedo elemental. - 62 - Para la superficie límite hay que establecer las ecuaciones de equilibrio de un tetraedro elemental también. * Vamos á construir dicho tetraedro. En el interior del cuerpo tomemos un punto A, muy pró- ximo á p (fig. 42.) Por el punto A tracemos tres rectas: AB, AC, AD, para- lelas á los tres ejes ox, oy, oz. Dichas rectas cortarán á la superhcie 5 en los puntos B, C, D, y los tres planos B A D, B A C, C AD cortarán asimismo á la superficie según tres curvas B D, D C, C B. De este modo se formará el tetraedro A B C D, q\\ que la cara B C D, que coincidirá con la superficie S, es decir, que estará en ella, será una cara curva; pero como suponemos que el tetraedro es muy pequeño, podemos admitir que los arcos B C, C D, D B, son líneas rectas, y en este caso todas las caras del tetraedro serán planas. El tetraedro tendrá su vértice A en el interior del cuerpo y se apoyará en la superficie S, por la cara próximamente plana B C D. Precisamente sobre esta cara suponemos que está el pun- to p, para el cual queremos establecer las ecuaciones de equilibrio, que serán las del tetraedro ; porque estando en equilibrio éste, está en equilibrio el punto /; y todos los pun- tos de la superficie comprendidos en el triángulo B C D. Pero el tetraedro ha de cumplir con otra condición, que en general no especifican los autores, y que es absolutamente necesaria, porque sin ella cae la" demostración por su base. Para llegar el volumen del tetraedro á la superficie S, tiene que pasar forzosamente por la superficie S' y por la zona comprendida entre estas dos superficies. Hemos representado las intersecciones de las tres caras - 63 - rectangulares del tetraedro con esta superficie S\ por las líneas be, cd, db, de suerte que la zona de espesor t está representada en el tetraedro por sus dos límites 5 C D en la superficie 5 y bcd en la superficie S'. El resto del tetraedro, es decir, el tetraedro Abcd estará en el interior del cuerpo. Y la condición á que nos referimos es ésta: es preciso que el tetraedro sea mucho mayor que la parte de zona com- prendida entre las dos caras BCD, bcd. Y el objeto se comprende; es el de poder despreciar dicha zona y poder calcular el tetraedro como estando todo él en el interior del cuerpo y apoyado directamente sobre la superficie S, anulando con el pensamiento la zona de espe- sor £ que es en la que, por decirlo así, están todas las difi- cultades. Veamos ahora cómo se establece el equilibrio de este tetraedro elemental. El tetraedro estará sometido: En la cara exterior 5 CD á la fuerza P por unidad de superficie, y á la fuerza total P. área BCD; advirtiendo que esta fuerza, en general, no será normal á la superficie. Formará con los ejes coordenados ángulos cuyos cosenos, que representaremos por /, m, n, y que dependerán del punto p, serán funciones de x, y, z. Sobre la cara ABC actuará una fuerza que ya hemos cal- culado y cuyas componentes dijimos que eran (fig. 41 bis) -N,,-T„-T,, referidas á la unidad de superficie; por consiguiente habrá que multiplicarlas por el área del triángulo ABC, — 64 - Tendremos, pues, sobre la cara ABC —N.¿ área ABC; — T, área ABC; — n área ABC. Del mismo modo actuará sobre la cara ABD una fuerza cuyas componentes serán: — N, área ABD; — T^ krediABD; — T.,áreaABD. Y por fin, la fuerza que actúa sobre la cara A CD tendrá por componentes — N, área ACD; —T, área ACD; —T, área ACD. Además, sobre la masa del tetraedro actuará una fuerza, cuyas tres componentes serán: X . volumen A B CD, Y . volumen A B CD, Z . volumen ABCD. El tetraedro sometido á todas estas fuerzas debe estar en equilibrio, y entonces estarán en equilibrio también todos los puntos, tales como/?, de la superficie, comprendidos en el triángulo BCD. * * * Y ahora comprenderán mis oyentes y mis lectores por qué para resolver la segunda parte del problema de la Elastici- dad, es decir, el equilibrio de la superficie límite, abrimos un paréntesis y dedicamos toda una conferencia al estudio de las tensiones, compresiones y deslizamientos del interior del cuerpo. Las estudiábamos en un punto cualquiera del interior, — 65 - pero era, no para determinar el equilibrio de estos puntos interiores, que éste ya lo teníamos resuelto, sino para apli- car los valores de N y de 7 al tetraedro de la superficie, cuya casi totalidad Aab c está en el interior del sistema y al cual son aplicables los valores de N y T que hemos calculado. Y ahora comprenderán también, por qué hemos estable- cido la condición de que la parte de zona de espesor e com- prendida en el interior del tetraedro sea muy pequeña y pueda despreciarse en comparación del volumen total del tetraedro. No siendo así, el método no sería legítimo. Por ejemplo, si en la cara A B D la. zona B Db d es muy pequeña en comparación con A b d, podremos aplicar, los valores N y T calculados para el interior del cuerpo, á toda el área A b d, que casi se confunde con A B D. Pero si así no fuese, no podríamos aplicar las Ny T calcu- ladas para el interior del cuerpo á la corona ó porción de corona BbDd, porque pertenece á la zona t, y para ello las Ny Tson distintas de las calculadas para el interior del sis- tema elástico. Por eso en este método hay una hipótesis implícita, y es la de prescindir de la zona de espesor e, como si no existie- se, y como si todo el tetraedro estuviera en el interior del cuerpo. Mas para esta hipótesis hay que tener en cuenta que e no es una cantidad infinitamente pequeña: muy pequeña, sí; pero con un valor finito, que indicábamos en otra conferencia. Hechas estas observaciones, calculemos las ecuaciones de equilibrio del tetraedro en cuestión. Considerando al tetraedro como un cuerpo sólido, sabe- mos que sus ecuaciones de equilibrio son seis. Tres de ellas expresan que las tres componentes de todas las fuerzas trasladadas á un punto paralelamente á sí mismas, componentes tomadas con relación á los tres ejes, son nulas. Rev. Agad. Ciencias. — VI. — Julio, Agosto y Septiembre, 1907. 5 — 66 — Y las otras tres expresan la condición de que los tres pares del sistema han de ser nulos también. Pero de los tres pares expresados podemos prescindir en este caso, porque las fuerzas son del orden de pequenez de las caras, es decir, de segundo orden, y los brazos de palan- ca de los pares son de primer orden; luego el par será de tercer orden. En comparación con las cantidades del segun- do orden, podemos suponer que son nulos. ■ Pasemos, pues, al equilibrio paralelamente á los ejes. Y empecemos por el eje de las X. Lff figuras 41 bis de la conferencia IX, que reproducimos aquí, nos hace ver que hay tres fuerzas paralelas al eje de C.i c. Figura 41 bis. las X, á saber: — N„ — T,, aplicada á c, — T^, aplicada á b, referidas todas ellas á la unidad de superficie: todas las demás son perpendiculares á este eje. La — Ni corresponde al área A CD (fig. 42): representando esta área por u^y 1^ componente paralela al eje de las X que actúa sobre dicha cara, será — Ni U)x- (^'x) - 67 - La fuerza — To aplicada á c corresponde á la cara ABC del tetraedro y está contenida en ella, porque es fuerza de resbalamiento: representando por w^. el área del triángulo ABC, la componente que debemos tener en cuenta será Por último, la componente — T.. corresponde á la cara del tetraedro ABD y, por lo tanto, nos dará el valor llamando co„ al área de dicha cara y '\ ■■\^ — T-i^r {"^^ Ya dijimos que el esfuerzo sobre la base B CD del tetrae- dro era P área BCD, y llamando Ü al área BCD, tendremos para la componente paralela al eje x, PQ.cos{P,x). (Ü) Estas cuatro son las componentes paralelamente al eje de las X de las fuerzas que actúan sobre las cuatro caras del tetraedro elemental. Sólo nos queda por considerar la componente de la fuerza exterior F, que aplicada al centro de dicho tetraedro. Pero como la fuerza F está referida á la unidad de volumen, su producto por dicho volumen, que es una cantidad muy pe- queña de tercer orden, será de tercer orden también: en com- paración con las demás fuerzas que son de segundo. orden por ser proporcionales á las áreas, puede despreciarse. Sumando, pues, los valores (^x), i^'^y), i^z), (-^) y recordando que eos {P, x) = I tendremos para la primera ecuación del equilibrio, ó sea para la componente paralela al — 68 — eje de las x de todas las fuerzas que actúan sobre el tetrae- dro elemental, — N^uix — T2M2 — T.¿túy -{- PQl = 0; de donde, ^ Q Q Q Ahora bien : w^^ es la proyección sobre e\ y z del área BCD; luego la relación de ambas áreas — - será el coseno del ángulo que formen sus normales, es decir, la normal á la superficie BCD, con el eje de las x, que la designaremos por a. Asimismo — - será el coseno del ángulo que forma con el (1) eje de las y la normal á la superficie 5 en un punto cual- quiera del triángulo BCD, que suponemos infinitamente pequeño. Lo designaremos por ,1 Por último, la relación — — será el coseno del ángulo de la misma normal con el eje de las z, que lo llamaremos y. Y la ecuación se convertirá en Pl=N,y.+ Trf+T,^. Por consideraciones enteramente semejantes obtendremos las otras dos ecuaciones correspondientes á los otros dos ejes. En fin, tendremos para el equilibrio del tetraedro estas tres ecuaciones: Pl = N,a.-]-T,fii-T,y, Pm=T,'x-^NS-\- T,y, Pn^TA+T,¡-i-i-N,y. — 69 Se pueden deducir prácticamente las dos últimas de la primera, aplicando las tres substituciones circulares, I m n m n I a. P r T a 1 2 3 2 3 1 en que la última se refiere á los subíndices. * No olvidemos la significación de cada una de las letras contenidas en estas fórmulas. P es la fuerza exterior por unidad de superficie en el punto cuyo equilibrio establecen las fórmulas precedentes; será, en general, una función de x, y, z. I, m, n son los cosenos de los ángulos que forman la fuerza P con los ejes; son también funciones de x, y, z. Las AT y las T son las componentes de las compresiones, tensiones y fuerzas de deslizamiento en la región del interior, próxima al punto de la superficie que consideramos, y refi- riéndose á planos paralelos á los coordenados, como son las tres caras interiores del tetraedro elemental. Sus valores son los que ya hemos obtenido, y que, para más claridad, los reproducimos aquí. N, U -f 2'^ du dx dv dy ■ r, ^ r. dW /,0-f.2p. — , dz „ / dw , dv \ _ / du . dw T^2 = \>-\ ^— + 7; = — 70 - Por último, o(, ,'i, y son los cosenos de los ángulos que forman, con los tres ejes coordenados, la normal á la super- ficie en el punto cuyo equilibrio estamos determinando. Es evidente, por lo demás, que cuando en las tres ecua- ciones que expresan el equilibrio de dicho punto, substitu- yamos los valores de las TV y las T, se convertirán en tres ecuaciones en derivadas parciales de primer orden de ii, v, y w con relación á x, y, z; lineales con respecto á dichas deriva- das, pero en que los coeficientes sean funciones de x, y, z. Hemos resuelto, pues, la segunda parte del problema de la Elasticidad para el caso del equilibrio y para los cuerpos isótropos. Para el caso general, la marcha sería la misma. Consideremos ahora el problema en su conjunto. * * * Dos grupos de ecuaciones resuelven el problema del equi- librio elástico de los cuerpos isótropos. El primer grupo es el siguiente: dx i dh f (). + ¡^)-^ +¡;.Ay + pK = 0, (1) dy d'i dz Estas tres ecuaciones expresan el equilibrio de un punto cualquiera del interior del sistema. Son ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden, lineales y de coeficientes constantes, exceptuando los últimos términos, que podrán ser funciones de x, y, z. — 71 - Será preciso integrarlas buscando valores úq u, v, w, en función de x, y, z, que las satisfagan y que tengan al mismo tiempo la generalidad suficiente para satisfacer á las tres ecuaciones restantes, es decir, á las que expresan el equili- brio de los puntos de la superficie límite, y que son las que obtuvimos hace un momento, poniendo en vez de Ny 7 sus valores. Resultan, pues, estas ecuaciones: P/ = (\0 + 2,^).4-,(. '^+^Y3 + dx dy Pm = + \^\ ( dv , du du dw \ ~dz ~dx l'^ (2) dx dy / dw , dv Pn = ( du d\v\ dw 'dz] dy + dz dy +-^Ui (2) + (xO + 2.^), que son ecuaciones en derivadas parciales de u, v, w, con relación d. x, y, z, de primer orden; pero los coeficientes P, a, P» y, h fn, n, son funciones de x, y, z, si bien para los puntos de la superficie están enlazadas estas tres varia- bles por la ecuación de la misma, que representaremos poT S{x,y,z) = 0. El problema, por lo tanto, del equilibrio, abarcándolo en toda su generalidad, consistirá en buscar valores para u, v, w, en función de x, y, z, que satisfagan á las ecuaciones (1) y (2), problema de análisis, pero inmensamente difícil. - 72 — Por eso dice M. Poincaré en su tratado de Elasticidad: < Mais l'intégration genérale de ees équations présente »des difficultés insurmontables, ou peut seiilment traiter »quelques cas particuliéremente simples.» También podemos decir, y es otra manera de expresar la misma idea, que el problema del equilibrio consiste en inte- grar las ecuaciones (1) obteniendo estas ecuaciones con fun- ciones arbitrarias tales, que al aplicar á las ecuaciones (2) los valores de u, v, w, las tres ecuaciones resultantes deter- minen sin ambigüedad las funciones arbitrarias que conte- nían las integrales generales del sistema (1). * * * De todas maneras, y recordando lo que ya varias veces hemos dicho, repetiremos, que este problema del equilibrio elástico, como casi todos los problemas de la Física mate- mática, se descompone en tres partes. I.""* Idear las hipótesis, que es lo fundamental, lo más difícil, lo que supone genio, ó gran acierto, ó intuición su- prema en el que intente resolver esta clase de cuestiones reduciéndolas á cuestiones de Mecánica. Esta parte consti- tuye lo esencial en la Física matemática clásica. 2.^ Establecer las ecuaciones aplicando los principios de la Mecánica general. Y aquí puede decirse que termina la Física matemática. 3.' Resolver, ó por mejor decir, integrar las ecuaciones anteriores, y éste ya es un problema de puro análisis. De inmensa dificultad casi siempre; pero ya no es un problema de Física matemática, sino de cálculo. Y esto sucede en el caso presente. Problema que se des- compone en dos partes. No s(31o hallar la integral, sino ha- llar una integral con la generalidad suficiente para que pueda satisfacer á todas las condiciones del problema. - 73 — La integración de las ecuaciones en diferenciales parcia- les es inmensamente difícil, y aun es difícilísimo determinar a priorí el grado de generalidad de las soluciones. Porque, fíjense bien mis oyentes y mis lectores: 1." Es preciso que las integrales tengan suficiente gene- ralidad para satisfacer á los sistemas (l)y (2). Si así no fuese, toda la teoría caería por su base; el problema físico no podría resolverse ó interpretarse con arreglo á las hipó- tesis establecidas. No podría, en suma, reducirse á un pro- blema de Mecánica. 2° Pero si las integrales tuvieran exceso de generalidad, es decir, si después de satisfacer á todas las condiciones del problema aun contuviesen funciones ó constantes arbitrarias, la solución no sería perfecta y dejaría dudas en el ánimo. Porque supongamos que el problema físico, según la ex- experiencia, y hasta según el sentido común, fuera determi- nado y no admitiese más que una solución única. Pues si las integrales generales nos dieran muchas soluciones, entre la realidad física y el cálculo resultaría una discordancia evi- dente. La realidad física, diciendo: no hay más que una solu- ción. El cálculo, demostrando que hay muchas. Por eso los matemáticos se afanan en buscar armonía entre el cálculo y la Física, y en determinar para cada problema la solución única posible, que es el único modo de que el cálcu- lo pueda ser símbolo perfecto de la realidad y sus leyes. No tenemos la presunción de resolver este problema; pero tenemos el deber de hacer que se comprenda cuál es su carácter y cuáles son sus condiciones, y por esta razón agre- garemos á las observaciones anteriores algunas más. * * * Resolver las ecuaciones diferenciales y viniendo al caso presente las de segundo orden en diferenciales parciales - 74 — como son las (1), es problema de suma dificultad, como hemos dicho varias veces. Existe un teorema que lleva el sello de su inmortal autor, el matemático Cauchy, y que puede verse, no sólo en las memorias y notas originales de este autor, sino en la obra de Mr, Goursat, sobre ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. También se encuentra en la obra de cálculo de Mr. Jordán y en la gran obra de cálculo diferencial é integral de Laurent. Por este teorema, y con ciertas restricciones, se obtiene en una región holomorfa, las integrales alrededor de cada pun- to, desarrolladas por la serie de Taylor, y se determinan las condiciones de convergencia de dichas series, así como las condiciones que podemos llamar iniciales. Pero este teorema, que es fundamental y uno de los más generales que existen en el análisis moderno, no agota la cuestión, porque no comprende las integrales, que no pudie- ran desarrollarse por la serie de Taylor. Más aún; dan lugar á dificultades ó paradojas, porque según el método que se siga, se obtienen un número distinto de funciones arbitrarias. Véase, por ejemplo, Cournot, Lau- rent, Poisson. * * * Todavía al tratar esta cuestión hay otro procedimiento: partir de una ecuación en términos finitos y ver qué número de funciones arbitrarias pueden eliminarse al pasar á las ecuaciones diferenciales de segundo orden; porque ocurre que, partiendo de éstas, en la integral general deben apare- cer estas funciones arbitrarias y que de ellas podremos dis- poner para satisfacer á las demás condiciones del problema, que en este caso que estamos considerando serán las de los límites. Pero tampoco este método, por su gran generalidad é indeterminación, satisface de una manera completa. - 75 — Sin embargo, para que mis oyentes comprendan estas ideas, que ya conozco que son muy vagas, vamos á concre- tarlas un tanto más, sin que esto sea, vuelvo á repetirlo, pretender llegar á la solución de un problema hasta el pre- sente inaccesible, como no sea, según dice Mr. Poincaré, en el texto antes citado, para casos particulares y particular- mente sencillos. Sean tres ecuaciones en términos finitos, entre tres fun- ciones u, V, w, tres variables independientes Xf-y, z, y tres funciones arbitrarias a, ,3, y, de dos de las variables, x, y, por ejemplo. ' : Tendremos, pues, F^[u,v,w,x,y,z, ^{x,y), ,3 {x, y), y(x,y)] = O, F^[u,v,w,x,y,z, o.{x,y), ? (x,;;), Y(x,y)] = O, Fg [u, V, w, X, y, z, a (x, y), ^i (x, y), y {x,y)] = O, en las que las formas de F^, F2, F.. son perfectamente cono- cidas, pero son arbitrarias las tres funciones «, p, y. Según los métodos que se enseñan en cálculo diferencial, vamos á ver si es posible deducir tres ecuaciones, en dife- renciales parciales de segundo orden de 11, v, w, con relación á X, y, z, en las que hayan desaparecido las tres funciones arbitrarias a, p, y. En cuyo caso, las tres ecuaciones dife- renciales tendrán por lo menos tanta generalidad como las propuestas, y comprenderán todas las que se deducen de estas últimas para todas las formas arbitrarias de «, p, y. Este problema ha sido explicado con toda claridad, y con más generalidad aún, por Mr. Jordán en su tratado de cálculo, y en todas las obras de esta ciencia se estudia: desde los comienzos del cálculo diferencial é integral, se presentó, como es natural, á la consideración de los matemáticos. Detengámonos en este punto, que es importantísimo. Las ecuaciones fundamentales son tres : F^ == O, F2 = O, F, = 0. — 76 — Si las diferenciamos una vez con relación áx, después con relación á. y, y por último con relación á z, tendremos otras tres por cada ecuación Fi = O, Fo = O, Fg = O y resultarán nueve. Su forma será ésta: por ejemplo, diferenciando Fi=0 por relación áx: d,F , dFi du , í/Fi dv . dF, dw . j_ , . _| 1 ^ dx du dx dv dx dw dx' ,dF\_d^ dF^d^.dF^ _dj_^Q dcL dx í/|3 dx dy ' dx que en forma abreviada escribiremos ( \ = 0. ^ \dx ) En esta expresión entran: , o , j • j du dv dw , , , 1.° Las derivadas —, , que podran quedar y dx dx dx quedarán en general en las ecuaciones diferenciales. 2.° Las derivadas — ^, — ^, -^ que dependen de la dx dx dx forma de ct, ¡^, y que deben ser eliminadas, para que las ecuaciones diferenciales no contengan las funciones que queremos eliminar si son derivadas, 3." Los coeficientes -, que serán dx du da de forma conocida, pues lo es F^, y contendrán las mismas cantidades que F, , á saber x, y, z, u, v, w, a, ,3, y. Otro tanto diremos de las demás diferenciaciones con rela- ción á y, z de F^, Fg, Fg. Si volvemos á diferenciar ( j cada una con rela- ción á X, y, z, tendremos una serie de derivadas segundas cuyo número será diez y ocho. Dichos resultados están expresados simbólicamente en este cuadro. KCyAdONES F, = 0 F, = 0 R = 0 — 77 PRIMERA DERIVADA ©-■(fh^a- o- o,(Éfi]^o,í'^Uo dx dy \dy "•(i)- DERIVADA SEGUNDA d'FA^O.im^O, dz'- 0, \dydz) ' d'F^ \ dxdzi O, / \dxdy) Lo mismo para F, Lo mismo para F.y 18 Número de ecuaciones = 30. Resultará un total de 30 ecuaciones para eliminar «, p, y y sus derivadas. Veamos si, en efecto, entre estas 30 ecuaciones podemos eliminar dichas funciones. La función a nos dará una derivada con relación á x, y otra con relación á y en la primera derivación. En la segunda, tres derivadas: una, dos veces con relación á x; otra, también dos veces, con relación á y, y otra tercera con relación á x, y. da. da d^cL Tendremos, pues, que eliminar a, d^a d^oL dx ' dy ' d^cL ' que son seis funciones. dy^ ' dxdy Asimismo ¡5 nos dará otras seis funciones. Y \, otras seis. Que en conjunto son 18 expresiones, que pretendemos eliminar. Como las ecuaciones eran 30, nos quedarán 30-18=12 — 78 — ecuaciones en que habrán desaparecido por completo las tres funciones a, ,3, y y sus derivadas. Podremos tomar arbitra- riamente 3 de estas ecuaciones diferenciales. Estas tres ecuaciones finales contendrán :^ du dv dvi u,v,w,x,y,z, dx ' dx ' dx ' d^u í/-v d'-w dx' ' dx-' dx' ' I Es decir, las funciones, las variables independientes y las derivadas de primero y segundo orden de //, v, w con rela- ción á x, y, z: y nada más. Nada de a, ,3, y. Y comprendiendo esto, parece natural que, cuando se pre- senten tres ecuaciones diferenciales de esta clase, busquemos integrales, que contengan por lo menos las tres funciones arbitrarias de x, y que son las que hemos llamado a, p, y. Decimos por lo menos, porque aun hubiéramos podido agregar otras funciones arbitrarias á las ecuaciones Fy = O, E, = 0, F¿^ 0. Por ejemplo, además de a (x, y), p (x, y), y {x, y), otras tres a^ (x), ^, (y), yi (z). Estas nos hubieran dado nueve funciones más que eli- minar: . ñ ^ dy^ dh_ _dj^_ ^!Zi ^j^ d^lL- dx dy dz dx' dy- dz~ pero como sobraban Í2 ecuaciones, eliminando las nueve anteriores, quedarían 3. Asi, dadas tres ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden, ocurre que acaso podremos determinar //, i', w ' con 6 funciones arbitrarias : a (x, >'), ¡íJ (x, ;;), y (x, ;;),«, (x), P, (y)> y. (^). — 79 — Y ésta no es más que una de tantas combinaciones como pudieran Iiacerse. ' Las indicaciones que preceden son de carácter general, porque pudiera suceder que, para formas especiales de F^, F.yy F¿, asalte la duda de si podrán eliminarse mayor número de funciones arbitrarias. O si, por el contrario, habrá también casos en que ni aun éstas puedan eliminarse. Por el pronto, ni afirmamos ni negamos; decimos que todo esto exige un estudio más detenido y demostraciones más terminantes. Las ciencias matemáticas sólo pueden proceder por evi- dencia, ó al menos tal debe ser su aspiración. Supongamos, pues, volviendo á nuestro objeto, que se encontrasen las integrales de u, v, iv, con las tres 'funciones arbitrarias a, ¡5, y, y que sean, n = o^^\x,y,z,o. (x, y\ [i (x, y\ ^{x,y)\. V = f 2 [^, y, z, a {y^, y), P (^, y), y (^. y) ]- w = ?3 [x> y> z,a{x, y), p (x, y), 'i{x,y) J. Hemos supuesto que estas tres expresiones de «, v, y iv, satisfacen al grupo (1), con virtiéndolo en tres identidades. Pero como entran tres funciones arbitrarias a, [i, y, hay la esperanza de que también satisfagan al grupo (2), ó sea al equilibrio de los puntos de la superficie. Para ello substituiremos en el grupo (2) estos valores de u,v,w, así como sus derivadas. Además, como se trata de puntos que están sobre la superficie S ó sumamente próxi- mos, podemos suponer que es legítimo poner en vez de ¿"su valor deducido de la ecuación de la superficie 'i S{x,y,z) = 0, • ' -^ — 80 — con lo cual las tres ecuaciones del grupo (2) se convertirán en ecuaciones de la forma siguiente: Yil •^'/>"' i dx' dy' dx' dy' dx' dy h = o, Í^3=0, siendo la constitución de f, = O, -i;^ = O análoga á la de la primera. En cuanto á la substitución de z, deducida de la ecuación 5 = 0 podríamos hacer aquí las salvedades que hicimos en la conferencia anterior al deducir las ecuaciones del grupo (2). De todas maneras, hemos obtenido tres ecuaciones en derivadas parciales de primer orden, que podrán servirnos para determinar las tres funciones desconocidas a, ¡íl, y. Y aun estas tres funciones presentarán cierta latitud que podrá servirnos para satisfacer alguna otra condición. Todo lo que hemos dicho sólo debemos considerarlo como una orietTtación para resolver el problema; pero siempre quedan para un estudio más detenido las dudas que presen- tábamos al principio. Es forzoso que la solución sea posible, y que la solución sea única; y sobre esto algo diremos en los cursos próxi- mos al dar cuenta de los trabajos de M. Cossera y otros matemáticos. * * * Hasta aquí el problema del equilibrio. Respecto al pro- blema del movimiento, aunque es mucho más difícil que el primero, podíamos, sin embargo, seguir la marcha que en éste seguimos. — 81 - También el problema comprende dos grupos de ecua- ciones. Uno, que es el grupo (1), agregando las fuerzas de inercia. Otro, que es el grupo (2), en que han de substituirse las u, V, w, determinadas por la integración del grupo ( 1 ) y que dependerán, no de tres variables como antes, sino de cuatro variables, x, y, z, t. Habría que discutir si son valederas para este caso las ecuaciones del grupo (2), que al fin y al cabo no expresan más que el equilibrio, y en este problema del movimiento que estamos estudiando tendrían que expresar una especie de equilibrio móvil, puesto que u, v y w contienen t. Abona esta interpretación el hecho de que, si en vez de establecer el equilibrio, se establecieran las ecuaciones del movimiento para puntos de la superficie, las fuerzas de iner- cia contendrían, como las X, Y, Z, que hemos despreciado, el factor ^x, oy, uz que contenían éstas últimas. De todas maneras, tendremos para la superficie tres ecua- ciones de condición, y sería indispensable, como en el caso del equilibrio, que al integrar las ecuaciones del nuevo grupo (1), en los valores de ii,v y iv, entrasen funciones arbitrarias, por ejemplo, a(x, y, t), ¡íi(x, y, t), y(x, y, t), capaces de satisfacer al grupo (2). Pero aquí el problema se complica, porque no se trata tan sólo de satisfacer á las condiciones de las superficies -límite, sino que es preciso que para el instante inicial, es decir, para /=0, dichos valores út ii, v y w expresen las defor- maciones iniciales, que son un dato, y las velocidades inicia- les, que son otro dato también. Ocurre que para esto acaso sería preciso que u, v y w contuvieran nuevas funciones arbitrarias que á primera vista, dijérase que deben ser nueve. Mas en esta hipótesis provi- sional sería imposible la eliminación de las nueve funciones arbitrarias. Rkv. Acad. Ciencias. — VI. — Julio, Agosto y Septiembre, 1907. 6 — 82 — Sin embargo, no es imposible que bastase con seis, y aun con tres, porque tres de ellas se determinan por medio de ecuaciones en diferenciales parciales, y contienen, por lo tanto, funciones arbitrarias que podrían suplir á las que hu- biéramos suprimido. Todas estas son reflexiones generales y muy vagas, que, sin embargo, no nos sería difícil precisar; pero la índole y el carácter elemental de estas conferencias no lo consienten. Lo que puede haber de vago en cuanto acabamos de ex- poner, lo iremos precisando en una serie de ejemplos, que empezaremos á explicar en la conferencia próxima y que completarán estas nociones generales sobre la teoría de la Elasticidad, según el método de Cauchy. III. — Análisis de las aguas mineromedicinales de Carráclaca (Lorca). Por Gabriel de la Puerta Situación de la fuente. Esta fuente, llamada de Carráclaca, se halla en una finca denominada San Julián el Viejo, propiedad de la Señora Doña Antonia Musso y Moreno Rocafull, término municipal de Lorca, provincia de Murcia, á la distancia de cuatro kiló- metros de Lorca y próxima á la carretera que une á esta ciudad con la de Murcia. El agua brota en una roca caliza ferruginosa, con des- prendimiento de gas carbónico, y aunque es incolora y trans- parente al salir, se enturbia al poco tiempo, tomando color — 83 - amarillorojizo y formándose copos del mismo color, de hi- drato férrico, resultantes de la descomposición del bicarbo- nato de hierro que contiene el agua en bastante cantidad. Después de algún tiempo de embotellada el agua, se forma un depósito de dicho hidrato férrico, quedando el líquido claro y transparente. El terreno donde nacen estas aguas corresponde á los se- cundarios, formación triásica y jurásica, que constituyen la cordillera de que forma parte. «El paisaje (dice el Dr. Jimeno en su Memoria) que se desarrolla ante la vista desde esta eminencia, es suprema- mente bello y delicioso. Toda la fértil y hermosa vega lor- quina, limitada por lejano semicírculo de cordilleras en ex- tensión de muchas leguas, queda á los pies del espectador, constituyendo el más admirable cosmorama bañado por la luz del sol saliente y meridiano.» La altura sobre el nivel del mar, donde se halla la fuente, es de 370 metros próximamente. Análisis de la roca donde nace el agua. Es una roca caliza, poco compacta y en partes concrecio- nada, compuesta de carbonato de calcio, óxido férrico y si- licato de aluminio, hallándose cubierta de una capa ocrácea de hidrato férrico, procedente de la descomposición del bi- carbonato de hierro que contiene el agua y que se ha depo- sitado con el tiempo. Propiedades físicas del agua. Es incolora y transparente al salir del manantial, pero al poco tiempo, como se ha dicho antes, se forman unos copos de color amarillorojizo de hidrato férrico, que se depositan formando sedimento. No tiene olor, y el sabor es acídulo, parecido al agua de - 84 — Seltz y, además, salado, debido el primero á la gran canti- dad de ácido carbónico que contiene el agua, y el segundo al cloruro de sodio que también contiene. El sabor ferruginoso apenas se nota en el agua embotellada, porque se deposita el hidrato férrico, y en el agua queda en disolución muy corta cantidad de sal de hierro. Al echar el agua en un vaso se desprenden abundantes burbujitas de gas carbónico, aumentando por la agitación. Temperatura en el manantial.- 20"" centígrados, según el Dr. D. Joaquín Jimeno, Inspector y Subdelegado de Medici- na de Lorca, autor de una notable Memoria acerca de estas aguas. Densidad í/e/o^wa.— Determinada por la balanza de West- phal y por el picnómetro, á la temperatura de 20", resultó 1,006 con la primera y 1,007 con el segundo, siendo el tér- mino medio 1,0065. Aforo. Practicado por el Dr. Jimeno, resultan 15 litros por mi- nuto, ó sean 900 por hora, y en las veinticuatro horas 21.600 litros. Además escurre mucha agua por la superficie de la roca, que no es posible aforar hasta que se haga el captado y las obras necesarias. ANÁLISIS CUALITATIVO Reacciones preliminares. El agua embotellada dio directamente, sin evaporar, las reacciones siguientes: Tintura de flor de malva y papel de tornasol azul. ~ Lige- ra reacción acida, que desaparece en el papel de tornasol por su exposición al aire. — 85 — Fenolfaleina. — Con algunas gotas no toma color el agua; pero si ésta se deja al aire por algún tiempo ó se ha hervi- do, da un ligero color de rosa. Agua de cal. — Precipitado blanco, que se disuelve aña- diendo más agua mineral (ácido carbónico). Acido clorhídrico. — Mucha efervescencia (carbonates). Ferricianuro potásico. — Nada. Ferrocianuro potásico. — Después de añadir algunas gotas de ácido clorhídrico, coloración azul. Sulfocianuro potásico. — En la misma forma que el ante- rior, coloración roja. Sulfuro íí/7zd/z/co. —Neutralizada el agua con ácido clorhí- drico, añadiendo luego amoníaco en exceso y el sulfuro, da color verdoso obscuro, y al día siguiente, poco precipitado negro de sulfuro de hierro. Estas tres últimas reacciones demuestran la existencia del hierro en el agua, aun después de formado el sedimento y separada del mismo; pero es menester añadir algunas gotas de ácido clorhídrico para que aparezcan dichas coloraciones; lo que me hace creer que en el agua queda, después de des- componerse el bicarbonato ferroso, cierta cantidad de hidra- to férrico en estado coloide, ó de carbonato férrico ácido, como se dirá más adelante. Cloruro de bario. — Después de añadir ácido nítrico, preci- pitado blanco (sulfatos). Nitrato de plata. — Después de añadir ácido nítrico, preci- pitado blanco abundante (cloruros). Oxalato amónico más cloruro í7/7?ó/z/co.— Precipitado blan- co abundante (calcio). Fosfato sódico amónico.— ^E\ líquido filtrado de la reacción anterior da poco precipitado blanco (magnesio). Molibdato amónico. ^NsLái\ en frío, ni en caliente. loduro potásico, engrudo de almidón y algunas gotas de ácido sulfúrico diluido. — Coloración azulada obscura (ni- tritos). — 86 - Reactivo de Nessler. — Nada. Coloración de la llama.— AmaúWo (sodio), rojizo (calcio). Evaporación del agua. Un litro de agua mineral se evaporó con el sedimento, hasta reducirle á más de la mitad de su volumen. Al calen- tar el agua se desprenden burbujas de gas y se enturbia, de- positándose carbonato de calcio, además del hidrato férrico. Al día siguiente se filtró el líquido frío, recogiendo el pre- cipitado ó depósito formado, para estudiarle separadamente del líquido filtrado. Estudio del líquido filtrado. Dio las reacciones siguientes: Tintura de flor de malva y papel rojo de tornasol. — Nada. Fenoltaleina. — Ligerísima coloración roja. Ácido clorhídrico. — No produce efervescencia. Sulfato de magnesio. — No precipita en frío, ni en ca- liente. Estas reacciones demuestran que no existe carbonato de sodio. Cloruro de ¿jor/o. — Abundante precipitado blanco, insolu- ble en ácido clorhídrico (sulfates). Nitrato de plata.— Abimáanie precipitado blanco, insolu- ble en ácido nítrico (cloruros). Oxalato amónico más cloruro amónico.— Poco precipita- do blanco (calcio). Fosfato sódico amónico. — E\ líquido de la reacción ante- rior, filtrado sólo, da opalinidad (magnesio). Molibdato amónico en solución nítrica.— Nada, aun calen- tando (ausencia de fosfatos). Ferrocianuro potásico.— Nada.. Sulfocianuro potásico. — Nada. Sulfuro amónico. — Nada. - 87 — Estas tres reacciones demuestran la falta de hierro en el agua evaporada y filtrada. Brucina y ácido sulfúrico puro. — Coloración roja. loduro potásico , almidón y algunas gotas de ácido sulfú- rico diluido.— Coloración azul (nitritos). Estas dos reacciones demuestran la existencia de nitritos, y aunque la primera pudiera ser de nitratos, no existen és- tos en el agua, como luego se dirá. Coloración de la //a/Tza.— Amarilla (sodio). Se investigó el potasio, y como después se dirá, existe en corta cantidad. Estudio del precipitado. El precipitado resultante de hervir el agua mineral es abun- dante, de color rojizo. En ácido clorhídrico diluido se disuel- ve con gran efervescencia (carbonatos), dejando muy poco residuo insoluble (silice). La disolución clorhídrica de dicho precipitado dio las reac- ciones siguientes: Ferrocianuro potásico.— D'úuiáo en agua destilada, colo- ración azul intensa. Sulfocianuro potásico. — Diluido en agua, coloración roja intensa. Sulfuro amónico. — Después de neutralizar el líquido con amoníaco, color verdoso obscuro, y después de algún tiem- po, copos negros que se depositan en el fondo. Estas tres reacciones demuestran la existencia del hierro en bastante cantidad. Amoniaco.— Después de poco tiempo se forman copitos rojizos gelatinosos (hierro, aluminio). Oxalato amónico. — Neutralizado el líquido con amoníaco, y añadiendo cloruro amónico, precipitado blanco abundante (calcio). Fosfato sódico amónico.— El líquido de la reacción ante- 88 — rior, filtrado después de algún tiempo para separar el calcio, no dio precipitado (ausencia de magnesio). Cloruro de bario. — Poco precipitado blanco (sulfatos). Molibdato í//7Zí;/2/co.— Calentando, nada. Además se investigaron los fosfatos en gran cantidad de agua mineral acidulada con ácido nítrico y evaporada hasta pequeño volumen, y lo más que se encontró fué indicios. Coloración deja llama. — Rojizoamarillenta (calcio y sodio). Calentando con potasa en una lámina de platino, dio ligerí- sima coloración verdosa (indicios de manganeso). También se investigó el manganeso, calentando el sedi- mento del agua mineral, disuelto en ácido nítrico en exceso y bióxido de plomo, y no dio señales de contener dicho metal. De las reacciones expuestas resulta que el precipitado formado por la evaporación del agua mineral se halla com- puesto de carbonato de calcio, hidrato férrico, alúmina, poco sulfato de calcio, sílice é indicios de fosfatos y de man- ganeso. Otras reacciones. Como se ha demostrado anteriormente que en esta agua se encuentran nitritos de manera evidente, se procedió á la investigación del amoníaco, en la suposición de que se ha- llaran en el agua en estado de nitrito amónico. Se destilaron 200 centímetros cúbicos de agua mineral con óxido magnésico, recogiendo 40 centímetros cúbicos de lí- quido destilado, el cual, tratado con el reactivo de Nessler, no dio coloración; solamente un ligerísimo viso amarillento, que corresponde á lo más á 0,0001 gramos por litro de agua, como en las mejores aguas potables. También se vio que no contenía amoníaco albuminoide. El ion nitroso, hallado por las reacciones anteriores, debe encontrarse en estado de nitrito alcalino ó más bien alcalino- térreo. - 89 - También se ha investigado en gran cantidad de agua mi- neral evaporada el bromo, iodo, flúor (1) y el arsénico, y no se encontró cantidad apreciable de ninguno de estos cuer- pos, ni en el líquido claro ni en el depósito del agua. La materia orgánica se encuentra en mínima cantidad, como se dirá después en el análisis cuantitativo. Examen espectroscópico. Las observaciones se han hecho, con el gran modelo del espectroscopio de prismas múltiples, en los líquidos si- guientes: 1 .° Agua mineral evaporada y filtrada para separar el de- pósito. Aparecen bien marcadas las rayas características del litio, potasio y sodio. 2" Depósito del agua evaporada, disuelto en ácido clor- hídrico. Aparecen las rayas del calcio, sodio y litio. 3.° Líquido resultante de separar por completo el calcio, y magnesio. Aparecen las rayas del litio, potasio y sodio. Además se han examinado otros líquidos, que se dirán más adelante, y que demuestran, como las observaciones que se acaban de exponer, la existencia en el agua del litio y potasio, además del calcio y sodio. Examen microscópico. Con el microscopio de Leitz, aumento de 600 diámetros, se ha examinado el poso sacado con una pipeta esterilizada, y se ven masitas de color amarillorojizo, que son hidrato férrico precipitado, y cristalitos romboédricos de carbonato de calcio; pero no se ven algas microscópicas. Con mayor aumento se perciben en las gotas de líquido claro algunos micrococos y diplococos, en tan escaso nu- il) El Dr. D. José Casares investigó el flúor con el aparato ideadp por él, y tampoco le encontró. -go- mero, que es menester, para distinguirlos, cambiar el campo, moviendo varias veces la platina giratoria del microscopio. Esto se halla conforme con la mínima cantidad de materia orgánica que acusa el agua analizada y el corto número de colonias microbianas que resultan por el cultivo, como des- pués se dirá. ANÁLISIS CUANTITATIVO (') Determinación de los gases. En un matraz de 70 centímetros cúbicos de capacidad se puso agua mineral, adaptando un tubo de conducción lleno de agua destilada, que comunicaba con la cuba hidrargiro- neumática, colocando en el puente una campana estrecha de cristal, graduada y llena de mercurio. Se aplicó calor al ma- traz hasta hervir el agua y cesar el desprendimiento de ga- ses. Después de frío el aparato, é introduciendo la campana en el mercurio hasta que el nivel de éste en el exterior fué igual que en el interior de la campana, resultaron 42 centí- metros cúbicos de gas á la temperatura de 20° y presión de 710 milímetros. Seguidamente, introduciendo en la campana un cilindro de potasa cáustica, y agitando, se vio que casi todo el gas fué absorbido, quedando menos de medio centímetro cúbico de aire sin absorber. Resulta que casi todo el gas despren- dido por la ebullición del agua mineral es anhídrido carbó- nico CO'. Siendo 70 centímetros cúbicos el volumen del agua her- vida, corresponden para un litro 600 centímetros cúbicos de gas carbónico. Hecha la corrección de presión, temperatura (I) En las pesadas y otros trabajos analíticos me ha auxiliado el Dr. D. Luis Pérez de Albeniz, Profesor auxiliar de la Cátedra de Quí- mica Inorgánica. - 91 - y humedad, quedan reducidos los 600 centímetros cúbicos á 509. ,. 600(0,710-0,0174) _.„ . ,. V = ^^^ = 509 cent. cub. 0,760(1 -j 0,00367x20) Los 509 centímetros cúbicos de CO- pesan 1,0063 gramos. Residuo fijo á 120". 100 centímetros cúbicos de agua mineral se evaporaron en cápsula de platino en baño de aire, calentando el residuo á la temperatura de 120° hasta obtener dos pesadas conse- cutivas iguales, y resultó 0,872 gramos de residuo fijo, y para un litro de agua mineral 8,720 gramos. Calentando al rojo incipiente dicho residuo, no se observó ennegrecimiento de la masa, lo que prueba que no contiene materia orgánica, ó si la hay es en mínima cantidad, como se dirá después. Disuelto el residuo en ácido clorhídrico, y añadiendo agua destilada, queda una pequeña parte insoluble de sílice. ta cantidad de residuo fijo es menor que el total de sales que se expone más adelante, porque en la evaporación del agua mineral se elimina anhídrido carbónico del ácido libre y de los bicarbonatos. Ion sulfúrico SO*. 100 centímetros cúbicos de agua mineral, acidulada con ácido clorhídrico, se trataron con cloruro de bario hasta que las últimas gotas no produjeron precipitado, agitando con una varilla de cristal y dejándolo después en reposo hasta el día siguiente. El precipitado se recogió en un filtro de análisis y se lavó bien con agua destilada, hasta que el agua de loción no dejó residuo por evaporación de algunas - 92 — gotas calentadas en la lámina de platino. El filtro con el pre- cipitado se desecó á 100°, y, separado dicho precipitado, se incineró el filtro, y juntas las cenizas de éste con el precipita- do de sulfato de bario, se calentó fuertemente en una capsu- lita de platino. El sulfato de bario obtenido, descontando las cenizas del filtro, pesó 0,41289 gramos, donde hay 0,17011 del ion sulfúrico S0\ y para un litro de agua mineral 1,701 1 gramos. Ion cloro Cl. 20 centímetros cúbicos de agua mineral acidulada con áci- do nítrico se trató con nitrato de plata, y el precipitado de cloruro argéntico formado se recogió al día siguiente en un filtro, se lavó bien con agua destilada y después de seco se separó del filtro, calentándole en un crisólito de porcelana hasta fundirle juntamente con las cenizas del filtro obtenidas aparte. Resultó 0,24727 gramos de cloruro de plata, descon- tadas las cenizas del filtro, en donde hay 0,061 1 del ion cloro y en un litro de agua mineral 3,0552 gramos. También se ha determinado el cloro por medio de la so- lución valorada de nitrato de plata, poniendo en el agua al- gunas gotas de solución de cromato de potasio, y resultó 3,05 gramos de cloro por litro de agua mineral. lón carbónico CO^. En una botella, con 460 centímetros cúbicos de agua mi- neral, se puso el reactivo cloruro de calcio y amoníaco, ta- pando en seguida con caucho y agitando. A los dos días se recogió sobre un filtro el precipitado formado de carbonato de calcio, y después de seco se determinó la cantidad to- tal de anhídrido carbónico en el aparatito de F. Morii. Re- sultó 0,651 gramos de CO-, que corresponden á 0,8877 gra- mos del ion carbónico COK Como la botella contenía 460 — 93 — centímetros cúbicos de agua mineral, resultan para un litro de agua 1,9295 gramos. Ion hidrógeno H. Habiendo en el agua mineral ácido carbónico libre CO^H^ y los bicarbonatos de calcio, de hierro y de litio, existe el ion hidrógeno, cuya cantidad se ha determinado deducién- dola de dichos compuestos en la forma siguiente: Gramos. Del ácido carbónico libre CO^H^ 0,02698 — bicarbonato de calcio {CO^fCaH- 0,01654 — bicarbonato ferroso {CO^y- FeW~ 0,00177 — bicarbonato de litio CO^LiH 0,00037 0,04566 Ion silícico SiO^. 475 centímetros cúbicos de agua mineral, contenida en una botella, se colocó con el sedimento en una cápsula de porce- lana, y se aciduló con ácido nítrico, evaporando el líquido hasta sequedad. El residuo se calentó fuertemente, y después de frío se disolvió en ácido clorhídrico diluido y quedó una parte insoluble de sílice Si O-, que, recogida en un filtro y bien lavada con agua destilada, se desecó é incineró con el filtro y pesó, descontadas las cenizas de éste, 0,05 gramos. Para un litro de agua corresponde 0,1051 de sílice SiO-, y del ion silícico SiO^, 0,1362 gramos. Ion hierro Fe. El líquido anterior, procedente de 475 centímetros cúbicos de agua mineral, después de separada la sílice por filtración, se le añadió amoníaco en exceso y se formó un precipitado - 94 — rojizo, gelatinoso, dejándolo en reposo hasta el día siguiente. Se recogió este precipitado sobre un filtro, y después de la- vado se disolvió en ácido clorhidrico. A la disolución resul- tante se añadió ácido tártrico y amoniaco suficiente para neutralizar el ácido, y después se trató con sulfuro amónico, dejándolo hasta el dia siguiente. El precipitado negro for- mado de sulfuro de hierro, se recogió sobre un filtro, se lavó y se disolvió en ácido clorhídrico diluido. A esta diso- lución se añadió amoníaco en exceso, y el precipitado de hidrato férrico formado se recogió al día siguiente sobre un filtro y pesó, después de la incineración y descontadas las cenizas del filtro, 0,032889 gramos de Fe-0^, donde hay 0,02293 del ion ferroso Fe, y para un litro de agua mineral corresponde 0,04827 gramos. La cantidad de hierro que resulta se comprende, porque la determinación se ha hecho con el sedimento del agua y la- vando la botella con agua acidulada con ácido nítrico para disolver la parte adherida á las paredes. En el agua clara, sin el sedimento, la cantidad de hierro es pequeña y se halla, según creo, en estado de hidrato fé- rrico coloide ó de carbonato férrico ácido. Ion aluminio Al'-. El líquido anterior, en que se precipitó el sulfuro de hie- rro procedente de 475 centímetros cúbicos de agua mineral después de filtrado, se evaporó hasta sequedad, agregando previamente carbonato de sodio y nitro puro. El producto se calcinó hasta que quedó blanco, y después de frío se disol- vió en ácido clorhídrico y agua. A esta disolución se añadió amoníaco en exceso y se dejó hasta el día siguiente. El pre- cipitado, formado de hidrato de alúmina, después de lavado sobre un filtro, desecado é incinerado con el filtro, pesó, des- contadas las cenizas de éste, 0,04389 gramos, en donde hay — 95 - 0,02327 gramos del ion aluminio, y para un litro de agua mineral, 0,049 gramos. El líquido amoniacal, de donde se separó la alúmina, no formó precipitado con la mixtura magnesiana, lo que de- muestra que no existía el ion fosfórico. Además, la alúmina obtenida se disolvió en ácido clorhídrico, añadiendo ácido cítrico y después amoníaco en exceso, y tampoco dio preci- pitado de fosfato con la mixtura magnesiana. Esto se' halla conforme con lo dicho en el análisis cualita- tivo, que no aparecieron fosfatos con el molibdato amónico, ó á lo más indicios. Ion nitroso NO-. Demostrada la existencia de nitritos por el análisis cuali- tativo, queda por averiguar si hay además nitratos, puesto que algunas reacciones de éstos son las mismas que las de aquéllos, como la coloración roja con la brucina y ácido sul- fúrico y la coloración amarilla con el ácido fénico y ácido sulfúrico, añadiendo después amoníaco. Ambas reacciones las da el agua mineral evaporada. Para ver si además de los nitritos hay nitratos, se añadie- ron á 100 centímetros cúbicos de agua 20 gotas de ácido sulfúrico puro; se hirvió el líquido durante diez minutos, y éste no dio después señales de contener nitratos. También se empleó el procedimiento de Peccini, destru- yendo los nitritos, contenidos en el agua, por medio de una solución de urea en ácido acético, y el producto de la evapo- ración no dio coloración con la brucina y ácido sulfúrico, ni con el sulfato ferroso y dicho ácido. La cantidad de nitritos se determinó por el procedimiento de Tromsdorff, por colorimetría, y resultó 0,016 gramos en litro de agua mineral. Suponiendo que el nitrito sea de cal- cio, como después se dirá, el ion nitroso NO- correspon- diente es 0,0073 gramos. - 96 - La formación de los nitritos se explica por oxidación de la materia orgánica del agua, mediante la influencia de fermen- tos especiales del terreno, y de este modo el agua experi- menta una depuración; lo cual se halla conforme con el re- sultado de no contener apenas materias orgánicas, ni tam- poco oxígeno entre los gases disueltos. Ion calcio Ca. 50 centímetros cúbicos de agua mineral, bastante acidu- lada con ácido clorhídrico, y después de separar la alúmi- na y óxido de hierro por amoníaco en exceso, se añadió cloruro amónico y oxalato amónico y se dejó hasta el día si- guiente. El precipitado, formado de oxalato de calcio, se re- cogió sobre un filtro, se lavó, desecó y después se incineró con el filtro, añadiendo al producto algunas gotas de ácido sulfúrico diluido para transformar el carbonato de calcio en sulfato. Se calentó fuertemente para desalojar el exceso de ácido y pesó después de frío el sulfato de calcio, desconta- das las cenizas del filtro, 0,U089 gram., donde hay 0,03262 del ion calcio, y para un litro de agua mineral, 0,6524 gram. Ion magnesio Mg. El líquido anterior, después de separado el calcio (proce- dente de 50 centímetros cúbicos de agua mineral), se trató con fosfato sódico amónico, dejándolo hasta el día siguien- te. El precipitado formado se recogió en un filtro, se lavó con agua amoniacal, y después de seco se incineró con el filtro, pesando, descontadas las cenizas, el pirofosfato de magnesio Ph'O'Mg-, 0,01 6429 gram., en donde hay 0,003594 de magnesio, y para un litro de agua mineral, 0,07188 gram. del ion magnesio. 97 - Ion litio Li. Dadas las dificultades que hay para la determinación del litio, pensé el siguiente procedimiento, teniendo en cuenta la composición de estas aguas: 480 centímetros cúbicos de agua mineral, contenida en una botella, se aciduló con bastante ácido clorhídrico y se eva- poró en una cápsula de porcelana hasta casi sequedad. El producto se trató con una mezcla de alcohol anhidro y éter, filtrando el líquido y dejándole evaporar espontáneamente. El residuo de la evaporación se trató con ácido sulfúrico diluí- do y se calentó en una capsulita para convertir en sulfatos los cloruros de sodio, de calcio y de litio, que se disolvieron en la mezcla de alcohol y éter. El producto se trató con nue- va mezcla de estos dos líquidos, que sólo disuelve el sulfato de litio, quedando éste por evaporación, y después de calen- tado, pesó 0,01 gram. de SO^Li-, donde hay 0,00127 del ion litio, y para un litro de agua mineral, 0,00264 gram. Después de pesado se vio, con el espectroscopio, la raya roja característica del litio. Ion sodio Na. 50 centímetros cúbicos de agua mineral se trataron con amoníaco y carbonato amónico, hirviendo el líquido hasta precipitar todo el calcio y magnesio. El líquido, después de frío, y añadiendo nueva cantidad de amoníaco, se evaporó hasta sequedad, calentando el residuo con cuidado hasta desalojar las sales amoniacales. Después de frío, se disol- vió el producto en agua destilada, se filtró el líquido y se evaporó hasta sequedad, pesando el producto 0,272 gramos de Na Cly SO^ Na-. Después se añadieron algunas gotas de ácido sulfúrico para convertir todo en sulfato de sodio, y se calentó fuertemente hasta desalojar el exceso de ácido, Rf.v. Acad. Ciencias.— VI.— Julio, Agosto y Sepriembre, 1907. 7 -es- pesando 0,382 gramos, en donde hay 0,12389 del ion sodio, y para un litro, 2,478 gramos. De esta cantidad hay que rebajar 0,029 gramos de pota- sio, resultando 2,449 de sodio por litro de agua mineral. Con el espectroscopio se vio la existencia del potasio en el sulfato de sodio obtenido. Ion potasio K. 100 centímetros cúbicos de agua mineral se evaporaron á sequedad, y el producto se calentó con algunas gotas de áci- do sulfúrico para descomponer los nitritos, y después se di- solvió en ácido clorhídrico diluido, filtrando el líquido para separar la sílice. Al líquido filtrado se añadió cloruro de ba- rio hasta precipitar los sulfatos y exceso de ácido sulfúrico, filtrando el líquido, y á éste se agregó amoníaco en exceso y carbonato amónico calentado para precipitar el calcio, el magnesio y bario. Después de frío, se filtró el líquido y eva- poró, calentando fuertemente el residuo para eliminar las sa- les amoniacales. El producto se disolvió en agua destilada, se filtró y evaporó en la estufa de aire á 120°, resultando 0,51 gramos de NaCl y KCí. Para determinar el potasio se disolvió la mezcla de los dos cloruros en agua destilada y se trató con cloruro platí- nico ácido. El precipitado formado al día siguiente se reco- gió sobre dos filtros juntos de igual peso, lavándole con al- cohol; después se desecó en la estufa, pesando el Pt Cl\ 2 KCÍ 0,018 gramos, en donde hay 0,0029 del ion potasio, y para un litro de agua mineral, 0,029 gramos. Materia orgánica. Determinada por el permanganato potásico en medio áci- do, ha resultado 2 miligramos en litro de agua mineral, can- tidad muy pequeña, como en las mejores aguas potables. Esto se halla conforme con lo dicho al tratar del residuo — 99 - fijo de la evaporación del agua mineral, que no se ennegreció por la acción del calor, y también con el resultado del análi- sis microscópico y bacteriológico. Análisis bacteriológico. Se hicieron dos cultivos, en agar peptonizado ó gelosa nu- tritiva (1), poniendo dos gotas de agua mineral, con la pipeta graduada, en dicha gelosa licuada y después de fría. Bien mezclado, se puso el líquido en una placa de cristal (caja de Petri), previamente esterilizada y cubierta con su tapadera; se dejó en la estufa, sin aplicar calor, porque la temperatura del laboratorio era de 22° cuando se hizo la operación á fines del mes de Junio. Al cabo de seis días dejaron de apa- recer manchas ó colonias, y contadas éstas haciendo uso del contador de Wolfthügel, y calculando para un centímetro cú- bico de agua mineral, resultaron 200 bacterias completa- mente inofensivas, número escaso que sólo se encuentra en las buenas aguas potables; y posible es que el número sea menor al salir el agua del manantial, puesto que los cultivos se hicieron con el agua embotellada y probablemente las bacterias halladas serán muchas del aire. Radioactividad. Esta notable propiedad, que hoy se considera como gene- ral de la materia, aunque con intensidad distinta, que per- mite llamar radioactivos á unos cuerpos y á otros no, se presenta en muchas aguas minerales (2), á las que se atri- (1) Véase Análisis, de las Aguas potables, químico y bacteriológico, por D. Gabriel de la Puerta, pág. 29. (2) Véase El Mapa de la radioactividad hidromineromedicinal de España y otras publicaciones del mismo asunto, por el Dr. Don José Muñoz del Castillo. - 100 - buye cierta acción terapéutica, especialmente á las aguas poco mineralizadas y termales. En el agua de Carraclaca de que tratamos, como su mi- neralización es abundante y contiene cuerpos de propieda- des terapéuticas tan marcadas, no hay necesidad de recu- rrir á la acción, hasta ahora misteriosa, de la radioacti- vidad de las a^uas. Los experimentos los hemos hecho con el electroscopio de Curie que existe en mi laboratorio de Química Inorgánica de la Facultad de Farmacia, con agua después de tres días de recogida en el manantial. Se colocó en un vaso de poca al- tura, entre los platillos del electroscopio, después de cargado éste, observando con un cronómetro el tiempo de descenso de la lámina de aluminio, en comparación con el óxido ver- de de urano, resultando lo que sigue: Con el óxido de urano recorrió la lámina de aluminio 10 divisiones en 14". Con el agua mineral tardó en recorrer las 10 divisiones 4' y 50", osean 290". Tendremos : 14 290 = 0,048. La radioactividad de esta agua es, por tanto, en relación con el óxido de urano, 0,048, que, como se ve, es bastante débil, poco más que la que da el aire en el aparato. Aunque el agua estaba recogida hacía tres días, es posi- ble que al salir del manantial sea algo más radioactiva, pues sabido es que la radioactividad se extingue poco á poco en el agua embotellada. Este procedimiento no es tan exacto como el del fontak- toscopio de Engler y Sieveking, que da el número de voltios por litro y hora, con el cual nos proponemos hacer nueva determinación con agua recogida en buenas condiciones. — 101 - Crioscopia. Se determinó el punto de congelación del agua mineral por medio del crioscopio de Claude y Balthazard, y resul- tó - 0,44. El descenso crioscópico se halla en relación de la cantidad de los cuerpos disueltos y de sus iones, y así se explica el considerable descenso de esta agua, cuya mineralización es grande, y también su ionización, demostrada por la conduc- tibilidad eléctrica. La presión osmótica, por una parte, de los cuerpos disuel- tos, y por otra la carga eléctrica de los iones, nos dicen que el agua de Carraclaca goza de gran energía cinética, que in- dudablemente ha de influir en sus notables propiedades me- dicinales. Por la crioscopia se puede contar el número de moléculas- gramos de los cuerpos que existen disueltos en un litro de agua, ó sea la concentración molecular del agua. En el caso presente, tendremos para un litro de agua mineral: 0 44 N = -^^^-^ =- 0,243. 1,85 También se puede medir la presión osmótica, ó sea la presión que ejercen las moléculas de los cuerpos disueltos, análoga á la de los gases, según demostró Vant'Hoff. Di- cha presión es igual al número de moléculas multiplicado por 22,35. Siendo la concentración molecular de esta agua 0,243, cerca de la cuarta parte de una moléculagramo, la presión osmótica á O " será igual á 0,243 >: 22,35, ó sean 5,43 atmós- feras por litro. Para hallar la presión osmótica á 20"", que es la teinpera- tura del agua en el manantial, hay que añadir el producto de — 102 — multiplicar el número de atmósferas hallado 5,43 por el coefi- ciente de aumento de la presión osmótica con la temperatu- ra, que es el mismo de los gases, esto es, 0,00367, y resulta 5,43 X 0,00367 x por 20 = 0,398, cuyo número, sumado á 5,43, da una presión de 5,828 atmósferas. Ebulloscopía. El agua mineral de Carraclaca hierve á la temperatura de 98",4 á la presión de 710 milímetros (28 de Julio de 1907 en Madrid). A la misma presión, en el mismo momento, el agua des- tilada pura hierve á 97°,8, de modo que resulta un ascenso para el agua, objeto de este an¿ílisis, de 0,6, y al nivel del mar (760 milímetros) hervirá á 100",6. Como el ascenso en el punto de ebullición es proporcional á la cantidad de cuerpos disueltos en el agua mineral, se pueden hacer deducciones análogas á las del descenso crios- cópico de la misma agua. Conductibilidad eléctrica. Tiene gran importancia este estudio físico de las aguas minerales, porque indica el estado de ionización en que se encuentran los cuerpos electrolitos en ellas disueltos, y por tanto su actividad. También tiene importancia, porque la menor variación en la composición del agua mineral se revela por la conducti- bilidad, constituyendo ésta un medio precioso para averi- guar si un agua mineral ha experimentado alguna variación. Nos hemos servido para esta determinación del aparato de Kohlrausch, que tiene en el Laboratorio de la Facultad de Ciencias nuestro colega Sr. Muñoz del Castillo, hábilmente manejado por el profesor auxiliar Sr. Morales Chofré. El número hallado en el puente de Kohlrausch fué 661,6 = a. - 103 — La resistencia empleada es 100 ohmios = R. La resistencia del líquido, expresada en ohmios, es x = R = 100 -^^^ = 195,508. 1000 — a 338,4 Constante de capacidad del vaso empleado, previamente determinada mediante una solución normal de cloruro potá- sico puro, cuya conductibilidad específica, á la temperatura que se opera de 25°, es 0,1 1 18 . A' = 2,5725, Resulta: Resistencia específica del agua = — = ' — = 75,999. K 2,5725 Estando en razón inversa la conductibilidad de la resis- tencia, tendremos: Conductibilidad específica = = 0,013158 (1). 75,999 La conductibilidad del agua de Carraclaca se halla, por tanto, representada por 0,013158, cuya cifra expresa el gra- do de ionización de esta agua, mucho mayor que el de otras aguas minerales. La conductibilidad eléctrica es proporcional al número de iones disociados, á sus velocidades y á sus cargas, y las acciones químicas y medicinales de un agua mineral de- penden principalmente de la concentración iónica ó sea del número de iones libres ó disociados en un volumen dado. Iones que existen en un litro de agua mineral, según los traba- jos analíticos anteriores. Los iones encontrados por el análisis han sido los si- guientes, en gramos, por litro de agua. (1) Véase Mesures physico-chimiques, por W. Ostwald et R. Lu- ther. 104 — Gramos. IONES NEGATIVOS (ANIONES) Ion carbónico CO^ 1,92950 - sulfúrico SO' 1,70110 - cloro Cl 3,05520 - silícico S/O» 0,13620 - nitroso NO^ 0,00730 IONES POSITIVOS (CATIONES) Ion hierro Fe 0,04827 - aluminio Ar- 0,04900 - calcio Ca 0,65240 - magnesio Mg 0,07188 - litio Li 0,00264 - sodio Na • 2,44900 -potasio/^ 0,02900 - hidrógeno //.... 0,04566 TOTAL 10,17715 Agrupación de iones y sales resultantes. Por Real orden de 7 de Junio de 1906 se dispone que los resultados del análisis de las aguas minerales se expresen con arreglo á la teoría de los iones. Está bien; pero cree- mos que no se debe prescindir de agrupar los iones hallados para conocer las sales existentes en el agua, como hacíamos antes en la agrupación de ácidos y bases; pues de este modo se puede formar mejor juicio acerca de la composición del agua y de sus propiedades medicinales. Es verdad que al- gunas sales hay que admitirlas hipotéticamente; pero otras, generalmente las que caracterizan al agua mineral, no suele haber duda de su existencia, aunque se hallen más ó menos ionizadas. . En la presente agua no puede dudarse que existe ácido carbónico libre, puesto que se ve desprenderse su anhídri- do, ni que el agua contiene bicarbonato de calcio, bicarbo- nato ferroso y cloruro de sodio, bastando para este último — 105 — el sabor salado del agua, por contener bastante de di- cha sal. Atendiendo á las reacciones obtenidas en el análisis, espe- cialmente en el agua evaporada y filtrada y en el precipita- do resultante, asi como á las observaciones espectroscópicas y el orden de afinidades, se pueden decir cuáles son las sa- les que existen en el agua, aunque no todas con seguridad. Teniendo esto presente, y haciendo los cálculos correspon- dientes, resultan las siguientes en un litro de agua. Gramos. Acido carbónico libre CO^H' 0,83658 Bicarbonato de calcio (CO^)^ Ca//- 1,34038 - de hierro (C O 3)- Fe//-' 0,10515 — de litio CO^LiH 0,02567 Cloruro de sodio NaCl 4,99820 — de potasio KCl 0,05577 Sulfato de sodio SO^Na" 1,39894 — de calcio SO^Ca 0,85868 — de magnesio S O ' Mg 0,35930 Sílice SiO- 0,10510 Alúmina AÍ-0^ 0,09240 Nitritos 0,01600 Materia orgánica 0,00200 Total 10,19417 Las cantidades que se expresan sólo deben admitirse como aproximadas, porque en la agrupación de los iones puede haber arbitrariedad respecto de algunas sales que se admiten hipotéticamente. De aquí el que no haya completa concordancia entre las cantidades de sales admitidas y las de los iones, en los cuales hay más exactitud, porque es el resultado directo del análisis cuantitativo. El aluminio puede estar formando sulfato y la sílice es posible se halle en estado de hidrato coloide, y en la incer- tidumbre hemos puesto en el cuadro anterior sílice y alú- mina, sin hacer agrupamiento ninguno del ion aluminio y del ion silícico. - 106 - El bicarbonato ferroso ya hemos dicho anteriormente que se descompone después de recoger el agua, precipitándose hidrato férrico y quedando en el agua clara poco hierro en estado de hidrato férrico coloide ó carbonato férrico ácido. Respecto de los nitritos, también hemos indicado que debe ser de calcio ó un nitrito alcalino, pero no de amonio, porque este ion no se ha encontrado en el análisis. Nos in- clinamos más á que sea nitrito de calcio, por la facilidad de descomponerse el carbonato de calcio que abunda en estas aguas. La formación de nitritos nos la explicamos, como se dijo anteriormente, por la oxidación de materias azoadas del te- rreno por donde pasa el agua mineral, mediante la influen- cia de fermentos especiales, sin llegar á formarse nitratos. Resumen general del análisis del agua mineromedicinal de Carraclaca (Lorca). Temperatura en el manantial 20" centígrados. Altura sobre el nivel del mar 370 metros. Aforo: 21.600 litros de agua en veinticuatro horas. Densidad del agua 1,0065 Crioscopia — 0,44 Presión osmótica 5,828 atmósferas. Conductibilidad eléctrica 0,013158 Bacterias inofensivas en centímetro cúbico del agua embotellada 200 GASES DESPRENDIDOS POR LA EBULLICIÓN „ . ., Cent. cub. uranios. DE UN LITRO DE AGUA Anhídrido carbónico CO-, hecha la corrección. 509 1,0063 — 107 — NÚMERO DE lONESMILIGRAMOS CONTENIDOS EN UN LITRO DE AGUA 1.930 iones carbónicos CO^. 1.701 — sulfúricos SO*. 3.055 — de cloro Cl. 136 — silícicos SiO^. 7 — nitrosos NO". 48 — ferrosos Fe. 49 — de aluminio Al-. 652 — de calcio Ca. 72 — de magnesio Mg, 3 — de litio Li, 2.449 — de sodio Na, 29 — de potasio K, 46 — de hidrógeno H. 10.177 ionesmiligramos. Clasificación de estas aguas. Atendiendo á los principales cuerpos mineralizadores y á su estudio físico, resulta que son aguas carbónicas, bicarbo- natadocálcicas, ferruginosas y, además, cloruradosódkas, de gran energía cinética y muy ionizadas. Se parecen á las de Lanjarón, siendo muchas y variadas sus aplicaciones medicinales, según puede verse en la Me- moria del Dr. D. Joaquín Jimeno. - 108 - IV. -Teoría quíiiiicii de la inhibieióii fisiológica. Por José R. Carracido. Para exponer el asunto enunciado en el epígrafe creo necesario fijar de una manera precisa el concepto de la inhi- bición fisiológica. Por semejanzas sólo aparentes se suelen considerar como actos inhibitorios todos aquellos en que hay detenimiento funcional, sean cualesquiera las causas que lo produzcan y las transformaciones fisicoquímicas de la materia viva que coincidan en aquella común manifestación; pero el análisis rigurosamente científico exige el discernimiento de los dife- rentes motivos de la parada del curso funcional, porque á ellos debe ajustarse la explicación correspondiente á cada caso. La anestesia clorofórmica, la anoxihemia producida por el óxido de carbono y por los metahemoglobinizantes y la inhibición del miocardio por las sales potásicas son acciones de igual apariencia, pero los mecanismos que en la intimi- dad de los tejidos las originan son muy diferentes. Por una ampliación injustificada, y perjudicial para el escrupuloso conocimiento de los fenómenos biológicos, denomínase inhibición toda intoxicación de efectos paralizantes; pero es menester advertir, que si la primera puede suponerse ori- ginada por una intoxicación, no debe conceptuarse como inhibición todo detenimiento funcional producido por into- xicación de efectos paralizantes, como ya hubo de advertir el eminente profesor Julio Fano en su lección inaugural del curso de Fisiología del Instituto de Estudios Superiores de Florencia (1). (1) La Phy.si()l()T;ic dans ses rapports avcc la Cliiniic ct avcc la murphologie, Rev. Scieiitif, 1894. - II, pág. 2ó7. - 109 — Acontece en el lenguaje fisiológico lo que ha acontecido en el químico con la palabra disociación, cuando errónea- mente se hizo sinónima de descomposición. Y pongo este ejemplo, no sólo por su semejanza con el punto que me pro- pongo esclarecer, sino también porque se ha de utilizar más adelante como uno de los términos de nuestro razonamiento, y es provechoso recordar su significado preciso. Disociación es tan sólo la descomposición limitada por acciones inversas, las cuales en cierto momento estatuyen un equilibrio químico determinado por la igualdad de la acción descomponente y de la recomponente. Calentando oxalato argéntico se descompone de la ma- nera sencilla que la siguiente ecuación expresa: O Ag'- O' = Ag'' H- 2 CO'-. Esta descomposición no es disociación, porque una vez iniciada en las condiciones físicas necesarias, llega á su tér- mino sin dejar residuo alguno de oxalato. Es una descom- posición ilimitada. En cambio, sometiendo el oxalato de etilo en condiciones adecuadas á Ja acción del agua, aunque se hidroliza regene- rándose los cuerpos que concurrieron á formar el éter ó estcr, como hoy se denomina á todo éter de oxácido, O (O H'y O'i-2 H' 0= C2 H' 0^ + 2 O //'' O, Oxalato de etilo. Ac. oxálico. Alcohol etílico. esta hidrólisis es parcial, porque llega un momento en que el poder descomponente del agua está contrarrestado por el eterificante del ácido y el alcohol, y la descomposición resulta entonces limitada, y, por consiguiente, reversible, variando adecuadamente las condiciones. Sólo este género de descomposición limitada y rever- — lio - síble es el correspondiente al concepto de la disociación química. Procediendo con igual escrupulosidad, sólo debe estimarse como inhibición fisiológica la detención de actos funcionales motivada por acciones antagónicas de las que normalmente los producen. Este fenómeno se presenta muy manifiesto en los orga- nismos en ciertos casos naturales, y en otros provocados artificialmente; pero es constante en el proceso de la vida, y sólo por su corta duración pasa inadvertido á quien no em- plee los medios necesarios para observarlo. La actividad vital es consecuencia de una desintegración química á la que sigue rapidísimamente la reparación de la materia desintegrada, suspendiéndose entonces el trabajo fisiológico, porque la energía disponible se invierte en la obra sintética de la reparación material. El momento catabó- lico es el de trabajo, y el anabólico el de reposo ó de inhi- bición fisiológica, sucediéndose uno á otro rítmica y auto- máticamente. Para proseguir nuestro razonamiento es indispensable dejar bien sentado, que desde el punto de vista químico, el proceso funcional de todo ser organizado, y en último tér- mino el de la célula, se reduce á dos momentos, que no obs- tante su aparente antagonismo, están solidariamente coor- dinados, resultando cada uno como consecuencia de su an- tecesor. El momento activo, que se revela por el desprendimiento de calor y de electricidad, ó por la producción de trabajo mecánico, y también por la elaboración de las secreciones efectuada por la actividad glandular, es el momento destruc- tor, analítico ó catabólico, en el cual por desintegración de materia, se pone en libertad la energía generadora de la mul- tiforme variedad de los trabajos fisiológicos. El momento de reposo es el reconstructor, el sintético ó anabólico, en el cual se acumula en las células, formando - 111 - compuestos lábiles, muy ricos en energía cinética, la mate- ria que ha de sufragar los gastos dinámicos é histológicos de los organismos. * * * Es axioma biológico que la función desarrolla el órgano, y como corolario suyo, es forzoso admitir que el acrecenta- miento de la materia organizada se lleva á cabo porque los productos catabólicos son estimulantes del anabolismo; si así no fuese, dicho desarrollo sería imposible. Sabido es que los músculos y las glándulas en prolongado reposo van decreciendo hasta el límite de la atrofia, al con- trario de lo que sucede en un activo ejercicio, en el cual se hipertrofian, siempre que no se llegue al extremo de la fati- ga. Las cenizas normales determinan la reparación con usura de la materia desintegrada, mientras que las anormales del surmenage determinan la histolisis por intoxicación de las células. Según experimentos de Chabrié(l), perros recién nacidos, alimentados con una comida de la cual formaba parte leche mezclada con algunos centímetros cúbicos de la siguiente disolución: Cloruro amónico 100 gramos Bicarbonato sódico 10 ídem Agua hasta formar 1 litro, crecieron más que gemelos suyos á los cuales fué adminis- trada idéntica comida, pero sin la disolución sodoamónica. Esta, en el interior del organismo, se transforma, parcial- mente, en urea, y al aumentar la proporción del producto más importante del catabolismo de los albuminoides, pro- (1) Ann. Chim. et Physiq. (Tme).— m, pág. 524. - 112 - mueve la actividad trófica que se revela en el mayor cre- cimiento. Es frecuente que los niños, en el curso de procesos febri- les, crezcan en proporciones extraordinarias, y teniendo en cuenta que en la fiebre hay una exagerada destrucción de las materias proteicas, al gran aumento de los productos catat)ülicos es al que deben atribuirse las proporciones ex- traordinarias del fenómeno. En este caso, las ideas prece- dentes inducen á suponer, que los cuerpos tóxicos resultan- tes del catabolismo anormal, no sólo no alcanzan á producir la acción paralizante (no inhibitoria), sino que no llegan á contrarrestar el mayor estímulo correspondiente al incre- mento de los valores del proceso catabólico, cuyo influjo es ejercido en relación á sus variaciones cuantitativas. Y hasta en los vegetales se explica, como consecuencia de actos inhibitorios, la limitación en el crecimiento de los órganos y en su diferenciación histológica cuando están aso- ciados en el conjunto de la planta, limitación que desapa- rece en las ramas desgajadas y metidas en tierra húmeda, por haber desaparecido las acciones antagónicas, resultantes de la dependencia mutua de los diferentes órganos (1). Pero siendo el ritmo cardíaco el fenómeno que más espe- cialmente ha sido objeto de estudio para el esclarecimiento del mecanismo de la inhibición fisiológica, conviene exami- narlo con la debida atención para llevar su valioso testimonio al apoyo de nuestra tesis. En el proceso funcional del miocardio, la fase de diástole corresponde á la reintegración química de la substancia mus- cular, y la de sístole á la desintegración productora de la energía que ha de substentar el trabajo del órgano. Una y otra fase son las que respectivamente corresponden al ana- bolismo y al catabolismo del músculo cardíaco. (1) Principes de Botanique, par R. CiiDd.it. — Gencve, 1907.— pá- gina 363. — 113 — Creo que en la actualidad es más severamente científica la doctrina miógena que la neurógena de la actividad rítmica del corazón. Los nervios diastólicos, realmente no desempeñan su papel por acción inmediata, sino determinando el proceso anabólico de la materia miocárdica y por igual mecanismo, aunque en sentido inverso, desempeñan su papel los nervios sistólicos. Sabido es que estimulando el neumogástrico (nervio dias- tólico) se producen fenómenos de inhibición en el miocardio, durante los cuales, según demostraron hasta la evidencia Gaskell y Fano, es más activa la integración material en dicho órgano. El mismo resultado obtuvieron Bottazzi (1) y otros investigadores al experimentar, mediante irrigaciones artificiales, la acción de las sales potásicas sobre el corazón aislado, haciendo notar que este género de sales es uno de los productos de desintegración del miocardio. Tanto Fano como Bottazzi aplicaron su gran sagacidad á poner de manifiesto que en la inhibición producida, ya por el estímulo del neumogástrico, ya por los compuestos potá- sicos, ciertamente no se observa otra cosa que la exagera- ción de un proceso que se desarrolla de manera rítmica y automática en condiciones ordinarias en el interior de las células miocárdicas. El fenómeno inhibitorio aparece en último análisis como un aumento en la duración de la pausa fisiológica correspon- diente al acto anabólico. * El gran desarrollo dado actualmente á los estudios de la Física y de la Química biológicas ha inducido á los investi- gadores á penetrar en el campo de la vida, no como los (1) Archives de Physiologie, 1896, pág. 882. Rev. Acad. Ciescias. — VI. — Julio, Agosto y Septiembre, 1907. - 114 - antiguos naturalistas, que se limitaban á observar la obra de la Naturaleza respetando la espontaneidad de su producción, sino como hombres de laboratorio que modifican intenciona- damente el proceso de los fenómenos naturales y hasta deter- minan su aparición. Según este nuevo criterio, ya no puede satisfacerse el bió- logo con el conocimiento de los hechos; debe extender sus pesquisas á la intimidad de los mecanismos en que aquéllos se originan, y movido por tal exigencia intentaré dar una explicación puramente química del papel estimulante que desempeñan los productos catabólicos en el curso de los actos tróficos y en el acrecentamiento de su periodo dentro del ritmo fisiológico, ó, lo que es igual, en el determinismo de los fenómenos inhibitorios. Al encadenamiento solidario de la destrucción y de la reconstrucción de la m.it^ria viva es al que Mix Vcrw )rn ha dado el nombre de bíotono (1), expresado sus valores en caJa caso por los de los respectivos cambios materiales; y teniendo en cuenta que pertenecen al género de las limitadas las reacciones fundamentales de los procedimientos bioquí- micos, en el desarrollo de éstos habrán de constituirse equi- librios químicos que limiten la amplitud de las oscilaciones de los valores del biotono en la alternación de los momentos catabjüco y anabólico, de igual manera que.las cantidades de los cuerpos resultantes de la disociación de un com- puesto invierten la marcha del fenómeno determinando la regeneración de la materia disaciada cuan Jo aquéllas su- peran á las estrictamente indispensables para el manteni- miento del equilibrio químico. En el ejemplo clásico de la disociación del carbonato cal- cico {CO'-Ca)en cal (CaO) y en anhídrido carbónico {CO'), las cantidades de los compjnentes aislados son las que ponen en cada grado de la escala de las temperaturas el (1) AllgcniAnc f\'iysioli)gie, 4.' Aufl., 519. — 115 — límite á la disociación en vasija cerrada, y apenas visto este hecho, el criterio de analogía compele á suponer que los pro- ductos catabólicos suspenden el catabolismo de las materias de que proceden, en el caso de ser excesiva su producción, porque siendo más laborioso el arrastre de aquéllos por la corriente sanguínea, resulta más persistente la atmósfera constituida por los cuerpos disociados y hace más duradero el momento estático del equilibrio químico. Si para cierto grado de disociación del carbonato calcico (siempre en vasija cerrada) se inyecta desde fuera gas car- bónico, se irá regenerando progresivamente el carbonato hasta el límite de la regeneración total, en el caso de que la cantidad de gas inyectada sea la necesaria para contrarrestar la tensión de disociación. La cal no establece diferencias entre el anhídrido carbónico con que anteriormente estaba combinada, y el que la rodea procedente del exterior. Siendo el potasio uno de los productos catabólicos de la materia del miocardio, su persistencia en el lugar en que se desprende como resultado de una disociación bioquímica, ha de suspender, mientras la corriente sanguínea no lo arras- tre, el curso del proceso analítico, y añadiendo potasio, como en el experimento de Bottazzi, el período de suspensión será más largo, porque su eliminación será más laboriosa, y no hay motivo alguno para que la materia de las células miocár- dicas establezca diferencias entre el potasio resultante de su disociación, y el que la rodea procedente del exterior. Desde este punto de vista, los fenómenos inhibitorios se reducen á suspensiones ó á retrogradaciones del proceso de disociación de la materia viva, generador del trabajo fisioló- gico, como consecuencia de un aumento de cualquiera de los términos resultantes de dicho proceso (la urea, en el experimento d3 Chabrié, y el potasio, en el de Bottazzi), acrecentando las proporciones de la síntesis anabólica. Según el citado Max Verworn, el biógeno, ó sea la mo- lécula de la materia viva, sólo se descompone parcialmente — 116 - en el curso del trabajo fisiológico, regenerándose sobre la base del resto fijo de su descomposición (como el carbonato calcico sobre la base de la cal, siempre que las condiciones físicas le permiten fijar el gas carbónico), y la regeneración, según la doctrina de los equilibrios químicos correlativos á las reacciones limitadas, es favorecida por la presencia de los cuerpos separados por disociación. El desprendimiento del gas carbónico por la acción del ácido sulfúrico sobre el carbonato calcico, transformándolo en sulfato, es un proceso no reversible comparable á las acciones paralizantes producidas por intoxicación, las cuales son diversas de los fenómenos de inhibición, como lo es de los fenómenos de disociación el expresado modo de descom- ponerse el carbonato calcico por el ácido sulfúrico. Los pro- ductos de un catabolismo anormal, no sólo por la cantidad, sino también por la calidad — como los de la autointoxica- ción por fatiga, ó por alteraciones patológicas, ó por enve- namiento exógeno, que coagulan el protoplasma ó transfor- man sus lábiles albuminoides en cuerpos no disociables por las acciones fisicoquímicas del proceso fisiológico -son los que constituyen substancias comparables al sulfato calcico del ejemplo precedente, cuya formación determina efectos paralizantes, pero no inhibitorios. Como ejemplo de la evolución del criterio fisiológico, me- recen ser citadas las sucesivas explicaciones del fenómeno de la inhibición. Cuando en el año 1846, los hermanos Weber descubrieron que, excitando el neumogástrico por un estímulo suficiente- mente enérgico el corazón suspende sus funciones hasta que la excitación cesa ó la inervación se ha agotado, hubo entonces de imaginarse una vibración nerviosa elaborada en algunos ganglios interiores del corazón, la cual neutralizaba la actividad de las células excitomotoras. Esta primera explicación revistió después carácter exclu- sivamente físico, presentándola como caso particular de los - 117 - fenómenos de interferencia; y Lauder-Brunton, en 1883, suponía que las vibraciones nerviosas se dividen en dos ramas de desigual longitud, reuniéndose nuevamente en una sola, en la que las ondas antes bifurcadas se encuentran en fases opuestas, anulándose como las dos ondas luminosas cuya diferencia de velocidad es una semionda que al chocar producen un punto oscuro. Y, según esta teoría, la misma célula puede desempeñar funciones inhibitorias ó excitomo- toras , conforme á la manera y á las circunstancias en que se propaguen sus ondas de impulsión. La crítica de los hechos invalidó esta hipótesis, la cual fué sustituida por la teoría química cimentada en la correla- ción de la fase catabólica y anabólica de las mutaciones materiales en el seno de los elementos organizados. Aceptado este nuevo concepto, deben aceptarse también sus lógicas consecuencias, entre las cuales propongo que se coloque en primer término, la admisión de equilibrios químicos en el proceso de las reacciones limitadas corres- podientes á los cambios materiales de los organismos; y á la manera que la saturación del ambiente de vapor acuoso impide que el agua líquida se evapore, y que el carbonato calcico se disocie cuando en su ambiente alcanza cierto grado de tensión el anhídrido carbónico, y que el glucó- geno hepático y muscular se hidrolicen cuando existe en la sangre cierta proporción de glucosa, la materia del miocardio no puede descomponerse mientras la envuelven los produc- tos de su descomposición, y en este momento, se producirá el fenómeno de la inhibición por haberse suspendido el pro- ceso analítico ó catabólico del cual resulta la energía gene- radora del trabajo fisiológico. Desde este punto de vista, el fenómeno de la inhibición redúcese á un cambio más ó menos fugaz en el desarrollo de la curva que representa la disociación de la materia viva. 118 - V. — Nueva tooríji i»aríi el «lesari'ollo de las ecua- ciones liuales. Por Gualterio M. Seco. SEG-TJlSriD-A. F-A.PITE Bases para una teoría de la conjuyación- Definiciones. Una matriz cuadrada cualquiera, a\ a'\ a^i a^ ft, c^ fl'o a^o a\ «2 bo c.y a\, a'., a% ..., a., b-, c. cuyos elementos sean susceptibles de tomar todos los valo- res posibles, estén ó no estén ligados entre sí por determi- nadas relaciones, podrá recibir el nombre de matriz general de su grado. La designaremos con el de matriz de repetición de ecua- ciones, ó, sencillamente, matriz de repetieión, cuando pro- ceda de un cuadro generador formado con /;/ ecuaciones idénticas, de m términos cada una, multiplicados, ó no, por las potencias sucesivas de una letra p, ordenatriz. Por ejem- plo (siendo /;' p'" == k): y f- ap + bp^ = O yp + a/r- -|- bp' = O yp' 4- ap' -i-bp'^O y a b i)i< y a ak bk y - 119 - Cuando nos convenga, para mayor mayor sencillez, repre- sentaremos, con un subíndice, el exponente de p; y hasta suprimiremos el subíndice, supuesto que podremos restable- cer/? y sus potencias, teniendo en cuenta que el subíndice es igual al número de orden alfabético, multiplicado por el exponente de la letra respectiva, en la coordinación abcd ..... Así, tendremos ap + bp" -[ = fli +¿?,. + = a r ^ + ■ a-p'- + b-p' ^ = a-% + b\^^ = a^ + b^ -f- Términos conjugados (distíngase de elementos conjuga- dos y de líneas conjugadas) son aquéllos en los cuales va pasando cada letra, sucesivamente, de un extremo á otro, mientras los exponentes van todos ganando un lugar en la misma dirección, á cada traspaso de una letra. Por ejem- plo : y'' a^ b', a'' b^ y\ b'' y^ aK Cuando la notación de la matriz es de índices superpues- tos, son términos conjugados aquellos que, teniendo todos los índices (ó todos los subíndices) iguales y en el mismo or- den, ofrecen la particularidad de que los subíndices (ó los ín- dices) correlativos se diferencian en una cantidad constante. Por ejemplo: a\ a'.^ a''.,, a\^i a-..^i aK, ,_i, a\^,2 ^'-á ^2 «''2+2- Conjugación es el conjunto de todos los términos conju- gados entre sí; y la distinguiremos con los adjetivos literal ó numérica, respectivamente, según se verifique por medio de la trasposición de letras, ó por el crecimiento ordenado de los índices ó de los subíndices. Será completa, si contiene tantos términos distintos como letras existen en la coordina- ción; por manera que, si pretendiéramos añadir un término más, habríamos de repetir necesariamente uno de los tér- minos ya hallados. También podemos clasificar las conjugaciones en la forma siguiente: 1.'' Conjugación, ó conjugación de letras variadas, es — 120 — aquélla en la cual existen uno ó varios exponentes iguales á cero, y las letras van apareciendo y desapareciendo suce- sivamente. Ejemplo: y' a' c' d" , a' b' d' e", b' c' e* /" donde sucesivamente desaparecen ¿,0=1^ c« = 1, í/" = 1 d' = l,e^ = 1, /o = 1 , etc., reapareciendo cuando les llega el turno de tomar otro ex- ponente 2.'' Conjugación, ó conjugación de términos alternativos, es aquélla cuyos exponentes se reproducen periódicamente, siendo causa de que los términos aparezcan y desaparezcan, alternativamente, sin sufrir otras variaciones. Ejemplos: Términos para conjugar: 2a-b'^c^y^ Qa^b'c^d^e-f'^g^h'^i'^ Conjugaciones: a'c' 2a b'c'd e'pg h'i^ b^y' 2a'b c-dH f-g'h i' a^e- 2a'b'C d'e-'f g'hH b'y' 2a b'C'd e'pg hH^ Como se ve, en la segunda de estas conjugaciones, el cuarto término es igual al primero, por lo cual volverán á repetirse el segundo y tercero; y estas repeticiones conti- nuarán hasta obtener tres sumas de términos iguales, cuyo coeficiente común será 6. (Adviértase que esta conjugación no está tomada de matriz ninguna.) S.'' Conjugación, ó conjugación de términos invariables — 121 - en su valor, porque contienen las mismas letras y todos los exponentes son iguales. Ejemplos: — yab — aby — bya = — 3 aby. ny'ífb'- + na'b'y' + nb'-y'a'' = 3 na'by. Las conjugaciones pueden ser agrupadas por familias, formando cada familia las conjugaciones que tengan iguales exponentes. Ejemplo: a^()■2y^ c'^h^y'. Suponiei'.do que ordenamos por y dichas familias, las designaremos simbólicamente en esta forma: F'"(r + s4-/ )yp, siendo m el grado de la conjugación; r, s, f p, los expo- nentes; y, debiendo ser igual á m, la suma de estas cifras. Cuando conozcamos el grado, m podrá ser suprimida. Ejemplo: F(3)y"'-^ f (2+ \)y"' -^ F(l -f 1 + \)y"'-^ son todas las familias que pueden tener un término en el coeficiente de y"^~^, en ecuación del grado m'^'^'""^. Teoría de la conjugación es la que estudia las propieda- des y desarrollo de los términos conjugados. Para efectuar la conjugación, teóricamente, haremos uso de un polígono ó círculo eliminante; aquél, de m lados; éste, dividido én m sectores; siendo ni el grado de la matriz. En la práctica, emplearemos un encasillado, que es más senci- llo y más cómodo para el manejo. Denominaremos orden alfabético al observado dentro de una coordinación repetida indefinidamente: yab ghyab gh — 122 — II Fundamentos racionales. Lema: La determinante contiene la conjugación completa de cada uno de sus términos. Porque, trasladando columnas de un lado á otro de la matriz, si ésta es de repetición, cada letra irá ocupando suce sivamente los lugares que ocupaba su antecesora; y debe- remos someterla á las mismas operaciones que practicá- ramos con ésta; y si la matriz es general, ocurrirá lo mismo con los elementos que ocupen los lugares que ocupaban los que los antecedían. Esta operación, repetida tantas veces como columnas contiene la matriz, engendrará otros tantos términos para cada conjugación, y no más, porque si repi- tiéramos los traslados de columnas, sólo conseguiríamos repetir los términos ya encontrados. Y, como las columnas son tantas como las letras de la coordinación, y el número de éstas es igual al de los términos distintos que podemos formar trasponiendo letras del primero al último lugar, el lema es evidente. La trasposición sucesiva de columnas es, verdaderamente, la conjugación de la matriz, puesto que da origen á la con- jugación de todos sus términos. Corolarios: 1." El coeficiente numérico de los téi minos de una conjugación es constante, sin lo cual resultarían con- jugaciones incompletas. Ejemplo: En 2y'a, 3a'b, 3b-y, tendríamos dos conju- gaciones idénticas completas, y nos faltaría un término, y- a, para completar la tercera. 2." En matriz de grado impar, todos los términos de una conjugación van precedidos del mismo signo; y, si el grado es par, los signos son, alternativamente, positivos y negativos, porque, al conjugar la matriz, la determinante cambia ó no — 123 - cambia de signo, según que el grado es par ó impar, toda vez que, al trasponer la primera columna al último lugar, el número de permutaciones es, respectivamente, impar ó par. 3." La conjugación puede efectuarse de arriba á abajo, ó de un lado al otro de la matriz, porque la trasposición de filas daría el mismo resultado que la trasposición de co- lumnas. 4." En matrices conjugadas, los términos de una misma conjugación están formados por elementos homólogos. Véan- se las conjugaciones de los términos yab, a^a'-.a^o, en los siguientes ejemplos: y a b b y a a b y a\ a\ d\ aK, as 0-9 a^; aK d^.. a b y y a b b y a a\ a\ a\ a-.2 0'\, ízK, a'-., fl-*., a^.. b y a a b .y y a b d\ a\ a\ a-\ aK a^^ a% a\^ a-'. 5." El origen de una serie de nmtrices conjugadas ha de establecerse arbitrariamente en cualquiera de ellas, como si la serie procediese de tomar sucesivamente por origen de las generatrices una columna de una sola matriz arrollada ú un cilindro. Consecuentemente , las series de letras de los térmi- nos conjugados forman, ó pueden formar, curvas reentrantes en sí mismas, estableciendo las conjugaciones en derredor de un centro, y siguiendo el orden alfabético ó el numérico. 6." Conocido un término de una conjugación, podemos hallar todos los demás, en virtud del corolario anterior. Teorema primero. Practicando ordenadamente una con- jugación, las letras que, en términos sucesivos, llevan igual exponente, siguen el orden alfabético, y su exponente se con- — 124 - serva siempre, en todos los términos, ú igual distancia, en el orden alfabético, de otro exponente dado. Recíprocamente: si dos términos tienen sus exponentes en el mismo orden , siendo iguales, uno á uno, los de un término, á los del otro; y, en uno de éstos, las distancias de dichos exponentes, en orden alfabético, son iguales á las que existen en el otro entre los mismos exponentes, ambos términos pertenecen á la misma conjugación. El enunciado de este teorema es consecuencia inmediata de la definición de las conjugaciones, y no necesita demos- tración. En cuanto á la recíproca, basta considerar que, al conjugar uno de los términos, siguiendo el orden alfabético y la equidistancia de exponentes, necesariamente habrá un momento en que aparezca el otro término. Por ejemplo: sean los términos a^ d~ e", p^ s~ t" los que llenan los requisitos exigidos; y establecida la coordinación alfabética a^lyo^o d^e" p'' q'' r^ s'' f> con los exponentes correspondientes al primero de dichos términos, veremos que, al conjugarlo, iniciando los térmi- nos de la conjugación, sucesivamente, en b, en c, en d, etc., cuando lleguemos á p se reproducirá el segundo de los tér- minos dados. Caso particular. Se nos presentará con frecuencia el caso en que los términos simétricos pertenezcan á una misma conjugación, lo cual ocurrirá cuando, introducido el factor 3;" en ambos términos, además de satisfacer éstos las dos condiciones exigidas, se observe que, en cada término, sean iguales los exponentcs de cada par de letras equidistantes de los extremos. Ejemplo: y"^ a^ b" c^ d^, p"^ c/' /'" s^ y^ perte- necen á una misma conjugación, y son simétricos en el sentido explicado en la primera parte. TeoriiMA segundo. Ordenando la determinante por las potencias de una letra (por ejemplo, y), el término del coefi- - 125 — dente de una de estas potencias, que contenga letra con expo- nente mayor (ó menor) que el de dicha potencia, tendrá otro ú otros términos de su conjugación en coeficientes de otras potencias mayores (ó menores, respectivamente) de la letra ordenatriz. Sea To d''—^ un término del coeficiente de y''; y es evi- dente que, al conjugar el término TQd''—^y'', hallaremos otro término T^y''-^, el cual, ó no existe, ó fué previa- mente ordenado en el coeficiente de y—^. Queda, pues, demostrado el teorema. Corolarios. 1." Si conseguimos conocer los coeficientes de una letra ordenatriz, los términos independientes de ella serán dados por la conjugación. 2." Practicada la ordenación según las potencias descen- dentes de dicha letra, é investigando sus coeficientes en el mismo orden, omitiremos, al examinar el coeficiente de una de las citadas potencias, el estudio de términos que contengan letras con exponente mayor. 3.° Dicha investigación podrá darse por terminada, en grado par, cuando conozcamos el coeficiente del cuadrado de la letra ordenatriz; pero si el grado es impar, después de conocer los términos del coeficiente del cuadrado, aun nos faltará averiguar el coeficiente numérico del término que contenga el producto de todas las letras de la coordina- ción, yab gh. Conviene elegir, para ordenatriz, la letra y, porque, como veremos, careciendo de subíndice, por no estar multiplicada porp, se simplifica la operación de investigar la parte literal de sus coeficientes. Teorema tercero. El desarrollo de la matriz de repe- tición en su determinante obedece á los principios siguientes, además de los que ya quedan enunciados, y otros muchos que ignoramos todavía. 1 .° El primer término que se presenta para la conjugación es el de la let/a ordenatriz, elevada al grado de la determi- - 126 - nantc, con la unidad por coeficiente, porque éste es el tér- mino principal, según sabemos, de la matriz. 2." Siendo m el grado de la ecuación, no existirá término que contenga dicha letra elevada íi m — 1 (*), porque una letra, y'" ', es la que ocupa la primera diagonal de una menor de primer orden, cuyo complemento algebraico es y; y el producto de ambas nos da y'" únicamente. 3." El coeficiente de y'" ~ '^ está formado por la suma, con signo negativo, de las combinaciones binarias de todos los pares de elementos conjugados, multiplicadas por m. Efectivamente, las menores principales de segundo orden, cuyos términos principales son y'" - -, tienen (/;?— l)- + //í - 1 menores complementarias cuya forma es yrr ^rs y siendo siempre par la característica, la segunda diagonal ■j sr J rs es negativa; y sus elementos, conjugados. El número de combinaciones distintas de elementos con- jugados será , puesto que las letras distintas de y que entran en la coordinación son /72 — 1 ; y no cabe dudar que, estando repetidas en la matriz, estas letras, igual nú- mero de veces, también las combinaciones binarias que con ellas formemos estarán igualmente repetidas: luego, cada una de las combinaciones binarias distintas tendrá igual coeficiente numérico que las otras. (*) Este principio, con distinta demostración, se halla en la pri- mera parte. - 127 - m 1 Y, siendo el número de combinaciones distintas, 2 é igual el número de repeticiones de cada una; y ascendien- ■7 do á-^^ ^— i el total de dichas combinaciones, es ., , (m — l)- + /?z— 1 /7Z — 1 , , evidente que ^ — ^ : = m sera el 2 2 coeficiente (con signo negativo, como ya hemos dicho) que corresponderá á cada combinación binaria distinta, quedan- do, con esto, demostrado el principio enunciado. 4." En e! grado par 2n, el coeficiente de y-"~-, como en el caso anterior, es negativo, y se compone de la suma de productos binarios, formados por elementos conjugados, multiplicado por la cifra del grado de la matriz; pero, además, contiene el cuadrado del enésimo de los elementos distintos de y, multiplicado por la mitad, n, de dicha cifra. La demostración es de la misma forma que la del caso anterior, sin otra diferencia que la de que el elemento ené- simo, que motiva la excepción, ocupa en la matriz dos líneas paralelas á la primera diagonal, y de iguales dimensiones, resultando que cada repetición de este elemento es conju- gada de otra repetición del mismo; por lo cual, tendremos n menores iguales á ! que nos darán un producto Un y\ — n (an)-, conforme con el enunciado. 5." El coeficiente de y"'~^^ es positivo; y la suma de los coeficientes numéricos de los términos que lo componen es Igual al duplo del número de menores de tercer orden , prin- cipales, de la matriz. Para demostrarlo, observaremos que, como en casos an- teriores, resultan de multiplicar el término principal y^ de una menor principal (cuya característica es siempre par) por la determinante de su menor complementaria, en la cual ha de transformarse y en cero. Aplicando esta regla á la menor principal del orden {m — 3)"'"'", tendremos: — 128 - O p t\ o. de donde nos resultan dos solos términos positivos; luego, en M menores de la misma forma, los términos serán 2M, cifra á la cual alcanzará la suma de los coeficientes nu- méricos. 6." En el coeficiente de y'""', que nos ocupa, existen, desde el cuarto grado en adelante, términos de ¡a forma mr^s (*). En la coordinación indefinida a, b^ c-> d^ er, correspon- diente á los grados sucesivos, siempre hallaremos productos racionales íz-6„ a-c-„ a-d,- ab'-r,, ac'-, ad'.j bc'-^, bd-^Q que no quedarán anulados en las determinantes de los gra- dos marcados por la racionalidad de los subíndices, porque, como hemos visto en la demostración anterior, proceden de determinantes menores totalmente positivas. Observado esto, formemos la matriz indefinida siguiente, poniendo en los elementos los subíndices que seiíalan los exponentes de ni _ p = \/k: (*) En tercer grado, este término no puede existir, conforme al principio 2." - 129 - «1 K hm-í Oi b. Sm-i hm-i y a, • • / m—3 g> m- <-m-\ Jm—z Sm-i En esta matriz vemos que, al formar las menores del orden {m — 3)^^''"^ si queremos obtenerlas con la condición de hallar en todas el producto a^-2gm-2 = (^'^ gf<> es indis- pensable formarlas con filas y columnas consecutivas, por- que, si con la y y la a de la primera fila, ha de formar menor otro elemento de la misma fila, que no sea b, ya no entrará en la menor, ó entrará en la columna de a el ele- mento ^m-2» que no podrá formar término con a. Y, como este razonamiento puede aplicarse á todas las demás me- nores del mismo orden, resultará que las únicas menores que nos dan ese producto son las complementarias de .mi. 2 . 123 , 234 . 456 A , A ....A 123 234 456 ím-2) (m-\) {m) im-I) (m) (1) A , A , (m-2)(m-l)(m)' {m-l)(/n)(l) mi. 2 O sea, en total, m menores, que nos dan el término ma'g, que es lo que querríamos demostrar, y análogamente demos- traríamos que es m el coeficiente de todos los términos de igual forma: r-^s, considerando sucesivamente las menores . 135 . 246 A ,-A 135 246 . 147 . 258 A , A 147 258 m24 m24 m 36 m 36 etcétera. Rbv. Acad. Ciencias.— VI.— Julio, Agosto y Septiembre, 190^. - 130 — 7.° En dicho coeficiente de y'"~ ', entra un término de la forma 2mrst, á partir del sexto grado (*). Siguiendo el procedimiento de la demostración anterior, veremos que abCf^, abd-, abe^ acdg, ace,j , etc., son tér- minos de la determinante; y hallaremos su número, obser- vando que las menores que pueden dar un producto abe, por ejemplo, son las que resultan de las combinaciones. 12 4/ 235 m-\ m 2 / m I 3 (**) y y y / v y y y y y / y y y ^ ' ^ \^2^ A I -^2 -^3 -^5 ^m-\^m^2 / ^ m ^ \ ^ Z m — \ 1 2 / m 2 3 m— 3 m—\ m / m—2 m 1 ^m-\^\^2 / ^m^2^3 ^m-3^m~l^m / ^m-2^m^\ total, 2/7? combinaciones. Después, generalizaríamos la de- mostración á las demás combinaciones de igual forma, rst. 8." En el grado Sn*^^'"'" (siendo n entero), el coeficiente contiene términos de la forma xq'\ cuyo coeficiente numé- rico, X, podemos determinar fácilmente. Indudablemente, en la coordinación fundamental habrá dos términos irracionales g„, r._,„, que elevados al cubo, se harán racionales. Conocidos por el método que después explicaremos, los términos mp- q, mr^ s 2mxzu,2mbdl sumados sus coeficientes numéricos, y restada esta suma del número de menores principales del orden (3/z — ^ysimo q^g puedan for- marse en la matriz, la diferencia, dividida por dos, será el coeficiente numérico de los términos q^y"^-"^, r^y"^-"^, su- puesto que, en la matriz, q, r, ocupan posiciones simétricas, y deben, necesariamente, aparecer en igual número de me- nores del orden citado. (*) En quinto grado no puede existir, porque los productos a^b^c^, a^b^d^, a^c^d^, b.^c^d^, son irracioníUes. (**) Fijémonos en este cuadro, donde cada par de elementos consecutivos, v. gr.: y'' y''', da lugar á dos solas combinaciones: y^ y'' y^'y y^ >'" y^- - 131 - 9.° Existirá en grado impar, pero no en grado par, tér- mino formado por el producto de todas las letras de la coor- dinación, yabc elevadas á la primera potencia. En el grado impar 2/2 + 1 , este producto será xdnen+, = a /zp"'2"+i); y, en el grado par 2n, será ^í O2 "n j2n-2 S2n-i = (^xSiti-i X ^2j2n-2 X X Xdn = a gpin(n-i)+n^ Tenemos, pues, en el grado impar, donde es par el nú- mero de letras ab gh, que el factor /7"(2«-i-i) ^ j^n gg j.^_ cional; y, en el grado par, donde el número de letras ab g es impar, que el factor p2«(«-i)+« = /i:«-i. k"^ = k'^'K \J~kts irracional; y, como sabemos que los términos de la determi- nante han de ser racionales, queda demostrado que puede existir en grado impar; pero no en grado par, el término de la forma expresada. * * El teorema tercero, que antecede, es susceptible de am- pliarse hasta el infinito, puesto que infinitos pueden ser los grados de una matriz; las dificultades de la ampliación son considerabilísimas, creciendo enormemente según aumenta el número de orden del término que sometemos á estudio. A pesar de estos inconvenientes, nos decidimos á incluir este teorema tan sumamente incompleto, porque los nueve principios, que quedan demostrados, nos suministran, sin previos cálculos, un número no despreciable de términos para conjugar, facilitando el problema del desarrollo de la determinante. — 132 — IH Problemas. I. Conjugar numéricamente la matriz general. Puesto que la conjugación se desarrolla circularmente, repitiéndose sus términos hasta el infinito, teóricamente, y sin distinción de la clase de la matriz, procede describir el polígono (véase la figura 1.'') ó circulo de que ya hemos hablado, é inscribir en uno de los sectores un término de cada conjugación, y, haciendo girar la figura alrededor de su centro, ir anotando en sectores sucesivos los términos de cada conjugación, lo cual se consigue, sumando una unidad á cada índice, ó á cada subíndice de un término, para for- mar el término del sector siguiente hasta llenar los m secto- res. Cuando en las sumas encontramos una cifra que exceda á m en una unidad, la restamos m unidades, y escribimos 1 en el lugar correspondiente. Inútil es decir que m represen- ta el grado de la matriz. Si hacemos la conjugación de los subíndices, resultará hecha de arriba abajo; si, la de los índices, de izquierda á derecha; si restamos unidades, en lugar de sumarlas, la haremos en sentido inverso. En sentido diagonal, no existe conjugación. Si la notación de la matriz estuviese hecha con letras orde- nadamente repetidas en cualquiera dirección, la sucesión de letras en orden alfabético, directo ó inverso, substituirá á la sucesión de índices. En la práctica, substituiremos el polígono por un encasi- llado dividido en \m — 1 renglones y m columnas, para acomodar ordenadamente los \m términos que, según sa- bemos, constituyen la determinante general; y conjugaremos sucesivamente, en la primera columna, primero, la primera menor principal del orden (m — 2)*^siino^ ¿ cuyos términos — 133 — añadiremos, como factor común, el tercer elemento de la pri- mera diagonal; conjugados, así, estos términos, nos darán la determinante de la primera menor principal del orden (m — 3)ésimo^ cuyos términos multiplicaremos por el cuarto elemento de la primera diagonal, conjugándolos, á su vez, para obtener la determinante menor del orden (m — 4)ésimo^ que multiplicaremos por el quinto elemento de la primera diagonal, continuando la operación hasta que la primera co- lumna contenga la conjugación completa de la primera me- nor principal de primer orden, la cual, multiplicada por el último elemento de la primera diagonal, podrá, finalmente, ser conjugada, llenando las demás columnas, con lo cual queda terminada la operación, durante la cual se cuidará de que los signos sean, alternativamente , positivos y negativos, cuando se desarrolle determinante, ó menor, de grado par; é iguales, en caso contrario. En el caso de que la conjugación sea numérica, sólo debe escribirse los índices y subíndices, dejando huecos para llenarlos después con los respectivos elementos, en esta forma : q{ r\ si t\ ul vi 4 ys ^, + 2 3 ■2 ••• 3 2 3 1 ••• 3 + 1 2 2 •••3 + 12 3 1 •••3 ••'2 Ejemplo (véase el cálculo número 1): 1/72 = 15^120, \m — 1 = 24. Distribuida la superficie del papel en"24 líneas y 5 columnas, dividimos aquéllas por 2, señalando con Al A.2 el principio de cada división, la cual, á su vez, divi- dimos por 3, señalando con B' B-.¿ los puntos de divi- sión; y, finalmente, nos quedan, en cada una de estas, cua- tro líneas, que señalamos con CC únicamente para aclarar la explicación. Escribimos en la primera columna, línea A^, e\ primer elemento de la primera diagonal, indicado por a\ y lo muí- - 134 - tiplicaremos por el segundo a-.,, teniendo así la primera dia- gonal de la primera menor de tercer orden, la cual conjuga- mos, escribiendo en A2 ~ a^, a-^^. Multiplicamos ambos tér- minos por a^3, y los conjugamos, + <^\ 0'.2 a^^, en B\ BK B^y, y — a^2 ^'^1 ^^-ii en B\ B-., B\, multiplicando esta conjuga- ción por a\^, conjugando en seguida los términos del pro- ducto por el orden que indican los índices de C, y cuidando de alternar los signos por operar en grado par. Seguida- mente, multiplicaremos por a '5 todos los términos hallados, y los conjugaremos en las demás columnas, con lo cual termina la operación. II. Hallar los factores literales de las potencias de y, en la matriz de repetición, para poder conjugar los términos que contienen esta letra. Ordenaremos las familias, empezando por el coeficiente de ym-2^ siguiendo el orden descendente de las potencias de esta letra, y cuidando de que, dentro de cada paréntesis, no haya cifra mayor que la del exponente de la ordenatriz, hasta llegar, en grado par, al coeficiente de y'^ inclusive; y aña- diendo, en grado impar, F(l + 1 + + 1)^. todo en la siguiente forma: F{\ -\- l));"*-2. (No hay caso de F(2)y'^-^) F(l + 1 + 1)};'»-^ F(l +2);^;'»-^ F{3)y'^-^ F(i + 1 + 1 + i)r-s /'(I f 1 + 2)r-^ F(2 4- 2) >;'»-*, F(3 + \)y^-^ F{4)y'^-K F{\ + \ + + 1)/', /^(2 + 1 -f + \)r /='(3 + 1 + + 1)/ F(3 + 2 + 1 + \)y^ /'(I + 1 + + 1)/^ /^(2 + 1 + .... + 1)/^ F{2 + 2 I \ + \)r /^(H-l+ + 1 + 1)3^. Según vayamos formando las familias, ó después de orde- narlas todas, formaremos agrupaciones de filas, cada una de — 135 - las cuales contenga todas las letras de la coordinación, me- nos y, con los subíndices que correspondan al exponente de p, y elevadas las letras de cada fila á una misma poten- cia, de manera que las diversas potencias á que estén ele- vadas las filas tengan los exponentes indicados dentro del paréntesis de la familia, en la forma siguiente: ( «1 b^ c^ d^ F{\ +2+3));"^ ^1 ^l 4 ^1 / a^ b^ c^ d^ "3 ^6 '-g "12 Después, tomando un subíndice de cada fila, de modo que la suma de estos subíndices sea m ó un múltiplo de m, con las letras correspondientes á estos subíndices, formare- mos términos que iremos escribiendo, y que podrán perte- necer á un coeficiente de y'', porque serán racionales. Sea m = 14, y, en el ejemplo que antecede, tendremos a b^ c3 pi^ = a b^ c^k y si fuese m== \0, tendremos Es de advertir que, bien por examen directo, bien por resultado de la conjugación de un término, podremos hallar otro término de los que hemos anotado, que pertenezca á la misma conjugación; en este caso, lo tacharemos, ó lo seña- laremos con un paréntesis, para abstenernos de conjugarlo. También, como resultado de los cálculos siguientes, ó de razonamientos á priori, algunos de dichos términos resulta- rán con cero por coeficiente, y los eliminaremos de la deter- minante. Los cálculos números 2 y 3 sirven de ejemplo. IIl. Hallar los coeficientes numéricos de los términos con- jugables. — 136 — Seguiremos el método explicado en la primera parte, sin otra diferencia que la de que allí buscábamos la mitad de los términos de la ecuación final, y ahora solamente necesi- tamos la /;2'^«"'« parte, siendo ésta la gran ventaja que lleva el método de conjugación al de simetría, que allí expusimos. Aun resulta otra ventaja más: la de que, conociendo antici- padamente la parte literal por el problema segundo, podemos descartar del cálculo los términos que no sean semejantes á los que buscamos (*). También el teorema tercero de este capítulo nos permite otras abreviaciones, dándonos algunos términos sin previo cálculo. Ahora veamos la marcha de la operación en quinto grado: por la fórmula, muy conocida, del término general de la potencia de un polinomio, establecemos los términos en que debemos operar, por ser los únicos que nos pueden dar tér- minos distintos para la conjugación. Estos términos elegidos, lo son teniendo en cuenta el esquema de la potencia del polinomio irracional, incluido en la primera parte. Debajo van, con signo negativo, los coeficientes hallados para y> y^ y^ por el método ya explicado, y formamos, en la parte indispensable, las potencias de - y = (a -f 6 + •••)' y2 = (^a-^b + ...y, —y'' = {a-\-b + ...)^ (es decir, has- ta >;'»-2). Más allá del término de p^\ sacamos los coeficientes numé- ricos que resultan de la multiplicación de estas potencias de y por sus coeficientes ya hallados (el cálculo para hallarlos está debajo de la raya horizontal); pero, omitiendo los pro- ductos que no son de la forma a- b c d, y verificando la resta indicada, hallamos 5 a- b c d, que dividido por a y mul- tiplicado por — y, nos da el término que nos falta para com- (*) En el método explicado en la primera parte, con un término Ta"p" dividido por a" p" hallábamos el término Ty". Reciproca- mente, el término T y" nos conduce al término Ta"p", que estable- ceremos fácilmente. — 137 - pletar la investigación: téngase en cuenta que en este cálculo, abreviación del que practicamos en la primera parte, hemos transformado ;; en — y. Como hemos querido presentar completos los cálculos números 1 y 2 al establecer la fórmula de los términos de la potencia, estampamos como antecedente, para repasar si hubiera error, la fórmula del coeficiente numérico entre parén- tesis, y, á continuación, la cantidad á que asciende. En quinto grado, este resultado se obtiene fácilmente haciendo la ope- ración de memoria; pero en sexto grado pudiera haber error, y hacemos figurar por separado los calculitos de dichos co- eficientes bajo la raya horizontal. En este grado hemos separado el cálculo de los términos de /713 y pii del de los que no pasan de p^'\ ateniéndonos á las dimensiones del papel. Creemos que, enterado el lector del mecanismo de la operación explicada al principio de esta memoria, no son necesarias más aclaraciones. IV. Conjugar los términos hallados en la matriz de repe- tición. Sea en el polígono (fig. I.""), ó sea en el encasillado (cálcu- los números 1 y 2), no hay más qué hacer que conjugar cada término, letra por letra, siguiendo el orden alfabético, poniendo á las letras conjugadas el mismo exponente, según se ve en los ejemplos citados. V. Redactar, sin cálculos previos, las determinantes de LOS grados tercero, cuarto y quinto. El teorema tercero nos permite resolver este problema. Sus principios 1.°, 2.° y 3." nos dan, para conjugar, el término y^{d^,b^), y para último término, — 2aby, en tercer grado. El 1.° y el 4.° dan, para el cuarto grado, las únicas conjugaciones y^, — 2 b^, —4 a c. El 1.°, 3.° y 6.°, en relación con el 5.°, atribuyen al quinto grado las conjugacio- nes de 3;^, — 5 a d, — 5 b c; y otras de la forma 5/7- q, que hallaremos sencillamente con fijarnos en los elementos 0^ ¿>2 c-¿ í/4, que nos dan, para dicha forma. — 138 — — 5a,bi {=-5abn) y -5alc,{= —5a''ck), cuyas conjugaciones contienen los términos simétricos en el cuadro de la potencia — 5 t., d'l y — 5 c'l d^;y iialiando por el medio explicado en la siguiente nota el coeficiente 5 — 10 = — 5, del término a b cdy, tenemos todos los me- dios necesarios para establecer la ecuación, sin necesidad de escribir cálculo alguno, bastando conjugar, siguiendo el orden alfabético, al mismo tiempo que escribimos la determinante. Nota. Al principio de la investigación, nos cansamos escribiendo menores; y después nos resultó inútil la tenta- tiva de cubrir columnas con tiras sueltas de papel, que volaban al menor movimiento. Tuvimos, pues, que echar mano del recurso indicado en la figura 2.": cortamos las tiras, siguiendo las líneas continuas de la lámina, numeradas por el anverso y el reverso, y dobladas por las líneas de puntos p q en el orden conveniente para tapar filas y columnas, dejando descubierta la menor que deseábamos someter á investigación ó cálculo. Las tiras ;;', q, r', s', son más largas, para que, doblándolas sobre las p, q, r, s, pudiera sujetar sus extremos la mano izquierda, mientras la derecha hacía las anotaciones. La lámina es copia de la hoja en que, previa la siempre indispensable formación del índice de menores, investigamos en las de tercer orden los coeficientes numéri- cos de los términos b'^y^, a- dy'\ a b cy\ en la determinante de sexto grado, señalando cada unidad con una raya á con- tinuación del término correspondiente. La investigación en las veinte menores principales duraría un par de minutos. Para calcular simultáneamente las menores complementa- rias, sería preciso cortar otras tiras sobre la matriz y á la iz- quierda de ella, y ordenar las menores, por el orden numé- rico de las filas (ó de las columnas), para que las tiras pue- dan cubrir todos los elementos extraños á las menores. Por ejemplo: en la matriz de quinto grado, elegidas dichas menores ^ u, A ¿a?, complementarias, donde están barajadas filas y co- — 139 — lumnas, no podríamos cubrir los elementos a I, al; pero los podemos cubrir siempre si tomamos las menores de se- gundo ó tercer orden, de las primeras ó de las últimas colum- nas ó filas. El aparatito, susceptible de alguna variación en su forma, es infantil, y así lo reconocemos; pero lo incluímos, para evi- tar que un calculista novel pierda algunas horas, como las perdimos nosotros, antes de idearlo. IV Comparación de métodos. Para que pueda efectuarse esta comparación, á continua- ción insertamos, completos, los cálculos necesarios para cada método de los que vamos á cotejar, numerados del 1 al 5. Debemos prescindir del trabajo necesario para escribir la determinante, que es el objeto del problema; y sólo atende- remos á la labor preparatoria, que es donde hay que buscar la economía de tiempo y de trabajo. Observemos que el método de las menores nos da las si- guientes combinaciones: en quinto grado, 10 menores de ter- cer orden, apareadas con sus diez complementarias de se- gundo; en sexto grado, 20 de tercer orden, con otras 20 del mismo; en séptimo grado, 35 de tercer orden, con 35 del cuarto; pero, en este grado, cada una de las 35 del cuarto orden ha de descomponerse en 10 pares del quinto, resul- tando, en este orden, 350 pares. De otra manera, la determinante contiene, en quinto grado, 120 términos y 600 letras; la de sexto, 720 y 4.320, y la de séptimo, 5.040 y 35.280, respectivamente. La proporción de letras, tomando por unidad las 600 del quinto grado, es, en sexto, 7,2, y en séptimo, 58,6. Ahora, empecemos la comparación entre el método de las menores, y el de la conjugación (cálculos números 1 y 5), - 140 - aquél, en la matriz general; y éste, en la general y en la de repetición. En aquél, el sencillo trabajo, que puede encomen- darse á un niño de ocho años, de sumar unidades á los ín- dices ó subíndices, puede considerarse como nulo: es rapidí- simo. En el de las menores, si, en el grado m, tenemos que desarrollar solamente una menor principal, para conjugar sus términos, en lugar de desarrollar m menores del mismo or- den, el trabajo T, del método, quedará indudablemente redu-- cido a — , pero, en dicha menor de primer orden, si desarro- llamos solamente una menor principal de segundo orden, el T T trabajo — quedara reducido á — : (m — 1); y repitiendo el T razonamiento, este trabajo será, finalmente, . — , reduciéndo- se á la nulidad, prácticamente considerado. La sola comparación de los cálculos 1 y 5 basta para con- vencernos de que el método de conjugación es ventajosísimo. Si efectuamos la comparación entre los cálculos números 2 y 5, la ventaja es aún mayor, pues en el método de las menores, después de practicar las multiplicaciones, todavía hay que reducir términos semejantes, trabajo harto prolijo, cuando los términos que hay que reducir son, en grados sucesivos, 120, 720, 4320, 34560, 31 1040 Aplicando al sexto grado (cálculos números 3 y 4) el mé- todo que dimos en el capítulo primero para las ecuaciones de grado par, y comparándolo con el método de la conjuga- ción, éste continúa prevaleciendo; y debemos desechar el otro. Nos falta confrontar los métodos de conjugación numé- rica y literal, aplicados á las matrices de repetición. En este caso, el cálculo número 1, de definitiva extensión de la determinante, se convierte en preparatorio, pues halla- dos los \m términos contenidos en las j//7 1 líneas y m co- lumnas, todavía tendríamos que reducir términos semejantes, para formar la verdadera determinante. — 141 - En quinto grado, este cálculo número 1, que no es más que preparatorio en el caso que nos ocupa, contiene 1.800 le- tras y guarismos. El cálculo preparatorio del número 2, sólo contiene 327 letras y guarismos, luego el desarrollo es cinco y media veces menor; y esta reducción del desarrollo com- pensa ya, con creces, en el 5.° grado, la mayor complica- ción de las operaciones; pero en los grados superiores la ventaja es mucho mayor. Aplicando el método del número 1 á los grados 6.° y 7.°, el desarrollo, proporcional al número de letras, es, respectiva- mente, 7,2 y 58,6 veces mayor. Pues bien; por el método de conjugación literal, el cálcu- lo en 6.° grado (número 3), que contiene 1.076 letras y gua- rismos, sólo alcanza un desarrollo 3,3 veces mayor que el del número 2, y mucho menor todavía, en número de letras y cifras, que el del número 1, en lo tocante al total de ca- racteres. Calculamos, á ojo de buen cubero, que el desarrollo del cálculo, aprovechando las abreviaciones que permite el teo- rema tercero de este capitulo, que nos daría doce términos hechos en el 7.° grado, no excedería del triple del desarrollo del cálculo número 3; es decir, no excedería de 3.200 ca- racteres. Pues bien; en dicho grado, por el método del nú- mero 1, el total de caracteres alcanzaría la enorme cifra de 105.840. Corolarios: 1.° En la práctica, el método del cálculo de las menores debe ser abandonado, substituyéndolo por el de la conjugación en todos los casos. 2° Siendo la matriz de repetición, hasta el 5.° grado, basta el teorema tercero para hallar la determinante; y, en los grados superiores, debe preferirse el método de conjugación literal, con las abreviaciones que permite dicho teorema, y las que se logre idear en lo sucesivo. - 142 — PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1," DE JULIO DE 1907 Real Academia de la Historia. — Cortes de los antiguos Reinos de Aragón y de Valencia y Principado de Cataluña. — Tomo XI. —Cortes de Cataluña. Madrid, 1907. Real Academia de la Historia. — Boletín. — Tomo 50, cuaderno 6.®— Tomo 51, cuadernos i." al 4.° — Madrid, 1907. Real Academia de Bellas Artes de San Fernando. — Boletín ^2.» época), nú- meros I y 2. -Madrid, 1907. Real Academia de Medicina.— Anales.— Tomo 27, cuadernos 2.° y 3.°— Ma- drid, 1907. Real Sociedad Geográfica. — Boletín. — Tomo 49, tercer trimestre 1907.— Revista de Geografía Colonial y Mercantil. Tomo 4.°, núm. 6. — ídem 5.^, núms. 7 al 9.— Madrid, 1907. Universidad Central de España. -Memoria del curso 1905 á igo6 y Anuario del de 1906 á 1907 de su distrito universitario.- Madrid, 1907. Universidad Literaria de Salamanca.— Memoria sobre el estado de la ins- trucción en esta Universidad y establecimientos de enseñanza de su dis- trito, correspondiente al curso académico de 1905 á 1906. —Anuario para el de 1906 á 1907. — Variedades. — Salamanca, 1907. Facultad de Ciencias de Zaragoza. - Anales.— Año i.°, núm. 2.— Zarago- za, 1907. Observatorio de San Fernando. — Carta fotográfica del cielo; 20 hojas. Observatorio de IVIarina de San Fernando. — Anales del Instituto (sección 2.»), Observaciones meteorológicas, magnéticas y sísmicas. — Año 1906. — San Fernando, 1907. Instituto de Alfonso XIII. — Sueroterapia, Vacunación y Bacteriología. — Año 3.*^, núms. 10 y 11. — Madrid, 1907. Sociedad Española de Física y Química.— Anales. —Tomo 5°, núms. 457 46. — Madrid, 1907. Sociedad Ar\ í du dv dw\ , / du , dv , div d{ -^^- — h-^ (í^ + ^) 153 — ó bien, no escribiendo más que la primera, porque lo que de ésta vamos á decir, pudiéramos repetirlo para las otras: ^ ^ '^^ \ í/x^ dxdy dxdz } ^\dx' dy' dz\l Pero de los valores supuestos, u^=ax, v = ay, w = az, se deduce diferenciando, ^^"^0, ^^ = 0, ^^=0, -^!^ = o, dx^ dy dz' dxdy d'w dxdz 0; luego esta primera ecuación queda satisfecha y se reduce á la entidad 0 = 0. Los mismos resultados se obtienen para las dos ecuacio- nes restantes. De donde se deduce que los valores expresados de u, v, w satisfacen á las ecuaciones (T). Veamos ahora si pueden satisfacer á las ecuaciones (2) merced á la indeterminación de la constante arbitraria a. Las ecuaciones (2), recordando que la fuerza P es nor- mal á la superficie y hacia el interior, y que por lo tanto los cosenos /, m, n de los ángulos que forma con los tres ejes son iguales numéricamente y de signo contrario á a, p, y; es decir, que / = — a, /n = — ?, « = — y se reducen á -Pa = iV,a+r3|3+nY, -P,3 = 7V,p+r,y+73a, -Py = iV3r + n=^+7^i^; — 154 — y sólo nos resta determinar los valores de la N, T y substi- tuirlos en las ecuaciones anteriores. Para ello, de los tres valores u = ax, v — ay, w = az, deduciremos las derivadas que entran en las N y T, que serán las siguientes: , du . dv . dw , , ^ O = 1 [- - — = a -{- a -\- a = 3a; dx dy dz du dv — — o; — - dx dy dw -a; —- — a; dz dw ^ dv — 0; — 0; dy dz du Q. dw dz dx ^' 0; dx ^" 0; dy í modo que, N, = Sla + 2pLa =(3X -f 2a)fl, N, — {3'k^2ik)c h N,-(3\ -^21^)0 U T, = 0; T,= = 0; 73== 0; 0; y las ecuaciones (2) se reducen á — Pa = {3'K + 2^)a eos (P, P^) = PQ. — 158 - Del mismo modo P' = Peo' eos P' P' = PQ. X Luego las dos componentes paralelas á las aristas del pris- ma son iguales y contrarias; ni dan una resultante, ni dan un par resultante. Lo mismo podemos decir de todos los filetes paralelos al eje de las x y aun de todos los filetes en que dividamos el cuerpo paralelamente á los otros dos ejes. * * * 2.^ Como las componentes de los desplazamientos son de esta forma: u=:ax, v = ay, w = az; ó de otro modo, como todas las coordenadas de todos los puntos del cuerpo varían en la misma proporción, determi- nada por la constante a, claro es que el sistema deformado constituirá un sistema de puntos semejante al primitivo, en que el origen será el centro de semejanza, puesto que para X = 0, y = 0, z = 0 resulta « = O, v = O, iv = 0. En efecto, tracemos desde dicho origen una recta cual- quiera r, á un punto del sistema: su longitud será antes de la deformación, y después de ésta, las tres coorde- nadas X, y, z, se habrán convertido en X + w = x -}- ax = x(l + fl); y ^ v -= y {\ -\- a); z -\- w = z (\ -f- a). — 159 - El punto deformado continuará en la recta r, porque x-\-u y + v z -f-w = 1+0, y la nueva longitud tendrá por valor r' = \/x' (1 + af + r (1 + ay + 2:^1 + «)" = = (1 + fl) VxH^r'+^ = (!+«) r; de modo que todas las rectas r conservarán la misma direc- ción y variarán acortándose, puesto que a es negativa, en la relación de 1 + aá 1. — P Esto supone, como hemos dicho, que a = — : es negativa; es decir, que 3/. -f 2^ es positiva. * * * Al que por primera vez estudia estas materias, es muy posible que le asalte una duda. Como en los valores de ii, v, w, para x = 0,y=0, z = 0, las componentes de los desplazamientos se reducen también á cero, resulta que el origen de coordenadas queda fijo. Pero ninguna condición previa determina cuál deba ser en el cuerpo el origen de coordenadas. Cualquier punto puede tomarse como origen; luego cual- quier punto del cuerpo puede tener un desplazamiento nulo; resultando verdaderamente extraño, porque de aquí resultan infinitas soluciones para el problema analítico y una gran indeterminación para el problema físico. La objeción, por sencilla que sea, se enlaza con otro pro- blema de la Elasticidad de verdadera importancia. - 160 — Y de todas maneras, la solución propuesta se ve que no es única. Pero esto se ve directamente, porque si á los tres valores de w, y y w, se les agregan tres constantes: h,^, h.,, h.¿, los nuevos valores « = /?! + ax; V = /Z2 + <^y; w = h¿-{- az, se observa desde luego que satisfacen á las seis ecuacio- nes (1) y (2), puesto que en las diferenciaciones desapare- cen las tres constantes h. Mas esto se explica; porque al cuerpo, después de las deformaciones, es lícito considerarlo como un cuerpo sólido, al cual se le puede comunicar un movimiento de traslación, que supondremos infinitamente pequeño, y cuyas tres com- ponentes sean h^, ho, h.¿. De donde resulta que los desplazamientos totales se com- pondrán de los desplazamientos elásticos representados por ax, ay, az, y de los de movimiento de traslación. Ahora bien, en el movimiento de traslación se puede hacer que cualquier punto vuelva á la posición que tenía al prin- cipio, con lo cual podría servir de origen para expresar los valores ax, ay, az. Realmente, los desplazamientos elásticos, ó sean sus com- ponentes, serán ax, ay, az; y h^, /z,, h^ no indicarán más que un movimiento del cuerpo ya deformado é invariable: no son verdaderos desplazamientos elásticos. Por lo demás, siempre la forma del cuerpo deformado será la misma, es decir, semejante al primitivo en la relación — ~ — ; la única diferencia entre unas y otras soluciones será 1 que ocupará el sistema posiciones distintas en el espacio. En realidad, estos nuevos movimientos son arbitrarios y artificiosos, y no entran en los datos del problema; si de — 161 - ellos se prescinde, el punto fijo será único y determinado; á saber, el centro de gravedad. * * * Pero hay más: al cuerpo ya deformado, y por lo tanto, convertido en un sólido invariable, un sólido de la Geome- tría pura, no sólo se le puede comunicar un movimiento de traslación, sino dos movimientos combinados, como se sabe por Cinemática, á saber: un movimiento de traslación, arbi- trario, aunque suponemos que sea infinitamente pequeño, cuyas componentes hemos representado por h^, h.,, h.¿; y también un movimiento de rotación alrededor de un eje cual- quiera, que será, como se sabe, la componente de tres rota- ciones alrededor de los tres ejes, rotaciones que representa- remos por 0\, lOy, OJ^. En Cinemática se demuestra, y la demostración es elemen- tal, que las componentes de la rotación total proyectadas sobre los ejes tienen por valores. (üy z — 10^ y, 0)^ X — o)x ^) Pues estas cantidades pueden agregarse á su vez para obtener un desplazamiento general; de suerte que los tres desplazamientos podrán ser: u = h^ ^ ax -{- lOyZ — M^yi V = ho 4" ay + ^2^ — ^x^; w = /Zg -[- az + ui^y — Wj,x. Tales expresiones satisfacen evidentemente al grupo (1), Rev. AcAD. CiHNClAS. — VI. — Octubre,,]90- :i - 1G2 - porque todas las derivadas segundas de u, v, w se reducen á cero. Vamos á ver que también satisfacen al grupo (2). Empecemos por calcular las N y las T; para ello diferen- ciaremos u, V y w con relación á x, y, z, y tendremos: du dv dw a; —— = a; —— = a; dx dy dz du , du , dw f + -— + — 0 = 3 a; dx dy dz du du , dv w, 'z, —r = '\-^'^y'^ — — = + ^2; dy dz dx dv dw dw dz dy dx y substituyendo estos valores en las TV y las T, resultará: A^^ = /J) -I- 2¡j. — = 3Xa + 2ua = (3X + 2ul) a; dx dw du \ dy dz 7^1 = K ( — ^ + —^ \ = \^ (^\ — ^\) = 0; N. = >.e -h 2a -- = 3\a + 2u.fl = (35. 4- 2¡j.) fl; dz ^3 4- )Jj + 2;j. — = 3/Í7 + 2ua == (3X + 2u) a; dz ^8 = K- 1 -3 í- -7— I = [^ (wz — w^) = 0; \ dx dy / que substituyendo en el grupo (2) convierte todas sus ecua- ciones en identidades, si se da á a el valor que antes hemos determinado. - 163 — Resulta, pues, que tres traslaciones y tres rotaciones infi- nitamente pequeñas, considerando al cuerpo elástico des- pués de las deformaciones elásticas como un cuerpo sólido, satisfacen á las seis ecuaciones del equilibrio. Por lo tanto, los valores u, v, iv, « = /?! + ox + hiyZ — w^y; V = hi ^ ay ^ lo^x — w^z; w = h^ -\- az -{- tsi^y — lOyX, que son más generales que los primitivos u = ax, V = ax, w = ax, que eran P P u = ^ X, V = : y, 3'k -\- 2[t. 3X -|- 2[x P IV = z, 31 4- 2p^ satisfacen á las ecuaciones de la Elasticidad (l)y (2). Mas en rigor, sólo estos valores primitivos representan deformaciones elásticas; las restantes significan cambio de posición, pero no cambio en la estructura del sistema, como indicamos antes. Igual generalización puede aplicarse á todos los problemas del equilibrio, y de este modo, los valores de u, v, infor- man una serie de grupos que se dicen equivalentes. 3.'' Otra observación más que tiene también mucha im- portancia : Hemos encontrado una solución para el cálculo de las deformaciones ó desplazamientos elásticos: u = ax; V = ay; w = az, — 164 - Y prescindiendo de los desplazamientos, que correspondan á movimientos totales de traslación ó rotación, se presenta en este ejemplo, que estamos tratando, como se presentaría en otro cualquiera, el siguiente problema que hemos enun- ciado muchas veces: la solución de estos problemas del equi- librio elástico, ¿es única para cada caso, ó puede haber mu- chas soluciones? En el problema físico, parece que el instinto de la realidad y la fijeza, ó unidad por decirlo así, de las leyes naturales, nos dicen que la solución es única; pero la solución analí- tica, ¿lo será también? ¿Irán de acuerdo perfecto el problema físico y el cálculo matemático? Esto no parece evidente, y bueno sería demostrar por el análisis, que la solución es única, es decir, la que hemos encontrado. Séannos, pues, permitidas, sobre este objeto, las siguientes observaciones que nos ocurren: Supongamos, que en el ejemplo que estamos tratando, se han encontrado dos soluciones para las deformaciones elás- ticar: ü, X, w y Uv ^1, ^u y representemos sus diferencias por U, V, W. De modo que u^ — u = U; v^ — V = V; vv, — w ^ W. Puesto que ii, v, \v son una solución del problema, satis- farán á las ecuaciones del grupo (1) que escribiremos en forma desarrollada: ... , / dHi , í/2y , í/'w \ , ^ '^ \ í/x-' dydx dzdx ) — 165 — n ^ x/ d^^ , d^v , d^w \ , Al ^/ ^^^ I ¿^^V I d-'-W\ ^ \ dzdx dydz dz" ) ^\ dx' "-' -'"^ ' dy^ dz^ Pero como «i, Vi, w^ son también soluciones del proble- ma, también satisfarán á las mismas ecuaciones, y tendremos: d'u, j d^Vi ^ d'w, \ ^ \ dx^ dydx dzdx V dx^' dy^' dz'' ) \ dydx dy^ dydz / ^\ dx^ dy'- dz'- ) \ dzdx dydz dz- / ^\dx'' dy'^ dz^' ) Restando del grupo anterior éste, ecuación por ecuación, y no escribiendo más que la primera para abreviar la escritura, resultará: - 166 — (?. I p.)f '^'("'-"> I "'{V^-V) I +r3p + ry, y restando unas de otras; 0 = /Z,P+/,y + /3a, } (3") Los tres grupos (1") (2") y (3") expresan el equilibrio en el interior del cuerpo y en la superficie, cuando no existen fuerzas exteriores, puesto que en el grupo (1") no entran X, Y, Z; cuando no existen tampoco fuerzas en la superfi- cie, toda vez que en el grupo (3") y en el primer miembro no entra ninguna componente, todos los primeros miembros son cero. Por lo demás, el grupo (2") expresa los esfuerzos n y t en un punto cualquiera del interior del cuerpo. Si en estas condiciones, es decir, no existiendo fuerzas exteriores, y no existiendo fuerza sobre la superficie, hubié- ramos querido calcular las componentes de los desplaza- mientos, éstas serían las ecuaciones que hubiéramos escrito, y U, V, W, hubieran expresado las componentes de dichos desplazamientos. — 169 - Pero en las condiciones expresadas, los desplazamientos serían nulos, puesto que no actúan fuerzas sobre el sistema; luego U=0, V=0, W = 0, es decir, de modo que la solución primitiva es única. O cuando más, diferirá una de otra por los desplazamien- tos que corresponden, según antes explicábamos, á trasla- ciones y rotaciones del sistema como cuerpo sólido. Y sin embargo, este razonamiento no convence por com- pleto. Podrá convencer para la cuestión mecánica, pero no para la cuestión analítica, porque el problema se vuelve á plantear aquí como se planteaba al principio. U=0, V^O, W = 0, podrán ser una solución; pero ¿no existirán otras soluciones analíticas que satisfagan á los grupos (1") y (3")? Es el problema primitivo bajo otra forma, y el problema analítico no queda resuelto, ni el teorema queda demostrado: Demos un paso más. Supongamos que se ha partido al aplicar las fuerzas X, Y, Z P , no del equilibrio inicial de Mr. Poincaré, sino del estado natural de Lame y otros autores. Recordemos cómo definen éstos el estado natural: Mr. Sarraú dice terminantemente: «llamamos estado natu- ral de un sistema material, aquel en que no existe ninguna tensión». E\ término tensión parece que aquí es genérico; se aplica lo mismo á compresión, que á tracción, que á fuerzas de resbalamiento. Dice asimismo Mr. Appell en su tratado de Mecánica ra- cional: «Cauchy y Poisson han tratado este problema de la Elasticidad adoptando la hipótesis de las fuerzas centrales, es decir, admitiendo que dos puntos materiales cualesquiera — 170 - del medio elástico se atraen ó se rechazan, según una cierta función de sus distancias^. Esta misma hipótesis ha sido adoptada por Lame, que ad- mite, además, que la acción mutua de dos puntos cuales- quiera es nula en el estado natural, y que tales puntos se atraen ó se rechazan según que su distancia es superior ó inferior á la que corresponde á dicho estado natural. Y continúa diciendo Mr. Appell: «Esta hipótesis de Lame es mucho más restrictiva, que la que nosotros hacemos aquí, admitiendo que los esfuerzos interiores son nulos en el esta- do natural; puesto que nosotros suponemos únicamente, que las fuerzas interiores que obran sobre un punto material del sistema tienen una resultante nula en el estado natural, y no que ellas son nulas separadamente, como supone Lame». Prescindiendo de algunas reflexiones, que nos sugieren los párrafos que acabamos de traducir literalmente, se ve desde luego que aplicando á las ecuaciones (1"), (2"), (3") al esta- do natural, las n y t, podrá suponerse que son nulas, y ten- dremos las ecuaciones siguientes para determinar U, V, W: Q=L 0 = X O '■( dU ,_dy_, dW ) + 2(. dU ,_dV_, dW dU dV dx + 2[. dU_ dx dV dy dW\ , ^ dW dz {a) - 171 - Las tres primeras pueden ponerse bajo esta forma: dx dy dz k \-- {L -\- 2li.) \- K = O, dx dy dz dx dy dz Son tres ecuaciones de primer grado, suponiendo que las incógnitas sean dV_ drV_ dW dx ' dy ' dz * y sin segundo término. De suerte que á menos de no tener las constantes X y ¡j. valores tales, que la determinante de los coeficientes sea nula, deduciremos de ellas, "í^ =0,^ = 0,^ = 0. dx dy dz Lo cual nos demuestra que U sólo contiene las variables y, z, toda vez que la derivada con relación á x es cero; que V sólo contiene á las variables x, ¿, y que W no puede contener más que las variables x, y. Además, diferenciando por relación á x la segunda ecua- ción del grupo {a), después de suprimir \x\ por relación á y la cuarta, y por relación á z la última, tendremos: d'^W d-'V _ dxdy dxdz dydz dydx dW d'U Q dxdz dzdy - 172 — De estas ecuaciones se deduce inmediatamente, porque son ecuaciones de primer grado con las incógnitas, dW d'V d^W dydz dxdz dxdy que debe tenerse: d^-U ^ 0; ^^ = 0; ^^11^ = 0. dzdy dxdz dxdz Integrando la primera con relación á y, dU _^ dz en que C no podrá contener la variable y, que es la de la integración, sino la x y la z; pero como tampoco puede con- tener la variable x, porque no la contiene U, sólo podrá ser una función de z. Llamándola 'f 'i (^), resulta: dU ,,, dz Integrando otra vez con relación á z, tendremos: í/ = /cp/(z)í/z f Q = 'fi(z)+Q. Ci no puede contener más que la x y la y, porque la z es la variable de la integración; y como tampoco puede conte- ner X porque no la contiene U, sólo podrá ser una función de y, que la representaremos por /", {y). Así, pues, lo cual era casi evidente á priori. — 173 — Repitiendo esto mismo para y obten- dxdz dxdy dremos w = Mx) + ')4-Á(^) = o ó Ys(y) = -f'Á^), 9\(z) + f'Áx) = 0 ó ^\(z)=-f',{x), 9'Áx)+f\(y) = 0 ó 'f\ix) = -f\{y). Pero las tres últimas ecuaciones no pueden subsistir si entran las variables x, y, z, porque como son variables in- dependientes, no pueden estar ligadas por ninguna ecuación. No iiay manera de satisfacerlas, sino reduciéndose ambos miembros á una constante. Representando estas constantes por lo^., w^, w^ para que las notaciones resulten conformes con las que antes hemos adoptado, resulta: ^'Áy) = to^ é integrando ^^(y) = WxY + constante. — f'íi^) = ^xy de donde /^(z) = — w^z -f constante. cpi(z) = tüyX -f constante; f.¿{x) = — iOyX + constante; C2(x) = ti)^x + constante; fi{y) = — ^hy + constante. Poniendo estos valores en los de U, V, W, y llamando ^o> ^o> W^o á las constantes definitivas, - 174 - U = f.)j,2 — i.Ozy + ^o> W — ^y:y — tOj,X + U^o- La demostración que precede está tomada de la obra de Mr. Poincaré sobre la Elasticidad; pero el ilustre autor sólo emplea la demostración á que nos referimos con el objeto de hacer ver que, si las dilaciones y los deslizamientos son nulos, el cuerpo se moverá á la manera de un sólido inva- riable. Nuestro objeto, en cierto modo, es distinto, como ya he- mos indicado al comienzo; nos proponíamos probar, que si en un cuerpo elástico en estado natural los esfuerzos interio- res, es decir, las T ^ N son iguales á cero, las componentes de los desplazamientos sólo pueden ser las que resultan por los movimientos de traslación y de rotación del cuerpo, como si fuera un sólido invariable. Pero recordemos que U,V ^ W representan las diferen- cia Wi — w. Vi — V, Wi — w; y resulta que, si no son igua- les ambas soluciones, «i, Vi, w^; u, v y w, sólo podrán di- ferir por un movimiento total de traslación y rotación. Que es como si dijéramos, que la solución relativa á des- plazamientos elásticos es única, al menos en este ejemplo que estamos considerando. Por lo demás, es evidente, que el mismo método de de- mostración podríamos emplear, y al mismo resultado de una solución única llegaríamos en el caso general, dado que existiesen X, Y, Z y P. Parece, pues, resultar que en el equilibrio elástico es única la solución. * * * Pero este resultado, ¿es tan general y tan exacto como hemos indicado provisionalmente? - 175 - La pregunta da lugar á varias observaciones. En primer lugar, las condiciones iniciales á que esté sujeto el sistema, pueden ser distintas de las indicadas; por ejem- plo, puede haber puntas fijos ó empotramientos, y éstos exigirían nuevas demostraciones. Pero además, y esto es aún más importante, hemos par- tido de una hipótesis, admitida bajo la autoridad de autores respetables, pero que despierta algunas dudas, y sobre todo, que no es condición analítica: es condición mecánica. Hemos dicho: existe, al menos teóricamente, para todo cuerpo elástico un estado natural en el cual las N y T son cero. Y prescindimos de otras hipótesis como la de Lame, que es muy discutible, pero respecto á la cual nada diremos. Sin embargo, aun la que hemos admitido, no es evidente: exige una demostración de su posibilidad. Es decir, consideramos, que es necesario demostrar que en un sistema isótropo (que es el caso de que se trata), puede darse á las masas una distribución geométrica tal, que las N y T sean iguales á cero. Pudiéramos intentar esta demostración, que habría de ser puramente analítica ó geométrica, y en que no habría más que una incógnita, á saber: distancia media entre cada dos puntos contiguos. Pero aunque la demostración pudiera intentarse estudiando las expresiones, ^mm'f(r) dz, ^mni'f{r) dy, ^mni'f(r) dz, aun así ocurriría otra duda, y es que la ecuación de donde ha de deducirse esta distancia media, no puede afirmarse que no tenga diversas soluciones, dado que tenga una. Con lo cual, la demostración que antes dimos caía por su base, porque se fundaba en que el estado natural era único. Ya comprendo que todo esto es muy vago; más por el - 176 - motivo expuesto y por el carácter de estas conferencias, no puedo entrar en otros pormenores. En la próxima continuaremos presentando ejemplos muy sencillos para la aplicación concreta de las fórmulas gene- rales. VII. — Del modo de expresar la acidez. Por Juan Faces. Cuando un cuerpo más ó menos complejo (vino, orina, aceites, etc.) contiene varios ácidos libres y no es posible, ó no es necesario, determinarlos separadamente, se mide la acidez total con una solución básica valorada. Para expresar la suma de ácidos presentes, se supone luego que en aquel cuerpo sólo hay un ácido libre, y se calcula su proporción en función de la solución básica empleada para la neutrali- zación. El número resultante expresa la acidez del cuerpo, y así se dice en la práctica: «acidez expresada en ácido sulfú- rico, ó en ácido fosfórico, ó en ácido oxálico, etc.» Este modo de representar la acidez tiene el inconveniente de no ser la expresión de la verdad en ningún caso, y, á veces, ni existe en el cuerpo analizado el ácido elegido. Además no están de acuerdo los químicos en el ácido patrón, ni para cuerpos diferentes, analizados por el mismo químico, ni para cuerpos de igual naturaleza, analizados por diferentes químicos. Así resulta expresada la acidez de un mismo cuerpo por números diferentes, según el ácido elegi- do por cada químico que lo ha analizado. Considero mucho más racional y conveniente, en la prác- tica, representar la acidez por lo que es causa de ella, á — 177 — saber: por la proporción de hidrógeno-ión que los ácidos presentes pueden originar. Esta manera de expresar la acidez tiene las siguientes ventajas: 1." Es la expresión de la verdad, independientemente de toda clase de hipótesis, pues aunque desaparezca la teoría de los iones, el hecho de la existencia del hidrógeno susti- tuíble por metales en los ácidos será siempre exacto, y es este hidrógeno el que mide la acidez. 2.'' Es la expresión de la acidez como carácter genérico de todos los ácidos, independientemente de la naturaleza concreta de cada uno de ellos. Así, determinar la acidez es equivalente á determinar el cloro-ión ó el sulfato-ión, etcé- tera, en cloruros ó sulfatos respectivamente, etc., ó el pota- sio-ión, el cinc-ión, etc. , en las sales potásicas, cíncicas, etc. S."* Es aplicable á los casos de existir uno solo ó varios ácidos, si lo que interesa es sólo la acidez, independiente- mente del ácido ó ácidos que la motivan. 4.' Los resultados numéricos de los análisis de acidez serán absolutamente comparables. También lo son expre- sando la acidez por un ácido determinado, como actual- mente se hace; pero como la elección de ácido patrón es un convencionalismo sin base seria, resulta lo que ahora ocu- rre, es decir, desacuerdo entre los químicos en la elección del ácido y desacueido consiguiente en los resultados nu- méricos. Siendo el hidrógeno-ión lo único común á todos los ácidos, no caben criterios diversos dentro de lo exacto; la elección del hidrógeno como expresión de la acidez tiene mucho menos de convencional, pues está tan fundada como la del cloro-ión y demás aniones para las diversas sales de un mismo ácido, y la del potasio y demás cationes para las diferentes sales de un mismo metal y adoptadas por todos los químicos. 5.'^ La acidez de dos líquidos de naturaleza diferente será directamente comparable. Aunque en la práctica no interesa Rev. Acad. Ciencias. — VI. — Octubre, 1007. 12 - 178 - comparar, por ejemplo, la acidez de la orina con la del vino, facilita á la memoria recordar los límites ordinarios de acidez de los diversos líquidos el referirlos á la misma unidad. 6.'' Una solución acida normal será la que contenga, ó pueda originar, un gramo de hidrógeno-ión por litro. Una solución básica normal será la equivalente, á igual volumen, á la solución acida normal. Así, las soluciones acidas y al- calinas valoradas tendrán las ventajas de las normales, por su mutua equivalencia general á igual volumen, y las venta- jas de las soluciones de valoración empírica, porque su valor resultará expresado por números muy sencillos. En efecto, un centímetro cúbico de una solución básica normal será equivalente á 0,001 gramo de hidrógeno-ión ó de acidez y, por lo tanto, los centímetros cúbicos de líquido básico normal empleados en neutralizar la acidez de un lí- quido expresarán inmediatamente, sin cálculo alguno, los miligramos de hidrógeno-ión de dicho líquido y, por lo tanto, su acidez. Resulta también brevísimo, tal vez sin más cálculo que correr la coma, el referir luego la acidez al litro de disolución. Los cálculos, que tanto conviene simplificar y si puede ser evitar, en la práctica analítica, casi desapa- recen adoptando el hidrógeno ion para expresar la acidez. No recuerdo que esta proposición haya sido hecha por otros químicos. Si ya se ha hecho, uno mi voto y adhesión á la anteriormente formulada. — 179 — VIII. — Estudio químico-geognóstico de algunos ma- teiiales volcánicos del Golfo de Ñapóles (*). Por Ramón Llord y Gamboa Con e! presente trabajo termino, por ahora, el examen de los materiales recogidos durante mi estancia en las regiones volcánicas del golfo napolitano, cuya visita he reseñado en otra parte (**); proponiéndome, si las circunstancias favore- cen, seguir aportando nuevos datos analíticos y geológicos de otras comarcas análogas, especialmente italianas, con el objeto de contribuir, aunque en modestísima esfera, al cono- cimiento del volcanismo europeo. III Lava del Vesubio de 1895. Recogida de la gran corriente iniciada en Julio del referido año, esta lava densa, compacta, dura, muy obscura, está llena de pequeños cristales de leucita. Sus caracteres pi- rognósticos, iguales á la de 1905, excepción hecha áe\ flúor, que pudo reconocerse en cortísima cantidad, por vía seca, en la que ahora se estudia. La determinación del cloro merece especial mención, pues tratado el polvo de la roca con agua, hervida ésta, y exami- nado el líquido filtrado, limpio y transparente, con ácido ní- (*) Véase el núm. 3 del tomo IV de la Revista. Marzo de 1906. (**) Boletín de la Real Sociedad de Historia Natural, Enero, 1906. — 180 - trico y nitrato argéntico, apareció manifiesta la reacción de aquel halógeno. Hirviendo después el polvo con ácido nítrico diluido y tratado con el mismo nitrato, la reacción se verificó con mayor intensidad. Este resultado, obtenido en la lava anterior, se repite en casi todos los materiales estudiados: Acido fosfórico. —ReSLCc'ión muy manifiesta. Ácidos bórico y sz///í//7Cí?. -Nada. Bióxido de titano.— Por vía seca pudo apreciarse en débil cantidad. El análisis cuantitativo del polvo desecado de la lava dio el siguiente resultado: Sí O., hallada 47,0620 Fedidem(*) 8,0115 AL_0.^iáem 19,7829 Ca'Oiáem 8,0260 Mg O ídem 3,5000 A', O Ídem 5,7200 Na, O Ídem 3,2915 Pa Ó-o ídem 0,7430 FfC/1 7/0,4- pérdida 3,8631 100,0000 Silicio = S/ 21,9622 Hierro ^ Fe -{- Fé, (fe- rroso y férrico) 6,2000 Aluminio ^^4/. • 10,4733 Calcio = Cí7...' 5,7300 Magnesio = Mg 2,0400 Potasio = A',, 4,7466 Sodio = yVa2' 2,4311 Fósforo = Po 0,3194 Oxígeno total 42,2343 Fluor + cloro -\- titano; pérdida 3,8631 100,0000 Las listas anteriores demuestran la analogía entre esta lava y la recogida en el cráter del Vesubio poco después de expulsada por éste, como puede verse comparando ambos análisis (**). Esta analogía continúa en todas las rocas del mismo origen, según iremos viendo. . (*) El hierro, determinado volumétricamente, está en su casi totalidad ferroso en la lava. Calculado en Fe O, resulta la cifra de éste un poco distinta de la realidad, pero sin importancia para el resultado final del análisis. (**) Fin el análisis de la lava de 1905 hay un error que pasó inad- vertido. En donde dice sosa, ]ó;\se poiasa, y donde sodio, potasio. - 181 - IV Lava del Vesubio de 1855. Muy parecida á la anterior en aspecto, dureza, color y densidad, llena también de cristales de leucita, esta lava formó otra gran corriente, de donde proceden los ejemplares estudiados. Sus caracteres pirognósticos son los mismos de las anteriores, dando indicios de fliior. El cloro apenas manifestó su presencia en el agua hervida con el polvo de la roca; pero en la disolución nítrica diluida apareció gran enturbiamiento y pequeño precipitado, demos- trativos de la existencia del cloro en combinación insoluble en el agua. Más adelante procuraré interpretar estos liechos tan constantes en los materiales eruptivos del Vesubio y Somma. El análisis cuantitativo del polvo desecado proporcionó los datos siguientes: Si O., hallada 48,9602 FeO'ídem(*) 10,8367 y4/., 0.jídem 16,4883 Ca O ídem... Mg O ídem,. /T, O ídem. . . Na., O ídem. P^o,... F ^Cl-^- Ti O, + pér- dida 6,7650 2,0040 8,9838 3,1161 0,6550 2,1899 100,0000 Si 22,8482 Fe -\- Feo (ferroso y fé- rrico)." 8,4286 Al. 8,7388 Ca. 4.8332 Ms 1,2024 K., 7,4565 Na.-, 2,3059 P, 0,2800 Oxígeno total 41,7165 F + a + r/ + pérdida 2, 1 899 100,0000 (*) Hacemos la misma observación que en el análisis anterior. — 182 — Lava del Vesubio de 1851. Recogida, como la anterior, en el camino de Resina al Observatorio, de la gran corriente lávica provocada por el paroxismo de 1850-51, ofrece los mismos caracteres de dureza, color, densidad, etc., é iguales resultados pirognós- ticos. No se pudo comprobar en ésta el fliior ni el titano. El cloro no dio señales sensibles de su presencia en el agua hervida con el polvo; pero en la disolución nítrica diluida apareció, como en las anteriores, muy manifiesto. Las listas siguientes dan cuenta de la composición cente- simal de esta roca: S/O2 49,0202 Fe O (*) 6,6404 Al.On 20.1368 CaO.. MgO.., KoO.. Na, O. P2O, C/-f- pérdida. 6,9253 2,1060 10,4845 2,6674 0,7182 1,3012 100,0000 Si 22,8764 Fe + Fe^ 5,1648 Al^ 10,6725 Ca.. Mg. 4,9169 1,2636 8,7022 1,9738 0,3078 Oxígeno total 42,8208 C/ + pérdida 1,3012 Na, 100,0000 VI Lava basáltica, piroxénica del Vesubio. Cenicienta, de estructura porfiroide (salpicada de cristales de piroxeno), dura, compacta, densa, de aspecto basáltico, (*) Véanse las notas anteriores. - 183 - recogida de entre los productos sueltos próximos al gran cono de erupción, esta roca pertenece á las denominadas cenicientas del macizo eruptivo Vesubio-Somma. Caracteres pirognóstic os. — 'DxWzWmQni^ fusible sobre el carbón á fuerte llama de O., en esferitas negras, brillantes, no magnéticas (pasta leucítica). Alambre de platino y sal de fósforo. — Esqueleto silíceo en láminas exagonales de tridimita. Examinada la perla muy caliente, sin estar roja, con una lente , las láminas de tridi- mita se ven muy bien, pudiéndose apreciar además el color verde algo amarillento de la perla (hierro), que va palide- ciendo poco á poco si se deja enfriar muy despacio. Con el bórax sólo se reconoce el hierro. Los demás caracteres cualitativos, sensiblemente iguales á los señalados en las lavas estudiadas, incluyendo el cloro. La roca está casi totalmente ferrosa. Sólo se determinó cuantitativamente la sílice. Véase el resultado del análisis: Si O, = 49,30 J". Hierro = (Fe t Fe.,)- Manganeso (ligeros vestigios). Aluminio. Calcio. Magnesio. Potasio. Sodio. Cloro. Fósforo = (P, O 5). (Oxígeno.) VII Lava puniítica del Vesubio. Masas ásperas, cenicientas-agrisadas, de tonos claros, ligeras, aunque con cierta densidad; porosas en grande, es decir, con agujeritos de todas dimensiones, penetrando más — 184 — Ó menos profundamente en su seno; dirigida su masa en una dirección dominante (estructura fluidal); con cristaiitos en gran número diseminados, pertenecientes á los silicatos fun- damentales de las lavas (nefelina, piroxeno, olívino, alguna laminita de mica). Es dura pero frágil, pulverizándose fácil- mente por estar algo espumosa en su interior. Caracteres pirognósticos.— Fusible sobre el carbón, más bien en los bordes y en pequeñitas partículas, formando masas vitreas de color gris-verdoso-claro á la lente. En el alambre de platino con sal de fósforo se observó lo mismo que en la del número anterior. No se pudo comprobar e\ flúor ni el ácido sulfúrico. La investigación del cloro dio iguales resultados que en el análisis anterior. El manganeso demostró su presencia en muy corta can- tidad. Los demás caracteres analíticos, como en las lavas exa- minadas. El resultado fué el siguiente: 5/0, = 52,90 7o Hierro (ferroso y férrico). Cloro. Manganeso (vestigios). Fósforo (P. O.,). Aluminio. (Oxígeno.) Calcio. Magnesio. Potasio. Sodio. El examen de esta lista, y especialmente la cantidad de Si O., hallada, hacen ver que esta roca se diferencia muy poco de las lavas propiamente dichas del Vesubio, resultando muy básica al comparar su composición y riqueza en sílice con las traquitas y punitas en general, cuyos caracteres exte- riores y de estructura presenta no obstante. — 185 - VIII Lava del Somma: Antiguo derrame de la base del monte, próxi- mo á Santa María di Castello (Lagno del Purgatorio). Dura, áspera, de aspecto traquítico, cenicienta-obscura, tirando algo al color rojizo; finamente porosa, de pasta leu- cítica, con cristales pequeños diseminados en su masa, al parecer, también de leucita. A la lente toda la roca es cris- talina, y la leucita está como fundida, dando brillo vitreo al magma, del que destacan los cristales más ó menos for- mados de igual especie. Aun siendo finamente porosa, es densa. Raya al vidrio, lo que exige una dureza igual ó supe- rior á 6. Caracteres pirognósf icos. —Fusible á fuerte llama prolon- gada de O. Los demás analíticos, iguales á los de las lavas anteriores, incluyendo el cloro. No se descubrió el flLior, quedando en duda la existencia del titano. En el análisis cualitativo se demostró la naturaleza emi- nentemente ¡ciicítica de esta roca por el intenso espectro del potasio y el muy débil del calcio, siendo también muy exi- gua la porción de magnesia obtenida en la marcha analítica. Se recogieron los datos siguientes: 5/0. = 45,60 7o Hierro (ferroso y férrico). Manganeso. Aluminio. Calcio. Magnesio. Potasio. Sodio. Cloro. Fósforo = (P, O 5). (Oxígeno.) - 186 - Manifiesta esta lava su carácter básico por la cifra indica- dora de la sílice por 100, y su antigüedad relativa por el esta- do casi totalmente /crr/co de su hierro, aun cuando no debe- mos olvidar la influencia posible de varias circunstancias físicas en la rapidez de desagregación de muchas rocas. IX Lapilli del Somma. (Depósitos antiguos subiendo por Santa María di Castello.) Grandes depósitos de lapilli negro, pardusco, pardo-ne- gro, con matices amarillentos, verdosos ó verde-azulados, siempre de tonos obscuros, pueden observarse en el Somma, y muchos y muy extensos reconocí al subir por Santa María di Castello, teniendo que marchar grandes trechos sobre estos depósitos movedizos, de espesor variable, que puede alcanzar en algunos sitios varios metros. De uno de éstos proceden los trocitos recogidos á mitad de altura del monte. Su volumen, en general, varía desde el de un guisante á una nuez. Esta roca es ligera, porosa, dura, friable, fácilmente pul- verizable. Sus caracteres pirognósticos y los demás analíticos no se diferencian de los hallados en las lavas ya conocidas. Merece especial mención el hierro, casi totalmente ferroso en este lapilli, siendo digna de atención la persistencia del ferroso en rocas como estas y otras muchas de distinta natu- raleza, expuestas durante tantos años á la intemperie, con sus humedades, etc., etc., tratándose en este caso de un ma- terial pequeño, suelto y seguramente antiguo, pues estaba situado profundamente en la parte media de la vertiente N. del Somma; el depósito fué descubierto por denudación y tiene apariencia estratificada. Sobre él hay otros posteriores, todo lo cual demuestra su relativa antigüedad. - 187 — También debo hacer constar que el cloro no existe en combinación soluble en el agua; pero en la disolución nítrica y con nitrato argéntico, produjo fuerte reacción. Este resul- tado es, pues, general en todos los materiales antiguos y modernos de origen lávico del Vesubio y Somma. A conti- nuación se expresa la lista de materias reconocidas: Si O, = 50,60 «/o Hierro (ferroso y algo férrico. Cloro. Manganeso. Fósforo. Aluminio. (Oxígeno.) Calcio. Magnesio. Potasio. Sodio. Agua. Esta composición es la de las lavas estudiadas, y demues- tra que el lapilli es lava dividida y expulsada violentamente por los gases en los momentos eruptivos, cayendo á distan- cias relativamente cortas y cubriendo al depositarse las par- tes altas de las laderas ó vertientes de los volcanes. En el Vesubio hay grandes depósitos en las partes superiores del cono, y en el Somma á diversas alturas, aumentando en es- pesor y extensión en razón directa de la altura. X Pumita (pómez) del Somma. Blanca, muy ligera, flota en el agua, manifestando ser, por su gran porosidad, una espuma silícea, penetrada íntima- mente por los gases salidos de su seno, habiéndola dejado, al descender la temperatura, en estado de esqueleto, formado por los materiales más fijos. — 188 — La recogí de un pequeño depósito, situado en la falda del Somma, al comenzar á subir desde Santa María di Castello. Este depósito se halla en un escarpe obligado á cruzar por estar abierta allí la única y estrecha senda que conduce al monte. Caracteres pirognósticos. — Fusible sobre el carbón en un vidrio blanco. En el alambre de platino con sal de fósforo, se determina- ron el hierro y la sílice. No dio señal de flúor ni de ácido sulfúrico. El cloro, apenas manifestó su presencia en el agua hervida con el polvo de la roca; pero en la disolución nítrica apare- ció fuertemente. Débil reacción de ácido fosfórico. Fuerte reacción de manganeso por la fusión con los car- bonatos alcalinos, y por vía húmeda con el ácido sulfúrico, minio y ácido nítrico hirviente. Esta reacción tan visible del manganeso no era de esperar en una roca tan blanca, espu- mosa y silícea como ésta. Poquísima cal y magnesia. Presencia del litio con el potasio y sodio. El hierro muy ferroso. He aquí el resultado de las determinaciones: 5/02-56,70 7o- Hierro - {Fe -VFe,). Cloro. Manganeso. Fósforo. Aluminio. (Oxígeno.) Calcio. Magnesio. Potasio. • Sodio. Litio. Esta pumita resulta ser de las mas básicas que se conocen, pues por bajo de 60 por 100 de Si O, no pertenecen, en — 189 - general, á las liparitas espumosas y pumitas traquíticas del comercio. Manifiesta una vez más este resultado químico el carácter básico dominante en la formación volcánica del Somma y de su hijo, el actual Vesubio, XI Lava roja, porfiroíde del Somma (llamada lapíllí rojo» en la localidad). Se encuentra en depósitos de trozos sueltos á distintas alturas de las vertientes del Somma, lo mismo que el lapilli estudiado en el niim. IX. En el pueblo de Somma, la de- nominan lapilli rojo; pero su densidad y estructura porfiroide corresponden de lleno á las lavas. En su masa, finamente porosa, hay diseminados multitud de cristales de piroxcno de colores verdes obscuros y algunos claros de tonos ama- rillentos, en diversos grados de desagregación, alternando con otros cristales de leiicita y olivino. La roca es dura, áspera, de color rojizo (férrica.) Caracteres pirognósticos. — ¥\\s\h\Q. en un vidrio negro no magnético. Los demás caracteres, como en las lavas ante- riores. El hierro está casi totalmente férrico, como lo indica el color rojizo de la roca. Esta pierde al rojo incipiente hasta )(y(^ 6 por 10 de agua y productos volátiles. Todas las lavas pierden también de su peso en iguales circunstancias. Los ensayos del cloro dieron los mismos resultados ya conocidos, Al contacto con los ácidos, el polvo de esta roca produce ligera efervescencia de COo. — La presencia de corta porción de carbonato alcalino -terreo hace sospechar si se tratará de mezcla de rocas diferentes al ser lanzadas y tritu- radas unas y otras en el acto de las explosiones, formando así una roca mixta, desagregada después lentamente por los — 190 — agentes atmosféricos, conservando todavía en gran parte su carácter y tipo originarios, como puede verse actualmente. El examen microscópico en luz polarizada y natural, puede contribuir á la resolución de éste como de otros muchos problemas de Química geológica. A continuación se consignan las materias reconocidas: 5/02 = 48,40 Vo Hierro. Cloro. Aluminio. Fósforo. Calcio. Carbono. Magnesio. (Oxígeno ) Potasio. Sodio. Agua. XII Lava compacta, celular, antigua, del Somma. Cenicienta, de aspecto uniforme, compacta, macroscópica- mente considerada, dejando ver á la lente algún cristal de piroxeno y leucita, y diseminados en su pasta, muy leucí- tica, laminitas de mica de colores claros. Es dura, no da al tacto la sensación de aspereza de las traquitas. Presenta numerosas celdillas y agujeritos, alargados unas y otros en el sentido de la que fué corriente lávica, abriéndose en una de sus caras. Estas oquedades, de origen gaseoso, no hicie- ron perder á la lava su densidad porque no la dieron la forma ó estado esponjoso. Su composición es completamente análoga á todas las demás, y no la transcribo. - 191 - XIII Caliza magnesiana, calcinada, del Soturna. Es un trozo suelto, recogido durante mi ascensión á este monte. Presenta una parte central, visible en una de las caras del ejemplar, presentando el aspecto de las calizas y dolomías compactas, blanco-amarillentas, del terreno terciario sobre el que descansa el macizo eruptivo. Este núcleo cen- tral es algo resistente á la punta de acero, y en él se ven, con la lente, puntitos múltiples de materia desagregada, como pulverulentos. Rodeando á este núcleo central, hay otra porción blanca, blanda, manchadiza, que tizna los dedos, de aspecto cretá- ceo y puede rasparse con un cuchillo como la tiza vulgar. El análisis cuantitativo de esta porción cretácea, ha dado el siguiente resultado (*): Carbonato calcico 88,5666 Magnesia hidro carbonatada 8,9880 Materias extrañas (arcilla ferruginosa) 0,8000 Pérdida 1,6454 100,0000 Parece ser éste un curioso ejemplo de calcinación, pues el calor debió convertir en cáusticos los carbonatos de calcio y magnesio en una zona, cuya profundidad está relacionada con la intensidad y tiempo de su acción sobre la roca. Des- pués, la cal y magnesia en contacto de la atmósfera se car- bonató la cal é hidrocarbonató la magnesia, resultando una (*) El polvo se disuelve rápidamente en el ácido clorhídrico diluí- do con efervescencia de CO.,. - 102 — mezcla de carbonato calcico aprisionando al hidrocarbonato magnésico. Así lo indican los cálculos del análisis, y parece comprobarlo la reacción bastante alcalina del polvo de esta parte calcinada de la roca al hervirle con agua. Con la lente se ven gran número de agujeritos en la super- ficie, que indican los puntos de salida del CO., al calcinarse la roca. Resumen y comentario de los datos anteriores. El macizo volcánico Vesubio-Somma, constituido por los elementos generales de toda formación volcánica activa, do- tada de aparato eruptivo en toda su extensión, en lo cual se parece, con ligeras variantes, á las formaciones análogas diseminadas por la superficie terrestre, presenta una facies especial, un modo de ser característico, resultantes de la na- turaleza química del magma y de otras causas secundarias que contribuyen á dar un sello peculiar al volcanismo de esta región napolitana. Tiene razón el distinguido geólogo M. Lacroix (*), cuando afirma que todas las rocas del macizo Vesubio-Somma, va- riables desde el punto de vista petrográfico, presentan un aire de familia notable: - Todas son muy potásicas, dice, en- cierran leucita ó tienen una composición virtual que permite la formación de la misma especie. '> En efecto; todas las ob- servaciones efectuadas hasta hoy, tanto microscópicas como químicas, están conformes sobre este punto, pudiéndose ase- gurar de un modo general, que la formación volcánica de que se trata es esencialmente básica, derivada, por consi- guiente, de un magma rico en metales alcalinos, sobre los que domina el potasio; rico también en hierro, y con canti- dades variables de aluminio, calcio y magnesio, componentes (*) Ueniption dii Vesiive en Avril 1906. -Dans la Rcviie frénérale des Sciences dii -'iO Octohrc cf /') Nove mh re 1906. - 193 — los dos últimos del suelo terciario sobre el que descansa el macizo eruptivo, y los dos primeros con el sodio, de las pla- gioclasas existentes en sus múltiples productos. La sílice no pasa, y en general no llega, al 50 por 100 de todos los materiales estudiados hasta hoy, considerados en grande, es decir, materiales constituyentes de grandes de- rrames, corrientes, etc., incluyendo los macizos mismos que forman los restos del Somma y el actual Vesubio, cuyo con- junto de materiales comprende la casi totalidad de la forma- ción eruptiva. Los análisis verificados de gran número de lavas, escorias, cenizas, lapillis, etc., de esta región, no difie- ren esencialmente acerca de esto y concuerdan con los efec- tuados por mí; de donde se deduce que en un larguísimo pe- ríodo de tiempo que se remonta á la época post-terciaria (pleistocena), el carácter químico de los magmas eruptivos de esta zona no ha variado. No sucede lo propio con su dinamismo, pues, según con- signa oportunamente el profesor Lacroix(*) éste dinamism.:» ha sido y sigue siendo muy variable, semejándose á tipos distintos de volcanismo y recorriendo extensa escala de in- tensidades de todos los órdenes: explosivas, de corrientes lávicas, de fenómenos eléctricos, de movimientos sísmicos, de proyecciones de toda especie, etc., etc. Las explosiones, en particular, corresponden á todos los tipos admitidos, desde la salida tranquila de la lava como el agua de una fuente (tipo de Hawai: magma basáltico), hasta la nube ardiente (tipo de la Montaña Pelada en la Martinica), pasando por los tipos explosivos del Stromboli (stromboliano) y de Vul- cano (vulcaniano), pudiéndose anotar todas estas formas de energía dinámica en la curiosísima é instructiva historia del Vesubio. De lo dicho se desprende que no basta la fijeza de com- (*) Loe. cit. Rev. Acad. Ciencias. — VI. — Octubre, 1907. 13 — 194 — posición química de un magma para dar carácter especial á una región volcánica, pues si es cierto que un magma muy básico es más fluido que otro ácido, por ser el primero más fusible, debiendo derramarse con más facilidad y alcanzar, por tanto, sus corrientes grandes longitudes y extensiones, también lo es que diversas circunstancias físicas pueden in- fluir y de hecho influyen modificando la marcha del fenó- meno. Tales son la cantidad y altura alcanzada por la lava en los conos volcánicos; la temperatura de las distintas por- ciones de magma en sentido vertical; las tensiones gaseosas eñ íntima relación con estas temperaturas; las resistencias internas ó las velocidades iniciales del magna; la masa de éste, absoluta y relativa, etc., circunstancias modificadoras del dinamismo volcánico, hasta el punto de convertir un vol- cán tranquilo en violento y explosivo, y viceversa. Precisa- mente la historia del Vesubio nos ofrece repetidos ejemplos de lo que se acaba de afirmar. El estudio más detallado y minucioso de las condiciones físico-químicas del magma vesubiano, es decir, de la por- ción interna, profunda del cráter, en comunicación con el que se supone ser baño intraterrestre de materias en fusión, sería de inmenso interés si tal estudio, deducido de todo lo que actualmente se conoce, óptica y químicamente acerca de cuantos productos han salido de aquel centro eruptivo, pu- diera sistematizarse. Desgraciadamente hay tantas lagunas en esta relación íntima entre lo conocido y lo desconocido, que sólo podemos admitir algunas conclusiones limitadas, desprendidas de los hechos más ciertos y positivos observa- dos en la región que nos ocupa. I.'"* El magma básico de la formación eruptiva del Som- ma-Vesubio, se caracteriza esencialmente por las condicio- nes químicas siguientes: A. Riqueza relativa en potasio, dominante sobre los de- más metales alcalinos. B. Existencia variable de metales alcalino-térreos, nunca — 195 - dominantes, en general, sobre los alcalinos, lo que prueba que los primeros están subordinados á los segundos en el magma generador. Sobre ellos sobresale el calcio, ocupando el magnesio el inmediato lugar; aparecen como accidentales y sin importancia alguna el estroncio y bario. C. Riqueza notable en hierro, que domina en absoluto sobre los demás metales pesados: manganeso, cobre, plomo, etcétera, que muy secundariamente aparecen en ciertos pro- ductos; el manganeso, aunque inconstante, lo es menos que demás. El hierro del magma originario de las lavas y demás rocas afines á éstas está total ó casi totalmente /erroso (*). D. De los radicales negativos, la sílice ocupa el primer lugar; su cantidad relativa es, en general, de las más bajas en los materiales vesubianos, y me ha parecido ser todavía menor en los antiguos del Somma, aun cuando esta afirma- ción no tenga valor absoluto mientras no tengamos más da- tos analíticos de los materiales del Somma. La presencia de la sílice, como ácido fijo de las altas tem- peraturas, excluye á la mayoría de los demás radicales áci- dos, excepto el boro, el titano , el fósforo, que pueden coexis- tir con ella. El cloro y el flúor permanecen á temperaturas elevadas en unión del fósforo, mientras la presión externa no disminuye; cuando esto sucede aparecen las /amarólas secas de las corrientes lávicas, á pesar de descender ya á 800° ó 900" centígrados el calor de las masas recientemente ex- pulsadas. Sabido es que estas fumarolas se componen de cloruros alcalinos esencialmente, y que la aparición de pro- ductos sucesivos está íntimamente ligada al descenso pro- gresivo del calor, pudiéndose asegurar con M. Fouqué, á quien se deben notables trabajos sobre este particular, que la composición química de una fumarola es función de su temperatura. (*) No se cita el aluminio porque no da carácter químico par- ticular al magma. - 196 - El cloro y el flúor unidos al ácido fosfórico y á la cal de- jan vestigios de su presencia en las lavas, como lo de- muestra la aparición repetida en todos los productos de ori- gen lávico examinados, de un cierto cloro, no aparente en el agua hervida con su polvo, y muy manifiesto en las diso- luciones nítricas diluidas y hervidas. Este carácter analítico importante hace sospechar casi con certeza la existencia en aquellos productos de microscópicos cristales de clorapatita, con exiguas cantidades át fino r apatita , no constantes, según manifiesta la reacción débil del flúor hallada algunas veces. El cloro restante, encontrado en las simples disoluciones ■acuosas, debe ser el corto residuo de cloruros solubles rete- nidos procedentes del primitivo magma, después de expul- sados de su seno, cuando las nuevas circunstancias físico- químicas en que aquél se halló así lo exigieron. El azufre, que tan secundario papel representa en los pro- ductos sólidos del volcanismo activo de grandes temperatu- ras, empieza á ejercerlo cada vez más importante, en unión del arsénico, á medida que la fase volcánica se va acercando á sus límites inferiores: (fase solfatariana). Así sucede hace mucho tiempo en la porción occidental napolitana de los Campos flégreos, que rápidamente he de examinar después. 2.' En consonancia con estos datos químicos, las espe- cies minerales nacidas del seno de un magma de la natura- leza del estudiado, han de corresponder al grupo de las bá- sicas y pertenecer á los basaltos ó á las rocas más afines á éstos. En efecto, según la clasificación de M. M. Fouqué y Michel Levy, propuesta en 1879 y adoptada por el Comité francés de Petrografía, constituido con motivo del 8." Con- greso Geológico hiternacional de París en 1900, las lavas antiguas y modernas del Somma-Vesubio pertenecen á la clase de rocas conteniendo /í'/í/í'spatos y feldespatoides, tipo microlítico {á veces porfiroidc y aun porfídico), grupo de - 197 - las leucotef ritas {*), rocas que corresponden entre las erup- tivas modernas (volcánicas) á las plutónicas llamadas gabbros y en especial al gabbro leiidtico (**). Las anteriores ideas bastan para definir á grandes rasgos el modo de ser del macizo vesubiano en su estática y en su dinámica. Nada nuevo se ha expuesto en ellas, siendo esta región la mas estudiada quizá de todas las volcánicas cono- cidas; sólo la satisfacción de comprobar personalmente lo más característico de aquella hermosa é interesantísima co- \ marca, me movió á escribir las páginas que anteceden, sin pretensiones de ningún género. Voy á terminar con las observaciones recogidas en los campos flégreos napolitanos. (*) Conteniendo feldespato cálcico-sódico, leucita, piroxeno, con ó sin anfíbol, mica ú olivino. (**) La palabra g-aftftro tiene la siguiente acepción, según el Comi- té francés de Petrografía: Roca holocristalina, granuda, compuesta de feldespatos calcico -sódicos y de piroxeno, con ó sin olivino ó biotita. (Continuará.) >t5 v.'í uO Tí UO »Í5 ^ 0 0^ c« fC ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce -^ l^ .-1 IM co 0 ,_, 7) co 0 1-1 Cl <*'" T" T" rf ■^ -7- -T' -~* -^ ^ ■* c^ c« ce ce "ce ce ce ce ce ce ce ce -M :t t^ 1—1 \~: ,-1 Cl « ^H 71 ^-\ \!i co ce co CO co co CO co cd ce ce ce ce ce ce 'ce ce 'ce ce 'ce i-H 5-1 co o 71 co 0 ,— « 0 1— < Cl -s (M 7l Cl 0-1 71 Cl Cl 71 Cl 71 Cl >-■> y~* 71 co -j 71 --. 10 71 co 0 w T-í v^^ 03 c3 ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce o + 1 + CO ,^ -—1 — CO co co co to .^ co • ^ MTi 1"' " l-v' ' »■"■'' 'O' I'"! »o •0 í.'^ »o »o Xil bD ": — H 71 .^ vO '^ 71 — »-0 *-t O 1" ct í"* nJ 03 ce ce le ce ce ce ce ce ce ce s tí i-H 71 .^ O •,"* 10 ^. 71 lO i~-< Cl .« ^ Cí C^^ ct -* co Jr* to CO co -- 3 c« 03 C3 ce 'ce ce ce 03 'ce ce ce "ce !/2 o tH 71 -7l ^ Cl — < lO — lO »-i 71 C Cl 5-1 r ■ (7) Cl Cl 71 Cl 71 Cl 71 OJ ctS ce c^ ce ce 05 ce ce ce ce ce 2 _, o ^ Í*I 0 -H 71 ^ -^ 7) ^ 1.0 ^^ O ^-* ^4 5¿ Tá P3 03 ce 03 ce ce ce ce ce ce ce ce l-H + O 0^ 71 _'M ,--' ^71 ■71 7J 71 71 1.0 Cl LO _7I 71 71 «3 u r-l tí 'a3 'ce 'ce 'ce 'ce 'ce 'ce ce ce 'ce 'ce 'ce CS u: (D ■.— ( co _u lO ,—1 ^,*i -H 0 1—1 :o *44 m '*w -f^ -t -rr* -t -í^ '^ — < —n -^ -f -t "* CA) &£ c^ ce ce ce ce ce ce ce ce le ce ce V 0 N o co co ,.-- ..- ce co ,.-^ ^^ co ,_— -1- "' 1— ( _^co ■-■ ¿ •r-( C« ce 'ce ce ce 'ce 'ce ce 'ce 'ce le 'ce 5 Q¿ t-l +3 Tí o íl -i"" f^\' ' 0 -1'^ co Cl -^ co 01 71 -1 ' 71 -H 1-^ C3 c^ c^ 'ce 'ce 'ce 'ce ce 'ce ce ce 'ce ce ^í c a a . eo Ti O __ --. 17^ 1— í ;^ V-O w tT -H r-l 1— ' 1—1 i-< r" c« ce ce ce C^ 03 ce ce ce ce ce ce ce -2 S 0 T— 1 1 — + 1 ^ ^ T— ( rH iH 1—1 tH , ^_, — < < a -d 'ce 'ce 'ce 'ce 'ce ce 'ce 0 ce ''ce 'ce 'ce ^ 03 o o ce 71 •1^ .3 Oí co fr.' 0?' co co co CO''" co co r,^ p, Di O ce 03 "03 71 C^ ce ce Cl ce co ce Cl ce ce ce 10 0^ Q- (M ce 'Ó3 71 'Ó3 'ce Cl ce Cl ce Cl ce le le Cl ce ^mm 71 cr' _, 0 :* -+ 10 71 — « »o 71 co ^ y~* *-i ,—1 ^^ ,^1 .-i y-* ^^ ^- 1— — ^H /^ ■ o3 í" 0 o >o »o 1"^ c^ i-H 'Ó3 'ce ce 'ce 'ce 'ce 'ce ce ce ce ce ce I-* -^ ^ . 71 co ^ ^ Cl co -^ ^ 71 es \ ^— (D -* •^ — ■^ ■^^ "SI ■^ — < — — ' -rí« "^ X^ 'd rt ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce ro -r< iH •>\ -H Cl co -- Cl co — f •-I M m 7* T-- r— co co t* co co T7 co • o ^ ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce ce X "3 o\ C5 -H ^ 70 ■fli f-í 71 ,_, Cl :o •r* o (M -o y-i Cl ce ii5 ^_^ Cl ■^ -^ — *4 •* ■* -t* -^ ^ -í<" 'íí< 'I' •^ nJ 03 c3 03 03 C« 03 03 c^ ti 03 03 C-l :o L* 1—1 0 »-( (M CO T— 1 Cl CO 0 CC' ■M co ce ce CO CO ce CO CO •0 CO c^ 03 03 cd C3 03 es ir^ 03 03 o3 03 i-T ^ íM ce 1— 1 71 CO le Cl :o 0 l-H •"— V. 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Tomo VI, Febrero de 1900, Mayo de 1902. — Tomo VII, Marzo de 1903, Abril de 1906. — Lisboa. (Continuará). INDICK DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO pAqs. VI.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Eche- garay. Conferencia undécima 145 VII. — Del modo de expresar la acidez, por Juan Fages 176 VIII.— Estudio químico-geognóstico de algunos materiales vol- cánicos del Golfo de Ñapóles, por Ramón Llord y Gamboa 179 IX.— Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones fina- les, por Gualterio M. Seco. (Continuación) 198 Publicaciones recibidas desde í° de Julio de 1907. (Conti- nuación) 214 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno , 1,25 pesetas. REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAIS Y NATURALES DE MADRID TOIs¿CO 'VI- — ]SrTJ]VE. 5. (Moviembre de ie07.) MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLK DE PONTEJOS, KDM. 8. ieo7 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. APfi — 217 — X.— Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray. Cooferencia dtaociécima. Señores: Continuaremos en esta conferencia presentando ejemplos sobre el equilibrio elástico. Segundo ejemplo. Extensión longitudinal de un prisma. Consideremos un sólido prismático, cuyas aristas sean pa- ralelas al eje de las z, sometido á un esfuerzo de tracción F por unidad de superficie y actuando sobre cada una de las bases. Sobre la superficie lateral del prisma no actúa fuerza al- guna. El método que hemos de seguir es el mismo que hemos seguido en el ejemplo anterior, que es, en suma, el método general expuesto en la última conferencia. Tendremos que buscar para //, v, w tres funciones de x,y,z, que satisfagan á las tres ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden: (X+i.)-^ + j.Aw =0, dx ■ (X+h)4^ + 1^Av=0,) (1) dy dz que expresan el equilibrio de cualquier punto interior del cuerpo. . • Rkv. Acad. CrENClAS. — VI. — Noviembre, loo;. 15 — 218 - Pero estas soluciones han de tener bastante generalidad, ya por contener funciones arbitrarias, ya constantes arbitra- rias, para satisfacer también á las tres ecuaciones, P, = AT.a + 73.3 + 7, y, j Py = N^-rT,^+T,a,[ (2) que expresan el equilibrio en un punto de la superficie, y en las que Px, Py, Pz, son las componentes de la fuerza P que actúa en dicho punto; a, p, y, los cosenos de los ángulos que forman la normal exterior á la superficie con los ejes coordenados; y las TV y las 7 tienen la significación que ya sabemos, y sus valores son: N^=.U-j-2^ dii ~dx N, = \^ + 2^ dy dw ~7z N, = xe + 2a4^, n = p.(-^-f-^ 1, (3) En rigor, debiéramos substituir estos valores úq N y 7 en el grupo (2), el cual se convertiría en ecuaciones en dife- renciales parciales de primer orden, al que deben satisfacer las integrales u, v, w, del grupo (1). Pero en la mayor parte de los ejemplos que hemos de presentar, es más cómodo substituir en el grupo (3) los va- lores u, V, w, que representan las integrales del grupo (1), y los valores obtenidos para las N y 7 substituirlos en el grupo (2), que deberán reducirse á tres identidades. Dos observaciones haremos antes de empezar la solución del problema. — 219 — Es la primera, que en el interior del cuerpo no actúa nin- guna fuerza externa, ni siquiera la gravedad, de la cual prescindimos. No actúan más que las fuerzas moleculares, es decir, las atracciones ó repulsiones entre las moléculas. Es la segunda, que las fuerzas que actúan sobre el prisma se hacen equilibrio, puesto que no hay más que fuerzas igua- les y contrarias actuando sobre las bases. * * * Empecemos por integrar las ecuaciones del grupo (1). Y en rigor no vamos á emplear ningún procedimiento re- gular, sino á tantear ó ensayar soluciones particulares que tengan, sin embargo, suficiente generalidad para satisfacer al grupo (2). Dado lo sencillo del problema, ocurre emplear un proce- dimiento análogo al empleado en el ejemplo precedente, to- mando para ii, v, w, funciones de primer grado y las más sencillas. u = ax, v = by, w = cz, en que a, b, c, son constantes arbitrarias. Desde luego, este sistema satisface al grupo (1) porque en estas ecuaciones no entran más que derivadas segundas, en cada término entra una, y no hay término independiente de dichas derivadas. Por otra parte, todas las derivadas segundas de los valores supuestos para u, v y w son cero, luego todos los términos del grupo (1) se reducirán á cero. Las ecuaciones (1) quedan, pues, satisfechas. Pasemos á las ecuaciones del grupo (2). Pero éstas, como la superficie que limita el cuerpo no es única, se dividen á su vez en otros dos grupos: uno aplica- ble á las bases del prisma, otro, á la superficie lateral. — 220 — Y para uno y para otro tendremos que calcular los valores áe N y T por medio del grupo (3). Consideremos las bases. En Ni, N.2, AAj, entran las derivadas primeras, que serán: du dv , dw o; = /;; = c; dx dy dz y substituyendo N^ = \{a + ¿? + c) -\- 2[xo = (X4- 2pL)í7 + \b + kc, N,, = 'k{a + ¿ + c) + 2jjL¿7 = ("/. f 2^)b + )«-[- lc, ATg = X(fl + ¿7 + c) + 2pic = (X + 2a)c + la + Ib. Respecto á las T, claro es que se reducen á cero, porque las derivadas primeras de ii con relación á >' y á z, las de t con relación á x y á z, y las de w con relación á x y á y, son todas nulas, de modo que tendremos: dz dy I \ dy dx / En cuanto á las bases, que son las que estamos conside- rando ahora, las normales son paralelas al eje de las z; lue- go para dichas bases a = 0, .3 = 0, y=\. Y como la fuerza coincide con la normal, tendremos: - 221 — Así es que el grupo (2), recordando que P^ = FI = 0, Py = Fm = 0, P^ = Fn = F, dará Fa = 0 = Ny.O-^ T.,.0 + 0 .1=0, F^ = O = TV, . O -f O . 1 + 7^3 . O = O, Fy = F=N,.\ + T,.0±T,.0 = N, para la base superior. Y lo mismo podemos decir de la base inferior, porque á la vez cambian de dirección la normal exterior y la F. Las dos primeras ecuaciones quedan satisfechas por sí mismas, y en la última, poniendo por TV;, el valor que antes obtuvimos, resultará: F = (K +2[Ji)c + Xa + X6. Esta es una ecuación de condición y á ella queda reducida el grupo (2) para las dos bases. Pasemos á la superficie lateral. La normal será perpendicular al eje de las z; así que a y [i tendrán distintos valores, según el punto que se considere, y Y será igual á cero. Por otra parte, sobre la superficie lateral no actúa ningu- na fuerza; de modo que P^ = 0; Py = 0; P, = 0. Además, hemos demostrado que 7^ =^0, T2 = 0, T^ = 0 yy = 0. . Luego el grupo (2) se convierte, substituyendo todos es- tos valores y los de N^, N^, N.¿, en el siguiente: 0 = ((X + 2tJi)a + X6 4->c)a, O = ((X + 2¡a) c + la + X¿?) X O = O, - 222 — Ó bien ('L-\-2iJ.)a-j-U-^lc ^0, (X-f-2¡ji)¿? + >.fl + )c = 0. En suma, para satisfacer el equilibrio de las dos bases y de la superficie lateral, tenemos que determinar las constan- tes arbitrarias a, b y c, de modo que satisfagan á las tres ecuaciones de condicióíi, que acabamos de obtener, que son: F=(A-|-2;J.)C +X0 + X6, O =(> f 2[j.)a + X¿? + Xc, O = (X + 2¡j.)¿? + >.a + ).c. Todo queda reducido á despejar a, b, c, de estas tres ecuaciones. Restando las dos últimas, una de otra, resulta: (). + 2..)(a-6) + I(6-fl) = 0, ó bien, 2p.(a — ¿7) = 0, y como suponemos que ij. no es cero, porque esto corres- pondería al caso particular de los fluidos perfectos en que no hay deslizamiento, como se ve en los valores de T, y nos- otros consideramos el caso general, resulta: a — 6 = 0 ó bien a = b. Tendremos, pues, que las expresiones de u, v, y w, se convertirán en u = ax, V = ay, w = cz, y las constantes a y b se determinarán resolviendo las dos ecuaciones — 223 — F=(X4-2¡ji)c + 2Aa, O = (K -f 2[jl) a + la + kc = 2(X -f [j») a + >c, á que se reducen las tres anteriores. Despejando entre las dos a y c, tendremos: 1+- - c = F, a = r . 3X + 2[x 2 3X + 2[JL Queda, pues, resuelto el problema. Los valores, mejor dicho, las expresiones u= F.x; v = r . y; 2 3X + 2.x 2 3X+ 2ix ly = F . z, 3A + 2pi que determinan u, v y w, en función de las coordenadas X, y, z del punto cuya deformación se desea calcular y en función de los datos del problema, que son la tensión Fy las dos consonantes >- y u, que dependen de la naturaleza del sistema, convierten los grupos (1) y (2) en identidades, y por lo tanto determinan el equilibrio elástico en el interior del cuerpo y en la superficie. * * * Podemos, á propósito de este ejemplo, hacer observacio- nes análogas á las que hicimos en el ejemplo anterior. Claro es que á los valores de w, y y w, se les pueden agre- gar tres constantes, y aun tres funciones de primer grado en _ 224 X, y, z; y los valores que resulten satisfarán á los grupos (i)y(2). Pero estas nuevas soluciones son equivalentes á la prime- ra, pues con ella no se hace otra cosa que comunicar movi- mientos de traslación y rotación al sólido ya formado y convertido en un sistema sólido. De esta manera es dado hacer, por un movimiento de traslación, por ejemplo, que se pueda considerar como fijo un punto determinado en el prisma, y por eso ha sido lícito que consideremos el origen de coordenadas como inmóvil. Observaremos también, que una sección cualquiera del prisma se deforma, quedando semejante á su forma primiti- va, puesto que las deformaciones u y v son de la forma ax, ay. Por último, el alargamiento del prisma por unidad de lon- gitud está determinado por c, toda vez que si en w = cz hacemos z = \, resulta w = c == F. 3A + 2¡ji Esta cantidad es positiva; en cambio las deformaciones en la sección recta del prisma, vemos que llevan el signo menos. Es decir, que el prisma se estira en sentido de su lon- gitud y se estrecha en su espesor, lo cual está conforme con la experiencia. * * * Combinando los resultados de este ejemplo con los del ejemplo anterior, pueden obtenerse algunas consecuencias importantes. En el primer ejemplo, es decir, en el de la compresión igual y uniforme de un cuerpo, hemos encontrado, que las — 225 — componentes de los desplazamientos en un punto cualquiera de coordenadas x, y, z, eran u = ax, v = ay, w = az, siendo -P a 3X4-2¡;. Pero la cantidad a se puede medir, en cada caso, experi- mentalmente, porque a es la compresión lineal por unidad de longitud; en efecto: w, por ejemplo, es igual á a cuando x es igual á 1. Luego en la última fórmula tenemos dos cantidades, Py a, que para un cuerpo de una naturaleza dada, pueden medirse experimentalmente. Luego las dos constantes del cuerpo X y ]j. estarán ligadas por dicha ecuación. Es decir, que ten- dremos 3^ + 2^. = —^, a en que el segundo miembro será una cantidad conocida, una cantidad numérica que la experiencia nos dará, y además positiva, puesto a es negativa. En suma, esta ecuación enlaza ). y ¡j.. En el segundo ejemplo, los valores de los componentes del desplazamiento hemos visto que son u = ax; v = ay; w=^cz; y además ^ F; g^-i- '■ F. 3>. + 2jjt 2 3>l4-2[x Respecto á estas últimas fórmulas, podemos decir lo mis- mo que decíamos en el caso anterior. 226 — Una experiencia cualquiera aplicada á este caso, es decir, á la extensión longitudinal de un prisma, nos dará a, c, y F, y por lo tanto, dos ecuaciones entre l y ¡ji, de las cuales se deduce, a El primer miembro es una cantidad numérica que nos da el experimento realizado. El segundo miembro es una función entre "^ y ¡j-, que si el material empleado en esta experiencia es idéntico al aplica- do en la primera, deberán ser cantidades idénticas á las X y ^ del primer ejemplo. Tendremos, pues, para determinar las constantes k y ^ propias del material que se ensaya, estas dos ecuaciones, cuyo segundo miembro representaremos por las constantes C, Cp deducidas de la experiencia, ó, mejor dicho, de los dos experimentos: Entre ambas ecuaciones deduciremos los valores de >. y ¡j-. Y repitiendo estos experimentos muchas veces, á fin de compensar los errores, tendremos para el material de que se trata los valores medios de las constantes ^ y [>■. Y si aún queremos multiplicar los ejemplos, podremos comparar y compensar unos valores con otros, variando las formas del cuerpo y la distribución de las fuerzas. Es decir, empleando la compresión normal y uniforme, ó la tensión de un prisma, ó la deformación de una capa esférica, como estudiaremos después, ó la de un cilindro hueco, ú otro caso cualquiera del equilibrio clástico. — 227 - Siempre para el mismo material, si la teoría es exacta y los ejemplares que se empleen son de la misma estructura, deberemos obtener los mismos valores para X y [x ó valores muy aproximados. Con lo cual nuestras fórmulas habrán perdido su carácter abstracto y estarán dispuestas para las aplicaciones, toda vez que ya 'f- y ¡j. serán cantidades conocidas para cada clase de material. Y con esto habremos resuelto el problema práctico y de comprobación de la Física matemática, á saber: la determi- nación de las constantes, que entran en sus fórmulas. Empezamos el problema en la región teórica, buscamos en la experiencia su comprobación. La comprobación de todo: de las hipótesis, de la aplicación de la Mecánica y de la aplicación del cálculo. Si las fórmulas abstractas aplicadas á numerosos casos particulares no dan resultados concordantes; si, para una misma clase de material, las constantes X y ^ son distintas, con diferencias grandes, que no puedan atribuirse ó á errores de observación ó á diferencias de estructura en los materia- les ensayados, esto nos probará que las hipótesis eran in- admisibles, ó tal vez que en el cálculo hemos admitido sim- plificaciones que no eran legítimas. En suma, como ya anunciábamos el año anterior, la Física matemática parte de hipótesis, sin contar, ó contando muy poco, con el método experimental; pero al fin de sus cálcu- los se encuentra con el método experimental, como piedra de toque, ó como juez que dicta sentencia, casi inapelable, sobre los métodos empleados. * * Y en estos ejemplos podemos hacer todavía otra aplica- ción de las observaciones que preceden. — 228 — Aplicando el método de Cauchy para la determinación de esfuerzos de compresión, tensión y resbalamiento, las com- presiones y las tensiones estando representadas por las N y las fuerzas de deslizamiento por T, hemos encontrado que las dos constantes a y p. se reducían á una sola. En el método de Lame y de otros autores, >. y ¡x son dis- tintas. ¿A quién da razón la experiencia? Dice Mr. Lame: «Algunos experimentos de Mr. Wertheim le conducen á este resultado: '/. = 2ix. Pero puede suceder que la relación ^- no sea ni igual á la unidad, ni igual á 2, y aun más que varíe de un cuerpo á otro. Es un punto que no se puede esclarecer sino por numerosos experimentos.» * Dado el método de Cauchy, y aun suponiendo que X y ¡x sean distintas, se comprende que la determinación de sus valores numéricos podría, aunque no se ha hecho, ilustrar- nos sobre la estructura interior de los cuerpos. Y esto sólo en el método de Cauchy, que es el que está masen el espíritu de la Física matemática clásica, aunque no sean éstas hoy las ideas dominantes. Nos explicaremos con más claridad por medio de un ejemplo. Supongamos que se conociera la fórmula de Saint-Venant y que ésta fuese, r- /"' ' representando A y B dos constantes y /" la distancia entre dos moléculas del sistema elástico. Las constantes l y ¡j. hemos visto que son integrales tri- — 229 - f'(r) pies, en la cuales entra ó / (r) ó , que dependen de la función de Saint-Venant (conferencia séptima). Y como los límites de las integrales, prescindiendo de -, son, en general, s^ y s, es claro que obtendremos dos ecua- ciones de esta forma: en las que A y B son dos constantes de la función de Saint- Venant, relativas á las fuerzas de atracción y repulsión; z re- presenta el límite superior de una de las integrales, ó sea el radio de actividad, y t^ (que en la conferencia á que nos re- ferimos habíamos llamado a) que representaba el límite in- ferior, ó sea la distancia molecular cuando substituíamos á cero este límite, para evitar un término infinito en la integral. Por último, >. y ¡j. representan dos constantes numéricas, determinadas por la experiencia. Pues bien, si por experiencias directas pudiéramos deter- minar la constante A de las atracciones, como por otra par- te, conocemos numéricamente e con cierta aproximación, las dos ecuaciones anteriores nos determinarían B y e^, es decir, la constante de la repulsión, y una magnitud e^ del orden de las distancias moleculares. Claro es que lo que precede es sólo una idea general, ó mejor dicho, un ejemplo para que se vea cómo la Física ma- temática puede acometer problemas al parecer imposibles y aspirar á medir magnitudes que jamás podrán percibir nues- tros sentidos; salvo las esperanzas en el ultra-microscopio. Verdad es que en la Física moderna, como veremos en su día, apoyada en la nueva Física matemática, se acometen problemas mucho más difíciles, que el problema hipotético que, como ejemplo, hemos presentado. ^ H^ — 230 — Tercer ejemplo. Forma particular de u, v y w. En rigor, no es un ejemplo el que vamos á presentar, sino un caso particularísimo de las deformaciones elásticas, pero que se aplica á muchos ejemplos. Supongamos que, por algún procedimiento especial, pue- da demostrarse, que las tres componentes de cada desplaza- miento, á saber, ii, v, w, sean, para determinado caso, las derivadas parciales de primer orden de una función de x, y, z, aunque ignoremos cuál sea esta función, porque si no, claro es que el problema estaba resuelto: para conocer ii, v y w, bastaba diferenciar, con relación á x, y, z, la función de que se trata. Sea o esta función desconocida. Las componentes de los desplazamientos, tendrán la forma, por hipótesis y, en este ejemplo: í/9 d u= — -, v = — -, w= — ^; dx dy dz y en rigor, el problema se habrá simplificado, puesto que en vez de las tres incógnitas //, v y w, tendremos sólo una fun- ción desconocida, que será la función tp. De las tres ecuaciones anteriores se deduce: d—^ d — - d r. _ ^" L ^^ I ^'^ _ ^^ \ dy ^ dz dx dy dz dx dy dz d'-S í/2o í/2,^ dx' dy' dx^ Tal es la expresión, en este caso, de la dilatación cúbica. Pero recordando la significación del símbolo A — — — -j- dx' dy' dz' ' — 231 — y aplicándolo á ^ = m^, vv = /(r)^, y que para / (r) hemos obtenido, l{r) = cr [-—;-. r- Substituyendü esta expresión en «, x, ii^, y diferenciando con relación di x, y, z para substituir en las expresiones de N y rías derivadas que se obtengan, tendremos - 243 - w = ícr+— - ) — ; r2 / r ó bien u=[c+-^Y' '={'+^)y' ^=(^+-^)^' y du / , b \ 3 b dr du 3 b dr c -\ x; — — = — X, dx \ r'^ I r^ dx dy r^ dy du 3 b dr dv 3 b dr dz r^ dz dx r'' dx dv / , ft \ 3 b dr dv 3 b dr dy \ r"' I r^ dy dz r^ dz dw 3 b dr dw _ 3 b dr dx r^ dx dy r* dy dw í , b \ 3 b dr dz \ r^ J r^ dz Además, como jc^ -[■>'■ + z- = r-, resulta, xdr = rdr; ydy = rdr; zdz =^ rdr; y dr X dr _ y dr z dx r'dy r ' dz r Y así las primeras derivadas de u, v, w, con relación á X, y, z, serán du _ 3b yx dy r\ r _ 3b xy dz r^ r ' dx r^ r ' du dx <'^n 3b r' r du 3 b zx dv - 244 dv dy dv 3b zy dz r* 3¿? yz 3b r Según acabamos de indicar, tendremos que substituir es- Figura 44. tas derivadas en los valores de N y T; aplicar los valores que resulten á los puntos A y B (fig. 43), y substituirlos por último, en (2') para el punto A y en (2") para el punto B . Mas es preferible, para abreviar los célenlos, aplicar las derivadas anteriores á los dos puntos en cuestión , y hacer después las substituciones en N y T de los valores que re- sulten para dichas derivadas. Empecemos por el punto A (fig. 43). Para este punto, llamando /"i al-radio O A, y siendo ADO el tetraedro (fig. 44), resultará: Coordenadas del punto A x = r^, y = 0, z = 0; y substituyendo, - 245 — du / , b \ 3b 2b du ^ du / , b \ 3b 2b du ^ c H = c , = 0; V r\ J r\ r\ dy dx \ r^i J r^i r^i dy dz dv ^ dv . b dv ^ 0; dx dy r^i dz dz \ ^ r\) dw r, dv - — - =0; dx dy Apliquemos estos valores á las expresiones de Ny T, recor- dando que O = 3c. En general, yv, = xo + 2Ht^, dx y resultará en este caso N, =3Xc + 2[x(c— ^^) = (3X + 2{ji)c — ^- {'-?) r\ N2 = X6-h2{x ^^ dy y, por lo tanto, N, = 3Xc + 2¡.(c + A^ = (3X + 2{.)c + -^; dz por consiguiente, N3 = 3Xc + 2a(c + A^ = (3X + 2a)í:+^; Ti = iíi 1 \ se convierte en 7, = O, ^\ dy dz ) rj. / du . dw \ T- A 246 - Estos valores tendremos que substituirlos en el grupo (2'), de modo que / 0 = 0 0 = 0 (A) Otro tanto podremos repetir para el punto B de la esfera interior (fig. 45), en que el tetraedro será CDEF. Hemos Figura 45. tomado el punto C, entre las dos esferas, como vértice, y hemos trazado las rectas CE, CD y CF, paralelas á los ejes X, y, z. Claro es que el punto Cesta escogido de modo que estas rectas corten á la esfera, lo cual siempre es posible. Este tetraedro, sumamente pequeño, puede trazarse de modo que los puntos B y B' estén muy próximos: sus co- ordenadas serán casi las mismas, y podremos suponer que son Tq, o, o. Así, pues, las coordenadas del punto B serán, llamando n, al radio 05 de la esfera interior, X = r ()> O, 2 = 0; — 247 - las derivadas para este punto tomarán los valores, du / , b \ 3b 2b du ^ dii = ( c H ) = c , ■ =0, — dx \ r\ ) r% r\ dy dz dv f. dv ( . b \ dv _ dx dy \ r\ j dz dw r^ dw f. dw í < b \ = O, = O, = [c-{ |, dx dy dz \ r\ ) y substituyendo como antes estas expresiones en las de Ny T, tendremos que Ni = X0 + 2tx-f- dx se convertirá en = 3Xc + 2p. (c --^)=:= (31 + 2a) c-ii^, dy en N, = 3lc + 2¡. (c 4- 4-) = (3> + 2ix) + ^; \ '' o / '"'o N, = U + 2^^ dz en 7V3 = 3Xc+2u(c + A\ = (3X + 2tx)c+-^ _ ( dw . dv \ ^ „ T^ = V-\ —— + -;— en Ti = O, \ dy dz ) _ [ dv . du \ ^ ^ \ dx dy ) - 248 - Los precedentes valores, puestos en (2") dan 0 = 0, / (B) 0 = 0, ! Del grupo (2) todas las ecuaciones quedan satisfechas por sí mismas (es decir, reducidas o 0 = 0), aplicadas que sean á los puntos A y 5(figs. 43, 44 y 45), menos las dos ecuaciones -P^ = (3l + 2^)c-^, r\ Estas ecuaciones quedarán también satisfechas si se de- terminan las dos constantes arbitrarias b, c, de modo que las satisfagan. Despejando entre ambas las expresadas constantes, ten- dremos: ^_ r%Po-r\P, . ^_ (P,-P,)r\r\ {3l-^2^)(r\-r\) ' 4^{r\-r\) De este modo quedarán satisfechos los dos grupos (1) y (2), reduciéndose á identidades. Y u, V, IV, substituyendo en las fórmulas que ya hemos ob- tenido, nos darán para las componentes del desplazamiento elástico de cualquier punto que diste del centro la magnitud r, ^ _ X r r\P,-r\P, ^ {P,- P,)r\r\ J_l r l{3ln-2i».){r\-r\) 4^{r\-r\) r^ J y^yf r\P,-r\P, {Po-P,)r%r\ J_l r I (3>. + 2^){r\ - r\) 4^{r\ - r\) r-' J' £ r r\P,-T\P, {P,~P,)r\r\ J_l r L(3>^-f-2ix)(r'i-r\) 4¡^r^-/-^, r^- \ IV — 249 - Vemos que u, v, w están expresadas en función de x, y, z, y también de r, pero r = \,x- + y- + z'-. De suerte que te- nemos los componentes de los desplazamientos para cual- quier punto de la capa esférica, según decíamos. En efecto, todas las demás cantidades P^, Pj, /"o y i\, son cantidades conocidas, porque constituyen los datos del pro- blema. Y 'l, li. son también constantes conocidas, que depen- den de la naturaleza del cuerpo, y que se conocerán por ex- periencias anteriores efectuadas para este material. Respecto á los esfuerzos interiores, hemos obtenido ya los valores de A^i, A^._, y N., en función de r. El problema queda, pues, completamente resuelto. Dos palabras más para concluir. Es evidente que en este caso todas las fuerzas exteriores se hacen equilibrio, porque la P, irradia uniformemente al- rededor del centro de las esferas, luego su resultante es nula. Y lo mismo puede decirse de las fuerzas Pq- La capa esférica no tomará, pues, ningún movimiento total de traslación ni de rotación. Mr. Lame, en sus leccciones sobre la elasticidad de los cuerpos sólidos, hace aplicaciones interesantes de las fórmu- las que hemos obtenido al equilibrio de una envolvente esfé- rica, al de una costra planetaria y á la del globo terrestre; pero la falta de tiempo nos impide dar más latitud al ejem- plo que hemos presentado, y, por lo demás, estas nuevas aplicaciones no presentan ninguna dificultad teórica. Rev. Acad. Ciencias.— VI. — Noviembre, 1907, 17 - 250 - XI. — Estudio químico -;2^oo^ii6sf ico ilo alftiiiios mate- riales volcánicos del Golfo de Ná[)(des (*). Por Ramón Llord y Gamboa, XIV Obsidiana de Posilipo. Poco antes de visitar la antigua gruta (pasadizo) de Posi- lipo, apareció, en las nuevas excavaciones practicadas en este célebre camino subterráneo, un gran trozo de obsidiana de algunos kilogramos de peso. Destinado al Museo de Ña- póles, logré sacar de él, á martillazos, un buen ejemplar. Esta obsidiana, notable por su tamaño, no será quizá la única que ha de hallarse en las excavaciones de aquella coli- na, compuesta, como se sabe, de materiales tufáceos, en los que se pueden reconocer todos los productos volcánicos deseminados y mezclados á depósitos calizo-arcillosos. La obsidiana es semitransparente en gruesos trozos y trans- parente en pequeños espesores; de color verde botella algo amarillento. En su masa se ven á simple vista pequeñas bur- bujas esféricas, testigos de su anterior estado de fusión. Su brillo es perfectamente vitreo; sus bordes, de fractura cortan- tes, raya ligeramente al vidrio ordinario. Ensayos pirognósficos. —FusMe en los bordes á fuerte llama de O. En polvo puede fundirse totalmente sobre el carbón, en un vidrio verde-claro, análogo al trozo pulveri- zado. Un trocito fuertemente enrojecido, no pierde su color primitivo después de frío. En el alambre de platino con sal de fósforo se obtuvo un (*) Véase el núm. 3 del tomo IV y el núm. 4 del tomo VI de la Revista, Marzo de 1906 y Octubre de 1907, respectivamente. — 251 — bello esqueleto de Si O 2 (tridimita), y con el bórax sólo se reconoció el hierro en caliente y con mucha materia. El resultado del análisis fué el siguiente: 5/0, = 70,20 'Vo Ausencia de Cl, P¿ O5 y Mn, Hierro = (Fe -\- Fe.^). Aluminio. Magnesio (ínfima porción). Potasio. Sodio. Litio. Este análisis difiere un poco de los publicados sobre obsi- dianas de distintas procedencias. No he visto, en efecto, con- signado el litio, y en casi todos se inscribe la cal, que me ha sido imposible reconocer ni aun por medio del espectrosco- pio, costando trabajo determinar la magnesia. Se trata, por consiguiente, de un vidrio natural, no de los más ácidos; es un silicato múltiple de los metales anotados, con exceso de sílice; este exceso ejerce el papel de diluente de las moléculas definidas de silicatos ácidos. Forma un sis- tema natural planetario-iónico, cuya expresión gráfica ideal en el espacio se ha dibujado á continuación: En este sistema se ha formulado la obsidiana de Posilipo; cualquiera otra puede formularse de análoga manen-^, sin más que expresar la cal, por ejemplo, como lo está la mag- nesia, etc., añadiendo á la cadena silícea exterior una mo- lécula correspondiente de 5/0,. Todas las obsidianas for- madas por el volcanismo terrestre quedan comprendidas en esa expresión ideal. En ella vemos los sistemas parciales: alumínico, férrico, ferroso, magnésico, potásico, sódico, lítico, girando en una atmósfera silícea que domina en el sistema. Este dominio de las cadenas de anhídrido silícico da carác- ter geognóstico y analítico á la roca, caracteres variables en función de la cantidad de disolvente, acentuándose ó reba- - 252 - jándose sus propiedades acidas con los diversos valores de Si O., en la masa vitrea. Concíbese fácilmente que á temperatura muy elevada este sistema se destruya, persistiendo los torbellinos atómicos en el espacio como signos iónicos de grandes energías cinéti- cas, integrados por otros sistemas girostáticos elementales, ®0 fe)© (oj--v_y^ w fe)© (^.'_U) © ©©. 0®^ 0 .®©0©%) análogamente á una nebulosa cuando empieza á resolverse en estrellas. Si sólo tenemos en cuenta los factores temperatura y disolvente, cabe la comparación, hasta cierto punto, de una masa en fusión con una disolución acuosa de sales disocia- bles. En efecto, en una tal disolución, cuyo disolvente haga variar por su cantidad, á temperatura constante, las relacio- nes mutuas entre la materia disuelta y la misma disociada, aumentando el número n de moléculas acuosas indefinida- mente, habrá un instante en que la ionización de la sal disuelta alcanzará un máximo para un determinado valor — 253 - de n; sucediendo lo inverso al ir sustrayendo disolvente, favoreciendo así las nuevas combinaciones químicas entre los iones del electrolitro y alcanzando la expresada ionización un mínimo para otro cierto valor de n; deduciéndose de lo an- terior que, á temperatura constante y descartadas las demás circunstancias físicas del problema, la ionización habida en el seno de una disolución, acuosa en nuestro ejemplo, es función de la cantidad de disolvente (*). Pues en una masa en fusión, y suponiendo constantes las relaciones ponderales de las materias que la integran, la variable es la tempera- ratura T, y la ionización, que aquí se confunde con la tensión de disociación, aumentando con la cantidad de calor, alcan- zará un máximo para un cierto valor de 7 y viceversa; dis- minuyendo la temperatura, la ionización disminuirá también hasta llegar á un mínimo para otro cierto valor de T. Luego deducimos igualmente que la disociación molecular de una masa por la acción progresiva é ilimitada del calor, es fun- ción de la temperatura, análogamente al ejemplo anterior y descartadas también las demás circunstancias físicas del fenómeno. En el caso de la obsidiana, variando, por ejemplo, la canti- dad de SiO¿ contenido en ella, varía la función anterior, porque el punto de fusión de la masa varía también; por eso es necesario tener presentes, como hemos dicho, las diver- sas condiciones físicas en que se realiza el fenómeno. XV Traquita de Monte Nuovo, cerca de Pozzuolo (Ñapóles). Cenicienta, ligera, microcristalina; está en explotación actualmente, extrayéndola de la falda del monte, destinada á (*) sEn todo electrolitro la disociación crece con la dilución hasta que esta disociación sea completa->. (A. Hollard. La théorie des ions et l'électrolyse. París 1900.) - 254 — preparar magníficos cementos á estilo romano, indestructibles. Su aspecto es homogéneo, viéndose á la lente la masa tra- quítica, literalmente cuajada de microcristales; sobre ella des- tacan algún que otro cristal de mayor tamaño (fenocristaíes). Se pulveriza fácilmente, por efecto de su estado físico de porosidad, en poros muy pequeños; tanto, que sin tocarla y mirándola á cierta distancia, parece una roca más densa y uniforme. El tacto áspero de su superficie y la lente dan á conocer en seguida su verdadera naturaleza. Caracteres pirognósticos. -Fusible sobre el carbón, si está pulverizada, en un vidrio blanco-sucio. Se funde con dificul- tad. Con el bórax y sal de fósforo se reconocen el hierro y la sílice. No contiene flúor ni ácido sulfúrico. El cloro no manifestó su presencia en el polvo hervido con agua; en cambio apareció fuertemente en la disolución nítrica diluida y hervida (cloro en combinación insoluble: cloro apatita). Contiene ácido fosfórico. ~E\ resultado analítico fué el si- guiente: SiO.>- 59,10 "/o Hierro. Cloro. Manganeso. Fósforo. Aluminio. (Oxígeno.) Calcio. Magnesio. Potasio. Sodio. Litio. La sílice hallada corresponde á las traquitas propiamente dichas, pudiéndose apreciar en el terreno la corta corriente que originó, formando al propio tiempo una intumescencia (el Monte Nuovo), á causa de su viscosidad; intumescencia de rá- pida formación y muy reciente (el 28 de Septiembre de 1538.) El monte tiene poco más de 100 metros de altura. — 255 — * XVI Traquita descompuesta de Monte Nuovo. De la misma cantera donde recogí la anterior es ésta otra: blanca-cenicienta, ligera, pulverulenta en su superficie, im- pregnada por un ácido que corroe el papel y el cartón de la cajita donde se conserva. Soplando sobre ella, penetra en las fauces el polvillo finísimo, dando en ellas la sensación pare- cida á la del alumbre. Un poquito del pDlvo colocado sobre una tira de papel azul de tornasol humedecido, da una mancha roja intensa. Hervido el polvo con agua y mojada una punta del mismo papel, se pone roja también. Filtrado el líquido acuoso y tra- tado con cloruro de bario, aparece abundante precipitado de sulfato barítico. El cloro no existe en esta roca, siendo bien digna de ano- tarse esta ausencia del halógeno, tan constante en todas las estudiadas hasta ahora, y, especialmente, en la traquita ante- rior no descompuesta. El ácido sulfúrico parece haber ejer- cido aquí una acción eliminadora del cloro en los puntos ó zonas traquíticas impregnadas por los vapores ácidos. Es ésta una primera manifestación de la fase solfatariana del volcanismo que vamos á ver en grande escala en la célebre Solfatara de Pozzuolo, cercana á Monte Nuovo. XVII Traquita totalmente descompuesta del cráter de la Solfatara ( Pozzuolo-Nápoles. ) Las formaciones traquíticas son extensas y numerosas en los Campos flégreos napolitanos, y parecen caracterizar la mancha eruptiva de esta interesantísima región volcánica, excepción hecha del notable volcán de Rocca Monfina, de época posterior á los demás cráteres de los Campos flégreos y contemporáneo del Somma. Como éste, es Rocca Monfina eminentemente leucítico, - 256 — citándose los enormes cristales de leucita más ó menos des- compuesta contenidos en sus lavas, como los más extraor- dinarios de los conocidos. La falta de tiempo disponible me impidió visitar éste volcán, algo alejado de Ñapóles, propo- niéndome hacerlo en otra excursión. La traquita de la Solfatara ofrece todos los estados de des- composición por los vapores emanados del cráter-circo, el más notable de los actuales por su relativa actividad. Todo el fondo del cráter está cubierto de arena traquítica, conteniendo cristalitos de azufre. En los bordes del cráter, y en su parte inferior, tienen lugar los principales desprendimientos gaseosos. Allí se observan todos los grados de descomposición de la traquita. Uno de los varios trozos recogidos, blanco, pulverulento, ligero, de- leznable, dio los siguientes caracteres: Con el agua, después de hervir, abundante íkido sulfúrico: (con Ba CL, + ClHaq). Al soplete, sobre el carbón, fundiendo el polvo con carbo- nato sódico á la llama de R de una lámpara de alcohol puro (*), se reconoce fácilmente el azufre hepático, proce- dente de los sulfatos, con la plata laminada y con el nitro- prusiano sódico. Se vieron ligerisimas señales de hierro. Nada de manganeso. Cortas porciones de sílice. Nada de cloro. El polvo de esta roca dio fuerte mancha roja sobre el pa- pel azul de tornasol húmedo. Los sulfatos dominantes son el calcico y alunünico (alunita). La roca es una mezcla de productos de desagregación, con frecuencia impregnada de sulfuro de arsénico, especialmente el rojo (rcjalgar), juntamente con azufre en costras cristalinas. En este cráter se manifiesta en todo su esplendor la fase solfatariana del volcanismo. Hermosa lección práctica se (*) Este ensayo no debe hacerse con la llama del gas del alum- brado que pueda contener azufre. — 257 - aprende contemplando aquel circo y examinando los resul- tados del metamorfismo por la acción lenta y prolongadísi- ma de los vapores desprendidos de su suelo á través de nu- merosas aberturas, cuyas dos principales llaman allí bocas: grande y pequeña. De todds ellas sale vapor de agua, anhí- drido sulfuroso y sulfuros de arsénico, con algo de cloruro amónico, hidrógeno libre y vestigios de selenio, de fósforo, de cloruros de cobre; mucho nitrógeno, oxígeno y ácidos sulfhídrico y carbónico (*). Parece lógico atribuir á la oxidación del hidrógeno sulfu- rado en una atmósfera muy húmeda y oxidante (**) la forma- ción de ácido sulfúrico, que corroe todo lo que toca, que ex- pulsa al cloro, que transforma en sulfatos los silicatos de las rocas traquíticas primordiales, con formación de sílice hi- dratada (fiorita) reconocida por M. Scachi. Sobre estos de- tritus se depositan los sublimados que impregna el agua ca- liente y tan sulfurantes que el martillo de brillante acero con el que removí algunos sitios para recoger ejemplares se cu- brió en algunos minutos de una capa de sulfuro ferroso com- pletamente negro y opaco. Otras rocas se recogieron, entre ellas una escoria de la última erupción quizá, acaecida en época histórica en este volcán (***). No merecen estudio aparte, estando indicado lo más esencial de la Química geognóstica de este Centro en las consideraciones expuestas. Doy por terminada esta sucinta reseña, ya demasiado lar- ga, hasta tanto pueda reunir más documentos analíticos de la- boratorio recogidos en otras regiones volcánicas, según se ex- presó al principio de este escrito. (Uboralorio particular del autor). (*) Según Deville. — Véase F. Mirón, Etude des phénomenes vol- caniques, París, 1903. (**) Es grandísima la cantidad de vapor de agua desprendido de esta Sulfatara. Las rocas están empapadas en agua caliente. (***) Se admite que la última erupción de la Sulfatara tuvo lugar en 1 198. TU 9 m 0 O d 'V O tü Ctí H j < O Oí o ce a. u o « O) X 10 o z TÍ crj •Q S i5 S in •>}• § ?5 1 ro — re *"" co — o. re "^^sT J in 2 a ■O • tí '"<|~ "^^ ""«j" "<" <1 a CO 'd 'I-» ^ o *-• o. <0 o 05 O O ^3 ;3 bX3 ^ «3 (D (D d tn o , T3 N QC H < «^ >> -o C3 >~. TJ o >. -O O E *C a o "3 "5. a o •o "3 c o o _o I- 03 c o o co D. O CJ >> -a n >> T3 ec „, >» CT3 T3 P3 T3 o O "I T3 >. O U ->^ Cl c^ C« + co (M -a >. X3 -1 c« •a X5 + >> \n -o >> c^ + co T3 -O o X3 co c3 cd •a CJ T3 X} Cd «3 CN •O Cd + + co o X5 -O cd co cd cd cd cd . I •O C^ CM c o •IH ü o o 7. CT3 -O X! + •O I + + •a o + + -o CT3 T3 -O X3 + •a C-I •o U X) m ■O U •a •a o + -a 'O r3 + X) + + •a cd + + P3 + + u r3 -a •a x: •a X + + T3 T3 O -o X ^ + + I + 03 O r3 r3 nj 2 "^ --1 C3 a >. x: cu II X) >» c« Xi -a o x> ü X) + . "O I eo >> >» . T3 -O (M o X3 X) . O TO X3 O Cl C3 + a + + O X5 1 X) 03 1 1 •a 1 "O O X} C3 + 9) X5 CI3 o T3 X} X) X) c« t« C3 1 >> •O e4 r? a X) ü ü CTt ec (M C3 (M cd XI (M >% IM + a X3 + X2 + + O / «J cd C3 ■ a O •I-I c o ü 10 o + X) T3 o X) + >» + + ti X) + -M X5 >^ 03 X) CN ce — 03 CM •O — O T3 X5 O 03 co c« >-> -O 73 ce C-l X) X 03 co >> O O) X5 >. O 'M 03 >» X) + co ^« 03 o3 + ■o X OJ •a CJ + + 1 >» X co T3 ce X •a o X + -- 1 1 X 03 CJ > T3 ü •a + T3 X) 01 -O -- 04 -o T3 X5 03 -O O + T3 + -O + >> •O OÍ •O + T3 O c3 04 -a O + T3 + co >> O X3 (N T3 co M T3 >o O X2 T3 n C3 >» « •a TJ C"*? CJ O CJ X) CO ci RJ -- + CJ >> 73 iM T3 X> CM co >> CJ X) + + + os cd CJ o CJ N co — CN s s •1-1 ü C o o 10 O tí ü 73 •o o I u X) + T3 X) X) •a o •o + -O u + 73 u + -O o + •o a •o X) 4- -a o Si + ■Tí •O X) X3 03 + + XI m •a o X5 en >> O X3 + CJ -a o ja + + + T3 CJ X + I + CJ + + + n a I -a + n >^ r3 >> + X3 — >> Cl ^ i- •O c^ -a CJ X) + ■ IN >. T3 + X5 •M c« ' 1?1 O ■M «3 >. 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El problema así planteado entra de lleno en el dominio de la Geometría y constituye el objeto del presente trabajo, que hemos dividido en tres partes. La primera trata de la determinación de una figura geomé- trica cualquiera por sus proyecciones desde dos puntos dados sobre dos planos, igualmente conocidos, y el modo de deducir de aquéllas, por construcciones efectuadas en un plano, una tercera proyección desde un nuevo centro y sobre un nuevo plano; lo que constituye el problema de cambio de planos en un sistema de representación que, por compren- der como taso particular el propuesto por Monge, hemos denominado sistema general diédrico. En la parte segunda nos ocupamos del estudio de las rela- ciones que ligan tres proyecciones de una misma figura, obtenidas como acabamos de indicar: este estudio, que hace- mos por dos distintos métodos analíticos, es independiente de la posición que ocupen los planos de aquellas proyeccio- nes. Finalmente, en la tercera y última parte resolvemos el problema de colocar éstas en una posición tal que puedan ser proyecciones de una misma figura del espacio y, como caso particular interesante, deducimos la serie de posiciones - 274 - orientadas cuyas figuras correspondientes del espacio son semejantes entre sí. PRIMERA PARTE Sistema general diédrico de representación. Representación del punto, recta y plano. La representación diédrica más general de una figura en el espacio, es la constituida por dos proyecciones de la misma, obtenidas desde dos puntos cualesquiera sobre dos planos también arbitrariamente elegidos. La figura que se represen- ta viene dada como intersección de dos radiaciones, cada una de las cuales se determina por su vértice y una sección plana. Representación del punto.— Uniendo un punto M con los dos centros O y O', las trazas de cada uno de estos rayos con los planos correspondientes S y S', serán las dos pro- yecciones my m buscadas. Reciprocamente, si tenemos dos puntos m y m' sobre los planos 5 y S', solo podrán ser pro- yecciones de un punto del espacio en el caso en que Om y O'm' se corten, ó sea que los puntos O, O', m y m estén en un plano; si tal sucede, las trazas de este plano OMO' con los S y S' (que son las rectas qm y p'm que unen cada uno de los puntos m y ni con la traza respectiva ^ y p' de 00' con el plano de proyección que lo contiene) habrán de cortarse en un punto de la recta de intersección de 5 y S', que llamaremos eje e". Como casos particulares, pueden no- tarse los puntos del eje, cada uno de los cuales se confunde con sus dos proyecciones y cumple, por tanto, la condición — 275 — enunciada; y los de la recta que une los centros de proyec- ción, pues confundiéndose para ellos m con q y ni con />', estas proyecciones q y p' corresponden á todos los puntos de dicha recta 0 0' y no determinan ninguno de ellos en particular. Representación de la recta.— Uniendo una recta cual- quiera R con los dos centros de proyección, obtendremos sobre S y S' dos rectas r y r, proyecciones de aquélla. Recí- procamente, dadas en los planos S y S' dos rectas cuales- quiera r y r', y proyectándolas respectivamente desde O y O', tendremos dos planos, cuya intersección será la recta del espacio por aquéllas determinada. Podemos aquí observar que, al contrario de lo que sucedía en la representación del punto, podemos tomar completamente arbitrarias dos rectas en los planos S y S',y siempre serán proyecciones de una recta en el espacio. Como casos particulares de excepción, examinemos el de una recta que corte á la 00', pues tiene por proyecciones las trazas del plano ROO' con los 5 y S', rectas que son á la vez proyecciones de todas las de aquel plano. También constituyen casos de excepción, entre las que acabamos de mencionar, las que pasan por uno de los centros O y O'; pues si bien una de las proyecciones (la efectuada desde el centro exterior á ella) es una recta determinada, la otra es la traza de la dada sobre el plano correspondiente. Representación del plano.— Se hace, como en el siste- ma de Monge, por sus dos trazas con los planos coordena- dos, no habiendo lugar á considerar posiciones particulares del plano respecto de los centros de proyección, porque la representación de éste no depende sino de los planos 5 y S'. Sólo indicaremos el caso de un plano que pase por el eje, para el cual las dos trazas se confunden con éste y le dejan indeterminado; debiendo añadir la representación de uno cualquiera de sus puntos exterior á esta recta para comple- tar la determinación de dicho plano. - 276 — II Cambio de planos. Consideremos ahora otro plano, S", y otro centro de pro- yección, O"; hallemos las trazas del plano O O' O" con los tres de proyección, y sobre cada una de éstas tendremos las proyecciones p y q, p' y q, p" y q" de cada par de centros desde el tercero sobre el plano correspondiente. La condición que en el artículo anterior hemos visto exis- tía entre las dos proyecciones de un punto, debe tener lugar ahora para cada par de proyecciones m-m' , m'-m" y m"-m. Para obtener, pues, un punto en el espacio, sólo podrá darse completamente arbitraria una de las proyecciones, la m, por ejemplo: la ni deberá estar en la recta que, pasando por p', corta á la mq en el punto en que ésta corta al eje e". Haciendo uso de este tercer plano podremos ya representar todos los puntos del espacio, sin la excepción que antes men- cionamos. Observemos aquí la diferencia notable que existe entre la determinación del punto y la de la recta. Las tres proyeccio- nes de un punto en el espacio tienen entre sí una relación trivalente ó de triple enlace, como puede verse observando que, dada arbitrariamente una proyección, la segunda viene ya sujeta á una condición (la de estar sobre una recta deter- minada), y la tercera queda ya completamente definida, lo cual exige otras dos condiciones. Las proyecciones de una recta, en cambio, están sujetas á dos condiciones solamente, y éstas determinan la tercera, dadas arbitrariamente las otras dos; la relación es aquí, pues, bivalente ó de doble enlace. Puede también verse esto de otra manera: Entre las seis coordenadas de los puntos de los tres planos, se nos pueden dar dos ó tres ecuaciones que las liguen; en el primer caso, podremos determinar dos coordenadas x (¿ y en función de — 277 - las otras cuatro, que podrán tomarse arbitrarias; en el segun- do sólo podemos elegir arbitrarias tres coordenadas (ó dos y una ecuación nueva), y las demás serán conocidas. El pri- mer caso se presenta, en coordenadas cartesianas del espa- cio, en la determinación de la recta, y el segundo en la del punto. Considerando ahora las tres figuras planas S, S' y S", pro- Figura 1." yecciones de una misma en el espacio, observaremos que los pares de puntos qy p', q' y p", q" y p, que llamaremos pares de puntos principales contrarios, son vértices de pares de haces de rectas que proyectan las proyecciones de cada punto del espacio; es decir, que los haces q.mnr... yp'.m'n'r..., son perspectivos, siendo la recta e" su eje perspectivo (figu- ra 1."). — 278 — Estos haces nos dan un medio muy sencillo de resolver el problema de cambio de planos; es decir, nos permiten determinar la proyección de una figura cualquiera sobre un plano S" desde un centro O", cuyas posiciones se nos dan referidas á otros dos planos S y S', que contienen ya dos proyecciones del mismo sistema en el espacio. En efecto; si queremos hallar la tercera proyección m" de un punto, co- nociendo las otras dos m y /;?', uniremos m' con q' y m con p; luego, los puntos de intersección de estas rectas con las ey e' unidos con los puntos principales respectivos p" y q", dan dos rectas que se cortan en el punto pedido ni'. No hay que olvidar que los puntos dados my m' han de cumplir la con- dición de que las rectas mq, m'p' ye" concurran en un punto. Para hallar la tercera proyección r" de una recta, dadas las otras dos arbitrarias r y r', empezaremos por tomar en la /* un punto m; uniéndolo con q y trazando el rayo homólogo de éste en el haz p', tendremos en r' el punto m conjugado con m; y podremos ya determinar el m", que con los m y ni forma un terno de puntos conjugados; haciendo una cons- trucción idéntica para otro punto cualquiera n de la recta r, tendremos el n", que con m" nos da la recta buscada r". Como caso particular notable estudiaremos el de los puntos del plano de los tres centros, cuyas tres proyeccio- nes están sobre los ejes singulares pq, p'q' y p"q"; recípro- camente, si una de las proyecciones, m" por ejemplo, está sobre la recta p"q", el punto estará en la recta que une O" con un punto del plano O O' O"; es decir, estará en este pla- no; en él estarán igualmente las otras dos proyecciones m y ni y, como han de hallarse respectivamente en 5 y S', serán puntos de los ejesp^ y p'q'. Como la construcción general no es aquí aplicable, puede efectuarse en el plano de los centros, ó determinar en los mismos planos de proyección el punto m" como intersección de p"q" con la recta homo- loga de otras dos que corten á los ejes pq y p'q', respectiva- mente, en los puntos dados m y ni. Como más sencillas. — 279 — pueden tomarse para esto las rectas Vm y Vm' que unen el punto común á los tres planos S, S' y S" con las dos pro- yecciones dadas. Conviene emplear asimismo este método, como más exacto, para los puntos próximos á los ejes. Otro caso particular, digno de estudio, es aquel en que los dos puntos que se nos dan son dos puntos principales; pues el punto buscado queda indeterminado, aunque con grados distintos de indeterminación, según que los dos puntos principales dados sean ó no contrarios. En el primer caso sean, por ejemplo, los g y p'; uniéndolos respectiva- mente con los p y q' observaremos que los rayos de los haces p" y q", homólogos de los así obtenidos, se confunden con el e]ep"q", y la tercera proyección es uno cualquiera de los puntos de esta recta; el punto en el espacio pertenece á la recta 0 0'. Si las proyecciones dadas son los puntos p y q', los rayos de los haces p" y q" quedan arbitrarios, la tercera proyección es un punto cualquiera del plano S" y el punto en el espacio no puede ser otro que el centro O". Finalmente, si los puntos dados son los q y q', proyectando q desde p y buscando el rayo homólogo del pq en el haz de vértice q", obtenemos el eje p"q"; y proyectando, por otra parte, q' desde sí mismo, obtenemos todas las rectas del haz que lo tiene por vértice, á las cuales corresponden todas las del haz p", y como tercera proyección tenemos el punto p" que corresponde en el espacio al centro O'. Este caso, sin embargo, no es posible en la realidad, pues no pueden dar- nos en q' la proyección del punto O' desde sí mismo. Hay que observar que siempre que una de las proyeccio- nes de un punto es punto principal, lo es necesariamente una de las otras dos, pues aquella condición equivale á decir que el punto en el espacio pertenece á uno de los lados del triángulo O O' O". Con esto tenemos el medio de resolver el problema si- guiente: Dados dos planos, 5 y S', dos puntos, O y O' fuera de ellos, y las proyecciones de una figura de tercera - 230 - categoría, desde éstos sobre aquéllos, hallar una tercera proyección de la misma figura desde un nuevo centro O", y sobre un nuevo plano S", dados por sus posiciones respecto de los anteriores; todo por medio de construcciones efectua- das sobre los mismos planos de proyección. Cofno todas las construcciones que han de hacerse son de carácter proyectivo, pueden ejecutarse en otro plano cualquiera sobre el que se hayan proyectado, cilindrica ó cónicamente, las dos figuras proyecciones dadas. En el artí- culo siguiente veremos el modo de operar sobre un solo plano, sin necesidad de efectuar estas proyecciones previas. El problema que acabamos de resolver, es el de cambio de planos en su mayor generalidad. III Construcciones gráficas para el cambio de planos. — Aplica- ción del teorema de Mac Laurin - Braikenridge. — Cons- tructor mecánico. Hemos conseguido en el artículo anterior resolver el pro- blema de cambio de planos por construcciones efectuadas en los mismos planos de proyección; pero puede simplifi- carse aún más operando sobre un solo plano; basta, para ello, abatir los 5 y S' , con las figuras que contienen, sobre el S", girando alrededor de los ejes e y e, respectivamen- te (fig. 2.''). El eje e", considerado como de uno ú otro pla- no vendrá á ocupar las posiciones e/' y e.,", y la serie que sobre él había, sección de los haces q y p' se desdoblará en dos sobre e," y e^", que han de seguir siendo congruentes con sólo un giro alrededor del vértice V del triedro. Las construcciones necesarias para determinar el tercer punto de un terno son las mismas que ya conocemos, con la única diferencia de que al relacionar las proyecciones de un punto sobre los planos 5 y S', los rayos tales como (jm y p' m han — 281 - de cortar, respectivamente, á los ejes abatidos e^' y e./' en puntos equidistantes del V. Hemos conseguido ya resolver el problema operando en un solo plano; vamos á ver que las construcciones efectuadas en los planos de proyección constituyen la aplicación de un caso particular del teorema de Me. Laurin-Braikenridge (*). Figura 2.* Las construcciones efectuadas en los tres planos de pro- yección nos permiten enunciar con toda generalidad el teo- rema siguiente (fig. 1."*): Si tenemos un exágono alabeado mz"m's.m"z', cuyos lados pasan por otros tantos puntos fijos q, p', q', p", q", p; y además tres vértices no consecutivos (*) Véase: Braikenridge, Exercitatio geométrica de descriptione linearum curvorum.— Londres, 1733. Rev. Acad. Ciencias.— VI. — Noviembre, 1907, 19 — 282 - dos á dos e", £, t, están constantemente en tres rectas e", e, e, aristas del triedro formado por los planos de los pares de lados consecutivos z m y im", t" m' y m't, zm" y m"z, y, finalmente, hacemos recorrer á dos de los vértices res- tantes, m y ni, dos rectas de los planos 5 y S'; el último vértice m" recorre igualmente una recta del plano 5". Al desarrollar el triedro sobre el plano S", el exágono queda abierto, y el vértice e", como de uno y otro de los lados que en él concurren ha de recorrer las dos rectas e^' y e.,", ocupando en ellas puntos homólogos en dos series congruentes, es decir, puntos situados á distancias iguales del vértice V. Podemos, pues, completar el polígono con un séptimo lado, z^"z.y", que habrá de conservarse constante- mente perpendicular á la bisectriz del ángulo que forman los abatimientos fijos e/' y c.,". Entonces podremos enunciar un teorema análogo al anterior, que dirá (fig. 2.'): Si tene- mos un eptágono plano, m'zm'z'tmy'z^y, cuyos lados pasan por puntos fijos q', p" , q", p, q, p', y el del infinito de la perpendicular á la bisectriz del ángulo formado por dos rectas, e^' y e.f, sobre las cuales han de hallarse constante- mente dos vértices s/' y ^o" consecutivos, y por cuyo punto de intersección V pasan otras dos rectas, e y é, en las que han de moverse otros dos vértices, e y z', no adya- centes á los anteriores, y obligamos á dos de los restantes vértices, m y ni, á recorrer dos rectas cualesquiera, el úl- timo vértice ni', que queda libre, recorrerá igualmente una recta. Los dos teoremas anteriores, que no son otra cosa que la enunciación de las construcciones efectuadas para obtener ternos de puntos, pueden también demostrarse con gran sencillez. En efecto; todos los haces formados por las dife- rentes posiciones de cada lado alrededor de su punto fijo son proyectivos entre sí, por ser perspectivos cada dos con- secutivos. Los dos últimos engendrarán, pues, una línea de segundo orden; pero, como el rayo p"q" se corresponde do- • - 283 - blemente en ellos, éstos son perspectivos, y el último vértice describe una recta, como queríamos demostrar. El segundo de los teoremas estudiados puede considerarse como un caso particular del de Mac Laurin-Braikenridge, que Poncelet enuncia (*) de esta manera: «Si se hace mo- ver un polígono plano cualquiera, obligando á sus diferentes lados á pasar constantemente por otros tantos puntos fijos, dados como polos, y cada uno de sus vértices, menos uno, á recorrer directrices curvas (**) cualesquiera, de grados m, n, p, q, , el vértice libre describirá, en todas sus posicio- nes, una curva que será, en general y á lo más, de grado 2 mnpq ; y que se reducirá sencillamente al grado mnpq cuando todos los puntos fijos se hallen en línea recta.» El teorema del eptágono es susceptible de una sencilla construcción mecánica, mediante un aparato constituido por once varillas ranuradas, cuatro de las cuales, las e, e' , é\, y e" 2 pueden (fig. S,'') deslizar á lo largo de sí mismas, res- balando cada una de ellas por dos puntos fijos en el tablero sobre que se trabaja, representados por el signo •. Otras seis, articuladas dos a dos en m, m' y m" donde llevan, respectivamente, dos estiletes y un lápiz, pasan cada una por uno de los puntos q , p, q" , p" , q' , p' , también fijos en el tablero, y por uno de los e, e', e''^ y t'\ que constituyen cuatro vértices y pueden deslizarse á lo largo de las tres vari- llas que por cada uno de ellos pasan, y distinguimos con el signo (V). El último lado / pasa siempre por Jos dos puntos t'\ y £"2 de intersección, respectivamente, de e" i y e'^ con los lados adyacentes al que consideramos, el cual, por medio de la pieza o-^ puede moverse, conservándose siempre pa- ralelo á sí mismo. Con este aparato vemos que, haciendo (*) Poncelet, Traite des propietés proyectives des figures.— Pa- rís, 1822, pág. 332. (**) En el sentido de lineas, puesto que pueden, como caso par- ticular, ser rectas. — 284 - recorrer á los estiletes m y m' los puntos correspondientes de dos proyecciones 5 y S' de una figura cualquiera de ter- cera categoría, puede obtenerse, por el trazado del lápiz colocado en m" , la tercera proyección S". De este aparato resultan casos particulares el perspectó- Fkiiira 3.'' grafo ideado por el Dr. Guido Hauck para resolver el pro- blema de la Perspectiva (*), y el trikológrafo del mismo autor, modificado con arreglo á las indicaciones del Profe- sor Schiffner, para la construcción de un plano topográfico deducido de dos vistas obtenidas sobre placas verticales (**). (*) Este aparato fué descrito por su autor en el Fcstschrift dcr Technischcn Hochschulc zii Bcrlin sur Pcier dcr Einweihnng ihres nc- uen Gebaüdcs am 2 Nov. 1884—ücdruckt in dcr Rcichsdruckerci, página 213. (**) Puede verse una descripción de este aparato en la obra Treas. - 285 - IV Casos particulares. 1. Dos PROYECCIONES CÓNICAS Y UNA CILÍNDRICA. — Ull centro es punto del infinito; dos pares de puntos principales están sobre paralelas que pasan por este punto. Este es el caso de la Fototopografía. 2. Dos PROYECCIONES CILINDRICAS Y UNA CÓNICA.— Dos centros son puntos impropios. Los dos puntos princi- pales que proyectan cada uno de los centros del infinito des- de el otro son también puntos impropios, los puntos del in- finito de los ejes singulares correspondientes; y los haces correspondientes son de rectas paralelas. Los rayos homó- logos de estos dos haces se cortan en puntos del eje corres- pondiente al centro propio. Este es el caso de la Pers- pectiva. 3. Tres proyecciones cilindricas. — Los tres centros son puntos del infinito no situados los tres en ningún plano propio. El eje singular de cada plano es la intersección de éste con el de los tres centros, y como este plano es el del infinito, aquella recta es la del infinito de su plano; los puntos principales, situados sobre cada eje singular, son los puntos del infinito de cada una de las rectas de intersección del plano correspondiente con uno cualquiera paralelo á la orientación determinada por dos de los centros. Los haces de vértices p, q, p', q', p", q" son haces de rectas paralelas. Todas las construcciones, tanto en este caso, como en los dos anteriores, se efectúan como en el general. 4. Tres centros en línea recta, propios ó del infi- nito.—En cada plano hay infinitos ejes singulares que pasan Dept.— U.S. Coast and GeoddicSurvey—Photo-topographic Metliods and Instruments, by. J-A. Flenier, Assistant.— Appendix n°10—Report for 1 897~Wassington-1898 , pág. 732. — 286 - todos por un punto, el punto principal único correspondiente á este plano, y la solución del problema de cambio de planos operando en los tres de proyección es imposible, debiendo hacerse, para cada punto, en el plano determinado por éste y la recta de los centros. 5. El vértice V del triedro es un punto del infi- nito.—Los ejes son paralelos en el espacio y siguen sién- dolo al desarrollar el triedro en un plano. Las construcciones en este caso, que estudiaremos detenidamente más adelante, son análogas á las del caso general. 6. Los tres planos de proyección pasan por una — 287 — RECTA.— Para formarnos idea de este interesante caso, pro- yectemos toda la figura sobre un plano perpendicular á la arista única ee'e". El plano de los centros tiene por traza, con el eje, el punto H (fig. 4.^), y con el plano auxiliar de proyección, la recta A' B" C; los ejes de cada plano son los HC, AH' y HB" que hemos abatido con sus planos sobre el auxiliar, alrededor de sus trazas. Los puntos prin- Flgura 5." cipales se determinan fácilmente, y tanto ellos como los demás elementos conservan las notaciones del caso general, con lo que basta la figura para formarse idea del modo de resolver el problema sin ulteriores explicaciones. En la figura 5.'"' se han representado los mismos elemen- tos, pero abatiendo los planos S y S' sobre el S" alrededor del eje común en el sentido marcado por las flechas. Como puede verse en estas figuras, el problema no ofrece mayor - 288 - complicación que en el caso general, aunque el procedi- miento parece á primera vista algo diferente. 7. Caso en que uno de los centros, ó los dos, estén SOBRE otros tantos PLANOS DE PROYECCIÓN. —Suponga- mos, por ejemplo, que el punto O esté sobre el plano S' y O' sobre S. La figura 6.'' nos indica las modificaciones que hay que introducir en las construcciones. Si los puntos Piaura 6. O y O' son del infinito y además están en un plano perpen- dicular al eje e", tenemos el sistema diédrico ordinario ó de Monge, en el que cada par de proyecciones de un mismo punto han de estar sobre una perpendicular al eje respectivo, que recibe el nombre particular de línea de tierra. 8. Los TRES CENTROS SON PUNTOS DEL INFINITO.— Este caso, cuyo estudio no ofrece dificultad alguna, puede consi- derarse como generalización del sistema diédrico ordinario. — 289 — 9. Dos VÉRTICES CONFUNDIDOS.— Es un subcaso parti- cular del caso 4.", en que suponíamos los vértices en línea recta; como en él, hay infinitos triángulos se's", todos los cuales tienen sus vértices sobre tres rectas fijas e, e' y e", y cuyos lados pasan constantemente por tres puntos fijos, que son las trazas de la recta de los centros con los tres planos de proyección. Como en aquél sucedía, es éste un caso en Figura 7." que es imposible resolver el problema por construcciones hechas sólo en los planos de proyección. 10. Dos PLANOS DE PROYECCIÓN CONFUNDIDOS.— Es Un subcaso del caso 6.°, en que los tres planos de proyección pasan por una recta. Las dos figuras superpuestas S' y S" son secciones de dos radiaciones O' y O" que proyectan una misma figura en el espacio; luego ellas son perspectivas, siendo su centro perspectivo la traza q' p" sobre el plano S' S" de la recta — 290 — 00" que une los dos centros. En la figura 7.", representado en perspectiva axonométrica, y en la 8.^ con el plano 5 Figura 8. abatido sobre el S'S", se ha representado el caso que estu- diamos, y que es el que se presenta en la Estereofototopo- grafia ó Fototopografía estereoscópica. 291 PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE í.^ DE JULIO DE 1907 (ContirLuaclón. ) Academia Polytechnica do Porto. — Volumen 2.°, núms. 2 73. — Coim- bra, 1907. Commissao do Service Geológico. — Carta Hypsometrica de Portugal (Se. guido a carta chorographica na escala de i: 100.000). I Escala . — 1906. 500.000 Commissao do Servico Geológico de Portugal. — Tomo 6 «, fase. 2 ." — ídem 7.°, fase, i .° Revista de Chimica Pura e Applicada. — 3.*' anno, núm. 7-10 —Julio á Octobre 1907. — Porto. Braga (Theophiio).— Historia da Universidade de Coimbra ñas suas relagoes com a Instruccáo publica Portugueza — Por. . . — Tomo 3.°, 1700 a 1800. ídem 4.", 1801 a 1872. — Lisboa, i8g8, 1902. 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Rendiconti. — Classe di Science fisiche, matematiche e naturali. — Volu- me XVI, fascicolo 12° e índice dei volume i." semestre. — ídem XVI, fascicolos 1-6, 2.° semestre. — Rendiconto de la adunanza solenne del 2 Giugno 1907, onorata dalla presenza di Sua Maestá il Re. — Volume II. — Roma, 1907. R. Accademia dei Lincei.- Memorie della. . . — Classe de Science Fisiche Matematiche e Naturali. — Anno CCCIV, serie s."», volume VI, fascico- los 11 y 12. — Roma, 1907. Reale Accademia dei Lincei.— Rendiconti della... — Classe de Science Morali , Storiche e Filologiche — Serie V, vol. XVI, fase. 4.°-5.^ — Roma, 1907. Accademia Gioenia di Science Naturali in Catania. — BoUetino delle Sedute della. .. — Giugno 1907, fascicolo XCIV (nuova serie). — Catania. Biblioteca Nacionaie Céntrale di Firenze.— Bolletino delle publicazioni Ita- liane. — Núms. 79, So, Si, — ^Luglio Setiembre.) — Firenze. 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Akademie der Naturforscher. — Band. 81, N.° 6. — Die Beobachtungen der Lufttem peratur der totalem Sonnenfinsterniss. Von 22 Januar 1898 ¡n Indien. — Von —Halle, 1903. Flecker (0). — Beobachtungen an Horizontalpendeln über die Deformation des Erdkorpers unter dem linfluss von sonne und Monel. —Von — Veroffenthichmy des Konigl. Preuszischen Geodiitischen Institutes.— Neue folge, N.*' 32. — Berlin, 1907. Konig ichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.— Nachrichten von der Mathematisch-physikalische klasse —1907. Heft 3. — Ber- lin, 1907. Mahrischen IVIuseumsgeselIschaft. — Zeitschrit des Mahrischen Landes- museums Herausgegeben von der — VH Band Zweites Heft. - Brüms, 1907. Bioohemisches Centralblatt.— Band VL N." i al 17 (Feb. á Octobre 1907). Leipzig. Zeitschrift für Mathematil< und Physilt.— 54 Kand, 4 Heft. - Leipzig, 1907. Enestrom (Gustaf). — Bibliotheca Mathematica.— 3 folge, 8 band, i heft. — Leipzig, 1907. Altademie van Wetenschappen te Amsterdam.— Verhandelingen der Konin — 296 - klijke — (Eerste sectie). Deel IX. N.o 4. (Twede seche). Deel XIII. N.° I, 2, 3. - Amsterdam: J. Miiller, Octobre, 1906. Abril, Junio 1907. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. — Veihandelingen der Konin- klijke Afdceling Lelterkunde. Nierabeeks.— Deel VII. Deel VIII. N.o 3. Amsterdam: J. Müller, 1906-1907. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (Koninklijke). - Verslag van de Gewone Vergaderingen der Wis en Naturekundige Afdeeling. — Van 26 Mei igo6. Lot 26 April 1907. Deel XV. — J. Müller, 1906-1907. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (Koninklijke). — Proseedings oí the Section of Sciences. — Vol IX (ira y 2da part.)— J. Müller, 1906-1907. Akademie van Wetenschappen Gevestigd te Amsterdam.- Haarbock, 1906. J . Müller, 1907. Akademie van Wetenschappen (Koninklijke). — Verslagenen Mededeeling en der. . . — Afdeling Letterkunde. — Vierde Reeks Deel VIII.— Amsterdam: J. Müller, 1907. Paseoll (Johannis). — Rufius Crispinus Carmen... ex Castro Sancti Mauri in Certamine Poético Hocufftiano Praemio áureo omatum.— Amsteloda- mi: J. Mullercum, MCMVII. Akademie Cisare Frantiska Josefa pro vedi, Sloveshost a Umeni (Ceske).— Rozpravy... — Trida II (Mathematicho Prirodnicha. ) — Rocnik XIV (1905) XV (1906). — V Praze, 1905-1906. Moraisska Musejni Spolecnost. — Casopis Moravského Musea Zemskeho Vydava... — Rocnik VII, cis 2. — V Brue: Tiskem Moravske Akciove knihtiskarny, 1907 . Reyehier (Or. A.). — Chemie Fysikalna Napsal... — V Praze: Nakladem Ceske Akademie Cisare Frantiska Josefa, etc., 1902. Poeta (Dr. Fiiip). — Rukovet Palaeozoologie Napsal. — I Cast-invertebrata, II Cast-vertebrata. — V Praze: Nakladem Ceske Akademie Cisare Fran- tiska Josefa, etc , 1904. Bayer (Dr. Frantisok). — Katalog Ceskych Forsilnich Obratlovcu (Fossilia vertebrata Bohemioe) Sestavil . . . — V Praze: Nakladem Ceske Akademie Cisare Franstika Josefa, etc., 1905. Chodounsky (Prof. Dr. Kasel). — Nastuzeni a Choroby Z. Nastuzeni.— Napsal. . .-V Praze 1906: Nakladem Fondu lira J. Sichy Pri Ceske Akademie Cisare Frantiska Josefa, etc Weinek (Prof. Dr L ) — Maquetische und Meteorologische Beobachtungen au der K K Sternwarte zu Prag im jahre 1906. Auf offentliche Kosten herausgegeben von . . . — 67 Jahrgang . — Prag, 1907. Nathorst (A. G ). — Uber Thaumatopteris Schenki Nath. — Von . . . — Kungl, Svenska, Vetenskapsakademiens Handlingar, Bd . 42, n ''3. — Upsala et Stockholm, etc. Nathorst (A. G.). — Uber Thaumotopteris Schenki Nath. —Von... — Krngl. Svenska. — Vetenskapsakademiens — Handlingar Band 42, N.'^ 3. — Upsa- la & Stockholm... (Contiituara). INDICK DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO pAgs. X.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Eche- garay. Conferencia duodécima 217 XI. — Estudio químico-geognóstico de algunos materiales vol- cánicos del Golfo de Ñapóles, por Ramón Llord y Gamboa. (Conclusión) 250 XII.— Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones fina- les, por Gualterio M. Seco. (Conclusión) 258 XIII' — Fundamento teórico de la Fototopografía, por José María Torroja 273 Publicaciones [recibidas desde 1.° de Julio de 1907. (Conti- nuación) 291 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 á GOO páginas , al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val' verde, núm. 2fi, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas. REVISTA » DB LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID (Diciembre de 1907.) MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CÁLICE DE P0NTEJ08, KÚM. 8. ^"' 1907 / ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. — 297 — XIV.— Elemontos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray. Conferenoia. dócimatercia. Señores: Otro ejemplo más vamos á presentar sobre el equilibrio elástico, tomado también de la obra de Mr. Sarrau, que adoptamos como guía en esta última parte del presente curso. Dicho ejemplo será el último que estudiaremos, por aho- ra, como aplicación de las fórmulas del equilibrio en este primer estudio elemental relativo á la teoría de la Elasti- cidad. Ejemplo 5 ".^Equilibrio de una capa cilindrica. Consideraremos un sólido homogéneo é isótropo limitado por dos cilindros de revolución concéntricos y por dos planos perpendiculares á las generatrices. Supondremos, que dicho sólido está sometido para cada una de las superficies cilindricas á presiones normales y uniformes, y para cada una de las bases á una tracción uni- forme paralela al eje. Y nos proponemos resolver el problema del equilibro: es decir, nos proponemos determinar las componentes de la deformación para un punto cualquiera cuyas coordenadas sean x, y, z. A modo de complemento del problema, determinaremos también para cualquier punto, en función de sus coordena- das, los valores de N y T. Tomemos por origen el centro de figura; como eje de las z la paralela á las generatrices, que pasa por dicho centro, Rev. Acad, CiKNOiAS.— VI. — Diciembre, 1907. 20 — 298 - y sea M (fig. 46) un punto cualquiera del sólido situado en el plano meridiano OzHH'. La distancia Ma del punto M al eje la representaremos por /". Figura 46. El punto M está definido por sus tres coordenadas y tendremos: Ok = x; k/i = y; Mh = z, aM = r=^\Jx'' ^y\ Como el conjunto de los dos cilindros de revolución CC, ce, que tienen el mismo eje Oz es simétrico respecto al pla- no meridiano OzHH , y el sistema de fuerzas, á saber, las presiones normales sobre las dos superficies cilindricas y las tracciones sobre las bases constituyen un sistema también simétrico con relación al plano meridiano expresado, es evidente que ja deformación del punto M se efectuará en este mismo plano: sea su desplazamiento MM' , que podremos descomponerlo en dos desplazamientos: el uno, MA, situa- do en el plano normal á las generatrices del cilindro, x My' , — 299 - que llamaremos s; y el otro, MB, que será w, según la no- tación general. Así, pues, MA = s; MB = w. Por fin, descomponiendo s en las direcciones Mx' y My', tendremos para las tres componentes del desplazamien- to MM': X y u = s — ; V = s -"^ ; w, r r puesto que los cosenos de los ángulos x' MA éy'MA, son r r En rigor no conocemos ni la forma de s ni la de w; preci- samente hay que determinarlas de modo que los valores pre- cedentes de u, V, w, satisfagan los dos grupos (1 ) y (2), que expresan el equilibrio elástico. (Conferencia XII.) Volvemos á repetir aquí lo que hemos dicho ya varias ve- ces: que no sabemos integrar en términos generales las ecua- ciones diferenciales (1) y (2), y que tenemos que proceder por tanteos, por ensayos, y casi por adivinaciones. Ocurre que tal vez s no dependa de z, sino de la distan- cia r al eje, y que w sea proporcional á z, como en el caso de un prisma sometido á fuerzas longitudinales y uniformes; y por estos motivos de pura intuición estableceremos los tres valores provisionales de a, v, w, siguientes : X V u = s{r) — ; v = s{r)-^; w = cz. r r Veamos si con ellos es posible satisfacer á las condiciones de equilibrio del sistema elástico. Pero en este momento no lo sabemes: es una prueba que intentamos; un verdadero experimento, que también en las Matemáticas existe el método experimental. Lo que desde luego se prevé, es que estos valores de - 300 — íi, V, w pueden estar comprendidos en el segundo ejemplo: aquel en el que dichos valores eran las derivadas con rela- ción á X, y, z, de una función de tres variables ^, ó lo que es lo mismo, que udx -f vdy -|- zdz, sea una diferencial exacta para estas expresiones de u, v, w. En efecto, substituyendo por u, v, w las expresiones ante- riores, tendremos, ó bien s — dx -\- s — dy -\- czdz; r r xdx^ydy . . s "^ ^ -f czdz; y como de x^ -f j2 — j-2 ge deduce xdx -f ydy = rdr, la expresión anterior se convierte en sdr ^ czdz , que podrá integrarse y que representaremos por cp: 9= I sdr \ I czdz= I sdr -\ cz-. Y que puede integrarse es evidente, porque hemos supues- to que s es una función de r, y, por lo tanto, /sí/r será in- tegrable. Pero hemos demostrado que, en este caso, las ecuaciones del grupo (1) quedan satisfechas con tal que la dilatación cú- bica O sea una constante; luego sólo nos queda, para esta primera parte del problema, expresar la dilatación O é igua- larla á una constante arbitraria. - 301 - Sabemos que O = 1 \ ; por lo tanto, no dx dy dz hay más que determinar estas tres derivadas, deduciéndolas de los valores hipotéticos de w, v, w. Tendremos, pues, diferenciando dichas expresiones, d — dii ds dr X , r dx dr dx r dx dv ds dr y , r dw dy dr dy r dy dz Pero de x- -^^ y"^ = r"^ se deduce xdx = rdr, ydy = rdr; , ,. dr X dr y , r o bien = — , = -^; y ademas , dx r dy r d — r ~ X . — , d ^^ r r y- r x- dx r- r^ dy r'^ Y substituyendo: du ds x' , V- dv ds y'^ , x- dw dx dr r- r^ dy dr r- r-^ dz Estas tres expresiones dan para O el valor, , ds x2 , y2 ds y'^ , x'^ , dr r- r^ dr r- r^ dr r- r^ ó bien dr r — 302 — de donde ü ds , s dr r Pero O es una constante; luego el primer miembro podre- mos representarlo por una constante arbitraria 2 a, y tendre- mos para determinar s, la ecuación ds . s ^ dr r siendo O — c = 2a ó ^ = 2a + c. La ecuación precedente se integra, desde luego, porque puede ponerse bajo esta forma: rds -|- sdr ■= 2a.r.dr, ó bien d{sr) = a. 2rdr, en que todos los términos son integrables; y tendremos sr = ar^ + ^> siendo b una constante arbitraria. Así, pues, s = ar -\ . r Este valor de s, substituido en los de ii y r, en unión con IV, satisfacen evidentemente al grupo (1), según se ha visto en el segundo ejemplo; pero no sabemos si satisfarán al gru- po (2) disponiendo de sus dos constantes arbitrarias a y /;. Tal es la segunda parte del problema. Tenemos que substituir los valores de a, v, w en los de Ny T. — 303 - Estos, á su vez, habrá que substituirlos en el grupo (2), para las dos superficies cilindricas, la exterior y la interior, y para las dos bases de la capa cilindrica; y habrá que ver si á las tres constantes a, b, y c podemos darles valores tales, que satisfagan las condiciones que resulten. Determinemos, pues, ante todo, las Ny T. Tenemos \T ■ h \ r. dll dx N3 = yJ + 2ix dy' dw ~d7' y substituyendo A o : du x^ ds . y^ dx r^ dr r^ dv y- ds , x- dw — = -^ \ s; =c; dy r^ dr r'^ dz resultará: iV, = M2a + c) + 2^(4-^ + 4^)' V r- dr r^ } \ r'^ dr r^ J N3 = X(2a + c) + 2p.c. Asimismo, substituyendo en los valores de T, 304 ™ / dw dv \ _ / du dw \ dy dz /' ' \ dz dx _, / dv . du \ T^¿ = V^\ -7- + dx dy I las derivadas que contienen, y que se deduce diferenciando X y r r las cuales dan : 4-\ du \r = X — ^ — ^ dy dr dr _ dy _ xy r ds r dr r- - s _ xy 1 r' ' ' ds .dr s r dz dv ^ \r) dx dr dr _ dx _ xy r ds r dr r- -s ( ds \dr s r dz "'" 0, dx ''"'=0, dy tendremos: \ T, = 0; T, = 0; T, = 2u^( xy [ ds s dr r Según hemos dicho antes, habrá que substituir estos valo- res de N y T en las ecuaciones del grupo (2), que ex- presan el equilibrio de la superficie del cuerpo, ó sea el del — 305 - tetraedro infinitamente pequeño, que corresponde á cada punto de esta superficie, que en rigor, en este caso, se des- compone en tres: 1.° El cilindro exterior. 2.*" El cilindro in- terior. 3." Las dos bases de la capa cilindrica. Como el sistema es de revolución alrededor del eje de la z, bastará que las ecuaciones del grupo (2) queden satisfechas para un punto cualquiera de la superficie cilindrica exterior, que podremos escoger, por lo tanto, en el plano de las x z. Lo mismo podemos decir para la superficie interior, esco- giendo un punto en dicho plano coordenado. Y, por último, escogeremos un punto cualquiera de una de las bases , por- que, lo que digamos de la una, podremos repetir para la otra. Pero aquí se presenta una pequeña dificultad, que ya se presentó en dos de los problemas anteriores, y es que el te- traedro infinitamente pequeño, á que se refiere el grupo (2), no existe realmente para ningún punto de las superficies ci- lindricas ni de las bases; porque tomando un punto como vértice, muy próximo á las superficies, y trazando tres rectas paralelas á los ejes coordenados, las tres rectas no cortarán á la superficie. Por ejemplo: en las superficies cilindricas, la paralela al eje de las z será paralela á las generatrices y no cortará al cilindro. Y las dos paralelas á x, y tampoco corta- rán á dichas bases. Realmente, se salva esta dificultad formando un tetraedro infinitamente pequeño por rectas, que no sean exactamente paralelas á los ejes, pero que tiendan á serlo á medida que el vértice del tetraedro se aproxime á la superficie del cuerpo. Pero tampoco esto es necesario, porque han de fijarse mis oyentes en que el empleo del tetraedro ni es único, ni es absolutamente indispensable; es cómodo y sencillo nada más, y por eso lo empleó Cauchy, que, según parece, fué el pri- mero que tuvo esta idea. En rigor, para establecer el equilibrio de un punto de la — 306 — superficie, basta considerar un poliedro cualquiera, infinita- mente pequeño, contiguo á la superficie, que penetre en el interior del cuerpo, y que tenga una cara que se apoye en dicha superficie, y bastará que en ella esté el punto que se considere. El equilibrio de este poliedro traerá consigo el equilibrio del punto de la superficie que estemos considerando. Ahora bien, se establecerá el equilibrio del poliedro teniendo en cuenta las fuerzas exteriores que actúan en su cara exterior y las fuerzas N , T que actúan en las caras interiores. Esto será tan largo, tan pesado como se quiera; pero es tan rigoroso como el empleo del tetraedro. Así es, que para el caso que estamos considerando, aban- donaremos el tetraedro y consideraremos, para el cilindro Figura 47. exterior y para un punto cualquiera A del mismo (fig. 47), situado en el plano de las xz, el paralelepípedo infinitamen- te pequeño abe da b' c' d' , y estableceremos su equili- brio. Estas ecuaciones suplirán á las del grupo (2). Veamos cuáles son las fuerzas exteriores y las fuerzas N, T para todo el paralelepípedo expresado. - 307 — Por el pronto, calcularemos todas ellas para el punto A, cuyas coordenadas serán, llamando r^ al rayo del cilindro exterior, ^ = ^1; y = 0; z. Recordando que s = ar -| , y que por lo tanto, r ds b = a — dr r2 tendremos, 2u6 yV, = M2a + c) + 2[.(a + -4-) = 2(X + F^)a + Xc + -?!^, 'N^ = X {2a + c) + 2^c = 2la + (X + 2\u)c, T, = 0, T, = 0, 7-3 = 0. A estos valores hay que agregar la presión exterior por la mitad de la superficie P^. Como en el paralelepípedo de la figura 47, las Tson todas iguales á cero, y las //y P son perpendiculares á las caras, bastará, puesto que además las caras tienen la misma super- ficie, que las fuerzas sobre las caras a b c d, y á b' c d' , por unidad de superficie sean iguales, es decir, • ■ N, = -P„ ó poniendo por N^ su valor, 2(X + [-)a + Xc-^ = -A, {a) — 308 - ecuación á que puede satisfacerse, puesto que entran las constantes a, b, c. Las presiones sobre las caras aa dd' y bb' ce son las dos iguales y contrarias, y su valor es N,: esta ecuación se satisface por sí misma. Puesto que M es constante, equiva- le esta condición de equilibrio á 2{L + i.)a + ->^c + -^ = 2(X -f- [.)a -f >^c +^. r\ r\ Por último, otro tanto podemos decir de las caras ab b'a', dcc d' , sobre las cuales actúan por unidad de superficie la misma fuerza N^ que es constante, toda vez que no contiene ninguna de las variables x,y ,z. Dicha condición queda satis- fecha evidentemente: 2)-fl + (X-|- 2^)c = 2\a + {'L-^2^)c. El equilibrio del paralelepípedo resulta, pues, establecido, y, por lo tanto, el de toda la superficie exterior, sólo con la ecuación (d): las demás condiciones se satisfacen por sí mismas. Todo esto podemos repetirlo para un punto cualquiera del cilindro interior, pues bastará considerar la generatriz con- tenida en el plano de las xz, construyendo para un punto cualquiera de dicha generatriz un paralelepípedo infinitamen- te pequeño, análogo al de la figura 47. Y tendremos, que para el equilibrio de esta superficie ci- lindrica interior, es suficiente satisfacer á esta condición única: 2 (•/. + [-)« + '^c - -^ ^ - Po. {b) Por último, establezcamos el equilibrio de las bases. Con- sideremos un punto cualquiera, B (fig. 48), y construyamos — 309 - el paralelepípedo infinitamente pequeño contenido en el inte- rior del cuerpo, cuya cara superior í7¿?cí/ coincida con la cara superior de la base cilindrica, que abarque al punto B, y cu- yas aristas sean paralelas á los ejes coordenados. Para el equilibrio de este paralelepípedo bastará repetir lo que ya hemos dicho. Con las T no hay que contar, porque se reducen á cero: la T^ y la T^, porque lo son en general; la T^, porque toda- -y» Figura 48. vía consideramos que el punto B está en el plano de las xz y para este plano y=^0. Nos quedan sólo los valores de las N. Estos valores los hemos determinado antes para el punto .4 (fig. 47) del plano xz. Para el punto B (fig. 48) del mismo plano resultarán las mismas expresiones, sólo que en vez de tener r el valor r^, tendrá un valor cualquiera, oB = r; por- que ya el punto que consideramos no dista del eje r^, sino r. Por lo demás, los centros de las dos caras abb' a' y dcc' d' — 310 — (fig. 48), distarán lo mismo del eje Oz, es decir, el radio r. Tendremos, pues, M^ = 2(\ + iK)a-}-'Lc rz N:-'=2("/. + (JL)fl + "AC+ ^^'^ r' 7V3 = 2Xa+(I-f 2pi)c. Sobre la cara superior é inferioi actuarán N^y F por uni- dad de superficie, y como las caras tienen la misma superfi- cie, la condición de equilibrio sera ó bien N, = F, 2Aa + (X + 2[x)c = /='. La primera quedará satisfecha determinando conveniente- mente las constantes a, b, c. La tercera queda satisfecha por ser una identidad, puesto que, aunque contienen sus términos la variable /", su forma es la misma, á saber: 2(X -\- \).)a A^lc -\ — y r tiene el mismo valor. En cuanto á las fuerzas que actúan sobre las caras add' á y bcc'b', aunque la forma es la misma, á saber: 2(X -|- ¡^.) -\-\c — la r es distinta, toda vez que r- ' las caras están á desigual distancia del eje, y ambas presio- nes no ée equilibran de una manera rigurosa. Pero de las cuatro caras que hemos considerado, en rigor no había necesidad de preocuparse, porque se refieren al equilibrio del paralelepípedo en el interior del sólido y son — 311 - ecuaciones de equilibrio del grupo (1) que ya hemos estu- diado y que sabemos que quedan reducidas á identidades por los valores u, v, w que hemos supuesto. Por lo demás, la comprobación es bien fácil, como se ve en la figura 48 bis, que representa un corte de la capa cilin- drica, infinitamente próximo á la base superior, y en que, para mayor exactitud, hemos considerado un sector de án- gulo infinitamente pequeño, a, y en vez de un paralelepípe- do, un prisma proyectado en abcd. Calculando las presiones sobre las cuatro caras, se deter- minan inmediatamente las condiciones de equilibrio; ejerci- cio elemental en que no necesitamos insistir. Del mismo modo se comprueba el equilibrio del sector tn- i^xo ABCD. * * * En resumen, las tres ecuaciones de condición que quedan, se refieren al equilibrio de un punto de la superficie cilindri- ca exterior, al de otro punto cualquiera de la superficie ci- lindrica interior y al de uno de cualquiera de las dos bases, toda vez que ambas se encuentran en el mismo caso. Estas ecuaciones de condición son {á) (b) (c): 2Xíí-|-(A-f 2|jl)c = F. - 312 - Son, pues, tres ecuaciones de condición, pero hay tres constantes arbitrarias a, b, c, para satisfacerlas. El problema queda reducido á despejar a, b,c, entre estas tres ecuaciones, y á substituir sus valores en s y u, v, w. Tendremos, pues, X y r r s = ar-\ , r ^_ \\-2^. r\P,-r\P, \ c = 2¡x(3A + 2t.) r\-r% 2u(3/+2[.) ^_ 1 (P,-P^)r%r\ 2y- r\ - r\ \-V^ P -k r\P,-r\P, [ji(3"/. -1-2.;.) [jl(3X -f- 2¡x) r\ — f 2 O No insistimos en estos cálculos, que son elementales. Por lo demás, es claro: 1." Que todas las fuerzas exteriores se hacen equilibrio. 2.° Que los valores N y T, para todos los puntos del in- terior de la capa cilindrica, están determinados por las fór- mulas que hemos obtenido anteriormente. Ejemplo sexto. Movimientos inferiores de un sistema elástico. Hasta aquí, todos los ejemplos que hemos presentado se han referido al equilibrio de sistemas elásticos, generalmente limitados por superficies. Para terminar este curso, vamos á presentar un ejemplo, de lo que pudiéramos llamar, el movimiento elástico de un sistema indefinido, es decir, que ocupe todo el espacio. En rigor, es el problema elemental de la Luz. El cuerpo elástico supondremos que es el éter, y admiti- remos, siguiendo el método de Cauchy, que está compuesto - 313 - de pequeñas masas sujetas á atracciones y repulsiones recí- procas y que, además, constituyen un conjunto isótropo. No actuarán fuerzas exteriores, y el sistema, como liemos dicho, no estará limitado por ninguna superficie, sino que se extenderá hasta el infinito. Más aún; ni fijaremos los desplazamientos iniciales, ni las velocidades iniciales tampoco de los diferentes puntos. De modo que el ejemplo será el más sencillo entre todos los que pudiéramos escoger. Las ecuaciones, en este caso, no son más que tres, de coeficientes constantes, por ser el sistema isótropo y sin tér- minos independientes de las derivadas, por no actuar fuerzas exteriores. Las tres ecuaciones del problema son, por lo tanto: ni \ d^ dHi (^+P)— - + l^Av =p— — , (L) dy dt- (A -f a) ^ ^i A IV = p . ' dz ' ' dP En que recordaremos que p representa la densidad. Necesitamos buscar los valores, ó mejor dicho, las expre- siones de II, V, w en función de x, y, z, f, que satisfagan á las tres ecuaciones anteriores, convirtiéndolas en tres identi- dades. Se sabe que las tres ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden que hemos establecido tienen infinitas solu- ciones, es decir, infinitas integrales; nosotros vamos á tomar ciertas integrales particulares, las que en la teoría de la Luz corresponden á lo que se llama movimientos simples, ó mo- vimientos por ondas planas. En rigor, para el caso de un sistema lineal de puntos ma- Rev. Acad. Ciencias.— VI. —Diciembre, 1907, 21 - 314 - feriales, ya hemos resuelto este problema en el curso an- terior. * * * Buscar integrales particulares para el sistema (L), es bien fácil. Los coeficientes son constantes; cada término no tiene más que una derivada de segundo orden con relación á x, y, z, ó /, y no hay ningún término de otra clase; luego si nosotros escogemos para u, v, w, iin coseno, en la segunda diferencia- ción se reproducirá, salvo el signo; y si ponemos dentro del coseno una función lineal de las variables independientes, en cada diferenciación desaparecerán éstas y no quedará más que sus coeficientes, que pueden ser constantes arbitrarias. Y, en fin, como el coseno es factor común para todos los términos, en las tres ecuaciones podremos suprimirlo, y no quedarán más que tres relaciones entre las cantidades cono- cidas X,¡jL,p y las constantes arbitrarias que hemos introdu- cido: así, determinando estas constantes de modo que satis- fagan á las ecuaciones en que entran, y que son el resulta- do de substituir u, v, w en el sistema (L), este sistema que- dará satisfecho. Por lo tanto, los valores u, v, w, serán inte- grales particulares de dicho sistema. Todo esto, con un poco de práctica, se prevé aun antes de hacer los cálculos; es una intuición inmediata de los re- sultados, y no debe causar extrañeza á los principiantes que desde luego se establezcan como integrales particulares las tres siguientes, para las que tomamos las mismas notaciones de Mr. Sarrau, que son naturales y sencillas. Estableceremos, pues, II =pcos{ax -\- by -}- cz — sí-}-- ?) V = ^ eos {ax -{^ by -{- cz ~ sí + cp) ^ (L'). w = r eos {ax -\- by -\- cz — st -}- o) - 315 — Son, como decíamos antes, un coseno para las tres expre- siones u, V, IV, y dentro del coseno una función lineal de x,y, z, t. Claro es que en estos tres valores de «, y, vv, son constan- tes arbitrarias, que determinaremos como más nos conven- ga, las cantidades p, q, r; a, b, c; s, i. Comprobemos ahora materialmente lo que antes expresa- mos en términos generales, y veamos que, en efecto, estas expresiones de a, y, w satisfacen á las tres ecuaciones fun- damentales. Diferenciando una vez con relación á x, y, z, tendremos = — pa sen (a X ~\- by -}- cz — sf-\-'?), dx dv dy dw "dz = — qb sen {ax -\-by ^ cz — st -{- ^), ^= — re sen {ax -{^ by -\- cz — st -{- 'f). y, por lo tanto. . _ da dv dw dx dy dz = — {ap -\- bq -\- cr) sen {ax -\- by -\- cz — st -{- '^). Diferenciando dos veces con relación á x, y, z el valor de II, obtendremos las derivadas que entran en ^ ii: d'u = — pa'Cos{ax -i- by -\- cz — sf+'fX dx^ d'u — pb^cos{ax + ¿7y + cz — s/ + cp). dy^ d'u = — pC'Cos{ax-\-by -\-cz — sf-f ^), Aü = ~—p (a^ -\- b- + c^) eos {ax ^ by ^ cz — st ^ ^)\ — 316 - y diferenciando el valor de fJ, con relación á x, ■ = — {ap -^bq -^ cr)a eos {ax + by -\- cz — s / + '¡>). dx Por último, diferenciando dos veces a con relación á /, pendremos: = — ps- cos(í7x -\^ by -{- cz — st ^r t)- dt Substituyendo , ^u y en la prunera ecuación dx dt- (L), resultará: — (X + |x) {ap ^ bq cr) .a .cos(a X -{- by -{- cz — sí-f- cp) — — l>.p{a^ -{-b'^-\-c^) eos (í7x+ by-^-cz — s/+?) = = — ps^ pcos(ax4- by ^cz — st -}- cp), y dividiendo por el coseno , cambiando signos y poniendo todos los términos en el primer miembro: (X-f 1^) {ap i-bq + cr)a + ]^p{a' -V b^ + ñ -ps'~ ? = O, ó bien {k + p.) {ap -i-bqi- cr) a -^p[^{cí' + b^ + ñ-?s^-] =0. Del mismo modo y por substituciones análogas efectuadas en las otras dos ecuaciones fundamentales, quedarán reduci- das las tres ecuaciones (¿) á las siguientes, que formarán el grupo. (■/.+ ^)a{ap -\- bq-\-cr) \-p \ ¡.(í/^ + d-' -\- c^) - ps^] O, {\-^^)b{ap^bq + cr) + q\y.{a^ + b^-^c^) - ps-'J =0,(¿") - 317 — De suerte que el sistema (L) satisfará al sistema funda- mental (L), si este último grupo (L") se reduce á tres iden- tidades. Mas para ello, basta determinar las constantes arbitrarias a, b, c, p, q, r, s, , es decir, haciendo ax + ¿7y + c¿: + cp = (fi, tendremos, u z=p eos (oi — st); ecuación que determinará el movimiento vibratorio del pun- to M (fig. 50); movimiento que ya estudiamos en las confe- rencias del curso anterior. El mayor valor de u será p, y el menor valor, — p. Si desde el punto M, con un radio MA =^ p, trazamos una circunferencia ABA'B', claro es que M oscilará en la recta AA' y a\ llegar á cada uno de sus extremos retrocederá. Demostramos en el curso precedente, y se ve, desde lue- go, que el movimiento del punto M en la recta A A' qs q\ movimiento de la proyección sobre esta recta de un punto que girase en la circunferencias! 5/1 'B' con un movimiento uniforme cuya velocidad de rotación fuese s. - 320 - En el instante t ^ O el punto M estará en M^, proyección del punto t^ y suponiendo s positiva, girará, en el sentido que marcan las flechas de la figura, el punto que se mueve sobre la circunferencia expresada. Es lo que llamábamos en el curso anterior movimiento pendular. Esto mismo podríamos repetir para las otras dos compo- nentes V y IV, y por lo tanto, para el movimiento del punto sobre la recta de su desplazamiento MM' (fig. 49). Sólo que la amplitud del desplazamiento paralelo al eje de las y sería q, y la del desplazamiento w sería r. Sobre la recta del desplazamiento, el movimiento sería de la misma clase, porque elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones (¿') resulta, extrayendo después la raíz cuadrada, V«-' -I V- -f w' = yjp- -h q~ -f /-- cos(-f, — st); pero la amplitud tendría el valor \ p'^ -{- q'^ )- r^. En suma, todos los puntos del sistema vibran del mismo modo á lo largo de rectas paralelas y con vibraciones de la — 321 — misma amplitud, Sj p'^ -\- q^ -\- &, y todos estos movimien- tos vibratorios son movimientos pendulares simples. 3." Veamos ahora cómo se ordenan todos estos movi- mientos vibratorios, ó cómo podemos considerarlos orde- nados. Tracemos por el origen de coordenados un plano PQ Figura 51. (fig. 51), cuyas coordenadas designaremos por X, Y, Z y cuyos coeficientes sean a, b, c. La ecuación de dicho plano será, aX^bV^cZ = 0. Si desde un punto cualquiera, N, del sistema, bajamos (fig. 51) una perpendicular NM á dicho plano, representando por X, y, z las tres coordenadas OS, SR, RN, y proyecta- mos sobre la normal NM el polígono OMNRSO, claro es que la proyección de este contorno será precisamente la normal N M que representaremos por o. Esto es evidente, porque los dos extremos del polígono están en dos puntos N, M de la normal, y además OM está en el plano PQ y se proyecta sobre MN en el punto M: — 322 - Designando, para abreviar, por N su dirección, tendremos p = X eos {N, x) -}-y eos {N, y) -^ z eos {N, z). Pero se sabe, por Geometria analítica, que siendo N nor- mal al plano P Q, se tiene eos {N, x) eos {N, y) eos {N, z) , y, por lo tanto, a , ^ . . a \/a' ' + ¿?2 4- C2 b sja^ + b' + c- c \/a^-\-b^ + c' S/a^i-b^i-c' \/a^^b^i-c^ ó haciendo, para abreviar, h= sjd" + 62 + c2, resulta ho = ax ^ by '\~ cz. De modo que este trinomio lineal ax -^by -\- cz conteni- do en el coseno, se expresa por una sola variable, p, que es la distancia del punto N al plano PQ. Si X, y, z varían de cualquier modo pero permaneciendo constante p, determinarán los puntos de un plano P' Q', que pasará por N y que será paralelo al PQ. El valor de p basta para determinar dicho plano y todos los puntos que en él están contenidos. Substituyendo dicho trinomio ax -{- by-{-cz en los valores — 323 — de u, V, w, que es como substituir á las tres variables x, y, z una sola variable p, tendremos: u =p eos (/zo — st -{- o), V = q eos (/zp — st -{- o), w = r eos (/zp — st -}- 'f). Estas ecuaciones nos dicen que en cualquier momento, es decir, para cualquier valor de t, con tal que p tenga un valor constante, también las componentes de la deformación para cualquier punto del plano que este valor de p determina, se- rán las mismas, y, por consiguiente, el desplazamiento será también el mismo. Más claro: si para un valor de f y para un valor de p, ó sea para un plano P' Q' el desplazamiento del punto A es Aa, el desplazamiento para otro punto B, del mismo plano, será Bb, igual y paralelo á Aa. En suma, todos los puntos del plano P' Q' cambian de posición del mismo modo. Y lo mismo pudiéramos decir de otro plano cualquiera P" Q" paralelo al PQ: los desplazamientos de todos sus puntos en un momento dado serán iguales y paralelos; aun- que, en general, no serán iguales en ese instante á los de otro plano P' Q': no tendrán el mismo valor, pero sí serán paralelos como antes demostramos. Y la máxima excursión para todos los puntos de todos los planos hemos demostrado también que es la misma y/p' + q^ + q^. Lo que hay es, que en cada momento, sólo en un mismo plano ó en varios equidistantes, son iguales los desplaza- mientos como explicaremos bien pronto. Por todo esto, que acabamos de explicar, se dice que en — 324 — este caso el movimiento debe considerarse como un movi- miento simple ó por planos paralelos. 4.^ Conviene explicar ahora tres conceptos, de que ya hablamos en el curso anterior, al tratar este mismo problema para el sistema constituido por una serie lineal de puntos. Y estos conceptos son los siguientes: \ " longitud de la ondulación; 2.", duración de las vibraciones, y 3.°, velocidad de la propagación. Si aplicamos los valores de «, v, iv á los puntos de un pla- no cualquiera, caracterizado por un valor particular de p, en un momento determinado /, las componentes de los despla- zamientos serán, como hemos visto: u = p eos (/zp — st -{- cp), V = q eos (/zp — st + cp), IV = r eos (/zp — s/ + ?)> que admitimos que se refieren al plano PQ (fig. 52). Supongamos que se determinan los desplazamientos de otro plano, P' Q', que diste del primero una longitud /. Los valores áe uvw, en general, serán distintos, y se de- terminarán poniendo en vez de p la distancia p + /, que es la del plano P' Q' al plano fundamental PqQo Que pasa por el origen; y tendremos U^ = pCOS (/?(p -|- O ^S/-|- V = q cos{/2p — S/+ cp), w = reos (hp — s/-|- t). — 327 — Pero si le damos un incremento al tiempo, incremento que designaremos por t, variarán estas componentes, y ten- dremos: «1 =/7 eos (/Zp —S(f + T) -|- cp) =p eos (/Zp —S/ — ST 4- cp) Vi = q eos (/zp — s (/ + t) -f cp) = ^ eos (/zp — sí — st -{- cp) Wi=rcos(/zp — s(/+ Tj + cf) = rcos(/zp — sí — ST + cp), valores distintos de los anteriores en general, porque el des- plazamiento varía con el tiempo para todos los puntos de cada plano, aunque del mismo modo para todos ellos. Ahora bien: si el incremento del tiempo, x, está determina- do de modo que se tenga st = 2tz, es decir, 2t: las fórmulas se reducen, suprimiendo 2tc, á z/i=pcos(/zp — SZ + ü), V, = ^ eos (/zp — s/-h^), w^^ r eos {h^ — s/ + í )> de modo que «1 = u; Vi = v; Wi = w; y el punto vuelve á tener los mismos desplazamientos. O dicho de otra manera: termina su vibración volviendo á la posición de partida. Es como si en la figura 50, partiendo de ■Mo, hubiera llegado á i4, hubiera retrocedido hasta A ', y, al fin, hubiera vuelto á M^, A este valor del tiempo 2- ■ ■ T = S 3 _ 328 - es á lo que se llama duración de la vibración, y como 2- es constante y s es constante también, la duración de la vibra- ción será la misma para todos los puntos. Podemos decir que todos darán la misma nota; y tratándose del éter, en vez de decir que dan la misma nota, podemos afirmar que en- gendran el mismo color; pues los colores, como veremos en otro curso, dependen de la duración de estas vibraciones, ó si se quiere expresar la misma idea de otro modo, dependen del número de vibraciones en un segundo. Pasemos al tercer concepto, el de la velocidad de propa- gación. Si en la figura 52 la distancia entre los dos planos P Q, P' Q' es y suponemos que en el plano P Q todos los puntos A, B, C están en una posición determinada, por ejemplo en el mismo plano, de modo que los desplazamientos son nulos en el plano P' Q', según antes se dijo, sucederá lo mismo: los puntos A', B', C estarán también en el plano P' Q'. Pero el tiempo transcurre, los puntos A, B, C salen de su plano, así como también los A', B', C Aparentemente es como si la figura geométrica, que re- presenta el plano PQ y los desplazamientos de sus puntos, caminaran hacia el plano P' Q' (suponemos, para fijar las ideas, que éste es el sentido del movimiento aparente). Pues bien: al cabo del tiempo, 27Í s ' las puntos A, B, C habrán vuelto á su plano, y en el mis- mo instante habrán vuelto al suyo los A ', B', C En la apariencia, es como si el plano PQ hubiera tardado - 329 - en recorrer la distancia / = — — el tiempo t = — '—. Luego h s la velocidad de este movimiento aparente es el espacio / di- 271 7 h s vidido por el tiempo x, á saber: — = = — ; y 11a- 2t. h mando esta velocidad w, resultará: 5 velocidad de propagación --= w = — . h Pero no lo olvidemos; se trata de una velocidad aparente expresa la velocidad con que marcha la forma, pero no la materia; cada punto se separa muy poco de su posición. Estos tres conceptos representan un papel importantísimo en la teoría matemática de la Luz; pero como aquí sólo se trata de dar un ejemplo de la Elasticidad, debemos conten- tarnos con lo dicho. S."* Substituyendo los valores de u, v, w en las tres ecua- ciones fundamentales, hemos obtenido estas otras tres ecua- ciones: (X + p.) a {ap + bq + cr) + (¡^/z'^ - os^^)p = O, (X -\-^)b {ap -\-bq + cr) + (-../z"^ - ps^O ^ = 0. {\-{-^.)c{ap+bq-{-cr)^{u.h-^-^'s-^)r = 0,' en que h" = a- + b^^c^. Advirtamos para evitar confusio- nes, que por otra parte son imposibles, que esta p no es la que empleábamos hace un momento: esta o es la densidad. Dichas ecuaciones deben reducirse á identidades, para que los valores supuestos de ii,v y w sean integrales de las ecua-- clones diferenciales propuestas. Y para ello, basta que las constantes arbitrarias a, b, c, p, q, r, s, j satisfagan á las tres ecuaciones anteriores. Rkv. Acad. Ciencias,— VI. —Diciembre, 1907. 32 ^ 330 — Combinando estas ecuaciones de cierto modo, resulta una relación importante, que nos permitirá clasificar en dos gru- pos todos los movimientos vibratorios por ondas planas del sistema elástico. En efecto, multiplicando la primera ecuación por a, la se- gunda por b, la tercera por c, y sumando, tendremos (L + [.) {ap -^bq + cr) (a^- + 6'^+ c^) + j^(^^h2_^s^-){ap-^bq + cr) = 0, ó bien (ap -^bq + cr) {{I + j.) /z^ + (./z^ ._ ^s') = O, que se reduce á {ap + bq + cr) ((X + 2^)h^~ - ps^') - 0. Como las constantes han de satisfacer á las tres ecuacio- nes referidas, también habrán de satisfacer á esta última; lue- go uno de los dos factores debe ser igual á cero, y tendre- mos que considerar uno de estos dos casos: 1." Que se tenga 2.° O bien, ap ^bq -\- cr = 0. Veamos lo que resulta para cada uno de ellos: 1.° De se deduce s^ _ "^ + 2|x h' ~ P - 331 - -V^ '. + 2ix 5 Pero hemos demostrado que — es la velocidad de propa- gación; es decir, la velocidad aparente con que camina la onda plana, que es siempre paralela al plano P Q(fig. 51). Siendo oj esta velocidad, tenemos, pues, en este caso. V^^ _\ X_±2y. Pero de la relación se deduce y substituyendo el valor del primer miembro en las tres ecua- ciones de condición, toman éstas la siguiente forma: (X + {.) íz {ap -^ bq-\- cr) - {X + u) hKp = 0. (X + ^)b {ap + bg -{- cr) - (X + ,x) h^.q = O, (X + ^) c {ap H- bq + cr) - (X + pi) h\ r = 0; ó también (X + ^) {ap + bq -f cr) a = (X + ¡x) h^.p, (X + p.) {ap -{-bq + cr)b = (X + ^.) h\q, (X + ^) {ap + bq^ cr) c = (X + 5.) hKr. De donde — 332 — a P Q¡ _.. f luego a, b, c son proporcionales áp, q, r. Las primeras, se sabe por Geometría analítica, que son proporcionales á los cosenos de los ángulos que la normal al plano PQ forma con los ejes coordenados. Las segundas, p, q, r, son las componentes del desplaza- miento en cualquier instante , puesto que hemos visto que II P V w r De aquí se deduce que este desplazamiento, ó, si se quie- re, la vibración, es constantemente normal al plano P Q. Figura 53. Hemos representado esto en la figura 53. P' Q' es un plano cualquiera de vibraciones, y Aa, Bb, Ce son estas vibraciones, normales todas á dicho pla- no P' Q. La dirección, pues, de las vibraciones en este primer caso está perfectamente determinada desde el momento que se fijen los valores a, b, c. Y como tienen una dirección deter- — 333 — minada y fija, pudiera decirse que son vibraciones polariza- das; pero no les daremos este nombre, que se reserva para otro caso. Diremos que en esta primera hipótesis, el movimiento se weñiicsi por vibraciones longitudinales, á saber: vibraciones que se efectúan en el mismo sentido que el movimiento apa- rente del plano fundamental PQ, ó sea en el sentido de la propagación. Es una cosa análoga á lo que sucede en el sonido, que es otro caso de movimiento vibratorio que estudiaremos más adelante. 2." Supongamos que se verifica la segunda hipótesis: ap -\- bq -\- cr = 0. Esta ecuación tiene una interpretación inmediata; se sabe por Analítica que expresa la condición necesaria y suficiente para que una recta definida por sus tres componentes/?, q, r, que son las de la vibración, esté en el plano definido de este modo: aX-y bY -^cZ = Q, En suma, la vibración en este caso, y para cada plano vi- brante, se verifica en él mismo, es decir, en el plano de la onda; esto hemos representado en lafig. 54. — 334 — P'Q' es un plano cualquiera; y Aa,Bb, Ce son las vi- braciones de ios puntos de este plano que se efectúan en él. Claro es que combinando muchos movimientos de esta clase en el mismo plano, el punto vibrante podrá trazar una curva cualquiera. Si todas las vibraciones son paralelas, como hemos mar- cado en la figura, un plano perpendicular á todas ellas y al plano de la onda, es el que Fresnell llama p/a/70 de pola- ñzaeión. Por último, las tres ecuaciones de condiciones, haciendo en ellas ap -\- bq -\- cr ^= O, se reducen á una sola: '^h^ — ps^ = 0; de donde V^ s ~h V p Luego la velocidad de propagación en esta clase de movi- miento será f=V co — m , r p A esta clase de movimiento que se efectúan en los planos de las ondas, se les da el nombre de movimientos transver- sales. No olvidemos que 'f es la densidad. Una observación todavía; calculemos la dilatación cúbica para un punto cualquiera M; recordando que las componen- tes del desplazamiento son , tí = p cos(/?p — st -|- 'f) =p eos {ax-^-by + cz — st + 'f), V = ^cos (ho — st -{- ; °'^°° — 17.° 0,050 al 23.° día 0,300 Total 4,000 (Cuatro litros.) Figura 1. Como se ve, en los ocho primeros días ha rendido el car- buro las tres cuartas partes de su producción. Este gas fué analizado por hidrógeno en los primeros días Rbv. Acad. Ciencias.— VL —Diciembre, 1907. 34 - 362 — del ataque, encontrando 0,09 por 100 de dicho gas; otra muestra, tomada en los últimos días del ataque sobre la casi totalidad del gas (3,500 ce), no acusó hidrógeno en el aná- lisis. El límite de inflamabilidad del mismo, 6,6, corresponde á una ley de 91,75 por 100 de metano. El volumen corres- pondiente de metano puro y seco á O" y 760 mm., es de 3208 ce, que referidos á 54 gramos de carburo de aluminio comercial sin laminar ni cribar (50 del laminado y cribado), nos dan un rendimiento de un litro de metano puro y seco 54 por cada = 16,800 gramos de carburo primitivo, ó sea un metro cúbico supuesto, puro y seco, á 0"C y 760 mm. por 16 kg. 800 gr. de carburo, que costando de 3,30 francos á 3,50 francos el kilogramo en fábrica, y teniendo en cuenta que en la purificación sólo se gasta agua y menos de 100 ce. de ácido clorhídrico puro por kilogramo de car- buro tratado, el coste del kilogramo de carburo purificado puesto en ésta no excede de 5 francos por kilogramo, ó sea 84 francos el metro cúbico en vez de 1,430 obtenido por el carburo puro. El carburo comercial que me ha servido para estos traba- jos procede de la casa E, de Haen, de Seelze, cerca de Han- nover, y lo he preferido á otros, porque siendo el más bara- to, suponía que sería el más impuro, y al resolver el problema lo haría de una manera general. Si el carburo de aluminio no contuviese carburo de calcio, el procedimiento que indico sólo debería utilizarse, naturalmente, en su segunda parte. No es probable que con los carburos comerciales que exis- ten, de 8 á 20 francos el kilogramo, se obtenga el grisú mucho más barato de lo que indico, pues para conseguir mayor baratura sería preciso extraerle por licuación del gas del alumbrado, como ya enseñaré en su día; pero el precio de 84 francos el metro cúbico para los experimentos de laboratorio (no para prueba de lámparas y explosivos), resulta suficientemente económico. — 363 — Ya he dicho que del carburo puro no he tenido un rendi- miento de gas recogido sobre agua, superior á 60 por 100 del teórico, y esto procede de que el carburo llamado puro de que dispongo no lo es, bastando un examen microscópico á unos 35 diámetros (*) para cerciorarse de ello, observán- dose en él, además del carburo de aluminio de color amari- llo azufre, granos cristalinos y agujas de carburo de silicio, alguno que otro de carbón y granos de alúmina fundida; rara vez alguna lámina de aluminio y al parecer algún cristal de cuarzo con algunos granos heterogéneos, que tal vez encierren en su interior granos de carburo calcico, pues ya he dicho que el grisú recién preparado con este carburo tiene á veces olor á acetileno. Las muestras de grisú obtenidas con este carburo no son tan fácilmente comparables entre sí como las que proceden del comercial, pues de éste se emplea una cantidad mucho mayor que del puro, cuya composición acabamos de decir que es heterogénea. Si el grisú obtenido del carburo comercial queremos utili- zarle para análisis, es conveniente hacerle pasar en caliente por un tubo con negro de paladio, pero es más sencillo colo- car el referido tubo desde luego entre el frasco productor de grisú y el gasómetro colector, haciéndole absorber el hidró- geno al mismo tiempo que va desprendiéndose y circulando muy lentamente por el tubo de paladio. Todas las determinaciones de hidrógeno antes referidas han sido hechas por absorción de dicho gas con negro de paladio según el último método de Hempel, como explicaré en la próxima Nota. (*) He utilizado para este examefi un binocular Zeiss. (Laboratorio rio la Kscimla do Miiiii^.i - 364 XVII.— Sobre «na tríaiisforiiiacióii geométrica. Por Juan J. Durán-Loriga. 1. Consideremos la recta cuya ecuación en coordenadas basicéntricas es (/?) h-\-m^^ny = 0, y hallemos su polo respecto á la elipse imaginaria ^'-\-r- + y' = o, m que tiene por centro el baricentro del triángulo de referen- cia, obtendremos el punto (M) a.i'i'iiy = 1: m:n. Si ahora transformamos el punto M por una inversión de Hirst, siendo la cónica de los puntos dobles la elipse de Steiner circunscripta, resultará el punto {M') a : jíi : y = /2 - - mn : m' — In :n' — Im, dado por la intersección de las rectas {GM){*). a p r / m n 1 1 1 O (*) Empleamos, para señalar los distintos puntos y rectas que se vayan presentando, la notación corriente en la Moderna geomefria del triángulo. - 365 - y /(? + r) + '"(« + r) + ^K« + l^) = o polar, esta última de M respecto á la elipse Py + ay + af. = 0. En nuestra transformación hacemos corresponder á la recta R el punto M' y recíprocamente. La hemos dado la denominación de Transformación por rectas isobáricas, por la razón que vamos á exponer: Volvamos á considerar la recta (/?) /a4/72p + /2y = 0 (1) y sus dos isobáricas ÍR.) A«a + /z,3 4- /y=0 \ (R,) ;z« + /M-^r = o f las rectas R^ y /?, se cortan en el punto (P) a : |3 : y = /2 — /72/z : m2 — //2 : ^2 — /m, es decir, el mismo punto M' anteriormente considerado. Resulta, pues, que hacemos corresponder á una recta el punto de intersección de sus dos isobáricas, y correlativa- mente á un punto, la recta que une sus dos isobáricos. Aun se puede presentar la cuestión bajo otro aspecto. Observemos, en efecto, que dada la recta (/?) /a + /77P-f-/2y = 0, existen sobre ella sólo dos puntos isobáricos uno del otro (un punto y su primer isobárico), cuyas coordenadas se ob- tendrán resolviendo las ecuaciones — 366 — /a + '"í^ + ^T = 0> . resultando (M) a : {■: : y = m'- — In : n' — Im : l^ — mn, (Mi) cí:[á:y =:n- — Im: r- — mn : m' — In, én esta transformación se hace corresponder á /? el segundo isobárico de M, es decir, (iWo) a.:p:y=^l- — mn: m- — In : /z^ — //n. Inversamente, dado un punto, sólo pasan por él dos rec- tas isobáricas una de otra (una recta y su primera isobárica), cuyas ecuaciones se obtienen por medio del sistema 7-2^ + a-.'^" + Pl''^ = 0. resultando las rectas (R) (^2-^ - «2T2) « + (r2^ - «2(^2) T + («2' - P2T2) Y = 0. (/?i) (t2^ " «2 P2) a + («2-^ - ^. h) r + (P2' - <='-2T2) T = O- La transformación hace corresponder al punto 71^2(7.,, po y,)» la segunda isobárica de /?, es decir, (R^)..... {<' - ?,y2) a + (iV - «2T2) H + (T2' - «2.%) T = 0. Es evidente que á los lados del triángulo fundamental corresponden los vértices opuestos, y recíprocamente. A una recta, pasando por el baricentro, le corresponde este punto, puesto que sus isobáricas pasan también por él. — 367 - Puesto que la recta del infinito coincide con sus isobári- cas, los puntos correspondientes están en el infinito. 2. Consideremos, en general, una curva cuya ecuación baricéntrica es la condición para que la recta -^ Z/Gt -i- y,3 -(- wy =: O le sea tangente, ó, en otros términos, la ecuación tangencial de la curva será de la forma 4 El punto correspondiente á la recta es y.:y.y = u'- = vw:v'- — aw.w- — uv, y eliminando los parámetros u, v, w entre estas últimas ecuaciones y la -f (w, v, w) = O, se tendrá el lugar geométri- co de los puntos correspondientes á las tangentes de /(a, ,3, y) r= O, es decir, la transformada de la curva pro- puesta; para hacer esta eliminación, basta observar que, siendo u, v, w proporcionales respectivamente á a^ — -ly, ¡52 — cty^ y-' — a,3, resta substituir sus valores en la '? = O, obteniéndose para la transformada a.(a^-.3y, íi-3-ay, y2-__aí3) = 0. Si la curva dada es de la clase //, resultará una ecuación del grado 2n, pero podrá rebajarse; así, por ejemplo, si la curva toca la recta del infinito, como á esta recta correspon- den puntos en el infinito, la ecuación de la transformada contendrá el factor a -^ .3 + y, análogamente aparecerán las - 368 — correspondientes á las tangentes imaginarias, si existen, tra- zadas desde el baricentro. Podemos proceder inversamente, es decir, en lugar de obtener la curva transformada como lugar de puntos, consi- derarla como envolvente de rectas. Sea la curva dada /(a,P,T) = o; la recta correspondiente al punto (a, ¡5, y), tiene por coorde- nadas tangenciales u:v:w = cí'- — py : 132 — ay : y"' — ap, y eliminando a, p, y, tendremos la ecuación f{u^ — vw, v- — uw, W- — iiv) = O, que será, en coordenadas tangenciales, la transformada de /(«, P, T) = 0. 3. Supongamos que la recta (1) pase por un punto fijo, ^i (*i> Pi» Ti)' y vamos á encontrar el lugar geométrico del punto correspondiente; ó, en otros términos, tratemos de en- contrar la línea transformada de un haz de rectas de vértice M^, tendremos: y eliminando /, m, n, entre ésta y las (2), resulta «i«2'^ + PiíV + Ti Ya' - «iPr - Pi«r - Ti«P = o (3) que representa una elipse, puesto que 4 — 369 - degenerando en dos rectas imaginarias, pasando por el bari- centro cuando el vértice del haz coincide con dicho punto. Si el punto fijo está en el infinito, el lugar correspondiente se descompone en una recta, pasando por el baricentro y la recta del infinito. Las cónicas representadas por la ecuación (3) pasan por el centro de gravedad del triángulo y tienen sus centros sobre la recta que une Aí^ con su complementario. Además, los ejes de estas cónicas son paralelos, y si pasa su determina- ción, se aplica el método dado por el Sr. Lemoine (Nouve- lles Annales, Septiembre, 1901), el punto del círculo circuns- cripto que resulta es el punto de Steiner. La polar de M^, respecto á las cónicas, es la recta corres- pondiente al punto en la transformación considerada. Si en particular, M^ es el punto K (punto de Lemoine), la elipse correspondiente tiene por eje mayor el segmento G//o, siendo la tangente en G la transversal recíproca del eje de homología áo. ABCy del segundo triángulo de Brocard A2 Bo Co, y, por consiguiente, paralela á la recta de Long- champs. El eje menor tiene por ecuación, [3(a' -bn^)-]-q^- /z^]a-f [3 {b^ — a'^ c'') -{- q^ — n']^j -\~ -f [3(c^ - a2 b') -^qi — n']y = 0, en la que q y n tienen la significación habitual. Es, pues, paralelo á la transversal recíproca del eje de homología de ABC, y su primer triángulo de Brocard. La polar de K, respecto á la cónica, es la transversal recí- proca del eje de homología de ABC y áe\ primer triángulo de Brocard A^ B^ Cj^; es, pues, paralela á su eje menor como podía preverse, puesto que K está sobre su eje mayor. Si el vértice del haz es el pie de una mediana, por ejem- plo, A/i (O, 1,1), resulta para la ecuación de la transformada, P-^ + f - a (P + y)^== o, - 370 — que se ve fácilmente representa la elipse de Steiner inscripta en el triángulo formado por las intermedianas A'C',A'B' y la paralela o BC trazada por A. Finalmente, si M^ coincide con el vértice A, resulta a2 _ py = O, que representa la elipse de Steiner circunscripta al triángulo BCA^, simétrico del propuesto respecto al punto medio deBC. La consideración de nuevos puntos, nos llevaría segura- mente á resultados interesantes. La ecuación (3) no puede representar un círculo más que en el caso particular de ser equilátero el triángulo de refe- rencia. Hemos encontrado para la elipse correspondiente al punto ^1 i'^y ?^\> Ti) Is ecuación a, o:^ + p, r^^ + y, f - a, ,3y - ?, «y - y^ a.3 = 0. (3) Ahora bien; si ¿^ = O es la ecuación de la recta corres- pondiente al punto, y Lo = O, Lg = O, las de sus isobáricas, se la puede dar á la (3) la forma de donde resulta que la cónica (3) juega respecto al trián- gulo formado por Mi, y sus dos isobáricos, el mismo papel que la cónica ct- — [jy = O respecto al triángulo fundamental. Este hecho, que podía preverse, permitiría determinar con facilidad, geométricamente, sus elementos. 4. Consideremos ahora, inversamente, en lugar de va- rias rectas en haz, varios puntos en línea recta, ó en otros términos, vamos á encontrar la transformada de la recta que tiene por ecuación h.-Y /;z:^ + /zy -0. (1) — 371 — Se ve á priori que la transformada es una cónica. En efecto, cuando el punto Aí^ recorre la recta (1), el punto M' que tiene por coordenadas a : o : ., = (a^-' _ ,3, y,) : (.3,-^ - o., yO : {^^ - -1 h\ describe la cónica y, por consiguiente, la recta I(a,2 - ?i Ti) - = O, polar de M' respecto á la elipse imaginaria a-i + 9,2 _^ ^•. _ O, envolver á otra cónica. Vamos á encontrar su ecuación: bastará eliminar los pará- metros —i- y -í-^, que representaremos por a y b entre las Ti Tt ecuaciones / = («2 _ ¿,) a + (¿,-2 - a) .3 +- O - « ^) y = O, <^ = la -{- mb -\- n = O, y la ecuación £± = 11 o'a '^b ' y se obtiene fácilmente (p2 _ qr) a + (^2 -pr) ,3 + (r'^ - /7í/) y = O, habiendo hecho p = — Imcí -^ {m' — 2lrí) p — mn y, q = {l^ — 2mn)oL — Im'ii — Iny, — 372 — La ecuación que hemos obtenido es de tercer grado; pero se ve fácilmente que se descompone en las siguientes: /n2 a + /-' ,3 + //72 Y = O, (4mn — /2) a2 + (4//2 - m') p-' + {4lm -~ n') f + + 2 (2/^' + mn) '¡iy + 2 (2m^ + //z) ay ^ 2 (2/2-'+ //77)*p = 0. La segunda de las cuales representa una parábola, cuya ecuación puede escribirse así: (/a -!_ fjjr^ + nyy -4(my. + ;z,3 + /y) (/i^. -f /.3 -f my)=0, (2) ó bien, /-* 1 " tJL*9 "3 vJ» Representando por L^ = O la recta dada, y Lo = O, Lg = O sus isobáricas. La (2) demuestra que la parábola toca las rectas L., y ^3 sobre la L^. Las coordenadas de los puntos de contacto son {Li L^) — — ct. : ¡i : y = n^ — Im : /- — mn :m^ — Iti (¿1 L3) a : ,3 : y = /72- — //z : /z- — //7Z : P — mn, puntos isobáricos del correspondiente á L^. Resulta, pues, que (2) es una parábola de Artz del trián- gulo formado por L, y sus isobáricas, triángulo que es tri- plemente homológico del propuesto y con el mismo bari- centro: si lo representamos por y4, 5i Q, se ve fácilmente que la dicha parábola toca la recta que une los puntos me- dios ¿?i y Ci de ^^1 Ci y ^1 ^i, que la dirección conjugada ó 5i Ci es la mediana A^ a^^; ésta es, pues, la dirección del eje. El foco es el punto de intersección de la recta Ay K^ (siendo K^ el punto de Lemoine del nuevo triángulo) con el círculo circunscripto al triángulo Aib^c^. Para la expresión analítica de los elementos de la pará- bola, hemos encontrado 373 - EJE [{P-Q){2m-'^ln) -i-{R-P){2n' +lm) +{Q~R){4mn-P) ] «, + [(Q-/?)(2/22+//72)+(P-Q)(2/2 -f /77/z) + (/?-P)(4//z - m^)]^, + [(/? — P)(2/2 +/72/2) + (Q-;?)(2/722 + //2) +(P - Q)(4//7I - /Z^) ] T = 0. DIRECTI^IZ Pa+Q,3 + /?y = 0. OOOPi.I3ErT-A.3Z>^S IDEL FOCO 0L:^:y = 2lP — nQ — mR:2mQ—lR~nP:2nR—mP—lQ, en cuyas fórmulas se ha puesto P = mc^ -\- nb^ — Ihc eos yl, Q = na'^ 4- lc~ — '^^(Jc eos B, R = lb'¿ -f- ma' — nab eos C. 5. Cons¡deremosahoraeleasopart¡eularenque/n=/2=0, es deeir, euando la reeta considerada es el lado BC del triángulo fundamental; entonces se obtiene la parábola de Artz a2 _ 4(3y = O, y análogamente para los otros dos la- dos p-^ 4aY = O, f -- 4a¡3 = 0. Podemos, pues, decir que si un triángulo inscripto en el de referencia tiene por vértices tres puntos isobá ricos, la en- volvente de los lados de estos triángulos está formada por las tres parábolas de Artz del primer grupo. Resulta, por consiguiente, que las parábolas de Artz son un caso particular de las que hemos obtenido en ¡a ecua- ción (2), y que su existencia es debida á la propiedad de que goza el triángulo fundamental de ser un triángulo isobárico; llamamos así á todo triángulo en el que se verifica que los vértices son puntos isobáricos (un punto y sus dos isobári- - 374 — eos), como sucede en el triángulo L^ L., L.¿ que antes hemos considerado, y más generalmente á los que sirven de fun- damento á la transformación que estamos estudiando. La consideración de lo que pudiéramos llamar isobaritis- mo, nos lleva á hacer algunas reflexiones. Si recorremos los elementos punto, recta y curva (en partículas cónicas) que figuran en la geometría del triángulo, y nos referimos parti- cularmente á coordenadas baricéntricas (pues en otro siste- ma se modificarían los elementos isobáricos), observamos que unos gozan de isobaritismo absoluto, es decir, que una transformación isobárica los deja invariables, citaremos en- tre los puntos el centro de gravedad, único que goza de esta propiedad, y que origina que una transformación recíproca, complementaria, brocardiana, etc., los deja invariables; en- tre las rectas, citarem^os la recta del infinito (« -f P + y = 0), y entre las cónicas , la elipse de Steiner circunscripta En la expresión analítica de estos elementos no pueden en- trar de ningún modo los del triángulo, y son de formas abso- lutamente simétricas. Otros elementos gozan de un isobari- tismo relativo; tampoco figuran en su expresión los elemen- tos del triángulo, pero dejan de ser simétricos respecto á las tres coordenadas, y una transformación isobárica, si bien los altera, los deja en la misma posición relativa en el trián- gulo. Tal sucede, por ejemplo, con las medianas; así, si se considera la relativa al lado BC, que tiene por ecuación que se puede también escribir Oa-f,3-yz=0; - 375 — una transformación isobárica le convierte en 0 1^ + T ^ ^ = 0; es decir, a — y = 0; esto es, también la mediana, pero relativa al lado A C. — Por último, hay elementos que, siendo función de los lados del triángulo, una transformación isobárica puede cambiarlos completamente; así, por ejemplo, si sometemos á esta trans- formación al círculo circunscripto que tiene por ecuación a2py + 62ay-^C-2a,3 = 0, se obtiene una línea completamente distinta; pero no siem- pre ocurre esto; así, por ejemplo, si á la inferbisecfriz que que tiene por ecuación abe m se la somete á dos transformaciones isobáricas, resultan las otras dos. 6. Dadas, en general, dos rectas, sólo se pueden encon- trar en ellas dos puntos (uno sobre cada recta) que sean ísobáricos uno de otro (un punto y su primer isobárico); pero si las rectas son isobáricas, entonces á cada punto de una de las rectas corresponde en la otra su isobárico. Las parábolas de Artz, generalizadas, qne antes hemos conside- rado, se han obtenido, en suma, por la siguiente generación. Dadas dos rectas isobáricas, la envolvente de las rectas que unen pares de puntos ísobáricos elegidos uno en cada una de ellas, es una parábola representada por la ecuación (2). En particular, si las dos rectas isobáricas son dos lados del triángulo de referencia, se obtienen dos parábolas de Artz. Este resultado se explica fácilmente; pues las dichas rec- tas de unión dividen los lados del triángulo en partes pro- — 376 — porcionales, que es cabalmente la generación por la cual llegó su autor á determinarlas. 7. Si consideramos una recta, ¿ == / a -f //z ,-1 + n y, y sus dos isobáricas L' y L", puesto que la ecuación de una cónica circunscripta al triángulo L L' L" es pLL' ^qLL" + rL' L" = Q, resulta para la elipse de Steiner, circunscripta á dicho tri- ángulo, S / /7Z («^ + p + f) f (^ l^ + S Im) (P y + a y + a í¿) = 0. Si I m -f- m n -\- In = O, es decir, si el polo baricéntrico de L está sobre la elipse de Steiner, circunscripta al trián- gulo fundamental, la anterior ecuación se reduce á py + ay + ap = 0; de modo que la elipse de Steiner circunscripta al triángulo de las isobáricas L L' L' coincide con la elipse del triángulo fundamental. Podemos, pues, decir que cuando el polo bari- céntrico de una recta cae sobre la elipse de Steiner, circuns- cripta, el triángulo formado por ella y sus isobáricas queda inscripto en dicha elipse. Por otra parte, se ve fácilmente que, si el polo baricéntrico cumple la anterior condición, la envolvente de la recta corres- pondiente es la elipse de Steiner inscripta; resulta, por con- siguiente, que si una recta toca la elipse de Steiner inscripta, el triángulo formado por ellas y sus isobáricas apoya sus vértices en la de Steiner circunscrita. Es, por otra parte, evi- dente que cuando una recta satisface la circunstancia ante- rior, lo mismo sucede con sus isobáricas, puesto que siendo - 377 — los polos baricéntricos puntos isobáricos, todos estarán en la elipse circunscriptas al estar uno de ellos. Se tienen, pues, 00 ^ triángulos inscriptos en una de las elipses (la cir- cunscripta) y circunscriptas á la otra 8. Vamos, para terminar, á hacer aplicación del procedi- miento general que hemos dado en el párrafo 2, á algunos ejemplos. Sea la parábola de Artz, a^ — 4 p y = o, la línea cuya transformada deseamos obtener. Su ecuación tangencial es «2 — viv = 0, y substituyendo en ésta, según hemos dicho, en lugar de u,v,w, respectivamente, los binomios a- — ^y, (32 — a y, y 2 — ap, resulta para la curva correspondiente la ecuación a 2 (a 2 _ 3 j3 ■^) -f c. (a 3 4_ ;3 3) = O que se descompone en las tres siguientes: a = 0, a + P + y=0, a'^ + P"^ + y2 ^- Py - «y - ap = O, las dos últimas lepresentan la recta del infinito, y el par de tangentes imaginarias conducidas desde el baricentro á la parábola dada; la primera « = O, esto es, el lado BC del triángulo de referencia, es la del lugar que se busca confor- me con lo anteriormente dicho. Consideremos ahora la curva «- — Py = O que, según sa- bemos, es la elipse de Steiner circunscripta al triángulo BCA^, simétrico del propuesto respecto al punto medio de BC. Su ecuación tangencial es //- — 4y w = O, y la línea co- rrespondiente, ^ H « ' - 6 P y ) + 4 a (P 3 - [- y 3) _ 3 p 2 ^ 2 _ o ( 1 ) que siendo unicursal pueden expresarse sus diversos puntos en función racional de un parámetro. Observemos con este objeto, que si e» la ecuación tangen- Rrv. Acad. Ciencias. — VI. — Diciembre, 1Q07. 25 — 378 — m '' cial hacemos u — m, v = n, resulta iv = — ; tenemos, pues, 4/2 « = 4 mn, V = 4n-, w = m'. Las rectas que corresponden á los puntos de la curva (1), son, pues, 4/72/2a + 4/z2i3 + /n2y = 0, y tales puntos tienen por coordenadas, a : ,3 : y= \2m-n- : 16 /z' - 4/77-77 : m^ — \d mn% ó haciendo m: n= p, resulta : a: (3: Y =12/72: \Q — 4p':p^— 16 p. Mas, generalmente, á las cónicas a- — /: p y =0, corres- ponden las curvas que tienen por ecuación «2rA:a2-2(/í + 2)PyJ4-4a(::i-'-fy^) + (^-4)p2^-. O, obtenida mediante la ecuación tangencial, y la representación paramétrica, es: a : ,3 : y=p' (4 — A) : (1 — 2 kp') : k' p ' — 2/7. Sea, como tercer ejemplo, la recta que tiene por ecuación H + T = O, es, decir, la paralela á BC, trazada por A. Poniendo en lugar de |3 y y, respectivamente, v- — uw y W- — uv, resulta para ecuación tangencial de la transformada V- + W- — u w — // V = O, - 379 - ó en coordenadas puntuales, 4a(a + i3 + y)-(f:l-y)2 = 0, que representa evidentemente una parábola tangente al lado 5 C en el pie de la mediana. A la mediana 5 C corresponde una envolvente degenerada de la segunda clase, formada del baricentro y del punto del infinito de BC. Si el punto describe una cónica, /|3y-f may-f /7a,3 = 0 circunscripta al triángulo fundamental, la curva correspon- diente tendrá por ecuación tangencial: evidentemente inscripta en el triángulo de referencia. Se tendrá la ecuación puntual eliminando u, v, u, entre las ecuaciones F'u : F'v : F\v = a : ,3 y y la W ct -[- V ¡^ -L IV y =: 0. En particular, para la elipse de Steiner circunscripta, re- sulta la incripta del mismo geómetra. - 380 - XVIII. — Fundamento teórico de la Fototopo^» rafia. Por José María Torroja, PARTE SEGUNDA Relaciones analíticas que existen entre tres figuras planas, proyecciones de una misma en el espacio. Hemos visto en la parte primera que, dadas dos proyec- ciones 5 y 5' de una figura cualquiera de tercera categoría desde dos puntos O y O', puede determinarse (salvo en casos particulares) una tercera proyección de la misma, des- de un centro O" sobre un plano S". Entre tres proyeccio- nes cualesquiera de una figura en el espacio, existen, pues, ciertas relaciones, y éstas son las que nos proponemos ahora investigar. Recordemos igualmente que los puntos del plano deter- minado por los tres centros constituían un caso de excep- ción, pues quedando indeterminada su tercera proyección entre todos los de uno de los ejes singulares, era necesario efectuar las construcciones en aquel mismo plano, á no ser que se acudiera á algún método indirecto para la resolución del problema. Dividiremos, pues, este estudio en dos secciones: en la primera nos ocuparemos de las relaciones que ligan los ele- mentos de los tres planos, prescindiendo de los puntos de los ejes singulares, y la segunda tendrá por objeto estudiar lo relativo á estos puntos. - 381 - SECCIÓN PRIMERA Relaciones entre los puntos de tres proyecciones de una figura en el espacio, exteriores á sus ejes singulares. Vamos á investigar directamente, por los métodos de la Geometría Analítica, las relaciones que existen entre las seis coordenadas de las proyecciones de un punto desde tres centros O, O' y O", sobre tres planos S, S' y S", que se cortan en el punto V. Refiramos aquel punto al tetraedro, cuyos vértices son O, O', O" y K, y á un punto propio cualquiera U, no situado en ninguna de las caras de aquél. En el sistema de coordenadas así establecido, basta, para determinar un punto M, dar las razones dobles, 0'0".{VOMU) =¡JL \ O" O. (VO'MU) =[x' !' 0 0'.iVO"MU) = -^") pues con ellas podemos inmediatamente construir los planos 0'0"M, 0"0M y OO'M, que, por su intersección, nos dan el punto M. Además, la proyección de M sobre el plano 5 está en la recta OM de intersección de los planos OO'M y 00" M; la proyección sobre S', en la O'M, común á los planos O'OM y 0'0"M, y finalmente, la proyección sobre S", en la 0"M, en que se cortan los 0"0M y O" O'M. De aquí deducimos que las proyecciones m y ni están ambas en el plano OO'M; las m y m", en el O'O'M, y las m" y m, en el 0"0M. Si referimos los puntos del plano 5 al triángulo Vpq y k la traza de la recta OU, cada una de las coordenadas de ni será la razón doble del haz de rectas de vértices p y q, sec clones respectivas de los de planos de aristas 00' y 00". Haciendo lo mismo en los planos S' y S", observamos que, llamando I y u, ?' y u, ;" y j" estas coordenadas, las co- — 382 - rrespondientes á cada par de puntos principales contra- rios, son iguales como razones dobles de un mismo haz de planos; es decir, que Dadas cuatro coordenadas I, -j, ;', 'j, de dos puntos m y m' , tales que 'j = ;', las del m", que con aquellos forma un terno, son ;" = -j y 'j" = 1; es decir, que dadas dos de las proyecciones de un punto en el espacio, conocemos inme- diatamente la tercera. En el caso particular en que los centros O, O' y O" son los puntos del infinito de los ejes del triedro formado por los planos de proyección, la propiedad anterior se expresa en coordenadas cartesianas por las igualdades z = z', x' = x" é y" =y, si se toma por punto (J el que tiene iguales á la unidad sus tres coordenadas cartesianas. Aunque con lo que acabamos de indicar queda completa- mente resuelto el problema de cambio de planos, y estudia- das las relaciones que ligan entre sí las tres proyecciones de una figura en el espacio, vamos á establecer esta teoría in- terpretando analíticamente las construcciones geométricas es- tudiadas en la Parte Primera, empleando para ello coordena- das cartesianas rectangulares. Vimos en dicha Primera Parte, que á un punto cualquiera de uno de los planos, por ejemplo el S, corresponden en el S' los de una recta que pasa constantemente por el punto p' (fig. 1.'), y en el S" los de otra recta, que también ha de pasar por un punto fijo q"; vamos á expresar analíticamente que esta condición se cumple doblemente para cada par de planos. Para que dos puntos M' y N" sean conjugados (es decir, — 383 — proyecciones de uno mismo en el espacio), es preciso que cada uno de ellos esté situado sobre la recta homologa del otro en la relación que liga los elementos de los planos S' y S". Vamos á ver cómo puede establecerse esta condición. Tomemos como eje de abscisas, en cada plano, el eje sin- gular correspondiente pq, p'q' y p"q", y como eje de orde- nadas una recta cualquiera perpendicular á aquél. La ecua- ción de cada una de las rectas que constituyen el haz que tiene por vértice el punto q' (cuyas coordenadas son x' = q', y = o), puede ponerse bajo la forma general / = x'(x'-0, (1) . siendo /.' el coeficiente angular de cada recta. Análogamente, las rectas del haz contrario, de vértice p", tendrán una ecua- ción general de la forma y" = ^" {X" ~ p"). (2) Estos dos haces contrarios q' y p" son proyectivos, y esta relación se expresa por una ecuación bilineal entre los coefi- cientes angulares de cada par de rayos homólogos, ecuación que será de la forma x'-" -j- my.' + nr:" ^ I = o; pero observando que al rayo p'q' del haz q' corresponde el p"q" del p", vemos que para x' = o, u" = o, lo que intro- duce en esta ecuación la condición l = o, y la transforma, por tanto, en x'7r" + /nx' + /2r/' = 0. (3) Para hallar la relación que enlaza las coordenadas de los pares de puntos homólogos de los planos S' y S", basta eliminar x' y -k" entre las tres ecuaciones (1), (2) y (3). Así, obtenemos la ecuación buscada y' y" + my' (x" - p") + ny" {x' - q) = o (4). - 384 — Esta es, para un par de valores x' é y\ como coordenadas de un punto del plano S', la ecuación en x" é y" , de su recta homologa en el sistema S". Vamos ahora á buscar las coordenadas del punto N" de una recta a.x" + b,y" = c, (5) que sea conjugado con un punto, también dado M' , del otro plano. Basta hallar el punto de intersección de la recta dada con la homologa del punto M' y, para ello, despejar x" é /' de las ecuaciones (5) y (4). Ordenando la (4) con relación á x" é y", resulta tny' x" + iy' + n {x — q'))y" = mp" y', y de ésta y la (5) se deducen los siguientes valores: bj mp" y — CoH {x' - q) — c^ y' (¿?o m — fl,) y' — a^n (x' — q') {a^p" — c.) my' X = /' = (62 m — Qo) y' — a^n {x — q') ' que son las coordenadas del punto buscado N". Finalmente, vamos á demostrar que la relación estable- cida por las ecuaciones anteriores es trilineal, es decir, que á los pares de puntos conjugados de dos rectas de los pla- nos 5' y S" corresponden en el tercer plano S, puntos que están también sobre una recta. Sean aiX' + 6i/ = Ci (6) y ^2 x" + b^ y" = Co (5) las ecuaciones de las dos rectas dadas: entre las coordena- das de cada par de puntos conjugados situados uno en cada una de ellas, ha de existir la relación (4). — 385 - Además, cada par de puntos, uno de la recta buscada y otro de una de las dadas, se hallan ligados por otras dos ecuaciones análogas á ésta: y y' + ni,y {x — /?') + n,y' {x — q) = o (7) y y" + m,y" (x — /?) + n^y {x" - q") = o (8) que representan, respectivamente, las relaciones entre las coordenadas de los puntos del plano S y los que les co- rresponden en los S' y S". Tenemos, pues, cinco ecuacio- nes (6), (5), (4), (7) y (8) entre las seis coordenadas de los puntos de los tres planos: y, como buscamos una relación entre x t y, despejaremos x' é y' de las (6) y (7), y x" é y" de las (5) y (8), todas ellas de primer grado en estas varia- bles, y substituyendo los valores así obtenidos en la (4), tendremos una ecuación de segundo grado, descomponible en dos de primero, que es la del lugar geométrico buscado. De las (6) y (7) a^x + b^y' = Ci ^2 yx' + (y + 1^2 (x — q)) y' = m.p' y, sacamos (¿>i m. p' — Ci) y — Ci n, (x — q) X = (b^ m., — a^y — a^ n. (x — q) _ {Ci — aiP')fnoy (bi /Ho — aj)y— Qy m {x — q)' Análogamente, las (5) y (8) nos dan {bj n^ q" — Co) V — ^2 ^1 jx—p) (¿72 «1 — «2) y — ^2 ^1 (x—p) (Co — Qo q") n^ y (¿ío/^i — üo)>' — a.2m^ {x — p) X = / = - 386 Substituyendo estos valores en la (4) y ;designando, para abreviar, por f y ó, los denominadores comunes de x é y' y de x" é y", resulta: -\-m{Ci — aiP')m.2{b.,n^q"—c.,) y--m{Cy-a,p')m¿c.m^{x-p)-\~p"-\] y = 0 — /2(c, - a, q") n, [Cyn,{x - ^) + q''^] | que se descompone en las ecuaciones de dos rectas, una de las cuales es el eje singular y = o, y la otra tiene la ecuación de la forma Ay -^ B = o, y es la recta buscada. Vemos que la línea de segundo grado se ha descompuesto en dos rectas: una que es el eje singular, como rayo que se corresponde doblemente, como perteneciente á los haces p y q, y otra que es el eje perspectivo de estos dos haces; así como las dos rectas dadas, cuyas ecuaciones son las (6) y (5), lo eran de cada par de haces situados en los pla- nos S' y S". Queda, pues, demostrado que las ecuaciones yy'+ m y' {x"- p") -\- n y"{x' ~ q')=^o \ y"y 4- m,y"{x - p ) + n,y {x"- q") = o (9) yy' ^ m,y (x' — p' ) + n,y' (x —q ) = o ) relacionan trivalente y trilinealmente los puntos de los tres planos, es decir, que dados dos puntos M' y N" , cuyas coordenadas {fj.\, ¡í',), {a\, ¡j"j) satisfacen á la primera ecua- ción, podemos hallar las coordenadas del punto L del tercer plano, homólogo con aquellos, por las ecuaciones segunda y tercera. Para esto es preciso, sin embargo, conocer en cada caso particular los valores que toman los coeficientes m, n, /;?,, iiy, m.,, y n., de estas ecuaciones, es decir, definir la re- lación proyectiva entre cada par de haces contrarios. Dos procedimientos idénticos en el fondo pueden seguirse - 387 - para esto. Consiste el primero en dar, por sus coeficientes angulares, dos pares de rayos homólogos, distintos de los ejes singulares, en cada par de haces de vértices contrarios, puesto que estos ejes son homólogos, condición que ya tuvimos en cuenta al escribir la ecuación de la proyectivi- dad (3), en la cual habrá que substituir cada par de homólo- gos de aquellos coeficientes angulares, obteniéndose así dos ecuaciones que nos darán los valores de los coeficientes m y n áo. dicha ecuación (3). El otro método consiste en tomar dos ternos de puntos homólogos, substituir sus coordenadas en las ecuaciones correspondientes del sistema (9) y sacar de aquí los valores buscados. Vamos á emplear este último procedimiento, porque pre- senta gran ventaja para las aplicaciones á la Fototopografía. Sean las coordenadas de los puntos de los dos ternos (a,r^.«i. Pi)» (»-',í^',«'i, fi'i), ('^".h",«"i, Í^"i)- Si tomamos como orígenes los puntos q, p' y q", serán q =p'=q"= o, y las ecuaciones (9) se convertirán en y y ~\- my (x -~ p ) ^ ny {x - q)=o y" y \ m,y"{x—p) + n^yx" y y' -\- m^yx' -\-n.,y'x o (10). o ^ La primera ecuación nos dará rr +/72,3'(a" ~p") + nr i^' ~q') = o, m = i^iC^- x—P ) i^ i(«i — í/) - .3- p- p-, (g-, - q') + ft\ y ' ,r \ (g- - q) i^'rA-\-Q'){^"-Pi-[-i\r(--qw\-Pi - 388 - n = .^'i(«"i-p") ¡^\{^'\-p") p"l(«'l-^') - P- P\ p-, jo." -p") + .3- P\ r (g \ -p-) P' P"i («'i - ^') (a" - P") - P\ P" («' - ^') (a", -p") y análogamente deducimos de la segunda W ^m,r {^--P) ^n,'^^" =o\ Piri+/"iri(«i-p)+«iPi«"i=í?' — fifi" ^a" /72,= ■Piri 1^1 a", /Zi = r(a-/7) -w P,P"a",(a-j[7)-¡3r,a"(a,-;;) Pirri(a-P)+?rri(«i-P) Í^"i(«i— P) ?ia"i y de la tercera Pira"i(a-P)-Pri«"(-1-P) /n2= p«' Pl^-*! /22 = PÍJ\a a' — ¡Ü'Piaw'i - 389 - Tenemos así determinados los coeficientes de las ecuacio- nes (9) en función de las coordenadas de dos ternos de pun- tos conocidos, que podemos medir en el plano respectivo, y de la distancia entre los dos puntos principales de cada pla- no, que es también conocida. Si tomamos en los haces p y q' dos rectas cualesquiera, á ellas corresponden en el plano S" dos rectas perfectamente determinadas y, por lo tanto, un punto, el de intersección de éstas. Luego los valores de x" é /' han de ser funciones uni- formes de los coeficientes angulares de los rayos dados. Estos coeficientes, por haber tomado los orígenes enq y p', respec- y y' tivamente, tienen los valores é — > y son los que en X —p X —q las ecuaciones de la proyectividad designamos por t: y y.'. Las ecuaciones primera y segunda del sistema (10), ordena- das respecto á x" é y", son: my'x"^iy'-i-n{x'-q'))y"-mp"y'=o) niyx"-iiy-\-m^ (x—p)) y" =o) y de ellas se deduce X = mp y y +n (x ^q) o y-i-m,{x—p) my' y'+n {x — q') n,y y^-m^ix—p) y = my mp y' n,y o my' y'^n (x'-q') n,y y + m^{x —p) y dividiendo las primeras filas de estos cuatro determinan- tes por (x' — q') y las segundas por {x—p), obtenemos, finalmente, - 390 — X = \x —q o X —q y X — p 7| + ^ airx' -j- ex' a^Tix' -|- bu -f c^y.' í/ttx' í/, -x' -f- e- -|" /ít' como queríamos demostrar. Pasemos ahora á estudiar, de los casos particulares de la Primera Parte, aquellos en que por ocupar alguno de los puntos principales posiciones especiales, las fórmulas an- teriores presentan alguna, variación (*). 2 Los centros O y O' son puntos impropios y lo son, por tanto, los puntos principales/? y q'\ tenemos /; =:q'= co -rri(«'i-^') + p'ir(«'-^') P'ri«',(«"-/7")-|3\^"a'(«'\-p") m,:=o,m,p = — ' ' „ oÍt^t— = - Pi ' PiP « 1 — PP i« n=o, nq =^ (*) Los números de orden corresponden á los de la Primera Parte. — 391 — y y f H-J'Cx — p ) +vy =0| yy' -{-m^yx -\- n^y' x =o] 3. Los tres centros son puntos impropios. Todos los puntos principales son del infinito, y los tres ejes singulares pq, p' q' y p" q" son igualmente rectas im- propias, no pudiéndose, por tanto, tomar como ejes de abs- cisas, ni aplicar á este caso las fórmulas generales. 7. Los centros O y O' se hallan, respectivamente, sobre los planos 5' y S. Los vértices p y q se confunden y también los p' y q': es decir, que p = q, p' = q', y como q =p=o, también q' = p = o. Los valores de los coeficientes son: m = '-^^-t-j. L_ii_i_^ _ == IX, P'P'\r/, (a" - p") - p\[ra' (a", - p") PiP ^^ :« — 1^1^ 1* «i /7i = — ^^i±_J^^ — L.LLJ^i^i — v^, /77., = m.>, n.y = n.,, y las ecuaciones (10) se reducen á las siguientes: y" y +[m/'^ H-^^iy^''-^?! yy' -{-m^yx' -{- tioy' x =o (Continuará.) - 392 — PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1," DE JULIO DE 1907 (Continvi ación.) Odhner (Nils). — Nosthern aud Arctic. — Invertebrates in the Collection of the Swedish State Museum (Riksmuseum). — III. Opisthobranchia and Ptero- poda. — By... — Kungl. Svenska Vetenskapsakademiens. — Handlingar. — Band 45, N° 4. — Upsala and Stochkolm... Nordenskiold (Erland). — Archeologiska Undersokningar. — Perus och Boli- vías. — Granstrakter, 1904-1905. — Af. . Kungl. Svenska Vetenskapsakade- miens.— Handligar. - Band 42, N*^ 2. — Upsala & Stockholm .. Gelder (G. de). — De Berekening, de Bouw en het Bedryf Van het Kabelnet der Cernéente Amsterdam. — Batavia, 1907. Van Iterson, Jun (G.). — Mathematische uud Mikroskopisch Anatomische Studien über Blattstellungen nebst betrachtiingen iiber den Schalenban der Miliolinen. — Von... In Delft.— Gustavo Fischer in Jena. Royal Society of London. — Philosophical Transactions of the... — Series A, vol. 207, pp. 203-306. A. 419. — London, 1907. Royal Astronomical Society. — Monthly Notices of the... — Vol. LXVII. N** 8. — June, 1907. — London. Geological Society.— The Quarterly Journal of the... —Vol. LXIII, Part. 3. August 14 th, 1907. N° 251. — London. Zoologioal Society of London. — Transactions of the... — Vol. XVII, Part. 6. Vol. XVIII, Part. i. — London, Oct. 1906. — London, August, 1907. Zooíogical Society of London. — Proceedings of the general meetings for scientific business of the... — 1906, Pages 759-1052, April, 1907. — 1007 Pages 1-746, June-Octobre, 1907. — London. Royal Geograplicai Society (The).— The Geograplical Journal. - London. Home office.— Mines ad Quarries. — General Report and Statistics for 1905 Part IV. — Colonial and foreign Statistics. — 1906. Part II. Labour. 1906. Part III. Output. — London, 1907. Edinburgh Mathematical Society. — Procedigs of the...— Vol. XXV. Sesión 1906-1907. — Edinburgh . Royal Society of Edinburgh. — Proceedings of the... - Sesión 19067.— Vol. XXVII.— N'^ III, NO IV (pp. 161-368).— Edinburgh, 1907. Edinburgh Geological Society. Transactions of the... — Vol. IX.— Par. i. - Edinburgh, 1907. Royal Physical Society.— Proceedings of the...— N° 3. Vol XVII. Pages 81 to 1 20. --Edinburgh, August, 1907. (Continuará) INDICK DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO pXos. XIV.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia décimatercia 297 XV.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia décimacuarta 337 XVI,— Estudio experimental de algunas propiedades del grisú, por Enrique Hauser 350 XVII. — Sobre una transformación geométrica, por Juan J. Durán-Loriga 364 XVIII.— Fundamento teórico de la Fototopografía, por José María Tarraja 380 Publicaciones recibidas desde 1.° de lulio de 1907. (Conti- nuación) 392 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 600 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,60 pesetas. •a^.n"^ REVISTA DS LA i. /. REAL ACADEMIA BE CpiíCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DB MADRID (Enero de 190S.) MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALI.K DB PONTEJOS, KÚH. 8. IQOS ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. í -U — 393 - XIX.— Elementos de la teoría de la Elasticidad. s E o- xj nsr D .A. f^ívi^te Por José Echeqaray. Curso de 1907-1908. Conferencia prinnera. Señores: Explicábamos en los cursos anteriores, que nuestro objeto, en estas conferencias, era presentar un resumen de la Física matemática bajo su doble aspecto de ciencia clásica, según se formó y se desarrolló espléndidamente en una serie de trabajos admirables durante todo el siglo xix; ó como ciencia nueva en estado de transformación, pero sin haber alcan- zado todavía un estado definitivo y completo, que permita oponerla á la Física matemática tradicional de Poisson, de Cauchy, de Ampere y de tantos otros matemáticos como ilustran la pasada centuria. Indicamos también nuestro propósito de llevar, en lo posi- ble, á la par este doble trabajo, consagrando la primera parte de cada curso, y la mayor, á la Física matemática clásica, y dedicando la última parte á las nuevas teorías y á los nuevos puntos de vista, que pudiéramos decir que forman la Física matemática moderna. Esto hicimos en el curso anterior; esto esperamos hacer en éste. * Rev. Acad. Ciencias.— VI.— Enero, 1008, 26 — 394 - Pero la Física matemática clásica comprendía, y compren- de, porque continúa dominando, multitud de ciencias parcia- les, ó, si se quiere, de ramas de una misma ciencia, que á su tiempo enumeramos, y que eran: la teoría de la Elastici- dad, la teoría de la Luz, la del Sonido, la teoría de la Capi- laridad, la Electricidad estática, la Electricidad dinámica, el Magnetismo, el calor y la Termodinámica, para no citar sino las principales. Y escogimos, ante todo, la teoría de la Elasticidad, por razones que en una de las últimas conferencias del curso pre- cedente expusimos con toda la amplitud posible. Considerábamos, que la teoría de la Elasticidad era funda- mental en Física matemática; por ejemplo: la teoría de la Luz se consideraba como la teoría elástica del Éter, y así, al final del curso anterior, la presentábamos á modo de ejercicio de las fórmulas generales de la Elasticidad. Así la consideró Lame en su obra clásica, y así la consi- deró Cauchy en sus prodigiosos trabajos. De este modo se ha considerado siempre, hasta que la teoría electromagnética ha venido á disputar este privilegio á la teoría elástica del Éter. Otro tanto podemos decir de la Acústica, que es una apli- cación de la teoría de la Elasticidad. En rigor, si la Termodinámica no se ha considerado en la Física matemática clásica como aolicación inmediata de dicha teoría de la Elasticidad, entre ambas existe una relación ínti- ma, como hace notar Mr. Poincaré, y como veremos en otro curso. Más aún, las teorías eléctricas de Maxwell puede decirse que son teorías de sistemas elásticos, siquiera sea una elas- ticidad de nueva especie la del éter, en la gran obra del eminente físico escocés. Todo esto lo expusimos, todavía con más desarrollo, en las últimas conferencias del segundo curso, y á lo dicho enton- ces nos referimos, para justificar esta elección preferente que - 395 - hemos hecho, de dicha teoría elástica, en nuestras conferen- cias. * Pero la teoría de la Elasticidad puede exponerse, según dice el eminente matemático Poincaré, de muchas maneras, por muchos métodos y partiendo de diversas hipótesis, que podrán tener un fondo común, pero que, en rigor, son distin- tas, lo bastante para dar lugar á teorías diversas. La teoría clásica de la Elasticidad puede explicarse, según indicábamos en otra ocasión: 1." Por el método de Cauchy. 2." Por el método de Navier, Poisson; Lame y otros sa- bios. 3.° Por el método de Poincaré, que es en cierto modo una inclinación á la Física matemática moderna, y cierta ruptura con la Física matemática clásica de las fuerzas cen- trales. 4.° En rígor, también se ha procurado explicar la teoría de la Elasticidad por la Termodinámica. Nosotros, en el curso precedente, y en su primera parte, expusimos el primero de estos cuatro métodos, es decir, expusimos la teoría de la Elasticidad y llegamos á sus fór- mulas fundamentales, partiendo de la hipótesis de Cauchy. Después aplicamos estas fórmulas á diversos ejemplos, con lo cual puede decirse, cflie el tomo que hemos publicado con las conferencias del curso de 1906 á 1907 constituye un tratado elemental de la teoría de la Elasticidad, según el método de. Cauchy. En este curso, continuando el desarrollo de nuestro pro- grama, explicaremos la teoría de la Elasticidad, como acaba- mos de indicar, por los métodos de Navier, Poisson, Lame, Clebsch y otros. Métodos que, á decir verdad, no son absolutamente idén- - 396 — ticos, pero que tienen un fondo común, que explicaremos más adelante, como en oposición al inétodo de Caucliy. Por eso, la primera sección de este curso, pudiera titu- larse: Teoría de la Elasticidad; segunda parte. O aún mejor: Teoría de la Elasticidad, según Lame y su escuela. Para explicar el espíritu de estos últimos métodos, es conveniente compararlos con el método de Caucliy, que expusimos, con la posible extensión, en el último curso aca- démico. Y aun no está demás, que recordemos cuál es el espíritu de la Física matemática, expuesto y desarrollado con mu- chos ejemplos en el primer año que explicamos esta asig- natura. La Física, decíamos, parte, como toda ciencia positiva, de la experiencia, de los hechos, de la realidad. En cada fenómeno busca las magnitudes, que definen y determinan el fenómeno en sí; y las relaciones analíticas, por medio de ecuaciones, entre estas magnitudes, se desig- nan, quizá con excesivo atrevimiento, pero sin atrevimien- tos tales no hay ciencia, con el nombre de leyes de la Natu- raleza. Acaso recuerden mis oyentes, y si no lo fueron de aque- llas conferencias pueden verlo en el primero de los dos tomos publicados, que presentábamos en aquella ocasión, como ejemplo típico, el de la teoría de los Gases. Los diver- sos estados de una masa gaseosa, los accidentes de este fenómeno, por decirlo de esta manera, dependen dj tres magnitudes ó parámetros: la presión, p; el volumen, r; la temperatura absoluta, T. Y la ley del fenómeno será una fun- ción que enlace estas tres magnitudes, por ejemplo: F (/7, V, T) -^ O, - 397 - mediante la cual, los valores de dos de dichas variables determinarán el de la tercera. Pero estas funciones, que enlazan las magnitudes físicas en cada fenómeno, pueden obtenerse de dos modos. 1." Por los métodos experimentales de la Física, inte- rrogando á la Naturaleza en el laboratorio ó en el gabinete, y construyendo empíricamente la función F, y sus análogas en todos los demás fenómemos de la Física, y aun nos atre- veríamos á decir, de la Naturaleza. 2.° Por el procedimiento constante, uniforme, atrevido y fecundo al mismo tiempo, de la Física matemática clásica, que empieza siempre por establecer una hipótesis (ó varias), y que á esta hipótesis aplica luego el cálculo matemático. En rigor, en la historia de la Ciencia, las cosas no se pre- sentan en forma tan sencilla, porque uno y otro procedi- miento, la teoría y la práctica, como antes se decía, la hipó- tesis y la experimentación, como ahora se dice, muchas veces marchan á la par; pero nosotros, como hemos indicado, para la mejor inteligencia de nuestros oyentes, ó de nuestros lectores, presentamos los métodos puros, exclusivos y con sus caracteres propios; y siendo esto así, lo que dijimos antes, es rigorosamente exacto: la Física experimental debe prescindir de toda hipótesis, y sólo á los hechos y á su me- dida debe atenerse para deducir las leyes de la Física. En cambio, la Física matemática prescinde de la expe- riencia, ó sólo la emplea para la comprobación de los resul- tados. Se considera, en cierto modo, superior á la experiencia misma, como método eminentemente racional, y al cálculo matemático pretende someter la variedad de los fenómenos mediante una ó varias hipótesis: es un esfuerzo de la razón para imponerse al empirismo. * * - 398 — Pero ¿cuáles son estas hipótesis? Varían según los casos, los fenómenos y las circunstan- cias de estos fenómenos. Alguna vez tendremos ocasión de insistir sobre este punto; por hoy nos limitaremos á repetir lo que ya hemos expuesto en los años anteriores: entre todas las hipótesis de la Física matemática clásica, la más natural, la más fecunda, la que dio siempre resultados más brillantes, la que mejor recogía los hechos de la Naturaleza para fundirlos en una unidad superior, la que constituye la gloria de la Física matemática del siglo XIX, era la que se designa con el nombre de Hipó- tesis mecánica. Mediante esta hipótesis, todo fenómeno de la Naturaleza se consideraba como un problema de Mecánica; en la Natu- ra4eza, se decía, no hay más que materia y movimiento, ó según otros, materia, fuerza y movimiento, y, por lo tanto, todos los fenómenos del mundo inorgánico estarán compren- didos en las fórmulas generales de la Dinámica, y como caso particular, en las fórmulas de la Estática, Ahora bien, como por entonces se consideraba que la casi totalidad de la Mecánica se componía de elementos raciona- les, es decir,, á priori, sujetos á las leyes matemáticas, . de aquí las ambiciones y las arrogancias de la Ciencia, preten- diendo encerrar todas las leyes del Universo material en las fórmulas lógicas de la razón. Si la hipótesis era exacta, al estudiar los fenómenos de la Naturaleza, no había que acudir á los hechos; una nueva Metafísica, eminentemente matemática, reconstruía el Cos- mos en el cerebro humano. Y la empresa era grandiosa, era sublime, y sin escrúpulo puede emplearse esta palabra. Y marquemos concretamente este encadenamiento de ideas. Consideremos un fenómeno material cualquiera, que para abreviar la explicación, llamaremos A. - 399 - Establezcamos una hipótesis mecánica, es decir, supon- gamos que ese fenómeno, sean cuales fueren sus aparien- cias, ya se presente como luz, ya como calórico, ya como electricidad ó magnetismo, ó bien como fenómeno químico; supongamos, repetimos, que no es más que un conjunto de masas grandes ó pequeñas, en número finito ó en número enorme, moviéndose con determinadas velocidades bajo la acción de determinadas fuerzas. A esta hipótesis, para abre- viar la explicación, llamémosla M. Pues aplicando al fenómeno A la hipótesis M, es decir, al fenómeno dado, la hipótesis mecánica, el fenómeno A se reduce á un problema de Dinámica. Pero, las fórmulas de la Dinámica, hemos admitido (hoy no se admite), que son eminentemente racionales, resultados simbólicos de la aplicación de la Lógica. Luego el fenómeno A ya está encerrado en dichas fórmu- las, que expresan las leyes de la cantidad y del orden com- binatorio. Luego el fenómeno A, repetimos, con todos sus accidentes y apariencias, no depende más que de las leyes racionales de la cantidad y del orden combinario; y así, la razón humana, no sólo abarca en sí la variedad infinita de los hechos, que en este caso hemos designado por A, sino que les presta su unidad y les impone sus leyes. En suma, las leyes del Universo están escritas en la razón con certidumbre matemática y en fórmulas matemáticas; la experiencia sólo sirve, en este caso, para dos cosas: 1.° Para comprobar los resultados. 2.° Para determinar las constantes de las fórmulas mate- máticas, que expresan cada ley natural. Y aún los sabios se esforzaban por reducir todas estas constantes de la Física, á una sola, con lo cual todo brotaba de la razón, salvo esta constante única, que había que pedir á la experiencia. La empresa era soberana; la verdadera Ciencia, dígase lo — 400 - que se quiera, siempre tenderá á este ideal: entregarla á la muchedumbre de los hechos, es convertir á la Ciencia en inventario infinito, que podrá servir para una monstruosa almoneda del Cosmos; pero no más. Cien veces será vencido el idealismo por los brutales choques de la realidad, y cien veces se levantará con nuevos alientos, aun arrostrando nuevos desengaiios. * Pero á lo que acabamos de decir, que es repetir en otra forma lo que ya hemos dicho muchas veces, la crítica moderna opone graves censuras. Se admite el espíritu de la Física matemática, tal como lo acabamos de explicar; pero negándole todo carácter .abso- luto. Es un procedimiento para llegar á la verdad; procedimiento más ó menos brillante, pero sujeto á grandes errores y á un trabajo eterno de tejer y destejer, de subir la roca y de verla despeñarse, como Sísifo la veía rodar una y otra vez. La Hipótesis mecánica, que en todo el siglo xix dominaba, hoy ha perdido gran parte de su prestigio, y en esto debo declarar que no estoy conforme con la mayor parte de los críticos. Que la hipótesis mecánica no sea más que una hipótesis, es evidente; pero la Historia dice que ha sido la hipótesis más fecunda, y el sentido común afirma, que es la hipótesis más natural y la que mejor armoniza con la naturaleza de las cosas y de los fenómenos. Las demás hipótesis, podrán ser más ó menos ingeniosas, más ó menos útiles, pero son infinitamente más artificiosas, como demostraremos siempre que llegue el caso, que la Hipótesis mecánica. Y apelamos antes al sentido común, porque, en efecto, el - 401 = que prescindiendo de teorías mira al Universo, lo que ve son masas, movimientos, y á las causas de estos fenómenos les da el nombre de fuerzas. Todo esto podrá ser vago; pero el sentido común en estas vaguedades se funda, porque entre ellas y de ellas está reci- biendo constantemente influencias invencibles. Y esto es algo, siquiera no sea decisivo. Digo, pues, que la Hipótesis mecánica me parece la más natural; y digo más, la substitución de esta hipótesis por otra cualquiera, la considero como una deficiencia ó como un retroceso, y cuando llegue el caso procuraré demos- trarlo. Bien sé que , para rebajar la importancia de la Hipótesis mecánica, se acude á un célebre teorema de Mr. Poincaré, del cual dimos cuenta en las conferencias del primer curso. El teorema del eminente sabio dice así: 5/ un fenómeno cualquiera de la Física se explica por una hipótesis mecánica, poi oirás infinitas hipótesis mecánicas, podrá explicarse también; y como los fenómenos no pueden tener más que una explicación verdadera, es imposible admitir que tengan infinitas explicaciones, con lo cual todas quedan en duda. Esto tiene mucha importancia, no lo desconocemos; pero tiene importancia para negar á las hipótesis de la Física matemática su valor absoluto: nada más. No; una hipótesis mecánica, no puede aventurarse que sea la explicación absoluta de un fenómeno, y esto lo hemos reconocido cien veces. Pero aun así y todo, podrá ser un símbolo grandemente fecundo, y por de contado unas hipótesis serán inadmisibles por ser incompatibles con la realidad; otras serán todas aceptables, pero entre ellas habrá una que, al menos por su sencillez, sea preferible á las res- tantes. Esto sin contar con que probablemente las hipótesis esta- rán enlazadas entre sí, y aun estarán sujetas á una evolu- — 402 - ción, como la de los seres vivos; idea que ya hemos apuntado otra vez, y sobre la cual, quizá volvamos en otra ocasión. * * * Las hipótesis mecánicas, según acabamos de decir, pue- den ser varias; mejor dicho, pueden ser infinitas; pero pue- den reunirse en dos grandes grupos. Como en toda hipótesis mecánica hay que admitir masas, porque con masas, velocidades y fuerzas han de explicarse los fenómenos ó se pretende explicarlos, estas masas pue- den tener dos disposiciones distintas: 1.° Pueden ser discontinuas. 2." Pueden constituir un todo continuo.- De aquí resulta que las hipótesis mecánicas pueden par- tir de estas dos disposiciones de la materia: ó la materia dis- continua reunida en grupos, centros ó puntos materiales, ó la materia continua. Y en uno y en otro caso, á los sistemas discretos ó á los sistemas continuos, habrá que aplicar los teoremas de la Dinámica. Cabe otra tercera hipótesis, que es, la de las masas dis- continuas que se suponen reemplazadas por masas conti- nuas, como se ha hecho en varios problemas, á fin de substituir en los cálculos las sumas por las integrales, según explicábamos en el curso anterior. Pero las dos hipótesis fundamentales son las que acaba- mos de indicar: la masa discontinua, ó la masa continua. Y apliquemos todas estas ideas, que son la reproducción condensada de las ya expuestas en los cursos precedentes, al problema de la Elasticidad. * - 403 - Explicamos la teoría de la Elasticidad según el método de Cauchy, y era bien sencillo: admirable en su sencillez. Condensémoslo en breves frases, para marcar sus dife- rencias con el método de Lame y los métodos análogos. Cauchy supone que los sistemas están formados de puntos ó masas infinitamente pequeñas por relación á las distancias que entre ellos median. Entre estos puntos del sistema exis- ten fuerzas internas, que son funciones de las distancias. Se supone además que el sistema sufre la acción de fuerzas exteriores, y que el problema se reduce á determinar las coordenadas de los desplazamientos de cada punto en función de las coordenadas iniciales y del tiempo. Este es el problema general de la Elasticidad; mejor dicho, es el problema general de un sistema de puntos aislados: es el problema de la Astronomía, transportado á la Física molecular. Los astros son puntos; la atracción newtoniana es, en este caso, la atracción molecular, función de la dis- tancia y proporcional al producto de cada dos masas; y las ecuaciones son las generales de la Dinámica: tres para cada masa. Resolver el problema es integrar este sistema de ecuaciones. Desde el punto de vista de la Lógica matemática, nada más elemental. Cauchy redujo la Hipótesis mecánica á su expresión más sencilla y más pura, si así puede decirse. Claro es que esta hipótesis supone: 1.° Discontinuidad en la distribución de las masas. 2.° Supone asimismo, como en la Astronomía, la acción á aistancia, ó que, por lo menos, las cosas pasan como si la acción á distancia fuese real. 3.° Que las fuerzas son centrales, es decir, que van de masa á masa. Después de plantear el problema con esta generalidad, se introduce una nueva hipótesis, que es, por decirlo de este modo, hipótesis de simplificación, á saber: que sobre cada — 404 — punto sólo ejercen acción sensible los que están á pequeña distancia de él, dentro de la esfera de acción molecular. De las influencias del resto del sistema puede prescindirse al establecer las ecuaciones para cada punto. Con sujeción á estas ideas desarrollamos el método de Cauchy en el curso anterior, y puede decirse que todo él se condensa en las líneas que preceden; el resto son procedi- mientos y métodos de cálculo. Pasemos ahora á la segunda parte de la teoría de la Elas- ticidad que vamos desarrollando, que es la misma teoría por otro método, á saber: por el método de Lame, ó por métodos análogos; mas para abreviar la expresión, al con- junto de estos métodos, que no difieren unos de otros en lo esencial, les daremos el nombre del ilustre matemático. La primera parte ha sido, pues, el método de Cauchy. La segunda parte va á ser en este curso el método de Lame. Y claro es que tendremos que repetir muchas de las cosas que ya explicamos en el curso anterior; de todas maneras, llegaremos á las mismas fórmulas. * * * Teoría de la Elasticidad por el método de Lame. — Pode- mos dar, desde luego, una idea general de este nuevo mé- todo, sin perjuicio de desarrollarlo en las conferencias suce- sivas, para que se comprendan desde el principio las diferen- cias que existen entre él y el método de Cauchy. También aquí se parte de la Hipótesis mecánica, y aquí, á decir verdad, no es maravilla que de la Hipótesis mecánica se parta, porque de un problema de Mecánica se trata: dado un sistema de puntos enlazados de cierto modo y constitu- yendo un sistema, y suponiendo que sobre este sistema actúan fuerzas exteriores, determinar la ley de desplaza- — 405 - miento de los diferentes puntos, la nueva forma del sistema, por lo tanto, y la intensidad y distribución de las acciones internas. Y se dirá: Pues tratándose de un problema de Mecánica, ¿cómo no ha de aplicarse la Hipótesis mecánica? Esto es evidente, tan evidente que no vale la pena de dis- cutirlo; y, sin embargo, para estudiar el fenómeno matemá- ticamente, pueden hacerse hipótesis diversas, y algunas ten- drán el carácter de hipótesis físicas (ya explicaremos lo que esto significa), y otras tendrán el carácter de hipótesis mecá- nicas. En efecto; las ecuaciones finales han de ser: ó ecuaciones de equilibrio ó de movimiento; es decir, las ecuaciones ge- nerales de la Mecánica. Pero respecto á la definición del sistema y á su estructura íntima, ó pueden hacerse hipótesis, que son verdaderas hipótesis mecánicas, ó pueden definirse estos sistemas por sus propiedades físicas experimentales, sin aventurar nada respecto á su constitución. Y aquí llegamos al punto en que difiere el mótodo de Cauchy del método de Lame. Cauchy define cada cuerpo, según hemos explicado varias veces, como estando compuesto de puntos materiales á gran- des distancias relativas y sujetos á fuerzas internas y recípro- cas. Esta es una hipótesis, y puede decirse que es una hipó- tesis mecánica, porque aspira á penetrar en la constitución de la materia como sistema mecánico. En cambio, el método de Lame y los análogos, no parten de esta hipótesis, sino de dos resultados experimentales, sin que sea preciso dar la explicación de estos resultados; por más que, cometiendo una inconsecuencia á veces, se pre- tenda explicarlos, viniendo á parar, aunque de una manera incompleta, á la hipótesis de Cauchy. Todo esto que adelantamos debe ser explicado con más detenimiento. ó B /a T D ,j - 406 - El nuevo método que vamos á exponer parte de estos dos hechos experimentales; y para fijar las ideas, supongamos que se trata de un cuerpo sólido. Primer resultado experimentül.Sea un sólido, S, y sea M un punto de este sólido (fig. 1.'). Por el punto M tracemos un pla- no, AB, que dividirá al sólido en dos partes, C y D. La experiencia da que las partes C y D están unidas y mantenidas, en el equilibrio general, al parecer por una serie de fuerzas que actúan en los diferentes puntos del plano AB. Figura 1/ Este es un hecho que la expe- riencia impone; para separar la parte C de la D, para romper el sólido, digámoslo así, se necesita ejercer cierto esfuerzo: todas las construcciones, todos los materiales de construc- ción, lo demuestran prácticamente, y la ciencia de la cons- trucción, de este hecho necesita partir. Para romper la, madera, la piedra, el hierro, es preciso someter estos materiales á ciertas fuerzas, y aparecen, una vez conseguida la rotura, superficies propiamente de rotura. Y al afirmar esto no formulamos ninguna hipótesis: con- signamos un hecho, estamos en el dominio de la Física expe- rimental; y es que, hasta ahora, más que á la Física mate- mática, á la Física experimental pertenece, considerada de este modo, la teoría de la Elasticidad. Si procuráramos explicar el hecho en cuestión; si dijéra- mos que las dos partes Cy D del sólido S están unidas, á lo largo de la sección ideal AB, por atracciones mutuas de los elementos D sobre los elementos C, y recíprocamente, ya formularíamos una hipótesis y nos aproximaríamos, más ó menos, al método de Cauchy, y aun de lleno caeríamos en él, como vimos en el curso anterior. - 407 — Y, sin embargo, esto hacen la mayor parte de los autores, aunque quedándose, por decirlo de este modo, á la mitad del camino. Pero esto no es necesario: para resolver el problema desde el punto de vista que estamos considerando, sólo hace falta el hecho experimental, intepretado, es cierto, desde el punto de vista de la Mecánica. Porque esta interpretación nos permite definir un concepto que es fundamental en la nueva teoría: el concepto de esfuer- zos interiores, 6, si se quiere, tensiones; concepto que ya explicábamos en una de las últimas conferencias del curso precedente. En la sección AB tomemos un área sumamente pequeiía, ab, que comprenda el punto M, y con el pensamiento subs- tituyamos al elemento ab un dinamómetro ideal, compuesto de dos placas, a'b', a"b", unidas por resortes, r, é infinita- mente próximas. Este dinamómetro nos marcaría un esfuerzo; y si supone- mos que el área ab disminuye, comprendiendo siempre al punto M, y dividimos este esfuerzo por el área, el cuociente tenderá á un límite, y este límite es lo que se llama tensión por unidad de superficie en el punto M y para el plano ab. Lo mismo diríamos para otro plano. Claro es que este dinamómetro ideal equivale, en cierto modo, á una hipótesis; pero tan sencilla, tan enlazada con la realidad, que casi puede considerarse como la traducción inmediata de un hecho experimental. Es como decir, que si las dos partes, C, D, del sólido 5 están unidas constituyendo un sólido, y sometidas por de contado á fuerzas exteriores, en todos los puntos de la sec- ción A B actuarán esfuerzos que todavía no sabemos calcu- lar, cuyas leyes de distribución desconocemos, pero que no por eso serán menos reales, y tanto, que si pasan de ciertos límites, el sólido se destruye, se aplasta, ó se desgarra, ó desliza una parte sobre otra, ó todo esto á la vez. - 408 - Y bien, estos hechos experimentales son los que mide simbólicamente nuestro dinamómetro ideal. No es así como la mayor parte de los autores explican este concepto de tensión. De otro modo lo definen, y aun las definiciones son varias, como veremos en el curso próximo, reproduciendo unas explicaciones muy interesantes de Mr. Poincaré. Adelantemos algunas de estas ideas. Los autores no se contentan con definir la tensión experi- mentalmente; procuran dar de ella una definición mate- mática. Consideremos la sección A B y en ella el área ab (fig. 2.''). _, Pues los autores á que me refiero suponen /'" \ que todos los elemen- / ^^' \ ^^^^ ^> ^1' ^2 > de la B. parte C del sólido, ejer- cen esfuerzos sobre los /^ /n ^\ V n ^» . "mj elementos m', //z,', Figura 2!^' ^2' de la parte D. Y consideran tan sólo los pares de puntos en que la recta que los une corta al plano AB dentro del área ab. Por ejemplo: los puntos m, ni, cuya recta corta k ab tx\ el punto interior c; el par de puntos /77,, m^ , cuya recta corta asimismo al área en un punto C|. Pero no toman en cuenta, para esta área ab, los pares de puntos m^ m.,', que cortan al área ab exterior- mente én Co. El primer grupo de puntos, mejor dicho, de pares de pun- tos, determinará, por decirlo de este modo, un manojo de fuerzas, que todas ellas pasarán por el interior del área ab. Este manojo ó haz de fuerzas, limitado como queda expuesto por el contorno del área ab, que es algo así como un cinturón del haz, es el que sirve á dichos autores para definir la tensión correspondiente al área ab. - 409 — A este fin, según los procedimientos de la Estática, trans- portan todas las fuerzas del haz al centro de gravedad M del área, y de este modo se obtienen: 1.° Una resultante de todas estas fuerzas en el punto M. Esta resultante es la que se llama, como antes decíamos, la tensión en el punto M del cuerpo y para el elemento a b. 2.° Un par de fuerzas. Pero se demuestra fácilmente que el valor numérico del par de fuerzas es despreciable en los cálculos si se compara con el valor numérico de la resul- tante. En efecto; supongamos, para fijar las ideas, que el ele- mento plano correspondiente al punto M es un circulo (figura S."*) /^ cuyo centro esté en M y proyec-» tado en ab. Tomemos dos puntos á , b' sobre un diámetro y á igual distancia de M, de modo que Ma = Mb'. Supongamos que sean /y/' los dos elementos de tensión corres- / pondientes á los puntos a , b', ó, si se quiere, á dos áreas infinita- / mente pequeñas de segundo orden *g> que comprendan á estos puntos. Figura 3.=» Claro es que todo el círculo ab podrá descomponerse de este modo en pares de elementos á igual distancia de M y sobre los diferentes diámetros de este círculo. Lo que digamos de los dos elementos de la tensión, /,/', podremos decir de todos los demás. Por último, dada la pequenez de a ¿7, y admitiendo la ley de continuidad para todo el sistema, podemos admitir que / y / son iguales y paralelas. Claro es que consideramos el caso general; es decir, que la tensión es oblicua al elemento plano á que corresponde. Rf.v. Acad. Ciencias.— VI.— Enero, 190S. 27 - 410 - Aplicando ahora las reglas de la Estática, y trasladando /y/' al punto M, tendremos en M una fuerza MF^= 2/ y otra fuerza opuesta é igual á la anterior, con lo cual no se alterará el sistema Mg' = Mg -\- g g' = 2 f. Pero el par que forman / y ^ tendrá por valor / >< a p, siendo a p la perpendicular a f, y el que forman /' y g' será igual á/ X b' p': Ambos son iguales numéricamente y se des- truyen por actuar en sentidos contrarios. En general, suponiendo que el área es cualquiera, toman- do para el punto M el centro de gravedad, y admitiendo que todas las / son iguales por unidad de área, todavía el par será nulo, porque la suma de los momentos de todas las fuerzas por relación á dicho centro de gravedad es igual á cero. Por fin, si /variase por la ley de continuidad, el par no sería nulo, pero sería infinitamente pequeño con relación a'f. De este modo queda definida la tensión para cada punto y para cada elemento; pero en rigor, como antes decíamos, esto es volver al método de Cauchy, empleándolo á medias. Es decir, aceptándolo para definir la tensión y sin sacar par- tido de la hipótesis, para terminar la solución del problema; porque si el sistema se compone de puntos, lo natural es buscar el equilibrio para estos puntos. Y aun cuando el sis- tema fuera continuo, definida la tensión de esta manera, lo natural sería continuar por el camino emprendido hasta lle- gar á las ecuaciones de equilibrio. Por eso nosotros, buscando la unidad de los métodos y procurando no mezclar unos con otros, consideraremos, según dijimos al principio, que el esfuerzo, ó como dicen muchos autores, la tensión en cada punto y para cada ele- mento plano, es una magnitud experimental, ó si se quiere, un concepto experimental, que podría medirse idealmente por un dinamómetro ideal, y que, aun prácticamente y con cierta aproximación, puede medirse en muchos casos, como en construcciones y experimentos que pudiéramos citar. — 411 — Segando resultado experimental. — El valor de la tensión en cada punto y para cada elemento plano depende de la defor- mación del sistema. Esto también se comprueba en la práctica, ó mejor dicho, de la práctica se toma; la práctica despierta la idea de rela- cionar los esfuerzos interiores de un sólido con las deforma- ciones del sistema. Un hilo que está sujeto á tensión, cuanto más se alarga, á mayor tensión estará sujeto. Un prisma que se oprime por un peso contra su base, cuanto más se acorta, será señal de que está sujeto á mayor presión. En un puente que desciende bajo la acción de las cargas que sobre él actúan, el ingeniero relaciona las flechas con la intensidad de dichas cargas. En general, un sólido sometido á fuerzas exteriores, se deforma, y se comprende que los esfuerzos ó tensiones inte- riores dependen de las deformaciones, que en el sólido determinan las fuerzas á que está sometido; es decir, que hay una relación entre ambas cosas. Podemos, pues, en términos generales, y sin perjuicio de concretar más adelante esta fórmula esquemática, decir que: Tensión en un punto y para un elemento = Función (de las deformaciones del sólido). Y anunciemos desde luego una simplificación, análoga á la que hicimos en el método de Cauchy. Al exponerlo decíamos que, para establecer el equilibrio de cada punto, tendríamos en cuenta las fuerzas exteriores que sobre dicho punto actuaban, y además las fuerzas inte- riores: acciones y repulsiones recíprocas. Pero no las de todos los puntos del sistema; porque eran tan insignificantes las acciones de los puntos lejanos, que no había para qué tenerlas en cuenta. Así, pues, sólo considerábamos los pun' - 412- tos que rodeaban al punto dado, y que estaban dentro de la esfera de la actividad molecular. Pues asimismo diremos en este segundo método que vamos exponiendo, á saber: que las tensiones dependen, no de todas las deformaciones del sistema, sino únicamente de las deformaciones de la parte que rodea al punto que se considera hasta cierta distancia muy pequeña de dicho punto. La simplificación es análoga; pero á decir verdad, parece más natural en el método de Cauchy, que en el método que estamos considerando. Allí puede demostrarse rigurosamente para ciertas leyes de atracción y repulsión. Aquí es una simplificación de buen sentido, pero no tan evidente, á no ser que se abandone, por el momento y para la demostración, el método experimental, y se acuda al prin- cipio de la acción á distancia, definiendo las tensiones como resultantes de acciones recíprocas de los elementos, según el método de Cauchy. Decir que las tensiones dependen de la deformación del sistema ó de una parte de él, es decir una cosa exacta, pero poco precisa. La función, en Matemáticas, es una relación analítica entre magnitudes: la tensión es una magnitud; pero las deformaciones de una parte, por pequeña que sea, son muchas magnitudes, y es necesario ver si todas son inde- pendientes ó si hay algunas fundamentales de las que depen- den las restantes. Todo eso exige un estudio especial. * 4c 4c Con estos dos principios experimentales: El de las tensio- nes y el de éstas en función de las deformaciones, puede ya plantearse el problema como veremos en las conferencias — 413 - próximas y como en términos generales vamos á anticipar en ésta. Consideremos en el interior del cuerpo un elemento sólido infinitamente pequeño y de caras planas. Determinemos las tensiones para estas caras, y establez- camos el equilibrio de dicho sólido, según las reglas de la Estática. Establecidas que sean, substituyamos las tensiones en valores de las deformaciones, y tendremos las ecuaciones finales; es decir, un sistema de ecuaciones que nos determi- narán cada deformación en función de los datos, si se trata de un problema de equilibrio elástico, ó en función de lop datos y del tiempo, si el problema es de Dinámica elástica; por ejemplo: Un problema de vibraciones. Tal es la solución general, que especificaremos y concreta- remos en la conferencia próxima, ó mejor dicho, en las con- ferencias restantes; porque, en rigor, en los últimos párrafos hemos dado la solución del problema de la Elasticidad según Lame y según los autores que siguen su método ó métodos análogos. — 414 XX.— ElíMiieiitos dv la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray. Confereocia segunda. Señores: Cuando se va á establecer cualquiera de las teorías que comprende la Física matemática, como, según hemos dicho, hay que empezar siempre por una hipótesis, á veces sen- cilla, otras veces más ó menos compleja, la claridad y el mé- todo exigen que la hipótesis se establezca sin ningún géne- ro de ambigüedad y sin vaguedades de ninguna clase. La hipótesis podrá ser la que se quiera; para establecerla tiene libertad absoluta el matemático, quedando á su cargo la responsabilidad de las consecuencias. Sólo se le exige dos cosas, ante todo que en la hipótesis no exista contradicción lógica, porque en este caso se destruiría á sí misma: los cálculos serían incompatibles unos con otros, y las conse- cuencias opuestas á la realidad. Pero esto no basta: es preciso que la hipótesis sea clara y completa. Y esto, á decir verdad, no siempre se cumple sino por manera muy deficiente. Un siglo hace que en la Física matemática figura el éter y no existe una definición que acepten todos los físicos y que determine sin género de duda la naturaleza, sea real, sea hipotética, de este fluido. ¿Es un fluido incompresible, como muchas veces se ha supuesto? O bien: ¿es susceptible de compresiones y de dilatacio- nes, que pudieran ser precisamente las dos electricidades, positiva y negativa? - 415 — ¿Es el éter, como hay quien afirma, una especie de sólido de infinita rigidez? ¿O es vago, inconsistente, lo menos material que pueda imaginarse? Y por otra parte: ¿es una substancia continua que llena el espacio por completo? O por el contrario: ¿se compone de átomos distintos, colo- cados á-distancia unos de otros, que pudieran ser átomos de éter, ó quizá los modernos electrones? Dado que el éter sea una substancia discreta, es decir, compuesta de átomos á distancia, ¿cuál es la naturaleza de estos átomos? ¿Son, como algunos imaginan, verdaderos giróscopos infi- nitesimales, ó son sistemas complejos, pero no definidos? Y entre átomo y átomo de éter, ¿qué existe: el vacío, ó bien otro éter más sutil, un éter de segundo orden, para irnos hundiendo en la nada, ó para irnos á través del espa- cio en persecución de la nada? Todo esto se ha dicho, no en forma de interrogación, sino en forma afirmativa, por unos y por otros; pero es el caso que, hoy por hoy, no podemos definir el éter de una manera precisa. Y nada tiene esto de particular, si el éter no es más que una palabra con la cual se designan hipótesis diversas y diversos fluidos hipotéticos. La realidad es una: el oxígeno es oxígeno, y el hidrógeno es hidrógeno; pero los fluidos que la imaginación crea ó supone para la aplicación de la Mecánica á la Física mate- mática, pueden ser infinitos. Y esto es aceptable; pero no lo es el que en cada caso no se defina de una manera precisa el fluido que se va á utili- zar, y no se fijan sin ambigüedad sus propiedades, que es lo que muchas veces ha sucedido y sigue sucediendo. * * — 416 — Pues una cosa por el estilo podemos repetir al exponer los diferentes métodos á que se ha acudido para resolver el problema de la Elasticidad. Nos referimos á algo de que ya hemos hablado varias veces. Los sistemas elásticos, ¿cómo están constituidos? Es preciso fijar bien las ideas si no hemos de caer á cada paso en vaguedades y en contradicciones. ¿Son sistemas continuos, ó discontinuos? A Cauchy no se le puede dirigir esta acusación, porque establece terminantemente, lo mismo en la teoría de la Elas- ticidad, que en la de la Luz, que se trata de puntos ó masas infinitamente pequeñas, discontinuas, y, por lo tanto, situadas á distancia unas de otras. Pero en el método de Lame, la vaguedad existe. Lame, en su obra clásica, pág. 38, dice al analizar los métodos de Navier y otros geómetras, que tales métodos suponen evidentemente la continuidad de la materia; pero que esta hipótesis es inadmisible. ¿Por qué inadmisible? Ya iremos viendo en estas conferencias, que muchas teo- rías y muchos autores suponen la continuidad. Hipótesis cuya esencia metafísica no discutimos, pero que no es absur- da en sí. Todo el tercer tomo de la gran obra de Appell, es decir, de su Mecánica, se aplica á los sistemas continuos. Pero prescindamos de esto, que nos llevaría muy lejos, y conti- nuemos indicando las opiniones de Lame, que tienen toda la fuerza que les da el nombre ilustre de su autor. El cual sigue diciendo en la página citada: «Poisson cree vencer la dificultad reemplazando determinada integral por la suma de un número de términos finitos é indetermi- nados; pero en realidad no hace más que substituir en algu- nos casos al signo suma el signo integral». Y agrega <'que al método que ha adoptado, y que tiene su - 417 - origen en los trabajos de Cauchy, lo considera al abrigo de toda objeción: lejos de suponer la continuidad de la materia, deja en cierta indeterminación el número de pares molecula- res cuyas acciones componen la fuerza elástica. Este número puede ser grande ó pequeño; puede diferir de un medio sólido á otro, y, sin embargo, los resultados serán exactos». En suma. Lame parece que rechaza la hipótesis de la continuidad, y que acepta la hipótesis de Cauchy para el cálculo de las tensiones; pero no acepta, sin embargo, el método de este sabio, método tan claro, tan sencillo y tan fecundo, si se parte de aquella hipótesis. Además, deja la puerta abierta en cierto modo á la hipó- tesis de la continuidad, porque si el número de pares de elementos, que sirven para determinarlas tensiones del inte- rior del cuerpo, puede ser tan grande como se quiera, pudie- ra ser infinito, y las sumas serían verdaderas integrales. De aquí resultan ciertas dudas y ciertas vaguedades que desaparecen admitiendo el método de Lame; pero tomando como punto de partida los dos resultados experimentales que exponíamos al terminar la conferencia precedente, y que debemos recordar al comenzar esta nueva conferencia. A saber: 1.° La tensión en el interior de un cuerpo para un punto de un plano de dirección determinada, puede considerarse que es un resultado experimental: el que daría un dinamóme- tro ideal colocado en el punto y sobre el plano en cuestión. 2.° La tensión que acabamos de definir depende de las deformaciones del sistema, y aproximadamente, de las de- formaciones de la región sumamente pequeña que rodea el punto de que se trata. Y explicábamos al concluir la conferencia cómo admi- tiendo estos dos principios podía resolverse el problema de la Elasticidad. Se consideraría un sólido infinitamente pequeño, que lue- go, para simplificar, puede suponerse que es un paralelepí- - 418 - pedo ó un tetraedro, colocado en el interior del cuerpo y comprendiendo un punto cualquiera que se considere. Conociendo las tensiones en las diferentes caras de este sólido infinitesimal, que podemos considerar de figura inva- riable una vez establecido el equilibrio de deformaciones, é incluyendo entre las fuerzas las de inercia, si es problema dinámico, no habrá más que escribir las ecuaciones de equilibrio de dicho sólido. Y por fin, substituyendo en vez de las tensiones sus valores respectivos expresados por las deformaciones, tendremos enlazadas á éstas últimas por varias ecuaciones, que las de- terminarán por los métodos generales del análisis. * * A este punto habíamos llegado en la conferencia preceden- te, y deducimos de lo expuesto que la solución del problema de la Elasticidad, según el método de Lame y los métodos análogos, exige: 1.° Un estudio de las tensiones en el interior del cuerpo. 2.° Un estudio de las deformaciones. 3.** Aplicación de los principios de la Mecánica al equili- brio de cualquier sólido infinitamente pequeño, comprendido en el cuerpo, ó aplicación al movimiento de éste sólido, si se trata de un problema de Dinámica; pero ya sabemos que los problemas de Dinámica se reducen á problemas de Estática, según el teorema de D'Alambert, agregando á las fuerzas efectivas las llamadas fuerzas de inercia. Estudiemos, pues, estas tres cuestiones sucesivamente. — 419 — 1.° Estudio de tensiones. Ya hemos definido lo que se entiende por tensión en un punto y para un elemento plano que pase por él, de cual- quier sistema elástico. Empleamos la palabra tensión, como la emplean muchos autores: quizá convendría decir esfuerzo, para no confundir la tensión con la tracción ; pero nos acomodaremos á la cos- tumbre. Dijimos en la conferencia precedente, que la tensión para un punto de un plano elemental, situado en el interior de un sistema elástico, puede definirse de muchas maneras. Lame define la tensión por una hipótesis que resulta com- probada por otros métodos más exactos; pero que al pronto parece algo arbitraria. No insistiremos en ella. Otros autores posteriores la definen considerando pares de puntos materiales del cuerpo, situados los dos pun- | ^ tos de cada par á distinto lado A del plano elemental ab (fi- gura 4.''); por ejemplo, m, m; ° ' Pigura 4. pero con la condición de que la recta mm corte al áreaíz¿? en el interior de ella: en c, por ejemplo. La resultante de todas las fuerzas que actúan, según éstas líneas, por las acciones recíprocas de m, m' , será la ten- sión correspondiente al plano ab, que suponemos aplicada, según ya hemos explicado, al centro de gravedad de esta área elemental. Esta es una definición matemática, clara y precisa. Supone que el cuerpo está compuesto de puntos materia- les; pero nada se opone á que se aplique también á los siste- mas continuos, salvo una discusión especial para el caso en - 420 — que resultasen esfuerzos infinitos á medida que la distancia tendiese hacia cero. Problema es éste sobre el cual algo hemos dicho en el curso anterior, y sobre el que volveremos más de una vez. Todavía diversos autores han intentado definir la tensión de otra manera que vamos á indicar. Consideremos un sólido elástico 5 (fig. S."*), en su interior un punto a sobre un elemento plano in- finitamente pequeño, y prolonguemos este plano hasta que divida al cuerpo I en dos partes. De modo que AB, pro- longación del plano a, dividirá al sólido _^J 5 en dos porciones, C, D. Suprimamos una de éstas, D por ejem- plo, y en cada punto del plano A B, y por lo tanto en a, apliquemos una fuerza /de modo que no varíen las condiciones dinámicas del sis- tema; es decir, que la porción C se encuentre en el mismo estado, que cuando á ella estaba unida la porción D que hemos suprimido. Se dice que en este caso la acción de las fuerzas / es equi- valente á la que ejercía la parte D sobre C, y cada una de estas fuerzas, /, por ejemplo, recibe el nombre de tensión sobre el elemento correspondiente a; y si se divide por el área de a, tendremos el concepto de tensión por unidad de superficie en el punto elegido y para el elemento plano en cuestión. Mr. Lame combate este sistema de definición, que parece muy sencillo y muy natural, pero que en rigor suscita dudas y dificultades en que no entraremos por ahora. Por último, puede considerarse la tensión como nosotros la hemos considerado hasta ahora: como un resultado de la experiencia, á decir verdad, una experiencia que no puede hacerse, pero á la cual podemos aproximarnos por expe- riencias y analogías que parecen atendibles. — 421 — Definimos, pues, la tensión en cada punto y para cada elemento plano por las indicaciones experimentales de un dinamómetro ideal aplicado á dicho plano y capaz de medir fuerzas oblicuas. Demos, pues, por definida la tensión sobre un área y tam- bién la tensión por unidad de superficie. * * * Se comprende que, en general, la tensión variará para cada punto del cuerpo; por lo tanto, será una función de las tres coordenadas x, y, z de dicho punto. Pero la tensión se refería á un plano determinado ab, y ocurre esta pregunta: cuando ese plano girando alrededor de su centro de gravedad tome diversas orientaciones, la tensión ¿continuará siendo la misma? De otro modo. Si por el punto M del cuerpo (fig.'' 6.'^) hacemos pasar dos elementos planos, ab, ab', las tensiones correspondien- tes á estos elementos, ¿serán las mismas en magnitud? Se comprende que pueden no serlo, y en general no lo serán. Así, pues, las tensiones no serán ¡guales para diferentes planos pasando por el mis- mo punto, ni en intensidad ni en dirección. O dicho de otro modo. Las componentes de la tensión para un punto da- do dependerán de la dirección del elemento plano que pasa por el punto, ó sea de los cosenos directores a, ,3, y de su normal M N. jir ¡6' y^ y' $' Figura 6. — 422 — Ya dependía la tensión de las coordenadas del punto; ahora depende de los cosenos directores del plano que se considera, y es claro que en el caso del movimiento esta tensión variará de un instante á otro, de suerte que, en rigor, podemos decir: que la tensión T en un punto (x y z) de un sólido elástico, depende de siete variables: así, simbólicamen- te, en general (ó repitiendo esto para cada componente) T = función (x, ;;, z, a, ¡i, y, /); y para un instante determinado, es decir, para un valor de- terminado de /, ó en el caso del equilibrio, también simbó- licamente: T = f{x,y, z, a, p, y). Y, en fin, si fijamos nuestra atención únicamente en un punto del cuerpo elástico, y queremos estudiar cómo varía la tensión, según la orientación del plano, la cual está deter- minada por los cosenos directores r, p, y de la normal, pode- mos suprimir x, y, z, como constantes de la función, y re- sultará 7^=/(«, P, r) en términos generales, ó una ecuación análoga, como antes decíamos, para cada componente de T. Este es el problema que ahora nos proponemos resolver: determinar la tensión para un plano cualquiera en función de las cantidades que determinan la posición de éste. Decimos la tensión, pero en adelante nos referiremos á la tensión por unidad de superficie. Si el plano es de área muy pequeña, y dividimos la tensión total correspondiente á esta área por el área misma, y suponemos que ésta tiende hacia cero, obtendremos un límite, admitiendo continuidad en el sistema, y ésta será la tensión por unidad de superficie para - 423 — un punto dado y para un elemento plano de determinada orientación. Pero antes de pasar adelante, conviene todavía dar algu- nas explicaciones y fijar el sentido de algunas palabras. * * * Sea, como siempre, el sólido 5 (fig. 7.^), dividido en dos partes por el plano A B. En este plano, consideremos el área sumamente pequeña a b, como habíamos he- cho hasta aquí; pero ima- ginemos que esta área ab se divide en dos planos ú hojas, ab, a b', como si el plano primitivo tuviera dos caras : Figura 7.a La cara ab\di supondre- mos invariablemente unida á la parte C: \sl a' b', á la parte D: precisamente en este espacio a b a b' es donde tendría- mos que colocar nuestro dinamómetro ideal. La parte D del sólido, ó la parte útil, que será la infinita- mente próxima á a b, a b', ejercerá un esfuerzo T sobre el plano ab, y, por lo tanto, sobre la parte C; es, precisa- mente, la tensión que hemos definido. Así, pues, Tes la tensión que D ejerce sobre C á través de la superficie a b. Pero en virtud del principio de que la reacción es igual y contraria á la acción, á la vez la parte C ó su parte útil ejer- cerá una acción sobre D á través de a b', que estará re- presentada por T' igual y contraria á T. Así, en resumen, repitiendo para T lo que hemos dicho para T, diremos que V es el esfuerzo ó tensión que C ejer- ce sobre D á través de la superficie á b'. - 424 — Piyura S.^ De suerte que, en general, cuando hablemos de tensión, tendremos que especificar la parte del cuerpo sobre la cual se ejerce, si está á un lado ú otro de la superficie a b de se- paración; porque cuando establezcamos ecuaciones, debere- mos marcar si se trata de T ó de T', pues si bien son igua- les^ tienen signos contrarios. Una última explicación: Si el esfuerzo T (figura 8.'') es normal á la superficie a b, y va hacia el interior de C, di- remos que es un esfuerzo de compresión, porque, en efecto, 8 la acción de D sobre C será comprimir á esta última parte del cuerpo; y recíprocamente, T tenderá á comprimir la parte D, así es que en este plano ab a'b' de dos hojas habrá compresión del cuerpo: cada región ten- derá á comprimir á la otra; cada una se apretará contra la opuesta. La tensión en este caso se convierte en presión. Por el contrario, si, como su- cede en la figura 8', la tensión T que se ejerce sobre C á través de a 6 no va hacia dentro, sino hacia fuera de esta región, claro es que la parte C estará sujeta á una tracción. Y recíprocamen- te T será el esfuerzo que C ejer- ce sobre D tirando de esta última y procurando alargarla. Entonces se dice que la tensión, término genérico, es en este caso tracción, y el plano ab que estamos considerando está sujeto á un esfuerzo de tracción. En la figura 8.', los resortes del dinamómetro ideal que colocásemos en o ¿7 á b' se estirarían, y en la figura 8' se comprimirían. Los nombres de las acciones sobre el dina- Fiyura H'. c c 1 \- ^ 0 Figura 8 ". - 425 - mómetro se invierten, dada la hipótesis que hemos estable- cido y el modo de colocar el dinamómetro en cuestión. Finalmente, si la tensión, en vez de ser normal al plano, es paralela, como en la figura 8", j >. entonces las partes C y D tien- ' ^~^ ' den á resbalar á lo largo de AB. La tensión se llama esfuerzo tangencial, y tiende á produ- cir un resbalamiento; algunas veces este esfuerzo se llama esfuerzo cortante. * * * Y ahora volvamos al problema que quedó pendiente: ex- presar Ten función de a, ^j, y; es decir, determinar la ley de variaciones de las tensiones alrededor de cada punto, según la orientación del plano. Y no decimos bien al decir que hemos de determinar el valor de las tensiones, ni las fórmulas que hemos escrito hasta aqui tienen otra significación, que una significación esquemática, porque, por regla general, cada tensión es oblicua respecto al plano á que corresponde; de suerte que necesitamos determinar para cada plano, no sólo el valor numérico de la tensión, sino la dirección que tiene, ó si se quiere, determinar sus tres componentes. De suerte que el problema que vamos á resolver es éste: Determinar las tres componentes de la tensión por unidad de superficie, ó, abreviadamente, de la tensión en cada pun- to del sólido elástico, en función de los tres cosenos direc- tores de la normal al plano á que la tensión se refiere. Y ocurre esta primera pregunta que ya hicimos antes. Para cada punto, las tensiones alrededor del mismo ¿podrían ser arbitrarias en todos sentidos, si variásemos á voluntad la naturaleza del sólido, ó estarán sujetas en todos los sólidos continuos á ciertas leyes matemáticas? Rev. AcAD. Ciencias.- VI.— Enero, 1908. 28 — 426 ■ .'¿Habrá infinitas tensiones arbitrarias, ó todas ellas depen- derán de un número finito de tensiones, correspondientes á orientaciones determinadas del plano, que comprende el pun- to en cuestión? Una consideración muy sencilla demuestra, que no todas las tensiones pueden ser arbitrarias. Fijemos bien las ideas. Tomemos un punto en el interior del sólido elástico S, y sea el punto M (fig. 9). Alrededor de este punto, imaginemos un poliedro de caras planas abe infinitamente pe- queño; si el sólido 5 está en equilibrio, estará en equilibrio el poliedro M infinitamente peque- ño y situado en su interior. Luego para este poliedro de- berán cumplirse las ecuaciones de equilibrio de los cuerpos só- lidos invariables. Las fuerzas que se ejercen sobre él, son: las fuerzas ex- teriores, que suponemos que actúan en el punto M; la ten- sión r sobre la cara a; la tensión T' sobre la cara b; la T" sobre la cara C, y así sucesivamente. Luego estableciendo el equilibrio de dicho sólido, infinita- mente pequeño, tendremos un número determinado de ecua- ciones en que entrarán T y sus cosenos directores, así como las demás tensiones T' , T"...; luego es evidente que todas ellas no son arbitrarias, puesto que han de satisfacer á un número determinado de ecuaciones de condición. Este es precisamente el principio que vamos á aplicar para resolver el problema en que nos ocupamos. Sólo que en vez de tomar un poliedro cualquiera, tomare- mos dos de los más sencillos: 1.°, un paralelepípedo cuyas caras sean paralelas á los planos coordenados, que supon- dremos rectangulares; 2", un tetraedro en que tres caras sean Figura 9. - 427 — paralelas á dichos tres planos coordenados y en que la cuar- ta tenga una dirección cualquiera definida por los tres cose- nos directores o., [:i, y. Mas antes, para terminar este avance, ó primera idea sobre la relación que existe entre las tensiones alrededor de un punto, haremos una última observación. Hemos considerado un poliedro cualquiera que compren- da el punto M, y hemos encontrado, que entre las tensio- nes T, T, T"... sobre las caras a, b, c existen ciertas re- laciones, de donde resulta que no todas las tensiones son arbitrarias. Pero las tensiones sobre dichas caras, y aun las caras, puede suponerse que paralelamente á sí mismas se trasladan al punto M. Y esto es evidente, si el sistema es continuo y el poliedro es infinitamente pequeño. De modo, que es legítimo suponer que las relaciones á que nos hemos referido entre T, T, T"... se aplican á dichas tensiones pasando por el punto M, y que los planos corres- pondientes pasan también por dicho punto y son paralelos á los a, b, c... Para buscar la ley que enlaza todas las tensiones corres- pondientes á un punto, empecemos considerando el parale- lepípedo que antes indicábamos. Sea este paralelepípedo ABC (fig. 10). En un instante cualquiera, cuando las deformaciones han llegado al límite que corresponde á este instante, podremos suponer que dicho paralelepípedo es un cuerpo rígido é in- variable, y podremos aplicarle las fórmulas del equilibrio, que establece la mecánica racional. Sabemos que éstas son seis: tres que expresan que las sumas de las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre el paralelepípedo paralelamente á los tres ejes coor- — 428 — denados, han de ser iguales á cero; y otras tres relativas á los tres pares alrededor de ejes paralelos á los del sistema, que pasen por el centro del sólido. En estos tres últimos vamos á ocuparnos ahora, para de- ducir de ellos relaciones importantes. Consideremos la rotación alrededor del eje o z. Las fuerzas exteriores podemos suponer que actúan en o, Figura ÍO. y por lo tanto, su momento será nulo; prescindiremos, pues, de ellas. De las fuerzas que actúan sobre la cara superior é infe- rior y en los centros de las mismas, también podemos pres- cindir, porque cortan al eje de giro. Nos quedan las cuatro caras laterales: 5 C y la opuesta; i4 C y la opuesta á ella. Consideremos la cara B C. La tensión, admitiremos, como siempre que actúa en el centro A' de dicha cara; pero de sus tres componentes sólo la paralela al eje de la y será eficaz. En efecto; la que pasa por .4' y es paralela al eje de las X, pasa también por o, que es el centro, y su momento es nulo. La paralela al eje de las z tampoco puede produ- cir movimiento de rotación; luego sólo queda, como hemos dicho, la componente paralela al eje de la y. Y antes de pasar adelante, fijemos bien las notaciones. •--•« D -*■ ;- ta ■^ >• TO — 429 — Al considerar una cara B C, supondremos que se consi- dera la tensión ó esfuerzo que ejerce la parte de la derecha, que es la del eje de las x positivas sobre la izquierda; y es claro que si es una tracción, deberá considerarse A' D como positiva, según se ve en la figura 10'. En cambio, la acción de la parte de la izquierda sobre la derecha A' D' será en este caso negativa. Respecto á las fuerzas tangenciales de dicha cara, lle- varán el signo que les corresponda, es decir, el , positivo si actúan en el ' '/)]' sentido positivo de los ejes de las y y de las z; el ne- gativo en el caso contra- rio. Y se considerará que actúa la parte del sólido que corresponda á la di- rección positiva de los ejes Figura lO'. sobre la parte de los ejes negativos: es decir, de derecha á izquierda, de delante á atrás, de arriba á abajo. Esto respecto á los signos; respecto á las notaciones, la tensión sobre cada cara se designará por la letra del eje á que es perpendicular y por un subíndice que indique la compo- nente de que se trata. Así, la tensión en la cara BC (fig. 10), es decir, de la parte de la derecha del cuerpo sobre la izquierda, se designará por X, y sus tres componentes pai alelas á los tres ejes x,y, z, serán X^, Xy, Xz. Del mismo modo, la tensión sobre la cara C A, que ejerce la parte delante del cuerpo sobre la posterior, ó de la positi- va sobre la negativa, puesto que la caía es perpendicular al eje de las y, se designará por Y; y sus tres componentes, por Y^, Y y, Yz- Por último, la tensión sobre la superficie A B, consideran- - 430 - do la acción de la parte superior del cuerpo sobre la inferior, puede expresarse por Z, Y sus tres componentes, por Z.^, Zy, Z^. También puede suponerse que cada plano elástico tiene dos caras: la negativa, que corresponde á la parte negativa del eje, y la positiva, que corresponde al eje positivo. Y en esta hipótesis la magnitud, que en general se llama tensión, podemos suponer que siempre actúa sobre la cara negativa y que tienen sus componentes el signo que les corresponde según el sentido en que actúen. Las reacciones tendrán signo contrario y actuarán sobre las caras positivas. El siguiente cuadro condensa las expresadas notaciones: Tensión sobre la cara negativa de la superficie perpendi- cular al eje de las X X componentes. . . X^ Xy X^ al eje de las )^ Y » ... K^ Y y Yz al eje de las z Z » ... Z^Zy Z¿. Y debe recordarse siempre, lo repetimos una vez más, que se trata de la acción de la parte del cuerpo que está del lado del eje positivo sobre la parte del cuerpo que está del lado negativo. Debe recordarse también que en esta hipótesis las traccio- nes son positivas, y las presiones, negativas. * Y calculemos ahora los pares que actúan sobre el parale- lepípedo para hacerle girar alrededor del eje de las z. Hemos visto que considerando la cara B C (fig. 10), la única fuerza eficaz es la paralela al eje de las y. Pero lo que nos interesa no es la acción del paralelepípedo — 431 — sobre la parte de la izquierda cuya componente eficaz sería Xy, sino, por el contrario, la acción de la parte de la izquierda sobre el paralelepípedo, que es igual y contraria á la ante- rior, de modo que sería A' E. Pero Xy está referida á la uni- dad de superficie; para toda la cara 5 C, representando por a, b, c las tres aristas del paralelepípedo, sería en valor numé- rico Xyb c, y como el brazo de palanca es 0.4' = — , el valor , , , „ abe del par sera Xy Este es el valor numérico del par, y como hemos supuesto que Xy es positiva, es claro que dicho valor numérico ten- drá el signo más; de todas maneras, en la teoría de los pares lo que importa es precisar el sentido del giro. Resulta, pues, el par Xy ; que está compuesto de la fuerza A'E y del brazo de palanca O A', y que tenderá á co- municar al paralelepípedo una rotación, según se ve en la figura de izquierda á derecha, es decir, en el sentido de las agujas de un reloj. En la cara opuesta á la 5 C, en el punto A ", la parte de la derecha, actuando sobre la izquierda, determinará una ten- sión, que es la que aquí nos interesa, porque es la acción sobre el paralelepípedo; pero de las tres componentes de esta tensión, dos de ellas son inútiles para nuestro objeto,, porque la paralela al eje de la x pasa por el centro O; la pa- ralela al eje de la z no tiende á producir ningún giro, y sólo queda la paralela al eje de la y, la cual tendrá por valor el mismo que tenía en A ' con el incremento que corresponde al incremento a de la x del punto A '. Es decir: Xy + ^a. dx Como actúa esta tensión por unidad de superficie, sobre toda la cara, el valor total será ( - 432 - X,+ ^.).c y el momento con relación al punto o, cuyo brazo de palan- a 2 ca es O A " = — tendrá el valor numérico X. + ^a)^. Este par tiende también á producir un giro en el mismo sentido que el anterior; por consiguiente, para obtener el par resultante, deberemos sumar los dos valores positivos y tendremos: ^ abe . (^ . dXy \abc ^ . , dXy abe recordando siempre que este par tiende á producir un giro de izquierda á derecha. Repitiendo todo estv) para la cara ^ C y la opuesta; y re- cordando que para la cara A C, si la acción de la parte ante- rior sobre la posterior es Y^, la de ésta sobre el paralelepí- pedo será — Vx, y deberá llevarse de B' á E como marca la figura, tendremos para el momento del par resultante de ambas caras ir u I dYx 1 abe Yx abe H b. . dy 2 Pero este par, como se ve en la figura, tiende á producir una rotación de derecha á izquierda, ó sea en sentido con- trario que las agujas de un reloj. De modo que ambos pares, es decir, el calculado para las caras BC y la opuesta, y el que acabamos de calcular, tienden á producir rotaciones contrarias; basta para el equi- - 433 - librio que sus valores numéricos sean iguales, considerán- dolos siempre como positivos. Tendremos, pues, estableciendo esta condición ^ . dXv abe Xr, abe -\ ^ a. ^ dx 2 ,, , dYx , abe — Yx abe -\ b. dy 2 y dividiendo por abe ^ dXy a ^ dx 2 Y 1 ^^-^ ^ ^ ^ ' dy 2 • Pero los últimos términos de ambos miembros son canti- dades infinitamente pequeñas, puesto que lo son a, b, por lo tanto pueden suprimirse, y queda entre las componentes de las tensiones de dos caras contiguas la relación importantí- sima y fundamental: Xy = Yx, que se expresa diciendo, que cuando se invierten la letra principal y el subíndice, el valor de la componente no varía. * * Hemos considerado los planos perpendiculares á los ejes de las X y de las y; aplicando estos razonamientos á los pla- nos perpendiculares á los ejes y, z, tendremos, Y repitiendo lo mismo para las caras del paralelepípedo perpendiculares á los ejes x, z, tendremos de igual modo, Xz = Zx' Para fijar bien las ideas, hemos trazado la figura 1 1, en que — 434 — aparecen el paralelepípedo y las seis componentes tangen- ciales. Dos de ellas, correspondientes á la cara yz: Xy^Aa; X^ = Aa. Las otras dos, correspondientes á la cara de las xz: 5" : Y. / 1 \ \ -^b' X.--- i B Y^ Á \ \ \ Z c-' , V Figura 11. Y las dos últimas, correspondientes á la cara xy: Zv= Ce; Y son iguales Ad , Bb' perpendiculares al eje de las z: á saber, respectivamente Xy, Yx. Son iguales también Xz y Zx, es decir, Aa" = Ce', ambas perpendiculares al eje de las y. Y por último son iguales Yz y Zy, ó bien Bb" = Ce", perpendiculares al eje de las x. Lo que decimos de estas componentes, que representan las acciones del paralelepípedo sobre el cuerpo en las tres caras, pudiéramos decir de las acciones del cuerpo sobre el paralelepípedo en las mismas caras. * * 4: El cuadro que antes presentamos para las nueve compo- nentes de las tres tensiones, y que era, — 435 — componentes de X Xx, Xy, Xz; componentes de Y Vx, yy, ^z', componentes de Z Zx, Zy, Z^; se reduce, según lo que hemos demostrado, y si para simpli- ficar adoptamos estas nuevas notaciones: Xx = N,; Yy=N,; Zz = N, Zy Y z 1 l\ X z Zx 1 2} ''X Xy I ^, ai siguiente cuadro simétrico: componentes de X N^ T^ T., , componentes de Y T^ No T^ componentes de Z T2 T^ N^; que comprende las notaciones que hemos de emplear en adelante, y que marca cuáles son las fuerzas normales á las caras, las cuales están representadas por la letra iV y con los subíndices 1, 2, 3, según sean paralelas á los ejes x, y, z. Marca asimismo por la letra T las componentes tangen- ciales, es decir, las que están en las caras. Los subíndices 1, 2, 3 corresponden á las combinaciones yz, xz, xy. Las primeras A'',, TV.,, N.^ serán tensiones ó tracciones; las segundas T^, To, T.¿ producirán deslizamientos. * '4: ^ Nos ha servido hasta aquí, para un punto cualquiera del sólido elástico, el paralelepípedo infinitamente pequeño de caras paralelas á los planos coordinados, y cuyo centro coincide con el punto en cuestión. — 436 - Pero lo hemos empleado sólo con un objeto: para buscar relaciones entre los esfuerzos elásticos alrededor de cada punto. Y hemos visto que, en efecto, existen relaciones sen- cillas y fundamentales entre las componentes de los esfuer- zos sobre las caras contiguas del paralelepípedo. Hacemos esta advertencia, porque dicho paralelepípedo, que es importantísimo y que casi pudiéramos decir que es clásico, nos ha de servir más adelante para establecer el equilibrio ó el movimiento de todos los puntos interiores del sólido de que se trate. En esta conferencia lo hemos aplicado con un objeto mucho más concreto: con el de demostrar que las nueve componentes de las nueve tensiones X, Y, Z correspondien- tes á las tres caras del triedro, paralelo, por decirlo así, á los planos coordenados, se reducen á seis: N¡^, TVo, A^3 y Ty T T Ha sido lo hecho hasta aquí una especie de simplifica- ción preliminar; y ahora pasaremos al problema general de las tensiones que antes indicamos, es decir, á determinar sus leyes de variación ó de distribución alrededor de cada punto del sólido elástico. Este será precisamente el objeto de la conferencia próxima. - 437 — XXI. — Mareómetros* y mareógrafos de sifón. Por Eduardo Mier y Miura. TEORJA DE LOS MAREÓMETROS Y MAREÓGRAFOS DE SIFÓN I. — Principio fundamental de los mareómetros y mareógrafos de sifón. El principio general en que están fundados los mareóme- tros y mareógrafos de mercurio es en su esencia el mismo en que se basan los usuales sifones, los manómetros de mercurio y otros aparatos análogos. Su manera de funcionar depende del equilibrio estático, siempre buscado, unas veces sin éxito, produciendo, por lo tanto, un movimiento, cual en los sifones sucede, y otras con él, como acontece en los ma- nómetros; equilibrio que siempre tiende á establecerse entre las masas de diversas substancias líquidas y gaseosas ence- rradas en un tubo, provisto de una ó varias curvaturas, y sometidas á la acción de la gravedad y á la expansión pro- pia, que en resumen determinan una serie de fuerzas, que buscan por su destrucción mutua el reposo aparente de la materia, ó determinan el movimiento de ésta, en los casos en que aquella compensación no se verifica. Con arreglo á ese principio general, en un tubo doble- mente encorvado, A B C D, figura 1 .'^ abierto por sus extre- tremos y que tenga llenas de mercurio parte de las ramas A B y B C, y áo. agua el resto de esta última y toda la C D, cuya extremidad se sumerge en un depósito de este líquido, tomarán las masas de agua y mercurio una posición de — 438 — equilibrio determinada, consecuencia natural del conjunto de fuerzas á que ambas están sometidas. Entre estas fuerzas figura la presión atmosférica, que em- puja en la rama A B hacia abajo y en la D C hacia arriba, pudiendo admitirse, por ahora, que se destruyan entre sí ambos efectos, toda vez que se necesitaría que existiera una gran diferencia de nivel entre la rama A B y e\ depósito de agua ó una gran distancia hori- zontal, para que los efectos de la presión atmosférica fueran sensi- blemente diferentes, y partimos del supuesto de que la parte C no llega á estar diez metros más .alta que el nivel del agua del depó- X o sito, ya que excediendo de 10,"'34 esa diferencia de nivel se produ- ciría teóricamente el vacío en la parte C. Además, en lo sucesivo, hemos de examinar detalladamente la influencia de esa diferencia de presiones. Trazando las horizontales Jii n y p q, figura 1.'', evidente es que las dos columnas de mercurio m By B nse hacen equilibrio, así como las dos de agua p C y C q, quedando la de este último líquido q D y Isl p n que también están en equi- librio. Cualquiera que sea la situación del nivel del agua, dentro de los límites ya expresados, esa última condición de equi- librio exige para verificarse que las alturas p n y q D estén en relación inversa de las densidades de ambos líquidos; así es que, suponiendo sea agua destilada á T la que empleemos en el tubo; pn 1 qD 13,6' — 439 — de .donde q D =^ 13,6 p/z; de manera que midiendo la longitud p n, determinaremos indirectamente la ^ D, y á cada variación en ésta correspon- de otra proporcional en aquélla, indicando así la posibilidad de evaluar las variaciones de nivel del agua por el estudio de las oscilaciones de la columna de mercurio. Tal es el principio en que se fundan los mareómetros y mareógrafos de sifón, en los que el agua destilada queda substituida por la del mar. Pero antes de describir estos apa- ratos conviene estudiar la influencia que la presión atmosfé- rica y los cambios de temperatura pueden tener en sus indi- caciones. 2. — Determinación de la fórmula que liga las presiones baro- métricas con el desnivel entre las superficies del mar y del mercurio. La fórmula de Laplace ó cualquiera de las derivadas de ella, que ligan la diferencia de nivel entre dos puntos con las alturas barométricas en ellos observadas, pueden servir para indagar cuál sea la influencia de la presión barométrica sobre las indicaciones de los mareógrafos de sifón. Nosotros elegiremos para estos cálculos, por lo sencilla y por sobrar la aproximación que da, para nuestro objeto, la fórmula de Babinet: D'" = 32"' (500 + / + /') ^~ en la que : D es la diferencia de nivel, /, la temperatura del mercurio en la estación inferior, /', ídem id. id. en la superior, B, la altura barométrica, en milímetros, en la estación in- ferior. - 440 — B', la altura barométrica, en milímetros, en la superior. Podremos encontrar la altura B en función de las demás cantidades deduciendo la expresión: ^_^, 32(500 + / + O + /) 32 (500 + / f /') — D ' que suponiendo igual temperatura en ambas estaciones (hi- pótesis admisible en el género de cálculo que nos ocupa) se transforma en 16000 + 64/ + D ~ 16000 + 64/- D que da para la diferencia de presiones: B ^'_ ^'í^^^^^ + ^'^f+D i\-B' ^^ V16000 + 64/-D / 16000 + 64/— Z) que de un modo general expresa, para la diferencia D de co- tas entre el nivel del agua y el del mercurio, en la rama libre, el valor de la diferencia de presiones barométricas. Para un mareógrafo dado, si Dm es el desnivel medio de las superficies líquidas ya citadas, y B'^y^m, las presiones y temperaturas medias observadas: IDjn Bm -B'n.--=Bm j^qqq ^ g^ ^^^ ^^^ ' dará la diferencia de presiones que debe aceptarse para co- rregir el aparato. 3. -Influencia de los cambios de temperatura en las indicaciones mareométricas. Para estudiar cuál sea la influencia de las temperaturas en las indicaciones mareográficas, recordemos una vez más que puede desde luego establecerse que las alturas de las — 441 — columnas de mercurio y de otro líquido, que se hacen equi- librio, están en relación inversa de las densidades, ó sea que m _ dg a dm representando m la columna de mercurio, a la de otro líqui- do y í/;„ y da las densidades correspondientes. Las densidades de un mismo líquido y las temperaturas están enlazadas por la ecuación, bien conocida, dt = dt{\-K{r~f)) en que K representa el coeficiente de dilatación; y, expre- sando por d la densidad que corresponde á la temperatura de 0°, á otra cualquiera /, se tendrá: dt = d{\ ~Kt) que, introducida en la anterior proporción, dará: m da{\-KJ) a d^{\- KJ) ' la cual expresión, aplicada al caso en que a corresponda al agua del mar, como el coeficiente de dilatación absoluta del mercurio es: Km = 0,0001797, y el del agua del mar: Ka = = 0,0004954 próximamente, partiendo del supuesto que el coeficiente de dilatación aparente del agua destilada es 0,000466, el del agua saturada de sal marina, 0,0005, y el del vidrio empleado en los mareógrafos, 0,0000254, se con- vierte en: m da (1 -0,0004954/) 1,026(1 -0,0004954/) a dm{\— 0,0001797/) 13,596 (1 - 0,0001797 /; habiendo introducido en ella además los valores de las den- sidades del mercurio y del agua de mar á 0°. Rk.v. Acad. Ciencias. — VI. — Enero, igoS. 29 - 442 - Simplificando la anterior fórmula puede establecerse ^ n n-rr^r. ^ ~ 0,0004954 / a 1 — 0,0001797/' que de un modo general expresará la influencia de las va- m naciones de / en el valor de la relación — , con suficiente a aproximación. 4.— Correcciones, por temperatura y presión, de las indicaciones mareométricas. Precedentemente hemos determinado la corrección que en sí lleva el cambio de presión barométrica 2D B — B' ^B' 16000 + 64/ -D estimada en milímetros de mercurio; é implícitamente aca- bamos de fijar la corrección por temperatura, toda vez que de la proporción escrita en el anterior párrafo se desprende que: ,„„_, 1 0,0001797/ a = mx 13,251 ' , 1—0,0004954/ en la cual igualdad indica el quebrado, que en ella figura, el valor que en cada caso habrá de adoptarse como coeficiente de corrección por temperatura. Para introducir á un mismo tiempo ambas correcciones en el cálculo, observemos que la primera no significa otra cosa, sino que siendo la presión barométrica en D, figura I."* superior á la que en A existe, la diferencia entre ambas es- taría expresada por una altura de mercurio: mr = B 16000 + 64/ — D - 443 - que contrarrestaría el exceso de presión que obra en el ex- tremo del tubo D C, resultando, en su consecuencia, que en realidad á la columna de agua de mar Q D hace equilibrio toda la 16000 + 64/ — D y convirtiendo estas alturas de mercurio en las que le co- rresponden para el agua de mar, aparecerá que: iQoc:i 1—0,0001797/ , a = m . 13,251 h 1 - 0,0004954 / 2B'D ,^^^, 1 - 0,0001797/ 1 6000 + 64 / — D 1 — 0,0004954 / expresión que permite calcular en cada caso el valor de a en función de m, teniendo en cuenta todo género de correccio- nes y convirtiendo el mareómetro descripto en un aparato de precisión muy superior á la conseguida con los demás mareógrafos. 5. — Consideraciones acerca de la importancia que debe darse á las correcciones por temperatura y presión. Habría de aplicarse á las observaciones de los mareógra- fos ordinarios, para hacerlas comparables con las que pro- porcionan los de mercurio, una corrección por temperatura; pero mucho más compleja que la buscada por nosotros, toda vez que habría de tenerse en cuenta el aumento de volumen del flotante y su consiguiente mayor emergencia; la dilatación de la cadena que le sustenta y la del cordón, generalmente metálico, que hace avanzar ó retroceder el lápiz. A esas correcciones habría de agregarse otra muy impor- - 444 — tante que depende de la gran inercia de los mecanismos que constituyen los mareógrafos ordinarios y que falsea, en can- tidades de importancia, las indicaciones mareográficas; pu- diendo citar, en apoyo de esta afirmación, que las observa- ciones hechas en el Instituto Geográfico, en mareógrafos nuevos y perfectamente engrasados, llegaron á acusar, como más adelante detallaremos, errores de algunos centimetros en las indicaciones del nivel de las aguas. No es que pretendamos que se empleen los mareógrafos de mercurio, introduciendo en ellos toda suerte de correccio- nes, incluso las de graduación y dilatación de las reglas en que se hicieren las lecturas, y las que en sí llevan las alturas de los meniscos, como tampoco censuramos que no se tomen en cuenta las correcciones que hemos enunciado y otras que por especificar quedan, que á los mareógrafos ordinarios se refieren. Tan sólo queríamos hacer notar que el aparato des- cripto puede considerarse como de gran precisión, ya que las cantidades que en él juegan, cabe determinarlas en todos los casos con extremada aproximación, toda vez que se trata de densidades de líquidos muy estudiados, tales como el agua y el mercurio, las cuales pueden conocerse por el estu- dio de las temperaturas variables á que se hallen; estudio que da directamente los volúmenes y densidades, sabiendo de antemano lo que unas y otras valen á la temperatura inicial de O" y el coeficiente de dilatación de las diversas substancias que entran en la composición del aparato; y en cuanto á la corrección por la presión barométrica, basta con una aproxi- mación grosera, dada directamente por el aparato, en el valor de D, para obtener resultados sobradamente satisfactorios. Si entráramos en este camino y le siguiéramos, tratando de tomar en cuenta los efectos del calor, los de la presión atmos- férica y la compresibilidad del mercurio y aun la del agua, etcétera, etc., utilizando los estudios que acerca de estos pun- tos abundan, llegaríamos, sin duda alguna, á fijar todas las co- rrecciones que las indicaciones del aparato habían de exigir; - 445 - pero esto, que quizás se intente en lo porvenir, sería prema- turo actualmente, en que el fenómeno de las mareas se estu- dia sin poder hacer intervenir en él entidades de mayor im- portancia que las apuntadas, y usando por todas partes, para medirlas, aparatos de precisión inferior á la del que pro- ponemos. El estudio de las mareas puede y debe dividirse en dos grupos: estudio directo de sus fluctuaciones y examen razo- nado de las causas que las producen; grupos que, analizados paralelamente, pueden permitir quizás algún día sujetar rigu- rosamente al análisis el fenómeno en cuestión, pero que hoy por hoy no ofrecen base suficiente para desarrollar una teo- ría completa. Para no extender demasiado este escrito, citemos sola- mente uno de los elementos que en el segundo grupo inter- vienen, y observemos que las leyes que rigen las corrientes atmosféricas, si bien muy estudiadas, no están lo suficiente- mente conocidas y aún menos conocidos y estudiados son los efectos del viento sobre las aguas. Así, por ejemplo, es com.ún preocuparse mucho de investigar cuál sea la compo- nente horizontal de la velocidad del aire y descuidar por completo la componente vertical, que sin duda alguna tiene mayor importancia en los cambios del nivel del agua que aquella otra, por más que sea grande la de ésta; y no insis- timos más acerca de estos asuntos ya tratados precedente- mente por nosotros. El estudio directo de las mareas se lleva á cabo actual- mente por medio de aparatos, en los que, como ya hemos indicado, no se introducen multitud de correcciones, difíciles muchas de ellas de determinar y que de tomarse en cuenta convertirían los trabajos mareográficos en inagotable tarea de calculista, cuyo resultado no compensaría la fatiga pro- ducida, teniendo sobre todo presente la naturaleza del fenó- meno que se analiza. Decimos esto, porque si las variaciones del nivel del mar — 446 - fuesen de tan escasa cuantía, cual lo son las de los valores de ^ ó de los coeficientes de dilatación, por ejemplo, en su lugar estaría qu6s imitando los estudios que á estos asuntos se refieren, se aquilatara hasta la más leve causa de error, pequeñísima en si, aunque muy grande, con relación á la variación estudiada; pero al medir magnitudes de tamaños tan variables que discrepan en metros unas de otras, aun en un mismo lugar, y que varían sin causas bien conocidas, y produciendo siempre sus cambios de una manera brusca y al parecer caprichosa, ya que las leyes que á estas mutacio- nes rigen son desconocidas, ¿no sería poco serio introducir correcciones, que pueden llegar á valer unos cuantos micro- nes, algunas de ellas obtenidas á costa de ímproba fatiga y jamás con absoluta certeza? Más cuerdo parece, en el estado actual de la ciencia, en vez de medir ciertos errores para descubrir sus leyes, consi- derarlos como casuales y dejar encomendada á su propia combinación la tarea de destruir sus efectos, por la repeti- ción grande de las observaciones, las cuales, sin gran gasto y con poquísimo trabajo, pueden acumularse en grandísimas cantidades; que ya llegará día en que bien se desista de medir lo eternamente variable, ó bien se aquilaten y estudien las causas y los efectos de modo tan profundo que se justi- fique la necesidad de fijar las leyes que á ciertos errores rigen. En los mareógrafos ordinarios podemos señalar como cau- sas de error de sus indicaciones, el movimiento que el agua tiene con relación á el tubo que la conduce al pozo, indicando exceso de alturas! hacia ella se dirige ó dando una elevación menor que la correspondiente á las aguas en reposo, según el movimiento sea en dirección del pozo ó contraria á éste; el estado variable del interior del tubo; la salazón, ó mejor dicho, la densidad del agua; los efectos del calor y de las in- crustaciones sobre el flotante; las dilataciones y contraccio- nes de la cadena de que aquél pende y las de la polea sobre - 447 — que obra; los efectos del calor sobre la rueda que da movi- miento al cordón del lápiz y los que sobre este mismo cordón produce; los errores en la colocación del lápiz y del papel y los propios del movimiento cronométrico; añadiéndose á to- dos éstos, y á otros que por brevedad omitimos, el muy consi- derable debido á la inercia mecánica de tan pesado sistema- Si cada una de estas causas de error hubiera de tenerse en cuenta, sería tarea interminable determinar una sola cota del nivel del mar, y siguiendo el camino de procurar eli- minar la mayor cantidad de errores que se pueda por el modo de ser de los aparatos de medida, nos parece conveniente el uso de los nuevos mareógrafos, menos erróneos é incompa- rablemente más baratos, dejando encomendada á la multipli- cidad de las observaciones la eliminación de los errores. Así, pues, al establecer un mareógrafo de sifón en una lo- calidad determinada, dejándose de enojosos cálculos y de mi- nuciosas observaciones, creemos que debe asignarse un valor .oocri 1 — 0.0001797/ constante para el numero 13.251— — procuran- ^ 1 — 0.0004954 / do tomar el promedio de los que verosímilmente pueda tener, haciendo lo propio con la corrección que en sí llevan las pre- siones barométricas. 6. — Cálculo aproximado de las correcciones para los mareómetros y mareógrafos del Mediterráneo. Explicado el principio en que se fundan los mareógrafos de sifón, y deducidas las fórmulas que permiten calcular la influencia que en sus indicaciones puedan tener, tanto los cambios de temperaturas, como los de las presiones baromé- tricas, funciones directas estos últimos de las oscilaciones del nivel de las aguas del mar, procede desde luego, al tratar de aplicar aquellos aparatos á las costas de España, estudiar cuáles son los valores que en ellas tienen esos diversos fac- tores que acabamos de enumerar, y cómo los cálculos que - 448 — vamos á desarrollar no requieren precisión exagerada, toma- remos, solamente como base, los datos que se refieren á los mareógrafos y estaciones meteorológicas ya establecidos por el Instituto Geográfico en Cádiz, Santander y Alicante. En el mareógrafo de este último punto, que lleva funcio- nando diez y nueve aijos, la menor cota observada del nivel del mares de — 3/'8648, y la mayor, — 2,'"8093, resultan- do, en su consecuencia, una máxima oscilación de 1,'"0555. Por otra parte, la cota mínima de las aguas del mar en Cádiz es — 5, '"0105, y la máxima, — O, '"5465; mientras que Santander tienen los valores — 5, '"472 y -{- 0,'"081, los cua- les acusan una oscilación máxima en este punto de 5,'" 553 y de 4/" 4640 en Cádiz. De los anteriores datos puede deducirse, como base para el establecimiento de mareógrafos, que sobrará con contar para el Mediterráneo con oscilaciones totales de 3 metros y de 6 metros para el Atlántico, siendo conveniente adoptar valores algo mayores que 3 metros para los mareógrafos que hubieran de establecerse cerca del estrecho de Gibraltar y aún más crecidos para aquellos aparatos que en este mismo se proyectara colocar. En cuanto á las temperaturas y presiones barométricas extremas, que hayan de tomarse en cuenta para la instala- ción de los mareógrafos de sifón, no indicaremos más que lo estrictamente indispensable, limitándonos á presentar los estudios previos que pueden servir de ejemplo para cual- quiera que se proyecte. En Alicante, las presiones barométricas y temperaturas durante los años en que se han observado son: Temperatura máxima 40'',8 ídem mínima 0°,6 Altura barométrica máxima 778"i>",19 Ídem id. mínima 739i"iii,94 Con estos números y los precedentemente expuestos, reía- - 449 — ti VOS á la oscilación de las aguas de los mares, puede estu- diarse la influencia de la presión barométrica en los mareó- grafos de mercurio que se establezcan en Alicante, teniendo además presente que siendo la cota del piso bajo en que está situado el mareógrafo — r",658, con relación al cero provi- sional N.P.l, puede suponerse que la superficie libre del mercurio tiene aproximadamente la cota de —1.'" Para este mareógrafo puede hacerse el cálculo con mayor precisión, como es natural, que cuando se trate de la instala- ción del aparato en puntos en que se desconozca la varia- ción de altura de las aguas; pero supondremos, para discutir el asunto de un modo general, que las aguas pueden tomar todas las cotas comprendidas entre — 5 y —2m, en lugar de -• 3,86 y — 2,81 de las que es de esperar que no pasen en mucho; resultando así un valor mínimo para D de 1 metro y otro máximo de 4. Tenemos, por lo tanto, como valores que en general po- drán aplicarse á casi toda la costa del Mediterráneo los si- guientes: D = 2,'"5 í = 20° B' = 759. III m que no son los valores medios que á Alicante corresponden, sino los promedios aproximados de los extremos, por no querernos situar en condiciones ventajosas, que no hallaríamos en puntos distintos de Alicante, puerto en el cual se conocen esos valores medios que á temperaturas, presiones y nive- les del agua corresponden, y que no se tendrían á mano en otras localidades. Para esos valores resultan, designando, para abreviar, por Cy P las fracciones que á continuación se indican. 1 — 0 0001797 t C = ^>^^^"'" ^ 1 00638 13,251 x C = 13,33554 1 - 0,0004954 t - 450 — P= ^^ =0,220 13,251 xCxP=2'"'",93 16000 + 64 /-D a = mx 13,336 + 2""",33 = /7zxl 3,336 + 0'",003 próxima- mente. Expresión esta última que puede aplicarse en muchos casos sin cometer errores de importancia y que facilita los cálculos, puesto que basta multiplicar la diferencia de nivel ni, observada en el mercurio, entre las dos ramas del tubo en u, por el número constante 13,335 y añadirle la correc- ción invariable 3""". Sin embargo, no exige grandes molestias obtener una precisión mucho mayor, y tan sólo creemos oportuno apli- car constantemente la corrección -f O, "'003, deduciendo en cada caso el coeficiente, que podemos llamar escala, sin gran impropiedad, por el que ha de multiplicarse la diferencia de nivel m, observada entre las superficies de mercurio. Y como en asuntos científicos la opinión particular de poco ó nada vale, probemos que las variaciones que sufre la corrección por presiones barométricas son completamente despreciables, y que no lo son, en cambio, las que la escala experimenta. Como es natural, para realizar ese objeto hemos de partir de datos que correspondan á un caso extremo. Desde luego, el mayor valor de P, y, por lo tanto, de la corrección por altura barométrica, corresponde al mínimo de / y á los máximos de D y B'. Aceptemos que: D = 4m B' = 780 mm t = — r y con esos valores deduciremos: p = ±tL^ = 0,'"'"39, 16000 + 64/ -D - 451 — C = '-^'^^^™T^ = 0,99968, 1 — 0,0004954 t C. 13,251 = 13,247 P. C. 13,251 =4,'"'"17 ap = m, 13,247 4- 0,'"00417. Los dos valores que para a comparamos restados, miem- bro á miembro, dan: a — ap = m (13,336 - 13,247) + (0,'"003 — 0,00417) = /72. 0,089-0,00117, y como á una diferencia de nivel en el mercurio de 0,'"4 corresponden más de 5 m de altura en la columna de agua, seguramente puede escribirse que, á lo más, fl __ a^ < 0,4 X 0,089 — 0,001 17 = 0,'"035. Tan sólo con hacer / = O, conservando los valores máxi- mos para D y B' antes aceptados, ya se obtiene: C=\ 13,251 xC= 13,251 P = 0,"""39 P. C. 13.251 =5,'"'"168 ap = m. 13.251 -f 0,'"005168 a — ap = m (13.336 ~ 13.251) + (0,003 — 0,005168) = m 0,085 — 0,0022 < 0,'''033 Basta con estos dos ejemplos para dejar demostrado que, si no exige grandes complicaciones de cálculo, conviene introducir la corrección por temperatura, sin que esto indi- que que aun sin ella pudieran usarse los mareógrafos de mercurio, dados su objeto, la naturaleza de la cantidad me- dida, la compensación que entre los errores se establece y — 452 - el limite, no superior al de los mareógrafos ordinarios, que para estos últimos hemos encontrado; pero como facilísima- mente puede precisarse esa corrección y anular casi el error correspondiente, así lo haremos. En cuanto á la corrección debida á las presiones baromé- tricas, cuerdo parece adoptar para Alicante la de 3 mm.; ya que, aun en el caso extremo que hemos analizado, llega á pro- ducir el error de I,"'"'!?, pudiendo asegurarse que esos erro- res de variable signo no llegan en la casi totalidad de los casos á valer más que unas cuantas décimas de milímetro de agua. No es tarea difícil calcular una tabla de valores para la escala, según la temperatura sea, y así lo hemos hecho en la que sigue: Temperatura. 1 — o,(um97 t 1 — 0,0004954 t Escalas: e=- CX 13,251 - 10° - 5° 0° 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Diferencias. 0,99686 . ¡ 0,00157 0,99843 0,00157 1 0,00158 1,00158 0,00159 1,00317 0,00160 1,00477 0,00161 1,00638 ¡ > 0,00161 1,00799 0,00162 1,00961 0,00163 1,01124 } 0,00164 1,01288 0,00165 1,01453 0,00166 1,01619 0,00167 1,01786 ^ 13,209 13,230 13,251 13,272 13,293 13,314 13,336 13,357 13,378 13,400 13,422 13,444 13,466 ' 13,488 Diferencias. 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,022 0,021 0,021 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 — 453 — De esta tabla hemos obtenido, por interpolaciones, la que sigue Tempe- raturas. Escalas. Tem- pe- raturas Escalas. Tem- pe- raturas Escalas. Tem- pe- raturas Escalas^ Tem- pe- raturas Escalas. - 10° 13,209 4 13,268 18 13,327 32 13,387 46 13,448 - 9 13,213 5 13,272 19 13,332 33 13,391 47 13,453 - 8 13,217 6 13,276 20 13,336 34 13,396 48 13,457 - 7 13,222 7 13,280 21 13,340 35 13,400 49 13,462 - 6 13,226 8 13,285 22 13,344 36 13,404 50 13,466 - 5 13,230 9 13,289 23 13,349 37 13,409 51 13,470 - 4 13,234 10 13,293 24 13,353 38 13,413 52 13,475 - 3 13,238 11 13,297 25 13,357 39 13,418 53 13,479 - 2 13,243 12 13,301 26 13,361 40 13,422 54 13,484 - 1 13,247 13 13,306 27 13,365 41 13,426 55 13,488 0 13,251 14 13,310 28 13,370 42 13,431 + 1 13,255 15 13,314 29 13,374 43 13,435 + 2 13,259 16 13,318 30 13,378 44 13,440 + 3 13,264 17 : 13,323 31 13,382 45 13,444 Usando la tabla precedentemente inserta, de manejo sen- cillísimo, se obtendrán los valores que corresponden á las alturas q D (fig. 1) de las columnas de agua, aplicando en Alicante y en los demás puntos de la mayor parte de la costa del Mediterráneo la corrección aditiva + 0"',003, por la presión barométrica, de la cual claro es que puede y debe prescindirse para el simple cálculo de oscilaciones, en que había de figurar á la vez, y con el mismo signo, en ambos términos de las restas que las producen. — 454 - XXII.— Estudio experimental de algunas propieflsdes del grisú. Por Enrique Hauser. Determinación del hidrógeno en el grisú. La determinación del hidrógeno, en las muestras de gas antes referidas, con la exactitud y confianza necesarias en los resultados obtenidos para que estén libres de las obje- ciones hechas á los análisis de otros experimentadores, han ocupado principalmente mi atención. Aun sin tener en cuen- ta los errores que por causas químicas pueden ocurrir en la determinación del hidrógeno en el grisú por medio del eudiómetro, y que expondré en breve, al mismo tiempo que el análisis del grisú, hay que tener en cuenta que siendo necesario para la combustión eudiométrica del grisú diluirle al menos en diez veces su volumen de aire, resulta que, aunque el volumen de gas sea suficiente para la determina- ción exacta del metano, es muy pequeño para hallar con cierta exactitud la cantidad de hidrógeno que dicho gas pueda contener. En efecto; el valor del hidrógeno resulta, en una mezcla de este gas con metano, del conocimiento más ó menos exacto de la contracción habida y del volumen de ácido carbónico medido, conforme á la siguiente fórmula: //= — (Cont 2 COA 3 Ahora bien; si en vez de los valores teóricos de la con- tracción, los introducimos en la fórmula con sus errores, que - 455 - pueden ser para éstas medidas lo mismo aditivos que sus- tractivos, tendremos, llamando e al error posible, 2 H = - (Cont ±e-2{C0,±é)) = = |(Cont- 2C0,) + |(±e:íi2e); y combinando entre sí los errores, según su signo, tendre- mos para H los cuatro valores posibles que siguen: //= 1 (Cont- 2 CO,)-f ^ \ + 2e Veamos ahora cuál es el valor probable del error máxi- mo operando en buenas condiciones: como los errores par- ciales de medida, que por una ú otra causa producen el error total, han de ser reducidos finalmente de alturas á volú- menes, haré en cada caso la reducción correspondiente, suponiendo que se trata de un volumen medio de gas de 100 ce, y que la parte estrecha de la bureta en que se opera se halla graduada en décimas de centímetro, pudiendo apre- ciarse á la vista la décima de división que tiene un milíme- tro de longitud. - 456 ERRORES En altura. En volúmenes por ICK) ce. P^ i Por visual defectuosa 0,1 mm. Aq. ó Hg. 0,01 ce. LjQ lectura... ,-. . . , , , ' Por variación de la forma del menisco. 0,1 mm. Aq. ó Hg. 0,01 ce. Por diferencia inobservada de tem- 1"C peratura (variación corres- pondiente en la presión del gas y del vapor de agua entre 10 y 20" C, sometido á la presión me- dia de 710 mm. en Madrid) 0,17 mm, Hg. 0,024 ce. Por variación inobservada de la altura barométrica -^ mm .... 0,05 mm. Hg. 0,007 ce. Total 0,051 ce. es decir, de media milésima, partiendo de un volumen ini- cial de 100 ce, valor que concuerda con los resultados de la práctica. Si introducimos estos valores en la fórmula antes indi- cada, tendremos: í + 0,102 2 \ + 0.034 // = -- (Cont- 2 C0.)4-J^ 3 i — 0.034 -0.102 es decir, que si el volumen de hidrógeno no es mayor de 0,1 ce, valor que, referido al volumen del grisú (unos 9 ce), representa un contenido de 1,1 por 100, podría darse el caso de terminar el análisis eudiométrico sin sospechar la exis- tencia del hidrógeno, si los errores cometidos no han lle- gado á compensarse más ó menos parcialmente. Igual inconveniente habríamos encontrado haciendo la combustión lenta por medio del tubo capilar de platino, se- gún Drehschmitd. Mayor exactitud para la determinación del - 457 — hidrógeno, que por su combustión rápida en el eudiómetro, podría obtenerse, para la combustión fraccionada de dicho gas en presencia de un exceso de aire, por medio de la es- ponja ó negro de paladio, según el primer método de Hem- pel, ó por el amianto paladiado, según Winkler, pudiendo contener en dichos procedimientos hasta 16 por 100 de grisú hidrogenado la mezcla gaseosa combustible. Por el método de Drehschmitd, empleando oxígeno en vez de aire, ó el pro- cedimiento de Dennis & Hopkins, fundado en la combustión gradual de ambos gases por la acción de una espiral incan- descente de platino en presencia de un exceso de oxígeno, podía emplearse un volumen de grisú equivalente al 25 por 100 (*) del volumen total de mezcla (**). Si no existiera otro procedimiento para obtener el fin deseado, tan exacto y rápi- do como poco recomendado, cual es el que voy á describir ahora, me habría decidido por alguno de estos tres últimos métodos; pero considerando la importancia que habría en encontrar un procedimiento que nos diese el contenido de hidrógeno del grisú, simplemente por absorción, como se hace para la determinación del ácido carbónico, pudiendo emplear para ello, desde luego, 100 ce. de grisú ó más en cada operación, sin diluirlo previamente con ningún gas, se comprenderá que yo ensayase con insistencia el segundo mé_ todo de Hempel que ofrecía dichos resultados, y que por no hallarle descripto en otro libro más que en el de su autor, ha- bía para dudar de su bondad ó de la facilidad de su aplica- ción; y, en efecto, por su estudio experimental, he encontrado que, para determinar grandes contenidos de hidrógeno (por ejemplo, superior á 15 por 100), son preferibles á este proce- dimiento, por las causas que luego indicaré, los anteriormen- (*) Supongo al grisú pobre en hidrógeno. (**) La aproximación, para la determinación del hidrógeno en el grisú, no aumenta al concentrar las mezclas, si no se tiene en cuenta la disminución rápida del volumen molecular del ácido carbónico al aumentar la presión. Este punto será tratado en la próxima nota. Rkv. Acad. Ciencias. —VI. -Eiiero, luoS. 30 — 458 - te citados; pero para pequeñas cantidades de iiidrógeno no he encontrado ninguno que le iguale. Este procedimiento se funda en la propiedad que tiene el paladio de poder absor- ber hasta unas 800 veces de hidrógeno cuando se halla en condiciones apropiadas, que son las que han sido determi- nadas por W. Hempel (*). Si hacemos pasar, al efecto, una mezcla de hidrógeno, metano y nitrógeno sobre paladio me- tálico, no observaremos ningún fenómeno; pero si dicho pa- ladio se encuentra en estado de esponja y ha sido previa- mente cubierto de una delgada capa de subóxido del mismo metal, por su calcinación al aire, entonces se verifica una reacción enérgica, por lo cual el hidrógeno desaparece por completo si el contacto con el paladio ha sido suficientemen- te íntimo. Si después de terminada la reacción, lo cual se co- noce fácilmente por el enfriamiente del metal, hacemos pasar una corriente de aire sobre él, se quemará por completo el hidrógeno absorbido y regenerado el subóxido de paladio, quedando así dispuesto el paladio para una nueva absorción, que puede repetirse un número indefinido de veces (**). Esta reacción, como vemos, es parcialmente una combus- tión, y en parte, una oclusión. Igual propiedad que la es- ponja de paladio calcinada al rojo naciente, tiene el negro de paladio obtenido por reducción por el alcohol de una solu- ción fuertemente alcalina de cloruro paladioso, por ser este negro de paladio un compuesto oxigenado ó una mezcla de paladio y óxido de dicho metal. Veamos ahora cómo se opera en la práctica. El paladio (*) Metliods of Gas Analysis by, Dr. Waltlier Heinpel. Trad. in- glesa, pág. 181. (**) Esta experiencia no debe hacerse con el tubo de paladio que se emplea para la determinación del hidrógeno; pues si la tempe- ratura se eleva mucho en una ú otra reacción, puede fundirse en va- rios puntos el paladio, como he podido observar luego al microsco- pio, disminuyendo entonces mucho su poder absorbente de hidróge- no. El negro de paladio, saturado de hidrógeno, es de color gris, que pasa á negro azulado al oxidarlo. - 459 negro, ó su esponja, se introducen, en forma de granulos de V2 á 2 mm. de diámetro (no en polvo, que dificultaría mucho el paso del gas) (*), en un tubo en U de unos 4 mm. de diá- metro interior y unos 20 cm. de longitud total, en el que pueden caber fácilmente de 3 á 4 gramos; con objeto de evi- tar el acceso posible de la humedad de la bureta y de la pi- peta de trabajo al paladio, va éste protegido en cada extremo por un taponcito flojo de amianto de pró- ximamente 1 centímetro de lon- gitud. Los extremos de este tubo pueden soldarse á unos tubos capilares, doblemente acodados, que le han de poner en comuni- cación con los receptáculos de gas; pero como puede ser con- veniente, en ciertos casos, sacar el paladio del tubo para lavarle ó calcinarle, prefiero adoptar la disposición indicada en la figu- ra 1, en la cual se ve que los tu- bos capilares penetran en el in- terior del tubo U hasta tocar el p¡gupa ,,a tapón de amianto a, y van uni- dos ambos al extremo por medio de un tubo de goma (**). (*) Para granular el negro de paladio, que se halla, generalmente, en el comercio, en forma de polvo fino, basta humedecerlo, en porcio- nes de 1 gramo, sobre la tapa de un crisol de platino; moverlo con una punta de platino para hacer bolas, y después de secar al baño-, maría, calentar gradualmente la tapa hasta el rojo naciente y no más, dejándola enfriar despacio. Para romper los granulos gruesos, sin hacer mucho polvo, debe emplearse una punta fina de platino iridia- do, ó, en su defecto, la de un cortaplumas; después se le criba por un tamiz fino, por ejemplo, de 440 mallas por cm'-. El negro de paladio," una vez calcinado, se suelda difícilmente á sí mismo, aun comprimién-' dolé previamente. (**) Crea que en, vez de poner el tubo, en U, de cristal, podía em ■ - 460 — El paladio ha de conservarse seco dentro del tubo, sin pegarse á las paredes del mismo. Preparado así el tubo de paladio, se coloca dentro de un vaso V y en conexión de un lado con la bureta B que contiene el gas, y del otro con la pipeta P, que ha de contenerle durante las pasadas sucesi- vas (fig. 2). La bureta puede contener agua corriente, agua salada o mercurio (*). La pipeta P puede contener agua con 25 por 100 de ácido sulfúrico, agitada previamente con grisú hidro- genado para saturarla de dichos gases. Si han de hacerse muchos ensayos de grisú por hidrógeno, conviene que la bureta esté terminada por una llave de doble vía, /; una para introducir el gas en ella, y la otra para conducirle desde la bureta á través del tubo de paladio. Por lo demás, es casi in- útil añadir que, si se desea operar con exactitud, es indispen- sable que la bureta tenga una envolvente de agua, e, de pre- ferencia con circulación, y con termómetro, /, en que se apre- cien décimas de grado. Dispuestas así las cosas, se comprende fácilmente el modo de operar; y una vez hecha la lectura del volumen de gas contenido en la bureta B, gas que debe privarse previamente de ácido carbónico, oxígeno y óxido de carbono (**), por las razones que luego indicaré, se vierte agua á 100° en el vaso v, que rodea al tubo con paladio, sin que aquélla llegue á mo- jar los tubos de goma de éste, haciendo circular en seguida, y lentamente, el gas á través de dicho tubo, pasándole al me- nos tres veces en cada sentido; el agua caliente tiene por objeto iniciar la reacción, hacer que termine rápidamente picarse con ventaja un tubo de cuarzo, para evitar roturas por las variaciones rápidas de temperatura á que está sometido. (*) No conviene emplear en esta bureta agua sulfúrica que pudie- ra reaccionar sobre el pirogalato potásico ó la potasa de los tubos de absorción, dando lugar á un desprendimiento de ácido carbónico que conducida á errores y dudas sobre el procedimiento. (**) O en cantidad inferior, este último, á 0,5 por 100. — 461 — (pues ya empieza el frío) é impedir que la temperatura del tubo exceda de la debida y tuviera entonces lugar la com- Flgura Z." bustión de parte del grisú. Terminada esta primera parte de la operación, se substituye el agua caliente por agua á la temperatura de la habitación, y se hace pasar el gas todavía - 462 — un par de veces á través del tubo con paladio para enfriarle por completo, evitándose así, además, el calentamiento exce- sivo del agua de la envolvente (si no es de circulación). Hecho esto, y al terminar el segundo pase, se dejan todavía algunos centímetros cúbicos de agua en la pipeta P, para evitar que, por una contracción imprevista, pase agua de esta pipeta al tubo con paladio; y cuando se ve que el gas que hay en la bureta no se contrae más, entonces se hace pasar el resto del gas á ésta, haciendo la lectura definitiva. Respecto al modo de hacer las correcciones de temperatura y presión, ya hablaré en otra nota al ocuparme del análisis eudiométrico del grisú. De las precauciones que hay que observar para obtener resultados exactos y comparables, he de decir lo siguiente: en primer término, hay que determinar el volumen del espa- cio vacío del tubo de paladio, y para ello recomienda Hempel elevar 91" su temperatura, al mismo tiempo que, cerrado por un extremo, comunica por el otro con una bureta auxiliar gra- duada llena de agua; como el aumento de volumen del gas de 9 á 100° C, es de un tercio de su contenido, y en cambio, el gas medido en la bureta auxiliar está á la temperatura ordinaria, su volumen es sólo Vi x Vs de el del tubo, ó sea Vi del volumen de éste. Para hacer la determinación por este medio, es ne- cesario que el tubo con paladio esté perfectamente seco, cosa no siempre fácil de disponer en cualquier instante, si ha sido ya usado. Por esta causa, y por el error que siempre produce la desigualdad de temperatura entre las distintas partes del tubo, empleo de preferencia el siguiente método en que ope- ro á temperatura constante y presión variable. Para ello, el tubo de paladio ha de estar exento de gases ocluidos, lo cual es fácil de conseguir haciendo pasar por él, mientras está caliente á 100", una corriente lenta de aire, ó" tres ó cuatro veces el contenido de la bureta llena de aire hasta que no se observe en él contracción; hecho esto, se substituye el agua caliente del vaso por agua á la temperatura de la habitación. — 463 — y cerrando el tubo por un extremo, se hace comunicar el otro con una bureta de Hempel llena de mercurio, y produciendo en ésta cierta depresión (por ejemplo, 30 cm.), que llamare- mos h, se mide el volumen v, que el aire ocupa en la bureta; y tomando nota de la altura barométrica H en ese instante y de la temperatura ambiente para conocer la tensión del vapor de agua, /, podemos en seguida calcular el volumen x del vacío del tubo de paladio. En efecto; por la ley de Boyle & Mariote, tenemos (X + y) (//-/z-/) = x (//-/); de donde H^h-f\ x = v h Las precauciones de orden químico que hay que observar en este procedimiento son las siguientes: 1." La muestra de gas que se ensaya no ha de contener ni óxido de carbono ni vapores clorhídricos (*), como tam- poco gran cantidad de vapores de bencina ó alcohol; esto lo explica Hempel considerando que estos gases tienen más afinidad por el oxígeno del óxido de paladio que el hidróge- no y debilitan la acción de dicho cuerpo antes que empiece su reacción con el hidrógeno. El metano, etileno, ácido car- bónico y nitrógeno son indiferentes á la temperatura en que se opera, así como el vapor de agua é indicios de amoníaco, 2." Es de importancia para la exactitud, que el gas que se analiza no contenga oxígeno en cantidad prácticamente apreciable, y esto por causa de varios fenómenos que pue- den ocurrir. a) Si el gas no tuviera hidrógeno, y el paladio, por ha- berlo usado antes con un gas hidrogenado, contuviese ocluí- (*) Según Hempel, el ácido clorhídrico, que tiene efecto nocivo sobre el paladio en esponja, es inactivo para el negro de paladio. - 464 - do hidrógeno, éste se quemaría total ó parcialmente con el oxígeno del gas, y habría una concentración sin haber hidró- geno; esto se evita fácilmente si, al terminar el análisis de un gas hidrogenado, se llena la bureta de aire, que se hace pa- sar en caliente por el tubo de paladio hasta que no se pro- duzca contracción. b) Si por el tubo de paladio, hallándose libre de hidró- geno, hacemos pasar un gas hidrogenado, con exceso de oxígeno, todo el hidrógeno se quemará, y entonces la can- tidad de oxígeno existente será dos tercios de la contracción y no el valor de ésta, exponiéndonos á un error. c) Si el oxigeno existe en cantidad no excesiva con re- lación al hidrógeno (*), éste encuentra más facilidad en oxi- darse por el óxido de paladio de la esponja, que está más condensado, que por el del aire, y como el volumen de ese oxígeno es prácticamente nulo, el del hidrógeno será mayor que los dos tercios de la contracción medida, pudiendo que- dar oxígeno sobrante á pesar de estar en defecto, como he podido comprobar en algún caso. d) Si hay muy poco oxígeno con relación al hidrógeno ó al paladio está muy hidrogenado, éste quemará todo el oxí- geno presente, según (a), además de absorber el hidrógeno existente, y la contracción será mayor que el volumen de hi- drógeno, sin guardar relación determinada. e) Si existe bastante oxígeno con mucho hidrógeno y poco metano y los granulos de paladio son demasiado grue- sos, la reacción podrá ser demasiado intensa en su interior, excediendo el calor del rojo, y quemarse un poco de grisú si el enfriamiento del tubo no resulta suficiente. Este error pue- (*) Hempel cree que el oxígeno se quema completamente en todo caso si existe hidrógeno suficiente para ello; en mi opinión, la com- bustión completa del oxígeno depende, no sólo de la cantidad de hi- drógeno existente, sino del mayor poder ocluyente del paladio em- pleado (que es el que hace combinarse al hidrógeno con el oxigeno gaseoso), con relación al poder oxidante del óxido de paladio que contiene. — 465 - de evitarse fácilmente pasando primero lentamente el gas por el tubo de paladio rodeado de agua fría hasta que se haya absorbido la mayor parte del hidrógeno, y poniendo después el agua caliente para continuar la absorción. Vemos por esto los variados errores á que puede condu- cirnos la presencia del oxígeno, que es muy fácil evitar ab- sorbiéndole previamente el análisis. ^ Esta absorción del oxígeno se puede hacer por el piroga- lato potásico si tenemos la precaución de que este reactivo absorbente se halle á unos 30° C, la cual es fácil de conse- guir, teniéndole en invierno próximo á una estufa, y en cual- quier tiempo cubriendo el tubo de absorción por una peque- ña manta, eléctricamente caldeada (*). También puede hacerse la absorción del oxígeno por el hidrosulfito sódico, según Franzen (**), con más facilidad y rapidez que en el pirogalato potásico. El fósforo no es recomendable para absorber el oxígeno (*) El pirogalato potásico que empleo, lo preparo conforme á la fórmula de Hempel: ^ i Potasa á la cal ^fj'^-\p.e=lfi6 = 57°Be. ) Agua 80 — ) o i Acido pirogálico (pirogalol).. 5 grs. I Agua 15 — Se introduce primero en la bureta por aspiración la solución de po- tasa y luego la de ácido pirogálico. (**) Esta disolución absorbente se prepara mezclando Hidrosulfito sódico 30 grs. Agua 150 ce. Lejía de potasa cáustica 24 ce. , á 1,43 p . e = 43,5° Be. El objeto de la potasa es facilitar la conservación del reactivo y disminuir un poco su energía desoxidante. Esta disolución debe prepararse en un frasco cerrado, echando pri- mero el agua alcalinizada, que debe llenarlo casi por completo, y lue- go el hidrosulfito en polvo, tapando bien en seguida y agitando para disolverlo; hecho esto, se substituye el tapón del frasco por otro de — 466 — en pequeña cantidad á menor temperatura de 14° C. y en pre- sencia de los hidrocarburos que pueden acompañar al grisú. Todos estos reactivos absorbentes hay que saturarlos de gri- sú hidrogenado antes de usarlos. Si se quiere evitar en absoluto la presencia del oxígeno en la bureta, conviene dejar en el tubo de paladio y capilares adjuntos el residuo gaseoso de la operación anterior. Para juzgar de la exactitud de este método, baste decir que en una mezcla de grisú puro, desoxigenado, no ha- biendo obtenido contracción alguna en el análisis, por no contener hidrógeno, añadí entonces V2 ce. de este gas puro, pudiendo observar, después de los pases ne- cesarios, una contracción de ^/o ce. (*). Cuando se añade hidrógeno para cercio- rarse del estado del paladio, es necesario de- jar la mitad del gas ensayado en la pipeta P mientras se añade el hidrógeno en la bureta B por la otra vía de la llave /, haciendo des- pués pasar el gas dejado en la pipeta para mezclar bien el hidrógeno introducido. Si en vez de operar así, introdujéramos el hidrógeno con la bu- reta llena de gas, aquél pasaría casi puro sobre el pala- dio sin estar diluido en el gas de la bureta por quedar en la parte alta de la misma, y, por lo tanto, al ser absor- bido por aquél no habríamos comprobado su poder de absor- ción sobre el hidrógeno diluido. La duración de uno de éstos análisis por hidrógeno con absorción de oxígeno é iguala- ción de temperatura no excede de veinte minutos, y si deter- caucho con dos tubos, uno que llega hasta el fondo del mismo, y otro corto que se pone en comunicación con la tubería de gas, ó me- jor, con un gasómetro con grisú, mientras el líquido sale aspirado hacia la pipeta por el tubo largo. De este modo se evita el contacto con el aire y el reactivo no se debilita. (*) Para introducir hidrógeno en la bureta empleé, con éxito, im pequeño frasco generador terminado en un tubo afilado convenien- temente encorvado. (Figura 3.) — 467 — minamos en el residuo el metano, por su límite de inflama- bilidad, deduciendo después el nitrógeno, por diferencia po- dremos tener hecho un análisis en veinticinco minutos (*). Para contenido de hidrógeno superior á 15 por 100 ó 20 por 100 no considero preferente este método á los demás: pues si la esponja ó negro de paladio está muy oxidado, la cantidad de vapor de agua que se forma al penetrar el gas es tan grande que el tubo se llena de humedad, la cual, aunque marcha al otro extremo del tubo, vuelve al hacer la parada en sentido contrario, penetrando en él y dificultando mucho la facultad de absorción. Esto puede disminuirse en gran manera, haciendo marchar el gas con mucha lentitud y poniendo algodón en los extremos del tubo; pero enton- ces el procedimiento pierde en simplicidad, siendo preferi- ble en este caso diluir el gas con aire, según el primer mé- todo de Hempel; en cambio, usado para la determinación de pequeñas cantidades de hidrógeno, no he encontrado hasta ahora ninguno más conveniente por todos conceptos, siendo especialmente aplicable al reconocimiento del hidró- geno en el grisú natural, de lo cual ya hablaré en su día. (Laboratorio de U Escaela de Minas.) (*) Para determinar cantidades muy pequeñas de hidrógeno, in- terpongo entre el tubo de paladio y la pipeta una llave rde dos vías; una que puede hacer comunicar este extremo del tubo de paladio con el exterior, y la otra vía, con la pipeta, la cual permite antes de empezar la operación desalojar el aire del tubo de paladio por me- dio del mismo gas que va á analizarse y libre ya de oxígeno. 468 - XXIII.— Fuiídaiiiento teórico de la Fototopogi-afía. Por José María Torroja. PARTE SEGUNDA SECCIÓN PRIMERA Relaciones entre los puntos de tres proyecciones de una figura en el espacio, exteriores á sus ejes singulares. (Continuación.) (*) Vamos ahora á estudiar con algún detalle la relación triva- lente trilineal que acabamos de establecer. A un punto cualquiera de uno de los planos, el S, por ejemplo, corresponden en S' rectas que pasan porp' y en el S" otras rectas que pasan por q":\a. ecuación de la recta ho- mologa de un punto M (x,, y^) en el plano S' se halla ponien- do en lugar de x é y estos valores particulares en la ecua- ción (7). A un punto M (x^, o), del eje pq, corresponde en el plano S' la recia y' = o y en el S" la y" = o, ó sea, los otros dos ejes singulares, como puede verse substituyendo aquellos valores particulares (x=Xi, y = o) en las ecuacio- nes (7) y (8). A dos puntos singulares de dos de los planos corresponde, pues, cualquier punto del eje singular del ter- cer plano: es decir, que el tercer punto del terno, cuyos dos primeros son singulares, queda indeterminado (por este pro- cedimiento general): resultado que la última de las ecuacio- nes obtenidas comprueba fácilmente. (*) Véase el número de Diciembre de 1907, página 380. — 469 - Si tenemos dos curvas, M' y N", de órdenes a y [^ respecti- vamente, el lugar geométrico en el plano 5 de los puntos conjugados con los de estas dos curvas es otra curva, L, de orden a ¡5 que tiene a puntos múltiples de orden P, y ¡5 pun- tos múltiples de orden a, todos situados en el eje singular p q, siendo estos puntos conjugados con los de intersección de M' y N"con p' q' y p" q" respectivamente. En efecto: M' corta á p' q' en a puntos: la recta homologa de uno de éstos, A', en la relación que enlaza los puntos de los planos S' y S" corta á N" en p puntos, cada uno de los cuales forma con aquél un par de homólogos, y como uno de ellos es singu- lar y el otro no, el tercer punto A es el singular conjugado con A'; los puntos A' y A son múltiples de orden i^ en las curvas M' y L respectivamente, porque uno de esos puntos, el A, por ejemplo, es conjugado con todos los de intersección de M' con p'q': luego L tiene a puntos, de grado de multipli- cidad [j, comunes con el eje singular pq, que son conjugados con los a puntos de intersección de M' con p'q'. Análoga- mente podemos ver que la curva L tiene ,3 puntos de orden a comunes con pq, que son los conjugados con los P de inter- sección de A^" con p"q". La curva L no puede tener con pq más de «,3 puntos comunes, como conjugados de los a sin- gulares de intersección de M' con p'q' y los ¡3 de A^" con p"q", porque si tuviera más, los puntos correspondientes de éstos en las dos relaciones que enlazan los puntos del plano S, con los de los S' y S" también habrían de ser singulares y comunes, por tanto, á M' y p'q' óá N" y p"q", contra lo supuesto. Esto demuestra que la curva L es de orden a¡3 como queríamos probar. El teorema que acabamos de demostrar es un caso parti- cular del de Mac-Laurín Braikenridge, enunciado en el ca- pítulo anterior. Las proposiciones anteriores demuestran cumplidamente que la relación trivalente trilineal, que hemos establecido en — 47Ó — este artículo, es completamente idéntica á la que en el capí- tulo anterior vimos que existía entre tres proyecciones de una figura de tercera categoría. Allí, como aquí, dados los puntos conjugados de dos planos, podemos determinar el del tercer plano que forma terno con ellos; pero en uno y otro caso, esto es imposible para los puntos de los ejes singulares. Vamos en lo que sigue á ver de llenar esta laguna, expo- niendo las relaciones que ligan los puntos de estas rectas, y que nos permiten, por procedimientos especiales, hacer aque- lla determinación. SECCIÓN SEGUNDA Relaciones entre los puntos de los ejes singulares de tres figuras de segunda categoría, proyecciones de una figura en el espacio. Dos procedimientos indicamos en la Primera Parte de este Trabajo para poder obtener ternos de puntos homólogos de los ejes singulares: consistía el primero en verificar las cons- trucciones en el plano de los tres ejes, y el segundo, en tra- zar por los dos puntos dados m y m',áe los ejes pq y p'q', dos rectas cualesquiera en los planos S y S': e\ punto en que la recta del tercer plano S", homologa de las dos anteriores, corta al eje singular p"^", es el punto conjugado con los dos dados. A cada uno de estos procedimientos corresponde uno de los artículos siguientes, en que se sistematizan aquellos métodos, se da el medio de construir fácilmente todos los ternos de puntos que se desee, y se consigue, aun en este caso de excepción, operar solamente en los planos de pro- yección abatidos sobre uno de ellos, que se toma como plano del dibujo. - 471 - I Relación proyectiva entre los puntos de los tres ejes. singulares. Investiguemos primeramente en el plano de los tres ejes las relacionesque ligan los puntos situados sobre estas rectas. Ante todo, vemos inmediatamente que, dados dos puntos m y m' en dos ejes singulares (fig. 9), el tercer punto per- tenece al tercer eje, y queda completamente determinado como intersección de éste con la recta que une el centro co- rrespondiente O" con el punto M en que se cortan las otras dos proyectantes Om y O'm': los puntos de las tres series están, pues, relacionados unívocamente. Si tomamos en un eje singular un punto m, el punto co- rrespondiente en el espacio, M, está en la recta Om, y todos los pares de puntos m' y m" que forman terno con aquél, serán proyecciones de los puntos de la recta Om desde los centros O' y O" sobre los ejesp'^' y p"q", y formarán dos series proyectivas, como perspectivas de una misma: en és- — 472 — tas series son homólogos los vértices correspondientes, como q" y p', y los contrarios, como q' y p". Si aplicamos el teorema correlativo del de Carnot (*) al triangulo O O' O" y los puntos M y F, tendremos O.MFO'O" X 0:MF0" o X O.'MFO O' = 1, y sustituyendo cada una de estas razones dobles por las de los segmentos interceptados en los haces de vértices O, O' y O" por los ejes singulares pq, p'q' y p"q", resulta: nj^.fq\ ímq'J'q' jnp'fp) \m 'p'"f'p'l \m"p'''rp") Si tomamos ahora el punto F como punto unidad y deter- minamos cada punto M por sus coordenadas proyectivas re- feridas á éste y al triángulo ee'e" formado por las trazas de los ejes singulares con el plano de los tres centros, vemos inmediatamente que el valor mq mq m q fq fq f q _ ^ mp m'p' m"p" fp fp' f"p" es constante, cualquiera que sea el punto M del plano, y (*) Dice así: Si proyectamos los vércices de un polígono plano iAfíCDf desde dos puntos Ai y A^ de su plano, no situado en ningu- no de los lados, y consideramos los haces de las cuatro rectas que pasan por cada vértice, en todos los cuales se considera como prime- ro y segundo rayos los que pasan respectivamente por los puntos Ai y N, y como tercero y cuarto, los dos lados del polígono, tomados en permutación circular, el producto de todas éstas figuras simples es la unidad, es decir, que A.MNEB.C.MNBDD.MNCExE.MNDA^l. (E. Torroja. — Tratado de Geometría de la Posición.- Madrid, 1899, página 271.) — 473 - dadas dos de las proyecciones, m y ni , tenemos inmediata- mente determinada la tercera m", que es el objeto que nos propusimos en este estudio. Pasemos ahora á determinar la constante C, que llamare- mos característica de la relación proyectiva en que nos esta- mos ocupando. En cada eje singular damos el nombre de punto límite al homólogo de los puntos del infinito de los otros dos ejes. Así, el punto límite de la serie p'q (fig. 10) es el /' que corresponde al punto L del plano, cuyas otras Figura lO. dos proyecciones son los puntos I y, y l"^ del infinito de las " r,'l senes pq y p q Substituyendo en la fórmula anterior los valores correspon- dientes á este caso, resulta ( o sea fp ) \ m'p fp' ¡ \ f'p" ) m'q' fq fq' f'q" _ ^ m'p' fp f'p' f'p" Rev. Acad. Cikncias.— VI.— Enero, 1908. 31 — 474 - y como lo mismo podemos escribir para los otros dos pun- tos límites, vemos que Iq _ /y _ l"q" ^ ^ Ip l'p' l"p es decir, que: <'los puntos límites dividen á los segmentos limitados por los pares de puntos fijos py q,p' y q, p" y q", en pares de segmentos cuya razón es constantemente igual á la característica-. Si en vez de los puntos del infinito, eligiéramos los pun- tos medios de los segmentos pq, p'q' y p"q", podríamos hacer un razonamiento enteramente análogo, con sólo variar el signo de aquellas razones; luego cada punto límite se corresponde también con los puntos medios de los otros dos ejes singulares. Vemos que la construcción de los puntos límites puede hacerse por medio de los puntos del infinito ó de los puntos medios de los segmentos que en cada eje sin- gular limitan sus puntos principales, y ni en uno ni en otro caso presenta dificultad alguna. Determinado uno cualquiera de los puntos límites, tene- mos el valor de la característica, y podemos, por tanto, cons- truir temos de puntos conjugados. Vamos, sin embargo, á hallar una expresión de aquella constante, en función de elementos que puedan deducirse inmediatamente de la posi- ción relativa de los centros de proyección y sus planos res- pectivos. Observemos para ello (fig. 9), que „ sen mOq „ sen mOp mq = Oq -^; mp = Op —; SQuOniq sen O mp ^, , SQnm'O'q' , , „, , sen w'Oy m q' = 0 q rr-7^; m p =0 p sen O' m'q'' sen O' m'p' ^-■^»^0»g»senm-'0>-. „,..p-.^o>" ^^ '«"0>' sen O" m" 9" seiiO"/H"/>" - 475 - y además sen Oniq = sen Onip; sen O'm'q' = sen O'm'p'; m q = sen O m p . Substituyendo estos valores en la expresión de C, hallada en la pág. 472, obtenemos Oq O'q' 0"q" \ / senmOq senm'O'q' senm'V'q" _?JL\ _ c "0"p" ) Op o p' 0"p" ) \senmOp SQnm'O'p' sen/n y como por el teorema de Ceva, aplicado al triángulo OO'O" y al punto M, sabemos que senmOí/ sen m'O'^' sen /7z"0' V senwOp sen /zz'O'p' sen /77"0"/7 resulta en definitiva para C el valor 0^ Q'q' 0"q" C = Op O'p' 0"p" ' en función de las distancias de cada centro á los puntos principales de su plano correspondiente, como nos habíamos propuesto. Resumiendo todo lo anterior, vemos que la relación pro- yectiva entre las series situadas sobre los ejes singulares queda determinada si se conocen los seis puntos principa- les y la característica; y como ésta puede deducirse inmedia- tamente cuando se conoce un terno de puntos conjugados, queda también determinada aquella relación proyectiva cuan- do se dan los seis puntos principales y un terno de puntos homólogos. Determinada esta proyectividad en los tres ejes, es decir, en los tres planos de proyección, vemos que es ya posible, como pretendíamos, determinar ternos de puntos de - 476 — los ejes singulares por construcciones efectuadas en un solo plano sobre el cual se han abatido los tres de proyección. Como casos particulares notables, citaremos aquellos en que la característica tiene los valores - 1 y f 1 . En el pri- mero se corresponden los puntos medios de los tres segmen- tos pq, p'q' y p"q", pues (-1)(-1)(-1)=-1; y cada uno de ellos con los puntos del infinito de los otros dos ejes (-1)(+1)(+1) = -1; los puntos límites se confunden, según esto, con aquellos puntos medios. En el caso en que C= -}- 1> los puntos del infinito de las tres series forman un terno (+i)(+i)(+i) = + i; además, cada uno de ellos se corresponde con los puntos medios de los segmentos de los otros dos ejes (+1)(-1)(-1) = + 1, y los puntos límites son los del infinito. II Relación proyectiva entre haces de rectas homologas. Si tomamos en los planos S y S' dos haces de rectas, cuyos vértices sean puntos conjugados, de cualquier modo que establezcamos entre los rayos de estos dos haces una relación unívoca podremos considerar á éstos como proyec- ciones de una radiación de rectas, de vértice W, cuya ter- — 477 — cera proyección en el plano S" será un haz de rectas cuyo vértice es el punto homólogo de los vértices de los dos ha- ces dados. Tres rayos correspondientes cualesquiera r,r' y r", proyec- ciones de una recta R de la radiación W, cortan á los res- pectivos ejes singulares en puntos t, f y t" , que forman un terno como proyecciones del punto T, traza de aquella recta con el plano de los tres ejes. Recíprocamente, tres puntos correspondientes, t, f y /" de los tres ejes singulares, unidos con tres puntos conjugados cualesquiera, iv, w' y w", dan tres rectas que son conjugadas, como proyecciones de la recta que une los puntos del espacio que tienen por proyecciones cada uno de dichos ternos. Como las series de puntos homó- logos situados en los ejes singulares son proyectivas, si uni- mos cada punto t con el mismo w, cada punto f con el mis- mo iv', y cada punto /" con el mismo w" , obtendremos tres haces proyectivos de vértices w, w' y w". Es decir, que ' al de intersección de la recta así obtenida con el plano A B CD. Los dos puntos F y tendrán confundidas sus proyecciones /y 'f , y á éstas corresponderán en el plano S' dos puntos distintos/' y '^'. Este último nos es desconocido, pero puede determinarse por los procedimientos de la Geo- (*) En una vista fotográfica pueden hallarse en un muro ó en las orillas de un estanque, lago, etc. — 481 - metría de la Posición, como iiomólogo del o^, en la honiografía en que los puntos a, b, c, d, 'f , son homólogos de los a, b', c, d', o , como proyecciones de cinco puntos de un plano. Halla- do ya este punto 'f ', como los O, /^ y í> están en línea recta, habrán de estarlo igualmente los /' y 9' y tendremos una recta, la f'J , sobre la que ha de hallarse el punto principal buscado p . Uniendo ahora O con G, obtendremos, como traza de la recta así obtenida con el plano ABCD, otro punto r y, repitiendo para éste los razonamientos que aca- bamos de hacer para el í^ tendremos otra recta g'y', que con la/'^j' nos determina por completo el punto p' buscado. Repitiendo los mismos razonamientos para el otro cen- tro O', llegaremos á determinar en el plano 5 dos rectas que, por su intersección, nos darán el otro punto principal q (*). Problema l\\. —Dados siete pares de puntos, proyecciones de otros tantos puntos cualesquiera A, B, C, D,E,F y G, de- terminar los dos puntos principales q y p'. La solución de éste problema, que es de tercer grado, pre- senta alguna dificultad, por lo que no entramos en su estu- dio. Puede verse una solución analítica en el trabajo Die cubische Gleichung, von welcher die Lósung des Problems der Homographie von M. Chasles abhángf, von Hern O. Hesse zu Heidelberg (**), y otra geométrica en el estudio del profe- sor Rud. Sturm, titulado Das Probleni des Projectivitat (***). (*) Dr. Gino Loria.— Vorlesungenüber Darstellende Geometrie.— Leipzig.— 1907, pág. 209. (**) Journal... von Crelle.— Tomo 62, 1850, pág. 188. (***) Mathematísche Annakn.-Tomo \.°, 1869, pág. 543. - 482 — Programa de premios para el concurso del año Í909. Artículo 1.° La Real Academia de Ciencias Exactas, Fí- sicas y Naturales de Madrid abre concurso público para adjudicar tres premios á los autores de las memorias que desempeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corpo- ración, los temas siguientes: 1.° '^^ Exposición clara y sencilla del Cálculo de las Pro- babilidades.» El libro ha de estar correctamente escrito y en estilo sen- cillo de índole didáctica y de vulgarización de esta impor- tante rama de las Matemáticas. Debe comprender los principios fundamentales de la mis- ma y sus múltiples aplicaciones, expuestos de manera que sean inteligibles y de provechoso uso para las personas que sólo poseen los conocimientos de las matemáticas elemen- tales. En todo caso, las fórmulas de análisis superior podrán quedar relegadas, así como las tablas numéricas más usua- les, á un apéndice colocado al final de la obra. En el texto de ella convendrá, sin embargo, aclarar la doctrina con ejemplos numéricos discretamente elegidos. Se quiere, en suma, poner al alcance de las personas de ilustración general, ó que no han hecho especiales estudios de la ciencia matemática, aquel «precioso instrumento de investigación y análisis, creado sí por los matemáticos, pero, mucho más que á estos, al jurisconsulto, al médico, al anti- cuario, al historiador, al político y al estadista necesario». 2.° «Estadio de los electromotores de corriente alterna, monofásicos y polifásicos.» Deberá comprender la teoría, la comparación de los sis- temas de motores y los trabajos y resultados originales del autor. — 483 — 3." «Enumeración sistemática de los hongos parásitos de plantas cultivadas, observados en una comarca espa- ñola.» En apoyo del texto deberá acompañar el autor las mues- tras de plantas atacadas por los hongos. Art. 2." Los premios que se ofrecen y adjudicarán, con- forme lo merezcan las memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accésit y mención hono- rífica. 3.° El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudicación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corpo- ración á quien le hubiere merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria, al mismo autor ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por cuenta de la Academia, en la colección de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada, y entrega, cuando esto se veri- fique, de 100 ejemplares al autor. 4."" El premio se adjudicará á las memorias que no sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el orden y método de exposición de materias, y redac- ción bastante esmerada, para que desde luego pueda proce- derse á su publicación, 5." El accésit consistirá en diploma y medalla iguales á los del premio y adjudicados del mismo modo; y en la im- presión de la memoria, coleccionada con las de la Academia, y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. 6." El accésit se adjudicará á las memorias poco inferio- res en mérito á las premiadas y que versen sobre los mis- mos temas, ó, á falta de término superior con que compa- rarlas, á las que reúnan condiciones científicas y literarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la adjudicación ú obtención del premio. - 484 - 7." La mención honorífica se hará en un diploma espe- cial, análogo á los de premio y accésit, que se entregará tam- bién en sesión pública al autor ó concurrente agraciado ó á persona que le represente. 8.° La mención lionorífica se hará de aquellas memorias verdaderamente notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redacta- das con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la respon- sabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésit. 9." El concurso quedará abierto desde el día de la publi- cación de este programa en la Gaceta de Madiid (*), y cerrado en 31 de Diciembre de 1909, hasta cuyo día se recibirán en la Secretaria de la Academia, calle de Valverde, núm. 26, cuantas memorias se presenten. 10. Podrán optar al concurso todos los que presenten memorias que satisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos nume- rarios de esta Corporación. 1 1 . Las memorias habrán de estar escritas en castellano ó latín. 12. Las memorias que se presenten optando al premio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubier- ta que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, dentro del cual constará el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero. 13. De las memorias y pliegos cerrados, el Secretario de la Academia dará, á las personas que los presenten y cntre- (*) Se publicó en la Gaceta del día 8 de Enero de 1908. - 485 — guen, un recibo en que consten el lema que los distingue y el número de su presentación. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las memorias dignas de premio ó accésit se abrirán en la sesión en que se acuerde ó decida otorgar á sus autores una ú otra dis- tinción y recompensa, y el Sr. Presidente proclamará los nom- bres de los autores laureados en aquellos pliegos contenidos. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las memorias dignas de mención honorífica no se abrirán hasta que sus autores, conformándose con la decisión de la Acade- mia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se pu- blicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las memorias en este último concepto premiadas, y, en el improrrogable término de dos meses, los autores respectivos presentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependencia obtuvieron como concurrentes al certamen, y otorgarán por escrito la venia que se les pide para dar publicidad á sus nombres. Transcurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden sin que nadie se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de aquellas memorias renuncian á la honrosa distinción que legítimamente les co- rresponde. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los auto- res no premiados ni con premio propiamente dicho, ni con accésit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la absoluta falta de mérito de las memorias res- pectivas se hubiere decidido. Lo mismo se hará con los plie- gos correspondientes á las memorias agraciadas con mención honorífica cuando, en los dos meses de que trata la regla ante- rior, los autores no hubieren concedido permiso para abrirlos. 17. Las memorias originales, premiadas ó no premiadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación, podrá devol- vérseles, con las formalidades necesarias, serán los compro- bantes del asunto en aquellas memorias tratado, como mode- - 486 - los de construcción, atlas ó dibujos complicados de reproduc- ción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguardo que de la misma dependencia re- cibieron al depositar en ella sus trabajos como concurrentes al certamen, obtendrán permiso los autores para sacar una co- pia de las memorias que respectivamente les correspondan. Madrid, 31 de Diciembre de 1907. PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1," DE JULIO DE 1907 (Continuación.) Royal Dublin Society. — The Economie Proceedings of the. . . — Vol. I. — Jul.Aug. 1907. Parts. lo-ii. — Dublin. Royal Dublin Society. — The Scientific Proceedings of the...— Vol XI (N. S.j N.° i5-20. — July-August, 1907. — Dublin. Royal Irish Academy. — Proceedings of the. - Volume XXVI, Section B, N.o 9; Section C, N.° 13 al 16. — Dublin. 1907. Royal Dublin Society. — The Scientific Transactions of th^ .. —Vol. XI (Ser. II). — VI. — The deurities and Spcific heats of some alloys of the Iron. — By. W. Brower, B. Se — Dublin, 1907. Royal Society.- Proceedings of the... — Serie A, Vol. 79. N.o 531 al 534; B, N.OB 533,6534. Dublin University. — The. . . — Calendar for the jear, 1907-1908. — Vol. I. — Dublin , 1907. Museum of Comparativa Zooiogy at Harvard College. — Bulletin of the. . . — Vol. LI. — N.o 2, 3, & 4. — Cambridge, Mass, U. S. A. Manchester Literary and Phüosophical Society Memoirs and Proceedings of the . . — 1906-1907. — Vol. 51. Part. 3 . —Manchester. The London, Edmburgh and Dublin Philosophical Magasine and Journal of Science. Sixth series. — N." 7931 82 (July to October, 1907). — London. The Observatory. - A monthly rivieco of Astronomy. — N.° 385, July, 386, August; 388, October.— 1907, London. Nature. - A wectky illustrated Journal of Science. — N.° 1965, vol. 76, June 27, 1907 ; 1966; 1968; 1969 . 197 1 al 1981 , August 8, October 24, 1907 • London. - 487 - Terrestrial Magnetism and Almospheric Electricity.— Vol. XXII, N." 1-2.— March-Juin 1907— London, Cincinnati, Berlín. The Asírophysical Journal. — Volume XXV Number 5; XXVI, i-, 2. Natal Governnent IWuseum — Colonny of Natal Second Repoit of the. . .— year Euding, 31 st December, 1905. -London, 1907. Geological Survey of India. — Memoirs of the ... — Palaeontologia India. — Series XV.— Vol. V. Memoir N.*' 2. — The Fauna of the Hymalayan Mu- sehelkalk. — Plates. I to. XVII. By Cari Diechner, Ph. D. — Calcutta, 1907. Geological Survey of India — Records of the... Vol. XXXV. — Part. 2-3-1907. Calcutta, 1907. Department of Agricultura in India. — Memoirs of the.. . — Chemical series, June, 1907, vol. I. N° 3 ; July , 1907 , 1 , 4. — Entomological series, June, 1907, I, 2; 3; 4; Juli, 5,— Botanical series, April 1907, I, 6; July, 1907, I, Part. 2. — Calcutta. Howard, M. A. (Cantad.) A. R. C. S. (Lond.) F. C. S., F. L S., Imperial Eco- nom;e Botanist.— Bulletin N." 4-1906.— Agricultural Research Institute, Pusa. — First Report on the Fruit Experiments at Pusa. Calcutta, 1905. Public Library, Museums, and National Gallery of Victoria. — For igoS — Report of the Trustees of the ... — With a Statement of Iricome and Expenditure for the financial jear 1905-6. — Melbourne. Australiam Museum— Records of the . . - Edited by the curator. —Vol. VI. N.'^ 5. — Sydney, 18 th. July. 1907. North C. M. Z, S. (Aifred J.) Australiam Museum Sidney.-- Special Catalo- gue, N.° I. — Nests and Eggs of Birds found breeding in Australia and Tasmania By. . .— Vol. II. -Part. II.— Sydney, 1907. Earthquake Investigation Committee (Imperial).— Bulletin of the. . . —Vol. I. — N." 3-4. — June-August, 1907. — Tokio, Japan. Earthquake Investigation Committee. — Publications of the . . — In foreign languages, N." 23, N° 24. — Tokio, 1907. Sampachi Fukuzawa. — Vier Mathematische Abhandlungen Von. . . —Tokio, 1907. American Academy of Medicine. — Bulletin of the . . Vol. VIII.— N.° 4-5. August, 1907. — Octubre, 1907. — Easton Pt. American Mathemalical Society. — Transactions of the. . . — Volume 8. — Number 3. — July, 1907 — Lancaster and New York, 1907. American Museum of Natural History.— Memoirs of the. . . — Volume XI. Part II. —The Chukchee Religión by W. Bogrras. — Leiden, 1907. New York. American Museum of Natural History.— The American Museum Journal. — Volume VII. Number 6.— October, 1907.- New York City. United States Cepartment of Agricultura. — Yearbook of the . . . — 1906. — Washington, 1907. Burean of Standards Department of Commerce and Labor. — Bulletin o the . . — Vol. 3. N.*' 2. — Washington, 1907. - 488 - Pensilvania Museum and School of Industrial Art.— Thisty-first Annual Re- port, 1907. — Philadelphia. Peabody Institute of the City of Baltimore. - Fortieth Anual Report June I . 1907.— Baltimore. University of California Publicat O.is — Bulletin of the Department of Geo logy. - Vol. 5. N." 9. pp. 149153, 155 170.— Pls. 13-14 Botany.- Vol. 2, N." 14. pp. 309-315*. Sept 27, 1907. Vol 3. N." 14, pp. 343368, Píate 34, 21 text. figures, Sept 28. 190. - Berkeley. Gaceta Farmacéutica Española. — Revista. Año ic", núms. 117118.— Barcelona, 1907. España y America.— Revista. Año V, núms. 21 22-23 y 24. — Madrid, 1907. Razón y Fe. — Revista. Tomo 19, núms. 3 4. — Madrid, 1907. Revista de Med.cina y Cirugía Prácticas. — Año 31, núms. looi á 1005. Madrid, 1907. Revista de Mones.— Año 31, núms. 739 40-41 y 42. — Madrid, 1907. Gaceta Médica Catalana.— Revista. Tomo 29, núms. 128 29 y 30.— Barce- lona, 1907. Gaceta Sanitaria de Barcelona. -Año 19, núms. ro-ii - Barcelona, 1907. La Salud Pública. — Revista de Higiene y de Tuberculosis. Año III, núme ros 34-35. — Valencia, 1907. Gaceta Médica del Sur de España.— Año 25, núms, 587-88 y 89.— Gra nada, 190;. Sociedad Geográfica (Real). — Revista de Geografía Colonial y Mercantil. Tomo IV, núm. 10. Boletín. Tomo 49 (4." trimestre 1907). — Ma- drid, 1907. Institución libre de Enseñanza. — Boletín. Año 31, núms. 570 571. -Ma- drid, 1907. Sociedad Española de Historia Natura! (Real).— Boletín. Tomo 7." núms. 6-7- 8-9. — Memorias. Tomo I, núms. 21 y 22.— Madrid, 1907. Revista de Farmacia — Año 51, núms. 9-10.— Barcelona, 1907. Revista Minera, Metalúrgica y de Ingeniería.— Año 58, núms. 2.134 á 140. Madrid, 1907. España Automóvil. — Revista. Año 1.°, núms. 6-7 y 8. — Madrid, 1907. Madrid Científico. - Revista. Año 14, núms. 575 á 579.— Madrid, 1907. Vida Marítima.— Revista de Navegación y Comercio. Año 6.°, núms 210 á 214. — Madrid, 1907. Lh Farmacia Española. — Revista. Año 39. núms. 45 á 51. — Ma- drid, 1907. Revista Española de Dermatología y Sifiliografía. — Año IX, núm. 105 106, — Madrid . 1907. El Monitor de la Farmacia y de la Terapéutica. — Revista. Año 13, núms. 436 á 440. — Madrid, 1907. (Continuara). índice DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO PÍ.QS. XIX.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia primera. Curso de 1907-1908. 393 XX.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia segunda 414 XXI.— Mareómetros y mareógrafos de sifón, por Eduardo Mier y Miara 437 XXII.— Estudio experimental de algunas propiedades del grisú, por Enrique Hauser 454 XXIII.— Fundamento teórico de la Fototopografía, por José María Torroja 468 Programa de premios para el Concurso del año 1909 482 Publicaciones recibidas desde 1.° de Julio de 1907. (Conti- nuación) 486 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de VaL- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,60 pesetas. -X^V^^O REVISTA VE LA REAL ACADEMIA DE CÍÉlíCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID TOAaiO VI.-lSrXJIVE. 8- ( Febrero de leos.) MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLR DK PONTEJOS, KDM. S, ^v, 1908 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. / - 489 - XXIV.— Elementos de la teoríta de la Elasticidad. Por José Echegaray. Conferencia tercera. Señores: Prosigamos el estudio de la teoría de la Elasticidad por el método de Lame y sus análogos. Recordarán mis oyentes ó mis lectores, que este método se descompone en cuatro partes, en rigor, como en cuatro partes se descomponía el método de Cauchy. 1.° Estudio de las tensiones en cada punto de un sólido elástico. 2.° Estudio de las deformaciones para dicho punto. 3.° Expresión de dichas tensiones, en función de las cantidades que definen la deformación en general. 4." Determinación de las ecuaciones generales de equi- librio. Y comenzamos en la conferencia precedente la primera parte, ó sea el estudio de las tensiones. Y decíamos: las tensiones para cada punto del sólido elás- tico, en las infinitas direcciones que irradian de dicho punto, ¿podrán ser arbitrarias? Y demostrábamos que no podian serlo, y lo demostrába- mos imaginando un poliedro infinitamente pequeiio alrede- dor del punto en cuestión y buscando sus condiciones de equilibrio. Pero precisando más el problema, agregábamos: en vez de un poliedro cualquiera, tomaremos dos de los más ele- mentales, á saber; un paralelepípedo infinitamente pequeño, cuyas caras sean paralelas á los planos coordenados, y un Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Febieto, iguS. 3¿ - 490 - tetraedro infinitamente pequeño también, que luego definire- mos, y al que daremos el nombre de tetraedro de Cauchy, porque dicen algunos autores, que fué el primero que lo imaginó en las teorías de la Física matemática. Este paralelepípedo y este tetraedro, que por decirlo así, son clásicos en estas teorías, han de servirnos más adelante para obtener las ecuaciones del movimiento ó del equilibrio del sistema elástico; mas por el pronto hemos de aplicarlos tan sólo al estudio de la distribución de las tensiones alrede- dor de cada punto. Ya empleamos el paralelepípedo, y obtuvimos relaciones notables entre las componentes de dichos esfuerzos para las tres caras principales del sólido. Vimos, en efecto, según las notaciones establecidas en la conferencia anterior, que se tiene A.y = Y x', ^z ^^^ ^x'> ' z -— ^y Que las representábamos, para abreviar, por Ahora pasemos al problema general de las tensiones. * Necesitamos acudir al tetraedro de Cauchy, que evidente- mente nos va á resolver el problema general con facilidad suma. Este tetraedro OABC tiene tres caras: AOB, AOC COB, paralelas á los tres planos coordenados de las xy, de las xz y de las yz; advirtiendo que estos tres últimos pla- nos no están representados en la figura 12. La cara restante ABC es arbitraria y su dirección está definida por tres cosenos directores, «, ¡i, y, de la normal n á dicha cara; es — 491 - decir: que a representa el coseno del ángulo que forma la normal n á \a. cara ABC con el eje de la x; p, el coseno deí ángulo que forma dicha normal, con el eje de las y; y y, el coseno del ángulo que forma con el eje de las z. Figura 12. Llamando n á la normal, tendremos, pues, oL = eos (n,x) ¡■i = cos(n,y) y = cos (n, z), como se indica en la figura. En rigor, estos cuatro planos ponen en relación, para un punto cualquiera M, las tensiones sobre tres planos parale- los á los coordenados, con la tensión sobre un plano cual- quiera ABC. Y en efecto; si por el punto M trazamos cuatro planos paralelos á las cuatro caras de este tetraedro, como se ve en la figura 13, tendremos por dicho punto M trazados cua- tro planos paralelos, según acaba de indicarse, á los de la figura 12. Respecto á los AMB, AMC, CMB (fig. 13), bien claro - 492 se ve este paralelismo y correspondencia; respecto al PP, decimos que es paralelo á la cara ABC át la figura 12, que es la cuarta cara del tetraedro, Pero debemos recordar aquí lo que ya indicamos al tratar del poliedro en general, á saber: que los cuatro planos « de la figura 13 que pasan por el centro M del tetraedro (un punto cualquiera: por ejemplo, el centro de gravedad), están infinitamente próximos á los cuatro planos indicados luego, admitiendo que el sistema es continuo, porque si en algún punto no lo fuese, para éste caería por su base todo lo que vamos diciendo, es evidente que la tensión so- bre el plano AMB{ñg. 13) será próximamente igual á la tensión sobre la cara AOB de la figura 12, y lo mismo pasa á las otras dos caras principales del tetraedro. De igual suerte, la tensión sobre la cara yl 5 C de la fi- gura 12 será próximamente la misma que sobre el plano PP de la figura 13. De donde se deduce que buscar la relación entre las tensiones correspondientes á las cuatro caras del tetraedro, es lo mismo que buscar la rela- ción entre los cuatro planos de la figura 13, que son cuatro planos que pasan por un mismo punto M. Mas, aun dejando fijos los tres planos paralelos á los coordenados, el plano PP puede variar en infinitas direc- ciones. Luego podemos establecer relaciones entre la tensión de un plano cualquiera, PP, y las de los tres planos paralelos á los coordenados. En breves palabras: una tensión cualquiera en función de Figura 13. - 493 - tres tensiones únicas. Esto dicho en términos generales, que ahora precisaremos. * * * Pero nada más fácil que establecer relaciones entre la ten- sión correspondiente á la cara ABC (fig. 12) y las tensio- nes de las otras caras. No hay más que hacer lo que ya dijimos en la conferencia anterior: escribir las ecuaciones de equilibrio del tetraedro. Para las notaciones y para la marcha de los cálculos en esta parte, seguiremos el folleto ya citado de Mr. Sarrau, que es claro, sencillo y metódico. F Figura 14. Sea el teatraedro (fig. \4) O A B C Las áreas de las caras laterales, las representaremos por O) 1> O) 2) O) 3» perpendiculares, respectivamente, á los ejes x, y, z, De suerte que si representamos por Ü el área de la cara ABC, recordando que los cosenos de los ángulos, que for- ma su normal con los ejes, los hemos representado por a, p, - 494 - y, y observando que cada cara lateral es la proyección de Q sobre el plano de dicha cara, tendremos evidentemente: w , = [).., cu.^Qp, t03 = Qy. (1) Veamos ahora las fuerzas que actúan sobre las cuatro caras del tetraedro; así como la fuerza que actúa en su masa. Determinemos las componentes, paralelas á los tres ejes, de todas estas fuerzas, é igualemos á cero cada una de estas tres sumas. De las fuerzas que actúan sobre la masa podemos pres- cindir, porque las componentes serán proporcionales al volumen, que es un infinitamente pequeño de tercer orden, puesto que las dimensiones lineales del tetraedro son de primero. Y al hablar de las fuerzas que actúan sobre el volumen, lo mismo podemos referirnos á las fuerzas exteriores, que á las fuerzas de inercia, que también son proporcionales al volumen del tetraedro. Sobre la cara OBC actúa una fuerza, cuyas componentes son: + Nl, +7^2, +7^3, y estas son las acciones, como hemos dicho tantas veces, de la parte de la derecha sobre la izquierda. Dichas acciones no están marcadas en la figura. Pero las que nosotros necesitamos son las acciones sobre el tetraedro; es decir, de la parte de la izquierda sobre la derecha, de modo que serán N, - T, - T 3> según se ve en la figura. Del mismo modo, las fuerzas que actúan sobre la cara OCA serán — 495 - Y por fin sobre la cara AOB actuará una tensión, cuyas componentes serán Por otra parte, sobre la cuarta cara A5C suponemos que actúa una fuerza P cuyas componentes representaremos por X, Y, Z. Esta P es precisamente la tensión sobre dicha cara O. De todas estas fuerzas que hemos enumerado, tenemos que tomar para cada ecuación las paralelas á cada uno de los ejes. Por ejemplo: Las paralelas al eje de las x serán — A^i, —T2, —T^yX según se ve en la figura. Pero no olvidemos que estas son las tensiones por unidad de superficie, y que para tener la fuerza total sobre cada cara hay que multiplicar por el área de dicha cara, de suerte que las fuerzas que actúan parale- lamente al eje de las X serán, — ATiWi, —T^^^).¿, —T,iiO^, Xü, puesto que, como se ve en la figura, — N^ corresponde á la cara w^; — T., corresponde á la cara o)^; — T.. corresponde á la cara w.,. X corresponde á la cuarta cara del tetraedro Q. Sumando estas cuatro componentes, é igualando á cero, tendremos — -^1^1 — ^^3^2 — T2<>i¿ + XQ = O, ó bien, • ■ XQ = N,io,-\-T,io,-\-T,i^,, y dividiendo por íi Q Q . Ü - 496 - Pero las ecuaciones (1) permiten substituir las relaciones de las áreas por los cosenos directores, de modo, que en definitiva tendremos para primera ecuación de equilibrio otro tanto podemos repetir respecto al eje de las y, aun- que procederemos con más rapidez en la explicación. Las tensiones paralelas á este eje, según se ve en la fi- gura, son: -T,, -N,, -T,, Y, y estas tensiones, multiplicadas por las áreas, darán las com- ponentes de los esfuerzos sobre las caras del tetraedro, pa- ralelamente al eje de las y, que serán Tendremos, pues, y también , ó dividiendo por Q, Y=T,^^N,^+T, que en virtud de las ecuaciones (1) se reduce á Y = T,a -]- N,? -^ T,y , y es la segunda ecuación de equilibrio. Por último, para el eje de las z podremos hacer las mis- mas consideraciones y resultará: — 497 - Tensiones paralelas al eje de las z, — T^, — T^, — ATg, Z. Para las fuerzas, multiplicando las tensiones anteriores por las áreas, — 72^1, — Titog, — ÍV3W3, ZQ, y la suma de estas componentes, igualada á cero, dará — r^io^ — TiOig — N3W3 + ZQ = 0; ó bien, y, finalmente, z=r2a + rip + iV3Y, que es la tercera ecuación de equilibrio. * * * En suma, las tres ecuaciones de equilibrio del tetraedro, serán: x = iVia+r3p-fnY, . • z=r2a-|. 7iP + N3r- Estas ecuaciones nos demuestran, que para cada punto definido por las coordenadas x, y, z y alrededor de dicho punto, las componentes de la tensión, es decir, X, Y, Z, de- penden de seis cantidades, N^, No, N^, T^, T^, T^, que serán siempre las mismas para cada punto M, y de los tres cose- nos directores a, ^, y de la normal al plano al cual se refiera la tensión. Dado, pues, un plano cualquiera, las componentes de la — 498 — tensión, ó de otro modo, la tensión misma y su dirección, quedarán perfectamente definidas. Pero entiéndase bien: quedarán definidas cuando se co- nozcan las N y T, y éstas no las conocemos todavía; de modo que el problema no queda completamente resuelto. Lo que hemos hecho ha sido expresar las incógnitas en función de las tres variables independientes «, ,3, y y de las seis can- tidades N y T. Para resolver el problema por completo, y esto lo hare- mos mas adelante, será preciso que determinemos para cada punto las A^ y T en función de x, y, z, si el problema es de equilibrio, y en función de estas cantidades y de /, si es un problema dinámico de Elasticidad. * * * Aquí pudiéramos dar por terminado el estudio de las ten- siones; pero, generalmente, los autores dan una ó varias representaciones gráficas de la distribución de tensiones alrededor de un punto M, y nos someteremos á este sistema, definiendo tres superficies de segundo grado, que pueden de- signarse con los nombres de superficie directriz, elipsoide de tensiones y elipsoide de planos elásticos. . Para cada punto, la posición y la magnitud de estas tres superficies será distinta en general; pero su naturaleza geométrica y analítica, por decirlo de este modo, será la misma. Sus coeficientes serán funciones de x, y, z, y es claro que deberán considerarse como constantes para cada punto que se elija, y distintos en valor numérico al pasar de un punto á otro. Consideremos, pues, un punto del sólido, lo que de él digamos, pudiéramos decir de otro cualquiera, y estudiemos sucesivamente las tres superficies indicadas. * — 499 - Superficie directriz, ó cuadrática directriz.— Sea M{{ig. 15) un punto cualquiera del sólido elástico. Hagamos pasar por este punto M un plano cualquiera, pp; sea MP la tensión correspondiente á dicho plano, y NA la normal al mismo. Supongamos que por el punto M se trazan tres ejes parale- los á los ejes coordenados, Mx, My, Mz. A estos ejes vamos á referir la superficie de que se trata, que la definiremos del siguiente modo. Proyectemos la tensión MP sobre la normal al plano: — •» Figura 15. dicha proyección será An, cuyo valor se obtiene proyectan- do sobre MA las tres componentes X, Y, Z de la tensión, que evidentemente formarán con la normal ángulos cuyos cosenos serán a, p, y. Tendremos, pues: proyección de MP = Mn = Xa + Y^ -f Zy = = ( N,a H- T,^ + ny) a + ( na 4- N,^ + T,y) p + ó multiplicando y ordenando Mn = N,^' + N.,^^ + N^f + 2 TiPy + 4-2r2ay4-2r3ap., ,. - 500 - Y llamando N áesta. componente de la tensión, resultará, por último, Fijemos bien las ideas. Pueden presentarse dos casos. En la figura 15', si descomponemos el plano pp en dos hojas para más claridad, una que vaya unida á la parte C del sólido, otra que vaya unida á la parte D, vemos que la parte D ejerce una tensión MP sobre la parte C, y que esta tensión ó esfuerzo es una tracción. MP, como se ve en la figura 15, es positiva, y su proyección sobre la nor- mal Mn, será positiva también; de modo cjue en la ecua- ción cuadrática anterior (decimos cuadrática porque es de segundo grado y homogénea en a, p, y), N será una canti- dad esencialmente positiva. En cambio, en la figura 15", al proyectar sobre la normal al plano, el polígono de las componentes X, Y, Z, la canti- dad Mn resultará evidentemente nega- tiva; de manera que el primer miembro de la cuadrática M, en este caso, será negativo también, y vemos que repre- senta una compresión, es decir, que la f^^ parte D del sólido, trata de comprimir á la parte C. En resumen; en la ecuación de la cua- pigura is". drática, N puede resultar positiva si el plano está sujeto á una tracción, ó puede resultar negativa si está sujeto á una compresión. Comprendido esto, volvamos á la figura 15, en que sabe- mos que Mn = N. Tomemos sobre la normal MA una longitud - 501 - MA = , ^ , \J±N en cuyo valor tomaremos el signo + si A/ es positiva y el signo — si es negativa, con lo cual el radical será siempre real, así como la longitud MA. Es decir, que determinamos el punto A tomando, sobre la normal Mn, la inversa de la raíz cuadrada del valor numérico de N, siempre positivo. Es evidente que las tres coordenadas del punto A serán: X = ■MA. ot; y-. .= MA 0. • 1^ z = = MA •Y' ó bien, V a ; y — P • z r «V V ±N v/±. N V ±7V - resulta que a, b, c deben ser reales, y, por lo tanto, A^^, A. 2, A^ deben ser negativas. Representándolas por — N^, — N^, — N^, substituyendo y cambiando signos, venimos á parar al caso anterior; es decir, que la superficie indicatriz es un elipsoide, sólo que en este caso todas las tensiones son presiones en vez de ser tracciones. Cuanto hemos dicho para el primer elipsoide, puede re- petirse para éste. * * Si N unas veces es positiva y otras veces es negativa, para el primer caso deberemos tomar + \=A,x^-{-A,y^~ + A,z\ designando por A los coeficientes, que resultan al hacer la transformación de coordenadas, con el objeto de referir la superficie á sus planos principales. Y deberemos tomar la ecuación — 1 =A^x-'-^A.,y'-^A.,z'' para todos los puntos en que N sea negativa. Pero todo esto tiene una representación geométrica suma- mente sencilla. Tomemos la ecuación ^l=A,x-^ + A,y' + A,z^ y admitamos todas las combinaciones posibles para los signos de A^, A^, A-¿. — 510 — Supongamos los dos primeros positivos y el último nega- tivo, y representando por N cantidades esencialmente posi- tivas, para poner los signos en evidencia, tendremos: Dicha ecuación representa un hiperboloide de una hoja referido á sus planos principales. Haciendo z = O se obtiene la intersección del plano de las xy con el hiperboloide, que será una elipse: su ecua- ción tendrá la forma -f 1 = yv, jc^' -I- N, y\ Análogamente, las intersecciones por los planos xz, yz serán dos hipérbolas: + \=N,y^-N^z\ que se obtienen haciendo y = 0, x = O, en la ecuación general. Hemos representado esta superficie en la figura 18, aun- que sólo la parte del hiperboloide correspondiente al tiedro de las coordenadas positivas. En dicha figura se indica la elipse i45y las hipérbolas A A', BB', También se ha representado la parte Mab del cono asintótico. Todas las rectas que, partiendo de M, corten á este hiper- boloide, representarán la inversa de la raíz cuadrada de las componentes normales á los planos elásticos de las tensio- nes, en que dicha componente N será una cantidad positiva, Y, por lo tanto, indicarán fuerzas de tracción y serán apli- cables los métodos gráficos, que hemos explicado para el - 511 - elipsoide, así como todas las demostraciones desarrolladas en este caso. En cambio, una recta MF, que esté dentro del cono asin- tótico, no cortará al hiperboloide, y, en este caso, para Figura 18. obtener una superficie real como indicatriz, puesto que N sería negativa, habría que acudir á la segunda ecuación — 1 =A,x'^-\-A,y'--\-A,z'', y tomando la misma combinación de signos que antes, ó bien, — 1 = A^i x^' + N, y - N^ z'\ que representa un hiperboloide de dos hojas, puesto que z = O da una elipse imaginaria, y además. \= — N,x' — N, y^ X = O, y = O — 512 - dan dos hipérbolas, 1 r= — No J' + ^Yj Z\ 1 = — Ni X^ + N?, Z-, en la cuales el eje real es el de las z. Hemos representado en la misma figura 18 una parte de la hoja superior del hiperboloide, la que corresponde al triedro ya indicado. La sección por el plano x z es la hipérbola CA"; la inter- sección por el plano de las y z es CB". La recta MF, que no cortaba al hiperboloide de una hoja porque estaba dentro del cono asintótico, corta en G á este hiperboloide de dos hojas. El cono asintótico es el mismo, que para el hiperboloide de una hoja, y su ecuación será •¿ 0 = N, X' 4- N, y' — N.,z Las construcciones, ya para determinar la tensión cono- ciendo el plano, ya para determinar el plano conociendo la dirección del esfuerzo, son las mismas que para el elipsoide y también las demostraciones que allí presentamos. En suma; así como, cuando para un punto dado y alrede- dor del mismo, todas son tracciones ó todas son compresio- nes, la superficie indicatriz es un elipsoide, cuando, por el contrario, para ciertos planos la tensión es tracción y para otros es compresión, la superficie indicatriz se compone de dos superficies de segundo grado conjugadas, que son un hiperboloide de una hoja y un hiperboloide de dos hojas. Cada uno de ellos deja una región del espacio inútil y, por decirlo así, sin llenar, porque el esfuerzo resulta imaginario; y esta región es precisamente la que ocupa la superficie conjugada. Por el punto M no puede trazarse ninguna recta que no — 513 — encuentre á una de las dos superficies; por consiguiente, todos los esfuerzos serán reales y todas las construcciones indicadas serán posibles. Cuando la recta que pasa por M es una de las generatri- ces del cono asintótico, claro es que encuentra á las dos su- perficies en el infinito. Es decir, que en la figura 15, MA será infinita. Pero MA = . = — ,— ; luego y Mn \í ±N N = ± -^^ =.-— = 0. MPi- 00 De donde se deduce que para todos los planos perpendi- culares á las generatrices del cono asintótico, la componente de la tensión sobre la normal á dicho plano es nula. Sobre dichos planos no existen más que fuerzas tangenciales. * * * Los métodos gráficos que acabamos de explicar, y las ecuaciones que hemos establecido, se prestan á una amplia discusión, pero no nos detendremos en ella; en primer lugar, por ser sumamente sencilla, y porque en rigor más bien son cuestiones de Geometría analítica, que de Física matemática. En todos los casos, la interpretación física, ya de las cons- trucciones geométricas, ya de los resultados analíticos, no ofrecen ninguna dificultad. Claro es que los coeficientes A^^, TV^, A^;¡, en el caso gene- ral, serán desiguales en valor numérico; pero dos de ellos, ó los tres, pueden ser iguales, y esto trae consigo simplifica- ciones en las fórmulas y en las superficies que representan. Por ejemplo, consideremos el caso en que todas las ten- siones, alrededor del punto de que se trata, sean tracciones; — 514 — claro es, según hemos explicado, que la superficie indicatriz será una elipsoide; pues si N^ y TV, son iguales, el elipsoide será de revolución alrededor del eje de las z, y todos los planos que formen el mismo ángulo con el eje de revolución estarán evidentemente sometidos á tracciones iguales, y todas formarán un cono de revolución también alrededor del eje de las z. Todavía puede suceder que se tenga N^= N2 = N.¿, y entonces la ecuación se convierte en ó bien, 1 = N, X' + N, >'- + N; z\ 1 ViVi X- + y' + z^; de suerte que la superficie es una esfera cuyo radio 1 sera . En estas hipótesis, la construcción que antes explicamos demuestra que todas las tensiones son iguales alrededor del punto, y que todas son normales al plano elástico correspon- diente. Si todos los puntos del sólido gozasen de esta propiedad, sería un caso análogo al de los líquidos ó los gases homo- géneos, para los que existe el principio de igualdad de pre- siones ó tracciones. Pero la discusión completa de esta hipó- tesis exigiría un estudio especial, sobre todo para armonizar la actual teoría con la teoría cinética de los gases. * * * No debemos olvidar, que todo lo que hemos explicado en esta conferencia y en la anterior se refiere á un punto; mejor dicho, á cada punto del sólido elástico. - 515 — Las ecuaciones, las construcciones geométricas, las discu- siones generales, son las mismas para todos los puntos del sólido; lo que hemos dicho para uno, pudiéramos decir para otro cualquiera: el punto que hemos escogido no es un punto particular, es un punto general. Pero los resultados numéricos ó las magnitudes geomé- tricas varían de un punto á otro. Queremos decir que, por ejemplo, la ecuación no será la misma para los diferentes puntos del sistema. Al pasar de un punto á otro, si para el primero la superficie indicatriz era un elipsoide, aun suponiendo que para el segundo sea un elipsoide también, los coeficientes tendrán distinto valor numérico; de suerte que los ejes del segundo elipsoide tendrán distinta magnitud que los del primero, será, por ejemplo, la ecuación de dicha superficie, + 1 ^N\x-'-\-N',y' + N',z-\ Más aún; los nuevos ejes no serán paralelos á los ante- riores. De manera que si los planos coordenados quedan fijos de dirección y la ecuación del primer elipsoide era -{-\=N,x'^-i-N,y-^ + N,z^ la del segundo será, en general, -{-\=N\x''-\~N',y' + N',z-' ^2T\yz + 2r,xz + 2r^xy. Todo lo cual es natural, porque los coeficientes N y 7 son funciones de Xq, ^o, ^o, y, por lo tanto, varían de un punto á otro, siendo Xq, y^, Zq las coordenadas del punto que se considera. — 516 - Más aún; tal pudiera ser la distribución de las fuerzas exteriores que actuasen sobre el sólido elástico, que para unos puntos la superficie indicatriz fuera un elipsoide de presiones; para otro punto, otro elipsoide de tracciones, y para otro, según hemos explicado, el conjunto de dos super- ficies de segundo grado: un hiperboloide de una hoja y un hiperboloide de dos hojas, conjugados. Todo esto es evidente: no hay más que fijarse en que las N y T son funciones de Xq, y^, z^; es decir, de las coorde- nadas del punto que se considera, y que, al pasar de un punto á otro, ó sea, al cambiar de valor estas coordena- das, las N y las T, no sólo cambiarán de valor en general, sino que pueden cambiar también de signo, con lo cual se pasa de una superficie de segundo grado á otra de distinta naturaleza, por ejemplo, de un elipsoide á un hiperboloide. Una discusión completa de. todos estos casos sería intere- sante, pero no tiene cabida en un estudio elemental de esta materia. Así como, sólo por tratarse de un estudio elemental, por- que debe entenderse que me dirijo á principiantes, puede disculparse el que entre en ciertos pormenores. Hemos explicado en esta conferencia la llamada cuadrática indicatriz y las superficies que la representan; pero esta re- presentación analítica ó geométrica de la distribución de las tensiones alrededor de cada punto, no es única, y en la con- ferencia próxima explicaremos otros sistemas de represen- tación, que tienen importancia y que quizás son más senci- llos, que el que hemos explicado hasta aquí; el cual pudiera parecer algo artificioso, porque lo es, en cierto modo, el que sobre cada radio vector se tome la relación inversa de la raíz cuadrada de la proyección sobre dicha recta, de la tensión correspondiente al plano normal á aquélla. No lo es, sin embargo, como explicaremos en la confe- rencia próxima, aunque la cuestión es de escasa impor- tancia. 517 - XXV.— Elementos rte la teoría de la Elastieidad. Por José Echegaray. Conferencie! cuarta. Señores: Al empezar la exposición de la teoría de la Elasticidad por el método de Lame y sus análogos, dijimos que se partía ó se podía partir en este método de dos hechos expe- rimentales. Prímero: del concepto de tensión para cada punto y para cada dirección de un plano, que pasase por dicho punto. Segundo: de la existencia de una relación necesaria entre las deformaciones y los esfuerzos interiores. Claro es que ambos principios pueden deducirse de dife- rentes hipótesis sobre la constitución de los cuerpos elásti- cos, y así lo hicimos en el curso anteríor al completar la teoría de Cauchy; pero también pueden considerarse dichos principios como resultados puramente experímentales, y esto fué lo que hicimos nosotros de preferencia. Sentados estos dos principios, ó estos dos hechos, anun- ciamos que habíamos de estudiar uno y otro en las confe- rencias sucesivas. Y empezamos el estudio de las tensiones alrededor de un punto cualquiera. Claro es, que como alrededor de cada punto se pueden trazar infinitas rectas, tendremos infinitas tensiones, cada una de ellas correspondiente á un plano, y respecto á éste, en general, será oblicua la tensión de que se trata, y ten- dremos alrededor de ese punto infinitos planos con infinitas orientaciones. - 518 - Dichas tensiones pueden referirse á un área infinitamente pequeña de los planos que les corresponden, y dividiendo cada tensión por su área, y pasando al límite, hallaremos las tensiones por unidad de superficie. Y planteábamos este problema: ¿son arbitrarias todas las tensiones alrededor de un punto? O dicho con más exactitud: ¿trazando alrededor de un punto tensiones arbitrarias, podremos imaginar un cuerpo sólido y un sistema de fuerzas, que correspondan á esta dis- tribución arbitraria de tensiones? Contestamos negativamente: admitiendo la continuidad en el sólido, las tensiones no pueden ser arbitrarias. Hay seis cantidades para cada punto, que llamábamos Ni, N2, N.¿; T^, T.J, To, de las cuales dependen todas las demás tensiones. Y demostrábamos este importante teorema, fundándonos en que, cualquier poliedro infinitamente pequeño, que contuviese al punto en cuestión, debería estar en equilibrio bajo la ac- ción de las tensiones que actuasen sobre sus diferentes caras. Sentado tal principio, para desarrollarlo, buscábamos el equilibrio de un paralelepípedo y de un tetraedro, definidos convenientemente, y llegábamos por fin á una determina- ción analítica y á una representación geométrica de la distri- bución de esfuerzos alrededor de cada punto. El resultado más importante era éste: que para cada pun- to de un sólido elástico existen tres planos perpendiculares entre sí, á que se da el nombre de planos principales, y que si se consideran como planos elásticos, la tensión que sobre cada uno de ellos actúa es normal á dicho plano. O de otro modo: las tres intersecciones de estos tres pla- nos forman tres ejes, y cada uno determina la dirección de la tensión, que corresponde al plano de los otros dos. Para estos tres planos no hay, pues, fuerzas tangenciales; es decir, esfuerzos que actúen sobre dichos planos, tendien- do á producir deslizamientos. - 519 - Para los tres planos en cuestión no hay más que com- prensiones ó tracciones. Ad virtiendo, como advertíamos, que para cada punto del cuerpo, la dirección de estos planos principales es, en gene- ral, distinta. * * * Dijimos al terminar la conferencia anterior, de la cual acabamos de dar un breve resumen, que la representación gráfica de la distribución de tensiones, que habíamos dado, por superficies de segundo grado, y asimismo la cuadrática indicatriz, no eran únicas; y que en esta conferencia expon- dríamos brevemente otros sistemas de representación geo- métrica y analítica. Las ecuaciones generales que determinan para cada punto las componentes de la tensión correspondientes á cualquier plano que pase por dicho punto, y á que hemos dado, para abreviar, el nombre de plano elástico, son las siguientes: X=N,a-\-T,^+T^'^, en las que las A^ y las T son componentes de tensiones so- bre planos paralelos á los coordenados, y pasando por el punto; y a, [j, y son los cosenos directores de la normal al plano elástico correspondiente á la tensión, cuyas compo- nentes son X, Y, Z. Todo esto, para fijar las ideas, lo hemos representado en la figura 19. x', y', z son los ejes á que está referido el cuerpo. Ai, el punto de éste que se considera; x, y, z, los ejes que pasan por M paralelamente á x, y', z. p p, un plano cualquiera pasando por el punto M. — 520 — Mn, la normal á este plano, definida por los tres cose- nos «, ,3, y. MP, la tensión correspondiente al mismo plano p/?. Y, por fin, X, Y, Z, las tres componentes de la tensión P. Dichas tres componentes están expresadas por las tres ecuaciones anteriores, en función de las seis cantidades A^, T, ¿P ( / .n N-' .-jí — -v~^ — V"?^ Figura 19. que son constantes para cada punto, y que, en cierto modo, lo caracterizan; y además, en función de y, p, y que definen la orientación del plano /7/7. De suerte, que dado un plano cualquiera, podremos de- terminar por las tres ecuaciones anteriores la tensión que sobre él actúa por unidad de superficie, y para obtener el esfuerzo sobre un área sumamente pequeña, no habría más que multiplicar por dicha área la fuerza por unidad. El resultado será la fuerza que actúa sobre el área expre- sada y que tiende á romper el cuerpo por presión, tracción ó deslizamiento. Todo esto es perfectamente claro, y ruego que se me dispense, si insisto sobre cosas, que parecen elementales y que lo son en efecto. - 521 - De todo el estudio que hicimos en la conferencia anterior, hemos de aprovechar en ésta un resultado importante de aquélla. De él podíamos prescindir y empezar de nuevo exponien- do otros métodos de otros autores; pero como son proble- mas de Geometría analítica, más bien que de Física mate- mática, procuraremos seguir el camino más corto para llegar al resultado. Y el de la conferencia anterior, que vamos á utilizar en ésta, es el siguiente: En cada punto de un sólido elástico existen tres planos principales rectangulares entre sí, y para los cuales las ten- siones respectivas son normales á los mismos. De modo que de las seis constantes N, T no quedan más que tres, N^, N^, N^, y las otras, 7^, T.,, T.¿, son nulas para este sistema de planos coordenados. Según esto, haciendo 71 = 0,^ = 0,73 = 0, en los valores generales de las componentes de la tensión, X=N,a^Ts?>-}-T,y, Y=T,a-^N,^-\-T,y, Z-7,a+7ip + yV3Y, se reducirán estas ecuaciones á X = N^a, Z = N,y. Tales valores en que la X, Y, Z resultan proporcionales á los cosenos directores de la normal á cualquier plano elás- tico, nos dan el medio de construir una superficie represen- Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Febrero, 190S. 34 - 522 - tativa de la intensidad de la tensión para sus diferentes di- recciones. En efecto; sea M (fig. 20) un punto cualquiera del cuerpo, y sean xMy, y Mz,zMx los tres planos principales co- rrespondientes al punto M, los cuales tomaremos como pla- nos coordenados para estudiar las tensiones alrededor del punto M. Sea Ai 71a dirección de la tensión, y tomemos una longi- tud, M T, que represente dicha tensión. Figura 20. El punto M tendrá tres coordenadas, N P, PQ, M Q, que serán precisamente. las tres componentes X, Y, Z de dicha tensión. Si hacemos esto mismo para todas las tensiones alrede- dor del punto M, el lugar geométrico de los puntos T será una superficie, que se demuestra inmediatamente que es un elipsoide. En efecto; entre los tres cosenos «, P, y existe la relación — 523 — y substituyendo por a, p, y sus valores X . Y deducidos de las ecuaciones anteriores, tendremos la ecua- ción que será la ecuación de la superficie y que es, en efecto, la ecuación de un elipsoide referido á sus ejes. Si llamamos, como siempre, x, y, z las coordenadas de un punto del elipsoide, cantidades que son iguales á X, Y, Z, tendremos, para la ecuación de la superficie, x2 , v^ , 2^ + -T-=1. Ni' ^2^ ;v,2 A este elipsoide se le da el nombre de elipsoide de ten- siones; porque, en efecto, si por el punto M se traza un haz de rectas, el elipsoide cortará en todas ellas longitudes, que representarán las tensiones correspondientes á cada una de estas direcciones. Dicha representación es más sencilla, que la que explicába- mos en la última conferencia. Cada vector da la tensión que le corresponde; pero, en cambio, no determina el plano elás- tico á que dicha tensión se refiere. MT, en la figura 20, es una tensión; pero ¿cuál es el plano á que se aplica? La figura no lo dice, y el problema de las tensiones está representado de una manera incompleta. Sin embargo. Lame y los autores que adoptan este siste- ma, completan la precedente representación por medio de otra superficie de segundo grado. Pudiéramos seguir un método general para determinarla; - 524 - mas preferimos dar desde luego su ecuación y demostrar sintéticamente la construcción geométrica aplicable á la de- terminación de cada plano elástico. Sea la ecuación de segundo grado x2 y^- 2:- . , N. N. N. que podrá ser un elipsoide, un hiperboloide de una hoja ó Figura 21. un hiperboloide de dos hojas, referidos todos ellos á sus planos principales. Y vamos á demostrar que, así como los vectores ó líneas radiales del primer elipsoide determinan las tensiones, los planos tangentes de esta segunda superficie determinan los planos elásticos. Sea, figura 21, ABC e\ elipsoide de tensiones cuya ecua- ción hemos dicho que es / 525 » Z2 = 1, advirtiendo que no hemos representado, para no complicar la figura, más que la parte del elipsoide comprendido en el primer ángulo triedro. Supongamos, para fijar las ideas, que la superficie, cuya ecuación es representa también un elipsoide, es decir, que N^, M» ^3 son cantidades positivas. Lo que digamos para este caso, pudiéramos decir para cualquiera otra combinación de signos, recordando además lo expuesto en la conferencia precedente á este propósito. Sean, pues, en la figura 21, ABC e\ elipsoide, cuya ecuación es Y2 y2 y2 N,' yVo2 N.,^ y abe el elipsoide definido por >2 r2 + ^ + -77-- 1; N, N, N, 3 con estas dos superficies, el problema de las tensiones ó, me- jor dicho, los dos problemas principales quedan resueltos inmediatamente. Primer problema.— Dada la dirección de la tensión MS, determinar su magnitud y el plano á que corresponde. Si MS corta al primer elipsoide en T, y al segundo en f, trazando el plano tangente en t, que representaremos por ss, al elipsoide abe, la longitud de la tensión será MT, y la - 526 - dirección del plano elástico á que corresponde será ss. Bas- tará trazar por M un plano, //, paralelo á ss, para tener el plano elástico á que corresponde la tensión M T. En efecto, la ecuación del plano tangente al elipsoide abe, en un punto cuyas coordenadas sean x^, y^, z^, se sabe que es Pero las coordenadas del punto /, que son las que hemos llamado x^, y^^, z^, son proporcionales á las coordenadas del punto T, porque M, t y T están en línea recta; y además, las coordenadas del punto T sabemos que son X, Y, Z, ó bien sus valores N^ a, A^._, [á, N.¿ y; luego ^1 yi ^1 si á esta relación la llamamos k, tendremos: x^ = k .N^a, yi = k .NoA"», z^ = k . N.¿y; y substituyendo en la ecuación del plano tangente, y divi- diendo por k, y simplificando, k.N.ax . k.N.,^^y . k.N-.yz , I r; 1 rr — - = ^ J N, ' N, ' N, es decir, «^ -h P>' + r^ = —-: k pero se sabe, por Geometría analítica, que este plano tiene por perpendicular una recta cuyos cosenos directores son a, {i, y. Luego su normal es paralela á la normal del plano elástico correspondiente k MT. Así, pues, ss es paralelo al plano elástico, y trazando — 527 - por M el plano // paralelo á ss, éste será el plano elástico correspondiente á la tensión MT. Segundo problema. — Dada la dirección del plano elás- tico, hallar la dirección y magnitud de la tensión corres- pondiente. Según lo que acabamos de explicar, la construcción será ésta: Si // es el plano elástico dado, se trazará un plano ss tan- gente al segundo elipsoide y paralelo al plano dado. Se unirá el punto de contacto t con el punto M y se bus- cará la intersección de la recta Mt con el primer elipsoide. Si este punto es T, tendremos que MT será la magnitud de la tensión que corresponda al plano dado. * * Pudiéramos, como en el primer sistema de representación, examinar una multitud de casos particulares: Que el segundo elipsoide se convierta en el conjunto de dos superficies, á saber, un hiperboloide de una hoja y un hiperboloide de dos hojas. Que el elipsoide de tensiones sea de revolución. Que se convierta en una esfera. Que los ejes de la segunda superficie sean los tres igua- les en magnitud, ó que las superficies sean de revolución. Que se trate de buscar las tensiones cuando coinciden con las generatrices del cono asintótico las normales á los pla- nos elásticos. Todos éstos son casos que no ofrecen dificultad de nin- gún género, y en los que, por lo tanto, no insistiremos. * * * Si para un sistema de ejes se han determinado en cada punto las seis constantes N^, N.,, N-¿, T^, Ti, T^, fácilmente — 528 — se obtienen estas constantes para otro sistema cualquiera de ejes coordenados. Es un problema elemental de Analítica. Supongamos que á los ejes x, y, z se quiere substituir otros ejes x, y', z', que constituyan un sistema también rec- tangular; pues no habrá más que aplicar las fórmulas de transformación de coordenadas, que serán X = «1 x' + «2 y + «3 z, y = hx' + %y' + %z\ en cuyas fórmulas c/.,, ot^, a., son los cosenos de los ángulos que forman con el eje antiguo de las x los tres ejes nuevos X, y', z. í^ij ?2> Ps» son, asimismo, los cosenos de los ángulos que forman con y los ejes x , y', z . Ti> T-2' To> los cosenos de los ángulos que forman con z, siempre los tres nuevos ejes x', y' , z . Conviene recordar que las o., f¿, y satisfacen á seis ecua- ciones, que son elementales en Analítica. La nueva ecuación de la superficie indicatriz, en el primer sistema de los dos que hemos empleado, y que era ±: 1 = iV^x2 + A^,3;2 + N.z'^ + 2 T^yz + 2 TgXZ + 2 T.xy, tomará otra forma, que se obtendrá evidentemente substitu- yendo por x,y , z sus valores en función de las nuevas coor- denadas,-y tendremos, por lo tanto, para la ecuación en x', y' , z de la nueva superficie indicatriz, + 2r,(.^iX' + ^,/ + .3,z')(y,x' + Y,/ + Y3z') + 2n(c/,x' + a,/ + «3 2:')(YiX'+y./ + Y32') -t 2r3(7.,X-f«,/-fa3Z')(;\x' + ,3,/ + ;Í3Z'), — 529 - y desarrollando y ordenando por relación á z , y' x ten- dremos: d= 1 = {N^a\ + N.'^S + iVgy^ + 2 T,\^ + , + [A^i=^% + ^-{^'-^ + ^sf 2 + 2 ri.%y, + , +2 72^vr2 + 2r3a2.%]/2, + 27;a3y3 + 2r,a3yz'2, -i- 2 [iV,a.,c(3 + N^%^, + N^y.ys + 7^1(1^2 Ts + PsTs) + . + 7^(r2«. + ^2T.) + n('^2?. + ÍÍ2^3)] 3^'^', + 2 [TV^a^a, + N,?,.33 + Nsy^ys + ri(?3y, + ::i,y3) + + 7^2(ti«2 + T2^^i) + n(«ip2 + «2P1)] ^y'' Si partiendo de los ejes x , y', z', hubiéramos obtenido directamente la ecuación -de la superficie indicatriz, hubiéra- mos hallado, representando por N' y T, los nuevos coefi- cientes: ±\=N\ x'2 -f N'2/2 4- N'sZ'-' + 2 ri);'z' + + 2r,xVn 2 7'3X'/, de modo que, identificando esta última ecuación con la pre- cedente, tendremos para N', T', los valores: N\ = N,a\ + N,[i\ + N,f, + 2 7,i3,y, + + 2royia, -f 2r3ai|3i, N'2 = N, a% -r N/^S + N,f, + 2 r,.3,y2 + + 2 TayaCí., -j- 2 TgCaPa, A^'s = ^i«^3 + N^z + A^3f 3 + 2 rip3T3 + + 2r2y3a3 + 27;a3,33, - 530 - T , = 7Vi«2«3 + N,{-i,% + N.y.ls + 7Á%1b + T2P3) + + 7^2(72 «3 + «2T3) + 7^3 (^^2 1^3 + i^as), + 7^2(Ts«1 + «3 Ti) + 7^3(°'3?l + P3«l)» + 7^2(71^2 + «172) + 7^3 KP2 + fl°^2). Vemos, por lo tanto, que si por algún medio, que será naturalmente el de la resolución del problema de la Elastici- dad, se conocen los valores de las N y 7" para cualquier punto, es decir, para todos ellos en función de x, y, z, cuan- do el cuerpo está referido á un sistema de ejes, se podrán conocer desde luego los valores de N, Tpara otros sistemas de ejes cualesquiera, con sólo aplicar las fórmulas anterio- res, que dan las N', T en función de las N, 7 y de los cosenos que definen la posición de los nuevos ejes con rela- ción á los antiguos. Y volvemos á repetir lo que dijjmos anteriormente; todo lo dicho no constituye la solución del problema general: determinación de las tensiones, sino que reduce, por decirlo de este modo, la determinación de todas ellas á la determi- nación de las seis constantes N y T. Hemos reducido el nú- mero de incógnitas, y hemos hallado la ley de distribución alrededor de cada punto, pero nada más. Luego será preciso resolver el problema de la Elasticidad, determinando, por los métodos que expondremos, las seis constantes expresadas. * * * Terminaremos el estudio de las tensiones explicando un teorema muy notable, que traen todos los autores, que por otra parte es sumamente sencillo, y que pudiera utilizarse en 531 - algún caso, á saber: la igualdad de las componentes norma- les recíprocas. Sean (fig. 22) P, P^ dos planos elásticos, es decir, dos planos ideales, trazados en el interior del cuerpo y sujetos á las acciones elásticas, que pasen por un punto M. Sea Mn la normal al plano P, y Mn^ la normal al pla- no P^. Sean, por último. Ai 7 la tensión correspondiente al plano P; y Ai Ti la tensión que corresponde al plano P^. El teorema consiste en lo siguiente : Si cada tensión se proyecta sobre la normal correspon- diente al otro plano, las dos proyecciones serán iguales. Así: proyectando Ai T sobre Mn^, tendremos MN, y pro- yectando AÍTi sobre Mn, tendremos MN^. Y vamos á demostrar que MN = MN^. La demostración es sumamente sencilla: las tres compo- nentes de r sabemos que son, X=N^a+T,^+ T,y, Z= T,a + T,^ -^ N,y. Luego no hay más que proyectar el polígono formado por X, V, Z sobre la normal Mn ^ , que forma con los ejes ángu- los cuyos cosenos designaremos por a^, ¡í^, y^. - 532 — Tendremos, pues: ó bien MN={N,a + 73.3 -I- r^Y) «1 + (na + N,\i + riy),3^ + + (na+r,;3 + 7V3y)y„ Ó desarrollando + n(«Ti + T«i)+ n(«i\ + iS)- Si del mismo modo proyectásemos MT^, ó sean sus com- ponentes X^, Y^, Zi, sobre Mn, cuyos cosenos directores son a, ,3, y, con lo cual obtendríamos MN^, se hallaría exac- tamente la misma expresión, Pero este cálculo es inútil, porque el valor de MN es simétrico respecto á los dos grupos «, ¡3, y; «^ |3i, y^, y así se ve que, invirtiendo 'J-y 'j-i, y al mismo tiempo (3 y |3i, así como y y y, , la expresión permanece invariable. Con lo cual el teorema queda demostrado. Y con esto damos por terminado el estudio de las ten- siones. Pasemos al de las deformaciones de los cuerpos elásticos, y éste será el objeto de la próxima conferencia. Lo que de ésta nos queda, lo dedicaremos á recordar al- gunas ideas de Mecánica racional^ que son elementales, pero que no está demás que mis oyentes recuerden, porque de ellas hemos de hacer uso frecuentemente en lo que sigue. Diremos, pues, algo sobre la Composición de rotaciones infinitamente pequeñas. Se sabe, por Mecánica racional, que, cuando á un sistema de puntos se le dan movimientos infinitamente pequeños si- - 533 — multáneos, la posición final del sistema es la misma, que si todos estos movimientos se hubiesen dado á partir de la po- sición inicial, sumándolos después todos ellos; entendiendo la palabra suma en el sentido que ya se sabe, por ejemplo: sumando materialmente sobre cada eje las proyecciones de los desplazamientos parciales ó formando en el espacio pa- ralelogramos iguales al paralelogramo de las fuerzas. A este teorema se le da el nombre de superposición de mo- vimientos infinitamente pequeños. En el fondo, es lo mismo, que cuando en una función de diversas variables, x, y, z, se dan incrementos infinitamente pequeños á las variables independientes, dx, dy, dz, á partir de los valores iniciales. Representando por Adx, Bdy, Cdz estos incrementos parciales, se obtiene el incremento total sumándolos todos ellos; de modo que, incremento total =:Adx -\- Bdy -\- Cdz. El resultado sólo diferirá del verdadero en infinitamente pequeiios de orden superior. Figura 23. Pues estos principios vamos á aplicar á la composición de rotaciones. Sea A (fig. 23) un punto de un sólido. Supongamos que á este sólido se le comunica un movi- miento de rotación infinitamente pequeño alrededor del eje — 534 — AB,y otro movimiento de rotación simultáneo alrededor de AB^, infinitamente pequeño también. Por lo que hemos dicho antes, en vez de ser simultáneas las dos rotaciones, podemos suponer que son sucesivas, su- perponiendo los resultados. Recuérdese, además, que la rotación alrededor de un eje se define por el arco que describe cualquier punto que dista del eje la unidad; y agreguemos que toda rotación estará definida por lo que en las últimas conferencias del curso precedente llamábamos un vector. Es decir: la rotación alrededor de y^B se definirá trazando AB y tomando sobre esta recta una longitud igual al valor de la rotación. Supongamos que es esta misma longitud A B, que debe- mos considerarla como infinitamente pequeña, puesto que la rotación lo es. También se puede tomar cantidades proporcionales para todas las rotaciones. Por ejemplo: AB puede tener por valor w, siendo w una cantidad finita, y para obtener la verdadera rotación infinita- mente pequeña, habrá que multiplicar y4 5 por un infinita- mente pequeño fijo, que llamaremos dt. En algunos problemas podrá ser el tiempo infinitamente pequeño de la rotación instantánea. Del mismo modo la rotación alrededor á^ AB^ tendrá por valor el producto út AB^ por dt. En suma: rotación alrededor de AB ^dt, rotación alrededor át AB^ lo^dt. Y ambas rotaciones están simbolizadas por las dos rectas AB = iM AB^ = M^. Claro es que cualquier punto que diste de .45 la unidad, — 535 - describirá el arco infinitamente pequeño oidf en la primera rotación; y cualquier punto que diste la unidad úq AB^ des- cribirá otro arco infinitamente pequeño, w^í/f. En cuanto al sentido de las rotaciones, puede elegirse ar- bitrariamente, pero ha de ser siempre el mismo para todas ellas. Por ejemplo, de derecha á izquierda, para un observador que tuviera los pies en yl y el cuerpo en la dirección del \qc- iox AB. Comprendido todo esto, que no es más que recordar lo que de seguro saben mis oyentes, diremos: Que las dos rotaciones /I ^ y AB^ equivalen con infinita- mente pequeños de orden superior, á una rotación infinita- mente pequeña alrededor de A C, diagonal del paralelogramo formado por AB, AB^. Es decir, que A C, llamándola Q, representará el vector de la rotación resultante y única equivalente á las otras dos, y el cuerpo efectuará una rotación infinitamente pequeña, que consistirá en que el punto que dista la unidad del eje A C describirá un arco infinitamente pequeño, Q dt. Esto es lo que se llama la composición de rotaciones infi- nitamente pequeñas, que pasan por un punto. Y como lo que hemos dicho para dos rotaciones pudiéra- mos decirlo para un número cualquiera , resulta que diversas rotaciones infinitamente pequeñas alrededor de un punto, equivalen á una rotación única, cuyo eje ó vector se obtiene componiendo por la regla del paralelogramo de las fuerzas todos los ejes ó vectores componentes. La demostración es también elemental; vamos, sin embar- go, á recordarla, reduciéndola á su forma más sencilla. Y claro es que basta demostrar el teorema para dos rota- ciones. Para ello recordaremos un teorema elemental de Geome- tría. Si desde el punto M (ñg. 23), que para fijar las ideas, su- — 536 — ponemos que está fuera del ángulo BAB^, trazamos rectas MA, MB, MBi, MC, formaremos tres triángulos, que ten- drán por vértice M y por bases los lados AB, AB^,y \3. dia- gonal ACát\ paralelogramo, y el teorema consiste en que el área del triángulo que corresponde á la diagonal es igual á la suma de las áreas de los que corresponden á los dos lados; es decir, área MA C = área MA B + área MA B ^ . En efecto; el área del triángulo MAB es, representando por Mp la perpendicular á la base: -. . „ ABx Mp área MAB = —, 2 y suponiendo que Mp corte en d al lado B^C ^^^^.^^^^j^^ABxMp^AB (Md+dp)^ABxMd ABxdp 2 2 2 2' Pero ABxMd B^CxMd , ,,^ ^ = —^ = área MB^ C ABxdp , ABCB^ , . „ ^ = área = área A B^ C. De donde resulta: área MAB = área MB^C^ área AB,C y área MAB~[-área MAB,=área MB.C-^área. AB, C-\-MABi. Pero éstos tres triángulos forman precisamente el triángu- lo MA C; luego área MAB -1 área MAB, = área MAC, - 537 — y siendo Mp, Mp-^, Mq las tres perpendiculares á las lí- neas AB^ AB^, AC, tendremos: ABxMp AB^xMp^_ACxMq 2 2 "~ 2 ó bien ABxMp-\-AB, xMp^ = ACxMq. Recordando que se llama momento de un vector respecto á un punto, el producto del vector por la perpendicular ba- jada sobre él desde dicho punto, podremos decir, que la ecua- ción anterior nos demuestra: que en un paralelogramo de vec- tores MB, MB^, para un punto cualquiera, que esté en el plano de ambos y fuera del ángulo, el momento de la resul- tante es igual á la suma de los momentos de las compo- nentes. Si el punto, estando en el plano, se hallase dentro del án- gulo, entonces el momento de la resultante sería, numérica- Figura 24. mente, igual á la diferencia de los momentos de las compo- nentes. Y pasemos ya á la composición de rotaciones. Sean (fig. 24, que supondremos en perspectiva), A B, AB^ los vectores de dos rotaciones infinitamente pequeñas, aun- Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Febrero, I908, 35 — 538 — que hayamos exagerado ambas longitudes para claridad de la figura. Y SQa A C la resultante del paralelogramo. Cuando un cuerpo sólido gira alrededor de un eje, al cual suponemos que está invariablemente unido, basta para fijar la nueva posición del cuerpo, determinar la de uno de sus puntos; y para simplificar el problema, escogeremos un punto M en el plano del paralelogramo, y á este punto le somete- remos á las dos rotaciones AB = o) y AB^ = lo^. Prescindimos aquí del factor infinitamente pequeño dt, que suponemos comprendido en lo y 03^. Haciendo girar el cuerpo alrededor de A B, el punto M, cuya perpendicular sobre AB representaremos por p, tra- zará un arco infinitamente pequeño, Mm, que se confundirá con una recta infinitamente pequeña perpendicular al plano del paralelogramo. La longitud de dicha recta Mm será igual al producto del ángulo de rotación w por la perpendicular Mp -- p. De suerte que tendremos Mm = hip. Asimismo, la rotación alrededor de AB^ estará presen- tada, partiendo siempre de la posición inicial, por la recta infinitamente pequeña Mm^, cuyo valor será, representando la perpendicular Mp^ ^. AB^^ por /?, , AÍ/TZi = tOj p^. Ambas rotaciones, para el punto M, parten de la posición inicial de éste y se superponen; de modo que tomando m^n Mm, tendremos Mn = p w -|- pi o)j, Pero si al punto M le damos una rotación alrededor de A C igual h AC . q, siendo q la perpendicular di AC trazada — 539 — desde M, el punto M, por esta rotación única, vendrá á la misma posición que antes; porque en virtud del lema que hemos demostrado, Mn = iop -{- u)^p^ = A B . p ^ ABy .p^, es igual á AC.q. En efecto; según el lema cop -f w^p^ = ^4 C . ^. De manera, que las dos rotaciones infinitamente peque- ñas alrededor de AB y AB^ traen al punto Ai á la misma posición que la rotación única A C. Como lo mismo podemos decir de otros dos puntos cua- lesquiera del plano del paralelogramo (uno de los cuales pudiera ser A), resulta por fin que el plano del paralelo- gramo, y por consiguiente el cuerpo á que va unido, viene á parar á la misma posición por las dos rotaciones w y w^ simultáneas ó consecutivas, que por la rotación única Q= C que representa la diagonal del paralelogramo. De aquí resulta, que las rotaciones infinitamente peque- ñas alrededor de ejes que pasan por un punto, se componen y descomponen del mismo modo que las fuerzas. Por lo tanto, reñriendo la rotación alrededor de un eje cualquiera, que pasa por el origen O (fig. 25), á los tres ejes coordenados x,y,z, podrá descomponerse en tres rotacio- nes, p,q,r, alrededor de dichos ejes coordenados. Esto nos permite resolver el siguiente problema, del cual hemos de hacer aplicación en la conferencia próxima. Se da un eje cualquiera, /, que no está representado en la figura 25, pero cuyas componentes son, según los ejes, p,q,r. Se da un punto, M, perteneciente á un sólido ó á un sistema. — 540 - Este punto M tiene una rotación infinitamente pequeña, /, alrededor de dicho eje, y es claro, que si x,y,z representan las coordenadas de M, al terminar la rotación, estas coorde- nadas habrán variado; y se desea conocer dichas varia- ciones. En suma, se trata de hallar la variación de las coordena- das de un punto, por virtud de una rotación infinitamente pequeña alrededor de un eje que pase por el origen. Todo está reducido á conocer la posición final del punto / / / O' ///¡ //A l 1 1 ■4-4 // P fS Figura 25. M por virtud de la rotación / y á proyectar este punto sobre los ejes. Pero en virtud de lo que demostramos antes, tanto da de- terminar la posición final del punto M por la rotación / como por las tres rotaciones p,q,r, efectuadas á partir de la posi- ción inicial M. Estudiemos estas tres rotaciones. Empecemos por determinar la variación de x por virtud de las tres rotaciones p,q, r. — 541 - La rotación alrededor del eje de las x, como se efectúa en un plano perpendicular á éste, no alterará el valor de x. En la figura 25, M se proyecta en a sobre el eje de las x, antes y después del giro alrededor de dicho eje. Apliquemos la rotación alrededor del eje de la y. Lo mis- mo da estudiar la rotación q del punto M alrededor del eje de las y, que la de su proyección Q sobre el plano de las xz alrededor de O. Q describirá alrededor de O un arco QQ', infinitamente pequeño y de derecha á izquierda, si suponemos que éste es el sentido directo de las rotaciones. La longitud Q Q' será igual á la rotación q por el radio OQ, de suerte que QQ'= OQ.q. Y tendremos que proyectarla sobre el eje de las x para ver la variación que experimenta O a = x. El ángulo que forma Q Q' con el eje de las x es el mismo que el que forma OQ con el eje de las z, es decir, OQa. De suerte que siendo b' la proyección de Q' sobre x, ten- z dremos ab' = QQ' >c eos OQa=OQxq x = qz. Pero evidentemente será una variación negativa, como se ve en la figura; de modo que tendremos: variación de x por la rotación ^ = — qz. Análogamente podemos calcular la variación de x por la rotación de M alrededor del eje de las z. Da lo mismo considerar la rotación de M alrededor de z que la de su proyección P sobre el plano de las x y alrededor de O, y tendremos, repitiendo los razonamientos anteriores, variación x por la rotación r=aa =PP' eos OPa= OPx I tiva X r X -^ = ry, y esta variación es, evidentemente, posi- oP - 542 - Luego la variación de x por virtud de las tres rotaciones componentes, ó sea de la rotación J, será, reuniendo las dos variaciones parciales con sus signos: variación x = ry — qz. Si hubiéramos elegido el sentido contrario para la rotación, los signos serian los contrarios. De igual suerte podemos calcular las variaciones de y, asi como las variaciones de z; pero, según explicábamos en las conferencias del curso anterior, no hay más que aplicar á la fórmula hallada las dos substituciones circulares {PQr) {xyz); de modo que obtendremos para las variaciones que produce una rotación / cuyas componentes son p, q, r, sobre las coordenadas x, y, z de un punto, las tres expresiones si- guientes, en que 3x, ^y, ^z son dichas variaciones, 7jx-= ry — qz, Tiy z=pz — rx, oz = qx — py. Se supone que la rotación es de derecha á izquierda para un observador colocado en la dirección del vector. Todo lo que precede, pertenece á la Mecánica racional, pero son fórmulas de uso tan frecuente, que no creo que el haberlas recordado haya sido completamente inútil. La regla nemotécnica para retenerlas de memoria es bien sencilla. En el segundo miembro de cada fórmula, entran las dos coordenadas distintas de la que contiene el primero. Por ejemplo, en variación z, el segundo miembro contiene - 543 - las otras dos coordenadas x, y; y respecto á las componen- tes de las rotaciones, entran también las dos primeras p y q; pero alternadas con las x, y: es decir, la segunda con la pri- mera, q con x; y la primera con la segunda, p con y. Lo mismo podemos decir de los otros dos términos. En ^y entran las otras dos, z, x, que son última y primera; y en las rotaciones, también la última y primera r, p, y alternadas. Finalmente, para pasar de la primera fórmula á las otras, no hay más que aplicar, como hemos dicho, las substitucio- nes circulares; y para pasar de la última á las primeras, estas mismas substituciones circulares, invertidas. No ha de olvidarse tampoco lo que hemos dicho, respecto al sentido de la rotación. * * * Como para el estudio de las deformaciones hemos de to- mar por guía el trabajo de Mr. Sarrau, á que nos hemos re- ferido varias veces, así como las notaciones de este autor, aplicaremos desde luego estas últimas á las fórmulas que preceden, substituyendo: á nx,^jy,^jz MpVi, iVj; á X, y, z h, k, I yá p,q,r PvPi>Pz Además, supondremos ahora, como el autor citado, que las rotaciones directas son de izquierda á derecha; para lo cual, deberemos cambiar los signos de las últimas fórmulas. Con lo que tendremos "i = pJ — P:',k, v^=p.,h ~p,l, Wi=p^k ~ Pih, — 544 — Estas fórmulas significan que cuando un punto, cuyas coordenadas son h, k, I, gira alrededor de los tres ejes coor- denados, verificando las rotaciones infinitamente pequeñas Pv Pi> Ps alrededor de x, y, z y de izquierda á derecha, las proyecciones del punto, sobre los ejes, sufre tres desplaza- mientos, «1, Vj, iVj, cuyos valores son los que expresan las fórmulas anteriores. XXVI. — Mareómetros y mareógrafos de sifón. Por Eduardo Mier y Miura. 7. — Cálculo aproximado de las correcciones para los mareó- metros y mareógrafos del Atlántico. Claro es que cálculos análogos á los precedentemente esta- blecidos para el mareógrafo de Alicante, pueden efectuarse para los de Cádiz y Santander, pero teniendo el piso del edificio de este último la cota de + 2"',684 y sólo la de + 0"',825 el suelo del de Cádiz, y correspondiendo en éste menores oscilaciones al nivel del mar que en aquél, como nuestro objeto principal es demostrar la posibilidad de emplear los mareómetros de sifón en todo el litoral español, eligiremos, para nuestro estudio, el mareógrafo de Santander, que resulta en condiciones mucho peores. La menor cota observada en las aguas del mareógrafo de Santander durante diez y seis años es de — 5"',472; pero nosotros supondremos que puede llegar á bajar hasta — 5'", 70, y en vez de la cota máxima observada -f 0"',0812, admitire- mos la de -f 0"',30, con los cuales números, siendo como hemos dicho -|- 2'", 684 la cota del piso del mareógrafo, resul- — 545 — tara que, cuando más bajas estén las aguas, distarán vertical- mente de él 8'",384, y cuando menos, 2"',384. A la oscilación total admitida de 6 m, corresponde próxima- mente otra en las superficies de mercurio de ^ 0,"'451, 13,3 de modo que sobrará con que tengan 60 centímetros de lar- go las ramas del tubo del mareómetro; pudiendo deducirse de este dato de cálculo que no hay medio alguno de que aquél deje de funcionar aun en las más bajas mareas, puesto que estableciéndole de modo que su parte inferior esté á unos 75 cm. del suelo, la superior no llegará á quedar más que unos 8,384 + 0,75 + 0,60 = 9"', 734 sobre las más bajas aguas. Además, se infiere de los números precedentemente calcu- lados que, en bajamar viva, la diferencia de nivel entre la superficie libre del mercurio, y la de las aguas del mar, no llegará ni á 9'",20, pudiendo adoptarse este número, como un límite máximo de los valores de D, en la expresión de las correcciones por presión barométrica. Calculando ésta, tomando valores medios entre los extre- mos que para t, B' y D resultan realmente en Santander, cual antes lo efectuamos para Alicante, obtendremos: D =^m B' = 750 t = W p 2 DB; ^ 9000 _ Q,„. ^3. 16000 + 64/ — D 16954 y como para esa temperatura de 16" corresponde, en las tablas que hemos calculado, la escala 13,318, resultará una corrección media por presión barométrica de unos: + 7 mm - 546 — Como las temperaturas extremas observadas en Santan- der son + 34°,40 y — 3^80, y las presiones, 778'""',42 y 732""", 54, exagerando estos datos, poniéndonos en las peo- res condiciones, seguramente la mayor corrección del género de las que ahora examinamos será inferior á la calculada á continuación. p_ 2 X 9,2 X 780 _ 14352 ^ ^ „,„g^ 16000-64x4 — 9,2 15734,8 mm 0;""'91 X 13,234= 12 Cometeríase, por lo tanto, un error de 5""" al adoptar la co- rrección constante de 7""" que antes señalamos; pero téngase en cuenta que para llegar á tal error se necesitan circunstan- cias especialísimas y extremadas en la temperatura, la pi'e- sión barométrica y la situación de las aguas, que difícilmente concurrirán una sola vez y contados instantes en veinte ó más años, no debiendo olvidarse que en los mareógrafos ordinarios, no ya de esa manera tan excepcional, sino de continuo, sólo el error debido á la inercia llega, como más adelante veremos, á valer algunos centímetros, con la nota- ble y decisiva diferencia de que en nuestra mano está el calcular cuánto vale la corrección expresada, con un error completamente despreciable; mientras que las inexactitudes que de la inercia dependen es punto menos que imposible estimarlas en su variable valor. Por otra parte, aun sin calcular en cada caso la corrección debida á la altura barométrica, fácil es encerrar el error co- metido entre límites totalmente despreciables. Obsérvese, para conseguir esto, que según atestigua la fórmula de esa corrección, las variaciones que menos influjo tienen, son las que experimentan las temperaturas, ya por la forma en que éstas entran en su denominador, ya por in- fluir en sentido contrario en el valor de la escala, puesto que — 547 - al paso que ésta crece con t, disminuye en cambio el valor de P, por aumentar su denominador. Las otras dos cantidades variables que entran en la fór- mula que da el valor de P, que son B' y D, pueden variar cuando más: la primera entre 730 y 780'"'" y la segunda en- tre 9'",2 y 3'",2, advirtiéndose desde luego que las mayores alteraciones que su producto, y el valor de P, por lo tanto, experimenta, corresponden á las del menor factor D, puesto que poniendo aquél bajo la forma: (3,2 + v) (700 + v') = 2240 + 700 v + 3,2i;' + vv', si bien v' puede variar entre 30 y 80 y y sólo entre O y 6; el factor que multiplica á esta última variable es unas 200 ve- ces mayor que el coeficiente de v'. Atendiendo á esto puede tomarse como guía, para la co- rrección que ha de introducirse, el valor del desnivel D, ó del que exista entre las superficies del mercurio en las dos ramas del mareómetro, íntimamente ligado con aquél, y acep- tar la siguiente tabla, en que al lado de cada valor de m está el correspondiente de la corrección que ha de emplearse, procediéndose para las lecturas intermedias por una interpo- lación mental, cual se acostumbra ordinariamente á hacer. Valor Valores de la lectura. de — la corrección debida , , „ á la presión '2^. barométrica. 10 cm + 3nim 15 — + 4 20 - + 6 25 - + 7 . 30 - + 8 35 - + 9 40 — + 11 45 - + 12 Para demostrar la bondad de esta tabla, tomemos un ejem- plo á capricho, para comprobarle, entre los que hemos calcu- — 548 - lado, y supongamos que se ha hecho la lectura m -^ 34 cen- tímetros y observado la temperatura de 2°. Con arreglo á este último número dan las tablas e = 13,259 para la escala, y correspondiendo próximamente á los 17 cm. una correc- ción de 5 mm. podremos escribir: a = 0,34 X 13,259 + 0,005 = 4,"' 51 3 y veremos cuan poco puede variar la corrección aceptada, 5 mm., de la verdadera. Los casos extremos que para ese desnivel y esa tempera- tura pueden ocurrir son cuando 5' =730 y 5' = 780, y fácil es ver que: para B' = 730 P = 0'""',38 Pxe = 5""",04 » B' = 780 P = 0""",41 Pxe = 5,44 es decir, un error que cuando más no llega á valer medio mi- límetro de altura de las aguas. 8. — Determinación de las cotas del nivel de las aguas. Los cálculos que hemos hecho marcan el camino que ha de seguirse, bien para hallar con toda precisión ó ya con errores algo mayores, pero despreciables, el valor de las al- turas de las columnas de agua a, es decir, de las í/ D de la figura 1 ." Para obtener de esa cifra las cotas que el nivel del mar D tiene, con relación á un plano cualquiera de comparación, hay que efectuar tan sólo un sencillísimo cálculo. Sea el plano elegido el 00, que pasa por los ceros de las dos escalas en que leemos las alturas m t y p v (fig. 1.') que - 549 - luego restamos para determinar p m, base de todo el cálculo. Evidentemente la cantidad buscada: xD = qD ~ xq; y claro es que siendo qD lo que hemos llamado a y qx =- = v/7, xD = a —vp; luego con restar de los valores de a, calculados como ya in- dicamos, el de la lectura hecha en la rama del tubo en 6''que sigue hasta el mar, obtendremos la cota deseada. 9. - De algunas correcciones que pueden despreciarse desde luego. Habrá quien observe que hemos prescindido, en cuanto precede, de los errores que puedan producir los meniscos que el mercurio pudiera formar en las dos ramas del tubo en u, y así ha sido ciertamente; pero como en cuanto los tubos tienen de 2,5 á 3 cm. de diámetro interior, las depresiones que en sí llevan esos meniscos desaparecen, y de 3 cm. ó más pueden ser los tubos empleados en los mareómetros, no hay para qué ocuparse de estas depresiones. Además, aun cuando existieran esos meniscos por usar diámetros inferiores, como influyen próximamente en el mis- mo sentido en ambas ramas, al hacer la resta de ambas lec- turas, el mareómetro está en el mismo caso que el baróme- tro de Gay-Lussac, en el que generalmente se admite la com- pensación de esos errores, que, por otia parte, si en ello hay gusto, puesto que no existe conveniencia ni necesidad, pue- den estimarse, tomándose el trabajo de medir las flechas de ambos meniscos y usando la conocida tabla de Delcros. Tampoco hemos mencionado las correcciones que las lec- turas han de sufrir por la influencia de la temperatura en las — 550 - escalas, aumentando ó disminuyendo el valor de sus divi- siones; porque verificándose estas variaciones de una ma- nera simultánea en ambas, por sí solas desaparecen, al hacer la resta que da el valor m empleado en los cálculos. En las observaciones á que dan lugar los estudios astronó- micos y los de la gravedad por medio del péndulo, admítese como corriente, que poniendo entre las dos rayas de una es- cala de Füss, que á veces distan entre sí un milímetro, otro trazo de unas cuantas décimas de milímetro de ancho, el observador estima á ojo, en estas mismas reducidísimas uni- dades, la distancia que al eje del tal trazo separa de la inme- diata raya y no fueía, por lo tanto, caso maravilloso ni inau- dito que pretendiéramos que á la simple vista pudieran esti- marse las alturas de las columnas de mercurio en décimas de milímetro; pero mejor será, aun cuando esto aumente el pre- cio de los aparatos, si se busca gran precisión en ellos, em- plear en una y otra rama los conocidos nonios, que de ordi- nario se utilizan con análogo fin en los barómetros. Podrá cometerse así un error de lectura en cada rama, in- ferior á una décima de milímetro, y claro es que, al restar ambas, según el signo de aquéllos sea, aparecerán restados ó sumados en el resultado. Esto último supondremos, por creer que es el camino más seguro para evaluar debidamente la precisión de un instru- mento, que aparece encubierta muchas veces bajo aparato- sos resultados, cuando se acude al socorro de las repeticiones y al del cálculo de probabilidades. De ese modo, podremos afirmar que conocemos m con un error que no excede de 0,2'"'", y podremos escribir: números exactos a = m. e -{■ Pe ídem aproximados a-±:E = e{m±£.) + Pí;e-<0,2'""' despreciando por ahora el error de Pe, del que ya hemos ha- blado bien largamente. - 551 — El error debido á las lecturas, será: y como ya antes indicamos que en todas las costas de nues- tra Península : e< 13,448, resulturá que: E < 0/'0002 X 13,488 = 0,'"0026976; luego no excederá seguramente el máximo error cometido de 2,7'"'" de altura de agua, número que por su pequenez es ab- solutamente despreciable, dada la naturaleza de la cantidad medida, aun sin compararla con los errores veinte veces ma- yores que los mareógrafos ordinarios dan. X. — Reducción de las dos lecturas de los mareómetros á una sola, y amplificación de la escala. Como es condición inseparable de nuestra naturaleza el acoger con prevención todo lo nuevo, esmerándonos en encontrar defectos, sin cuidarnos de los que existan en lo que por bueno nos han dado y como tal hemos aceptado, podrá quizás decirse que la lectura única de los mareóme- tros ordinarios venimos á substituirla por dos, haciendo de este modo más enojosa la observación, y podrá también afir- marse que la escala con que las variaciones del nivel del líquido se acusan en ambas columnas de mercurio, que se acerca á — , es excesivamente grande, y aun cuando en todo 27 lo que precede queda demostrado que, con esta escala y todo, las condiciones de precisión son excelentes, y aunque el uso de dos lecturas, á las compensaciones que entre sí establecen unen la comprobación recíproca que dan, con - 552 — todo y con eso^ demostraremos que esa escala de las lectu- ras puede reducirse enormemente y que también es hacedero substituir por una sola ambas observaciones. Las consideraciones por las cuales hemos llegado á la igualdad: a = m. e-\- P. e son completamente independientes de la forma y de las dimensiones que las dos ra- mas del tubo en u tengan, así es que seguirán verificándose cuando demos á éstas la for- ma que tienen en la figura 2.'', en la que suponemos la exis- tencia de una ancha cubeta, D, en la rama que comunica con el mar. El mercurio, cuando el ma- reómetro está sin cargar, tiene la posición de equilibrio, en la que las dos superficies o y m 11 vienen á ser prolongación la una de la otra, y una vez cargado, siendo Ai' Ai' el nivel de las aguas del mar, toman aquéllas la situación o y mn, cambiándose éstas por las m'rí y o" cuando las aguas des- cienden á M" M") pero en todas las posiciones, las columnas de azogue de alturas q'x',q" x"... equilibran á las correspon- dientes de agua de marp' v',p" v"..., pudiéndose escribir que: a=p'V = q'x. e -f P.e = {q'q + qx')e-j-Pe = = {q'q + oo')e -\- Pe a = p"v" = q"x." c-{-Pe={q"q + qx") e-\-Pe = = {q"q^oo")e\-Pc, - 553 - puesto que en todas las posiciones, las alturas de mercurio ro',ro"... se hacen equilibrio con las sx,sx"...; las de agua fq',fq"..., con las up', up"..., y \as q'x',q"x"... de mercurio, con los de agua p'y, p"y"...; siendo lícito, por lo tanto, escribir la fórmula general: a = {qq + oo')e -f Pe; . y observar que, indefectiblemente, como la cantidad de mercurio en que disminuye la rama AB q.% precisamente la misma en que aumenta la cubeta si designamos por R el radio de ésta y por r el de aquélla: oo'. 71 r^ = qq'. - R- o' qq' = oo' r^ R' valor que, llevado á la expresión general, la convierte en: a = (oo' + oo'~^\e-{-Pe = oo'(\i-^y + Pe, y como la suma calculada entre paréntesis es una cantidad fija, resulta que la escala aparece multiplicada en realidad por una constante, transformándose por lo tanto. Con tal de que r=\cmyR = 4, aparecerá que: a = oo' (\ + —] e-^Pe = oo' — e + Pe, V 16/ 16 que para el valor medio de e 13,3 da a = oo'A4,\3-\-Pe, indicando las oscilaciones de oo' no ya la fracción - — de las ^ 26,6 que experimenta el agua del mar, sino la , próxima- mente. Rev, Acad, de Ciencia?, — VI. — Febrero, 190S. • 36 - 554 - 11.- Conversión de las lecturas mareométricas en cotas. Para deducir de esos valores de a los correspondientes á las cotas del mar, observaremos que tomando el plano omnp como superficie de comparación, las diversas cotaspv', pv"... son los resultados de las restas/;' y' — pp',p" v" — pp"— pudiendo escribir en general: c = a — pp = a — 00 a2 /?2 y aquí conviene observar que eligiendo á r suficientemente pequeño con relación á R, pueden construirse mareómetros r- en que esa corrección oo' — sea completamente desprecia- ble. En uno de los mareómetros de cubeta que hemos construí- do, tiene ésta un diámetro de 150 mm., mientras que es de 3,5 el del tubo en que se leen las oscilaciones y con arreglo á éstos datos: _£!_ — J¿1 — _L_ R' " 150-' ~ 1837 ' de modo que, aun cuando oo' llegara á valer 0"',5, resultaría 05 una corrección despreciable de ' — O'", 0003, pudiendo 18,37 adoptarse los valores de a como cotas, con la plena seguri- dad de que jamás se llega á cometer por esto un error de 3 décimas de milímetro en el nivel deducido para el agua. 12. -Aumento de la escala por medio de tubos auxiliares. De la expresión general: — 555 - a I fc^ Ky A 4 se deduce que sean los que quieran los valores de /' y /?, ja- más podrá conseguirse observar en la rama A B del mareó- metro oscilaciones que lleguen á valer siquiera — , y como e es siempre superior á 13, parece que no es fácil aumentar la escala en que los líquidos del mareómetro den sus indica- ciones, y así es, en efecto, si éstos no sufren alguna variación. Pero unamos á la rama libre A" del aparato otro segundo tubo, en U, A'", figura 3, llenándole en parte con otro líquido distinto del mercurio, y con esa sencilla trans- formación podremos disponer de la escala que se nos antoje, den- tro de muy apartados límites. Para la posición que indica la figura, en que el nivel del líquido auxiliar llega á A'", fácil es ver, que haciéndose equilibrio las dos columnas de agua de mar que están sobre la horizontal a A' y \ las dos del líquido indicador que ¡ ~ están por cima de A" I, así como !£ las de mercurio que resultan en la parte inferior y las otras dos que quedan por debajo de A" I, solamente restan: la colum- na de agua de mar aa' , la de mercurio de altura mm' y la del líquido auxiliar//', que entre sí equilibran sus esfuerzo^, compensando una parte del que á aa corresponde el que en sentido contrario establece la mm , y la otra parte restante el que es propio de la //', cuya acción se suma con la del mercurio. De un modo general, si d^, da y di representan respecti- vamente las densidades del mercurio, del agua y del líquido auxiliar, claro es que la parte x de aa que equilibra la - 556 — altura de mercurio mni, estará dada por la proporción in- versa: ^ ^"' de donde x = /72m' ^"^ mm da ' da ' así como la parte y que á //' corresponde se deducirá de la y di , „, di -j-= — ,queday = Il -—, II da^ da valores de x é ^^ que sumados dan: aa = X + 3; = mm — - + // — ; da da y para otra posición distinta: «1 « 1 = /"l m ,----}- 1,1 i—, da da que restada miembro á miembro de la anterior produce la igualdad: {a a -a,a\) = (mm' - m,m\) ^ + (ir - I,l\)-^, da da que liga las variaciones de la altura de la columna de agua de mar con las de mercurio y con las del líquido auxiliar. Para relacionar estas últimas variaciones con las primeras será preciso eliminar las que corresponden al mercurio (mm' — m^m^) y para ello basta con fijar algo la atención, sobre la figura S."*, en lo que sucede cuando varía el nivel a A de las aguas del mar. Supongamos, por ejemplo, que ese nivel sube. Como con- secuencia inmediata de esta subida, bajará el mercurio en el tubo A', ascenderá en el A" y el líquido auxiliar también su- birá en A", 6 en otros términos, habrá bajado la horizontal a A' y habrán subido las m' I y A'" /'. — 557 - Si atribuímos, para simplificar los cálculos, igual diámetro á los tubos A' y A", claro es que el nivel del mercurio en el primero habrá bajado tanto como haya subido en el segundo, y la variación de altura experimentada por la columna de mercurio, mní — m^m'^ será el doble de uno de aquellos dos cambios de nivel, que representaremos por a; de modo que: (mm' — m^m'^ = 2 a. Por atra parte, la altura de la columna de liquido auxiliar si designamos por p lo que haya subido el nivel en el tubo A'", cuando la horizontal A" I ha subido también la altura a, habrá experimentado un cambio representado por p — «, y podremos establecer que: //'_/,// =,^ — «. Y como precisamente la cantidad de líquido auxiliar que ha desaparecido del tubo A" es la misma que ha pasado al A'", s\ r y R son los radios respectivos de esos tubos, evidente es que: r- R' Este valor de a substituido en las igualdades anteriores da: (/7Z/72'— /7/i/7Z'i) = 2,3-— , A" ,(//'-/>/'.) = ?(l--g-), que á su vez producen la: (aa-«.«,) = P(2-.--^- + -j- R^ \ da da J da 558 y si se designa por v la variación de nivel que ha experimen- tado el agua del mar, como: (a a' -~ a ^^ a\) -^ V |- a = v -f- fi se tendrá, finalmente: í/, a )+ í1, que relaciona las variaciones del nivel en el mar con las del líquido auxiliar en el tubo A'", expresando la proporcionali- dad entre ambas. Se llegaría á obtener el valor 1 para la escala, cuando todos los líquidos tuvieran idéntica densidad, hecho que, si bien comprueba la bondad de la fórmula, en realidad no cabe aprovechar para nada útil, toda vez que si se usara el instrumento como mareómetro, se descargaría desde luego, y si se colocara muy bajo, para que esto no sucediera, tra- tando de darle otras aplicaciones especiales, quedaría redu- cido su papel al que pudiera desempeñar un sencillo tubo, indicador de nivel. Pero, al mismo tiempo, evidencia esa fórmula la verdad de cuanto precedentemente asegurábamos, al sostener que, por medio de tubos auxiliares podría conseguirse observar oscilaciones en los mareómetros muy superiores á — de las que el nivel de las aguas experimentara, porque claro es que empleando líquidos auxiliares de mínima densidad, y dando convenientes valores á r y /?, el coeficiente de la es- cala, por el que aparece multiplicada ¡3, en la fórmula ante- rior, puede llegar á tener valores muy inferiores á 13. Si en la rama A'" (fig. 3) echáramos suficiente líquido auxiliar, evidente es que podríamos conseguir que siempre, por baja que estuviere la superficie de nivel del mercurio, resultara más alta que ella la del h'quido auxiliar A'". - 559 - En este caso, en vez de equilibrar la columna aa de agua á las de mercurio y de líquido auxiliar, se sumaría la acción de esta última con la de la primera, para compensar el efecto de la segunda, pudiendo llegarse por análogas consideracio- nes á las antes expuestas á establecer las igualdades aa = mni // — , 'a da da {aa'~a,a\)=(nim'-m,m\)^-(ir-l,l\)-^. da da Y designando, como antes, por / el cambio de nivel del mercurio en uno de los dos tubos A' ó A", supuestos de igual radio, para una bajada de nivel del agua m iii' — m^m( = 2 «, así como representando por ^"^ el descenso de nivel en el tubo auxiliar: que nos conducirían á la misma relación antes hallada entre v y ¡3, toda vez que esta última diferencia //' — /i/i', habría de restarse, en vez de sumarse, como antes. En general, por lo tanto, las variaciones de nivel están enlazadas entre sí por la relación: i;-^a = 2a-'iL-j-(,3_a) '^' di da que con la o „ 1 - 560 - permite eliminar p ó a, según convenga, y referir las varia- ciones de nivel del agua á las del líquido auxiliar 6 á las del mercurio. 13.— Aplicación de los tubos auxiliares en un caso especial. Para hacer resaltar más fácilmente cuanto acabamos de indicar, hagamos la hipótesis de que el liquido auxiliar sea también agua del mar (di = da), aunque no sea favorable, y en tales condiciones como: ^^P-fU^' +'P' asignanda á — el valor medio 13,3, resultará que: da Para que las variaciones de nivel en el mareómetro sean la — parte de las que experimente el agua del mar, bas- n tara con que r y R sean tales que: 24,6 — 4- 1 = /z, o sea que r2 24 6 24,6 -i— = /z - 1 6 R' = -^'— r^ R' n-\ R = r . \ I 24,6 fórmula que aplicada, por ejemplo, al caso en que se de- - 561 - seara obtener en el mareómetro variaciones tres veces me- nores, nada más, que en el mar, nos daría la relación R = 3,51 r, es decir, que si r vale, por ejemplo, 1 cm., bastaría con que el radio del tubo más grueso, que tontiene el mercurio, tu- viera un diámetro de 7 cm. próximamente. 14.— Mareómetros para grandes profundidades. Las anteriores fórmulas se prestan á una curiosa discusión acerca de los valores y signos de las cantidades que en ellas intervienen, que omitimos, tanto por creer que no es de re- sultados más prácticos que las consideraciones ya apunta- das, cuanto por el deseo de abreviar este trabajo. Y por eso mismo aquí daríamos fin á este estudio teórico si no quisiéramos salir al reparo de alguna objeción que, con visos de fundada, pudiera hacerse acerca de la utilidad de los mareómetros de sifón. No sería difícil encontrar quien dijera que los mareóme- tros eran aparatos sencillos, baratos y muy precisos; siendo una verdadera lástima que el propio modo de ser de las co- sas limitara su empleo en tales términos que, sólo en conta- dos lugares pudieran establecerse, ya que su teoría exige que la parte más alta del sifón no pueda estar sobre las aguas arriba de unos 10 metros. Basta con esta altura, como hemos demostrado, dando preferencia al estudio del mareómetro de Santander, por esa misma razón, para que los mareómetros de sifón puedan emplearse en todas nuestras costas, tal y como los hemos descrito; pero aun prescindiendo de esta consideración, para destruir por completo la censura antes apuntada, bueno será que demostremos que utilizando el principio de los citados mareómetros y sin más que uno ó varios tubos, del mismo ó — 562 diferente diámetro, y un poco de mercurio, pueden medirse los desniveles de un líquido, esté á la profundidad que quie- ra, y aunque resulte la parte más alta del sifón, no ya 10 metros sobre las más bajas aguas, sino 20, 30 ó más; demos- tración que haremos á la ligera por considerarla de interés casi nulo para el establecimiento de mareógrafos en España. Sumepjamos en el mar un tubo A B C(fig. 4.') provisto de una cubeta A, y lleno en su parte inferior de mercurio, y si- tuámosle á tal profundidad que las más bajas aguas no lle- guen, ni con mucho, á des- cubrir la boca de aquélla; echemos agua en el tubo estrecho CB, ú otro líqui- do de poca densidad y ob- tendremos un mareómetro sencillo y barato, que pue- de usarse cualquiera que sea la profundidad de la bajamar. La teoría y cálculo de los resultados de esos apa- ■- ratos son análogos á los que ya hemos expuesto, quizás con sobrada pesadez; así es que analizaremos los que corresponden al tipo de cubeta que hemos empleado, siguiendo un procedimiento algo distinto en la forma, siquiera para conseguir alguna variedad, al par que de este modo resulte demostrada la facilidad con que estos estudios pueden tratarse. Siendo, como siempre, í/„, la densidad del mercurio, d„ la del agua del mar y d¡ la del líquido auxiliar, B' la pre- sión barométrica en a a, superficie del mar, y 5 la que en / existe, y tomando como origen el plano o o', podremos es- tablecer para la posición de equilibrio de las superficies a, X, y, 1: 0 0 o o — 563 B'-^ax^ + ox^-B-oy^- ly ^ = o, di di di di ó sea, suponiendo para abreviar, da = di {ao -xo)=ly-(ox — oy)-^^B- B', da para otra posición de equilibrio d, x, y', I', se obtendría {do - x'o) = I y' - {ox - oy') -^j^b-B', de la cual, restando miembro á miembro la anterior, se dedu- ce, teniendo en cuenta que I' y' = ly, por no variar la canti- dad de líquido poco denso del tubo C, {do-aó)-\-{xo-xo) = {{ox-ox')-\-{oy'--oy)]-~-, da Ó da -f- xx = XX . e + yy'e, y como xx-!^R^ = yy'r.r^(R : radio de A; r el de C), "«' = (' +-:^y-'^="'-^('+-Í7)- despreciando la corrección xx', que, como ya demostramos, puede hacerse completamente inofensiva. Esa última fórmula, igual, como debía ser, á la que obtu- vimos para los mareómetros de cubeta, demuestra que las fluctuaciones de la superficie / son proporcionales á las del nivel a y marca la escala de proporcionalidad. Todo el razonamiento que hemos hecho es en su fondo in- dependiente de la altura constante I y; de modo que teórica- mente puede establecerse el mareómetro á la profundidad - 564 — que se quiera, y sin otras limitaciones en la práctica que las que en sí lleven las dimensiones de los tubos empleados. El hecho es que por medio de la disposición ABC (figu- ra 4.') ú otra análoga, las variaciones de los niveles a a' se refieren á las de los / /' y situando aqui, cual la figura indica, mareómetros de los descriptos, podrá hacerse la nece- saria lectura, en uno de sifón, siendo evidente que en vez de disponer, cual se ha supuesto, para facilitar la explica- ción, que el tubo inferior del mareómetro penetre en el C, pue- den y deben constituir ambos un solo tubo. Para hacer un estudio detenido, tanto de las diversas for- mas que la parte sumergida de los mareómetros puede tener, como de los distintos fluidos auxiliares (líquidos y gases) que es posible emplear; así como de las combinaciones di- versas á que se prestan las distintas disposiciones que, tanto dentro, como fuera del agua, pueden emplearse, necesitaría- mos llenar páginas y páginas, en las que después de todo ni se encontrarían grandes utilidades para la instalación de ma- reómetros en España, ni novedades de importancia, ya que el caso de los mareómetros sumergidos es en su fondo igual al de los expresados en este escrito con toda prolijidad, pu- diendo generalizarse para ellos las fórmulas establecidas. De algunas variantes de poca importancia, que en la dis- posición de los mareómetros indicadores pueden establecerse en casos particulares, nos ocuparemos brevemente al descri- bir algunos de los diversos tipos de aparatos que la aplica- ción de esta teoría permite idear fácilmente. - 565 — XXVII.— Fuiulameiito teórico de la Fototopografía. Por José María Torroja. PARTE TERCERA Orientación de tres proyecciones de una figura en el espacio. I Problema general. En la Parte Primera de este Trabajo hemos estudiado las relaciones que ligan las tres proyecciones de una figura en el espacio obtenidas desde tres centros O, O' y O" sobre tres planos S, S' y 5", suponiendo que tanto estos planos como aquellos centros estaban en la posición en que se obtuvieron las proyecciones. Puede darse el caso de que sólo se nos den estas proyecciones acompañadas de sus puntos principales, pero no la posición relativa de los ele- mentos de cada proyección respecto á las demás, y propo- nernos el problema de colocar las tres proyecciones dadas de una figura, en una posición tal, que puedan ser proyec- ciones de otra figura en el espacio. Claro está que al resolver el problema así enunciado, la posición de los nuevos centros, respecto de sus correspon- dientes planos de proyección, será, en general, distinta de la que ocupaban los elementos análogos que sirvieron para determinar las figuras dadas S, S' y S". Ante todo, observemos que el vértice del triedro formado por los tres planos de proyección se corresponde consigo mismo en los tres planos, por confundirse en él el punto en — 566 - el espacio y sus tres proyecciones. Luego lo primero que hay que hacer para orientar tres proyecciones es elegir tres puntos homólogos cualesquiera y superponerlos; lo cual equivale á fijar un punto por el que han de pasar los tres planos de proyección. Como podemos elegir para esto uno cualquiera de los infinitos ternos de puntos homólogos, hay infinitos modos de colocar tres proyecciones dadas en posición orientada. Elegidos ya y superpuestos los puntos que forman un terno, hay que mover los planos hasta colocarlos en una po- sición tal que las aristas del triedro que forman determi- nen en cada par de haces contrarios dos series iguales. Si tenemos los planos colocados de modo que cumplan estas condiciones, estarán en posición orientada, es decir, habrá una figura en el espacio de la cual pueden aquéllas ser pro- yecciones. En efecto, por ser perspectivos los haces q y p', un par de puntos homólogos cualesquiera m y m' áe los planos S y S' que están sobre dos rayos homólogos de aquellos haces, estarán en el plano que estos rayos deter- minan, plano que por pasar por g y por p' contiene los cen- tros O y O'; luego las rectas O/72 y O'm' se cortan en un punto M, cuya tercera proyección es el punto m" del tercer plano; pues así resulta de las construcciones que para hallarlo he- mos explicado en la Parte Primera. No debe, sin embargo, deducirse de aquí que esa figura en el espacio, que acabamos de decir tiene por proyecciones las tres dadas, sea semejante á la que realmente existió y fue reproducida, pero esto no empece á la solución de nues- tro problema, en el que sólo queremos colocar los planos en una posición «en que puedan verificaise las construccio- nes explicadas en la Segunda Parte para obtener ternos de puntos homólogos». El problema que ahora hemos de resolver es el siguiente: dados dos haces planos de rectas g y p', por ejemplo, y en el plano de cada uno de ellos un- punto v y v' (fig. 11), tra- - 567 - zar por v una recta que corte al haz q, según una serie con- gruente con la que otra cierta recta, que pasa por v', produ- ce en el haz p'. Este problema puede resolverse de multitud de maneras: comenzaremos por explicar la solución dada por el profesor Dr. Guido Hauck (*), y que ha servido de base á otras publi- cadas posteriormente. Tomemos los pares de rayos rectan- gulares homólogos de los dos haces, y designemos por a y p las coordenadas de v respecto á dos de esos rayos qm y qn, como ejes, y a' y ¡5i' las de v' respecto á p'm' y p'n'. Para jc' y FIflura 11. * determinar las trazas n y n' de las rectas buscadas con los ejes de abscisas, tenemos las ecuaciones X P P ; y X'^ + a2 = x"' + a'5 o sea X2 — x'2 = a'2— a2. Estas relaciones nos permiten construir x y x' como hipo- tenusa y cateto, respectivamente, de un triángulo rectángulo, cuyo otro cateto es conocido; en efecto, construyamos la ex- presión ya'- — «2 como cateto de un triángulo rectángulo, y (*) Journal von Crelle, t. XCVII, pág. 262. — 568 como el ángulo agudo adyacente á este cateto en el triángu- lo buscado es conocido, por ser su seno igual á — podemos, según se ve en la figura 12, determinar las magnitudes x y x' que, transportadas sobre qnyp'n', determinan las rectas buscadas. Por el mecanismo de la figura vemos que el pro- blema sólo será posible cuando a' >■ a y p > ¡3', condición que puede gráficamente comprobarse, viendo si ninguno de los rectángulos de lados a y p uno ya' y y otro, está com- prendido completamente en el otro al colocar el ángulo mqn sobre el m'p'n'. El problema, cuando es posi- ble, tiene dos soluciones, correspondientes á los dos modos como pueden super- ponerse dos ángulos igua- les. Para determinar la zona que puede ocupar el punto v' en el plano en que está dadop' para un punto de- '"'"""'^ '^* terminado v, del plano de q, basta trazar por v dos rectas paralelas á qm y qn, y v' po- drá ocupar una posición cualquiera en el ángulo plano com- pleto que no contiene el punto q. Podemos resolver el problema en que acabamos de ocu- parnos sin acudir, como lo hizo el Dr. Hauck, á la determi- nación de los pares de rayos conjugados perpendiculares. Notemos para ello que si tuviéramos en un mismo plano los haces de vértices q y p', con los puntos v y v', y movié- ramos uno de los haces, el p', por ejemplo, hasta que el punto v' viniera'á coincidir con el v, tendríamos resuelto el problema con tal que, sin dejar de estar confundidos estos puntos, los haces estuvieran en posición perspectiva, pues — 569 - el eje perspecfivo pasaría por v y v' y produciría en los ha- ces q y p' dos series iguales. Veamos cómo podemos lograr que se cumpla esta última condición. Supongamos el problema resuelto y sean qa y p'a' (figu- ra 13) los dos rayos homólogos confundidos. Las distancias qv^=o y p V =/i son conocidas, y en el triángulo qvp' vemos que sen 9 V senO' ' 0) y tenemos, por tanto, determinada la razón de los senos de los ángulos O y O' que forman los rayos homólogos qa y p'a', con los qv y p'v', también homólogos por hipótesis, y que podemos to- mar como rayos orígenes para la medida de ángulos en los haces. Pero la condición de ser ho- mólogos los rayos qa y p'a, exi- ge que sus coeficientes angula- res, tgO y tgO', satisfagan á la ecuación de la proyectividad que, cuando se toman como de referencia dos rayos homólogos, como en el caso pre- sente hemos hecho, tiene la torma Figura 13. tg9tg9' + mtg9 + «tg9' = o, (2) como vimos en otro lugar (página 383). Estas dos ecuaciones nos permiten hallar los valores de los ángulos O y O', que forman, con los rayos conocidos qv y p'v', los rayos buscados qa y p'a; construidos éstos, basta hacer girar los haces alrededor del punto en que se confun- den los V y v', hasta que qa y p'a' se superpongan: el eje Rev, Acad, de Ciencias. — VI. — í'ebrero, 1908. 37 — 570 - perspectivo de los dos haces, colocados en esta posición, pasará por v-v' y dará las series iguales pedidas. Vamos á detallar algo esta solución. Pongamos en la ecua- ción (1) los valores de senO y senf»' en función de las tan- gentes tg9 _8^_ sene _ Vi +tg2^ sen O' tgO' Vi+tg-^e' elevando al cuadrado tg-'íj'o + tg^o)' de la (2) deducimos tg8 + /z y, substituyendo este valor en la ecuación anterior, da la siguiente: Ó sea tg29 (tgO + ny + /72Mg*8 = Ar^mng-^Q + k^'mHg'l Esta ecuación tiene un factor, tg^O y, por tanto, dos raíces iguales á cero, que corresponden á las dos posiciones en que pueden superponerse los rayos homólogos qv y p'v', redu- ciéndose á una recta el triángulo qvp' del caso general y no constituyendo solución de nuestro problema, porque el eje perspectivo que se obtenga, no pasará, en general, por el punto v-v'. - 571 - Suprimiendo aquel factor en la última ecuación, ésta se re- duce á ó sea, [1 -\-m'{\-k')] tg20 + 2ntgO ^ n^ — k^m'' = o; de donde -n±\Jn''-{n^"- k'' m'') [\ + m^ {I - k^)] tg IJ zz= — ^ 1 + ^2(1 - A:2) -n± ^lk-'m'-n'){\ -A:^) + A:^ 1 +/n2(l —fe') y restituyendo el valor de k, y haciendo se convierte en ^ g2 4- /7Z2 ^^2 Notemos ahora que, si en la expresión (3), hacemos resulta igh\ = -m; y, análogamente, para O'— f)'= — ' 2' tenemos — 572 - esto nos da la interpretación geométrica de los valores de los coeficientes numéricos my n que, cambiados de signo, no son otra cosa que los coeficientes angulares de los rayos de cada haz, homólogos de los que en el otro son perpendicula- res á los de referencia qv ó p'v'. Substituyendo estos valo- res en la expresión última de tgO, tenemos para ésta el va- lor definitivo, _ tge,iptg6\ V/(^-^-;;z2_g2 ;,-■>) g^2_^S.S-2 Los dos valores, que proceden del doble signo, son las dos soluciones que tiene el problema, según que los haces pro- yectivos q y p' se coloquen sobre el plano de modo que sean acordes ó discordes los sentidos de giro de sus rayos homó- logos. Resuelto este problema auxiliar, podemos ya orientar las tres proyecciones, procediendo del modo siguiente: Cortemos un par de haces contrarios q' y p", por ejemplo, por dos rectas cualesquiera /' y /", que den series iguales, y de- terminemos la recta /, homologa de las dos anteriores. Elí- janse en /' y /" un par de puntos homólogos i^' y v" y el conjugado con ellos, v, sobre la recta I, de modo que estén en la posición favorable ya indicada. Apliqúese la solución del problema auxiliar á los haces y^' y q para los puntos v' y V, y por otra parte, á los haces q" y p para los puntos v" y V. Finalmente, llévense los tres planos S, S' y S" á una posición en que se superponga cada par de las series iguales citadas, y éstas formarán las tres aristas del triedro que queríamos construir. Hemos visto que el problema auxiliar tiene dos solucio- nes, y como hay que aplicarlo á tres pares de haces, resul- tan, en total, ocho maneras distintas de poner en posición orientada tres proyecciones. Hay que tener en cuenta, sin — 573 — embargo, que de estas soluciones sólo son útiles aquellas en que la suma de los ángulos formados por cada par de series situadas en un plano que han de constituir los ángulos pla- nos del triedro, sea menor que cuatro rectos y además que cada uno de ellos sea menor que la suma de los otros dos. II Orientación de tres proyecciones, colocándolas paralelas á una recta. Un caso particular muy notable de la orientación de pro- yecciones en que nos estamos ocupando, es aquel en que los tres puntos conjugados que se confunden en el vértice del triedro, son puntos del infinito, y los planos S, S' y S" se colocan, por tanto, paralelos á una recta. Observemos, ante todo, que tres rectas cualesquiera r, s' y t" , que no formen un terno de homologas en tres sistemas trivalentes trilineales, contienen un solo terno de puntos con- jugados; y que cada uno de los puntos de este terno se obtie- ne por intersección de la recta dada en su plano, con la homo- loga de las otras dos dadas. Si aplicamos este procedimiento á las tres rectas del infinito de los planos S, S' y S", vere- mos que existe siempre un terno de puntos del infinito que son homólogos, y, en general, uno solo. Según el modo que hemos explicado para determinar cada uno de los puntos del terno común á tres rectas no homologas, los puntos del infinito de las rectas límites de cada plano, son los que for- man el terno de puntos impropios homólogos. Cada recta limite se determina por dos de sus puntos, homólogos de dos pares de puntos del infinito de los otros dos planos; pero basta para nuestro objeto determinar una sola de ellas , por ejemplo, la del plano S, trazar los rayos de los haces p y q paralelos á ella y determinar en los haces q" y p" respecti- vamente, los rayos homólogos de éstos: las direcciones de — 574 - las dos rectas últimamente obtenidas son conjugadas con la de aquella recta límite. Elegidos ya estos tres puntos impropios w, w' y w" para confundirlos en el vértice del triedro, hay que trazar en cada plano dos rectas paralelas, de modo que cada par de series situadas sobre haces contrarios sean superponibles. Tracemos en el plano 5 dos rectas cualesquiera e' y e" pa- ralelas á su recta límite; como las series de puntos conjuga- dos de dos rectas arbitrariamente elegidas en dos de los pla- nos son siempre proyectivas, esto sucederá con las que han de producir series iguales en los haces p y q", y como ade- Flgura 14. más en este caso se corresponden sus puntos del infinito, las series son semejantes; todo se reduce á elegir entre las paralelas á la recta límite, /", la que produzca una serie igual á lae; por una cuarta proporcional, podemos determinar esta recta en el plano S" y superponerla á la e', con lo que ten- dremos la arista de intersección de los planos S y S". Idén- tico camino nos lleva á determinar la de 5 y S'. Réstanos sólo obtener las dos rectas ej y e.,, que produzcan en los haces q' y p", respectivamente, series idénticas dispuestas de modo que al girar S' alrededor de c' y S" alrededor de c', puedan con- fundirse. Tracemos para esto dos rectas cualesquiera li y k, paralelas á e y e", y que intercepten entre los ejes singulares p'q' y p"q" y un par de rayos homólogos m'q' y m"p", seg- - 575 - mentos iguales A^B^ y AoBo (fíg. 14); tracemos por q' una perpendicular á estas rectas, que las cortará en los puntos Ci y Cj; tómese á partir de Ao una magnitud A.^Do = A^^Cx, únase Do con p" , y por el punto F, de intersección de esta recta con la C^Co trácese una paralela á e', que será la recta €2, una de las que buscábamos. Para encontrar la otra basta trazar la //o/Zi perpendicular á e^', y el punto H^ pertenece á la recta e^ {*). Esta construcción puede justificarse con gran sencillez. Bastará probar que G2//2 ^= G^H^^, puesto que las series e^ y e^ son semejantes. Pero F,G, ^ F,H, F,G, ^ F,H, AoD, as, ^ i4jQ C,B,' y, por construcción, F2 Ho Fy //i y ^2D2 = i4iCi, Co B2 Ci By luego y como F2//2 = FyHy, tenemos Fo H^ - F, G, = F,H,- F, G^, ó sea G) Ho = G^H]^, que es lo que nos proponíamos probar. (*) Esta construcción gráfica se debe al Profesor alemán Dr. G. Hauck. (Loe. cit.) — 576 — III Orientación de tres proyecciones con una recta común. Podemos particularizar aún más y orientar las tres figuras de modo que sus planos pasen por una recta, confundién- dose en ésta tres series iguales, como sucedía en el caso 6.° que estudiamos en la Primera Parte. Los tres ejes singulares han de estar, como en los casos anteriores, en el plano de los tres centros y cortar al eje único en la traza de éste con aquel plano. Para satisfacer la primera de estas condiciones, puesto que la superposición de las series del eje obliga á cumplir la segunda, observemos que al girar cada plano alrededor de la recta común, su eje singular describe un cono de revolución; si trazamos un plano cualquiera que pase por el vértice común de estos conos, cortará á cada uno de ellos según dos generatrices, reales ó imaginarias; podremos, pues, tomar en este plano una generatriz de cada cono, cuando las seis sean reales, y tendremos ya orientadas las tres proyecciones. Como cada uno de los planos está determinado por el eje y una genera- triz de uno de los conos, si cortamos éstos por un plano que pase por la recta común, las tres proyecciones estarán en un solo plano. Claro es que si dos ejes singulares forman el mismo án- gulo con esta recta, los conos correspondientes se confun- dirán, y se confundirán igualmente dos de los planos, dan- do lugar al caso 10 estudiado en la Parte Primera de este Trabajo. IV Relaciones entre las diversas figuras del espacio, correspondientes á unas mismas proyecciones. Cualquiera que sea la forma en que se orienten las tres proyecciones dadas, variando el terno de puntos que, por su - 577 - yuxtaposición, ha de constituir el vértice del triedro, las figu- ras en el espacio que determinan son homográficas entre sí por corresponder á los puntos, rectas y planos de una de ellas, otros homólogos de cualquiera de las otras. Para que dos de las figuras en el espacio obtenidas sean semejantes, basta que las radiaciones que determinan una de ellas sean iguales á las relativas á la otra, y para esto, que permanezca invariable la posición relativa de cada centro y la proyección que le corresponde; puesto que, si tal circuns- tancia se verifica, los triángulos O O' O" que les correspon- den serán semejantes entre sí por tener iguales sus ángulos homólogos y su plano formará ángulos iguales con los pla- nos correspondientes de proyección. Si los suponemos colo- cados en dos posiciones paralelas, las radiaciones respecti- vas tendrán paralelas sus rectas y planos homólogos, y, por tanto, lo serán también todos los pares de rectas de las figu- ras en el espacio que determinan, y éstas serán homotéticas. Vamos á buscar el lugar geométrico de los puntos de cada plano, que pueden ser vértices de triedros en los que se cumple esta condición. En la figura 15 hemos representado los tres centros O, O' y O", los tres planos respectivos de proyección A VB, B VC y CVA, que suponemos colocados en posición orientada, y las tres proyecciones x, x' y x" de un punto X; si cons- truímos un triángulo semejante al O O' O", lo colocamos en o o' O" y trasladamos á él las magnitudes op=OP, oq= OQ, o'p' =- O'P', o'q' = O'Q, lo que equivale á trasladar paralelamente á sí mismos los sistemas 0-5 y O' -S' en las direcciones de las rectas 00" y O' O" res- pectivamente, obtendremos un nuevo triedro, v. abe, de ca- ras paralelas á las del anterior y vértice v, situado en el pla- no AVB; las dos figuras en el espacio que tienen sus pro- yecciones sobre las caras de cada uno de estos triedros, son homotéticas: pues, por permanecer fija la radiación O", los puntos correspondientes de una y otra están sobre rectas 578 que pasan por O", y por ser la radiación o paralela á la O Fiflura 15. y la o' á la O', las rectas homologas serán paralelas como intersecciones de pares de planos paralelos dos á dos. - 579 - Ya que se cumple la condición pedida de semejanza, vamos á ver cuál es el lugar geométrico de los puntos v en el plano S". Todos los triángulos cqp' que podemos formar por las construcciones anteriores, son homotéticos con el CQP', por tener sus lados paralelos á los de éste, y como el lugar de los puntos q es la paralela á O O", trazada por Q, y el de los puntos p' la paralela á O' O", que pasa por P', el punto de intersección de estos dos lugares geométricos será el centro de homotecia, y en la recta que lo una con el punto fijo C, habrán de estar todos los puntos c, homólogos de éste. Los triángulos abe, son igualmente homotéticos entre sí y con el ABC, por tener sus lados paralelos, y, como tienen superpuestos los lados ab, el centro de homotecia correspondiente no puede ser otro que el de intersección de este lado con la recta Ce, lugar de los vértices c. Los tetraedros v. abe y V. ABC, de que estos triángulos forman parte, serán igualmente homotéticos y tendrán el mismo centro de homotecia: luego el lugar de los vértices v será, en el plano S", una recta, Vv. Un razonamiento análogo podríamos hacer para cada uno de los otros dos planos S' y S", y deducir, en definitiva» que: «El lugar geométrico de los puntos de cada uno de los planos de proyección que, junto con sus homólogos de los otros dos planos, pueden superponerse para formar los vér- tices de los triedros correspondientes á figuras en el espacio que sean homotéticas entre sí, es una línea recta, determi- nada como acabamos de indicar». En los razonamientos anteriores se ha supuesto fija la posición de cada centro respecto de su correspondiente plano de proyección, y el problema que precede equivale al siguiente: «Dadas tres figuras planas, proyecciones de una en el espacio, y la posición, respecto de cada una de ellas, de su centro correspondiente, colocarlas de modo que - 580 — sean proyecciones de una cierta figura, que resultará seme- jante á la que existió y fué reproducida. » Este problema tiene, para cada terno de puntos elegido como vértice, una solución única, en lugar de las ocho que tenía el caso general estudiado en el párrafo primero de esta Tercera Parte. PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE l.'^ DE JULIO DE 1907 (Continuación.) España en África. — Revista. Año 3.'^, núms. 13 á 15. — Barcelo- na, 1907. Ingeniería. — -Revista. Año 3.°, núms. 93 á 97.— Madrid, 1907. El Siglo Médico. — Año 54, núms 2.812 á 818. — Madrid, 1907. El Magisterio Español. — Periódico. Año 41, núms. 3.148 á 161.— Madrid , 1907. Revista de Obras Públicas. — Año 55, núms. 1.675-677 y 678 á68i. — Madrid, 1907. Oficina Central de la Sección Meteorológica del Estado de Yucatán.— Bo- letín mensual. Año Meteorológico de 1906 á 1907, Diciembre 1906. — Mérida de Yucatán, 1907. Instituto general y Técnico de San Isidro. — Discurso leído en la distribu- ción de premios á los alumnos del por el catedrático Dr. D. Julián Apraiz. — Madrid, 1907. Instituto de Reformas Sociales. — Proyecto de ley sobre casas baratas. — Tecnicismo del capítulo III (Seguro). Informe del vocal D. José Malu- quer y Salvador. — Madrid, 1907. Ministerio de Fomento.^ Memoria acerca del Estado de la Industria en la provincia de Albacete en el año 1906. — Madrid, 1907. Secretaría de Agricultura, Industria y Comercio.— Boletín Oficial. Vol 3, núm. 5.— Habana, 1907. Revista Centro Farmacéutico Uruguayo. — Órgano de la Sociedad de su nombre. — Tomo 14, núm. 10. — Montevideo (Uruguay). Instituto general y técnico de Zaragoza.— Memorias del en el curso de 1904 á 1905. Id., del id., núms. 1905 á 1906. —Zaragoza, 1905 y 1906. Asociación de Peritos Industriales. — Boletín tecnológico de la Año 3.^, núm. 29. (Continuará). INDICK DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO fIos. XXIV. - Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia tercera 489 XXV.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por /osé Echegaray. Conferencia cuarta 517 XXVI.— Mareómetros y mareógrafos de sifón, por Eduardo Miery Miara 544 XXVII.— Fundamento teórico de la Fototopografía, por ¡osé María Tarraja 565 Publicaciones recibidas desde 1.° de Julio de 1907. (Conti- nuación) 580 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Va.- verde, núm. 2fi, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,60 pesetas. ^H^bc\o REVISTA DB LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DB MADRID (Marzo de l©OS.) .1 ^' MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID OAIiIiR DB PONTEJOS , KÚkt. 8. 1908 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 520 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. yi ~ 581 - XXVIII. - Elemontos de la teoiia de la Elasticidad. Por José Echegaray. Conferencia quinta. Señores: Hemos dicho varias veces, que al exponer el método de Lame y sus análogos, dividiríamos nuestro estudio en las si- guientes partes: 1."" Estudio de las tensiones. 2.^ Estudio de las deformaciones elásticas. 3° Expresión de las tensiones en función de las defor- maciones. 4." Determinación de las ecuaciones del equilibrio, ya en el interior del cuerpo, ya en la superficie, si el sistema no es indefinido. 5." Substitución en estas ecuaciones de las tensiones del sistema, expresadas en valores de las deformaciones. La integración de estas últimas ecuaciones resolverá el problema de la Elasticidad. De estos diferentes puntos, hemos tratado ya el primero, y en esta conferencia empezaremos el 2— Estudio de las deformaciones. El problema de las deformaciones de un sistema elástico, es caso particular de otro problema más general, el de la transformación de los sistemas. Dado un sistema de puntos, continuo ó discontinuo, en que cada punto M está definido por sus tres coordenadas rectan- gulares X, y, z, se transforma dicho sistema en otro, cuando Rev. Acad. de Ciencias. — VI, — Marzo, igo8. 37 — 582 - se determina un segundo sistema de puntos, tal, que cada uno de ellos corresponde de una sola manera con otro punto de- terminado del primer sistema. A la vez, este problema se enlaza con una teoría relati- vamente moderna, que es la teoría de los ensambles ó con- juntos, teoría delicada, de gran importancia y en la cual no hemos de entrar en estas conferencias. Nos contentaremos con definir la transformación de los sistemas, como la hemos definido, aunque precisando más los términos. Toda transformación de figuras ó de sistemas geométri- cos ó analíticos, supone una ley de transformación. Si al punto M del primer sistema (fig. 26), cuyas coorde- .■■y Figura 26. nadas son x, y, z, corresponde un punto M {x, y, z) del se- gundo, será preciso que tres ecuaciones determinen x',y', z en función de x, y, z; de modo que deberán darse las tres relaciones: X =z^{x ,y, z), y =h(x,y,z), - 583 — las cuales expresarán, por decirlo de este modo, la ley de la transformación, y fijarán para cada punto M del primer sis- tema, el punto M' del segundo. En efecto, substituyendo en los segundos miembros en vez de x, y, z sus valores, las funciones fj, -f.,, '-3 determinarán x', y' , z ; es decir, el punto correspondiente á M'. Estas funciones :; tendrán la misma forma analítica para todos los pares de puntos; por eso de- cíamos que expresan la ley de la transformación. Pero es preciso, que las -f sean funciones uniformes; es de- cir, que para cada grupo x, y, z no den más que un sólo grupo de valores para x , y', z . Si las 'f contuvieran, por ejemplo, un radical, no servi- rían para nuestro objeto; porque á cada punto del primer sistema corresponderían varios puntos del segundo, y la transformación no sería del orden sencillo, y si se nos per- mite la palabra, inequívoco, que estamos estudiando. Las consideraciones que preceden se aplican lo mismo á los sistemas de un número limitado de puntos, ó ilimitado pero discreto, es decir, separados unos de otros, que á los sistemas continuos. Algunos autores rechazan la continuidad en los cuerpos elásticos. Otros parten de la discontinuidad, mas para los cálculos admiten una continuidad artificial, por decirlo así, rellenando los huecos por sistemas continuos. Hoy, como ya hemos dicho varias veces, se estudian particularmente las transformaciones y deformaciones de los sistemas continuos, y esto es lo que haremos nosotros. * * * En la teoría de la Elasticidad no hemos de considerar las transformaciones de los sistemas en general, al menos por ahora, sino las deformaciones, las cuales son, en cierto modo, transformaciones, pero infinitamente pequeñas. - 584 - Es decir, que cada punto, al deformarse el sólido no va á parar á una distancia finita de su posición primitiva, sino á una distancia infinitamente pequeña. Así, cada punto M (fig. 27), recorre una línea infinitamente pequeña al deformarse el cuerpo, y ocupa una posición M' infinitamente próxima á la primitiva, y esto, para todos los puntos del sólido elástico. De manera, que el sistema 5 se transforma todo él en un sistema infinitamente próximo, S'. Esto simplifica extraordinariamente las fórmulas de trans- Flgura 27. formación de un sistema en otro, y simplifica las funciones cp como veremos inmediatamente. * * * Hemos hablado en términos generales de las deformacio- nes, y hemos dicho que las tensiones era preciso expresarlas en función de las deformaciones; pero tales términos son va- gos y hasta vulgares. Las deformaciones son infinitas, porque hay infinitos pun- - 585 - tos, y la deformación de cada punto M está definida por las tres componentes de la recta infinitamente pequeña MM' que describe M al deformarse el sistema. Algo así nos sucedía al estudiar las tensiones. También al- rededor de cada punto habría infinitas tensiones. Y aquí, si consideramos un elemento infinitamente pequeño del sistema, antes y después de la deformación, como en el elemento pri- mitivo había infinitos puntos, y cada uno de ellos describirá su trayectoria infinitamente pequeña, también tendremos un número infinito de deformaciones parciales; de donde resul- ta al parecer una verdadera confusión. Tratándose de las tensiones, vimos que, aun siendo infini- tas para cada punto, estaban enlazadas por un orden tal, que todas ellas dependían de seis cantidades ó constantes, pro- pias de dicho punto, y de los tres cosenos directores del pla- no elástico. Pues aquí hemos de hacer una cosa análoga: ordenar en cierto modo estas infinitas deformaciones parciales, y ver si existe para todas ellas y en cada elemento del cuerpo, leyes fijas de deformación, y hasta si podemos determinarlas toda- en función de un número finito de las mismas ó de constan- tes relativas al punto. Este va á ser precisamente el objeto de la presente confe- rencia y de las inmediatas; y una vez más ruego que se me dispense si me detengo en pormenores y en explicaciones de carácter elemental. No se olvide, que de carácter elemental son estas lecciones. De carácter elemental son; pero es mi propósito, que sin perder este carácter, sirvan de preparación suficiente para es- tudiar las ramas más elevadas y más modernas y transcen- dentales de la Física matemática. * * * — 586 - Sea M, fig. 28, un punto cualquiera del sólido elástico, y vamos á estudiar las deformaciones en un espacio infinita- mente pequeño alrededor de dicho punto M. No establecemos otra hipótesis que la de la continuidad en el sistema. Supongamos, que á causa de las fuerzas que actúan sobre dicho sistema, el punto M viene á parar á la posición M' describiendo un camino MM' infinitamente pequeño y que puede suponerse rectilíneo. Finura 28. A las componentes de este desplazamiento las designare- mos por II, V, w, paralelamente á los ejes x, y, z. Consideremos otro punto Ndel sólido, infinitamente pró- ximo á M. La recta MN, que no está trazada en la figura, tendrá por componentes h, k, 1. De manera que si M fuera el origen de coordenadas, y por el trazásemos tres ejes paralelos á Ox, Oy, Oz, podríamos decir que //, k, I eran las coordenadas del punto N, tomando M por origen. El punto N tambicMi experimentará un desplazamiento, - 587 - trasladándose úq N á. N' y teniendo por componentes u', v', w'. Supongamos que el problema elástico está resuelto, por cualquier medio que sea; pues esto quiere decir que para cualquier instante, las tres componentes del desplazamiento de un punto serán funciones determinadas de las coordena- das de dicho punto. De suerte que tendremos, u = -iy {x, y, z), v = z^_{x,y,z), w = % {x, y, z). Estas funciones cp serán para cada problema, es decir, para cada cuerpo y cada sistema de fuerzas, funciones perfecta- mente determinadas, ó suponemos que lo sean. No podemos decir cuáles serán en cada caso, hasta no re- solver el problema; pero podemos afirmar su existencia, y podemos hacer esta afirmación fundamental, mejor dicho, esta hipótesis, que si el problema es determinado, estas Junciones serán funciones continuas. Es lo único que podemos esta- blecer respecto al carácter de dichas funciones. • Si para el punto M, las componentes del desplazamiento están determinadas en funciones de sus coordenadas por las ecuaciones u -='fi(x, >', z), V = c;, {x, y, z), w = 'h {x, y, z); á su vez, para el punto N, las componentes del desplazamien- to de este punto se obtendrán poniendo en las ecuaciones anteriores las coordenadas de dicho punto TV, que son x + h,y -\-k,z-\-l; - 588 - y tendremos, por lo tanto, v'=^f,{x + /i,y-}-k,z-j-l), W = V;; (X + /?, y + ^, Z + /). Tales ecuaciones resolverían el problema para todos los puntos del cuerpo, y concretando más, para los puntos infini- tamente próximos á Ai en el espacio que le rodea. No hay más que substituir á /?, k, I los valores correspondientes á este punto. No conocemos las lunciones cpi, -fo, 'j-¿; pero así y todo po- demos deducir las leyes generales de la deformación infini- tamente pequeña alrededor de cualquier punto. Desarrollemos por la serie Taylor, despreciando los tér- minos de orden superior; es decir, desde los términos en h', k~, I-, kl, hl, kl, en adelante. Claro es que aquí hacemos una nueva hipótesis, que se repite en la mayor parte de los problemas de la Física ma- temática, á sabsr: que las funciones o pueden desarrollarse por la serie de Taylor, y que en ésta pueden despreciarse desde el grupo de segundo orden en /?, k, I inclusive en ade- lante. Aceptando esta hipótesis tendremos . . . dii . . du , . dii , II = z^ {x,y,z,) + -- - h H- — - k + -—- /, dx dy dz dx dy dz , . , dw . . dw , , dw , V = ■,,, (^i3^i-^i) -h -.- /í + — r- ^ + -7- ^' dx dy dz que con mayor brevedad pueden escribirse así: — 583 ' , dii , , dii , , du , u = w + ■ h -\ A: -j- • ■ /, dx dy dz , dv j . dv , . dv , , . V = V H h -f k H • /, (a) dx dy dz , dw , . dw , , dw , dx dy dz Tenemos, pues, aproximadamente, las componentes de los desplazamientos alrededor de un punto M del cuerpo; ó sea las componentes de los desplazamientos de un punto TV cual- quiera infinitamente próximo á M definido por sus coordena- das h, k, I con relación á M. Estos desplazamientos u, v, w vemos que dependen de los desplazamientos u, v, w del punto Ai y de nueve cantidades, du du du (O dx dy dz dv dv dv dx dy dz dw dw dw dx dv dz que son funciones de x, y, z, es decir, que dependen del pun- to M que se considere, pero que una vez determinado éste deben considerarse como constantes para todos los puntos que rodean á dicho punto M. En suma: para todo desplazamiento alrededor de M, las únicas variables independientes son h, k, i Se ve por lo dicho que los resultados anteriores no deben considerarse sino como aproximaciones, porque suponemos que la serie de Taylor es convergente y que pueden despre- ciarse todos los términos que hemos despreciado. * , , .. . ^ du du Agregaremos aun, que los coeficientes — , — soncan- dx dy - 590 lidades muy pequeñas, porque en los cuerpos elásticos, las deformaciones lo son con relación á las magnitudes primi- tivas; y dichos coeficientes no significan otra cosa que estas relaciones: lo que aumenta, par ejemplo, // con relación á a'. Y esta observación tiene su importancia, porque si el siste- ma fuese discontinuo, habría que comparar los expresados coeficientes con los valores de h, k, I para calcular el orden de los términos que se desprecian. Tratándose, como aquí tratamos, de sistemas continuos, h, k, I pueden ser tan pequeños como se quiera, y en cam- bio, los coeficientes de que se trata, aunque muy pequeños, son cantidades finitas . * * * Hemos dicho que las ecuaciones da du du II = w H h -j k -\- — /, dx dy dz V =v ^ ■ h + - — k H /, dx dy dz , dw . . dw , . dw , dx dy dz nos determinan las componentes del desplazamiento de un punto cualquiera N (fig. 28), cuyas coordenadas con relación al punto M que hemos elegido, son //, k, 1. Estos valores //', v', w' vemos, en resumen, que depen- den de los nueve coeficientes expresados — , que son fun- d X clones de las coordenadas de M, y, por lo tanto, deben con- siderarse como constantes para todas las deformaciones al- rededor de M. Y analíticamente, está resuelto el problema; pero conviene — 591 — estudiar la descomposición del desplazamiento NN' en mo- vimientos diversos y sencillos, que le lleven del punto de partida N á la posición final N'. Para facilitar dicho estudio, y por razones que se verán inmediatamente, es decir, por la sencillez de los resultados, substituiremos á las nueve constantes — , — que consti- dx dy tuyen el último cuadro que hemos formado, otras nueve cons- tantes, que serán las siguientes : du dv dw dx ' ay' dz 5 dw dv dy dz ' du dw dz dx ' dv du dx dy dw dv du dw dv du dy dz dz dx dx dy Para abreviar la escritura, y para la simetría de los cálcu- los, cada uno de estos términos los representaremos por una letra, y en la forma siguiente, adoptando siempre, como he- mos dicho, las notaciones de Mr. Sarrau. Tendremos, pues, du dv dw cii = , Oo = , a-. =^ , dx dy dz dy dz dz dx dx dy dw dv ^ du dw ^ . dv du 2pi = 2p.,= — , 2/7;= dy dz " dz dx dx dy De estas ecuaciones podremos deducir facilísimamente las nueve derivadas del grupo (I), y tendremos: - 592 - du civ dw a, — -7--, a., = - - , «3 := dx ' dy dz ; I dw . . du , , dv dy ' ' dz '' dx , dv , dw , du dz dx dy Y con esto podremos substituir al grupo (I) el grupo (11), que se compondrá de las nueve constantes a, b, p, constan- tes, decimos, siempre con relación al punto M: üi a-> a., Ih b, b, (II) Pi Pi Ps Substituyendo los valores de las nueve derivadas del cua- dro (1) en las ecuaciones {a), tendremos: «' = w H- a, h + {b,-p,) k + (¿^, 4-p.>) / v' = v + (b, 4/73) li + a, k + {b, -pd I w' = w + {b, — p,) h + {b, +pi) k + «3 /; y ordenando convenientemente, II = w + P'i I — P:\ k -f «1 h + ¿7;. ^ + ¿7, 1, v' -= V -f p.- h -- Pi I I by, li + a., k -f b^ I, w' = iv -f pi /r — P2 Ji -V bi h I b^ k -|- a.. 1. Estas tres ecuaciones nos demuestran que el desplaza- miento NN' puede conseguirse por tres movimientos infini- tamente pequeños, representados por estos tres grupos de las ecuaciones anteriores. — 593 - \a [p^l — Pik \a^h-]rhk-\~bj l.^"" grupo y 2.° grupo 'p3 /z — Pi / 2.^' gm^o^b-.h^-a^k-^bj [w \pik — p.. h \b.2h-\-bik ^ a-. I Veamos la significación geométrica de cada uno de estos tres grupos, y representémoslos, para más claridad, en la figura 29, considerando tan sólo el desplazamiento NN'. Primer grupo. — Es evidente que u, v, w representan una traslación igual y paralela á la del punto M de las figuras 28 y 29, de suerte que, por este primer movimiento, N ha- brá venido á A^i (fig. 29). ■y Figura 29. Segundo grupo. — Para simplificar, representaremos los tres desplazamientos paralelos á los tres ejes por «i, Vi, w^, es decir: ii,=p,l — p,k, Ví^Psh-pJ, w^=p^k -P2h. Pero sabemos por lo expuesto al final de la conferencia - 594 - anterior, que estas tres expresiones son las componentes paralelas á los ejes del desplazamiento producido por una rotación infinitamente pequeña alrededor de un eje P, cuyas rotaciones componentes son /),, p.,, p.,, y en que las coor- denadas del punto que gira son h, k, 1. En vez de hacer girar en la figura el punto N, hemos he- cho girar el punto A^i; pero esto, sabemos por la teoría de los movimientos infinitamente pequeños, que sólo produce errores infinitamente pequeños de orden superior. La primera traslación, paralela á MM', trajo al punto Esta rotación lleva el punto Ny á la posición N.y, posición que corresponde, según acabamos de explicar, á la superpo- sición de estos dos movimientos: traslación ii, v, w, rotación z/,, v,, w,. Tercer grupo.— Las tres componentes, paralelas á los ejes de este tercer movimiento, infinitamente pequeño, las repre- sentaremos, para abreviar, por //., , r.,, iv.,, y tendremos: II., = fl, // + /?;., k -f b.. I, v, =-- b;. h + a-, k ^ bj, w.y = b., h -}- b^k -\- fl.j /. La interpretación de estas ecuaciones es sencilla é inge- niosa; pero séame permitido aquí un pequeño paréntesis, para recordar ciertas nociones elementales de Geometría analítica. * Se sabe que la ecuación «1 X- + a, y'' 4 a-, z^ \ 2b^yz ^- 2b, zx-{'2b., xy=l - 595 — representa una superficie de segundo orden, referida á su centro. De segundo orden, por ser dos las dimensiones de todos sus términos;. referida á su centro, porque si x, y, z sa- tisfacen á la ecuación — x, — y, — z, satisfacen también. Mientras las a, b, y ). sean constantes fijas, dicha ecua- ción representará una sola superficie; pero si a varía, repre- sentará la misma ecuación una serie de superficies de se- gundo grado, que serán homotéticas, es decir, semejantes, semejantemente colocadas, y en que el origen será el centro de semejanza, como se demostrarla con suma facilidad ha- ciendo pasar por el origen una recta, determinando las inter- secciones con dos de estas superficies, y viendo que la rela- ción de ambos segmentos ó de sus componentes es una cantidad constante dependiente tan sólo de las a, b, y >. Pero esto nos importa poco para nuestro objeto. Sólo advertiremos que, dejando fijas a^, a.,, a.^, b^, b.,, b.^, y determinando 'l convenientemente, se puede hacer pasar una de estas superficies por el punto N. En efecto; si la superficie ha de pasar por el punto N, cu- yas coordenadas son h, k, I, dichas coordenadas han de satis- facer á la ecuación de la superficie, y tendremos para deter- minar 'K, la ecuación de condición a^h' + a,k' + aJ + 2b,M 4- 2bJh -f 2b:M = 1. Dando á I el valor que indica el primer miembro, la su- perficie pasará por N. En la figura, la hemos representado esquemáticamente por 'K 'k, y no la hemos hecho pasar por N, sino por N.., porque, según hemos dicho tantas veces, tratándose de mo- vimientos infinitamente pequeños, pueden calcularse desde el origen N y luego, superponerse; ó calcularse para A^i ó para N.,, que es lo que hemos hecho nosotros para irlos superponiendo. Veamos ahora cómo se determinan geométricamente ii.,, - 596 - v.y, w.,, que son las tres componentes del movimiento que representa este tercer grupo. Consideremos la superficie de segundo grado, cuya ecua- ción sea la ya indicada a^x- + o^y^ + o-¿z- 4- 2biyz | 2b.,zx f 2b.¿xy = X, determinando X por la condición de que dicha superficie pase por el punto A^^ ó, mejor dicho, por el punto TV, que para el cálculo de dicha constante X da próximamente lo mismo. Para ello basta substituir en vez de x, y, z las coordena- das li, k, I del punto A^, y tendremos: aJi- + a,k-' + a.t' -\- 2b,kl-^2b.M + 2b,,hk = 1. Si en el punto N, ó si se quiere, en el punto N^ trazamos el plano tangente á dicha superficie, representándolo por / 1, la ecuación de este plano, se sabe por Geometría analítica que será, designando, para abreviar, por /el primer miembro de la ecuación, (^L) (X - /,) + (^) o- - K) + i-f \ iz - 0=0. \ dx Jn \ dy )n \ dz )n y de la misma ecuación se deduce, en general, A¿ = 2a,x + 2b.z ^2b,y, dx ^^ = 2a,y -f- 2b,z + 2b.¿x, dy ÉL dz = 2a.,z-\-2b,y -f 2/7,x; y poniendo en vez de x, y, z las coordenadas //, k, I para re- ferir estos coeficientes al punto N que se considera, - 597 - df = 2{a,h^b,k + b,l), dx Jn "^^ ^ =2{bsh + a,k-^bJ), dy /N df = 2{b,h-^b,k-\-a,r). dz N Substituyendo en la ecuación del plano tangente y divi- diendo por 2, resultará: {a,h + b.k + bJ) {x - h) + {b.,h + a.k -^ bj) {y — k) + + {b,h r b,k + a,l) {z-l) = O, ó bien {a^h^-b.Jc^bJ)x-^{b.Ji + a.J< + bJ)y^{b.Ji^byk-^a^l)z= = a,h' + a,k^ + a^l' -\- 2b,kl ^ 2b.M + 2b.M- Pero los coeficientes de x, y, z son las componentes u^, Vo, IV.., > del tercer grupo; y el segundo miembro es el valor de X que corresponde á esta superficie, según determinamos hace un momento. Luego la ecuación del plano tangente toma esta forma sencilla: «2 a: -]- v, V + w.¿z = I, ó dividiendo por V""2 + ^"2 +w'^> «2 . V. x+ , ' y+ \J ü\_ + V^o + ^2, \J u\ + v^ 4- IV, W-2 Ahora bien, los coeficientes de x, >», z son los cosenos di- Rev. Acad, de Ciencias.— VI. — ]Marzo, I90S. 38 - 598 — rectores de la recta N., N', y representándolos por a^, ,3^, yj, tendremos para la ecuación del plano tangente V «'-'2 4- ^'-'2 + w-,. Pero según se sabe por Geometría analítica, ésta es la ecuación de un plano cuya normal tiene por cosenos direc- tores cti, [■'J^, y^ y que dista del origen una longitud V «'2 + v\ + w-, que, para abreviar, representaremos por/?. En suma; la normal al plano tangente tt tiene la misma dirección que N^ N'; ó de otro modo, el tercer desplaza- miento N2 N' es normal á la superficie l 1 en el punto N.,: ó si se quiere, toda esta figura puede transportarse al punto N. En cuanto á la magnitud del desplazamiento 7V^, N', la úl- tima ecuación nos da p, ó bien, — ^ — == p, \/ uS -\- v% -i- w^\, ' ' N,N' de donde Es evidente, según acabamos de demostrar, que este pun- to N' coincidirá con el N' de la figura 28, puesto que hemos visto que y' = V + Vi -f y,» w' =w -\- Wi -j- W.2, — 599 — descomposición que está representada geométricamente en la figura 29 por los tres desplazamientos infinitamente peque- ños N7V,, N,N,,N,N'. * * * En resumen, todo punto infinitamente próximo al punto M sufre un desplazamiento, que puede suponerse compuesto de tres desplazamientos parciales: 1 .° Una traslación, cuyas componentes sean u, v, w, como las del punto M. 2." Una rotación alrededor de cierto eje MPque pase por M y cuyas rotaciones componentes sean p^, p.,, p.,. 3° Un desplazamiento de deformación normal á una de- terminada superficie de segundo grado, determinada por las constantes «i, «o, a.¿¡, b^, b.,, b.., ). Depende, pues, el desplazamiento de todo punto próxi- mo á Ai de las coordenadas h, k, I del punto, tomando M como origen, y de nueve constantes, íz^, a^, a.¿, b^, b.,, b^, Px, P2J P¿, que, como hemos visto, dependen á su vez de las nueve derivadas del cuadro (I), tomadas con relación al pun- to M; es decir, poniendo en vez de x, y, z, las coordenadas de este punto. No contamos con a, porque hemos visto que esta cons- tante se determina en función de las a, b, h, k, 1. * * * Dos observaciones debemos hacer todavía. Es la primera, que si //, v, w, que son las componentes de la deformación de cualquier punto, y por lo tanto, funciones de X, y, z, fueran en algún problema las derivadas parciales de una función, es decir, que udx ^vdy Ar wdz — 600 - fuera una diferencial exacta, en este caso se sabe que du dv du dw dv _ dw dy dx' dz dx' dz d K por lo tanto, du dv _ ^ ^" _ ^^ _ o ^^' ^^ _ n • dy dx dz dz dz dy pero estos son precisamente los valores áe p^, p.,, p^, luego, en esta hipótesis, los desplazamientos del segundo grupo se anulan, porque resultan nulas las tres rotaciones. Podria decirse que las deformaciones elásticas eran irro- tacionales, si se permite la palabra. La segunda observación se enlaza con esto mismo, y sale al encuentro de una dificultad, que pudiera ocurrir á los que por primera vez estudien esta materia. No sólo en este caso particular, en que u, v, w sean las derivadas parciales de una función, sino en todos los casos, puede prescindirse de este movimiento de rotación al estu- diar las magnitudes de las deformaciones de los diferentes elementos del sólido elástico. En efecto; observaremos, al continuar el estudio, que esta- mos haciendo, que ya no entrarán en las fórmulas las tres relaciones Py, p2, Ps- Y ocurre preguntar: ¿cómo se prescinde, y cómo prescin- den casi todos los autores de estas tres cantidades?; ¿cómo no aparecen en las fórmulas más que las seis restantes, «i, a.,, a.^, b\, bi, ^ü?; ¿puf qué no se cuenta con p^, p.,, p.¿, que son también elementos de deformación? Más adelante volveremos sobre este punto, á fin de expli- car esta aparente anomalía. Por ahora, no hacemos más que llamar la atención so- bre ella. * - 601 - El desplazamiente de un punto muy próximo al punto M del cuerpo, es el que nos interesaba determinar en el caso general, porque el desplazamiento de cualquier parte del só- lido no es más que la repetición de este problema único: es ordenar ó agrupar los desplazamientos de la manera más conveniente para formarnos idea de estas deformaciones in- finitamente pequeñas de un sólido elástico en cada región. Esto es precisamente lo que vamos á hacer siguiendo casi el mismo orden que sigue Mr. Sarrau en su interesante opús- culo, que es un resumen elemental, pero inmejorable, de esta materia. Así, pues, estudiaremos sucesivamente: 1." Las dilataciones lineales. 2.° Las dilataciones angulares. 3° Las dilataciones y deslizamientos. ^'^ La deformación de superficies. 5.° La superficie de dilatación. 6." La dilatación cúbica. Por lo demás, estos diferentes problemas se encuentran en todos los tratados de Elasticidad, y nosotros no hacemos en estas conferencias más qu2 ordenar cosas ya sabidas, presen- tarlas con la mayor claridad posible y de cuando en cuando salir al encuentro de alguna dificultad que pudiera ocurrir á los principiantes; sin perjuicio de ir deslizando de vez en cuando reflexiones y criticas, que en otras conferencias, y acaso en otros cursos, tendremos que utilizar. * * * 1 .° Empecemos por las dilataciones lineales. Cuando una recta de longitud L, trazada en el interior de un cuerpo elástico, por la deformación de éste se convierte en otra recta L', claro es que, en general, su longitud primi- tiva habrá variado, sufriendo ün aumento ó disminución — 602 - L' — L, que designaremos con el nombre genérico de dilata- ción lineal. Si se compara con la longitud primitiva, la relación L' — L será la dilatación por unidad de longitud, que abreviadamen- te también puede llamarse dilatación lineal, entendiéndose que en este caso no es la dilatación absoluta, sino la relativa á la longitud que tenía la recta antes de la deformación. En estas definiciones admitimos que toda recta deformada se convierte en otra recta, y esto lo demostraremos más ade- lante para casos todavía más generales. Por el momento aceptémoslo como demostrado y veamos cuál es la expresión general de estas dilataciones lineales. éT / /' !/' '^,<:.y^.\ "■•. ,■'•■ y^ ''•■ i/>* - ^"""P^ Figuro 30. Tomemos un punto Aí(fig. 30) del sólido elástico, y tra- cemos una recta MN á un punto de los que rodean al punto yw, pero á pequeña distancia, porque no ha de olvidarse, que — 603 — estamos estudiando las deformaciones para una región muy próxima al punto M y que le rodea. Definamos la dirección de la recta M N por sus tres cose- nos, que llamaremos y, p, y. Las coordenadas del punto N con relación á M, las desig- naremos, como siempre, por h, k, I, según se indica en la figura. El punto M, después de la deformación, viene á parar á M', y las componentes del desplazamiento son, como siem- pre, U, V, w. El punto A^, á su vez, viene á parar á N' y las componen- tes de este desplazamiento serán u', v', w', que sabemos cal- cular en función de ii, v, w, de h, k, I, y de las constantes a, b, p, referidas al punto M. Recordando todo esto, tendremos ¿2 = MN^ = If- 4- k^ -f /2 L'2 .^ M'N'- = h'-' + /^'- + /'-; siendo li, k', I' las coordenadas de N' tomadas con rela- ción á M'. Como la diferencia entre ¿' y L es una cantidad muy pe- queña con relación á L, porque las deformaciones son suma- mente pequeñas, podremos poner L' = L -^ ^j L. Además, es evidente que las h', k', /' serán iguales á las primitivas aumentadas en las diferencias ii' — ii, v' — v, w' — w, que son las diferencias paralelas á los ejes entre los desplazamientos de M y N', es decir, r = / -f- iv' — w; y substituyendo estos valores en la segunda de las ecuacio- - 604 — nes anteriores, se convertirá el grupo anterior en este otro: ¿2 == h2 .^ f^2 _|_ /i (L + í L)2 = (/2 + //' — uy -\-{k + v' ~ vy + (l-i-w'-wf Desarrollando y restando de la 2/ la 1." 2 LoL -f- oL2 = 2li {ii — ii) + («' - iiY -^2k{v' -V) -|- + (v' - vy + 2/ (w' — w) -f (iv' — wy pero ^¿2, (w' — iif, {v' — vy, {w — iv)' pueden considerarse como infinitamente pequeños de segundo orden, y tendre- mos, despreciándolos y dividiendo por 2, LoL = li{u' — u)-\-k (y' — v) + / (w' — w). Substituyendo en esta ecuación los valores ya obtenidos al descomponer el desplazamiento N N' en tres desplaza- mientos parciales, expresiones que eran u' — u =pJ — P-ik-\- a^h + b.^k -\-bJ, v' — v=p¿h — pj -\- bji 4- «2^ H-^i^ w' — w = Pik—p2h-\-b.¿li -\- b^k -\-a.J, resultará: UL = h {p,l — p.-ki-a,li + b,,k + b,¡) + k(jUi—pJ-\- + a.k-^b.Ji + bj) -\-l{p,k—p,/i + bji^b^k + a-J), y desarrollando y simplificando, LoL = fli/z- + a.,k- + a,/' + 2¿?iA'/ H- 2/^2/?/ + 2b^kh. Dividamos por L^ y tendremos: — 605 t — = dilatación lineal =a,\ — i -\- a.A — j + ni hemos desarrollado la diferencial de n\ para simplificar la escritura, y porqué no vamos á consi- derar él caso general. Desarrollando y simplificando, tendremos: dV= ! \2ajjh, -f 2a.kky + 2a.Jl^ + rri sen V -\-2b^(kl, + Ik,) + 2b,{h!, ^ //z,) + 2b^(hk, + kh^) — — eos Vd{rri)], ó bien 2 rr, sen 1/ + b,{kl, + lk,) + /7,(/2/, -I- //20 -i b,(hk, + k/1,) - — — eos Vdirr^)] Esta última fórmula nos resuelve el problema, es decir; nos da lo que ha variado el ángulo V por la deformación, que es precisamente la cantidad sumamente pequeña que hemos llamado dV.Y nos da este valor en función de los datos, es decir, de las coordenadas /?, k, I, h^, k^, l^, que determinan las dos direcciones de las MN, MN^. No hemos desarrollado por completo la fórmula, diferen- ciando r, r^ para evitar cálculos inútiles, porque de la fórmu- la general no hemos de hacer uso, como ya hemos dicho. Vamos á considerar tan sólo un caso particular, aquel en que el ángulo NMN^^ es un ángulo recto. En este caso, la fórmula se simplifica, porque haciendo V = — tendremos sen V= \, eos V' = O y queda -^dV = — [aJili, + a,kk, + a,ll,-\-b,{kk4-lk^)-\- 2 n\ -{-b,{/2i,-\~i/i,) + b,{fik,-^kh,n — 612 - Ó bien — — dV=a~-^-i- a, t + a, — -i I 2 r /', /' Tj r /', V /- í\ r rj \ r i\ r rj \ r r, r r, ) u A h k I h^ ki /i , ,. y observando que — , — , — , — ^, —^, — ^ son los cosenos di- r r r i\ r^ r^ recto''es de las dos rectas dadas, tendremos finalmente: -—^dV= a,'.a., + fl.pp, + a,yy, + b, (Pyi + yPi) + + b^ (r°'-i + -Ti) + ^3 (« h + fi^i)- Esta fórmula determina la variación de un ángulo recto por una deformación cualquiera, infinitamente pequeña, en función de los cosenos directores de los dos lados del ángulo. Así como al determinar la dilatación lineal obtuvimos una representación geométrica de las tres constantes a^, a.,, a.,, que eran las dilataciones lineales para el caso en que la recta coincidia con las direcciones de los ejes, así podemos en este caso obtener representaciones de las otras tres constan- tes, ¿?i, b., 6.,. En efecto, supongamos que el ángulo recto V coincide con el que forman dos rectas trazadas por M paralelamente á los ejes y, z; en este caso, los cosenos directores toman los valores siguientes, suponiendo qus «, ¡j, y se refieren al eje J, y «i, í^i, yi, al z: a-0,::í=l,y = 0; a^ =. 0^ [:!,=: 0^ y^ == 1 ; y el valor de úf l/será: variación del ángulo {y z) = b^ — 613 — Del mismo modo, cuando el ángulo recto coincide con el X z, tendremos: variación del ángulo (x z) = b.,, y por último, variación del ángulo {xy) = h^. Dos observaciones para terminar: Lo mismo en el caso de las dilataciones, que en el de las variaciones angulares, dichas magnitudes no dependen de Pi> P'j Po/ ^1 cálculo las elimina. Sobre esta circunstancia ya hemos dicho que insistiremos más adelante. Tampoco dependen explícitamente de z/, v, w, lo cual sería imposible, y lo es en efecto, porque las fuerzas que actúan sobre el sistema determinan las deformaciones de todos los elementos, y por lo tanto determinan u, v , \v, y á la vez las constantes a, b, que son las que definen cada caso par- ticular. Por consiguiente, todos los elementos de la deformación, lo mismo u, v, w, que u, v', w', que las dilataciones lineales, que las dilataciones angulares y todos los restantes depen- den de los datos del problema por el intermedio, por decirlo de este modo, de las constantes Qi, a.,, a^, b^, b^, b.¿. * * * 3.° De las dilataciones y deslizamientos, que es el tercer punto de los que indicamos antes, algo tenemos que decir todavía, que no será más que el complemento de lo que aca- bamos de explicar. Vimos ya la significación de a^, a.,, a.¿. Rev. Acad. de Ciencias. — VI.— Marzo, 1908. 39 — 614 - Eran las dilataciones paralelas á los ejes coordenados de tres rectas pasando por M. Si tomamos como elemento comparativo para las defor- maciones un paralelepípedo ABC (fig. 32), cuyos lados, para fijar las ideas, supondremos que son dx, dy, dz, según lo expuesto, resultará: dii dv dw =í7j, =<7.„ dx dv dz «hI es decir, las dilataciones por unidad de longitud, paralela- mente á los ejes coordenados, según hemos dicho ya. Fiíjura 32, Del mismo modo, 2b ^, 2b.,, 2b.> serán las variaciones de los tres ángulos rectos yz, xz, xy. Esto último puede comprobarse geométricamente. Porque si para la longitud OC, ó sea para el incremento dz^ la componente paralela al eje de las )' de la deformación, se proyecta en CC, tendremos: ce OC = ángulo C O C. - 615 — Suponemos CC sumamente pequeña, y confundiéndose con un arco de círculo trazado con O C por radio. De suerte que ^^ ^^ = ángulo C O C, OC dz Del mismo modo, si BB' es la componente de la variación de la extremidad B de la recta OB, tendremos: BB' dw , y Dr^D' = ángulo BOB . OB dy Por lo tanto. ^^ 4-JÍ]!L = 2¿?i = ángulo COC'fángulo5 0fí; dx dy así, 26, represéntalo que ha variado el ángulo recto COB respecto á su valor primitivo. Tenemos, pues, los elementos principales de la deforma- ción del paralelepípedo. Claro es que no son más que las variaciones aproxima- das, es decir, proyecciones de los desplazamientos paralelos á los tres ejes, y proyecciones sobre los planos de los tres ángulos del paralelepípedo. Con estos tres desplazamientos y estos tres ángulos, se puede construir aproximadamente el paralelepípedo defor- mado. No insistimos sobre este punto, que no ofrece dificultad, y que puede verse con suficiente detalle en todos los tratados de esta materia. Se les da el nombre á í7i, a.,, a.¿, como hemos dicho, de dilataciones lineales de las aristas del paralelepípedo; y á — 616 - 2¿?i, 2b.,, 2b.,, que representan las disminuciones de los án- gulos primitivamente rectos, yz, xz, xy, se les designa con el nombre de deslizamientos ó distorsiones, que son próxi- mamente los deslizamientos en las caras del paralelepípedo. En la conferencia próxima pasaremos ya al estudio de la deformación de superficies. XXIX. — Análisis quíiiiico con arreglo á los iones y estndio físico y biológico de las aguas minerales snlfliídeicas radio-niteogenadas. denominadas Her- videro di' San Vicente». Por Gabriel de la Puerta. Situación de la fuente. Se halla situada en el término municipal de Almeida, par- tido judicial de Bermillo de Sayago, provincia de Zamora, á 41° 15' de latitud N. y 3" 20' longitud O. del meridiano de Madrid. La altura sobre el nivel del mar es de 535 metros. El terreno donde brota el agua es granítico, como toda la comarca, recubierto por el aluvión en su mayor parte. Son conocidas esta aguas desde muy antiguo con el nom- bre de Hervidero de San Vicente, por los gases que se des- prenden en su emergencia. Como luego se dirá, son éstos hidrógeno sulfurado y an- hídrido carbónico en corta cantidad, y nitrógeno en mayor proporción, el cual, por su poca solubilidad en el agua, aun- que está sobresaturada, se desprende en burbujas en gran parte, pareciendo que el agua está en ebullición. — 617 — Por experiencia las usan en el país estas aguas para en- fermedades de los ojos, herpéticas y del estómago, como puede verse en la Memoria histórico-científica de las mismas. Aforo. El manantial da en la actualidad medio litro de agua por segundo, que corresponde 30 litros por minuto, 1.800 por hora y 43.200 litros en veinticuatro horas. Esta cantidad aumentará indudablemente cuando se haga el captado y las obras necesarias, porque alrededor de la fuente principal ó pozo hay varios manantiales. Este aforo ha sido practicado por el propietario de las aguas, D. Francisco Beneito Mayor, Auxiliar de minas. Propiedades físicas del agua. Es incolora, transparente, de olor y sabor sulfhídrico, que les pierde después de algún tiempo de hallarse en contacto del aire, porque se va el hidrógeno sulfurado. Contiene el agua fibrillas y copitos blancos que son de siilfiiraria, como luego se dirá. Al agitar el agua, y sobre todo si se calienta, se despren- den finísimas burbujas, que son de ázoe ó nitrógeno y poco anhídrido carbónico. Temperatura en el manantial.— Término medio de varias observaciones: 15.° centígrados. Densidad del agua.— Determinada por la balanza de Westphal y por el picnómetro, á la temperatura de + 4°, re- sultó 1,0003. — 618 — Análisis cuialitativo. Reacciones preliminares. Tintura de flor de malva, papel de tot nasal rojo y azul y fenoltaleina. Reacción neutra, ó á lo niíis, ligeramente alca- lina con la flor de malva. Nitroprusiato de sodio.-- Nuda; pero si se añaden algunas gotas de amoníaco, color purpúreo (hidrógeno sulfurado y no sulfuros). Acido arsenioso disuelto en ácido clorhídrico y agua.— Apenas se advierte color amarillo, debido al hidrógeno sul- furado. Agua de co/.— Precipitado blanco. Cloruro de calcio y í7/720/z/'í7Cc.— Precipitado blanco. Estas dos reacciones indican la existencia de ácido carbó- nico ó bicarbonatos, pero también son debidas al silicato y fluoruro de sodio que contiene el agua. Acido clorhídrico. --"í^o da efervescencia perceptible, por ser muy pequeña la cantidad de bicarbonatos. El ferri y ferrocianuro potásicos, el sulfocianuro potásico y sulfuro amónico, no dan la reacción del hierro, porque existe en muy corta cantidad, y sólo aparece en el agua concen- trada. Cloruro de bario. — Opalinidad, añadiendo ácido clorhídri- co (pocos sulfatos). Nitrato de plata. —Precipitado blanco algo amarillento (por el hidrógeno sulfurado), insoluble en ácido nítrico la mayor parte (cloruros). Oxalato amónico. -Apenas opalinidad (poco calcio). Fosfato sódico amónico. - Casi nada (muy poco mag- nesio). Grados hidrotimétricos. -4", que corresponde á 0,04 gra- mos de sales de calcio y magnesio por litro de agua. 619 - Evaporación del agua. Dos litros de agua mineral se evaporaron en cápsula de porcelana hasta reducir su volumen á unos 200 ce. Al calen- tar se desprenden al principio finísimas burbujas de nitrógeno y anhídrido carbónico, sin enturbiarse el líquido. Por enfria- miento, al día siguiente, aparece un pequeño depósito ó pre- cipitado blanco. Se filtró el líquido para separar el precipitado y estudiar separadamente el líquido filtrado y dicho precipitado. Estudio del líquido filtrado. Dio las reacciones siguientes: Tintura de flor de malva.— Verde. Papel rojo de tornasol. — Azul. Fenoltaleina.-^ Rojo. Resulta que el líquido tiene reacción alcalina, pero no es debida á carbonatos alcalinos, porque tratado con ácido clor- hídrico, no se nota desprendimiento de burbujas de gas, ni tratado con sulfato de magnesio da precipitado, ni opalinidad. La alcalinidad es debida al silicato sódico que contiene el agua, y si algo puede ser debida al carbonato amónico, se encuentra éste en tan corta cantidad, que no aparece por los reactivos antes dichos. Cloruro de dar/o.— Precipitado blanco, y añadiendo ácido clorhídrico, opalinidad (pocos sulfatos). Nitrato de plata.— Predpiiaáo blanco, insoluble en ácido nítrico (cloruros). Oxalato amónico. --Casi nada. Fosfato sódico amónico. — Casi nada. Molibdato amónico.— NaásL. Ferrocianuro y sulfocianuro potásicos y sulfuro amónicos.— Nada (ausencia de hierro). - 620 - Briícina y ácido sulfúrico puro. —Nada, (ausencia de nitra- tos). loduro potásico., almidón y gotas de ácido sulfúrico diluí- do. — Nada (ausencia de nitritos). Coloración de la //a/wa.— Amarilla (sodio). Estudio del precipitado. El precipitado resultante de evaporar dos litros de agua era blanco y escaso. Se disolvió en ácido clorhidrico diluido, y dio efervescencia, dejando un residuo pequeño insoluble de sílice. La disolución clorhídrica de dicho precipitado dio las reac- ciones siguientes: Ferrocianuro potásico.— Ligera coloración azul. Sulfocianuro potásico.— LlgQva coloración roja. Sulfuro amónico, después de neutralizar con amoníaco.— Ligera coloración verdosa, y al día siguiente algunos copitos negros. Estas reacciones demuestran la existencia del hierro, pero en muy corta cantidad. Oxalato amónico.— Después de neutralizar con amoníaco, poco precipitado blanco (calcio). Fosfato sódico amónico. — El líquido de la reacción ante- rior, filtrado después de algún tiempo para separar el calcio, dio apenas opalinidad (muy poco magnesio). Cloruro de bario. —Naáa (ausencia de sulfatos). Molibdato amónico. — Calentando, nada (ausencia de fos- fatos). Coloración de la //a/wa. — Amarilla algo rojiza (sodio y calcio). De las reacciones expuestas resulta, que el precipitado ob- tenido de la evaporación del agua mineral está formado de carbonato de calcio, sílice, hierro y magnesio en corta can- tidad. 621 Otras reacciones. Se investigó el amoníaco y se encontró en muy poca can- tidad, 0,001 gram. por litro de agua; pero nada de amonía- co albuminoide. También se investigó el bromo, iodo y ácido bórico en gran cantidad de agua evaporada, y no se encontraron. E\ flúor fué objeto también de investigación, para lo cual, un litro de agua mineral se evaporó hasta sequedad, y el residuo seco se mezcló con ácido sulfúrico, no habiendo ne- cesidad de añadir sílice, porque la contenía el agua. Hacien- do pasar una corriente de aire seco, se desprende fluoruro de silicio, que al llegar á un tubo doblado en forma de V, en cuyo vértice se puso una gota de agua, se forma sílice gela- tinosa y ácido hidrofluosilícico. Esta investigación se hizo en el aparato de mi distinguido compaiiero Dr. Casares. Examen espectroscópico. Las observaciones se han hecho con los líquidos si- guientes: 1." Agua mineral sin evaporar, acidulada con ácido clor- hídrico. Se distinguen las rayas del litio y calcio, además del sodio. 2.° Agua evaporada procedente de dos litros y acidulada con ácido clorhídrico. Aparecen, además del sodio, las rayas del litio y potasio, si bien este último muy poco. 3.° Precipitado resultante de evaporar el agua mineral y disuelto en ácido clorhídrico. Aparecen las rayas del sodio, litio y calcio. No cabe duda que el agua contiene, además del sodio y calcio, pequeña cantidad de litio y aun menos de po- tasio. — 622 Examen microscópico. A simple vista se ven en el agua mineral fibrillas y copitos blancos, que son de la materia que se encuentra en muchas aguas sulfurosas, llamada siilfiiraria, que también se ha lla- mado baregina, glerina y pirineina. Con el microscopio, en gotas de agua sacadas del fondo con una pipeta esterilizada, se ven algunas oscilarías, además de la sulfataría. Esta ha sido objeto de estudio especial, y se ha visto que se halla formada del alga microscópica, lla- mada Beggíatoa alba, caracterizada por sus filamentos ar- queados y articulados, con granulaciones de azufre, espe- cialmente en la parte terminal, y además se ven espórulos libres. También contiene una substancia glerosa que la co- munica cierta untuosidad. Tiene importancia la sulfurarla por el azufre muy dividido que la rodea, resultando el agua sulfurosa más activa. La Beggíatoa alba y otras especies que se hallan en las aguas sulfurosas, se denominan por varios autores sulfobac- terias, y se consideran como intermedias entre las algas de organización superior y las bacterias propiamente dichas. De estas últimas trataremos en el capítulo Análisis bacterio- lógico.- Depósitos ó barros del agua. Entre las botellas remitidas para el análisis, hay una con el depósito que se forma en las fuentes. El agua huele más á hidrógeno suturado, y tiene alg ) más grados sulfhidromé- tricos que el agua de las otras botellas. El depósito es casi negro, cuyo color es debido al sulfuro de hierro, contenien- do, además, carbonatos férreos, azufre precipitado y arcilla. Con el microscopio se ven la sulfurarla y oscilarlas que son cercanas á las beggiatoas, y algunas diatónicas. - 623 - Dicho depósito se disuelve, en parte, en ácido clorhídrico, desprendiendo anhídrido carbónico é hidrógeno sulfurado, y quedan las algas, azufre y sílice sin disolver. Puede utilizarse este depósito ó barro, como el de otras aguas sulfurosas, para las enfermedades de la piel, por el azu- fre muy dividido que contiene. Análi&is cuantitativo. Residuo fijo á 120°. Medio litro de agua mineral se evaporó en una cápsula de platino en baño de aire, calentado el residuo á la temperatu- ra de 120" hasta obtener dos pesadas consecutivas iguales, y resultó 0,2435 gramos, y para un litro de agua, el doble, 0,487 gramos. Calentado el producto al rojo incipiente, se ennegreció en las paredes de la cápsula, debido á la materia orgánica que contiene el agua. Después de frío, se trató con ácido clorhí- drico diku'do, y produjo efervescencia, dejando un residuo insoluble de sílice. Determinación de los gases. Un matraz de medio litro de capacidad se llenó de agua mineral, adaptando un tubo de conducción lleno de agua des- tilada, que comunicaba con la cuba hidrargiro-neumática, colocando en el puente una campana graduada, estrecha, de cristal y llena de mercurio, sin que hubiera burbuja ninguna de aire. Se aplicó calor al matraz hasta hervir el agua y cesar el desprendimiento d: gases. Al principio S2 desprendían finísimas burbujitas de gas. Después de frío el aparato é in- troduciendo la campana en el mercurio, hasta que el nivel de éste en el exterior rué igual que en el interior de la campa- - 624 - na, resultaron 17 c. c. de gases á la temperatura de 15" y pre- sión de 712 milímetros. Después se introdujo en la campana, por medio de la pi- peta curva, una solución de potasa cáustica, y agitando, se ab- sorbieron 4,5 c. c. de anhídrido carbónico. Seguidamente, para que no varíase la temperatura y presión, se introdujo con la pipeta curva una solución de ácido pirogálico, agitan- do varias veces para la absorción de oxígeno, que fué 0,5 centímetros cúbicos. Quedaron sin absorber 12 ce. de ni- trógeno ó ázoe. El gas hidrógeno sulfurado que contenía el agua fué des- compuesto por el mercurio. Para un litro de agua mineral, corresponden : Cent. cúb. Anhídrido carbónico 9 Oxígeno 1 Nitrógeno 24 Total 34 A estos gases hay que añadir 3,5 c. c. de hidrógeno sul- furado, obtenidos por la sulfhidrometría, resultando los si- guientes gases en litro de agua: Cent. cúb. Anhídrido carbónico 9 Oxígeno 1 Nitrógeno 24 Hidrógeno sulfurado 3,5 Total 37,5 Además creemos que en estas aguas hay pequeñas canti- dades de los gases íu\í>;on y helio, que no hemos podido de- terminar por no disponer de agua bastante para extraer la cantidad necesaria de gases para esta determinación. — 625 Determinación del hidrógeno sulfurado SH'-. Tratada el agua mineral con el reactivo nitroprusiato de sodio, no dio coloración ninguna, lo que prueba que el olor sulfhídrico no es debido á sulfuros, sino al hidrógeno sulfu- rado que se halla disuelto en el agua. Si se añade al agua un poco de amoníaco ó de sosa, entonces aparece el color pur- púreo, porque se ha formado un sulfuro alcalino. No queda duda ninguna que el agua contiene el gas hi- drógeno sulfurado, y no sulfuro alcalino. Los ensayos sulfhidrométricos, por el método de Dupas- quier, dieron por resultado 4° en litro de agua, lo cual co- rresponde á 0,0051 gramos de azufre y á 0,0054 gramos de hidrógeno sulfurado y en volumen á 3,5 c. c. de di- cho gas. También se hizo con el líquido sulfhidrométrico de Bun- sen, y dio el mismo resultado. Aunque el agua se recogió con mucho cuidado en botellas bien cerradas y sin nada de aire, es posible que haciendo los ensayos al pie del manantial, dé algo más de gas sulfhídrico que el obtenido á los cuatro días de recoger el agua. Sulfuraria. En el capítulo «Examen microscópico» hemos dicho que la sulfuraria de estas aguas se halla formada por la Beggiatoa alba, rodeada de azufre precipitado. La cantidad de sulfuraria es variable, según las botellas que se examinen, como es variable, según el momento de emerger el agua. Recogida de la botella en que aparecía mayor cantidad, sobre un filtro, y desecado éste á 100°, dio 0,1 gramos por litro de agua, pero en otras dio menos cantidad, resultando, como término medio, 0,0632 gramos por litro. — 626 Materia orgánica soluble. La denominamos soluble para distinguirla de la sulfurarla, que es insoluble. Hemos empleado agua filtrada, y la deter- minación se ha hecho por el permanganato potásico en me- dio ácido, resultando 0,0045 gramos por litro de agua mi- neral. Ion sulfhídrico (sulfhidrilo) SH. El hidrógeno sulfurado es un ácido dibásico muy débil que apenas se ioniza en el agua, pero es posible se forme el ion sulfhídrico ó sulfhidrilo que es más activo que el ion azu- fre. A la acción de dicho ion debe agregarse la de la sulfura- ría, de que hemos tratado antes. La cantidad del ion sulfhídrico SH, deducida de lá del hi- drógeno sulfurado SH-, es 0,00524 gramos por litro de agua mineral. Ion cloro Cl. Se ha hecho la determinación por medio de la solución valorada de nitrato de plata, poniendo en el agua algunas gotas de solución de cromato de potasio, y resultó 0,12 gra- mos del ion cloro por litro de agua. También se ha determinado precipitando 100 centímetros cúbicos de agua mineral acidulada con ácido nítrico, por nitrato de plata, deduciendo del cloruro de plata la cantidad de cloro, y resultó cantidad próxima á la anterior. Ion flúor Fl. El residuo seco obtenido por evaporación de un litro de agua mineral se trató con ácido sulfúrico en el aparato del Dr. Casares, según se dice en el análisis cualitativo, y de - 627 — la cantidad de sílice formada se dedujo la de flúor, resultan- do 0,012 gramos. Creemos que el flúor debe hallarse en estado de fluoruro de sodio, resultando de esta sal 0,0265 gramos en litro de agua. Ion sulfúrico SOK Medio litro de agua mineral acidulada con ácido clorhídri- co se trató con cloruro de bario, agitando con una varilla de cristal. Sólo se produjo opalinidad, y al día siguiente se re- cogió el pequeño precipitado sobre un filtro; se lavó bien con agua destilada, se desecó con el filtro á 100", y separado el precipitado, se calentó fuertemente con las cenizas del fil- tro, resultando, descontadas las cenizas del papel de filtro, 0,04577 gramos de sulfato de bario, donde hay 0,018858 gra- mos del ion sulfúrico SO^, y para un litro de agua mineral el doble, 0,037716 gramos. Ion hídrocarbóníco CO^H. En una botella con un litro de agua mineral se puso amo- níaco y cloruro de calcio, tapando en seguida y agitando. A los dos días se recogió sobre un filtro el precipitado for- mado de carbonato de calcio, y después de seco se deter- minó la cantidad de anhídrido carbónico CO' en el apa- rato de F. Morh, y resultó 0,0563 gramos, que corresponden á 0,07802 del ion hidrocarbónico CO^H. El ácido carbónico CO'H- es un ácido dibásico y forma, por tanto, en disolución en el agua, los dos iones CO' y CO^H, y el que está formando los bicarbonatos es induda- blemente el segundo. Por esta razón le hemos considerado todo como CO'H, al cual damos el nombre de ion hidrocar- bónico. — 628 — Ion hidrógeno H. + Este ion existe en el ácido sulfhídrico SH H, y siendo la cantidad de este último 0,0054 gramos por litro de agua, re- sultan 0,00015 gramos. También existe en el ácido carbónico + libre CO^HH, y siendo la cantidad de éste 0,0142 gramos en litro de agua, resulta 0,00023 gramos. En total, sólo hay del ion hidrógeno 0,00038 gramos por litro de agua. Ion calcio Ca. Medio litro de agua mineral acidulada con ácido clorhídri- co se trató con amoníaco en exceso y no se percibió precipita- do de alúmina ni de óxido de hierro, si bien se filtró el líqui- do por si había alguna cantidad de dichos cuerpos. Se aña- dió después oxalato amónico y se dejó hasta el día siguiente. El pequeño precipitado formado de oxalato de calcio se re- cogió sobre un filtro, se lavó, desecó y se incineró con el fil- tro, añadiendo después algunas gotas de ácido sulfúrico di- luido, para obtener sulfato de calcio. Se calentó fuertemente para eliminar el exceso de ácido, y pesó, después de frío el sulfato de calcio, descontadas las cenizas del filtro, 0,015 gra- mos, donde hay 0,00441 gramos del ion calcio, y para un litro de agua mineral, el doble, 0,00882 gramos. Ion magnesio Mg. El líquido anterior, después de separado el calcio (proce- dente de medio litro de agua mineral), se trató con fosfato sódico amónico y apenas se formó opalinidad. Se dejó hasta el día siguiente, siendo tan pequeño el precipitado, que no fué posible pesarle; no existiendo, por tanto, en un litro de agua, más de un miligramo del ion magnesio. - 629 Ion litio Li. Medio litro de agua mineral se aciduló con ácido clorhí- drico y se evaporó en una cápsula de porcelana hasta casi sequedad. El producto se trató con una mezcla de alcohol anhidro y éter, filtrando el líquido y dejándole evaporar es- pontáneamente. El residuo de la evaporación se trató con ácido sulfúrico diluido y se calentó para convertir en sulfatos los cloruros de sodio, de calcio y de litio. El producto se trató con una mezcla de alcohol anhidro y éter, que sólo di- suelve al sulfato de litio, quedando éste por evaporación, y después de calentado fuertemente, pesó 0,012 gramos, en donde hay 0,0015 del ion litio, y para un litro de agua mi- neral, el doble, 0,003 gramos. Ion sodio Na. Medio litro de agua mineral se trató con amoníaco y car- bonato amónico, hirviendo el líquido hasta precipitar la cor- ta cantidad de calcio y magnesio que contienen estas aguas. El líquido, después de frío, y aíiadiendo nueva cantidad de amoníaco, se evaporó hasta sequedad, calentando el residuo para eliminar las sales amoniacales. Después de frío se di- solvió el producto en agua destilada, se filtró el líquido y se evaporó hasta sequedad, añadiendo algunas gotas de ácido sulfúrico diluido, para convertir todo en sulfato de sodio. Se calentó fuertemente para desalojar el exceso de ácido y pesó el sulfato de sodio 0,19167, donde hay 0,06209 del ion sodio y para un litro de agua mineral, el doble, 0,12418 gramos. La cantidad del ion potasio era tan pequeña que no fué posible pesarla y á lo más existe 0,001 gram. en litro de agua mineral. Rev, Acad. de Ciencias. — VI. — Marzo, iqoS. +o 630 - Ion amonio NH^. Se destilaron 200 centímetros cúbicos de agua mineral con óxido magnésico, recogiendo 40 centímetros cúbicos de líquido destilado, el cual, tratado con el reactivo de Nessler, dio ligero color amarillo, correspondiente á 0,001 gramos del ion amonio por litro de agua. Este ion debe encontrarse en estado de carbonato amónico. No existe nada de amonía- co albuminoide. Ion silícico SiO^. Medio litro de agua mineral acidulada con ácido nítrico se evaporó hasta sequedad, y el residuo se calentó fuertemente. Después de frío se trató con ácido clorhídrico diluido y quedó una parte insoluble de sílice SiO', que recogida sobre un fil- tro y bien lavada con agua destilada, se desecó é incineró con el filtro, pesando, descontadas las cenizas de éste, 0,02353 gramos, que corresponden á 0,02977 gramos de SiO\ y para un litro de agua, el doble, 0,05954 gramos. De esta cantidad hay 0,01835 en estado de silicato de sodio y el resto, 0,0412 en estado de sílice hidratada (ácido metasilícico) SiO^ H' 0,0422 gramos. Sólo consideramos como ion silícico SiO\ la parte que se halla combinada con el sodio, esto es, 0,01835 gramos, y aun así, forma un anión muy débil. La parte correspondiente al ácido metasilícico, no se puede considerar como ion, por- que dicho ácido es coloide y sólo se halla en pseudosolución. Iones aluminio Al- y hierro Fe. El líquido anterior, procedente de medio litro de agua mi- neral después de separada la sílice, se le añadió amoníaco en exceso, y después de dos días se formó un pequeño preci- — 631 — pitado de hidrato alumíiiico gelatinoso, blanco muy ligera- mente amarillo-rojizo. Recogido sobre un filtro, lavado con agua destilada é incinerado con el filtro, pesó descontadas las cenizas de éste, 0,00377 gramos de Al-0-^. El ion hierro era tan pequeño, que no pudo pesarse el óxi- do férrico, calculando sería un miligramo. Queda de óxido de aluminio 0,00277, donde hay 0,001466 del ion aluminio, y para un litro de agua mineral, el doble, 0,002932 gramos. El líquido amoniacal, después de separar el hidrato de alu- minio, no dio con la mixtura magnesiana precipitado ni opa- linidad, lo que prueba que no existían fosfatos. Análisis bacteriológico. Se hicieron varios cultivos en agar peptonizado ó gelosa nutritiva echando en unos una gota de agua mineral, y en otros dos con la pipeta graduada, mezclándolo bien después de licuada dicha gelosa. Se pusieron los líquidos en placas de cristal (cajas de Petri), previamente esterilizadas y cubier- tas con su tapadera. Al cabo de cuatro días, á la temperatura de 18", empezaron á aparecer manchas ó colonias, y á los siete días cesaron de aparecer. Contadas dichas colonias, resultaron 17 para una gota de agua, y correspondiendo á la pipeta empleada 27 gotas por centímetro cúbico, resultan 17x27 = 459 bacterias por cen- tímetro cúbico de agua mineral , no liquidantes y completa- mente inofensivas, como las de las buenas aguas potables. . Probablemente, el número será menor si el agua se recoge en botellas esterilizadas. Además, aparecieron algunas man- chas de moho (penicilliiim gláucum), procedente de los tapo- nes de las botellas. Radioactividad. La radioactividad de esta agua es considerable: puesta en un platillo metálico entre los discos del electroscopio de Cu- — 632 — ric, le descarga prontamente; pero este medio no es cuantita- tivo ni tan preciso como el del fontaktoscopio de Engler y Sievequín, en el cual ha dado 1.000 voltios por hora y litro, teniendo en cuenta que se examinó cuatro días después de recogida, aunque con las precauciones necesarias para evi- tar el contacto del aire. Esta determinación con el fontaktos- copio se ha hecho en el laboratorio de radioactividad de mi ilustre colega Dr. Muñoz del Castillo. Crioscopia. El punto de congelación de estas aguas se determinó por medio del crioscopio de Claude y Balthazard, y resultó —0,045. Como se ve, el descenso crioscópico es pequeño, porque éste se halla en relación con la cantidad de sales disueltas y éstas son pocas, aunque están muy ionizadas. La concentración molecular de esta agua mineral resulta según la ecuación siguiente: N = ^^^= 0,024. 1,85 La presión osmótica de estas aguas á 0° es igual á 0,024 X 22,35, ó sean 0,5364 atmósferas. 'Como la temperatura del agua en el manantial es 15°, hay que añadir el producto de multiplicar el número de atmósferas por el coeficiente de aumento de la presión osmótica con la temperatura, esto es, 0,5364 X 0,00367 x 15 = 0,0295, cuyo número, sumado á 0,5364 da una presión de 0,5659 atmósferas. Ebulloscopia. Hierve esta agua á la temperatura de 98" 1 á la presión de 714 mm. (6 de Enero de 1908 en Madrid). — 633 - A la misma presión, y en el mismo momento, el agua desti- lada hirvió á 97",95, de modo que resulta un ascenso para el agua que analizamos de 0,15; y al nivel del mar (760 mm.) hervirá á 100", 15. Conductibilidad eléctrica. Se ha determinado con el nuevo aparato de Kohlrausch, recientemente adquirido para el laboratorio de mi cátedra de Química inorgánica. La conductibilidad específica obtenida á la temperatura de 25° ha sido: 0,000897; y la resistencia 1114,8 ohmios. Resulta que la conductibilidad eléctrica del agua mineral llamada Hervidero de San Vicente es pequeña, lo cual se explica por la corta cantidad de sales que contiene, si bien éstas deben hallarse completamente ionizadas. Iones que existen en un litro de agua mineral, segün los resultados del análisis. Los iones encontrados han sido los siguientes: Iones negativos (aniones). Gramos. Ion sulfhídrico (sulfhidrilo) SH 0,00524 — hidrocarbónico CO^'H 0,07802 — sulfúrico SO^ 0,03772 — cloro a 0,12000 — flúor Fl 0,01200 — silícico SiO'^ 0,01835 Iones positivos (cationes). Ion calcio Ca 0,00882 — magnesio Mg. 0,00100 — litio Li 0,00300 — sodio TVa 0,12418 — potasio K 0,00100 — amonio NH^ 0,00100 — aluminio Al- 0,00293 — hierro Fe- 0,00100 — hidrógeno H 0,00033 - 634 - Agrupación de iones y sales resultantes. Aunque algunas sales hay que admitirlas hipotéticamen- te, hay otras que no queda duda que existen en esta agua, atendiendo á las reacciones obtenidas en el análisis, espe- cialmente en el agua evaporada y filtrada y en el precipi- tado resultante, así como á las observaciones espectroscó- picas y el orden de afinidades. Teniendo esto presente y haciendo los cálculos correspondientes, resultan las siguien- tes en un litro de agua mineral : Gramos. Cloruro de sodio A^oC/ 0,1978 — de potasio /('C/ 0,0019 Fluoruro de sodio NaFl 0,0265 Bicarbonato de calcio (CO^H)- Ca 0,0357 - de magnesio fC O 3///- Ai 5^ 0,0060 — de litio C03//L/ 0,0291 — de amonio CO^/ZA^//' 0,0044 - dehierro(CO^HpFe 0,0032 Sulfato de sodio SO^Na- 0,0331 — de aluminio f SO 'j'^/' 0,0185 Silicato de sodio SiO^Na- 0,0245 Acido metasilícico (sílice coloide) SiO^H- 0,0422 Materia orgánica soluble 0,0045 Sulfurarla 0,0632 0,4907 La cantidad en peso de los gases contenidos en un litro de agua, es como sigue: Gramos. Hidrógeno sulfurado SH- 0,005400 Nitrógeno A^ 0,030144 Anhídrido carbónico CO- 0,017793 Oxígeno O 0,001430 El flúor creemos se halle en estado de fluoruro de sodio, que es como generalmente se encuentra en las aguas mi- - 635 — nerales. El cloro no queda duda que está en forma de cloruro de sodio, y el resto de este metal debe hallarse en estado de silicato y sulfato. El calcio, magnesio y litio se encuentran en estado de bicarbonatos. El aluminio le suponemos en estado de sulfato, pero también podría hallarse formando silicato. La corta cantidad de hierro creemos se halle en estado de bi- carbonato, aunque tiiibién pudiera estar en combinación con la materia orgánica; y, por fin, la corta cantidad de amo- níaco debe estar formando carbonato. El ácido carbjnico se encuentra en los bicarbonatos, y en estado libre poca cantidad. Kesumen generéil del aoálisis. Temperatura en el manantial, 15°. Altura sobre el nivel del mar, 535 metros. Aforo, 43.200 litros de agua en veinticuatro horas. Densidad del agua, 1,0003. Grados sulfhidrométricos, 4". Radioactividad, 1.000 voltios por litro y hora. Crioscopia, —0,045. Presión osmótica, 0,5659 atmósferas. Ebulloscopia, 98,"1 á la presión de 714 mm. Conductibilidad eléctrica, 0,000897 y Resistencia, 1114,8 ohmios. Bacterias no liquidantes é inofensivas. Sulfobacterias propias de las aguas sulfhídricas. Gases contenidos en un litro de agua. Hidrógeno sulfurado SHK Anhídrido carbónico CO'. Nitrógeno ó ázoe N Oxígeno O Cent. cúb. Gramos. 3,5 0,00540 9,0 0,01979 24,0 0,03014 1,0 0,00143 — 636 — Número de ionesmiligramos contenidos en un litro de agua. 5 i 78 38 120 12 18 9 iones sulfhídricos (sulfhídrilo) SH. hidrocarbónicos CO^ H. sulfúricos S0\ de cloro Cl. de flúor Fl. silícicos SiO^. de calcio Ca. 1 3 I de magnesio Mg. de litio Li. 124 — de sodio Na. 1 1 — de potasio K. de amonio NHK 3 1 — de aluminio i4/-. de hierro Fe. 0,1 — de hidrógeno H. Biología. La radioactividad del agua, la carga eléctrica de los iones, la presión osmótica de las sales y gases disueltos, las bac- terias y sulfobacterias que contiene, podemos decir que constituyen los elementos de vida de la notable agua mineral Hervidero de San Vicente. En los capítulos correspondientes, y en el resumen gene- ral, se hallan las indicaciones suficientes para formar juicio de esta agua bajo el punto de vista biológico. Clasificación. Por la corta cantidad de sales que contienen estas aguas, pertenecen á l^s llamadas oligometálicas, y si bien el hidró- geno sulfurado y sulfurarla que en ellas existen nos explican su uso en las enfermedades herpéticas, no así otros usos que se hacen y que pueden hacerse; debiendo, por tanto, tener en cuenta la acción medicinal de su gran radioactividad, — 637 — que es de 1 .000 voltios, y la del ázoe ó nitrógeno. La canti- dad de este gas hallada es mayor que la que corresponde á su solubilidad en el agua á la presión ordinaria, debido á presiones interiores en el terreno, como ocurre en las aguas de Panticosa, que están sobresaturadas de ázoe. Las propie- dades atribuidas al nitrógeno ó ázoe son las de ser sedantes, que también se atribuyen hoy á la radioactividad del agua. En conclusión, atendiendo á los principios y acciones de mayor importancia medicinal, deben clasificarse como aguas sulfhídricas radioazoadas ó radioniírogenadas. Se parecen al agua sulfhídrica azoada de Panticosa, lla- mada fuente del estómago, y sus propiedades terapéuticas deben ser análogas. Madrid, 22 de Enero de 1908. XXX. — Marcómeti'os y mai'eógrafos de sifón. Por Eduardo Mier y Miura. descripción de algunos tipos de mareómetros y mareógrafos de sifón 15. -Mareómetros de tubo en U. La figura 5 representa un indicador de nivel de tubo en U, que hemos construido como aparato de demostración; puede verse en ella el tubo en U, lleno en parte de mercurio y fijo á una tabla, en la que están aseguradas las reglas que sirven 638 para efectuar las lecturas. La rama del tubo en U, que co- munica con el líquido, lo verifica por medio de un tubo de caucho, que va á enchufarse con otro de cristal, que a. ^ o» lijg n^a Fió. 5. atraviesa, con rozamiento duro, un tapón de dos orificios, puesto en la boca de un frasco, y llega hasta cerca del fondo de este último. Elevando ó bajando el frasco, se simulan los mo- vimientos de las marcas, y efectuando esto á lo lar- go de una regla dividida, puede apreciarse la co- rrespondencia entre los ni- veles del agua y los del mercurio. Una ampliación de este modelo son los mareóme- tros ordinarios, sin otra diferencia que substituir el tubo de caucho por otro de plomo, que va á sumergirse en el mar, quedando su boca por debajo de las bajamares más vivas que puedan temerse. En la parte más alta de ese tubo de plo- mo se suelda, en la for- ma que indica la figura 7, que se refiere á un mareóme- tro de cubeta, un corto trozo de tubo de plomo, de 15 ó 20 centímetros de largo, que ha de servir para efectuar la carga. — 639 — 16. — Algunas reglas prácticas para establecer los mareómetros. Una vez instalado el mareómetro, desprovisto de agua y mercurio, en el lugar que ha de ocupar, comiénzase por echar este último líquido por la rama del tubo en U que comunica con la atmósfera, y soldando al tubo de plomo, situado en la parte más alta del sifón, otro de la misma substancia, ó enchufando perfectamente en él uno de caucho, provisto de espiral de alambre, para evitar las deformaciones, se hace una fuerte aspiración, que produce la subida del agua y del mercurio y carga el aparato; pudiéndose emplear para hacer esa succión cualquier bomba aspirante, incluso las más ba- ratas, ordinariamente usadas, que nosotros hemos empleado frecuentemente en la carga de mareómetros. Evidente es que la entrada del aire por el enchufe del tubo de cristal con el de plomo debe estar perfectamente impedi- da, y que todo cuanto esmero se ponga en conseguir esta obturación no es baldío, siendo de recomendar la precau- ción de establecer en torno de ese enchufe una tacilla de cinc, cuyo eje sea el propio tubo de cristal, y en el interior de la cual queden los bordes del enchufe, que de esta manera po- drán tenerse constantemente sumergidos en un líquido cual- quiera, que complete la obturación ó denuncie la falta de ella. Machacando el extremo del tubo de plomo de carga, en una extensión de unos cuantos centímetros, cortándole des- pués con un cortafríos y soldando de seguida el corte plano que resulta, quedará el mareómetro en disposición de fun- cionar. Hemos dado, en su correspondiente lugar, todas las fór- mulas y correcciones que á este aparato se refieren, y con arreglo á ellas puede el observador escrupuloso proceder sin dificultad alguna á determinar la escala que al maieómetro establecido corresponda; pero, en la generalidad de los casos, preferible es hacer una determinación directa de ella. 640 /i' M Para esto, como quiera que el calor aquí, como siempre, es el encarnizado enemigo de las observaciones precisas, en día cuya temperatura sea próximamente la media de la loca- lidad en que el mareógrafo se establece, se procederá en la forma que á continua- B' ción se indica. Fijo el mareómetro M, figura 6."\ se encor- vará algo el extremo del tubo que luego ha de entrar en el mar y se ajustará á su boca otro bien vertical, AB, de pequeño diámetro, en el que previamente se hayan trazado señales divisorias, de decíme- tro en decímetro, ó á cuyo lado haya una re- O \ gla graduada, y se irá echando agua de mar en él, haciendo las lec- turas correspondientes en una escala C, ado- sada al tubo indicador del mareógrafo y divi- dida en milímetros. De ese modo se ob- tendrá una serie de equivalencias entre decímetros de agua y milímetros de mercurio que, á poco esmerada que sea la construcción del mareógrafo, serán casi iguales y darán una serie de valores para la escala, cuyo promedio se aceptará como bueno. Cuando las condiciones locales no permitan establecer el tubo AB suficientemente bajo, puede recurrirse al expedien-. ) Fi¿.6. B - 641 — te de dejar abierto el extremo A sin enchufar en él tubo al- guno y poner éste, por el contrario, en DE. Bastará ver en- tonces cuánto sube el mercurio por cada decímetro de agua que sobre él ejerza presión, para deducir varios valores para la escala que, así como antes se obtuvo simulando la subida de la marea, ahora se deducen figurando su descenso, ya que no á otra cosa equivale echar agua en el tubo CD, y tanto da que suba este líquido en el tubo adicional de la izquierda, como que baje en el de la derecha ó recíprocamente, consi- guiéndose, bien empleando un medio, bien el otro, ó ya los dos sucesivamente, hacer variar el nivel del mercurio dentro de los límites necesarios y determinar una escala media so- bradamente aproximada. La inercia en estos mareómetros de sifón es de tan peque- ña importancia, que resulta á veces excesiva la sensibilidad de tales aparatos; pero esta excelente cualidad, fácil es, si se quiere, empeorarla, bastando para ello emplear tubos de plo- mo de diámetros pequeños ó dificultar la marcha del agua por ellos, produciéndoles abolladuras en suficiente número. Hemos comprobado el hecho de que un mareómetro de mercurio, de gran inercia, relativamente hablando, puesto que tenía 7 m. de carga de agua y 1 m. de mercurio, en tubos de 1 cm. de diámetro interior, acusaba perfectamente las os- cilaciones producidas por el paso de un vapor, de no gran tonelaje, á unos 100 metros de donde el mareómetro se ha- llaba establecido, y este hecho, por sí solo, indica que se tra- ta de aparatos en que, por fortuna, hay que empeorar gene- ralmente sus cualidades. En el caso de que se emplee para las lecturas solamente una regla graduada, deberá establecerse en la rama del tubo que comunica con las aguas del mar, y damos este consejo, porque hemos podido observar que en un mareómetro que establecimos para nuestros ensayos y estudios preliminares, al cabo de dos años de funcionar, mientras que la superñcie libre del mercurio estaba oxidada y el tubo correspondiente - 642 — aparecía muy sucio, la otra superficie y la rama en que ésta se movía se hallaba cual el primer día que el mareómetro se instaló. Los gastos que la instalación de un mareómetro de esta especie puede ocasionar son insignificantes, y en testimonio de ello, aducimos que el coste y establecimiento de él as- cienden á unas cincuenta pesetas. 17.— Mareómetros de cubeta. Al estudiar la teoría de los mareómetros de cubeta lo hici- mos sirviéndonos de la figura 2, que indica nno de los tipos más sencillos que pueden construirse: AB, representa en aquélla un tubo de cristal á cuyo lado ha de ponerse una escala graduada; BCD, es un tubo de fundición, ensanchado en la parta D de la cubeta, y H, otro tubo de plomo al que sólo falta en la parte superior un tubito adicional, por el que ha de efectuarse la carga, en la forma que hemos explicado, al describir los mareómetros de tubo en U. Todo el aparato estará montado sobre una tabla fija en la pared, y los detalles que se refieren á obturación de enchu- fes, procedimiento teórico ó experimental para la gradua- ción, etcétera, etc., son idénticos á los ya indicados en este escrito precedentemente, con toda minuciosidad. Otra variedad de los mareómetros de cubeta es la repre- sentada en la figura 7, reproducción exacta, en pequeña es- cala, de un aparato ya construido y ensayado por nosotros. En un tablero provisto de las correspondientes cabeceras para mantenerle algo alejado de la pared en que ha de col- garse, hállase sujeto un tubo barométrico, de 3,5 milímetros de diámetro interior, que llega cerca del fondo de una ancha cubeta de 75 milímetros de radio. La tapa de esta cubeta, formada por dos semicírculos de madera, que en ella encajan, tiene, á más de la abertura por la que entra el tubo ya refe- rido, otra distinta, por la que penetra un termómetro, que — 643 - í3i ü ng.7. HJD EOQ nt33 llega hasta el fondo de la cubeta, destinado á indicar las tem- peraturas que el mercurio tenga. Una regla graduada sirve para apreciar las altu- ras de la columna de mercurio, y el delgado tubo de plomo que se enchufa con el de cris- tal está provisto, en su parte superior, de un corto apéndice tubular, por el que ha de efec- tuarse la carga. Con objeto de cer- ciorarse de que la carga queda bien hecha, una parte de ese apéndice, de que hemos hablado, es de cristal, y para asegurar la obturación de los enchufes, tanto de los dos que corres- ponden á este trozo de cristal, cuanto del que empalma el tubo baro- métrico con el de plo- mo, hay en cada uno una cubetilla de cinc, en cuyo interior queda el empalme, completa- mente sumergido en la =3 brea que en ellos preli- minarmente se deposi- ta. En el extremo superior del tubito de cristal, destinado á revelar en cualquier tiempo la presencia del aire dentro del aparato, existe una válvula esférica, formada por una bolita 644 de cristal que, descansando sobre el extremo del corto tubo de cristal, queda detenida en su carrera ascendente, al efectuar la aspiración de carga, y permitiendo que ésta pueda realizarse, por un estrechamiento irregular practi- cado en el tubo de plomo. Este mareómetro costó 61,75 pesetas, incluyendo todos los gastos de estableci- miento. Más completo que los precedentes, pero también de pre- cio más elevado, es el mareómetro cuya descripción sigue, en el que se han adoptado disposicio- nes para proceder periódicamente á la limpieza del tubo de plomo. Se compone este mareómetro, que brevemente descri- biremos, de un tubo de cristal, .4 5 (figu- ra 8), abierto por su parte superior y enchufado por la otra en un tubo en- corvado en forma de U, de hierro, BCD, que termina por su otro extremo en un ancho cilindro de este mismo metal, DF. Parten de ese cilindro ó cubeta dos tubos de plomo: el uno de ellos, el FGH, va á sumergirse en el mar por su extre- B n¿.8 — 645 — mo H, y el otro, IJK, penetra en el interior de un depósito de agua, L, atravesando la pared lateral de éste. El extremo A^del tubo, que entra en el depósito L, lleva una válvula cónica, a, que se abre hacia arriba y que está sujeta al extremo cilindrico ce del tornillo d por medio de una cadenita. Este tornillo, d, tiene su tuerca en el disco metálico ee, el cual, por medio de las bridas, ef e f, está sujeta al //, que á su vez se halla soldado al extremo K del tubo de plomo. Entre ambos discos metálicos, ce y//', hay una rodaja de caucho, agujereada en su centro para per- mitir que en él se aloje la cadena; rodaja que, al ser oprimi- da entre los discos ce' y ff, por la acción del tornillo d, ob- tura perfectamente la junta circular de la válvula a. Además de esto, el depósito L habrá de estar constantemente lleno de agua cuando funcione el mareómetro, de modo que no es de temer que penetre aire alguno por el extremo K. Las distintas piezas que hemos descrito van sujetas á una tabla, fija á la pared por medio de abrazaderas y fuertes tor- nillos. El tubo de cristal, que figura en el dibujo descrito y que arranca verticalmente de la parte más baja del tubo en U, no existe en los mareómetros que describimos, en los cuales está la escala al lado del AB, que aparece más á la izquierda. Para cargar el mareómetro, poniéndole en disposición de funcionar, se aprovecha el tubo M, abierto por su extremi- dad superior, y se comienza por poner un fuerte tapón en la extremidad //, sumergida en el mar, y por dejar abierto el extremo K del tubo del depósito. Después de esto se vierte, poco á poco, agua de mar por el tubo M, y cuando se vea rebosar este líquido por el extremo K, se echa agua en el de- pósito L hasta que cubra el extremo K, y haciendo funcionar el tornillo d, se obtura perfectamente ese extremo. Se vierte, poco á poco, mercurio en el tubo A B, hasta que llegue cerca del extremo A, y entonces se completa la carga del tubo, echando, si hace falta, más agua por la boca M, Rev. Acad, de Ciencias. — VI. — Marzo, 1908. 4I — 646 — hasta que rebose el líquido, en el cual caso se tapará el ex- tremo M herméticamente, soldando á él un disco de plomo, y después se abrirá el extremo del tubo H. Aunque la obturación del tubo que va al mar, por los de- pósitos que el agua produce, puede evitarse, tanto en éste como en los demás mareómetros y mareógrafos, con el ex- pediente de que hablaremos, al describir los medimareóme- tros, aun sin recurrir á él, puede retrasarse durante muchos años efectuando cada mes una limpieza de su interior. Con este fin hemos supuesto que existía el depósito de agua L y el tubo que le pone en comunicación con la cubeta, porque bastaría llenar bien de aquel líquido ese depósito y abrir la boca K para que se precipite por el tubo de plomo una violenta corriente, que limpiará el interior del tubo de plomo, debiendo efectuarse esta operación con algún cuida- do, echando cubos de agua en el depósito, á medida que se gasten, para que no llegue á quedar en el aire la boca A' y á descargarse el sifón. 18.— Mareómetros de máxima y mínima. Para ciertos estudios, tales como los que deben prece- der al proyecto de todo puerto, es de tanta ó mayor impor- tancia, que la determinación del nivel medio de las aguas, el conocer las situaciones extremas que la superficie del mar alcance, y en estos casos pueden prestar excelentes servi- cios los mareómetros de máxima y de mínima. No es tarea difícil adaptar los mareómetros de sifón á estas nuevas exigencias, y entre los varios expedientes á que pu- diera recurrirse, indicaremos dos que, á nuestro juicio, de- bieran emplearse simultáneamente para obtener mayores ga- rantías de acierto. Consiste uno de ellos en adaptar á la boca del tubo de plomo de los mareómetros ordinarios que penetra en el mar, una sencilla disposición, análoga á la descrita en la figura 9, — 647 - cuando se desea obtener un mareómetro de máxima, y pa- recida á la 10, si se quiere que sea de mínima. La disposición adoptada para los mareómetros de máxima consiste no más que en colocaren la extremidad del tubo TT, que penetra en el mar, una válvula esférica que, abriéndose de afuera hacia adentro, permita la entrada del agua é impi- da su salida. Para usar esta disposición, ha habido necesidad de idear r /7^. 9, un sencillo mecanismo, que consienta efectuar la descarga del tubo cuando convenga para la observación. Fácilmente se consigue ese resultado disponiendo cerca de la válvula una palanca ligeramente acodada, C,D, P, suje- ta por el eje de giro D al extremo del tubo, por medio de una armadura. Del extremo C arranca un vastago curvo, y del P pende un peso, cuyo efecto está contrarrestado por la cadena ó cuerda F, que puede mover el observador. Para descargar el tubo, basta soltar algo esa cuerda F, - 648 — porque actuando entonces el peso P, empuja el vastago C á la esfera A de la válvula, y, no funcionando ésta, deja libre salida al agua excedente. Claro es que, para los mareómetros de mínima, en que no se debe permitir la entrada del agua en el tubo TT (fig. 10), cuando aumenta la presión exterior, el mecanismo adoptado ha de diferenciarse del descrito. La válvula A (fig. 10) que- da entonces fuera de la extremidad del tubo, y de ella par- ten dos cuerdecillas, m y n; la primera sirve para sujetar un Fi^. 10. T T flotante, F, que siempre convendría emplear, por pequeño ó nulo que se necesite sea su efecto, aunque se usen esfe- ras A de materias poco jiesadas (de vidrio hueco, de ma- dera, caucho, etc.); y la segunda cuerdecilla, n, liga la esfera A con el brazo 5Cde una palanca acodada B,C,D, de cuyo otro extremo parte la cuerda E, que está á disposición del observador. Tirando de esta cuerda el suficiente tiempo, claro es que se conseguirá que el tubo T 7 tome el agua ne- cesaria. No de mayor novedad, que esas sencillas disposiciones, 649 — F¡^. ^1. n son las que pueden emplearse sobre la superficie de las aguas para convertir un mareómetro ordinario en registrador de los niveles extremos, si bien ofrecen la ventaja de ser algo más seguras, por funcionar las válvulas en líquido de mayor limpieza y homogeneidad que las aguas del mar. La figura 1 1 indica la disposición que puede adoptarse en la rama libre del tubo en U de los mareómetros, para que éstos mar- quen las máximas bajamares. Re- presenta en ella A una esférula de hierro que, estando sumergida en el mercurio, tenderá á flotar por sí sola, adhiriéndose al orificio supe- rior de la válvula. Para contrarrestar en parte este exceso de flotación, puede unirse á la esfera un alambre de hierro B, provisto de tres brazos, m, n, que impidan su cabeceo; alambre que servirá para separar la esfera de su asiento cuando quiera dejarse pa- sar el mercurio á la parte superior, y que en rigor puede suprimirse, dejando la esfera A encerrada en- tre el diafragma de asiento que hemos fijado y otro situado deba- jo, que sirva para limitar su movi- miento descensional, cuando se la empuja desde arriba con una varilla, para dejar paso al mercurio. Cuando se trate de marcar la máxima altura de las aguas del mar, podrá emplearse en la rama libre del tubo en U una disposición inversa de la anterior, que representamos en la figura 12. La esfera Cde la válvula, que se abre de abajo hacia arriba, está provista de una varilla, B, cuyo cabeceo impiden varios brazos horizontales que de ella parten y en el extremo — 650 — superior de la cual hay una tacilla, E, en la que se pueden echar varias gotas de mercurio hasta conseguir que, no sólo quede anulado, sino algo superado el esfuerzo ascensional de C por el peso de todo el sistema móvil. La descarga de este aparato claro es que se efectuará elevando á mano la varilla D, y evidente es también que ésta pudiera suprimirse, reem- plazándola por un ligero hilo, sin más que echar en la rama libre del mareómetro otro líquido menos denso que el mer- curio, encima de éste, y ha- ciendo que la válvula que- dara siempre actuando den- tro de ese fluido menos denso, circunstancia que consentiría emplear esferas de diversas substancias, que por sí solas tuvieran el necesario esfuerzo descensional. De emplearse las disposi- ciones que primeramente he- mos indicado, para la boca del tubo de plomo que en las aguas está sumergida, ha- brán de limpiarse y renovar- se la válvula y la palanca con bastante frecuencia; así es que, caso de usarse solamen- te uno de los dos métodos que hemos expuesto, creemos preferible el que opera en la rama libre del tubo en U del mareómetro, en la que los líquidos empleados pueden y de- ben estar desprovistos de todo género de impurezas que perjudiquen al buen funcionamiento de las válvulas. Fig. 12 . 19.— Mareómetros con tubo auxiliar. Después de lo que hemos indicado acerca de este género de mareómetros, al discutir su teoría, y de las observaciones — 651 — que llevamos hechas respecto á los demás tipos de mareóme- tros que hemos descrito, sería pesadez insoportable indicar en qué consisten los mareómetros de tubo auxiliar. Basta echar una mirada sobre la figura 3 y recordar cuanto acerca de ella dijimos, para que podamos omitir nuevas descripcio- nes y detalles. En cuanto al método que ha de seguirse para cargar este género de mareómetros, sí conviene indicar que deberá co- menzarse, antes de enchufar el tubo de plomo, por llenar los demás de líquido auxiliar, utilizando uno ó los dos extremos de los tubos en U, procediéndose luego á introducir el mer- curio necesario por la boca á que luego ha de sujetarse el tubo de plomo. Una vez. puesto éste, se efectuará la carga por los medios ya indicados. Usando líquidos poco evaporables, tales como los acei- tes grasos, puede en realidad prescindirse por largo tiempo de la corrección que el hecho de evaporarse el líquido auxiliar puede introducir; pero si se emplean líquidos más evapora- bles, ó por exceso de meticulosidad quiere hacerse toda suerte de correcciones, fácil es proporcionarse los necesarios datos para calcularlas. Basta para ello colocar al lado del tubo, indicador de los desniveles del líquido auxiliar, otro recto, lleno del mismo fluido y de igual diámetro que aquél, puesto que estando ambos en idénticas condiciones, podrá apreciarse en este último las cantidades de líquido que la evaporación hace perder, estableciendo las relaciones necesarias para de- terminar numéricamente las correcciones que han de efec- tuarse. Como quiera que consideramos innecesario recurrir en nuestras costas á tales aparatos, nos abstenemos de desarro- llar algo más este estudio, que pued? hacerse, por otra par- te, introduciendo la influencia simultánea de la temperatura y de la evaporación, siguiendo reglas idénticas ó análogas á las que hemos indicado anteriormente. — 652 20. Mareómetros para grandes profundidades. Ya hemos indicado en qué consiste este género de mareó- metros, reducidos, en su más sencilla expresión, á un tubo, ABC, en U, figura 4:\ cuya rama menor está sumergida en el mar. Claro es que esos aparatos lo mismo pueden emplearse para pequeñas que para grandes profundidades; pero tenien- do el inconveniente de no ser fácil la colocación de las cubetas dentro de las aguas, en buenas condiciones, no hemos creído deber darles la preferencia, que aun resulta menos justificada si se atiende á que, para convertirles en aparato de gran pre- cisión, han de introducirse nuevas correcciones. Dependen estas correcciones de la evaporación del líquido que se emplee y de su dilatación; pero fácilmente puede determinarse ambas, puesto que bastará colocar al lado del tubo del mareómetro otro del mismo diámetro y que conten- ga la misma cantidad de líquido auxiliar que en aquél existe. De esa manera se sabe en cada instante la variación que en su longitud ha experimentado la columna líquida auxiliar, y se poseen suficientes elementos para hacer un cálculo ri- guroso que, aunque en todos los casos de aplicación puede reputarse desde luego como innecesario, no está de más re- cordar, para indicar que este mareómetro, como cuantos he- mos proyectado, puede llegar á ser, si así se desea, un ins- trumento de gran precisión. Además, la evaporación del líquido puede evitarse, sin más que adoptar la disposición indicada teóricamente en la figu- ra 4.', y traducida en la práctica por un tubo continuo que, dejando encerrado el liquido auxiliar entre dos largas colum- nas de mercurio, impide las pérdidas por evaporación. — 653 — XXXI. - Estudio comparativo de los instrumentos más usados en Sismología. Por Manuel M.^ S. Navarro (S. J.) Van pasados diez años desde que el malogrado doc- tor R. Ehlert publicó en las Beitrage zur Geophysik una no- table Memoria, premiada por la Universidad de Estrasburgo, en la cual estudiaba más de 200 instrumentos sísmicos, tra- bajo no superado ni siquiera igualado, pero que hoy resulta antiguo y aun deficiente, por el número y valía de los apa- ratos inventados posteriormente. Cierto que se encuentran descripciones de varios de ellos en libros tan recientes como el acreditado Handbiich der Erdbcbenkunde, de A. Sieberg; la útilísima obra Earthqiiakes in tlie light of tfie new Seismology, del Mayor C. E. Dutton; La registrazione dei terremoti, del eminente Director del Observatorio Geodinámico de Rocca di Papa, Dr. G. Agamennone; Earthquakes, del Profesor J. Milne, uno de los fundadores de la moderna Sismología, etc.; pero es innegable que ninguno se impuso la tarea de aquel sabio alemán y hoy es indispensable hojear libros, revistas, memorias, boletines y catálogos en no escaso número, para hacerse cargo del estado actual de la Sismología en lo re- ferente á los instrumentos que emplea. Sieberg y Dutton (*) no los habían manejado cuando es- cribieron sus obras, faltando en las del oficial norteamerica- no algunos tan importantes como el péndulo astático de Wie- (*) El Sr. Sieberg era Auxiliar en el Observatorio meteorológico de Achen (Aquisgran), cuando escribiósu manual. Desde 1906 se halla en Estrasburgo, apareciendo ya su firma desde dicho año en los Wo- chentlicher Erdbebenbericht de la Estación Central de dicha ciudad. — 654 — chert, etc., y en cambio se ocupa en muchos, ya abandona- dos, ó que muy pronto lo serán. De su parte el profesor inglés, á diferencia del anterior, no concede gran atención á los instrumentos italianos, único objeto del excelente estudio histórico del último de los autores citados. En lo posible trataremos de evitar semejantes inconve- nientes, tarea por desgracia fácil, en cuanto no puede influir en nosotros el espíritu de nacionalidad. Ningún español, que sepamos, ha honrado á su patria con el descubrimiento de instrumentos sísmicos de reconocida importancia. Cuanto á lo principal, uniremos á nuestra experiencia per- sonal, no poco deficiente, el estudio comparativo de los nu- merosos Boletines de las estaciones sismológicas que nos honran cambiando sus valiosas publicaciones con las de ésta de Cartuja; el de las revistas, memorias, etc.; los catálogos y fotografías que debemos á la amabilidad de varios cons- tructores afamados; los consejos de sismólogos tan eminen- tes como el R. P. Don Guido Alfani, S. P., Director del Ob- servatorio Ximeniano de Florencia; el profesor Dr. E. Ru- dolph. Secretario de la Oficina Central de la Asociación In- ternacional Sismológica, hoy en Estrasburgo, etc., y, muy en particular, el estudio del magnífico álbum de este últi- mo, referente al terremoto de Valparaíso, que puede servir de criterio inapelable para juzgar los distintos instrumentos en los terremotos muy lejanos y violentos, lo mismo que el del Profesor F. Omori, acerca del terremoto de Kangra (Abril 1905), respecto de no pocos sismógrafos. Nuestro estudio, mucho más modesto que el del Dr. Ehlert, se limita á tratar de los instrumentos hoy usados y recono- cidos como más ó menos útiles, concretándose á aprovechar el no escaso material allegado para nuestra instrucción perso- nal, recogiendo y entresacando lo práctico, prefiriendo esta labor á hacinar datos sobre datos, tarea expuesta á lamen- tables equivocaciones. En todas partes se instalan ahora nuevas estaciones sis- — 655 micas, y el público en general comienza á interesarse en tales estudios; acaso por eso quizá sirvan de algo estos apuntes y exciten á otros para mayores empresas. SISMOORAKOS Sistemas pendulares. — Observaciones acerca de su teoria. Registro mecánico. Los sismógrafos, de ts^xtoí; (terremoto), y ypá-voi (di- bujo, escribo), son instrumentos destinados á representar gráficamente, y con la mayor fidelidad posible, los movimien- tos de la tierra, inscribiéndolos, ya directamente, por medio de un estilete sobre el papel ennegrecido ó con tinta sobre papel ordinario, ya utilizando la acción química que ejercen sobre el papel sensibilizado los rayos luminosos, proceden- tes de un foco desviado por el suelo, al agitarse, de su posi- ción normal. El primer método de registro se denomina mecánico; fotográfico, el segundo. Los instrumentos empleados para ambos, fuera de rarísi- mas excepciones, son péndulos, en sus tres variedades: ver- ticales, horizontales é invertidos. Las agitaciones registrables pueden ser perceptibles en el lugar de observación con ó sin el auxilio de instrumentos y los microsismos y macrosismos pueden, á su vez, ser dé- biles, fuertes y aun violentos, y los primeros tienen su foco más ó menos lejos, distando á veces 20.000 kilómetros. Como los macrosismos, en particular los violentos, cons- tituyen la excepción para un punto determinado ordinario, cuando no indiquemos otra cosa al describir un instrumento, corresponde á la categoría de los sensibles á los microsis- mos de variadas intensidades y es susceptible también de re- gistrar algún macrosismo no muy violento. — 656 - Tres datos es preciso recoger: cuándo, de qué manera y cuánto tiempo se mueve la tierra al ser agitada por el terre- moto que se estudie, y si para lo primero influye no poco el cronógrafo empleado, no por eso deja, en muchos casos, de hallarse, al igual de los otros datos, en función de la sensi- bilidad relativa del instrumento que trace el gráfico. En los movimientos hay que estudiar el ritmo y la ampli- tud, cuando se trata de obtener medidas absolutas en lo posible. El ritmo varía algunas décimas de segundo, rarísima vez menos, por ejemplo en las rápidas vibraciones peculiares de los terremotos locales, y más de un minuto en algunas on- das lentísimas; suele pasar de un segundo y no llegar á cin- cuenta, y generalmente los períodos observados son mayo- res en los terremotos lejanos. Esto sirve de norma para la velocidad con que ha de moverse el receptor si se quieren tener buenos gráficos, y aun para otras condiciones del mismo péndulo, dependientes del servicio particular á que sea destinado. Respecto de la amplitud absoluta en los terremotos que se registran ordinariamente, apenas llega y por excepción pasa alguna vez al año de dos milímetros, ó sea 2,000 ¡^., si consi- deramos el movimiento sísmico producido en sentido hori- zontal, ó de una inclinación de 10", si lo suponemos desvia- ción de la vertical: en general son bastante menos enérgicos. Como las condiciones principales que ha de cumplir un buen sismógrafo, utilizable en su calidad de único instrumen- to para registrar terromotos, próximos, lejanos y aun remo- tísimos, están admirablemente expresadas por el célebre Pro- fesor de Sismología de la Universidad de Tokio, doctor F. Omori, será lo mejor emplear sus mismas frases, advir- tiendo, sin embargo, el hecho innegable de que un péndulo tiende siempre á reproducir mejor y con mayor amplitud los movimientos cuyos períodos sean mas semejantes al suyo propio oscilatorio y así al pretender registrar el mayor nú- - 657 - mero posible de sismos en todas sus fases, convendrá em- plear varios instrumentos de periodo oscilatorio muy diver- so, conforme se indicará más adelante. Además, con el amortiguamiento se evita, mejor que de ninguna otra manera, el accidente nada agradable de que el péndulo adquiera su propio período oscilatorio con los mo- vimientos de la tierra, sobre todo si son algo amplios y de ritmo semejante al suyo, aunque también lo haría un largo período propio, conseguido sólo en los péndulos horizonta- les que es el sistema preferible en este caso. He aquí la autorizada opinión del Profesor Omori: «Para observar un terremoto de modo satisfactorio, es preciso tener en cuenta los dos elementos fundamentales del movimiento sísmico: el período y la desviación ó am- plitud. »De aquí el exigir, para los instrumentos destinados á las observaciones internacionales de terremotos, las tres condi- ciones siguientes: «I."* El mecanismo motor del receptor ha de ser lo sufi- cientem.ente rápido para poder medir el período de las dife- rentes ondas. »2.'' El llamado punto fijo (masa estacionaria) de un sis- mógrafo, ha de buscar lo más pronto posible su equilibrio neutral, y su período oscilatorio será lo suficientemente largo para que se distingan los movimientos reales del terremoto y los propios del instrumento. »3.^ Deben reducirse al mínimo los rozamientos entre las diversas partes del aparato. «Realizadas tales condiciones, los datos obtenidos con di- versos aparatos serán comparables y no será indispensable usarlos iguales en todas las partes del mundo. »Entre los sismólogos es harto frecuente, por desgracia, el tener excesiva confianza en sus instrumentos é ignorar la posible existencia de las oscilaciones propias del punto fijo. Si se pudiese eliminar esta causa de error, la interpre- — 658 - tación de los sismogramas se simplificaría extraordinaria- mente» (*). Son de dos clases los movimientos registrables: á una de ellas corresponden los primeros que se transmiten, en ge- neral de período muy corto, en los cuales la masa del instrumento permanece casi inmóvil, y de aquí proviene el nombre de punto fijo, steady point, que le dan los sismólo- gos ingleses y japoneses, porque vibra solamente en unión del receptor y del aparato multiplicador, á no ser que el período propio del péndulo sea también muy pequeño; en la otra están los que constituyen la parte principal del sismo, la Haiiptphase de los alemanes, cuando la masa pendular adquiere franco movimiento. En general la amplitud de los primeros depende exclusi- vamente del aumento dado al movimiento peculiar de la tie- rra por las palancas multiplicadoras, distancia del foco lumi- noso, etc., según el sistema de registro empleado; es por consiguiente función directa del aumento que pudiéramos llamar externo, é independiente de la longitud pendular en este caso, á no ser que se trate de un péndulo de escasa longitud relativa. En los segundos, las desviaciones inscritas en los gráficos son resultado del producto del aumento externo por un factor en función del periodo propio del péndulo, del pecu- liar del movimiento que se analiza, así como del coeficiente del apagamiento ó amortiguamiento, cuando existe. En am- bos influye también el rozamiento, en mayor cantidad cuan- do el péndulo carece de sistema amortiguador. Más adelante están las fórmulas que relacionan todos estos factores; aquí bastará recordar lo antes apuntado: un péndulo registra los movimientos con tanta mayor amplitud, á igualdad de aumento externo, etc., cuanto más se aseme- (*) Püblications of the Earthqnake Investigation Committee in F. L, N.°5, Tokyo 1901. - 659 - jen los períodos de aquéllos con los suyos, en particular su- poniéndolo sin amortiguamiento, y, por el contrario, registra tanto mejor los períodos verdaderos del movimiento, cuanto más se diferencian sus ritmos del que le es propio. Omítese la todavía reñida discusión, aquí fuera de lugar, relativa á si los movimientos sísmicos consisten en desvia- ciones de la vertical ó en desplazamientos laterales. De lo apuntado se deduce la conveniencia de gran aumen- to y también de un período oscilatorio adecuado para obte- ner el mayor número posible de buenos gráficos. Sin embargo, en los países de terremotos frecuentes y al- guna vez violentos, conviene tener, además de instrumentos muy sensibles, utilizables en los casos generales, otros de muy moderada amplificación, útilísimos para los movimien- tos próximos algo fuertes, que los primeros registrarían mal. Si se emplea sistema mecánico, han de producirse roza- mientos nada despreciables al pretender conseguir aumento considerable, sin el cual se perderían no pocos de los movi- mientos sísmicos, dada la pequenez de muchos de ellos. Proviene de aquí la necesidad de recurrir á masas, que son pesas de fundición, de phomo, trozos de piedra labrada, etc., á cada punto más considerables, lo cual ocasiona serios in- convenientes, causados muchas veces por no permanecer constantes las relaciones entre la elasticidad del alambre que sostiene un peso determinado, el de diámetro que corres- ponda á otro peso cuatro veces mayor, y la fuerza nece- saria para desviar dicha masa, rigurosamente proporcional á aquél... la resistencia de las puntas al aplastamiento y de los puntos de apoyo al rayado ó ensanchamiento, etc., etc., factores de enorme importancia práctica, al igual del equili- brado de agujas y palancas multiplicadoras, sus conexiones con la masa, etc., motivos para que no sea tan fácil como á primera vista parece construir un buen aparato que satis- faga las múltiples condiciones ahora requeridas. En determinados péndulos fotográficos el aumento exter- - 660 - no puede alcanzar considerables proporciones, alejando, á la vez, el foco luminoso y el cilindro receptor, y llegar á lími- tes extremados conexionando el espejo y un sistema multi- plicador, con notoria ventaja por cuanto no se introducen nuevos frotamientos en el aparato, que exige esmerada construcción y exquisita vigilancia. La velocidad del movimiento del cilindro registrador, mu- chas veces no tan considerada como se ha menester, debe relacionarse con el aumento externo del aparato, con su sen- sibilidad y con el fin á que sea destinado. Para estudiar bien un sismograma, si es indispensable poder determinar el período de sus diferentes movimientos, no es menos necesario el distinguirlos bien. En instrumen- tos poco sensibles, ó á lo menos da poco aumento externo, y cuando los movimientos tienen escasa amplitud, son mu- cho más fáciles de observar y se estudian con fruto emplean- do pequeñas velocidades (30 á 45 centímetros por hora), de preferencia á las superiores y exageradas. Con las últimas, el rozamiento aumenta cuanto disminu- ye la sensibilidad del péndulo, á la par que los movimientos, de período no muy rápido, á no ser muy amplios, se presen- tan como curvas muy aplastadas de difícil estudio y obser- vación. Excepcionalmente es inferior de medio segundo el perío- do de los movimientos más rápidos, y en buenos gráficos, inscriptos sobre el papel ennegrecido, se observan muy bien las dos décimas y aun la décima de milímetro, y basta en ellos la velocidad normal de 90 centímetros por hora: la de 60 parece ya suficiente. En algunos casos, por ejemplo, en los instrumentos destinados al estudio especial de los terre- motos de cercano epicentro y en los dotados de extraordi- nario aumento, pudiera convenir mayor rapidez que, si es continua y llega á algunos metros por hora, obliga á estu- diar larguísimas bandas cuajadas de líneas muy unidas y, en general, rectas, sin nada utilizable, sobre todo si el au- — 66Í - mentó y la longitud pendular son escasos. Pudiera ser esto argumento en favor de la doble velocidad, tan preconizada por el Dr. G. Agamennone (*), y que consiste en hacer que se mueva el aparato registrador con velocidad moderada y constante (60 centímetros por hora, por ejemplo), hasta que uno ó varios sismoscopios, cierren un circuito eléctrico al ser agitados por las ondas sísmicas y pongan en libertad otro motor auxiliar ó algún escape que aumente dicha velo- cidad hasta hacerla de varios metros por hora. A pesar de los esfuerzos de su ilustre autor, el mecanismo, que para ser aprovechable requiere péndulos y sismoscopios de sensibilidad exquisita, sólo se emplea en los instrumen- tos de su invención y en alguno que otro raro modelo (**). Tampoco son muy corrientes los receptores de gran velo- cidad continua, como el del gran péndulo Wiechert, de 3,60 metros por hora y de 6 los Cancani: la primera de estas ve- locidades se considera hoy más que suficiente, por lo me- nos en tanto no se construyan instrumentos todavía más sensibles. Tocante á los instrumentos de registro óptico, como es muy difícil que el grueso del trazo sea menor de un milíme- tro, parece recomendable el empleo de considerables veloci- dades para inscribir ciertos movimientos cercanos, á lo cual se oponen el excesivo coste del papel sensible y de los poten- tes focos de luz que serían necesarios, como arco voltaico ó lámpara Nerst. Así no se pasa todavía de 90 centímetros por hora; con 60 ya se logran gráficos muy aceptables, y hasta á veces con 30 ó 36, aunque en este último caso no se puedan diferenciar bien unos de otros los movimientos de (*) Sulla convenienza di un'alta velocitá nelle registrazione sis- miche -BoUetino della Societa Sismológica Italiana, VIII, 131.- Con- tro alcune obiezione alia registrazione sísmica a due velocitá, ibíd. VIII, 143. (**) Uno de los motores de la Estación Sismológica de Cartuja pertenece á este tipo. Rev. Acad, de Ciencias. — VI.— Marzo, 1908. 43 - 662 - escaso período, cuya distinción aparece en ocasiones impo- sible. Resultan insuficientes las velocidades de 4, 6, 12 y aun de 18 centímetros por hora, peculiares, en particular la se- gunda, de no pocos péndulos fotográficos y es de suerte que los movimientos se confunden unos con otros, siendo imposible separarlos, y la misma determinación del tiempo en que se sucedieron las distintas porciones ó fases del sis- mo es muy insegura, alcanzando el error probable hasta diez ó más segundos con la primera velocidad indicada. La longitud pendular, necesariamente limitada en los pén- dulos verticales ú ordinarios, alcanza en los horizontales ó cónicos considerables proporciones en muchos casos, ocu- pando el término medio entre ambos los péndulos invertidos. Suele admitirse como dato para juzgar la sensibilidad de un sismógrafo, la dimensión que alcanza en sus gráficos una desviación de la vertical de 1", ó sea el de la lon- 206,164'8 gitud correspondiente al péndulo, multiplicada por el au- mento externo de su sistema amplificador (*). Puede admitirse con suficiente aproximación que cada se- gundo de arco mide, en los gráficos, cinco milímetros por kilómetro correspondiente de longitud pendular. Como la longitud equivalente de un péndulo se halla ínti- mamente ligada con su período y su aumento, para que alcan- ce proporción suficiente es necesario que sean éstos consi- derables, dependiendo el valor relativo de ambos de las con- diciones propias de los aparatos, y el último, en los de re- gistro mecánico, del peso de la masa. Los períodos suelen computarse dobles, entendiendo por oscilación completa la que ejecuta el péndulo, previamente (*) Prof. Dr. Wiechert, Prinzipíen für die Beurteilung de Wirk- samkeit von Seismographen, in Verhandl, der erste seismologische Konferenz, S. 265. - 663 - desviado de la vertical, al volver casi al punto de partida. Bastará recordar la fórmula que relaciona la longitud de un péndulo en función de su período propio oscilatorio y de la aceleración de la gravedad. Llamando L á la longitud y 7 al doble período: '"'(£:)'■ '-2 "Vf^- como en el sistema decimal, --y^ se diferencian poco, en- trambas fórmulas se pueden simplificar y resulta esto es: la longitud equivalente de un péndulo en metros (sin aparato multiplicador), es igual al cuadrado de la mitad de su período oscilatorio completo expresado en segundos, libre, ó sea, desprovisto de amortiguamiento, que lo dismi- nuye siempre. Por lo tanto, el período completo de un péndu- lo es igual al duplo de la raíz cuadrada de su longitud pen- dular. En los péndulos verticales se puede conocer esta longitud, midiéndola directamente desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad de la masa. En los demás hay que hacer oscilar el péndulo, suprimido el amortiguamiento, ó siquiera reducido á cantidad insignificante, y contar cierto número de oscilaciones, diez ó veinte, valiéndose, á ser po- sible, de un pequeño cronógrafo (*). Pudieran medirse tam- bién las oscilaciones en los gráficos, pero el resultado no es tan exacto. Respecto de la longitud total, de cuyo dato y de la longi- tud pendular se obtiene, por simple división, el aumento (*) Empleamos con dicho objeto uno de la acreditada casa E. Ley- bold's Nachfolger, de Colonia, del módico precio de 30 francos. — CG4 - externo, se deduce, en los péndulos de gran masa, aplicando el conocido principio que para desviar cualquiera masa un ángulo determinado es preciso ejercer una> tracción igual al peso de ella multiplicado por el seno del ángulo de desvia- ción, en el caso de aplicarla del modo más favorable: P = M sen a; de donde, haciendo Aí=l kilg. -/ = 1", se infiere, que la pesita P habrá de pesar 4,61 miligramos ó 4,7 dinas. En la práctica, y con péndulos no muy sensibles, puede ser útil el empleo de pesas capaces de producir desviaciones de 5 ó más segundos, ó sea de 2 á 10 centigramos por kilogra- mo de masa. Aunque el sistema es aplicable á medir el aumento en un péndulo vertical, obteniendo sucesivamente el de cada com- ponente, es preferible conseguir el de ambas en una sola operación, colocando la pesita de modo que forme un ángulo de 45° con las componentes, y dividiendo por 0,707 = eos 45" cada una de las cantidades medidas en los gráficos. Para los péndulos verticales, cuya longitud total es pe- queña, conviene emplear pesas de uno á dos decigramos por kilogramo, 10 á 20 gramos por 100 kilogramos, prefiriendo obtener desviaciones considerables, porque los errores de medida son menos sensibles. No excluye lo anterior la conveniencia de averiguar tam- bién el aumento externo en las amplitudes medianas y mi- nimas, sobre todo en aquéllos instrumentos de rápida rela- ción entre el brazo largo de las palancas amplificadoras y el corto, que aumenta con la amplitud, disminuyendo con ella la verdadera multiplicación del movimiento que se analice. En los péndulos Agamennone y Vicentini el aumento pue- de deducirse haciendo girar determinado espacio un tornillo de paso conocido y con cabeza dividida, y midiendo en los gráficos, directamente, el número de milímetros, etc., de la desviación. Dividiendo esta medida por la desviación real producida por el tornillo, situado de modo que actúesobre el centro de la masa, se obtiene el aumento externo, que muí- - 665 - tiplicado por la longitud del péndulo, deducida empleando el cronógrafo ó por medición directa, da la longitud total. Para el péndulo astático Wiechert puede utilizarse la fór- mula de este célebre profesor y también la del Doctor C. Mainka, sismólogo encargado de los aparatos en la Esta- ción Sismológica central de Estrasburgo. Conforme á ella, si llamamos L á la longitud total, d á la desviación de la aguja, M á la masa del péndulo, A á la distancia del centro de gravedad al punto de suspensión ó altura, p al pequeño peso añadido y s á la separación que existe entre el peso adicional y la vertical que pase por el centro de gravedad, tendremos: d.M.A /7.s.cos45° En los péndulos fotográficos puede adoptarse el procedi- miento del profesor Milne, en cuyo aparato el tornillo poste- rior de su pie lleva un índice del cual T equivale á una in- clinación de 1". Basta, por lo tanto, hacerlo girar 1 ó 2-3° y observar la desviación de la línea, y midiéndola en milíme- tros, divididiendo luego la cantidad obtenida por el número de grados, se halla el valor de la inclinación de 1". En los péndulos del tipo Rebeur es preferible determinar, por separado, el aumento y la longitud pendular: ésta averi- guando el período con el cronógrafo; aquél, midiendo la dis- tancia del centro de gravedad de la masa al punto de apoyo ó al centro de la línea que los une y dividiendo por la me- dida obtenida la suma de las distancias entre la rendija de la lámpara y el espejo, y entre éste y el cilindro registrador. También es aplicable el sistema al aumento de los péndu- los de registro mecánico, determinando la relación de los brazos de palanca, pero no siendo esto siempre posible, á ejemplo del péndulo de Mainka, el resultado obtenido no es tan exacto. - 666 — Obliga la pequeñísima intensidad de las fuerzas que ordi- nariamente han de actuar sobre los sismógrafos á suprimir por completo los rozamientos en el sistema inscriptor, con- forme acontece en los péndulos fotográficos, disminuyendo á la vez, todo lo posible, los otros frotamientos inherentes á todos, empleando resortes, puntas de acero ó iridio y puntos de apoyo de ágata ó zafiro, admirablemente tallados, ó re- duciéndolos al mínimo, á la vez que se adiciona el peso de la masa con relación al aumento y también al período, de ma- nera que tenga suficiente fuerza para arrastrar el aparato multiplicador, no sólo en las grandes agitaciones, cuando todos los instrumentos del mundo, con raras excepciones, re- gistran mejor ó peor, sino también en las pequeñas, y esto exige muy esmerada construcción, teniendo en cuenta los di- ferentes factores. Alguna vez pudiera variar espontáneamente el período en los péndulos horizontales ó invertidos y el accidente, no es raro en algunos, los Milne por ejemplo; así conviene medirlo de cuando en cuando. Sin embargo, no parece obstáculo á la buena marcha de los aparatos y el Profesor Omori cita el caso de permanecer uno de los suyos más de dos años sin alteraciones. En general, convienen mucho los péndulos de largo pe- ríodo, sobre todo cuando no tienen amortiguador, mas no se ha de olvidar que, llegado cierto límite, tanto más lejano, en igualdad de circunstancias, cuanto mejor es el aparato, éste se hace lábil, quedándose desviado y sin fuerza suficiente para volver á su punto de reposo, grave defecto que lo in- utilizaría completamente, si no disminuyésemos su período, haciendo de manera que le sobre fuerza para recobrar aque- lla posición. Ya indicaremos, en lugar oportuno, algunos de los períodos que sismólogos tan eminentes como el Profesor Rudolph juzgan más apropiados para los diferentes instrumentos que, á ser posible, deben poseer las estaciones de primer orden. - 667 - En cuanto á los aumentos, bastará apuntar que los inferio- res de 20 veces, fuera de países excesivamente agitados, tiénense ahora por insuficientes. Conviene llegar siquiera de 50 á 100. Este último aumento, ymejor aún el de 150 á 300, bien soportados, son hoy el máximo deseable, fuera de algu- nos casos especiales. No todo consiste en que un péndulo tenga buen receptor, suficiente periodo y gran aumento. Es preciso que pueda aprovechar estas buenas cualidades. Por eso importa tanto que el factor rozamiento sea todo lo pequeño posible. Para disminuirlo, salvo alguna rarísima excepción, todo el mundo está conforme en la necesidad de emplear en los péndulos de registro mecánico el papel cu- cubierto de un barniz brillante é impermeable blanco (carta laccata, de los italianos), ó el de cartas glaseado y translúcido (como lo emplea el Profesor Wiechert), etc., ennegrecido, ahumado con una lámpara de petróleo, de gas, etc., etc., y sobre el cual inscribe los movimientos una finísima aguja hueca de vidrio, un alambre ó lámina de aluminio, acero, etc. La tinta de anilina produce sobre el papel blanco trazos mu- cho más gruesos, y la presión de un depósito de tinta es incomparablemente mayor que la del estilete indicado. El rozamiento, cuyo valor, apreciado en milímetros, se suele expresar por la letra r=Reibung y se averigua midien- do con la misma unidad y fracciones, por ejemplo, la longi- tud de una oscilación pendular, y la siguiente; se resta la segunda de la primera y se divide por 4 el resto, siendo el cociente el rozamiento expresado en milímetros. La fór- mula es: lo-ln r = An La importancia del rozamiento es considerable: en los pén- dulos fotográficos usuales es tan exiguo que resulta despre- ciable, y crece en los de registro mecánico en razón directa — 668 - del aumento y de la raíz cuadrada del período é inversa del peso de la masa, relacionada con los otros factores y las perfecciones de la construcción, instalación y no poco con el cuidado del aparato. Su valor es bastante variable, según el tipo del péndulo etc.; así, mientras en los Stiattesi es fácil conseguir que no exceda de 0,25 á 0,30 milímetros á lo sumo, en otros, no inferiores en calidad, los Wiecherí astá- ticos, llega á pasar de 1 milímetn). Verdad es que éstos sue- len aumentar de 130 á 300 veces, con masa de un millar de kilogramos, mientras que el modelo mediano de aquéllos no pasan de 25, 30, para la cuarta parte de masa (*). De todos modos parece existir un límite, y por lo que demuestran los boletines y la práctica, un Wiechert con 2 milímetros de r comienza á funcionar bastante mal, lo mismo que un Omori con 1,5 milímetros y un Stiattesi con 0,5 si su aumento no excede de 25 veces, tratándose de períodos que no pasen de 20 segundos en los últimos. Influye sobre manera en el rozamiento la relación entre la masa, el aumento y el peso de la aguja, que precisa ser equilibrada cuidadosamente, por medio de un pequeño con- trapeso, que pueda correrse, ó agregando fragmentos de cera, etc., de modo que la presión ejercida sobre el papel en- negrecido no llegue nunca á un miligramo, bastando que al- cance la mitad, y se consigue una presión conveniente. En el caso de ser demasiado pequeña marca una serie de puntos y no línea continua, y si es negativa, se corre el riesgo de que se levante la aguja por sí sola, siendo como debe libre su juego sobre el eje. El Profesor C. H. Marvin, del Wcatlicr Burean de los Es- tados Unidos, ha ideado y publicado en los Monthly Noticcs del mismo una pequeña romana destinada para pesar las (*) Además, lo dicho es más aparente que real y excede de la cifra verdadera, porque no se puede suprimir en absoluto el amortigua- miento en estos péndulo?, aunque se abran las llaves de los cilindros. — 669 — agujas, resultando un accesorio fácil de construir y muy cómodo (*). Con objeto de comprobar el valor dei rozamiento de un sis- mógrafo, suelen recomendar que el cilindro registrador se mueva lo más lentamente posible. No creemos muy práctico el sistema; este factor crece con el aumento de la velocidad, y parece natural medirlo en las mismas condiciones adopta- das para el uso del aparato, fuera de los casos de extremada rapidez, en los cuales el error de las medidas del sinusoide aplastado, figura en que llegan á inscribirse las ondulaciones pendulares, haría inútil semejante determinación. No carece de influencia el período del péndulo, según que- da indicado. Siendo muy rápido, como en los verticales, por ejemplo, el rozamiento resulta menor. Por eso, queriendo comparar dos péndulos en semejante respecto, se debería re- ducirlos, de ser posible, al mismo período, ó indicar la di- visión del de cada uno por el cuadrado del número de segun- dos del suyo propio. En algunos péndulos italianos se expresa el rozamiento por el que apellidan coeficiente de smorzamento , obtenido mediante la siguiente fórmula: =V^' en la cual 0^ y 0,^ representan la amplitud de las oscilaciones de la masa p2ndular en dos de ellas, la primera y la última de n sucesivas (**). Accesorios á cada punto más importantes, hasta conside- rarlos casi indispensables, son los amortiguadores ó apaga- (*) Iinprovemcnts in Seisnwgraphs in vol. XXXIV, núm. 5, May 1906. (**) Dr. Giulio Pacher. / microsismografi deW Istituto di Física dclla R. Universitd di Padova, p. 50. — 670 - dores, destinados á evitar que el péndulo recobre su propio período oscilatorio cuando sea análogo al del sismo, que lo transformaría, más que en otra cosa, en un sismoscopio, se- gún la justa expresión del Dr. Agamennone, quien ya en 1890 reconocía la conveniencia de emplear algún medio, por ejemplo, la inmersión de la masa dentro de un líquido, para evitar este defecto, tan reprochado á los sistemas pendula- res (*). Sin embargo, casi ningún instrumento, no siendo los alemanes, funciona hoy con amortiguador, y en Italia, donde parece se inició tan feliz idea, sólo hay un Vicentini que lo tiene; el Dr. Mainka (**) lo cree de aceite, pero todavía no lo ha sido descrito por el Profesor paduano (***). Los apagadores de aire, que idearon los Profesores Hecker, Wiechert y el Dr. Mainka, consisten en una ó varias lamini- llas y también émbolos, de mayores ó menores dimensiones, que se mueven, al moverse el péndulo, dentro de recipientes, rectangulares en los dos primeros casos y cilindricos en el último, cuyo movimiento es como el de una máquina de vapor, comprimiendo el aire al funcionar; el sistema es aná- logo en los otros mecanismos. Así se consigue introducir un obstáculo al libre oscilar del péndulo; pero no á sus des- viaciones cuando se mueve la tierra, que al agitar el pén- dulo actúa también sobre el apagador, cilindro receptor, et- cétera, etc. Siendo considerable el peso de la masa, el apagador debe ser muy grande, sus ajustes perfectos y muy pequeño, dé- cimas de milímetro, el viento ó espacio libre entre el émbolo y el inteiror del cilindro, caja, etc., que lo contenga. (*) II terremoto a Roma del 23 Febbraio 1890 e 11 sismomctrogra- fo Brassart in Ann. dell'Uff. Centr. Met. e Geod. ¡tal., Parte 4.^ Volumen X, 1888, p. 47. (**) Kiirze Ucbersicht lihcr die modcrncn Erdhcbcn- Instrumente (1907), S 22. (**♦) Bolletino mensile... dei microsismografi delV Istituto di Fí- sica delta R. U. di Padova, 1907, n.°6, p. 758. — 671 - Con objeto de regular y aun suprimir el apagamiento, debe existir en estos una llave ú otro mecanismo. Es mucho más fácil construir apagadores ó amortiguado- res de aceite de vaselina, por ejemplo, ó de otro líquido cuya fluidez no cambie notablemente con las variaciones de la tem- peratura ambiente. Una ó varias láminas metálicas rectangulares sumergidas en un recipiente, de cuyas paredes laterales no se separen mucho, conteniendo más ó menos vaselina líquida, constituye un amortiguador facilísimo de montar (*) y cuyos resultados son en extremo satisfactorios. El amortiguamiento se designa con la letra griega s, y se obtiene, en los péndulos fotográficos, midiendo la amplitud de dos movimientos sucesivos, y dividiendo el primero por el segundo: s = — ^ , Esta fórmula no resulta cierta para los péndulos de regis- tro mecánico, en particular si el rozamiento es considerable. / 2r Entonces hay que emplear estotra: £ = ~ , y se expre- sa así el resultado obtenido, por ejemplo: 1 =3,2, ó sim- plemente : 2 = 3,2. Los índices de amortiguamiento más corrientes oscilan en- tre 2,5 y 6 ó 7, y más generalmente de 3 á 5. Adaptar un pequeño péndulo invertido, cuyo período y masa se diferencian mucho del gran péndulo, constituye un razonable amortiguador, aunque sus resultados sean bastante inferiores á los citados. Esta idea, debida al Profesor Ev^ing, y desarrollada por el Profesor Milne, se ha puesto en prác- (*) A un péndulo Omori de 105 kilogramos, construido en Cartu- ja, bastó adaptarle un trozo de hojalata de 15 x 10 cms., dentro de una caja doble de sinapismos, llena del citado líquido, para obtener fácilmente amortiguamientos regulables de casi 1:1 hasta 6,9:1 y más, lo que hicimos siguiendo los consejos del Profesor E Rudoph y del Dr. Mainka. — 672 — tica no ha mucho por el Profesor Omori (*), quien lo ha adoptado á sus péndulos portátiles, incomparablemente más sensibles que los ya anticuados de los célebres sismólogos antes citados. También se han empleado como amortiguadores los ima- nes y electroimanes; su uso no se ha extendido gran cosa y tampoco parecen superar á los de aire y á los de líquidos. Conviene tratar ahora del aumento verdadero de los sis- mógrafos respecto de un movimiento de determinado pe- ríodo, antes sólo apuntado en general, y para agitaciones que lo tuviesen muy inferior al propio del instrumento. Así resaltarán mejor las innegables ventajas del apagador. La fórmula que expresa el aumento real de un movimiento sísmico en función del aparente (**) y de los períodos del mismo y del péndulo, es: 1 Ar= — a 1 _ _I1 (*^*), ^0' de la cual deducimos que si el movimiento tiene un período muy pequeño en relación con el del péndulo, el aumento real se diferencia muy poco del exterior, medido por cualquiera de los métodos citados, aumentando cuando éste crece, hasta el límite T'^ -= T,^-, en cuyo caso Ar= oo, si no lo evitase el rozamiento, etc., y disminuyendo cuando r->- Tq'^. Con ello se demuestra, á la par, la conveniencia de que el período de los péndulos coincida, lo más posible, con el (*) Diitton Eartlujuakcs.... figuráis 8-11, páginas 75-79. (**) A üiiplex Horizontal Pcndulum Apparatns, in Publ. of tlie E. I. C, núm. 18, páginas 1-3, Pl. 1-11 (Tókyó, 1904). ^***) U' — — V —, Prof. Wiechert, in Prinzipien 1 — — $.217, - 673 - de los movimientos que hayan de estudiarse, atendiendo á obtener el mayor número de gráficos posible, y lo fal- sos que son, por decirlo así, los trazados en estas cir- cunstancias y sin apagamiento, por ser la multiplicación con que fueron inscriptos en algunos casos hasta incon- mensurable. Empleando el amortiguamiento en los péndulos, se obser- va al punto que, cuanto más intenso, menos influye la rela- ción entre el período propio pendular y el del movimiento, notándose que á la vez decrece el aumento del péndulo en las porciones del período más semejante. Sirva de ejemplo un fragmento de la tabla de reducciones del aumento del péndulo fotográfico del célebre Profesor Dr. Hecker, de Potsdam. En este sensibilísimo instrumento, con £ = 2,5 — 18' de período y aumento aparente de 36 veces el correspondiente á un movimiento de 5 " de período, ascendía á 39; para 15^ era de 66, y para 35 ' de 11, mientras que con e = 7,5 y las demás condiciones idénticas, corresponden á los períodos de 5, 15 y 35*, antes citados, 37 — 37 — 8 veces de aumen- to (*). La fórmula del Profesor Wiechert, que permite deducir el factor por el que se ha de multiplicar el aumento aparente para obtener el verdadero, es la siguiente : 4(0,733 log;)- 1— (0,733 logc)- Y las que dan la relación entre el período reducido del péndulo, ó sea el propio, provisto de amortiguador, y el que tenía sin él, único medible con exactitud, son, llamando 7^* (*) Seismometrische Beobachtangen in Potsdam (1906), Berlín, 1907, S. 3. — 674 — al período del péndulo libre y To' al del mismo provisto de su amortiguador, y - á la relación entre ambos, To* / 2t = log nat s ; T\^ T,* / \/ 1 + ' ^* ^' V' ^ 71 T También puede deducirse el aumento en función del pe- riodo del péndulo reducido y el del ritmo, por medio de la ecuación: -"'V[(' -({)■)]• Ar = ^imií"- PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1.° DE JULIO DE 1907 (Continuación.) Institucio Catalana d'Historia Natural.— Butlleti de la Any 4 art., nú- meros 5 á. y — Barcelona, 1907. Sociedad general Azucarera de España. — Memoria para la Junta general ordinaria de Accionistas de la que se ha de reunir el día 30 de No- viembre de 1907. — Madrid, 1907. Observatorio del Ebro. — Estudio de una reciente perturbación cósmica re gistrada en el .... por los P. P. Cirera y Baicells, S. J. El Llbrj. - Órgano de la Asociación Nacional del Profesorado.— Año II, nú- mero 7. Buenos Aires, 1907. Instituto de Reformas Sociales. — Legislación del Trabajo.— Apéndice se- gundo.—Julio 1906. — Junio 1907. — Legislación, Proyectos de Reforma. Madrid, 1907. Memorial de Ingenieros de¡ Ejercito. — Tomo 24, núm XI (Noviembre 1907). Madrid, 1907. La Naturaleza. — Revista de Ciencias é Industrias. — Tomo 13, núm. 21.— Madrid, 1907. (*) Prof. Wiechert, Prinzipien S. 277. - 675 — Muñoz del Castillo (Dr. José). — Segunda nota sobre la Radiactividad de las Aguas Lerez ¿£/ Galaicum, nuevo elemento radiactivo?, por el Dr Madrid , 1907. Universidad de la Habana. - Revista de la Facultad de Letras y Ciencias. — Vol. V, núm. 2. Murua y Va'erdi (Or. Agustín). — Momentos de la investigación original y examen, con tal motivo, de la Organización del Doctorado en las Uni- versidades Alemanas, y de las modificaciones que en dicho período de nuestras facultades de Ciencias experimentales y especialmente Químicas deben introducirse. Memoria presentada al Gobierno de S. M. — Barce- lona, 1907, Observatorio de Marina de San Fernando. — Carta fotográfica del Cielo.— Zona g.^, hojas núms. 21 22 23-40 44-54-55-63 64-65-66 69-79-82-85- 105-111-145 157 y 175. — San Fernando. Bibliografía Española. — Órgano oficial de la Asociación de la librería en España. — Año 7.°, núms. 21 y 22. — -Madrid, 1907. Sociedad Española de Física y Química. — Anales. Tomo V, núm. 47. — Madrid , 1907. Real Academia de la Historia.— Boletín. Tomo 57, cuaderno 5.*'.— Madrid, 1907. Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales —Boletín. 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Sociedad Científica «Antonio Álzate». — Memorias y Revista. — Tomo 24, nú- mero 6 á 9. — México, 1906 1907. Revista Médica Dominicana.— Año 3.°, núms. 13 á 16. — Santo Domingo, 1907. - 676 - Universidad Central de Venezuela.— Anales de la. . . — Tomo 8.'', núme- ro 2. — Caracas, 1907. Observatorio Meteorológico Magnético Central de México.— «El Servicio Me teorológico de la República Mexicana». — Monografía formada para la Ex- posición Universal de San Louis Missouri, por el Director del Observa torio, Ing. Manuel E. Pastrana. — México, 1906. Escuela de Artes y oficios y de Capataces de Bilbao. — Memoria relativa al curso de 1906 á 1907, presentada por el Secretario de la Junta D. Alberto Gaminde y Alzuyeta. — Bilbao, 1907. Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales. — Linneo en España. — Home naje á Linneo en su segundo centenario, 1707-1907. — Zaragoza, 1907. Murua y Valerdi (Dr. D. 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Hermenegildo). — Los Fermentos de la tierra y la alimen- tación vegetal, por. . . — ( Memorias de la Real Academia de Ciencias de Barcelona. — Vol. VI, núm. 2o\ — Barcelona, 1907. Instituto Central Meteorológico. - Boletín. Hojas núms. 302 á 343. — (29 Octubre, 29 Diciembre 1907). — Madrid, 1907. La Ilustración Espinóla y Americana — Año 51, núms. 40 á 46. — Almana- que para el año igoS. — Madrid, 1907. (Continuará). INDICK DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO FA.9S. XXVIII. — Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia quinta 581 XXIX. — Análisis químico con arreglo á los iones y estudio físico y biológico de las aguas minerales sulfhídri- cas radio-nitrogenadas, denominadas € Hervidero de San Vicente», por Gabriel de la Puerta. 616 XXX.— Mareómetros y mareógrafos de sifón, por Eduardo Mier y Miara 637 XXXI. - Estudio comparativo de los instrumentos más usa- dos en Sismología, por Manuel María S. Navarro , S.J. 653 Publicaciones recibidas desde 1.° de Julio de 1907. (Conti- nuación) 674 La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 ¿ 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- verde, núm. 2fi, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. REVISTA DE LA REAL ACADEMIA t)E CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DB MADRID TonvEo "VI-— isnriví:. no. (Abril de 190S.) MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLR DE POKTEJOS, KÓM. S. 190S ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. ¿bn í&c. Ib08 677 — XXXII. — Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray. Conferencia, sexta. Señores: Anunciamos, al terminar la última conferencia, que en ésta trataríamos ante todo de la deformación de cualquier su- perficie infinitamente pequeña, situada en la inmediación de un punto M del sólido elástico, rodeando ó sin rodear á di- cho punto. Es la manera más clara y más sencilla de comprender la ley de deformaciones alrededor de todos y cada uno de los puntos del cuerpo. Si trazamos, envolviendo al punto M, una serie de super- ficies, dividiendo al espacio, por decirlo de este modo, en capas, tendremos una imagen clara y sensible de las defor- maciones de dicha región, expresando para ello analítica ó geométricamente la deformación de cada una de estas capas comprendida entre dos superficies sucesivas. Y, por lo tanto, tendremos que resolver este problema elemental: transformación ó deformación, que en este caso da lo mismo, de una superficie cuya ecuación se conozca. Esto, suponiendo, que por los medios que más adelante explicaremos, se ha resuelto el problema de las deformacio- nes del sólido, ó mejor dicho, el problema de su elasticidad. Es decir, que suponemos conocidas u, v, w para cada punto en función de sus coordenadas x, y, z. Sea M un punto del sólido elástico: imaginemos en la re- Rev. Acad. de Ciencias.— VI.— Abril, igoS. 43 — 678 — gión próxima á este punto, y, por ejemplo, rodeándole, una superficie, S, cuya ecuación sea referida á los ejes del sistema x, y, z. Para más sencillez, y ya que M es el punto de partida, lo Figura 33. tomaremos como origen de coordenadas, trazando por él tres ejes paralelos á los dados. Un punto cualquiera, N (fig. 33), de la superficie S, tendrá por coordenadas, según las notaciones de las conferencias precedentes, h, k. I, y la ecuación de la superficie, en vez de estar expresada en función x, y, z, contendrá como va- riables h, k, I. Supongamos que la ecuación de la superficie referida á estos ejes es F {h, k, I) ^- 0. El problema que vamos á resolver se reduce á lo si- guiente: — 679 - El punto M, en virtud de la deformación del sistema, vie- ne á parar á M', punto definido por las deformaciones u, v, w. Cualquier punto de la superficie, N por ejemplo, cuyas coordenadas primitivas sean li, k, I, vendrá á parar á una posición, N', cuyas coordenadas, con relación á M' como origen, representaremos por h', k', I'. Pues bien; se desea conocer la ecuación de la superficie deformada S' referida al origen M' y en función de las co- ordenadas h', k', /'. El problema es de una sencillez extraordinaria. Sabemos que se tiene: h' = h^u' — u lc' = k-\-v' V í = I -{-w' — w, porque cada coordenada será lo que era al principio, más la diferencia entre los desplazamientos de sus extremos. Ahora bien, como según decíamos en la conferencia ante- rior, el desplazamiento en cada punto es función de las co- ordenadas de este punto; las componentes del desplaza- miento de N\ A saber, u, v', w', serán funciones de x -f h, y -j- k, z -}- I, que son en este caso las coordenadas de A^'; y desarrollando por la serie de Taylor, que suponemos apli- cable á estas funciones , y no tomando más que las primeras potencias de los incrementos, tendremos , du , , du , , du , u =u -\ h -\ k H /, dx dy dz . dv , . dv , . dv . dx dy dz , dw , , dw , , dw , w =w-\ h -\ k -| /; dx dy dz — 680 — Ó bien du , , du , , du , u —u= — h -\ /r-j /, dx dy dz dv. . dv . . dv . V — v = — h -\ k -\ /, dx dy dz dw , , dw , , dw , w — iv= — n -\ a: -| /, dx dy dz en que los coeficientes que son funciones de x, y, z, serán constantes para toda la región que rodea á M. De aquí resulta, substituyendo en los valores de h\ k', V A' = (l+£)/' + ^t + ^/, du , , du — k -\ dy dz dx \ dy) dz dx dy \ dz) En suma: h' , k', I' son funciones lineales de h, k, I, y se sabe por Algebra que, despejando h, k, /, resultarán también funciones lineales de h' , k', /', que podremos representar abreviadamente de este modo: h = Ah'-j-Bk'-\- Cr, k^A' h' + B'k' + C'l', 1= A"h''i-B"k'-\- C'V: las A, B, Cson constantes para la región infinitamente pe- queiía, que rodea al punto M. Conocemos la ecuación de la superficie S, que es: F (li k, 1) = 0; - 681 - luego para conocer la ecuación de la superficie S', no hay más que substituir las h, k, I en función de las h', k', V y la ecuación que resulte, que será una relación entre h', k', /', coordenadas de cualquier punto M' de la superficie deforma- da, será la ecuación de dicha superficie S' referida á M' como origen. Tendremos, pues, para la ecuación de 5', F(Ah'-^Bk'-\-Cl',A'h'-]-B'k'+Cl',A"h'^B"k'^C"l')=0. Si en vez de transformar una superficie hubiéramos queri- do transformar una línea, es decir, buscar las ecuaciones de la línea transformada, el método hubiera sido el mismo: siem- pre las antiguas coordenadas se expresarían por las mismas funciones lineales de las nuevas, h = Ah' -\- Bk' -(- Ct, et- cétera, mientras se considere el mismo punto M' del sólido. * * De aquí se deducen varias consecuencias importantes. Puesto que la transformación se hace por funciones linea- les, la naturaleza de la ecuación no cambia. Si la línea es una línea recta, la línea deformada será una recta también, al menos la parte de ella comprendida en la región que se considera. Si el sistema es un ángulo rectilíneo, en un ángulo recti- líneo se convertirá dentro de la región inmediata á M. Si la superficie es un plano, al deformarse en la región pró- xima á M, continuará siendo un plano. Si el sistema es un poliedro de caras planas, el sistema de- formado será también otro poliedro de caras planas. Si la superficie es de segundo grado, en una superficie de segundo grado se transformará. Si la ecuación es algebraica y del grado m, conservará am- bos caracteres S'. - 682 — Pero esto en la región infinitamente pequeña que rodea al punto M que estamos considerando. Antes de pasar más adelante, séanme permitidas algunas reflexiones de carácter elemental, á fin de que los principian- tes no den á éstos teoremas más extensión, ú otro sentido, que el que les corresponde. El que por primera vez estudia estas materias, podrá pen- sar: «¡qué cosas tan misteriosas tiene la Naturaleza, y cómo las descubren y desentrañan las ciencias matemáticas!» La admiración está bien, y es muy justa; pero es forzoso darle su verdadero sentido. Supongamos que se sigue diciendo: < ¿no es admirable que al deformarse una esfera, por ejemplo, se convierta pre- cisamente en un elipsoide?». No es admirable, porque no es cierto. Fijemos bien las ideas. Todos los resultados precedentes, y los teoremas que los sintetizan, son resultados aproximados, y no más que apro- ximados. Si consideramos alrededor del punto M una esfera infini- mente pequeña, esta esfera no se convierte en un elipsoide, sino en otra superficie de ecuación más complicada, aunque se aproxime á un elipsoide; porque no ha de olvidarse, que todos nuestros cálculos parten del desarrollo de u' ,v',\v' por la serie de Taylor. Que en este desarrollo despreciamos los términos, desde los de segundo orden, y que por esta razón, y sólo por esta razón, las u, v', w' primero, y luego las /?', k', /', son funciones lineales de /?, k, I, y éstas á su vez, de li', k', 1. Precisamente por esta circunstancia, la esfera se convierte en otra superficie de segundo orden, y las rectas continúan siendo rectas después de la deformación, y los ángulos rec- tilincos, ángulos rectilíneos también. Si llevando más allá las aproximaciones, liubiéran.ios to- mado mayor número de términos de la serie de Taylor, nada de esto se hubiera verificado. - 683 — De suerte que los teoremas á que nos referimos son apro- ximados y no más. Si queremos darles un sentido riguroso, debemos enun- ciarlos de otra manera. Por ejemplo: tomando el de la esfera, deberíamos decir: si se determina la superficie en que se convierte una esfera infinitamente pequeña, al tender esta esfera hacia cero, la su- perficie deformada tiende y se aproxima tanto como se quie- ra á un elipsoide. * * Antes de pasar adelante, debemos hacernos cargo de una observación que en la conferencia precedente hicimos. Decíamos allí, las deformaciones alrededor de un punto M dependen de nueve constantes, ■ y, sin embargo, al calcular la dilatación lineal, ó al calcular la variación de un ángulo, la variación de la recta ó la va- riación del ángulo sólo resultaron funciones de a^, a,, a^, bi, b.y, b-¿, es decir, de tres dilataciones lineales y de tres deslizamientos. En ambos cálculos, el de la recta y el del ángulo, los términos que contenían pi, p>,p¿, desaparecieron: estos términos se destruyeron dos á dos, y esto se repetiría en multitud de ejemplos. Mas aún, cuando calculemos más adelante las tensiones en función de las deformaciones, no tendremos en cuenta las nueve constantes, sino las seis que acabamos de indicar, b, b, b.,; • - 684 - y de las Pi, p,, p¿, prescindiremos por completo: mejor di- cho, ellas desaparecerán en los resultados. Circunstancia es ésta que ha dt llamar la atención del principiante al estudiar cualquiera de los tratados de Elasti- cidad conocidos. Al fin y al cabo, las «^ y, w,, dependientes de la p, son des- plazamientos efectivos, cuya existencia hemos demostrado; a /P :.-V ?o Figura :t4. ¿pues cómo es, vuelvo á repetir, que prescindamos de dichas constantes y que si no prescindimos nosotros el cálculo las elimina? La explicación es elemental. Y, sin embargo, el hecho tiene bastante importancia para que M. Poincaré lo tenga en cuenta: nosotros nos contentaremos con una sencilla observación que creemos suficiente. Recordemos, figura 34, la descomposición de un despla- zamiento cualquiera, N N', en tres desplazamientos ele- mentales. Dijimos que el desplazamiento NN' de un punto cual- — 685 - quiera, N, se componía: Primero, de un desplazamiento N N^ igual y paralelo al del punto M. Segundo, de un giro N^ No alrededor de un eje M P cuyas componentes eran pi p., p... Las componentes de este desplazamiento las designábamos por z/i, Vi, w^. Tercero, de una deformación representada por el desplazamiento M ^ normal á una determinada super ficie de segundo orden E. Pues bien, del giro A^^ M, es del que se prescinde, y si no se prescinde, se elimina por el cálculo espontáneamente, siempre que se trata de determinar magnitudes de las defor- maciones. Veamos ahora la razón. Y para ello vamos ante todo á invertir el orden de los dos últimos desplazamientos, lo cual, tratándose de super- posición de movimientos infinitamente pequeños, es legí- timo, salvo diferencias de orden superior. Es decir, que consideraremos primero (fig. 35) la deforma- ción N N^ igual y paralela á M M' y cuyos componentes son u, V, w. En segundo lugar, en vez de considerar la rotación, con- sideraremos la deformación N^ N2. Y, por último, al sistema deformado por estos dos des- plazamientos le aplicaremos la rotación TV, N'. Pero al aplicar esta rotación á toda la masa que rodea al punto M, la consideraremos como solidificada, después de haber experimentado todos los puntos los desplazamientos análogos á N N^, que, dicho sea entre paréntesis, no defor- ma el sistema, porque es una traslación; y la deformación N¡^ N., que sí lo deforma, porque se compone de normales á superficies curvas. Al sistema que resulta y á todos los puntos del mismo como si constituyeran un cuerpo sólido, es al que aplicamos la rotación P, que está representada por N., N'. Pero cuando un cuerpo sólido gira alrededor de un eje, todas sus rectas continúan siendo rectas y con la mism^ 686 magnitud que tenían; sus ángulos rectilíneos continúan inva- riables; cualquier figura sólida del interior del cuerpo conti- núa invariable también. La rotación P no introduce deformación ninguna; luego en el cálculo de las magnitudes de las deformaciones no debe influir y por eso desaparecen siempre las constantes p, p-, Pi- Lo único que hace la rotación P es variar en conjunto la Figura 35. figura ya deformada que rodea al punto M, separándola án- gulos infinitamente pequeños de su primera posición. Y ya tendremos ocasión de citar alguno de estos casos. Pero como en todos los cálculos de la Elasticidad lo que nos interesa son las magnitudes de las deformaciones, por eso poquísimas veces tendremos que referirnos á las constan- tes Pi, Po-Pn» y diremos, como dicen los autores, que la teoría de la Elasticidad, por el método de Lame y sus análogos, depende tan sólo de seis constantes para cada punto, Qx a^ fl3 bi bo by, 687 es decir, de tres dilataciones según los ejes, y de tres desli- zamientos según los planos coordenados. * * * Pasemos ya á estudiar la superficie de dilataciones. Consideremos (fig. 36) una recta cualquiera, M N, que va del punto M que estamos estudiando á otro punto cualquie- /-/V' Figura 36. ra N, comprendido en la región infinitamente pequeña que rodea á M. Supongamos una deformación y supongamos que nos es conocida: hipótesis que estamos haciendo constantemente en el estudio de las tensiones y en el estudio de las defor- maciones, como en el álgebra y en el análisis se suponen conocidas muchas cantidades aunque no se las conozca. Se las representa por letras y se busca el modo de relacionar- las entre sí, de estudiar sus propiedades, de determinar ecuaciones á que deban satisfacer: y se hace esto precisa- fuente para determinarlas, deduciéndolas de dichas relacio- — 688 - nes. No es otra cosa lo que estamos haciendo en estas con- ferencias. La recta M N por la deformación del sistema ocupará otra posición. El punto M habrá venido á parar á Ai'; el punto N, á N'. Y la recta MN sq habrá transformado en M' N'. En general, no será paralela á Ai N ni tendrá la misma longitud. Y en su posición absoluta, dicho sea entre paréntesis, in- fluirían pi P2 P3- En lo que no influirán estas constantes será en su magni- tud, ni, por lo tanto, en la diferencia M' N'—MN, ni tampoco en la relación M'N' - MN MN es decir, en la dilatación lineal. Obtuvimos para el valor a de esta dilatación lineal, en fun- ción de los cosenos directores, a = a^ 0:^ -f a, |3-' + a,, y- f 2b ¿^^ + 2b. yx -f 26, a, 3. Tomemos sobre MN una longitud, MA, igual, numérica- mente, á la relación inversa de la raíz cuadrada de a; mejor dicho, de dr a, en la escala necesaria para que no sea con- fusa la figura. De modo que MA = — ! — . y advirtamos, que para todas las longitudes ó porciones de la recta MN, sea cual fuere la posición de N, como la dilata- ción lineal por unidad de longitud, a, será la misma, siempre obtendremos el mismo punto A, — 689 — Repitiendo este cálculo y esta construcción para todas las rectas que partan de M, las cuales se deformarán según rec- tas que partirán de M\ tendremos una serie de puntos análo- gos al A, que determinarán una superficie 5 alrededor del punto M. Determinemos la ecuación de esta superficie. Llamando x, y, z á las coordenadas de un punto cual- quiera A, de dicha superficie, estas coordenadas MC, CB, BA, serán proporcionales evidentemente á los cosenos di- rectores de M N; es decir, X _ y __ z a p Y ' relación que será igual también, por la semejanza de trián- gulos, á MA y 1 1 Ó bien á \/±a 1 de modo que tendremos X y _ ^ 1 a P r \/ a Hemos puesto el signo zh bajo el radical, como hicimos en un problema análogo al tratar de las tensiones, para evi- tar las cantidades imaginarias. Si a es una dilatación, será positiva y tomaremos bajo el radical el signo +. Si es una contracción, será negativa y habrá que tomar el signo — para que el radical sea real. De las ecuaciones anteriores deducimos - 690 - a = x\/dba, ii = y \± a, y = z y dz a; y substituyendo en la ecuación que determina a, dividiendo por a, y cambiando signos, resultará ±\=a,x' -^ a, y^ + «3 z' + 2¿>i yz + 2bo xz-{-2b.¿ xy, que es una ecuación de segundo grado, ó que también podrá representar dos ecuaciones si hay que tomar el signo dr. No insistimos sobre este punto, porque tendríamos que re- petir lo que ya se dijo al tratar de la indicatriz de tensiones. Supongamos que, para todas las rectas que partan de M, resulta a positiva: deberemos entonces tomar el signo -|-, y la superficie representará un elipsoide, el cual, gráficamente, nos dará la dilatación que corresponde á todas las rectas que partan de M. No habrá más que buscar la intersección de cada recta , por ejemplo, MN, con dicho elipsoide, establecer la ecuación M A= ^ y despejando, tendremos la dilatación lineal a correspondien- te la dirección MN; es decir, 1 a = -o MA Pero si nos da la dilatación correspondiente al vector MN de que se trata, no nos da su posición; para determinar ésta, sería preciso determinar M'N'. Por último, si para ciertas direcciones a es positiva, y para otras es negativa, habría que tomar el doble signo y tendría- mos dos hiperboloides, uno de una hoja y otro de dos, am- bos conjugados. * * * — 691 — De la ecuación precedente se deduce una consecuencia muy importante, análoga á otra que dedujimos en el estudio de las tensiones. Puesto que dicha ecuación representa una superficie de segundo orden, que es fija y determinada, dentro del orden de aproximación establecido, para cada punto M del sólido, claro es tendrá ejes principales, que pasarán por el origen, que es el centro; y si los ejes primitivos de sistema hubieran sido paralelos á los ejes de este elipsoide correspondiente al punto M, claro es que los rectángulos de las variables no aparecerían y hubiera tenido la ecuación la forma, ■ ± 1 = ííiX^ + üoy- -j-flo.r^. Así, para este sistema de ejes, b^ = O, ¿2 = O, 63 = 0. Pero recordemos que b^, b^, 63, ó mejor dicho, 2bi, 2b.2, 2b.¿, representan la variación de los ángulos rectos de los planos coordenados por virtud de la deformación; luego, en este caso, dichos ángulos rectos no varían, continúan siendo rectos. De donde se deduce este teorema importante: para cada punto de un sólido elástico hay tres direcciones, que se llaman principales, y que constituyen un trirrectángulo; el cual, después de la deformación, continúa siendo trirrectán- gulo. Fijemos bien las ideas. Si para un punto M (fig. 37), MA, MB, MC son las di- recciones de los tres ejes del elipsoide, y suponemos siem- pre que de un elipsoide se trata, y los ejes que se han esco- gido para el sistema x, y, z son paralelos á A, B, C, la superficie de dilataciones, mejor dijéramos, de la relación niversa de la raíz cuadrada de las dilataciones, tendrán tres ejes: MA^, MAo^MA., paralelos á x, y, z, y sus longitudes serán: — 692 MA^ \/a, MA. 1 A, A 1 V«2 \/as ' y la ecuación del elipsoide, que está representado, en parte, en la figura, tendrá la forma Habrán desaparecido los rectángulos de las varia- Flgura 37. bles, porque sus coeficientes serán nulos: de modo, que 2bi = 0,2b, = 0,2l), = 0, y, por lo tanto, el ángulo AMB, al convertirse por la defor- mación en A'M'B', continuará siendo recto. Del mismo modo, el ángulo AMC, convertido en A'M'C, será recto también. Y otro tanto podemos decir del ángulo BMC, que se transformará en otro ángulo recto, B'M'C En suma; el trirrectángulo M se habrá convertido en el — 693 — trirrectángulo M', siendo MM' el desplazamiento ó la defor- mación del punto M. Continuará siendo trirrectángulo, pero no paralelo en ge- neral, á la posición primitiva. Las tres dilataciones a^ a., a.¿, se llaman dilataciones prin- cipales, y corresponden á los tres ejes de dicho elipsoide; pero en magnitud, no en posición, porque las rectas MA, MB, MC, toman las posiciones M'A', M'B', M'C. Para que estas dilataciones conserven el paralelismo, es preciso que no existan rotaciones, como se deduce de los M' .,a: Ar Figura 38. valores de ii', v', w', ó como se deduce geométricamente con facilidad suma. En efecto; haciendo cero las ¿) y p en las fórmulas que dan u, v', w', y tomando un punto del eje de las x, en cuyo caso k y I también serán nulas, tendremos u' = II -\- a^h, V' = V, w' = w. Es decir (fig. 38), que si tomamos un punto A^ del eje de las X, y si el punto M se transporta á M', siendo u, v, w las Rev, Acad. de Ciencias. — VI. — Abril, igoS. 44 - 694 — componentes del desplazamiento MM', el punto A\, á que viene á parar Ai, tendrá por desplazamientos la misma v y la misma w; por lo tanto, estará en la recta que pasa por M' paralela al eje A. En suma; los desplazamientos, según los ejes del elipsoi- de, conservan su dirección en este caso; es decir, si y además, Pi = 0,p, = 0,p,, = 0, bi = 0, b, = 0, b. = 0. Pero no lo conservarían si subsistieran las p, porque no tendríamos v' = V, iv' = w: en los segundos miembros habría términos conp. El último problema que teníamos que tratar, después de ver cómo cambia de posición un punto, cómo varía un seg- mento de recta, cómo cambia de magnitud un ángulo y cómo se transforma una superficie, es el de la transformación de un volumen. * * * Vamos, pues, á ocuparnos en estudiar la dilatación CÚBICA, producida por una deformación. Y claro es que la palabra dilatación es palabra genérica, puede ser positiva ó negativa; si es negativa, será una con- tracción. La parte del sólido que rodea á cada punto M, al defor- marse el cuerpo, cambiará el volumen de todos sus ele- mentos. Si en esa parte inmediata al punto M consideramos un cubo, ó más, en general, un poliedro cualquiera, éste polie- dro se habrá convertido en otro que, en general, tendrá dis- — 695 — tinto volumen, mayor si ha habido dilatación, menor si el sistema se ha contraído. Ahora bien, á la relación de este incremento, con el volumen primitivo, es á lo que se llama dilatación cúbica. Puede resolverse el problema en términos generales y aun para deformaciones finitas. Pero como tratamos de deformaciones infinitamente peque- ñas, aplicaremos otro método sencillo y rápido. C .'.—- ../^~- B '——j. •f >- '& » 9 I Figura 30. Consideremos un punto, M, y determinemos para este punto la dilatación cúbica infinitamente pequeña. Escojamos por ejes coordenados los tres ejes principales que hemos deñnido en esta conferencia, y construyamos el paralelepípedo de la figura 39, MABC, cuyo triedro coinci- de con el de los planos coordenados. Designemos sus aristas por A, B, C. Y determinemos la dilatación cúbica de este paralelepípe- do, es decir, la dilatación por unidad de volumen. Después de la deformación, el punto M habrá venido á parar á M', y las aristas MA, MB, MC se habrán convertido - 696 — en M' A', M'B', M' C, que serán tres rectas, porque toda rec- ta se transforma en otra, y el paralelepípedo se habrá con- vertido en otro paralelepípedo M'A'B' C . Como se trata de espacios infinitamente pequeños y de deformaciones infinitamente pequeñas también, puede supo- nerse y podría demostrarse que, con errores infinitamente pequeños de orden superior, las rectas paralelas se convier- ten en rectas paralelas, y los planos paralelos, en planos pa- ralelos también; de suerte que el paralelepípedo primitivo se habrá convertido en otro paralelepípedo que está señalado de trazos en la figura. Pero hay esta circunstancia, que facilita el problema: los ángulos rectos de las caras AMB, BMC, CMA se conser- van ángulos rectos en la deformación, puesto que los ejes son principales, es decir, que tendremos A' M'B' =- 90", B'M' C = 90°, CM'A' = 90"; luego el paralelepípedo deformado será también trirrectángulo como el primitivo, y su volumen será el producto de las tres aristas; y así, llamándolas A', B', C, tendremos para ambos paralelepípedos: Volumen MABC = A.B. C. Volumen M' A' B' C = A'.B'.C. Si representamos por a\, ¿z'.,, a'.,, las dilataciones princi- pales que corresponden al punto M, las nuevas aristas serán, evidentemente, iguales á las primitivas, más el incremento que se obtendrá para cada una, multiplicando su longitud por la dilatación lineal por unidad. Así, A' = A -]-Aa\ = A{\-\-a\) B' = B-\-Bc/,^B{\ -i-a',) C = C+Ca', = C{\ +a',). — 697 - De aquí se deduce volumen M'A'B'C' = A'.B\C' = = A.B.C(\-^a\) (l+a'2) (l-f-a'3) y volumen M'A'B' C - volumen MABC = = A.B.C{\ -{-a\){\ -^a\){\+a',)-~A,BX) luego volumen M'^'B'C -volumen MABC = dilatación cúbica, volumen MABC será igual, llamándola O, á la siguiente expresión: 0 = (l+a\)(l+a'3)(l+a'3)-l; ó desarrollando, e = a'i + a', + fl'g + a\ a\, -f a\a'. + a\_ a'.. + a\ a'., a\. Pero como las dilataciones lineales hemos supuesto que son muy pequeñas, los últimos términos de la expresión an- terior serán de segundo y tercer orden y podremos despre- ciarlos. Tendremos, pues, para la dilatación cúbica en un punto M, la expresión sencillísima que ya obtuvimos en el año anterior; O = a\ + a. 2 + «'3. • Recordemos que estas tres cantidades son las derivadas parciales de primer orden de las componente del desplaza- miento que experimenta M, tomadas dichas derivadas con relación á x, y, z, y aplicadas á dicho punto M: es decir, da , dv , dw dx dy dz — 698 — Más claro: suponiendo el problema de la Elasticidad re- suelto, conoceremos u, v, w en función de x, y, z; pues bien, se tomarán las derivadas de u, v, w en función de x, y, z: resultarán tres funciones de estas variables y se substituirán en ellas las coordenadas del punto M. Sumándolas tendre- mos la dilatación cúbica. Todo esto suponiendo que se han elegido los ejes parale- lamente á los ejes principales que corrresponden al punto M. Esto parece que quita generalidad á la solución, porque la dilatación cúbica que acabamos de hallar, f. du , dv . dw a = h ■ H , dx dy dz sólo se aplica para cada punto á los ejes principales del mismo, y estos ejes tienen, en general, direcciones distintas. Sin embargo, la solución veremos que es general, porque la expresión precedente, es lo que se llama una invariante cuando se cambian los ejes, conservándose siempre rectan- gulares. * * * Para demostrarlo, cambiaremos de ejes rectangulares, y veremos que la forma de a^ -j- a., -\- a,, no varía. Ahora bien, para hallar los coeficientes a y /;, cuando se cambian los ejes coordenados, basta seguir el mismo proce- dimiento que seguimos al tratar de las tensiones. Los coeficientes a y b acabamos de ver, que son los coe- ficientes de X-, y-, z-, yz, xz, xy en la ecuación de las dila- taciones a^x^ -^ a^y'"' -\- a.¿z'^ -{-2b¡^yz -\- 2b2zx -{- 2b2xy = ±:\. Por lo tanto, cambiaremos de ejes rectangulares mediante las fórmulas ordinarias - 699 - x = a^x' -f- cL.y' + (í..¿Z\ y determinaremos los coeficientes de la nueva ecuación. Pero no hay ni siquiera que repetir los cálculos, no hay más que substituir á N^, N.,, N^ las cantidades a^, o.,, a^, que son los coeficientes de los tres primeros términos de la ecuación precedente antes de hacer el cambio de coordena- das, y substituir asimismo á N\, N'.,, 7V'.¡, las cantidades a\, a'2, a'g, que representarán los coeficientes áQx"^,y'^, z'- en la nueva ecuación. Del mismo modo substituiremos á T^, T.,, T¿ las cantida- des ¿?i, b.,, b¿. Tendremos, pues, copiando de las fórmulas que hemos ci- tado, las tres primeras ecuaciones, y haciendo las substitucio- nes indicadas: a'2 = «la^g 4- «2 ¡^"'2 + O^Y^o + 2¿?1 P2T2 +2^^2 72 ^-2 + 2¿?35<2 ^2» as= a,^M-a2^\ -f a,f, + 2b, %y, +2b,y,cc, -j-2b,u,%. Supongamos que se pasa de ejes arbitrarios x, y, z, pero rectangulares, á los ejes principales x' y' , z', que son tam- bién rectangulares; de suerte que los ángulos yz, xz, xy valdrán 90^ En esta hipótesis, las nuevas a\, a 2, «'3, serán las dila- taciones principales, y sumando las ecuaciones precedentes, tendremos: a', + «', + íz'3 = ai('/^ + a\. + a^,) + a3(.3^ f p\. f pg + + «.(fi + r\. + n>) + 2^(i3,y, + p.3r2 + i%T3) + Pero los coeficientes de a,, a.., a¿, por la propiedad de los — 700 — cosenos de los ángulos que forma una recta con tres ejes rectangulares, serán iguales á 1; y los coeficientes de b^, b.y, b.¿ que representan los cosenos de los ángulos de dos rectas perpendiculares entre sí, como son los ejes, serán iguales á cero; sin contar con que b\, //._,, b'-,, puesto que los nuevos ejes son los principales para el punto de que se trata, también serán cero; de suerte que la ecuación se reduce á esta otra: a i + a\, -f a'., = o, + o, + a.¿. Es decir, que para tres ejes rectangulares cualesquiera, la suma de las dilataciones, según los ejes, es igual á la suma de las dilataciones principales, y, por lo tanto, todas estas sumas son iguales entre sí. Al pasar de unos ejes rectangu- lares á otros, la suma de las dilataciones lineales no varía, es una invariante, pero ya sabemos que estos coeficientes son las derivadas u, v, w, con relación á x, y, z. Es decir, que, en general, du , dv , dw ^ ^ 1 1 = constante. dx dy d z Ni cambia el valor, ni cambia la forma; siempre son los tres términos de dicha expresión las derivadas primeras de las componentes de los desplazamientos con relación á x, y,z. Pero hemos demostrado, qué para los ejes principales esta suma representa la dilatación cúbica; luego, sean cuales fue- ren los ejes rectangulares que se consideren, tendremos: ,.,,., ,, . . dii . dv dw dilatación cubica = 0 = j 1 . dx dy dz * * * Y hemos terminado con esto, en los límites elementales de estas conferencias, el estudio de las dilataciones: debemos - 701 - ya pasar á la expresión, hablando en términos generales, de las dilataciones, ó esfuerzos, en función de las deforma- ciones. Pero antes, y para terminar esta conferencia, insistiremos sobre un punto sumamente sencillo á que nos hemos referido anteriormente. Hemos dicho, tratándose de deformaciones infinitamente pequeñas, y dentro de las aproximaciones que venimos acep- tando, que toda recta se transforma en otra recta dentro del espacio infinitamente pequeño que rodea al punto M: y den- tro del mismo espacio, todo plano se transforma en otro plano. Pero dijimos más: que dos rectas paralelas se transforman en otras dos rectas paralelas, y que con dos planos paralelos sucede lo mismo, á saber: que después de la deformación se convierten en dos planos paralelos también. En rigor, basta demostrar lo último, porque la intersec- ción de dos planos que son paralelos á otros es paralela á la intersección de los dos primeros. Nos proponemos, pues, demostrar que si dos planos, P, P', son paralelos, los planos en que se transforman, que llamaremos Q y Q', serán paralelos también. Pero hay que fijarse bien; decimos que si P y P' son pa- ralelos entre sí, Q y Q' lo serán también; pero no decimos que Q sea paralelo á P, ni Q' á P'. Ni las rectas, ni los planos, ni las figuras en general se transportan paralelamente á sí mismas. Sea la ecuación del plano P. . jca + ¡^y -|- y^ = A' y la del plano P' xa ^'^y -\- yz=K', en que a, ,3, y son los cosenos directores de las normales: por eso ponemos los mismos coeficientes en los primeros miembros; porque siendo los planos paralelos, serán parale- las las normales. - 702 — Para seguir la notación general, y suponiendo que se toma por origen el punto M, que estamos considerando, llamare- mos /z, /c, / á las coordenadas de ambos planos, y ten- dremos: plano P a/z + PA: + y/ - A' plano P' ah-\-¡ik + yl = K'. La deformación convierte las h, k, I para cualquier punto en h', k', I', y sabemos que se expresan h', k', /' en función úe h, k y I, por las fórmulas, h' = h^u' — u k' = k -\- u' — u y que á su vez u' — u, v' — v, w' — w tienen por valores, introduciendo las constantes a, b, p, a' ^ u = pj ^ p.^k -\- aj_h -^ b.k -\- bJ v' — V =p.¿h—p^l + b.¿h-\- a^^k -{- bj w' — w = p^k — p.,h + b2h -\- b^k -{■ a^l , que son lineales en h, k, 1. Tendremos, por lo tanto, substituyendo y ordenando /z' = (l i-a,)h-\-{b,-p,)k + ib, + p,)l k' -={p,-{-b..)h-^{\ +í7,)/^H-(/7, ~p,)l r = {b, - /7,) /Z + (/?!+ /?i) /C + ( 1 + «:>) /. Según el método que hemos explicado, para hallar la ecuación de la transformada de una superficie, tendremos que despejar h, k y I de estas tres ecuaciones en función de h\ k', í y substituir estos valores en las ecuaciones de los dos planos. Pero estas ecuaciones son lineales; luego se sabe por Al- - 703 - gebra, que h, k y I se expresaran en función lineal y homo- génea de/z', k', t, y podremos representar, pues, estos va- lores del siguiente modo: h = Ah' + Bk' + Cl' k = A,h' -\- B,k' ^ C/ l = A,h'-^B,k +C/; y substituyendo, en las ecuaciones de los dos planos, éstas se convertirán en las siguientes: para la transformada de Pj a{Ah' + Bk' + Cl') + ^(A,h' + B,k' + C,l') + -f -^{AJi' + B,k' -f aj') = K; para el plano P' <>.{Ah'-^Bk' -\-Cl')+'^{A,h' -\- B,k' ^ CJ) + + y(>l.^/z' -I- B,k' + C,/') = K'; i y ordenando + (aC + ::ic, + rQ)/' = A: («^ + Mi + ^(A,)h'+{a.B + .35i + '(B.^k' + + (aC+pCi + yC)/' = A'. Estas ecuaciones finales son de primer grado en h', k', I'; luego representan dos planos como debía ser, á saber, los planos Q, Q'. Pero los coeficientes de las tres variables son iguales; luego son planos paralelos, con lo cual queda de- mostrado el teorema: Si P, P' son paralelos, los planos transformados Q, Q son también pai alelas entre sí. De aquí se deduce, como ya habíamos dicho, que todo paralelepípedo se transformará en otro paralelepípedo, por-- - 704 — que en el poliedro transformado las caras serán paralelas dos á dos. Por eso en la figura 39 hemos podido suponer que el pa- ralelepípedo M A B C se transformaba en otro paralelepípe- do Ai' yl' 5' C. En la conferencia próxima empezaremos el estudio de la tercera parte del método, es decir: expresión de las tensiones en función de las deformaciones. XXXIII.— Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echeqaray. Conferencia séptinaa Señores: Hemos estudiado en las conferencias precedentes las dos primeras partes de las varias, que han de formar la materia del presente curso. Y eran ambas, el estudio de las tensiones en un punto de un sólido elástico y alrededor del mismo; y el de las deformaciones en esta región infinitamente pequeña que comprenda al punto en cuestión. Al terminar la conferencia precedente ya indicamos, que procederíamos en ésta á la determinación de las tensiones en función de las deformaciones. Empecemos, pues. 3. — Determinación de las tensiones en función de las deformaciones. Y lo decíamos al empezar el estudio del método de Lame: Puede considerarse como un resultado experimental ?ste principio, á saber: que en un sólido elástico, las tensio- — 705 — nes son dependientes de las deformaciones, de suerte que, conocidas éstas, las primeras quedan determinadas. Y tam- bién puede decirse que, á la inversa, conocidas las tensiones, las deformaciones de ellas se deducen. En suma: las tensiones y las deformaciones están enlaza- das entre sí analíticamente. E indicábamos que éste es ó puede considerarse como un hecho experimental: todo el arte de las construcciones y la mecánica aplicada á las mismas, no tiene otro funda- mento. Cuando una columna sostiene una carga y se acorta cier- ta longitud, este acortamiento es función de dicha carga y para cada material experimentalmente se determina. Cuando un hilo sostiene un peso, el hilo se extiende y el estiramiento es función del peso también para cada clase de metal ó de substancia. Casos son estos particulares del teorema general. Aquí la deformación es la más sencilla posible: un acortamiento ó un alargamiento. Y la variación depende de la carga, y recíprocamente, á una variación dada, ó sea á una deformación en longitud, corresponde una fuerza exterior definida: una compresión determinada en todos lo puntos de la columna; ó una ten- sión determinada también en todos los puntos del alambre. Por eso decimos, generalizando estos y otros resultados déla experiencia: el principio de que ahora partimos puede considerarse como un principio experimental. No era así en el método de Cauchy, en que partíamos de una hipótesis relativa á la constitución de los sólidos elásti- cos, considerándolos compuestos de multitud de puntos ma- teriales sujetos dos á dos por fuerzas recíprocas é iguales dependientes de las masas y de las distancias. Dada esta hipótesis, era una consecuencia matemática, ó, mejor dicho, era una consecuencia de los principios de la Me- cánica racional, que las deformaciones y los esfuerzos inte- — 706 — riores habían de estar entrelazados entre sí por expresiones analíticas. En cambio, en el método de Lame, ó en un método aná- logo al suyo, pero en que para nada se acuda á la idea de Cauchy, estas relaciones, entre las tensiones y la deformacio- nes, las consideramos, según queda dicho, como generaliza- ción de resultados experimentales. * * Afirmamos, pues, que las tensiones dependen analítica- mente de las deformaciones. Pero no hay que tomar ni unas ni otras en su totalidad; porque como alrededor de cada punto hay infinitas tensio- nes, puesto que por dichos puntos pasan infinitos planos elásticos, y como alrededor de cada punto hay infinitas de- formaciones, porque se pueden trazar infinitas rectas é infi- nitas figuras, el problema, tomado con la generalidad que lo tenemos expuesto, equivaldría á este otro: expresar infinitas cantidades en función de otras infmitas. Afortunadamente, en estos casos no es difícil hacer que brote la luz. Porque todas las tensiones alrededor de un punto, es decir, cada una de por sí, hemos visto que dependen de seis tensiones fundamentales, que llamábamos A^i, N^, N,, T„ T^, T,; (1) siendo las tres primeras normales á los tres planos coordena- dos y estando las tres últimas situadas en dichos planos. Hemos visto también, que todas las deformaciones alrede- dor de un punto dependen de otras seis cantidades que de- signábamos de este modo: üi, a.,,a.¿,b^, b.,h.y, (2) - 707 - representando las tres primeras las dilataciones lineales co- rrespondientes á los ejes; y representando las tres últimas las variaciones de los ángulos de dichos ejes, á que dábamos el nombre, según costumbre, de deslizamientos. De aquí se deduce que expresar las tensiones en función de las deformaciones se reduce á expresar las seis cantida- des (1) en función de las seis cantidades (2); es decir, las N y Ten función de las a, b. Luego el problema que ahora estamos resolviendo consis- te en determinar las seis ecuaciones siguientes: ^1 = ?1 {du «2, «3, K bo, bs), N^ — f 2 («1» «2, «3. bi, ¿7,, bs), N^ = 'f 3 (ííi, Oo, «3, ¿7i, bo, b^X Ti = , y(«-i), z^"-'), que repre- sentarán las de AÍ("-'\ El equilibrio del punto M. supone tres ecuaciones, que se- rán las correspondientes á todas las fuerzas interiores, que actúan sobre dicho punto M, igualadas las sumas de las componentes á cero. Estas ecuaciones no dependerán más que de las coordena- das de los puntos, porque cada r será de la forma \¡ {X - xY -^{y-^ yj + (^ - z')\ - 716 - y los cosenos de los ángulos con los ejes de cada una de estas rectas, se expresarán asimismo en función de las mis- mas coordenadas. El número de ecuaciones á que hay que satisfacer para el equilibrio de todo el sistema, será de tres por cada punto, y como hay n puntos, tendremos: Número de ecuaciones 3n. Más para cada punto también hay tres coordenadas, luego el número de incógnitas será 3 /z. Hay, pues, tantas ecuaciones como incógnitas y el proble- ma parece determinado en términos generales ; pero mientras no conozcamos la naturaleza de la función /, es aventurado ninguna afirmación precisa. Porque pudieran suceder varias cosas: que algunas de las ecuaciones fueran incompatibles, y entonces el problema se- ría imposible; pudiera suceder también que encontrásemos una solución única para el sistema de ecuaciones, es decir, una distribución y una sola para los n puntos, aunque no es imposible que esta solución representase un equilibrio ines- table; y, por último, parece lo más probable, juzgando por intuición, que hubiera muchas soluciones, que es como si di- jéramos muchos estados naturales, y entonces el problema de la Elasticidad se complica. Pero sigamos adelante y pasemos al tercer punto. 3.° Volviendo á la figura 40, vemos que pueden estudiar- se varias cosas: ante todo la intensidad de las fuerzas F, que hemos visto que prescindiendo de tres casos: del de la distri- bución lineal; del caso en que n sea igual á 3 y en que se forme un triángulo equilátero de radio r„; y del caso en que n sea igual á 4 en que podrá formarse un tetraedro, y pasando al caso general el problema, es imposible á no ser por apro- ximación: nuevo punto de vista que nos llevaría demasiado lejos. — 717 - Hemos pasado después á determinar el equilibrio de cada punto M, observando que á primera vista podemos imaginar un sistema en equilibrio con n puntos: sistema en que sólo actúan las fuerzas interiores. Pero nos queda otra cuestión que tratar, que es la que se refiere el método de Lame, en el cual no se estudia el equi- librio de cada punto M, bajo la acción de las fuerzas F, sino el equilibrio de un elemento sólido infinitamente pequeño bajo la acción de las tensiones T. Y de aquí este tercer aspecto de la cuestión. Imaginemos en la figura 40 un elemento plano muy peque- ño que corte á las rectas ideales MM', MM" Es decir, un plano que corte á la red de rectas so- bre las cuales están apli- cadas las fuerzas F. Y se pregunta, y es lo que más nos interesa: ¿Aunque los puntos M estén en equilibrio, como las fuerzas F no pueden ser nulas y éstas son las que definen y determinan las tensiones, la resultante de dichas fuerzas F cortadas por el plano pp será nula para dicho plano, sea cual fuere la posición de éste? La cuestión es más difícil de lo que parece, y aun á pri- mera vista diríase, que es imposible que la tensión en pp sea nula no siéndolo las fuerzas F, F', F".... que cortan á dicho plano en a, b, c. Porque no se trata ya de componer todas estas fuerzas con las restantes que pasan por el punto M, en cuyo caso hemos supuesto que dicha resultante es nula, puesto que el punto M está en equilibrio; sino de componer una parte de ellas, el haz cortado por el plano pp, y aunque la resultante en M sea nula, un grupo de las componentes no lo será en general. - 718 - Verdad es que puede suponerse que las fuerzas F, F', F"... que cortan á pp sean alternativamente positivas y negativas» según cierta ley, y que la resultante del haz sea también cero; pero esto supone falta de continuidad, porque las fuerzas en ángulos infinitamente pequeños han de pasar constantemente de positivas á negativas, y además, tal distribución, aplicada al punto M, pudiera no armonizarse con la distribución de otro punto cualquiera. De suerte que, sin resolver el problema de una manera exacta, parece que, ó es imposible ó es muy difícil que, aun estando los puntos en equilibrio, las tensiones sean nulas en general, que es, sin embargo, lo que suponen muchos au- tores. * * * Hemos supuesto hasta aquí una distribución discontinua de puntos; para los sólidos continuos, el problema á la vez se complica y se simplifica, y la hipótesis que antes hemos rechazado, parece que adquiere grados de probabilidad. Permítasenos sobre este punto una sola observación. Supongamos, figura 42, que el número de puntos materia- les es tan grande que el plano elástico/;/?, por pequeño que sea, pase por muchos de es- tos puntos M, M', M" , figura 42. En esta hipótesis, los dos casos que antes considerá- bamos, el del equilibrio de los puntos Ai y el de los planos elásticos coinciden ó tienden á coincidir; y como Finura 42. todos estos puntos M, M', M" están en equilibrio, y como á la vez suponemos que todos están en el plano elástico, la resultante para gran nú- 719 — mero de éstos, y aplicando la ley de continuidad para todos ellos, será nula. De donde resulta que en estas hipótesis se comprende que la falta de fuerzas exteriores puede traer consigo la anula- ción de las tensiones. Pero el problema es aún más complejo. En las lecciones profesadas en Stokolmo, en Febrero y Marzo del aña 1906, sobre integración de ecuaciones diferen- ciales parciales, lecciones explicadas á invitación del Rey de Suecia, por el eminente profesor de la Universidad de Roma, Sr. Volterra, se presenta un ejemplo sumamente sugestivo. Supongamos, figura 43, un anillo. O, de una substancia elástica. Supongamos que no está sujeto á fuerzas exteriores y que las tensiones interiores sean nulas. Cortemos en este anillo una parte radial A A' BB'. Y forzando lo que sea necesario el anillo, que será poquísimo, si el án- gulo es muy pequeño, imaginemos que se unen, digámoslo así, por una soldadura molecular, las cdiXdiS A A' BB'. Se comprende intuitivamente, que en el interior del anillo se establecerán tensiones, que tenderán á darle su forma pri- mitiva ó una forma aproximada. Luego tendremos un sólido elástico, que no estará sujeto á fuerzas exteriores y en el que las tensiones interiores no serán nulas, cont/a la hipótesis que admiten muchos autores. El ilustre profesor estudia matemáticamente este problema, distingue la forma cíclica de la forma acíclica, y en el primer caso deduce que, aun siendo nulas las fuerzas exteriores y Figura 43. - 720 — estando en equilibrio el cuerpo, pueden no ser nulas las ten- siones, y que, por lo tanto, pueden no estar determinadas, es decir, pueden no ser únicas, si el cuerpo no es de conexión sencilla. No podemos estudiar, sin embargo, la Memoria del insigne profesor Volterra, porque dicho estudio nos separaría mucho de nuestro objeto. Perdónesenos aun así esta larga digresión, y volvamos al objeto principal de la conferencia. * * * Demostramos que las N y la T, componentes de las ten- siones, se podían expresar por las siguientes fórmulas: N, = A,a,-\- A, a, + A, a, + B, ^ + B, b, + B,b,¡ ^3,^ en las que admitimos que las constantes C sean nulas. Los coeficientes, en general, si bien para un punto y para la región infinitamente pequeña que le rodea deben conside- rarse como constantes, serán variables de un punto á otro y serán en el equilibrio de un sólido elástico funciones de X, y, z. Las cantidades a, b sabemos que están expresadas en fun- ción de las derivadas de las deformaciones, de este modo: dii dv dw _, dw , dv fli = — , a, -- - — --, a. = — ; 2¿?i = 1 ; dx dy dz dy dz dz dx dx dy por eso hemos dicho que las fórmulas (3') expresan las ten- siones en función de las deformaciones. - 721 - De aquí resulta que el problema de la Elasticidad queda virtualmente resulto con lo dicho. Por que, como ya hemos indicado varias veces, y por lo que explicaremos detenida- mente en otras conferencias, ya no queda más que estable- cer las ecuaciones de equilibrio de una porción infinitamente pequeña del sólido, ecuaciones en que entrarán las fuerzas que actúan sobre las caras, siendo dichas fuerzas precisa- mente las tensiones; y substituyendo en vez de las tensiones los valores que expresan las fórmulas (3'), tendremos un sistema en el que entrarán las derivadas de las deforma- ciones. Integrándolas obtendremos, en función de los datos, los valores de //, v, w. Pero el problema en esta forma es de una dificultad enorme. En primer lugar, entran las nueve derivadas primeras de u, V, IV con relación á x, y, z; además, como veremos más adelante, entran las derivadas segundas y, en rigor, no cono- cemos los coeficientes A, B, ni es fácil conocerlos, porque todos ellos son funciones de x, y, z. Así, pues, con esta ge- neralidad, el estado actual de la Ciencia no permite abordar tal problema. Es preciso que nos contentemos con casos más sencillos, y aun así resultarán inmensamente difíciles. En primer lugar, tenemos que desechar el caso general, en el que los coeficientes A, B son funciones de x, y, z; y esto prescindiendo de otros problemas aún más difíciles, en que pudieran depender del tiempo. Supondremos, pues, en adelante, que los sólidos elásticos que vamos á estudiar, son homogéneos, entendiendo la homo- geneidad como la explicábamos geométricamente en el curso anterior Es decir, que supondremos que los coeficientes A y B son constantes, los mismos por lo tanto, para todos los puntos del cuerpo. Así, estudiar un punto dado en un sistema de ejes, es estu- - 722 - diar otro punto cualquiera referido á ejes paralelos á los pri- meros. Como decíamos en el curso anterior, el cuerpo coincide consigo mismo (prescindiendo de las superficies limites) en los movimientos de traslación. De suerte, que los coeficientes A, B serán constantes para todos los puntos del cuerpo, con tal que los ejes se conser- ven paralelos á si mismos. Si los ejes cambian de dirección, aun conservándose rec- tangulares, las constantes A y B cambiarán también; mas para todos los puntos del sólido elástico y para la misma di- rección de ejes, conservarán el mismo valor numérico. Si bien serán distintos de los del primer sistema. Claro es que, resuelto el problema, y conociendo A y B para un sistema de ejes, por un cambio de coordenadas po- drán deducirse los nuevos valores de .4 y 5 en función de los primitivos y de las magnitudes que determinan los nuevos ejes con relación á los primeros. De todas maneras, el ser constantes los coeficientes, sim- plifica mucho el problema. * * * Como, así y todo, el problema es inmensamente difícil, aun se introduce otra simplificación, á saber: se supone que el sistema es isótropo. Tomándolo en toda su generalidad, suponiendo que A, B sean funciones de x, y, z, ya lo hemos dicho, la dificultad es insuperable, salvas raras excepciones, no sólo para las inte- graciones posteriores, sino aun para la determinación de los mismos coeficientes A, B, á no ser que la ley de dichos coefi- cientes sea uno de los datos del problema. En el método de Cauchy, si bien es cierto que, en rigor, no hay más que una función desconocida, á saber: la que expre- - 723 - sa la ley de las acciones recíprocas en función de la distan- cia, función que en esta hipótesis es única, y se comprende que experimentalmente, por difícil que sea, pudiera determi- narse; aun así, siempre quedará otro dato para conocer la constitución del cuerpo: el valor de las masas y la distribu- ción inicial de éstas. Y en todo esto, suponemos que se admite la hipótesis de las fuerzas centrales que, de no ser así, hay que acudir al método de Poincaré, que me propongo explicar en el curso próximo, substituyendo á dicha hipótesis de las fuerzas cen- trales otra hipótesis más general, la de la conservación de la energía. Pero no debemos anticipar las ideas. * En resumen: hemos obtenido las seis componentes ó las seis cantidades A^i, N.,, N^, T^, T.., T,. en función lineal de las seis deformaciones elementales a^, a.,, a.<, b^, b.,, b^, sin término independiente. Hemos resuelto, por lo tanto, este problema: expresar las tensiones en función de las deformaciones; pero como el pro- blema resulta de una dificultad inmensa, en la conferencia próxima introduciremos, como queda dicho, varias hipótesis que lo simplifiquen, y éstas serán: suponer el cuerpo homo- géneo y suponer el cuerpo isótropo. - 724 - XXXIV. — Función de las fibras centrípetas respirato- rias del nervio pneuniogástrico. Por José Gómez Ocaña. Los cambios de presión y de composición del aire en ios pulmones, más los primeros que los segundos, engendran, por excitación de las terminaciones sensitivas del pneumo- gástrico, corrientes centrípetas que dicho nervio descarga en los centros respiratorios de la médula oblonga, y que, por acción refleja, modifican el ritmo y la amplitud de los movi- mientos de inspiración y espiración. La función centrípeta respiratoria de los pneumogástricos se ha deducido, con repetición y por muchos experimenta- dores, de los efectos de la sección y excitación de los mismos nervios. Hay acuerdo, casi completo y unánime, respecto á las consecuencias de la doble vagotomía; más se discuten los efectos de la excitación de los nervios pneumogástricos. En esta discusión, apoyaremos nuestro criterio en nues- tros propios experimentos practicados durante estos últimos años en el laboratorio de Fisiología de la Facultad de Medi- cina de Madrid, y aduciremos como pruebas las gráficas que ilustran este trabajo, obtenidas también en nuestros experi- mentos. En ellos nos han auxiliado el Dr. Menéndez Poten- ciano y el interno Sr, Medina. Si se traqueotomiza un perro, y á favor de un tubo de cau- cho se pone en comunicación la cánula traqueal con un tam- bor de Marey, las oscilaciones de la presión del aire, en el árbol aéreo, se traducirán por la palanca escribiente, ele- vándose en la espiración y descendiendo en la inspiración. Pero, enseguida, la sofocación y la asfixia modificarían el ritmo respiratorio, y para evitarla, se intercala en esta cspe- — 725 - cié de circuito gaseoso, un frasco de 10 á 15 litros de capa- cidad, conteniendo en su mitad (poco más ó menos) aire para que el animal respire, y en el resto de su cabida, agua, ó, mejor, una disolución de potasa para la absorción del anhídrido carbónico espirado. No está de más advertir que, salvo la comunicación con la tráquea y el tambor, debe es- tar el frasco herméticamente cerrado y que el aire ha de re- novarse las veces que se crea necesario, según la duración del experimento. En todos los que se mencionan, en este escrito, la excita- ción se verificó aplicando la corriente inducida al cabo cen- Fiyura 1." — Ritmo respiratorio de un perro anestesiado con el cloroiormo, después de la sección de un nervio pneumogástrico. (La grática está reducida á los ^/4 próxima- mente de sus dimensiones.) tral de cualquiera de los pneumogástricos, porque siempre precedió la sección á la excitación de los nervios. Como co- rriente inductora, empleábamos la urbana é intercalábamos en el circuito, á guisa de resistencia, una lámpara incandes- cente, y también en muchos casos, el cronógrafo de láminas vibrantes, construido por Kagenaap, de Utrech, En las gráfi- cas obtenidas con el empleo de este aparato, sus vibraciones marcan el tiempo de la excitación; en otras, las letras E y F señalan, respectivamente, el principio y fin de la misma. Gra- duábamos la intensidad de la corriente excitante con la apro- ximación ó alejamiento de las bobinas (inductora é induci- Rev. Acad, de Ciencias. — VI. — Abril, iqoS. 46 - 726 - da), y considerábamos como máxima la que excitaba el ner- vio cuando la bobina inductora estaba completamente inclui- da en la inducida. Dispuestas así las cosas, y obtenida una gráfica respirato- ria normal para que sirva de tipo de comparación, se seccio- na uno de los nervios vagos, en el cuello, y nótase inmedia- tamente un cambio en el ritmo respiratorio. En la gráfica 1.^ pueden verse los movimientos respiratorios disminuidos en números y exagerados en su amplitud. Lasección del segundo nervio pneumogástrico exagera aún Figura 2.* — Respiración del mismo perro después de la doble vagotomia. (La gráfica está reducida á los "¡^ de sus dimensiones.) más la lentitud y profundidad de los movimientos respirato- rios: obsérvese en la gráfica 2."*, cómo decrece el número de movimientos respiratorios con relación al trazado de la 1.", y cómo las inspiraciones son mucho más durables que las espiraciones. Por la simple inspección del animal, nótase la respiración enrarecida, profunda y ruidosa. Menos exageradas, aunque muy notables, se ofrecen aná- logas modificaciones del ritmo respiratorio en los conejos, á consecuencia de la sucesiva sección de uno y otro nervio pneumogástrico, y como prueba, ofrecemos la gráfica repre- sentada en la figura 3."\ en la que se muestran los efectos de - 727 - la simple y doble vagotomía, practicadas seguidamente en un conejo anestesiado con el hidrato de doral. En este punto no hay para qué hacer cuestión de si los animales pueden sobrevivir mucho tiempo á la sección de ambos nervios pneumogástricos, porque en los perros la te- nemos resuelta experimentalmente en sentido afirmativo (*). También Nicolaides, habiendo logrado la superviven- cia de los perros después de la sección de los dos nervios vagos en dos operaciones, separadas por un lapso de al- gunos meses, ha conseguido el mismo efecto en los cone- jos, mediante un rodeo experimental, que consistió en la ex- tirpación aséptica del pulmón derecho, y cuando el animal se Figura 3.^ — Modificaciones del ritmo respiratorio por la sucesiva seccióo del vago izquierdo (S V Y) y del derecho (S V D) en un conejo. (La gráfica está reducida a la niilad próximamente de sus dimensiones.) encontraba restablecido le seccionaba el vago izquierdo; in- mediatamente después de esta sección, el animal respiraba como los que han sufrido la doble vagotomía (**). Mas no transcurre mucho tiempo sin que se restablezca la regularidad respiratoria, hondamente perturbada por la doble vagotomía, si bien, como recuerdo perdurable de ella, conserva el animal la afonía y cierta falta de acomodación á las excitaciones extraordinarias; así, por ejemplo, los perros se sofocan enseguida si corren ó juegan, y otro animal de esta misma especie murió en nuestro laboratorio, sin causa (*) Gómez Ocaña. Comunicación al XIV Congreso Internacional de Medicina.— Madrid, 1933. (**) R. Nicolaides. Das Ueberleben von Kanincheu nach Ausschal- tung beider Lungenvagi. Siebenter inter. Physiol Congress. — Heídel- berg, 1907. . - 728 - aparente (probablemente por hipertemia), en un día caluro- sísimo de Agosto de 1903, á los seis meses de haber sufrido la doble sección de los pneumogástricos. Los perros se de- fienden del calor con la polípnea, y es posible que los vago- tomizados no puedan ejercitar este recurso fisiológico. Si después de seccionados uno ó los dos nervios vagos se excita el cabo central de cualquiera de ellos, obsérvase, por lo general, que la respiración, enrarecida y profunda á consecuencia de la doble vagotomía, se acelera y disminuye Figura 4.* — Aceleración respiratoria, en un conejo, por excitación larádica del cabo central del nervio vago derecho (< v d). (La gráfica aparece reducida á los -/g de sus dimensiones.) de amplitud, y á medida que la excitación aumenta de inten- sidad, crece el número de movimientos respiratorios hasta que la respiración se suspende en inspiración. Nótese en la gráfica representada en la figura 4.' la acele- ración respiratoria que se sigue á la excitación del cabo cen- tral de uno de los nervios vagos; en el experimento de refe- rencia fué el vago derecho el que se excitó pocos minutos después de haber sido seccionado, y nótese como al mismo tiempo que se aceleran, disminuyen de amplitud los movi- mientos respiratorios, tendiendo á la suspensión inspiratoria. Esta se consigue cuando se aumenta mucho la excitación, 729 — como lo testifican las gráficas representadas en las figu- ras 5/ y 6/ Las dos gráficas se refieren á perros distintos poco después Figura 5.*— Suspensión inspiratoria ocasionada por la excitación uerte del cabo central del vago izquierdo en un perro ('/s del tamaño natural). de haber sufrido la doble sección de los pneumogástricos, y en los dos nótase la 'suspensión inspiratoria después de la res- Figura 6.^— Electos inspiratorios de la excitación del cabo central del vago izquierdo, en un perro, después de la doble vagotomia. (Gráfica reducida á la mitad próximamente.) piración característica en los animales vagotomizados ; mas con una diferencia. En la gráfica 5/ no es máxima la co- rriente excitante del vago, y después de la excitación vuel- - 730 — ve á caer la respiración en el tipo pneumogástrico, mien- tras que en la 6."* la corriente es máxima y el ritmo respira- torio se normaliza después de haberse suspendido en inspi- ración. Convienen, en general los autores, en los hechos así sen- cillamente referidos; mas como ocurre que por excitación de los nervios pneumogástricos se producen á veces fenómenos espiratorios y hasta suspensiones respiratorias, en la fase de espiración, truécase la sencillez en complicación y se dividen las opiniones de los fisiólogos. Una de las más antiguas y extendidas concede á los ner- vios vagos influencia centrípeta sobre los movimientos de Figura 7.*— Suspensión espiratoria por excitación del cabo central del vago derecho en un perro anestesiado con una mezcla éter-ciorofórmica. (Reducción á les ^/s.) inspiración y espiración, si bien especializa la última en una de sus ramas, en las fibras del laríngeo superior ó nervio de la tos. Mas esta especialidad no puede sostenerse, al menos con carácter exclusivo, cuando muchos experimentadores hemos observado efectos espiratorios por la excitación del tronco del vago. Nosotros hemos observado efectos espira- torios, tanto en los animales anestesiados como despiertos, y ejemplos de lo uno y de lo otro ofrecemos en las gráficas de las figuras 7.'^ y 8.', siendo de notar, en la primera, la caída de tono al final de la suspensión espiratoria; y la ace- leración que precede y sigue, en la segunda, á la excitación del cabo central del pneumogástrico. — 731 - Las muchas opiniones que se han emitido acerca de la función centrípeta respiratoria dé las fibras del pneumogás- trico, pueden seleccionarse en tres grupos: 1 .^ El nervio vago contiene dos clases de fibras centrí- petas, inspiratorias las unas y espiratorias las otras (Hering, Schenck, Meltzer). 2." La función centrípeta normal de los vagos es franca- mente inspiratoria; los efectos espiratorios, observados algu- nas veces, se deben á la anulación de las fibras inspiratorias Figura 8.^ — Suspensión respiratoria por excitación del cabo central del vago en un perro despierto. (Reducción á los '/a próximamente.) por la acción de los anestésicos (L. Fredericq), por la dege- neración (R. Nicolaides) ó por la fatiga. 3," La función de los pneumogástricos no es inspiradora en las condiciones normales (Gad y Schenck), ni tampoco fisiológicamente espiradora, sino sencillamente inhibitoria de la inspiración. Para promover la inspiración se bastan los centros bulbares, aguijoneados por el anhídrido carbónico de la sangre, y la acción centrípeta de los vagos tiene por objeto poner fin á la inspiración para que la espiración pue- da verificarse (M. Arthus). A estas tres opiniones, sumariamente expuestas, opongo las gráficas de las figuras 7.* y 8.", en las que se ven sus- - 732 - pensiones espiratorias determinadas por excitación del cabo central del vago en perros anestesiados y despiertos, y las de las figuras 9.^ y 10, en las que se observan doble suspen- sión espiro-espiratoria. Llamamos la atención sobre la significación de entrambos Figura 9.^ — Doble suspensión espiro-inspiratoria por excitación del cabo central del vago derecho en un perro anestesiado. (Tamaño del original.) experimentos, porque lo mismo en los animales anestesia- dos por la mezcla éter-clorofórmica (gráfica 9."^) que en los que ya se hablan despertado de la anestesia (gráfica 10), se Figura lO. — Suspensiones espiro ■ inspiratorias observadas por excitación del cabo central del vago ea un perro vuelto de su anestesia, (Reducción á los '/a del tamaño del original.) producen en un solo acto, y á consecuencia de una excita- ción, los dos fenómenos espiratorio y inspiratorio discutidos por los autores. Aquí no pueden invocarse en favor del pri- mero ni la anestesia ni la fatiga, pues en las mismas cir- — 733 — cunstancias se producen juntamente la espiración y la inspi- ración. Tampoco puedo avenirme con las conclusiones que Nico- laides comunicó al VII Congreso internacional de fisiólogos celebrado en Bruselas. Decía el Profesor de Atenas que úni- camente había observado fenómenos espiratorios cuando excitaba con fuertes corrientes de inducción el cabo central del nervio vago en los conejos, á los cuales dos meses antes, por lo menos, se les habían seccionado entrambos nervios Figura 11. — Erectos inspiratorios producidos en un conejo anestesiado, con el hidrato de doral, por excitación del cabo central del nervio vago derecho, á los cincuenta y seis días de la doble sección de los pneumogástricos. pneumogástricos y en los que ya probablemente habían de- generado las fibras inspiradoras (*). Los argumentos experimentales que me separan de la opi- nión del Profesor Nicolaides aparecen claramente expresa- dos en la gráfica de la figura 1 1 , en la que se ven los efec- tos inspiratorios de la excitación del vago en un conejo á los cincuenta y seis días de la sección del dicho nervio. También observamos efectos inspiratorios, por excitación (*) R. Nicolaides. Ueber die im vagas enthaltenen zentripetalen. Fasser wekhe auf das Atemzentrum wirken. Bruxelles, 1904, -734 — de los cabos centrales de los nervios pneumogástricos, en un perro, operado de doble vagotomía, treinta y ocho meses an- tes; desgraciadamente, las gráficas de este notable experi- mento se nos han traspapelado y confundido con otras mu- chas obtenidas en la misma época. Favorables á la acción inhibitoria, que se supone en los nervios vagos, son los experimentos de Garrelon y Langlois, puesto que en los perros, en estado de polipnea térmica cen- tral, la sección de los vagos acelera aún más el ritmo polip- neico; mas ni este fenómeno es constante ni conviene, á los efectos de la teoría inhibitoria, con el hecho de no acelerarse el ritmo, ó retardarse (como en los animales no polipneicos) cuando en los afectos de polipnea se seccionan los vagos después de enfriar la sangre carotídea que va á regar el bul- bo. En los experimentos de los citados autores, el enfria- miento de la sangre carotídea con agua fría (alrededor de O grados) en los perros, artificialmente puestos en estado de polipnea térmica y con temperatura de 4F c. y más, en el recto, produce notable aceleración, precedida de ligero y fu- gaz enrarecimiento de los movimientos respiratorios. En uno de los experimentos, era el ritmo polineico de 215; cayó á 200 en los primeros veinte segundos de la acción del agua fría, y se elevó enseguida hasta 350. Pues bien, la sección de los pneumogástricos suprime esta acción local del agua fría sobre la médula oblongada. La sección fisiológica de los nervios vagos á favor de una corriente electrotónica continua, ha producido, en manos de los citados autores, los mismos fenómenos que la sección ana- tómica, siendo de notar el efecto tónico espiratorio que acompaiía, algunas veces, á la aceleración respiratoria que en los animales polipneicos determina la anulación funcional de los vagos (*). ' (*) L. Garrelon etj. P. Langlois. Etude sur la polypnce thermi- que. Jour. de Phys et Path., núm. 2, 1906; núm. 4 et 6, 1907. 735 - A mi juicio, en la interpretación de los hechos se ha con- cedido más atención á las fibras centrípetas que á los centros respiratorios del bulbo en donde van á descargar sus co- rrientes: éstas llegan á la médula oblongada con la raíz sen- sitiva del nervio vago y pueden derivarse á los núcleos inspi- radores ó espiradores y á unos y otros, según su intensidad y las facilidades que ofrezca á su transmisión el estado de las prolongaciones nerviosos de las neuronas con las que se ponen en relación las fibras de la dicha raíz; ésta, en efecto, constituyendo el manojo ó fascículo solitario, se relaciona con los núcleos grises que le son adyacentes y con el gan- glio, que puede considerarse como centro respiratorio (gan- glio comisural de Cajal). Hace mucho tiempo que pienso que la suerte de los efectos que sobre el corazón ejercen las corrientes nerviosas afectivas que descienden del cere- bro, dependen de su derivación hacia los núcleos inhibito- rios de la médula oblongada ó aceleradores de la espinal, y de igual suerte, los efectos centrípetos de la excitación de los vagos dependerán de la manera como se extiendan y de- riven por los núcleos bulbares. Y concluyo aquí, en análo- gos términos á los que empleé en mi comunicación al VII Congreso internacional de fisiólogos: si suponemos que la anestesia, el dolor, la temperatura, la asfixia y los venenos, influyen en el plan de distribución de las corrientes cen- trípetas que llegan al bulbo, por las raíces sensitivas de los nervios vagos, nos explicaremos la variedad de los fenóme- nos que se siguen á la excitación de los mismos (*). (*) Gómez Ocaña. Recherches sur les fibres centripetes inspiratrices et espirat rices des vagues. Siebenter internationaler Physiologen-Con- gress. Heidelberg, 1907. - 736 - ¿Los pneumogástricos influyen normalmente, por sus fibras centrípetas, en el ritmo y amplitud de los movimientos respiratorios? Opinemos por la afirmativa, aun teniendo pre- sente el restablecimiento de la normalidad respiratoria en los animales afectos de doble vagatomia, pues cabe que los ner- vios se regeneren ó sean suplidos, por otros, en sus funcio- nes. La que los pneumogástricos ejercen cerca de los centros respiratorios, aunque normal no es constante, y puede com- pararse á la encomendada á las fibras inhibitorias de los mis- mos nervios respecto al corazón: entrambas son funciones de perfeccionamiento cuya falta se denuncia por graves alte- raciones (aceleración cardíaca y rareza y profundidad respi- ratoria); mas, al cabo, estos síntomas se desvanecen y los animales recobran la regularidad de la circulación y la respi- ración. XXXV. — Mai'cómeti'os y mareógrafos de sifón. Por Eduardo Mier y Miura. 21. — Mareómetros-testigos. Niveles. Uno de los varios defectos que los usuales mareógrafos tienen, puede producir groseros errores, imposibles de co- nocer desde el gabinete, y deja sentir su influjo con sobrada frecuencia; defecto que consiste en que, por descuido, se corran los eslabones de la cadena que sujeta el flotante, ori- ginándose así un error constante y sistemátieo en todas las ulteriores observaciones, calculadas en una hipótesis falsa acerca de la longitud de la cadena. Este mismo error prodúcese á veces automáticamente, no por correrse la cadena, sino por abrirse sus eslabones, con el — 737 - continuo esfuerzo que sufren, suceso nada extraño, ya que el grueso de éstos debe procurarse que sea el menor posible, para disminuir así cuanto se pueda el efecto perjudicialísimo de la inercia. Es, por lo tanto, de gran interés poder conocer desde el gabinete cuándo se presentan semejantes errores, y no deja de tener importancia que los mareómetros de sifón puedan testificar el buen ó mal funcionamiento de los mareógrafos, porque esta aplicación, por sí sola, justificaría plenamente su utilidad, evitando hacer cálculos de resultados ilusorios y dando medios para corregirlos prontamente. Se comprenderá, con lo expuesto, que un mareómetro- testigo se reduce no más que á cualquiera de los ya descrip- tos, sin otra variación, al instalarlos, que la exigencia de haber de sumergir su tubo de plomo en el agua del pozo del mareógrafo y no en el mar libre. Todavía puede prestar ese mismo mareómetro otro servi- cio no menos importante, porque, utilizando la misma tabla é idéntica escala que para aquél sirva, cabe disponer á su lado otro tubo mareométrico, cuyo extremo vaya á sumer- girse en el mar libre, y de este modo las oscilaciones de ambas columnas líquidas indicarán el retraso con que pene- tra el agua en el pozo del mareógrafo , y servirán de guía segura para acudir á la limpieza del tubo de conducción an- tes de que se encuentre obstruido en términos que pueda perjudicar demasiado á los trazados mareográficos. En realidad, el aparato que acabamos de describir sirve para indicar constantemente la diferencia de nivel que entre las aguas del pozo del mareógrafo y las del mar existe, y claro es que pudiera emplearse, modificándole conveniente- mente, para determinar las diferencias de cotas entre dos puntos no muy alejados entre sí. Uno de los aparatos que con ese objeto pudiera usarse, es el que representa la figura 13, en la que abe es un tubo ba- rométrico, en u, fijo sobre la tabla AB; de y fg, tubos de - 738 - caucho; m y n depósitos de agua, cuyo diámetro es de uno y medio ó dos decímetros; r un nivel esférico, y c un pie para apoyar el aparato en el suelo, colocándole próximamente vertical. Entre las dos ramas del tubo barométrico hay una regla graduada, en la que pueden apreciarse las alturas de las co- r ^ f^ lumnas de mercurio bp y bq, cuya diferencia mide el desni- vel que entre los líquidos de m y n existe. La proximidad de los tubos ab y be, permitirá prescindir, en la mayor parte de las aplicaciones, de los errores que en sí lleva la falta de verticalidad de la tabla AB, toda vez que serían necesarias grandes inclinaciones para que se hicieran sensibles en las diferencias de lecturas de la escala. La práctica demostraría hasta dónde era conveniente alar- gar los tubos de caucho de y fg; pero desde luego parece que una longitud de 25 ó 30 m., para cada uno, no es exa- gerada, consiguiéndose de este modo efectuar niveladas — 739 - de 50 ó 60 m., y debiendo tenerse presente que esos mismos tubos pueden utilizarse para la estimación aproximada de las distancias. Si no con gran precisión, al menos con la que exigen la casi totalidad de los trabajos prácticos, puede nivelarse rápi- damente con el aparato que acabamos de describir, sin po- seer grandes conocimientos topográficos, teniendo, además, la ventaja de abreviar los trabajos de campo y de gabinete, y siendo, por otra parte, de reducidísimo precio. A estas con- diciones cabe agregar las no despreciables de poder emplear- se en terrenos muy quebrados y pendientes, en donde otros instrumentos fracasarían, y la de hacer posible las nivelacio- nes, aun cuando entre los puntos nivelados existan obstácu- los que impidan la recíproca visibilidad. Estableciendo una de las cubetas en el punto más alto del terreno, y moviendo la otra en torno de aquélla, de modo que permanezca constante la situación de las dos columnas de mercurio, quedará trazada una curva de nivel á la distancia vertical que se tenga por conveniente, dentro de muy am- plios límites, y estableciendo la cubeta fija en puntos de esta primera curva, fácil será determinar los de la segunda, etcé- ra, etc., etc. Las sencillas correcciones por temperatura se obtendrán fácilmente leyendo las indicaciones de un termómetro, que puede establecerse sobre la tabla AB, y se comprende que, complicando algo el aparato, puede exagerarse su sensibili- dad, labor que no emprendemos por habernos propuesto tan sólo esbozar estas aplicaciones de los principios en que los mareómetros se fundan. 22.— Mareómetros de alarma. Se desea frecuentemente, en las aplicaciones industriales de mareómetros y mareógrafos, que éstos sirvan para seña- lar cuándo se llega á un nivel determinado, y con el siste- — 740 — n Úb ^ ng. /4. ma de aparatos de sifón que hemos descripto, fácilmente se llena ese fin, con independencia absoluta de la distancia que exista entre el punto en que se verifican los cambios de ni- vel y aquél en que han de recibirse las señales. En un mareómetro A (fig. 14), provisto de una bolsa im- permeable y lleno con un líquido cualquiera, poco ó nada conductor de la electrici- dad (aceites, agua destila- daópoco impura, etc., etc.) y mercurio, se introduce una punta metálica a á la altura del extremo de la columna de mercurio, que corresponde al mínimo ni- vel del líquido cuya señal desea obtenerse, y de una manera análoga se esta- blece la comunicación eléctrica del mercurio con la tierra por medio de un alambre c, y la de la otra rama de mercurio con el alambre b d, siendo b la posición del extremo de la columna del referido metal, de la que se desea obtener noticia. Cada uno de los dos alambres de línea que parten de los puntos a y ¿7 se enlazan á timbres dy e úq diferentes soni- dos, los cuales, á su vez, comunican con el mismo polo de una pila P, unida á tierra. El mercurio, al llegar á sus posiciones extremas, cerrará automáticamente los circuitos caePT ó cbdP T y hará sonar los correspondientes timbres, indicando el peligro de que el nivel de las aguas exceda en uno ú otro sentido de los límites considerados como convenientes. ^ - 741 - 23.— Mareómetros eléctricos. Una de las ventajas que el sistema de mareómetros de si- fón ofrece es que pueden instalarse á distancias relativamen- te grandes de la orilla del mar, ya que teóricamente las pre- siones hidrostáticas se transmiten íntegras, cualquiera que sea la distancia. Sin embargo, como las grandes distancias llevan consigo el aumento de la inercia de los aparatos, que retrasaría de considerable modo las fluctuaciones del nivel de las aguas, ñ^. f5. y cuando se trate de distancias superiores á 200 ó 300 metros podrá emplearse la disposición que vamos á describir, fácil de usar, sea la que quiera la separación que medie entre el punto en que se verifiquen las oscilaciones del líquido y aquel en que quieran observarse. El sistema adoptado consta de dos aparatos: el transmisor y el receptor, unidos por una línea de alambre, doble. El aparato transmisor (fig. 15) es un mareómetro ordi- nario, en cuya rama abierta ^4 5 se ha echado un líquido m n sobre el mercurio, mal conductor, relativamente, de la elec- tricidad, tal como una disolución poco concentrada de sulfa- Rkv. Acad. Ciencias. — VI. — Abril, 1908. +7 - 742 — to de cobre, de cloruro de sodio, de sulfato de cinc, etc., etc. Dentro de esa rama hay establecidas, en posición inva- riable, dos rodajas /; y q, que no impiden la circulación de los líquidos y que se utilizan para que arranquen, de cha- pas metálicas puestas en ellos, dos alambres recubiertos, perfectamente aislados entre sí y con el líquido que los rodea. Una parte del aparato receptor es idéntica á la descripta, sin más diferencia que estar substituida la rama del mareó- metro, que va á sumergirse en el agua, por un trozo de ella, en que puede obrar el émbolo rs. La pila P, establecida en la estación receptora, tiene uni- do uno de sus polos: el + por ejemplo, con el alambre de línea que corresponde á la rodaja q de la estación transmi- sora, y también con la p' de la receptora. Las chapas de las dos rodajas restantes q' y p están enlazadas con los dos po- los b y c de un galvanómetro diferencial, y los otros dos polos de éste van unidos al negativo de la pila. Resistencias, R y R', intercaladas cual la figura muestra, hacen que las secciones de circuito /7x6 y qyz ofrezcan la misma dificultad al paso de la corriente que zRp' y cR'q', siendo igual la suma de las resistencias eléctricas de este úl- timo par de trozos y de los anteriormente mencionados. De ese modo, siempre que las dos resistencias pq y p'q' sean iguales, circularán por el galvanómetro dos corrientes idénticas y de sentido contrario, cuyos efectos sobre la aguja imanada se anularán, y cuando una de ellas prepondere el sentido de la desviación de esa aguja, indicará en qué direc- ción ha de moverse el émbolo sr para conseguir la igualdad entre pq y p'q'. Con eso no hemos hecho más que reproducir, á muchos ó pocos kilómetros de distancia, una imagen aproximada de lo que en el mareómetro pasa á orillas del mar, de modo que la lectura hecha en la ramap'^', equivaldrá aproximadamente á la que hubiésemos hecho sobre pq. — 743 - Puede introducirse en este aparato multitud de variaciones que nada de lo substancial alteren, y entre ellas cabe la de aplicar á las corrientes el sistema del puente de Weahstone, siendo iguales las resistencias de ñ¿ -.16. ¿ los dos brazos fijos, yqpx la variable que ha ^ de medirse y R'q'p'R' la. usual caja de resis- tencias. Aún se podría simplificar la aplicación de ese sistema haciendo móviles las chapas q, substitu- yéndolas por un flotante q" (fig. 16), y reducién- dose la parte p'q'rs de la estación receptora á un simple tubo lleno del líquido resistente y con una de las dos rodajas móviles, que se llevaría á ocupar la necesaria posición para obtener la equivalencia de resis- tencias eléctricas buscada. 24.— Medímareómetros. No conocemos más medimareómetro que el del eminente geodesta, Mr. Lallemand, autor de la primera teoría acerca de tales aparatos que, gracias á su baratura, se han extendi- do rápidamente por Francia y por Italia. Recordemos que, en principio, consiste ese medimareó- metro en un tubo de fundición, que se introduce verticalmen- te en el agua del mar y que en su extremidad inferior lleva un tabique ó diafragma poroso, que deja salir y entrar el agua en aquél difícilmente, siendo la cantidad de ésta que existe en el tubo función del tiempo en que ha estado pene- trando ó saliendo, de la porosidad del diafragma y de las al- turas que el agua exterior ha tomado. Recordemos también que la altura que el agua toma en el tubo se mide introduciendo en él una sonda cubierta de pa- pel, sensible á la acción del agua del mar, y aparecerán ya los dos principales defectos que, en nuestra opinión, tiene el - 1A\ — medimareómetro de Mr. Lalleniand: lo enojoso y poco pre- ciso de estas mediciones, y, sobre todo, la variable porosidad que el diafragma ha de presentar en el transcurso del tiempo. El inconveniente de las mediciones puede subsanarse desde luego sin más que introducir en el tubo del medimareó- metro el de plomo de un mareómetro de los que describimos en este trabajo, puesto que desaparece la operación del son- deo, que queda reducida á una simple lectura, que, de todos modos, había de practicarse sobre la sonda. En cuanto al capital defecto de lo variable que ha de ser la resistencia que al paso del agua de mar ofrece el tabique poroso, inútil es, á nuestro entender, que trate de negarse ó de disminuirse, porque es del dominio de todo el mundo que los filtros corrientes (y esto vienen á ser, en su esencia, los medimaréometros de que hablamos), se ensucian en tales términos, á pesar de operar con aguas relativamente limpias, respecto á las del mar, que el poder filtrante disminuye rá- pidamente y han de limpiarse con frecuencia. Y no puede acontecer otra cosa, dígase lo que se quiera, en los medimaréometros de Mr. Lallemand, porque si el agua de mar, rica en toda suerte de impurezas, concluye por obturar los tubos rectos de grandes diámetros, ¿qué no hará con esa inextricable red de conductos microscópicos que, con su conjunto, dan el poder filtrante á los diafragmas? Contribuyen á verificar esa obturación, de una parte, las mil partículas de substancias inertes que el agua de mar acarrea, y de otra, los micro-organismos, vegetales ó anima- les, que, detenidos en las encrucijadas de los conductos ul- tracapilares de la substancia filtrante, se aposentan en ellos, crecen y se reproducen, convirtiendo á ésta con el tiempo en una materia perfectamente impermeable. Veamos cuan fácilmente se remedian todos esos inconve- nientes con los medimaréometros en sifón, bien tengan de común con el de Mr. Lallemand el aprovecharse de diafrag- mas fillrantes, ó bien se recurra á algún otro artificio. — 745 - Ya resultaría más barato y cómodo que emplear el medi- mareómetro de Mr, Lallemand, usar uno de estos mareóme- tros que describimos, sin otro aditamento que proveer el ex- tremo del tubo de plomo, que en el agua queda, de su co- rrespondiente tabiqt-e poroso. Pero de ese modo sólo resulta anulado el defecto de los sondeos, mas no en modo alguno el de la pérdida de poro- sidad de la substancia filtrante. Para remediar este esencial defecto, atemos perfectamente al extremo D del tubo (fig. 17) una bolsa ó saco impermea- ble E, en cuyo interior claro es que queda la substancia filtrante F; antes de echarle al mar, llenemos todo el mareómetro ABCDE de un líquido estéril cualquiera: de agua, que es barata, por ejemplo, después de haberla [o\ ^-^ filtrado por bizcocho de porcelana Ciíamber- XL ^'^-^^ land ó de pasta de amianto, y después de ha- / ) berla hervido para matar los micro organis- mos vivos que puedan quedar, echando además en ella un poco de sublimado corrosivo para evitarnos el peligro, ya muy remoto, de ulteriores generaciones de seres. La bolsa E, cuyas superficies interna y externa estarán siempre á igual presión, comunica ésta al medimareómetro de sifón, que funcionará ya en condiciones muy superiores, res- pecto á su constancia, que si no hubiéramos tomado las pre- cauciones indicadas, siendo de recomendar, para darse cuen- ta de las posibles roturas de esa bolsa, teñir ligeramente el líquido con anilina y elegirle algo más denso que el agua de mar, indicando entonces la disminución de color la fractura de la bolsa E. Claro es que este expediente de usar la bolsa E y echar den- tro del medimareómetro líquido estéril, también puede adop- tarse en los medimareómetros Lallemand, y con ello creemos que ganarían mucho; pero de todos modos, es en los de sifón una garantía más la incomunicación que resulta entre el líqui- I '-W — 746 — do EDCB empleado y el aire, que, como es sabido, tan rá- pidamente siembra seres microscópicos en los líquidos que con él están en contacto. Tanto en estos medimareómetros como en los de Mr. Lalle- mand no es fácil vigilar el diafragma filtrante ni puede ha- cerse su reposición sin desmontar el aparato. Veamos si también, y empleando siempre recursos sencillos, puede hacerse frente á estas dificultades en los mareómetros de sifón. No es difícil, en efecto, establecer en la rama libre A (figu- ra 18), de uno de esos aparatos, un diafragma nin, que siem- pre esté más bajo que la posición inferior, que el B A nivel r puede llegar á ocupar y que desempeñará funciones análogas á las que llenaba colocado en el extremo del tubo de plomo. Y es claro que no hace falta que precisamente sea el mercurio el que atraviese la substancia 'S filtrante, porque encima de él se puede echar otro líquido estéril, colocar dentro de éste el diafrag- ma y tapar la boca A con algodón esterilizado como exceso de precaución, siendo las presiones transmitidas desde el mar por Ja columna líquida del mareómetro las que deter- minarán, en función del tiempo, la altura con que el líquido auxiliar resulte encima del diafragma. Aquí daríamos punto á estas ideas acerca de los medima- reómetros de sifón si no nos asaltara el deseo de describir otro tipo, en que no sigan empleándose más que tubos, más ó menos acodados y de ésta ó la otra substancia, que sirvan de recipiente á uno ó más líquidos, emancipándonos, de esta suerte, del uso de diafragmas filtrantes. Uno de esos medimareómetros puede ser el que represen- ta la figura 19, en que ABq?, un líquido auxiliar, puesto so- bre el mercurio de un mareómetro; CE un tubo del mismo diámetro que el anterior y lleno, en su parte ED, del mismo líquido que aquél contenía; F una escala, que puede utilizar- - 747 - se para hacer las lecturas de las posiciones de las superficies de nivel en ambos tubos, y GG un sifón de tubo capilar, con más ó menos curvaturas, para dificultar la trasvasación del líquido y que entra á rozamiento duro en los tapones CC, provistos éstos, además, de otros pequeñísimos orificios que permitan la entrada y salida de aire. Se comprenderá sin dificultad que la teoría de estos apa- ratos es la misma que la de los medimareómetros, cuya base son las substancias filtrantes, toda vez que, á cada fase del nivel del agua del mar, corresponde otra simultánea y pro- porcional de la superficie A, mientras que las oscilaciones de ésta determina- rán otras en el nivel D, que se efectua- rán con cierto retraso por las dificultades que el tubo G opone al paso del agua, así como el diafragma filtrante transfor- maba los movimientos de las mareas en otros de reducida amplitud. En resumen; el fin que se persigue con estos medimareómetros, cual su nombre indica (medidores de las mareas medias), es determinar el nivel medio diurno de las aguas del mar por una simple lectura, y pueden y deben considerarse como una variedad de los llamados, no con gran propiedad, mareógrafos totalizadores, que á conti- nuación examinamos, y que son, en cuanto á los resultados que proporcionan, intermediarios entre los mareómetros, que sólo dan, por cada lectura, la situación que en aquel instante tienen las aguas del mar, sin dejar huella material alguna de sus indicaciones, y los mareógrafos propiamente tales, que inscriben una curva, resumen de todas las indi- caciones que proporcionan, de cuyo estudio se deducen ele- mentos suficientes para conocer en cada instante la situación que el mar tenía. - 748 - 25. - Mareógragos totalizadores. Uno de los mareógrafos totalizadores de sifón que pudie- ra construirse está representado en la figura 20, en la que Pes un flotante de hierro, que se mueve en la rama libre del mareómetro y que transmite su acción, por medio de una cuerda ó delgado alambre, á la varilla metálica v, que, diri- gida en su movimiento rectilíneo alternativo por las guías gg', no puede girar en torno de su propio eje por impedír- selo su sección, de forma rectan- gular, que encaja en el vaciado, de dimensiones iguales, que las guías tienen. Impropiamente hemos hablado de la varilla v, porque ésta se halla interrumpida en su parte me- í /^""""i \'^' dia por un contador de revolucio- \ nes R, al cual vienen á unirse los dos segmentos que en realidad ^^ /v'0. 20 constituyen aquélla, en tal for- "^ ma, que la permiten un ligero juego en sentido normal al de gg' y paralelo al plano del dibujo; juego que, como se Comprenderá fácilmente, se con- sigue sin más que efectuar esas conexiones por el mismo medio con que se enlazan ambos pies de los usuales com- pases. Debajo de ese contador de revoluciones puede haber un cilindro Q, provisto de movimiento de relojería y apuntado por un cono, sobre el cual descanse una roldana s del conta- dor de revoluciones, el cual, al girar, por su roce con la su- perficie cónica, produce el movimiento del contador; siendo evidente que para que resulte la necesaria solidaridad entre los movimientos del cono y del contador, convendría que la — 749 - superficie de aquél esté sin pulimentar y que lo propio su- ceda con la de este último. Semejante adherencia puede con- seguirse fácilmente forrando el cono con papel de esmeril del doble cero y de buena clase, ó rayando el cono metáli- co en sentido de sus generatrices y poniendo en uno y otro caso una llanta de caucho á la roldana del contador. Aunque sobre este mismo sistema de totalización, sustitu- yendo el cono por un disco giratorio, hay fundados gran nú- mero de aparatos, tales como planímetros, integradores, cine- mómetros y mareógrafo de Reitz, no estará de más recordar que, dado el movimiento uniforme del cono, en el caso es- pecial que hemos adoptado, el número de revoluciones que da la roldana s y, por lo tanto, los que marca el contador, son directamente proporcionales, en su consecuencia, á los radios de paralelo, sobre los que aquélla insiste. En un cono circular recto, si a es el ángulo constante que sus generatrices forman con la base, las longitudes de ellas, contadas desde el vértice, están enlazadas con los radios de las secciones rectas, que limitan la longitud considerada, por la relación r = /. eos rx, de la que se deduce que, si el número de revoluciones de la roldana s es proporcional al radio de la sección de contacto, /", también lo es á la correspondiente longitud / de la genera- triz, contada desde el vértice, ya que y es constante. Siendo la dirección del peso del contador R pararela al eje del cono, y guardando también paralelismo las generatri- ces de éste con la dirección gg', evidente resulta que si p es el peso de aquél, la componente en dirección de las ge- neratrices ó esfuerzo que habrá de destruirse por la tensión de la cuerda C, es p. sen ce, - 750 — y la normal á ésta, ó parte del peso que gravita sobre la su- perficie cónica y determina la adherencia, es p. eos Cí. Y observaremos, aunque sea de paso, que la solución que damos es general, porque la más usualmente admitida, ó sea la del disco giratorio, resulta de aquélla haciendo a = 0°; (/' == /; p . eos a = p; p . sen a = 0), y á ella no hay imposibilidad de acudir, aunque en el caso presente no nos parezca la preferible. Dejando eso á un lado, conviene observar que, por la so- lución adoptada, está en nuestra mano, dentro de ciertos lí- mites, disponer de las dos componentes del peso del conta- dor, repartiéndole entre ellas en la forma que mejor nos plaz- ca. En aumentar ese peso, claro es que no hay dificultad al- guna ni tampoco ventajas; en disminuirle sí debe haber em- peño, ya que de este modo decrecen también los perjudicia- les efectos de la inercia. Claro es que las exigencias prácticas de construcción im- ponen un limite mínimo al peso de los contadores; pero este mínimo es suficientemente pequeño. Hemos pesado un aparato de éstos, de la casa Schaeffer und Budenberg, de cuatro cifras, y encontrado el peso de 155 gramos; pero es de advertir que ese contador, bien hecho para el objeto á que le destinábamos al adquirirlo, consiente importantes reformas al aplicarlo á los mareómetros. El mecanismo que, en rigor, constituye el contador de que hablamos, está montado dentro de una caja metálica, que pesa más de las dos terceras partes del peso total; así es que, sin cometer en ello exageración alguna, bien puede afirmar- se que, sin gran esfuerzo ni gasto, pueden obtenerse conta- dores de cinco á seis cifras, cuyo peso sea de unos 100 gramos. 751 — D /y r n Aceptando este número y para a el valor de 45°, por ejemplo, resultará que la componente de adherencia valdrá unos 50 gramos, y otros tantos la de tracción sobre la cuer- da C, habiendo de aumentarse á esta componente el peso de las varillas huecas de aluminio o-^' y resultando una tracción para la cuerda ó alambre que, seguramente, no excederá de 200 gramos. Aun cuando la cuerda PC sola y el flotante P pesaran otros 250 gramos, resultará que la masa que ha de moverse, PcovRr', será la correspondien- te á medio kilogramo, y sus efec- tos de inercia podrán despreciar- se desde luego sin poderse com- parar jamás á los que se desarro- llan en el mareógrafo de Reitz. Ofrécense, desde luego, al dis- curso de cualquiera, infinitas va- riaciones que el aparato descripto puede experimentar, sin que re- sulte alterado su esencial modo de ser, y, solamente como ejem- plos, citaremos el suprimir, cuan- do haya miedo ó excesivo peso, las varillas o- ^', reemplazándolas por guias, entre las que resbale el contador, directamente sujeto por la cuerda, así como el poderse reeemplazar el cono por otras superficies, ó bien por un disco rotatorio paralelo á la direc- ción g g', etc., etc. Otro totalizador más barato aún que el precedente y más práctico, á juicio nuestro, es el que representa la figura 21. Aparece en ella la inevitable rama libre del mareómetro A, el flotante 5 y la polea C, montada en una armadura, sujeta á la boca del tubo. Pasa por esa polea el cordón DD, de cuyo extremo derecho pende un delgado tubo de cristal EE, a — 752 - guiado por cuatro anillos fijos gg, cuya sección horizontal, en mayor tamaño, va indicada en el mismo grabado, en 5. Sumérgese una de las ramas de ese sifón en un depósito de agua FF, de nivel constante, ó de dimensiones suficiente- mente grandes, para que, prácticamente, pueda admitirse esa constancia y puede moverse la otra en el interior de un tubo de mayor diámetro, que sale de la boca de un frasco G, Una vez cargado el sifón, la cantidad de agua que del de- pósito F se trasvase al frasco G, claro resulta que es pro- porcional para una situación dada, al tiempo en que esa trasvasación se verifique; y que, para posiciones diferentes, en el mismo espacio de tiempo, la cantidad de líquido que en el frasco G se recoja, será proporcional á la diferencia de nivel que exista entre la superficie líquida de FF y el extre- mo de la rama de sifón E'. Hay, por lo tanto, proporcionalidad directa entre las can- tidades de agua que á G pasan y los desniveles antes cita- dos; la hay también entre aquéllos y los tiempos, y existirá proporción directa entre los productos de los desniveles por ios correspondientes tiempos y las cantidades de aguas trasvasadas. Supongamos elevado el sifón hasta que su rama E quede á flor de agua, y fácilmente se ve que los desniveles de que antes hemos hablado, no son otra cosa que las elevaciones que la superficie del mercurio en la rama A va experimen- tando, y como éstas son directamente proporcionales á las aguas del mar, por esta larga serie de relaciones que he- mos enumerado, resulta en definitiva que el agua recogida en el frasco G, durante un espacio determinado de tiempo, siendo directamente proporcional al producto de las alturas que el agua de mar ha ido tomando por el tiempo en que se han sostenido en ellas, es, ni más ni menos, que el valor de la superficie XA A ' Y (\\g. 22), multiplicado por un coeficien- te de proporcionalidad. En esa figura, al par que sobre el eje X Y de los tiempos - 753 - se han levantado las ordenadas XA... YA', que miden las alturas de las aguas del mar, hemos representado en la cur- va BB' las correspondientes oscilaciones del mercurio, y en ce los gastos de agua del sifón, resultando tres curvas iguales ó posiciones distintas de una misma. La cantidad de agua recogida da directamente la superficie XCC'Yy su ^ Marea medid C B Gssto medio C Nivel medlo^ del mercurio. B' r Fió. 22. 'é división por X K proporciona el gasto medio del que inme- diatamente se deducirá la marea media. Aclaremos todo esto con un ejemplo. Si N es el número de centímetros cúbicos de líquido recogidos en el frasco du- nos dará el gas- rante veinticuatro horas, el cociente 86400^ N -, y como á cada gasto corresponde una to medio p" =^ 86400^ posición fija del sifón, sabremos cuál es la de su vértice E, y, por lo tanto, la del mercurio y la de la superficie del nivel del mar, ó sea el nivel medio de éste durante las veinticua- tro horas cjnsideradas. - 754 Tanto este mareómetro totalizador, como el precedente, tienen el defecto de no indicar cuáles sean los máximos y mínimos valores que las alturas de las aguas tomen; datos ambos de gran importancia para las aplicaciones prácticas de esos aparatos. Pero ese defecto puede subsanarse fácil- mente, bastando para ello colocar un cilindro H (fig. 21), gi- ratorio á voluntad, sobre el que se arrolla una hoja de papel cuadriculado, en la que traza la pluma ó lápiz n, sujeto al sifón por el brazo r, una ordenada mn, que indica las situaciones ex- tremas del nivel del mar. Cada veinticuatro horas, en la generalidad de los casos, se moverá á mano el cilindro H, y escribien- do en el trazo que á cada día corresponda la lectura del contador ó del frasco G, quedarán condensadas en una hoja, en la forma Mes de Enero D''as. 1 2 3 4. 59 47 46 41 5 59 — — ^ F/^. 23. que la figura 23 expresa, todas las observaciones que á un mes correspondan. Ese mismo cilindro puede emplearse para la graduación experimental de los aparatos, observando á cada posición de n la lectura que da el contador ó el gasto que el sifón efec- túa, y formando una tabla de dos columnas en que consten los resultados, que servirá después para el cálculo de cotas. La medida del agua que el frasco G contenga se hará va- liéndose de probetas graduadas, con las que fácilmente se aprecian cuartas partes de centímetros cúbicos, y el diáme- tro del sifón puede elegirse del tamaño conveniente, con arreglo á la mayor ó menor precisión que en las observacio- ciones trate de conseguirse. - 755 - XXXVI.— Estudio acerca de la deteriuiíiacióii volumé- trica del óxido de carbouo. Por Enrique Hauser Se refiere especialmente el presente trabajo á la determi- nación del gas C O en el residuo de una mezcla de gases combustibles ó procedentes de una combustión imperfecta ó incompleta, es decir, que puede hallarse en presencia de hi- drógeno y metano, con un exceso de nitrógeno y cierta can- tidad de oxígeno. Dos clases de métodos volumétricos pueden emplearse, á saber: los fundados en la absorción directa del óxido de carbono por medio de ciertos reactivos y los dependientes de la determinación indirecta del volumen de dicho gas, produ- ciendo previamente su combustión. Voy á estudiar separada- mente el mejor modo de practicar las dos clases de métodos. I) Determinación volumétrica del óxido de carbono por absorción. Este método depende casi exclusivamente del empleo de los cloruros cuprosos. Tiénese por sabido que la absorción del óxido de carbono por los cloruros cuprosos (ácido ó amoniacal), jamás es com- pleta, y que el gas absorbido puede ser fácilmente despren- dido, agitando ó elevando la temperatura del reactivo. Como el modo de preparación de dichos cloruros influye bastante en los resultados obtenidos, y el número de recetas indica- das es bastante grande, creo conveniente explicar la manera de operar que me ha dado mejores resultados. Desde luego debo decir, que si bien el cloruro cuproso ácido absorbe el CO más rápidamente que el preparado amoniacal, la canti- — 756 - dad absorbida es menor (desde cuatro veces su volumen, según Hempel; á diez veces, según Clowes y Coleman, en vez de seis á diez y seis), y se desprende con más facilidad que del cloruro cuproso amoniacal; además, como el cloruro ácido tiene el inconveniente de atacar al mercurio y sus va- pores dificultan la absorción del hidrógeno por el paladio, de ahí que, aunque sea de preparación más fácil, se dé la pre- ferencia al compuesto amoniacal, que al igual del ácido, tie- ne la propiedad de absorber el etileno (Hempel) y, además, el acetileno. De otra parte, no se logran buenos resultados sin tener presentes, ante todo, cieitas reglas prácticas y pormenores operatorios respecto del modo de preparación y manejo de tales reactivos, que se deducen del estudio que la evolución del modo de prepararlos ha tenido. Desde luego, el incon- veniente señalado que tienen las disoluciones de cloruro cu- proso, en cuya virtud desprenden fácilmente parte del CO absorbido cuando el gas que lo cubre no le contiene, puede, según Drehschmidt, ser contrarrestado en gran parte por la presencia de un exceso de amoníaco que, reaccionando so- bre el cloruro cuproso oxicarbonado, transforma el óxido de carbono en ácido carbónico fijándolo con formación de carbonato amónico, según la ecuación siguiente: Cwg a, CO -I 4NH,+2H.¿ O - Cu-\- 2NH, Cl + (TV//,), COr,. De este hecho, deduce Drehschmidt el método de prepa- ración siguiente: Se disuelve el cloruro cuproso recientemente precipitado, casi exento de agua, agitándolo con amoníaco de 0,90 de densidad hasta disolución casi por completo (en un frasco bien cerrado), y al líquido obtenido se añade de un quinto á un cuarto de su volumen del mismo amoníaco. Clowes y Cohman, preparan este reactivo de un modo parecido, y lo consideran capaz de absorber seis veces su volumen de óxi- - 757 - do de carbono dejando sólo un residuo de cinco milésimas (0,5 por 100) de dicho gas por absorber en el volumen final (*). Sin embargo, como un exceso de vapores amonia- cales aumenta la duración de la absorción, este modo de pre- parar el reactivo no está aceptado por todos los experimen- tadores, y siendo, además, necesario tener en cuenta que es- tos compuestos cuprosos de adición pierden parte de su amoníaco al contacto del aire ú otro gas precipitando sales básicas y que se alteran por la acción de la luz (Berthelot), ha habido que buscar un medio de evitar tales inconvenien- tes. Se ha conseguido, añadiendo á la solución amoniacal cierta cantidad de cloruro amónico, que aparte tiene la ven- taja de aumentar su poder de absorción. El reactivo amoniacal conteniendo cloruro amónico ha sido preconizado por Hempel, y creo suyas las dos fórmulas que aquí se ponen y publicó el Profesor Treadwell. En ambos se parte de agitar en un frasco cerrado 200 gramos de cloruro cuproso comercial con una disolución de 250 gramos de clo- ruro amónico en 750 de agua, á la que añade, en la primera receta (1901-2), tres veces y media su volumen de amoníaco de 0,905/7.^,, y en la última (1906-7), sólo el tercio de su volumen de amoníaco de p.e. = 0,910. En los dos casos considera la absorción del óxido de carbono casi cuantita- tiva, y el reactivo capaz de absorber seis veces su volumen la primera disolución y diez y seis la última. De todos modos recomienda terminar la absorción en una segunda pipeta con disolución poco usada. Creo inútil añadir que, queriendo conservar las disolucio- nes, el frasco habrá de estar completamente lleno de tornea- duras de cobre, debiendo observar que, si bien las disolucio- nes amoniacales de cloruro cuproso diluidas son casi incolo- ras, las concentradas son azules, pero su color no ha de ser (*) Clowes & Redwood. Detecfion & Estimation of Inflamable gas& Vapoiirs, pág. 144-5. Rev. Acad. de Ciencias. — VI.— Abril, 190S. 48 - 758 - tan intenso que no deje pasar francamente la luz en un espe- sor de 5 centímetros; de todos modos, su reducción por las torneaduras de cobre se acelera mucho manteniendo los lí- quidos cerca de una estufa (unos 40" C). Siendo más fácil juzgar á simple vista del estado de actividad de una disolu- ción acida que de otra amoniacal, considero preferible partir, para la preparación del cloruro cuproso amoniacal, del cloru- ro cuproso recién precipitado de su solución acida en la for- ma que voy á indicar, exponiendo antes el modo de prepa- rar la disolución amoniacal de cloruro cuproso, conforme la empleo. Son base del procedimiento los estudios de Drehschmidt y los resultados de Clowes & Redwood. Disuelvo unos 20 gramos de cloruro cuproso, recién precipitado, contenido en un frasco, en la cantidad de amoníaco indispensable (0,90 á 0,91 p.e.), añadiéndole después un cuarto de volumen de di- cho líquido; agrego luego cosa de 20 gramos de cloruro amó- nico disuelto en el menor volumen posible de agua, ó lo que es más cómodo, el volumen correspondiente de una disolución saturada de dicho cloruro, pudiendo trasvasarse enseguida la mezcla resultante á la pipeta de absorción, cuya bola de- berá contener cantidad suficiente de torneaduras ó alambre fino de cobre. Los resultados obtenidos por mí con este reac- tivo, son muy satisfactorios, y puedo decir que, una vez que traté de absorber el residuo de óxido de carbono que queda en el gas tratado por dicho reactivo absorbente, agitándole después durante veinticinco minutos con ácido nítrico fumante (según Treadwell & Stokes),ymás tarde con la potasa, no ob- tuve mayor contracción que la que hubiera obtenido absor- biendo los vapores amoniacales de dicho gas con la disolu- ción sulfúrica que empleo. Esto no obsta para que de todos modos haya que contar con un residuo, conteniendo peque- ña cantidad de óxido de carbono para otra también corta de metano, bastante más hidrógeno y exceso de nitrógeno, cuya determinación exacta explicaré en breve. Ahora resta decir - 759 - que, para absorber los vapores amoniacales que los gases arrastran al salir de la disolución absorbente, y antes de ha- cer la lectura, empleo una disolución, conteniendo 10 por 100 de ácido sulfúrico y 4 por 100 de sulfato amónico. En cuanto á la necesidad de disponer de cloruro cuproso recién precipitado, la considero fundada en que este cuerpo, conservado bajo agua, se halla con frecuencia muy oxidado, de tal manera, que su disolución clorhídrica es obscura y no precipita al echarla sobre agua, y como, por otra parte, el cloruro cúprico disuelto en ácido clorhídrico se reduce muy fácilmente en veinticuatro horas, empleando torneaduras de cobre (que deben llenar el frasco), dando un líquido incoloro ó ligeramente amarillo, y que un frasco de cuello esmerilado, sin que el tapón ajuste, hará cierre hermético si se le deja medio flotante en el ácido que moja el gollete, conservándo- se muy bien el cloruro, de ahí que prefiera el método apun- tado. De todos modos, la operación de precipitar es fácil, di- solviendo 40-50 gramos de cloruro cuproso por litro de áci- do y después de reducir con cobre la parte oxidada, confor- me se indica más arriba, ó dándola por perdida si se tiene prisa, vertiendo la solución acida en ocho ó diez veces su volumen de agua, contenida en un frasco con buen tapón; una vez aposado el cloruro cuproso, no hay más que decan- tar el agua que sobrenada y trasvasarle á otro frasco más pequeño, en el que habrá de prepararse el reactivo, como se explicó antes. Debo mencionar una observación muy importante para el buen uso de estos cloruros absorbentes y especialmente del amoniacal, y se refiere á su cualidad de disolventes del ni- trógeno, tanto más sensible cuanto el gas está concentrado luego de terminada la absorción del óxido de carbono. Por esta razón recomiendo saturar bien con nitrógeno el reactivo, pues es muy fácil cometer errores de 0,5 por 100, ó mayores, si todavía aquél no ha sido previamente saturado de nitróge- no, llegándose entonces á creer en una absorción completa - 760 - del CO, cuando lo que se ha absorbido es una cantidad casi equivalente de nitrógeno. Por lo dicho se ve que la determinación del óxido de car- bono por absorción, si bien de exactitud suficiente en mu- chos casos, sólo da valores aproximados, restando sin ab- sorber un pequeño volumen que habrá que determinar por combustión, y así es generalmente preferible, en el sentir de muchos químicos y en el mío propio, realizarle, desde luego, con la totalidad del óxido de carbono de la manera que voy á indicar. De no tener presente la existencia del óxido de carbono en el residuo; si hacemos la combustión creyendo que hay únicamente los gases combustibles hidrógeno y me- tano, asignaremos al último gas un valor mayor que el ver- dadero, igual al que representa el volumen del óxido de car- bono no absorbido y disminuido en otro tanto el valor dedu- cido para el hidrógeno: este error lo he observado con harta frecuencia en los resultados publicados de análisis llamados industriales y también en otros de carácter científico. Laborntorio de la Escuela de .Miuas- (Se continuará.) - 761 - XXXVII.— Estudio comparativo de los instrumentos más usados en Sismología. Por Manuel-M."* S. Navarro (S. J.) 1.— Péndulos verticales. Sismometógrafos y microsismógrafos de Agamennone, Cancani y Yicentini. Los péndulos verticales, en el sentido estricto de la pala- bra, que hoy se usan como instrumento de Observatorio, son de tipo y construcción casi siempre italiana, derivados del sismometrógrafo fabricado en Roma en 1886 por E. Bras- sart, después de un concienzudo estudio de los instrumentos japoneses (*). En 1892, el Dr. Agamennone, Asistente entonces en el Ufficio Céntrale Meteorológico e Geodinamico de Roma, del que era mecánico Brassart, introdujo algunas mejoras en di- cho instrumento, aumentando su masa de 10 kilogramos has- ta 75 y la longitud á 6 metros, habiendo logrado magníficos resultados para aquella época, entre los que se cuentan sis- mogramas de terremotos del Japón, y el primero obtenido en Europa de un terremoto lejano, con ocasión del de Samo- tracia (Turquía), el 9 de Febrero de 1893 (**). A mediados de 1894 instaló otro, también en el Colegio Romano, de 16 metros de longitud, 200 kilogramos de masa y sólo 10 veces de aumento externo, inscribiendo, como los (*) Dr. R. Ehlert: Zuzamenstellung, etc., der Seisniometer, in Ger- land's Beitráge zar Geophyisik, \\\, Bd. 3 HfL, SS. 375, 376. (**) Dr.G. Agamennone: L'indirizzo nella construzione degli stru- menti sisimici in Italia. — In Bolletino delta Societá Sismológica Ita- liana, X (1904-1905), pp. 241-242. - 762 — anteriores, con tinta sobre papel blanco (*), que desplaza con dos velocidades: una, la ordinaria, de 30 á 60 centíme- tros por hora; la otra de hasta 30 centímetros por minuto y aun más, cuando el mismo péndulo al agitarse, ó uno ó más sismoscopios eléctricos pongan en libertad un disparador adosado al motor de relojería del receptor. En los primeros modelos, un cronógrafo actuado por un cronómetro de marina marcaba el tiempo en las bandas de media en media hora, en los actuales se hace, como en casi todos los demás sismógrafos, de minuto en minuto, levan- tándose las agujas cada media hora, con lo que se puede de- terminar bastante bien el paralaje de las mismas, excepto en las grandes desviaciones, y todavía mejor que en otros mu- chos péndulos en los que es fácil incurrir en errores de varios segundos al determinar esta cantidad, que precisa añadir al tiempo señalado por el cronógrafo, con las otras correcciones y el signo que tenga. Hoy existen sismometrógrafos Agamennone (**) en las es- taciones sismológicas de Rocca di Papa, Catania, Pavía, To- rino, Salo, Ferrara, Giacherino, Firenze (R. M.), Urbino, Por- tici, Caggiano, Reggio (Calabria), Messina, Barcelona (O. Fa- bra), cinco en Grecia y dos en Constantinopla (***). Fuera de la velocidad exagerada de seis metros por hora, y el registrar hoy sus movimientos sobre papel ennegrecido con el humo del petróleo, aceite, gas del alumbrado, etc., muy poco se diferencian los sismometrógrafos del Profesor A. Cancani de los Agamennone. El que parece dar mejores (*) Dr. G. Agamennone: Sopra un nuovo tipo di sismometrografo. /6/í/.,I(1895)p. 160. (**) Constructor, Luigi Fascianelli, Via Caravita, 7, A., Roma.— Precio (sin la masa de plomo), 500 liras, con la doble velocidad, y 400 con la única de 80 cms. por hora. (***) Id.: Winke über die Konstruktion dcr Erdbebenmesser in Italien. in Die Erdbebenwartc Herausgeb. Prof. A. Belar, Laibach, 1904-1905,, n.° 5 bis, 9. S. 6. — 763 - resultados mide 25,3 metros de longitud, su masa pesa 300 kilogramos y su aumento es de 12,5 veces (*). El Observatorio Fabra, de Barcelona, posee uno de estos instrumentos (**), hallándose instalados otros en Roma, Cata- nia, y según el Dr. Agamennone, también en Esmirna y Tiflis (***). Pero el péndulo vertical, cuyo uso se halla hoy más exten- dido, es, sin disputa, el del Profesor paduano, G. Vicentini, que además de los cuatro ejemplares construidos para el Go- bierno español, tiene otros veinte repartidos, sobre todo, en Italia, Austria y España (****). En nuestra patria existen ya instalados tres, respectiva- mente, en los Observatorios Fabra (Barcelona), del Ebro (Tortosa) y de Cartuja (Granada) (*****). El Profesor Vicentini ha tratado sistemáticamente de hacer con sus péndulos algo análogo á lo que el Profesor Milne con los suyos: perfeccionarlos cada vez más, de modo que su funcionamiento sea cada vez mejor, y, sobre todo, más seguro, pero modificando sólo pequeños detalles, con el ob- jeto de que los sismogramas obtenidos sean fácilmente com- parables entre sí, lo que parece conseguido, sobre todo, cuando los péndulos se hallan muy próximos. Así es que, fuera del de 15 metros del celebérrimo Institu- to de Geofísica de Potsdam, y de otro, de 10,68 metros de longitud por 400 kilogramos de peso, que funciona en su (*) Prof. A. Ricco, R. Osservatorio Geodinamico di Catania, in Bol., S. S, Ital, III (1897), p. 150. (**) Constructor L. Fascianelli. — Precio (sin la masa), 500 liras. (***) ídem Winke S. 6 (****) ídem Winke S. 6. (*****) Los dos primeros, del tipo universal, han sido construidos bajo la dirección de su inventor. El de Cartuja (Granada), bastante mayor (312 kilogramos por 3,50 metros de longitud y 155 veces de aumento), lo fué por el Director propietario del Observatorio de Quar- to di Casteilo (Florencia), Profesor R. P. D. Rafaelle Stiattesi, que ha hecho algunas modificaciones. - 764 - Instituto de Física, donde lo montó á mediados de 1896 con el auxilio del malogrado Dr. G. Pacher, y qir destinó á me- didas comparativas (*), todos los péndulos construidos bajo la dirección del Profesor Vicentini tienen masas de 100 kilo- gramos, 1,50 metros de longitud y un aumento externo com- prendido entre 80 y 120 veces (**). En cuanto á la velocidad con que se mueve la banda de papel ennegrecido, oscila en- tre 30 y 90 centímetros por hora, aunque, de acuerdo con lo propuesto por el reputado Profesor vienes Pernter, Direc- tor del servicio Metereológico y Geodinámico austríaco, se propone que sea en adelante de 60 (***), tratando de que, en las componentes horizontales, en las que ahora nos ocupa- mos, fuese el aumento de 100 veces con corta diferencia. De igual manera que los sismometrógrafos de Agamenno- ne y Cancani, el microsismógrafo Vicentini se deriva del péndulo de Brassart, y la palanca vertical, á la que debe su aumento, tan considerable en comparación del de éstos, y aun en absoluto, de las ya empleadas por Gray, Wagner, Bouquet de la Grye, etc., lo mismo que algunos importantes detalles proceden directamente del instrumento de Agamen- none (****), pero esto no obsta para que el conjunto presente muchos elementos originales que, á primera vista, pudieran parecer insignificantes; mas de ellos depende el éxito prác- tico de un instrumento. Consta esencialmente el microsismógrafo Vicentini de una masa cilindrica de plomo, de poca altura, en relación á su base, formada de varios discos, y la atraviesa por el centro (*) üiuglio Pacher, / Microsismografi dclV Istituto di Física dclla R. Univcrsita di Padova, pág. 40. (**) Precio: 1.500 liras, completo con la componente vertical, ma- sas, etc. (***) Profesor G. Vicentini.— Co/7s/í/('rí7:r/o/?e sopra l'iiniformita di funzionamicnto dci microsismoj^rafi. - Atti del R. 1. Véneto. (Ad del 21 (jennaio 1906), páginas 501-506. (****) Doctor Pacher.— Op. cit., pág. 21. — 765 - un tubo de hierro que le sirve de sostén y cuyo extremo su- perior remata en un trozo de alambre de acero de 1,5 mi- límetros de diámetro y pocos centímetros de longitud, del cual pende el péndulo y al que sirve á su vez de apoyo una barra de hierro empotrada en un fuerte muro ó pila ad hoc, etcétera, del que se separa poco. En el centro de la base del cilindro de plomo, cubierta de latón como el resto, existe una pequeña abertura provista de un compresor de muelle, en la que se introduce la aguja terminal del brazo corto de la palanca multiplicadora vertical de aluminio, cuyo aumento suele ser de 20 veces. Su punto de apoyo se halla sujeto en un soporte empotrado en el mis- mo pilar que el péndulo, soporte en el que se apoyan tam- bién las restantes piezas del aparato multiplicador inscriptor y el cilindro motor de la banda de papel ennegrecido donde se han de registrar los movimientos. El extremo inferior de la palanca vertical citada penetra entre unas horquillas cerradas, que forman los brazos meno- res cruzados de dos palancas, recta la una, en ángulo recto con su brazo menor la otra, y que aumentan unas cinco ve- ces, terminando en finísimas tiras de cristal hilado, sumamen- te flexibles, y cuyas puntas, diminutas esterillas, han de re- gistrar los movimientos sobre el papel. El objeto de estas segundas palancas es variado; de una parte multiplican, por su aumento propio, el de la vertical; de otra, forzadas á moverse sólo en la dirección perpendi- cular á aquélla en que se mueve el péndulo, descompon- drán en sus dos componentes horizontales los movimientos del mismo. Así conviene que se muevan en dirección N-S una y E-W\2L otra. Un precioso cronógrafo para marcar minutos y horas so- bre la misma banda en que se registran los movimientos del péndulo citado y de la componente vertical, forma también parte de este instrumento, cuyos detalles resultan una obra de arte mecánica. - 766 - La presión de las agujas de vidrio ha de regularse subien- do ó bajando el mecanismo de relojería, y de no hacerlo cui- dadosamente, el instrumento funciona muy mal y la excesiva delgadez de las agujas parece apropiada para causar defor- maciones en los gráficos. El mecanismo que mueve la banda de relojería tampoco está al abrigo de toda crítica. Las bandas resultan muy lar- gas, dos ó más metros, á no querer dar á las agujas ins- criptoras una separación incompatible con su ligereza, ó adoptar otra disposición muy diferente, y esa excesiva lon- gitud hace bastante penoso su estudio, y, lo que es peor, y muy frecuente, á juzgar por los gráficos del magnífico álbum del terremoto de Valparaíso, debido al Profesor Dr. E. Ru- dolph, las líneas montan unas sobre otras, y se unen y sepa- ran, resultando un todo no muy fácil de descifrar, y donde es facilísimo equivocarse en hora, etc. Mucho más cómodos son los motores que avanzan giran- do sobre una hélice de paso determinado y con los que se puedan usar bandas cortas, todo lo más de 1,50 metros, por ser más difícil, y en algunos imposible, el que se mez- clen las vueltas á no tener la culpa el péndulo, evitando ese desagradable accidente, que alguna rara vez nos ocurrió, y aún ocurre con motores italianos del tipo del del péndulo que acabamos de citar, y que creíamos obra de nuestro des- cuido, cuando el álbum del Profesor Rudolph nos ha indica- do su frecuencia en los más célebres Observatorios. 2.— Péndulos invertidos: Wiechert. Como fruto de numerosos ensayos, llevados á cabo con rara perseverancia, y de un viaje á Italia, ha construido el Profesor de la Universidad de Gotinga, Dr. E. Wiechert, un péndulo, cuyo uso se extiende á cada punto (*), y cuya pri- (*) Según carta que nos dirigió el 6 de Febrero de 1906 el mecá- nico de dicha ciudad Georg Bartels, constructor del modelo de 1.000 — 767 — mera idea quizás es la del péndulo invertido del infatigable Director de los Observatorios de la Isla de Ischia, Profesor Doctor G. Grablovitz, que, según parece, no llegó á cons- truir (*). La masa se halla formada por varios discos de fundición, cuyo conjunto constituye un cilindro de 80 centímetros de diámetro por cerca de 40 de altura, con 1.000 á 1.200 kilo- gramos de peso, y termina, en su extremidad inferior, por una larga y robusta punta cilindro-cónica de acero, que le da el aspecto de una gigantesca peonza. Esa punta descansa sobre un disco del mismo metal, mon- tado á la Cardan. Por la parte superior existe un saliente central al que van á parar las dos palancas dobles, dispues- tas en ángulo recto, y que sirven para multiplicar é inscribir los movimientos. Una prolongación de cada una de las mis- mas va á parar á su aparato de amortiguamiento, especie de émbolo donde opone el aire encerrado, al ser comprimido, una resistencia creciente con la amplitud á los movimientos propios del péndulo, resistencia que puede aumentar ó dis- minuir conforme se cierren ó abran más ó menos las llaves que dan paso al aire. El otro extremo remata en una larga y delicada palanca de aluminio, como todas las partes del aparato inscriptor que no exigen otro metal más resistente, cuyos ejes descansan sobre ágatas ó rubíes, y cuya pequeña aguja inscriptora, de vidrio, registra los movimientos del péndulo sobre una banda sin fin de papel ahumado de 90 centímetros de largo, que da una vuelta por hora, al propio tiempo que, gracias á un tor- nillo, avanza 4V2 milímetros durante dicho tiempo. Un cronógrafo levanta las agujas de entrambas componen- kilogramos por 2,300 Mk., ya entonces había péndulos de este sis- tema en Gottingen, Munich, Estrasburgo, Potsdam, Leipzig, Jena, Apia (Samoa), Viena, Budapesth, Upsala, Pribram. También se piensa montar uno en Toledo. (*) Dr. Ehlert: op.cit. S. 376, figura 26. - 768 - tes durante algunos segundos de hora en hora y, por menos tiempo, todos los minutos. Aunque las dimensiones de todo el instrumento, fuera de su masa, sean bastante modestas, pues el robusto arma- rio vidriado que le cobija no mide más de 186 centíme- tros de altura por 176 de longitud y 138 de fondo, se pue- den obtener períodos completos oscilatorios de 15 segun- dos, correspondientes á longitudes pendulares de 56 metros, á lo que se une su considerable aumento de 100 á 300 veces (*). En la reciente Asamblea, primera general Sismológica, ce- lebrada en el Haya á fines de Septiembre del pasado año, tu- vimos ocasión de ver un precioso péndulo astático, también del Profesor Wiechert, y que es una reducción del anterior con algunas modificaciones. Lo construye la acreditada casa de Gótinga Spindler & Hoyer en tres tipos, según sea el peso de su masa, de 80, 125 y 200 kilogramos, con períodos de 4 á 10' en el pequeño modelo y hasta 15^^ en los otros dos y aumentos, de 40, 80 y 160 veces (**). 3.— Péndulos horizontales de registro mecánico. Péndulos de Grablovitz, Omori, Bosch, Hecker, Cancani, Stiattesi, Agamennone, Mainka. Los péndulos horizontales ó cónicos permiten obtener ma- yores períodos oscilatorios que los invertidos é incompara- blemente superiores á los que pudieran proporcionar los (*) E. Wiechert.— £/n asfafischcs Pcndel hiiher Empfindlichkcit Physkalísclies Zeitschrift, 4. J., ni'ini. 28. (**) Precios: 350, 425 y 450 Mk., respectivamente, completos, más 50 Mk. de embalaje y otros 35 Mk. si se desea el aparato para enne- grecer las bandas y fijarlas, según carta de dichos señores, fechada el 10 Octubre 1907. - 769 — verticales (*), sin los graves inconvenientes que esto aca- rrearía, como elevado coste del local, influencia perniciosa dé los vientos, cambios de temperatura, etc. En su reciente obra La Re^istrazione dei terremoti, trae el Doctor Agamennone un ejemplo familiar, que permite hacer- se cargo, con gran facilidad, del modo de funcionar los pén- dulos horizontales. Lo ponemos á continuación, algo acor- tado y cambiado. Figurémonos la puerta de un estante, cuyos goznes tengan poco rozamiento, y tendremos un péndulo horizontal, cuyos puntos de suspensión y de apoyo, ó sea el eje sobre que gira, son sus goznes y la masa la misma puerta. Si el estante está bien nivelado, la puerta permanecerá en la posición en que se la deje. Si, por el contrario, se halla in- clinado hacia adelante, tendrá tendencia á permanecer abier- ta, inclinándose á uno ú otro lado, según se desnivele el mueble lateralmente, sin que acuse desviación si se le inclina tan solo atrás ó adelante. Al agitarlo de un lado á otro, nues- tra puerta-péndulo oscilará á permitírselo sus goznes, y su período oscilatorio será tanto mayor cuando menos inclina- do hacia adelante se halle el estante, á la vez que tendrá tan- ta menor tendencia á tomar su propio período oscilatorio cuanto más largo sea éste y menor su roce. Los péndulos horizontales pueden montarse de varias ma- neras: Una de ellas es la bifiliar de Lord Kelvin, empleada en el péndulo fotográfico de Horace Darwin, que antes había usa- do ya Zollner en sus péndulos existentes en algunas estacio- nes rusas y que el Dr. Mainka también ha adoptado. (*) El sismógrafo más largo hoy existente, parece ser el suspen- dido no ha mucho por el sabio Director del Observatorio de Catania á 50 metros en la torre de una iglesia. Ya en 1753, el Coronel Barón de Grant había montado uno de 311 pies (93 metros), en el Castillo de Saint-Pierre de Vauvrais, cerca de Louviers (Normandía),— P. Cami- lo Melzi d'Eril, B. in Boíl, S. S. I. X. (1904-1905), pág. 181. — T70 — En otra, la masa se suspende por medio de hilos, casi siem- pre metálicos, y en número de dos, de un soporte apropiado, á la vez que, valiéndose de un estribo, dispuesto horizontal- mente, se le obliga á descansar en equilibrio inestable, bien sobre una cavidad cónica ó parabólica, por medio de una punta de acero fijada en el extremo libre del estribo, bien la cavidad labrada en acero, ágata, etc., se halla sujeta en di- cho extremo y la punta en el pie del instrumento, suspensión empleada en los péndulos de Grablovitz, Omori, Milne, Bosch, etc. Finalmente, puede montarse la masa en el vértice de una sólida armazón metálica de forma más ó menos pare- cida á un triángulo isósceles, en el que los puntos de apoyo, convenientemente dispuestos, ocupan los otros dos vér- tices, y descansan también sobre dos puntas, como en los péndulos de von Rebeur, Rebeur-Ehlert, R.-Hecker, Cancani, Stidttesi. Las ventajas principales de los péndulos cónicos estriban en dos puntos: la enorme longitud equivalente que pueden alcanzar, aun haciendo caso omiso de su aumento externo, y la poca tendencia que tienen, si su periodo es suficientemen- te largo, esto es, superior al de las fases 2.'* y 3." de la por- ción principal de los sismos, aún lejanos, y están bien cons- truidos y cuidados, á adquirir su propio período oscilatorio. Cierto es que hoy, con los amortiguadores, se puede con- seguir lo mismo, cualquiera que fuese su período. Lo primero los hace muy sensibles á las desviaciones de la vertical, y lo segundo más propios que los verticales, aún largos, para el estudio de las agitaciones que hayan logrado conmoverlos; en ellos se suele hallar el máximo del movi- miento en plena porción preliminar, y en los cortos, como los Vicentini, casi al principio de los primeros movimientos pre- liminares, aunque su ritmo suela ser muy superior al suyo propio (unos 5' ó poco más, como término medio en Car- tuja). La fórmula que expresa la longitud de un péndulo simple - 771 — Ó vertical, cuyo período oscilatorio fuese igual al de un pén- dulo horizontal, es bien sencilla. Representemos (fig. 1/, B) un triángulo rectángulo, cuyo cateto menor b'e' sea igual á la distancia que existe entre el centro de gravedad de la masa M' y la línea que media en- tre dicho punto y la que une á entrambos puntos de apoyo c'd' en los péndulos Rebeur, Cancani, Stiattesi, ó be (figu- ra 1.", A), distancia entre di- cho centro de la masa M y el punto de apoyo del estri- bo e, en los péndulos Milne, Grablovitz, Omori, etc., y lla- memos a al ángulo que for- ma la línea ec ó c'd', cateto mayor, con la vertical, línea que es prolongación de la que une al punto de apoyo con el de suspensión. ñg'r Este ángulo y., es, prácticamente, igual al sustentado por el cateto menor eb ó e'b', dado que este último se halla ho- rizontal, ó poco menos, y ambos son ángulos alternos-inter- nos entre paralelas. De donde tendremos, llamando L y L' á las longitudes buscadas: L = -*^;¿ = *^ sen a sen a lo que nos da su valor en función inversa de a; así, para a = O L= ce. De aquí se deduce que, en igualdad de circunstancias, y á no mediar alguna otra razón más poderosa en contra, resulta conveniente suspender los péndulos á buena altura y pro- veerlos de estribos, etc., suficientemente largos. — 772 — Sin embargo, esto tiene sus límites, lo mismo que el pe- ríodo, el cual, si se exagera para lo que pueda resistir el pén- dulo (*), éste se transforma en lábil, esto es, carece de la fuerza suficiente para oscilar y volver á su punto de reposo, quedándose desviado á uno ú otro lado. Los péndulos del Profesor Omori, que son los que acos- tumbran á trabajar con períodos más considerables, no suelen pasar de 60% ó poco más, enorme longitud equivalente á un kilómetro, aunque haya construido péndulos capaces de trabajar con 120*-= 3.600 metros (**), y hasta hace poco, con 135% casi 4.500 metros (***). Esas longitudes son hoy irrealizables en los péndulos ver- ticales. Si supusiéramos uno suspendido en la cúspide de la . torre Eiffel y á ésta encima de la mina más profunda exis- tente, en la que se correspondiesen todos los pozos unos de- bajo de otros, apenas pasaríamos de la mitad de la última cifra citada. (*) La longitud del período de un péndulo se halla íntimamente li- gada con el estado de sus puntos de suspensión y de apoyo, así, por ejemplo, en un caso en que empleamos uno de los últimos de acero mal templado y blando, el péndulo que resistía bien períodos de 42^ y aún más sin hacerse lábil, no podía pasar, á los 8 ó 10 meses, de 22.s. Esto es, se había reducido su longitud de 441 á 121 metros. (**) Publicaíions Núm. 5, 1901, pág. 10. (***) Bulletin of the Imperial Eartliquake, I, C, vol. 1, núm. 4.— lokyo August 1907, pág. 192, pl. XLIH. INDICB DE US MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO pAos. XXXII. — Elementos déla teoría de la Elasticidad, por /osé Echegaray. Conferencia sexta 667 XXXIII.— Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia séptima 704 X XXIV,— Función de las fibras centrípetas respiratorias del nervio pneumogástrico, por José Gómez Ocaña.. . 724 XXXV.— Mareómetros y mareógrafos de sifón, por Eduardo Mier y Miara 736 XXXVI.— Estudio acerca de la determinación volumétrica del óxido de carbono, por Enrique Hauser 755 XXXVII. — Estudio comparativo de los instrumentos más usa- dos en Sismología, por Manuel-M.^ S. Navarro iS. n 761 La snbscripción á esta Revista se hace por tomos completos, de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. ^L\.C)9C> ^,.^1 REVISTA DE LA REAL ACADEMIA, DE CIEICI AS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 0£ MADRID TOIS/LG •VI.-3SrXJ3VE. 11. (Mayo de leos.) 1 MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLE DB PONTEJOS, k4m. 8. ieo8 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretarla de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. /*:li6 3 isoa - 773 - XXX VIH.— Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José Echegaray. Conferencia octava. Señores : Obtuvimos en la Conferencia precedente las Ny T en fun- ción de la a, b, que era resolver este problema: determinar las tensiones en función de las deformaciones, porque toda deformación, sea la que fuere, con tal que sea continua y finita, depende de las seis cantidades o,, a.,, a.¿, /?,, ¿7,,, b^\ éstas hacen conocer por las fórmulas en cuestión los valores de N^, N.y, N.¿, Ti, T.,, r.¡, y, por último, toda tensión inte- rior depende de estas seis cantidades. Pero no lo olvidemos; esto supone resuelto el problema general, supone conocidas 11, v, w en función x, y, z, si se trata del equilibrio, y de estas variables y además del tiem- po, si se trata del movimiento. Ahora bien; si dicho problema general estuviera resuelto, para cada punto del cuerpo podríamos determinar las a, b, porque ya sabemos que dependen de las derivadas de primer orden u, v, w en función de x, y, z. Y conocidas a y b para cada punto quedaban conoci- das N, T. * Pero aunque las fórmulas siguientes, (3'), Rev. Acad. Ciencias. — VI. — Mayo, 1908. 49 — 774 - nos expresen las N y las T, es decir, las tensiones en fun- ción lineal de a y b, 6 sea de las deformaciones, en el caso general los coeficientes A, B, C, D serán funciones de x, y, z, y, por lo tanto, distintos para cada punto del cuerpo, si es he- terogéneo; circunstancia que, salvo casos particulares, hace del problema algo superior á los recursos de la ciencia actual. Y por eso decíamos al terminar la última conferencia, que procuraríamos introducir hipótesis que simplificasen la cues- tión. En términos aún más claros, aunque más modestos: que sólo intentaríamos resolver casos particulares, que se refieren á los cuerpos homogéneos, y más concretamente á los cuerpos isótropos, de que ya hablábamos en las confe- rencias del año anterior. En resumen, vamos á dedicar esta conferencia á simplifi- car las fórmulas (3'), ó mejor dicho, sus coeficientes. Para ello, siguiendo la marcha de Mr. Sarrau, que es una de las más sencillas, más claras y más metódicas, vamos á examinar cuatro casos particulares y al fin uno solo, el dé los cuerpos isótropos, porque los tres primeros no hacen más que preparar la solución del último. En realidad, el caso de los cuerpos isótropos es el que tiene más aplicación en la práctica, como que en los cuerpos de la Naturaleza lo más común es que los sistemas elásticos, ó sean homogéneos, ó sean isótropos, ó próximamente lo uno ó lo otro. Los casos que vamos á estudiar son los siguientes: Considerando siempre un punto del cuerpo, supondremos: 1." Que por ese punto pasa un plano de simetría. 2.° Que pasan dos planos de simetría rectangulares. 3." Que pasan tres planos de simetría, formando un trie- dro trirrectángulo. 4" Que el cuerpo sea isótropo en ese punto, y es claro que, si además de ser isótropo en dicho punto es homogé- neo, será totalmente isótropo, sea cual fuere el punto que se • - 775 - elija, y ésta es la mayor y la más práctica de las simplifica- ciones. Y aun así y todo, como ya dijimos el año anterior, no puede llegarse á una solución general. El problema se plantea, se escriben las ecuaciones dife- renciales, de las cuales depende, pero el cálculo integral es impotente hoy para dar una solución absolutamente general. Pasemos, pues, á la simplificación del problema. * * Y, ante todo, establezcamos un principio general, del que haremos aplicación á los casos particulares indicados. Suponemos, para en adelante, mientras no advirtamos otra cosa, que se trata de sólidos elásticos homogéneos, de suerte que, lo que digamos para un punto, se entiende que puede repetirse para todos los demás puntos del sistema. Y el principio á que nos referimos, es el siguiente: Si en un punto de un sistema elástico, las ecuaciones que determinan N^, N.,, N.¿, T, , 7.,, T^, en función a^, a.,, a-¿, b\, b^, b^, son las mismas y tienen, por lo tanto, los mismos coeficientes para dos sistemas de ejes trirrectangulares deter- minados, que tengan dicho punto por origen, entre los coefi- cientes únicos A, B, C, D existirán relaciones que se obtienen fácilmente y que reducen el número de estos coeficientes. Para abreviar la demostración, emplearemos un sistema de notaciones simbólicas, que vamos á explicar. Hemos visto que las seis ecuaciones (3'), determinan las N y T en función de las a y b; pues esto lo expresaremos con una sola ecuación simbólica, en esta forma: (N, T) = L{a,b,A,B, C, D), (1) la cual significa que hay seis ecuaciones, que dan los valores - 776 — . áe N^, N^, N^, Ti, T.,, T^, en función lineal Oj, a.., a.¿, b\y b-i, b.¿, y en que los coeficientes son las letras A, B, C, D, con diferentes subíndices. Supongamos que la ecuación (1) se refiere al primer sis- tema de ejes. Otra ecuación simbólica, análoga á la anterior, expresará otras seis ecuaciones lineales, que determinarán N\, N'^, N'.¿, T\, T'o, T'.¿ en función de a\, a\, a\, b\, b'.,, b'-^ con los mismos coeficientes que la anterior, porque ésta es la hipó- tesis: que las N', T' se expresan del mismo modo en función de las a', b', que las N, T se expi esaban en función de la í7, b. Tendremos, pues, {N\T') = L{a',b',A,B,C,Dy (2) Pero hemos visto que, cuando se cambia de coordenadas rectangulares, las nuevas tensiones se expresan en función de las precedentes, y que otro tanto puede repetirse para las deformaciones. Los valores de las seis cantidades TV', T', que desarrolla- mos en una de las conferencias precedentes en función de las N, T, las expresaremos por la siguiente ecuación simbó- lica análoga á las (1) y (2) {N\ T) = L {N, n (3) en que los coeficientes de los términos lineales en N y T dependerán tan sólo de las constantes que determinan los nuevos ejes con relación á los primitivos; es decir, de los cosenos de los ángulos que forman entre sí unos y otros ejes. Del mismo modo, las nuevas deformaciones elementales a', b', se expresarán en función lineal de las deformaciones - 777 - primitivas a, b y de los coeficientes que determinan ios nue- vos ejes con relación á los primeros. Tendremos, pues, (a, b') = L {a, b). (4) Resumamos, pues, estos cuatro grupos de ecuaciones en que L significa función lineal, y tendremos el sistema (AT, T)^L(a,b,A,B,QD), (1) (N', r) = L{a,b',A,B,C,D\ (2) (TV-, T) = L (N, T), (3) {a',b') = L{a,b). (4) Ahora bien, substituyendo las N', T', tomadas del grupo (3), y las á, b', tomadas asimismo del grupo (4), en el gru- po (2), éste no dependerá más que de N, T, a,b, y de las constantes A,B,C,D, y es claro que debe coincidir con el grupo (1), porque N, T se expresan de una manera única en función de a,b. Si representamos por la ecuación simbólica L {N, T, a, b, A, B, C, D) = O, (5) el grupo de seis ecuaciones que resulten no habrá más que identificar el grupo (5) con el grupo (1), igualando coeficien- te, lo cual nos dará cierto número de relaciones entre A,B,C,D, que es precisamente lo que nos proponiamos de- mostrar, y con esto se habrá reducido el número de los trein- ta y seis coeficientes A,B,C,D (\\\t entraban en el grupo (1). En todo punto del sistema en que se verifique la propie- dad indicada podrá reducirse el número de coeficientes; y sí el sistema es homogéneo y los coeficientes son constantes por lo tanto, la simplificación será valedera para todos los puntos del sólido elástico. — 778 — Hagamos aplicación de este principio á los cuatro casos sencillísimos que antes indicábamos. * * * z' z N, B Primer caso, en que para el punto que se considera hay un plano de simetría. Supongamos (fig. 44) que el plano de las y, z es un pla- no de simetría del sólido elástico, que se considera, y que, por consiguiente, los valores de N ;; T, en funciones de a, b, se ex- presan del mismo modo, y con los mismos coefi- cientes en el sistema de ejes {M, X, y, z) que en — "^ el sistema (M, x', y, z). Apliquemos el prin- cipio que acabamos de explicar. Empecemos por los grupos (3 y 4), es de- cir, por expresar las N', T en función de las N, T; y las a, b' en función de las a, b. Para ello necesitamos determinar los nuevos ejes x',y',z' respecto á los antiguos x,y,z, fijando los valores de los co- senos de los ángulos que forman unos con otros. Formaremos, pues, el siguiente cuadro y y FIyura 44 X «,_-! P,-0 Ti-0, y «,, — 0 [i, = 1 Y, ^ 0, z «3-0 P8 0 y,^ 1, — 779 — en el que los cosenos de los ángulos que forman los ejes de la línea superior x', y', z con los ejes de la línea vertical X, y, z están escritos en el encuentro de las horizontales con las verticales, así como sus valores. En efecto; el eje de las x (fig. 44) forma con el eje de las X un ángulo de 180°; por eso hemos escrito «^ = — 1. El eje de las y' que coincide con el eje de las y, forma un ángulo de 90", y por esta razón hemos puesto p^ = 0. Lo mismo para el eje de las z que coincide con las z : Yi = 0. El eje de las x' forma con el eje de las y un ángulo recto, de suerte que su coseno es cero; por esta razón tenemos a, = 0. El eje de las y' coincide con el eje de las y, su ángulo es cero, y el coseno, 1 ; por esta razón escribimos [i, = 1 . Así hemos obtenido todos los términos del cuadro prece- dente. La primera fórmula del grupo (3), que expresa N( en función de TVi, TV.,, N,., T^, T^, Tg, es la siguiente: N'i = yVi V + A^.i^i--' + A^sTi"^ + 2 ri^Vi-i + 2 T^.Ti ^^1 + 2 r^^iPi, según vimos en una de las conferencias anteriores. Y substituyendo los valores de a, ,3, y, tomados del cuadro anterior, resulta N\ = N,. Haciendo igual substitución en los valores N., N.¿, tendre- mos igualmente, N', = N,, N', = N,. De la misma manera, la ecuación que da T\, en función de Ni, TV.,, N.¿, Ti, T.,, T.¿, es la siguiente: — 780 - y substituyendo en ella los valores de las «, [i, tomados del cuadro fundamental, se reducirá á porque todos los términos, menos T^^-^.^, se reducen á cero, y además, % = 1> Ts = 1- Asimismo, el valor de T'^, en función de las N y T, es el siguiente: Y substituyendo los valores de a, p, y, que da el cuadro anterior, se reduce la ecuación precedente á T' — T porque todos los términos se anulan, menos el término 7'2Y3«u y tenemos, yg = 1 , a^ = — 1 . Lo mismo pudiéramos decir de la expresión que da T\y en función de las N y T, y tendremos: En resumen; el grupo (3), que determinan las N', T' , en función de las N, T, se convierte en el grupo siguiente: T\ = r,, r, = - T,, r'3 = - rj ' Tenemos ahora que tomar el grupo (4) y expresar las de- formaciones principales a, //, en función de las del primer sistema a, b. El cálculo es el mismo, y las simplificaciones, idénticas. Pero es inútil repetir lo ya expuesto, porque de las fór- - 781 - muías desarrolladas en las conferencias anteriores, se dedu- ce, que unas se transforman en otras, poniendo en vez de las N, las a; en vez de las T, las b; asimismo, en vez de N', las a', y en vez de las T', las b'. Como todos los coeficientes son idénticos, las substituciones de «, ,3, y darán el mismo resultado, y tendremos que el grupo (4), aplicado á este caso, se convertirá en 11...» 3 3 l^^^y b\ = b^, b'2 = — ¿2, b'^ = -~b^) Sólo nos falta, aplicando el método que antes explicamos, substituir estos valores en el grupo (3) é identificar las ecua- ciones que resulten con el grupo (1). La primera ecuación que comprende el grupo (3) es la si- guiente: N\ = A,a\ + A,a, -f A^a'^ + B^b\ + B,b', -\- B^b'^; y substituyendo los valores de N\, a\, a'.,, a'-¿, b\, b'^, b\, según resulta de (3i) y (4i), tendremos, Nj = y4fli -f A.,a., + A^a^ + B^b^ — B.b., — B^b.^, Esta ecuación ha de ser idéntica á la primera del gru- po (1), que es ^1 = ^1^1 + ^2«2 + ^303 + 5i¿^i -f- ^i^i + ^3^3; luego será preciso que tengamos: ^2 ==0, ^3 = O, y dicha ecuación se reducirá á ^1 = ^i«x + ^«2 + >43¿73 -f Bfi^\ — 782 - habrán, pues, desaparecido los términos bo, b.^, que eran los que cambiaban de signo, y habrán desaparecido dos coefi- cientes. Para abreviar la escritura, substituiremos á esta ecuación la siguiente forma: Ni = ¿1 (í/j, a.,, a^, b^), entendiéndose que el segundo miembro es una expresión lineal de las cantidades que contiene el paréntesis. Como la forma de N\, y de N'.¿ es exactamente la misma que la de la ecuación que hemos considerado, y como las substituciones son también idénticas, porque ni la N, ni las a, ni by varían, y únicamente cambian de signo las b^, b.¿, ten- dremos otras dos ecuaciones de la misma forma que la últi- ma, y que también podremos escribir abreviadamente de este modo: N2 = ¿2 (a„ «2, flg, ¿?i), . N^ = L^{a^,a^,a^,b^)', entendiéndose que los segundos miembros son funciones lineales de las cantidades que contienen, que son las mismas que en el segundo miembro del valor N^ Es decir, los tres segundos miembros serán funciones linea- les de Oj, ^2, a.¿, pero los coeficientes serán distintos; por eso la letra que caracteriza la función es distinta para las tres fórmulas, á saber: L^, Lg, ¿3. Pasemos ahora á las tres ecuaciones restantes del gru- po (2), que nos dan los valores de las T en función de las a,b'. De estas tres ecuaciones, la primera se encuentra en el mismo caso que las tres ecuaciones que determinan N\, N'.¿, N'-^, porque ni varía T ni a,, a.¿, a¿, b^, y sólo cambian de signo las dos restantes b.^, b.¿. Más claro: el valor de T\, que es lineal, es de esta forma: T\ = C,a\ -h C,a, + C^a^ -\- D,b\-^D,b', + DM^, — 783 - y substituyendo los valores de los grupos (3^), (4^), ten- dremos T^ = Qfli + C,a, + CgíZg + D^b^ - D,b, - D^b^, que identificándola con la ecuación cuarta del grupo (1), que es 7i = Qai + aa, + Cga, + D^b^ + D,b, + D^b^, dará Da = 0, D, = 0; y se reducirá el valor de T^ á Ti = C,a^ + C,a, + CgO, + Dj^i, ó, abreviadamente, á esta otra: Ti = L\ (fli, C2, «3' ^i)- No sucede lo mismo con las dos ecuaciones que nos que- dan, porque ya la T cambia de signo. Si la ecuación del grupo (3) era T'2 - C\a\ -h C\_a', + C^a^ + D\b\ + D',b', -f D',b'^, al substituir los valores de (3i) (4-^), T\ = - To, b', = - b,, b'^ = - b^, tendremos — T^ = C\a^ + C, a, + C'^a, + D\b, — D',b, — D'363, ó, cambiando signos: T,= -C\a^-C',a,-C,a,-D\b,-\-D',b, + D',b,, - 784 - y comparándola con la correspondiente del grupo (1), que es la quinta: T^ = C'ifli + C',a, + C^a^ + D\by + D'.b, -f D\b^, para que sean idénticas, es decir, de idéntica forma, será preciso que los términos que llevan signos contrarios se anu- len; de donde C'i = 0, C'^-O, C'3-a D\-0. Y la ecuación queda reducida á ó, en forma abreviada, n = L\¿{b„b^). Otro tanto podemos decir para la última ecuación, ó sea la que determina Tg, y resultará 7^3 = ^'3 (^2, ¿^3)- En resumen : cuando en un sistema homogéneo existe para cada punto un plano de simetría, con lo cual es claro que por ser el sistema homogéneo, todos los planos de simetría serán paralelos, las ecuaciones que determinan las N y T serán de la forma Ni = Z., (íz„ a,, (7.3, b^), T, = L\ (a,, í/,„ «3, b^), N2 = ¿2 (Oi, 02, «3' ^iX T^ = L'., (¿72, b.^, ^a = ^3 i^v «-'. «3» ^i)> 7^3 ^ ^'3 (^-'. ^3)- Todas estas funciones L son lineales respecto á las a, b: las cuatro primeras tendrán cuatro términos; las dos últimas, dos términos nada más cada una de ellas; de suerte que el - 785 - número de coeficientes será veinte en vez de los treinta y seis primitivos. Para recordar su forma, podemos dar esta regia práctica: Si el plano de simetría corresponde á los dos subíndices 2 y 3, en las ecuaciones que determinan las N entrarán a^, a,» «3 y la ¿1, que corresponde al tercer índice, que aquí será 1; porque los dos subíndices del plano de simetría son 2 y 3. En la ecuación que determina la T^, que es la de este ter- cer subíndice, entrarán las mismas cantidades que en los va- lores de las N, es decir, a^, Oo, a-^, b^. Por último, en T^y T.¿, que corresponden á los dos subín- dices del plano de simetría, sólo entrarán las dos b con estos mismos subíndices: b.^, 63. * * Segundo caso, en que hay dos planos de simetría. Supongamos que los dos planos de simetría son el de las y z, que corresponden á los subíndices 2, 3, y el de las X z, que corresponden á los subíndices 1, 3. Por tener el sistema el primer plano de simetría según hemos visto, los valores áe N y T serán la forma: A^i = ¿1 (í7i, í7,„ «3, b,), T^ =- L\ (í7„ a., «3, b^), N^ = Lo {a^, a.^, a.^, b,), T, =- ¿'o (¿?., 63), ATg = ¿3 (fl„ a,, Os, ¿?i), Tg = ¿'3 (¿72, b.,). Y por tener el segundo plano de simetría, aplicando la regla práctica que hace un momento hemos explicado, debe- rán ser de la forma siguiente: N^ = ¿1 (üi, fl2, ^2' ^2). T^ = L\ (¿>„ 63), No = ¿2 («1, a^_, 03, ¿?2), 7o = L'2 {a^, ÍÍ2, «3, ¿7o), N3 = ¿3 (fli, ¿Í2. ÍÍ37 b^)y T3 = ¿'3 (¿7i, ¿73). — 786 — Como todas estas formas son lineales, la única manera de que los primeros valores áe T y N sean compatibles con los segundos, es que los coeficientes de las letras que no sean comunes se anulen. Por ejemplo: en el primer valor de A^i entra bi; pero no entra en el segundo valor de A^i; luego bi debe desaparecer, y lo mismo podemos decir de b.,, que no entra en el primer valor. Otro ejemplo todavía: en el primer valor de T^, en- tran fli, a,, flg, pero no entra en el segundo valor, que sólo contiene b^, b^; luego a^, a^, a.¿ deben desaparecer de T^, y otro tanto puede decirse de b¿, que entra en el segundo va- lor, pero no en el primero. En suma; para formar los valores de N y T, cuando hay dos planos de simetría, formaremos sistemas lineales que sólo contengan las letras comunes á las dos ecuaciones co- rrespondientes. Y tendremos para dichos valores de N y T, en el caso en que hay dos planos de simetría, y éstos corresponden á los subíndices 2, 3 y 1, 3: iV, = L, {a^, «2, flg), r, = L\ (6i) = hi b„ . N., = L., (flp a., a^), T.> = L'., (b.,) = /?._> b^, N^ = ¿3 (Oi, a.,, ag), Tg =- L'g (b.,) = h^ b.,\ estas ecuaciones son lineales como todas las anteriores. Las tres primeras contienen tres términos con a^, a.,, a^', las tres últimas, uno sólo con cada una de las /?, ; por eso, llamando h^, h^y h.¿ á los coeficientes, les hemos dado la forma que va indicada. El número de coeficientes será, por lo tanto, doce, que á éstos se reducen los treinta y seis de las fórmulas primitivas, para el caso en que hay dos planos de simetría. * * — 787 - Tercer caso, en que hay tres planos de simetría que corres- ponderán á las combinaciones de subíndices 2 . 3; 3 . 1 ; 1 . 2. Por tener dos planos de simetría, 23, 3 1, los valores de TV y r, tendrán la última forma que hemos hallado, á saber: N^ = ¿1 (ap a.„ flg), 7i = h^ ¿?,, N2 = U {a^, a.,, tíg), To = h^ b^, {A) Ns = L¿ (aj, a., a^), T^ = h^ h^. Mas por tener el tercer plano de simetría correspondiente á los subíndices 1 y 2, su forma debe ser A^i = ¿1 (flp a., fls, 63), Tj = L\ (b„ ¿7,), a;., = L, (fli, fl,, flg, b.¿), To = ¿'2 (¿^i, 62), (^') A^3 = ¿3 (fli, fla, «3, ^3). 7^3 = í-'s (^1, ^2, «3. bs). Si el sistema elástico ha de tener tres planos de simetría, será preciso que las fórmulas A, A' sean compatibles, y para ello, basta evidentemente que desaparezcan los términos que no sean comunes á ambas fórmulas, para que resulte una fórmula general compatible con las de los grupos A, A'. Y aquí resulta, que en los valores N^, No, N.¿ del grupo A', deberá desaparecer b.¿; y que en los valores T^, T.,, T. de este grupo A' deberán desaparecer asimismo: de la prime- ra b.y, de la segunda b^ y de la tercera a^, a.,, a.¿. Con lo cual quedan las fórmulas A. En suma; las fórmulas que sirven para el caso de dos pla- nos de simetría, sirven, asimismo, para el de tres planos de simetría del sistema. Estas últimas fórmulas tienen, evidentemente, doce coefi- cientes, á saber: tres para cada uno de los valores N^, N.,, N.¿; además, h^, h^, h¿ para los valores de T. Se han reducido, por lo tanto, á la tercera parte de los 36 coeficientes primitivos. * * * - 788 - Antes de proceder á mayores simplificaciones, conviene fijar las ideas sobre los resultados obtenidos hasta aquí. La simetría de que venimos hablando no es enteramente una simetría geométrica, aunque sí lo sea para la construc- ción del sistema. Esto merece una explicación. Sea, por ejemplo, A, un punto del plano de las y z, y su- pongamos que AB representa la componente TVi. Es claro que su simétrica es A B', pero referida á los nue- vos ejes X y' z', ó bien, x, y, z, porque los dos últimos no cambian. Aun así, choca la igualdad que hemos obtenido, porque la dirección de N\ es la del eje negativo de las x, y parece á primera vista que debía te- ner signo contrario. Mas obsérvese que hay una hipótesis fundamental en los ejes primitivos, y que subsiste en la transformación de ejes, á saber: que las N y T se calculan determinando la acción de la región positiva sobre la negativa, y como la x' ha cam- biado de dirección, la N\ -= AB' representa la acción de la parte negativa de los antiguos ejes sobre la positiva; luego AB cambia, por decirlo así, dos veces de signo: por actuar en el sentido de las x' negativa debía llevar el signo — , pero por expresar la acción de la parte negativa sobre la positiva debe cambiar de signo otra vez, y en valor numérico y en signo queda por fin igual á N^. Aplicando estas consideraciones á 7^, por ejemplo, se ex- plica el cambio de signo de esta componente, y por qué el cálculo nos ha dado T' — T En efecto; la T^, era AC; en el nuevo sistema de ejes, T\ es A C, porque no representa ya la acción de la región po- — 789 — sitiva primitiva sobre la negativa, sino la de ésta sobre aqué- lla, por el cambio de dirección de las x. T'^, en el nuevo sis- tema, tendrá el mismo valor numérico que r,>, pero signo contrario, como se ven en la figura. De aqui la ecuación precedente. Estas consideraciones nos hubieran bastado, sin necesidad de cálculo ninguno, para establecer en el caso de un plano de simetría, * * * Otra observación todavía. Obtuvimos antes un resultado notable, á saber: que si el sistema tenía dos planos de simetría rectangulares, tenía otro más, rectangular con los primeros. Si se tratara de un problema de Geometría pura, esto se- ría completamente falso. En el caso presente, el cálculo de- muestra su exactitud, puesto que la hipótesis de tres planos de simetría conduce á la misma forma que el de dos. También pudiera preverse esto y de una manera sencilla. Si el plano de simetría es el de yz, no cambia de signo 7"i y cambian T^y T.¿, así Si es plano de simetría además, el de las xz no cambia T\ y cambian las otras dos. De modo que r\ = ~~T\ = - T,, r\_ = r,, = - t,, T" T' T . ■'3 — '3 ■'3> ff Rev. Acad. de Ciencias. — VI.— Mayo, 190S. 50 — 790 — pero r\ = — T,, 7", = - n , T", = T., corresponde al caso en que el plano de simetría es el de las xy. De todas maneras, para no alargar estas discusiones, no insistiremos sobre dicha observación. Pasemos ahora á la simplificación definitiva, es decir, vea- mos á qué formas quedan reducidos los valores de las N y T, cuando el sistema elástico es homogéneo é isótropo. * * * Cuarto caso. Suponemos que el sistema es, como queda dicho, homogéneo é isótropo. ' Por el pronto, si el sistema es homogéneo y es isótropo en un punto, será isótropo en todos los puntos. Suponemos, además, que en el punto M es completamen- te isótropo, es decir, que tiene la misma constitución física, todo alrededor de M. Analíticamente esto se expresa diciendo: que si para un sistema de ejes trirrectangulares, cuyo origen sea M, las N y las r tienen expresiones lineales con determinados coeficien- tes en función de las a, b, para otro sistema cualquiera de ejes trirrectangulares, los coeficientes serán los mismos. No hay, pues, más que cambiar de coordenadas é identi- ficar las nuevas fórmulas con las primitivas para todos los valores de las constantes, que determinan los nuevos ejes, respecto á los primeros. Pero podemos simplificar el cálculo, puesto que si el sis- tema es isótropo, tendrá evidentemente tres planos de sime- tría; de suerte que no debemos tomar los valores generales de las N y T, sino que podemos partir de los valores simpli- _ 791 - ficados (A) que hemos obtenido hace un momento, y que co- rresponden al caso en que el sólido elástico es simétrico res- pecto á tres planos rectangulares. Partamos, pues, de estas fórmulas, que abreviadamente es- cribiremos: N^ = ¿1 (íZi, fl,, 03), Ti = h^b^, N2 = Li (fli, a.,, fljj), T2 = ho b.2 , ÍV3 = Z.3 (ííp a., tío), 7, = /Zg 63, en que ¿ significa una función lineal, según hemos dicho hace un momento. Las fórmulas que dan los valores de N y T para el caso en que el sólido sea completamente isótropo, deben estar evi- dentemente contenidas en las anteriores. Claro es que si el cuerpo es isótropo y cambiamos de ejes coordenados rectangulares, conservando, desde luego, el mismo origen M, la forma no deberá cambiar. Pues sometamos los ejes x, y, z á una substitución cir- cular X, y, z y, z, X Es decir, que al eje de las x substituímos el eje de las y, que será la nueva x' ; á y substituiremos el eje z, que lla- maremos y'; y á z substituiremos x, que será el nuevo eje z'. En este caso, es evidente que las N y las T sufrirán una substitución circular: lo que antes era N^, será TV.,, y así su- cesivamente, y lo mismo para las T, de modo que tendre- mos para las N y T: N, N, N, N, N, N, Ti T, T, T, 7, T^ — 792 - Otro tanto podremos repetir para las a y b: es decir, fl, a~2 O;! a. 2 a., «1 ¿>, b, b, ¿7, bs by Y siempre las fórmulas deberán quedar las mismas que en el primer sistema de ejes. Apliquemos este principio. Los valores de A^i, N._,, N^, desarrollados, serán: N. = A\ a, -f A\y a. + A\ a.¿, N, = A'\a, + A",a,^A",a,. Si á la primera fórmula aplicamos las substituciones circu- lares de las TV y las a, tendremos ^2 = A^a.j -\- Aoa.¿ -\- A.¿ay Pero esta fórmula debe coincidir con la segunda del grupo anterior, que da el valor N.,, luego deberemos igualar los coeficientes, y tendremos las relaciones con lo cual, los coeficientes de la segunda, se reducen á los de la primera, y tendremos Aplicando á ésta las mismas substituciones circulares de las N y a, pasaremos del eje de las y al eje de la z, de modo que Pero como el cuerpo es isótropo, y este cambio de ejes no - 793 — varía, ni los valores, ni la forma de estos valores, la última ecuación debe coincidir con la tercera del grupo anterior; es decir, que N^ = A,a.,'\-A.,a^-^A.,a,^ y N, = A'\a,-^A",a, + A",a, deben ser idénticas, para lo cual es preciso que los coefi- cientes de «1, a^, a¿, sean iguales, y tendremos las rela- ciones, De este modo, todavía habremos reducido los tres últimos coeficientes á los de la primera, y el valor de N.¿ se expresa- rá así: Ns==A^a,,-{'A.¿a^-{-A.,a2. En resumen: las tres fórmulas primeras se expresan de este modo, en función de tres coeficientes ^4^, A^, A.¿, N2 = A^a2-\-A2as-\-A■,a^, Pasemos ahora á los valores de T, aplicando las mismas substituciones circulares. Si á Ti = fi,b„ le aplicamos la substitución de las T y b, puesto que no en- tra a, tendremos T¿ = hib,, que ha de ser idéntica á T2 = hob,, ~ 794 - de donde h^ = ho. Aplicando á las mismas substituciones, resulta Tz = /?2 h, que ha de coincidir con T, = h,b,; de modo que y como antes decíamos, hi = /?..., se obtendrá por fin Resulta en definitiva, T^^=hb^, T, = hb.,, T¿ = hbs, siendo h una constante única, igual á h^, h2, h.^. En resumen: por virtud de esta simplificación, fundada en la isotropía del sistema, tendremos para Ny Tías fórmu- las siguientes en que ya no entran más que cuatro constan- tes, A^, A2, A.,,, y h. TV, = A^a^ + A.¿a, + A.,a.,, T, = hb^, N, = A^a,,-{-A^a^-YA.,a^, T^ = hb^, ^3 " ^i«3 + 4«i + ^3«2. T, = hb.,. Fundándonos siempre en la isotropía del sistema, que apli- camos por grados para simplificar los cálculos, aunque hu- - 795 — biéramos podido aplicarla de una vez, y dejando el mismo el eje de las x, cambiemos los ejes de las y y z, uno en otro. Claro es que cambiando los ejes y, z, uno por otro, lo que antes era a.,, será ahora a<,, y recíprocamente, porque cada dilatación acompaña á su eje, no hace más que cambiar de nombre; en rigor, tendríamos, acentuando las nuevas dilata- ciones, a'o = a-j, y a' i = cti, de suerte, que la primera fór- mula, que debe conservar la misma forma, sería, N\ = k,a,+A,a, + A,a„ y substituyendo tendríamos Para que esta fórmula sea idéntica á la primitiva, Ni---A,a,-\-A,a,i-A;a.,, lo cual es preciso; porque el valor de A^^ debe ser siempre el mismo y debe estar expresado del mismo modo por a^, a.,, a-^, deberemos establecer la condición /lo = /I3, con lo cual disminuímos un coeficiente y reducimos el valor de Ni á N^=A^a^^ A.a.^ A^a.¿, ó bien N^ = A^Gj^ + A, (í7, 4- ag), que también puede ponerse, agregando y restando AoQj^, bajo la forma N^ = A, (a^ + «2 + «3) -^{A^ — A 3) «1. — 796 - Introduzcamos esta simplificación en el valor de N.,» Y ten dremos N. = Aya. + A2a.. + ^4,01, y agregando y restando A 2, a.,, N.2 = {Ay — A,) a., + A2 (a y + a^ 4- o»). Del mismo modo, introduciendo en el valor de A^3 la con- dición A2 = A.¿, tendremos que N._, = A,a.¿-tA2a, ^ A^.a, se convertirá en Ns = A,a,-\-A2{a, + a.2), y sumando y restando A2 a.¿, Ns = {A, -A2)a,^A., {a, + a. + ^3). Resulta de lo expuesto que los valores Ni,N2,N-.,Ty, T,, T^, haciendo para simplificar, y según la costumbre, Ai — A2 = 2ix, A2 = \ tomarán la forma N2 = >^ («1 + 0-2 + «3) 4- 2aa2, T., = hb2, Ns = 'f^{a,-}-a2-\-a.¿) + 2ix.a.¿, T., = hb,, que son siempre funciones lineales de la a y ft; pero que en vez de los 36 coeficientes primitivos, sólo contienen tres coeficientes distintos. Todavía vamos á reducir estos tres á dos tan sólo, par- tiendo siempre de la hipótesis de que el sólido elástico es — 797 — isótropo, y apurando, por decirlo de esta manera, dicho ca- rácter. A este fin, cambiaremos de ejes rectangulares, aplicando las fórmulas de transformación. Llamando a^, ,3^, v^ á los cosenos de los ángulos que forma el nuevo eje de las x' con los ejes primitivos x,y,z y N\ á la componente de la tensión paralela á dicho eje x', expresa- remos el valor de N^ en función de las componentes primi- tivas y de las constantes a^, ,3i, y^ por la fórmula siguiente, que ya obtuvimos en una de las anteriores conferencias: Asimismo, la dilatación paralela al eje de las x', por vir- tud de la transformación de ejes, y según demostramos en otra conferencia, se expresará por la fórmula siguiente: a\ = a^a,^ + fl,,V + «sTi' + 2b,?,y, + 2boyiCti + 2b,a,?y Y no tomamos más que estas dos fórmulas, porque son las únicas que necesitamos para la simplificación que nos proponemos hacer. El principio de esta simplificación es el siguiente: Por ser el sólido isótropo, la expresión que da el valor de N\ debe tener exactamente la misma forma en los nuevos ejes que Ni tenía en los primitivos, sean cuales fueren estos nuevos ejes; es decir, independientemente de los valores de «1, K Ti- Todo está reducido á substituir en el valor de N\ los va- lores de N^, N., N3, Ti, To, T^, y de establecer las condicio- nes necesarias para que N\ se reduzca á la forma N^. Tendremos, pues: N\ = [lia, + «2 + «3) + 2i^ai] resultará Hemos demostrado que «i + a, + «3 es la dilatación cú- bica, cantidad constante para todos los sistemas rectangula- res de ejes, es decir, que Í7i + «2 + ÍÍ3 = íi'l + o', + fl'3, de suerte que el valor de N\ tomará la forma 7V'i=X(a'i-ffl'2+a'3)4-/?a',4-(2ix-/7)(ai«/^+a2,3i^+fl3TrO- Para que N\ tenga la misma forma y los mismos coefi- cientes que Ni, es decir, N\ = L{a\^a\_-\-a':^-\-ha\, es preciso que sean cuales fueren a^, ,3i y y^ la última parte — 799 - del segundo miembro sea cero, de suerte, que deberemos tener 2a — /z = 0 ó h = 2)x. Resulta, pues, que los valores de las N y T,en el caso de que el cuerpo sea isótropo, toman la forma definitiva Ni = 'L (oj + a, + flg) + 2|j.í7i, iV, = A («1 + Qo + flg) + 2^a.2, Ns = >v (fli 4- a., + fla) + 2iAfl3, Tg = 2[x¿?2> Ta = 2[x¿)3, en que no entran más que dos constantes /, [a. Estas fórmulas son las mismas que obtuvimos en el curso precedente aplicando el método de Cauchy, y aún redujimos ambas constantes á una sola; pero como no todos los auto- res aceptan esta última simplificación, nos atendremos á la opinión más general, adoptando definitivamente las fórmulas que preceden. Si recordamos la significación de las a, b, cuyos valores eran estos, da dv dw dx ' dy ' dz 2\dy dz) 2\dz dxj ' 2\dx dy I . representando los tres primeros las dilataciones principales y los tres últimos los deslizamientos, tendremos para N y T en función de las deformaciones las seis fórmulas clásicas, - 800 — W.= x(^ + -^ + ^U2;.''" dx dy dz / dx \ dx dy dz / dy .. . . dii , dv , dw \ . ^ du T — í i^ 4- -^ dy dz „ / du , dw 7^2 = \^{ -r- + dx dy dz / dz T ( ^^ dz dx du 4- dy Los tres primeros aún pueden escribirse en forma más sencilla, recordando que la dilatación cúbica Q la hemos ex- presado de este modo: , du dv dw u = ) 1 > dx dy dz y los valores de N pondrá escribirse en la siguiente forma: Ar^ = X0 + 2(x ^" dx dv No = ^^ + 2,>. ' ' dy N3 = xe + 2í..-^ . dz Los valores de T serán siempre ™ í dw . dv \ „ / du . dw \ ^ / dv . du \ dx dy - 801 - Queda, pues, resuelto el tercero de los problemas cuyo conjunto constituye el método de Lame y sus análogos, á saber: Expresión de las componentes N, 7 de las tensiones, en función de las deformaciones u, v, w. En la conferencia próxima estudiaremos el cuarto de los problemas que ya hemos enumerado, á saber: Ecuaciones de equilibrio de un elemento cualquiera del sóli- do elástico; y además, si éste está limitado por superficies, condiciones de equilibrio de un punto cualquiera de éstas. Claro es, por los principios de la mecánica, que el proble- ma del movimiento de un sistema elástico se reduce al del equilibrio, contando entre las fuerzas exteriores las fuerzas de inercia. XXXIX.— Nuevos tiiberáceos de España. Por B. Lázaro é Ibiza. Las investigaciones realizadas en los últimos tiempos, han ampliado considerablemente el número de las especies com- probadas que en nuestro país representan la dilatada serie de los hongos, sin que tales avances hagan suponer que este- mos cerca de considerar ultimado el catálogo de nuestra flora micológica, mucho más rica, sin duda, que lo que, por la situación y clima generalmente seco, se pudo suponer hace algunos años. Lo hecho hasta hoy sirve para fundamentar la creencia de que las plantas de éste y de otros grupos de la criptogamia abundan más de lo que los antiguos creyeron; pero queda aún mucha labor, tanto en el terreno de la observación y - 802 — comprobación de las especies, como en el de la determina- ción de las áreas y en el reconocimiento de las formas ca- racterísticas y endémicas de la península, pues aun siendo especies muy difundidas la mayoría de las plantas inferiores, no todas ellas tienen esta condición, y es de suponer que país de flora tan rica como el nuestro ha de contener no po- cas criptógamas endémicas. Pensando así, había fijado alguna vez mi atención en el grupo de los hongos tuberáceos, los que, por ser de difusión difícil y por hallarse entre los menos llamativos y vistosos de estos organismos, reunían á todas las condiciones de in- terés que en los hongos concurren, la probabilidad de ser los menos conocidos entre los macroscópicos, y por consiguiente, de ofrecernos posible y aun probable novedad en su estudio. Pero pensé también que, no siendo estos hongos de fácil hallazgo sino en localidades muy conocidas y en las que se recogen todos los años en condiciones y estaciones determi- nadas, la investigación exclusivamente personal, por activa que fuese, había de dar resultados escasos, aun tratándose de otoños é inviernos tan favorables á la producción trufera, como lo han sido los últimamente transcurridos, por la abun- dancia y continuidad de las lluvias. Cierto es que, efecto de estas condiciones favorables, du- rante todo el invierno último han abundado tanto estos hon- gos en los mercados de Madrid, que rara vez los he visto en mayor cantidad y frecuencia; pero los hongos vienen al mer- cado desprovistos de una porción de datos, entre ellos, de la clase de terrenos en que viven, de indicación de localidad y de toda noticia acerca de las plantas que los producen, y las referencias que los vendedores suministran respecto de las localidades de origen, merecen, en general, poco crédito, porque el interés comercial mueve á los proveedores á la ocultación de estas noticias ó á darlas trocadas para evitar posibles competencias. Ocurrióseme entonces dirigirme á las personas indicadas - 803 - por su profesión ó por sus aficiones naturalistas, solicitan- do de ellas datos y ejemplares que pudieran servir de prime- ra materia para mi estudio, y este llamamiento fué tenido en cuenta por buen número de personalidades, especialmente farmacéuticos, en la medida que puede verse al indicar las localidades correspondientes á cada uno de los hongos que son objeto de este trabajo. Justo es que consigne aquí mi personal gratitud á quienes han demostrado interés por este asunto, enviándome para su determinación y estudio ejem- plares convenientemente embalados, datos curiosos sobre los yacimientos locales, y algunos de ellos han tenido la feliz idea de enviarme muestras de las plantas consideradas como truferas en cada una de las localidades. No corresponden los datos reunidos á todas las comarcas españolas, sino muy especialmente á ambas Castillas, Ex- tremadura y alguna localidad de Aragón y de Andalucía. De la provincia de Madrid, el comercio me las ha procurado de Colmenar Viejo, El Molar, Sierra de Guadarrama y Aran- juez; de Méntrida me las ha enviado D. Sergio García; de Chapinería, mi discípulo Sr. Panadero; de la Póveda, el señor Más y Guindal, y de Valdemorillo, D. Pedro Pérez Peinado; de la provincia de Ciudad Real me han procurado variada y abundante recolección, procedente de las cercanías de la ca- pital, de Corral de Calatrava y de Puertollano, el ilustrado profesor de Historia Natural de aquel Instituto, D. Antonio Martínez y Fernandez Castillo, así como D. Federico Nava- rro, farmacéutico de Calzada de Calatrava; de la de Toledo, los he recibido de Huerta de Valderrábanos, remitidos por D. Gustavo López y García, y de Santa Cruz del Retamar, por el médico titular de Torre de Esteban Hambrán, D. Juan Alvarez Rico. También me los ha procurado, de las cer- canías de Guadalajara, el ya referido Sr. Más y Guindal. De Extremadura me han remitido ejemplares mi compañe- ro de profesorado el Sr. Rivas Mateos, recolectados en diver- sas localidades de ambas provincias extremeñas; de Villa- - 804 - nueva del Fresno, D. Emilio Duran y Redondo; de Alcuescar (Cáceres), el catedrático de Córdoba y conocido geólogo Sr. Hernández Pacheco, y de las cercanías de Badajoz, los distinguidos profesores de aquel Instituto, D. José Hernández y Alvarez y D. Ramón M. Mendaña. De Andalucía sólo he podido obtener ejemplares de una especie, procedente de Córdoba, por mediación de los Sres. Rodríguez y López Neyra, y de Granada y Loja, por el Sr. Diez y Torrosa. De la provincia de Albacete me ha favorecido con un envío de Río Cabriel, el Sr. Martínez de Pisón, conde de Villafranqueza. De Castilla la Vieja y León he recibido algunos ejempla- res, de Olmedo y de Tornadizos (Avila), remitidos por don Daniel Gutiérrez Martín; de Corrales (Zamora), por D. Vi- cente Fernández Alonso; de Villavieja (Salamanca), por don José Fernández; de Gata y Galache, y de Arévalo (Avila), los que me ha hecho enviar mi comprofesor Sr. Gómez Pamo. De Aragón he recibido dos envíos de esta clase de hongos, prodecentes de Monegrillo, uno de D. Félix Lecea y otro de D. Miguel Antonio Faci, farmacéuticos ambos en Zaragoza, y un ejemplar de Magallón, en la misma provincia, remitido por D. Agustín Albera y Portóles. Los ejemplares que he podido estudiar, se refieren, pues, muy principalmente á la región central y á las estaciones de fin de invierno y primavera; pero dentro de estas limitaciones, no carecen de interés y me han confirmado en la opinión de que teníamos en este punto especies mal conocidas cuyo des- linde es conveniente y necesario. Seguramente que la pro- secución de estos estudios ha de darnos á conocer mayores novedades, pero, procediendo por partes y no aplazando toda publicidad para la fecha, acaso remota, en que pueda creerse que los tuberáceos de España están suficientemente estudiados, he creído que pudiera tener algún interés la pu- blicación de los resultados ya obtenidos en esta primera cam- paña de investigación. - 805 — No son muchos, ni prolijos, los datos que sobre los tube- ráceos españoles hallamos en publicaciones anteriores. En la Flora criptogámica de la península Ibérica, de D. Mariano del Amo y Mora (Granada, 1870, páginas 570 á 572), se mencionan el Tiiber moschatiini, Bull., el T.albidiini Coes, y T. cibarium Bull, que en unión del Elaphoniyces cervinum Nees, constituyen todo lo que en dicha obra se indica de tu- beráceos de nuestro país, sin que se mencione ninguna loca- lidad española determinada de ninguna de estas especies. Es, pues, una indicación harto vaga. En la Enuniet ación y revisión de las plantas de la penínsu- la Hispanolusitana, del Sr. Colmeiro (tomo V, páginas 677 y 678, Madrid, 1889), aparecen mencionadas cuatro espe- cies de tuberáceos peninsulares, pero no son exactamente las mismas cuatro anteriores, pues no se indica el Tuber mos- chatum, y sí la Terfezia Leonis Tul. Del Tuber cibarium, aparecen mencionadas en esta obra varias localidades, y se hacen, además, otras referencias de regiones geográficas, sin concretar las localidades; más de todo ello se deduce un área extensa que sólo excluye las provincias del Norte y Noroes- te de la península. El Tuber albidum tan solo se indica de «Andalucía cerca de Lujar y otras partes» (Rojas Clemente), y hasta se indica un nombre vasco (Grisolac) como pertene- ciente á esta especie, que no parece verosímil que exista en las provincias vascongadas (*). En cuanto al Elaphomyces cervi- (*) El Sr. Aranzadi en sus Setas y hongos del país vasco (1897), no hace tampoco mención de tuberáceo alguno, ni conozco ninguna indicación referente á la existencia de estos hongos en dicha comar- ca por lo que este nombre vulgar, referido al Tuber albidum, es inexplicable. Acaso se refiere á las trufas todas y no á esta especie de un modo determinado. Rev. Acad. de Ciencias.— VI. — Mayo, iqoS. Si - 806 - num, sólo aparece citado en una localidad aragonesa, Villar- luengo (Xarne), en Soria (Cutanda), y en Andalucía (Colmei- ro), sin concretar localidad. De la Terfezia Leonis, sólo se puede ver transcrita la mención del Alemtejo (Portugal), don- de la indicó Welwitsch. Dejando aparte la cuestión del Tiibcr cibarium y la de su posible identificación con alguna otra especie, cuestión que me propongo dilucidar, pero no en este trabajo, y la del Ela- phomyces, de que tampoco me propongo ocuparme ahora, pues lo que yo he podido observar en esta campaña respec- to de esta especie es aún muy poco, sí diré que el Tiiber al- bidiim no es entre nosotros tan raro como podría creerse por esta escasez de noticias, y puedo adicionar algunas localida- des á las escasísimas que de él se han mencionado hasta hoy en nuestro suelo. En los envíos con que me he visto favorecido en los me- ses de Marzo y Abril del año corriente, he hallado el Tiiber albidiim en los procedentes de las cercanías de Ciudad Real (Martínez y F. Castillo); Méntrida, donde es conocido con la denominación de criadilla negrilla (S. García); Huerta de .Valderrábanos (Toledo), donde le denominan morillos (Ló- pez y García); Valdemorillo (Pérez Peinado), en cuya loca- lidad le dan el nombre de criadilla de jara, y Monegrillo (Zaragoza), de donde me le remitió el Sr. Lecea, datos que amplían considerablemente lo que, respecto de la existencia de esta especie, en nuestro país se conocía hasta el pre- sente. Pero los resultados más interesantes son los referentes á las especies que creo nuevas, por diferir de cuantos tipos es- pecíficos se conocen en Francia, Italia y África septentrional y que duplican el número de especies de tuberáceos españo- les, aunque seguramente vivirán en nuestro suelo algunos más que aún no hemos tenido ocasión de observar y que habrán de revelarse por los estudios ulteriores que se reali- cen en otras comarcas y en la estación otoñal. - 807 - " Cuatro son las especies nuevas que vamos á denominar y caracterizar. De ellas, tres pertenecen al género Tuber, y una, ai Terfezia. II Tuber pallidum, nov. sp. Peridios tuberiformes, de dos á cuatro centímetros de diá- metro horizontal, por dos á tres de altura, de forma gene- ralmente elipsoidea con la altura menor que el diámetro, fre- cuentemente irregulares é insimétricos por desarrollarse más un lado que otro, ó por presentar prolongaciones laterales, alguna vez casi esferoideos y no pocas algo apiculados en la base por donde se une á las raíces de las plantas turmales. Sus variaciones morfológicas pueden verse en las figuras correspondientes de las láminas I y III. Superficie blanqueci- na sucia, como de pardo muy diluido y con leve matiz rosá- ceo, mate, desigual, sin papilas, frecuentemente surcada por alguna grieta profunda, por la que asoman el tejido interno blanquecino ó amarillento. Carne casi blanca al principio, que se va agrisando más á medida que avanza la maduración de las aseas, pero no de un modo homogéneo, sino dibujándose zonas grisáceas irre- gularmente mezcladas con algunas otras más estrechas y de color amarillento pálido (lámina III, figuras 29 y 28). Su sa- bor es grato, pero no es nunca muy marcado, ni tiene carác- ter definido. El olor nulo en los peridios jóvenes y bastante acentuado en los ya maduros, de los que se desprende un aroma particular que recuerda el de las chufas en remojo, pero más mtenso que el de éstas. Las aseas son ovoideas irregulares y pueden contener ocho esporas, rara vez menos. Estas son casi esféricas, grisáceas, tienen la exospora equinulada, siendo las espinitas agudas. - 808 — espaciadas y de una longitud que iguala á la del radio de las esporas. En varias de las localidades que menciono es conocida esta especie con el nombre de criadilla blanca, nombre que se acomoda bien á su coloración. No son pocas las localidades que puedo citar del Tuber pallidiim, pues le he hallado en una gran parte de los envíos de esta primavera. De la provincia de Ciudad Real recibí una abundante remesa de criadillas, procedentes de Calzada de Calatrava, remitida por D. Federico Navarro, farmacéuti- co de dicha localidad, las cuales resultaron pertenecientes á esta nueva especie, igualmente que los enviados por el señor Martínez y Fernández Castillo, de Corral de Calatrava, Ci- ruela, La Puebla y cercanías de Ciudad Real. De la provincia de Madrid, los hallé en los mercados de Madrid, procedentes de El Molar; en los enviados de Mén- trida por D. Sergio García; de Chapinería, del Sr. Panadero, y de Valdemorillo, del Sr. Pérez Peinado. De Castilla la Vieja y de las provincias leonesas, única- mente me han remitido ejemplares de Arévalo (Avila), por mediación del Sr. Gómez Pamo; de Tornadizos (Avila) y de Olmedo (Valladolid), el Sr. Gutiérrez Martín; de Corrales (Zamora), el Sr. Fernández Alonso, y de Villavieja (Salaman- ca), el Sr. Fernández Gata. También de Río Cabriel, en la provincia de Albacete, en un envío de D. Manuel Martínez de Pisón, conde de Villa- franqueza, he hallado algún ejemplar de esta especie. A juzgar por estos datos, su área debe extenderse por lo menos á las dos Castillas, ó acaso á toda la zona central. El dato de la provincia de Albacete hace posible una ampliación hacia las provincias meridionales. El Tuber pallidiim corresponde á la sección de los que tienen las esporas equinuladas y la superficie del peridio ca- rente de berrugas, papilas, placas y de cualquier otra clase de relieve característico, pero difiere suficientemente de to- - 809 - das las otras especies que dentro del género presentan estos mismos caracteres. Es de mayor tamaño que el Tiibet rufum Pico, sin anfractuosidades, ni zonas tomentosas; no es rojizo, ni en su superficie ni en su carne; sus esporas no son elip- soideas y su número pas:i de cuatro en cada teca , y la lon- gitud de las espinitas de su exospora es muchísimo mayor, relativamente. Del Tiiber nitidum Vitt, difiere también por su tamaño mucho mayor y por no ser umbilicado en la base, por su coloración interna y externa y por la forma esferoidea de sus esporas y por las espinillas de la exospora, que, aun- que mayores en el T. nitidum que en el rufum, son propor- cionamente más cortas que en el Tuber pallidum. Del Tuber panniferum Tul , también difiere éste por carecer de los fila- mentos bisoideos parduscos que acompañan á los peridios y por carecer de depresión, ó fosa umbilical, en su base, aun cuando se aproxime más á él que al rufum y al nitidum por los caracteres de las esporas. Por último, el Tuber pallidum parece ser parásito de la Tuberaria variabilis, carácter que la separa de todas las otras especies de la sección con las que la hemos comparado. III Tuber lutescens, nov. sp. Peridios en forma de masas tuberosas, redondeadas ó es- feroideas, irregulares, de tres á cinco centímetros de diáme- tro, con la superficie como abollada ú ondeada, casi mame- lonada, poco ó nada apiculada en la base, con algunas, aun- que pocas, hendiduras, profundas y con la tierra tan adheri- da en ésta, que no se desprende totalmente aun repitiendo los lavados. (Véanse las láminas I, figuras 5 á 8, y la III, figu- ras 29 y 30.) La superficie no presenta papilas ni reticulacio- nes: es de color pardo amarillento muy pálido, que reprodu- — 810 — ce bastante fielmente el de ios tubérculos nuevos de la pata- ta, ocráceo claro en las depresiones ó abolladuras que se forman entre las porciones salientes. La sección (lámina III, fig. 31 ) muestra la carne blanca y amorfa al principio, grisáceo obscura en su conjunto, formada por vetas grises claras, cuya porción interior es bastante obs- cura y separadas por líneas estrechas de color y traslucen- cia céreos. La capa peridial es muy delgada, de 0,25 á 0,50 milímetros, de igual color que la superficie externa, igual- mente que las venas delgadísimas que, correspondiendo á la sección de los tabiques, atraviesan las masas del tejido espo- rífero que forman casi toda la superficie del corte. Son éstas lobuladas, con el contorno sinuoso y con circunvoluciones muy abundantes y separadas por tenues tabiques; la colora- ción de este tejido esporífero es gris ceniza, que se obscurece algo en la madurez. Aseas elipsoideas irregulares, con la pared delgadísima, con- teniendo generalmente ocho esporas. Estas son esferoideas, equinadas, con las espinillas menores que el radio de la es- pora, pero no cortas relativamente. El sabor y el olor de estas criadillas son muy débiles, casi nulos, y no recuerdan ningún olor ni sabor determinado con quien compararlas. En la madurez desprenden un aroma pe- sado y mal definido. El único nombre vulgar que ha llegado á mi noticia es el de criadillas blanquillas. El Tiiber lufescens debe ser menos frecuente que el an- terior, á juzgar por las localidades en que puedo mencionar- le, varias de las cuales son comunes á esta especie y á la an- terior. En los mercados de Madrid hállase esta especie, pro- cedente de Colmenar Viejo (Madrid); he hallado algún ejemplar de esta especie en el envío del Sr. Panadero, de Chapinería (Madrid), así como en los del Sr. Martínez y Fernández Castillo, de Puertollano y Corral de Calatrava (Ciudad Real). Su área actualmente conocida corresponde á la región central, aunque como casi todos los datos que — 811 — he podido observar se refieren á ésta, nada se opone á la pro- babilidad de que existan también en otras. Parece ser que durante varios años se han recogido en el Jardín Botánico, de Madrid, algunas criadillas, según dato que me ha comunicado el Sr. Aterido, jardinero mayor del esta- blecimiento; pero debe haberse extinguido en dicha localidad, pues hace años que no se ha recogido ninguna, ni aun en la última primavera, que tan favorable ha sido á esta produc- ción. El Sr. Aterido, examinando los tipos de las especies que existen en el laboratorio de Botánica de la Facultad de Farmacia, se inclinó á creer que los ejemplares que aparecían en el Botánico correspondían á la especie Tiiber lutescens. El Tiiber lutescens presenta diferencias bien marcadas con los demás pertenecientes á su sección. Difiere del pallidiini por su forma y por las marcadas ondulaciones de su super- ficie, por su coloración exterior amarillenta pálida, y sobre todo, por su sección, que muestra en el tejido esporífero un dibujo característico, que en ningún caso presenta esta úl- tima especie. Del Tuber rufum y del nitidiim difiere por la forma de las esporas y carácter de las espinitas de la exospora, y por la forma y mayor tamaño de- su peridio que no es deprimido ni elipsoidso como en estas dos especies, sino esferoideo, aun- que irregular, pues sus tres dimensiones no difieren sensible- mente; carece de anfractuosidades y no es umbilicado; la colo- ración no presenta tonos leonados, pardo negruzcos, ni roji- zos; su sección, cuyos detalles pueden verse en la descrip- ción de nuestra especie, y en la lámina III, fig. 31, no tienen gran analogía con los dibujos de grandes vetas leonadas con líneas negruzcas que distinguen al Tuber rufum, ni con las líneas blanquecinas, rojizas y negruzcas que se entremez- clan en la sección del Tuber nitidum. Las aseas no son ma- zudas y pediceladas como en estas especies, ni las esporas elipsoideas ú ovales, sino esféricas y con pestañas sensible- mente más largas que en las especies con que comparamos; — 812 — el número de esporas contenido en cada asea es casi siem- pre el de ocho, mientras las dos especies antedichas presen- tan generalmente cuatro y aun frecuentemente una sola. IV Tuber sinuosum, nov. sp. Las masas perídicas son redondeadas, sumamente irregu- lares, con aspecto de conglomerados formados por la reunión de diferentes porciones mamelonadas, separadas por anfrac- tuosidades muy profundas (láminas I, figuras 9 á 12, y III, figuras 32 y 33). Su tamaño mide diámetros muy desiguales en cada dirección, oscilando entre cuatro y siete centíme- tros. La superficie es muy desigual; lisa, mate, sin papilas ni reticulaciones, y la coloración bastante heterogénea, for- mada por tonos pardos claros, que varían desde el pardo ocre al blanco amarillento, cuyos tonos se mezclan, dando relieve á las hendiduras y sinuosidadas que caracterizan su forma. La masa de estos aparatos esporíferos es notable por su gran consistencia y dureza, que contrasta con todas las demás criadillas de nuestro país, hasta el punto de que este carácter y la forma bastan para distinguir esta especie de to- das las demás. La sección (lámina III, fig. 34), es enteramente blanca, de un blanco puro recién practicada, no reconociéndose en ella al principio más que unas bandas ramosas y ondeadas, irre- gulares, que tienen brillo sedoso y que originan un dibujo jaspeado especial, por alternar con otras más sencillas que carecen de brillo. Momentos después de efectuar el corte, las porciones sedosas, que son las de tejido esporífero, que- dan de un blanco puro y mate, y sus contornos separados por unas líneas de tejido estéril céreo y traslucido que rellena todas las sinuosidades y circunvoluciones que separan éstas. — 813 — Las aseas son trasovadas ó piriformes, bastante irregula- res, y contienen hasta siete ú ocho esporas esferoideas y equinuladas, con las espinitas cortas, tres ó cuatro veces menores que el radio de la espora. El sabor es agradable como el de las setas comestibles más estimadas, y su olor intenso recuerda el de las especies mejores de Pholiofa y de Psalliota de los agaricáceos. El Tiiber simiosum no es, sin duda, abundante. Aunque las observaciones sobre el particular no puede decirse que son numerosas en absoluto, lo son relativamente las que he tenido ocasión de hacer acerca de nuestros tuberáceos, que no se refieren sólo á las especies que son objeto de este traba- jo, y entre ellas, sólo una he podido hallar que se refiera de un modo seguro á este tipo específico. En el envío realizado por D. Emilio Duran y Redondo, de tuberáceos de Villanueva del Fresno (Badajoz), es donde he hallado los ejemplares que me han servido para conocer este tipo específico, y á ellos pertenecen los que conservo y los que sirvieron para el estudio y para la representación gráfica. Según me comunicaron los Sres. Rivas Mateos y Duran, estos hongos son designados en Extremadura con los nom- bres de criadillas perriegas ó perreras. No es necesario insistir mucho en los caracteres que defi- nen esta especie y la separan de los otros Tiiber conocidos dentro de la misma sección. De todas las especies del géne- ro, la diferencia, la singularidad de su forma, que puede verse en las figuras correspondientes y más especialmente de las de su sección. Este carácter bastaría para diferenciarle de las otras dos nuevas especies de Tuber que se incluyen en este mismo trabajo, de las que además difiere por la consistencia y por la coloración de su carne, por su olor característico y por los detalles del dibujo de su sección y de su estructura. Es inútil compararle con ninguna otra de las especies de este género que carecen de papilas en sus peridios y tengan es- poras equinuladas, pues es tan diverso de todas ellas, que - 814 - mis dudas tuve al conocerle de que fuese un tuberáceo de otro género; pero como en realidad no le faltan ninguno de los caracteres esenciales de los Tuber, y sí difiere de los otros géneros de europeos de esta familia ( Terfezia, Choero- myces, Balsamia y Gcnea), hube de decidirme por la deter- minación genérica de Tuber. V Terfezia Hispánica, nov. sp. Los aparatos esporiferos son masas tuberiformes muy va- riables de forma y de tamaño. En algunos ejemplares las formas son sencillas, elipsoideas y esferoideas, ligeramente irregulares y frecuentemente prolongadas en la base en una especie de cuello estrecho que en algunos casos mide dos centímetros de longitud y lleva adheridas algunas raices de las plantas turmales próximas. Pero generalmente la for- ma se modifica por crecimientos desiguales semejando á tu- bérculos irregulares, que alguna, aunque rara vez, recuerdan las formas arriñonadas, piriformes y aun acorazonadas. No es raro el caso, sobre todo en los ejemplares grandes, de presentarse la masa hendida en dos ó tres lóbulos ó com- puesta por otros tantos aparatos esporiferos soldados en su base. Su morfología, tan variada, puede observarse en las diversas figuras de la lámina II. La forma apeonzada, bas- tante ancha en la parte superior, se presenta en la llamada variedad criadillas vaqueras (lámina II, figuras 14 y 20; lá- mina IV, fig. 38). Las dimensiones son muy varias, de dos centímetros y medio en algunos ejemplares hasta diez de anchura, y poco menos de altura en algún caso. El peso no es menos vario, pero alguno de los ejemplares de Ciudad Real pasó de 350 gramos; alguno de los de Villanueva 233, y el Sr. Men- - 815 - daña me cita algunos de Badajoz que excedieron de 400. Su coloración general externa es siempre, más ó menos, pardo rojiza, que varía de tonos, aun en un mismo ejem- plar, desde el pardo ocráceo obscuro al pardo rojizo claro. Los tonos más pálidos, los de pétalos secos de rosa roja, aparecen en los ejemplares más grandes; en las superficies de las depresiones la coloración es siempre más clara que en las partes salientes. La superficie es siempre mate, sin reticulaciones ni papi- las, sembrada de desigualdades, y en los ejemplares muy grandes con algunas grietas muy anchas, pero nada profun- das, y sin ellas en los ejemplares pequeños ó medianos. La sección presenta un tejido rosado-amarillento pálido, que en los ejemplares jóvenes aparece sembrado de conste- laciones de tejido esporífero, entre las cuales quedan gran- des porciones de tejido estéril. Pero en los aparatos esporí- feros más avanzados las manchas de tejido esporífero llegan á cubrir toda la sección, no quedando entre ellas sino algu- nos filetes muy estrechos. Las manchas de tejido esporífero son muy pequeñas y desiguales, de 0,5 milímetros próxima- mente como anchura media, de sección angulosa, pero con los ángulos redondeados, y se distinguen al principio del te- jido esporífero estéril por ser más coloreadas y algo traslu- cidas, pero llegan á tomar una coloración rojiza mucho más acentuada. Las aseas son elipsoideas irregulares, algo comprimidas unas contra otras, lo cual determina en ellas la aparición de algunas caras de poliedro. Las esporas son esferoideas, con papilas tuberculiformes, cortas, redondeadas en su ápice y bastante numerosas, hasta el punto de cubrir casi por com- pleto la superficie de la exospora. Su carne es bastante consistente en los aparatos esporífe- ros jóvenes, y cuando éstos alcanzan su madurez, llega á ser más blanda y elástica, mostrándose entonces más jugosa en las secciones. Cuando la superficie de los cortes lleva al- — 816 - gimas horas expuesta al aire, se forma por la desecación una película consistente que defiende la masa restante de una desecación excesiva. La capa peridial externa no está verda- deramente diferenciada de las láminas de tejido estéril que separan unas de otras las masas de tejido esporífero, y mu- chas manchas de éste llegan hasta la superficie del peridio. No tiene sabor definido ni aroma característico, aun cuando es muy buena para comer. Muchos son los nombres con que se designa esta especie, según las noticias recibidas de las diversas localidades. En Castilla la Nueva la llaman criadilla bermeja ó roja, nom- bres que concuerdan bien con su coloración; criadilla bue- na á los ejemplares grandes y redondeados; criadilla de ta- marilla, de churra, de hierba fina, por las plantas á que se atribuye la propiedad de turmeras; criadillas vaqueras, en Extremadura, á los ejemplares grandes y de forma apeonza- da; turma, en Aragón; en Villavieja (Salamanca) las llaman criadillas muyales, por abundar en Mayo. Esta es, sin duda, la especie más abundante en la mitad meridional de la Pe- nínsula y la que más concurre á los mercados de Madrid. Raro ha sido el envío de cuantos me han hecho los que han tenido la atención de responder á mi llamamiento, en que no haya hallado esta especie, y es la única que me han remitido de localidades andaluzas. En la provincia de Madrid la he recibido de Méntrida (García), Chapinería (Panadero), La Poveda (Más y Guin- dal), Valdemorillo (Pérez Peinado), y en los mercados la he hallado procedente de Colmenar Viejo. Además, mi compro- fesor Sr. Rodríguez y López Neyra la ha recogido en la de- hesa de Moratalá, próxima á esta Corte. De la de Toledo me ha remitido D. Gustavo López García diversas formas de ella, recolectadas en Valderrábanos, y de Santa Cruz de Retamar, D. Juan Alvarez Rico. En los merca- dos de Madrid se halla con gran frecuencia procedente de Talavera de la Reina. — 817 — De las cercanías de Guadalajara me la ha procurado el Sr. Más y Guindal. De la provincia de Ciudad Real he reci- bido abundantes surtidos procedentes de Calzada de Cala- trava (Navarro), de Puertollano, Corral de Calatrava, La Puebla y Ciruela (Martínez y Fernández Castillo). Sin duda es vulgar en Extremadura, pues á ella corres- ponden los ejemplares que de Serradilla me procuró hace años mi querido discípulo y compañero Sr. Rivas Mateos, y que aún conservo, y los que el mismo señor ha recogido este año en la misma localidad y en Torrequemada, en Herqui- juela de Guadalerma, en Cardoso, en Campos de Guadilotea y en la Dehesa Alberca, próxima á Cáceres, provincia á la que corresponden todas estas localidades, igualmente que la de Alcuéscar, de donde me las ha procurado el Sr. Her- nández Pacheco. En la de Badajoz, el mismo señor me la ha remitido del Coto Vera; el Sr. M. Mendaña, del Cortijo Palomarejo; de las cercanías de Badajoz, el Sr. Hernández y Alvarez; de Villanueva del Fresno, el Sr. Duran y Re- dondo. De Andalucía me ha procurado ejemplares de las cerca- nías de Córdoba el ya citado Sr. Rodríguez López Neyra, y de Calicasas y de Loja, en la provincia de Granada, el señor Diez Tortosa. También de la provincia de Zaragoza he recibido ejempla- res del pueblo de Monegrillo, remitidos primeramente por el Sr. Lecea, y pocos días más tarde por el Sr. Faci, y del pueblo de Magallón me la ha enviado el Sr. Albera. No debe creerse que el área de esta especie, tan abundan- te al Sur de la cordillera Carpetovetónica, halle en las sierras que forma ésta un límite infranqueable, pues si bien no la he hallado en los envíos recibidos de la provincia de Avila, la he encontrado en el de Villavieja (Salamanca), debido al se- ñor Fernández Gata, siendo actualmente ésta la localidad más septentrional en que puedo citar la Terfezia Hispánica. El nombre de criadilla bermeja, que el Sr. Navarro me co- — 818 - munica como corriente en la Mancha para designar esta es- pecie, es, sin duda, muy acertado, pues entre sus caracteres más salientes figura la coloración más ó menos rojiza de su superficie y tono algo rosado sucio de su sección. Pero, sin duda, no es el nombre único, pues para designar ciertas for- mas grandes y marcadamente angostada en su mitad inferior, como las representadas en la lámina 11, figuras 14 y 20, y en la lámina IV, figura 38, me han comunicado los Sres. Duran y Rivas Mateos que es corriente en Extremadura el nombre de criadillas vaqueras. Estas tienen, como carácter, una for- ma anchamente apeonzada, una coloración algo más pálida que la del tipo y anchas grietas nada profundas en la parte superior de su superficie, en las que aparecen los tejidos al descubierto, presentando, en este caso, una coloración ama- rillenta. Estas criadillas podrían constituir una variedad den- tro del tipo específico, para lo cual propongo la denominación de var. turbinata. Los ejemplares que de ella he podido ob- servar eran, en general, bastante grandes, dentro de las di- mensiones de la especie, y procedían de Villanueva del Fres- no (Badajoz), Torrequemada (Cáceres), Santa Cruz de Re- tamar (Toledo) y de Río Gabriel (Albacete). La Terfezia Hispánica es realmente un tipo específico nuevo, bien diferenciado de la especie africana Terfezia Leonis Tul. Creo que las indicaciones hechas respecto de la existencia de esta especie en Alemtejo (Portugal), de donde siento no haber podido procurarme ejemplares, acaso pue- dan identificarse con nuestra especie y no con la africana, á la que sin duda los atribuyó Wellwitsch al cerciorarse de que no eran del género Tuber, sino del Terfezia, por ser la Ter- fezia Leonis la única especie entonces conocida de este gé- nero. El hecho real de que los ejemplares de Córdoba, de Granada y de Badajoz pertenezcan á nuestra especie, hace poco verosímil el que los del Alemtejo se identifiquen con los de una de las especies africanas. Tampoco puede asimi- larse á la nueva especie Terfezia rosca, recientísimamente — 819 - publicada por el Sr. C. Torrend (*), por tener la especie de este distinguido autor las esporas reticuladas, no berrugosas, ni á ninguna de las que allí se indican como mencionadas hasta hoy en Portugal. Tratándose de señalar diferencias entre la Terfezia Hispa- nica y la Leonis, habremos de fijarnos en primer término en el color. Los autores que la describen la asignan coloracio- nes que varían del blanco al blanco amarillento, y tanto ha sido considerada como característica esta coloración, que observador tan concienzudo y sagaz como Desfontaines, que fué el primero que la dio nombre científico (**), la denominó Tuber niveiim, lo que seguramente no hubiere hecho si hu- biese observado en ella las coloraciones siempre obscuras que presenta la especie española. Tartufa bianca llaman á T. Leonis los italianos que la conocen, nombre vulgar que se aplica á otras especies de trufas, pero nunca á las que no tienen color claro, y por mucha elasticidad que se quiera emplear en la designación de los colores, nunca podrá lle- garse á confundir el blanco con el pardo obscuro. Es curioso que en las figuras en color que de T. Leonis se han publica- do, algunas la pintan con tonos ocráceos claros (***), acaso porque han visto algunas Terfezia que no son blancas ni blanco amarillentas, y han tomado un promedio de colora- ciones. Puedo decir que he examinado este año más de un millar de ejemplares de nuestra Terfezia sin hallar ninguno blanco, ni blanco amarillento, ni ocráceo pálido. (*) Notes de Mycologie portugaise. (Bulletin de la Société portu- gaise des Sciences naturelles, tomo I, entrega 4.^) (**) Ciertamente los habitantes del Norte de África la conocían antes de Desfontaines, y muy verosímilmente los romanos han comí- do ya trufas de esta especie; pero no había sido denominada hasta que la estudió este autor. (***) Por ejemplo Ad. Chatín. La Truffe, lámina XMI, fig. 1.% sin perjuicio de que en la descripción (pág. 72 de la misma obra) dice que es blanco amarillenta. / — 820 - La sección presenta también alguna diferencia entre am- bas especies. Las masas de tejido esporífero son mucho más numerosas y de menor tamaño en la T. Hispánica que en la T. Leonis, y también las venillas ó espacios ocupados por tejido estéril que entre estas masas existen son relativamente menores y más delgadas. Pero la diferencia más precisa se refiere á la que puede notarse en los relieves de la exospora. Es un excelente carácter de las esporas de la Terfezia Leonis el presentar en la exospora papilas salientes y truncadas en su parte superior á las cuales debe la singularidad de su con- torno, que aparece en el campo del microscopio como una rueda dentada mirada en la dirección de su eje. Pues bien: las papilas de la exospora de la Terfezia Hispánica carecen de este carácter; no están truncadas en su ápice, sino redon- deadas, y cuando se ven de frente no aparecen con base y sección poligonales, sino circulares. Recuerdan más que á la Terfezia Leonis á las de otras especies africanas del mismo género, como la T. metaxasi y la leptodernia, y, sobre todo, á la Terfezia Boudieri, de la Argelia meridional. Sobre todo la forma de las papilas recuerda las de esta última por ser cortas y redondeadas; pero en nuestra especie se hallan muy espaciadas y en la Boudieri se aglomeran cubriendo por com pleto la superficie de la exospora. En todos los otros carac- teres las diferencias entre estas especies africanas y la nues- tra son, por lo demás, muy acusadas. En el cuadro general de las especies del género Terfezia, expuesto por Matti- rolo (*), no hallo ninguna que pueda sumarse con el tipo de nuestra especie. Nótese, además, que la Terfezia Leonis crece en las re- giones montañosas de África, en bosques de pinos y de ce- dros, y nuestra especie no vive en sitios poblados de árbo- les, sino de matas cistáceas de escaso desarrollo. (*) Mattirolo. Olí Ipogci di Sardcona e di Sicilia, (üénovo, 1900), páginas 37 y 38. - 821 - Tales observaciones nos inclinan á creer no sólo en la in- dividualidad específica de la especie española, sino en la posibilidad de que ulteriores deslindes refieran á esta especie algunas de las citas hechas anteriormente como correspon- dientes á la Terfezia Leonis. VI Muy interesante sería un estudio completo de las plantas capaces de producir estos hongos, ó sea sobre las plantas llamadas entre nosotros tiirmeras ó tiirmales; pero los datos reunidos no me permiten aún hacerlo con algún carácter de generalidad sino respecto de la Terfezia. Cúmplese en ésta la que parece ser ley general de las trufas todas: el poder ser parásita de diversas especies bo- tánicaá, aunque en éstas las especies son casi exclusiva- mente leñosas grandes, varios árboles y algunos arbustos, mientras en la producción de nuestra Terfezia, según parece deducirse de toda la información llevada á cabo, no inter- viene ninguna especie arbórea ni arbustiva. Es de notar que en algún libro francés se lee algo curioso respecto del caso. Examinando Chatín la indicación de su compatriota Bonnet respecto á la posibilidad de que el Cis- tus salvicefolius pueda producir trufas de la especie Tuber melanosporum, y poniendo en duda esta posibilidad dice (*) que esta especie de jara produce en España la Terfezia Leo- nis. Ignoro el origen de esta afirmación, que no pudo ser fruto de la propia observación del autor francés, pues ni éste consigna el origen del dato ni yo he tenido la fortuna de ha- llarle en las obras referentes á nuestra flora. En otra parte hace constar (pág. 72 de la misma obra) que. mientras la Terfezia Leonis < exige en África bosques de pmos y de ce- (*j La Truffe , pág. 95. Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Mayo, 1908. 52 - 822 - dros», en España le bastan los campos de Cistiis llamados turmera. Indicación es ésta que revela un amplio criterio, acaso demasiado amplio, para admitir que las exigencias de un mismo tuberáceo sean tan diferentes según la localidad, si no acusa cierta facilidad para creer que las cosas que á Es- paña se refieren, aun las histórico naturales, puedan tener al- gún carácter extraordinario. Si nuestra especie de Terfezia es realmente distinta de la africana, la explicación de estos hechos podrá ser más fácil, y éste es un dato que viene á confirmar nuestra tesis. En cuanto á que la planta productora de Terfezia en España sea el Cistus salvicefolius, bueno será examinar el caso antes de suscribir esta afirmación. Las plantas llamadas. /z/rmí'ras en España no correspon- den al Cisfus salvkvfoliüs, ni siquiera pertenecen al género Cistus, ni son leñosas como éstas, pues, aunque cistáceas, pertenecen al género Tuberaría, especie variabais, y son plantas herbáceas y anuales. Como varios de los que me han enviado criadillas para hacer este estudio han tenido la feliz idea de unir la planta que en la localidad se considera tiirmal, y casi todas las re- mitidas en este concepto venían referidas á la Terfezia His- pánica, he reunido datos interesantes respecto de las tur- males de este hongo. Debo declarar ante todo que ninguna de ellas pertenecía al género Cistus. Lo más que he hallado en una de las indicaciones es el nombre de criadilla de tama- rilla, nombre vulgar que debe referirse al Cistus Clusii, pero la planta remitida como turmal para aquel ejemplar, proce dente de Valderrábanos, no era un Cistus, sino otra cistácea bien pequeña, el Helianthemum paniculatum, al que sin duda llaman tamarilla en la localidad por la falta de precisión que caracteriza á la nomenclatura vulgar. Puedo, pues, afirmar que todas las turmalcs que he tenido ocasión de estudiar son cistáceas pequeñas, y su estudio no ha sido del todo fácil porque estas plantas están general- — 823 - mente poco desarrolladas cuando las turmas ó criadillas se producen. Pero vencidas estas dificultades por comparación en todos los casos dudosos con los tipos que contiene mi colección de plantas de España, creo que el resultado de la determinación no carece de interés. Las turmales estudiadas correspondían en gran parte con las diversas formas de la Tiiberaria variabilis. Á la variedad plantagínea correspondían las turmales remitidas de Mo- negrillo y de Santa Cruz del Retamar, á la variedad vulgaris de esta especie (no Tuberaria vulgaris) las enviadas de Val- demorillo y de Valderrábanos (criadilla de hierba fina) y á la variedad L/nne/ la procedente de Serradilla: todas como pro- ductoras de Terfezia Hispánica. Pero las turmales producto- ras de esta misma criadilla enviadas de otras localidades, co- rresponden á otras especies de otro género de cistáceas pe- queñas, al género Helianthenmm. Al ya mencionado H. pa- niculatum otraturmal de Valderrábanos (criadilla llamada de tamarilla), al H. squamatum otra de la misma localidad (criadilla llamada de churra) y al H. salicifolium la criadilla bermeja de la Calzada de Calatrava. Posteriormente el señor Navarro me remitió dos especies de turmales florecidas, pro- cedentes de esta misma localidad, referidas á la Terfezia Hispánica y resultaron ser Helianthemuní vulgaris Gaertn. Helianthenmm salicifolium Pers, var. microcarpum. De turmales referentes no á la Terfezia, sino á especies de Tuber de España, no es mucho lo averiguado, por no haber acompañado á las criadillas las turmales correspondientes sino en muy pocos casos. Á las criadillas blancas de la Cal- zada de Calatrava (Tuber pallidum) acompañaban plantas muy jóvenes de Tuberaria variabilis, al parecer, y en fin de Mayo me remitió el Sr. Navarro dos turmales floridas, refe- rentes á este mismo Tuber, las cuales resultaron ser Tubera- ria variabilis Wk. y Helianthemuní paniculatum Dum. Otras del Tuber albidum, que no es de las especies que intervie- nen en este trabajo , pero respecto de cuyas turmales se sabe - 824 - poco, la de Valdemorillo vino acompañada de ejemplares del Helianthenmm /Egyptium en principio de floración. Alguna indicación se me ha hecho respecto de que en al- guna localidad se consideraba al cardo corredor como tur- mal de la Tetfezia Hispánica, pero esto parece poco proba- ble ó por lo menos muy necesitado de confirmación. Vil Los terrenos en que estos tuberáceos suelen habitar son bastante variados; pero, en general, las especies de que ahora tratamos se encuentran, según los datos que he podi- do reunir, en terrenos sueltos, en los que es la sílice el fac- tor mineral representado por mayor cantidad, siguiendo á éste arcillas bien rojizas ó bien grises; algunos me indican como preferentes los terrenos cascajosos, en los que abun- dan las piedras pequeñas, terrenos que, como los anteriores, son sueltos y fácilmente permeables. Varios me indican que la Terfeziá suele abundar en los sitios frecuentados por los ganados, como los apriscos, sen- das de paso de los montes y cercanías de las corralizas, cosa que muy bien pudiera ser explicada por la abundancia en estos suelos de materias orgánicas, especialmente nitroge- nadas, originadas por las deyecciones de los animales. Los prácticos que se dedican á la recolección de estos hongos reconocen su presencia por un ligero levantamiento de la superficie del suelo y por algunas grietas que correspon- den á la tierra bajo la cual yacen. Como su profundidad es sólo de algunos centímetros, en cuanto los aparatos esporí- feros tienen algún tamaño, su presencia se acusa al exterior por estos caracteres y por la presencia de las pequeñas cis- táceas llamadas turmales. En esto coinciden todos los datos reunidos en mi información. Del empleo de animales, perros co ^'^^^ ■ X \ Vi» (O ^ M O s5 ÍN t^ 00 05 rC) 'Xá CO 73 O m m O o ce 00 03 O ;-( tí OQ !^ "57 5S O) ce i LÁMINA Ili.— Figuras 23^ 2-i, 26 y 27, formas del Taher palli- diim; 25 y 28, secciones verticales del mismo; 29 y 30, formas del Tuher hitescens; 31, su secci(3n; 32 y 33, formas del Tiiher sinuo.mm; 34, sección del mismo. fl ^ • 1-H o Ü o ce í3 02 tr-'" CO G ce e O • 1— ( a •■!0 ss 03 ÍS 1 — 1 ^ i « I.O •S CO fS ^ 03 rH :3 73 ■oa :á • 1— 1 "f^ . 03 > > h- ( -1 c6 CO ¡2; ll '-«1 Ü J • i-H 2h 0) !> - 825 - Ó cerdos, como auxiliares para buscarlas, nadie hace men- ción. Su extracción se liace clavando un palo en los sitios en que hay signos de su existencia y apalancando para re- mover el terreno. EXPLICACIÓN DE LAS LÁMINAS Lámina I. 1. Tuber pallidum, tres peridios enteros. (Escala = 1/2.) 2. — — uno entero y sección vertical de otro (1/2). 3. — — uno cortado y otro entero (1/2). 4. — — tres peridios enteros (1,2). 5. Tuber lutesccns, tres peridios enteros (1/2). 6. — — otro entero (1/2). 7. — — tres enteros (1/2). 8. — — dos enteros y uno en sección vertical (1/2). 9. Tuber sinuosum, un pcridio (1/2). 10. - - - (1/2). 11. - - - (1/2). 12. — — - (1/2). Lámina II. 13. Terfezia Hispánica, dos peridios grandes redondeados (1/2). 14. — — un peridio apeonzado(var. íí/rftí/mffl) (1/2). 15. — — dos peridios pequeños (1/2). 16. — — un peridio con cuello basilar, otro irregular y otro bilobulado (1/2). 17. — — dos peridios con cuello basilar muy des- arrollado (1/2). 18. — — sección transversal de un peridio (1/2). 19. -- — peridio entero, grande y redondeado (1/2). 20. — — peridio grande apeonzado (var. turbi- nata) (1/2). 21. — — dos peridios gemelos (1/2). 22. — — sección vertical de dos peridios al iniciarse la formación del tejido esporífero (1/2), Lámina III. 23. Tuber pallidum , peridio entero (1/2). 24. — — peridio entero (1/2). 25. — — sección vertical de un peridio (\l2). — 826 — 26. Tuber pallidum, peridio entero (1/2). 27. — — peridio entero (1/2). 28. — — peridio cortado al través (1,2). 29. Tiiber lutescens, peridio entero (1/2). 3C. — — peridio entero (1/2). 31. — — sección transversal (1/2). 32. Tuber sinuosum, peridio entero (1/2). 33. — — peridio entero (1/2). 34. — — sección transversal (1/2). Lámina IV. 35. Terfezia Hispánica, un peridio muy prolongado (1/2). 36. — — peridio irregular (1/2). 37. — — peridio cortado al través {\¡2). 38. — — peridio apeonzado (var. /¿//■ftíVzoífl) (1; 2) 39. — — el anterior, cortado verticalmente (1/2). XL.— Mareómetros y Mareógivafos de Sifón. Por Eduardo Mier y Miura. 26. — Mareógrafos de inscripción mecánica. Acabamos de indicar (fig. 21) cómo pueden obtenerse las máximas y las mínimas ordenadas sobre un cilindro H, y claro es que el conjunto del mareómetro, con su flotante y polea, y del cilindro, constituyen un mareógrafo de máxima y mínima de inscripción mecánica. Si en vez de mover ese cilindro diariamente á mano, le dotamos de un movimiento continuo de relojería, evidente es que obtendremos un mareógrafo en toda la acepción de la palabra, dándonos curvas mareográficas, que nos permitan conocer todas las variaciones que el nivel líquido experi- menta y los instantes en que se han producido. A la inscripción hecha por lápices ordinarios, ó por pun- — 827 — zones que arañen superficies ennegrecidas, creemos preferi- ble la obtenida por medio de las plumas con tinta del siste- ma Richard, que este habilísimo constructor emplea en la multitud de aparatos de precisión que fabrica. Esa pluma resbalará entre dos guías, colocadas paralela- mente á las generatrices del cilindro HH, y exige para mo- verse un esfuerzo casi nulo; así es que solamente deberá pesar el flotante unos cuantos gramos y los efectos de la inercia podrán despreciarse por completo. De ese modo será posible obtener inscripciones mareográ- ficas en la escala de — ó — , Que serán suficientes en la ge- neralidad de los casos; pero si se necesitara menor reduc- ción, podría recurrirse á poner el flotante en la rama libre de un mareómetro de tubo auxiliar, ó bien hacer que el flo- tante B actúe sobre una polea de pequeño diámetro y la pluma sobre otra de mayor radio, etc., etc. Sin más detalles fácil es darse cuenta de las ventajas de tener á la vista el pozo A del mareógrafo y de poder usar mecanismos delicados que consienten grandes precisiones, imposibles de obtener con los pesados aparatos que los po- zos ordinarios exigen en los mareógrafos al uso. 27. — Mareógrafos de inscripción fotográfica. Hace años indicamos todas las ventajas que la determina- ción del nivel medio del mar podría obtener, á juicio nues- tro, del empleo de la fotografía, arte precioso llamado á substituir al observador, en plazo no lejano, en todas las ob- servaciones de alguna precisión: amplitud de las oscilaciones del péndulo, paso de éste por la vertical, paso de las estre- llas por los hilos del retículo, etc., etc.; substitución de la que hablamos en más oportuno lugar al describir El Gravígrafo, por nosotros ideado; desde entonces la perfección creciente de los procedimientos fotográficos y la aplicación que van - 828 - recibiendo en todas las ciencias, han hecho nacer aparatos curiosísimos y delicados, cuya descripción huelga por com- pleto en este escrito. No de estos últimos tiempos, sino de fecha relativamente remota, datan los barómetros y termómetros fotográficos, y análogo á éstos es el mareógrafo que proponemos. Todo el artificio consiste en dejar una ranura en la tabla en que está colocado el mareómetro, y precisamente detrás de una de las ramas de él. Esa tabla es una de las caras de una caja cerrada, en cuyo interior está colocado un cilindro de eje vertical, provisto de movimiento de relojería, y so- bre el cual está arrollado un papel, sensible á la acción de la luz. Una de las generatrices de ese cilindro queda detrás de la ranura, de que hemos hecho mención, la cual, estando tapa- da en parte por la columna de mercurio del mareómetro, deja pasar la luz sólo en la parte superior, resultando de aquí que el cilindro de papel sensible aparece sin impresionar en lon- gitudes iguales á las de la columna de mercurio que obtura la ranura. En la industria corriente se construyen esos cilindros de registro fotográfico, que pueden utilizarse desde luego en los mareómetros y que consisten en uno exterior, fijo, pro- visto de una ranura, y en otro concéntico é interior á éste, sobre el que se arrolla el papel sensible. No hemos de ocultar que para esta aplicación concreta de que hablamos consideramos inferior el registro fotográfico á cualquiera de los varios que indicamos, por exigir aquél la existencia de un foco luminoso fijo y resultar caro su empleo. 28. Mareógrafos de inscripción electro-automática. La variedad de los tipos de mareógrafos de sifón de re- gistro eléctrico es, en realidad, poco menos que inacabable, - 829 - pudiendo combinarse con el principio que en los mareóme- tros de sifón se emplea todos aquéllos en los que se fundan los muchos mareógrafos eléctricos ya ideados, y consintien- do, además, la especial índole de aquellos aparatos disposi- ciones nuevas y sencillas. El sistema de mareógrafos eléctricos que vamos á descri- bir puede variarse de modos muy diversos y aplicarse al re- gistro á distancia de gran número de aparatos; pero lo subs- tancial, que no sólo estamos seguros deque es original, sino que creemos, además, que es nuevo, lo indicamos en la si- guiente descripción. La estación transmisora, situada á orillas del mar, nada distinto ofrece de la que describimos al tratar de los mareó- metros eléctricos (fig. 15), y no hemos de repetir iguales ó parecidas palabras. En la estación receptora existe el cilindro A (fig. 24), pro- visto de su correspondiente movimiento de relojería, para que en aquél queden inscriptas, en la forma que ahora indi- caremos, las variaciones del nivel del mar que puedan pro- ducirse á muchos kilómetros de distancia. La parte inferior del cilindro fleva una rueda dentada, B, que da movimiento, por medio de un tornillo sin fin, CD, á una linterna, E, cuyas barritas, en vez de ser rectilíneas, son arcos de círculo, que presentan su concavidad al exterior. En esa linterna engranan constantemente las puntas metálicas puestas en la llanta de una rueda, F, cuyo eje de giro, ab, puede á su vez girar ligeramente en torno de G, en uno ú otro sentido. Ese eje, ab, de hierro ó acero, está algo ensanchado en la parte a y en la b lleva una linterna, animada, cual el eje de que es solidaria, de un movimiento de rotación, casi uni- forme y pocas veces interrumpido. La pieza G que lleva los muñones del eje citado, tiene, además, un ligero contra- peso, H, que obliga á la pieza ab á permanecer horizontal mientras no intervengan otras fuerzas que la gravedad. - 830 - / / /7^f24. — 831 — La linterna b, en esa posición horizontal, queda entre dos ruedas horizontales, m y n, que son solidarias, y cuyos pla- nos interiores llevan puntas metálicas destinadas á engranar con ella, cuando se eleve ó descienda la linterna de aquella posición. Esa rueda mn puede girar en la boca de un tubo, de igual diámetro que el de la estación transmisora y sirve de tuerca á un largo vastago, de, que sube ó baja á lo largo del tubo según el sentido en que mn gire, resbalando la pieza rectangular d entre dos guías, ef, que no la consienten otros movimientos que los verticales. Forma cuerpo con esa pieza, d, una lámina metálica, h, en cuyo extremo hay una pluma inscriptora del sistema Ri- chard, que trazará sobre el cilindro A las curvas mareográ- ficas. De uno de los polos de una batería de pilas, P, parten conductores á los carretes K y K' , y la corriente del primero, pasando por la resistencia R y por el vastago móvil de, atraviesa la columna líquida eg y por la resistencia R', llega al otro polo de la pila, cerrando la corriente. El fluido eléctrico conducido al carrete K' sale de éste, y por uno de los alambres de línea llega á la estación transmi- sora, atraviesa en ella la columna líquida que corresponde al nivel que las aguas tengan, y por el otro alambre de línea vuelve á la pila. Casi inútil es advertir que R y R' están calculadas de tal modo, que las resistencias de los dos trozos de circuitos de- rivados de cada polo de la pila, y comprendidos entre estos puntos de derivación y los de entrada en los líquidos de las estaciones receptora y transmisora, sean iguales. De ese modo, mientras las dos columnas líquidas cg ten- gan la misma resistencia, ambas corrientes derivadas serán de la misma intensidad, y al circular por los dos carretes iguales Ky K' producirán efectos de atracción del mismo va- lor y de sentido contrario sobre la armadura a, que perma- — 832 - neciendo en relativo reposo, por lo tanto, también dejará en su posición el vastago trazador d e. Si la resistencia aumenta en la columna líquida de la es- tación transmisora, siendo menos intensa la corriente que por K' circula, preponderará el efecto atractivo del carre- te K, el eje a b girará ligeramente en torno de G; la linterna b engranará la rueda m, y girando toda la tuerca m n, elevará el vastago e d, hasta que, ofreciendo la columna c,^ la misma resistencia que en la estación transmisora, se equilibren am- bas corrientes derivadas, y se restablezca la posición de par- tida, hacia la que constantemente está solicitado el eje a b, por el contrapeso H. Si, por lo contrario, decrece la resistencia de la columna lí- quida de la estación receptora, preponderará el efecto de K'\ la linterna b se aplicará contra la rueda n; la tuerca girará en sentido inverso al de antes y el tornillo de descenderá, has- ta disminuir la resistencia de c^ en la cantidad necesaria. Corresponde, por lo tanto, á cada variación del nivel del mareómetro de la estación receptora otra igual y del mismo sentido en la pluma h, y la curva que obtengamos sobre el cilindro A será fiel expresión de los cambios de altura del nivel del mar. A primera vista ocurre señalar como defecto de este ma- reógrafo la existencia de choques entre la linterna b y las ruedas m y n; pero á poco que se estudie este asunto desva- nécese por completo tal opinión . Basta para ello tener presente que, aun cuando suponga- mos el cilindro A de medio metro de largo y que en veinti- cuatro horas próximamente ha de recorrerlo la pluma d en sentido de su eje, cuatro veces (dos en cada sentido), rcsul- 2"' taría una velocidad media de = O """,023 por se- 86400 gundo, número que, aun admitiendo 1 "'"' como paso del tor- nillo c d, exige 23 milésimas de vuelta por segundo á la tuer- ca m n. — 833 - Haciendo mayor el radio de la linterna b que el de las rue- das m y n, evidente es que resultaría una velocidad para aquélla aún menor que la anteriormente calculada; pero aun siendo mayor (de 25 milésimas de vuelta al segundo, por ejemplo), todavía resultará animada la linterna de tan lento movimiento, que nada podrá temerse de los choques que pro- duzca. Una de las mayores ventajas que, á juicio nuestro, tiene el mareógrafo propuesto, es la facilidad con que puede va- riarse la escala de las curvas mareográficas, gracias al fun- damento esencial del aparato de haber de ser iguales las re- sistencias eléctricas de las columnas líquidas c ^ en las esta- ciones transmisora y receptora. Si suponemos que se emplea el mismo líquido en ambas estaciones, siendo las longitudes c g inversamente propor- cionales á las secciones internas de los tubos, claro es que, variando estas últimas de conveniente modo, puede conse- guirse que á una pequeñísima variación de la longitud de la columna líquida en la estación transmisora corresponda otra muy grande en la receptora, ó bien puede obtenerse la varia- ción inversa. Pero sin necesidad de cambiar los tubos que contienen las columnas líquidas, puede variarse la escala cuanto se quiera, sin rnás que usar líquidos de diferente resistencia eléctrica en cada una de las dos estaciones, porque si el em- pleado en la estación receptora es, por ejemplo, de una re- sistencia específica mitad de la que el otro tiene, á una va- riación dada en la columna de éste corresponderá otra de doble longitud, en la estación receptora, que la compense. Analíticamente puede expresarse cuanto acabamos de in- dicar teniendo presente que si «, / y s son los coeficientes de resistencia específica, la longitud y sección de la columna lí- quida de la estación receptora y a', /' y s' representan análo- gas cantidades en la de origen, el modo de ser del mareó- grafo exige que: — 834 — 0.1 a' r de donde a X s' 9 0 / - — a s' s / a s nVarr ipntf» la T •piar ion /' 1 niipdí» varÍM r'2 a' r^ / ' y en la práctica es posible conseguir valores muy diversos para la escala. Siendo el mismo líquido el empleado en ambas estacio- nes ó « = a' y si r' = í^r, siendo p un coeficiente auxiliar, /' T ^ ^"' de modo que, con hacer el radio del tubo de la estación re- ceptora 2, 3, 4... n veces mayor que el de la transmisora, la escala será 4, 9, 16... /z^ más grande. Con que r valga 5 mm. y /' 3 cm,, magnitudes ambas que prácticamente pueden conseguirse, ya resulta la ampliación de 36 más que sobrada, y sin llegar á este número excesi- vamente grande, aun sin recurrir al uso de tubos anchos, de barro ó porcelana, que en la estación receptora pudieran usarse, y empleando sólo los corrientes tubos de cristal, fá- cil es ver que pueden obtenerse las escalas que se necesiten. Por otra parte, las resistencias eléctricas de los líquidos desde la del agua destilada y las de los aceites, que práctica- mente es infinita, hasta las del mercurio y de las disoluciones concentradas de ácidos, de bases y sales, varían en tales tér- — 835 - minos, que solamente con la elección juiciosa de líquidos dis- tintos puede conseguirse que la relación — —, y la escala, • a' por lo tanto, tome el valor que se desee, aun empleando tu- bos de iguales diámetros en ambas estaciones. Casi inútil es añadir que ambos medios: empleo de líqui- dos distintos y de tubos de desigual diámetro, pueden com- binarse haciendo que sus efectos se sumen, y que, cuando se tratara de obtener trazados de gran precisión, fácil es eli- minar prácticamente la influencia de los cambios de tempe- ratura en las resistencias eléctricas por el adecuado empleo de substancias que en ellas se empleen, para establecer las necesarias compensacienes. Aparte de esta aplicación á los trazados mareográficos, que del aparato descrito hemos hecho, compréndese que, sin grandes modificaciones y aun sin variarle en nada, pu- diera emplearse en aquellos problemas de electricidad que exigen igualar automáticamente las corrientes de dos cir- cuitos ó conservar una relación dada y constante entre ellas; pero tales aplicaciones, muy importantes sin duda alguna, quedan fuera de los estudios á que el actual trabajo se refiere. Pudiera éste alargarse, combinando nuevos tipos de ma- reómetros y mareógrafos, ya que á ello se presta la flexibi- lidad de los principios que utilizamos; pero ante el temor de cansar en exceso el ánimo del lector y ante la seguridad de que sobra con los tipos propuestos para atender á todas cuantas exigencias puedan tener los indicadores del nivel de los líquidos, damos por terminada esta parte meramente des- criptiva. — 836 - XLI. — Estudio sobre la tlctt'riiiiiiación voluiiiétnca del óxido de carbono. Por Enrique Hauser. (Continuación.) 2.— Determinación volumétrica del óxido de carbono por combustión. Comprende el presente estudio la determinación del óxido de carbono por combustión, ya sea el único gas combustible contenido en una mezcla (con nitrógeno, aire ú oxigeno), ya se encuentre en presencia de hidrógeno ó simultáneamente con este último se halle el metano, que es el caso más ge- neral. Si el óxido de carbono está solo ó en presencia del hidrógeno, su combustión puede hacerse empleando dos me- dios, á saber: Combustión rápida (explosión en el eudiómetro). Combustión lenta (grisúmetro, tubo Drehschmidt, amianto paladiado, óxido de cobre). Si además de aquellos gases hubiese metano, son todavía aplicables los métodos de combustión rápida y los de com- bustión lenta; sólo que los últimos comprenden ahora dos clases, y son: Combustión lenta total (grisúmetro, tubo Drehschmidt, óxido de cobre). Combustión lenta parcial ó ftaccionada (alambre de pa- ladio, amianto paladiado, etc.). No me propongo explicar todos los métodos conocidos, sino los más recomendables en cada caso, indicando el modo de operar que he empleado y los perfeccionamientos que in- troduje en algunos para adquirir confianza en obtener bue- nos resultados sucesivos. - 837 ~ La combustión del óxido de carbono, fenómeno en apa- riencia muy sencillo, necesita ser cuidadosamente estudiado, con el fin de saber el camino más conveniente en los análisis para obtener buenos resultados, que pueden lograrse, sin poner mucho de nuestra parte, teniendo presentes los fenóme- nos observados por otros experimentadores. El primer hecho fundamental, demostrado por Dixon, es que el óxido de carbono no arde en el aire perfectamente seco (*), y pre- tende explicarlo admitiendo que el óxido de carbono pasa á anhídrido carbónico mediante el vapor de agua, conforme á la siguiente ecuación: CO-]~H,0= CO. + M,, sirviendo el hidrógeno libre para formar nuevamente vapor de agua, que contribuye á la combustión de otra porción de óxido de carbono. Armstrong & Martin creen que el agua sólo sirve de sostén para la reacción O + //2O + C0= OH, i- CO,. Traube atribuye el hecho á la formación de una pequeña cantidad de agua oxigenada, también sostén de la reacción, y se funda en haber observado la formación de una peque- ña cantidad de aquel cuerpo, como consecuencia de la trans- formación del óxido de carbono en anhídrido carbónico por el paladio hidrogenado, el paladio ó el platino, en presencia del oxígeno y del vapor de agua. Se explica el hecho, cuya importancia no sería grande, aplicándolo á determinar el óxido de carbono por el método (*) Otra confirmación de este hecho está en que, para conseguir la combustión completa de un carbón compacto, débihnente hidroge- nado, como el cok, en la bomba calorimétrica, es decir, con oxígeno á la presión de 25 atmósferas, es indispensable mezclarlo previamen- te con un hidrocarburo (naftalina ó parafina). Rev. Acad. Ciencias.— VI.— Mayo, 1908, 53 - 838 - de combustión rápida, y la tiene considerable, si queremos emplear el de combustión lenta y especialmente la fraccio- nada, pues sólo después de hechas las consideraciones y deducciones que voy á exponer, he conseguido obtener la repetición segura de buenos resultados. Desde luego se com- prende que, si queremos estudiar las fases sucesivas del óxido de carbono al transformarse en anhídrido carbónico, habremos de considerar la combustión más lenta posible, que es la efectuada á baja temperatura mediante los negros de platino y paladio, sirviendo de base las observaciones de los distintos experimentadores, que trataremos de completar. En primer lugar conviene tener presente que, según Har- beck y Lunge (*), el paladio absorbe óxido de carbono, lo cual no impide que pueda ser quemado por el oxígeno del aire, pues conforme dice Haber (**), dicho gas se quema perfectamente por un alambre de paladio á la temperatura de ebullición del azufre (440") en presencia del hidrógeno y del metano; además, si el metal se encuentra en forma de esponja, la temperatura de combustión debe ser menor, por- que en el sentir de W. Henry (***), el hidrógeno y el óxido de carbono mezclados pueden quemarse con metano y nitró- geno haciéndoles pasar sobre esponja de platino calentada á 177" c; Winkler emplea con igual fin amianto paladiado, supongo que á 200" c, á cuya temperatura afirma Hempel que empieza la combustión del metano. Para E. von Meyer (****), el carbón platinado en mezclas de óxido de carbono, hidrógeno y oxígeno produce la com- bustión del óxido de carbono de preferencia á la del hidró- geno, y Hempel {*****) se explica de modo parecido; de (*) Didionnairc de Chimie, de Wurtz, 2nie suplt. (**) Treadvvell, Qiiantitativc Analyse, 1907, pág. 571. (***) w. fiempel, Mctlwds of gas analysis, trad. ing., pág. 178. (****) Scliutzenberger, Traite de Chimie genérale, tomo 11, pági- na 472. (*****) Loe. cit. pág. 184. - 839 - manera que si queremos deducir la forma de actuar el pala- dio respecto de los dos gases, deberemos estudiar su acción en ausencia del oxígeno, como se desprende de los traba- jos de Jahn (*), quien encontró que haciendo pasar una mezcla de óxido de carbono é hidrógeno sobre paladio, se produce aldehido fórmico {C0H2= CO~\~H.>), y como por otra parte, Baumann y Traube demostraron que el pa- ladio hidrogenado en presencia del oxígeno y del vapor de agua transforma el óxido de carbono en anhídrido carbónico, deduciremos inmediatamente la siguiente conclusión: El óxido de carbono sólo puede llegar á anhídrido carbóni- co pasando por los estados intermedios de aldehido fórmico y ácido fórmico, combinación exotérmica , para la cual es nece- saria la intervención del vapor de agua ó simplemente del hidrógeno en atmósfera oxidante (**). Esta conclusión, á la cual he llegado para el óxido de car- bono, resulta de acuerdo con las del profesor Bone (de la Universidad de Manchester) tocante á la oxidación de los hidrocarburos, que sólo se realiza con formación intermedia de alcoholes y aldehidos (***). No basta en las determinaciones analíticas que el óxido de carbono se oxide, es necesario que la oxidación sea com- pleta, es decir, que pase á anhídrido carbónico, y sólo po- dremos conseguirlo á baja temperatura (inferior á la de com- bustión del metano), efectuando la transformación de los productos intermedios, aldehido y ácido fórmico, en anhí- drido carbónico y vapor de agua. Veamos en qué condiciones es posible descomponer ó que- (*) Díd. de Chimíe, de Wurtz, 2me suplt. (*♦) Puedo recordar aquí que el anhídrido carbónico, al ser redu-* cido por la acción de la clorofila de los vegetales, pasa primero al estado de aldehido fórmico. {Traite de Cliimie Minerale, publiésous la direction de H. Moissan.) (***) Prof. Smithells «Adresstothe Chemical SectionoftheBritish Association por the Advancement of Science», 1907. - 840 - mar el ácido fórmico producido (00 + ^2 O = CO.>H.^. Demuestra Schutzenberger (*), que el musgo de platino, calentado á 175", transforma los vapores de ácido fórmico en anhídrido carbónico é hidrógeno, con arreglo á la siguiente ecuación: CO.H,= COo-\- H,. Á la temperatura de 260" la alteración es muy rápida. No he encontrado datos numéricos exactos respecto de la temperatura de reacción del negro de paladio; sin duda es inferior á la del platino, porque su acción sobre vapores de alcohol metílico (CO//4) y gas del alumbrado se utiliza para elevar la temperatura del platino hasta producir la inflama- ción de aquellos vapores en los conocidos encendedores de cigarros y mecheros; por lo demás, los citados experimentos de Braumann y Traube sobre la transformación, mediante el paladio hidrogenado, del óxido de carbono en anhídrido car- bónico, la comprueban, y habríamos de limitarnos para ulti- marlas al empleo del negro de paladio ó al amianto paladiado en caliente, si el negro de rodio no la realizase completa á la temperatura ordinaria (**). Esta propiedad del rodio la he utilizado en las combustiones fraccionadas, de la manera que luego indicaré, colocando el negro de dicho metal en los ex- tremos del tubo que contiene el paladio, y transformando así en anhídrido carbónico é hidrógeno el ácido fórmico que haya podido generarse, quedando libre nueva porción de aquél, que facilita la combustión de otra cantidad de CO hasta que el mismo acaba por quemarse. Vemos así que en la mezcla de óxido de carbono é hidró- geno se realiza una combustión combinada ó simultánea de ambos gases, á causa de formarse un compuesto intermedio (*) Traite de Chiinie genérale, tomo II, pág. 508. (**) Schutzenberger.- Traite de Cliimie genérale, tomo II, pág. 508, y tomo I, pág. 723. — 841 - de combustión imperfecta, quedando luego libre el hidrógeno al generarse el anhídrido carbónico en la descomposición de aquel cuerpo, y por esto aparece retrasada la combustión del hidrógeno respecto de la del óxido de carbono, confor- me á las observaciones de E. von Meyer, antes citadas. Dicho esto, ya es fácil deducir las precauciones generales que deben observarse en los análisis del óxido de carbono para obtener buenos resultados, partiendo de los hechos que dejo consignados, á saber: 1.° Que la presencia del hidrógeno facilita mucho la combustión del óxido de carbono. 2? Que es fácil descomponer los cuerpos procedentes de una combustión imperfecta del óxido de carbono empleando el negro de rodio. Veamos ahora la manera de aplicar estos resultados á los distintos métodos de análisis conocidos. a) Método de combustión rápida. La combustión rápida del óxido de carbono (en el eudió- metro) no presenta dificultades, según los autores, debido sin duda á que generalmente dicho gas se halla imperfecta- mente seco ó acompañado de cierta cantidad de hidrógeno, cuando no se añade en forma de mezcla detonante (//o + O) destinada á efectuar la explosión. Para obtener buenos re- sultados seguros es necesario explicar la influencia de las distintas causas enumeradas. Conviene recordar que, si una pequeña cantidad de vapor de agua es suficiente para producir la combustión del óxido de carbono, la cantidad de hidrógeno más conveniente debe ser, si mis conclusiones resultan ciertas, la que permita su transformación íntegra en ácido fórmico, es decir, un volu- men igual al suyo; pero hay otra consideración que nos con- duce á la oportunidad de añadir hidrógeno, y es su limite in- ferior de inflamabilidad. Aunque la cantidad de oxígeno ne- cesaria para la combustión del óxido de carbono es igual que para el hidrógeno y su calor de combustión, en igualdad - 842 - de volumen, próximamente el mismo que el de este gas, tal vez por ser la temperatura de inflamación del CO unos 100" más elevada que la del hidrógeno, resulta su límite inferior de inflamabilidad (hacia arriba), según Clowes, de 13 por 100, mientras el del hidrógeno es de 5 por 100 conforme al mis- mo autor; de manera que una mezcla de dichos gases resul- ta con un límite intermedio, y una muestra de gas de agua conteniendo 49,6 por 100 de //, para 40,8 por 100 de CO, dio á Clowes el límite de 9 por 100. Este hecho justifica la conveniencia de añadir hidrógeno que facilita la combustión de la mezcla. La manera de operar que adopto es la siguiente: á la mues- tra que se analiza se añade, si no lo contiene ya, un volumen de oxígeno (*), próximamente igual y exactamente medido, al volumen presunto existente de ambos gases, y triple del de metano, si lo hubiere, y se agrega un volumen de mezcla detonante (//o+ O) tal, que el de la mezcla explosiva re- ferida á (//, -h O) (**) quede comprendido entre 20 y 33 por 100 del total, porque conforme á los experimentos de Bunsen, con la mezcla (//,, + O) inferior á dicho límite, la combustión es incompleta y pasando del mismo se produce la combustión parcial del nitrógeno. b) Combustión lenta total.— Este método ha de preferir- se cuando las mezclas son de baja ley, inferiores á 5 por 100, y aparte la necesidad de evitar las mezclas explosivas, debe tenerse presente que los mejores resultados del método se obtienen empleando exceso de aire ó mejor de oxígeno. De todos modos, observaremos que lo mismo en éste como en el anterior procedimiento, si se quieren obtener buenos re- sultados quemando una mezcla de tres gases (C O, //y C//^), (*) Exento de ácido carbónico ó hidrógeno que suele contener el del comercio. (**) Un volumen de mezcla ( CH^ |- 20^) equivale á 2,56 (H. -\- O) para este efecto. — 843 - las ecuaciones de Bunsen requieren el conocimiento del oxí- geno consumido ó el del volumen de los tres gases, y á cau- sa de los espacios perjudiciales que presentan la mayoría de los grisúmetros del comercio, resulta más exacto conocer el volumen total de los tres gases (siempre que sea posible), sin perjuicio de hacer las correcciones necesarias para calcu- lar el anhídrido carbónico contenido en los espacios perju- diciales (si no se mide directamente en dos absorciones). Es precaución muy importante que adoptar en estas com- bustiones grisumétricas, derivada el que en una mezcla ga- seosa conteniendo hidrógeno, éste pasa más de prisa que los otros gases por los tubos capilares; de modo que, analizan- do sólo una porción de ella (aunque se trasvase varias veces en ambos sentidos), nunca ésta representa la composición centesimal de la masa primitiva, por lo cual considero indis- pensable emplear un grisúmetro de cabida suficiente para contener toda la mezcla, si no se prefiere quemarla en varias veces, y entonces resulta mejor seguramente usar el tubo Drehschmidt. c) Combustión lenta fraccionada. — Este método no tiene prácticamente objeto, tratándose sólo de mezclas de óxido de carbono é hidrógeno, que en tal caso resulta más expedito el empleo del grisúmetro; pero habiendo metano, puede evi- tar cálculos y siempre permite comprobarlos. Su fundamento está en intervenir el amianto paladiado; para lograr buen éxito, es necesario no emplear gran exceso de oxígeno, su- perior al que representa la composición del aire, pues en- tonces se produce la combustión parcial del metano, que es lo que se trata de evitar, y tampoco conviene que la propor- ción de oxígeno sea mucho menor, con el objeto de no retar- dar el término de la combustión. Ahora bien, como la bre- vedad de la operación depende en gran parte de la tempera- tura á que se efectúa, conviene operar á la más elevada po- sible, y habiendo comprobado que á 180*^ c. no se quema el metano, opero á esta temperatura inicial, en baño de para- - 844 — fina, que queda entre 135 y 140", luego de haber pasado la mezcla tres veces por el tubo con paladio. Queda dicho cómo me aseguro de la transformación ínte- gra del óxido de carbono en anhídrido carbónico empleando el negro de rodio, á cuyo fin preparo amianto rodiado adop- tando el mismo procedimiento que Winkler indica para ob- tener el amianto paladiado utilizado en los métodos de com- bustión fraccionada. Efectuándose las acciones del negro de rodio á la temperatura ordinaria, como su caldeo pudiera pro- ducir la combustión de parte del metano, los extremos del tubo que contiene los metales quedan fuera del baño de parafina. He aquí como dispongo el sistema paladio- rodio: empleo un tubo de vidrio de unos 3 milímetros de diámetro interior, y 20 ó 25 centímetros de longitud encorvado en U; en la parte inferior y ocupando un cuarto de su longitud to- tal pongo el amianto paladiado, que debe ser de color gris obscuro; en cada uno de sus extremos se adapta un tapon- cito de amianto blanco sin metalizar, de un centímetro de lon- gitud, con objeto de separarlo del amianto rodiado que ocu- pa los extremos del tubo en una longitud próximamente de — del total, sin llenarlo, dejando espacios para cerrarlo con otros tapones flojos de amianto sin metalizar, destinados á retener la humedad; el tubo así dispuesto se introduce en el baño de parafina sólo hasta el nivel de los tapones de amian- to que, separan el paladio del rodio (*). Ya he indicado que, para obtener con seguridad la com-- bustión completa del óxido de carbono, es necesaria la pre- sencia del hidrógeno, porque si bien en alguna ocasión la he logrado casi completa del óxido solo, fué debido, sin duda, á la existencia de hidrógeno ocluido, ó de humedad en (*) Es fácil comprobar la eficacia del amianto rodiado haciendo que lo atraviese aire cargado de vapores de ácido fórmico que á la salida enturbia el agua de cal. — 845 - el amianto paladiado; no pude repetir la operación con aquel tubo, y ensayado otro nuevo con buen negro de paladio, tuve que añadir hidrógeno para llegar á quemar el óxido de carbono. Aunque queriendo conseguir de una vez la combus- tión del óxido de carbono se necesita su volumen de hidró- geno, quedando libre este gas, al transformarse el ácido fór- mico en anhídrido carbónico, su cantidad necesaria resulta bastante menor, y se alcanzan buenos resultados con un vo- lumen de hidrógeno, mitad del de óxido de carbono. Si para comprobar ó efectuar una combustión se añade hidrógeno, deberá tenerse muy presente su gran rapidez de difusión, que dificulta la exacta medida, y así, prefiero en muchos casos añadir el volumen equivalente de mezcla detonante (//._, + O); operando en lo demás del modo explicado en Nota anterior {Determinación del hidrógeno en el grisú, por el método de Hempel). Aquí, como en el método referido, es necesario conocer el volumen del espacio perjudicial del tubo de paladio-rodio y conexiones, porque después de la com- bustión queda lleno de anhídrido carbónico, que no entra en el tubo de potasa, y de metano que no irá á quemarse en el grisúmetro; es verdad que podemos corregir tal error mez- clando con este residuo el gas que ha pasado ya por la po- tasa, y pasándolo nuevamente, y entonces el error ñnal re sulta despreciable, é igual maniobra podríamos ejecutar con el metano, haciendo dos combustiones; semejante método operatorio duplicaría la operación y aumentaría mucho las diferencias de temperatura para las correcciones, y considero más sencillo conocer su medida de una vez para todas. Cabría medir el volumen del tubo, adoptando cualquiera de los dos sistemas indicados en la Nota referida sobre la «determinación del hidrógeno en el grisú»; sin embargo, considero más sencillo y rápido el siguiente procedimien- to fundado en deducirlo, con relación al de la bureta, por el del volumen de un gas fácilmente absorbible (por ejemplo, CO.y) que resta con aquél, después de haber medido el que - 846 - contenía la bureta. Veamos cómo se procede: se introduce en ésta una mezcla de aire y anhídrido carbónico al 4 ó 5 por 100 (*), uniéndolo perfectamente con el aire del tubo de paladio-rodio, para que resulte uniforme; se mide el volu- men del contenido en la bureta que llamaremos l^ y el del anhídrido carbónico correspondiente, A, absorbiéndolo con la potasa, lo cual, realizado, se mezcla el gas restante en la bureta, cuyo volumen es V", con el contenido en el tubo de volumen buscado V", y que diluido en V, dará una canti- dad de anhídrido carbónico, por una nueva medida, que 11a- A' maremos A'. Es evidente que la relación — serápróxima- V" A' mente igual á la de , de donde V" = V •; sin em- ^ V A bargo, podremos obtener un valor casi exacto de V", si te- nemos en cuenta que la relación del volumen de anhídrido carbónico que resta en el tubo, después de la segunda ab- sorción y que desconocemos, e$ la misma respecto del me- dido en el volumen V, que la encontrada en éste con rela- ción á la medida en el volumen !/(**), ó sea llamando A" sá volumen de COo que queda en el volumen V" después de la segunda absorción A" A' A' A ' de donde A"^ A'^ ~ A ' y como muy próximamente V" A' -Y^" V A (*) Para esto sirve muy bien el aire espirado de los pulmones que contiene alrededor de 4 por 100 de anhídrido carbónico . (*^) Por diferir muy poco entre si V y V , - 847 - substituyendo tendremos: V" A' , ÍA'\ . ,,,, \ A' /A'Vn / ^ V A \ A Podemos también calcular dicho volumen con exactitud por las siguientes consideraciones. Si conservamos las mis- mas notaciones y designamos ahora por A '„ el volumen de anhídrido carbónico que queda en el volumen V", mientras existe A en el volumen V, tendremos V A V" A\ ' V" y como por otra parte A\ = A' -\ A ', substituyendo este valor en la primera, resultará V VA' V" A' V + A' V" de donde AVV" = ó • --AVV'^A'VV" V"{AV'- -A'V)—A' VV\ y finalmente 1/" _ A'VV _ V v AV A' V A V ~ A V -ib) A' Y A' ' V~ Como ejemplo de aplicación de estas fórmulas voy á ex- poner el cálculo del volumen del tubo y conexiones que ha utilizado (*). (*) Todos los volúmenes están reducidos á la temperatura inicial; la presión se supone no haber variado durante la operación, - 848 - Volumen de gas (de igual composición que el del tubo de paladio-rodio y conexiones) V =49 85 Volumen de gas después de absorbido el CO2 V^'=47.75 Anhídrido carbónico medido A =2.10 Mezclado el gas restante libre de anhídrido carbónico con el del tubo y conexiones, se hizo una nueva lectu- ra que dio V- 47.72 Absorbido el anhídrido carbónico contenido en V me- dimos 47.57 de donde ^ '= 0.15 Aplicando las fóriiiulas anteriormente deducidas, obten- dremos por la (a) y" =49.85| -^^ +í-5iJAyi = 49.85(0,0715 + 0,0715)^^ = 49.85 (0,0715 + 0,0051) = 49.85 x 0,77 = 3.84, y por la {b) , , _ 47.75 47 J5 ~ ^-^ 47-75 _ j ~ 14 X 0,958 - 1 ~~ 0,15 ■ 49.85 _ Al .15 ^_4LZ1^3. , 13,4—1 12,4 cuyo valor relativo — '■ = 7.75 por 100 no es de des- 49.85 preciar. No debemos olvidar lo que he dicho antes respecto de la importancia de tener en cuenta, para análisis exactos de mez- clas ricas, el volumen del espacio perjudicial que existe en los grisiunetros con cámara de combustión distinta de la bu- reta medidora, como ocurre en el renombrado de Schondorff, y el error inherente al mismo se evita, para la medida de la contracción, repitiendo la combustión de la mezcla, si no que- remos calcularlo (llega al 2 ó 3 por 100). Igual consideración, — 849 - aunque de menor importancia, hay que tener presente en el propio aparato respecto del espacio perjudicial correspon- diente al intervalo entre la pipeta de anhídrido carbónico y la de combustión, si aquélla se halla entre ésta y la bureta medidora. He estudiado este método de análisis empleando mezclas artificialmente preparadas de los tres gases, dedicando prin- cipalmente mi atención á comprobar el valor del óxido de car- bono (por el volumen de anhídrido carbónico correspondien- te), deduciendo después la cantidad de metano que quedaba en el residuo, por su combustión en el grisúmetro; también he comprobado que una mezcla de aire y metano no experi- menta contracción (es decir, no se quema metano), hacién- dola pasar en iguales condiciones por el tubo de paladio- rodio. La principal dificultad ha consistido en medir exacta- mente la cantidad de hidrógeno, pues si la mezcla se prepa- ra en un recipiente independiente de la bureta medidora, no pasa á ella todo el volumen de la mezcla, á causa de la gran diferencia de velocidad, en los capilares, entre el hidrógeno y los demás gases, resultando la ley de la porción medida distinta de la total. Por esta razón el hidrógeno lo añadí á la mezcla de los demás gases contenidos ya en la bureta medi- dora, midiendo su volumen después de mezclarlo en la pipe- ta con potasa, para evitar su difusión por el capilar del ma- nómetro de agua, que lo haría escaparse de la combustión; pero en esta medida hay que tener en cuenta el volumen de hidrógeno que queda en el orificio de la llave (O '',10) al trasvasar dicho gas á la bureta y que luego toma parte en la combustión. Por falta de tiempo, y el esperar retrasaría algunos meses la publicación del presente trabajo, no puedo presentar va- rios resultados de análisis completos, debiendo limitarme al último, por la confianza que me inspira, no sólo atendiendo á los resultados obtenidos, sino por su concordancia con otros anteriormente obtenidos empleando mezclas diferentes, - 850 — en las que, por no serme conocida, como he dicho, la can- tidad de hidrógeno, el análisis resultaba incompleto, aunque no inexacto. El gas artificial se prepara del siguiente modo: La primera mezcla se efectuó en una bureta Le Chatelier, añadiendo á V^ de metano al 87,7 por 100 (límite 6,9), 99" de aire con óxido de carbono al 1,68 por 100, y anhí- drido carbónico al 0,20 por 100, que resultaba de la siguiente composición: CH* (1 >^ 0,877) 0,877 CO (1,68 >: 0,99) 1,663 CO2 .. 0,200 Aire 97,260 100,000 Absorbido el anhídrido carbónico por la potasa en el mis- mo grisúmetro, la composición del gas resultante es la si- guiente: C//4 0.879 CO 1,666 Aire. 97,455 100,000 Quedaron para el análisis 46 "',95, que contenían: CH^ 0cc,413 CO O ,783 Se añadió hidrógeno, y mezclados los gases sobre la po- tasa y hecha la reducción de volumen á la temperatura ini- cial, dio un volumen de 47,95 al cual hay que añadir el del canal de la llave 1,00 que ahora substituye á otro igual de aire 0,10 Con lo cual el volumen de hidrógeno será V, 10. — 851 - Pasada la mezcla tres veces por el tubo de paladio- rodio, hasta un volumen de 45,92 que da para la contracción 2,03 Hecha la absorción de COo en la potasa, queda un volumen de 45, 1 7 Diferencia 0*^^75 A este volumen de CO2 hay que añadir el que había que- dado en el tubo de Pd — Rh, cuyo volumen (3''",85) es -^^ = 0,84, 45,92 del de la bureta; de manera que la cantidad de COo que hay que añadir, será 0,75 x 0,084 = 0,063 CO2, correspondiente á CO 0,813 Este valor del anhídrido carbónico, deducido por el cálcu- lo, fué comprobado por su absorción, que dio 0"",07 en vez de 0''',063, que está dentro de los errores de lectura. Valor del hidrógeno '^/g (2,03 Yi^l±_ ^ 2/3 ( 2,03 - 0,407) = 2/3X1 ,623 = 1 ,082). El volumen del gas queda reducido á 45'''', 10, pero habien- do subido la temperatura de 12'',50 á 15°,25, es decir, 2°,75, y no pudiendo alcanzar completa exactitud con el manóme- tro de agua, sino para diferencias inferiores á 2",50, reduzco los volúmenes á la presión exterior empezando á medir nue- vas diferencias de temperatura, pero teniendo en cuéntala reducción de volúmenes. - 852 - El volumen del gas es ahora 45,75, de manera que el coeficiente de reducción de volúmenes será: ^^- ^ 0,986. 45,75 44 97 Realizada la combustión del metano se encuentra — - — . 0,79 Absorbido el CO. se obtiene — - — . 0,39 Teniendo en cuenta el volumen del espacio perjudicial del o oc tubo Pd^Rh — ! = 0,0842, el volumen de la contrac- 45,75 ción correspondiente al total de metano será 0,78 -Y 0,0656 = 0,846, que reducido á la temperatera inicial es 0,846 X 0,986 = 0",835, que da para el metano un volumen mitad de 0'''',418. Deducido el volumen de metano por el del anhídrido car- bónico encontrado, el valor sería algo mayor, pues si añadi- mos el volumen del espacio perjudicial que queda entre la cámara de combustión del grisúmetro y la bureta de C0. = 0,014 -= 1,4 por 100, el volumen resulta 0,3954 en vez de 0,39, pero esta diferen^ cia cae dentro de los errores de lectura y operación, y como la contracción es una medida doble mayor, debemos prefe- rirla. En resumen, tenemos para los resultados obtenidos: Mezclado. Medido. Diferencia Oxido de carbono 0cc,783 0cc,813 + 0",030 Hidrógeno 1 ,100 1 ,082 - O ,018 Metano O ,413 O ,418 -}- O ,005 - 853 - Vemos, por lo tanto, que este método es suficientemente exacto tratándose del reconocimiento de pequeñas cantida- des de los referidos gases, siendo debidos los errores más al modo de operar que á los fundamentos del mismo. Lo con- sidero de mucha utilidad para valuar pequeñas cantidades de metano en el residuo de una explosión de este gas, y el procedimiento tiene la ventaja sobre el de las tres ecuaciones de Bunsen de no exponernos á hallar valores negativos para el volumen de aquel gas. Laboratorio de ia Escuela de Minas. XLII. — Los siilfíitos de calcio y de plomo en el ácido tartárico comercial. Por Ruperto Lobo Góa\ez. Una de las substancias halladas al analizar casi todos los ácidos tartáricos industriales es el sulfato de plomo, y en ca- lidad de inseparable compañero suyo se encuentra también el sulfato de calcio. No es de extrañar la presencia de estos dos cuerpos en aquellos productos, si no se tiene grandísimo cuidado en su fabricación. El sulfato de calcio proviene del tartrato calcico empleado como primera materia, y en la generalidad de los casos se encuentra abundante, y el sulfato de plomo depen- de, en su mayor parte, y hasta me atrevería á asegurar que en su totalidad, del ácido sulfúrico, agregado para descom- poner el tartrato calcico. Necesitando en muchísimos casos determinar cuantitati- vamente el plomo en los jugos correspondientes á las di- versas fases de fabricación del ácido tartárico, desde luego llamó mi atención el hecho de que, á medida que la cantidad de sulfato de plomo era mayor, también aumentaba la de Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Mayn, looS. 5+ - 854 - Sulfato de calcio, y esto me hizo suponer que, en líquidos tan complejos, acaso podría existir cierta relación entre las solubilidades de los dos sulfatos. El ácido sulfúrico industrial empleado es de 60" Baumé, y practicado su análisis en diversas ocasiones, respecto del sulfato de plomo, los resultados fueron: Sulfato de plomo "/o Gramos. 1 0,0360 2 0,0450 3 0,0280 4 0,0358 5 0,0325 6 0,0296 7 0,0453 8 0,0357 9 0,0260 10 0,0286 Diluyendo este ácido sulfúrico en los líquidos proceden- tes del lavado de residuos de fabricación, gran parte del sul- fato de plomo se precipita; pero queda otra parte disuelta. Con diluciones hasta 30° Baumé, según es costumbre adicio- narlo al tartrato calcico para descomponerlo, en su ensayo obtuve los resultados siguientes: Acido sulfúrico diluido ¿ 30"" Baumé. Sulfato de plomo o/o dsuelto. Gramos. 1 ■. 0,0085 2 0,0164 3 0,0063 4 0,0080 5 0,0077 6 0,0060 7 0,0075 8 0,0145 9 0,0093 10 0,0056 - 855 Efectuada la descomposición del tartraío calcico por el ácido sulfúrico así diluido, se obtiene lo que en la industria se llama líquido fuerte (jugo), cuya concentración suele co- rresponder á 15° Baumé, y hecho el análisis de este jugo respecto de los dos sulfatos, resultó: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sulfato calcico Sulfato de por 100 c. c. plomo por KJO c. c. Gramos. Gramos. 0,4910 0,0038 0,4191 0,0032 0,3950 0,0030 0,4734 0,0036 0,3005 0,0022 0,4088 0,0030 0,4183 0,0032 0,3828 0,0029 0,3287 0,0025 0,3294 0,0026 C( 'oncentrando el líquido hasta 30° Baumé, se consiguen los llamados jugos semi-concentrados, y de su análisis, to- mando la muestra en el momento de vaciar, se obtuvo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sulfato de Sulfato de calcio plomo en lüO c. c. de 100 c. c. Gramos. Gramos. 1,3567 0,0103 1,3470 0,0104 1,8593 0,0141 2,0456 0,0157 1,3845 0,0102 1,5326 0,0101 2,1462 0,0174 1,8435 0,0187 2,0046 0,0169 1,8543 0,0156 Dejando reposar este jugo unas veinticuatro horas, se de- positan en parte ambos sulfatos, quedando cierta cantidad de ellos disuelta. Los análisis del depósito dieron: — 856 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sulfato calcico Sulfato de de ItXJ c. c. plomo de 100 c. c. Gramos. Gramos. 0,0635 0,0005 0,0653 0,0007 0,0565 0,0006 0,0645 0,0005 0,0614 0,0004 0,0553 0,0002 0,0632 0,0009 0,0536 0,0005 0,0525 0,0006 0,0668 0,0003 Y respecto de los sulfatos disueltos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sulfato calcico Sulfato de por 100 c. c. plomo por 100 c. c. Gramos. Gramos, 1,2930 0 0098 1,2817 0,0097 1,8028 0,0135 1,9811 0,0152 1,3231 0,0098 1,4773 0,0099 2,0830 0,0165 1,7899 0,0132 1,9421 0,0163 1,7875 0,0153 Comparando las proporciones de los dos sulfatos disuel- tos, tanto en el jugo fuerte como en el semiconcentrado y recordando sus respectivos pesos moleculares, he podido en- contrar la fórmula que indica la relación en que se encuen- tran disueltos en ambos líquidos: Peso molecular del 50 , Ca .2H.,0= 172. Peso molecular del SO^Pb -= 303. Diferencia D = 131. Resulta que la cantidad del sulfato de plomo disuelto es - 857 - igual a la cantidad de sulfato de calcio, dividida por la dife- rencia de los pesos moleculares de los dos sulfatos. Ley límite . D Obtenido el jugo semiconcentrado y dejado en reposo para que se precipite parte de los sulfatos, se procede á la concentración del jugo que debe cristalizar, y del resultado de muchos experimentos he podido deducir que el grado más conveniente para una buena cristalización es 40" Baumé. Reposando los líquidos en los cristalizadores durante unos quince días (término medio), se procede á sacar la parte cris- talizada, separando previamente el agua madre. De la masa, valiéndose de pequeños golpes de martillo, se obtienen los cristales, clasificándolos en cuatro clases, con- forme á su tamaño, y son: ácido cristalizado, granulado 1, granulado 2 y granulado 3. El análisis de cada una de estas suertes de cristales dio los siguientes resultados: Acido cristalizado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .■ 10 Sulfato calcico Sulfato de plomo en 100 grs. en 100 gramos. 0,0015 0,0033 0,0018 0,0049 0,0016 0,0037 0,0020 0,0045 0,0016 0,0036 0,0025 0,0057 0,0030 0,0065 0,0029 0,0062 0,0032 0,0074 0,0019 0,0041 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — 858 - Granulado 1. Sulfato de Sulfatode calcio plomo en UO gramos. en 100 gramos. 0,0025 0,0058 0,0038 0,15083 0,0035 0,0075 0,0036 0,0080 0,0035 0,0079 0,0032 0,0070 0,0034 0,0076 0,0038 0,0081 0,0031 0,00/0 0,0040 0,0086 Granulado 2. Sulfato calcico Sulfatode plomo en ICO grs. en lUJ gramos. 0,0038 0,0085 0,0040 0,0088 0,0041 0,0089 0,0040 0,0086 0,0039 0,0086 0,0042 0,0089 0,0039 0,0085 0,0043 0,0090 0,0039 0,0083 0,0040 0,0087 Granulado 3. Sulfato calcico Sulfato de en 100 grs. plomo en 100 gramos. 0,0045 0,0099 0,0040 0,0089 0,0042 0,0094 0,0041 0,0092 0,0040 0,0090 0,0043 0,0093 0,0045 0,0093 0,0043 0,0091 0,0046 0,0094 0,0047 0,0098 — 859 - Comparando las cantidades de los dos sulfates determina- dos en los productos obtenidos, se observa también una re- lación entre ellas y los pesos moleculares correspondientes. Peso molecular de SO^Pb = 303. Peso molecular de SO,Ca.2H.O = 172. Peso molecular de SO^ Ca = 136. Dividiendo el peso molecular del sulfato de plomo por el peso molecular del sulfato calcico anhidro, resulta un núme- ro 2,22 importante, porque habida cuenta del resultado de los anteriores análisis, se puede establecer que: la cantidad de sulfato de plomo contenido en "I ácido tartárico, es igual á la cantidad de sulfato de calcio multiplicada por 2,22. Ley límite: SO,Pb = SO^ Ca.2H, 0x2,22, 2 22 -: ^^"de>SO, P¿? TmáeSO, Ca ' Zaragoza, 2 de Mayo de 1908. XLIII. — Estudio coiniuirativo de los iiisti'uiuentos más usados en Sismología. Por Manuel- M.'^ S. Navarro (S. J.) Los péndulos horizontales suelen trabajar con longitudes bastante más modestas, sobre todo los que funcionan fuera del Japón; sin embargo, los períodos de hasta 25% y quizá algo más, son frecuentes, aun en péndulos de construcción algo grossolana, como decía de los suyos el Profesor A. Cancani, calificativo aplicable á los Stiattesi en Cartuja que también los dan. - 860 - Y como ya un péndulo vertical de 25 metros requiere gas- tos considerables de instalación, etc., á no hallarse en circuns- tancias puramente fortuitas y siquiera de un centenar de me- tros resultaría molestísimo, resalta la superioridad innegable, de los péndulos horizontales é invertidos, de los cuales los primeros no pueden registrar, como ya apuntamos, masque una de las coordenadas horizontales en que puede descom- ponerse el movimiento, siendo conveniente instalar dos, uno en la dirección E-W, para registrar la componente A^-5 del movimiento, y otro en la N-S para la E-W. Esta segunda posición es la preferible cuando sólo es posible montar un péndulo, aunque á veces precisa, por otras causas depen- dientes del local, colocarlos en posiciones intermedias. Por más, la fórmula indicada en la página 672 sirve tam- bién para deducir la sensibilidad de un péndulo horizontal, puede utilizarse la siguiente, debida al Profesor Omori (*): a = L^ .(**), r/LNsenl" en la que N es igual á la multiplicación del movimiento, ó sea al aumento externo del índice inscriptor, L la distancia del centro de gravedad de la masa al punto de apoyo (ó en los Stiattesi, por ejemplo, á la línea que une ambos puntos de suspensión y apoyo), T al período actual del péndulo horizontal y To al que tendría si el péndulo tuviese la longi- tud L. Los péndulos horizontales de registro mecánico más usa- dos actualmente, pertenecen al tipo Grablovitz-Omori, más ó menos modificado, esto es, se derivan del péndulo Gray- Ewing-Milne, aún empleado en el Japón, donde su escasa sensibilidad es á veces una buena cualidad. (*) Publicütions Núm. 5, 1901, pág. 5. (**) Loga ^2 log 7o-(2 1üg T-y-\ogL \- iog A^ + log sen 1"). - 861 - Construidos en 1895 por vez primera con 5 kilogramos de masa, que en los modelos actuales asciende á 12 kilogra- mos, los péndulos del Profesor G. Grablovitz se distinguen por su sencillez y gran baratura (*), En el modelo que hemos tenido ocasión de ver en el Ob- servatorio del Ebro (Tortosa), las masas de ambas compo- nentes son cúbicas y se hallan suspendidas por medio de delgados alambres de acero, sujetos á una de las diagonales de su base superior, á una sencilla armazón que descansa sobre una punta cónica de acero, fija en una pieza de hie- rro empotrada en el pilar de mampostería que sirve de apo- yo al conjunto. El citado punto de suspensión está 2 metros más alto que el de apoyo, trozo de hierro escavado, sujeto á la masa, y que se apoya sobre la punta de una fuerte aguja ordinaria, sujeta á un tornillo límite de los empleados en los timbres eléctricos. La distancia entre el centro de la masa y el punto de apo- yo es de 10 centímetros, lo que permite obtener un aumento de 8 veces, adaptando un delgado listón de madera de 80 cen- tímetros á uno de los lados del cubo, listón que termina por una delgada y estrecha lámina de aluminio, que, apoyándose sobre el papel ennegrecido con débil presión, traza los mo- vimientos de la masa. El cilindro registrador da una vuel- ta = 30 centímetros por hora, avanzando, arrastrado por un reloj despertador ordinario, unos 2 milímetros, gracias al tor- nillo de acero en que termina. Un electroimán, bastante po- deroso, obliga al cilindro á dar un salto hacia adelante cada vez que el péndulo cronógrafo cierre el contacto, lo que se hace de minuto en minuto, con una detención mayor todas las horas, marcando así las mismas agujas inscriptoras el tiempo sobre sus gráficos. (*) 90 liras las dos componentes con el cilindro registrador, pro- visto de su mecanismo para marcar el tiempo, construido, bajo la di- rección del inventor, por el mecánico del Observatorio, - 862 — Existen péndulos Grablovitz en dos puntos diferentes de la isla de Ischia, en Laibach y en Tortosa. Los péndulos Omori pueden dividirse en tres grupos: pén- dulos largos, portátiles y tromómetros. La característica general de todos ellos estriba en la ex- quisita delicadeza con que han sido construidos y en la sus- pensión. Una masa, relativamente poco pesada, suspendida de la parte superior de un robusto soporte de fundición por medio de un estribo de hierro, terminado en fuerte y aguda punta de acero, que descansa sobre un bloque del mismo metal provisto de una abertura, también cónica, pero de 120" en vez de los 50 á 80" de la punta, todo provisto de delicados ajustes á tornillo para centrar las piezas y regular la distan- cia entre las verticales que pasen por los puntos de apoyo y suspensión, y, á más, una palanca multiplicadora inscriptora y un cilindro registrador con su cronógrafo, constituyen un péndulo Omori, hoy, con sus derivados, el más extendido de todos los sismógrafos, cualquiera que sea su tipo. En los dos péndulos principales (*), que desde hace años funcionan admirablemente en el Observatorio de Hongo, uno de los tres sismológicos de Tokyo, las dimensiones actuales y constantes ordinarias, son las siguientes (**): Distancia entre el punto de suspensión y el de apoyo .... 2 metros, ídem id. id. de apoyo y el centro de la masa 1 metro. Peso de las masas j E- W = 17,4 kilogramos. ( N-S =46 » ... ( E- W ^ 15 veces. Aumento externo ) * ';; } N-S =20 » El soporte de fundición y de gran solidez mide 1,20 me- tros de altura y tiene tres tornillos de nivel y dos pernos en (*) Horizontal pendulums Piihlications Núm. 5, 1901, pá- ginas 1-6. [;**) The Calabrian Earthíjnakc Bullctin .... Vol. 1, núm. 1, Tokyo, 1907, - 863 - SU base, para unirlo sólidamente, una vez nivelado, á un pi- lar de manipostería de 1,78 metros de altura por 0,82 >< 0,82 de sección. En éste, cerca de su base, se halla empotrada en una ex- cavación el punto de apoyo, bloque de acero de temple muy duro, con una cavidad cónica, en cuyo fondo ha de descan- sar la masa, por el intermediario de la punta de acero de 50° en que remata su estribo. De la dureza y esmerada construc- ción de entrambas piezas, depende, no poco, la sensibilidad del instrumento. Tornillos situados convenientemente permiten orientar el bloque y fijarlo. La suspensión consiste en un alambre delgado, también de acero, que se sujeta á la masa cilindrica por dos ganchos que ésta presenta, en su gran diámetro central, perpendicular á aquél en que se halla el estribo. Este alambre pende de un tornillo cuadrado, que atraviesa un prisma triangular de acero, con su arista hacia abajo, verdadera cuchilla de balan- za, y situado sobre una cuña de acero, también horadada, para dar paso al tornillo y al alambre ya citados. Un tornillo, de sección cuadrada y de paso fino, situado detrás de la plataforma porta -prisma, sirve para hacerlo avanzar ó retroceder, regulando así el período. El mecanismo multiplicador inscriptor consiste en una pa- lanca de primer género, cuyo extremo corto remata en una horquilla y el largo en un trozo de espiral de reloj, de peso inferior á 5 miligramos y terminado en una punta fina, que constituye la pluma inscriptora. Esta palanca puede moverse horizontalmente sobre un eje de acero, y la relación entre ambos brazos debe ser de 1 : 10, 20 ó 30, como máximo, siendo su peso, en el modelo citado, 20 gramos. En su brazo corto penetra, á frotamiento muy suave, casi nulo, otro eje de acero muy bien pulimentado, y que gira, libremente, so- bre un soporte en la base superior del cilindro de plomo, fo- rrado de latón, que constituye la masa. Un pequeño contra- — 864 — peso sirve para equilibrar el peso de la palanca larga, dismi- nuyendo así la resistencia que oponga al movimiento, lo que tiene, lo mismo que la esmerada construcción de todas las piezas que hemos tenido ocasión de ver en el péndulo Omo- ri de la Estación Central de Estrasburgo, durante nuestra re- ciente permanencia en dicha ciudad, mucha más importan- cia de lo que á primera vista parece. Los péndulos portátiles más recientes del Profesor Omo- ri (*), suelen tener situado debajo un pequeño péndulo ver- tical invertido, esto es, con la masa hacia arriba, y relacionada con la del péndulo horizontal, lo que permite darles perío- dos oscilatorios muy considerables y contribuye, y no poco, con el factor antes citado, á amortiguar la tendencia que tie- nen los sistemas pendulares á adquirir sus propios períodos oscilatorios, aunque menos que el apagamiento citado. Su masa actual suele ser de unos 16 kilogramos; su punto de apoyo dista 1 metro del de suspensión y 75 centímetros del centro de la masa, siendo su aumento de 30 veces y su pe- ríodo ordinario máximo de unos 40 á 45 segundos. Para las estaciones de segundo orden se usa en el Japón otro modelo portátil Omori, de masa más reducida y con pa- lanca amplificadora análoga á la del péndulo del Profesor Grablovitz (**). Como en estos instrumentos, en los tromómetros (***) también se halla situado el mecanismo de centraje en la pla- taforma en que se apoya el prisma de donde pende la masa. En el modelo descrito en 1903 (****), ésta pesa unos 50 kilogramos, se halla suspendida á 112 centímetros de altura y su centro dista sólo 20 del punto de apoyo. Esta distancia, (*) A Dúplex Horizontal Pcnduliim Apparatus, in Publicationes... Núm. 18 (1904), págs. 1-3, pl. I-Il. (**) Publicafions... Núm. 5, pág 8. (***) De Tv'v/oi;, temblor, agitación. (***♦) A Horizontal Pendiiliiin Tromomcter , Publications... Núme- ro 12, 1903, págs. 1-3, pl. I-VI. - 865 - tan corta, unida á la altura no muy considerable del punto de suspensión, no permite obtener más de 30 á 35 segundos como período máximo; pero se puede llegar y aun pasar de un minuto, colocándolo á mayor altura, como lo consiguió el mismo Omori, poniendo su tromómetro sobre una de las co- lumnas mencionadas al hablar de sus péndulos largos. El aparato multiplicador, en vez de hallarse relacionado con la parte central de la masa, lo está con un eje en el extre- mo de una armazón de aluminio y que dista un metro de la misma, lo que multiplica por 6 el aumento que en sí tenga aquél. Esta es una de las razones que inducen á construir péndulos cuya masa diste muy poco del punto de apoyo. La otra no menos poderosa, en el caso de masas de considera- ble peso, se halla fiuidada en que la presión que ejerce el punto de apoyo sobre la cavidad en que descansa, decrece rápidamente con el ángulo subtendido por el estribo, según la siguiente fórmula: P = Ai eos «, mientras que el tiro au- M menta con mayor lentitud: T = — . Así se pueden em- •' tang o; plear masas muy pesadas sin miedo de estropear ni la punta cónica del estribo ni el punto de apoyo, pues la presión ejer- cida por la masa del tromómetro en que nos ocupamos no llegaba á 9 kilogramos para sus 50, próximamente. Omori ha empleado este instrumento con 120 veces de au- mento externo, y proponía la construcción de otros para Observatorios de primer orden, con 150 á 200 kilogramos de masa y 330 veces de aumento (*). Existen péndulos Omori, de construcción japonesa, en los principales Observatorios sismológicos del Japón, en el Cen- tral de Estrasburgo, Birmingham y Zi-ka-wei (**). (*) A Horizontal Pendiilum Tromometer , Publications... Núm. 12, 1903, pág. 5. (**) Regalo del Emperador del Japón al P. Luis Froc, S. J., por los valiosos servicios prestados á sus escuadras por el citado Obser- vatorio, sito cerca de Shangai, que desde algunos años dirige. - 866 - Las modificaciones é imitaciones de estos péndulos sort muy numerosas, siendo hoy los instrumentos sísmicos más extendidos, sobre todo bajo la denominación de péndulos pesados de Estrasburgo {*), fabricados por los afamados mecánicos de dicha ciudad hermanos J. & A. Bosch, de los que hay ya más de 84 repartidos en 42 estaciones distintas, entre las que se cuentan las de segundo orden del Imperio alemán, muchas del ruso y austríaco y alguna en América. Pesa 50 kilogramos la sólida columna de fundición en que se apoyan y 25 la masa, suspendida, á un metro de altura, sobre su punto de apoyo por dos alambres rematados en una armazón, con su abertura en forma de cono de 120°, que descansa sobre una punta cónica de 90", sujeta á una plata- forma y provista de los tornillos necesarios de centraje. El estribo, de 75 centímetros de largo, termina en una ca- vidad cónica, asimismo de 120", y descansa sobre una pun- ta de 90", también de excelente acero, y fija en la parte infe- rior de la columna que le sirve de pie. El aparato multiplicador, provisto de una ligera aguja de aluminio, aumenta quince veces, pudiendo empleaise, coa gran facilidad, amplificaciones de cinco y diez veces y todas las intermedias, y el conjunto forma, con su cilindro registra- dor, que da una vuelta = 90 centímetros por hora, avanzan- do tres milímetros en dicho tiempo, un todo compacto de 1,30 metros de altura máxima por 1,60 en su mayor longitud, y atendiendo al peso es un aparato portátil (**). Los períodos máximos obtenibles llegan á más de cincuenta segundos, pero casi siempre se utilizan de diez y siete á veinticinco (***). (*) Strassburger Horizontalschwerpendel angefertigt von J. & A. Bosch. (**) 650 Mks. el par, con accesorios, y de 180 á 210 Mk. más con re- loj cronógrafo y aparato amortiguador. (***) Albums de los Profesores Rudolph y Omori, Biillctins des Observafoires de la Honf^rie ct de la Croatie, Records o) Seismo- graphs in Norfh America and flie Jfawaüan islands, &. - 867 - Pertenecen á este tipo, inspirado en las felices modifica- ciones introducidas en los péndulos Ewing, Gray y Milne por Omori, y que tan excelentes resultados da en mano de este celebérrimo sismólogo japonés, los tromometrógrafos Omori del R. P. D. Guido Alfani, S. P. Este sabio escolapio. Director del Observatorio Ximeniano de Florencia, emplea, como los hermanos Bosch y antes Gra- blovitz, dos puntas cónicas de acero, sobre las que descan- san dos cúpulas semiesféricas. Con masas de 200 kilogramos y aumento de 125 ve- ces, se consiguen períodos de hasta cuarenta segundos (*). Existen dos de estos tromometrógrafos en el citado Ob- servatorio, y hay, además, otros instalados en el Simplón, Pompeya, la Calabria, etc. La casa Bosch, de Estrasburgo, construye un tromómetro, de 100 kilogramos de peso y de 80 á 100 veces de aumento externo, en el cual, siguiendo los consejos del Profesor Hec- ker, de Postdam, la suspensión se efectúa por medio de lámi- nas de acero, pudiendo agregarle un mecanismo de apaga- miento {**). Pertenece también á este tipo bifiliar el péndulo del doc- tor C. Mainka, encargado de los instrumentos en la Estación Central de Estrasburgo: la suspensión consiste en un delga- do alambre de acero, y el punto de apoyo es una lámina del mismo metal, sumamente adelgazada y perforada en su mitad. (*) 800 liras el par, comprendido el cilindro registrador, de un metro de velocidad por hora, construido bajo la dirección de su in- ventor, (**) 800 Mk. el par, sin los cilindros registradores 600 Mk. y el apagamiento 80 Mk. más. - 868 - PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1° DE JULIO DE 1907 (Continuación.) Centro Farmacéutico Uruguayo. — Revista... — Año 15, tomo XIV, núms. 8 y 9, Agosto i.°, Septiembre i." 1907. — Montevideo. Mallada (L ). — Memorias de la Comisión del Mapa Geológico de España. — Explicación del Mapa Geológico de España por... — Tomo VI. — Sistemas Eoceno, Oligoceno y Mioceno. —Madrid, 1907. Vegas (Miguel). — Tratado de Geonretria Analítica por .. - Tomo II, segunda edición. — Madrid, 1907, Escuela de Artes y Oficios y de Capataces de Bilbao.— Memoria relativa al curso de 1906 á 1907. — Bilbao, 1907. G. de Galdeano (Zoel). — Exposición sumaria de las Teorías Matemáticas por el Doctor... — Zaragoza, 1907. G. de Galdeano (Zoel). — Algunas consideraciones sobre Filosofía y Enseñan 2a de la Matemática, por el Doctor... — Zaragoza, 1907. Labra (Rafael M. de). — El Instituto de Derecho Internacional. — Ma- drid, 1907. Cortejarena (Or. Francisco). — Algunos escritos y casos prácticos de cirugía del Dr. Sánchez de Toca (Curso clínico de 1855 á 1856). — Comunicación leída ante la Real Academia de Medicina los días 13, 20 y 27 de Abril de 1907 y publicada en los Anales de la misma. — Madrid, 1907. Enestrom (J l'_ Ny \ (b' \ -7-, \ -N, A Figura 46. en otra conferencia, al establecer entre las componentes de las tensiones las igualdades: A-xy Ayx'y A] yx, ^yz Xr»\ X- 'zy, zx y xz' Hubiéramos podido escribir las seis ecuaciones de equili- brio, á saber: las tres de las componentes paralelas á los ejes y las tres de las rotaciones, que hubieran sido las tres anteriores, y eliminando tres de las seis cantidades que en- tran en estas últimas por substitución en las primeras, hubié- ramos llegado á los resultados obtenidos con sólo cambiar de notaciones, es decir, introduciendo las 7 y las N en vez de las X. - 880 - Esto se ve inmediatamente en el paralelepípedo elemen- tal, y lo mismo hubiéramos podido hacer para el tetraedro con facilidad suma, descomponiéndole en paralelepípedos infinitamente pequeños de orden superior. Es decir, substituyendo á la superficie .4 B Cuna serie de escalones, por decirlo de este modo. Y sigamos el razonamiento precedente, dejando estable- cido que las ecuaciones que vamos á obtener, puede supo- nerse que son las ecuaciones de equilibrio del punto M' de la superficie límite del cuerpo. Veamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre este te- traedro. Determinemos las componentes paralelas á los tres ejes, é igualemos estas componentes á cero. Las fuerzas que actúan sobre la cara fí O C de la figura 46, son como en la figura 45. — N^, T,, —T.. Una cosa análoga podemos repetir para las caras AOC y OAB. Todas las componentes están expresadas en la figura 46. Para la cara ABC, que es la del cuerpo, la fuerza que actúa en el punto M' por unidad de superficie, supondremos que sea P, y sus componentes, Xq, Yo, Z^\ designaremos por /, m, n los cosenos de los ángulos que forma dicha fuerza P con los ejes coordenados, y para completar las notaciones, representaremos los cosenos directores de la normal á la cara ABC por «, p, Y ; pondremos, por fin, área OBC Wi, área OAC — w,, área OAB = (Og, áreaylJ5C = ü, de donde - 881 — Pasemos al cálculo de las componentes. Las componentes paralelas al eje de la x, se ve en la figu- ra, que son y los esfuerzos sobre las caras del tetraedro, que se obten- drán multiplicando las anteriores por las áreas correspon- dientes: que sumándolas dan de donde y poniendo por Xq su valor Pl, y por tl)j tiJ, t'>o Q L> ü respectivamente «, ¡i, y. Esta será la primera ecuación de equilibrio del tetraedro. Asimismo, las componentes paralelas al eje de las y, serán — -/Vo, — Ti, i 3, Yq, y los esfuerzos sobre las caras del tetraedro se obtendrán multiplicando las anteriores por o).,, Wg, w^ y ü; y tendremos — 882- sumando é igualando á cero: y sucesivamente, Ü)l , . , tu)o , ^ tOg n=n^ + iV,^+7-, Ü Ü Ü Pm=T,o:-j-N,[-i+T,y. Esta es la segunda ecuación de equilibrio del tetraedro. Por último, del mismo modo obtendremos la tercera ecuación. Componentes de las tensiones por unidad paralelas al eje de la y, y componente de P: Wg , y 1 , y 2 > -^0 ' suma de las componentes de los esfuerzos: — N^ii'-¿ — 7^1 tOo — T^wj -|- Zq(í = O, ó bien, sucesivamente: " Q Q ' Ü que es la tercera ecuación de equilibrio. Así, las tres ecuaciones de equilibrio del tetraedro, que co- rresponde á un punto cualquiera de la superficie, serán: Pl = N,aJr T.J-\- T,y, Pm=^T,a f yV.,M T^t> - 883 — En resumen, para el equilibrio de cualquier punto del in- terior del cuerpo, las componentes de las tensiones tienen que satisfacer á las tres ecuaciones siguientes, que antes ob^ tuvimos: dx dy dz «T. ^AIÍ + jLH + ^y^o, (I) dx dy dz dT, , dT, . dN, + .^l^-fpZ = 0. dx dy dz Estas ecuaciones son suficientes si el medio elástico es indefinido. Si el sistema elástico es limitado, las componentes de las tensiones para cualquier punto de la superficie límite deben satisfacer á las tres ecuaciones siguientes: Pm = na + N,p+ r,Y, (II) Los grupos (1) y (II) resuelven el problema que nos había- mos propuesto, á saber: determinar las ecuaciones de equi- librio de un sistema elástico, definido ó indefinido, bajo la acción de fuerzas exteriores, y actuando, ya sobre los ele- mentos de la masa, ya sobre los diferentes puntos de la su- perficie límite, si el sistema no es indefinido. Si en vez del equilibrio se tratara del movimiento, no ha- bría más, como hemos dicho varias veces, que tener en cuenta las fuerzas de inercia, que por unidad de masa, y re- presentando por u, V, w, los desplazamientos, sabemos que son las componentes de la aceleración: d-u d-v d^w dt^ ' ~dF' dt^ ' — 884 — Antes de pasar adelante, debemos hacer algunas observa- ciones para completar la inteligencia de lo que precede, evitar confusiones y prevenir dudas. Advertimos, una vez más, que siempre suponemos dirigir- nos á principiantes. * » * 1." Podrá llamar la atención de algunos, que en las ecua- ciones del grupo (1) hayamos tenido en cuenta las compo- nentes de las fuerzas exteriores sobre la masa del paralele- pípedo, es decir, ^dxdy dzX, ^dxdy dzY, ^dxdy dzZ, y que no las hayamos tenido en cuenta al establecer el equi- librio del tetraedro. La explicación es elemental, y se refiere al orden de pe- queflez de los diferentes términos. En el paralelepípedo hay que tener en cuenta la diferen- cia de los esfuerzos sobre las caras opuestas, diferencia que es de tercer orden de pequenez. Por ejemplo, sobre las caras perpendiculares al eje de las X tenemos ( ^1 + ^1 + -^^ dx\dy dz - -^^ dx dy dz, ^ dx J dx que es, en efecto, de tercer orden; lo mismo exactamente que cualquiera de las expresiones que acabamos de escribir, por ejemplo, Xodxdy dz; de modo que no puede prescindirse de esta última, y por eso las tres ecuaciones pueden dividir- se por dx dy dz; y por eso quedan en las ecuaciones X, Y, Z. No sucede lo mismo con el tetraedro. No hay caras opues- tas, no hay diferencias de tercer orden; cada fuerza está muí- - 885 - tiplicada por un elemento de superficie, lo mismo las A''y T que la P. Si además hubiéramos tenido en cuenta la fuerza exterior, y, por lo tanto, para la primera ecuación, por ejemplo, X^dxdy dz, al dividir por Ü hubiera resulta- do Xp , que es, como se ve, un infinitamente pequeño de primer orden; y como los demás términos son cantidades finitas, éste hubiera desaparecido al pasar al lí- mite. 2.° El grupo (I) nos dice que para el equilibrio de un punto del interior de sólido elástico, las componentes de las tensiones A^, T deben satisfacer á tres ecuaciones diferencia- les parciales de primer orden, que son precisamente las de dicho grupo (I); son, pues, éstas, las que en cierto modo dan la ley de variación de las tensiones en el interior del sistema. En ellas, A^i, M, N.¿, T^, T,, T.¿ se refieren á cada punto M del sólido, porque el paralelepípedo no ha sido más, por decirlo de esta manera, que el andamiaje geométrico que he- mos empleado para llegar á las relaciones (1). Habiéndolas obtenido, ya el paralelepípedo no existe; al pasar á los lími- tes, se va haciendo cada vez más pequeño, y, por último, to- das sus caras pasarán por el punto M. Las ecuaciones del grupo (I) expresan, pues, una ley á que deben satisfacer las componentes de las tensiones por unidad para el punto M y para planos paralelos á los planos coor- denados. Ley diferencial á la que no sería difícil dar una interpreta- ción geométrica. Resulta, pues, que N-^, N.y, N.¿, T^, T.,, T¿ son funciones todas ellas de x, y, z, que son las coordenadas del punto M; y el problema analítico consistirá en integrar estas tres ecua- ciones, es decir, en buscar funciones de x, y, z para las TV y las T que satisfagan, ó de otro modo, que hagan idénticas las tres ecuaciones del grupo (I). A primera vista parece que el problema es indeterminado, Rkv. Acap. Ciescias. -VI. — Junio, looS. ¿b — 886 — porque las ecuaciones son tres y son seis las funciones A^i, N,, N„ T„ T,, T,. Ocurre, pues, que podrían tomarse tres de estas funciones arbitrariamente, y por medio del grupo (I) obtener las res- tantes, con lo cual, el problema de la Elasticidad resultaría indeterminado. Resultado contrario, en general, á lo que da la experiencia y á lo que admitieron en un principio la ma- yor parte de los autores. Pero de todas maneras, este procedimiento es absoluta- mente inaceptable y de todo punto inexacto. Las TV y las T no son independientes entre sí, ni pueden tomarse tres de ellas arbitrariamente. Vimos en una de las conferencias anteriores, que todas estas cantidades, es decir, las seis componentes N, T se ex- presan en función de los desplazamientos u, v, w, que son las verdaderas incógnitas del problema. Las N y las 7 son incógnitas, en este concepto, secundarias, y quedan determi- nadas cuando se conocen las primeras; aunque sean por sí importantísimas. Esto lo veremos comprobado en la conferencia próxima, cuando de las ecuaciones del grupo (I) eliminemos Ny T en función de u, v, w y tengamos tres ecuaciones diferencia- les entre estas tres componentes del desplazamiento. Y, sin embargo, cuando en alguno de los cursos próximos, estudiemos, al menos tal es mi propósito, las teorías de Maxwell, obtendremos ecuaciones, análogas á las preceden- tes, en la Electroestática, y diremos que el problema es in- determinado, y para resolverlo, consideraremos una solución particular; pero aun entonces, algo tendremos que observar. Ya hicimos constar varias veces, que la teoría de la Elas- ticidad es fundamental en toda la Física matemática. Si bien hemos dicho, que tiene caracteres particulares cuando se aplica á los sistemas eléctricos. Por ahora no adelantemos las ideas. 3." Las ecuaciones del grupo (II), que se llaman las ecua- - 887 - ciones de los límites, establecen el equilibrio para cualquier punto de la superficie del sistema elástico. No es, si se nos permite el modo de expresarnos, un equi- librio de volumen, como el que determina el grupo (I), sino un equilibrio de superficie, ó para la superficie, en el caso de que el sistema no sea indefinido. Las N y T del grupo (II) no representan lo mismo que las N y T del grupo (I). Estas últimas ya hemos indicado que son funciones de tres variables independientes, x, y, z, si se trata del equilibrio; y es claro que serán funciones de cuatro variables, x, y, z, t, siendo t el tiempo, si e! problema es un problema de movi- miento elástico: por ejemplo, una onda de vibración que cir- cula por el sistema. Por el contrario, las Ny Tdel grupo (II) son funciones de dos variables independientes; por ejemplo, x, y en el caso del equilibrio; y de tres variables, x, y, t en el caso del mo- vimiento. La otra variable z, que era independiente en el interior del cuerpo, depende de x, y para la superficie. Si F {X, y,z) = 0 representa la ecuación de la superficie límite, esta ecuación dará z para cada sistema de valores de x, y. De modo, que en el grupo (II), ó en otro que de él se de- duzca, se podrá, al menos en teoría, eliminar z, y este grupo (II) se convertirá en una ecuación finita ó diferencial, no pre- juzguemos ahora la cuestión, de dos variables independientes, x, y; mientras el grupo (1) contendrá tres variables indepen- dientes, según hemos dicho. Si se trata del movimiento, hay que agregar siempre la variable independiente /. Si del grupo (I) ó de éste combinado con los valores de N y T, según explicaremos en la conferencia próxima, dedujé- semos los valores de N y T, al substituirlos en el grupo (II) — 888 — para ver si lo reducía á identidades, en estos valores de N y T deberíamos poner el valor de z obtenido en la ecua- ción F = 0. Son minuciosidades evidentes, y hasta de buen sentido, pero ninguna aclaración sobra, cuando se estudia una mate- ria por primera vez. * * * Recordemos, antes de terminar esta conferencia, el camino que hemos seguido, para comprender bien el punto en que estamos, y lo que nos falta para la exposición completa del método de Lame. El hacer un resumen, de cuando en cuando, la experiencia me ha enseñado que es conveniente para la enseñanza. Volver la vista atrás, y abarcar de un golpe el camino recorrido, es la mejor manera de orientarse en la marcha. El método que vamos á exponer, decíamos al principio del curso, que en sus líneas generales es el de Lame, parte, según nosotros, de dos principios experimentales: 1.° Que en cada punto del interior de un sólido elásti- co, y para cada dirección de un plano, que pase por este punto, que hasta pudiéramos suponer que es un plano de rotura, existe un esfuerzo que llamábamos tensión, en térmi- nos generales. 2° Principio, también experimental: las deformaciones, ó sea los desplazamientos, dependen de las tensiones; ó á la inversa, las tensiones son funciones de los desplaza- mientos. Esto también lo comprueba la experiencia. Ambos principios, que nosotros en este método conside- ramos como experimentales, pueden establecerse á priori, haciendo hipótesis sobre la construcción íntima del cuerpo, y suponiendo fuerzas de atracción ó repulsión entre sus ele- mentos; pero esto, á nuestro modo de ver, es un método - 889 — híbrido, mezcla de dos métodos opuestos, porque admitidas dichas hipótesis, no hay motivo para no seguir el método de Cauchy; y en vez de considerar el equilibrio de cada parale- lepípedo elemental, consideiar el equilibrio de cada punto como una de tantas masas infinitamente pequeñas de un sistema astronómico-molecular, si se nos permite emplear esta palabra. En resumen, el sistema de Cauchy, ó el sistema de Lame, puede decirse que se diferencian de este modo. Para el equilibrio del interior del cuerpo, Cauchy escribe las ecuaciones de equilibrio de cada punto; Lame y otros autores escriben las ecuaciones de equilibrio de un parale- lepípedo artificial é hipotético, que rodea á cada punto y lo contiene. Pero esto ya lo hemos indicado muchas veces. Sigamos nuestro resumen. * * * Establecidos los dos principios fundamentales, dijimos que el método se descomponía en cuatro partes ó estudios parciales: 1.° Estudio de las tensiones. El resultado que obtuvimos fué, que todas las tensiones, alrededor de cada punto, y en cualquier dirección, se expresaban en función de seis tensio- nes fundamentales, que llamábamos N^, N.,, N^, T^, 7.,, T.¿, y, naturalmente, de los cosenos directores del plano elástico de que se trate. 2.° Estudio de las deformaciones, y llegamos á este re- sultado, análogo al del anterior: Que alrededor de cada pun- to, las deformaciones, ó, mejor dicho, las magnitudes de las deformaciones, dependen de seis cantidades fundamenta- les, «1, a., «3, 6i, ¿?2, 63. 3.° Expresión de las tensiones en función de las defor- maciones, y obtuvimos, en efecto, seis ecuaciones que nos daban las N y T, en función de las a, b. — 890 - 4.° Equilibrio, ya en e! interior de un sólido elástico, ya sobre la superficie, si no es indefinido, para cualquier punto. Hemos obtenido, precisamente en esta conferencia, los dos grupos de ecuaciones (1) y (II), que enlazan las tensiones con las fuerzas exteriores: ya con las que actúan sobre los diferen- tes puntos del cuerpo, que llamábamos X, Y, Z; ya con las fuerzas que actúan sobre la superficie, que llamábamos P para un punto cualquiera, y que, en general, serán oblicuas á la superficie. Su magnitud y su dirección dependerán de las coordenadas x, y, z del punto á que está aplicada. * * Podríamos dar por terminado este punto y pasar desde luego á la determinación de las ecuaciones finales del pro- blema de la Elasticidad. Pero dejaremos esto para la confe- rencia inmediata, y en la de hoy, á manera de ejercicio, ha- remos una comprobación de las ecuaciones, que hemos obtenido para expresar el equilibrio. En rigor, si para cada elemento del sólido hemos hallado condiciones de equilibri), y éstas se aplican á todos los pun- tos del sistema, es claro que cualquier porción finita de éste se hallará en equilibrio también. Es un axioma, en efecto, que el sistema compuesto de mu- chos sistemas en equilibrio, en equilibrio se halla. Pero, de todas maneras, aun en Matemáticas, con ser la Ciencia de la exactitud, las comprobaciones satisfacen, son en cierto modo una garantía, de que en el curso de los cálcu- los no se ha cometido ningún error: es algo del método experimental. Y en la Física matemática, no en todos los casos, y, por decirlo así, de primera intención, se verifi- can estas comprobaciones, como, por ejemplo, se prueba al- gunas veces en la magnífica obra sobre electricidad y mag- netismo de Mr. Poincarc. — 891 - > Vamos, pues, á demostrar, que las tres ecuaciones funda- mentales + ?X=0, dN, dx dT, dy dT, dz dx dN, dy dT, dz dT, dT, dN, dx dy dz + ?Y=0, + pZ=0, verificadas para todos los puntos del interior del sólido, ex- presan, asimismo, el equilibrio de una parte finita de él; es z S /^ 3"~\ \ / \ \' n' a- f ^ y \ ^Kz.' / bÁA \c' cy 1- Figura 47. decir, que para esta porción finita, considerada como rígida, se verifican las seis ecuaciones de equilibrio de la Mecánica racional: las tres componentes de las fuerzas paralelas á los ejes, resultarán iguales á cero, y los tres momentos ó los tres pares con relación á dichos ejes, serán iguales á cero también. Sea S (fig. 47) un sólido elástico, y s una porción interior del mismo completamente arbitraria. - 892 — Nos proponemos demostrar, que todas las tensiones que se ejercen sobre la superficie s se hacen equilibrio con las fuerzas interiores á s. Busquemos las componentes paralelas al eje de las x, y demostremos que esta suma es igual á cero. Lo que digamos para esta componente podríamos repetir para las otras dos. Tomemos para ello la primera de las tres ecuaciones, que era precisamente la que se refería á dicho eje de las x. Mul- tipliquemos por dx.dy.dz, que es el factor por el cual dividi- mos la ecuación de la cual procede ésta, y sumemos todas las ecuaciones de esta clase en el interior del espacio s, que es sumar, como antes decíamos, sistemas en equilibrio. En rigor, esta suma es una integral triple, extendida á todo el sólido s. Representando abreviadamente la integral triple por L=JXÍ. tendremos + C A]^dxdydz-{- C -^J^dxdydz ^ 7(3) dx J,3) dy J^ dT. í* -dxdy dz -{- I ^ Xdxdy dz = 0. (3J dZ Jq) Consideremos la primera de estas integrales, y lo que de ella digamos, podremos luego repetir para las otras dos. La integral dx dy dz, (3) dx puede ponerse bajo esta forma, - 893 - Pero la parte que está bajo la última integral puede inte- grarse desde luego, y la integral indefinida será N^^. Si suponemos que el filete /(fig. 47), paralelo al eje de las X, encuentra á éste según dos cuadriláteros, abcd, a'b'c'd', y representamos el valor de TV^, para el primero por N\ y para el último por N'\, dicha integral tendrá esta forma, considerando los dos límites y restando: j' fdydz{N\-N\). En rigor, no hemos hecho otra cosa que sumar todos los paralelepípedos infinitamente pequeños, comprendidos en dicho filete, desde un extremo de la superficie al otro, y es claro que la sección recta del expresado filete será constan- temente dx.dy. Las secciones extremas abcd, a'b'c'd' las representare- mos para abreviar por A,A',y evidentemente, ambas seccio- nes se proyectarán paralelamente al plano de las yz según el rectángulo dx . dy. Si representamos por ot, ,3, y los cosenos directores de la normal n á la superficie s en un punto del área A, y por a', }', y', los de la normal n á dicha superficie en un punto de ^'; y si además contamos hacia el exterior el sentido po- sitivo de dichas normales, tendremos evidentemente, dxdy = Aa, y también dxdy = — A'a. Con lo cual, la integral que estamos considerando, se con- vertirá en J'J'dxdy{N',-N",) = j'J'AaN',+JjAaN\. - 894 - Pero esto equivale á hacer la suma para todos los puntos de la superficie del elemento diferencial constante AaN, en que A es un área infinitamente pequeña de la superficie s. De suerte que el primer término podrá substituirse por C AaN,. J(2) Esta integral es doble y se extiende á todos los elementos infinitamente pequeños de la superficie; A es uno de estos elementos infinitamente pequeños; ot es el coseno del ángulo que forma n con el eje de las x, contando siempre la parte positiva de n hacia lo exterior, y N es la componente para- lela al eje de las x para ese punto, y no olvidemos que re- presenta la acción de la parte de la derecha del sólido sobre la parte de la izquierda. A este pi opósito, debemos hacer una aclaración, que es evidente, pero que así y todo, no estará de más. Para el área A, por ejemplo, A^ representa la acción de la parte que está fuera del sólido s sobre el interior; el coseno a suponemos que es positivo, de modo que tendremos, en efecto, una tensión producida por la parte exterior á s sobre dicho sólido. Por el contrario, en la cara A',N continuará representando la acción de la parte de la derecha sobre la izquierda, es de- cir, del sólido sobre la parte exterior; pero como a es negativa en este punto, según muestra la dirección de la normal /?', habrá que cambiar la dirección de N, y tendremos, como antes, la acción de la parte exterior sobre la interior. Que es precisamente lo que nos interesa para nuestra de- mostración: calcular las tensiones de la parte que rodea al sólido s, sobre dicho sólido. — 895 Lo que hemos expuesto para el primer término, podemos repetir para el segundo r J(3) ^ dxdydz. '(3) dy Este se puede poner bajo la forma: é integrando la primera integral, que en rigor es sumar todos los elementos de un filete rectangular de sección dx . dz per- pendicular al eje de las y, y representando por T'^ y T". los valores de T3 en los dos puntos en que suponemos que el filete encuentra á la superficie S, tendremos f -^ dx dy dz= C dx dz {T\ — T\). J(3) dy J(2) Representando por B y B' las dos áreas que el filete de- termina en la superficie s; como siempre, por «, p, y, y a', P', y' los cosenos directores de las dos normales á B y B'; y con- tando la parte positiva de estas normales hacia lo exterior, resultará dxdz = B'¡i y también dxdz= ~ B'^y, y, por lo tanto, ' f ^- dx dydz^ f (5,3 r, + B'? T",). J(3) dy J(2) Por consideraciones análogas á las que hicimos hace un momento, vemos que estas dos integrales pueden expresarse por una sola que se extienda á toda la superficie; en efecto. — 896 - ambas integrales no hacen más que completarsa, refiriéndose una al punto de entrada de los filetes, y otra al punto de sa- lida. Esta integral única será J(2) Repitiendo los anteriores razonamientos para la tercera integral, — —dxdydz, '(3) dz J(3 se transformará en la siguiente: C CT,r J(2) Por último, la integral pXdxdydz, í (3) representando por dm la masa infinitamente pequeña de un elemento de volumen, puede también escribirse de este modo: I dm . X. Con lo cual, la ecuación que vamos transformando, se convierte en esta nueva ecuación: f AaN, 4- f B-iTs + f C'fT, + r dm . X =^ 0. J{2) J(2) J(2) J(3) Las tres primeras integrales se refieren á la superficie s; luego pueden substituirse por una integral única, compren- - 897 - diendo todos los puntos de dicha superficie, y agrupando los términos para cada punto, las tres cantidades A, B, C se reducirán á una, á saber: el elemento infinitamente pequeño de área en el punto que consideramos: representándolo por ds resultará por fin: r {N^a + 73 p -f- 7, y) í/s -f C dmX= 0. J(2) J(3) Si recordamos las fórmulas de una conferencia anterior, y aun de esta misma conferencia, en que determinábamos las componentes de las tensiones sobre un elemento cuyos cosenos directores eran a, ,3, y, veremos que el paréntesis de la primera integral no es otra cosa que la componente de dicha tensión paralela al eje de las x, por unidad de su- perficie, sobre el elemento de ds cuyos cosenos directores son precisamente «, p, y. Luego resulta que el primer término representa la suma de todas las componentes paralelas al eje de las x, de las ten- siones que actúan sobre la superficie s; y que el segundo término representa asimismo la suma de todas las compo- nentes paralelas á dicho eje para las fuerzas, que actúan en los diferentes elementos de la porción del cuerpo elástico que limita s. Es decir, que la suma de todas las componentes paralelas al eje de las x para la porción s, que estamos considerando, es igual á cero. Lo mismo podríamos demostrar para las componentes pa- ralelas al eje de las y, y para las componentes paralelas al eje de las z. Las tres pri'neras ecuaciones de equilibrio de una porción cualquiera del sólido elástico quedan, pues, satisfechas. * * * - 898 - Pasemos, pues, á las ecuaciones de los momentos, par- tiendo siempre de las tres ecuaciones de equilibrio dx dy dz dx dy dz dT, , dT, . dN., + -^T-^ + -^^ + eZ-^o. dx dy dz Multipliquemos la segunda de las ecuaciones por z, la tercera por y, y restemos: resultará, dT., . dN, , dT,l r dT, . dT, . dN, j [^ dx dy dz \ dx dy dz + p(Fz-Z);) = 0, y agregando y restando T, bajo esta forma dz j. dy dz dy tendremos: <'^3+,Í^+,J^ + r.i^U 6 , \ dx dy dz dz ( dTo , dT, . ^ dy . í/N, \ . .,r ^ x n . \ dx dy dy dz J Ahora bien, como x, y, z son variables independientes, podemos pasarlas bajo el signo diferencial, cuando la dife- renciación sea respecto á otra variable. Así, por ejemplo, j -u- dT. , . . , dT,z podremos escribir z — bajo la forma dx dx Además, dT, . ^ dz dT,z dT, . ^ dy dT,y !- + r, • — ~ y y -f r, — ^ = — — dz dz dz dy dy dy — 899 - De modo que la ecuación anterior puede escribirse como sigue: ídT.z ^ dN,z ^ dT,z\ ídT,y ^ dT,y ^ dN,y\^ \ dx dy dz ) \ dx dy dz ) + z{Yz -Zy) = 0, ó reuniendo los coeficientes diferenciales que se refieran á la misma variable, diT,z-T,y) ^ d{N,z-T,y) ^ d{T,z~N,y) ^ dx dy dz + ¡:^iYz-~Zy)=^0. Multiplicando por dx. dy . dz é integrando en toda la ex- tensión de la parte de sólido que consideramos, contenida en la superficie s, tendremos: J(3) dx Jc3) dy + r ^^^'^'^'^^ dxdydz^ C ^{Yz -Zy)dxdydz = 0. J'3) dz J(3) El resto del cálculo es exactamente el mismo que el que hicimos para las componentes paralelas á los ejes. Así, en el primer término, se puede hacer la integración respecto á x; en el segundo, respecto á y; en el tercero, respecto á z. Después se pueden introducir los cosenos «, ¡íl, y en cada uno de los filetes de la integración. Baste copiar el resultado que allí obtuvimos substituyendo á A^i, T¿, T2 los binomios {T,z - T,y), {N,z - T,y), {T,z-N,yl - 900 — y tendremos: C\{T,z-~T,y)y. + {N,z~yTyHiT,zN,y)r'\ds + + r odxdydz(zY—yZ)=^0, Jí3) ó bien + r dm{Yz-Zy) = 0. J(3) Pero (T^a -|- N.,i!> -f T^';)ds es la componente paralela al eje de las y de la fuerza que actúa sobre el elemento ds, y multiplicada por z es el momento con relación al eje de las X de dicho componente. Asimismo, ('Aa -f T{;i -1-A'';^y)í/s es la componente paralela al eje de las z de la fuerza que actúa sobre dicho elemento ds, multiplicada por y dará el momento con relación al eje de las X. Y como la integral es doble y se refiere á toda la superficie s, claro es que representará el momento con re- lación al eje de las x de todas las tensiones que actúan so- bre dicha superficie s. Pero la última integral triple representa el momento con relación á este eje de las x de las fuerzas que actúan sobre los diferentes elementos del sólido; luego resulta compro- bado que los momentos con relación al eje de las x de to- das las fuerzas, dan un resultado igual á cero. Como lo mismo podríamos repetir respecto á los otros dos ejes, resultan asimismo comprobadas las tres últimas ecuaciones de equilibrio. La demostración que precede está tomada, con pequeñas variantes, de la obra de Mr. Lame, que hemos citado varias veces, sobre elasticidad de los cuerpos sólidos. — 901 - XLV.— Mareómetros y Mareógrafos de Sifón. Por Eduardo Mier y Miura. 29. — Ventajas de los mareómetros y mareógrafos de sifón. Por más que toda comparación esté reputada de odiosa, y á más de serio resulte poco modesta cuando uno de los términos que en ella han de figurar sea en cierto modo pro- pio, cual en este caso nuestro sucede, no hay más medio que dejar escrúpulos á un lado y exponer claramente los defec- tos de los mareógrafos conocidos, que al no existir en los propuestos ó al aparecer en ellos algo atenuados, hacen re- saltar implícitamente las ventajas de los últimos. Obligados á ello, expongamos una critica desapasionada de los aparatos más empleados en el estudio del nivel del mar, haciendo aparecer primeramente las ventajas técnicas de los nuevos aparatos y más tarde las económicas. Por lo general, los mareógrafos quieren indicar el nivel que el agua tiene en pozos que comunican con el mar, por tubos más ó menos largos y anchos, y desde luego cabe pre- guntar si ese nivel es ó no el que las aguas tienen fuera. Desde luego, las alturas que las aguas tengan sobre la boca exterior del mencionado tubo, como quiera que por di- ficultades técnicas y económicas el tal tubo no puede ser muy largo, serán las que el líquido toma precisamente en las orillas, las cuales, como es sabido, difieren de las que en el mar libre existen, influyendo en ello de poderoso modo la configuración de las costas. Este defecto puede hacerse desaparecer por completo con los mareógrafos de sifón eléctricos, instalando la estación receptora en un pilote hincado en cualquier bajo y sufi- Rev. Acad. de Ciencias. — VI. — Junio, 190S. j7 - 902 - cientemente alejado de la costa, y puede atenuarse mucho, aun instalando los mareómetros y mareógrafos en la misma orilla, usando el tubo de plomo suficientemente largo; ya que el escaso diámetro y precio de éste, y la pequeíiísima cantidad de agua que por él ha de circular, así lo consienten. Por el tubo de ios mareógrafos ordinarios han de correr grandes cantidades de agua, que prontamente llenen y vacien el pozo, si es que el nivel de éste ha de ser igual próxima- mente al de las aguas exteriores, y de aquí nace la necesidad de emplear grandes y costosos tubos de fundición, y la de mantener su interior constantemente limpio. Por el tubo de los mareómetros y mareógrafos de sifón han de pasar canti- dades insignificantes de líquido, y aun suponiendo que el diá- metro del tubo de plomo empleado fuera el mismo que el de cristal en que oscila el mercurio, para estar los mareógrafos ordinarios en iguales condiciones de sensibilidad, fuera nece- sario que los tubos de fundición tuviesen nada menos que una sección 13 ó 14 veces mayor que la del pozo, aun en los casos más desfavorables. En sí entraíía esta ventaja otra no despreciable por ser de escasa influencia en los nuevos aparatos la obturación par- cial de los tubos de conducción, mientras que la tiene gran- de en los ordinarios. La facilidad con que los tubos de los mareógrafos ordina- rios se obturan, que en general no consiente asignarles una vida, en medianas condiciones, superior á cuatro ó cinco años, implica crecidos y frecuentes gastos, que la reposición de esos grandes tubos exige (en el mareógrafo de Cádiz cuesta unas 7.000 pesetas esa renovación), al paso que cambiar un tubo delgado de plomo por otro nuevo, ni presenta dificul- tad alguna ni acarrea grandes gastos, ya que en unas horas y con unas cuantas pesetas puede hacerse la substitución deseada. Exige la igualdad de niveles entre las aguas de los pozos de los actuales mareógrafos y las del mar, que la densidad - 903 - media de unas y otras sea exactamente la misma, y como la de estas últimas cambia con relativa frecuencia y el pozo y el mar no son más que dos vasos comunicantes por un tubo relativamente estrecho, ni inmediatamente se restablece el equilibrio de densidades ni deja de sumarse este error, aunque pequeño, con los anteriormente anunciados. En los nuevos aparatos este error es casi nulo, gracias á la facilidad de comunicación que hay entre las aguas del ex- terior y las que contiene el tubo del aparato. Acerca de estos cambios de densidades en las aguas del mar, así como de su temperatura, no conocemos ningún es- tudio completo, y sólo desde hace unos meses se ha comen- zado á efectuar en Santander, encontrándose una variación máxima, desde 1.^ de Septiembre de 1894 á fines de Abril de 1895, de 2'', O á 3,1 del salinómetro, y oscilando las tem- peraturas de las aguas superficiales desde 20%2 hasta 9^,1, en igual período de tiempo. Otra causa de error, que en los mareógrafos ordinarios existe, proviene del cambio de forma y de peso que el flotan- te experimenta con el transcurso del tiempo; alteraciones ambas que, tendiendo al mismo fin, pueden producir indica- ciones erróneas en los niveles registrados, ya que tanto el aumento de peso que las incrustaciones producen, cuanto las abolladuras que el flotante sufre, aunan sus esfuerzos para dejarle más sumergido de lo que debiera estar. Verdad es que ese inconveniente puede evitarse con una asidua inspección; pero también es cierto que, habiendo de sacar continuamente el flotante para verificarla, no sólo se habrían de interrumpir frecuentemente los trazados mareo- gráficos, sino que se aumentaría la posibilidad de que por resbalamientos inadvertidos en la cadena resultaran aquéllos notablemente falseados. Esos peligros, ó no existen del todo en los mareógrafos propuestos ó aparecen tan atenuados en alguno de ellos, que desde luego pueden despreciarse. Aun en el mareó- — 904 — grafo de flotante de hierro macizo, se tiene constantemente bajo la vista todo el mecanismo mientras está funcionando, y no son de temer abolladuras ni adherencias de impor- tancia. Además, en otra parte de este trabajo hemos hablado de los errores por temperatura y por alargamiento de la cadena bajo los esfuerzos mecánicos, á los que habían de añadirse los de colocación del papel y los que en sí lleva el movi- miento lateral de los usuales lápices trazadores, y no hemos de repetir razonamientos ya escritos, en los que probamos que los nuevos aparatos se prestan á introducir correcciones sencillas, que les convierten en instrumentos de observación muy precisos, libres de la mayor parte de las causas de error que hemos enumerado. La profundidad que las aguas alcancen ya hemos demos- trado que no es obstáculo que al uso de los nuevos aparatos se oponga; el temor de que la peculiar índole de éstos impi- da su empleo en las costas en que descienda mucho la tem- peratura, al menos en las situadas entre los paralelos en que es lógico que se instalen, tampoco debe existir, porque en contra de lo que á primera vista pudiera creerse, no llegan á congelarse los líquidos que llenan la parte superior del apa- rato, aun cuando la temperatura del aire sea bastante inferior á O grados. El punto de solidificación del mercurio es — SQ^.S; los de otros líquidos, tales como el aceite y el alcohol, con los que pudieran llenarse la rama descendente de los mareógrafos de sifón, son á temperaturas también bajas (alcohol, — 90"; aceite de lino, —20"; aceite de ricino, — 18", etc., etc.); de modo que debe desecharse en absoluto la creencia de que la solidificación de los líquidos haga imposible en ciertos ca- sos el uso de los mareógrafos propuestos; pero aun emplean- do nada más que mercurio y agua de mar, al menos en las costas de España, no hay cuidado de que la congelación de esta última, que se verifica á 2",5, impida su uso. — 905 - Experimentos hechos por nosotros asi nos permiten asegu- rarlo y la explicación del fenómeno no es difícil, ciertamente, aun suponiendo que se trate del agua destilada, que se con- gela cerca de 3 grados antes que la del mar. Recordemos que, según Rossetti, á O" tiene el agua una densidad de 0,999871, que va aumentando con la tempera- tura hasta llegar á 1 á los 4", y que desde aquí vuelve á dis- minuir valiendo 0,999990 á los 5^ y 0,999824 á los 9", y re- cordemos también que en las costas del Cantábrico, aun en inviernos de excepcional crudeza, no descendieron de esta temperatura las aguas superficiales. Como el tubo del mareógrafo, que va á sumergirse en el agua, contendrá siempre en su parte inferior este líquido, relativamente caliente, cuando descienda la temperatura de su parte superior, aumentando la densidad del agua, se es- tablecerán á lo largo de aquella rama dos corrientes: una, que asciende, de agua caliente, y otra, que de la parte superior baja, de agua fría, y estas corrientes circulatorias, tanto más intensas cuanto mayor sea la diferencia de temperaturas, im- pedirán, dentro de muy amplios límites, el enfriamiento del agua, manteniendo la parte superior del tubo á una tempe- ratura relativamente alta. Acontece, por lo tanto, en este tubo lo que en cualquier vasija que por su parte inferior se ca- lienta. En cuanto á la otra rama del tubo que contiene en parte agua y en el resto mercurio, el fenómeno que se verifica es en su esencia análogo al descript^: la columna de agua está calentada por su parte superior y enfriada principalmente por abajo, y en virtud de esta diferencia de temperaturas, de- berá establecerse una corriente circulatoria en ciertos casos. Enfriándose continuamente la columna de agua de esa otra rama del tubo, cuando la parte inferior descienda de 4", sus moléculas subirán, al paso que las superiores de mayor peso caerán á ocupar el lugar que éstas dejan, y aun cuando as- cendieran ligeros copos de hielo, quedarían liquidados por el — 906 — agua relativamente caliente que en las partes más altas en- cuentren. Claro es que, en condiciones excepcionales, tan grande puede ser el descenso de temperatura, que esas corrientes cir- culatorias no basten para compensar su efecto; pero feliz- mente, en nuestras costas no son de temer temperaturas ex- cesivamente bajas y sostenidas, y en puntos en que su pre- sencia fuera frecuente, puede recurrirse al empleo de otros líquidos distintos del agua, sin que por esto resulte alterado el modo de ser de los mareógrafos propuestos. Pudiera creerse que, en este examen que hacemos de los errores inherentes á los mareógrafos ordinarios, había algún apasionamiento en favor de los que proponemos, y para des- vanecer esta sospecha, nada encontramos preferible á copiar lo que acerca de ese punto se dice en las publicaciones del Instituto Geográfico por el Sr. Cabello. Así se expresa en el tomo I de las « Memorias del Insti- tuto Geográfico y Estadístico >, en su pág. 892, al referir las experiencias hechas en Madrid, en la primavera de 1873, con el mareógrafo de Mr. Adíe, que luego se instaló en Ali- cante. «Después (de determinar la escala) se hizo oscilar alterna- tivamente el nivel del líquido entre dos puntos de la escala; anotando el camino recorrido por el lápiz en distintas posi- ciones del flotador y de repetidas pruebas se adquirió la se- guridad de que, al cambiar el sentido del movimiento, existía una parte de la variación del nivel que no era acusada por el lápiz, porque el trozo de cadena comprendido directamen- te entre el fiotador y la polea no estaba tendido al subir el flotador. Este retardo en las indicaciones del lápiz, originado por la inercia del aparato, es de igual magnitud en ambos sentidos y se apreció en O'" ,008 de diferencia de nivel, cir- cunstancia que no obsta para la buena aplicación del mareó- grafo, y sólo en el caso de que se quiera obtener en abso- luto las alturas del nivel en determinados momentos, habría - 907 — que referir los puntos de la curva á uno de los dos casos de subida ó bajada, por medio de la corrección ± O"', 008.» Tres años después que ese mareógrafo se instaló y estudió el de Santander, acerca del cual estudio se dice en la pági- na 615, del tomo IV de las referidas -Memorias», lo que sigue: « Se procedió después á determinar el error que se había notado al cambiar de dirección el movimiento del flotador, para la que se hizo sensible el movimiento del lápiz; enton- ces se cambió el movimiento del agua cerrando la llave de desagüe, y abriendo la otra, se vio que, cuando el nivel ha- bía variado O'", 2, el lápiz había recorrido solamente O'" ,033; se cambió la dirección del movimiento, y resultó lo mismo cuantas veces se repitió la operación en uno ú otro sentido; que en los primeros momentos del cambio de dirección, por O"', 2 de desnivel, el lápiz no recorría más que O"', 033, es decir, que el lápiz recorría 6'"'" menos que en el resto de su movimiento, produciendo, por consiguiente, una curva cuyos vértices están achaflanados y con 6'"'" menos en la longitud de sus trozos salientes, dando un error de O'" ,031 en todos los cambios de movimiento, y que será preciso te- ner en cuenta en los cálculos.- En frente de estos efectos de la inercia y de la adherencia entre las superficies de rozamiento, que tan sensibles efectos producen en los mareógrafos ordinarios, aparece la extre- mada sensibilidad de los nuevos aparatos, experimentable- mente comprobada (*), en los que sólo juegan movimientos pequeños de líquidos, con rozamientos casi nulos y cambios de situación de piezas ligerísimas y poco voluminosas, que dan al conjunto todas las condiciones que requieren los apa- ratos de precisión. (*) Como muestra de las curvas registradas por los mareógrafos de sifón, incluímos la reproducción fotográfica de las obtenidas du- rante siete días consecutivos con uno de los aparatos de ese género instalados en Santander. — 908 - r 3 .a — 909 - Y si estas ventajas técnicas, que seguramente nadie des- conocerá, no aconsejaran la substitución de los antiguos ma- reógrafos por los nuevos, y dando, además, por supuesto que todos esos errores se suman y restan de tan caprichoso modo que su influencia final en el nivel medio observado pudiera despreciarse, se conviniera en que tan evidente superioridad no era decisiva, que si lo es en concepto nues- tro, todavía quedarían tan por encima las condiciones econó- micas de los mareógrafos de sifón, que no parece lógico de- jar de concederles alguna preferencia. En apoyo de este último aserto, referente á las condicio- nes económicas de los nuevos mareógrafos, indicaremos que mientras que los de Reitz, Adíe y otros modelos análogos exigen la construcción de un edificio especial, relativamente costoso, como la mayor parte de los levantados á orillas del mar, con pozo y cañería de gran diámetro, los de sifón pue- den instalarse, á distancia relativamente grande de las aguas, en un rincón de cualquiera de los edificios ya existentes, ó en último extremo, en una caseta de pequeñas dimensiones. Si á tal circunstancia se agrega la de ser los nuevos ma- reógrafos de precio mucho menos elevado, no extrañará que el establecimiento de estaciones mareográficas con esos apa- ratos resulte treinta ó cuarenta veces menos costoso que el de las que utilizan mareógrafos de Adíe ó de Reitz. Además, cuando se usan estos últimos aparatos son fre- cuentes las obturaciones de la cañería que pone en comuni- cación el pozo, en que se halle el flotante, con las aguas del mar, y llega á ser tal el estado del interior de esas tuberías, en el que se forman voluminosas incrustaciones, que es pre- ciso renovarlas, á costa del mucho trabajo y del cuantioso gasto que generalmente suponen todas las obras que se han de realizar luchando con el mar. En cambio, la obturación de la cañería de los mareógrafos de sifón, aun en el caso de te- ner que reponer esta última, se reduce á substituir unos cuan- tos metros de tubo delgado de plomo, operación que fácih - 910 - mente, y con gasto despreciable, puede hacerse en breve tiem- po, no siendo de extrañar, por lo tanto, que los gastos de entretenimiento de estos nuevos mareógrafos sean también muy inferiores á los exigidos por los antiguos. Precisamente á estas razones de orden económico se debe que el autor ideara, muchos años hace, las disposiciones an- teriormente descriptas, porque no había medio de conciliar la necesidad de aumentar el número de estaciones mareográ- ficas de nuestro país con los escasos recursos de que dispo- nemos, y creyó cumplir con su deber, como Jefe de los estu- dios mareógrafos del Instituto Geográfico, indicando la solu- ción que podría adoptarse para armonizar el deseo de que desempeñáramos decoroso papel, por el número y calidad de nuestras estaciones mareográficas, con la imposibilidad de dedicar para satisfacerle cantidades relativamente crecidas. Y buena prueba de que ese interés era el único que guia- ba al autor, se hallará en el hecho de que este modesto estu- dio se elevó á manos de la superioridad hace más de trece años, después de algunos otros dedicados á efectuar estu- dios experimentales de los nuevos aparatos, y que segura- mente no hubiera visto la luz pública sin los persistentes re- querimientos de varias personas, que así lo solicitaron, obli- gando, con su cariñoso empeño, á sacar de la obscuridad lo que acaso debiera haber continuado en ella, para bien de todos. - 911 XLVI. — Estudio comparativo de los instrumeiitos más usados en Sismología. Por Manuel- M.'' S. Navarro (S. J.) Hasta ahora sólo ha construido dos ejemplares: uno de 100 kilogramos y 85 veces de aumento, cuya masa es un bloque de arenisca y está provisto de apagamiento de aire (*), y el otro de 375 kilogramos con 120 de aumento y apagamiento de aceite de vaselina, destinados, por acuerdo de la Comisión permanente, en el reciente Congreso Sismológico del Haya, el primero á la Universidad de San José de Beyrut (Siria), bajo el cuidado del P. B. Berloty, S. J., y el segundo á Reij- kavik (Islandia). En ambos modelos, de los que á mediados de Septiembre último habia ya encargados seis para otras tantas estaciones sismológicas alemanas, el mecanismo multiplicador inscrip- tor consiste en un segundo péndulo de cañas y otros mate- riales excesivamente ligeros. Otro tipo de péndulos horizontales lo constituyen aqué- llos en que las masas se hallan rígidamente unidas á los puntos de suspensión y de apoyo por medio de una robus- ta armazón metálica, derivándose así del péndulo fotográ- fico del Dr. Von Rebeur-Paschwitz, en el que nos ocupa- remos más adelante. En Mayo y Diciembre de 1896, montó el Profesor A. Can- ean!, en el Observatorio de Rocca di Papa (cerca de Roma), un par de colosales Von Rebeur, con 5,25 metros de distan- cia entre el punto de suspensión y el de apoyo, y 2,70 me- tros entre la línea que une ambos y el centro de la masa, sim- (*) Dr. C. Mainka, Kurze Uebersicht... Ss. 15... 20. Fig. 14... 226. - 912 — pie trozo de mármol, cuyo peso, primitivamente de 25 kilo- gramos (*), aumentó hasta el 60 el actual Director de aquel Observatorio Dr. G. Agamennone (**). Su período completo suele ser de 24 á 27 segundos, é inscriben los movimientos, sin aumento alguno, con tinta de anilina sobre papel blanco ordinario. Poco más tarde, el sacerdote florentino Profesor D. Ra- faelle Stiattesi, Director-Propietario del Observatorio de Quarto di Castello, después de numerosos ensayos, cons- truyó el péndulo que denomina modelo mediano (***), con 3,40 metros de distancia entre el punto de suspensión y el de apoyo, y 1,70 desde el centro de la masa á la línea que los uniese, El peso de la masa excede de 200 kilogramos y el aumento externo, producido merced á ligeras palancas tubulares de latón, terminadas en leves agujas, también hue- cas, de vidrio, es de unas 20 á 30 veces, con períodos va- riables, pero, en general, de 16 á 30 segundos. En Florencia hay nada menos que tres pares de estos pén- dulos en los Observatorios de Quarto, Ximeníano y en el que tienen los P. P. Barnabitas en su Colegio della Querce, bajo la dirección del R. P. D. Camilo Melzi d'Eril. Otros están instalados en Bolonia, Moncalieri, Malvasia, Río Janeiro y Cartuja (Granada.) El modelo máximo del P. Stiattesi pesa 500 kilogramos por 50 veces de aumento externo, y su período oscilatorio práctico parece ser menor que el de los anteriores (****). (*) I pendoli orizzontali del R. Osscr. G. di Rocca di Papa, in Boíl. S. S.I,\\\ (1897), pp. 235-240. (**) Winkc .... S. (***) Bollctino Sismo< 1,50 x 2 me- tros, con su caja protectora (**). (*) Precio completo 550 Mk. en la casa Spindier & Hoyer. (**) E. Wiecliert-Hauptstationen fiir Erdbebenforschung in Got- tingen und Apia-¡n Jahresbericht... üerland's Beitrage zur Geophy- sik, VIH, Bd. 3 u. 4 Hft. S. 629. Spindier & Hoyer Preis-Liste X VIH, SS. 4-6 u. 9. Precio, 2.800 Mk. - 925 - Pertenecen también á este grupo de instrumentos el graví- metro del Dr. Schmit, espiral suspendida por tres hilos de seda dentro de un tubo de vidrio, á la que sirve de masa una esfera de cristal llena de mercurio, instrumento de inscrip- ción óptica, una de cuyos defectos principales, su talón de Aquiles, según la gráfica frase del Profesor Dr. K. Mach, consiste en su extraordinaria sensibilidad á los cambios de temperatura (*), y otros instrumentos poco usados, como la balanza de Schlüter, etc. 2. - Sistemas no pendulares: Sismoscopios. Sólo mencionaremos, entre los aparatos no pendulares uti- lizables para el estudio de los terremotos, á la vasca sísmica, enorme cubeta llena de agua, cuyos desniveles, considerable- mente aumentados, registra un flotador sobre un cilindro gi- ratorio, y los niveles geodinámicos, vasos comunicantes, tam- bién de grandes dimensiones y que funcionan de modo aná- logo. Tanto con estos instrumentos, debidos á la poderosa inventiva del Director del Observatorio Geodinámico de Ca- samicciola, Profesor G. Grablovitz, como con las cámaras manométricas del Profesor Emilio Oddone, actual agregado á la Dirección de la Asociación Sismológica Internacional, sita en Estrasburgo, se ha tratado de evitar la tendencia á adquirir su propio período oscilatorio y otros inconvenientes de los sistemas pendulares, mas no han logrado substituirlos, en cuanto su sensibilidad es muy inferior. Los sismoscopios parecen cada vez menos en boga, y no sin razón: sólo pueden servir ó para indicar si ha habido al- gún movimiento y á qué hora, sin prejuzgar acerca de la na- turaleza sísmica ó no del mismo, ó para poner en acción el (*) Bericht... der Hohenheimer Erdbebenwarte... Beitrage,.. id, S. 616. — 926 - mecanismo de gran velocidad, ó el motor corriente de otros instrumentos. Lo primero, si son algo sensibles, suelen hacerlo por cau- sas extrañas á cada momento, y cuanto á lo segundo, ó son más sensibles que el aparato principal y éste se dedica á marcar á escape líneas rectas, como parece ocurrir en Rocca di Papa, á juzgar por el Bolletino, ó sólo utilizan la gran ve- locidad para la porción principal del sismo, de ondas casi siempre de más de quince segundos de período en los leja- nos, donde resulta inútil, y no en las preliminares rapidísi- mas en los terremotos de epicentro próximo, únicos en los que una gran velocidad sería conveniente alguna vez. Tampoco indican la intensidad del movimiento, etc., dato de gran importancia. Sin embargo, como pueden, á falta de otra cosa mejor, prestar servicios muy apreciables, indicare- mos algún modelo de los más prácticos. Uno de los mejores es el de péndulos invertidos del doc- tor Agamennone, que construye en Roma Fascianelli (*). Consiste, como indica su nombre, en dos péndulos inverti- dos cuyas masas se hallan fijas á diferentes alturas sobre fle- xibles varillas de acero, con objeto de que sus períodos de oscilación sean distintos. Una de ellas termina en una lami- nita de platino horadada, en comunicación con una pila, mientras que la otra lleva una punta de dicho metal en co- nexión con un electroimán convenientemente dispuesto (**) para poder detener la marcha de un reloj, tocar un timbre, poner en marcha el mecanismo de gran velocidad de un sis- mógrafo, etc., hallándose el todo provisto de los ajustes necesarios. (*) Precio, 40 liras, y 65 si se le quiere unir otro para las sacudi- das subsultorias, también del mismo autor. El reloj, indispensable, vale 35 ó 55 liras, según el modelo. (**) Sismoscopio elettrico a doppio effeto, in Bol. S. S. I, III (1897), págs. 37-45, ibid 157-158 et IV (1898), 277-283. — 927 — XLVIL— El frotamiento mixto y los métodos de ensayo de los lubrificantes. Por Luis Henry. La cuestión del frotamiento de las piezas mecánicas es de las que, á pesar de un sinnúmero de estudios teóricos y prác- ticos, ha quedado todavía sin resolver de una manera satis- factoria. Esto ha hecho que, no habiéndose traducido en fór- mulas mecánicas, se haya abandonado del todo la cuestión, como lo prueba el que su estudio no figura en los tratados de Mecánica. Sin embargo, la cuestión es susceptible de un examen de- tallado, siempre que en él se introduzca un método de clasi- ficación lógico de los fenómenos de frotamiento; siendo el más natural el que consiste en dividirlos en frotamiento só- lido, frotamiento fluido y frotamiento mixto, que es el caso general del frotamiento lubrificado. El presente estudio comprenderá dos partes: en la prime- ra, examinaremos de nuevo la teoría del frotamiento sólido, h del frotamiento fluido y las leyes de ambos, y luego se examinará cómo en el frotamiento lubrificado se van combi- nando estos dos efectos y cuáles son las condiciones que fa- cilitan el predominio del uno ó del otro de estos dos fenó- menos en el frotamiento mixto resultante. En la segunda parte, nos valdremos del estudio hecho de la naturaleza íntima del fenómeno, para examinar el papel desempeñado en él por el lubrificante, y de allá pasaremos al estudio de los métodos de examen del valor de los lubri- ficantes. Esta división es lógica, pues creemos que es de im- prescindible necesidad antes de aplicar el cálculo á la medi- da de un fenómeno; examinar bien á fondo cuál es la natura- — 928 — leza del mismo, ó á lo menos sus condiciones de producción más generales, para luego aplicar dicho cálculo á lo que es verdaderamente la esencia del fenómeno, sin dejar que entre á perturbar su medida la influencia de circunstancias ajenas al mismo. Las teorías acerca del fenómeno de frotamiento sólido han sido varias; pero la que predomina es la que consiste en considerar que los cuerpos tienen la propiedad de penetrar- se, en cierto modo, de una cantidad naturalmente muy peque- ña por su parte superficial común, y que el movimiento re- lativo de las partes superficiales da lugar á unas resistencias de las partículas enclavadas de cada uno de los cuerpos en el otro. Las leyes de este fenómeno se reducen á la propor- cionalidad de la fuerza resistente al movimiento, á la presión aplicada y á su independencia de la superficie, y de la ve- locidad de dicho movimiento. En cuanto al frotamiento líquido, los estudios practicados han quedado ignorados, y ni siquiera son conocidos de los técnicos, pues por su complicación no entran en el cuadro de una revista. El más conocido y más completo de estos estudios es el del general N. Petroff, presentado á la Aca- demia de Ciencias de San Petersburgo en el año 1883, y cuya aplicación al examen de los lubrificantes ha sido obje- to de una comunicación del mismo autor al Congreso Inter- nacional de Mecánica (sección de los métodos de ensayo), reunido en París en 1900 con motivo de la Exposición Uni- versal. Los resultados obtenidos por el general Petroff son de una complicación enorme, pues en ellos intervienen series infinitas cuyo cálculo hay que hacer para aplicar las fórmu- las; además de que, en cuanto el espesor de la hoja líquida en el punto de mayor presión es menor que las cuatro dé- cimas partes de la diferencia de los radios del cojinete y del gorrón, las series dejan de ser convergentes, y todo cálculo es desde luego imposible. — 929 — Sin entrar en un examen tan complejo del fenómeno, he- mos creído interesante examinar una representación suficien- temente aproximada del mismo y cuya aproximación se jus- tifica por el acuerdo del resultado obtenido con las observa- ciones que la práctica enseña. Se admite, conforme á la hipótesis de Poiseulle, que, cuan- do un líquido circula entre dos paredes de movimiento sufi- cientemente lento y el líquido moja las paredes, las capas líqui- das en contacto con ellas quedan fijas, y las demás van res- balando las unas sobre las otras. En el caso del frotamiento, extenderemos esta hipótesis en la forma siguiente: cuando un líquido está interpuesto entre dos superficies animadas de un movimiento relativo, las capas en contacto con las dos superficies están animadas del mismo movimiento que ellas, y las demás van resbalando una sobre otra con velocidades intermedias. En el caso en que una de las superficies esté inmóvil, la capa adherente á la otra superficie tiene la mayor velocidad y transmite por arrastre á las demás el movimien- to y la potencia necesaria para vencer las resistencias debi- das al frotamiento interior del líquido. Supongamos ahora que se suprime mentalmente la super- ficie en movimiento y consideremos el sistema fluido, cons- tituido por la vena primitiva y otra igual y simétrica con re- lación al plano de la superficie en movimiento que hemos supuesto suprimida. Nuestra hipótesis es que este sistema líquido es precisamente igual á una vena líquida en estado de movimiento (ecoulement), bajo una presión suficiente para que la capa central adquiera la velocidad que tenía la super- ficie en movimiento. En efecto; dadas las dimensiones linea- les del sistema y el coeficiente de frotamiento interior, la velocidad de la capa media determina el movimiento inde- pendientemente por completo de la causa productora del mismo, y así es como podemos reemplazar el esfuerzo trans- mitido por la pared móvil (esfuerzo éste que no sabemos medir), por el de una presión dirigida paralelamente al pía- 930 - H-\ no del movimiento, la que podremos medir, y cuya relación con el coeficiente de frotamiento interior nos es conocida por las experiencias del mismo Poiseulle y las que podemos de- ducir fácilmente de toda observación viscosimétrica. Vamos á establecer, pues, la ley del movimiento líquido (ecoulement) en el caso de dos superficies planas. Dejaremos de lado los efectos en las extremidades de las hojas, pues dan lugar á unos movimientos transversales de expulsión del líquido de un orden de magni- tud inferior al de la velocidad longitudinal, y por consiguien- te, despreciables con relación á ella. Consideremos la capa líquida (fig. 1.") comprendida entre los planos á distancias z y z-\- dz del plano medio; esta capa está sometida á tres fuerzas. 1." La de la presión motriz, pldz. 2!" La fuerza aceleratriz de frotamiento de la capa del lado interior. Estas fuerzas de frotamiento interior no son más que un con- cepto representativo hipotético de los hechos, pero parece lógico á priori, y desde Navier, quien en 1822 examinó la cuestión por primera vez que sepamos, se ha admitido siem- pre que constituían una representación perfectamente acep- table. Naturalmente no se puede demostrar nada, pero sin embargo, se puede indicar que, considerando una capa infi- nitamente delgada, la cantidad d V representa la velocidad re- lativa de una de las superficies en relación á la otra, de las dos que la limitan, y como quiera que, por otra parte, los líqui- i..- Figura 1. - 931 - dos son incompresibles, es decir, que todo movimiento de los mismos es únicamente un resbalamiento de las molécu- las unas sobre otras, es lógico pensar que la fuerza nece- saria para obtener dicho movimiento será proporcional al número de moléculas interesadas en él, y por consiguiente, al volumen del líquido movido por unidad de tiempo en mo- vimiento relativo naturalmente. Esta fuerza será, pues, proporcional k dV, y para expre- sarla, en cantidad finita, se considerará la cantidad propor- dV cional y el coeficiente constante que expresará el valor de dicha fuerza para la unidad de superficie y para un dV di = i será la cantidad que llamamos coeficiente de frotamiento in- terior del líquido, y la fuerza correspondiente en cada caso será llamando u. este coeficiente y 5 la superficie sobre la que se ejercita dicha fuerza. Tendremos, pues, para dicha fuerza aceleratriz, el valor .. dV I L —— a. as 3.'^ La fuerza retardatriz de frotamiento de la capa del lado exterior ., dV . ,,., dV . dt de — 932 — Habría que considerar también las fuerzas de inercia para establecer el equilibrio riguroso, pero ya es sabido que en las condiciones habituales de los viscosímetros, para venas de 2 milímetros de diámetro, estas fuerzas son despreciables con relación á las resistencias de frotamiento interior, y en el caso del engrase en el que las venas líquidas son infinita- mente más delgadas, es legitimo ci fortiori hacer la misma hipótesis. Estando las tres fuerzas dirigidas en el mismo sentido, la ecuación de equilibrio será /^ I rr dV r.r dV , ^,,, d V J ^ pldt + lL _— - j^_ /L a + í/(/¿ -— •j.)\=^0, at L "^ ^- J ó bien dV ds. Integrando respecto á la variable independiente, se ob- tiene dV dt ' La constante de integración A' tendrá que determinarse por el examen de un caso particular conocido; consideremos el valor £ = 0: vamos á demostrar que para este caso ""^ =0. dt En efecto; el sistema tiene por plano de simetría el plano medio £ ^ O, considerando la función V='^i{^), esta fun- ción para e = O debe presentar un máximo finito ó infinito; la naturaleza del hecho físico nos asegura de que el máximo no puede ser infinito. Por otra parte, no se puede admitir que la curva representativa de V ^ ^ (s) presente en el pía- — 933 — no medio un punto de retroceso, pues el examen de la ecua- ción diferencial demuestra que Ves función de segundo gra- do de s, y una tal función no admite puntos de esta natura- leza. La función V= 9 (t), pasa, pues, por un máximo finito ordinario para ^ = O, y por consiguiente, este valor ''^ =0, ds. y en la ecuación integrada K = 0. Tenemos, pues, ph — IL ¡J- = O, dt ' r O V dV L'j. dt Integremos nuevamente con relación á £, y tendremos, La 2 Para la determinación de la nueva constante de integra- ción K' nos valdremos de la hipótesis señalada al principio de este estudio, de que, al contacto de la pared, la última capa tiene una velocidad nula; hagamos, pues, e ~2 tendremos V= O, y I -7 ^x£l + ;f' = 0, 8 Rev. Acad. Ciencias. — VI. — Junio, 1908, 59 — 934 — de donde sacamos K = ^— X La 8 Tenemos definitivamente V= P 2L' La velocidad de la capa media, será, pues, en valor abso- luto: V = SLa Para nuestro problema hemos de modificar esta igualdad; en efecto, nuestro objeto es evaluar la potencia necesaria para comunicar á todo el sistema un movimiento tal, que la capa media tenga una Velocidad determinada que es la velo- cidad misma de la pieza frotante móvil. Sacamos de esta ecuación SL'j.V e' p es entonces el valor de la presión que buscamos. Pasamos ahora á la expresión del trabajo, el cual será la suma de los trabajos elementales de la presión, representa- dos por el producto de las fuerzas elementales de presión por el desplazamiento de las mismas. Para mayor comodidad, en lugar del trabajo, calcularemos la potencia, reemplazando en la definición anterior los des- plazamientos por las velocidades. La presión elemental sobre una capa es /7/í/£ ^—Idt, - 935 - y la velocidad correspondiente en valor absoluto, tenemos, pues, d- = e '~ e* [3 4 Jo ~ e' [24 8 J 16 Lu.V^l Esta expresión es la del trabajo en una capa de espesor e; pero el trabajo de engrase que consideramos es la mitad de éste, pues admitiremos por simetría que los trabajos corres- pondientes á las dos partes son iguales, en cuyo caso el es- e pesor de la vena líquida lubrificada será — ; la verdadera expresión del trabajo será, 4 LaV2/ •^3 E ' siendo £" el espesor de la vena líquida lubrificante. Este resultado se refiere, naturalmente, al caso del en- grase de una superficie plana; pero el caso más general del engrase es el de un gorrón sobre un cojinete, y es conve- niente abordar este problema, por ser de un interés mucho mayor que el del frotamiento plano. Si las dos superficies ^ 936 — frotantes del gorrón y del cojinete estuviesen paralelas, se aplicarían los razonamientos, y por consiguiente, las fórmu- las inmediatamente; pero aunque no sea así, dado que por otra parte las espesores de las venas líquidas son muy pe- queños, es legítimo extender el razonamiento á elementos pequeños circunferenciales de la vena total, pues en estos elementos la variación de espesor de dicha vena es pequeña. i •- Figura 2.* y para hacer el cálculo correspondiente se tendrán que apli- car las fórmulas obtenidas á elementos infinitesimales de di- cha circunferencia. Aplicando, pues, la fórmula 4 ,, V^ 3 ^ e al elemento de longitud L=pd'^, — 937 - tendremos, llamando ^p la diferencia de los radios y a la distancia de los centros (fig. 2."), Y \ / Q^ sen ^3 ~l e= ^p acoso + (p 4- ^p) \/ 1 '—^ 1 I j^ .T v/^T /^;|_ y {p^^py J «2 sen- 9 € = Ap — a eos 'f 4- (p -f- -^p) a^ sen- cp el denominador de la tercera parte de la expresión es muy aproximadamente 2. Tenemos, pues, con el mismo grado de aproximación, a^ sen- 'j e = Ip — a eos o — 2 (? -i- Ap) En la práctica, el término — tiene que desechar- 2 (p + Ap) se ante los otros por ser de un orden de magnitud inferior, no decimos de infinitud, pues no hemos de perder de vista que se trata de un problema de física en el que empleamos el cálculo matemático sólo cumo un medio aproximadamente adecuado. Tenemos, pues, para cada elemento el trabajo elemental d- = — l[j. V^ 3 Ap — a eos 9 4 lu.V^^ do 3 Ap i__^,03. Ap ha2:amos el cambio de variables *& ^ 2 - 938 tendremos d. 2dt \+t' eos 1 — /-' 1 +/2 al mismo tiempo escribimos a As = k; tendremos í/t /upy2 2dt 8 Ap 1 4- /2 „ ^ _!_ ^/2 3 A.(l - k) f, ^ +k 1 ~k 1 í// d' = 3 Ao(l-/^) Vi V^ - /2 ^^ 4- 1 ^ \ - k = 2 r /o 8 l[upV- dl^ Vi Apv^i-^-^ ''_L+A 1 — A- + 1 16 l^oV^ 3 Ap Vi —A:-' are. tg. V¿íl — 939 - Si suponemos k = 1, lo cual cabe dentro de nuestra hipó- tesis, pues de no ser así no estaríamos dentro de los límites del frotamiento fluido, tendremos: are. tg. v4f], y definitivamente 8 ■ rd^zV^ 4 ^ 1/2 o, a Siendo S la superficie frotante, 5 = 2-zl, pero Ap Vi - /C2 = \/A-p2 -- fl2 = = \/a p — a V^A p + a = V>^ (2Ap — a), tenemos = ±s ^''^ 3 V ^ V 2^? — >^ De esta fórmula se desprende que la potencia gastada en el frotamiento finido es proporcional á la superficie frotante, al coeficiente de frotamiento interior del liquido, á la segun- da potencia de la velocidad relafiva de las superficies y al inverso de la dimensión de la vena en su punto de compre- sión máxima. Queda todavía para considerar el último tér- mino del denominador y 2Ap — X. Como quiera que X depende de la presión sobre el gorrón, este término tiene el mismo sentido de variación que Au, y eso indica el por qué en igualdad de condiciones y siempre que esto no perjudi- que al buen funcionamiento del mecanismo, es ventajoso — 940 - dejar más margen entre los dos radios. Claro está que esta indicación es verdadera dentro de los límites aceptables, que son muy pequeños en general, pues hay el peligro de que el sistema se desajuste y produzca esfuerzos en falso que perjudiquen su funcionamiento. Según los ensayos practicados muy recientemente por el Ingeniero Dettmar, de Hannover, cuyos ensayos se han refe- rido únicamente al caso de bajas presiones, siendo la máxi- ma de ellas de 3 kilos por centímetro cuadrado, se puede con- siderar que con ellas predomina el frotamiento líquido; este Ingeniero observó, dentro de unos límites bastante crecidos hasta 0,1 milímetros, que el coeficiente de frotamiento dismi- nuía al mismo tiempo que aumentaba la diferencia de los ra- dios del cojinete y del gorrón empleados en estos ensayos. Esto es lo que se deduce del examen del problema desde el punto de vista exclusivamente hidrodinámico; pero hay que examinar si estas condiciones se pueden realizar y en qué circunstancias se realizan. En efecto, se nos presenta el problema del engrase bajo un primer aspecto. ¿Cómo engrasan los lubrificantes, que nos lleva á examinar el hecho físico del engrase? En su exa- men notamos dos fenómenos favorables á la aducción y al mantenimiento del lubrificante entre las superficies frotantes. 1.° Un impulso del lubrificante tendiendo á penetrar en- tre las superficies frotantes por las fuerzas de capilaridad, fenómeno éste que llamaremos estático y que tendría lugar también en el estado de reposo. 2." Un fenómeno dinámico del mismo origen que el pri- mero, á lo menos á primera vista, que consiste en un trans- porte continuo de lubrificante desde la parte superior, por donde se alimenta, hasta la parte inferior por el gorrón mis- mo, que, mojado por el líquido lubrificante, lleva consigo en el movimiento una capa de aceite conforme lo hemos su- puesto en nuestro cálculo del frotamiento fluido. Este aceite tendría tendencia á aumentar la vena que soporta la presión; - 941 — pero entonces las fuerzas capilares estáticas disminuyen y la presión expulsa el aceite, el cual opone á este movimiento de expulsión una resistencia que se podría calcular por las fórmulas anteriores. Antes de hacer otros cálculos, conviene examinar más á fondo el fenómeno, y primeramente evaluar la importancia posible de las fuerzas de capilaridad que hemos llamado es- táticas. Estas fuerzas tienden á mantener una columna líquida ele- vada de una altura que depende de la distancia entre las su- perficies y también de la naturaleza del líquido. Para el acei- te de oliva existen determinaciones hechas que dan como re- sultado la fórmula siguiente: 7 Amni __ jnim por aplicación de la ley de Jurín. El valor de e en los casos de frotamiento lubrificado debe- rá deducirse de la experiencia; pero estas determinaciones serían de una enorme dificultad si no se recurriese á ciertos artificios. Hemos empleado uno que es el siguiente: un coji- nete y un gorrón perfectamente ajustados, se limpian cuida- dosamente; se echa sobre el gorrón una cierta cantidad de aceite y se dan algunas vueltas para repartir el lubrificante; entonces se hace funcionar el gorrón con una carga suficien- te y se repite el ensayo con cantidades cada vez menores de aceite, hasta que, á las pocas vueltas de funcionar con la carga, se empieza á calentar el cojinete; entonces se puede considerar que el mínimum de capa lubrificante está alcan- zado. Este procedimiento no pretende ser exacto, y sólo as- pira á una aproximación que permite guiar nuestro razona- miento. En este caso, hemos encontrado como límite de engrase la cantidad de 0^'^ ,\2 sobre una superficie de 600 c-. Siendo el - 942 — aceite empleado de color negro, se ha podido apreciar á la vista por el examen del cojinete, después de sacar el gorrón, que el color era uniforme atestiguando así una repartición uniforme también del aceite. El espesor de la capa era entonces O 12 e = — '- = 0S0002 ' 600 o O-""! ,002. La altura correspondiente á las fuerzas de capilaridad es- tática sería entonces h = = 3,500 milímetros. 0,002 Siendo la densidad de los aceites aproximadamente 0,9, la presión equivalente á la tensión superficial sería de 0,9 X 3500 = 3150 milímetros de agua ó O ^3 15 por cen- tímetro cuadrado. Este valor corresponde á la temperatura de 15" c. y baja rápidamente cuando se eleva aquélla; hay que reconocer, pues, que su influencia en la generalidad de los casos sería insignificante si realmente un cojinete y un gorrón constitu- yeran un sistema de dos superficies paralelas ó no distantes de más de 0,002 milímetros; pero sabemos que la cuestión es muy distinta y que, á pesar del cuidado con que se pulimen- ta una pieza de maquinaria, las asperezas serán del orden de magnitud de esta cantidad, siendo así que, cuando á me- dida que por aumento de la presión sobre el cojinete vaya disminuyendo la cantidad )>, espesor de la vena mínima de líquido lubrificante, llegue éste á ser del mismo orden de magnitud que las asperezas de las superficies frotantes, en- — 943 — trarán en juego porciones de frotamiento sólido sobre las puntas de estas extremidades, la repartición de las presiones se hará de una manera irregular, el espesor de la capa de lubrificante bajará en determinados sitios hasta desaparecer, puesto que hay erosión de la materia; una nueva capa de liquido, llevada por el mecanismo de adherencia superficial que hemos descrito, vendrá á substituirla. El lubrificante de- jará de constituir una capa continua y de un espesor cons- tante, puesto que llenará los intersticios entre los granos, y entonces, por el juego de las fuerzas capilares, tendrá tenden- cia á introducirse entre las superficies frotantes, en los sitios en donde por erosión se habrá reducido hasta lo infinitamen te pequeño la distancia entre las mismas, mientras el meca- nismo de la adherencia del aceite al metal del cuello conti- núe abasteciendo la parte frotante de presión máxima con nuevas cantidades de lubrificante. Esta operación tendría teóricamente como resultado, si la materia fuese homogénea en su constitución, la pulimentación absoluta de las superfi- cies y el ajuste perfecto del cojinete y del gorrón, siendo en- tonces sostenido el gorrón sobre el lubrificante por las fuer- zas de capilaridad estática y el frotamiento, que todavía sería un caso de frotamiento fluido y se prolongaría indefinida- mente sin que hubiera más erosión de materia; pero la prác- tica demuestra que las cosas no suceden así, de modo que aún no dominamos completamente el fenómeno con la expli- cación que del mismo acabamos de dar, y es que, por un lado, la materia no es homogénea, que así como lo ha de- mostrado la Micrografía, ciencia moderna de la contextura de los metales, las impurezas de los mismos metales consti- tuyen unas partes duras ó granos, diseminados en la materia pura más blanda; por otra parte, en los metales de los coji- netes, que son aleaciones fundidas, existirán desde luego principios de cristalización, los cuales, bajo la presión, en lugar de gastarse normalmente, se podrán romper con frac- tura cristaloidea, dando lugar á nuevas irregularidades, y así - 944 - se continuará el desgaste de las piezas á pesar de la alimen- tación suficiente de engrase. El concepto de que e) equilibrio en el fenómeno del frota- miento lubrificado tiene lugar cuando las dos superficies han llegado á su punto máximo de pulimentación recíproca, no es más que una hipótesis nuestra; pero como quiera que en la discusión de los métodos de ensayo de los lubrificantes nos valdremos mucho de esta consideración, es conveniente apoyarla en resultados de ensayos conocidos y clásicos. El General Morin, en sus importantes trabajos sobre frota- miento, tuvo la idea de comparar el frotamiento intermitente con el frotamiento continuo, y así como en el estudio del pri- mero encontró unos coeficientes elevados y muy poco va- riados para tres materias tan distintas como el aceite de oli- va, la manteca de cerdo y el sebo de buey, pues estos coefi- cientes estaban comprendidos entre 0,07 y 0,08, con una di- ferencia del mayor al menor de 14 por 100; en cambio, para el frotamiento continuo mínimo, ó sea el que hemos llamado de equilibrio, encontró unos coeficientes de 0,03 á 0,054 de valor absoluto, mitad que los primeros y con una diferencia de mayor á menor de 80 por 100. Esto quiere decir que en el frotamiento intermitente la acción de las superficies predo- mina sobre la del lubrificante, ocurriendo lo contrario en el caso del frotamiento continuo, en el que la acción del lubri- ficante tiene importancia y el resultado varía notablemente cuando se pasa de uno á otro. Para dar una idea de lo distintos que son en su esencia los frotamientos fluido y sólido en el frotamiento lubrificado, to- maremos de los resultados de las experiencias del Profesor Stribeck, de Dresden, los que se refieren á la influencia de la velocidad sobre el coeficiente de fricción á distintas cargas. La carga más baja en que haya operado el Profesor, es la de 5 kilos por centímetro cuadrado, que es una presión me- dia (no baja) en la práctica, y para esta carga los coeficientes correspondientes son: — 945 — á32 vueltas, 0,0045; á 1100 vueltas, 0,0315; ó sea, para una relación de velocidades de 34, una relación de coeficientes de 7, lo cual representa algo más que la pro- porción de la raiz cuadrada, que seria 5,88 (es probable que á una presión baja como de 1 á 2 kilos por centímetro cua- drado se hubiera endontrado una influencia de la velocidad todavía mayor), en cambio á la presión de 60 kilos, presión extrema examinada, encontramos: á 32 vueltas, 0,0030; á 1100 vueltas, 0,0072; ó sea una relación de coeficientes de 2,4, que representa la raíz cuarta del cociente de las velocidades. Teniendo en cuenta que, si se tratara únicamente de fro- tamiento fluido, el coeficiente de frotamiento, conforme se ve por el cálculo anteriormente hecho del trabajo en dicho fe- nómeno, sería proporcional á la velocidad, y si se tratara únicamente de frotamiento sólido, la influencia de la veloci- dad al contrario sería nula, se puede juzgar de la proporción en que va entrando el segundo fenómeno junto con el pri- mero en la composición del fenómeno resultante; á las bajas presiones, es más importante la influencia déla velocidad sobre el coeficiente de fricción, atestiguándolo el predominio del frotamiento fluido; á las altas presiones, disminuye consi- derablemente la influencia de la velocidad, lo que nos de- muestra la mayor influencia que en este caso tiene el frota- miento sólido. Ahora examinemos el estado del aceite á su salida de un cojinete. La primera cosa que se nota es que, cualquiera que haya sido su color primitivo, este color se ha obscurecido considerablemente hasta llegar, por lo regular, á ser negruz- co. Desde luego, el examen anterior del fenómeno nos ha — 946 - demostrado que se hallan en el aceite, después de usado, partículas metálicas, que podemos separar filtrándolo cuida- dosamente y dejándolo reposar el tiempo que sea preciso para asegurar la separación. Sin embargo, el aceite, aun no siendo completamente negro, es bastante más obscuro que el aceite primitivo; podríamos creer que en su paso por el cojinete ha cambiado su naturaleza química bajo la acción de los agentes atmosféricos; pero tampoco es posible, porque durante su paso por el cojinete la materia lubrifi- cante no está expuesta á la acción del oxígeno del aire; además, la acción de éste es muy lenta, y sobre los aceites minerales no se manifiesta hasta pasados varios días, y por lo tanto, no puede ser sensible dicho efecto en el tiempo de una ó dos horas que, como máximo, tarda en pasar por el cojinete; por último, la acción oxidante del oxígeno tiene re- gularmente por objeto transformar las partes alquitranosas, las que dan el color al aceite, en productos más completos y de menor color. La explicación no es, pues, todavía com- pleta, y realmente no puede serlo, pues hasta ahora en todo lo que hemos dicho no ha entrado más que la consideración del agente lubrificante impersonal, ó sea únicamente caracte- rizado por sus condiciones mecánicas, ó mejor dicho, su vis- cosidad. Pero la experiencia diaria nos enseña sobradamente que si, á igualdad de viscosidad, hay aceites que dan resulta- dos completamente opuestos, ello no puede ser debido á que los aceites que dan mal resultado contengan materias acidas, las únicas que aparentemente pueden dar lugar á un ataque del metal, que eventualmente perjudicara el engrase, pues si se neutralizan rigurosamente los aceites, se obtienen unos resultados muy parecidos á los que se hubieran obtenido sin esta operación; la conclusión de todo ello es que existen to- davía más fenómenos de los que hemos examinado hasta ahora, y si recordamos la descripción que hemos hecho del mecanismo del engrase, vemos que la base de dicho meca- nismo reside en la alimentación de engrase producida por el — 947 — mismo movimiento del gorrón en el cojinete, cuya eficacia está en razón directa de la adherencia de la capa líquida lu- brificante á la materia del gorrón. ¿Es esta adherencia de orden puramente físico, ó hay combinación química de la materia lubrificante con el metal? Este es, á nuestro parecer, el último problema del engrase, y debemos añadir que, considerando el estado del aceite des- pués de usado, no cabe más que admitir que ha habido un fenómeno químico, pues de otro modo no habría razón algu- na para que el lubrificante se gastara, salvo en la parte que eventualmente quedara adherente á las partículas metálicas, la cual, después de todo, se podría volver á recoger por un disolvente apropiado; sabemos por la práctica que no es así, que hay realmente un gasto de engrase, y que un aceite, des- pués de servir cierto número de veces, llega á un estado en que ya no tiene aplicación para lubrificar. Naturalmente, sería de un alto interés tratar la cuestión químicamente; pero sobre la naturaleza química de los aceites minerales, y por consiguiente, sobre los compuestos que podrían formar con los metales, no sabemos nada cierto, ni tampoco sabemos las propiedades de las materias que entran naturalmente en su composición. En un artículo dedicado á los métodos de ensayo de los lubrificantes, se recordaba últimamente la opi- nión de Ragosine (el técnico que se ha dedicado más al es- tudio químico de los derivados del petróleo), de que de las materias derivadas de los petróleos y cuyo punto de ebullición sobrepasa de 270" no se sabe casi nada cierto. Si recordamos que los productos de engrase más ligeros tienen un punto de ebullición de 310° ó más alto, vemos que la afirmación del distinguido Ingeniero se aplica en absoluto á los aceites de engrase. Después de lo dicho, podemos sacar la conclusión de que, para el examen de un engrase, hay que considerar dos pun- tos: el uno, del que luego examinaremos la importancia, es el coeficiente de frotamiento interior; el otro, desde luego - 948 - « mucho más importante, es el que se refiere á la propiedad.de adherirse al metal, pues según hemos dicho, es el fenómeno que más influye sobre la realización del engrase. La determinación del coeficiente de frotamiento interior se hace bien sea evaluando la presión necesaria para obtener un rendimiento determinado en un tubo de diámetro y lon- gitud determinados, bien sea considerando el rendimiento correspondiente á una presión dada en un tubo de dimen- siones conocidas; la relación entre estos elementos y dicho coeficiente es la ecuación de Poiseulle que, reducida á su primer término, infinitamente más importante que el otro y único que se considera en las determinaciones, puede de- mostrarse fácilmente en forma muy parecida al cálculo ante- riormente establecido para el caso de dos superficies planas, como vamos á ver. Se considera el líquido en movimiento en el tubo como moviéndose por capas concéntricas, las cuales están en equi- librio bajo la acción de tres fuerzas. Primeramente la presión, 2Tzrdrp. Segundo, el frotamiento de la capa interior, 2 T.rL u. dr ' Tercero, el frotamiento de la capa exterior, n I dV y ^ U j dV \ 2TirL )x-\-a{2T.rL u . dr ' \ dr ^ ) La resultante de las dos últimas, dirigidas en sentidos con- trarios, es //o / dV \ d I 2nrL iJL ), \ dr - 949 - y la ecuación de equilibrio 2~rdrp-\-d (2nrL --^ P- ) = 0; integremos respecto á la variable independiente r T.f-p + 2TzrL -^ fj. + A: = O, dr que podemos escribir ^ r. j dV . k ^ dr r Hagamos /' = 0; es, según nuestra hipótesis, pro- dr porcional á la fuerza de frotamiento de las capas unas so- bre otras, es, pues, forzosamente finito y se deduce enton- ces A: = O, y la ecuación integrada será: dV T.r^p + 2-rL -^^— ¡jl = O, dr ^ de donde sacamos dV p r dr 2L[j. integremos, respecto á r, por segunda vez, tenemos, V= ^r2-r— + A:; 2L[x 2 ya hemos hecho la hipótesis general de que, siendo el movi- miento líquido un resbalamiento de capas concéntricas, el Rev. Acad. de Ciencias. — VI.— Junio, 190S 60 - 950 - de la capa en contacto con la pared era nulo; para r = R tendremos, pues, y = O, de donde sacamos 2Li ALu. el rendimiento de la vena líquida será, pues, en el tiempo O (/?2-/-2)p , ^_^^^^ 2^p'iR^ Jo Jo 4Lu. y en función del diámetro o = 2R 16L' Q^^ 128¿-.. 0 a> r.prj' 0 \28Lj. ' de donde sacamos T.pZ^ V- ^ > 128L '' 0 que es la fórmula de Poiseulle reducida á su primer término. Este dato tendría una gran importancia y junto con él también una fórmula que estableciera su relación con el adel- gazamiento de la vena líquida mínima bajo una presión de- terminada, si pudiéramos confiar en que estamos dentro del caso del frotamiento fluido; pero juzgamos inútil insistir sobre este punto, pues el análisis que hemos hecho del fe- nómeno y los resultados de la práctica que justifican dicho — 951 - análisis, nos demuestran que estamos frente á un fenómeno mixto y mayormente en el caso del engrase á presión alta. Para el segundo elemento á que hemos aludido, es éste un fenómeno sobre el efecto del cual influyen considerablemente las circunstancias de movimiento de los cojinetes engrasa- dos. En la Exposición de París de 1900, en la sección desti- nada á Ferrocarriles, se veía una disposición extraña imagi- nada por un Ingeniero de este ramo, en el que se probaban los aceites lubrificantes en un mecanismo que pretendía re- constituir con absoluta exactitud las circunstancias de la práctica, y para lograr este resultado se habían dispuesto unas ruedecitas excéntricas que á cada número de revolucio- nes correspondientes á la longitud de un carril producía un choque, á fin de provocar la trepidación que en realidad hu- biera producido el choque de la rueda contra el nuevo rail. La disposición dio lugar á muchas críticas, y pareció particu- larmente ridicula por la minucia de dicha representación; en realidad es posible que el aparato no haya dado resultado práctico, y asimismo lo creemos, pero juzgamos que la idea de hacer intervenir todos los factores de la práctica y parti- cularmente la trepidación en el exam2n del engrase, era hija de un criterio exacto y perfectamente justificada; lo que hay es que la idea era incompleta, y que se tendrían que reprodu- cir, no sólo las circunstancias de la trepidación debida á las extremidades de los carriles, sino también todos los movi- mientos de la práctica de cualquier orden que fuesen. En este caso, naturalmente nos vemos conducidos á sacar la conclu- sión de que la única prueba eficaz es la prueba práctica, pues es la única en que naturalmente todas las circunstancias se encuentran reunidas. Esta conclusión tampoco es una para- doja de exageración teórica; en efecto, consideremos un go- rrón ó mangueta y un cojinete de un vagón de ferrocarril, y examinemos, por otra parte, en una máquina fija un sistema de iguales dimensiones y de igual velocidad; si untamos el segundo con un aceite que dé buen resultado, en el primero — 952 - hay muchas probabilidades para que obtengamos un mal re- sultado y la absoluta seguridad de que no obtengamos el mismo resultado, y además de nuestra afirmación se puede practicar la prueba siempre que se quiera, conforme hemos hecho repetidas veces. La misma observación se hace sobre los artículos para el engrase de los frotamientos de las máquinas marinas, las cuales en todo tiempo han requerido aceites distintos de los de las máquinas fijas para igualdad de resultados. ¿A qué puede ser debida, pues, esta diferencia, sino preci- samente á la intervención de todas estas condiciones exterio- res que influyen sobre la alimentación mecánica del engrase? La conclusión es naturalmente que, á priori, toda prueba de un artículo, fuera de las condiciones totales y exactas de su empleo, es ineficaz é inútil. La tendencia á realizar los ensayos en las condiciones mismas de la práctica se nota en la historia de los aparatos destinados, en el espíritu de sus inventores, á determinar el coeficiente de frotamiento de un aceite, ó sea su valor lubri- ficante. En los primeros de estos aparatos se consideraba un frotamiento cualquiera, sin tener en cuenta circunstancias ningunas, y se equilibraba la fuerza de arrastres debida á dicho frotamiento por la acción de un resorte graduado ó de una romana. Uno de los más antiguos es el de Mac-Naught: el aceite está interpuesto entre dos discos, uno de ellos que recibe el movimiento y el otro cuya tendencia á seguir el movimiento del primero está contrarrestada por el brazo de una palanca cuyo otro brazo lleva un contrapeso, que se desplaza hasta el equilibrio de su propia acción y de la fuerza de arrastre. Como se ve, en esta disposición ni siquiera interviene la pre- sión, y en cuanto á velocidad, cada punto tiene una distinta, que depende de su distancia al eje de rotación. En la máquina de Naper, que se compone de un freno cargado con una presión conocida y cuyo esfuerzo de arras- - 953 - tre está equilibrado por un dinamómetro, intervienen ya la presión y la velocidad, pero es visible que las condiciones del engrase no son ni con mucho las de la práctica, muy al contrario, pues en él no se puede realizar la forma del par gorrón-cojinete, tan favorable, como hemos visto, á la ali- mentación del engrase en la parte que recibe la presión. Aquí hay que dar cuenta también de una serie de apara- tos destinados al ensayo de los lubrificantes que realmente salen conipletamsnte di la línea anterior y justifican nuestro punto de vista ya expresado, pues son todos ellos la repre- sentación rigurosa de un cojinete con su carga y su sistema de engrase, pero como que en este caso no hay posibilidad de medir la fuerza de frotamiento total, no se puede más que examinar la temperatura del cojinete y tomar dicha tempera- tura como indicación proporcional al trabajo y, por consi- guiente, á la fuerza de frotamiento; en estos aparatos no hay inconveniente en reproducir todas las condiciones de la práctica, incluso la duración larga de la prueba, y si hemos de decir alguna cosa sobre ellos, es que son rigurosamente inútiles, pues con un termómetro instalado en un cojinete determinado de una transmisión, se podría practicar exacta- mente la misma prueba, además de que estos aparatos sir- ven sólo para el examen de un aceite de transmisión, pues para aplicar una presión un poco crecida, los aparatos que se han construido no han dado resultados favorables. Es lógico que la utilidad de estas máquinas, entre las cuales es- tán la de Ingham y Stapfer, la de Ashcroft y algunas otras, haya sido juzgada tan reducida, que la práctica las haya abandonado por completo, pues hoy no se encuentran en ningún Laboratorio de ensayo de materiales. Thurston ha hecho, por otra parte, la crítica de todos estos métodos, que había tenido ocasión de comprobar en los términos siguien- tes: «Siempre me ha llamado la atención el que, desde Mo- »rin, ninguna prueba seria hubiera sido emprendida y que ^ninguna determinación exacta del frotamiento haya sido he- — 954 - '^cha para presiones elevadas, por ejemplo, de 35 á 70 kilo- :>gramos por centímetro cuadrado, que son las que se ob- »servan á menudo en la práctica del Ingeniero. No se ha ^observado suficientemente la gran variación del frotamiento »cuando la presión varía: es lo que nuestra experiencia y la »de otros Ingenieros han demostrado. Los que han estudiado »las máquinas de vapor y otras, han observado, como nos- :>otros, la facilidad con que las manivelas pasan del punto >muerto, á pesar de las más fuertes presiones, y cómo los ;>volantes más pesados giran fácilmente en sus cojinetes una »vez puestos en marcha. Nadie puede admitir, pues, que los >coeficientes 0,05 y 0,03, indicados por los mejores autores >para las condiciones más favorables y determinadas por la «observación de presiones ligeras, puedan ser aproximada - ;>mente aplicables á cargas fuertes, pues de ser así, el traba- »jo gastado para vencer las resistencias de frotamiento sería » verdaderamente inmenso.» En otro sitio de su obra, expresa en la forma siguiente, el distinguido profesor, sus ideas sobre la manera de orientar los ensayos de engrase: «Para saber si un aceite convendrá »al empleo á que lo destinan ó en qué casos conviene espe- -cialmente, será siempre necesario saber cómo funciona en -las distintas condiciones que está llamado á desempeíiar en -la práctica, es decir, que un aceite ensayado sobre un gorrón de igual materia que el que debe engrasar, con la misma ve- »locidad y soportando la misma presión en el ensayo que »en la práctica, permitirá ver cómo funciona y si es capaz, ó »no, de llenar el objeto que se tiene á la vista. > En el aparato que, como consecuencia de estas ideas, construyó el mismo Thurston, ha procurado aproximarse más á las condiciones de la realidad, haciendo que los ensa- yos se pudieran realizar bajo presiones diversas y del orden de las de la práctica. Por necesidades del aparato, la pre- sión, en lugar de ejercerse sobre un lado solo del cojinete, se ejerce sobre los dos, y siendo así, el inventor mismo, juz- — 955 — gando que no cabía alimentación de lubrificante, indicó el método, que consiste en repartir una cierta cantidad de acei- te sobre el gorrón y luego dar al mismo su velocidad nor- mal, hasta el recalentamiento, ó á lo menos hasta el aumento considerable del coeficiente de fricción. Si se practican varios ensayos seguidos con este aparato y con el mismo aceite, se comprueba inmediatamente que los resultados tienen entre sí unas diferencias tan grandes como las que se encuen- tran entre los lubrificantes más distintos, y esto es lógico, pues en el análisis que del fenómeno hemos hecho, hemos visto que, por el frotamiento, las partes de mayor presión del cojinete y el gorrón se iban pulimentando recíprocamen- te hasta hermanar sus superficies, y que entonces se produ- cía la situación de equilibrio que constituye el frotamiento lu- brificado normal. En el caso del aparato Thurston no se llega nunca, por el corto tiempo de los ensayos, á realizar estas condiciones, y por otra parte, no pudiendo alimentarse de engrase por su disposición misma, no se pueden practicar ensayos largos. Thurston, en su adivinación, como verdade- ro sabio, no quiso modificar más el aparato, el que, por cier- to, es debido, no á él, sino á uno de sus alumnos; pero en Inglaterra, donde este aparato tuvo algún éxito, se hicieron dos modificaciones en vista de mejorar sus resultados, las cuales eran: I.'', añadir un aparato de engrase, y 2.^ dar al cojinete un movimiento longitudinal sobre el cuello para eliminar la influencia local del estado de las superficies ; es- tas dos modificaciones han resultado dos errores: el apa- rato de lubrificación colocado en la parte superior del coji- nete, en lugar de permitir la aducción de aceite, provoca á menudo el movimiento contrario en virtud de las fuerzas ca- pilares, y el movimiento longitudinal impide se realicen las circunstancias de pulimentado de las superficies frotantes y se obtiene un fenómeno completamente convencional, en el que influye mucho más el estado relativo de las superficies en cada momento, que la calidad del lubrificante, como la — 956 — demuestran sobradamente los resultados prácticos obtenidos en los ensayos. Además de las circunstancias desfavorables anteriormente examinadas y que influyen sobre los ensayos en el aparato Thurston, hay otra, que es la consecuencia de las anteriores y es, que no trabajando el engrase en las con- diciones de la práctica, la temperatura de equilibrio, cuando se realiza, es muy elevada hasta para las presiones mas re- ducidas. En efecto, en la obra de Thurston Friction and Lost Work in Machinery and Mili Work, encontramos varios cuadros relativos al estudio del