A qUe 0 be. ep se id 41960 31d lalo 97. Ago hereda, ha gorda id 4 Hb qe +16da Aito DS ES ESA A das arta rd) Hand moje An ys bo dl e AN TSE! q dando 04 0% lali isc >) coro ..) Me Rca ben Me lr ps lid > RA : 116140 1 gu1N ptas: EIN] Hd pray E OS dada RT ies l dy popa or Sil m7 Mie au esendd + der adádrbes alero tre dle): Orio In mb, pe y $ Isa rbid JON Meer a «qe Pl a A e end vs dedos paboparisds litio: yn YU Mos ja 4 4 AS rs S AT A AIM a Alo iaho tdi qa dere eee] my INE ' sd pin AO pesto in 407 yl ) Me e» o y: ' ds Ad: rá DAS m7 ' Aura dao MA es pel des b5 1340 JE 224) ene webo Ames epa ds de pros Per se , reed yd! IAS 5 APA $1 » anota "0. herraje er eel a) SP ss e todo > 24ias ph) e se . 4d! te : A NAS An ¡Sefide9) ei Elias Lee E e ad ee aos Pd de dps ea ere AR ” 94 ero Pel me ee .. ies 5 *e Tegad tias eidesdad: E Le 1icedes e q 38% Hd Yoboja A si 0. 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AN O y ' LEAR AN Y Miren vb Sn Y Uy yro m Pl aye Ju Fa] Y A nO a o NT AA MAY q ltd cn Do 4 9 yo” ¿e pa 0] F ely vw y 4 Í 24 a OR roce A | ni card PON AA IRA A y de a «A RR LE 7 O AA a e El do Vii IR oO , mM : ' : pmp Mba mr iy <= 777 Ue xs AL E E MA > AJÍ y + v AS eo e E doy Y D mr, A mW z : AT 2 dar AT AAA AL ] - Vive de > ¿ie Vy $ fi a PE y pu ey O LD E O Ap DT] VU de* 3041 TENIA pp ny TON E SE Di ARO | o MALA pt E EN O A So ¡all ' li Wi Lay Po AI” yy! Unas á URI IA rd dedo Cent n. WIJLUV DY Wat a IA Wu e IA AS Pu AMI DAA | e UU Huy l IÓN. CAS Y IA Al sauna PNV E a dit 08 Hd IAN pi O a A al rra uo! a A AN o SS do E : - LES | Mina de y PLA YN 7] AS ol NÓ ( iz AQ ve ny Ny > o y ALT AS nd A A Ly YT oe ' ; an AS | WOLF SN NI NIGRA RAS E La] e NATA e” dd du A PAS 0 Mw IDA AS A "Wi o Ú MA A ON +: .= E DET rr MA A $ 23 Mt Y, Wer s QU . ENT pa SAA rl Hi ¿ Uy > Y el o] AAA NA] Yu 1 ALA 0 ños im) Sy "A ADA SAD UY L Lo L LUGUM SAR Y qe 11 Ya y Wu 0 É AO A ATT SAT UA SS TATI Pues: AS yl LAA Oy a Y e ess O EA A | AA Del, 9 e ur Tal 4.1 y rg E JURA *ó UN DNS JIM al : REE Yi, 4, +41 Hp a, A pz AL OS a de 0 pLsts Ma, E “ dy] FIN Mv A Mu We ' pe Ve ter TTM] ml "y q pr ¿Del y pa « ; 7 E 2 bad 5 ; 5) | > DAA A HU A OS la ll Pull A > AL 1 ¿colada DOI E An AAA RI nv AO la y Do e v ma Y AAA Iyuv y! NM % A y DATARAR ; y! ALA Y pray ly il . fede a Y Ñ IA MO ' N AI > Py e ey » 3 , w TI A pu AN Ln qe A Pi Vr ' bu 0 U Picar. Ú SAA a yy l P E rr. APÓ - - y A CIAdAN vdd os eo REVISTA DH LA REAL ACADEMIA DK CIENCIAS | EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES N DH. MADRID e o a SD de pd h * e "A A MA A be > > MNAC a = a Le Li A E a ES ajo EA 0” AE , A pr e ¡EAS Pone) E E IN ANA 4 YA O ti > el SS A í » A , 4 , 2) E o A a e Í =n E + > . o 0 Y A S 7 MS SA r - S / 1, TOMO VIM.-NÚMS. 1,2 Y 3 4 (Juiio, Agosto y Septiembre de 1909) AoonÍan Inge FEB 1996. E MADRID de 320 pa] Musevt.-” ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORI CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8, rs 1909 el mes siguiente. + ADVERTENCIA ( Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaría de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para. Y, U X A . sl 4) REIS. 0 do EXACTAS | ) ( ES y M p ) A kl P y y e A 4 ¿ Pr » 1 y q ART. 117 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA «La Academia no adopta ni rehusa las opiniones de sus individuos; cada autor es responsable de lo que con- _ tengan sus escritos.» REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID TOMO "VIII A MADRID ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL CALLE DE PONTEJOS, NÚM. S, 1909 y $ * ¿e re dci 7 0 3 8% ; peo: 4 Na J e > y > ' y y e Aa AA dor aw REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID ACADÉMICOS DE NÚMERO Excmo. Sr. D. José Echegaray, Presidente, Zurbano, 44. Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente. Fuencarral, 74. Sr. D, Joaquín González Hidalgo. Fuentes, 9. Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar. Velázquez, 16. Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario. Orellana, 10. Excmo. Sr. D, Francisco de P. Arrillaga, Secretario. Valverde, 26. Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero. Argensola, 6. Sr, D, Eduardo Torroja y Caballé, Contador. Requena, 9. Excmo. Sr. D. Amós Salvador y Rodrigáñez. Carrera de San Jerónimo, 53. Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter. Barquillo, 15. Excmo. Sr. D. Lucas Mallada. Mendizábal, 30. Excmo. Sr. D. Santiago Ramón y Cajal. Ventura de la Vega, 8. Sr. D. Pedro Palacios. Monte Esquinza, 9. Sr. D. Blas Lázaro é Ibiza. Palafox, 19. Ilmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo. Quintana, 38. A Excmo. Sr. D. Leonardo de Torres y Quevedo. Válgame Dios, 3- Sr. D, José María de Madariaga, Vicesecretario, Zurbano, 18. Ilmo, Sr. D. José Rodríguez Mourelo. Piamonte, 14. Excmo. Sr. D. José Marvá y Mayer. Campomanes, 8. Sr. D. Rafael Sánchez LEO Génova, 17. Sr. D. José Gómez Ocaña. Atocha, 127 dupdo. Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco. Amnistía, 10. y Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez. Mayor, 3. —Alcalá de Henares. Excmo. Sr. D. Gustavo Fernández y cia San Bernardo, 2 Sí DD; Vicente de ad - Juan: de Mena, 19. Sr. D. Miguel Vegas. Pez, 1. Ilmo. Sr, D. Juan ol y Virgili. San Bernardo, 18. ACADÉMICOS ELECTOS Sr. D. Eduardo Mier y Miura. Serrano, 29. Ilmo. Sr. D. Ignacio Bolívar. Paseo de Martínez Campos, 17- Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta. Casa de Oficios. —Moncloa. Ilmo. Sr. D. Pedro de Avila y Zumarán. Travesía de la Ballesta, 8. Sr. D. Ignacio González Martí. Hernán Cortés, 7- Excmo, Sr. D. Manuel Benítez y Parodi. Plaza de la Lealtad, 4. DA, Pa SD, pi León y- Ditias Fuencarral, 19 y 21. Sr. D. Enrique Hauser. Zorrilla, 33. Sr. D. Blas Cabrera. Serrano, 112. La Academia está constituida en tres Secciones: 1.2 CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente, Torres, Secretario; Arrillaga, Torroja, Navarro-Reverter, Ventosa, Ugarte, Beaandca y Rodríguez, Garcini y Vegas. 2.2 CIENCIAS FÍSICAS.— Sres. Carracido, Eresiento? Mourelo, Secretario; Echegaray, Salvador, Muñoz del Castillo, Madariaga, Marvá y Fages. 3.2 CIENCIAS NATURALES. —Sres. Hidalgo, Presidente; Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada, Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano. ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES Sr. D. Andrés Poey. París, Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina. Madrid. Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia. Sr. D, Luis Mariano Vidal. Madrid. * Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid. Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid. Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla. Excmo. Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid. Sr. D. Salvador Calderón y Arana. Madrid. Ilmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid. Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza. | Sr. D. Eduardo J. Navarro. Málaga. Ilmo. Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia. Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona. A Excmo. Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia. Excmo. Sr. D. Joaquín María de Castellarnáu y Lleopart. Segovia. Excmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde de Villamar. San Fernando. Excmo. Sr. D. Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real. Sr, D. Juan Vilaró Díaz. Habana. Excmo. Sr, D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao. j Excmo. Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca. Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencia. Sr. D. José Eugenio Ribera. Madrid. Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona. Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona. Sr. D. Juan J. Durán Lóriga. Coruña. ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS Anguiano (A.). Méjico. Lemoine (V.). Rezms (?). Collignon (E.). París. Barrois (Ch.,). Lale. Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Río de Janetro (?). Gomes Teixeira (F.). Porto, Príncipe de Mónaco (S. A. el). Mónaco. Choffat (P.). Lisboa. Arata (P. N.). Buenos Altres. Carvallo (M.). París. Laisant (C. A.). Paris. Enestróm (G.). Estocolmo. Ferreira da Silva (A. J.). Porto. Pina Vidal (A. A. de). Lisboa. Brocard (H.). Bar-le-Duc. Ocagne (M. d”). Paris, Romiti (G..). Pisa. Wettstein Ritter von Westersheim (R.). Viena, Engler (A.). Berlin.. Ml pd Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa. Rayleigh (Lord). Salisbury. Arrhenius. (S.). Estocolmo. Ramsay (G.). Londres. Castanheira das Neves (J.). Lisboa. Pilsbry (E.). Filadelfia. Porter (C. E.). Santiago de Chile, Herrero Ducloux (E.). La Plata (República Argentina), Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- rales. Méjico. o A , ¿A 1h A A Ple IR e E 1.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. Por José ECHEGARAY Conferencia primera. SEÑORES: Antes de entrar en la materia propia de este curso, séame permitido hacer un resumen rapidísimo de los principales problemas tratados en los cursos anteriores. En el primero de ellos, que fué como una introducción á la Física matemática, y, en que, como ejemplos, presenté: algunos problemas de las ramas principales de dicha ciencia, me esforcé, sobre todo, en marcar el carácter propio de la Física experimental y de la Física matemática, de donde se deducían sus diferencias y relaciones. La Física experimental, decía entonces, estudia el mundo inorgánico en sí, se pone en contacto con la realidad, su -método es el de observación y experimentación, prescin- diendo, á ser posible, de toda hipótesis, ó reduciéndolas á un número mínimo, y en todo caso, dándoles un lugar secun- dario. En cada grupo de fenómenos de los que constituyen, ó por su identidad, ó por sus relaciones, ó por sus analogías, lo que pudiéramos llamar una familia, estudia la variedad en el grupo contenida, y procurando reducir ciertas magnitudes á medida y expresarlas por números, obtiene el físico dife- rentes parámetros, que unos son independientes, que otros Y E dependen de los primeros; y de aquí se deducen leyes que se expresan matemáticamente por medio de fórmulas, las cuales ponen en relación unos parámetros con otros. De este modo, podemos decir que los fenómenos de la Naturaleza se expresan simbólicamente por números, y sus leyes por relaciones matemáticas, que, por el procedimiento que se ha seguido para obtenerlas, serán leyes y relaciones empíricas. Así recordarán los que siguieron aquel primer curso, y podrán ver en el tomo de aquellas conferencias, correspon- diente al curso del 905 al 906, que presentamos como ejem- plo tipo el problema de un gas que cambia de volumen bajo la acción del calor, y que decíamos: todos los accidentes del fenómeno físico dependen de tres parámetros, el volumen, la presión y la temperatura, y la fórmula fundamental es la que liga estas tres variables. En suma; la Física experimental prescinde en lo posible de toda hipótesis, y tomando esta Ciencia en toda su pure- za, de todas debe prescindir. Se limita á observar los hechos, y, á ser posible, á repro- ducirlos para ampliar y ordenar las observaciones; después marca magnitudes del fenómeno que representa por pará- metros, escogiendo para cada uno una unidad conveniente, y reduciéndolos á números, marca los parámetros indepen- dientes, y deduce experimentalmente relaciones matemáticas entre éstos y los restantes. Y es claro, y casi no necesitamos advertirlo, que en cada grupo de fenómenos influirá el resto de los fenómenos de la Naturaleza, de suerte que esta división en grupos, al pare- cer aislados, es una división artificial y un aislamiento hipo- tético, pero impuesto por lo limitado de las facultades hu- manas. Pero es evidente, á la vez, que esta limitación se impone, y hasta es de buen sentido. En la combustión del carbón en el hogar de una locomotora, influirán las agitaciones de una A A e a li = Hwy. nebulosa lejana; pero no será de buen juicio, y hasta sería caso de demencia, pretender tenerlas en cuenta al prender fuego al combustible acumulado en el hogar. = e La Física matemática tiende al mismo objeto que la Física experimental; pero pot un procedimiento esencialmente dis- tinto. Parte de una hipótesis que, generalmente, es la hipótesis mecánica, al menos ésta ha sido la hipótesis dominante en el siglo anterior. A problemas de Mecánica redice los fenómenos del mun- do inorgánico, y suponiendo que el fondo de tal ó cual fenó- meno consiste en el movimiento, ó á veces en el equilibrio, de ciertas masas sujetas á la acción de fuerzas que sobre ellas actúan, aplica los principios de la Dinámica ó de la Es- tática, integra las ecuaciones que resultan, que casi siempre son ecuaciones diferenciales, y las integrales que obtiene sor las que expresan las leyes teóricas del fenómeno en cuestión. Como en este proceso matemático se van introduciendo constantes, determina sus valores experimentalmente, de suerte que de la experiencia no prescinde la Física matemá- tica; pero la aplica al término de su labor, cuando ha obteni- do las fórmulas generales. El método experimental le da, pues, un número limitado de constantes, no las relaciones analíticas entre parámetros que varían al variar las condicio- nes del fenómeno que se estudia, y esta es iria diferencia esencial. Por fin, y este es el término de todos los problemas de la Física matemática, y es el coronamiento, y es muchas veces el triunfo de la Física matemática, las fórmulas obtenidas se interpretan poniéndolas en contacto, por decirlo de este modo, con la realidad, y viendo si representan fielmente y AS sistemáticamente, sin violencia, y á ser posible sin nuevas hipótesis, todos los accidentes del fenómeno que la Física matemática ha resuelto ó ha pretendido resolver. Y la Ciencia, no sólo debe explicar de esta manera los hechos conocidos, sino que por interpretación, aún más pro- funda de las fórmulas finales, debe anunciar y predecir nue- vos hechos á que el método experimental no halla legado todavía. Pero este triunfo lo ha obtenido repetidas veces la Física matemática, valga el ejemplo de la refracción cónica de Ha- milton. | La Física experimental es más sólida, no abandona nunca el terreno firme de la experimentación, nunca pierde contac- to con la relidad; pero, en cambio, no satisface por completo las ansias y las ambiciones de la inteligencia humana. En cambio, la Física matemática sólo acude á la experien- cia al final de sus empresas matemáticas para comprobación de sus fórmulas y determinación de sus constantes. Y en todo caso, porque todo hay que decirlo, acude al principio para forjar la hipótesis de que ha de partir, y en- tonces sí, para forjar esa hipótesis, claro es que busca ins- piración en la realidad misma, como en la Naturaleza busca inspiración el poeta al elevarse á sus regiones ideales. Si las leyes del mundo inorgánico forman un sistema, pot decirlo así, único, parece á primera vista, y por tendencias del espíritu humano hacia la unidad, que el método para descubrir estas leyes, fuera único también; y entonces, ¿por qué dos métodos ó dos Ciencias para una misma clase de fenómenos; por qué la Física experimental, por una parte, y por otra la Física matemática, siquiera ambas concurran para la resolución de los mismos problemas? » q É E O - Séame permitido exponer sobre este punto algunas consi- deraciones. Los fenómenos del mundo físico y sus leyes, dijérase que están fuera de nosotros, que de nosotros no dependen, que la inteligencia humana no las puede crear, que para cono- cerlas, necesitamos en cierto modo ponernos con ellas en contacto por medio de los sentidos. | Por ejemplo: para saber que las masas ponderables se atraen, ó que las cosas pasan como si se atrajesen, en razón inversa de los cuadrados de las distancias, necesitamos po- nernos en contacto con la realidad, y por la observación de los astros, ó por conocidas experiencias de gabinete, com- probar esta ley. Y no nos extrañaria, que las atracciones fueran en razón inversa de otra potencia cualquiera, ó según otra función más complicada, ó que en la expresión de estas fuerzas atractivas reales Ó aparentes, entrasen las velocidades de las masas. Esto último sucede, precisamente, en las atracciones 6 repulsiones de masas eléctricas en movimiento, sistemas que se supone en la teoría moderna, que equivalen á corrientes eléctricas. Otro ejemplo. Experimentalmente, determinamos para un punto del glo- bo terráqueo la constante y de la gravedad, y no nos extra- ña que venga expresada por el número 9 y una fracción; ni nos extrañaría que fuese este número 10, 6 15, 6 20. La experiencia da dicho número y no repugnaría á nues- tro entendimiento que fuera un número distinto. Tampoco nos repugna que el oxígeno y el hidrógeno, combinados en cierta proporción, den el líquido vulgar que se llama agua. Todos estos son hechos que no pretendemos gobernar, ni pretendemos adivinar tampoco, porque no hay nadie que encerrándose en su gabinete, cerrando los ojos y pensando, 8 pretenda establecer á priori, sin el auxilio de la experiencia, que exista el oxígeno y el hidrógeno y que de su combina- ción resulte el agua. Que la gravedad actuando un segundo de tiempo sobre una masa, le comunique una velocidad £ y no una veloci- dad 8 6 100 g. Que exista ina cosa llamada electricidad cuyas, atraccio- nes y repulsines dependari no sólo de la distancia, sino de la velocidad de las masas eléctricas, cuando esta velocidad es comparable á la de la luz. O que la atracción newtoniana sea precisamente eri razón inversa del cuadrado de las distancias. En suma; los hechos del mundo físico, ni los adiviña, ni los construye a priori el entendimiento del hombre. Esta pretensión tuvieron los filósofos griegos, creando a priori multitud de hipótesis, que demostraban el ingenio de la raza y que eran, en cierto modo, adivinaciones poéticas, aunque siempre en un campo de nebulosa vaguedad y sin descender á términos precisos y numéricos de peso y medida. Estas pretensiones tuvo también la vieja Metafísica, pero tan desatentadas ambiciones cayeron ante la realidad; á ve= ces se deshicieron en el ridículo, y ante sueños sin consis- tencia, se afirmaron los métodos de la Ciencia positiva, fun- dados en la observación y la experiencia. El mundo no se inventa como se inventa un drama: se observa, se estudia, se pesa y se mide. * ES Y, sin embargo, hay una Ciencia, de la cual, con razón 6 sin ella, y pongo este dilema para salir al encuentro de cier= tas críticas, de la cual se puede decir todo lo contrario de lo que hemos dicho hasta aquí. Esta Ciencia es la Matemática. A Las verdades matemáticas podrán brotar al contacto del mundo real, y sin él no brotarían. Los conceptos matemáticos procederán todos ellos de la sensación, como hoy se pretende, no lo discutimos; pero las verdades matemáticas en la Ciencia pura no se demuestran por el método experimental, se demuestran directamente a priori, por la intuición, por la lógica, por el método deduc- tivo: no analizo todo esto, lo indico tan sólo, que no explico lecciones de Filosofía científica. Un hombre, encerrándose en su gabinete y cerrando los ojos, ó cuando más haciendo signos en un papel, no crea la Astronomía, ni la Física, ni la Química: intentarlo sería ata- que de demencia. Pero en su despacho, sin observatorios, ni gabinetes, ni aparatos, sólo con pensar, crea las Ciencias matemáticas, como Pascal creaba la Geometría cuando era niño. Y las crea de tal modo, que si la experiencia alguna vez pusiera en duda los conceptos matemáticos, nuestro entendi- miento se sentiría desquiciado, y antes que dudar de si mis- mo, dudaría de la exactitud de la experiencia. Si al hacer el dibujo esmeradísimo de un triángulo rectán- gulo, y al medir sus lados encontrase, que el cuadrado de la hipotenusa era igual á 20 veces la suma de los cuadrados de los catetos, pensaría que se había vuelto loco ó que la Creación se había desquiciado. Esta diferencia que señalo entre la manera de conocer las leyes del mundo exterior y la manera de demostrar las ver- dades matemáticas, podrá explicarse como se quiera, podrá acudirse á la acumulación de sensaciones concordantes sobre la raza humana durante siglos y siglos hasta fabricar cere- bros que piensen como piensan los cerebros de los matemá- ticos; pero que entre la manera de demostrar una ley física y la manera de demostrar una ley matemática, media un abismo, tal y como hoy estamos constituidos; esto me pare- ce evidente con la mayor de las evidencias. Ruv. Acap. Dr Ciencias.—VIIL.—Julio, Agosto y Septiembre, - 1909. 2 e Es porque es, sin que yo pretenda por el momento ave- riguar el por qué es. Se dirá que el mundo exterior es un conjunto de realida- des, y que el mundo de las matemáticas es un mundo creado por el matemático mismo, combinando libremente productos de la sensación, creando conceptos y entidades matemáti- cas; que esta ciencia vive de invenciones, de convencionalis- mos y de definiciones d priori; y que todas las. verdades ma- temáticas no son otra cosa que fachadas de un monumento que hemos levantado en nuestra imaginación, como castillo en el aire. | Estas explicaciones me parecen de una pobreza lastimosa, de una mezquindad más lastimosa todavía, y de una insufi- ciencia patente; pero tampoco las discuto. Para mi objeto me importa poco que sean exactas. Lo que yo digo es, que sin ninguna experiencia, demues- tro, por varios métodos, y entre otros, por una recurrencia hasta el infinito, que el orden de dos factores enteros no al- tera el producto: por ejemplo, partiendo de dos números, para los cuales compruebo que la ley es cierta y agregando unidades sucesivas, y sin límite. Y cuando he terminado esta demostración ú otra intuitiva, que es la vulgar, tengo seguridad tan firme de esta verdad matemática, que la menor duda anularía mi inteligencia Ó me hundiría en el más absoluto excepticismo. Y en cambio, si me niegan ó me modifican cualquier ley física deducida de la experiencia, ó me alteran las constan- tes físicas que en ella entran en juego, mi inteligencia que- da tan señora de sí misma como antes, y el Universo sigue su marcha regular. Y aquí se plantea ante la inteligencia humana este proble- ma: sea cual fuere la validez da las demostraciones matemá- cy e ticas, dado que existe una diferencia inmensa entre estas demostraciones y el método experimental; ¿no podríamos descubrir las leyes de la Naturaleza inorgánica, como de- mostramos las leyes matemáticas, Ó aproximarnos al menos á este ideal, no llegando á él seguramente, pero aproximán- donos todo lo posible, reduciendo la esclavitud en que nos tiene la experiencia é invadiendo su campo por la creación matemática? A impulso de estas ambiciones, que siempre han Es oda se ha creado la Física matemática. Aún podríamos decir que la Física experimental y la Fí- sica matemática nacieron juntas, y que en la evolución de la Ciencia total se han ido deslindando sus campos y se han ido separando sus áspiraciones. 1 ¿Y de qué modo puede realizarse este anhelo de la intell- gencia humana de imponer sus leyes á los fenómenos del mundo exterior? ¿No es una empresa vana, y más que vana, insensata? No lo es, seguramente. Porque hay un elemento común á todos los fenómenos del mundo físico y á todas las lucubraciones matemáticas, Ó al menos á la mayor parte de ellas. En suma; hay un concepto que existe á la vez en la Na- turaleza y en el entendimiento. | | _Hay varios; pero fijémonos en uno principalmente. Este concepto es el de cantidad. El concepto cantidad es inseparable de los fenómenos del mundo físico, es el fundamento de la Ciencia experimental y de toda Ciencia positiva. La Ciencia positiva mide y pesa cantidades de la Natura- leza y las reduce á números y establece relaciones, que son las leyes empíricas de que antes hablábamos. Se ha observado, en efecto, que todos los accidentes y ma- nifestaciones de un fenómeno de la Naturaleza dependen de ciertas magnitudes, á que dábamos el nombre de parámetros. go 0 pi Podemos decir, en términos sintéticos, que la Ciencia ex- perimental, ó, si se quiere, la Ciencia positiva, es la Ciencia de determinadas cantidades; la Ciencia positiva, repetimos, prescinde de las cualidades y se fija en las cantidades, ó, si se quiere, reduce las primeras á las segundas, y expresa aquéllas midiendo éstas y reduciéndolas á números. Yo bien sé que hay una tendencia modernísima, que trata de restablecer el concepto de cualidad, y que obedeciendo á esta corriente de ideas, se ha fundado la energética, Ó, si se quiere, la energética como Ciencia aristotélica; pero proble- mas son éstos en que no podemos detenernos; atengámonos, pues, á las Ciencias positivas, tal como están constituidas, y aceptando este punto de vista, es evidente lo que antes in- dicábamos: que la Fisica experimental reconoce como ele- mento principalísimo el de cantidad. * + $ Pero la cantidad es uno de los conceptos primordiales de las Ciencias matemáticas. Luego todas las leyes matemáticas, todas las leyes abs- tractas de la cantidad, podrán aplicarse al mundo exterior. Y podrán aplicarse sin consultar á la experiencia, como leyes a priori, como leyes necesarias del entendimiento, que á la vez serán leyes necesarias de la realidad. Luego ya tenemos, por decirlo así, un puente para impo- ner nuestros idealismos matemáticos á todos los fenómenos de la Naturaleza y aun para adivinarlos sin más que consul- tar las combinaciones matemáticas, que en la soledad de nuestro pensamiento realizamos. Y sin entrar en más pormenores, se comprende en qué se fundaban las ambiciones y las esperanzas de la Física mate- mática en el siglo precedente. Mas para realizar este propósito, para convertir la idea general en un organismo científico, fué necesaria una hipó- o tesis, y esta hipótesis fué en toda la Física matemática clá.- sica, la que hemos llamado la hipótesis mecánica. Se suponía que cualquier orden de fenómenos era un pro- blema de Mecánica; de la Mecánica de una substancia mate- rial determinada, la materia ponderable ó la electricidad ó el éter, y á estas substancias se les aplicaba las leyes del equi- librio ó del movimiento de la Mecánica clásica; y todos los fenómenos del mundo material se decia que no eran otra cosa que materia, fuerza y movimiento; y algunos, simplificando aun más, reducían el Universo inorgánico á materia y movi- miento tan sólo. Claro es que la Mecánica no era una Ciencia abstracta como las Matemáticas puras; en ella existían ciertos elemen- tos tomados de la realidad, ó, si se quiere, ciertas hipótesis elementales, ciertas sencillísimas experiencias y un corto nú- mero de principios elementales. Pero admitidos estas substancias hipotéticas y estos prin- cipios, el resto, puede decirse, que es puramente matemáti- co: un desarrollo de cálculo ó sea la aplicación del idealismo matemático á la realidad palpitante. Porque, como hemos dicho, el elemento matemático es el que domina en la Mecánica racional. " Verdad es, como decíamos en el primer curso de esta asignatura, que el eminente matemático Mr. Poincaré, ha hecho una crítica severa de la hipótesis mecánica, demos- trando que, si un fenómeno de la Naturaleza puede expli- carse por una hipótesis mecánica, puede explicarse por otras infinitas; con lo cual la teoría tendrá importancia y aun valor representativo y simbólico, pero no por eso ha de creerse que penetra en la esencia íntima de los problemas físicos. Sobre esto hicimos algunas observaciones en el momento oportuno, y nada agregaremos ahora, teniendo en cuenta que sólo hacemos historia y no formulamos doctrina. De todas maneras, es un hecho que durante el siglo xIx en la Física matemática dominó la hipótesis mecánica, O - De las Matemáticas puras se pasaba á la Cinemática; de la Cinemática á la Mecánica racional, y mediante esta últi- ma se crearon admirables teorías, que en el orden intelectual son glorias y triunfos de la inteligencia humana; por ejem- plo: la Astronomía en los espacios siderales, y la Optica ma- temática en el océano del éter, A desarrollar estas ideas consagramos el primer curso de esta asignatura, pasando en los otros tres al estudio elemen- tal de la elasticidad por tres métodos distintos: Primero, por el método de Cauchy. Segundo, por el método de Lamé. Tercero, por el método de Poincaré. -_Dábamos esta importancia á la teoría de la elasticidad, en primer lugar, por la importancia que en sí tiene; y en segun- do lugar, porque es en cierto modo un esquema matemático de casi todos los problemas de la Física. Como que es una aplicación de la mecánica clásica: ma- sas ponderables y fuerzas que entre ellas actúan y que son acciones á distancia, de efecto instantáneo, independientes de las velocidades de las masas, funciones tan sólo de di- chas distancias y del producto de las masas de cada dos puntos. - Y, por último, fuerzas exteriores. ¿Qué problema de la Física matemática y aun de la As- tronomía, según las ideas del siglo XIX, no puede reducirse á este tipo? Variarán tan sólo las formas de las ecuaciones diferencia- les y los procedimientos de integración; pero éstos no son ya en rigor problemas de Física, sino problemas de Mate- máticas puras. Y en estos problemas, al obtener las fórmulas generales, basta tan sólc para las aplicaciones hallar experimentalmen- te determinado número de constantes. La experiencia, como hemos dicho tantas veces, en los problemas de Física matemática, ó mejor dicho, en los hechos a A materiales, está al principio del método para inspirar las hipótesis, y al fin para determinar las constantes y para la interpretación de la fórmula, aplicando dicha interpretación de modo que explique satisfactoriamente los accidentes y aspectos diversos de cada fenómeno. Pero en el último curso, al explicar el método de Mr. Poin- caré, anticipamos algunas ideas que hemos de desarrollar en los cursos restantes. La aplicación de la Mecánica racional á los problemas de la Física matemática, que es natural, sencilla, que parece irreemplazable y definitiva, y en que las dificultades son pu- ramente del orden matemático, encuentra dificultades más graves y de un orden, por decirlo así, más profundo, cuan- do en los problemas interviene la electricidad ó el éter. Por el pronto, Mr. Poincaré prescinde de la hipótesis de las fuerzas centrales; pero esto no basta para que en los nuevos problemas el espíritu quede completamente satis- fecho. La nueva Física matemática ya no se refiere tan sólo á las masas ponderables, sino que ha de tener en cuenta el movi- miento de la electricidad y el estado de los campos eléctri- cos y magnéticos. Según anticipábamos en el curso anterior, al llegar estos fenómenos, la Mecánica racional resulta impotente para ex- plicarlos, y se hace sentir la necesidad, Ó de crear una nueva Mecánica, ó de ensanchar los límites de la Mecánica clásica, que en el fondo es lo mismo; porque muchos de los principios admitidos en la Ciencia tradicional y clásica, han sido puestos en entredicho por la crítica moderna. Prescindamos de si las fuerzas son ó no centrales, pot- que de esta hipótesis puede prescindirse sin gran dificultad. == A — Prescindamos de la acción á distancia, problema formida- ble, y que, dígase lo que se quiera, es de fondo metafísico; y admitamos que existen las fuerzas como si obrasen á distan- cía, aunque esto no sea más que una apariencia. Pues aún quedan tres puntos graves. 1. Que tampoco se admite que la acción de las fuerzas sea instantánea, sino que, por el contrario, se supone que esta acción se transmite con velocidad determinada, siquiera haya de ser muy grande para que la hipótesis clásica, al me- nos como primera aproximación, no caiga en defecto. 2. Se supone que las masas ponderables van acompa- ñadas de masas eléctricas, y que la inercia total se descom- pone en dos partes; inercia propia de la masa ponderable, y acción del campo electro-magnético sobre la masa eléctrica que acompaña á la masa ponderable: acción esta última, que finge una nueva inercia, la cual depende de la velocidad. Cuando esta velocidad no es comparable á la de la luz, sino más pequeña, puede prescindirse de dicho efecto, y pue- de considerarse la inercia del sistema como una cantidad constante, dependiente sólo de la masa ponderable. Donde vemos, y lo vemos en toda esta enumeración de las fuerzas, de las masas y de la inercia, que la Mecánica clásica queda firme y valedera, al menos como primera aproximación y en los fenómenos que están á nuestro alcan- ce, incluyendo los fenómenos astronómicos, mientras las velocidades de los diferentes puntos de un sistema no sean comparables á la velocidad de la luz, sino mucho menores. Y aquí vemos también que el problema mecánico se com- plica y se extiende de una manera enorme; ya no se trata de individualidades, por decirlo de este modo, quiero decir, de masas ponderables aisladas, sino que hay que tener en cuen- ta el campo que las rodea, que es el éter, y es, si se me per- mite la imagen, el cuarto estado de la materia que entra en juego. Al problema clásico y sencillo, base de toda la Mecánica, o que consiste en un elemento de materia con determinada masa é inercia, y que camina bajo la acción de ciertas fuer- zas, sin tener en cuenta para nada el espacio, que es inerte, hay que sustituir con una realidad, más real y más profunda, el movimiento del átomo eléctrico, ó sea del electrón, en el seno del éter, y bajo la acción del campo que él engendra y de otros campos eléctricos que sobre él pueden actuar. Ya no es la inercia del átomo la que regula su velocidad; esta velocidad resulta de otra complicación de causas, quie- ro decir, de las acciones del campo eléctrico-magnético . La dinámica del electrón es un problema enorme. 3.” Y es enorme por otro motivo, que no existía en la Mecánica clásica, que es una novedad, si puedo expresarme de este modo, en la Mecánica moderna. Y me refiero á esta circunstancia, circunstancia importan- tísima. En la Mecánica clásica, cuando una fuerza actuaba sobre una masa ponderable, la intensidad de dicha fuerza, sólo de- pendía del estado actual del sistema. Importaba poco cómo hubiera podido llegar tal sistema á tal situación; importaba poco, repito, su historia, su pasado. ¿El punto material tiene una masa m2? ¿La distancia á otro punto atractivo M es d? Pues la acción de la fuerza sobre m es, siendo f la cons- tante de atracción, mM es E importa poco, repetimos, que el punto m llegue á su po- sición actual con una velocidad vó una velocidad V, cami- nando en un sentido ó en otro sentido cualquiera: la fuerza que sobre él actúe siempre será la misma, la que antes hemos escrito. Y esto simplificaba enormemente los problemas de la vie- ja Mecánica, ES Pues en los nuevos problemas de la electricidad y el éter, ya no pueden admitirse estas simplificaciones. La velocidad, el pasado, la historia de la molécula, influye en la acción presente. Esta gran novedad y este gran problema fué el que se encontró al estudiar las acciones de unas corrientes sobre otras. Y aquí era imposible que las hipótesis de la vieja Mecáni- ca explicasen los nuevos fenómenos. Todas eran dudas, contradicciones insuperables para aco- modar los fenómenos de la electro-dinámica á los viejos cá- nones de la Mecánica clásica. Dependían las atracciones ó repulsiones eléctricas de las corrientes, de la intensidad de éstas, que vale tanto como de- cir de la velocidad del éter en los conductores, y decimos esto último admitiendo ciertas hipótesis. Y si las velocidades eran en el mismo sentido, las fuerzas eran atractivas; y si continuaban siendo paralelas, pero en sentido contrario, la fuerza elemental era repulsiva. Jamás nada parecido se había visto en los problemas de la Mecánica clásica, no siendo en problemas muy complejos, que no son de este momento. Para elementos sencillos, jamás se había presentado nada parecido, y ya vimos en el primer curso, que en esta clase de problemas á que antes me refería, todavía aparecen fuerzas que no son centrales. Es decir, la vieja Mecánica en completa derrota. Y si comparamos la sencillez del problema elemental en la Mecánica clásica y el problema equivalente en la Mecánica moderna de la electricidad y del éter, veremos que la dife- rencia es enorme. LI En la Mecánica clásica, el movimiento de un punto mate- rial de masa determinada, que es el problema elemental á que antes nos referíamos, es de extraordinaria sencillez. No hay que tener en cuenta más que la masa del punto, que es, si se me permite la expresión, el parámetro de su inercia, Ó que representa su inercia, reguladora de su velo- cidad, y la fórmula MU —= HE es en cierto modo toda la Dinámica y toda la Física matemá- tica clásica; me atrevería á decir que el resto son desarrollos de cálculo. No hay que contar para nada con el espacio; el espacio es inerte y está vacio; sólo sirve para que por él camine la masa m y para medir distancias. Nada importa tampoco, para calcular la fuerza F y su ac- ción sobre la masa m, la velocidad con que la masa m llegue al punto que se considera, ni la dirección de dicha velocidad, es decir, el pasado, la historia de la masa en cuestión. El momento actual lo determina todo. En el problema elemental, equivalente al que hemos seña- lado, es decir, en el movimiento de un electrón, todo cam- bia, como antes explicábamos. El espacio ya no es inerte, hay que contar con él, y por eso se halla y se define la condición de los campos electro- magnéticos. El movimiento de la cantidad de electricidad e depende de todo el espacio, como antes explicábamos, y de la velocidad y de la dirección de e, de suerte que en cada momento hay que tener en cuenta todo el campo magnético y todo el tiem- po anterior. Sólo con esto se comprende la complicación del problema que ahora presentamos de una manera vaga, pero que en su día estudiaremos más detenidamente. Y con lo dicho, hemos hecho el resumen de las materias dog) US tratadas en los cursos anteriores, y aun hemos anunciado algo de lo que hemos de estudiar, si nos es posible, en los cursos próximos. En la próxima conferencia indicaremos cuál ha de ser la materia de estudio del presente curso. II.—Método para determinar la dirección de los vien- tos superiores por las ondulaciones del borde de los astros. POR VICENTE VENTOSA. (Continuación.) IX Dando por cierto que las ondulaciones observadas en el borde de los astros, mediante nuestro método, están, en ge- neral, producidas por los prismas de aire de que habla Mr. Wadsworth, nos pareció natural averiguar, por expe- riencia directa, si podrían enfocarse según fuera su distancia al objetivo del anteojo, y se verificaba, por tanto, en ellas la propiedad de los focos conjugados. Para realizar dicha ex- periencia, nos ocurrió aprovechar una idea emitida por el propio M. Exner. Dice este señor que pueden imitarse muy bien los fenó- menos del centelleo por medio de un vidrio ó cristal de ven- tana, ordinario ó de mediana calidad. Mirando al través de este vidrio un objeto terminado por líneas rectas, estas líneas perderán su figura regular y parecerán sinuosas; tanto más, cuanto más lisa sea la superficie del vidrio. Si entonces mo- vemos el ojo paralelamente á una de estas líneas, se verá correr á lo largo de ella una serie de ondas que, por su as- k _ pecto, reproducen con bastante fidelidad el movimiento on- 7 dulatorio observado en el borde de los astros. Claro es que P se llegaría al mismo resultado si, dejando fijo el ojo, se hi- | ciera mover el cristal. Nuestros experimentos, realizados con los escasos medios materiales de que podíamos disponer, efectuáronse en los haa a días 4, 9 y 19 de Agosto, y 14 de Octubre de 1897, utilizan- do para ello la amplia sala de la biblioteca del Observatorio. Tomóse como manantial de'luz la que acertaba á pasar por los intersticios que dejaban las latas de una persiana coloca- da delante de una ventana de la misma sala. Los bordes ho- rizontales de dichas latas querían simular el limbo del Sol, y eran observados desde lejos con un anteojo. Entre éste y la persiana se colocaron á distancias variables, según convi- niese, uno ó dos vidrios (como sugería el profesor Exner) de igual tamaño (56 < 29 centímetros), puestos en bastidor y en suspensión bifilar transversal, de tal modo, que sólo pu- dieran oscilar en su propio plano, el cual debía ser paralelo al plano de la ventana. En los tres primeros días de observación se empleó un pequeño anteojo de Dollond, de 52 milímetros de abertura y 428, "m5 de distancia focal, escrupulosamente medida de an- temano. Los objetos estaban amplificados 43 diámetros. En el cuarto día se utilizó un buscador de cometas de Utzsch- neider y Fraunhofer, que lleva un objetivo de 77 milímetros, siendo su distancia focal 644, m3, Este anteojo ampliaba li- nealmente las imágenes 55 veces. Ambos instrumentos tie- nen excelentes cualidades ópticas. He aquí, en breves términos expuesto, el orden de las ope- raciones efectuadas: | Je 1. Comenzábase por colgar y poner en oscilación uno solo de los vidrios; después hacíase deslizar suavemente el tubo porta-ocular hasta que las ondas producidas por el mo- vimiento de vaivén del vidrio en la imagen de las latas de la persiana apareciesen con la mayor limpieza. Entonces se se- ñalaba con un trazo en el tubo esta posición del ocular. Re- petíase luego la misma operación con es segundo vidrio, puesto también separadamente en oscilación y suspendido á distancia diferente del primero. Todo esto debía simular el caso de existir una sola corriente atmosférica, observada á diferentes altitudes. (Aunque parece inútil consignarlo, antes A HAS PATIO ATT a e o Me de emprender estas operaciones, al determinar en cada an- teojo la posición del foco principal del objetivo, se hizo tam- bién otro trazo en el tubo.) 2.” Realizado lo que antecede, se procedía á otra ope- ración semejante, pero combinada con ambos vidrios, inter- poniéndolos á la vez, apartados uno de otro. Observábanse entonces los fenómenos visibles en estas condiciones cuan- do se alteraba la posición del ocular, procurando siempre poner alternativamente en foco las ondas producidas por cada vidrio. De esta manera tratábase de reproducir las apa- riencias debidas á la coexistencia de dos corrientes atmos- féricas. 3.” Y, en último lugar, para evitar la influencia perjudi- cial en los resultados de cualquier idea concebida de ante- mano, medianse directamente las distancias al objetivo del anteojo, tanto de los vidrios como de la persiana, y la ex- tensión focal respectiva por la posición de los trazos señala- dos en el tubo del ocular, con relación al otro trazo corres- pondiente al foco principal. Los resultados más importantes, y siempre acordes, de estos experimentos, sucintamente expuestos, fueron los si- guientes: 1. Cuando entre el anteojo y la persiana se interponía y se hacía oscilar el vidrio, que llamaremos a, ó el más dis- tante del observador, se llegaba á ver con la mejor definición posible las ondas producidas así, cuando el ocular estaba enfocado á la distancia del vidrio, y volvíanse cada vez más confusas conforme se alejaba el ocular del objetivo. Las mismas apariencias se presentaron con el vidrio más cerca- no b: siempre la mejor posición del ocular para percibir bien definidas las ondas correspondía al foco conjugado de la distancia del vidrio. Prescindiendo de toda teoría, bastan estas solas experien- cias, si no interpretamos mal sus resultados, para establecer que cada vidrio actúa por su parte como lo haría un manan- — 32 — tial de luz propia, puesto que las ondas que él origina son susceptibles de concentración en un solo foco, con arreglo á su distancia al anteojo que sirve para observarlas. Nos in- clinamos á creer que lo mismo debe de suceder con las on- das aéreas vistas de esta manera, y por consiguiente, que la ley de los focos conjugados es también aplicable á esta clase de fenómenos. 2.” La interposición del vidrio b, en reposo, hacía perder eran parte de su claridad á las ondas producidas por el mo- vimiento del vidrio a; sin embargo, todavía se les podía ob- servar bien, vistas desde su propio foco conjugado. Por el contrario, cuando se enfocaba con el ocular el vidrio b, apenas si se vislumbraban las mismas ondas a como som- bras errantes y difusas. 3.2 Por último, poniendo simultáneamente en oscilación ambos vidrios, las dos series de ondas, a y b, miradas desde el foco conjugado de a, eran casi tan intensas una como otra y seguíanse sus movimientos sin la menor dificultad; pero en el foco conjugado de b las ondas a se desvanecían casi del todo, mientras que las ondas b se dejaban ver todavía mejor definidas. Este último resultado puede variar en gran mane- ra, según sea el grado de homogeneidad de cada vidrio (6 según la fuerza relativa de las corrientes, refiriéndonos al aire). Si, por ejemplo, la superficie del vidrio más próximo al observador hubiera sido más lisa, ninguna duda cabe de que las ondas lejanas habrían ganado en definición, no obs- tante el estar desenfocadas. La distancia relativa entre ambos vidrios puede también ejercer influencia muy apreciable en la visibilidad de las on- das. Con el fin de patentizarla, y al mismo tiempo obtener un sistema de ondas más regulares, hicimos uso, el día 4 de Agosto, para estos experimentos, de vidrios ondulados de mejor calidad, como se les encuentra en el comercio, y cuyas estrías rectilíneas, espaciadas exactamente de 10 en 10 milí- metros, habían de quedar en posición casi vertical cuando AAA qe A a NA e los cristales estuvieran suspendidos. La interposición de los vidrios ondulados produjo, como era de esperar, los mismos efectos antes descriptos, pero más enérgicos; y siendo, por lo mismo, excesiva la refracción que los rayos luminosos ex- perimentaban entonces, la observación de las ondas proce- dentes del vidrio más lejano, miradas á través del otro vi- drio, llegaba á ser casi imposible; dificultad que se eludió en gran parte acortando la distancia que entre ambos había. Consiguióse de este modo ver simultáneamente las dos se- ries de ondas, aunque no tan bien como con los vidrios ordi- narios. Por lo demás, al hacer la observación aisladamente con cada cristal, se adquirió la certeza de poder enfocar con precisión las ondas respectivas. Estos experimentos arrojan mucha claridad sobre algunos fenómenos observados á me- nudo en el borde del Sol, y cuya explicación parecía difícil. El siguiente cuadro, entresacado de la Memoria (*) en que primeramente dimos á conocer dichos experimentos, resume los resultados numéricos principales conseguidos en estas pruebas, á fin de cotejar las distancias de los cristales al ob- jetivo, obtenidas por mensuración directa, con las mismas distancias calculadas, tomando por base la extensión focal indicada en el tubo del ocular: 5 Distancia Dife- E Distancia S del vidrio a ia 5 del vidrio b 1897 >: al objetivo. ; 3 al objetivo. S o s | Glee [medida ¿q | E [ler [medida mm. m m m mm. m m Agosto 4. Vidrios on- dulados..| 10,01 18,69| 19,29/|— 0,60] 19,5 9,82 10,33 Idem 19. | Vidrios or-/13,5| 13,98| 13,52 + 0,46] 42,7| 4,72 4,63 Octubre 14. dinarios..| 23,2| 18,52| 18,02 + 0,50] 49,2 9,08 9,14 (*) La direction du vent et la scintillation. Reponse aux objections faites a la méthode d'observation des vents supérieurs par les ondu- lations du bord des astres. (Ciel et Terre). —Bruxelles, 1899, Rev. AcAD, DE Ciencias. —VITM,—/Julio, Agosto y Septiembre, —1909, 3 Dite- rencia. DS O La distancia del vidrio a, ó más lejano del observador, á la persiana, estuvo siempre comprendida entre 1,67 y 1,86 metros. Según se ve en el cuadro, las diferencias e las distan- cias medidas y las calculadas, aunque pequeñas, acaso ha- brían resultado menores si se hubiese podido, en cada expe- riencia, determinar con exactitud la posición del ocular. En efecto, dichas diferencias disminuyen, en general, conforme aumenta la extensión de la distancia focal, y es lo que debe suceder, porque el error cometido al hacer el trazo en el tubo debe entonces ejercer menos influencia en el cálculo de la * posición del foco conjugado respectivo. No nos pareció suficiente el resultado que habíamos obte- nido, sino que quisimos dejar un recuerdo indeleble, un tes- timonio fiel y vivo, por decirlo así, de estas experiencias por medio de la fotografía. Siendo imposible reproducir los mo- vimientos oscilatorios de los cristales (problema que acaso el cinematógrafo habría resuelto), hubimos de limitarnos á Obtener la imagen de la persiana vista á través de uno de los vidrios, mantenido en reposo, y enfocando alter- nativamente el vidrio ó la persiana. El resultado obtenido. de este modo fué muy notable, como puede juzgarse exa- minando algunas reproducciones que acompañan á esta Memoria. Las pruebas la y lb fueron obtenidas el 20 de Enero de 1898 con un vidrio ordinario y una cámara fotográfica pro- - vista de un teleobjetivo de 50 milímetros de abertura. El ob- | jetivo distaba del bastidor del cristal 4,08 metros, y de la persiana 6,78. En la se enfocó la persiana y en Ib el cristal. Colocadas ambas pruebas una al lado de otra, como lo están en la lámina adjunta, es notable la diferencia de aspecto. la presenta, casi sin deformación, las latas de la persiana, aun vistas al través del cristal, cuyas imperfecciones de forma apenas se notan, por el contrario. En cambio, Ib muestra las latas desenfocadas en totalidad y, además, con extrañas ) Fig. Ho. Fig. II. A a A a, deformaciones en la parte interceptada por el cristal, des- tacándose claramente en éste las irregularidades de su es- tructura. En cuanto á las fotografías Ma, Ib, Ma, 1 b, todas he- chas el día 7 de Febrero siguiente, he aquí de qué manera fueron realizadas. El mismo teleobjetivo y el mismo cristal de antes sirvieron para la obtención de Ila y Ib, pero co- locados á mayores distancias, siendo 5,70 la del objetivo al cristal, y 16,22 la del objetivo á la persiana. Para Illa y Hb, se empleó un objetivo ordinario de 54 milíme- tros de abertura y un vidrio ondulado. En este caso, las distancias ya mencionadas fueron 4,12 y 6,82, respecti- vamente. Túvose especial cuidado en la ejecución de todas las pruebas fotográficas (que para su publicación han teni- do que ser reducidas de tamaño, pero sin sufrir ningún retoque), de operar con el objetivo completamente des- cubierto, pues la acción de los diafragmas habría tendido á anular el efecto que perseguíamos, poniendo en foco, al mismo tiempo, objetos situados á distancias muy dife- rentes. | El atento examen de las fotografías Ma, 11b, lila, Ub, con- duce á las mismas conclusiones inferidas de la confronta- ción de las pruebas la y Ib. El contraste es todavía más sorprendente en las pruebas Illa y Ib sacadas con el vi- drio ondulado, quizá por efecto de la mayor regularidad de las ondas que en él se originan, Ó de su estructura prismá- tica, mientras que en las asperezas irregulares del vidrio co- mún pueden existir muchas que sean de naturaleza glo- bular. 4 De todas maneras, si no nos equivocamos, esas fo- tografías proporcionan la demostración palpable de que las ondas producidas en lugar determinado de 'un 'me- dio transparente y observadas con anteojo, son suscep- tibles, en general, de formar su imagen bien definida en 30, == el foco conjugado, correspondiente á la distancia que se- para aquel lugar del objetivo. Tal fué también la opinión de las personas que presenciaron estos experimentos (*). Desde el momento en que la anterior proposición queda demostrada, la objeción capital del profesor Exner cae por su base, y la presencia simultánea en la imagen del Sol de los círculos de difusión (Zerstreuungskreise) de diámetros diferentes, ya sospechada por el Dr. Trabert, da la explica- ción racional de las apariencias observadas, según que se utiliza toda la abertura de un objetivo de grandes dimensio- nes, Óó que se la reduce, en el grado que se quiera, por la interposición de un diafragma. Para fundamentar esta explicación basta traer á la memo- ria los principios más elementales de la óptica geométrica, que enseñan, que todos los rayos procedentes de un punto luminoso y capaces de ser concentrados sensiblemente en un mismo foco por un objetivo acromático, al salir de este objetivo forman inmediatamente un cono, cuyo vértice es la imagen del punto, y la base la abertura del objetivo, el cual supondremos siempre de figura circular. La sección hecha á este cono por un plano cualquiera, paralelo á la base, será un círculo, que es precisamente el círculo de difusión de la imagen, cuyo diámetro dependerá á la vez del diámetro del objetivo y de la posición del plano á lo largo del eje del cono. (*) En su día ya expresamos, y reiteramos aquí, nuestro agrade- cimiento á nuestros compañeros del Observatorio por su desintere- sada cooperación en estas investigaciones, y particularmente en la obtención de las pruebas fotográficas. A e SINTAEPR DESTRUIR ON E E E Consideremos ahora una de dichas secciones, realizadas por la interposición de una pantalla, y sean: a ..... el radio de la abertura libre del objetivo; BA: el radio del circulo de difusión; Y ..... la distancia de la pantalla al punto nodal de emergencia del objetivo; 9... la distancia de la imagen del punto luminoso al mismo punto nodal. La consideración del cono cortado por la pantalla condu- ce en el acto á la relación siguiente: A (1) (+) Pp di. == Desde luego se ve que el valor de r depende del de a, ó de la magnitud de la abertura del objetivo, de manera que, en una misma posición de la pantalla, conforme esa abertura va disminuyendo, decrece también el círculo de difusión, y las imágenes de todos los puntos del espacio, cualquiera que sea la distancia de éstos al anteojo, tienden, por esta sola razón, á resultar mejor definidas Ó con más claridad perceptibles. Tal es precisamente una de las propiedades del diafragma, bien conocida de los fotógrafos: aumentar la profundidad del foco. Si nos fuera posible reducir la abertu- ra á un agujero infinitamente pequeño, el cono emergente se convertiría en una simple línea recta, en la cual el foco lle- garía á quedar indeterminado del todo, y la profundidad del foco sería infinita. Entonces, cualquiera que fuese la distan- cia de un objeto al observador, la imagen de ese objeto re- sultaría siempre enfocada: en este principio sencillo se fun- da, cabalmente, el procedimiento fotográfico sin objetivo. (*) La admirable Theorie der optischen Instrumente nach Abbe del Dr. S. Czapski (Primera edición, Breslau, 1893) contiene un aná- lisis más científico de los círculos de difusión, pero los resultados númericos de él coinciden casi con los deducidos de nuestra fórmula. — 38 — Según lo que acabamos de manifestar, bastará que nos aproximemos á ese estado ideal para que las imágenes de los objetos observados con un anteojo se presenten sensi- blemente enfocadas en todas las posiciones del ocular; no siendo, por tanto, cosa rara é inexplicable que los señores Exner y Trabert llegaran á ver, casi con igual claridad ó de- finición, las ondulaciones del borde del Sol, lo mismo den- tro que fuera del foco, cuando redujeron la abertura del objetivo á tres centímetros nada más; y que, por el contra- rio, encontraran resultados tan diferentes de aquellos al de- jar libre toda la abertura. Además, en los casos contradicto- rios, no se ha tenido en cuenta la influencia de los rayos no acromatizados, los cuales, parcialmente por lo menos, según sea la posición del ocular, pueden concurrir en un punto, cuando los rayos que la lente principal acromatiza estén como esparcidos dentro de su círculo de difusión, y, de con- siguiente, en su conjunto, muy debilitados. Esto quizás die- ra razón de algunas anomalías advertidas á veces, y entre ellas, el cambio de coloración de la imagen del borde solar, observada por M. Trabert, y también por nosotros con fre- cuencia, al introdncir el ocular. Muchos observadores han notado igualmente, que las imágenes de los astros suelen parecer más tranquilas dentro del foco que fuera de él; fenómeno que nuestras observa- ciones comprueban, y depende, sin duda alguna, de que no estando, en la primera posición del ocular, enfocadas las ondulaciones producidas por la agitación del aire, sus imá- genes tienden á desvanecerse y borrarse por efecto del gran diámetro que entonces toman sus círculos de difusión. Cuando se proyecta sobre una pantalla la imagen del Sol, los rayos luminosos de él emanados han de atravesar el sis- tema óptico múltiple de las lentes de que está compuesto un anteojo, experimentando dicha imagen la ampliación debida al ocular. Los círculos de difusión proyectados en la pan- talla, es indudable que se verán allí ampliados también en la » A e 1 UA misma proporción; de manera que si, en general, se de- signa por R..... el radio de la imagen del Sol formada en el plano focal del objetivo, F..... el radio de un círculo de difusión en el mismo plano, y por las mismas letras, acentuadas, las proyecciones de di- chos radios en la pantalla, después de haber atravesado las lentes del ocular, se tendrá: Por otra parte, si p denota el valor angular del semidiá- metro del Sol, y f la distancia focal del anteojo, se tendrá también R=f tang e, y, en consecuencia, 2 , Tr = a cotang p ..... (2) Refiriéndonos siempre al plano focal del objetivo, cuando se observe el Sol, será menester substituir f á y en la expre- sión (1), que entonces tomará esta forma: sia o (3) 4 Las fórmulas (2) y (3) permitirán resolver el siguiente problema: ¿Qué valor tendrá la extensión focal « —1f en dos an- teojos diferentes, cuando el radio r' del círculo de difusión, medido en la pantalla, sea igual para ambos anteojos? Designemos por a, o, f, 1, R”, las cantidades referentes á uno de los anteojos. y por 4», 9, f. r. R”, las mismas cantidades relativas al otro anteojo, A Entonces, de (2) se sacará: eL ad Ros P3 Ry fo Pero de (3) se deduce además: datar, A ler Fa A, %1 (92 f2) a 3 E y eliminando entre estas dos ecuaciones la relación —, ten- Fa dremos: R",01(q1—f,) Mo R", 4, (0. —f2) or, wa fa esto es, en general, para cualquier anteojo; 4=—É R' a=constante. of Y si se tiene en cuenta la pequeñez de la diferencia » —f, respecto de f, cuando se observan objetos muy lejanos, será lícito substituir f á <, sin error apreciable, en el denomina- dor de la última fórmula precedente, que, de este modo ten- drá la forma: E R'a=C.... (4) 1 Tal es la solución que buscábamos del problema enuncia- do y que nos servirá para ir algo más allá en nuestras con- jeturas. En la página 696 de esta Memoria hallamos la fór- mula (A) (ligeramente modificada en la notación): 2 palo (5) el que expresa, aproximadamente, la relación conocida entre un punto X del espacio y su foco conjugado +. Combinando AAA SES co AN las dos fórmulas (4) y (5) se llega á la siguiente, sobre la cual debemos llamar la atención: O A (6) E Observando que C es una cantidad constante, si hubiera posibilidad de conocer su valor numérico para un anteojo determinado, fácil sería calcular para otro anteojo el valor de X, valor que podría tener significación importante en la obser- vación de las corrientes atmosféricas. Felizmente esa posibi- lidad en nuestro caso existe, porque, según resulta de com- paraciones reiteradas, las lecturas de ángulos de posición de las ondulaciones, hechas en el buscador de la ecuato- rial de Merz del Observatorio de Madrid, estando su ocular próximamente ajustado en el foco principal de su objetivo, tienden á coincidir con las lecturas obtenidas en el anteojo mayor, cuando el ocular de éste ha sido sacado de foco unos 10 á 12 milímetros; ó, lo que es igual, cuando se apunta á objetos situados á la distancia de 2.000 metros, poco más ó menos. « «.= 1,238 > == AL a Luego, si la interpretación dada á esas fórmulas es verda- dadera, el diafragma de 3 cm. no permitiría separar las ondu- laciones producidas á más de tres kilómetros de distancia, hasta en anteojos de dimensiones tan grandes como las de la ecuatorial de Merz perteneciente al Observatorio de Madrid. Más allá, todos los movimientos parecerían como enmaraña- dos unos con otros, cualquiera que fuese la posición del ocular. Este efecto debe aumentar en los instrumentos más pequeños, tales como los escintilómetros (*) que se emplean generalmente para la observación de los fenómenos del cen- telleo. Además, dichos instrumentos, por sus cortas dimen- siones, no permiten grande amplificación de las imágenes, de manera que los objetos muy lejanos difícilmente pueden llegar á verse con suficiente claridad. En la revista The Observatory (vol. XII, p. 194) se lee que el Dr. Pernter, de Viena, queriendo cerciorarse de si el cen- telleo de las estrellas en realidad se originaba en las capas inferiores del aire, conforme generalmente se creía, observó una vez el centelleo aparente de Sirio, con un escintilómetro de Exner, al pie y en la cumbre del Sonnblick (á 3.100 me- tros de altitud), y halló que el centelleo era más débil al pie que en la cumbre de dicha montaña; de lo cual dedujo que (*) Del verbo latino scintillare, centellear, el fenómeno en cuestión se producía en las altas regiones de la atmósfera. Pero si admitimos con el Dr. See (Astr. Nachr., núme- ro 3.455) que la verdadera causa del centelleo de las estre- llas reside en la agitación del aire, Ó en los fenómenos on- dulatorios á que esta agitación da origen, es probable que el centelleo pueda producirse á cualquier altitud, según sean el estado y condiciones de las corrientes aéreas á la sazón existentes. Partiendo de tal hipótesis, bastaría que solamen- te fueran las capas superiores atmosféricas las que estaban agitadas, en el caso de M. Pernter, para que los hechos de- biesen presentarse tal como fueron observados por este sabio meteorologista con un anteojo de dimensiones muy peque- ñas. La misma causa condujo, sin duda, á M. Exner en sus primeros trabajos á la creencia errónea, más tarde por él lealmente rectificada, que las ondulaciones del borde del Sol seguían una dirección paralela á la del viento señalada cerca del suelo por los anemómetros. Los razonamientos precedentes acerca del poder de sepa- ración de los instrumentos, así como las fórmulas y las con- clusiones de aquellos inferidas, no convienen, en rigor, más que á las observaciones efectuadas por proyección. Si el astro elegido para la determinación de las corrientes atmos- féricas no fuera el Sol, sino la Luna, por ejemplo, la proyec- ción de las imágenes, por la poca viveza de éstas, no daría resultado, y habría que recurrir á la observación directa. En estas nuevas condiciones, al tener que aplicar el órgano vi- sual al ocular del anteojo, el problema últimamente consi- derado se complica bastante. Según el Dr. Czapski (*), en- tonces ya no se trata de hallar la magnitud lineal de los círculos de difusión, sino su valor angular, en el cual influ- yen diversas causas de naturaleza subjetiva, tanto física como fisiológica, diferentes de un individuo á otro y difíciles (+) Theorie der Optischen Instrumente, p. 171. E A TE 45 de analizar. Pero, aun en este caso, un mismo observador acaso rastrease el medio de hallar el poder de separación relativo de dos anteojos, si se limitara á tratar el problema desde el punto de vista puramente matemático, llevando el cálculo de modo parecido al empleado en las observaciones efectuadas por proyección. Sean, r el valor lineal del radio del círculo de difusión de un punto dado del espacio en el foco principal del objetivo; o y p” los valores angulares respectivos del mismo radio, según que se le mira desde el centro del objetivo ó desde el centro del ocular; f y f' las distancias focales de estas lentes; se tendrá sin error apreciable, en atención á la pequeña am- plitud de los ángulos e y p”, e ep Eliminando r entre la última ecuación y la (3), se obtiene a(lo—f) =f o”, De de donde, escribiendo f en lugar de «y en el denominador, como se hizo antes, at a (+ —f) (8) Si supusiéramos que la condición de equivalencia tue- se p” =constante para todos los anteojos, se deberá tener siempre: ete e 0 Papi o rdo (9) 10 do Ahora se puede eliminar e acudiendo á la ecua- ción (5), lo que dará finalmente: Ni 2090 IEA a 2 (10) 0 0 Ñ si M designa la amplificación. de las imágenes en el an- teojo. | Siendo el valor numérico de la constante K”, por los mo- tivos anteriormente expuestos, difícil de hallar, un mismo observador puede, sin embargo, determinar por medio de la fórmula (10) el poder de separación relativo de dos anteojos cualesquiera, si le son conocidas la abertura del objetivo y la amplificación que produce el ocular. Como ejemplos nu- méricos, en apoyo de nuestro razonamiento, nos serviremos de los mismos instrumentos ya considerados, tomando por unidad de referencia el buscador de Merz. Buscador Ecuatorial Ecuatorial Ecuatorial de de Merz de Merz de Merz. . con diafragma. sin diafragma. Steinheil. a, =325mm. |a,= 9%mm. |a,=133mm. | a,= 60,5 mm. M, =74,4 veces| M,= 264,2 veces|M., =264,2veces|M, = 190,4 veces X; === 1000 = X; X; n Si se multiplican estos valores de por 2000, los pro- 1 ductos discrepan poco de los valores de X, obtenidos en el cuadro referente á las observaciones realizadas por proyec - ción. Con un diafragma de 3 centímetros de abertura, el an- teojo mayor de la ecuatorial de Merz solo tendría un poder de separación relativo igual á 1,64, es decir, poco más de vez y media el del buscador. Las nociones, en cierto modo empíricas, que hemos des- envuelto en los párrafos precedentes, no nos parecen, sin embargo, destituidas de fundamento, y podrán acaso servir de punto de partida para nuevas investigaciones. Y en cuanto á la interpretación dada á los movimientos ondulato- rios observados en el borde del Sol, y que es la idea funda- mental del método astronómico, en esta Memoria expuesto, sl el , 109 2 SEO Ty para determinar la dirección de los vientos superiores, tam- poco la creemos aventurada. Por el contrario, anímanos á es- timarla justa el dictamen autorizado de los astrónomos del Observatorio de Catania, Sres. Mascari y Cavasino, que no hace mucho tiempo publicaron dos notas en las Memorte della Societá degli Spettroscopisti Italiani (vol. 34, 1905), en las cuales, al discutir los trabajos análogos por ellos y por el Sr. Riccó (Director del citado Observatorio) efectuados durante muchos años, y que ya mencionamos más arriba, con el fin de estudiar la inflnencia de la agitación de la at- mósfera en la visibilidad de los astros, se lee textualmente: Risultati che vengono tutti in appoggio alle idee svolte dal Ventosa e del suo metodo per osservare i ventí superiori me- diante le ondulazioni del bordo solare. El comité meteorológico internacional, reunido en Upsal el año de 1894, y al que habíamos sometido, para su exa- men, el nuevo método, opuso el reparo de que la adquisición de los instrumentos necesarios para practicarlo sería costosí- sima; pero la contestación á ese reparo parece muy fácil por dos razones: en primer lugar, porque muchos, entre los Ob- servatorios existentes, podrían, sin obstáculo ni entorpeci- miento en sus trabajos, dedicar cada día practicable á faena tan breve, que demanda apenas una hora, alguno de los an- teojos que poseen; en segundo lugar, porque, según lo que hemos dicho de los resultados obtenidos con la ecuatorial de Steinheil, no parece aventurado el afirmar que para la ob- servación cotidiana de las corrientes atmosféricas bastarían anteojos que tuvieran 10 á 12 centímetros de abertura y unos 2 á 3 metros de distancia focal. Y puesto que estos ins- trumentos no exigirían llevar circulos graduados, sino sim- plemente un sencillo aparato de proyección para recibir en él la imagen del Sol, la adquisición (único gasto) de tales anteojos no sería costosa ni difícil para las estaciones meteoro- lógicas de primer orden, sólo, en rigor, para éstas necesaria, si se atiende á las colosales dimensiones que de ordinario = 48 tienen las depresiones ciclónicas y á la regularidad de sus movimientos al propagarse de unos países á otros. Por otra parte, este método, que tan buenas condiciones prácticas reune, lejos de excluir á los demás, podría cooperar eficazmente con ellos, en primer término, á la resolución del eran problema de la previsión del tiempo, desideratum de la Meteorología, para lo cual parécenos especialmente adecua- do. Lo mismo que en todas las Ciencias de observación su- cede, ningún método sobra, porque su multiplicidad contri- buye á ensanchar en diversas direcciones los horizontes del saber, purgando al propio tiempo los resultados de la expe- riencia de los errores sistemáticos inevitables que cada cual contenga, y son, por cualquier otro medio, tan difíciles de descubrir. La síntesis de nuestro trabajo, como en varios pasajes de este escrito manifestamos, fué dada á conocer sucesivamente en tres Memorias, que se publicaron en el extranjero en 1890, 1895 y 1899, de las cuales sólo la primera lo fué tam- bién en España (*). Habiendo desde entonces transcurrido más de diez y ocho años, nos pareció oportuno reproducir ahora los resultados de nuestras investigaciones, reuniendo el contenido de las tres Memorias citadas en la presente, de la cual, accediendo gustosos á los deseos manifestados por el Comité Ejecutivo de la «Asociación Española para el pro- greso de las Ciencias», dimos un resumen en el Congreso celebrado el año precedente en la ciudad de Zaragoza. (Concluira.) (*) Método para determinar la dirección del viento por las ondula- ciones del borde de los astros. (Crónica Cientifica.) —Barcelona, 1890, o MM1.—Estudio «espectrográfico» de las «Blendas». Investigación acerca de la Blenda de «Picos de Europa». Presencia del «Germanio», en la misma. POR GEORGES URBalN, ÁNGEL DEL CAMPO Y CLAIR SCAL. La investigación de cuerpos en proporciones extremada- mente pequeñas, es problema que en todas épocas ha ocu- pado preferentemente la atención de los químicos; no obs- tante, sólo en estos últimos tiempos es cuando el asunto adquirió interés cada vez mayor á medida que la Ciencia fué descubriendo procedimientos analíticos más perfectos y sensibles. La importancia, siempre grande, de la cuestión, aumenta sobremanera tratándose de investigaciones acerca de materias químicamente tan complejas como las que cons- tituyen algunos minerales. Sabemos, con toda exactitud, cuáles son las especies químicas dominantes en la composi- ción de numerosas especies mineralógicas, hasta el punto de servir para definirlas; pero ignoramos casi por completo lós demás cuerpos que les acompañan, á modo de impure- zas, en proporciones tales que no los indican los procedi- mientos corrientes del análisis. Es, pues, necesario comple- tar el conocimiento de la Naturaleza en este punto, y á con- seguirlo deben dirigirse los esfuerzos de químicos y natura- listas, teniendo en cuenta que semejante estudio, apenas comenzado, promete ser fecundo en resultados, á nuestro juicio, de suma trascendencia; así los químicos, viendo que cuerpos, hasta ahora calificados de muy raros, se hallan considerablemente diseminados, podrán procurarse más fá- cilmente las primeras materias necesarias para estudiar aque- llas regiones aun mal conocidas de su Ciencia: los geólogos y mineralogistas, al considerar estos vestigios Ó indicios, á Ruv. AcAD. DE Ciencias, —VIIM.—Julio, Agosto y Septiembre.—1900. 4 0 manera de verdaderos fósiles químicos, hallarán sin duda en su conocimiento un dato más, acaso de inestimable valor, en que fundar la historia ó génesis de buen número de minera- les y rocas. Penetrados de estas ideas, hemos emprendido un estudio sobre las blendas, eligiendo el procedimiento analítico es- pectrográfico, ya que su estado actual lo hace particular- mente útil para el estudio de minerales, que pueden ser examinados, cualesquiera que sean, sin previo tratamiento químico. Este método, junto con las medidas de radiactividad, constituye ahora el único camino adecuado para el descubri- miento de nuevos elementos, y es el mismo que uno de nos- otros ha utilizado con éxito en investigaciones anteriores (*), donde necesitaba un procedimiento espectral más preciso que los de uso corriente. Haremos una ligera reseña de aquella parte del método de que nos hemos servido, porque su técnica, aunque difiere un poco de la clásica adoptada en la mayoría de los laboratorios, no aparece consignada toda- en casi ningún Tratado de QuímicaAnalítica. Diremos, ante todo, que hemos preferido los espectros de arco á los de chispa; las razones de esta preferencia son las siguientes: ' Los espectros de chispa experimentan grandes variaciones cuando se modifican las condiciones de la descarga y, prin- cipalmente, la autoinducción y la capacidad del circuito. Los espectros de arco de un mismo cuerpo son siempre idénticos. En los espectros de chispa aparecen multitud de rayas, de las denominadas pardásitas, donde figuran, además del es- pectro de los electrodos, generalmente de platino, las nume- rosas rayas del aire y de ciertas impurezas procedentes del vaso en que se coloca la disolución. ¿(*) -G. Urbain. Investigaciones sobre las Tierras raras. SAA Ey AP ¡En los espectros de arco, el espectro parásito se limita á las bandas del carbono, conocidas con el nombre de espectro de Swann, y algunas de las poquísimas rayas que constitu- yen los espectros del magnesio, aluminio, silicio y calcio. El arco eléctrico tiene, además, la ventaja de permitir las observaciones con cualesquiera cuerpos sólidos. Ahora bien; como el espectro de Swann ocupa una buena parte de la región visible, y el principio de la ultra violeta, es necesario, para que los espectros de arco resulten útiles, que sea observada en ellos de preferencia la dicha región ultra- violeta del espectro, que se forma más allá de las bandas del carbono. Esto implica que la parte Óptica del aparato que se' .emplea sea diáfana para estas radiaciones ya muy extremas, y no siéndolo el vidrio, habrá de ser sustituido por el cuarzo; la absorción de luz debe ser lo menor posible, y por esta ra- zón deben preferirse los prismas á los resaltos; y dicho se está que, operando en tales condiciones, será forzoso susti- tuir el ocular por la cámara fotográfica, y la vista del obser- -vador por la placa sensible: el aparato debe ser, en suma, un Espectrógrafo y no un Espectroscopio. El que hemos utilizado, construido por /van Werlein, de París, es tal, que la extensión del espectro, desde una longi- tud de onda cercana de 2.000 unidades Angstróm (diezmi- llonésima de milímetro) hasta el verde visible, es próxima- mente de 20 cm. Las placas empleadas han sido de marca Lumiére estrarrá- pidas y de 6 < 30 cm. de tamaño; su longitud y la relativa elasticidad del vidrio permiten darles en el chassis, conve- nientemente dispuesto, ligera curvatura con objeto de que se adapten, lo más posible, á la diacáustica del aparato. Impresionadas las placas, se revelan y fijan por los mis- mos procedimientos y fórmulas que otra cualquiera fotogra- fía; el cliché queda de este modo convertido en un documen- to duradero, que puede siempre ser examinado. Para producir el arco hemos usado carbones sin mecha ES de unos 0,005 m. de diámetro, que se encuentran fácilmente en el comercio, utilizando corriente continua con intensidad de 12 amperios; los carbones se colocan verticalmente frente al colimador del espectrógrafo, ocupando el positivo la parte inferior, habiendo practicado antes en éste y en la dirección de su eje una pequeña cavidad, destinada á reciblr ulterior- mente la materia que se quiere analizar, previamente pulve- rizada y seca. Antes de ponerla en el pequeño cráter referido, se fotogra- fía el espectro del arco, que en estas condiciones salta entre los electrodos de carbón casi puro; se introduce después la - materia y se hace de nuevo saltar el arco obteniendo otra fotografía. Por último, se obtiene una tercera haciendo saltar el arco entre dos electrodos de hierro. El tiempo de exposición varía con el grado de volatilidad Ó fijeza de la substancia, pero suele oscilar entre 4 y 10 se- gundos. La cantidad de materia necesaria para los ensayos es muy pequeña, y esto es otra ventaja en favor de los espec- tros de arco. Así, una décima de milígramo es muy suficiente á veces para obtener un buen espectro; pero en la práctica, si no se trata de una materia muy rara ó muy preciosa, sue- len emplearse algunos miligramos. Un diafragma especial colocado sobre la hendidura del aparato, permite recibir los espectros referidos en la misma placa, de manera que queden inmediatamente unos sobre otros, sin que se recubran mutuamente y sin que el chasis del aparato cambie de posición. El primer espectro permite de- terminar las rayas que proceden de los electrodos y de ellas no hay que ocuparse. El espectro del hierro, que pre- senta rayas numerosas en toda su extensión, y que está perfectamente conocido (*), sirve para referir la posición de (*) Fabry et Buisson, 1097. e las rayas del obtenido en segundo término, que es el es- pectro á estudiar. En los grabados que ilustran esta Nota, pueden distinguir- se perfectamente, en cada espectrograma, las tres partes á que nos referimos: la núm. 1, representa el espectro produ- cido por los electrodos; la núm. 2, el espectro del hierro, y lo restante, el de la materia estudiada; en cada placa, de las dimensiones citadas, y mediante un desplazamiento vertical del chassis, pueden obtenerse independientemente 4 ó 5 es- pectrogramas complejos, como el descrito. Estos espectrogramas son examinados por medio de un aparato micrométrico, que no es otra cosa sino un micros- copio de poco aumento, diez diámetros por lo general, á cuya platina puede imprimírsele un movimiento de traslación mediante un tornillo micrométrico horizontal que se. cruza perpendicularmente con el eje del anteojo; una máquina de dividir puede ser empleada perfectamente en la operación; por lo tanto, observando con este microscopio nuestros es- pectros, se obtiene el mismo efecto que si se examinara uno de dos metros de longitud. Para llevar á cabo el estudio de cada espectrograma de una manera cómoda, es necesario poseer además una re- producción del espectro del hierro de tamaño conveniente, en la que las principales rayas tengan marcada su longitud de onda correspondiente; las fotografías de los grandes es- pectros de resalto, publicadas por Kayser ó Fabry et Buisson, son muy buenas para el caso. Sobre este espectro de referencia se anota la posición re- lativa de las principales rayas de todos los elementos; de tal modo, un examen rápido del espectrograma que se ana- liza y su comparación con la región correspondiente del de referencia, permite determinar casi inmediatamente la na- turaleza de los cuerpos que originan el espectro en cues- tión; del mismo modo se puede deducir rápidamente la lon- gitud de onda de una raya con relación á otras dos del NE, hierro; sólo en caso de' incertidumbre son necesarias las medidas rigurosas, las cuales pueden hacerse anotando con todo cuidado la posición que corresponde al soporte mó- vil del aparato, cuando el retículo del anteojo coincide exactamente con el centro de la raya que se desea medir, y repitiendo la operación con las dos rayas del hierro más próximas que encuadren la anterior. Después, por una in- terpolación ó un simple gráfico, tendremos la longitud de onda buscada, asimilando en el último caso la curva del aparato correspondiente á esta región estrecha del espectro, á una línea recta. Obtiénense así, cuatro cifras enteras (U. A.) y una decimal: el error cometidonunca es mayor de dos ó tres unidades de este último orden. y ; Con un poco de costumbre, la evaluación directa es casi tan exacta como la medida, sirviendo ésta únicamente de comprobación. Complemento indispensable del aparato micrométrico y de la operación descrita, es el empleo de unas tablas de longi- tudes de onda de.todas las rayas conocidas, si se quiere hacer la identificación de cada una de las encontradas en el espectrograma con toda exactitud; la bibliografía contiene descripciones muy completas, sobre todo de espectros de arco, de todos los elementos conocidos; nosotros hemos utilizado con tal fin las de Tablas Exner et Haschek. Prescindiendo de enumerar los servicios que el método descrito ha prestado en el estudio de las Tierras raras, asun- to, por otra parte, ya publicado y conocido, daremos cuenta, en cambio, de los que ha empezado á prestar en el estudio de la Blenda. Se sabe desde hace tiempo que las Blendas contienen, además del sulfuro de cinc, pequeñas cantidades de Cad- 7 A PORT LIA > Pe E mio, Plomo, Estaño, Plata, Antimonio y Arsénico y peque- ñiísimas porciones de elementos tan poco conocidos como el Galio y el Indio. Es, pues, interesante rehacer el análisis de este mineral por el procedimiento espectrográfico, para saber si al lado de los cuerpos citados puede contener otros tan raros como los dos últimos, y que por su escasísima proporción no sean reconocibles fácilmente empleando los métodos analíticos corrientes. | La Blenda que hemos examinado con más pormenores es la de Picos de Europa. Un trabajo reciente del Sr. Llord y Gamboa (*) ha hecho fijar nuestra atencion sobre estas Blendas, resultando de su análisis que los metales contenidos en ellas, además del Cinc, son: Plomo, Cadmio, Hierro, Manganeso, Aluminio, Calcio y Sodio. Nuestro análisis confirma, en parte, el resultado obtenido por el Sr. Llord; pero hay algún punto en que difiere: dicho señor no ha encontrado Indio ni Galio, y nosotros sí. En lo que concierne al Indio, diremos que contiene una traza in- significante, pues su presencia la declara únicamente la raya cuya longitud de onda es 3256,2 U. A., la más intensa del espectro de este elemento, que aparece, sin embargo, en nuestros espectrogramas extraordinariamente débil: es evi- dente que tal cuerpo será muy difícil de encontrar por otro procedimiento que no sea el espectrográfico. Respecto del Galio, podemos afirmar que esta blenda es relativamente rica en dicho cuerpo; hemos observado en la región del espectro examinada las tres rayas características de este elemento, cuyas longitudes de onda son: 2874,2 U. A. (Débil). 2943,2 » (Bastante fuerte). 29440 » (Débil). (+) Anales de la S. E, de F, y Q.—Núm. 63,—Mayo, 1909. E Por comparación con la blenda de Pierrefite, en la que Lecog de Boisbaudran descubrió y aisló el Galio, puede afir- marse que la blenda de «Picos de Europa» es tan abundante como ella en dicho metal. La proporción debe oscilar, por tanto, entre 1 y 2 cienmilésimas: es la cantidad corriente en las Blendas, y puede asegurarse desde luego, como para el Indio, que sólo por semejante método puede ser encontrado. El Mn, Fe, Ca, Al y Na no existen en esta Blenda; si el Sr. Llord los ha encontrado, es probable que hayan procedi- do de una muestra no desprovista de ganga; nosotros hemos examinado muestras muy diversas y en todas ellas hemos obtenido idénticos resultados. + * Pero lo más notable de la Blenda estudiada, relativamente muy pura, es que contiene indudablemente Germanio: apa- rece este elemento caracterizado por las rayas cuyas longitu- des de onda son: 2709,7 U. A. (Débil). 2754,7 >» “(Muy débil), 30390 » (Intensidad media), 3125 » (Débil); Dada su intensidad, la proporción en que aquel elemento se encuentra debe ser alrededor de una millonésima. El descubrimiento del Germanio en la Blenda es un hecho tan interesante para los químicos como para los mineralogis- tas; no se había encontrado hasta aquí este cuerpo, que se- pamos, más que en la Argyrodita, mineral muy raro de Frel- berg, cuyo filón hoy parece agotado; por tal motivo, nuestro conocimiento acerca de tan raro cuerpo se limita á lo que hace unos veintitres años escribió su descubridor Winkler. Si el Germanio se encontrase de ordinario en la Blenda podría esperarse hallar otra más rica que la de «Picos de vols E e El e LA | A | Fototipin de Hauser y Menet.— Madrid 6 enda Turca. | | | | ESPECTROS DE ARCO ELÉCTRICO O IEAIAE AAA! 1 pr A > r a o | , | | e ATA MATA] a IE ET MEN UA A LN a a "UN m 18) Ye IIED | | ) | 1 nm Ñ I a Ii | "En ja cule IN ¡7 dul A A MP Im * 1 O SIS STO A. Muestra media : Espectro sE : 2. Espectro del Hierro. pect de la blenda l dE dE nN-— en e IU nn | ll Fototipia de Hauser y Menet.— Madrid Cristales rojos. Cristales anaranjados. "Picos de Europa”. a Cristales amarillos. E. Espectro de una blenda Turca. ad rl A A Europa». Las investigaciones que hemos hecho con diferen- tes Blendas en este sentido, prueban que, en efecto, un gran número de ellas contiene el elemento en cuestión, y en al- gunas la proporción no debe estar muy alejada de la diez- milésima; por ejemplo, hemos encontrado el Germanio extraordinariamente abundante en una Blenda de origen turco (véase el grabado E.), y en otra tenida como de pro- cedencia americana; se ha encontrado también en muestras procedentes de Laurium, que contienen una traza infinitesi- mal; la de Pierrefite es menos germanifera que la de «Picos de Europa»; en la Sharfeubere hay una traza también in- finitesimal, y en la de Zinnwald existe en cantidad algo mayor. Es también interesante la observación que hemos tenido ocasión de hacer, de que cuanto más coloreada es la Blenda, tanto más rica es de Germanio; así, en la Blenda de «Picos de Europa» los cristales de color amarillo puro carecen casi totalmente de este elemento; presentan ya un vestigio los anaranjados, y es, sobre todo, en los cristales de color rojo obscuro donde el espectro del Germanio aparece más in- tenso; en fin, las Blendas antes citadas como extraordina- riamente ricas, son negras. En el grabado adjunto, el espectrograma D corresponde á los cristales amarillos; el C, á los anaranjados; el B, á los ro- jos, y el A, á la muestra media, con algo de ganga. Este espectrograma A, es el que hemos examinado prefe rentemente. Dedúcese de lo expuesto, que el Germanio se encuentra en las Blendas, análogamente al Galio y al Indio; nos pro- ponemos, cuando dispongamos de considerable cantidad de Blenda suficientemente rica en Germanio, extraerlo y apot- tar nuestra contribución á su conocimiento. Pero antes de hacer esto en grande, era necesario llevar á cabo una serie de investigaciones preliminares para saber, sin incertidumbres, en qué parte del tratamiento químico el e a Germanio se concentra preferentemente. Haremos sólo un resumen de esta investigación, que hemos practicado con la Blenda de «Picos de Europa», de la cual teníamos va- rios kilogramos á nuestra disposición, merced á la amabi- lidad del Sr. Rodríguez Mourelo, que nos los ha propor- cionado, y á quien desde aquí nos complacemos en dar las gracias. Es preciso evitar en el tratamiento el empleo del ácido clorhídrico, por la facilidad con que durante las concentra- ciones se volatizan ciertos cloruros; así es que comenzamos la operación tratando el mineral previa y convenientemente pulverizado por ácido sulfúrico de mediana concentración, primero en frío y después en caliente, continuando la ope- ración mientras se advirtió desprendimiento gaseoso. En estas condiciones, el Germaniío queda totalmente en el residuo del ataque, en unión de regular porciónde Cinc, Plomo, Cadmio, Estaño, Galio, y considerable cantidad de azufre libre, que conviene eliminar. Para conseguirlo es lo mejor fundir el residuo con carbo- nato sodopotásico; la masa fundida y pulverizada es trata- da por el agua, y la parte insoluble se somete de nuevo á la acción del ácido sulfúrico, que deja aun un residuo, en el cual se encuentra el Germanio con el Estaño, el Plomo, un poco de Cadmio y Cinc, aun sensibles, y una traza de Ga- lio. Cuando se trata este residuo por ácido nítrico, el Germa- nio entra en disolución con el Cínc restante y una traza de Plomo, Galio y Cadmio. La materia con la cual estas obser- vaciones han sido hechas, presenta entonces el siguiente es- pectro del Germanio: 2691,4 U. A. (Bastante intensa). 2709,7. » (Idem). 2754,7 » (Medianamente intensa). 3039,2 » (Bastante intensa). 3125,0 » (Débil). 3269,6 » - (Idem). 39 =— Si se compara este espectro con el observado en la Blen- da inicial, puede notarse, ademas de un aumento en el núme- ro de rayas, puesto que ahora se presenta esta parte de su espectro casi completa, un crecimiento considerable de in- tensidad; la concentración del Germanio es evidente. Proseguimos actualmente el tratamiento, que nos propo- nemos hacer, en gran escala, según decimos antes, partien- do de una Blenda más rica que la de «Picos de Europa». Merece mencionarse, como prueba de lo que el procedi- miento análítico empleado es capaz de conseguir, el hecho de que en un cierto momento de la marcha descrita, escru- pulosamente vigilada en todas sus partes con el espectró- grafo, hemos encontrado las siguientes rayas, que no habían sido vistas en la blenda inicial, y que por lo mismo fueron cuidadosamente medidas: 2942,3 U. A. (Extremadamente débil). 2956,2 » (Idem). 3088,3 » (Idem y difusa). 3130,8 » (Muy débil). 3186,5 >» (Débil). 31920 » (Menos débil que la anterior). 31999 » (Intensidad media). 3234,5 >» (Débil). 3236,7 » (Muy débil). 33546 » (Débil). 3371,8 » (Menos débil que la anterior). 3373,1 » (Extremadamente débil). 3377,8 » (Débil). Todas estas rayas corresponden al Titanio, elemento que debe concentrarse, atendiendo á sus propiedades, en la por- ción donde lo hemos encontrado, y que procede de seguro de la ganga que tenía el mineral sometido al tratamiento; pero debe hallarse en proporción extremada por lo exigua, puesto que no aparece tal cuerpo en el primer ensayo, y ha sido necesario operar con varios kilogramos de mineral para conseguir obtener un espectro tan extraordinariamente y AE débil como el que acabamos de describir; el Titanio lo he- mos encontrado, efectivamente, en las gangas de algunas de las otras Blendas analizadas. En las investigaciones precedentes y en las que actual- mente proseguimos con Blendas de distintas procedencias, hemos puesto en práctica un método de observación muy exacto y rápido, que permite hacer, sin incertidumbre algu- na, la identificación de todas las rayas observadas, incluso las más débiles. Para ello hemos limitado nuestras observaciones á la región del espectro comprendida entre las las rayas 4="2663,3 U. A. del Plomo, y + =3383U.A. de la Plata; hemos formado, además, una lista con las longitudes de onda de todas las rayas que hay en esta región pertenecientes á Ag, As, Bi, Ca; Cu. Ga; Ge, In, Poy'So: “SA? TE y 2 elementos que pueden encontrarse en las Blendas; ninguna raya de estos cuerpos, comprendida entre los límites citados, puede escapar á nuestra observación; pero como el mineral puede tener ganga, hemos añadido á la lista todas las rayas de Al, Ca, K, Mg, Na y Si. Ahora bien; como accidentalmente pudiera contener el mi- neral cantidades pequeñas de otros cuerpos muy repartidos en la Naturaleza, se añaden á la lista las rayas más caracte- rísticas de Au, Ba, Co, Cr, Gl, Hg, Li, Mn, Ni, Pt, Sc, Sr y Va; en el caso de encontrar rayas pertenecientes á alguno de los últimos cuerpos, hubiéramos fijado la atención en las rayas más débiles que les corresponden y que no hemos incluído en la lista citada. | En el caso de que se hubieran observado rayas no perte- necientes á ninguna de las dos categorías de elementos pre- cedentes, quedaba suponer que pertenecían á algunos de los ds E o siguientes: Cs, Mo, Nb, Ra, Rb, metales de la mina de Pt, Ta, Th, Ti, Ur, W y Zr; si las rayas á determinar per- tenecían á alguno de estos cuerpos, era muy fácil eliminar todas las que les corresponden. Si todavía alguna raya queda por determinar, que no pue- da ser atribuida á ninguno de los últimos elementos citados, será forzoso reconocer que es nueva. Y en efecto, en el curso de nuestro trabajo hemos obser- vado cierto número de rayas extremadamente débiles, que ncs ha sido imposible atribuir á ningún elemento conocido, tales son las siguientes: 2687, 5 U. A. 2744,2 >» 2751,6 > 2752,9 » 28185 » 2826,2 » 2867,2 >» 3013,3 >» 3014,2 >» 3031,4 >» 3064,7 >» 3065,7 >» Ahora bien; el origen de estas rayas ¿puede ser atribuido á la existencia de un nuevo elemento? Nos mostraremos un poco reservados acerca de este punto, porque no está abso- lutamente probado que en las tablas de longitudes de onda de los diferentes autores no hayan sido omitidas algunas ra- yas débiles de los elementos hoy existentes. Componemos actualmente un atlas de los espectros de to- dos los cuerpos conocidos, con el fin de asegurarnos de que las rayas nuevas observadas en nuestro trabajo no deben ser atribuídas á ninguno de ellos; pero se comprenderá fácilmen- te que es ésta empresa muy larga y difícil á causa de la mis- ma extraordinaria sensibilidad del espectro; por tales cir- cunstancias, entendemos que todo el mundo encontrará dis- creto que reservemos la publicación de la parte más original é interesante de nuestras investigaciones para una fecha ul- terior. j + + $ En resumen: aparte las someras manifestaciones que que- dan esbozadas en los párrafos precedentes, creemos poder hacer concretamente, como consecuencia de nuestros traba- jos, las siguientes afirmaciones: 1.? Hemos demostrado la presencia del Germanio en las Blendas, desempeñando en ellas el mismo papel que el Ga- lio y el Indio. 2. Hemos establecido un método que permite concen- trar considerablemente el Germanio, separándolo casi en totalidad de los demás cuerpos que en las Blendas le acom- pañan. París, Septiembre 1909. (Laboratorio de Química Mineral de la Sorhona.) uy TIV.—Contribución al estudio de las esencias de tre- mentina españolas. POR OBDULIO FERNÁNDEZ. La esencia de trementina, procedente de la miera de los pinos andaluces, luego de rectificada sobre carbonato potá- sico, en una corriente de vapor de agua, resulta constituida por un pineno especial, á lo que parece peculiar suyo, y cu- yas características físicas más principales han resultado las siguientes, después de repetidas y muy cuidadosas determi- naciones: Densidad, 2020020 0,859 Poder rotatario la]p..... — 8,73 para 10: Indice de refracción [nlp. 1,4654 De suerte que el hidrocarburo de que se trata no es el asignado á las esencias francesas, ni por su densidad, ni atendiendo á la actividad óptica y al índice de refracción, cuyas propiedades, expresadas en los números anteriores, son indicio seguro de la existencia de una individualidad química definida. Tratado, conforme es uso para su transformación en clor- hidrato, por el ácido clohrídrico seco y en corriente, se ob- tienen: | 35 á 40 por 100 de monoclorhidrato sólido 60 á 65 por 100 de monoclorhidrato liquido. Con el ácido bromhídrico, en análogas condiciones, el rendimiento en bromhidrato sólido es muy escaso, llegando solamente de 8 á 10 por 100. | Transformación en borneol. — Se consigue sin dificultad, MEE hirviendo en un matraz provisto de aparato de reflujo, y por treinta á treinta y dos horas: 381-713 de magnesio metálico 30 gr. de clorhidrato de pineno 20 gr. de éter bien seco, agregando un centímetro cúbico de ioduro de metilo, que actúa de catalizador. No tiene la reacción aquella violencia que es advertida cuando se añade á la disolución de un haluro alcohólico cin- ta Ó polvo de magnesio; pues algunas veces llega á elevarse la temperatura hasta producir la ebullición del disolvente, y entonces la disolución del metal en el líquido etéreo efectúa- se rápidamente, y en muy poco tiempo es completa. En el presente caso, la reacción comienza con bastante calma, ha- ciéndose indispensable, para proseguirla y llevarla á término, calentar, y aun por este medio no se logra disolver el mag- nesio, sino cuando son pasadas unas veinticinco horas de her- vir el éter. Demuestra la práctica ser más ventajoso el sistema de agregar al producto resultante, luego que han reacciona- do por completo el magnesio metálico y el haluro alcohóli- co, la solución etérea de clorhidrato de pineno; así se logra que la cantidad de dihidrodicanfeno que ha de generarse de necesidad quede reducida al mínimo de 10 á 12 por 100 so- lamente (Hesse). Operando en las circunstancias desciitas, fórmase un clo- ruro de pinilmagnesio, cuerpo sólido, cristalino, de color blanco, quedando éter que sobrenada y el cual ha de ser por completo eliminado, empleando, para conseguirlo, una co- rriente de agua durante el tiempo necesario. Luego, aplican- do otra corriente de oxígeno puro y seco, lógrase oxidar el cloruro mixto, y de tal manera se consigue al cabo la forma- ción de una substancia correspondiente á la fórmula O tuyo cuerpo, descompuesto convenientemente, empleando el pS . r . á .p r 1 . . ácido sulfúrico de la concentración á 15% origina el borneol. A este cambio es inherente considerable elevación de tempera- tura, y al propio tiempo el liquido adquiere olor semejante al del alcanfor, recordando asimismo el que es peculiar del moho. Cl Cl Mg/ +H,0=Mg/ E A 7 OCA E Ona Al reaccionar el magnesio metálico con el cloruro de pini- lo fórmase, á modo de producto secundario, buena propor- ción de un hidrocarburo, y no es otro sino el llamado dihi- drodicanfeno antes citado. Su generación en estas circuns- tancias se explica por la ecuación siguiente: Mg + 2C ¡0 Hy, Cl = Cl, Mg + Cio H 17 — Cro Hyz Como al término de las transformaciones queda unido á la masa del borneol formado, es menester proceder á su se- paración. Aprovéchase, para lograrlo de modo completo, una propiedad bastante notable del dihidrodicanfeno, y es que este hidrocarburo no se volatiliza al calor del baño de agua, sino al cabo de haber estado sometido durante algunas ho- ras á la influencia de semejante temperatura. De esta mane- ra, y al cabo de varias sublimaciones, lógrase despojar por completo al borneol de todos los cuerpos que en la reacción se originan como productos secundarios, y sobre todo del dihidrodicanfeno, que podría constituir su mayor impureza. Todavía es menester, para lograrlo en estado de pureza, cris- talizarlo repetidas veces, empleando el éter por disolvente y así se consigue el borneol sólido en buenos cristales, fusi- bles á la temperatura de 115 á 116”; su solución alcohólica al 5 por 100 tiene este poder rotatorio: [«]p =— 10% y no es idéntico á los productos semejantes, ya descritos, proce- Ruv. Acap. DE Ciencias, —VII.—Julio, Agosto y Septiembre.- 1909. 5 MEA 0 UN dentes de diversas plantas. El rendimiento obtenido en las operaciones anteriores alcanza próximamente de 88 á 90 por 100, y aplicando la modificación de Hesse ya se eleva á 92 por 100, á condición de que la reacción se efectúe bastante despacio en todas sus fases. Transformación del borneol en alcanfor.—Siendo el alcan- for la cetona correspondiente al borneol—alcohol secundario bien definido —realízase la transformación de que se trata aplicando, como es de uso general en casos análogos, un procedimiento de oxidación. En el presente se ha reconoci- do la ventaja de oxidar empleando la conocida mezcla de bi- cromato potásico y ácido sulfúrico, procediendo de la mane- ra siguiente: en un matraz de vidrio Erlenmeyer se pu- sieron: 4,6 gr. de borneol. 2,96 gr. de bicromato potásico. 2,93 gr. de ácido sulfúrico. 20 gr. de agua. Como la masa no reacciona en frío, se hace preciso ca- lentarla en baño de María y no á mayor temperatura, ni á fuego directo ó sobre cartón de amianto, porque se corre el riesgo de perder gran cantidad de alcanfor y de borneol, sus- traído este último á la oxidación. En la parte más alta del matraz, y en un largo tubo que debe ponerse atravesando el tapón del mismo, es donde se sublima y deposita una mez- cla de alcanfor y borneol, la cual demanda ser nuevamente oxidada, hasta lograr que la transformación intentada sea total y completa. Requiérese, no obstante, operar con grandes cuidados y no repetir demasiado las oxidaciones, porque lle- vadas al extremo se generan, como consecuencia de las mis- mas, variados productos ácidos, siendo verosímil que se produzca entre ellos algo de ácido canfórico; y con el obje- to de eliminarlos de la mezcla es menester sublimarla de nuevo, sumergiéndola al propio tiempo en una disolución bastante débil y diluída de potasa cáustica. E pa Por fín el alcanfor tesulfante fué lavado, y después varias veces cristalizado y sublimado,.resultando puro y dotado de sus peculiares caracteres. | Transformación del alcanfor en oxima.—Un buen medio de caracterizar las cetonas sábese que consiste en convet- tirlas en-oximas, y partiendo de ello, el alcanfor, en su cali- dad de ciclanona, ha de producir de necesidad su oxima co- rrespondiente, y he aquí el modo práctico de conseguir la canfenoxima; en un matraz provisto de aparato de reflujo se hierven 7,6 gr. de alcanfor, disuelto en 100 cc de alcohol de 96” con 3,42 gr. de clorhidrato de hidroxilamina y 4,1 gr. de acetato sódico fundido y seco; á las cuatro horas de ebu- llición el cambio está realizado, y pasado este tiempo se fil- tra en caliente; por enfriamiento se deposita al punto la oxi- ma buscada, cuyo estudio tengo por hacer en el momento presente. | | | Transformación del pineno en nitrosocloruro.—Cuando se pretende introducir NOCI en los carburos eténicos suelen seguirse dos procedimientos de cierta generalidad: fúndase el primero en el adecuado empleo del nitrito sódico, en pre- sencia de un gran exceso de ácido clorhídrico, y el segundo en el uso de los nitritos alcohólicos, que han de reaccionar precisamente en un medio líquido ácido. Aplicando en el caso presente el método del nitrito sódico, los resultados Ob- tenidos fueron bastante malos é inciertos, porque en la re- acción originase de continuo una substancia de color amari- lento y aspecto resinoso é incristalizable, y acudiendo'á los nitritos alcohólicos se ha visto que el rendimiento con nues- tro pineno es muy escaso. Aunque son aceptables los resul- tados empleando el nitrito etílico, suele utilizarse de prefe- rencia el amílico para este género de operaciones, que se realizan conforme están descritas en todos los libros de Quí- mica orgánica; y sólo advertiré, respecto del nitrosocloruro conseguido y en cuanto á sus propiedades, que después de bien cristalizado resulta ser un cuerpo sólido, de color blan- — 68 — co y aspecto nacarado, no muy estable, en cuanto al fundir- se á la temperatura de 95” ya se descompone, producién- dose abundantes vapores nitrosos y ácido clorhídrico. No reacciona fácilmente con el amoníaco, y cuando al cabo llega á hacerlo produce nitrolamina, cuyos caracteres están con tanta precisión definidos como los peculiares de la es- tudiada y determinada por Leach (*). Es incristalizable la substancia obtenida y se descompone con mucha facilidad á la temperatura de su ebullición; los derivados salicílico y furfurílico no son idénticos á los obtenidos por el investi- gador citado. También intenté obtener el derivado acetamidado y pro- cedí de esta suerte, operando con solución etérea y diluída, á causa de ser escasa la solubilidad del nitrosocloruro en el éter: 1,85 gr. de nitrosocloruro y 5,9 gr. de acetamida se hierven durante algún tiempo operando en la forma acos- tumbrada, resultando al fin un líquido oleaginoso, insoluble en el éter y tan poco estable que se descompuso cuando tra- té de determinar su,punto de ebullición. No fueron mejores los resultados obtenidos cuando acometí la preparación de otros derivados del pineno, que todavía no están ensayados. De cuanto va apuntado deduzco que el carburo integrante de la esencia de trementina del Pinus Halepensis no es el que constituye las esencias francesas, sino una forma isomé rica particular del pineno, y á su estudio cuento seguir con- sagrándome y le sirve á modo de preliminar la presente Nota. Apoya este parecer la opinión aceptada y recibida de que á cada especié de pino corresponde una esencia diferente, en cuanto al hidrocarburo en ella dominante, lo cual quiere in- dicar que son numerosas las formas isoméricas del pineno, y respecto de las esencias francesas procedentes del Pinus ma- ritima y de las esencias americanas del Pinus Australis, los - (*), Chem Soc., p. 91. 1907, = 69 — minuciosos estudios de Berthelot no dan lugar á dudas (*). Según ellos, sábese que á la fórmula CH; corresponden dos carburos que hierven á la misma temperatura y sólo se distinguen por el sentido de su poder rotatorio, y la isomeria se conserva y permanece en todos los derivados, imprimién- doles su caracteristica; en tal respecto el pineno que he aisla- do de la esencia de trementina del Pinus Halepensis perte- nece á la clase de los pinenos levogiros, conforme á las pro- piedades al principio indicadas, distinto del extraído de las esencias francesas, cuyo poder rotatorio es — 43%4, muy di- ferente del australeno, que es dextrogiro, y más todavía del pineno inactivo, producto de las acciones de la anilina so- bre el nitrosocloruro de pineno, operando en caliente. Estos casos de isomeria no son raros, por otra parte, en determi- nados productos naturales, y aun repetidas veces cabe atri- buirlos á modificaciones moleculares que experimenta una misma substancia ó una primera materia cuando para aislar de ella determinados principios ha de ser sometida á varia- das manipulaciones, en particular si interviene el calor, aun- que en el caso presente no sea muy aplicable la doctrina, por cuanto el pineno de las esencias francesas es sie.mpre el mis- mo, particularmente extrayéndolo mediante destilación en el vacío y á temperatura baja; y obsérvese que el poder rota- torio permanece constante, al igual de la densidad y el ín- dice de refracción, que son sus principales caracteres físicos. No terminaré la presente Nota sin consignar mi agradeci- miento al Profesor Dorronsoro, quien ha practicado en su laboratorio las determinaciones de las constantes físicas de los cuerpos estudiados, y al alumno de esta Facultad D. An- tonio Moyano, cuya colaboración ha sido muy útil en mis experimentos. (Laboratorio do Química orgánica de la Facultad de Farmacia de la Universidad de Granada.) (*) Les carbures d'Hidrogéne, tomo Il, pág. 437 y siguientes capí- tulos. — 10 — V.—Sobre la conductibilidad de disoluciones de C/K y CINAa en mezclas de agua y alcohol metílico. (Variaciones con el tanto por ciento de alcohol, la concentra- ción y la temperatura.) POR AURELIO GARZÓN Y CARMONA. Muchos físicos, cuyos nombres se citarán después al enumerar sus respectivos trabajos, se han dedicado al es- tudio, inagotable en el terreno experimental, de esta rama de la disociación electrolítica, tratando de explicar la acción del disolvente. No es enteramente nuevo el trabajo de que vamos á dar cuenta; sin embargo, como la medida de las conductibilida- des ha sido hecha de ordinario á temperaturas determinadas (0 y 25; 18 y 25”, etc.), hemos medido las conductibilida- des de 0* á 50”, siguiendo sus variaciones con la tempera- tura en un intervalo relativamente largo, y tal variación y la del tanto por ciento del alcohol, es dable determinarla entre límites aproximados de temperatura y saber á qué tanto por ciento de alcohol corresponde el mínimo de conductibilidad, cuestión que no ha podido afirmarse como fenómeno gene- ral; pues acaso pudiera depender de no haberse seguido la variación con la temperatura para las muchas disoluciones que se han estudiado. Antecedentes de la tesis propuesta.—Dentro de la especia- lidad de nuestra investigación, vamos á resumir las nume- rosísimas que, según va dicho, aun antes de la teoría de Arrhenius, se han llevado á cabo sobre la conductibilidad de las disoluciones hidro-alcohólicas, y especialmente de las metílicas. Las conclusiones ó resultados que más convienen é nues- tro objeto, son: i a y La conductibilidad de una disolución disminuye cuando aumenta el tanto por ciento de alcohol; pero disminuye tan- to menos cuanto más elevado es el dicho tanto por ciento. La relación entre las conductibilidades límites de una mis- ma sal en el alcohol metílico y en el agua resulta igual á 0,74, según Woóllmer. De igual modo afirman Wakeman y Cohen la constancia de la relación en las conductibilidades de disoluciones acuo- sa é hidroalcohólica de una misma sal y de indéntica concen- tración, disminuyendo el valor de la relación cuando varíe el tanto por ciento de alcohol. Casi todos los experímentadores han hecho notar la gran influencia de la adición de una pequeña cantidad de agua ó de alcohol sobre la conductibilidad de una solución alcohóli- ca Ó acuosa, respectivamente. Arrheníus estudió la acción de los alcoholes etílico y me- tílico sobre el electrolito constituído por una solución de Cl Na 5 normal. Propuso la fórmula general 2 I=10(1==9x) en la que 1, es la conductibilidad de la solución acuosa; / la de la solución conteniendo x por 100 en volumen de un no conductor cualquiera; « es un coeficiente empírico; x debe ser inferior á 10 para la aplicación de la fórmula. Para Zelinski y Krapiwin, cuando la adición del no con- ductor es de un 2 por 100 en volumen, la disminución re- sulta considerable. Cohen concluye de su estudio sobre el ioduro potásico, en solución etílica, que la conductibilidad puede ser aumentada ó disminuida por la adición de una pequeña cantidad de agua, según la dilución y el contenido de alcohol en el disolvente. Wakeman, que midió á 25” las conductibilidades de Cl Na, I[K, CIK y CIH no encontraba aplicable á estas sales la fór- mula de Ostwald: (Uy) Vo: que expresa el equilibrio de la molécula disociada de un electrolito binario, en solución diluida y en la que K re- A v : Aa Según Wildermann, esta ley sólo es aplicable al ácido tri- cloracético en solución etílica. Según Carrara, la fórmula expresada se aplica mejor á las bases y á los ácidos; para las sales es preferible la de Rudolphi: presenta una constante, y y = kiss sabios VIV) en la que K y y tienen la misma significación. Según Roth, ni las dos fórmulas citadas, ni la de Van t'Hoft, atajos ral di io dd son aplicables, pudiendo concluirse que la ley de dilución de Ostwald sólo es aplicable para el ácido tricloracético (Wilderman). | | | Otra de las conclusiones de Roth es que los coeficientes de temperatura aumentan rápidamente con el tanto por cien- to de alcohol y mucho más despacio con la dilución. Es conclusión común de muchos de estos trabajos la de la existencia de un mínimo de conductibilidad; pero cada cual la hace para casos particulares, ya sea por el electrolito estudiado, ó por la dilución, ó por la temperatura, ó por el tanto por ciento de alcohol. Así se desprende de los trabajos de Zelinski y Krapriwin, de Jones y Lindsay, de Godlewski, de éste y de Bassett y de Jones y Caroll. : - Jones y Lindsay, operando á las temperaturas 0” y 25” so- bre varios electrolitos, obtuvieron este mínimo. de conducti- a bilidad, para cada electrolito á un tanto por ciento de alco- hol metílico ó etílico. Lindsay trata de explicar este fenómeno del modo siguien- te: «Según la teoría de Dutoit y Astón, son solamente los líquidos polimerizados los que pueden disociar los electro- litos disueltos. Si esto es exacto, un líquido polimerizado puede, por sí mismo, disminuir en parte la asociación de las moléculas de otro líquido polimerizado. »Se sigue de aquí que si se mezclan dos disolventes poli- merizados, su acción recíproca tiene por efecto disminuir el estado de asociación, el uno del otro, hasta llegar á un es- tado de equilibrio. Esto es lo que sucedería en el caso de las mezclas de agua y de CH¿OH ó C,¿H;, O H. Entonces, puesto que el estado de asociación de la mezcla es menor que el estado de asociación de cada uno de los dos compo- nentes tomados aisladamente, la conductibilidad molecular en la mezcla debe ser inferior á la que corresponde á uno ú otro de los componentes tomados aisladamente. Esto es, añade Lindsay, lo que la experiencia demuestra.» «La elevación de temperatura, disminuyendo en general el estado de asociación de un líquido, disminuirá la influen- cia de cada uno de los disolventes sobre el otro en la mez- cla, lo que explica el hecho experimental siguiente: la dis- minución de la conductibilidad molecular, debida á la adi- ción de alcohol en la disolución acuosa, es tanto menor, en igualdad de condiciones, cuanto más elevada es la tempe- ratura.> Jones y Caroll opinan que, puesto que la conductibilidad molecular no depende solamente de la ionización, sino tam- bién de la movilidad de los iones y ésta del medio que los rodea, la disminución de la conductibilidad obedece á la disminución de fluidez ó aumento de viscosidad. Nos proponemos, en las conclusiones de este trabajo, in- sistir sobre la cuestión del mínimo, así como también es- tudiar experimentalmente la variación de la viscosidad en PO e las mismas disoluciones y para aquellas temperaturas en que se patentiza más la existencia del mínimo. Y, por último, citaremos el hecho observado por Lincoln y Kahlenberg de la disminución, con el tiempo, de las con- ductibilidades moleculares, que ellos explican por la acción recíproca del electrolíto disuelto y del disolvente, el observa- do por Hartwig en sus experimentos sobre los ácidos fórmi- co, acético, butírico á 18”, el cual notó disminuciones de con- ductibilidad debidas á fenómenos de eterificación; y la de- ducción de Lenz, de que la variación de la conductibilidad con la proporción de alcohol es casi independiente de la concentración. Tales son, en breve compendio, las conclusiones más im- portantes sobre la conductibilidad de los electrolitos, cuando el disolvente es alcohólico 6 hidro-alcohólico, Nos hemos propuesto, al citarlas, que luego nos sirvan de comparación con las que de nuestra tesis se desprendan. * * * Método empleado y su práctica.—El método empleado para medir las resistencias de los líquidos ha sido el de Kohlrausch, que, como es sabido, consiste en la aplicación del puente de Wheatstone, en el que la corriente ha de ser alternativa y el galvanómetro está sustituido por un teléfono. Medimos las resistencias de los varios teléfonos de que disponíamos, y hubimos de adoptar el de menor resistencia: 112 ohmios, mayor que la recomendada cuando ha de ser- vir para este objeto. A unos dos metros de distancia del teléfono, para evitar su influencia, colocamos el aparato de inducción, consisten- te en un pequeño carrete de Ruhmkorff, accionado por un acumulador de 2 voltios. Regulábamos la distancia del in- terruptor del carrete para que produjese un sonido de alto tono, al cual es más sensible el oído. Para no confundir el sonido percibido en el teléfono con el ruido del interruptor, colocamos el carrete envuelto en mantas de algodón dentro de una caja de cartón, y ésta den- tro de otra de madera, y entre las paredes de ambas colo- camos aserrín de -corcho, con lo que con- > seguimos hacer imperceptibles los ruidos. Como resistencias de comparación he- mos empleado dos series de carretes, cons- truídos por nosotros, arrollando sus hilos do- blemente, á fin de evitar la auto-inducción. La primera serie estaba constituida por cin- co próximamente iguales, siendo el valor de una de ellas, la primera, el de 18.488 ohmios. La segunda serie la componían 20 carretes, siendo el valor de uno 483,7,. Puente de hilo y calibrado eléctrico de éste.—El puente que hemos usado, cons- truido en el taller del Laboratorio, tiene hilo doble de níquel, que puede prolongarse por sus extremidades con carretes constituidos por porciones de hilo de la misma naturale- za, iguales á 50 centímetros próximamente. El dibujo adjunto puede dar idea de su dis- posición. La longitud total del hilo es de 7 metros, pudiendo servirse de él como nos servimos de una caja de resistencias. Ofrece esta disposición la ventaja de que el error en la apreciación del mínimo del sonido no influye tanto en el valor numérico de la rela- ción de los brazos constituidos por este hilo, por hacerse mucho mayores los términos de aquella relación. Hemos cuidado de que en las medidas el cursor viniera á fijarse hacia la parte me- dia del hilo recto introducido en el puente, lo que conse- guíamos añadiendo ó quitando carretes de los del puente. - ms Descrito éste, vamos á ocuparnos del calibrado de su hilo, Primeramente lo ejecutamos por el método Carey- Fuster; haciéndolo á la vez de dos hilos, el del puente de hilo doble, y el del otro sencillo; pero los resultados, puestos de mani- fiesto en sus curvas respectivas, no eran satistactorios,.por lo cual el Sr. Cabrera hizo la modificación del método (*), mejorándolo notablemente, como hemos tenido ocasión de comprobarlo por los resultados numéricos, que aquí omiti- mos por no dar mucha extensión á nuestro escrito, En la práctica, el calibrado del puente ofrece tres partes: 1.? Como el cursor no puede llegar á los extremos del hilo, le calibramos solamente desde los 5 á los 95 centíme- tros por el procedimiento ya indicado. 2.” Comparación de aquellos extremos del hilo. Para ello hemos determinado el punto medio en resistencia del hilo, in- cluyendo los extremos; después el punto que tenga por abs- cisa, 50, en la región ya calibrada, y, por consiguiente, con su correspondiente corrección. Hallando la diferencia entre las distancias al origen de los dos puntos medios, obtuvimos 51.110 — 50.929 = 0.181. Esta diferencia la sumamos á todas las correcciones obte- nidas en la primera parte, y así hallamos las definitivas. 3. Comparación del hilo posterior y los carretes del puente con el hilo anterior ya calibrado. El método seguido fué el del puente doble de Thomson ó de los nueve conduc- tores. He aquí el resultado de esta con ón Hilo anterior = 100 w. > posterior = 100.6. (*) En los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química ha publicado una nota sobre esta modificación el Catedrático Sr. Ca- breta. ¿03 Dis -- = MM — - Carretes anteriores. ' - Carretes posteriores. - B, = 49.176 w b, = 49.315 w B, = 49.218 » DE B, = 49.309 > y PAIS B, = 49.629 » b, = 49.315 » B;¿ = 49.710 > b, = 49 694 » Vasos electrolíticos. — Tres han sido los vasós usados, cuya disposición y forma puede verse en el dibujo adjunto. Los hemos designado por las letras A B y C. Del que hemos obtenido mejores resultados ha sido del va- so C, atribuyéndolo prin- cipalmente á la fijeza de sus electrodos y al buen contacto de éstos con los vértices del puente. Tiene la ventaja también sobre los otros de poder acercar ó separar sus elec- trodos, y, por tanto, dis- minuir ó aumentar la cons- tante que multiplica la re- sistencia del electrolito; no podemos asegurar, sin em- bargo, que reuna todas las condiciones aconsejadas, sobre todo para las diso- luciones hidro-alcohólicas con que hemos operado, pues su tapa tiene una gran rendija que favorece la evaporación y está des- provisto de agitador, lo cual retrasa mucho el equilibrio de temperatura dentro de la masa del líquido. Hemos podido observar entre las regiones a 78 = superior € inferior del líquido (estando llenos los vasos en sus tres cuartas partes) una diferencia de temperatura de 8 á 9 décimas de grado á los 15 ó 20 minutos de estar aquéllos sumergidos en el baño del termostato, á cuya diferencia con- tribuyen, sin duda, los orificios de sus tapas que les ponen en comunicación directa con la temperatura ambiente. - - Hemos platinado los electrodos, preparado las disolucio- nes y medido las capacidades siguiendo las instrucciones contenidas en el Traité de Mesures Physico-Chimiques, de W. Ostwald, operaciones de cuyo detalle prescindimos. Determinación de las capacidades de los vasos con disolu- ciones del CIK áconcentraciones y temperaturas distintas. Vaso A.—14 determinaciones. Valor medio == 5.477; error relativo = 0.0098. - Vaso B.—10 determinaciones. Valor medio = 10.736; error relativo = 0.0019. Vaso C.—10 determinaciones. Valor medio = 0.164; error relativo = 0.0037. Teniendo en cuenta los valores respectivos de las capaci- dades de los vasos, hemos empleado el vaso B para las di- soluciones más concentradas; para las normales, el A para las deci-normales, y el C para las cincuenta y centi-nor- males. Las disoluciones han sido preparadas con productos puros de la casa Kahlbaum, de Berlín. Las que nos proponíamos estudiar eran las siguientes: A A A alcohólica al 20 por 100.... idem al 40 por 100........[ normal, deci, cincuenta y cen- idem al 60 por 100........( ti-normal de CIK y de ClNa. ídem al 80 por 100........ í E alcohólica | loco nm»)... . +... .< <<... AS E No todas pudieron ser estudiadas, como se verá después, por no poder conseguir la disolución de la sal en normales y deci-normales más ricas en alcohol. _Termostatos. —Dos han sido los que hemos empleado: uno para temperaturas superiores á la del ambiente, otro para las inferiores hasta cero grados. El primero consistía en un depósito de base rectangular, y en el cual un tubo cerrado por el extremo inferior, y á modo de serpentín, terminaba por el otro extremo en un tubo de vidrio, atravesado éste por un hilo de platino, cuya punta venía á quedar como eje del tubo y á unos dos centímetros de su extremo. El tubo de vidrio se ponía en contacto con el mercurio de un vasito. Lleno el serpentín de vaselina líquida y rodeado del hilo que conducía la corriente de calefacción, abríamos la llave de un sifón que tenía en su parte más alta, con lo que al di- latarse la vaselina del serpentín, salía por el sifón y no por el tubo de vidrio, deshaciendo el contacto entre el hilo de platino y el mercurio. Formábamos un circuito constituido por el hilo de platino mercurio, una pila y un relaís que ños servía de interruptor de la corriente de calefacción. Supongamos que en el baño del termostato hemos conse- guido la temperatura que deseábamos; entonces cerramos la llave del sifón; la misma dilatación de la vaselina rompe en- tre el platino y el mercurio el circuito auxiliar, y, como con- secuencia, se rompía en el relaís el de calefacción. Al cesar ésta, sucedía un enfriamiento del baño; la consi- guiente contracción de la vaselina; el cierre de ambos circuí- tos; nueva dilatación y nueva ruptura, y así sucesivamente, pero á veces con grandes amplitudes y siempre con frecuen- tes interrupciones, por lo que hubimos de prescindir de este regulador, y, desde luego, regulamos con un interruptor á mano, adquiriendo con el uso práctica para conseguir tem- peraturas estacionarias con un error menor de 0,05 de grado. — 80 — El líquido que llenaba tal termostato era petróleo, removi- do constantemente por cuatro agitadores que accionaba un pequeño motor eléctrico. El de las temperaturas inferiores á la del ambiente consis- tía, como el anterior, en una caja rectangular de latón dentro de otra de madera y separadas ambas por aserrín de corcho. Colocado el vaso ó vasos en esta caja, echábamos hielo ma- chacado y sal hasta conseguir en ellos una mínima tempera- tura estacionaria, que nunca llegó á 0?, pero sí muy próxima. Para obtener temperaturas más elevadas, habíamos colo- cado más alto un depósito de latón lleno de agua á la tem- peratura ambiente. El más bajo estaba provisto de un sifón con llave para dar salida al agua de fusión; ambos depósitos comunicaban entre sí por otro sifón para ir substituyendo con el agua del depósito más alto la sustraída del más bajo y conseguir en éste una marcha ascendente y todo lo más lenta posible de su temperatura. Nos ha dado resultados que dejan algo que desear, por no obtener en él temperaturas estacionarias, por no ser un verdadero termostato, como le hemos llamado. Al error en la apreciación de las temperaturas tendremos que atribuir las irregularidades que notamos en las curvas de temperatura, de las que nos hemos de ocupar muy pronto. Medida de resistencias y cálculo de conductibilidades.— Una vez descritos y estudiados los elementos que habían de - formar el aparato de medidas, poco tenemos que decir res- pecto á su disposición práctica, que había de obedecer á la esquemática del método de Kohlrausch ó del puente Wheats- tone; sólo nos hemos de referir al modo de disponer los va- sos electrolíticos. Preparadas las tres disoluciones, normal, deci y centi-nor- mal de una misma sal y del mismo tanto por ciento de al- cohol y colocadas en los tres vasos, sumergíamos éstos en los baños de los termostatos; para poder sustituirlos con: ra- pidez eri el brazo correspodiente, hicimos sobre un blóque AA PENA ERAS nd A de parafina un conmutador ligado por pocillos de mercurio á los tres vasos electrolíticos. Nos proponíamos hacer las medidas de 5 en 5 grados de temperatura en el intervalo comprendido entre O y 50% á veces hemos hecho medidas á temperaturas distintas, ya por no conseguir siempre la estabilidad térmica necesaria, Ó ya por aprovechar la temperatura ambiente. Los resultados de estas medidas representan algunos va- lores aproximados de una función desconocida. Hemos de considerarlos como datos para llegar al conocimiento de esa función y podernos, por tanto, representar la marcha del fe- nómeno físico objeto de nuestro estudio, esto es, la varia: ción de la conductibilidad con la de la temperatura ó con la de la concentración ó con la del tanto por ciento de alcohol. A continuación colocamos unos cuadros, en los que des- pués de indicar las condiciones de la disolución, ponemos irente á las temperaturas los valores de sus conductibilida- des. También figuran en estos cuadros las ecuaciones res- pectivas que dan los valores de la conductibilidad con un error menor que el error de observación. Estas ecuaciones han sido deducidas de los valores halla- dos siguiendo el método de Cauchy, expuesto en el Capítu- lo XV de la obra Theorie des Erreurs d' Observation, por P. J. E. Goedseels. A la expresión analítica de los resultados acompañamos también la representación gráfica por medio de curvas, cuyo trazado ha sido hecho del modo siguiente: El dibujo 1 representa la variación de la conductibilidad con la temperatura de las disoluciones normales de ambas sales, CIK y ClNa, correspondiendo cada grupo de curvas á cada una de ellas. Sobre papel cuadriculado al milímetro hemos tomado como eje de temperaturas el eje de abscisas, representando un grado por un centímetro; como eje de con- ductibilidades hemos tomado el eje de ordenadas, represen- tando cada dos unidades del cuarto orden decimal por un RzEvy. AcaD. DE Ciexcras.— VIT.—Julio, Agosto y Septiembre.—1900. 6 E milímetro, después de haber restado de todas las conducti- bilidades correspondientes á estas curvas una cantidad próxi- mamente igual á la menor de ellas: 0.02. El dibujo Il corresponde á las disoluciones decinormales; la cantidad restada de todas ellas ha sido 0.003; cada milíme- tro representa dos unidades del quinto orden decimal. El dibujo III, á las cincuenta-normales; la cantidad resta- da, 0.0005; el milímetro representa dos unidades del sexto orden decimal. El IV, á las centi-normales; la cantidad restada, 0.0004, como en las del anterior, el milímetro corresponde á dos unidades del sexto orden. Determinadas de este modo las coordenadas de los pun- tos, y fijados éstos sobre el dibuje, hemos hecho pasar las curvas por entre ellos, prescindiendo, como lo hemos hecho para el cálculo de las ecuaciones, de aquellos puntos que han sido resultado, indudablemente, de una equivocación en la medida ó en el cálculo. | Siguen á las curvas descritas las líneas que representan el cambio de conductibilidad con el tanto por ciento de al- cohol. Estas líneas, representadas en los dibujos V y VI, han sido obtenidas de las anteriores por secciones dadas á las temperaturas 10, 25 y 40”. Como eran pocos los puntos obtenidos, nos ha parecido más conveniente unirlos sucesi- vamente por líneas rectas. TT SOS Na 70 EC AAA DA ON ANUENCE AA > y FNEN CUA NN NE la temperatura. — Varlación de la conductibilidad con s normales de C/K y CINa 1, - Disolucion nn. con la temperatura. PP 6 e Rs | | |-0% e | | 20% A . ' | 40% 80% 60% 302 400 5029 a 102 209 302 400 5002 MH. Disoluciones decinormales de C/K y C/Na— Varlación de la conductibllidad con la temperatura. hem iio o Deli Ñ RA hs SON rei O rr FOR 006 RAR o 4 09 lll, Disoluclones cincuenta normales de C/K.— Variación de la conductlbilidad con la temperatura. 509 AS Ye PI A a ni SA A a A: A IA | | ¡o 400 5020? IY.—Disoluciones centinormales de C/K y C/Na— Variación de la conductibilidad con la lemperafura. A II pra e -q nd li 5 Z » e A + y 50% 80% 0% 20% 40% 60% 80% 100% 20% 40% 60% 80% V.— Variación de la conductibilidad con el tanto por clento de alcohol. Disoluciones normales y decinormales. “== ME: dar aer 17 0% 20% 40% 60% 80% 0% 20% 40% 60% 80% 100% 0% 20% 40% 60% 80% 100% VI,— Variación de la conductibilidad con el tanto por ciento de alcohol. Disoluclones cincuenta y centinormales. Dn AS 2 25 id ol m EE 3 El i 4 A Ear O ai 2 * a . Ñ a ds E ERA £ 5% A e e . 0 mjor a, is 210% Ali it O A A a vinil AS A A Seo al de pS id, % i A O A MI A de E Disoluciones normales con disolvente hidro-alcohólico al O o. CIK ClNa ct =0.11050 [1 + 0.016 (t — 25)] | ct =0.08832 [1 + 0.0184 (t 25)] Temp. * Cond. Temp. Cond. 0.6 0.06810 1.52 0.04970 5o 0.07475 50 0.56250 10,62 — 0.08457 10 0.06341 20 0.10100 15 0.07374 25 0.11080 20 0.08030 30 0.11800 25 0.08830 35 0.12900 -30 0.09569 40 0.13600 35 0.10585 45 0.14800 40 0.11055 50 0.15100 | 45 0.12300 50 0. 12997 Normales con disolvente al 20 %/.. CiNa ct =0.07161 [1 + 0.0208(t — 25)] CIK ct =0.07935[1 + 0.0095 (t — 25)] Temp. Cond. Temp. Cond. 1.59 » 0.52 0.03090 6.4 > 5 0.03636 10 » ¡ 10 0.04269 e A | 15 0.04803 20 0.07090 20 0.05453 25.5 0.08035 25 0.06353 31.6 0.09052 30 0.06812 35 0.09742 35 0.07686 40 0.10610 40 0.08354 45 0.11430 45 0.09120 50 0.12430 | 50 0.09884 PU. REN Normales con disolvente al 40 */, CIK Cl Na €: =0.0629 [1 + 0.029 (t=25)] | cr =0.04725 [1 +0.024 (t—25)] Temp. Cond. Temp. Cond. 20 0.03136 3.1 0.02538 9 0.03861 5 0.03025 15.5 0.04608 10 0.03211 20 0.05350 15 0.03769 30.4 006490 20 0.03992 34.8 0.07230 25 70.0477 40 0.07902 30 0.05323 45.5 0.08575 35 0.05937 50 0.09285 40 0.06616 45 0.07219 50 0.07934 Normales con disolvente al 60 %/, CIK Cl Na ct =0.03054 [14-0.00167 (t—25)— | ct =0.03898 [14-0.0215 (t- 25)+ — 0.00004 (t—25)?] +-0.000253 (t— 25)] Temp. Cond. Temp. Cond. pe 0 02041 1.5 0.01992 5 0.02174 6 0.02402 10 0.02497 10 0.02619 15 0.02738 15 O 03039 22 0 03002 20 0.03405 31.5 0.03430 25 0.03799 35 0.03641 30 0.04252 40 0.03763 35 0.04719 45 0.03980 40 0.05220 50 0.04199 45 0.05682 50 0.06226 A Deci-normales con disolvente al 0 */.. C1K ClNa ct =0.013124 [1 +0.019 (t—25)] | ct =0.01042 [1 +0.019 (t — 25) + 0.00007 (t —25)?] Temp.2 Cond. Temp.a Cond. 42 0.00790 1.5 0.00570 12.5 0.01070 5 0.00687 15 0.01104 10 0.00766 20. 0.0119 15 0.00843 24.6 0.01304 20 0.00934 30 0.01423 25 0.01036 35 0.01559 30 0.01146 40 0.01710 35 0.01236 45 0.01825 40 0.01353 50 0.01974 45 0.01470 50 0.01579 Deci-normales con disolventes al 20 9/.. CU: CiNa c+ =0.00903 [1 +0.0212 (t—25)] | ct =0.00755 [1 + 0.33 (t — 25) + 0.05 (t —25)?] Temp.a Cond. e Temp.a Cond. 1.40 0.004405 30 0.003924 38 0.005307 50 O 003980 10 0.005958 10 O 004939 15 0.006924 15 0.005816 20 0.007920 20 0.006578 25 0.008948 25 0.007330 30. 0 009946 30 0.008298 35 0.011105 35 0.009210 40 0.012070 | 40 » 45 0.013320 45 > 50 > 50 Ss Deci-normales con disolvente al 40 9, CIK CiNa ct = 0.006943 [1 + 0.023 ct =0.005824 [1 + 0.014 (t—25)+- (t - 25)] + 0.00011 (t— 25)?] Temp. Cond. Temp. Cond. Le 0.003422 1D 0.002800 1 0.003804 5 0.003210 10 0.004571 11.5 0.003606 15 O 005187 15 (1,004417 22 0.006188 20 - 0.005212 31.5 0.007784 25 0.005683 35 0.008283 30 0.006399 40 0.009257 35 0.007224 45 0.010216 40 0.007950 45 0.008718 50 0.009700 Deci-normales con disolvente al 60 9, C1K CiNa c+ =0.006224[1-+-0.0226(t—25)-+ | c+ =0.005039 [1 +0.023 (t—25)+ + 0.090154 (t—25)?] + 0.00009 (t—25)?] Temp. Cond. Temp. Cond. 18 0.003144 2,9 0.002633 5 0 003850 5 - 0.002921 10 0.004299 10 0.003440 15 0.004861 15 0.003880 20 0.005646 20 0.004500 23 0.005788 25 0.004984 30.5 0.006949 30 0.005561 35 0.007725 35 0.006210 41.5 0.008586 40 0.006855 45.5 0.009363 45 0.007577 51. 0.010325 50 0.008280 Eme Deci-normales con disolvente al 80 ¿)*. C1K CiNa c+ =0.005347 [1 +-0.015 (t — 25) c+ =0.004924 [1 + 0.016 + 0.00023 (t —25)?] (t—25)?] Temp. Cond. Temp. Cond. 24 59 0.005370 250 0.004853 30 0005986 30 0.005280 35 0.006486 35 0.005852 40 0 007012 40 0.006308 45 0.007640 45 0.006892 50 0.008203 50 0.007494 Cincuenta-normales de CI K con disolvente al 0 p/* | 20 ¿/* ct =0.00233 [ 1 + 0.0207 c+ = 0.002071 [ 1 + 0.023 (t—25)] (t-25)] Temp. Cond: Temp. Cond. 1.19 0.001575 ¿ES 0.000978 0 0.001777 S 0.001080 10 0.002006 TO 0.001282 14.3 0.002216 13.4 0.001560 16.5 0.002323 20 0.001860 20 0.002545 25 0.002100 25 0.002800 30 0.002353 30 0.003060 35 0.002560 35 0.003290 40 0.002758 40 0.003555 45 0.003080 45 0.003820 50 0.003300 ME Cincuenta-normales de CIK con disolvente al 40% 60 9, ct =0.001465 [1 + 0.026 (t —25) | ct =0.001339[1 + 0.023(t -- 25)] + 0.0015 (t — 25)?] Temp. Cond. | Temp. Cond. 0.6 0.000723 | 151 0.000696 5 0.000850 5.5 “ 0.000790 10.1 0.000972 10.4 0.000920 11.5 0.000995 15.2 0.001040 13 0.001050 20 0.001173 134 0.001070 25 0.001300 20 0 001290 30.3 0.001470 25 0.001460 35:2 0.001620 30 0.001650 40 O 001790 35 0.001860 ds 0.001990 40 0.002070 A5 0.002240 Cincuenta-normal de CI K con disolvente al 80 9/.. ct = 0.001218 [1 + 0.02 (t-25) . + 0.00016 (t — 25)?] Temp. Cond. 0.6 0.000720 5 0.000784 10 0.000883 12.8 0.000930 15 0.000992 20 0.001100 25 O 001220 30 0.001340 39 0.001480 40 0.001600 45 0.001770 ¡0 Centi-normales con disolvente al 0 %/.. C1K -CilNa ct =0:001482 [1+0.019 (t—25)+ | ct =0,00111 [1-4+0.0206 (t— 25) + +0.000029 (t—25)? ] +0.000077 (t—25)?] Temps Cond. Temp. Cond. 3.52 0.000887 2 0.000638 5 0 000928 5 0.000662 10 0.001046 Falo 0.000810 15 0.001191 15 0.000917 20 0.001343 20 0.001008 25 0.001441' 25 0.001055 30 0.001615 30 0.001241 35 0.001758 35 0.001350 40 0.001914 40 0.001473 45 0.002054 45 0.001611 50 0.002225 50 0.001712 Centi-normales con disolvente al 20 %/.. CIK Cl Na ct =0.001180 [14 0.023 (t—25)+ | ct =0.000818 [1-0 024 (t - 25) + + 0.00002 (t—25)? ] + 0,00016 (t—25)?] Temp. Cond. Temp. Cond. 2 0.000559 ye 0.000410 5 0.000640 5 0.000463 LN 0.000813 10 0.000554 15 0.000908 15 0.000641 203) 0.001026 20 0.000726 25.4 0.001174 25 0.000808 31.8 O 001344 30 0.000927 35 0.001447 35 0.001018 40 0.001601 40 0.001144 45 0.001754 45 0.001275 50 0.001928 50 0.001407 — Oe Centi-normales con disolvente al 40 ¿/*. ] CIK | PON c+=0.000773 [1-+ 0.023 (t—25) | ct£=0.000897 [1-+0.026 (t — 25) + 0.00013 (t — 25 )?] + 0.0002 (t— 25)? ] Temp. Cond. Temp. Cond. (05 0.000352 20 0.000455 5 0.000412 5 0.000508 10 0.000495 10 0.000597 15 0.000559 15 0.000651 20 0.000652 20 0.000791 25 0 000728 25 0.000895 30 0.000827 | 30 0.001032 35 0.000922 | 35 0.001151 40 0 001028 40 0.001286 45 0.001119 . 45 0.001419 50 0.001247 l 50 » Centi-normales con disolvente al 60 ¿/*. CIK ClNa c+ =0.000693 [1-+ 0.026 (t—25) | c+=0.00055 [1 + 0 024(t — 25) + 0.000015 (t— 25)?] +-0.00018 (t — 25 )?] Temp. Cond. Temp. Cond. 3o 0.000376 29. 0.000297 5 0.000397 5.5 0.000329 11.5 0.000470 10 0.000373 15 0.000519 15 0.000428 20 0.000587 20 0.000486 22.5 0.000623 25 0 000553 -26.7 0.000708 30 0.000622 35 0.000851 35 0.000692 40 0.000937 | 40 0.000756 45 0.001032 | 45 0.000856 50 0.001138 50 0,000946 Ro) Centi-normales con disolvente al 80 %/, C1K CiNa ct =0.001215 [1-+-0.02 (t—25) + | ct =0.000583 [1-4 0.02 (t—25) + + 0.00009 (t— 25)? ] + 0.0001 (t— 25)?] Temp. Cond. Temp. Cond. - 20 0.000397 20 > 5 0.000408 5 0 000388 10 0.000486 10 0.000431 15 0.000544 15 0 000479 20 0.000603 20 0.000532 22,5 0.000636 Pia 0.000590 30 0.000734 30 0.000648 35 0.000816 35 0.000712 40 0.000875 40 . 0.000775 45 0.000950 45 0.000842 50 0.001028 50 0.000926 Centi-normales con disolvente al 100 9], CIK ClNa ct = 0.000643 [1 + 0 0127 c+ =0.000624 [140.02 (t—25) + (t —25)] + 0.00031 (t — 25)? ] Temp. Cond. Temp. Cond. 1.5 O 000459 Le 0.000334 5 0.000488 5 0.000346 10 0.000521 10 0.000561 15 0.000558 15 O 000606 20 0.000606 20 0.000644 25 0.000649 25 0.000694 30 0.000680 30 O 000746 35 0.000726 35 0.000791 40 0.000767 40 0.000840 45 0.000815 45 0.000887 50 0.000868 50 0.000944 — 9 — Conclusiunes. El examen atento de las curvas que preceden y de sus ecuaciones nos conducen á terminar nuestro trabajo con los siguientes resultados Ó conclusiones: Para las curvas correspondientes á disoluciones que no difieren más que en la sal, se nota un cierto paralelismo que hace semejantes sus disposiciones respectivas dentro de cada dos grupos correspondientes á una misma corcen- tración. | Puesta la ecuación de las curvas (1) c+ = Ca, [1 3 a (t= 25) 4 b(t—25)8] bajo la forma | lies A (125) db 25 podemos comprobar la casí igualdad entre los valores del coeficiente A para dos disoluciones que no difieran más que en la sal disuelta. Citaremos, por ejemplo, las normales acuosas, cuyas ecuaciones, que carecen de término cuadra- do, son ec; =0.1105 + 0.001751 (t— 25) y c; =0.0883 + 0.001628 (t — 25). Las de las centi-normales, con disolvente alcohólico, son ec; =0.000643 + 0.00001 (t — 25) y c; =0.000624 + 0.00001 (t — 25). Estos ejemplos, y otros más que podríamos escoger, rati- fican lo que queda dicho acerca del paralelismo de las lí- neas, que implica, á nuestro entender, que ambos electroli- tos se conducen igualmente, con la sola diferencia del valor de sus conductibilidades, = Para cada electrolito y concentración, el coeficiente de temperatura, cuando varía el tanto por ciento de alcohol de O á 100 por 100, va aumentando hasta pasar por un máxi- mo, como puede verse examinando las ecuaciones respecti- vas bajo la forma (f) antes escrita. Esto determina una convergencia de las curvas hacia tem- peraturas tanto más bajas cuanto mayor es la concentración de la disolución. En el dibujo IV pueden verse ya sus inter- secciones, por corresponder aquéllas á las más diluidas, á las centi-normales. Del examen de los dibujos V y VI, los cuales correspon- den á la variación de la conductibilidad con el tanto por ciento de alcohol, podemos deducir la gran influencia, para esa variación, de pequeñas cantidades de alcohol, pues el mayor descenso de la curva corresponde al menor tanto por ciento : al 20, Este descenso máximo lo señalaron varios investigadores, entre ellos Zelinski y Krapiwin para el 2 por 100. Por la forma de las curvas V y VI no parece que poda- mos hacer nuestra la conclusión de Lenz, que expusimos en su lugar, de que «la variación de la conductibilidad con la proporción de alcohol es casi independiente de la concen- tración ». Por último, la existencia del mínimo casí la podemos afirmar de un modo general. En las normales empieza á ma- nifestarse su existencia, hasta las centi-normales, en que es claramente manifiesto. Se ve que depende no solamente del tanto por ciento de alcohol, sino también de la concentración, de la temperatura y de la sal disuelta. Quizá repitiendo los experimentos entre intervalos más reducidos de aquellos tres factores y con otros electrolitos pudiéramos hacer patente su existencia en muchos casos, como lo hacemos ver en el último grupo de las curvas VI. Nos proponemos que el trabajo que acabamos de expo- ee QA ner, tenga su segunda parte en el estudio experimental, ya emprendido, de la viscosidad de las mismas disoluciones y á las mismas temperaturas. | Para entonces nos reservamos hablar sobre la explicación de los fenómenos observados y sobre la pretendida correla- ción entre la conductibilidad y la viscosidad del disolvente. $ (Laboratorio de Electricidad de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid.) O PUBLICACIONES REGIBIDAS (Continuación.) Akademie der Wisseuschaften.— Sitzungberichte der Kóinglich Preussis- chen...—XXXIX - LIIT, 1907. —Berlín, 1907. Nature.—A weekly illust. Journal of Science.—N.%: 1900, 1901, 1902, 1904- .1905.—Vol. 77. (Dec. 19, 907 -January 23, 1908). —London. Accademia dei Lincei (Reale).—Atti delia...—Anno CCCIV-1g9g07—Serie quinta. Reudiconti.—Classe di Science fisiche, mat. e naturali.— Volu- me XVI, Fasc. 11, 12 (2.2 sem,). — Roma, 1907. Olivier (Louis). - Revue générale des Sciences pures et appliquées. — 18€ année, N.? 23 y 24. (15, 30 Déc, 1907).—19 année, N.%, 1, (15 Jan. vier, 1908). — París. o Geological Survey of Judia.— Records of the...—Vol, XXXVI, Part. 1, 1907. Calcutta. Nature.—N.*. 1993.—Vol. 77. Thursday January 9-1908.—London. Royal Irish Academy.—Proceedings of the...—Vol XXVII, Section A. Nos. 4, 5, 6 y 7.—Dublin, 1907. Molk (Jules).— Encyclopédie des Sciences Mathématiques pures et appli- quées.— Edition francaise.—Tome 1 (Deuxiéme volume) Algébre.— Ré- digé dans l'édition allemande sous la direction de Francois Meyer. — Paris, Leipzig, 1907. K. Svenska Vetenskapsakademien | Stockholm.— Arkiv tór Matematik, As- tronomy och Fysik Utgifvet of...—Ban 3, Háfte 3-4. — Upsala « Stock- holm, 1907. Kaisorl Akademie der Wissenschaften in Vien.—Mitteilungen der Erdbeben, Kommission der... —Neue folge, N.%, XXXI. —Wien, 1906. American Academy of Arts and Sciences. — Proceedings of the...—Vol, 42, N.0, 27-29. Vol. 43, N.%. 1-3.—Boston, 1907. John Hopkins University.—The... Circular.—1906, N.*, 10; 1907, N.% 1-4. Baltimore, Maryland. R, Accademia Peloritana. —Atti della... — Anno accademico CLXXIX- CLXXX,— Vol. XXII, Fasc. 1-11 (1907).— Messina, 1907. Académie Royale de Belgique.— Bulletin de la Classe des Sciences.—1907, Nos. 6, 7 y 8.—Bruxelles, 1907. Geological Society. —The Quarterly Journal of the...—Edited by the Assis- tant Secretary.—Vol, LXIII, Part. 4, Nov. 1907, N.”. 252.—London, A Washington University. The... Record —Vol. III, St. Louis, M. O., No- vember, 1907, N.?, 2, Société Belge d'Astronomie.— Annuaire pour l'an 1908, Publié par la...— Bruxelles, 1908. Dan do Río de Janeiro.—Annuario publicado pelo... para o anno de 1907.— Anno XXIII.—Río de Janeiro, 1907. University at Columbus.—Ohio State University Bulletin Catalogue.— May 30, 1907.— Published by the University at Columbus. Societatis Regis Scientiarum Danice.— Regesta Diplomatica Historie Da- nice, Cura... — Series secunda, Tomus posterior VI ab anno 1644 ad annum 1660.—Kjbenhavn, 1907. Academia Pontaniana.— Atti della... — Volume XXXVII, Serie, 11, Volu- me XII, — Napoli, 1907. Bureau of American Ethnology.— Twenty fourth Annual Report of the... to the Secretary of the Smithsonian Institution, 1go2-1903, By H. Hol. mes.— Washington, 1907. Kungl, Vetenskaps Societeten | Upsala. — Bibliographia Linneana. Maté riaux pour servir a une Biblographie Linnéenne. --Recueillis, par J. M. Hulth. —Partie 1, Livraison 1.—Uppsala, 1907. Regis Societatis Scientiarum Upsalensis.—Nova Acta...— Seriei tertiz. Vol. XVIII, Fasc. 11, 1900; idem XX, íd. 11, 1904; íd. Extraordinem, 1877 — Seriei quarte.— Vol. 1, Fasc. 11, 1905-1907; íd. 1J, íd. 1, 1907. Catalogue méthodique des Acta et Nova Acta... 1744-1889. —Upsala. Saville (Marshall H.).—Contributions to South American Archeology The George G. Heye Expedition. — The Antiquities of Manabi, Ecuador. — A Preliminary Report By... —New York, 1907. Fraipont (Julien).— Etat Independant du Congo, Annales du Musée du Congo-Zoologie. — Serie 11, Contributions á la Faune du Congo.— Tome 1, Okapia par ..— Bruxelles. Septembre, 1907. Akademie der Wissenschaften.— Sitzungsberichte der Kaiserlichen...— CXV. Band, Abteilung 1; ídem id. II a; íd. íd. 11 b; íd. íd. 111.—Wien, 1906. United States Geological Survey. — Department of the Interior...—Charles D. Walcott, Director. — Bulletin N % 287, 294, 296, 300, 308, 312, 314 y. 315. — Washington, 1906-1907. United States Geological Survey.—Department of the Interior... —Charles D. Walcott, Director. — Water-Supply and Irrigation Paper, n.2 190-194, 196, 200.—Washington, 1907. (Se continuara.) E de Análisis. Aplicación á la Física matemáti- E ET ca, por José Echegaray. Conferencia primera...... O a ES TT. .—Método para determinar la dirección de los vientos e “superiores por las ondulaciones de los bordes qen los eS 57 ; astros (continuación), por Vicente Ventosa e AA o ML, —Estudio espectrográfico de las «Blendas». Investigación ps pS 2 acerca de la Blenda de «Picos de Europa». Presencia del «Germanio» en la misma, por Georges Urbain, Angel A “del Campo y Clair Scal.'....cooomonortaorne acen 49 —Contribución al estudio de las esencias de trementina Deptos Satin, por Obdulio Ferfndes ta aa 3 Y —Sobre, la conductibilidad de disoluciones de C/K y CiNa ER en mezclas de agua y alcohol metilico. (Variaciones seno. el tanto por ciento de alcohol, la concentración ye la tem- ; - peratura), por Aurelio Garzón y a 0 A ÓN - Publicaciones recibidas A DA $ A E Ad La subscripción á boi a se hal por tomos completos, de: 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos - en el extranjero, en la Secretaría de la, Academia, calle. do Val. verde, núm. 26, Madrid. AG Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. - L . > / LT = al DE " ROMO > VII? NÚM. 4. he a y V (Octubre ce 1909) q E TMADRED “Ny E AS CALLE DE PONTEJOS, NÚM, Ss. 1909 : EAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL Los originales para la Revista de la Academia se han de a completos en la Secretaria d de PO ES VI. — Cuestiones de análisis. Aplicación á la Fisica matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia segunda. SEÑORES: Hemos procurado hacer en la primera conferencia de este curso un resumen de todos los cursos anteriores, resumen que se condensa brevemente de este modo: ,. Caracteres propios de la Física experimental y de la Físi- ca matemática, y ejemplos diversos; teoría elemental de la Elasticidad por los métodos de Cauchy, Lamé y Poincaré, y, por último, ideas expuestas en el curso anterior sobre las críticas que se han hecho de la Mecánica racional clásica y condiciones á que ha de satisfacer la nueva Mecánica de la electricidad y del éter. Debemos ahora señalar, al menos en sus líneas generales, el programa de este nuevo curso. O, mejor dicho, la materia de las conferencias que en él hemos de dar. Pensé en algún momento entrar decididamente en el estu- dio de la electricidad; pero me detuvieron consideraciones que voy á exponer, y que se enlazan con una cuestión im- portantísima, que en parte es cuestión de crítica, y en parte es cuestión histórica. Me explicaré aún con más claridad. * * o* Rev. Acan, pr Ciencias. —VIIL.— Octubre, 1909: —a ON Lo hemos dicho varias veces en estas conferencias y en diversos escritos. Si las Ciencias son la expresión racional de los fenómenos de la Naturaleza, imágenes más ó menos fieles de la realidad, y simbolismos forjados por la razón humana, claro es que las Ciencias han de ser incompletas, parciales y limitadas. Una lente enfocada con el mundo exterior para recoger su imagen, tiene un campo limitado, no puede recoger de una vez la imagen total, tiene que girar sobre sí misma para ir enfocando parcialmente diferentes regiones del horizonte, y esto es lo que le sucede con más razón y en inmensa escala á la inteligencia del hombre, cuando pretende estudiar la Naturaleza toda. Tiene que estudiar grupos parciales de fenómenos, los que están en inmediata relación, los que están, por decirlo de esta manera, y continuando con el ejemplo anterior, dentro del campo de la lente en cada enfocación parcial. Así, la totalidad de los fenómenos, por relaciones y analo- gías, se dividen en grupos, y cada grupo ó familia de fenó- menos naturales da lugar á una Ciencia distinta. Claro es que, en cada punto, el Universo entero se refleja, y en él se cruzan infinitas é infinitas influencias, infinitas fuerzas y energías. Tenerlas todas en cuenta, es empresa imposible para la inteligencia del hombre, y en cada grupo de fenómenos sólo puede apreciar y sólo debe apreciar las influencias dominan- tes, prescindiendo de otras influencias, que por su pequeñez se escapan á los medios prácticos de observación y experi- mentación. Resulta, pues, de lo dicho, que la Ciencia total humana, que hoy no es más que una aspiración hacia la unidad, apa- rece dividida en la historia, y hoy mismo está dividida en diferentes Ciencias parciales. (007 Pero cada Ciencia, sí bien en la Naturaleza representa fe- nómenos ó corresponde á fenómenos, que están enlazados con los fenómenos que estudia otra Ciencia, no por eso deja de tener su autonomía propia, como en la política interna- cional diferentes estados autónomos reclaman y sostienen su independencia, sin la que su vida es imposible. Es decir, que las Ciencias todas están en relación unas con otras, y las más próximas en relación más íntima que las más lejanas; pero estas relaciones no autorizan, sino en casos muy extraordinarios, á ninguna de ellas para anular y absorber á las que la rodean. Una cosa es lo relativo á las relaciones internacionales, pudiéramos decir, y otra muy distinta la conquista, la absor- ción, la anulación de los estados próximos. Toda Ciencia que tenga verdadera condición de Ciencia, por la extensión de su campo, por la variedad y riqueza de sus fenómenos, es decir, de los hechos que ese campo con- tiene, por la importancia de las leves de unidad á que se haya llegado, por lo que constituye, si vale la palabra, la vida y la actividad de la disciplina científica de que se trate, tiene derecho pleno á la autonomía. Podrá servir de auxiliar á otras Ciencias, y ella misma podrá pedirles auxilio; pero tendrá materiales propios y no podrá nunca admitirse que los materiales que constituyan el estudio de esta Ciencia hayan sido en cierto modo presta- dos por otra Ciencia más próxima ó más remota. Quizá parezcan estas consideraciones extrañas á los que me escuchan Ó á los que leen estas conferencias. Extrañas por una parte, y por otra inútiles de puro evi- dentes. Y, sin embargo, ni son extrañas, ni son evidentes, como voy á demostrar desde luego, demostrando que se enlazan con la materia propia de este curso, y haciendo ver que hay cierto conato de invasión en las Ciencias matemáticas, de las Ciencias físicas, 100 Pero esto exige nuevas explicaciones. Constantemente las Ciencias físicas, para determinar las leyes de los fenómenos naturales, para reducirlos á fórmu- las exactas, acude á las Matemáticas puras con una serie de problemas de análisis, que sólo las Matemáticas puras pue- den resolver. Por ejemplo: un problema de Física matemática, exige la integración de una ecuación diferencial. Sea ésta entre otras muchas dv den dev —=0 (Ex? mv dy? a das ¿) que la encontraremos más de una vez en estas conferencias y en este mismo curso. Y el físico le dice al matemático: yo necesito para resol- ver un problema de Física, resolver esta ecuación diferen- cial, es decir, determinar V en función de x, y, 2. Y más aún, necesito que el valor de V, que satisfaga á esta ecuación, tenga sobre una cierta superficie un valor de- terminado para cada punto de la misma. Es decir, que necesito que se encuentre una función V V=w(x,y,2) tal, que satisfaga á la anterior ecuación diferencial, y que en los diferentes puntos de una superficie definida F(x, y, 2) =0 tenga un valor determinado V, ++ Y (x, y, 2); resulta de aquí, que poniendo en V y en V, el valor de 2 — 101 — deducido de F = 0, debemos obtener dos ecuaciones idén- ticas: sean V=a (x, y) V, =a(x, y) El problema de Física será un problema determinado, ya de equilibrio eléctrico, ya de distribución de temperaturas, ya de movimiento de un flúido ú otro análogo. Sea de ello lo que fuere, al plantear en forma matemática dicho problema, se convertirá en un problema de análisis como el que acabamos de indicar, á saber: buscar, entre las integrales particulares de una ecuación diferencial, una que cumpla con ciertas condiciones, que en nuestro ejemplo son las que antes indicábamos. El problema de Física ha sido la causa, la ocasión, el esti- mulante para el matemático, pudiéramos decir, de que estu- die y procure resolver un problema particular de análisis. Pero nada más. La ecuación se integra por procedimientos particulares de la Ciencia matemática. Si de antemano estaba resuelto, la Ciencia matemática ofrece á la Física la solución que ya existía. Si esta solución y este problema no habían tenido ocasión de ser estudiados, los sabios dedicados á la Ciencia pura procurarán resolverlo y hallar la solución que se les pide. Es lo mismo, y perdóneseme la comparación, que si á una fábrica de maquinaria se le encarga que construya una má- quina particular para determinado ramo de una industria. Más aún, y esto es importantísimo, las soluciones que la Física experimental pide á la Ciencia matemática, son casi siempre, á pesar de su complicación y de sus dificultades, casos particulares de grandes teorías propias de la Ciencia pura y que constituyen la materia abstracta en que la Ciencia pura se ejercita. La ecuación diferencial que antes indicábamos es impor- — 102 — tantísima, en ella han ejercitado su genio grandes matemáti- cos; pero es, como tantas veces hemos dicho, un caso parti- cular, y nada más que un caso particular de teorías mucho más generales. Está comprendida la ecuación de que se trata en las ecua- ciones en diferenciales parciales de segundo orden con tres variables independientes, y éstas, á su vez, en las de orden más elevado de un número n de variables. La condición á que ha de satisfacer la integral buscada también es particularísima, y los problemas matemáticos no buscan sólo integrales particulares, sino las integrales gene- rales en las que aquéllas están comprendidas. De suerte que el campo que las matemáticas puras abar- can, es infinitamente superior al campo práctico en que se plantean los problemas de la Física. No puede admitirse, que la materia de las matemáticas puras, la masa, por decirlo así, en que se ejercita su trabajo, esté limitada por los problemas de la Física ni por los fenó- menos del mundo inorgánico. El campo de las matemáticas puras es suyo propio, rebasa infinitamente el campo de las aplicaciones, y éstas, por im- portantes que sean, no pueden tener la pretensión, que sería absurda, de absorber todas las maravillosas creaciones del matemático. Afirmamos una vez más que las relaciones entre las ma- temáticas y la Física son importantísimas y constantes; que muchas teorías matemáticas ha sido sugeridas por los fenó- menos del mundo exterior; pero ponemos á salvo las facul- tades creadoras del matemático creando nuevos seres del análisis y la geometría, y nuevos simbolismos; y aun sin nuevas creaciones, hacemos constar el poder inmenso de ge- ARANA — 103 — neralización respecto á los problemas concretos y particula- res que el físico plantea ante el matemático. Crea y generaliza, sea cual fuere el primer estimulante, que podrá marcar cierta dirección en los trabajos matemáti- cos en cada época, pero nada más. Pensar que las matemáticas no tienen otro campo que aquel á que le condena y en que le coloca y encierra la Física, es, á mi entender, de todo punto inaceptable, es empequeñecer la Ciencia matemática, es negar su autono- mía, es desconocer su facultad creadora y su facultad de generalización, y es desconocer todavía el poder de abs- tracción de la razón humana. ¿Es que los trabajos matemáticos y sus grandes teorías se dividen en dos partes: una, la primera, la de las teorías de aplicación práctica inmediata, ya á la industria, ya á las ne- cesidades humanas en general, ya á las Ciencias físicas, químicas y astronómicas, y que sólo estas teorías, que pue- den aplicarse desde luego, son las verdaderamente útiles y las únicas que deban protegerse y fomentarse? ¿Es que de las dos partes en que decimos que pueden dividirse los trabajos matemáticos, la segunda parte, la que comprende las grandes teorías, las grandes creaciones, los conceptos más elevados de la Ciencia, pero más abstractos, son pura fantasía, juegos caprichosos del matemático, lucu- braciones de todo punto inútiles de la imaginación ? Esto lo negamos en absoluto: aunque alguna de dichas grandes teorías no se aplicase nunca, sólo por ser una ley matemática, una ley de la razón humana y de la lógica tendría, una utilidad superior; porque tales teorías son ali- mento de la razón, porque la iluminan, la ensanchan y la perfeccionan, y si es mucho alimentar al cuerpo y atender á sus necesidades físicas, es más aun alimentar el espíritu humano. Pero agregamos otra observación. Sostenemos que las teorías más abstractas, y al parecer — 104 — de menos utilidad práctica hoy, tendrán aplicación mañana, y aplicación, por de contado, á los problemas físicos del Universo, problemas en que vibra constantemente el con- cepto de cantidad. Y si pudiéramos desarrollar tal tesis que sólo apuntamos en este momento, nos fuera fácil presentar multitud de casos en que esto ha sucedido. En un discurso que pronuncié el año anterior en la So- ciedad para el Progreso de las Ciencias, presenté el ejemplo de las imaginarias. La escuela inglesa aplica los cuaternios á los problemas de la Elasticidad y el Magnetismo. La teoría de variables complejas se aplica á la integración de una ecuación diferencial de esta forma: d?V dev dx? me dy? = 0, El cálculo simbólico á multitud de problemas de Física matemática, y podríamos seguir presentando ejemplos largo rato sín llegar al fin de nuestra empresa. a De suerte, resumiendo, que los problemas del mundo4 inorgánico, y concretando más, los problemas de la Física, ofrecen al matemático ocasión y motivo para ejercitar su in- genio y para resolver problemas dificilísimos ; pero el mate- mático por sí, sin necesidad de estos estimulantes, puede 3 crear y ha creado grandes teorías, que muchas veces son / prodigiosas generalizaciones de esos mismos problemas que A la Física le proporciona. No me parece justo ni exacto confundir la causa defermi- nante con las fuerzas y energías que en cada fenómeno se desarrollan. es 0 4 AS o lt — 105 — Permitidme que explique mi pensamiento de esta manera. Un fulminante estalla, comunica su vibración á una gran masa de dinamita y determina de este modo una explosión inmensa. Pues bien, sería absurdo suponer, que la energía relativa- mente pequeña del fulminante equivale á las enormes ener- gías desarrolladas por la dinamita. | Aquélla ha sido causa determinante, no causa total. Las energías de la explosión estaban almacenadas y en estado latente en el gran explosivo. El fulminante no hizo otra cosa que hacerlas entrar en juego. Pues como símbolo, el ejemplo anterior puede expresar mi pensamiento. Los problemas que la Física propone á las matemáticas son como fulminantes que ponen en juego las inmensas ener- gías de la Ciencia pura. Son útiles, prestan un inmenso ser- vicio, si así puede decirse, pero no representan ni equivalen á la totalidad de la Ciencia matemática. Las relaciones entre ciencias diversas tienen inmensa im- portancia como preparación á la Ciencia universal, y de- muestran que sobre la variedad de las diferentes disciplinas científicas existe una unidad suprema, que hoy desconoce- mos, aunque á ella procuraremos acercarnos todo lo po- sible. Esto es evidente, pero no lo es menos que cada Ciencia tiene su autonomía propia y su propio campo de acción; aunque nadie duda que estas relaciones entre las Ciencias físicas y las Ciencias matemáticas son profundas, variadas y fecundiísimas; esto no hay para qué negarlo, y está demos trado plenamente en la memoria de Mr. Picard, que antes citábamos. Es más, porque aunque nos opongamos á ciertas exage- raciones, no hemos de quitar ni fuerza ni valor á los argu- mentos en favor de las ideas contrarias. — 106 — Los problemas de la Física, como en otros tiempos la uti- lidad material de un problema de aritmética ó de un proble- ma de agrimensura, han sido poderoso estimulante para el matemático, y le han obligado á descubrir teorías muy im- portantes de la Ciencia actual. Y no es esto sólo, aunque el matemático sólo emplea los métodos y los procedimientos de su ciencia para desarrollar teorías, para demostrar teoremas ó para resolver los proble- mas á que se le solicita, en ocasiones, una demostración di- fícil del análisis puede sustituirse por una intuición física, si puedo expresarme de este modo. Así, en el problema de Dirichlet, que es en rigor el que antes citábamos, la demostración analítica de que el proble- ma es posible, es sumamente difícil, y ha puesto en juego el talento y la inventiva de los grandes matemáticos de nuestra época desde el mismo Dirichlet y Weiertrass hasta Poincaré, en una serie de admirables trabajos, entre los que aún citaremos los métodos de Fredoholm; y, sin embargo, la observación y la experiencia, y por decirlo de cierto modo, la intuición física, demuestran el teorema de un golpe, es decir, que existe una función y sólo una función armónica y finita, así como sus derivadas primera y segunda, capaces de tomar sobre una superficie límite S valores dados y anu- lándose el infinito. Basta para ello suponer que se trata de la temperatura de un sólido limitado por la superficie S y que en cada punto de la superficie dicha temperatura tiene un valor determinado. Pues la temperatura se ha de establecer de algún modo: es un fenómeno, es un hecho, es una realidad, que de gol- pe se impone, y que para la exactitud del problema suple en cierto modo á la demostración matemática. Como este ejemplo, pudiéramos citar otros varios; pero es seguro, que el matemático no se contenta con demostra- ciones de esta clase, sino que busca la razón analítica del teorema. ASA TE EAARATRÁR ZW A E a dad des 7 1 — 107 — Los hechos demuestran que ei teorema es, y esta seguri- dad puede servir de aliento y de guía; pero la Ciencia pura puede demostrar, no sólo que es, sino que debe ser mientras no influyan otras causas y el problema no salga de los lími- tes de las hipótesis establecidas; y que si el teorema no fue- se cierto, la razón humana se encontraría en contradicción consigo misma, como si encontrase un triángulo rectángulo en que el cuadrado de la hipotenusa fuera mayor ó menor que la suma de los cuadrados de los catetos, Óó como si se viese (viniendo á ejemplos más complicados) que una fun- ción elíptica se pudiera expresar por un número finito de operaciones algebráicas de la variable; sumas, restas, multi- plicaciones, divisiones, potencias y raíces. Realmente, casi todo lo que precede se refiere á cuestio- nes ajenas al objeto de estas conferencias, aunque con la Fí- sica matemática estén íntimamente enlazadas. De todas maneras, debemos cerrar este paréntesis y vol- ver al asunto principal. La Física matemática, como hemos dicho tantas veces, es- tablecidas las hipótesis principales, entre las que ha domi- nado hasta aquí la hipótesis mecánica, y aplicados los méto- dos de esta última Ciencia, se encuentra con una serie de problemas de análisis, que el matemático tiene obligación de resolver. Así, pues, es imposible que los alumnos penetren en el estudio de la Física matemática, aun sin pasar de los elemen- tos, y mucho más si abordan el estudio de los libros y me- morias de tantos insignes maestros, sin una gran prepara- ción matemática. Esto ya era necesario para la Física matemática clásica, y — 108 — esta misma dificultad, ó esta misma exigencia, se acentúa más y más en la Física matemática moderna. Hay que entrar en estos campos de la Física matemática armados de todas armas, si se me permite la expresión; de otro modo, es seguro que no se termina ni la primera jornada. Y como, por otra parte, los alumnos de esta clase y los que siguen estas conferencias, es posible que no hayan ad- quirido los conocimientos matemáticos á que me refiero, al menos muchos de ellos, me veo obligado á adoptar uno de estos dos métodos: | O seguir explicando mis conferencias de Física matemática como hasta aquí, interrumpiendo á cada paso la materia pro- pia del curso para explicar teorías de las matemáticas puras, lo cual hace que se desvanezca, se pierda Ó, por lo menos, - se ofusque la cuestión principal en la inmensidad de la cues- tión matemática de que depende, perdiéndose asimismo la unidad de la enseñanza y la parte más fundamental de la Ciencia á que nos dedicamos en esta asignatura; ó bien, por el contrario, podemos reunir las principales teorías matemá- ticas que luego hemos de aplicar, exponiéndolas de antema- no, para que, cuando llegue el caso, podamos aplicarlas á cada problema físico sin grandes desarrollos, refiriéndonos á explicaciones anteriores, reforzando la verdadera teoría de la Física matemática y aligerando los cálculos y las transtor- maciones. Este es el sistema que he escogido, y el que he de seguir en adelante. Porque se trata de problemas en que aun es más necesa- rio y más útil que para los problemas estudiados en cursos precedentes. Y por ahora no insisto más en estas ideas, que veremos comprobadas en las conferencias de los cursos venideros, dado que á ellos tengamos la suerte de llegar. z ES "e A] í — 109 — Y con lo dicho podemos ya especificar el objeto del pre- sente curso. En él expondremos una serie de cuestiones de análisis y también de Geometría, que son las que se aplican á los problemas de la Fisica matemática clásica y de la Física matemática moderna. Pero si no hiciéramos más, este curso resultaría de Mate- máticas puras en vez de ser de Física matemática. Un año entero pasaríamos hablando de problemas mate- máticos abstractos, como si hubiéramos olvidado por com- pleto la materia fundamental de esta asignatura, y como si se hubiera convertido en una asignatura de análisis. Para evitar este inconveniente, que sería grave, permitid- me que lo diga, para mi conciencia de profesor de Física matemática, acudiré al siguiente método que salva aquellos escrúpulos, que da cierta amenidad relativa, aunque en es- tas materias no puede ser mucha, á los problemas abstrac- tos de la Ciencia pura, y que en cierto modo es una prepa- ración para los cursos próximos, y algo así como un ensayo ó preludio de los difíciles problemas de la Física matemática moderna. Y este método es el siguiente: Antes de estudiar cada cuestión de análisis, como todas las que voy á tratar han sido sugeridas por cuestiones de Física, indicaré sus orígenes ó su origen, es decir, los pro- blemas de Física que han sugerido el problema de análisis en cuestión. Y al terminar el estudio de éste, muchas veces haremos rá- pidamente aplicación á alguno de los problemas de Física que exigieron una solución matemática y que dieron motivo á determinado análisis. Este trabajo, aunque desde otro punto de vista, puede te- * ner alguna analogía con el que constituyó el primer curso de nuestra asignatura. Allí estudiábamos las relaciones entre la Física matemá- tica y la Física experimental, y marcando el carácter de una y otra Ciencia para dar forma concreta á nuestro pensa- miento, presentábamos una serie de ejemplos tomados de la Física matemática clásica; ejemplos elementales, pero carac- terísticos: la teoria de los gases, la teoría del calor, la teoría de las vibraciones, de la luz, de la electricidad, de las accio- nes electromagnéticas. Todo lo cual, no constituía ciertamente un tratado, ni si- quiera elemental, de Física matemática; pero fué, si se me permite la palabra, y no parece excesivamente prosaica, una muestra de la clase de problemas que dicha Ciencia resuelve. Pues en este curso, con un objeto distinto de aquél que acabamos de indicar, hemos de hacer una cosa análoga. En este curso no pretendemos establecer relaciones entre la Física matemática y la Física experimental; pero buscare- mos relaciones entre la Física matemática y las matemáticas puras, y también presentaremos una serie de ejemplos, algu- nos tomados de la Física matemática clásica; otros de la Fí- sica matemática moderna, que serán, y empleo la misma pa- labra que antes empleé, muestras de la misma Ciencia. Las cuestiones de análisis en que vamos á ocuparnos son muy diversas; citemos algunas: En primer lugar estudiaremos la teoría de los vectores. Algo diremos, aunque muy sucintamente, de los métodos, y, sobre todo, de las notaciones de Grassmann, que, por decirlo así, se están poniendo de moda. Para facilitar el estudio de las obras inglesas, expondre- mos la teoría de los Cuaternios. Daremos quizá más de una demostración de las célebres fórmulas de Fourier. Y estu- diaremos así mismo varias ecuaciones diferenciales, como son las que dan origen á las funciones de Bessel y al céle- bre teorema de Dirichlet. e APR IRA PE pq ¡AFPOR — 111 — En el estudio de esta serie de Teorías y Fórmulas, serán unas de las primeras, porque son fórmulas fundamentales, las de Green y Stokes. Por fin, señalaremos unas ligeras ideas del cálculo simbóli- co, que facilita la integración de algunas ecuaciones diferen- ciales, como se ve, por ejemplo, en una nota muy importante de Mister O. Heaviside, publicada en The Philosophical Magazine. - En los casos que hemos citado y en otros varios, que tam- bién estudiaremos, en suma, recorriendo toda la Física ma- temática, se observa que la mayor parte de los problemas son problemas de cálculo integral; es decir, que los fenóme- nos físicos, Ó si se quiere, sus leyes, ó concretando aún más, las variables de que dependen dichos fenómenos naturales, que también podemos decir que son los parámetros del fe- nómeno, se expresan por ecuaciones diferenciales y el pro- blema se resuelve integrando tales ecuaciones, Ó sea bus- cando soluciones con bastante generalidad para que cumplan con ciertas condiciones particulares del problema. Esto, que así dicho es un tanto vago, ya lo precisaremos en el momento oportuno. De todas maneras resalta esta circunstancia, sobre la cual hemos llamado antes la atención, á saber: que la resolución de la mayor parte de los problemas de Física matemática depende de la integración de ecuaciones diferenciales. Por ecuaciones diferenciales vienen expresadas las leyes del mundo físico. Y ocurre esta pregunta: ¿Por qué se expresan por ecuaciones diferenciales, y no por ecuaciones de términos finitos? Y no está bien formulada la pregunta, aunque es la que = MÓ = naturalmente ocurre al recorrer las diferentes teorías de la Física matemática. Digo que no está bien formulada porque, en rigor, las le- yes de la Naturaleza, sus diferentes fenómenos, deben ex- presarse en términos finitos; es decir, que las variables de- pendientes se expresen de tal modo en función de las varia- bles dependientes, que para cada sistema de valores de estas últimas, se conozcan las series de operaciones algebráicas ó transcendentes, Ó de cualquier clase que sea, que han de efectuarse para determinar los valores de las variables de- pendientes, que es lo que queremos explicar diciendo ecua- ciones en términos finitos por contra posición á términos di- ferenciales, aunque claro es que aquellas operaciones que decíamos pueden depender de series ó productos infinitos, Ó determinantes infinitos, ó cualquiera otra forma de la cual se sirva el matemático para expresar determinadas funciones. Las ecuaciones diferenciales de la Física matemática son, hablando en general, formas de paso, no son las formas de- finitivas; las formas definitivas son sus integrales, y aquí puede preguntarse: ¿Por qué estas formas de paso?, ¿por qué se empieza por ecuaciones diferenciales? En la Física experimental, muchas veces, y decimos mu- chas veces porque hay de todo, se empieza por las relacio- nes finitas. Supongamos que son dos las variables. Pues se construye una tabla, que es el resultado de una serie de experimentos, en que á cada valor experimental de x corresponde un valor experimental de y; y luego, por tanteos, se busca una expresión analítica que condense di- cha tabla. Aquí se determinan, desde luego, las relaciones entre can- tidades finitas. Esto puede hacerlo casi siempre la Física experimental; esto, por lo general, no lo hace la Física matemática. Las relaciones entre cantidades finitas no las puede deter- — MS. minar directamente, ó no las ha podido determinar la Física matemática; tiene que pasar por la ley elemental de los in- crementos diferenciales. Este es un punto que discutiremos en otra ocasión; por ahora hemos de contentarnos con algunas ideas generales. ¿Es que las relaciones diferenciales son más sencillas que las relaciones entre cantidades finitas y por eso se empieza por aquéllas? Sobre esto, algo creo haber dicho en otros años; si lo dije, lo repito; y si no lo dije, lo consigno por vez primera. Las derivadas, ¿son más sencillas que las funciones? En absoluto, no puede afirmarse. En la función, por ejemplo, y == ax? +:bx 340 la derivada primera es más sencilla, porque es de primer grado, dl =24ax +b; dx y la derivada segunda, más sencilla todavía, porque es una cantidad constante: d?y dx? De modo que si un fenómeno de la Naturaleza estuviese representado por la ecuación de segundo grado, sería más fácil empezar por su segundo coeficiente diferencial, que es cantidad constante. En este segundo ejemplo y = asen x +b.c0s x, la derivada dy: dx Rev. AcAD. DE Ciencias. —VIIT. — Octubre.=19009 ; S = (1c0Ss x— b sen x, — 114 — tiene el mismo grado de complicación que la función primi- tiva; de modo que si aquélla representase un fenómeno físi- co, es de creer que tantas dificultades habría empezando por el coeficiente diferencial, como pretendiendo hallar directa- mente la ecuación en términos finitos. Por último, la derivada puede ser aún de mayor compli- cación que la función primitiva, por ejemplo: en y=Va + bx, la derivada no puede decirse seguramente, que sea más sencilla que la función primitiva. Lo que hay, es, que en Fisica matemática se supone, y hablamos en términos generales, que las funciones se pue- den desarrollar por la serie de Taylor, y esta serie, no to- mando más que unos cuantos términos, tiene la forma de un polinomio, es decir, de una función algebráica entera; y en este caso sus derivadas son imás sencillas que la función primitiva. Pero todo lo que hemos dicho solo se funda en una es- pecie de intuición muy elemental; hay razones más termi- nantes para explicar la circunstancia que antes indicábamos. En efecto, en toda la Física matemática clásica, la hipóte- sis de que se parte, es la hipótesis mecánica; y las ecuacio- nes fundamentales de la Mecánica, son ecuaciones diferen- ciales: luego es evidente, que todos los problemas plantea- dos partiendo de dicha hipótesis, se plantearán por medio A ES >. - — 115 — de ecuaciones diferenciales, ó bien las ordinarias, ó bien las de Lagrange. Y en la Mecánica las ecuaciones son diferenciales, por- que las fuerzas se expresan por un segundo coeficiente di- ferencial. Esto respecto á la Mecánica clásica. Respecto á la Física matemática moderna, fácil nos sería dar explicaciones análogas; pero no creemos que es tiempo todavía para entrar en estas discusiones. Digamos sólo que por intuición, por instinto, puede de- cirse, parece que en la Naturaleza las leyes de variación han de ser más sencillas en los gérmenes, en los elementos, en las diferenciales, que en las cantidads finitas ya formadas; como parece que en el mundo biológico el estudio de las celdillas elementales ha de ser más sencillo también, que el estudio de los seres en pleno desarrollo. El naturalista, al empezar por el estudio de las celdillas, hace lo mismo que el matemático al empezar por las ecua- ciones diferenciales. : Para el naturalista son ecuaciones diferenciales, si se me permite esta imagen, las primeras celdillas del ser: el ser en pleno desarrollo, es su integral. Valgan por lo que valieren, apunto estas ideas, que quizá en otra ocasión desarrolle en forma más exacta. En la conferencia próxima concretaremos algunas de los conceptos generales que hoy no he hecho otra cosa que in- dicar... — 116 — VII.—Método para determinar la dirección de los vien- tos superiores por las ondulaciones del borde de los astros. POR VICENTE VENTOSA (Conclusión.) APÉNDICE En el artículo Ml de esta Memoria expusimos á grandes rasgos los métodos de observación y cálculo por nosotros seguidos para determinar la dirección de los vientos supe- riores, y las fórmulas que á ello conducen y sirven, ya para reducir al horizonte el ángulo de posición de las ondulacio- nes, medido en un plano perpendicular al eje óptico del an- teojo, ya para corregir, si se considera necesario, el ángulo azimutal resultante port movimiento propio del astro obser- vado, siempre que simultáneamente sea posible averiguar, por medición directa, la velocidad angular relativa de la on- dulación ó, en su caso, la de las nubes sobre el mismo astro proyectadas. Como complemento á nuestro trabajo, y aunque en su lu» gar respectivo ya indicamos los medios auxiliares empleados para simplificar el procedimiento de cálculo, algo complicado á primera vista, quizás no se juzgue inoportuno el entrar aqui todavía en algunos pormenores que, además, podrá uti- lizar el observador que desee hacer el ensayo del método de las ondulaciones. i Lo primero que se necesita, como en todas las observa- ciones astronómicas, es el conocimiento de la hora á que las mismas corresponden. Para nuestro objeto bastará la que se- = 117 — ñale un buen reloj de bolsillo, arreglado á tiempo medio, con la aproximación de un minuto. Este dato es suficiente para obtener la declinación del astro expresado en grados, y el momento de su paso por el meridiano en horas y minulos; elementos únicos indispensables para la resolución del pro- blema que perseguimos y que, directamente, se hallarán en cualquier almanaque Ó anuario astronómico. Llamemos fal tiempo ú hora de la observación, y mal de la culminación superior del astro; si éste carece de movi- miento propio sensible en la esfera celeste, el ángulo horario HA estará dado, como se sabe, por la expresión Y H=tM .... (1) positivo ó negativo, según que íf sea mayor Ó menor que /m, ó, en otros términos, positivo si el astro se observa al O. del meridiano, y negativo en el caso contrario. Para el Sol habrá que tener en cuenta la ecuación de tiempo, con su signo, Ó sea tomar para valor de m la hora de tiempo medio á que corresponden O horas de tiemno verdadero. Mas si de la 'Luna se trata, habrá que modificar Ó corregir el valor de H por la parte proporcional correspondiente del retardo varia- ble que existe entre dos pasos consecutivos de dicho astro por un mismo meridiano. Si T representa el intervalo, en tiempo medio, comprendido entre ambos pasos, y R el retar- do que, por su movimiento de traslación hacia Oriente ex- perimenta la Luna de uno á otro paso, el retardo r propor - cional á A podrá determinarse por la fórmula SS (2) con lo cual la expresión (1) será ahora H= tm. (3) — 118 — porque, en virtud del sentido en que se verifica el movi- miento de la Luna á través de las constelaciones, la correc- ción r debe tener el mismo signo que la diferencia f — m, y substraerse siempre de los valores absolutos de los horarios aproximados MH. Estas nociones son tan elementales, que podrían haberse omitido sin inconveniente alguno. Para nuestro uso particular dispusimos una tabla de los valores de r con arregio á la fórmula (2), pero como siempre serán pocas, relativamente, las observaciones que se hagan empleando la Luna, las veces en que esto suceda será casi más sencillo calcular directamente dichos valores. Preséntase luego un problema para el cual, por el contra- rio, serán indispensables las tablas, porque el cálculo numé- “rico, en cada caso particular, de las fórmulas de la Astrono- nomía esférica, con las que se determina la altura, el azi- mut y el ángulo paraláctico de un astro, mediante su ángulo horario y su declinación, previamente deducidos conforme acabamos de ver, sería realmente muy largo y penoso. Pero si se advierte el escaso grado de precisión que para nuestro fin necesitamos, la construcción de las tablas será sencilla, y no excesiva su extensión, circunstancia esta última ventajosa para el fácil manejo de las mismas. De la que hemos usado en nuestras observaciones damos una muestra en la Tabla I, inserta al final de este Apéndice. Es de doble entrada, con los argumentos horario y decli- nación. Esta, dispuesta como argumento horizontal, va es- paciada de grado en grado, entre los — 28” y +- 28”, límites que señalan las máximas desviaciones de la Luna respecto del ecuador celeste. Los horarios, colocados en columna, se diferencian unos de otros consecutivamente en 8 minutos de tiempo, y cada argumento abarca tres renglones en los va- lores correspondientes de la altura Ah, del azimut a y del án- gulo paraláctico p del astro. Según se ve en la tabla que como modelo presentamos (y lo mismo se vería en la tabla general), los valores de cualquiera de estas tres cantidades a — 119 — comunmente no varían al cabo de 8 minutos más que tres ó cuatro grados á lo sumo, con cuyo artificio la interpolación para las declinaciones y horarios intermedios puede efec- tuarse casi sin tanteo. Además, en la tabla de que nos hemos servido, y se extiende en los ángulos horarios desde 0% hasta 61 321, cada renglón, de los tres mencionados, va escrito con tinta de diferente color: carmín para las alturas, azul para los azimutes, y negro para los ángulos paralácti- cos. De esta manera es difícil la confusión de renglones al pasar de un horario á otro. Para reducir al horizonte las direcciones del viento obser- vadas con el anteojo, cuando la operación ha de repetirse muchas veces, no es tampoco tan breve como fuera de desear, á pesar de adaptarse bien al empleo de los logarit- mos, el cálculo directo de la fórmula tang $ = tang y sen f ..... (4) de los Sres. Ekholm y Hagstróm, en otro lugar de nuestro trabajo mencionada. Recuérdese que en ella y designa el án- gulo de posición medido con el micrómetro, y f el ángulo azimutal correspondiente; de manera que, si o es el azimut actual del astro, el azimut verdadero de la ondulación esta- rá representado por la segunda ecuación que también antes dimos o =a + PB=a + (PB —y) +Y cc... (5) en cuya última forma podrá calcularse, de una vez para siempre, una tabla que proporcione los valores de la co- rrección $ — y con los argumentos y y h. Tal es el origen de la Tabla Il que al final presentamos, y donde el argumento y se ha igualado á = + dz — p, suponiendo que las observa- ciones se efectúan con un anteojo montado ecuatorialmente, y que en el cálculo se ha llevado en cuenta la corrección dx por movimiento propio del astro. — dEl La Tabla Il es de uso universal y aplicable sin alteración á todos los lugares de la Tierra; no así la Tabla l, cuyos va- lores numéricos son funciones de la latitud geográfica del lugar de observación. La deducción de la fórmula (4) es sencillísima: basta ima- ginar un triángulo esférico BA O, rectángulo en A, y forma- do por los arcos B O, proyección en la esfera celeste de la dirección de las ondas aéreas; 4 0, círculo vertical del astro, que se supone situado en O, y AB, arco del horizonte in- terceptado por los dos arcos precedentes A Oy BO. En este triángulo, el ángulo B OA, contado en el mismo sentido que el azimut, es lo que hemos llamado y, el lado A B re- presenta á P, y AO es igual á la altura hh. Con estas solas indicaciones puede el lector construir sin dificultad la figura, que por no creerla necesaria aquí, omitimos, y aplicar á este caso una de las fórmulas más usuales de la trigonometrfa es- férica. | No merece menos atención en la práctica el sistema de ecuaciones (E), en lo posible adaptadas al cálculo numé- rico, que dimos en el artículo II! para hallar la corrección dz por movimiento propio del astro al ángulo de posición z ob- servado. Como se recordará fueron éstas: Y ga (el cos r = Tr — E = ar o ARAS O RO adora cia Cd sen 10 Estas fórmulas fueron para nuestro uso particular des- arrolladas en tres tablas: una, destinada á obtener la rela- ción — de la velocidad angular del astro s, procedente de V : 7 Ñ y + — 121 — la rotación diurna y variable con la declinación, á la velocidad relativa v de la ondulación; otra tabla que con los argumen- S ¿ Y Ñ tos =— y z contenía los valores de dados por la primera v v fórmula, siendo v, la velocidad absoluta de la ondulación, y, finalmente, la tercera tabla proporcionaba los valores de da Ó Tr — 7 (7, = ángulo de posición verdadero), dados por la DAA y S última ecuación (E) con los argumentos — y 7. Estas tres Vo tablas eran aplicables, tanto á las observaciones del Sol como á las de la Luna; pero, más tarde, habiendo la expe- riencia demostrado la conveniencia de emplear, casi exclusi- vamente, para nuestro estudio el Sol, por sus especiales con- diciones ventajosas, encontramos que el trabajo para la obtención de 4 podía en gran manera simplificarse, redu- ciéndolo al uso de una sola tabla, que es la que hemos co- piado á continuación con el número III. En efecto, dadas la lentitud del movimiento propio s del Sol, relativamente al v de las ondas aéreas y su pequeña va- riación durante el año, pudimos suponerla constante é igual á su valor medio, sin que tal hipótesis llegue á producir en la corrección d= un error que exceda de 1”. Evitábase, obrando así, el uso de la tabla Í indicada, y, además, te- niendo siempre en cuenta la primera ecuación (E), era po- sible tomar para la tabla única que necesitábamos el argu- mento su = sd pa , donde ds expresa el número de Y Vo V Y segundos de tiempo, observado directamente, que emplearía la ondulación que se estudia en recorrer el diámetro aparen- te del Sol. La tabla III de este Apéndice ha sido construída en estas condiciones, y los valores numéricos que exhibe tienen la aproximación requerida para el fin á que la desti- namos. Los meteorologistas suecos, Sres. Ekholm y Hagstróm, varias veces citados en esta Memoria, dedicáronse también, — 122 — en sus observaciones de los movimientos de las nubes, á in- vestigar la velocidad lineal del viento á diferentes altitudes. He aquí como procedieron para determinarla. Conocida la altitud lineal A de una nube, y llamando X al movimiento angular de la misma durante un segundo, obser- vado en el teodolito especial que estos señores empleaban; L al movimiento lineal que se busca, suponiéndole paralelo al horizonte, como suele hacerse; V á la velocidad cenital angular expresada en grados por segundo, y correspondien- te á la velocidad lineal de £ y á la altitud A, hallaban V y L: por medio de las siguientes fórmulas: tang 0 = cos y cotang / sen Z tana V = —_——— (6) sen h cos (9 — £) L=A tang V en las que d es un ángulo auxiliar, cuyo valor está siempre comprendido entre — 90%, y «y; y h tienen la misma significa- ción que anteriormente les dimos. Si, como creemos haber demostrado, el método de las on- dulaciones es capaz de dar á conocer la altitud en que éstas se originan, las precedentes fórmulas deben ser utilizables en el mismo método, una vez determinada en el anteojo la ve- locidad angular v de las ondas aéreas, por el número de se- Gael . E gundos — que éstas emplean en recorrer el diámetro solar V aparente. Si á éste, que varía periódicamente un poco du- rante el año, le designamos por D, se podrá establecer la si- guiente relación: AD e cas (7) que completa el sistema de ecuaciones necesarias para resol- ver el problema de que se trata, A TESTI — 123 — Pongamos ahora, para finalizar, algunos ejemplos numéri- cos entresacados de nuestros cuadernos de observación, y con el fin de explanar el método que nos pareció más sencillo y adecuado para calcular sus resultados, comenzaremos por copiar integramente las que hicimos el día 10 de Febrero de 1900, por la mañana, dirigiendo al Sol la ecuatorial de Merz y proyectando su imagen en una pantalla, conforme en otro lugar indicamos. He aquí las series: Veleta = S O (Brisa fuerte). (a) = 859; (b) = 390 Veleta = S O (Calma). (=)*- (ep) N MA NM ma ] *9]U9]/10J9 -Ul “Jop q “ES1el :0=4J (+ 011) [IS SR Lo) € NN NN N QA AECA CR *"[e11JOU P] US JOÍ9 ¿SO “S9JUB OO) :Q€ =J (88 e 98 01) [o] N N a "SOJEJ E 9JU9JJUJ9JUL 22 =J (1S Y 67 01) o R N em em 00 AR AGA: SIGAS an) "S9JUB OUIOD 19] =J (ep + oy 01) SN SÁ (52) "S9JUB OUIO9 :2l =J (Oy * vr 01) "epru -HOP UIQ “PSJe] :8 =J (EN POT E0D) o IA) e oo) *"JAJISQO DP JOHIP OS]e “19p “q “t[ozam :q=y (0p ? 8€ 01) (s 8/, 1 U9 2z) *S9JUL OO) :Z=J (Le Y se OD (o) CAC CIA NAS SS ear) (sT US 2Z) “epyu - y9P “q “ul “BJJ09 :Q= Y (11€ Y 1167 401) A 132 58m obsérvanse directamente cirros procedentes del ONO (Veleta: viento OS O). o a A MAS PS 2 a ] Y — 125 — A este cuadro acompaña la siguiente nota: «Despejado en general: Ci. en el horizonte del tercer cuadrante, y pequeños Cu. en el del segundo. Corriente general y única, con amplia desviación directa. La corriente es fuerte en las altas regio- nes; en las bajas se debilita, sin extinguirse del todo.» Fácil es de explicar la notación por brevedad empleada en las observaciones que hemos copiado, y que es la misma que tienen en el cuaderno original. Las letras a y b desig- nan, respectivamente, el anteojo mayor y el buscador de la ecuatorial, y el exponente numérico que llevan, el orden de las series. Los números (71) y (20) indican el diámetro, en centímetros, de la imagen de Sol proyectada por cada ante- ojo en la pantalla: (a) =85 y (b) = 390, son la graduación co- rrespondiente al punto cero ó Norte, leida en los círculos de posición respectivos, y que han de restarse del promedio de las lecturas de cada serie. Al margen de éstas van, dispues- tas en columna, unes anotaciones que señalan: primeramente, las horas del principio y fin de cada observación, tomadas de un reloj de bolsillo; luego, la letra F, significa la exten- sión focal empleada: así F=8, quiere decir que el ocular se había sacado 8 milímetros de la posición que corresponde al foco principal; y 21 denota que en n segundos, la ondula- ción recorría los dos intervalos iguales, formados por tres hilos consecutivos del retículo. Cada intervalo vale próxima- mente tres minutos de arco; de manera que se puede tomar 21=6' sin error de gran transcendencia. Resta, ahora, que presentemos unos cuantos modelos de la forma en que se hacía la corrección de las observaciones; á cuyo fin van á continuación dos series tomadas del cuadro precedente: — 126 — 1) (71) as Día 10 de Febrero de 1900. Día 10 de Febrero. J=—140 t= 10% 36m 9=-—140 t= 102 57m m= 12 14 m= 12 14 11M T= 299 t=m=-—1 38 T=, 2390 .1m=-= 1 di=>+ 2 —r (Luna) = da — —r= —p=+21 H= —p=+ 17 Jl Suma =322/=) h=31" Suma= 256 132% p—y=+16 | p=y=- 11 | E da pers Luo a =-— 28 vV a=— 22 v ¿= (310) | (a) Las plantillas, como las precedentes, donde habían de co- locarse los números en el orden debido para hacer el cálculo, estaban impresas de antemano, á fin de ahorrar trabajo y tiempo. El orden de las operaciones, ya lo hemos indicado: con la fecha del día se busca en las efemérides astronómicas el tiempo medio ó medio día verdadero, m, que se resta del tiempo observado f, y la declinación d del Sol. Con el hora- rio £—m y la declinación, se hallan en la tabla I la altura h, el aizmut a y el ángulo paraláctico p del astro. Hecho esto, y dispuestas estas tres cantidades en la forma que indican los adjuntos modelos, se determina y, y en la tabla 1I se bus- ca la diferencia $ — y, con lo cual y el azimut a se obtiene la dirección + del viento. Si su velocidad hubiese podido ser determinada experimentalmente, como en el primer ejem- plo, la tabla III daría la corrección da al ueno observado 7, y, por tanto, al y. La reducción de todas las series conduce á los siguientes principales resultados para las observaciones efectuadas el 10 de Febrero de 1900: — 127 — Hora Altura Altitud Dirección SERIES de la Extensión del de la de la observación. focal. Sol. corriente. corriente. a 10% 30m Omm 302 E 3130 ar 10 36 2 31 6.100m 310 a? 10 39 5 31 2.440 300 at 10 42 8 31 1.530 281 ae 10 45 12 32 1.050 265 aS 10 47 16 32 785 249 a 10 50 22 32 570 231 af 10 57 30 32 430 223 b 11 1 0 33 É 297 Veleta ..... SO=225(Ba) En estos números sólo llamaremos la atención sobre la brevedad del tiempo gastado en hacer el trabajo, que apenas demandó en totalidad cuarenta y cinco minutos, y acerca de la fuerte amplitud de la desviación progresiva, llamada por nosotros directa, que en toda la extensión de la atmósfera explorada ascendió á 90%. Nótese también que la dirección del viento, determinada con el buscador, está comprendida entre las extensiones focales 5 y 8 milímetros del anteojo ma- yor, y que la indicación de la veleta coincide con la obtenida por las ondulaciones en las capas inferiores de la atmóstera. Utilizando, por último, el tiempo pe = 85 que debía de Y tardar la ondulación en recorrer el diámetro del Sol en la se- gunda serie, dato que con la extensión focal 29, correspon- de á la altitud de la corriente aérea = 6107 metros, las fór- mulas (6) y (7) dan en este caso, como puede comprobarse fácilmente, una velocidad lineal L = 23 metros por segundo ú 83 kilómetros por hora. Más arriba, á juzgar por la indica- ción 2í= 15 observada en la primera serie, la velocidad es probable que fuera mucho mayor. X= 3R 3 — 128 = 32 61 61! 3! 81 LY L1 91 91 91 cl cr cr : 9% rá vc ec cc CC Tz 04 0% 61 81 31 A? a O A NA AA a o o6T oLG. | 06 | o€c o) 7 8 3 o0) Se ot) A o bl E odl e o8! TZ 0D es 232 NOIOV NITO ="IVINOZIVOH OLNANAaADAV SOIUYVYO0H SO'"INMONVY :0413sé ¡ap d oo or¡eaed omnbue ¡op Á » pnulize ¡9p “y e.mp¡e e] op saJoJeA — "| VIIVL =— 129 — esowrid euun¡o9 e] U9 S9PJUOZIJOY SOPUSUM3Je op *ouy epeo esed opeo1pul Ou31s [9 19u9y /— J y :L—¿ 30118 dns 9P SIJOJLA SOT 0 0 0 I I 0 1 I C 4 0 1 € y € 0 rá je L 8 0 v L 6 TI 0 S 6 €l Sl 0 L cl LI 61 0 6 91 TE vé r0) oY! 00€ 098 08T i=8 | A= 4 | Ag | ¿8 | 9 0Z< 91€ 28d 883 | v6G 0LzZ voz 8£c AA ObZ 06 96 40]! 801 vII 006 ov8 08L 0CL 099 1 I I E € € G 9 9 6 Ol 0 El el el Bl ¡Bl LI 1Z OE ce | els, 10 . JA AAN a A A Poe) e que sobrenada. Acidulado este líquido con ácido sulfúrico diluído, añadiendo después unas gotas de cloroformo y, finalmente, una gota de ácido sulfúrico con vapores nitrosos, la coloración violácea que toma el cloroformo demuestra co:1 completa certeza la existencia del iodo. La determinación cuantitativa del bromo y del iodo en las aguas ofrece notables dificultades, especialmente en las que contienen muy pequeñas cantidades. He hecho numero- sos ensayos con los métodos de Weszeleszky (*) sin haber podido llegar á dar á sus procedimientos la confianza necesa- ria, y así pienso que en muchos casos no puede prescindirse de los agotamientos alcohólicos que Fresenius propone. En aguas minerales del tipo de las Tona pueden aplicarse con éxito los procedimientos de Jannasch, descritos en su libro Praktischer Leitfaden der Gewichtanalyse. ACIDO SULFÚRICO. —En algunas aguas existe el ácido sul- fúrico en cantidad inapreciable, por ejemplo, en las aguas de Cabreiroa (Verín). Las aguas directamente no se entur- bian con el cloruro bárico previa adición de ácido clorhídri- co. Para buscarlo y determinarlo cuantitativamente, al mismo tiempo, concentré dos litros hasta pequeño volumen; acidulé con ácido clorhídrico; separé la sílice y en los líquidos filtra- dos precipité el ácido sulfúrico. Los resultados obtenidos indicaban algunos centígramos de ácido por litro, lo cual no podía ser cierto, pues, en esa proporción las sales báricas descubrirían directamente el ácido en el agua. La causa del error fué bien fácil de descubrir. El ácido sulfúrico provenía de los productos de la combustión del gas del alumbrado, entre los cuales hay compuestos de azufre que al quemarse forman anhídrido sulfuroso, que después pasa á ácido sulfú- rico Ó quizá ya directamente ácido sulfúrico. La observación por mí hecha no era nueva y se encuentra señalada por va- rios autores. (*) Weszeleszky-Zeitchrift fir Analy Chem., 1900, t. 39, p. 81. — 140 — FLUOR.—Desde el año 1896 he examinado muchas aguas minerales, adquiriendo la certeza de las suposiciones que entonces hice. El fluor abunda mucho en las aguas minera- les de terrenos graniticos, especialmente en las sulfurosas. También se encuentra el fluor en las aguas de terrenos vol- cánicos, como tuve ocasión de comprobar examinando las de los Geysers del Yellowston, Park (*). El procedimiento que sigo para buscarlo cualitativamente es el que he descrito antes de ahora. Considero de importancia la confirmación del flour por el examen de los cristales de hidro fluosilicato- bárico. La forma de estos cristales los caracteriza, y mucho más si á ella se une su insolubilidad en el ácido clorhídrico. Para la investigación del fluor bastan ordinariamente de dos á cuatro litros de agua. (*) Zeitsch fiir Analy Chemie, XLIV-1905-729, AAA MA IX. —Observaciones morfológicas sobre la sangre de Llama (Auchenia Lama). POR GUSTAVO PITTALUGA. Una Memoria publicada en 1906 por U. BirFI (1), ya Di- rector del Instituto de Higiene de Lima (Perú), ha sido el punto de partida de este breve estudio sobre la sangre de un Llama (Auchenia Lama), que el propietario del parque zooló- gico del Retiro, de Madrid, Sr. Cavanna, puso con gran ama- bilidad—que le agradecemos—á nuestra disposición. Las observaciones que forman objeto de la presente nota, han sido llevadas á cabo con la cooperación del Dr. Rodrí- guez Illera, ayudante de la Subsección de Parasitología del Instituto Nacional de Higiene de Alfonso XIII, en prepara- ciones de sangre del Llama en cuestión (S adulto), extraída por punción de una vena en los días 13 y 19 de Febrero de este año. El Llama (Auchenía Lama), tilópodo indigena de las altas mesetas del Perú y de la Bolivia, pertenece á la misma fa- milia (Camelidae), del Camelus bactrianus y del Camelus dromedarius, y ofrece, como ellos, la particularidad — singu- lar entre los mamiferos—de la forma ovoidea de los hema- ties. Pero además de éste, otros caracteres son peculiares de la sangre del Llama, y por los datos, todavía muy escasos que de ellos poseemos, merecen, desde luego, nuevas y re- petidas investigaciones. el UD Adaptados á la vida en las grandes alturas de los Andes, en atmósfera rarefacta, necesitan estos rumiantes desarrollar, como compensación para los cambios respiratorios, una gran superficie de campo de oxidación y, por tanto, un número enorme de hematies. El hecho había sido observado ya por HAYEM (2), que en sus clásicos estudios sobre la sangre había dado las cifras siguientes, resultado medio de la cuenta de glóbulos en un Llama del Jardín zoológico de Paris: Henates ase — 13.186.000 por milímetro cúbico. Leucocitos....... - 8.000 » » » Los datos reunidos por BIFFI en el trabajo antes citado y en otro publicado con RIBEYRO (3) confirman en conjunto estos de HAYEM, pudiendo establecerse á consecuencia de numerosos recuentos (con cuentaglóbulos de THOMA-ZEISS) un promedio de: 11.545.600 Hematies por milímetro cúbico. 10.740 Leucocitos >» » » Resultaba de estas observaciones una desproporción evi- dente entre el número de hematies y el número de leucocitos en relación con las cifras correspondientes en el hombre y en la casi totalidad de los mamíferos. En éstos, en efecto, la proporción puede formularse, aproximadamente, del siguiente modo: un leucocito por 500 hematies. En cambio, la sangre de Llama contiene, según las cifras anteriores (BIFFI) un leu- cocito por 1.075 hematies (en condiciones normales). A pesar de ello, las observaciones de BIFFI y RIBEYRO no habían logrado poner de relieve diferencia morfológica algu- na entre los glóbulos blancos (leucocitos) de la sangre de Llama y los de la sangre humana y de los mamiferos supe- riores. «/ leucociti si presentano assai scarsi ín una comune preparazione di sangue - dice exactamente BIFFI en la Me- moria citada (4) —e non mostrano, a fresco, per la forma, — 143 — per la grandezza, per il nucleo e per le granulazioni del pro- toplasma alcuna spiccata differenza da quelli del sangue umano.» En preparaciones teñidas —(con Hematoxilina-Eosina, con el método de ZIEHMANN y con el método de LEISHMAN)— pudo observar BIFFL, y pone de relieve en su trabajo, la exis- tencia de algunos leucocitos eosinófilos con granulaciones irregulares, menos numerosas que las que llenan el cito- plasma de los eosinófilos humanos, aunque dotadas al pare- cer de igual afinidad para el colorante, de igual grado de oxifilia. Notó además que los leucocitos polinucleares neu- trófilos contienen con frecuencia de tres á cinco pequeños núcleos enteramente separados el uno del otro, sin puentes intermedios, como acontece en los llamados polinucleares humanos. Los grandes mononucleares, y con menor fre- cuencia los pequeños, presentan á veces en el protoplasma egranulaciones redondas de varias dimensiones, que se tiñen en rojo-violeta brillante con el método de LEISHMAN y en vio- leta obscuro con el de ZIEHMANN. Estas granulaciones son en todo parecidas á las descritas en los mononucleares de la sangre humana con el nombre de «azurgranula» por MI- CHAELIS y WOLFF (5); pero se hallan en mayor número y tienen dimensiones mucho mayores. Se encuentran también, según BIFFI, en la sangre de Llama, rarísimas células ceba- das (mastzellen) y numerosas formas de transición. Tales son los datos expuestos por este autor, además de los que se refieren á los caracteres físico-químicos de la san- ere, acerca de los cuales no hemos de detenernos en la pre- sente nota. Nuestro objeto fué el de cerciorarnos, con el estudio de numerosas preparaciones, de las formas y variedades leuco- citarias que se hallasen en la sangre de Llama, pareciéndo- nos d priori muy singular el hecho afirmado por los preceden- tes observadores, esto es, que á pesar de la enorme despro- porción entre la cantidad de hematies y la de leucocitos con ==. 144 — relación á las de la sangre humana, el aspecto y la estructura citológica de las distintas formas de leucocitos correspondie- ge enteramente, sin diferencia apenas, á la de los leucocitos contenidos en la sangre humana y de mamíferos cuyas con- diciones de constitución y equilibrio hemático tanto se alejan de las del Llama. Al propio tiempo, otra cuestión interesante llamaba nues- tra atención. Me refiero á la de la fina estructura del glóbulo rojo y de la persistencia de restos nucleares en los hematies de los mamíferos. Sabido es que en estos últimos años, y á consecuencia de los trabajos de ISRAEL y PAPPENHEIM (6), de GABRITCHEWSKY (7), de ASKANAZY (8), de EHRLICH y al- gunos de sus discípulos (9), de ScHmiDT (10), SCHWALBE y SOLLEY (11), STENGEL, WHITHE y PEPPER (12), de LówrT, BÓTTECHER y BRANDT, LILIENFELD, WoOLDRIDGE, BOTTAZZI y CAPPELLI, MAXIMOW (13), DomiNICI (14), y muy especial- mente de ARNOLD y sus discípulos (15), de FOÁ y CESARIS DEmEL (16), PETRONE (17), GiaGLIO Tos (18), NEGRI (19), JoLLY (20), LELIÉVRE y RETTERER (21), RUCIZKA (22), ha sido objeto de vivos debates entre los histólogos la existen- cia de una supuesta red ó de granulaciones, vestigios de la cromatina nuclear en el estroma de los hematies de mamife- ros adultos, y la interpretación de los fenómenos de policro- matofilia, de basofilia, etc., en los hematies, y más aún de la misma constitución del estroma globular en su totalidad. Considérese, pues, el interés que podria ofrecer una inves- tigación acerca de este problema en un mamífero como el Llama, que presenta la particularidad de que sus glóbulos rojos no son solamente elípticos, como los de los Camelidae en general, sino además biconvexos, contrariamente á lo que acontece en las de:nás especies de la misma familia (C. dro- medarius, C. bactrianus). La forma biconvexa de los hematies de Llama bien podía hacer sospechar d priori la existencia de un núcleo, ó cuando menos estar en relación con la per- sistencia de importantes restos de una estructura nuclear que — 145 — hubieran aclarado considerablemente el problema de la es- tructura de los hematies de los mamíferos en general. Podía pensarse, además, que por la misma necesidad de la rápida sustitución Ó renovación de una amplia superficie respirato- ria por las condiciones especiales del ambiente en que viven estos animales, el proceso hematopoiético, que en los demás mamiferos se desarrolla en su totalidad fuera de los territo- rios vasculares—medula de los huesos—, se presentase en el Llama constantemente con su último periodo en el torrente circulatorio, de tal suerte que los hematies nucleados (eritro- citos) constituyesen en esta especie los elementos morfológi- cos normales de la sangre circulante. Para contribuir en lo posible al esclarecimiento de estas dos cuestiones, se sometieron unas preparaciones de sangre al examen directo en fresco, otras á diferentes procedimien- tos de fijación y coloración para su estudio ulterior, y, por fin, se intentó aplicar el método descrito y adoptado por NEGRI, en sus interesantes estudios sobre la substancia cromatófila de los hematies de vertebrados inferiores y de embriones de mamíferos, con soluciones acuosas, fisiológi- cas (0,75 por 100 de NaCl), al 1 por 100 de Rojo neutro (Neutralroth, GRUBLER). Examen directo, en fresco.—Los glóbulos rojos aparecen, al examen directo, co.no pequeños cuerpos elípticos, de contornos netos y lisos, de color casi igual al de los hema- ties humanos, apiñados los unos sobre los otros, pero sin * estabilidad ninguna y sin constituir columnas ó pilas, como acontece con los de los mamíferos superiores, y particular- mente del hombre. La falta de esta disposición se halla per- fectamente justificada, según puso de relieve por primera vez BIFFI, por la forma biconvexa de los mismos glóbulos, Rey. AcaAD. DE CIENCIAS, —VIIT.—Octubre.—1909. 10 — 146 — y, quizás, también, por una menor viscosidad de sus super- ficies y especiales condiciones físico-químicas del plasma (cuyo peso específico es relativamente muy bajo). , Las dimensiones de los hematies de Llama en la sangre periférica, 6, mejor dicho, en la sangre apenas extraída de los vasos periféricos, están comprendidas, según: nuestras observaciones (ocular micrométr. Zeiss, número 3), entre 8 y 14 y de largo (eje mayor), 4 */, y 7 p. de ancho (eje trans- versal ), y aproximadamente 1 */, á 2 */, y. de espesor (en el centro). Estas dimensiones difieren en algo de las observadas por BIFFI, el cual obtuvo cifras menores, esto es, 446 y de ancho, 7 á 12 y de largo, y 1 á 2 + de espesor. En conjunto, en la sangre del Llama por nosotros obser- vado, se encontraban numerosos. glóbulos rojos de dimen- “siones superiores á la normal; casi todos ellos tenían un as- pecto aplastado, es decir, que las dos superficies convexas que determinan el espesor del hematie, aparecian en el punto central más acercadas la una á la otra, casi aplanadas. Es muy posible que la frecuencia de hematies con este aspecto esté en relación con un estado ligeramente anormal en la vida de estos animales, que realmente en los parques zoológicos de nuestras ciudades se hallan —-como hacía no- tar BIFFI á propósito de la misma ciudad de Lima (Perú)— muy alejados de las condiciones de su ambiente natural (*). Al examen directo, en fresco, no se aprecia en absoluto en el interior de los hematies ninguna apariencia de forma- ción nuclear. Salvo las ligeras diferencias de tono debidas á la hemoglobina, la refringencia uniforme de toda la masa del glóbulo, aun observado en adecuadas condiciones de ilumi- nación y con grandes aumentos, impide percibir detalles de (4) Nótese que, sin embargo, el clima y la situación geográfica de Madrid (á 650 metros s. n. m.), no son muy desfavorables á la «vida de los Llamas en comparación con otros (Hambourg, Berlín), en que viven algunos ejemplares de la especie. — 147 — estructura y diferenciación de partes en el estroma globular. Añadiendo á la gota de sangre, para su examen en fresco, una gota de solución 1 por 100 de Azul de Metileno car- bonatado, ó mejor de una solución preparada, según la fór- mula siguiente: Azul de Metileno crist. L. Meister... gramos 0,20 Carbonato ¡SÓOdICO. deta ts » 0,30 NES EVO claro AS » 100,— se observan al cabo de una media hora algunos hematies teñidos en verde-azulado, casi uniformemente, aunque á ve- ces se aprecian motas de más intensa impregnación, puntos ó zonas de color más obscuro. Hay, pues, algunos hematíes basófilos, y éstos son generalmente de los más pequeños, no superando casi nunca los 8 <4 y. »Virchow” Arch.», t. CXLV, 1806, y t. CLV, 1899; — E. SCHWALBE, - eodem loco, t. CLVIII, 190:, pág. SO. 16. FoáA.- Beitrag zum Studium der rothen Blutkorperchen der Saugethiere - en «Ziegler's Beitrage:, t. V, 1889;- FOÁ y CESARIS DE- MEL—Sui granuli eritrófili dei globulirossi del sangue—en «Giornale della R. Accademia d'Medic. di Torino», 1899;—A. CESARIS DEMEL— Sulla sostanza cromatófila endoglobulare in alcuni eritrociti- en «Att. della R. Accademia delle Scienze di Torino», vol XXXVI, 1901. 17. PETRONE. — «Bollettino dell'Accademia Gioenia» di Cata- nia, 1897-1900. 18. E. GiGLIO Tos.—/l rosso neutrale e i granuli emoglobígeni— en «Zeitschr. f Wissensch. Mikr.», t. XV, 1898; - Sulle granulazioni degli eritrociti nei girini di taluni anfibi —en «Anat. Anzeiger», t. XII, 1896. 19. A. NEGRI. —Sulla persistenza del nucleo nei globuli rossi dei mammiferi - en «Bullett. della Soc med. chir. Pavía», 1899; y «Ana- tom. Anzeiger», t. XVI, núm. 2, 1899;-- Osservazioni sulla sostanza colorabile col rosso neutro nelle emazie dei Vertebrati—«Memorie del R9 Instit? Lombardo d'Scienze e Lettere, vol. XIX, núm. VIII, 1902, Milano (con dos láminas). 20. JoLLY.—«C. R. Société de Biologie», París, 1900, 1902 y 1906-1907 (numerosas notas). 21. LELIEVRE A. ET RETTERER ED. —Structure des hématies des dee Pas mammiféres adultes—en — 159 — Explicación de la lámina. Las figuras 1 á 12 han sido reproducidas con obj. Zeiss */,, im. homog., oc. 5. (aumento 1.300 diam.), excepto la figura 2, que ha sido reproducida con oc. 4. (aumento 990 diam.). La figura 13 ha sido reproducida con obj. apoc. Zeiss, 2, m. m., apert. 1.30 oc. comp. 8. Las figuras 17, 20 y 24 con obj. */,. Zeiss, Oc. 4. Las figuras 18 y 21 con 0bj. */,., Oc. 5. Las figuras 14, 15, 16, 19, 22 y 23 con obj. */,. oc. comp. 12. Por fin, las figuras 25 y 26 con obj. im homog. semi-apoc. Korist- ka */,,, oc. comp. 12. Las figuras 1 á 4, 13, 17, 18, 19, 20 y 22 han sido reproducidas de preparaciones fijadas con alcohol-éter y teñidas con thionina fenicada. Las figuras 5, 15, 16 y 21 han sido reproducidas de preparaciones fijadas con alcohol-éter ó con cloroformo y teñidas con hematoxilina Boehmer y eosina. Las figuras 6 á 12 y 14 han sido reproducidas de preparaciones fija- das con alcohol-éter y teñidas con el método de Giemsa. (Grubler.) Las figuras 25 y 26 han sido reproducidas de preparaciones frescas en las cuales la gota de sangre fué mezclada con una gota de sol. ac. al 1 p. 100 de rojo neutro. La primera á las dos horas y la segunda á las doce horas. La interpretación de las figuras está dada en el texto. — 060 = X. — Procedimiento rápido de valoración del vana- dio en los minerales y productos industriales vana- diferos. | pe: hi POR E. PIÑERÚA ALVAREZ La determinación cuantitativa ó valoración del vanadio en los minerales y otros productos industriales, v. gr., las alea- ciones ferrovanadíferas, ha sido objeto de estudios incesan- tes desde BERZELIUS y ROSE hasta nuestros días, por GER- LAND, GOLDSCHMIDT, ROSCOE, NORBLAD, GOOCH y GIL- BERT, GOOCH y STOCKEY, HILLEBRAND, BROWNING, TRU- CHOT, MAILLARD, LEVISATO, HAUSER y otros muchos quí- micos. Algunos de los procedimientos ideados son muy reco- mendables, pero creemos que el nuestro los aventaja en ra- pidez y exactitud, pudiendo también aplicarse con ligeras variantes á la valoración del molibdeno y tungsteno ó wol- framio en sus menas y productos metalúrgicos. El procedimiento consiste en fundir el mineral porfidizado, ó el material vanadífero reducido á polvo muy fino (0'5 gra- mos á 1 gr.), con 7 á 8 veces su peso de bióxido de sodio perfectamente seco y puro, manteniendo en fusión la mezcla á la temperatura del rojo durante quince ó veinte minutos. Después de fría la masa se somete ésta á la acción del agua hirviente, y se separa el residuo insoluble mediante fil- tración, lavándolo cuidadosamente sobre el filtro. El filtrado alcalino se acidifica con ácido sulfúrico, se agrega alcohol, y sin separar el precipitado—si lo hubiera— se hace pasar por el líquido una corriente de anhídrido sul- furoso hasta que tenga olor fuerte á este gas. Conviene prolongar la acción del gas reductor durante j : — 161 — bastante tiempo, sobre todo si el material analizado contiene arsénico. Luego se filtra—si es necesario—, el líquido azul resul- tante, y se elimina por la acción del calor el alcohol y el gas sulfuroso que tiene disuelto, favoreciendo al final la expul- sión de dicho gas mediante una corriente de anhídrido car- bónico. Si el mineral ó material vanadífero contiene arsénico, ver bigracia la endlichita (*), la chileita (**), el areoxeno (+**), la eusynchita (****), y el cloro-arseniovanadato de plomo de Santa Marta (mina Clemente) de la provincia de Badajoz (España), se somete de nuevo el líquido azul, después de expulsar el gas sulfuroso, á una corriente de hidrógeno sul- furado en tanto que se forma el precipitado amarillo de tri- sulfuro de arsénico (++***), Se separa éste mediante filtración, se elimina el gas sulf- hídrico haciendo hervir el líquido, y, por fin, se valora volu- métricamente el vanadio de la solución azul hipovanádica, mediante el permanganato potásico en solución al 1 por 1000, titulándola con otra también al 1 por 1000 de metavanadato amónico hervida con lejía de sosa hasta que no desprende amoníaco, reduciéndola por el gas sulfuroso— después de acidificarla fuertemente con ácido sulfúrico—, operando en caliente y en idénticas condiciones de concentración, acidez y temperatura que con el material analizado, terminando la volumetría cuando el liquido azul se descolora, por causa de la transformación de la sal hipovanádica en vanádica, y éste adquiere un ligero matiz rosa permanente. Ejecutando las operaciones como dejamos dicho, se obtie- (+) GENTH et COLLIE —J.Prakt. Chem. Soc. 55-94-1899. (**) DOMEYKO. - An. Min. 74-1150-1848. (E) BERGEMANN. -Jahrbuch Mineral 397-1857. (+) Rammelsberg.—Sitr. preuss. Akad. 40-1864. (e) La cantidad de arsénico encontrada ha sido 5'24 por 100. Rev. Acap. DE Ciexcias,— VIL.—Octubre.—1909. I1 — 162 — nen resultados exactísimos y en mucho menos tiempo que con otros procedimientos. Trabajando con la vanadinita de Santa Marta hemos en- contrado una cantidad de arsénico al estado de orthoarse- niato, que coincide casi exactamente con la que corresponde á la fórmula (Va O,),” (As O0,)” Pb,” (ClPb)' de modo que debe considerarse como un clorarsenio-vanadato de plomo. (Laboratorio de Análisis Químico especial de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid.) — 163 — XI.— Reacciones del cinc, el niquel y el cobalto, utilizables en análisis. Por E. PIÑERÚA ALVAREZ El reactivo empleado es el cobaltocianuro potásico 2 [(Co Cys) K,] en solución acuosa saturada de anhídrido sulfuroso á baja temperatura. Se prepara haciendo una disolución al 10 por 100 de sul- fato 6 cloruro cobaltosos en agua destilada hervida, recién saturada de gas sulfuroso á 0”, y agregando luego cianuro potásico puro hasta redisolver el precipitado rojo intenso que se forma primero. Este líquido reacciona con ia mayor parte de las sales metálicas, presentando as analogías con el ferrocianuro potásico [(Fe Cy¿)K;]. Son interesantes las reacciones, en frío, con EE sales fé- rricas y ferrosas, y, en caliente, con las de calcio, saturadas de cloruro amónico, con las estannosas y otras; pero las que merecen mencionarse más especialmente, por su importan- cia desde el punto de vista analítico, son las que produce con el cinc, niquel y cobalto. Cuando á una disolución del reactivo se agrega otra en exceso de sulfato de cinc en agua sulfurosa, recién prepa- rada, se forma un precipitado rojo anaranjado intenso de cobaltocianuro cíncico [(Co Cy¿)Zn,] que es insoluble en el agua sulfurosa; pero se disuelve en un exceso de reactívo, — 164 — dando un líquido de color rojo obscuro que contiene cobalto- cianuro cíncico potásico [(Co Cy¿) ZnK,]. La sal recogida en un filtro, lavada con la disolución del anhídrido sulfuroso, y desecada á la trompa, tiene color ana- ranjado; pero calentándola de 110 á 120” se vuelve violá- cea, bastando tocarla con una varilla húmeda para que en este punto la masa adquiera el color primitivo. Si en vez de agregar al reactivo una disolución sulfurosa reciente de sulfato de cinc, fuese de niquel, se formaría un precipitado amarillo de cobaltocianuro de niquel [(Co Cys) Nis], también insoluble ó poco soluble en el agua sulfurosa, que por desecación se torna verde. Con un exceso de reactivo se redisuelve formando cobal- tocianuro niqueloso potásico [(CoCy¿) Ni K,], y la solución, ' que tiene color amarillo, se descompone y descolora fácil- mente al agregar otra concentrada de ácido tartárico. Si al reactivo empleado [(Co Cy¿)K,] agregamos una di- solución sulfurosa de sal de cobalto, se produciría un preci- pitado rojo de cobaltocianuro cobaltoso [(Co G)¿Co”»], que se disuelve en un exceso de cianuro alcalino dando un líquido rojo obscuro que contiene cobaltocianuro cobaltoso potásico [((Co Cy)¿CoKs)], muy dificilmente descolorable por una disolución de ácido tartárico. La producción del cobaltocianuro cíncico puede utilizarse para el reconocimiento de este metal, aun estando en pre- sencia de otros, v. gr., el aluminio. La formación de los cobaltocianuros de niquel y de cobalto puede servir también para su investigación cualitativa, pero la aplicación más interesante es para la separación de estos dos metales mediante electrolisis. Para el reconocimiento de cantidades muy exiguas de ni- quel y cobalto puede operarse sobre la disolución sulfurosa . A IA SEE TRE .-— 165 — de sus sales, ó sobre la de los sulfuros en el agua regia, evaporándola á sequedad en baño de María, redisolviendo el residuo de cloruros en la más pequeña cantidad de agua recién saturada de gas sulfuroso, y agregando luego á esta disolución gota á gota otra de cianuro potásico puro. Si el residuo salino fuese muy pequeño, bastaría introdu- cir en la disolución una varilla impregnada en dicha solu- ción de cianuro para ver el precipitado correspondiente. Si hay sólo niquel se forma uno de color blanco verdoso, que se disuelve en un exceso de cianuro, dando un líquido amarillo que se descolora rápidamente al agregar disolución concentrada de ácido tartárico (20 por 100.) | Si hay sólo cobalto se produce al agregar el cianuro un precipitado rojo que se redisuelve en un exceso de cianuro, dando un líquido también rojo, que no se descolora al agre- gar el ácido tartárico, sino que resulta amarillo. Si estuviesen juntos los dos metales, por muy pequeña que sea la cantidad de cobalto (1 miligramo es suficiente en presencia de 1 gr. de niquel) se forma siempre un precipitado amarillo rojizo, en vez del blanco verdoso del niquel, y des- pués de redisuelto en un exceso de cianuro el líquido ama- rillo que resulta no se descolora por el ácido tartárico. Para la separación electrolítica de los dos metales, se agrega cianuro potásico puro á la mezcla de sus sales di- sueltas en agua hervida y fría, recientemente saturada de gas sulfuroso á 0”, á fin de que se forme el cobaltocianuro de niquel de color amarillo, que después de seco es de color verde, y disolviendo 4 á 5 decígramos de esta sal en 50 c. c. de amoníaco (D=0,927), agregando 5 gramos de sulfato amónico y 100 de agua, electrolisando el líquido á la tem- peratura ordinaria mediante una corriente de D,, =0"37 á 0'45 amperios y de 3 á 4 voltios de fuerza electromotriz, se obtiene á las dos horas, sobre el cátodo, todo el niquel me- tálico exento de cobalto, pero impregnado de algo de car- bono. : — 166 — Separación electrolítica cuantitativa del niquel y el cobalto. Las grandes dificultades que ofrece la resolución del pro- blema de la separación electrolítica de los metales niquel y cobalto, han impedido hasta hoy hallar un modo operatorio de resultados satisfactorios, y por esta causa nos decidimos á publicar las experiencias que en este sentido hemcs rea- lizado. Si se agrega cianuro potásico puro á una mezcla conve- niente de sales de niquel y cobalto disueltas en. agua hervida y fría, recientemente saturada á 0” de gas sulfuroso, se for- ma un COBALTOCIANURO DE NIQUEL [(Co Cy¿) Ni,] de color amarillo, que después de lavado y seco se torna verde. En dicho compuesto está el cobalto formando un anión complejo muy estable, difícil de descomponer y caracterizar, y en cambio el niquel se halla al estado de catión simple, de fácil caracterización y precipitable por los reactivos ordina- rios de este cuerpo. Disolviendo 0,5 gr. de dicho compuesto (cobaltocianu- ro de niquel) en un líquido formado por 100 c.c. de agua y 40 c.c. de amoníaco (D=0, 927) y agregando 5 gr. de sulfato amónico, se puede obtener á las dos horas un depó- sito brillante de níquel, exento de cobalto, electrolisando di- cho líquido en frío con una corriente D,o)=3'40 amperios y de 3'7 á 4 voltios de fuerza electromotriz. | Al disolver con ácido nítrico el metal recogido sobre El cilindro de platino perforado (*), se ha visto que el niquel está impregnado de carbono, y en parte en combinación or- gánica muy resistente á los agentes de destrucción que ad- quiere un intensisimo color verde obscuro por el ácido clor- hídrico. o Disolviendo 1 gr. de la sal citada en 100 c. c. de agua (4) El cda empleado ha sido una espiral de platino. — 167 — con 50 c.c. de amoníaco (D=0'927), agregando 10 gr, de sulfato amónico y electrolisando en caliente (50 á 60) con una corriente D,) =1 amperio, al principio, y 1%5 al fin, y con una F.E=-3'8 voltios, se precipitan entrambos metales al cabo de una hora. Como vemos, puede hacerse la separación del niquel y el cobalto mediante electrolisis de sus sales, operando como hemos dicho antes; pero aún falta estudiar una multitud de cuestiones que serán el objeto de ulteriores trabajos y notas. (Laboratorio de Análisis Químico especial de la Facultad do Ciencias de la Universidad de Madrid.) — 168 — XII. — Determinación de las diferencias de longitud entre Madrid, Barcelona y Desierto de las Palmas (Castellón), por medio del transporte de hora con cronómetros Ditisheim. POR JOSÉ GALBIS La rapidez y comodidad con que se obtienen las diferen- cias de longitud entre diversos lugares de la tierra por me- dio del transporte de hora en cronómetros de precisión, explica el que ¡os geodestas y geógrafos sigan con gran interés las mejoras que en tales instrumentos se introducen y estudien los límites de precisión á que se puede llegar con su empleo en dicho trabajo Desde la famosa determinación de esta clase hecha por los rusos en 1843 entre Pulkova y Altona, sólo se ha aplicado por alguno que otro explorador, y, por consiguiente, nuestro INSTITUTO GEOGRÁFICO Y ESTADÍSTICO no creyó conve- niente preocuparse de su utilización en los trabajos que tiene encomendados. Ahora bien; el ensayo de determinación de diferencia de longitud entre París y Neuchatel, hecho en el año 1905 por el Sr. Paul Ditisheim, con pequeños cronómetros de escape de áncora por él construídos, hizo vislumbrar la posibilidad del empleo de dicho procedimiento en las operaciones geo- désicas, é inmediatamente el ilustre Académico Jefe de los servicios geodésicos del Instituto Geográfico, Coronel don Eduardo Mier, atento á implantar en dicho centro cuantos adelantos se presentan en el mundo científico, organizó el ensayo de ese procedimiento, encomendándonos al ingeniero e a le A a — 169 — de minas y geógrafo D. Manuel Barandica y á mí tan inte- resante trabajo, que debía inspeccionar y dirigir, con su probada competencia en estudios astronómicos de esta cla- se, el Inspector del Cuerpo de Ingenieros geógrafos D. Juan Borrés. Con tal objeto se adquirieron los cronómetros de bolsillo de primera categoría, construidos por el Sr. Paul Ditisheim, números 24.602, 24.598, 24.595 y 24.590; y una vez en nuestro poder, en el mes de Septiembre del año 1908, nos ordenaron hacer los primeros ensayos, determinando las diferencias de longitud entre Madrid, Barcelona y Desierto de las Palmas (Castellón de la Plana), tratando, con la acer- tada elección de estos puntos, de buscar la comprobación de los resultados que obtuviésemos con los valores deter- minados por medio de comunicación telegráfica entre Ma- - drid y Desierto de las Palmas el año 1891, y entre Madrid y Barcelona el año 1897; trabajos realizados por los geodes- tas D. Juan Borrés y D. Antonio Esteban. Aunque suponíamos, desde luego, que dada la época en que se efectuaban estos experimentos, era muy probable que elestado del cielo no nos permitiera seguir un plan sujeto á reglas inmutables, no vacilamos en trazarlo sin pensar en las dificultades de esa clase que se pudieran presentar, espe- rando que después éstas, y los resultados parciales que se fueran obteniendo, nos indicasen las ES que de- bíamos introducir. Nos pareció, desde luego, que una de las primeras com- probaciones de la precisión del método era el cierre entre las tres longitudes qne determinásemos, y, por consiguiente, decidimos dividir el trabajo en períodos constituidos por re- corridos del triángulo formado por los tres puntos de obset- vación, ya en un sentido, ya en otro. Buscando también disminuir algo la influencia en el tra- bajo de conjunto, de la gradación en que se presentasen las variaciones climatológicas y topográficas, decidimos que — 170 — estos viajes fuesen en número par, y alternando el sentido en que se efectuasen. En vista de esto, ordenamos nuestro ensayo en da forma siguiente: Primer viaje. —Madrid-Desierto de las Palmas-Barcelona- Madrid. Segundo viaje. —Madrid-Barcelona-Desíerto de las Pal- mas-Madrid. : Tercer viaje. —Madrid-Desierto de las Palmas-Barcelona- Madrid. Cuarto viaje. —Madrid-Barcelona-Desierto de las Palmas- Madrid. Claro es que esta organización permitía también todas las comprobaciones parciales con las determinaciones de dife- rencia de longitud, por procedimiento telegráfico, entre Ma- drid y Desierto ó entre Madrid y Barcelona. Ahora bien; entendimos qne el objeto principal de nues- tro ensayo, era apreciar la influencia que ejercen en las mar- chas de los cronómetros las vibraciones y sacudidas á que les someten los diferentes medios de transporte en terrenos montañosos, y, por consiguiente, tratamos de que no falta- sen en el conjunto del trabajo datos con que poder juzgar los resultados que obtuviésemos. Afortunadamente, sin gran esfuerzo, hemos logrado nues- tro deseo, puesto que entre Madrid y Barcelona utilizamos el buen material de ferrocarril de que están formados los trenes expresos que hacen ese recorrido; en los viajes efec- tuados entre Madrid y Desierto de las Palmas ó entre Beni- casim (estación del ferrocarril más próxima á Desierto) y Barcelona un material muy mediano; en las subidas y baja- das entre Binicasim y Desierto de las Palmas transportamos los cronómetros á pie, y, por último, en el tercer viaje ensa- yamos también el transporte en carruaje, dejando el tren en Castellón de la Plana, y trasladándonos desde esta pobla- ción á Benicasim en un pequeño faetón. Ml No har escaseado tampoco en este ensayo los cambios frecuentes y muy variados de presión. En efecto, entre los tres puntos elegidos, cuyas altitudes eran Mo o . 655 metros. Barcelona........ LIGAS E E 5 Ííd. Desierto de las Palmas. ............ 728 id. se pasaba de un día al otro del nivel del mar á más de 700 metros. Si se examina el perfil del trazado de las vías férreas re- corridas y el de los viajes á pie entre Benicasim y Desierto de las Palmas, se ve, que entre Madrid y Benicasim descien- de la vía férrea hasta Aranjuez á 480 metros, sube luego la meseta de la Mancha hasta alcanzar altitudes de cerca de 930 metros entre Chinchilla y Almansa, baja lentamente hasta 640 metros en La Encina, y, por último, rápidamente desde este punto á Valencia y Benicasim. El ferrocarril entre Benicasim y Barcelona va constante- mentre próximo á la costa, sin grandes cambios de altitud. - Entre Barcelona y Madrid marcha la vía férrea próxima á la costa hasta cerca de Reus sin grandes cambios de altitud; asciende después lentamente faldeando las estribaciones de las sierras próximas, manteniéndose en altitudes uo superio- res á 200 metros hasta Zaragoza; sube desde este punto hasta alcanzar la altitud de 1.160 metros cerca de Medina- celi, al atravesar la sierra Ministra, y desciende desde este punto hasta Madrid. En los viajes á pie entre Benicasim y Desierto de las Pal- mas, en un tiempo menor de tres horas, se sube, atravesando pequeñas lomas, desde 13 á 728 metros. Duras han sido, por tanto, las condiciones de este génefo á que hemos sometido los cronómetros, y si á ello se añade la constante variación de estado higrométrico por la situa- ción topográfica de los puntos que se recorren y por la va- riable calefacción de los coches del ferrocarril, se comprende = 172 — han de darnos los résultados que se obtengan cierta garan- tía para el empleo ulterior de los cronómetros en los traba- jos geodésicos. Ahora bien; estas mismas variaciones, y la dificultad de seguirlas con la precisión y frecuencia debida, imposibilitan, á nuestro juicio, el estudio de las correcciones que se debían aplicar á los cronómetros por la influencia de la densidad del aire; y como creemos que para poder conocer tales datos sería necesario someter los cronómetros á largos, ordenados y muy detallados experimentos, con variación de presiones y estados higrométricos, será preciso contentarse, por ahora, con dejar estas alteraciones agrupadas con las desconocidas y variadas que ocasiona el transporte. No ha ocurrido lo mismo con los cambios de temperatura. Es el otoño en España la época del año en que más unifor- midad existe entre la temperatura de las diferentes regiones, y así se ha visto en el curso de nuestro trabajo; de modo que, aminorada aún aquélla por las condiciones en que se llevaban los cronómetros, y observado con frecuencia el ter- mómetro colocado cerca de ellos, es fácil descontar de las alteraciones de marcha la corrección correspondiente ála va- riación de temperatura. Naturalmente, tratándose, según dijimos, de apreciar prin- cipalmente el efecto de los transportes en las marchas de los cronómetros, creímos era conveniente determinar el estado de los mismos lo más próximamente posible á dicho trans- porte, y, por tanto, dispusimos en los tres puntos de obser- vación instrumentos apropiados. Contábamos para ello en Madrid con el Observatorio As: tronómico, y montamos en Barcelona (precisamente en el mismo pilar en que se hicieron los trabajos de determinación telegráfica de longitud) un anteojo de pasos Repsold, un cro- nómetro Nardín con contactos eléctricos de segundo y un cronógrafo Hipp; y en Desierto de las Palmas, también exac- tamente en el sitio donde se hicieron los anteriores trabajos A A A — 113 — de longitud, un anteojo Repsold, ::n reloj Strasser Rhode con péndola Rietfer de acero níquel y contactos eléctricos de se- gundo y un cronógrato Hipp. Juzgamos también era esencial comparar las marchas de los cronómetros, en los períodos de transporte y en reposo, y con ese objeto observamos aquéllos durante veinticinco días antes y después de nuestro trabajo. Del mismo modo, aunque según hemos dicho, pensa- mos que no era posible introducir en los cálculos, con ga- rantías de acierto, corrección alguna por variación de pre- sión; además de observar ésta con frecuencia en todas épo- cas, estudiamos también en el primer viaje el estado de los cronómetros en Barcelona y Desierto durante algunos días; de esa manera pudimos ver más claramente el efecto en las marchas de ese elemento perturbador. Para disminuir en lo posible la influencia de la ecuación personal, se encargó siempre el Sr. Barandica de las deter- minaciones de hora en Desierto de las Palmas y en Barcelo- na, y yo de las observaciones de los cronómetros en reposo y en viaje y su comparación cronográfica con los relojes, cu- yos estados habían determinado en Madrid los Astrónomos del Observatorio, y en Barcelona y Desierto de las Palmas el citado Sr, Barandica. | La variación semanal de observador en Madrid y la dife- rencia entre el anteojo meridiano por estos señores emplea- do, con el anteojo de pasos utilizado por el Sr. Barandica, haría muy larga y complicada la determinación de la ecua- ción personal entre este señor y dichos Astrónomos; y como, por otra parte, la precisión de las observaciones de estos úl- timos es grande, la variación de marcha de los relojes magis- trales pequeña, distinto el intervalo entre las comparaciones de los cronómetros con ellos y la hora de determinación de su estado, y, por último, insignificante esta influencia de la ecuación personal con relación á las variaciones diurnas y hasta horarias de la marcha de los cronómetros, hemos juz- = 174 — gado podíamos renunciar á la determinación de ese elemento de corrección, sin perjuicio de creer es dato que habrá que estudiar á medida que se pida mayor precisión en los resul- tados. Acordanios también, con el objeto de simplificar el proble- ma, limitar nuestro ensayo al estudio del transporte -de cro- nómetros en posición horizontal, y con tal objeto, además de colocarlos en esa posición en sus estuches, cuidamos con gran atención no variasen de ella, en instante alguno, de re- poso ni de movimiento; por esto se llevaron las cajas de los cronómetros en.los trenes sobre las almohadillas de los asien- tos; y en los transportes á pie, bien suspendidas por medio de unas correas que mantenían las cajas horizontales, bien sobre unas mochilas con palomillas construidas con tal ob- jeto. Tratamos de aminorar los golpes bruscos y las violentas variaciones de temperatura, y con ese objeto cada estuche de cronómetro se encerraba en otro segundo bien almohadi- llado, y cada dos de éstos, á su vez, en otra caja también almohadilla y cubierta con una funda de lona. Dentro de esta última caja, y entre los dos dobles estuches de los cronómetros, se colocó un termómetro que se podía observar desde el exterior á través de unos cristales. Antes de enviarnos el Sr. Ditisheim los cronómetros nú- meros 24.602, 24.598, 24.595 y 24.590 se les sometió en el Observatorio de Neuchátel á las pruebas que señala el regla- mento de este centro, y que copio á continuación para que el lector pueda formar idea de las garantías que dicho estu- dio ofrece. VI. Chronométres de poche. — 175 — a) Epreuves de 1.* classe. Art. 16. Les chronométres de poche de 1re classe sont observés dans cing positions. Les épreuves durent 46 jours répartis en 11 pé- riodes, comme suit: PÉRIODES == OO00-J0O0dAQDnN po pa NOVBRE DE JOURS MS MS SS SS POSITIONS horizontale cadran en haut » » ” ” ” rr) ” ” verticale pendant en haut ” n : » Agauche SS » a droite horizontale cadran en bas » Cadran en haut TEMPERATURE ambiante de la glaciére (49) ambiante de l'étuve (320) ambiante de l'étuve (329) ambiante Pb) ” ambiante n Le premier jour des périodes 2, 3, 4, 5, 7 et la période 6 ne comp- tent pas dans le calcul. Pour obtenir un bulletin de marche les chronométres de poche de 1.re classe ne doivent pas dépasser les limites suivantes: 1.2. Ecart moyen de la marche diurne.. .... ........ + 05,75 2.2 Coefficient thermique...... REE EE DAS 0s,15 3.2 Erreur moyenne de la compensation............. 25,00 4.2 Reprise de marche. «odiada NN 35,00 5.2 Différence entre deux marches diurnes consécuti- ves á la température ambiante................. 28,00 6.2 Variation des marches moyennes du plat au A endil 45,00 7.2 Variation des marches moyennes du cadran en haut auicadran em Das canoa ls al o ld 45,00 8.2 Ecart moyen correspondant á un changement de positi0M............... AN o oa 25,50 9,2 Limite de la marche diurne.............ooco..... 65,00 Los resultados obtenidos se consignan en los resúmenes siguientes: d+= ON Ol 0wnN Erreur moyenne de la compensation > 476 = Chronométre 24 602. Marche diurnas moyenne. e ell , Somme totale des écartS............... . ca e Écart moyen de la marche diurne....... ...... Moyenne des marches des périodes 1, 3, 5, 7, 8, 9, ¡LA A e are o rss Reprise de marche (périodes 1 et 11)... ........ ... Ecart moyen correspondant á un changement de po- SIA. e O AA AA OA RO eo Variation des marches moyennes du plat au pendu (périodes T— 37) Variation des marches inoyennes du cadran en haut guCádrah en asi 2% and Via Dd Chronometre 24.598. Marche diurne moyenne.... Somme totale des écarts........ tetas OO Écart moyen de la marche didrne... oo... oo... Moyenne des marches des périodes 1, 3, 5, 7, 8, 9, E RR Erreur moyenne de la compensation............. ee Reprise de marche (périodes 1 et 11).. ; Écart moyen deba a un changement Ed do sition. E E OI Variation des marches as du plat au penal PP... .... .-......... .. ( périodes 1— 37) Variation des marches moyennes du cadran en haut > au cadran en bas hon... ... ...... 6... .<.. 62. Chronometre 24.595. Marche diurne moyenne........... . .. Somme totale des écarts............ RN e > e Écart moyen de la marche diurne....oooooo.oo.... Moyenne des marches des périodes 1, 3, 5, 7, 8, 9, O o AS RS E : + hh + 05,88 115,94 05,30 0s,87 45,99 0s,05 05,15 15,30 0s,62 0s,25 25,37 0s,74 125,06 05,30 15,21 145,84 0s,07 Os 65 Os 60 15,85 0s,00 05,89 0s,23 75,56 0s,19 = 177 — Somme des écarts de ces marches avec leur mo- NENA tierra Dado e A o + 65,23 ANC cren Me rnique. IIA o o ade 0 — 05,07 3. Erreur moyenne de la compensation... ......... EOS 20S 4, Reprise de marche (périodes 1 et 11). + 05,03 5. Ecart moyen correspondant á un changement di po- EPT EDESA: Edo e. ISP SENS Y EQ += 08,78 Variation des marches moyennes du plat au pendu ; a 5 500 Variation des marches moyennes du cadran en haut ate ada men Das ace re dio to Rvd — 15,35 Chronométre 24.590. Marche diurne moyenmne ips ros Il pde — 15:43 Somme tetale des EcartS... .. sons... entes a SON) 1. Ecart moyen de la marche diurne.... ......... 0/52 Moyenne des marches des ele INS IS O; 9, MIE JO. MELON OS 00 — 18,55 Somme des écarts de ces marches avec leur mo- a ro o RO oc rio CASTO: + 95,61 2 Coe/jicient Per iMique, Lo ooocc.e A ANA + 08,05 3 Erreur moyenne de la compensati0n. .............. + 08,40 4. Reprise de marche (périodes 1 et 11).............-.. + 15,05 5. Ecart moyen correspondant á un changement de po- SIDO EA re CDAS os EE ido ci Da! aL += 158,20 Variation des marches moyennes du plat au pendu (périodes” Bl >) 18D sAvÍOR E Opa — 2500 Variation des marches moyennes du cadran en haut AU Ca dranten” Das. AI La rd + 0s,12 Para comprobar si los cronómetros habían sufrido altera- ción durante el transporte de Neuchátel á Madrid, y á la vez para hacer un primer estudio de su marcha, les sometimos durante unos días antes de empezar el trabajo á compara- ciones cronográficas con el reloj magistral del Observatorio de Madrid Strasser Rhode, núm. 222. Con este objeto, colocamos los cronómetros encerrados en sus triples cajas, sobre una mesa situada en la misma sala donde está emplazado el citado magistral, en forma tal, que no era necesario moverlos para llevar á cabo dichas compa- REv. AcaD. DE Ciuxcias, — VII,—Octubre.—19009. 12 — 178 — raciones, ni aun para darlos cuerda, operación que se hacía diariamente á la misma hora. Para tal trabajo disponíamos de un gran cronógrafo unido á un reloj eléctrico Peyer Favarger C.'* (Neuchátel), ambos instrumentos pertenecientes al citado Observatorio de Ma- drid, efectuándose las comparaciones en la forma siguiente: Se transmitían eléctricamente al cronógrafo treinta señales correspondientes á otros tantos segundos consecutivos del reloj Strasser, y con ello deducíamos el estado relativo del reloj Strasser con relación al Peyer, etc., en ese momento. A continuación se transmitían también al cronógrato, eléc- tricamente, los instantes correspondientes á treinta segundos de cada uno de los cronómetros, que de ese modo quedan comparados con el reloj Peyer, etc. Por último, se volvía á comparar el reloj Strasser con el Peyer, etc., durante treinta segundos. Todas estas operaciones eran precedidas y seguidas por una determinación de la paralaje de las plumas. Con la primera y última comparación del Strasser y el Peyer, etc., conocido el estado absoluto del primero por precisas observaciones diarias de los Astrónomos, calculá- bamos el estado absoluto del Peyer, etc., en el momento medio del conjunto de las comparaciones, y con tal estado y las comparaciones de los cronómetros los estados absolutos de estos relojes. Diariamente anotamos también la temperatura de los ter- moómetros del interior de las cajas, y con este dato y las curvas del termógrafo que el Observatorio Astronómico tiene instalado en la sala donde operábamos, conocimos la marcha de las temperaturas á que nuestros relojes se vieron some- tidos durante este período. No descuidamos tampoco la anotación de las presiones. En el Cuadro siguiente puede verse un ligero resumen de los resultados de las comparaciones efectuadas, que duraron desde el 1.” de Octubre al 28 del mismo mes. — 179 — MOVIMIENTOS DE 108 CRONÓMETROS EN 24 HORAS FECHA “07 Ao 1 70 0 Temperatora| «Presión. y 24.602 | 24.598 | 24.593 | 24.590 s s Ss s (0) mm 1 Octubre. 223 | 709,6 2 = + 1,29 + 1,85 | + 0,03|— 1,36] 22,3 | 708,7 3 — + 1,06| + 2,41 |+ 0,84|— 1,88] 21,6 | 709,5 4 - + 0,43 | + 1,06 |— 0,15|— 0,56] 22,00 | 711,3 5 — + 1,08 | + 2,00 | —-0,37|— 1,48] 21,8 | 710,1 6 — + 1,10| + 202 | + 0,00| — 0,96] 21,9 | 708,3 7 = + 1,17| + 2,02| + 0,03 | — 0,87] 21,9 | 710,2 8 — + 1,24 | + 1,68 | + 0,09 | — 0,81 2156) METAL 9 + 0,59 | + 2,38| — 0,26| — 0,83f 215 | 708,9 10 - + 1,16| + 1,37 | — 0,48 | — 1,13] 21,4 | 708,9 11 —- + 1,32| + 2,25| — 0,10| — 0,54f 20,7 | 709,7 12 = + 1,/09| + 1,73| + 0,16|— 0,63] 20,5 | 707,1 13 — + 1,04 | + 2,16| — 0,12! — 0,91 20,4 | 706,8 14 = + 0,87 | + 1,38| — 0,36 | — 1,05] 20,4 | 705,4 15 — + 0,88| + 1,56 | + 0,71 | — 0,78] 19,44 | 703,3 16 — + 1,46 | + 1,554| + 0,73| — 0,69] 18,55 | 706,4 17 — + 0,84 | + 1,26 | + 0,59 | — 0,94 18270751 18 = + 0,99| + 1,29| + 0,49 | — 0,63 18,1 706,3 19 = + 0,92 | + 1,25| + 0,18 | — 1,088] 17,9 | 706,4 20 — + 1,00| + 1,38| + 0,19| — 0,99] 17,1 | 707,4 21 — + 0,99 | + 1,59 | — 0,07 | — 0,92 16,9 | 707,6 22 — + 1,115| + 1,10|— 0,36 | — 0,89] 16,9 | 702,8 23 = + 1,22| + 1,44] — 0,40 | — 0,78] 16,0 | 701,1 24 — + 1,06 | + 1,83 | — 0,32 | — 1,08 15,5 | 702,8 a — + 0194 | + 1,55| — 0,02 | — 0,74] 15,4 | 703,7 26 = 4 0,741 + 142|+ 0,06| — 1,15] 14,8 | 704,5 27 — + 0,76| + 1,44 | — 0,40 | — 0,89] 13,9 | 709,0 28 = + 1,26| + 1,13|+ 0,37 |— 1,02] 14,1 | 712,0 == 1) Mientras yo hacía el estudio anterior, el Sr. Barandica, acompañado del Sr. Espuñes, preparó los pequeños obser- vatorios de Desierto de las Palmas y Barcelona; de ese modo el día 28 pude salir para Desierto de las Palmas, empezan- do la determinación de la diferencia de longitud. Según dijimos antes, nos proponíamos comparar nuestros cronómetros con relojes de buena marcha, comprobada fre- cuentemente lo más próximamente posible á la salida y lle- gada de cada viaje. De la marcha de los relojes que nos sirvieron para la com- paración, dan idea los cuadros siguientes: — 181 — Reloj Straner Rhode, núm. 222. (Normal en el Observatorio Astronómico de Madrid.) a e A A oo ENTE | FECHAS Movimientos Moyimientos Movimientos | FECHAS ton 24 horas. | FECHAS [o 24 horas. en 24 horas. 1 Octubre ; 27 Octubre| — 0,04 18 Dicbre..| — 0,37 IN A A A 3 — |+033||29 — |+0/03|20 — |- 034 ae. E 028 18 Novbfe. 0,09 121... == | — 0182 IT A a IS IO E E A A 2 A A e E 03 rior 81 ao rel 24.. tna Ola A 0321 22 31 o mas A EZ 540 as US o EE AOOS 26. 7 E 041 e at o a ESE 41 A E 02130. A O 00 2 PEZ 040 A 2 Dore Ez QUO 20 aa 0,46 A oO 04 017 1307. == | — 0,41 O PU AE! a OO a A Os Egero | 0/30 16 TS RE E O LOMA 0 07 Sa, === 0019 MN a a a y ei e yl 0 Pl a DESRAES 088 OB soil 0133 A PI E A A IS E A E O Pan E IO BO A SS E AA E O A DAY 209 A A o A E o a OS lo — 1 APT 2 03 1] — pe 0,30 | 12 — 182 — [DESIERTO DE LAS PALMAS BARCELONA | Reloj Straner, núm. 278. Gronómetro Nardin, 7/5845. FECHAS MOVIMIENTOS FECHAS MOVIMIENTOS pea A E S S S10Octubredort. : 9 Noviembre. . 1 Noviembre....| — 3,84 10 — + 2,93 $ an dla PE SO 4 — — 4,65 12 =- + 3,14 ' 5 — — 4,05 13 — + 3,23 28 — | — 406 || 17 — + 3,40 1 Diciembre....| — 4,05 18 — + 3,75 2 — — 411 21 — + 3,50 10 = — 4,11 22 — + 3,95 23 = + 3,76 24 — + 3,75 25 — + 3,79 26 — | + 3,70 3 Diciembre... ES 4 — + 3,79 5 — + 3,84 7 — + 3,87 Ya hemos dicho que en Madrid los Astrónomos del Ob- servatorio hacían diariamente una cuidadosa determinación de hora por medio del anteojo meridiano. En Desierto de las Palmas y Barcelona fué el Sr. Baran- dica, según dijimos, el encargado del servicio de hora, utili- zando para ello los anteojos de Repsold, cronógrafos y relo- jes de que á su tiempo hablamos. Este señor, en armonia con los instrumentos citados, y también muy principalmente no olvidando la necesidad de — 183 — dar facilidad á la determinación de hora, para aprovechar los momentos de cielo despejado, no muy frecuentes en esta época insegura del año, adoptó el sistema de observar alter- nativamente con el ocular del anteojo al E y al W, parejas de estrellas formadas por una ecuatorial y otra circuncenital. Como deseábamos la mayor precisión en el citado método, observó el señor Barandica, siempre que pudo, hasta seis parejas de estrellas. Para el cálculo del estado A H del reloj, empleamos las fórmulas siguientes: Ocular al E. E OS e ) Ocular al W. Siendo: 1 mat) B=a4a—H— (a' — H') N = sec y, y C=secó8 + R(secó' —sec 9), fórmula en que las letras a, 9, H, í, y representan, como de costumbre, los valores de la ascensión recta, declinación y hora de paso de cada estrella por el meridiano registrado en el cronógrafo, inclinación del eje de muñones del anteojo de pasos y la latitud del lugar. Del resultado de toda esta parte del trabajo podemos decir que el error medio de una determinación de hora en Desierto y Barcelona no pasará de + 0* ,08. Las comparaciones de los cronómetros con los relojes las hice yo, tanto á la salida y llegada de los viajes como durante la permanencia de los cronómetros con cada localidad, siempre en la forma que se dijo en el Capítulo anterior, si bien en Desierto y Barcelona la comparación de los cronó- metros se efectuaba directamente con los relojes magistrales, por estar éstos unidos eléctricamente con el cronógrafo. El error medio de cada una de estas comparaciones fué siempre inferior á + 08,05, == Me Para que: se pueda formar juicio lo más exacto posible respecto á los resultados de los cronómetros en los diferen- tes trozos del viaje, será preciso consignemos detallada- mente las condiciones en que se efectuaron los transportes, completando lo dicho en el Capítulo 1. En la cortísima distancia que hay entre el Observatorio y la Estación del Mediodía se llevaron los cronómetros sus- pendiendo las cajas de sus asas de cuero para que los relo - jes conservasen su posición horizontal, y del mismo modo se hizo entre la Estación del ferrocarril en Barcelona y el Par- que de esta población, sitio de nuestras observaciones, se- gún se ha dicho. : En los transportes en ferrocarril iban las cajas sobre los mullidos asientos, siendo los viajes efectuados entre Benica- sim y Madrid y entre Benicasim y Barcelona muy malos por las condiciones del material y desigual calefacción, mientras que fueron muy buenos en los trenes rápidos que circulan entre Barcelona y Madrid. Las subidas desde Benicasim al vértice del Desierto se transportaron, según dijimos, en mochilas palomillas, y que- damos satistechos de este medio de transporte, porque con la marcha reposada y cadenciosa de los mochileros los relo- jes sólo experimentaban suaves movimientos de ascenso y descenso. El transporte en faetón desde Castellón á Benicasim fué una durísima prueba, no sólo por las medianas condiciones del carruaje, sino también por el pésimo estado de la ca- rretera. ; En el cuadro inserto á continuación consigno los estados absolutos de los cronómetros del día de la observación, de- biéndose advertir que llamo estado absoluto el adelanto ó atraso del cronómetro á las veinticuatro horas de tiempo si- déreo del primer meridiano, que para nosotros es Madrid. NOOO JO SO CUaoÉAa qa NN - prada pd DS AAA AN EA A observación | CRONÓMETRO | CR+NÓMETRO | CRONÓMETRO | CRONÓMBTRO (t. s.) 5 Ss 19,8 24,3 21,5 23,9 22,6 20,7 22,3 22,3 21,8 21,7 20 21,6 3,0 22,6 22,7 22,9 20,6 3,5 24.602. m s m s + 1.19,89 + 1.08,50 +16.13,84| +-16.03,67 +-16.14,86|+-16.05,23 +-16.16,06 | 1-16.07,30 — 185 — HORAS [ESTADOS ABSOLUTOS Á 24 HORAS (T. S.) 24.598. | 24.595. m s +-00.20,05 +15.14,69 +15.14,86 +15.14,82 +16.17,19| +16.09,27 | +-15.15,76 + 1020001 +-16.21,18 +-25.06,34 +-25.08,49 +-25.10,78 1-25.13,03 1-25.15,16 +25.24,31 +-25.26,93 SA Sl + 1.58,95 + 2.00,14 +25.31,18 -1-95,33,49 4+-25,36,12 -1-25.38,86 +-25.41,40 +-25.43,78 +17.07,86 +-17.09,56 |-+-16.48,68 + 2.16,55|+ 1.56,81 + 2.18,20|+ 1.59,27 +-17.11,90|-+16.52,75 +17.13,61| -+16.54,95 +16.,13,05| -+15.16,54 +-16.14,47 |+-15.17,05 +24,57,24| +-23.57,76 -+24,58,58 | +-23.58,32 -1-24.59,94| +-23.59,20 +-25.01,45|-+-24.00,42 +-25.03,13| +24.00,99 -1-25.07,93|+-24.04,98 +-25.09,90 | +24.06,61 + 1.40,50| +00.37,63 + 1.42,57 +00.37,52 + 1.45,47| +00.36,85 +-25.16,21|-+-24.08,21 +-25,17,01| +24.08,63 -1-25.18,03 | +24.09,33 +-25.20,25 | +24.10,28 +-25,21,58 )-25,22,65 +-16.46,97 +-00.44,36 +-00.47,73 +15.37,07 +15.36,41 +-25.50,87| +25.32,21 | +-24.14,63 +-25.53,30 | +25.34,56 | +-24.15,02 + 2,24,12|+ 2.05,81|-+-00.45,97 + 2.25,56| + 2.08,91| 4-00.45,46 +-25.59,92| +-25.38,36| +-24.16,48 +-25.97,91|+-25.39,57 | +-24.17,33 +-26.00,23| +4 25.41,09| +-24.18,05 +17.23,44| +-17.05,25|+15.42,11 +17.24,85| +-17.07,99| +-15.42,39 + 2.35,11|+ 2.17,96|+-00.53,16|— 1.17,68 24.590. +14.18,68 +14.16,46 +14.14,49 +22.48,98 +22.47,67 +22.46,60 +-22.45,48 +22.44,14 +22.39,19 +-22.38,22 —00.53,52 —00.54,87 —00.56,56 +-22.32,92 AS 120 +-22,29,92 +22.29,14 +-24,11,34|+-22.27,81 +-24,12,07 | +-22.26,47 +15.36,53| + 13.48,83 +15.35,82| + 13.46,66 — 1.05,83 — 1,07,00 +13.46,33 +13.44,45 1-22.23,00 +-22.21,91 — 1.09,16 1078 +22.19,94 +22.18,57 00917, 32 +13.39,09 +13.37,78 Temporatura | Presión. 0) 14,1 16,6 15,3 14,7 14,3 14,2 14,5 16,5 16,3 16,1 16,0 15,9 15,5 15,3 17,1 122 11,5 15,8 14,5 14,6 14,0 157 13,7 14,7 12,5 16,0 13,5 14,7 14,6 15,7 16,6 10,0 9,7 13,4 12,5 14,6 16,0 11,5 9,5 — 186 — Creímos conveniente, después de terminar nuestro trabajo el 12 de Diciembre, comprobar la marcha de los cronóme- tros en reposo durante un período de un mes, siendo los re- sultados los consignados en el cuadro siguiente: — 187 — MOVIMIEVTOS DE LOs CRONÓMETROS EN 24 HURAN | 55 TemperatorB| Provión. | 24.602| 24.598 | 24.595 | 24,590 Ss Ss S S (0) m 13 Dicbre. | + 1,87 | + 2,42 | — 1,60 | — 0,33] 9,7 706,9 — |+052|+220|—088 1 097) 71 | 7158- a dia yr pa ba da NL A ps a da E O O IA IOIOS |-P82103 | — 06812 1.30 06,3 | 108,2 a loo Ne a | 0,30 1% 0.93) 6,4 LA A E A E A E Tes | 200) 151 | 108) 96. | 607.9 A es 22581 143/1088. 816. | 6980 al ale 204 | 194170 le 20 1705,1 1 les da le 11054) +19504| ==: 1,25]. 8:05 1:709:1 19 — + 0,61 | + 1,68 | — 1,78|— 1,80] 9,0 713,0 rod 2271 05267112 (0908) 0:00:51 211 apodo sere! 90223 | 1,12 1:76 59,00 [7108 20 == |+ 1851 + 41861 — 127 | 128).088> |-7087 23. — |wa1|+166|— 1,336|— 190] 85 | 706,6 a PONIA e TEA E Na" 7047 A SS o gal 87 4608S a As e ol 073 | 50:78 (07040 a A o 2.00 | 122) Ea 7050 ME 299 1691043 — 17111 75-01, 106,2 E TES AN O A A A E] O E A O E A E A 1 Enero.. | + 2,23 | + 2,02 | — 0,98 | — 1,35] 6,8 119,7 esa lios 280 sao 28 lao) TOS E A dl E O A a — l+ass|+20|—o020|— 107) 63 | 716,2 sol or er 003 | 144) 68 | 717,6 6 7 8 — 188 — CALCULO DE LAS DIFERENCIAS DE LONGITUD Dos clases de factores intervienen en el cálculo de las longitudes: los estados absolutos correspondientes á los cro - nómetros en los puntos de observación y sus movimientos más probables durante el viaje de uno á otro punto. j Depende la precisión con que se obtengan los estados ab- solutos, de la corrección de los métodos empleados en las determinaciones de hora de los relojes magistrales y en la comparación de éstos con los cronómetros, y se comprende fácilmente, que si se dispone de instrumentos astronómicos buenos y se trabaja con esmero, podrá llegarse á obtener ex- celentes resultados. Ya hemos dicho los procedimientos que nosotros emplea- mos, por creerlos más apropiados á los elementos y circuns- tancias en que se efectuaron estos trabajos. No está del mismo modo en manos del observador el acercarse al conocimiento exacto de los movimientos de los cronómetros durante los viajes, puesto que, como hemos di- cho, es en ellos muy irregularmente variable la temperatura, la presión y la humedad, y además se ven sometidos á sa- cudidas inevitables en todos sentidos, sin que nos sea dable determinar su influencia, por su variedad é incalculable in- tensidad. ' Por consiguiente, es preciso contentarse con deducir tales valores de la marcha de los cronómetros en épocas próxi- mas, y claro es que la mayor ó menor semejanza de los re- sultados obtenidos en el cálculo de las longitudes que con esos valores se obtengan, en las diferentes y variadas con- diciones de observación en que se trabaje, darán idea de la mayor Ó menor infiuencia de las causas perturbadoras en las marchas de los cronómetros, objeto principal de este trabajo. Aunque de un modo gradual y no muy sensible, han ido variando los movimientos de los cronómetros en el curso de a A — 189 — este ensayo; por consiguiente, no creemos puede tomarse como movimiento correspondiente á los diferentes viajes, el que se deduzca de la observación de los cronómetros en los períodos anterior y posterior al trabajo. Además, como son muy frecuentes las determinaciones de estados de reloj, pa- rece natural acudir á los datos que estén más próximos á la época del viaje, y nos ha parecido que, toda vez que las observaciones se han dividido en cuatro periodos, todos con el punto de partida y llegada en Madrid, asimismo debíamos “sujetar el estudio del movimiento á la misma división. Creemos que con esto aislamos más los errores de cada viaje y conoceremos mejor la influencia de las circunstancias en que cada uno de ellos se ha realizado, y pensábamos también que, con la organización dada á los mismos, podía- mos esperar que, al reunir los resultados de los cuatro, se eliminarían algunas de las causas perturbadoras de presen- tación gradual en uno ú otro sentido. Empleamos para el cálculo de los movimientos más pro- bables en cada uno de los cuatro períodos un método seme- jante al Daussy. Ahora bien, como el empleo del citado método exige el conocimiento aproximado del movimiento del reloj y de la longitud de los lugares de observación para la reducción de los estados al lugar inicial elegido, tuvimos que calcular un valor aproximado de estos dos datos. Dedujimos los movimientos aproximados de los cronóme- tros en el conjunto de la campaña, de los estados absolutos en Madrid el 28 de Octubre y el 12 de Diciembre, fecha de la primera salida y último regreso á Madrid, y con los cua- tro movimientos así obtenidos calculamos los valores provi- sionales de las diferencias de longitud buscadas. Corregidos los estados de los cronómetros por las diferen- cias de longitud, aplicando el método ya citado y corregidos los movimientos de la influencia de la temperatura, aplican- do los coeficientes térmicos para referirlos á la media de la — 19 — campaña 14,2, obtuvimos los movimientos más probables para cada cronómetro y recorrido, resultando los 16 valores siguientes: MOVIMIENTOS MAS PROBABLES RECORRIDOS Cronómetro | Cronómetro | Cronómetro | Cronómetro n.? 24,602. n.0 24,598. n.0 24,595. n.0 24." 90, 1.er recoarido.. .. + 18/67 | + 18,53 | + 08,77 | — 15,14 2.9 recorrido. ... + 28,11 | + 15,38 | + 08,78 | — 18,11 3,er recorrido.. ...| + 15,51 | + 15,81 | + 08,556 | — 05,68 4,0 recorrido..... | + 18,63 | + 153,74 | + 0a,11 | — 18,32 Con estos valores pudimos obtener las diferencias de lon- gitud que se engloban en el siguiente Estado: DIFERENCIAS DE LONGITUD Madrid - Desierto. CRONÓMETROS 1,er Recorrido. 2.0 Rocorrido. 3.eK Recorrido. 4.0 Recorrido. 24.602 14m.505,61 | 14m,.555,12 | 14m,525,10 | 14m.53 5,00 24 598 525,11 535,25 518,67 535,51 24.595 535,10 525,24 52 8,78 495,45 24.590 535,29 515,38 545,01 525,82 Desierto - Barcelona. CRONÓMETROS 1.1 Recorrido 2.0 Recorrido. 3.€1 Recorrido. 4.0 Recorrido. 24.602 8m,38 8,48 8m,38 s,03 8m,37 a,26 8m,38 8,42 24.598 368,65 375,06 378,26 37 3,58 24.505 375,63 365,32 38 s,22 362,05 24.590 39 s,05 36 5,53 38 8,55 36 5,91 = 191 — Madrid - Barcelona. ST CRONÓMETROS 1.1 Recorrido. 2.9 Recorrido. 3.91 Rerorrido. 4.0 Rocorrido. A A. A A 24.602 23m,305,79 | 23m,285,93 | 23m.30 5,69 | 23m,30 5,36 24 598 302,93 295,36 305,56 295,45 24 595 295.15 308,58 295,61 315,02 24.590 305,60 305,59 305,39 305,73 Los valores más probables para las diferencias de longi- tud buscadas, serán: | Madrid-Desierto... ........... = + l4m 52s 52 Desierto-Barcelona.... ....... = 8.1 37,90 Barcelona-Madrid............. =— 23 30,27 Las sumas de los cuadrados de las diferencias entre los valores más probables y los diversos encontrados, pueden agruparse de diferentes modos. Agrupados por las diferencias de longitud, nos da: Madrid-Desierto.... .... ..... Y y? = 27,3284 Desierto-Barcelona. .......... 3 y = 6,0726 Barcelona-Madrid............. S y? = 11,9496 Por cronómetros: Número 24.602... ..0coooomms.. Y v? = 15,2107 e IP eN Ends 2 v,? = 5,4039 A IS A A 3 v,? = 15,3021 E A ao 3 v,? = 9,4339 Por períodos: a A 3 vs? = 9,9331 2 PELO MS ol 2 y,? = 14,3009 3.er período. ....... O A A Va 9,0332 4,9 periodo....... O ds IV 15/4834 — 192 — La primera agrupación es muy interesante por acusar per- fectamente las condiciones de mayor ó menor bondad de los medios de comunicación empleados en los viajes y en per- fecto acuerdo con lo que dijimos en el Capítulo 1 de la pre- sente Memoria. | Hecho el cálculo de errores, nos da para los más proba- bles, los valores Madrid-Desierto. .... ........ ES E 15,28 Desierto-Barcelona ..... ..... EL Barcelona-Madrid...... ... .. f/”"==x0,11 - Por tanto, tendremos finalmente: DIFERENCIAS DE LONGITUD Madrid-Desierto. .. . . .. . . = + l4m 525,52 + 05,23 Desierto-Barcelona... ........ = + 8m 375,50 + 0s,15 Barcelona-Madrid .. ......... = — 23m 305,27 + 0s,11 Y el cierre del triángulo Madrid-Desierto-Barcelona, será: — 0s,25. Comparando los valores por nosotros obtenidos con los deducidos por el método telegráfico entre Madrid y Desierto por los Sres. Borrés y Esteban en el año 1891, resulta: Diferencia de longitud. | Borrés-Esteban (1891)...... + 14m 535,220 57 Galbis-Barandica (1908) ... + 14m52s,52 MADRID-DESIERTO DE LAS PALMAS DIerencia ass es 0s,70. Del mismo modo entre Madrid -Barcelona: ¡ Borrés-Esteban (1897)... . , 23m 30s ,693 Diferencia de longitud. en E — Galbis-Barandica (1908).... + 23m 305,27 MADRID - BARCELONA Diferencia... . .. 0s,42 Como se ve, la precisión del resultado obtenido excede á — 193 — lo que podía esperarse, dadas las condiciones en que se llevó á cabo este trabajo. Por consiguiente, lo utilísimo de tal procedimiento, permi- tirá al Instituto Geográfico sembrar el territorio español de determinaciones de diferencia de longitud, y plácemes me- rece por ello el Sr. Mier, á quien se debió también en el año. 1903 la implantación del rápido método de determinaciones relativas de la intensidad de la fuerza de gravedad y hoy el importante servicio sismológico que se está montando. Creo no debo terminar este artículo sin consignar la orga- nización que debe darse á los trabajos que en ¡o sucesivo se realicen, como consecuencia de las enseñanzas que propor- cionó este ensayo. Comoquiera que en poco aumenta las Maletas del trans- porte el hacer el trabajo con algunos cronómetros más, y en cambio aumentaría la posición del procedimiento, entiendo debía disponerse de otros dos cronómetros, por lo menos. Siendo las principales características de este método las economías de tiempo y dinero, será preciso tender á dar á éstas el mayor valor posible, y con tal objeto debe suprimir- se la instalación de Observatorios provisionales; y como, por otra parte, es necesario que las determinaciones de la hora sean muy precisas, habrá que disponer los elementos de modo que se pueda cumplir esta última condición. Para ello debe utilizarse, en primer lugar, un buen instru- mento universal portátil de los modernos modelos, que cons- truyen las casas Bamberg ó Salmoraghi, alemana éitaliana, respectivamente, y observar con el sobre pilares de ladrillo, previamente contruídos; este instrumento será el mismo en todos los puntos de observación y único el operador que efectúe el trabajo; de este modo no habrá que temer los errores debidos á ecuaciones personales ni á variedad de instrumentos. En segundo lugar, las determinaciones de hora y las comparaciones de unos cronómetros con otros,'se ha- rán cronográficamente, y, por consiguiente, es necesario dis- Rv. Acap. Dr Ciencias. —VII1.— Octubre, - 1900. 13 — 191 — poner de.un cronógrafo portátil, que manejado por un auxi-. liar, pueda acompañar al on en todos los lugares de observación. Naturalmente, dicho crust idébe Adóne inetalal ed pocos minutos y con gran sencillez, condiciones que, entre otros modelos, reune el que construye la. casa Ditisheim, el. cual está encerrado en una caja con un buen cronómetro in- terruptor eléctrico de segundos y las pilas secas necesarias para su fucionamiento, todo dispuesto para poderse utilizar en el momento que sea necesario. Es conveniente también estudiar una suspensión para las cajas de los cronómetros que permita disminuir las alteracio- nes que produzca las sacudidas á que se ven sometidos. en los trenes y carruajes. Con tales elementos, y eligiendo anualmente los puntos de observación de modo que se pudiesen, recorrer con un itinerario de figura cerrada, el trabajo se haría del modo si- guiente: | Antes de empezar la campaña, un auxiliar coa pe- queños pilares de observación en los puntos elegidos. El operador, partiendo de Madrid, recorrería el itinerario elegido en uno y otro sentido alternativamente un número par de veces, deteniéndose en cada punto el tiempo necesa-. sario para hacer dos determinaciones de hora, que, natural- mente, es convenientísimo sean en días sucesivos é inme- diatos á la llegada y salida del punto de observación. En caso de que el mal estado del cielo no permitiese hacer determinación de la hora el día de llegada, se compararán todos. los cronómetros cronográficamente entre sí, y esto mismo se hará cuantos días no se pueda determinar su esta- do astronómicamente. A la campaña debe preceder y seguir un período de estu- dio de los cronómetros en. el Observatorio astronómico de Madrid. Es también necesario determinar las constantes de densi- — 1% — dad del aire de los cronómetros, trabajo que convendría en- comendar al constructor, primero, por disponer de elementos apropiados, y segundo, porque esto le permitiría ir introdu- ciendo modificaciones en las comparaciones de sus máqui- nas, hasta hacerlas casi insensibles á los cambios atmosfé- ricos. - E Cumpliendo el anterior programa, y eligiendo la época del año de modo que sean de esperar muchas noches despe- jadas, seguramente en menos de tres meses se podrían hacer hasta ocho diferencias de longitud. — 19% — PUBLICACIONES REGIBIDAS (Continuación.) Universitá di Sassari.—Studi Sassaresi. Pubblicati per cura di alcuni Pro- fessori della... — Anno V, Sez II, Supplemento núm. 1 3.—Sassari, 1907- 1908. Bureau of Standards. —Department of Commerce and Labor.— Bulletin of the... Vol. 4, N.* 1.—Washington, 1907. Smithsonian Institution.— Smithsonian Miscellaneous Collections.— Quar- terly Issue. - Vol. III, Part. 4; ídem. IV, íd. 1; id. XLIX.—N.% 1717- 1770-1721.—City of Washington, 1907. Reale Accademia Peloritana.— Resoconti delle Tornate delle Classi (Marzo, Aprile -giugno, 1907).— Messina, 1907. Kungl. Svenska Vetenskapsakademiens.— Arsbok fór ar, 1907.— Upsa- la « Stockholm, 1907. Philosophical Society of Washington.— Bulletin.— Vol. XV, pp. 27-56.— Washington, July, 1907. Ohio State University, —Bulletin. —Vol. XI, N.*. 15.—June, 1907. Leyst (Prof. Dr. Ernst) — Meteorologische Beobachtungen in Moskau im jahre, 1905. American Museum of Natural History.— Bulletin of the...—Vol. XVIII, Part. IV, pp. 279 454. New York, May 1, 1907. American Museum of Natural History.—Anthropological Papers of the...— Vol. 1, Part. 111,—New York, May, 1907. Instituto y Observatorio de Marina de San Fernando. Almanaque Náutico para el año 1909, calculado de orden de la Superioridad en el... — Sec- ción tipográfica del Observatorio, 1907. Instituto de Reformas Sociales. — Estadística de las Huelgas (1906). — Me- moria que presenta la Sección 3.* técnico administrativa. — Madrid, 1908. Instituto de Reformas Sociales.—Sección primera.—Proyecto de reforma de la ley de accidentes del trabajo de 30 de Enero de 1900. —Madrid, 1908. Real Academia de Jurisprudencia y Legislación. —Discurso resumen del cur- so de 1906 á 1907, leido por el Secretario general D. César Davara Pe- reira.—Madrid. Real Academia de Jurisprndencia y Legislación.— Discurso leido por el Ex- celentísimo Sr. D. Eduardo Dato Iradier, Presidente de la... en la sesión inaugural del curso de 1907 á 1908, celebrado en 21 de Enero de 1908.— Madrid, 1908. Escuela especial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.—Catálogo de la Biblioteca. — Primer suplemento, Segundo idem, Tercero id.—Ma- drid, 1875, 1883, 1896, 1905. í (Se continuará.) INDICE DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO —_—_—_— PÁGS. VI. —Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física matemáti- ca, por José Echegaray. Conferencia segunda-.....: .. 97 VII. —Método para determinar la dirección de los vientos . superiores por las ondulaciones del borde de los astros (conclusión), por Vicente Ventosa..... + a VIII.—Consideraciones acerca de algunos métodos emplea- dos en el análisis de las aguas minerales, por José DCRSORES GIL. pié 4 E Id 131 IX. Observaciones morfológicas sodre la sanele de Llama (Auchenia Lama), por Gustavo PUtAUBE A 141 X.—Procedimiento rápido de valoración del vanadio en los E minerales y productos industriales vanadíferos, por E. -Piñerúa Alvarez....... Ac E 160 XI—Reacciones del cinc, el dida! y el co utilizables e en , análisis, por E. Piñerúa Alvarez ........ Po 163 XII. —Determinación de las diferencias de longitud entre Ma- drid, Barcelona y Desiertu de las Palmas (Castellón ), por medio del transporte de hora con cronómetros Di-- tisheim, por Jose tralbiSi 2 oie io ia a a Ud Publicaciones. TecIDIdaS oca E A A e oo La subscripción á esta ReEvIsTA se hace por tomos completos, de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. $ O A > EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALE TOMO VIII. - NÚM. 5 " (Noviembre de 1909) - MADRID - ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL... MEC i “CALLE DK PONTEJOS, NÚM. 28 | mes sigui ente. a ON XIII. —Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física -matemática. PoR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia tercera. SEÑORES: Al empezar este curso tuve el pensamiento de entrar desde luego en el estudio de la electricidad, y en el de la Física matemática moderna, que con aquélla se relaciona íntimamente, porque vienen á cambiar la Mecánica clásica, Ó por lo menos exigen que esta última Ciencia se amplie en lo que se refiere principalmente al movimiento de lo que hoy se llama los átomos eléctricos; pero pensé luego, que antes de abordar esta árdua cuestión, sería conveniente desemba- razar el terreno, y preparar el estudio de los nuevos proble- mas, y si es permitido expresarse de esta manera, armarnos de todas armas antes de acometer la difícil empresa. La Fisica matemática, ya parta de la hipótesis mecánica, ya de otra hipótesis cualquiera, tiene que acudir constante- mente á las Matemáticas puras, y en ellas, á problemas de cálculo integral y á multitud de cuestiones de análisis, que en nuestros cursos universitarios no suelen estudiarse, Ó no se estudian con la extensión, que en nuestro caso se exige. En la teoría de la elasticidad, que es la que nos ha ocu- .pado hasta aquí, no se necesitan realmente sino teorías matemáticas de las más elementales, no se acude sino á las primeras nociones de la Mecánica; pero en las demás teorías de la Física matemática no sucede lo propio, y por esta Rev. AcAD. DE CreExcias.—VIT, —Noviembre.— 1909. 14 — 198 — razón, que no hago más que indicar, he creido conveniente dar una especie de introducción sobre cuestiones de análisis para los cursos sucesivos en que estudie la electricidad y el magnetismo. He aquí por qué en estas conferencias voy 'á dar algunas ideas elementales, las que considere suficientes para mi ob- jeto, de las teorías que ya indiqué en la conferencia anterior, aunque es probable que en algunas más me ocupe. Estas materias, según indiqué, eran las siguientes: 1.2 Teoría de los vectores. 2.. Como complemento de la teoría anterior, explicaré algunas notaciones de Grassmann, que hoy van estando en uso. 3.” Teorema de Green. 4.” Teorema de Stocks. Estos dos teoremas son fundamentales y de un uso cons- tante. 5.” Principio de Dirichlet y estudio de las armónicas y de los polinomios de Legendre. 6.” Teorema de Fourier y sus aplicaciones. Teorema que ya representaba un papel importantísimo en la Física matemática clásica. 7. Teoría de los cuaternios, de que tanto uso hacen los autores ingleses. 8.” Cálculo simbólico aplicado á la integración de ecua- ciones diferenciales, que en las memorias de los matemáti- cos ingleses también se encuentra frecuentemente. De todas estas teorías y problemas, sólo diremos lo pura- mente preciso para las aplicaciones que de ellos hemos de hacer. Una vez más lo repito, aunque varias veces lo he dicho en mis explicaciones: estas conferencias tienen un doble ca- rácter. y Son muy modestas, y son muy ambiciosas, permitaseme que me exprese de este modo. — 199 — - Son modestas, porque no pasan de ser elementales; y son ambiciosas, porque mi deseo sería, y es, aunque no llegue á conseguirlo, hacer una enciclopedia de Fisica pro clásica y de Física matemática moderna. Una enciclopedia elemental, en que la materia no se agote ni se abarque en toda su extensión, esto sería absolutamente imposible; pero que pueda servir de base para el estudio de obras y memorias especiales. Mi labor en esta asignatura se puede condensar en dos palabras: preparación y propaganda de la alta Ciencia. Es el complemento de la labor que hace muchísimos años emprendí sobre Ciencia popular. Y claro es, que siempre que la ocasión se presenta, con- signo ideas propias, valgan por lo que valieren, que esto queda entregado al juicio del lector imparcial. Y empecemos, desde luego, la labor propia de las confe- rencias de este curso. Teoría de los vectores. Muy poco hemos de decir de ella, y aun lo poco que nos proponemos decir, pudiéramos excusarlo, porque es bien co- nocida de los que se dedican al pinos de las Matemáticas en España. Se enseña en varios centros de instrucción, y en la obra moderna de Mecánica racional, del Sr. D. José Ruiz Castizo, se empieza - precisamente pot la teoría general de los vec- tores. Tenemos, además, otro motivo para no insistir sobre esta materia, y es que, en rigor, para las aplicaciones que hemos de hacer, todos mis discípulos y oyentes y cuantos lean es- tas conferencias cuando se publiquen, con tal que hayan estudiado la Mecánica racional clásica, siquiera con mediana extensión, conocerán lo más importante de dicha teoría de los vectores, aunque acaso con otro nombre. — “A00 = Porque si estudiaron la teoría de las fuerzas, su composi- ción, sus sistemas y, sobre todo, la teoría de los pares y de sus ejes, es decir, la preciosa teoría de Poinsot, conocerán de la teoría vectorial lo preciso para seguir sin dificultades mis conferencias. Y sólo exceptúo de estos conocimientos elementales la multiplicación de vectores, que es ya un simbolismo espe- cial, que tiene su puesto en los métodos de Grassmann, de que hacen frecuente uso algunos escritores modernos; por ejemplo: en una Memoria muy interesante de Max Abraham, titulada «Principios de la Dinámica del electrón», aparece ésta entre otras notaciones y simbolismos, que explicare- mos en ocasión oportuna. En rigor, dicho concepto del vector no es nuevo, se ha em- pleado muchas veces, aunque con otros nombres, en la Me- cánica clásica. Una fuerza es un vector, que se aplica á un punto deter- minado. Una velocidad es un vector también. Lo es una aceleración, porque es una fuerza. El eje de un par es un vector, según las definiciones de Poinsot; y más general que los anteriores, porque se puede prescindir del punto de aplicación, como hace Grassmann, en su teoría vectorial. En suma, como veremos bien pronto, un vector no es más que un concepto abstracto; es una abstracción geométrica y la generalización de muchos conceptos concretos. Por esto exige algunas explicaciones. Y empecemos explicando lo que se entiende por vector. Consideremos el espacio indefinido y tres ejes coordena- dos trirrectangulares x, y, z (figura 1.5). OS 0 Imaginemos un punto A de dicho espacio, punto que es- tará determinado por sus tres coordenadas. 00 adi Y AMA Por el punto A consideremos una recta de magnitud de- terminada AB = VW, en la cual consideraremos un sentido que es el que marca la flecha, es decir, des- E de A hacia B. | 8 Pues bien; el vec- 17 y 3 tor, para el punto A, ÓN La será dicha recta AB. O 1.2 Que parte del i P punto A. 2. Que tiene una magnitud determina- da AB. 3.” Que ocupa de- terminada posición, la cual podrá definirse de muchas maneras, según enseña la geometría analítica. Y 4.7 Que tiene un sentido en su dirección, lo cual com- pleta la definición del vector. Por las explicaciones que hemos dado, ó si se quiere por la definición precedente, puede observarse que el vector tiene grandes analogías con la fuerza; no es una fuerza mientras conserve su carácter abstracto, pero podrá llegar á serlo cuando, en un problema determinado, el vector se convierta en fuerza, como decimos. Insistamos todavía sobre este punto, por más que parezca pueril: para el principiante nada es pueril, y todo, por sen- cillo que sea, puede llegar á ser motivo de confusión. Figura 1.2 — 202 — El vector, por el pronto, ya lo dijimos antes, es una abs- tracción, y si se atiende á su origen podemos decir que es una generalización. Por ejemplo, la aritmética estudia relaciones entre núme- ros determinados: 2, 3, 20,. 1000... .., al menos la aritmética elemental. Mas aparece el OE. y no se fija en ningún número “particular, ni entero, ni fraccionario, ni comensurable, ni in- “comensurable, sino que generaliza y representa los núme- fos por letras, y dice:,0, 1D, Conaso representan númefos, ¿cuáles? 12911 81 Por el pronto, todos ó cualquiera de ellos en particular. Pues algo así sucede con los vectores. | En el origen de la Física matemática, y aun de la Mecá- nica racional, no se hablaba de vectores, se hablaba de fuer- zas, de su composición, de sus sistemas; se hablaba de ve- locidades, de aceleraciones y también de sus composiciones y descomposiciones; se hablaba de los ejes de los pares de Poinsot, y así sucesivamente, á medida que se extendía el campo de la Física matemática á problemas más a más com- plejos. - Y como se notó bien pronto que todos Se elementos geométricos y mecánicos tenían multitud de propiedades co- munes; como, por ejemplo, dos fuerzas se componían por el paralelogramo, y del mismo modo dos velocidades y por el mismo procedimiento los ejes de los pares; como, por últi- mo, en la Física matemática se encontraron conceptos físi- cos tales, que si se les daba representación geométrica go- zaban de las propiedades ya indicadas, ocurrió, Ó debió ocurrir, esta idea: dar un nombre genérico, el nombre de vec- tor, á todos estos conceptos que indican idea de an de sentido y de intensidad. Por eso decimos que el vector es una generalización. A la manera que en álgebra una letra puede representar cualquier número, pasando de ser concepto abstracto á con- Se y e cepto concreto, así, en la Mecánica moderna, el vector puede representar cualquiera de los elementos que hemos indicado y otros muchos que en las nuevas teorías aparecen, en suma: una fuerza, una velocidad, una aceleración, el eje de un par, el eje de un torbellino, como veremos en su día, un eje magnético y otros varios que puedan ocurrir. Basta que todos y cada uno de estos conceptos cumpla con las condiciones indicadas: un punto de aplicación, una magnitud, una posición y un sentido. Será vector, mientras conserve su carácter abstracto. Será fuerza, cuando se convierta en este concepto físico. Y en otro caso cualquiera, tendrá el nombre que le corresponda. Es, pues, una generalización, según acabamos de explicar, y será, como antes indicábamos, vector mientras conserve su carácter abstracto. - Claro es que la palabra vector puede emplearse, y se em- plea, en otros sentidos, que tienen con el actual relación más Óó menos íntima. En la teoría de las imaginarias, mejor dicho, en la repre- sentación empleada por Cauchy, también pueden considerar- se vectores. Y también se consideran vectores en la teoría de los cua- ternios, y otro tanto podemos decir de los métodos pecan les de Grassmann. Pero en cada uno de estos casos habrá que explicar lo que por vector se entiende. Por el pronto, y mientras no digamos otra cosa, el vector será para nosotros lo que, en términos precisos, definimos hace un momento. El proceso de generalización es, por decirlo así, un pros ceso histórico. — 204 -= - El vector ha nacido, si se permite la palabta, ó se com- prende que ha podido nacer como otros muchos conceptos de las Ciencias matemáticas, por generalizaciones sucesivas y naturales; no por generación espontánea, sino como resul - tado de algo que les ha precedido. Por analogías, por seme- janzas, por generalización y por abstracción: reuniendo lo que tengan de común una fuerza, una velocidad, el eje de un par, el eje de un torbellino. Y, á la vez, prescindiendo de lo que tengan de diferente. En suma, creando con los caracteres comunes á todos es- tos conceptos concretos, un nuevo ser ideal. Este ha podido ser el proceso histórico. Y así se ha venido á parar al concepto del vector por una serie de abstracciones de la realidad. Pero no limitemos ni los vuelos de la imaginación, ni los derechos evidentes y fecundos de lo que pudiéramos llamar la creación científica. Insistamos en esta idea, que ya hemos desarrollado otra vez, Ó acaso muchas veces, pero que nos parece importan- te, sobre todo ante la tendencia utilitaria que hoy se pre- tende dar á la Ciencia matemática. El matemático, y acaso el hombre de ciencia en general, pero hablemos por hoy sólo del matemático, tiene derecho á crear, en el campo de la imaginación, todos los seres y todos los mundos y todas las relaciones, que para sus especulacio- nes propias le convengan. Claro es que la palabra crear no tiene aquí el sentido bíblico. Para nosotros vale tanto en esta ocasión como imaginar, ó mejor aún, imaginar definiendo. — 205 — Quién sabe, acaso en esto que llamamos crear, se mezclan muchas cosas de la potencia intelectual del cerebro: la ima- ginación, la convención, la definición y cierta intuición de que nunca se puede prescindir en las Ciencias matemáticas. Y en este trabajo, que he llamado creador, lo que puede exigirse es, en primer término, que en la definición no exis- tan elementos contradictorios; yo no puedo imaginar un tri- ángulo que tenga tres lados y cinco ángulos, como tampoco puedo admitir que en las relaciones internas de estos seres imaginativos exista tampoco nada cotradictorio. Pero salvando estos puntos generales, que no puedo se- ñalar aquí más que de una manera general, en todo lo demás "sólo imperan las leyes de la lógica, ó, si se quiere, las leyes de mi razón, que es como es, y que no puedo hacer que sea de otro modo. De suerte, viniendo á nuestro caso, que sin necesidad de concebir la teoría de los vectores sobre abstracciones y ge- neralizaciones de otros conceptos tomados de la experien- cia ó tomados de teorías precedentes, el matemático tiene derecho á emplear por sí una teoría de los vectores ú otras teorías más complicadas ó más abstractas, aunque el motivo ocasional de esta teoría hayan sido hechos y conceptos de la mecánica y de la Física matemática. Ahora bien, en la definición de vectores no hay, en efecto, nada contradictorio: un punto, una recta de magnitud deter- minada, una dirección y un sentido. Todo esto constituye una definición, y luego en la com- binación ó cálculo geométrico de los vectores de otras defi- niciones Ó convicciones se partirá también. Pero antes de seguir adelante fijemos bien las ideas. Decir que la resultante de dos vectores, ó sea el vector que los suple y á ellos equivale, es la diagonal del paralelo- gramo formado sobre ambos, es una convención ó una defi- nición y nada más. Pretender demostrarlo es pretender un absurdo, puesto 2 06: — que el concepto abstracto de vector no tiene por sí realidad en la Naturaleza; y la Naturaleza y el método experimental á nada puede conducirnos en este caso. Puede demostrarse experimentalmente y quizá matemáti- camente admitiendo ciertos postulados, que la resultante de dos fuerzas Ó de dos velocidades que pasen por un punto es la diagonal del paralelogramo, pero no puede demostrarse lo mismo para los vectores. En los vectores abstractos, las resultantes ó las sumas geométricas no dependen, como hemos dicho, de una de- mostración. Dicha manera de sumar es defición Ó es convención. Convenimos en llamar resultante de dos vectores á la dia- sonal del paralelogramo que forman, y esto es todo. Y esta convención tiene un objeto práctico, y es que la teoria de los vectores se pueda aplicar sin contradicción á teorías más concretas de la Física Ó de la Mecánica, sin que resulte contradicción alguna entre la teoría abstracta que hemos imaginado y otras teorías de seres más concretos como las fuerzas, las velocidades, los ejes de los pares. Precisamente por esto, pueden considerarse los vectores como generalizaciones, aun cuando al principio fueran crea- ciones de la imaginación. El matemático, á veces, crea mundos abstractos; pero si piensa que ha de aplicarlos á la realidad, los crea de modo que á la realidad ó á muchas realidades puedan ajustarse sin contradicción. Sobre este mundo imaginativo y abstracto de los vectores hacemos después multitud de construcciones y combinacio- nes, y de este modo llegamos tan lejos como se quiera en esta rama de las matemáticas. Si luego vemos que en el mundo real hay algo cuyas pro- piedades reales y fundamentales coinciden con las que para los vectores hemos supuesto, todas las consecuencias abs- tractas á que lleguemos tomarán un sentido real dentro de — 207 — la lógica, es decir, dentro de las leyes de la razón humana, y podremos aplicar todas estas consecuencias á las fuerzas, á las velocidades, á los pares, á los ejes de los torbellinos, á los ejes magnéticos, á las líneas de fuerza y á casi toda la Física matemática. - Ya estas ideas las expusimos en otra forma en el curso anterior y en las dos conferencias precedentes, y no será la última vez que en ellas nos ocupemos. ¿Si no existiera la Física matemática con sus teorías y sus problemas, se les hubiera ocurrido á los matemáticos crear la teoría de los vectores como conjunto de conceptos pura- mente ideales? Yo creo que sí; pero este punto de Filosofía y de histo- ria matemática no es para discutido en el momento presente. Lo que hoy nos importa señalar, dentro del campo en que se desarrollan estas conferencias, es que la Física matemáti- ca y, sobre todo, la Física matemática moderna, ha contri- buído á dar gran importancia á la teoría de los vectores. Expongamos sobre este punto algunas ideas, que tampoco serán nuevas en esta serie de conferencias. «En la Mecánica clásica, Ó'al menos en la mayor parte de sus problemas, el espacio tenía poca importancia, ya en las relaciones dinámicas de dos masas ponderables, ya en ES relaciones de dos masas eléctricas ó magnéticas. - - Las fuerzas iban de punto material á punto material, fuera el punto material una masa ponderable, fuera una carga eléc- trica; y el espacio intermedio importaba poco. Cuando se decía la acción de una masa M sobre un punto del espacio, distante de ella la magnitud d, tiene por valor a no se quería decir que en ese punto A del espacio ac- = 08 de tuaba materialmente una fuerza de la intensidad indicada. Se expresaba una posibilidad; algo en potencia, no en acto. Si en el punto A no había masa ninguna, la acción de la fuerza no existía. Y lo que quería significarse era, que si en dicho punto se colocaba una masa igual á 1, sobre esa masa igual á la uni- dad actuaría la fuerza 1.M d? Pero si el punto estaba vacío, la acción efectiva era nula. Por eso el espacio no era propiamente un campo de fuer- zas, como lo es en la Física matemática moderna; por eso en dicho espacio no existían realmente, vectores de fuerza, y por eso, en fin, sólo tenían importancia estos vectores cuan- do actuaban sobre masas ponderables eléctricas Ó magné- ticas. El resto del espacio era inerte ó estaba vacío. Todo esto ha cambiado en la Física matemática moderna, y por eso, como vamos á explicar, la teoría de los vectores ha adquirido la gran importancia que hoy tiene. Imaginemos una masa ponderable M, ó eléctrica, Ó mag- nética, en una posición cualquiera del espacio; su inflencia se extenderá todo alrededor hasta lo infinito, decreciendo en razón inversa del cuadrado de las distancias; pero en la Fi- sica antigua esta influencia era puramente abstracta, ideal, era, en todo caso, una posibilidad, porque si el espacio esta- ba vacío y sólo tenía una existencia geométrica, la acción de la masa era nula, y así se establecía explícitamente ó así se suponía con el silencio. — 209 — Nadie podía imaginar que en el espacio geométrico ejer- ciera una influencia real la masa M. Si para fijar las ideas, suponemos que era una masa eléc- trica, la influencia eléctrica en cualquier punto era nula, y sólo era real en aquellos puntos en que de antemano existía otra masa eléctrica, y por eso no se hablaba de vectores. Tales vectores, si se les hubiera dado este nombre, hu- bieran sido nulos, exceptuando en aquellos puntos cargados de electricidad. Y lo que decimos de la electricidad, pudiéramos decir del magnetismo y aun de las fuerzas newtonianas. En la Física moderna el espacio ya no está vacío, ya no es inerte: el espacio está lleno de éter, aun cuando no exista una teoría definitiva de esta substancia hipotética. De aquí resulta, que no se puede considerar una masa aislada, ponderable, eléctrica ó magnética, que no ejerza una influencia real sobre el espacio que le rodea, sea este espa- cio un dieléctrico, sea lo que pudiéramos llamar un espacio magnético, ó sea el éter definido de ésta ó de aquella ma- nera. : Así es que, alrededor de la masa eléctrica M, se ejercerán acciones reales y efectivas, que podrán representarse por rectas de magnitud determinada y de posición y sentido de- terminados también. Ya la influencia de la masa M no se pierde en el vacío, sino que hace presa, por decirlo de esta manera, en el éter ó en el dieléctrico, ó en el campo magnético; en suma, en la materia, sea esta materia la que fuere. De aquí resulta, que todo el espacio que rodea á la masa M en todos sus puntos lleva consigo una acción que puede estar representada por un vector, y tendremos lo que se llama un campo de vectores: vectores eléctricos ó vectores magnéticos; y si el campo estuviera formado por electrones, y en el centro de cada electrón suponemos un corpúsculo ponderable, hasta se comprende que pudiera haber una — 210 — complicación de campos ponderables y de campos eléctri- cos representados por un número infinito de vectores. Precisemos aun más estas ideas con algunos ejemplos que no son teorías generales, que hemos de estudiar más adelante, sino, como hemos dicho, ejemplos que aclaren nuestra explicación. Imaginemos una masa eléctrica y (fig. 2.”), y suponga- mos que todo el espacio que la rodea constituye lo que se llama un dieléctri- co, una especie de red dividida en celdi- llas abed, abvucd, EIPAPE PIAR Supongamos que en cada celdilla existe cierta cantidad de elec- trícidad en estado neu- tro, es decir, que el Blquraja5 flúido positivo y el flúi- do negativo están com- binados en cantidades iguales que se equilibran. Dicho espacio, antes de que en él se presente la masa . p, al parecer será un espacio neutro, tan inerte como el vacio geométrico, y no hay motivo para hablar ni de atracciones, ni de repulsiones, ni de vectores Por el pronto, esta es la idea que nos ocurre mientras no penetremos con la experiencia, ó con la hipótesis, en las pro- fundidades de ese flúido neutro que llena el espacio. Supongamos, además, que los do3 flúidos eléctricos posi- tivo y negativo, aunque se separen, no puedan salir de cada celdilla. Decíamos antes, que el espacio era una inmensa red, red, por expresarnos de este modo, de tres dimensiones, dividida en celdillas, cuyas paredes, en cierta manera, son imper- meables al tlúido eléctrico. — 211 — Tenemos, si se permite la comparación, una colmena eléctrica en que las abejas, que son partículas eléctricas, no pueden hacer otra cosa que agitarse en el interior de cada celdilla. Pues bien, cuando en el campo eléctrico se presente la masa y, por su influencia, y aquí, siquiera provisionalmente, admitimos la acción á distancia, aunque pudiéramos hacer un esfuerzo para prescindir de ella, pero este problema no es del momento; por influencia, repetimos, de la masa p., se alterará la distribución eléctrica en cada una de las celdillas. Se polarizarán, y esta es la palabra consagrada por el uso. Considéremos la celdilla abcd: lo que de ella digamos, diremos de todas las demás. Bajo la acción de la masa y., el flúido neutro de la celdilla abcd se dividirá en sus dos elementos positivo y negativo. Si la masa y es una masa de electricidad positiva, la electri- cidad positiva de la celdilla se acumulará en la parte más le- jana de la misma, ab; en cambio, la parte negativa, se acu- mulará en cd, y las repulsiones entre y y ab y las atracciones entre y y cd darán una 2 resultante, que podemos suponer aplicada Ny al centro de la celdilla, como hemos repre- sentado en la figura 3.%. Y ahora se com- prende la diferencia entre las hipótesis de la Física matemática clásica y las de la Fí- sica matemática moderna. En aquélla no existía vector para el pun- Figura 3.2 to o del espacio geométrico, ni había que pensar en tales vectores, ni era preciso darles un nombre, bastaba con el de fuerzas. En las teorías modernas, la masa eléctrica y. ejerce una acción efectiva y real sobre el campo que le rodea; una per- turbación en el inmenso dieléctrico que este campo repre- senta, y, por lo tanto, un esfuerzo, también efectivo y real, sobre cada punto; y por eso conviene darle un nombre, y AL — 212 — crear un concepto genérico para este caso, y hablar de vec- tores de dicho campo, y aun llamarle campo eléctrico en vez de llamarle espacio ambiente. Porque dicho campo, una vez polarizado, está constituído de un número inmenso de masas eléctricas positivas y nega- tivas, según determinada distribución. Es un inmenso elemento dinámico. Y por eso decíamos en el curso anterior que en la nueva Mecánica de la electricidad los problemas se complicaban por manera prodigiosa. No era ya una masa que se movía bajo la acción de una fuerza; sobre cada masa actúa todo el campo que la rodea, campo creado por la acción de otras masas y por la masa misma. | De todas maneras, el ejemplo que acabamos de presentar hace comprender la importancia que en la Fisica matemática moderna ha tomado este concepto, á que se le ha dado el nombre de vector. Pero presentemos otro ejemplo, sólo como nuevo ejemplo, no para establecer teorías electromagnéticas ó electrodinámi- cas; es un ejemplo, volvemos á repetir, en que se ve: Cómo á las fuerzas aisladas de la antigua mecánica, Ó cuando más, á sistemas de fuerzas actuando sobre diferen- tes puntos de un cuerpo, se sustituyen en la nueva Física matemática fuerzas que pueden actuar sobre todos los pun- tos del espacio y que se llaman sistemas de vectores; y cómo reciben el nombre de campos eléctricos y magnéticos el con- junto de sus puntos de aplicación. Imaginemos, como antes, que el espacio está dividido en un conjunto de celdillas. Sea una de ellas abcd (tig. 4). — 213 — Imaginemos dentro de esta celdilla, y lo mismo diríamos de las restantes, un número inmenso de corrientes eléctricas cerradas C, Cl”, Co... Así suponemos, como ejemplo, que está constituido todo el espacio que consideramos, que puede ser limitado ó puede ser infinito. Como las corrientes interiores á cada celdilla abcd, tienen todas las orientaciones, puede admitirse, y es lo natural, Pigura 5.2 Figura 4.? que sus efectos á lo exterior se anulen; y el espacio, en esta hipótesis, aparentemente, y para experiencias superficiales, por decirlo de este modo, en nada diferirá del espacio pura- mente geométrico. Será un espacio inerte. Pero supongamos que en dicho espacio se introduce una corriente C. Su influencia sobre las corrientes de cada celdilla será evidente é inevitable. La corriente C tenderá á dar orientación, como se ve en la figura 5, á las corrientes c, c”, c”..... y entre la corriente C y las corrientes que rellenan la celdilla se establecerán fuerzas electrodinámicas, que tendrán una resultante aplicada al centro o de la celdilla y que podremos representar por W. REV. AcAD. DE Ciencia9,—VII.—Noviembre.—1900 15 — 214 — Y como esto se repetirá para todas las celdillas del espa- cio, resulta que la corriente C habrá creado un campo de esfuerzos, que en este caso se llamará campo de vectores electrodinámicos. Así como antes la carga eléctrica en las figuras 2 y 3 crea- ba un campo eléctrico. Y si dividiendo siempre el espacio en celdillas, en cada una de ellas suponemos masas magnéticas ó pequeños ima- nes, un imán introducido en el campo, Ó una corriente, pola- rizarán en cierto modo los flúidos de dichas celdillas y ten- dremos un campo de vectores electromagnéticos. | Y tendremos en todos estos ejemplos, campos eléctricos. campos electrodinámicos, campos electromagnéticos, y apli- cados á los diferentes puntos de estos campos vectores eléc- tricos, vectores electrodinámicos ó vectores electromagné- ticos. Claro es, que todos estos vectores son fuerzas y en rigor no necesitábamos para la exactitud de las teorías, ni este nuevo concepto, ni este nuevo nombre de vectores; pero también es cierto, que en nuevas teorías, ó en nuevos fenó- menos, ó en nuevos puntos de vista es natural que emplee- mos para simplificar y para dar unidad á las ideas, nombres apropiados á los nuevos hechos del mundo físico. Los ejemplos que hemos presentado harán comprender la importancia de la teoría moderna de los vectores: va uni- da en cierto modo á un conjunto de nuevas hipótesis; ya en rigor ocurre su aplicación al estudiar los dieléctricos y Su aplicación es aún más conveniente al estudiar el éter, Ó si se quiere, al estudiar los diferentes campos de acciones eléc- tricas. — 215 — En rigor, no hay una teoría definitiva del éter precisamen- te porque hay muchas teorías, pero en todas ellas el éter que rellena el espacio se muestra mucho más activo y adquiere más importancia que en las teorías clásicas. - Y siempre el éter, si se nos permite la expresión, aparece asaeteado de vectores. Autores hay que rechazan toda hipótesis respecto á la constitución del éter ó de los dieléctricos y de los campos en general, y definen cada punto de estos diferentes espacios por dos vectores: el eléctrico y el magnético. No dicen cómo está constituido dicho campo, se limitan á decir: para un punto cualquiera (x, y, z) existe el vector eléctrico W. y el vector magnético W ., expresados de este modo: W¿=4u (3; y, z) W =P (x, y, z) y sólo con esto dan por definido el campo. En rigor esto no sería bastante; necesitarían agregar para dicho punto una cantidad escalar, como explicaremos en la conferencia próxima; pero si ciertos espíritus que por huir de todo sensualismo caen á veces en idealismos un tanto obscuros, rechazan toda hipótesis sobre la constitución del éter, más son, á no dudarlo, los que buscan como apoyo una representación material de los fenómenos y de las cosas. Y de aquí resultan multitud de hipótesis sobre la consti- tución del éter. Así algunos suponen, que el éter es un flúido compuesto de partículas innumerables sometidas á fuerzas intensas atractivas ó repulsivas, según la hipótesis clásica de la teoría de la luz, sin estudiar, por lo común, las condiciones de equilibrio estable ó inestable de dicho sistema. Otros aconsejan el éter á un conjunto de celdillas rellenas de fiúido eléctrico, como antes indicábamos. Otros dan distinto relleno, si vale la palabra, á la colmena — 216 — eléctrica, admitiendo multitud de pequeñas corrientes, con lo cual asemejan al éter á un cuerpo magnético ó susceptible de imantación. Algunos suponen corpúsculos con atmósferas eléctricas en constante agitación dentro de estas celdillas reales ó ideales, y aquí podiamos indicar algo de la teoría de Lorentz; pero no es teoría para expuesta de un modo incompleto y de paso. Y por fin, para no hacer interminable esta enumeracion, en que caben infinitas combinaciones de innumerables hipóte- sis, hay también estudios de mucha importancia en que se supone al éter como un conjunto de infinitos giróscopos in- finitamente pequeños: en esta hipótesis se marca la tenden- cia á suponer que las energías acumuladas no dependen de las distancias, sino de las rotaciones. Pero todo esto constituye una masa enorme de teorías ma- temáticas, que aplazamos para su día, si ese día llega. Hemos querido en esta conferencia justificar la importan- cía que en el momento presente tiene la teoría de los vec- tores. En la conferencia próxima esperamos terminar esta mate- ria, haciendo algunas indicaciones sobre lo que pudiéramos llamar composición y descomposición de vectores. — 217 — XIV. — Determinación de algunas constantes físicas de la manganina. Constantes elásticas y su variación con la temperatura. —Influen- cia de la tracción y la temperatura combinadas sobre la resis- tencia y la resistividad.—Coeficiente de dilatación. Por B. CABRERA. En un trabajo anterior (*), aparecido en esta misma Re- vista, dimos cuenta de nuestros. estudios sobre los cambios que la resistencia en la manganina experimenta cuando se la recuece. Estos estudios constituían la primera parte de una serie en proyecto, cuya continuación ha dado motivo á la presente Memoria y á alguna otra que á ésta seguirá. Los problemas que conjuntamente nos propusimos resol- ver, cuando emprendimos la serie de investigaciones de que hoy damos cuenta, indicados quedan en el epígrafe: pero, para mayor claridad, los podemos enumerar en la siguiente forma: 1.2 Cambio de ¡la resistencia con la tracción á diferentes temperaturas. 2.” Determinación del coeficiente de elasticidad por la tracción (inversa del módulo de Young) y su variación con la temperatura. 3.” Determinación de la rigidez y su variación con la temperatura. 4.” Cálculo del coeficiente de Poisson. 5.” Cambio de la resistividad con la tracción. (*) Números de Noviembre y Diciembre de 1908. — 218 — 6. Coeficiente de dilatación y su variación con la trac- ción. 7.2 Variación con la tracción de la temperatura del má- ximo de resistencia y de los coeficientes térmicos de esta última constante. Un primer avance de los resultados obtenidos se ha pu- blicado con anterioridad (*), y nuestro objeto hoy es publi- car el detalle de los métodos puestos en práctica y la discu- sión de dichos resultados. Cúmplenos declarar, antes de pasar adelante, que todo el material empleado nos lo ha su- ministrado la Junta para Investigaciones Científicas, sin cuyo auxilio hubiéramos tenido que renunciar á nuestro proyecto. 1.—Métodos empleados. Aparato tractor.—El aparato destinado á ejecutar las trac- ciones sobre los hilos objeto de estudio, había de cumplir las siguientes condiciones, impuestas por los múltiples proble- mas señalados: a) Capacidad de un cambio continuo en la tracción sin trepidación; b) Aislamiento perfecto de la muestra estudiada, para medir su resistencia sin error apreciable; c) Posibilidad de medir las variaciones de longitud con independencia de los cambios posibles en los soportes fijos; d) Posibilidad de alterar la temperatura de la muestra. Todas ellas nos parecieron suficientemente cumplidas en el aparato que describimos á continuación, construído bajo nuestra dirección por la casa Viuda de Aramburo, de esta plaza. A un sólido trípode de madera (fig. 1.*) se fijó un cilindro de latón de unos 80 centímetros de longitud por 15 de diá- (*) An. de la Soc. Esp. de Fisica y Química, VII, 389. — 219 — metro, envuelto, exteriormente, por una espesa capa de amianto B, que le aisla térmicamente, y cerrado en su extre- q VITA ¡SS 2 2ZZZZZZ ZUR PO TIZIDIZO (ZIIRRO NN / Edy EN pap EM do O 7 DITA US AAA AAA l l 5 III a IIIAIIIAS, Figura 1.2 midad inferior mediante una chapa, también de latón, de unos 0,5 centímetros de espesor. Esta chapa posee un orifí- =.180-= cio central, por-el cual pasa la.barra de cobre de un centíme- tro.de diámetro, a”, fija á la chapa mediante una fuerte tuerca, pero aislada eléctricamente por rodajas de amianto. A esta barra soldamos con plata la extremidad inferior de las muestras estudiadas, cuya longitud total fué siempre pró- xima de los 50 centímetros, mientras la extremidad superior se soldaba también á otra barra a de cobre de igual diámetro, provista de un doble gancho que se apoya sobre la cuchilla del brazo menor de una palanca p, de primer género y brazos desiguales, de cuyo brazo mayor cuelga un cilindro de cnc iP: La longitud de los brazos de la palanca la medimos cui- dadosamente, mediante un metro de invar de la Cambridge Sc. Inst. Co., que además ha servido en todas las restantes medidas de este género hechas en el curso del trabajo. Hici- mos varias determinaciones de cada uno de los brazos y de la longitud total, obteniendo los siguientes resultados medios: Brazo menor....... A 330 Brazo mayor......... = 11,855 Longitud total....... = 19,190 que demuestran podemos responder de la décima de milíme- tro, pues la suma de las dos primeras medidas apenas difie- re en media unidad de este orden, de la longitud directamen- te medida. Así, la relación de brazos será K=1017 con un error que podemos estimar en un 2 por 100. El cilindro P sirve para efectuar la tracción, llenándole con cantidades variables de agua, cuyo volumen se mide por el tubo de nivel V. Para ello trazamos previamente una es- cala sobre la pared exterior de P, inmediatamente detrás del tubo V, determinando el enrase del líquido en el: tubo con aquellas divisiones mediante un anteojo, para evitar errores ATRAS Pr ni — 221 — de paralaje. En la determinación de la capacidad de cada di- visión utilizamos una probeta tarada á 15” y dividida en cen- tímetros cúbicos, pudiendo estimarse el error que este mé- todo haya introducido en los valores de la tracción, inferior á un medio por ciento. Dada la capacidad total del cilindro P, podíamos hacer cambiar la tracción entre O y 5,2 < 10* dinas, ó teniendo en cuenta que los hilos fueron siempre de diámetro próximo de 0,05 centímetros, entre O y 2,7 >< 10% dinas por centímetro cuadrado; pero no rebasamos nunca 2,1 < 10? di- nas, por ser muy sensible la histeresis elástica por encima de este límite. La llamada tracción cero no lo es propiamente, pues para ella el hito estaba sometido realmente á un esfuerzo de 5 < 10%, necesario para mantenerle recto. Pudiera temerse que los cambios de densidad del agua con la temperatura Ó el empuje del aire alteren los valores de estas constantes en el curso del trabajo; pero es fácil ver que estas alteraciones introducen errores que no rebasan el'1 por 1.000, siendo, por ende, depreciables. El agua se introduce ó retira del cilindro P mediante el sifón S, que comunica con un depósito que se puede colo- car á una altura variable, por un largo tubo de caucho, don- de se intercaló una llave de vidrio para establecer ó:supri- mir la comunicación, á voluntad del operador. El diámetro de los tubos y la llave y las diferencias de nivel, se dispusieron de tal suerte que el gasto no excedía de 100 “/. por minuto. Basta lo dicho para comprender que la primera de las condiciones exigidas al aparato se cumple. En cuanto al aislamiento eléctrico del hilo, lo logramos montando sobre ebonita las distintas piezas metálicamente un:das á su extremidad superior, con lo cual pierde impor- tancia el defecto que en este sentido puede tener el aisla- miento por amianto de la extremidad inferior. Para medir los cambios de longitud del hilo empleamos la disposición siguiente, que cumple con las condiciones exigi- das y da sensibilidad suficiente: Una larga varilla de cobre b de unos 0,8 centímetros de diámetro se fija á la barra a” por una doble collera de tornillo que hace imposible todo despla- zamiento relativo. En la extremidad superior de esta varilla, sobre la cual se ha hecho un pequeño rebajo, resbala un tubo € y Y Y V Y 0 / SS 55 X AA A 2 :G; í (Y. ny Figura 2.? corto, que se puede fijar por un tornillo de presión á la altura de- seada, y lleva una dis- posición que se repre- senta en detalle en la figura 2.*, para la me- dida de los cambios de longitud del hilo. Esta figura comprende un corte horizontal y otro vertical. El tubo b ter- mina en un vástago te- rrajado, que sirve de eje á una chapa metá- lica dos veces doblado su ángulo recto: la tuer- ca f se fija en la posi- ción que se desee. En cada una de las ramas verticales se fija una lámina de marfil me- diante dos pequeños tornillos, y en ella exis- te un orificio, cuya par- te inferior tiene forma de V, sobre el cual descansa el eje e de un espejo esférico E” de 75 centímetros de distancia focal; los agujeros por donde pasan los tornillos de sujeción de las piezas de marfil están rajados, con el fin de colocar el eje e horizontal. AÍ mismo eje está rígidamente unida una barrita de hierro p doblada en forma de U invertida, cuya otra ex- A AS OE tremidad termina en punta. Esta punta descansa en la lámina de vidrio V sujeta á la pieza L, que puede fijarse á la altura conveniente en la barra de cobre a, por un tornillo de pre- sión: en la posición inicial se hace que el plano de vidrio contenga al eje e. Si el hilo sufre un cambio de longitud, el plano V queda por encima ó por debajo del eje e y éste gira arrastrando al espejo, y del ángulo girado por este último, que se mide por el método ordinario, se deduce la prolonga- ción mediante la fórmula que vamos á encontrar. Figura 3.2 En la figura 3.*, E representa el espejo y las líneas p y D, llenas, las posiciones de la recta que une el eje e con la punta de hierro y del eje óptico del espejo en la posición inicial: la escala será entonces normal á D. Las líneas de trazos representan las posiciones de la recta p y del rayo luminoso después del giro del espejo, de forma que el án- gulo que forma la primera con su posición inicial será la mi- tad del descrito por el rayo luminoso «a. Llamando x el alar- gamiento del hilo, es evidente, sin más que mirar á la figura, el siguiente valor de — 224 — que, despreciando los términos de orden superior al tercero, se convierte en A DES mba Al len no e A 16 2:1D8 16; ($ llamando A la lectura en la escala y D la distancia del es- pejo á esta última. La distancia p es una de las constantes del aparato, y fué determinada con la máquina de dividir, llevando el hilo del microscopio á coincidir sucesivamente con las dos generatri- ces del eje, situadas sobre el plano diametral que pasa por la punta de hierro, y sobre esta misma punta. Suponiendo que el eje geométrico de giro equidista de aquellas generatrices, hallamos para PB = 2.031 0m6 de suerte que 3 e Oe y sa D D> D cambia de una muestra á otra, y se determinó en cada caso con una aproximación de 0,1 centímetros; pero su valor fué siempre del orden de 150 centímetros. La aproximación con que puede determinarse A puede calcularse en 0,02 centímetros, error que corresponde á 1.107+* centímetros para x, Ó sea una milésima de milímetro. La disposición del aparato que hemos descrito, permite mantener el hilo en un baño de un líquido aislador, cuya tem- peratura puede variarse á voluntad, realizando de esta suerte la última de las condiciones arriba exigidas. El líquido ele- gido fué un aceite de petróleo de muy alto punto de ebulli- ción, manteniéndole en agitación permanente con el auxilio de la turbina A, y el calentamiento se obtiene por una bobi- na, no representada en la figura, que se aloja á lo largo de O A — 225 — una generatriz muy próxima á la turbina. También álo largo de una generatriz, pero diametralmente opuesto á la bobina y al agitador, se aloja el regulador de temperatura, consti- tuido por un recipiente de vidrio en forma de termómetro de peso, lleno de mercurio: un contacto de platino situado en el tubo capilar, comanda el circuito de un relaís, destinado á intercalar una resistencia en el circuito de calefacción y de- termínar así el enfriamiento del baño. La temperatura del baño la determinamos con un termó- metro de resistencia. Un hilo de platino comercial de un metro de longitud próximamente, se sujetó, doblado en U, á lo largo de una varilla de vidrio, mediante una cinta de seda y cubriéndole luego con goma laca en solución alcohólica, hasta formar una capa consistente. Los extremos del hilo se soldaron á dos flexibles de cobre, llegando también hasta el mismo sitio de la soldadura otros dos conductores idénticos que se soldaron entre sí, para compensar los anteriores, según la disposición empleada en los termómetros de Callendar-Griffttis, uno de cuyos modelos de puente (n.” III de la casa The Cambridge Sc. Ins.) utilizamos para la me- dida de la resistencia. El hilo de platino se colocó próximo al de manganina estudiado, y de tal suerte que ocupan la misma región del baño, según indica la figura Il en TT, de suerte que las temperaturas medias de ambos fuesen iguales. Si llamamos f, la temperatura definida por el termómetro en cuestión, según la fórmula. LI t, = 75, Rio —Ros y admitimos la fórmula de Callendar para la diferencia entre la temperatura normal y la anterior, qeu ebyo £ ofapfilh aptas obfñibor q js 75 == 220 == necesitamos, para determinar la constante 5, hallar los valores de R á 25”, 100” y otra temperatura cualquiera. La extraña elección que hemos hecho de 25” para el punto fijo inferior, obedece á conveniencias operatorias. Para calcular $ con mayor seguridad, hicimos medidas directas de R para 16%, 25%, 400, 60%, 80% y 1000, empleando en la determinación de las temperaturas un termómetro tipo de Baudin, graduado en décimas hasta 101%; de esta suerte nos era posible hallar cuatro valores para 0. R no se obtuvo directamente á cada una de las temperaturas, sino que se dedujo de cinco ó seis medidas ejecutadas en un intervalo de dos ó tres grados, alrededor de cada una de ellas, utili- zando en el cálculo el método de interpolación de Cauchy. Así se han encontrado los siguientes valores de R con los pesos que se indican: Temp. Resistencia. Peso. 169 11.3631 18.3 2 11.4591 12.5 409 11.6133 15.1 609 11.8144 17.9 809 12.0129 9.4 1002 12.1833 33.3 Los valores de la constante 3 que estos números suminis- tran se consignan en el siguiente cuadro, donde 7 expresa la temperatura correspondiente á la tercera R necesaria para este cálculo: q T El tr 3 160 9 — 0984 0,94 7,00 400 150 159,97 — 0,97 6,06 609 350 362,81 eS] 7,30 802 550 579,37 37 12,10 Con la media de estos números, á cada uno de los cuales se asigna el mismo peso que á la R, correspondiente, calcu- — 227 — lamos las temperaturas 7” que se consignan en el adjunto cuadro: T' obs 1500 350,0 550,0 — 90 T' cale 148 349,9 550,7 — 8%9 que nos denuncian claramente la conveniencia de prescindir de la determinación Ry,, evidentemente errónea. Así lo hici- mos, aceptando para d la media aritmética de los tres valores restantes, o =6,/9, cuyos pesos son comparables, y con ella conduce para 7" á la fórmula T' = 451, 6 — Y 203940 — 828,2 1,, calculamos las temperaturas que siguen: T' obs — 9%0 1590 350 T' calc — 9%0 159,0 359,1 No conformes aún, ante el temor de que fuera 0 demasia- do grande para aceptar la fórmula de Callendar, buscamos una fórmula de interpolación para R por el método de Cau- chy: primero, partiendo de todas las determinaciones de R, que nos condujo á las diferencias finales 160 350 409 602 802 1009 Robs—R cal +.0020 +.0009 +.C033 +.0021 —.0027 —.0027; después, prescindiendo de Ryo, en cuyo caso dichas diferen- cias fueron 160 350 400 602 100 R obs—R cal RN . 0005; + .0000; + .0016, RS .0007, —.0016,. La fórmula que dió estos últimos resultados, preferible á la primera, es R¿=11,4579 [1 + .0,924 (£— 25) — .0,103 (t— 25)]. — 228 — Ahora bien; comparando estas últimas diferencias con las que corresponden á la fórmula de Callendar, se comprueba inmediatamente que esta última es perfectamente aplicable, y con ella construimos la tabla que nos ha servido para la medida de las temperaturas del baño. Medida de las resistencias.—El método utilizado para la medida de las resistencias de los hilos objeto de estudio fué el del puente de Thomson, realizado en la siguiente forma: La barra superior á que se halla soldado el hilo h h (Fi- gura 1), termina por una T que se sumerge en un pocillo circular de cobre lleno de mercurio M M, donde termina uno de los polos de la pila. Á la barra inferior a' se atornilla otra a”, envuelta por un tubo de latón, por el cual puede pasar una corriente de agua fría, procedente del depósito L, y que derrama en L,; esta barra termina en un pocillo con mercu- rio q que comunica con otro q”. Cerca de este último existe otro par de pocillos q” y q””, también ligados entre sí, de los cuales el último aloja un terminal de la resistencia de comparación R, cuyo otro terminal comunica con el segundo polo de la pila, mientras que el q”, junto con el q”, sirven para colocar la barra m que ha de ser retirada Ó reinte- erada á su lugar en las operaciones necesarias para lo- grar el equilibrio del puente: esta operación se ejecuta desde distancia por una cinta de seda no representada en la figura. La resistencia de comparación R está construida con el mismo hilo que las muestras estudiadas, según las reglas del Reichsantald de Berlín. Su valor le determinamos por el métod o de sustitución en un puente de Wheatstone, comparándole con un tipo de Otto Wolf de Berlin, obte- niendo para resultado medio de varias determinaciones, hechas en condiciones diferentes, Ri = 1,06523,. — PB = Terminado este trabajo y repetida la determinación me- diante un puente Carey-Foster modificado, hallamos Rm 1,00903,, nd de forma que su valor había cambiado 4.10”* ohmios en los ocho meses transcurridos. La variación con la tempera- tura de esta resistencia, la estudiamos entre 14” y 40” con el mismo puente de Callendar - Griffths que nos sirvió para el termómetro de resistencia de platino, ya descrito: dos series de ocho y diez puntos, respectivamente, nos dieron para la variación térmica por unidad [1 +0,0,26 (t-25) —0,0,3 (£-25)*] [1 + 0,0,28 (4-25) —0,0,5 (t-25)?] con errores que no excedieron de dos unidades del quinto orden decimal. Como los pesos de ambas series son iguales, hemos adoptado en definitiva para R la ecuación R¿= 1,06549 [1 + 0,0,27 (t-25) — 0,0,4 (£-25)?]. Las derivaciones interiores y exteriores en el puente de Thomson las formamos con resistencias iguales, del orden de los 10 y 100 ohmios, respectivamente. Cada par están arrolladas en un mismo cilindro, siguiéndose también en su construcción las prescripciones del Reichsantald; y lo mismo el punto común á ambas, que constituyen uno de los vérti- ces del galvanómetro, que las dos extremidades libres, están soldadas á gruesos alambres de cobre, que sirven para esta- blecer las comunicaciones mediante pocilios de me:1curio. Los valores de estas resistencias se determinaron, antes de la ejecución de este trabajo, por el método de sustitución en el puente de Callendar-Griffths, comparándolas á tipos O. W. de 10 y 100 ohmios, y posteriormente en el Carey Foster que ya hemos citado. : Rev. Acap. Dr Ciencias. —VII1.— Noviembre. - 1909. 16 — 230 — u Fecha. Bob. I. Bob. Il. Relación E 10/11 10,3032 10,3021 0.99990 Derivación interior... | 15/X1 10,2510 10,2525 1.00015 1/1 101,729 102,319 1,00581 Derivación exterior. .. | 16/1x ' 102024 102,116 1,00090 Los resultados que se consignan en el cuadro anterior, demuestran que la construcción de estas resistencias es mu- cho más imperfecta que la de R, por su mayor variación con el tiempo. Sin embargo, estas variaciones únicamente po- drían influir en los valores de la resistencia específica, y para estas constantes los errores que dependen de la medida del diámetro del hilo, exceden con mucho á los que pueden re- sultar de dicho cambio. Los terminales de cobre que corresponden á las bobinas I de ambas derivaciones, se sumergen directamente en los mismos pocillos en que se introducen los de la resistencia R, mientras que los de las bobinas II han de ligarse á las extre- midades del hilo h. Lógrase esto mediante gruesos alambres de cobre c y c (fig. 1.%), que se une á flexibles, también re- presentados en la figura, y que vienen á sumergirse en los pocillos de mercurio que corresponden á las bobinas II. Esta comunicación introduce, en los brazos correspondientes, re- sistencias que influyen en el cálculo final y que hemos teni- do en cuenta. El conjunto de las dos derivaciones y la resistencia R, es- tán sumergidas en un baño de aceite de petróleo, agitado por la turbina A”, cuyo tubo posee una pequeña bobina de calefacción para regular su temperatura, que mide un termó- metro í de Baudin en décimas. En la figura 1.* sólo se ha representado el par de bobinas inferiores R¿ R,. Todos los conductores necesarios para la pila, el galvanómetro y las derivaciones que empleamos para lograr el equilibrio, termi- — 231 — nan en los pocillos de mercurío convenientes, y penetran en el baño envueltos por tubos de vidrio; estos conductores no se han representado en la figura para evitar la confusión, pero los tubos de vidrio, á que hemos hecho alusión, se ob- servan envolviendo á c y C. El circuito de la pila contenía una resistencia r (fig. 4.?) y un conmutador c, y el galvanómetro era un modelo Broca de SS Fl : | = 5) LO) Figura 4.? la Cambridge Soc. Ins. Co. El galvanómetro y la pila, así como el interruptor de Griffhts l, se empleaban también en el puente para el termómetro de platino, ejecutando la con- mutación con el auxilio de un conmutador de mercurio C. Sabido es que siendo m[R(R¿+ 1h) —R, (Rs HER) + (Rih —R, R)=0, la ecuación de equilibrio del puente doble, uno de los méto- dos más cómodos de lograr éste, es anular separadamente ambos paréntesis. Para el primero basta levantar m, con lo — 232 — cual se convierte el sistema en un puente sencillo, cuyo equi- librio buscamos mediante la derivación p” sobre la resisten- cia de 10 ohmios Rs; vuelta m á su lugar, se suprimía la desviación del galvanómetro actuando sobre la doble deri- vación p,, p», hecha en la resistencia R. Basta repetir esta operación un par de veces para lograr que el galvanómetro permanezca en el cero, ya esté m en su lugar Ó fuera de él. Así hemos logrado apreciar con claridad la millonésima de ohmio. Medida de la rigidez.— Para determinar la rigidez elegi- mos el método de las oscilaciones. El hilo A (fig. 5.%), objeto de este estudio, también de unos 50 centímetros de longitud, se sujeta por su extremidad superior á una fuerte pinza de latón, soldada á la tapa de un cilindro de dobles paredes, que se fija á él por un tornillo de presión. De la extremidad inferior del hilo pende el sistema oscilante, sujeto á €l por una pinza idéntica á la anterior. Este sistema está constituido por una varilla cilíndrica vertical, en cuyo extremo se fija por una tuerca una lámina horizontal de hierro M, que posee cuatro ejes verticales 1, 2, 3, 4, destinados á alojar las ma- sas adicionales N, y N,; las rodajas de plomo P ejercen so- bre el hilo una tracción equivalente á la media de las que sufre en el aparato de la figura 1.* El sistema lleva aún un espejo cóncavo E de un metro de distancia focal. Una caja de madera le envuelve para evitar las corrientes de airé, y un termómetro de mercurio nos suministra la temperatura del sistema. Llamando 7" y T” los períodos de oscilación que co- rresponden á las posiciones 1, 4 y 2, 3 de las masas N, para las cuales el momento de inercia toma los valores OT, y MCs, sabemos que el par de torción es jas A Tr eS T'"2 — 233 — despreciando la influencia del decremento logarítmico, por A A > ; A E a, Al SS POSSE > 7h A 3 La 7 5 ao AULUULUALUALURUALARLAAUAA LAA AAA LALALA AAA AAA AO, a 5 INS>->5<5o5OoOoOON 3 A SEO SOS 3 A INN Ñ Y % 1% 4% h 4% 6% ASSSSASOSOSOOSOOSSASOASNOOOA Y NONN l !l O7ZZZA NN EEZZZZZZZZZRZR ZZZZZZZZZIRIZIZIRZIRRTO al y SY SS5S5555555555555 55 OSOS 555555 Y SS OSO OOOO OOOO) EZZ7 2 % Ya NV X.. ser en este caso inferior al orden de los errores experimen- tales. Pero si M, y M, son las-masas de los cilíndros y — 234 — d,, d,, dz, d, las distancias de los centros de los pivotes 1, 2, 3, 4 al eje de giro ST Ap MU: = Mi; (d,? y d,?) =p M, (d,? E d;?) Así, para esta determinación únicamente necesitamos me- dir las masas de los cilindros, las distancias d y los períodos. Las masas, determinadas por pesadas á carga constante en una balanza sensible al medio miligramo, valen M, = 82,041 gr. Me ="SIMISI | > Las distancias se midieron colocando la chapa M en una máquina de dividir, de suerte que la línea de sus centros fuese paralela al eje del tornillo. De las lecturas hechas so- bre la cabeza del tornillo, cuando el retículo del microscopio era tangente al contorno de los agujeros destinados á alojar los pivotes y el vástago L, en los puntos en que dicho con- torno corta á la línea de los centros, se dedujeron las cuatro distancias di 220025 d,=41,5030, d,¿ =41 519,, di=98:1022): de donde, en definitiva, M, — WE 1183/28 Para la determinación del periodo seguimos el método descrito por Watson (*), empleando el péndulo de segundos del Laboratorio, y contando un número de oscilaciones sufi- ciente para que el error fuera inferior á una parte en 100.000. Este periodo era del orden de 14* cuando las masas adicio- (+) Practical Physical, p. 107, | | — 235 — nales se alojaban en 1 y 4, y de 12* cuando lo estaban en 2 y 3. Tal es el método seguido cuando operábamos á la tempe- ratura ambiente. Pero según ya advertimos, nuestro objeto era estudiar el cambio de la rigidez con la temperatura, para la cual el vapor desarrollado en el matraz Q y conducido por el tubo a, circula por el espacio C entre las dos paredes del cilindro, saliendo por el tubo b para condensarse en el baño de agua R. Una envoltura de amianto A proteje el aparato del enfriamiento por radiación, y un sifón con llave que liga directamente al matraz Q con el frasco R, juntamente con una pinza de Meyer colocada en el tubo b, consienten regular la corriente de vapor, para obtener una temperatura arbitraria entre la ambiente y 907. La temperatura media del hilo se determinó con el auxilio de cuatro pares constantan-cobre en serie, cuyas soldaduras calientes, distribuidas á lo largo del hilo, se situaban muy próximas á la región por él ocupada, mientras las frías se colocaron muy próximas entre sí, y al depósito de un termó- metro Baudin, en un baño de petróleo B: estos pares atra- viesan la cubierta por tapones de ebonita. La fuerza electromotriz se midió por un microvoltímetro Paul Roberts, cuya última división corresponde á 0,0001 de voltio, y su ecuación, obtenida por comparación con el termómetro Baudin que nos sirvió en la graduación del termómetro de resistencia de platino, era, para el inter- valo 100%—-180, E, = 0,00635 + 163,7 . 107* (+ — 600) + + 0,418 . 1078 (£ — 60)?, de donde t-60=-— 164 Y/ asa. 0 PONS 0,418 . 1075 Teniendo en cuenta que la serie de determinaciones de C, á diferentes temperaturas, se ejecutaban sin variar la posición de las rodajas de plomo, se comprende la conveniencia de calcular el momento del sistema oscilante fijo, partiendo de las operaciones ejecutadas á la temperatura ambiente, pues de esta suerte se reduce á la mitad el tiempo necesa- rio para conseguir nuestro deseo. Llamemos 7, y T; los periodos que corresponden á las temperaturas f y f', de las cuales la primera suponemos representa la temperatura ambiente, mientras la segunda designa la temperatura del hilo medida por los pares que acabamos de describir. Esta última no es nunca la del sistema oscilante, que mide el ter- mómetro colocado en la caja protectora, y que designaremos por 6, temperatura que á lo más excede en 15% á?. Teniendo en cuenta estas observaciones se obtiene C; Ce Ti. =,2n donde M designa el momento total del sistema oscilante. Así 2 ca Ma TM, Pero, llamando MT p, el momento de inercia de la parte fija del sistema, que podemos considerar totalmente consti- tuída por plomo, para los efectos de la corrección de tempe- ratura, por ser de esta substancia la parte más importante de su masa, y designando por ap, az y 2 fe los coeficientes | de dilatación del plomo, el latón y el hierro, | My = Mp, [1 + 20p (0 — 1) 4H (M, Ki) + MK 11420, (0—1)] + 18 (M, da, lr M2 d¿)) [1 + 24g, (6 — £)], — 237 — que puede escríbirse MAA ES si tomamos para a el valor Ape 22 py WC pp +21 (MK, 1 M-K 2) + 20 fo (Midi, + Medi, My + MK) + M2 Ké)) + (0, dis, + M2 dá) Para el cálculo de « tomamos los siguientes valores de los coeficientes de dilatación a AZ ZO ULT: Respecto de MT », se puede determinar mediante los dos períodos T' y T”, que corresponden á las posiciones (1), (4), y (2), (3) de las masas adicionales, utilizando la fórmula PAI 2 MU», PA (STE. — DIC2) T'? A To? — (OC +92), que ha dado para las tres muestras números 3, 4 y 5, los va- lores Muéstranúmero sn anti daa 18113,05 . A al 18056,67 » dl ee SISMOS cuyos números están reducidos á los 20”. Su variabilidad pone de manifiesto la influencia que tiene la colocación de las masas de plomo, á que arriba hacíamos referencia; pero no tiene influencia sensible sobre el valor de «, pues el paso del más pequeño al más grande de los valores de MT p, sÓlO influye en dos unidades del orden de la cifra dudosa. Así, adoptamos para el coeficiente de temperatura a. =.0,462, — 238 -- En definitiva, el valor corregido del par de torción será Té Cy = C; 7? [1 +. 0,462 (0 — b). Pero no es esta constante la que nos interesa sino la ri- gidez, ligada á ella por la fórmula conocida lg C; TAS 37 Ét = de ) y como los valores de / y d- que nosotros indicamos en cada caso no son los que corresponden á esta temperatura, sino á la ambiente f, es necesario corregir los números correspon- dientes por la dilatación de la manganina, para cuyo coefi- ciente de dilatación adoptamos el número . 0,183, de suer- te que Cy Ti [1+.0,183(£—0][1+.0,462(0 —1)] Ny == 32 == nds T? ESO IE TE | = mM sE [1 + .0,462 (0 — f) —.0,549 (f — £)], E fórmula definitiva empleada en los cálculos de n á las tem- peraturas superiores á la ambiente, donde esta constante queda determinada en función de su valor á esta última. Método general seguido en el estudio de cada muestra.— El proceso general de las medidas ejecutadas con cada una de las muestras objeto de estudio, le detallamos á conti- nuación: 1.2 Determinación de la rigidez á la temperatura am- biente. Una vez sujeto el hilo en las pinzas que describimos al ocuparnos del aparato destinado á este fin, determinamos su longitud mediante un metro de invar construido por «The — 239 — Cambridge Sc. Inst.», al cual agregamos dos correderas análogas á las empleadas en los calibres Columbus, con el fin de poder apreciar la fracción de milímetro. El diámetro, necesario para calcular n, le medimos siempre después del estudio completo del hilo, por ser conveniente dividirle en pequeños trozos para este fin. 2.” Soldado á las ¡barras de cobre a y a”, le sometimos á una tracción comparable á la media de aquéllas que había de soportar, midiendo su longitud en la misma forma que acabamos de indicar. Una vez ejecutada esta operación, ter- minamos el montaje en el aparato de tracción, manteniéndo- se durante veinticuatro horas sometido á una acción mecá- nica-de este género, superior al límite máximo de las que había de sufrir en la operación siguiente. 3.2 Estudio de un ciclo de tracción entre O y 21 - 108 di- nas por centímetro cuadrado. En éste, como en los demás ciclos que luego referiremos, se han hecho simultáneamente las determinaciones de resistencia y alargamiento, tomando diez puntos equidistantes para las tracciones crecientes, y otros tantos para las decrecientes. A pesar de la lentitud con que la carga cambiaba, esperamos siempre unos minutos después de que el agua alcanzaba el nivel apetecido, antes de efectuar las medidas. Estas, en cada uno de los puntos, se ejecutaron por el orden siguiente: a) Colocado el conmutador C en la posición que corres- ponde al termómetro de platino, medimos la temperatura del baño; b) Vuelto el conmutador C á la otra posición, en que se le representa en la figura 4.*, buscamos el equilibrio del puen- te de Lord Kelvin, que describimos arriba; c) Inmediatamente rectificamos la temperatura del baño, repitiendo las anteriores operaciones siempre que notábamos diferencias, entre esta temperatura y la primera, superiores á 051; | d) Determinación del alargamiento; y — AO + e) Comprobación de la invariabilidad del nivel del agua en el aparato de tracción. 4.2 Recocido durante nueve ó diez horas á una tempera- tura constante, próxima de 150”, pero que en algunas ocasio- nes subió por encima de este límite durante periodos cortos, llegando en la muestra núm. 5, por ejemplo, á alcanzar unos 180”. Este recocido se hizo unas veces con la muestra some- tida á una tracción superior al límite más alto de los ciclos y otras sin tracción alguna, pero en todo caso, antes de las de- terminaciones que siguen, ha permanecido bajo dicha acción mecánica durante 24 horas. 5.7 Determinación de las curvas de dilatación y de cam- bio de resistencia con la temperatura, mientras la tracción permanecía constante. Las tracciones empleadas fueron, suce- sivamente, 414 < 108, 835 < 10%, 1243 =< 10%, 1660 =< 10%, 2078 < 10%, expresadas siempre en dinas por centímetro cuadrado. Los puntos tomados varían entre 8 y 10, distri- buídos de 10” en 10%, salvo en las proximidades del míni- mo de resistencia donde el intervalo se reduce á 5”; de esta suerte hemos cubierto la escala de temperaturas entre la ambiente y los 80”. El método seguído en cada medida es el descripto en el párrafo 3.”, y las medidas corresponden siem- pre á temperaturas crecientes, razón por la cual no nos po- díamos asegurar de que el recocido fuese suficientemente completo para que esta curva quedase bien definida, pero sospechamos que los errores dependientes de esta causa pue- den ser pequeños, y desde luego no corresponden á la irre- gularidad que parece existir en esta parte de nuestre trabajo. 6.” Cuatro ciclos de tracción á temperaturas diferentes y próximas á 25”, 50%, 70” y 100”, donde las medidas todas se ejecutaron por el método que indicamos en el párrafo 3.” Pu- diera parecer supérfluo este trabajo, pues sus resultados pueden deducirse teóricamente de aquellos que correspon- den á las medidas indicadas en el párrafo anterior; pero, á más de que para obtener de ellas curvas de esta clase bien — 241 — definidas sería menester aumentar el número de las anterio- res, la precisión en las medidas absolutas habría de ser muy superior á la que exigen buenas medidas relativas. Iguales serían las objeciones que podrían hacerse á un procedi- miento inverso. 7.” Determinación de la rigidez á la temperatura ambien- te y en las proximidades de los 50” y 80”. 8. Medida del diámetro. Terminadas las operaciones anteriores, cortamos cinco pequeños trozos de cada una de las extremidades y de la región central, midiendo el diá- metro de cada uno de ellos para cuatro posiciones que for- man entre sí ángulos de 45”. El aparato empleado fué un compás de la «Soc. Genevoise », sensible á la .001 de milí- metro, ó un palmer un poco menos sensible. (Continuará.) — 22 — XV.—Sobre un problema de Fisica (*). POR JUAN JACOBO DURÁN-LORIGA. Consideremos tres focos luminosos, de igual intensidad, colocados en los vértices A, B y C de un triángulo equiláte- ro, y otro de intensidad suma, situado en su centro O. La cuestión que nos proponemos estudiar es: Encontrar los puntos del plano igualmente iluminados por los tres primeros que por el cuarto. También puede considerarse esta investigación como un problema de atracción, según la ley de Newton, y, en fin, si se la quiere revestir de un ropaje completamente geométrico, puede enunciarse así: Encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano de un triángulo equilátero, tales, que el cuadrado del vector dirigido á su centro sea media ar- mónica de los cuadrados de los vectores relativos á sus vértices. La ecuación que plantea el problema será, evidentemente, la siguiente: Pigura 1.2 (+) Esta cuestión me fué sugerida por una pregunta de mi hija Pilar, relativa al asunto, no presumiendo que la respuesta ocasio- nase tantos cálculos. La presente Memoria ha sido enviada á la Academia, en cumpli- miento de un precepto reglamentario, que atañe á los deberes de los Correspondientes nacionales, los cuales han de presentar, cada dos años, un trabajo original. 3 1 = + iia ¿2/3 bed aa | j ) 1 ( 8 FO+0r (a A ar habiendo representado por 2a el lado del triángulo y elegido los ejes que aparecen en la figura 1.* Haciendo operaciones se llega á la siguiente ecuación: 3 (02 + 92)? — 403 x (12 —3 y?) + 4a? (2 + y?) — DE Ioa: El) : Y si para evitar irracionales se pone en función del radio R de la circunferencia circunscripta al triángulo, resulta, en definitiva, (ey? —2Rx(—=3y?) -Ré4+ y?) —R=0..... (1) Se trata, pues, de una cudrtica cuyos puntos en el infinito son evidentemente los puntos cíclicos y la curva es bitangen- te á la recta del infinito en dichos puntos. Se deduce del pro- pio enunciado del problema (y la ecuación en coordenadas polares lo justificará) que las alturas del triángulo son ejes ternarios de simetría. Esto permite establecer d priori que la curva no puede tener puntos dobles, propiamente dichos, ni de retroceso. En efecto, es sabido que una cuártica no puede tener más que tres puntos dobles sin descomponerse en curvas de gra- do inferior. Caso, pues, de tenerlos, sería sobre los ejes de simetría; es decir, en los vértices, pues si los tuviese en otros — Pida — puntos, la triple simetría exigiría que la existencia de uno trajese consigo la de otros cinco. Ahora bien; los vértices no lo son, porque la intersección de la curva con el eje de las x da los cuatro puntos símples, que tienen las siguientes abs- cisas: x= E 1541) >» x= (151) RV > RV) N reales los dos primeros é imaginarios los otros dos, siendo muy digno de notarse que las abscisas de los puntos reales son los lados de los decágonos estrellado y convexo, corres- pondientes á la circunferencia circunscrita al triángulo, lo que permite su inmediata determinación por medio de la re- gla y el compás. La fórmula de Pliicker c=m(m-—1)-—2d-—3r, nos da, por consiguiente, == Así como la ¡ =3m(m— 2) —6d — 8r establece que ¿ = 24, es decir que tiene la curva 24 puntos de inflexión. Llevando estos datos á la tercera fórmula m=c(c—1)— 2t— 31, resulta que el número de tangentes dobles es 28, de ellas 4 — 245 — reales, como se ve claramente en la figura 2.*, y, por consi- guiente, 24 imaginarias. Resumiendo, resulta para lo que pudiéramos llamar la filiación de la curva: Cuártica de clase 12 y género 3, bitangente á la recta del infinito con 24 puntos de inflexión y 28 tangentes dobles y presentando tres ejes de simetría. Claro está, que aunque ci- tamos todas las circunstancias, algunas son forzosa conse- cuencia de otras, en virtud de las fórmulas de Pliicker. Si queremos comprobar que la curva es de clase 12, va- mos á ver las tangentes que se le pueden trazar por un punto, que por comodidad elegiremos en el infinito sobre el eje de las y. Sabido es que los puntos de contacto de estas tangen- tes, estarán en la intersección de la curva con la primera po- lar del punto en cuestión, que tiene por ecuación (tomando el radio por unidad): Fa FRAY? Ax Y 1249 4250 que se descompone en las dos siguientes: Laya 2y2 + 2x2 +6x+1=0 la intersección de la cuártica con la y = 0 (es decir, el eje de las x) da los cuatro puntos que ya anteriormente hemos con- siderado, y las otras tangentes paralelas al eje de ordenadas, tendrán los puntos de contacto en la intersección de la se- gunda línea, que se ve es una circunferencia, con la curva propuesta. Pero las abscisas de estos puntos son las raíces de la ecuación de cuarto grado, 0xt+ 32x8+36x2+ 12x+5=0 una de ellas infinita, como debía suceder, pues no debe ol- Rzv. Acap. DE CIENCIAS. —VII.—Noviembre.—1909 17 = 2465 — vidarse que la curva es bitangente á la recta del infinito, y las otras responden á la ecuación de tercer grado 32% + 3624 12x+5=0. Esta ecuación tiene una raíz real y dos imaginarias, pues la expresión 4 p? + 27 q? aplicada á la ecuación a ES que es 2—321+62=0 da un resultado positivo. La raíz real tíene por valor: SNA 3 , [Ya van ques Arba 1 -a] á cada una de estas abscisas corresponden dos puntos de contacto (respondiendo á las tangentes dobles), cuyas orde- nadas se obtendrian por medio de la ecuación 29 + 2x2 +6x+1+=0. Resulta, pues, que hay cuatro puntos de contacto sobre el eje de las x, seís, simétricamente colocados respecto al de las y, y por último, los dos puntos cíclicos; es decir, en to- tal 12, que es lo que corresponde á la clase de la curva. El círculo que hemos considerado, y que por la intersec- ción de su circunferencia con la curva da los puntos de con- tacto de las tangentes dobles, paralelas al eje de las y (una real y dos imaginarias), tiene por centro el punto cuyas co- ordenadas son: — 247 — y su radio tiene por valor: Tratemos de encontrar la ecuación polar de la curva, to- mando como eje polar el de las x, y por polo el anterior ori- gen, haremos pues, x=pc08w >» y=psenw y resulta: 3p£—6R p? cos3 w+-18R p? cos w sen? w + 3 R?p?—3R=0 Ó bien pt — 2Rp3cos3w + 6Rp3cosw(1 — cos?w) + R?p? — R+*=0 de la que se deduce: pt—2Rp3(4cos?w —3 cos w) + R? p2—R*=0 ó finalmente: p+— 2 Rp? cos 3 wm + R?p?— R*=0. (2) Esta ecuación demuestra, como ya habíamos anunciado al principio, la triple simetría de la curva, pues su ecuación polar no cambia poniendo en lugar de o, w + = y ade- más entra el coseno. También nos permite la ecuación (2) observar que, pues- to que queda verificado para el valor ¿ =R (radio del cír- culo circunscripto) y los valores de w, 20% — 100” — 140” — 220? — 260” — 340", podemos obtener inmediatamente seís — 28 — puntos sobre la circunferencia circunscripta; pero nótese que no es construcción exacta por la geometría canonica de la regla y el compás, pues, p. e., el formar un ángulo de 20” no es factible exactamente, y la división que marca el transporta - dor es, aún teóricamente, aproximada (*). No debe sorpren- dernos el encontrar la mayor parte de los puntos de la cur- va, no construibles por la veometría elemental, pues el exa- men de la ecuación polar hace ver que lleva fatalmente en- carnado el problema de la trisección del ángulo. Es decir, que se trata de una curva trisectriz, como decían los an- tiguos. Podemos observar de paso, que los puntos que acabamos de considerar sobre la circunferencia circunscripta pertene- cen también á la intersección de dicha circunferencia con la cúbica, que tiene por ecuación: 2 Rx(x? —3 y?) —R? (x? + y? =0 ó en coordenadas polares: R (AD LESS dl que es una curva conocida llamada espiga (**), algébrica (*) Siendo 20 la dieciochava parte de la circunferencia, en la que entra el factor primo tres elevado al cuadrado, resulta la división aproximada, pues está perfectamente demostrado que no puede divi- dirse la circunferencia en un número de partes en el que entre la po- tencia superior á la unidad de un número primo impar. (**) En rigor Aubri llamó espigas á las que traduce la ecuación: a P= sen mo pero es fácil ver que se pasa de unas á otras por un cambio conve- niente del eje polar. — 249 — cuando el coeficiente de w que figura bajo el coseno es ra- cional (como en este caso), y transcendente en los demás, y se compone evidentemente de tantas ramas como indica el citado coeficiente cuando es entero (tres en este caso), y en el caso de ser fraccionario, y supuesto irreducible, el valor que indica el numerador ó su doble, según sean ambos tér- minos de la misma ó distinta paridad. En nuestro caso salta á la vista que la recta inclinada 30% sobre el eje de las x y su simetría son asíntotas de la curva. Las espigas son cua- drables; pero su rectificación depende de integrales elípticas de primera y segunda especie. Aún más generalmente puede observarse que la curva que estudiamos es el lugar geométrico de las intersecciones de la circunferencia x? + y2= KR? y la cúbica 2x(x?— 3 y?) = (K? 4 K— 1) R? siendo K un parámetro (numérico) variable. Basta para convencerse de ello, eliminar XK entre ambas ecuaciones. La ecuación de dicha línea de tercer orden en coordena- das polares es: ¿pil (K? + K— 1) R? 200530 que representa una curva análoga á las espigas. Haciendo variar K se obtendrían cuantos puntos se quisieran de la curva que estudiamos; pero claro está que este sería un procedimiento puramente teórico. Bajo el punto de vista práctico hay que letentimdó gráfica DES ó numéricamente diversos puntos de la cuártica que motiva este estudio, para lo cual será útil su ecuación en coordena- das polares. Conviene empezar por determinar varios puntos cuya construcción sea factible por medio de la regla y el compás; pero ante todo debe observarse, en vista de lo que llevamos dicho, que la cuártica está por completo encerrada en la corona que determinan las circunferencias que tienen por centro el del triángulo y por radios respectivos. BA ÍE Ral o DANS siendo dichas circunferencias triplemente tangentes á la cur- va en los seis vértices. Basta, por otra parte, observar que sólo hay que ocuparse de determinar puntos de una media hoja, es decir, la parte comprendida en el ángulo CoX ó en econ (iio. “145): Encontremos, por de pronto, la iutersección de la curva con el eje de las y. Haremos en la ecuación (1) x=0, y la ecuación bicuadrada que resulta tiene por expresión: yt + R?y?— R=0 cuya raiz real positiva es: y= Ye E 5-0 es decir, la MEDIA GEOMÉTRICA entre el lado del decágono convexo y el radio de la circunferencia circunscripta. Asi, pues, refiriéndonos á la figura 2.*, bastará describir so- bre d, k, como diámetro, una semicircunferencia, y su inter- sección con oy marcará el punto e,. Se tendrán, pues, todos los puntos análogos, encontrando la intersección de la circun- — 251 — ferencia de radio oe, con las perpendiculares levantadas á las alturas en el circuncentro del triángulo. Figura 2. La intersección de la curva con el lado BC se obtendrá haciendo R x=— 2 pues la apotema del triángulo equilátero es igual á la mitad del radio, y de este modo se obtiene: Ta RYV6—9) 4 y por consiguiente 00? =RV2.R(V3— V2); — 252 — es decir, que oc es media proporcional entre el lado del cua- drado y el exceso sobre éste del del triángulo equilátero, am- bos inscriptos en el circunciclo del triángulo dado. La circun- ferencia descripta desde o como centro, con este radio mar- cará en su encuentro, con los lados de dicho triángulo, otros seis puntos de la curva. No debe extrañar que se hayan encon- trado por la Geometría elemen- tal varios puntos de la curva, pues sus vectores forman con el eje polar ángulos que son ter- cera parte de otros, cuya trisec- ción es posible. Procediendo en la misma forma se podrán encontrar nue- vos puntos; pero vamos á dar una construcción general, aunque aproximada, para encontrar todos los que se deseen. De la ecuación (2) deducimos: Figura 3. El segundo miembro puede construirse fácilmente por me- dio de terceras proporcionales, una vez fijado p gráficamen- te, y se obtendrá un segmento que llamaremos /, y la ecua- ción se reducirá á: Rcos 3w =] y si tomamos una longitud om=1 (fig. 3.2), y levantamos la perpendicular mM en la circunferencia de radio R, se tendrá el ángulo 3w, y dará un punto de la cuártica la intersección N de la circunferencia de radio p con el vector oP que for- ma el ángulo w. Como ya dijimos, esta construcción es aproximada, pues exige dividir un ángulo en tres partes iguales. Para obtener los puntos de inflexión de la curva, habrá — 253 — que encontrar la ecuación de la hessiana, cuya intersección con la propuesta dará exclusivamente los puntos de ¿n- flexión, ya que, según hemos dicho, esta curva no tiene pun- tos dobles. De la ecuación de la curva, una vez homogenizada, de- ducimos: ff, =4x38 + 4xy2+ 6zy? —6x?z + 2x2? Py =1y?+4x y 4. 12xy2z + 2y2* Fo. =—2x3 + 6xy? + 22x? + 22y? —423 fx =12x? + 4y? — 12xz + 22? y =Í yx + 8Xxy + 12y2 Usa =f" zx E 6y? O lp AXZ A PA “y =P qy= 12xy + 4y2 FU ¿ = 2x? + 2y?— 122? Y por consiguiente, la ecuación de la hessiana será: 6x2+2y2—6x2+2? 4xy + 6yz 3y?—3x? + 2x2 Axy +6y2 6y?2+2x2+6x2+22 6xy + 2y2 =() 3y? — 3x2 +2xz 6xy+2y2 xo l63s que después de cálculos, verdaderamente largos, nos llevó definitivamente á la siguiente ecuación para la hessiana 42 y — (108x? + 18xz2+ 40522) y* + (342x*— 11x3 z + +540 x? 22—912x 2816520) y246x*+6x3z2445xt22— — 276x3 23 + 267 x? 2t— T2x2 +62 =0 las 24 soluciones comunes á esta ecuación y á la (1) nos darían las coordenadas de los puntos de inflexión; pero ya comprenderá el lector que hemos renunciado á esta investi- gación, completamente teórica, al tratarse, como en este caso, de curvas cuya ecuación es complicada, más que por su grado, por el número de términos que la constituye, — 254 — El radio de curvatura de la curva que estudiamos no afecta forma sencilla en general; vamos, sin embargo, á de- terminarlo, para luego hacer aplicación á los vértices de la curva. Derivando la ecuación (1) respecto á x, se obtiene: 4x3 + 4xy? 4 4x? y. E e A dx dx —6x+6y + 12xy. 9D y 2x42yD =0 dx dx Volviendo á derivar respecto á x, resulta: 2 2 12004494 89 0 (<) pay A dx dx dx? E ae EA E + 435. A 12% 19). a lio AE +12x (52 ) AA e Yanez ey =0), dx? De la primera, deducimos: ¡dyogn — 4x3 —4xy? + 6x? —6y?—2x dx 4x2? y + 4y3 + 12xy + 2y y de la segunda, resulta 2 — 12x2—4y2 + 12x— 24 2 [1619 24y ]+ ( o [40 12y-12x2| ys dx dx? 4x?2y + 4y3 + 12xy +2y Substituvendo estos valores en la conocida expresión del radio de curvatura, poniendo en la segunda derivada el va- lor obtenido, para la primera y hechas reducciones, se en- cuentra; — 255 — E A0Ray q 12 q (430 491 684-6904 230 | E E 12x2— 4y2—12x+2+(16x +24) (4x8 + 49040942) |- — (4x2 + 12y2 + 12x + 2) (4x3 + 4xy?2— 6x2? + 6y2 + 2x)? haciendo y = 0, se obtiene e (4x3 — 6x? 4 2x)* AI a "are 12x+2 (4x6 +2x 2 P6x +1 si además hacemos == 05+ 1) tendremos el radio de curvatura en el vértice de la derecha; hechos los cálculos y restableciendo el radio, resulta en va- lor absoluto R =— a SNS p pa V5) Para el vértice de la izquierda se obtendría su 8, 5 > (15 + 13 Y 5) Vamos á encontrar también la ecuacién de la cuártica en coordenadas baricéntricas, que real- : mente es en este caso la forma más natural y elegante de resolver el pro- blema; pero no la que debe preferir- se, por prestarse mal estas coordena- das á todo lo que atañe á propieda- 4 des métricas. Representemos, según costumbre, | por S el á rea del triángulo fundamental, y por a, B, y las coordenadas de un punto cualquiera M (fig. 4.*) del lugar E / ES LN, 1 ÚS N a - -Ly Figura 4.2 OL ON geométrico. Sabemos que la distancia d entre dos puntos está dada por la fórmula cp e (8. — Bo) (y. — 10) En este concepto, la distancia MA del punto M al vérti- ce A (S, o, 0) será, teniendo en cuenta que en el caso en que estamos a =b=C: MA?. S:=— a? [98 + ay + By —(B + y). S] y análogamente y 2,82=— [af + ay + By — (a+ y 8] MC?.S?=—a [98 + ay + By —(u +8) S] MO. 5 =— 0 [ap + al La ecuación del lugar será, suprimiendo en los denominado- qa res el factor común — UN y representando por « la ex- presión af + ay + By: 1 ti 1 9 A o—=(B+yYS ve—(!:y)8 e—(a+f)S 3w4-—S y quitando denominadores / [o — (a+ y) S] [v— (a + B) S] [31 — S:] + a + [v — (8 + y) S] [o — (a+ B) S][3w0 — S?] + + [w —(B+ y S] [o — (a + y) S] [3u — $2] = =9 [vw — (8 + y) S] [o — (a+ y) S] [w — (a + B) S] Ó bien desarrollando los cálculos y teniendo en cuenta que A — 231 — resulta St—6w 8? + 982Py + 302 =0..... (3) y por último, substituyendo de nuevo las cantidades S y w por sus valores, se obtiene para ecuación de la cuártica: A LY) 20 (0 28 e —3 (9? fP? + 02 y2 4 P?y2) —3 0 Py (a + BH y) =0..... (4) Esta ecuación (4), y mejor aún bajo la forma (3), prueba de nuevo que la cuártica es bitangente á la recta del infinito, pues, siendo la ecuación de dicha recta, en este sistema de coordenadas, a+ f+Y=0, ó bien S=0, la intersección de dicha recta y la cuártica es la misma que la de - w2=0 Ís=o que son los puntos cíclicos, puesto que la ecuación w=o0, que en un triángulo cualquiera representa la elipse de Steiner circunscripta, en este caso particular que tratamos, de un triángulo equilátero, representa la circunferencia circunscrip- ta, y como tal, pasando por los puntos circulares del infinito. hs E Hemos tratado el problema que motivó este trabajo, en el plaño, y ahora vamos á generalizarlo para el espacio. El problema será el siguiente: Encontrar los puntos del espacio igualmente iluminados por tres focos luminosos colocados en los vértices de un tri- ángulo equilátero, y DE IGUAL INTENSIDAD, que por otro de intensidad SUMA, situado en su centro. Pigura 5.2 Conservando las notaciones anteriores, la ecuación del problema será evidentemente: 1 | 1 A AA 3 — 2 2 a 2 2 (+ RP+ yq 2 (2) p 08) +2 1 3 = Ex cid pre fo y desarrollando los denominadores, resulta: ——_—— : — + Y RARO O 1 3 A a DONE ey 2— Rx RV3y Re PEZ — 259 — Haciendo por abreviar: Y4y+2=.H >» 4942 +Rr=L se obtiene 1 1 1 ELARE rl Ras RA RAR o pero de las igualdades e a A RAS L se deduce L—H=R >» 3L—H=2(+y9+4+2)+3R y sustituyendo estos valores y haciendo operaciones, se ob- tiene: xi + ye — 24-2x? y? — 2 Rx3 + 6Rxy? + R?(x? + y?) — — 2 R? 722 — R*=0 á cuya ecuación se puede dar la forma (e + y2? — 2 Rx (x2— 3 y?) + Rex? + y?) — —(22+RY=0 ..... (1) que es la ecuación de la superficie que traduce la propiedad geométrica del enunciado, y que, según se ve, es de cuarto orden. Vamos á encontrar la intersección de la superficie con los planos coordenados ¿ para Z=0, resulta: (y? — 2 Rx (423 y) Y Req + y) — Ri=0 «MO —= que es la cuártica que hemos estudiado en la primera parte de este trabajo, como naturalmente debía suceder. Para y =0, se obtiene la ecuación xt— Z*+4 R?x?—2Rx?— 2R? Z? — £=( que, aunque de cuarto grado, no representa una cudártica propiamente dicha, puesto que su primer miembro se des- compone en los dos factores siguientes: [x? — Rx— (22 + RD] [2 — Rx + (2? —R3)] = el primer factor igualado á cero da la hipérbola equilátera, que tiene por ecuación Z2=x4+Rx+R=0 y el segundo es un círculo imaginario, que tiene por centro el pie de la altura del triángulo relativa al vértice A, y por radio RATES 2 En cuanto á la hipérbola, tiene por centro el mismo pun- to, y su eje real tiene por valor R V 5. La intersección de la superficie con el plano Zy se obten- drá haciendo x = 0, y resulta la cuártica (2? + R3? — yt —R?y?=0 enyos puntos en el infinito son los puntos cíclicos, y los pun- tos del infinito situados sobre las bisectrices del ángulo Zo Z, evidentemente tiene por centro el origen de coordenadas y por asíntotas las bisectrices de los ejes. Vamos ahora á encontrar la intersección de la superficie con un plano cualquiera pasando por el eje de las Z; ten- — 261 — dremos que hacer en la ecuación (1) y =XKx, y resultará para la proyección de la sección sobre el plano xz (tig. 6.”): (1 + K? xt— Z2£—2R(1l-3K3)x3 + + R?(1 + K?) x? —2R?Z? —R*=0..... (2) pero lo que verdaderamente interesa es, no la proyección de la sección, sino la línea misma en el plano Zof que produce N Pigura 6.2 la sección: he aquí el procedimiento que hemos seguido y que primero expondremos de un modo general. Sea la ecuación de la proyección de la sección sobre el plano x Z NE 0 si llamamos « el ángulo que forma la traza del plano en cuestión, con la parte positiva del eje de las x, se tendrá K = tga; pero en el triángulo rectángulo oP Q (fig. 6.2), se verifica oP=00Q cosa es decir, 14 1 x=ÍÉcos2a = ——— = ————— a a poniendo este valor en f(Z, x) =0 resultará y (Z, £) =0, que es la ecuación de la intersección que se desea. Ruy. Acap. Dz Ciexcias, —VIIL, —Noviembre.-— 19009. 18 A A Aplicando esto á la ecuación que antes hemos obtenido, resulta para la sección en el plano Zot: Zi— 4H 2RK'B+2R?Z?—R? BH R=0..... (3) habiendo llamado K”, á la cantidad 1 —3K? (14 K3y Se obtienen, pues, de un modo general, cuárticas que pa- san por los puntos cíclicos y por los puntos en el infinito de las bisectrices del ángulo de los ejes. Se puede comprobar la exactitud de la ecuación (3), de- duciendo de ella, como caso particular, las secciones que ya hemos obtenido directamente causadas por los planos Zx y Zy, y que corresponden, respectivamente, á las hipótesis ESO Y 1 = 90. La primera nos da, teniendo presente que entonces K'= 1 y la variable f se convierte en x, Zt— xt 2Rx3+Y2R2Z2—R?2x2 Y Re=0 que es la misma que ya hemos obtenido. Al hacer K= oo, K” se convierte en a y para salvar la indeterminación hallaremos el cociente de las derivadas res- pecto á K, que es haciendo, pues, esta hipótesis en la ecuación (3) se obtiene, teniendo en cuenta que ahora 1 es y, (24 RIP ye (y? 4 R?)=0 — 263 = también conforme con lo obtenido anteriormente. Volviendo á considerar la cuártica (3) Ze— + 2RKB + 2R?Z2—R BH R=0..... (3) Vamos á determinar las asíntotas de la curva general que representa. Sus coeficientes angulares se obtendrán haciendo t=1 y Z=4, en los términos de cuarto grado ó igualando el resultado cero. Esto es, escribiendo la ecuación at—1=0 que da para a los cuatro valores apra DS —= + V-1 > qa yt - que responden los dos primeros á asintotas reales, y los otros á las imaginarias, de que prescindiremos. Las ordenadas en el origen, resultarán de la ecuación 4atb+ZRK"=0 que da == AAA AS 249 para a = 1, resulta: | A 3 2(1+XK>)? para a = — 1, se obtiene: o e AE AAA 3 2(1+K>) > —= El = Las asíntotas reales, tienen, pues, por ecuaciones pa : pete 2 a IO pen peta pe E MER 2 (1 4K2)? LZRi Es decir, que son paralelas á las bisectrices del ángulo Zot en sus distintas posiciones, ó lo que es lo mismo, for- man ángulos de 45”, la una con la parte positiva y la otra con la negativa del eje de las Z; además cortan á dicho eje en puntos equidistantes del origen, como es natural, dada la simetría de la superficie respecto al plano xoy. Al girar el plano Zof alrededor de 0Z, estas asíntotas en- gendrarán dos superficies regladas, que tendrán como direc- triz rectilínea el eje de las Z, y como cono director el que se obtendría trazando por el origen rectas formando ángulos de 45” con la parte positiva y negativa del eje de las Z, su- perficies que serán asintóticas de la que estudiamos, Tratemos de encontrar la ecuación de dichas superficies, por ejemplo, para la primera asintota. La proyección de dicha recta sobre el plano xoz se ob- tendrá haciendo HER V1 + K? en la CE R (1 — 3 K>?) O 2(1+K>? y resulta EEN 2Z(1 + K3? =2(1 + K9x—R(1—3K>) se obtendrá, pues, el lugar geométrico, eliminando K entre esta última ecuación y la y = Kx y así resulta 3 2 Z (2 + y2)? = 2(2 + y —R(x2—3y2) x ..... (4) Si se hubiese partido de la otra asíntota, se obtendrá la ecuación: 3 22 (Y)? = 20 4H R (AÑ 392) X 0. (5) Estas superficies se cortan sobre el plano xoy según la curva que tiene por ecuación 2 (0 4 y? =R (43 y?)x ó sea en coordenadas polares: AN 2 que es la curva llamada rosácea, que viene á ser el lugar geo- métrico de las intersecciones con el citado plano de las asín- totas de una y otra clase. Este hallazgo curioso de la curva rosácea para el lugar geométrico de las trazas de las asíntotas, nos lleva por una pendiente natural á decir dos palabras sobre estas curvas, no sólo interesantes, sino hasta agradables, bajo el punto de vista estético. Fueron estudiadas por primera vez por Guido-Grandi en - el primer tercio del siglo xvi y son curvas algébricas siem- pre que el coeficiente de w sea racional; cuando dicho coefi- ciente es entero, la curva tiene tantas raínas como indica este 0, coeficiente si es impar, y el doble en el caso de ser par, cuando es fraccionario, y supuesto irreducible, el número de ramas es igual al numerador ó á su doble, según que los tér- minos de la fracción sean de la misma ó distinta paridad. Estas curvas son cuadrables, pero la rectificación depende de las integrales elípticas, de aquí el que se les aplique un teorema análogo al célebre de Fagnano, como ocurre con otras curvas: el caracol de Pascal, la curva de los senos, etc., etcétera. Pueden consultarse sobre estas curvas las obras de nues- tros ilustres amigos los Sres. Gómes Teixeira y Brocard, Tratado de curvas especiales y Curvas Geométricas, así como un trabajo, muy interesante, que publicó en Mathesis en 1894, nuestro también excelente amigo el sabio geómetra italiano señor Pirondini, en donde dió á conocer un curioso procedi- miento mecánico para la descripción de estas curvas. Terminada la anterior digresión, volvamos á considerar la superficie (4) y tratemos de encontrar su intersección con el cilindro recto que tiene por ecuación x? + y? = R2 esto es, el que tiene por sección recta, según el plano xy, la circunferencia circunscripta al triángulo. Haremos en la ecua- ción (4) x? + y? == R? y se tendrá 2 ZR3=2R*— R(4x? — 3 R?) x las proyecciones, pues, de la curva intersección sobre los pla- nos xy y xz tienen por ecuaciones x? + y? = R2 2ZR24 x(4x? —3R*) =2R), Ñ J q 4 á — 267 — Así, pues, la superficie (4) puede engendrarse por una recta que resbala sobre esta curva y el eje de las Z, forman- do un ángulo constante de 45” con la parte positiva de di- cho eje. Volviendo á considerar la curva Z:— 44 2RK'B42R2Z2*—R?2+YRe=0..... (3) que representa la sección de la superficie (1) por un plano cualquiera que pasa por el eje de las Z, es muy fácil darse cuenta de las variaciones que va experimentando en sus distintas posiciones; para esto será conveniente poner el pa- rámetro K” en función del ángulo que llamaremos w, que forma su traza of sobre el plano xy con el eje de las x. Te- nemos 1—3K? 3 (14)? pero evidentemente K = fgw, y substituyendo este valor resulta 1—31tg2w 3 (Mirigcola KE K” = = COsSí w — 3 cos w (1 — cos? w) = = 4 cos? w — 3c0S w=+CO0s 3 w. La ecuación (3) toma, por consiguiente, la forma (fig. 7.?). Z*— 14 2Rc083wf 4 2R?*Z?— R?H+R“=0..... (3) Al variar w de cero á 30”, el coeficiente de £3 pasa por todos los valores absolutos posibles; para el primer valor, dicho coeficiente es igual á 2R, y para el último, cero. Como la abscisa en el origen de las asíntotas es Risio rol 3 Ka 3 (14? — 268 — se corivertirá, en vista de la anterior transformación, en stes cos 3 +; 2 y, por consiguiente, las asíntotas cortarán al plano del trián- gulo en el punto P (fig. 7.*) cuando el ángulo w= 0, y en el punto o para w = 30” trazando la media rama de rosd- Figura 7.* cea pso, tangente en o á la recta of. Al variar w de 30” á 60” el coeficiente de f* variará de cero á — 2R, pasando su va- lor absoluto por todos los que antes tomó; pero es evidente que si antes dos valores Z= h » f = K verificaban la ecua- ción (3), ahora lo verificarán Z= — h » t=— K; es decir, que la misma sección se presentará en forma simétrica de antes, esto es, las ramas estarán invertidas. La abscisa en el e r . r r R origen de la asintota variará de cero á — do marcando la media rama os'r. De 60” á 90” se reproducirán las secciones como entre 30” y 60%; la traza de la asíntota marcará la me- dia hoja rs” o. De 90” á 120” los hechos se verificarán como entre 30” y 60”, y así sucesivamente. Podemos, pues, consi- derar 12 zonas, de ellas 6 iguales, y otras 6 en que las seccio- nes, si bien iguales entre sí, aparecen en forma simétrica de las anteriores respecto á los ejes móviles. En todo el giro las trazas de las asíntotas marcarán las fres hojas de rosá- cea, según se ve en la figura 7.”. También se ve que para O los ángulos 0 — 60? — 120”, es decir, cuando las trazas del plano secante sobre el xy son las alturas del triángulo, la cuártica se descompone en dos factores, siendo el real una hipérbola equilátera. En cambio, cuando « toma los valo- res 30 — 90” — 150”, es decir, cuando la traza es paralela á los lados del triángulo, desaparece el coeficiente de f*, y la cuártica tiene por centro el del triángulo, reduciéndose su ecuación á Zt— 144 2R?Z?—R?BHRS=0..... (4) Ó bien (2? + R3? — P(P + R> =0..... (4) ó en coordenadas polares COS 2 w = (AR AS 204 3p* La curva que representa esta ecuación (4) se puede cons- truir por la geometría elemental, pues despejando Z se tiene z=+Y—R EVE + Re dos valores de Z son siempre imaginarios, y para que los otros dos sean reales, es necesario y suficiente que pe =p R? (? = RE ó bien E ES considerando, en esta hipótesis, sólo el valor absoluto de Z se le puede dar la forma Z=y Ve y RR — 20) = expresión que se puede construir por la geometría elemental una vez fijada gráficamente la abscisa t. No se olvide que, según hemos dicho, las asíntotas de esta cudrtica son las bisectrices de los ángulos que forman los ejes 0Z y of. Hemos visto que las secciones que producen los planos que tienen por trazas las alturas, Óó cuando éstas son para- lelas á los lados, tienen centro que son respectivamente los vértices ó el centro de la rosácea que hemos considerado, y se ocurre investigar si otros planos, pasando por 0 Z, podrán también producir curvas con centro. Si lo tienen, evidente- mente estará sobre el eje of, y, por consiguiente, todo se reduce á trasladar el eje de las Z para ver si pueden des- aparecer los coeficientes de los términos, en los que f entra con exponente impar. La ecuación tomará la forma Zt -(t 4 M*+2K(t+ h?+2Z?—(t + h) 4 R*=0 los coeficientes de 13 y £ son E lO ECO gina ralad Pa 2h que igualados á cero dan => y K2_3K2+2=0 de donde (== | 0% E luego cos3w=>35+1 y por consiguiente, w=0*, 30", 60", 90”, 120 y 150" — 211 — que son precisamente las secciones que anteriormente he- mos considerado, y por lo tanto las únicas, pasando por 0Z que tienen centro. Aquí damos fin; pero quizás insistamos sobre este pro- blema que hemos estudiado, dándole aún un carácter más general. La Coruña, Octubre de 1909. — 272 — XVI. — Observaciones acerca del método de Wesze- leszky para la determinación del bromo y del iodo. POR JosÉ CASARES GIL a Recomienda Fresenius para determinar el bromo y el iodo en las aguas minerales, concentrar gran cantidad de líqui- do (50 á 60 litros de ordinario), añadiéndole carbonato só- dico. Durante la operación, sepáranse las combinaciones sa- linas magnésicas, ferruginosas, etc., insolubles, y filtrando y lavando el residuo, se obtienen líquidos que contienen los bromuros y ioduros, acompañados de las sales solubles y, especialmente, de carbonatos y cloruros alcalinos. Con el fin de eliminar estos compuestos y concentrar de camino los bromuros y ioduros, aconseja el propio Fresenius evaporar los líquidos alcalinos hasta obtener una masa salina, la cual se ha de hervir con alcohol, cuyo líquido disuelve de prefe- rencia los bromuros y los ioduros. Estos tratamientos es ne- cesario repetirlos varias veces; los líquidos alcohólicos se des- tilan, el residuo se somete á nuevo tratamiento con alcohol, destilando luego y repitiendo aún, por tercera vez, las ope - raciones. Así llega á conseguirse un líquido en el que se de- termina el iodo separándolo de sus combinaciones emplean- do ácido sulfúrico cargado de vapores nitrosos, disolviendo en sulfuro de carbono y valorando al fin con hiposulfito só- dico. Se determina el bromo en los líquidos filtrados apelan- do á un procedimiento indirecto, fundado en precipitar jun- tos el cloruro y el bromuro de plata y calentarlos en una co- rriente de cloro, deduciendo del cambio de peso la cantidad de bromuro transformado en cloruro, e MBA Basta el sucinto relato de las operaciones para compren- der con cuánta facilidad un descuido en tan larga serie de filtraciones, destilaciones, etc., puede falsear los resultados. Ninguna reacción indica el término de los tratamientos alco- hólicos, y de ello resulta que sea muy frecuente, en particu- lar si el químico no es práctico, el empleo de enormes volú- menes de alcohol, que hacen todavía más engorroso el pro- cedimiento. Treadwell, en su análisis de las aguas de Baden (Cantón de Argovia en Suiza), se contrajo á operar con los líquidos alcalinos procedentes de la concentración de treinta litros de agua, y en lugar de evaporar hasta lograr una masa salina, lo hace tan sólo hasta que las sales disueltas comien- zan á depositarse, añadiendo entonces gran cantidad de al- cohol. De esta manera se tiene la seguridad de que los bro- muros y los ioduros quedan disueltos; el precipitado que se forma es de cloruros y carbonatos. Filtrando y repitiendo va- rias veces la serie de operaciones, se llega á conseguir tener los bromuros y ioduros en disolución concentrada y se de- terminan entonces empleando los métodos indicados y ape- lando, además, para el bromo, al procedimiento de Bunsen, fundado en la acción del agua de cloro. Las dificultades é in- convenientes del sistema son iguales á los advertidos res- pecto del de Fresenius. Con motivo de la hipótesis de algunos médicos, relativa á que el bocio y el cretinismo débense á la falta de cantidades mínimas de iodo en las aguas potables, Lecco examinó las de Belgrado, determinando la proporción de tal cuerpo en ellas contenido. En su estudio, publicado en el Zeitsch fir analy Chemic 1896, dice que, para investigar el iodo, no son necesarios los prolijos tratamientos indicados ni el evaporar tan enorme volumen de agua. De ordinario bastan cinco litros, concentrando hasta tener un pequeño volumen, y en el líquido filtrado busca y determina Lecco cuantitativamen- te el iodo, apelando á la reacción del ácido nitroso y el sul- furo de carbono, valorando con hiposultito, A En el año de 1900 publicó Weszeleszky, en el Zeitsch fiir analy Chem, un método que excitó mi atención y que he ensayado con objeto de comprobarlo. Es, en verdad, un pro- cedimiento sencillo é interesante. Se funda en la acción del cloro sobre los bromuros y los ioduros, y tiene como prece- dentes ciertas observaciones de Winkler, quien, antes de la fecha apuntada, diera á conocer un procedimiento volumé- trico para averiguar la proporción del iodo. Haciendo actuar el agua de cloro sobre un ioduro, éste se transforma en ioda- to. Si el líquido está ácido y se hierve, el cloro se desprende y sólo queda la nueva sal formada. Agregando entonces ioduro potásico disuelto y ácido clorhídrico, se pone en liber- tad iodo, el cual se valora con el hiposulfito sodio decinor- mal. 1% de hiposulfito equivale, según Weszeleszky, á O, gr. 0021 de iodo. Las reacciones químicas fundamentales del procedimiento se expresan de esta manera: IK + 6K0OH+6C!=10¿K+6CIK+3H,0 I0¿K + 5IK+6CIH= 6CIK + 3H,0 + 61. Aplicó Weszeleszky iguales principios á la determinación del bromo con la diferencia de que, mientras tratándose del iodo el agua de cloro ha de actuar como líquido ácido, para el bromo es menester operar en líquido alcalino y evaporar hasta sequedad, con el objeto de destruir el hipoclorito for- mado. He aquí las reacciones: BrK+6KOH+6CI=Br0,K + 6CIK + 3H,0 Br+6KOH+5CI=Br0¿K+5CIK+3H,0 BrO;¿K-+6IK-= 6CIH = BrK+6CIK +3H,0 + 61. Según se advierte en las fórmulas, un peso molecular de bromuro ó de ioduro pone en libertad seis átomos de iodo, resultando así la reacción de gran sensibilidad, al punto que A A de ti AR Dei e do SS — 215 — permite determinar pequeñísimas cantidades de bromuro y de ioduro. Los datos experimentales que acompañan á la Memoria de Weszeleszky, sirviéndole á modo de comple- mento, no pueden ser más satisfactorios. | Con intento de comprobar tan expedito procedimiento, preparé una disolución de ioduro de potasio, empleando una cantidad conocida de este cuerpo y un litro de agua. Previamente había desecado el ioduro á 180”. Un centíme- tro cúbico de la disolución acuosa contiene 0, gr.. 003459 de iodo. Practicáronse los primeros ensayos añadiendo agua de cloro á la disolución de ioduro, concentrando mucho para expulsar el exceso de cloro, diluyendo con agua, agregando ioduro potásico y ácido clorhídrico y valorando luego el iodo libre empleando, en la forma acostumbrada, la disolución de- cinormal de hiposulfito sódico. Operando así, los resultados - que he alcanzado fueron bastante defectuosos, según lo de- muestran los números del siguiente cuadro: Disolución Agua So Oz Na lodo lodo Diferencia. de IK de cloro. | decinormal. hallado. calculado. cc 15cc 0,5cc 0,00105 0,00345 |— 0,00240 ]cc 15ce 0,8cc 0,00168 | 0,00345 |— 0,00177 | cc 27Tcc 2,1cc 0,00440 | 0,01725 |— 0,01285 | 1Occ 30cc 15,0cc 0,03150 | 0,03459 |— 0,00309 Hay, por lo tanto, pérdida de iodo durante la evapora- ción. Acudí entonces, para conseguir la expulsión del cloro, á hacer pasar á través del líquido caliente una corriente rá- pida de aire producida mediante aspiración con la trompa, y los resultados entonces obtenidos ya son por completo satisfactorios, y asi lo demuestran los números contenidos en la presente tabla: Solución Agua : , lodo hallado. Todo calculado. Diferencia. deIK de Cl. j [cc 10ce 0,003465 0,003450 | + 0,000015 5ec 15cc 0,017:220 0,017230 | — 0,00003 10cc 30ce 0,03423 0,03450 — ,00027 20ce 60ce 0,06856 0,06900 — 0,00044 | Practiqué también el siguiente experimento: 100“ de agua acidulada con ácido clorhídrico muy puro se mezclaron con agua de cioro; se calentó hasta la ebullición; se hizo pasar una corriente de aire; se repitió esta operación tres veces, y añadiendo al líquido frío ioduro potásico y engrudo de al- midón sólo se obtuvo el viso violado que corresponde á mínimas cantidades de iodo. Es, pues, muy difícil expulsar la totalidad del cloro; pero el que resta no influye en la de- terminación cuantitativa. - Cuando se trata de determinar el bromo, aplicado al mé- todo de Weszeleszky, el cloro actúa sobre el bromuro en un líquido alcalino. En tales condiciones no hay pérdida de bromo, que se transforma integramente en bromato; pero como el hipoclorito formado ejerce acciones enérgicas sobre el ioduro de potasio, debe ser destruido, transtormándolo, á su vez, en clorato, el cual no actúa sobre el dicho ioduro po- tásico, á lo menos, según el autor del procedimiento, en las condiciones en que éste se practica, en cuyo punto mis ob- servaciones personales no concuerdan con las suyas. Disolviendo 0, gr. 029 de CIO,K en 125“ de agua desti- lada, agregando 5“ de una solución de ioduro potásico al 10 por 100 y 5“ de ácido clorhídrico, al añadir al líquido resul- tante engrudo de almidón, apareció la característica colora- ción azul, y fueron precisas para destruirla y tornar incoloro el líquido, tres gotas de solución decinormal de hiposulfito sódico. Repitiendo el experimento con la variante de disol- — 211 — ver el clorato en sólo 15“ de agua destilada y procediendo lo mismo en lo demás, fueron precisas 5 gotas de hiposul- fito para decolorar el líquido; pero al cabo de algún tiempo adquiría de nuevo el tono azul. Así se demuestra que en las condiciones en que se practica el experimento, el ácido clorhídrico y el clorato potásico reaccionan y las mínimas cantidades de cloro que se desprenden son causa de la des- composición, siquiera parcial, del ioduro de potasio. Con el objeto de comprobar si la evaporación á sequedad! destruía por completo el hipoclorito formado, practiqué los siguientes experimentos: 1 gr. de carbonato potásico fué disuelto en 50“ de agua destilada, se añadieron 20“ de agua de cloro, se evaporó primero á fuego directo, terminando á la temperatura del baño de María y desecando el residuo durante bastante tiempo. Disolviéndolo luego en agua agre- gando al liquido resultante ioduro potásico y ácido clorhí- drico y engrudo de almidón, se necesitaron 2 gotas de diso- lución diunormal de hiposulfito sódico para decolorarlo, pri- vándolo del tono azul característico que había adquirido. Repetido dos veces el ensayo, los resultados fueron idénti- cos; pero es indispensable seguir exactamente las indicacio- nes apuntadas. En los primeros experimentos me ocurrió gastar algunos centímetros cúbicos de la disolución de hipo- sulfito, por no ser completa la transformación del hipoclorito en clorato. / He aquí algunos datos numéricos que atañen á la precisión del método : Agua Bromo Bromo COz Kz | Br K S, 03 Nas Diferencia. | de cloro. hallado. calculado. gr. 20cc 50ce 3.36 | 0,04478 0,04760 |— 0,00282 1gr. 5ce 32cc 8.4 0,01111: 0,01190 ¡|— 0,00079 1gr. ]cc 32cc 1.9 0,002513 | 0,002380 |-+ 0,000133 | Rev. AcAD. DE Ciencias. —VIIT.—Noviembre.—1909 19 Agua Bromo Bromo Cc Oz K> Br K S» Oz Na» Diferencia. : de cloro. hallado. | calculado. Jer. 1ce | 15cc 1.9 | 0,00251 | 0,00238 |-+ 0,00019 1er. | Bcc | 15cc 8.1 | 0,01071 | 0,0190 |— 0,00119 | 1er. | 10ce | 15cc | 13.3 | 0,01759 | 0,02280 |— 0,00521 HI ooo ooo K— Agua Bromo Bromo CO; K2 | Br K Sy Oz Nas Diferencia. de cloro. hallado. | calculado. 1gr. ]cc 15cc 1.7 0,00224 | 0,00238 |— 0,00014 1gr. 5cc | 30cc 8.3 0,01098 | 0,01190 |— 0,00092 1er. 10ce 45ce 16.05 | 0,02123 | 0,02280 |— 0,00160 nee ee e a En las aguas minerales, el bromo y el iodo existen simul- táneamente, y con el fin de determinarlos, Weszeleszky ape- Pigura 1.? ¡la á concentrar algunos litros del líquido, añadiéndole un poco de carbonato potásico y evaporando hasta reducirlo al volumen de 50 á 100 centímetros cúbicos, se filtra, y el líqui- do filtrado se introduce en el aparato representado en la figura adjunta. Tiene el matraz capacidad de 200 á 250 bentilieltds cúbi- — 219 — cos. En la retorta se pone una disolución de potasa con agua destilada; el agua se acidula con ácido clorhídrico; se agre- ga agua de cloro en exceso, haciendo pasar simultáneamen- te corriente de anhidrido carbónico, que se ha de prolongar hasta la completa transformación de la potasa cáustica en carbonato potásico. Mediante la acción del agua de cloro, el ioduro conviérte- se en iodato, que queda en el matraz; el bromuro se descom- Pigura 2.? pone y el bromo libre destila arrastrado por el vapor de agua y la corriente de anhidrido carbónico, siendo absorbido por la potasa el exceso de cloro. En el líquido alcalino, el cloro oxida al bromo, transformándolo integramente en bromato y en los líquidos contenidos en la retorta y en el matraz se determinan al cabo el bromo y el iodo siguiendo los proce- dimientos antes indicados. No habiendo á mano un matraz apropiado, he dispuesto el aparato conforme expresa el dibujo, y su construcción es sencillísima. - En las aguas de La Toja la cantidad de bromo es tan no- table, que bastan 50 á 100 centímetros cúbicos para determi- nar este cuerpo; en cambio, la proporción de iodo es tan in- — 280 — significante, que para descubrirlo es necesario manejar mu- chos litros de liquido, lo cual se explica perfectamente, teniendo en cuenta que tales aguas son ferruginosas y ca- lientes y recordando la facilidad con que las sales férricas descomponen los ioduros. . PUBLICACIONES REGIBIDAS (Continuación.) Navás, S. 1 (R. P. Longinos.) — Boletín de la Real Sociedad española de Historia Natural, Diciembre, 1907. —Tricópteros nuevos. Navás, S. J. (R. P. Longinos.) —Extracto de la Revista Montserratiana, Di- ciembre de 1907.—Neuróptero nuevo de Montserrat. - Zaragoza y Octu- bre de 1907. y Navás, S. J. (R. P. Longinos.) — Notas Zoológicas, por el... —Extracto del Boletín de la Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales. —Tomo VI, Núms. 8, 10 (Nov. y Dic. 1907). Páramo Rangel (Lic. Próspero.) —Los Cometas en su relación con el Ato- nismo Universal, por el... —México, 1907. ' Poole (Henry S.) — Geological Survey of Canada, A. P. Low, Deputy Head and Director. —The Barytes Deposits of Lake, Ainslie and North Cheticamp, núm. 1, etc, By... — Ottawa, 1907. Universite de Kharkoff. — Travaux de la Société des Sciences physico-chi- míques (a... ) —1903-1904.—Tomo XXXI, XXXII, XXXITI.—Supplé- ments Fasc. 16, 17, 18 y 19; idem XXXII.—1904-1906. United States Naval Observatory-Navy Department...—Synopsis of the Re- port of the Superintendent of the...—For the fiscal year ending. June 30, 1907. —Washington, 1908. Universitá di Sassari.—Anno V, Sez II, Fasc. 1-11.—Studi Sassaresí.— Publicati per cura di alcuni professori della... —Sassari, 1907-908. Abbott, M. D. (Charles Conrad). —Archeologia Nova Cesarea. —N.0, TI, By... 1908. - Trenton N. J., 1908. American Museum of Natural History. —The Foyer Collection of Meteorites. By Edmund Otis Hovey Ph. D.—Guide Leaflet N.”. 26, December, 1907. Museo Nacional de Buenos Aires.— Anales del...— Serie 111, Tomo VII. (Con 18 láminas y 16 figuras en el texto). —Buenos Aires, 1907. Observatorio Astronómico da Universidade de Coimbra (Real). —Ephemeri- des Astronomicas.para.o anno de 1908 caiculadas para o meridiano do... Publicacao official. — Coimbra, 1907. (Se continuara.) A A a O NDA Be DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO — pl MIL. — Cuestiones de Análisis. Aplicación 4 la Flsica matemáti- ca, por José Echegaray. Conferencia tercera....... . 197 -XIV.- Determinación de algunas constantes fisicas. de la man- E gágina, por B. Cabrera... Tales a ni QUO XV.—Sabre un: Arán de física, por Jada Jacobo Dará: E E -XVL abserpaciones acerca del ifélodo" de MV esralesald para la determinación del bromo y del iodo, por José Ca-: A e O A ARS AS Publicaciones fecibidas 7... ia caera os RO $ ; / a E , sn E La subscripción 4 esta RuvisTa se hace por toníos O de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos z en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Var - verde, núm. 26, Madrid. - Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. ¡Ud pre ii ies, Po C, 6, SURVEY, LIBRARY AND Bcn Mg , 2180 Aca EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES E TOMO MÍ NÚM. Ss (Diciembre de 1909) | ao ES de MADRID : pues de. otro modo quedará « su 1 publicación a ES NY eln : XVII.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. Por JosÉ ECHEGARAY.. Conferencia cuarta. SEÑORES: Empezamos ya el estudio de un concepto geométrico,.de aplicación general en la Física matemática moderna: nos re- ferimos al concepto de los vectores. Y decíamos, y aun hemos repetido varias veces, que en las entidades que crea el matemático hay una doble categoría. Una, la más extensa, la de aquellos seres ó entidades abs- tractas que el matemático crea, digámoslo así, por derecho propio, y también podemos decir, de una manera desintere- «sada, sin pensar en sus aplicaciones á los fenómenos de la Física ó de la Química, es decir, sin tener en cuenta su uti- lidad para otra ciencia, pensando tan sólo en enriquecer con nuevas creaciones el campo de la Ciencia pura. Otra, muy extensa también, aunque no tanto como la pri- mera, comprendiendo todas aquellas entidades que sean de aplicación á los fenómenos del mundo inorgánico y á las «ciencias que los estudian; estas últimas son muchas veces generalizaciones de otras entidades menos abstractas. Las relaciones entre aquellas primeras entidades dan lu- gar á teorías puras de las ciencias matemáticas. Y estas teorías pueden presentar uno de estos dos carac- teres, hablando y discurriendo en términos generales. O bien Rev. Acap. DE Ciencias.— VIII.— Dieiembre. — 19009, 20 — 282 — son teorías completamente nuevas sin relación ó con relación muy remota y, si vale la palabra, muy subterránea con las grandes teorías anteriores de la Ciencia, verdaderas islas y, valga la comparación, separadas del gran continente de la Ciencia matemática. O bien, por el contrario, son generalizaciones Ó unidades superiores de otras teorías ya establecidas, de suerte que ensanchan la Ciencia siempre en contacto con ella y eleván- dola á otra unidad superior. Un continente, continuando nuestro ejemplo, que se agranda por continuidad de tierra firme, y ésta es casi la regla general y éste es el proceso en cierto modo de la Ciencia: la Ciencia crece y se ensancha elevándose de lo particular á lo general, de unidades inferio- res á otras más altas que, en vez de anular aquéllas, las lla- man á sí, las completan y en las nuevas leyes generales en- cuentran propiedades particulares antes no conocidas. Y en todo esto continuamos dentro de la Ciencia pura y sin volver la vista á ninguna aplicación, si bien, como hemos dicho tantas veces, un día llega, ó un día llegará, en que, las mayores abstracciones del matemático, se vea con asom- bro que son grandes simbolismos intelectuales de las leyes del mundo físico. Las teorías que engendran aquellas entidades matemáticas de la segunda categoría ya son por sí, desde el primer mo- mento, interpretación matemática de los fenómenos de la Na- turaleza. Precisamente con este fin las creó el matemático, para explicar racionalmente los fenómenos del mundo ex- terior. | Fueron, en cierto modo, creaciones utilitarias. Se creó una teoría para explicar la luz; otra teoría para explicar el sonido; otras varias para explicar la electricidad ó el magnetismo. Precisamente la teoría de los vectores se encuentra en este caso, como explicábamos en las últimas conferencias. + y E * NS O A A — 283 — Lo mismo en los problemas de la Ciencia matemática y en la creación de entidades abstractas, que en los problemas del mundo físico y en los seres que pueblan el espacio, no ya la alta metafísica, sino la experiencia vulgar y nasta el sentido común, nos hacen distinguir dos cosas. Primero, los seres considerados como unidad cada uno de ellos, que es lo que podemos llamar un individuo ó varios individuos, individuo abstracto Ó individuo real; y segundo, las relaciones entre estos individuos, el modo de agruparlos, de reunirlos, las leyes de estos agrupamientos y, casi pudiéramos decir, la fuerza interna de estas relaciones. Expliquemos esto en términos precisos por medio de ejem- plos. Consideremos dos fuerzas que actúan en un punto y que están representadas geométricamente por medio de rectas, según el simbolismo de la Mecánica ordinaria. Pues ocurre este problema: sean cuales fueren los efectos de estas fuerzas, que por ahora no los conocemos ni los de- finimos ¿existirá una fuerza única, cuyo efecto único equi- valga al de las dos componentes? ó como se dice en Mecá- nica: ¿estas dos fuerzas tendrán una resultante? Admitamos como evidente que la tienen, para no engol- farnos en otras cuestiones separándonos de la principal. Pues en este caso se formula este problema y es un pro- “blema elemental de la Mecánica: ¿cómo se halla la resul- tante de dos fuerzas concurrentes? Y aquí vemos en este ejemplo sencillísimo: 1.” Las en- “tidades, los individuos aislados, las dos fuerzas. 2.” Una relación mecánica entre ellas mediante la cual su diversi- “dad se reduce á una unidad, la de la resultante; es decir, “una relación mecánica que las enlaza, que las compone y que las eleva, en cierto modo, á la unidad de su resul- tante. | : Y como este ejemplo, pudiéramos presentar otros infi- nitos. , q. ide | — 284 — Y nótese que este problema no lo creamos nosotros á capricho, no es un convencionalismo matemático, como no sea el convencionalismo del simbolo mismo, sino que brota de la realidad y materialmente y racionalmente se nos im- pone. Yo no puedo componer á capricho las dos fuerzas ni dar una regla arbitraria para su composición. Una recta que yo trazase, como representación de la re- sultante de una manera caprichosa, no sería la resultante que busco, porque, tomada en sentido contrario, no haría equilibrio á las dos fuerzas dadas, y, por lo tanto, su efecto no sería igual y contrario al de las dos fuerzas propuestas; luego, al cambiar la dirección, no sería el mismo dicho efec- to que el que ambas fuerzas producen. Así, en este caso, el problema que antes formulábamos: ¿cuál es la resultante de dos fuerzas concurrentes?; es un problema real y que tiene un sentido y que tiene una solu- ción, ya la conozcamos, ya lo ignoremos. Y á esta solución podemos llegar experimentalmente; ó a priori empleando axiomas, Ó acudiendo á la intui- ción, y acaso apoyándonos en algún postulado del movi- miento relativo cuando se estudie la composición de fuerzas que produzcan determinados movimientos en sistemas ma- teriales. / Recordemos, á este propósito, una demostración muy digna de estudio, que se refiere al caso del equilibrio, y que se explica en la mecánica de Poisson. | Es un esfuerzo para reducir los principios de la mecánica á conceptos puramente matemáticos. No la vamos á desarrollar, porque en rigor sería salirnos del campo propio de estas conferencias y, por otra parte, los que tengan curiosidad por conocerla pueden consultar la obra citada; pero indicaremos rápidamente la marcha de dicha demostración. : Neal y Se empieza por establecer el caso particular en que todas — 285 las fuerzan actúan sobre una misma línea; se examina des- pués otro caso particular: á saber, cuando tres fuerzas igua- les concurren en un punto, se encuentran en el mismo plano y forman entre sí dos á dos ángulos de 120". La simetría demuestra que estas tres fuerzas se hallan en equilibrio, y resulta, por lo tanto, evidentemente que la re- sultante de dos de ellas, es la diagonal del rombo ó del paralelogramo formado sobre ambas. Por último, se estudia otro tercer caso particular: cuando las fuerzas son iguales. En este caso, la simetría demuestra que la resultante debe seguir la dirección de la bisectriz; mas para determinar su magnitud hay que acudir á nuevos razonamientos, á nuevos axiomas, Ó, sí se quiere, á nuevas intuiciones. - Evidentemente, la resultante que suponemos que exista sólo puede depender de los datos, de suerte que, llaman- do P al valor de una de las componentes que será ¡igual á la otra por hipótesis, y por 2x al ángulo que forman, es claro que la resultante R será una función de ambos datos que son los únicos P y 2x, Ó si se quiere de P y x, por lo tanto, tendremos, siendo f una función todavía des- conocida R =f(P, x). Pero, si la fuerza P se duplica, triplica, etc., un razona- miento elemental, porque consiste en superponer dos, tres ú más sistemas idénticos, R se duplicará, triplicará, etc....; luego el principio de homogeneidad nos conduce á poner P como factor en la fórmula anterior, la cual tomará esta forma R=Pex), en que + será ahora la función desconocida. Para determinar esta función se sigue una marcha suma- mente ingeniosa y que puede servir en cierto modo de mo- delo y de guía en varias Cuestiones, — 286 — Sean P y P' las dos fuerzas iguales que actúan en el punto A (fig. 6). Descompongamos cada una de ellas: la P en dos compo- nentes Q y Q' iguales entre sí y que formen con P un án- gulo z. Del mismo modo P”' en otras dos les á las. anteriores y formando el mismo án- .gulo z con dicha fuer- za | Todo esto es legítimo porque partimos de la hipótesis de que dos fuerzas iguales tienen una resultante según su bisectriz; lo que hay es que no sabemos cuáles : serán los valores de Figura 6. QU =:Qí =Qíi Q% pero P se expresará en «función de Q, y lo mismo P”, por la misma función +, según “la cual se expresa R en valores de P. Es decir, que tendremos R =Pe(x) SA == 0 (a) Ahora bien, á la resultante R podemos llegar de dos modos partiendo de Q=Q'=Q"=Q”. En efecto, tenemos que de R=Po(x) P= Qo(z) se deduce R= Q9(x)42); — 281 — er? y, por otra parte, si hallamos la resultante de Q y Q”” que será evidentemente, puesto que el semiángulo que forman es x+2, Qp(x+2) y la resultante de Q' y Q”, que será Q9 (x— 2); y si sumamos ambas resultantes, obtendremos, evidentemen- te, la resultante R; puesto que lo mismo da componer las zas Q por un camino que por otro, ya obteniendo las fuer- fuerzas P, y luego su resultante, ya combinándolas dos á dos y sumando las resultantes parciales que actuarán en la mis- ma bisectriz R; de modo que R=Qe(x4+2)+ Q:(x—2), é igualando este valor al que antes hallamos, se obtiene una ecuación que podemos llamar funcional, que será la si- guiente: Q9 (0) 7 (2) =Q7(x+2)+ Q9(x—2), Ó bien A en que la incógnita será la forma de la función «. : Esta ecuación es caso particular de toda una teoría, por- que se trata de determinar la forma de una función de x por la propiedad que expresa la última ecuación, la cual ha de ser satisfecha para todos los valores de x y 2. Ge Es un problema realmente muy curioso y que se repite en muchas cuestiones de análisis con mayor complicación. ¿Quién duda que pertenece á la misma familia el estudio de las funciones periódicas, y que á la misma familia de pro- blemas pertenece la teoría de las funciones fuxianas del ilus- tre Poincaré? : Precisamente para señalar estas coincidencias nos permi- — 288 — timos esta digresión, y para hacer ver cómo un problema de Física se resuelve en un problema de análisis, y éste, á Su vez, inspira al matemático otros muchos problemas de ma- temáticas puras en campos mucho más extensos. De todas maneras, y en el caso concreto que examinamos, el problema de determinar la resultante de dos fuerzas ha quedado reducido á un problema de análisis matemático, á saber: la resolución de la ecuación funcional anterior, en que la incógnita no es una magnitud, sino la forma de una fun- ción, y en que tampoco tiene dicha ecuación, que hemos lla- mndo funcional, la forma de las ecuaciones diferenciales, sino una forma, por decirlo así, más general, porque x y 2 pueden tener valores arbitrarios y no valores infinitamente próximos. Por lo demás, para el problema concreto que estudiamos, una solución particular para o salta, por decirlo así, á.la vis- ta, y veremos que coincide exactamente con la regla del pa- ralelogramo de fuerzas. | | En efecto, si hacemos o(x)=2c0s + y sustituiímos en la ecuación fundamental, tendremos 2.cosx.2c082=2cCc08s (x + 2) + 2cos(x— 2), Ó bien 2 cos xcosz =cos(x + 2) + cos (x—2), que es una fórmula conocida de la Trigonometría. De suerte que 2c0s« es una solución de la ecuación de que se trata. Y ahora se presenta esta cuestión: ¿Esta solución es única, ó el problema admite otrás mu- -chas soluciones ? — 289 -— Si la solución fuera única, el caso particular que estamos considerando quedaría completamente resuelto: en efecto, el problema físico no tiene más que una solución porque no hay más que una resultante; el problema analítico tampoco suponemos que tiene más que una, que es 2 (x) = 2c0s x; luego evidentemente el valor de R sería REIDIPEOS xa y por lo tanto, en este caso particular la. resultante sería la diagonal del paralelo- gramo, Ó si se quiere, del rombo for- mado sobre ambas fuerzas, puesto que A A' (fig. 7) se expresa de este modo AA =240=2Pcos.x; y sin embargo, la demostración no es todavía completa, puesto que la ecuación que sirve para determinar la admite otras soluciones, por lo pronto Figura 7. EYES COD Y no pasamos adelante porque el análisis del resto de la demostración nos ocuparía más tiempo del que podemos dis- poner. Partiendo de los tres casos particulares que antes señala- mos, el caso general no ofrece dificultad de ningún género, como puede verse en la mecánica de Mr. Poisson. Cuando se estudia el mismo problema de la resultante de dos fuerzas, no en un problema de estática, sino en un pro- blema de dinámica, la demostración se funda, como puede verse en todas las obras de mecánica, en un postulado sobre la composición de movimientos. Si una fuerza constante actúa sobre un punto, su efecto 2 Pa no se altera por un movimiento de traslación de todo el sis- tema producido por una fuerza constante también: y no ha- cemos más que indicar la idea por la razón que acabamos de exponer. Por último, si se trata de la composición de ejes de pares de fuerzas, las demostraciones elementales de Poinsot de- muestran, que el eje del par resultante de otros dos se ob- tiene por la misma regla del paralelogramo. En suma, cuando el concepto general de vector se particu- lariza y es un concepto no matemático puro, sino en rela- ción con fenómenos físicos; cuando el vector es una fuerza en un problema de equilibrio, ó es una fuerza en un proble- ma de movimiento, ó es el eje de un par, y así podríamos seguir presentando ejemplos prácticos, este problema de buscar la resultante de dos vectores es; como hemos dicho varias veces, perfectamente legítimo y cabe intentar resol- verlo, ya por el método experimental, ya por conceptos de la ciencia pura, por la lógica, por la intuición, que es lo que acabamos de indicar en los ejemplos anteriores. Por el contrario, es agitarse en el vacio buscar la compo- “sición de vectores abstractos, porque de su definición no se deduce en manera alguna las reglas de su composición. Ahora bien, y volvemos á lo que ya hemos dicho antes: si estos vectores son la generalización de vectores particula- res, fuerzas, ejes de pares, velocidades, etc... como previa- mente se ha demostrado que estos vectores prácticos se con- ponen por la ley del paralelogramo, es natural que genera- licemos, mejor dicho, que conservemos esta regla para la composición de los vectores abstractos. Así como en álgebra, por ejemplo, establecemos q (0+c)=ab-+ac, TA, 1H a e A EA — 291 — si las letras a, bh, c, son símbolos generales de. los números: como ple pu los SS a SUS :Ope- raciones.:.. : | Todavía más, y es amaia lo mismo que acabamos de ex- poner; aunque los vectores sean conceptos puros de la Cien- cia matemática, si los creamos con intención de aplicarlos al mundo de la realidad, es natural, para que sean útiles, que al definir la combinación de dos vectores hagamos de suerte que no se presenten contradicciones al llegar á las aplicacio- nes prácticas, y que digamos en este caso, como definición, que la suma de dos vectores se obtiene por la regla del pa- ralelogramo., Y continuemos exponiendo lo poco- que sobre la teoría de los vectores hemos de explicar. | Un vector correspondiente á un punto es, como decíamos, una recta de magnitud determinada, de dirección determina- da también, y con un sentido también determinado. En estas condiciones, el vector OR definido en el es- pario como ya vimos en la-figura 1.8, 2: y : Si el vector es la recta 4,B, e llilcamanto se Meana de varios modos. 1.7 Por su magnitud A B= W (fig. 8), y por. los. presa án- gulos que esta recta forma con los ejes coordenados. Ade- más, por el sentido que indica la flecha. . 2.” Basta, para definirlo, conocer las. tres. proyecciones de A B sobre los tres ejes coordenados ó sobre tres parale- las á éstos que pasen por el punto Az En la figura serán AD, DC y CB: ¿Podremos llamar á estas tres proyecciones componentes del vector? Mientras no hayamos hecho otra cosa que definir el vector mismo,.no sería correcta esta denominación. “Las tres:rectas indicadas AD, DC, CB,:son las tres pro- — 292 — yecciones, no son las tres componentes; son tres rectas que determinan el vector, no son tres vectores. Pero si á la composición de vectores le aplicamos la regla del paralelogramo, y en el espacio la del paralelepípedo, en- tonces sí, las tres rectas indicadas, podemos decir, que son | 2 | | | B Po | EE | 10 Ñ A Es aa HEAT E . 7 ae | ES aj: / ' E LAA SA ATREA —— pá and S ñ e e 2% Figura S. las componentes del vector W, porque entonces la composi- ción de estos tres vectores AD, CD, CB, dan peta mente el vector AB. En este caso es legítimo emplear estas notaciones, que ya serán correctas: El vector A B se representará por W. Su componente AD, paralela al eje de las x, por W.,. Su componente DC, paralela á y, por W,. Y su componente CA, paralela á z, por W.. Definidos los vectores, agregaremos, para completar la de- finición de sus relaciones, que los vectores se componen, se- gún las mismas reglas de las fuerzas, ó por la regla del pa- ralelogramo, ó por la regla, que se deduce de ésta, para un número cualquiera de vectores, del polígono que representa sa DON cea. su suma geométrica. Mejor dicho, la recta que cierra el polí- gono, será la suma geométrica de los vectores; y si el polí- gono es cerrado, como el lado á que acabamos de referirnos sería nulo, esta será la condición de que una suma geomeétri- ca de vectores sea igual á cero. De aquí resulta una notación particular en que es necesa- rio fijarse, y que puede confundir á los que por primera vez estudian estas materias, si los autores no especifican la cir- cunstancia que acabamos de indicar. mn Fijemos bien las ideas, y para hacerlas más concretas, su- pongamos que los vectores representan fuerzas; pero aplí- quemos la notación vectoriana. Sean F,, Fs, Fa..... F, una serie de fuerzas aplicadas á un punto A. j e Para que dichas fuerzas estén en equilibrio sobre el pun- to A, es necesario y es suficiente que su resultante sea igual á cero; ó, de otro modo, que el polígono de las fuerzas F sea un polígono cerrado; ó, por fin, que la suma vectorial ó geométrica de las fuerzas F sea nula, lo cual podremos ex- presar de este modo: 0: Pero entiéndase que esta * no significa una suma ordina- ria; de modo que la ecuación anterior no equivale á Fiona Lare “o... Fay Lo que significa es, que si con las fuerzas F se forma un polígono, que es el que constituye su suma geométrica ó vectorial, este polígono será cerrado, de modo que el último lado, el que uniría los puntos extremos, se reduce á cero. De no entenderlo así, resultarían absurdos y contradiccio- nes, que nacerían de confundir una suma aritmética ordina- ria con una suma geométrica. — 294 — Más aún: las condiciones de equilibrio de un sistema de fuerzas no se reducen á una, sino que son tres, á saber: que la suma ordinaria de las tres componentes, paralelas á los tres ejes, de todas las Fuerzas -del sistenia, sean separada- mente iguales á cero. 19 “Si representamos las componentes por un subíndice, el subíndice:x para las componentes paralelas al eje de las" x; el subíndice y para las componentes paralelas al eje de las y; y el subíndice z para las componentes paralelas al eje de las z, las condiciones de equilibrio para un sistema de fuer- zas aplicadas á un punto, según las notaciones de la Me- cánica clásica, serán estas tres: NoE] =30; 2Fy=0, == al paso que en el sistema de notaciones vectoriales sólo hace falta una, == F = 0. Esta ecuación única equivale á las tras anteriores; pero fíjense bien mis alumnos en que son notaciones distintas. - Ni es ésta una novedad, porque una cosa análoga sucede con las imaginarias. La ecuación única a+b E 01 equivale á dos ecuaciones: a=0; 90. > % Por eso, en resumen, cuando se habla de una suma, con- viene expresar, para evitar confusiones, si se trata de una suma vectorial ó de una suma ordinaria. | 2 Pe A El ST ERA AAA, a DA A A — 205, = Y nada agregaremos á lo dicho respecto á la teoría gene- ral de vectores, refiriéndonos, como varias veces hemos in- dicado, á la teoría general de las fuerzas. Por de contado, la diferencia de dos vectores se obtiene de la misma manera que la diferencia de dos fuerzas, for- mando el polígono de vectores con el minuendo, y con el sustraendo en sentido contrario, trazado por el extremo del primero. La recta que cierre el triángulo será el vector que represente la diferencia. : Lo-mismo que en la teoría de las fuerzas' se define el mo- mento de una fuerza con relación á un punto, el momento -de una fuerza con relación á una recta, Ó el par de dos fuerzas, pueden definirse los momentos y los pares de vec- tores. | ; - De igual manera que se transforma un sistema de fuer- zas aplicadas á un cuerpo rígido en otro sistema de fuer- zas equivalente, pueden transformarse sistemas de vec- tores. Como se reduce un sistema de fuerzas á una fuerza y un par con relación á un punto, puede aplicarse idéntica trans- formación á un sistema de vectores estableciendo teoremas análogos para los vectores y para las fuerzas. Pero todo esto, no lo olvidemos, supone que se ha com- pletado la definición de los vectores en cuanto á su compo- sición, con definiciones análogas á las que, no como defini- ciones, sino como teoremas se hayan establecido para las fuerzas, velocidades, ejes de pares, etc., etc. * * * Hemos definido la suma y la diferencia de los' vectores: ¿no podríamos imaginar para los vectores, operaciones aná- logas á la multiplicación y á la división de las cantidades numéricas Ó algebráicas? — 20% — Nada lo impide: el matemático, con su poder creador, puede establecer, y para establecer puede definir, composi- ciones geométricas á que dé este nombre, como sucede con las imaginarias y con los cuaternios. Pero la prueba de que éste es un terreno libre, ó sí se quiere, convencional, es que pueden establecerse muchas teorías y muchas notaciones distintas, que unas serán, por decirlo de este modo, más felices que otras, más cómodas y más fecundas. Las imaginarias ya se estudian en álgebra, y los cuater- nios los estudiaremos probablemente en otra ocasión. Por ahora, y para terminar esta matería, recordaremos las definiciones y las notaciones de Grassmanmn, sin estudiar por el momento esta teoría ingeniosa, ni tampoco sus aplica- ciones.: Pero en algunas obras recientes, se introduce el concepto “de multiplicación de vectores según dicho autor, y, sobre todo, se emplean sus notaciones que tienen a ventajas para abreviar los cálculos. Digamos, ante todo, que el concepto de vector, según lo define Grassmann, más se parece al eje de un par, que á las fuerzas de la Mecánica, porque el vector puede transpot- tarse paralelamente á sí mismo en el espacio, sin dejar de ser el mismo vector. Sólo está definido por su magnitud, su dirección y su sen- tido; pero en la definición no entra el punto de aplicación, como antes suponíamos. Por el momento, esta es circunstancia de poca importan- cia para nosotros. Y pasemos á definir la multiplicación de vectores según Grassmann, que después de todo no es otra cosa que ex- “plicar notaciones abreviadas. Ms APES e OIR: AAA EE RARA NN 2 PR El producto exterior de dos vectores A, B corresponde al paralelogramo formado sobre ambos vectores. Para determi- nar su signo, se considera que el vector B gira como marca la figura 9, es decir, en sentido contrario al de las agujas de un reloj, cuando el signo es positivo; y dicho producto HE | | PE | o | e. pe A [092% E lan A | B | | | Yo Figura 9. exterior representa, ó puede representar, el vector OC per- pendicular al plano A OB. Su magnitud, según la definición, es el área del expresado paralelogramo. | El símbolo que lo expresa es [AB]. De modo que se admite este símbolo ANA El valor numérico de C será: valor numérico de C = área OBDA =A.B.sen a Ó más correctamente módulo C = mod. A =< mod. B =< sen a. Porque A es el concepto geométrico que hemos llamado Rev. Acap. DE Ciencias. —VII.— Diciembre.— 1909. 21 — 298 — vector y módulo A la magnitud del segmento. Lo misma res- pecto á B. Algunos autores le dan el nombre á este producto de bi- vector. Según el convenio que hemos hecho respecto á los sig- nos, es claro que tendremos D | [AB]=—1BA] LO De esta notación simbóli- ca se deducen varias conse- Figura 10. cuencias. 1.2 La condición de para- lelísmo de dos vectores A, B será evidentemente [AB] =0. Porque esto significará que el área del paralelogramo es nula y, en efecto, si en la figura 9 coinciden OA y OB, el área del paralelogramo se reduce á cero. 2. Es evidente la notación [A(B + C)] =[AB]+I[4C]. Porque un paralelogramo que tiene por lados OA y OB + BC (fig. 10) mide la misma área que la suma de los dos paralelogramos AOB y A' BC, según marca el segun- do miembro; y en cuanto á la dirección del vector OD, es la misma para los dos sumandos y para la suma. 3. Siendo n un número cualquiera, se tiene evidente- mente [nA.B] =n|[ABL. Porque un paralelogramo que tiene por lados n. OAy OB — 299 — equivale-á n paralelogramos que tengan por lados OA y OB. Las relaciones anteriores po hacer varios cálculos elementales. 4. Es evidente, también, la relación [AB] =[4(B +n4)!). - Porque, en efecto; el segundo miembro, según antes he- mos visto, puede descomponerse de este modo: [A(B +14] =[48] +14 .n4]=[48B] + n[44] y como el último bivector es nulo, según antes se indicó, por ser ambos vectores iguales, en cuyo caso el paralelogramo, como hemos visto, se reduce á cero, sólo queda el primer término, que es precisamente el primer miembro de la rela- ción indicada. Veamos ahora cuáles son las componentes del vector OC (fig. 9) que representa el producto: Sean Ax, Ay, A¿ las componentes del vector A, y B;, B,, Be las del vector B. Para abreviar la escritura escribimos 60 en vez de mod. Aa. Ya sabemos que el vector que representa el producto es. OC perpendicular al plano de los vectores A, B cuando se hace que pase por un punto O. Su magnitud será el área del paralelogramo formado sob dichos vectores A B; luego tendremos. C=AB sena = AB sen (AB). Esto, abreviadamente : en rigor, . mod C= mod A. mod B. sen a; pero la confusión no es posible. 2 800 = . Ahora bien, se sabe por fórmulas elementales de analíti- ca que cos (A B) = AB E AD mod A.mod B y como mod A. mod B = VA 2 +A? A? - VB2+B2+B2, tendremos, cos (UN As Bx + A, By, + Az Bz VA? A AS -VB2 BABA ¡ y por lo tanto, sen(A B) Y po MA BR Ay By A ABE (124 AR RAR) (B 24 Bj + Ba) O bien, ¡ dos sen(AB)= V(A2 +A +A2) BLEB?+B2)—(4:B:+Ay By +A¿BoY mod A. mod B y sustituyendo en C, desarrollando y multiplicando, mod. C= VA2By? + A? B2 + A? B2 + Ay B2 + A2B2+A2B)?— A BLADB, 2 AB A Bo DABAN y por fin mod C =V (4,B,—A, BJ? + (4,B¿— Ac BJ: +44, Bo = AL B)? Este valor de C lo podemos considerar como la resultante de estos tres vectores, salvo el signo, ABE A Bo Bo ABS dB aplicados estos vectores respectivamente según los ejes de las x, y, 2. — 301 — - Esto en cuanto á la magnitud. Respecto á la dirección, puede demostrarse, desde luego, que el vector C definido por los tres binomios anteriores es perpendicular á A y B. Por ejemplo, respecto á A. Los cosenos de los ángulos que forma C con los ejes son AyB:¿—Az¿By AzBx—AxB As By — Ay Bx. mod C ' mod C : mod C Los cosenos de A serán asimismo A, A, Az mod A” modA ” mod A luego EOS CA) — (4,B. — A¿By) Ax + (A¿B;— AxB¿) Ay + (AxB, —AyB;) Az mod C. mod A pero el numerador AyAxBz — Ax Az By + A¿ Ay Bx — Ax AyB: + Ax A¿B, — AyAz Bs se anula; luego cos (CA) =0. De suerte que C es perpendicular á A. Lo mismo se proba- ría para B. En suma, puede decirse que la notación [4 B] en que no ha de olvidarse que el paréntesis es paréntesis recto, que es lo característico de dicha notación, dicho símbolo, repetimos, representa un vector cuyas tres componentes son A, B; > A, By AB 22 AB (y A En resumen, el símbolo expresado para lo que llama Grassmann multiplicación externa, á saber, [AB] — 302 — ó sea paréntesis recto de. A B, representa un vector cuyas tres componentes son los binomios (1). En esta definición, que es arbitraria, no hay contradicción ninguna; precisamente para que no exista esta contradicción en cuanto á los signos, hemos escrito los expresados bino- mios bajo la forma (1) como se comprobaría fácilmente. De no ser así, podría haber contradicción entre los signos de estas componentes y la convención principal que expresa la figura 9. Además de la multiplicación externa de binomios, que es la que acabamos de explicar, emplea Grassmann otra nota- ción, que se refiere á lo - que él llama producto in- terno ó multiplicación in- terna de dos vectores. que corresponde, y repre- Figura 11. senta numéricamente, al área formada por uno de los vectores y la proyección del otro sobre el primero. Sean A y B (fig. 11) dos vectores que pasan por un punto O. Las magnitudes O A y Sl B son las que hemos representado por A y B. Proyectando O A sobre O B, obtendremos O C, y ha- ciendo girar O C, 90” hasta la posición O C”, el área del rec- tángulo OB D C' será la magnitud representada por la no- tación del producto interno; de modo que [A | B]=áreaOBDC' = 0Bx<0C'= =0B=x0A4A cos a El mismo resultado se obtendría multiplicando A por la e D Esta notación es la si- HS A guiente: E ee i [418] A E B os AE ASADA AA AS A E a a ii e pa — 303 — proyección de B sobre el primer vector; siempre tendríamos FBTAL=OA>=< OB 7<0OB>=<0OB> ¿ a A e ej — 335 — Muestra ClO, K. por 100. 1898...... : 0,0020 IU 0,0020 1907038.01 0,0079 1.*.1908.=t 71 0,0120 ENCINAS 0,0082 3.2 1908...... 0,1170 La determinación del percloratoión la practico tomando 12,5 c. c. de (F) (= 5 gr. de nitro) que vierto, con la mis- ma pipeta, en un crisol de porcelana que contiene 8 gramos de cal, exenta de cloruros ó conocida su proporción (*). Caliento el crisol á fuego directo, pero muy débil al principio. A los treinta minutos, próximamente, forma la mezcla una masa seca que puede progresivamente llevarse al rojo som- bra y tenerla así quince minutos, tapado el crisol, que son suficientes para la total reducción del clorato y perclorato del nitro á cloruro. Después de frío se separa fácilmente la masa, se fragmenta, se la introduce en un matraz aforado de 200 c. c., se la añade un poco de agua, y poco á poco ácido nítrico de 1,20 p. e. hasta completa disolución ácida; gene- ralmente se necesitan de 40 á 50 c. c., tanto más cuanto más alta haya sido la temperatura á que se sometió la mezcla, y mayor, por lo tanto, la reducción del nitrato á nitrito. Completa la disolución y seguros de su acidez no exage- rada, se determina el cloroión, ahora existente, de la misma manera que al determinar antes el procedente exclusivamen- te de los cloruros. Conocido así el número de c. c. de solución de nitrato de plata N/10, equivalente al cloro total de los 5 gramos de ni- tro, se le resta: 1.% los c. c. correspondientes al cloroión de los cloruros preexistentes; 2.”, los c. c. correspondientes, se- gún cálculo, al cloroión procedente del, cloratoión, conocido e) No importa que esté algo carbonatada ó hidratada. — 336 — experimentalmente; -3.”, los c. c. correspondientes al clo- roión de los 8 gramos de cal y al volumen de ácido nítrico, sino estaban exentos de cloro. La última resta, expresará los c. c. de solución N/10 de nitrato argéntico correspondien- tes al cloro del percloratoión, si le hay; y, según ellos, se calcula éste que se expresa generalmente en forma de per- clorato sódico, aunque no es seguro que en tal estado esté. Como resultado de dos, y tal vez tres diferencias, el nú- mero expresivo del perclorato no puede ser muy riguroso; y si no se han hecho muy cuidadosamente las determinaciones experimentales, es posible hasta la duda de si hay ó no per- clorato, siendo éste, en general, escaso. Menos de una milé- sima de perclorato difícilmente se aprecia en el nitro; y en todo caso, no puede concederse gran veracidad á la cifra de las diezmilésimas. Indico á continuación dos análisis, donde se ve que, á pesar del cuidado con que se han practicado, no son muy concordantes los dos números correspondientes al perclorato de la misma muestra. 1.?, 1908 - 3.2, 1908 see 0,2915 %,, > Huñedad3t. Bl CUIJEGE 92 SUD: EL 0,5780 » » Cloruro sódico. c4c atentos Jatisblbro 0,5522 -» 3.450 %/, ANNA A A 0,0120 >» 0,117 » PerclotatocSguICO. =. 2... +0... e. 0,311 y 0,355 0,380 y 0,326 He elegido además estos ejemplos, porque enseñan que no guardan ni remota relación la proporción de clorato y la de perclorato. La segunda muestra tíene próximamente diez ve- ces más clorato que la primera, y casi igual proporción de perclorato. De aquí se deduce la necesidad de medir sepa- radamente el clorato y el perclorato y no juntos, como si todo fuera perclorato, que es lo que generalmente se hace. Como no es el objeto de esta Nota la importante medición del nitratoión en los nitros, sólo indico que, después de ha- ¡as MEN TRAE AR A + ¡Y = cer dobles determinaciones del cloroión, cloratoión y perclo- ratoión en las formas expuestas, queda todavía suficiente so- lución (F) para determinar el nitratoión; y, por lo tanto, con una' sola pesada, que no exige balanzas de gran sensibili- dad, se pueden hacer todas las determinaciones más impor- tantes del análisis del nitvo de Chile y en un tiempo bastante corto. Escrito lo anterior, y ya en la imprenta, me he enterado de la.nota de W. Rothmund, publicado en Zeit. f. anorg Chemie. 1909, pág. 48, según la que, los percloratos son reducidos fácilmente á cloruros con una solución ácida de sulfato titanoso: (SO,)z Tls. Esta propiedad, ciertamente muy interesante, pues es no- toria la gran estabilidad y difícil reducción de los perclora- tos por vía húmeda, beneficia poco ó tal vez nada la deter- minación cuantitativa de estos compuestos. El procedimien- to que propone W. Rothmund es más complicado que el clásico actual de vía seca, del que es sólo una variante la forma que yo propongo. Al fin, en uno y otro, hay que de- terminar cloroion; y en presencia de cloruros y cloratos, que es el caso del nitro de Chile y casi el general, siempre la precisión será escasa para el perclorato, sobre todo si no abunda, pues depende de dos diferencias que acumulan los errores en dicho perclorato. e BEE XX. — Sobre la isomería de los ácidos estánicos. Por WERNER MECKLENBURG PRIMERA NOTA Después de demostrado, hace ya casi un siglo, por Davy, Gay-Lussac y Berzelius, que los dos ácidos estánicos, el normal ó ácido a y el meta ó b, no difieren por el grado de oxidación del estaño, y luego que establecieron más tarde Frémy, Weber, Rich, Lorenz (*) y otros investigadores que ambos ácidos pueden existir dotados de las mismas cantida- des de agua, es decir, que tampoco se diferencian por el gra- do de hidratación; para explicar la no identidad realmente observada, había que inventar una teoría de tan singular caso de isomería. Fué van Bemmelen (**) quien, ya en 1888, emitió la opinión de que los ácidos a y b eran sólo modifi- caciones coloidales de diferentes densidades del hidróxido ú óxido estánico; mas entonces apenas era posible el precisar los pormenores de tal idea. En la actualidad, después de construido el ultramicroscopio, la química de los coloides ha realizado tantos progresos importantes que la doctrina de van Bemmelen es explicable de un modo especial, conforme espero demostrarlo en la presente Memoria; pues los fenó- menos particulares que presenta la isomería de los ácidos estánicos, caben dentro de un punto de vista exactamente definido en la química de los coloides. He aquí la tesis que intento probar: Los ácidos estánicos (*) Rich. Lorenz, ZS. f. anorg. Ch. 9, 371; 1895. (**) Van Bemmelen, Jahresber. von Liebig und Kopp, 1888, S. 284.—Z, S. f. anorg. Ch. 45, 83; 1905. o re (03% = a y b son modificaciones coloidales del dióxido estánico hidratado, poco ó nada soluble en el agua, y se distin- guen por el tamaño de sus partículas; el ácido a fórmanlo particulas relativamente pequeñas, y el b partículas rela- tivamente grandes. Ú 1. De tamaño de las partículas de los ácidos a y b en el estado de coagulación. í El hecho notable de que los ácidos estánicos -a y b con- servan sus propiedades específicas; aun después de coagu- lados, y en condiciones especiales se disuelven regenerando las disoluciones originales a y b, no presenta tantas dificul- tades teóricas como se podría creer de primera intención. Es verdad que la precipitación de una disolución coloidal se realiza siempre mediante agregación de las partículas coloidales para constituir grupos mayores; pero los de tal modo producidos no consisten en masas homogéneas y uniformes, sino que las partículas de cuya unión proceden pueden conservar sus individualidades particulares. La rea- lidad de tal hecho la demostraron Kirchner y Zsigmondi (**), quienes desecaron disoluciones coloidales de oro agregán- .doles pequeñas cantidades de gelatina, y obtuvieron por tal artificio una suerte de escamillas que, vistas al microscopio con. objetivo de mayor abertura, se han reconocido forma- das por diminutos granitos singulares de extremada peque- ñez y dotados de intensos colores; y según ha demostrado el estudio ultramicroscópico, cada uno de estos granitos con- tenía cientos Ó aun miles de partecillas submicroscópicas. Disolviendo de nuevo los residuos desecados, en la mayo- ría de los casos se regeneraron las disoluciones originales, caracterizadas por el grado de distribución y por el color. (*) Kirchner y Zsigmondi, Drude's Annalen, 15, 573; 1904. — Zsigmondi «Zur Erkenntnis der Kolloide», Jena, 1905, pág. 113, — 340 — El hecho de constituir el ácido estánico a coagulado pat- tecillas más pequeñas que el b, asimismo coagulado, se pue- de inferir de la mayor facultad de adsorción á la temperatu- ra ordinaria; 'según van Bemmelen (*), son adsorbidas por una molécula de ácido estanico: q ei En atmósfera húmeda............. 2,7 2,3 moléculas de agua. Después de (sobre ácido sulfúrico 2 1,07 > » > sde db 100 centígrados.... 1,7 1,5 » ES Después de tostada débilmente..... 0,8 0,65 » ” o» Y lo mismo se puede decir, también según van Bem- melen (**), para la adsorción del ácido sulfúrico, y según Lówenthal (+**) y Rich. Lorenz (+****) para la del ferrocianu- ro potásico; acerca de los estudios de estos dos químicos diré algo más adelante. 2.—La preparación de los ácidos estánicos a y 0. Puesto que para la preparación del ácido estánico se parte siempre de disoluciones estánicas cristaloídeas, á la continua se obtiene la forma de las partículas menores, es decir, el ácido estánico a. Se produce, v. g. el ácido estánico a me- diante la descomposición, por medio de álcalis, de' disolu- ciones de halogenuros estánicos recién preparadas ó por la descomposición, empleando los ácidos, de disoluciones es- tánicas alcalinas, que, conforme es sabido, contienen el estaño en forma de estanatos cristalizables de la fórmula Me, Sn (OH), (+****). Además de esto, electrolizando una (*) Van Bemmelen, Ber. D. Chem, Gesellsch, 13, 1466; 1880; compárese Gmelin-Kraut-Friedheim, Handbuch der anorganischen Chemie, Bd. IV, Abteil. 1, págs. 279 y 281. (**) Van Bemmelen, Journ. prakt. Ch. 23, 340, 1881. (4%) Lówenthal, Journ. prakt. Ch. 77, 321, 1859. (4) Rich Lorenz, Z.S. f. anorg. Ch., 9, 367, 1805. queres) Belucci und Parravano, Z.S. f. anorg. Ch. 45, 142, 1905. E — 341 — sal alcalina entre un cátodo de platino y un ánodo de esta- ño (*) por la hidrólisis de las sales de estaño prime- ramente formadas, se llega al ácido estánico a. El único método de preparación del ácido b es por el ácido a. La ma- nera ordinaria de obtener el ácido b es reaccionando el ácido nítrico, á una dilución media, con el estaño metálico. De ninguna manera resulta, en este caso, el ácido b, produc- to primario de la reacción. Ya Weber (**) pudo establecer que en las acciones entre el ácido nítrico de 1,35 de peso es- pecífico y el estaño metálico bien batido, y enfriando bastan- te, se produce una disolución absolutamente clara (del ácido coloidal a, no, como cree Weber, de nitrato estánico), la que, calentada después de la reacción, deposita el ácido está- nico b muy insoluble en el ácido nítrico; este interesante resultado está confirmado por los dos AO ingleses Hay (***) y Scott (+***), Calentando se fomenta la producción del ácido b; por eso haciendo hervir las disoluciones del ácido a se obtiene el ácido b. Pero si se trabaja con un líquido bastante diluído, se aisla, conforme lo averiguó H. Rose (****) estudiando el cloruro estánico, el ácido a, y no el b, y es una observación de sumo interés, porque, en general, preparando las diso- luciones coloidales, v. g. las del antimonio sulfurado, las par- tículas son tanto menores, cuanto más diluidas están aqué- llos AAA (*) Lorenz, Z.S. f. anorg. Ch., 12, 436, 1896.--Elbs y Thiimmel, disolviendo anódicamente el estaño en disoluciones neutras y ácidas, en general han obtenido derivados del estaño divalente (Z S. f. Elektroch., 10, 364, 1904). (**) Weber, Pogg. Ann., 122, 365, 1864. (***) Hay, Chemical News, 22, 298, 1870. (4%) Scott, Chemical News, 22, 322, 1870. (E) H. Rose, Journ. prakt. Ch., 45, 76; 1848. (RE W Biltz, Nachr. d. Kónigl. Gesellsch. d. Wiss. z. Góttin- gen, Mathem. physik. Klasse, 1906, Hett. 2. — 342 — Lo mismo que el ácido estánico a se produce fácilmente: partiendo de disoluciones estánicas cristaloídeas,.éstás con mucha facilidad son regeneradas, y en ello muéstrase en com- pleta oposición con el ácido b. En las disoluciones alcalinas del ácido a se pueden aislar los estanatos respectivos cris- talizados Me, Sn (OH),. Y disolviendo el ácido estánico a en una disolución fuertemente clorhídrica, se puede destilar sin la menor dificultad el cloruro estánico Sn Cl,. 3.—La transformación lenta del ácido estánico a en el b. El hecho, de antiguo conocido, que las disoluciones acuo- sas del ácido estánico a se transforman, con el tiempo, en disoluciones de b, ha sido estudiado empleando medios exactos, es decir, basados en medidas exactas, por diferentes investigadores. Y es el ya citado Lówenthal á quien se debe un método apropiado para realizarlas (*). Lowenthal (**) ha establecido que el ferrocianuro potásico en su disolución acuosa puede ser precipitado completamente por el ácido estánico; pero que se necesita tanto mayor cantidad de di- solución acuosa de cloruro estánico, y que el precipitado formado contiene tanto más de estaño cuanto más antigua es la disolución estánica. El cuadro siguiente, intercalado en el trabajo de Lówenthal, resume la edad de la disoiución acuosa del cloruro estánico, la fuerza de precipitación y la composición del precipitado. (+) La variabilidad, con el tiempo, de una disolución acuosa de cloruro estánico, se reconoce también por la variación de la conduc- tibilidad eléctrica. Pero el deducir dela conductibilidad una medida exacta y simple de la transformación del ácido a en el b, parece poco seguro, pues tal propiedad es sólo la resultante de los efectos de fac- tores muy variados, es decir, de losiones simples y complejos con sus velocidades respectivas y modificadas por las partículas presentes, de diferentes tamaños, de los ácidos estánicos. Véase v. Kowalevsky, Z.S. f. anorg. Ch. 23, 1, 1900. (**) Lówenthal, Journ. f. prakt. Chem. 77, 321, 1859. (ESE _ ______ == _ _———————_ __ _ —_ zzMMMM«———— Composición del precipitado Para la precipitación compieta de 0,5 gramos Edad de la disolución acuosa de K, Fe Cy,3H, O moléculas de Sn (OH), del cloruro estánico. se necesitan. moléculas de K, Fe Cy ¿Yo An ; 6 centímetros cúbicos. Cerca de 1,5 als Looks 10 — — =- 2,3 1 dol 14 — — — 3,3 27 — - — 6165 As 8,5 Esta disminución, con el tiempo, del valor de precipitación de la disolución del cloruro estánico, la explica Rich. Lo- renz (*), suponiendo que se realiza una reacción entre el ión ferrociánico y el ión estánico, y que la disminución del efec- to se basa en la desaparición sucesiva del ión estánico. Tal teoría parece poco probable, por dos razones. En primer lu- gar, la desaparición sucesiva de los ¡ones estánicos es muy sorprendente, pues en disoluciones acuosas las reacciones iónicas suelen realizarse con mucha rapidez. Y en segundo lugar, la teoría de Lorenz lleva á admitir que el producto segregado en la reacción ha de consistir especialmente en estaño ferrociánico Sn Fe (CN); y por el contrario, la can- tidad de estaño contenido en la masa de reacción aumenta con toda regularidad. Así creo preferible otra explicación. Siendo mayor el poder de adsorción del ácido estánico a que el del b, la transformación sucesiva debe hacerse notar por un decrecimiento de aquel poder, lo cual se reconoce en la segunda columna del cuadro arriba citado. De otra parte, las disoluciones del ácido estánico b se precipitan más fácil- mente que las del a, conforme se verá en el párrafo cuarto del presente estudio. Por eso, el ferrocianuro potásico, pre- (*) Rich. Lorenz, Z. S. f. anorg. Ch. 9, 377, 1895, o TMB cipita no sólo el ácido a, sino también el b, y la adsorción principalmente es función del ácido a precipitado. Con otras palabras: La cantidad total del precipitado debe aumentar y al mismo tiempo disminuir de poder de adsorción, cuanto más se produce la transformación del ácido a en el b, hecho demostrado en la tercera columna del cuadro. La lentitud de la transformación, según esta teoría, no debe parecer extra- ña, en cuanto no se trata aquí de reacciones iónicas. 4.- Las reacciones de los ácidos estánicos a y Ú. Consistiendo en partículas más pequeñas el ácido a, y te- niendo por ello mayor superficie que el ácido estánico b, se debe inferir que es atacado con más facilidad que su isóme- ro por los reactivos químicos. Los ejemplos siguientes ha- cen ver que esta consecuencia de nuestra teoría se armoni- za muy bien con los hechos observados en la realidad. Una disolución acuosa del ácido estánico a, tratada por el hidrógeno sulfurado (*), es precipitada completamente en forma de estaño sulfurado; y en las disoluciones de b lo que se obtiene, mediante la acción del mismo reactivo, es, en general, ácido estánico. Con el ácido tartárico, el ácido está- nico a es transformado en su compuesto complejo reciente- mente obtenido cristalizado por Rosenheim y Aron (**); de tal compuesto, el ácido estánico a no puede ser precipitado ni por los álcalis ni por el amoníaco; asimismo, en presen- cia del ácido tartárico, es imposible transformar una disolu- ción del ácido a en otra de b ei Con el ácido estánico b, el ácido tartárico no reacciona, ni imposibilita la precipita- ción empleando dichos reactivos. Se ha de recordar cómo, (*) Barfoed, Journ. f. prakt. Chem., 101, 370, 1867. —Jórgensen, Z.S. f. anorg. Chem., 28, 140, 1901. (**) Rosenheim und Aron, Z.S f. anorg. Chem. 39, 170, 1904. | (***) Lówenthal, Journ. f. prakt. Chem., 77, 321, 1859, 3 y 8 7 — 345 — según Vignon (*), los colorantes orgánicos, al igual de la fenosafranina, producen lacas con el ácido a, pero no con el b; si la producción de la laca, en el caso presente, es ex- plicable mediante adsorción ó atendiendo á reacciones quí- micas, es cuestión de menor interés. Tiénelo superior el estudiar el cómo se conducen ambos ácidos estánicos en presencia de los ácidos minerales y de los álcalis (**). Atendiendo al tamaño de sus particulas, el ácido estánico b está más próximo del estado de coagulación y así es precipitado más fácilmente que el a, y al contrario el. ácido a se transtorma mejor que el b en disoluciones crista- loídeas. Los dos ácidos estánicos recientemente precipitados son peptizados por los álcalis, pero los álcalis de débil po- der peptizante, v. g. el amoniaco ó los carbonatos alcalinos, solo son aptos para la peptización del ácido estánico a de partículas más diminutas, no para las mayores del ácido es- tánico b. Un exceso de ácidos minerales ó de álcalis es bastante para precipitar la disolución coloidal del ácido b, más no la del a, el cual, al menos en parte, es transformado en tales condiciones en compuestos cristaloídeos de estaño. La peptización del ácido estánico b, preparado mediante la acción del ácido nítrico sobre el estaño metálico á tempera- turas elevadas, sólo pueden realizarla los ácidos ó álcalis concentrados; pero si la acción de estos reactivos se dilata algún tiempo, las partículas hácense cada vez más pequeñas; el ácido b se transforma poco á poco en a y éste en com- puestos cristalinos. Ni el ácido a ni el b forman verdaderas sales. Se demues- tra que las disoluciones salinas del ácido b son disoluciones coloidales típicas, en cuanto las precipitan los electrólitos y por no ser cristalizables. Las «sales» sólidas aisladas de tales (+) L. Vignon, Comptes Rendus, 122, 580, 1841. (+*) Véase Gmelin-Kraut-Friedheim, Handbuch der anorganischen Chemie Bd. IV, Abteil. 1, S. 279 u. 281-284. Rxvy. Aca. Dr Ciencias. —VII1.—Diciembre.-— 1909. 24, PRI. Y disoluciones son substancias amorfas, caracterizadas en los análisis como hidrato estánico hidratado, que á consecuen- cia de simple adsorción puede fijar ácidos ó álcalis. Los compuestos cristalizables generados del ácido estánico a, las llamadas sales a del ácido estánico, v. g. los hidratos del cloruro estánico Sn Cl, Ó el estanato potásico K, Sn (OH),, no se pueden considerar verdaderas sales del ácido estáni- co a, porque el peso molecular de éste es de un orden de magnitud muy distinto del correspondiente á tales sales a. El ácido estánico a v. g. no se puede difundir por las pa- redes de una manga de diálisis de Kiihne, y en cambio lo hacen las sales a de estaño, no hidrolizadas. RESUMEN Los particulares fenómenos de isomería del ácido estánico se pueden explicar suponiendo que el cuerpo en cuestión colocado en un medio acuoso ácido, alcalino (y acaso según muchas probabilidades también neutro) forma disoluciones acuosas coloídeas, cuyas partículas tienen diferentes tama- ños, pudiendo al ser precipitadas conservar su individuali- dad. Las mayores facultades de adsorción y de reacción y las relaciones íntimas con las disoluciones cristaloídeas del estaño, hacen resaltar la estructura relativamente fina del ácido estánico a; y son consecuencia del tamaño mayor de las partículas del ácido estánico b, su menor poder de adsor- ción y de reacción, la fácil precipitación y el defecto de rela- ciones directas con las disoluciones cristaloideas del estaño. Esta teoría del ácido estánico se prede aplicar á otras substancias de las que también presentan la isomería del ácido estánico v. g. á los ácidos silícico, tórico y circónico. Clausthal i H. (Alemania) 19009. — 347 — XXI.—Viaje de estudio á la Guinea española. Observaciones acerca del Trypanosoma gambiense y algunos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales. Por GUSTAVO PITTALUGA. Desde la mitad del mes de Junio hasta últimos de Octubre del pasado año de 1909 he tenido ocasión de recorrer y vi- sitar diferentes lugares de la isla de Fernando Póo y de los territorios de la Guinea Continental española, como Jefe de una Comisión del Instituto Nacional de Higiene de Alfon- so XIII, enviada por el Ministerio de Estado á aquellas po- sesiones coloniales con el objeto principalísimo de determi- nar la existencia, extensión é intensidad de la llamada «en - fermedad del sueño» ó tripanosomiásis humana, en los tér- minos de la Colonia, y de contribuir al estudio de las condi- ciones sanitarias de ésta. Durante la expedición hubo que llevar á cabo numerosas observaciones parasitológicas. Y de los resultados de algu- nas de ellas, que se refieren particularmente al Trypanosoma gambiense y á otros protozoos parásitos del hombre y de animales, me propongo dar cuenta en esta breve Memoria á la Real Academia de Ciencias. Séame permitido recordar aquí, con palabras de sinceras alabanzas, la eficaz cooperación de mis dos compañeros de viaje, el Dr. D. Luis Rodríguez Illera y el Sr. D. Jorge Ra- món, y al propio tiempo el incondicional apoyo y las muchas cortesías recibidas del Gobernador general de la Colonia, Excmo. Sr. D. José Centaño, y de las autoridades todas de la isla de Fernando Póo y de los dos distritos de Elobey y de Bata, en el Continente. — 348 — Antes de exponer los resultados de nuestras observacio- nes, creo oportuno comunicar á los lectores de la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS un breve relato de la expedición. En las dos láminas que acompañan al presente trabajo, se halla trazado en los Mapas de Fernando Póo y de la Guinea Continental española el itinerario recorrido por la Comisión que tuve el honor de dirigir. I Itinerario de la expedición y resumen general de los trabajos efectuados. La Real orden de nombramiento de la Comisión lleva la fecha del 21 de Mayo de 1909. Organizada apresuradamente la expedición en parte con el material del Instituto Nacional de Higiene de Alfonso XIII, en parte con material adquirido en los días que corrieron entre el 21 y el 28 de Mayo, con cargo al crédito consignado por la Sección colonial del Mi- nisterio de Estado, salimos de Madrid el día 28 y de Cádiz el 30, á bordo del vapor San Francisco, de la Compañía Trasatlántica. Tocó el San Francisco los puertos de Las Palmas, Río de Oro, Sierra Leone y Monrovia (República de Liberia) y el día 15 de Junio llegó á Santa Isabel de Fernando Póo. Instalado nuestro modesto laboratorio en la casa del Sr. Capmany, expresamente alquilada para este objeto, pu- dimos emprender nuestras tareas el día 20. - La Comisión permaneció en Santa Isabel de Fernando Póo — en esta primera etapa — desde el 15 hasta el 28 de Junio. Los médicos del servicio sanitario colonial, D. Tomás Ramos Pabalán, jefe del servicio, D. Arturo Gil Fabre y D. César Alonso, nos auxiliaron en aquellos días y merecen por nuestra parte un vivo recuerdo de gratitud. Constante é inteligentísima cooperación nos prestó el Jefe PS, e el e , TO A E — 349 — de la Sección Comercial de la Compañía Trasatlántica, nues- tro buen amigo D. Pedro Bengoa. A partir del día 21 empezaron á acudir á nuestro labora- torio numerosos indígenas acusando diferentes dolencias. Todos ellos, cualquiera que fuese la enfermedad clínicamen- te diagnosticada, fueron sometidos á examen metódico de la sangre, y en los casos sospechosos el examen fué repetido muchas veces en días sucesivos ó en horas distintas del día. Fueron adquiridas por entonces las primeras noticias exac- tas acerca de la procedencia de algunos casos de enferme- dad del sueño observados en Santa Isabel y en el territorio de la Colonia en general. Resultaron de gran provecho para la Comisión, además de los datos recogidos por los médicos del servicio colonial en años anteriores, las indicaciones que nos proporcionaron el Rvdo. P. Armengol Coll, Vicario apostólico, y el P. Juanola, de las Misiones desde larga fe- cha establecidas en la isla y en el continente. Desde el 21 al 28 de Junio fueron examinados 18 indivi- duos. Entre ellos merecen ser recordados la niña María, de diez años, procedente de la Misión de Concepción (Fernando Póo), y á la sazón en el Hospital Reina Cristina, de Santa Isabel; y el portugués Felisardo Godiño, de veinticinco años, procedente de Santo Tomé y Principe, cuya historia clínica está resumida más adelante. (Véase Il, casos números 1 y 2.) El día 29 de Junio por la mañana salimos de Santa Isabel á bordo del vapor Annobon para una excursión de quince días «al interior de la isla, y con el objeto principalísimo de visitar los dos puritos más importantes, respectivamente, de la costa occidental y oriental de Fernando Póo (lámina l, adjunta al presente informe), San Carlos y Concepción; este último considerado, con gran fundamento, como el foco de la tripanosomiasis humana en la isla. No fué posible detenernos en San Carlos esta primera vez sino algunas horas, durante las cuales el Sr. Tort, médico de aquel Hospital, y el Dr. Virto, que ejerce libremente la profe- Prr TALU GA- £i inmedad del sueño y moscas del genero 'ilossim, em la ésia de Sernando Poó. < Long. 12250" Est. de VYadrid 12260" 12230 12240 — Revista DE La R. AcaD. DE CIENCIAS, Diciembre 1909 = halif Norte, pe ze | (925%) ISLA DE FERNANDO POÓ / ») lí 8 e MN cos | Mn TA AT h Ñ Ú Si ebola 0025 lr A De MINA sal gora SLU MAN mi N. 1 _—_ en; pa 12950 129707 Ge Pillaluga, dib. ñ === Minerario seguido por la omisión del histi Pd psu as Z a 4 de 2 3 Ape < ANNINV Abareredeniico de ez rilaiaa A cai o echa al de Higics 7 de Alfonso X 11 enviada porel Ministerio de Estado. INNER Zpcas dudosos de enferm DEAN PERA A qee se han j cogido gran avimero de moscas del genero Glossina ,, Casos de Inipanosoniasis humana personalmente obs 12250 Est. de Madrid p SOLER ' ' 7 3 A 1 1 9 A - ( Ñ — 350 — sión y posee además una finca de cacao en aquel territorio, nos comunicaron datos de interés acerca de algunos casos de probable tripanosomiasis observados en los últimos tiem- pos, especialmente en las cercanías de Boloco, en la finca de la Viuda de Vivour, cuyo personal indígena, muy reducido ahora, había sído numerosísimo antes y había proporciona- do gran contingente de enfermos. A las diez de la mañana del día 30 de Junio llegamos á bordo del Annobon, y después de haber dado la vuelta á la isla, al sitio llamado Concepción. La casa-cuartel de la guat- dia colonial, baja, á pocos metros sobre el nivel del mar, y un centenar de metros más arriba, la casa-factoría de la Compañía Trasatlántica, habitada por un empleado europeo que está al frente de la finca, constituyen la totalidad de las viviendas allí reunidas, con los pequeños grupos de chozas de los bubí. En lo alto del monte, á dos horas de camino desde la playa, se halla emplazada la hermosa casa de los Misioneros de Concepción. En la finca de la Compañía Trasatlántica, y gracias á la in- teligente cooperación y exquisita amabilidad del Sr. D. Ra- món Mazo, Gerente de dicha Compañía en Fernando Póo, pudimos examinar con detenimiento 23 trabajadores indíge- nas, en su mayoría procedentes de Monrovia (República de Liberia) ó de otros puntos de la costa de la Guinea conti- nental, y sólo algunos pertenecientes á la raza bubi, propia de Fernando Póo. De todos ellos se llevó á cabo el examen hematológico. Con el auxilio del sargento de la Guardia civil colonial, Sr. Moreno Carretero, y de sus dependientes, fueron capturadas en gran número, en aquellas localidades, las moscas del género «Glossina», que los naturales indica: con el nombre típico de SINKI SOTTE Ó, literalmente, «mosca grande», y cuya picadura temen como venenosa. El día 1.* de Julio, en la Casa Misión, que, como he dicho, dista cerca de dos horas de camino de la playa, y se halla muy elevada sobre el nivel del mar, fueron observados seis — 351 — enfermos, uno de ellos (Lepa, de diez y ocho años) atacado desde hace tiempo de la enfermedad del sueño. El Superior de la Misión nos prodigó atenciones que vivamente le agra- decemos. El camino que conduce desde la Misión de Concepción al llamado Valle de Moka, en el centro de la isla, sube entre bosques espesos, ricos en lianas y constituidos por enormes representantes de todas las especies tropicales. El transpor- te de la carga por aquellos senderos —especialmente el de una carga delicada como la que constituía nuestro material de laboratorio, aunque reducido á la menor expresión — re- sulta pesado y difícil. Dos caballos y dos asnos, de los po- quísimos que existen en la isla, y que la Compañía Trasat- lántica procura introducir en su potrero de Moka, hicieron á los cuatro expedicionarios — puesto que el Sr. Mazo nos acompañaba en la excursión - más llevadera la cuesta y más breve el camino. Desde el día 2 al día 7 de Julio permaneció la Comisión en Moka, en la casa de dicho potrero de la Transatlántica, á 1.000 metros sobre el nivel del mar, y casi en el centro de la isla. Desgraciadamente, tuvimos en aquellos días lluvias continuas y torrenciales, que nos impidieron realizar gran parte de nuestro programa, A pesar de ello, pudimos dar- nos cuenta de las excepcionales condiciones que reune el llamado «Valle de Moka» para la vida del europeo y para la cría de ganado vacuno y caballar, á la cual dedica el señor Bengoa todos sus desvelos y su actividad. En Moka se lie- varon á cabo interesantes observaciones hematológicas y parasitológicas sobre diferentes especies de aves y de ani- males domésticos; se recogieron y determinaron algunas es- pecies de Culicidos de la localidad, y se vieron algunos indí- genas, entre ellos el jefe bubi ó Botuko Malabo, enfermo de un flemón voluminoso por caries dentaria. El día 7 de Julio, á las once de la mañana, nos separamos del Sr. Mazo, y por una senda apenas practicable nos diri- A — gimos hacia Musola, en la vertiente oriental de la cadena central de la isla. Llegamos á las cinco y media de la tarde. En la Misión de Musola, durante la mañana del día 8, fue- ron observados y sometidos á examen de la sangre 11 en- fermos. Aquella misma noche, con seis horas de marcha, llegamos á San Carlos. Los días 9 y 10 de Julio fueron allí dedicados á reunir cuantos datos estaban á nuestro alcance acerca de la exis- tencia de tripanosomiasis humana en aquella localidad. Tuve entonces las noticias que más adelante se refieren acerca de los casos de enfermedad del sueño observados por el en- cargado de la finca de D. B. Roig, Sr. D. Emilio Sirvén. En el Hospital de San Carlos tuvimos ocasión de exami- nar en aquellos dos días 12 enfermos. Uno de éstos, Cama- chindo, según toda probabilidad tripanosomiásico antiguo, caquéctico, falleció pocos días después, el 15, y el médico de San Carlos Sr. Tort, con el practicante Sr. Quella, ejecu- taron la autopsia del cadáver y nos remitieron á Santa Isa- bel las piezas anatomopatológicas de mayor interés, conve- nientemente acondicionadas. El día 10 por la noche, á bordo del vapor Corisco, salió para Santa Isabel el Dr. Illera, pasando por Concepción con objeto de recoger en esta localidad algunos ejemplares de Glossina. Á las cinco de la mañana del día siguiente, el que escribe, acompañado por el auxiliar de la Comisión Sr. Ra- món y Cajal, y por el Agente de la Casa Moritz Sr. Bubeck, se dirigió en una ballenera á la pequeña isla de Loros, y - después, en la lancha de vapor Ena, de la casa Wilson, á Santa Isabel. Nuevamente permaneció la Comisión en la capital de la Colonia desde el día 12 hasta el 18 de Julio. En estos días fueron examinados otros 18 enfermos, entre ellos el soldado indígena (senegalés) Domingo Deché, perteneciente á la guardia colonial, tripanosomiásico (v. IL, caso núm. VI), que fué sometido más tarde á tratamiento con Atoxil, y que, en IIS SEUA E «— 308, = virtud de permiso concedido por el Sr. Gobernador, nos acompañó durante toda la expedición, y se halla actualmen- te en Madrid, en el Instituto Nacional de Higiene de Alfon- so XIIl. Preparado el material necesario, salió la Comisión de Santa Isabel el día 18 de Julio á bordo del vapor Annobon para el continente, dirigiéndose ante todo á la isla de Elobey, capital del distrito correspondiente. Recibidos en Elobey con inmerecidos honores y con ex- tremada amabilidad por el Subgobernador D. Manuel Aren- zana, quedamos en la pequeña isla hasta el día 25 hospeda- dos en la Casa de la Compañía Trasatlántica, y acompaña- dos por el Sr. Bengoa, que ya no se separó de nosotros hasta el día 22 de Agosto, en Bata. En Elobey fueron examinados en esos días siete enfermos, entre ellos dos importantes casos de elefantiasis, y uno, el soldado indígena N'Bá, procedente del Río Muni, atacado de enfermedad del sueño desde hace tiempo; afianzado el diagnóstico con el hallazgo de numerosos tripanosomas en repetidos exámenes de la sangre, se llevaron á cabo inocu- laciones en conejos, conejos de Indias y un mono, que dió á los ocho días una reacción febril intensa (39,9) y presentó luego tripanosomas en la sangre. El día 25 de Julio, en la ballenera de la Trasatlántica, em- prendimos el viaje por el Muni, dirigiéndonos ante todo á la factoría de Wermakogo, en el Río Utamboni. De allí, pot M'Beto (puesto francés que obliga á pequeñas operaciones de aduana), subiendo el Río por Abenilang, llegamos el día - 28 por la tarde al pueblo pamue de Mebonde. (Véase el mapa de la lámina Il, adjunto á este informe.) -—— En Mebonde permanecimos seis días, saliendo el 4 de Agosto, á las doce y media, en viaje de regreso para Mbung, sitio en que está emplazada una de las factorías de la Casa Woermann. Durante nuestra estancia en Mebonde fueron hechas observaciones de gran interés; se llevó á cabo el toscas Ze 7 $ Fla Guined continental Españ o 152 y Lonyilud Oricr Nord de (q a - ¡NB z S SH CSPALO! e OL A (Mataniador 1) ” > Ue Maya os NADN CS RU - 1 ir | AS po 0 (C/ON GO FRANCES) 10% Est 140 _Creemielh Escala de t: 1.000.000. do por la emisión del Iustiluto Nacional de IHigicne de Alfonso NIT enviada - por el Mini, de Histado, HERA Localidades NIN Aozecess 22 7 o lasos de trip ese hn encontrado moscas del genero "Olossita , s por da enfermedad del sneño. A . 5 3 E JH OA rosormiasis haniana personalmente observados por la lomesion. LiT.J. BLass o 30d EL, examen de la sangre de 17 indígenas; mayor número de en- fermos fué observado y curado por llagas, úlceras, heridas ó lesiones, de tratamiento quirúrgico en general; se dió princi- pio á una investigación metódica de los parásitos intestina- les con el examen de las deposiciones. Allí tuvimos una invasión de Phlebotomus (Phl. pappa- tasii), pequeñísimos dipteros hematófagos que se conocen generalmente, entre los colonos españoles, con el nombre de gegen. Durante todo el recorrido del Río Utamboni fueron capturadas en gran número, en la misma embarcación y en las orillas, las moscas del género Glossina. De los remadores indígenas que prestaban servicio en la ballenera algunos cayeron enfermos de fiebres palúdicas, graves, durante el viaje. El mismo Sr. Bengoa, que no obser- vaba con la absoluta severidad, por nosotros adoptada, las reglas protilácticas, fué atacado de fiebres tercianas. Huevos y larvas de Anquilostomas, con gran número de otros parásitos intestinales, fueron encontrados en las depo- siciones de algunos enfermos indígenas. En la factoría de Mbung, en el punto en que se bifurca el Río Utamboni formando dos grandes brazos, pasamos la noche del 4 al 5 de Agosto, recibidos con exquisita cortesía por los agentes de la casa Woermann Sres. Schumácker y Droége, los dos victimas antiguas de la infección palúdica. El Sr. Schumácker había tenido pocos meses antes (en Febrero) una grave hemoglobinúrica (Schwarzwasser-fieber); el señor Droége salía entonces de un ataque de paludismo que se le había presentado de repente, en la noche del 1 al 2, mien- tras estábamos en Mebonde. Los dos fueron sometidos á examen de la sangre. Igualmente fueron examinados, en la factoría, cinco trabajadores indígenas. El día 5, en dos cayucos ó piraguas, por el brazo más pe- queño del Río Utamboni, nos dirigimos al puesto de Asobla, en que residen de ordinario un teniente, un sargento y dos cabos europeos de la Guardia Colonial, con veinte ó treinta — 355 — soldados indigenas. Es, actualmente, el último puesto guar- necido en la región del Muni. En la casa-cuartel, que se halla inmediatamente sobre el río, en la misma orilla, fueron examinados cinco indígenas, entre ellos un disentérico que presentaba en gran número amibas, correspondientes á En- tamaeba histolítica (SCHAUDINN), en las deposiciones. Tuve, también, ocasión de llevar á cabo el examen hema- tológico de algunos ejemplares de aves (Cypselus, etc.) y de algunos perros. En éstos se hallaron (dos casos) embrio- nes hemáticos de Filaria immitis; en aquéllos (100 por 100) Haemoproteus y formas de tripanosomas, probablemente ligadas con el ciclo evolutivo de este parásito; y en un caso una microfilaria. El día 6 estábamos de vuelta en Wermakogo, después de haber visitado el puesto de Kangañe, en cuya casa-cuartel residen, generalmente, dos cabos de la Guardia Colonial (europeos) y un practicante (D. P. Mantecón) que enfermó gravemente poco tiempo después. En la factoría que la Compañía Trasatlántica posee en Wermakogo, fué observado, con detenimiento, un caso típico de disentería, enfermedad endémica en el territorio del estuario del Muni y de sus afluentes. Se hallaron en gran número las características amibas en el examen de las de- yecciones. Fueron hechas, oportunamente, las siembras para aislar, á ser posible, las especies bactéricas de la flora intes- tinal en busca del B. de Shiga. Fueron sometidos, además, al examen hematológico, dos indigenas y un empleado europeo de la factoría, el Sr. Costa. Examinando la sangre de algunos pájaros, encontré nue- vamente la misma microfilaria hallada en Asobla y pude estudiarla con mayor detenimiento. Fueron capturadas en Wermakogo numerosas Glossinas, y reunidos interesantes datos acerca de la enfermedad del sueño (que los indígenas de la localidad llaman Uyód) y de algunos casos procedentes del pueblo de Ibay, en el alto Rio Utongo (véase el mapa). — 356 = Los pamúues, de la cuenca del Muni, indican las moscas del género Glossina con el nombre de bi-lú, y las distinguen de los tábanos y de las Stomoxys, que llaman mi-ló. El día 7 de Agosto salimos de Wermakogo, y, pasada la noche en la casa-cuartel de la Guardia colonial en la Isla N'Gande, llegamos de regreso á Elobey el día 8 por la no- che. Los días del 8 al 13, en Elobey fueron ocupados en or- denar el material y los datos traídos de la excursión al Muni, en acondicionar el material bacteriológico haciendo los pa- ses oportunos, y en llevar á cabo la autopsia del cadáver del tripanosomiásico N'Ba, fallecido el día 11 erí el Hospi- tal. Un nuevo caso de elefantiasis (enfermo N'beñe, del Río Utoche) fué examinado el día 12. El 13, á bordo del vapor Corisco, que con gran amabili- dad puso á nuestra disposición el señor gobernador general, fué la Comisión á Libreville, en el Congo francés, con objeto de visitar aquel Hospital. Me es grato recordar á este pro- pósito las atenciones recibidas del señor gobernador de Li- breville Mr. Rognon, del secretario general Mr. Le Merle de Beaufond y de los médicos del servicio colonial de Libre- ville. De vuelta á Elobey el día 14 por la noche, salimos el 15 en la ballenera de la Compañía Transatlántica, acompaña- dos por el Sr. Bengoa, con dirección á Punta Mosquitos y con el propósito de visitar los puntos más importantes de la costa hasta la capital del distrito de Bata. Llámase comúnmente Punta Mosquitos el promontorio en que quiso emplazarse hace dos años, trasladándola de la isla de Elobey, la capital del distrito (ó subgobierno) que corresponde á la parte meridional de la Guinea continental española. El nombre es harto demostrativo. A pesar de ello, las noticias que nos proporcionó el sargento Rollón, jefe del puesto militar de Punta Mosquitos en aquella fecha, acerca de la salud de sus subordinados (europeos é indígenas), no fueron del todo malas. En Punta Mosquitos se recogiefon — 357 — (como en todos los puntos por nosotros visitados) ejempla- res de Culícidos (Anophelinae y Culicinae) y de otros Dípte- ros; pero no se examinaron enfermos. A través de un bosque, rico en lianas del caucho, y con una marcha que duró desde las doce de la mañana hasta las diez de la noche, alcanzamos á esta hora del mismo día 15 la Misión del Cabo de San Juan. El camino por el bosque entre Punta Mosquitos y Cabo de San Juan, se aleja mucho de la playa y atraviesa el rio Iñañe ó Ñañe, que hay que re- correr luego en cayuco hacia el mar. En este trayecto sobre el río fueron halladas en gran número las moscas del género Glossina. La Misión del Cabo de San Juan—refugio natural del via- jero—está emplazada en lo alto de un cerro—cerca de 200 metros sobre el nivel del mar. Un pequeño Decauville llega desde la playa hasta la Casa-Misión. Recibidos con gran ca- riño por los Padres Misioneros, permanecimos en este lugar todo el día 16 y parte del 17. Fueron sometidos allí á exa- men clínico y hematológico 41 individuos indígenas y dos europeos; de muchos entre ellos se llevó á cabo también el examen microscópico de las deyecciones. El 18 de Agosto estábamos en la desembocadura del Río Aye, que yo remonté durante algunas horas en cayuco, en- contrando numerosas Glossinas, que los indígenas, habitan- tes de los míseros pueblos de la orilla del río, indican con el nombre de «nbole», y acerca de las cuales, y de sus costum- bres y de su frecuencia, pudimos recoger interesantes noti- cias de viva voz de algunos de ellos, inconscientes observa- dores, cuyas enseñanzas no hay que desperdiciar. Igualmen- te, el hijo del jefe Mangamayo, del pueblo de Acuznam An- gamayo, nos proporcionó datos de importancia acerca de la enfermedad del sueño en la comarca y nos indicó el caso de un enfermo del pueblo de Aierheni, en Río Benito, de nom- bre Onjaga, atacado desde hace tiempo por la enfermedad. En la factoría de Río Aye (18 Agosto) fueron ebservados — 358 — cinco enfermos, entre ellos uno —Biong, de treinta años, del pueblo de lgeni, bujeba —tripanosomiásico y con los síntomas clínicos típicos de la enfermedad del sueño. Parte por mar, parte siguiendo por tierra la costa, y pa- sando por numerosos pueblos balangues y combes, llegamos por la noche á Río Benito. Era mi intención remontar el Río hasta las cataratas; y este propósito obedecía también al de- seo de visitar algunos pueblos emplazados, al parecer, se- gún todos los datos reunidos, en una zona muy intensamente invadida por la enfermedad del sueño. Sin embargo, no nos fué posible llevar á cabo esta parte del programa porque las tribus pamues del interior, á pocos kilómetros ya de la costa, se hallaban precisamente en aquel momento en ruda guerra, y las autoridades locales creyeron oportuno y prudente aconsejarnos con insistencia para que renunciáramos al pro- yecto. En la Misión de Río Benito fueron examinados el 19 y el 20 de Agosto 32 indígenas y cuatro europeos; entre los primeros se presentaron dos muchachos gravemente enfer- mos, tripanosomiásicos, uno de los cuales, Manuel Marocue, nos acompañó luego para ser sometido á observación metó- dica y tratamiento en el Hospital de Bata. Desde el día 21 hasta el 30 de Agosto permaneció la Co- misión en Bata. Me es muy grato testimoniar aquí nuestro vivo agradecimiento hacia el dignísimo Subgobernador de Bata,D. Narciso Aleñá, que nos auxilió con todos los medios, y hacia nuestro distinguido compañero D. Cesáreo Barco, Médico de aquel Hospital, cuya cooperación recordamos con verdadera complacencia. Gran parte del tiempo fué empleado, durante esta primera etapa en Bata, en ordenar y reorganizar el material y los datos recogidos en el viaje por la costa; luego en preparar la expedición al Norte, que exigía nuevos medios, gran nú- mero de cargadores y repuesto de víveres y de material. Fué hecho en aquellos días un examen metódico de la sangre, — 359 — con repetidos recuentos de glóbulos, de los enfermos (tripa- nosomiásicos) Domingo Deché y Manuel Marocue; datos de interés acerca de la enfermedad del sueño nos proporciona- ron el médico Dr. Barco y muy particularmente el Padre Domingo Ferré, Superior de la Misión de Bata, quien, en veintitrés años de residencia en el país, cree haber visto, en el territorio comprendido entre el Río Benito, al Sur, y el Río Campo, al Norte, cerca de veinticinco casos de tripanoso- miasis humana; en la misma Misión se llevó á cabo, el día 28, el examen microscópico de las deposiciones de buen número de niños indígenas, comprendidos entre los siete y los diez y seis años de edad; por fin, el que suscribe y el auxiliar Sr. Ramón hicieron una excursión al pueblo de Ekuku, sobre el Rio del mismo nombre, y allí observaron dos nuevos casos de tripanosomiásicos, uno de los cuales, Ibendjele, de veintitrés años, fué tenido en observación, algunos días, en el Hospital de Bata. En conjunto fueron examinados, dilésnlt estos días, treinta y tres enfermos indígenas. El día 30 se puso en marcha, con dirección al Norte, la expedición preparada en aquellos días, y compuesta de ochenta cargadores indígenas con el material de laboratorio, víveres, objetos de cambio, etc., dos capataces y tres criados indígenas y los tres blancos que componíiamos la Comisión. La expedición pernoctó en Utonde el día 30 al 31 de Agosto, y recorriendo el litoral, llegó á Punta M'Bonda á las tres y media de la tarde del 31. En este punto fueron exami- nados, del 1 al 4 de Septiembre, veintiún indigenas. Ejem- plares de Glossina (probablemente G/. palpalis) fueron en- contrados cerca de la playa, en sitio próximo á la desembo- cadura del Rio Envía 6 N'Bía. El 4 de Septiembre, á las once de la mañana, acompaña- dos por el hijo del jefe indígena de Punta M'Bonda, James Malonga, que nos sirvió de guía, emprendimos la marcha para el interior, dirigiéndonos por el bosque al Rio Campo. L ME Esta excursión, la más importante de la campaña por las di- ficultades materiales del viaje, duró quince días. Pasando por los pueblos de Mekala, Ndsueman, Ebuleman, N'koo, Malen, Belon, Nbema, Edundje y Fulatchit (que no se hallan indica- dos en el mapa 1 : 1.000.000 adjunto á este Informe) llega- mos por la noche al pueblo de Tum. Fueron aquí examina- dos siete enfermos. El día 5, bordeando y vadeando muchas veces el Río Dio* le, con tiempo cubierto, y siempre á través del bosque, lle- gamos á Losok 6 Nósok y más tarde á Ebengon (á cerca de 250 metros sobre el nivel del mar), donde pernoctamos con la molestia de una invasión de Phlebotomus. Del 6 al 8 descansó la expedición en Mayód, y allí recíbi- mos la visita del jefe de la tribu de Pamues Samangundes, Mangebekada, que habita el pueblo de Ndelefut, y que nos expuso largas quejas á propósito de las frecuentes incursio- nes que los agentes comerciales de algunas casas alemanas del territorio colindante del Kamerun hacen en la comarca ocupada por la tribu, en la orilla izquierda del Río Campo ó Río Itembo, en pleno territorio español. Estas quejas y la exposición de recientes hazañas come- tidas por algunos cazadores de elefantes, procedentes de la orilla derecha del Río Campo, en las proximidades de los pueblos por nosotros recorridos hasta Ngoambang, fueron confirmadas después por los jefes de los pueblos de Ayame- kén, Mbise y otros. Fueron examinados en Mayó siete enfermos. Se captura- ron numerosas Stegomyia, y en el próximo Río Otomayam algunas Glossinas. Sin embargo, indígenas y jefes de Mayó negaron la existencia de la enfermedad del sueño en este territorio y no supieron darnos indicación alguna acerca de ella. Por los pueblos de Mbise y de Ayamekén llegamos el día 8 por la noche al de Ntohakok. Aquí fueron vistos ocho enfermos. Vinieron á saludarnos los jefes de las tribus Sam- Y R É . pl — 361 — bira, Nkó y Anvené. Una lluvia torrencial, indicio cierto del comienzo de la época de lluvias, nos sorprendió el día 9. Los días 10 y 11 en Matamalón (6 Matalamalón) tuvimos ocasión de observar con detenimiento un caso de lepra ma- culosa y recoger datos interesantes acerca de la difusión de esta enfermedad en la comarca circunstante, confirmados en los días siguientes en Nguambang, pueblo inmediato á la frontera del Kamerun alemán. Pasamos en Ngoambang los días 12 y 13; fueron exami- nados en estas fechas 17 indigenas; las investigaciones he- chas para averiguar la existencia de la enfermedad del sue- ño en la cuenca del Río Campo resultaron completamente negativas; á pesar de ello, se encontraron cerca de Ngoam- bang, en la maleza á lo largo del Río Mokúa, algunas Glos- sinas; fueron observados dos ó tres casos de lepra. - El 14 de Septiembre, guiados por el indigena Mangoman- vono, jefe del pueblo de Ngoambang 1”, alcanzamos por una senda de elefantes el Río Campo ó Río Itembo á la altura de las segundas cataratas. Allí fueron capturadas también algu- nas Glossinas. Durante el regreso, que emprendimos en la noche del mismo día 14, aguas torrenciales no dejaron un momento de caer, transformando en charcos y arroyos el terreno y los senderos del bosque. Desde Matamalón hasta punta M'Bon- da, entre el 14 y el 18 de Septiembre, en los pueblos de Matamalón y Mbise, fueron examinados 12 nuevos enfer- mos, particularmente algunos leprosos, y dos casos de Framboesia trópica (Ó «pian»). En el pueblo de Mbise nos encontramos con el cabo del puesto mlilitar de Punta M'Bon- da, D. J. Morales, que, con algunos guardias indígenas, había venido á nuestro encuentro. A nuestra llegada en Punta M'Bonda — desastrosa por la lluvia insistente —tuvimos la suerte de encontrar allí reuni- dos al Subgobernador de Bata, Sr. Aleñá, y al Teniente Co- tonel, Jefe de la Guardia Colonial, D. Julio Pantoja, de paso Ruv. Acap. DE Cirncias.—VII.— Diciembre.— 1900. 25 Elo el uno para Ítika, y el ótro para la desembocadura del Río Campo. Dejamos Punta M*Bonda el día 20, y habiendo pernocta- do en Utonde, llegamos de regreso á Bata el 21 de Septiem- bre, y allí forzosamente tuvimos que permanecer hasta el día 6 del siguiente mes de Octubre. En esta fecha embarcamos á bordo del vapor Corísco con rumbo á Santa Isabel. Duran- te las dos semanas de permanencia en Bata se examinaron nuevamente los enfermos tripanosomiásicos procedentes de Ekuku; repetidamente se llevó á cabo el recuento de hema- ties y leucocitos en los mismos, y se hicieron cuatro nuevas observaciones, entre ellas una en un blanco; se renovaron los pases de las siembras de cultivos bactéricos, y se reor- ganizó el material recogido durante la expedición, llevándo- se á cabo además el examen y estudio de un hemoparásito (Haemogregarina ?) de unas tortugas, de especie todavía indeterminada. Desde Santa Isabel, á los pocos dias, el Dr. Illera y el Sr. Ramón, con el Veterinario del servicio Colonial, D. Juan Bravo —cuya actividad merece sienceras alabanzas —, vol- vieron á la isla de Elobey con objeto de recoger algunos animales de experimentación inoculados con Trypanosoma gambiense durante nuestra estancia en la isla en el mes de Agosto. | - En aquellos días, el que suscribe se ocupó en disponer y organizar el material del nuevo laboratorio, procedente de la Casa Lautenschlaeger, de Berlín, y adquirirlo por cuenta del Ministerio de Estado. - Algunos enfermos nuevos, en conjunto 15, y cinco blan- cos, fueron examinados en aquel último periodo de nuestra campaña; y el día 9 de Octubre hubo que llevar á cabo la autopsia de un nuevo caso, clínicamente diagnosticado de enfermedad del sueño, del soldado indígena Oke, de Lagos. qu El día 25 de Octubre, cumplida nuestra misión, empren- rt tr ide in AS PHIISS AO E AA AAA des OS dimos el viaje de regreso á España á bordo del vapor San Francisco, que el 11 de Noviembre ancló en el puerto de Cádiz. En resumen: han sido observadas clínicamente durante nuestra expedición 373 personas; de ellas, 339 indígenas y 34 blancos, en su mayoría españoles. De estos 373 enfermos, 322 fueron sometidos al examen de la sangre, en muchos de ellos repetidos varias veces. Los 34 europeos van incluídos en este grupo. De los 288 indígenas sometidos al examen hematológico, aproximadamente el 92 por 100 presentó Microfilarias (em- briones de Filaria perstans y de Filaria loa en su mayoría) en la sangre periférica. Algunos presentaron formas de Mi- crofilarias de diagnóstico muy incierto y que merecieron al que suscribe atento estudio. De los europeos dos solamente dieron resultado positivo (con embriones de Filaria loa en la sangre periférica). En gran número fueron observados los casos de infección palúdica con hallazgo de parásitos, casi siempre de formas tropicales (Laverania) en la sangre periférica. 1 -— y llena de tripanosomiásicos (2). Fué sometido á tratamiento con atoxil durante pocos días. En Agos- to 1907 vino desde Principe á Fernando Póo, y aquí permaneció has- ta Octubre 1908; en esta fecha se marchó al continente (Río Muni) - (1) El DR. DAMAS MORA hizo parte, con el Dr. Correa Mendes, de la Comisión nombrada en 1907 por el Ministerio de la Marina y de las colonias de Lisboa, para el estudio de la enfermedad del sueño en la isla del Príncipe. Véase el Informe de dicha Comisión en Archivos de Higiene é Path. exotic. Lisboa, 30 Nov. 1909, 11, 2 (2) Los médicos de la Comisión portuguesa refieren en su /nfor- me ya citado que en esta sola finca Sundy, de la parte Norte de la isla, examinaron 148 individuos, y entre ellos encontraron 66 tripa- "nosomiásicos, comprendidos en ellos tres europeos. (Véase pág. 277 del A 2 9, vol. Il, 30 Nov. 1909, ya citado, de Arch. de Hig. é Path. exof. 38 para el comercio del caucho por cuenta de la casa WOERMANN, lle- gando hasta Asobla. Volvió á Fernando Póo en Abril 1909, y desde entonces vive aquí. Nota gran abatimiento, cansancio fácil, tendencia al sueño. Observado el 27 Junio 1909. Examen clínico. -Demacración. Infartos gland. linf. muy acentua- dos en la región cervical, parotidea y mastoidea. Hígado ligeram. hi- pertrof. Bazo al parecer en condiciones normales. Varicocele. Tem- peratura normal, Pulso 86. Examen hematológico, 27-VI-909 (3 tarde). — Negativo, 27-V1-909 (9 n.).—Positivo (preparac. secas, método ROss-RUGE): is gambiense. Caso IV.— Lepa, de diez y ocho años, de Moka (centro de la isla de Fernando Póo) — bubi —estuvo algún tiempo en la playa de Concep- ción; en la actualidad se encuentra en la Misión de los Padres, de Concepción. Empezó la enfermedad hace seis meses. Observado el 1. de Julio de 1909 en Concepción (Misión). Examen hematológico, 1-V1I-909. — Positivo: Filaria (embriones) ¿perstans?-— algunos Tripanosomas. Caso V. - Camachindo — indígena de Bangumá (Sierra Leona), de veinte años, bracero. — Lleva cuatro años y medio en Fernando Póo, en la finca Santa María.— Ingresó el 30 de Junio en el Hospital de San Carlos. Empezó la enfermedad hace cuatro años. Observada el 8 de Julio de 1909 en San Carlos (Hospital). Fallecido el 15 de Julio de 1909. Autopsia en esa misma fecha (cuyos resultados histopatológicos no han sido todavía estudiados). El examen hematológico fué negativo.—No se pudo llevar á cabo el examen del líquido cefalo-raquídeo. Caso VI. — Domingo Deché, de veintinueve años — del Senegal — Guardia Colonial indígena. Ha estado algún tiempo en Concepción. Desde hace seis años en Fernando Póo. Desde hace dos años en Santa Isabel. Ha tenido largos periodos de fiebres intensas. Desde hace un mes acusa gran decaimiento, cansancio, tendencia irresistible al sueño. Examen clínico.—In“artos glandulares múltiples, cervicales, inguina- les, del triángulo de Scarpa. — Hernia inguinal derecha. - Observado el 13 de Julio de 1909. Examen hematológico, 13-VII-909 á las 10 */, m.—Positivo, gran nú- mero de Microfilarias (F. perstans ?) y Trypanosoma gambiense. El examen hematológico fué repetido muchas veces en este enfer- mo, que siguió nuestra expedición en todo su recorrido y que se sometió á tratamiento con inyecciones de Atoxil (Adrian) á partir del día 30 de Julio, en Mebonde. El día 15 de Julio, en Santa Isabel, le fueron extraídos 10 cent. cub. de sangre de la vena cefálica del brazo derecho, y con ellos fueron inoculados dos conejos de Indias y una cabra. — 369 — Las cuentas de glóbulos (hechas por el Dr. Illera) dieron: 22-VII -909 ( Elobey )=R 3.480.000; B. 10.000 p. milím. cub. 24-VII -909( íd. )=R. 2.808.000; B. 7.200 id. id. 3-VIII:909 (Melonde)=R. 2.648.000; B. 7.200 íd. id. 23-VIH-909 ( Bata )=R. 2.974.800; B. 12.160 id. íd. 23-I1X -909 ( Bata )=R. 2.750.000; B. 9.520 id. id. El enfermo, muy mejorado, se halla actualmente en Madrid. Caso VII. - Oké, soldado indígena de la Guardia Colonial, de Lagos, desde hace tres años en Fernando Póo; vivió mucho tiempo en San Carlos, luego en Santa Isabel. Notó el principio de su enfermedad en San Carlos, hace seis ú ocho meses. Ingresó el 18 de Septiembre de 1909 en el Hospital de Santa Isabel, con el sindrome clínico típico de la enfermedad del sueño. Falleció el 8 de Octubre, y fué practicada la autopsia por el Sr. Pabalán y por nuestro auxiliar Sr. Ramón y Cajal, recogiéndose el material anatomo-patológico, que está someti- do á estudio. (Continuard.) — m-— XXI!. —Neurópteros de los alrededores de Madrid. Suplemento I (1) POR EL R. P. LONGINOS NAVÁás, $. ]. Este Suplemento se ciñe exclusivamente al estudio de una colección de Neurópteros formada por D. Jorge Lauffer, siendo casi todos cogidos por él mismo en el Escorial ó en otros puntos de la provincia de Madrid. He creído que era útil dar noticia de su contenido, porque si bien no pocas formas se habían citado por mí como de Madrid ó sus alrededores, casi ninguna del Escorial, locali- dad por demás clásica de esta provincia, y además otras son nuevas para la región central de España, algunas para Es- paña misma y otras en absoluto para la ciencia. Con esta colección, muy numerosa y rica para ser de quien no se dedica especialmente á Neurópteros, se acre- cienta notablemente nuestro conocimiento de la fauna central de la Península, tanto que, si en cada región de ella ó en cada provincia hubiese un entomólogo de la actividad y constancia del Sr. Lauffer, podríamos augurar en breve un conocimiento completo, en lo que cabe, de la fauna neurop- terológica de nuestra patria. Muy agradecido estoy al Sr. Lauffer por haberme propor- cionado el placer de estudiar su colección, y no menos por () Véase mi Catálogo descriptivo de los Insectos Neurópteros de los alrededores de Madrid. REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIEN- CIAS DE MADRID. Mayo, 1905. — 311 — la generosidad con que me permitió incorporar á la mía todos aquellos ejemplares que me fuesen útiles. Para dar idea de lo nuevo que se consigna en este Suple- mento, señalaré con * las formas no citadas de la provincia de Madrid en mi Catálogo descriptivo de los Neurópteros de esta provincia ni en mi Catálogo: posterior, Neurópreros de España y Portugal (1). En el orden de la enumeración seguiré el de aquel Catá- logo. 12. 13. Odonatos. Familia LIBELÚLIDOS: Libellula depressa L. Madrid, Escorial. Sympetrum flaveolum L. var. luteola Sel. Laceana. — Fonscolombei Sel. Laceana. Fam. ÉSNIDOS: 4Eschna mixta Latr. Escorial. Onychogomphus forcipatus L. Escorial. Fam. AGRIÓNIDOS: Calopteryx virgo L. Escorial. — splendens Harris. Pardo. — hcemorrhoidalis Van der Linden. Pardo. Cercion Lindeni Sel. Escorial. Pyrrhosoma nymphula Sulz. Escorial, Puerto. Ischnura Graellsí Rb. Pardo, Escorial, Fuente de la Teja. Oxinatos. Fam. EFEMÉRIDOS: Polymitarcys virgo Oliv. Ephemera danica Miill. Escorial. - (1). Neurópteros de España y Portugal. Publicado en «Broteria», San Fiel, 1906, 1907, 1908. = 312 — *14. Betis binoculatus L. Nuevo para Castilla la Nueva. 15. Ecdyurus fluminum Pict. Escorial, Pardo. 16. — venosus F. Escorial, provincia de Madrid. 27 — forcipula Koll. Provincia de Madrid. Nue- vo para Castilla. 18. Cloeon dipterum L. Escorial. Fam. PÉRLIDOS: **19, PERLODES (Dictyopteryx) BICOLOR Sp. nov. (figu- ra 1.5) Figura 1.? PERLODES BICOLOR Nav. a Cabeza y protórax. b Ala anterior izquierda. Caput fuscum, fascia semilunari transversa ante ocellum anteriorem, fascia longitudinali pone ipsum, macula obliqua pone oculos flavis sive aurantiacis; callis ante ocellos poste- riores nitentibus, nigris; ocellis flavis, in triangulum disposi- tis, posterioribus multo magís inter se quam ab anteriore et ab oculis distantibus; oculis rufis; antennis fuscis, breviter pilosis. Prothorax fuscus, transversus, angulis marginibusque rectis; disco suaviter convexo, medio longitudinaliter sulcato; fascia flava posteriore media ultra medium extensa, antice acuta. Meso-et metathorax superne nigri, inferne fusci, ma- cula grandi media flava. | Abdomen superne et inferne aurantiacum, lateraliter fuscum; octavo segmento abdominali in Y postice recto; cercis fuscis, pilosis, articulis elongatis. Pedes fusci, femoribus linea laterali nigra, apice ad genua flavidis. — 373 — Ale hyaline, membrana in areis costali et subcostali le- vissime fusco tincta, reliquum subtlavescente in ala anterio- re, subfuscescente in posteriore; reticulatione fusca. Ala anterior costa et subcosta ad basim flavescentibus; ultra finem subcoste 3-4 venulis in campo apicali, totidem inter radium ejusque sectorem ad apicem, plus minusve irregularibus. Ala posterior costa in medio basilari pallida, area costali et radiali similiter constructis, seu 3-4 venulis; area media a venulis libera. E E o A 11,5 mm. —Halenanter.. dae Mr — A A NA 120.2 Patria. Madrid (Selgas). Por el color del abdomen fácilmente se diferencia de to- das las especies de Perlodes que conozco. La reticulación del ala es bastante variable en el número y disposición de las venillas. En el campo radial ya forman celdillas casi rectangulares, á semejanza de la rectangula, ya una malla irregular, asemejándose en ello á la intricata. 20. Perla marginata Panz. Escorial. --*21. Hemimelcena flaviventris, Hoffms. Escorial, Fuente de la Teja. 22. Isoperla grammatica Scop. Escorial; Fuente de la Teja, Puerto. 23. Chloroperla torrentium Pict. Provincia de Madrid, 1 Escorial. 24. Teniopteryx Braueri Klap. Madrid ricalor 25. Nemura variegata Oliv. Provincia de Madrid. 26. — lacustris Ed. Pict. Escorial. “*27.: .. — humeralis Pict. Escorial, Fuente de la Teja. 28, : Leuctra Braueríi Kempny. Escorial. Nueva para Cas- tilla. = 3714 = Fam. MIRMELEÓNIDOS: 29. Myrmeleon formicarius L. Escorial, Fuente de la o Teja. 30. — nemausiensís Bork. Escorial, Fuente de la Teja. ¡ * * 31. MYRMELEON LAUFFERI Sp. nov. (fig. 2.”) Figura 2.2 MYRMELEON LAUFFERI Nav. a Cabeza y protórax. b Alas de la derecha. Fuscus, fulvo .mistus, ala anteriore maculata; similis nemausiensi. Caput fulvum, fronte inter antennas fascia transversa lata fusca; clypeo transverse ruguloso, nitente; palpis maxillari- bus tenuibus, ultimo articulo fusiformi vix inflato, apice fuscato; palpis labialibus ultimo articulo inflato, fusiformi, externe exigua macula fusca notato, apice acuminato; vertice pone antennas fascia transversa fusca, medio constricta, circum oculos externe angustata et cum frontali continuata; occipite punctis fuscis pallidis series transversas formantibus fuscato; oculis globosis nigris; antennis fuscis, primo articulo inflato, testaceo, antice fusco maculato, secundo articulo transverso, testaceo, externe et interne fusco, clava parum ampliata, inferne concava. Prothorax fulvus, longior quam latior, Moo minute nigro -punctato, fascia longitudinali fusca, diffusa, medio longitu- dinaliter divisa, ante medium constricta, ad sinum macula fusca; marginibus lateralibus fuscatis; pilis albis raris, ad 3 la Pos E Li AS — 375 — latera longis; inferne fulvus. Mesothorax superne fulvus, varie fusco notatus, inferne fuscatus. Metathorax subtotus fuscus. Abdomen totum fuscum, pilis brevibus.albis rarisque. Pedes fulvi, femoribus tibiisque crebris punctis fuscis notatis; calcaribus in tibia anteriore et intermedia duos pri- mos tarsorum articulos, in posteriore primum superantibus; tarsis albescentibus, apice articulorum fusco, 5.” articulo longo, reliquis quatuor longitudine subequali; unguibus testaceis, subparallelis, parum arcuatis, arolio angusto, longo, piloso. ; Ale oblonge, membrana: hyalina, iridea, reticulatione fusca fulvo alternatim mista; stigmate interne fusco, externe Hlavescente. | e Ala. anterior in tertio apicali lata; area costali ultra stigma paucis venulis, 2-3 transversis inter costales; macula ad anastomosim rami cubiti marginem hauh attingente, stria obliqua margini externo subparallela. Ala posterior immaculata; area costali ultra stigma nullis venulis tranversis, preeter costales ad marginem furcatas, ad basim ampliata, mox angustata, dein venis parallelis; margine externo suaviter excavato. Longit. corp. e ias: 25 mm. — alxanter..... AER DI, 2 ME poste into ie da a e 26 » Patria. Escorial. Es del grupo del nemausiensis, al cual se parece en las manchas del ala anterior; pero se ve diferir al momento de esta especie y de otras similares en la carencia de manchas leonadas en el abdomen, además de otros caracteres que ya quedan descritos. *32, Formicaleo tetragrammicus Pall. Escorial, Pardo. Nuevo para Castilla la Nueva. | 33. Myrmecelurus trigerammus Pall. Escorial. 34. 85: *36. 23. 38. 39. 40. 41. 42. *A3. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. Sl 52. 53. — 376 — Creagris plumbeus Oliv. Pardo. Macromemurus appendiculatus Latr. Escorial. Megistopus Papiegrmesn idea Escorial. Nuevo para “Castilla. Pr not Gymnocnemía variegata Sclm. Escorial. Nuevo para Castilla. Es la segunda vez que se coge en España. Fam. CRISÓPIDOS: e $ vulgaris Schn. Escorial, Fuente de la Teja, Pardo, Cercedilla, etc. — — var. cequata Nav. Escorial, Fuen- te de la Teja, Pardo. — — var. microcephala Brau. Escorial. — flavifrons Brau. Escorial. — — var. nigropunctata Ed. Pict. Escorial. — marginalis Nav. Escorial, Fuente de la Teja. Hasta ahora no se había citado sino de Albarracín. — lineolata Mac. Lachl. Escorial. — septempunctata Wesm. Escorial. — formosa Brau. Rincón. Chrysopa subcubitalis Nav. Escorial. — prasina Burm. Escorial. — - — var. adspersa Wesm. Escorial. — venosa Ramb. Escorial, Fuente de la Teja. Fam. HEMERÓBIDOS: Hemerobius micans Oliv. Provincia de Madrid, Es- Escorial. — marginatus Steph. Escorial, Fuente de la Teja. | Boriomyia subnebulosa Steph. Escorial. AED a — 371 En NIREMBERCE (1) gen. nov. Similis Boriomyic et Hemerobio et inter utrumque media.. In ala anteríore tres sectores radii, primus cum procubito : venula conjunctus; procubitus venulis cum cubito connexus;. cubitus cum suo ramo una venula. In ala posteriore sector radii furcatur antequam procubitus. In utraque ala series bina. venularum gradatarum. Conviene con el género Boriomyia en la presencia de la venilla entre el primer sector y el pro- cúbito del ala anterior; pero difiere en que en la posterior el sector se ahor- quilla mucho antes ó interiormente que el procúbito. En esto último con- Figura 3.* viene con el género Hemerobius, pero raid difiere en lo primero. En la escasez de venillas gradiformes de la serie externa del ala anterior se parece al género Sympherobius, mas se aparta en la presencia de ambas series en el ala posterior y en el mayor número de sectores de la anterior. 54.— NÑNIREMBERGE LIMPIDA Sp. nov. (fig. 3.*) Minor, nigra, alis immaculatis. Caput nigrum, nitens, vertice fornicato; oculis globosis; antennis nigris, primo articulo 'grandi, piceo; palpis fuscis, ultimo articulo basi fusiformi, inflato, mucrone elongato. Prothorax transversus, piceus. Mesonotum nigrum, nitens, lobulo scapulari fornicato. Metanotum piceum, scuto palli- diore. Abdomen superne subtotum piceum, inferne pallidius, lamina subgenitali longa, convexa, minute fusco punctata, pilosa. | (1) Anagrama de Nieremberg. En memoria del V. P. Juan Eusebio Nieremberg, S. ]., insigne naturalista del siglo XVII. Rrv. AcAD. DE CiEncIas.— VII. —Diciembre.—1909. 26 = 8 Z Pedes fusco-pallidi, nigro-pilosi, tibiis anterioribus modice incrassatis, intermediis cylindricis, posterioribus fusiformi- bus; tarsis longis, primo articulo secundo sesquilongiore; un- guibus recurvis, divaricatis. Ale oblonge, apice elliptice rodundatz, EIeOS, hyali- na, levissime infumata, immaculata; reticulatione fusco-palli- da; toto margine venulis liberis punctiformibus instructe; stigmate vix sensibili. Ala anterior area costali angusta, venula recurrente cellu- lam oblongam liberante, paucis venulis, furcatis, ad regionem stigmalem simplicibus; venulis gradatis */,, serie interna inter 2." et 3." sectorem interrupta; 3 venulis inter procu- bitum et cubitum. Ala posterior (1) sectore radii prope basim furcato, venulis gradatis ?/;. LOMOTE. CODE. ara AN 3 mm. — ale anter............ .... 4,8 » He hz POSÍOF. 5 ojal ets a . 4 » Patria. Cercedilla. 55. Sympherobius conspersus Nav. Escorial. Fam. DILÁDIROS: 56. Lidar meridionalis Hag. Escorial, lA Fam. SIÁLIDOS: 57. Sialis fuliginosa Pict. Provincia de Madrid. Fam. RAFÍDIDOS: 58. Raphidia xanthostigma Soul Provinciade Madrid. 50. — betica Rb. Provincia de Madrid. 60. — maculícollis Steph. Escorial. (1) Por rotura de las alas no puedo asegurar el número de veni- Ílas, pero parece ser el IPIEAOOs | 1 | A A E 61. 62. 63. 64. +65. *66. 67. 68. 69. 70. ds 5. 213: 74. — 379 — Fam. TERMÍTIDOS: Calotermes flavicollis F. Escorial, Pardo. Termes lucifugus Rossi. Madtid, Escorial, Fuente de la Teja. Fam. ÉMBIDOS: Embia Solierí Rb. Escorial, Fuente de la Teja Fam. PANÓRNIDOS: Panorpa meridionalis Ramb. Escorial. Tricópteros. Fam. LINMOFÍLIDOS: Linmophilus hirsutus Pict. Escorial, Laceana. — ignavus Hag. Escorial, Nuevo para España. Mesophylax adspersus Rb. Madrid (Selgas), Cerce- dilla. Micropterna sequax Mac Lachl. Escorial. — fissa Mac Lachl. Cercedilla. Fam. SERICOSTÓMIDOS: Sericostoma Selysi Ed. Pict. Provincia de Madrid, Escorial, Fuente de la Teja. Schizopelex festiva Rb. var. Granjoe Ed. Pict. E rial, Fuente de la Teja. Fam. LEPTOCÉRIDOS: Mystacides azurea L. Escorial. Adicella reducta Mac Lachl. Escorial, Fuente de la Teja. Fam. HIDROPSÍQUIDOS: Hidropsyche instabilis Curt. 75. Hydropsyche pellucidula Curt, Provincia de Madrid. *76. 5d. 118B: Sin ver más y. mejores ejemplares ad Ub no. me > atrevo á decidir. t eN o 77. Tinodes Veneri L. Escorial. Fam. RIACOFÍLIDOS: *78. Rhyacophila contracta Mac Lachl, decida A para España. Zaragoza, Colegio del Salvador y Diciembre de 1909. 1 oa, Me Li de dd DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN | ESTE NomeRo 5 XVIL —Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física matemá- Y A De > tica, por José Echegaray. Conferencia cuarta....... 2 aa 'oXVIIL Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Fisica matemá- 1 O UE tica, por José Echegaray. Conferencia quinta. eE eo eco XIX, —Contribución al análisis del nitro de Chile, por Juan AE Fages Virgili aaa e - XX.—Sobre la isomería de los ácidos ESIñOS pol a no e Mecklenbura ¿E a de AS ds 5 XXI. —Viaje de estudia á la Guinea española. Observaciones dd A. “acerca del Trypanosoma gambiense y algunos otros Mea Protozoos parásitos del hombre y de los animales, - por Gustavo Pitlaluga...oooooooonooorcoroton tos XXI. —Neurópteros de los alrededores de Madrid, por el. R. P. Longinos Navás, SJ)... «se ev. iarerms os 72d E RAT = La subscripción á esta RavisTa se meo por tomos completos, - de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6. francos. A en el extranjero, en la Secretaría de la a calle. de Val- 0 verde, múm. 26, Madrid. . ed Y : : Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. PoR z UL ACADEMIA DE CIENCIAS a : ; EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES - dd eS ds : de MADRID | E ee TOMO VIII. - NÚM. ? 2 la de 1910) MADRID - ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y E CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. S 1910 - ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaría de - la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. 2 XXI!I.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia sexta. SEÑORES: Hemos demostrado la fórmula de Green en las Conferen- cias anteriores, fórmula que se expresa de este modo: ISE (E+2+ 22) ec f ec ore en la que F, G, H son funciones conocidas de x, y, 2, Ó sea de las coordenadas de cada punto del espacio que conside- remos. Estas funciones satistacen á las condiciones de con- tinuidad y de uniformidad fecesarias para que la integra] triple ó de volumen no caiga en ningún caso de excepción, y tenga, por lo tanto, un sentido preciso y un valor determinado. Además, F, G, H, que son tres funciones escalares, ó de otro modo, funciones de punto, es decir, magnitudes corres- pondientes al punto x, y, 2, se consideran como las compo- nentes de un vector, el cual quedará perfectamente determi- nado para cada punto del volumen en magnitud y en direc- ción y también en sentido. De manera que para cada punto del volumen habrá un vector determinado por el que se determinan sus tres com- ponentes F, G, H, y en este sentido podremos decir que la integral triple del primer miembro es una integral de vectores. Rxv. Aca. Du Ciencias. —VIIT. — Enero.—1910. 27 2. B89 — Para cada uno y para todos los puntos a, b, c, d..... del volumen V habrá un vector, como se representa en la figu- ra 16, definido cada uno por sus tres componentes F, G, H, en los valores de las cuales habrá que sustituir las coorde- nadas del punto que se considera; por ejemplo, para el pun- to a las tres coordenadas oa”, a'a”, ad”. Si se nos permite una frase, que hemos empleado ya otras veces para dar re- N = y A A A A Pigura 16. lieve é imagen materíal á la idea, diremos que el volumen V á que se extiende la integral triple debe considerarse que está asaeteado de vectores W: para los infinitos puntos del vo- lumen, infinitos vectores. Pero como FF, G, H tienen valores generales, que se ex- tienden á todo el espacio en este gran complejo de vecto- res, algunos pertenecerán á la superficie S, que limita el volumen; por ejemplo, para los puntos rm, p..... de dicha su- perficie S, las componentes del vector correspondiente al punto m se deducirán siempre de las funciones F, G, H: no habrá más que sustituir en dichas funciones las coordena- 33 = das om”, m'm”, mm/' en vez de x, y, z; más claro, las tres componentes del vector correspondiente á m serán F(om”,m m”, mm), G(om”, m' m”, mm), H(om”, mm” mm). Más aun, cada punto del espacio exterior al volumen V tendrá también su vector, cuyas componentes se expresarán sustituyendo en F, G, H, en vez de x, y, z, las coordenadas del punto que se considere. Por ejemplo, para el punto n las componentes del vector que pasa por este punto serán: F(on”,n a”, nn), Glon”, nn”, nn), H(on”,n a”, ni), En estas ideas, por elementales, por triviales que sean, es forzoso que se fijen bien los principiantes para evitar dudas y confusiones. Hemos dicho que la integral triple del primer miembro de la fórmula se refería á un conjunto de vectores, á saber: aquellos cuyos puntos de aplicación caen dentro del volu- men /V. Pero entiéndase, que en esta suma de términos, referentes á un conjunto de vectores, no entran dichos vectores direc- tamente, sino por medio de sus derivadas, cada componente por la derivada de ella misma, con relación al eje, al cual es ae ao A SONORO A Otra observación respecto á F, G, H. Como son componentes de vector, pueden considerarse como vectores, pero con direcciones determinadas de ante- mano y únicas; F, con un vector paralelo al eje de las x; G, con un vector paralelo al eje de las y, y H, con un vector paralelo al eje de las z. Claro es que, sabiendo las direcciones fijas de estos vec- tores, y que ha de tenerse en cuenta su signo, F, G y A pue- paralela, así entran — 384 — de considerarse, cada una de ellas, como una cantidad esca- lar en cuanto son funciones de x, y, z, pero sin olvidar que se aplican á direcciones paralelas á los tres ejes. Dicho todo esto, y suponiendo que F, G, A son funciones conocidas de x, y, z, el primer miembro de la fórmula de Green significa una operación analítica, que se define en for- ma elemental; es una integral triple que en cada caso se in- tegrará por los procedimientos ya estudiados, es decir, por tres integraciones sucesivas con relación á x, y, Z. Pues este método elemental es el que se sustituye en la fórmula de Green, según indica el segundo miembro, por otro procedimiento más sencillo, es decir, por dos integrales, porque en rigor la tercera ya está hecha de antemano. Pre- cisamente con este objeto se ha dado á la integral triple pri- mitiva la forma que indica el primer miembro. Digamos, sin embargo, que no es precisamente el objeto de la fórmula simplificar el problema de la integración, sino establecer ciertas relaciones analíticas, importantes y hasta sugestivas, las cuales, como veremos, hacen fecundísima la adaptación de la fórmula de que se trata á muchos proble- mas de la Física, y, en primer término, á los problemas de la electricidad estática. Pasemos ahora á analizar el segundo miembro de la fór- mula: Pf (erro + as Es, como vemos, una integral doble que se extiende á todos los puntos de la superficie S que limita el volumen V y sólo á dichos puntos. Para cada punto de dicha superficie, ds significa el ele- mento de superficie correspondiente al punto en cuestión. Por ejemplo (fig. 17), si a representa un punto de la su- perficie S, bb' representará ds. Para este punto a tendremos un vector W, cuyas tres — 385 — componentes serán también F, G, H, como explicábamos hace un momento. De modo que las F, G, H del segundo miembro de la tórmu- la de Green representan las mismas funciones que las F, G, H del primer miembro que entran en los coeficientes diferen- COR coda UE: ciales pata Palo 105 de dientes al vector del punto a, hay que poner las coordena- ; pero en las F, G, A, correspon- Zz Figura 17. das de este punto a, y en cambio en las derivadas de cada elemento de la integral triple, hay que poner las coordena- das del punto de dicho volumen que corresponda al elemen- to dxdydz que se considere. Por último «, P, y representan los cosenos de los ángulos que forma con los tres ejes coordenados la normal n al ele- mento b b”, que corresponde al punto a de la superficie que estamos considerando. De aquí resulta, que el paréntesis bajo la integral doble comprende una función perfectamente determinada de x, y, 2; NJ pero como el punto a está sobre una superficie S, definida de antemano, es claro que 2 será una función de x, y definida á su vez por la ecuación de la superficie. Podrá, pues, eliminarse de la expresión aF+BG+yH, con lo cual la cantidad que ha de integrarse no contendrá más que dos variables, la x y la y, y se obtendrá por dos integraciones según los métodos ordinarios. Recordemos todavía lo dicho en la Conferencia anterior. La fórmula de Green no es una ecuación con datos é in- cógnitas cuyo objeto sea despejar estas últimas en función de los primeros. No es tampoco una identidad, porque la forma del segundo miembro es distinta, esencialmente, de la forma del primero. Es una igualdad cuyo objeto es transformar el primer miembro, que es una integral triple, dándole la forma de una integral doble ó de superficie; transformación importantísima, como veremos en las aplicaciones. La fórmula de Green puede expresarse por un simbolismo muy breve y muy sencillo, y que se retiene en la memoria con facilidad suma, con lo cual dicha fórmula casi nos atre- veríamos á decir que resulta de sentido común. Examinemos para ello los dos miembros de dicha o 1.2 En primer lugar, á la expresión cda + a Si — dx dy ñ Z en la que F, G, H son, como ya sabemos, las componentes del vector W= VF:+ G? + Hr? se le da el nombre de divergencia del vector W. — 387 — Este nombre parecerá extraño á primera vista; pero tiene, sin embargo, una explicación natural, y séanos O aquí entrar en algunos pormenores. Como el concepto de vector, según hemos explicado hasta la saciedad, es un concepto abstracto, una generalización de conceptos concretos de la Física, todos los simbolismos que se deducen para los vectores en general gozan de una pro- piedad análoga; y esta palabra divergencia, aplicada á la expresión indica una generalización también de conceptos concretos y análogos que encontramos en la Física, y en la Física Mate- mática sobre todo. He aquí un ejemplo: En la teoría de la elasticidad, siendo u, v, w las componen- tes de cada desplazamiento, demostrábamos que du dv , dw dx ña d y ns dz no era otra cosa que la dilatación cúbica, lo cual nos daba en cierto modo lo que había variado la densidad en cada punto. Presentemos otro ejemplo: Imaginemos un flúido de densidad constante en movi- miento, y en él imaginemos un paralelepipedo infinitamente pequeño, cuyas aristas sean dx, dy, dz. Paralelamente al eje de las x, representando por u la velocidad paralela á este eje y por p la densidad, entrará una cantidad de flúido, representada por pu dy dz — 388 — y por la cara opuesta saldrá du ou+ ax) dz: dx la diferencia, ó sea la cantidad de flúido que ha salido ó que ha entrado según el signo, será evidentemente du du 6 ip dx) dy dz —pudy dz=p" 7 dxdydz. Otro tanto podemos decir respecto á los ejes y, z, con lo cual la cantidad de fiúido que ha entrado ó ha salido en to- talidad vendrá dada por la expresión, e Y axdyadz +o Y axdydz+p PP dxay dz, dx dy dz Ó bien pdx dy dl ++ — a al y como hemos supuesto que la densidad es constante en todos los instantes del movimiento, para que no varíe la can- tidad de flúido comprendida en cada volumen, esta expresión debe ser igual á 0; así: du dv dw. (dx ANACO ña da. la cual nos dice, que lo que varía la densidad, y pudiéramos decir también la divergencia de la densidad, es en este caso nula. Una expresión análoga encontraremos en otros muchos casos. pe A Aun en el ejemplo anterior, si se trata de un flúido de den- sidad variable, un cálculo idéntico al precedente nos demos- traría que la variación de densidad se expresa por una fót- mula análoga. Y lo mismo podíamos repetir si se tratara del flúido eléc- trico, como veremos al estudiar la Electro -estática. En suma, esta expresión dx dy dz es el tipo de la variación por unidad de volumen en un elemento del mismo, de cierta cantidad concreta relativa al problema de que se trata. En el problema de la elasticidad representará una dilata- ción cúbica. En el movimiento de un flúido ponderable un aumento de masa ó de densidad. En un problema eléctrico cierta cantidad de electricidad libre. | Y así sucesivamente; es decir, representará dicha expre- sión, la cantidad en que difiere cierta cantidad para un ele- mento, comparada dicha cantidad con otra anterior y á esta diferencia, bien la podemos llamar divergencia. En todos estos ejemplos la divergencia es concreta, corres- ponde á la idea de una cantidad que antes tenía un valor y que ahora tiene otro que se separa del primero, lo cual ex- presa perfectamente la idea de que se trata. Pero como nosotros tratamos de vectores, tenemos que decir divergencia del vector W. Cuando estas teorías generales las apliquemos á casos concretos, como los vectores se convertirán en fuerzas, ve- locidades, ejes de pares, etc., la divergencia abstracta se convertirá en una cantidad concreta que será preciso definir en cada caso. — 390 — Basta por ahora con estas ideas generales, que ya iremos aclarando en lo sucesivo. En suma, si F, G, H son las componentes de un vector W, la expresión que vamos considerando podrá escribirse de este modo: dF ARA ARTS — + — 4 —- = divergencia W; dx i dy da dz Ñ Ó abreviadamente OB io AS, aa — + — + — = div. W. dx a dy ñ dz Por lo tanto, el primer miembro de la fórmula de Green, representando por d7 la diferencial del volumen, podrá escri- birse de este modo: f f f aewas Pasemos al segundo miembro. 2.” Respecto al segundo miembro de la fórmula de Green, tenemos que decir algo, que es también importante y de continua aplicación. Dicho segundo miembro lo hemos obtenido bajo esta forma a (re yo My) ha Sea (fig. 17) V el volumen que se considera, S la super- ficie que lo limita, y a un punto de dicha superficie al cual corresponde el área infinitamente pequeña bb' = dos. En este punto a tracemos la normal exterior an, y por el mismo punto a el vector aA = W. Sus componentes F, G, H están representadas en la figura por aC, CB y AB, que se- E rán funciones evidentemente de x, y, z correspondientes al punto a de la superficie que hemos elegido para nuestra ex- plicación. Ahora bien; la proyección sobre la normal n de estas tres componentes n= li di a será igual á la proyección del vector W, ó sea de la línea a A que cierra el polígono. z Figura 17. De modo que tendremos: aA" = proyección de Wsobre n =aC.a + BC.B + AB. y y llamando W,, á la proyección de W sobre n W,=Fa+ GP + Hr, —.309 — De suerte, que el segundo miembro de la fórmula de Green podrá escribirse de este modo: Hee P[ (ero +m)a= (was Como todas estas teorías, ó han sido forjadas al contacto de la realidad y por exigencias prácticas de las aplicaciones, Ó se han ido modificando los conceptos abstractos, dándoles un carácter útil, á esta última expresión se le ha dado un nombre, que podemos decir que también es práctico. Figurémonos que el vector W, que en la figura hemos re- presentado por aA, se materializa por un filete de flúido que saliese oblicuamente de la superficie infinitamente peque- ña do, y que asimismo suponemos que por todos los puntos de dicha superficie db salen filetes de flúido E A => Todos ellos constituirán un cilindro oblicuo bb" dd”, cuyo volumen expresará el flúido que ha salido por bb”, 6 dicho de otro modo, el flujo correspondiente á este elemento de superficie. Pero este volumen tendrá precisamente por valor el pro- ducto del área bb”, que es la base, por la altura a.A”, es decir, volumen bb'dd'=1lujo por la sup.* bb'=área bb'.aA'=ds. W,, y la integral anterior podrá expresarse de esta manera: el W,, ds =f/ flujo elem. vector W. Ss Ss En el caso que hemos representado en la figura, el flujo es de salida; si el vector, respecto á la normal exterior, mar- chase en sentido contrario que esta normal, podríamos decir — 08 — que el flujo era de entrada; y la integral doble, que abarca todos estos flujos del vector W, expresará el tlujo total á tra- vés de la superficie. Sólo que, como estamos en una teoría abstracta, en vez de hablar de flujo de flúidos ó de flujo de fuerzas, hablamos de flujo de vectores. Aplicando las nuevas notaciones del primero y del segun- do miembro de la fórmula de Green, dicha fórmula puede escribirse según esta notación sencilla y condensada def: div. war= | f flujo elemental W Ó si se quiere NS wav= | (waa. En lenguaje vulgar puede leerse de este modo: La inte- gral de volumen de la divergencia de un vector es igual al flujo del vector á través de la superficie misma. Esto, que escrito en fórmulas matemáticas parece abstrac- to, complicado y que para algunos es hasta sublime, es, sin embargo, de una sencillez elemental. Quiere decir en lenguaje prosáico que lo que aumenta ó disminuye algo que está dentro de un volumen, depende del flujo de ese algo que entre ó salga á través de la superficie que limita dicho volumen. Como si dijéramos, y continúa el estilo prosáico, que lo que aumenta ó disminuye el número de pesetas, contenido en una caja de caudales, depende de lo que entre ó de lo — 394 — que salga, ó si'se quiere, del ftujo positivo Ó negativo de pesetas. En verdad que nada existe menos sublime que este teo- rema, en toda la ciencia matemática. Lo cual no quiere decir que no tenga la fórmula en cues- tión una gran importancia, y que no sea dicho teorema por todo extremo fecundo en las aplicaciones. A veces lo más sencillo es lo más sublime; y por otra parte, como afirmaba un eminente matemático en el siglo anterior, cuando las teorías son transcendentalmente eleva- das, deben ser transcendentalmente claras: la obscuridad sólo es aliciente de vanidades y pedanterías científicas. Perdónesenos esta disgresión y volvamos á la fórmula fundamental. SILES Loa Pero antes de pasar adelante, debemos desvanecer una duda que pudiera asaltar á los principiantes, y que, por muy pueril que sea, no hemos de pasar en silencio; porque no ha de olvidarse ni el carácter elemental de estas conferencias, ni el trabajo de propaganda científica que con ellas me pro- pongo realizar. Al que por primera vez estudia estas materias, penetrando en terreno desconocido, acaso pudiera ocurrírsele, como digo, esta duda; porque no escribo ni para maestros ni para ge- nios. La fórmula de Green reduce una integral de volumen á una integral de superficie, como más adelante veremos que la fórmula de Stokes reduce una integral de superficie á una integral de línea; y limitándonos por ahora á la primera fór- mula, pudiera extrañar al alumno que lo que pasa, y perdó- nesenos lo vago de la frase, en el interior de un volumen, dependa de lo que pasa en la superficie que lo limita. — 395 — Esta dificultad, por decírlo así, intiutiva y vaga, no tiene fuerza de ninguna clase porque lo que pasa en el interior está enlazado con lo que pasa en la superficie. Los vectores del volumen corresponden á las mismas fun- ciones que los vectores de la superficie. Para ambos espacios el vector W tiene tres componentes, F, G, H, expresadas por las mismas funciones de x, y, z Un ejemplo elemental expresará aún con más claridad nuestro pensamiento. Supongamos la integral pl "Fo dx= f(x) —F (%). También en este caso parece que el valor de la integral, es decir, la suma de todos los elementos diferenciales f' (x) d x depende sólo de las abscisas extremas. Si representamos por C la curva cuya ecuación es y=f (x), dijérase, repitiendo la objeción anterior, que lo que pasa en toda la curva C depende de lo que pasa en sus extremos, ó sea de las abscisas x,, x,; pero ha de observarse que el se- gundo miembro no sólo depende de x, y de x,, sino de la forma de la función f(x), la cual á su vez depende de la forma de la función f” (x), es decir, de la forma de la curva C entre los puntos extremos. De suerte que variando esta curva variará f' y variará f, y el segundo miembro, en general, cambiará de valor aunque Xo y X, sean los mismos. De igual suerte que en la fórmula de (Greon el flujo que representa el segundo miembro, depende de los vectores W de la superficie, y éstos dependen de los vectores del volu- ll men ó de sus componentes F, G, H, es decir, de lo: que pasa en el interior del volumen. Volvamos al estudio de la fórmula en general. Esta fórmula, tal como la hemos obtenido al principio, antes de adoptar símbolos más abreviados, era JA tos hal Ted dl en que F, G, H representaban funciones de x, y, z Corres- pondientes á cada punto del espacio, ó concretando más, para cada punto del volumen, esto respecto al primer miembro; y para cada punto de la superficie S en el segundo miembro. Para cada punto, repetimos, F, G, H tienen un valor de- d terminado y determinan un vector resultante W. j A este conjunto de vectores es á lo que hemos llamado campo del vector W, y por eso agregábamos que el problema en cuestión, tomaba la forma de un problema vectorial. Hasta aquí F (x, y, 2), G(x, y, 2), H(x, y, 2), son tres funciones independientes, y considerando á cada una de h estas, según explicábamos en las conferencias anteriores, como función escalar, podemos decir, que el vector Wes un vector triplemente escalar. ; Ya explicábamos el sentido de esta palabra que es el mismo en todos los idiomas, aunque en el nuestro no exista todavía, con el sentido matemático que aquí le damos. Así, algunos autores extranjeros, como por ejemplo, y no cito más que dos, Bjerknes y Apell, este último en su mecá- nica, emplean una palabra que por lo menos tiene el mismo radical etimológico, y así dicen que el vector W es PoR te scalaire, ó doblemente scalaire, — 391 — De todas maneras, lo que importa es conocer con clari- dad la idea y su significación analítica, que por lo demás, ya el uso, como sucede siempre, irá fijando la denominación verbal. En cuanto al concepto puro ya lo hemos explicado en Otra conferencia, y ahora lo vamos á explicar de nuevo en forma más concreta, aunque sea repitiendo mucho de lo que entonces dijimos. Cuando se tiene un espacio limitado ó ilimitado y en él una serie de puntos contínuos ó discontínuos, cada uno de- finido por sus tres coordenadas x, y, z, hay que distinguir dos conceptos matemáticos ó mecánicos, analíticos Ó geomé- tricos, que son los siguientes: 1.2 Supongamos que á cada punto (x, y, 2) va unida una magnitud que designaremos por /, magnitud que depende del punto, ó sea de sus coordenadas, es decir: EA ES y, 2), dicha magnitud, repetimos, va unida por el pensamiento al punto en cuestión, y para cada uno es distinta en general, como que depende de sus coordenadas, las cuales varían de un punto á otro. Esta magnitud / puede tener una significación física, y, por lo tanto, en cierto modo concreta. Por ejemplo; si le da- mos al punto una masa ponderable, ó una masa eléctrica, Ó una potencial, ó, en suma, una propiedad física cualquiera, pero con este carácter esencialísimo, que dicha propiedad no marca para el punto en cuestión una dirección determina- da, sino algo intrínseco y propio del punto mismo. Rey. AcaAD, Ciexcias.—VIII,— Enero, 1910. 28 — 398 — * Pues en tal caso, á esta propiedad sin dirección, pero que tiene una intensidnd, la cual depende de las coordenadas Xx, y, z, se le puede dar un nombre que indique grados, va- lores, escala, y por eso hemos dicho que le daremos el nom- bre de función escalar. También se le podría llamar función del punto. 2. Cuando para cada punto (x, y, z) hay un función, es decir, una magnitud que depende de la elección del punto ó del valor de sus coordenadas, que tiene, por tanto, una de- terminada intensidad; pero que, además, marca una dirección y un sentido; entonces á esta magnitud se le da el nombre de vector, palabra que expresa la idea de una orientación determinada. Todo escalar unido á una dirección se convierte en vector y expresa una magnitud. Así, F (x, y, 2), es una función escalar; pero si se multi- ca, por decirlo de este modo, por la unidad aplicada parale- lamente al eje de las x, se convierte en un vector paralelo á dicho eje. | Y lo mismo podemos decir de la función G (x, y, 2). Es una función escalar, pero una recta, cuyo valor numérico sea el que expresa la función G, aplicada paralelamente al eje de las y, puede considerarse como un vector paralelo á di- cho eje. j Y, por último, H (x, y, 2), magnitud que, considerada en sí misma y sín dirección, es una unidad escalar, si se repre- senta por un segmento y se aplica paralelamente al eje de las z, se convertirá, á su vez, en un vector en la dirección del eje expresado. Si quisiéramos simbolizar esto de una manera concreta, no tendríamos que hacer más que tomar tres unidades para- lelas á los ejes, y designándolas por 1,, 1,, 1, podríamos decir que FO y, 2), G(x, y, 2), H(x, y, 2) E — 309 — son tres funciones escalares, y que SI Lo 2d (Oy, Z). «Lo son tres vectores paralelos á los tres ejes coordenados. Pero esto casi nunca será necesario, porque toda confusión es imposible. - Nos contentaremos con decir que F, G, A son las com- ponentes del vector W, designación análoga á la de las com- ponentes de una fuerza y su resultante. Y terminada esta digresión, examinemos varios casos particulares de la fórmula de Green. Podemos considerar tres casos: 1.2 Que las tres funciones F, G, A sean independientes, y entonces se dice que el vector resultante W es triplemente escalar. 10 | 2.” Que estas tres funciones F, G, H dependan de dos funciones, por ejemplo: o (x, y, 2), Y (x, y, z), en cuyo caso se dirá que el vector W es doblemente escalar. 3.” Que las expresadas tres funciones F, G, H dependan de una sola función v (x, y, Z), y diremos en este caso que las tres funciones F, G, A son simplemente escalares. Pero los dos últimos casos pueden presentarse de muchas maneras, porque de muchas maneras tres funciones pueden depender de otras dos ó de una sola, y nosotros escogere- mos un sistema especial de relaciones, que son las que han de tener más aplicación en la Física matemática. Y este sistema es el siguiente: Consideraremos á F, G, H como coeficientes de una ecua- ción diferencial Fdx + Gdy + Hdz =0. — 400 — Y tres casos pueden presentarse aquí también. Que el primer miembro de dicha ecuación sea una dife- rencial exacta de una función de x, y, z, es decir, que dife- renciada resulte precisamente la ecuación anterior. Puede suceder también, que dicho primer miembro no sea una diferencial exacta; pero que, multiplicándolo por cierto factor, función de x, y, z, resulte una diferencial exacta é in- mediata. Y por último, puede ocurrir que ni sea una diferencial exacta ni exista un factor capaz de hacerla integrable. Y ocurre preguntar antes de pasar más adelante: ¿Es esto posible? ¿Existen expresiones lineales en dy, dx, dz, para las cuales no exista ningún factor capaz de hacerlas inte- grables? Para demostrarlo basta presentar un ejemplo. Sea la ecuación diferencial dx + dy + xdz =0. Supongamos que existiese un factor capaz de hacer inte- grable esta ecuación, y designemos este factor, Ó sea esta función de x, y, z por a; multiplicando el primer miembro por esta función tendremos adx +ady+auxdz=0. Si esta ecuación es una diferencial exacta, deberá satisfa- cer á las condiciones de integrabilidad, que como sabemos serán las siguientes: du da da dix da dex dy dncinda ER dy ó desarrollando, da do du da du da PT a Xx Xx dy dx =dE se AA de donde da da a Xx — = x — Ñ dx dx y por fin e 05 luego el único factor capaz de hacer integrable la ecuación es el que la anula, que es como decir que no existe. Y pasemos ahora á examinar los tres casos que antes in- dicábamos. Primero. Que en la expresión Fdx + Gdy + Haz, las funciones F, G, AH sean completamente independientes, de modo que ni representen las tres derivadas con relación á Xx, y, z de una sola función, ni tampoco multiplicadas por determinada función de x, y, z se conviertan en tres deriva- das y hagan integrable la ecuación. En este caso, la fórmula obtenida es la única que consi- deraremos sin introducir en ella nuevas transformaciones. Subsiste, pues, para este caso en toda su generalidad la fórmula de Green IE ef orms — 402 — ó bien esta fórmula, introduciendo los conceptos de diver- gencia y flujo ff div. was= ff mio elem. W. Pasemos al segundo caso. Segundo. La expresión Fdx + Gdy + Hdz =0 no es una diferencial exacta, pero existe un factor que la hace integrable. Supongamos que este factor se representa por —————— Ó abreviadamente por dE ; Y (2%, y, 2) El darle esta forma fraccionaria es tan sólo para comodí- dad de los cálculos, porque si lo designamos por A, podría ponerse bajo esta otra forma: y representando por y la fracción z tendremos A=— Multipliquemos, pues, la ecuación por > y resultará 1 1 1 ——Fdx + — Gdy + — Hdz =0, y es a — 403 — Puesto que el primer miembro se ha hecho integrable y es la diferencial exacta de una cierta función +, de modo que dicho primer miembro tiene la forma, Da dd bi E Li dz =0, dx tendremos evidentemente, AA see Ls pl ea y dx y dy y dz de donde de do de F=tv—= G=btb= H= 1 t dx t dy t dz Ahora bien, sustituyendo estos tres valores en la fórmula general de Green, ésta se convertirá en FS ESE Hl a le SS motera ó bien desarrollando el primer miembro e o rido., de dee Pr a dx dx pi A a dy de A a les de El dr == Amer — y 14d a qa o JE. A có ANI y recordando lo que significa el símbolo A ; dy do di de de + A — — HL e dr AN e Da dz a A A E 7 ias ) uds. Transformemos ahora el segundo miembro, y para ello consideremos un punto A (figura 18) de la superficie S y tra- cemos la normal An á dicha superficie. z Figura 18. Sobre la normal n tomemos un punto A” á la distancia in- finitamente pequeña de A AA =dn. Si por el punto A hacemos pasar tres ejes, como están representados en la figura, paralelos á los ejes coordenados, las diferencias de las coordenas de A y 4', Ó si se quiere las coordenadas de A” con relación á tales ejes, serán AB=0x, BE UN ACT=0% MA 109 + y los cosenos de los ángulos que forma la normal n con los ejes coordenados tendrán evidentemente los siguientes va- lores: Hemos querido distinguir para este caso particular los tres incrementos dx, 0 y, 0z, pero en rigor no son más que las variaciones de x, y, z del punto A cuando se pasa á otro punto del espacio; podemos, pues, representarlas por su no- tación general dx, dy, dz, es decir, que tendremos da y sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación, Ma A LAN E ES dy dn dz dz . Ahora bien; consideremos el factor de un elemento cual- quiera de la integral de dx de dy dz dx dn * dy dn . dn Esta expresión es evidentemente dy dn según la regla general de la diferenciación. Porque, fijemos las ideas, v es una función de x, y, z; para el punto A tendrá un valor determinado, y al tomar otro punto tendrá para éste, otro valor distinto; la diferencia de ambos será su diferencial, — 406 — Pero si el segundo punto que tomamos es A”, y está sobre la normal n, determinada dn, quedará determinado el pun- to A”; las tres variables x, y, z ya no serán independientes, sino que estarán determinadas á su vez, cuando fijemos el punto A”; y el incremento de o será el que corresponda al in- cremento dn. De aquí resulta un coeficiente diferencial determinado de y, con relación á n, que es precisamente el que antes obtuvimos. Y como lo que digamos de este elemento de la integral doble podremos decir de otro cualquiera, resulta que el se- gundo miembro se convierte en Se y la fórmula en esta otra 0 =p (Eras. Si cambiamos dentro del mismo volumen, y para su super- ficie, las dos funciones y y y, obtendremos esta otra fórmula de dy do dy de dy 23 Pf f (en. dx Praia ra e) Sn y restando ambas fórmulas generales, y suprimiendo la par- te igual [Ste 10) — 407 — Fórmula de mucha importancia, que tendremos ocasión de aplicar en la electro-estática, y sobre la cual insistiremos cuan- do llegue la ocasión oportuna. Pero no hemos de terminar este segundo caso de la fun- ción de Green sin hacer una aclaración. Acabamos de decir que se cambian una por otra estas dos funciones, y ahora preguntamos: ¿Es esto legítimo? En la conferencia próxima podremos contestar á esta pre- gunta, que es la que, naturalmente, puede ocurrir á un prin- cipiante con tal que tenga cierto espiritu crítico. XXIV. — Determinación de algunas constantes físicas de la manganina. Constantes elásticas y su variación con la temperatura. — In- fluencia de la tracción y de la temperatura combinadas sobre la resistencia y la resistividad. — Coeficiente de dilatación. (Conclusión .) Por B. CABRERA. Resultados. Las muestras sometidas á este estudio pertenecen al hilo de 0,05 cm. á que se refirió el trabajo que citábamos en el co- mienzo de la presente Memoria, y cuyo análisis ejecutó el Profesor auxiliar Sr. Campos, con los resultados que enton- ces consignamos. Al referido hilo pertenecen las muestras que en lo sucesivo designaremos con los números 2, 3 y 4, mientras que la núm. 5 procede de un carrete de hilo del mismo diámetro de la casa Isabellenhiitte. En gracia de la brevedad no hemos de consignar los re- sultados directos de las observaciones en la mayoría de los casos, sino las ecuaciones que los representan, calculadas por el método de Cauchy. Estas ecuaciones representan los resultados directos de la observación con errores que caen dentro de los límites previstos, como puede observarse en las gráficas contenidas en las figuras que siguen, donde las se A AA — 409 — curvas son siempre las definitivas por la ecuación correspon- diente, mientras los puntos corresponden á los resultados ex- perimentales directos. a) Ecuaciones para la variación de la resistencia con la tracción (1): Muestra número 2. Temp. ECUACIÓN OBSERVACIONES Antes del recocido. Previa- mente sometido á varios ci- clos hasta 2473 <10% D/cm. 202 [R=1.03173 [1+556<10 '* D] 212 [R=1.02192 [1+502<10"* D]y 459 |R=1.02196 [1+518<107* D] ] HE Después de 10 h, derecocido 719 [R=1.02197 [14+-529<10"* D], ¿ 1560. 100% |R=1.02134 [14+558<10" * p] 222 |R=1.02278 [14+-485<10 * Dll Muestra número 3. | Antes del recocido. Después de 24 h. de tracción á 2328 < 10€ D/cm. | ; Después de recocido durante ] - 28” |[R=1.02357 [1 +501><107 15 >) 11 h. á una temperatura me- 219,1 R=1.03182 [1+569<10 * D] E dia de 152? y bajo la tracción 45% [R=1.02357 [14-515<10 "D]] de 2328 < 10% Djcm. A estas 70%,5|R=1.02328 [1+535=<10 * D]] observaciones precedieron las determinaciones de los A — 15 A A SL A coeficientes de temperatura ' bajo diferentes tracciones. | (1) En éste, como en alguno de los siguientes cuadros, se notarán ' diferencias notables si se les compara con la nota preliminar que ci- tamos más arriba. Débense tales diferencias á errores de cálculo que hemos subsanado aquí. -— 410 — Muestra número 4. (a del recocido. Después 289 8| R=1.05690 [1 +572<10" D]j de 24 h. de tracción á | 2321 < 108 D/cm. Después de recocido duran- | te 9 h. á una temperatura media de 152% y sin carga. Las determinaciones de los coeficientes de temperatura precedieron á éstas. 25%,5| R=1.04712 [1-4 470<107 ** D] 51%0|R=1.04723 [1 +488<10* D] 70,5 R=1.04625[1/+ 492<107** D] 999,5 R=1.04558 [1 +533< 177 * D] Muestra número 5. | | Antes del recocido. Después de 24 h. de tracción á 2265 < 10€ D/cm. 249,1|R =0,91902[1 +564<10" * D] ds Después de recocido duran- 1787 R=0,91293[1 + 491 <10 D] te 8 h. á una temperatura 47%0|R=0,91305[1-+-563<107 * pI| no inferior á 152%, y que en 215 alguna ocasión subió has- 18”,8/R=0,91296[1 4 551><10" D] ta 184%. También aquí pre- 70%,4|R=0;91252[1+562><107 * DJ] cedió la determinación de ST A Con el fin de poner de manifiesto la aproximación con que las anteriores ecuaciones representan los resultados experi- mentales, hemos reunido en la fig. 6 las curvas calculadas correspondientes á la más baja temperatura para los hilos recocidos, marcando las resistencias, directamente medidas con una cruz, cuando corresponden al período ascendente de las tensiones, y con un círculo para el descendente. Las di- - ferencias son, en general, del orden de algunas unidades del sexto orden decimal, y únicamente en la muestra núm. 5 lle- gan á algunas decenas de este mismo orden. Pero con fre- cuencia se denuncia la existencia de un fenómeno de histé- — 412 - resis, apareciendo los puntos del descenso por encima de los del ascenso, fenómeno del cual hemos prescindido por su escasa importancia, tomando todas las observaciones para el cálculo de las ecuaciones. Por otra parte, las diferencias quizá denuncien la existen- cia de un término de segundo orden, que convertiría las cur- vas en ramas parabólicas, con la concavidad dirigida hacia el eje de las tracciones; pero la precisión alcanzada en nues- tras determinaciones no permite más que vislumbrar la po- sibilidad de ese término de segundo orden. Para la comparación de los anteriores coeficientes, convie- ne observar que la última cifra aparece como dudosa en los cálculos, circunstancia que hace más concordantes sus valo- res de lo que á primera vista pudiera parecer. Desde luego es notable la conformidad casi perfecta del coeficiente de tracción para las muestras no recocidas. El recocido deter- mina una disminución en el coeficiente aludido, que para las 2,3 y 5 oscila entre 60 < 101% y 70 =< 101?, mientras para la 4 se eleva á 100 =< 101%. Esta última excepción no puede interpretarse de una manera satisfactoria, pues las circuns- - tancias del recocido en esta muestra son perfectamente com- parables á las que jugaron en.las demás: quizá haya ocurri- do un cambio brusco en alguna de las resistencias que cons- tituía el puente, del cual no nos apercibimos. Esta sospecha - se arraiga en nuestro ánimo con mayor fuerza analizando los - resultados de la muestra 5, donde necesariamente ha debido existir igual perturbación en el paso de los 17*,7 á 47",0, única manera de explicar la variación brusca experimentada por el coeficiente, que se observa con mayor claridad por la com- paración de las dos curvas á 17,7 y 18”,8: la diferencia en- tre sus coeficientes es, en efecto, muy superior á los errores experimentales. Pero aún hay más; durante las medidas que corresponden á la curva de 70%4 se produjo uno de estos cambios, que nos ha obligado á calcular la ecuación corres- pondiente en dos partes, tomando para coeficiente definitivo A ASE A — 413 — la media aritmética de ambos, razón que explica sea algo in- ferior á lo que debiera ser. Mas, á pesar de estos cambios, queda completamente comprobado el crecimiento del coeficiente de tracción con la temperatura, por la simple inspección de los anteriores resul- tados, y calculando E donde «a representa el indicado coe- ficiente, aquella conclusión se completa, pues sus valores resultan idénticos, dentro de la aproximación de que puede responderse, como indica el siguiente cuadro: da >< 1010 - Muestra. di Número 2... 6,9 Número 3... 6,6 Número 4... E Número 5..... 6,7 Conviene advertir que el cálculo para la última muestra lo hemos hecho partiendo de las ecuaciones para 187,8, 47" y 1007,9, eliminando las de 17,7 y 707,4 por las razones que arriba adujimos. Simultáneamente con el cálculo de == hemos hecho el de los valores de a para 50” en las diferentes muestras, obte- niendo los resultados siguientes: Muestra. 50 1015 Número2... 520 Número 3... 517 Número 4... . 488 Número 5... 508 El último de estos números no es el obtenido por el cálcu- lo, sino éste corregido mediante la sustración de la diferencia de los valores de « para 17,7 y 18,8, pues creemos que esta diferencia se debe á la causa que ya hemos señalado. Rev. AcaD. DE Ciencias.—VIII.—Enero, 1910. 20 — 414 — Habida cuenta de esta discusión, creemos que puede ad- mitirse para representar los cambios de resistencia de la manganina con la tracción, cuando esta substancia se ha re- cocido á temperaturas próximas á 150” y durante un período de 10%, la ecuación | Rp=R,|1 + [51, 40, 6, (8 500) 10D], para una temperatura comprendida entre 0” y 100”, y una tracción D, en dina por centímetro cuadrado, que no exceda de 24 =< 10%, En esta ecuación el valor de a para los 50” lo dedujimos de los números del último cuadro por el método de las medias por pesos, asignando un peso doble á los dos primeros resultados sobre los dos últimos. b.— Ecuaciones para el alargamiento por tracción. Muestra núm. 2. Temp. ECUACIÓN OBSERVACIONES Antes del recocido. Distancia de la escala al espejo 162,2 x =0,00626A — 0,0,8943. 20%,2|L = 51,07 [1 + 836 < 10 * DJ] 219 |L=51,07 [1 +816=< 10 *” D] 459 |L=51,07 [1 + 824x< 107 * D] 71% ¡L=51,07 [1 + 833 < 10 * D] 100% |L=51,07 [1 + 845 107 * D] 222 |[L=51,07 (1 + 815 < 107 * D] | Después del recocido,La mis- ma distancia á la escala. Muestra núm. 3. EA AA O AAA IS AA | 3 Antes del recocido. Distancia 21% |L=51,00 (1 + 811 =< 107 * "a de la escala al espejo 162,3 centímetros 0 | x = 0,00626A — 0,0,8943. > — 415 — Sigue Muestra núm. 3, | 280 4 = 51,00 [1 + 788 < 10” pa) 45% |L=51,00 [1 + 789 < 10 ** D]' Después del recocido.La mis- 709,5| L=51,00 [1 + 814 >< 107% Dr ma distancia á la escala. | 100%,5|L = 51,00 [1 + 811 < 107” D] Muestra núm. 4. / Antes del recocido. Distancia dela es- 282 |L=52,12(14+753<10" * D] cala al espejo 161 x =0,00631 A — —0,0,91 A. | | | . 2595 L=52,12[1+834 <10 *D-5x10"*D*]: pd os... / Después del recoci- 512 |L=52,12[14-843<107'D-5x10"*D%( do. La misma dis- 70%,5|L=52,12[14848 <10 "D—5x<107*D*]| tancia de la esca- 1 jo. 990,5 L=52,12[14857><107 *D=5><107 9D) 192 espcio Muestra núm. 5. | Antes del recocido. Distancia de la escala al espejo 158,5 centímetros x =0,00641 A — 0,96 A? 24%,1|L =42,11 (1 + 871 >< 10 * D] 179,7|L= 42,11 [1 + 818 >< 107 * D] —15 47 [L=42,11 [1 + 833<10 "DI Después del recocido. Distan- 182,8/L=42,11 (1 +822< 10” DJ? cia de la escala al espejo. Usa =42.11 [14 elos 105% DJ] A Na 100%,9|L = 42,11 [1 + 857 < 107% D] ] A A A Los valores de x que figuran en estos cuadros represen- tan los alargamientos en función de las lecturas Á en la es- cala, — 416 — Debemos advertir que, por la disposición del aparato em- pleado, medimos exclusivamente aumentos de longitud, de suerte que el factor que figura en el segundo miembro úni- camente es exacto para las temperaturas ambientes. Vere- mos, en efecto, más adelante que el coefiniente de dilatación de la manganina es del orden de magnitud del correspon- diente al cobre, de suerte que para 50 cm. de hilo y un aumento de 100” de temperatura, corresponde una dilatación del orden del milímetro. Al despreciar este cambio comete- remos en los coeficientes de alargamiento un error que no excederá de algunas unidades del último orden á lo más. La figura 7 representa una curva de cada una de las muestras (la correspondiente á temperatura más baja, des- pués del recocido), trazadas de la misma manera que indi- cábamos arriba para las resistencias; esto es, la curva re- presenta la ecuación teórica y los puntos tienen por ordena- das las prolongaciones medidas. Las observaciones hechas arriba para la fig. 6 podemos repetirlas aquí, mutatis mu- tandi, y únicamente indicaremos que en la muestra núme- ro 4, la existencia del término de segundo orden es indu- dable. Analizando los coeficientes directamente, se reconoce in- mediatamente que el recocido determina también aquí una disminución del orden de la mitad del valor que correspon- de á la variación de a. En cuanto á la muestra número 4, te- niendo en cuenta que el recocido ha cambiado el carácter de la curva, convirtiéndola en rama de parábola, la compara- ción ha de hacerse con ET para D=12 xXx 10*, cuyo EG UD valor es 714 < 1015, dando una disminución de 39 < 10%, Respecto de la magnitud de estos coeficientes, debemos notar la concordancia de valores obtenidos cuando se ha re- petido una misma serie, como demuestran las de 21* y 22” de la muestra núm. 2, y las de 17”,7 y 18”,8 de la núm. 5. Sin embargo, cuando se comparan unas muestras con otras, sio nal = si — 418 — las diferencias son análogas á las denunciadas para las resis- tencias, sin que exista correlación, por lo cual no es posible - atribuirlas á cambios en la naturaleza de la aleación, como en un principio creímos. Así, las muestras 2 y 3, perfecta- mente concordantes en la resistencia, no lo son en el alarga - miento, y lo contrario parece ocurrir con las 2 y 5. Llamando f el coeficiente que venimos estudiando, su va- lor para 50” y su variación con la temperatura, calculados mediante los anteriores resultados, están contenidos en el cuadro adjunto: Muestra. B.,0 x 10 xi10* Número 2... 820 Sd Número 3... 806 . 5,0 Número 4... 723 3,0 Número 5... 835 4,7 Para la muestra núm. 4 los números de la tabla anterior corresponden al valor de pp para D = 12 x 108, a L 4D Para ecuación definitiva del alargamiento por la tracción creemos poder proponer, después de cuanto llevamos indi- cado, Ly =Lo [ 141823 + 0,44 (£ — 50] <10D], donde los coeficientes numéricos se han calculado prescin- diendo de la muestra número 4, y atribuyendo á las núme- -ro 2 y número 5 doble peso que á la número 3, pues las determinaciones que corresponden á esta última son mani- fiestamente peores que para las otras dos. — 419 — C.-—Rigidez. RIGIDEZ ANTES RIGIDEZ DESPUES DEL RECOCIDO DEL RECOCIDO Muestra | Lon. del hilo? Diámetro. Temp. | 1 <10 Ss 3 ; Ecuación, Í , 13 ( > 4,42 | 1,=4,82[1 -0,0,48(£-50)<10* 1¿=4,80[1—0,0,56(£—50)] <10** n¿=4,80 [1—0,0,65 (€ - 50)<10** . En la columna de las longitudes del' anterior cuadro, el a primer número que aparece en cada muestra, se refiere á la j k determinación anterior al recocido, y el segundo á la ejecu- A) > - 06 : aaa . tada después del mismo. La ecuación que figura en la última columna representa las medidas directas con un error siempre > inferior á una unidad del último orden de n, y por ende den- y tro de los errores experimentales. - Nótase inmediatamente la mayor conformidad que se ob- tiene para esta constante, comparada con las dos anteriores. Únicamente la muestra número 2, para la cual también ha sido inferior el número de determinaciones, difiere de una manera sensible de las restantes, pero adviértase que con- cuerdan las medidas anterior y posterior al recocido, no obstante haberse ejecutado con montajes independientes y — 490 — un mes de intervalo. Quizá realmente se trata de una dife- rencia de constitución, Ó acaso de un error en el diámetro, único elemento común á todas las determinaciones. Sin em- bargo, este último error habría de exceder de dos milésimas de milímetro, límite que nos parece difícil se haya podido alcanzar. Otra explicación del hecho que discutimos puede encontrarse en la posibilidad de que esta muestra estuviese deformada en alguna porción, distinta de aquella que nos sirvió para la medida del diámetro. Creemos razonable, en vista de la diferencia señalada, prescindir de la muestra número 2 para el cálculo de la ecuación definitiva, dando el mismo peso á las restantes. De esta suerte hallamos 11; = 4,80, [1 —0,0,56 (£— 50)] < 10”. Se reconoce también inmediatamente de la inspección del cuadro anterior, que el recocido parece aumentar ligeramen- te el valor de n. d.—Coeficiente de Poisson y contracción de la sección recta. Los anteriores elementos nos permiten calcular -el coefi- ciente de Poisson y la contracción de la sección recta del hilo, mediante las fórmulas conocidas bolo, 2nf S=S, [1 —20PDJ. l, Tal cálculo puede ejecutarse para cada muestra separada- mente, y así lo hicimos en la nota preliminar que de este trabajo apareció en los Anales de la Sociedad Española de Física y Química; pero consideramos preferible efectuarlo, partiendo de las ecuaciones finales que hemos ido adoptan- e do para cada una de las cantidades que en las fórmulas apa- recen. De esta suerte hallamos 1 A >= — _ A AA _A — — _ _———MMMMMMM<+>=>—> — | 25<4,806><823><1073 [1--0.0,56 (t£—50)] [1+0,0,54(£--50)] = 0,264 + 0,0,2 (t— 50), despreciando términos de segundo orden. De igual manera, y con la misma aproximación, S =S,[1—2 [0,264 +-0,0,2 (£—50)] [823 +0,44 (t—50)] 10* Dj = = So[1 — [434 + 0,26 (t— 50) 10D). Dicho se está que estas ecuaciones se refieren á la manga- nina ya recocida; para las muestras no sometidas á tal pre- paración hemos de calcular independientemente estas cons- tantes, y sus valores se consignan en el síguiente cuadro: MUESTRAS 6 ) Números 24h di as ió EE 0,294 |—493><10”* Números óes, e Or ANO, teta 0,271 |-4390=<107” IN id 0,378 |=569< 10" NEO RARA 0,224 |- 39010" Medias. .......... IBQPAIANE a Bl 00 0,292 |—473=<10-% Es evidente que estas medias tienen un peso casi nulo, pues las diferencias entre los valores que corresponden á cada muestra son muy grandes, y así se explica que apa- rentemente tanto s como A disminuyan con el recocido, sien- do así que las fórmulas de definición de ambas exigen un aumento. : — 422 — e. — Resistividad y su cambio con la tracción. La fórmula general que define la resistividad en función de- la resistencia R de un conductor cilíndrico, de sección S y longitud /, nos permite determinar el cambio de esta cons- tante con la tracción por la fórmula p = Ro 1+[511 + 0,69 (+— 50)] 10** Dj 0 ASA O e LIDAD 1 + [823 + 0,44 (+ —50)] 10D” que una vez realizados los cálculos, despreciando los térmi- nos de segundo orden, se reduce á p =p. [1—746 <10*D], ecuación que presenta dos particularidades bien notables: 1.?, el signo — del coeficiente de tracción, opuesto al que corresponde á la resistencia, de forma que la resistividad es tanto menor cuanto mayor es la fuerza mecánica que en él actúe; 2.*, que el cambio de esta constante con la tracción es independiente de la temperatura... La primera de estas conclusiones tiene precedentes en los resultados obtenidos por Tomlinson (1) para el aluminio y magnesio, que presentan igual fenómeno, constituyendo algo así como una transición entre la generalidad de los metales cuya resistencia específica crece con la tracción, de igual suerte que la resistencia total, y aquellos otros, como el ni- quel y el cobalto, cuyo coeficiente de tracción para valores pequeños de D es también negativo. Observando que la manganina está constituida en su ma- (1) Phil. Trans. CLXXIV p. Proc. of the R. Soc. XXXIX, p. 503: — ABr — yor parte por cobre, manganeso y niquel, correspondiendo al primero el 84 ¿/%, al segundo el 11 ¿/* y al tercero el 4 y/*, es lógico suponer sea el cobre aquel á quien más se acer- que por su manera de comportarse, y así ocurre precisa- mente para las constantes elásticas, pues de los resultados de Tomlinson se deduce, después de ejecutar las correccio- nes convenientes por la distinta unidad elegida por la trac- ción, que en dicho metal f=878 <10* y n=4,32<10", como resultado medio de las tres muestras por este físico estudiadas. Pero respecto del cambio de resistencia la dis- paridad es completa, porque en el cobre la resistividad crece también con la tracción: ¿puede esto explicarse por la in- fluencia del Ni? La pequeña proporción de este metal pa- rece poco favorable á tal interpretación, aun admitiendo que el manganeso, cuya manera de comportarse desde este pun- to de vista es desconocida, sumara su acción en idéntico sentido. i f.—Influencia de la tracción sobre las curvas de temperatura. Antes de referir los resultados de nuestras determinacio- nes respecto de esta cuestión, resultados que son bastante discordantes, y, por tanto, de escaso valor, conviene que discutamos teóricamente la influencia que la tracción debe ejercer sobre la ley de variación de la resistencia con la tem- peratura. La ecuación que define esta ley puede escribirse -(1) R¿=Ro(1 — ab” 4 60”) representando por 0 la temperatura, contada á partir del máxi- mo de resistencia. Por otra parte, la dependencia entre R y D se puede ex- presar por ah cai: Ro=RoÍ1+[ A 61D;, — 424 — de suerte que cuando se tomen ambas variables en conside». t ración : 320: (2) Ro. .=Ro[1+(a + co 0)D] [1 — at? + 087), Ó puesta en la forma de la ecuación (1) Ro RÍA Y Dra e a 00 AA da dt 1+aD pues los coeficientes en las potencias 0? y 6* son despre- ciables. Tal forma de la ecuación demuestra que la tempe- ratura del máximo cambia con la tracción, y la función que determina tal cambio será da D —— — 20 + 3b0*=0, dt 14+4aD mn ó despreciando aD, que á lo más puede alcanzar 0,001, en presencia de la unidad da — D-—2a4 +3b0*=0, di + de donde 1 e que desarrollando el paréntesis por la fórmula del binomio, y despreciando los términos de segundo orden, se convier- te en a 0 de suerte que la temperatura de resistencia máxima crecerá linealmente con la tracción D. di 485 > Claro está que este cambio determinará una variación en el coeficiente a, si hemos de conservar la fórmula (1) para representar las variaciones de la resistencia con la tempera- tura, quedando ahora definido por la expresión y 0 2084 Heobt, y, 2 dE que demuestra una disminución en el valor absoluto de di- cho coeficiente á medida que aumenta la tracción D. Para formar una primera idea de la importancia de estos cambios, calculemos los factores de D en ambas fórmulas, tomando para sus diferentes elementos los siguientes va- lores: du a dt a=4x10 7", EA OR de los cuales el primero es el que adoptamos arriba, mien- tras los otros dos son los valores que la repetición de un eran número de medidas de este género, en este trabajo, y con anterioridad á él, nos ha dado como promedio. Con estos datos resulta para valor del coeficiente de D en la pri- mera fórmula un número del orden 10”, y.en el segundo de 3,10” **, de suerte que para.la mayor tracción, ligeramente su- perior á 2,10”, el aumento de la temperatura del máximo se- ría de unos 2”, y la disminución en el valor de a podría llegar -46<10?. La variación de la temperatura es suficientemente grande para mo pasar desapercibida; pero el cambio en a puede quedar velado por los errores experimentales. Hecha esta discusión, veamos el resultado de las medidas ejecutadas ¡para el estudio de este extremo. —————— o Muestra. Número 2. Número 3.. Número 4.. Número D. Tracción. 410.108 820.108 1651.10% 414.10* 835.10* 1243.106 1660.10* 2078.10 414.108 835 10% 1243. 10% 1660.10* 2078.10% 401.108 805. 10% (1219.10: Ty 410,5 400,6 430,5 4196 380,9 400,6 410,3 419,6 400,4 390,9 410,3 40%,4 419,2 350,9 320,7 350, 1 — 426— ECUACIÓN R¿=1,02235 [1—373< 10 *(f—41%,5)] R¿=1,02252 [1—261 <10” *(t—40,6)?] R¿=1,02308 [1—334< 10 *(t£—430,5) + 11107 1(£—430,5)3] R¿=1,02378 [1—419<107 *(t—41%,6? +26>< 10 (£—41%6)] R¿=1,02399 [1—365< 107 ?(f—38%9)2 +19 10710 (f£—380,9)3] R¿=1,02429 [1—375< 107? (£—40%,6)2 +20 1071 (£—409,6,7 R¿=1,02434 [1 —385<107?(f—41%,3)? + 2710719 (£—419,3)3] R¿=1,02472 [1—360< 107 *(4—410,6)? +20 1071%(£—41%6)3] R¿=1 04764 [1—337< 107 *(f—400,4)? + 13<10—19(£—409,4)8]- R¿=1,04755 [1—373< 107 ?(t — 390,9)? +22<10710(£—390,9)3] R¿=1,04788 [1—423<107*(£—41%,3)? +36: 107 1(£—410,3)] R¿=1,04808 [1—347<107 ?(f—400,4)? +17 <107 (£—40%,4,5] R¿=1,04829 [1—361 < 107 ?(t—41%,2)? + 19<1071(£—410 2)*] R¿=0,91356 [1—382< 107" *(£—35%9)?+ 8107 1(f—350,9)8] R¿=0,91374 [1—435<107*(f—320,7)? + 19<1071(£—320,7)*] R¿=0,91387 [1—480><107 *(£—35%,1)2 +25><10(£—350,1)%] Bastará dirigir una simple ojeada de inspección al ante- rior cuadro, para comprender que los resultados experimen- tales no corresponden á las predicciones teóricas anterior- mente indicadas, sin que tales diferencias sea presumible que puedan atribuirse á errores experimentales, pues las ecuaciones representan las medidas directas con bastante exactitud, como puede juzgarse con las figuras 8.* y 9.* que corresponden á las primeras curvas de cada una de las muestras. Así, la temperatura que corresponde al máximo de resistencia, en vez de crecer proporcionalmente á la trac- Pu as Y y ¿pa ción D, como arriba hemos dicho, parece primero disminuir rápidamente para crecer luego, y los coeficientes a, en lugar de disminuir en la forma que se deduce de las anteriores consideraciones, quizá crezca constantemente, Ó quizá siga -16' -8' 0" +8 +10" Figura 8,2 una ley análoga á la que corresponde á la temperatura. ¿Cuál puede ser la razón de tal discrepancia? La dependen- cia directa de los coeficientes a y b de la tracción D, de la cual prescindimos arriba, parece natural responder; pero. admitiendo únicamente la posibilidad de desarrollar R(0,f) por la fórmula de Maclaurin en las proximidades del pun- 1div. 1-10 w — 428 — to 0,T;, hipótesis de la cual es. difícil prescindir, podemos dar á esta magnitud la forma (2), donde a y b son funciones de D que toman valores positivos finitos cuando, esta varia- Figura 9.2 ble tiende hacia cero, con lo cual obtendremos siempre la expresión (3) para la temperatura del máximo, expresión que no puede dar valores negativos cuando D es muy pe- queña, sea cual fuere la forma atribuida á a, dentro de los requisitos que la experiencia le impone. — 409 — £.— Dilatación térmica. Es este el último de los problemas que nos proponíamos resolver, sin que hayamos logrado nuestro objeto por de- fecto de sensibilidad del método utilizado. Habida cuenta de la disposición de nuestros aparatos, la dilatación de la mues- tra estudiada se determinaba por comparación con la dilata- ción del cobre, y la diferencia entre ambas ha resultado ser tal, que casi se confunde con los errores experimentales, haciendo muy inseguro su estudio. Esta inseguridad procede principalmente de que su valor no es proporcional á la tem- peratura, pues parece casi seguro que para temperaturas ba- jas el cobre se dilata más que la manganina, mientras á tem- peraturas altas es lo contrario lo que ocurre. Como el coefi- ciente de dilatación del cobre crece ligeramente con la tem- peratura, es menester que la manganina posea un cambio de este género muy acentuado; es probable además que este encorvamiento de la gráfica de la dilatación se hace más sen- sible cuando la tracción es mayor. De todas suertes, nuestras determinaciones poseen escasa precisión para permitirnos la resolución de este problema, en vista de lo cual se realizan medidas directas actualmente en el Laboratorio de Termología de esta Facultad. (Laboratorio de Electricidad de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central.) Rxv. AcAD, Dx Ciencias. —VIII.— Enero, 1910. 3u — 430 — XXV.—Sobre los diagramas de estado de los sistemas estaño-azufre, estaño-selenio y estaño-telurio. POR WILHELM BILTZ Y WERNER MECKLENBURG Motivan el presente estudio, en primer lugar, el desacuer- do que, respecto del punto de fusión del sulfuro estanoso, existe entre los datos de Guinchant (1) y los de Pélabon (2), y en segundo lugar los particulares cambios de estado que en aquel cuerpo fundido ha observado uno de nosotros en compañía del Dr. Weigel (3). Gracias á la investigación del diagrama de estado del sistema estaño-azutre, completada con el estudio de los sistemas estaño-selenio y estaño-telu- rio, que pueden establecerse con absoluta integridad, se han comprobado los resultados que Pélabon obtuviera y que he- mos contrastado y completado. Y al contrario, no pudimos reproducir los cambios del sulfuro estanoso en estado de fusión que se han recordado. Fueron primeras materias, en las preparaciones necesa- rias para las fusiones, substancias procedentes de la casa C. A. F. Kahlbaum, de Berlín, y en cuanto á la pureza del selenio, se comprobó por medio de su análisis (4), habiendo determinado 100,2 y 99,9 por 100. (1) Comptes Rendus-134. 1224-1902. (2) Comptes Rendus-142. 1147-1906. (3) Z.S. f. anorg. Chem. 59. 281-1908. (4) Para analizar el selenio se hierve con tres veces su peso de cianuro potásico en disolución al 10 por 100. El liquido resultante, después de filtrado, si fuese preciso, es precipitado con ácido clorhí- drico concentrado; el precipitado se hierve hasta verlo ennegrecido, se filtra por un crisol Neubauer, se deseca á 100% ó 110% C y se pesa. — 431 — No aprovechan, cuando de obtener fundido el sistema es- taño-azufre se trata, los sulfuros de estaño comerciales, por- que de contínuo les acompañan compuestos de otros metales, materias oxidadas y, en ciertos casos, grandes cantidades de cuerpos salinos extraños, entre los que se cuenta principal- mente el cloruro amónico. Debido á tales circunstancias, he- mos procedido de la manera siguiente, con intento de lograr un sulfuro de estaño exento de óxidos. En un tubo de por- celana, calentado á 900* C. y lleno de vapor de azutre, intro- dujimos una mezcla hecha con estaño metálico y dos veces la necesaria cantidad teórica de azufre; de esta suerte se con- sigue obtener una masa fundida, no homogénea, y un tanto estratificada, de modo que sus capas superiores presentan la característica estructura cristalina de las hojas algo grue- sas de sulfuro estanoso, y las inferiores, ya más tenaces, son también más ricas de estaño. Triturado el cuerpo y mez- clado de nuevo con igual proporción de azufre que la pri- mera vez, y vuelto á fundir de la manera que es dicha, resulta una substancia perfectamente homogénea. Al enfriarse el sul- furo después de solidificado aumenta de volumen á la tem- peratura de 400 á 600” C., de modo tan considerable, que bastan 200 gramos para hacer pedazos un tubo de porcela- na, cuyas paredes tenían 2,5 milímetros de espesor. Seme- jante dilatación no corresponde á un punto de transforma- ción. —Fundiendo una mezcla de sus elementos puros en las proporciones teóricas, sólo se forman exiguas cantidades de sulfuro, á causa de volatilizarse el azufre, sin reaccionar. Preparado el sulfuro conforme queda dicho, no correspon- de exactamente á la fórmula teórica. Según el tiempo que dure la acción del calor y la temperatura sostenida luego de haber introducido en el tubo de porcelana la mezcla de estaño y azufre, se obtienen productos diversamente sulfura- dos, y así la primera materia empleada para nuestros experi- mentos contenía 76,6 por 100 de estaño y 23,4 por 100 de azufre. Otras substancias fundidas de distinta composición, — 432 — prevista á voluntad, se pueden originar con sólo añadir á los cuerpos que forman el sistema inicial, las cantidades de esta- ño calculadas. Demuestra el estudio de las masas de fusión y de solidi- ficación que las pérdidas de azufre en las ricas de este elemento, conteniendo más de un átomo de azufre por un átomo de estaño, son bastante considerables, lo cual hace ne- cesario el apelar al análisis para establecer la composición de los régulos fundidos. En estos casos se determina el estaño calcinando el cuerpo en un crisol abierto y pesando el resi- duo formado por el dióxido estánico. Cuando la proporción de estaño pasa del 80 por 100, la oxidación se efectúa por medio del ácido nítrico, agregándole un poco de ácido clor- hídrico, evaporando la disolución luego de tratada con nitrato amónico y calcinando el residuo. Por lo que atañe al azutre del sulfuro, se determinó pulverizándolo, humedeciéndolo con agua, descomponiéndolo en una corriente de anhídrido carbónico calentando lentamente, y agregando poco á poco la suficiente cantidad de ácido clorhidrico de 18 por 100 de concentración; el hidrógeno sulfurado de tal suerte produci- do era absorbido en una disolución decinormal de iodo, me- dida y diluida en agua, determinando luego la cantidad de iodo restante (1). Se prepararon las mezclas de estaño y selenio calentando sus componentes en los tubos de reacción llenos de anhídri- do carbónico; comienza la reacción con desprendimiento de luz, que se propaga sucesivamente por la masa. No siendo posible evitar alguna pérdida de selenio por volatilización, se requiere analizar todos los productos fundidos, después de (1) Al ensayar los productos más ricos de azuíre, se observa de continuo que al desprenderse hidrógeno sulfturado destila, asimismo, cierta cantidad de cloruro estanoso, que no influye nada en la valora- ción del iodo resultante. El cloruro estanoso no destila ni con vapor de agua ni con ácido clorhídrico. Véase Lewis A Youtz. Z f anorg Chem. 35. 57-1903. A A A O e — 433 — haber estudiado las correspondientes curvas de solidifica- ción: los productos más pobres de selenio eran tratados en un crisol Rose y en una corriente de oxígeno; los que con- tienen más de 85 por 100 de estaño, se calcinaban en la for- ma indicada al tratar del análisis del estaño sulfurado, pesan- do el dióxido luego de haber eliminado el selenio. Cuanto á las mezclas de estaño y telurio, se han fundido en las mismas vasijas de porcelana utilizadas para los expe- rimentos ulteriores; y como el punto de ebullición del telurio corresponde á temperatura más elevada que la propia del calor de reacción, no eran de temer pérdidas sensibles de materia. Para realizar los experimentos objeto del presente estu- dio, se ha adoptado la disposición de los hornos represen- tada en la figura 1.* Hecha la mezcla de estaño metálico con cualquiera de los elementos del grupo del azufre, se introduce en un tubo de fusión Tammann, cerrado por su extremo inferior, y al supe- rior se adapta un tapón de esteatita atravesado por tres tu- bos capilares, conforme se ve en el centro de la figura: uno de ellos sirve de protector al pirómetro I de Le Chatelier (1), cuyos alambres se aislan uno del otro mediante tubitos capi.- lares contenidos en las porciones incandescentes de la lám- para Nernst; los otros dos se destinaban á dar entrada y sa- lida á la corriente de nitrógeno, que se emplea para evitar la oxidación parcial de las substancias fundidas. Este nitróge- no, que ejercía oficios de atmósfera inerte, hallábase en ab- soluto privado de oxígeno y de humedad, á cuyo fin, antes de entrar en el tubo de Tammann, y luego que salía del de- pósito que lo contenía, era purificado haciéndolo pasar suce- (1) Se ha comprobado la exactitud del pirómetro al comenzar los estudios experimentales, y de vez en cuando en el transcurso de los mismos, por medio de los puntos de fusión del cadmio (3229), del anti- monio (631%), del eutético cobre-oxígeno (10650) y del oro (10642). — 434 — sivamante por una disolución concentrada de amoníaco, por una red de cobre arrollada y calentada en un horno de gas, por una disolución diluída de ácido sulfúrico, por otra de _galvanómetro il pirómetro T .galvanómetro T mitrogeno nitrógeno amianto Horno de Tammann Horno de Tammann substancia fundida substancia fundida placa de amianto placa de amianto amianto amianto galvanómetrolI pirómetra IT galvanómetroll Figura 1.2—Esquema del horno dispuesto para los experimentos. pirogalol, y en fin, por ácido sulfúrico concentrado. Para cada ensayo se empleaban de 10 á 20 gramos de materia, y el ya citado tubo de Tammann destinado á contenerla era calentado en un horno de carbón ideado por el mismo autor, ze AS empleando una corriente eléctrica de poca tensión y mucha intensidad, y la temperatura alcanzada se determinaba con el pirómetro II de Le Chatelier, colocado conforme se indica en la parte baja de la figura. Habíase observado, en una serie precedente de experimen- tos, cómo el sulfuro estanoso, calentado á temperatura supe- rior á la de su punto de fusión (880” C.), adquiría cada vez mayor tenacidad, luego se solidificaba, y á cosa de 1.000” C. de nuevo se liquidaba, lo cual coincide bastante con los ya citados datos de Guinchant, según los cuales el sulfuro es- tanoso presenta el fenómeno de la fusión pastosa á las tem- peraturas de 950 ó 1.000” C. Investigando de nuevo los he- chos acaecidos, nos ha sido imposible reproducir las obser- vaciones apuntadas, aun variando repetidas veces el modo de calentar las masas y empleando diversos productos califica- dos de sulfuro estanoso. Hemos ensayado el cuerpo sintético, de la composición teórica ó de otras cercanas, diversos sulfu- ros comerciales impuros, el preparado con el sulfuro estánico comercial y, finalmente, otros sulfuros procedentes de anti- guas investigaciones. Comprendieron las observaciones practicadas desde los puntos de fusión de las mezclas, á unos 880 C., hasta los puntos de ebullición de las mismas, próximos de 1.230” C.; á veces se advertía en las fundiciones cierta tenacidad; pero, no obstante, en ningún caso nos fué dado reconocer de nuevo, con certeza y exactitud, los curio- sos fenómenos de la primera vez, ya indicados. En cuanto al calor absorbido para la «segunda liquefacción », habíase ex- plicado ya en el trabajo anterior como calor de gasificación; mas nada podemos decir seguro acerca de la realidad de los fenómenos entonces observados. Ni el seleniuro ni el telu- ruro de estaño fundidos han presentado variaciones extra- ordinarias de consistencia. Para completar el diagrama de estado del sistema azufre- estaño, se ha estudiado asimismo la curva de ebullición co- rrespondiente á mezclas que contenían de 11,5 á 20,3 por 100 — 436 — de azufre. Estableciéronse los puntos de ebullición mediante observación directa del fenómeno, y al propio tiempo por la constancia de la temperatura de la mezcla, mantenida tam- bién constante, si la exterior del horno superaba de 100” á 150? C. la de aquélla. | CUADRO I SISTEMA ESTAÑO - AZUFRE CURVA DE SOLIDIFICACIÓN | Número del ensayo. | Azufre por 100. Ae sei, 6 Eutético. 1 0,0 - 2320 (1) 2 0,2 — 2320 3 0,6 — ZN 4 1,1 = 2340 5 e — 2410 6 3,2 8532 2402 7 7,1 8562 2412 8 11,7 8600 9 14,0 8552 2300 10 15,0 8580 11 18,3 8632 12 20,1 868 2 | 13 20,3 8742 14 21,3 8802 15 21,6 8810 16 23,4 8362 (1) Las temperaturas de solidificación en las fusiones 1, 2, 3 y 4, se han determinado empleando un termómetro de mercurio, compro- bado por el punto de fusión del estaño puro (232* C.). a dl o A AA RS II SISTEMA ESTAÑO - AZUFRE CURVA DE EBULLICIÓN Número del ensayo. Azutre por 100, Ebullición. 1 11,5 12932 2 13,5 12822 3 15,6 12762 4 16,9 1271.2 5 17,9 12662 6 19,0 12519 7 20,3 12409 CUADRO III | SISTEMA ESTAÑO- AERENIO Número del ensayo, 1 0,0 = 232% 2 3,6 6949 2330 3 7,0 71849 2332 4 10,2 8150 2340 5 26,4 8222 2330 6 39,4 qn 7 41,7 8340 6352 8 44,8 7422 638" 9 47,6 7099 6522 10 53,2 = 11 56,3 6542 220? 12 57,7 = 13 57,9 6562 220? 14 62,1 Selenio por 100. CURVA DE SOLIDIFICACIÓN Comienzo de la solidificación. Eutético. E a CUADRO IV A í;[íIIDOOO O a | | SISTEMA ESTAÑO - TELURIO CURVA DE SOLIDIFICACIÓN g Comienzo Número del ensayo. |Telurio por 100.1 ¿e 1a solidificación. Eutético. 1 4,8 4362 2299 2 13,0 674% PS dE 3 20,0 7072 2312 á 25,9 726% — 5 35,3 LS ES 6 38,2 7442 — 7 41,7 1 a AS 8 47,6 7862 2299 9 50,0 796% — 10 56,7 7749 405% 11 63,0 6982 4049 12 68,0 5342 405% 13 70,8 5939 4052 14 73,9 DOS 4049 15 71,3 504 403% 16 84,3 = 4059 17 90,9 4220 4032 18 100,0 4550 (1) — | Se reproducen en las figuras 2.”, 3.* y 4.* los diagramas, respectivamente correspondientes á cada uno de los tres sis- (1) Resultados de la determinación del punto de fusión del telurio; Masumi Chikashigé... (Z. S. f. anorg Ch. 54.50 (1906))... 4380 PElabon ico € (Comptes Rendus 142.1147 (1906)).. 4522 H. Fay y C. B. Gillson (Amer. Chemic. Journ. 27.81 (1902)) 446" : "ASA A — 439 — temas, estaño- azufre, estaño-telurio y estaño-selenio, los cuales, observados en principio, del lado de las mezclas ricas de estaño, se asemejan bastante. A partir del máximo, miran- do de derecha á izquierda los dibujos, la curva del comienzo de la solidificación principia con un rápido descenso, que es luego mucho más lento, de suerte que, sobre todo tratándo- se del sistema estaño-azufre, pudiera creerse que constituía un segmento horizontal, que si tal fuera indicaría miscibi- lidad incompleta y parcial en el estado líquido; pero en tal caso tendría que extenderse hacia la derecha, hasta llegar á la abscisa de concentración del compuesto respectivo Sn S, Sn Se ó Sn Te; pero en ningún caso fué dado el observar la continuación del referido segmento horizontal. Tratándose de mezclas de sulfuro estanoso y estaño metálico, la homoge- neidad de las masas fundidas, á temperaturas superiores á 1.200” C. está asegurada por la elevación del punto de ebullición cuando la concentración del metal aumenta, por- que obedece á la ley de Raoult. Siguiendo adelante y hacia la izquierda de las figuras, las curvas de fusión descienden rápidamente hasta el punto de solidificación del eutético, el cual coincide exactamente, en los tres casos estudiados, con - el punto de fusión del estaño puro. Atendiendo á las diferencias de los pesos especificos y á la gran separación existente entre el comienzo y el fin de la solidificación, se ve cómo es posible, en los tres casos, la marcada separación de los componentes, de la manera ya dicha al tratar de la obtención del sulfuro de estaño, en la que suelen formarse dos capas desigualmente compuestas. Sirvan de ejemplo la materia del ensayo núm. 9 del cuadro primero, así estratificada: Encontrado. Capa superior..... 79,2 por 100 de Sn y 21,1 por 100 de S. Capa media...... 793 — — y 20,9 =z —- Capa inferior... 95,7. — S1ND4 vigo ibn — 40 — Y la materia del ensayo núm. 8, del mismo cuadro: Encontrado. Capa superior.... 80,2 por 100 de Sn y 19,8 por 100 de S. Capa inferior..... 97,5 — == y 17 — — Todavía es más determinada tal separación en el sistema estaño-telurio, cuyas mezclas se caracterizan por su extraor- 73008 irse 1200 71100 20600 900 800 700 5 10 TANDO ARAS —— S Pigura 2.2— Dlagrama de estado del sistema estaño-azufre. dinaria tendencia á cristalizar, lo cual es causa de las dife- rencias siempre encontradas de las temperaturas de solidifi- PEA NAS AE, A cación, según se observan estando el pirómetro en las capas superiores ó en las inferiores de las masas fundidas. Esto ha sido el motivo de elegir, para cuantos experimentos se han practicado, idéntica posición del pirómetro, y era la co- rrespondiente á las temperaturas más elevadas. Son más diferentes entre sí las partes derechas que las iz- quierdas de los diagramas; en los tres casos la curva, pasan- do desde el máximo, á la derecha, desciende rápidamente. Tratándose de sulfuro de estaño (fig. 2.*), y á consecuencia de las grandes é incalculables pérdidas por volatilización del azufre, la curva no se ha podido realizar después de alcan- zar mayores tantos por ciento de aquel elemento. 9000 990 209 600 500 400 300 200 100 10 20 30 40 50 60 70 $0 90 100% HR % Figura 3.2 —-Diagrama de fusión del sistema estaño-telurio. En el caso del sistema estaño-telurio (fig. 3.2), se obtiene otra curva eutética á la temperatura de 404” C. y este mismo eutético corresponde á su vez á la mezcla de 85 por 100 de —= 44D: — telurio. y 15 por 100 de estaño, no pudiendo existir, á lo menos en las condiciones especiales de los experimentos, un compuesto más rico de telurio que el prototelururo. Respecto del sistema estaño-selenio (tig. 4.”) se han de no- tar las dificultades de la investigación experimental, motiva- das por la volatilidad del selenio y su tendencia á solidifi- 1 Sn ¡Se suse $aSe, y 900" 900”? I y | | | 800 DA 800 e : | 1 | 700 | 700 ¿e ; 600 ' A E 600 | | | 500 | O 500 400 | A 400 EA 300 | | | E 300 E | | | 200 | a Meios Me E 200 ] Í 100 od 100 | : I 0 10 20 J0 40 90 60 70 80 90 100% —_—_—_—_—> SE Figura 4.2—Diagrama de fusión del sistema estaño-selenio. carse en estado amorfo. Puede explicarse de dos maneras el diagrama obtenido. Quizá se trate de un máximo semidisi- mulado, semejante al que ha observado Vogel en el Instituto de Tammanmn (1) estudiando el sistema oro-antimonio. En- (1) Z.S, f. anorg. Chem. 50-151 (1906 , ASE — 443 — tonces la porción BC de la curva sería la continuación rec- tilínea de la recta eutética AB, y de la discontinuidad de la dicha curva habría de inferirse la existencia de un compuesto, que conforme puede verse, sería el sesquiseleniuro de estaño Sn, Sez, análogo al sesquisulfuro Sn, S¿ descubierto por Ber- zelius é inestable á elevada temperatura. Se demostraría periectamente la existencia de tal compuesto si la recta eu- tética correspondiente al eutético constituido por el selenio puro y el sesquiseleniuro se prolongase hasta el punto pre- ciso que señala su concentración y no más adelante; pero esto no ha podido ser comprobado, á causa de lo difícilmen- te que cristaliza el selenio metálico. Con sólo estudiar la curva de calentamiento de la mezcla que contiene 78,1 por 100 de selenio, se ha reconocido con toda certeza su discontinuidad á 216*C, lo cual permite establecer que el eu- tético está formado de selenio casi absolutamente puro, sien- do su punto de fusión 217"C. En las mezclas que lo contie- nen en poca cantidad, ó sea entre las concentraciones criti- cas de 50 á 60 por 100 de selenio, ya no es tan seguro el reconocer los puntos de discontinuidad, y así no ha sido po- sible marcar exactameute el término del eutético á la izquier- da de la recta correspondiente, indicando lo expuesto que no es inadmisible la hipótesis de que la sección A B representa una laguna de la miscibilidad en el estado líquido; pero el su- puesto parece menos probable, si se tiene en cuenta que el estudio metalográfico de régulos metálicos con 58 por 100 de selenio no ha revelado el menor indicio de estratificación de su masa. Fueron ejecutadas las investigaciones metalográficas de algunos productos fundidos de los que hemos obtenido en el Instituto de Siderurgia de esta Berg-akademie por el Sr. W. Goldbeck, á quien nos complacemos en enviar, desde aquí, el testimonio de nuestra profunda gratitud, y se con- signan en compendio los resultados de semejante trabajo. Distínguense en la figura 5.* de la lámina Í, con la mayor cla- — 444 — ridad, bien formados cristales de sulfuro estanoso, en la masa de estaño puro: la proporción de azufre era de 1.1 por 100. Corresponden la figura 6.* de la misma lámina l y la figu- ra 7.* de la lámina Il al sistema estaño -telurio y á mezclas con 40 y 70 por 100 de telurio respectivamente. Vensé, en la citada figura 6.*, los cristales claros de telururo estanoso destacándose sobre el fondo obscuro del estaño, y en la figura 7.* los propios cristales agrupados de modo particular y esta vez se perciben obscuros sobre el fondo claro, cons- tituído por el eutético compuesto del telururo y del teluro metálico puro. Representa la figura 8.* de la lámina ll el corte transversal de un régulo de selenio que contenía 10 por 100 de estaño y las partículas de seleniuro estanoso aparecen obscuras sobre fondo claro, no tienen forma carac- terística, y en el presente caso, como tratándose de otros régulos más ricos de estaño, ha sido imposible identificar, ni siquiera distinguir, formas cristalinas definidas. Luego de terminados los estudios experimentales que quedan referidos, tuvimos noticia de un trabajo bastante no- table, debido á Henry Fay, que lleva por titulo. Tellurium- tin-alloys (1); su diagrama del sistema telurio-estaño es muy semejante al que nosotros hemos obtenido; en general, los puntos correspondientes al comienzo de las cristalizaciones observados por Fay, están más bajos que los de nuestra curva y en los pormenores nótanse asimismo algunas dife- rencias bastante pequeñas. El punto de fusión del telururo estanoso, conforme á las determinaciones del citado investi- gador, está á la temperatura de 769” C. Comparando nuestros resultados con los que obtuvo Pélabon, vese al momento la concordancia notable en lo que atañe á los puntos de fusión de los compuestos estanosos, conforme aparece en el siguiente estado: (1) Journ. Amer. Chem. Soc. 29, 1.265 (1907). — 445 — CUADRO V PUNTOS DE FUSIÓN DETERMINADOS POR COMPUESTOS PÉLABON BILTZ Y MECKLENBURG SINS AA 880% € 882 C A 860% € 861 € STAN dei 780% C 800 € AA Respecto de los otros datos de Pélabon, se han completa- do, con intento de fijar las rectas eutéticas y establecer con mayor precisión las inflexiones de las curvas de fusión. Chemisches Laboratorium der Konielichon Berg-akademio zu Clausthal. i. H, Ray. Acap. pe Ciencias.—VITT.—Enero, 1910. 31 — 446 — XXVI. — Viaje de estudio á la Guinea española. Observaciones acerca del «Trypanosoma gambiense» y algunos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales. Por GUSTAVO PITTALUGA (Continuación). Estos siete casos bastan para dar idea de los caracteres epidemiológicos de la tripanosomiasis humana en la isla. Se reflejan en ellos claramente los factores que contribuyen á la probable difusión de la enfermedad. Al propio tiempo se ve que ésta ha tomado carta de naturaleza, quizás desde hace mucho tiempo, en Fernando Póo, y que debe considerársela como endémica en la isla. El caso de la niña María, nacida y criada en Concepción, y que nunca abandonó el territorio de la isla, es demasiado elocuente. No lo es menos el del bubi Lepa (caso núm. IV), sin contar los muy numerosos que vinieron presentándonos en Santa Isabel, dueños de fincas, comerciantes é indígenas, y los que se refieren en los datos recogidos de personas fe- hacientes. Todo el valle que se abre enfrente de la bahía de Con- cepción desde lo alto de la Misión hasta la costa, y quizás desde más arriba, debe considerarse como invadido por la enfermedad. Abundan en ese territorio las moscas del gene- ro Glossina, las cuales, en cambio, no se encuentran ni se conocen por los indígenas en el centro de la isla, en la mese- ta de Moka (1.100 m. sobre el nivel del mar) y en la región comprendida entre los dos lagos de Moka (1.800 m.) y de Loreto (1.262 m.). En ese valle de Concepción, y en la costa — 447 — que constituye la bahía del mismo nombre, en los villorrios de chozas bubi que suben desde el mar hasta la Misión, se halla desde hace tiempo establecido el foco endémico de mayor intensidad de tripanosomiasis humana en la isla de Fernando Póo. ¿ Un segundo foco, desde luego más reciente, se halla en los alrededores de San Carlos. La intensidad de la infección aparece aquí menor hasta ahora; pero las condiciones espe- cialísimas en que se encuentra esta zona por la contínua in- migración de braceros procedentes de países invadidos por la tripanosomiasis y por la presencia de Glossinas, hace te- mer que muy en breve el foco de San Carlos adquiera difu- sión mucho mayor que el de Concepción, si no se opone al desarrollo de la endemiía un franco y enérgico valladar. De la parte Sur de la isla, casi deshabitada, ó habitada por escasos restos de población bubi, nada sabemos. En cambio, por las referencias de los dueños de fincas, no cabe duda de que casos esporádicos de la enfermedad se han observado en factorías ó fincas emplazadas á lo largo de la costa Occi- dental comprendida entre San Carlos y Punta Fraile, ó de la Oriental, entre Concepción y Santa Isabel. ¿Estos casos eran autóctonos, originarios de la isla, ó importados? No pudiendo contestar directamente á esta pregunta, nos limitaremos á poner de relieve un hecho incontestable, y es que entran en Santa Isabel, en San Carlos, en la isla, en fin, completamente inobservados, numerosos casos de tripanoso- miasis humana, procedentes de lugares infectados de la costa Occidental de Africa ó de la isla del Príncipe. El ejemplo del portugués Felisardo Godiño (caso III) es harto demostrativo. Lo es también el del otro portugués, observado por el Sr. Rocafort en 1908. Quedan los casos Il (Dongo, de Bata), VI (Domingo De ché, senegalés) y VII (Oké, Lagos), en los cuales puede ca- ber la duda de si llegaron á Fernando Póo enfermos ó ad- quirieron en la isla la enfermedad. — 448 — En el caso del muchacho Dongo, que procedía directa- mente de Bata (Guinea continental española), y que sólo diez meses antes había llegado á Fernando Póo, puede su- ponerse que el germen patógeno hubiese sido contraído en el continente. (En los pueblos Bujebas ó Combes que rodean á Bata no es rara la tripanosomiasis.) En tal caso, se pone una vez más de manifiesto la gravedad del peligro que para la isla representa la importación continua de braceros, no so- metida á vigilancia ni responsabilidad alguna desde el punto de vista sanitario. En los casos VI y VII es de suponer que la enfermedad haya sido contraída en la isla, y precisamente en el primero en Concepción, en el segundo en San Carlos. En resumen: la isla de Fernando Póo posee un foco endé- mico de tripanosomiasis humana, de relativa intensidad en la bahía de Concepción; otro, inicial ó incipiente, en las cer- canías de San Carlos; en los dos se hallan en número consi- derable las moscas del género Glossina; la enfermedad no se ha extendido por toda la isla ni ha logrado alcanzar la difusión é intensidad que le es propia en otras regiones, por- que las moscas del género Glossina han sido, según toda probabilidad, importadas del continente en época no lejana y no se han extendido todavía mucho, y porque la población indígena de la isla vive en pequeños grupos muy separados los unos de los otros, condición poco favorable para la trans- misión del germen; por fin, la isla se halla amenazada de un grave peligro por la continua importación de braceros en eran parte procedentes de lugares infestados par la tripano- somiasis. Tales son los hechos—no ya las apreciaciones — que se refieren á la existencia del Trypanosoma gambiense en la isla de Fernando Póo. Veamos ahora los datos recogidos en la Guinea continen- tal española, en los dos distritos de Elobey y de Bata. En el Hospital de Elobey el practicante Sr. Díaz, que desde SA — 449 — hace tiempo conoce el país, nos comunicó haber visto cinco casos típicos de enfermedad del sueño en estos últimos cua- tro años. Todos ellos procedían de la cuenca del Muni. En el territorio de los afluentes del Muni, Río Congiie, Río Utongo y Río Utoche, la enfermedad es conocida por los indígenas de las tribus pamues, y hace estragos entre ellos desde hace muchos años. Aquí se halla, sin duda alguna, el foco más importante de la tripanosomiasis humana de las posesiones españolas del Golfo de Guinea. De allí procedía — del puesto de Kogo, en el estuario del Muni, entre la desembo- cadura del Río Congiie y la pequeña isla de Ibelo—el enfer- mo N'Bá, que falleció en Elobey durante nuestra estancia (véase el caso VIII). Del pueblo de Ibay, en el alto del Río Utongo (véase el Mapa adjunto), procedían dos casos, de que conserva exacta memoria y datos el Sr. D. Pedro Ben- goa; el uno, Boy, hijo de un tratante de la Compañía Trasat- lántica, que se llamaba Raumbe Anguile, trabajaba á su vez como tratante en la casa John Holt, adquirió la enfermedad del sueño en Ibay y murió en Gabón en 1905; el otro, que se llamaba Bediguihangue, y era natural de Elobey grande, vivió largo tiempo en Ibay y allí enfermó; falleció de enfer- - medad del sueño poco tiempo después. En el territorio del Río Utamboni, que va desde la desembocadura del río hasta Asobla y Mbung, tanto en la parte española como en la parte que se interna brevemente en terreno francés, también es endémica la enfermedad, aunque con caracteres de menor intensidad y difusión. En Wermakogo es conocida por-los pamues con el nombre de «Uyó», y se han dado casos re- cientes. En Asobla también nos dieron noticia de un caso; el enfermo nunca había salido de allí. Más arriba, en el alto Utamboni, ya la enfermedad es desconocida. En Mebonde, ni el Jefe Obama ni los demás indígenas supieron darnos indi- cación alguna acerca de ella. Los datos y las noticias adquiridas acerca de la enferme- dad del sueño durante nuestro viaje por la costa desde Punta — 450 — Mosquitos á Bata, en Cabo San Juan, en Río Aye, en Benito, han sido ya referidos en parte, como también los que nos proporcionó el Superior de la Misión de Bata, P. Ferré. D. Aurelio Santiuste, comerciante, que desde el año de 1899 vive en Bata, nos comunicó haber visto personal- mente algunos casos de enfermedad del sueño, y exacta- mente recuerda dos de ellos, indígenas de la tribu «Bujeba», uno de diez y seis años y el otro de veintidós años aproxi- madamente. Este último, en efecto, estuvo en el Hospital de Bata en 1906-1907 durante un período de cerca de dos se- manas. lgnórase en qué fecha exacta falleció. Recuerda el Sr. Santiuste el aspecto característico de este enfermo, dema- cradísimo, incapaz de todo movimiento. Uno de los Misioneros de Bata afirmaba haber visto re- cientemente en Itika, muy cerca ya del Río Campo, en la costa al Norte de Punta M'Bonda, tres casos típicos de la enfermedad. He aquí ahora los casos observados: Caso VIII. — N'Bá, de la tribu Pamue de Rio Benito, de veinte años de edad, Guardia Colonial. Ha prestado servicio en Kangañe (Rio Utamboni, cerca de Wermakogo) en un principio, y posteriormente en Kogo, donde estuvo diez meses. Ha tenido muchas fiebres. Observado, por primera vez, el 22 de Julio de 1909, en Elobey. Examen clínico. — Demacración intensa. — Aspecto caquéctico.— Infartos glandulares submaxilares, parotideos, cervicales, del triángu- _ lo de Scarpa, etc., muy considerables.— Hígado grande.— Bazo muy aumentado de volumen.—Pulso frecuente (96-100). Temper. 379%1.— Erupción de kraw-kraw generalizada. Examen hematológico, 22-VIl-909. —-Numerosos embriones de Fila- ria.— 23-VII-909.— Idem ¡íd.—24-VII-909.— Positivo: numerosos Try - panosoma gambiense. En esta fecha se le practica la punción lumbar y se le extraen dos cm. cub. de líquido céfalo raquídeo, inoculándose un conejo com.; más tarde se le extraen cinco c. c. de sangre de la vena cefálica del brazo izquierdo y se inocula un mono (Cynocephalus). Falleció en Elobey (Hospital) el 11 de Agosto. Practicada la autop- sia á la una de la tarde de este mismo día. El material anatomo-pato- lógico se halla actualmente en estudio. Caso IX.—Biong, de Igeni, pueblo «bujeba» cerca de Rio Aye, trein- — 451 — ta años. No ha salido nunca de su pueblo, en el cual, según nos refiere D. Pedro Bengoa, murió de enfermedad del sueño hace un año y medio un muchacho, Mabián, de veintidós años, que había esta- do en Fernando Póo. Biong está enfermo desde hace tres años. Empezó entonces á tener fiebres largas, con sudor intenso, que toda- vía duran. Sobrevino luego invencible tendencia al sueño, cansancio, cefalea. Observado el 18 de Agosto de 1909 en Rio Aye (Factoría). Examen clínico.— Caquexia.— Infartos glandulares submaxilares y cervicales evidentes; inguinales muy considerables. Examen hematológico, 18-VIIM-909. — Preparaciones secas, met. Ross, teñidas en fecha posterior con ROMANOWSKY: Positivo: Trypa- nosoma gambiense. Caso X.—N'”Chaga, de catorce años, de Mipemba (Punta Indungo). Ha estado hace años en Rio Miyogo, cerca del Rio Utoche. Desde hace un año empezaron los síntomas de la emfermedad del sueño (fiebres, luego tendencia invencible al sueño, demacración, atonía y apatía profundas). Observado en la Misión de Rio Benito el 19 de Agosto de 1909. Examen clínico.—Caquexia profunda.—Demacración extremada.— El enfermo no puede andar ni tenerse de pie. Grandes infartos glandul. supraclaviculares, cervicales, occipitales, inguinales, suprae- pitrocleares, etc. Examen hematológico, 19-VI1-909. — Positivo: Trypanosoma gam- biense muy numerosos. Además, numerosas formas endoglobulares jóvenes de parásitos del paludismo (infección tropical por Laverania malariae). Caso Xl.— Manuel Marocue, quince años, «balengue» del pueblo de Bolondo (Benito), ha vivido siempre en su pueblo. Hace seis meses empezaron los síntomas de la enfermedad. Observado en Benito el 20 de Agosto de 1909. Examen clínico. —Demacración.—Infartos glandulares múltiples.— Aspecto estuporoso; atonía y apatía general. Examen hematológico, 20-VII1-909, — Positivo: Trypanosoma gam- biense. En sucesivos exámenes, Microfilarias. A partir del día 21-VIII-909 en el Hospital de Bata. 21-VIII-909.— Cuenta de glóbulos: R. 4.060.000.—B. 23-VIII-909.— idem R. 3.124.000.—B. 6.716 23-VIII-909.—2.? idem R. 3.024.250.— 27-IX -909.— ídem R. 1.237.200.—B. 10.936 Caso XIl.—Ibendjele, de veintitrés años, de Ekuku. Ha estado una vez en Santa Isabel de Fernando Póo, También ha estado en el Río Muni, — 452 — Tuvo fiebres intensas y prolongadas hace ocho meses. Tendencia invencible al sueño. Cansancio. Observado en Ekuku (Bata) el 26 Agosto 1909. Examen clínico.— La demacración no es muy acentuada. Infartos grandul. múltiples, especialmente cervicales, submaxilares, paroti- deos, inguinales. Pulso frecuente y pequeño. Examen hematológico, 26-VIII-1909.—Positivo: Trypanosoma gam- biense numerosos. Filaria. El 27-VIIl 1909 se le extraen 5c c. de sangre de la vena cefálica del brazo derecho para inocular un conejo com. y una rata (Mus de- cumanus). 28-VII1-1909.—Positivo: (1rypanos. abundantes). Cuenta de glóbu- los: R. 2.437.200. B. 6.640 p. mm, Caso Xil!. - Nay, veintiséis años—de Ekuku—ha estado en Libreville (Congo francés) y algunas horas en el Río Muni Empezó la enfer - medad hace cinco mes2s con fiebres persistentes, luego con gran cansancio, cefalea y tendencia invencible al sueño. Examen clínico.—Demacración, caquexia, infartos gland. múltiples, temblor difuso. Examen hematológico, 26-VII1-1909 (en Bata).—Positvo: (Trypanos. gambiense). Tampoco dejan lugar á dudas estas observaciones hechas en Elobey y en el continente. El enfermo N*Bá (caso VIII) que falleció en Elobey el 11 de Agosto, había nacido en Río Benito y no había salido nunca de la Colonia, habiendo per- manecido durante algún tiempo— desde que entró al servicio como guardia colonial —en Kangañe (cerca de Wermakogo, en el Río Utamboni), y después, durante diez meses, en Kogo. La infección debió, pues, ser contraída en uno de los tres sitios. Lo más probable —teniendo en cuenta que el enfer- mo había salido de Río Benito dos ó tres años antes - es que haya contraído la enfermedad en el Utamboni ó en el Muni. El caso IX está bien claro. El enfermo, indígena del Río Aye, no había salido nunca de su pueblo. Allí, pues, fué con- traída la enfermedad. El caso Xl es igualmente típico. El territorio de Río Benito, en una extensión considerable desde la desembocadura del magnífico río hasta las cataratas, está invadido por la enfer- medad. El enfermo Manuel Marocue no había salido nunca a — 453 — de Bolondo, pueblo cerca del cual se halla emplazada la Mi- sión protestante y en que se han observado varios casos de enfermedad del sueño en los años pasados. El enfermo N'Chaga (caso X) puede haber contraído la enfermedad de Miyogo, cerca del Río Utoche, ó en su pue- blo, en Punta Indongo, en la orilla izquierda del Río Benito. La misma duda existe para el caso XII (Ibendjele). Sin em- bargo, todo indica que estos dos enfermos habían contraído la tripanosomiasis en el mismo lugar en que vivían, en In- dongo el primero, en Ekuku el segundo, puesto que hacía mucho tiempo ya que habian vuelto y los síntomas primeros no se habían manifestado antes del regreso, sino muchos meses después. Lo mismo digase en lo que atañe al caso XIII; si bien en los alrededores de Libreville (Gabón, Congo tran- cés) la tripanosomiasis humana existe con carácter ligera- mente endémico, es probable que el enfermo la haya con- traído en Ekuku. Inútil es repetir á este propósito que en todos los territo- rios indicados, á lo largo del Río Muni, del Utamboni, del Congiie, del Utongo y del Utoche, del Río Nañe, del Río Aye, del Río Benito, del Ekuku, del Emvía, y en otros sitios que en el mapa se hallan indicados, se encuentran en gran número las moscas del género «Glossina». En cuanto á los caracteres de la enfermedad, aunque no es este el momento de hablar de ellos, me parece de sumo in- terés el insistir sobre un dato objetivo que debe considerarse como muy importante: me refiero á los infartos glandulares, especialmente cervicales, parotideos, submaxilares. En mi entender, por lo que hemos observado en nuestra expedi- ción —y me acompañan en esta opinión otros clínicos é in- vestigadores —todo indígena que tenga infartos glandulares de algún relieve y desde algún tiempo, acompañados de fie- bres ó de un sindrome de atonía, apatía y decaimiento gene- ral, debe considerarse como muy sospechoso y ser sometido á examen como probable tripanosomiásico, — 454 — He aquí un criterio que podría facilitar grandemente la se- lección de los braceros importados en la isla de Fernando Póo, si algún día, como es de esperar, se adoptan medidas para evitar la rápida difusión de la enfermedad. De todo lo expuesto resulta que en la isla de Fernado Póo se halla ya con carácter endémico la tripanosomiasis huma- na, aunque la enfermedad no se ha extendido todavía en proporción alarmante, ni ha atacado á los blancos (la pro- porción puede calcularse aproximadamente en un 2 por 100 de atacados), y que en la Guinea continental española el foco principalísimo de la enfermedad se halla comprendido entre el Río Utamboni y los demás afluentes del Muni al Sur, y el Río Benito al Norte. A lo largo de la costa que va desde el Río Benito hasta Bata la intensidad de la endemia dismi- nuye, aunque alrededor de Bata (Ekuku), y entre Bata y Río Campo (Itika), se encuentran todavía algunos casos. En cam- bio, desaparece por completo la enfermedad en el territorio comprendido entre Punta M'bonda y Nguambang y recorrido por nosotros para alcanzar el Río Campo (Rio Itembo) en el interior. En todo este territorio, desde N'tum ó Tum hasta la fron- tera del Kamerun alemán en Ngoambang, los pamues de las tribus Samangunde y Sambira desconocen por completo la enfermedad. A pesar de nuestra insistencia, y del excelente intérprete y guía que llevábamos (1), no nos fué posible ave- riguar la existencia de un solo caso ni tener noticía de la en- fermedad. El hecho depende, sin duda alguna, de las relaciones (1) El indígena James Malonga, hijo del jefe de Punta M'Bonda, de la tribu Urumi, tratante de la casa Woermann, y conocedor como pocos de aquel territorio, amigo de muchos jefes de pueblos y del mismo Mangebekana, jefe de los Samangunde, fué nuestro guía du- rante la expedición en el bosque desde Punta M'bonda á Ngoam- bang. AAA 8 étnicas y comerciales de las tribus que pueblan estos terri- torios, con las de la costa por un lado,.y por otro lado con las del «hinterland» de la Colonia, que proceden del Sur y del centro de África. Mientras estas últimas tribus—que pue- blan en gran parte la región del alto Río Utamboni y la cuenca del Muni y de sus afluentes—están en relación directa con las del Gabón francés y de todo el inmenso territorio, inva- dido por la tripanosomiasis, del Congo y de sus afluentes, especialmente del alto Sanga; y por otra parte, los «balen- gues», los «bapujos», los «combes» y los «bujebas» de la costa, que se extienden desde Punta Mosquitos hasta Bata, mantienen constantes cambios comerciales y personales con otras regiones infectadas, proporcionando braceros á Fer- nando Póo, al Kamerun mismo, á Libreville y á todo el Congo francés, y comunicando con la isla del Príncipe, gra- vemente invadida por la enfermedad; en cambio los pamues «Samangunde» y los «Sambira», habitantes de la cuenca del Río Itembo, comprendida en los términos por nosotros reco- rridos, enemigos de los «bujebas» y en hostilidad, oculta ó manifiesta, con todos los pueblos de la costa, alejados por el interior de los focos centrales de la enfermedad (que se hallan hacia el Sur), se mantienen por ahora libres de la grave endemia. Yo ignoro si en las mismas orillas del Río Campo ó Río Itembo, y particularmente en su parte más próxima al mar, en el territorio alemán, se han observado casos de tripanosomiasis. Afirmo, sí, que desgraciadamente se hallan reunidas también en esta región las condiciones necesarias y suficientes para que la enfermedad se desarro- lle; y desde luego no es difícil que desde la costa, subiendo por el rio, en cuyas orillas abundan las moscas del género Glossina, llegue á invadir pronto aquel mismo territorio to- davía indemne por nosotros recorrido desde Punta N'bonda hasta Ngoambang. Una cosa es, sin embargo, oportuno poner de relieve: me refiero á la mayor probabilidad de procedencia del peligro — 456 — de la parte alemana que de la parte española. En efecto, el comercio alemán por el Rio Itembo es de mayor considera- ción, las embarcaciones que por cuenta de alemanes lo reco- rren más numerosas, las incursiones de agentes y caravanas alemanas más frecuentes que las españolas, procedentes de la costa (de Bata ó de la desembocadura del Rio Campo). Recordaré tan solo que desde hace dos años no había llega- do ningún español de la costa á Ngoambang, y por tanto, ninguna caravana; mientras que agentes comerciales, alema- nes, de la casa Kuderling y otras, visitan con frecuencia, acompañados por cargadores y guías indígenas, aquel terri- torio. : Séanos, pues, permitido insistir sobre este punto para que las medidas profilácticas internacionales que se acuerde adoptar en tal sentido sean equitativamente distribuidas, y las consecuencias de su descuido ó de su abandono imputa- das en su día á quien justamente corresponda. Otra cuestión mucho más importante cabe ahora vislum- brar en estos breves comentarios. Y se refiere á las relacio - nes entre la isla de Fernando Póo y: 1.”, las islas portuguesas del Príncipe y de Santo Tomé; 2.”, la costa continental de la Guinea española; 3.%, los pueblos de los demás puntos de la costa de la Guinea continental. La isla del Príncipe, que dista de la costa del Gabón cerca de 100 kilómetros, y de Fernando Póo, aproximadamente, 150, está tan gravemente invadida por la tripanosomiasis, que la Comisión portuguesa recientemente regresada de su viaje de estudios fija en el 25,5 por 100 la proporción de individuos tripanosomiásicos, sobre 1.836 examinados en el curso de poco más de un año (Octubre, 1907. Noviembre, 1908). Como se ve, la endemia en la isla del Principe ha adquirido una intensidad desconocida todavía en la isla de Fernando Póo. Mas — hecho singularísimo — la otra isla portuguesa de Santo Tomé, que se halla 90 millas más al Sur de la del O ">, GU Principe, está hasta ahora completamente libre de tripanoso- miasis. Mientras en la del Príncipe se encuentran en número extraordinarío las Glossinas, en la de Santo Tomé estas moscas no existen. Evidentemente no han sido importadas todavía ó no han encontrado condiciones adecuadas para su desarrollo. El hecho cierto es que Santo Tomé, mucho más impor- tante que la isla del Principe por su extensión (50 kilóme- tros por 30 kilómetros) y por su población y riqueza, se halla indemne de la endemia tripanosomiásica. Este hecho podría influir muy favorablemente sobre la eficacia de las medidas profilácticas, que es indispensable y urgente adoptar á propósito de Fernando Póo. En efecto, para la isla de Fernando Póo representan un peligro contí- nuo, inminente y grave los cambios comerciales, las relacio- nes constantes con la isla del Príncipe. Dos ó tres veces al mes hay correo entre las dos islas: braceros y gentes de la una viene Ó va á la otra. El caso del portugués Felisardo Godiño (caso núm. III) es ejemplo suficiente. Adviértase que se trata de un blanco. ¡Imagínese, pues, cuántos indígenas en esas condiciones habrán hecho lo mismo! Afirmemos una vez más que en la grave endemia tripanosomiásica de la isla del Príncipe hay que ver un peligro de consideración para la isla de Fernando Póo. Por otra parte, no puede negarse tampoco que las relacio- nes directas con Fernando Póo pueden constituir una ame- naza y un peligro para la isla portuguesa de Santo Tomé. Aunque en grado mucho menor que en la del Príncipe, la enfermedad es ya endémica en algunos puntos de Fernando Póo. Y Fernando Póo mantiene relaciones periódicas tam- bién con Santo Tomé. Luego á las autoridades portuguesas les importará mucho que las medidas de defensa por ellas adoptadas, ó en camino de adoptarse, con objeto de evitar que del Principe la infección se extienda —con hombres ó con Glossinas — á Santo Tomé, puedan aplicarse también á — 458 — los procedentes de Fernando Póo. Y teniendo en cuenta este interés internacional podría concertarse la adopción de me- didas comunes entre los gobiernos coloniales de España y de Portugal, que garantizaran recíprocamente á Fernando Póo de la invasión del germen procedente del Principe y á. Santo Tomé de la invasión del que pueda proceder de Fer- nando Póo. En cuanto á las relaciones entre Fernando Póo y la Gui- nea Continental española, es ya cuestión de régimen interno, que con un poco de buena voluntad se resolverá convenien- temente. El Reglamento de contrato de braceros para Fer- nando Póo, que es modelo de disposición legislativa y hu- manitaria, y la excelente institución del Curador colonial, que reside en Santa Isabel, y que conoce las procedencias de los varios grupos de braceros enviados desde el conti- nente á las diferentes casas ó fincas en Fernando Póo, pue- den ser base de un servicio de vigilancia fácil, sin excesivas trabas, pero tal que garantice á la isla de la- introducción contínua de nuevos casos de tripanosomiasis. Los braceros procedentes de Monrovia (República de Li- beria), de Lagos, de Accrá ó del Kemerun y del Gabón (estos últimos más escasos), deberían ser sometidos igual- mente á examen médico, aunque somero; y no sería inoportu- no—si bien de eficacia muy escasa —el que se exigiera en el certificado de origen la declaración de la zona — infectada ó indemne — de que procede el bracero. Las medidas profilácticas locales y directas contra las moscas del género «Glossina», conocidas con el nombre de moscas tsé-tsé, merecen estudio aparte. Llegado á este punto de mi exposición, me es forzoso de- clarar, á guisa de conclusión, que si no se toman enérgicas determinaciones y no se hacen serios esfuerzos para opo- nerse á la invasión de la enfermedad, la tripanosomiasis humana habrá alcanzado dentro de muy pocos años en la isla de Fernando Póo la misma proporción alarmante, el E E — 459 — mismo grado de intensa endemia que actualmente padece la isla del Principe; y en el territorio del Muni, del Río Benito y probablemente del Río Campo, llegará á producir daños incalculables, puesto que la pérdida de vidas humanas, aun prescindiendo de razones sentimentales y humanitarias, aca- rrea el perjuicio económico del encarecimiento de la mano de obra, por la escasez de braceros indígenas y por la pro- gresiva despoblación que ya viene lamentándose como su- premo azote en algunas regiones del Centro de Africa, en estos últimos años castigadas en alto grado por la enfer- medad. Madrid.—Lahoratorio de Parasitología del Instituto Nacional de Higiene do Alfonso XUL. —A5 — XXVII. — Nueva teoría para el desarrollo de las ecua- ciones finales. POR GUALTERIO M. Seco (*) (Adicion á la Segunda parte). TEOREMA IV.—En la coordinación y a, ba C; ... de grado par indivisible por cuatro (4n + 2)$simo sí las letras a, C; €; ..., que tienen subíndice impar, están multiplicadas por Mel siendo por hipótesis positivas y reales las de subíndice par, todos los términos de una misma conjugación llevan igual signo. Empecemos por averiguar la clase del número de estas letras en los términos de la determinante. La suma de subíndices de las letras que ocupan lugar par en orden alfabético es par; luego la suma de subíndices de las que ocupan lugar impar será también par, puesto que la suma de todos los subíndices del término ha de ser par, para que, siendo divisible por la cifra par del grado de la ecuación, el término resulte racional. Y como, para que la suma de varios sumandos impares sea par, es indispensable que el número de éstos sea par, el número de letras a, Cs e; ... ha de ser par en todos los términos de la determinante de todo grado par. Teniendo esto en cuenta, pasemos á la demostración. Según hemos dicho (2.” corolario del lema), los signos de (*) Véase tomo V, números 11 y 12, Mayo y Junio, 1907, y tomo VI, números 1, 2, 3, 4 y 5, Julio, Octubre y Noviembre de 1907, de esta REVISTA. LÁMINA 1.? Fic. 5. Sistema estaño-azufre. 1 : 1 por 100 de S. Corroído por una disolución de 1 por 100 de HNOs y en una mezcla de alcohol y éter 1 : 1. —Aumento 1 : 62. Fic. 6. Sistema estaño-telurio. 40 por 100 de Te Corroído por una disolución de 3o por 100 de HNOs y en una mezcla de alcohol y éter 1 : 1.—Aumento 1 : 62. LÁMINA 2. L = E Sl FiG. 7. Sistema estaño-telurio. 7o por 100 de Te Corroído por una disolución de 3o por 100 de HNO%3 y en una mezcla de alcohol y éter 1 : 1.—Aumento 1 : 62. F1G. 8. Sistema estaño-selenio. go por 100 de Se. Corroido por una disolución de 10 por 100 de HNOz3 y en una mezcla de alcohol y éter 1 : 1. —Aumento 1 : 375- Fototipia de Hauser y Menet.— Madrid A o Dto Y AN AN ETB MA NÓ — 461 — posición de dos términos consecutivos, en una conjugación de matriz de grado par, son contrarios; y, para que se con- viertan en iguales, será indispensable que las cantidades contenidas en cada término lleven signos propios, que sean igualmente contrarios (*); y vamos á demostrar que esto ocurre en el caso que nos ocupa. Sean los términos consecutivos E (ar yd A es SENO Carepa donde, con arreglo á lo que hemos dicho, lasumar+1f=+v>+... es par, porque representa un número par de letras en el pri- mero de estos términos; y la suma s+4u+x->w... es también par, por la misma razón aplicada al segundo término; y como la suma de todos los exponentes en el caso del enunciado es MO Ss ARAS e = An +2 tendremos uno de estos dos sistemas, siendo p +- q =H: A PASTA =4p ' ó Ad 50d =4q +2 SHU-+Hx-—+bh e... =4q +2 S+F+U+xt+...=4p porque no hay otro modo de descomponer la cifra 4n + 2 en dos sumandos pares, uno de los cuales corresponde á las letras de lugar par; y otro, á las de lugar impar. Al pasar de un término á otro de la conjugaclón, los ex- ponentes que tenían las letras de lugar par pasan á las de lugar impar, y los de éstas, á aquéllas: por manera que la (*) Recuérdese que el signo del término conjugado es signo de posición, y que el de las cantidades contenidas en el término es signo propio y especifico de estas cantidades. RuEv. AcaD. px Ciencias.—VI111,—Enero, 1910. 32 — 46) = suma de exponentes de letras de lugar impar es, alternativa- menfe, en términos sucesivos, 4q + 2 y 4p. Poniendo, pues, en lugar de las letras reales a, c, €e..... de subíndice impar, las imaginarias a AE E ey — 1, ey — Mass entrará en los términos sucesivos, alternativamente, uno de estos factores: (v-19"=1 (v-—1"*= luego, los términos propuestos se convertirán en El eden e a.) (EA de A es) que nos dan una coniugación (A IA A de signos iguales en todos los términos, quedando demos- trado el teorema. EscoLIO.—En el grado 4n, considerando también que a, c,e..... están multiplicados por V — 1, habrá conjugaciones que nos darán alternativamente los factores (y y” =1, (y —1 Dee = l; y otras que nos darán (y —1 MS —1, 4q— 2 - . (y —1 ) = —- 1. Es evidente que las primeras conser- varán sus signos, y las segundas cambiarán los de todos sus términos. Tercera parte. Fórmula del coeficiente numérico del término general de la determinante. | "Vamos á empezar por reconocer el significado del símbo- lo |.o (*), del cual hemos de hacer uso. Es indudable que en dividiendo ambos miembros por el úitimo factor del primer miembro, si queremos hacer que desaparezcan los denomi- ($) Practicando el análisis de la expresión 1.2.3 ..... r=p1 ve- mos que, aplicada la fórmula del término de la mésima potencia del polinomio a + b+-C ..... Im > = ar bs ct dps 1 ponés z hebl 1 1 al polinomio — + — + — ..... nos resulta a b Cc Fis =T pS —t EEi— el a J=; I=ri=si- ft... p AS ó sea Jm pr AFFDES CA Ens ar fr bs ps ct [£ CA y Hori s1 1 ds donde, suprimiendo el factor común rm, podremos igualar los fac- tores correlativos en esta forma: 1 ar 1 b=s 1 (pi ak ter os Es. 1 : sp : Ahora, si tenemos en cuenta que a—r es igual á 577 y en la pri- mera de estas igualdades multiplicamos los dos miembros por a”, 1 resulta 5 17 ó sea Jr = | 7r, de modo que esta torma nega- tiva es = mero símbolo que nos indica que hemos operado con nadores, habremos de restar una unidad á la n contenida en el signo |, resultando =1.2,3......(n —1) =]n—1 y podremos repetir esta operación, haciendo desaparecer, una á una, las unidades contenidas en el signo; es decir que, á medida que el divisor disminuye en una unidad, ha de dis- exponentes negativos; y si quisiéramos tomar negativamente el va- lor de jr, no podríamos expresarlo en dicha forma, sino en esta otra: — lr. Otro ejemplo de particularidad curiosa: si hacemos y =p] x , donde, EAS por ser x un número entero, las ordenadas nuesivas serán 1, 2, 6, 24, 120 ....., parece que las ordenadas deben crecer constantemente; sin embargo, si queremos reducir la magnitud de la unidad para que, siendo menor la de las abscisas, sea menor también el error de la curva que construyamos, determinándola por la ecuación y =1 x , ha- « AA bremos de substituir 1, por la relación entre la unidad primitiva y el número por el cual queramos dividirla para obtener la nueva. Sea este número, a, entero, y mayor que la unidad primitiva, con lo cual, .., Xx la ecuación se transforma en y = |] — , donde, desarrollando el valor de y hallaremos 1 3 aaa ai y= áK—a —o — 3 —— = == a a a qa—1 ES a-1 a bli 20 edi a a a qa-1 altas ab e que sólo se unirán, cuando hagamos a = 00. ? j ? . A <= he minuit en una unidad, al verificar la división, la cifra conte- nida en dicho signo, por lo cual, repitiendo la operación hasta el total de n veces, hallaremos: n ll [7 — 1 n— 1 Pl [2 a pas == bilis op: rn BEN Llisondis Pero, indudablemente, io = Y = 1; luego será ! o=1, lo cual quiere decir que el producto de los cero primeros números enteros es un símbolo de la unidad. Así se comprende que, en la fórmula del coeficiente nu- mérico de los términos de la potencia de un polinomio ms lr Is ]2.... la reducción á cero, de uno ó varios de los exponentes r, S, t..... no reduzca el denominador á cero, siendo, en últi- mo resultado, a = 1% = Jo = 1. Podremos, pues, incluir dicha expresión en los denominadores, para que ocupe el — 466 — lugar correspondiente á la letra que tenga cero por expo- nente; y, con este convenio estableceremos el sistema de ecuaciones de primer grado que nos ha de dar las cifras de los coeficientes numéricos de la determinante, de la cual co- nocemos la parte literal por medio de la conjugación. Tanto por no agotar el alfabeto, cuanto porque es conve- niente para la claridad de los cálculos, representaremos cada coeficiente incógnito por una X, que llevará por sub- indlces los números de orden alfabético de las letras que entren á formar parte del mismo término, y, sobre cada sub- índice, un índice igual al exponente de la misma letra. No se. incluirá el índice y subíndice de a, que pueden restablecerse en cuanto nos convenga. Según lo dicho, X Ed será el coefi- ciente del término a” c3 95 hs, Y, para practicar metódicamente la operación, empezare- mos por plantear las ecuaciones correspondientes á los tér- minos de la forma (a” — 22 p”) y”, lo cual efectuaremos, por ahora, con arreglo al método explicado en la primera parte de esta teoría. | | 2 | J1 1 (x a A E LL x,)o=owy A 3 Sa 412 LE LLE x,Jo= oy 63 al LL” Ek (> yn” CEN XxX Lento — 467. — de m=—16 hS3,8 x,)o b*y m=—18 pp9 19 x,)o by ls liz [Bobrgsios yal 20 dlSsonos Pone re” mt ut) ter LE > E E ja E ga E) ed by A A A E A EE cool ro dee o di lo 3 PL UL" 12“ TL (e E | Ele y a 6 = A [8 M2 Tm LE El” KL ERE .. ..POoOo.o. ..o.o.o .». . .. 0... . .. 0.0... 000000. 0000010000..00.0-.0..000000.0..0001000000. 0.1020... . ET EA II Este sistema de ecuaciones de primer grado es muy fácil de resolver, y su estructura no menos fácil de recordar. El primer término del segundo miembro de cada ecuación es siempre el coeficiente del término a”=1b* en la mésima potencia del polinomio a + b + ....., del cual término proce- de el término a” 2% pb” y” de la determinante. Los demás términos, todos negativos, contienen, por orden riguroso, las equis de las ecuaciones precedentes que figuran en los primeros miembros, multiplicada cada una de ellas por un cierto coeficiente de una potencia del piano (a + b), si- guiendo en este orden: el coeficiente de ae "2 es el del se- gundo término de (a + b)"71; el de X ie es el del tercer término de (a + b)?2; el de X h "es el cuarto de (a+b)" "3; y, en general, el de X pa es el (f + 1)ésimo de (a +- byr=2 - Y es evidente que, cuando en la serie de ecuaciones llega- z pk n—t dE mos á un término X , » en que deba tomarse el coeficiente del último término de (a + bY, X"7* ya no aparecerá en las ecuaciones sucesivas, porque (a + by no contiene más que , . Z 0 Pa t + 1 términos. Esto sucederá en la ecuación de X, , en Pe MO la cual X"=* ocupa el £ésim0 lugar, contando de derecha á izquierda en el segundo miembro. La razón de que todo esto ocurra consiste en que, dentro del tantas veces citado esque- ma, inserto en la primera parte, X . (a + Dd), Xx (a+by, X, (a + by ..... ocupan las columnas segunda y tercera; ter- cera, cuarta y quinta; cuarta, quinta, sexta y séptima ..... res- pectivamente, ganando un lugar á la derecha, el principio, y dos lugares el fin de cada potencia; y X z q”> * bp” es igual m [mn |. na p"*"; menos los productos al término q ”=n p”, que se halla en la colum- O AAN A | 1 == X a b < ——=—— b 2 | 12 ]1 n=2 m=2(n=2) n-2 [1 —2 n—4 E a A ———— 2 » “on el coeficiente [n—1 pa—2 1 sufrirá, de ecuación en ecuación, la disminución en una uni- dad en el primer signo del denominador, y el aumento de otra unidad en el segundo signo, hasta llegar al término | — 1 ¿a —— X ELA mA XA A , comenzada en. no negativo — 1 y A b;yX, ya no volverá:á los términos ne le ale El último ; y, en las ecuaciones sucesivas, este coeficiente 1 - pad . , que será el último de la serie de las n—. 1 A sein hemos par visto. No puede darse mayor sencillez en el planteamiento. e O q4>=Rbn, siendo b la letra que ocupa el primer lugar á la derecha de a, no es más que un caso particular de a” — "A", ocupando h el lugar résimo. Vamos, pues, á estudiar el caso general; y, para este fin, averigiiemos en qué términos del esquema citado tienen su origen los términos racionales que sólo contienen las letras a,h, , , (*), restableciendo la ordenatriz p. Estos términos serán qa ASS pre! y qna —2(r +40 pa 20D 2 p20+D y27 (a) ia y a pr a donde la suma de exponentes de p siempre nos da m, sien- do racional, como sabemos, el término p” = k; y, al mismo tiempo, vemos que la suma de exponentes de las letras a h y es m también, como debe suceder, porque m es el grado de la potencia del polinomio primitivo. Para formar el término racional, habíamos e AlfpRERO el término irracional de la potencia citada por y! : a?, es decir, habíamos restado del exponente de a el exponente que dába- mos á y; por manera que, si queremos restablecer el término primitivo, hemos de suprimir la y, sumando su exponente al de a. Efectuando esta operación en los anteriores términos, hallamos: qr=ip pus r qn 2 p2 pr ZN de (b) q 3p38pas+a3r (*) No se olvide que r es lugar ocupado á la derecha de a, por h, siendo a el punto d= partida cero; y los subíndices indican el número de orden en la coordinación a, Ds Cz .... Ar+1-. = 44 que corresponden á las columnas indicadas por el exponen- te de p, demostrándonos que no hemos de hallar para nues- tro objeto términos comprendidos en las demás columnas, y permiténdonos establecer el primer término de cada ecuación del sistema, porque este término es el coeficiente numérico del término correspondiente hallado en (6); es decir, que es -Observaremos que en (a) ya no tenemos el factor y, y? y3 ....., con el cual debíamos contar para establecer el sis- tema e á b, sino que ahora este factor se con- vierte en y”, y?”, y?” ....., permitiéndonos desarrollar el sis- tema correspondiente áh, en la forma siguiente: A 2 Na L Jana + oie y?r 1 | m2 2 1 pi / a O IZ Jara tina ys O =3PB. LR [2111 | po ¡Laa! [3r e IA le jr r m4 14 LIA AR AE Eo — “Este sistema, que nos da un número de términos bastante considerable para la conjugación, no requiere más cuidado que el de suprimir los términos en los cuales resulte negativa la cifra contenida en el primer signo del denominador. Si esta cifra negativa se halla en el primer término de un segundo miembro, quiere decir que ha terminado el sistema de ecua- ciones. También debemos suprimir la ecuación en que este lz n primer término sea —————— = Pre A e corresponderá á un término de la determinante que podre- mos hallar por medio de la conjugación. No menos fácil de hallar es la fórmula del coeficiente de un término a,” 7? R,,,Kk+>,en el cual h, k, representan las letras que ocupan los lugares r + 1, £ + 1, de la coor- dinación: esta fórmula es 1 1 | 1 1 = —_———=_—— -1X -1X (e) Pal Jon. 2] 4,41 fal tl y se demuestra fácilmente, si se tiene en cuenta el método que hemos usado en la primera parte, para hacer racional la ecuación irracional. Pero, en el momento en que elevemos el grado de A y de E, ó que introduzcamos más letras en la combinación, nos ha- llamos con la misma dificultad que encontraríamos si quisié- ramos ampliar el teorema III de la segunda parte, incluyendo en él nuevos principios: las dificultades de observación y demostración irían en aumento, y no serían compensadas por los resultados prácticos. Nos contentaremos, pues, con dicho teorema y con las fórmulas (d), (e), la segunda de las cuales puede resolverse desde luego en esta forma: 1 1 X REÚNETAL =(m—1—r—iMm.... ($) a E con lo cual, podemos hallar rápidamente numerosos términos conjugables. - Pero lo que debemos hacer para aprovechar todas las ventajas del método de conjugación es establecer aislada- mente la fórmula de un coeficiente cualquiera. Para este objeto, empezaremos por hallar los coeficientes racionales literales, conjugándolos, como hemos explicado en la segun- da parte. Acto seguido, restableceremos la ordenatriz p con los exponentes que la resulten, iguales á la suma de los nú- meros de orden alfabético de las letras a b...... g h que formen parte del término respectivo; y en cada conjugación subra- yaremos el término en que p tenga exponente menor. Hecha esta preparación, necesitamos únicamente conocer los coefi- cientes numéricos de los términos subrayados, puesto que en cada conjugación estos coeficientes son iguales. Si quere- mos abreviar aún más la operación, podremos efectuarlo, si recordamos los principios del teorema III de la segunda par- te, y las fórmulas (d), (e), (f), de la tercera, aplicándolos des- de luego. La operaeión ha de efectuarse rigurosamente por orden de menor á mayor de los exponentes de p, en los términos subrayados; y vamos á hallar el coeficiente numérico de uno de ellos. Sea T,, un producto de factores literales, representando portinlarsama delsús exponentes Ty, Ln Do son submúltiplos de T;, cuyos complementos algebráicos para obtener el producto 7, serán, respectivamente, PUES TA... Designaremos por C,, X,, Xy, X> ..... A E cos coeficientes numéricos. Hallada la parte literal del término A, _ ,y” de la deter- minante, queremos averiguar los datos de la resta que, para conocerlo, hubiéranios efectuado con arreglo al método que dimos en la primera parte de esta teoría. Con este objeto, asi como entonces, para dar forma racional al término, lo multiplicábamos por y”, y lo dividíamos por a”, ahora efec- — 474 — tuaremos la operación contraria, igualándolo á T',,, que ya no contendrá la letra y: q a A E y” Como en nuestros cálculos vamos siguiendo el orden cre- ciente de las potencias de p, conocemos anticipadamen- te todos los términos de la determinante, XT m-ry”, XiTm-sy5, X2Tm -+1y* ..... que sean submúltiplos del pro- puesto T,,, y cuyos coeficientes racionales son: Xy Tm - r, Mor Dita Recordando la forma de la resta de donde había de:pro- ceder el término propuesto en nuestro primer método, pode- mos restablecer la operación con arreglo á la fórmuia si- guiente: : Xo Tee X 27 qee: q .. cad ZE A Lal IZ XT m-+>< La Ti... Xo La S)...(9. ............... 0... ...o OO TOO RO RS OSO OSO OR ORO OOOO Un término de la mésima potencia del polinomio (a+ b+c+..) era el minuendo. El substraendo se componía de varios productos, cada uno de dos factores, el primero de los cuales era un coefi- ciente racional de cierta potencia de y (y”, y*, y*...), halla- do anteriormente; y el segundo, un término de la potencia de igual grado del polinomio a +-b+.c > ..., complemen- AS tn E tario del primer factor, de modo que minuendo y substraen- do eran semejantes. Veamos cómo con estos antecedentes DA derios determi- nar todos* los datos: LD, Ao Dir A mos 2 mor +. son conocidos por hipótesis; podemos establecer inmediata- mente la parte literal complementaria en los factores 7, T;, T;..., y hallaremos los coeficientes numéricos C,, Zo, Zi, Zo, ... por medio de la fórmula del término general de la po- tencia de un polinomio, aplicada, respectivamente, á las ex- presiones literales T;n, T,, Ts, T;..., que son potencias de los grados señalados por los subíndices. Sumados en $ los productos de los coeficientes de los términos del subs- traendo, según se indica en la fórmula (g), C, — S es el coe- ficiente numérico del término propuesto A ._, y”; y sólo fal- tará que determinemos su signo, al restablecer y” en lugar de a”, teniendo en cuenta que, en el polígono ó cuadro eli- minante, toda la determinante se halla en un miembro de la igualdad cuyo segundo miembro es cero; y que ahora hemos tomado y en sentido contrario que la tomábamos en nuestro primer método, pues entonces hicimos y =a + b+ ..... + Áh; y ahora hacemos y + a+b->+..... + ÍR=0, siendo arbitra- rio el signo de y en la ecuación de origen; pero, una vez adoptado, inalterable para sus efectos en todas las operacio- nes sucesivas. EJEMPLO: Aplicar la fórmula (£) á la determinación de 6.” grado. Insertamos el cálculo íntegro para conocimiento de los nuevos suscriptores de esta REVISTA. Empezaremos por indagar la parte literal de los coeficien- . tes de y*, y3, y?, y, en la determinante, caracterizados porque la suma de los números de orden alfabético contenidos en los subíndices es seis ó un múltiplo de seis; y, según vaya- mos hallándolos, los conjugaremos en el cuadro de la deter- minante de 6” grado, inserto más adelante. — 416 — 5 0, b,C¿ des: ls < A y ae DI a PEO o DC A Caen e FA1+1+1+0bDy.. abde,, a?, b?, c?, a? e, c2 F (2) y* FOY+2y a? e, DRAE | atea e 0, b, C d, €; a?) b?, cd? €,0 A, b; Ca A, €; 4, Da Cz A, €; 08 ba 74 y o 0 S> ULA NO CE Lo)" ... AC? €y7 ... (DC? d,2) A A ZIÓ La conjugación nos ha dado F (1 + 3) y?, F (4) y?, que ya no necesitamos buscar. Con arreglo á los principios 1.”, 3.” y 4.” del teorema ter- cero de la segunda parte, estableceremos los coeficientes de los cuatro primeros términos de la primera columna del cua- dro de la determinante, repitiéndolos en todos los términos de la conjugación respectiva; y abreviamos la operación, aplicando los principios del teorema tercero de la segunda parte á las nueve primeras conjugaciones. — 411 — Ignoramos los coeficientes numéricos de las cinco últimas filas; y, para los fines explicados anteriormente, restablece- mos la ordenatriz p, y subrayamos en cada fila el primer tér- mino que encontramos con p elevada á menor potencia. Por lo dicho en la segunda parte, al explicar la manera de hallar los coeficientes racionales, en su parte literal, veremos que los términos subrayados deben contener la letra y. Dichos términos subrayados son, por orden creciente de exponentes: a? b? y? ps, a2bce y p*, a?b d? y pi, b? d? y? p!, a? e? d y pes y á ellos, por su orden, aplicamos la fórmula (£) que nos da los coeficientes numéricos que aparecen en las conjugaciones respectivas. Al practicar todas estas operaciones, hemos cui- dado de alternar los signos + y —, por tratarse de matriz de grado par. NS AI A AN O A 15 En E sd |6 =D ME PA A A 6 [ER as 9 9atbios =y?: 02 =— Ya? bp? y? a E A O O AN 120 [73 8 Lo: E? A A oa 120 EE 10 HA PA 36 SE 190 |4 A O 72 Da? bcen< ya 0 a pee Rony. ACAD, DE Ciencias.—VII1.—Enero, 1910. 33 — 478 — 16 Ml its dotadas 2980. Eb BCR B12 =6adx |3abd IA A OS 0 4 ...... a cae, 24) 0arbd. 99:09 —| — ¿DPsQ9 + OD 9 —| > Pqdo ++ D. Á p AE O A E TS 4:20:99 + 2:09 —= pogo + PAI] IOOPZLA | - qub zi — | 0bagzI E| dopo | opor + : qu. de? DÁ PH A9P£IZL—| -IPIGTLH | PIQVZ1— 9q0ÁZL + o dE E e a E A 22108 = DIG FEsS de E a ES qúpo $8 09119 + 4p199 =|. 2009 +| > Pqug = p4y39 E a 1809 0P+99 Fl 09:99 |. 4qywu9-+ 0/9 2 SÁ : JA ho AS le + a 9 ol Se EE — 480 = Comparación de métodos. — En el cálculo anterior, supri- niendo algunos detalles innecesarios cuando el curso de las operacionés está bien comprendido, la suma de letras, cifras y signos, en conjunto, no llega á 500 tipos de i impresión. Las operaciones, todas, son de una sencillez: elemental. . En el mismo grado, por el método únicamente conocido hasta. ahora, consistente en el desarrollo de menores, el índi- ce de 20 pares de menores de tercer orden lleva 300 tipos; y el desarrollo de dichos pares (suponiendo todas las letras distintas) 6.600: en total, 6.900, del cual hay que restar 444 letras que se economiza, por los términos que contienen ter- ceras y cuartas potencias de una letra. - -- = Resulta, pues, que la extensión material de nuestro cálculo es trece veces menor que la del cálculo de las pere menores, en sexto grado. os Pero la ventaja mayor que se obtiene aplicando nuestra fórmula consiste en evitar 240 multiplicaciones de letras para el desarrollo de 40 menores; otras 720 multiplicaciones, entre dos términos de tres dimensiones; y la fatigosa suma de 20 polinomios que contienen 720 términos, de seis dimensio- nes Cada uno. * | De aquí se deduce que hemos ia traer al terreno de la práctica operaciones que, por su desarrollo enorme, se mantenían casi siempre en el terreno de las teorías inapli- cables. EPÍLOGO. —El plan completo de investigación que me ha- bía propuesto para ésta, que podemos llamar con exactitud Teoría general de las determinantes, abarcaba tres teorías par- ciales: la de la potencia racional de las ecuaciones irracio- nales, contenida en la primera parte de esta Memoria; la de conjugación, inserta en la segunda parte; y la de las matrices coincidentes, dando este mombre á las que Coma en la formación de una misma determinante, . La importancia (por lo menos en el terreno especulativo) - de esta tercera teoría podría llegar á ser muy grande, porque A quizá nos permitiera en lo porvenir conocer con exactitud la estructura interna de las ecuaciones algebráicas, que hasta hoy es un misterio en lo tocante á las que pasan del cuarto grado; pero he abandonado la investigación para ocuparme en otros asuntos, y me limito á apuntar la idea, por si al- gún curioso aficionado quisiera desarrollarla, — e iy 2 ds po, e S 23 hy dh e ma + rr era k SIDE EDS GREG sl 1 Y de 3 DS , 1 315 Programa de premios para el Concurso del año 1911. Sie DIA dis IAEA LAI AER Artículo 1.2 La Real Academia de Ciencias Exactas, Fí- sicas y Naturales de Madrid, abre concurso público para ad- judicar tres premios á los autores de las Memorias que des- empeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corpora- clón, los temas siguientes: 1.2 «Problemas geométricos más notables, cuya resolu- »ción es imposible con el sólo auxilio de la regla y el >Compás.>» Su estilo será correcto y el contenido expuesto con clari- dad, sencillez y la posible concisión. Comprenderá la historia de tales problemas; su importan- cia; intentos de resolución por matemáticos de todas épocas, así como los medios propuestos para ello de un modo apro- ximado. Se intentará alguna demostración elemental, ó, por lo me- nos, algún razonamiento que pueda llevar al ánimo de los no muy versados en los últimos adelantos el conocimiento de la imposibilidad de tal resolución con los instrumentos indica- dos en el enunciado del tema. Se hará, sin embargo, mención suficiente de las demostra- ciones principales de tal imposibilidad, basadas en trabajos de matemáticos relativamente modernos, citando autores y obras ó publicaciones en que por vez primera vieron la luz. 2.2 «Teoría y técnica de la fotografía de los colores». El autor presentará las pruebas de su trabajo personal. 3.2 «Catálogo de los mamíferos de España». El autor de la Memoria relativa á este tema la redactará de modo que comprenda una parte de Bibliografía, con indi- de A catión de los atitores' que han tratado de los: Mamiferos de España, de las especies que cada uno cita, y de las: córrec- ciones de nomenclaturatura que sean necesarias; otra parte referente á nomenclatura de las especies, incluyendo en un erupo los nombres que deben admitirse, y envotro”los: que son sinónimos y su correspondencia con los anterióres; otra con la distribución geográfica de las -especies;'y por*fin;1a descripción de todas las de España, con mención de las me- jóres obras y figuras, y cuantas observaciones eat cón- veniente añadir el autor.: | noles1q La Memoria irá acompañada de bueños dibujos a dé dais es- pecies más raras Ó ise de pas fauna, cia de las no figuradas todavía, 1119 231011 La parte bibliográfica estará dispuesta por orden altabés tico de autores y cronológico de sus publicaciónes, :y las tres restantes por orden alfabético de lós nombres genéricos y específicos. Al principió de la Memoria figurará laclista de todos los mamiferos conocidos de España pór:el orden sis- temático más en: armonía con. los adelantos científicos: aa la época. | lus de sold sólos. me nóidinaj En resumen, las Memorias que se: presenten optando al premio, con lás condiciones “señaladas, han de' ser una-im- portante adición á la obra publicada'por el Profesor Graells en las Memorias de esta Academia sobre el misnio'asimto: 2.2 Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de trés- clases: premio propiamente dicho, accesit y mención honorífica. *=* 3.” El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudicación, una medalla de ¡oro de 60'gramos de peso, exórnada cori el sello y lema dé la Academia, queeñ sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corporación á quien le hubiere merecido y obtenido, ó: á persona que'le represente; retribución pecuniaria, al mismo autor óconcin rrenté premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por cuenta de la Academia, en la colección de:sus Memorias; de fa qué: hu- —= hubiere sido laureada; y' entrega; cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor. 4.2 ¡El premio se adjudicará á las Memorias que no sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el orden y método de exposición de materias y redac- ción bastante esmerada, para que desde tego pueda proce- - derse á su publicación. | 5.2 El accesit consistirá en diploma y medalla impida á los del premio y adjudicados del. mismo modo, y en la im- presión de la Memoria, coleccionada con las de la Academia, y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. 216.2 El accesit se adjudicará á las Memorias poco infe- riores en mérito á las premiadas y que versen sobre los mis- mos temas, 6, á falta de término superior con que comparar- las, á las que reunan condiciones científicas y literarias apro- ximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la adjudicación ú obtención del premio. ) 7.2 La mención honorífica se hará en un diploma espe- cial, análogo á los de premio y accesit, que se entregará también en sesión pública al autor ó concurrente agraciado ó á persona que le represente. 8.2 La mención honorífica se hará de aquellas Memorias verdaderamente notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder in- mediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la respon- sabilidad de la Academia, no se consideren dignas de pre- mio ni de accesit. -+9,? - El concurso quedará abierto ¿rs el día de la publi- cación de este programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de Diciembre de 1911, á las diez y siete horas; plazo hasta el cual se recibirán en la Secretaría de la Academia, calle de Valverde, núm. 26, cuantas Memorias se presenten. 10.2. Podrán optar al concurso todos los que presenten Memorias que satisfagan á las condiciones aquí establecidas, —= 485 — sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos nume- raríos de esta Corporación. 11.2 Las Memorias habrán de estar escritas en castellano 6 latín. | É 12.” Las Memorias que se presenten optando al premio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la memoria deberá ponerse en el sobre de otro plie- go, también cerrado, dentro del cual constará el nombre del autor y las señas de su domicilio Ó paradero. 13.” De las Memorias y pliegos cerrados, el Secretario de la Academia dará, á las personas que los presenten y entre- guen, un recibo en que consten el lema que los distingue y el número de su presentación. 14.” Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de premio ó accesit se abrirán en la sesión en que se acuerde ó decida otorgar á sus autores una ú otra distinción y recompensa, y el Sr. Presidente proclamará los nombres de los autores laureados en aquellos pliegos con- tenidos. 15." Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de mención honorífica nose abrirán hasta que sus autores, contormándose con la decisión de la Aca- demia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las Memorias en este último concepto premiadas, y, en el improrrogable término de dos meses, los autores respectivos presentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependencia obtu- vieron como concurrentes al certamen, y otorgarán por escri- to la venia que se les pide para dar publicidad á sus nom- bres. Transcurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden sin que nadie se dé por aludido, Rev. Acap. DE Ciéncias.— VII, —Enero, 1910. 34 — 486 — la Academia entenderá que los autores de aquellas Memo- rias renuncian á la honrosa distinción que legítimamente les corresponde. 16.” Los pliegos que contengan los nombres de los auto» res no premiados ni con premio propiamente dicho, ni con accesit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la falta de mérito de las Memorias respectivas se hubiere declarado. Lo mismo se hará con los pliegos co-= rrespondientes á las Memorias agraciadas con mención ho-: norífica cuando, en los dos meses de que trata la regla an» terior, los autores no hubieren concedido permiso paral abrirlos. q 17." Las Memorias originales, a no premiar, das, pertenecen á la Academia, y no se devolverán ásus auto- res. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación podrá de-: volvérseles, con las formalidades necesarias, serán los com-: probantes del asunto en aquellas Memorias tratado, como modelos de construcción, atlas ó dibujos complicados de re- ' producción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Pre- sentando en Secretaría el resguardo que de la misma depen- dencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como con- currentes al certamen, obtendrán permiso los autores para: sacar una copia de las Memorias que respectivamente les. correspondan. Madrid 31 de Diciembre de MED EA PUBLICACIONES RECIBIDAS (Continuac:ón.) Observatorio Astronómico Nacional de Tacubaya. —Anuario del... para el año de 1g08.—Año XXVIIT. — México, 1907. Congreso de los Diputados.—Actas de las Cortes de Castilla publicadas por acuerdo del.. —Tomo vigésimo octavo —Madrid, 1907. E Académie Impériale des Sciences de St. Petersbourg.— Bulletin de 1...— VI Serie, 15 janvier, 1 février. —St. Petersbourg. Geological Survey of India.—Records of the... —Vol. XXXVI, Part. 2, 1907. . Calcutta, 1907. University of California. — Publications in Boy —Vol. 3, N.% 1, pp. 1-302, Pls. 1-3, December 28, 1907.—Compositee of Southern Ca- lifornia By Harvey Monroe Hall. —Berkeley. Royal Irish Academy. — Proceedings of the... —Volume XXVII, Section C, 'N.?, 1-2-3.— Dublin, 1908. Douling B. A. Sc. (D. B.)—Geological Survey of Canada A, P. Low, Deputy Head and Director.— Report on the Cascade Coal Basin Alberta, By- Maps, id. - Ottawa, 1907. Geological Survey. —Summary Report of the Department of Mines...—For the Calendar year 1907. —Ottawa, 1908. Geological Survay of Canada A. P. Low, B. Sc., Director. — Sectión of Mines Annual Report du the Mineral Industries of Canada for E E > 1907. Elis (R. W.) — Geological Survey of Canada A. P. Low, Deputy Head and Director. — Report of the Geology and Natural Resources of the area inelu- ded in the northwest quarter-sheet, number 122 of the Ontario and- Quebec Series comprising portions of the counties of Pontiac, Carleton and Renfreco By... Ottawa, 1907. Cairnes (D. D.) — Geological Survey of Canada A. P. Low. Deputy Head and Director. Moose Monntain District of Southern Alberta, By...—Ot- - tawa, 1907. : Hoffmann, Li. D., F. J. €., F. R.S. C. (6. Christian.) = Geological Survey of Canada A, P- Low, Director. —Report of the Sectión“of. Chenintry. and Mineralogoy, By... Ottawa, 1906. Ciel et Terre.—28.* anné.—N.? 23, 1.2 Fev. 1908; ídem 24, 16 Fev. 1908. Bruxelles, — 488 — Manchester Literary « Philosophical Society. — Memoirs and Proceedings of the...—1907-1908.—Manchester. ¡Laisant (C. A.), etc — L'Intermediaire des Mathématiciens.—Tome XV, 1908.—N.% 1.—Janvier, 1908. —París, 1908. Ferreira da Silva (A. P.), etc.—Revista de Clínica Pura e applicada.—4.0 Anno.—N.? 2. - 15 Fevereiro de 1908.—Porto. Bóklen (Dr. 0.). — Mathematisch - naturwissenschaftliche Mitteiluugen be grundet von... —Zueíte serie. Neunter Band, Drittes Heft. December 1907. Stuttgart, 1907. Observatoire Central Nicolas. — Publications de 1'...—Sous la direction de O. Backlund.—Série 11, Vol. XVI-XVIIT.—St. Petersbourg, 1907. Missions Scientifiques pour la mesure d'un arc de méridien au Spitzberg entreprises en 1899-1901 sous les unspices des Gouvernements russe:et suédois.— Missión Russe.—Tome 1.— Tome 11.—St. Petersbourg, 1907. Reyal Society of London.— Philosophical Transactions of the...—Series A. 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N.0 86, February 1907.—London. The Observatory. —- A monthly naráS of Astronomy.—N.* 392, January. 1908: idem 393, February, 1908.—London. The Geugraphical Journal. —- Vol. XXXI.—N..0 2, February, Mi —London. Royal Astronomical Society. — Monthly Notices of the...—Vol. LXVII. — N.* 2, December, 1907. — London. w Institut Océanographique.— Bulletín de 1... —N.% 107, 31 December, 1907. idem 110,31 Janvier, 1908. —Mónaco,, y (Se continuará.) IN De 1 cE DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE > NÚMERO XXI! —Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física mate- mática, por José Echegaray. Conferencia sexta.... XXIV.—Determinación de algunas constantes físicas de la manganina, por B. Cabrera (conclusión). ......... XXV.—Sobre los diagramas de estado de los sistemas es- taño-azufre, estaño-selenio y estaño-telurio, por Wilhem Biltz y Werner Mecklenburz.........o... XXVI.—Viaje de estudio á la Guinea española. Observacio- nes acerca del «Trypanosoma gambiense» y algu- nos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales, por Gustavo Pittaluga (continuación)... XXVII.—Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones finales, por Gualterio M. SecO.....o...o...... o Programa de premios para el concurso del año 1911......... Publicaciones recibidas 0.00. oe mismo ace PR aa EEN 7 La subscripción á esta REvIsTA se hace por tomos completos, i de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. - EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES MADRID V TOMO VIIL.- NÚM. 8 (Febrero de 1910) ' MADRID ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL CALLE DE PONTEJOS, NÚM, 3, 1910 e el mes siguiente. r — 489 — XXVIII.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia séptima. SEÑORES: Estudiando casos particulares de la fórmula de Green, ha- bíamos examinado ya el caso en que las tres componentes F, G, H del vector fuesen funciones independientes de x, y, 2, en cuya hipótesis se decía, que el vector era triplemente es- calar ó que correspondía á tres escalares. Este caso se presentaba cuando, por ejemplo, la función diferencial Fdx + Gdy + Hdz=0 ni era integrable ni existía ningún factor de integrabilidad. Estudiamos también, como segundo caso particular, aquel en que el vector W era doblemente escalar, es decir, en que existía un factor de integrabilidad para la ecuación diferen- cial precedente. Porque en este caso si y era el factor de in- tegrabilidad y y la integral, es claro que F, G, H dependían de estas dos últimas funciones. Introduciendo dicha condición en la fórmula de Green, ésta tomaba la forma siguiente do di du di do di : de LA AE L ES E A q A ¡y eartOnd ANS E 0 dy dy "de Je=f | +7 ES 35 Ruy, Aca. Ciencias.—VIII,—Febrero, 1910. — 490 — é invirtiendo las dos funciones +», +, es decir, poniendo cada una en lugar de la otra, obteníamos una expresión análoga á la precedente, y restando ambas, llegábamos á una fórmula de transformación de integral triple en integral doble, que es de mucho uso en Física matemática, como veremos más ade- lante. Pero al terminar la conferencia insinuábamos esta duda. ¿Es legítima la inversión de las funciones + y 4? Sí; es legí- tima, pero no es evidente, aunque la a como ve- remos, es elemental y sencillisima. No es evidente, repetimos, porque, al fin y al cabo, ambas funciones <, uv, tienen significación completamente distinta en el problema: la primera es la integral que resulta cuando Fdx + Gdy + Hdz se hace integrable; la segunda el factor inverso de integrabi- lidad, cosa bien diferente de la primera. Para demostrar que la inversión de que se trata puede hacerse, hay que demostrar, que siempre existe una ecuación diferencial F,dx G,dy+H,dz=0 tal, que su integral es Y y que su factor inverso de inte- erabilidad es 2, en cuyo caso, aplicando la misma fórmula de Green al vector cuyas componentes sean F,, G,, H,, se obtendrá la fórmula indicada con las dos funciones + y din- vertidas. Veamos ahora cuál es la demostración. Hallamos en la última conferencia que F, G, A se expre- saban en valores de 2 y y de este modo: MAA AAA — 491 — Agregando y quitando la misma cantidad á los segundos miembros, y siendo esta cantidad la que se expresa para cada ecuación, tendremos O E AS ION UE Le Rda Y dy dy” Suponiendo conocidas las dos funciones «, y, y esto basta para demostrar la posibilidad del problema, los primeros miembros son funciones perfectamente determinadas, que podremos designar por F,, G,, H,, y son las que buscamos; en cuyo caso tendremos, E, =y3% 0=% 1 =9% EE y 2 Ó bien AD) | pd y pat A o e de 1 pde ? dx 3 y o? dz y e 1 donde se ve claramente, que si se multiplica por a la ecua- ción diferencial EJdx => "G Uy Hjdz == 0 — 492 — resulta una diferencial exacta dy dilósL add (000 —= dx + == d —= dz =0. dx da d y e Es decir, que el factor de integrabilidad es a y la inte- gral 4; ambas funciones resultan, pues, invertidas, según pretendíamos demostrar. Con esto damos por terminado, por ahora, el caso parti- cular de la fórmula de Green, en que el vector W es doble- mente escalar. Tercero. Examinemos, por último, el caso en que el vec- tor W es simplemente escalar, es decir, que las tres compo- nentes F, G, A dependen de una sola función, y esta depen- dencia será, como siempre, el resultado de una hipótesis so- bre la ecuación Fdx + Gdy + Hdz=0 que nos ha servido como tipo. Suponemos en este tercer caso, como ya dijimos en la úl- tima conferencia, que esta ecuación es una diferencial exac- ta, y, por lo tanto, integrable desde luego. Será, pues, no Lady E =d2=0 y, por consiguiente, — 493 — Resulta, como decíamos, que F, G y Hsólo dependen de una función o, y por eso al vector W, cuyas componentes son F, G, H, se le llama vector de un solo escalar. Sustituyendo en la fórmula de Green fundamental, EA naa y e Je=f | For + nar los valores anteriores de F, G, H, tendremos desde luego, E ri dx? A dz = EL d S Í legis al da Fi) Sd y empleando la notación A, que ya conocemos, para el primer miembro, y aplicando al segundo la transformación que ex- plicábamos en la conferencia precedente, es decir, calculan- do la diferencial de < cuando el punto de la superficie varíe sobre la normal, tendremos esta fórmula sencillísima ES en que el segundo miembro, sea cual fuere su forma, expre- sa siempre el flujo del vector W por toda la superficie S. La fórmula última es muy importante, y de ella pueden deducirse varias consecuencias que no haremos más que indicar; pero no ha de olvidarse que es nuestro propósito en este curso ir mezclando en cierto modo, para evitar la mo- notonía, las cuestiones de análisis puro con sus aplicacio- nes á la Física matemática. a 0 paa Si en la última fórmula hacemos aplicación á un punto del volnmen V, rodeado por una superficie infinitamente pe- queña S, y tomamos, por lo tanto, del primer miembro un solo elemento, y del segundo el flujo corresponciente á la superficie infinitamente pequeña s que rodea al punto consi- derado, tendremos | Adr = fluj. s Ó bien ES fluj. s dr y esta fórmula nos demuestra un teorema importante de una manera, por decirlo así, intuitiva, al paso que la demostra - ción directa sería mucho más larga; y el teorema es éste. La expresión A, ó sea os de d? — + —— : 1 dx? dy? + dz? (1 es constante en forma y valor, sea cual fuere el sistema de coordenadas trirectangulares á que se refiera el sistema ó abreviadamente, es una invariante. Claro es que la forma es invariable porque es lo que constituye su definición, de suerte que si viene dada por la expresión anterior cuando los ejes son x, y, z, cuando los nuevos ejes trirectangulares sean x,, y,, z, será su forma PO eo (2) dx,? dy? siendo 91 (X,, Y, 21) la función en que se convierte « (X, y, 2) cuando se sustituyen x, y, z en valores de x,, J,, 7, Según las fórmulas de transformación de coordenadas. Claro es que esto puede demostrarse directamente, como hacíamos en el curso anterior para varios ejemplos; pero por E d ' — 495 — el análisis precedente y por la última fórmula se demuestra de una manera inmediata. - Porque, fíjense bien mis alumnos: si alrededor del punto que se considera se traza una superficie infinitamente peque- ña, invariable para todos los sistemas de coordenadas que se consideren, como los vectores aplicados á los puntos de la superficie son siempre los mismos, por más que en un siste- ma sean F, G, H sus componentes y en otro sistema F,, G,, H,, el flujo será una cantidad constante para todos los siste- mas de ejes coordenados, puesto que para cada punto del volumen la superficie elegida y los vectores son los mismos; luego el mismo será el valor de A y el de A,. Además, aunque el segundo miembro está dividido por el elemento del volumen, éste también permanece invariable como se demostraría fácilmente. Cuando decimos que el valor de Á es el mismo, queremos decir que es el mismo para todos los sistemas de ejes coor- denados, aunque claro es que podrá variar de un punto á otro del sistema variable. La misma fórmula És flujo s da nos conduce en el caso particular de la atracción newtoniana á dos fórmulas fundamentales de la electro-estática: la de La Place y la de Poisson. Decimos que nos conduce, no decimos que nos demuestra de una manera completa, porque para ello necesitaríamos hacer un estudio de las derivadas que entran en la fórmula respecto á su continuidad, como explicaremos más adelante. — 496 — -- Por.ahora y provisionalmente prescindamos de esta cir- cunstancia. En vez de ser el vector W un vector abstracto, supongamos que es una fuerza, que obedece á la ley de Newton. Fijemos las ideas. Sean (fig. 19). | S una superficie cerrada simplemente conexa para simpii- ficar la explicación. m una masa de materia ponderable ó eléctrica 6 de otra cualquiera que obedezca á la ley de atracción newtoniana. Figura 19. m aa una recta que parta de m y que corte á la superficie en dos puntos a y a”. | bc y bc dos elementos de superficie correspondientes á los puntos a, a* comprendidos en un mismo cono infinitamen- te estrecho cuyo vértice esté en m. m ejercería, por ejemplo, acciones atractivas en a y en a” si en estos dos puntos existieran masas ó flúidos, sobre los cuales pudiera ejercer su acción m, y lo mismo decimos de las áreas bc b'c' pes De aquí a dos vectores en los puntos a, a”, EE representaremos por f, f”. : Si en la superficie no existen masas EULER ó eléctri- cas, sobre las cuales ejerza su acción m, estos vectores, en IS A — 497 — a antigua Física Matemática, serían puramente ideales, me- ramente posibilidades; y por el contrario, si las superficies bc b'c” contienen materia ó flúido, entonces los vectores serán reales, serán verdaderas fuerzas. Supongamos que este es el caso: repitiendo lo expuesto para todos los puntos de la superficie, resultará un flujo de vectores, que vamos á definir inmediatamente. Admitamos que sobre toda la superficie S existe un flúido ó capa uniforme, cuyos elementos reciben de rm una atrac- ción que se ejerce según la ley newtoniana. Sea 9 la densidad superficial de dicho flúido. La masa sobre bc será, llamande ds á la superficie bc, y la fuerza suponiendo que el coeficiente de esta expresión se reduce á la unidad. : La componente de esta fuerza según la normal, puesto que esta componente determina el flujo, según hemos ex- plicado en otra conferencia, tendrá por valor 9.do A os (man) pa y como ángulo (man) = ángulo (dbc) la componente f, se reducirá á n= ln es (dbc) = flujo (bc). pr A Y, por fin, como db.cos(dbc)= área.db resulta E Ñ 0 . 14 flujo (bc) —_¿m.área db pr? Podemos repetir todo esto para el área b'c”; pero como la normal n' y la componente de f” forman un ángulo obtuso, tendremos 2 de omárea d' b | flujo Ln Ahora bien, a = ángulo sólido w y | EZ = ángulo sólido w. Siendo w el ángulo sólido del cono, cuyo vértice está en m, y que determina en la superficie las áreas bc, b'c'. Tendremos, por lo tanto, flujo (0"c”) + flujo (bc) = dm (vu — w) = 0; luego la suma de los flujos en las áreas de entrada bc y de salida b'c' es nula. Y como podemos considerar á m como vér- tice de infinitos conos infinitamente estrechos, ma”, ma””... para todos los elementos de la superficie S; y como además el flujo para cada uno de estos conos es nulo, nulo será el flujo para toda la superficie. De aquí se deduce que cuando el vector W del teorema general es una fuerza, según la ley newtoniana, el flujo para una superficie S procedente de masas exteriores es nulo. 00 Si ahora volvemos á la fórmula _ flujo s dal $ A Como flujo s es igual á o, en este ejemplo de vectores newtonianos, tendremos ó bien d? dp de dx? dy? dz? que es análoga la célebre fórmula de La Place. Expliquemos una vez más su significación. Recordemos que F, G, H eran las componentes de un vec- tor W; en este caso es una fuerza newtoniana, es decir, de C r L- la forma E además estas tres componentes dependían de r una función de fuerzas, es decir, de un solo escalar, de suerte que pode pa de dx dy dz Precisamente en el curso anterior estudiamos este caso, y llamando V á la potencial cuyo valor era V =— 7, teníamos pd papa da ys peta a Y, dx oe ely dysaz dz Y es claro que la ecuación anterior se convertirá en AP Y e a dx? $ dy? y dz? que es precisamente la ecuación de Laplace, — BOP — Y como lo que hemos dicho para una masa m, pudiéramos decir para cualquier número de masas exteriores á la super- ficie G, tendremos este teorema: un sistema cualquiera de masas que obedecen á la ley newtoniana tienen una poten- cial V que satisface á la ecuación diferencial precedente. Es, por decirlo así, la ley del campo exterior á las masas, y expresa una propiedad general de todas las potenciales que están dentro de la ley de Newton, ya procedan de ma- sas ponderables, ya de masas eléctricas. V es una integral de dicha ecuación diferencial. ¿Es la integral general, ó una de las integrales particu- lares? ' ¿Expresa la ecuación diferencial de que se trata una pro- piedad exclusiva de las acciones newtonianas, circunscri- biéndose sólo á ellas, Ó expresa propiedades mucho más amplias? Por el pronto, no contestamos á estas preguntas; nos limi- tamos á decir que sea cual fuere la distribución de las masas, la potencial en cualquier punto exterior á las mismas es una integral particular de la ecuación diferencial AV 0 y se comprende que en los problemas de las potenciales newtonianas, y como caso particular en la electro estática, el estudio de tal ecuación diferencial ha de ser importantísimo, porque podrá servirnos para determinar V, y dada V en fun- ción de x, y, z, conoceremos las tres componentes de la fuerza posible ó real que corresponde á dicho punto, con sólo tomar las derivadas de V con relación á x, y, z. Conocer la acción de un sistema sobre un punto es ya te- ner mucho adelantado para establecer las condiciones de equilibrio. Pero todo esto ya lo estudiaremos en otra ocasión; por ahora nuestro objeto tan sólo es dar una idea, Ó si se nos — 501 — permite esta palabra, despertar una sospecha de cómo el problema de Green se enlaza con estos problemas de la Fí- sica matemática. También se deduce de la fórmula del insigne matemático otra fórmula en cierto modo complementaria de la de La- place, que es la de Poisson. Se enlaza con un problema análogo al precedente. También se trata de masas cuyas acciones se ejercen por la ley newtoniana; también entra en juego una superficie; lo mismo que antes, se trata de determinar el flujo ideal ó real de estas fuerzas ó vectores en toda la extensión de la super- ficie S que consideramos, y también aparece aquí la poten- cial de dichas fuerzas, es decir, una función de x, y, z, cuyas derivadas con signo contra- rio dan las tres componen- tes de la acción de las ma- sas en un punto cualquiera del espacio. Pero hay una diferencia esencial entre este caso y el anterior. ) | - Aflí las masas eran exte- riores á la superficie, aquí son interiores. Figura 20. - Sea la superficie S (figu- | ra 20) y una masa interior m, cuya acción es newtoniana. Si en cualquier punto de la superficie existiese una masa real, la fuerza Ó acción que sobre ella ejerciese m sería tam- bién real. Si no existe masa ninguna, el vector sería, si se nos per- mite la palabra, un vector de posibilidad; es decir, que en cuanto en ese punto colocásemos una masa se convertiría en un vector real, ó si se quiere en una fuerza real. Supongamos, para fijar las ideas, que sobre la superficie S existe una capa de flúido, cuyos elementos son rechaza- dos por m, según la ley newtoniana, y sea 9 la densidad su- perficial de la expresada capa. Si en el punto a de la superficie consideramos el elemento bc, la masa sobre este elemento será 9 sup. bc y la fuerza repulsiva entre m y el elemento bc, que en gene- ral será oblicua á la superficie, y que representaremos por aa”, actuará hacia el exterior y tendrá por valor numérico : mó sup. bc q -= -_——_—______—_—_—— 1? siendo r la distancia ma de la figura. Esta fuerza ó este vector, que es la resultante de todos los vectores que corresponden á las diferentes unidades de su- perficie de bc, y que serán próximamente iguales entre sí y paralelos, tal conjunto de vectores podemos decir que forma un flujo de vectores como filetes de un flúido que salen por la superficie bc, en la dirección aa. Este cilindro oblicuo, ó sea este flujo, tendrá por valor el producto de su base por su altura, lo cual se reduce en últi- mo análisis á multiplicar el valor de aa”, que es la resultan- te total sobre el elemento S por el coseno del ángulo a' an; de modo que mo sup. bc flujo de vectores correspondientes á bc = cos (a' an). Fijemos bien las ideas: el flujo figurado de vectores es un cilindro oblicuo cuya base es bc, y está formado por un ==" BO = manojo de vectores correspondientes á los elementos igua- les á la unidad de dicha superficie. Su volumen será la base por la altura, y esta altura será la proyección sobre an de uno de dichos vectores elementales. Es decir, que deberemos multiplicar uno de ellos por el coseno del ángulo a' an. Y el producto de esta altura por la base será precisamente el flujo, que es lo que indica la fór- s m0 mula anterior, porque an ES el valor de uno de estos vec- r tores elementales por unidad de superficie. Claro es, que todo esto se simplificaría si considerásemos el flujo abstracto, por decirlo de este modo, y si para calcu- lar el vector en cada elemento de superficie dijéramos: Vec- tor que correspondería á un elemento de superficie para el caso en que colocásemos sobre dicha superficie un flúido con la densidad 1, que equivaldría á suponer 3= 1. Y esto sería aplicable á toda superficie infinitamente pe- queña colocada en el campo de vectores. Volviendo á la fórmula anterior, observaremos que los ángulos aan y cbd, siendo bd un arco de círculo trazado desde m con el radio mb, son iguales por tener sus lados perpendiculares; de modo que sup. bc. cos (a' an) = sup. bc. cos (cbd) = sup. bd y la fórmula se reduce á mo. sup. ba flujo vectores correspondientes á bc = p? Ahora bien, trazando desde m con un radio mb”, igual á la unidad, una esfera, es evidente que tendremos sup.b'd — sup.bd 12 Pe r? y ilujo correspondiente á sup. bc = m6. sup. b'd”. — 504 — Para obtener el flujo total sobre toda la superficie S, basta sumar los flujos correspondientes á sus diferentes elementos, en cuyo caso tendremos que sumar todos los elementos de superficie b"d”, que constituyen la superficie de la esfera de radio 1, cuya área es igual á 4z, y, por último: flujo de S=m0.4r. Y en el caso de vectores que hemos llamado abstractos para simplificar la explicación, es decir, en el caso, repitien- do lo ya dicho antes, de una masa m en un campo que ha de llenarse con vectores abstractos, digámosle así, Ó si se quiere de vectores posibles, correspondientes para cada punto á una superficie infinitamente pequeña que en él co- locásemos cargada con un flúido cuya densidad fuese 1, ten- dríamos lujo S =m.4x. Recordemos la fórmula de donde hemos partido _ flujos Ucaid A Si en ésta substituímos en vez de flujo en s su valor, que acabamos de obtener, resultará NES 4rm du de donde inmediatamente se deduce la fórmula de Poisson, dunque variando un poco las notaciones; por ejemplo, em- — 505 — pleando en vez de la función de fuerzas v la potencial Y li- gada con la anterior por la relación ¿ =— V, y en vez de Y la densidad e, obtendremos T dE MATE V ase : —=— Ano. dx? * dy? on dz? me 8 Pero no insistimos más sobre este punto, porque más adelante hemos de estudiarlo bajo otro aspecto. Hemos querido tan sólo demostrar, que de la fórmula de Green pueden deducirse dos fórmulas fundamentales de la electricidad, la de Laplace y la de Poisson. Sin embargo, la demostración de esta última no es tan ri- gurosa como parece. Hemos dicho desde un principio que todas las demostra- ciones y todas las transformaciones empleadas para demos- trar la fórmula de Green, suponían siempre que las integra- les empleadas tenian un sentido; es decir, que no eran ni in- finitas ni indeterminadas, lo cual exige que no sean infinitas ni indeterminadas F, G, H ni sus derivadas as E, Es US YE 2 porque si lo fueran, las transformaciones y los razonamien- tos empleados caerían por su base. A iguales condiciones ha de satisfacer la función <, así como sus derivadas primeras y segundas con relación á Dd A De no ser así, la expresión pa Py, Po dee dy? dz? sería infinita Ó indeterminada y carecería de sentido. * + * Ruy. AcaD, Ciencias.—VII,—Febrero, 1910. 36 O El título de las conferencias que nos proponíamos explicar en este curso ha sido el siguiente: Cuestiones de Análisis y su aplicación á la Física Matemática Hemos expuesto la fórmula de Green, la hemos aplicado á varios casos particulares, y de ellos ó mejor dicho del último de aquél en que F, G, A, componentes del vector W, son las derivadas con relación á x, y, z de una función de fuerzas “, hemos deducido dos fórmulas importantísimas para las apli- caciones á la teoría de la electricidad, á saber: la fórmula de Laplace y la fórmula de Poisson. Ambas fórmulas las demostraremos directamente cuando estudiemos la electro-estática; pero cumpliendo la segunda parte de las conferencias de este año, hemos de hacer aplica- ción de ellas, ó mejor, indicar la aplicación que tienen para el problema del equilibrio eléctrico. | Hasta aquí, al estudiar la fórmula de Green y sus casos particulares, en rigor hemos estudiado una cuestión de mate- máticas puras, considerando en cierto modo vectores abstrac- tos; ahora debemos decir algo de las aplicaciones de dicha fórmula, ó sea de las dos ya indicadas, que de ellas se de- ducen, á la teoría de la electricidad. | Digamos algo, pues, de esta teoría, y por hoy, y mientras no la estudiemos sistemáticamente y como cuerpo de doctrina, mientras no sea para nosotros más que un ejemplo de la apli- cación de fórmulas abstractas á la realidad de los fenómenos naturales, supondremos conocidos aquellos principios que se explican y se demuestran experimentalmente en la Física. Admitiremos provisionalmente, que existe un tlúido eléc- trico, como se admite en Física, que la Física experimental nunca ha estado exenta de hipótesis; y de la hipótesis se ha ayudado siempre la experiencia y en la experiencia ha bus- cado siempre comprobación la teoría. Suponemos aún que el flúido eléctrico encierra en si una dualidad, es decir, una electricidad que llamamos positiva y otra que llamamos negativa. — 507 — Todo esto, si se me permite la palabra, es enormemente hi- potético y un tanto metafísico, pero tal ha sido la hipótesis primitiva, que se aceptó casi unánimemente por los físicos, cuando empezaron á estudiar los fenómenos eléctricos. Estas dos electricidades, la positiva y la negativa, se supo- ne que están en cierto modo combinadas en cantidades equi- valentes, y algunos dicen iguales, y que cuando en tal estado de equilibrio se encuentran, se compensan y neutralizan y no aparecen fenómenos eléctricos á lo exterior, que llamen la atención de los experimentadores. Todo esto es muy vago, bien lo reconocemos: muy vaga y poco precisa, por lo tanto, es la existencia de esos dos flúidos positivo y negativo, que por llevar denominaciones alge- bráicas no por eso muestran su manera de ser, ni su constitu- ción, ni ninguna propiedad que hable á los sentidos. Muy vaga es todavía esa especie de combinación eléctrica á la cual el instinto de representación busca analogía en las combinaciones químicas; muy vaga es aún la neutralización que se supone, como si se tratase de un ácido y de una base que en química se neutralicen. Nada hay preciso en los términos empleados de equiva- lencia ó igualdad, porque el que estudia por primera vez esta matería formula una serie de preguntas á las que nadie le da respuesta, ni los sabios ni los libros. ¿Cuándo y cómo son iguales ó equivalentes dos cantidades de electricidad positiva Ó negativa? Al avanzar en el estudio de los fenómenos eléctricos, algu- na respuesta puede intentarse, pero al principio la respuesta es difícil. Se dirá, cuando más, que al reunirse ó combinarse dos can- tidades opuestas de flúido eléctrico, el negativo y el positi- vo son equivalentes ó iguales si la reunión de ambos es algo neutral que no ofrece ningún fenómeno eléctrico y puede pa- sar inadvertido el hecho para el observador. Demos todo ello por bueno, que no hemos de discutirlo A en este instante, y digamos, para terminar esta pequeña di- eresión, que la hipótesis de los dos flúidos dominó en la Fí- sica experimental, y aun en la Física matemática, muchos años con imperio casi absoluto. Todo el mundo la aceptaba creyendo, ó sin creer en ella: era una hipótesis sencilla, verdadera ó falsa, bastante clara, con sus reminiscencias algebraicas, si la palabra vale, y so- bre todo, cómoda en gran manera y prestándose con gran do- cilidad á la explicación de los fenómenos eléctricos y á sus atracciones y repulsiones, como saben mis alumnos por re- cuerdo que tengan de la Física elemental. Pero llegó un momento en que empezó la baja de la hipó- tesis dualista. Toda hipótesis tiene esta suerte y recorre iguales períodos. De aceptación y triunfo. De duda y descrédito. Y al fin, de ruina completa: otra hipótesis la sustituye. A la hipótesis dualista se sustituyó la hipótesis Loans Dos flúidos eléctricos se decía ¿cómo son y en qué se dife- rencian substancialmente, y qué necesidad hay de que sean dos cuando basta con uno? Y ála hipótesis de dos electricidades ó dos tlúidos se sustituyó la hipótesis de un sólo flúido, que con algo de bue- na voluntad y de condescendencia hasta pudiera ser el mis- mo éter. En rigor, la hipótesis de un solo flúido eléctrico era bas- tante satisfactoria. Cierta cantidad de flúido único eléctrico, en presencia ó conjunción con cierta cantidad de materia ponderable, podía suponerse que representaba la neutralidad eléctrica: aquel caso en que los fenómenos eléctricos más característicos no ñ o Y EEE O EL aparecen; era, si se*me permite la comparación, la sal neutra en las combinaciones etéreas. ) Cuando la cantidad de flítido eléctrico único aumenta sobre este tipo, cuando hay sobre-saturación eléctrica, se dice, que hay electricidad positiva. Cuando, por el contrario, disminuye el flúido eléctrico, se admite que este caso corresponde al que en la antigua hipó- tesis dualista se atribuye á la presencia de una electricidad negativa. Y aquí, el más y el menos, tienen ya un sentido y una ex- plicación matemática, y los fenómenos elementales de la elec- ricidad, sus atracciones y repulsiones, se explican con tanta facilidad como en la hipótesis de los dos flúidos. Y estos dos flúidos que antes eran un misterio ó una sobrecarga de hipótesis extrañas, tienen una explicación sencillísima: Una cantidad de electricidad, estado neutro; una cantidad superior, electricidad positiva; una cantidad inferior, electricidad negativa. Realmente un flúido único con aumentos ó disminuciones á partir de un tipo era una explicación mucho más sencilla que la de la vieja hipótesis. Triunfó, al parecer, la nueva hipótesis que estudiaremos detenidamente en otra ocasión, y que en multitud de obras pueden estudiar mis alumnos; porque no se olvide que hemos de estudiar más adelante la electricidad, y que hoy no hace- mos otra cosa que presentar un ejemplo para que se com- prenda la importancia, que tienen en la ciencia práctica, cier- tas fórmulas abstractas de la ciencia pura Pero no todos los autores entienden del mismo modo la hipótesis del flúido único. eléctrico. IS Son, en efecto, hipótesis distintas, y sólo citaremos estos ejemplos, los que emplean Mr. Briot y Mr. Poincaré. El primero admite la materia ponderable y la electricidad» dos elementos de materia ponderable se atraen, dos elemen- tos de electricidad se rechazan, y entre un elemento de mate- ria ponderable y otro de materia eléctrica, supone el autor citado que existe determinada atracción. La hipótesis de Mr. Poincaré en su obra Electricidad y óptica es distinta. Traducimos literalmente: «Las fuerzas que actúan entre dos cuerpos electrizados son en número de cuatro: la que se ejerce entre las cargas eléc- tricas, la repulsión de la materia que constituye los cuerpos, y en fin, las dos atracciones que tienen lugar entre la electri- cidad que carga uno de los cuerpos y la materia que forma al otro.» De suerte que en esta hipótesis la materia no atrae á la materia, sino que la rechaza; las atracciones sólo proceden de la acción entre la materia y la electricidad. Por uno y otro sistema se explican con igual facilidad las atracciones y repulsiones eléctricas; pero en el fondo hay una diferencia fundamental. La materia en la hipótesis de Mr. Poincaré más se parece á un flúido eléctrico cuyos elementos se rechacen. La materia ponderable, con sus clásicas atracciones, des- aparece, y esta hipótesis casi puede considerarse como una anticipación á las teorías modernas de los electrones positi- vos y negativos. Sea como fuere, la hipótesis del flúido eléctrico único ha perdido, en parte, su prestigio, y la hipótesis de los dos flúidos va recobrando su posición privilegiada; quien pierde en esta evolución de las hipótesis, es la materia clásica, que niegan algunas teorías modernas, suponiendo que la materia visible, la que llamamos materia ponderable, la de la vieja mecánica, no es en el fondo más que un complejo de electro- a 2 a ES q A Ed Paren Paris A — 511 — nes positivos y negativos, una especie de cielo atómico en que los soles son los electrones positivos y los planetas los elec- trones negativos que giran alrededor de los primeros. Dejando aparte estas cuestiones, que en su día examinare- mos con más detenimiento, volvemos á la aplicación de las fórmulas obtenidas en esta conferencia, es decir, de la fór- mula de Green y de las que de ellas se deducen, al problema del equilibrio eléctrico: éste será el objeto de la conferencia próxima. Pero antes, para acomodarnos al uso corriente, definamos una vez más lo que se entiende por campo de una masa eléctrica, y lo que se entiende por flujo de las fuerzas eléc- tricas que de ella emanan, que será en rigor repetir lo que ya hemos explicado en esta conferencia; pero dándole, en cierto modo, el carácter que tenía en la antigua teoría de la electricidad ó en el período de transición de esta teoría á las de Maxwell y Faraday. La acción de la masa m sobre un punto cualquiera A del E 2 OI: q espacio, se representa evidentemente por ES la dis- % tancia de dicho punto al centro m, y si además suponemos igual á la unidad el coeficiente numérico, escogiendo para ello el sistema de unidades conveniente. Para abreviar la explicación, representemos esta fuerza por F, de modo que La acción de la masa m sobre el punto A, será, pues, FF; pero en la antigua teoría en que el espacio es, y se supone — 512 — inerte y vacío, la frase que hemos empleado no es exacta; la acción de la masa m sobre A no existe, es completamente nula: sobre puntos geométricos no hay acción mecánica de ninguna clase. Lo físico no hace presa, si se nos permite la expresión, sino sobre lo físico, no sobre la nada ó sobre abs- tracciones. Por eso, en la antigua teoría, debe decirse: Si en el punto A colocásemos una masa igual á la unidad de electricidad positiva, la masa m ejercería sobre este punto, ó mejor dicho, sobre la masa de prueba que en él colocásemos, una fuerza atractiva Ó repulsiva, según que m fuese negativa ó positiva, cuyo valor numérico sería el de F; óÓ abreviadamente, y prescindiendo de los signos, una fuerza F. Y ésta ya sería una fuerza real. Si por este punto A hiciéramos pasar una superficie infi- nitamente pequeña dS, y para cada punto de esta superficie repitiésemos lo que hemos dicho para el punto A, el con- junto de todas estas fuerzas F sobre el elemento superficial en cuestión es lo que se llama flujo de la fuerza F á través de la superficie dS. Y el por qué de esta denominación ya lo hemos explicado: Si á través de la superficie 4S suponemos que pasa un flúido, por ejemplo, un líquido, y en cada punto la velocidad tiene el mismo valor numérico que F, el conjunto de todos los filetes que pasan con dicha velocidad F formarán un ci- lindro oblicuo que será el flujo del líquido á través de la su- perficie en cuestión. Sustituyendo á la palabra flúido la palabra fuerza, y la ve= locidad de cada filete por el valor numérico de F, podremos emplear la frase que estamos explicando y dat una explica- ción matemática á dicha frase. El volumen de dicho cilindro es el flujo de fuerza; pero este volumen es el producto de la base de S por su altura, y la alturá es evidentemente la proyección dé una de lás gene- ratrices F sobre la normal m al eleriento 4S. BB —= Si á esta proyección la representamos por F,, podremos decir que el flujo á través de la superficie dS está represen- tado por: ' dS.F: Si en vez de uña superficie infinitamente pequeña de S tenemos una superficie cerrada, repitiendo lo - explicado para un elemento, tendremos el flujo de fuerza á través de toda la superficie, que será f[4s.r, Ss 45 Ecos Q. s ja Siendo a el ángulo que forma F con la normal n á super- ficie dS. Tenemos, pues, definido en términos de la antigua teoría el campo de una masa m, y, por lo tanto, de un número cual- quiera de masas; la fuerza en un punto cualquiera A, ó si se quiere, el vector de este punto y el flujo á través de cualquier superficie. Pero entiéndase que en la teoría clásica este campo, este vector y este flujo son meras posibilidades, conceptos abs- tractos, que para que se conviertan en conceptos reales, es preciso que coloquemos en cada punto una masa igual á la unidad. : En las teorías modernas, como ya veremos y como ya he- mos explicado otras veces, y aun veces repetidas, no hay que hacer esto porque todo el espacio está relleno de éter, 6 de dieléctricos, ó de masas ponderables más ó menos con- ductoras, y toda masa eléctrica engendra á su alrededor un ó bien — 514 — campo real y efectivo del cual no puede prescindirse para resolver esta clase de problemas dentro de la realidad. Son estos conceptos tan fundamentales, que he creído con- veniente repetirlos, corriendo el peligro de que se me tache de excesivamente insistente y aun pesado. Pero hay un proverbio latino que dice, si yo mal no re- cuerdo, repetita docent. = 515 — XXIX. — Noticias sobre algunos moluscos de España. POR JOAQUÍN GONZÁLEZ HIDALGO. Con motivo de la redacción de una pequeña Memoria so- bre moluscos de la Guinea española, ya terminada y que publicará la Real Sociedad Española de Historia natural, y el examen de otras muchas especies recogidas vivas en Cá- diz por el joven Ingeniero de Minas Sr. Gavala, he creído conveniente dar algunas noticias sobre las variaciones de la Purpura hceemastoma y nuevas localidades de la Lima inflata y Cipreea achatidea, como ampliación á lo ya conocido sobre dichas especies. l. PURPURA H4EMASTOMA Linné. Systema naturce, edic. XIl, pág. 1202.—1767. Esta Purpura es tan variable en su tamaño, en su forma general, en su grosor y en las modificaciones de su escultu- ra, que no es extraño hayan sido publicadas algunas de sus variedades como especies distintas. Pero éstas no pueden conservarse en la nomenclatura cuando se examinan y com- paran entre sí muchos individuos recogidos en diferentes mares y en distintas localidades. A pesar de sus variaciones, todos ellos conservan idénticos los caracteres de la abertura de la concha, tanto en su forma como en su color, y en apo- yo de lo que antes se menciona, creemos de alguna utilidad exponer aqui el resultado de un estudio hecho de las figuras de los autores y de los ejemplares de nuestra colección. Linné describió la especie del modo siguiente: Testa sub- e El muricata, labro intus striato, columella planiuscula, fauce fulva. Oc. europeo. Testa ovata, rudis, cincta duplici fascia nodosa anfractuum. Faux crocea, labrum intus crenulatum et striatum. Esta descripción sólo conviene á una de las variedades; la cual debe considerarse como la forma tipo; pero es necesa- ria una descripción que las comprenda á todas de un modo general, señalando después las diferencias que las distinguen y refiriendo á cada una de ellas las figuras que mejor las re- presentan. Esto es lo que hacemos á continuación, adicio- nando á varias de ellas las localidades exactas de los ejem- plares que han servido para nuestro estudio. Grande sería el número de estas últimas que pudieran indicarse, porque la Purpura hoemastoma es una especie común y se encuentra en muchos sitios, de los cuales se halla mencionada en di- versas obras y catálogos locales, donde puede verlo el lector. DESCRIPCIÓN Las diversas variedades de la Purpura hoemastoma pre- sentan una forma oval-cónica, con un ángulo kobtuso en la parte superior de la última vuelta, el cual, cuando es más sa- liente y lleva además grandes tubérculos, aumenta la an- chura de la concha en el centro, y ésta adquiere una forma casi romboidal. La espira es más ó menos saliente y consta de seis vueltas algo convexas, siéndolo bastante la última, si bien con una depresión cerca de la sutura y otra en la base cerca del extremo, que es más angosto. La sutura es sencilla unas veces y otras tiene un margen más ó menos grueso. La escultura de la superficie consiste en estrías y cuatro Ó cinco cordones transversales en la última vuelta (por lo co- mún falta el inferior), continuándose el de arriba por lás res- tantes vueltas de espira. Este corresponde al ángulo de la E = BW vuelta y los restantes están por debajo de él, equidistantes entre sí y separado el último por la depresión inferior de una costilla saliente y curva que termina en la escotadura de la abertura. Rara vez se encuentran ejemplares des- provistos de los cordones, y -sólo con las estrias trans- versales, En la mayor parte de los individuos hay tubérculos en los cordones transversales, ya obtusos y redondeados, ya fuer- tes y cónicos, ó un poco salientes, ó de gran tamaño y com- primidos, unas veces en el cordón del ángulo, donde siem- pre son más prominentes, otras en éste y en el segundo, ó en los tres primeros, que es menos frecuente, ó finalmente en los cuatro cordones de la última vuelta, situados entre la sutura, sencilla Ó marginada, y la costilla de la base de la concha. Cuando existe un quinto cordón, éste no suele pre- sentar nudos, La superficie exterior de la concha es de color blanque- cino ó gris, á veces con una zona blanca que corresponde al cordón segundo. También se presenta de color castaño con algunas manchas blanquecinas irregulares, y no faltan individuos en que hay líneas obscuras al través ó listas un poco negruzcas en sentido longitudinal. La abertura es ovalada y la escotadura de la base bastan- te profunda; la columnilla tiene pequeñas arrugas oblícuas cerca de su extremo inferior y un pliegue transversal próxi- mo á la inserción del borde derecho; éste es poco grueso en el margen, con dientecillos muy pequeños que son la termi- nación puntiaguda de cordoncitos salientes y transversales que hay en la parte interna, alguna vez más gruesos ó un poco nudosos en su terminación interior. El color del fondo de la abertura es blanco Ó sonrosado, y el de la columnilla y la parte interna del borde derecho de un encarnado más ó menos intenso, según los ejemplares, color que alguna vez es casi negro. En muchos individuos tienen esta última co- loración los surcos intermedios entre los dientecillos del E AI margen del borde derecho. Las dimensiones, grosor y peso de la concha son muy variables; hay individuos muy adul- tos de la Guinea española que sólo tienen 30 milímetros de longitud; otro, de Cádiz, que alcanza la de 103 milímetros, y alguno, como el figurado por Reeve con el nombre de Pur- pura gigantea, que mide 120 milímetros. Muchos ejempla- res son de poco peso y delgados con relación á su tamaño, y en cambio otros, como el de Cádiz, acabado de citar, es | sumamente grueso y pesa 210 gramos. Según que los ejemplares presentan unas ú otras de las modificaciones antes indicadas, es diverso su aspecto, y pue- den agruparse en distintas variedades, parte de las cuales han sido consideradas por los autores como especies, con los nombres de Cónsul, gigantea, unifascialis, Rudolphi (no de Lamarck) y biserialis (no de Blainville). Sólo resta, pues, enumerar las variaciones de la Purpura hcemastoma, con breve indicación de sus diferencias y las figuras de los autores que corresponden á cada una de ellas. VARÍEDADES a. Testa ultimo anfractu transversim striato, cingulis nu- llis vel obsoletis (denominada mutica ó calva por algunos). Lister, Hist. Conch. lám. 988, fig. 48. Kuster, en Chemn. Conch. Cab. 2.* edic. lám. 22. a. me L. | Dunker, Ind. moll. Guineam, lám. 3, figs. 12 y 13. Kobelt, Iconog. europ. meeresconch. lám. 7, fig. 4. b. Testa ultimo anfractu transversim striato et cingulato, cingulis muticis. Dautzenberg, Moll. Roussillon, lám. 10, figs. 1 y 2. Hab. Isla de Cabo Verde. | — 519 — Cc. Testa ultimo anfractu cingulo supero tuberculis trans- versim elongatis, angustis, instructo, ceeteris obsoletis. Kobelt, lconogr. europ. meeresconch. lám. 5, fig. 1 y lám. 7, fig. 3. d. Testa brevior, lata, ultimo anfractu superne magis an- gulato, ad angulum tuberculis magnis compressis instructo. (Purpura Consul de los autores.) Chemnitz, Conch. Cab. lám. 160, figs. 1516 y 1517. Kuster en Chemn. 2.* edic. Purpura, lám. 16, figs. 1 yz: Kiener, Spec. gen. Purpura, lám. 16, fig. 48. --Reeve, Conch. icon. Purpura, fig. 4. Chenu, Man. Conch. l, fig. 804. Figuier, La vie des anim. Moll. fig. 313. e. Testa maxima, spira acuminata, apertura lata, cingulo - supero tuberculis obtusis ornato ceteris nullis. Purpura gi- gantea de Reeve.) Reeve, Conch. icon. Purpura, fig. 17. Longitud 120, lat. 80 milímetros, según la figura de Reeve. Esta variedad es la de mayor tamaño, y probablemente vive en Cádiz, porque mi amigo Sr. Gavala, al ver la figura de Reeve, recuerda haber encontrado un ejemplar parecido, que no guardó por el mal estado de conservación en que se ha- llaba, y creyendo era la misma variedad que la designada después con la letra K. f. (Forma tipo de Linné). Testa ovato-conica, ultimo an- fractu cingulis duobus superis tuberculis obtusis vel acutius- culis instructis. (Purpura Rudolphi Kuster non Lamarck.) Gualtieri, Ind. test. lám 51, fig. a (mala). Adanson, Voy. Senegal. lám. 7, fig. 1. Schuber y Wagner en Chemn. Conch. Cab. lám. 233, figs. 4085 y 4086. — BEN == Blainville, Faun franc. Moll. lám. 6, fig. 2. Kiener, Spec. gen. Purpura, lám. 32, fig. 78 y lám. 33, fig. 79. Reeve, Conch. icon. Purpura, fig. 21. Hidalgo, Mol. mar. España, lám. 27, figs. 1 y 2.. Dautzenberg, Moll. Roussillon, lám. 9. figs. 4 y 5. -— Atlas de poche, fig. 36. Granger, Moll. France, lám. 7, fig. 6. Kuster en Chemn. Conch. Cab. 2.? edic. Purpura. lám. 21, fig. 1. — loc. cit, lám. 21, fig. 2. Purpura Rudolphi non ' Lamarck. Kobelt, Iconogr. europ. meeresconch, lám. 7, figu- tas loy:2: HAB. —Guetaria, Coruña, Islas Sisargas, Cádiz y Barcelo- ria en España, Cabo de San Juan en la Guinea española y Río Janeiro en el Brasil. g. Testa brevior, crassa, albida vel grisea, ultimo anfrac- tu cingulis duobus superis minute nodosis. Martini, Conch. Cab. lám. 101, figs. 964 y 965. Kuster en Chemn. Conch. Cab. Purpura, lám.-30, figs. 13 y 14. h. Testa ultimo anfractu cingulo supero (et interdum se- cundo) tuberculis obtusis instructo, fascia alba in cingulo se- cundo. (Purpura unifasciali de los autores). Encyclop. meth, lám. 397, fig. 6. Kiener, Spec. gen. Purpura, lám. 33, fig. 79. b. Reeve, Conch. icon. Purpura, fig. 64. HAB. Río Janeiro en el Brasil. Uno de los ejemplares de la var. f (tipo) de Barcelona, tiene ya indicada la faja blanca en el segundo cordón transversal. — 521 — 1. Testa var. f' similis, sed fusco longitudinaliter strigata et transversim lineata. Reeve, Conch. icon. fig. 67. Purpura biserialis, no de Blainville. j. Testa minor, ultimo anfractu cingulis duobus superis tuberculis validis, acutis, instructis. Muy pequeña (30 milímetros), pero ya adulta, con los tu- bérculos fuertes y cónicos. HAB. Cabo de San Juan en la Guinea española. k. Testa ultimo anfractu magis angulato, cingulis duo- bus superis valde nodosis, cetate magna, crassa, ponderosa, cingulo supero tuberculis maximis, compressis, secundo mi- noribus, rotundatis, ornata. Martini, Conch. Cab. lám. 101, fig. 966. Wood, Index testac. lám. 22, fig. 57. Chemnitz, Conch. Cab. tomo XL, pág. 80, lám. 187, figs. 1796 y 1797. Long. 98, lat. 84 milímetros. Kuster en Chemn. Conch. Cab. 2.* edic. lám. 19, figs. 3 y 4, las mismas figuras de la 1.* edición. Purpura gigantea, no de Reeve. HAB. Desterro en el Brasil (Coll. del Museo), Cádiz en España (Gavala!). Dimens. del mayor ejemplar. Long. 103, lat. 85 milímetros, Isla del Corregidor en Filipinas. l. Testa var f similis, sed cingulis 1, 2, 3 tuberculis ob- tusis, vel acutiusculis instructis. HAB. Mahón en las Baleares, Valencia en España. m. Testa ultimo anfractu quadricingulato, cingulis omni- bus tuberculis obtusis vel acutiusculis instructis. Blainville, Especes de Pourpre, lám. 12, fig. 1. Kiener, Spec. gen. Purpura, lám. 32, fig. 78 b. Orbieny, Moll. Canaries, lám. 6, figs. 39 y 40, Fredol, Le monde de la mer, figura de la pág. 344, Rruv. Acap, py Ciencias, —VIIL,— Febrero, rg10. 37 — 522 — - Berge, Conchylienbuch, lám. 32, fig. 15. Locard, Coquill. mar. France, fig. 73. Jeffreys, Brit. Conchol. lám. 102, fig. 5. -Kobelt, Ulustr. Conch. lám. 14, fig. 1. Sowerby, Ind. Brit. Shells, 2.* edic. lám. 26, fig. 28. HAB. Islas Dragonera, Ibiza, Conejera y Formentera, Palma, Mahón y Fornells, en las Baleares; Barcelona, Islas Columbretes, Valencia, Alicante, Tabarca, Santa Pola, Car- tagena, Cabo de Gata, Málaga y Santander, en España; Melilla, en Africa; islas Canarias; islas de Cabo Verde. II. LimA EXCAVATA Fabricius. Fabricius en Schroeter, Naturg. Il, pág. 117.— Ostrea excavata. Chemnitz, Conch. Cab. tomo VII, pág. 355, lám. 68, fig. 654. Reeve, Conch. icon. Lima, fig. 2. Sars (G. O.), Mollusca Norvegiz, pág. 24, lám. 3, fig. 1. Sowerby, Thes. Conch. Lima, núm. 8, lám. 21, figs. 8 y 9. Locard, Moll. Travailleur et Talisman, tomo Il, pági- na 409. HAB. Santander (Norte de España) á 16 kilómetros de la costa, en el sitio denominado El Pájaro, por los pescadores, frente á la punta Somomera. Fué hallado un ejemplar vivo á 250 brazas, en fondos coralígenos, y forma parte de la colección de la estación bio- lógica de Santander. Esta especie de Lima, la mayor del género y publicada en 1780, vive á gran profundidad en la parte Norte del Océano atlántico, frente á Noruega, cerca de las islas Lofoten, -- Eb Faroe €. Se creía” propia de dicha región, pero posterior- mente fueron dragados algunos fragmentos frescos, de la coricha, al Norte del Cabo de San Vicente, en Portugal, por la expedición del Porcupine, y últimamente fueron encontra- dos buenos ejemplares, algunos con él animal, al Oeste del Sudán, en la costa occidental de Africa, por las expediciónes del Travailleur y del Talismán. Se ve, pues, que esta especie del Norte se propaga hacia el Sur, hecho bien confirmado ya por el individuo encontrado completo y vivo en Santander, estación intermedia entre las antes citadas. El ejemplar de esta localidad traído á Madrid para mi examen por el Direc- tor de la estación biológica, D. José Rioja, tiene 11 centíme- tros en su mayor dimensión y conviene exactamente con la figura de Reeve y las descripciones de los autores. III. CYPRE ACHATIDEA Gray. Gray en Sowerby, Conch. Mlustr. Cypre, fig. 179. Hidalgo, Monogr. Cyprea, págs. 182 y 243. Hidalgo, Mol. de España, lám. 10, figs. 8 y 9, HAB. Aunque poco abundante, esta especie vive en Es- paña en el Mediterráneo y en el Atlántico, pues de este últi- mo mar sólo se había señalado en las islas de Cabo Verde, según consta en la pág. 182 de mi monografía del género Cyprea. Las localidades españolas del Mediterráneo de que tengo ejemplar, son: isla del Aire, junto á Menorca (Prieto!), Rosas (Coronado), Valencia (Boscá!), Santa Pola, cerca de Ali- cante (Herrera!), Málaga (Martínez!), y las del Atlántico, Cádiz (Gavala!) y Santander (Rioja!). Vive á unas 30 brazas de profundidad en fondos coralí- genos: en Cádiz ha sido recogida en el sitio denominado la Caballa, conviniendo dos hermosos ejemplares vivos de 39 y 42 milimetros de longitud con el tipo de la especie (dos — zonas azulado-negruzcas transversales en el centro, y dorso cubierto de las pequeñas manchas que caracterizan á esta Cyprea). En Santander sólo encontraron los pescadores en sus redes un ejemplar vivo de 28 milimetros, que correspon- de á mi variedad 5, figurada en Kobelt, Iconogr. europ. mee- resconch., lám. 108, figs. 12 y 13. = 58259 = XXX. — Estudio analítico de los elementos de retro- ceso de las curvas alabeadas. Por MIGUEL VEGAS. 1. Tanto una curva como un haz de rectas ó de planos, puede considerarse engendrado por el movimiento de uno de sus elementos; movimiento que puede efectuarse en un sentido constante, y entonces el elemento móvil se dice que es ordinario en todas estas posiciones, ó puede este ele- mento cambiar de sentido en su movimiento al llegar á una posición determinada; en cuyo caso, en esta posición el ele- mento se dice que es de retroceso. Según esto, pueden presentarse en una curva alabeada los casos siguientes: 1.” punto tangente y plano osculador, los tres ordinarios; 2.”, punto de retroceso con tangente y” plano osculador ordinarios; 3.”, tangente de retroceso con punto y plano osculador ordinarios; 4.”, plano osculador de retroceso con punto y tangente ordinarios; 5.”, punto y tan- gente de retroceso con plano osculador ordinario; 6.”, punto y plano osculador de retroceso con tangente ordinaria; 7.”, tangente y plano osculador de retroceso con punto ordi- nario; y 8.”, punto, tangente y plano osculador, todos de retroceso. Para comprender estas definiciones, vamos á explicar lo que se entiende al decir que un elemento se mueve en un sentido constante, ó que cambia el sentido de su movimien- to; concepto que se ve con claridad cuando se trata de una serie rectilínea Ó de un haz de rectas ó de planos de primer orden, pero que no aparece igualmente claro en los demás casos. — 526 — Se dice que permanece constante ó que cambia al sentido del movimiento de ía punto que recorre un arco de | plano que recorre una pof- curva ABC, según que sub- | ción de un haz, según que sista constante Ó cambia el | subsista constante ó cambia movimiento del plano que le | el inovimiento de su punto de proyecta desde una recta m | encuentro con una recta m ex- exterior á la superficie tan- | terior á la superficie desarro- gencial de dicho arco de | llalle envolvente de dicha curva. porción de haz. 2. Si en un sistema de coordenadas de puntos el plano límite no es tangente al arco ABC en el punto B, una por lo menos de las aristas del tetraedio de referencia situadas en dicho plano, se cruza con la tansente á la curva en el ci- tado punto B; y, por tanto, esta arista podrá tomarse como eje de proyección al arco ABC. » Por tanto, si la arista del tetraedro «que se toma como eje de proyección, es la de intersección del plano limite con el YZ (la del infinito de este plano en coordenadas cartesia- nas), y designamos por X,, Y, y 2, las coordenadas del punto B, este punto es ordinario cuando son rales los valores de y y de z, correspondientes á las abscisas x,—h y x,+4A; y es de retroceso cuando las variables y y z toman dos valo- res próximos á y, y Z, para x=X,— 1, y ninguno para x=x,+h,ó al contrario. Y lo correlativo puede decirse de un plano de un haz de planos en cooidenadas tangen- ciales. Cuando el plano límite del sistema de coordenadas es tan- gente á la curva en el punto B, basta aplicar lo anterior para x=0 á las ecuaciones obtenidas, sustituyendo en las de la 1 Z curva X, Y y 2 por —, role y —, pues esto equivale á pasar X Xx — 527 — del tetraedro dado á otro en que se cambia el plano límite por el YZ, y al contrario (11-15.) (*). 3. Para determinar analíticamente la naturaleza del plano oscular de una curva ABC en el punto B, en un sistema de coordenadas de puntos, observemos que si el plano limite del sistema no es tangente á la curva en dicho punto, puede cortarse el haz de planos osculadores de la curva A B C por una de las aristas del tetraedo de referencia, situada en el citado plano límite, y entonces el punto de encuentro del plano osculador mólvil con esta recta se mueve en el mismo sentido cuando el punto de contacto recorre los arcos A B y B Csi el plano osculador en el punto B es ordinario; y dichos movimientos son de sentidos contrarios cuando este plano osculador es de retroceso; y, por tanto, los movimien- tos correspondientes á los planos osculadores de los arcos BA y B C son del mismo ó de opuestos sentidos según el plano osculador en el punto B es de retroceso ú ordinario. Ahora bien, si la arista del tetraedro de referencia, antes ci- tado, es la representada por las ecuaciones 2=0, f=0, como la ecuación del plano osculador en el punto B es (Il, 371). X(x—X1) + Y (y—Y) + 2(6—2)=0 Os Xx+Yy4Z2z2-(Xx, +Yy+2Z2)t=0 en coodernadas homogéneas, estando dados los coeficientes por las igualdades X === dy, di, === dz, de , Y = dz, az ae dx; dz, Z = dx, di, — dy, dí, > (*) Las citas que se hacen en este trabajo se refieren á mi Trata- _do de Geometría Analítica, indicando por número 1 ó II el tomo 1.2 Ó 2. de este Tratado. — 528 — las coordenadas x, é y, del punto B, de intersección de este plano con dicha arista, son x, = 1 é y, = — —+ y, por tan- to, al incremento h de x, corresponde á y, el incremento Da dx, 20 dx? a A y, =h Si el punto B es ordinario, el incremento que experimenta y, es real cuando la variable x varía de x, á x, — h y tam- bién cuando varía de x, á x, + /1, y por tanto, A y, debe conservar su signo cuando cambia el de h, si el plano oscu- lador en el punto B es de retroceso; y debe cambiar de signo con h si dicho plano es ordinario. Luego si == es la pri- mera derivada que no es nula, el citado plano será ordinario ó de retroceso según que el número p sea impar ó par. Si el punto Bes de retroceso, Ay, tendrá dos valores para un valor infinitamente pequeño, positivo de Ah, y ninguno para un valor negativo ó al contrario, y estos dos valores de Ay, son del mismo signo ó de signos contrarios, según que el plano osculador en el citado punto sea de retroceso ú Ot- dPy, Pp dinario. Luego si es la primera derivada que tiene va- lores distintos para los dos arcos de curva, el plano oscula- dor de que se trata es de retroceso ú ordinario, según que estos valores sean del mismo signo ó de signos contrarios. 4. Se dice que permanece constante ó que cambia el sen- tido del movimiento de una recta que 1ecorre la superficie tangencial abc de un arco de curva ABC, según que sub- siste constante ó cambia el sentido del inovimiento del punto de encuentro de di- | plano proyectante de dicha cha recta con un plano P | recta desde un punto P, no que no corta á dicho arco. | situado en ningún plano os- culador Correspondiente á dicho arco a 0 Estas dos definiciones son idénticas en el fondo, puesto que si tomamos el punto P, en el plano P, el sentido en que es recorrido el haz de rectas de vértice P, y plano P indi- ca á la vez el sentido en que es recorrida la sección plana P (abc) y el haz radiado de planos P, abc [I. 489). Si se proyecta una curva A BC desde un punto P,, no situado en ninguno de sus planos osculadores, la gene- ratriz correspondiente á un punto B de dicha curva, y el plano tangente al cono pro- yectante en la citada genera- triz, son de la misma natura- leza que dicho punto B y que la tangente b que le corres- ponde. Si se corta un haz de pla- nos por un plano P exterior á la arista de retroceso de la superficie envolvente, un rayo cualquiera de la sección y su punto de contacto con la curva envolvente respec- tiva, son de la misma natura- leza que el plano correspon- diente del haz de planos, y que la generatriz de contacto respectiva. Pues, si por el punto P, se traza una recta m que no corte á ninguna tangente del arco ABC, por ella no pasará ningún plano tangente del cono P, . ABC; y, por tanto, el sentido del movimiento del haz de planos m. ABC deter- mina á la vez la naturaleza del punto de la curva y de la generatriz correspondiente del cono proyectante. Según esto, si el plano límite de un sistema de coordenadas binarias cualquiera, no es tangente á la curva ABC en el punto B, uno de los vértices del tetraedro de referencia situado en dicho plano cumple las condiciones del punto P, antes ci- tado; y, por tanto, la naturaleza del punto B y de la tan- gente que le corresponde, se obtiene hallando la naturaleza de la generatriz y del plano tangente del cono que proyecta la curva dada desde dicho vértice. Cuando este punto es el punto de encuentro del plano límite citado con el eje OZ, la determinación de los puntos y tangentes singulares de la — 530 — curva alabeada se reduce á la de los elementos singulares de la superficie cónica, que representa la ecuación obtenida eliminando la variable z entre las dos ecuaciones de la curva. Si el plano limite del sistema de coordenadas adoptado es tangente á la curva ABC en el punto B, se efectúa la transformación indicada al final del párrafo 2. Madrid, 25 de Febrero de 1910. SA XXXI, — Le Sous-azoture de carbone O! N2, PAR CH. MOUREU ET J. CH. BONGRAND Il y aura bientót un siécle — c'est exactement en 1815 — que Gay-Lussac découvrit le cyanogéne. Depuis cette épo- que, on n/a pas encore, á notre connaissance, obtenu d'autre composé défini qui soit exclusivement formé de carbone et d'azote. Nous avons isolé un corps de cette nature, qui répond á la formule C+£N?, Le cyanogéne C? N? étant Pazoture de carbone, nous appellerons la nouvelle substance sous-azoture de carbone. Cette nomenclature est analogue á celle qui sert á désigner - les oxydes du carbone. Voici ce parallélisme; CO?.—Bioxyde de cabone (anhydride carbonique). CO.—Okxyde de carbone............. C? N? azoture de carbone (cyanogéne). C3 0?.—Sous-oxyde de carbone........ C* N?sous-azoture de carbone. Nous avons préparé le sous-azoture de carbone en sous- trayant 2 molécules d'eau á la butine-diamide CONH?— C=C—CONRH?. Sa structure et sa fonction chimiques découlent de ce mode d'obtention: c'est le butine dinitrile N=C—C=C—C=N ou dicyanacétyléne, qu'on peut envisager aussi comme étant un cyanure de carbone C? (CNY. PROPRIÉTÉS.— Le sous-azoture de carbone fond á 20*5-21” en un liquide incolore, qui se solidifie par le moindre refroi- dissement, en gros cristaux blancs. En le chauffant trés légérement, on peut le sublimer sur une paroi froide; il se présente alors en fines aiguilles blanches. Il bout á 76” sous — 532 — la pression de 753"m. Par son odeur, ainsi que par les pro- priétés violemment irritantes de sa vapeur, il rappelle le cyanogéne. Trés aisément combustible, le contact d'un corps en ignition l'allume instantanément. Sa vapeur prend méme feu spontanément a Pair vers la temperature de 125”, propriété analogue á celle bien connue du sulfure de carbone CS?, dont le point d'inflammation á lair est voisin de 150”. La flamme qu'il presente á la combustion est pourprée, rappelant par lá encore le cyanogéne. Sa densité d?% est 0,9708. Nous avons déterminé, pour la raie D du sodium et les 3 raies x, 3, et y du spectre de l'hydrogéne, son indice de réfraction á la méme tempera- ture 250, sa réfraction moléculaire et sa dispersion molé- culaire. Réfraction et dispersion sont notablement supé- rieurs á celles que l'on calcule pour la formule: N=C-=-C=C-CN, en attribuant a Pincrément de la liaison acétylénique les va- leurs que l'un de nous á récemment indiqueés (1). Voici ces differentes données: Réfraction moléculaire. ABE Indice. Observée. Calculée. Exaltation. N25 = 1,46021. . N25" = 1,46471. .. N2" = 1,47610. .. N25" = 1,48593. .. Observée. M. = 21,461 e, = 18,299 M AÚ C, = 3,162 (soit 17,3 Y ,) M A 21,641 C, = 18,435 M, — C, — 3,206 (soit 17,4 %/,) M pS 22,095 M pr 22,484 S = 18,791 M a e = 3,693 (soit 19,6 %/,) Dispersion moléculaire. Calculée. Exaltation. M —M =1/023 C —C =0,492 (M —M )—(C — C )=0,531 (soit 107,9 9/7) ? a 7 a Y a Y a (1) Ch. Moureu, Réfraction moleculaire et dispersion moleculaire des composés a fonction acétylénique (Annales de Chimie et de Physique), 8.? serie, t. VII, Avril, 1906, e Ces exaltations, analogues et en général méme supérieures aux plus fortes exaltations qui aient été recontrées jusqu'ici(1), sont dues évidemment a la structure trés spéciale de la molécule, oú lP'on voit trois triples liaisons N= C, C= C, C=N se succéder sans discontinuité. ANALYSE ÉLÉMENTAIRE.—De réelles difficultés ont du étre vaincues. D'une part, en effet, le corps presente, des la tem- pérature ambiante, une forte tension de vapeur, et il fallait, d'autre part, prouver qu'il ne contient pas d'hydrogéne. Nous avons employé, pour le carbone et l'azote, les pro- cédés classiques (combustion par 1”oxyde de cuivre), en observant certaines précautions, d'une part; et, d'un autre cóté, M. M. Breteau et Leroux ont bien voulu doser eux- mémes le carbone dans notre produit suivant la méthode si élégante qu'ils ont instituée (combustion par l'oxygéne, en présence du platine). A. Emploi de Poxyde de cuivre.—1.” Le dosage de l'azote a été relativement facile. La substance, prealablement liqué- fiée et chauffée vers 25”, est introduite, á la maniére habituelle, dans une petite ampoule effilée, qui a été également chautffée au préalable, en vue d'éviter la solidification du produit dans la partie capillaire avant son arrivée dans le reservoir. On rassemble toute la substan- ce dans l'ampoule, et on la refroidit soigneuse- ment (fig. 1**). Le verre étant bien essuyé, on fait la tare; du poids trouvé, on retranche celui de y'ampoule vide, ce qui donne le poids de la ma- tiére introduite. On bouche aussitot 1”ampoule en plongeant un instant 1*extrémité supérieure b dans de la paraffine fondue (vérifiée exempte d*azote). L'ampoule est alors coucheé sur une nacelle de platine, et le systéme est disposé dans le tube á combustion, a pointe de l'ampoule étant dirigée vers l'extrémité en re- Fig. 1ere (1) Loc. cit. — 534 — lation avec l'appareil á recueillir azote. Aprés avoir chassé Pair du tube, soit par la trompe á vide, soit au moyen d'un courant prolongée de gaz C/O?, on chauffe graduellement Poxyde de cuivre d'avant en arriére. Bientot le bouchon de paraffine de l'ampoule fond, et la vapeur du corps peut se répandre librement sur l'oxyde de cuivre chauffé au rouge pour y étre brúlée. On termine l'opération comme á Pordi- naire. 2190 Le volume d'azote trouvé doit subir une petite diminution, correspondant á Pair de Pampoule. A cet effet, lampoule, avant qu'on y introduitsít la substance, était pesée pleine d'eau, ce qui donnait son volume; connaisant le poids de la substance et sa densité, on en déduisait son volume, et en suite celui de l'air demeurant finalement dans l'ampoule; les - de cet air (azote) devaient étre retranchés du volume du gaz recueilli dans l'appareil á azote. ¡ 2.” Pour le dosage du carbone, la substance était intro- duite dans une ampoule de forme spéciale A” (fig.2+*"+), effilée O 1 a =======> e A , E Píigura 2eme et ouverte á ses deux extrémités; cette opération, ainsi que la pesée, était effectuée en observant les précautions indiquées ci-dessus pour lP'azote. L*'ampoule, disposée sur une nacelle de platine, est portée dans le tube á combustion, dont l'avant a été chauffé préalablement au rouge; á l'arriére de la nace lle, on place un tortillon «'oxyde de cuivre, qu'on chauffe tres modérément. On fait aussitot passer trés lentement l'oxy- géne soigneusement desséché, et on termine lPopération á la maniére habituelle. B. Méthode Breteau et Leroux. —Nous ne pouvons que — 535 — renvoyer, pour les détails, aux mémoires spéciaux publiés dans ces derniéres années par les auteurs. (Comptes rendus; Bull. Soc. Chim.; Journ. de Pharm. et de Chimie.) Voici les résultats des analyses: Subetanes, -CO2. Cp.100. H20. Hp.100. N humide. N p. 100. I (Breteau et Leroux).. 0,2203 0%5129 63,49 0%0052 0,26 ll (oxyde de cuivre)... 0 ,3005 O ,6954 63,11 0 ,0152 0,56 NE 9 ,1407 45cm3,06 (19%-758mm) 36,55 Me E 20 0905 28cm34 (17%-761mm) 36,31 Cal culé pour (C2N)?2 O Ad AI 63,15 A ade TUN 36,84 Les résultats, comme on voit, sont tres satisfaisants. Les petites quantités d'eau peseés sont manifestement imputables aux erreurs d'expérience. | DENSITÉ DE VAPEUR.— La méthode de V. Meyer nous a donné, dans la vapeur de toluéne (110”), les chiffres 2,89 et 2,78, dépassant sensiblement la valeur 2.629 exigée par la formule C*N?, Nous avons pensé que la distance des points .d”ébullition du toluéne et du sous-azoture de carbone (110 — 76” = 34”) était insuffisante. D'un autre cóté, le fait que le corps prend feu a Pair vers 130” nous interdisait d'opérer á une température notable- ment supérieure á 110”. Nous avons eu recours, en conse. quence, á la méthode d'Hofmann. Six expériences, exécutées á des températures allant de 35” á 184%, nous ont donné les résultats suivants: — 536 — TEMPERATURE Densité. AN O A o o do 2,604 $0. (. » Waerbenzene) 1. NIDO MIMO IVA, 2,531 O A A A E ls EA 2,516 AER O A A 2,543 1 de viene). NO IR 2,560 Ma df APO eL A Al A A E 2574 Densíté calculée pour C* N?............. 2,629. A propos du point d'ébullition du sous-azoture de carbone. Le sous-azoture de carbone bout á 76”. Le point d'ébulli- tion du dinitrile saturé correspondant (butanedinitrile, nitri- le succinique) est 266”. Il y a, entre les deux composés, un écart de 190": Eb. Différence. NO C= Ce CN. leeis Lee A (o | ' Po 190> NC=CH?= CH? ON. cue. . mo. + 2662 Cette diférence est considérable; elle ne se retrouve pas, en général, entre des composés acétyléniques et les corps saturés correspondants. Restant dans les corps á fonction nitrile, faisons quelques comparaisons: Eb. Ditférence. Cs qui — CH?—CHA—CN......... + 1950 2 | SUR nulle CA C=C=CNo.iociomo esoo ojos e + 1950 C5 HB — CH?-— CH?-—CN......... + e le Ap 2 les ani tasalinanit 6) (Ero13e C6H3— CH?—CH?-CN.......... =- sol A 320 lp sueca O rod io + 2290 L'écart est nul ou insignificant dans les couples 2 et 3; il est sensible dans le couple 4, tout en y étant lia ment moindre que dans le couple 1. — 531 — Pourquoi donc le point d'ébullition du butinedinitrile (sous-azoture de carbone) est il si inférieur (de 190”) á celui du butanedinitrile? C'est qu'entre ces deux corps existe une différence capitale: tandis que le second posséde dans sa molécule 3 sortes d'atomes: du carbone, de l'hydrogéne, et de lPazote, le premier n'est formé que de deux éléments: le carbone et l'azote. Quelques rapprochements vont montrer le bien fondé de cette explication: Eb. Différence. HE MERO IMROIOIDOS. Le — 85 ia da | 1672 ES NR A os + 829 al 79 len-— (AN e A e la — 259 e MN CNet or li ed br tes ele DD | SS 24490 DEN =CH"= ON os tipico ANOS + 2190 PEN=CH? CHEN + 2660 | cdo 470 Ainsi, considérant d'abord le groupe 5, nous voyons que la substitution de CN a CHA? dans l'éthane CH? CH”, ce qui donne l'éthane-nitrile ou acétonitrile CH3— CN, éléve le point d'ébullition de 167”, d'une part; et d'autre part, le remplace- ment du deuxiéme CH? par un autre CN, ce qui donne Véthane dinitrile ou cyanogéene CN — CN, loin d'élever en- core le point d'ébullition, l'abaisse, au contraire, de 107”. Quest ce a dire, sinon que le cyanogéne C? N?, formé ex- clusivement de carbone et d'azote, est, en réalité, un corps tout autre que l'acetonitrile C? H? N, dont la molécule pos- séde, en outre, de l'hydrogéne? Examinons le groupe 6, oú nous avons inscrit, á la suite du cyanogéne (le plus simple des dinitriles), ses deux ho- mologues immédiatement supérieurs. Pour le propanedini- trile CN— CH? — CN (nitrile malonique) et le butane- dinitrile CN — CH? — CH?— CN (nitrile succinique), l'un et Pautre formés de 3 éléments (C, N, H), la diftérence des Ruv. AcaD. DE Criencias.—VIII.—Febrero, 1910, 38 = 538 — points d'ébullition (47”), quoique relativement élevée, reste dans les limites des différences qu'on rencontre-vers les pre- miers termes des séries homologues (on sait que, dans les séries, le régime normal des écarts des points d'ébullition ne commence véritablement qu'a partir du 6.* ou 7.21* terme). Tout au contraire, entre l'éthanedinitrile CN — CN (cyano- géne) et le propanedinitrile CN — CH?— CN (nitrile ma- lonique), nous trouvons un écart de 244”, tres notablement supérieur au précédent. La raison en est que, si le propane- dinitrile et le butanedinitrile sout deux homologues, le pro- pane dinitrile n'est pas un homologue véritable du cyanogé- ne, dont la molécule, beaucoup plus simple que la sienne, en est tres différente, puisqu'elle ne comprend que deux sor- tes d'atomes: du carbone et de l'azote; tandis que le propa- nedinitrile, comme le butanedinitrile, renferme, en outre, de l'hydrogéne. : Donnons un dernier exemple, choisi dans une série toute différente: Eb. Différence. CHE Hl— Ona: =D O SE 940 TAE REE SC HERA E:HOs daa tii 10495 ES 429 DC A TAO Poo On voit que la substitution d'un atome d'oxygéne á A? dans un groupe C A? du propane CH? — CH? —CHr?, ce qui donne l'aldéhyde propylique C H*— CH2—CH 0, á élevé le point d'ébullition de 94”. Or, le troisiemé terme du groupe, d'oú l'hydrogéne est totalement absent, et qui comprend 2 atomes d'oxygéne (c'est le sous-oxyde de carbone, récemment découvert par Diels), loin de bouillir plus haut (et il devrait bouillir notablement plus haut) que Paldéhyde propylique, bout a 42” plus bas. C'est que sa molécule, au lieu de 3 sortes d'atomes (C, H, O), n'a que du carbone et de l'oxygéne. — 539 — Ainsi, deux corps, par ailleurs aussi voisins et analogues qu'on voudra, mais dont l'un n'est formé que de deux élé- ments, tandis que trois sortes d'atomes constituent la molé- cule du second, sont fondamentalement différents; leur énergie interne et leurs propriétés sont tres ditferentes. Par lá se trouve suffisamment justifiée, á notre sens, l'écart notable (1907) entre les points d'ebullition du sousazoture de car- bone (+ 76”) et du dinitrile saturé correspondant ( | 266”). Il n'est pas douteux que d'autres propriétés, physiques ou chimiques, ne donnent lieu, en ce qui concerne le sous- azoture de carbone, á des remarques semblables. "540 t— XXXII. — Teoría elemental de los péndulos horizontales. Por EDUARDO MIER. En los instrumentos empleados actualmente para estudiar los terremotos se trata de aprovechar la inercia de masas pendulares, que unas veces pueden girar en torno de un punto de suspensión ó de un eje horizontal, debajo de los cuales se halla la masa; otras alrededor de ejes casi vertica- les, y algunas á un lado ú otro de un punto ó de ejes de apoyo sobre los que insiste la masa pendular. Esos tres grupos de péndulos se distinguen en sismología con los adjetivos de verticales, horizontales é invertidos, no muy apropiados á la realidad, y el presente trabajo tiene por único fin exponer, breve y elementalmente, la teoría de los segundos, sin más pretensión que la de dar una idea algo clara de su modo de funcionar. Imagínese para ello un péndulo ordinario, vertical, con su hilo ó varilla, su masa y su punto de suspensión. En estas condiciones el péndulo puede oscilar libremente en cualquie- ra de los planos verticales, en número infinito, que se puede concebir en el espacio, pasando por el péndulo en reposo,. en cada uno de los cuales la masa trazará arcos de mayor Ó menor amplitud, pero todos ellos del mismo radio, determi- nado por la longitud del hilo ó varilla. Si el punto de suspensión se reemplaza por un eje horizon- tal y la masa se halla unida á una varilla rígida, aquel núme- ro infinito de planos quedará reducido á uno solo, vertical, normal al eje de giro, en el cual podrá describir la masa ar- == cos más Ó menos grandes de la circunferencia cuyo radio es la longitud del péndulo. Y si á ese eje de giro se le hace perder su horizontalidad, claro es que el plano de la circunferencia citado, normal á él, perderá á su vez la verticalidad y se inclinará en el espacio, existiendo siempre en ella un diámetro, que será horizontal, y otro á este último perpendicular, que marcará la línea de máxima pendiente del plano de oscilación, y cuyos extremos corresponderán al punto más alto y al más bajo de la circun- ferencia que puede recorrer la masa al girar en torno de su eje inclinado. Obsérvese que esa circunferencia está inclinada con rela- ción al plano horizontal el mismo ángulo formado en el es- pacio por el eje de giro del péndulo y la vertical, perpendi- culares respectivamente á aquellos planos, y que, en virtud de esto, si el último águlo le designamos por ¡, este mismo valor í tendrá el que forme el diámetro de máxima pendien- te con el tiorizonte. Este ángulo del diámetro de máxima pendiente con su pro- yección horizontal puede tomar todos los valores posibles desde O, cuando la circunferencia sea horizontal y el eje de giro perfectamente vertical, por lo tanto, hasta 90”, en el cual caso se obtendrá la posición del péndulo vertical, con su plano y circunferencia de oscilación verticales y el eje horizontal. Para esta última posición se sabe que si al péndulo se le epara de su posición vertical haciéndole recorrer á uno de los lados un arco s, la amplitud de la oscilación a=2S, es si- métrica con relación á la vertical del eje de giro; se sabe tam- bién que la velocidad v con que llega la masa m del péndu- lo de peso p al punto más bajo del arco a, ó sea el extremo inferior de aquel diámetro que se llamó de máxima pendiente, está dada por la ecuación de las fuerzas vivas Ava, — 542 — representando por h la flecha del arco a, ó altura de caída, y que, en general, la velocidad v, en un punto cualquiera de la trayectoria puede deducirse de la igualdad 1 — mv,? = ph,, 2 1 PR; indicando h, la altura de caída correspondiente al punto con- siderado. En otros términos, despejando v, de > mv ?=mgh,, == V22h, dará las distintas velocidades de caída por el arco s = 5 a, iguales á las que tiene la masa al ir ascendiendo por el otro arco, simétrico respecto del diámetro vertical, y en cualquier punto de la trayectoria se obtendrá la velocidad correspon- diente sin más que dar á h, el valor que corresponde, en la flecha del arco a, á la distancia entre la intersección de aquel diámetro con la cuerda horizontal, correspondiente á los puntos más altos del arco a y la proyección sobre ese mis- mo diámetro del punto considerado. Esa velocidad, nula en los extremos del arco (1 =00; v, = 0), adquiere su máximo valor v = V22h en el extre- mo del diámetro vertical; y creciendo al bajar la masa ó dis- minuyendo al subir, en la misma proporción, pasa por todos los valores comprendidos entre aquellos dos. También conviene recordar que, para amplitudes peque- ñas, se demuestra que la duración de una oscilación simple, ó tiempo empleado por el péndulo en ir de la una á la otra de sus posiciones extremas, es, con suficiente aproximación: A — 543 — designando por / la longitud del péndulo ó radio de la cir- cunferencia de que se ha hablado. Si ahora se supone que el péndulo está en reposo y traza- da en el espacio la horizontal, perpendicular al plano de os- cilación, que pasa por el extremo inferior del diámetro verti- cal de la circunferencia de giro, y que ese ángulo de 90% que ambas líneas forman, disminuye, quedando inmóvil aquella horizontal y moviéndose el diámetro de máxima pendiente, sin salirse del plano vertical por ambas rectas determinado desde un principio, se irán obteniendo las infinitas posicio- nes que puede tomar uno de los llamados péndulos horizon- tales. La imagen de este movimiento fácilmente se concibe sin más que suponer la circunferencia vertical y que el plano que la contiene va girando en torno de su intersección con otro horizontal que pase por el extremo inferior del diámetro vertical de aquélla, variando, por lo tanto, las proyecciones de esa circunferencia móvil sobre este último plano desde una recta, igual al diámetro, hasta la misma circunferencia, cuando ésta llegue al plano horizontal, no sin pasar por todas las elipses posibles, cuyo mayor eje sea la proyección, siempre en su verdadera magnitud, del diámetro horizontal, y cuyo eje menor sea la del diámetro de máxima pendiente, dado por el producto 2 / cos 1, si como se dijo ¿ designa el ángulo de los dos planos que se consideren, igual al que en el espacio forman el eje de giro del péndulo y la vertical, á ellos perpendiculares. La cuerda correspondiente á los extremos del arco a, ya mencionado, como horizontal que es, claro resulta que apa- recerá también proyectada en su verdadera dimensión, y que á su flecha Rh le corresponderán los valores h cos í, que- dando toda aquella cuerda y sus extremos, por lo tanto, á una altura sobre el plano horizontal dada por h sen i. Si para una situación de la circunferencia móvil, determi- nada por el valor de /, se separa el péndulo de la posición — ¡544 — de reposo, que tiene, según el diámetro de máxima pendien- te, como antes se hizo con el péndulo vertical, y se le aban- dona en un extremo del arco a, claro es que al caer hacia aquella posición de máxima pendiente Ó de reposo, puede aplicarse la ecuación de las fuerzas vivas y que á ella llegará animado de la velocidad dada por Al mv? (v'?) = ph sen ¡ =mpgh sen i, de donde Y" =V 2 9 h sen i y en general, para una posición definida, como antes por el valor de h,; y designando por v, la velocidad, se tendrá que v, =V 22 h, sen. y que las relaciones de las velocidades del péndulo vertical y del horizontal están, para los mismos valores de los arcos considerados, en la relación al V 28h ó sea 2 = Y sen i. Va v 2 gh, sen í vi Esta constante relación entre ambas velocidades, necesa- riamente implica que, si V, y V, expresan las velocidades medias, A v, = Y sen . Además, si T, y T, son las duraciones de las oscilaciones simples, en el péndulo horizontal y en el vertical, como el trayecto recorrido es el mismo arco a: RAR E y, por lo tanto, ó en otra forma: a l A y a rc V sen ¿ g . Sen 1 g que claramente muestra que la oscilación de un péndulo horizontal de longitud /, dura el mismo tiempo que la de otro vertical de longitud en í Como í puede pasar por todos los valores posibles en- tre 90” y 0*, y por lo tanto, sen ¡ entre 1 y O, se comprenderá la enorme ventaja de usar péndulos horizontales cuando se trate de obtener períodos de oscilación muy grandes, ya que teóricamente es posible hacerles variar entre los que corres- ponden á un péndulo de longitud infinita, cuando el eje de giro es vertical (í = 0; sen ¿ =0; - =00), y al mismo sen i péndulo colocado verticalmente (¿=90”;seni=1; beba D, sen / es decir, entre oo y z qe Por ejemplo, un péndulo ho- g rizontal de 1 m. de lengitud, cuyo eje esté inclinado 1*, res- pecto de la vertical, tendrá un período de oscilación equiva- iy Le = ———— =57m,31. sen 1” 0,01745 La introducción en esta teoría del concepto del diámetro de máxima pendiente, facilita en extremo poder ver con cla- ridad cómo funcionan los péndulos horizontales, en los que aquella línea reemplaza la vertical que pasa por el eje ó punto de suspensión de los péndulos ordinarios, lente al de otro vertical de — 546 — En estos últimos, hallándose completamente fijo en el es- pacio el eje de suspensión, el separar la masa de la vertical trae consigo oscilaciones, que terminan cuando definitiva- mente queda en esa vertical; y en los horizontales sucede lo propio, cuando se separa la masa del diámetro de máxima pendiente. Esta línea de máxima pendiente se halla siempre bien de finida, y es la intersección del plano de la circunferencia de giro de la masa con el determinado por el eje del péndulo y la vertical que pasa por el centro de aquella circunferencia. Mientras el eje de giro y esa vertical se muevan en el mis- mo plano, aumentando ó disminuyendo el ángulo que for- men, podrá variar la longitud del péndulo vertical equiva- lente con esos cambios de í, y podrá subir ó bajar la masa pendular en el referido plano; pero de este último jamás sale el diámetro de máxima pendiente, y, por lo tanto, el péndulo no oscilará en torno de su eje. Por lo contrario, si una de esas dos líneas sale de su pla- no primitivo: si, por ejemplo, la vertical experimenta una desviación, el diámetro de máxima pendiente también la re- cibirá, y en busca de esa posición de equilibrio estable em- prenderá el péndulo sus oscilaciones, como los verticales ha- cen cuando la vertical se desvía y rescatan aquella posición perdida. Y así como los péndulos verticales cuando, sin alterarse la dirección de la gravedad, un terremoto desvía horizontal- mente el eje de suspensión, corriéndole paralelamente á sí mismo, dejan en un principio retrasada la masa pendular por efecto de la inercia, y esta masa adquiere movimiento oscilatorio, de análogo modo, si en el espacio se traslada paralelamente á sí mismo el ángulo formado con la vertical por el eje de un péndulo horizontal, por efecto de un terre- moto, la misma traslación experimenta la línea de máxima pendiente, y en virtud de ello la masa pendular se retrasa y luego oscila, como en los péndulos verticales acontecía. — 547 — De ese modo, sin necesidad de recurrir tan sólo á desvia- ciones de la vertical, cuya existencia aun no ha podido comprobarse con certeza siempre en los terremotos, puede explicarse el modo de funcionar de los péndulos horizonta- les cuando se verifican esos fenómenos, y parece que de ello se adquiera más claro concepto que cuando se funda su teo- ría exclusivamente en los efectos de aquellas desviaciones, de problemática existencia, hasta hoy, en muchos casos. — HAB =— XXXIII. — Contribución al estudio de las aminas ciclicas. Por F. LAVILLA LLORENS. Estudiando atentamente la producción de los compuestos resultantes de hacer actuar sobre las aminas cíclicas agentes de oxidación de muy diversa naturaleza, y en circunstancias muy variadas, hemos encontrado que en la mayoría de ellas origínanse, en determinadas condiciones, líquidos ó precipi- tados coloreados, utilizables como caracteres de dichas ami- nas cíclicas. Los cuerpos oxidantes que hemos utilizado con mejor éxito, después de varios ensayos, y que conceptuamos más adecuados para este fin, entre otras razones por adaptarse á la condición de sensibilidad y actuar con mayor rapidez que otros, son: el permanganato potásico, el ferricianuro po- tásico y los persulfatos sódico y amónico, dando la preferen- cia al primer reactivo por haber observado en él una acción manifiestamente más enérgica, aun dada la superior activí- dad oxidante atribuida á los últimos. De la anilina se han dado á conocer sus reacciones con oxidantes; mas no de las principales aminas cíclicas, ni las condiciones en las cuales se realizan más fácilmente. Las aminas utilizadas al efecto en nuestras investigacio- nes, han sido la anilina, toluidinas orto, meta y para; xilidi- nas 1.2.4; 1.3.4; 1.4.5, y las naftilaminas «a y f. La anilina, y en general todas las aminas, originan me- diante oxidación permangánica, productos resultantes de un grado de oxidación más ó menos completa, que son de na- turaleza quinónica en algunos casos, y también azoicos, — 549 — diazoicos é hidrazoicos, acompañados del consiguiente pre- cipitado pardo de óxido de manganeso, sin presentar colo- raciones ostensibles. Pero la condición de hallarse la amina libre y ser sometida en tal forma á la acción del reactivo, no determina, como decimos, reacciones coloreadas, y, por con- siguiente, de tanta complicación. Para la producción de coloraciones con las aminas cíclicas y agentes de oxidación hemos encontrado, y por ello propo- nemos operar preferentemente en estas condiciones, que dichos cuerpos se hallen en forma de sales y en solución ácida; tales circunstancias parecen más necesarias porque de este modo se halla, sin duda, protegido el grupo amidógeno que aquéllas contienen, por lo cual no reacciona el oxidante sobre él con tanta facilidad y puede efectuarse en un com- plejo ciclo de reacciones la producción de leucobases que originarán los colores característicos. Las reacciones secundarias, que de seguro prodúcense en semejantes acciones, se manifiestan y pueden observarse por el cambio de coloraciones, más fácilmente visible, obte- nido operando con líquidos de gran diluición y pequeñas cantidades de oxidante. Evidentemente es de suma conveniencia el medio ácido, porque en líquidos neutros ó alcalinos las reacciones son distintas, y de preferencia tienden las aminas á transformarse en compuestos azoicos ó diazoicos; sin embargo, en medio alcalino, como más adelante veremos, y con determinados oxidantes, también se consigue algún resultado, pero no re- viste carácter tan general. Establecida la condición primordial de operar en medio ácido, nos propusimos determinar el grado de concentración necesario para alcanzar la producción de cuerpos coloreados, habiendo observado ser suficiente una acidez muy débil, aun tratándose de ácidos poco enérgicos, como el ácido bórico ó los orgánicos. No es, sin embargo, completamente ajena á las condiciones de la reacción en la mayoría de los casos, — 550 — conforme veremos, la concentración al grado de acidez tra- tándose del ácido clorhídrico y aun de los demás; pero ya sólo influye en la velocidad de la reacción, y escasamente en la variación del matiz final. Si tratamos de operar en pre- sencia del ácido sulfuroso ú otro fuertemente reductor, actúa sobre el permanganato y no se produce la reacción. La oxidación electrolítica, con débil densidad de corriente, permite también observar en su principio cambios análogos de color en soluciones ácidas con ácidos minerales. El modo operatorio consiste en transformar la amina en sal por la acción del ácido, dejando éste en exceso y adicio- nando después el permanganato potásico ú oxidante que de- seemos utilizar; desde el primer instante, en el caso del pri- mer reactivo, obsérvanse cambios de coloración que no tar- dan en ser definitivos, á no tratarse de soluciones extraof- dinariamente diluídas. Siendo el permanganato potásico oxidante activísimo, se comprende su manera de reaccionar rápida, á diferencia del ferricianuro potásico, y también de los persulfatos potásico y amónico, de acción muy lenta en la mayoría de los casos, hasta el punto de ser necesarias varias horas, con líquidos diluídos ó pequeña cantidad de reactivo, bastando algunas gotas de solución de permangato al dos por mil para un re- sultado rápido, por lo cual le-concedemos preferente empleo. Cuando ensayamos soluciones de alguna concentración, debe tenerse en cuenta que no solamente se produce colora- ción, sino también abundante precipitado de matiz más obs- curo, que llega á ser casi negro pasado algún tiempo, y con mayor facilidad si vertemos exceso de reactivo. Se comprenderá fácilmente que las coloraciones pueden aparecer ligeramente modificadas empleando el ferricianuro, muy especialmente por el color de éste, como también si utilizásemos exceso de permanganato, variaciones que de- berán tenerse muy presentes al determinar los espectros de absorción de dichas soluciones. — 551 -- A continuación exponemos el resumen de las coloraciones obtenidas en las condiciones que antes se citan. Anilina.—Al adicionar el permanganato potásico al líqui- do ácido, se observan primeramente coloraciones pardas, más Ó menos rojizas, con tinte violáceo, que viran al azul característico, que después de mucho tiempo adquiere tono algo verdoso, debilitándose su intensidad de tal modo que llega casi á desaparecer; este fenómeno se produce, en gene- ral, igualmente con las demás aminas. La observación de los cambios es apreciada con mayor facilidad cuando se trata de soluciones diluídas, y añadiendo con precaución el re- activo. El persulfato potásico ó amónico, de acción más lenta en todos los casos, como hemos dicho, comienza por manifes- tar la coloración azul en la superficie, siendo de tono más franco que el anterior y recuerda el de las soluciones de añil. Entre los derivados de la anilina hemos ensayado la mo- nometil-anilina que origina idénticas coloraciones que ella. Toluidina-orto. Coloración azul de matiz algo distinto al de la anilina, en igualdad de condiciones. Tratándose de la anilina hemos observado que no tiene gran influencia en la tinta final que el líquido sea más ó menos ácido con el clorhídrico; pero al operar con las toluidinas y con casi todas las demás aminas, es de tal modo importante la presencia de diversas cantidades de ácido que llamamos la atención acerca de semejante hecho. Las coloraciones con la toluidi- na-orto pueden presentarse muy distintas, según las condi- ciones operatorias, hasta tal punto, que con idénticos reacti- vos obtenemos colores que varían desde el amarillo pardo, acaramelado, al azul verdoso, semejante al observado con la anilina. La circunstancia que influye más directamente es la mayor Ó menor acidez del líquido, del tal modo que al aumentarla evitamos la formación del color azul, favore- ciendo la del pardo. Que el grado de acidez ó energía del ácido tiene influen- — 552 — cia decisiva, lo hemos comprobado operando, primeramente, con soluciones en las que era cada vez menor, llegando un momento en el que francamente se manifiesta el color azul, que vira al verdoso pasado algún tiempo. Sustituyendo el ácido clorhídrico por otro más débil, como el acético, apare- cen siempre coloraciones azules, sea cual fuere el grado de concentración ácida. Los fenómenos relatados determinan las condiciones más adecuadas para observar las reacciones que nos ocupan, cuales son: medio débilmente ácido por el clorhídrico, sin lo cual la acción oxidante se manifiesta de tal modo enérgica que los productos originados son casi totalmente distintos. Como hemos dicho anteriormente que la anilina no acusa grandes variaciones de color, aun con líquidos fuertemente ácidos con el clorhídrico, pensamos que sería posible deter- minar la presencia de dicha base en la toluidina, sin más que operar con exceso de ácido y observando si al final aparece verdoso; en efecto, adicionando anilina á la toluidina pura, por nosotros empleada, se percibe dicha coloración, si bien no es un medio de investigación de gran sensibilidad. Toluidina-meta. Color primeramente rojizo que vira al azul. Toluidina-para. Coloración final roja. Xilidina 1. 2. 4. Color rojo débilmente violáceo. Xilidina 1.3.4. Color rojo, más violáceo que el anterior. Xilidina 1.4.5. Color rojo. Naftilamina a. Coloración azul. Naftilamina p. Color pardo verdoso, muy poco intenso, aun con soluciones algo concentradas. Hemos dicho al principio de esta Nota que para obtener coloraciones con las aminas cíclicas era la condición más ventajosa el operar en medio ácido; efectivamente, si hace- mos actuar el permanganato sobre las aminas cíclicas en lí- quido alcalinizado por los hidróxidos potásico, sódico, el amoníaco ó carbonatos alcalinos, la acción oxidante es muy — 553 — distinta del caso anterior, manifestándose en todas las ocasio- nes coloración verde, debida á la reducción del permanga- nato, á la vez que hay precipitado de óxido de manganeso. Ensayos practicados con el ferricianuro potásico nos per- miten dar á conocer la reacción de las aminas cíclicas con este reactivo en líquido alcalino; en todos los casos referen- tes á las aminas anteriormente citadas aparecen, según la di- luición, precipitados abundantes ó ligeros enturbiamientos de color rojo anaranjado más ó menos intensos, y que, pa- sado algún tiempo, se obscurecen fuertemente, pero con más rapidez en presencia de exceso de reactivo. La reacción es muy sensible. Como aplicación de alguna de las reacciones anteriormente estudiadas, creemos útil proponer una, referente al reconoci- miento del cloro libre en una masa gaseosa: basta para ello humedecer una tira de papel de filtro en solución clorhídrica ó sulfúrica de anilina ó toluidina-orto é introducirla en la at- móstera donde se sospecha la presencia del cloro; al punto adquiere el papel tinte pardo que vira al verdoso, y azul al cabo de muy poco tiempo, aun cuando se sustraiga á la ac- ción del gas que tratamos de reconocer. La reacción practi- cada de este modo alcanza gran sensibilidad. | Las otras aminas ó dan resultados negativos, ó las colora- ciones, cuando se producen, son muy poco perceptibles, ade- más de su escasa sensibilidad. Rev. AcAD, DE Crincrias.— VIIT.—Febrero, 1910. 39 — 554 — XXXIV.—Viaje de estudio á la Guinea española. Observaciones acerca del «Trypanosoma gambiense» y algunos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales. POR GUSTAVO PITTALUGA (Continuación). Las observaciones emprendidas acerca del Trypanosoma gambiense consistieron principalmente: a) En el estudio del parásito vivo y móvil en la sangre periférica de los enfermos, examinado con preparaciones di- rectas en fresco. : b) En el examen detenido de preparaciones teñidas. c) En inoculaciones experimentales llevadas á cabo en conejos, cobayas, un cabrito y dos monos. d) En el estudio histológico de las moscas del género Glossina recogidas en Fernando Póo y en el continente en las zonas más invadidas por la enfermedad. Voy á dar cuenta de estas observaciones, exceptuadas las de la última serie, que se refieren al estudio histológico de las Glossinas, puesto que ha sido emprendido dicho estudio hace poco, y los resultados que se obtengan serán comuni- cados en colaboración con el ayudante del Instituto Nacional de Higiene de Alfonso XIII, D. Luis R. Illera. Morfología del parásito en la sangre periférica de los en- fermos.— Durante estos últimos años, á partir de 1903, las investigaciones, numerosísimas, llevadas á cabo en las colo- nias alemanas, francesas, inglesas, portuguesas de Africa han proporcionado material abundante y datos y nociones — 559 — definitivas acerca del Trypanosoma gámbiense. Como és na. tural, yo me limitaré, pues, á comunicar ahora los resultados de nuestras personales observaciones que aporten algún hecho nuevo, ó que en algo merezcan ser conocidos. Para los caracteres generales del Parásito, que se hallan descritos en mis precedentes Memorias: Sobre los caracteres morfológicos y la clasificación de los tripanosomas y Estu- dios acerca de los dipteros y de los parásitos que transmiten, etc., publicados en 1905 por la REVISTA DE LA REAL ACADE- MIA DE CIENCIAS, el lector podrá consultar, además, las obras fundamentales de LAVERAN y MESNIL (1), de DOFLEIN, de PROWAZEK, de MINCHIN. Técnica.— El examen hematológico, directo en fresco, re- cogiendo la sangre entre cubre-objeto y porta-objeto, permi- te, á veces, con los animales de experimentación, observar en un solo preparado numerosos parásitos; pero en los enfer- mos tripanosomiásicos el resultado es muchas veces negati- vo; el número de Tripanosomas casi siempre muy escaso. Para asegurarse de la existencia de los parásitos, en particu- lar cuando se persigue con una investigación metódica defi- nir los períodos de latencia de los Tripanosomas en la san- gre periférica, es oportuno emplear el método de Ross- RUGE para la recolección de la sangre, método que, como es sabido, consiste en extender sobre el porta cantidades bas- tante considerables de sangre, de suerte que se forme una es- pesa capa, que, sin fijación previa ninguna, apenas secada, se somete á lavado prolongado en agua destilada abundante, en un amplio cristalizador, logrando de esta suerte disolver y eliminar del todo la hemoglobina. Quedan las sombras de los estromas globulares que, solas, constituyen el fondo de la preparación, la cual, sometida luego á coloración sencilla, con azul carbonatado, ó aun á la de LEISHMANN, permitirá apreciar sobre el fondo pálido, apenas teñido, de los hematies (1 Trypanosomes et Trypanosomíases.—París, Masson. ed. 1904. — 556 — privados de hemoglobina, los leucocitos y las eventuales for- mas parasitarias. | Apresurémonos á declarar que este método, eminentemen- te clínico, y desde luego sugerido por ROs$ para la aprecia- ción rápida y segura de la existencia de parásitos ya englo- bulares (Plasmodium, Laverania, Babesia) ya libres (Trypa- nosoma, Spirochaete, Microfilarias, etc.), carece de cualquier aplicación para un estudio citológico, para un detallado exa- men morfológico de estos parásitos. En nuestras manos ha dado excelentes resultados para reunir buen número de em- briones de Filaria en un preparado, y aun en este caso per- mite realmente obtener buenos efectos de diferenciación tin- torial y poner de relieve con determinados colorantes (de los cuales en su tiempo hablaremos) la estructura de dichos em- briones. Pero, en cambio, se ha demostrado del todo inade- cuado para el examen de los Tripanosomas, á pesar de la afirmación de Ross, de que «in this method the parasites... are just as visible as in the thin film owing to the fact that the haemoglobin, the opaque element of the blood, not being fixed, has been washed out during the process of staining with aqueous síains» (1). (1) Estas palabras son exactamente referidas de la Nota publi- cada por RONALD ROSS con el título The thick-film process for the de- tection of organisms in the blod en «The Thompson Yates and Johns- ton Laboratories Report», vol. V, part. 1, 1903, pág. 117. Una Nota precedente había sido comunicada por el mismo ROSS acerca del mé- todo indicado, en The Lancet, Enero 10 de 1903; microfotografías de preparados hechos con el método indicado fueron publicadas en The Journal of Tropical Medicine del 2 de Febrero 1903. Una comproba- ción, con ligeras modificaciones del procedimiento, fué publicada por RUGE en Marzo del mismo año en el Deutsche Medizin. Wochensch., página 205. Más tarde (Junio 20 de 1903), BELL y LAINZ (Lancet, te- cha indicada), aplicaron el método á la investigación del B. pestoso en la sangre. Finalmente, nuevas modificaciones é indicaciones del método fueron comunicadas en una Nota de Ross, SALVIN-MOORE y WALKER (A new Microscopical Diagnostic Method and some simple methods of staining liquid blood) en The Lancet, 27 Julio 1907, pági- na 219). A DAA ad A a En efecto, aun cuando la eliminación de la hemoglobina permite obtener, en una capa muy espesa de sangre, una coloración casi nula del fondo, sin embargo los parásitos— especialmente los tripanosomas —resultan encerrados entre los sobrepuestos restos de los estromas globulares, som- breados por sus bordes persistentes, y en estas condiciones la coloración de ROMANOWSkY se obtiene difícilmente en toda su eficacia y con todo su resalte (1). La modificación de RUGE, que fija la preparación con una solución de For- mol 2 por 100, y 1 por100 de ácido acético (que no impide la disolución de la hemoglobina) no tiene otra ventaja más que la de impedir el posible arrastre de la capa de sangre duran- te el lavado. En cambio, á veces altera en algo la forma, as- pecto y disposición de los parásitos. Haciendo el lavado con paciencia y con ciertos cuidados, siempre hemos obtenido la disolución de la hemoglobina sin que la capa de sangre se perdiera, Para el estudio citológico, para el detenido examen de las formas parasitarias, es menester recurrir á las preparaciones extendidas en capa delgada, con el método típico, de cubre á cubre. Sin duda alguna, cuando no se opera con sangre procedente de animales de experimentación abundantemente infectados, y especialmente cuando se trata de enfermos con Trypanosoma gambiense, suele acontecer que en toda una preparación no se encuentre más-que uno ó dos ejem- plares del parásito; á veces, en muchas preparaciones, nin- guno. El método sugerido por Le DANTEC y otros, de someter (1) Las soluciones colorantes sugeridas por Ross en el trabajo indicado. y que consisten en: A) solución de 10 gramos azul de Metil. medic.; 5 gramos carbonato sódico; 1.000 gramos agua. B) so- lución Eosina 1 gramo en 1.000 gramos agua; han sido empleadas por nosotros con éxito, siempre que la solución de azul se deje enve- jecer ó se someta á la acción del calor hasta producción del Azur, que se reconoce por el aspecto rojizo, violáceo, á veces purpurino de la solución. — 558 — la sangre-—mezclada previamente con algunas gotas de una solución de citrato sódico—á la centrifugación, recogiendo luego y examinando el sedimento y haciendo con éste las preparaciones, es útil en muchos casos; pero sin duda alguna altera la forma de los Tripanosomas, los cuales aparecen api- ñaados con excesivo número de leucocitos, y generalmente con el flagelo replegado sobre el cuerpo protoplásmico, sin que se puedan apreciar debidamente los detalles de su estructura. Las preparaciones secas fueron teñidas, según el objeto de la investigación, ya con el azul carbonatado según MAN- SON, ya con el método de Koch, ya en la mayoría de los ca- sos, con los métodos típicos de LEISHMANN ó de GIEMSA para la coloración de ROMANOWSKY. Preparados de com- probación fueron hechos á veces con el método de MANNA- BERG, con HEMATOXILINA-EOSINA y con otros que se indica- rán en su lugar. La frecuencia del Trypanosoma gambiense en la sangre periférica de los enfermos es muy escasa. Sin embargo, debo hacer aquí una primera observación. Se afirma, por lo general, que en el último período de la tripanosomiasis humana, cuando los síntomas á cargo del sistema nervioso central dominan el cuadro sindrómico, los parásitos desaparecen del todo de la sangre periférica, Ó por lo menos no se logra demostrarlos con el examen hematoló- gico microscópico. Hemos visto casos en que esto se ha confirmado (Camachindo, Oké); pero hemos visto también otros casos, como el del soldado indígena Nbá, característico (falleció el 11 de Agosto en Elobey y fué diagnosticado por nosotros el 24 de Julio), y el de Río Benito, en los cuales el examen directo de la sangre reveló la presencia del parásito, y se hallaron numerosos ejemplares del Trypanosoma en una sola preparación, en fresco. El Trypanosoma hallado por nosotros en los casos exami- nados y ya referidos presenta los caracteres siguientes: Dimensiones comprendidas entre 18 y 29 y de largo; 1 */ — 559 — y 3 1/, y. de ancho (con la membrana ondulante). Cuerpo re- fringente, con algunas finas granulaciones citoplásmicas. Flagelo relativamente corto, á veces acompañado casi total- mente, hasta el extremo límite de su longitud, por una del- gada masa protoplásmica, de tal suerte que la parte libre desaparece. Núcleo esférico, ó ligeramente ovoideo, situado muy cerca de la mitad del cuerpo protoplásmico; centroso- ma ó blefaroplasto ó kinetonúcleo puntiforme, ligeramente ovoideo ó alargado, á dos y de la extremidad anterior, ge- neralmente redondeada. La figura semi-esquemática que acompaña esta nota da idea clara del aspecto de este Trypanosoma. Analicemos ahora con mayor detenimiento cada uno de estos caracteres, estableciendo las ne- cesarias comparaciones, por un lado con los comunes Trypano- somas de los mamíferos y con el aspecto típico de Trypanoso- ma gambiense descrito por los precedentes autores, por otro lado con aquellas formas que en nuestras preparaciones, ya procedentes directamente de los negros tripanosomiásicos, ya de los animales de experimenta- ción inoculados, presentan as- pectos peculiares Ó variaciones y divergencias del tipo morfo- lógico dignas de atención. Ante todo, es menester entenderse acerca de ciertos con- ceptos que recurren con frecuencia en el estudio de estas formas. LAVERAN y MESNIL (*), y con ellos los autores fran- (+) Trypanosomes et Tiypanosomiases, Paris, Masson ed., 1904, — 560 — ceses en general, consideran como extremidad anterior de los Tripanosomas aquella que corresponde á la parte libre del flagelo, esto es, la extremidad opuesta á la del centroso- ma ó blefaroplasto. Esta interpretación es, en nuestro en- tender, errónea. Ya no cabe duda acerca de las afinidades y de la filiación filogénica entre Trypanosoma y Herpetomo- nas; y en las formas del tipo Herpetomonas, ya pertenezcan á especies fijas, ya pertenezcan á períodos de desarrollo de Tripanosomas, como acontece en los cultivos, en las inten- sas multiplicaciones esquizogónicas por partición múltiple radiada (Tr. lewisi, etc.), el flagelo libre abandona el cito- plasma por la misma extremidad en cuya proximidad se halla emplazado el centrosoma. Esta es la extremidad an- terior. ¿Es posible cambiar el concepto de anterior ó posterior, fundándose tan sólo en las analogías funcionales, esto es, fijándose tan sólo en la dirección del movimiento de trasla- ción? Nosotros creemos firmemente que no. En un tipo mot- fológico la extremidad anterior y la extremidad posterior se determinan por argumentos de homología, no sólo de ana- logía. Es verdad que, generalmente, los Tripanosomas obser- vados en la sangre fresca del huésped vertebrado (mamife- ros), entre ellos Trypanosoma gambiense del hombre, se mueven en la dirección marcada por el flagelo libre; pero ni este fenómeno es absolutamente constante, ni el concepto funcional bastaría para caracterizar la extremidad anterior del cuerpo. Tanto valdría en los Cefalópodos considerar como anterior la dirección del movimiento en las rápidas huídas determinadas por las contracciones del cuerpo y en el Astacus fluviatilis el movimiento retrógrado y en los Cangre- jos el lateral. No. Los Trypanosomas se mueven en dirección posterior, y la extremidad anterior del cuerpo es la que en- cierra el centro cinético, el blefaroplasto. El movimiento on- dulatorio de la membrana tiene su origen en una ondulación del flagelo libre, y por esto la impulsión es desde la extre- io ii sa ca A CARA AAA $. Me — 561 — .midad del flagelo hacia el blefaroplasto; pero la ditección de la traslación del cuerpo no es argumento suficiente para al- terar los conceptos de homología, tanto más cuando se trata al propio tiempo de cuerpos homodinámicos, comparando los Tripanosomas con las formas afines de flagelo anterior. Llamaremos, pues, extremidad anterior la que encierra el corpúsculo basilar del flagelo (blefaroplasto) y extremidad posterior de los Trypanosomas la de que parte el flagelo libre. - En cuanto á la denominación del corpúsculo cromático basilar, parece conveniente avenirse á la indicada por WooDcocxK (1) y por MINCHIN (2), y adoptada por los ale- manes, llamando Kinetonúcleo dicho cuerpo, y Trofonúcleoel núcleo propiamente dicho. Sin embargo, las dos expresiones ¿no son enteramente correspondientes; esto es, el Kinetonúcleo de Minchim no corresponde exactamente, desde el punto de vista morfológico, al blefaroplasto ó centrosoma. El Kineto- núcleo es una formación especial que dirige en los períodos de actividad carioplástica la disposición y partición del fla- gelo (borde de la membrana), pero no se identifica del todo, no se confunde con el corpúsculo basilar que se halla á la extremidad anterior (en nuestro sentido) del flagelo mismo. En nuestras preparaciones hállanse formas de división longitudinal de Trypanosoma gambiense (de algunas de ellas el Dr. Rodríguez Illera ha hecho buenas microfotografías). En ellas el Kinetonúcleo aparece, sí, claramente partido en dos masas cariosómicas, pero contrariamente á cuanto indican la mayor parte de los autores, entre ellos Laveran y Mesnil, etc., la separación de las dos masas cromáticas neo- formadas es muy tardía en comparación con el proceso ya (1) The Haemoflagellates.—A Rewiew, etc.—Quart. Journ. of Mi- crosc. Sciences, 1906, L. p. 151-231, por H. M. WoOoDCcockK. (2) Investigations on the Development of Trypanosomes in Tsetse Flies and others Diptera. — Quarf. ¡edge of Micr, Sc. LU, 1908, p. 159-260. — 562 — muy adelantado, de división de las membranas y del fla- gelo. Flagelos y bordes de la membrana ondulante aparecen en efecto ya totalmente partidos como si se tratara de dos tripanosomas completos, reunidos tan sólo por un estrecho, delgado resto de citoplasma común, en el cual se aprecian claramente dos trofonúcleos también separados. En cambio, los dos bordes de la membrena ondulante se acercan, convergen hacia la extremidad anterior, y casi se reunen confundiéndose en las dos masas cromáticas muy cercanas la una á la otra. Durante el proceso de división esquizogónica de los Tri- panosomas en la sangre periférica han sido observados por HARTMANN, PROWAZECK, MINCHIN y otros, fenómenos refe- ribies á un verdadero proceso de autogamía. Acerca de estos fenómenos han escrito páginas luminosas, en estos últimos tiempos, en los «Archiv fur Protisten Kunde», HARTOG (1) y HARTMANN (2). Merece que nos detengamos en un breve examen de la cuestión, relacionándola con los hechos por nosotros observados. (Continuará.) (Lahoratorio de Parasitología del Instituto Nacional do Higieno de Alfonso XIII.) (1) Arch. F. Protistenk, xv, 1.9% 1909 (2) Idem id., XVII, 2. — 563 — XXXV.—Estudio estereoquímico comparativo de los cuerpos, oxi-exano-2-5 y Dimetilfurfurano-1-4. POR ANGEL DEL CAMPO Y CERDÁN, Durante los estudios que recientemente hube de hacer con motivo de la publicación de mis anteriores artículos referen- tes á Estereoquímica (*), adquirí el convencimiento de que un detenido examen podía conducir á encontrar la explica- ción de algunos hechos, considerados hasta ahora por los químicos, ya como inexplicables por la citada teoría, ya en abierta contradicción con ella. Y es que, á mi juicio, para poder aplicar la Estereoquími- ca á la interpretación de determinados fenómenos, es preci- so huir del carácter elemental con que frecuentemente se la estudia, pues de lo contrario se encuentran las mismas di- vergencias entre la teoría y los hechos que cuando se trata de encajar en una hipótesis determinada un cierto fenómeno en cuyo estudio no han sido tenidos en cuenta todos los fac- tores capaces de ejercer en él alguna influencia, Uno de los casos en que se verifica algo de lo dicho, y de cuya explicación he de ocuparme en la presente nota, es el que se refiere al hecho práctico de que el oxí-exano-2-5 es menos estable que el dimetilfurfurano-1-4. Químicos tan autorizados como Behal afirman (**), ba- sándose únicamente en medidas de distancias entre átomos de carbono efánica ó eténicamente enlazados, que el hecho en cuestión carece de explicación satisfactoria. (*) De Re Estereoquímica, Ann. Soc. Esp. Fís. y Quim., Abril, 1909, y Marzo, 1910. (+**) Tra:té de Chimie Organique dTP'apres les Theories Modernes, -2.* edición, tomo 2.9, págs. 592-593, — 564 — Yo creo, sin embargo, haber llegado á una conclusión opuesta considerando más complejo el problema, y no per- diendo de vista los siguientes principios de capital impor- tancia en Estereoquímica: 1.2 Los sistemas atómicos, capaces de accionar entre sí, se atraen según la recta que une sus centros de gravedad, con la cual deben coincidir las respectivas líneas de fuerza. 2. La posición del centro de gravedad de un sistema no es, en general, la misma cuando está formado por un sólo átomo que cuando está constituído por varios, y la im- portancia de esta variación está bien probada con los traba- jos de Guye. 3.2 La mayor estabilidad de un compuesto corresponde á la posición favorecida, ó sea aquélla en que la tensión de sus líneas de fuerza es mínima. 4. Esta fensión se mide por el ángulo que forma la direc- ción que tiene cada una de las citadas líneas en el compues- to, con la que tendría si no existiera causa alguna deforma- dora en la molécula. + * + Dicho esto, recordaré que las fórmulas esquemáticas pla- nas que se atribuyen á los dos cuerpos de que me voy á ocu- par, son los siguientes: (3) (4) CH, CH a. 6) CAB cg EA. CH =C0. Ea 0) a y (6) Ny Ao O 0) Oxi-exano-2-5. Dimetilfurfurano-1-4. Para su estudio estereoquímico, se puede admitir en am- bos cuerpos la existencia de un núcleo cíclico, y los grupos — 565 — CH, considerarlos como formando parte del átomo de car- bono del núcleo, al cual están unidos. La gran simetría de ambos esquemas, con respectoá una recta que, pasando por el vértice O del pentágono, fuera per- pendicular al lado opuesto, permite, además, reducir el es- tudio á dos átomos de carbono en cada uno; así, pues, es- tudiaré los átomos (5) y (4) del oxi-exano y los (4) y (3) del dimetilfurfurano. Estudio del oxi-exano-2-5. Atomo de carbono núm. (5). Es indudablemente, este átomo, el más difícil de estudiar de los cuatro. Podemos representarlo por la figura 1.?, donde aparecen una multitud de líneas necesarias para el razonamiento y los cálculos; supongamos que el átomo de carbono número (5) ocupa el punto O, y sea ACED el tetraedro regular direc- NEGROS e ELA | MAA ” Figura 1.? — 506 — tor (*) que pasa pot los extremos de las líneas de fuerza OA, OC, OD, OE; en el vértice A podemos suponer la masa de un átomo de H, y el vértice C, el centro de grave- dad del grupo CH, puesto que el esquema ha de o tar al grupo molecular, >> CH— CH,. Tenemos, por tanto, que en O actúa una masa igual'á 12 (peso atómico del C.); en A, una masa igual á 1 (peso atómico del HA), y en C, una masa igual á 15 (peso molecu- lar del grupo CH). Por consiguiente, el centro de grave- dad del grupo > CH — CH;, no estará en O, y su posi- ción es muy fácil de fijar, O los más elementales pra pios de la Mecánica. En efecto; componiendo primero las fuerzas que actúan en O y C (12 y 15 respectivamente),: tendremos que su resultante, que valdrá 27, estará aplicada al punto M de la recta CO; y este punto distará de O. una magnitud igual á eS de la magnitud CO; la magnitud CO=DO= AO=0E la tomaremos como unidad, por lo tanto MO = y = = 0,555555. [a] Componiendo ahora las fuerzas que actúan en M y en A (27 y 1 respectivamente), resultará que su resultante, que valdrá 28, estará aplicada en el punto O” de la recta AMá una distancia de M igual á an Este punto O' será, pues, el centro de gravedad del grupo molecular estudiado, y como consecuencia las líneas de fuerza que actuarán para unirse á los grupos vecinos, no serán OA, OD, OC, y OE, sino O'A, O'C, O'D, y O'E; la simple inspección visual de la figura, da á conocer cómo han variado los ángulos que forman entre si, y bueno será recor- (*) De Re Estereoquímica.—A. aa Anales de Soc. de Fis. y Quím., Marzo, 1910, pág. 133... — 5671 — dar que en el caso del centro de gravedad en O, valen 109” 28' 16.4. [a”] El valor de los nuevos ángulos puede ser encontrado con ayuda de la Trigonometría, y á continuación expongo el camino que yo he seguido para conseguirlo, sin pretender que sea el único, ni el mejor, pues atento tan sólo al fin que perseguía, no me he detenido en meditaciones de orden matemático y he utilizado el primer procedimiento que se me ocurrió. PA : Angulo DO'E.—Este ángulo es evidentemente doble del FO?E y éste puede deducirse resolviendo el triángulo rectán= gulo O'FE, en el cual conviene conocer los catetos FE y FO". Cálculo de FE.—Empezaremos por calcular Fb: En el triángulo rectángulo BAF, se tiene que, FB= ABx tg FAB AB = — (Puesto que OA=1 y OB = = OA) FAB = FAC= OAC= 54? 448235 15 518= = 19 29 164 mont El valor de FAC se deduce por ser la mitad del suple- mento del AFC, que según nos enseña la Geometría es A á 70” 31" 437,6. | El valor de OAC, es la mitad del elemento de AOC, que vale, según sabemos, 109 28” 167,4, [a*] Luego FB = 0,471841. [2] Ahora, en el triángulo rectángulo FBE, se verifica Y Mx -FE=FBx 1207 = 60”. — 568 — Resulta, pues, FE =0,817254..... | [3] Cálculo de FO'.—Esta recta puede deducirse del triángu- lo FO'M, en el cual podemos conocer FM, resolviendo an- tes el triángulo rectángulo FB'M; el lado MO”, por ser, se- gún antes dijimos, igual á 2 , y poder deducir MA del triángulo MOA; y el ángulo FMO”" por ser igual á la suma del FMB' y el OMA de cada uno de los triángulos auxilia- res citados, que están evidentemente en el plano FAC de simetría del tetraedro. YA . Triángulo FB'M.—En este triángulo conocemos B'F=FB ya calculado [2]; B"M= B"'0 + OM; 1 pero B'0A0B.= 15 V. [a”] y OM 0900309 le] luego B' M= 0,888888..... [4]. Ahora bién, B'F=B'M=xteg. B'MF, de donde BB IWME= 200 2 [5] En el mismo triángulo se verifica que B'F = FM > sen. B' MF, BEN de donde FM == —_—_—_—_———————, sen B'MF V.![5] Resultando una vez hechos los cálculos, que FM= 1,0075... e 6] — 569 — Triángulo OA M.—Conocemos en él, OA=1 OM=0,555555 V. [a] AOM=AOC=109 28 16",4 V. [a] y se verifica evidentemente, AMOFOAM _ gp me = 90 — 54? 44 8.2 = =80" 100128 [7] y también, AMO-OAM ,AOM OA— OM tg => — = cof SE AR 2 2 OA+ OM de donde el cálculo logarítmico deduce que AMO DAM o 25 89708 [8] 2 y, por consiguiente, AMO =I[7] + [8] = 46” 41" 24”.3 [9] y OAM= [7] — [8] = 23” 50" 19”. 3 [10] En el mismo triángulo tiene lugar que is sen AMO senAOM GOO. il AO sen 40M V. [a] sen AMO V.[9] Cuya fórmula, resuelta logarítmicamente, nos da AM= 1'2939 111] Rev. ACAD. DE Ciencias. —VIII.—Febrero, 1910. 40 570 Como O'M= = resultará O'M= 0,0462 [12] Triángulo FMO”.-—Conocemos en él FM= 1,0075 V. [6] MO” =0,0462, que acabamos de obtener FMO'=FMB'"+ OMA; pero FVIB" 21500213 0V€ [5] y OMA =46% 41” 24” V. [9] luego FMO= 74 37 45”. [13] Pudemos escribir desde luego y 2 y también, FOM-— O'FM FMO' FM—MO' to 2 —= = (0t —— < ——_—_—_—— 2 2 FM+MO' cuya fórmula, después de sustituir valores, aplicar logarit- mos y hacer operaciones, nos da LAME aa [15] 2 Por lo tanto, resulta, FO'M=|[14] + [15] = 102” 48' 28”.7 [16] y O'FM =[14] [15] = 2 33 46.8 [17] — 511 — Ahora bien, en el mismo triángulo se verifica - FM e E sen FO'M sen FMO' y despejando FO”, resultará FO'— FM >= sen FMO sen FO'M donde sustituyendo valores y haciendo operaciones, se tiene que FO' = 0,9958 [18] Triángulo O'FE.—Llegamos, por fin, á poseer datos su- ficientes para calcular FO'E; en efecto, el cateto FO" lo aca- bamos de obtener y el FE nos es conocido también [3]; por lo tanto, RO, FO Cuya fórmula, después de calculada, nos da el siguiente valor: FO'E= 39" 23' 30.7 [19] y, por lo tanto, 2 FO'E ó sea DO'E=78" 45 1.4 [20] Angulos AO'E y A O' D.—Estos dos ángulos son iguales y basta, por tanto, calcular uno de ellos: nos fijaremos en el ACE. Su valor puede obtenerse en el triángulo AO'“E, en el que conocemos AE, que es igual á 2FE, y O'A, puesto que es igual á AM [11] — O'M[12]; el valor del lado O'E se de- duce fácilmente en el triángulo O'FE; tenemos, pues, AE =2FE= 1.634508 [21] OAZAM= O ME 12477 [22] panas LPBIR eg [23] sen FO'E [19] — 512 — Por lo tanto, podremos aplicar la fórmula, ¡g AQE 9 [000 G6—05) 2 Pp AE) a PE = 2.085204 que después de resuelta nos da == 39 DIS" AO'E 2 y, por tanto, AO'E=70" 53' 16. [24] Angulo A O' C.—En este triángulo nos son conocidos A C=AE|21] = 1,634508 OA =22 124 y el ángulo comprendido O'AC, puesto que O'AC=0AC—DAM=35"15'51”,8[1] —23*50'19”,3 [10], por tanto, OA E =110 28329 [25] Puédese, pues, escribir OE A Oo CIN 2 2 = 90 — 5 42 46”. 2 =84" 17' 13”.8 [26] y e Ra nt done ón 2 ACFAO cuya última fórmula, una vez resuelta, nos da AO'C-—ACO' > 03 Opel [27] ATOSTIA GR A — 513 — y por consiguiente AGO: RG I121 =311.5,8 [28] 11061265127) = 137727: 2148, [29]... Angulos CO'E y CO' D.—Siendo ambos iguales, bastará determinar el CO'E. En el triángulo CO”E, se conocen EC=AC=AE-= 21] 1,634508 OE = [23] 1,2882 y O'C que puede ser calculado en el triángulo AO*C por la fórmula AO'sen O'A C. UC = sen ACO' que nos da, una vez resuelta O' C = 0,47825 [30] El ángulo CO'E puede, por tanto, ser determinado Ep cando la fórmula a Cde a E p(p— CE) ido. pe DER OC+EC = 1.700470. Sustituyendo valores y aplicando logaritmos, resulta GCIOE = 70" 45' 22” y, por lo tanto, CO'E= 141" 20' 44”..... [31] — 574 — Conocidos de este modo los ángulos que forman las lí- neas de fuerza del sistema estudiado, cuando el centro de gravedad del mismo pasa de O á O”, resulta muy fácil cal- cular la desviación que han experimentado de su primitiva posición, y, por lo tanto, la tensión existente en el átomo de carbono considerado; resulta, en efecto, que el valor de es- tos ángulos es, según los cálculos anteriores, CO'E = 141” 20 44” [31 h el [31] AO'C =137* 27' 217.8 [29] AO'E AO'D DOE = CH,, 1epresentado por la figura, se encontrará en un punto, tal como O”, de la recta FF” perpendicular común á los lados A C y DE del tetraedro director, que, como en el caso anterior, es también el determinado por los extremos de las lineas de fuerza OA, OC, OD y OE. La distancia O O”, será evidentemente igual á Za -—— de OF: 14 [36] — 511 — Determinemos ahora el valor de los ángulos formados por las nuevas líneas de fuerza O'A, OC, O'D y O'E. Angulo DO*E.—Este ángulo es evidentemente el duplo del FO'E; determinemos éste en el triángulo FO'E: Conocemos FE = 0,817254 v. [3] y el lado FO” es muy fácil de calcular, puesto que es igual á FO + OO” y FO puede deducirse en el triángulo FOB en que nos son cono- cidas FB y OB v. [2] y [o ””]. Haciendo operaciones, resulta, FOUO'=0,Mea2 [37] 00 = FO = 0,0824..... [38] FO" =/0,6594..... [39] : PE y como DES O ER resulta, EOUE =9150-0% y pop lotanto: UDOE= 1027 121200 [40] Angulo A O” C.—Este ángulo es el doble del 4 O'F”; este último puede calcularse en el triángulo F*A O”, donde nos son conocidos, AF'=FEy. [3] y OF'"=FF"—FO'=2F0[37] —FO'[39] =0,4946..... [41] Alora DIN. , TS. AO TF —= slo OE" de donde AO'F' = 58" 49' 4” y, por lo tanto, A0'C=117"38'8/ ...., : [42] — 578 — Angulos AO'D, AO'E, CO'D y CO'E.—Siendo los cuatro iguales, bastará con calcular el AO” E; éste puede de- terminase en el triángulo EA O”, donde se conoce el lado AE v,[21], y donde conviene conocer O'E y O'A. El lado O'E, se deduce en el triángulo ya conocido O"FE, donde se obtiene O “E= IOSIEES [43] El lado O” A, se calcula fácilmente en el triángulo AF'O , ya estudiado, donde resulta, O' A = 0,9552 ..... [44] Resolviendo ahora el triángulo que necesitamos, se obtie- ne, aplicando fórmulas bien conocidas, AO'E=A0'D=CO'D= 109 6' 12”... [45] En resumen, los ángulos que forman las líneas de fuerza en el átomo núm. (4) son: DOE 102 12 12 [40] AO'C =117 58 87 [42] AO'E al 100 > 06112” [45] CO'D CO'E Todos ellos debieran ser iguales, si el centro de grave- dad estuviera en O, á 109 28' 16”, 4, [a] por lo tanto, podemos calcular la desviación de las líneas de — 579 — fuerza, de un modo análogo á como se hizo en el caso del átomo de carbono, núm. (5); tendremos, pues, gos =519100',0% 2 AOC 58344" AE AOD cd E O TG COE — 5433 6" 2 2 2 2 e — 54? 44 8".2, Desviación de O'A y O'C. le] AOD _ 11 2.2 2 2 Job SLAO0%E | PU JOD CARAS A O ar medio —= 1924 2 2 AOC_ Il _3455.8 2 2 Desviación de O'D y O'E. [4] _ DOE _30389.2 2 la | y D , ra! Ad pad S el = 0 11'2”.21 Valor medio = 1 20'2”.2 [4] _DOA _ 1199 2 2 Sumando ahora los valores de las 4 desviaciones, obten- dremos para expresión de la tensión de las líneas de fuerza — 580 — en el átomo de carbono núm. (4) del oxi-exano-2-5, el va- lor de 528 17,4 [46] Sumando, á su vez, este valor con el análogo antes obte- nido, V. [35] por el átomo de C., núm. (5), resultan 65” 44' 29”,7; y como esto corresponderá á la mitad de la molécula, tendremos que si se admite que el átomo de O no provoca modificación alguna en la dirección de las líneas de fuerza, la desviación total experimentada por éstas en toda la molé- cula del oxí-exano-2-5, alcanzará un valor de 131% 28' 59",4 [47] ES * * Estudio del dimetilfurfurano-1-4. Atomo de carbono núm. (4). Tanto este átomo como el núm. (3), pueden ser represen- tados por la misma figura, gracias á la existencia del enlace eténico, que convierte realmente el esquema estereoquímico en un esquema plano. Convendrá recordar que, según he sostenido en artículos anteriores, la línea de fuerza que actúa como resultanie de dos sencillas, en el enlace eténico, resulta ser igual á 1,16, suponiendo las componentes iguales á la unidad; y también que el ángulo que esta línea de fuerza forma con cualquiera de las otras dos líneas restantes, mide 125” 15' 51”,8 [48] Dicho esto fljémonos ya en la fig. 3.? como representación del átomo (4). En el punto O, actuará una masa igual á 12 (peso atómi- co del C) y en A una masa igual á 15 (peso del CH); el centro de gravedad, vendrá á ocupar una posición O” cuya distancia del punto O (mayor que la representada en la figu- ra) será igual á — —=0,555555. V. [a]. — 581 — Hace falta, pues, determinar el valor de los ángulos, DO'F", DO'Ay AO'F. Figura 3.? Angulo DO'F'.—Este ángulo es evidentemente igual á DO'B+BO'F". El ángulo DO'B se calcula en el triángulo rectángulo DO'B, donde nos son conocidos DB y BO", puesto que DB 2BE 0 v. [2] 0d y BO'=B0+ 00'=--+-, =0,8888, haciendo los cálculos convenientes, resulta —_DO'B=46" 44' 4” 5. [49] El ángulo BO'F', se deduce resolviendo el triángulo (in- completo en la figura), OO'F” en el que conocemos 0OO' =0,55555..... , OF"=1,16 (resultante de OE y 0C),, =— y el ángulo comprendido O' OF" = [48] 125" 15" 51”, 8. Etfectuando los cálculos llegamos á BOF 31 2200101 [50] luego el ángulo DO'F'=[49] + [50] =84* 27175. [51] Angulo AO'D.—Este ángulo es evidentemente el suple- mento del DO'B, luego AO D=JIi39415.09 0. [52] Angulo AO'F'.—Este ángulo es el suplemento del BO'F”; por tanto, AOS MAZO O: [53] Cálculo de las desviaciones.— Resulta de los anteriores da- tos, lo siguiente: VALOR CAROR ANGULOS are ionsa. que debían tener si no hubiera variación en el centro de gravedad. DONE iz 340:27 118,0 125% 1515668 =Z a q 42% 13" 30,8 622 37" 55,9 — e DIOPAR TES “13315 DS 109% 28' 16”,4 AO RN Ano r1"7 MRAO 129 15"51'88 Como la línea O'A no ha sufrido variación alguna, vea- mos las otras dos. Desviaclón de O'D: DO'A— [%] =23*47'39”.1 148] Wo cda Valor medio = 22* 6 2”.2 = 20" 24' 25”.1 ¿2 2 | / A ds = 3 == Desviación de O'F”: ADE [481 = 117 -1011”.1 E Valor medio = 18" 42'48”.1 == — DOF dE == PAD Sumando ambas desviaciones, resulta, para expresión de la tensión de las líneas de fuerza en el átomo (4) del dime- tilfurfurano, el valor 40” 48' 507,3. [54] Atomo de carbono núm. (3). Nos sirve la misma figura representativa que antes, sin más que suponer en A una masa igual á 1 (peso del átomo de 4). La distancia O O”, será en este caso igual á => Por uncamino absolutamente idéntico al seguido en el cálcu- lo del átomo anterior, llegamos ahora á los siguientes valores: DOY 0073138 [55] BONET 0145731 [56] DOF == DO BH BOT —= 18 17 11.1:0157] AO DD —180—DO'B 57282. [58] [59] 58 AO'F' =180" —BO'F'= 128" 14'56".9 [59 Desviaciones: La línea O'A no ha sufrido ninguna, como en elcaso anterior. Linea O'D: AO'D— [a] = 3 50 45”.6 [48] ES DOE: Valor medio = 3* 44 35”.5 2 £ 197 2020074 _—————- 2 Línea O'F”: AO'F'— [48] =2%59 5”.1 ASI DOF: Valor medio = 3" 14' 157.2 2 ZO A 2 — 584 — Sumados ambos valores, nos resulta para tensión de las líneas de fuerza del átomo (3) del dimetilfurfurano un va- lor de ] ] 6” 58" 50,7. [60] Sumando ahora este valor con el análogo obtenido por el átomo (4) V. [54], resultará 47" 47' 41”; y como este nú- mero corresponde á la mitad de la molécula, al admitir, como anteriormente hicimos, que el átomo de O no produce nin- guna nueva flexión en las líneas de fuerza, tendremos que la desviación total de estas líneas en la molécula completa del dimetilfurfarano 1-4, se eleva á 95" 35' 22”. [55] * + * Comparando ahora el valor [55] con el [47], veremos que, - mientras en la molécula del dimetilfurfurano-1-4 hay una tensión de sus líneas en fuerza correspondiente á una des- viación total de 95” 35' 22”, en la molécula del oxi-exano-2-5, hay una tensión correspondiente á un desvío total de -131* 28 59,4; y la diferencia es tal, que no puede ser atri- buída á errores de cálculo. Ahora tien, es fundamental en esta teoría que la mayor estabilidad corresponde á la minima tensión; luego es forzo- . so admitir que el dimetilfurfurano-1-4 es más estable que el oxi-exano-2-5, conclusión que está de riguroso acuerdo con los hechos. Por lo tanto, la estabilidad relativa de los cuerpos estu- diados, lejos de ser inexplicable por la 1eoría Estereoquími- ca, Ó de estar en contradicción con ella, resulta racional y lógicamente explicada por la misma; y con esta interpreta- ción, que creo haber sido el primero en conseguir, queda pro- bado lo que pretendía demostrar. Ñ ps 4 : XXVIII. —Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física mate= Ñ mática, por José Echegaray. Conferencia séptima... | 4 RO —Noticias sobre algunos moluscos de España, por Joaquín González Hidalgo Jas. eu, 1 ae XXX. —Estudio analítico de los elementos de TStrOGESO os las curvas alabeadas, por Miguel VegOS......... XXXI. —Le Sous-azoture de carbone C* N?, par Ch. Moureu a: sel. Jo Ch ¿BOnorand: loo tea aaa AR -XXXIL —Teoría elemental de los péndulos horizontales, por NT SEQUATdO: MIE aseos Jeje jade lala MEU ee slo Je XXXIII —Contribución al estudio de las aminas cíclicas, por AR F. Lavilla a yo ds 3. XXXIV. —Viaje de estudio á la Guinea española. Observacio- nes acerca del «Trypanosoma gambiense» y algu- nos otros Protozoos parásitos del hombre y de los - animales, por Gustavo Pittaluga (continuación)... -XXXV. —Estudio estereoquímico comparativo de los cuer- pos, oxi-exano-2-5 y Dimetilfurfurano-1-4, por Angel del Campo y A A O e La subscripción á esta REvIsTA se hace por tomos completos, de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val= verde, núm. 26, Madrid. - Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. REAL ACADEMIA DE CIENCIAS - EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES , MADRID TOMO VIIIL.-—- NÚM. 9 (Marzo de 1910) ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 6 CALLE DE PONTEJOS , NÚM, 8. 1910 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. , a y RRA NA RIMA E z e o A a = A o E AR QEs 885, Informes sobre tres Memorias presentadas á la Acade- mia, con opción á premio, en el Concurso de 1904. PONENTE: J. M. DE MADARIAGA. Memoria señalada con el lema: «Para adquirir perfecta idea de un fenómeno, será necesario estudiarlo cualitafiva y cuantitati- vamente». Tiene esta Memoria 119 páginas escritas con máquina, en pliego entero, divididas en 6 capítulos, y forma, además, parte de ella un atlas de 27 láminas con 142 figuras dibuja- das en papel tela. Su composición, considerada en conjunto, no es suficientemente esmerada, desde el punto de vista gramatical, aun sin contar el empleo de muchos neologismos -no admitidos en nuestro idioma, y, acaso por estar escrita con máquina, los cálculos que en ella se consignan tienen inexactitudes de forma que dificultan la lectura. El primer capítulo, que el autor titula «Teoría de los alter- nadores monofásicos», y que más bien es una teoría incom- pleta de las corrientes alternas, está desarrollado en 19 páginas. En él, y al considerar el caso de una espira que se mueve en un campo magnético uniforme, pág. 6, escribe el autor, bajo una forma, por cierto no rigurosamente exacta, la serie de Fourier, lo que en tal caso y antes de tener en cuenta la auto-inducción es innecesario, puesto que la fuerza electromo- triz es, entonces, una función sinusoidal sencilla del tiempo. Y es tanto más de notar esto cuanto que después, cuando realmente tendría buena aplicación esta serie, al considerar las armónicas que en la curva de la fuerza electromotriz - pueden introducir diferentes causas, no se emplea la fórmula Ruy. ACAD. DE Ciuncias,—VII1.—Marzo, 1910, a pe 586"— de Fourier ni se analizan estas causas y los efectos perjudi- ciales que pueden producir, ni se da, por lo mismo, el reme- dio para atenuar los últimos. Al calcular la potencia, pág. 11, que puede hallarse inme- Ti diatamente desarrollando la integral ' ñ eldt, se sigue un 0 camino más largo dando valores particulares al tiempo, y llegando á deducir, pág. 12, del valor +15 = In 2 sen > (ot), suma de las corrientes correspondientes á los instantes que la curva representativa de la potencia correspondiente á la auto-inducción es una sinusoide de período mitad del de la intensidad de la corriente. Aun cuando esta curva tenga efectivamente una frecuencia doble de la de la fuerza elec- jromotriz y la corriente principales, no se ve clara la deduc- ción que el autor apunta, y, por otra parte, es incorrecta la notación Lidt, que en la figura 4 aparece al lado de la curva aludida, puesto que la expresión anterior, producto de un flujo de fuerza por un tiempo, no puede representar la po- tencia. Hay falta de exactitud al escribir, pág. 13, que la expre- T sión —= + al " edi significa que el cuadrado de la in- y tensidad eficaz /.? es igual á la suma de los cuadrados de la intensidad real ¿*, pues ni dice esto la fórmula que queda es- crita, ni el cuadrado de la intensidad eficaz es la suma que se indica, sino el valor medio del cuadrado de la intensidad real. do BO Tampoco es exacto que el valor medio de la fuerza elec- É A E É É tromotriz sea 27 < E 7, sino Tem siendo En el valor má- de ximo; y hay falta de consecuencia cuando, poco después, para hallar el valor de la intensidad medía, que está bien es- crito, dice el autor que basta integrar entre y y y + > y lo hace entre O y = , aunque el resultado final sea el mismo. Considérase en las páginas 15 y 16 el efecto que en un circuito de corriente alterna produce una capacidad interca- lada en serie en el mismo, y no se ajusta la redacción á la realidad de los hechos cuando se dice que, en tal caso, «al llegar la fuerza electromotriz á su valor máximo y empezar el periodo decreciente, el condensador se descarga y en el circuito cambia el sentido de la corriente»: puesto que este cambio se debe producir en cada semiperiodo, cuando se anulan la fuerza electromotriz Ó la corriente, para cada una de ellas respectivamente, y no cuando adquiere la primera su máximo valor. Locución no usada generalmente, y poco adecuada para el efecto que se quiere designar, es la de desembrague que el autor emplea en la pág. 18 para significar la diferencia de fase Ó adelanto que la capacidad produce en el circuito, efecto contrario al de la auto-inducción que determina un retraso de la corriente con la relación á la fuerza electromo- triz debida al campo magnético inductor. Sensible es que habiéndose detenido el autor en otros cálculos más sencillos, no lo haya hecho al resolver la ecua- ción diferencial relativa al caso general de un circuito con auto-inducción y capacidad. La figura 8 á que se hace referencia en la pág. 21, al ex- poner según el método vectorial la teoría gráfica de las co- rrientes alternas, está incorrectamente dibujada. El triángulo rectángulo debe tener recto el ángulo N y no el M, porque la == 88 — fuerza electromotriz de auto-inducción está en cuadratura con la efectiva, y no con la producida por el campo inductor. Más completo resultaría el estudio á que se refiere este primer capitulo si el autor hubiese considerado el caso de la capacidad en derivación, de interés en la aplicación de los alternadores á la distribución de la energía, y no habría hol- gado tampoco una exposición del método simbólico de re- presentación por complejas imaginarias, de las magnitudes sinusoidales, tan fecundo en recursos para el cálculo de las mismas. En el capítulo 2.*, y en el espacio de 25 páginas, trata esta Memoria de los «Alternadores industriales monofásicos». Al considerar las pérdidas de energía en estas máquinas, se escribe en la pág. 39, que «además de la pérdida de energía que la selfinducción introduce...», lenguaje incorrecto, pues ya se sabe que la allan dnión no produce pérdida de energía, aunque sea un obstáculo para que el alternador desarrolle toda la potencia de que sería capaz si no existiese aquel fenómeno. Muy parco aparece el autor al tratar de los alternadores de excitación compuesta, que no hace más que mencionar en la pág. 44, y el asunto es de interés y ofrece materia su- ficiente para algunas páginas. Parecen tomadas del libro de Mr. G. Kapp, «Las máqui- nas dinamo-eléctricas de corriente contínua y alterna», las fórmulas que emplea en la citada pág. 44 para calcular la auto-inducción del inducido; pero cree el que subscribe que el empleo de estas fórmulas debiera justificarse para llevar al ánimo del lector la seguridad de su exactitud, y ni se hace esto, ni se alude á ninguno de los demás procedimientos que se aplican con tal objeto. El capítulo 3.” trata de los alternadores polifásicos, y en la página 51, al sentar el principio fundamental de los mismos, -se dice: «La fuerza electromotriz total que podría enviarse á - un circuito exterior al. concurrir todas las espiras á un mis- — 589 — mo colector, vendría dada por...» Ni es apropiada la expre- sión empleada, porque no se envía ni se puede enviar al cir- cuito exterior una fuerza electromotriz, ni sería pertinente al fin que se propone aquí el autor hacer concutrir á un mismo colector todas las espiras, que con tal disposición estarían en derivación ó en paralelo, lo que, aunque su suma fuese cero, no serviría para deducir la supresión de la mitad de los conductores, que puede, en general, hacerse én un siste- ma polifásico. Mal escrito aparece en la pág. 52 el valor de las corrientes, pues en vez de (n= sen o td (1D n debe decir ln = [ sen (+00), Tampoco puede escribirse, como se hace al definir el «al- ternador elemental difásico», pág. 52, que E, — Enseno (1 +7) = Encosos porque el primer miembro, si se sustituye T por su valor ón se convierte en E,, sen (w £ + 7) = — Ej, sen w É, y w no á E,, cos w f, El autor debió escribir sE, SEñ (ue+ 5) óEnseno (++ ness) Eg COS 0 E, que es lo exacto, para poder introducir en el cálculo el se- gundo elemento de un sistema difásico. En las páginas 53 y 56 de este mismo capítulo 3.” se con- — 5900 — siena erróneamente que los valores eficaces de la fuerza electromotriz y de la corriente son de periódicas del y sen (w f£ — 7). Bien sabido es que los valores tiempo, al escribir para ellos E. = sen w Í..... y €; y al eficaces de la fuerza electro-motriz y de la corriente, son res- : Em Im . E pectivamente =— y ——, que sólo se definen por sus WiBllew 1188 efectos térmicos ó electrodinámicos, independientes del tiempo. Las figuras de los diversos modos de devanado de los al- ternadores polifásicos están copiadas en su mayor parte del libro del profesor S. Thompson «Polyphase Electric Currents and Motors». Sin duda habría sido complemento conveniente el haber dibujado las conexiones entre los diferentes carre- tes, no indicadas en varias de aquéllas, para haber hecho más comprensibles los esquemas del autor inglés. En el capítulo 4.”, que abarca ll páginas, se describe al- gunos tipos ó modelos de alternadores; y el 5.” trata, en 16 páginas, de lo que el autor llama acoplamiento de estas má- quinas, es decir, de sus modos de unión en serie Ó en para- lelo, punto sin duda difícil de la técnica eléctrica, y que no está desarrollado en la Memoria que examino con acierto suficiente. Se dice en la página 87, y haciendo referencia á la figura 130, que en el caso de la unión en serie la si- nusoide B está adelantada Ó en avance con respecto á la A, y basta examinar la figura dicha para convencerse de lo contrario: resulta de aquí una confusión que perturba los razonamientos posteriores, obligando á sacar consecuen- cias contrarias á las premisas establecidas; y asi se dice, al tratar de la unión en paralelo (pág. 90), que el alter- nador retrasado trabaja menos, lo cual, en general, no es exacto, y si aquí lo es, depende de que el retraso debe apre- — 581 —- ciarse, entonces, con relación á la oposición completa de las fuerzas electromotrices, circunstancia no aclarada en la Me- moria. Afírmase en la pág. 91 que si «las fuerzas electro- motrices de los alternadores acoplados (dice el autor) fueran diferentes, la fuerza electro-motriz resultante tendría una fre- cuencia de orden superior», afirmación completamente gratui- ta y que el autor no podría demostrar en el caso que conside- ra de tener ambas máquinas el período de igual duración. El estudio analítico de este interesante problema, que se inicia en las páginas 91 á 98, según el método de Mr. Boucherot, no es completo, y en él se prescinde de varias causas que en la unión en paralelo producen movimientos pendulares de los alternadores agrupados, que habría sido necesario ana- lizar. En el capítulo 6.”, y en el espacio de 6 páginas, se traza la marcha para proyectar un alternador, inspirándose en el libro de Mr. Kapp «Construcciones electromecánicas». - Representa, en suma, la Memoria de que acabo de dar cuenta, un trabajo imposible de llevar á cabo sin conocimien- tos extensos en la técnica eléctrica, y contiene puntos de vista dignos de atención, aunque, á juicio del que subscribe, no haya logrado su autor desarrollar el tema propuesto por la Academia con todo el acierto que exige la concesión de alguna de las recompensas anunciadas en el concurso. Memoria señalada con el lema: «Labor». Tres cuadernos, que en junto contienen 362 cuartillas ma- nuscritas, y un atlas con 121 figuras dibujadas en papel tela y distribuidas en cinco grandes láminas, forman esta Memo- ría. Refiérese el primer cuaderno á la teoría de las corrientes alternas, que desarrolla el autor en 71 páginas: en el segundo se estudian, en 174 páginas, los alternadores industriales y su unión ó agrupamiento; y en el tercero se formula el pro- — 592 — yecto de un alternador, y se describe algunas de estas miá- quinas. Contiene, además, este tercer cuaderno un apéndice, con el desarrollo de los cálculos solamente indicados en la primera parte. El ponente que subscribe tiene que exponer á la conside - ración de la Sección, que le confió el encargo de examinar esta Memoria, algunos reparos, que se refieren, unos, á in- correcciones en la forma; otros, más substanciales, á concep- tos no exactamente expresados. Defínese en la página 8 el período de una función sinu- soidal, diciendo que es «el conjunto de todas las variaciones de esta función...» Y seria lo exacto decir que es el intervalo de tiempo en el que estas variaciones se producen... Frecuentemente, y con escaso rigor (páginas 3 y 4, por ejemplo), se emplea la expresión fuerza electromotriz apli- cada para designar la desarrollada por el campo magnético inductor. Al tratar de encontrar el valor de la fuerza electromotriz media (pág. 12), se consigna para designarla la expresión : En =/ E, sen wídot, y aunque el valor á que se llega 0 desarrollando esta integral es exacto, habría sido más correc- , 1 to escribir E, = f É E, sen wtdf. Lo mismo puede TÍ : (z) decirse del valor medio de la intensidad. Incorrecciones semejantes, que rebajan el mérito de este trabajo, pueden señalarse en diferentes partes del mismo. En la pág. 15, por: ejemplo, se debió escribir v (diferencia de potencial instantánea) = E, sen wf — pe SEPT 0 siendo R la resistencia total, y r la del inducido del alterna- ; 18% dor, y no, como se hace, v = E, sen wí — sl sen wf. — 593 — Corr notoria falta de exactitud se aplica a expresión tra- bajo medio para designar la potencia de un alternador (pá- gina 16), puesto que la potencia es variable con el tiempo, y, por lo mismo, tiene un valor medio, y no son sinónimos en Mecánica los vocablos trabajo y potencia. Y al tocar este punto, y con vista de la fig. 16, hay que señalar un error, no ya de forma, sino de concepto. La po- tencia, en el caso que considera el autor, es siempre positi- va, y no puede, por consiguiente, representarse por una cur- va que tiene ondas negativas, como se dibuja y anota en la dicha fig. 16; curva que. por otra parte, y aun corrigiendo el defecto señalado, no tendría la forma que se indica, porque se demuestra que es sinusoidal cuando se refiere á los ejes toordenados que aparecen en la lámina, y una verdadera si- nusoide si se hace un cambio apropiado de eje de las abs- cisas. E,cosz2. 2E/¿c0s0 SN T nas 28 y 29 se apuntan para valores de la fuerza electromo- triz eficaz y de la media, no son exactas, pues á ambas sobra el factor cos o, que, al hablar, algunas páginas después, de la fórmula que da el valor de la potencia (media), llama el autor coeficiente de reducción, aunque el nombre general- mente empleado para designarle no es ese, sino el de factor de potencia. Al tratar de la potencia máxima (pág. 37) se dice que al disminuir la resistencia aumenta la intensidad, lo cual es exacto, y con esto—se añade—la auto-inducción, lo cual puede no serlo, puesto que el coeficiente L de auto-induc- ción es la relación del flujo magnético propio á la corriente que lo produce, y puede, si la variación de la corriente es importante, disminuir la permeabilidad magnética. 2 La fórmula L =p>=< le que el autor deduce (pág. 42) Las notaciones , que en las pági- para calcular el coeficiente de auto-inducción del inducido de — 504 — un alternador, podrá servir para tal objeto, aunque no será de tan fácil aplicación como se indica, ya que al varíar la co- rriente varía también la permeabilidad, que en la indicada fórmula entra en el valor de R, que ahora representa resis” tencia magnética, y la apreciación de esta variación no es tan sencilla en la práctica como parece darse á entender en la Memoria. Y por cierto que el autor indica á continuación, para el mismo fin, un procedimiento experimental diferente, pero en cuya aplicación figura también la letra R, que ya no debe significar resistencia magnética, sino eléctrica, y hubiera sido conveniente señalar la distinta significación que al mismo símbolo se da en uno y otro caso, para evitar posibles con- fusiones al lector. Supone el autor, á este propósito, en la pá- gina 43, que el problema sería de fácil solución sin más que aplicar la fórmula V,=LwJI, + [,R, y olvida que la suma en esta fórmula indicada no es suma algebraica sino geométri- ca Óó de composición de vectores, cuya fase no es cono- cida, puesto que el ángulo ¿+ que la determina es función de L, que se trata de calcular. Por esto, no hay más remedio, en general, que acudir á un procedimiento que, aunque aproximado, como el de Ben-Eschenburg, lo es suficiente- mente para resolver en la práctica la dificultad. En la pág. 88 (2.* parte, cap. VI) hay falta de exactitud, y confusión en el empleo de las expresiones VI y VI cos <> pues pudo decirse, con más rigor y claridad de los allí em- pleados, que la potencia será VI cos 7, si V es la diferencia de potencial eficaz, y VI, si por V se representa el valor eficaz de la fuerza electromotriz efectiva, lo que, por otra parte, no se acostumbra en la práctica. Al tratar en el cap. VII, pág. 95, de la clasificación de los alternadores y citar los de tambor, hoy casi exclusivamente empleados por las ventajas que ofrecen, dice, con razón, que en ellos hay que colocar los hilos (conductores) paralelamen- te al eje, «y con esto —añade —es muy difícil el poder evitar el empleo de .un núcleo de hierro en el inducido». No es — 505 — fácil deducir lo que el autor haya querido indicar en la frase que queda copiada, que, seguramente, no fué lo que ella literalmente dice, puesto que lejos de ser un inconvenien- te, como parece darse á entender, es una ventaja y una necesidad el empleo del núcleo de hierro, sin el cual la permeabilidad magnética sería muy pequeña, y el gasto de excitación y las dimensiones de las máquinas resultarían enormes. | Alguna aclaración á lo que dice Kapp, y casi literalmente transcribe el autor, acerca de las ventajas de los alternadores llamados heteropolares sobre los homopolares, habría sido conveniente, á fin de hacer resaltar la exactitud de la demos- tración que da el célebre electricista. Expuesta á confusión es la designación que en esta Me- moria se hace al tratar de los inducidos dentados y de agu- jeros en la periferia del inducido, pues el autor, al parecer, emplea el primer nombre para los que tienen los carretes del inducido devanados en núcleos salientes, hoy muy poco ó nada usados, siendo asi que aquel calificativo, el de dentados que él llama de huecos, se aplica hoy á un gran número de inducidos de alternadores que tienen sus conductores en ra- nuras practicadas en la perifería, lo que, á cambio de algunos inconvenientes, tiene la ventaja de poder disminuir la co rriente de excitación y evitar Ó atenuar considerablemente las corrientes de Foncault en los conductores de la armadu- ra, circunstancia que ocurre también en los inducidos de agujeros Ó perforados, y sobre la que pudo llamarse la aten- ción en la Memoria, indicando, además, el efecto que tales ranuras producen en la curva de la fuerza electromotriz, por lo que se refiere á las armónicas de órdenes diferentes á que dan origen, y los procedimientos que deben seguirse para corregir los inconvenientes que éstas producen. Más comprensible resultaría, á no dudarlo, la representa- ción de los devanados que aparecen, no más que indicados como en el libro de Mr. Kapp, en varias figuras como las — 596 — 46 y 47, p. e., si se hubiese dibujado las conexiones entre los carretes Al tratar de los alternadores polifásicos, capítulo VIII, pá- gina 139, da el autor de esta Memoria una demostración elegante para hacer ver cómo puede reducirse á tres el nú- mero de conductores de un sistema trifásico en triángulo; y termina este capítulo exponiendo el principio de las conmu- tatrices, aunque sin citar el nombre de estas máquinas. En el capitulo IX se expone el cálculo de la fuerza elec- tromotriz desarrollada por diferentes alternadores, que el au- tor llama, con escasa propiedad, «aplicada», y en este cálculo sigue á Mr. Kapp casi literalmente, sin que haya que poner á lo escrito reparo alguno. Falta claridad en la pág. 187 al comparar la fuerza elec- tromotriz de una máquina de corriente continua con la de un alternador, ya que en la primera no tiene significación el ele- mento frecuencia que el autor hace figurar en la fórmula f 1 100 Ny. La determinación experimental de la curva que representa la fuerza electromotriz por los métodos de Joubert y Gerard, está descrita en el corto espacio de las páginas 183 á 186, muy brevemente, como se comprende, sin que el autor aluda, como parecía natural, dado el interés de este asunto, ni al llamado ondógrato de Hospitalier, ni álos aparatos de Blon- del, Duddel y Abrahan, empleados con este objeto. Vuelve á tratar de la potencia de los alternadores el capí- tulo X, y aparecen nuevamente conceptos, confusos unos, y equivocados otros, sobre este punto. Dícese, por ejemplo, que la fuerza electromotriz E es la suma de V, diferencia de po- tencial, y de las fuerzas eiectromotrices dé auto-inducción y de capacidad del inducido, y no se tiene en cuenta. al hacer aquélla que es suma geométrica y no algebraica, porque las magnitudes que forman sus términos son vectores de fase distinta, E == HOi—Ñ En la pág. 193, y después de llegar á la expresión de la potencia V/ v 3 de un alternador trifásico, dice: «Si hubié- semos medido V á circuito cerrado, la potencia sería el valor que acabamos de hallar; pero si la medimos á circuito abier- to, tendríamos que afectar el producto del coeficiente de re- ducción cos « para tener en cuenta la reacción del inducido y la pérdida correspondiente á la resistencia óhmica del mis_ mo». Verdaderamente difícil resulta la interpretación de este párrafo, en el cual aparecen confusas las ideas é involucra- dos conceptos que son perfectamente deslindables. En los capítulos XI y XII se estudia la acción magnética del inducido y las curvas liamadas características de los al- ternadores, y en ambos el autor de la Memoria sigue casi literalmente á Mr. Kapp. En el capítulo XIII trata del agrupamiento de los alterna- dores, y, aparte de la incorrección de marcar polos -- y — en la fig. 99 que se refiere á un alternador y no debe tenerlos, el estudio es poco completo, puesto que no se analizan en él las influencias variadas de carácter ya eléctrico, ya mecá- nico, que intervienen en el fenómeno, relativas á la desvia- ción angular y á los pares ya aceleradores, ya amortiguado- res que producen y modifican los movimientos pendulares de los alternadores unidos en paralelo. En la tercera parte se expone, siguiendo á Mr. Kapp, la marcha para formular un proyecto de alternador, y se des- cribe algunas de estas máquinas más frecuentemente em- pleadas, terminando con el apéndice á que hice alusión an- teriormente. La exposición que acabo de hacer podrá demostrar á la Sección que esta Memoria representa una labor de impor- tancia, y supone en su autor extensos conocimientos en la técnica eléctrica, si bien su atención, distraída, sin duda, -en algunos momentos, dejó deslizar incorrecciones, que, amenguando el mérito de la Memoria, privan al que subs- cribe de la satisfacción de proponer que se otorgue al — 598 — autor de aquélla ninguna de las recompensas anunciadas en el Concurso. Memoria señalada con el lema: «Electrón». Consta esta Memoria, que por encargo de la Sección de Ciencias Físicas he examinado, de 157 cuartillas manuscritas y 78 figuras claramente dibujadas y repartidas en diferentes láminas. Está dividida en cinco partes: trata la primera de la «Teoría general de las corrientes alternas» y comprende 51 páginas; la 2.*, de la «Teoría fundamental de los alternado- res», y se halla expuesta en 52 cuartillas; ocúpase la:3.*, en 23 páginas, en la « Clasificación y descripción de los princi- pales tipos de alternadores »; la 4.?, en el « Agrupamiento » de estas máquinas, asunto que el autor desarrolla en 17 pá- ginas, y en la 5.* se estudia el «Modo de proyectar un al- ternador ». Nada tiene que oponer el que subscribe á la primera parte; que está tratada con acierto, porque no considera que sea defecto substancial el empleo no justificado de algunos neolo- gismos que se han ido introduciendo en muchos escritos sobre electricidad, como impedancia (resistencia aparente), reluc- tancia (resistencia magnética), corrientes vatiada y desvatiada (corrientes energética y anenergética), que, por otra parte, son fáciles de corregir. Lástima es que el autor, que demuestra conocer la materia, no se detenga (pag. 27) á resolver la ecuación diferencial relativa al caso en que el circuito contiene auto-inducción y capacidad, no porque la resolución ofrezca dificultad, aunque sí habría facilitado la lectura de la Memoria, sino porque ha- biéndolo hecho, por vía de nota (pág. 12), para el caso más sencillo de un circuito con sólo auto-inducción, habría de- mostrado ser consecuente, de haber salvado la omisión que señalo en este caso, un poco más complicado. Es también == 809 — sensible que no haya hecho uso en sus demostraciones de; método de representación de las magnitudes sinusoidales por cantidades complejas imaginarias, hoy tan en uso por las grandes facilidades que ofrece para el cálculo. Hácese aplicación de la teoría expuesta, á la de los alter- nadores, en la segunda parte de esta Memoria; y, después de considerar el caso de ser funciones sinusoidales la fuerza electromotriz y la corriente, se estudia el más general y fre- cuente de venir estas magnitudes eléctricas representadas por funciones periódicas más complejas, haciendo aplica- ción, para ello, del teorema de Fourier que permite descom- poner aquéllas en armónicas de diferentes órdenes, general- mente para los alternadores, de orden impar. Aunque acaso habría podido proceder el autor con más orden en la exposi- ción de esta materia, estudiando primeramente las armóni- cas dc la fuerza electromotriz en circuito abierto, y después las que provienen de la reacción de armadura, el asunto está bastante bien tratado. El que suscribe encuentra, no obstante, que debía haberse detallado la demostración, que se deja para el lector, de la existencia de armónicas de or- - den tercero y superiores á éste, producidas par la influencia del flujo magnético giratorio, uno de los dos componentes en que, según el teorema de Leblanc, puede dividirse el de reacción del inducido. Cree también que debía el autor ha- ber completado su estudio sobre las armónicas que nacen de la existencia de dientes y ranuras en el inducido, conside- rando algunos casos particulares y muy frecuentes en la práctica, como el de muchos alternadores trifásicos (de dos ranuras por polo y fase), en los que desaparecen las armóni- cas de orden múltiplo de tres, como, aparte la demostración analítica, lo confirma el examen de las curvas obtenidas con el oscilógrafo. Como era natural, el autor expone á conti- nuación algunos de los medíos empleados para hacer des- aparecer estas armónicas, Ó, al menos, para disminuir sus efectos perjudiciales. + Pasa en seguida á tratar de la caída de tensión, y, después de analizar las distintas causas que intervienen en su produc- ción, establece el cálculo que permite determinar su impor- tancia, siguiendo el método de Ben-Eschemburg, que expli- ca con claridad, y que es, por su sencillez, de fácil aplicación en la práctica. Expone también el más riguroso de Mr. Po- tier, y trata de la influencia que en la caída Ó pérdida de ten- sión tienen las corrientes de Foncault, circunstancia que pudo aprovechar, aunque no lo hace, para hallar la expresión ana- lítica de esta influencia. Habla, con tal motivo, de los amortiguadores de Leblanc, -que, prescindiendo de su importancia para facilitar la unión en paralelo de los alternadores, la tienen también marcada, -para disminuir la pérdida de voltaje, y obran en sentido fa- vorable para disminuir la reacción del inducido. Muy brevemente trata de la auto-excitación y regulación ó compensación (compoundage) de los alternadores, apun- tando no más los sistemas de Heyland, Ganz y de Hutin y Leblanc. Hablando después de la potencia de un alternador mono- fásico, determina el valor máximo de aquélla, según las con- diciones del circuito de utilización. Trata, á continuación, de los alternadores polifásicos, y aquí también hay que señalar en algunos puntos un exceso de concisión. Cierto que la suma de las fuerzas electromo- trices es nula, > E = 0; pero el ponerlo de manifiesto, aun- .Qque la demostración sea muy elemental, habría sido, en con cepto del que subscribe, conveniente. Nada puede objetarse á la clasificación y descripción de los principales tipos de alternadores, aunque pudo prescin- «dirse de la de algunos modelos ya anticuados, compensán- - dola con el mayor detalle de otros más modernos. Estudia el autor en el capitulo III de esta Memoria la ¡unión Ó agrupamiento de los alternadores, problema intere- santísimo de la técnica eléctrica, y no exento de dificultades, — 601 — fijándose principalmente, como era debido, en la unión en paralelo ó en derivación. Expone la influencia beneficiosa de las corrientes sincronizadoras, y es de lamentar que no pe- netre más resueltamente en el fondo del asunto, tratándole con toda la extensión y detalle que merece. El que subscribe no participa de la opinión del autor de esta Memoria, que en la pág. 136 dice que «por considera- ciones de Mecánica racional, importunas aquí, se demuestra que la fuerza F, que representa la corriente sincronizadora, está ligada al periodo T de la oscilación propia del alterna- n?] : > en la que | es el momento dor, por la fórmula F = 4 | ña de inercia del órgano móvil, y r el brazo de palanca de F, respecto al eje de la máquina». Cree, por el contrario, que estas consideraciones de Mecánica á que se alude habrían sido pertinentes, y que hubieran permitido al autor, que re- vela tener condiciones para ello, tratar extremos muy impor- tantes relacionados con esta materia, como el cálculo de la desviación angular, producida por las oscilaciones Ó movi- vimiento pendular de los alternadores, siguiendo, por ejem- plo, el método de Mr. Boucherot, y estudiar, como el asunto lo reclama, todas las condiciones mecánicas de los grupos electrógenos unidos en paralelo, diferentes, naturalmente, según los motores empleados. A esta deficiencia en el estudio analítico corresponde la del estudio gráfico hecho á continuación, que habría sido más completo si el autor se hubiese inspirado en los de Górges, Hefter ó De Renzis. En la quinta y última parte de esta Memoria se indica la marcha que puede seguirse para proyectar un alternador, aunque no se hace de ello aplicación á un caso concreto, como habría sido de desear. Como la Sección puede juzgar por el análisis que acabo de hacer, la Memoria Electrón no contiene errores de con- cepto, y demuestra, de parte de su autor, conocimiento claro Ruy. AcAD. DE CIENCIAs.—VIIT, — Marzo, 1910. 42 — 602 — del asunto que con acierto trata, aunque en diferentes puntos lo haga con exceso de concisión. Esta última circunstancia, que al detalle señalo en las páginas anteriores, me inclina á proponer á la Sección que se conceda Mención honorífica al autor de esta Memoria; que, de no mediar aquélla, habría merecido, en concepto del que subscribe, recompensa más alta. PAR XXXV.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia octava. SEÑORES: Hemos estudiado en las conferencias precedentes la céle- bre y fecunda fórmula de Green, que ya hemos dicho que es una fórmula de transformación de integrales triples, de vec- tores, en integrales dobles ó de superficie. Hemos estudiado diferentes casos, según que el vector ge- neral W es de tres escalares, de dos ó de uno. De la fórmula correspoudiente á este último caso, vimos que podían deducirse la fórmula de Poisson y la fórmula de Laplace, si bien la demostración concreta y rigurosa de la primera la dejamos para más adelante, porque exige el estudio de las primeras y segundas derivadas de W. Y habíamos anunciado también que, hablando en térmi- nos generales, y como en síntesis, las fórmulas de Laplace, de Poisson, y aun la misma fórmula de Green, comprendían y dominaban en cierto modo los problemas de la electricidad estática, así como veremos en este mismo curso que la fór- .mula de Stokes caracteriza los problemas de la electricidad dinámica. Y hacemos esta observación porque es bueno y es fecun- do reconcentrar en cuanto sea posible los fenómenos de un — 604 — orden de la naturaleza en una fórmula matemática que les dé unidad racional. Esta es una idea por hoy un tanto vaga, pero que ya la precisaremos. Y como hemos dicho, que aunque el título general del pre- sente curso es éste: Cuestiones de Análisis, no por eso hemos de abandonar las aplicaciones. Y así terminado el estudio de la fórmula de Green, y de las que de ella se deducen, á una de sus principales aplicaciones vamos á dedicar unas cuantas conferencias. Vamos á aplicar, pues, dichas fórmulas á la Electro-es- tática. No vamos á estudiar esta rama de la Física Matemática por ahora. El estudio ordenado, metódico y sistemático de la Electro- estática, ya por el método clásico y por las teorias que á él se refieren, ya por los métodos modernos que en cierto modo se inician por la teoría de Maxwell, será objeto de otro curso completo, si á él llegamos. Por hoy, nuestro objeto es más limitado y más modesto: dar un avance de la teoría del equilibrio eléctrico; una no- ción general, una idea de la naturaleza de este problema y del método ó de los métodos de solución que se han apli- cado. No esperen, pues, mis alumnos ni un estudio completo ni una solución completa, que reservamos en lo posible para más adelante. Lo que vamos á exponer es, en cierto modo, un esquema de dicha rama de la Física Matemática. a A AAA A a ti nt se — 605. —- Noción abreviada de la Electro-estática. —El nombre lo dice: La Electro-estática es aquella rama de la Física Mate- mática que se ocupa en el estudio del equilibrio de la electri- cidad ó de los sistemas eléctricos, mejor dicho. En rigor, no sabemos lo que es la electricidad, pero supo- nemos que es un flúido, es decir, materia dotada de ciertas propiedades características. Esta es una hipótesis, y este flúido que imaginamos es algo así como un simbolo, que sustenta y abarca deter- minados fenómenos de la Naturaleza, que en Física expe- rimental se conocen con el nombre de fenómenos eléc- tricos. La Física experimental, la que se funda en la observación y la experiencia, la que determina en cada fenómeno ciertas notas características, por decirlo de esta manera, á que da el nombre de parámetros, y los convierte en números y busca en ellos relaciones analíticas, ha agrupado determinada clase de fenómenos por considerar que tienen entre sí íntima rela- ción, y les ha dado el nombre de fenómenos eléctricos y ha ereado la electricidad experimental. La Física matemática, dado su carácter propio, que expli- cábamos en el primer año de estas conferencias, su anhelo de elevarse á la unidad, su afán de convertir todos los fenó- menos naturales en fenómenos de mecánica, ha forjado una hipótesis, y ha dicho: Todos los fenómenos eléctricos no son más que modificaciones, apariencias, determinaciones pat- ticulares de un flúido hipotético, á que doy el nombre de electricidad; ya antes, desde que la ciencia teórica quiso des- prenderse de la ciencia práctica, había creado otra substan- cia, en rigor hipotética, á que había dado el nombre de ma- teria. Con esta diferencia, que la materia la vemos ó creemos verla, y acertemos ó estemos en el error, para nosotros la materia es la realidad más firme; y á la materia le aplicamos las fórmulas de la mecánira y el cálculo matemático, y for- — 606 — mamos esa gran construcción que se llama astronomía, y aqu. en nuestro mundo, muchas ramas de la Física. Teníamos la materia y la mecánica, para explicar matemá- ticamente el equilibrio y el movimiento de los cuerpos pon- derables. Pues con la electricidad, la Física matemática quiso hacer otro tanto: La electricidad y la mecánica, para explicar todos los accidentes del flúido y todos los fenómenos eléctricos. El dibujo, por decirlo de este modo, es el mismo en am- bos casos: la materia, como substancia, como fondo; la Me- cánica clásica para explicar el equilibrio y el movimiento de las masas. Y en la nueva ciencia de los fenómenos eléctricos, la elec- tricidad como fondo, como substancia material, que aunque no sabemos lo que es, la experiencia nos sugiere la idea de que unas veces está como en equilibrio, que otras veces pasa de un lugar á otro del espacio. Un condensador está cargado de electricidad, y la electricidad en el condensador parece que está sin moverse. Y otras veces el fenómeno eléctrico cambia de sitio, como en el rayo, como en la descarga, como en la corriente. Pues habrá una ciencia del equilibrio eléctrico, que podremos llamar Electro-estática, y otra ciencia, Ó mejor di- cho, otra rama de la ciencia de la electricidad, que por ana- logía podremos designar con el nombre de Electrodinámica. Y siguiendo el paralelíslmo con los fenómenos de la ma- teria ponderable, podremos tener la idea de aplicar á este equilibrio y á este movimiento, de determinados fenómenos, las leyes de la mecánica; pero en esta nueva esfera de hechos eléctricos nos encontramos con una nueva complicación. Porque fijemos bien las ideas. En los fenómenos de la materia ponderable sólo tenemos masas y fuerzas que, aplicadas á dichas masas, ó las man- tienen en equilibrio ó las comunican determinadas veloci- dades. Hemos de contar también con el espacio, es cierto; pero — 607 — el espacio de la vieja mecánica, por regla general, está vacío, es la extensión abstracta, es el espacio geométrico. De modo que, volvemos á repetirlo, en la ciencia que estu- dia los fenómenos de la materia ponderable, tenemos estos tres elementos: 1. Masas. 2.” Fuerzas. 3.” El espacio geométrico. Y las leyes de la Mecánica estudian los fenómenos del movimiento de aquellas masas, bajo la acción de aquellas fuerzas en dicho espacio geométrico. Pero en los fenómenos eléctricos, y una cosa análoga pu- diéramos repetir para los fenómenos magnéticos, si bien en- contramos tres elementos análogos: 1.2 El flúido eléctrico, como flúido único ó como doble flúido positivo y negativo, según la hipótesis de que se parta. 2.” Fuerzas eléctricas que sobre la anterior substancia hipotética actúan. 3.” El espacio en que estos fenómenos han de desarrollar- se; si bien esto constituye, repetimos, un paralelismo casi per- fecto con los elementos que hemos señalado en la vieja me- cánica, nos encontramos, y esto lo hemos explicado muchas veces, con que el elemento espacio ha cambiado de naturale- za: ya no es el espacio inerte, abstracto, el espacio geométri- co en el cual pasa algo, pero al cual no le pasa nada, sino que por el contrario es un espacio activo, es decir, que toma parte importantísima en todos los fenómenos eléctricos: en suma es el éter. El éter que se nos impone como una realidad, pero que á estas fechas no sabemos lo que es, ni qué constitución tiene, -— 608 — ni de qué propiedades goza, como no demos por buenas las que para explicar tales Ó cuales fenómenos le atribuyamos. Los fenómenos, pues, de la nueva Física Matemática y de la nueva Física Experimental, se comprende desde luego, que han de tener una complicación inmensamente mayor que la de aquellos fenómenos que sólo afectaban á la materia, á la fuerza y al movimiento, según los comprendia la vieja hipó- tesis mecánica. Y, sin embargo, siguiendo el paralelismo y obedeciendo á leyes de analogía, que la imaginación y la lógica imponen al entendimiento humano, la nueva ciencia, la de la electricidad (y el magnetismo), se empezó á construir por los mismos procedimientos, que habían servido para construir la ciencia de la materia ponderable. Tenemos, se decía, la substancia ó flúido eléctrico, las fuerzas atractivas Ó repulsivas entre los elementos de dicho ftlúido y el espacio cuajado de éter. Pues apliquemos á estos tres elementos las leyes de la Mecánica, y obtendremos las leyes del equilibrio eléctrico y de su movimiento. Esto se dice fácilmente, y la imaginación nos engaña, sin que nosotros resistamos el engaño; pero esto es inadmisible ante la lógica pura, y es inadmisible ante la realidad. Porque podemos decir fácilmente: apliquemos la mecánica á la electricidad y al éter. Pero la crítica y el sentido común nos salen al encuentro, preguntándonos: ¿Qué mecánica es esa cuyos principios van á aplicarse á la electricidad y al éter? ¿La Mecánica clásica, la de las masas, la de la inercia, la de las fuerzas á distancia, la independiente del estado an- terior? — 609 — Pues esto no es legítimo en manera alguna, porque esa mecánica fué creada, y valga la palabra, para las masas do- tadas de inercia; pero no para la electricidad y el éter, que por el pronto en nada se parecen á las masas ponderables. Aplicar la Mecánica clásica á los fenómenos de la electri- cidad, es algo enorme y estupendo; y suponiendo que al- guna vez se obtengan resultados exactos, aun así diremos que es un atrevimiento formidable. Si las fórmulas de la Dinámica clásica son de este tlpo MES m => dí? en que m representa la masa ponderable de un móvil, es, volvemos á repetirlo, atrevimiento formidable escribir las ecuaciones del movimiento de una cantidad etérea ó eléctrica de este modo: d?x =X, ae en que y signifique una cantidad de electricidad ó éter. Podrá acaso la experiencia ¡justificar este atrevimiento como primera aproximación de los fenómenos eléctricos; pero no por eso dejará de ser grandemente atrevida la hipó- tesis en que semejante paralelismo se apoye. Y, sin embargo, esto se ha hecho en la maravillosa teoría de la luz. Y hoy mismo se habla de energía cinética del éter, cuando es lo cierto que la energía cinética, mientras de nuevo no se la defina y justifique, no es otra cosa en la vieja mecánica que la fuerza viva, y la fuerza viva no existe cuando la masa m se desvanece como masa dotada de inercia. * Y, sin embargo, hoy mismo se está haciendo y diciendo esto por grandes matemáticos y físicos. Y de este modo se z de De 2 determina por algnnos la relación — en los rayos catódicos, — 610 — Más aún: gran número de teorías de la nueva Física ma- temática se deducen de las célebres ecuaciones de Lagrange, que son las ecuaciones más generales de la dinámica clásica, y esto, á su vez, es enorme, porque tales ecuaciones jamás se han demostrado para la ciencia de la electricidad, sino para la Mecánica clásica de las masas ponderables. En suma, se pretende aplicar la Mecánica clásica á una estera de fenómenos (los eléctricos) para los que no fué creada, y, por lo tanto, no fué demostrada su aplicación le- gítima para ellos. | ¿Cómo puede causarnos extrañeza la impotencia que de- muestran muchas fórmulas de la Mecánica clásica respecto álos fenómenos eléctricos, ni cómo puede rechazarse la crítica que con este motivo se formule, ni cómo, por último, causarnos admiración la enemiga que contra la hipótesis mecánica demuestran la mayor parte de los físicos? No; lo que hasta ahora se ha entendido por hipótesis me- cánica no puede aplicarse en buena ley á los fenómenos eléctricos y magnéticos. ¿Pero es esto rechazar en absoluto la hipótesis mecánica; no podrá ampliarse ó transformarse esta hipótesis, sin dejar de ser mecánica, de modo que aplicada á tales fenómenos sea tan cómoda, y tan fecunda, y tan simbólica, pudiéramos decir, como lo ha sido la hipótesis mecánica clásica en la pasada centuria? Y la verdad es que la anterior interrogación está contesta- da por los hechos. La labor inmensa y admirable que de algunos años acá grandes maestros están realizando en la Física matemática moderna, el número abrumador de hipótesis, teorías, memo- rias y libros relativos á electricidad y magnetismo, no son en el fondo más que la elaboración poderosa de una nueva me- cánica, de la cual la antigua sea caso particular y tan gene- ral que pueda aplicarse lo mismo á las masas ponderables que á la electricidad, al magnetismo y al éter, mi GU — Pero en todas estas teorías y en todas estas hipótesis pal- pita la hipótesis mecánica ó varias hipótesis mecánicas; en todas aparece la fuerza, el trabajo, la energía, la velocidad, la energía potencial y la cinética, aunque alguno de estos conceptos deban ser reformados ó transformados ó definidos de nuevo. Donde hay cambio, y rapidez en el cambio, y sucesión de cambios, y causas que lo producen, y en toda esta agitación expresiones invariantes, ó llámense energías, subsiste la me- cánica, y las hipótesis que á tales resultados conduzcan se- rán hipótesis mecánicas. De las afirmaciones que preceden sólo debemos exceptuar la orientación, de la que pudiéramos llamar escuela concep- tualista, y en parte de la escuela energética; pero de una y otra orientación ya hablaremos en momento más oportuno. Acabamos de decir que ha sido atrevimiento enorme la aplicación de la Mecánica clásica á los fenómenos eléctricos y magnéticos, porque la vieja mecánica no fué creada para ellos, y, sin embargo, aun de esta afirmación rotunda algo debemos rebajar. Es atrevimiento estupendo, en efecto, aplicar la dinámica clásica á la Electro-dinámica, es decir, al movimiento de las masas eléctricas y magnéticas de los iones y de los electro- nes, atrevimiento que sólo puede justificarse por el éxito; pero, en cambio, es más natural y, por lo tanto, menos atre- vido, aplicar hasta cierto punto y mediante algunas hipótesis auxiliares, los principios de la estática clásica á la electro-es- tática, sobre todo á la electro-estática bajo su primera forma, como explicaremos en breve. El concepto de fuerza no repugna á las nuevas teorías — 612 — eléctricas, y con él ha de contar la nueva mecánica, de que antes hablábamos, aun cuando, como hemos dicho muchas veces, en la Física moderna el concepto dominante sea el de energía. Pero energía que no se mida por kilográmetros y que, por lo tanto, no cuente con el concepto de fuerza, hoy por hoy, no tiene sentido en la ciencia positiva. Afirmamos esto por nuestra cuenta, sin perjuicio de lo que el porvenir vaya afirmando ó negando, que las afirmaciones absolutas de la razón humana, por lo menos, son peligrosas; pero sea como fuere, el concepto de fuerza, repetimos, y la composición y descomposición de fuerzas y, por lo tanto, su equilibrio, pueden aplicarse con ventaja y fecundidad y sin eran remordimiento á los equilibrios eléctricos y magnéticos, sobre todo, volvamos á repetirlo, bajo la forma primera de la electricidad estática. Porque, al fin y al cabo, el concepto de fuerza lo mismo se aplica á dos puntos ponderables que se atraen, que á dos elementos eléctricos ó á dos polos magnéticos, y en la Ciencia positiva, la fuerza, se mide del mismo modo en todas partes. - Admitamos por hoy este postulado, sin perjuicio de discu- tirlo en otra ocasión. Y volviendo ahora al objeto principal de esta conferencia, sentemos los principios generales de la Electro-estática para hacer aplicación á ellos de las fórmulas antes obtenidas. Hemos indicado ya que en la Electro-estática hay dos ma- neras, si se nos permite este modo de expresarnos, ó digamos también, que enel desarrollo de esta ciencia hay que consi- derar la forma clásica y la forma moderna, diferenciándose substancialmente una de otra, como ya hemos explicado — 613 — con repetición, que en la Electro-estática clásica se conside- ra al espacio vacío é inerte: el espacio es puramente geomé- trico y no interviene por actividades propias en el equilibrio de las masas eléctricas. En cambio, en la Electro-estática moderna, la de Maxwell y Faraday, como el espacio está relleno de éter, hay que contar con él en todos los problemas del equilibrio. Empecemos por la primera de estas hipótesis. Sucinta idea de la Electro-estática clásica.—Se trata de un problema de equilibrio entre elementos del flúido eléctrico, del mismo modo que en la Estática ordinaria se trata del equilibrio de un sistema de puntos materiales Ó de masas grandes ó pequeñas. En rigor, en uno y en otro caso, tenemos elementos mate- riales de substancias hipotéticas, porque tan hipotética es la materia ordinaria como el flúido eléctrico, aunque con la pri- mera estemos, si vale la palabra, infinitamente más familiari- zados que con la segunda. Materia ponderable es lo que nos rodea; de materia pon- derable está hecho nuestro cuerpo; en cada instante, en cada momento, en todos nuestros actos, vemos, tocamos, nos ro- zamos, si vale la palabra, con el mundo material; es de nues- tro trato más íntimo y más constante, hasta tal punto, que : para nosotros la materia ponderable llega á ser el símbolo más firme y más inquebrantable de la realidad. ] En cambio, con la electricidad nuestras relaciones son más excepcionales. O al menos así lo creemos; quiero decir con esto que de la materia ponderable tenemos conciencia continua, y del — 614 — flúido eléctrico, aunque nos bañe y nos penetre, de sus ac- ciones, excepcionalmente tenemos conciencia. Acaso todo esto es pura ilusión. Si ciertas teorías modernas son exactas, la materia ponde- rable es una especie de conglomerado eléctrico; no existe como substancia propia, sino como apariencia, y todo cuanto tocamos y vemos es flúido eléctrico, con disfraces más ó me- nos caprichosos. Pero sea de ello lo que fuere, y volviendo al punto de partida, entre la Estática de la materia ponderable, que es la de la Mecánica ordinaria, y la Estática de las masas eléctri- cas, el problema se plantea de la misma manera. Se dan masas ponderabies ó eléctricas, están aquéllas su- jetas á ciertas fuerzas, y éstas están sujetas á ciertas fuerzas también, y la Estática pretende determinar las condiciones de equilibrio de uno ú otro sistema. Pues la condición de equilibrio es única para ambos casos. Que en cada punto material, sea punto de materia pon- derable ó sea punto de materia eléctrica, la resultante de todas las fuerzas que actúan sea igual á cero; que es como decir, que las tres componentes de estas resultantes sean nulas, ó en la moderna terminología, que el polígono vecto- rial de las fuerzas sea cerrado, ó bien que la suma vecto- rial sea nula, con lo cual tenemos una ecuación en vez de tres. Esta es la ley general de la electricidad estática. Y aquí no varía la Mecánica clásica al ser aplicada al flúido eléctrico. : -Por eso dijimos, que si era gran atrevimiento aplicar las leyes de la Metánica ordinaria á los movimientos del tiúido eléctrico, es decir, á la Electrodinámica, era natural y era legítimo aplicar las leyes de la Estática clásica al equilibrio del fiíido eléctrico. Lo que puede variar y varía ciertamente, al pasar de uno A -- 615 — á otro sistema, es lo que se llaman enlaces, palabra que hoy se emplea frecuentemente, que se aplica con cierta vaguedad á los sistemas eléctricos, y que está tomada por analogía y extensión de los sistemas materiales ordinarios. En los sistemas materiales, los enlaces son materiales también: ruedas, engranajes, palancas; hilos inextensibles, cadenas, toda una maquinaria material en que los enlaces participan de la naturaleza de las masas que enlazan, por- que también tienen masas é inercia. Otras veces se dice: tal punto ha de quedar sobre una lí- nea, Ó tal otro punto material ha de quedar sobre una super- ficie Ó ha de quedar encerrado en un recinto. Pero todos estos enlaces materiales se definen, se deter- minan, y en el equilibrio del sistema se pueden tener en cuenta sin dificultad de ningún género, al menos sin dificul- tad teórica. Pero desde que salimos de la vieja Mecánica y entramos en la mecánica de los nuevos flúidos, si bien algunas veces hablaremos de enlaces, estos enlaces serán ocultos, invisi- bles, misteriosos, y por qué no hemos de decir la palabra propia, mal definidos ó no definidos ni bien ni mal. Muchas veces estos enlaces son hipótesis disfrazadas para sortear dificultades graves; pero sobre esta cuestión no debemos anticipar las ideas, basta, por el momento, con que las hagamos sospechar de nuestros lectores. Y entremos ya en el problema del equilibrio del flúido eléctrico. En último resultado, tenemos un sistema de puntos en los cuales imaginamos elementos, masas, pudiéramos decir, pero excluyendo la idea de inercia de este flúido especial á que — 616 — hemos llamado flúido eléctrico; entre estos puntos, fuerzas, y también pudiéramos agregar fuerzas exteriores, mas en este sucinto resumen prescindamos de ellas. Estas fuerzas serán fuerzas eléctricas de atracción entre elementos eléctri- cos de nombre contrario, de repulsión entre elementos eléc- tricos del mismo nombre. En rigor, el problema es como si fuera de Mecánica clá- sica. ¿Son puntos que han de permanecer sobre una línea ó sobre una superficie, y entre ellos hay puntos fijos? Pues pro- blemas como estos los resuelve la Mecánica clásica á cada momento. Pero lo que aqui varía es lo que llamábamos los enlaces, y esto es lo que da carácter especialísimo al problema de equilibrio que estamos considerando. Como no hemos de tratar la cuestión en general, porque esto queda para cuando estudiemos la Electro-estática con toda extensión, presentemos un ejemplo que dará el tipo de esta clase de problemas. Suponemos el espacio vacío é inerte, y en él podrá haber: i 1.2 Masas eléctricas infinitamente pequeñas ó finitas en puntos fijos. 2. Masas eléctricas fijas á lo largo de curvas. 3. Masas eléctricas fijas también sobre una superficie. 4. Masas eléctricas fijas en los diferentes puntos de un volumen. 5. Cuerpos conductores en estado neutro, unidos ó no á tierra; Ó conductores con cierta carga. Este sería el caso más general; pero á fin de simplificar, sólo supondremos puntos eléctricos fijos sin especificar si están aislados ó en forma contínua sobre líneas, superficies ó volúmenes. Y para simplificar también supondremos un sólo cuerpo conductor, sin carga eléctrica previa y aislado en el espacio. — 617 — De suerte que el caso particular que vamos á considerar es el que marca la figura 21. a representa una masa eléctrica fija. Representamos una como ejemplo; puede haber cuantas se quieran. b representa una curva en cuyos diferentes puntos hay masas eléctricas, fijas también. Y este mismo tipo puede re- petirse. pan c representa una superficie sobre la cual se haya distribuí- Figura 21. do, según cierta ley, una masa eléctrica. Y quien dice de una superficie, puede decir de otras muchas. d designa un volumen en cuyos diferentes puntos pode- mos imaginar masas eléctricas fijas, como en los casos ante - riores. Y puede haber tantos sólidos como éste. Por último, A representa un cuerpo conductor, y lo que de él digamos pudiéramos decir de otro cualquiera. En suma, el tipo que presentamos como ejemplo com- prende masas eléctricas fijas, ya aisladas, ya distribuidas sobre líneas, superficies Ó volúmenes, y además cuerpos con- ductores. Rev. ACAD. DE Ciencias, —VIL. —Marzo, ro1o 43 — 618 — Pero todavía no está definido el sistema, ni, sobre todo, los enlaces, dando á esta palabra el sentido general que antes indicábamos. l ' Entre las masas fijas y los cuerpos conductores se extien- de el espacio, y hemos dicho que en la antigua Electro-es- tática el espacio es neutro, inerte, es puramente un espacio geométrico. Pero ahora debemos confesar que al hablar de su inercia, y al suponer que es puro espacío geométrico, hemos exage- rado nuestro propio pensamiento. Porque el espacio en las antiguas teorías es verdad que nunca es activo; pero en rigor no es puro espacio geométrico, porque es casi siempre un espacio aislador de resistencia infinita. Y bien pronto explicaremos esta palabra. Del equilibrio de las masas eléctricas del sistema a, b, c, d no hay para qué ocuparse, porque las suponemos fijas y para ellas no hay que establecer ecuaciones de equilibrio. No sucede lo mismo con los cuerpos conductores. El sistema eléctrico a, b, c, d ejercerá sobre cada punto del conductor A, por ejemplo sobre el punto (e e”), cierta fuerza; y tendremos para dicho punto lo que antes llamábamos un vector; será el vector eléctrico del sistema a, b, c, d. Pero en el punto (e e”) la electricidad se encuentra en es- tado neutro, es decir, que podemos imaginar dos masas eléctricas de signos contrarios e y e”, una positiva y otra ne- gativa, y en cantidades iguales, según explicábamos en otra conferencia. Decíamos antes que el sistema a, b, c, d determina un vec- tor en el punto (e e”), y mejor dijéramos que determina dos, uno f para el elemento de electricidad positiva e, y otro f' para el elemento de electricidad negativa e”, ambos iguales y contrarios. Estas dos fuerzas descomponen el flúido neutro (e e”), se- paran sus dos elementos, se llevan, por decirlo de este modo, r — 619 — el elemento n en un sentido y el elemento r en sentido contrario. Y lo que hemos dicho para el punto (e e”) del cuerpo con- ductor pudiéramos decir para todos los demás elementos del mismo; por eso el problema del equilibrio eléctrico en la antigua Electro-estática, es un problema de equilibrio de electricidad en los conductores, porque las masas fijas ya están por sí en equilibrio. Resulta del análisis anterior, que en el conductor A tendre- mos masas eléctricas positivas y masas eléctricas negativas separadas como n y n' en todo el espacio del cuerpo. Y el problema del equilibrio es éste: ¿cómo quedan distri- buídas dichas masas eléctricas n, n' cuando el sistema llega al equilibrio? En rigor, el problema del equilibrio no difiere en la Elec- tro-estática de un problema de equilibrio ordinario en la Mecánica clásica. Es preciso que en cada punto del conductor la fuerza sea nula, porque si no lo es, sucederá lo que en el punto (e e”): que se separarán las dos electricidades caminando por el conductor en busca de su equilibrio, por decirlo asi. Pero al hablar de la fuerza que ha de ser nula en cada punto del conductor, es preciso definir esta fuerza y decir de dónde procede. La fuerza en punto cualquiera / procederá del sistema a, b, c, d y además de la acción que sobre el punto / ejercen los flúidos puestos en libertad n, n' ..... que vienen á agregat- se, por decirlo de este modo, á los elementos eléctricos del sistema fijo. Las fuerzas eléctricas obedecen, según demuestra la expe- riencia, á la ley newtoniana de la relación inversa del cuadrado de la distancia, y tendrán, como demostramos en el curso anterior y como se demuestra inmediatamente, una función de fuerzas y una potencial, que es la misma función de fuerzas con signo contrario. — 620 — Luego las tres componentes de la fuerza que actúa sobre todo punto / del conductor se expresarán de este modo: AV OY, dv o al E) siendo V la potencial. Pero entiéndase bien, la potencial producida por las masas fijas a, b, c, d y por las masas n, 1” de electricidad libre, que resultan de la descomposición de la de electricidad neutra del conductor por las atracciones y repulsiones del expresado sistema a, b, c, d. Ahora bien; para el equilibrio del punto /, es decir, para que en él no se descomponga la electricidad, es preciso que dicha fuerza sea nula ó que sean nulas sus componentes. En suma, debemos tener A dx y) dz Pero si V tiene sus derivadas con relación á x, y, z, nulas, resulta que la potencial V es una constante. ; Pues apliquemos al punto / la ecuación de Poisson dv qeoyo: ORAR” dx? dy? dz? =— Ame, en que e es la densidad de electricidad libre en el punto / en cuestión. Y bien, la potencial V es constante; luego sus derivadas segundas, con relación á x, y, z, son nulas. Luego es nulo el primer miembro de la ecuación; por lo tanto, 4ro =0, y por fin o =0, z A A 57 A ON A A — 621 — es decir, que para que exista equilibrio en el punto /, no debe existir en él electricidad libre. En otros términos: las masas eléctricas n y n/....., que Su- poníamos vagando por el cuerpo conductor, no pueden que- darse en ningún punto del mismo; así á medida que se vaya descomponiendo la electricidad neutra, irán desapare- ciendo del interior del cuerpo los dos fluidos, dirigiéndose á la superficie; de donde resulta este teorema importante: En un cuerpo conductor en equilibrio, la electricidad libre, á medida que se va produciendo por descomposición de la electricidad neutra, tiende á salirse del cuerpo dirigiéndose hacia la superficie: Ó abreviadamente, en un cuerpo conductor la electricidad acude á la superficie. - Esto ya lo demostramos en el primer curso para el caso particular de una esfera, ahora lo hemos demostrado en ge- neral; pero no olvidemos las condiciones de la demostra- ción para no darle más generalidad de la que debe tener. La demostración se funda en que la fuerza eléctrica, que suponemos que depende de la relación inversa del cuadrado de la distancia, tiene una función de fuerzas, y, por lo tanto, una potencial, de modo que las tres componentes se pueden expresar por las derivadas con relación á x, y,z de la poten- cial V. Depende, además, de que dicha potencial satisface á la ecuación de Poisson, de la cual se deduce, que la densidad en cada punto del interior del conductor debe ser nula. Admitiendo todo esto, la demostración es matemática, es una demostración a priori, por la cual se prueba que el flúido eléctrico, flúido hipotético, tiene que acumularse en la superficie de los conductores para estar en equilibrio, lo cual se comprueba experimentalmente, como de antemano saben mis alumnos, por experiencias elementales de la Fí- sica. Por lo demás, se comprende que pueden imaginarse flúi- dos hipotéticos en tales condiciones, que para el equilibrio — 622 — no sea preciso su acumulación en la superficie de los cuer- . pos conductores. En resumen, las masas eléctricas fijas a, b, c, d descom- ponen la electricidad neutra del cuerpo conductor en las dos electricidades elementales, positiva y negativa, y éstas no pueden estar en equilibrio si no se acumulan en la super- ficie. Tenemos, pues, resuelta la primera parte del problema de la Electro-estática; pero queda la parte más difícil en el or- den matemático, que es la distribución de los dos flúidos en que se ha descompuesto el flúido neutro, en toda la superfi- cie del cuerpo A. ¿Cuál será esta ley de distribución en la superficie de A, para que los ilúidos positivo y negativo, resultado de aque- lla descomposición, ya que no puedan vagar por el interior del cuerpo, porque entonces no estarían en equilibrio, ni que- darse inmóviles tampoco, porque hemos demostrado que la densidad en el interior debe ser nula, no puedan ni escapar- se al espacio ni deslizarse sobre la superficie? Escaparse al espacio no pueden, porque en esta misma conferencia hemos dicho que el espacio se considera como un aislador perfecto. El espacio puro de la geometría adquiere en la Electro-es- tática antigua la propiedad de no dejar pasar por él la elec- tricidad; si se nos permite esta palabra, podremos decir que pierde su neutralidad y su pureza abstracta para adquirir cualidades físicas. No es activo, pero es resistente y mantiene á la electrici- dad, que llegó á la superficie sobre dicha superficie sin per- mitir que se disipe. De suerte que los flúidos eléctricos que resultan de la des- composición del fitido neutro del cuerpo A no pueden que- dar en el interior del cuerpo, no pueden pasar al espacio y en la superficie han de quedarse. Para el equilibrio completo falta buscar las condiciones = 008 = necesarias á fin de que tampoco se mueva sobre la superficie límite del cuerpo conductor. Y estas condiciones se reducen á la siguiente: Que para cada punto eléctrico que ha venido á parar á la superficie, la fuerza que sobre él actúe, resultante de todas las masas eléctricas, las fijas en el espacio y las móviles del conductor descompuesta normal y tangencialmente á la su- perficie límite, den un valor nulo para dicha componente tangencial. La componente normal ya la destruirá la resistencia del espacio como aislador. Este es el problema cuya solución indicaremos en la con- ferencia inmediata. — 624 — XXXVI.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la fisica matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia novena. SEÑORES: Para presentar un ejemplo de aplicación de la fórmula de Green á la Física Matemática, empezamos á estudiar en las conferencias anteriores el problema de la Electroestática de una manera sintética, y en sus líneas generales, aplazando el estudio de esta rama principalísima de la electricidad para los cursos venideros, si es que llegan. Y aun no dando de este gran problema más que una ligerísima idea, debíamos distinguir lo que llamamos la Electroestática clásica, en la que sólo se contaba con el espacio como aislador, sin atri- buirle ninguna otra energía ni propiedad, y la Electroestática moderna, la que procede de Faraday y Maswell, en que el espacio representa papel importantísimo. Expusimos la forma en que se plantea el problema por el método clásico, tomando para nuestro ejemplo un esquema ó sistema tipo compuesto de masas eléctricas fijas, y un cuerpo conductor, ya en estado neutro, ya con cierta carga inicial. Que las masas eléctricas fijas han de descomponer la electricidad neutra del cuerpo conductor, es evidente, admi- tida la hipótesis sobre la naturaleza de la electricidad que admitía la Física antigua, y que nosotros admitimos para nuestro ejemplo, porque, después de todo, de alguna hipó- AAA — 625 — tesis ha de partirse ó en alguna forma han de expresarse los mismos resultados de la experiencia. Y el problema de la Electroestática se nos planteaba de este modo. El sistema de masas eléctricas fijas actuando á distancia, porque en el siglo pasado ésta era la hipótesis natural, des- compone la electricidad neutra del cuerpo conductor en mul- .titud de elementos positivos y negativos, y se pregunta: ¿En qué posiciones han de colocarse estos elementos para que ellos y las cargas fijas constituyan un sistema en equi- librio? Precisemos más; los elementos del conductor no pueden salir del conductor, porque al espacio le hemos dado la pro- piedad de aislador perfecto. Es la única cualidad que le he- mos concedido. Pero se comprende, que los elementos eléctricos positivos y negativos que no pueden salir del conductor, cuya superfi- cie es como la pared de un vaso ó la envolvente de un re- cinto, gracias á la propiedad aisladora del espacio, se com- prende, repito, que estos elementos, estas especies de molé- culas eléctricas, bajo su acción mutua y bajo la acción de las masas fijas exteriores, se distribuyeran en ciertas configura- ciones geométricas que fueran precisamente las del equilibrio que buscamos. Y esto es precisamente lo que sucedería y podría suceder, si las leyes de las atracciones y repulsiones eléctricas fueran otras distintas de las que expresan las leyes newtonianas. Pero vemos que en este caso la fuerza que actúa sobre cualquier punto del cuerpo conductor, tiene por componen- tes las tres derivadas de una función de fuerzas, ó de una función potencial con signo contrario, y que, por lo tanto, para que el punto esté en equilibrio, para que ninguna fuer- za actúe sobre él y provoque nueva descomposición del tlúido neutro, será preciso que dichas tres componentes sean nulas ó que la potencial sea constante. — 626 — Y aplicando la fórmula de Poisson, que habíamos visto que podía deducirse de la fórmula de Green, dedujimos que la densidad eléctrica en el interior del cuerpo debía ser nula, ó de otro modo, que en el interior de dicho cuerpo no puede existir electricidad libre, y llegábamos de este modo á la si- guiente conclusión: Que en los cuerpos conductores, para el equilibrio eléctrico, es preciso que la electricidad descom- puesta se acumule y distribuya sobre la superficie del cuerpo. A este punto llegábamos en la conferencia anterior, y este problema ó los problemas análogos son los problemas ca- pitales de la vieja Electroestática y los que dan lugar á gran- des desarrollos matemáticos en que han ejercitado su inven- tiva los grandes maestros, desde Dirichlet á Poincaré. ES E * Y recordemos que los escrúpulos que nos asaltaron para aplicar los principios de la Mecánica clásica á los problemas de la electricidad, quedaban á salvo al llegar á este punto por lo que se refiere á la Electroestática, porque el equili- brio de fuerzas sólo depende del paralelogramo de las mis- mas, principio fundamental, y de que se definan bien los en- laces de los puntos. La naturaleza de los puntos á que se aplican las fuerzas, importa poco; lo mismo da que sea una masa ponderable infinitamente pequeña, que una carga eléctrica infinitamente pequeña también, ó si se quiere, un punto geométrico abs- tracto. Con tal que estos puntos sean invariables en su estructu- ra infinitesimal, lo demás importa poco; á puntos geométri- cos se pueden asemejar. Y por eso el problema de Electroestática, que como tipo empezamos á estudiar en la conferencia precedente, al llegar á este momento en que estamos, puede decirse que queda A A A A A A A e — 627 — entregado á la ciencia pura, como vamos á explicar desde luego. Decíamos antes: La electricidad descompuesta en el con- ductor no puede quedar en el interior del mismo, según hemos demostrado y según comprueba la experiencia; no puede salir á lo exterior porque el espacio, como si fuera una substancia aisladora perfecta se opone á ello; pero podrá moverse y deslizarse por la superficie, y esto es lo que hay que evitar para que se establezca el equilibrio. Sea a (fig. 21) una pequeña masa eléctrica de las que han tenido que acumularse en la superficie del cuerpo con- ductor C, y estudiemos las condiciones de equilibrio de este punto. Figura 21. Toda la electricidad descompuesta en el cuerpo C, por la acción de las masas fijas exteriores A, B, D, se habrá acu- mulado en la superficie del cuerpo y formará, por decirlo así, Ó así podremos imaginarlo, una capa electrica a a a” ..... que en unas regiones podrá ser electricidad positiva y en otras negativa - 628 — Esta distribución comprende precisamente una parte del problema. á El equilibrio de esta capa eléctrica se establece con facili- dad suma. Sea a una partícula eléctrica de dicha capa. Sobre ella actuarán por una parte todas las partículas a, ” IZA A is de la capa misma, según las rectas a a”, aa”, Estas fuerzas se calculan con gran facilidad; según la ley de las atracciones y repulsiones eléctricas, basta multiplicar las masas entre sí y dividirlas por el cuadrado de la distan- cia, y en todo caso por un coeficiente constante, que depen- derá de la unidad que se elija. Por otra parte, actuarán también sobre a todas las masas exteriores A, Bb, D....., según las rectas que unen estos pun- tos al punto a. La expresión de estas fuerzas será análoga á la de las anteriores. Ahora bien; para el equilibrio del punto a basta que la resultante de todas estas fuerzas sea normal á la superficie, y que actúe hacia lo exterior, según an, porque de este modo ni podrá el punto a penetrar en el cuerpo, ni podrá salir al espacio, porque el espacio es aislador, ni podrá deslizarse sobre la superficie, porque la componente af será nula. Y en rigor, esta es la condición que debemos expresar. Para expresarla analíticamente, imaginemos (fig. 22) un punto a y una fuerza eléctrica a A actuando sobre dicho pun- to, cuyas componentes serán aB, BC, CA. Y vamos á determinar la componente de aA sobre una recta cualquiera s. | Sabemos que si V es la potencial del sistema eléctrico en el punto a, las componentes de la fuerza eléctrica aA serán A A. AENA O AAA $. — 629 — Y para proyectar aA sobre as no habrá más que proyec- tar las tres componentes; de modo que tendremos para la proyección a4A” de a.A sobre la línea s AA =-— ze COS (x, s) — Leo (y, s) — et cos (2, S). ' dy dz A ERA NE, a La) s Se PS y< Pigura 22. Ahora bien; si sobre as tomamos un punto a” infinitamen- te próximo á a, y hacemos EOS NOMAS DO O EZ resultará evidentemente: cos (x, s) = = cos (y, s) = 2, cos (2,5) = ca s s ds” y sustituyendo en el valor de la componente que buscamos estos valores dV dx dV dy dV dz — 630 — que es igual, por la regla de la diferenciación, á aA* = componente de aA sobre s= — FE ds Luego pata hallar la componente de la fuerza eléctrica so- bre una recta cualquiera, no hay más que tomar la derivada de la potencial sobre dicha recta. Es decir, volviendo á la figura, que la componente sobre la tangente 1 de todas las acciones eléctricas que actúan so- bre a, siendo f una tangente cualquiera, vendrá expresada por y como esta componente ha de ser nula para el equilibrio, esto indica que la potencial sobre la superficie ha de ser constante. En suma, las condiciones de equilibrio en este ejemplo particular, que bien puede generalizarse, se marcan ya fácil- mente: Primero. Es preciso que no quede electricidad libre en el interior del cuerpo conductor, con lo cual la potencial en el interior de dicho cuerpo debe ser constante. Segundo. Es preciso que la potencial sobre la superficie sea constante también. De manera que la distribución eléctrica sobre la superficie debe ser tal, que sobre todo punto de la superficie la po- tencial de todas las masas eléctricas, las de la superficie, como las exteriores, han de dar una potencial constante 7. No conocemos la distribución de la electricidad en la su- perficie; mas para buscar el equilibrio debemos determinarla precisamente con esta condición. — 631 -— Consideremos un punto a de la superficie, y supongamos que la densidad eléctrica superficial en este puto se repre- senta por 0. Claro es que esta densidad es desconocida, va- riará de un punto á otro de la superficie, será, por lo tanto, función de x, y, z, y como en rigor z es función de x, y, de- terminada por la ecuación analítica de dicha superficie, po- demos escribir siendo v una función desconocida. La masa eléctrica en el punto a* será igual á la densidad multiplicada por el elemento de superficie, y representando éste por du, resultará % masa eléctrica en a =3 puntos infinitamente próximos de la misma, constituyendo cada una de dichas rectas, como es bien sabido, un ele- wm mento de la curva. Pigura 1.2 Es de notar que cada uno de estos elementos sustituye al arco que le corresponde, puesto que la diferencia entre la cuerda y el arco, dentro de lo infinitésimo, se resuelve en el cubo del orden de dicho arco, por lo cual resultan dos can- tidades que difieren infinitamente poco entre sí, permitiendo, según los principios que preceden, la sustitución de una cantidad por otra. Sin duda que esos cambios facilitan mucho el planteo de los problemas que se basan en la ley de continuidad, sin que por ello, al llegar á la finitud, sufra el resultado alteración alguna respecto al que se obtendría solucionando el proble- ma por otro procedimiento cualquiera. Estas consideraciones generales nos permiten adelantar algunos conocimientos más acerca de la Geometría infinite- simal. — 649 — Sean, por ejemplo, x.y, las coordenadas del punto m de la curva plana A B, correspondiente á la función f(x, y) = 0. Si los puntos mm, p, q, se hallan á distancias infinitamente próximas, se tendrá que las coordenadas del punto p podrán expresarse por X1 =Xo FAX) > Y =Jo + 4UYo- Asi, las del punto q, por == Hd =%9 HE 2 dx, +: dx? Y? = Y1 + dy, = Yo + 2 dYo + dy? .o o... 0.0. ....o.o .o.o oc 00. 0.0. 0... .1..2.0....02..0...0. - Y, en general, para el punto X,, y y, cabrá escribir, por in- ducción, las fórmulas simbólicas siguientes: Xn = Xo (1 + d)", Yn = Yo (1 + d)”. Los puntos m, p, q..... toman el nombre de puntos conse- cutivos de la curva A B. Bien podríamos afirmar que la idea que acabamos de ex- poner constituye la base del estudio correspondiente al con- tacto de líneas. En efecto, pues si dos líneas tienen dos puntos consecuti- vos comunes, se dice que son tangentes entre sí, resultando un contacto de primer orden; si tienen tres, el contacto es de se- gundo orden, siendo las líneas osculatrices; si tienen cuatro, el contacto es de tercer orden, siendo en este último caso las líneas sobre-osculatrices. Y, en general, si el contacto es del orden n, las dos líneas tendrán n + 1, puntos consecutivos comunes. Según las fórmulas simbólicas halladas, resulta que dos líneas planas tienen un contacto de primer orden en el punto comia Xy = E, Yo Mp, SI Se verifica WN = dE dy, = dno. Ruy. ACAD. DE Ciencias, —VII[.—Marzo, 1910. 45 — 650 — Será de segundo, si se tiene además d xy = 0? E,, dy? = d? np; así continuando. Se comprende que si en vez de tomar diferenciales consi- deráramos las derivadas de las dos funciones y =-E (0), =:448), C N B representantes de las dos líneas XA dadas, claro está que en el punto A e a común x. =0, Yo =M0 Para que existiera un contacto de orden n ! 4 i ! | l ll ' l | sería preciso que las derivadas res- a 6 pectivas de las dos funciones fue- Figura 2.* sen iguales hasta las del orden enésimo. La ley de contactos cabe manifestarla también de un modo gráfico, debiendo sustituir en este caso por grado de aproxima- ción entre las dos líneas, lo que se llama orden de contacto. En efecto, sean las dos líneas A B y C D representantes de las dos funciones y = F(x), y =f(x). Dichas líneas se cortan en el punto M; si suponemos ahora que ab represen- ta un incremento infinitamente pequeño de primer orden dado al valor x= 04, al levantar por b la ordenada, cortará, en general, á-las dos líneas AB y C D, respectivamente, en los puntos N y p; y en este concepto podremos escribir la rela- A Np ; ción siguiente: a de suerte que si se resuelve esta rela- ción en un infinitamente pequeño del orden n, el contacto de las dos líneas será del orden n; todo lo cual indica que la porción de ordenada Np, que separa á las dos líneas, se re- suelve en un infinitamente pequeño del orden n + 1, siendo éste el grado de aproximación de las líneas dentro de lo in- finitésimo. — 651 — En el caso de que la ordenada trazada por el punto b, no encontrara, por ejemplo, á la línea A B, efecto de la situa- ción de los ejes, quedaría salvada la dificultad, trazando un arco de círculo, tal como p q, siendo M su centro y M p el radio, correspondiente á un infinitamente pequeño de primer orden; así, pues, la relación + sustituirá á la anterior Pp N le , Ea resultando idénticas consecuencias para la ley de con- a tactos. Terminaremos estas consideraciones geométricas dando á A ARO Figura 3.2 conocer una propiedad notable respecto á los triángulos in- finitesimales, que tendrá luego su aplicación al estudiar las líneas envolventes. Supongamos el triángulo A BC, siendo c y B, infinita- mente pequeños de primer orden; si desde A se traza la per- pendicular A7/á CB, y con el radio BA, el arco A B' de circunferencia, según la Geometría, se tiene: AC=tibB""»: ATSC bDrA CIC sen Bits 'B, 9 B C 26513 ; CB—AB= = cos B cos B — 652 — de donde resulta que A C y 41 son infinitamente pequeños de segundo orden, resolviéndose /C y CB” en otros de tercero. Así, pues, si no se atiende más que á los infinitamente pe- queños de primer orden, podrá suponerse que el punto A coincida con C, y además AB=CB.: Sin duda que estas ligeras consideraciones que acabamos de apuntar acerca de la Geometría infinitesimal serán sufi- cientes para emprender luego, con buena base, el estudio de las líneas envolventes, como representación gráfica de las integrales singulares. | IM ELIMINACIÓN DE CONSTANTES Y DE FUNCIONES ARBITRARIAS La eliminación de constantes se relaciona directamente con el procedimiento que sirve para deducir de la integral, su ecuación diferencial; empero, para nosotros, tiene más alcance este punto; como quiera que el método especial que expondremos para obtener cierta clase de integrales singula- res, se funda en dar á la ecuación diferencial toda la gene- ralización posible, considerándola como si se tratara de una nueva integral, al objeto de deducir de ella una segunda ecuación diferencial que podrá ó no identificarse con la pri- mera, según los casos, pero que con seguridad podremos afirmar que la integral singular que se encuentre lo será siempre de la última ecuación diferencial hallada. Esta idea que adelantamos sobre nuestro método, indica la necesidad que hay de tratar, aunque no sea más que de un modo breve, la teoría de la eliminación de constantes antes de llegar á la parte principal de esta Memoria. Cuando en una función, además de las variables, entran — 653 — diferentes constantes arbitrarias, se puede deducir una ecua- ción diferencial á la cual satisfagan las variables con indepen- dencia de las constantes. En efecto, sea F(X, y, C) =0, o) representando c una constante arbitraria. Al tomar la diferencial de esta función resulta; LL dx E dy=0 (2) x oy Si eliminamos ahora c entre (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial de primer orden, sín constante alguna, teniendo dicha ecuación diferencial por integral á (1). Si hubiese muchas constantes, tendríamos que diferen- ciar ó derivar la función primitiva tantas veces como cons- tantes hubiera, al objeto de alcanzar la eliminación comple- ta de todas éstas; de suerte, que si n, fuese su número, la - ecuación resultante de la eliminación de todas las constan- tes, sería una ecuación diferencial del orden n. Por último, consideremos una función en que el número de variables independientes supere al de constantes. Sea, por ejemplo, PORN AA RNASO)=08 (3) Al derivar, se obtiene of UE al 9X dz 0 a eo E (4) o. .—.. ......o.. 0... .. 0... ...0..0 — 654 — Empero, como en la función dada, sólo hay dos constan- tes, bastará considerar dos ecuaciones cualesquiera de (4), junto con (3), para alcanzar la eliminación de todas las cons- tantes; de ahí se infiere una cierta indeterminación, pues si z depende de n variables, podrán obtenerse tantas ecuaciones entre derivadas parciales como combinaciones quepan hacer con n, elementos tomados de dos en dos, esto es: n(n— 1) o, 20 Así podríamos extender las consideraciones anteriores para el caso de que aumentaran las constantes arbitrarias, siendo siempre su número inferior al de variables in- dependientes. ELIMINACIÓN DE FUNCIONES ARBITRARIAS La eliminación de funciones arbitrarias guarda íntima rela- ción con la eliminación de constantes. Luego, para proceder á la eliminación de dichas funciones arbitrarias, bastará derivar sucesivamente, á fin de poder alcanzar una ecuación entre derivadas parciales, independien- te de toda función arbitraria, asi como de sus derivadas. A este fin, si se considera la función (1) Fx, y, 27 (0)] =0, siendo o la función arbitraria y % una función, en general, dependiente de todas las variables, al derivar, se tiene (2) e da AE de (8) / 298 28 22 9Xx 22 Xx 9 9 (0) 26 la 22 e E AE TON ELIANE (8) 9y do 902 Dy op(4) 28 de mE >) =.0 Il > - 655 — Entre (1), (2) y (3), se puede eliminar cy EA, con lo cual resultará una ecuación, tal como 9 po) P(x Ns a o ay independiente de la función arbitraria y de su derivada. Así, generalizando el problema, fácilmente se comprende que si la función primitiva contuviera n funciones arbitra- ries, teniendo la forma di Y, 22, (0) La (0,) S0con n (9,,) ) == (00 el número de derivaciones que deberían obtenerse para al- canzar la eliminación completa de las n funciones arbitrarias, junto con sus derivadas, vendría expresado por la fórmula siguiente: m > 2n — 2, siendo m el número de derivaciones. IV TEORÍA GENERAL DE LAS ENVOLVENTES Si consideramos una curva plana f(x, y, a) = 0, encerran- do un parámetro variable a; al dar valores particulares infi- nitamente próximos á a, se obtendrá una serie de líneas que se irán cortando sucesivamente, dando lugar, al unir respec- tivamente los puntos de intersección, á una nueva línea lla- mada envolvente de todas las anteriores, tomando luego el nombre de involutas cada una de las QEUnTAS que han dado lugar á esta última, — 656 — Según esta definición, cabe expresar analítiramente dicha envolvente. En efecto, sea f(x, y, cp) =0 la expresión de una de las líneas involutas por el valor particular del parámetro c,: al incrementar este parámetro, tendremos Fx, y, Cola Co) =0 esta función representa otra linea próxima á la primera. Si formamos, pues, un sistema con las dos funciones ha- lladas, éste expresará el punto de intersección, en general, de las dos líneas representantes de las dos funciones ante- riores. Si de nuevo incrementamos la última constante Co + AC,, pasaremos de la segunda línea á la tercera, deter- minando otro punto de intersección, así siguiendo. Así, pues, al generalizar las funciones anteriores, consi- derando á c, como una variable indeterminada expresada por c, y pasando luego á lo infinitésimo, dará lugar á la se- rie de sistemas siguientes: F(x, y, Cc) =0 (0) f(x, y, c)=0 ? Fíxy,c+Ac)=0 f(x,y,c +A c)—f (Ax, y, c)=0) f(x, y, Cc) =0 | Fx, y, c)=0 | (Xx, Y, C) =0, AL f(x, y, c)=0) Ac f(x, y, C) =0] Fo(x y, c)=0) Ac Este último sistema es el que se refiere á la ecuación de la envolvente; de modo, que esto nos dice que debe hallarse la derivada de la función respecto á c, igualando el resulta- do á cero, para deducir de esta última igualdad el valor de c, que, en general, será una función en x é y, tal como = 0 (x, y); valor que, sustituido en f (x, y, c)=o0, transfor- mará esta función en la siguiente: f[x, y, e (x, y)]=0, sien- do ésta la que corresponde, por fin, á la envolvente. Por consideraciones, tanto geométricas como analíticas, se —A — 657 — prueba que la tangente en un punto de la envolvente corres- ponde con la de la involuta que pasa por dicho punto. Según la construcción geométrica, Si Cy, C,, C,z SON tres posiciones consecutivas de la involuta, los puntos <,, «, son de la envolvente, correspondiendo dicho elemento de curva con el de la involuta c,, de donde resulta que la tangente en dicho elemento, es comú á la involuta y á la envolvente. Figura 4.2. Si por otra parte nos refiriéramos á la parte analítica, ten- dríamos para la tangente á la involuta, la ecuación dife- rencial IN IN (1) 9X dy dx Ahora bien, para la envolvente | Fx y, 9 (xy) =0, la expresión de la tangente sería e) e) 9 ex 9 p Ey Y | e ilieiid ER aci x dy dx 9 X 9x dy dx empero como se tiene — 658 — en definitiva, se deduce ELE AOS A eii resultado exactamente igual á (1), lo cual nos manifiesta que la tangente á la involuta y á la envolvente en el punto con- siderado, es la misma. + * * A este punto interesa dar á conocer las relaciones íntimas que existen entre las teorías de la eliminación de constantes y la de las líneas envolventes. Para ello, supongamos la función Fx, y, o) = 0, | (1) en el concepto de que x, y y a sean variables. Al diferenciar, se tiene 9 9 10 saña E e dy E a pc 9X dy da Si se considera el último término nulo, se obtiene O A (2) 9X 9y gl ab Así, pues, al eliminar a entre (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial, independiente de x, la cual debe que- dar satistecha por todas las curvas de la serie, en el supues- to de que el último término nulo proceda de da = o, siendo este resultado el que corresponde á la eliminación de la constante. e | Empero, si el término nuló procede de (659 = Ed, (3) oz entonces, al eliminar «a entre (1) y (3), se obtiene, por ejemplo, F(x, y) = 0, dando origen esta expresión á la en- volvente, la cual goza de la propiedad de satisfacer también á la ecuación diferencial anterior. En efecto, al diferenciar la función f(x, y,-a)=0, resulta: A O 9X 9y da empero, como por hipótesis se tiene E 0 O, da se deduce Po) lo) Í dx + Pay =0 9 9y Así, el sistema E) Fx, y, a) =0, y 10 queda sustituido por el siguiente: F(x,y, a) =0, LL ax ds AL dy=o, 9X 9y el cual no es más que el primitivo (1) y (2), debiendo pro- ducir, por consiguiente, la misma ecuación diferencial des- pués de eliminar «. Sin embargo, aunque en ambos casos la ecuación diferen- cial es la misma, en el primero, la expresión 2 indicaque — 660 — la tangente se refiere á la involnta; y en el segundo, á la en- volvente. Para apreciar debidamente la menes de la teoría respecto á las líneas envolventes, pondremos algunos O dá | _Sea la ecuación » primitiva Fs 3/0) y Ulead, ellas luego al considerar Lomo) a y al eliminar « entre (1) y ( 2), se obtiene x?—4y=0. De este resultado se infiere que la envolvente de las dife- rentes rectas expresadas por (1) es una parábola que tiene su vértice en el origen, y cuyo eje coincide con el de y. 2.” La importancia de esta teoría sube de punto cuando aumenta el número de parámetros en la función primitiva, y para demostrarlo supondremos el ejemplo siguiente: (3) Er 020) (4) 9 (a, c)=0)' En este caso, para hallar la envolvente pueden seguirse dos procedimientos distintos: 1.2 Eliminar uno de los dos parámetros, á fin de que el problema quede reducido al anterior. 2.2 Diferenciar las dos funciones anteriores, consideran - do, por ejemplo, c función de «. Según este segundo procedimiento, se tiene ap af 6) elle [Fa o Así, pues, al eliminar « y c entre (3), (4) y (5), se obtie- Figura 5.2 ne una sola ecuación en x é y, que representará la envol- vente. Apliquemos estas consideraciones al caso siguiente: Sea una recta AB de longitud constante /, moviéndose sus extremos sobre los ejes coordenados. MA Según la Geometría analítica, tendremos - aC SN La Jacobiana (5), se reduce á . — 662 — e a 2 A Y. 2a, 28 a p2 de donde ne A er y 3 luego, en virtud de (B), se tiene 1 e PX Dl A NOT ECONÓ ar OOO TS EE (es +y3)7 (+3 + y3)7 | e 3 Por fin, al sustituir estos valores en (A), se encuentra siendo esta ecuación la de la envolvente. Conforme advierten algunos autores, para que haya en- volvente es preciso que dos curvas consecutivas se encuen- tren, de modo que hay que considerar á lo menos dos valo- res para a en la función F(<, y, 2) =0. Mas suponiendo dos involutas infinitamente próximas, siendo la ecuación en « de segundo grado, deben conside- | rarse iguales las raíces de la misma para que resulte un ele- | mento común con la envolvente. | Si aplicamos estas consideraciones al ejemplo primero y+ax+al=0, — 663 — se obtiene yJeS0 —xHVx2—4y 2 de donde, para que las raíces sean iguales, debe suponerse, xi —24y=0. Resultando asi inmediatamente la misma ecuación de la parábola hallada anteriormente. Hay que advertir, sin embargo, que las condiciones que hemos indicado para la determinación de la envolvente pueden considerarse necesarias, pero no suficientes, como vamos á probar mediante los princi- pios analíticos y geométricos dentro de lo infinitésimo, expuestos ya ante- riormente. Fijémonos ante todo en los dos con- ceptos en que se puede considerar la envolvente de varias líneas que van cortándose sucesiva- mente. Sean las líneas G, G, G, como involutas infinitamente próximas dos á dos. Según lo que precede, el elemento a¿4,, lo mismo puede considerarse de la curva involuta G, como de la envolvente, empero para demostrar mejor cier- tas anomalías, aunque aparentes, que se operan en el estu- dio de la envolvente, entendemos que sería útil considerar la formación de ésta, tal como indica la segunda figura ad- junta, esto es, considerando el elemento envolvente expre- sado por la recta nm, ó sea por la porción de tangente común á las dos involutas G¿G, infinitamente próximas; esto equi- valdría á suponer que el punto a, se trasladará á a”,, por me- dio de una perpendicular trazada desde a, á nm, y en el cop Figura 6.* — 664 — cepto de que los dos elementos de curvas involutas na, y ma, se sustituyeran por na”, y ma” ,, respectivamente, todo lo cual será posible cuando a,a”,, se resuelva en un infinita- mente pequeño, á lo menos, de segundo orden, siendo na”, y ma”, y los ángulos ayna”, y ama, infinitamente peque- ños de primero, conforme se demostró ya al estudiar un triángulo infinitesimal bajo las mismas condiciones. Pigura 7.* r Esta conclusión equivale á considerar los elementos de las involutas consecutivas, coincidentes con el correspon- diente de la envolvente; y por ende, que las dos raices a del caso último estudiado, siendo iguales tengan una tangente común para las dos involutas consecutivas en el punto con- siderado. Sin embargo, no siempre que se tenga una línea como resultado de la unión de puntos comunes de involutas, que tengan dos á dos tangentes comunes, se podrá afirmar que “sea una envolvente de ellas, pues si al formar el triángulo n 2, m no resulta a, «', de un orden superior á los lados 1 a, y m ay, no podrá considerarse dicha línea como envolvente de las involutas dadas. | " Para formarse cargo de esta conclusión, será suficiente atender al ejemplo siguiente. Sea la ecuación de la circunferencia f(x, y, a) =(x— a) + y? —r?=0. (1). - ¿Siguiendo el procedimiento general para hallar la envol- vente de las diferentes circunferencias que resultan al variar AT — 665 — el parámetro «a, teniendo todas el mismo radio y los centros en diferentes puntos del eje x, resulta: of da =x—a=0; de donde, al sustituir este valor en (1), se obtiene y?— 1=0. (a) Figura 8.? Esta es la ecuación de la envolvente, resolviéndose en dos rectas paralelas al eje x, y á las distancias r y — r del origen Mas si nos fijamos en la disposición de la segunda figura adjunta, cabe considerar también el eje x, ósea y = 0, como una línea que une puntos comunes de dos en dos las involu- tas, que tienen tangentes comunes, y á pesar de ello no se Rzv. AcAD, Di Criencias.—VI1.— Marzo, 1910. 46 "66h = puede considerar envolvente, ni -que un punto de' ella, tal como C,, vaya á coincidir con.C”,, pues el triángulo n' C, m, no se halla, en este caso, en las mismas condiciones que el n ay m de la figura anterior, no sólo porque las tangentes á las involutas y á la envolvente no pueden coincidir, sino porque la perpendicular C, C”, á la tangente común n' m' á las dos involutas correspondientes, resulta del mismo orden cero, que los lados n'C, y m “Co, condición contraria á la supuesta para puntos de la verdadera envolvente. Además, si pasamos á la determinación de la ecuación diferencial que corresponde á (1), al derivar ésta, según x, se tiene A) +y 2H) =0, li (2) de donde eliminando a entre (1) y (2), resulta puro ye 1 aF a => ras (3) ax siendo esta la ecuación diferencial de (1). Ahora bien, si derivamos la ecuación de la envolvente hallada (a), se obtiene Ecuación que queda O aj dos conceptos diferen- tes, esto es, ie siendo y=0 ».Ó —-=0. Si sustituímos el primer valor en (3), fácilmente se com- -prende que no satisface á dicha ecuación, confirmando este esultado analítico: el obtenido ya: por la Geometría, ó sea, A A SS A = que y = 0, no se puede considerar como envolvente Ide las circunferencias, por más que satisfaga dicho valor á la deri- vada de la ecuación de la envolvente. En cambio, el segundo valor E = o, sustituido en (3), Xx da IES expresión que corresponde: con la misma ecuación de la verdadera envolvente hallada. Si se tratara, por último, de la envolvente de una serie de superficies dadas por la fuución Fly, 28) =0; siendo a un parámetro variable, para determinar dicha en- volvente podría seguirse un procedimiento completamente análogo al anterior. Así, pues, si consideramos el sistema F(xy2z2+24a)=0, F(x,y,2,9)=0, representante de la línea de intersección de las dos superfi- cies, correspondientes á cada una de las funciones anterio- res, al pasar á lo infinitésimo, la. línea que resulta toma el nombre de característica; siendo ésta una de las generatrices de la: superficie envolvente. A Para la determinación de la ecuación de esta superficie transformareníos, pues, el Sistema “anterior del modo que á continuación se indica: - EEC. yz, Eso 2) FG3 es 5 AN 6 Ey ES > ) pe yz DO o Y el cual, pasando á lo infinitésimo, da: 92F Ñ Ea =0 (Q F (x, Y, 2, De (1 Luego al despejar a de (2), se obtiene a =f (% y, 2); y, por fin, eliminando « entre (1) y (2), resulta: Flxy,2, f(%,y,2)]1=0. (3) Esta es la ecuación de la superficie envolvente de toda la serie de superficies dadas por la función (1). La superficie envolvente es tangente á la superficie invo- luta que corresponde al punto de la característica que se considera. Para demostrarlo, es suficiente tomar, respectivamente, las derivadas de (1) y (3), de donde resulta: o9F oF 22 IX AO sE (4) 9F 9F 92 A 9x 202 9x of Xx 22 IX le) Aina LE Anto pedo wlan» sl, ay. az ii 92 a Pero (4) y (5) se correponden por ser 9 lo) E ea 01 (6) 2. da — 660 — Luego el plano tangente en un punto de la característica respecto á una involuta es el mismo que el que corresponde á la superficie envolvente en dicho punto. De lo que precede se deduce, como consecuencia impor- tantante, que si se elimina a entre (1) y (4), se obtiene una ecuación diferencial referente á una cualquiera de la serie de superficies involutas, la cual conviene también con la de la superficie envolvente, puesto que las ecuaciones (5), se re- ducen á (4), en virtud de (6). + Así, pues, el sistema (1) y (5), que corresponde á la su- perficie envolvente, queda reducido al mismo anterior (1) y (4), debiendo resultar la misma ecuación diferencial en ambos casos. En las superficies envolventes pueden presentarse las mismas consideraciones que en las envolventes de líneas planas estudiadas, para lo cual bastará cortar debidamente por un plano las dos superficies involutas consecutivas, jun- to con la envolvente, para que se origine un triángulo mixti- líneo, de cuyo estudio, dentro de lo infinitésimo, se puede deducir si la superficie que se considera es ó no una envol- vente de las superficies involutas dadas. (Continuard) — 610 — ¿KXXIX. —Nota sobre la Scapania Casaresana St. y las ES españolas. POR A. CASARES GIL. Scapania Casaresana St. 1, sp. «Dioica, mediocris, olivacea vel flavo-rufescens. Caulis ad 3 cm. longus, fuscus, validus, simplex vel pauciramosus, ramis parvifoliis. Folía caulina contigua recte patula, plus minus decurva, in plano longe elliptica, 2 mm. longa, 1,12 mm. lata, brevi basi inserta, apice late rotundata, ubi- que regulariter denticulata, dentibus pluricelluraribus; ca- rina substricta 0,7 mm. longa. Lobulus maximus, ovatus, apice late rotundatus, infernevalde ampliatus et folii margi- nem late superans, ceterum similiter dentatus, ipsa basi qui- — 6711 — dem'grosse spinosus, spinis denticulátis. Cellule supere 18 y. tener, medie 18 < 27 y trigonis parvis, basales 27 <36 y trigonis maximis. Perianthia magna 4 mm. longa, compressa decurva, in plano optime angusteque infundibulata, ore re- -gulariter lobato, lobulis triangulatis, acutis minute dentatis. Hab. Hispania, Madeira» (1). La descripción que da el abate Boulay de la Scapania re- supinata (2) pudiera corresponder, forzándola un poco, á la S. Casaresana, pero lo mismo sucede á la $. gracilis, S. nim- bosa y alguna otra. Además, el nombre “de “S.: re3upinata Dum. se ha hecho sinónimo de la S. dentata del mismo Du- mortier, y la descripción de la S. resupinata, según Boulay, no concuerda exactamente con los caracteres de la S. denta- ta. Y aún más; la denominación de S. resupinata se aplicó también por otros autores á la S. aspera, S. undulata, y á variedades. de la S. nemorosa y: S. cequiloba, reinando tal confusión en este punto que es mejor abandonar el nombre de $. resupinata y adoptar su sinónimo S. dentata Dum., que no se presta á tantas confusiones. Esto es lo que hace el sa- bio hepaticólogo F. Stephani en la revisión á que ha some- tido últimamente al género Scapania. Por ahora no se encontró la S. Casaresana más que en Galicia y en la Isla de Madera. Por lo que dicho queda, es muy posible que su distribución sea más extensa y que se halle en otras localidades del N. de España y que también crezca en Francia, pasando confundida con otras especies y englobadas todas en la S. resupinata Dum., según el con- cepto de los bryólogos franceses, á partir principalmente de los trabajos de Douin (3). La primera vez se la remití al eminente bryólogo F. Stephani con otras hepáticas del Valle (1) F. Eat Species hepaticaram. Tomo IV (en publicación), página 136. (2) L'Abbé Boulay: Muscinées de la France 11 parte. Hepatiques. (3) Rev. bryol., 1901.—Núm. 2. 08 — de Moraña (Pontevedra). Este sabio la estudió y la ha dado el nombre que ¡leva en honor mío. Puede decirse que las Scapanias españolas son del Nor- oeste de España; algunas se extienden por el Norte de la Península hacia el Este; una sola también hacia el Mediodía (S. nemorosa Dum. (1), y por excepción la $. aspera Bernet, no se ha citado hasta la fecha más que en Mallorca. Según los datos que hoy tenemos de las especies españo- las, pueden distribuirse del siguiente modo: Scapania compacta (Roth.) Dum. Galicia, Navarra (2). » tulíginosa (Sw.) Dum. Galicia. » curta (Mart.) Dum. Galicia (3). » aspera Bernet. Mallorca (4). > undulata (L.) Dum. Galicia. > nemorosa (Mich.) Dum. Galicia, Navarra, Cata- luña y en las sierras del centro y Sur. » cequiloba (Schwegr.) Dum. Galicia y Cataluña. » Casaresana St. Galicia. Aunque las Scapanias, como la mayor parte de las hepá- ticas, son bastante exigentes en condiciones de habitat, li- mitándose muchas veces á un pequeño espacio en el fondo. de un barranco sin aparecer en oíros sitios cercanos, al pa- recer en iguales condiciones, sería muy extraño que no cre- ciesen en Asturias, Santander y provincias Vascongadas. Si no se citan en estos sitios, es seguramente porque no se las ha buscado. (1) «Habita en sitios sombríos y húmedos de varias provincias, y principalmente de las septentrionales... Andalucía...» Colmeiro: Enum. y revis. de las plantas de la Peníns. Hispano-Lusitánica. -(2) Lacoizqueta: Catál. de las plantas del Valle de Vertizarana. (3) Citada por Colmeiro 1. c. (Non vide). (4) Nicholson: Contrib. to a list of the mosses and hepat. of Ma- llorca. (Rev. bryol. 1907.—Núm. 1). — 613 — XL.—Viaje de estudio á la Guinea española. Observaciones acerca del «Trypanosoma gambiense» y algunos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales. Por GusTAVO PITTALUGA (Continuación.) 100! En los momentos que preceden ó acompañan la partición del cuerpo citoplásmico, en el proceso esquizogónico de los Trypanosoma, se aprecia claramente la independencia del corpúsculo basilar del flagelo y del aparato nuclear en su conjunto, esto es del trofo - y del kineto - nucleo. Entonces acontecen, en ciertas formas, los fenómenos de autogamia. La masa nuclear se desdobla, y el blefaroplasto aparece todavía casi totalmente único, ó se hace apenas visible su diferenciación en dos pequeñas masas cromáticas, una de las cuales poco después se acerca al centro, y por fin se funde con la masa nuclear anterior. La masa nuclear posterior, que resultaba del desdoblamiento de la primitiva, se resuelve en- tretanto en pequeños cuerpos cromáticos, constituye un re- siduo cromidial y se esparce en la totalidad del citoplasma, verificándose así una verdadera reducción nuclear, á conse- cuencia de la cual no sabemos si los materiales cromáticos expulsados serán destinados á sufrir una verdadera excre- ción ó bien si quedan almacenados en el citoplasma como acontece en los Amébidos. A los hechos ahora apuntados se deben en parte aquellas formas que han sido descritas como «Trypanosomas sin — 614 — blefaroplasto» (Blepharoplastlóse) (*); se trata, pues, cier- tamente, de formas que atraviesan ese período evolutivo, en que el Blefaroplasto Ó Kinetonúcleo se ha Tundido con la masa nuclear. - Las relaciones del flagelo con el blefaroplasto tienen gran importancia en la morfología de la célula. Con observaciones detenidas se logra, en efecto, convencerse de que á la termi- nación del borde de la membrana ondulante, en las proximi- dades inmediatas del blefaroplasto, existe una especie de pe- queña bola, un cuerpo cromático independiente de todo pun- to del blefaroplasto mismo. Trátase, pues, de un aparato procedente de una diferenciación del protoplasma sin verda- deras relaciones de homología con los materiales cromáti- cos que constituyen la masa del blefaroplasto y que desde luego son de origen nuclear: Porquéeste microscópico apa- rato locomotor ofrece la reacción colorante de la cromatina, es dificil averiguar en el actual estado de nuestros conoci- mientos acerca de la química celular. Pero cabe todavía pre- guntarse si efectivamente esta reacción á las substancias co- lorantes es idéntica á la de la cromatina del trofonúcleo y del kinetonúcleo, ó bien si se trata de un tono parecido debido en realidad á impregnación acidófila prevalente. De estas cuestiones, que se relacionan con el aparato loco- motor de los protozoos y de los protistas en general, se han ocupado recientemente varios autores, entre ellos YAMAMO- TO (**) en el Instituto de Medicina tropical y naval de Ham- - bourg, el cual ha comunicado un procedimiento nuevo de coloración que ha dado resultados interesantes, y que en comparación con los métodos de LOEFFLER para la coloración de los flagelos, de GOLGI, de VAN ERMENGHEM, de ZETTNOW, (*) V. WERBITZKI-Centr. f. Bakt., 1910, Febrero, págs. 303, 315. (**) Ueber den Lokomotionsapparat der Protistenzellen. Von BR. JUNIJ YAMAMOTO (de la Univers. ES ri Centr:! Í. Bart; Bd, 58, H::1., 23"Diciembre 1909, pág.:38).. of oble nd sup 3aniol y con el clásico de la hematoxilina férrica de HEIDENHEIN, re- vela algunas particularidades de estructura dignas de nota, El procedimiento de YAMAMOTO consiste: 1. En recoger con una asa de platino una pequeña canti- dad de clara de huevo muy diluída, extenderla sobre un cu- bre-objetos y mezclarla con el material de estudio en una capa muy delgada. Los preparados así hechos se dejan secar al aire y se pasan luego rápidamente á la llama. Tratándose del estudio de los Trypanosomas hemáticos es indispensable recurrir á previa centrifugación del material recogido en so- luciones de citrato sódico, para obtener cantidades suficien- tes de parásitos. ) 2. Se dejan estas preparaciones durante veinticuatro ho- ras en una solución 5 por 100 de nitrato de plata en termos- tato (sumergidas en cápsulas de Petri). 3. Se pasan las preparaciones durante diez minutos | en la siguiente solución reductora: Acid pyrogallició Moe ans 2,00 Acid, tannici. ....... tE 1,00 Aquadestillo..; co etico e AA EA 100 Esta solución puede emplearse á las veinticuatro horas, mejor que si estuviera hecha en el momento. _Las preparaciones aparecen entonces con un precipitado negro, que desaparece lavándolas rápidamente en agua, ó que se quita pasando con suavidad sobre el preparado un. papel de filtro impregnado de agua. Por fin, se secan y se montan en bálsamo. "YAMAMOTO ha estudiado con este método, que en nuestras manos ha sufrido algunas modificaciones, el Vibrion del có- lera, Spirillum sputigenum, Spirochaete, Trypanosoma, Tri- chomastix, Trichomonas, Bodo lacertae, Mastigamaeba, Opa- lina ranarum, Colpidium, Espermatozoos de varias especies. La demostración de un corpúsculo basal ó granulación ba- silar («Basalkórner») en relación con los flagelos es definiti- pl va con este método. El cual, al propio tiempo, permite de- terminar la existencia, de otro corpúsculo, en la extremidad terminal ó distal, libre, del flagelo, esto es, de una pequeña bolita ó expansión puntiforme, que efectivamente se aprecia también en muchas formas de Trypanosoma, y en nuestro caso en ejemplares numerosos de Trypanosoma gambiense, con suficiente claridad. En cuanto se refiere á los tripanosomas, la observación minuciosa del borde filiforme de la membrana ondulante, elástico, bien definido, conduce YAMAMOTO á afirmar que el Blefaroplasto no tiene nada que ver con sus movimientos. La función del movimiento en los Trypanosomas es del todo independiente del entoplasma y del núcleo. Según las conclusiones y la exacta frase de YAMAMOTO, la parte intermedia que une los dos corpúsculos basilar y distal, esto es, el filamento que en los Trypanosomas consti- tuye el borde de la membrana ondulante y se continúa en el flagelo, no es más que la expresión de una persistente cen- trodesmosis de los centriolos, un producto de la división de estos últimos, los cuales, se estiran alejándose el uno del otro y dan lugar al filamento alargado antedicho. El desdoblamiento de este aparato en el proceso de divi- sión esquizogónica de los Trypanosomas, es autónomo, es independiente de los fenómenos de autogamia y de partición nuclear; es, en otras palabras, sencillamente la expresión del fenómeno de división citoplásmica en su parte ectoplásmica. Cuando esta división—manifiesta por la existencia de dos membranas ondulantes con sus bordes espesos—se halla ya adelantada, puede aparecer todavía único—como se ha vis- to—ó apenas partido el Blefaroplasto, que en estos casos procede de una anterior fusión autogámica de las masas cro- máticas del trofo- y del kineto- núcleo de la celula madre. => MINCHIN, en una Memoria de suma importancia (*), pu- blicada en los Proceedings de la «Zoological Society», de Londres, y acompañada por cinco excelentes láminas, pone de relieve el hecho que, dejando secar directamente la san- gre extendida sobre los cubre-objetos sin una previa fijación - rápida, algunas formas de hemo-parásitos se alteran consi- derablemente. MINCHIN habla, es verdad, en particular de los parásitos del género Trypanoplasma; es más, hace observar que los del género Trypanosoma se mantienen bien y se ti- ñen normalmente, aunque se sometan los cubre-objetos á una desecación inmediata; pero de todos modos, nosotros creemos, á consecuencia de nuestras observaciones, que en realidad sea muy preferible adoptar el procedimiento em- pleado por MINCHIN en el estudio de los Flagelados de los peces, y que consiste esencialmente en exponer durante 30-60 segundos á la acción de los vapores de una solución 4 por 100 de ácido ósmico los cubre objetos apenas exten- didos, procurando que no se hayan secado todavía. Se co- locan para ello pocas gotas de la solución 4 por 100 de áci- do ósmico en el fondo de un pocillo, y encima, con la supet- ficie que lleva la capa de sangre hacia abajo, se coloca el cubre-objetos. En seguida, en cuanto han pasado los 30-60 segundos, el cubre se traslada al alcohol absoluto. Las pre- paraciones así fijadas se tiñen bien con el Giemsa, con tal de dejarlas un tiempo mayor bajo la acción del colorante, Nosotros solemos dejarlas 24 horas. Es cuanto. se requiere generalmente con todas las preparaciones sometidas á la ac- ción del ácido ósmico. MINCHIN sostiene que las apariencias del trofonúcleo y del kinetonúcleo, particularmente de este último, en las prepara- ciones teñidas con Giemsa, no corresponden á la verdad en (*) Observations on the Flagellates Parasitic in the Blood of Freshwater Fishes—by Prof. E. A. MINCHIN—(Proceedings of the Ge- neral Meetings Zoological Society of London. 1909. Junio, pág. 230, con cinco láminas.) : — 618 — cuanto. se refiere á las dimensiones. Comparando esas pre- paraciones con las hechas con Hematoxilina férrica, la dife- rencia es evidente. En estas últimas siempre las dimensiones son menores. Esto acontece, según MINCHIN, porque la im- pregnación de la Cromatina en la reacción de Romanowski no se limita exactamente á la masa de los cuerpos cromáti- cos, sino que, en realidad, se extiende alrededor de su superfi- cie, dando lugar á la formación de una verdadera capa peri- férica que aumenta las dimensiones exactas de los cuerpos. De esto depende, con toda evidencia, que generalmente el Blefaroplasto, aparentemente aumentado de volumen, se confunda con la inmediata extremidad puntiforme del borde de la membrana, y aparezca como una sola cosa con ella. PLIMMER y BRADFORD (Centr. f. Bakt.Bd.26, 1899, pág. 440 y Quart. Journal of microsc. Sciences, vol. 45, 1908) ya des- de el año 1902 observaron y describieron en el Trypanoso- ma de la Nagana dos modos de multiplicación: uno directo ó agámico por división longitudinal (esquizogonia precedida á veces por autogamia), y otro precedido por un proceso de conjugación con desarrollo de cuerpos pas amiboi- deos el cual se verifica en el bazo. Desde entonces las observaciones acerca de la formación de gametos en los Trypanosoma han ido multiplicándose. Merecen ser recordados en particular los estudios de OTTO- LENGHI, que ha descrito macro- y micro-gametos, y ha sor- prendido al parecer algunos momentos del proceso de con- jugación de estas formas. En muchas preparaciones de Trypanosoma gambiense, en particular en las de sangre de animales recientemente inocu- lados y. de especie distinta de la originaria, hemos encontra- do, efectivamente, formas tan alejadas del tipo normal, que 3 Ñ A — 679 — difícilmente podrían interpretarse como pertenecientes á este Trypanosoma, si no tuviéramos la absoluta seguridad de su procedencia. Entre estas formas abundan algunas sumamente alarga- das y delgadas, de extraordinaria movilidad; ágiles y esbel- tas en preparaciones directas en fresco, en preparaciones teñidas aparecen con kinetonúcleo muy alejado de la extre- midad anterior, y trofonúcleo ovoideo de dimensiones con- siderables; flagelo libre, largo y delgado. El aspecto carac. terístico de estas formas, en comparación con el del tipo morfológico ordinario del Trypanosoma gambiense, es el que se reproduce en la adjunta figura esquemática. Al propio tiempo se encuentran en las mismas prepara- ciones formas gruesas y cortas, recias, de aspecto macizo, dotadas de escasa movilidad en las preparaciones directas en fresco, con kinetonúcleo muy teducido, puntiforme y fla- gelo apenas esbozado, generalmente acompañado hasta el extremo límite por un borde de protoplasma espeso. — 680 — En nuestro entender, aquellas primeras deben realmente interpretarse como formas de gametos masculinos (micro- gametos); éstas últimas como formas de macrogametos. Ahora bien; estas formas sexuadas, ¿son destinadas á desarrollarse tan sólo en un huésped definitivo, distinto del vertebrado; ó bien pueden dar lugar á un ciclo esporogóni- co en el mismo huésped, en el mismo torrente circulatorio, produciéndose quizás una invasión de los hematies y un ci- clo endoglobular del parásito? Tal es la cuestión importantísima que con distintos proce- dimientos se intenta resolver por diferentes investigadores. Cuestión que, por otra parte, no atañe solamente al Trypa- nosoma gambiense, sino que en general abarca la totalidad de estos flagelados parásitos. Aun cuando no nos sea dable por ahora aportar datos de- finitivos, capaces de resolver el problema, no dejaremos, sin embargo, de consignar los resultados de los estudios de estos últimos años y de nuestras personales observaciones á este propósito. BATTAGLIAha publicado una serie de trabajos acerca de un Trypanosoma de los murciélagos (Trypanosoma vespertilio- nis) y del Trypanosoma Lewisi (Dr. MARIO BATTAGLIA—A]l- cune ricerche sopra due Tripanosomi: Tr. vespertilionis, é Tr. Lewisi—en «Annali di Medicina navale», Roma, Novembre 1904), y recienteme ate del Trypanosoma de la Nagana (Eini- ge Untersuchungen iiber das Trypanosona Nagana — en Centralblatt f. Bakter., Orig. LI, 2, 7 Enero 1910, pág. 113), en los cuales describe un ciclo endoglobular del parásito. (Véase también «Annali di Medicina navale e coloniale», 1908, número 6; y Centr. f. Bakg. Bd. 47-49, 1908) Formas parecidas á las que BATTAGLIA describe, especial- mente en esta última Memoria, y á las que MOORE vió duran- te sus investigaciones en la Trypanosomiasis del ganado va- cuno en la Nigeria, hemos encontrado nosotros en los ani- males infectados con el Trypanosoma gambiense, ] =. 68h — Se trata de pequeños cuerpos esféricos y ovoideos, á veces en forma de «comas» con gruesos gránulos refringentes, que en preparaciones teñidas adquieren coloración dela cromatina. Antes de pasar á describir detalladamente las formas por nosotros halladas y dar la interpretación correspondiente, veamos cómo interpreta BATTAGLIA el ciclo esporogónico que dice haber determinado en el mismo huésped vertebrado (*). BATTAGLIA estudia detenidamente el proceso de la enfer- medad en los animales de experimentación, describiendo con interesantes detalles los síntomas y las lesiones anato- mopatológicas, resumidas en XL estados en su última Me- moria. Esta parte del trabajo de BATTAGLIA presenta sin duda un gran interés científico. Pero en lo que se refiere á la des- cripción é interpretación del ciclo de desarrollo del parásito en el huésped vertebrado, las afirmaciones de BATTAGLIA, y sobre todo las figuras que acompañan á su trabajo, no son del todo convincentes. A los cinco días de haber hallado en la sangre de los ani- males infectados con Trypanosoma Brucei, las formas ami- boideas intraglobulares, obsérvanse, según BATTAGLIA, en el torrente circulatorio formas amiboideas extraglobulares, li- bres en el plasma, esféricas Ó fusiformes, y algunas con flagelo, todas ellas movibles, y —en los preparados teñidos— ricas en Cromatina (**). pl (5) V. Centralbl. f. Bakt., 7 Enero 1909, pág. 117: «..... die Spo- rogonie war nur im Zwischenwirt (SCHAUDINN und KocH) bekannt; ich habe sie in demselben Tier fiir das Trypanosoma vespertilionis und das Tr. Lewisi und vor kurzem, bei meinem letzten Untersuchun- gen, auch fiir das Trypanosoma Brucei nachgewiesen». (+) Loc. cit,: «Innerhalb 5 Tagen beobachtete man im zirkulierer- den Blute des experimentell mit Trypanosoma Brucei infizierten Tie- res sowohl in Frischpraparaten wie in gefarbten, die rundliche und die spindelformige amóbische extraglobuláre, und die rundliche Form mit und ohne Geissel. Diese Formen waren in den Frischprapareten sehr beweglich und erschienen in den gefarbten praparaten reich an Chromatin.» (Pág. 160.) Ruy, Acab, Dz Ciencias. —VIII,—Marzo, 1910, 47 — 682 — Á los ocho días se encuentran, según BATTAGLIA, en la san- gre formas diferentes que detalladamente describe (pági- na 160), y que se parecen ó corresponden á las observadas por SCHAUDINN y R. KocH en los huéspedes invertebrados de los Trypanosomas por ellos respectivamente estudia- dos (*). Tomando como punto de partida estas formas, BATTA- GLIA describe un verdadero proceso de esporogonia en la sangre del vertebrado, lo mismo como se observa, según el mismo autor, en el caso del Tiipan. Lewisi y en el Tr. ves- petilionis, con formación de Macrosporas y Microsporos, de Microsporidios y Macrosporidios en la sangre circu- lante. Para ello se apoya en tres criterios: 1.”, el criterio morfoló- gico (existencia de formas parecidas á Macrosporos y Micros- poros, etc.); 2.0, el criterio biológico, ciertamente muy impor- tante (y que consiste esencialmente en la consideración de la posibilidad de conservar durante largo tiempo el Trypanoso- ma Brucei —como cualquier otro Trypanosoma— virulento con sencillos pases de uno á otro animal de experimentación aun de la misma especie; esta persistencia de la vitalidad no se comprende, sin un periodo de reproducción esporagóni- ca) (**); 3.*, el criterio experimental (puesto que la enferme- dad se transmite, el parásito se inocula y se reproduce con toda su virulencia cuando no se hallan en la sangre otras formas más que las correspondientes á este supuesto ciclo esporogónico). 3 (*) «Alle diese Formen ahneln denjenigen, welche SCHAUDINN und R. KocH in den Zwischenwirten der von ihnen untersuchten Trypanosomen beschriben haben.» (Págs. 160, 161.) (**) «Es ist dies eine in fast allen bakteriologischen Laboratorien bekannte Tatsache, wo man Trypanosomen besitzt und dieselben im lebenden Tier, durch lange und wiederholte Uebergánge seit Jahren konserviert. Das Nagana-Trypanosoma, mit welchem ich Versuche ausgefiihrt habe, kann man durch Verimpfung von Tier auf Tier un- ii 2 Jahre verwahren» Des ls E: AE II OI SS IDA = 68%: — - Un interesante. estudio «del Trypanosoma vespertilionis (Battaglia), ha sido hecho por GONDER, en el Instituto para las enfermedades tropicales de Hamburg (*). En esta Mono- grafía Gonder describe detalladamente las formas de des- arrollo del Trypanosoma vespertilionis encontradas en un acaro ectoparásito de los murciélagos en general, hallado en las especies —por él estudiadas — Vesperugo kuhlii, V. pi- pistrellus, V. serotinus, V. noctula, Rhinolophus euryale. Se trata del Leiognathus arcuatus, en cuyo tubo intestinal ha encontrado las formas en cuestión, que deben conside- rarse desde luego como fases de desarrollo del Trypanoso- ma, en un ciclo esporogónico previa copulación. Muy demostrativas son las figuras de las dos láminas .de Gonder. En la primera se hallan reproducidas las formas de la san- gre del huésped vertebrado. En la segunda las del intestino del Leiognathus. Entre las primeras merecen fijar la atención una forma de división con blefaroplasto bipartido y núcleo con 8 cromosomas; las figuras de reducción del blefaroplas- to, y, por fin, las de las formas femeninas y masculinas, las cuales desde luego corresponden grandemente á las halladas por nosotros en el Tr. gambiense. Entre las segundas son muy numerosas las formas de Crithidia, y dignas de atención las de .los Ookinetos. Pero en cambio, no se hallan en el trabajo de GONDER pruebas de la existencia de un ciclo endo- globular, ni de que la cópula pueda acontecer, entre micro- y macro- gametos, en la misma sangre del vertebrado. | Interesante para el estudio de las formas evolutivas de los Trypanosomas en los huéspedes intermediarios es la Me- “moria de E. RODENWALDT.—Trypanosoma lewisi in Haema- topinus Spinulosus (Centralb. f. Bakter., Orig., Bd. 52, H. L, (*) Trypanosoma vespertilionis Battaglia— von Dr. Richard Gon- .der. Assistente. am Instit.— (Centralb. f. Bakter., Bd. 53, H. 3, 2 de Febrero 1910, pág. 293, con 2 láminas y-una fig. en. eljtexto:) — 684 = 18 Octubre 1909, pág. 30), memoria acompañada por tres láminas. E | Como dice muy acertadamente RODENWALDT, la dificultad para resolver el problema de la existencia de un ciclo de desarrollo de los Trypanosomas parecido al de los Hemos- poridios en los huéspedes invertebrados, aumenta extraor- dinariamente por la presencia de las formas de parásitos naturales, propios de los insectos, y en particular de los Dipteros, como las del género Crithidia y las del género Herpetomonas, que son sumamente parecidas á ciertas fases de desarrollo de los mismos Trypanosoma (*). Sin embargo se ha abusado mucho, según RODENWALDT, de este argumento. En el caso de Trypanosoma Lewisi, cuya transmisión por el Hematopinus spinulosus ha sido estudia- da por V. PROWAZECK, NUTTALL, PATTON, STRICKLAND, ha sido descrita con el nombre de Crithidia haematopini n. sp. (Patton), una forma que en realidad no se encuentra en los piojos (Haematopinus) de las ratas no infectadas de Trypa- nosoma. Las investigaciones llevadas á cabo por RODENWALDT le permiten, desde luego, formular esa conclusión. Por tanto, la especie Crithidia haematopini Patton probablemente no existe (**), En cambio, siguiendo día tras día los cambios y las trans- (*) «Das problem, ob es bei den Trypanosomen und ihren nachsten Verwandten einen Entwickelungskreis gibt derselben Ast wie bei den Hñamosporidien ist, ungelost, weder im positiven Sinne .seines Vorhandenseins noch im negativen seiner Nichtexistenz.:.... || sen (142) dx + sen x (1 — 2) dx é integrando d 3 (9 e LE a J' sen x cos Zx dx = as xQ > d 2 e 2 1—2z | A eZ LR | (9) | resis Ya TO = y por fin ' - ) sentada escticiód pelo seu) 10 Ae == o 2 1+2 l—2 que prueba la identidad de los dos miembros cuando en la ecuación propuesta se sustituya o (x) = sen Xx. Así, pues, sen x es la función que buscábamos. Damos con esto por terminadas las aplicaciones de la fór- mula de Green, y en la conferencia próxima estudiaremos la fórmula de Stokes. — 721 — XLII. — El Museo del Instituto Oceanográfico de Mónaco. POR JOAQUÍN G. HIDALGO. La inauguración de dicho Museo, verificada el 29 de Marzo de 1910, ha sido un acontecimiento científico de im- portancia y un éxito de los más grandes para su fundador el Príncipe Alberto I de Mónaco. Los que hemos tenido ocasión de presenciarla, admirando la grandiosidad del edificio, las novedades científicas en él contenidas y la elevación de ideas que ha presidido á su fundación, hemos visto con placer re- tratado el entusiasmo en el semblante de una multitud se- lecta, compuesta en su mayoría de ex Presidentes de Repú- blica, Ministros, Embajadores, Almirantes, Académicos, Di- rectores de Museos, Profesores y Naturalistas de todas par- tes (1), y al mismo tiempo reflejada la satisfacción en el ros- tro del Príncipe por haber sido comprendido, que es lo que más estiman los verdaderos hombres de ciencia. Allí, en el interior del Museo y en sus magníficos salones, están ya colocados multitud de objetos que tienen relación con la nueva ciencia á que se da el nombre de Oceanografía, que en breve se aumentarán con otros muchos aun no colo- cados y con los que se vayan adquiriendo sucesivamente. La ciencia oceanográfica, constituida hoy día por los tra- bajos y exploraciones científicas de los navegantes, de los geógrafos y de los naturalistas, con más intensidad, conti- nuidad y medios durante todo el siglo XIx y lo que va del (1) Véanse sus nombres en el Petit Monegasque, de Mónaco, en el Journal d'Alsace Lorraine, de Strasbourg, y en la prensa periódica de diversos paises. Ruy. ACAD, DE Ciencias, —VII1.—A bril, 1910, 50 — 722 — presente, ha tenido, sin embargo, un larguísimo y lento pe- riodo de gestación y de evolución, que puede decirse princi- pia en la actual época geológica, y del cual daremos breve idea haciendo ver cómo se han ido sucediendo hechos muy conocidos hasta llegar á constituir la ciencia para la cual se ha erigido hoy tan suntuoso templo. Desde los tiempos más remotos, y en cuanto el hombre ideó útiles á propósito para la navegación, aunque primitiva- mente muy imperfectos, han sido los mares la única vía que han tenido los habitantes de los grandes continentes del glo- bo para trasladarse á las islas más próximas, y después, más perfeccionados aquéllos, á otras más lejanas, para ir más tarde de unos continentes á otros y á todas sus costas, como está sucediendo en la actualidad. Las más antiguas traslaciones, y aun algunas más moder- nas, verificadas sobre todo por las distintas razas humanas pobladoras del Asia y Europa, fueron debidas indudablemen- te á causas accidentales, como las corrientes y tempestades marinas, que llevaron á puntos más ó menos distantes á los que en pequeñas embarcaciones buscaban su sustento en el mar por medio de la pesca, ó habían iniciado un cambio de productos entre lugares no muy lejanos. Y esta suposición no deja de tener algún fundamento, pues hay motivos para creer que el hombre fué desde el Norte de Europa á Améri- ca y las Azores, á través del Atlántico, y desde el Asia á América, por el Pacífico (antes del descubrimiento del conti- nente americano por Colón), según algunas señales de su paso por dichos sitios y cierta semejanza de los monumentos de los antiguos mejicanos con los que son característicos de varios pueblos del Asia. En épocas más modernas, pero en las cuales los pueblos cuya historia se conoce habitaban parte del Asia, de Europa y el Norte de África, fueron el mar Mediterráneo, el mar Rojo y el golfo Pérsico, los medios de comunicación entre los países situados alrededor de los mismos, y estas comu- = “OS = nicaciones tenían por objeto el comercio ó la fundación de colonias, según lo hicieron los fenicios en el Mediterráneo, Ó las guerras de conquista, como la invasión de los árabes en distintas direcciones, hasta llegar al Occidente de Europa. Con la expulsión de éstos de su último refugio, de España, coincidió el descubrimiento de América por Cristóbal Colón, atravesando el Atlántico, persiguiendo su idea de encontrar un camino más corto para las Indías Orientales, y en la su- posición de que la tierra tendría la forma esférica y no plana, como se creía en la antigiiedad. Realizado uno de los descubrimientos más importantes hechos por el hombre, y tan glorioso para Colón como para España y su Reina Isabel la Católica, los españoles y por- tugueses familiarizados con el terrible oleaje del mar Cantá- brico (donde, según el célebre navegante Dumont d'Urville, se forman las olas más altas que ha conocido) y el de las costas portuguesas, se lanzaron atrevidos en busca de nue- vos territorios, en embarcaciones todavía muy frágiles, y gracias al arrojo de Magallanes, Sebastián Elcano, Vasco de Gama, Vasco Núñez de Balboa, Pizarro, Hernán Cortés, Jorge Juan y otro gran número que atravesaron el Atlántico desde la Península á la América central, ó bajaron por el Occidente de África, 6 dieron la vuelta desde la Florida en el océano Atlántico hasta California en el océano Pacífico, volviendo varios desde este mar al punto de partida, se des- cubrieron muchos de los países que hoy día figuran en todas las cartas geográficas. , El célebre Magallanes, que pasó al Pacífico por el estre- cho que ha recibido su nombre, y al cual dieron muerte los indígenas de Filipinas, no pudo ver el fin de su viaje como su compañero Sebastián Elcano, natural de Guetaria, en el Norte de España, á quien cupo la gloria de ser el primero que dió la vuelta al mundo, con lo cual quedó demostrada la forma esférica de la tierra. E - Desde esa época los mares han sido surcados en todas — TE direcciones por. los europeos habitantes en los países que tienen costas en el Atlántico, ingleses, franceses, holandeses, etcétera, además de los de la península hispano-lusitana, y esas expediciones han tenido uno de tres fines, ó todos á la vez: interés comercial, interés científico, ó sea descubri- mientos geográficos, ó adquisición de territorios; y gracias á ellas hoy día se conocen grandes continentes y grandes y pequeñas islas enteramente ignoradas de los antiguos pue- blos del Asia y de Europa, á saber: toda América, Austra- lia, parte del África, la Malasia, Melanesia, Micronesia y Polinesia y además su situación geográfica, sus dimensiones, su topografía, sus costas, sus habitantes, sus productos, etcétera. Pero aun falta que explorar regiones determinadas de esos países, entre ellas el interior del África y de la Amé- rica del Sur (exploraciones que harán los vlajeros terres- tres) y las regiones polares árticas y antárticas, con cuyo exacto conocimiento se ha de completar la larga serie de be- neficios que han prestado á la ciencia geográfica y á la hu- manidad los incansables y esforzados marinos de todos los países. Al retorno de las expediciones hechas en diversas direc- ciones iban llegando á Europa ejemplares de animales y plan- tas propios de la fauna y flora de esos países lejanos, distin- tos de los del continente europeo y parte occidental de Asia, los cuales fueron coleccionados por diferentes personas Ó por algunos Museos, y dados á conocer en diversas obras publicadas por Lonicer, Rondelet, Gesner, Aldrovandi, Bo- nanni, Lister, Petiver, Rumph, Barrelier, Sloane, Hill, Valen- tyn, Adanson, Regenfuss, Gualtieri, Seba y otros, desde el año 1555 hasta mediados del siglo xvm, en que floreció el célebre Linné. Este principe de los naturalistas, con su genio y con su talento, reunió los datos conocidos, agregó otros mu- chos, metodizó y vulgarizó su conocimiento, y desde enton- ces empezó la serie de exploraciones histórico-naturales, ya con este exclusivo objeto, ya atendiendo al mismo tiempo á to E las transacciones comerciales ó á otros de los fines antes in- dicados. Dado el impulso por Linné, y aumentado el gusto por la historia natural gracias á los trabajos de eminentes zoólogos franceses, como Buffon, Cuvier, Geofíroy, Lamarck, Blainvi- lle, Latreille y otros, han sido desde entonces innumerables las expediciones hechas en todo el siglo XIX para la adqui- sición de los seres naturales que viven en las diferentes re- siones del globo, y enorme el material científico traído para su estudio y que llena hoy día los estantes y vitrinas de grandes Museos y de muchas colecciones particulares, pues se han recorrido los valles y las montañas y se han registra- do los ríos, lagos y las orillas Ó profundidades del mar en los puntos visitados. En la nota que abajo se incluye (1) (1) Los principales buques en que se han hecho expediciones científicas son los siguientes: Albatross.— Atlántico y Pacífico. Alert. —- Patagonia. Amelia.-— Portugal. Astrolabe.-— Alrededor del mun- do. Beagle.—Idem. Bélgica. —Región antártica. - Blake.—Atlántico, Golfo de Me- fico. Bonite.—Alrededor del mundo, Caudan.—Golfo de Gascuña. Challenger. — Alrededor del mundo. Chazalie. — Antillas, Canarias, Madera. Coquille.—Océano Pacífico. Curacao.—Polinesia. Eider. —- Mediterráneo. Eugenie. — Alrededor del mundo. Favorite.—Asia y Malasia. Fox. — Región ártica. Gazelle.— Islas del Pacífico. Herald.— Alrededor del mundo, Hirondelle.—Atlántico. Lightning. — Norte del Atlán- tico. Magenta. — Alrededor del mun- do. Melita.—Atlántico y Mediterrá- neo. Michael Sars.—Norte del At- lántico. Nassau.—Magallanes y Patago- nia. Novara.—Alrededor del mundo. Numancia.—América del Sur. Pola.- Mediterráneo. ' Porcupine.—Atlántico y Medite- rráneo. E Princesse Alice. —Atlántico. Princesse Louise. — Alrededor del mundo. Samarang.—Malasia. Seniavine.— Alrededor del mun- do. , Siboga.—Malasia. ; — 726 — puede ver el lector una incompleta relación del nombre de los buques ó de los naturalistas que recordamos en este mo- mento, con indicación abreviada de los sitios donde verifi- caron sus investigaciones. Se han dado á conocer los resul- Southern Cross.—Región antár- tica. Sulphur.—Alrededor del mundo. Talismán.— Atlántico y Medite- rráneo. Thetis.—Océano Pacífico. Travailleur.— Atlántico y Medi- terráneo. Tritón.—Hebridas y Faroes. Uranie,—Alrededor del mundo. Valdivia.—Atlántico, Oc. índico, islas del Sur. Valorous.— Norte del Atlántico. Vega.—Mares árticos. Vettor Pisani. — Alrededor del mundo. Venus.—Alrededor del mundo. Violante.—Mediterráneo. Wild Duck. — Bahamas. Willem Barents.—Atlántico. Expedición antártica francesa. belga. — prusiana al Asia oriental. — holandesa á la Nueva Guinea. - sueca al Spitzberg. —= de los Estados Unidos. — á Sumatra. — á Morea. — danesa á Siam. — noruega al Norte del Atlántico. a — . delos Estados Unidos al Japón. — á Borneo. Misión al Cabo de Hornos. — á Méjico. Los naturalistas y viajeros que han explorado diferentes puntos del globo, son los siguientes: Adanson.—Senegal. Agassiz.— Atlántico de los Esta- _. dos Unidos. Arango.- Cuba. Azara.—Paraguay. Baranda.—Filipinas. Beccari. —Borneo, Molucas, Nueva Guinea. Belanger. —Indias Orientales. Bennett.— Australia, Batavia, China. Bodwich.—Madera, Puerto San- to, El Cabo. Borelli. — Bolivia, Rep. Argen- tina. Brancsik.—Nueva Guinea. Castelnau.—Brasil, Bolivia, Perú. Coste.—Francia, Italia. Cousin.—Ecuador. Crossland.—Zanzibar, Este Afri- ca. Decken.—Africa oriental. RA tados de casi todas esas exploraciones, y algunas de las obras publicadas son, por el texto y por las láminas, verda- deramente monumentales. Se puede establecer una línea divisoria entre todas las Descourtilz. — Norte América, Antillas. Deshayes.—Argelia. Drouet.—Azores. Dybowski.—Lago Baikal. Eichwald.—Mar Caspio. Ehrenberg.—Norte Africa, Oes- te Asia. Faurot.—Mar Rojo. -Folín. -Africa occidental. Forbes. -— Mar Egeo. Forskael.— Oriente. Gillis.—Hemisferio Sur. Graells. — Norte España. Gundiach. — Cuba, Puerto Rico. Hagg.—Spitzberg. Harriman.— Alaska. Heude. —China. Hirase.—Japón. . Humboldt. — América central. Ingegerds.—Jutlandia. Issel. - Mar Rojo, Suez. Jagor. —Filipinas. Jardín. - Marquesas. Juan y Ulloa. —América Sur. Kossmann.— Mar Rojo. Kukenthal.—Molucas, Borneo. Labat.— Islas de América. Laperouse. —Alrededor del mun- - do. La Sagra.—Cuba. Lowe.—Madera, Puerto Santo. Mac Andrew.—Atlántico, Medi- terráneo, Mar Rojo. Marión.—Mediterráneo. Martínez.— América del Sur. Meyer.—Malasia y Polinesia. Michelena.—Norte de la Améri- ca del Sur. Milne Edwards.—Sicilia. Mobius. —-Mascarenas y Seyche- lles. Mociño.— América central. Montrouzier.—Nueva Caledonia Morelet.—Cuba. Orbigny. — Canarias, América del Sur. Paz.—Cuba, América del Sur. Perry.—China y Japón. Poey —Cuba. Pollen.—Madagascar. Poteret.—Chile, Perú, Filipinas. Pourtales.— Gulf Stream. Quadras.—Filipinas, Marianas. Quiroga.—Río de Oro. Rein.—Japón. Ross.— Región antártica. Ruiz y Pavón. —Perú. Sarasin.—Molucas, Celebes. Schomburghk.— Orinoco, Guya- na. Schrenck. — Amur, Norte Japón. Semper.—Filipinas. Sonnerat. - Nueva Guinea. Spix. - Brasil. Steenstrup.— Atlántico. Tams. —Guínea. Valentia. — India, Ceilán, Mar Rojo. Vesco.—Africa occidental. Wallace.—Malasia. Webb.—Canarias. Weber.— Indias holandesas. Wied-Neuwied.—Brasil. Y otro gran número que sería prolijo enumerar. — 128 — exploraciones mencionadas, separando en un grupo las que fueron llevadas á cabo antes de extraerse del fondo del Me- diterráneo los dos extremos de un cable sumergido á gran profundidad (para componer su rotura), en los cuales se en- contraron adheridos seres vivos, y en otro grupo las verifi- cadas después de este hallazgo. De las primeras expedicio- nes anteriores á ese hecho se habían traído á Europa mu- chos seres marinos sacados á profundidades poco conside- bles, siendo general la creencia de que no era posible la vida animal en sitios más profundos por la falta de luz, ma- yor presión, etc.; pero la existencia de seres vivos adheridos al cable extraido de muy hondo, despertó la curiosidad de los hombres de ciencia, y desde entonces las exploraciones posteriores se hicieron con aparatos ideados para recoger los objetos que hubiera en las grandes profundidades. Así se verificó con buques de alto bordo y bien preparados para tal objeto y se obtuvieron de los abismos del mar seres nue- vos, muchos de formas extrañas y curiosas, que ya están descritos y figurados en multitud de obras publicadas. Y no se ha limitado á la historia natural de los grandes fondos la investigación científica, sino que se está estudian- do todo lo relativo al medio líquido en que habitan multitud de seres vivos. Se analizan las aguas de los mares para saber las substancias que contienen en grandes y pequeñas cantidades, la densidad y composición de las mismas, y su proporción en un metro cúbico; se inventan aparatos para medir el ácido carbónico, el oxígeno y nitrógeno que existe, para apreciar la penetración de la luz en el agua, para medir las corrientes y la dirección de las mismas, para recoger el agua de sitios más ó menos profundos, para medir con exac- titud las diferentes profundidades y para traer á la superficie muestras del terreno ó de los depósitos que hay en el fondo del mar, por medio de sondas de diferentes sistemas. Tam- bién se aprecia el color de las aguas, su temperatura en las partes altas y bajas y se multiplican los sondeos en todas = Ub direcciones para obtener la topografía del fondo de los mares y comparar las mayores profundidades de los mismos con las mayores alturas que presentan las montañas de los continentes. Se perfeccionan las dragas empleadas en la re- colección de los objetos naturales, las redes para pescar en plena velocidad y se inventa un tubo fosforescente para co- locar en las Nasas y atraer á ellas á los seres marinos. Otras muchas cuestiones ocupan igualmente la atención de los exploradores del mar en los tiempos presentes; la co- rriente del Gulf Stream, las corrientes profundas y superfi- ciales del Atlántico Norte, las curvas barométricas obtenidas durante la navegación, la alimentación de los náutragos en alta mar, las corrientes profundas del Océano, un proyecto de observaciones meteorológicas en el Atlántico Norte y la creación de observatorios de dicha índole en las islas, comu- nicando con el continente por medio de cable, la distribución batimétrica de algunos animales, la geografía biológica ma- rina, el lanzamiento de globos sondas y pilotos por encima del Océano, etc. Todo lo que se acaba de citar y la descripción de los seres vivos encontrados en los mares del globo ó en los países descubiertos y adonde se ha llegado por medio de la nave- gación, se puede decir que es obra de siglo y medio, y para ello se han necesitado grandes medios y el concurso de mu- chos hombres científicos. Ocupa, entre éstos, un lugar preemi- nente el Príncipe Alberto 1 de Mónaco. Este Príncipe inteli- gente, simpático por su cultura y por su trato, es un buen ejemplo para demostrar los excelentes resultados que se ob- tienen en la investigación y producción científicas cuando á ciertas y determinadas condiciones antropológicas va unida la influencia del medio, y ésta es completamente favorable. Perteneciendo el Príncipe de Mónaco á la marina de guerra española durante algunos años, en los cuales ya se acostum- bró á los viajes por mar; discípulo después del célebre Bro- ca (autor del magnifico estudio sobre los cráneos de los vas- IE cos españoles), con lo cual adquirió gusto por las ciencias naturales; enterado más adelante de las exploraciones mari- nas llevadas á cabo por diversos hombres de ciencia, y po- seedor, además, de bienes de fortuna considerables, no es de extrañar que todo este conjunto de circunstancias determi- nara en su ánimo el propósito de dedicarse por completo á investigaciones marítimas, como lo verificó y sigue verifican- do con notable éxito durante gran número de años en sus barcos L'Hirondelle y la Princesse- Alice, acondicionados ex- presamente para tal objeto. Si bien sus exploraciones han sido continuación de las de otros hombres de ciencia, tuvieron desde el principio un ca- rácter y una finalidad distintas de las anteriormente verifica- das, ó sea su constancia en repetirlas (pues lleva hechas 22 desde el año 1885 hasta el presente, y siempre dirigidas por él mismo) y su idea altruista de reunir después en un gran centro, con medios suficientes para su sostenimiento futuro, todos los materiales y datos obtenidos, y que éstos se ha- llen siempre á disposición de los sabios de todos los paí- ses para su ilustración y para su estudio. Mr. J. Richard, el celoso y activo Director del Museo cons- truído, ha consignado en un libro y en un folleto titulados Les Campagnes scientifiques de S. A. S. le Prince Albert 1 de Monaco y Le Musée Oceanographique de Monaco, todo lo relativo á las expediciones hechas, á los aparatos é instru- mentos empleados (alguna vez modificados ó inventados por el mismo Príncipe), á las publicaciones de éste y de los es- pecialistas que se han encargado de la descripción de los animales recogidos, de estudios anatómicos acerca de algu- nos de ellos, de análisis de aguas del mar, de la naturaleza de los cuerpos inorgánicos extraídos de los grandes fondos, etcétera. Da también interesantes noticias sobre la construc- ción del Museo, su distribución y objetos en él colocados hasta el presente, con 116 grabados en que se representan los buques exploradores, aparatos empleados y los sg- — T31 — res más notables hallados durante todas las expediciones. Tan interesantes fueron éstas desde su principio y las pu- blicaciones del Principe Alberto, que al poco tiempo, en 1889, la Real Academia de Ciencias de Madrid le nombró miem- bro corresponsal á propuesta de varios Académicos, ya di- funtos, y el que aun vive para referirlo. Las Memorias publicadas hasta ahora son en gran núme- ro, se imprimen también á expensas del Principe con ver- dadero lujo en el texto y las láminas, y muchas están redac- tadas por especialistas acreditados. Respecto á las que tra- tan de moluscos, de cuya materia algo entendemos, pode- mos asegurar que están bien hechas, pues son debidas á Bergh, Joubin, Fischer, Vayssiere y Dautzenberg, malacólo - gos bien conocidos, y con muchos de los cuales tenemos amistad y relaciones científicas desde hace tiempo. De va- rias dimos ya cuenta hace seis meses en el tomo XV de las Memorias de la Real Academia de Ciencias de Madrid. (Pá- ginas 1096, 1128 y 1217.) El Museo Oceanográfico ha sido construído en uno de los sitios más bellos de la costa del Mediterráneo, en la zona comprendida entre Cannes y Menton, con montes á un lado y el mar al otro, hermoseada por la mano del hombre con millares de blancas villas y hoteles que se destacan sobre la vegetación que las rodea, y embellecidas por multitud de palmeras, construcciones á cual más variadas y que en al- gunos sitios, Montecarlo, por ejemplo, se hallan asentadas sobre eminencias escalonadas del terreno y se presentan á la vista del viajero bajo el aspecto de grandes y elevadísi- mos anfiteatros. En dicha zona está situado el atrevido y sólido Museo cuyos cimientos casi tocan á la orilla del mar y se eleva hasta la planicie del promontorio de Mónaco, adosado al alto acantilado vertical qne éste presenta al terminar en el Mediterráneo. - Sólo diremos de esta ciclópea construcción, debida al ta- — 7132 -—- lento del arquitecto Delafotrie, que con tanta maestría supo interpretar y llevar á cabo la idea del Principe Alberto, que es un bello y monumental edificio, amplio, bien distribuido y grandioso »y está colocado en una situación admirable. En él hay espacio para la sala de recepciones, salones de expo- sición de los aparatos é instrumentos usados en Oceanogra- fía, y de las colecciones de seres recogidos, para laborato- rios y gabinetes de estudio, para biblioteca, para acuarios que contengan animales vivos, para depósitos provisionales de los materiales que han de estudiarse, etc. Se llega, por fin, al piso inferior constituído por una gran bóveda formada sobre los pilares que sostienen todo el edificio, y que se halla todavía á 47 metros de altura sobre las rocas de la base del promontorio y la orilla del mar, según puede verse por un orificio dejado á propósito en el centro de la bóveda. La ilusión es completa; como por la abertura no pueden distinguirse las pilastras que sostienen el suelo, aparece la orilla del mar como si se contemplase desde la barquilla de un globo. La previsión del Príncipe Alberto no tiene límites; se está terminando en París á sus expensas otro edificio, sucursal del de Mónaco, destinado principalmente á conferencias científicas, y cuyo porvenir quedará igualmente asegurado con la intervención del integro ex Presidente de la Repúbli- ca francesa, Mr. Loubet, el Director del Museo de París, Mr. Perrier y un personal escogido. Continuarán las explo- raciones de los mares por el Príncipe y los sabios adscritos á esta fundación ó por los de otros países, y en uno ó dos siglos más de febril actividad el hombre conocerá todo lo re- ferente al Océano, á ese camino que puede recorrer en todas direcciones para comunicarse con sus semejantes, camino en el cual no hay que asentar vías, ni abrir trincheras, ni hora- dar montañas, ni construir puentes ó viaductos, ni hacer gasto de conservación alguno durante la existencia de los mares. ¿Tendrá, sin embargo, el hombre que volver á ocu- SS ARONA E ROA =p parse de ellos para hacer estudios de transcendencia so- bre los mismos? Evidentemente, sí. Llegará algún día en que se agote la gran fuerza de que dispone la humanidad para la navegación, y que está acumulada en las minas de carbón de piedra, y entonces estudiará las mareas y discurrirá los medios apropósito para utilizar su gran fuerza y suplir la que antes le suministraba el carbón mineral. Esta idea ha pasado ya por la mente del hombre, y de ella tendrán que ocuparse las generaciones futuras. Sólo diremos al terminar esta breve reseña que se esti- mularse en todos los países, y sobre todo en los más atra- sados, la creación de centros científicos para que los ciuda- danos adquieran alguna afición á instruirse y se ocupen poco ó mucho de algún arte, ciencia ó industria. Todo hombre estudioso es, por regla general, pacífico, sus aficiones le ha- cen sociable al reunirse con otros con quienes puede enten- derse sobre lo que le instruye, entretiene Ó complace, se es- tablecen amistades y de esta manera se puede llegar paulati- namente á una dulcificación de costumbres tal que haga po- sible y duradera la fraternidad de unos pueblos con otros. Y por último, si á la consoladora impresión que deja en el ánimo la realización de hechos tan memorables como el pre- sente, se une el cúmulo de delicadas atenciones y fiestas prodigadas por el Principe Alberto á los delegados de las naciones y á todos los asistentes á la inauguración de su Museo, puede tener este campeón de la ciencia la seguridad de que todos, absolutamente todos los que la presenciaron, han de conservar bñ ella un inolvidable y agradable re- cuerdo. a APENDICE ] Objetos ya colocados en dos grandes salones del Museo. Elementos contenidos en las aguas del mar en pequeñas y grandes proporciones. ] Peso y composición de las materias disueltas en un metro cúbico. Aparatos para medir la cantidad de ácido carbónico, OXí- geno y nitrógeno contenida en el agua, y su análisis. Sales disueltas en el agua del mar. Modelos que indican la superficie y altura de los continen=- tes, comparadas con las superficies y profundidades de los mares. Cantidad de sal disuelta en los mares y la contenida en un metro cúbico. Areómetros. Aparatos para apreciar la penetración de la luz en el agua. Medidor de corrientes é indicador de la dirección de las mismas. Flotadores. Termómetros. Botella de alta presión para recoger el agua del mar á di- ferentes alturas y también del fondo. Sondas de diferentes clases y autores. Ejemplares de los fondos marinos, según análisis mecá- nico. : Colección de peces encontrados en las exploraciones. Es notable por el gran número de especies, por las nuevas formas recogidas y por su colocación en cajas rectangulares de cristal, en las que se incluyen láminas de cristal lechoso, un poco inclinadas, sobre las cuales está perfectamente ad- herido el ejemplar, pudiéndose apreciar bien sus caracteres. Colecciones de Cefalópodos, Crustáceos, Asteridos, Equi- = 135 — nidos, Espongiarios, etc., dispuestas con el mismo gusto que la anterior y acompañadas las especies nuevas ó interesantes de los dibujos en color, hechos como modelo de las láminas publicadas. Barbas de la Balenoptera Sibbaldi Gray. Un magnífico esqueleto montado de Balenoptera. Esqueletos y modelos de cetáceos. Focas disecadas de gran tamaño. Piedras dragadas á grandes profundidades. Vista de la fachada del Museo que mira al mar. Diversas aves marinas. - Modelos de especies de Lagena, Nodosaria, etc. Acumuladores. Dinamómetros. Red cónica para pescar en plena velocidad. Redes y dragas diversas. Tubo fosforescente para colocar en las Nasas. Modelos de lanchas. Porcelanas de Caldas da Reinha, representando peces, tortugas, crustáceos, etc. Esculturas en madera de objetos semejantes, por Trachel. Dibujos de peces en color, japoneses. Piedras perforadas por moluscos. = Colección de Poliperos, probablemente de las islas Fili- pinas. > Huevos de Cefalópodos. Productos extraídos de las algas. Objetos hechos con pieles de aves marinas y focas. Moluscos comestibles. Son en bastante número. Parte de ellos se llevan para el consumo á las grandes poblaciones; los restantes, menos apreciados, sirven de alimento en las localidades donde se encuentran. Diversas substancias empleadas como cebo en la pesca. Cajas de conservas. — 786:— - Bacalao y el aceite de higado de bacalao. Coral rosa y encarnado. Conchas de madreperla con perlas. Conchas de nácar y diversos objetos debidos á la indus- tria del nácar. Camafeos. Biso de las Pinnas y objetos fabricados con el mismo. Dientes de cachalote. Alhajas artísticas inspiradas en las formas extrañas de al- gunos animales recogidos. Carey y Sus usos. Secciones verticales de muchos géneros de moluscos uni- valvos. Colección de los moluscos recogidos. Muchas de las especies comunes y de poca profundidad han sido halladas á más de 500 brazas; pero sólo valvas sueltas ó ejemplares muertos y deteriorados, por lo cual no viven en esos sitios, sino que han sido arrastradas por las corrientes profundas. Otras muchas de las de máxima pro- fundidad también se han encontrado muertas y no vivientes. Desde las profundidades relativamente pequeñas y cercanas á las costas, se ha ido casi de repente á la exploración de las erandes profundidades, con el deseo de encontrar especies nuevas, como así ha sucedido. ¿No convendría en expedicio= nes posteriores explorar bien las profundidaes intermedias, para averiguar dónde se encuentran vivas l4s especies halla- das solo muertas en grandes fondos, y tel vez para encon- trar otras que vivan en esas condiciones? Es probable que así se obtengan especies todavía muy raras como la Voluta Junonia del Golfo de Méjico, los Murex Hidalgoi, Cabriti y Pazi de las pequeñas Antillas, el Cenus gloria maris de Filipinas y las Pleurotomarias del Japón. — 131 — XLIII. — De algunos fenómenos particulares de los cuerpos fotoluminescentes. Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO. Antes de ahora me he ocupado en el estudio é investiga- ción de varios fenómenos particulares observados en algu- nas masas fotoluminescentes, en las que eran disolventes los sulfuros de estroncio, bario y calcio, ejerciendo de fosforó- genos ó materias activas compuestos metálicos de muy di- versa naturaleza, empleados de continuo en exiguas propor- ciones. Insistiendo nuevamente en el tema, me propongo tratar en el presente estudio de otros hechos análogos ó se- mejantes, que formarán con los anteriores á modo de un ca- pítulo relativo á la fostorescencia de los sulfuros alcalinote- rrosos, en mi sentir no desprovisto de interés, por cuanto sirve de base para relacionar la dilución de las disoluciones sólidas impresionables por la luz con la fecunda ley del óp- timo, de tan general y variada aplicación. De camino han de ser notadas conexiones con los ya clásicos experimentos de Lecoq de Boisbaudran, que considero siempre fundamenta- les cuando en cualesquiera formas tratase del estudio de las mezclas fosforescentes. Muy conveniente hubiera sido completar el trabajo lleva- do á cabo con la observación, siempre interesantísima, de la catodoluminescencia y de los espectros producidos; falto de medios para experimentar, no fué posible, bien á pesar mio, el acometer semejante empresa, y así contiénese la que he realizado en bien estrechos límites, no tanto, sin embargo, que no consientan variar lo suficiente las condiciones experi- mentales, llegando á resultados de índole diversa, de ellas Rxuv. Acap. DE ClExCias, —VII.—Abril, 1910, BI — 138 — dependientes en último término. Son, al cabo, pormenores y modificaciones, á veces muy leves, de hechos con razón ca- lificados de generales, acerca de los que repetidamente he insistido, y así con este carácter pueden unirse á la labor an- tecedente; pues en algunos puntos la completan y esclare- cen, siquiera nada singular le agreguen, ni en lo esencial la modifiquen ni rectifiquen. Bueno será parar mientes, y corto espacio ha de ser, en la consideración de lo acontecido respecto del estudio de la fosforescencia y de los cuerpos que en alguna de sus nume- rosas formas la presentan. Poco tiempo hace, la producción de luz sin calor, ó como si dijera, luz fría, mediante lijeras excitaciones, parecía á modo de cosa privativa de aquellas materias todavía denominadas fósforos, entre los cuales eran, sobre todo, notados el fóstoro de Bolonia ó sulfuro de bario y el fósforo de Cantón, constituido por el sulfuro de calcio, ambos resultantes de la reducción, más ó menos completa, de los correspondientes sulfatos naturales, que nunca se presentan puros; y no se relacionaba el hecho con las lumi- nosidades de las fluoritas cuando son calentadas, ni con los casos de triboluminescencia, frecuentes en las blendas. Juz- gando sólo por la manera de producirla, menos se podían suponer las concomitancias, ahora evidentes, entre la fosfo- rescencia persistente en muchos cuerpos, luego de haber ce- sado la excitación que la provocara, y esta otra instantánea que llamamos fluorescencia, cuyas características están al presente bien determinadas. Tampoco era fácil incluir al lado de los primitivos hechos, que tanto dieron que hacer y que pensar á los alquimistas, estas otras especies de fosforescen- cia de indudable orígen eléctrico y las que tienen por causas acciones químicas de muy varia categoría. No han pasado muchos años sin que aquellas nociones imperfectas, confusas, indeterminadas, transforniadas y es- clarecidas merced al persistente estudio del primitivo fenó- meno, hayan llegado á constituir una verdadera doctrina, que II e EROS AEREA 1750 á su vez forma interesantísimo capítulo de la Química-Físi- ca, y dentro de ella diputo por lo más importante y transcen- dente el haber llegado á afirmar que la luminescencia es un fenómeno general, peculiar de la materia diluída. Presénta- se, siquiera sus apariencias y el modo de producirla sean muy diversos, lo propio que sus efectos, en los sólidos, los líquidos y los gases, con propiedades específicas, dependien- tes, en gran parte, de la composición de los sistemas, sin ex- cluir, no obstante, las substancias puras, en cuyo respecto vale citar, á guisa de modelos, las sales de uranilo, cuya fos- forescencia ha recibido importantes aplicaciones. Concurren en el hecho de la fosforescencia, de cualquiera clase que sea, múltiples y muy variadas circunstancias, te- nidas antes como accesorias, reconocidas ahora por sus principales características; pues trátase al cabo de un fenó- meno función de muchas variables, que es necesario dis- cernir, apreciándolas en números y determinando en cada caso sus respectivos valores. De ello se ha originado una de las más interesantes aplicaciones de la fosforescencia, consistente en emplearla como procedimiento analítico, sin gularmente eficaz y sensible para el reconocimiento de los metales de las tierras raras; y ya Crookes, cuando estudiaba las propiedades de su materia radiante, algo había iniciado en tal respecto al examinar los espectros de la luminosi- dad catódica, producida en los tubos empleados para sus famosos experimentos; así, en realidad, el conocimiento fundamental de la fosforescencia empieza por sus aplica- ciones analíticas, que se extienden y perfeccionan aun antes de haber reconocido la complejidad de los cuerpos que de ordinario la presentan ni averiguar cómo se influyen mutua- mente sus componentes. Fué suficiente el examen de los es- pectros de fosforescencia, sin atender á los modos de exci- tarla, para establecer un sistema de análisis, el cual, llegado á sus actuales perfeccionamientos, es guía segurísimo para separar y aislar los más singulares cuerpos simples, median- = 740 — te progresivas concentraciones de aquellos minerales que en exiguas proporciones los contienen. Obsérvase asimismo que desde el principio de su estudio sistemático se han reconocido en la luminescencia dos as- pectos: el químico y el físico, que muchos han desligado, dando mayor importancia al segundo, y eso que, tratándose de los sulfuros alcalinoterrosos, objeto preferente de los clásicos estudios de Becquerel, es el moderno punto de par- tida el trabajo químico de Verneuil, á quien débese el co- nocimiento de la composición de aquellos cuerpos y los me- dios de realizar su sintesis. Sin embargo, nuestras actuales doctrinas acerca de la fosforescencia son esencialmente fisi- cas, y en mi sentir fáltales el complemento químico; pues, sobre todo cuando de la fotoluminescencia trátase, parece indudable la existencia de acciones químicas reversibles en- tre los elementos constitutivos de los sistemas que la pre- sentan. Dícese, con muy buenas razones que así lo demuestran, que la fosforescencia, considerada en toda su generalidad, es un fenómeno molecular, y concretando más todavía, se afirma que constituye verdadero caso de disociación física de una disolución sólida diluída, que así es menester considerar las masas que la presentan cuando no son cuerpos puros, y en realidad el sulfuro alcalinoterroso presente en cuantas ma- terias fosforescentes he obtenido en el curso de mis largos experimentos y en ellos utilizadas, actuaba de disolvente, ó mejor diría que era su oficio el de diluyente, y las impurezas de intento agregadas en cantidades no excedentes de milési- mas, eran el fosforógeno, la materia sólo activa en aquellos grados de extremada dilución. Gracias á las influencias de la luz, único agente excitador que he empleado, efectuábase la disociación molecular de las disoluciones sólidas, y el fenó- meno subsiguiente de su luminescencia en la obscuridad es simplemente el retorno al primitivo estado de equilibrio, pues. la reversibilidad constituye una de las principales caracterís- — 741 — ticas del fenómeno, en el que no hay destrucción, sino cambio de estado contingente, en el cual los iones que la acción exci- tadora pone en libertad, dotados de toda su energía dinámi- ca, vuelven á la materia á que estaban unidos, produciéndose luz en semejante recomposición. No podría admitirse esto si con tales acciones no fuesen concomitantes otras, de orden químico, reversibles también, llevadas á cabo entre el fosto- rógeno y la materia que constituye su diluyente, á lo me- nos dado el género de relaciones entre ambos términos exis- tente. Pero cabría separarse por entero de toda interpretación química, siguiendo el parecer de ciertos físicos de mucha nota, los cuales consideran el diluyente á modo de un elec- tronógeno, susceptible de emitir electrones negativos, merced á la excitación recibida y por un fenómeno repulsivo. Enton- ces la llamada matería activa sería el luminóforo del sistema, como el anterior agregado de corpúsculos en un estado es- pecialísimo de equilibrio, muy próximo del punto crítico de luminosidad; en definitiva, un sistema binario constituido por dos agregados de corpúsculos en diferente estado de equili- brio, de cuya ruptura es resultado la repulsión de electrones negativos destinados á actuar directamente sobre el lumi- nóforo. Esta ingeniosísima hipótesis, que tiene en su apoyo he- chos muy bien determinados, no puede satisfacer, á lo me- nos en el momento actual ,á cuantos hemos experimentado, guiados por el atán de determinar propiedades y caracterís- cas de las masas fotoluminescentes. Imposible negar ya su condición de disoluciones sólidas, nadie se aventura tampo- co á quitar al fenómeno el carácter tan manifiesto de rever- sibilidad, que no tiene, por ejemplo, la termoluminescencia, cuando la elevación de temperatura implica descomposición química, como en el caso de ciertas fosforitas, y es conse- cuencia legítima de los estudios experimentales realizados que la fosftorescencia, considerada en toda su generalidad é — 142 — independientemente de la composición química de los siste- mas capaces de presentarla y de los agentes excitadores, constituye un fenómeno molecular, cuyo mecanismo íntimo nos es desconocido y lo indagamos por cuantos medios es- tán á nuestro alcance. A mi ver, la disociación física es si- multánea con un fenómeno químico reversible, y el hecho pertenece quizá á la misma categoría de ciertos casos de fo- totropia de la prypia índole, en los cuales el cambio de color y el cambio de composición química van juntos, y asimismo juntos retornan al primitivo estado del sistema, prescindien- do por el momento de los intermedios por los cuales ha pa - sado durante el cambio; pero en éste, como en el que motiva la fosforescencia, es menester tener muy en cuenta, ponién- dolas en primer término, las influencias mutuas de los com- ponentes del sistema, ya se consideren disolvente sólido, y materias activas disueltas Ó agregados corpusculares dota- dos de distinto carácter. - Quizá para resolver algunos de estos problemas transcen- dentales de la fosforescencia convenga sobremanera volver á considerar los notables experimentos de Lecoq de Bois- baudran, tan fecundos en consecuencias. Punto de partida del presente trabajo, los he seguido para investigaciones mucho más sencillas; pero cuyos resultados concuerdan con los de aquel afamado experimentador y con los más modernos del protesor Urbain, que á términos tan generales y elevados ha llevado con sumo acierto las doctrinas fundamentales y las aplicaciones analíticas de la fosforescencia. Fueron hace ya varios años asunto de preferentes inves- tigaciones las materias llamadas activas Ó fosftorógenos en sus relaciones con los diluyentes, para determinar los grados de eficacia de aquéllas, medidos por la intensidad de la fos- - 743 — forescencia, producida siempre en idénticas condiciones, ó sea sometiendo las masas recién obtenidas á las influencias de la luz directa, sin insolación, durante el tiempo de dos minutos. Habiendo ensayado los nitratos de bismuto, de co- bre, de manganeso, de uranilo, de níquel y de cobalto y el cloruro de torio, siempre en presencia de leves proporciones de cloruro y carbonato de sodio, aumentando ó disminuyen - do las cantidades de cada fosforógeno y siendo disolven- tes, según los casos, los sulfuros de bario, calcio y estron- cio, he llegado, por incrementos ascendentes ó descendentes de los prinieros, hasta lograr masas inertes é incapaces de adquirir la fotoluminescencia. Consíguese, empero, el efec- to máximo, en cuanto á la sensibilidad del producto y á la intensidad de la fosforescencia, cuando las proporciones del fostorógeno están dentro de la categoría de las milési- mas, y esto parece independiente del metal pesado que con- tenga. Recordaté aquí, por convenir á mis propósitos, cómo la disolución sólida fotoluminescente requiere ser obtenida á temperatura elevada, que alcanza el blanco y ha de ser du- rante bastante tiempo sostenida. No vale en ningún caso el -mezclar, siquiera sea lo más perfecto posible, la materia acti- va con el disolvente, ambos en estado sólido, y calentar lue- go; procediendo así jamás logré productos fosforescentes; en cambio, resultaron excelentes y con la sensibilidad máxi- ma, partiendo de los correspondientes carbonatos alcalinote- rrosos, impregnándolos con una disolución acuosa de la ma- teria activa, secando á cien grados, agregando la cantidad necesaria de azufre que se ha de mezclar lo mejor posible, y pasando luego á calentar en la forma que es dicha, evitando todo contacto del aire y siguiéndose lento enfriamiento. Apar- te las cantidades de diluyente y fosforógeno, este sistema operatorio, que empleo hace tiempo, es el que me dió mejo- res resultados y lo atribuyo á la homogeneidad de los pro- - ductos, porque la difusión de la materia activa en la masa de MS su disolvente es uniforme y de una regularidad perfecta, siempre favorable. Guarda ciertas relaciones el color de la luminescencia con la temperatura, siendo iguales los elementos del sistema, y á semejante propósito citaré un ejemplo no desprovisto de interés: era disolvente el sulfuro de estroncio (100 gr.), fun- dente un fluoruro de calcio incoloro, purísimo (2 gr.) y ma- teria activa el nitrato de cobre (0,001 gr.) y el procedimien- to el descrito. Cuando no se pasaba del rojo vivo sostenido durante cuatro horas, resultaban masas dotadas de extraor- dinaria sensibilidad para la luz, al punto de ser excitadas en alg..nos segundos, produciendo luego en la obscuridad por más de una hora intensísima fosftorescencia de marcado co- lor verde, del mismo tono que en otro trabajo anterior he considerado típico del sulfuro de estroncio. En cambio, si permaneciendo iguales las demás circunstancias era sos- tenida la temperatura al blanco por igual tiempo que en el caso anterior, si bien notábase menor sensibilidad y dismi- nución de intensidad, tenía la luminescencia franco color rojo y extraordinaria persistencia en cuantos ensayos he prac- ticado. Si fuera menester probar de nuevo la eficacia de las dilu- ciones extremadas, t.aería á cuento un experimento singu- lar, y es el siguiente: habiendo necesitado para ciertos me- nesteres acetato de bario, ocurrióme atacar el sulfuro puro de este metal con ácido acético diluído; pero la reacción, aun calentando, no fué completa y en el producto quedó algo de sulfuro incólume, en proporciones no determinables, y, sin embargo, eficaces respecto de la totoluminescencia. Median- te calcinación muy fuerte y prolongada destruí el acetato, recogiendo por resíduo barita cáustica bantante compacta y blanca, sin que en su masa fuera advertido el más leve punto carbonoso; encerrada en un frasco de vidrio para evi- tar el acceso del aire, y sometida por unos cinco minutos á la intensa luz directa del día, sin insolación, produjo en la obs- — 745 — curidad fosforescencia poco intensa, de corta duración y bien marcado color verde, y al cabo de varios años conserva su relativa sensibilidad, sin haber experimentado alteraciones particulares. Repetido el experimento fueron de contínuo iguales los resultados, y alguna vez las masas presentaban cierta fototropía poco intensa y no bien determinada, que desaparece reiterando las acciones de la luz. Han limitado sus estudios y experimentos la mayoría de los investigadores que al estudio de la fosforescencia se con- sagraron, á la consideración de los sistemas binarios, que son los de mayor sencillez, constituidos por un sólo diluyen- te y una sola materia activa, acompañada ó no de compues- tos alcalinos. Con otros fines examinaba Lecoq de Boisbau- dran sistemas ternarios de un disolvente y dos fosforógenos ó de dos disolventes y un fosforógeno y aún otros más com- plicados compuestos de varios diluyentes y varias materias activas; operaba en el vacio más extremado y servíanle de agente excitador las chispas eléctricas, habiendo obtenido por tal sistema los más singulares efectos de fosforescencia; y semejante linaje de estudios ha sido tan fecundo, que bien puede decirse que constituye la base de nuestro actual co- nocimiento de las tierras raras y de seguro el fundamento de los procedimientos para indagar los singulares metales en ellas contenidos. Tuve el propósito, casi por entero realizado, de llevar mis estudios respecto de la fotoluminescencia por caminos aná- logos, preparando sistemas ternarios y cuaternarios y some- tiéndolos á las directas influencias de la luz, con intento de apreciar su sensibilidad y examinar después sus respectivas fosforescencias, si es que de presentarlas eran capaces, y en los trabajos acerca de las mezclas fosforescentes, que datan de algunos años, dejo consignados los resultados de los pri- meros experimentos, en lo substancial iguales á los reciente- mente practicados. De contínuo sirviéronme como diluyen- tes los sulfuros de estroncio, bario y calcio, uno solo, mez- / — 746 — cla de dos ó los tres juntos, formándolos á partir de los co- rrespondientes carbonatos, impregnándolos con disoluciones acuosas de los fosforógenos en estado de nitratos, emplean- do los que dejo recordados y siguiendo en todo el procedi- miento varias veces referido, para colocarme en idénticas condiciones experimentales, cuyo pormenor no necesito tra- tarlo ahora; lo que me interesaba era notar si los resultados de mis investigaciones, al estudiar lo más sencillo y elemen- tal de la fotoluminescencia, sin vacío ni otro excitante que la directa acción de la luz, coincidían con los de otras inda- gaciones más complicadas y difíciles. Iniciados que fueron los experimentos, se presentó un pri- mer problema relativo á la eficacia de la temperatura. Es evi- dente que para adquirir cualquiera de mis sulfuros la fotolu- minescencia permanente con carácter de reversibilidad y con- servarla por tiempo indefinido, necesita indispensablemente someterse antes á las acciones del calor, á muy elevada temperatura, que sólo entonces se constituye la disolución sólida activa y sensible. Regulando el tiempo y la acción tér- mica, he logrado estos dos efectos extremos: no producir materias fosforescentes, resultando sistemas inertes por falta de calor, y destruir la tosforescencia de los que la manites- taban con la intensidad máxima, empleándolo enérgico en exceso Ó demasiado tiempo; entre ambos extremos está el punto eficaz, y hay también ocasiones en que el calor resti- tuye la actividad á materias que la habían perdido. Una serie bien curiosa de efectos, siempre los mismos, tengo notada en los experimentos de fosforescencia con sis- temas ternarios, y todavía más complejos, que en gran núme- ro he preparado. A primera vista parece que la actividad de los fostorógenos de ella dotados debía sumarse, y sucede lo contrario; se perturban y neutralizan mutuamente, de tal modo que un sistema ternario, constituído por un solo diluyente y dos fostorógenos, es mucho menos excitable y mucho menos fotoluminescente que cualesquiera de los sistemas binarios — 1471 — compuestos del diluyente y una de las dos materias activas, lo cual equivale á dotarlas de cierta individualidad específica, acaso dependiente de la propia naturaleza del metal en ellas contenido; á veces la neutralización de los fosforógenos es tan completa, que el sistema resulta inerte respecto de la luz. Pre- domina siempre, cuando de ella resulta dotado, la fostores- cencia del sistema binario que la presenta más intensa en las condiciones ordinarias, con tal que la temperatura á que haya sido constituido el sistema ternario, no sea más elevada de la correspondiente á la formación de aquél por separado. Claro está que los hechos apuntados dependen, en primer término, más que de su naturaleza, de las proporciones de las mate- rías que entrañan las mezclas, y según ellas sean, así cam- bian los efectos su intensidad. Justamente acontece lo propio en aquella otra especie de sistemas ternarios en los que entra un sólo fosforógeno y dos disolventes; los efectos de estos últimos no se superpo- nen, antes bien se paralizan, lo cual viene á demostrar las relaciones de cada materia activa con su diluyente. Bien se entiende que en el hecho ha de tener influencia directa el grado de dilución; pero siendo idéntica, resulta siempre más excitable y fosforece con mayor intensidacl un sistema bina- rio que otro ternario con la misma materia activa y dos dilu- yentes, como si entre ellos no pudiese dividirse el fosforóge- no y, en igualdad de proporciones de aquéllos, la intensi- dad del fenómeno, cuando se realiza, está aminorada y el co- lor de la fosforescencia es el correspondiente al sistema bi- nario que lo tenga más enérgico en su tono. Vese que, de una manera general, en los sistemas comple- jos, cuando es solo uno el diluyente, y dos ó más los fos- forógenos, éstos se perturban unos á otros, experimentando — 748 — una especie de paralización que aminora de contínuo la in- tensidad del fenómeno; pero, al mismo tiempo, en cuanto al color de la fosforescencia, es bien marcado y notorio el pre- dominio del peculiar del sistema que lo tiene más intenso y definido. Demuéstrase el hecho obteniendo un sulfuro de estroncio que contenga como fosforógenos nitrato de bismu- to y nitrato de manganeso en la proporción de un miligra- mo de cada uno; resulta la masa activa y excitable por la luz, produciendo luminescencia no muy intensa, pero del mismo tono de color verde que si se tratase del sistema binario sulfuro de estroncio, nitrato de bismuto, y lo propio aconte- ce si el compuesto de manganeso es sustituido con otros de cobre ó de antimonio, que por sí mismos y en sistemas bi- narios son particularmente aptos para la producción de lu- .minescencias rojizas. Se necesita llegar á proporciones in- significantes del fosforógeno de bismuto, reduciéndolas á indicios para que predominen otros colores distintos del verde, cuando es diluyente único el sulfuro de estroncio, que empleando para iguales oficios los de calcio y de bario, las coloraciones advertidas y no muy intensas son violáceas ó amarillentas, iguales á las de los correspondientes siste- mas binarios, obtenidos á la temperatura de mis experi- mentos. Lógranse asimismo efectos curiosos empleando otros sis- temas, también ternarios, en los que hay dos diluyentes y un sólo fosforógeno, aplicando de preferencia el nitrato de bismuto, considerado por ensayos anteriores de mayor ac- tividad. Había que atender, sobre todo, á las cantidades res- pectivas de los diluyentes, cuya influencia en la fotolumines- cencia de los sistemas apareció desde luego manifiesta, siem- pre aminorando ó paralizando sus correspondientes activi- dades en la forma antes indicada; sin embargo de lo cual, operando con 50 gramos de carbonato de estroncio, otro tan- to de cal viva, 30 gramos de azufre y el nitrato de bismuto por fosforógeno, logré una masa impresionable por la luz di- — 749 — recta en tres minutos, y cuya fosforescencia verdosa ofrecía marcados tonos violáceos. Ya se comprende lo que había de ocurrir aumentando las proporciones de sulfuro de estroncio en el sistema; siguie- ron á tales aumentos predominio del matiz verde, pero á la continua más claro de tono y bastante menos intenso que el de los sistemas binarios, en los que era diluyente único el mismo sulfuro de estroncio, porque es sabido que la com- plicación en la composición de las masas disminuye muchos grados su sensibilidad respecto de la luz. Sometiendo á la calcinación, á la temperatura del rojo, una mezcla que conte- nía 50 gramos de polvo finísimo de mármol blanco, 25 gramos de carbonato de estroncio de la mayor pureza, im- pregnándolos con un miligramo de nitrato de bismuto y 15 eramos de flor de azufre, obtuve una masa dura y granu- sienta de color agrisado muy claro, poco impresionable, en cuanto necesita estar sometida más de cinco minutos á las intensas acciones de la luz directa, para ser luego fosfores- cente en la obscuridad, con no mucho brillo y la luminescen- cia, de no bien definida coloración, presenta á modo de re- flejos violados, sin que aparezca el tono verde característico de la fotoluminescencia de mis sulfuros de estroncio. Con los aumentos del sulfuro de calcio, obsérvase que la sensi- bilidad del sistema crece y en su fostorescencia se acentúa hasta predominar el color violeta, llegando á anular toda to- nalidad verdosa cuando las proporciones del diluyente sul- furo de estroncio se reducen á menos Jel 20 por 100. Es decir, que en cuanto á los cambios de color, prodúcense el fenómeno inverso que en la disminución de las proporciones de sulfuro de calcio. Muchos ensayos he practicado con el sistema ternario sul- furo de estroncio, sulfuro de calcio y un fosforógeno metáli- co cuya naturaleza variaba, cambiando también en la mane- ra que es dicha las proporciones de los diluyentes, insti- tuyendo por tal modo una larga serie de elementales y sen- — 750 — cillos experimentos, cuyos resultados han sido de continuo los mismos, con muy lijeras excepciones. Siempre fueron adver- tidas diferencias con los sistemas binarios, traducidas en dis- minuciones de sensibilidad respecto de la luz y de intensi- dad de la fosforescencia, en cuyo color es predominante el del sulfuro que entra en mayores proporciones en el sistema. Admitían mis observaciones no pocas variantes, sin más que cambiar los diluyentes, sin salir de la serie de los sulfu- ros alcalino terrosos. En otros ensayos, fueron disolventes los de estroncio y bario, empezando por 75 partes del pri- mero y 25 del segundo y aumentando progresivamente has- ta 85 partes las cantidades de éste, formando en cada caso sistemas ternarios, sucediéndose en ellos los distintos fosto- rógenos que me han servido en todo mi trabajo y operando para formarlos á la temperatura correspondiente al rojo vivo, sostenida por cuatro horas. Como en los casos anteriores ya relatados, las masas resultantes compactas, duras, escorifor- mes y de colores agrisados bastante claros, eran menos sensibles para la luz que los sistemas binarios con igual fos- forógeno, necesitando las más impresionables cuando menos cinco minutos de exposición á la luz directa del día, para presentar luego en la obscuridad fosforescencia de intensidad media, respecto de la peculiar de las diluciones sencillas. To- cante al color, estaba determinado por el predominio de uno de los disolventes, y ya desde los primeros términos de la serie, el verde característico de la fosforescencia del sulfuro de estroncio, hallábase influido por el amarillo peculiar de la luminescencia del sulfuro de bario, cuyo tono se acentuaba conforme crecían sus proporciones, hasta dominar cuando eran máximas, no sin que todavía fuese notada cierta ligera tonalidad verdosa en las doradas coloraciones de las masas más ricas de sulfuro de bario, y es de advertir, que su color amarillo de oro se acentuaba mejor cuando el fosforógeno era de los reconocidos aptos para engendrar luminescencias rojas, — 151 — Nunca me fué dado advertir grandes escepciones en este linaje de fenómenos, y apenas pude notar ligeras variantes que en nada cambian el efecto principal, en cuya generalidad no hay para qué insistir. Unicamente lo haré en la circuns- tancia indispensable de la más perfecta homogeneidad de las masas, sólo conseguida apelando al método de formar los sis- temas en el acto de constituir los sulfuros, partiendo de los carbonatos impregnados de la materia activa y de la flor de azufre seca, y procurando que el calor no destruya la sensi- bilidad del producto. Bastante diferentes fueron los resultados empleando como diluyentes, en el sistema ternario, los sulfuros reunidos de bario y calcio, porque la paralización de sus actividades res- pectivas es considerable y á veces total, particularmente si dominan las proporciones de sulfuro de calcio, lo cual signi- fica que en ocasiones la intensidad de la fosforescencia se reduce á cero, que implica la inercia para la luz, y en otras se aminora de modo notable, y sólo aparece con matiz poco determinado luego que las masas han estado sometidas por quince ó más minutos á las influencias de fuerte y directa iluminación. No obstante, si el predominio del sulfuro de ba- rio excediese de 70 por 100, empleando como fostorógeno el nitrato de bismuto ó el de manganeso, con enérgicas y prolon- gadas excitaciones llega á notarse una fosforescencia definida poco duradera, de muy claros tonos amarillentos, sin el me- nor indicio violado tan frecuente en la fosforescencia del sul- furo de calcio. Quizá pudiera haberse destruído en éste por el calor la cualidad luminescente, porque el de bario se for- ma á temperatura mucho más elevada; pero entonces lo mis- mo debiera acontecer en los demás experimentos que darían cuerpos dotados de fosforescencia amarilla, y no masas inertes ó apenas excitables que la presentan en extremo de- — 7152 — bilitada y de color indefinido; aparte de que al igual de los sistemas anteriores, cuando domina el sulfuro de calcio (des- de el 80 por 100), recibe incremento la sensibildad, y la fo- toluminescencia resulta de color violeta, bien poco influido por el amarillo peculiar de la que presenta el sulfuro de bario solo. Otro género de sistemas más complejos resulta cuando son varios los fosforógenos y varios también los diluyentes, á partir de agregados cuaternarios; nueva serie obtuve asi- mismo con un sólo diluyente y más de dos materias activas y las combinaciones crecen y se multiplican, porque puede ser una Ó más constantes y asociarse de modos variadísi- mos. Y todavía cabe unir hasta tres sulfuros diluyentes para un sólo fostorógeno, cambiándolo en cada ensayo ó grupo de ensayos. Desde el primer grado, que es el más sencillo de las mezclas indicadas, he experimentado todas las posi- bles con los sulfuros de estroncio, bario y calcio por dilu- yentes, haciendo oficios de fosforógenos, cuya eficacia indi- vidual tenía bien probada, los nitratos de bismuto, mangane- so, uranilo, cobre, niquel y cobalto y los cloruros de anti- monio y torio, unas veces acompañados de materias alcali- nas (cloruro y carbonato sódico, borax y sulfato potásico) Ó de fluoruro de calcio, y otras veces libres de tales aditamen- tos, operando de continuo en las condiciones descritas y sin que la temperatura pasase en ninguna ocasión el rojo vivo. Con muy raras y nunca constantes excepciones, los efec- tos de fosforescencia que he logrado fueron siempre iguales. Masas punte menos que inertes, según eran perezosas para dejarse influir por la luz, no siendo cuando era muy grande el predominio de uno de los diluyentes ó de un fosforógeno, hallándose los otros en estado de indicios; luminescencias poco perceptibles, indeterminadas, en no pocas ocasiones fugaces, sin color preciso, con la apariencia de leves y blan- quecinos resplandores, ligerísimamente teñidos de verde, amarillo ó violeta, si ya eran considerables respectivamente — 153 — las cantidades de sulfuro de estroncio, de bario ó de calcio, con relación á las proporciones totales, tal es lo que tengo observado operando con estos sistemas complejos; demos- tración palmaria de las mutuas influencias de sus consti- tuyentes, aun desempeñando cada cual las funciones corres- pondientes á su clase y naturaleza. Dijérase que la mayor complejidad trae aparejadas neutralizaciones de propiedades por otras semejantes, cuando, al parecer, debieran sumarse dando mayor intensidad á la fotoluminescencia. Pérdida de individualidad de cada sulfuro, no la hay, aun cuando las apariencias tiendan á demostrar lo contrario, al observar los fenómenos acaecidos en los sistemas complejos que tan por menudo he examinado, y respecto de cuyo me- canismo tenemos al presente conocimientos bastante positi- vos. Confirma, en efecto, el análisis espectral cómo es me- nester atender á múltiples circunstancias cuando se trata de la fosforescencia de sistemas complejos, porque si partimos de un sólo diluyente y varios fosforógenos, aquél divídese entre todos ellos y fórmanse tantos sulfuros luminescentes cuantas sean las materias activas empleadas; hay una suerte de suma que se denota bien á las claras en la superposición de los correspondientes espectros, y cosa semejante se rea- liza siendo uno el fosforógeno y varios los diluyentes, que se reparte entre ellos, formando en realidad tantas mate- rias activas fosforescentes cuantos sean los disolventes sóli- dos; pero las diluciones son mayores en cuanto su conjunto representa la unión de muchos sistemas binarios, cuyo tér- mino común es precisamente la materia activa, y también aquí se ha observado esta superposición de espectros, que prueba cómo se han constituido diferentes mezclas para com- poner el sistema. Dijérase que en el conjunto de éste ha conservado cada agrupación binaria su propia individualidad especifica, pero modificada, porque ni en el caso de la disolución con varios fosforógenos, ni en el de varios diluyentes, la intensidad del Ruy, Acap. DE Crencias.—VII.—Abril, 1910. 52 — 154 — espectro de cada sistema binario es la misma que si lo exa- minamos aislado, antes es evidente la disminución de su in- tensidad con singulares circunstancias, que implican cambios de monta en las propiedades. Se podría admitir que prodú- cese una suerte de interferencia acaso parcial, porque aunque es de continuo dominante el sistema del fosforógeno dotado de mayor actividad, su propia sensibilidad para la luz y la intensidad de la luminescencia consiguiente hállanse siem- pre bastante disminuidas, siquiera de su parte anule los efec- tos de los sistemas menos activos, que si se manifiestan es de una manera incipiente, como si se tratase de diluciones extremadas, subordinándose todo ello á las proporciones de los elementos del sistema, cuya primordial importancia que- da ya notada en el curso del presente trabajo. Quizá esta tendencia de unas materias activas á anular ó á perturbar los efectos de otras con las cuales están asocia- das, paralizando las más activas la fotoluminescencia de las que lo son menos, aumenta con su número, y por eso es mínima la sensibilidad para la luz de los sistemas muy com- plejos, aun conteniendo diluciones binarias individualmente dotadas de gran actividad, y mínima también su fosforescen- cia, cuando no está reducida á cero. Se demuestra que así acontece observando cómo ésta disminuye mezclando mecá- nicamente dos sulfuros que cada uno de por sí la tiene es- pléndida, y no se traduce el cambio tan solo en variantes de color, influyéndose, el verde del sulfuro de estroncio y el violeta del sulfuro de calcio, sino que al punto son notadas la disminución de sensibilidad y la de la intensidad de la fosforescencia, variando todo ello con las proporciones rela- tivas de cada sulfuro, lo mismo respecto del fosforógeno que contenga, que del disolvente en cuya masa haya sido difun- dido. Vese en los sistemas complejos cómo hay en realidad coexistencia de sistemas binarios individuales, cuyos ele- mentos, fostorógenos y diluyentes, se modifican mutuamente, conforme á sus relaciones cuantitativas, cuya variación per- — 155 — mite cambiar las propiedades de la masa, en la que predo- minan siempre las características y peculiares del componen- te dotado de mayores actividades. Entre los agregados de materias fotoluminescentes que he preparado y estudiado á mi manera, hubo algunos consti- tuídos por sulfatos y sulfuros, haciendo unos y otros, según los casos, de materias activas y de diluyentes, y con ellos formé sistemas ternarios y todavía más complejos, obser- vando en todos fenómenos muy semejantes á los apuntados, aun cuando su intensidad hallábase á la contínua aminorada: y los resultados expuestos parécenme confirmar lo sucedido en los casos anteriores, y de ello ya se ha sacado partido, y ciertamente bien fecundo, en las investigaciones de la Quí- mica analítica, pues son la base de un delicado y excelente método. Resta mucho todavía por hacer en la Química de la fosforescencia y del mecanismo de las reacciones posibles entre los elementos integrantes de un sistema complejo, nada conocemos positivo, ni siquiera aplicando al caso de estas particulares diluciones sólidas los principios generales de las fecundas doctrinas en la actualidad admitidas. Madrid, Abril, 1910. — 156 — XLIV.—Estudio completo de una clase especial de Integrales singulares. (Continuación) Por LAURO CLARIANA Ma GENERALIDADES ACERCA DE LA INTEGRAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Antes de terminar la primera parte, consideramos útil in- dicar los diferentes casos que pueden ocurrir al hallar la in- tegral general de una ecuación diferencial de primer orden, conforme indican algunos autores, recabando así el orígen de las integrales singulares en las célebres fórmulas de Clairaut y Lagrange, todo lo cual nos servirá de base para entrar in- mediatamente en la segunda parte, que tendrá por principal objeto desarrollar un método especial para deducir cierta cla- se de integrales singulares, que es el fin que perseguimos -desde el principio de esta Memoria. Comenzaremos por algunos casos particulares. 1.2 Supongamos que la ecuación diferencial sea F(%, y) =0; si la podemos resolver según x, tendremos x= (y). (1) de donde dx =« (y) dy". (2) PS AAA ER O A do RR di AAA nd TIOS edo E — Además, se sabe que IN yde: (3) Luego, entre (2) y (3), se tiene dy =y 2 (9) dy”. 4) Ahora bien, de (4), al integrar, resulta: UR f y 7 0) dy +. (5) Luego, eliminando y” entre (1) y (5), se tendrá la integral de (1), expresada según una función tal como la siguiente: PEN G) =0. Ejemplo: Sea integrar la ecuación: EEN dy == | =4xy —+8y=0, o ANTES . que se puede expresar por y? —4Axyy! + 8 y?=0. (1) Al despejar x, resulta: eS 2 Da TS A 4 yy Ah yn Diferenciando A lo E IAS e AA E d y” y — 7158 — E > dea d | Después de reducir, escribiendo 0 en vez de dx, se deduce Pa) 13 ay LIO y di y dy Pl AE y Ó sea , 3 7 A y y APA Y y ecuación que cabe escribir bajo la forma siguiente: , rs (La )- y y O E Esta igualdad queda satisfecha, siendo Luego, al integrarla, suponiendo que la constante se ex- prese por /. 4 c, se obtiene y =VY4cy. Por fin, eliminando y” entre esta ecuación última y (1) resulta: : V4cy4y(c—x)=-8y, de donde elevando al cuadrado, se halla definitivamente como integral general de (1); y =cC(c— x)?. — 759 -— 2.7 Si la ecuación diferencial contiene sólo y é y”, enton- ces la forma será F(Y, y) =0. (1) Al resolver esta ecuación según y, se tiene =4 0; de donde dy ==: (1) dy; empero, como du — Ye dos, resulta di= 92 0) dy”, y integrando == [Lay e (2) Luego al eliminar y” entre (1) y (2), se halla una función, tal como f(x, y, c)=0, que será la integral de (1). Sin embargo, en ciertos casos será mejor resolver la fun- ción F(y, y”) =0, según y”, resultando en su virtud "=:<0) de donde E ga ES ? (y) de modo que si es fácil hallar la integral UE — 760 — se tendrá inmediatamente la integral general, expresada por una función: | SS EI=0 El siguiente ejemplo pondrá de manifiesto la ventaja que presenta este segundo procedimiento sobre el primero. Sea hallar la ecuación de la curva cuya normal, en un punto cualquiera de la misma, es una cantidad constante. Según Geometría Analítica, se tiene (1) y VI+y?=a, siendo a la cantidad constante. El primer procedimiento da de donde Ó sea Para integrar esta ecuacion fácilmente, basta suponer , y. = 180. Así, pues, se tiene de cos? y dx =-—a — — == 0808 o de; cos? y 5700 de donde Eliminando y” entre (1) y (2), resulta por último Va —y? E Va: — y; y ecuación que se resuelve en la del círculo (x — G6Y + y?= 02. Ahora bien, si hubiésemos aplicado el segundo proce- dimiento, tendríamos inmediatamente y A Ve-y y de donde AU di == Va a y? é integrando, e VA A o ecuación que se reduce á A 2 0 correspondiendo este resultado con el anterior. 3.” Finalmente, si la ecuación diferencial es de la forma "FE YI) =00, (a) — 7162 — se podrá resolver según x ó y, obteniéndose en uno ú otro caso, las funciones siguientes: De EAN. O Si diferenciamos (1), escribiendo ed en vez de dx, al in- y tegrar resultará una ecuación de la forma ps O, ys G) = 0, la cual, combinándose con (a) al eliminar y”, dará la integral general. He3' Si hubiésemos partido de (2), al diferenciar, escribiendo en vez de dy, la expresión y* dx, después de integrar, resultaría una función de la forma rs (ed o == de suerte que al eliminar y” entre esta ecuación y (2), se obtendría también la integral general de la ecuación diferen- cial (a), lo mismo que en el caso anterior. Notables son las ecuaciones diferenciales debidas á Clai- raut y Lagrange, las cuales se hallan comprendidas en este tercer caso, iniciándose ya en la de Clairaut el origen de las integrales singulares, siendo dicha ecuación diferencial y =xy' +f(). Al diferenciar esta ecuación como en los casos anteriores, se obtiene y dx=xdy' + y dx +f (9) dy, de donde [x + (09] dy =0. — 163 — Esta igualdad queda satisfecha haciendo dy” =o0, Ó tam- bién, x +f' (y) =0. La primera condición supone y” = Cc, en cuyo caso, al eli- minar y” entre esta ecuación y la primitiva, se obtiene y =cx +$f(c). > De este resultado, se deduce la regla siguiente: Para hallar la integral general correspondiente á la ecua- ción diferencial de Clairaut, basta cambiar y” en una cons- tante. Ahora bien, si nos fijamos en la segunda condición, X CU 05)=0, al eliminar y' entre esta ecuación y la primitiva, resulta una función en x é y, sin constante, cuya función no se puede deducir de la integral general por valor particular alguno de c, y en este concepto la función hallada toma el nombre de integral singular respecto á la ecuación diferencial dada. Concretemos el caso. Sea, por ejemplo, la ecuación correspondiente á la tan- gente en la circunferencia de radio r: ydx —xdy =r Vdx + dy», cuya fórmula se reduce á la de Clairaut, al suponer =- = 0. 0 como es costumbre, resultando y=px4rY1t+ pa (1) Diferenciando, se tiene dy=pdx=pdx+xdp + na p > de donde rp E da Vi + p? Si se supone dp = 0, resulta p =C, y, por consiguiente, se tiene VECX rv + c?, (2) Ecuación de la integral general, la cual corresponde con una tangente particular cualquiera de la circunferencia, re- sultando así integrales particulares de la integral general, se- gún sean los valores atribuidos á la constante c. Empero, si x+ 0d = 7) | Vi+ p se deduce x r y p=+=E= y1 Ad a y ra — x? X Vr — y2 Al sustituir estos valores en (1), se obtiene y Ecuación de la circunferencia de radio r, la cual constitu- ye la integral singular de la ecuación (1), por cuanto la satis- face, sín que pueda deducirse por valor particular alguno de c, de la integral general. Notable es la corisecuencia geométrica que inmediatamen- te se deduce de este resultado, pues la integral singular no o A A Na E ke o Cs A AA di ¿A RO — 165 — es más que la envolvente de las diferentes rectas tangentes á la circunferencia, Ó bajo otros términos: dicha integral es la envolvente de las diferentes integrales particulares que se deducen de la integral general al atribuir á la constante di- ferentes valores particulares, representando dichas integrales particulares las involutas cuya envolvente es la integral sin- gular, todo lo cual está conforme con lo que se explicó ya referente á la teoría de involutas y envolventes, pues basta- ría derivar la ecuación (2) según c, igualando el resuitado á cero, para que después de la eliminación de c, entre las dos ecuaciones anteriores, resultara la misma integral singular correspondiente á la envolvente. Si pasamos ahora al estudio de la ecuación de Lagrange, como una extensión de la de Clairaut, se tiene y =x4(p) +/(b). Al diferenciar, resulta: dy =pdx=<(p) dx + x5 (9) dp + f (p) dp, de donde dx grriciaka) ) lud bp) x= e(p) —p A) Según principios de Cálculo integral, se tiene: ID) E (0 pbnob a, ó z ls A 08 [a Al eliminar p entre esta ecuación y la dada, resulta una función en x é y, que será la integral de dicha ecuación pri- mitiva. Para aclarar ideas, supongamos los ejemplos siguientes: 1.2 Sea la ecuación diferencial SS x yy =y?. 0% Al diferenciar, resulta: dx + ydy' + y dy =2y' dy, de donde 20 , dx + y dy + y?dx=2 y dy. Luego la ecuación de Lagrange, toma en este caso la for- ma siguiente: , da os JUniBO ob sl al dy (1+y9)yY 1-y2 Para integrar esta ecuación, al compararla con la fórmula (4), y al considerar y” = tg o, se tiene 13 dy , cos + de y E = A = Sem = A O de O E VIH y? Asi, pues, la fórmula (4), se transforma en y' ¡=== Er yA A P x=e Vio” [fe AUN ey ale Ga | ans de donde qe z | z | Xx HZOQOEQ—FOO zz HARE - E G , A MOE y según las funciones hiperbólicas, = [y + VI +7 2) e | — 7167 — Eliminando, por fin, y” entre (1) y (2), se deduce la inte- oral general. "Según lo que precede, se comprende que así como hemos hallado x en función de y”, también podríamos suponer y en función de y”, procediendo luego á la eliminación de esta derivada para alcanzar la integral general, como antes. En efecto, al tomar otra vez la ecuación diferencial LR YY YE (1) y diferenciarla, resulta dx +ydy' + y dy=2y dy y en el concepto de que dx = ot se tiene Y d , , , ye a +ydy' + y dy =2 y dy, de donde AY pode lo 2 ofi a ds ES Al aplicar á esta ecuación diferencial, la fórmula (4), para su integración, se obtiene inmediatamente 1 ES 12 v 12 12 y == Vi» | e Er a Ol y de donde: 2 1 y2 ; Vi=+y? Vi + y? Para determinar esta última integral, se puede seguir el método que á continuación se expresa — 768 — Ppiedy) 9 =/y A PUES 2 A Vi+y? ez E = [vie cola Vi+y? De donde, fácilmente, se deduce A q YY y? Vi+ y? Luego, al eliminar y”, entre esta última ecuación y (1), se obtendrá la integral general como en el caso anterior. Cuando la ecuación diferencial es homogénea respecto á x é y, puede seguirse. un procedimiento particular, aparte de los explicados ya. Sea, por ejemplo, la ecuación diferencial: A Conforme á lo que precede, si se pretende resolver x, en función de y”, el cálculo es el siguiente: o 2y de donde A 2y?+ Y) , y 1 = xd dx. y a E Después de sencillas operaciones, resulta A NA Bis 1 2y 2 y xdy', Ó sea — 769 — Al integrar, se tiene Y por fin, al eliminar y”, entre esta ecuación y la dada, se deduce la siguiente integral general: G?+2Gy—x?*=0, El procedimiento especial que en este caso podría seguir- se, por ser homogénea la ecuación diferencial respecto á x é y, es como sigue: Supóngase y = 2x; después de la sustitución en la ecua- ción diferencial dada, se obtiene y?-22y—1=0, de donde : y. = 2 + Va+ E Por otra parte, tenemos: E yi=y=24 V2 1; dx luego DO le E De cuya igualdad, se deduce la integral Ix=16,[2 + V1 + 22]. (1) Por fin, como tenemos z = 20 al sustituir este valor en be Rzv. Acá, pp Cirzncias.—VIII.— Abril, 1910. 53 — 710 — la fórmula anterior (1), después de sencillas simplificacio- nes, se obtiene s SAS Ecuación igual á la que habíamos hallado por el primer procedimiento, y que representa la integral general de la ecuación diferencial dada. (Continuard.) "Hi XLV.—Estudio acerca de las aguas minero-medicina- les de Valdelazura (Plasencia). POR JosÉ GIRAL PEREIRA Y JULIO C. SÁNCHEZ ÁNGOSO. SITUACIÓN DEL MANANTIAL. — Las aguas objeto de esta Memoria emergen en el monte llamado Valdelazura, en una dehesa y á muy poca distancia de la margen derecha del río Jerte. Pertenece el manantial al término municipal de Pla- sencia (Cáceres), y dista de aquella población unos 15 kiló- metros en la dirección NO. La carretera de Salamanca á Cá- ceres pasa á cosa de 5 kilómetros del manantial y el ferro- carril de Plasencia á Astorga á distancia algo mayor. Su situación queda bien determinada por el grado 40 del pa- ralelo y 3 del meridiano. La altitud sobre el nivel del mar en el Mediterráneo es de 315 m. Las aguas emergen en el fondo de una pequeña cañada y á flor de tierra entre rocas graníticas. El análisis químico y mineralógico de éstas ha demostrado la presencia exclusiva de cuarzo, feldespato y mica, componentes de la roca gra- nítica: algunos depósitos ocráceos encontrados en los bor- des del manantial provenían de una reducida veta de agua ferruginosa contigua á aquél y que estaba convenientemente aislada. Las aguas han sido protegidas por una pequeña at- queta de unos 3,5 m* de capacidad, con revestimiento inte- rior de cemento portland, que rodea los puntos por donde manan, y en la cual quedan depositadas para darles salida por un caño lateral. De un aforo aproximado resulta un cau- dal de 10 litros por minuto. La flora existente en los alrededores del manantial es ex- tensa y muy variada. Aparte de las plantas forestales pro- pias de aquel clima, tales como encinas, robles, quejigos, — 172 - alcornoques y otras cupuliferas, tuvimos ocasión de recolec- tar diversos ejemplares de retamas, campánulas, manzani- lla, margaritas, sanguinaria menor, ballico y otras muchas cuyo detalle no consignamos por no ser pertinente al objeto de este trabajo. La temperatura en los días de observación (Julio y Agosto) era de 19,5” dentro del depósito y 33,5 fuera, todo á la sombra. TRABAJOS EFECTUADOS EN EL MANANTIAL.—En las dife- rentes excursiones que á él hicimos, practicamos los traba- jos siguientes: 1.” Determinación geográfica y topográfica del manan- tial, su altitud. 2.” Flora y gea del sitio en que emergen las aguas. 3.” Aforo del manantial. 4. Vaciado del depósito y toma de muestras para aná- lisis: a) Dos botellas de un litro de capacidad para el estudio fisico-químico (radiactividad, conductibilidad eléctrica, et- cétera). b) Un frasco de unos 250 “c de capacidad lleno de lodos arenáceos recogidos en los mismos puntos de emergencia, para estudio de su radiactividad. c) Un kilogramo de trozos de roca para su análisis quí- mico y mineralógico. d) Dos tubos ampollas de 25 “c y dos matraces cerrados á la lámpara de 300 “e perfectamente esterilizados y en con- diciones apropiadas para el análisis bacteriológico. Igual can- tidad fué tomada con el mismo objeto después de lleno el depósito en el caño de salida. e) 10 bombonas de 16 litros de capacidad para el aná- lisis químico completo. f) 2 frascos de más de un litro de capacidad, previa adi- ción de C/,Ba amoniacal, para determinación de CO, total en el Laboratorio. pS O is a - — TMB — 5.” Determinación de la temperatura del aire ambiente y y de la del agua en los mismos puntos de emergencia. 6.” Determinación de la cantidad total de gases disuel- tos y análisis cualitativo y cuantitativo de ellos, como se des- cribirá más adelante. 7.2 Observación de los caracteres organolépticos, y 8. Análisis cualitativo. ANALISIS QUÍMICO ANÁLISIS CUALITATIVO Y CARACTERES ORGANOLÉPTICOS. El agua mana perfectamente transparente é incolora; al cabo de algún tiempo de reposo, se observa desprendimien- to de finas burbujas de gas ácido carbónico y ténue depósi- to amarillo ocráceo de hidrato férrico. Se desprenden al mis- mo tiempo, y como gases espontáneos, pequeñas cantidades de ácido carbónico. El agua es inodora, de sabor alcalino y salado. Su reac- ción es ácida á la fenoltaleina y neutra al tornasol, anaran- jado de metilo y azul soluble de Poirrier. Después de hervi- da, resulta alcalina para todos estos indicadores. El papel de acetato de plomo no se alteró. El agua directamente recogida y embotellada, dió, sin eva- porar, las siguientes reacciones (parte de las cuales se efec- tuaron también en el mismo manantial y van señaladas con la letra M). Agua de cal. —Abundante precipitado blanco, soluble en exceso de agua mineral y en los ácidos diluidos (Presencia de CO, y carbonatos.) Acido clorhídrico diluido. —Desprendimiento de abundan- tes burbujas gaseosas inodoras (M). (Presencia de ácido carbónico y carbonatos.) Cloruro bárico.—Previa adición de algunas gotas de ácido clorhídrico produjo una fuerte opalinidad, que por reposo se — 774 — concretó en tenue precipitado blanco (M). (Presencia de sul- fatos.) Nitrato de plata.—Después de acidular con ácido nítrico, dió abundante precipitado blanco cuajoso, soluble en amo- níaco (M). (Presencia de cloruros.) Molibdato amónico.—No produjo reacción sensible, ni en frío ni en caliente. (Ausencia de fosfatos en cantidad apre- ciable.) loduro potásico, engrudo de almidón y ácido sulfúrico di- luído.—No produjo alteración. (Ausencia de nitratos.) Reactivo de Nessler.—No dió reacción. (Ausencia de amo- níaco.) Nitroprusiato sódico.—No dió reacción ni antes ni des- pués de la adición de potasa (M). (Ausencia de ácido sul- fhidrico y sulfuros.) Oxalato amónico, cloruro amónico y amoníaco.—Precipi- tado blanco soluble en los ácidos diluidos (M). (Presencia de sales de calcio.) Fosfato sódico amónico.—En el líquido filtrado de la re- acción anterior produjo precipitado cristalino blanco. (Pre- sencia de sales de magnesio.) Sulfuro amónico. —Acidulada el agua con unas gotas de ácido clorhídrico, añadiendo después amoníaco en exceso y sulfuro amónico, se produjo un tenuísimo precipitado negro. depositado por reposo al cabo de veinticuatro horas. (Pre- sencia de sales de hierro.) Ferrocianuro potásico. — No se produce reacción apre- ciable. Ferricianuro potásico.—Lo mismo que la anterior. Acido tánico.—Ligera coloración pardo-vióleta. Estas últimas reacciones corroboran la existencia de pe- queñas cantidades de hierro, ya perceptibles por los te- nues depósitos ocráceos que aparecen mediante reposo del agua. Observada directamente el agua al espectroscopio, se per- — TI5 — cibió fuertísima la raya amarilla del sodio y muy débiles las características del litio y calcio. Diez litros de agua fueron evaporados á sequedad, el resi- duo dejó una porción insoluble en los ácidos (silice) y otra porción soluble. Esta disolución fué precipitada por el amo- níaco, reconociéndose en este precipitado la existencia de los radicales hierro, aluminio y ácido fosfórico. En el líquido amoniacal filtrado se investigó con resultado negativo el manganeso y con resultado positivo el sodio y litio. El deta- lle de estas operaciones, así como la investigación de otros elementos (fluor, arsénico, bromo, iodo, etc), van consigna- das en el análisis cuantitativo. Allí puede verse también la determinación de los gases disueltos en el agua. Como resu- men de todo ello debe asegurarse que en el agua mineral de Valdelazura existen los elementos y radicales siguientes: Cloro.— Oxigeno.—Nitrógeno.— Sodio. — Litio. — Calcio.— Magnesio. —Hierro.— Aluminio.—Acidos silícico, carbónico, fosfórico y sulfúrico.—Materia orgánica. ANÁLISIS CUANTITATIVO. — 1.” Densidad.— Determinada ésta á la temperatura de 22” e. 1esultó, como término medio de dos determinaciones, igual á 0,99943, cuyo número, aun siendo superior al que representa la densidad del agua des- tilada á la misma temperatura, demuestra ya la pequeña can- tidad de cuerpos sólidos disueltos en el agua mineral que es- tudiamos. 2.” Resíduo fijo.— 250“ de agua fueron evaporados lentamente en baño de arena, continuando la evaporación en baño de María y terminándola en estufa de desecación á 100” c. hasta peso constante; descontado el peso de la cáp- sula de platino en donde fué hecha la evaporación, resultó un residuo de 0,2088 ers. que referido al litro resulta ser de 0,8352 grs. Este resíduo fué calentado en la misma cápsula y estufa á 180” hasta peso constante, resultando igual á 0,8280 grs. por litro. El mismo residuo calentado al rojo sombra quedó reduci- — T16 — do á 0,7304 grs. por litro, resultando, por lo tanto, las si- guientes variaciones de peso: 1.2 Residuo fijo á 100% c. = 0,8352 grs. por litro de agua. 2 » » á 180% c. = 0,8280 » > > Sa » » al rojo sombra = 0,7304 grs. por litro de agua. Estas variaciones demuestran la existencia de substancias volátiles y están en estrecha relación, como más adelante veremos, con la proporción de ácido carbónico, carbonatos neutros y ácidos (alcalinos y alcalinos térreos). Una nueva determinación del resíduo dió resultados con- cordantes con la anterior y fué calentada con ácido sulfúrico en ligero exceso (calcinándolo al rojo vivo previa adición de carbonato amónico), para transformar todas las bases en él existentes en sulfatos neutros y deducir de su peso un modo de comprobación del análisis cuantitativo, recomen- dado por Fresenius, y cuyo detalle va al final de esta parte de la Memoria. 3.2 Determinación del ion cloro. (CI). —100* > PS AE . 0,007399 » » » > » MACIEDO IO: ORBE 0,006747 » » >» Sala de las .ULeS isaac da e al 0,021408 » » » Tercera parte de esta suma....... 0,007136 » » » tomando como cifra media 0,007136 grs. de litina por litro de agua, Ó sea 0,003363 grs. del ¡on litio (Li). Los residuos de las calcinaciones finales detalladas en 4” y C”se disolvieron totalmente en ácido clorhídrico, y la diso- lución saturada de amoníaco no se enturbió. (Continuard.) Sr, Ruiz Castizo. Ponente, Nicolás de Ugarte ...... - XLI.—Cuestiones de Análisis. Aplicación 'á la Fisica mate- mática, por José Echegaray. Conierencia décima - XLIL—El Museo del Instituto Oceanográfico de Mónaco, por Joaquín G. Ardales LIT —De algunos fenómenos particulares de los cuerpos -—fotoluminescentes, por José Rodríguez Mourelo.. e XLIV —Estudio completo de una clase especial de integrales z - singulares (continuación), por Lauro Clariana.. o XLV.—Estudio acerca de las aguas minero- - medicinales de ¿ Valdelazura (Plasencia) por José Giral Pereira da ¿ puto C. Sánchez AMIBOSO 00 ce ronenecanancns > xs verde, núm. 26, a - Precio de este cuaderno, 0 EN E C. 0 6. SURVEY, Lamb y ABD ARG Lives. MADRID . A de TOMO VIIM.- NÚM. 11. : O (Mayo de 1910.) ME: MADRID : | ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL ON CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8, » 1910 z ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para- el mes siguiente. RS A Y o ( Ma] 7 1 | C. 4 6. SURVEY, LIBRARY AND ARCHÍV ES Un 3” 1911 3011.09 BA, 5 ER -XLVI.— Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia undécima. SEÑORES: Dos teoremas son fundamentales, entre otros, para la Fí- sica Matemática moderna. La fórmula de Green y la fórmula de Stokes. Hemos considerado la primera como característica en cier- to modo de la electro-estática, sin que esto quiera decir que dicha fórmula ó dicho teorema no reciba otras muchas apli- caciones. Donde para un espacio cerrado haya de ponerse en rela- ción una divergencia con un flujo, aparecerá la fórmula de Green, que enlaza integrales de volumen con integrales de superficie transformando unas en otras. Donde haya que poner en relación el flujo de ciertos vec- tores de superficie con determinados vectores de línea, apa- recerá, como veremos en breve, la célebre fórmula de Sto- kes, que caracteriza las relaciones fundamentales de la elec- tro- dinámica moderna. El estudio de la fórmula de Green y de sus principales aplicaciones, lo dimos por terminado en la conferencia pre- cedente. En ésta, y en las que á ella sigan, hemos de estudiar la ya citada fórmula ó teorema de Stokes. Rxv. AcAD. Dx Ciencias.—VIM.—Mayo, 1910. 54 — 786 — Decimos teorema, porque á su enunciado, forma de teo- rema se le puede dar; pero en rigor, ambas fórmulas pue- den considerarse como fórmulas de transformación. Ya insistimos sobre esto en la primera; insistiremos sobre. lo mismo en la que vamos á estudiar en la presente confe- rencia. Fórmula de Stokes.— Decíamos que el teorema de Green, ó la fórmula de este autor, servía para transformar una inte- oral de volumen en una integral de superficie, y que á cual- quier integral triple se le podía aplicar esta transformación, introduciendo el concepto moderno á que se ha dado el nombre de vector. Figura 24. A su vez, el teorema de Stokes sirve para transformar una integral doble ó de superficie en una integral sencilla ó de línea, precisamente de la linea que limita la superficie ó en que la superficie se apoya. Y también aquí se introduce el concepto de vector; pero — 7181 — ño empezamos la exposición de la fórmula con la misma ge- neralidad que empezamos la fórmula de Green. Esta generalización exige explicaciones que á su tiempo daremos. Pero entremos, desde luego, en materia. - Imaginemos un campo de vectores, es decir, un espacio, en el cual á cada punto corresponde un vector W, cuyas tres componentes designaremos por P, Q, R, componentes que tendrán dirección positiva ó negativa, y que determina- rán, por lo tanto, para cada punto la dirección de W y el sentido en que actúa, Ó en que podría actuar si fuera un vector concreto, expresión de algún fenómeno físico. La figura 24 representa este campo de vectores, referido á tres ejes x, y, 2, y á cada punto, como hemos dicho, corres- ponde un vector. Al punto A, el vector W; al punto A”, el W”; al punto A”, el vector W”, y así sucesivamente para los infinitos puntos del campo ó del espacio que estamos considerando. Y según acabamos de explicar, cada vector, por ejemplo W, estará definido por sus tres componentes, que dependerán de las coordenadas del punto A que se considere. Es decir, que cada una de dichas tres componentes se expresarán de este modo: EP oy, 2), Q = Q (y, 2), R =R (% J, 2). En este campo de vectores imaginemos una superficie abierta S (fig. 25) terminada por una línea L. Y por el pronto, para simplificar, supondremos que la superficie cumple con esta condición: que una paralela cual- quiera al eje de las x, al de las y ó al de las z, no corta á dicha superficie más que en un sólo punto. Después generalizaremos el problema. A fin de que las integrales que vamos á escribir no sean ilusorias, Ó de otro. modo, para que no tengan elementos — "7188 — infinitos ó indeterminados, sobre las expresiones P, Q, R, haremos hipótesis ó estableceremos limitaciones análogas á las ya establecidas para la fórmula de Green. Supondremos, por lo tanto, que P, Q, R. 1.2 Son funciones contínuas. 2.” Que son, asimismo, funciones uniformes, es decir, que cada una de ellas, para un sistema de valores x, y, 2, no tienen más que un sólo valor. Figura 25. 3. Que admiten derivadas, cada una de ellas, con rela- ción á las otras dos variables, correspondientes en la susti- tución circular de x, y, Z. Más claro, P, tiene derivada con relación á y, z; Q, con relación á x, z; R, con relación á x, y. Porque, de lo contrario, el segundo miembro de la ecuación que vamos á establecer, no tendría sentido. Sobre este punto aún podríamos generalizar y hacer observaciones análogas á las que hicimos en el teorema de Green. 4.2 Dichas derivadas, también supondremos que son continuas en el campo de la integración. — 189 — Recordado esto, y decimos recordado, porque es repetir lo que expusimos en un caso análogo, escribiremos la ecuación que representa el teorema ó la fórmula de Stokes, y que es la siguiente: dr dQ Pd dy Rd) = E A e x + Qdy +Rdz) Jiskol a ==. E o de de Ni eo lle ES Como habrá que escribir esta fórmula muchas veces de memoria, no estará de más dar alguna regla nemotécnica para recordarla. El primer miembro no ofrece dificultad, es la integral á lo largo de la línea L, de una expresión análoga al trabajo de la fuerza W, cuyas componentes fueran P, Q,R, á todo lo largo de dicha línea L. Sobre esto luego insistiremos. En suma, el primer miembro es una integral de línea: la que termina la superficie. El segundo miembro es una integral de superficie, por lo tanto, integral doble, que se extiende á toda la superficie S limitada por la línea £. Veamos ahora cuál es el elemento diferencial de esta inte- eral doble. Tiene tres términos: en cada uno de ellos entra como factor a, B Ó y, que son los cosenos de los ángulos que forma con los tres ejes una normal cualquiera A n á la superficie S en un punto de esta, A. Cada uno de dichos factores a, f, y está multiplicado por un binomio que se forma tomando la diferencia de las deri- vadas de P, Q, R respecto á x, y, z, de este modo: dR dQ dapP dR dQ dP — 7190 — Para no equivocarse en el orden y en los signos de estos tres grupos, conviene recordar el siguente cuadro, en que el orden de las letras es el orden alfabético, ES p Q y Nn > y en que podemos suponer que se corresponden vertical- mente los primeros, segundos y terceros lugares. Empezando por a le pondremos como factor un binomio, en cuyos denominadores escribiremos y, z, que son las que siguen á a, porque ésta tiene el primer lugar, al paso que y, z ocupan el segundo y tercero. En el numerador pondre- mos Q, R, que corresponden á y, z, pero invertidas; y claro que los dos términos del binomio son dos derivadas, lo cual no se olvida con facilidad. Análogamente, en el segundo término, á $ le pondremos como factor otro binomio de derivadas, formado según la misma regla. Así, en los denominadores, escribiremos 2, x, que son las que en la sustitución circular de lugares siguen á B, toda vez que ésta tiene el segundo lugar, z el tercero, y cerrando el ciclo se vuelve á x, que tiene el primero. En el numerador pondremos R y P, que corresponden á z, x, pero invertidas también. Por último; en el tercer término, agregaremos á y como factor otro binomio de derivadas formado por la misma regla nemotécnica. Así, en el denominador de dichas derivadas, pondremos x é y, que son las que en la sustitución de lu- gares siguen á y; y en el numerador P, Q, que corresponden á x, y; vero invertidas, como siempre. Con esto que acabamos de explicar, la estructura alge- braica de la fórmula se recuerda sin dificultad de ningún género, y en cualquier momento puede escribirse de me- moria. de al ica: Bo — 191 — Y ahora vamos á ver lo que la fórmula significa, es decir, qué clases de operaciones están simbolizadas en ella. Trabajo éste, que vamos á tomarnos, en rigor inútil, para todo el que conozca los símbolos matemáticos, que en la fórmula se emplean; pero que nunca está de más para el alumno que por primera vez estudia estas materias, y que convierte lo más sencillo en algo difícil y complicado. En gracia al objeto de estas conferencias, se nos han de disculpar ciertas minuciosidades que de otro modo serían in- disculpables. El primer miembro de la fórmula á (Pdx +Qdy+Rdz) E es una integral de la línea L, y depende de dicha línea, como es natural. Para determinar dicha integral en cada caso, no habrá más que eliminar, por ejemplo, las z y la y, en función de la x, de las tres funciones P, Q, R, con lo que estas tres funciones quedarán reducidas á funciones de x. Asimismo, eliminaremos dz, dy en función de dx. Las anteriores eliminaciones y éstas son facilísimas, puesto que la línea L estará definida por dos ecuaciones, por ejemplo: y=40) 2=Y0) de donde sacaremos los valores de y, z, dy, dz en función de x yr ala : Con esto la integral quedará convertida en una integral perfectamente determinada de x. El resultado de la integración dependerá evidentemente de la forma y posición de L£, — 7192 -— En cualquier ejemplo práctico el primer miembro se con- vertirá en un número N. Y en el segundo miembro, que se extiende á toda la su- perficie S, los tres términos del primer factor, son funciones perfectamente definidas de x, y, 2; porque a, P, y dependerán del punto de la superficie, en el cual se considere la normal, cuyos cosenos de dirección, es decir, de los ángulos que forma con los tres ejes coordenados, serán funciones de las tres variables x, y, z; y además, P, Q, R ya hemos dicho que son funciones de las mismas variables x, y, z, y por lo tanto, funciones definidas de estas tres variables serán las deriva- das de P, Q, R que entran en los términos que vamos consi- derando. Claro es, que si todo este primer factor es en último aná- lisis una función de x, y, z, de la ecuación de la superficie, que será conocida, por ejemplo, WEE) 0, podremos deducir z en función de x, y; y eliminando esta va- riable z del factor de que se trata, lo habremos reducido á una función de x, y. Por último, el segundo factor d y es la diferencial del área de la superficie S y se sabe expresar esta diferencial en función de x, y, y de dx, dy. En suma, todo el segundo miembro, es una expresión de esta clase: f [Fenao S que entra en la forma general de las integrales dobles. Podrá efectuarse esta integración, al menos en teoría, y en cada caso particular, y efectuadas las dos integraciones, ob- tendremos un número que dependerá de la forma de la su- perficie S. — 183 — Sea este número N, que será precisamente el que obtuvi- mos para el primer miembro, Dada, pues, la superficie S y la curva L, los dos términos de la fórmula de Stokes, tienen una forma perfectamente de- finida. El primer miembro como integral de la variable x, el se- gundo como integral doble de las variables xy, y la fórmula expresa que el número que se obtiene para el primer miem- bro es igual al número que se obtiene para el segundo: N=N. Y aquí hemos de repetir lo que dijimos para la fórmula de Green. La fórmula de Stokes no es una ecuación de la cual poda- mos deducir una cantidad desconocida en función de otra conocida, como no se puede deducir de a(b +c)=ab +ac ni el valor de a, ni el de b, ni el de c. No es tampoco una identidad, puesto que el segundo miembro tiene una forma distinta del primero. Podemos de- cir más bien que es una fórmula ó igualdad, de transforma- ción: el primer miembro se puede poner bajo la forma que afecte al segundo, y recíprocamente. Y así dicho, una vez demostrada la exactitud de la fórmu- la, como la demostraremos en breve, parece que dicha fór- mula, ó el teorema que representa, ni ofrecen novedad, ni tienen importancia: toda integral doble, efectuando una inte- eración, puede convertirse en integral sencilla. Y sin embargo, sin variar la esencia de lo que hemos di- cho, preséntase todo ello bajo una forma completamente nueva, y es de una gran fecundidad por sus aplicaciones á la Física matemática moderna. — 7194 — En todas las teorías, en todas las hipótesis, al obtener las ecuaciones de los campos eléctricos Ó magnéticos, nos en- contraremos con la fórmula de Stokes. En ella se introduce, como en el teorema de Green, este concepto, relativamente moderno, de los vectores, y así en el primer miembro, como en el segundo, en función de los vectores W, Ó de sus componentes P, Q, R, se expresan las integrales. Porque, en efecto, si en un campo de vectores, como el de la figura 24, colocamos una superficie S, limitada por la curva L (figura 25), como antes decíamos, ocurrirán estos tres casos: 1.2 Que el punto de aplicación C del W” esté fuera por completo de dicha superficie. 2.7 Que el punto de aplicación B del vector W” esté so- bre la línea £. Y 3. Que el punto de aplicación A del vector doble W esté sobre la superficie. Pues bien; el teorema de Stokes expresa que una cierta integral sencilla de vectores como W”, correspondiente á la línea L, es igual á una integral doble de vectores análogos al W, ó sea de superficie. Estos vectores entran eu las integrales por sus componen- tes P, Q,R, bajo cierta forma analítica, que el primer miem- bro y el segundo de la fórmula de Stokes expresa. Pudiéramos aquí hacer una aclaración análoga á la que hicimos al tratar de la fórmula de Green, respondiendo á esta objeción, que acaso nos formulara algún principiante poco familiarizado con estos problemas. Pero la enseñanza de mu- chos años me ha hecho ver que ninguna objeción debe des- deñarse, por grande que sea la ignorancia que revele. La enseñanza es para vencer ignorancias, no para ilustrar sabidurías, que no lo necesitan. Pudiera decirse: ¿cómo una integral de superficie puede expresarse por una integral de línea? — 705 — O en otra forma más vulgar: ¿cómo lo que pasa en una superficie puede depender de /o que pasa en su contorno? Esto ya lo explicamos en otra ocasión, á que antes nos re- ferimos, minuciosamente, y presentando el ejemplo de la integral del área de una curva que no depende más que de las abscisas extremas, cuando la ecuación de la curva es conocida. Aquí sucede una cosa análoga, porque todos los vectores Ó sus componentes están dentro de una ley general, y esa ley enlaza los vectores de la superficie con los vectores del contorno, como en el teorema se explica y como se explica en la demostración. Desembarazado ya el terreno de estas pequeñeces, y ex- plicado claramente el sentido de la fórmula de Stokes, pase- mos á su demostración. Muchas demostraciones se han dado de esta célebre fór- mula, y todas ellas en el fondo son sencillísimas, entendién- dose, por de contado, que las integrales no caen en ningún caso de excepción, ni real ni aparente; que en esta última hi- pótesis sería preciso hacer un estudio especial del problema. De estas varias demostraciones citaremos algunas, fiján- donos en la que nos parece más clara y más directa. Una de ellas pueden verla mis oyentes ó mis lectores en el Tratado de Mecánica de Mr. Apell. | Otra en el de Análisis de Mr. Humbert. Tenemos noticia de otra tercera muy original y que aún puede simplificarse, debida á un matemático norteamerica- no, cuyo nombre no recordamos en este instante. Y, por último, citaremos la demostración que aparece en la obra de electricidad y óptica de Poincaré. De las anteriores demostraciones escogeremos la última, OS que nos parece la más sencilla, aun cuando tengamos que hacer en ella una pequeña aclaración. La fórmula de Stokes que nos proponemos demostrar, y cuyo sentido y significación hemos explicado ampliamente, yo Figura 26. es, como queda dicho, la siguiente, que de nuevo reprodu- cimos [pax+ Qay+ pda (E a E Para demostrarla, es decir, para demostrar, que ambos miembros son equivalentes, aunque la forma es distinta, em- pezaremos por un caso particular, á saber: cuando la super- ficia es plana y coincide con uno de los planos coordenados. - Supongamos, pues, que la superficie S del caso general, se convierte en una porción del plano de las x y, encerrada en la curva L (figura 26).. En esta hipótesis, la normal á la superficie es una recta perpendicular á dicho plano de las x y para todos los pun- tos del plano $. E > DE Por consiguiente, será una recta paralela al eje de las z; luego tendremos evidentemente e EOS (2, X)= 0; B = cos (2, y) =0, == (EE Además, el elemento de superficie ds será en este caso dx. dy. Con lo cual, la fórmula general se reduce á la siguiente, puesto que siendo 2 = 0 para todos los puntos de la curva L, en el primer miembro desaparece dz: | ES a Y esta es la que vamos á demostrar ante todo. Descomponiendo el segundo miembro en dos partes, re- sultará, fear a= fa am far | Go L dx dy Obtengamos ahora las dos integrales del segundo miem- bro. d Pero Le dx tiene por integral evidente Q, y como la integración se refiere á x, es decir, á un filete cualquiera aa” b'b, el límite superior, que corresponderá al punto a” lo designaremos por Q, y el límite inferior, que se referirá á su vez al punto a, por Q.. Y tendremos d Hi do dx= Q, — Q.. dx Análogamente, en la segunda parte del segundo miembro po JON la integral ñ o dy tiene por integral indefinida á P y e y como se refiere á un filete bb” c'c (fig. 26 bis), paralelo al eje de las y, puesto que la y varía, y la x permanece constante en la integración, llamando P, al valor de P para el límite superior b”, y P, al valor correspondiente al límite inferior b, resultará: afrol dy Ba Po. Y poniendo ambas integrales parciales en la berala pri- mitiva, obtendremos | / IR CA Ó bien f (Pax + Pdy)= y Quiy— [Quéy= f Pjdx+ [Pax a | pero el segundo miembro puede ponerse bajo otra forma más sencilla, que es precisamente la forma bajo la cual está puesto el primer miembro, y hecha esta transformación, los dos miembros de la ecuación resultan iguales, y:la identi- dad queda demostrada. | Supongamos, en efecto, que un punto va recorriendo la 3 línea L de la figura 26 en un sentido determinado; por ejem- plo, en el que marca la fecha, que es el de las manecillas de un reloj. En esta hipótesis, si trazamos las dos tangentes parale- las al eje de las x, la superior que pasa por el punto A y la inferior que pasa por el punto más bajo B, en la integral A ES a AN e E II IA ARANA o fa dy todos los incrementos de y desde el punto A al ' j | : 5 5 — 199 — punto B, en el arco de la derecha, serán positivos, puesto que el eje y se cuenta hacia abajo, y la integral tendrá la misma forma que acabamos de escribir. En cambio, la integral — de Q, dy que corresponde al arco de la izquierda de la curva de B á A, dy será siempre negativa; y si convenimos en considerarla como tal, la inte- eral precedente tomará la forma + x Q, dy, y por lo tanto, las dos primeras integrales pueden reducirse á una sola fas, conviniendo en que para cada punto de la curva hemos de dar á Q el valor que le corresponde, y á dy el signo positi- vo en el arco de la derecha que es el de subida, y el signo negativo en el arco de bajada, que es el de la izquierda, re- cordando siempre que las y positivas se cuentan hacia abajo, Por ejemplo, para el punto b el incremento dy = bc será negativo, y para el punto a” dicho incremento dy será igual AujÚl Eh En suma, las dos primeras integrales faja dy se reducen á una sola i Q dy. La misma simplificación podemos hacer para las dos úl- timas integrales. : Pongamos aparte la figura 26 en 26 bis, tracemos las dos —= 80). — tangentes paralelas al eje de las y en A, B, y admitiendo el mismo sentido de la rotación, según marca la flecha, veremos, 9 que para la integral f P, dx el incremento dx siempre será positivo, y la integral quedará como la hemos escrito; pero en la segunda integral — e P, dx que corresponde al arco Figura 26 bis. inferior, los incrementos dx son negativos. Si suponemos, pues, que á dx sele da el signo que le corresponde, es de- cir, el signo —, esta última integral podrá ponerse bajo la forma f P, dx, de suerte que las dos integrales que esta- mos considerando pueden reducirse á una sola f ras en que al recorrer el punto la línea L en el sentido de la flecha, se le dará á dx el signo que le corresponda, es de- cir, positivo ó negativo, según crezca Ó decrezca la va- riable x. En resumen, las dos últimas integrales que estamos con- siderando, se podrán escribir de este modo: — 801 — = firrare f prax= Pas, y la ecuación primitiva se transformará en ésta: fear+om= faay- fa f'rrax+ + frrax= [ay + [Pas de (Pax + Qdy)= J (Pdx + Qay) L L Ó bien que es una identidad. Queda, pues, demostrada la fórmula de Stokes en este caso particular. Cuanto hemos dicho es independiente de la forma de la curva L, aunque para simplificar la explicación la hayamos dado la forma sencilla de las figuras 26 y 26 bis. Todo se reduciría en el caso general á que los filetes pa- ralelos á los ejes, en vez de cortar á la curva en dos puntos no más, la cortasen en mayor número de puntos, que siem- pre sería par, por ser la curva cerrada, según exige el teo- rema. Queda, pues, demostrada esta fórmula [caro Ea a que, como hemos dicho, es un caso particular de la fórmula de Stokes; pero que algunos autores designan con el nom- bre de fórmula de Rieman. *k + * Rey. ACAD, DE CiencIas.—VIIL.—Mayo, 1910, 35 =— 802 == El método que hemos empleado para la demostración de este caso particular de la fórmula de Stokes, en el fondo es idéntico al que empleamos para la fórmula de Green, es decir, efectuar integraciones inmediatas por aparecer bajo el signo integral las diferenciales de P y Q; y después, reunir en una integral Jos valores que corresponden á los límites de la primera integración. Ahora bien, lo mismo que hemos hecho para el plano de las x y, podemos hacer para los otros dos planos coordena- dos, considerando otros dos casos particulares de la fórmula general. | Consideremos el plano de las x z; tendremos que hacer, en primer lugar, y =0. Y además, como la curva £ está en el planc de las Xx Z, Su normal será paralela al eje de las y, y tendremos , B=1, O En las figuras 27 y 27 bis, que son una misma, duplicada para más claridad en las explicaciones sucesivas, hemos re- presentado la curva L y el área que comprende, que como siempre designaremos por S. : Haciendo las sustituciones antes indicadas, la fórmula general de Stokes, se reduce á l (Pdx + e O 4 Abc los mismos razonamientos que antes, ten- dremos: forterrioo fa “Lao fas f d2 é integrando — 803 — [Parreo= axe, Po faz — Ro) = = frrar feas friaz+ fra Los dos primeros términos f P, dx y — a P, dx están evidentemente comprendidos en fr dx según las conven- ciones establecidas, porque admitiendo (fig. 27) que el punto | die a Pigura 27. móvil que recorre la línea L camina como antes, en el senti- do de las agujas de un reloj, para el punto a' que correspon- de á P, dx, se ve claramente que x va creciendo desde AáB; y dx es positiva, como en fa dx. Y para a, que corresponde á P, dx, la variable x disminu- ye desde B á A, y dx es negativa como en — da 0 a. Del mismo modo, en la figura 27 bis, que es re- petición de la anterior, pero que corresponde: á los dos términos, — y RUZ; 3 R, dz vemos que en ó sea en — R, dz, dz es negativa, porque disminuye de B — 804 — á A, y la integral correspondiente, dando á dz el signo —, está comprendida en 7 R dz. Asimismo $ R, dz está comprendida á su vez en fr dz, dando á dz el signo +, pues que en efecto en a, z va cre- ciendo. Pigura 27 bis. En suma, la fórmula anterior se convierte en fea a Rda = [Pax she fra pa fea + Raz) que es una identidad. Queda, pues, demostrada la fórmula de Stokes para este segundo caso particular, es decir, para un área plana com- prendida en el plano de las x z, y limitada por una línea cerrada £. Por último, suponiendo que la superficie se reduce á una porción del plano de las y z, tendremos que hacer x=0, a=1L:B=0,.y=0 pr — 805 — en la fórmula general, que se reducirá en este caso particu- á la siguiente: [esto pre a) Ja de y repitiendo lo explicado para los otros dos planos, [ay + raa=/ az ay ay [ar 4 dy dz = friaz= fred f Quay + f Quay. Figura 28. En la figura 28 se ve que los dos términos ll R, dz y == q R, dz pueden considerarse comprendidos en f R dz, porque de R, dz corresponde al punto a”, para el que dz es positiva, porque z va creciendo desde A á B, admitiendo siempre la rotación que marca la flecha; y al contrario, E R, dz corresponde al punto a, y dz es negativa. — 806 — Del mismo modo, en la figura 28 bis, tendremos que -— Y Q,dy corresponde al punto a' en que dy es negativa, porque y va disminuyendodesdeBá A; así, pues, — f Q dy estará comprendida en Al Qdy si le damos á dy el signo que le corresponde en este caso. Pigura 28 bis. Finalmente, + Posa corresponde al punto a y dy es positiva: también está comprendida, según esto, en | Qdy Tendremos, pues, Qu +Ra)= | Quy+ fRaz= fior+res que es una identidad, con lo cual queda demostrado el teo- rema de Stokes para el caso particular que acabamos de su- poner. A A A A A A - 8. En resumen, para porciones limitadas por una línea pla- na L en cada uno de los planos coordenados, queda demos- trada la fórmula de que se trata. Hemos empleado seguramente en esta demostración una minuciosidad excesiva, repitiendo tres veces los mismos ra- zonamientos; pero es que deseábamos alejar toda duda y evitar toda confusión. Por eso hemos demostrado el mismo teorema para una fi- gura plana situada en cada uno de los planos coordenados, en el de las xy, en el de las xz y en el de las yz, cuando en rigor con una sola figura era bastante. Además, para cada plano hemos empleado dos figuras, una para los filetes paralelos á un eje, y otra para los filetes paralelos al otro eje. Y es que los principiantes pueden encontrar cierta confu- sión respecto á los signos que dependen del sentido de las rotaciones. Por eso hemos tenido en cuenta, que al llegar á la demostración general, hemos de aplicar estos casos parti- culares á figuras situadas en tres planos paralelos á los pla- nos coordenados, y es preciso que dichas tres figuras estén en armonía y no en contradicción, que las rotaciones sean en el mismo sentido, y que acoplando los tres planos, resulte el triedrio ordinario. La clave de esta armonía está en el orden de la sustitu- ción circular de X, Y, 2, De este orden depende el sentido en que sobre la curva límite ha de caminar el punto móvil. Este orden debe ser tal, que aplicada dicha sustitución á los ejes en cada plano cuordenado, ha de llevar el eje de las x al de las y; el de las y al de las 2; y el de las z al de las x, cerrando de este modo la sustitución circular. Precisamente esto es lo que se observa en todas las figu- — 808 — ras, desde la 26 hasta la 28 bis, según marcan las flechas. Si por el contrario, se quisiera aplicar este teorema á la figura 29, el movimiento del punto siendo inverso del de las ES 4 ¡ pinsizas XA —Á O Figura 29. figuras anteriores, había de modificarse la sustitución cit- cular. | Hemos estudiado tres casos particulares de la fórmula de Stokes, que en el fondo es uno solo. Vamos á estudiar ahora otro caso, que comprende los tres precedentes y por el cual llegaremos con facilidad suma á la demostración del teorema general. Imaginemos, figura 30, tres rectas 0x, 0y, 0, paralelas á los ejes coordenados, y un triángulo ABC que corte á di- chas rectas en los puntos A, B, C. Y vamos á demostrar el teorema para este triángulo. Claro es que la figura está colocada en el campo de los vectores P, Q, R. El triángulo OBC es evidentemente la proyección del triángulo ABC sobre el plano yz. A este triangulo OBC podemos aplicarle la fórmula de Stokes, puesto que constituye uno de los casos particulares que hemos explicado, y tendremos: 4 | 4 — 809 — MN E en la que la línea L es evidentemente el contorno L=0OB+BC+CO0, y S=área BOC. Figura 30. Del mismo modo, el triángulo OAC, es la proyección del ABC sobre el plano de las xz. Constituye aquél una figura á la cual se le puede aplicar la fórmula del caso particular que hemos considerado, y ten- dremos, por consiguiente, |, Cast rea = $ ra Ed L s XX dz dx — 810 — siendo DMESIOICARCA E AOAY Ss Sr area A CA Por último; el triángulo OAB es la proyección sobre xy del triángulo ABC. Puede considerarse como una figura plana trazada en este plano, y aplicándole la fórmula de Sto- kes como caso prticular, podemos escribir IN (Pax + 009= ff (L- a e en la que L"=0A+AB+BO y S' =areaAOB. Para los tres triángulos BCO, AOCyB OA, la rotación es siempre la misma, según indican las tlechas que están marcadas en la figura. Sumando las tres fórmulas que corresponden á los tres triángulos, observaremos que hay partes comunes que se destruyen, como indican las mismas tlechas. En efecto, la suma será esta || (Qay +Rraz IA (Pdx + Rdy + sl (Pdx -- rd a 0 Ja a dela ez al Ja dz + ff. (jaa: Consideremos ahora los términos con Pdx, que son Ab Pdx + Pdx A qa — 811 — Ó bien / Pdx + Pdx. OCFCA+FAO OA+F+AB+BO Pero estas integrales pueden descomponerse en las si- guientes: E) di TAO 1é Pdx + PaRa Pdx + oc CA AO OA at /, Pdx+ | Pax. AB BO Ahora bien; la integral il Pdx es evidentemente nula, oc porque como hay que tomarla á lo largo de O C, y para todos los: puntos del eje de las z la diferencial dy es igual o, la ex- presada integral se anula. Asimismo se anta || Pdx por la misma razón, por- BO que para todos los puntos de OB, dx es igual á o. Además, las integrales A Ads y l Pdxson igua- OA AO les y de signo contrario, porque en una se integra en el sen- tido OA, y en la otra en sentido contrario; de modo que los elementos diferenciales correspondientes al mismo punto serán iguales y de signo contrario y se destruirán. Queda, pues, tan sólo estos dos términos Al Pdx cf Pd: CA AB A los cuales no hay inconveniente en agregar un término que sea igual á cero y que, sin embargo, dé una forma, más propia para la demostración, á la suma precedente, — 812 — el Pdx BC que en razón á que la línea BC está en el plano de las yz, es, en efecto, igual á cero, porque todas las diferenciales dx para la expresada línea BC serán nulas, con lo cual podre- mos escribir [mf pax= |. Pax+ || Pdx + Pdx IL ¡De CA AB BC Ó bien. Este término será f| Pax pax= || Pdx. (a) L' L” JCAB Del mismo modo que hemos tomado del primer miembro de la fórmula (1) los dos términos en P d x, tomemos ahora los dos términos en Qdy, es decir, [c+ Qdy, JA ¡LH y transtormemos estos dos términos como hemos hecho con los dos anteriores, suprimiendo las explicaciones interme- dias. Así tendremos, sucesivamente, | J 044 | Qdy = Qdy + DL JL" OBFBC+CO E JOAFAB+HFBO JOB BC le qa | a+ a+ Qay. CO OA AB BO — 813 — Pero A Qdy y Al Q dy son dos integrales nulas, OA co porque las líneas de integración OA y C O son perpen- diculares al eje de las y, y, por lo tanto, para todos los puntos de ambas líneas d y = 0, Además f Qdy y UN Q dy son iguales y de sig- OB BO no contrario, y se destruyen porque las líneas OB y BO se recorren en sentido contrario, y los elementos diferenciales se destruyen dos á dos. Quedan tan sólo de las seis integrales p Qay+ | Qdy BC AB y agregando la integral nula dl Q dy, que es, en efecto, cara nula porque la recta C A está en el plano de las x z, y para todos sus puntos d y = 0, tendremos que las seis integrales anteriores se reducirán á estas tres: a ad + 0d + 0d =/| Qdy AB BC CA ABC de modo que fea [Qar=f., Qu (5) L Ni ABC Por último, tomando en la ecuación (1) los dos términos que contienen Rd z, y aplicando los mismos razonamientos y tranformaciones que hemos explicado ya dos veces, ten- dremos: E fraz+ f[ raz= Rdz + E JD OB+BC+CO ho: RUS Rdz + || Rdz+ OCFCAFAO JOB BC + Raz |, Ropas Raz || pda CO OC CA AO y puesto que Rdz=0; || Rdz=>0; |. Rdz + Rdz=o0, OB AO CO OC resultará |] raz+ [ raz= | Raz + || Rdz )L ¡ES BC CA ES. y agregando sf Rd2=0 AB se obtendrá, por último, [raza f_raz=/| Rdz. (c) L MEA BCA Reuniendo, pues, las tres fórmulas (a) (b) (c), el primer miembro de la ecuación (1) podrá escribirse de este modo: ra 0d + Raz CAB ABC BCA y como la línea de integración es siempre la misma y en el sentido que marcan las flechas, que es el de siempre para el — 815 — triángulo A BC, tendremos, por último, que el primer miem- bro de la fórmula (1) será precisamente el primer miembro de la fórmula de Stokes ' / (Pax + Qdy + Raz). JABC Pasemos al segundo miembro. Si suponemos infinitamente pequeño el tetraedro OABC, podremos suponer para todos los puntos del mismo, de sus aristas y de sus caras, que P, Q, R y sus derivadas con rela- ción á x, y, z, tienen el mismo valor, y podrán salir fuera de las integrales, que se refieren á las tres caras S, S”, S”. Asi, pues, el segundo miembro de la fórmula (1) podrá escribirse de este modo: dy dz S Az dx ).)s dq _a-. salia q), dd Pero 1 dydzes el área del triángulo O B C, que es S proyección de A B C sobre el plano de las y z. De modo que, trazando una normal á dicha cara AB E, y represntando por 1, m, n los cosenos de los ángulos que forma la expresada normal con los tres ejes, y por du el área del triángulo A B C, tendremos f arde ara ónc 1dw — 816 — A dx dz =mdw S! y dx dy =ndu ¿ con lo cual el segundo miembro de la fórmula So tomará esta forma a) ldo + Mr ndo =- y asimismo dy dz Z dx [e ÁL sd nd dx dy y por fin (AA ES Na TEARS des aby dy Sustituyendo en la fórmula (1) el primer miembro y el se- gundo, tal como los hemos transformado, tendremos pe (Pax + Qay + Raz) =| a a a le que es la fórmula de Stokes para el caso particular de un triángulo infinitamente pequeño A E C. Partiendo de esta fórmula se demuestra fácilmente la fór- mula general. Porque, como dice Mr. Poincaré, «si la integral curvilí- »nea debiera tomarse á lo largo de una curva cualquiera C, »limitando una superficie finita, podríamos siempre descom- — 817 — »poner esta superficie en elementos triangulares infinitamen- »te pequeños, y obtendríamos la integral curvilínea, efec- »tuando la suma de las integrales tomadas á lo largo de los »contornos triangulares que limitan dichos elementos». Esto es perfectamente claro y correcto. Sin embargo, á los principiantes se les puede ocurrir una dificultad, que salvaremos en la conferencia próxima, com- pletando en ella la demostración de la importante fórmula que nos ocupa. ! Rruv. AcaD. DE Cirvcias,—VIIL.—Mayo, 1910. 56 — 818 — XLVII.— Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia duodécima. SEÑORES: Siguiendo escrupulosamente, hasta ahora, el programa que ofrecimos para las conferencias de este curso, en la primera de ellas, y después de haber dado una idea general de la teoría de los vectores, concepto principalísimo en la Física mate- mática moderna, y de haber demostrado la fórmula de Green haciendo aplicación de esta fórmula á la electro-estática, expusimos y demostramos en la conferencia anterior la fór- mula de Stokes, que es también fórmula fundamental, aparte de otras aplicaciones que de ella pueden hacerse, en la elec- tro-dinámica moderna. Entre todas las demostraciones, escogimos la que en nuestro concepto es más clara y más sencilla, á saber, la que expone Mr. Poincaré. Tan sencilla, que en rigor, en dos páginas puede desarro- llarse, aunque nosotros hayamos empleado toda una confe- rencia. Pero es porque en nuestro trabajo, de enseñanza y propaganda, suponemos que nos dirigimos siempre á prin- cipiantes. Y en ésta, nuestra enseñanza elemental, no olvidamos nunca aquella máxima, que dice: que ciertos libros serían mucho más breves, si fueran mucho más largos. — 819 — De todas maneras, la demostración, como recordarán mis oyentes, estaba reducida á estos tres términos: 1.” Demos- trar el teorema para un caso particular, aquél en que la su- perficie S era plana, estaba limitada por una línea, plana también, L y coincidía con uno de los planos coordenados. 2.” Considerábamos después otro caso particular, que la su- perficie fuera también plana, y estuviese limitada por un triángulo, cuyos vértices se apoyasen sobre los tres ejes coordenados x, y, z. 3. Pasábamos al caso general; descom- poniamos la superficie S en triángulos infinitamente peque- ños, á cada uno de ellos le aplicábamos la fórmula de Stokes ya demostrada para dicho caso, y sumando estas diferentes fórmulas, resultaba la fórmula general. Nada más sencillo y nada más directo. Pero al terminar la última conferencia, dijimos que aquel tercer punto, merecía algunas explicaciones para salvar cierta duda que pudiera ocurrir. No olvidemos que el triángulo A BC (fig. 31), que era el que correspondía al segundo caso particular de la fórmula de Stokes, había de tener sus tres vértices, A, B, C, sobre los tres ejes coordenados x, y, Z, Ó mejor dicho, sobre tres para- lelas á estos ejes trazadas por un punto, de modo que se formase un tetraedro por los ejes y el triángulo. Tal era la figura típica para dicho caso particular, y á esta figura se aplica la fórmula de Stokes y para ella la demos- tramos, no para un triángulo en cualquiera otra posición. Ahora bien, si trazamos en la superficie S triángulos infi- nitamente pequeños, que determinen áreas infinitamente pequeñas, pero trazados arbitrariamente, estos triángulos no corresponderán á la figura que hemos escogido como tipo. — 820 — Más claro; si ABC (fig. 31) es uno de estos triángulos, y por el vértice A trazamos una paralela Ax” al eje de las x, por el vértice B una paralela By” al eje de las y, y por el vértice C otra tercera paralela C 2” al eje de las z, en gene- ral, las tres rectas Aa, Bb, Cc se cruzarán, es decir, que no pasarán por un punto, con lo cual el triángulo ABC no se encontrará en las condiciones que antes indicábamos, ni ú 5 , Pigura 31. oriori, ni en buena lógica, le podremos aplicar la fórmula de- mostrada, ni nos servirá la demostración de la fórmula ge- neral. Pero esta duda y esta objeción se desvanecen demostran- do que toda superficie S se puede descomponer de muchas maneras en elementos triangulares, que cumplan con la con- dición requerida, como vamos á ver desde luego. En efecto, sea la superficie AMDM"”” (fig. 32) y vamos á probar que esta superficie puede dividirse siempre en trián- gulos infinitamente pequeños abb......, tales que, trazando por los vértices paralelas á los ejes coordenados x, y, z, por b' — 821 -- una paralela al eje de las x, por b otra paralela al eje de las y, y por a otra tercera paralela al eje de las z, estas tres rec- tas se encuentren en un mismo punto d; con lo cual el trián- gulo abb' y el triedro dabb' se encontrarán precisamente en el mismo caso que la figura típica que nos ha servido para demostrar el teorema de Stokes en el triángulo fundamental. Y agregaremos que toda la superficie puede cubrirse de triángulos análogos al abb' y gozando de la misma pro- piedad. Pero esto que hemos enunciado es elemental. Cortemos la superficie S por una serie de planos parale- los, por ejemplo, al plano de las xy, infinitamente próximos unos á otros. Tendremos una serie de líneas AM, BM', CM”......, que podremos llamar líneas de nivel, y también infinitamente próximas unas á otras. Consideremos ahora el punto b, por ejemplo, y tracemos un plano paralelo al de las yz, que cortará á la zona AM M'B, según la línea ab. Por el punto a tracemos otro plano paralelo al de las xz, que cortará la misma zona, según la línea ab”. Estos dos planos se cortarán evidentemente, según la rec- ta ad paralela al eje de las z. Y si d es el punto en que esta recta corta el plano de nivel A M, los dos planos que aca- bamos de trazar cortarán evidentemente á éste, según dos rectas db' paralela al eje de las x y db paralela al eje de las y, con lo cual queda demostrado que el triángulo abb” tiene sus vértices sobre el ángulo triedro trirrectangular d paralelo al de los ejes xyz. : Pero la zona AM M'B puede descomponerse desde luego en triángulos análogos al anterior. Por b' podemos hacer pasar un plano paralelo al de las yz, que cortará la superficie, según la linea b'a”. Y por el punto a” podemos hacer pasar asimismo un plano paralelo al de las xz que cortará á la faja que vamos consideran- — 822 — do, según la línea a'b”. Y por de contado, todas estas lí- neas pueden considerarse, dada su pequeñez, como líneas rectas. Vemos, lo mismo que antes, que los tres planos, el que pasa por a'b” y es paralelo al yz; el que pasa por a'b” y es paralelo al xz; y el paralelo al xy, forman un triedrio, cuyo vértice es d”, paralelo al de los ejes. . En suma, el triángulo a*b'b”*” se encuentra en el mismo caso que el anterior, y así podemos seguir la descomposi- ción en triángulos infinitamente pequeños para toda la faja AMM'B. Pero en esta faja, y entre la serie de triángulos que hemos definido hasta aquí, cuyas bases bb”, b'b”” ....., están en la línea de nivel AM, quedan otros triángulos intermedios, como el aa*b”, que hay que demostrar que se encuentran en el mismo caso que los anteriores, lo cual es evidente, ó casi evidente, como veremos desde luego. En efecto, prolongando el plano ab*d, que es paralelo al de las x2; prolongando asimismo el plano b'd”, á que es paralelo al de las yz, y el plano de nivel bM”, estos tres planos se cortarán en el pnnto d* formando el triedro d'aa'V”, cuyas tres aristas d'a, d'a”, y d'b' son paralelas á los tres ejes x, y, Z. Luego el triángulo aa“b”, se encuentra en el mis- mo caso que los anteriores. En suma, la faja AMM'B se puede dividir en triángulos que todos se encontrarán en idénticas condiciones, es decir, que tendrán sus tres vértices sobre un triedro trirrectángulo paralelo al xyz. Con la diferencia que en unos abb” el triedro estará en un lado de la superficie; el vértice d está, por decirlo así, de- trás de esta superficie en la figura, y en otros triángulos aa'b”, que alternan con los primeros, el vértice d' está de- lante de la superficie. Siguiendo este procedimiento para todas las demás fajas, BM' M”C..... quedará dividida la superficie en triángulos, á — 823 — los cuales será aplicable la fórmula que demostramos en la conferencia anterior. Dividida la superficie en estos triángulos infinitamente pe- Figura 32. queños, la línea límite L, que en la figura 32 es ABCD....., quedará sustituida por la línea quebrada AA'BB'CC: ..... Y ahora, apliquemos la fórmula ya demostrada para cual- quier triángulo ABC (fig. 33), á saber: al (Pax + Qdy + Rdz)= ABC - POE O jp dP CNARADO, (405) UPN ai la. o a el — 824 — á todos los triángulos de la red que acabamos de de- finir. Es evidente que si para cada triángulo se escribe la fórmu- la anterior que le corresponde y se suman los primeros miem- bros y los segundos de estas ecuaciones, en el primer miem- bro que resulte se destruirán dos á dos las integrales, ó, me- jor dicho, las partes de las integrales que corresponden á cada lado BC común á dos triángulos ABC, A“BC (tig. 33). Porque el sentido de la rotación es el mismo, y las flechas indican que | (Pdx + Qdy + Rdz), siendo BC un lado CB del triángulo ABC, y siendo yy (Pdx + Qdy + Rdz) BC la parte de la integral correspondiente á BC, como lado del triángulo A*BC, son dos integrales iguales, elemento á ele- mento, pues la línea es la misma, pero de signo contrario, y que se destruirán. Luego en la red de triángulos de la figura 32, todas las in- tegrales correspondientes á los diferentes lados de los triángu- los serán nulas, y sólo queda- rán las integrales correspon- dientes á la línea quebrada del contorno AA'BB'"CC ..... Ahora bien, esta integral tiene Pigura 33. la forma del trabajo de una fuer- za, cuyos componentes fuesen P, Q, R, y dicho trabajo es el mismo para la línea quebrada que para la línea ABC..... = L. Esto es evidente por el teorema del trabajo de las fuerzas, suponiendo por de contado que P, Q, R tienen el mismo va- lor para la línea quebrada que para la línea continua. Resulta, por lo tanto, que el primer miembro de la suma será al (Pdx + Qdy + Rdz). En cuanto al segundo miem- L '— 825 bro, que será la suma de tod:)s los segundos miembros de las ecuaciones que hemos escrito para los triángulos ele- mentales, se reducirá á la integial doble de la expresión general escrita en la fórmula precedente. Es decir, que tendremos ¿ea + Qdy + Rdz) = SO qt epale val enierere ls la en rigor, es el área infinitamente pequeña de cada trián- gulo; pero se sabe, por la definición de las integrales, que puede ser un área cualquiera infinitamente pequeña de la superficie S; precisamente por eso tiene un sentido la inte- eral, porque el límite de la suma de los elementos infinita- mente pequeños es independiente del sistema de dlvisión, ó sea de los elementos de área que se escojan. Con esto queda demostrada la fórmula de Stokes, demos- tración larga por las observaciones minuciosas en que nos hemos entretenido; pero en el fondo, de una sencillez ele- mental. Mr. Poincaré la condensa en dos páginas. Pues todavía hemos de hacer una observación más, pre- viniendo otra duda. ¿No podrá suceder que la superficie S tenga en algún punto ó en alguna zona su plano tangente paralelo á uno de los ejes coordenados, en cuyo caso el elemento de superficie á que nos referimos no podría contener un triángulo que cortase á los tres ejes? Puede suceder esto, ciertamente; pero el caso es tan sen- E (2 cillo, que nos contentaremos con hacer ligeras indicaciones. Será agregar á los dos casos particulares otro tercero. Consideremos una (fig. 34) superficie infinitamente peque- ña ABB'A' limitada en forma de rectángulo por sus intersec- ciones AB con el plano de las xy, Ó paralelo al mfsmo : BB' intersección con el plano de las yz : B' 4' intersección con un plano paralelo al de las xy : y AA” intersección con el plano de las xz. Si aplicamos el primer caso particular á las áreas OAA'C”' y OBB'C', así como á los triángulos OBA y C'B'A”, ten- dremos: ; 1.2 Que las integrales de línea se destruirán, como indi- can las flechas, á lo largo de OA, OB, OC”, AC" y B'C;; no quedarán más que las integrales del contorno ABB'A": es decir, el primer miembro de la fórmula de Stokes. 2.” Las integrales de superficie de los triángulos OAB y C'A'B' se destruirán porque el sentido de la rotación es opuesto. 3. Quedarán las integrales de superficie para los rectán- gulos OAA'C' y OBB'C*. eb Llamando s' ys á las áreas de estos rectángulos, ten- dremos a (Pdx + Qdy + Rdz)= ABB'A' y (E dy dz dz dx y siendo s=ldw, sí =mdw, dw=area ABB'A' $ (Pax + Qdy + Rdz)= ABB'A' eE 2Q A = (3 ile ES — 821 — que es la fórmula de Stokes para este caso particular, pues- to que la normal á la superficie ABB'A” es perpendicu- lar al eje de las 2, y así n= 0, con lo cual desaparece el último término de la fórmula. La fórmula en cuestión puede escribirse y puede enun- ciarse en términos mucho más sencillos. Respecto al primer miembro, hemos observado ya, que la Pigura 34. expresión Pdx + Qdy + Rdz representaría el trabajo ele- mental de una fuerza, cuyas componentes fuesen P, Q, R al recorrer el elemento de línea ds, cuyas componentes fuesen á su vez dx, dy, dz. | W es el vector abstracto del campo que consideramos; y P, Q, R son sus componentes, abstractas también; pero si W fuese una fuerza, entonces la expresión anterior representa- — 828 — ría un verdadero trabajo mecánico, y por extensión podemos decir que la integral representa el trabajo sobre la línea L del vector W. De modo que si para abreviar representamos por W, la proyección del vector W en cada punto de la línea L sobre la tangente, el primer miembro podrá escribirse 13. as ' O sea el trabajo del vector á lo largo de la línea L. Pasemos al segundo miembro, que es una integral doble, extendida á toda la superficie S, limitada por la línea L, y en que el coeficiente de la diferencial del área dw es o | a) | A dy de dz dx dx dy) Si consideramos á los tres binomios de los tres paréntesis como las componentes de un vector, que llamaremos 7, y re- presentamos estas componentes por Ty, Ty, T¿, es decir, si hacemos, 7, =¿R 40 dy dz y ¿HP eR dz dx Ode a dy la expresión anterior tomará esta forma: Tb que representa evidentemente la proyección del vector 7'so- — 829 — bre la normal al punto de la superficie que se considere y cuyas coordenadas sean x, y, 2. Porque, en efecto, la normal n forma con los ejes ángulos cuyos cosenos son /, ín, n, luego la expresión precedente es la proyección sobre dicha normal del polígono que forman los tres componentes Ty, Ty, Tz. Repitamos esto mismo, y fijemos bien las ideas, en la figu- ra 35. S es la superficie que se considera. L es la línea que limita dicha superficie. TS 5d Ze y Pigura 35. La superficie y la línea se hallan en el campo de vecto- res, y como expicábamos en otra ocasión, para cada punto A de la superficie, habrá un vector W cuyas componentes serán P, Q, R. Y para cada punto B de la línea £, habrá asi- mismo un vector W” cuyos componentes serán P”, Q”, R”. Estos vectores de la línea L quedan, por decirlo así, ínte- gros, y el primer miembro de la fórmula de Stockes repre- o $30 senta, como hemos explicado hace un momento, el trabajo de dichos vectores, sobre la expresada línea £; trabajo, por decirlo así, abstracto ó de pura fórmula, si el vector es abs- tracto; trabajo mecánico y efectivo, si el vector se convierte en una fuerza. Los vectores W de la superficie, no quedan, en cambio, integros, sino que por una combinación analítica determi- nada, que consiste en tomar las derivadas de sus compo- nentes y las diferencias de estas derivadas, en la forma que antes expresamos, se obtienen las tres cantidades 7, Ty, Tz, que se consideran como componentes de un nuevo vector T, derivado del W y á que se puede dar el nombre de vector torbellino, ó si se quiere, torbellino. En la figura 35, lo hemos representado para el punto C, en vez de representarlo por el punto A, á fin de no complicar la figura; pero entiéndase que para cada punto de la super- ficie S existe un vector torbellino T. Permitasenos que insistamos para evitar confusiones. Para cada punto de la superficie S, existen dos vectores; el vector del campo W y el vector T, ó vector torbellino, que se deriva del anterior por una combinación analítica en que entran para cada punto las derivadas de P, Q, R correspon- dientes al expresado punto. Para el punto C de la superficie, hemos representado el vector torbellino T y sus tres componentes, Tx, Ty, Tz. Ahora bien, si trazamos por el punto C la normal Cn á la superficie S, y proyectamos T sobre n, es claro que CC”, que representa dicha proyección, será evidentemente igual á CO = Td + Ty mk Tal: Y designando por la notación T, dicha proyección, es decir, haciendo ¡ Ti CCH=R Ta dti an TRA cd FAS -- 83l — el segundo miembro de la fórmula de Stokes, toma la nueva forma, que es mucho más sencilla que la anterior, A = | (ITEM nado | [Tado con lo cual, la fórmula completa puede escribirse de este modo: Ja f [Tato E S El primer miembro, ya hemos dicho que simboliza el tra- bajo del vector á lo largo de L; pues el segundo miembro - tiene también una interpretación muy sugestiva, muy natural, y muy fecunda para las aplicaciones á la Física matemática. En efecto; proyectar la línea T, (fig. 35), sobre la normal nen CC' y multiplicar CC” por el área do infinitamente pe- queña que está representada en la figura, es en cierto modo expresar el ilujo del vector T para el punto C; porque si T simbolizase la velocidad de un flúido que saliera á través de la superficie S, el flujo de salida sería un cilindro oblicuo cuyas aristas tuviesen la longitud 7 y en que la base fuese des. Pero el volumen de este cilindro sería su base por la altura CC”. De aqui resulta, que la fórmula de Stokes puede expresat- se de esta manera abreviada: trabajo del vector W á lo largo de L= flujo del vector T á través de la superficie. Pero como el vector T está derivado de W con el nombre de torbellino, también puede expresarse la fórmula de este modo conciso y abreviado: Trabajo vector W = flujo vector torbellino W. — 832 — El vector T, cuyas componentes Ty, T,, Tse determinan por medio de P, Q, R, no sólo recibe el nombre de vector tor- bellino, sino otros muchos nombres análogos; se llama tam- bién vórtice, es decir, vórtice de W; rotación, ó sea rotación de W; y los ingleses le llaman curl, que significa algo asi como bucle, es decir, siempre la idea de algo que se retuerce, que gira, que es á modo de torbellino ó de vórtice. La razón de estas denominaciones, ya la explicaremos más adelante. De todas maneras, permítasenos que insistamos aun sobre esta nomenclatura que se repite constantemente en la Física matemática moderna. Así pues, si encontramos estas denominaciones Torbellino W, ó abreviadamente.............. Tor. W. VMORUCE VU DADÍCITE 2t A cr ariaaaiaa ml net ER Vórt. W. Rotación! Wo0 seda. . QL BUE. ISI O Rot. W. A O e a a e Curl. W. todas ellas significarán lo siguiente: Que hay que tomar los tres componentes P, Q, R del vec- tor W; Que con estas tres cantidades, que son funciones de x, y, 2, hay que formar los tres binomios dR_d4Q dP_dR 4QaP das az occaas Wo OE Que hay que considerar al primer binomio como la com- ponente paralela al eje de las x de un nuevo vector, compo- nente que podremos designar por T,; de modo que A O == dy UE — 833 — Que asímismo hay que considerar al segundo binomio como la componente paralela al eje de las y del nuevo vec- tor que estamos formando, de suerte que, designando por T,, á dicha componente, tendremos Y por último, que consideraremos al tercer binomio como la componente paralela al eje de las z del nuevo vector ex- presado, es decir, Formando un vector T, que tenga por componentes Tx, Ty, T, éste será precisamente el que hemos designado por los nombres Tor. W, Vórt. W, Rot. W, Curl. W. En suma Tor W = Vórt W = Rot W = Curl W pp IPR significan vector, cuyas componentes son: a dx Su magnitud será evidentemente magnitud-vector torbellino = y E-2 y (E £eS y (2 - a dy dz ) dig: dy no tomando más que una de las denominaciones anteriores. Insistamos todavía sobre este género de notaciones. Si queremos expresar que un vector A, cuyas componen- Rxv. AcAp. Dx Ciexcias.—VIIT.— Mayo, 1910. 57 — 834 — tes sean Ax, Ay, A, es igual al vector T deducido dcl vec- tor W, bastará que escribamos A = Tor. W; (1) que es como escribir 4= TT. Pero no se olvide que esta es una ecuación vectorial, la * cual significa, que en el espacio coinciden el vector A y el vector T. Si queremos emplear las notaciones ordinarias, la igualdad de los vectores en ecuaciones ordinarias, que en este caso se llaman ecuaciones escalares, supone la igualdad de las tres componentes de ambos vectores, es decir: e. dE, Ay = Ty, A, = ln Ó bien ada dy dz DAR dar eiii ol (2) dQ_aP. Ñ dx dy Tendremos, par último, que la ecuación vectorial (1) equi- vale á las tres ecuaciones escalares (2). Cada ecuación vectorial se resuelve, pues, en tres ordi- narías. Son más cómodas, más breves las primeras; pero la ma- AS a a — 835 — yor parte de las veces, al efectuar los cálculos, hay que acu- dir á la segunda notación. Estas denominaciones, torbellino, vórtice, rotación y curl, no son arbitrarias; nacen en cierto modo de la esencia de los vectores á que se aplican tales nombres, porque como ire- mos viendo en las aplicacio- nes, á todos estos vectores se une en cierto modo la idea de rotación, de giro, de tor- bellino. Para aclarar más esta idea, pongamos un ejemplo. Supongamos que el vector T se reduce á una de sus componentes, la paralela al eje de las z, perpendicular, por lo tanto, al plano de las x y (fig. 36). Esta componente tiene por valor Figura 36. dQ_eá. dx dy' Pues bien, consideremos un rectángulo abc d cuyos lados tengan las longitudes, and a ON Supongamos que sobre el lado ad actúa la componente Q en el sentido de la flecha. El trabajo que Q ejercería, si fuese una fuerza, á lo largo de ad, sería Qdy. — 836 — En la cara opuesta, el vector Q tendría el mismo val or Q, aumentado en la diferencial correspondiente al incremento ab = dx, es decir, Q' = Q +- ES aba e Y el trabajo que ejecuta á lo largo de bc será , d Qdy=Qdy + E axdy. Si fijáramos el centro o del rectángulo abcd, ambos vec- tores considerados como fuerzas tenderían á hacer girar di- cho rectángulo alrededor de su centro, con un trabajo igual á la diferencia de los dos anteriores Qdy + 22d dx dy — Qdy= La dx dy. dx dx Y si no se quiere hablar de trabajos, también pudiéramos considerar la fuerza Q como esfuerzo por unidad; pero como no establecemos una teoría, ni siquiera un teorema, sino que más bien sugerimos una imagen, diremos que a dx dy dx expresa una tendencia al giro alrededor de o valuada numé- ricamente por la expresión anterior. Repitiendo esto mismo para los lados ab, cd, tendremos otra tendencia al giro, pero en sentido contrario, medi- da por —— dx dy. dy á Y por fin una tendencia expresada por la diferencia, y por unidad de superficie A E dia ¿BO lo cual justifica las denominaciones anteriores. — 837 — Hemos hablado en términos vagos de tendencia al giro; pero esto lo precisaremos más en otra ocasión. Si quisiéramos ahora dar precisión á nuestra idea, nos se- pararíamos demasiado del objeto principal de esta conte- rencia. Muchas veces, de propósito, anticipamos ideas en forma vaga é imprecisa, para despertar en nuestros alumnos, con cierta expontaneidad, conceptos á que luego hemos de dar forma más rigurosa. En nuestro globo, antes de la luz del sol, está la claridad indecisa de la alborada; en las inteligencias sucede otro tanto, y quizá conviene que suceda, y tal vez no pueda su- ceder de otro modo; es decir, que la verdad, antes de ser comprendida con su claridad propia, es sospechada con la media luz del amanecer. Y perdónesenos esta digresión, y continuemos el estudio de la fórmula de Stokes. Hemos visto que dicha fórmula expresa en su primer miembro el trabajo de un vector, y en su segundo miembro el flujo de otro vector, que se deriva analíticamente del vec- tor extendido por todo el campo ó por todo el espacio, va- riable de un punto á otro, y cuyas componentes son, como es natural, funciones de x, y, Z. Por eso decimos abreviadamente: Trabajo total de W sobre L = flujo de Torb. de W en la superficie $. Y decimos que esta fórmula es una fórmula de transfor- mación, que el primer miembro es una transformación del segundo, lo cual viene á identificar en cierto modo el flujo al trabajo. Precisamente para que se comprenda el sentido de la fórmula, hemos presentado el ejemplo de la figura 36. En ella el flujo en el elemento dx dy era el resultado de un trabajo en su perímetro, y por eso se comprende por cierta intuición que, dividiendo á la superficie en elementos, esta especie de trabajo se vaya compensando en la extensión 2 AO de la superficie, dando algo así como una resultante en el perímetro L. Todavía son estas ideas un tanto vagas, que anticipamos á modo de sugestión. Y pasemos ya á las aplicaciones del teorema de Stokes. Siempre que la materia se presta á ello, pero aprovechan- do todas las ocasiones, buscamos y procuramos poner en relieve al exponer una teoría, analogías, semejanzas, sime- trías, si vale la palabra, con otra teoría anteriormente expues- ta; á ser posible en el fondo, ó por lo menos en el proce- dimiento. Por esta razón, y porque estas analogías y semejanzas son útiles al enseñar una ciencia, y porque de ellas se despren- de algo así como un conato de unidad, entre unas y otras materias, por esta 1azón, repetimos, al hablar del teorema de Stokes, procuramos seguir la misma marcha que seguimos en la fórmula ó teorema de Green. En uno y en otro, se tiende á reducir una integral múlti- ple á otra de grado inferior; una integral triple, á una inte- eral doble; una integral doble á una integral sencilla. En una y en otra fórmula, la cantidad que se exprésa bajo los signos de integración se refiere á los vectores de un campo. En una y en otra, se trata de una igualdad de transforma- ción, no de una ecuación en que se despeje una incógnita en función de los datos. En la fórmula de Green, una vez demostrada, pasamos á estudiar casos particulares, considerando en la expresión diferencial de las tres componentes del vector del campo F, G, H varios casos particulares. — ¡900 A saber: cuando Fdx + Gdy + Haz, ni era una diferencial exacta, ni tenía ningún factor de inte- erabilidad; cuando dicha expresión, podía integrarse median- te la multiplicación de determinado factor; y por último, cuando era una diferencial exacta. Correspondiendo estos tres casos á aquellos en que el vector, cuyos componentes eran F, G, H dependía de tres escalares, ó de dos, ó de una sola función escalar. Y ahora, siguiendo el mismo paralelismo para la fórmula de Stokes, consideraremos tres casos análogos á los tres citados. 1.2 Cuando Pdx + Qdy + Raz, ni es una diferencial exacta, ni existe factor de integrabilidad. 2.2 Cuando existe un factor en x, y, z tal que multiplican- do por él la expresión anterior, ésta se convierte en una dife- rencial exacta de dichas tres variables. 3.” Cuando la expresión, por si misma, es una diferen- cial exacta. El paralelismo entre la marcha que seguimos al estudiar el teorema de Stokes y la que seguimos en el teorema de Green, no puede ser más completa. El primer caso, de los tres antes señalados, nada ofrece de particular. La fórmula de Stokes conserva toda su generalidad. Pasemos al segundo caso, que da lugar á un resultado verdaderamente curioso. — 840 — Supongamos que Pdx + Qdy + Rdz no sea una. dife- rencial exacta, de modo que Pdy + Qdy + Rdz=o0 no se pueda integrar directamente, pero que exista un factor de integrabilidad, es decir, una función de x, y, z, que represen- 1 > S 1 taremos por —————, 6, abreviadamente, por —; y ya Y (%, y, 2) Y explicamos en la fórmula de Green, que ponemos bajo esta forma dicho factor sólo por la comodidad del cálculo; fun- ción tal que, multiplicando por ella la expresión diferencial precedente, el resultado y Pax + Qdy + Raz) sea una diferencial exacta de una función x, y, z, que repre- sentaremos por q (x, y, 2). Tendremos, según esto, q (Pax + Qdy +Rdz)= de ó bien rr o A ar ae O Si el primer miembro es una diferencial exacta de la fun- ción q, es claro que tendremos 1 do 1 de 1 de EME yc usCid le oi. despElEDE ecc Y dx y E dy 0 dz ó bien de do, do ¡= TIP) TS == PES baro?s pare y. Le Yi expresiones que nos permiten determinar para este caso de integrabilidad una relación muy notable entre el vector W, cuyas componentes son P, Q, R y el vector torbellino T, cuyas componentes hemos representado por T,, T,, T, siendo En efecto, vamos á demostrar que en este caso de inte- erabilidad el vector del campo W y el vector torbellino T son por el pronto para todos los puntos de la superficie S perpendiculares entre sí. En efecto, se sabe por la Geometría analítica, que la condición para que dos rectas que pasan por un punto sean perpendiculares es, que entre sus componentes se verifique la relación, PE QT, + RT,¿=0. Relación que expresa que el coseno del ángulo que for- man W y T es de 90”. Pero esta relación para cualquier punto x, y, z queda veri- ficada, es decir, es una identidad. Para converse de ello, basta sustituir en la relación prece- dente, en vez de T,, T,, T,, sus valores en función de P, Q, R, con lo cual tendremos que se convertirá en aa) ara o Y sólo resta sustituir en esta expresión, en vez de P, Q,R los valores que antes obtuvimos, y además, las derivadas que contiene la ecuación (c). — 842 — Tenemos, pues, de de de EU E A AX Q JE y dz UP A d? EA a al d? a A A A E dy Ces dx dy dz dE a dxdz 4Q_dy dy yde dQ_dy de yy de de de dy dxdy” dz dz dy "dydz AA LOA, O Ele O AA dd Als aa A dy dz y sustituyendo en (c) A "dx dy dz ; dy dz dz dy dy dz ip nl all pen Sion aj dr a de ] ye ee dx ito dx dz pa a e POZA dy day dy AX dx dy y suprimiendo los términos que se EEN desde luego MEAN ax ay: de dz. Uy e dx AZ in da ldx” ay "avda : ele dz ax: | EE de _ de dE O - ÍA — o _—_____ A =————_— DA dy dz o O dy dx, dx dy, — 843 — que se reduce á 0=0. La condición queda, pues, satisfecha, no sólo para todos los puntos de la superficie, sino para todos los puntos del campo vectorial. De aquí resulta que es condición necesaria para que la ex- presión Pdx + Qdy + Rdz sea integrable, que el vector torbellino sea en cada punto perpendicular al vector del cam- po, es decir, que se verifique la condición (c). En cálculo integral se demuestra que esta condición no sólo es necesaria, sino que es suficiente, y los que quieran refrescar sus ideas en este punto, pueden consultar cualquier tratado de Análisis infinitesimal, por ejemplo, el tratado ex- celente de cálculo de Mr. Humbert, donde verán cual es el método de integración, siempre que se verifique la condición de integrabilidad (c). Las notaciones son distintas, y la condición de integrabi- lidad tiene otra forma, pero con facilidad suma se identifican ambas condiciones; la forma (c) puede decirse que es clásica. El tercer caso es aquel en que Fdx + Qdy +- Rdz es una diferencial exacta. Para que esto se verifique es preciso que el vector torbe- llino se anule, porque en efecto, se sabe por el estudio del cálculo infinitesimal, que las condiciones necesarias y sufi- cientes para que dicha expresión sea una diferencial exacta, son estas: = BUE — Pero éstas son precisamente las componentes del vector T; luego en efecto, para que la expresión de que se trata sea integrable, es forzoso que el vector torbellino sea nulo. Lo será, por lo tanto, el segundo miembro de la forma de Stokes. Y es evidente que también lo será por sí el primero, por- que si la integral de Pdx + Qdy + Rdz es una función de x, y, z, al integrar á lo largo de la línea £, coincidirán los dos límites de la integración en un sólo punto, y la integral se reducirá á O. En la conferencia próxima todavía seguiremos estudiando la fórmula de Stokes. XLVIII.— Estudio completo de una clase especial de integrales singulares. Por LAURO CLARIANA SEGUNDA PARTE INTEGRALES SINGULARES DEDUCIDAS DE LA INTEGRAL GENERAL Ó DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL F(xX, y, y')=0, SEGÚN LOS PROCEDIMIENTOS ORDINARIOS Esta segunda parte, como la más interesante, tiene por ob- _ Jeto el estudio de las integrales singulares en los diferentes conceptos que cabe deducirlas, y á este fin hemos conside- rado que no estaría fuera de lugar empezar á obtenerlas de la integral general. La ecuación diferencial de Clairaut, dió, como ya se ha visto, origen á esta clase de integrales especiales, que tie- nen la condición de satisfacer á la ecuación diferencial, sin que puedan deducirse de la integral general por ningún va- lor particular atribuido á la constante. Hay que advertir, sin embargo, que los procedimientos analíticos que se conocen para determinarlas, pueden con- ducirnos en ciertos casos, á integrales particulares, así como en otros, adquirir el doble carácter de singular y particular. Además, según indica Boole, es posible que la integral singular pueda presentarse bajo tres aspectos diferentes, esto.es: — 846 — 1.2 Cuando la constante G, recibe un número infinito de valores dependientes de x, según una cierta ley. 2. Cuando G, toma un determinado número de valores, dependientes aún de x, y también según una cierta ley; y 3.” y último, cuando G, recibe un número determinado de valores, independientes completamente de x. Después de estos preliminares, precisa pasar inmediata- mente á la determinación de las diferentes fórmulas que, se- gún los procedimientos ordinarios, nos pueden conducir á la determinación de las integrales singulares. Sabido es, que dada la función finita como integral, se obtiene la ecuación diferencial que le corresponde, derivando la función integral, según x, y eliminando luego la constante. Empero las integrales singulares corresponden á la en- volvente de las diferentes involutas representadas por las integrales particulares que se deducen de la integral ge- neral; de suerte, que el estudio de las integrales singulares, nos pone en relación de todo lo que se consigna también en la primera parte de esta Memoria, haciéndose á este punto indispensables las consideraciones analíticas y geométricas contenidas en la misma, al objeto de explicarnos ciertas ano- malías aparentes que presentan dichas integrales síngulares. Supongamos que Fx, y, G)=0, (1) sea la integral general de una ecuación diferencial de primer orden y de un grado cualquiera, tal como: (2) F(x,y,y')=0. La integral singular de (2), podemos suponer que sea v(x,y)=0, la cual debe satisfacer á (2); sin que sea posible deducirla de (1), por ningún valor particular atribuido á la constante G. Ahora bien, si suponemos que G sea función, en general, de x é y, cabe admitir: f(x, y, 6) = 0 (x, y); de modo que al deducir de esta igualdad la expresión de G, sustituyendo luego su valor en f, debe dar por resultado una identidad. — 847 — Esta generalización, atribuida á la integral general, nos permite extender el círculo de acción, pasando más allá de lo que pueden dar las integrales particulares, entrando ya en el terreno de la teoría de las involutas y envolventes, y por ende al estudio de las integrales singulares. Comencemos suponiendo que la constante deperida sólo de una de las variables, y en este concepto podremos sentar los principios siguientes: Cuando G es función sólo de x, la integral singular contie- ne á entrambas variables, ó en el caso de contener una sola, ésta será y. En efecto, suponiendo conocida la integral general, así como la singular, si se quiere expresar G en función de una de las dos variables, es preciso eliminar la otra, entre las dos ecuaciones anteriores; de modo que si G es función de x, precisa eliminar la y, lo cual obliga que ésta conste en la in- tegral singular. De un modo análogo puede demostrarse que si G es fun- ción de y, la integral singular debe contener x, ya sola ó junto con y. | Después de lo que precede, supongamos ahora que la in- tegral general (1), se resuelva según y; así tendremos y == (puGj Si se considera G constante, la derivada de esta ecuación será: y = Dir, 6): Eliminando G entre estas dos ecuaciones, se obtendrá la ecuación diferencial correspondiente (2). Empero, si suponemos que G dependa de x, se tiene y =Dx 1 (x, G) + Dar (x, G) Dx c, y para que esta igualdad corresponda con la anterior, es — 848 — preciso que Dr (x, c) Dc = 0; igualdad que queda satis- fecha siendo D,G=o0, 6 también D¿r (x, G) =0. La primera condición da G = constante, originándose una integral particular. La segunda condición, dy D¿r (x, G) = q 0) (3) da lugar á la integral singular. Según se desprende de (3), el resultado se convierte en una función de la forma 4 (x, G) =0, y los diferentes valo- res de G, que pueden obtenerse de esta función, son los que procuran las diferentes integrales singulares, en general, per- tenecientes á la ecuación diferencial anterior; empero, si al- guno de los valores que se obtiene para G fuese constante, ó, aun dependiendo de x, fuese tal que sustituido en la in- tegral general se pudiera obtener de ésta, por algún valor particular de G, la solución obtenida no sería singular, sino particular. Consideremos, por ejemplo, la misma ecuación diferencial estudiada ya en la primera parte. : Sea Ed PRE AY S yA 10) cuya integral general, es y =G (x — G). -(b) Al derivar esta igualdad, según G, y aplicando los prin- cipios anteriores, se tiene D.y = (x — 6) (x — 3 G)= 0 = d(x, 6). — 849 — Los valores de G, que satisfacen á esta igualdad, son: Fácilmente se concibe que el primer valor no corresponde á la integral singular, puesto que sustituído en la integral general (b), queda ésta satisfecha igualmente que si consi- deráramos para la constante G el valor particular G = 0. En cambio, al sustituir en (b) el segundo valor G = qa a se obtiene 211 =4.X?: (d) y como este valor no se puede deducir de (b) por ningún valor particular atribuído á la constante G, satisfaciendo, no obstante, dicha ecuación (d) á la ecuación diferencial, resul- ta que esta solución debe considerarse como una integral singular. Notable es la interpretación geométrica que permite este problema, respecto á la primera solución G = x. En efecto, las integrales particulares que resultan de la in- tegral general, representan parábolas tangentes al eje x, siendo todos los ejes de las paráboles paralelos al eje y, pero con la particularidad notable de que á medida que el vértice de dichas parábolas se acerca al origen de coordena- das, tienden éstas á convertirse en rectas; el eje x adquie- re el doble carácter de integral particular y singular; con todo, á este resultado, sólo se le concede carácter de integral particular, por ser consecuencia directa de la integral general por un valor particular atribuído á la constante. Demos un segundo ejemplo que consideramos notable por la interpretación geométrica sencilla á que puede suje- tarse la integral singular, problema que ya hemos estudiado anteriormente, bien que bajo otro punto de vista. Rxy. Acap. DE Ciencias. —VII.—Mayo, 1910. 58 — 850 — Sea la ecuación de la circunferencia (x — 6) + y? =P. (1) Esta ecuación tiene por ecuación diferencial dy N? 211 ——= = e pase o De la igualdad (1), se deduce y=Y rr —(x—0); Luego la fórmula general d D.y == 4069) =0, aplicada á este caso particular, da Ip ep oi np de donde x = G. Vr —(x—0) Al sustituir este valor en (1), se tiene la integral singular y? -1r?=0. Este resultado corresponde con el de la envolvente que ya encontramos referente á las involutas expresadas por la ecuación (1), en virtud de la variabilidad del parámetro G. De suerte, que esto nos dice que la integral singular halla- da, expresa geométricamente la envolvente de las diferentes circunferencias expresadas por la ecuación (1) al dar á G di- ferentes valores particulares. Volviendo á la ecuación primitiva f(x, y, 6) =0, — 851 — si la resolviéramos ahora, según x, podríamos hacer análo- gas consideraciones á las anteriores, al objeto de alcanzar la ecuación D.x=X =4(y,0)=0; dG cuyas consecuencias serían completamente análogas á las del caso anterior. Consideremos, por fin, la integral general : f(x, y, 6) = 0 (1), sin resolver. Al tomar la derivada, resulta: A 9X 9y dx 2) Luego, al eliminar la constante G entre (1) y (2), se obtie- ne la ecuación diferencial AV 0: Ahora bien, si consideramos G, con toda generalidad, al derivar la ecuación (1), se tiene E DIE dios a aldo > Dx 9G dx dy 9G dy de donde af af de do AMO da pb de ia ax dy Y como para la determinación de la integral singular según hemos visto, debe verificarse dx Y dG dG , — 852 — naturalmente se deduce, de las igualdades anteriores, las condiciones para determinar dichas integrales singulares, para cuando la función sea implícita, siendo éstas las que á continuación se expresan: 0 re ó también, en el supuesto de que se resuelvan en la tercera categoría de cantidad, las derivadas (n) Interesantes son á este punto, las observaciones si- guientes: 1.* Las condiciones (1) no tienen aplicación, cuando la ecuación f (x, y, G) =0, es racional y entera. 2. Aunque dicha ecuación sea entera, la condición (mm), of af será insuficiente, si ra se anula por algún factor de —— | G dx Ó MES pues en este caso la relación definitiva En Ó E que dy dG. dG son las verdaderas expresiones determinativas de la integral singular, se resuelven en la indeterminación, lo que precisa determinar su verdadero valor, para saber si puede originar- se Ó no una integral singular. 9 3.7 En general, E = 0, da G en función de x é y, y G para asegurarse si procura ó no una integral singular, basta eliminar una de las variables entre ésta y la primitiva f(x, y, 6) =0, y si el resultado de G, es uria función de la otra variable, la solución correspondiente será singular; mas si por el contrario resulta G = constante, la solución será particular. — 853 — af 4.? El valor de G que transforma > en la tercera cate- y of goría de cantidad, debe procurar lo mismo para si ds Notable es el ejemplo que presenta Serret, para probar y j 9 $ que si los valores G, que se obtienen de —H = 0, anulan á G of of cel. a y mi los resultados que se deducen, al sustituirlos en Xx y la integral general, pueden dejar de satisfacer á la ecuación diferencial correspondiente, por cuyo motivo no podrán con- siderarse dichos resultados como integrales singulares. En efecto, sea la ecuación (1) f(6y,6)=(Bxy + 2x* + 6)? —4 (y Fx?) =0, la integral de una cierta ecuación diferencial, la cual para hallarla será suficiente eliminar G entre (1) y su derivada según x, conforme á los cálculos que á continuación se expresan: 2Bxy+2x4+G0(Gxy+3y+6x*)— a A A) luego ATEN 3IXY+H+2xXHG= - xy +) +42% Al sustituir este valor en (1), después de simplificar, se tiene A A o Sea 0U+00+20—[x (1 4+2x) + yP=0; — 854 — de donde, después de sencillas reducciones, resulta: y—2xy —y?*=0. Ahora bien, para deducir la integral singular, según el pro- cedimiento explicado, se tiene 2619420 700 9G y al eliminar G, entre esta ecuación y (1), se halla —A (y + x?)? =0, Ósea y = — Xx, (a) Mas este valor sustituido en la ecuación diferencial, no la satisface. En efecto, puesto que se tiene, según (a) dy s — =—2x=Y; dx . al sustituir este valor en la ecuación diferencial, se obtiene: y —2xy —y?=-—x44x—4x2=-— x?; lo cual indica que dicho valor no satisface á la ecuación di- ferencial. Esta excepción de la regla general, se debe á que dicho valor de G, anula á las derivadas En efecto, sustituyendo valores, se tiene E (Bxy | 2x3+6G) (3y +6x?) —12 (y +x2)? 2x= 5 ) A =2[3 xy +2 xP—3xy—2x*] (3y 4632) —12(—x?2-x?)? 2 x=o0 E =28xy 4204 0)3x 1249 = y =2[3 xy +2x3—3xy-2x] 3 x —12(—x?+ 2) =0. TEA e S — 855 -—- Estos resultados dan á comprender como la ecuación ha- llada y =— x?, á pesar de que sea el resultado de la apli- cación de la fórmula general para la determinación de la in- tegral singular, ella no satisface, sin embargo, á la ecuación diferencial, no pudiendo considerarse, en su virtud, dicha ecuación como su integral singular. Esta conclusión es de alta importancia y guarda relación con el método especial que luego daremos á conocer, al de- ducir las integrales singulares de la misma ecuación diferen- cial, pues muchos serán los casos que la derivada de la inte- gral que se halla no corresponderá con la ecuación diferen- cial dada, sino con otra íntimamente relacionada con la pri- mera. Para terminar este número daremos un ejemplo que no esté sujeto á las restricciones del anterior. Sea x+2yy' —xy?=0. La integral general de "esta ecuación diferencial, ya estudiada, es F(x,y,G)=0=x?—2cy— G%=0. (a) f La igualdad - se reduce en este caso á —2y —26=0; lado De donde, al eliminar G, entre (a) y (f), resulta: + y?=0, (n). Esta ecuación constituye verdaderamente una integral sin- gular de la ecuación diferencial dada, pues no puede obte- nerse de la integral general por ningún valor particular atri- — 856 — buído á la constante G, mientras que ella satisface á la ecua- ción diferencial, pues al diferenciar (y), se halla OY o y al sustituir este valor en la ecuación diferencial, se obtiene a db cn O, de donde, según (y), resulta la identidad o = 0. Atendida la dificultad que presenta en varios casos el po- der hallar la integral general de su ecuación diferencial, se ha procurado deducir la integral singular, de la misma ecua- ción diferencial, lo cual debe presentar grandes ventajas para los cálculos, si bien en este concepto aumentan los diferen- tes puntos de vista en que se pueden considerar dichas inte- erales singulares. Así, pues, antes de llegar á exponer nuestro método espe- cial, consideramos útil, por último, decir algo respecto á lo * que indican las principales obras que tratan de este punto, fijándonos en particular en los ejemplos que presenta Rubi- ni, los cuales nos han servido más ó menos de norma ya en los números anteriores. Supongamos que la ecuación primitiva, resuelta según y, sea y =Í(x, 6). (1) Sabido es que si se toma la derivada de esta ecuación A 9 y=-“L, (2) ox — 857 — al eliminar la G, se obtiene la ecuación diferencial y = sy (x, y). (3) Las relaciones que existen entre (1), (2) y (3) permiten derivar (2) según y, en el supuesto de que G sea función de las variables, luego dy 21d (4) cad dy —2x3G dy Además, podemos admitir las transformaciones siguientes: dy de _ y da dy L£O9.ano inermbidoh, 18d ds avia i da dG Luego, según (4), se obtiene IAE EIA AN ari air. dae el EOL EU Ol MONOS E 5 xXx 0G AO 6) Si la ecuación primitiva se hubiese resuelto según x, se tendría x = 1 (y, G), S : , dx 1 A y por simetría, sabiendo que —— =—, resultaría inme- y diatamente, por un cálculo análogo al anterior, ol y de Ln dx dy da” — 858 — Voviendo á la fórmula (5), sabido es que la integral singular resulta de > = 0, para cuando la ecuación pri- G mitiva tiene la forma (1); y, por consiguiente, esta última igualdad, se resuelve en una función y (x, G) = 0. 14 dy dy Así, pues, al considerar como relación límite del in- cremento de la función y (x, G), respecto á la variable x, re- sulta RI CAES O) € == (6) dy dx A este punto, interesa recordar los principios del cálculo infinitesimal que se exponen en un principio de esta Memo- ria, á fin de probar debidamente que el segundo "miembro de la igualdad anterior se resuelve en la tercera categoría de cantidad. En efecto, considerando la función y (x, G) continua, no se puede suponer que d (x + dx, G) sea completamente nula, siéndolo ld (x, G); y si bien es cierto que para y (x +dx, G) resultará un infinitamente pequeño, éste siempre será de orden inferior al que corresponde á y (x, G); pues siendo esta función igual á cero, se puede suponer que se refiera á un infinitamente pequeño de un orden infinita- mente grande. Ahora bien; al tomar luego logaritmos de es- tas funciones, resultará para el logaritmo de cero una canti- dad correspondiente á la tercera categoría, la cual no podrá destruir al otro término, según lo que acabamos de mani- festar. De modo, que bien cabe afirmar que el orden del quebrado del segundo miembro de la igualdad (6), corresponde á la tercera categoría de cantidad. Debe tenerse presente, sin embargo, que una relación en- tre x é y que convierta E en una cantidad infinitamente Y — 859 — grande, no podrá siempre considerarse como integral sin ¿u- lar de la ecuación diferencial. Ahora bien; si supusiéramos luego x, función de y por razón de simetría, resultaría bajo condiciones análogas á las d a E dx también en una cantidad infinitamente grande al referirse á una integral singular de la ecuación diferencial dada. Además, es de notar también que si la ecuación dife- rencial del caso anterior, que la relación se transformaría Fx, y, y) = 0, , dy es entera y racional, la condición de que se resuelva en la tercera categoría de cantidad, lleva consigo la de que di . . . y e se resuelva en la primera, pues al derivar la ecuación Y anterior respecto á y se obtiene : 9 2 : EN =— Eo dy — OE Y y fácilmente se concibe que sólo así, el segundo término po- drá neutralizar el primero, para que resulte cero, á no ser que se anulara pá por la combinación de f=0,, Ju dy dy Mas si esto resultara, fuera preciso entonces determinar el verdadero valor de No cabe duda que de todos los medios indicados para — 860 —-. obtener integrales singulares, este último sería el mejor, “si no fuesen las restricciones á que está sujeto. Apliquemos los procedimientos anteriores á varios ejem- plos. Sea y + 07 0y 3 (a 0) y? =0; de donde y = YE VA 40D, E 2 (a— x) P Luego GIA E A AXAKXÁ 2(4—x) V(— y? — 4(0— x)y Según lo que precede, para la integral singular se tendrá (x— y? —4(a— x) y =0, ó sea también | (TIA 4 dy 0: (a) Para convencerse que de esta ecuación es una integral singular de la ecuación diferencial dada, hay que ver si la satisface. Así, pues, de (a) resulta 2(x + y) (1 + y) —4ay' =0, de donde pl aa 2 DE Este valor, sustituido en la ecuación diferencial, da EY Y e toy E Y ii A o MP — 861 — Desarrollando esta igualdad, se obtiene y [402 4 0(x+H+1MH (+ y) + + (0—x) [La (x y) =(< +34 + (a = 0) (+1? =o, reduciendo Ary —2ay (e 9)20x (y) + a(x + yy =0; y por fin | 4 a? y — a (x + y) =0; pero como se tiene (x + y)? =4ay, según (a), resulta de- finitivamente ! 4ary—4a? y =0, ó sea la identidad o = 0. De suerte que la integral (a) satisface á la ecuación dife- rencial, sin que ella pueda deducirse por ningún valor par- ticular atribuido á la constante de la integral general que, en este caso, es la misma ecuación diferencial, sustituyendo G por y”, conforme á los principios que van expuestos relati- vos á la fórmula de Clairaut. Ahora bien, si partiéramos de la derivada según y”, toma- da sobre la ecuación diferencial dada, obtendríamos el mis- mo resultado anterior, bien que con más rapidez. En efecto, al tomar la derivada en y” de y +0 —x) y +(a — x) y? =0 (a) é igualando el resultado á cero, se tiene y—x+2(4—x) y" =0, — 862 — de donde pes Y A y EN Al sustituir este valor en (a), se obtiene inmediatamente, después de simples operaciones, («+ y) —4 ya=0. Ecuación de la integridad singular, igual á la que se halló por el primer procedimiento. Notables son las consideraciones geométricas de Lagran- ge, para explicar este segundo procedimiento, á cuyo fin in- teresa tener presente los conceptos geométricos dentro de lo infinitésimo que se indican en la primera parte. Lagrange, dice: Puesto que la integral singular, debe representar la envolvente de la serie de líneas que satisfa- cen á la ecuación diferencial, se comprende que esta envol- vente no puede existír, sino cuando las líneas de la serie se encuentran, esto es, cuando la ecuación f(x,y,y")=0, (1), pueda dar para y” muchos valores en un mismo punto del plano, lo cual obliga á que la ecuación diferencial sea á lo menos de segundo grado respecto á y”; según este supuesto, la envolvente es el lugar geométrico de puntos donde dos á dos, las líneas infinitamente próximas de la serie se cor- tan; y á estos puntos corresponderán, por consiguiente, raí- ces dobles de la ecuación en y”, y su lugar se obtendrá ex- presando la condición para que la ecuación diferencial tenga una raiz doble, correspondiendo á la vez con la tangente á la envolvente; de suerte, que al eliminar y” entre la ecua- ción (1), y su derivada, según y”, se obtendrá la ecuación de le envolvente, ó sea la integral singular. Empero, á este punto hay que advertir que la relación en x á y obtenida, no siempre satisface á la ecuación diferencial dada, pues como manifiesta con sumo acierto el matemáti- A a — 863 — co Serret, muchos serán los casos en que no se verifique di- cha condición. En efecto, dice él, si consideramos, por ejemplo, una Sa d , ecuación de segundo grado en e al resolverla se tendrá: | x d === A dx y como quiera que P y O son funciones cualquiera en x é y, los valores de y, que anulen á O, no veriflcarán, en gene- ral, á la ecuación Esta observación tan importante, nos pone ya en camino del procedimiento, que desarrollaremos luego, para encon- trar en todos los casos la ecuación diferencial á que puede hacer referencia la función en x é y, precitada como inte- eral singular; de modo, que si la primera ecuación diferen- cial dada no le corresponde, quedará satisfecha siempre por la segunda que hallaremos. Antes de pasar á la explicación de este método, bueno será aclarar los conceptos de Lagrange y Serret, por medio de ejemplos. Tomemos de momento la misma ecuación diferencial que ya consideramos, como una aplicación de la fórmula de Clai- raut y=yx+rV1Ey?, de donde (0) Ma ns Óó sea A A E p2 — x?2 pp — 2 = 4 — Para que las raíces sean iguales, supondremos A A A RA de donde n= 4 y? (a) Ecuación que será la integral singular, si satisface á la ecuación diferencial. A fin de averiguarlo, tómese la derivada de (a) dYo ee dx vi valor que, sustituido en (b), da una identidad, lo cual signi- fica que (a) es integral singular de la ecuación diferencial dada. Esta particularidad tiene su explicación, según la observa- ción importante de Serret. Si consideramos la ecuación diferencial dada, escrita bajo la forma siguiente: v? (1? —x2) + 2yxy" + 1? — y? =0, llamando A ID Al tomar el valor hallado de la raíz doble para que satisfaga á la ecuación anterior, es preciso que G cumpla con cierta condición para que dicha ecuación se pueda expresar por ; yx A da Aira A A — 865 — Y según principios de las ecuaciones de segundo grado, debe resultar que p2 4 y? x?2 G=T—, ósea — ————=pnr— y. 4 (12 — x?) Y efectivamente, en este caso se cumple la condición, puesto que atendiendo al valor u, resulta para el primer miembro la misma expresión del segundo. Además, puede suceder que la función en x é y, aunque satisfaga á la ecuación diferencial, no sea una integral singu- lar, sino una integral particular de la general. Si la integral general es conocida, fácilmente se salva la dificultad. Sea la ecuación diferencial de primer orden Fx, y,y)=0 (M) y supongamos que por un procedimiento cualquiera hayamos hallado la función q (x, y) = 0 (2) que la satisface, siendo la integral generaí de (1): E(MADC)=:0 (3) Si la relación (2) representa una integral particular, tendrá que identificarse con (3), por un valor particular atribuido á la constante. Empero, cuando la integral general no es conocida, enton- ces, si la solución y (x, y) = 0 es una integral singular, de- berá representar la envolvente de las diferentes líneas como involutas, correspondientes á las integrales particulares de- ducidas de la integral general. De modo que en cada uno de los puntos de la envolvente la y”, tanto por la integral particular que la corresponde, como por la envolvente, debe ser la misma, resultando, en general, entre las dos líneas un contacto de primer orden. Rev. AcaD. DE CreNcias.—VIII.—Mayo, 1910. 59 — 866 — De aquí resulta que si se forman las derivadas consecuti- vas de (2), desde la segunda, en general, no deben corres- ponderse con las de (1), bastando esta sencilla consideración para averiguar si la función (2) es ó no una verdadera inte- gral singular, á pesar de satisfacer á la ecuación diferencial. Para mayor claridad de lo que precede, nos valdremos de un ejemplo: Sea la ecuación y — D0x 7-2 EX ql? "0, (a) correspondiente á varios círculos que tienen los centros en diferentes puntos del eje x. La ecuación diferencial correspondiente, se hallará, según lo expuesto, mediante el cálculo que á continuación se ex- presa: 2yy —20 4 2x—26=0, OP eo A A 2 NO A A Ó sea yy? 2ayy y 020% 0.0 5(1) Aplicando el método de Lagrange, se tiene 2y?y' —24y=0; a O y Al sustituir este valor en (1), inmediatamente resulta y?—2ax=0. (2) Esta ecuación satisface á la ecuación diferencial. SERRA A — 867 — Empero, aún cabe la duda si la función (2) es una inte- gral singular ó particular. Para salvar dicha dificultad debe procederse á la determi- nación de las segundas derivadas de (1) y (2), al objeto de averiguar si se corresponden ó no. De (1), resulta: 1 ,, 2yy? + 2y y y" —20y?—20yy" + 2yy — 24 =0, de donde YY OY === 00) 0y a); después de la reducción > y?2+1 EN 2 2 qa e e (a) y y? De (2), sabiendo que y” = 5 se deduce: y” === a (b) Siendo los resultados (a) y (b) diferentes, puede asegurar- se que la solución (2) es una integral singular de (1), la cual representa geométricamente una parábola, que es la envol- vente de los diferentes círculos que corresponden á la ecua- ción (a). Notables, por fin, son los trabajos de Boole, acerca de las integrales singulares, haciéndolas dependientes de la deriva- da, pero sin que sean resultado de relaciones bien definidas entre la constante y una de las variables. Los ejemplos que á continuación se indican, serán suti- cientes para dar una sucinta idea del pensamiento de ese gran matemático. — 868 — Sea encontrar la integral singular de la ecuación xy" = yly. (1) Derivemos, según y; E dy 2% Esta expresión resulta infinita para y =0, satisfaciendo este valor de y á la ecuación (1). Ahora bien, la integral general de (1) es: MAA) (2) de la cual se puede obtener y = o siendo G = — oo, si x es positivo, y C=00, si x es negativo. En ambos casos, se tienen integrales particulares, pero sin poderlas deducir de (2), por valores particulares de la cons- tante completamente independientes de x; y como quiera que dichos resultados corresponden con la fórmula do == 109 perteneciente á las integrales singulares, en este concepto considera Boole dicha solución como singular. Otro caso más especial aún presenta dicho autor, para cuando G, recibe un determinado número de valores inde. pendientes de x. (*) Para deducir la integral de xy” =yly, basta atender á los desarrollos siguientes: y' y dx 9% 1 mero de === ===> lly= 1G = G, ly = ,y= G 7 ia E y=lx+IG=TIxG,ly= xG, y =ex pri — 869 — Sea la ecuación diferencial y? —xyy' +y? ly =0. (*) Al resolverla, según y”, ES tiene Pues xy EV y? — 4 y? ly 2 de donde dy x+YVxR—4ly_ 1 A Y a dy : Vx —A4ly Para que este resultado sea infinito, basta suponer x? —4ly=0; Ó también y = 0; ó sea La primera igualdad da una integral singular, por cuanto no es posible deducirla de la integral general y =e*=C”, sino por G = Al x, que es variable. Pero lo notable de este ejemplo, conforme lo indica Rubini al tomarlo de Boole, es que el segundo caso se puede deducir de la integral gene- (*) Para hallar la integral de y'2— xyy" + y? ly =0, atendere- mos simplemente á los desarrollos siguientes: << 1 La ly=0; 2 (+ —=x) +1y=0; ly=A+Bx —B,B(B-0+A+Bx=0,(B2+A)+(B-B)x=0, B=G =B?=A, =(2=M, ly =cx 0, y=ecx - e (800 ral, siendo G =00, ó G = —oo, cuya expresión es indepen- diente completamente de todo valor y consideración sobre x, constituyendo en su virtud esta singularidad por dicho autor, dos soluciones ó integrales particulares coincidentes ó múl- tiples, las cuales guardan alguna relación con la integral sin- , gular correspondiente á y=0, como resultado de da 00. y: (Continuard.) — ml XLIX. — Dosificación volumétrica del ferrocianuro y del ferricianuro potásicos (*) Por WERNER MECKLENBURG. INTRODUCCIÓN En el presente estudio se dará cuenta: 1) de un método, de resultados utilizables, para la va- loración del ferricianuro de potasio, que 2) puede servir también para valorar indirectamente el ferrocianuro de potasio; 3) de un método preciso y exacto de dosificación directa del ferrocianuro potásico, y 4) de un método de análisis de una mezcla de ferrocia- nuro y ferricianuro potásicos, resultante de combinar los pro- cedimientos 1) y 3). Base común de todos estos métodos es el sistema de reacción reversible simbolizado por ia ecuación iónica: 2 Fe Cy 0H 3 GE 2 Fe Cy HL cuya transformación, realizada cuantitativamente en el sen- tido de izquierda á derecha, puede servir para valorar el (+) Esta Memoria se publica también en lengua alemana en la Zeitschr. f. anorg. chem., 67, 322 (1910). —También han aparecido en alemán los trabajos de Wilhelm Biltz y Werner Mecklenburg : Sobre los diagramas de estado de los s stemas estaño azufre, estaño-selenio y estaño-telurio; esta Revista, t. VIII, p. 430 (Enero de 1910), y de Wer- ner Mecklenburg: Sobre la isomería de los ácidos estánicos (primera nota); esta Revista, t. VIII, p. 338 (Diciembre de 1909). Véase Zeitschr. f. anorg. chem., 64, 226; 1909 y 64, 368; 1909 respectivamente. — 812 -- ion ferriciánico, y realizada-— por vía indirecta —cuantitati- vamente en el sentido opuesto, se puede aprovechar para dosificar el ion ferrociánico. El equilibrio existente entre el ferro y el ferricianuro po- tásicos, el iodo y el ioduro potásico se ha investigado con frecuencia, hace ya muchos años por Carl Mohr (*), y re- cientemente por F. G. Donnan y R. Le Rossignol (**), y muy en especial por G. Just (***); pero no es posible entrar aquí en la discusión de los fenómenos de complicada apa- riencia que se realizan en el sistema en cuestión, y así me limito sólo á un recuerdo general. l. Valoración del ferricianuro potásico. El método de dosificar el ferricianuro potásico se basa en oxidar, por medio del ferricianuro, el ioduro potásico pro-- duciendo iodo elemental, y en valorar luego éste empleando el tiosulfato sódico. Para efectuar cuantitativamente la reac- ción en el sentido de izquierda á derecha de esta ecuación, He Cy tot > 2 BER dé es necesario que uno de los productos de ella se separe del sistema en el momento mismo de originarse, y en realidad ya Carl Mohr (****) había entrado en tal camino —hoy bien fácil de entender gracias á haberse comprendido la impor- (*) Carl Mohr., Lieb. Ann., 105, 60 (1858); véase también el «Lehrbuch der chemisch-analytischen Titriermethode», de Friedrich Mohr, 7.? edición, Braunschweig, 1896, pág. 345. (**) F. G. Donnan y R. Le Rossignol, Journ. Chem. Soc. 83, 703 (1903); véase también Zeitschr. physik. Chem , 48, 113; 1904. (+) G. Just., Zeitschr. physik. Chem , 63, 513; 1908. (EE) Carl Mohr., Lieb. Ann., 105, 60 (1858); véanse también los «Ausgewaehlte Methoden der analytischen Chemie», de A. Classen, Braunschweig, 1903, Bd,, 2, S., 697. . q — 813 — tancia del equilibrio químico—, añadiendo á la disolución, fuertemente ácida, del ferricianuro y del ioduro potásico una sal de cinc, la cual forma con el ferrocianuro potásico otra sal prácticamente insoluble, y es el ferrocianuro cíncico- potásico de la composición (*) K, Zn, (Fe Cyg)s. Logró de tal modo la transformación cuantitativa y regu- lar de la reacción DEA OC AS 2 e OY eL ó más sencillamente K, Fe Cy, + KI = K, Fe Cy; +1 separándose una cantidad de iodo libre, exactamente equi- valente al ferricianuro potásico existente. Hasta este punto el método de Mohr es en absoluto correcto; pero la conti- nuación ya no se puede considerar inatacable, pues Mohr neutralizó el ácido libre con el bicarbonato sódico y valoró la disolución bicarbonato-alcalina del iodo acudiendo al tio- sulfato. Tal modo de proceder, sabemos ahora que no es co- rrecto. Ya Clemens Winkler (**), discutiendo la dosificación iodométrica del ácido sulfuroso, ha demostrado que valorando una disolución bicarbonato-alcalina de iodo con el tiosulfato, y á consecuencia de oxidación parcial del reactivo que pasa á sulfato, por regla general se encuentra un defecto de iodo, y semejante hecho lo han comprobado asimismo estudiando la volumetria del ácido sulfuroso, las investigaciones espe- ciales de Otto Rutff y Willi Jeroch (****), y de mi parte, apoyán- IBA de Koninck y E. Prost, Zeitschr. angew Chem., Jahrg., 1896, S., 460 y 564. ($) . Clemens Winkler. «Praktische Uebungen in der Ma Bana- lyse», 3 Autfl., Leipzig, 1902, S. 105. (8) Otto Ruff y Willi Jeroch, Ber. D, Chem. Gesellsch, 38, 409; 1905, — 874 — dome en numerosos experimentos he llegado á comprobar también el mismo hecho. El valor del defecto de iodo de- pende en muchísima parte del modo especial de proceder, v. gr.: de la concentración iódica, de las del bicarbonato y del tiosulfato, de la rapidez con que se trabaja y de la velocidad de la agitación; puede ser considerable; yo mismo, para el valor teórico de 20 centímetros cúbicos de una disolución iódica decinormal, he encontrado hasta defectos de 5 centí- metros cúbicos. En tales circunstancias, había que investigar si el método de Mohr, modificado de modo idóneo, podría conducir á re- sultados utilizables, y efectivamente se ha demostrado cómo siguiendo ciertas prescripciones en realidad se llega á con- seguirlos bastante satisfactorios. Comenzaré exponiéndolas con todos sus pormenores. La sal destinada al análisis se disuelve en 500 6 750 cen- tímetros cúbicos de agua, se añaden de 10 á 15 centímetros cúbicos de ácido clorhídrico concentrado (D = 1.19), de 10 á 15 gramos de cloruro potásico, 10 á 20 centímetros cúbi- cos de una disolución de ioduro potásico al 10 por 100, y por fin, 10 centímetros cúbicos de una disolución, casi nor- mal, de sulfato de cinc, con lo cual la disolución se enturbia por precipitarse una mezcla de ferricianuro de cinc y ferro- cianuro cincico potásico, que se transforma rápidamente en la sal doble ya citada, y coloreada por iodo libre; se deja por tres minutos en un matraz, cerrado con un tapón de vidrio esmerilado y ajustado al matraz sin la intervención de humedad; se añade un poco de disolución de almidón y se valora por medio de una disolución decinormal de tiosulfato sódico hasta gastar la casi totalidad del iodo; se dejan otros tres minutos, terminando luego la dosificación volumétrica. — Un centímetro cúbico de una disolución de- cinormal de ferricianuro potásico contiene 32,921 miligra- mos de K;¿ Fe Cy, y por consecuencia, la cantidad exis- tente de esta sal compleja se calcula multiplicando por A ds E did A — 815 — 32,921 (*) el número de centímetros cúbicos gastados de la disolución decinormal del tiosulfato; la cifra obtenida da la cantidad K¿ Fe Cy, en miligramos. | Este procedimiento exige las explicaciones siguientes: a) La adición del exceso de ácido clorhídrico y la dilui- ción considerable tiene por objeto reducir todo lo posible la inclusión, en el ferrocianuro potásico-cíncico, del ferricianu- ro cíncico, de color algo pardo y producido al comienzo en cantidad considerable, pues el ferricianuro cíncico así apri- sionado no participa del todo en la reacción, y entonces el análisis conduce á resultados por defecto. b) Se entiende al punto que del mismo modo que en todas las dosificaciones exactas del iodo, en las que se trata de cantidades algo considerables del halógeno libre, 'siguien- do las prescripciones de Julius Wagner (**), hay que trabajar en matraces cerrados con tapón de vidrio esmerilado, evitan- do con sumo cuidado el menor acceso de humedad en el espacio entre el tapón y el cuello del matraz, y con bastante exceso de ¡oduro potásico para disminuir lo suficiente la tensión de vapor del iodo y que no se ocasionen pérdidas de este elemento mientras la dosificación se efectúa. c) Las dos interrupciones, de tres minutos cada una, las exige el no ser instantánea la reacción en el sistema he- terogéneo de que se trata. Pasados los primeros tres minu- tos ha llegado casi á su término; pero si entonces se consi- dera terminada la dosificación, no es raro observar un obs- curecimiento secundario, motivo de inseguridad en las de- terminaciones. Siguiendo exactamente estas reglas, y á no tratarse de muy exiguas cantidades de ferrocianuro, la volu- metría final se realiza conforme es debido, y aun al cabo de bastante tiempo no aparece el obscurecimiento secundario citado. (*) Log 32,921 = 51747, (**) Julius Wagner, Zeitschr, anorg Chem., 19, 432; 1899. — 876 — d) El precipitado blanco de ferrocianuro potásico-cincico existente en el líquido de reacción, le da, por consecuencia de su distribución finísima, un matiz de muy débil tono ver- doso-azulado, pero que no puede tener la apariencia del color obscuro del ioduro de almidón. El término de la reac- ción se reconoce exactamente con la luz blanca del día, ó con la artificial de cualesquiera lámparas incandescentes de filamento metálico. e) Se encuentra bastante facilitada la reacción en pre- sencia de cantidades suficientes de sales alcalinas, y yo he aprovechado, sobre todo, el cloruro potásico. Cuando son grandes las cantidades del ferricianuro ó pequeñas las con- centraciones del ion hidrógeno, v. gr., trabajando en diso- lución ácética, siempre se ha añadido aquél compuesto. La explicación del efecto favorable del cloruro potásico se pue- de fundar en la naturaleza coloídea del ferrocianuro cíncico- potásico. Ya de Koninck y Prost (*), en la investigación detenida de la precipitabilidad del ion cíncico por el ferrocia- nuro potásico y en disolución ácida, habían establecido que la sal precipitada, constituída por el ferrocianurc doble de cinc y potasio, existe en dos modificaciones, una gelatinosa, y granular la otra, una muy reactiva y la otra menos reac- tiva. Según la química de los coloides, estas dos modifica- ciones se deben considerar agregados de partecillas de dife- rentes tamaños, y por eso era de esperar que la transtorma- ción, bastante lenta en las condiciones ordinarias, es decir, en disolución clorhídrica, de la modificación fina en la grue- sa, la aceleraría la presencia de grandes cantidades de una sal cualquiera. La legitimidad de tal supuesto se demuestra fácilmente estudiando la oxidación, en disolución clorhídri- ca, del ferrocianuro doble, por medio del permanganato po- (*) L.L.de Koninck y E. Prost, Zei Aschr. angew Chem., año 1896 pág. 460 y 564. o PEN e — 817 — tásico; en igualdad de condiciones, la sal doble granular, precipitada en presencia del cloruro potásico, es atacada por el oxidante con mucha menor facilidad que la modificación gelatinosa producida en ausencia del cloruro alcalino. Y lo mismo que la reaccionabilidad de una substancia coloídea, también su facultad de adsorber otros productos depende del tamaño de las partecillas; cuando menores son éstas, tanto mayor es aquélla. Aplicando el método descrito se obtuvieron los resultados reunidos en el cuadro adjunto 1. A ii A A E e cd A A A A SS POD O O06 velr9 1 10 6P 008 € OL PIO "TI TZ 00055 AU 0S 00001 SOor9"I CO 8v 008 $ OL cOI9 1 0Z L0'0— | 0 I— | €6'66 89lge "1 00'0y 008 3P P9.199 194 8 01! 10)! 8Llg I 61 0L1O0+ |90+ 01001 ev99'0 8103 C09 OH 01 OS “EN 3p| 01 LE99"0 81 MA AE OT 001 vc99 0 cr 03 009 IDEN IG (0) 1199 O LT ANDA A 88*66 v819"I 91 '6P 009 IDM 301 071 £0z9" 1 91 00402? =0S0== 16'66 0199 0 9703 009 3P BI199 IOMA 3 /0)1 91990 sl ArO-+ | .60+ | OT*001 vZ00 1 cy 0€ 008 SI G100 1 PI (AAA DANS 8666 29660 Lg 0€ 008 23 cl 1966 O el ONE 200: 00001 9166"0 CT 0€ 008 == cl 91660 call QOaE. 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Kahlbaum, de Berlín; no es- tando absolutamente seca, la substancia, finamente pulveri- zada, se guardó durante algunas semanas y en la obscuridad, en un desecador lleno de cloruro cálcico. Estudiando la columna de los errores absolutos y medidos por miligramos, se reconoce que—en los análisis de 1 á 9— prevalecen siempre los errores por defecto; sólo alguna vez se observan, principalmente en las cantidades pequeñas de ferricianuro, errores en más. La causa de tal fenómeno debe buscarse, conforme va dicho, en la tendencia de adsorción del ferrocianuro doble, y armonizan perfectamente con tal teoría los hechos experimentales, porque en primer lugar los errores por detecto llegan al máximo en el análisis núm. 9, es decir, con la cantidad máxima del ferricianuro que se tra- ta de dosificar, y en segundo lugar, diluyendo la disolución que se investiga ó añadiendo mayor cantidad de sal alcalina, disminuyen ó aun desaparecen. Coinciden también con esta teoría los resultados de los análisis efectuados con disolución acética y resumidos en el cuadro ll. ; *SODIQNI SOJ] -21IJ)U9) LO SOUN AP [PJ0J HOLINJOA UN OPUBUIJO, “en3B ap SO9GHI SOJJAUIYUII NOS US O ¿HE€ “DNFOID HI PPEzIJe)sigo [es e] 9p SOLeJ3 08Z OPUIIAJOSIP PPIU9IGO VIPOS 03PJ298 AP UQINJOSIP LUN SP SOMAHI SOAJBUINUII Oy IP SEPRUOPIPE 0393] — 880 — £ (611 =0() OPeJJU99U09 ODIJPIYIOJO OPIDP IP SODIQHI SOJJSUIYUII Q] UO9 SEPEINPIoe UB qB]s9 S9UOJDMJOSIP SE] SEPOL (+) 910 — LEG v8 66 89€£9"1 GL 6v 008 S c6€9" 1 CE v0 — (MR 9L 66 6r£9 1 99 6p 008 S 88€9 1 1€ vI0 — Li 098 66 661 1 €6 v£ 008 9P 391399 S 9151 "1 D€ 610 — SE 18 66 £999 0 vc 03 009 19M 3 01 9199 0 6í VIO = 001 = 098 66 cc0L'0 ve" Tc 009 TOM $ S CE0L*0 88 OH 01 c0'0 - SU c6 66 19990 cz" 07 009 Sp e9J39 "TOS "EN 3G 01990 LE vIO— Si 98 66 6c€9 1 09 6tp 008 Sp t9J39 = 2ee9" 1 97 ALS 01 — L8 66 11620 €0 tE 009 EE 12620 erá 10 00 28 66 Lv99"0 61" 03 009 A 1699*0 vc 00'0 + 000 + 00*001 L099 0 LO" 08€ 009 pe L099*0 €c v6'6 - 90 — 90"v6 66000 0€'0 009 SP B9J3D 55% 011000) GC 091 10d | Sul "001 10d :S | | A) A) :3 8 pas As o *BUI]|B9]E [ES ob EIN JOYYA “opexquoyua Mo ay ty | O SNE EN 99 94 *N "G) II OXUAVaAS — 881 — Han desaparecido absolutamente los errores en más, á pe- sar de que las disoluciones, por estar preparadas con ace- tato sódico y ácido clorhídrico, contienen cantidades consi- derables de sales alcalinas, y ni aun la diluición extremada y la adición de otra sal alcalina, pueden compensar los defectos. Sea como quiera, en cualquier caso los errores, también en los menos favorables, están dentro de los límites admisibles para tal género de dosificaciones, pues — salvo, naturalmente, los análisis 1 y 22, en los que las cantidades que se debían valorar eran extremadamente pequeñas — el error relativo una vez y nada más supera el 0,3 por 100, pues el absoluto sólo tiene un valor considerable cuando se trata de gran cantidad absoluta para dosificar. En fin, utilizable dentro de límites muy extensos respecto de las cantidades absolutas de ferricianuro potásico, el método descrito parece satisfacer cumplidamente las exigencias que no sean extremadas. 2. Dosificación indirecta del ferrocianuro potásico. Se entiende bien pronto que el método descrito para la valoración del ferricianuro potásico se puede emplear tam- bién tratando de dosificar el ferrocianuro potásico, siempre que haya la posibilidad previa de transformar cuantitativa- mente el ferrocianuro en el ferricianuro respectivo y destruir luego por entero el exceso de oxidante, de modo que no pueda oxidar el ioduro potásico—y eso sin reducir, al mismo tiempo, ni la más mínima cantidad del ferricianuro. Se puede resolver con facilidad este problema aplicando como oxidante el permanganato potásico y reduciéndolo, empleando el ácido oxálico ó todavía mejor por medio del ioduro potásico, y separando el iodo segregado en este úl- timo caso con auxilio del tiosulfato. Cuando se emplea el ácido oxálico debe procederse como sigue: Ruv. Acap. DE Ciencias. —VIIM.—Mayo, 1910. 60 — 882 — Se disuelve la substancia-problema en 600 ú 800 centíme- tros cúbicos de agua, se añade de 10 á 15 centímetros cúbi- cos de ácido clorhídrico (D = 1.19) y, por medio de una bureta, bastante cantidad de disolución casi decinormal de permanganato potásico, cuyo título no interviene en los cálculos del problema, para que la disolución resulte de bien marcado tono rojo. Entonces se agregan unos 20 centíme- tros cúbicos de una disolución igualmente casi decinor- mal de ácido oxálico, cuyo título exacto también se puede ignorar, y se deja el líquido por 5 minutos, los cuales pasa- dos, el exceso de permanganato ha desaparecido cuantitati- vamente y la disolución ha adquirido el color amarillo puro del ferricianuro disuelto. Por fin, se añaden el ioduro potási- co y la disolución cíncica y se valora el ferricianuro formado por la oxidación, del modo ya indicado en la primera parte del presente estudio. La resolución del problema se deriva del hecho de ser equivalentes una molécula del ferrocianuro y una molécula del tiosulfato; es decir, un centímetro cúbico dela disolución tiosulfática decinormal corresponde á 0,0001 molécula-gramos del ferrocianuro, ó sea 36,831 miligramos K, Fe Cy, 6 42,236 miligramos de K, Fe Cy¿. 3 H, 0. (*). (*, Log. 36,831 = 56621; log. 42,236 = 63568. AH A PANA RA E TR — 883... *euneo]e JeS PQRUOnIpe as 0Se) UnSuru 19 (sOD/qnI SO.JJ911 UI (09 SOUN IP 1JS SOSLI SO] SOPO) U9 UQIIMIOSIP Y] DP UILUNJOA JH (+) p8'I cr0+ dl + Gl 001 8808 0 cl 61 "OS “H 199 03 9.08 0 61 010 + iba 01 001 0260 Z eS" 6v « 86807 81 zo + dol Z1 001 0180 Z LT 6v « v8LO"z LY 100 + VOS LO 001 L8p9 0 09€ SI AÑ e8p9'0 OI 00'v + 8'0 + 00 vO1 LOZO 0 67 0 "OS “H 199 01 6610"0 SI 010+ ve 01001 CE80 Z eE 6p g v180'z : 1 Le 03 Es €L'66 8p£9 0 0! 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El ácido clorhídrico se puede reemplazar por 6 ó 10 centímetros cúbicos de ácido sulfúrico concentrado (D = 1.84); mayor cantidad de este ácido no afecta á la se- guridad del método; pero siempre en el caso de emplear el ácido sulfúrico debe esperarse diez minutos para la reduc- ción completa del permanganato potásico. Disminuir la can- tidad indicada del ácido sulfúrico aumeuta el error; v. gr., con sólo 3 centímetros cúbicos de dicho ácido sulfúrico y espe- rando diez minutos se han obtenido: en vez de 0,6373 g. de K, Fe Cy, 3H, O 0,6402 g. ó sea 100, 40 por 100. | y con 10 centímetros cúbicos y esperando cinco minutos; en vez de 0,6344 g. de K, Fe Cy¿. 3H,0 0,6378 q ó sea 100,53 por 100, probablemente á causa de no haberse reducido por completo el permanganato potásico de los dos problemas. Los anár lisis parecen satisfactorios. Más fácil que empleando el ácido oxálico es la reducción del permanganato acudiendo al ioduro potásico en disolu- ción acética, neutralizando el iodo desalojado por el tiosul- fato y valorando el ferricianuro formado por el método des- crito. Dejando los pormenores de este sistema de reducción para la tercera parte del presente trabajo, se presentan como prueba los análisis del cuadro IV adjunto: : 3 3 $] 885 — "+87 P +07 9P SOJAMNU SO] O A OJPEnI [9 US U9IQUIE) esneo e3so Jod ueJm31 Á “ug —POJUNUWOI PJS9 DP PJODJO] DE P] U9 OJ11DSIP Á 0J9931p OPO39u 19 JOA [es Bus e] JeJO[eA eJed opraJos ueJqey oo1spjod OJNUPIDOJJ9J [9P PJOIJIPUL UQIDBIHISO) Y] eJed sepeode 9p S9JUY *OPeJju99uU09 ODIIPIYJO|D OPIDR [9P SODIQNI SOJJOIUII cr e sojuajeambo Á “03x3] 19 19 SIDIA SPIIPA USIQUIB] Á [| OJPENI J9P PJOL E] US PPRJLO “ODIPOS OJPJ9IP IP LOIIMOSIP P] DP SO91QNI S0JJ911/U99 QQ UBQPUOJOPE $9] 9S Á SODIQNI SOJJALUII JO8 SOUN PP UIMWNJOA [9 UPJUI] SIUOJINJOSIP SP] SEPOL (x) 18:66 06v6'1 919» DEC6"1 0666 19961 pg op LL9G 1 £6'06 12861 9L Sp 0b£6"1 0666 91881 FO LE £689 1 £6'65 EELI'1 8L*LZ AA v8'66 1961 0 c8'81 | vL6L'0 1966 0LZP 0 1101 16zp"0 18 +6 8080 0 EL'0 C2E0'0 6L 66 c696*1 £9'0p 1DMB GI LELG*1 e NAS MORO MEA OOO "021 10d :3 "1190 -3 7 E "Ope3se3 *2U!]29]e 188 = *OJ9WNIN *9]U91S]X9 "opeJjuodua O yg “9 24 *y E O HEY 24 *Y (YHAI OXMAVOADS — 886 — 3. Dosificación directa del ferrocianuro potásico. El primer método de dosificación volumétrica del ferro- cianuro potásico se debe á E. de Haén (*). Este investiga- dor, después de acidulada la disolución acuosa del proble- ma con ácido sulfúrico, añade, valiéndose de una bureta, cantidad suficiente de una disolución decinormal de perman- ganato potásico para que el tono amarillo puro del ferricia- nuro formado adquiera matiz rojizo, debido al exceso del oxidante. Pero este cambio de color carece de precisión, y por eso hace ya tiempo W. F. Gintl (**), y recientemente H. Bollenbach (***), han tratado de hacerlo más preciso, añadiendo una cantidad mínima de sal férrica que con el ex- ceso de ferrocianuro produce la modificación (coloídea) so- luble del azul de Prusia; de tal modo en el procedimiento de Gintl el tránsito del amarillo al amarillo rojizo se transfor- ma en el paso del azul verdoso al amarrillo rojizo, y el paso inverso del amarillo rojizo al azul verdoso en el método de Bollenbach, quien oxida el ferrocianuro con exceso de per- manganato, y mide este exceso empleando una disolu- E | E ción A normal de ferrocianuro. También en el sistema que ahora propongo el ferrocia- nuro es oxidado con un exceso de permanganato; pero su medida se practica apelando al método iodométrico de Volhard. Sirve de fundamento al nuevo procedimiento el encontrar las condiciones en las que se realizan fácil y com- pletamente la oxidación del ferrocianuro y la subsiguiente reducción del permanganato á expensas del ioduro potási- co, Sín que la más mínima parte del ferricianuro existente (*) E. de Haén Lieb., Ánn., 90, 160; 1854. (**) W. F. Gintl, Zeitschic. Anal. Chem., 6, 446; 1867. (***) HH. Bollenbach, Zeitschir. Anal. Chem., 47, 687; 1908. . A A A A E ai a eS a, 887 mn en la disolución oxidada pueda reaccionar con el ioduro añadido. Al contrario del método descrito en la primera parte de este trabajo, en el que el buen éxito del análisis se funda en la reducción cuantitativa del ferricianuro por el ioduro potásico, en el ahora estudiado trátase de imposibili- tar en absoluto la reducción de la sal compleja. Conforme queda establecido por las investigaciones arti- ba citadas del sistema: KrRaCy Fe Cyan 1 y según se puede comprender por la aplicación de la ley de las masas en el equilibrio existente en el sistema: ae Chata Lo FECHAS ¡told NA 2 4 3 Ósea; teoyaparp = constante Herald: en disolución neutra, se podrá llegar al fin apetecido con auxilio de diluición extremada; pero en el caso actual, se debía trabajar en disolución ácida á causa de que no se efec- túan conforme es debido la oxidación del ferrocianuro y la reducción del permanganato en disolución neutra. Mas en la ácida la oxidación del ioduro potásico por el ferricianuro es mucho más fácil, y asi había que establecer manera de con- seguir una concentración del ion hidrogénico tal que permi- tiese conseguir en el análisis cómoda y seguramente la po- sibilidad de las reacciones necesarias de oxidación y de re- ducción, é impidiese al propio tiempo y en absoluto los efectos oxidantes del ferricianuro. La experiencia ha demos- trado que se llega á este fin trabajando en disolución acética y bastante diluída. He aquí ahora los pormenores del método: — El ferrocianuro potásico se disuelve en 600 ú 800 centí- metros cúbicos de agua; se añaden de 10 á 15 centímetros — 888 — cúbicos de ácido clorhídrico (D = 1.19), y de 40 á 60 cen- tímetros cúbicos de una disolución de acetato sódico, prepa- rada disolviendo 250 gramos de esta sal cristalizada CH, CO, Na.3H,0 en 500 centímetros cúbicos de agua, formando el volumen de unos 675 centímetros cúbicos. Entonces, empleando una bureta y agitando bien, se echa en el líquido la precisa can- tidad de una disolución decinormal de permanganato potá- sico — titulado por medio del oxalato sódico Soenensen — para que siendo transparente, adquiera fuerte color rojo; se añaden en seguida 10 centímetros cúbicos de una disolución al 10 por 100 de ioduro potásico, se dejan pasar tres minu- tos y se valora el iodo segregado, después de adicionada de almidón la disolución, con una disolución decinormal de tio- sulfato sódico — titulada, según Volhard, por la disolución decinormal del permanganato. — Sustrayendo del número de centímetros cúbicos empleados de la disolución perman- gánica el correspondiente á la disolución tiosulfática, se ob- tiene el número de centímetros cúbicos de la disolución del permanganato gastados para la oxidación del ferrocianuro po- tásico, y multiplicándolo por el número 42,236 (log 42,236 = 62568), se sabe la cantidad existente, en miligramos, de fe- rrocianuro potásico cristalizado Fe Cy¿ K, 3H» O. El procedimiento exige las explicaciones siguientes: a) No debe emplearse el ácido acético cristalizable del comercio (*), pues suele contener cantidades considerables de substancias empireumáticas, oxidables también por el per- manganato, de modo que siendo en tal caso excesivo el gasto de permanganato, resultaría también un exceso de fe- rrocianuro. — Pero tampoco — y es hecho para anotarse — (+) «Essigsáure (Eisessig) 1,064, acid. acet. puriss. glac. 1,064 pro Analysi», de la casa E. Merck, de Darmstadt. — 889 — debe confiarse gran cosa en la pureza del acetato sódico. A decir verdad, una muestra de esta sal, de antiguo prepara da, natnium aceticum puriss cryst, de la casa E. Merck, se demostró que estaba exenta de impurezas oxidables por el permanganato; sin embargo, 60 centímetros cúbicos de la disolución antedicha, obtenida con otra muestra de venta reciente, del mismo nombre y de la misma casa, han gastado | 0,20 centímetros cúbicos de la disolución decinormal de pet- manganato; tenía también esta muestra, reciente olor des- agradable. b) El permanganato, mezclado con la disolución ferro- ciánica, se decolora al momento, y al mismo tiempo el lí- quido adquiere color amarillo intenso. Mayores cantidades de ferrocianuro producen un precipitado más ó menos obs- curo, el cual desaparece añadiendo nuevo permanganato. Reconócese muy bien un exceso de éste; lo caracteriza el color rojo, más ó menos intenso de la disolución, que es de absoluta transparencia; cuando el precipitado no se disuelve hay defecto de permanganato. c) En disolución acética, la reducción del permanganato por el ioduro potásico no es instantánea, pero de seguro es completa al cabo de tres minutos. d) Para la preparación de las disoluciones de almidón, unas veces se ha empleado el ordinario del comercio y otras el llamado «soluble en forma de pasta» (loesliche Staerke in Teigform), comprado en la casa de C. A. F. Kahlbaum. El tan empleado almidón de ioduro cíncico Jodzinksterke, natu- ralmente, á causa del cinc que contiene, que lo hace inapli- cable, no sirve en el método actual. El cambio de color del eris obscuro ó verde aceituna al amarillo puro de yema de huevo, se reconoce muy bien si la cantidad de almidón em- pleado no es muy exigua. Los análisis que demuestran la eficacia del procedimiento descrito están resumidos en el cuadro adjunto V, — 890 — PERUANA RE PA AAA HU AO) Y 0 00 00 MO) O) MO) MANOS OOOO An ocsaosoraocoornarooa=acooooooSo- "Al OJPen9 [9p SO] P USPUOASIJIOS ¿ 09SIJ9JSP UN JOA SOPPIJBU SISIPUe so7 (+) ICC6"T c396 "1 I£226 1 889 1 €€LT 1 £86L*0 e8cr "0 vez0 0 LEL6 "1 1IZ6"1 6606" 1 ce89 "1 vcsE” I 683 "1 ev90 1 IpZ9 0 €8€€ 0 6S€0 0 8cc0 0 0800*0 £88 0 1878 0 v1£9"0 8ccr 0 vc9E" 0 6c"9p 80"€ 09" 9p vO E LL S£v Iv"€ 19 Z€ is 8L'LZ IL'€ 06"81 srt vIOI v9"€ 6L'0 6£ €L'0p GLZG L9 9y 08 z (AA Tr "E 986€ c0 € AÁS 98% ec 0€ 89*1 03 Ez 98 Z 96"SI 01€ 10"8 LS"% s8"0 0 LO) Se"1 610 16”€ 96 03 es "1 80 0Z EVRG c6"vI 98% TO OI EG 3858 DEZA 10"S 38 1 09"€ c9 "1 ep"0 ¡LARA e 114)a) 1515) *Ope]ses "OPpe]ses (+) A OHAVADS LE 6p vc 6v 81 6r c8 0r 6v TE CO" Iz 8L'€l 8e € Gr" 6v Lv 6b €9 Lv IO ar 88 VE 96 Ig€ 90" 83 9061 8S El 061 "II “opIpeue 008 008 008 008 008 008 008 008 op voJo 009 0p vox0 (100) "UOJON]OSIP e] 3p uaunioA [OH E “40 24H ves6 1 LL96"1 Ove6"1 2688" 1 IpLI 1 vVL6L"O l6cy 0 ccEe0 0 LeL6"1 1IZ6 1 66061 0889 1 Ly S0 8S | LP6L O bl vz == ZZ 88 | v96L'0 : “9 du y : v0'0— 90 | tp | 012570 — 281 STE 501160 OH € “4094 G ovo= | re= | 0'ge | c61cio 8L SI => 06 ££ | 9228 0 I£0 94 co00— | 80— | 'O UNA => *PpD0UB]sqns "OJSUNIN AOAYJA OAVYALNOONA OUVLSVD HALNILSIXA "IA OXUVAD — 891 — RESUMEN En las condiciones de las circunstancias apuntadas se pueden valorar, con bastante facilidad y exactitud, el ferri- cianuro y el ferrocianuro potásicos —este último después de oxidado y transformado en ferricianuro mediante un exceso de permanganato, el cual es á su vez eliminado antes de la - valoración —, reduciéndolos por el ioduro potásico en pre- sencia de una sal cíncica y dosificando el iodo desalojado por medio del tiosulfato. Otro método exacto de dosificación volumétrica del ferrocianuro potásico consiste en oxidar la sal con un exceso de permanganato, que es medido exacta- mente por vía ¡odométrica, y cuyo gasto sirve también de medida para el ferrocianuro existente. Combinando los dos métodos, se pueden determinar los dos componentes de una mezcla de ferrocianuro y ferricianuro potásicos. | ( Clausthal ¡. H., Chemischos Laboratorium der Konigl. Bergakademie. A A A 0 ART A O A A a e a A DA A Ni dit AS ds AAA E DA ESAS A AA Es AGA er — 895 — L. — Nuevo método de extracción del azufre de los minerales que lo contienen en estado nativo. POR ANTONIO DE GREGORIO ROCASOLANO. Hace algún tiempo constituyó el objeto de mis estudios la extracción del azufre de los minerales que lo contienen en estado nativo, y fué de ello motivo el tener que proponer un procedimiento adecuado como base de explotación de ciertos yacimientos de aquel cuerpo. Naturalmente, se impo- nía el realizar diversos experimentos tocante á algunos de los métodos actuales practicados en diversas explotaciones azufreras; y en la presente Memoria me propongo dar á co- nocer, como consecuencia de las investigaciones practica= das, la crítica de los métodos corrientes, exponiendo des- pués un nuevo procedimiento de extracción de azufre, ya planteado industrialmente, como término del trabajo. No describiré uno por uno los métodos estudiados ya re- latados, con más ó menos profusión de detalles, en las obras especiales de la materia, y sólo conseguiría aumentar inútil- mente la extensión de la presente Memoria, cuyo objeto se concreta á reseñar con toda sinceridad y con la mayor con- cisión posible el resultado de mis investigaciones persona- les, á fin de que las conclusiones que se han deducido que- den formuladas de manera clara y precisa. El fundamento de los diferentes métodos ideados para ex- traer el azufre de los minerales que en estado libre lo con- tienen, es exclusivamente físico; en casi todos los casos, el calor es el agente que actúa separando por fusión ó volati- lización el azufre de la ganga que lo acompaña; contadas: veces se propone su separación mediante disoluciones , eli- — 8% — minando luego el disolvente, en condiciones de nuevos apro- vechamientos. Método del calcaroni.—Separa el azufre por fusión, utili-. zando como combustible el mismo cuerpo. Es el más viejo, el de resultados más inciertos, quizá el de menor rendimiento, y es, sin embargo, el que más se practica. De muy antiguo comenzó á usarse en Sicilia con escasa producción, hasta que la casualidad de un incendio fué ocasión para conocer una mejora aplicada desde 1851, con aumento en los rendimientos. El constante desprendimiento de gas sulfuroso mientras el calcaroni se encuentra en actividad, y los perjuicios que supone para la vegetación la abundancia de este gas en la atmósfera, hace que la práctica del sistema esté prohibida en ciertas épocas del año, originando interrupciones en la explotación, perjudiciales á los resultados económicos. Por otra parte, es el azufre el combustible empleado como manantial de calor para la fusión, y aun cuando sea á pie de mina en muchos casos el combustible más económico, re- sulta siempre caro, comparándolo con el precio de venta en el mercado. La marcha de un calcaroní es sobremanera incierta, y aun dirigido por obreros prácticos se obtienen muy diversos ren- dimientos, porque no es posible regular la combustión de tal modo que la temperatura sea en todos puntos de la masa la estrictamente necesaria para la fusión, y allí donde es más elevada, el azutre fundido adquiere consistencia viscosa que dificulta mucho su separación de la ganga; esta dificul- tad reconoce por causa las peculiares acciones del calor sobre el azufre. Calculando teóricamente la cantidad de azufre que debe quemarse para su extracción por este procedimiento, los números encontrados oscilan entre 14 y 39,5 por 100 de la riqueza total, y depende de la importancia de la acción quí- mica del propio azufre sobre la ganga del mineral. Con los 4 ] j — 897 — antiguos calcarelle, el rendimiento era sólo de 5 Ó 6 por 100 empleando minerales del 35 por 100 de riqueza; desde 1851 se obtienen, conforme queda indicado, mejores resultados, llegándose á perder solamente el 35 ó el 40 por 100 del to- tal cuando la operación ha sido perfectamente dirigida y la ganga es muy poco atacada por el azufre. En la práctica se obtienen rendimientos menores, porque es muy frecuente que el calcaroni se queme de manera defectuosa. A pesar de sus graves inconvenientes, este método de ex- tracción de azufre se utiliza mucho cuando el precio del combustible á pie de mina resulta elevado. Según una esta- distica minera oficial, en Italia se obtuvo durante el año á que se refiere el 82 por 100 de la producción total de azufre por medio del calcaroni, resultando un rendimiento de 13,85 por 100. Bien podemos suponer que el mineral tendría una riqueza del 25 al 30 por 100. Conviene advertir que los rendimientos citados se refieren á cuando se trabaja con minerales de ley media de 22 á 30 por 100. Si el mineral es pobre, las pérdidas referidas á la cantidad total de azufre son todavía mayores, de tal modo que si la riqueza del mineral no pasa del 15 por 100, el mé- todo resulta inaplicable. Procedimiento de Gill.—Con intento de aumentar los ren- dimientos del calcaroni utilizando mejor el calor, se ideó el llamado calcaroni continuo, compuesto de 4 ó 5 calcaroni dispuestos en otras tantas cámaras, entre las que se estable- ce una circulación metódica de los gases calientes despren- didos de uno de los calcaroni en actividad y destinados á calentar metódicamente los otros calcaroni antes de quemar- se, hasta que por una chimenea salen al exterior. Con semejante modificación del método clásico, se econo- miza azufre, pero no se evitan las dificultades prácticas, porque la regulación de la temperatura es todavía más difí- cil dirigirla que en el calcaroni al aire libre, los rendimien- tos aumentan poquísimo, y la cantidad de gas sulfuroso di- Rey. Acap, De Crancias,—VIIL.—Mayo, 1910. 61 — 808 — fundida en la atmósfera no permite la extracción continua. Método napolitano.—Para las tierras azufrosas de Pozzuo- lí, comenzó á emplearse, en época muy remota, este proce- dimiento, operando en vasijas de tierra llamadas doppioni, dispuestas en un horno de galería. A causa de la abundancia de combustible en las proximidades de aquellos yacimientos de azufre, se implantó esta explotación, y actualmente está casi abandonada por el aumento de precio del combustible. Desde luego presenta, desde el punto de vista económico, el inconveniente de gastar la cantidad de calor necesaria para la sublimación del producto, obteniéndolo, no obstante, de la calidad de azufre bruto ó de fusión. Si se parte del mi- neral, las pérdidas son del 18 — 20 por 100, porque una porción del azufre se quema en el aire que llena las vasijas de condensación y recipientes de 'enfriamiento al comenzar cada operación; además, si el mineral es ferruginoso, se desprende hidrógeno que forma con el azufre gas sulfhídri- co y las materias bituminosas que siempre acompañan al mineral se descomponen, produciendo sulfuro de carbono y ácido sulfhídrico, siendo totalmente perdido el azufre que forma parte de estos compuestos. Por otra parte, no es eco- nómico agotar por completo las escorias, porque en la últi- ma fase de la operación, cuando su riqueza es de 2 — 4 por 100, se desprende el azufre con mucha dificultad, y vale más el combustible empleado que el azufre obtenido. Este método se ha utilizado muchas veces para una pri- mera purificación del azufre del calcaroni, cuando el mineral era bituminoso; y, por consecuencia, el azufre resultaba tan negro, que no tenía fácil venta en las refinerías. Este azutre, que contiene hasta el 3 por 100 de materia bituminosa, se purificaba parcialmente, destruyéndola en los doppioni. La pérdida es de 6 á 9 por 100, y, sumada á la de la fusión, re- sulta la proporción demasiado elevada. No hay que olvidar, tocante al estudio económico del método, que el azufre ha sido fundido dos veces para llegar á sublimarse. — 899 — Sin embargo, tratándose de yacimientos de mineral azu- froso, pobre de materias orgánicas, se puede utilizar una mo- dificación del procedimiento, consistente en substituir los doppioni de tierra Óó de hierro por calderas cilíndricas de hierro, y el recipiente de condensación por una cámara aná- loga á las de refino. De la parte superior de la pared de las: calderas arrancan unos tubos que establecen su comunica- ción con la cámara, donde se recoge el azufre de calidad análoga á la del refinado. Estas calderas tienen, en la parte superior, la boca de carga, y en la inferior otra de descarga, que se enlodan durante la operación, para que el cierre re- sulte perfecto. Respecto de la práctica de este método, en unos yacimien- tos de azufre conocemos los datos siguientes, facilitados por un capataz de la explotación: Operaban con calderas de hie- rro cilíndricas, de 1,20 de altura y 0,60 de diámetro; cada caldera se cargaba con 350 kilogramos de mineral, del que obtenían de 35 á 40 kilogramos de azufre, si la ley del mi- neral era del 25 al 28 por 100; es decir, que perdían el 59 por 100 del azutre total, 41 por 100 del rendimiento. La pérdida resulta considerable; pero el método es mejor que los hasta ahora citados, porque resulta azufre de prime- ra calidad, sin pasar por la forma azufre de fusión, y para llegar á tal calidad en los otros sistemas, hay que añadir á sus pérdidas las correspondientes al refinado. Esta modificación del procedimiento napolitano podrá con- venir para explotar minerales de azutre que lo consientan, con preferencia á otros métodos, siempre que se estudien en cada caso los medios para lograr mayor rendimiento, y se construyan hornos que consientan un buen aprovecha- miento del combustible. Procedimiento de Thomas. —Su característica consiste en utilizar como vehículo del calor necesario para la fusión del azufre y su separación de la ganga, el vapor de agua á la presión de 4-5 atmósferas, ó sea á la temperatura de 145-152”. —5000-= Se dió á conocer el año 1868. En conjunto es procedimiento muy racional: la grave difi- cultad que para regular la temperatura presentan todos los otros métodos en que el calor actúa directamente, no existe aquí, porque es fácil regular las tensiones del vapor de agua en el recipiente que contenga el mineral, y, por lo tan- to, la temperatura; su aspecto económico es bueno, si es exacto, conforme muchos autores aseguran, que el mineral llega á quedar, después del tratamiento, con sólo el 2 por 100 de riqueza, lo cual significa una pérdida de 8 por 100 del azufre total, aproximadamente. El gasto de combustible, calculado por el número de kilogramos de vapor de agua necesarios para elevar la temperatura del mineral de 15 á 150”, y el consumo de calor que representa el de fusión del azufre obtenido, resulta muy satisfactorio, si la operación se puede realizar en tres horas, límite de tiempo que estable- cen algunos autores. De otra parte, las estadísticas mineras demuestran que el procedimiento se practica en varias ex- plotaciones. Las razones indicadas me decidieron á estudiar sus porme- nores practicando variados experimentos y no de laboratorio, sino industriales, operando con masas de mineral análogas á las que en explotaciones industriales se emplean. El aparato construido para semejante objeto consistía en un autoclave cilíndrico de chapa de acero y fondo de hierro colado, dentro del cual se colocaba una cestilla de hierro de paredes y fondo taladrados, que se llenaba con 400 kilogramos de mineral de 24-26 por 100 de riqueza. -Omitiendo el relato minucioso de todos los ensayos, úni- camente consignaré, en forma de conclusiones, los resultados. 1.7 El mineral debe estar cortado en trozos grandes (de 100 á 300 c. c. es el tamaño más conveniente), porque los peque- ños fragmentos se aglomeran con el azufre fundido, impidien- do su circulación, y por lo tanto la separación de la ganga. De aquí resulta un grave inconveniente, porque en el la- — 901 — boreo de la mina y preparación del mineral se obtiene una buena parte de menudos fragmentos y de polvo no beneficia- bles por este método. Es necesario, en tal aspecto, para que el método Thomas pueda aplicarse, simultanearlo con otro procedimiento que permita utilizar las porciones de mineral que con semejante procedimiento no son explotables. 2.” Que si, como frecuentemente ocurre, la ganga es ar- cillosa, éste componente retiene azufre líquido, impidiendo el agotamiento del mineral. 3. Las materias bituminosas se separan mezcladas con las primeras porciones de azufre y ennegrecen una parte del producto obtenido; el resto es 'una buena segunda calidad comercial. 4. En los minerales sometidos á los ensayos, no fué posible alcanzar el agotamiento de la primera materia; tra- tratando masas de 400 kg. de 24-26 por 100 de riqueza, sólo se obtuvo de 60-64 por 100 del azufre total, quedando en la escoria del 40-36 por 100 imposible de extraer ni aun ope- rando á la presión de 6 atmósferas y sometiendo el mineral al tratamiento durante cinco horas. Hay que advertir que sólo se logró el rendimiento de 64 por-100 después de repetidos experimentos encaminados á disponer el mineral en la cestilla de modo que la salida del azufre fundido estuviese facilitada todo lo posible; operando de otra suerte y llenando la cestilla con masas homogéneas de mineral, los rendimientos eran menores. Semejante resultado significa una grave dificultad para aplicar el método al mineral objeto de mis estudios, y gene- ralizando, por lo que de otros yacimientos es conocido, son numerosos los tipos de mineral análogos, y así cabe deducir que la aplicación del método Thomas es de muy dudosos resultados económicos en la mayoría de los casos. 5. El operar á presiones de 4 atmósferas presentará se- rias dificultades en la mayor parte de los yacimientos de azufre, por lo delicado del manejo de autoclaves, la instala- — 902 — ción de generadores de vapor y la gran difereí.cia entre el cálculo teórico y los números prácticos, tocante á kilogramos de carbón que se gastan, aun cuando se recubran los apara- tos con materias aisladoras del calor; en todos los casos la condensación del vapor de agua dentro del autoclave es considerable, lo cual rebaja las excelencias del sistema desde el punto de vista económico. 6.” Si con este procedimiento se llegara al agotamiento perfecto del mineral, como afirman los diversos autores que lo describen, sería muy recomendable; pero de mi parte ase- guro que, aun empleando minerales de ganga caliza, no se lleza al ansiado agotamiento del mineral, y eso modificando de diversos modos las condiciones del experimento; repetimos que en los ensayos practicados el mineral quedaba, como tér- mino medio, con 12 por 100 de riqueza, ó, en otros términos, la pérdida representa del 36 al 40 por 100 del azufre total. Método de Fresch.—Para ser aplicado en las minas de azufre de Louisiana, cerca del lago Charles, ideó Fresch un procedimiento que en principio fué mal informado por los especialistas, que su enunciado parece una temeridad, y que, sin embargo, del modo formidable que ha sido aplicado con- tribuye con la mitad próximamente á la producción mundial de azutre. | La característica de tal sistema es que no se procede á la extracción del mineral, sino que de los mismos filones se extrae el azufre; se conceptuó esto necesario porque los bancos mineralizadosse encuentran muy profundos(100—140 metros) y entre formaciones arenosas muy movedizas que dificultan extraordinariamente el laboreo de la mina. Consiste el procedimiento en hacer llegar por medio de un tubo agua á temperatura bastante superior á la de la fusión del azufre, y á la presión correspondiente, hasta el mismo filón del mineral azufroso; funde el azufre y se eleva á la su- perficie del terreno por un tubo concéntrico con el anterior, merced al aire comprimido, aprovechando el principio de la A — 903 — emulsión para tener una columna de aire y azufre fundido de desindad media menor que la del agua. Los datos oficiales decían en 1905 que en las explotacio- nes de Louisiana se producían por año 350.000 toneladas de azufre, y que necesitaban quemar una tonelada de buen carbón para obtener 3 toneladas de azutre. Poco después se han publicado los datos que sobre esta explotación dió Fresch á Lunge, según los cuales trabajan con una batería de generadores de vapor de 13.500 caba- llos, que utilizan como combustible el petróleo, y que llegan á producir 3.000 toneladas de azufre por día. El producto obtenido es muy puro; la primera calidad tiene, según Lunge, 99,6 por 100 de riqueza. La enormidad de las cifras y la condición especialísima del procedimiento, no permiten hacer crítica alguna; el mercado de azufre siciliano se resintió notablemente cuando comenzó la explotación de los azufres de Louisiana y, aun cuando se llegó á un convenio referente al reparto de mercados, la cri- sis producida en los centros productores de azufre, en Sicilia principalmente, todavía continúa con bastante intensidad, Extracción del azufre por medio del aire caliente.—De- seando evitar los inconvenientes que presenta el trabajo á presión, he pensado en utilizar, como vehículo del calor para fundir el azufre, el aire caliente, y se hicieron algunos experi- mentos operando en una estufa de aire formada por paredes de material refractario, y calentada empleando un sistema tubular, por el que circulaba el vapor de agua á 7 atmósferas de presión: el mineral se colocaba en una vagoneta perfora- da; esta disposición no dió buenos resultados, porque la ex- tracción del azufre se realizaba de modo imperfecto é inver- tía tiempo excesivo. Dispusiéronse otros ensayos colocando el mineral en la galería de humos de un generador de vapor en comunicación con una chimenea de 34 metros de altura. Los resultados así conseguidos son comparables á los del método Thomas, en e BOL == cuanto al agotamiento del mineral se refiere. La serie de tra- bajos experimentales practicados, permite establecer las conclusiones siguientes: 1.” Que el aire caliente á la temperatura de 180”, llega á fundir y separar el azufre de la escoria; pero la separación es lenta, á causa de la poca capacidad calorífica del aire en re- lación con la capacidad calorífica del mineral y el trabajo de fusión del azufre. 2.” Que por operar en una corriente de aire más ó menos moderada, parte del azufre se volatiliza, lo que origina una pérdida. 3." Puede ocurrir, y ocurrió así en algún experimento, que por no estar bien regulada la temperatura de los gases» se inicie la combustión (2507) en algún punto de la masa, y entonces la operación puede considerarse perdida merced á la combustión completa del azufre. 4.” Este método podría emplearse con resultados análo- gos al de Thomas, pero con instalación más sencilla y eco- nómica, estudiando el problema de la combustión en los hogares y el tiro de la chimenea, de modo que la tempera- tura pueda regularse entre los límites más convenientes. El aprovechamiento del calor podría ser muy completo estable- ciendo una calefacción metódica en varias masas de mineral colocadas en diferentes cámaras, cuatro por ejemplo, y esta- bleciendo la recuperación, por condensación, del azufre vola- tilizado; pero, de todos modos, el mineral no sería agotado, quedaría con riqueza del 10 al 12 por 100, lo que representa una pérdida aproximada del 35 al 40 por 100 de azutre. 5.2 Según las ideas expuestas en la conclusión anterior, puede llegarse á una modificacien del método Gill, substitu- yendo los gases calientes que se desprenden de un calcaro- ni en actividad por combustión parcial del azufre, con gases calientes desprendidos de un hogar convenientemente dis- puesto, donde se queme carbón ó cualquier otro combusti- ble. La conveniencia de adoptar el procedimiento primitivo 4 | 0 de Gill, ó esta modificación, dependerá exclusivamente del precio del combustible á pie de mina, con relación al del azufre, pero habremos de tener en cuenta que la modifica- ción implicará, como consecuencia, que el mineral no será agotado, y el rendimiento no pasará del 60 al 64 por 100. Procedimiento Dubreuill.—Se propone con este método separar por fusión el azufre de la ganga que le acompaña, introduciendo el mineral en baños formados por disolucio- nes acuosas saturadas de cloruro de calcio, cuya tempera- tura de ebullición (179?) es superior á la de la fusión del azuífre. Se practicaron los consiguientes experimentos, introdu- ciendo en una disolución saturada de cloruro de calcio una cestilla construída con tela metálica, llena de mineral, ca- lentando el baño sin llegar á la temperatura de ebullición (á unos 155-160”). Como resultado de algunos ensayos, se adquirió el con- vencimiento de que el método está lleno de dificultades, por- que aun tratándose de pequeñas explotaciones, hay que disponer grandes masas de disolución de cloruro de calcio; el azufre se separa con gran lentitud, y cuando el mineral llega á una riqueza de 14-15 por 100, esta separación cesa, y así el rendimiento es pequeño (del 45 al 50 por 100); ade- más, las pérdidas de cloruro de calcio retenido por el mine- ral son muy grandes. Método de Condy Bollmann.—Este procedimiento difiere esencialmente de todos los anteriores, en que no propone la separación del azufre por fusión, sino utilizando la propie- dad que tiene el sulfuro de carbono de ser un buen disol- vente del azutre. Según las determinaciones de M. Cossa, las disoluciones saturadas de azufre en el sulfuro de carbono, hierven á la temperatura de 55”, y á esta temperatura 100 gr. de sulfuro de carbono disuelven 181,34 er. de azufre, y á 48” disuelven 146,21 gr.; tales datos constituyen el fundamento del método, RO Teóricamente el procedimiento es bastante bueno, porque consiente alcanzar el agotamiento del mineral, y la pérdida, practicando la disolución por lavados metódicos, es peque- fíísima; prácticamente, y para una gran explotación, el pro- blema cambia de aspecto. Se trata de manejar grandes ma- sas de un cuerpo, como el sulfuro de carbono, peligroso, por ser fácilmente inflamable y muy volátil; se establece, es cierto, la recuperación del disolvente por destilación, y ello obliga á instalar ¿paratos costosos y de nada fácil manejo; es necesario operar con el mineral pulverizado, y, por lo tanto, hay que practicar la filtración de las disoluciones de azufre, con las pérdidas consiguientes, aun lavando los fil- tros con vapor de agua, etc. En resumen, una instalación costosa, difícil de manejar y peligrosa. | . Solamente en calidad de experimentos de laboratorio se ha practicado la extracción del azufre por este procedimien- to, y los resultados han sido buenos en cuanto al rendimien- to; pero creo que saliendo de los límites del ensayo y apli- cándolo como base de un procedimiento industrial, pierden mucho valor las ideas, siendo dudoso el éxito. En mi sentir el procedimiento no es aceptable, aun teniendo la ventaja de poder ser aplicado á minerales pobres. Consecuencia del estudio experimental acerca de los ac- tuales métodos de extraer azufre, es la convicción de que el procedimiento por fusión resulta de práctica mucho más di- fícil de lo que á primera vista parece, teniendo en cuenta lo sencillo del fundamento teórico de los diversos métodos. Fundir el azufre es operación sencillísima; separarlo simul- táneamente y de manera completa del mineral que lo contie- ne, es muy difícil, y por eso el rendimiento es constante- mente pequeño en todos los métodos. El agotamiento perfecto del mineral sólo se realiza cuan- do llega á temperaturas superiores á la de la inflamación del azufre y con los sistemas en que á ellas se trabaja, hay siempre causas de pérdida tan importante, que hacen muy —9N — dudoso el resultado 'económico de la explotación. No influye poco en ello la especial propiedad del azufre de convertit- se en un cuerpo viscoso á temperatura superior á la de su fusión, y que los minerales de azufre mediante impregnación, al convertirse en escorias cuando éste es eliminado, resul- tan masas visiblemente porosas, en cuyas pequeñas oque- dades se aloja una parte del azufre, que solamente se des- prende, ó á la temperatura de ebullición (447”), ó en forma de gas sulfuroso á la temperatura de inflamación (2505). En conjunto, los métodos descritos producen el azufre de fusión, que para ser aplicado en muchos casos debe trans- formarse en azufre refinado. El refino implica una sublima- ción para la que se consume de nuevo la misma cantidad de calor antes gastada; es decir, que el azufre refinado que se expende en el comercio se ha fundido dos veces, una para obtenerlo en el tipo de azufre de fusión, y otra como tránsito indispensable para llegar á la temperatura de volatilización Ó de sublimación; esto, fundamentalmente, no es económico. Se aplica para el refino el método clásico marsellés, ca- lentando el azufre en calderas, de las que se conocen diver- sos tipos, y recogiendo su vapor en grandes cámaras donde se solidifica en forma de flor ó de terrón, según el tamaño de la cámara con relación á la cantidad de vapor de azufre que recoge. Estas cámaras se construyen en obra de fábrica de mampostería ó ladrillo. La última modificación consiste en fabricarlas de chapa de plomo, sostenida por un armado de madera, y el fondo está de tal modo dispuesto que per- mite la extracción continua de flor de azufre sin interrumpir las operaciones; representan notable adelanto en la refina- ción de azufre, pero hasta hoy son escasas las instaladas. Nuevo procedimiento.--La característica que lo diferencia de todos los demás es que en una sola operación se obtie- nen los tipos de azufre comercial, el de fusión en sus clases tercera y segunda y el refinado ó sublimado. El fundamento del nuevo método de extracción de azufre es el siguiente: si suponemos un tubo inclinado á 40 — 45” lleno de mineral de azufre y lo sometemos á la acción del calor, se licuará una cierta cantidad de aquel cuerpo, que arrastrando la materia orgánica bituminosa volátil á 120 —130* que contenga el mineral, saldrá por el extremo inferior del tubo y podrá recogerse en forma de azufre negro Ó más Ó menos ennegrecido (azufre de fusión); después, cuando por aumento progresivo de la temperatura del mineral se llegue á la de volatilización del azufre, el vapor producido ascen- derá, saliendo por el extremo superior del tubo, donde, ope- rando de modo conveniente, podrá recogerse en una cámara en forma de azufre sublimado ó refinado. Es condición in- dispensable que este tubo se halle herméticamente cerrado para el aire, pero abierto para la fácil salida del azufre fundi- do, y tal condición se ha realizado por medio de un cierre hidráulico. La teoría del procedimiento puede explicarse por la figu- ra adjunta, que representa el aparato usado en los dos prí- meros experimentos (fig. 1.?). El tubo AA contiene el mi- neral azufroso; en la parte inferior B se coloca una rejilla móvil que lo sostiene dentro del tubo y que permite la salida del azufre fundido; á continuación de esta rejilla se encuentra el codo C, que cierra el aparato, introduciendo su extremi- dad en una vasija con agua, H. En la parte superior lleva el tubo A 4 un injerto, D, herméticamente cerrado, que se uti- liza para la carga de mineral, y termina el tubo AA en otro encorvado y con válvula en forma de mariposa que conduce el vapor de azufre á la cámara de condensación. El manejo, carga y descarga de esta caldera es sencillo. Por el injerto D'se echa el mineral que debe llenar el tubo hasta A. Se hace el cierre, y el calor comienza á fundir azu- fre, que se recoge en el agua de la vasija H. Por el aumen- to progresivo de la temperatura del mineral llega el azufre á la temperatura de volatilización, teniendo salida sus vapo- res por la parte superior y también por la inferior del tubo; ás s NS A A A is A EAS — 909 — condensan en forma de flor los que van á la cámara, y en forma de masas amarillas de riqueza de 99,2-99,7 por 100, los que se condensan en el agua. Terminada la operación por el agotamiento del mineral, se cierra la válvula maripo- sa, se levanta la parte del tubo C, se quita la rejilla, y la Figura 1.? escoria del mineral por su propio peso sale de la caldera, La operación de carga y descarga es tan símple que en una caldera cargada con 650 kg. de mineral se practica en diez minutos. Hay que observar, porque es dato de suma importancia, desde el punto de vista industrial, que en una operación se obtienen todos los tipos comerciales de azufre; las primeras porciones recogidas en el agua que hace el cierre hidráuli- — 910.— co, consisten en azufre ennegrecido de 97-98,50 por 100 de riqueza, que lo emplea la industria en la fabricación de va- rios productos químicos;. producir gas sulfuroso utilizado como decolorante, para hacer juntas inamovibles. etc.; el azufre amarillo, que después se recoge en el mismo lugar, puede ser finamente triturado, y susceptible de aplicacio- nes á la agricultura y otras en que se utilice el llamado azu- fre de segunda en el comercio; y el recogido en la cámara, es un perfecto tipo de azufre de primera, que en las formas de flor ó de cañón utilizan muchas industrias, como las de fabricación de pólvoras, fuegos artificiales, etc. Debe resaltar esta condición de mi método, porque nin- gún otro de los conocidos la presenta. A todo lo más que se llega en el de Fresch, ó con el de Thomas, es á obtener si- multáneamente los tipos segunda y tercera del comercio. Aparte de ello, el gasto de combustible y el de mano de obra para obtener así.el azufre de primera, será mucho me- nor que el necesario para lograr el mismo tipo refinando el azufre de fusión; en todos los otros sistemas hay que vol- ver á fundir este producto para sublimarlo, y si se Opera se- gún el procedimiento napolitano modificado, haciendo una destilación con el mineral, la materia bituminosa volátil se solidifica parcialmente en la cámara de condensación, ó se descompone, formando con el azufre sulfuro de carbono y gas sulfhídrico. Con el procedimiento que se propone, la ma- teria bituminosa se elimina, arrastrándola el azufre obtenido en la fase de fusión, lo cual varía mucho los resultados res- pecto de la calidad del azufre y del rendimiento. En lo referente al modo de operar, carga y descarga de las calderas, etc., la extracción del azufre resulta operación muy sencilla, en la que fácilmente se adiestran los obreros. El aparato formado por hornos, calderas y cámara, es de menos coste que los necesarios para la extracción, según los métodos de Thomas, Condy Bollmann, Dubreuill, represen- tando estos hechos ventajas prácticas en favor de mi procedi- mm CNE A A dd — 911 — miento, muy dignas de tenerse en cuenta en todas las ex- plotaciones. La caldera tubular descrita para exponer el prin- cipio fundamental del método ha sido muy modificada, con- siguiendo con ello notable economía de combustible, rapi- 30 Riqueza en azufre voforuda ay 160 de muneval Tiempo contado em Horas Pigura 22 dez en la práctica y facilidad de carga y descarga. La marcha de las operaciones de extracción de azufre según el nuevo método, se representa en la gráfica adjunta, figura 2.?, construída con datos experimentales recogidos en el trabajo del primer horno de seis calderas, que se ha construído con arreglo á este procedimiento y que funciona A desde los últimos días del mes de Marzo próximo pasado. Es la gráfica la mejor descripción que puede hacerse de la marcha de las operaciones, y ella demuestra que el agota- miento del mineral llega á un límite muy aceptable después de cinco horas de trabajo, alcanzándose en tales condiciones un rendimiento en azufre total, que puede ser superior al 90 por 100. Semejante cifra no ha sido alcanzada con ningún otro procedimiento, como no sea el de disolución en el sul- furo de carbono (Condy Bollmann), cuya instalación y prácti - ca tiene los graves inconvenientes de orden industrial antes indicados. Si por cualquier circunstancia conviniera á la explotación obtener mayor cantidad de azufre de fusión, puede dirigirse el trabajo para que así se 1ealice, y operando en tal forma, he llegado á obtener, como promedio de varios experimentos, en una caldera que se carga con 600 kg. de mineral, 155 kg. de azutre de fusión en las clases comerciales tercera y segunda. El mineral tenía 30 por 100 de riqueza, ó sea: en la carga había 180 kg. de azufre total; á la cámara fueron 12 kg. de azufre, luego obtuvimos 167 kg., lo cual representa un ren- dimiento en almacén del 92,7 por 100 del azufre total so- metido á la extracción. | Es de mucha importancia para el mejor resultado econó- mico del procedimiento, el trabajar con un tipo de horno que aproveche bien el combustible; el que he construído, des- pués de estudiado el asunto, da excelentes resultados. Re- nuncio á describirlo y á tratar de muchos pormenores refe- rentes á la marcha de las operaciones, por no hacer dema- siado extensa la presente Memoria, cuyo objeto se limita, exclusivamente, á exponer lo fundamental de mi procedi- miento de extracción del azufre. Zaragoza, Mayo 1910. XL, = Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física n ma- A temática, por José ENEEaIaYa coa undé- e cima. A o o e -XLVIL e Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física eL EE temática, por José oo Conferencia duo- cs : decano A e E -XLVII. — Estudio completo de una clase especial de integra- les singulares, por Laura Clarion a - XLIX. — Dosificación volumétrica del ferrocianuro y del fe- ; rricianuro potásicos, por Werner Mecklenburg.. : L. — Nuevo método de extracción del azufre de los mi- nerales que lo contienen en estado nativo, ER aLeomo de Gregorio Rocasolano. O e o, 7 : La subscripción á á esta REvIsTA se hace por tomos completos, de 500 á a pas, al peon de 6 pesetas en sl y 6 HaBcoS e endo, núm, 2, Madrid. A Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. yA nd AR se 00 . e. e NS ERAN NN — : : 4 , | R | E V | o ce VISTA ac sud SE É LIBRARY ARO a av ES un 3-19 EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES Da mao TOMO VIII.- NÚM. 12. (Junio de 1910.) pi pa, ona ateo x YN : MADRID: pS ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL A ; CALLE DE PONTEJOS, NÚM, 8, EE ] E 1910. ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academi: se han de pa ais en la Secretaria de e a de A E a o ad 046 Suv y, ¡BRASY. AND y RUMIVES . lO Lo LI.—Cuestiones de análisis. Aplicación á la Física matemática. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia décimatercera. SEÑORES: - Hemos demostrado la fórmula de Stokes, escogiendo para demostración la que indica Mr. Poincaré en su libro de «Electricidad y Optica», aunque con alguna aclaración para la mejor inteligencia de mis alumnos. Y expusimos después, al fin de la conferencia precedente, algunos casos particulares de dicha fórmula, tomando por guía en esta parte á Mr. Apell en su tratado de Mecánica racional, así como en esta conferencia seguiremos del mis- mo modo la exposición de dicho autor, en dos aplicaciones analíticas, que son de verdadera importancia y de uso ge- neral. Primera aplicación. Sea un campo de vectores W, W”, W”..... (fig. 37), y ya sabemos lo que esto significa; pero estas ideas elementales bueno es recordarlas con frecuencia. Un campo de vectores significa, que en un espacio deter- minado, finito ó infinito á cada punto del mismo, 4”, A” ..... corresponde un vector W, W” ..... Rev. AcaD. DE Ciencias. —V [11.—Junio, 1910 62 — 914 — Este vector está definido por sus tres componentes P, O, R y estas componentes son funciones de las coordenadas del punto. Y Pigura 37. Para el punto A”, por ejemplo, las tres componentes P*, O',R” del vector W”, serán tres funciones; P' = qu (x, y”, 2) 0 19 (x, y”, z') R'= qa (x, y”, 2) y otro tanto pudiéramos repetir para todos los demás puutos del campo de vectores que consideramos. Imaginemos en dicho campo dos puntos cualesquiera A y B y entre ellos tracemos una curva arbitraria AabbB. Esta curva irá encontrando en todos sus puntos a, b ..... una serie de vectores W y podremos formar la integral des- de A á B, según la línea trazada al (Pdx + Qdy + Rd2), AabB E AA la, que representará, como ya explicábamos en la conferencia precedente, el trabajo del vector W cuando su punto de apli- cación recorre la línea en cuestión desde A á B. También podríamos representar este trabajo, designando por W;, la proyección de W para cada punto del vector W sobre el arco de la curva, por la integral f Wsds, AabB Ambas integrales representan lo mismo, porque el traba- jo de la resultante es igual á la suma de los trabajos de las componentes, y por otra parte, lo mismo da proyectar en cada instante, Ó mejor dicho para cada elemento, la fuerza sobre el camino, que el camino sobre la fuerza. Por la demás, mientras el vector sea un concepto abstrac- to, la palabra trabajo no tendrá una significación mecánica, sino una significación, por decirlo así, de analogía, para una expresión analítica. Sea como fuere, de magnitudes expresadas por números se trata, y la integral en cuestión tendrá entre A y B, y para la línea AabB, un valor numérico determinado, que desig- naremos por /, es decir, y (Pdx + Qdy +Rd2)=1. AabB Y ahora se presenta este problema: Supongamos que entre los puntos A y B se traza otra lí- nea Aa'b'B, y que á dicha línea se aplica todo lo que he- mos dicho de la anterior. La línea irá encontrando puntos de aplicación del vector W, es decir, una serie de vectores, que tendrán distintas magni- tudes y distintas direcciones que las de.la primera línea, aun- que todos los del campo estén expresados por las mismas funciones q,, P2, Ez de X, y, 2. — 916 — Pero, como los puntos a”, D' ..... son distintos de los ante- riores, variando las coordenadas, variarán los valores de las funciones. En suma, si determinamos para la nueva línea Aa'b'B la integral (Pdx + Qdy + Rd2), Aab'B esta integral tendrá un: valor distinto de la precedente; de- signándolo por /' tendremos para la línea AU0B || (Pdx + Qdy — Rdz) = 1, AabB para la línea Ada /| (Pdx + Qdy +- Raz) = ['. Aab'B Y si trazásemos una serie de líneas, por ejemplo, otra ter- cera Aab”B, para ésta y para todas las restantes, lo natural es que tuviéramos distintos valores; porque en cada integral varía la línea de integración, por lo tanto, las componentes dx, dy, dz de cada arco ds y además, las componentes P, Q, R del vector. ) Pues el problema á que nos referimos, es éste; ¿A qué ley deben obedecer los vectores W del campo, para que todas estas integrales tengan el mismo valor res- pecto á todas las líneas que entre A y B se tracen, es decir para que se tenga d: (Pdx + Qdy + Rdz) =1 AabB ' (Pdx + Qdy ERA =1 Ao'DdB a (Pdx + Qdy + Rdz)=1 Aa"b"B 2.600. 0. 0... ...o o. . 0... ..... o... conservándose siempre constante el valor 71? — A DA A AS di e O sm y a” A [A e — 917 — Más aún; para que esta propiedad pertenezca á todos los puntos del campo A, B tomados dos á dos. Y agregamos esta segunda parte para dar precisión á las ideas, y porque la lógica así lo exige, aunque después vere- mos si es ó no necesaria, porque pudiera suceder, que veri- ficándose la condición de que se trata para dos puntos A y B, se verifique para todos. Por el pronto fijémonos en dos puntos determinados A y B. La condición á que nos referimos, es decir, que la integral tenga el mismo valor entre A y B, sea cual fuere la línea de integración entre los dos puntos, se reduce á otra condición más sencilla, como vamos á ver inmediatamente; pero antes, hagamos una aclaración. Tomemos la integral, por ejemplo, 14 (Pdx + Qdy + Rdz). AabB Si en vez de hacer la integración desde A á B, moviéndo- se el punto de la línea en el sentido AabB hacemos la inte- eración en sentido contrario, es decir, desde B á A según BbaA, es evidente que obtendremos para la integral el mis- mo valor numérico, pero con signo contrario, es decir, que si ll (Pus Qd Era y AabB resultará il: (Pdx + Qdy + Rd2)=—1 Bba A Esto es evidente. , -- 918 — Porque para cada punto a el elemento diferencial, Pdx + Ody + Rdz contendrá las mismas P, Q, R con el mismo valor numérico y el mismo signo; pero si el arco ds tiene por componentes dx, dy, dz cuando se recorra en el sentido A B tendrá por componentes — dx, — dy, -- dz al recorrerlo en el sentido contrario, de Bá A. De modo que los dos elementos diferenciales, serán igua- les en valor numérico y de signo contrario: Pdx + Qdy + Rdz — Pdx— Qdy — Rdz. Y como podemos decir lo mismo de todos elementos de las dos integrales, resulta probada la proposición. En suma, cuando tengamos una integral de esta clase, cam- biar el sentido de la línea de integración, es cambiar el signo al resultado. > | : Y por lo tanto, cambiar á la vez el sentido y el signo, será dejar invariable el valor de la integral. Y ahora continuemos nuestra explicación, y sustituyamos | la condición de la invariabilidad de las integrales de un pun- 2 to á otro, por otra más sencilla, según antes indicábamos. La condición era esta: Que sean cuales fueren las líneas AabB y AQDd'B, han de ser iguales las dos integrales que se expresan en la si- guiente ecuación: Í (Pdx + Qdy + Rdz) = Al (Pdx + Qdy + Rdz. AabB Aa'b'B Pasando la integral del segundo miembro al prímero, ten- dremos: a (Pdx + Qdy + Raz) > (Pdx + Qdy + Rdz) =0 AabB Aa' bB — 919 — é invirtiendo en la segunda integral la línea de integración y cambiando el signo, como antes explicábamos, /, (Pdx + Qdy + Raz) + ap (Pdx + Qdy + Rd2)=0., AabB Bb'a' A Pero, integrar según la línea AabB y después, á lo largo dela línea Bb'a A, es lo mismo que integrar á lo largo de la línea cerrada AabBb'a'A, ó abreviadamente para no escri- bir tantas letras AaBa'A, luego UN (Pax + Qdy + Rdz2)=0. AaBa'A En resumen, la condición de que la integral entre A y B sea la misma, sea cual fuere la línea de integración, se re- duce á esta otra más sencilla, que es la que habíamos anun- ciado: que la integral á lo largo de cualquier línea cerrada, es decir, que parta de A y que vuelva á A, ha de ser igual á o. Recíprocamente, si se verifica esta condición, se verifi- cará la primera, porque hagamos pasar por B una línea ce- rrada, y apliquemos los razonamiencos de antes en orden inverso, suprimiendo para abreviar la escritura Pdx + Ody Rdz y tendremos AaBa'A AaBa' A AaB Ba'A AaB Aa'B luego des Le De modo que si la integral es cerrada para un punto A, las integrales para todos los caminos desde A á otro punto cualquiera B serán iguales. — 920 — Decíamos, al enunciar el problema, que la propiedad ha- - bía de subsistir para todos los puntos dos á dos, y ahora de- cimos que basta que subsista para dos puntos determinados. Porque en efecto: si la propie- dad de obtener la misma integral, ''- sea cual fuere el camino que se siga entre dos puntos determina- dos A B existe, la misma propie- dad subsistirá para dos puntos cualesquiera A” B' (fig. 38). En efecto: tomemos dos cami- nos arbitrarios entre 4' y B', á sa- ber: A”DB', A“D'B'; y vamos á de- mostrar que si la propiedad existe entre A y B para dos líneas cuales- quiera £, L”, de modo que O Figura 38. . Pa WE (Pax + Ody + Rd2) L L' también tendremos: y: ¿bB' ha vB" En efecto; tracemos dos líneas: a entre A y A', c entre BID. Y tendremos por hipótesis: Aloe B =p Ó bien A A d 4 ; y á ] . 3 A AAA E IA «— 921 — y suprimiendo integrales iguales de ambos miembros, queda eso site que es lo que nos proponíamos demostrar. En suma, basta que exista la propiedad para dos puntos cualesquiera para que sea general en todo el campo de vec- tores. Y como la propiedad en cuestión la habíamos reducido á esta otra que es equivalente: que tomando un punto A, para todo contorno cerrado que parta de dicho punto y á él vuel- va, la integral se reduzca á o, se deduce desde luego que el punto A también es arbitrario. | Basta, pues, que los contornos cerrados se anulen para un punto cualquiera. Veamos, pues, á qué condiciones han de satisfacer los vectores del campo, para que la integral de todo contorno cerrado se reduzca á o. La fórmula de Stokes, recordemos que es la siguiente: | Í (Pdx + Qdy + Rdz) = L A lc ia Ss dy dz dz dx dx dy Si tomamos por contorno cerrado un rectángulo abcd (fig. 39), situado en el plano de las yz, y cuyos lados sean paralelos á los ejes y, 2; y si tomamos por superficie la por- ción de dicho plano coordenado, comprendida en el contor- no rectangular, en la ecuación general de Stokes, deberemos hacer x=0 (y si la figura estuviera en un plano paralelo al yz, que en el fondo es lo mismo, tendríamos que hacer x= — 922 — constante). Además, como la normal n á la superficie es pa- ralela al eje de las x, tendremos (AD 0 2 0 Z Pigura 39. La fórmula general de Stokes se reducirá á la siguiente: llamando L£ al contorno del rectángulo, línea que puede em- pezarse á contar desde cualquier punto, fiaereneo= (2 s2)o El primer miembro ha de ser rigurosamente nulo; luego el. segundo debe serlo también. Pero, si suponemos que el área abcd, ó, mejor dicho, S, es suficientemente pequeña, y si suponemos además, y estas son condiciones necesarias para que subsista la fórmula, que P, O, R y sus derivadas sean funciones contínuas y unifor- mes, sin pasar nunca por infinito, es claro, que podremos escoger el área S tan pequeña que o E dy dz A A — 923 — conserve en toda la extensión de dicha área el mismo signo. Mas en este caso, como la suma de cantidades que tienen el mismo signo no puede ser o, la integral del segundo miem- bro, no podría anularse, y como ha de ser rigurosamente nula, deberemos tener ¡dénticamente de dq Dada Decimos idénticamente, es decir, para todos los valores x, y, z del campo de los vectores. Repitiendo esto mismo para un área suficientemente pe- queña del plano de las xz, y para otra del plano de las xy, veremos que los otros dos binomios de la fórmula deben reducirse á o, y tendremos por fin: que para que en un cam- po de vectores, las integrales de línea que representan el trabajo entre dos puntos, sean independientes del camino seguido y sólo dependan de los puntos que se elijan, debe- rán verificarse idénticamente, es decir, para todos los valores de x, y, z, estas tres condiciones, que serán necesarias y se- rán suficientes, según se deduce de la anterior demostración: A RA O ; =0, —— =0. (l) dy dz dz dx dl dy Estas serán también las condiciones, según lo expuesto, para que en dicho campo de vectores, la integral, á lo largo de una línea cerrada, partiendo de cualquier punto, sea igual á cero. Ahora bien, se sabe por cálculo integral, que las ecuacio- nes (1) son las condiciones necesarias y suficientes para que Pdx + Ody + Rdz=0 sea una diferencial exacta de x, y, Z. — 924 — Y esto era evidente, y el teorema, puede decirse que esta- ba demostrado de antemano, porque ya lo habíamos demos- trado en las conferencias del año anterior. Mas volvamos á repetir algo de lo que allí dijimos. : Si Pdx + Ody + Rdz es una diferencial exacta de una función de tres variables x, y, z, á saber: p (x, y, 2), tendre- mos (fig. 37) | [| Pat ou +rao= | de (x, y, 2). AaB AaB La integral del último miembro, que es la suma de los di- ferentes valores de dy entre A y B, tiene por integral inde- finida o (x, y, z) y si representamos por Xo, Yo, Zo las coor- denadas de A, y por x,, y,, 2, las coordenadas de B, tendrá evidentemente dl, (Pdx+ Qdy + Rd2) e (a Y 21) — 0 (tu Js 2 donde se ve comprobada la propiedad fundamental, á saber: que la integral á lo largo de cualquier línea que vaya de A á B, no depende de dicha línea, sino de las coordenadas de los puntos extremos, Ó si se quiere de la posición de los puntos A, B. Esta propiedad, aun puede expresarse en términos más generales. En efecto; definamos una superficie del campo de vecto- res por la ecuación o (x, y, 2) =C siendo C una constante arbitraria. Supongamos que á esta constante se le da una serie de valores, continuos ó discontinuos, y tendremos (fig. 40) una A serie de superficies correspondientes á los valores C,, C;, C, ..... C, serie comprendida en la ecuación precedente. Figura 40, Pues bien; la propiedad generalizada á que antes nos re- feríamos, es la siguiente: Tracemos entre la superficie C, y la superficie C dos lí- neas cualesquiera, ab, a' b' y es evidente que tomándolas como líneas de integración, las dos integrales para las dos líneas expresadas, tendrán el mismo valor numérico, es decir: Ñ (Pdx + Ody + Rdz) =/ (Pdx + Ody + Raz). ab a'b' En efecto, si designamos por Xp, Yo, Zo las coordenadas de a; por x,, y,, z, las coordenadas de b; y por estas mismas letras con acento las coordenadas de a' y b' tendremos se- gún lo demostrado, AN (Pax + Qdy + Rd2)= el Jo 20 (odo 29) — 92% — al de (Pdx + Ody + RdzZ)=« (1 Y y 71) 3 yo Zo) a'D' Pero como los puntos a y a” corresponden á la superfi- cie C, y los puntos b, b' á la superficie C, es claro que ten- dremos P (Xo, Yo» 20) = P (Xo) Yo» Zo) = Co O (Xy Y) 21) =P (A, Y 1,21) = C, y por lo tanto q (Pdx + Ody + Rdz) =C— C, ab di (Pax + Ody + Rd2)=C—C, a'b' , IA Jo Si designamos, para abreviar la explicación, las superfi- cies q = C con el nombre de superficies de nivel, y aplica- mos el nombre de trabajo de vectores, como antes hemos hecho, á cualquier integral de P dx + Ody +- Rdz, la pro- piedad precedente podrá expresarse de este modo: el trabajo de vectores entre dos líneas de nivel es siempre el mismo. Es la propiedad ya conocida y estudiada en Mecánica elemental para el trabajo de la gravedad entre dos planos horizontales. | Casos particulares de esta propiedad, son los siguientes: 1.2 El trabajo sobre una línea de nivel, b b' por ejemplo, es nulo, porque en efecto: es decir, N (Pdx-| Ody + Rd2)=C—C—o0. bb' — 91 — 2.” El trabajo á lo largo de una línea ded” entre dos pun- tos d, d' de una línea de nivel es también igual á cero; lo mismo que si los puntos d, d” coincidiesen, porque $ (Pax + Qdy + Rd) =p (4) — + (4) =C—C=0. y) ded' . - De todo lo dicho pudiera deducirse, como ya explicába- mos en el año anterior, que si el vector general del campo, W, es una fuerza y este vector tiene lo que llamábamos una función de fuerzas « (x, y, 2), es decir, que sus componen- tes P, O, R están representadas por en cuyo caso Pdx + Ody + Rdz A ES e apo cia dx dy dz será una diferencial exacta, y en cuyo caso se verificarán, como antes indicábamos, las condiciones de integrabilidad Ó bien AU E es dx E dicho campo excluye en absoluto el movimiento continuo, porque en dicho campo, ni puede crearse trabajo, ni puede destruirse. Sea cual fnere el camino que se siga para ir de un punto á otro, el trabajo desarrollado siempre será el mismo, y al 07) volver al punto de partida, el trabajo desarrollado en el campo será nulo. Todas estas propiedades ya las explicamos minuciosa- mente en las conferencias del curso anterior. Segunda aplicación.—Es esta, en cierto modo, análoga á la precedente, sólo que no se trata de integrales de línea, sino de integrales de superficie; no de trabajo de vectores, sino de flujo de vectores. | No decimos como antes: ¿cuáles son las condiciones á que han de satisfacer los vectores de un campo, para que la in- tegral de línea del trabajo de estos vectores, entre dos pun- tos A y B, sea independiente de la línea de integración, y sólo dependa de la posición de ambos puntos? sino que se pregunta: ¿á qué condición han de satisfacer los vectores de un campo para que las integrales de superficie, cuando' una serie de éstas se apoyan sobre una línea dada, den el mismo valor para el flujo de estos vectores? Expliquemos esto aun con más precisión, que para la E señanza de alumnos que estudian por primera vez estas ma- terias, nunca nos duele repetir dos y tres veces la mis- ma idea. Consideremos, figura 41, un campo de vectores K, K” ..... Coloquemos en ese campo una línea cerrada L, y por esa línea hagamos pasar, apoyándose en ella, una serie de su- perticies SS. ....l Claro es, como tantas veces hemos explicado, que pres- cindiendo de los vectores de L, á cada punto de cada super- ficie A, A” ..... corresponderá un vector K, K” ..... Consideremos una de las superficies, la S por ejemplo. Si proyectamos el vector K de cada punto A sobre la normal á la superficie en el punto A, y designamos por K,, dicha proyección, el producto de K, por el área infinitamente a Ís CPAIEESIESI TENIAN — (929 — -pequeña de superficie A, representará, como ya sabemos, el elemento de flujo, correspondiente á este punto, del vector K. ze Pígura'[41. Designando por ds el elemento de superficie, tendre- mos que, ai K, de S representará el flujo del campo «e vectores á través de toda la superficie S en la parte que limita la línea £. | Este flujo, ó esta integral, tendrá un valor perfectamente determinado, suponiendo, como suponemos, que la integral no cae en ningún caso de excepción, ni por falta de con- tinuidad en el vector, ni por falta de continuidad en la su- perficie. - Representemos por / el valor de esta integral; y podre- mos establecer en forma abreviada Flujo K á través S= 1. Rxv. Acab. DÍ Cienolas.—VIUI.—Junio, 1910. 63 — 930 — Repilanos estas mismas consideraciones para otra O] ficie cualquiera S”. A cada punto de esta superficie corresponderá también un vector del sistema, es decir, del campo; por ejemplo: al punto A” el vector K”. A cada vector K* corresponderá una proyección K”, sobre la normal del punto A” y un flujo elemental K”,do” repre- sentado por ds” el elemento de superficie del punto A”. De modo que para toda la superficie S” obtendremos un flujo total A K, de Ss que también podremos expresar de este modo: Flujo K” á través de S”, Pero este flujo tendrá, en general, un valor numérico dis- tinto que para la supenficie S. Si lo representamos por /', tendremos: Flujo K” á través de S' =7". En general, considerando una serie de superficies S, S”, E apoyadas todas como en una intersección común en una misma linea £L, los flujos de K á través de cada una de estas superficies, serán, como hemos dicho, distintos en general: 1, 1,1” ..... Y se plantea el problema de este modo : ¿á qué condicio- nes, á qué ley, deben satisfacer los vectores del campo para que, conservándose constante la línea L, todos los flujos á través de cada una de las superficies S, tengan el mismo valor? Así como en el problema anterior buscábamos las condi- ciones del campo para que, conservándose constantes los puntos A, B y variando la línea de integración, la integral — 931 — no cambiase de valor, aquí buscamos también las condicio- nes del campo de vectores para que, conservándose constan- te la línea L, la integral del flujo dé el mismo valor para to- das las superficies $. Observemos, ante todo, que si el campo está formado por lo que hemos llamado vectores torbellinos, para estos vectores se verifica la propiedad indicada. Esto se deduce inmediatamente de la fórmula de Stokes. Porque, en efecto, dicha fórmula es o: (Pax + Ody + Raz) = L a cal S dy dz dz dx dx dy Hemos dicho, que los tres paréntesis del segundo miembro reprsentan las tres componentes del vector tor bellino T, que hemos designado por Tx, T,, T¿; por lo tanto, la fór- mula anterior puede expresarse de este modo: fear 04 +rda= | | (AT+km7, EnTade. NA ' El segundo miembro, como hemos manifestado en muchas ocasiones, no es otra cosa que el flujo del vector T á través de la superficie S, y así puede escribirse Í (Pdx + Ody + Rdz) = Flujo T á través de S. L Pero en el segundo miembro la superficie S puede ser cualquiera, con tal que tomemos el flujo de los vectores T que en el campo correspondan á la nueva superficie, y para — 082 — todas estas superficies S, S”..... el primer miembro será el mismo, porque la línea L no varía, es decir, que será una cantidad constante /, de modo que Flujo Tátravésde S=/I: + subsiste, pues, la condición del problema; y es más, tenemos el valor constante del flujo, que será el del primer miembro pe 3 (Pdx + Qdy + Rd2), L que no es otra cosa que el trabajo á lo largo de la línea, del vector W, cuyas componentes son P, O, R, y que han ser- vido para formar el vector torbellino 7. - Podemos decir que el flujo del vector torbellino será el mismo para todas las superficies que se apoyen ó pasen por la línea L, y vendrá expresado en función de las componen- tes P, O, R, que entran en la composición de 7. Ya tenemos, no un campo, sino infinitos campos de vec- tores, que gozan de la propiedad en cuestión para todas las líneas cerradas L que se tracen en los expresados campos; sólo que cada uno de estos campos se ha de componer, no de vectores arbitrarios, sino de vectores torbellinos. - Fijemos bien las ideas. Consideremos un campo de vectores cualesquiera W, fi- gura 42. Cuando decimos cualesquiera, ha de entenderse que han de obedecer á la ley de continuidad las funciones que representan sus componentes, P= P1 (x. y, 2), 0 E Pa (x, Jy, 2), R = gg (%, J, 2), y además han de ser funciones bien definidas para que las “integrales que utilicemos no caigan en los casos de excep- ción á que varias veces hemos hecho referencia. A A A A AA A Si AN - Con estos vectores W, W”, W”...... formemos los vectores torbellinos T, T”, T”... para todos los puntos A, A”, A”... del campo. Pigura 42. De este modo obtendremos un campo de vectores T, que cumplirá con la condición que venimos estudiando, es decir, que para toda línea cerrada £, el flujo de los vectores T, correspondiente á cualquier superficie S que pase por L tendrá un valor constante, y este valor será el trabajo del vector primitivo W que ha servido para formar el vector T, trabajo tomado á lo largo de L£. Los vectores primitivos W sirven para formar el campo, y sirven para dar el valor del flujo. Y antes de pasar adelante, observemos que los vectores T cumplen con una condición analítica importante, á saber: que su divergencia para cualquier punto es nula; es decir dx da e de — 934 — Para demostrarlo, no hay más que sustituir en vez de Tx, Ty, T, sus valores, y efectuar las operaciones, En efecto, tendremos: le a) a El e . d y dz dz dx | dx dy dx. dy dz (0) y desarrollando ER EEOR EP MR O, AE AyaX.. azadx.. aZayaxay.. Axa Z dydz cuyos términos se destruyen dos á dos. | | | Hemos encontrado una solución al problema; pero no sa- bemos si será la solución más general. Los vectores torbellinos cumplen con la condición del | flujo constante, á través de todas las superficies que pasan por una línea fija L; pero un campo arbitrario de vectores no constituye un sistema de vectores torbellinos, porque es- tos tienen una constitución especial: de suerte que el proble- ma hay que estudiarlo con alguna más generalidad. Sea como antes un campo de vectores K; consideremos en él una línea cerrada L, y por dicha línea hagamos pasar una superficie S (fig. 43).. Para todos los puntos A de dicha superficie, consideremos los vectores K. Por la línea L consideremos otra superficie S”, que para más claridad en la figura, hemos supuesto que vuelve su con- vexídad en sentido contrario que la primera; pero lo mismo sería considerar las dos superficies S, S” de la fig. 41. Mas volvamos á la fig. 43. A a — 933 — Para todos los puntos A” de la superficie S”, consideremos el vector correspondiente K”. Pigura 43. El flujo de X sobre S debe ser el mismo que el de K” so- bre S' si ha de cumplirse la condición de que tratamos. Tendremos, pués, según notaciones anteriores $ fi rnd= ff Hs de: Ss S Tal como hemos puesto la figura, el vector K” del punto A' y su componente sobre la normal, K”, actúan hacia el in- terior del espacio que cierran las superficies S y S”. Si en vez de proyectar el vector K” sobre la normal n' que se dirige hacia el interior, lo proyectamos sobre la prolonga- ción n” de esta normal hacia el exterior, es decir, que toma- mos para dirección de la normal como dirección positiva la parte A'n” en vez de la parte A' n', la proyección K”, cambia- rá de sígno, porque los ángulos K"A'n” y K*A*n” son com- plementarios, y sus cosenos tienen signo contrario. = 986 = Así, pues, la fórmula anterior se convertirá en ff rra =- $ K. do S S' ff, Kudos ff Kodomo. S S Pero estas dos integrales dobles, pueden reducirse á una sola que abarque el conjunto de las dos superficies S, S' y en que los flujos se cuenten para ambas sobre la normal ex- terior. Tendremos, pues Ñ Kaos 0 S+8' en que K y por lo tanto K,, así como du se extienden al con- junto de las dos superficies S, S”; y esta será una condición necesaria para que se cumpla la condición fundamental, es decir, para que los fl:jos de K sobre S y sobre S' sean igua- les; lo cual, por otra parte, es evidente, porque si los flujos son iguales,la suma de uno de ellos y del otro cambiado el signo, debe ser igual á cero. Sabemos por la fórmula de Green que la integral de los flujos para una superficie cerrada, es igual á la integral de la divergencia, ó sea: Sh A ra lado SES vXx dx dy dz Ahora bien, como las superficies S y S' son arbitrarias, el espacio que encierran puede ser tan pequeño como se quie- ra, y estar situado en cualquier punto del campo de vecto- res, como indica la fig. 44. Las dos superficies S y S”, van casi confundidas á partir Ó bien — 931 — de la línea L, y sólo se separan dejando un elemento de vo- lumen A tan pequeño como se quiera. CS Pigura 44. Aplicando á este caso la fórmula anterior, no quedará en el segundo miembro más que un elemento de volumen, ó sea, de a E S+8" dx dy dz Y como hemos dicho, que para que se verifique la condi- ción que vamos estudiando, es preciso, que el fiujo que ex- presa el primer miembro sea o, tendremos que también será condición necesaria que la divergencia se anule para todos los puntos del campo de vectores. Tendremos, pues, que para que los vectores K cumplan con la condición de igual flujo, para todos los puntos del campo deberá verificarse dE dE dK,_, dx dy dz — 938 — Ó bien div. K=0. Esto comprueba lo que hemos visto anteriormente al ha- cer constar que un campo de vectores torbellinos era el cam- po de ¿gual flujo; expresándonos en forma concisa. Resulta de lo expuesto que tal condición es condición ne- cesaria, y ahora vamos á demostrar que es una condición su- ficiente; es decir, que si para los vectores de un campo la di- vergencia es constantemente nula, dichos vectores darán un flujo constante para todas las superficies continuas que pasen por una línea cerrada cualquiera L. Para demostrar esto último haremos ver, que si la diver- gencia de los vectores K de un campo es nula para todos los puntos de dicho campo, es decir, si se tiene para todos estos puntos, dK, dx aK, , dK, —— a ==05 E dy an dz el vector K podrá ponerse bajo forma de un vector torbellino de muchas maneras. Y es claro, que si el vector K toma la forma de vector tor- bellino, según lo que demostramos al principio de esta con- ferencia, cumplirá con la condición de dar un flujo cons- tante. | En suma, si los vectores K cumplen con la condición div. K'=0; siempre se podrán determinar, y de muchas maneras, tres — 939 — funciones de x, y, z, que llamaremos P, O, R y que cumplan con las condiciones, dr dQ9_ dy dz ds dp dr — — — = K,, 1 dz dx á (1 a dx dy 6 de otro modo: si la divergencia de K es constantemente nula, puede considerarse á K, y de muchas maneras, según antes decíamos, como un vector torbellino engendrado por un vector W cuyas componentes sean P, O, R. Tratemos, pues, de resolver las tres ecuaciones (1). Y empecemos por un caso particular. Designemos como hace Mr. Apell, á quien seguimos casi puntualmente en esta demostración, por P,, O,, R,, tres va- lores particulares de P, O, R, y supongamos además R, =0, Ó bien R,= constante. | Las tres ecuaciones (1), se convertirán en o dz Xx) dP 1 =Ky, dz LO dx dy s Veamos si es posible buscar por P, y O, valores en x, y, z que satisfagan dichas ecuaciones. La ecuación — 940 — puede considerarse como una diferencial ordinaria en que la variable independiente es z y la función P.,. Integrando esta ecuación, y tomando como límite inferior Zo tendremos A Pr |] Ky(x, y, 2) dZ. 20 Este valor de P, satisfará evidentemente á la segunda ecuación. ; Podemos hacer una cosa análoga con la primera, 6 bien, £2 — Andés Es J, 2). dz También es una ecuación diferencial en que la variable independiente es z y la función O,, é integrando tendremos. 0 = mf KE (57, 2)02: Como hemos integrado con relación á z, la x, y han debi- do considerarse como constantes, de modo, que todavía po- demos agregar al segundo mienbro una función arbitraria de x, y, que designaremos por o (x, y). Así resulta O; e al K; ES y, z) dz le S (x, y). Este valor de O satisfará, evidentemente, á la primera ecuación, como el anterior valor de P satisfacía la segunda, porque, es claro, que al diferenciar con relación á z, la fun- ción y desaparece, | : ] — YA — Realmente al obtener el valor de P, también pudimos in- troducir otra función arbitraria; pero con la última nos basta para nuestro objeto. Hasta ahora tenemos valores de P, y O, que satisfacen á las dos primeras ecuaciones. Veamos si estos valores, merced á la función arbitraria que hemos introducido, pueden satisfacer á la tercera ecua- ción, | ae EAS dy Sustituyamos para ello los valores obtenidos, de f “K, (1%, y, 2) d2 1 20 E K; (x, y, 2) + p(x, y) y tendremos, Ea 2 aer K* (9,2) de +9(%,9)] af K,(x, y, 2) dz Zo Zo E z — dx k que se reduce á y reuniendo las dos integrales Ea do — IRA dealer cl Aa Vds E NR K. - Ma Pero la condición de que la divergencia del vector K es nula, es decir, dK, + dK pe, EN dx dy 10 dz : nos da a. — y sustituyendo La integral indefinida del primer término, es evidentemen- te K¿, de modo que tendremos d K; (xy, 2) 1.7 Kz (x, y, Zo) ls 3 == K; (e, y, 2) de donde | d E = Ko (%, y, 20) dx Xx p= dp K4£x, Y, Zo) d2, que se efectuará por una cuadratura. Hemos obtenido, pues, tres funciones pariiculares x 2 j P, =f Ky(x, y, 2) dz, O, == /" Ky (x, y, 2) os S (x, »), “R[=0. Ó bien,, R, constante — 93 — que satisfacen á las tres ecuaciones del problema AR. au: der A gp. qe de dy 0% Le dy dy 2) de modo que. dr; dQ_ dy dz bh dA_ IR_y dir dx nod d9) dE y Restando ordenadamente de las tres primeras ecuaciones las tres últimas, resultará: d(RR)_d0—0)_, dy dz des 0 d (R —R,) a dz dx (0-0) «PPD, dx dy Estas tres últimas ecuaciones demuestran que P — P,, O— 0,, R—R,, con tal que sean las derivadas con rela- ción á x, y, 2 de una función cualquiera U (x, y, 2) satisfa- rán á las tres ecuaciones anteriores. 04 = Será, pues, solución de dichas ecuaciones, y por lo tarito de las ecuaciones (1) el sistema PZA A dx € ERA O—0,= 7 "e — A dz siendo U una función completamente arbitraria, puesto que se reducirán á USA A dydz dydz dl U na? U dxdz dzdx AU aru dxdy dydx Tendremos, pues, para las soluciones que buscamos: > l ES + | Dichos valores de P, O, R serán la solución más general de | las ecuaciones-(1), y como contienen la función arbitraria U, | resulta que de infinitas maneras se puéde representar el vec- tor K por un vector torbellino; y de infinitas maneras tam- bién, el vector K dará un flujo constante para todas E su- perficies S que pasen por la línea £. | — 945 — Pero observemos, que aunque la forma en que pongamos K contenga U, el valor del flujo será único y perfectamente determinado. Determinado, decimos, no en función de P, O, R, sino de P,, Q,, R, =0. En efecto, según el teorema de Stokes, el valor del flujo, es la integral del trabajo de P, O, R á lo largo de L. Así, tendremos, que este valor del flujo será, yl (Pax+ Qdy + Raz), JL que se AS en d (Ara Ln (e Lo A er y il dx dy dz Ó bien AS O do 2). La última integral es sl dU que será U, en que habrá L que sustituir las coordenadas de los puntos extremos de la integración y restar los resultados. Pero como los puntos extremos coinciden, porque la línea es cerrada, dicha integral se anula, y queda para valor de- terminado del flujo a (P, dx + O, dy + R, d2). L Lo mismo da que pongamos R,=0 que R, = constante, porque en el primercaso desaparece, y en el segundo tenemos | Ridz=R, | dz=R,(2) E) 7 iz E Rruv. Acap, pm Crencias,—VIII,—Junio, 1910. 64 — 946 — en que el último paréntesis es nulo porque los valores extre- mos de z son iguales porque coinciden. Observemos que hemos podido obtener este resultado porque la divergencia de K era nula, y la sustitución de dx dy dz nos ha permitido integrar la expresión que resultaba. De no ser así, no hubiéramos podido continuar los cálculos. Hemos terminado, pues, las aplicaciones analíticas más ele- mentales del teorema de Stokes, y en la conferencia próxi- ma haremos alguna aplicación de dicha fórmula á problemas fundamentelas de la Física matemática. — 97 — LIT.— Acción biológica del calcio y del magnesio. POR EL DR. D. JosÉ GÓMEZ OCAÑA. Resumen de una Conferencia explicada en la Facultad de Medicina de Burdeos el día 3 de Junio de 1910 (*). Las nuevas ideas y los modernos métodos de investiga- ción prestan actualidad é interés á cuestiones que se habían resuelto simplemente en épocas no muy lejanas. No hace mucho tiempo, en efecto, aunque se conocían al Ca y al Mg como elementos constituyentes del organismo, se conside- raba al primero con el papel mecánico de prestar solidez al esqueleto, y nada positivo se sabía de la acción fisiológica del magnesio. El sulfato de magnesia era y es uno de los más conocidos purgantes; pero todo lo demás se ignoraba, inclu- so la toxicidad de las sales de magnesia y de cal, pues ni las unas ni las otras se mencionan, como venenos en las obras clásicas de Toxicología. Hoy poseemos datos para contemplar el problema en su mayor complicación: por ello, y por la relativa novedad de estos estudios, pensaba en la acción biológica del Ca y del Mg como tema de esta conferencia; y me decidieron dos ra- zones. o Era, la primera, que al tratar de la acción biológica del Mg se ofrecía ocasión, para.mi muy grata, de rendir público homenaje y. justo -eldgio' al sabio ilustre que es Profesor de (*) Esta conferencia fué ilustrada con proyección de diapositivas que se sustituyen con grabados en este resumen. También se añaden algunos datos adquiridos en posteriores investigaciones. — 948 — Fisiología en la Facultad de Medicina de la Universidad de Burdeos, ya que se le puede considerar como iniciador de nuestros actuales conocimientos relativos á la acción fisiológi- ca del magnesio. El Profesor Jolyet, en colaboración con Ca- hours (1), indicó el primero, en 1869, la acción paralítica ó curarizante de las sales de magnesia. Mucho después, en 1906, el mismo sabio (2) ha demostrado que se deben á las sales de magnesia los efectos inhibitorios que ejerce sobre el corazón el agua marina, empleada como líquido de circula- ción artificial. La otra razón que me decidió por este tema fué la de ha- berle tratado en uno de sus aspectos en otra ocasión, en el primer Congreso que celebró en Zaragoza la Asociación es- pañola para el progreso de las ciencias (3): llevo muchos meses investigando en el Laboratorio de Fisiología de mi car- go la acción biológica de las sales de cal y de magnesia, pri- mero sobre el intestino aislado, y luego en inyecciones sub- cutáneas, intraperitoneales é intravasculares en perros, co- nejos y ranas. Aunque modestos, tengo el gusto y el honor de ofrecer los resultados de mis últimos experimentos. El Ca y el Mg son elementos biogénicos, y como tales constituyentes de los tejidos y humores del organismo. La mayor cantidad de cal corresponde á los huesos, que la contienen en la proporción de 36,74 %/,, es decir, casi una tercera parte de su peso, y la menor proporción toca al ce- rebro 0,02 0%, (Geogheagan): en la sangre oscila entre 0,173 %/,* (Schmidt) y 0,07 %/, (Bunge), prácticamente algu- nos centígramos por litro. En los músculos, la proporción es algo mayor, 0,46 %/,%, y en la leche humana, en la primera quincena después del parto, es de 0,0301 %/,, según Si- kes (4), y puede llegar á 0,035 %, (Bunge). La mitad del calcio de la leche se encuentra bajo la forma de una combi- nación disociable de caseinógeno, según desmostraron Rona, Peter y Meichaelis (5). Las proporciones de Mg en el organismo son más peque- A — 99 — ñas. Para Schmidt, el óxido de magnesio figura en el plas- ma de la sangre, en la proporción de 0,025 9/,% y en los músculos, según cálculos de Bunge, 0,412 %/,2 6 0,37 /¿0 (Katz). Allá se van las proporciones del Ca y del. Mg en el tejido nervioso, ya que el último alcanza á 0,07 0/,% sin em- bargo, para Aloy (6), el Mg predomina sobre el Ca en los glóbulos de los tejidos nobles de la economía. Dejando aparte la cal de los huesos que, evidentemente está depositada en ellos con fines mecánicos, es de notar la pequeñísima proporción de estos metales en la sangre, en los músculos y en el tejido nervioso. Y sin embargo, la acción dinámica es enorme para el Ca en dosis mínimas, verdadera- mente homeopáticas, como logré demostrar en el intestino aislado del conejo. Enseguida veremos que le sigue en acti- vidad el Mg y ello hace pensar que la virtud de estos meta- les no está en la masa, sino que, como indicó Sab atani, está en la concentración del Ca-ion, Ó mejor, como apuntan Loeb y Osborne, en el cambio de electrolitos á través de la mem- brana celular, ya desde el líquido de la célula al plasma ambiente, ya en sentido contrario. Estos cambios de ¡iones entre los líquidos protoplasmáticos é inter-celulares traen como consecuencias cambios de concentración y modifica- ciones físicas, químicas y fisiológiras. La importancia biológica del Ca y del Meg aparece desde otro punto de vista cuando se advierte su difusión por las aguas y por los terrenos: el agua marina, que sustenta inmen- sa y variada fauna, contiene notables proporciones de Ca y de Mg (2 moléculas de Ca Cl, por 100, moléculas de Na Cl, según Loeb), é igualmente figuran el calcio y el magnesio en el líquido nutritivo vegetal de Sachs, en el de Raulín y en el modificado por Hédon-Fleig (7), para mantener la actividad de los órganos animales aislados. El Ca Cl, entra en la com- posición de la mayoría de los líquidos nutritivos, afirmándose por esta predilección, la más importante función biológica del Ca sobre la del Mg. — 050 — El Ca y My se ganan y pierden, respectivamente, por la alimentación y las secreciones, y según Goitein (8), los músculos y los nervios se enriquecen ó empobrecen en estos dos metales, según que abunden ó escaseen en la alimenta- ción; mas el antagonismo entre estos dos cuerpos se mani- fiesta ya, aunque no recíprocamente, en los cambios nutriti- vos. Parece, á juzgar por las investigaciones de Malcolm, Lafayete, Mendel y Stanley R. Benedict (9), que la inges- tión ó inyección de sales solubles de magnesio hace perder calcio á los animales; en cambio, según Malcolm, las sales solubles de calcio no influyen en la execreción del magnesio. Las necesidades del My, del organismo adulto, se aproxi- man á 0,45 grm.; la execreción oscila entre 0,384 y 0,412, Por el intestino se elimina el My en la proporción de 0,064 (Renwall, 10). Por lo que hace al metabolismo proteico, la acción del Mg es poco notable, pues aparte de sus efectos diuréticos y pur- gantes sólo se ha notado administrando sus sales á los perros, pasajero aumento de amoníaco en la orina bajo la forma de fosfato-amoníaco-magnesiano (Steel, 11). Más interesantes son los datos que poseemos sobre el me- tabolismo del Ca, pues sin contar sus combinaciones pro- teicas en la leche, conocemos su papel en la coagulación de este líquido, y en la de la sangre, y otros hechos que se re- fieren á su función en los músculos y en los nervios. Ya Virchow y Briicke llamaron la atención sobre la pre- sencia y riqueza de Ca en las cenizas de la fibrina; después Hammarsten observó la acción coagulante del Ca Cl,, y Arthus y Pagés confirmaron la influencia de las sales de cal en la coagulación de la sangre, que se impide con la adición de sales que las precipiten (oxalatos y fluoruros). Pekelharing llegó á la misma demostración con inyecciones intravenosas de peptona, que también fijan las sales. de cal, y aunque la acción de las proteosas es muy compleja, el sabio última- mente citado juzgó que la núcleo-albúmina se combinaba : : | — 05 — con las sales de cal para constituir la trombina, y una vez formado este fermento, transfería el calcio al fibrinógeno para producir la fibrina. Resultaba así, la fibrina, como un compuesto proteico de cal; mas cuando se averiguó que el calcio era preciso para la coagulación, no por su masa, sino por su virtud dinámica, y se demostró por Sabbatani (12) que si las sales de sosa impiden la coagulación es porque forman con las de cal compuestos insolubles, poco solubles ó poco disociables, es decir, que funcionan aprisionando el Ca y disminuyendo la concentración del Ca-ion en la san- gre, se concluyó, en definitiva, que es virtual la acción de este metal, y también indirecta, puesto que no influye en la constitución de la fibrina, sino en la formación preliminar del fermento ó trombina. Este punto de vista conviene con la demostración que debemos á Schmidt y á Hammarsten que la fibrina no es más rica en cal que el fibrinógeno, y concuer- da también con las investigaciones de Delezenne (13) acerca de la intervención del Ca en la activación del tripsinógeno. Así como la cal interviene en la constitución de la trombi- na, contribuye también, según el fisiólogo últimamente cita- do, á la activación del tripsinógeno, Ó sea á su transforma- ción en tripsina. Por lo que hace á la coagulación de la leche, opinan Ham- marsten y Ringer que la cal actúa sobre la caseína soluble y la coagula; para comprender esta acción conviene advertir que estos autores suponen una operación preliminar, ó sea la conversión del caseinógeno en caseína soluble mediante el fermento. Rabouteau comparaba por su acción fisiológica las sales de cal á las de potasa, y en apoyo de este supuesto probó que la solución de Ca Cl, hacía contraer vivamente á los músculos, paralizándolos después; en inyección intravenosa esta sal mata rápidamente á los animales, probablemente por parálisis cardiaca. Sabbatani (14) atribuye al Ca una acción moderadora, y Row (15), que ha estudiado los efec- — 952 — tos de Ca Cl, sobre los músculos estriados y lisos, afirma que el calcio acorta el periodo latente y al principio aumen- ta la altura de la contracción para disminuirla después. Curzi (16) se pregunta si serán inhibitorias las sales de calcio en vista de la disminución de los reflejos y de las pa- rálisis que se observán en los mamíferos cuando se las ad- ministra en inyecciones intravenosas. El sabio italiano ad- mite una acción tóxica local del calcio sobre los músculos, y atribuye á otra acción deprimente sobre la circulación la disminución de los reflejos que se observa en las ranas cuan- do se las inyecta el hipofosfito de cal á la dósis de 5 á 10 centigramos. Apunta el citado experimentador que los ba- tracios intoxicados con el calcio conservan los movimientos voluntarios, como conservan la conciencia los perros paralí- ticos por intoxicación cálcica. Loeb (17) afirma la precisión de cierta proporcionalidad en- tre las concentraciones del ion Na y el ion Ca E E. | C. Ca para que puedan realizarse los contracciones rítmicas de los músculos. Un cambio de cationes monovalentes (Na ó K') por otros bivalentes (Ca ó Mg), y á la inversa, es nece- sario para la función normal de los músculos; y como las plantas carecen de ellos, pueden pasarse sin Na C/. Las sa- les de magnesia, como las de cal, impiden, en opinión de Loeb, la acción excitante del Na C1 sobre los músculos, y si los de nuestro cuerpo no se contraen como el corazón, lo debemos á las sales de magnesia y de cal de nuestra san- gre (18) que contrarrestan ó moderan la excitación causada por la sal común. En suma, los más de los investigadores se inclinan á considerar como moderadoras € inhibitorias á las sales de cal. Nuestras personales investigaciones discrepan de estas conclusiones, y las contradicen en lo que se refiere á la acción excitante del Ca Cl, sobre el intestino aislado del conejo y sobre los músculos de la rana. Irrigando el nervio ciático | | | — 953 — é SMN . con la disolución no antes.y depués de- haberlo regado con É 009 , disolución e de Na CI se observan contracciones espon- táneas de los músculos gemelos, con marcada tendencia rit- mica y tetánica. Pudieran atribuirse á la acción deshidratante de las disoluciones sobre el nervio y hay fundamento para creerlo, dado que nosotros las hemos observado por irriga- ción del ciático con disoluciones normales y al 25 %/, de Na Cl, y con disoluciones al 25 %/, de SO, Mg; más no las - hemos conseguido con las disoluciones normales de Mg Cl, lo que prueba que algún otro factor además de la deshidra- tación influye en el fenómeno. Regando el nervio y mejor aún, inyectando las disoluciones salinas en el saco dorsal, hemos observado, de acuerdo con otras distintas investiga- ciones de Bancroft (19), que responden los músculos de dos maneras á la corriente galvánica; unas veces sólo á la abertura y cierre del circuito y otras con contracciones rítmi- cas; mientras está pasando la corriente (influencia del potasio) ó al interrumpirse (acción del calcio). Nosotros obtuvimos contracciones peristálticas espontá- neas y verdaderamente enormes (figura 1.*), adicionando dó- sis minúsculas (0,0066 %/,) de Ca Cl, al líquido de Hédon- Fleig, en el que.se mantenían las contracciones de un trozo de intestino delgado del conejo (Gómez Ocaña, loc. cit.). No es maravilla la acción de Ca en dosis tan minúsculas, dado que Ralph S. Lillie ha obtenido efectos evidentes en el restablecimiento de la contractilidad de las larvas de la are- nícola, con la adición del Ca Cl, en disolución ”/.: 400 Irrigando directamente los músculos con el Ca Cl, ó inyec- tándolo á los animales, hemos advertido en las ranas que las contracciones que aumentan mucho al principio, decre- cen rápidamente después; pero lo que llama la atención, so- bre todo por el contraste con los ergogramas obtenidos bajo la influencia del magnesio, es que, por virtud del calcio, se — DA — 87) 99 9P BWIJULU SISOP TUN SP OAMIINU opinb1] 9p u 0191p8 e] 100 sopesaSexo “ofo09 19p OPE/|SIe OUNS3JUI [Sp Se9on[e3siiod sauolo9e uo, eL Bana — 955 — y muestran los músculos infatigables ó muy resistentes á la fatiga. Esta resistencia á: la fatiga se demuestra con el miograma de la figura 2.*, que corresponde á los gemelos bl | ll TN l ARA MATA Wi ap lol ATT ATT Figura 2.? > Gráfica reducida de un miograma de los gemelos de la rana, destinada á demostrar cómo los músculos, influidos por el Ca CZz, resisten á la fatiga, de una rana que había sufrido una inyección de Y/, de cent”. de la disolución — de Ca Cl,; la excitación galvánica del nervio se obtenía por una pila seca, en cuyo circuito se intercaló como interruptor un metrónomo; el músculo sopor- taba un peso de 150 gramos. Ofrezco como. contraste otro miograma del gemelo de una rana inyectada con: el sulfato de magnesia (figura 3.*). Nótese en este miograma cómo alter- nan las contracciones grandes con las pequeñas, y lo que es Figura 3,? Dos curvas de fatiga de los gemelos de la rana, Una y'Otra reducidas de tamaño; la superior es el término de un ergograma normal; la inferior de otro ergograma bajo la influencia de una inyección en elisaco dorsal de 1/¿ de cent, cúb. de la disolu= ción V de Mg Cl, — 06 -— más importante, que desde el comienzo del ergograma faltan algunas contracciones, como si el músculo padeciera una fa- tiga precoz. Todas las investigaciones convienen en que cierta concen- tración del ion-Ca es indispensable en la función de los pro- toplasma, y singularmente en los nervios y en los músculos. Bancroft (20) demostró la influencia del Ca-ion en los fenó- - menos de galvanotropismo: cuando la concentración es mi- nima no se manifiestan; si aumenta un poco se manifiesta el anódico y si el aumento es considerable, el catódico. Armo- nizan estas conclusiones con la opinión de Loeb cuando atri- buye los efectos electrotónicos de los nervios, por efecto de la corriente galvánica, á un decrecimiento del Ca-ion ó de Mg-ion en el cátodo y á su crecimiento en el ánodo (21). Busquet y Pachon (21), por su parte, demostraron que el Ca es necesario para el ejercicio de la función inhibitoria del vago, y, sin embargo, Auer y Meltzer (22) encontraron fuer- temente disminuída ó abolida la excitabilidad del vago caf- diaco en los animales normales, tratados con la solución tálcica "/¿. Es de notar que, por oposición, se conserva la irritabilidad de los demás nervios motores incluso los que el vago da al esófago. Gautrelet (23), por otro método, el de la disociación de los cloruros, por electrolisis, ha probado en la rana que á causa del calcio aumenta la amplitud de las contracciones del corazón cuanto disminuye su número: en un caso las pulsaciones descendieron de 56 á 28; mas se duplicó su altura. El exceso de Ca, sin embargo, puede influir desfavora- blemente en el metabolismo de los tejidos y oponerse á su función, explicándose asi la parálisis de las fibras del simpá- tico que van á mandar la dilatación de la pupila (24); pero es de advertir que al propio tiempo que disminuye la irri- tabilidad de las fibras midriáticas ó pupilo-dilatadoras del simpático por virtud de las sales del calcio, éstas estimulan el esfínter pupilar y muy probablemente también las fibras 0 — nerviosas mióticas, dando por resultado la contracción máxi- ma de la pupila observada por los citados autores en los animales que habían sufrido la inyección intravenosa dde una solución ”/¿ de Ca Cl,. Parece probable, en vista de esto, que no alcance el calcio la misma concentración en los elementos nerviosos simpáticos y cerebro-espinales. Por los hechos de observación personal, antes apuntados, y por lo que hemos aprendido en investigaciones posterio- res, Opinamos que los fenómenos de parálisis Ó simplemente depresivos observados por los autores, dependen de la do- sis, pues cuando el calcio se administra en pequeñas pro- porciones, su acción es francamente excitante. Nosotros he- mos inyectado muchas veces en las ranas los cloruros de potasio, calcio y magnesio, y siempre se distinguen los efec- tos del segundo, sobre todo, si se comparan los animales sometidos á su influencia de los que padecen la del Mg Cl». A dósis muy pequeñas, el Ca Cl,, aumenta la excitabilidad de los nervios y de los músculos, y nosotros hemos visto des- cender el dintel de la del nervio ciático en las ranas inyecta- das previamente en el saco dorsal con disoluciones ”/; y "Yo de la mencionada sal. También hemos anotado que, bajo la influencia del Ca Cl,, la excitación del nervio ciático pro- duce en los músculos de la rana contracciones de cierre y abertura mucho más pequeñas éstas que aquéllas (figura 4.*), E AAN 10 ó Pigura 4.* Contracciones de cierre y abertura por eXcitación del ciático en una rana bajo.la influencia :del Ca Cl — 058 — pero: con una tendencia rítmica (figura 5.*) en las de abertura que contrasta con los efectos que hemos observado en las sa- les de potasa, por cuya acción las contracciones rítmicas se | pod e yola yu o QU Figura 5.* Tendencia rítmica que se observa en las contracciones de abertura, por excitación del ciático, en una rana bajo la influencia del Ca Cl» producen al cierre del circuito. Sin excitación eléctrica del nervio producen las ranas, tratadas con el calcio, contraccio- nes rítmicas de carácter tetánico, como demuestra la figura 6.* Figura 6.* Contracciones rítmicas observadas, en una rana bajo la influencia del Ca Cla En la figura 7.* se notan sólo contracciones de cierre en una ''rana intoxicadas con el Ca Cl,. Obsérvese cómo faltan al- gunas contracciones, indicadoras de unas fatigas que en se- guida se consumó. Veamos ahora la acción fisiológica del magnesio. - Ya he indicado anteriormente que fueron el sabio Profe- . sor. de Fisiología de Burdeos y. Cahours los que anticiparon : — 959 — hace más de cuarenta años la acción paralítica Ó curarizante de las sales de magnesia. Binet (25) logró repetir con ellas el experimento de C/. Bernard, para demostrar en las ranas la acción exclusiva del curare sobre las terminaciones de los nervios motores, y variando la técnica para hacerla aplicable á los animales de sangre caliente, Wiki (26) logró análoga demostración. Es sabido que C/ Bernard exceptuaba el ner- vio ciático de la ligadura en masa de una de las ancas de una rana para evitar que la alcalzara, por la circulación, el vene- no de las flechas inyectado en el saco dorsal; pues'bien, Wiki cruzó las circulaciones entre la carótida: y la yugular de un conejo (cuya sangre se había hecho incoagulable por la inyección de extracto de sanguijuelas) con la arteria y vena crurales de otro conejo que había de ser intoxicado con el SO, Mg, á fin de que el miembro correspondiente se librara de la intoxicación. El experimento demostró que se conser- vaban las movimientos en el miembro sustraído á la magne- sia y podían ser provocados por: la excitación refleja del ner- vio ciático de la otra pata: UL JUJUY UY ULA Pigura 7.? Contraccionesjde cierre por excitación del cíatico en ina rana intoxicadá por la inyección en el saco dorsal ¿de 1/z cent, cúb, de la disolución N de Ca Clz Yo he repetido con éxito. dudoso el experimento de Cl. Bernard en las ranas, y he sustraído un miembro á la acción del SO,Mg, ya por. ligadura en masa del anca con 900 — excepción del ciático, ya. separando el miembro y dejándole pendiente al tronco sólo por el mencionado nervio. En cam- bio he confirmado las observaciones de Binet en los mamí- feros, y aunque no me decido por la acción exclusiva cura- rizante que seatribuye al Mg, la verdad es que la semejanza es notable entre los intoxicados por las sales de magnesia y los que sufren la acción del veneno de las flechas. He inyec- tado el sulfato de magnesia disuelto al 25 %/, y la disolución N del Mg:Cl, y en el peritoneo de los conejos; esta última, á dosis variables de 2 á 10 cent.? por kilogramo. Los sínto= mas, más ó menos graves, según la dosis, han sido siempre análogos. Inmediatamente después de la inyección, observa- mos. polípnea que no puede atribuirse á la emoción operato- ria de estos tímidos animales, porque no la padecen otros conejos á los que se inyecta otro liquido; cinco minutos des- pués, se nota pereza en los movimientos, aunque todavia conserva el animal su: habitual postura; á los diez minutos ya dobla las patas, porque no puede sostenerse en ellas, y aparece en la forma en que lo muestra la figura 8.?, en la A E UI le e e Pigura 8.2 / 05 l y dni Dos conejos, el uno testigo se presenta en su actitud normal; el Otro echado sobre el - vientre y con los miembros relajados muestra la parálisis por la magnesia. . «== — 961 — que, para mejor comprensión, le acompaña á los efectos del contraste otro conejo testigo. Entonces la respiración cambia á lenta y profunda, las pupilas no reaccionan á la luz, y aunque débiles, se observan los reflejos nasal y palpebral. Este estado se agrava, la respiración se hace intermitente y al cabo cesa, siendo de notar que aun late el corazón cuando ya el animal no respira; pero si la dosis no es gran- de, las cosas no llegan á estos extremos, y los animales se reponen en dos ó tres horas. Obsérvase que la parálisis en la intoxicación por las sa- les de magnesia, como en la del curare, es precoz para los miembros inferiores y tardía para los músculos de la respi- ración, é igualmente se nota que los movimientos cardíacos sobreviven á los respiratorios. Pero aquí acaban, en mi opi- nión, las analogías entre el envenenamiento por el curare y por el magnesio, porque la escasa reacción á los reilejos, que he observado en los conejos sometidos á la acción de las sales de magnesia y en las ranas decapitadas por sección del bulbo, puede explicarse también por el embotamiento de la sensibilidad. | Yo creo que el Mg actúa sobre el sistema nervioso mo- tor; pero muy probablemente ejerce también su acción sobre el sensitivo, y aun alcanza al músculo su acción deprimente. Por esto me sitúo, no por comodidad sino por convicción, entre los autores antes citados y los que afirman la acción anestésica Ó analgésica de las sales de magnesia. En esta si- tuación intermedia se sitúan también Cristaux (27) y Delhaye y Curzi (28); el primero, deduce de sus investigaciones que las dichas sales no son anestésicas ni curarizantes, sino sen- cillamente depresoras del sistema nervioso central y del periférico, sólo que la depresión periférica es más precoz y predomina sobre los nervios sensitivos. Más categórico es Delhaye al afirmar que con las sales de magnesia desapare- ce la excitabilidad del sistema nervioso y la parálisis. afecta rápida é intensivamente tanto el territorlo motor como, el Rev. AcaD. DE CIENCIAS. —VIII. —Junio.—1910. 65 — 069 — sensitivo. Gautrelet, en su trabajo antes citado, confirma la acción tóxica del magnesio sobre los nervios del corazón. Curzi (29), que indica la acción curarizante del Mg en los batracios, la extiende en los mamiferos á los centros y á los nervios motores y sensitivos. La acción anestésica de las sales de magnesia ha sido sustentada con mucho areumento experimental por Meltzer y Auer (30). Estos sabios han experimentado en la mayoría de los animales de laboratorio, y deducen conclusiones fa- vorables á la acción anestésica de las sales de magnesia. Los efectos, cuando se agravan, pueden terminar por la muerte de los animales sin que en ningún momento se ofrezcan síntomas de excitación. Puedo ofrecer mi testimo- nio de la calma en que mueren los animales intoxicados con el Mg, y también de la falta completa de excitación, y con- vengo con aquellos: autores en que faltan igualmente los - síntomas de asfixia (dilatación pupilar, convulsiones, etc.); y, sin embargo, por parálisis respiratoria sucumben los ani- males intoxicados con las sales de magnesio, según se de- ducen de los experimentos practicados por Joseph y Melt- zer (31) en los conejos. Estos investigadores invectaron dó- sis mortales de sulfato de magnesia y de cloruro de bario respectivamente á dos conejos A y C: en otro conejo B inyec- taron una dósis mortal de sulfato de magnesia en los múscu- los, y en las venas otra dósis análoga de cloruro de bario, y este conejo se salvó de la doble intoxicación, probable- mente porque los dos venenos se neutralizaban recíproca- mente impidiendo el bario la parálisis respiratoria mortal del magnesio. Es de notar, y lo advierten los citados autores, que el bario no impide ni la anestesia ni otros síntomas de la intoxicación magnesiana que se corrigen, como veremos más adelante con el calcio, también antagonista del magnesio. También abundo con ellos, y contrariamente á lo afirmado por Mac-Callum, en la acción inhibitoria 6 paralizante que las sales de magnesia ejercen respecto al peristaltismo intes- — 963 — tinal, según demuestra la gráfica de la figura 9.*,"que'se refie- re al intestino aislado del conejo en el líquido Hedon-Fleig, adicionado de S O, Mg (32). He explorado las alteraciones Pigura 9.* Parálisis de las contracciones del intestino aislado del conejo por la adición de SO, Mg al líquido nutritivo. que sobrevienen en los movimientos respiratorios de los co- nejos sometidos á la acción de las sales de magnesia, y ofrezco dos pneumogramas obtenidos por el conocido mé- todo del frasco y previa traqueotomía: el primero señala la respiración normal, calma de los animales intoxicados; y el segundo, la respiración intermitente con pausas expiratorias que se observan poco antes de la muerte (figuras 10.* y 11.*). En este punto y en los efectos tóxicos de la magnesia nues- tros experimentos coinciden con los de Macwillian (33). OINVINAAANANAA, Figura 10. —Pneumograma de conejo inmediatamente después de haberle inyectado en el peritoneo, una dosis mortal de sulfato de magnesia. O .. En inyecciones intravasculares, los efectos tóxicos de las sales de magnesia son verdaderamente enormes, y la muerte sobreviene rápida, probablemente por parálisis cardíaca: cuando se pone en comunicación la carótida con un manó- metro inscriptor observáse que la presión arterial baja rápi- Pigura li. Pueumograma del mismo conejo, al que se refiere la figura anterior, quince minutos después de la inyección del sulfato de magnesia. La respiración era irregular y se notaban pausas espiratorias. damente hasta la muerte, no á la manera como lo hace cuan- do se inhibe el corazón excitando el vago, sino que es una baja progresiva y rápidamente mortal. Véase, al efecto, en la figura 12.*, la caida rápidamente mortal de la presión arterial, Pigura 12. Caída de la presión arterial en un perro por inyección intravascular de una dosis morta de magnesia. Las curvas superiores representan las oscilaciones hemomanométricas normales. — 0 en un perro de7 kilogramos, á causa de lá inyección 14 cent. cub. de la disolución normal de Mg Cl, por la arteria fe- moral. Este experimento lo realizó, por encargo mío, mi antiguo discínulo, hoy Profesor auxiliar honorario, Sr. Me- dina. | Es curiosa la compatibilidad entre las funciones inhibitoria del magnesio y la que produce sobre el corazón la excitación del nervio pneumogástrico. Hemos excitado el vago en el cuello de un conejo previamente intoxicado por inyección intraperitoneal de SO, Mg y como demuestran los siguientes | trazados cardio-respiratorios, la excitación produce los efec- tos cardio-inhibitorios que son de rigor en los animales nor- males, y tanto cuando se excita el vago integro como el cabo periférico después de la sección (figuras 13.?, vago integro, y 14.?, vagos seccionados y excitación del cabo periférico del derecho). La contra prueba también es positiva,pues Macwi- * llian (loc. cit.) ha probado que los efectos inhib itorios de las sales de magnesia no se evitan con la sección del vago. - Figura 13. Trazado cardio-respiratorio que demuestra los efectos de la excitación del vago íntegro en el cuello,.en un conejo intoxicado con el SO, Mg. Aun no he podido comprobar la acción local interruptora de la conductibilidad nerviosa que Meltzer y Delhaye atribu- yen á las sales de magnesia. cuando se aplican sobre los «nervios en-solución conceñitrada; pero he observado-que por LA la acción de las sales de magnesia, localmente aplicadas al nervio ciático, se producen bajo la influencia de la corriente 6 al En Pigura 14. Trazado análogo al de la figura anterior, destinado á demostrar iguales efectos por la excitación del calbo periférico del vago derecho, en un conejo intoxicado con el SO4 Mg. galvánica, miogramas análogos á los obtenidos en ranas in- toxicadas con inyecciones de sales magnesianas (figura 15). lr Lali Pigura 15. Micgrama que demuestra los efectos locales de las sales de magnesia sobre el nervio ciático. Los sabios americanos añaden que la acción local del Mg se hace efectiva más pronto sobre los nervios sensitivos que sobre los motores, y con ello conviene Delhaye; aquellos dicen también que los efectos locales del My sobre los ner- -vios se disipan cuando se les lava con el líquido de Ringer. Es necesario modificar el concepto de inocentes que goza- ban las sales de magnesia, y si del SO, Mg no conocemos efecto alguno nocivo cuando se administra como purgante, 067 — es porque no se absorbe ó porque se absorbe en pequeñez cantidad. En cuanto á la acción purgante hay que volver la vista á aquellas teorías que la explicaban por mecanismo de osmosis, ó pensar con Mac-Callum en una excitación glan- dular ó secretoria; todo menos creer que el sulfato de mag- nesia purga por exageración del peristaltismo, pues como demostró Auer (34) y comprobamos nosotros, el sulfato de magnesia inhibe ó suspende las contracciones peristálticas del intestino (figura 9.?). | Por irrigación directa del nervio con disoluciones norma- les de Mg Cl, no hemos visto contracciones; pero sí regán- dolo con disoluciones de SO,, Mg al 25 %/.. El magnesio se elimina principalmente por la orina, pues según Meltzer y Lucas (35), se aumentan en 50 por 100 los efectos tóxicos de las sales de magnesio en los conejos que acaban de sufrir inmediatamente la nefrectomía; pero aun- que la principal, no es el riñón la única vía por donde aqué- llas se eliminan, pues pasadas 18 horas de la nefrectomía, las dichas sales sólo producen una profunda anestesia. El in- testino coadyuva á la eliminación. La acción antagónica de las sales de cal y de magnesia, reconocida por varios investigadores, ha sido señalada muy singularmente por Meltzer y Auer (36). Antes he apuntado las diferencias entre los miogramas obtenidos bajo la influen- cia de las sales de uno y otro metal: recuérdese que el Ca, á dósis pequeñas, excita el tono de los músculos, exagera la excitabilidad, y por lo mismo, dispone á la fusión de las sa- cudidas; el Mg., por el contrario, favorece la relajación y dis- minuye ó abole la excitabilidad del sistema motor. Los mio- gramas bajo la influencia del calcio, cuando se somete el nervio á excitaciones galvánicas muy frecuentes, marcan: la tendencia al tétanos; en los animales sometidos á las sales de magnesia, faltan las contracciones de abertura, y desde el comienzo de la excitación, ya lo he dicho, abortan muchas sacudidas. Es notable que en estos miogramas, como ya ob- — 068 — servó Bardier (37), alternan por su tamaño las contraccio- nes con cierta regular desigualdad; las hay grandes y peque- ñas, pero desde el comienzo se marca la intermitencia. Meltzer y Auer han demostrado que el Mg. es un podero- so antagonista del Ca., puesto que inyectando el primero en las venas disipa rápidamente los efectos tóxicos del segundo, siempre que se haya administrado en inyecciones subcutá- neas y en dósis no muy considerables, que hagan inevita- ble el envenenamiento. Por mi parte he observado localmen- te el antagonismo, pues inyectando en el anca unas gotas de la disolución de Ca CI, se restablecían las contracciones - suspendidas por la acción del Mg según demuestra la figu- ra 16. Viniendo, ahora, á la explicación de estos fenómenos, con- viene partir del supuesto establecido por Traube, que consi- dera al recinto de cada célula como pequeño laboratorio quí- mico, aislado de las vecinas células y del líquido ambiente, por la membrana; á través de ésta, sin embargo, comercia el protoplasma con los plasmas 'intercelulares, y es evidente que este comercio estará influido por la mayor Ó menor per- meabilidad de la membrana y pór el grosor de las moléculas que hayan de atravesarla. Fijándonos en los músculos, pode- mos admitir con Loeb que ciertas condiciones físico-químicas son precisas para disponerlos á la contracción, y cuando ésta ocurre, sobrevienen cambios en la composición del pro- toplasma y modificaciones en sus propiedades físicas (vis- cosidad, fluidez, tensión superficial, etcétera); es muy pro- bable que la calidad de las disoluciones influyan en el grado de permeabilidad de las membranas (Hoeber, Overton) y que los iones ó electrolitos jueguen en los fenómenos físicos y químicos de la contracción muscular. Loeb ofrece dos conjeturas: ó los electrolitos facilitan las fermentaciones y oxidaciones que se verifican en los múscu- los ó mantienen en el plasma cierto grado de fluidez y de concentración; mas en todo caso, se establece un cambio en- 069 — 27) 12.9 [9P PMIATA 10d SATOJIIPAUOI SE] DP uorojiedes: e] epondos e] ua £. orsouSew 9 10d sauo199e.13u09 sel ap vorsuadsns e] peru 1o0psdas 2amrad ns us e1jsanul eope1S e] "euou Buen eun 9p so[9ua3 so] y 9puodsa1109 10119401 BUIPIO1WL 15 91 tana ETT TETTTFTT TF TEA tre los electrolitos de los líquidos celulares é intercelulares. Ya he indicado la opinión del fisiólogo americano respecto al cambio entre los cationes monovalentes (Na y K) y los bi- valentes (Ca y Mg); mas también del comercio de electroli- tos podrá resultar la liberación de ciertos ¡ones aprisionados en combinaciones orgánicas, probablemente proteicas, del protoplasma. Cualquiera que sea el metabolismo, siempre habrá que convenir, con Osborne (38), en que no pasarán por la membrana con igual facilidad las moléculas complejas y los simples iones; aquéllas, gruesas y coloides, se quedarán re- tenidas en las células y atravesarán la membrana los simples electrolitos, lo mismo 'del interior al exterior, que en sentido contrario. Admitiendo, también con Loeb y Osborne, que las bases metálicas se encuentran combinadas en el protoplasma con aniones orgánicos constituyendo jabones, núcleo-protea- tos y globulinatos de sosa, cal y magnesia, solubles y díso- ciables; la disociación da de sí un anión complejo (núcleo- proteido, globulina, jabón, etc.) que permanece en la célula, y un catión simple que la abandona Ó se cambia con otro que atraviesa la membrana de fuera adentro; pero si en el líquido intercelular no se encuentran los electrolitos que se necesi- tan para sustituir á los que se desgarraron de las células, la composición de estas se alterará con perjuicio de sus aptitu- des fisiológicas. De todo esto se deduce la necesidad, no sólo de una de- terminada concentración en el líquido nutritivo, sino tam- bién de idónea composición, ó en otros términos, no basta que el líquido sea isotónico con el de la célula, sino que es necesario que por su composición sea ¡sofisiológico (Osbor- ne). Así se explica que mate á una célula ó á un organismo la disolución isotónica de Na C/ puro, no porque sea tóxica la sal de cocina, sino porque faltando el K, Ca y Mg, estos iones son sustituidos por el Na, y por carecer de ellos se al- teran la composición y funciones del protoplasma. Es sabi- do, Osborne lo recuerda, cuánto cambian las propiedades | | : a OC Ss — (0% — físicas de los jabones con la simple sustitución de una base por otra. dos Joti Cada día más, las investigaciones hacen patente aquella intuición de los biólogos que hacía depender la normalidad de las funciones de la integridad físico-química del proto- plasma; mas como este comercia constantemente. con los plasmas nutritivos para atender al gasto funcional ó enérgi- co, se hace preciso cierta constancia en la composición quí- mica y en las propiedades físicas de los humores constitu- yentes. Así vemos mantenerse casi constante en su continua variabilidad, y no obstante las ganancias por absorción y las pérdidas por secreción, la composición de la sangre y la con- centración molecular del plasma, € igualmente admiramos los varios y eficaces recursos que ejercitan los animales para conservarlas, y como resisten las más enérgicas tentativas para cambiarlas. D'Errico (39) ha observado cómo se man- tienen constantes la presión osmótica y la conductibilidad eléctrica del suero de la sangre, en los perros, á pesar de la inanición, agravadas, á estos efectos, por la inyección de cerza de un litro de agua destilada, en unos casos, y en otros por la ingestión casi cuotidiana de 500 cent. cúb. de una di- solución de sacarosa al 40 por 100. Con los medios más vio- lentos, empleados con el fin de cambiar las condiciones físi- cas del suero, sólo se logran pasajeras oscilaciones de la presión osmótica, y al cabo los animales restablecen la con- centración molecular de su primer humor. Probablemente el riñón es uno de los órganos que con más eficacia emplea la economía en esta función reguladora. Los estudios modernos sobre la digestión y asimilación nos enseñan que la primera conduce á la segunda en cuanto prepara los alimentos para convertirlos en materiales pro- pios del organismo consumidor, y, en su consecuencia, es lógico pensar que si éste cuenta con sus proteinas específicas y probablemente también grasas é hidratos de carbono pro- pios, también poseerá su caudal salino, y que de lo uno y de - Y = lo otro dependerá la constitución físico-química del protoplas- ma y el fiel cumplimiento de las funciones. Pero como son los metales los más afectados en los cambios celulares, de- díúcese, en definitiva, la importancia de los cationes en la nutrición y los graves trastornos que se seguirá á su falta ó no adecuada sustitución, esto sin contar con la carga ener- gética que pueden transportar, pues como ya indicamos al tratar del calcio pudiera ser muy bien dinámica la participa- ción de los metales en los fenómenos de la vida. | — 1 — SBIBLIOGRATFIA (1) J. Jolyet et Cohours. «Sur Paction physiologique des sulfa- tes de potasse, de soude et de magnésie». Arch. de Physiol, 113. 1869, (2) J. Jolyet. «Sur le magnesium du plasma sanguin et de leau de mer». Compt. ren. de la Soc. de Biol. LX, 553-1906. (3) Gómez Ocaña. «Datos para el estudio del peristallismo intes- tinal». Comunicación al Cong. de la Asoc. Española para el progreso de las Ciencias, Zaragoza, 1908. (4) A. W. Sikes. «On the phosphorus and calcium of human milk», Journ. of. Physiol. XXXIV, 464. 1906. 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D'Errico. «Sulla regolazione della pressione osmotica negli organismi animali.» Arch. di Fisiol. VIII, 177, 1910. LIM. — Estudio completo de una clase especial de integrales singulares. (Continuación.) POR LAURO CLARIANA II PROCEDIMIENTO ESPECIAL PARA OBTENER CIERTA CLASE DE INTEGRALES SINGULARES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Según hemos manifestado ya, existen dos procedimientos para deducir la integral singular de la ecuación diferencial; empero, como queda demostrado por los ejemplos anterio- res, ambos deben considerarse defectuosos. | El procedimiento debido á Lagrange, se funda en la igual- dad de raices respecto á la derivada de la ecuación diferen- cial; mas como advierte Serret, con suma oportunidad, en el ejemplo > a War ya citado, se comprende que la función y =0, no satisfaga, en general, á e = E El segundo procedimiento, consiste en considerar DN: dy 0, y conforme se ha manifestado, la función que satisface á esta condición no siempre representa la integral singular; ade- más, si la ecuación diferencial es entera y racional, sabido es que la condición anterior supone que <=, = 0, siendo esta 54 la que se utiliza para recabar la integral singular; no obstan- te, si al eliminar y' entre F=0 ye =o0 resulta - 10) 5) y entonces 2. se presenta bajo la forma indeterminada, con ru lo cual no queda aún asegurada la integral singular sin nue- vas investigaciones. Para salvar estas dificultades, pueden considerarse cierta clase de integrales "singulares, bajo una base más segura, mediante un método regular y sencillo, conforme nos po nemos desarrollar. : A este fin, consideraremos la y, de la. ecuación diferencial dada, como si fuese un parámetro variable, al objeto de de- ducir de ella una segunda ecuación diferencial, para que la y” de ésta corresponda siempre con la derivada de la función w (x, y) = 0, como integral singular suya. Esta segunda ecuación diferencial constituye el fondo de nuestro método, que sin duda lleva ventaja á todos los indi- cados anteriormente por no estar sujeto á oscilaciones, que- “dando siempre asegurada la integral singular que á as se refiere. Con todo, hay que advertir cómo, en casos particulares, podrá suceder que la función y (x, y) = 0 sea además inte- gral singular de la primera ecuación diferencial, lo que ten- drá lugar siempre y cuando la segunda ecuación pueda iden- tificarse con dicha primera. Este método guarda relación con las teorías de las invo- lutas y envolventes, así como en el paso de la integral gexé- ral á su ecuación diferencial. En efecto, si la ecuación diferencial primera es F(%, Y, Y) = 0. (1) Al considerar la y”, como una constante arbitraria, re- sulta | FEOS HG) =:0s (a) Rzv. Aca. pe Ciencias.—VIII,—funio.—1910. 66 — 918 — Si se toma la derivada de dicha función con toda generali- dad, se tiene 9F URI EE A (2) 2x 9y 09G 09x Ahora bien, la derivada de (a), considerando G constante, será 92F 2F , SY m0. (3) 0, (4) de cuya ecuación se deduce FO Y (x, dy ). De modo que al sustituir este valor, por último, en (a), se obtiene F [x, y, Y (% y)] =0. 5). Esta ecuación representa la integral singular, correspon- dlendo la tangente en un punto de la curva (5) con la de la ecuación diferencial que resulta de combinar (a) con (3), dándonos esta segunda ecuación diferencial notable, la se- guridad de que la ecuación (5) constituye su integral singu- lar, conforme á la clase especial que estudiamos. Este método, además de su marcha segura y regular para la determinación de integrales singulares referidas á ecua- ciones diferenciales de primer orden, es digno de mención, por cuanto es aplicable á ecuaciones diferenciales más com- plicadas, conforme iremos manifestando, Sin duda que, para mayor claridad de los conceptos que preceden, no habrá como utilizar los mismos ejemplos ante- — 979 — riores, tomados de las principales obras de matemáticos, á á fin de salvar las dudas que pudieran ocurrir, al propio tiempo que apreciar la importancia del método que expo- nemos. Primer ejemp!o.—Sea la ecuación diferencial (1) x + 2yy' — xy? =0 =f (%, y, y”). Al generalizarla, conforme hemos manifestado, se obtiene (15 x + 2yG — xG? = f(x, y, G)=0. Luego resulta E) A e o, de donde ac=2 9G X Sustituyendo este valor en (1'), se deduce inmediatamente la integral singular, ó sea x? + y? =p (x, y) =0. (2) En este ejemplo, la derivada de (2) corresponde con la y” de la ecuación diferencial (1). En efecto, de (2) se deduce : d 2 EE a qua (a) x y cuyo valor, sustituido en (1), da : 2 2 2 Ñ A a Ó sea A dí y” y” y como x?+ y2= 0, se tiene en definitiva la identidad 01 — 980 — . Mas conforme al método que desarrollamos precisa en- “contrar la segunda ecuación diferencial que se enlaza con (1), -y de la cual se puede asegurar a priori que tendrá por inte- - gral singular la función (2). Según las consideraciones generales que pnedadión: toma- remos la derivada en x de (1”), de donde (a — 6?) + 26y=0, Ó.sea c=y + Vy2+1 al sustituir este último valor en (1”), se obtiene (4) x+2y ly E Vy2 +10 ]=x[2y*4+1+2y Vye +1 + 1]=0. Ecuación que queda satisfecha por la derivada de (2), siendo (2), con seguridad, la integral singular de (4). Según lo que precede, vemos que (2) también se puede considerar integral singular de (1), puesto que la satisface; empero esto resulta porque la ecuación (1) no es sino una consecuencia de (4). - En efecto, la ecuación (4) cabe expresarla por (5) 1+2yy +2y Vy? +1 —xy92=x 074 1D 32xy Vy? + 1=05 pero según (a), resulta: > Te WET nia Ea: y en virtud de (2), se tiene y? + 1 =0. Asi, pues, de (5) sólo queda. x+2yy' — xy? =0, cuya ecuación corresponde exactamente con la primitiva(1). — 981 — - Segundo ejemplo.—Sea la ecuación de la tangente corres pondiente á una circunferencia de radio r. y=yx+rv1 + y”. (1) Aplicando el procedimiento general indicado, se tiene: . . y=ox—rV1+02=0=f(x,y,0), (1) de donde of rG pe x += 0 0 508 2G Vi + G2 Vre— x2 de donde rG 7 Via =-%E=- Xx Vr —x2 Si buscamos la ecuación diferencial á que corresponde (a) como integral singular, habrá que tomar la derivada de (15, según x, resultando en esta fórmula de Clairaut, sencillamente PY G, cuyo valor, sustituído en (1”), reproduce la ecua- dx ción diferencial (1), lo cual nos indica que en este caso, la segunda ecuación. diferencial se identifica inmediatamente con la primera, sin necesidad de reducción alguna. Asi, pues, la función r?= x? + y?, es integral singular de:(1). 0% — 082 —= En efecto, de esta ecuación se deduce 4 — pena y al Xx sustituir en (1), resulta: 2 ya, y y 2 e Es Y y y como se tiene r? = x? + y?, se deduce la identidad o =0. Tercer ejemplo.—Sea Ó sea: y +H(—x)y + (a — x) y? =0. (1) Generalizando esta ecuación, se tiene y +0—x)0+(a—x)0* =0 =f(x,y,6). (1) Aplicando el procedimiento expuesto, E a o dG de donde == — MALTA MI=' 50 Al sustituir este valor en la ecuación diferencial dada, se obtiene a rt ada) dE , 2(a—x) nde ere: , Ó sea (y — xy —4(a— x) y =0. (a) — 983 — Determinemos ahora la ecuación diferencial á que se refiere (a), como verdadera integral singular; para ello toma- remos la derivada, según x, de (1”), resultando AG LNG 9) 0, Ó sea A y —1+V0—1>+4y 3 G Al sustituir el único valor que depende de y”, se tiene. como en el caso anterior, y" = o = G; luego al sustituirlo en (1), ES da la misma ecuación diferencial (1), diciéndonos esto que las dos ecuaciones diferenciales se identifican y que por consiguiente la función (a), se puede considerar integral sin- gular de (1); de tal manera que fácilmente se demuestra que la satisface, como en el ejemplo anterior. En efecto, de (y — xP — 4 (a — x) y =0, (a) * al derivar, se obtiene 2(10 01) (ax) y +4y =0; de donde a th 26 Sustituyendo este valor en (1), se tíene b) A A . y +x=24 (y +x—20) — 4 — Después de sencillas reducciones, resulta. —a(x+ yy + 4ary=0. 00) Pero la ecuación (a) cabe expresarla por A OS luego en definitiva se tiene, al sustituir este valor en (0), la identidad o = 0. Cuarto ejemplo.—Sea la ecuación y? —Axyy' + 8y? =0. (1) Al generalizarla, toma la forma ? G? — 4xyG + 8y? =0 =f (x, y, G). (15 Considerando la derivada 2 = 0, se tiene | G 3G?—4xy=0, $ Y Ls. (2) Al eliminar G entre (1') y (2), resulta inmediatamente de donde 2 (3) Ahora bien, para obtener la segunda ecuación diferencial, á la cual siempre debe satisfacer la función (3) como inte- gral singular, derivaremos, según x, la función (1”); de don- de resulta E A — 98% =— despejando G, se obtiene 4yy' n= —. y + XJ Al sustituir en (1”), se halla E 4398 ys — AxyY Y + AY? + 83% (y + xy Y? =0; (4) ecuación que puede reducirse á la forma siguiente: yy? — (y + xy) Peer =0. (5) Fácilmente se prueba que la función (3) satisface á esta segunda ecuación diferencial, razón por la cual es su inte- gral singular. | En efecto, de (3) resulta Luego al sustituir los valores respectivos en (5), se deduce, sin esfuerzo, la identidad o = 0. Empero si tomamos, para mayor comodidad, la ecua- ción (4) en vez de (5), á quien es equivalente, en vista de los valores anteriores de y y y” deducidos de (3), resulta | (6) 4y9y? — 4y(y + xy) 4xyy" + 8y? (y + xy?) =0 ; Le 16 Y SEA a x) : De modo que suprimiendo este factor común de (4), se halla la misma ecuación diferencial primera, ó sea ys y?*— 4xyy +8y? =0, — 986 — En su virtud, la función (3) es integral singular tam- bién de (1). En efecto, puesto que al sustituir en ella los valores de e SS 27 ) deducidos de (3), se obtiene, después de sencillas operacio- nes, la identidad o = 0. En todos los ejemplos que preceden, que son precisa- mente los que suelen presentar los autores de obras didác- ticas, es de notar que la derivada de la función y (Xx, y) =0, satisface á la ecuación diferencial primitiva, pero esto, según las observaciones notables de Serret, no resulta sino en ca- sos particulares, pues al hallar la función y, según el méto- do de Lagrange, dejará de cumplirse, en general, dicha con- dición, y si bien nuestro método tiene cierto parentesco con el de Lagrange, la verdad es que la segunda ecuación dife- rencial que consideramos, salva perfectamente la dificultad que presenta el método de Lagrange, pues, con seguridad, ella tiene por integral siempre á la función y (x,y)=0. El ejemplo siguiente, de Serret, dará á comprender, sin duda, la importancia que tiene esta segunda ecuacion dife- rencial que introducimos en los cálculos. Sea la ecuación: (1) e a de Al generalizarla, como en los ejemplos anteriores, se tiene (1 y — 2xG — 6? =0 =f (X, y, 6); de donde BEE = — 2x —2G =0, 9G > 087 = Ó sea G=>X, cuyo valor sustituido en (1”), da: (a) y +x =0= q (% y). Para encontrar la segunda ecuación diferencial, según el procedimiento general que venimos desarrollando, basta de- rivar (1%) según x: AS la y = 0, de donde ADE A 2 al sustituir este valor en (1”), resulta E =0. (2) MSniíA >= Esta es la segunda ecuación diferencial, la cual queda sa- tisfecha según (a), como integral singular suya, empero no resulta lo mismo respecto á la ecuación diferencial (1). En este concepto se puede afirmar que la función halla- da (a), es integral singular de (2), pero no de (1), procurando así nuestro método un medio seguro para saber siempre cuál es la ecuación diferencial á que una función q (x, y) =0, hace referencia, como integral singular suya. 1001 ESTUDIO DE INTEGRALES SINGULARES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR AL' PRIMERO. El método que hemos expuesto para deducir cierta clase de integrales singulares, apoyándonos en la indeterminación ó generalización de la derivada correspondiente á la ecua- ción diferencial, puede hacerse extensivo á las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior al primero. Demos antes una idea sucinta de los procedimientos ordi- narios que suelen admitirse en este caso para que pueda apreciarse luego mejor la ventaja del nuestro. En las ecuaciones diferenciales de orden superior al pri- mero, cabe hallar diferentes órdenes de integrales corres- pondientes á la ecuación diferencial dada. Supongamos la ecuación diferencial del orden r, 6 Y) =0. (1) Sea una de sus integrales primeras y 07D) =e (4), Y ..... 072,0). (2) Si se deriva esta función, suponiendo G función de x, re- sulta E) 2 9 (09) ys A e) es LE os Lento 6193 Eo EA y an pr a Ahora, para que el valor y , corresponda con (1), es pre- ciso que desaparezca el último término del segundo miem- bro, esto es: = (080 —— Si es ao o, origina' al sustituir el valor de G, como x constante, en (2), una integral paca de (D. Si, en cambio, es dp 0 IU 1) 9G 9G = 0 en el concepto de que el valor G, deducido de esta última igualdad no sea una constante, al sustituirlo en (2), dará una integral singular. Ahora, si la ecuación o se esop bajo din impli cita; | , T(X, y, Ed VERiG)= 0; siendo r una función racional y entera, se obtendría la inte- 9T gral singular, a la G entre ==0 y 2 = 0, sal- vo los casos de excepción que van ya consignados de un modo más particular en los números anteriores. Por otra parte, también se puede deducir la integral sin- gular directamente de la ecuación diferencial primitiva. Los autores á este punto suelen invocar los principios ya expuestos en las ecuaciones diferenciales de primer orden, y la fórmula hallada a AN de ld BE y la hacen extensiva á una ecuación diferencial de orden n, re- sultando por inducción la relación dym 5 d y dye—D dyiD dx dq ' que debe resolvers£g en la tercera categoría de cantidad. — (900 — Así, pues, deduciendo de esta igualdad el valor y (”, al sustituirlo en la ecuación diferencial dada, que se supone de orden rn, se obtiene la integral singular primera. Para mayor claridad de cuanto precede, daremos un ejem- plo debido á Lagrange, el cual se encuentra reproducido bajo aspectos diferentes en las célebres obras de Serret y Rubini. Estudio según Serret. La ecuación de Lagrange, es y — ax? —bx—4a*?—bi=0, (1) siendo a y b dos constantes arbitrarias. Al derivar (1), según x, resulta ea (2) dx Si se sustituye el valor (b) en (1), se tiene e 2 y —axt— (520): 40 (7203) =0, dx dx de donde dy Y Urbe ap dy E (Ey + EA ee e) + 40? (1 $+x?) =0. (3) Si en cambio sustituimos el valor a de (2), en (1), se ob- tiene — 0991 — luego AyNe dy 4 2| — 38 —= —2yx? | — (4) (ee) + dx ya | 01 0) + 20043) =0. dx Al tomar, por último, la derivada, según x de (2), se de- duce o 092 de y al sustituir este valor en (3), se halla dyY dy 1 _ CS paez 4 e A A O Y A 0 2 Ml »| 2 dx E +1)+ +4 (E (+9 => »x obteniéndose, por fin, e o dx O ON la de dy Y dy — x= —Y=0; + 28) E dx a esta ecuación diferencial de segundo orden, tiene por inte- grales primeras las ecuaciones (3) y (4), siendo (1) su inte- gral general. Ahora, para deducir la integral singular de (5), basta atender, según Serret, á las integrales primeras, buscando la expresión que corresponda á las raíces iguales de a ó b, y en ambos casos debe resultar la misma integral sín- gular. — 099 — Si consideramos la integral primera (3), la condición que que las raíces a sean ACTA es aaa (4 SA y] 20 ae. dy y ed ali | En Alsa: : 7 A y — 0 6) Si tomamos la integral primera (4), la igualdad de raices iguales, según b, da ' A de donde, después de simples reducciones, resulta la misma ecuación (6). Se puede deducir aún la (6) de la (5), derivando esta últi- ma ecuación según x, tar después de simples reduc- ciones a JO A UL y l + 2) == — x === | =0. ; [a+ + x) dx? dx 4 ] | fa ; e d*y De suerte, que al igualar á cero el coeficiente de EE se E DES tiene Sn T3 | dry o ly tion lod 1H] x= — x= =0. 7 Nati dx? dx 4 ) 1) Luego debe eliminarse Z entre (7) y (5). XxX a eb De(Mseinbliene Istonoo Tergalal el eo rolosiros Pas dy: pe? do === == d?y dx a dx? 1 +x cuyo valor, sustituido en (5), da e a E (+2) dx 4 a a) de OEA >) (1 + x2y2 : nr «qx 2 l1+x dyY dy — x—=— y=0; Ara sE dx 0 dÓ y después de toda reducción oda E a o LE A AN o ecuación que es la misma (6) hallada. : de 0) Si se resuelve esta ecuación según eos: se encuentra x E IS VI6y +40 px0 dx 4 4 > Esta igualdad puede escribirse asi: 8 o dx .41 E A Vi6y +40 qx Luego al multiplicar ambos miembros por dx, é integran- do, resulta: (1) Vioy+4x +u—xY1 me ya — 1 (x sE Vi +2) o. Ryv. ACAD. DE CIENCIAS. — VIT. —Junio.—1910. 67 — 904 — Esta ecuación es la integral general de la integral singu- lar (6). Además, la ecuación (6) aun admite una integral sin- gular deducida de (7), en el concepto de igualar á una can- tidad de la tercera categoría, su derivada, según y, y fácil- mente se concibe que debe resultar: 16y +42 +xt=0, Ó sea, Esta es la integral singular de (6), puesto que la satisface. A In tegral general SEE f Integral general de la A 12 integral singular Subs, (Moya) =0 JFteyya)=0 2? integral singular 19. integre! singular . 200 f (eyy)=0 LS (my)=0 Origen de a integrales File yyy79=0 Pigura 9.* En efecto, de (8) resulta | y de donde al sustituir los respectivos valores en (6), se obtiene: + Y 10%) , : BEY 0) y después de simples reducciones, se halla la identidad o=0. Terminaremos las consideraciones de Serret, dando una forma esquemática á los resultados obtenidos, para com- prender mejor las relaciones que existen entre las diferentes ecuaciones halladas. É e Las flechas A y B indican que las dos funciones f y f, no se corresponden. | (Continuard.) =% = LIV.—Estudio acerca de las aguas minero-medicinales de Valdelazura (Plasencia). (Oontinuación.) Por José GIRAL PEREIRA Y JULIO C. SÁNCHEZ ÁNGOSO. 13 Determinación del ion hidrocarbónico (CO¿H). —Se- gún se menciona en el núm. 4 f de los trabajos efectuados en el manantial, se llenaron dos frascos de agua con cloruro bárico amoníacal. Para ello se introdujo primeramente en uno 50 “c, de una solución saturada de cloruro bárico y 50 “c. de solución de amoníaco (D = 0,923), y en el otro doble cantidad de ambas substancias; se añadió á cada uno un litro de agua recogida en los mismos puntos de emer- gencia y medida exactamente con matraz aforado; se tapa- ron los frascos con tapón esmerilado recubierto de parafina y lacre, y se procedió al análisis de sus contenidos á las vein- ticuatro horas de envasados. Empleando las cantidades dichas de sal bárica pueden precipitarse 2,5 grs. 6 5 grs. de anhídrido carbónico. Los frascos citados se calentaron en baño de María á 98” durante dos horas. Previo reposo, se decantó el líquido claro sobre filtro tarado, y se lavó repetidas veces el precipitado con agua caliente, ligeramente amoniacal; se recogió todo so- bre el filtto y se comprobó que el filtrado no precipitaba por adición de cloruro bárico amoniacal. El filtro y su contenido se desecaron hasta peso constante; el precipitado bárico reco- gido, correspondiente á un litro de agua, pesó en ambas de- terminaciones una cantidad sensiblemente igual á 0,9848 grs, Si descontamos de este peso el correspondiente al sulfato bárico que contiene, y que, según la determinación núm. 4 — 997 — es igual á 0,15198 ers., quedará un resto de 0,83282 grs. de carbonato bárico. Empleando el factor 0,2229, resulta gra- mos 0,183650 de anhídrido carbónico (CO) por litro. El filtro, con su contenido, después de desecado y pesa- do, se colocó en un vaso de Bohemia con agua, hirviendo el conjunto; se añadieron unas gotas de solución de fenolta- leina, y después solución normal de ácido clorhídrico, hasta que desapareció la efervescencia; se hirvió nuevamente y se añadió solución normal de hidrato sódico hasta coloración rosada. El número de centímetros cúbicos de la solución áci- da gastados fué igual á 9,5, y el de la alcalina igual á 1,1: restando este número del primero, quedan 8,4“, que multi- plicados por 0,022, dan una cantidad de anhídrido carbónico igual á 0,1848 ers. por litro. Tomando la media aritmética de las dos cifras halladas para el anhídrido carbónico, resulta 0,18523 grs. por litro, lo cual corresponde á 0,256796 grs. del ion hidrocarbónico (CO¿H). 14. Determinación del ion hidrógeno (H).—La cantidad de este ion fué deducida por el cálculo, partiendo de la cifra encontrada en la determinación anterior para el ¡on hidro- carbónico, atendiendo á que todo el ácido carbónico se en- cuentra al estado libre y de bicarbonatos. Multiplicando 0,256796 por el factor 0,0164, tenemos 0,004211 grs. por litro del ion hidrógeno (H). 15. Otras determinaciones. — Comprendemos bajo este epígrafe la investigación de algunos cuerpos que fué empren- dida como cuantitativa, aun cuando no pasó, finalmente, de cualitativa. A) Acidos crénico y apocrénico.—El depósito producido por la evaporación de 16 litros de agua, según se consigna al comienzo de la determinación del litio (núm. 12 C*), se trató por 90<< de solución de potasa cáustica al 34 por 100; se hirvió el conjunto durante una hora, se filtró, se aciduló con ácido acético el líquido filtrado y se precipitó con amo- == 998 = níaco. Al cabo de doce horas se -filtró nuevamente añadien- do al filtrado ácido acético y acetato neutro de cobre. No se, percibió ningún precipitado, así como tampoco al adicionar carbonato amónico en ligero exceso y en caliente. De lo cual deducimos la no existencia de los ácidos crénico y apo- crénico. | | | : B) Estroncio y bario.—Un residuo análogo al anterior y procedente de 16 litros de agua fué adicionado de ácido clorhídrico y unas gotas de ácido sulfúrico; evaporado á se- quedad fué tratado por agua acidulada con clorhídrico. El residuo insoluble se disolvió totalmente en una soldción con- centrada de carbonato sódico. Ni este residuo ni el líquido filtrado dieron al espectroscopio las rayas características del estroncio y del bario, deduciendo, por lo tanto, la no exis- tencia de estos radicales. C) Arsénico y antimonio.— El líquido separado por fil- tración del residuo utilizado en la determinación anterior del estroncio y bario, y procedente, por lo tanto, de 16 litros de agua, fué sometído durante veinticuatro horas á una co- rriente lenta de ácido sulfhídrico y á la temperatura de 70* No se observó ningún precipitado. Se evaporó á sequedad dicho líquido, se aciduló el residuo con ácido clorhídrico, se trató por agua y se filtró. El líquido y el precipitado resul- tante se ensayaron en el aparato de Marhs sin resultado po- sitivo. No existían, por lo tanto, ni arsénico ni antimonio. D) ' Bromo y iodo.—Veinte litros de agua se redujeron por evaporación á 1.500 nación m* IDEA Da aaiojarajejajera,a ies Cal combinada con el ácido fosfórico . AA h — sobrante....... E A A g Anhidrido carbónico diente a Carbonato neutro de cal M..co.s.s 0,000636 grs. por litro. 0,000884 -0,001520 0,000940 0,000884 0,000056 0,000066 -0,000122 0,044650 .0,000066 0,044584 0,035030 0,079614 Magnesia precipitada por ebullición (Deter- | SOMA minación 1.2 20).......o...oo.oo........ 0,011795 grs. por litro. Anhidrido carbónico correspondiente ...... 0,012980 — Carbonato neutro de magnesia...... 0,024775 — Oxidoferroso encontrado(Derminaciónn.7). 0,001395 - Anhidrido carbónico correspondiente...... 0,000852 — Carbonato ferroso neutro ......... 0,002247 0. Es Litina encontrada (Determinación n.? 12)... .0,007136 - Anhidrido carbónico correspondiente ...... 0,020932 = Radical litio (Li) Equivalente á la litina.... -0,003363 = Radical hidrocarbónico (CO, H) Equivalen- _te al anhidrido....... e «O OZIUZNA Eardonalor ácido de lifi0............ 0,032383 nh sl Auhidrido carbónico combinado con la cal.. 0,035030 % ji h e 7 magliestd». 0012080 cr cer el hierro... 0,000852 9 2-1 sovil10q 219 1 sé 0,048862.. 22 = 00M Cantidad igual para formar los respectivos a y - bicarbonatoS .....oooooo.o............. 0,048862 0,097724 = Anhidrido carbónico combinado con la litina. 0,020932 a Anhidrido carbónico. libre (Determinación á MOTO raros cent 0dss30s = Suma total de Diao tres Cailades 0,152054 lag 100) Anhidrido carbónico pe an A Ms ia AO OS 0,185238 dd Anhidrido carbónico (por diferencia) para 1 combinar con la 80Sa.......... Het 0,033184 ÓN Sosa correspondiente.............. ....... 0,023379 o 15.) Radical hidrocarbónico equivalente........ 0,046005 — Radical sodio equivalente.........o....... 0917346 == Carbonato ácido de sodi0.......... soso... 0,/063351 . — — 1009 — Sosa total (Determinación n.* 5)....... .... 0,297268 grs. por litro; — Combinada con el ácido carbónico.... 0,023379 — Diferencia... ec...» LMU00Lo0. o... o... .. 0,273889 a Radical sodio correspondiente......... A 0203208 — Sosa para combinar con el ácido sulfúrico.. 0,013694 — Acido sulfúrico correspondiente (SO,)..... .0,017670.. — Sulfato sódico neutro....... a e ea 0,031364 = Sosa para combinar con el clofO........... 0,260195 — Sodio equivalente...... adsl dolor 0,193047 — Cloro correspondiente..........o..... ¿2 1, ¿0:297964: — Cloruro "SOdICO.. 0... 20 e asas ds 0,491011 + Magnesia encontrada después de la ebulli- ción (Determinación n.* 20).....n........ 0,003892 — Magnesia para combinar ácido sulfúrico.... 0,001420 — Acido sulfúrico equivalente............. ... 0,002840 — Sula manes iO da . 0,004260 —= Magnesía para combinar con el cloro...... 0,002472 = Magnesio equivalente .......oomoo...... .«. 0,001483 = Cloro correspondiente......... E OODASS7 = COUTO MmapnesicOnsituioamajsiao anclas MODISTO o Acido sulfúrico combinado con la sosa..... 0,017670 — = — — - - magnesia. 0,002840 — 0,020510 — Acido sulfúrico total (Determinación n.” 4).. 0,052190 — Acido sulfúrico (por diferencia) para combi- narcon la CLORO a o SIS = Cal correspondiente........... laa 0,022276 — Sulfato cálcico ...... 0000. .08000o0. 00000600. 600 0,053956 e Cloro combinado con la S0Sa........... o... 0,297964 — — = con la magnesia,......... 0,004387 = 0,302351 == Rev. ACAD, DE Ciencias, —VIIT,—Junio.—1910. 68 — 1010 — Cloro total (Determinación n.* 3).......... 0,330860 grs. por litro; Diferencia.— Cloro para combinar con la cal. 0,028509 — Calcio equivalente. ..o:..ooooooassroco.. 0,016290 — Cloruro cálcico ... nos ca LA 0,044799 =. Cal correspondiente A pen os ler ccios 0,022906 = Cal combinada con el ácido sulfúrico....... 0,022276 — = — con el cloro....... AS 0,022906 = e dais 0,045182 — Cal encontrada después de la"ebullición (De-- terminación n.2 19)............ tad 0,049600 - Cal (por diferencia) para combinar con el acido'silicico=reatet Je A ... 0,004418 — Acido silicico (SiO, ) correspondiente...... 0,004733 — Silicato CAICOS La decia aAna PA EA 0,041215 —= Acido silícico encontrado (Determinación número 6) ... o. Loco... Loco. 0000000 ($..0.. 0,941215 TE Acido silícico combinado con la cal........ 0,004733 SS Silice libre.. ... elo . 0,136482 = De todo lo anteriormente expuesto, pueden suponerse en disolución en el agua las especies químicas siguientes: Fosfato de aluminio ..... eo Na oleo . 0,001520 grs. por litro, A ICAIC ee cae leete piasa 00022 — Carbonato Calcio ao eat al el 0,079614 — — magstnésiCoO!. (e de OJO AIid 0,024775 — =- LOTTO Doa oe toiaola aaa na paa O002241 - Bicarbonato litico...... IO NO iSioNss 0,032383 = = SOCIO N Ll ceo? sas a 0033 — Sulfato SÓdiCO........... E ..o.... 0,031364 = Cloruro SÓdicO............. A E 0,491011 — Sulfato Masnesic0 ato aldeas das . 0,004260 = Cloruro magnésicO......... IO Ce ... 0,005870 — Sulfato cálcico....... AS O lt ..... 0,053956 — Cloruro cálcico ..... a rs a 0,044799 = SIlCato CAlCICO is sa alo a 0,009151 — Silice libre ........... e..o. ec. ..0.... 00.0. 0,036482 Er, — 1011 — Acido carbónico libre (CO¿H,)............ 0,047060 grs. por litro. — semicombinado con Ca, Mg y Fe. 0,068851 — :Oxigeno..... Ctd ARAS oda. 0,011444 — Nitrógeno....... orzolahistuale 0,021176 = 1,019436 - La agrupación de cuerpos, tal como queda consignada, está fundada en las siguientes consideraciones: 1.* La existencia de los iones correspondientes, como dato directo del análisis. 2. La cantidad respectiva de cada uno, como media de dos ó tres determinaciones concordantes y escrupulosamen- te verificadas. 3. La existencia del fosfato de alúmina queda probada en el detalle de la determinación núm. 8. 4.* En el depósito producido al hervir el agua existe áci- do fosfórico y cal, lo cual prueba la existencia del fosfato tricálcico. 5.7 En el mismo depósito existe cal, magnesia y hierro con ácido carbónico. Presencia de carbonatos cálcico, mag- nésico y ferroso. Ausencia de sales férricas. 6." Las determinaciones de ácido carbónico total, libre y semicombinado demuestran un gran exceso de este cuerpo. Los carbonatos antes citados están disueltos al estado de bi- carbonatos. Los radicales alcalinos están combinados con el mismo ácido en la medida que el excedente de éste indica. De ahí la existencia de los carbonatos ácidos de sodio y litio. 7.2 Descontadas las agrupaciones anteriores, quedan tres bases: cal, magnesia y sosa, para combinar con dos ácidos, clorhídrico y sulfúrico. 8. Cuando un equivalente de sosa está en presencia de otro de cada uno de los ácidos clorhídrico y sulfúrico, el 65,7 */, de la base se combina con el primer ácido, y el — 1012 — 34,3 ”/, restante con el segundo, conforme á los respectivos coeficientes de afinidad. Descontada del total de sosa la combinada con el ácido carbónico, queda una cantidad, que comparada con la existente de los ácidos clorhídrico y sul- fúrico, en relación con los respectivos equivalentes, es de 9 equivalentes de la base para 9 de ácido clorhídrico y uno de sulfúrico. Debe, pues, combinarse la sosa con estos dos ácidos en la proporción de 19 á 1. Así hemos deducido las cantidades existentes de cloruro y sulfatos sódicos. 9, Teniendo en cuenta la cantidad de magnesia existen-: te en el agua después de hervida y filtrada, y sabiendo que se combina con los ácidos clorhídrico y sulfúrico (cuando existen en la proporción de sus equivalentes), en la relación de 63,5 á 36,5, hemos comprobado que debe unirse en esta - misma proporción. puesto que las cantidades relativas son sensiblemente iguales á las de sus equivalentes. Así hemos deducido las cantidades de cloruro y sulfato magnésicos con los ácidos clorhídrico y sulfúrico sobrantes de las combina- ciones sódicas. 10. Los sobrantes de los, ácidos citados quedan combi- nados con la cal existente en el agua hervida y filtrada para formar cloruro y sulfato cálcicos. 11. El sobrante de cal queda combinado con el ácido si- lícico formando silicato cálcico, atendiendo á la composición de las rocas existentes en el manantial, dejando como sílice libre el exceso de este anhidrido. 12. Las cantidades asignadas para cada substancia están dentro de los límites de sus respectivas solubilidades. 13. Dentro de los actuales conocimientos, el criterio de los coeficientes específicos de afinidad, es indudablemente el más científico. No puede admitirse el medio utilizado por otros analistas, de combinar en absoluto una base con un solo ácido cuando están en presencia de aquélla varios de éstos. Si el agua hervida y filtrada tiene reacción alcalina y el análisis nos demuestra la existencia de los ácidos carbó- — 1013 — nico, clorhídrico y sulfúrico, y de las bases sosa, cal y mag- nesía, no hay razón para prescindir de la existencia de todas las combinaciones posibles entre aquellos ácidos y estas ba- ses; pero uniéndose unos y otras en la proporción de sus avideces, y no de sus masas. 14. El medio utilizado por nosotros para la agrupación de especies químicas, viene, en gran parte, corroborado por los procedimientos de comprobación, que á continuación in- dicamos: 29. Medios de comprobación de análisis: Sulfato sódico equivalente al total de sosa encontrada ........... o AS «+. 0,680839 grs. por litro. Sulfato lítico equivalente al total de litina encontrada. ...... se ad 0,022163 — Sulfato cálcico equivalente al total de cal encontrada.......... ata lista .« 0,228893 = Sulfato magnésico equivalente al total de magnesia as > eoioo - goal 0,047070 — Óxido férrico equivalente al ondo en- ContradO....0 a A O 0,001550 = Fosfato alumíniCO............. ive 0001520 — MIEL altra 008 A O 0,041215 — Fosfato de cal......... AREAS RS A DODNZ22 — TNOLÍN 0 t: E A AA — Sulfato cálcico correspondiente al fosfato. 0,000202 — 1,027169 = Sulfatos encontrados directamente (deter- minación núm. 21)......... O OZGDON — 1,001169 = Ácido sulfúrico (SO,) correspondiente á la sosa encontrada..... A RO 0,383571 - Ácido sulfúrico (S O,) correspondiente á la Mita as a ii 0,019027 = Ácido sulfúrico (S Oj) de ála - A A E e 0,134643 — - Ácido sulfúrico (S 0.) espa Miiame á la A UI 0,031380 — — 1014 — Ácido sulfúrico (SO) ta al AA O A 0,001120 grs. por litro. Ácido sulfúrico (S Oz) correspondiente á la ÉSAS aia E 0,000741 — 0,570522 — Ácido sulfúrico (S O) total encontrado (de- teniimaciOn MUA aaa ia e 0,052190 = Ácido sulfúrico correspondiente al cloro encontrados ica ida 0,373220 = Ácido sulfúrico correspondiente al fosfó- : ANA O ORO ... 0,000353 > 0,425763 — Suma del ácido sulfúrico correspondiente Ala Dase. O o arrasa 0,570522 = Suma del ácido sulfúrico existente corres- pondiente á los demás ácidos excepto el CArbóniCO ricm 0 DU IDA AR 0,425263 — Ácido sulfúrico correspondiente al carbó- nico de los carbonatos neutros (semi- combinado). IIA: 0,144759 — Ácido carbónico (C O,) correspondiente... 0,079617 =- Ácido carbónico combinado con la cal.... 0,035030 = Ácido carbónico combinado con la mag- A RA 0,012980 — Ácido carbónico combinado con el hierro. 0,000852 = Mitad del ácido carbónico combinado con di o 0,010466 — Mitad del ácido carbónico combinado con la SOS diari MUI daa tk 0,016592 — 0,075920 = y Ácido carbónico semi-combinado deducido por.elicálculoBLLOO-. Za ER 0,079617 — Ácido carbónico semi-combinado encon: trado directamente.....2k 2oakerit 0,075920 = IDORencIa «sp A 0,003697 — Una determinación acidimétrica, empleando como indica- dor el ácido carmínico, nos dió un resultado intermedio entre las dos cifras apuntadas, corroborando todo ello la exac- — 1015 — titud de la cantidad consignada para el ácido carbónico, libre y combinado, con las distintas bases. También se ve que la cantidad asignada á dicho ácido, unido á las bases al estado de carbonatos neutros, es menor que la mitad del ácido carbónico total, y que la diferencia de peso del residuo fijo total del agua á 100* y al rojo sombra (0,1048 grs.) es algo mayor que la correspondiente á la can- tidad de dicho ácido semicombinado. Para hacer comparables la suma de substancias encontra- das directamente por el análisis y la de los iones correspon- dientes deducidos de aquéllas por el cálculo, es necesario descontar de la primera el oxígeno correspondiente al cloro (porque este cuerpo se une al metal y no á su óxido para formar sal), y de la segunda el oxígeno correspondiente al anhídrido silícico libre y á los ácidos carbónicos libre y se- micombinado, así como el hidrógeno de todo el ácido carbó- nico. Y así tendremos: Sumas de ácidos y bases encontrados por elanálisiS...... 0. 24-90 29308) ... 0,026810 grs. por litro, Oxígeno correspondiente al cloro ........ 0,074644 — DIENORENEIE.. e dorso e ico 0,952166 — Oxígeno correspondiente á 0,036482 gra- mos de anhidrido silícicO .............. 0,009728 — Oxigeno correspondiente á 0,10931 gramos _de CO, libre y semi-combinado........ 0039749 — Cantidad correspondiente al hidrógeno Totalo........ ai aa 0,008422 — 0,057899 — Suma total de lonesS............. 1,010026 — Diferencia e stassiha asias .« 0,952127 — Cifra encontrada directamente del aná HAS. ORO. SUIZO. OA 4 12.16100,952166 SS 0,000039 —= — 1016 — - Para hacer comparables la suma de substancias éncontra- das directamente por el análisis y la de las sales resultantes de su agrupación, es necesario que descontemos de la pri- mera el oxígeno correspondiente al cloro, y de la segunda los pesos del oxigeno y del nitrógeno libre, así como el del agua correspondiente á los ácidos carbónicos, libre y semi- combinado, con todas las bases. Y así tendremos: Peso del oxígeno líbre,........... s.o..a. 0,001444 grs. por litro. Peso del nitrógeno ...... dos aieaS ...o.m. 0,021176 A Agua correspondiente á 0,04706 gramos de ácido carbónico libre................ . 0,013662 — Agua correspondiente á 0,068851 ADS de ácido carbónico unido al calcio, mag- nesio y hierro...... A RAS 0,019989 - Agua !correspondiente á 0, 027058 gramos de anhidrido carbónico unido al sodio y Mi a AO An) — TO E 0,067340. — Suma de sales y gases resultantes de .la ] ape ción DA EE do e IO, « 1001936 — Diferencia. AS O O 0,952096 e Suma de substancias encontradas por el análisis (deducido el O correspondiente aC NR E dida 230/992166 —= Diferencia...... OA. 0,000070 Y eS Para comparar la suma de substancias dadas por el aná- lisis (deducido el oxígeno correspondiente al cloro), con el residuo fijo á 100” determinado directamente en el agua, ha- bría que restar de la primera el anhidrido carbónico libre y el semicombinado total (unido á los metales mono y diva- lentes). Aun así, no resultarían comparables dichas cifras puesto que en la determinación del residuo fijo se pierde <= UN cloro por disociación del cloruro magnésico, ácido carbónico del carbonato neutro de magnesio, que pasa á básico; ácido carbónico de todos los carbonatos por la acción de la silice; las diversas sales reaccionan entre sí, modificando considera- blemente el resultado final, de modo que, aun conociéndose las causas de la alteración, no es posible medirlas. Unica- mente puede asegurarse que la suma de sales ha de ser siempre superior al residuo fijo, sin esperar nunca una coin- cidencia absoluta. ' Análogas consideraciones pueden hacerse en lo que al residuo fijo al rojo sombra se refiere. — 1018 — LV. —Sobre una reacción del ácido nopínico. Por OBDULIO FERNÁNDEZ Es el ácido nopínico resultante de las acciones oxidantes del permanganato de potasio, empleado en un líquido fuer- temente alcalino, sobre el B pineno, y la característica de dicho ácido, asi generado, es de tal manera deficiente que para reconocerlo y distinguirlo se acude á cosa tan insegura é indeterminada como la poca solubilidad de su sal sódica, cuya ineficacia es patente y no precisa discutirse. Claro está que tratándose de investigaciones de cierto orden en las cuales se ha de reconocer, con la mayor precisión y exacti- tud, el ácido nopínico, deben buscarse y se necesitan re- acciones más fijas y determinadas, de resultados positivos en todos los casos, cuya eficacia sea patente y que á tales cualidades unan la de la sensibilidad, tan precisa en las in- dagaciones analíticas. Necesitando para ulteriores trabajos poder identificar el ácido de que se trata, he buscado una reacción que, en mi sentir, reune las condiciones apuntadas, y es, por decirlo así, específica suya. Positivamente, atendiendo á su constitución y estructura, el ácido nopírico es un ácido-alcohol, ó con mayor propie- dad, un ciclanoloico, con un anillo interno tetrametilénico, y merced á semejante carácter, bien concreto y determinado, responde á la reacción Berg: Añadiendo á la solución de ácido nopinico otra extremadamente diluida de cloruro fé- — 1019 — rrico, antes acidulada, y no con exceso, por el ácido clorhí- drico, aparece una coloración amarilla característica, seme- jante á la originada, en las mismas condiciones, cuando se trata de los ácidos tartárico ó cítrico. Teniendo esto presente para determinar la función del ácido nopínico, y fundán- dome en que cuantas substancias orgánicas que lleven jun- ios los grupos CO.OH y OH son susceptibles de generar coloraciones, de diversos tonos y matices, que suelen cam- biar, de modos muy variados, cuando son tratadas por la resorcina, operando en líquido sulfúrico, traté de ensayar el reactivo con el ácido nopínico, el cual reune las condiciones apuntadas, y fueron tan excelentes los resultados experimen- tales, que me han servido para caracterizarlo en todas las ocasiones, de modo claro y preciso, con extremada facilidad, y sin que se adviertan los mismos ó parecidos fenómenos en otros cuerpos, que tienen ciertas analogías con el que ahora trato. He aquí la manera de proceder: A la solución de nopinato de sodio, puesta en una cápsu- la de porcelana, se le añaden 0,10 gramos de resorcina, y resbalando por las paredes de la cápsula se vierten de 104 15 gramos de ácido sulfúrico puro y concentrado; enseguida se somete la mezcla, sin agitarla, á muy suave calor, elevan- do un poco la temperatura sólo unos minutos, y entonces aparece en la zona de contacto de las dos capas liquidas que se han formado en la masa, una coloración bien marcada de tono violeta, que no es permanente en cuanto no tarda en cambiarse en azul intenso, para adquirir después color ver- de, que ya persiste, y no vuelve á ser alterado en las con- diciones del experimento. Como se ve, la reacción es bastan- te aparente, y su práctica en extremo fácil y sencilla, no re- quiriendo sino cuerpos de uso corriente, y únicamente exige cierto tino para que se efectúe la separación del líquido en dos capas y no pasar de la temperatura precisa, poco supe- rior de la ordinaria. Operando en la forma dicha se ve apa- — 1020 — recer primero el color violeta; adviértese bien á las claras su paso al azul intenso y el tránsito al verde, que parece ser el tono definitivo. Se demuestra la especificidad de la reacción apuntada por los siguientes hechos, cuya práctica no ofrece dificultades de ningún género. Nunca aparecieron las coloraciones citadas sustituyendo la resorcina con los demás fenodioles isoméricos, ni tampo- co se han observado empleando en calidad de reactivo los monofenoles, como el fenol ordinario, el timol y los nafto-- les, etc. - Tampoco es indiferente el ácido empleado, y así la reac- ción coloreada no se produce ni aparece en ninguna de sus fases, si en lugar de emplear el ácido sulfúrico en la torma que queda dicha, se usa el ácido clorhídrico. Ensayando los fenotrioles, fueron igualmente negativos los resultados de los experimentos, y sólo hubo una excep- ción, la floroglucina, cuya cuerpo produce en las condiciones que quedan apuntadas un color amarillo de gran intensidad; pero que es poco característico, en cuanto otras substancias producen análogo fenómeno, el cual, no obstante, tiene su importancia, y es hecho digno de ser notado, porque la flo- roglucina y la resorcina tienen el punto de coincidencia de pertenecer ambas á la serie meta. Practicada la reacción característica del ácido nopínico con otros cuerpos de variada naturaleza, que además de la función fenólica contengan otras distintas, tales como el guayacol, la morfina y la codeína, en ningún caso he logrado observar la producción de colores en la forma anteriormente descrita. He podido reconocer én la substancia generada, cuando se trata el ácido nopínico por la resorcina en presencia del ácido sulfúrico, estas propiedades: Es insoluble con el éter ordinario. La destruye el agua, pero agregando mayor cantidad de -- MAL — ácido sulfúrico puro y concentrado, vuelve á aparecer, sin alteraciones. Se torna amarilla, rojiza, en presencia del alcohol amílico. Viene ahora el problema de investigar la naturaleza y la composición que debe tener la materia colorante formada cuando se trata el ácido nopínico por la resorcina en presen- cia del ácido sulfúrico, y bien se entiende cómo el asunto es de importancia. Para esclarecerlo, valdrán los ensayos de síntesis á los cuales estoy consagrado con semejante intento, pero sin poder presentar de momento resultados concluyen- tes, ni aducir todavía experimentos que tengan valor posi-' tivo para dilucidar la cuestión. Sin embargo, y por lo que tocante á ello pudiera importar, me parece oportuno exponer sumariamente las reacciones que pueden efectuarse entre los términos del sistema actuante, pues quizá alguna sea la ge- neradora del cuerpo de que se trata. No es en manera alguna aplicable al caso presente la co- nocida teoría general de las reacciones resorcínicas del pro- fesor Denigés y consiste la razón de ello en no ser fácil, dentro de las condiciones de las reacciones estudiadas, el formarse ningún compuesto glioxílico, pues su formación implicaría, de necesidad, la ruptura de los dos anillos que integran la molécula del ácido nopínico y sirven para deter- minar su origen y su estructura. En vista de ello, cabe formular dos hipótesis. Se puede suponer, sin forzar mucho las cosas, que en pre- sentia del ácido sulfúrico el ácido nopínico esterifica la re- sorcina, que este fenol actúa sobre el oxhidrilo terciario del ácido de que se trata, generándose de tal suerte un anhi- drol (1D). Y también pudiera admitirse que se origine un producto — 1022 — de condensación, eliminándose agua procedente del citado oxhidrilo terciario y de un hidrógeno del núcleo resorcínico, que en semejante forma reaccionaría (II). Ambos supuestos se representan en los siguientes es- quemas. pes DH 0.08 -CO.DM ha 0H COC HOM om, HC Cu HC Cr h YA; aa ent cu? On AE cué HC (3) 11] CH CH (Laboratorio de Química Orgánica de la Facultad de Farmacia de la Universidad de Granada. ) — 103 — LVI. — Una reacción coloreada de las sales de cinc. (Segunda Nota). Por ÁNGEL DEL CAMPO CERDÁN. Hace ya algún tiempo que acerca de este asunto he pu- blicado un trabajo en el que, bajo el título de Nota prelimi- nar (*), explicaba en qué consiste la reacción coloreada de las sales de cinc que he descubierto, y es muy apropiada para caracterizarlas, y la técnica que ha de seguirse para prac- ticarla. Desde entonces la experiencia me ha demostrado la necesidad de introducir algunas modificaciones en el modo de operar, cuya utilidad es notoria, y así me ha sido dable el emplearla, á mi entender con indudables ventajas, en el lugar adecuado de la marcha general y sistemática del aná- lisis. Varios de los pormenores de estas nuevas indagacio- nes han sido ya publicados en el extranjero (**), no obstante lo cual, insistiré acerca de ellos, por juzgarlo así convenien- te; ciertos extremos referentes á la citada reacción son inédi- tos, y unos y otros forman el conjunto de la presente Nota. Ninguna modificación de las que aquí se proponen atañe al modo y forma de preparar el problema, el cual, de nece- sidad, ha de contener el cinc en el estado de cincato amó- nico, y no en otra forma, y es imposible substituir el amo- (*) Asociación española para el progreso de las Ciencias. Memo- rias del Congreso celebrado en Zaragoza en 1908. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- rales de Madrid. Octubre 1908. Anal. de la Soc. Esp. de Fis. y Quim. Febrero 1909. Chemiker Zeitung. Marzo 9-1909. (**) Annales de Chimie Analytique. Paris, Junio 15-1909, — 10M — níaco, empleando en su lugar un álcali fijo, pues entonces no aparece jamás la coloración azul peculiar y característica de la reacción que se examina, viéndose, en cambio, otras de tonos pardos, y aun verdosos, más ó menos definidos; y he de hacer notar cómo en el caso de tales substitucio- nes aparecen los colores indicados, con mayor ó menor intensidad, aunque el problema no contenga ni vestigios de cinc. Por lo que hace al reactivo, que en los ensayos he em- pleado con excelente éxito y que al principio lo constituía una disolución etérea de resorcina, bien fácil de preparar, lo he substituido, luego de haber comprobado sus ventasjas y ex- celencias, con disoluciones acuosas ó alcohólicas del mismo difenol. Con ello se consigue corregir uno de los principales inconvenientes del método primitivo, que era la lentitud de la reacción, cuya actividad hállase notablemente aumentada y resulta bastante rápida con sólo cambiar el disolvente de la resorcina. Cuando empleaba la solución etérea de este fenol, aconte- cía que por no ser miscibles el líquido del problema con el reactivo, asimismo líquido, los fenómenos particulares de la reacción sólo se efectuaban en la capa ó zona de contacto, limitándose á ella y no afectando á la totalidad de la masa. Usando la disolución alcohólica de resorcina, como puede mezclarse fácilmente con el problema, ya en todo el líquido son visibles las sucesivas coloraciones. Sin embargo, es to- davía mucho más ventajoso el empleo de las soluciones acuosas de resorcina; las etéreas y las alcohólicas no con- sienten el calentar los líquidos, hasta el punto que el hacerlo perjudica y aun perturba de manera bien visible la reacción que he estudiado, y así lo comprobé en numerosos ensayos. Acontece, en cambio, lo contrario, si la resorcina ha sido di- suelta en agua, porque entonces, lejos de ser una causa perturbadora “el calor, resulta en sumo grado conveniente elevar la temperatura del líquido hasta que hierva, y es este — 1025 — el medio más seguro de favorecer las acciones del compuesto cincino sobre el difenol, pues la aparición de la coloración característica es instantánea. Deben observarse ciertas reglas para llegar con seguridad al resultado indicado, y son, en definitiva, las siguientes: La solución acuosa de resorcina ha de ser bastante rica de este cuerpo, porque si el reactivo estuviera muy diluído, no tiene eficacia. Se ha de evitar, con los mayores cuidados, no prolongar demasiado la ebullición, para que el amoníaco del problema no sea totalmente eliminado. En el caso de ser ya muy exígua la proporción del cinc en éste contenida, la coloración tarda cierto tiempo en apa- rer, aun calentando. : Lo general para todos los ensayos es que comience débil, y poco á poco se acentúa y determina ganando en intensi- dad, hasta la característica y peculiar de la substancia for- mada, que no es permanente, y hállase sujeta á los cam- bios de color que quedan indicados como peculiares de la reacción objeto de la presente Nota. Hay que advertir, insistiendo en ello, que la nueva forma operatoria ahora propuesta no excluye en absoluto, ni mu- cho menos, la explicada primitivamente, y ensayada con los mejores resultados; antes bien, cada una tiene su aplicación adecuada, conforme á la indole peculiar del problema. Un caso en que conviene mejor el primer método que el segun- do, es el de un líquido conteniendo cinc en cuyo seno haya algún precipitado, que á causa de su color ó mediante algu- na reacción química pueda de alguna suerte modificar los resultados que de otra manera se conseguirían añadiendo la solución acuosa y concentrada de resorcina; entonces salta á la vista la ventaja de la solución etérea del reactivo, por- que la zona de sus acciones se limita y circunscribe, lo cual es favorable, en particular al empezar á determinarse la pri- mera coloración. A la rapidez del efecto, que hirviendo el Ruy. AcaD. DÍ Crmsoras, —VII.— Junio, 1910, 69 — 1026 — líquido llega á ser instantáneo, es menester preferir la segu- ridad de la reacción, por lenta que ésta sea. Respecto de su empleo en la marcha general sistemática del análisis, es preciso, naturalmente, tener muy en cuenta las acciones del reactivo sobre los demás ¡ones metálicos del grupo análitico del cinc, y son las que aquí se indican. El níquel, además de comunicar la bien conocida colora- ción azul á las soluciones amoniacales de sus sales, á la lar- ga puede reaccionar como el cinc en presencia del reactivo resorcínico; pero el tono azulado producido es bastante me- nos bello. Con las sales de cobalto las cosas pasan de manera dis- tinta, y el reactivo sirve para acelerar de manera visible la aparición del color rojizo, que es peculiar y característico de las cobaltaminas. Perturba asimismo la reacción coloreada del cinc la pre- sencia del manganeso. Bien diferente y variada es la acción del cromo, y depende de las proporciones de este cuerpo que el problema conten- ga. Si la cantidad no es muy excesiva, entonces no son no- tadas perturbaciones en los fenómenos característicos de la reacción y el hecho tiene no escasa importancia, en cuanto permite la investigación del cinc en presencia de no mucho cromo, alcalinizando el problema con un pequeño exceso de amoníaco y agregando luego el reactivo en solución etérea. Es aplicable este modo operatorio aun en muchos casos en los que las proporciones del metal perturbador llegan á tanto, que intentanto precipitar con la potasa en caliente, la totali- dad del cinc sería arrastrada y retenida por el cromo y no podrían separarse. Siendo condición indispensable del método el operar de contínuo en un medio amoníacal, pues de otra suerte no apa- rece la coloración azul con los cambios que se han indicado, se comprende al punto que ni el aluminio, ni el hierro han de tener ninguna clase de influencia sobre la reacción. e joy pe De los demás ¡ones extraños al grupo que se considera, son de notar, por lo que perturban y perjudican la investiga- ción del cinc, el cadmio y el cobre principalmente. Sin em- bargo, su presencia no es presumible en el caso de que se trata, á no ser por alguna circunstancia especialísima y for- tuita; y así, la importancia del hecho, desde el punto de vista analítico, y las mismas acciones de los citados cuerpos, son, en realidad, de bien poca monta en este lugar de la marcha general y sistemática; y en cuanto á otros iones, tam- poco han sido notadas perturbaciones que deban ser tenidas en cuenta. Merecen, en cambio, considerarse las de otro género, y prevenirlas á tiempo, pues su presencia influye grandemente en la reacción; en tal caso se hallan, en primer término, los oxidantes y los reductores dotados de cierta energía, cual- quiera que sea su naturaleza, y ya al principio de esta Nota va especificada la acción perturbadora de la potasa y de la sosa é indicado cómo se ha de operar en líquido alcalini- zado precisamente con el amoníaco en exceso. Infiérese, como consecuencia de cuanto va apuntado, el método operatorio para utilizar la reacción coloreada del cinc en las investigaciones del análisis cualitativo, y es de la manera que aquí se pone en calidad de resumen. Primero se separan el níquel y el cobalto en la forma acos- tumbrada. Si no hay manganeso en el problema, pueden precipitar- se los restantes metales del grupo empleando un exceso de amoníaco, y sin filtrar se agrega el reactivo, esta vez en so- iución etérea, Ó bien separar el precipitado, y en el líquido filtrado añadir la resorcina, ahora en solución acuosa ó al- cohólica, ambas de igual eficacia. Asimismo, no habiendo temor de que al ser eliminado el cromo arrastre y retenga el cinc, puede precipitarse emplean- do un exceso de potasa, filtrar y hervir el líquido filtrado con la bastante cantidad de cloruro amónico para que quede — 1028 — alcalinizado por el amoníaco, y utilizar enseguida el reacti- vo resorcínico; pero la reacción, clara y precisa, es en este caso bastante más lenta. Menester será advertir, por ser de importancia, que algu- nas potasas comerciales de las que corren y son considera- das muy puras suelen contener cinc, cuya presencia es de- mostrable aplicando la nueva reacción, y an otras ya cono- cidas antes del propio metal, y así lo he comprobado en re- petidas ocasiones. Conviene, por lo tanto, antes de proce- der á ninguna investigación, practicar un ensayo en blanco para cerciorarse de la calidad y pureza de la potasa que haya de utilizarse. (Laboratorio de Análisis químico general de la Facultad do Ciencias de la Universidad de Madrid.—1910.) INDICE DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE TOMO Págs. Constitución de la Academia en 1. de Julio de 1909. Académicos de MÚMEeLO.. em cule laluó prreiaso 212 arorolo sugiera Académicos electoS.............. Do as A Er Académicos Corresponsales nacionales.......... ia Académicos Corresponsales extranjerO0S . .....o..o..o Cuestiones de Análisis. Aplicación á la Física matemática, por José Echegaray. (Conferencias 12 413%).............. 11, 97, 197, 281, 306, 381, 489, 603, 624, 698, 785, 818 y Método para.determinar la dirección de los vientos superiores por las ondulaciones de los bordes de los astros, por Vicente VEMOS A E a ee Y Estudio espectrográfico de las «Blendas». Investigación acerca de la Blenda de «Picos de Europa». Presencia del «Germa- nio» en la misma, por Georges Urbain, Angel del Campo y (AAN TAS o lara cd led noe ill Contribución al estudio de ls esencias de emcatina españo- las, por Obdulio Fernández....... A A A Sobre la conductibilidad de ES de CIK y CiNa en - mezclas de agua y alcohol metílico. (Variaciones con el tanto por ciento de alcohol, la concentración y la temperatura), por Aurelio Garzón y Carmona......... ci de tae Consideraciones acerca de algunos métodos empleados en el análisis de las aguas minerales, por José Casares Gil...... Observaciones morfológicas sobre la sangre de Llama (Auche- nia Lama), por Gustavo Pittaluga...... AO Procedimiento rápido de valoración del vanadio en he mine- rales y productos industriales vanadíferos, por E. Piñerúa NT A NR E O O a ayi . Reacciones del cinc, el ea y el cobalto, utilizables en aná- lisis POSE. AMterta AÍVATeZ 00. adas oia aida. iofaiolo - Determinación de las diferencias de ed entre Madrid, Barcelona y Desierto de las Palmas (Castellón), por medio del transporte de hora con cronómetros Ditisheim, por José GOÍDIS....,oooooroororocorcanon rro ro os epoo qorrnco..e. poso 0-10 QQ 913 116 49 63 70 131 141 160 163 168 — 1030 — Págs. Determinación de algunas constantes físicas de la manganina, PORIB:NCADrICa A e iio de Eta 217 y Sobre un problema de física, por Juan Jacobo Durán-Loriga .. Observaciones acerca del método de Weszeleszky para la de- terminación del bromo y del iodo, por José Casares Gil.... Contribución al análisis del nitro de Chile, por Juan Fages Viral sept io poo e e a a Sobre la isomería de lós ácidos Senasa por Werner Meck- LORDS ¿ana e a o A cu pesto ela a Viaje de estudio á la Gui española. on acerca del «Trypanosoma gambiense» y algunos otros Protozoos parásitos del hombre y de los animales, por Gustavo Pitta- E .. 347, 446, 554 y Neurópteros de los een de Madrid, por el R. P. Lon- PUñOS NOVAS O Je NS Ae TS Sobre los diagramas de estado de los sistemas estaño-azutre, - estaño-selenio y estaño-telurio, por Wilhem Biltz y Werner Mecklenburg........... A A a de Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones finales, por GUACO MAS CEON ato Eneas E SIE Sia SÍ Programa de premios para el concurso del año 1911......... Noticias sobre algunos moluscos de España, por E Gon- SER AAA NS RA la a ala RES Estudio analítico de los elementos de retroceso de las curvas alabeadas, por Miguel Vegas........ooooo..... OS . "Le Sous-azoture de carbone C* N?, par Ch. Moureu et J. Ch. IN A AA A NS A Teoría elemental de los DEnAUIOS horizontales, por ENE MICRA a aaa al PO al da aten Contribución al estudio de las aminas Belica! por F. Lavilla EloFens PU INNTNA A A Ta 408 242 272 329 338 673 370 430 460 482 515 525 931 540 548 Estudio estereoquímico comparativo de los cuerpos, Oxi- exano-2-5 y Dimetilturfurano-1-4, por Angel del Campo y Cerda Na aos Es COMA AIESN A ne Informes sobre tres Memorias presentadas á la Academia, con opción á premio, en el Concurso de 1904. Ponente, /. M. de MATAR NI ODA ee ao adela e Estudio completo de una clase Espedil de INES sin- gulares, por Lauro Clariana.............. 642, 756, 845 y Nota sobre la Scapania Casaresana St. y las Scapanias espa- Mola Apot AGCOSares CILA alos e ale Informe acerca de la obra de Mecánica Racional del Sr. Ruiz Castizo. Ponente, Nicolás Ugarte......iosooiorooooono.o 563 670 A ss Págs. El Museo del Instituto Oceanográfico de Mónaco, por Joaquín GAEUAÍOOS ems o O o EA O AA 12 | De algunos fenómenos particulares de los cuerpos fotolumi- nescentes, por José Rodríguez Mourel0.........oooooo.... 137 Estudio acerca de las aguas minero-medicinales de Valdela- zura (Plasencia), por José Giral Pereira y Julio C. Sánchez NED o e AN O e e RES ERE T11y 29 Dosificación volumétrica del ferrocianuro y del ferricianuro potásicos, por Werner Mecklenburg ......oooooon..oo.o ooo... 871 Nuevo método de extracción del azufre de los le que lo contienen en estado nativo, por Antonio de Al Ro- COSOLAMOZI.. ae A O O 895 Acción biológica del calcio y del magnesio, por uso Gómez MATA ASE A E A O e A NES 947 Sobre una reacción del Acido nopínico, por Obdulio Fer- MÚRACZ: vaa dns iaa O . 1018 Una reacción coloreada de las sales de cinc (segunda nota), por Angel del Campo Cerdán........ ita al nio 1023 NI A (usté 3b Pana abel y abs! 4 o $4 1 y DE Pe DI Acción meses: del calcio y cel magnesio, por el - Doctor D, José Gómez Ocaña reco a a LIL, — Estudio completo de una clase especial de integras E les singulares (continuación), por Lauro Clariana. id : LIV. — Estudio acerca de las aguas minero-medicinales de , ES 2 Valdelazura (Plasencia), continuació ón, por José Giral Pereira y Julio C. Sánchez ANDOSO. a REA LV. — Sobre una reación del ácido nopínico, por Obdulio ; A A >] LVI. — Una reacción coloreada de las sales de cinc (Segun= E da Nota), por Angel del Campo Cerdán......... 1 en el extranjero, en. da Secretaría de la Academia, calle de verde, núm, 26, Madrid. d Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. q II e E ES Ed 2 AÑ VA í a LILIA “EP OÍR il | DEA, Cl "> A Le AA 1 a DAMA PACO / A pH ad aLpasicióo) JIAr ar si A DAÑA m2 dl a Ah Lo ¡A Á PEOR PADARIiDÓ ' Y aña Roa 2zAn AA A añ AAA ADA E ARS iAna ¡»9 ' Azans PAR 0] a MAA ) Dr Shar aan pl Aan>n an” q a22- HELL Zap”? : Lan? > AS YY TL — Many aL , y Y . 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A, ; PE a a r E NA aa ¡0 AE Ed y Ay e SL! > , nÉ ar Y ponna2 > ¿Ñ ATA PRA PI NULA A y » $ ¡AAA eN AÑAAMARA a TN AA - 20 pr ts ma ADA ALARMA, ¿rajar MA DD. ae AAN AAA ] A > EN Et A > A Ya la a MN MINIADN AA MITRA E A dl O PAMATO MA A ”, » » SN de a | ARA pe POE a Pp o aL ERVIN, A IRA Ma E IA a YA a a ad Y a - DAD, Aa a TED An a nr AA 2/7, Mart nt ar A A Aga Y 2 AED Ma | da CAS Da», si e er o 0 pa A A YRAMRARA - ARA | | 7 pea IN A TA Am ed ( Ea 2: AAN Le “ys A A $36 Epa A HH Asp AAA ai ¡ IA ón pl AAA a AN 9 NA Ao AS PEPE ERRE RIA E PARO. . GOA NAAA Tia A DE RA AS A A AAA RR AAA TENSA NS LIA a an. añMAADd RDA IATA SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES A 3 9088 01224 1576