ENEN YORK BOTANICAL m zei SCHRIFTEN DER NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT DANZIG. NEUE FOLGE. ERSTEN BANDES ERSTES HEFT. LIBRARY NEW YORK >OTANICAL GARDEN, DANZIG. AUF KOSTEN DER NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT. 1863. TAFELN für sämmtliche trigonometrische Functionen cyklischen und hyperbolischen Sektoren. Von 3). F. W. Gronau, Professör und Oberlehrer an der Realschule zu St. Johann in Danzig. Danzig. Druck von A. W. Kafemann. 1863. r f ia | Bay srärlositlt m | % wi & er Vorrede. zn nen Mi Bezugnahme auf das, was Gudermann in seiner „Theorie der Potenzialfunctionen“, Berlin, 1833, Abschnitt 4 und 16, und ich in der Vor- rede, pag. VII, zu den „Tafeln für die hyperbolischen Sektoren und für die Logarithmen ihrer Sinus und Oosinus“, Band 6, Heft 4, der neuesten Schrif- ten der Naturforschenden Gesellschaft zu Danzig, 1862, welche zu meiner Abhandlung: „Auflösung der kubischen Gleichungen durch trigonometrische Functionen des Kreises und der Hyperbel“, 1861, gehören, gesagt haben, und mit Rücksicht auf eine besondere Abhandlung, welche in dem nächsten Hefte ihrer Schriften erscheinen wird, und welche vielfache theoretische und praktische Anwendungen der vorliegenden Tafeln enthalten wird, kann ich mich bei der Herausgabe dieser Tafeln kurz fassen. Schon Gudermann hat in seinem angeführten Werke zwei ausgedehnte Tafeln für die hyperbolischen Functionen gegeben, eine, worin er sämmt- lichen Längezahlen k, von o bis ©, (meinen z, von denen die Grösse der hyperbolischen Sektoren oder Flächen oder Aren abhängt), die entsprechen- den oder den Uebergang vermittelnden Kreisbogen oder Kreissektoren w (vergl. meine Abhandlung von 1861, $ 5) an die Seite setzt, und eine zweite, wo er zu den Längezahlen von k—=2 ab unmittelbar die hyperbolischen Sinus, Cosinus und Tangenten angiebt. Gegen den zweiten Theil wäre an sich wenig zu sagen. Hat man es aber mit Aren unter 2 zu thun, so muss man aus der ersten Tafel erst das vermittelnde suchen und dann durch die alten Tafeln diejenige cyklische Function von w, welche der gesuchten hyperbolischen Function entspricht, (Tgk = sin w, Snk=tgw, Cosk = sec w, Cotg k = cosec W, Seck= cos w, Cosec k = cotg w); und so umge- kehrt, soll ich etwa aus dem bekannten Sin k den hyperbolischen Sektor k selbst finden, so muss ich mir durch die alten cyklischen Tafeln das ® ver- schaffen und kann dann erst durch die Gudermann’schen Tafeln das % ermitteln; ich brauche also, wenn k<<2 ist, ausser den beiden Gudermann’schen Ta- feln noch die alten Tafeln und die Arbeit ist eine doppelte. Meine neuen Tafeln sind nun so eingerichtet, dass sie zu sämmtlichen sechs trigonometrischen Functionen, mögen sie cyklisch oder hyperbolisch sein, sofort ohne Vermittelung in allen Fällen den entsprechenden Sektor und umgekehrt, zu jedem Sektor, er mag gross oder klein, cyklisch oder hyperbolisch sein, ohne Umschweife die verlangten trigonometrischen Func- tionen geben. ln Der Nutzen meiner Tafeln wird sich besonders bei der Integration durch Logarithmen und Kreisfunctionen äussern, indem die durch die ersten erlangten unbequemen Formeln allmälig verschwinden und hyperbolischen Formeln Platz machen werden, welche den Kreisfunctionen analog sind; es wird dann zwischen eyklischen Functionen und hyperbolischen Functionen bei der numerischen Berechnung kein Unterschied stattfinden, man kann alles mit der grössten Bequemlichkeit und in der kürzesten Zeit durch meine Tafeln allein machen. Ein Wunsch wird für die Theorie nur übrig bleiben, nämlich ähnliche siebenstellige Tafeln zu besitzen. Derselbe wird sich aber, sobald das Bedürfniss wird ausgesprochen sein, leicht befriedigen lassen, da ja eigent- lich nur die Eine Rubrik der 2’ neu zu berechnen sein wird und das Uebrige fast ohne Umstände aus den alten Büchern zu entnehmen ist; es muss dann auch nochmals überlegt werden, ob man doch vielleicht den z den Vorzug vor den z’ einzuräumen hat, trotz der Gründe, die mich bewogen haben, die z' vorzuziehen (1861, pag. 10; 1862, pag. VII). Entschiede man sich für die z, so könnte die in Legendre’s Exercices, 3, enthaltene Table IV, für Log tg (5-439)=z,wo9=® ist, als Anhaltspunkt benutzt werden, welche Tafel von 30 zu 30 Minuten fortschreitet. Anders verhält sich die Sache mit der Gudermann’schen zweiten Tafel, die hier allein in Betracht kommen kann und an welche aus der hinten an- gehängten Skizze das doppelt Eingefasste erinnern soll. Dass sie in der vorhandenen Unvollständigkeit (von @ — 74° 35 7,3 bis ® = 90°) nicht zur Bedeutung kommen konnte, erkannte Gudermann wohl selbst an, indem er 8 92 sagt: „Wenn einmal die briegischen Logarithmen der hyperbolischen Cosinus, Sinus und Tangenten der Arcus k (der Aren 2) zwischen den Grenzen k= (0 und k—=2 gleichfalls berechnet sind‘ ete. Aber denken wir uns auch seine Tafel nach seinem Plane nach oben regelmässig weiter fortgesetzt, wie es meine Skizze angiebt, so wird 1) bald klar, dass während das herausgegebene Stück der Tafel anfänglich von Tausendtel zu Tausend- tel, später nur von Hundertel zu Hundertel fortschreiten durfte, das fehlende Stück derselben nach kleinern Intervallen fortgehen müsste. Ferner 2) da zu seinen k irrationale ® gehören, so kann man die drei Rubriken für die eyklischen Sinus, Sekanten und Tangenten nicht ohne Weiteres aus den vorhandenen trigonometrischen Tafeln entnehmen, sie müssen durch Inter- polation berechnet werden. 3) Wünscht man, dass die Öolumnen nicht blos eine Ueberschrift (Tg z, sin ©), sondern auch eine Unterschrift (cos @, Sec 2) haben, da z.B. die unten aufgestellte Formel für A am u (IV\)es wünschens- werth macht, dass die neuen Tafeln auch ohne Weiteres die hyperbolischen Cotangenten enthalten, so hat man die auf die Unterschrift bezügliche Columne der k noch einmal zu berechnen, da sie in den auf die Ueberschrift sich be- ziehenden %k kein constantes Complement haben, wie sich die ® der ersten Columne eines constanten Complements in der letzten Columne (90°) erfreuen. Dass dabei die k aus der vorletzten Rubrik zu den %k aus der zweiten Rubrik in einem irrationalen Verhältniss stehen, ist übrig zu er- wähnen, so wie auch, dass ein von vorne genommenes % (0,145) hinten nur III zwischen zwei benachbarten horizontalen Reihen Platz finden könnte. Auch werden trotzdem, dass die vordern rationalen Ak regelmässig wachsen, die hinten dazu gehörigen irrationalen k verschiedene Differenzen haben. 4) Wollte man die auf die angedeutete Weise vervollständigten Gudermann’- schen Tafeln zugleich auch für Kreisrechnungen benutzen, so müssten nun noch links und rechts zwei Columnen mit den irrationalen ® hinzukommen, welche natürlich wieder verschiedene Differenzen haben würden und die man also hin zu setzen hätte. Aber an verschiedene Differenzen bei den ® würde sich der Rechner schwer gewöhnen, schon wegen der Sexagesimaleinthei- lung. Gudermann hätte also nur bei einer Rubrik keine Differenzen hin zu schreiben, während ich bei zwei Rubriken die Angabe der Differenzen erspare. Aber vor allen Dingen brauche ich die 2‘ nur einmal vorne zu be- rechnen, da sie hinten mit den Complementen der ®@ in umgekehrter Ordnung unverändert wiederkehren. Im Grunde habe ich nicht viel mehr gethan, als eine Idee Lambert’s (Histoire de U Academie Royale des sciences, Berlin 1770, pag. 350 ete.) weiter ausgeführt, welcher in seiner dort befindlichen Skizze den Hilfswinkel ® von Grad zu Grad wachsen liess und die hyperbolischen Sectoren, Sinus, Co- sinus und Tangenten der bezüglichen Winkel gab. Gudermann hätte diesen Weg nicht verlassen sollen; dass er die z (seinek) zum Massstabe des Fort- schreitens wählte, war ein Fehleriff. Da von den hyperbolischen Sinus und Cosinus schon in meiner Ab- handlung über die kubischen Gleichungen Anwendungen vorkommen, so will ich hier vorläufig nur einige Anwendungen von den hyperbolischen Tan- genten und Ootangenten mittheilen. Durege giebt in seiner Theorie der elliptischen Functionen, 1861, pag. 194, die zuerst von Richelot aufgestellte und von ihm zur Berechnung von log. sin am (u,k) bereits benutzte Formel: sin am (u, k) = 4!. sin am 5; Sg on sin am Sr (2h K-+u).sin am (2hK-—.u), " (Mod. 1). ne Man setze nämlich sin am (u,1) = er —=Tguw=itgiu (nach mei- ner Abhandlung von 1861, pag. 9) und ausserdem w . sp? K=L, gg w—=v. Dann kann man schreiben: sin am (u,k)—= A'.Tgv. Tg(L+v).Tg(L—v) Tg(2 L+v).Tg(2L—v).... il RE wobei 4’ = Vk ist. Fasst man in zwei entsprechende Glieder zusammen, so entsteht: Gr Tg L?— Tgv? Tg2L?— Tgv? Tg9g3L?— Tgv? II. sinam(u,k) = Pow ToDE 108° I Tg3 LE Tgo® "I 193 Tgo2 welche Reihe der vorigen in praktischer Hinsicht wenig nachsteht. Da ferner sin am (u, k) = —i.tgam (i u, k') ist, so hat man TgL?’-igiv? Tg2 L?-+tgiv? 14 TgL2.1gi02 "14 Tg2 12 .agip2'' — itg am (iu, k') — A!.—itgiv. 10% Schreibt man u statt iu, also v statt iv, ferner k statt A‘, also A statt A’, Z, statt Z und », statt v, wobei 1 7 y, zu . 4 A Tr — IE: K' und v, = 5 u ist, so erhält man: = TgL,’+tgv” Ty2L’+Yy? tgam (u,k) = A AGO SL TE Ego IH TIL rg 11%; Jetzt setze ich in Iiu-- K statt u, also eb: -- iv statt v. Dies giebt sin am GutK,k)=4!.Tg L-+tiv).Ty(l3L+ie).Tyg& L-iv). Tg(223 L-+iv).Tg(l3L—io).... Ty#L?2— Tgiv? Ty14 L?— Tgiv? Tg 24 L?— Tgiv? 1 DOSE SRTaR DE 19 2320? 71 192310? Toepe Nun ist sin am (u+ K,k) = —itgev, also haben wir 1 Lage: Tghirigo? Tg3 L’+tigv? 2 Ar ai King: "Jam(u,k) a a ED Te Fe oder 1 1 TgoL 2tg%,2 12EE- Tgo2ib,21gw,2 1 Tg&L,2tgv,? Aam(u,k) = SE I% ’ gv, + 954%, gtV, SE 954%, gv, e NG eh En (Durege, pag. 28,18) und Tyiv J am AN sTgEL,” 190,2 "UTgBL,?Eigv,®2." Tg, ? -Eigow,? 1 mer — — 1/7 wo yk’ 1st. Die Formeln ILI und IV können in folgender Weise logaritbmisch ge- macht werden: 1) Mit zwei ae en: Es ist log —=log(a+b)—log(1-+ab). Nun ist (1861, pag. 41, $ 31): log (a+b) = loga-+-2log Cos y, wo Sinp= V> und log(1-+ab) =2log Cos w, woSiny=Yab. Also hat man /og Ta0r „= loga+2log 2 ?) (für III) und ebenso log a — 2109 (2 ”) — log a (für IV). Cos Für OL.ist suceessive «a #9L,3 T7Tg2L,?..... unddb= tg», ? für IV... .2:.0,, Maler A Egal, ?i38l. b=ilg.0,? 2) Mit einer veränderlichen Hilfsare, wobei aber v, <45 ° sein muss: Typ+Tyw Besist Tg (PB) — wre Setzt man 79 w= ty v,* und respective u Ip, To, Top“... — TdL,2 Tg22, 3 Re WAVE TER, DEP" Tg, TEL, 2, gab ei ‚so hat man t 5) igam (uk) = 5 1799-40). Tg(p' +0). Typ" +)... DIV A am (u, k) = Yr.Cotg (P-+).Cotg (+ w).Cotg(P"+ ®).... IV’. Gudermann giebt im Crelleschen Journal 20, pag. 123, (oder in seiner Theorie der Modularfunctionen, Berlin, 1844, pag. 384) folgende drei Formeln: v 4 nu; Iyuu. Tg(2y"K-+ Yu). Tg(2 yK—y' u). Tg (4 YK-+n'u). Te(4" K—n'u).... wo’ = an ist. Re a in cos2nu er a dArr ee logtnu = log, Ve 2. Arc. Tg — — Dis 2.Arc. Tg BEER G Karo 7, a 2,Arc. ARE Nr ‚eos 2nu logdnu=logyr +2 Arc. Ty Gar 2 Are 19 GR cos 2nu +2 Arc. Tg CoslOnR''*" won 57 ist. Dass die erste dieser drei Formeln mit I übereinstimmt, leuchtet von selbst ein; aber auch die andern beiden Formeln stimmen mit HI und IV Glied vor Glied überein, indem z.B.: N En a 3 cos2 nu lg FL ige log Tg Ver Ei “Tg I Cos4nK' N : 2 . log! re ar a — log Cotg (pP @) = 2 Ar. N ist. Ich glaube indess, dass man lieber nach meinen logarithmisch gemach- ten Formeln III und IV, als nach den beiden letzten Gudermann’schen Formeln werde rechnen wollen. Hiebei erinnere ich noch, dass wenn man in den beiden letzten Guder- mann’schen Formeln die briggischen Logarithmen von tnu und dnu sucht, unter Gudermanns Arc oder unter meiner Area = Ar. nicht die 2,. die seine Tafeln geben, zu verstehen sind, sondern ohne Weiteres die =M.z, wie sie meine Tafeln enthalten. Beispiel. Es sei k=yı =k', also K = K'=1,85407.46. Ferner sei w= 0,1. Dann ist L= rn = 3,14159 und v = 0,084721. Zul. Da meineTafeln nicht die x, sondern die z' geben, so hat man vor dem Gebrauch derselben 2», L+r, 2L—+v,.... noch mit 0,43429 zu multiplieiren. Demnach ist zu rechnen mit v = 0,03679.3, L+v = 1,40110, L— v = 1,3276. Die übrigen von 2+v, 3L-v.... abhängigen Glieder können ver- nachlässigt werden, da ihre hyperbolischen Tangenten bei fünf Decimal- stellen schon —= 1 sind. Nun ist log 4A’ == 0,07526 log Kgo. sv. 58.9263 log Tg(L +v) = 9,99863 log Tg (L — v) = 9,99808. Also log sin am u = 8,99892. Nach Durtge pag. 226 ist sin am u — . pe sin © we zusin 3 Eur en + zuzen /v, | ıK’ Dahierg=e” K = 0.04321.38 ist, so braucht man vier Glieder der Reihenentwickelung für Östellige Tafeln und sechs Glieder für 7stellige vI Tafeln. Die Rechnung liefert im ersten Falle 8,99890, im andern Falle 8,99891.57. Ich habe das Beispiel auch nach der bei Dur&ge auf pag. 260 befind- lichen Formel berechnet, welche lautet: Var sin ® Be singe, VIE. sind, Vg®. sinTv, — 29. ER + 29°. cos4v,—2g°.cos6v,+2g". ER Hier musste ich im Zähler en Glieder, im Nenner also 1 Glieder nehmen, um das Resultat auf fünf Decimalstellen zu erhalten, es lautet: 8,99891. Nach einer von Herrn Professor Richelot aufgestellten Näherungs- formel (bis Grössen von der Ordnung 9%), welche lautet a wo 2=y also = v, ist, findet sich für 1+2g unser Beispiel log sin am u = 8,9980. Zu III. Sowie man die kspersollschen L, vor dem Gebrauche meiner Tafeln mit dem logarithmischen Modul M zu multiplieiren hat, so ist es be- 7E kanntlich auch nöthig, die eyklischen Bogenlängen v, durch 7 = 180.60.90 sinamu=2. VE7 sin amu=—=sint. zu dividiren, um sie in Sekunden zu verwandeln, wornach für unser Bei- spiel v, = 4° 51’ 15” wird. Von der unendlichen Reihe der Brüche wi TgL,?+tgv,? } Tg2L,”+tgv,? DE En AE IE kommt diesmal nur der erste in Betracht. Es ist log Tg L,?=9,99676, log A = 0,07526 Also log tg v, ?2—= 7,85806, logtgv,— 8,92903 log tg am u = 9,00109. log B = 9,99680. Rechne ich ns der gewöhnlichen Formel: SER [9° a Ban — ie ] so erhalte ich mit Benutzung der drei ersten Glieder 9,00108. Zu IV. Hier brauche ich die beiden ersten Brüche „—1+TıL’Wgy? N - FH N EL REN ARTEN 9 ee SD 2etgo, Es ist log Tgz L,?= 9,92488, log Tg i 7, 2 9,99936. Da nun log er — 9,92474 log b = 0,07404 log b' —=:0,00014 ist, so ist log A am u = 9,99892. tg am (u, k) = Beispiel 2. Während « = 0,1 bleibt, sei nk=sin#, k'—= cos 4, 9 = 22° 30'. Es ist dann log k = 9,58284, log K = 0,21314.208, La k' —= 9,96562, log K' = 0,38023.833. I IN — — 0,92864 pi an BRRREEN 48 DT TR FR. =—, giebt hyperbolisch v = 0.02842.3, 9X TU NER Darnach hat man: log Tg L = 9,98793 | log T4- = 9,89714 log T92 L= 9,99983 | loy T9°5- — 9,99858 log Tgv = 8,81527 log tg v = 8,81653 Zu I. log A' — 0,20858 log Tg v —98,81927 log Tg (L-+v) = 9,9894 1 log Ta (L—v) = 9,98626 log Tg(2 L+v)=9,99985 log Tg(2 L— v)=9,99981 Demnach: log sin am u = 8,99918. vII cyklisch v = 30 45‘ ©, = 0.041760, v, — 50 30' 344, log Tg L, = 9,99992 log Tg = 9,9141 log Tg°5- = 9,99998 log Tg v, — 8,98164 log tg v, = 8,98433. Durege, pag. 226: Nach Meissel’s Tafeln für g, Iserlohn, 1860 ist logg = — M.L,= 1,99543.366 (und ebenso, da g' = AK ENT, log’ =— M.L = 9,07135.883) Demnach ist die Klammer (weil v,— 5030'34°): Kl. = 0,0096463 + 0,0002800 -+- 0,0000045 +- 0,0000001 — 0,0099309. Nun ist log Kl. — 7,99698.86. und log 77 — 1,00219.81 Also log sin am u = 8,99918.67. Nach der oben mitgetheilten Näherungsformel ist log sin am u = 8,99917. Zu 11. log 34 log tg v, = 8,98433 log B = 9,99984 Also log tg am u = 9,00136 Zn 8 log A' — 0,01719 log Tg v — 8,98164 | log Tg (L + v) = 9,99993 log Tg (L— v) = 9,99990 Also log sin am u = 8,99866 |, log tg am u = 9,00084 | Zu IV. 0,01719 | log Yk* — 9,98281 | log b = 0,01685 Also log Aam u = 9,99966 Beispiel. “0,0 760030 Zu 11. Zu IV. log yVR = 9,79142 log b = 0,20389 log b' — 0,00282 log b” = 0,00004 | log A am u = 9,99817 log A = 0,20858 logtg v, = 8,81653 log B = 9,97607 log B' = 9,99966 Nach der Näherungsformel ist, da diesmal q schon bedeutend gross ist log sin am u — 8,99841. Wenn % klein, also # < 45° ist, so ist es vortheilhaft, die Tangente Am- plitudo oder A am zu berechnen; ist aber k gross, also %>45°, dann wird man es vorziehen, den Sinus Amplitudo zu berechnen, vIm Zusammenstellung für v = 0,1. (k = sin) log .sin am (u, h)| Dif. 0° | 8,9929 | „, 220 30: 8,99919 | 5, 45° | 8,99892 | 67° 30° 8,99866 |”, 90° | 8,99858 Da nun schon Legendre in seinen Exercices Tafeln für X und Meissel für q, welche mit meinen Z/ in der einfachsten Beziehung stehen, gegeben haben, so bedurfte es eben nur noch besonderer Tafeln, wie der vorliegen- den, welche die hyperbolischen Tangenten und Cotangenten enthalten, um auf dem kürzestenWege sinam u, tgamu, Aamu für beliebige Werthe von k und u numerisch zu berechnen. Ich habe jetzt nur noch einige Bemerkungen zu machen. In meiner Abhandlung: Ueber die allgemeine und volle Gültigkeit der mathematischen Formeln. Ein Beitrag zur Deutung des Negativen und Ima- ginären. 2. Theil, 1. Heft, Osterprogramm der St. Johannisschule in Dan- zig, 1863, Vorrede pag. IV— VII habe ich für die Ausdrücke des asympto- tischen Raums und des hyperbolischen Sektors kürzere Beweise gegehen, als die sind, welche sich in der Abhandlung über die kubischen Gleichungen von 1861, pag. 6—7 und pag. 47—49 vorfinden. In der Vorrede zu meinen Tafeln von 1862, pag. 1 habe ich das letzte Glied der Entwicklung von log Cos z falsch angegeben, es ist nicht 203 4032 ten von w,,8® ist demnach nicht 5,93682-— 50, sondern nur 4,95143— 50. Indess hat dieser Fehler auf meine Tafeln keinen Einfluss, ja nicht einmal auf meine dortigen Ausstellungen gegen einige Zahlen des Thesaurus von Vega, indem z. B. log sec 1° 20° 0” zwar nicht = (8)1176049.8417, sondern — (8)1176049.8381 ist, also doch immer die Angabe Vega’s (3)1176051 falsch ist. Ich habe noch (aus 1862, Vorrede pag: I) in Erinnerung zu bringen, dass (3)11761 bei mir bedeutet 0,00011761. Vielleicht wäre es auch zweck- mässig gewesen, etwa statt 9,999975832 zu schreiben 4)75832. Man könnte dadurch die log Tgyz und log sin von w—= 52036’ ab auf demselben Raume viel genauer angeben, als es bisher möglich war. Doch muss man darüber erst das Urtheil der Rechner abwarten. Auch halte ich es nicht für übrig, hier noch zu wiederholen, dass ich die eyklisch trigonometrischen Functionen mit kleinen, die hyperbolisch trigonometrischen Functionen mit grossen Anfangsbuchstaben, die briggi- schen Logarithmen mit log und die hyperbolischen mit Log bezeichnent habe, Endlich kann ich nicht unterlassen anzugeben, dass mich bei der An- fertigung und Correctur der vorliegenden Tafeln der Vermessungs-Eleve Herr E. J. Th. Mertins unterstützt hat. Danzig, im September 1863. M s ee IH° o,% sondern Tl, und der Logarithme des Üoefficien- Der Verfasser. nn nn SER Dan: Sue H> fs) Pie) u ee Pe rt En SOSSE er) Ss = »ww er) iS 2STer) 30 | (3)31.58 40 50 3 10 20 30 nn | nn en gen nn an nn So] &2.C0 02] 0 In SSRSSKS8] KSSRS8 2] KSSRSSRSN zo 20 30 40 50 5 4 10 20 log Tg. z log sin © —_ 5.68557 5.986060 6.16270 6.28763 6.38454 6.463753 6.53067 6.5806 6.693982 6.68557 6.12097 6.76476 6.79952 6.83170 6.86167 6.883969 6.94085 6.96433 le 7.00779 7.02800 7.04730 7.06579 1.08351 7.10055 7.11694 1.13273 7.14797 7.16270 7.17694 7.19072 7.20409 1.21705 T22I64 7.24188 1.258378 1.26536 7.270664 7.40985 7 41797 1.42594 1.43376 7.44145 7.44900 7.45643 1.46373 SINN > 1 — 7-77 n —ADnanTn nn nn T a log cos m log Sec z log Sin z log tg. @ — 5. 68557 5.98660 6.162760 6.28763 6.38454 6.46373 6.53067 6.988066 0.63982 6.685957 6.72697 6.76476 6.79952 6,83170 6,86167 6.838969 6.91602 6.940855 6.96433 6.98660 7.00779 7.028300 704730 7.06579 7.08352 7.10055 7.11694 7.13273 114097 7.16270 7.17694 7.19073 7.20409 7.21705 7.22%64 71.241883 1.25378 71.206536 7 ‚27664 Mr 38455 1.393185 1.40158 17.40985 7.41797 742594 7.43376 7.44145 744900 7.45643 1.460373 log eotg 1. Cosee z —89 Gradi o 4.61546 4.31443 4.138333 4.01340 3.91649 3.83730 3.77036 3.719237 3.606121 3.61546 357406 3.530627 350151 3.46933 3.439306 3.41134 3.38501 3.36018 3.33670 3.3141 3.29324 3.27303 3.25373 3.23524 3.21752 3.20048 3.184109 3.16830 3.15306 3.13833 3.12409 3.11031 3.090694 3.08398 3.07139 3.05915 3.04725 3.03567 3.02439 3.01340 3.00267 2.99221 2.98199 2.97200 2.906224 2.952370 2.94336 2.938421 2.95% 2.91648 2.90788 2.89945 2.89118 2.88300 2.87509 2.86727 2.835958 2.385203 2.384460 2.383730 z'! I = 0) Grad. 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Cotg z l, Cosee z w=—= 42 Grad. 0.36170 0.36153 0,36135 0.36118 0.36101 0.306084 0.36066 0.356049 0.360352 0.36015 0.35997 0.35980 0.35963 0.35946 0.35928 0.35911 0.35894 0.35877 0.35860 0.353842 0.38% 0.35808 0.35791 0.35774 0.35757 0.35739 0.35722 0.35705 0.35688 0.35671 0.35654 0.35637 0.350619 0.35602 0.35585 0.35568 0.35551 0.35534 0.35517 0.359500 0.35483 0.35405 0.35448 0.395431 0.395414 0.35397 0.355380 0.35303 0.35346 0.35329 0.35312 0.352935 0.353278 0.35261 0.535244 0.352237 0.35210 0.35193 0.35176 0.355159 0.35142 Sg SOLID OP OyHmO z' 0.41582 0.41601 0.41620 0.41639 0.41658 0.41677 0,41696 0.41715 0.41733 0.41752 0.41771 0.41790 0.41809 0.41828 0.41847 0.418066 0.41961 0.41980 0.41999 0.42018 0.42037 0.420506 0.42075 0.42094 0.421135 0.42132 042151 0.42170 0.42190 0.42209 0.422258 0.42247 0.42266 0.142285 0.42304 0.42323 0.423342 0.42362 0.423381 0.42400 0.42419 0.424338 0.42457 0.424706 0.424396 0.42515 0.42534 0.42553 0.42572 0.425923 0.42611 0.42630 0.42649 0.42668 log Tg. z log sin @ 9,87107 9.87119 9,87130 9,87141 9.87153 987164 9.87175 9.897187 9.87198 9.87209 9.8722] 9.87232 9.837243 9.387255 9.837266 9.387277 9.872383 9.837300 9.837311 9.873322 9.87334 9.837345 9.837356 9.87307 9,87378 9,87390 9.837401 9.87412 9,87423 9,37434 9.874406 9.87457 9.874608 9,87479 9.87490 9.87501 9.87513 9.87524 9.87535 9.87546 9.8757 9.875068 9.87579 9.837590 9.87601 9.870613 9.837624 9.837635 9.870646 9.876057 9.870668 9.87079 9.837690 9.87701 9.87712 9.871723 9.871734 9,87745 9.877956 9.387767 9.877178 log cos log Sec z wo — 48 Grad. log Cos z log see 0.174077 0.17491 0.17505 0.17519 017547 0.17788 0.17802 0.17816 0.17831 0.17845 0.17859 0.17874 0.17888 0.17902 0.17916 0.17931 0.17945 0.17959 0.17974 0.179883 0.18002 0.18017 0.18031 0.18045 0.18060 0.18074 0.18089 0.18103 0.1818 0.18132 0.18146 0.18161 0.18175 0.18190 0.18204 0.18219 0.18233 0.18248 0.18262 0.18277 0.18291 0.18306 l. cosec W l. Cotg z log Sin z 0) (1)4556.3 (1)4581.7 (1)4607.1 > —————— w==41 Grad. 0.395142 0.35125 0.35108 0.395091 0.35074 0.35057 0.35040 0.35023 0.35006 0.34989 0.34972 0.34955 0.34938 0.34921 0.34904 0.34887 0.34870 0.34853 0.341836 0.34819 0.34803 0.347806 0.34769 0.34752 0.34735 0.34718 0.34701 0.346084 0.340667 0.34651 0.34034 0.34617 0.34600 0.34583 0.345660 0.34549 0.34533 0.34516 0.344199 0.34482 0.34465 0.344418 0.34432 0.3415 0.34398 0.34381 0.343064 0.34348 0.34331 0.34314 0.34297 0.34280 0.34264 0.3447 0.34230 0.34213 0.34197 0.34180 0.34163 0.34146 0.34130 S - SO DONID OT Oo 0.432726 0.42745 0.42765 0.427854 0.42803 0.42823 0.428542 0.428561 0.428830 0.42900 0.42919 0.429338 0.429358 0.429377 0.429396 0.43016 0.435035 0.435055 0.43074 0.43093 0.43113 0.43132 0.435151 0.43171 0.43190 0.43210 0.43229 0.435249 0.432068 0.432857 0.43307 0.435326 0.435346 0.43365 0.435385 0.43404 0.45424 0.435443 0.43463 0.435482 0.43502 0.4352i 0.453541 0.435560 0.43580 0.43599 0.435619 0.436385 0.43658 0.436785 0.43697 0.43717 0.43736 0.435756 0.453776 0.435795 0.433815 0.458534 0.433854 0.43874 0.43893 log Tg z log sin & 9,87778 9.387789 9,87800 9.387811 I,87822 9.87833 9,87844 9.837855 9.87866 9.387877 9.837887 9.87898 9.387909 9.387920 9.387931 9.387942 9.837953 9.87904 9.387975 9.879855 9.387996 9.388007 9.838018 9,88029 9.388040 9.88051 9.88061 9.883072 9.883083 9.388094 9.88105 9.88115 9.838126 9.88137 !log cos m || llog ;Sec z w == 49 Grad. log Cos z log sec © 0.18306 0.183520 0.138335 0.18349 0.18364 0.18378 0.18393 0.18408 0.18422 0.18437 0.18451 0.18466 0.158481 0.18495 0.18510 0.158525 0.18539 0.18554 0.18569 0.18583 0.185985 0.158613 0.18628 0.18642 0.180657 0.18672 018686 0.185701 0.18716 0.18731 0.18746 0.18760 0.18775 0.18790 0.188305 0.185820 0.18834 0.188349 0.158864 0.183879 0.198894 0.183909 0.18924 0.185939 0.18953 0.189685 0.18983 0.18998 0.19013 0.19028 0.19043 0.19058 0.190735 0.19088 0.19103 0.19118 0.19133 0.19148 0.19163 0.19178 0.19193 l. cosece log Cotg z log Sin z (1)6747.8 (1)6773.4 (1)6799.0 (1)0824,5 d log cotg l. Cosec z wo =—=40 Grad. 50 SHw Poımn To Se . = S ON PO OO o —= 50 Grad. 2! 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Dar 0.17101 027437 7 1 ) 19 01129] 8 loazaız| 19 | 9 0.25381 19 017156] 57 |0.27402| 5 | 58 0.25300 | 49 10.17183| 5, 0.273897 | 15 | 57 0.25319 | 7, 10.17210 98 0.27372| 16 | 26 0.253358 | 73 |10.17238| 5 |0.27356| 5 | 5 0.253556 | 19 |0.17265| 5, [0.273411 5 | 34 025375 | 79 |0.17292| 5, 10.27326 1,» 025391 | 7, |0.17319| 55 1027311) 5 | 5% 0.2413 | [9 |0.1W347| 9, |0.27296| 7, | 31 0.25432 | 7, [0.173741 52 10.272880] j5 | 50 0.5451 | 7, |0.1raoı| 58 10.272865) 5 | 2 0.254609 | 79 |0.17429| 5, 10.27 20 15 48 0.295488 19 10.174565] Hr 0.217235 r 47 025507 | 79 |10.17483| 58 |0.29220| 15 | 46 0.255256 | 9 |[0.17511 97 10.272045 | 8 0.255455 | 194 10.17538| 5 0. 2189 Be: 0.2556) 79 0.17565| 5 |0.27174| 15 | 43 0.255853 | 19 [0.159] 9, 0.27159 | 0.25602 | 19 10.17620| 5; 0214| 16 | 41 pe 19 j0.47648| 97 |0.27128 15 | 4 0. 55059 19 0. 17702 55 10.27098| 5 | 38 0.25678 | 79 10.177301 55 1027083] 5 | 37 (0.25697 19 0.17757 98 0.27068 % 36 0.25716 | 19 |0.17785| 5, |0.27053 i6.| 3 0.5735 | 7, 0.1812] 5 0.270357) 75 | 3 0. 2 54 | 19 |0.17839 08 0.27022| 75 | 3 0.2731 10.178671 5 * 110.20007 E 32 0.285792 | 1) [0.1894] 5% |0.26992 20 9 0.25811 | 19 10.1792) 5, 10.26977| 5 | 30 0.258350 | ;9 |10.17949| 58 |0.26962] 15 | 29 0.255849 | 14 |I0.17977| 57 10.269416) 15 | 28 0.258608 | 79 |0.18004| 58 10.269311 15 | 27 0.25887 | on |0.18032|1 5 |0.26916] 5 | 26 0.2507 | Tg |0.18059) 55 10.2691) 5 | 0.25926 | 19 110.18087| 9, 10.268861 5 | 24 0.259455 | 9 |0.18114| 5, [10.26871 5 |%8 0.2594 | 79 018142] 5 10.26856| 75 | 2 0.2593 | 99 10.181609] 58 110.26841| 75 | 21 0.280003 | 79 10.18197| 57 [10.26825| | >. 20 0.2602 | 9 |0.18224| 58 |0.26810| 5 | 19 0.265041 19 0.138252 9% 0.267395 | 7 18 0.280600 | 79 |/0.18279| 5 |10.26780| 75 | 17 0.280079 | 5, |0.18307| 5 |0.28765| 75 | 16 0.2609 | 19 0.185331) 99 0.26750| 7, | 1 0.280118 | 79 |0.18362| 5, 0.20735| 5 | 14 0.280137 | 59 0.183589] 55 10.287201 5, | 13 0.280157 | 79 |0.1847| 5, |0.26705| 7, | 12 0.20176 | 79 |0.18444| 55 10.26689 he 0.2819.) 99 [0.184721 55 |0.26674| 7, | 10 0.26215 | 79 10.183500 97. ||0.26659 15 ) 0. 20231 £| 79 0.185271 58 10.6644) 75 | 8 0203 19 \0.18582] og 0.260 ;14 15 6 0.26292 0.18510| 53 10.26599| 77 5 oacsıı | 4) jo1ssss| 32 \0.205811 15 | A 026331 | 719 [0.186065] og 110.26569| 75 | 3 0.26350 | 99 110.18693| 53 10.265541 15 2 0.26370 19 |0.18721| 57 110.26539 15 1 0.2033) 0.18748| “ 10.265247 "9 || 0 l. B H 1 tg : z' n z ee Rerr) Be| E | e 87 S STOÄIOD Op Hmo| = e- 0.528340 0.528363 0.52886 0.52909 0.529332 0.52956 0.529379 0.53002 0.53025 0.53049 0.53072 0.53095 0.53119 0.53142 0.53165 0,53189 0.53212 0.532335 0.53259 0.53282 0.533006 0.53329 0.53352 0.53376 0.553399 0.534123 0.534406 0.533170 0.5301 0.53705 0.53729 0.53752 0.53776 0.538300 0.538233 0.538417 0.535870 0.535894 0.539138 0.539411 0.53965 0.539589 0.54013 0.540536 0.514060 0.540854 0.54108 0.54131 0.54155 0.54179 0.542053 0.54227 0.542350 illog Tg. 2 log sin @ 9,92359 9.92367 9.92376 9,9234 9.992392 9.92400 9.92408 9.92416 092125 9.92433 9.92441 '9.92449 9.924537 9,92465 3.924173 9,92482 9,92490 9.92498 9.929506 9.92514 9.995232 9,92530 9.99538 9.92546 9.932555 9,92563 3.9257] 9,93579 9.929587 9.9595 9.92603 9.932611 9.92019 9.92627 9.92635 9.92643 9.99651 9.92659 9.92067 9.92675 9.92683 9,92691 9.920699 j 19. 903 19.9271 19.993779 3.927 5 9.929795 9.928503 9.932810 9.92818 9.923825 9.928334 9.928342 DDR D=S00 o — 57 Grad. log Cos 2 log see @ 0.263589 0.26409 0.264285 0.264418 0.26467 0.20187 0.26506 0.265526 0.2054 0.265065 0.265854 0.26604 0.256623 0.256643 0.26663 0.26682 0.26702 0.26722 0.267411 0.26761 0.26781 0.268300 0.26820 0.26840 0.265860 0.263879 0.26899 0.26919 0.26939 0.26959 0.26978 0.269985 0.27018 0.270385 0.27058 0.27078 0.270983 0.27117 0.27137 0.27157 0.27177 0.207197 0.27217 0.27237 0.27257 0.272177 0.27297 0.27317 0.27 337 0.27357 0.273758 0.27398 0. 57 418 v. 27438 0. rag 0.27518 0.2753) 0.27559 0.27579 log Sin log tg o 0.1878 0.158776 .0.18804 0.18831 0.18859 0.188857 0.158914 0.18942 0.158970 0.158997 0.19025 0.19053 0.19081 0.19108 0.191536 0,19164 0.19192 0.19219 0.19247 0.19275 0.19303 0.193531 0.19358 0.19386 0.19414 0.19442 0.19470 0.194938 0.195265 0.19553 0.19581 0.19609 0.19637 0.19665 0.190693 0.19721 0.19749 0.19777 0.19805 0.19832 0.198560 0.198858 0.19916 0.19944 0.1997 2 0.20000 0.200233 0.20056 0.200854 0.20112 0.20140 0.20168 0.20196 0.20224 0.20253 0.202831 0.20309 0.20337 0.203065 0.20393 0.20421 log cos 0 log Sec z = 30 l. cosec W l. Cotg z log cotg @ l. 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Cosec z 3 0.53406| go || 0.51466 ri 0. 53448| 7 [0.5151 4 1053489) 45 ||0.51557 4 053531) 4] | 0.516002 4 0.583572] 49 ||0.51647 4 053614] 7 ||.0.51693 4 10.53655| yo || 0.51738 3 0.536977 |] 0.51783 4 ,053738| 0 ||0.51829 a |10.53780| jo || 0.51874 4 |9.53822 49 0.51920 1 |0.53864| 47 || 0.51965 4 |053%05| ,, 10.5201 3 1053947] 5 || 0.532057 4 ,0.53989| 5. || 0.52103 a ,„0.54031| 45 |10.52148 4 0.54073 2 0.52194 4 |0.54115| 75 || 0.52240 3 ,054157| jo ||0.52286 4 054199] 73 | 0.52332 4 0.5242) 75 11.0.5378 a |0. a 49 |) 0.52424 ni 054308 43 |)0.52516 a 05411] 45 || 0.52562 4 |05453) 73 || 0.520608 3 1054496) 49 || 0.52654 4 \/0.94538 49 |10.52701 4 |0.54581 19 0.521747 4 1054683] 43 || 0.52793 3 |0.,54666| 4 || 0.523840 4 |/0.54708| 43 || 0.52886 4 054751] 43 |10.52932 4 10.54794| 45 |} 0.52979 3 |10.54837| 43 |) 0.53025 4 ||0.54880| 73 || 0.53072 4 |0.54923| 49. |) 0.53119 4 10.354965) 43 || 0.53165 3 0.550081 4 11 0.53212 4 0.55052| 45 |0.53259 4 0.55095 13 0.533306 B3 0. 55138 43 0: 53952 4 10.55181 >. 110,53399° ı |0.55224| 43 |10. 53446 3 |055267| 41 10.534983 1 055354] 44 || 0.53587 3 055398] 43 10.53634 a 9554411 43 | 0.53681 4 055484] 41 | 0.533729 >. 10.55528| 44 |10.53776 a 1055572] 43 || 0.53823 4 1055615) 44 || 0.53870 3 0. 55659 41 0.533918 4 0. Sn 43 0.54013 3 |0.55790| 44 | 0.54060 a 0.535834] 44 | 0.54108 4 |0.55878| 44 || 0.54155 3 |0.55922| 44 |10.54203 ° 110.55966 | 0.54250 Dit. I. eosec0| Dif log eotg m l. Cotg z| o — 16 Grad. AS 0.13079| 73 | 60 45 0. 1 3053 14 58 -. 110.13039 o ByI n 0.13026 E 56 18 0130131 13 | 5 45 0.138000) 13 | 54 16 [0.129897] 4 | 5 45 10.1293] 75 | % onen | E B T > ) ) 25 |o 12031 3 | 15 0.128921) ja | 48 45 0.12894 13 | 4 46 0.128831] 13 45 15 |0.12868| 75 | 4 46 0.12855 15 43 Ag 0.1282] a | 2 16 ,0.12828| 13 | 41 46 0128815) 73 | 40 16. |0.12802) 13 | 39 46 1276| 4 | 3% 46 |0-12762| 13 | 36 46 0.12749| 73 35 17, 012736) 13 | 34 + an do 46 012710] 13 | 32 1 026 4 | 31 7.10. 18070 3 1% 47 ‚0.12657 13 25 „ 0.1264| > | @7 26 |lo1aeaıl 13 | & 47 |0126017| 13 | 8 16 |/0.12604| 15 | 24 ar |0.12591| 13 | 2 1: 0.125781 73. | 28 „ 0.198565) 3 | 21 0.12552 r 20 10 o.1esas} 13 | 19 ar 0.1255 3 \ıs 012512] 13 | 17 7, 10.1491 715 | 16 47 Sm 15 „ .0.12486| 13 | 15 y 0 5 | M 1 0.12460| 4 | 3 48 0246| 15 | 12 17 0133| 73 | u 47 0.124201 73 | 10 47 |012407| 13 | 9 18 |01234| 15 | 8 47 1042381) 14 7 18 1012867) 13 | 6 47 |042354| 13 5 as |0.12315| 73 2 17 |10.12302| 13 1 k 0.12289| 2 0 Diff z' | Dift de Ti nn nl nee mens nen nenne log Tg z log sin @ w — 74 Grad. log Cos z log sec ei Diff. 0.85220 0.385266 0.85312 0.853597 0.85403 0.385449 0.85496 0.385542 0.385588 0.385634 0.385680 0.385727 0.8573 0.835820 0.835866 0.85913 0.85959 0.86006. 0.530052 0.86099 0.86146 0.86193 0.806239 0.86286 0.386333 0.386380 0.836427 0.586474 0.865322 0.386569 0.86616 0.386663 0.386711 0.86758 0.386806 0.386853 ee: [0 0%0.) SZ [00X00X0.) oXeofe.]KeoXe.1o.) u ee 0 e) 7 & ? [op R) HL (14) 9.982831 9.98288 9.98291 9.98295 9.983299 9.98302 5.983006 9.98309 9.98313 9.98317 9.98320 9.9834 9.98327 9.9831 9.98334 9.98338 9.98342 9.98345 9.983149 9.98352 9.98356 9.98359 9.983063 9.983606 9.98370 9.98373 9.9837 9.98381 9.98384 9.98391 9.98395 9.958398 9.98402 9.98405 9.98412 9.984115 9.984119 9.981422 9.984126 9.98429 9.98133 9.984306 9.984140 9.084143 9.984417 9.98450 9.984153 9.98457 9.98460 9.98461 9.98467 9.98471 ı9.98474 9.984717 9.98481 9.984584 ı9.98483 9.98491 9.98494 log cos log See z DR OD ORO Bor Vu nr Bu VrRWw BO Pop wem PrRWw Por wrw Par op wir Bro = on On S Bu 0.55966 0.56010 0.56054 0.56099 0.56143 0.56187 0.56231 0.506276 0.506320 0.56365 0.56409 0.564514 0.56498 0.56543 0.56588 0.56633 0.56677 0.56722 0.56767 0.56812 0.506857 0.56902 0.56947 0.56992 0.570383 0.57083 0.571283 0.57174 0.57219 0.57265 0.7999 058046 0.58092 0.58139 0.581855 0.58232 0.582378 0.58325 0.58372 0.58418 0.538465 0.58512 0.58559 '0.58606 0.58653 ‚0.558700 l. cosec m l. Cotg z log Sin z log tg © 0.54250 0.54296 0.54394 0.54441 0.544859 0.54537 0.54585 0.54681 0.54729 0.5477 0.548326 0.54874 0.54922 0.534971 0.55019 0.535067 0.55116 0.55164 0.55213 0.55947 0.55996 0.56046 0.56095 0.56145 0.56194 0.5624 0.506293 0.56343 0.56393 0.5042 0.56492 0.565432 0.506592 0.566432 0.566932 0.56742 | 0.56792 0.563842 0.568932 0.569453 0.569953 0.57043 0.57094 0.537144 0.57195 log cotg l. Cosec z o— 15 Grad. 0.122389 0.122375 0.12262 0.122349 0.122336 0.12225 0.132210 0.12197 0.12183 0.12170 0.12157 0.12144 0.12131 0.12118 0.12105 0.120932 0.12078 0.12065 0.12052 0.12039 0.12026 0.12013 0.12000 0.11987 0.11973 0.11960 0.11947 0.11934 0,11921 0.11908 0.11895 0.11882 0.11869 0.110698 0.11685 0.11672 0.11659 0.11646 0.11633 0.1620 SH POT 00 o = 75 Grad. log Tg z !log Cos z| log sin @ Diff. |\jog see o | | 9.984194 9.984983 9.98505 9.98508 0.8 \ [19.98511 0.88351 9.98515 0.88400 9.98518 0.838449 9.958521 0.858499 '9.98525 0.838548 9.98528 0.88597 | = |19.98531 0.830647 9.98535 0.383696 9.98538 0.838746 9.98541 0.388795 9.98545 0.883845 9.98548 0.888395 9.98551 0.838944 9.98555 0.889941 | =. 119.98558 0.839044 9.985061 0.11502 0.11489 0,5879 0.11476 0.58842 i 0.11463 0.588839 R 0.11450 ea ; 0.11437 0.58984 ß 0.11423 ‚0.59032 ‚575: 0.11410 0.59079 E 0.11397 0.59127 576 0.113854 0.59175 5770: 0.11371 0.5.9222 SIT: 0.11358 0.59270 578 0.11345 0.59318 .57856 0.11332 0.593066 KETENTE 0.115319 0.5414 0.57959 0.11306 0.59462 0.558010 0.11293 0.5510] 72 |/0.58061 | 25 1/0.11280 0.59558 0.58113 0.11267 0.59606 0,58164 0.11254 0.59654 0.58216 0.11241 0.59703 0.58267 0.11228 0.59751 0.58319 0.11214 0.59800 0.58371| 27 110.11201 \0.59848 0.58422 | „. \0.11188 0.598971 73 11 0.58474 0.11175 0.599345 058526 | 5, 10.11168 0.59994 0.585578 | „. |/0.11149 ı0.60042 0.58630 0.11136 0.60091 0.58682 0.11123 0.60140 0.585734 | ,. \0.11110 0.601839 0.58786 0.11097 0.602383 0.58839 0.11084 0.602837 0.588591 0.11071 0.60336 0.589433 | 23 |/0.11058 0.00385| {9 110.58995.| 23 10.11045 0.004341 0 11 0.59048 0.11032 0.60483| == |10.59100 | 23 |10.11019 0.0533 059153 | 35 0.1106 0.00582| 0.59205 | zo |0.10993 0.60631 0.59258 0.109580 0.60681| 059311 | 23 10.10967 0.60730| „10.593864 | zo 110.10954 0.607850 0.594116 | 23 |,0.10940 0.60830| 0.594169 | 23 \/0.10927 0.60879| „. |10.59522 | „> |0.10914 0.60929| ; 0.5975) 23 10.120901 0.0059 5 0.596238 | x: 0.10888 0.61029 0.59681 >» [0.10875 0.61079 0.59734 0.10862 0.61129| , 0.597838 | 25 |10.10849 0.61179 0.59841 | „. |0.10836 0.61229) ; 0.5989 | 22 |10.10823 0.61279| ; 0.59948 | 2, |,0.10810 0.61330) „0 10.600017 | », 110.10797 0.613850) 2, |10.60055 | z. 10.10784 0.61430 0.60108 | >, 10.10771 0.9092) 0.61481 0.60162 0.10758 0.90981 9.980684 0.61531| 0.060215 | 2, 0.1075 0.91033 9.980687 0.61582| ; 0.60%69 | 2, 110.10732 0.910806 9.930690 0.61632 0.603233 | ”* 10.10719 log cos 0 ? l. cosee m An log eotgwm log Sec z l. Cotg z : 1. 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[3961.81 55 | 10 #2 |1.34146 | 9, |9.99820 1.04133| 93 |[1.03953| 93 |13959.6| 9] [13° 10 |1.34169 | 53 ||9.99820 1.04156| 53 |[1.03976) 53 [189575] 57 | 50 20 | 1.34192 | 53 119.99820 1.04179| 53 |1.03999| 54 [335.4] 57 | 40 30 11.34215 | 04 119.99820 1.04202| 93 11.040283) 95 |(1353.3| 9] | 30 40 |1.34239 | 53 119.99821 1.04225| 53 [1.04046| 5 (139512) 57 | 20 50 |1.34262 | 53 119.99821 1.042488) 54 111.04069| 53 [394.1 57 | 10 #8 |1.34285 | 0; |9.99821 1.04272| 93 |1.04092| 94 [(1)3947.0| 99 |1% 10 |1.34308 | 54 |[9.99821 1.0429 | 53 |1.04116| 53 [139448] 57 | 50 20 [1.343321 53 |19.99821 1.04318| 53 [1.04139| 53 1034271 57 | 40 30 |1.34355 | 03 119.99821 1.04341| 93 |1.04162| 94 |M3940.6| 9] | 30 40 | 1.34378 | 53 |19.99822 1.04364| 53 1.04186| 53 1039385] 57 | 20 50 |1.34401 | 54 19.998232 1.04387| 54 |[1.04209| 5, 1139364] 57 | 10 49° |1.34425 | 93 |19.99822 1.04411| 93 [1.04233| 95 [139343] 9] [1m 10 |1.34448 | 5» |19.99822 1.04434| 93 |[1.04256| 53 1139322] 55 | 50 20 | 1.3471 | 54 19.939822 1.04457| 53 |[11.04279| 54 (3930.01 57 | 40 30 |1.34495 | 95 |19.99823 1.04480| 94 |1.04303| 93 1139279] 9] | 30 40 | 1.34518 | 53 |19.99823 1.04504| 53 [1.04326| 54 |(13925.8| 57 | 20 50 |1.34541 | 5, |19.99823 1.045%7| 53 11.04350| 53 |(13923.7| 57 | 10 5®‘| 1.34565 9.99823 1.04550 1.04373 (39216) Igor logcosw| Diff, 1 eosee W) Digg. ||]. cotg | Dirk, z' Tag io) fe [ec Er log Sec z . 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TEE en > WEN STR uerETRg | oa = (0 Grad. Skizze Vergleichung zwischen den Gudermannschen und den vorliegenden Tafeln. 0 a, a 372778 0.001 | 6.90690 (02 6.99690 7.60804 890 507 35” 3 6 59'510.002 17.30100 [0410| (69 7.30100 | 90410 | 5’90739 1890 53° 7”’5 34° 22°,6\0.01 |7.99998 (42 8.00000 5.29833 899 25° 374 1° 845° |0.02 1830097 [90099 99 8.30106 | 0106 | 1'60521 88° 51° 15“ 8° 16° 44”1|0.145 |9.15834| 94 | (2)455 619.16289| z9012.62592/81° 43° 15,9 I 920° 8”2|0.116 916128 | “>| (@)461 9.16589 9.61907 |81° 39° 51/8 14° 30° 36",3|0.256 [939889 | 1c3|(M1408 | 111941297 | ans 140 33° 55*/9,.0.257 |9.40052 (11419 41470 21° 9° 35«1|0.378 |9.55747 (1)3031 9,5877 910 1%° 47“ 10.379 |gn585ı| 10 zoo | 16lgsssgg| 170 690 23 43“,411.705 |gorıza| 045356] 4,1042485| 4, 69° 34 55”/9 11.706 19,97135 0.45397 0.42531 740 34° 19,4|1.999 |9,98406 0.57502 0.55908 0.27262 150 3 47,6 740 35° 7“,312.000 19.98409| 5]0.5754| ,9]0.55058| 4, |0.27234 115° 24° 52%,7 740 36° 21 2.001 |9.98412 0.537586 0.55998 0.27207 1150 33° 579 750 25° 48.012.057 | 9.98580 0.59935| ,10.58516 | TS; 70 26° 40"2 2.058 \aaese| 2|0.00z| Aajossserı 45] |14 335509 ER 32 2.050 19.9856 310.60019| 43 10.58606| Au Een Se] A) © P f 5 19, 61 \ I b , | P # “u 750 30° 6” 20628 1998595 >[060146 | #2|o.sgrao| 4 |0:256 114° 30° 367,3 810 39° 49,7 2,619 | 9.99539 0.838669) 42 | 0.83407 | ee 81° 40° 193 12.690 |9.99540| Fiosssızı *lossası| 0146 | 820° 82 | | | 81° 49° 48",7 2.625 |9.99544 0.841%7 0.83671 BREN 81° 43° 18,3 |2.626 |aosıs| !losamol _#josszıs| #015 | 8° 16° MU 89° 51° 15“ | 4.60521|9.99991 1.69903 1.698994 0.02 10 graz“ 890 25° 37",4 5.29833 9.09008 7 900003 , 30099 990000 | 30106 10.01 | 00 34. Mau 189° 53° 7.5 | 6.90759 |0.00000 269900 2.69900 0.009 | h 89° 56° 35"/2 | 7.0804 0.0000 | __° | 3.00310 | 0410 | 3/00310 | 30410 0.001 | 0° 3 3 iur ee I | o Druckfehler. Pag. 58 statt 2° = 0,608@50 lies 0.608350. » 2) ” 2. = 0.60823 » 0.600323. » 18 „ we 18 „- 1.494173 —— u u, Ei ae orte 3 AN Buck: Er > BEER & wer DOsr ner f A} Als ” . g \ gi en. 72 20507 geAtex: * Beilage zu den Tafeln für sämmtliche trigonometrische Functionen der eyklischen und hyperbolischen Sektoren von Professor J. F. W. Gronau. Danzig, 1863. Der Nutzen der eyklisch-trigonometrischen Tafeln ist bekannt und erstreckt sich nicht blos auf die Trigonometrie. Zum Behuf der leichtern Auflösung des reducibeln Falls der kubischen Gleichungen habe ich in den Schriften der Naturforschenden Gesellschaft zu Danzig für das Jahr 1862 hyperbolisch- trigonometrische Tafeln herausgegeben, welche ausser den hyperbolischen Sektoren (<= Area = Ar.) nur noch deren Sinus (Sin z) und Cosinus (Cos 2) enthalten durften. Auch sie können zu andern Zwecken gebraucht werden, namentlich zur leichtern Berechnung gewisser Integrale. Aber selbst wenn diese Tafeln auch noch die byperbolischen Tangenten (7) in sich auf- genommen hätten, so würden siezwar mehrleisten können als bisher, aber immer wären sie noch ebenso einseitig geblieben, wie die alten cyklischen Tafeln es sind. Sollte allen zeitgemässen Anforderungen entsprochen werden, so musste eine vollständige Verschmelzung beider Tafeln, der eyklischen und der hyperbolischen vollzogen werden, und das ist in den vorliegenden neuen Tafeln geschehen. In dieser naturgemässen Verschmelzung leisten sie mehr, als die alten cyklischen und meine früheren, vervollständigt ge- dachten hyperbolischen Tateln zusammengenommen. Zwar befinden sich schon in der Vorrede zu den neuen Tafeln einige Beispiele in Bezug auf elliptische Transcendenten, welche zeigen, wie man durch die Tafeln sehr leicht sin am, tg am, Äam berechnen kaun. Doch scheint es zweckmässig, da die Herausgabe des nächsten Heftes der Ge- sellschaft, welches vielfältige theoretische und praktische Anwendungen der Tafeln enthalten wird, sich noch einige Monate verzögern dürfte, schon hier einige einfache Beispiele zu geben, welche den grossen Nutzen dieser Tafeln werden erkennen lassen. Zuvor noch ein Paar Worte: So wie ich die cyklisch-trigonometrischen Functionen mit kleinen Anfangsbuchstaben sin ®, c0s®, t9@... arc=ar.), die hyperbolischen mit grossen andeute, so bezeichne ich auch die natür- lichen oder hyperbolischen Logarithmen mit Z0g, die briggischen, deren Mo- 9, u dul M = 0,43429 ist, mit log. So wie ferner in den alten cyklischen Tafeln nicht die Kreissektoren (ar. — = —- w, wo R der Kreisradins ist), oder die ihre Grösse bestimmenden Z Yahldn Er Bogen (w) angegeben Ba sondern ; > w, w— wo" HI Wi Winkel von ® Sekunden ( wobei und ET Er ir enthalten auch meine Tafeln weder die hyperbolischen Sektoren selber ist), SO R? Re A S (4. ——- 2) noch die ihre Grösse bestimmenden Zahlen z, welche natür- liche Bosariihme n vonentsprechenden Asymptotenverhältnissen sind, sondern die dazu gehörigen briggischen Logarithmen z’= Mrz. Es wird hen der Fand > ı ) BD 2 Factor -—-—1 gesetzt, weil die sogenannte Potenz der Hyperbel als ge- meinschaftliches Flächenmass für die hyperbolischen und cyklischen Aren anzusehen ist. B E See "de 14: rm 1. Beispiel. Es in — 100 VE=-+. !'y x, oder or '1+% = ufıe = 'g-|) ai — Ar. (Tg= a), wobei Ar’= M.Ar. =‘ ist und wobei von der Üonstante abgesehen werden soll. Ist nun etwa log«= 9,84067, so geht man mit ae Argument auf Seite 74 meiner Tafeln in die mit log Be: z überschriebene Cohiere ein und findet dem entsprechend durch die mit >° bezeichnete Columne: I+« ae a A ; fer oder log. ler 0,37087 -1- 10 = 0,37067, weil aus der Propor- tion 13:8— 17:p sich = 19 ergiebt. ; . Rule Ix x +1 - 2. Beispiel. Es ıst je er —- 1009 — —= Ar. Cotg'«." Istan f dx c+1 loy x —= 0,57893, so hat man — u er {ag ne (Cotg = x) = 0,11724-1-4—= 0,11728, da (pag. 105) aus der Proportion 47: 14=14:p sich p=4 ergiebt. ds 7 d. Beispiel. Io —= Lo4 (Ya? E1--2) = Ar.Sina. Für log «= 0,57893 erhält man dx fi: pr = log (er T-La) = Ar’. (Sin = a) = 0,88695 + 36 — 0,88732, weil pag. 106 aus der Proportion 51:37=51 — 1:7 folgt, dass p = 36 Ist. 4, Beispiel. Für Eu z in ar t ferner nach pag. 105 dx R A = log (Y 1-42) = Ar’. (Cos= 2) = 0,87187 + = 0,87221, da Y2—= 47 Sich ; : l« 5. Beispiel. — Log tg (45° -4 a — z folgt für w — 430 - on Y . 0, 3706 7 51’ 36° ohne Weiteres <= u Ja 3 6. Beispiel. Ebenso fe fe Bar. w. Also für # — 08 2 Tr 0,46404 ist @" = 520 4’ 54" und w = 0,90897. 7. Beispiel. Montucla giebt in seiner Histoire des Mathematiques, I]I, pag. 151, für die Länge eines PT ischen Bogens B, dessen Parameter 2m —= 1 and dessen Abscisse x — 2 ist, folgende Formel an: — 3 +-0,4406964 == 3,4406964 an. Indessen der erste Theil seines Integrals ist ersichtlich falsch und muss 1 . 3 — < Dı 9: . 3 9 FEIND 5 2 heissen: —- Y2p + 4: = 2,12132 statt3, sodass also B — 2,56202 ist. Littrow in seiner Anleitung zur Mathematik pag. 349 giebt dafür folgende Formel: B=3p | — — Logtg ( 50 — 2| wo $ aus © = -,- tg P?zuberechnen ist und demzufolge 70° 51’ 44“ beträgt. Auch sie en B = 2,56202. Meine Formel lautet B — —_—: 4, wo ft die Tangente des Parabel- punktes ist, dessen Ü PEN und y sind, sodass also t = Yy?@r)? ist, Y 1 na br) “ und wo A = Ar. Cotg ; — oder Cotg A=—-. ist. Für Montucla’s Zahlenbei- spiel ist — J 18 — 4,24264 und ) t Er OZEETP 7 2 7 0 log z,, = 0,02557.6 = (1)2557.6 = log. Cotg A = log. Cotg z. Dazu gehört nach pag. 50 meiner Tafeln 2’ — Ar’. = 0.76528 -1-27 — 0,76555 27 ist). Demnach ıst z= - Fr —= A. — 12098 und) wie (weil 45:3.3= 3917: vorhin B = 2,12152 + 0.440170 = 2,56202. 8. Beispiel. Gudermann in seiner Theorie der Potenzialfunctionen pag. 59 giebt für die u. a. bei der Brückenbaukunst wichtige Kettenlinie folgende einfache Gleichung zwischen den Coordinaten vw und y, wobei die Abseissenlinie um @ (= der kleinsten Spannung) von ihrem Scheitel ab- 2 R - . . x . o steht: y=@. (os —. Setzt man nun @— 1,4406, indem das Gewicht eines Theils der Kette, dessen Länge der Einheit gleich ist, auch gleich 1 ange- nommen wird, so geben meine Tafeln, wenn successive 20 STR Il l endlich 29 ish y= 1,4406 | 1,5281 | 1,8018 ee a was eine Breite des ER oder eine Spannung des Brückenbogens — 5 und die Höhe des Gewölbes oder seine Pfeilhöhe — 2,7713 voraussetzen würde, da 4,2219 — 1,4406 — 2,7713 ist. 9. Beispiel. Dr. Zetzsche giebt in Schlömilchs Zeitschrift V. pag. 169 für das Trägheitsmoment (7) einer Parabellinie, welche sich um die Parabel- axe dreht, mit Uebergehung gewisser Factoren u un d’’, welche hier nicht in Betracht kommen, ee, Ausdruck an: zZ » Tim y2 z+ 4z? pt: D% 7 phtsh2 VER EREE 4y2° 16708 p falsch angegeben, er muss heissen 1,75 Ypz+2: am VY2pz-+ 222 Ich ande dafür fols, ei Be 1 ..Cos A. Cotg 4 erer2 A wo Cos A—# r “2 ist, Es sei nun der ee p = 8,1479 und die Gr enz Abscisse z— 10,9783. Dann ist 4’ log EI = loyCos A=0,80546| log? = 2,2007 1% A' — 1,10381 Iog 005 4 = 0,80548, log A = 0,40512 G- 955190 Vo Cory 5 = 0,0854 Tag; =1, 52903 3,13457| 1 ‚93415 Dazu 1363,2 = Nun! Dazu 85,931. Also ıst T= 1363,2 — 85,931 = 1277,27. 10. Beispiel. Man soll für eine hyperbolische Fläche (F’) die Ent- fernung ihres Schwerpunktes (@’) von ihrem Mittelpunkte 0, (dem Mittel- BREI der zugehörigen Ellipse mit den Halbaxen a und b,) finden, wenn sich diese Fläche von ihrem Scheitel 4 bis zur Ordinate BÜ=2y erstreckt. Aus 2" FF — 2 ya 2. Nun fr d.x folgt —i A Er g) wo Co A= u ist. Für = 2a hat man: Dn — 0,57195 | log Sin 2 A = 0,84063 log Sın A ® = 0,1568 3 Sın, 22: — er Folglich log 3 —= 9,82391 | — A=13170 | «= 1,6133. a loa . Zähl. = 0,53959 | log. Nenn. = 0,33187 | mi im December 1863. Gronau. Die Tafeln für sammtliche trigonometrische Functionen der cyklischenu und hyperbolischen Sektoren von Lrof. Gronau sind gegen Einsendung des Nettopreises von 1 Thlr., oder gegen Postvorschuss direct zu beziehen von dem unterzeichneten Selbstverlag. Die naturforsehende Gesellschaft in Danzig. Druck von A, W. Kafemann in Danzig. SCHRIFTEN DER NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT DANZIG. NEUE FOLGE. ERSTEN BANDES ZWEITES HEFT. SFRr INNE I TBL107 HER Yarı : 2 YES n er SSENSCHATTEIGH P A 3 & IR os ur INS Zur 13 ut ’ N; DANZIG. AUF KOSTEN DER NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT. 1865. ver £ kn er aa wit Koie, 2 Many: | v \ 67 er.r { his. f . > "ac ri ie RR FE er T\, na war I In; NE B.7 B%, “E Be ia. une nu = i Si TU InamadD: MEehY ee Br & a y er 1 5 | e j \ en ER, Ba Fi BR" B.. N ; Ei e aa A. EN el ie A ‚Dei j Ri kan, ae BT Drib Ä x ir: ıE A fr ee ei ir 2 Fa SH en KARSAUR, = Me ns Der Pe ES U MH IDE RT SE r 7 IBFre DT TUE ah» 4 iyr E ua }: TR M a ir > Be Ds ES ET ITE G dh Ve ı 1.3 wo BUT rue Pot % } - ale I Zar > 1 I; r Br “ REN Pa‘ - TR lag R D » r { Ama, wr Ts a? „1 cl -- OR: rn mul, r a s ER? U Zr, « R £ ® A PA Any 2 Br 1 US f zer ve eregd - . “n ws % > .. E = ,7 N % i nr‘ 1a ir b IR 2a Bar j 2 A - Er s an er u. va = ee 1 Inhalt. Kayser, Beobachtungen der magnetischen Deelination in Danzig. Kayser, Das Depressions-Mierometer, Mehler, Ueber die Anziehung homogener Körper insbesondere der Polyeder. Klinsmann, Ergänzungen und Berichtigungen zu „„‚Novitia atque defectus lorae Gedanensis (1343).* Deneke, Ein neuer akustischer Interferenz-Versuch. Gronau, Theorie und Anwendungen der hyperbolisehen Functionen. 3 f AR AR? ‚Harterl | geil 1 erlangen oh ern UL EHTIIE EN LEE en 74 Zr Bar, Er nF ge fee N le re ea nd a ra yridarsır? oil ueket) rein Aw sr Pertah Ye a? tt en Hardilähmit bist ir ta N era ee van arufeli Fee Enter elle ef, syrben “uB Ki be BEOBACHTUNGEN maonetischen Deelination in und Bemerkungen dazu n- „BATSER, ırforschenden Gesellschaft. m m nn a we nn Danzig en -_ F Bisuscl. ui noise oder Be a uribinaynadrsngH ben naar i i % 4 ARE j 2 BF, Jiuralivens ehandsayelrusi.ı Wh: ee > Pa " Bencela A Es ne m Ri: 2, - D:. in diesem Aufsatze mitzetheilten Beobachtungen, die magnetische Decli- nation in Danzig betreffend, sind die einzigen von einem Unternehmen übrigen Bestimmungen, das Dr. Gieswald und ich zur Untersuchung des Erdmagnetismus nicht allein in Danzig, sondern auch in der Provinz verabredet hatten. Leider setzte der Tod des Dr. Givswald unserem Vorhaben ein Ziel. In Danzig fehlt cs an einem magnetischen Observatorium. Waren auch am Ende des Jahres 1861 durch Acquisition eines bei Meyerstein in Göttingen von Gieswald bestellten Uni- filar- und Bifilar-Apparates die Anfänge dazu gemacht, so kat das Instrument doch bis jetzt noch nicht die erforderliche feste Aufstellung erhalten. Die Declinations- beobachtungen sind von mir an einem Declinatorium von Pistor und Martins No. 53) angestellt worden, welches Instrument der Königl. Navigations-Schule gehört und von Herrn Director Albrecht mir gütigst zum Gebrauch überlassen war. An dem genannten Apparate waren bis dahin meines Wissens noch keine Bcobach- tungen gemacht worden, ich kannte daher nicht die Genauigkeit, welche dasselbe gewährt, auch fand ich nichts Vollständiges über den Gebrauch derartiger Instru- mente veröffentlicht vor. Zu Bestimmungen, wie wir sie vorhatten, ist ein Lamont- scher magnetischer Reisetheodolit vorzuziehen, um so mehr, als alle magnetischen Constanten mit Geschwindigkeit damit gefunden werden können, während wir, um zu gleichem Zwecke zu gelangen, mehrere grosse Instrumente hätten mitnehmen müssen. Unerlässlich ist es, dass derartige Beobachtungen im freien Felde, die nur unvollständig sein werden und in sofern als relative gelten, mit denen in festen Ob- servatorien gemachten verglichen werden müssen. Da in unserem Falle dies un- möglich war, so habe ich gesucht, so gut ich konnte, alle Correctionen des Instru- mentes aufzusuchen, um möglichst absolute Bestimmungen zu erhalten. Das Declinatorium ist nach der Bessel’schen Idee construirt, wonach die Lager eines Passagen-Instrumentes zugleich zur Einlage des magnetischen Gehäuses benutzt werden, damit ersteres das Azimut der Magnetnadel liefere. Der Azimutalkreis wird mittelst vier Nonien auf 10 abgelesen und ist in der Richtung N. OÖ. S. W. zu- nehmend getheilt. Das Fernrohr, zum Durchschlagen eingerichtet, hat im Brenn- punkte fünf Vertical-Fäden und einen Horizontalfaden. Die Neigung der Axen desselben lässt sich durch ein Niveau finden. Letzteres kann auch zur Nivellirung der gleich grossen Axen des magnetischen Gehäuses benutzt werden, wenn man die eylindrische Säule, die die Magnetnadel trägt, abschraubt. Diese Säule wird oben durch den Torsionskreis verschlossen, in dessen Mitte der Haken steckt, woran die 4 ungedrehten Seidenfäden festgemacht sind. Am andern Ende der letzteren sitzt der Haken, an welchen das zum Tra,sen der Magnetnadel bestimmte Schiff einge- hängt wird. Auf das Schiff in Kreuzform lässt sich die Nadel, mit quadratischer Einkerbung in der Mitte versehen, setzen und durch vier Schraubehen des Schiffes befestigen. Die Nadel, etwa 11 Zoll lang und von ziemlichem Gewichte, (daher sie wohl besser Magnetstab heissen könnte) hat an beiden Enden Täfelchen von Elfen- bein mit einer oben und unten befindlichen, coincidirenden feinen Theilung. Die zur Suspension bestimmte Säule ist an ein längeres Metallstück in der Mitte angeschraubt, an deren Enden die Träger festsitzen, welche die zur Ablesung der Täfelchen dienenden Microscope halten. Der Torsionskreis mit einer Theilung, die in gleichem Sinne mit der des Azimutalkreises bis 360 fortschreitet, wird durch den an der Säule in der Richtung der Microscope befestigten Index abgelesen. Da ich bei Uebernahme des Instrumentes bemerkte, dass die Elfenbeinplättchen Beschädigungen an sich trugen und nur lose eingeschoben waren, so liess ich einige in demselben Maszstabe als die vorgefundenen von Herrn Hauptmann von Froreich neu anfertigen nnd auch sicherer befestigen. Dem quadratisch geformten Ausschnitte der Nadel habe ich durch Feilen eine einigermassen nähere Richtigkeit zu geben gesucht, als ich sie vorfand. Bei verschiedenen Einlegungen der Nadel in das Schiff mussten nämlich die Schrauben des letzteren in ihrer Stellung zu sehr verändert werden, was auf die Gleichgewichtslage von Einfluss ist. Auch fertigte ich zur Aufhebung der nicht unbedeutenden Torsion einen ganz ähnlich gestalteten Stab von Zinn an, um die Stellung des Torsionskreises zu ermitteln, worin keine Torsion statt hat. Ein Uebel- stand in der Einrichtung des Instrumentes ist es, dass man über die Richtung der Linie, die durch die Microscopfadenkreuze gelest wird und senkrecht zur Axe stehen soll, nicht ins Klare kommt. Am einfachsten wäre gewesen, die Dimensio- nen so zu wählen, dass ebenfalls das magnetische Gehäuse durchzuschlagen möglieh ist; denn alsdann hätte bei verticaler Stellung desselben ein vor den Microscopen befindliches Loth die Collimation der Microscopenstellung gezeigt. Weiterhin werde ich der Einrichtung gedenken, die behufs Auffindung dieses Collimations- fehlers getroffen ist. Die magnetisehen Beobachtungen wurden in beiden Jahren 1361 und 1862 auf festem steinernen Fundamente angestellt, das erste Mal auf Festungsterrain, im an- deren Jahre auf dem Turnplatze, der hinter der Petri-Schule gelegen ist. Das eine Fundament verdanke ich der Güte des Herrn Hauptmann von Chamisso, der auch für Unterbringung des Instrumentes Sorge trug. Im Jahre 1862 hatte Herr Bau- rath Licht bereitwilligst einen Stein zur Anstellung der Beobachtungen hergegeben. die Aufbewahrung des Instrumentes gestattete Herr Director Strehlke im Locale der Petri-Schule. Ermittelung des Azimutes der Beobachtungsstellen und ihres geographischen Ortes. Da von der im Jahre 1861 eingenommenen, hoch gelegenen Stelle das Thürm- chen des Hauses der naturforschenden Gesellschaft sichtbar ist, so habe ich diese Richtung anvisirt, und an allen Beobachtungstagen die Spitze des Thurmes als Mire beibehalten. Um auch einigermassen angenähert die geographische Lage jener Stelle zu erhalten, brauchte ich nur die Richtung nach der Oelmühle von Th. Beh- rend & Co. zu nehmen, weil die Linie Oelmüble und Haus der Gesellschaft eines Theils den Meridian giebt und auch ihrer Länge nach bekannt ist. So wurde der 5 Winkel zwischen Mecridiantafel an der Oelmühle (im Süden vom Hause der Gesell- schaft), Thurm und magnetischer Beobachtungsstelle 45 9 36° 28° gefunden, wozu 1) noch 103% zuzufügen sind, als Unterschied der Stelle des Passageninstrumentes im Hause und der Beobachtungsstelle im Thurme und 2) 33% wegen der Differenz zwischen letzterer und der visirten Spitze. Es ist also - 450 47° 38 das Azimut von N. zu ©. Die Daten, Entfernung zwischen Meridiantafel und Thurm = 2166 kh. Fuss und der Winkel gemessen zwischen Meridiantafel, magnetischer Observationsstelle und Thurmspitze = 19° 57° 31%, mit dem erst gefundenen Winkel, lassen den Ort der magnetischen Beobachtungsstelle 41” südlich und 4°.8 westlich zum Thurm finden, was endlich die Breite 540 20° 21” und die Länge 20m 58.7 ästl. von Berlin ergiebt. Im Jahre 1862 beziehen sich die Beobachtungen auf eine Marke der Petri- Kirche. Das Azimut dieser Marke ist aus Beobachtungen von « Ursae minoris in der grössten östlichen Ausweichung des Sternes gefunden. Am 15. October 1862 wurden nämlich für die Einstellungen des Mittelfadens auf den Stern in beiden Lagen des Fernrohres folgende Angaben des Azimutalkreises im Mittel gewonnen: M. Dz. Zt. 5h gm & Urs.’ min. Kr. W.26° 12° 53” 5 16 4 + 0626,80; An diesem Tage ist: @ Urs. min. AR. 1: 9m 55,87 d 830 34° 48,75 Stzt. im m. D. Mttg. 13° 34" 50.15 für 5b 8m 18 43 40.74 ES > 18 51 42.06 Stunden Winkel t 17 33 44.87 = 265° 26’ 13.1 17 Al 46.19 = 265 26 32.8 Mit Benutzung dieser gegebenen Grössen und der Polhöhe y — 54° 20° 44 ergiebt die Formel zur Berechnung des Azimutes a 9 sin t tg a = ——— cos ptg d— costsing die Werthe: a 20234 34 nd 2 25 14 östl. vom Meridian. Daher ist die Angabe des Meridians auf dem Azimutalkreise bestimmt durch das Mittel aus | 6 Kr. W. 26° 19° 53% — 20 24° 34” und Kr. O. 26 10 0 —2 25 14 —: 230 46-32 Da am Beobachtungstage 71° 35.8 die vom Collimationsfehler befreite Ablesung der Mire an der Petrikirche war, so ist 1 SZ 37405 =A7r93 das Azimut dieser Mire von N. zu O. Einem Plane der Stadt entnehme ich fiir die Station die Breite = 54° 20° 44 die Länge — 21” 1°5 östl. von Berlin. Untersuchung der Collimation der Nikroscope. Zum Zwecke dieser Untersuchung liess ich ein starkes Brett anfertigen, dessen eine Ecke eine metallene Säule mit einem Index trägt. Der Index lässt sich be- liebig so verschieben, dass man ihn, wenn das Declinatorium auf das Brett gestellt wird, unter eins der Microscope bringen kann. Als genauere Marke wurde eins der kleinen Elfenbeintäfelchen benutzt, welches auf beiden Seiten entsprechend ge- theilt ist. Nach Beseitigung der Hülse für den Suspensionsfaden der Nadel kann der Mieroscophalter auch umgelegt werden, so dass dasselbe Microscop auf die untere Seite des unverändert gebliebenen Täfelchen sich richten lässt. Wenn auch jetzt die Ablesung schwieriger wird, so ist sie doch zu machen, sobald man ein kleines Reflexionsprisma benutzt. Ebenso kann auch das zweite Microscop auf beide Arten zur Einstellung gebracht werden. Die Abweichung zwischen oberer und unterer Ablesung wurde durch Drehung der oberen Parthie auf dem Azimutal- kreise und Ablesung des letzteren bestimmt. Hierbei ist zu bemerken, dass diese Beobachtung in beiden extremen Lagen, wenn das Gehäuse bis zur Berührung des Lagers mit der Axe ganz links und ganz rechts geschoben wird, gemacht werden muss, da sonst wegen des Spielraumes, den die Axen im Lager haben, die Messung ganz illusorisch würde. Die Zahl der Beobachtungen ist noch dadurch auf das Doppelte gebracht worden, dass auch das Lager um 180° gedreht und jene Mani- pulation wiederholt wurde. Wenngleich das hier angedeutete Verfahren in sofern gewagt erscheint, als es auf der Vollkommenheit der Ausführung der entsprechenden Theile basirt, so möchten doch etwaige Unvollkommenheiten zum grossen Theil aus dem Resultate herausgehen. Die darüber mitzutheilenden Beobachtungen zeigen eine recht befriedigende Uebereinstimmung. Die Bezeichnung Microscop a und b dient zur Unterscheidung, und ist mit b dasjenige gemeint, welches vom Torsionsindex am weitesten absteht und eine zum Aufrollen dienende Schraube in der Nähe hat, die möglicher Weise zur Unter- suchung der Microscopenstellung dienen sollte. Zur relativen Unterscheidung für das Anschieben des Axenansatzes an das linke und an das rechte Lager sind die Zeichen l und r gebraucht. Uebrigens wurden nur 2 Nonien abgelesen, weil den anderen schwer beizukommen war. 1861. Microscop a. Non. 1. 3 Mittel. 1 3440 44 25 1640 Ad 107 3440 AM AB 5 ur oo 30 15 M10 see Non. 1. 344° 344 42 343 53 344 3l 344 57 2 345 39 164 30 169,09 164 43 165 19 Non. 2 229 24 230 0% 223 38 229 14 228 27 2239 4 229 34 230 10 49 538 50 14 48 52 49 27 47 200 50 20 umgelest 3. 1640# 54 °0% 3449 164 43 30 344 Microscop b. 163 54 10 343 164 31 40 344 umselegt 164 57 50 344 165 33 40 345 hy Lager um 180° gedreht. 34 345 49 50 Microscop a. 30:35 164 N 165 - umgelegt 52 %0 162 28 10 164 Microscop b. 39 35 163 470 164 umselest 43 45 164 19: 50 16» 1562. Microscop a. 4 2420009 0 50 230 umgelesgt 35 10 228 i4 10 229 Microscop b. 27 30 223 0, 229 umgelegt 34 20 229 10 10 230 Mittel. a a! A 233% ar 43 10 344 a 55 53 50 2 2. ) 344 12 38 Sur ) 345 15 32 33 29 30 43 el i ,) 64 49 52 Bar Bade 5 jo) 10 7 39 43 | )) a} 2 17 „) 8 33 24 43 48 \ .\. [1% ae Mittel. 5 239 42 98 38 5 Dre A in DE 56 8 7 B\\ I) / N ) 298 45 48 34 2% e [979 5) f : 10. )229 52.15 Lager um 130° gedreht. Microscop a. 38 20 49 14 40 50 umgelegt 52 10 48 27 40 49 33 14 52 30 97 8 Microssop b. 4 Non. 2. b Mittel. 48° 40° 0% 228° 49 20” 48° 40° 10 ER BETT NA; 229.17 30 49 ,47 35 a umgelegt 12 49.48 20... 229,.48.10 49 48 15 2. 030,22 10% 5002220 50: 22 RR Nnumte Die halbe Differenz der für die directe Beobachtung und für jene in umge- kehrter Lage abgeleiteten Mittelwerthe ist nun der Collimationsfehler des resp. Mi- eroscopes; und da es nur auf die Richtung der Verbindung der Microscopgesichts- linien zu der durch die Axe gelegten Senkrechten ankommt, so ist das Mittel der Collimationsfehler beider Microscope diejenige Correction, welche der Ablesung des Azimutalkreises für die betreffende Stellung des magnetischen Gehäuses zuge- fügt werden muss, Dem vorgezeichneten Wege entsprechen nun folgende Zahlen: 1861 Lager gedreht = 404277 20 391454 62 54 63 a —20714 — 19 53 3,27 31 44 11213 IST Resultat 5 37 5 56 1362 Lager gedreht — 46 20 = A 33 66 27 66 22 — 23 10 — 93 u 33.24 33411 IA 9 54 Resultat 5 2 Ar DR Zur Ablesung des Kreises muss also wegen fehlerhafter Stellung der Micros- cope im ersten Falle 5’ 47”, im zweiten 5 0 addırt werden. Bei dieser Gelegenheit ist auch einer Correction zu gedenken, welche von der etwa prismatischen Gestalt der Gläser herkommt, womit das magnetische Gehäuse bedeckt ist. Die vorstehende Untersuchung wurde gemacht nach Entfernung der Glasgehäuse; für die magnetischen Beobachtungen muss also ersterer Correction noch die Verbesserung wegen Abweichung vom Planparallelismus des Glases zu- gefügt werden. Indem ich den Magnetstab festsetzte und Ablesungen ohne und durch die Gläser machte, fand ich 0.5 als Correction, und zwar in demselben Sinne zu nehmen wie die der Collimation der Microscope. In der Reduction der magnetischen Beobachtungen findet sich dieserhalb angewendet die schliessliche Correction für das Jahr 1861 6.3 tt ae 9 und in Verbindung mit dem Azimut der Mire für das Jahr 1861 45° 47,6 + 6.3 = 45° 53.9 1862 47 49.3 +5.5 = 47 54.8 ” ” ” Bestimmung des Werthes der an den Nadelenden befindlichen Theilungen. Wie schon erwähnt, befinden sich an den Enden der Magnetnadel dünne mit feiner Theilung verschene Plättchen. Die Stellung der Nadel wird durch die Microscope mittelst jener Theilstriche abgelesen, oder es kann durch Drehung des oberen Theiles des Instrumentes auch auf einen bestimmten Strich eingestellt und der Stand am Kreise abgelesen werden. Da die Nadel fast nie in vollkommen ruhiger Lage verharrte, so habe ich bei den magnetischen Beobachtungen die Ab- lesung der äussersten Anplituden zu beiden Seiten der Microscopfadenkreuze ge- macht. Die Angaben N und 8 gelten für die Notirungen an dem im Norden und Süden stehenden Microscope. Das positive Zeichen, welches übrigens immer aus- gelassen ist, zeigt an, dass die Tafel zur Linken des Fadenkreuzes im umkehrenden Microscope erscheint; im entgegengesetzten Falle ist das negative Zeichen gebraucht. Von der Mitte der Theilung wurde gezählt. Der Werth der Tbeile lässt sich finden, wenn man das Instrument in die äussersten Grenzen verstellt und die Ablesung des betreffenden Theilstrichs mit der Angabe des Kreises vergleicht. Die darüber an- gestellten Beobachtungen sind folgende, worin die Angaben der Theilstriche (Th.) schon Mittelwerthe sind. Non 1 Microse. Th. Mittel Differenz 3 0944 (u 9990 344 40% c TEE Ehe Eee Bm mm HT am TR 1 a 20 mm ns mn nm a ( I; re Bun man En om Nadel umgelest. ae a a een 3 35 29 4 2 9r P Be; #2 een 29 42 m 6 En mm 00. ms a fr 50 2 2 E50 mnm nennt 0 6m Ems mm) a mm 94 Ma San 2 22102291 31 50% b 9.7.49 31 30 59 9 12.0 1.95 493130. 228032 20. 'b. —68 4892 5 10 Wird aus allen Beobachtungen das Mittel genommen, so ergiebt sich 4 Te an, Herr von Froreich hatte den Auftrag, die Theilung, dem Rhadius der Nadel entsprechend, auf den Werth von 5’ einzurichten. Nach dem gefundenen Resultat zu schliessen, hat er dieses vollkommen erreicht, und habe ich in der Reduction stets den Werth 1 T" — 5’ angewendet. Es blieb noch die Frage zu beantworten übrig, ob die auf beiden Seiten der Plättchen stehenden Theilstriche coincidiren. Obwohl bei der dazu getroffenen Einrichtung auf der Theilmaschine eine Unrichtig- keit nicht zu vermuthen stand, so habe ich doch die Prüfung vorgenommen. Zu diesem Zwecke wurden zwei Fernröhre mit ihren Objectiven auf einander gerichtet. Das eine enthielt ein solches Plättchen im Brennpunkte, das andere einen Faden, der den Theilstrichen parallel gebracht werden konnte, Stellte ich nun das Fern- rohr mit dem Faden genau auf den Mittelstrich der Tafel ein, so konnte ich durch das andere Fernrohr sehend bei ungeänderter Stellung des Ganzen mich überzeugen, ob auch der Mittelstrich der entgesengesetzten Seite mit dem Faden zusammenfiel. Es zeigte sich auch nicht die geringste Abweichung bei dieser Untersuchung, und ist somit von dem Künstler Ausgezeichnetes geleistet worden. Zur Torsion. Um den Werth der Torsion bci diesem Apparate kennen zu lernen, sind nach- stehende Beobachtungen angestellt. Der Torsionskreis wurde sowohl links als auch rechts (im ersten Falle wachsen die Zahlen des Kreises, im anderen nehmen sie ab) aus der Stellung, worin nahezu keine Torsion stattfindet, gedreht, und zwar immer um 45° bis zu einer ganzen Revolution. Die mit dem Zeichen * versehenen Angaben bei Ablesung des Torsionskreises 100° sind die ohne Torsion, zum Unterschiede von der gleichen Ablesung 100°, wobei der Kreis ganz herumgedreht wurde. Das Mittel zweier Angaben der Magnetnadel-Indices ohne Torsion ist von den für ver- schiedene Torsionskreisstellung stattfindenden Ständen der zwischen jenen liegenden Beobachtungen subtrahirt worden. Da die Variation der Declination an dem be- treffenden Tage unbedeutend gewesen, so ist sie bei den gebildeten Unterschieden ausser Acht gelassen. Das Instrument blieb während der Beobachtungszeit unver- ändert bis auf die nothwendig werdenden Drehungen bei äussersten Torsionskreis- stellungen, wofür die Theilung der Täfelchen nicht mehr ausgereicht hätte, 1361 November 19 m. D. Zt. Tors.-Kr. N. S. N—S. S e = Th. Th. Th. Th, 9b. 34m m. * 100 — 0.20 — 0.40 0.20.°— 0.30 40 1 °— 2.75 — 3.05 0.30. — 2.90 42 5325 — 430 — 405 — 0.25 — 4.18 45 280 — 5.65 — 5.05 — 0.60 — 5.35 47 * 100. — 0.20. — 0,35 0.15 — 0.28 50 145 0.75 1.05 — 0.30 0.90 Da 190 1.30 2.40 — 0.60 2.10 54 235 2.75 3.65 — 0.90 9.20 56 280 4.05 4.60 — 0.55 4.33 19V * 100 .— 0.20. — 0,35 0.30.— 0.35 11 m. D. Zt. Tors.-Kr. N. S. N—S. a Bu ee Th. Th. Th. Th. 10m hraNm: 100 — 2.50. — 2.3 0.45 — 2.75 8 325 — 405 — 3.90 — 0.15 — 3.95 10 2850 — 545 — 455 — 0.60 — 5.15 13 * 100 0.10 — 0.10 0.20 0.00 16 145 1:25 1.40 — 0.15 3 18 190 2.20 2.75 — 0.55 2.48 21 255 3.15 3.90 .— 0.75 3.53 23 280 4.45 4.95 — 0.50 4.70 27 * 100 0.00. — 0.35 0.35 — 0.18 ol * 100 .— 5.00 — 5.25 0.25 — 5.13 39 230. — 0.55 0.00. — 0.55 — 0.28 39 325 0.70 0.75. — 0.05 0.75 41 10 1.90 1.50 0.40 1.70 44 55 2.95 2.40 0.55 2.68 47 100 5.75 3.45 0.30 3.60 51 * 100. — 5.05 — 5.30 0.25 — 5.18, 53 190 — 3.00 — 2.40 — 0.60 -—- 2.70 55 20 — 085 — 0.20 — 0.65 — 0.53 57 325 0.65 0.60 0.05 0.63 59 10 1.85 1.40 0.45 1.63 E60 55 2.95 2.35 0.60 2.65 3 100 3.75 3.45 0.30 3.60 6 * 100 .— 5.00. — 5.30 0.30°— 5.15 10 100 4.60 4.25 0.35 4.43 14 280 — 0.55 0.00 — 0.55 — 0.28 1) 235. —185 — 1.05 — 0.80 — 1.45 21 190 °— 3.05 — 255 — 0.50 — 2.80 A A 145° — 370 —355 — 015 — 3.63 5 100. — 4.70 — 4.90 0.20— 4.80 I * 100 6.00 5.60 0.40 5.80 13 280 0.40 0.55 — 0.45 0.63 16 235 — 120 — 0.50 — 0.70 — 0.85 18 190 — 2.30 °— 2.30 — 0.50 — 2.55 23 145° — 3.90 — 3.90 0.00 .— 3.90 25 100 -— 5.10 — 5.30 0.20— 5.20 27 = 100 5.55 5.15 0.40 5.35 30 250. — 0.05 0.50. — 0.55 0.23 32 235 —150 — 080 — 070 — 11 54 10 — 215 — 225 — 050 — 2.50 36 145 — 3.90 — 3.90 0.00 — 3.90 32 100 — 5.05 — 5.45 0.40 — 5.25 45 * 100 5.35 5.00 0.35 5.18 — 5.70. — 6.00 0.30.— 5.85 50 145 °—4535 —470 —015 —.4,78 > -] 6 es (a) oO m. D. Zt. Tors.-Kr. N. S. NS. Zn Th. Th. Th. Th. 2h, 52m Nm. 1900 — 3.3855 — 3535 10.50. —'3.60 54 235 —- 285 —210 —.075 —248 58 250 —180 — 125 —055 — 153 30 325 —0.60 — 050 — 0.10 — 0.55 2 10 0.60 0.25 0.35 0.45 4 55 1.65 1.10 0.55 1.38 6 100 2.55 2.25 0.30 2.40 12 * 100. — 6.20 — 6,55 0.35. -— 6.38 15 = 200 5.65 5.15 0.40. — 5.35 17 55 4.45 3.90 0.55 4.18 22 10 8.25 2.90 0.35 3.08 24 330 2.05 1.95 0.10 2.00 28 280 0.30 0.90 °— 0.60 0.60 30 25 05.0305 —=%0.65 ==40.63 33 190. 225. .,4.80.,-—045)—-12.03 35 145 - 340 —=3.35 -—40.05 —-13.38 37 100: 2.460 28 02D An 42 #200 5.90 5.50 0.40 5.70 Differenzen für Drehung nach rechts. Dreh-Winkel Th. Ye 45° 1,35 1.35 90: Wo 2.55 2.45 2.54 135: 3.89 3.30 3.53 3.74 180... 5306 7. 4597 4.71 4.95 5.04 4.93 4.94 225 5.88 6.45 6.42 6.16 6.22 270 1.23 8.13 Brent 1.56 7.67 315 9.21 9.48 9.17 8.91 9.19 360 10.38 10.78 10.52 10.26 10.49 Differenzen für Drehung nach links. Dreh-Winkel 10 u N 1.42 134 1.33 90 A2 2.57 2.47 2.32 2.50 139. 1.92 2.62 3.64 3.59 180 4.65 4.19 4.88 4.64 4.59 4.71 225 5.89 5.80 5:57 5.75 210 6.36 6.80 6.55 6.74 315 7.34 1.82 7.50 112 360 8.76 8.77 8.52 8.68 Hieraus ergiebt sich, dass der Werth der Torsion ein anderer ist, wenn der Torsionskreis nach der rechten Seite hin gedreht wird, als nach der linken. Die Unterschiede sind jedoch erst bei grösseren Torsionswinkeln von Bedeutung. Als Grund für diese Ungleichheit des Werthes möchte ich den Umstand ansehen, dass 15 die Suspensionsfäden nicht alle unter sich parallel sind, und daher bei verschiedener Drehung auch verschiedene Fäden zur Anspannung kommen. Für 1° Torsion finden nun folgende Veränderungen der Ablesung statt: Th. mu. 45° 0.0300 0.0296 90 0.0280 0.0278 135 0.0277 0.0266 180 0.0274 0.0262 225 0.0276 0.0256 270 0.0254 0.0250 315 0.0292 0.0245 360 0.0291 0.0241 Mittel 0.0284 0.0262 Im Durchschnitt entspricht also 1° Torsion die Corection: Th. 0.0275 °== W137: Auch im Jahre 1862 stellte sich ein ganz ähnlicher Torsionswerth heraus, aus wenigen vereinzelten Beobachtungen gefolgert. Bei den angegebenen Beobachtungen ist noch eine Columne N — S zugefügt; diese Differenz der Ablesung beider Microscope sollte sich gewissermassen stets gleich bleiben. Wenn man näher zusieht, gleichen sich diejenigen, welche dieselbe Torsionskreisablesung haben. Die Mittelwerthe für gleiche Kreisangaben werden folgende: Tors.-Kr. N—S. Th. 100° 0.30 55 0.56 10 0.33 323 — 0.07 280 — 0.56 235° — 0.75 19 — 0.53 1455 °— O1 Die Ursache dieses gesetzmässigen Ganges ist in der Excentricität zu suchen. Der obere Aufhängungspunkt entspricht also nicht der Mitte des Torsionskreises. Durch Aufsuchung der wabrscheinlichen Werthe für diese beobachteten nach der Methode der kleinsten (Quadrate finde ich folgende Vergleichung: Tors.-Kr. N—S beob. berechn. Th. Th. 100° 0.30 0.44 55 0.56 0.64 10 0.38 0.47 825 — 0.07 0.02 250 — 0.56 — 0.44 235 —075 — 0.64 190 — 0.53 — 0.47 1455 °— 0,11 — 0,02 Die berechneten Werthe werden dargestellt durch Berechnung des Ausdrucks 0.64 sin (Ablesung des Tors -Kr. + 36° 42°) wodurch auch für andere Ablesungen die Grösse N—S gefunden werden kann. Der unmagnetische Stab wurde jedesmal zu Anfang der magnetischen Beob- achtungen eingehängt. Die Stellung des Kreises, in welcher die Torsion aufhört, war häufig unmöglich genau festzustellen, da der Stab nicht allein schwer zur Ruhe kam, sondern auch manchmal in mehreren, wenn auch nicht sehr verschiedenen Lagen sich zu beruhigen schien. Obwohl nur stille Tage gewählt waren, so habe ich doch bei der hoch gelegenen freien Station im Jahre 1861 oft wahrgenommen, dass der Wind, durch den nicht ganz dicht schliessenden Kasten des Gehäuses dringend, die Unruhe der Magnetnadel und des unmagnetischen Stabes vermehren half. Insofern wird die Genauigkeit der Beobachtungen zu wünschen übrig lassen, doch hoffe ich, dass das Resultat im Mittelwerthe nicht viel von der Wahrheit ab- weichen wird. Um den Torsionsstab in kurzer Zeit zum Stillstand zu bringen, wandte ich folgendes, sich bewährende Mittel an. Auf dem Stabe wurde mit etwas Wachs ein Haar der Art nach beiden Seiten hin überstehend befestigt, dass während der Schwingungen die Enden desselben statt des Stabes an die Kastenwände ge- langten und daher den Erschütterungen des letzteren vorbeugten. Mehrere Haare von continuirlich zunehmender Stärke und abnehmender Länge würden noch besser dem Zwecke entsprechen. Beobachtungsweise. Dem vorhin Vermerkten ist nur Weniges noch zum Verständniss und zur Be- zeichnungsweise der in den magnetischen Beobachtungen vorkommenden Zahlen zuzufügen. Um von individuellen Einflüssen des Instrumentes möglichst freie Beobach- tungen zu machen, habe ich mit beiden Lagen des Microscopgehäuses, mit den Stellungen des Lagers und mit verschiedenen Haltungen des Schiffes gewechselt. Die Nadel wurde für jede Beobachtung herausgenommen und von neuem in die entsprechende, andere Lage gebracht. So haben die Bezeichnungen A und B den Sinn, dass für den ersten Buchstaben Microscop a im Norden, b im Süden, für den anderen in umgekehrter Stellung sich befanden. Was a und b bedeuten, wurde schon oben angegeben. Die Ziffern I und II beziehen sich auf die Lage der Magnet- nadel. Ihr Südende war durch ein kleines, an der Nadel befestigtes Bleigewicht beschwert, um dieselbe in horizontaler Haltung zu bewahren. Wurde nun die Nadel mit dem Gewicht auf der oberen Seite eingehängt, so ist dafür die Zahl I gebraucht worden, im entgegengesetzten Falle II. 1 und 2 beziehen sich auf die verschiedenen Drehungen des Schiffes. Bei diesem Wechsel konnte ich auch zu Hause, wo ich einige Male zur Aufsuchung der Differenzen jener angegebezen Arrangements be- obachtete, nichts weiter bemerken, als dass der Collimationsfehler der Magnetnadel von erheblichem Einfluss ist. Bei Reduction der Beobachtungen wurde deshalb ARE für Lage I die Correction — 0.45 \ tert Pe II „ -H 0.45 J 2 % I x — 0:60 \ > En H hi +0,00 5 1 N+ zugefügt. Dadurch entstehen also die Zahlen der Columne „verbess. = 15 In Bezug auf N—S ist noch zu erwähnen, dass dieser Unterschied sich an- ders gestalten muss, einmal durch die etwaigen Verschiebungen der an den Enden der Nadel sitzenden Täfelchen, dann durch die Excentricität des Torsionskreises, durch die Veränderungen der Befestigung der Nadel in Folge des Anschraubens an das Schiff, und endlich durch die Umkehrung der Microscope. Da ich mich überzeugen konnte, dass die Täfelchen während der Untersuchung ihre Lage nicht änderten, so habe ich auf die Veränderlichkeit der Zahlen N — S nicht weiter ein- zugehen geglaubt, weil jener wesentliche Einfluss, der von den Aenderungen der Schrauben des Schiffes herrührt und bei jeder neuen Einlegung der Nadel ein ver- schiedener werden kann, der Untersuchung sieh entzieht. Andererseits theilen die genannten Veränderungen mit Ausnahme der von Verschiebung der Täfelchen kom- NS menden den Resultaten, welche durch die Grössen —— gegeben werden, keine nachtheilige Wirkungen mit, da es ja stets nur auf die Richtung der Nadel an- kommt. Beobachtungen. 1361 Juli 25. Noust, 2. 3. 2“ Mittel Kr. 1 288° 52° 40” 53° 20” 53% 35” 585" 40] 288° 53.3 Mire r. 288 50 20 50849D—- mE -0- Ki 581 288 50.8 eontroll r.,288 50.40 5VeD BZ1810 751 204 288 51.3 Magen. Gehäuse 231 335 345 24 10 24 0 |231 23.9 Mire 288° 520 Magn. Gehäuse 231 23.9 a ag. - Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 34.2 N-S N-+S m. Dz. Zt. Mittel N—S el verbess. Ars Nm, Th. Th. Th. Th. Th. Th. ee | [3 7 = 98 — |, SER A Be N re BI15 0 N -18 -10 —140 £ S ra eis 1.90 — 045 —0.90 — 4.5 FL 30:0 3826-22 = a oo 340 1 ne 5a EN as ae A mis Lude he —123 —t s — 07.1. Dali. N 12620 N —02% 22.100 | ’ AU == a zer 95 a a a ABO 119 = 0 1861 Juli 26. Non. 1. 2. sh 4 Mittel Kr. 11,198" 524,53 De 98810” 153° 10M| 108® 587.1 Mire r .108 50 15 ‚0257730925 50,50% | 105° 50.4 controll.r 108 50.10 50 35° 59a 50 30] 108 50.5 Magn, Gehäuse 51 4 4 85 5 3510 3 0 | 51 30.0 2 16 Mire 108° 51.8 Magn. Gehäuse 51 35.0 57 16.8 Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 22.9 m. Dz. Zt. Mittel N—s ins verbess. ut ie En Mn. Th. Th. Th. Th. AIL1 7u21m R IR, 390-035 010 08 AlI2 37 5 Ma Be 155°. 208 BI2 56 N RN: Ir ee 1,00: — 0,05......04047 al B12.8 125 n 14 1 Fi 20,35 111,382). 10.88: ER AI2 55 n 2, wi Re 635 08 048 2.4 a N 2 B Be 630 105 060 0 B 1,.W ie 2 2 m ee 0. us ve) De Bull“ 2 5 ar ne en 2095 058 1.09 u AIUT1ı 44 3 S a En 555 Ll3 1.08, 1861 August 2. 2 Non. 1. Mittel 3. 4. Kr. 1. 283° 49” 50” 50° 0% 50 20” ‘50.25 288504 Mire r 288 47 30 4755 48 20 controll.1 288 50 0 50 20 50 35 Magn. Gehäuse 231 4 50 45 0 45 15 controll. 231 44 15 44 50 44 40 Mire 288° 49.1 Magn. Gehäuse 231 45.1 48 10 | 283 48.0 50 40 | 288 50.4 45 15 |231 45.1 44 40 | 231 44.6 57 4.0 Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 104 .; N-S N m. Dz. Zt. Mittel N—S = verbess. B) Vm Th. Th. Th. Th. Th. Th. AB] ya ae N 1.4 1.3 1.60 S —-20 —17 —135 A112: 09 85; N 2.1 2.2 2.15 Ss —07 —06 — 0.65 B1U2 54 N —07 —06 — 0.65 a er are 345 —0.13 0.32 1:6 2.80 015: 1.20 6.0 1.03 1.48 7.4 m. Dz. Zt. Vm. B 72 1% 10. N S 3 12 23 N S A Iı 5aeN S DeRL .,1118 N S 5 TT:1 35,.N S 1 1 45 N S [ Kr.r Mire ! k | controll. r. Magn. Gehäuse controll. Vm A Iı 100m N S Al 1 IEN S x 112 50° "N S, Bear N S A N Krsit. \ Tr. Magn, Gehäuse 17 Mittel Th. 1.30 N—S Th. — 2.20 3.50 4.85 0.55 4.80 0.85 1.60 4.30 3.95 — 2.45 4.15 0.25 — 9.65 3.90 3.35 0.90 2.45 1861 August 8. Th. Th. 4.5 2 0.3 0.8 4.5 5 0.7 1.0 4.1 4.2 0.2 0.3 3.1 3.6 0.8 1.0 Non. 1. 283° 48° 10” 288 '50W15 283 48 30 231 25 20 231” 25.30 2. 48° 40” 50 35 48 45 25 30 25 45 Mire 288° Magu. Gehäuse 231 Th. Th. — 0,7 0.7 Ars Sy] —46 —45 — 15 OT — 40 ' — 36 1.0 1.4 —217=26 24.0 Azim.d. Mire 4 westl. Decl. d. Gehäuses 11 30.1 57 Mittel Th. 0.00 — 4,05 10 — 4,45 = 200 — 3.80 1.20 — 2.65 1861 August Non. 1. 108° 49' 50” 108 47 0 5l 25 30 497 15% 47 15 25 50 2.08 N+S verbess. > Th. 1.95 9,8 2.25 112 2.58 11.9 2.43 12.2 2.53 12.6 2.58 12,9 Bin 4. Mittel. Ag" A548 30% | 2880 48-5 BON EORUEO A | 283 50.6 48 50 48 45 | 288 48.7 25 45 25 50 | 231 3.6 2550236 0 |231 8.8 494.6 25.6 53.9 NS Se verbess. en Th. Th. Th. 1.05 ee au ea Aa 2 a een. 290 N 13. 3 4. Mittel. 49° 10° 49° 20° | 108° 4943 47.10 47 20. | 108 47.2 25 50.25 40 | 51 2.7 22 Mire 108° 483 Magn. Gehäuse 51 25.7 37» 23:6 Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses Il 28.7 m. Dz. Zt. Mittel N —S ai = e verbess. un = > Nın. Th. Th. Th. Th. Th. Th. 9) hi h AQm =D —l. ah. r an = er Ss 00 1 Dies en BEIE232 6 SS: N al 4 = a ee ag = 360 —=210 Ile BI 3b.HN aa erh e S 00 05 0.95 270 4.10 er ’ Br. 4.2. sa e ee 1861 August 19. Non. 1. 2. 3. 4. Mittel. Mire (Kr.l. 108°60”10” =50' 20” 015” "Bw 29° | 108° SDR Yon. 108948 10 48 30 48 35 48 25 | 108 48.4 Magn. Gehäuse 51 31 0 3125 31 35 31 20 51 31.3 Mire 108° 49,3 Magn. Gehäuse 51 31.3 57 18.0 Aziım. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 24.1 m. Dz. Zt. Mittel NFS = = 2 verbess. = Vm. Th. Th. Th: Th. Th. Th. ET 0 02 N — 0.60 : = . > on 220. 0.0. BnIi 13: 1.0.93. EI EI210 S 09 12 105 — 315 —053 —0.08 =04 B.4'2 45 N: 7295 7299ER ar “ R ro VS ur 875, y= 0.44 De 2.432 53..N Je RE 3 + E S 700 2.10 0.35 ==010 ZZ Bee N „12 gar Er L Ss IT 2.0 1.85 SV 0.45 0.00 0.0 Buı IN. —-25 = 1 ea 2 $ S 1 1.3 1.20 —350 0,55 —. 0,10 =.0.5 BB. 12 DB el DD, 2 x 3 ‚ Ss 1.2 1.5 1,35 — 3.95 — 0.63 == 0,13 —— 0,9 2 % — HN. Er ER 232 ” n “ ie een 1305 MO83: ı- 0,38.4.1,9 Non. 1. 2, 3. 4. N [Kr.r. 288° 484 25° 484 454 494.54, 49: 0% 28530 5045 Bi 0 Bl 5 magn. Gehäuse 231 26 30 26 355 26 45 26 50 eontroll.e. 231 26 30 _ _ — Mire 2880 49,8 magn. Gehäuse 231 26.7 Hal Azım. d. Mire 45 53.9 westl, Decl. d. Gehäuses 11 29.2 m. Dz. Zt. Mittel N-S a. = S Yın. Th. Th. Th. Th. Th. er Wert N —23 19 =210 : zur ef S 0.6 0.8 0.70 = u. BI. 1 Bar Nr = 2.6: = 30E 3,0 S 0.3 0.6 a B1I:2 Sl. N: dr ft 9 S 0.3 0.4 0.35 le 5.12 day. N. — Tdawee N IS) en. ) S 13 1.4 1.30 = ey, Der1 55 N. ar BUN FE E50 x 4 > Ss 0.8 1.6 1.20 2) o Bam i4°2.. NK —32. 24 —280 N 0,8 1.3 0 1861 August 29. Non. 1. 2. as 4. [ Kror 8285382 50230745050 517° 1090751. ,0% Mir 2. 288 48 45 7,48 5527.49,10: ‚49.10 N controll. 1. 288 50 40 51 0 51 5 5110 \ r..288 48.40.4907 49:20:49 5 Magn. Gehäuse 231 3 0 38 5 38310 38 20 control... 231 385 0% .33:1:9 ,38:.:1507.38 20 Mire 288° 50°.0 Magn. Gehäuse 231 38.2 >E.A.8 Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 17.9 m. Dz. Zt. Mittel N—S a Vm. Th. Th. Th. Th. Th. BUI2 245n.N —25 —23 20 U: Se. 0 19 1861 August 26. Mittel. 238° 43.8 283 50.8 231: 26.7 N+S verbess. 5) Th. — 1.15 — 5',7 — 0.938 —4.9 —0.933 —4.7 —0.45 —2.2 —0.65 —3.3 -043 —2.1 Mittel. 288° 50°.9 283 49.0 285 51.0 238 49.0 231 38.2 231 38.2 verbess. 2 Th. —0.08 — 04 N-+S N-+S m. Dz. Zt. Mittel N—S SE u verbess, FR Vın. Th. Th. Th. Th. Th. Th. B IT232 8 58 N. 231 07 090 R en 0. & se u a rer RO RR we B 112.8 137 N"208 04.060 Ss 1.4 2.5 1.95 m . Re »- BI 27 N =235. 1,5, — 10 S 09 00 ie, = 3.55 ° —0.33 0.12 0.6 =4T72 DDr EIN Zee, 2205 =». —, ).25 . Ss 1.4 1.9 1.65 zn ı = n ee 45 ae —i es, a ey) u 3 : —2.6: s .L . 5. Ta 0 wu Tl be) VE 1861 September 9. Non. 1. De 3: 4. Mittel. Ms [ Kr. 1. 288°. 497 20” 49740” 49: 50” ‚49° 50“ | 288°.4927 ze r. 283 47.235 4750 41755 AT 55 | 288 47.8 Magen. Gehäuse 231 42 0 42 410 42 0 42 20 | 231 42.1 Mire 288° 49.7 Magn. Gehäuse 231 42.1 Br. 656 Azım. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 12.7 nee Mittel ST — N. ar Vm. Th Th. Th. Th. Th. Th. a a ei 0.3 — 0.40 ng Be 35 ).E r S 2.9 33 310 3.50 1.35 0.90 4'.5 Bir ı 9) DEZENT ER & 3 3 ä — Jr = ); &(( c . S 93 35 9.90 4.55 0.63 1.08 5,4 1861 September 25. Non. 1. 2: 3. 4. Mittel. Mire Kr. 194 1065 4695078 47420# 474# 07 27=10°%) 106° 472 K: 106 450 5 5 455 45 0|106 45.0 Magn. Gehäuse 49 39 15. 39 40 39 30 39 30 | 49° 39.5 Mire 106° 46°. Magn. Gehäuse 49 39.5 3 Azim. d. Mire 45 53.9 westl. Decl. d. Gehäuses 11 12.6 1... 10952 24. Mittel N—S = is 2 verbess. = = - Vn. Th. Th. "rs Th. Th. Ch. BlIl2 9% 55"N 0.6 1.3 0.95 3 A 2 P, S 13 18 1.55 0.60 1.25 1.70 8.5 21 m. Dz. Zt. Mittel N—S —- verbess. — Vm. Th. Th. Th. Th. Th. Th. B 1I2 10 10= N 1.6 3.6 2.60 , R 18 23 2.05 0.55 2.33 1.88 9.4 »ıI1ı 20: N 22 2.9 2.55 S 19 24 9.15 0.40 2.35 0.90 4.5 BIO 3 N 0.8 17 1.25 ” S 15 20 175 — (0.50 1.50 1.95 7 Bui2 33 N 0.8 1.8 1.30 S 18 03 2.05 — 0.75 1.68 213 "1057 Bu2 4 N 0.2 0.8 0.50 de S 91 29 en 2.00 1.50 1.95 9.7 BlIl2 5 N 0.0 0.6 0.30 £ L; S 2.0 28 915 — 1.85 723 1.68 8.4 1862 October 11. - Non. 1. 2. 3. 4. Mittel M; a Te 907 ara ara 2 TR 2 = ire} 7-10 Br wa > 03.30; Ver 0.0 Magn. Gehäuse 11 97.:104427.20° 2735 „27.10, 11 27.3 Mire 71° 12 Magn. Gehäuse Il 27.3 59 33.9 Azim. d. Mire 47 54.8 westl. Decel. d. Gehäuses 11 39.1 m. Dz. Zt. Mittel N—S Sa verbess. na Nm. Th. Th. Th. Th. Th. Th. RIle sun NW 307 E27. 25 } ET se 1.10 — 3.40 — 4.00 — 20.0 1862 October 15. Non. 1. 2. B- 4. Mittel Kr.r 71° 34° 20° 34 50% 34° 50” 34° 40” | 71° 34.7 ? 71:36:40 37% 07 731 °:0'°.367 38 71 26,9 Magn. Gehäuse 12 5 %0 154 1540 15 10 |12 15.5 controll. 12 15 20 —_ _— _ — m. 2= Zt. Ers.:min. 58 gu Kr. 1261340 0, 13570 12.50 126 12:9 16 2.,26;41.950.,.104320% 530.710 9 40 I26 10.0 b2] Meridian 23° 46.5 Magn. Gehäuse 12 15.5 "77983L.0 Correct. d. Microsc. 5.5 westl. Decl. d. Gehäuses 11 25.5 au m. D». Zt. Mittel N—S en verbess. Se Nm. Th. Äh. Th. Th. Th. Th. A 11,3% 44m r Ba di, au 00 0.10 2050 —%5 A IL 1 424055 N n;: = Ze en en ee ALL 3 N = To zn ob... Dos Tue AI EB N m. SER nn 130 1 — 098 4 A224 22 2 u E, + 2 A. 6 1,08 AT N u Ei; nn 0 00 — 1a AT 788 = = e 005. —. 033. — oa 1862 October 22. Non. 1. 2. 3. 4. Mittel. Mire Kr. #7 71°107907 907307.71040°. 91073041 7107106 Ele 8.0.8 8 20 8.30 320. Al, 8 Magn. Gehäuse 11 41 40 41.50, 42.10, 42.,0 |11 41.9 Mire 71° 9.4 Magn. Gehäuse 11 41.9 59 27.5 Azım. d. Mire 47 54.8 west!, Decl. d. Gehäuses Il 32.7 Drüm Mittel N—S nn verbess. el Nm. Th. Th. Eh» Th. 418 Th. AII2 4 1m N a e un ee — 2,50 1,90 — Be r be =” nn EEE EEE AUI2 29 hr ee Er Bei, 2915 2277 Laırlro.g Besultate. e Ne} soo. Sr Werden die verbesserten — ” mit dem abgeleiteten Werthe für die westliche au Declination des Gehäuses vereinigt, so ergiebt dies schliesslich die westlichen De- clinationen, für die beigeschriebenen Zeiten beobachtet. 1861. Juli 25. Juli 26. m. Dz. Zt. w. Decl. m. Dz, Zt. w. Decl. Nm. Vm. 42 0m 13110 25.6 7 24a 12 110233.4 DF.R 29.1 a 23.3 30 28.5 56 24.9 6 0 30.7 8 15 21.3 35 28.9 90 25.9 | 15 23.0 26 28.1 | 44 30.8 August 98. August 13. m. Dz. Zt. w. Deel. m. Dz. Zt. w. Deecl. Vm. Nm. 182 02 11, 17.% Du Sum 2127 20,.6 15 18,5 6 25 20.4 50 21.1 36 25.4 11 10 24.2 44 21.8 August 26. | August 29. m, Dz. Zt. w. Decl. m, Dz. Zt. w. Deecl. Vm. Vm. 108 20° 12 oa a I LA 7 28 24.3 55 18.4 37 24.5 913 19.0 42 27.0 27 18.5 55 25.9 | 35 19.2 id 02 27.1 45 21.3 September 25, m.Dz. Zt. w. Decl. Vm. a re I a 10 10 22.0 20 7.1 3 22.3 58 23.3 46 22.3 55 21.0 August 2. m. Dz. Zt. w. Decl. Vm. Bu 7m 2410717 9.58 19.1 54 17.5 1010 17.9 25 21.3 55 22.0 107218 22.3 3D 22.7 45 23.0 August 19. m.Dz, Zt. w. Decl. Vm. 1u0, Oo, „117247,8 12 23.7 45 24.2 DS 23.6 1 24.1 10 23.6 20 23..2 283 26.0 September 9. m. Dz Zt. w. Deecl. Vm. 1 a a Er 9 18.1 1862. October 11. October 15. October 22. m, Dz. Zt. w. Deecl. m. Dz.Zt. w. Deel. m.Dz,Zt. w. Deel. Nm. Nm. Nm. Daröp 41° 19% 3h 44m, ı +11 0.28°.0 4a 11m. : 110 2342 55 22.2 20 24.4 4 3 22.1 29 21.9 13 20.8 | 22 20.1 29 19.0 38 20.8 Da die Variationen der Declination, wie sie sich in verschiedenen Tagen und Jahreszeiten anders zeigen, sicher nur zu beobachten sind, wenn das Instrument in Ruhe bleibt, bei den angeführten Beobachtungen indess an jedem Tage das Instru- ment aus dem Kasten gepackt und wieder eingepackt, auch mit verschiedenen Lagen der Instrumententheile gewechselt und die Nadel stets von neuem eingehängt wurde, so können die Beobachtungen nicht darauf Anspruch haben, die Variation deutlich zu zeigen. Obgleich sie in den meisten Fällen einen Gang ergeben, der wohl dem Gange des Erdmagnetismus entsprochen haben kann, so ist doch besonders das fraglich, ob die Abweichungen zwischen den einzelnen Tagen die wahren sind. Die Vergleichung der Beobachtungen mit gleichzeitigen auf Observatorien angestellten würde über diesen fraglichen Punkt Aufklärung geben. Die Einsicht dieser hat mir bis jetzt gefehlt, daher gebe ich folgende vor- läufigen Mittelwerthe für die Declination: 1861 11° 22°4 W. 1862 11 21.1 — Frühere Angaben der magnetischen Declination in Danzig. Ueber den Stand der Declinationsnadel in früheren Zeiten stelle ich folgende Angaben zusammen: Adrian Stodert, de motu magnetis diss. publ. Dantisci 1615 (Thes. XI.) „Dantisci declinationem observavimus 8% gr. Or., quod satis exacte con- „sentit cum observationibus nautarum, qui testantur et hic et in potissima „maris Balthici parte Variationem acus esse ®, van een Streeck trium quar- „tarum unius Rumbi, quorum compassus totus habet 32, ita ut cinguli respon- „deant 11%, gradibus geometricis: atque ita %, unius Rumbi respondent 8 gr. „26 min. 15 sec.“ „Modus observationis facilis est, observata prius more Astronomico linea „meridiana. Angulus enim aut arcus inter meridianum et regulam acui „magneticae congruentem est declinatio quaesita.“ J. W. Lesle, contemplationis physicae de magnete sectio posterior. 1646. (Danz. Diss.) Cap. 18. „Dantisci inventa est declinatio 38% grad Or.‘ 2) Aus einem Danziger Manuscripte, worin unter mehreren Propositionen auch die Aufgabe, den Meridian zu bestimmen, nebst Angabe der Declination vorkommt: „Anno 1676 d. Il Juny ac. magnetica declinabat 8° 15° a Septentrione „ad occasum; motus ann, 9' 6” et declinatio decresecit. Ergo tune 1677 erit „8 5' 54“ & Nord ad West etc.“ Neuer und alter Hausz- und Geschichts-Kalender 1737 für die Stadt Danzig herausgegeben von Heinr. Kühn: „Zu Dantzig ist die Abweichung der Nadel im Jahre 1679 observiret „worden 7 Gr. O0 Min. nach Westen. Nach denen gemeinen aber wenig „Grund vor sich habenden Regeln, solte die Nadel in gegenwärtigem Jahr „zu Dantzig weit über 7 Grad nach Westen abweichen. Wofern mich aber „meine Magnetnadel von 2% Zoll nicht gar zu stark betrüget, so ist ihre „Abweichung vor dieses Jahr zu Dantzig etwa 4 Grad nach Osten. Denn „obgleich eine grosse Nadel von 8 und mehr Zollen erfordert wird, wenn „sie die Minuten genau genug bemerken sol, so ist doch nicht zu vermuthen, „dass meine Nadel von 2% Zoll um etliche gantze Grade in Anzeigung der „Abweichung fehlen solte. Es siehet demnach mit der Abweichung des „Magneten, vermöge der Observationen, so verwirret aus, dass es nicht das „Ansehen hat, als wenn sie sich unter eine gewisse Regel wolten bringen „lassen, wie denn die Regel, welche der berühmte Engländer Halley hievon „gegeben mit der Erfahrung, nach Cassini des Jüngeren Bericht, nicht „übereinstimmt, ‘* In den Philosephical transactions abridged. Vol. II. S. 612 theilt Hevelius Folgendes mit: „An. 1642. I observed the Declination of the Magnet here at Dantzick, „as did M. Linnemannus about the same time at Koningsberg, and we both „found the Magnetick Needle at that time to decline from the North 3 deg. „> min. Westw. But now (Jun. 12. 1670. S. N.) it is far otherwise, for it „declines at present, as I have very carefully observed, 7 deg. 20 min. to „the same Quarter, so that in the space of 23 Years, that Declination is „increased 4 deg. 15 min. In the Year 1628, if I remember aright, I found „it near 1 deg. Westw. which Declination was affirmed by the learned Petrus Crugerus (once my worthy Praeceptor) to have been about the beginning „of this Age, or the end of the next fore going, 8 deg. 30 min. Eastw.“ Demselben Bande ist auf S. 613 noch die Angabe Halley’s zu entnehmen: „Dantzick 1679 7° 00 West.“ Philosophiae naturalis sive Physicae dogmaticae. Auctore M. C. Hanovio. Halae Magdeburgicae 1762. Tom. I. S. 864: „Gedani 1600 deelinationem orientalem Crügerus 8%°, Hevelius 1642 „occidentalem 311°. 1670 jam 74,° nune 11° eirciter. Summa igitur annorum „L60 habuit progressum 19%° = 1170‘, Unde aequabili progressui cede- stent 1. 24 & E77 C. C. Lous, Tentamina experimentorum ad compassum perficiendum etc. Hafniae 1773. S. 2: „Dantisci Declinatio Acus traditur fuisse „Anno 1628 1° 0° Occidentem versus „1642. .'3.15 .- „1670 7 20 _ „Hisce novissimis annis non multum differt a 15° vel 16°. Hinc isto loco „annua variatio 5 vel 6 Minuta circiter adaequat.* Wolffs Versuche, Bd. 3. S. 197. „1079.2707 West Berliner Astr. Jahrbuch für 1779 Th. 2. S. 146 „1760 11° 0° West.“ Jul. Aug. Koch’s Originalbeobachtungon enthalten den Satz: „1795 D. 1 Maj. Declinationem occidentalem acus magneticae (sumto „medio ex octo observationibus, omni solertia factis), aegnalem reperi: 14° 30° 1,; vel quam proxime 14%. Chr. Hansteen, Untersuchungen über den Magnetismus der Erde. I. Th. im Anhange: IV. 1623 OO y; 916 (Krüger) . 4 3.15 37 (Hevelius) „22. Junt, 40720 73 (Hevelius) *) „20. Juni 82 848 17 EI760 AT 0 3 4 „9. April 1811 13 48 '* (Koch) Kleefeld macht in den neuesten Schriften der naturforschenden Gesellschaft in Danzig 2. Bd. 1. H. Halle 1826 S. 20 die folgenden Angaben bekannt: „Die Abweichung der Magnetnadel war 1628 nach Lous 1° westl. „Im Jahre 1770—73 war sie 15°—16° W. „Im Jahre 1795 betrug sie 14° 30‘ W. „Im Jahre 1811**) nach meinen mit dem hiesigen verstorbenen Astronomen Koch gemachten Untersuchungen 13° 48° W. „1823 nach Herrn Commodore von Bille 13°40'; nach demselben betrug 1806 die Inclination auf der hiesigen Rhede 72°.“ Der Stand der Declination wird nun, nach den Zeiten geordnet, bei Benutzung der vorliegenden Quellen folgender sein: *) Angegeben in Halley’s Table of variations etc. **) Nach den Originalbeobachtungen ist es genauer d. 9. April 1811. - 9 1600 (?) 8° 30° Ost (von Krüger beob.) 0 West (von Hevelius beob.) 1628 1642 1670 1679 1682 1760 1770-3 1795 1511 1823 1861-2 13 11 5 20 0 48 0 30 30 48 40 22 — (von Hevelius beob.) — (von Hevelius beob.) — (in den Philosoph. transact. v. Halley angegeben) — (aus dem Werke von Hansteen) — (Hanow) — (Lous) — (von Koch beob.) — (von Koch beob.) — (von Bille beob.) Die genaue Jahresangabe der ältesten Beobachtung fehlt; jedenfalls ist diese vor 1615 angestellt worden, da Stodert ihrer gedenkt: vielleicht gehört sie der kurz vor 1600 liegenden Zeit an, wie Hevelius in den Philosophical transactions schreibt. Eine im Manuscripte vorgefundene Angabe der Declination 8° 15° im Jahre 1676 möchte wohl von Büthner herrühren; doch ist sie weder von ihm noch von einem andern beobachtet, sondern aus den Daten des Hevelius interpolirt worden. Denn aus dem Declinationsunterschiede für 1842—1670 resultirt ganz dieselbe jährliche Variation von 9' 6“, wie sie im Manuscripte aufgeführt ist. Diese Angabe ist daher ausser Acht gelassen. Von der Bestimmung, die im Kalender für 1737 4° Ost lautet, muss abgesehen werden, weil sie durchaus nicht in den klar vorliegenden Gang der säcularen Variation passt. — [u — en — Rt aan, Br. 1 ae NE EI FE { (asgeheli. MEY Ba web a u ar & EN 2 FR a2 ve er KR vr BR wit Bin ; % ‚dont By! RA 2 e. a er 5 e N | Kos! ER ee N PERIUNE PN tr ia a me u. CR N GENE. “ I Wr pi Ns BR dr FRRRERT 4 SOR 9 Die - ei. iei »leinsber ; alla: yaındı ost ERTTENN ach) BER Ssssrdak und habe len sehn : Aa Terli Sahe Rb rhe ak | Altandna working koche ui a STE iR ee EN er en be ar mi ar B org ol a ER elgaah- erbaut 205, ae U; ) neh. Ba 2 09 Jah ren a a, vr, ... 572,8 ES A Hi Malz RE Fr j u a, 4; f j beb | Ba, 2 Be Es Ver " Er BR ai RER: „ludam Raotl aueh sat ‚oyeanls Me he ws, zul, Kuh ie ; Acloris sunıdo hl bie HaW.ı Air bi ya nn { Ei BER FUN DE er e N‘ 4 E et Li en ME | Er 2 1. Fa 4 0 j . Br yi y Sch un NR LEBE 7 A a Ak £ 3 y TE ZH Are Ei; 5 Ü 5 . a > IS 1 Ä d Ih ‘ re N ee, h ROTER \ # r H n - on A 2 r Mg d ne Ben er . en , ir N N Das Depressions -Micrometer, ein neues Instrument zur Messung der Depression des Horizontes. E. KAYSER, Astronom der naturforschenden Gesellschaft in Danzig. Mit einer Tafel. Danzig. Druck von A. W. Kafemann. 1364. TEE RE u ® fi u‘ a > REDE u h D ’ Z ” Y e., N * x P] 07 . W - 8110128910 I ’ "E * u 2 E f i } y rtder i —# a usamisenl son is” T BY z R Dr N z 5 ä { £ nn NIE Feb soreasıgetl Tob: | 7 MAG R SE £ Era 2% a. a = | of j r 5 er NV. i 5 E 5 shiaent. u.a Geht! neldel wi re \ # ; 3 ; Ale ist sale iM . N u %« y > ; h Er Al . ; x * P. gg | N » & u Fi 2 = g P \y } h FR 4 > rt . 2 en ee . SyAl BR? N, . Pas , ' . a F* N r y= ER; F ya 5 nn | 4 -ENENSAR u r A b ie , Rn a4 Aue Bol, D.: Depressions-Micrometer, dessen Beschreibung und Gebrauch hier kurz gegeben werden soll, hat hauptsächlich den Zweck, auf See die Depression des Horizontes und der Küsten resp. Elevation zu messen, kann aber mit Vortheil auch zur geographischen Ortsbestimmung als ein die Zeit und Breite ergebendes Instru- ment verwendet werden. Die Höhen der Gestirne werden auf See von dem äusser- sten sichtbaren Meeresrande (Kimm) abgemessen und durch Benutzung des bekann- ten Abstandes des beobachtenden Auges vom Meere auf den wirklichen Horizont reducirt. Die Erfahrung lehrt, dass der Meeresrand bedeutenden Höhenverände- rungen durch die Refraction *) unterworfen ist; es ist daher für eine genaue Orts- bestimmung wünschenswerth, entweder durch directe Messung von jenen sich un- abhängig zu machen oder den Betrag der Refraction nach der jedesmaligen Angabe der meteorologischen Instrumente in Rechnung zu bringen. Die Abhängigkeit der Refractionsänderung von dem Stande der üblichen meteorologischen Apparate ist bis jetzt noch nicht der Art bekannt, dass man davon mit Nutzen Anwendung machen könnte. Man begnügt sich, den Betrag des Depressionswinkels für die Augeshöhe Tafeln zu entnehmen, die mit Zugrundelegung einer mittleren Refraction berechnet sind. Durch Jirecte Höhenmessung des Gestirnes zu beiden Seiten des Horizontes in diametaler Lage kann allerdings Unabhängigkeit von der Veränderlichkeit des Horizontes erreicht werden, wobei die Erhebung oder Senkung an diesen Stellen als gleich vorausgesetzt wird; indess möchte dies Verfahren zu viel Mühe verursachen, es wird daher vorzuziehen sein, it Instrumenten, die noch Winkel von 180° und darüber messen lassen, Bestimmungen des Depressions- Winkels vorzunehmen. Hierher gehören die vollen Spiegel und Prismenkreise, welche man jedoch wegen mancher Unbequemlichkeit nicht oft in Anwendung findet. Auch hat bereits Wol- laston durch Veränderung der Stellung der Spiegel des Sextanten ein Instrument (Dipsector) zur Messung derartiger Winkel construirt. Das vorliegende Micrometer lässt mit ungemeiner Schärfe Winkel der bespro- chenen Art selbst die kleinsten messen, es besitzt grosse optische Stärke, auch ist die Handhabung des Instrumentes und die Ablesung mit blossem Auge äusserst be- quem, so dass es nicht allein in Bezug auf Verbesserung der zur See angestellten Beobachtungen, sondern auch vorzugsweise zur wissenschaftlichen Erkenntniss der Refraction als passendes Werkzeug empfehlenswerth erscheint. Der mechanische . .*) Am 25. September 1863 beobachtete ich von Danzig aus den Seehorizont bei Hela in fort- währender Erhebung zwischen Morgen und Nachmittag bis zu etwas mehr als 94 Minuten. Dieses Bei- spiel beiläufig, da ich die Beobachtungen über Veränderungen der Depression des Horizontes im Zu- sammenhange besonders zu veröffentlichen vorhabe, 2 Theil ist mit grosser Sorgfalt von Herrn Hauptmann von Froreich in Danzig aus- geführt worden; die zum Apparate verwendeten Prismen rühren aus der vortheilhaft bekannten Meyersteinschen Werkstätte her. Das Instrument ist auf der beiliegenden Tafel in zwei Ansichten nach halber wahrer Grösse gezeichnet. Fig. 1 stellt es vor, wie man beim Gebrauche es vor Gesicht hat, während Fig. 2 einen zur ersten Lage senkrechten Durchschnitt an- giebt. Der Haupttheil ist das astronomische Fernrohr, dessen Objectiv in a und dessen Ocular in b abgebildet ist. Zwischen Objectiv und Ocular, doch näher zum letzteren hin, ist ein rechtwinkeliges, gleichschenkeliges Prisma c eingeschaltet, da- mit die von dem Objective kommenden Strahlen um einen rechten Winkel abgelenkt werden. Der über der Kante des rechten Winkels des Reflexionsprismas sitzende Sattel drückt mittelst zweier Schrauben das Prisma an sein Gehäuse fest an. In den kreisrunden Oeffnungen des Winkelstückes f befinden sich die mit Schrauben- gewinden versehenen Ringe d, auf welche das Ocularrohr und das Objectivrohr ge- schraubt werden; sie sind nicht eingelöthet, sondern lassen sich durch Anziehung anderer übergeschraubter Ringe e am Prismengehäuse in jeder beliebigen Richtung feststellen. An dem Objectivrohre sitzen drei mit ihren kreisrunden Ausschnitten aufgelöthete Sattel g, A, i; ihre anderen Seitenflächen sind der Art geebnet, dass darüber eine einzige zur Gesichtslinie des Rohres parallel gehende Ebene gelegt werden kann. Auf diesen Satteln ruhen zwei symmetrische Schienen k und /, von denen die eine / fest angeschraubt ist, die andere k aber um einen im Sattel i befe- stigten Zapfen m als Axe sich drehen lässt. Damit die lose Schiene stets auf ihrer Unterlage bleibt, liegen Leisten darauf, die mit Schrauben durch die feste Schiene in die Sattel geheftet sind, so dass etwas federnder Gegenhalt für die lose Schiene entsteht. Beide Schienen überragen noch das Objectivende, und tragen vor dem Objective zwei rechtwinkelig gebogene Stücke n, welche als Träger zweier gleichen rechtwinkeligen Reflexionsprismen p dienen, deren Durchschnitt und Stellung in beiden Figuren zu ersehen ist. Durch drei Schrauben ggg‘ sind die Prismenträger an die Schienen geschraubt und damit sie zur Berichtigung der Stellung der Prismen sich etwas drehen lassen, sind für zwei von den Schrauben länglich runde Aus- schnitte gemacht; die Drehung geschieht um die Schraube g’. Die Prismen selbst stehen mit ihren Cathetenflächen senkrecht zur Gesichtslinie, ihre Hypotenusenflächen bilden also einen rechten Winkel, wodurch es möglich wird, dass Gegenstände, die um 180° auseinanderliegen, durch die Prismen in das Rohr reflectirt gleichzeitig sichtbar werden. Die Befestigung der Prismen abweichend von der üblichen con- struirt, die für das Prisma c beibehalten ist, wird von zwei gebogenen an die Trä- ger durch Schrauben befestigten Metallstücken vermittelt, deren Arme die auf die Prismen andrückend wirkenden Schrauben o tragen; von der entgegengesetzten Seite leisten die an den Träger angeschraubten Schienen p’ jedem der Prismen Widerstand. Vermöge dieser Einrichtung gehen diejenigen Hauptlichtstrahlen, welche durch den über der rechtwinkeligen Kante befindlichen Sattel sonst verdeckt werden würden, nicht verloren. Das mit der festen Schiene verbundene Prisma bleibt stets in der- selben Stellung zum Apparate, während das andere um die Axe m gedreht anderen um 180° herumliegenden Objecten zugewendet werden kann. Den Betrag dieser Drehung zn messen, dient die an dem Sattel g befindliche mierometrische Einrich- tung. An das Ende der festen Schiene schliesst sich ein stärkeres mit g verbun- denes Stück r an, wodurch die Micrometerschraube s sich schrauben lässt und so B mit ihrer Spitze auf ein in die lose Schiene eingeschraubtes Stahlplättchen ?*) wirkt. Damit letzteres aber immer der Schraubenspitze anliegt, ist von der entgegenge- setzten Seite zwischen einem Einschnitt in der beweglichen Schiene der Stift « mit einer Spiralfeder umwickelt angebracht; letztere bewirkt also einen stäten Anschluss der losen Schiene an die Microineterschraube und bringt den todten Gang fort. Die " an das Stück r und damit auch an den Sattel y befestigte Leiste ist mit einem Index gezeichnet, der den betreffenden Stand der mit einer Theilung versehenen beweg- lichen Schiene angiebt. Diese Theile entsprechen den Schraubenumgängen der Micrometerschraube; weiterhin hat die Leiste eine knieförmige Biegung v und en- digt in einen Rahmen, über welchen der den Stand der in 100 Theile getheilten Trommel w anzeigende Drath gespannt ist. Man kann damit also den hundertsten Theil eines Schraubenumganges messen, und da die Trommeltheile gross genug sind, noch Unterabtheilungen schätzen. Da es wohl ausreichend ist, die Grenzen aller mit diesem Apparate messbaren Winkel zwischen 178—182° zu setzen, so reicht zur freien Bewegung des Prismas ein ganz geringer Spielraum hin und ist der Betrag der Drehung dann nur 2°, welcher wegen Kleinheit der Entfernung des Drebpunk- tes m vom Prisma einer äusserst geringen Verschiebung entspeicht. Die Spalte zwischen den Prismen ist durch einen Schirm geschlossen, damit nicht fremdes Licht in das Fernrohr gelangt. Gegenstände, deren Abstand durch das Micrometer ge- messen wird, indem man sie zur Deckung bringt, haben oft verschiedene Helligkeit; genaue Resultate sind erst dann zu erwarten, wenn sie gleich hell erscheinen; daher hat jedes der beiden Prismen einen zur Moderirung eingerichteten Schirm. Die Sattel A und sind nämlich seitwärts durch Leisten überbrückt; diese tragen mit Schlitzen versehene Schieber, welche sich unter den Köpfen der Zapfen y an Griffen auf und nieder ziehen lassen. Bogenförmig geformte Federn dienen dazu, die Schieber in jeder angenommenen Stellung festzuhalten. Nach der Zeichnung (Fig. 1) würden die Schirme die Prismen geradezu verdecken; um ganz frei zu beobachten, werden die Schirme über die Prismen hin vom Objective weg entfernt, und durch allmähliges Zurückziehen nach dem Oculare zu kann dem helleren Gegenstande die erforderliche Schwächung gegeben werden. Durch die Wahl dieser Richtung werden also auch die sehlbchtbren Strahlen, die den Rand des Objectives treffenden, ab- geschnitten. Endlich sind Ringe z° auf dem Rohre, durch Schrauben zusammen- gehalten, angebracht und damit der hölzerne Griff z verbunden, welcher dem Beob- achter zur bequemeren Haltung des Instrumentes dient. Wie man sieht, ist das Fernrohr gebrochen, damit eine vortheilhaftere Haltung des Auges erreicht wird; und man kann entweder den Griff in die linke Hand nehmen und mit der rechten den Knopf der Schraubentrommel drehen, während die Prismen nach unten kommen, oder es umgekehrt machen, wobei die Prismen die obere Stellung einnehmen. Für andere Bestiimmungen, besonders astronomischer Art, wo es nicht auf die verticale Haltung des Apparates ankommt, kann das Prisma ce mit seinem Gehäuse entfernt und durch einen dafür einzuschaltenden Ring ersetzt werden, welches directe Durch- sicht gestattet. Zur Erzielung fehlerfreier Beobachtungen mit diesem Apparate wird es auf die Genauigkeit und richtige Stellung einzelner Theile besonders ankommen. Es ist erforderlich, dass die Schiene, welche über den Satteln hin- und hergleitet, ziemlich *) Besser noch ist der Gang auf Stein, 13 4 genau parallel der Gesichtslinie läuft. Die Ebenen der Sattel wurden daher so weit abgeschliffen, bis ein darauf gestelltes Niveau die Horizontstellung anzeigte, wäh- rend die Gesichtslinie des Fernrohres auf den Horizont gerichtet war. Was die Prismen vor dem Objective anbetrifft, so kommt es hier weniger auf die genaue gleich- schenkelig rechtwinkelige Gestalt an, als auf die richtige Stellung. An den beiden Flintglasprismen sind übrigens die betreffenden Winkel fast vollständig genau ein- gehalten, auch die Flächen plan. In Bezug auf Berichtigung der Stellung wandte ich meine Aufmerksamkeit zuerst dem Prisma der beweglichen Schiene zu. Das andere wurde sammt seinem Träger einstweilen entfernt. Zwei Hülfsfernröhre brachte ich mittelst eines Passageninstrumentes*) unter einem rechten Winkel in horizontaler Stellung zusammen, indem ich das horizontal gestellte Fernrohr des letzt genannten Instrumentes mit seinem Objective dem Objective eines jener zu- kehrte und das Zusammenfallen ihrer optischen Axen bewirkte, hierauf den Kreis um 90° drehte, und dem zweiten Rohre die gleiche Richtung gab. An Stelle des Passageninstrumentes wurde jetzt der Apparat auf einem mit Lagern versehenen Klotze ebenfalls horizontal gestellt, so dass das halbe freie Objectiv dem Gesichts- strahle des einen Hülfsrohres und die mit dem Prisma behaftete Hälfte dem Gesichts- strahle des anderen sich zukehrten. Dann sollten, während der Index die richtige Mitte zeigt, die Fadenkreuze der Hülfsfernröhre zur Coincidenz im Gesichtsfelde des Micrometers kommen. Sehen wir von dem Indexfehler ab, der durch Verschie- bung des Prismenhalters um die Schraube q' weggeschafit werden kann, so wird eine Abweichung des Gesichtsstrahles des zweiten Rohres über oder unter dem Ho- rizonte zu verbessern sein, während man das Micrometer genau der optischen Axe des ersten parallel stellt. Deshalb wurde mit einiger Verschiebung der beweglichen Schiene und durch Drehung des Apparates um die Axe seines Fernrohres Coincidenz bewirkt, hierauf ein sehr empfindliches Loth an die Kante des Prismas gehalten, zugesehen, ob für die angenommene Lage die Kante wirklich vertical sich verhielt, und nach und nach an dem Fusse des Prismenträgers in entsprechender Richtung gefeilt, bis die verticale Stellung für jene Uoincidenz eintrat. Hierbei ist zu bemerken, dass das Prisma selbst, wenn der Träger, auf dem es liegt, ganz richtig steht, noch auf dieser Ebene gedreht werden kann, ohne dass dieses der Richtung der Gesichtslinie Eintrag thut. Man wird auch dieserhalb zu dem Lothe seine Zu- flucht nehmen, indem 'man in zwei auf einander senkrecht stehenden Richtungen die Kanten prüft. Erst nach solchen Berichtigunsen wurde der Träger durch die Schraube g’ in die mittlere Stellung des Index gedreht. Es liesse sich für jeden der Prismenträger eine zur Berichtigung bequemere Schraubeneinrichtung auffinden, und damit die Feile überflüssig machen; indess würde durch zu viele Schrauben die Stabilität beeinträchtigt werden. Nun wurde das zweite Prisma mit seinem Träger befestigt; die beiden Hülfsfernröhre erhielten die Einstellung ihrer Gesichtslinien in eine; zwischen den Objectiven beider befand sich der Apparat, und es wurde durch diesen gesehen, ob sich die Fadenkreuzbilder deckten. Durch Abfeilen an dem Fusse des zweiten Prismenträgers nahm ich die Entfernung der Abweichung vom Horizonte vor, während das Loth zur Üontrollirung des verticalen Standes des Pris- mas diente. Endlich erhielt ich durch eine geringe Umdrehung um die Schraube y' auch für das zweite Prisma die genaue Stellung, worin die Coincidenz der Faden- >) kreuz-Bilder statthat. Durch eine derartige Behandlung ist nun schr nahe erreicht *) In Ermangelung eines Theodoliten. 5) worden, dass, wenn die bewegliche Schiene ihre Mittelstellung hat, die Gesichtslinie des Fernrohres beim Austritte aus beiden Prismen in eine gerade Linie fällt, welche mit jener einen rechten Winkel bildet; andererseits kann zugeschen werden, ob zwei Objecte, die nicht zu nahe an einander liegen, in gerader Linie sich befinden, wenn ihre Bilder sich decken, oder einen concaven oder convexen Winkel bilden, wenn die Bilder auseinandergehen, und der Betrag dieser Abweichung kann durch das Mi- crometer gemessen werden. Es wird mit der Zeit durch die Temperatur und ander- weitige Einflüsse die Indexangabe für den mittleren Stand sich ändern; man macht sich unabhängig von dem Fehler, der hieraus entspringt, wenn man in den bereits vorhin erwähnten zwei verschiedenen Lagen des Instrumentes die Winkel misst. Denn es ist leicht ersichtlich, dass, während für die eine Haltung des Instrumentes zur Auf- einanderstellung zweier Objecte, wenn sie nicht um 180° von einander entfernt lie- gen, die bewegliche Schiene um ein Bestimmtes aus der unbekannten Mitte in be- stimmtem Sinne gedreht wird, man für die andere Haltung um ebenso viel nach der entgegengesetzten Seite drehen muss. Die Bezeichnung der Theilung an dem Micrometer ist der Art gewählt, dass die Ablesung OR- für die gegenseitig nächste Stellung der Schienen gilt, wie man aus der Zeichnung ersieht, die Ablesung 10R- auf die mittlere Stellung, wofür der zu messende Winkel 180° ist, sich bezieht und mit 20®. die äusserste Angabe gemacht wird. Dem entsprechend wachsen auch die Zahlen der Trommel von 07%.— 1007. für jede Revolution der Schraube. Dem mittleren Stande a unserem Apparate oO entspricht seit einiger Zeit ziemlich constant die Angabe 10 18 Wäre diese Angabe unbekannt und hätte man für die rebereminadrgkeiiig! ren Objecte, welche in Depression zu dem Pesuzaner sich befinden, die Ablesungen erhalten in R. der oberen Haltung des Instruments 3 )5, 6 in der unteren ir 42 M so bezeichnet das Mittel beider 10 18.9 die Mittelstellung, die halbe Differenz Ban. 1 23.3, in Winkelmass übersetzt, den Depressionswinkel, welcher für jeden dieser Orte gilt, wobei gleiche Depression nach el Seiten vorausgesetzt ist. Ist da- gegen die eneabe = Mittelstellung 10 189 bekannt und beispielsyeise in der oberen Haltung 10 50.1 beobachtet, so ist der Unterschied 31. 2 in diesem Sinne der Elevationswinkel unter Voraussetzung einer diametral stattfindenden gleichen Er- hebung. In welchem Sinne der gemessene Winkel zu nehmen ist, ob Depression, ob Elevation, hierüber wird man sich in jeder Haltung leicht orientiren können, wenn man folxende Regel festhält. Denken wir uns von den Objecten zu den Prismen Linien gezogen, so ist der dadurch gebildete Winkel, gemessen von einem durch die Objecte und das Auge gelegten Kreisbogen, ein convexer, sobald die Ablesung den Betrag der Mittelstellung übersteigt, ein concaver, sobald sie weniger ist. Dies gilt also nicht blos für verticale Lagen des Instrumentes, sondern für jede beliebige. Es ist erforderlich, das Instrument ähm der Beobachtung einigermassen richtig zu halten; es wird das Sache der Uebung sein und werden vu Beobachtungen im Gesichtsfelde selbst dazu beitragen, die Haltung des Instrumentes zu berichtigen. Was nun den Werth der Theilstriche des Micrometers betrifft, so lässt sich derselbe auf verschiedenen Wegen ermitteln. Ich habe zwei Wege eingeschlagen. Es sci dazu vorher bemerkt, dass es hier nicht auf eine Besprechung der Unter- suchung der etwaigen Schraubenungleichheiten ankommt; denn dasjenige, was von 6 einigen Autoren wie Bessel*) über die Prüfung der einzelnen Schraubenumgänge, sowie über die Ermittelung ihrer Periodicität gesagt ist, lässt sich auch auf diesen Fall übertragen. Als Micrometerschraube liess ich von Herrn von Froreich eine gleiche schneiden, wie er sie bereits für ein Fadenmicrometer zu einem grösseren Fernrohre geliefert hatte. Hier beträgt der durch Beobachtungen von Plejaden- sternen ermittelte Mittelwerth eines Theiles der in 1007 getheilten Revolution 0.7396. Die Brennweite dieses Rohres wurde gemessen und verglichen mit der Entfernung der Drehungsaxe der Schiene bis zur Mitte der Micrometerschraube. Auf diese Weise ergab sich, dass diese Entfernung in jener Brennweite 5.1198 mal enthalten ist, und hieraus der Werth eines Theiles der Trommel an dem Apparate IMm2= 5.1198'xX0.73% — 3.7866 also 1%: 6° 18:66. Sehr vortheilhaft ist es, den Werth der Micrometertheile dadurch zu bestimmen, dass man das Instrument zwischen zwei Fernröhre, die mit ihren Objectiven auf einander gerichtet sind, stellt undan dem Fadenmicrometer des einen eine beliebige bekannte Verstellung des beweglichen Fadens mit dem Instrument nachmisst. Statt des mit dem Fadenmicrometer versehenen Fernrohres könnte natürlich auch ein Theodolit zu Hülfe genommen werden; zu gleichem Zwecke würde ein Fernrohr ausreichend sein, welches man auf ein terrestrisches Object von bekannter Höhe und Entfernung einstellt, und mit dem Apparate den aus diesen Daten bekannten concaven oder convexen Winkel zum Nachmessen wählt; ja es ist auch das einzige Fernrohr dureh ein Object ersetzbar. Ich habe mich einstweilen begnügt, an Stelle des einen Hülfs- fernrohres das kleine Passageninstrument von Ertel und Fraunhofer, dessen Fäden- intervalle bekannt sind, zu wählen. Aus mehreren Beobachtungen erbielt ich den Werth eines Theiles der Trommel —= 3.775. Um für die Genauigkeit der Einstel- lung unter nicht besonders günstigen Umständen etwas anzuführen, bemerke ich, dass wenn das Micrometer verschoben und dann wieder pointirt wurde, nur selten eine Abweichung bis zu einem ganzen Theile der Trommel vorkam, sondern fast immer geringere Differenzen. Dagegen kann ich auf die letztere Bestimmung doch nicht grosses Gewicht legen, weil die Fädenintervalle nur kleine Winkel vorstellten. Der erst angeführten Bestimmung gebührt der Vorzug, da man von dem grösseren jetrage (Öfach) auf den kleineren schliesst; hierbei ist jedoch angenommen, dass die Schrauben identisch sind. Für den practischen Gebrauch wird es gut sein, eine Tafel beizufügen, woraus die Werthe der Revolutionen und Trommeltheile, in Win- kelmass übertragen, zu entnehmen sind. In unserem Falle wird sein: Ganze Revolutionen Theile der Trommel R. irn > ade, Th ” Th. ” KE=,6:.18% 10-0379 1= 383 01-04 2 12 37.3 20 1.15.0.:2 2.0... 0.8 3 13 56.0 30 on 11.72.,.0.3 1.1 4 25 14.6 40 ZOLI E IT va 1.9 5 31 33.3 50 3935 13.9 05 1.9 6 37 52.0 60 FAT 221.1,062 22 7 44 10.6 70 4.2547 26.5. %7 2.6 8 50 29.3 80 52.0725 30:3..0,8 3.0 9 56 47.9 co 54038 9 34.1 0.9 3.4 10 63 6.6 *) Bessel, Astronomische Untersuchungen Bd. I, S. 75 £. So ist z. B. die Ablesung x. m. N 7 54.8 = 44 10.6 3 93 15.1 3.0 — 47 38.0 Um eins der Fädenintervalle zu messen, musste das Micrometer von der R. Th. R. Th. Mittelstellung 10 18.9 z. B. auf 10 52.6 verstellt werden. Der doppelte Unter- Th. S. schied beider Ablesungen = 67.4 — 4° 15“,2 — 17.01 ist also gleich dem be- treffenden Intervalle, nahe übereinstimmend mit dem aus Beobachtuugen des Polar- sterns gefundenen 16.970. Es ist für den Gebrauch des Instrumentes zur See auf die Höhe der Prismen über See genau Rücksicht zu nehmen. Wenn das Instrument in beiden Haltungen, um den Indexfehler wegzuschaffen, benutzt wird, so gilt die gemachte Beobachtung nicht genau für die Höhe des Auges, sobald man seinen Standpunkt nicht geändert hat. Man muss sich daher so aufstellen, dass in beiden Fällen die Prismen dieselbe Höhe einnehmen; auch wird man sich leicht auf Standpunkte einrichten können, wofür die Messungen mit diesem Apparate den Höhenbestimmungen der Gestirne mit anderen Instrumenten zu Grunde gelegt werden können. Wollte man es vor- ziehen auf derselben Stelle zu bleiben, und lieber eine Correetion, die übrigens nur klein ist, an die Beobachtung anzubringen, so führe ich dieselbe hier an. Heissen der Coefticient, mit dem die wahre Depression (Kimmtiefe) zu multipliciren ist, um die scheinbare zu erhalten c, der mittlere Radius der Erde R, die Höhen des Beobachters über See A und 4‘, letztere drei Grössen in demselben Masse ausgedrückt, so ist der Betrag der Aenderung der Depression, wenn man vom Standpunkte A zum Standpunkt 4’ übergeht, in Secunden (N pop 2er —— - (Ve — Yr) oder wenn die Höhe Ah nicht zu klein, die Höhenänderung / aber gering ist cd sin "V2 Rh Wird der Ooefficient ce nach Delambre zu 0.92 angenommen, so ergiebt die numerische Berechnung dieses Ausdrucks 29.8 4 I Beispielsweise wird für 4 = 1 Fuss Rheinl., A = 12 Fuss Itheinl. nach dieser For- mel gerechnet die Aenderung des Depressionswinkels 8.6, Für einige andere Probleme der Navigation, in welchen es auf Bestimmung kleiner Winkel ankommt, wird das Depressions-Micrometer von besonderem Vor- theil sein. Oft verlangt man die Entfernung des Beobachters auf dem Meere von einem im Horizonte liegenden terrestrischen Gegenstande, dessen Höheüber dem Meere bekannt ist, zu wissen. Bei Benutzung des Instrumentes zu derartigen Zwecken ist die Kenntniss des Indexfehlers entbehrlich und braucht dasselbe nur in einer Haltung gehandhabt zu werden; man wird aber gutthun, das Ocular mit dem Prisma- ansatz um 90° bis zu einem anf dem Rohre vermerkten Striche zu drehen, da man alsdann die Richtung des Instrumentes in Hinsicht auf das einzustellende Object 8 nach dem Ocularrohre gerade zu hat. Heisst die Höhe des Gegenstandes h, der gemessene llöhenwinkel p, die zu suchende Distanz d, so ist: pP Gewöhnlich wird d in Seemeilen auszudrücken gewünscht. Eine Seemeile gleich einer Kreisminute enthält nahezu 5901 Rheinl. Fuss, Ist also A in Rheinl. Fussen und p in Minuten gegeben, so wird: h h > m no ) 5 2 d 3901 p‘ sin 1 p' ).5826 Den Winkel p findet man, wenn man die Spitze des Gegenstandes mit einem dia- metralen Punkte, also mit dem Seerande, wie es gewöhnlich der Fall sein wird, durch das Micrometer zusammenstellt und ebenso mit dem Fusspunkte verfährt. Der Unterschied beider Angaben des Micrometers, doppelt genommen, giebt den Winkel p. Ist in dem Falle, wo der terrestrische Gegenstand nicht vollständig bis zum Fusspunkt gesehen werden kann, der über dem Meeresrande sichtbare Theil nach der bezeichneten Art als der Winkel p gemessen, so kann die Distanz eben- falls wenngleich nur näherungsweise gefunden werden. Wir bezeichnen durch e den Coefficienten der Depression, durch R den Radius der Erde, durch 4 die Höhe des Beobachters über See, und durch # die als bekannt vorausgesetzte Höhe des Gegenstandes, letztere drei Grössen in demselben Masse des Rheinl. Fusses aus- gedrückt. Zur Bestimmung von c kann vorher eine Messung vorgenommen sein, welche a” als den Depressionswinkel ergeben hat; dann ist: A ee 22h 172 Die zu suchende Distanz D, dargestellt durch die von dem Beobachter an den Meeresrand gelegte und bis zum Objecte verläugerte Tangente, besteht aus zwei Stücken, nämlich aus der Linie vom Beobachter bis zur Berührungsstelle, welche mit d bezeichnet werden möge und dem von der Berührungsstelle bis zum Gegen- stande reichenden Stücke — d, so dass also stattfindet die Gleichung: D=d-d6 Noch werde der unsichtbare Theil des Objectes mit x benannt, der gesehene also -H — x; dann sind die Entfernungen in Seemeilen ausgedrückt: > V 2 R h < I— en, ; aR: + Be a zuukanben 1.079 Y. H—x rg Setzt man den Werth für x aus der letzten Gleichung in die vorletzte, so erhält man: ? 2 59072 p' sim 2 5901(d N) — H— —_ 5 ER” und hieraus ses R (2—0% p’ sin 1! + (2—e) [2 RH— 2 Rd 5901 p' sin 1’ + R2 (2 — co)” p'2 sin 12] Zr 3901 Werden die Zahlenwerthe für die bekannten Grössen gesetzt, so ergiebt sich die zu suchende Entfernung — d + d D=(2—.) 1.079 k— (2— c)?p'+(2— e), [1.165 H—2(2 - 0) 1.079h..p' 4-(2— c)?p®] 9 Im Falle, dass die Spitze des Objeetes so eben über See sichtbar wird, kann p=0 angenommen werden. Dann wird: D=(2—c)(Y7.165 H + 1.079 Yh ) — (2—e) 1.079 (YH + yYn) Wenn die Depression des scheinbaren Seehorizontes und ebenso die Erhebung des Gegenstandes über dem scheinbaren Horizonte gemessen sind, so ist der Unterschied beider Angaben gleich dem Betrage, um welchen die Spitze des Gegenstandes über oder unter dem wahren Horizonte liegt. Legen wir diesen Winkel = g° der Auf- gabe, die Entfernung D des Beobachters von dem Objecte zu bestimmen, zu Grunde, so ist die Berechnung der Entfernung leichter auszuführen, als vorhin. Denken wir uns von dem Beobachter in der Richtung nach dem Objecte hin die wahre Hori- zontallinie, und Linien zur Spitze des Objectes, zum Fusspunkte desselben, und durch den Mittelpunkt der Erde gezogen, die Fusspunkte des Beobachters und des Gegenstandes, wo sie die See treffen, durch eine Sehne verbunden, und endlich von dem Fusspunkte des letzteren auf den Durchmesser ein Loth gefällt, welches also dem wahren Horizonte parallel läuft, alsdann erhalten wir leicht folgende Gleichung, worin h die Höhe des Beobachters und H die Höhe des Objectes über See vorstellen: h ner 31 D35907 sin 17 "7 = DE907 sin 1 H—h) DZ = - VI en sin HR *] = + g’+ YI1.165 (A +9] Die Grössen sind in den vorhin angenommenen Maassen zu verstehen; das obere Zeichen hat Geltung, wenn die Spitze des Gegenstandes unter dem wahren Hori- zonte liegt, im entgegengesetzten Falle das untere. Die Genauigkeit der Bestim- mung von D wird besonders davon abhängen, dass in die Formel derjenige Werth von g eingeführt ist, welcher diesen Winkel ohne Beeinflussung der Refraction dar- stellt. Kann der Betrag der Refraction nach den vorhandenen Erfahrungen von dem aus der Messung resultirenden Werthe von qg abgezogen werden, so wird dieses nicht zu unterlassen sein. Im Allgemeinen sind die Veränderungen, welche der See- horizont durch die Refraction erleidet, bedeutender als die bei einem terrestrischen Objecte, das von See umgeben ist, vorkommenden; wenigstens kann ich dies aus den an dem Helaer Leuchtthurm und dem zwischen Danzig und Hela liegenden Seehorizonte gemachten Beobachtungen mit vollständiger Bestimmtheit behaupten. Es wird aber die Refraction bei derartigen Bestimmungen immerhin ein störender Factor sein, und daher den von der Refraction unabhängigen Messungen der Vorzug gebühren. Dieser- halb möchte es wohl gut sein, dass von Leriehiibiumienhn und ande für den Be- ‚obachter auf See een Objecten nicht bloss die ganze Höhe bekannt ist, son- dern auch gewisse Abtheilungen in den oberen Parthieen kenntlich und ihrer Höhe nach gegeben sind, so dass die Winkelmessung für diese Abtheilungen möglich wird. Obgleich strenge genommen, die Refraction auch an demselben Objecte, für den unteren Punkt anders als für den oberen, eine Verzerrung hervorbringt, so wird die- selbe doch als unbedeutend zu vernachlässigen sein. Die Art und Weise, wie das Instrument zu Lande gehandhabt wird, hat durch das vorhin Bemerkte seine Erledigung gefunden, wenn es ähnlichen Zwecken gilt. Besonders empfehlenswerth möchte es für Beobachtungen der terrestischen Refrac- Hieraus folgt: 10 tion sein. Granz beiläufig bemerkt, kann die Abweichung vom Plan - Parallelen an Gläsern damit gemessen werden. Legt man nämlich das Instrument horizontal in ein Lager, so wird man durch Drehung im Azimut und um die Axe, sowie auch durch Verschiebung des Micrometers zwei passende Punkte des Horizontes zur Deckung bringen. Hält man ferner vor eins der Prismen und nahezu senkrecht zur auffallenden Gesichtslinie das zu untersuchende Glas, so wird, falls dasselbe plan- parallel ist, die Coincidenz der Bilder bleiben, es mag um die Axe der Gesichtslinie gedreht werden, wie man will. Im Falle Abweichung aber vorhanden ist, bringt man durch geeignete Drehung des Glases das Maximum der Ablenkung der Bilder im Horizonte hervor, indem man die Schraube des Micrometers fortwährend in dem- selben Sinne brauchen muss, und erhält für die Coincidenz wieder eine Ablesung. Heisst der Unterschied beider Ablesungen p, der Brechungsindex des Glases n, so ist der Winkel, den die Glasflächen in der Horizontalrichtung bilden 2p kerE n—1 Statt die Bilder, wie angenommen wurde, nur einmal zusammenzubringen, als sie in äusserster Ausweichung sich befanden, kann besser noch das Maximum der Ab- weichung nach beiden entgegengesetzten Seiten beobachtet werden. Heisst der Unterschied dieser Ablesungen P, so ist P = mt 1 Wenn n = 1.5 gewählt werden darf, wird a—=2P. Für den Gebrauch des Instrumentes zur Zeit- und Breitenbestimmung ist zu bemerken, dass dasselbe durch ein passendes Stativ Behufs leichterer Auffindung und Einstellung der für diesen Zweck verwendbaren Sterne unterstützt sein muss. Auch wird ein künstlicher Horizont erfordert. Wenn man sich erinnert, wie man den Sextanten oder ein anderes Spiegelkreisinstrument braucht, um das von dem künstlichen Horizonte reflectirte Bild mit dem direct gesehenen zusammen zu stellen, so hat man eine vorläufige Idee, wie das Micrometer angewendet werden soll. Vz Denken wir uns für den Fall der Breitenbestimmung zwei Sterne zu beiden Seiten.des Zenithes, die nahezu in derselben Zeit culminiren und gleichen Abstand vom Zenith erreichen, so wird es möglich sein, das Bild des einen Sternes von einem der Prismen reflectirt und das vom künstlichen Horizonte reflectirte Bild des anderen Sternes von dem zweiten Prisma reflectirt gleichzeitig im Gesichtsfelde zu sehen, sobald das Rohr, mit den Schienen in der Ebene des Meridians, auf den letzteren Stern gerichtet ist. Durch Drehung des einen Prismas mittelst der Micrometerschraube lässt sich daher auch erreichen, dass die Bilder über einander gehen. Das von dem künstlichen Horizonte reflectirte und das directe Bild befinden sich in diametraler Lage zu einander, und was vorhin in Betreff der Messung zweier Objecte im Hori- zonte gesagt wurde, gilt also der Hauptsache nach auch für diesen Fall. Es kann nun eintreten, dass die zur Beobachtung kommenden Sterne beide in oberer Oul- mination oder der eine in oberer, der andere in unterer Culmination stehen. Be- zeichnen wir mit $ die Polhöhe, mit d und d‘ die gegebenen Declinationen der Sterne, und lassen wir d die Declination des südlichen Sternes sein und diesen um 4 näher dem Horizont zustehen, dann findet für den Stand im Meridian mit Bezug auf die beiden angeführten Fälle statt: I 9—-d—-4=0ö'—g, folglich 11 Il 9 —d—4— 180— d' — Y, folslich de) 4 a ig Man ersieht leicht, dass der Unterschied der Ablesungen des Micrometers für die No 4 een Coincidenz und für den mittleren Stand der beweglichen Schiene vorstellt, wel- che Grösse also bekannt ist und damit auch 9. Es können in 4 verschiedenen Hal- tungen des Instrumentes derartige Beobachtungen vorgenommen werden, und wenn das Rohr um 180° gedreht wird, noch in 4 anderen, welche letzteren indess nichts anderes geben; jene 4 liefern aber paarweise combinirt vom Indexfehler befreite Messungen. Man kann nämlich das Rohr 1) dem Südsterne zu richten, der dann vom Horizonte reflectirt wird, 2) dem Nordsterne und dieser wird vom Horizonte reflectirt, oder das Rohr auf den Horizont richten, so dass 3) der Südstern und 4) der Nordstern reflectirt wird. 1 und 2, 3 und 4 oder auch 1 und 3, 2 und 4 sind diejenigen Zusammenstellungen, welche den Indexfehler eliminiren. Hierbei ist allerdings vorausgesetzt, dass die Messungen schnell genug aufeinander folgen kön- nen, sobald man nicht die Höhenänderung ausser Acht lassen darf. Es lässt sich das Arrangement aber auch der Art machen, dass zwei Sterne in einer der angege- benen Lagen, zwei andere in der compensirenden beobachtet werden. Für die Orientirung wird es von Wichtigkeit sein, die den Prismen beigegebenen Schirme zu brauchen, um zeitweise jede Himmelsgegend für sich zu betrachten. Die passi- renden Sterne werden im Gesichtsfelde nach derselben Richtung sich bewegen, wenn sie beide in der oberen Culmination sich befinden, nach entgegengesetzter Richtung in dem Falle der oberen und unteren Culmination. Für die richtige Anbringung des Zeichens von — in jenen Formeln gilt dieselbe Regel wie in dem Falle der De- ai 40; IM pression des Horizontes. —,- ist positiv zu nehmen, sobald die Angabe des Micro- meters in der ersten und vierten Lage die der zweiten nnd dritten übersteigt, da nach der obigen Annahme von / der Winkel, in dem das Auge liegt, ein convexer ist; = ist gleich dem halben Unterschiede zweier Ablesungen, die den Indexfehler wegschaffen. Da die Auswahl von Sternen, welche zu einer und derselben Zeit culmi- niren und zugleich gleiche Höhe erreichen, eine beschränkte ist, in sofern man nicht bis zu den kleinsten herabsteigen kann, dagegen in annähernd gleicher Zeit und etwas mehr unterschiedenen Zenithdistanzen immer passende Objecte sich ohne viele Mühe finden lassen, wie man sich schon aus flüchtiger Ansicht von Sterncatalogen überzeugt, so wird es darauf ankommen, diejenigen Correctionen zu ermitteln, welche wegen der angeführten Verschiedenheiten hinzukommen. Das Instrument ist für die Untersuchung diametraler Punkte bestimmt, daher würde in der vorliegenden Aufgabe der Augenblick zur Beobachtung zu wählen sein, in welchem beide Sterne gleichzeitig ein und denselben Verticalkreis passiren. Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Kenntniss der Rectascensionen, der angenäherten Zeit und der ungefähren Polhöhe erforderlich. Nennen wir z + 4 die Zenithdistanz des südlichen Sternes, z die des nördlichen für den Moment, in welchem sie im nämlichen Verticale sich befinden, und 75 t und 15 t‘ die von Süd über West bis 360° gezählten Stunden- winkel, dann finden in den Dreiecken, gebildet aus dem Pole, Zenith und Stern, folgende Relationen statt: 12 Cos (2 -4-4A) = sind sing + cosd cos cos 15 Ö.C. Cosz = sind’ sing 4 cosd’ cosy cos 15 1 U.C. Cosz — sin d' sing — cos d’ cosy cos 15 t' oder Cos (2 +4) = c0s (p — 6) — 208 d cos p sin? ai DC. Cos 2 = (os (6 —Y) — 2 .c0s d cos Y sin? == D.C. Cos2z = cos (180° — (Y +4- 6)) 4- 2 cos d cos sin? ns Da die Beobachtung in der Nachbarschaft des Meridians stattändet;, so kann mit genügender Genauigkeit die Reihenentwickelung zu Hilfe gezogen und gesetzt werden: 13 2 cos d cos p sin? —5 ad sin 1 sin (p— 6) er Tan: 2 cos Ö’ cos p sin? p) or eglegbel ga ein 17 sin (p) ONE 2 cos d’ cos p sin? —- D. (2 NN RE Te Ta Durch Subtraction ergiebt sich hieraus der Werth von 2 y, also auch von 9, nämlich: y .,25# stay dan nd 1 cos Ö' sin? —z cos d sin? —5 I re EUR | zubl ME er sin 1 sin (Ü’ — p) sin (p — 0) een a cos d’ sin cos Ö sin TREE SCHERER län a ı sin 1 sin (p + 0‘) sin (9 — 0) Die Bedingung, dass die Bes ee Sterne im Azimute eine um 180° ent- gegengesetzte Lage haben, wird ausgedrückt durch die Gleichung: sinl5tcosd __ sin 15 t! cos Ö’ sin@ +4 sin z Setzen wir den bekannten Unterschied der Rectascensionen « — a—t— tu, und demnach —t— u in die letzte Gleichung, ebenso auch t—1‘+ «, dann lassen sich £ und ?‘ aus den folgenden Gleichungen bestimmen: sin T5tcod __ sin 15 (t — u) cos Ö' sine A) a sin 15 (!’ + u) cos d sin 15 t' cos Ö' sin (+ 4) Ko sin 2 Werden nämlich sin 15(t— u) und sin 15 (t‘ - u) in die Sinus und Cosinus der einzelnen Winkel aufgelöst und die Gleichungen durch cos /5t resp. cos 15 1° divi- dirt, dann erhält man: eos Ö' sin(<+ 4) re sin 15 u tg 15 n Ze nn sın 2 : cos Ö' sin (2 + 4) cos d sin z cos 15 u ar 1 cos Ö sin z s An er u Ta tg 151 — cos ö' sin(<+ 4) cos Ö sin z F ———— (08 l5u+1 cos d! sin(2e-+ 4) ar Um £ und { hieraus berechnen zu können, müssen eigentlich die Grössen 13 2 -+ 4 und z gegeben sein; indess ist es ausreichend dafür 9— d und d’ — g, oder bei U. ©. 9 — d und 180% — (p + d’) anzunehmen. Es sind also die Grössen cos d' sin (p — Ö cos Ö' sin pn y ee um (D. €.) zu substituiren. Wird für diesen Quotienten das Zeichen g gewählt, dann ist die Ermittelung der Stundenwinkel auf die Berechnung der folgenden Ausdrücke zu- rückgeführt. oder EBERLE N een 15 ; pad zauben 1 q sın I U de Ila emo FEN Zur Vorausberechnung der Sternzeit, in welcher die Coincidenz beobachtet werden muss, dient eine der Relationen: T=a+tt T=e+t Die vorgezeichnete Methode, die Polhöhe zu bestimmen, setzt durchaus nicht genaue Kenntniss der Refraction voraus, da die Objecte ziemlich in gleicher Höhe sich befinden. Die Berücksichtigung der mittieren Refraction wird auch in den Fällen ausreichen, in welchen der Unterschied der Zenithdistanzen zur äussersten Grenze des Messbaren gehört. Zum Verständniss, wie mittelst des Apparates Zeitbestimmungen gemacht wer- den können, möge das Folgende beitragen. Wenn das Instrument in ein horizontales Lager gelegt wird, so dass das Rohr die Richtung des ersten Verticals einnimmt, wenn ferner dasselbe um seine Axe gedreht wird, so werden Bilder von Sternen, die gerade dem Meridiane angehören, im Gesichtsfelde entstehen. Stellt man nun einen künstlichen Horizont unter das Objectivende, so erhält man bei gewisser Drehung das von dem Horizonte reflectirte Bild eines Meridianobjectes, von einem der Prismen hervorgebracht, während von dem anderen ein directes Bild desjenigen Objectes entworfen wird, das mit ersterem in gleichem Zenithabstande sich befindet. Durch Nachbewegen des ganzen Instru- mentes, durch Drehen des Rohres und durch den Gebrauch der Micrometerschraube gelingt es, die Passagen zweier solcher Sterne zu verfolgen und sie während einiger Zeit wieder zusammenzustellen, sobald sie vermöge ihres scheinbaren Marsches am Himmel sich getrennt haben. Ganz wie im vorher besprochenen Falle lassen sich derartige Beobachtungen in vier verschiedenen Haltungen des Instruments vorneh- men; es wird in jeder der Lagen von Ost nach West oder West nach Ost entweder der Nord- oder Südstern zur Reflexion von den dazu gestellten Horizonte benutzt werden können. Bezeichnen wir diese Lagen durch 1:Obj. Ost, Horiz. Süd, 2: Obj. West, Horiz. Süd, 3: Obj. West, Horiz. Nord, 4: Obj. Ost, Horiz. Nord; alsdann geben I und 2, 3 und 4, 1 und 3, 2 und 4 combinirt vom Indexfehler unabhängige Beobachtungen. Die Coincidenz zweier Sterne kann durch das Micrometer beliebig oft beobachtet werden, wenn zur beobachteten Uhrzeit nur immer die Ablesung des Micrometers hinzugefügt wird, und man erlangt hiermit das Analoge, was beim Passageninstrumente den Beobachtungen an den verschiedenen Fäden entspricht. Gewissermassen sind also die Verstellungen die Fädenintervalle. Gehören beide Sterne der oberen Culmination an, so gehen dieselben von entgegengesetzten Seiten 14 durch das Gesichtsfeld, bewegen sich daher relativ zn einander schneller, welches eine schärfere Zeitbestimmung giebt, als im Falle verschiedener Culmination, ob- gleich auch hier der dem Pole nähere Stern von dem anderen leicht überflügelt wird. Was die Reduction der Beobachtungen betrifft, so hat man auf zwei Punkte zu achten. Erstens kommt es darauf an, die Zeit in Betracht zu ziehen, zu welcher beide Sterne, wenn sie, wie es gewöhnlich der Fall ist, nicht gleiche Rectascensionen haben, ein und denselben Vertical, natürlich dem Meridiane benachbart, passiren. Zweitens muss die Zeitdifferenz, die einer bestimmten Verschiebung des Microme- ters entspricht, abgeleitet werden. In Bezug auf den ersten Punkt darf man nur einen der oben schon angeführten Ausdrücke für ig 15 t und tg 15 t‘ berechnen, also: q sin 15 u geosld5u+1 Wenn daher die Prismen gerade ihrer Mittelstellung entsprechen, und der Augen- blick angemerkt wurde, in welchem die beiden Sterne zusammenkamen, dann wird die Uhrcorrection ce aus der Rectascension, dem Stundenwinkel und der notirten Zeit v gefunden durch die Gleichung: c=a+t—ı Wir lassen vorläufig die Voraussetzung gelten, dass die Mittelstellung bekannt ist, und es soll zweitens die Oorrection ermittelt werden, welche nothwendig wird, wenn die Sterne ihren Ort aus der erst beobachteten Lage ändern. Sie beginnen wegen ungleicher Declination mit verschiedener Schnelligkeit auseinander zu laufen, und es soll angenommen werden, dass sie x Secunden nach der Ooincidenz, der südliche um den Winkel /5 p, der nördliche um /5 p‘, sich entfernt haben. Dann werden die Relationen statthaben: ig 15T = a cos d By 152 sin? 1" p" 3% 15% sin? 1" p'® 008 Ö' 6 cos? Ö' 40 co} Für den südlichen Stern genügt ein Glied der Näherungsreihe hinlänglich, wel- ches für den anderen nicht ausreichend ist, sobald er dem Pole nahe ist. Es tritt zu den angeführten Gleichungen noch eine hinzu, worin a die für die abermalige Coineidenz nöthig gewordene Verschiebung des Micrometers in Zeit-Secunden aus- gedrückt bedeuten soll, nämlich: ptp'=2a Das obere Zeichen bezieht sich auf Sterne von gleicher Culmination, das untere auf solche, die in verschiedener Culmination sich befinden. Aus den oberen Gleichungen folgt: N 152 sin? 1" p"? a a Wird zu beiden Seiten Fr addirt resp. subtrahirt, so ist DEP F. 2 a 0) SE cos d*) p' 152 sin? 1 p"3 0 cos d' cos d' er 6 cos? d' Kehren wir, um den Werth von p zu ermitteln, diese Reihe um und setzen 2a7p—=p‘, so finden wir: u 2a 152 sin? 1" (2a)? cos d* “Tod %s d—+.cos d! — 6 (sin d + cos d')* Sind nun mehrere derartige Passagen zu den Zeiten 7 r, 7,,.. beobachtet, wofür die 2 15 aus den Verschiebungen hervorgehenden a a, a, .. die Intervalle x x, &,,.. durch Rechnung liefern, dann werden die Uhrcorrectionen dargestellt durch die Ausdrücke: a +t—-(t— a) a Ar De (2, 77.8) a Ahr Gt (7, — 2) Es wird daher für das Mittel der Zeiten 7 z, z,,.. bei n Beobachtungen die Correc- tion der Uhr aus der Gleichung hervorgehen: 1 a +t— — Z(—a)=c worin die Summe (2) auf alle r— « sich erstreckt. In dem Vorhergehenden wurde die Kenntniss der Mittelstellung der Prismen oder des Indexfehlers vorausgesetzt. Ist diese Correction unbekannt, so muss in zwei der als compensirend bezeichneten Lagen beobachtet werden; jede dieser wird einige Beobachtungen ergeben. Berechnen wir aus jeder dieser zwei Gruppen eine mittlere Gleichung, und vereinigen beide Gleichungen zum Mittel, so erhalten wir das Resultat frei vom Indexfehler. Hierbei ist zu bemerken, dass in der Gleichung für x den Gliedern der dritten Ordnung eine genäherte Indexangabe beigegeben werden muss. In den meisten Fällen wird jedoch dieses Glied entbehrt werden können, alsdann macht sich die Entwickelung leicht. Bezeichnen wir die unbe- kannte Ablesung für die Mittelstellung der Prismen durch o, die Ablesung für die Coineidenzen in einer Lage des Instruments durch A A, A,,.. und in der anderen Lage durch BB, B,,..., in Zeit ausgedrückt, dann sind die einzelnen Werthe der Uhrcorrection die folgenden: id 4 2(0 — 4) re 080 -+ cos d! 2 (0 — A4,) + (r ee 2 (0 4,,) a (? cos d + cos ) r ! ER BR, BE R nl: [e od =E cos Ö' Der Endwerth für die ii wird also Be ag Kiez ne worın die Zeichen 7, B und A die Mittelwerthe vorstellen sollen. Es ist noch zu erwähnen, dass die Rectascensionen bereits in Bezug auf die tägliche Aberration verbessert gelten, wodurch den aus den Tafeln entnommeuen Werthen jener die Correction zukommt: n “ e 0.021 cos p sec d =C Die Beobachtungen selbst werden nicht zu viel Zeit in Anspruch nehmen, da man nach stattgehabter Zusammenkunft das Micrometer etwas zu verstellen hat, die nächste Zeit der Zusammenkunft abwartet, notirt, und die Theilung nicht immer vollständig, sondern meistens wohlnur auf der Trommel abzulesen braucht; während 16 eine kleine Drehung des Rohres ausreicht, um der kleinen Höhenänderung der Sterne nachzukommen. Geräth eine Beobachtung nicht, so kann sofort eine neue ange- stellt werden, indem man ein wenig die Micrometerschraube dreht. Ueber das Arangement der Beobachtungen liesse sich noch Manches sagen, so z. B. kann der aus den Zeitbestimmungen hervorgehende Indexfehler der Bestimmung der Polhöhe zu Grunde gelegt werden und umgekehrt, indess möchte das Wesentlichste hervor- gehoben sein. Verbesserung. Seite 8, letzte Zeile lies: Tr D=(2— 0 1.079Yk—-(2— o)?p +@ 0) Y[1.1654—2(2 - ©) 1.079pYh 1 (@-e?p®] So fat: Rn m EEE Tv ON I nee S ou N | 5 | S an ü =: mul _— Ss Ueber die Anziehung homogener insbesondere der Polyeder. Danzig, Druck von A. W. Kafemann. 1865, Körper D) & * F L. ‘ b; b n A \ DE} j 4 ee ; t ar ar als? Br ;? H - a% & > un = \ = if De. Pr se » en f N er F “r - E N | vb rien Hsakhk \ .. E' ic oharlod ab { n. \ > r f 8 F | 8. Durch das Newton’sche Gesetz wird die Wirkung eines materiellen Punktes auf einen andern festgestellt, und der Satz vom Parallelogramm der Kräfte lehrt, wie eine beliebige Anzahl von Kräften, die denselben Punkt angreifen, zu einer einzigen vereinigt werden kann. Der Integralrechnung fällt die Aufgabe zu, aus diesen Daten die Anziehung zu ermitteln, die ein materieller Punkt durch einen Körper von endlichen Dimensionen erfährt. Sie löst diese Aufgabe allgemein; sie lehrt uns die Attractionscomponenten nach drei verschiedenen, am besten auf einander senkrechten Richtungen mit Hülfe dreifacher Integrale bestimmen und dadurch zu- gleich die Grösse und Richtung der Resultante der Anziehung finden. Durch die Untersuchungen von Laplace wissen wir überdies, dass die Kenntniss eines ein- zigen dreifachen Integrals, des sogenannten Potentiales ausreicht, um durch blosse Differentiation die Grösse der nach irgend einer beliebigen Richtung stattfindenden Attraction abzuleiten. Aber man darf bei dieser Lösung der Aufgabe mittels drei- facher Integrale nicht stehen bleiben, sondern sobald die Gestalt des Körpers und die Vertheilung der Masse in seinem Innern gegeben ist, muss man jene Integrale zu vereinfachen und, wo möglich, auf solche Functionen zurückzuführen suchen, für deren numerische Berechnung wir uns im Besitze von Tafeln befinden. Wenn in dieser Beziehung nächst der Kugel das Ellipsoid mit besonderer Vorliebe von den Mathematikern behandelt worden ist, so hat das neben dem grossen Interesse, welches das Problem in theoretischer Beziehung darbietet, seinen guteu Grund auch in der hohen praktischen Bedeutung, welche es für unseren Erdkörper besitzt. Doch auch die Anziehung anderer Körper, z. B. der ebenflächig begrenzten, ver- dient genauer gekannt zu werden, wie selbst derjenige nicht wird leugnen können, der von einer solchen Kenntniss keinen wesentlichen Nutzen für die Naturwissen- schaften erwartet. Um aber einen Beles dafür zu geben, dass derartige Untersuchungen sehr wohl praktisch verwerthbar sind, brauche ich nur auf die höchst verdienstvolle Arbeit des Herrn Dr. @. Schweizer: „Untersuchungen über die in der Nähe von Moskau stattfindende Local-Attraction*)* aufmerksam zu machen, worin die beträcht- liehen Abweichungen der Richtung des Bleilothes von der wahren Verticalen in völlig genügender Weise durch den störenden Einfluss gewisser prismatischen Schichten erklärt wird, welche sich unter der Erdoberfläche in der Richtung von Ost nach West quer durch den Meridian von Moskau hinziehen und eine von der mittleren Dichtigkeit der Erdrinde verschiedene Dichtigkeit besitzen. Um zu diesem Resultate zu gelangen, war eine genaue Kenntniss der analytischen Ausdrücke für *) Bulletin de la societe imperiale des naturalistes de Moscou. Annde 1862. No. III. — Man vergleiche auch die „Literarische Anzeige“ in Nr. 1449 der „Astronomischen Nachrichten,“ die Wirkung solcher Prismen erforderlich. Herr Dr. Schweizer spricht sein Be- fremden darüber aus, dass die gewöhnlichen Lehrbücher der Mechanik über sol:he Gegenstände keine Auskunft enthalten, dass man darin vergeblich die Attrastion eines Parallelepipeds*), eines Prismas, einer Pyramide suche. Er fügt indessen hinzu (a. a. OÖ. p. 149): „Dagegen fand ich in einem noch ungedruckten Aufsatze des Herrn Akademikers Ssomow, welchen derselbe mir die Güte hatte mitzu- theilen, diesen Gegenstand auf das Eleganteste behandelt und allgemein durchge- führt.“ Es ist mir über den Inhalt der Arbeit des Herrn Ssomow ausser dem eben Angeführten nichts bekannt geworden. Auch ich hatte mich indessen, bevor ich noch die Schrift des Herın Dr. Schweizer kannte, mit demselben Gegenstande be- schäftigt, und war zu dem Resultate gelangt, dass das Potential und die Attractions- componenten eines beliebigen homogenen Polyeders sich in übersichtlicher Weise durch Formeln darstellen lassen, welche keine andern Transcendenten als Loga- rithmen und Kreisbogen enthalten, also mit Hülfe der gewöhnlichen logarithmisch- trigonometrischen Tafeln jederzeit leicht numerisch berechnet werden können. Es ist meine Absicht, in den folgenden Zeilen eine Herleitung der in Rede stehenden Formeln zu geben, und ich werde dabei einige geometrische Betrachtungen zu Hülfe nehmen, weil dadurch jede weitläufige und mühsame Rechnung vermieden werden kann und gleichzeitig die Bedeutung aller in dem Endresultate auftretenden Grössen klar hervortritt. Daran werden sich einige Bemerkungen über die Anziehung der von Regelflächen begrenzten homogenen Körper knüpfen. 82. Der deutlicheren Vorstellung wegen kann man das anziehende Polyeder als ein convexes voraussetzen, d.h. als ein solches, das von keiner Geraden in mehr als zwei Punkten geschnitten wird. Ich bemerke jedoch, dass für die Gültigkeit der nachfolgenden Betrachtungen diese Voraussetzung nicht nothwendig ist. Das Polyeder kann unter seinen Grenzflächen auch solche Polyzone enthalten, in denen überstumpfe Winkel vorkommen, es kann beliebig viele ebenflächig begrenzte Höhlungen haben oder kanalförmig durchbrochen sein u. s. w., ohne dass die Methode einer Modification bedarf. Nur die Voraussetzung müssen wir der Natur der Sache gemäss machen, dass die begrenzenden Polygone nicht in das Innere des mit Materie erfüllten Raumes eindringen, und dass ihre nichtaufeinanderfolgenden Kanten sich nicht durchschneiden. Es trennt also jede Fläche die Masse des Kör- pers von dem nicht mit Materie erfüllten Raume, und es lassen sich somit stets zwei Seiten an derselben unterscheiden, eine innere, die der Masse des Körpers, und eine äussere, die dem von Materie freien Raume angehört. Construiren wir nun über jeder Polyederfläche F als Basis eine Pyramide, welche ihre Spitze in dem angezogenen Punkte 7’ hat, so ist das Volumen des Polyeders stets gleich der Summe aller Pyramiden, welche sich auf die innere, vermindert um die Summe der- jenigen, welche sich auf die äussere Seite einer Polyederfläche stützen. Da aber das Potential des Polyeders ein dreifaches Integral ist, dessen Grenzen genau die- *) Die Formel für die Attraction eines rechtwinkligen Parallelepipedons ist in gelehrten Zeit- schriften mehrfach mitgetheilt worden, z. B. von Bessel in Zachs monatlicher Correspondenz, Bd. XXVI p. 85. Eine elegante Ableitung hat Herr Dr. Röthig im 58. Bande des Borchardt’* schen Journals gegeben. h) selben, wie bei der Volumenbestimmung sind, so lässt es sich in gleicher Weise auffassen als die Differenz zwischen den Summen der Potentiale aller innern und derjenigen aller äusseren Pyramiden, wobei man nur, um jedem einzelnen dieser Potentiale eine physikalische Bedeutung unterzulegen, sich vorstellen muss, dass jede einzelne der betrachteten Pyramiden für sich mit homogener Materie erfüllt sei. Man theile nun in jeder dieser Pyramiden die Basis Fin unendlich kleine Elemente dw, zerschneide dann jede der dadurch bestimmten neuen Pyramiden von unendlich kleiner Basis durch Parallelebenen zu F in unendlich kleine Elemente dt, bezeichne durch r und e die Entfernungen des angezogenen Punktes P von do und von dt, und durch p und x die senkrechten Abstände dieses Punktes von der Ebene, der dw angehört, und von einer der beiden damit parallelen Grenzflächen des Ele- . ” . . - . 2 mentes dt, so ist, da dt als ein Prisma mit der Höhe dx und der Basis > dw be- trachet werden kann: 2 dwdx de ° und ferner ist: = p 2% . p Die Dichtigkeit der Materie, aus der das Polyeder besteht, können wir der Einheit gleichsetzen, und dasselbe dürfen wir mit der Stärke der Anziehung, welche die Masseneinheit in der Einheit der Entfernung ausübt, thun, indem dadurch in allen Formeln nur ein numerischer Factor unterdrückt wird, der jederzeit sofort hinzu- gefügt werden kann. Dies festgesetzt, ist das Potential der Pyramide, die dw zur Basis und P zur Spitze hat, gleich pdw dt _ dw ed, ne 0 und folglich das Potential der ganzen Pyramide mit der Basis F und der Spitze P gleich % p FF wobei das Doppelintegral sich über die Oberfläche des Polygons F erstreckt. Es sind nun, um das Potential V des ganzen Körpers zu erhalten, die analogen Ausdrücke auch für die zu den übrigen Grenzpolygonen gehörigen Pyramiden zu bilden, mit dem positiven oder negativen Zeichen zu versehen, je nachdem die betreffende Pyramide sich auf die innere oder äussere Seite einer Polyederfläche stützt, und darauf durch Addition mit einander zu verbinden. Da- 1 dw durch wird m un Fr wenn das Integral über irgend eine Polyederfläche, die Summe über alle diese Flächen ausgedehnt wird, und wenn man p, d. h. das von P auf eine Fläche F’ ge- fällte Loth, positiv oder negativ wählt, je nachdem Z#’ dem angezogenen Punkte P ihre innere oder äussere Seite zukehrt. Die nach irgend einer Richtung hin stattfindende Attraction könnte man jetzt dadurch finden, dass man den Differentialquotienten von V nach dieser Richtung nimmt. Wir erhalten aber eine für unsere Zwecke geeignetere Formel, indem wir auf die bekannte Art und Weise das Polyeder in Prismen von unendlich kleinem Querschnitt zerlegen, deren Seitenkanten der betrachteten Richtung parallel sind. Sind a, b, c die Coordinaten des angezogenen Punktes, x, y, z die eines Massen- elementes in Bezug auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem, ferner e die Entfernung von (a, b, c) und (x, y, 2), und A die Componente der Anziehung parallel mit der Axe der «, so ist: 6 | —1 A ._ a. ) da dy de = — '£ un dx dy dz, oder: A = ff: + Bremen +.) dydz, wenn r, vr’, r“,... die Werthe des go für die Stellen bezeichnen, an denen das Prisma, dessen Querschnitt dy ds ist, in die Masse des Polyeders eintritt oder aus ihr her- austritt, und &, e, €... —= + / an den Eintritts-, dagegen = — 1 an den Aus- trittsstellen gesetzt werden. Man kann aber diese Formel bekanntlich einfacher schreiben, indem man edy de — cos« dw setzen darf, wo dw das Oberflächenelement des Körpers an der betreffenden Ein- oder Austrittsstelle und @ den Winkel der auf do nach Innen errichteten Normalen mit der Axe der X bedeutet. Man erhält ls 4 2. feos a do also A =f , wenn das Integral über die ganze Oberfläche des Polyeders genommen wird. Da aber « für alle Elemente derselben Polyederfläche constant ist, so können wir die Formel auch so schreiben: 2) A= 2 oa >, und haben jetzt das Integral- und das Summenzeichen genau so wie in 1) zu ver- stehen. Setzt man noch zur Abkürzung 20 fi, INN EZ 2-92) lea. Es handelt sich also bei der Bestimmung von V und 4 gleichmässig um die Aus- mittlung des Doppelintegrales 2, welches als das Flächenpotential eines Grenz- polygons betrachtet werden kann, wenn man sich dasselbe mit einer Massenschicht von der constanten Dichte / belegt denkt. An jeder der ein solches Polygon F begrenzenden Kanten, lassen sich, sobald man sich die Ebene, der F angehört, all- seitig erweitert vorstellt, zwei Seiten unterscheiden, eine innere, an welcher F selbst, und eine äussere, an welcher der übrige Theil der Ebene liegt. Wir con- struiren jetzt in der Ebene des Polygons F über jeder der das letztere begrenzen- den Kanten das Dreieck, welches seine dritte Ecke in dem Fusspunkte OÖ des von P auf jene Ebene gefällten Lothes hat. Wird die Fläche eines solchen Dreiecks positiv oder negativ gerechnet, je nachdem es mit Fan derselben (also inneren), oder an der entgegengesetzten (also äusseren) Seite der gemeinschaftlichen Kante liegt, so ist der Flächeninhalt von # gleich der algebraischen Summe aller con- struirten Dreiecke, und versieht man auch die Potentiale der äusseren Dreiecke mit dem negativen Vorzeichen, so setzt sich in gleicher Weise das Potential von # aus den Potentialen aller einzelnen Dreiecke zusammen. Betrachten wir also eines . dieser Dreiecke, OST, legen noch durcli das Loth PO oder p eine zu der Polygon- seite ST senkrechte Ebene POQ, fällen von irgend einem Punkte D des Dreiecks auf OQ das Loth BC = y, setzen O C =, ) V=%Zp[—pftZglog (ci% y cot 4 W)] 6) A= 3 cosa|— pf-+ > glog (cotyYy cot y, W)] F K Durch diese beiden Formeln ist unsere Aufgabe vollständig gelöst. Der besseren Uebersicht wegen stelle ich noch die Bedeutung der einzelnen Zeichen kurz zu- sammen. Es bedeutet: V das Potential des Polyeders in Bezug auf irgend einen Punkt P. p das von P auf irgend eine Fläche F gefällte Loth, positiv oder negativ ge- nommen, je nach dem /' dem P ihre innere oder äussere Seite zukehrt; f ist die scheinbare Grösse der Fläche F, vom Punkte P aus betrachtet, und ist mit denselben Zeichen wie p zu versehen; (Vergl. $ 4.) ) q ist das von dem Fusspunkte O0 des erwähnten Lothes auf irgend eine der F begrenzenden Kanten gefällte Perpendikel und hat das positive oder negative Vor- zeichen, je nachdem OÖ an der inneren oder äusseren Seite der Kante liegt. y und vY sind die an den beiden Endpunkten dieser Kante liegenden Winkel in dem Dreiecke, das seine dritte Ecke in P hat. A bezeichnet die Stärke der Attraction nach irgend einer Richtung, d. h. die Projection der Resultante der Anziehung auf diese Richtung, a den Winkel dieser Richtung mit der auf F nach dem Innern des Körpers zu errichteten Normalen. Die Summe 4 erstreckt sich über alle Seiten eines Grenz- polygons F', und das Zeichen 3 deutet an, dass die entsprechenden Ausdrücke für F alle Grenzflächen des Polyeders zu bilden sind. — Die Logarithmen sind natürliche, 8 3. Wenn man die Formel 5), indem man die Grössen p, q u. s. w. als Functionen der rechtwinkligen Coordinaten a, b, c des angezogenen Punktes betrachtet, partiell nach a en und das sich so argrebränen Resultat mit 6) vergleicht, so gelangt man zu einer Relation, die sowohl an sich bemerkenswerth erscheint, als auch für unser Problem uiltöliche Anwendungen gestattet. Rückt P parallel der Axe der a um eine unendlich kleine Strecke da fort, und werden von den Endpunkten der letzteren auf eine Fläche F die Lothe p und p + dp gefällt, so ist, da diese Lothe mit jener Axe den Winkel « einschliessen, offenbar dp — cosa.da, also: dp _ 2 ne 2 hr > Es war oben (p) 199 = g gesetzt und es ist daher, wenn e = + T oder — — 1, je nachdem p positiv oder negativ: zpcosd. Pg =Ep-1gg, pi _ — 2eptggcosa — Bas —, oder, wenn R das von P auf die betreffende Polygonseite gefällte Perpendikel (d.h. in Fig. 1 die Linie PQ) bezeichnet: 21 _ 9gcoaa+eR 2 Aber an derselben Kante liegt noch eine zweite Polyederfläche F*, wodurch zu dem vorstehenden ein ähnlicher Ausdruck hinzukommt, in welchem R denselben Werth behält, während die übrigen Grössen andere Werthe annehmen. Die Summe der zweiten Bestandtheile ist: R?(e - + € 7): Liegt nun z. B. der angezogene Punkt P innerhalb des Körpers, so dass e = e’ —= I, so ist offenbar g + g‘ der Winkel, welchen die beiden von P auf F und F“ gefällten Lothe mit einander bilden, also eine Grösse, die von der Lage des Punktes P im Innern des Körpers unabhängig ist. Auch bei jeder andern Lage von P überzeugt man sich leicht, dass &g —+ &' g’ eine constante (nur beim Durchgange des Punktes P durch F oder F' sich sprungweise ändernde) Grösse, und dass folglich e + e —_ — eo Iee Man darf also, wenn man 5) nach a differentiirt, statt — den Werth 2gcos« sub- stituiren, indem ja die hierbei fortgelasssenen Glieder sich paarweise aufheben, und erhält: 5 = =A+Hzpl-r% A a 109 (cot 49 co mW] 10 während A genau den in 6) befindlichen Werth bezeichnet. Da aber Al, u so muss die zu A addirte Summe identisch verschwinden. Man substituire nun z. B. statt des Polyeders eine Pyramide, welche ein beliebiges Polygon F zur Basis hat, und nehme an, dass der angezogene Punkt sich in deren Spitze befinde. Es verschwinden dann alle Lothe p mit Ausnahme des auf F gefällten, und da die in der grossen Klammer befindliche Grösse, wie nicht schwer zu zeigen, für p = 0 nicht unendlich wird, so sieht man folglich ein, dass für jedes Polygon F für sich die Identität erfüllt sein muss: )p = = = m & (cot 1, p cot 4, „| Die gewonnene Relation kann benutzt werden, um auch die Ausdrücke für die zweiten Differentialquotienten von V in ihrer einfachsten Form zu erhalten. Diffe- x d renturt man 6) nach a und bemerkt, dass - — cos a’ —= dem Üosinus des Winkels, welchen die ltichtung von g (von der Seite des Polygons nach dem Innern seiner Fläche hin genommen) mit der Axe der a bildet, so ergiebt sich mit Rücksicht auf 7): d2V Fr “ fcos®?@ + 3 cos a cos a’ log (cot % y cot!, Di F K Die Werthe von N und = gehen hieraus sofort hervor, indem man «, «' in ß, $' und in y, y’ verwandelt, und unter 8, 3° die Winkel versteht, welche p und qg mit der Axe der 5, und unter y, y‘ diejenigen, welche p und q mit der Axe der cbilden. Da aber die Coordinatenaxen als rechtwinklig angenommen sind und auch die Linien » und g auf einander senkrecht stehen, so hat man: cos?a + cos?8 + cos?y — 1, cos a. cos a + cos ß cos! + cosy cosy' — (. Daher ist: a LEE A da? di | de 3 oder nach der üblichen Bezeichnung: 2 V7 = — If, d. h. gleich der scheinbaren Grösse $ der Gesammtoberfläche des Polyeders. Nun ist aber für einen innern Punkt 3 gleich der ganzen Oberfläche der um P mit dem Radius 7 beschriebenen Kugel, d.h. = 47, und für einen äussern Punkt ist $ = 0, weil die scheinbare Grösse der dem P die äussere Seite zukehrenden Polygone gleich der der übrigen Grenzflächen, aber von entgegengesetztem Zeichen ist. Es ist also 2V = — 4n für einen innern und —=o0 für einen äusseren Punkt, und es hat sich auf diese Weise gezeigt, dass der in 5) gegebene Ausdruck des V einer der bekannten characteristi- schen Eigenschaften des Potentials Genüge leistet. Wir wollen auch die Formel 4), welche das Potential einer auf der Fläche eines Polygons # sleichmässig vertheilten Massenschicht darstellt, partiell nach a differentiiren, und erhalten, indem wir wieder 7) berücksichtigen: d2R 8) 15 = feose-+ = cos @' log (cot yy cot 1, W). Nehmen wir insbesondere als Anfangspunkt der Coordinaten einen Punkt in F und als Axe der a die zu diesem Punkte gehörige Normale der Ebene, so wird p = a, F erhält beiläufig dasselbe Vorzeichen mit a, es wird cos@ — I und jedes @' = % n, d. h. cose’ = 0. Die Formel 8) vereinfacht sich also in diesem Falle zu da 8) En TR 11 Dieses Resultat verliert natürlich seine Gültigkeit auch nicht, wenn die an- ziehende Fläche von einer krummen Linie begrenzt ist. Man hat also den folgen- den Satz: Die Anziehung, welche eine beliebige ebene Fläche nach einer zu ihr normalen Richtung auf einen ausserhalb gelegenen Punkt ausübt, ist proportional der scheinbaren Grösse der Fläche in Bezug auf den angezogenen Punkt. Wird z. B. die ganze unendliche Ebene als anziehend betrachtet, so ist f für jede Lage des angezogenen Punktes gleich der Halbkugel =—+ 2, und es ergiebt sich das bekannte Resultat“), dass eine unendliche Ebene einen materiellen Punkt in jeder (endlichen) Entfernung gleich stark anzieht, die Bewegung des Punktes also nach den gewöhnlichen Fallgesetzen vor sich geht. 84. Es mögen sich hieran einige kurze Bemerkungen, betreffend die Berechnung von f, anschliessen. Es stellte / den ee a: sphärischen Polygons vor, welches auf der um P mit dem Radius / beschriebenen Kugel durch die körperliche Ecke bestimmt wird, die ihren Scheitel in P hat, und deren Seitenebenen durch die Seiten des ebenen Polygons F hindurchgehen. Es ist also, wenn » die Seiten- zahl von F. nach einem allgemein bekannten stereometrischen Satze f (dem absoluten Werthe nach) gleich der Summe aller Flächenwinkel der Ecke vermindert um (n— 2) x, oder auch gleich 277 minus der Summe aller Kantenwinkel der Polarecke. Es lässt sich aber / auch leicht durch die in den Formeln vorkommenden Grössen P, 9 9, y ausdrücken, wenn man auf die Betrachtungen des $ 2 zurückgeht. Dort wurde nämlich / aus einer Anzahl von Dreiecken zusammengesetzt, von denen eines, 0‘ S' T', genauer untersucht wurde. Sein Inhalt ist, wenn A statt 7, + n, geschrieben wird, =4- u +» —n. Liegt nun OÖ‘ ausserhalb der Fläche von f, so ist die algebraische Summe aller der an O liegenden Winkel gleich Null, und liegt O’inner- halb, so ist diese Summe, abgesehen vom Vorzeichen, = 27. Nach den schon oben benutzten l'ormeln ist ferner: sinm — cot wtgg, sinn = cotvwtgg, also: u — % m — arctg (sinm cotg 9), v — kr — arctg (sinn cotg 9). Drückt man noch m und rn durch 9 und V, sowie y durch p und g aus, so ergiebt sich leicht: rien 3 Ta. ae ih ee Kl 9 q worin € — 0 zu setzen, wenn der Punkt Ö ausserhalb F, dagegen e= + I, wenn O innerhalb fällt, und zwar — + 1 bei positivem, = — I bei negativem p. Man kann auch leicht einen andern Ausdruck für f herstellen, welcher vor dem vorher- gehenden sich dadurch auszeichnet, dass er für alle Lagen des angezogenen Punktes in unveränderter Gestalt Geltung hat. Bezeichnet man nämlich die Flächen der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke O' Q' S‘ und O' Q' T’, aus welchen das Dreieck O0'S‘ T' (4) besteht, durch 4 und 4,, so ist nach einer bekannten Formel der sphärischen Trigonometrie: un A =tymgigym, 19 A—=tgmgtghn, *) Man vergleiche z. B. Schellbach’s „Neue Blements der Mechanik“ p. 160, 12 und dadurch gelangt man sofort zu der folgenden Formel für f: 37 re 2Z & ty (ta hgtgymm) +arctg (tg % g tg % ] K Die arc tg sind, wie auch in der vorher gegebenen Formel, zwischen — 4, zr und —+- 1 m zu nehmen, der ebenfalls zwischen — 1, sr und +4 , x zu wählende Bogen 9 hängt mit p und g durch die Gleichung ptgg = q zusammen, und endlich ist m—= AR—o,n—= „nn — U. $5. Wiewohl die Aufgabe, die Anziehung eines homogenen Polyeders zu be- stimmen, in $ 2 bereits in voller Allgemeinheit gelöst ist, so bedarf doch ein spe- cieller Fall noch einer besonderen Erörterung, weil in ihm die Formeln unter der unbestimmten Form 00 — © erscheinen und die Ermittelung ihres wahren Werthes einige Aufmerksamkeit erfordert; ich meine den Fall eines nach einer oder auch nach beiden Seiten hin unendlichen Prismas. Wir halten uns nicht bei dem Po- tentiale des Prismas auf, weil es einen unendlich grossen Werth annimmt, und in Betreff der Attractionscomponenten beschränken wir uns auf die Betrachtung der Wirkung eines geraden Prismas auf einen in der Ebene der Basis gelegenen Punkt, weil der Fall eines schief abgestumpften Prismas und eines beliebig gelegenen Punktes sich auf den eben genannten Fall und auf den eines Prismas von durch- . weg endlichen Dimensionen zurückführen lässt. In Fig. 3 ist als Beispiel ein drei- seitiges Prisma genommen, in dessen Basis DEF sich der angezogene Punkt P befindet. Die der Basis parallele Fläche D’ E' F' hat man sich schliesslich als ins Unendliche rückend, d. h. die Seitenkanten h unendlich lang vorzustellen. Wir bestimmen zuerst die Componente der Anziehung nach einer den Seitenkanten (oder der nach Innen gehenden Normalen zur Basis) parallelen Richtung. Es ver- schwinden dann alle sich auf die Seitenflächen des Prismas beziehenden Glieder, weil der Factor cos @ für diese — o wird; die von D‘ E‘ F‘ herrührenden Glieder stellen das Oberflächenpotential dieser Fläche in Bezug auf den Punkt P dar, und dieses wird offenbar unendlich klein, wenn % unendlich zunimmt. Bemerkt man noch, dass für die Basis p = o und @ — o, so findet man: 10) A= I glog (ot %y cot1 W). K Hierin bezeichnet q das von P auf eine Seite (z. B. EF) der Basis gefällte Loth, y und u stellen für EF den Winkel PEF und PFE vor, und die Summe erstreckt sich über alle Seiten der Basis. Wir gehen jetzt über zur Bestimmung der Attrac- tionscomponente B nach einer beliebigen der Basis angehörigen Richtung. Hier kommen nur die auf die Seitenflächen sich beziehenden Glieder der Formel 6) in Betracht. Bezeichnet 3 den Winkel jener Richtung mit der auf einer Seitenfläche nach innen errichteten Normalen (g), und sind 9 und w‘ die Winkel, welche z. B. der Kante E‘F‘ in dem Dreiecke PE’F' anliegen, so geben die der Basis parallelen Kanten (#’F‘, F’D‘ u. s. w.) den Beitrag =cosß.hlog (cot 1, p' cot %, W*). Setzt man aber EF'=s, PE'=r, PF' = r,, so ist aus der Trigonometrie be- kannt, dass ct, y' coty ww = en el rn tn—s 13 Wird nun h unendlich gross, so unterscheiden sich r, und r, unendlich wenig von h, und der Logarithmus des letzten Ausdruckes reducirt sich, wenn die unendlich . . En - D 6} . D kleinen Grössen höherer Ordnung vernachlässigt werden, auf „» also die obige Summe auf 3 scos ß, d. h. auf den Werth Null, wie aus einem bekannten geometri- schen Satze oder auch leicht daraus geschlossen werden kann, dass 3 scos $ gleich dem Differentialquotienten von Xsg genommen nach der oben betrachteten Richtung, und dass 3 sg für jede Lage von P constant ist, nämlich gleich dem Flächeninhalte der Basis des Prismas. Von den logarithmischen Gliedern, welche sich auf die in der Basis liegenden Kanten der Seitenflächen beziehen, verschwindet jedes für sich, weil der Factor g für jedes derselben — o wird; dagegen liefern die unendlich langen Seitenkanten: &cosß [sı log (cot Yı mcot 1, W,) + 82 log (cot !ı zu cot 1, Wa)], wenn s, und s, die Segmente bezeichnen, in welche E F (s) durch das von P ge- fällte Loth PQ getheilt wird, und „ = :) — 2olog (' + % d.h. A=2me. Die Anziehung des unendlichen Cylinders auf den Mittelpunkt der Basis ist also nur um die Hälfte grösser, als die einer Kugel vom Halbmesser g auf einen Punkt ihrer Oberfläche. 8.7. An den eben behandelten sehr einfachen Beispielen hat es sich gezeigt, wie die Formeln für die Pyramide und das Prisma einen Uebergang auf den Kegel und Cylinder gestatten. Es lässt sich aber aus den für die Polyeder gewonnenen Re- sultaten ein viel allgemeinerer und wichtigerer Schluss ziehen. Wenn nämlich ein Körper nur abwickelbare Flächen (wozu auch die ebenen selbst gezählt werden mögen) zu Grenzflächen hat, so istes immer möglich ihn in ebenflächig begrenzte und nur nach Einer Dimension unendlich kleine Elemente zu zerschneiden; einen Cylinder z. B. vermittelst Ebenen, die den Seitenlinien parallel sind, einen Kegel durch Ebenen, die durch seinen Scheitel gehen u. s. w. Das Potential und die An- ziehung eines solchen Elementes wird vermöge 5) und 6) durch Ausdrücke von endlicher Gliederzahl bestimmt, und die Summe dieser Ausdrücke, für alle Elemente genommen, ist offenbar nichts Anderes als ein einfaches Integral. Man hat also den folgenden Satz: Das Potential und die Attractionscomponenten eines homogenen vonabwickelbaren Flächen vollständig begrenzten Körpers sind stets durch einfache Integrale darstellbar. Es unterliegt keiner wesentlichen Schwierigkeit, diese Integrale aus den für die Polyeder gegebenen Formeln herzuleiten, aber man gelangt wohl noch einfacher durch eine mehr directe Behandlung des Problems, wie ich sie im Folgenden an- deuten werde, zum Ziele. Ich wähle als Beispiel einen geraden Cylinder, der eine beliebig gestaltete ebene Figur zur Basis hat und am anderen Ende durch eine damit parallele, in der 16 Höhe 2% geführte Ebene geschlossen ist. Wir nehmen eine der Höhe parallele, durch den Körper hindurchgehende Gerade zur Axe der X und die die Höhe hal- birende und darauf senkrechte Ebene zur Ebene der YZ, bezeichnen durch «,%, 2 die Coordinaten eines Punktes im Körper und durch a, 5, c diejenigen des ange- zogenen Punktes P. Nach 2) hat die Stärke der Anziehung nach einer beliebigen Richtung den Werth: i ”# cos a dw Pa ar den [} Fragen wir zuerst nach der der positiven X-Axe parallelen Componente, so haben wir c0os@ = 0 zu setzen für alle Elemente dw des Mantels, cos& — 1 für die Grund- fläche, deren Gleichung x = — h ist, und cos@a — — 1 für die Grundfläche @=—+-h. Man hat also: » 1 1 re er vr das Doppelintegral über die ganze Fläche der Basis oder auch der Mittelfigur ge- nommen. Setzt man nun y—=b-+ecos,2=c-- osindy, so wird: 1 1 Sul ser en jede Sk + hl? + oe? Va — I? + Ban Wir wollen zunächst annehmen, dass die Projection des Punktes P auf die YZ- Ebene in die Mittelfigur hinein falle, oder mit anderen Worten, dass P innerhalb des Raumes liege, der von dem unendlich erweitert gedachten Cylindermantel um- schlossen wird. Dann ist nach ge von g — o bisg =, (d. h. bis zur Peripherie der Basis) und darauf nach 3 über den ganzen Umfang der Basis in der Richtung von der positiven Y-Axe nach der positiven Z-Axe hin zu integriren. Die Integration nach e ist allgemein ausführbar, und man findet: HA= a Fer Nahe) ds, wenn: e=Yla 4 A)? — Ya — A)2, und wenn die Quadratwurzeln sämmtlich positiv genommen werden. Die Coordi- naten yı,2, eines Punktes auf der Peripherie der Basis kann man sich als Functionen einer unabhängigen Variablen v gegeben denken vermöge der Gleichungen Y=UY(w,2& =% (u), dann ist: R X (u) — vW=b+gqcoed,xQw=ec+ 4 sind, tg — a also, wenn man die Differentialquotienten nach v durch Accente bezeichnet: _ WW-IEW-AW—- VW) , . ZT ya HeRd- A Ve ee Diese Werthe für d$ und o,? hat man in (I) zu substituiren und die Grenzen nach « so zu bestimmen, als wenn es sich um die Rectification der Basiscurve handelte. Wie man sich leicht überzeugen wird, gilt die Formel (I) auch dann unverändert fort, wenn P ausserhalb des Cylindermantels liegt; aber man darf ferner: hierbei nicht übersehen, dass der Bestandtheil [ed jederzeit vollständig ermittelt werden kann und je nach der Lage des angezogenen Punktes einen verschiedenen analytischen Ausdruck hat, Es ist nämlich: Kr fi d3$ = 0, wenn P ausserhalb des Mantels, fe d3$ = 2 me, wenn P innerhalb liest. Ferner beachte man, im letzteren Falle, dass fürro >a>h:e=(a+h)— (a —h)=2h fürrk>a>— h:e=(a+h)--(h—-a)= 2a für—_h>a> —- m: = —(a+h)— (kh—-a)=—2h. Es hat hiernach den Anschein, als ob A beim Durchgange durch den Mantel eine Stetigkeitsunterbrechung erlitte, während man doch weiss, dass die Attractions- componenten im ganzen Raume stetige Functionen sind. Allein man wird auch aus (I) die Stetigkeit von A sofort erkennen, wenn man diese Formel, nachdem man den darunter befindlichen Werth von & eingesetzt, in folgender Weise schreibt: A = f( Ze A ! m 0,249, Ye +? +o2? ++? Ya— A? +0?-+ Ya—h2 und für g,?d$ seinen Werth als Function von u substituirt. Bei der Bestimmung der der Y-Axe parallelen Componente B= ri beachte man zuvörderst, dass cos ß — 0 für die beiden Grundflächen, dass also das Integral nur über den Mantel auszudehnen ist. Es sei s der Bogen der Basiscurve, von der positiven Y-Axe nach der positiven Z-Axe hin wachsend, so ist cos ß — — und do = ds da, also csßduo= — da da= —y' e du dx und Be X (uw) du dx X (uw dud« B=— ———— —— un u —— Nest ser (e— X (u))? - 5 Ga Man könnte jetzt die Integration nach « vermöge einer bekannten, auf einen Lo- garithmus führenden Formel berechnen; allein diese logarithmische Form lässt sich vermeiden, wenn man zuvor auf das Integral nach « das Verfahren der theilweisen Integration anwendet. Das hierbei auftretende vom Integralzeichen freie Glied verschwindet beim Uebergange zu dem bestimmten Integrale, weil das Integral sich über den ganzen Umfang einer geschlossenen Kurve erstreckt, also x, so wie % und g,, an den Grenzen dieselben Werthe annehmen; man erhält folglich: Br He G en ST ae ; Nun ist aber bekanntlich ir Para man „ + Const. Slate era +er und da dies Iutegral zwischen den Grenzen — h und -+ h genommen werden muss, so wird: S er 1 Ir Fre Vote) Der Kürze wegen sind die Zeichen 0,? und m statt der Ausdrücke We n BER Er &ı Brenn beibehalten worden. — Die dritte Attractionscomponente C (= fr = 4 er9®) 18 lässt sich augenscheinlich auf dieselbe Weise wie B behandeln, und man erkennt auch ohne neue Rechnung sofort, dass da) c= m. ee ) va a, \a+th+o? Ja—h+og: ° wobei das Integral wieder über den ganzen Umfang der die Basis hbegrenzenden Kurve zu nehmen ist und man diese Kurve sich in derselben Richtung wie bei B durchlaufen denken muss. — Ich setze noch die Forniel für A aus (I), in etwas an- derer Gestalt, hinzu, nämlich; ee h? For — Va F N®) as und A, aus A, durch Verwandlung von h in — h hervorgeht. Um das Potential V, das nach (1) gleich dem Doppelintegrale 4, ar ist, auf Quadraturen zurückzuführen, bemerke man, dass für die Grundflächen (x = — h und x — h) das Loth p resp. = a + hund = — (a — h), dw aber = dydz ist, und dass ferner für den Mantel do = ds d.x und p gleich dem auf die Tangential- ebene gefällten Lothe, d, h. r=-|[w- x -6-9v]|z Dadurch ergiebt sich nn, dass: (IV) 2V/=(a+h) A—(a— h)A+bB-tectC + for — xy) log Ben Es ne a du. Na — h)* Each Will man die gewonnenen Formeln auf den Fall eines elliptischen Cylinders an- wenden, so hat man, wenn 29 und 2% die grösste und kleinste Axe des elliptischen Querschnittes bezeichnen, nur nöthig überall in den Formeln u (uw) = gcos u, x (w) — ksinu zu setzen und die Integrale zwischen den Grenzen o und 277 (oder auch — ze und 7r) zu nehmen. Aber ich will hierbei nicht verweilen, weil dieses specielle Problem in anderer Weise schon früher von Herrn Dr. Röthig im Programm der Gewerbeschule vom Jahre 1861 und im 61. Bande des Borchardt’schen Journals behandelt ist, und wie ich aus diesen Arbeiten ersehe, die Attractionscomponenten nach einer anderen Methode auch von Herrn Grube (De cylindri et coni attractione. Diss. inaug. Göttingae 1859) auf elliptische Integrale zurückgeführt sind. Dagegen will ich nicht unterlassen, die Vereinfachungen anzugeben, welche dje allgemeinen Formeln erfahren, wenn der Oylinder unendlich hoch und der angezogene Punkt in der Ebene der Basis befindlich ist. Der Uebergang auf diesen Fall geschieht einfach dadurch, dass man zuerst « = — h und sodann h — + setzt, wodurch sich ergiebt: G-b)r— Roy a— (ds = er fe: I Vo-WHR- EU EN IR RI RR EEE End EV E Ba NR fr Rn. WB DELR@— du er) do ER (dd Sl) u X y C = (vw ) er 2 en vdu. In den allgemeinen Formeln an und (III) konnte man, bei Gelegenheit der theil- weisen Integration, statt der Factoren x («) und (x) unter den Integralzeichen auch x — c und W — 5 erhalten, und diese Veränderung ist in dem Falle sogar nothwendig, wenn der angezogene Punkt auf der Peripherie der Basis liegt, wo 19 dann innerhalb der Integrationsgrenzen 0, — 0, also z. B. x (w) : o, unendlich wird, während (x — c) : 0, endlich bleibt. Aendert man dem entsprechend auch die bei- den letzten der Formeln (V), so bildet man leicht: d: a EN Nr B- ü= I ra nree msi d und addirt man hierzu die identische Gleichung 0 —= IE + iw') du, so folgt: : —b)X— X — j vB a= I a in Hat man das Integral auf der rechten Seite ermittelt, so giebt die Sonderung des reellen und imaginären Theiles gleichzeitig B und C, Für den elliptischen Cylinder (W — gcosu, y = ksinu) lässt sich die Inte- gration ausführen, während der Ausdruck für A im Allgemeinen auf elliptische In- tegrale führt. Beiläufig sei erwähnt, dass auch A auf Elementarfunctionen zurück- führbar ist, wenn der angezogene Punkt sich in einem Brennpunkte oder auf der Peripherie der Ellipse befindet. Ist der Cylinder nach beiden Seiten hin unendlich, so ist statt B und © das Doppelte der in (V) befindlichen Werthe zu setzen, während 4 = 0 wird. S8. Zum Schlusse will ich noch zeigen, dass das Potential und die Attrac- tionscomponenten eines Körpers, der von beliebig vielen durch Be- wegung gerader Linien erzeugten Flächen begrenztist, selbst dann sich auf einfache Integrale zurückführen lassen, wenn diese Flächen keine abwickelbaren sind. Wir haben die schon mehrfach benutzten, wohl zuerst von Gauss aufgestellten 1 d 10 Formeln 4 u u B = [eos ß —, C= feosy — = » do = dw eV = /p or = /[ [« — a) cos@a + (b —y) cosß 4 (ce — 2) cosy| —- Die Integrale erstrecken sich über die Oberfläche aller Grenzflächen; wir werden den eben aufgestellten Satz bewiesen haben, wenn wir zeigen, dass für irgend eine derselben in den betreffenden Doppelintegralen die eine Integration sich ausführen lässt. Die rechtwinkligen Coordinaten jeder Regelfläche können als Funktionen zweier unabhängigen Veränderlichen 7 und « dargestellt werden in der Form: = 9W) +19 W,y— WW) +19, 2 = ya) + 1m). Setzt man der Kürze wegen: I dyıda dz dy | I dıdu Irdu u 7 de dr dx dz 84, Ian so Ist: le __.d« dy dy d« 84 Amann ad ag = Jr +21 do — Qdudt, wobei e überall entweder — -+- / oder überall = — / ist und durch die Bedingung bestimmt werden muss, dass «, 8, y sich auf die nach Innen, und nicht auf die nach Aussen gerichtete Normale beziehen. Durch Einführung dieser Werthe erhält man: 9* a 20 2 a. = audi, B= (audi, = 24 dudt, 2V=aA+bB+ec— [ers traten qua, = ya - 9-1 +b—- p— tm) + (9 —- 1)? Nun ist aber: = —E = — 9, + tw”, u. s. w., also I = Y,yr. — m yı + Wi Y, — Wr vi)t A= my —Yyye Hy — Y Ww)t a a a U Ve und, wesen YA + VY, A+ YA = o: | ad tyhtzb=yAtpAt pt. Wenn man diese Ausdrücke in die Formeln für A, B, €, 2 V einsetzt, so nimmt das Integral nach t in allen vieren die Form getnde JVk®TTt Hm an, während 9, h, k, I, m Funktionen von u allein vorstellen, also bei der Integration nach t constant sind. Dieses Integral gehört, wie allgemein bekannt, zu denjenigen, deren Werth sich durch algebraische Grössen und Logarithmen angeben lässt, die Integrations- grenzen sind Funktionen von v, die in jedem gegebenen Falle besonders bestimmt werden können, und es bleibt also in der That nur Eine Integration, die nach zu vollziehen übrig. In dem 60. Bande von Borchardt’s Journal habe ich die Anziehung einer von zwei ähnlichen Flächen zweiten Grades irgend welcher Art begrenzten Schale nach einer auf Anwendung des Dirichlet’schen Discontinuitätsfactors beruhenden Methode berechnet. Unter den Flächen zweiten Grades befinden sich aber zwei nicht abwickelbare Regelflächen, das einfache Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid. Durch den in diesem Paragraphen bewiesenen Satz ist somit eine andere, von der eben berührten gänzlich verschiedene Methode gewonnen, die An- ziehung der einfach-hyperboloidischen und hyperbolisch-paraboloidischen Schalen zu ermitteln. Man sieht ferner ohne Weiteres ein, dass z. B. auch die Attractions- componenten eines Körpers, der von einem einfachen Hyperboloide und zwei das- selbe schneidenden Ebenen begrenzt ist, sich mit Hülfe einfacher Integrale aus- drücken lassen. Ergänzungen und Berichtigungen zu Novitia atque defectus florae Gedanensis (1E43). Zu dem im J. 1843 zur 100jährigen Jubelfeier unsrer naturforschenden Gesellschaft gedruckten Hefte ist von mir eine Mittheilung gemacht: Novitia atque defectus florae Gedanensis. Wenn es mir nach 21 Jahren vergönnt ist, noch einmal auf eine vorgetragene Arbeit zurückzukommen, so dürfte dies nicht ganz ohne Werth sein, weil ich zuerst berechtigt bin zu sagen, was ich Wahres und Falsches mitgetheilt oder was ich zu viel gesagt habe. Es hat sich im Laufe der verflossenen 21 Jahre manches Neue eingefunden, aber auch einiges Verlorengeglaubte unserer Flora wiedergefunden; dagegen ist durch Umsichgreifen der Cuitur und durch Abholzen der Wälder Einiges ver- lorengegangen oder doch in engere Grenzen zurückgetreten, so dass ich mir hier erlauben muss, darüber eine kleine Mittheilung zu machen. In jener Zeit ist der Wald von Brentau, der schöne Buchenwald von Prangenau und der von Kahlbude bis Podfidlin reichende Wald abgeholzt; grosse Strecken der Forsten bei Zoppot und Koliebke, sowie die Prauster Anlage und der Grebiner Wald sind gefallen, das dadurch gewonnene Land wird gegenwärtig mit Getreide und Kartoffeln bepflanzt. Der Prangenauer Wald neben dem sich hin und her- schlängelnden Radaunenthale war früher in heissen Tagen für Spaziergänger von dem höher gelegenen Kahlbude nach Prangenau schattig und erquickend. Auf diesem Wege, der sich auf blumenreichen Wiesen und Moren herabsenkte, ist durch den Verlust des Waldes und der Feuchtigkeit der schönste Schmuck ver- nichtet worden, z. B. das Equisetum Telmateia daselbst fast gänzlich ausgegangen, und nur durch einzelne Halme wird noch das frühere üppige Dasein dieser bei uns so seltenen Pflanze angedeutet. Total verloren ist eigentlich nur sehr wenig, Vieles ist sparsamer und seltener geworden. — Noch mehr Schaden als die Abholzungen machen bisweilen die ruchlosen Hände einiger Sammler, welche oft nicht eine Spur stehen lassen, sondern alles ausreissen: besonders verderblich bei Pflanzen, die sich schwer besamen oder nicht durch kriechende Wurzeln vermehren: z. B. die für ganz Preussen so seltene Orobanche caerulescens habe ich schon seit einigen Jahren auf Westerplatte nicht mehr gesehen. Die Orobanchen sind als Wurzel- parasiten fast ganz aus der Danziger Flora verschwunden, weil sie dem Pfluge früher noch widerstanden, aber dem gegenwärtigen Extirpator weichen mussten, 2 so Orobanche elatior und ramosa, auch Lathyrus tuberosus, welcher seiner Blumen wegen wol als Schmuck der Felder gelten konnte. — Aber nicht nur den Land- pflanzen ist der Untergang geschworen, sondern wir verlieren auch Wasser-, Sumpf- und Morpflanzen, was sich ebenfalls durch Ausrodung der Wälder merklich kundgiebt. Selbst grössere I,andseen treten in engere Grenzen zurück; wie sollten also nicht früher üppige Wiesen trocken werden, von denen einige schon in Kohl- felder u. dergl. verwandelt wurden. Hierdurch haben vorzugsweise die schönen Orchideen sehr gelitten, welche nur noch sehr vereinzelt gefunden werden. Fragen wir, wodurch dieser Verlust ersetzt ist, so ist der Ersatz meist nur sehr imaginär, weil wir uns oft sehr freuen, wenn wir eine neue und seltene Pflanze finden; ob sie aber bleibt und bleiben kann, ist eine andere Frage, welche ich näher auseinandersetzen will. — 1343 theilte ich mit, dass 141 Phanerogamen und 86 Uryptogamen, in Summa 227 Pflanzen als neu zur Danziger Flora aufzunehmen sein würden, weil sie wirklich als solche von mir aufgefunden waren. Viele darunter waren lange dagewesen, nur übersehen oder verkannt, und die Vorgänger hatten sie sich nicht rechtzeitig gemerkt, um sie als Neulinge in unsere Flora aufzunehmen. Von den in meiner angeführten Abhandlung von 1843 als Defekte bezeichneten 86 Species, welche ich bis dahin nicht selbst gefunden und gesehen, sind nachträglich 9 Species auf- gefunden und zwar 8 Phanerogamen und ein Uryptogame, welche als alte Bürger der Flora zu betrachten sind: 1. Corydalis fabacea bei Prangschin und im Brentau-Thale (1. Mai 1845). 2. Geranium sanguineum bei Jenkau vom Lehrer Herrn Egsert und auf Försterei Wittomin gefunden. 3. Senecio aquaticus Hudson-barbaraefolius Reichenb. sehr häufig auf Wiesen von Bürgerwald, Saspe, Schellmühl und Heubude. 4. Veronica montana L. ın Pelonken hinterm Armenhause (Juli 1846) und bei Carthaus auf dem Schlossberge (Juli 1862) von mir selbst gefunden, auch im Bren- tauer Thal hinter dem Bärenwinkel. 5. Orchis mascula bei Ellernitz (25. Mai 1844) von mir gefunden, soll auch an anderen Orten im Carthauser Kreise vorkommen, aber selten. 6. Orchis viridis in Wäldern bei Saworry im Carthauser Kreise.; 7. Cyperus flavescens L. auf Saspe (20. Sept. 48) von Herrn Klatt, 8. Carexw chordorrhiza bei Pempau (29. Mai 44) von mir gefunden; beide selten und letztere leicht zu übersehen. 9. Aspidium Oreopteris bei Golumbia (17. Sept. 48) und im Bärenwinkel von Herrn Klatt und von mir (1863) gefunden. — Wenn ich meine Neuigkeiten von 1843 näher durchgehe, so ergiebt sich mit Bestimmtheit, dass folgende nur als Hospitanten zu betrachten sind, und so dürfte erst eine längere Zukunit entscheiden, ob sie sich einbürgern werden; denn von denen, von welchen ich jetzt spreche, ist mir noch keine Gewissheit geworden. Für jetzt wenigstens ıruss ich es bezweifeln; die meisten sind ein-, selten zwei- jährig oder ausdauernd, und ihre Samen nicht reif genug, um die Kälte des Winters auszuhalten. Obenan steht Linaria repens, welche sich durch ihre ausdauernde Wurzel auf der Wester- platte wol über 20 Jahre erhalten hat und erst durch den grossen Umbau der Hafen- molen verloren ging. Eine Verbreitung durch reifen Samen hat in der langen Zeit 3 nicht stattgefunden, sonst müsste die Westerplatte von einzelnen Exemplaren über- säet sein. Kommt kein Ballast, der sie von Neuem einführt, so bleibt sie verloren. Als unsicher zur Flora gehören besonders folgende, welche ich nur als Ho- spitanten bezeichnet habe: l. Sisymbrium pannonicum, das theils durch Ballast, thei's durch Getreide aus südlichen Gegenden eingeschleppt ist; desgl. 2. Erucastrum Pollichü. 3. Saponaria vaccaria wurde nie den andern Sommer wiedergefunden, obgleich sie reichlich Samen streut. 4. Senebiera didyma hält schon eher einige Winter aus und dürfte sich eher einbürgern als manche andere. 5. Centaurea Calcitrapa. 6. Carduus tenuijlorus. 7. Verbascum phoeniceum (schon 1847 von mir und Herrn Klatt beobachtet.) 8. Beta maritima. 9. Plantago Coronopus. 10. Spiraea hypericifolia ist mit vielen andern total ausgerodet, so auch ll. das seltene Epimedium alpinum vor Königsthal; es erhält sich nur noch in einigen Gärten von Pelonken und Oliva und nach Herrn Eggert im Walde von Jenkau. 12. Silene Armeria eigentlich nicht heimisch, aber in Gärten sehr verbreitet, ohne oft angepflanzt zu sein; aus einigen derselben ist es schon ausgerodet; die Samen halten in der Kälte sehr gut aus. 13. Poterium Sanguisorba ist durch umsichgreifende Cultur der Anhöhen vor dem Neugarter Thore verschwunden. 14. Sorbus scandica ist durch Ausroden des Koliepker Waldes vernichtet und im Karthauser Kreise bei Kossy als angepflanzt zu betrachten. 15. Circaea intermedia, 16. Dipsacus pilosus und 17. Chaerophyllum aromaticum sind durch Abholzung des in der Ritterzeit an- gelegten Grebiner Waldes verschwunden, ob sich vielleicht hin und wieder etwas an den vielen Gräben erhalten hat, weiss ich nicht, weil ich seit der Zerstörung desselben nicht dort gewesen bin. 18. Morus alba ist nur noch als Lieblingsbaum für die Seidenraupe cultivirt und mit dem Ausroden des Prauster Wäldchens, wo der Maulbeerbaum reich ver- treten war, verschwunden, » 19. Doronicum Pardalianches hat sich in Pelonken nicht verbreitet, ist in Fahrwasser dagegen durch Vernachlässigung der dortigen Anlage dem Verschwinden nahe. 20. Epipactis viridiflora wird von den neueren Floristen mit Recht nur als eine Varietät von E. latifolia aufgeführt. - Von den vor 21 Jahren von mir angeführten neuen Cryptogamen sind noch alle als vorhanden zu bestätigen, nur die als Patellaria decolorans aufgeführte Lichene ist durch Prof. Kützing dahin berichtigt, dass sie zu den Sandalgen gehört; jener hat sie in seinen Species algarum (pag. 891) als Chthonoblastus aufgeführt. Diese Sandalge, über die jeder Wanderer unbekümmert fortgeht, ist für unsere Dünen von sehr grossem Nutzen; wo sie sich verbreitet und ausgebildet hat, macht sie den 4 Flugsand sandstet; und bilden sich erst grosse, veraltete Polster, so erzeugen sich auf diesen auch Flechten und Mose, und zuletzt findet zwischen diesen ein Sämchen von Aira canescens, später auch wol von Hieracium umbellatum und noch andern ihren Bildungsherd, wie ich dies in einem kleinen Aufsatze in den Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg (II. Bd., II. Abth. p. 127) nachgewiesen habe. So giebt es in der Natur viele Gegenstände, die unbeachtet bleiben, aber im Haushalt der Natur ihren grossen Nutzen haben. — Letzthin wurde in einem Vortrage des Herrn Dr. Bail die Frage aufgeworfen, wie Bunias orientalis, welche hier jetzt sehr verbreitet auf der Contreescarpe am Wege zum Milchpeter wächst, dorthin gekommen sei. Diese Frage kann ich dahin beantworten, dass, als bei der grossen Ueberschwemmung im Jahre 1805 viele Wege und Dämme ausgerissen und in der Nähe der Stadt grosse Verwüstungen angerichtet waren, der damalige Düneninspektor, Commissionsrath Biörn, welcher die Aus- besserungen beaufsichtigte und leitete, befahl, dass dort grosse Ballastschiffe den Ballast auswerfen mussten. Durch diese Füllung der Lücken und Planirung der Böschungen der Wälle ist es wol geschehen, dass dort jene Pflanze eingeführt ist; da sie 4—5 Fuss lange spindelförmige Wurzeln macht, kann sie auch unsern Winter aushalten und ist eingebürgert. So viel ich weiss, ist sie jetzt auch an allen Hafen- plätzen der Ostsee bis Rostock, Kiel u. s. w. verbreitet. So nahe der Stadt und auf so günstiges Terrain kommen sonst keine Ballast- auswerfungen, und wenn es einmal der Fall ist, so besteht der Ballast meist aus Sand, der sofort weitergeschafft oder wieder zu Ballast verwandt wird. Längs der Weichsel nach Fahrwasser hin werden ebenfalls viele Schiffe zum Lossen beordert, damit der Quai ausgebessert werde, welcher durch hohe Wasserstände und durch die vielen Dampfschiffahrten sehr leidet. An diesem Wege findet man, wenn der Ballast lange Zeit liegen bleibt, schon im Herbst manchen seltenen Hospitanten, doch geht derselbe über Winter meist wieder zu Grunde. Auf jene Weise ist Cakile maritima am Strande schon seit vorigem Jahrhundert eingewandert und jetzt vollständig auf der ganzen Nehrung verbreitet. Ebenso, aber viel später ist Diplotaxis tenuifolia eingewandert; weil sie aber besseren Boden verlangt, hat sie sich mehr längs der Weichsel bis zur Mottlau verbreitet. Verzeichniss der seit 1843 neu aufgefundenen Pflanzen. Ranunculaceae. 1. Ranuculus divaricatus in den Gräben neben dem Wege nach Neufahrwasser. Uruciferae. 2. Cardamine silvatica Link; an feuchten schattigen Orten im Pempauer Walde, Mai 1849. 3. Erucastrum Pollichii Schimper und Spenner-Sisymbrium Erucastrum Pollich; in Weichselmünde und am Wege nach Neufahrwasser (23. Juni 1844). 4. Nasturtium anceps Tausch; am Wege nach Neufahrwasser, auf Saspe und an anderen Orten, am Weichseldamm hinter Siegeskranz; Klatt. 5. Barbaraea stricta; auf Saspe, Weichselmünde (Klatt), auf den Weichsel- dämmen bis Dirschau. Violaceae. 6. Viola Epipsila Ledeb. Pempau, Klatt. Sileneae. 7. Silene gallica L.; auf dem Acker bei Carlikau; 27. Juli 1847. Alsıneae. 8. Cerastium glomeratum Thuill. bei Redlau 1847; in Niederfeld 29. Juni 1836. Sperguleae. 9, Spergula marina. Neufahrwasser a. d. Weichsel und auf Westerplatte. Elatineae. 10. Elatine hydropiper L.; im Katzer Landsee (9. Aug. 1846) und am Espen- kruger See. 11. Elatine triandra am Espenkruger Landsee (26. Juli 1848). Malvaceae. 12. Malva parviflora Huds.-borealis Wallr.; Zigankenberg, Buschkau, Heu- bude; Klatt. Papaveraceae. 13. Corydalis fabacea. Prangschin, Jenkau, Brentau, Matemblewo von Herrn Schmidt und Moessen. 14. Fumaria capreolata | Westerplatte und am Wege nach Neufahrwasser; 15. ” micrantha beides hospitirende Ballastpflanzen. 6 Papilionaceae. 16. Pisum maritimum L.; Stranderbse bei Kahlberg und auf Halbinsel Hela. 17. Trifolium filiforme hie und da auf Aeckern und Feldern häufig. 18. Genista tinctoria, Klein-Wiczmirs bei Dirschau (16. Juli 1858) Klatt. Rosaceae. 19. Rubus thyrsoideus; Zoppot in der Anlage hinter der Thalmühle unterhalb der Grotte; von Klinggräft. 20. Potentilla collina; Brentau; Klatt. 21. ” procumbens; Weichselmünde, Heubude, Golombien. 22. r norvegica; Buschkau am Kapellenteiche (20. Juli 1858), Klatt. Crassulaceae. (Sempervivum globiferum Liune, 1843 von mir als bei Neufähr gefunden ange- geben, wächst nur in Sibirien; unsere Pflanze ist weder S. globif. Wulfen oder S. Wulfenii noch S. hirtum, sondern S. soboliferum Sims.) Umbelliferae. 23. Bupleurum longifolium L.; im Radaunenthale bei Babenthal; Lehrer Schultze (25. Juni 1848). Caprifoliaceae. 24. Linnaea borealis L.; ım Walde der Pasewarker und Stegener Heide (Juni 1842 und 45); sehr häufig bei Pröbbernau (1864). Stellatae. 25. Galium Oruciata Scopoli, bei Ohra 1848. Valerianeae. 26. Valeriana sambucifolia Mikan; an Wiesen und Gräben bei Bohlschau, Krokow (16. Juli 1845) uud Krams. 27. Valerianella dentata; Brentau unter Getreide. Klatt. 28. „ auricula (vide Klinggräff Nachtrag z. Flora Preussens 1854. p. 40.) Compositae. 29. Achillea cartilaginea Ledeb.; Heubuder Kämpe, Siegeskranz und überhaupt im Weichseldelta. 30. Senecio vernalis; auf Aeckern bei Heubude, Pietzkendorf u. Kölpin; Mai 1850, 3l. Tragopogon minor im Werder bei Gross-Zünder; bei Buschkau 1857 von Klatt, 32. Crepis virens; Radaunenthal und Olıva. 39. Hieracium rigidum; Zoppot, bei Karezemken im Torfbruch. Ericaceae. 34. Pyrola media Swartz; Radaunenthal, Stangenwaldner u. Seresener Forst. 35. Erica tetralix; Pierwoszin bei Brück, Lehrer Schultze. Solaneae. 36. Lyeium barbarum L. (Bocksdorn, Fasanenstrauch) Neugarten, Fahrwasser u.v.2. 0. 7 Verbhasceae. 37. Verbascum phoeniceum L.; auf Wiesen bei Heubude (1847); Klatt. Rhinanthaceae. 38. Rhinanthus minor Ehrh.; auf einem Acker bei Rheda (Juli 1844); bei Buschkau von Klatt (Juni 1857); Kahlbude. Veroniceae. 39. Veronica Buxbaumii; Stolzenberg (1860), Westerplatte; Klatt. 40. 3 polita; Stolzenberg; Klatt. Labiatae. 41. Salvia verticillata L.; auf Wiesen bei Heubude von Klatt (Juni 1847.) Lysimachieae. 42. Centunculus minimus; Espenkrug am See (1852) v. Klinggräff; Putzig. i Plantagineae. 43, Littorella lacustris L.; am Espenkruger See (17. Sept. 1848), am See zwischen Borkau und Borowo (Berent, Dobrogoszc von Üaspary). Polygoneae. 44. Rumex ucranicus zwischen Zoppot und Koliepke am Strande bei einer Bachmündung (Klatt), am Strande bei Zoppot (v. Klinggräff) und bei Neufähr an der FE eeinündung (Klinsmann). Elaeagneae. 45. Hippophae rhamnoides; am Uferabhange von Rixhöft (1845). Euphorbiaceae. 46. Euphorbia evigua; Westerplatte (scheint nur hospitirende Ballastpflanze zu sein). Empetreae. 47. Empetrum nigrum; Saspe, Heubude, Hela. Salicineae. (Salix Russelina, Varietät von S. fragilis, besonders im Werder). Potamogetoneae. 48. Potamogeton gramineus-heterophyllus; Nenkauer See; Klatt (Juli 1859), 49. 5 trichordes; Pietzkendorf; Klatt (Juni 1864). Was Weiss unter seinem P. gram. verstanden haben will, ist aus seiner Diagnose nicht zu entnehmen; daher habe ich nicht angestanden, die Pflanze hier als neu aufzunehmen. Örchideae. 50. Cephalanthera atropurpurea ; Westerplatte 1848; Podfidlin (Lehrer Schultze.) 51. = ensifolia, Pelunker Wald, Bankau. 52. Listera cordata R. Br.; am Heubuder See (1848). Liliaceae. 53. Allium Scorodoprasum L.; hinter der Festung Weichselmünde am Festungs- graben häufig; Juni 1851, | I) Gramineae. 54. Melica uniflora; Buschkau (1856) Klatt. 55. Calamogrostis hitorea D. C.; Dünen bei Neufähr (1856) Klatt. Lycopodiaceae, 56. Isoötes Lacustris L.; im Espenkruger See (26. Juli 1848) und im See an der Chaussee hinter Borkau. Filices. 57. Asplenium Trichomanes; Rachelshof. 58. re septentrionale; Meisterswalde bei Mariensee; Klatt (1856). Musci frondosi. 59. Hedwigia ciliata,; Buschkau; Klatt. 60. Hypnum Stockesii; Johannisberg. (In Betreff der Cryptogamen cf. „Beiträge zu einer Cryptogamen-Flora Danzigs, erweitert durch Mittheilungen aus West- und Ostpreussen mit einem ein- leitenden Bericht der ganzen botanischen Literatur der Provinz Preussen, von Klinsmann“ in den Schriften der königl, physik.-ökonom. Gesellschaft zu Königs- berg, III. Jahrg. 1862, I. Abth.). Dr. med. E. F. Klinsmann, Sanitötsrath. Ein neuer akustischer Interferenz-Versuch. Die Analogien zwischen den optischen und akustischen Erscheinungen sind schon lange ein wesentliches Hülfsmittel zur Erleichterung des Verständnisses ver- wickelterer Fälle in diesen Gebieten gewesen und gewiss hat schon mancher Lehrer der Physik gleich mir den Wunsch gehegt, in der Akustik ein Analogon für den Newton’schen Interferenz-Versuch zu besitzen. Nach mehreren fehlgeschlagenen Versuchen ist es mir geglückt, dieses Ziel in höchst einfacher Weise ziemlich voll- ständig zu erreichen. .Mir ist nicht bekannt, dass der Versuch in gleicher Weise von irgend Jemanden angestellt sei; auch meine hiesigen Fachgenossen und andere, denen ich davon Mittheilung machte, kannten ihn noch nicht, wesshalb ich mich berechtigt glaube, denselben als neu zu beanspruchen. Als Tonquelle benutze ich eine gedeckte Orgelpfeite von weiter Mensur, die ich vermittelst eines langen Gummischlauches mit einem Lange’schen Gebläse in Verbindung setze. Die Pfeife muss weit mensurirt sein, damit sie die Obertöne garnicht oder doch möglichst schwach erklingen lässt. Die Pfeife schiebe ich in ein weites, langes, an einem Ende verschlossenes Rohr, von starker Pappe. Wird die Pfeife nun angeblasen und in dem weiten Rohr hin und her geschoben, so lassen sich mit Leichtigkeit bald Punkte finden, an denen der Ton der Pfeife bis fast zum Unhörbaren abgeschwächt wird. Diese Abschwächung ist so bedeutend, dass das durch das Ausströmen der Luft aus dem Pfeifenspalte entstehende Geräusch den Ton der Pfeife völlig überdeckt. Bringt man die tönende Pfeife an das Ende des weiten Rohrs und zieht sie langsam zurück, so gelangt sie sehr bald an einen Punkt in welchem ihr Ton ein Maximum der Abschwächung erfährt. Misst man jetzt von dem Labium der Pfeife bis zum geschlossenen Ende des weiten Rohres, so be- trägt diese Entfernung ein Viertel der Wellenlänge des Tones; der Gangunter- schied der directen und von der Rückwand reflectirten Wellen beträgt dann eine halbe Wellenlänge. Nebenbei bemerkt ist die Entfernung des Labiums von der Rückwand etwas grösser, als die Länge der geschlossenen Pfeife, da der Ton eine etwas grössere Wellenlänge, als das Vierfache der Pfeifenlänge hat. Der Grund dafür liegt in dem Austreten des am Tabium liegenden Schwingungsbauches über die Grenze der Pfeife hinaus. — Der Punkt, an welchem die grösste Abschwächung des Tones eintritt, lässt sich leicht mit sehr grosser Genauigkeit und Sicherheit finden, da nur eine höchst geringe Verrückung der Pfeife aus ihrer Lage nothwendig ist, um den Ton sogleich merklich stärker werden zu lassen. In dem Dreifachen jener Entfernung wiederholt sich dieselbe Erscheinung, ebenso in dem Fünffachen, überhaupt jedem ungraden Vielfachen derselben, da hier jedesmal der erforderliche Gangunterschied von einer halben Wellenlänge zwischen directen und reflectirten Wellen eintritt. In der Mitte zwischen je zweien benachbarten solcher Punkte sollte der Ton ein Maximum der Verstärkung erlangen. Wenn auch von Punkten, 2 in denen die Abschwächung am stärksten ist ausgehend, der Ton sich verstärkt und diese Verstärkung mit Leichtigkeit zu beobachten ist, so lässt sich doch nicht mit Sicherheit der Punkt finden, in welchem diese Verstärkung ihr Maximum erreicht; für die Messung der Wellenlänge ist dieses übrigens auch gleichgültig, da die Lage der Punkte, in welchen die grösste Abschwächung stattfindet, hinreichende Mittel für die Bestimmung der Wellenlänge bietet. Die Lage dieser Punkte lässt sich aber mit Leichtigkeit nnd grosser Genauigkeit vermittelst eines in das Rohr ge- schobenen Maasstabes messen und die folgenden, auf diese Weise erhaltenen Zahlen liefern den Beweis von der Schärfe, welche diese Methode der Messung der Wellen- länge von Tönen bietet. Einige dieser Messungen habe ich in der ordentlichen Sitzung unserer Gesellschaft am 15. Juni dieses Jahres ausgeführt. Die Länge des weiten cylindrischen Rohrs beträgt 1,363 Meter, der Durch- messer desselben 0,153 Meter, die Länge der gedeckten Pfeife vom Spalt bis zum Deckel 0,190 Meter. Die Entfernungen der einzelnen Punkte, in denen die Abschwächung des Tones ein Maximum war, von der Rückwand des weiten Rohres betrugen: I — 0,242 Meter I — 0,117 „ III — 1,188 „ somit die Entfernung zwischen I und II 0,475 M. und zwischen II und III 0,471. Wiederholte, von einander unabhängige Versuche gaben Resultate von gleicher Uebereinstimmung. — Das Vierfache der Entfernung I würde die Wellenlänge sein, also 0,968. Nimmt man dagegen das Doppelte der Entfernung zwischen I und II und zwischen II und III, was ebenfalls die Wellenlänge geben muss, so erhält man 0,945, welche allerdings eine nicht unbedeutende Differenz gegen das erste Resultat zeigt. Ein ganz ähnliches Resultat habe ich auch bei andern Pfeifen erhalten und scheint es somit, als ob die Reflexion der Schallwellen von der Rückwand eine kleine Veränderung in der Lage gleicher Schwingungszustände bedinge. Ich verschaffte mir zwei Pfeifen, deren Töne sehr genau (nach dem Gehör ab- gestimmt, da mir andere Hülfsmittel fehlen) um ein Quintenintervall von einander abstanden, und zwar gab die eine das f der eingestrichenen und die andere das c der zweigestrichenen Octave. Erstere hatte eine Länge von 0,2 Meter, letztere 0,135 Meter. Mit der ersten Pfeife wurden folgende Resultate erhalten: I — 0,266 Meter II — 0,765 ,„ ul — 1273 ,„ Differenzen: zwischen I und II 0,495 Meter ni und INER,510, 4% Das Mittel aus beiden 0,5 würde als Wellenlänge 1,00 Meter geben. Das Vierfache der ersten Entfernung würde dagegen als Wellenlänge 1,064 Meter liefern. Die zweite Pfeife gab folgende Zahlenwerthe: I — 0,183 Meter II — 0503 „ III — 0,518 IV— 1138 „ Differenzen: I und II — 0,320 Meter II und III — 0315 „, II und IV — 0,320 ,„ 5 Also ist die Wellenlänge des Tones der zweiten Pfeife 0,64 Meter; als Vierfaches des ersten Abstandes wurde dafür 0,732 Meter erhalten. In den beiden letzten Fällen würde das Verhältniss der Wellenlängen, welche aus den Abständen je zweier benachbarter Punkte, in denen die grösste Abschwächung stattfindet, erhalten sind, ein dem Quintenintervall völlig entsprechendes sein, denn 1 und 0,64 verhalten sich sehr nahe wie 3 zu 2, während die aus dem Vierfachen der ersten Entfernung ermittelten Wellenlängen diesem Verhältnisse nicht ent- sprechen. Ich nehme also keinen Anstand, die ersten Wellenlängen als die richtigen anzusehen. Die vorhin ausgesprochene Vermuthung, dass die Reflexion der Schall- wellen von der Rückwand eine kleine Veränderung in der Lage gleicher Schwingungs- zustände bewirke, findet in den beiden letzten Fällen ihre Bestätigung. Der Grund dafür liegt wohl in unvollkommener Elastizität und vielleicht auch in der Rauhig- keit der Rückwand, welche beide eine Anhäufung der Luft sowohl, wie eine Ver- dünnung derselben gestatten. Vielleicht gelingt es durch spätere Versuche den Ur- sachen dieser allerdings merkwürdigen Erscheinungen näher zu kommen; zufällig und etwa in einem Beobachtungsfehler begründet, können sie nicht sein, da ich sie in allen Fällen beobachtet uad die ersten Entfernungen mit gleicher Sorgfalt wie die andern gemessen habe. Die Wellenlänge der Töne von gedeckten Pfeifen ist in der Wirklichkeit stets etwas grösser, als das Vierfache der Pfeifenlänge, welches sie theoretisch sein sollte; auch von offenen ist sie mehr als das Doppelte der Länge der Pfeifen. Der Grund dafür liegt eben in der Ausdehnung der Schwingungsbäuche in der Luft über die Grenze der Pfeife hinaus, so dass also factisch eine Luftsäule schwingt, die länger ist, als die Pfeife. Werden diese Schwingungsbäuche an jener Ausdehnung behindert, so muss sich die Wellenlänge verkürzen und dadurch der Ton höher werden. Die Orgelbauer kennen diese Thatsache sehr gut; Pfeifen, die ausserhalb der Windlade bei gleicher Windstärke für sich abgestimmt sind, stimmen nicht mehr, wenn sie auf die Windlade mit andern Pfeifen zusammengestellt werden. Es tritt diese Ver- stimmung allerdings nur bei Labialstimmen ein; bei Zungenwerken kann sie aus leicht begreiflichen Gründen nicht entstehen. Der technische Ausdruck für diese Erscheinung ist der, dass die Orgelbauer sagen, die Pfeifen können nicht abblasen. Um die Veränderung in der Tonböhe näher zu untersuchen, stellte ich einen Versuch mit der Pfeife von 0,19 Meter in einem andern Rohr an, dessen Durch- messer nur 0,066 Meter und dessen Länge 0,612 Meter betrug. Eine bedeutende Erhöhung des Tones entstand wirklich und die Punkte, in denen das Maximum der Abschwächung eintrat, lagen in Entfernungen von I — 0,21 Meter I — 05 ,„ von dem geschlossenen Ende des Rohrs. Diesen Entfernungen entspricht eine Wellenlänge von 0,68 Meter. Ist die Mensur der Pfeife im Verhältniss zum weiteren Rohr zu gross, so schlägt der Ton leicht in den Oberton der Pfeife über; übrigens habe ich in einem solchen Falle auch Vertiefungen des Tones beobachtet, es setzen sich dann gemeinschaftliche Schwingungen der Luftsäule der Pfeife und des weiten Rohres zusammen, die sich mit der Lage der Pfeife im weiteren Rohre ändern. Aus allen, im Vorhergehenden angeführten Thatsachen geht nun hervor, dass die Luftsäule in dem weiten Rohre, wenn dessen Weite wenigstens so gross ist, dass sie auf die Höhe des Tones keinen Einfluss ausübt, durch den Ton der Pfeife in 4 stehende Schwingungen versetzt werde, dass aber diese gänzlich unabhängig von der Länge des weiten Rohres sind. Dagegen werden sie ausschliesslich durch die Wellenlänge des Tones, der sie erzeugt, bedingt. Ich möchte sehr gern weitere Versuche in dieser Richtung anstellen, namentlich andere Tonquellen, etwa eine durch einen Eleetromagneten in Schwingungen ver- setzte elastische Feder anwenden, wodurch dann die Möglichkeit der directen Messung von Tonwellen in verschiedenen Gasen, mit denen das weite Rohr ja nur gefüllt zu werden brauchte, gegeben wäre; allein der mir zur Dispositien stehende physikalische Apparat enthält kaum das Allernothwendigste für den physikalischen Elementarunterricht. So muss ich denn die Verfolgung dieses Zieles glücklicher situirten Fachgenossen überlassen. Da aber die von mir beschriebenen Versuche in der angegebenen Weise sich sehr leicht ausführen lassen und dieselben eine mir oft genug fühlbar gewesene Lücke in dem Vortrage der Akustik ausfüllen, so habe ich mich zu deren Veröffentlichung auf den Wunsch meiner hiesigen Collegen jetzt schon entschlossen. Eine Thatsache jedoch, die ich beobachtet habe, will ich noch hinzufügen. Wenn man statt einer Pfeif von weiter Mensur eine enger mensurirte, die also ausser ihrem Grundton noch ihren ersten Oberton erklingen lässt, eine Pfeife aus dem Register „Quintaten“ der Orgel, zu den erwähnten Versuchen be- nutzt, so findet man, dass an einer Stelle des weiten Rohrs der Grundton ver- schwindet und der Oberton bestimmt und klar hervortritt, während an einer andern Stelle der Oberton verschwindet und der Grundton allein erklingt. Die Messung der Lage dieser Punkte ist allerdings mit grösseren Schwierigkeiten verknüpft, allein das Spiel der beiden Töne mit einander ist so interessant, dass auch dieser Versuch zu einem sehr instructiven Vorlesungsversuche sich eignet. In seinen Con- sequenzen wäre er der Repräsentant des Newton’schen Versuches mit weissem Lichte in der Akustik, während die ersten Versuche die Vertreter desselben mit einfarbigem Lichte darstellen. Danzig, im September 1364. Dr. Ferdinand Deneke, Lehrer an der Königlichen Provinzial-Gewerbeschule. Theorie und Anwendungen der hyperbolischen Functionen, vornehmlich Bestimmung des Widerstandscoeffieienten aus Fallversuchen. Von J. F. W. Gronau, Professor un d Oberlehrer an der Realschule zu St. Johann zu Danzig. m I Danzig, Druck von A. W. Kafemann. 1865. yeaubmownA Das 9rrogdT AasnolonuH nscloatlodısqud dssimdsioy stasinlsogabusterabi W zob Sunımmiesd ‚edauzrsvilsl zus Denon)... sludarlssH sb us iss us sardot „4 us sladse - — {u nun ‚zisenl nascastsil .W A ‚co8l vor Asstel ga: D. man zur Zeit der Erfindung der Infinitesimalrechnung im vollständigen Besitze von cyklisch-trigonometrischen Tafeln und von Logarithmentafeln war, so lag es nahe, das von den unsterblichen Erfindern dieser Rechnung beobachtete Ver- fahren, die Integrationen gewisser Ausdrücke auf die Quadratur des Kreises und der Hyperbel zurückzuführen, so plastisch es in theoretischer Hinsicht war, aufzu- geben und nach dem Vorgange von R. Cotes dafür der Praxis wegen diese Integrationen lieber durch die mit der Quadratur jener Curven in Beziehung stehen- den Kreisbogen und Logarithmen zu vollziehen. Als aber Lambert an die Tri- gonometrie des Kreises die Trigonometrie der gleichseitigen Hyperbel angelehnt hatte, als an die cyklisch-trigonometrischen Tafeln Gudermann seine von unge- wöhnlicher Ausdauer zeugenden hyperbolisch-trigonometrischen Tafeln angereiht hatte, da hätte man erwarten können, dass die meistens sehr unlogarithmische Integration vermittelst der Logarithmen Platz gemacht hätte der Integration durch trigonometrische Functionen der hyperbolischen Sektoren. Wenn das trotz alle dem bis jetzt nicht geschehen ist, so liegt der Grund davon wohl nur darin, dass es den Tafeln Gudermanns an Einheit und dessen Grundlegung für die Integrationen durch hyperbolisch - trisonometrische Functionen an Einfachheit fehlt. Dem ersten Uebelstande glaube ich durch meine 1863 herausgegebenen und in den Schriften der naturforschenden Gesellschaft zu Danzig befindlichen Tafeln für sämmtliche trigonometrische Functionen der ceyklischen und hyperbolischen Sektoren abgeholfen zu haben und bin nun im Begriff, in möglichster Kürze eine fassliche Darlegung der Principien der Integration durch hyperbolische Functionen zu geben und dann Anwendungen folgen zu lassen, aus denen ersichtlich sein wird, dass jetzt die Integration durch Quadraturen des Kreises und der damit vereinigten Hyperbel weder in theoretischer noch in praktischer Beziehung etwas zu wünschen übrig lässt und es daher an der Zeit sein möchte, in den meisten Fällen die Inte- gration durch Logarithmen aufzugeben. 5.2. In der Vorrede zum Programm der Realschule zu St. Johann von 1863: „Ueber die allgemeine und volle Gültigkeit der mathematischen Formeln U. Th. 1. Hft.“ pag. IV habe ich für die bekannte Relation zwischen dem hyperbolischen Sektor BFC = 8 und der auf die Asymptote bezogenen Abscisse U, nämlich für die Glei- chung S=c?.Log —r wo c? die Potenz der Hyperbel ist, einen sehr einfachen, Fig 2 lea Beweis gegeben und daraus pag. VII eben so einfach abgeleitet, dass S=--.Log er BR ist, wor =CB der Radius des zur Hyperbel gehörigen Kreises ist, und ÜG und FG die Coordinaten des Grenzpunktes F sind. Nennt Y man er: und = =, und nimmt die Gleichung der Hyperbel, nach welcher 2? = (E+nN).(E—n=1 ist, zu Hilfe, so erkennt man, dass die an- gegebene Relation zwischen dem Sektor und seinen Coordinaten folgende zwei Gleichungen umfasst: \ S=-.Log.(&-+n) und S=-;.Loy = Da sonach der Sektor von den Brüchen &$ und 7 abhängt und umgekehrt & und 7 vom Sektor abhängen, so kann man der Analogie mit dem Kreise gemäss & und 7 den Cosinus und Sinus des hyperbolischen Sektors nennen; nur wird man der Ueber- einstimmung wegen gut thun, ähnliche Brüche beim Kreise, nicht, wie bisher, Co- sinus und Sinus eines cyklischen Bogens, sondern des dazu gehörigen eyklischen Sektors zu nennen, was immer geschehen kann, da die Kreisbogen mit den Kreis- sektoren in demselben Verhältniss stehen. So wie nun die Grösse eines beliebigen r? Kreissektors JB C oder s=—-. w ist, wo w, ein Theil von 7r, die Masszahl für den 2 umspannenden Bogen J B 2 Kelch zum Radius ist, so kann man auch den byperbolischen Sektor S—= . z setzen, wo also auch z eine Zahl ist, nämlich der natürliche Logarithme einer der beiden letzten Klammern. Darnach gehen die bei- den letzten Gleichungen in folgende über: 2 Log ($+ 9) und —z— Log (€ — n) odre=&+tnunde = 5—n, wo &=6(os Sundn = Sin S ist. Da man aber berechtigt ist, als Flächenmass für die hyperbolischen Sektoren die Potenz der Hy- r? = - : perbel —- zu setzen*), so kann man auch ohne weiteres schreiben: &=(0s 2,7 = Sin z. In so fern es nun gewiss geeignet ist, für die beiden Theile Einer Kurve, ich meine für die Hyperbel und den davon unzertrennlichen Kreis (Programm 1863 pag- 35) Ein gemeinschaftliches Flächenmass anzuwenden, so wird es auch beim Kreise nicht nöthig sein von cos s und sin s zu sprechen, sondern von cos @ und sin o, so dass also unter z und » Zahlen verstanden werden, welche die Grösse von Wherhoffsätieit und cyklischen Flächen angeben. Wenn die Anhänger des Alten sich unter ® nach wie vor Bogenlängen denken, und sie an passenden Stellen mit arc. bezeichnen wollen, so wird das, der obigen Darstellung nach, nichts schaden; wenn aber Gudermann auch die hyperbolischen 2 mit Arc. bezeichnet und Längezahlen nennt, so scheint mir unter dieser Analo- gisirung die Deutlichkeit zu leiden, da die z (seine k) eben nicht Längezahlen, son- dern, wenn man will, Flächenzahlen sind. Ich werde daher lieber, an das Wort Area denkend, bei sich darbietender Gelegenheit die auf den Kreis zu beziehenden omit ar. und die auf die Hyperbel bezüglichen z mit Ar. bezeichnen. *) Die Herren Professoren Feorti und Mossotti in ihrem Werke Tavole dei logaritmi della fun- zioni circolari ed iperboliche, Pisa 1863, auf welches ich später noch zurückkomme, wählen dazu I indem sie den Logarithmen der Kichmer = doppio settore imperbolico = 2 sett h setzen. Unser ge- meinschaftlicher Führer, Lambert, (Berliner Memoiren von 1768 pag. 332 und 333) sagt über diesen Punkt folgendes: Quant a l’aire du secteur hyperbolique, il est assez indifferent de quelle unite l’on se sert pour l’exprimer ,. . Cela fait que je regarderai cette aire comme exprimee par u (mein 2). sı9h Da die beiden letzten Gleichungen jetzt folgendermassen dargestellt werden 4" z . — . . können: e = (os z+ Sinz unde = (os z — Sinz, so ergeben sie, dass zZ —z 2 4 6 et Au, 2 2 2 2 atrehmee a;nd S rer u 0 _ . ist er Sal gaatamsse TEE ER RI Bezeichnet « einen andern hyperbolischen Sector, so ist e — (Cosu-+ Sin u und e dee —(00s(z+u)+Sin(z-+u) und ee Daraus schliesst man: Cos (£+ u) = (oz 2.Cos u+- Sinz. Sin u und Sin (+ u) = Sin z. Cosu--Cosz. Sinu. Ebenso würde man durch Benutzung der Ausdrücke e® " und a sprechenden Formeln für Cos (— u) und Sin (z— u) erhalten. Nimmt man noch die Gleichung der Hyperbel: Cos 2? — Sin 2°—= 1 hinzu, und setzt successive z=u, 2u,3w..., so kann man sich nach Bedürfniss die Cosinus und Sinus der vielfachen Sektoren, und anderes hiemit in Verbindung stehendes verschaffen. Um mich hie- bei nicht aufhalten zu dürfen, so verweise ich deswegen auf Gudermanns Theorie der Potenzialfunctionen pag. 33—33. “ —- Cosu — Sinu. Natürlich ist auch "ee "= Cos(z+u)— Sin (2+u) 84. Nunmehr ziehe man das Loth HB, die Parallele #H und die Sekante C H, so wird man leicht zwischen dem hyperbolischen Sektor BFC=z und dem davon abhängigen cyklischen Sektor BJ C = w folgende Beziehungen als richtig erkennen; DaF@= HB ist, so haben wir 1) Sinz = tg, weil ferner C@ = CH, so ist .. 2) Cos 2 = sec w. Die Beziehungen der uhrieen vier trigonometrischen Functionen ergeben sich von selbst, ich schreibe daher nur noch hin 3) Tg z = sin u. Wenn wir nun noch aus der obigen Gleichung 2 = Log (Cos z 4 Sin z) durch einige leichte Rechnungen ableiten, dass 4) 2 = Log tg (450 4 % w) ist, so haben wir die wesentlichen Stücke beisammen, auf denen die Anfertigung von cyklisch- hyperbolischen Tafeln beruht, wie ich in meiner Abhandlung: „Auflösung der kubi- schen Gleichungen durch trigonometrische Functionen des Kreises und der Hyperbel, Neueste Schriften der naturforschenden Gesellschaft in Danzig, 1861, pag. 10 und 2: und 3! Anhang‘ näher gezeigt und namentlich durch die Herausgabe meiner Tafeln von 1865 dargethan habe. Lambert nennt das zu z.gehörige » den transcendenten Winkel, weshalb ihn Herr Prof. Forti in seinen schon erwähnten Tafeln mit r bezeichnet, und Guder- mann drückt die Zusammengehörigkeit von z und w in folgender Weise aus: Stellt k irgend einen cyklischen Sektor vor, so bezeichnet er den ihm entsprechenden hyberbolischen Sektor durch Lk, wo für LLängezahl zu lesen ist; stellt dagegen k irgend einen hyperbolischen Sektor vor, so nennt er den ihm zukommenden cykli- schen Sektor !k, wo ! Longitudinalzahl bedeutet. 85. Ich will noch über den Winkel FCB=9, den Lambert den gemein- schaftlichen Winkel nennt, einige Bemerkungen machen. Wie man sieht, ist 1* tty=Tyz=t. Da demnach Sin = — 1 ” [3 ® „ und Cos use ist, so nimmt die t 1 obige Gleichung für z nach und nach folgende Gestalt an: 2= Loy en Log VE = % Logtg (45° +9). Man könnte sich also auch hyperbolische Tafeln construirt denken, denen das Argument 9 zum Grunde läge. Aber einerseits würde die Anfertigung solcher Tafeln weit mühevoller sein, da man fast alle Columnen selbstständig berechnen müsste, andererseits würde hiebei eine Verschmelzung mit den cyklischen Tafeln, wie ich sie bei meinen Tafeln zu Wege gebracht habe, unmöglich sein, da sin = TEF en ist; man müsste neben den hyperbolischen Tafeln dann e ; immer noch cyklische Tafeln zur Hand haben. und csop= Lambert (pag. 333), nachdem er auseinandergesetzt hat, dass die neuen von ihm in Vorschlag gebrachten hyperbolischen Tafeln ausser 6 anderen Rubriken enthalten müssten: 7”° Colonne: la tang y = sin wo, 8” Colonne: le log tang g = log sin o, 9° Colonne: P’angle repondant, spricht sich über den Winkel 9 folgen- dermassen aus: Il n’y adonc que les trois dernieres colonnes qui ne se trouvent pas immediatement dans les Tables, si on veut les reduire aux m@mes angles ® qu’on a mis pour base pour les colonnes pr&cedentes. Mais, si pour ces trois dernieres colonnes on met pour base l’angle $, ces trois colonnes se trouvent &galement toutes calculees; mais dans ce cas il faut y joindre une colonne qui donne pour chaque angle p le secteur hyperbolique repondant v (—z) =+ Log ty (45 -+) et cette colonne .. se trouve (presque aussi) dans les Tables. Je m’en tiendrai neanmoins au premier arrangement. Hiezu bemerke ich: 1) da ty 9 = sin ® ist, so finden sich bei einer nach ® geordneten Tafel allerdings die 7! und 8" Rubrik unmittelbar in unsern alten Tafeln, und hätte man nur die 9° Rubrik besonders zu berechnen, 2) Weder Gudermann noch ich haben die Nothwendigkeit erkannt, in Tafeln, die nach dem Argument o fortschreiten, eine solche Rubrik für 9 anzubringen. 3) Ich kann mir nicht denken, dass Lambert durch die voranstehenden Worte hat auffordern wollen, Tafeln zu construiren, von denen ein Theil nach ®, und der andere Theil nach 9 geordnet wäre. 4) Nichts desto weniger haben die oben erwähnten Tafeln der Herren Mossotti und Forti eine solche Einrichtung, und zwar giebt die eine Abthei- lung derselben, die nach regelmässig fortschreitenden g geordnet ist, die ent- sprechenden, natürlich irrationellen ®, und zu diesen » die bezüglichen log Cos 2, log Sin z und log z; die andere Abtheilung, die regelmässig nach 3 ® fortschreitet, giebt die zu m gehörigen z und log tg y — log Tg z. Man könnte eine kurze Charakteristik der Fortischen Tafeln auch in folgenden Worten geben: Seine beiden Tafeln schreiten nach dem Argumente o fort, aber die erste nach irrationalen, un- gleichmässig wachsenden » mit den zugehörigen Logarithmen der hyperbolischen Sectoren, Sinus und Cosinus, die zweite nach rationalen, regelmässig wachsenden o mit den zugehörigen hyperbolischen Sektoren und den Logarithmen ihrer Tan- genten. Demnach bliebe im Wesentlichen auch in diesen Tafeln für den Benutzer derselben vom gemeinschaftlichen Winkel p keine Spur übrig. Ich will nicht von der Zweckmässigkeit oder Unzweckmässigkeit dieser Einrichtung, welche eine ganz aussergewöhnliche Mühe und Arbeit verursacht haben muss, sprechen, nur das Eine B) muss ich anführen, dass die Herren Mossotti und Forti, um dem Titel ihres Werkes ein Genüge zu leisten, genöthigt waren, in dasselbe noch besonders als dritte Ab- theilung die gewöhnlichen cyklisch-trigonometrischen Tafeln aufzunehmen. S 6. | Durch $ 3 und 4 sind wir mehr als hinreichend in den Stand gesetzt, uns die Differenzialausdrücke der hyporbolischen Functionen zu verschaffen. So folgt aus z —z ee 3 be ; EN 2 77 4 Cos z 4 durch Differentiation 1) d Cos z — —g—dz = Sinz.dz, ferner 23 r 23 3 AR: ausSinz=2z- EIER 13345 durch Differentiation. 3 2? 2* 2) 18in2=(1 1 12 + raa )de= Cos z.dz. Zu demselben Resultate hätten wir auch durch die sich dort vorfindenden Ausdrücke für Sin (24 u) und Cos (2-4 u) gelangen können, wenn wir darin v= dz gesetzt hätten, und den Umstand benutzt hätten, dass Cos (dz) = 1 und Sin (dz) = dz ist. Durch die bekannten’ Mittel folgt ferner: dz Sınz . 3) dTyz Be Oos2? da Tyz Ist . ER dz ; PEN = 4) dlotgz= — 35 da Ctgz=T,, ıst, Sin z.dz 1 B)dSez = — a daSecz =; Ist Cos 2.dz2 a gu Eu 6) dCoseez= — — a , da Cosec 2 = z;,, Ist. Dann erhält man, weil d Log x = List, aus z— Log tg(45° +3 w)durch Differentiation: ! dw Lem? dz N)dz= —,, und da cso =. ist, 8) do u.,,° dw M?.dw und 9) dLogz = oder dlogz = ‚wo der cos w. Log . tg (45° + o) cos @.log.tg (45 +4 mw) bekannte Modul des briggischen Logarithmen-Systems ist. Ebenso ergeben sich folgende Formeln: 10) d LogSinz=Cotgz.dz = ——*® sin W. COS W 11) dLogCosze= Tyz.dz=tgw.dw 12) dLog Tg z — = ootyo.do, ebenso dLog Tg(a +32) = Sin 2 15) dLog Coyz= — u — — eotgo.do 14) dLogSez = — Tyz.de=— tgwu.dw 15) d Log Coseez = — Cotgz.d2= — un ST. Diese Differenzialausdrücke sind nicht blos für die Integrationen nothwendig, sondern auch wichtig für die genaue Berechnung der trigonometrischen Functionen in den Fällen, wo die einfache Proportions-Interpolation nicht ausreicht. Da nun die Herren Mossotti und Forti ihre Tafeln mittelst des gemeinschaftlichen Winkels $ berechnet haben, wonach ) vo l 3 45° . Binz 0082 = en Tyoz=tgy und en ist, so war es YVeos 29’ jun | Veos 2 6 ihnen nothwendig, die kleinen Aenderungen (4) kennen zu lernen, welche die hy- perbolischen nn, erleiden, wenn um dp = wächst. Diebe Aenderungen finden sich in ihrem Werke pag. 31—33 folgender Massen angegeben: T 2M.t M.top.tgd 1) Alog sin w, also 4 log er: 2) 4 log Cosz = 7 g ee 2M.tgd 5) Alog. Binz, da? 4) Alogz = u N Leider ist der letzte Ausdruck für 4 log z nicht richtig. Das Versehen ist daher entstanden, dass während noch auf pag. 26 richtig angegeben ist — loy ig (45° +9) a ui 3 2 log e 2 log e mE Ed BEER - EM E77: IM ‚es auf pag. 30 heisst log z = log statt log z= log. Br 2M.Wd — e0s2p.logtg (150-4 9)" ae 4 t Wenn man richtig rechnet, so erhält man #2— Eh 88. Wir wollen nun zur Integration durch hyperbolische Functionen übergehen. Si Setzt man statt der zu differenzirenden Ausdrücke Sinz, Cosz.... successive x und bestimmt demgemäss den jedesmaligen endlichen Theil, so Eat man de Sonst Bekanntlich ist: ]) rn —IHTIRUN & —= Log (V?F T+.) ze sin & dx = dx 2) TE Ar. Oos x = Log (1? —1+ e) ee ar. c08 & en 1 da 3) — = Ar. Dgy:2 — % Log ee Tram ur. tg ® 22: = Ar. Cotga = '% Log (3) di 5 Tre TR dx En dx ee. ee Ss — = 02 ——— gr. af Sr 5 —= Ar. Secz Log (; Tr — ET ger ar. sec X dx - si ie “ of- re = Ar. Cosec & = Log er I fe er ar. cosec x. Ferner ist nach dem Vorigen 2 Ge — Log tg (# +3)=: ee 9 fan: = = 0, wobei immer von der Constante abgesehen wird.*) 89. Da nach der theilweisen Integration E- Sin r ee ee, (mnfr=e- - . (a+5:”)P, dx 1) pn m) "dx in at u U m—1 — a re m m —-9,2,.0... ee ee oder = ist, so hat man, wenn man successive Ganz analog ist bekanntlich dx } a — NIE Vi1-—.a? [0.0] k . dz *) Nimmt man z. B. das letzte Integral von O bis 009, 50 ist Ca: d . £ TE = Ar Sin <= A, (wo also x — Sin A) 7 =7, wie Dr. Feaux (die 0 hyperbolischen Functionen in den bestimmten Integralen, 1848, pag. 23) angegeben hat. aı2dx x?dx 2) VIr Ar fo % R—% A | Yu Zu kartiha Adr 3 ed | “dx 1 a8; 2 Fan Mala up ae Be a Kr = Ka ae) tzge u. S. % öde Bu le 1.3.5 N% 3 4) ah er 2.60% +3 0°)R— 3754 | wo r—yl-a i U. S. w. Hätte man zu finden fd aY1 - ER so schreibe man dafür: A 1 2 ‚2 : nl -H SEEN Demnach ist Y14-..2 nn V1+.«2 .Y7+r S € ee ee A, ee daSin2 A—2Sin A.Cos A=2x.YV1-4.? ist, wofür man früher benutzte: e zz fi 2. V1t22— zen, + % Log («+ Y1-+a2). sin2a, a . . da. y1—- 29 — 7 tm wosina=« ist, Als Analogon stelle ich noch hin: e 8 10. Da man durch Umkehrung der Formel (4) erlangt; = 4 a ce Ph! Du m in fi de. (a-+ bu") P merke ei dn. (aber am am dx Vita? m—2 BRENNT: X oder ——— me m > am YI+ a? (m—1). ee Fe re vIr® C Y1-.a? m —2 dx E # oder auch rer, ee le —; 80 ergiebt sich, D) wenn man zunächst in (C) successive m = 3,5, 7,9... setzt, folgendes: 1) a _ I gr in IB « VI + d 1 1 ) ee zaft+zB 23. VI+2? 2x 2 ‘ dx ar 1 7, R DRS: ) «5 VI 2? 4 «* Dar dr 2.4 a 1. EB 1285 1.3.57 la Here Ar 4 + 3) Rt 54.0P 1 7, 1n..00. 0, Re 1] 5 4) er = (943 351 ERREGER 4 B. u. 8. w. Ebenso erhält man, wenn man in (D) successive m — 3,5, 7,9... setzt: dx = a) = - Alban 0 x Y1—.ı? dx 1 ) eg: Er 10 de Mi 1.8 c) re -— (7 va. 1)" 34 1 1.365 1.545 d) A So leeteer er Pam! 223.6° 1 Br 1 BT P33 807 . =— (u | et Bay E60 72)’ 3.2.0.8 © uU.S. W. 8 811. | dx x 2m—3 - ) Aus ea aym — 1 =# ee 27 un 7 leitet man ab 1) en Ig#—=D ds 1. ee, N Dan nee ten =) +5 G. 2.9 Er der x = Tu Tm= ne ehrt EU-P TIL. me, F#.6P- u. 8. W. am dr & m. ) Aus ("14 _ —ı 2" rt folgere ich unter andern, dass 2 DIFF E EN Dis, ) Aug hr ER BIRIERT E 2 % ; ziehe ich nur den Schluss: (d-a23m 2 (m—1) Br m—NDf (1— 3) m — 3 2dx feat aD Ich stelle die Se analocen c sie: Formeln daneben: = y j BER ir E; ı a) _ wa u tga—d, x an 2.0 dx N. YÄR £ I ) dt: PER Sugar “ St —d : dx 1: x Be: E 123... x EBEN d) (+22)? 7 6.(1+22)° rannte 4.6. ee, 4. 2.06% u. 8. w. dx dx x“ e) Kerr wi d; f) (da? == ren, d $ 12 Der ) Aus ZU PORN 1 SINE: © wem Fans Ar re zM,(a+ ba?) (m— N)a.an —1 (a-t ba?) —1 (m—1) a am — 2 (a+ba2)n- erhält man dx WW 1 ds “RR.TT hai „ee Ic Dee are DET fra -:+ ff =-:+4r192=—1+D. dx 1 dx 1 y 1 ———— — I — ___ Een a Ip £ — _._ VA fe j)) Fr fs TER = Ar Cotg = = E im da am—1, Y: 21 m—1 m—2dx C us —_ ae Be We &) a. = Sl a ergiebt sich unter andern Ude ©. —1 dx De N a F gi SG HH Ar 0 a= Ei 5 RFLE Das letzte Integral führt auch leicht zu einem andern Achse für $ 9,5; a zu: ee SE ee — 1. FE = a ein Wan 3-7 ‚„dax= CosF ist. $ 13. Ich will noch einige einfache logarithmische Integrale anführen, bei deren Be- rechnung man sich mit gleichem Vortheil der cyklischen und hyperbolischen Func- tionen bedienen kann. ı.E: en. + Log(1— x?)=— Logcos w, wenn sin w=a, = — Log Secz, wenn = Tgz) fe 3 Log(1-+22) = Log Cos 2, wenn Sinz= x, = Logsecw, wenn“ = tg w o| \ 3) un 3007 5 — Log tg o, wenn sino—= a, — Log Sin z, wenn « = Tjgz] x2 = ? yore (FF =3Log -- Er —, = Log Tg z, wenn Sinz= x, = Log sin o, wenn @= | I ee 2 SET _ Log Sin z,wenn 00os2—= x, = Log tg w, wenn x = sec ® 6) a Du — a — Log Tgz, wenn Cosz= x, = Log sin, wenn x = seco, g 14. In gleicher Weise kann man folgende einfache Integralformeln nach Belieben durch Anwendung von cyklischen oder von hyperbolischen Functionen zur logarith- mischen Berechnung einrichten: ze EEE ade = 2» 1. 2\. ) fe a=- Ve St 2 Ja 6 +73)" eye da=—m 9 a, 5) re _ ur Ja2 VI—ı2 x dx 1 Dur =; (1—.a2)3 d m 3d Es | 2 2 a ech % ma=(3°°-75)8 c) Pr De fans” ne far 5 Ri On ae —1=u 9 fa (3 +73)® D fy—Tde=7: ö) a =—;, —®, nr — g 15. In $ 8 liegen noch folgende Sätze, welche ich hervorhebe, weil sie auch, ab- gesehen von der Integralrechnung, in vielen Fällen zur Abkürzung von Rechnungen benutzt werden können: 1) LogV E: „= +Ar Tgwoder log —=-+Ar' Tyx, wobei M. Ar = Ar’ ist. 2) log (yF 1+.a? te) — = Ar Sın 2)’ 3) log 1og (e+ | ) — + Ar’ Cos x, Baer 4) log v= — + Ar Cotga, 5) bg — U — + Ar! Seca, 6) log a Ich erinnere hiebei noch, dass meine Tafeln nicht die Ar =z, sondern gerade die Ar' = z’ enthalten. — —+ Ar‘ Cosec «. 10 $ 16, Wir wollen jetzt allmählich zu verwickelteren Integralen übergehen. Da, wenn Cos2z = x gesetzt wird, Sin versz= x — I und Cotg32 = nn NEE ist, so dx hat man für das schon aufgestellte Integral (22- folgende Formeln: [—— = 1 725 . Y /. . ET nz . Ar Cos = Ar Sin vers(«—1)= 2. Ar Cotg Be — Ar Sin Yx?—1,u.s.w. Nimmt man min 1 E 2 an, so geht dasselbe über in: I a A NE a Ar Cotg y =4, Ya —: 2 a a = statt des früher gebräuchlichen Ausdrucks: Log wo (art ]. Nach $ 14, «) V— 2 = yy2— 1. Setzt man y=E&+-1,so hat man: GE a Berg Bere Sperre t [Tepe VPETP oder BON an /3 ?_ Ar Si SR5= —= y25- 8 ae yZE+E r Sin vers E 2:+8 2% und wenn man &—= —_ annimmt, so erhält man: d BER a 2 2x Zen NG 22, Ma en 2) N - — —yax ta? —°. Ar Sinvers ?—= yax +2? — z Ar. Sin Yyaz-.a* Var+.2 i = 2 —5(Sin 4-4) = — 2 Cotg$ — a da Cog4=V°+2 ist. NOE- Ye — zu finden, setze man x — : und&=y-— 1, alsox = > dx 2 2d = d Di x a, Yy 4 DE Y Y ies giebt [ er Sir Ja == 5 w un yy? — Far my“ Yy? P—145% Ar. Cosy ae also 3) ra re = az a a 2" Ar Cos en zu Sir 24—88inA 4 64], In ähnlicher Weise erlangt man: N) Le Tree: 15.02 BE ru ars [8349 Sin2A+45Sin A— 304], wobei bedacht werden muss, dass Sin3 A—3 Sin A + 4 Sin 4? ist. Die analogen cyklischen Formeln sind: a—2x o) = ar. 008 —— —q, Yax— x q 2 DI IE — pe zar. [sine ar Yax— x? X ist, = —2.cotgs0a +4 5 wo 0019; — I 2 Dre ib ei _2 bon A: ir _-- 5 jax— 2 | == .ar. 008 —— re rl Vax 11 aan &-+10az+-1502 » za a a— 2x N 3737 aa —a®+ za”. ar.cos 3 = | in 3a +9 sin 20 — 45 sin +30]. &:.17. 5 s 16, u 1 und 2 ergiebt sich leicht, dass — —.Ar. Ct eh, (wo also Cos A=t 2 ) und dass _—— = a 2 dx Ver+b22 Pu Vax+bx2 b sh. RE a dx A dx ER NET Nun Eı In tn 6 Var A+ ( Yax+bx? A) Demnach erhalten wir; ax H% ET a a a fer ga Yaap ar rd .Yb. Cotg + es av 5? { bx2. da Cotg 5 BE EA RERNN bx xVb Die entsprechende cyklische Förel ist: Var—b2 | a De — Yaa—b: Pe 2 vr 7 __a—2bx nn a—bx __ Vax—bx? . wo cosa — — und cotg 5 e—y Er Be ist. > rd ade 2 == Ferner ist yVer+ a2. de=a Vs TE Varta? also I) / Yarta*. da—* +2 a 2 —% Ar Cos Se .Cos A. ee a _.a+2x a+xz _ Yaxtı? da aus Cos A =——— sich ergiebt Cotg & —yYV = _— E47 Dem entspricht die cyklische Formel: A Syr le Alu” Baak 2) [yau—a?. dae=— "7° Yaa—a2+%. ar cos 2) ax — — 2 ,cosa.cotgya + a. | VYax— x? - a— 2x wo 008 — und also cotg 1a — ist. In derselben Weise kann man [@ Yax--a? dx finden, doch setzen wir der Abwechs- lung wegen: [ « Yyaatade= (f®+g9x+h) ya@-+a® + k.a®. Ar Cos en Da (8 6, 1) NER ae a Ger en = = Yazr 2 x Ya@-+- a” ist, so hat man, weil f=4,9 = h=— 2 k=- gefunden wird, I. fü Ya fd = Fe at tar. Cole = [2 5% 4-3 5in 4.00 A434], j weil Sin A —? Yaz-+ 2,2 —= 5 (Cos A— 1) und Cos A?—= 1 + Sın A? ist, 12 Dem analog ist die ceyklische Formel: a Ya — a? u ar .cos a fl | J 24 5, [er 3 sind. ewa— Ja : 2 . da sıina—- Ya a — a2 und =; (1 — cos.a) ist. 8 18. Bekanntlich ist Dee rg für de. — ns wenn ac positiv und grösser 54 b? ist. Ist aber 5?>ac, so schrieb man bis jetzt 1 btes— YR—ac ur eYEREEIT: 2) Sesge, en a ee Log PER Ten für b+cr> yYb?—acund 1 3) en eu 2)62 — ac Y®—Zac+ (b-+cx) Vermittelst der hyperbolischen Functionen kann man aber den beiden letzten For- meln eine der ersten Formel ganz entsprechende Gestalt geben. Setzt man nämlich weh, so ist nach $ 15, Nr 4 —U2C 1),7 == Log VZi= a nach $ 15, Nr. 1 a 1—u Ar.Tgu I = Log Vi = a Man or = n. auch die beiden letzten hyperbolischen Integrale selbst- ständig verschaffen, indem man an $ 8, Nr. 3 und Nr. 4 A Setzt man nämlich in die Gleichung [-— 2 Pr — Ar. Tgystatty—. &, so erhält man zu- 2 de nächst ee a — Ar 1 y oder d a. VB — Ar. = v£ .&. Dann giebt &= x + y folgende Gleichung: d Mn a Tg(c+9) VL. Setzt man nun a— By°—a, py=-—b, Pp=—c, wodurch y—ı,a— 2 — ac — c. E) et TE Yaß — Yb?— ac und VF- Se wird, so erhält man b-+ex __ b+ex 2 Sr re en ar 10 a eh - a ae Um die Formel II abzuleiten, substituire man in/- statt y. Dies führt auf: BET Nie Er TEN RAU p d BERATER ng Ar. Cote gi er 1 behe= u, ER DER b+ex B) [otass Tate Vezae' ae Ye—ac Tr En \6®—aec Dass die Vorzeichen in den beiden Entwicklungen für III und für Ü nicht stimmen, — Ar.Cotg y sofort a+p) Eu hat hier nichts zu sagen, da /b®— ac positiv oder negativ genommen werden kann. 13 Den Fall, dass db? — ac ist, können wir übergehen, da alsdann a+2bx-+.ca? 1 u = dx . == (ya -- Ye a)? und daher (= — Yasres 1St- $ 19. Durch dieselben einfachen Mittel gelangen wir, wenn wir von $ 8, Nr. 1 und Ber ‚Yale DE EN ER j Nr. 2, nämlich von den Gleichungen [3 — Är.SinE& und Bi 0sE& ausgehen, zu folgenden beiden Formeln, welche sich auch in Gudermann’s Werk über Potenzialfunctionen pag.713 vorfinden : MNy= ug wo Sin A= er JYu+2bxe+ca Ye Jace—b? B) y ey wo RER ER EN ist Ye VB? — ae Beide Formeln setzen voraus, dass c positiv ist, die erste ausserdem, dass ac>b», # SEITE die zweite, dass b’> ac ist. Hiefür hatte mau früher „9 PFer+ Bea FEB [4 } Ist aber c negativ, dann gelten folgende cy Haie Formeln: 2 b 1) y= —, für sine = DIEBE, —, oder = — —, für sina = tes Y—e )® — ac Te: YR Zac ; 4 b 2)y=— ——_ für cosa = — BE ‚oder — ie coBle = me Y—e ]b2— ac Y—e b? — ac Wenn Gudermann aber pag. 114 schreibt: k a je b y— — „fürsink = er oder für cosk = En, Y—e Yb? — ae V®%—.ac so liegt darin ein Irrthum. Der Fall, dass ’?— ac ist, kann wieder übergangen werden, da alsdann ohne weiteres y — az ist. c $ 20. Geht man, durch $ 16 Nr. 2 geleitet, von zdx —— Fe ‘) 2; 1 BER TEITERT: —p.ya+2ba+ca”+g mn aus, so findet man durch Differentiation, dass p — - “und g=—;> ist. Demnach ist stets Y — a la+2bx+c.2 _‚Ya+: Iaer b — „4, wo y nach Beschaffenheit der Coefficienten a, b,c einen der im ie S aufgestellten Werthe hat. I. Ist nämlich c positiv, so gelangt man leicht zu folgenden zwei hyperbolischen Formeln: A) Y=;| Vee=#.0nA—b.A], für Sin A— Ye ya u B) Y=,,| Pe. Sin A—b. Al für Cs A= ar ee VR—ae 1I. Ist aber ce Aa so gelten die verwandten eyklischen Formeln: I) = ee. cosa-tb, «| für sin a = ur ua 15% — ac 2) Y= -— BZ ae. sina—b.e|, für Mo . Mer Yb®?—ac 14 8 21. - ER. re a Ani __ (a+3bx+2cad)dzx Ferner ist ale Va+ 7327 | = W.de + —I =, —— wenn der Kürze wegen Ja 2 2b A ca2— W gesetzt wird. Demnach ist =. + 3 + 2: (Ep dısc oder eds. .2,# a dx 3b pxadx a} ERITREA und mit Zuhilfenahme der beiden letzten $$: N de ae 3R—ac 9 VYat2bz 42 28 We Je nachdem nun e positiv oder negativ und ac ist, prägt sich die vorige Integralgleichung in folgenden Formen aus: A) get 6? — ac) SinA.Cos A—4b. Vr— ac. Sin A+@b—acA „für Oos A ELE, b+cx \ 22.Ve Y®—ae |’ — 52) Sin A. Cos A— 4b. Jac—2. 32 — B) ya er ”) Sin 08 a Cos A+(352?— ac) A ‚ für Sin A= b+cex |, 2&2.YVe Vac—b2 ) (®—ao)sina. cooa—4b.Yb —acsina + (32 -ac)e „. _. b+ex 1) J= 22. Ye , für IT J (2 —ac).sina.cos@a—4b.]b® —ac.cosa—(ab—ac)a pn _; b+ex 2) Da En ER ET TE BL LU u Anmerk. Ist 5>—ac, dann ist = tt leele Vetter una eye ie dx _e2 —2Jacx+2aLog, (Ya a+Ye2) ER w 3eYe 82. - a, dw Nachdem man sich überzeugt hat, dass ern: ) D for: >=%,(88, 7) ÖrEr — Log tg 5 ) er a9 Tg Tg = 5, dass fer ner( San = cotge, do dz e : ars g ) re — Cotgz und (5 Tg z ($ 6, Nr.3u.4) ist, kann man sich leicht mit Hilfe folgender zwei Reductionsformeln: . dx 1 EM m—2 de —mti1 | I et en | B dr A 1 ed: ua De m+17 en | (m a - dz dz - . die Integrale von „,,. und 5, verschaffen. Ich werde mich aber nur bei dem zZ in zZ ersten Integral ein wenig verweilen, da ich das andere im Verlauf meiner Arbeit nicht zu aa sedenke. d& 42 Setzt man Sinz—.«, dann ist Cos z— 14. und de— ——, mithin - dx q Sin z ı m+2 u en zm ie m—1 Com —1 de m—1,J Cos zm— 2" 15 ee will für m bloss die ungeraden Zahlen setzen und erhalte dann: Sin z 1) (2,18: 140 »dz — 1.8 Sin z IR 34 UN fon zur 'os 2* +34 4 Cos 2? | 220 BEN Benz, do Sinz .5 Sin z ER IV) (a Oos 2: 1. air . setz. 7.6® 30. V dz __,, Sinz 1.7 Sinz 1.5.7 Sinz 1 7 Sin z le; 2. 3.5.78 Miss? 2.6.8082 32 .2.6.85® Ba; eh 5, B:Cues8 VE, 6. ee 9 8 dz Sin z 1.9 Sin z 1.7: 978Sinz 12 58.7. 9-Sine ur er rn Ge VD fi Zu 10 Cos zu T F10 00628 46.,8:10 Gerz 6.8 0 Cort 113.8 Bine 1129 023 2 .%.6.8.10Co2 | 2.3.6.8.10% US. W. In Bezug auf I) will ich noch eine Bemerkung machen. Da z und ® zugleich o sind, so hat man daselbst keine Oonstante hinzuzufügen. Weil aber nach S3 Pe fe Coaz= = “ ist, so haben wir, gleichfalls ohne Constante: ee Nun aber giebt a in seinem ÖCompendium der höhern Analysis, 1862, I, pag. 311 d Y: 2 an, et, — —=arc.tgez. + Cist, wo dadurch, dass das Integral für z — o verschwinden muss, sich die Constante Ü — — 7 ergiebt. Demnach ist 5 +5 a ar tg ez oder ty (G+ 2) = 392 „ud... 2 —Log. tg (# + +3): wodurch wir eine Be- stätigung von $ 4, Nr. 4 erlangen. 823. In den Amsterdamer Verhandelingen von 1862, VIII, pag. 231 Nr. 7 giebt Herr Dr. Bierens de Haan an: a _ [(inzds _1 1+ V2 cos x code 1 1+Y2sin x = a. 317797 YV2 cos u Ber J cs2x 2y2 . 1- Jan: Mit Hülfe von $ & Nr. 3 kann man die Integrale bequemer also ausdrücken: 4 =, Ar Tg (Y2.cosa) und B= =: Ar. Tg(y2. sina). Aber auch folgende Ausdrücke sind wa 1 V2.0os& +1 1 1 Y2. sinz +1 ee —— ‚00 ee Eu Ze, (’ot 9,008 ® De — 0 9153 I e Se? re ) 212 g 12.sınz — 1 EN:4 Cotg Y2 sina Y2 Hätte Herr B. de Haan an dieser Stelle sich der hyperbolischen Functionen bedient, so glaube ich, würde das, was er über die beiden Integrale, wenn sie von © —= — a bis x = -|- a genommen werden, gesagt hat, klarer ausgefallen sein.- a e Sinzdx Coszdx Den vorigen Forineln analog sind A’ —= [——— und RB’ — he Cos 2x 082% Um diese beiden Integrale zu finden, beachte man, dass Cos 2 x — (os a? -- Sin a* —=1-2S8Sina2—2C(os a — 1 und das dCoso = —=Sinzdx und d Sin x = Cos x d x ist. Setzt man nun zunächst [2 Cos x — u, so hat man 16 ww =, Bi I 5 Ar. Cotgu= — Cory (Y2.Cos x), (nach 8 8. Nr. 4.) ı Da ne 2 on Fa ist, so giebt $ 8, Nr. 3 ausserdem noch | Az — 2 Ar.Tg (y2.Cos a). ar man ferner Y2. Sin —», so erhält man zunächst ae Ben. 02 : ea! £ 5 ©, ie Er BER e net | dv : 2 Weil aber (74 z Be Deo Lee cotgv ist, so hat man ausserdem noch | B=- — .ar .cotg (y2 Sina). g 24. dx : So wie ]) I: re — tg % x und 2) Tan; = cılg % ist, 80 erhalten . . ®. Ü —ı wir durch $ 6, Nr. 3 und Nr. 4, wenn wir beachten, dass Sin % x —yYV — und /Co B. = zD 1st. d d r N are; — Toyo, a ern, = — (og ü. (as, 2 = J 8 25. Unter Andern hat Herr Dr. Björling in Grunert’s Archiv 21, pag. 26, das dr . IR j - as — A behandelt. Indem er ce = o annimmt, spricht er zunächst 2du (“a+r)+(e—r) u? . . - .. a—r . Ist nun a? > »?, so erlangt er leicht, wenn man nämlich noch » für vu) © schreibt, dz 1 — cos x a u em Al von Fe B. Ersetzt 1) Ta, ya —u und erhältd B= a-+z 2 dv 2 a—r PS N een 1 1 DR—E le 2 + ig () tg % *), je nachdem a positiv oder negativ ist. Ist aber r?2 > a?, so erhält er, wenn man » für « Br schreibt, er 2 Er 1 1+v_ 1 re a se, 1272 ]r? N 2] r? TR sc (=)% 7 re ra | r—a £ IE een rn 509 es ee u ee Da aber I —— Ar. Tgv und ,;- — — Ar. Cotg v ist, so gelange ich zu folgen- den Resultaten: ) B= 2 2 Fam 9 ’ = = HN 202 E ? al = f id de £ A / » ae Ara (1 gr : oder = 5 Ar. Cotg (1 Fe .); je nachdem je tg % w kleiner oder grösser als / ist, 17 Der dritte Fall, wenn a? = r? ist, hat in $ 24 Nr. I und 2 seine Erledigung gefunden. Um 4 zu finden, setze man b—r.cosa, e—=r.sina, also r=yb2 - «. Da- . a dx FEN day durch wird A= f- BI TE RER - Ist daher a?> b?-- c2, so hat man: > = BE — U AI Vameag we a) =) Ist aber 5° -- c?> a*, dann giebt Herr Björling an: -, wenn 2— 0=y; 12 2 1 e at r+ a 2 2V6?+c2— a? 2 RR Vz A ? ge ra 2 wofür .i schreibe: \ Irre‘ | je nachdem die Klammer kleiner ir —— ? E : 2 r—a, ı—a oder grösser als 7 ist. la er (| Im dritten Falle, nämlich wenn «a? —= b* + ce? ist, oben wir: x — — a A en ig —g “ oder = (Pre cotg —-, je nachdem a = + yb?-+ «2 odera =— yb2 + e? ist. $ 26. In Bezug auf ERDNNN — .J könnte ich ohne Weiteres auf Gudermann’s > a—+rCos x Werk $ 97 verweisen; doch will ich auch dieses Integral, da es in Kürze geschehen : : ae . ren: yYCosc—1 kann, nach Anleitung des vorigen $ selbst entwickeln. Man setze u — } Bosse 1 peu? u? dx dx = 4 = So sm — 10% x, dann ıst (08 2 — m ug Duke ige da aber Cos x + 1 2 2 2du a — 1 so. ist de —= ae) mithin > du du ee, a er 4 —.'O = [Z} 2 E91 0-7: ur leerer, Fu je nachdem r grösser oder kleiner als a ist. Im ersten Fall, wo also r? > a? ist, erhält man: 2 ern (vz — u 1,2 :) oder „= — VYr?— a? : ar ee Tg % :) Yen 4er). Die zweite Form von J“ wird zur Anwendung konımen ne, wenn a oder r negativ ist. Den dritten Fall, wonach a? — r? ist, habe ich schon in $ 24, Nr. I undlI zur Sprache gebracht. Es ist noch besonders darauf aufmerksam zu machen, dass in $ 25 und in $ 26 die cyklischen und hyperbolischen Aren in allen nur möglichen Verbindungen vorkommen. A Vr— a? Der andere Fall, wo also ( r® ist, giebt: u — 29 Vi Tg % «) oder — > a7 — 2 18 $ 27. : dz dx 5 Wir gehen zu (a; ! nr a5; über. Bisher schrieb man: A — 1, Log“ = = — artga— % hogl,, u - 1, artgı. Da aber — I da ferner 2er — — ArTyz =— ArCoto a FE ern e— 4 IEF de und a1 —artg@e —= — ar.cotg » ist, so haben wir jetzt: A=— % E& ig a —+ ArTg | —H [“ .cotge — Ar.Cotg | je nachdem x kleiner oder grösser als / ist. Was das andere 4, — B anbelangt, so äusserte sich Leibnitz (Acta Erud. 1702, pag. 218 und 219) darüber noch folgender Massen: Esto Faro (wi = Yy-—-1), I7 1 a7 E 1 Sg 1 - - - ; : ducendum in z—;; , prodibit ar, Cujus denominator utique est formula realıs, sed resolvendo hanc formulam non pervenitur ad divisores planos reales. Nam 5 = . - I. I ns 5 n En eg a? — ia? resolvi potestine + a etz — a Vet ia nz + ay—ietze—ay—i... Sed quamcunque instituamus duarum ex his radicibus quatuor combinationem, nunquam consequemur, ut duae invicem ductae dent quantitatem realem . dx . . 5 N 3 Itaque (aa neque ex Circuli neque ex Hyperbolae Quadratura per Analysin hanc nostram reduci potest, sed novam sui generis fundat. Et optarem... constare dr cuinam problemati respondeant IF ae etc. (Im Vorbeigehen sei noch bemerkt, dass der Bericht hierüber in Montucla, Histoire des Mathematiques, III, 1802, pag. 147, nicht ganz genau ist, er lautet: Jci Leibnitz se fait une question. Il se demande, si de m&me que l’integration de Fr ;„ depend de Ja quadrature du cercle et de l’hyperbole, il en est de m&me de differentielles comme celle-ei en dx - - general — Be quelque soit m, Dagegen steht pag. 15l: On a remarque ci-de- vant que Leibnitz avait ete embarass& ä la reduction des fractions de cette forme x* + a* ou plus generalement «” — a”, en leurs facteurs de deux dimensions et qu’il avait m&me soupconne& que cela ne se pouvait pas ne Jetzt weiss Jeder, dass (u? «x y2 +1. —2y2+1)=2*- 1unddass Hl 1 2 +] x — 12 5 s : = er — ist. Setzt man nun 2%, VP— "23 ee =] re y und GE ; 3 2 — 4, Y2=n, so wird der erste Bruch in der Klammer — Ele und der zweite ve WE 2 ZI NG) Bruch = -——2 b2. 22 2 Darnach ist B Zn 7 “2ndn call 20: .dnY2 ne EEE TER? = 1+ 272 r Lo ei +artgyy2-+ arigy 2] 19 — a Fer Tel = 1-4. ist. In dieser Gestalt liess man bis an ER ER 3 x ” ie 2122 a1, 1u Es ist aber % Log FUTTER 1, Log wor, 1, Log 77 fw 2. wenn u = genommen wird. z2°+1 Da nun 4, Log 1, Ar Tg u ist, so kann man gegenwärtig schreiben: dx 1 ira Ty tar N | Ich bemerke noch, dass man bei diesem Integral B nie seine Zuflucht zu der hyperbolischen Cotangente nehmen darf, da -- stets kleiner als 7 ist. SR dx Beispiel nu far Es sei das Integral zu nehmen von x —= 1%, bis x — 1,68473 und betrage inner- halb dieser Grenzen $. Sonst hatte man zur Berechnung die Formel: Y, Log Be x+1 Wir wollen den Werth des Integrals erst für die obere Grenze x — 1.658473 be- rechnen und mit S‘ bezeichnen. ar tg. x, jetzt möchte vorzuziehen sein: — | ar tg «+ Ar Cotg «|. Gemeinschaftlicher Theil der Rechnung: Sonst: Jetzt: Anmerk. log xe— 0.22653 ° 9,83551 Ar 0.2068 | 7 el a a 9,42890 A — 0.68317 me. log ac" — 5,32942 9.406682 \ 1 al log M— 9.637178. =E ’ SE Ber SI PRERENER.N log T— 4,68551 — 0,59338 [09 s+1 1.711827 -0.01499 — 1.56635 — Log 4 S’ = — 0.85913.5 a. 10 — 0.34159 s— 051755 2 a8 — 0.835914 — $‘ Der Werth des Integrals für die untere Grenze « — 11, beträgt Ss" — — 0.839375. ‘Da nun S = $’ — $” ist, so haben wir: S— + 0.083461. Beispiel zu Fr Auch dieses Integral sei von x — 1% bis x = 1,63473 zu nehmen und be- trage S, I* 20 Berechnung seines Werthes (5°) für die obere Grenze: Gemeinschaftlicher Theil: Sonst: Jetzt: a a loy «= — 0,45306 (log x y2 — 0.37704.5) (0,26442| «2 — 2,8383 |log (1 + 22) = 0.58413.6 log x Y2 — 0.37704.5 \ay2 = 2,3825 log Ty A — 9,79291 log tg a — 0,11262 a2+-2y2 +1 6,2208 4' —= 0.,31538 a — ze — 520 2048” |22—_2y2 11 1,4558 log A' —= 9.49883 3,14159 log (Zähler) — 0.79385 log A —= 9.86105 0.931361 log (Nenner) — 0.16310 (log 2 y2 — 0.45154) a — 2,22798 log. (Bruch) —= 0.653075 940951 RT, log . log. (Br.) — 9.719985 } I log. Log (Br) — 0.16207 Bi log 2 y2 — 0.45154 log 4 Y2 — 0.715257 9.89638 + 0.78773 | Dazu -+- 0,25674 0.25674] Ss’ — 1,04447 Wenn nun für die untere Grenze der Werth des Integrals — S” ist, so erhält man S= 1,4447 — 8. 8 28. In Grunert’s Archiv, 3, pag. 336 hat Clausen eine einfache Entwicklung des schon von N behandelten Integrals ne — 5 gegeben, wonach / EISEN ME rg ee [ E arc.tg > 3y.4—D TE sy 22 Wa V3 = “-y)W-T - v1: + Bu? De 7 = Da nun der grosse Bruch —= a u Auer DEE ist, so erhalten wir et. 10 nt) Y®+3 +1 I —1 nach $ 8, Nr. 3: k SEEN en NE a U I Sa 6Y3 I — 23 "e—y)P—1 Insofern y > 1 ist, wird u IE stets < / sein. Setzt man y — 1,68473, so ist ne 0,068195 4 0,036406 + Const. Anwendungen der neuen Tafeln. $ 29. Bei der Aufgabe: „Unter welchem Winkel muss eine Kugel im luftleeren Raum geworfen werden, damit, nachdem sie wieder in die anfängliche horizontale Lage gekommen ist, der beschriebene Parabelbogen ein Maximum sei?“ kommt Herr Director Dr. Streblke nach einer mündlichen Mittheilung*) auf folgende Gleichung: sin ©. Log tg (45° + 2) = 1, wofür ich schreibe: z.sino — 1, oder z’ sino — M— Modulus. (log M — 9,63718.431). l) Berechnung des Winkels » nach meinen Tafeln, pag. 87. Bu: wo —- 56° 27°. Bürm = 902 2% loy sin » — 9,92086 log sin o — 9,92094 |29 : 27 — 60% : 56, [ log z’ — 971665 | log =‘ — 9,71686 28 20552080) 9,63751 | 1 (2 .0:52103) 9,63780 Also ist w — 569.27’ 56. 2) Nach Herrn Forti’s Tafeln: pag. 1, r — 28°. Eine BEE Be EI Er 2 log tg p — log sino — 9.92077 | log tg — log sin » — 9,92094 | 59 : 54 — 60% : 59. (2sett.h = 1.19865 — 2) (Zeit. 1.199170 — 2) log z — 0.07869 log z—=0.07907 3.99946 0.00001 Also ist, 14 u = 28013° 59“ oder o =-56° 214.581. 3) Mit Shortrede’s und Schrön’s Tafeln: log.sin @ + log.log tg (45° + % w) = log. M. Kun; 562 22.50”. | Kür © — 56° 257% 9,92093,37 9,92093,51 9,71684.61 9,71684.92 9.63777.98 9.63778.43 Also durch siebenstellige Tafeln berechnet ergiebt sich ® — 56° 27° 57, 8 20. Aufgabe. Man soll die Oberfläche (0) eines durch Rotation entstandenen Ellipsoids finden. *) Wir haben in einem der nächsten Hefte des Grunert’schen Archivs von dieser Anfgabe des Herrn Dir. Strehlke eine Auflösung zu erwarten, 22 Auflösung. Wenn die Drehung um die Axe der x geschehen ist, so ist be- “ - 4 dy\2 kanntlich das Differenzial einer solchen Oberfläche = 2rry V 1 (@ > -d.2z; und da die Gleichung der erzeugenden Ellipst ist: en — Bo se ey 5 a2.da—+ ( wenn das Integral von x — o bis x — a genommen und das Resultat verdoppelt wird. 1) Ist nun a > b, so haben wir zur Berechnung einer Zone (!) des dieser An- nahme entsprechenden länglichen Ellipsoids (7) folgende Formeln ($ 9, e): — = E 2.ya®—ea2-08, a wo a? — b®— ee: und sin a — = ist, 20 i oder! =! = |” 0.0080 + «|; woraus sich [=2#r+ 207 |(w si .) ;|\ DS —h+H.k zen zeefleo di] ergiebt, wenn h — 2b?rr ist, H — 2a?rr und % gleich einer der beiden gleichen eckigen Klammern gesetzt wird. 2) Ist aber a Be wo Sin A= er Sn beesır NET Swan RS nn 92:42 4 mithin p = ne £ x Ya®--e® 2? + 0*®A.|. Da aber ex —= a? Sin A und ya*-+ e2u2 — a? Cos A ist, so können wir auch ab ee ; : — ISin A.Cos A+ A|. Weil das Integral für © — o verschwindet, so geben die beiden letzten Aus- drücke für x = a ohne Weiteres die halbe Oberfläche, daher ist die ganze Ober- fläche des abgeplatteten Ellipsoids: P=obnı 20m (Ar. Sir 2) >| ’ HA ch, oder P= Ibn + 2a I(". Tg 5) +] | schreiben: p = "33 wo K mn einer der beiden letzten eckigen Klammern ist und wo H (= 2b?n) und A (= 2a?) im Wesentlichen dieselbe Bedeutung haben, wie beim länglichen Ellipsoid. Der bessern Vergleichung wegen wollen wir aber auch beim abgeplatteten Ellipsoid die grössere II: ılbaxe mit a und die kleinere Halbaxe mit 5 bezeichnen. Dann haben wir uns die Drehung um db, als die Axe der y zu denken und in den beiden letzten Formeln für / nur die Buchstaben a und 5 zu vertauschen. Es ist dann: L =25b?n 4 2a? rn KG . sin —=h+H.k. Pr 2a®n 200 I(": Sen ;) ; | o | IRENK Beispiel. Bei der Erde ıst a —= 859,4564 und 5 = 856,5636 Meilen, daher hat man: e = 70,212, log — = 8,91220, log — = 8,91365, 2 d?r = 4610000 — h und 2a? = 4640900. —= B. er 40 41° 10% Ar‘ = 0.035559 3ei Rechnung mit siebenstelligen log ar'' — 4,22712. | log. Ar‘ = 8,95095 | Tafeln habe ich gefunden: log TH —= 4,68557 log M — 9,63778 TE — 9240584) dusdenankilen: log ar — 8,91269 log. Ar: =: "8,9 13L7 — 92612355 - log k = 9,99904 tag. 080097 H.k — 4630600 h.K = 4620300 L = 924060 . r—. 92061200. 8 31. Nach Herrn Dr. Zetzsche (Schlömilchs Zeitschrift V. pag. 169) würde das Trägheitsmoment (7) einer Parabellinie (s), welche sich um die Parabelaxe dreht, mit Uebergehung gewisser Factoren u und /, welche hier nicht in Betracht kommen, durch folgenden Ausdruck gefunden werden: mas Be er VIpz LI — u Log (+ ta) wenn man unter ?2p den Parameter und unter z die Grenzabscisse versteht. *) Nun ist T= fr2as, worz = 2p»2 und’ds = dz. v1 -1- (7 .) = — d2% En Daher ist "=» re dz, d. h. mit Hilfe von $ 17, Nr. U hat man: T=m je ae Yapz +12 — 2 Ar .Cos ol] oder ge 5 A 3 ' Hz. De Cos Ar. Cata ik 174. wos A ri ist 4 g 2 16 ? p Ein Zahlenbeispiel für 2p — 8,1479 und die Grenzabscisse z = 10,9783 habe ich in der „Beilage“ zu meinen Tafeln, December 1863, pag. 4, berechnet, wonach m E2I7,27 (== .1363,2 — 85,931) st. *) An der bezeichneten Stelle fehlt beim ersten Theile der Formel für 7, gewiss nur in Folge eines Druckfehlers, die Wurzelgrösse, z 10 . 3. 24 $ 32. Aufgabe. Die Länge eines parabolischen Bogens (B) zu finden, dessen Para- meter — 2p und dessen Abcisse — « ist. Auflösung. Bekanntlich ist B = = für V1+ (= 1+(2) ‚ oder da y» = 2p « ist, so ist: = „pe Pretke, und mit Benutzung von $ 17, I hat man: B= 4 y?pa FF + Ar. Sin vers = 4 Y2pa+4ar + Ar.Cotg we — % + (22) + T Ar .Cos BrZ= UM“ 54, wo t die Tangente des Parabelpunktes ist, dessen Coordinaten x und y sind, und wo A = Ar. Cotg a oder gA= e ist. Eine Constante ist nicht nötbig hin- zuzufügen, da für x —= o sowohl t wie auch A = 0 sind. Nach dieser letzten einfachen Formel habe ich in der schon erwähnten „Bei- lage‘ pag. 3 ein von Montucla (III, pag. 151) gegebenes Beispiel, wonach 2p = 1 und w — 2 ist, berechnet und gefunden: B — 2,12132 + 0,44070 = 2,56202, während Montucla durch seine im ersten Theil nicht ganz richtige Formel: B=35Y2p+4z +2 Log (te) erhält: B=3+0 ‚4406964 — — 3,4406964. Herr Director Strehlke findet nach einer indichen Mittheilung die Länge eines Parabelbogens AU = B durch folgende elegante Construction: An die Parabel AC, deren Scheitel A, deren Axe A@ und deren Halbparameter p = AB ist, legt er eine gleichseitige Hyperbel B D, deren Mittelpunkt sich in A und deren Scheitel sich in B befindet. Dann zieht er zur Axe aus ( eine Parallele bis zum Hyperbel- punkte 7), hierauf D .J senkrecht auf AJ und noch AD. Bezeichnet man nun den Flächeninhalt des Dreiecks AJD, welcher = en u ist, durch / und GE - ; DJ inhalt des hyperbolischen Sektors AB D, welcher nach 8 2 = & 5 Ar. Sin T ist, durch S, so soll nach ihm B.p = 4-8 sein. Um sich hievon zu überzeugen, ee man ER dass nach unserer obigen Entwicklung B.p = : u ar A ist, wobei Tg. 1—2%, Nun it re A G, y=CG=DJ, auch sei AJ=X. Dat? = y?4 4.2, ın.. -L 4a? p2, und aus X? — y? = p? folgt X?. P=py+ 27 a pr y» + (2p x)”. Mithin ist F X .n , pP _ — = —= 4. Da ferner RT — _ — = z und demzufolge Sin A =, ist, so Ku, man sofort, dass &- a — ist, $ 33. Um die Länge eines elliptischen Bogens BM —= r zu finden, kommt man be- kamntlich auf folgendes Integral: p mn ‚[ey- yI—esing —a fir dy. 0 2) a? — 5? 2 2 Dabei wird vorausgesetzt, dass die Gleichung der Ellipse "5 + ir — 1,dass ?, dass die Ordinate PM bis zum Hilfskreise nach N verlängert ist, dass der WinkelBON = BOD = g genannt wird, weswegen denn - = sin p ist, und dass man endlich des folgenden $ wegen dp statt Y/ —e?sin y? gesetzt hat (statt der gewöhnlichen Abkürzung 49). Der Symmetrie mit $ 34 wegen führe ich noch statt $ sein Complement DOC =» ein, dann hat man: =—alyI—- & cos o.da—=—aldw.dw, wo do — YI—e.cosw* ist. Die wei- tere Integration kann ich als bekannt voraussetzen. Für a —= I, b = |}, = 30° geben Legendre’s Tafeln (Exercices de Caleul integral, Tome III, pag. 377), ohne Weiteres: BM = r = 0,51204.93224. Ss 34. Aufgabe. Man soll die Länge eines hyperbolischen Bogens T, der sich vom Scheitel der Hyperbel bis zu einem Punkte erstreckt, dessen Coordinaten = und y sind, bestimmen. . Tr 5 Tale a x? y2 1. Auflösung. Es ist dT = Jda’ + dy’, danun, — 5 =,.1.,.aleoı d.Yb— a le b2 - is a? + b? % \ Sr da und y? = — («2 — a?) ist, so erhält man, wenn man — 5 - = e,, — Cos 2, also ya? — a? — a Sinzund de —a Sin z.dz setzt, T — Lt: 1+@.0082.dz= af4z. de, ww d2= Y_ 14 2.Cos Z.ist. s 1 Am einfachsten geht man nun in folgender Art weiter: Man setze m = = und 1 3 Gi Im dann ist: ia e [Cos z.Y-mü@dz=ae fe: (1—- mi — 1% mti?— „,m?l...).dz, oder es ist, wenn man Be [0 24:—4. m de | Cos Cos 23 Cos 2? Cos 27 Cos 2° schreibt, A= u m B= 4 m£C= %m?, D = = — m’, G@ — , H— 2 Le ns me. BR —- —- 1 A ee ED, Sehen Da nun fe 2d2 Sınz, rm — o und die andern Integrale von _—. a ohne Weiteres aus $ 22 zu een sind, so haben wir: ErE Sin [BD \ Sinz (C, 5 re al aa -) malt? Sin zZ D 3 5 5 En Cos 26 ( - . ) ed N 5 (At 3 3 } 8 ÜÖ ! 16 D + .. | Man wird aber besser thun, ; Sin z Sin z Sin z Sin z T=ae | (5 — ar re tra! Hör Fr ak rare re )-«o] zu setzen und durch Differentiation zu ermitteln, dass 1.8.8 12482.,9).31. Bet “B+zz oe ST ehe: ur = 3 E Dei un er P=u—-A, y= ‚= {= —,9=—g—... Ist. 26 Obgleich die erhaltene Reihe für T schlecht convergirt, so habe ich mir die Mühe nicht verdriessen lassen, darnach ein Beispiel zu berechnen. Ist a— b, also ee —2 und m =, sonst: A032 0.25 a — 0.26967,6| Ferner sei = 2a, also Caz=2. B=0.03125 0.01562.5 | = 0.01967.6| Dann sind die subtractiven Theile der © = 0.00781.25 0.09293.0 |y = 0.00270.1 | kleinen Klammer (kl.) exelusive Sin z: D —0.00244.14 0.09023.4 |d — 0.00156,2) (Die eckige Klammer sei = Kl.) F—0.00055.45| 0.00007.9 \£ — 0.00099.1 0.00491.9] 5. Go G = 0.00032.04) 0.00002.8 17 — 0.00073.6 0.00016.91 ° 3 H— 0.00012.59| 0.00001.1 0.00002.4| 109 ® = 0.02003 J —0.00005.11 | 0.00000.4 0.00000.41 [09 « = 9,43084 K—0.00002.13| 0.00000.2 0.00000.1| &.o — 0.282409 L,=.0.00000.91|, Zgaeper& 005117 Kl.=1.4407; log(kl.)—9.99775 | l0g.e=0.15052 logSin z— 0.23856 log T = 0.30909 0.23631 den — 2.0374.5 Dazur.-n.1231 fürsa ==. 2. Auflösung. In Duröge’s Theorie der elliptischen Functionen pag. 76, Nr. 45 findet sich für T folgende Formel: a Ge ak? as! ay T—, 0019 9.99 —-7-2.(9)-} NP) Ex: E. Da hier sing = =, so ist = 30°; ferner ist k? = Nun ist (Legendre Taf. I, fol. e). Ferner: log K = 0,26812.72 | log E,(p) = 9,10931.18, pag. 377 log E — 0.13054.09 log F (9) — 9,12885.89, pag. 373 log ; = 0.1505150 | dp = Rn ph a | log colgp — 0,23856.06 log“ — 0,84948.50 | log d. — 9,97100.40 a? VOnEn een alon De ER 32 NE 155 also k — h, —= } a. Demnach T = 2.291287 \ 4 == € 5 2 1,311029 7 Pe \ — 2,037622. OT SA AT 3. Auflösung. Seite 78, Nr. 48 giebt Durege eine einfachere Formel: a k2 1 T=,9y.dy4+ FW; EW. Bl Va? I be use) Eier 186%/4 U — ——y— 4. Da nun zufolge der Hyperbelgleichung( „) — (3) = /sich y —= 3 ergiebt, so ist ty ıb —= y6, sinw— V a dv — > u — O1 A < / Nach Legendre’s Tafeln, pag. 379 und pag. 380, hat man: E, (67°) = 1,05957.35 mit D’ =. 0,01321.42 ud D“ = — 77.00, F(679):= 1.30019.68« mit D’ = 0,02305.23! wand) DA = 2.28, Aber der durch Interpolation zu findende wahre Werth (W) ist: W=za+b.D a D“, wo a aus den Tafeln zu entnehmen ist, b ein Bruch, diesmal — 47° 33° = 0%,7925, b.(1—b) — 0°%,16445, D' die erste Differenz, D' die 27 zweite Differenz ist; und da die Correction wegen der zweiten Differenz positiv wird, wenn D“ negativ ist, und negativ, wenn D“ positiv ist, so haben wir: F (vw) = 1.30019.68 | E, (w) = 1.05957.35 | Demnach ist T = + 1826.89 -- 1047.23 2, 618615) LE . ) 18 58 | -+ 0.932: 289 ,— 2.037624. 1.31845.56 1.07005.16 | — 1.513280 ) 4. Auflösung. Ich habe noch T nach der Formel berechnet, welche Durege auf Seite 82 unter Nr. 51 gieht; sie lautet: ae T—- „tgamu. damu-- Zn u— r E (u). Doch a ich hiebei voraus, dass schon u — - [3 - =: (eb) —='.1331845.56 und E (u) = fr dv — E,(w) = 1,07405.16 ed bekannt sind. Es soll also nur noch hr, ankommen, aus v zu finden ig am u und dam u. Hiezu wollen wir uns zweier Formeln bedienen, welche ich in der Vorrede zu meinen Tafeln pag. IV entwickelt habe und welche lauten: go, TILEFG0? TIg2L? Htigv? en Br Bu ig am uU Br er a. YR 1 Re 43 L”i I T: In t „2 IT ArrRpE) damu — yk“ ar ee : Be nn an Vl Bech bu . wo leicht zu ersehen ist, was die ee B, B/.... b,b‘... bedeuten. Keısı/,. = Zi a — 7, weil aus k—= k‘ = y& auch folgt, dass K’— K ist, oder 2 —= ML,= 1,36437.6 3 L — 0,68218.8 2L = /2,12875.2 3 L‘ = 2,04656.4 3L' —,4.09312.3 3 L = 3.4109#.0. also log Ty L, = 9,99838 log Tg #3 L, = 9,96244 log Tg (2L,) schon = » ‚00000 ee ToaE%ı 3,9993 Ferner ist v, — > x 4, also v,“ = 3X © 1, d. h. log v, = 0.04805.82 und v," — 64° 0'074. Da nun log = 0.38708 log yk' = 9,92474 log b = 9,95382 109 B — 0,00200 log b' = 9,99991 log B' = 0,00000 log b" — 0,00000 so ist ogtgamu=logtgw —= 0.538908 log d w = 9,87847 — log dam u, ‘ während nach der 3. Aufl. log tg w = 0.38907.5 und log d u — 9,87848 ist. Die kürzeste und beste Auflösung unsers Problems wird sich erst ergeben, wenn wir einst Tafeln für [*:: dz = H(z) besitzen werden, wenn auch nur in der Ausdehnung, wie wir solche für / 6y .dp = E, (y) haben. g 35. Aufgabe. Ein Körper ist entstanden durch Umdrehung von ABCD um die rie. Axe CD, wobei AEB ein Kreisquadrant mit dem Radius AE = EB=r undBCDE 28 ein Rechteck mit der Länge BC — a ist. Man sucht den Abstand seines auf der Linie CD befindlichen Schwerpunktes (g) von dem Punkte (. Auflösung. Es sei CF = x eine beliebige Abseisse und FH = y die zu- gehörige Ordinaes bestehend aus #.J = a und TE n. Ferner isst ? = x (2r—a), also y„—=a? 42a Prz—- 4 2ra—ar i fr y?adıa £ E 0 ’ . . Da nun im Allgemeinen g = ————— ist, so haben wir hier: 27 [ y?dı 0 fer». 420 x Y2ra ter) da ER De 2. sd 2.2 En Zrae— + 2ay2ra— ®-o)dz Der Zähler ist: Ira? x* a° x? . Ve [ai rr r? Br — x ar c f: > I rel De RT Pe R te rg 3 t+2Zay2ra —a 3 z D) 2a.r?.artg) und innerhalb der angegebenen Grenzen o und r: 0 EURE DIE LU a." m 12 3 2 Der einer ist: Ir —x md I a V?2r2— a2 (ce — r) — 2a.r2.ar ig V2 also innerhalb der angegebenen Grenzen: 2 37° + d®.r e D) Demnach ist: sr+b6at.r— 8a.r+ba.rn Rz 8$6r?+ 1208 +ba.rn MEERE ; 1,8494 Euer — 1 —sa,erhaält man:,g = zu 0,56242. Zur Auffindung der Integrale kann man $ 17, Nr. 2 und 3 benutzen. 8 36. Aufgabe. Ein Körper ist durch Umdrehung der Figur ABÜD entstanden, von welcher der Bogen AB einer gleichseitigen Hyperbel mit der Halbaxe r = BE angehört und der Theil BCDE ein Rechteck mit der Länge BC=a ist. Man sucht auf der Linie € D den Abstand seines u (G) von (. Auflösung. Es sei wieder CF=x, FH=y=a+n, wobei? =#.(2r4«) ist, uuyz a 2a Y2ra-+ es nn u ıde Be +02 2a.2Y2ra Fe) d fepan da f (#+272+0+2a 272} 2)de Nun ist a $ 17, III der Zähler: — 7 +4ra® == = 2 42a (F+%5-7)V?7= +224+ 2a.r?. Ar Cotg Ve i 11 a?.r? oder innerhalb der gegebenen Grenzen — 5 r* + g- + a.r? Ar.Cos 2, da 2 Ar Cotg Y3 — Ar.(Cos2 und das Integral für «— 0 selbst — 0 ist. Ferner ist nach $ 17, II der Nenner: .3 - ce 9 — + Hr +02 ta (e+r) Y2r2e +22 —2a.r. Ar.Cotg Gehen, z£ Eine Constante ist auch hier nicht hinzuzufügen, da der Ausdruck für «= 0 ver- schwindet; für 2—= r wird daher der Nenner: 4 5 la r — sr eloın ya) a°.n -Aa.r Ar 20082 Mithin ist asn 1r+6ar-+12a.r!: Ar.(Cos 2 167? +24a.r.]3+12a2 — 13a.r Ar Cos 2 Ta I 8% 4057195 Danun Ar' Cos 2 = 2’ —= 0,5119; also'2 = Ar. (00682 = ie und log z = 0,11958 ist, so ergiebt sich für r = /—=a G _ 32,801 _ a7 — 61014. 8 37. Aufgabe. Die Entfernung des Schwerpunkts («‘) vom Mittelpunkt für die Fi: elliptische Fläche DOUE —/ zu finden, welche vom Scheitel © der grossen Axe (2a) bis zu der Linie DE sich erstreckt, welche mit der kleinen Axe (2b) parallel läuft. Auflösung. Es ist f= > /y «da, oder da E) En (CF — list, so hatman 2:25 fi De (:) dx. Setzt man noch — &, so wird "aa 2a2b fE edge 3a”b.(1—&?)® 4 Const. (nach $ 14, 3), oder @ f—=3a’b.(1—8)?, da das Integral von &=£ bis = / zu nehmen ist. ER N. ) (E NE DE 7 NT N Beier ist = 2fyae—2ab [yi de —20U Be Ze] (nach $ 9, e), oder für die angegebenen Grenzen: f—= ab [“- cos&—&.yl— ®] Es sei noch cos@—£, also YI— &=sin«, dann erhält man: ‚Dean sin; u Dr nr WO UPS EOB- 18T. eG — z»Ssın2& a «Ü $ 38. Aufgabe. Man soll für eine hyperbolische Fläche (F) die Entfernung ihres ri Schwerpunkts (X) von ihrem Mittelpunkte O, dem Mittelpunkte der zugehörigen Ellipse mit den Halbaxen a und d, finden, wenn sich diese Fläche von ihrem Scheitel A bis zur Doppel-Ordinate BÜU=2y erstrekt. Auflösung. Wir haben wieder XF=2 (ya daund F= 2 /y da, 30 Da hier fi) — (6) = I ist, so ist: a b Xr=2b f% Mo), BE 2: [V()—12: Man setze = —£, so erhält man: t XP 2ab. (Ey P—1dE und F= 2a [VE 1dk, oder nach $ 14, y und nach $ 12; Xr—20b.& — Di mid HF —abr— An Ooseı E.yeror) Eine Oonstante ist nicht hinzuzufügen, da die Integrale für = a, d.h. für &£ — / verschwinden und da sie von &=[ bis 2= & zu nehmen sind. Da nun &—= (os A gesetzt werden kann, so ist Yy& — 1—= Sin A, Demnach haben wir: Ru 2 0. Bin A® A TER 3 Au A = Ar . os = I Sm 3 In der „Beilage“ habe ich hiezu ein Beispiel für «= 2a berechnet und ge- funden: X’ = 1,6133. a. $ 39. Aufgabe. Die rechtwinkligen Coordinaten des Schwerpunkts o (x’m— x‘ und a0 —y‘) eines parabolischen Bogens m u«— B, der vom Scheitel m beginnt und sich bis zum Punkte « erstreckt, dessen Coordinaten m@—= x und «u = y gegeben sind, zu bestimmen. Der Parameter sei =2p. I) Zunächst ist B. x’ * dB, und da 4B = vi 1 (2) ds und „= 2pz ist, so haben wir nach UT 17, IE: B.& fae. v: Bump Ir pa + Fa Ar. Cotg Fre tt, oder wenn wir, wie in $ 32, die Tangente des Punktes x, nämlich Yy? + (2x)? mit t bezeichnen, / 4% Y t Du = an en Ar Cotg 37 wo eine Constante nicht hinzuzufügen ist, da das Integral für « — 0, wie sich’s ge- bührt, verschwindet. Weil nun nach 82 B => ei D 5 Ar Cotg on ist, so erhält man: 1 Bet pepd Re u = ( 942 wobei Cotg Are 9% 1st. a ae eure II. Ferner ıst B.y’ Ba ae m 2 Er wenn die Normale des Punktes x, nämlich Yp’ + y’ —=n gesetzt wird. »3 2 ° - \ Da für x = o das Integral — , wird, so ist innerhalb der Grenzen « = 0 und ı en! 5 el 5 n und ie ae 1 PD) 31 Beispiel. Es sei, wiein$32,2p=1 und «=2, dann ist {= yY18, log Cotg A — 0.02558, A'= (==) 0,76552, log A = 0,24618 und 7 A= 0.027542, —i DB DohaR, also B.x’— 2.2263, und weil nach dem eben angezogenen $ 32 B = 2,56202 ist, so hat man x’ — 0.86898. Da ferner n — 3 ist, so führt B.yY— auf y’ = 0,84569. Anmerkung. Bei Dr. E. S. Unger (Uebungen aus der angewandten Mathe- matik, 1830, I, pag. 571 und II, pag. 185) hat man a“ aus folgenden zwei Gleichun- gen zu berechnen: ee —— De Ba == y2Pp® + 4a? 1 g® 5 Loy 2 ch und (mit Verbesserung einiger Fehler): 2 42 -y22 Betr ge Bee nenn 16 u Yy Die entsprechenden Ausdrücke bei Sohncke (Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integralrechnung, herausgegeben von Herrn Prof. Dr. Heis, 1865, 2. Theil, pag. 100) sind noch länger, da statt Loy. Q sie % Log. Q? enthalten, Yp= +42 +2x wobei der Kürze wegen : —ı Q- gesetzt ist. $ 40. Aufgabe. Bei einem elliptischen Bogen MC —r, der vom Scheitel der grossen Axe Ü sich bis zum Punkte M erstreckt, dessen Coordinaten ÜD — x und DM y sind, soll man die Entfernung (y‘) seines Schwerpunkts von der grossen Axe finden. Auflösung. Da (2) 4 v2 1 und.da = dr 7 dy® ist, so folgt aus [24 snge . MT ee dr, wenn man e = sale : setzt, nach einigen leichten Rechnungen: Ds. = 6 ee == ‚wo das Integral von « = a bis & = x zu nehmen ist. Es sei noch E — £, so erhält man (8 8 und $9, ©): of —— r. EN u le un — M) wenn cos ® — & gesetzt wird. Die eckige Klammer erlange für die eine Grenze sin22 z “u 2 =.aoder E=eden Werth: — 2 HR — ‚wo also cos 2 — e ist. .) ii en NE nr sin20o—sn22 Dann ist fas le 7 |e- 2) — = } e Oder yar u — — [® — 2) — sin (wo — 2). cos (w + |. Peishle Es sei, wie in dem Beispiel zu$33, a—=1,b=yf,e—=yFY, und@=1}. Dann ist, nach De III, pag. 342, der ellipkkeie dran Bo # 35064, 39 und dr elliptische Bogen B M=(0 ‚51204.93, also MC —=r— 0,83859,46. 32 Ferner ist & — 690 17° 42,67 und 2— 45°. Demnach haben wir: o — 2 — 0,42403.11 und da hier 180° — (o - 2) = W? — (w — 2) ist, so folgt: — sin (0 — 2). cos (w +4 8) = +-sin (o — 2)’. —0,16928.11, Mithin ist: log (y F ?) == 9,47225.33 und y' =S 0.,35375.39. 8.41. Aufgabe. Bei einem hyperbolischen Bogen CM=T, der vom Scheitel C bis zu einem beliebigen Punkte M geht, dessen Coordinaten OD=xund DM=y sind, ist die Entfernung (7%) seines Schwerpunktes von ar ersten Axe A (anzugeben. Auflösung. Aus Y’’T = fh AT folgt, dr —= s@ — a) undyYdT’ — m Bu Nge y da? 4 y’ dy’ ist, wenn man noch e®® = - = . setzt, nach leichten Rechnungen: a — Yes, 0 12.1) — 1, oder indem man £ für “> schreibt, y.dT —=°? dz.yP—1. Mithin ist nach $ 12, J: b y Mae fr ad 5 — Ar.CosE+$.y® — i| Es sei Ar Cost=z, also &—= Cosz und yE— Sum, 2. Au » ' 2 Dann ist (ya A = S 2 + Sin z.Cos :] = = I: + —ı Da dieses Integral von = a bis x = x zu nehmen ist, so ist es auch zu nehmen von = erbisies=ik. Nun sei Ar Cose = Z, dann ist feta=u [-:+°%] " N 24 | = % [€ a und’ Y*, T=% ea Sin (e— Z) Cos.(z-+ 2)| Beispiel. Man nehme a=b=1,e = v2, VE v2, an, dann ist, wie wir aus $ 34 wissen, T — 2,0376.23 und log T = 0,50912. Ferner ist: = 0,73832) „180 (<— Z) —0,81866.1, (wesen = ir). ee — 0,39278/ Da 'nun log Sin («— Z) — 982837 also Sin (2 — Z) Cos (2-4 Z) = 4,4815 ist, log Cos-(2-1,2) — 0.8225) so ist log (Klammer) — 0.56382 und weil log2e = 0,45154, so ist log Y’ — 9,80316 und Y’ — 0,63556. Bestimmung des Widerstandscoefficienten aus Fallversuchen. g 42. Bezeichnen wir die doppelte Fallhöhe während der ersten Zeitsecunde im leeren Raume mit 9‘, die innerhalb des Fallraums als constant vorausgesetzte Dichtigkeit des widerstehenden Mediums mit D‘, die des darin befindlichen Körpers mit D, so ist bekanntlich die Schwerkraft desselben im widerstehenden DD en Der Widerstand bei der Bewegung wird erzeugt durch das Gewicht der ver- drängten Flüssigkeit. Trifft eine ebene Fläche f senkrecht auf die widerstehende Flüssigkeit, so kann man als den Widerstand erzeugend das Gewicht einer Säule der Flüssigkeit ansehen, deren Basis / und deren Höhe einer Function der Ge- schwindigkeit gleich ist. Hat man es aber, wie das bei Fallversuchen immer vor- ausgesetzt wird, mit einer Kugel zu thun, deren grösster Querdurchschnitt — f ist, dann muss man wegen zwiefacher Zerlegung der Kräfte nach Newton (Princ. H, Propos. 34, Theor. 28) als Basis jener hier in Betracht kommenden Flüssigkeits- säule nur % / annehmen. Nennt man v die Geschwindigkeit der Kugel und nimmt man g’ als Mass der- Mittel nur 9 = y‘. » ® . . - = . . . selben an, so ist — die in dem erwähnten Masse ausgedrückte Geschwindigkeit und Yp (7) stelle die Höhe jener widerstehenden Säule vor. Dann ist das Gewicht dieser Säule = y’.D'.Z. “ \ und wenn m die Masse der Kugel bedeutet, so ist die be- “ 3.9 9 5 ’ ‘ 2 „ RE (7) le Di v : schleunigende Kraft u — =». T—Yp () ‚ wo r den Radius der Kugel angiebt. Was die für die Höhe zu wählende Function der Geschwindigkeit anbelangt, so habe ich darüber in meiner Abhandlung: „Ueber die Bewegung schwingender Körper im widerstehenden Mittel, Danzig 1850‘ folgende Hypothese aufgestellt: Gere +] und aus den Pendelversuchen, welche Newton in der Luft angestellt hat, die Widerstandscoeffieienten d und d’ nach der Methode der kleinsten Quadrate be- rechnet, wonach: Erste Versuchsreihe mit einer hölzernen | Zweite Versuchsreihe mit einer bleiernen Kugel. Kusel. ö° — 0,0042965 od = 0,018953 d' = 0,17482 "0,7482. 34 Nach derselben Hypothese habe ich aus Bessel’s Abhandlung: „Untersuchungen über die Länge des einfachen Secundenpendels“ einige Versuche berechnet und als arithmetisches Mittel aus 16 Versuchen mit dem langen Faden, an welchem theils die messingene Kugel, theils die elfenbeinerne pendelte, gefunden: d — 0,00883 und d‘ — 0,67778, worüber ich in einer Sitzung der hiesigen naturforschenden Gesell- schaft Auskunft gegeben habe. Doch wollen wir, wenigstens für dies Mal, bei den jetzt zu behandelnden Fall- versuchen der seit Newton herrschenden Ansicht folgen, wonach der Widerstand nur dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist, also das kleinere d — 0 setzen. Dann haben wir: p (7) = ö und I ——n Poisson in seinem Trait& de Mecanique, 1833, I, pag. 229 und pag. 414 und H, pag. 39 und 40 bezeichnet den Factor = mit n und äussert sich über denselben folgender Massen: D’apres une theorie re imparfaite de la resistance des fluides ce nombre n serait = mais toutes les experiences le donnent plus petit et Lom- bard le fait egal & .. C’est a Newton qu’ est dü ce premier essai sur la resistance des fluides. En comparant le r&sultat de son calcul au temps observe& de la chute d’une sphere qui tombe dans I’ air, d’une grande hauteur, il a reconnu qu’il faudrait, pour accorder l’un avec l’autre, reduire & moitie la valeur precedente. D’apres d’autres experiences, faites par Borda, cette valeur doit ötre seulement reduite aux 9. Di. 40 TDER “le iele repose sur une comparaison vague de l’action du fluide au choc des corps, et sur la supposition inadmissible, que dans ce choc, les molecules du fluide agissent isolement sur le mobile et nullement l’une sur P’autre. Elle est d&mentie par l’ob- servation, quant ä la grandeur absolue que le caleul donne A peu pres double de celle qui resulterait de l’experience.... Inähnlicher Weise spricht sich auch J. J. v. Littrow (in Gebler’s physikalischem Wörterbuch, 1842, 10. Band, pag. 1733) über Newton’s Theorie aus, mit den Worten schliessend: „wobei er (N) aber fand, dass man, um zwischen der Rechnung und der Beobachtung eine Uebereinstimmung zu erhalten, den vorigen Werth nahe um seine Hälfte kleiner annehmen müsse, was allerdings für diese Theorie nicht sehr günstig war.* Gegen diese Bemerkungen Poisson’s und Littrow’s würde sich nichts einwenden lassen, wenn sich aus Newton’s Theorie der Coefficient 6” — 1 ergeben sollte. Es wird sich aber bald zeigen, dass gerade aus Newton’s Theorie d‘ — 1, folgt, und dass also nicht seine Theorie den Wider: stand grösser angiebt als Lombard’s und Borda’s Versuche, sondern dass im Gegen- theil diese Versuche, wonach n — 16 ist, den Widerstand im Verhältniss 6:5 grösser angeben, als Newton’s Theorie. Hiebei mache ich noch auf den Umstand aufmerksam, dass Poisson der Ansicht ist, dass der Cvefficient » nur durch Versuche zu en sei, während diese bei Neyian nur dazu dienen, um zu zeigen, wie weit Theorie Ed Erfahrung auseinandergehen. Es wird gut sein, schon hier, wie es die Natur der Sache erheischt, den Aus- druck für dem von g conform zu machen; man setze daher, indem man unter k trois cinquiemes; ce qui donne y — Cette theorie de la resistance 35 eine durch die jedesmaligen Umstände bedingte, also constante Geschwindigkeit versteht, v= ar 2 2 D & Dr. __ -=y.m so dass also R—g9.H=37%J: Zr ist. 8 43. Wir wollen damit anfangen, die Gesetze der Bewegung eines Körpers, welcher mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit a im widerstehenden Mittel senkrecht in die Höhe geworfen wird, aufzustellen. Bekanntlich ist für irgend eine Zeit t: d 2 BT III Im Me k en Dies giebt: Gl —1t= a.g(z) + C. Da zu ? —.0,v = «gehört, sit l= —ar.dg , mithin 7 tar. 197, —.an.ti 1- Setzt man hierin v = 0, so erhält man für die Dauer des Steigens, 9, den Aus- druck: tg 7 Se „ und die My Gleichung in folgende über: 1) ar tg E — z a D) — : r, oder» — ktg ı rt, wo t die Zeit ist, die der Körper noch zu steigen hat, bevor er zum momentanen Stillstand gelangt. Ist ferner s der beim Steigen in der Zeit t durchlaufene Raum, so hat man: de=vdt=— — . —— —,, woraus hervorgeht: I.0q 2" “ () s——— 37 Log. (+; :) + (. Da fürv = a sich s = 0 ergiebt, so ist a? k2 k2 29 2 + a2 2) 5 = 5,Log ee oder 2 s = Loy we ke Die grösste Höhe (H), zu der ne Körper sich erhebt, findet man für v—o, näm- ieh MP > Log ( +7). Mit Benutzung dieses Ausdrucks nimmt die vorige Gleichung er Gestalt an: 2) H—s=0=3,Llo (1437): wo o den Raum bedeutet, den der Körper noch zu steigen hat, bevor er den höch- sten Standpunkt erreicht. Setzt man endlich in dem Ausdruck: ds = vdt für v seinen in 1) gefundenen Werth, so erhält man: ds=k.tgtr.d e-9=--wrr.d(ie) also 8 = ©. Log. 008 (i ’) +6, aa [io &£.d&E—= — Logeos £ ist. g* 36 Weil nun aus der Annahme z — o die Constante C sich — H ergiebt, so hat man: fr (H — s) = — Log cos ($ — t), oder kürzer: u en 9 750 = — Log.cos 7.7. Man hätte die letzte Gleichung auch ohne Weiteres aus Nr.2 ableiten können, wenn man darin für v seinen Werth aus Nr. 1 substituirt hätte, Setzt man in den vorstehenden Gleichungen den Widerstand D‘ — o, also k = &, so erhält man, wie sich’s gebührt: Ep dr a? v2 g' 20.5 DEZE )o=Tzr. a g"? S 44, Will man aber die Bewegung eines im widerstehenden Mittel fallenden Körpers untersuchen, so hat man von folgender Gleichung auszugehen: '() a »(!-%) oderdt—. —%.. Mithin ($ 8, 3) ist: 2 = : Ar. Tg 5 Eine Constante ist nicht hinzuzufügen, da t und v zugleich ver- schwinden. Man schliesst also sofort weiter: I) Ar T7,=4t oder v—=kTgtt. Den wesentlichen Inhalt dieser Gleichung und der entsprechenden ersten Gleichung des vorigen $ hat, wie Mossotti in dem oben erwähnten Werke pag. 5 in Erinnerung bringt, schon Newton in seinen Princ. II. prop. 9 durch eine geome- trische Construction gegeben. Da die hyperbolischen Tangenten, analog den cyklischen Sinus höchstens —= 1 werden können, so wird die grösste Geschwindigkeit, welche der fallende Körper = - - : - 8 D & im widerstehenden Mittel annehmen kann, gleich k = Yzy 9- ir sein. Streng genommen, wird diese grösste Geschwindigkeit erst eintreten, wenn t — oo geworden ist. Weil aber, wenigstens bei fünfstelligen Rechnungen, die hy- perbolischen Tangenten von Aren (2) über 4,74 — Z hinaus ebenso wenig mehr merklich wachsen, wie die eyklischen Sinus von Aren (w) etwa über 89° hinaus, so kann man auch sagen, dass die Geschwindigkeit beim Fall der Körper in einem Medium nicht mehr merklich zunehmen werde, wenn eine Zeit 7' verflossen ist, welche =! Z ist, so dass also schon nach T = “ Z’Zeitsecunden die Geschwindig- keit des fallenden Körpers keine merkliche Beschleunigung mehr erfährt, sondern gleichförmig zu werden beginnt. Lässt man nun gar, wie ich es später thun werde, Z = 8 werden, so wird beim weitern Fallen die Geschwindigkeit selbst in der Tten Stelle nicht mehr wachsen. Den Zusammenhang zwischen dem durchlaufenen Raum (s) und der Ge- schwindigkeit (v) findet man bekanntlich durch folgende Rechnung; uU) Ausds=odt= 7. & erhält man: 37 I))s = — > . Log (' - 2). Auch hier ist keine Constante hinzuzufügen, da für 00 auch s.— 0 wird. Nimmt man an, dass der hier betrachtete fallende Körper derselbe ist, welcher vorhin mit einer Anfangsgeschwindigkeit a sich bis zur Höhe = H erhob, so liegt ‘ die Frage nahe, welche Endgeschwindigkeit (a,) der Körper erlangen werde, nach- dem er durch den Raum FH wieder herabgefallen sein wird. Die Beantwortung dieser Frage geben Beten Gleichungen: 2 2 H 5 Log (147) = — 5, Log (-%) = » also stets a, < a. u Am wichtigsten für uns ist beim Fallen der Körper der unmittelbare Zusam- menhang zwischen Raum und Zeit. Wir erhalten diesen Zusammenhang durch die- selbe Differentialgleichung: ds = v.dt, wenn wir darin aus I) für v seinen Werth entnehmen. Pen ist: dse=—.Tg; I tal (1 ) und mit Hilfe von $ 6, Nr. 11: Danach ist a? = III) s = 7. Log.00s (7 Weil £ und s zugleich Null werden, so ist keine Constante nöthig. Denselben Werth für s würde man auch aus II) erhalten haben, wenn man darin für v» seinen Werth aus I) gesetzt hätte, indem 1 — 7Ty2? = Sec? — I ist. ’ Cos2? Da für kleine hyperbolische Aren T’yz = z und Log Cosz = 3 ist, so findet man aus den obigen drei Formeln, wenn man k — setzt, mit der grössten Leich- tigkeit für den Fall der Körper im luftleeren Raum die bekannten Gleichungen: 2 A010. B)s= 95% Eu: Der Uebersicht wegen stelle ich die wichtigsten Werthe für’s Steigen und Fallen der Körper im widerstehenden Mittel zusammen: %, lür’s Steigen: Für’s Fallen Jetzt: Sonst: ı\ gt BERN, ML x? = 5) ıD kTg(?t one E T=Jy—1t = Fr ik, a RAR (>) Ar ) ET. \ ) k k N 12 a2\ e —+e H= >— Log 1+ 2 2 2 NER m) DPA UENS k2 ve\ (0 H— 8 s=— ;- Log ( = 2) Er Gen (+) 29 \ ag € | gt gt k2 k2 I Er RL 3) o=—"- Log. cos (Gi ') III) =. Log.Cos (: )=; —. Le Aus der letzten Formel in der mit „Sonst“ überschriebenen Rubrik hat Poisson (I pag. 244), für dpg, ‚Fall, dass k im Verhältniss zu gt sehr klein ist, den Näherungswerth: s—= kt — — — log. 2 abgeleitet, auf welchen ich später zurück- komme. 38 8 45, Zunächst will ich nach den vorstehenden Formeln unter der Voraussetzung, dass der Widerstandscoefficient 0‘ schon anderweitig bekannt geworden ist, einige Beispiele berechnen. Als erstes Beispiel wähle ich aus Muncke’s Anfangsgründen der Naturlehre I, pax. 60 einen Versuch, dessen Data aus Hutton’s Course of math. III. 272 entnommen sind: „Eine eiserne Geschützkugel von. 1,05 Pfund avoir du poid Gewicht stieg bei einer Anfangsgeschwindigkeit von a — 2000 engl. Fuss nach einer Formel Hutton’s, wonach H = 760.d.log en .. ') ist, nur H — 2920 engl. Fuss, statt dass sie im vacuo 11 mal so hoch gehen würde.“ (Die Angabe „2920 Fuss“ ist wohl falsch, da bei der angegebenen Anfangsgeschwindigkeit die Kugel im Leeren 62157 engl. I'uss steigen würde; vielleicht ist dem Original zu Folge 2920 F. nur etwa die halbe Steighöhe. In Hutton’s Formel ist d —= 2r; ob aber unter dem Logarithmen der briggische oder hyperbolische zu verstehen ist, geht aus Muncke’s Angaben nicht hervor.) Wie man sieht, ist der Radius der Kugel nicht angegeben urd da ich nicht wage, ihn aus Benzenberg’s Werk: „Versuche über die Umdrehung der Erde pag. 523 zu entnehmen, wonach 2r — 1,965 engl. Zoll (also r — 0,0795 pr. F.) sein könnte, so bleibt nichts übrig, als ihn aus dem Gewicht der Kugel zu bestimmen. Weil ich übrigens beabsichtige diesen Versuch mit den folgenden in Vergleich zu stellen, so werde ich die mir nothwendigen Data nach preussischem Maas und Ge- wicht ausdrücken. Wenn ein Berliner Pfd. — 468461,2 Milligr. und ein Pfd. avoir du poid Ge- wicht — 453614,6 Milligr. hat, so wog die Kugel 1,0167 preuss. Pfd. Rechnen wir 1 Kubikfuss Wasser zu 66 pr. Pfd. und setzen das specifische Gewicht des Eisens 7,78, so folgt aus 3 r? . 66.7,78 — 1,0167 der Radius r — 0,077898 preuss. Fuss — 0,934776 pr. Zoll. Ist ferner der englische Fuss — 0,9711 pr. F., so war die Anfangsgeschwindig- keit a = 1942,2 pr. Fuss. Die Schwere im luftleeren Raum g‘ setze ich — 2.15% pr. F. und das Verhält- niss der Dichtigkeit der Luft zur Dichtigkeit des Eisens nach Euler’s Mechanik — 1: 7500, so dass 2 und g = 2.15,625. 4° — 31,245834 und log g — 1,49479.21 ist. 7500 Nimmt man nun noch mit Newton d’ — % an, so hat man: log k? — 4,98838 und log (77) — 3,19256. Demnach giebt die obige Formel unter Nr. 2: Dh - - 7500 = - Log. (' er 2): da‘; — 38,744 und log Log 39,744 — 0.56615 ist, die ge- suchte Steighöhe HZ — 5737.3 pr. Fuss. Und da die Steighöhe im Vacuum (nach $ 45, e=yn — 60361 pr. Fuss sein würde, so wäre sie im luftleeren Raum Q = 10.521 mal grösser als im lufterfüllten Raum, ein Resultat, welches mit Hutton’s 11 ziemlich gut übereinstimmt. Wegen des beabsichtigten Vergleichs mit einigen andern Beispielen denke ich mir, dass Hutton’s Kugel nur H — 4443 pr. F. steigen soll. Dann müsste nach den obigen Formeln die Anfangsgeschwindigkeit a = 1260,5 pr. F. betragen und es 39 würden zum Steigen $ — 13,263 Secunden gehören. Fiele die Kugel wieder den nämlichen Weg herunter, so würde dies in 3, — 21,014 Secunden geschehen und sie käme zu dem Ausgangspunkte nur mit einer Endgeschwindigkeit a, — 302,88 pr. F. an. Die grösste Geschwindigkeit, die sie beim weiteren Fallen in Luft über- haupt erlangen würde, ist k — 312,02 pr. F. Weil die Kugel bei der angegebenen Anfangsgeschwindigkeit im luftleeren Raum in 1‘ — 40,335 Secunden c = 25420 pr. F. steigt, so würde jenes oben berührte Verhältniss zwischen den erreichten Höhen im luftleeren und lufterfüllten Raum nur Q — 5,72 sein. Wenn die Kugel im luftleeren Raum 4443 F. steigen soll, so ist $— 3 — 16,86274 Secunden und a — a, — 526,9608 Fuss. $ 46. In den Petersburger Commentarien, Tom. II, 1729, pag. 338 finden sich Ver- suche, mit Geschützkugeln von General Günther angestellt, angegeben, von denen Daniel Bernoulli beriehtet: ex quibus apparebunt stupendi effectus, quos aerin cor- pora gravitatis specificae octies millesies fere majoris exercere valet. Doch ent- nehme ich von daher nur den Durchmesser der bei den Versuchen angewandten eisernen Kugeln, welcher 233%, Hundertel eines englischen Fusses betragen hat, und richte mich im Uebrigen nach Euler’s zum Theil schon angegebenen Angaben, welche sich in seiner Mechanik $ 457 vorfinden. Euler’s Rechnung, auf welche ich später eingehen werde, ergiebt, dass diese Kugel in der Luft zu einer Höhe von H — 4443 pr. Fuss steigt. Danach ist: r — 0,1153181 pr. F.|a = 919,39 | $ — 14,32745| ce — 13524 log k? — 5,15874.96 a, == 330,894 9, — 197.056 -|°6. —-29°,421,0 al k — 379,64 Nach Daniel Bernoulli, der von etwas andern Angaben ausgeht und bei dem 2: B, = — — ist, erreichte die Kugel eine Höhe von H —= 4550 engl. F. (— 4419 pr. F.) in $ — 14,37 Secunden und fiel dann in 9, — 19,63 Secunden herab. Im luftleeren Raum würde sie nach seinen Rechnungen t/ = 29 Secunden gestiegen sein und eine Höhe von ce = 13694 engl. F. (= 15295 pr. F.) erreicht haben, so dass nach ihm Q —= 3,01 ist. 8.47. Bei einer eisernen Kugel, deren Radius » = 0,45 pr. F. ist, ergeben sich. wenn dieselbe 7 — 4443 pr. F. senkrecht in die Höhe geschossen wird, unter den früheren Voraussetzungen, die beim Steigen und Fallen besonders hervortretenden Zahlen folgender Massen: log k® — 5,15006.46 | a = 599,16 | 4 = 16",17941 | c = 57438 | )_ 1.99 k—= 14994 |a,= 468,179, — i7inoe ee za 9° $ 48. Um noch deutlicher zu ersehen, welchen Einfluss die Grösse der Kugel unter den schon bekannten gleichen Umständen anf den Quotienten Q hat, als es aus den vorigen Beispielen erhellen möchte, wähle ich ein Beispiel, welches sich in Herrn 40 Y'orti’s schon erwähntem Werke pag. 45 vorfindet und welches r = 1 Meter voraus- setzt. Da der Meter — 3,1862 pr. Fuss hat, so würde diese Kugel, welche gleich- falls von Eisen anzunehmen ist, 69571 pr. Pfd. wiegen. Bevor ich sie aber mit den drei vorigen Kugeln wegen Q in Vergleich stelle, will ich die Rechnung des Herrn Forti erst an und für sich einer Prüfung unterwerfen. Wie Herr Forti mittheilt, sind die einfachen Gleichungen über den Fall der Körper im widerstehenden Mittel, welche ich in $ 44 entwickelt habe, schon 1849 von Mossotti in seiner Meccanica razionale aufgestellt. Nur hat 4 und % bei Mos- D—D' sotti einen etwas anderen ia als bei mir. Während bei mir g — g‘. ; ID) R & : a - setzt Mossotti 9 —= 9’. 57 me ne wobei nach A ‘= 4, ist. Ich werde Mossotti’s ist, g mit g, bezeichnen. Ferner statt v = %.d‘.— v” nimmt er mit Poisson y = «AR, Tg D' . . D . An 2 Aus -DIGD v?—= VW, an, wo y ein constanter Coefficient ist, der die unmittel- bare Wirkung der widerstehenden Flüssigkeit auf den Körper angiebt und wo die Zahlen n, und »' von der Einwirkung der flüssigen Fädchen auf einander abhängen und dadurch allerdings auch einen Einfluss auf die Bewegung des fallenden Körpers haben. Da indess in der Ausführung Herr Forti den Ausdruck y.(n, + n‘) = % setzt, „come usano gl’idraulici“, so kommt er, wie man sieht, dadurch auf unsere vorläufige Annahme, nach welcher 6’ = % ist, zurück. In Folge der verschiedenen Auffassung über gund % hat auch Ak? bei ihm einen - # 16 D B De etwas andern Werth. Während unser A? = 5 9.r 7, war, ist das seinige, welches ‘ ich mit k,? bezeichnen will = = gr (2, — 1). Erlaube ich mir indessen statt D ” > : c g zu setzen g’. (' = Do): so würde dennoch A? —=k,? sein, so dass also in der Praxis der Unterschied zwischen k und k, meistens nur unbedeutend sein dürfte. In dem Beispiel des Herrn Forti wird vorausgesetzt, dass die eiserne Kugel von 1 Meter Radius 15 Secunden Zeit gebraucht hat, um den Erdboden zu er- reichen, und es wird die Frage aufgeworfen, durch welchen Raum sie in dieser Zeit gefallen ist. Damit der Leser leichter beurtheilen könne, ob und wo Herr lorti oder ich sich verrechnet haben, stelle ich unsre Rechnungen nach Mossotti’s Formel: = = 109. Cos 7 t neben einander: ‚ Herr Forti denkt sich den Versuch unter dem Aequator angestellt und setzt daher 9’ = 9”,78078; ausserdem nimmt er D —= 7,778 und D' = 0,001293187 an. Da nun Demgemäss erhält er 4, = 977834. log (7 2 ı) — 3,77913.44 log y‘ — 0.99037.35 log (3) — 0.72699.87, also log k? = 5,49650.66, ausserdem wofür H. Forti angiebt: log g, = 0.99026.52 ist, sofindeich: log ka ) = — 4,50679.94. Is I )= — 4,50624.14, 41 si sBorti: = t = 0.2617124 = z Wegen der oben beschriebenen Ein- richtung seiner Tafeln hält er es jetzt für nöthig, im zweiten Theil seines Wer- kes zu diesem hyperbolischen Sektor z durch Interpolation den entsprechenden transcendenten Winkel » zu berechnen, wo er findet: — 140 49' 36,48 und dann im ersten Theile des Werks durch eine neue Interpolation zu diesem w sich log Cos z zu verschaffen, wobei er findet: Eu u z — 0.014708. Wäre er aber von gıt log ausgegangen, so hätte er sofort lee einmalige Interpolation olıne Zu- ziehung des » im ersten Theile seines Werkes log Cos z gefunden, während ich mir erst aus log z vermittelst log M den Werth von z‘ verschaffen muss, log Cos z zu gelangen. Nun übersieht H. F., dass in der Formel für s nicht vom Drieeischeni sondern vom hyperbolischen Loga- rithmen von Cos z die Rede ist, er nimmt daher ohne Weiteres log.0,014703, wel- cher — 8.16755.36 ist. Und da nach seiner — 4,50679.94 ist, so hätte er log s, — 2,67435.30 und s, 472,”4468 erhalten müssen, er findet aber: s, — 497,”422 und schliesst: che sar& prossimamente lo spazio.... Ho detto per approssimazione, poiche y.(n, + n‘) — 1, che soddisfa abbastanza per l’arıa e una palla di vetro cava di cinque pollici inglesi, noi l’abbiamo posta per la nostra. Da, wie gesagt, log s, — 2,67435.30 ist und dann log M = 9,6378, 43 ist, so würde log s — 3,03656.87 se s — 1087",849 sein, wenn sonst keine andern Fehler vorgefallen wären. um zu Rechnung log Weiter ist: log t = 1.17609.13 log g, — 0.99026.32 — 1.251 74.61 log (:.) id ig (%) 9,* _ 0,26188.05 = z 9.41810.32 und k, Nun ist 2’ = Mz, also erhalte ich z' —= 0,11373.33 log Cos z — 0.01472.6 und log.(logCosz) = 8,16808.48. Dazu tool =) — 4,50624.14 und log (35) = 0,36221.57 log s — 3.03654.19 s — 1087,”782 Da dieses Resultat mit dem gegenüber- stehenden ziemlich übereinstimmt, so sieht man, dass die erwähnten andern Fehler sich zufälliger Weise fast neutralisirt haben. (Es ist nämlich die Differenz zwi- dem Unterschiede unserer beiden log und dem Unterschiede unsrer are log (loy Cos z) nur 0,00002.68). Ich will noch die Berechnung des Beispiels nach N Formel: s = —.Log Cos 1 t angeben. log g —= 0,99030.13 log (7) = — 0,72699.87 loy (5 — 3,77920.66 log 1? — 5.49650.66 (= %,?) — 4,50620.53 — 9,41813.93 — log z log z' —= 8,05592.36 2’ = 0,11374.28 log Cos z = 0,014728 log (logCosz) — 8.16814.38 log ;) — 4.50620,53 log u) — 0,36221.57 log s — 3.03696.48 s — 1087,”839, 42 Im luftleeren Raume würde diese Kugel in der angegebenen Zeit 1100”,338 fallen, also nur 121, Meter mehr als im lufterfüllten Raume. 8 49, Nunmehr wollen wir uns wegen der beabsichtigten Vergleichung mit den frü- hern drei Kugeln die letzte Buch deren Radius r = 3,1862 pr. F. ist, durch irgend eine vulcanische Kraft 4443 Di F. hoch es denken, a wie in $ 45 bis $ 47, log g = 1,49479.21 und = — 750g annehmen. Dann erhalten wir durch unsre in $ 44 für’s Steigen und Fallen zusammengestellten Gleichungen folgende Resultate: log k? — 6.60012.50 k — 1995,549 a — 536.245 3 —= 16,76605 |c = 4600,8 | a, 911.81 = 4, 16,962 t! — 17,159 | = 1,04. 8 50. Unter der Voraussetzung, dass die vier erwähnten Kugeln durch senkrechtes Steigen vermöge einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit alle ein und dieselbe Höhe von Ar — 4443 pr. Fuss erreichen sollen, und dass für alle Kugeln g’—31Y, pr. F, EEE D > en und der Widerstandscoefficient d‘ — %, angenommen wird, ergeben die zur Vergleichung geeigneten Resultate der vorigen $$ folgende Zusammenstellung: Ta. Radius in a h Vacuum Q NE F. mtg: { All he” 0,077898 | 1260,5 | 13,263 | 21,014 | 302,88 | 312,02 | 25420 Be 5,72 (Autton) | 0,11531812 | 919,39 | 14,327 | 19,656 | 350,89 | 379,64 | 13524 Be 3,04 (D. Bernoulli) | 0,45 599,16 | 16,179 | 17,566 | 468,11 | 749,94 | 5743,8 | 19,173] 1,29 3,1862 536,24 | 16,766 | 16,962 | 517,87 |1995,55 or 1,04 (Forti) wo a die Anfangsgeschwindigkeit ist, mit der die Kugeln in die Höhe geschleudert werden müssen, um die Höhe von H — 4443 pr. F. zu erreichen, $ die Zeit an- giebt, die dabei verfliesst, 9, die Zeit, welche die Kugeln gebrauchen, um wieder bis zur Ausgangsstelle herabzufallen, a, die Endgeschwindigkeit, mit welcher sie daselbst anlangen, k die grösste Geschwindigkeit, welche die Kugeln beim etwanigen weiteren Fallen überhaupt erlangen können, c die Höhe, zu welcher sich bei der jedesmaligen Anfangsgeschwindigkeit die Kugeln im leeren Raum erheben würden, t‘ die dazu nöthige Zeit und Q das Verhältniss zwischen Hund dem zugehörigen e. Es wird gut sein, des leichtern Vergleichs wegen noch zu wiederholen, dass wenn die Kugeln im luftleeren Raum 4443 pr. F. steigen und dann fallen sollen, a = a, —826,9605 und 3 — 9, — 16',86274 sein müsste. 43 $ 51. Ich gehe zu einer Aufgabe Euler’s über, welche in dessen Mechanica $ 450 vorkommt und auf die ich schon in $ 46 hingedeutet habe. Die Aufgabe lautet: Aus der Zeit ©, in welcher eine aus B aufwärts gewortene Kugel in einem nach dem Quadrat der Geschwindigkeit widerstehenden Mittel wiederum nach B herabfällt und aus der absoluten Schwerkraft @ die Höhe BA zu bestimmen, zu welcher der Körper gelangt, ferner die anfängliche Ge- schwindigkeit in B und die endliche (finalem) nach dem Herabfallen in PB, so wie auch die Zeit des Aufsteigens durch B A und die Zeit des Herabfallens durch AD. Zur Erläuterung der Aufgabe führe ich an, dass es Euler bei der celeritas initialis und celeritas finalis nicht um unser a und a, zu thun ist, sondern bei jener um ce — altitudo generans celeritatem in B qua corpus ascendit oder deutlicher altitudo debita celeritati qua corpus ascensum inchoat und bei dieser um c, = altitudo ge- nerans celeritatem qua decidit in B oder altitudo debita celeritati qua corpus dela- 2 2-, are bitur, wo alsoc—= 5, = 9, ist. Auch versteht Euler unter @ (sollicitans potentia absoluta uniformis) weder unser g‘ noch g, sondern n — u — — Endlich habe ich noch, bevor ich zu Euler’s Auflösung der vorstehenden Auf- gabe übergehe, von dem zu sprechen, was er den Exponenten des Wider- standes nennt. Seine Erklärung ($ 376) lautet: Der Exponent des Widerstandes ist die Höhe, welche derjenigen Geschwindigkeit zukommt, bei der der Körper, wenn er sie hat, einen der Schwerkraft gleichen Widerstand erleidet.*) Ich werde diesen Exponenten mit % bezeichnen. Euler steht dafür &). Ber drückte in unserer obigen Formel ($ 44): = —g9—g Er g die Schwere und 9% u - den Wider- stand aus; die Geschwindigkeit » also, von der in der Definition die Rede ist, muss > v2 . . . % so beschaffen sein, dass y E=bh oder v» — kist. Wenn wir nicht schon wüssten, dass k die grösste Geschwindigkeit ist, welche der Körper beim Fallen in einem widerstehenden Mittel von constanter Dichtigkeit jemals erlangen kann, so könnten wir zu dieser Einsicht So die blosse Ansicht der voranstehenden Differential- gleichung gelangen, da 7 = “ nicht negativ werden kann. Doch ist A nicht etwa, wie man nach der Difinition erwarten sollte, — 3 man sich durch den Schluss des $ 55 und durch $ 58 überzeugen wird. Und weil Euler es für gut befunden hat, % nicht in rheinl. oder pr. Fussen, sondern in Skrupeln, deren 1000 auf einen + EHE, we so ist bei ihm 4 h = 100015 = 34. zur 1000. Für das bald nachfolgende Zullenheisniel setzt Euler h = 2250000 Skrupel, daraus lässt sich ermessen, welcher Werth für d‘ ihm zufolge anzunehmen ist, nämlich: ZEN, 4 u Ei DIR 9 Zwar hat Euler in dem Beispiel den Radius der Kugel nicht angegeben, da er sich aber, wie schon in $ 46 erwähnt, auf die Petersburger Commentarien bezieht, so Re sondern — 7, u setzen, wovon *) Im Original steht: Exponens resistentiae est altitudo debita celeritati ei, quam si corpus habet, resistentiam patitur aequalem vi gravitatis. 44 haben wir » — 0,1153181 pr. F. zu setzen, wonach aus seinen Annahmen folgen würde, dass d‘ — 0,512525 ist. Um die folgenden Formeln zu verstehen, muss man auch noch beachten , dass Euler als Zeiteinheit nicht die Secunde, sondern ihren 250sten Theil gewählt hat, worüber er sich $ 223 ausspricht. Nach diesen Vorbereitungen gebe ich andeutungsweise Euler’s Auflösung des obigen Problems. Durch $ 445 mit $ 427 erhält er folgende zwei Gleichungen: © ii "x "= 92 VE are.ty sg U ee HE u V#-)) wo 3 und 9, die uns schon bekannte Bedeutung haben und x die gesuchte Höhe AB ist. Aus denselbigen entwickelt er die Reihen: De Do /x x /x a x = +3=0=4V, + om Ve - mem Va--: es a ee y, 3 =nlr 672 h° VG--- Dann findet er vermittelst Umkehrung der ersten Reihe: BEER NE o .1G.0° _ G.)@.@ nn Dem „I gu und indem er diese Reihe quadrirt, gelangt er zu folgendem Ausdruck: G._: 63.9° 65. 91 = D16 15 73 = Darmernenzerialeielele 2 216,15 h? 226, 225 h3 Nachdem er auf diese Weise .x gefunden hat, geben ihm die beiden ersten Reihen > und 4. Um endlich c und c, zu erlangen, bedient er sich zweier Gleichungen, welche er $ 445 und $ 420 aufgestellt hat und welche lauten: x x = 0. ı) und c,=.@h (i — e i) Als Zahlenbeispiel benutzt Euler einen Versuch Günther’s, von dem schon in $ 46 die Rede war. Danach fiel eine aus einem Geschütz empor geworfene eiserne Kugel nach 34 Secunden zur Erde zurück, so dass nach der Einrichtung der vor- stehenden Gleichungen © — 8500 zu setzen ist. Dass A — 2250000 Skrupel und = a zu nehmen ist, habe ich schon angeführt. Natürlich erhält man x zu- nächst in Skrupeln ausgedrückt. Den Erfolg der Rechnung mit diesen Zahlen stelle ich 1) nach Euler, 2) nach seinem Uebersetzer Herrn Prof. Dr. Wolfers, I, pag- 425 und 3) wie er sich bei mir ergeben hat, nebeneinander. Es ist: nach Euler nach Wolfers | nach meiner Rechnung eye = | 1.416572 1,41658 1,416572 sk a um ln | 001188 — 0,01194 — 0,011884 le —|40.0002477 + 0,00076 + 0,000747.7 Also V%- —| 1.405439 1,40540 1,405436 Ya == 2108,159 2108,1 2108,154 a —| 4443 4441,1 4444,312 rheinl. F. 45 Nun bezeichnet Euler mit d die Anzahl Secunden, um welche die niedersteigende Bewegung länger dauert als die aufsteigende, und giebt der obigen Gleichung für %, — 9 folgende Gestalt: /@ x x a3 Pu 250 9.17 = 5, 2 u .:: Er findet hier = ze was — 1,405333 wäre, statt seiner obigen Angabe 1,405439. Ferner ist 1) nach Euler: 2) nach Wolfers (für V: — 1,4054): das erste Glied der Reihe — 0,9913 0,9253 das zweite . . 2.2.2... = — 0,0189 | — 0,0161 Also 250 6. V£ — 0.97237 | 0,9092 und d = 5 50" —='483 5,46 Mithin 9% — 14,08 14,27 3.10 TR 19, Bedeutender sind die Unterschiede in der Bestimmung des c und c, bei den beiden Rechnern hervorgetreten; während Euler ce = 15542 und c, — 1969 Fuss erhält, findet Wolfers: c — 13967 und c, — 1938, $ 52. Da die mitgetheilten Reihen Euler’s offenbar zu wenig Glieder haben, um ein einigermassen genaues Resultat aus ihnen ableiten zu können, und da ich ausserdem eine Controlle der vorigen Rechnungen wünschte, so entschloss ich mich, die obigen Formeln 3) und III) in $ 44 gleichfalls in Reihen zu verwandeln. Diese bei- den Gleichungen, welche für unsern Zweck lauten: = u H = Log cos r- 3 und Eh H == Log Cos T $,, bringe ich, indem ich 2 H= S und 7 a 0 -- 3, —T, setze, auf folgende Form: e-S°—=cos T und e® — Cos T, und leite aus den letztern ab: e - gE ee - D 51 sin (3) ah 5 und Sin (%) == y: >—, oder 23 S SE ss ss 3 } A Fih-3+7- arm mtm-) | an v3 ea TO 7148 Ri: ei (ma 4 36 1728 1 99100 7 20960 T 12386308) 7 ) und (= 4/8 s S2 s3 54 ‚5 ‚ss 3 \ (3) 2 (1+3 te tratrmt mt 500 2 \ 2 Ss S 582 S3 79,8% 3.5 ERS u Ee = 12 ! 2 A — = ” (1-+- sr 96 I 28 7 9200 T zumeot 19380304 +.) ne van, de era, aan naar Naar Dun 7 to trmtmat et nt" und nach meiner Abhandlung über die kubischen Geichungen pag. 54: Bi we, 3WerNa. ma .oswn 331 Ws 2 N ae BIER en 46 so erhält man nach den nöthigen Zwischenrechnungen: ige 5 A en, N 19.85 kt 79 58 » ,? e 6 120 a N 30.3.3. ne 13 BE ihr t+- m mt Fon + MIT ): / NT 8 Mithin ist j" en r=4), r 75 5 an 10 73 ı I FETT V5.:. \ In r=22 E24 8 E.. WEI: 2.H2 -, AB FIeE HA a Pers m oe t Gan 35 me Tas Fans = ee Vz 5 3 ln Van Vergleicht man diese beiden Reihen für © und 9, — 9 mit den entsprechenden Reihen Euler’s im vorigen $, so sieht man, dass sie in einander übergehen, wenn man 2 —,,h— 47 und G@ = g annimmt. Damit soll natürlich nicht gesagt sein, dass zwischen den bezeichneten Grössen wirklich eine ls statt findet; im k2 Gegentheil, wir wissen ja, dass x = H, h = 1000. or und @—=7 ist. Das etwa hierin Auffällige verliert sich, wenn man sich erinnert, dass ul von andern Ein- heiten des Raum’s und der Zeit ausgeht, als denen, die heutiges Tages gebräuchlich sind. Demnach würden die entsprechenden Reihen Euler’s mit Hinzuziehung der von mir gefundenen Glieder also lauten: Ve are > x x: —_ ans 1/8. ze Di. 3%.3,.5.7.9.13.h® Ve: [ ES x° x 19 x° Ber \ DK, Sal TEN muegaee NG a | 'G EN tel: x? x 19 x° au | ı 290.9. 17, 3%. 7:01.06 7B98 V-; + ua 1/7 ver 8 52. Ich habe nach Euler’s Vorgang die Reihen für @ umgekehrt und für seine Auffassung erhalten: nat: 57 @ 62V GE. 05 VE.9 109.69.)0.0? 5 ya = Da 1.7900,355 nn DB 7 1) Durch Quadrirung derselben finde ich: G.62 G?..88 G9:99 67.G'.0% © 7. Sn 0 35, ; 38,3.32.H 39,.32.9.7.13h5°'*° Für meine Bezeichnung hat sich ergeben: er 9.9 g°,@° 99.91 DIE. BT DENT DEE TI ET DE EN Eee Demgemäss erhalte ich nach Euler’s Auffassung für das obige Beispiel: je — 1.416572 — 0,011884 + 0.000747.7 — 0.000068.4 — 1,405368, Ye = 2108,051, x = 4443,882 rheinl. Fuss. Ferner: 250. 1% — 0,92522.79 — 0.01611.24 + 0.00079.16 — 0,90990.71, also d — 54,459806, 9% — 14,270097, 3, — 19,729903. *) Benzenberg, pag. 214, bringt unter andern auch die 7te Potenz von © in die Reihe für x. 47 Wie man sieht, genügen auch die von mir hinzugefügten Glieder uoch nicht, um das Resultat auf 6 Decimalstellen, auf welche Euler die Rechnung angelegt hat, verbürgen zu können; man müsste zu diesem Zwecke wahrscheinlich die Reihen für Yx und d noch um zwei Glieder verstärken. Doch wäre das einerseits viel zu müh- sam und ist auch andererseits nicht nöthig, da sich bald ein bequemerer Weg zeigen ' wird, den Werth von x = H, von $ und $, genau zu finden. 8 54. 2 2 5 Was ce= £ und 4, = Z, anbelangt, so finde ich nach den von Euler aufge- 29 29 o =) stellten Formeln; x = Bu, —_ ı) und..c,— a wenn ich seine Raumgrösse x — 4443 pr. F. zum Grunde lege, ce — 16207,332 — 2249,700 = 13957,632 pr. F. c, — 2249,700 — 312,2753 — 1937,425 pr. F. In $ 451 macht Euler noch die Bemerkung: Erit ergo celeritas ascendens in B, (also nach seiner Auffassung c) ad celeritatem descendentem ibidem, (also zu c,) 2h ute” ad. Herr Wolfers hat bei der Uebersetzung dieser Stelle die darin ent- haltene Ungenauigkeit übersehen und kommt auch in seinen Anmerkungen und Verbesserungen nicht darauf zurück. Es muss heissen: ce :,= e:1. $ 55. Bevor ich weiter gehe, will ich zeigen, wie die in $ 5l hingestellten Gleichun- gen Euler’s aus den von mir entwickelten Formeln abzuleiten sind. Wir haben schon in $ 52 die Gleichung: — 2 H = Log cos $ dadurch, dass wir rn AH = 8 und n —=$T setzten, auf die Form gebracht: cos T=e””. Dadem- . 2 . nach sin Tl a oT und ty T al — 1 ist, so hat man: an EIER Iran ig Ver —1,oders = ar.ig ee: 4 Aber die Euler’sche Gleichung: $ = 2 ve arc.tg ( PR ı) nimmt die- 5 SER H k2 selbe Gestalt an, wenn wir, wie n$52, 2 = „,h= Ag und. @ = g setzen. Die analoge Gleichung: ir H = Log Cos . $, haben wie in $52 auf die Form: Ges T,= % gebracht, wo T,, u %, bedeutet. Daraus ergiebt sich: Sin T, = MIT ABER Bi 02: 3,;8 r ® u AT Be; ”-®, Um aber mit Euler Be 4, 0) 48 zusammenzutreffen, müssen wir uns erinnern ($ 8, 3), dass Ar. Tyy = 4, Log +3 1—y —,3, Log, = ist. Demnach ist: AR, 9,9% ja uch ia TRTNE T, u Log ae = ) br Log (eS En Ve2-8 Bel 1)= Log(ye:® +2) e . Dafür hat Euler: DENE ne WE N a Ve. Log (V} + Vi) was mit dem Vorigen übereinstimmt, wenn wir wieder die oben angegebenen Sub- stitutionen machen. | 29 HH Ferner haben wir entwickelt: H= * Loy (14%), d.h. —1+3 erner haben wır entwickelt: Bi, 0 rgpp 4. he — +» 29H 29H 2 k2 a. 2 a? k2 k? “ oder a =kKk2.|e —1H). Mithin ist: ce = —;-—(fe ° —1jJ, wofür Euler hat: x k : 5 Ser - REINIGER ® —_ ı). Hier, wo nicht Raum- und Zeitgrössen unter einander, son- dern nur Raumgrössen mit einander verbunden sind, gelingt die Herüberführung der ; e BR B ie k2 einen Form auf die andere, wenn man der Wirklichkeit gemäss x — H,h = 9% und. G = 7 setzt. 29H urn 12 29H 29H a,? k? 0° k2 RZ : ee: ig we: ER 2 a2—k (1-. ) a ): was mit der £ £ k2 2 - Ebenso leiten wir aus H — — 27 Log (' . =) nach einander ab: e Euler’schen Gleichung: c,— @.h. (1 —e ) wegen der erlaubten Substitutionen © — Hu s. w. identisch ist. Würde ich mich aber streng an die Euler’sche Defi- en rt k2 5 . nition des VW\iderstandsexponenten gehalten und A — I gesetzt haben, so wäre die Hinüberleitung unserer Formeln in die Euler’schen nicht völlig gelungen. $ 56. Doch es wird Zeit sein, dass wir das Euler’sche Problem durch Benutzung der am Ende des $ 44 zusammengesteliten geschlossenen Functionen auflösen. Die- selbigen lauten für unsern gegenwärtigen Zweck also: Für’s Steigen: lür’s Nallen : Mhasukn tg .- Di. I) a, k.198, 12 a? 7 k2 S ” 2)H = 5, Lo (147) 1I) H= tg 5 3) H= — ” Log.cos 4.9 Un H=.Log0os 4 8, 57 dass man durch Beobachtung ihres Fallens Newton’s Theorie des Widerstandes um- stossen oder verbessern könnte. Eine Bemerkung Benzenberg’s pag. 121, wonach er Newton’s Annahme, dass die Luft während der Versuche 860 mal leichter als Wasser gewesen sei, bei dem gewöhnlichen Barometerstande in England etwas zu gross findet, veranlasste mich, das zweite und sechste Experiment noch unter Voraussetzung eines etwas kleinern Dichtigkeitsverhältnisses zwischen Luft und Wasser, nämlich mit der Zahl 859 zu berechnen. Für diese Hypothese ergab sich die Fallzeit beim 2ten Exp.: 7 22°,30507 statt 7° 22°,09563, also nur ein Unterschied von 0'',30744. 6ten Exp.: 7 22%, 58118 statt 7 2237362, also nur ein Unterschied von 0’,20756. Uebrigens führt Benzenberg pag. 116 noch an, dass Hawksbee am 9. Juni, an welchem Tage die Versuche angestellt wurden, einen Barometerstand von 29,7 Zoll und einen Thermometerstand von 60° vorfand. 8 64. Ich will noch mit einigen Worten der Quecksilberkugeln gedenken, welche gleichzeitig mit den hohlen Glaskugeln herunterfielen. Zu diesem Zwecke habe ich der Gleichung zwischen s und t folgende Form Ms RR; 2 gegeben: 5, — log Cos 4 log Cos 2. Da meine Tafeln aber nicht z, sondern 2’ — Mz angeben, so habe ich statt t = zr genommen t — 2. (") und eine Rubrik für log rn angelegt. Um den Unterschied zwischen den verschiedenen Experimenten dentlicher hervortreten zu lassen, als es bei den unter einander fast gleichen Fallzeiten i geschehen kann, habe ich noch zwei neue Rubriken angebracht, eine für k, die grösst-möglichste Geschwindigkeit, welche die betreffenden Quecksilberkugeln überhaupt jemals erlangen können und eine für T = $r,, die Zeit, nach deren Verlauf die Geschwindigkeit nur noch un- merklich — erst in der 8 Stelle merklich — zunimmt, natürlich unter der Vor- aussetzung, dass auf dem langen Wege, den die Kugeln in dieser Zeit 7’ durch- laufen, sich weder die Schwerkraft g', noch die Dichtigkeit der Luft D’ ändert. Die mit Quecksilber angefüllten 6laskugeln. er , . T, ß S Den a r, 099 og (x) in Zollen in Sec. 1 3 45,734 | 0,0790623 4,38921.28 | 2,58729.89 | 1,26317.26 | 3077,9 | 63,687 2 | 3“ 45,426 S> ı4,42367.76 | 2,58730.18 1,28040.36 | 3202,5 | 66,264 3 19% 45,921 . | 4,36864.67 2,98729.71 | 1,25289.05 ı 3005,9 | 62,196 4 | 5“ 46,008 | 0,0651453 ı4.36050.,51 2,98729.88 | 1,24881.88 | 2977,8 | 61,616 5 | 3° 45,678 e 4,39459.30 | 2,58730.17 | 1,26586.13 | 3096,3 | 64,082 6 | 3° 45,804 = 4,38149.87 2,8730. 1,25931.47 | 3050,7 | 63,123. Um zunächst eine Anwendung von den Zahlen in der letzten Rubrik zu geben, habe ich für das zweite Experiment berechnet, durch welchen Raum die Kugel während 7 — 8r, — 66,264 Secunden in der Luft fallen würde. Unsere obige 58 Formel geht dabei in folgende über: s = Be log Cos & und darnach ist s = 16152 engl. Fuss. Während derselben Zeit würde die Kugel im Vacuum durch einen Raum von 70743 engl. F., also durch einen 4,5798 mal grössern Raum gefallen sein. Wichtiger für uns ist es, aus der vorstehenden Tabelle zu ersehen, dass selbst das Fallen von kleinen Quecksilberkugeln durch die Luft bei der unbedeutenden Höhe von 220 engl. F. nicht vollständig nach Galilei’s Gesetz zu berechnen ist; und daim Vacuum zu dieser Höhe, streng genommen, eine Fallzeit von 3 41,717442 gehört, so hat die Luft z. B. die erste Kugel bei ihrem Fallen doch um 4,01612 Tertien aufgehalten. Es kommen also von jener Verspätung von 18 Tertien auf Rechnung des nicht schnell genug umschlagenden Brettes nur 14 Tertien. Indessen kann man aus den oben ($61) angegebenen Gründen für die hohlen Glaskugeln, auf die es doch allein ankommt, immerhin jenen unverkürzten Abzug von 18 Tertien bestehen lassen. 8 65. Da, wie erwähnt, selbst hohle Glaskugeln noch zu schwer sind, als dass man durch mit ihnen in der Luft angestellte Versuche den Widerstandscoefficienten d’ bestimmen könnte, so unternahm, gleichfalls durch Newton veranlasst, Desaguliers im Jahre 1719 den 27. Juli eine Reihe von Versuchen mit fünf Schweinsblasen, denen man dadurch, dass man sie innerhalb einer auseinanderzunehmenden hohlen hölzernen Kugel gehörig nit Luft anfüllte, eine kugelförmige Gestalt gegeben hatte. Aus einer Höhe von 272 engl. F. liess ınan innerhalb der Paulskirche eine dieser Blasen immer gleichzeitig mit einer als Signal dienenden Bleikugel dadurch herunterfallen, dass man die Fäden, an welchen die Kugeln hingen, — die Bleikugel über einer Rolle — an ihrem Vereinigungspunkte durchschnitt. Man hatte sich so eingerichtet, dass man die Fallzeiten bis auf Viertel der Secunde beobachten konnte, und zwar geschah dies sowohl oben ım Thurm, als auch unten auf dem Fussboden, jedoch mit dem Unterschiede, dass man oben die ganzen Fallzeiten der Blasen notirte, während man unten nur aufzeichnete, um wie viel Secunden die Schweinsblase später den Boden erreichte, als die Bleikugel. Um aus den letztern Angaben die vollständigen Fallzeiten der Blasen ableiten zu können, hatte man natürlich noch die Anzahl von Secunden zu addiren, welche die Bleikugel zum Herunterfallen ge- brauchte; man setzte dafür 4%, Secunden an. Nach Benzenberg’s Bericht (pag. 118) wurde angenommen, dass der Schall in !, Secunden den vorliegenden Weg von 272 F. durchlief. Da mit jeder einzelnen Schweinsblase der Versuch zweimal ge- macht wurde, so erhielt man für die Fallzeit einer jeden 4 Beobachtungen, deren mit Kritik genommenen Mittel die folgende Tabelle angiebt. Das wenigste Vertrauen verdient der Versuch mit der 5te" Blase, von der Newton berichtet: Vesica quinta rugosa erat et per rugas suas nonnihil retardabatur. Die von mir hinzugefügte sechste Reihe unter dem Strich bezieht sich auf die mitfallende Bleikugel, von der Newton nur noch anführt, dass sie ungefähr zwei römische Pfunde gewogen habe; bei Bestimmung ihres Durchmessers nahm ich das specifische Gewicht des Blei’s zu 11,4 an und rechnete hier nicht mit Newton’s d’— %, sondern mit einem Mittel- werth d‘ — 0,51235, von welchem in $ 67 die Rede sein wird. 59 Beicht Durch- Fallzeit Fallräume Unterschied BR. G messer in |. S 4 a nach Newton’s zwischen ar alt Zollenv. | nen Theorie Theor. u. Exp. 1| 128 5,28 ia. a _ 0 1“ 2 156 5,19 17 DT3 4 + 011% 3 137% | 5,3 18% N 4 0° 4 97% 5,26 22 214 44 212 Hi. 4 Bu 05 21% 382°. Da 12, 100,0“ 6 11520 1,9676 41, 234,8 + 12',8 „eirciter“ „elreiter‘‘ $ 66. Obgleich auch die vorstehenden Versuche bei dem heutigen Standpunkt der Wissenschaft noch manches zu wünschen übrig lassen, so werden bei dem hier so deutlichen Hervortreten des Widerstandes kleine Beobachtungsfehler nur von ge- ringem Einflusse sein und wir können mit Hoffnung auf Erfolg die Versuche mit den Blasen benutzen, um den Widerstandscoefficienten d‘ durch Beobachtungen zu ermitteln. Konnten wir nun schon bei der Berechnung der mit den hohlen Glas- kugeln angestellten Experimente uns mit der in $ 44 aufgestellten Näherungs- formel begnügen, so wird dies hier um so mehr gestattet sein. NR haben also aus den vorstehenden Versuchen durch die Gleichung: s = kt — — = Log 2 das in k involvirte d‘ zu berechnen. Dies kann durch die Formel: k= I + YG2) - Tg 3 geschehen, oder besser durch Einführung eines Hilfswinkels g. Bringt man nämlich die > vatische Gleichung auf die Form: ® +pk+g=0, t 2 wop = 2 zundg = en nn ist, so erhält man: k = -— p. cos (*) oder k = . ($\2 2 & _Dr — p.sin(7), wobei sin = — = ist. Da aber auch unser k? — ern und New- r gF 3 pr ist, so hat man d’ = 7. Ehe ich die Resultate meiner Rechnungen vorlege, habe ich noch über die zwei verschiedenen positiven Auflösungen zu sprechen, welche die quadra- tische Gleichung zulässt. Obgleich sie natürlich beide der aufzulösenden Gleichung genügen, so können wir doch nur einen Werth und zwar den jedesmaligen kleinern Werth gebrauchen. Der Grund davon ist folgender: Eigentlich haben wir es doch ton’s f — mit der Auflösung der in Beziehung auf k transcendenten Gleichung: s — r Log Cos? DR is zog zu thun, in welcher Cos 7 v’= din ze ist; nun sind aber die andern Werthe —J; für k stets so gross, dass man den Ausdruck e * durchaus nicht vernachlässigen kann, und auf dieser Vernachlässigung beruht ja unsere Näherungsformel. Mit 60 andern Worten: Wäre das k so gross, als es der jedesmalige grössere Werth an- giebt, so würde die quadratische Gleichung selbst, aus der er hervorgegangen, die Basis ihrer Existenz verloren haben, man müsste in solchen Fällen, wo k gross, der Widerstand also unbedeutend ist, dieses k aus der vollständigen Gleichung, wenn nicht anders, durch Probiren ableiten, wozu sich später Gelegenheit zeigen wird. Zum Belege meinerAuseinandersetzung und zugleich zur leichtern Controle meiner Rechnungen werde ich bei der in $ 68 befindlichen Zusammenstellung den falschen k, die ich mit 4’ bezeichnen will, eine besondere Rubrik einräumen. Zu dieser vielleicht etwas zu ausführlichen Drörterun wegen der zweiten Auflösungen sehe ich speciell mich veranlasst, weil man mich sonst mit Bezugnahme auf meine Schriften über die Deutung sämmtlicher Wurzeln in den Gleichungen der Inconsequenz zeihen könnte. Auch bemerke ich noch, dass, da p negativ ist, man gut daran thut, in dem Aus- druck für sin g den Zähler negativ anzunehmen, um nicht unnöthiger Weise bei Bestimmung des Hilfswinkels aus dem ersten Quadranten herauszukommen. Die zur Auffindung von k Bu SROESE und hinreichenden Ausdrücke sind also: BE a Aa DRG ni s»—V (3 er o) Log? oder, was dasselbe ist, A 4 I) k=—psin (2) , wobei sing — u S 67. Nach der Gleichung I) des vorigen $ habe ich etwa vor drei Jahren die in $ 65 angeführten Experimente berechnet und bin dabei von der Annahme ausge- gangen, dass n — 16,13 engl. Fuss sei, was 193,56 engl. Zolle wären. Obgleich ich heute nicht mehr die Quelle dieser von Newton etwas abweichenden Annahme angeben kann, so erlaube ich mir doch, die Resultate meiner damaligen Rechnungen kurz anzugeben. 5 | Ua) D ARZT een era El log k lgk |, U ö ı| 22,73 1l 22,73 | 150,73 | 164371 | 1,66918 2,24352 | 0,5002 2| 21,587 | 177,587 | 170,031 | 1,75532 2,29367.5| 0,50063 3| 22,991 | 160,491 | 165,834 | 1,69811 | 2,55551 | 0,50441 4| 22,473 | 119,973 | 15730 | 1,57335 2,17794 | 0,51908 5| 19,302 | 118,427 | 162,011 | 1,6175 162,011 | 1,6175 | 2,1994 | 0,53759 6| 1,1764 | 11521,2 | 193,54 | 4,40982 | 3,39240 | 1,6324. Lest man jedem der fünf Experimente, von denen über dem Striche die nöthigen Mittheilungen gegeben sind, einen gleichen Stimmwerth bei, so wäre dem- nach der Widerstandscoefficient d‘“ = 0,51235, welche Zahl mit der aus Euler’s Widerstandsexponenten hervorgegangenen Zahl d’ — 0,51252 fast zusammenfällt. Da die Bleikugel, von welcher unter dem Strich die Rede ist, beim Fallen durch die Luft nur einen unbedeutenden Widerstand erleidet, also in Betreft ihrer ein sehr grosser Werth für k zu erwarten war, so durfte ich mir, um aus den auf 2 sie bezüglichen Angaben d‘ zu berechnen, nicht gestatten Cos at — Ye zu 61 . Ike. - k2 setzen, sondern ich musste aus der vollständigen Gleichung s — 5. 008 t den Werth von %k ableiten. Dass aber dieser Versuch mit der Bleikugel überhaupt nicht geeignet ist, einen auch nur einigermassen zuverlässigen Werth von d’ zu geben, liegt am Tage, da hier eben der Widerstand zu unbedeutend ist, um ungeachtet des zwiefach von Newton gebrauchten Wortes „circiter“ auf eine verlässliche Weise hervortreten zu können; meine hierauf bezügliche Rechnung, welche das unwahr- scheinliche Resultat d” — 1,6324 ergeben hab, bestätigt dies. Ich habe daher lieber den so eben angegebenen Mittelwerth d‘ — 0,51235 benutzt, um zu sehen, wie da- mit die auf die Bleikugel bezüglichen Beobachtungen stimmen. Dass für die beo- bachtete Fallzeit * = 41,” sich als entsprechender Fallraum s — 284,8 engl. F. er- giebt, ist schon berichtet. Ich theile daher nur noch mit, dass für den gemessenen Fallraum s — 272 engl. F. sich als zugehörige Fallzeit t = 4",1516 durch Benutzung meiner Tafeln ermittelt hat. Der Unterschied von, Hk, ne in Zeit liegt aber gänzlich innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler. Anmerkung. Bei derselben Hypothese, dass 5 — 16,13 und dass ausserdem 0‘ — 4% ist, habe ich für das 5° Experiment den Fallraum berechnet, je nachdem für das Dichtigkeitsverhältniss zwischen Wasser und Luft 860 oder 859 anzunehmen ist und gefunden im ersten Fall: s — 281° 10“,6486, im andern Fall: s — 281’ 8,6964, also nur einen Unterschied von 1,9522 Zoll. $ 68. Um mit Newton’s Angaben in Uebereinstimmung zu bleiben, schien es mir 1 am sichersten, die Rechnungen in Beziehung auf die fünf Blasen mit — 193% engl. Zollen noch einmal zu machen. Ich that dies mit Benutzung der Gleichungen II) des $ 66 und erhielt folgende Resultate: A | log.g | T | log k ng | log k' | | 1| 2,51655 | 4,2660 2,24353 3,94575 | 0,49942 | 0,00060 2| 2,53104 | 4,6318 | 2,29368 | 3,91028 | 0,50003 | 0,00060 811252019 | 4" 3658 2,2B5D8 | 3,93759 | 0,50578 | 0,00063 4| 2,49726.| |..3%,9052 2,11733 1.:3,99223 |.,0,51850 |»:0.00058 5 | 2,51007 | 4,0220 9, 19592 | 3,98706 | 0, 53701 | 0,00058. Die hubrik 7 giebt uns zu erkennen, nach wie wenigen Secunden die Blasen ohne merkliche Beschleunigung in der Luft weiter fielen, dass sie sämmtlich nach Ablauf von ungefähr 4 Secunden sich fast mit gleichförmiger Geschwindigkeit weiter abwärts bewegten. Die letzte Rubrik 4 giebt die Unterschiede zwischen den im vorigen $ durch - g' E r die Annahme _ — 195,56 engl. Z. erhaltenen d’ und den so eben gefundenen d, £ . g' . bei deren Berechnung ich von Newton’s Annahme 4 — 193% engl. Z. ausging. Nimmt man endlich von allen in diesem $ mitgetheilten d“ das arithmetische Mittel, unbekümmert um das von Newton selbst gegen das fünfte Experiment aus- 62 gesprochene Misstrauen, so ergiebt sich aus den Versuchen mit den fünf Blasen der Widerstandscoefficient 3051115, ein Resultat, welches so wenig von dem aus Newton’s Theorie hervorgegangenen d’ = 1, abweicht, dass ich den Wunsch nicht unterdrücken kann, es möchte diese Theorie, namentlich dem oben citirten gewichtvollen Worte Poisson’s gegenüber, nochmals sorgfältig geprüft werden. Eine vollständige Uebereinstimmung zwischen der aufgestellten Theorie und den Experimenten hat Newton selbst nicht erwartet; im Gegentheil hoffte er, dass aus den Abweichungen sich die andern bisher nicht berücksichtigten Ursachen des Widerstandes der Medien einst würden bestimmen lassen, indem er sagt Propos. 40: Haec est resistentia quae oritur ab inertia ma- teriae fluidi. Ea vero quae oritur ab elasticitate, tenacitate et frictione partium ejus, sic investigabitur.... ar haec == F— 21092. F-+2F.L).. ex hypothesi quod globus nullam allam patiatur resistentiam nisi quae oritur ab inertia materiae. Si vero alıam insuper resistentiam patiatur, descensus erit tardior, et ex retardatione innotescet quantitas hujus resistentiae. Ich bemerke noch, dass das von mir aus Newton’s Pendelversuchen abgeleitete und in $ 42 mitgetheilte d’ — 0,77482 sich zu dem aus seinen Fallversuchen abge- leitete 6“ —= 0,51175 verhält wie 4:2,642 und führe in Bezug hierauf folgende Worte Newton’s an: Resistentiae igitur per experimenta pendulorum majores prodiere (ob causas jam descriptas) quam per experimenta globorum cadentium, idque in ratione 4 ad 3 cireiter. Das von mir aus einigen Pendelbeobachtungen Bessel’s abgeleitete Resultat d‘ = 0,67778 würde für das Verhältniss 4:3 sehr gut passen, da es 3,02 statt 3 ergiebt. Zu den Gründen, welche Newton an dem eitirten Orte wegen des aus Pendelbeobachtungen sich ergebenden grössern Widerstandes anführt, möchte ich noch den hinzufügen, dass die Pendel sich fortwährend in einer Luftschicht von wirklich constanter Dichtigkeit bewegen, während aus nicht unbeträchtlicher Höhe herabfallende Körper doch, streng genommen, aus specifisch leichtern Luft- schichten nur schliesslich in eine Luftschicht kommen, welche derjenigen an Dich- tigkeit gleich ist, in welcher die Pendel fortwährend sich befinden. $ 69. Die doppelte Rechnung, zu der ich mich wegen der verschiedenen Annahmen über die Schwerkraft g‘ veranlasst fühlte, brachte mich darauf, einen Ausdruck für die Aenderung des d’ aufzustellen in Beziehung auf kleine Aenderengen in der e s E £ k2 Schwere. Ich ging dabei zunächst von der Näherungsformel: s — kt — en Log 2 aus, die ja für die Berechnung der a, mit den Blasen vollständig aus- reichte. Weil nach $ 66 k — Fl und © — — — 5 ist, so hatte ich die Gleichung: s Ye — t ms _— in Bezug auf d’ und g zu differenziiren und erhielt: "V2hındg Ze I) dd = zy 2 3Fig3 Da es aber auch wünschenswerth schien, einen Ausdruck dieser Aenderungen 7, wo der Kürze wegen für v Newton’s z, gesetzt ist. 63 für solehe Fälle zu besitzen, wo die Näherungsformel nicht ausreicht, so habe ich die vollständige Gleichung: s = - . Log .Cos 1 t in Beziehung auf d‘ und g gleich- R Fr .. k2 F falls differenzüirt. Weil A a und 1 =: /gd . EB in folgende über: In * — Log Cos (: .yg:) = daraus erhält man, wenn man der Kürze wegen = u? und /y = e setzt: s u — Log Cos t wo. Das Differential dieser Gleichung in Bezug auf w und o ist: us W— ne - nn d(twe) =t(Tg) (u de -+- ed), woraus sich ergiebt: du= er Re tW@F.(T).dg __ 9 .(Tg).dg ah tz. (T)dg u — — _ ie 2 2.suVa-—t. g9.(79) 3. ren 2.520 —t.g9.1,(T9) FM. T, Da nun 7 MP AER 3F = ee also g «,—ky20‘ (und nicht etwa blos — Newton’s k aus $ 56) ist, so haben wir: ER | 4/0° g eV-1T: (2°) a AI EIEN, == BESRA 3 Y29j2.s—tk(T9)] BE ) IF D’ grF. wo t, — —Feigpg=g.t 7 und k— VIE ist. Nimmt man nun wieder k sehr klein, also den Wiederstand sehr gross an, so darf man in dem letzten Ausdruck 7'Y : t— 1 setzen, und vn mit dieser Annahme zugleich erlaubt ist, sich der Näherungsformel s = kt — — 5 Log 2 2 zu bedienen, so geht damit der allgemeine Ausdruck II), wie sich’s REN in den speciellen Aus- druck I) über. Die sich hieran knüpfenden Rechnungen in Bezug auf die fünf Blasen ergaben folgende Resultate: dg in Zollen I | d ö' | 44 0,00060 | 0,00060,1 | 0,00000.1 | 0,38 0,00060 | 0,00061.8 | 0,00001.8 | 0,40 0,00063 | 0,00063.3 | 0,00000.4 | 0,40 0,00058 | 0,00061.2 | 0,00003.2 | 0,36 0,0058 | 0,00063.4 | 0,00005.4 | 0,37 mom — |Exp. wo Ad —= do’ — 4 die Abweichung zwischen dem Unterschiede der durch un- mittelbare Berechnung der d’ bei etwas verschiedenen g’ und dem Unterschiede, wie ihn die Differentialformel für d‘ ergab, bezeichnet, 64 8 70. Da im weitern Verlauf des vorigen Jahrhunderts, gestützt auf neue und viel- fach wiederholte Versuche mit abgeschossenen Kugeln, die Meinung namentlich bei Praktikern immer mehr sich zu befestigen anfing, dass Newton’s Gesetz, wonach der Widerstand dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist, nur für mittlere Geschwindigkeiten annähernd richtig sei, dass hingegen der Widerstand bei kleinen und grossen Geschwindigkeiten sich bedeutend grösser herausstelle, als ihn New- ton’s Theorie ergiebt, — indem bei kleinen Geschwindigkeiten die Zähigkeit der flüssigen Theilchen mehr hervortrete, bei grossen Geschwindigkeiten die zu ver- drängende Flüssigkeit nicht schnell genug ausweichen und die nachfolgende Flüssig- keit nicht schnell genug den hinter der Kugel entstehenden leeren Raum ausfüllen könne —, da ferner Newton sein Gesetz nur durch das Fallen von Kugeln, welche nie viel schwerer als das widerstehende Medium waren, bestätigt hatte, so entschloss sich im Anfange des gegenwärtigen Jahrhunderts Benzenberg zu einer neuen Reihe von Fallversuchen, welche er im St. Michaelsthurm zu Hamburg mit Blei- kugeln und mit Benutzung von Tertienuhren bei sehr verschiedener Fallhöhe an- stellte. Wir wollen dieselben einer Prüfung unterwerfen. Das specifische Gewicht der Bleikugeln, die eine Beimischung von '/,, Zinn hatten, betrug D = 10,9 und die Dichtigkeit der Luft wurde in Folge von Baro- meterbeobachtungen ein für alle Mal auf D’ = , des Wassers gesetzt, so dass = — 8720 angenommen wurde. Der Durchmesser der bei den Versuchen benutzten Kugeln wird zu 1,46 par. Zoll angesetzt, das würde den Radius r, — 0,060833 .. par. Fuss geben, die Rechnungen wurden aber mit r = 0,061 par. Fuss gemacht. Die Schwere im Vacuum wird für Hamburg 9° — 2.15,1013 par. F. angenommen, darnach ist 9 = yg. > — g’.0,999885.3211. Den Bruch / — P bezeichnet Benzenberg mit p, ich will ihn, wie bei Euler, @ nennen. Die Tertienuhr wurde mit der linken Hand in demselben Moment angedrückt, in welchem die rechte Hand den Faden durchschnitt, an dem die Kugel hing. Durch Vergleichung mit einem da- neben befindlichen Pendel vor und nach den Beobachtungen ergab sich als con- stanter Fehler der Tertienuhr eine Zeit von 9 Tertien. Das Loslassen des Fingers am Sperrhaken erfolgte wohl ein Paar Tertien später, als der Schall in’s Ohr kam, der Unterschied wird als Fehler des Sinnes bezeichnet und mit 3,67 Tertien in Anrechnung gebracht, so dass von der jedesmal wirklich beobachteten Fallzeit in Summa 12,7 l'ertien abgezogen wurden und nur der Rest als beobachtete Fallzeit £ den weiteren Rechnungen zum Grunde gelegt wurde. Die Geschwindigkeit des Schalles wird zu 1058 par. F. für die Seeunde angenommen. Die Fehler in der Zeitbestimmung bei den einzelnen Beobachtungen konnten sich, wie Benzenberg sagt, für gewöhnliche Fälle bis auf 3 Tertien ausdehnen, indess hofft er, da er meistens nur Mittel aus wenigstens 60 Beobachtungen als wirkliche Beobachtungen anführt, dass die Ungewissheit im Resultat nicht auf !/,, Tertie gehen werde. Ob- gleich Benzenberg den Barometer- und Thermometerstand angeführt hat, so geschah es doch nur, wie er sagt (pag. 187), weil es einmal so Sitte sei; bei den Rechnungen sei weiter keine Rücksicht darauf genommen. Die Versuche wurden im Jahr 1802 in der Zeit vom 8. Mai bis zum 20. September angestellt und fielen folgender- massen aus: 49 Zunächst beschäftigen wir uns mit den letzten Gleichungen 3) und III). : H Unter der Voraussetzung, dass wieder S — I ee 7 re ji $, gesetzt wird, nehmen sie, wie schon bekannt, die Gestalt an: Cos T,— e” und cos T = dan. Wir wissen, dass $, + 9 —= © = 34” gegeben ist, und wollen aus diesen Gleichungen 3,9%, und H ableiten. Durch Multiplieation derselben ergiebt sich: Geo Ri wobei wir, wie bekannt, T, als eine byperbolische Are und T' als eine cyklische Are aufzufassen haben. Verstehen wir unter z und » zwei zusammengehörige Aren an der Hyperbel und dem damit verbundenen Kreis, so ist nach $4: Cosz —= seco — a oder es ist: Gaxlz Kos. —.'K Nun hindert nichts T, — z zu setzen, damit hat man zugleich T = w. Mithin ist: 2 +0 =7.9,+49) == iO — K. Man braucht also nur in cyklisch-hyperbolischen Tafeln die Stelle aufzusuchen, wo die neben einander stehenden z und » zusammen ein gegebenes X ausmachen und das ganze Problem ist mit einem Schlage gelöst. Da nach Gudermann $ 48, auch schon nach meiner „Auflösung der kubischen Gleichungen“ $37 2 > o ist und da3,:# = 2:w, so erkennt man zugleich, dass sich immer 9, > % finden wird, womit zusammenhängt, was auch schon aus $ 44 erhellte, dass stets a, < a ist. Für Euler’s Beispiel ist, wie wir aus $ 45 wissen: log g — 1,49479.21, und aus % — 2250000 —= 1000. - folgt, dass k — 374,975 und log k = 2,57400.23 ist. Daher haben wir: z + o = 2,8331444 oder Mz + Mo — 1,230419, d. h. 2’ 4 »’ — 1,23042, wo ®' — Mw bedeutet. Wenn meine Tafeln statt der eyklischen Winkel w“ ihre Bogenlängen ® oder vielmehr w‘ enthielten, so würde man daraus mit einem Blicke auf pag. 99 übersehen, dass 2° zwischen 0,71371 und 0,71405 liegen müsse; aber auch bei der jetzigen Einrichtung derselben wird man nach zwei oder drei Versuchen sich überzeugen, dass 2° — 0,71400 und das dazu gehörige w“ — 68° 7' 51”, d.h. w' = 0,51642 sein muss. Da nun log (#3) — 8,55857.41 ist, so ergiebt sich hieraus ohne alle Mühe 3 — 14,270, 3, = 19,730 und in Folge dessen HZ — 4444,0 rheinl. F. Will man genauere kesultate haben, so nehme man Gudermann’s erste Tafel, welche die „Längezahlen der Kreisbogen‘“ angiebt, zur Hand. Hätte Gudermann, statt den cyklischen Winkeln »“ zweiRubriken, eine nach alter Eintheilung in 90° und eine nach französischer Eintheilung in 100°, zu widmen, davon eine Rubrik für die entsprechenden Kreisbogen » verwendet, so würde man bei ihm auf pag. 236 sofort erkennen, dass (sein k oder mein) z zwischen 1,64401.26 und 1,64443.44 liegen müsse, Aber auch bei der nun einmal vorhandenen Einrichtung seiner ersten Tafel wird man, besonders, wenn man schon weiss, dass &" ungefähr — 68° 7° 51” ist, leicht ermitteln, dass z — 1,64404.11 und das entsprechende ® —= 1,15910.33 ist. Dann erhält man: $3 = 14”,270191 und 9, = 19',729807, also © — 35'',999998 statt 34 und 4, — 3 — d — 5,459616, wofür Euler hat: 5,83. Jetzt ergeben beide Formeln 3) und III) übereinstimmend H = 4443,9276 4 50 pr. F.; dann findet man aus den beiden ersten Formeln 1) und I): a — 934,2214 und a, — 347,99004 pr. F., woraus sich leicht e = 13964,318 und c, — 1937,5536 pr. F. ableiten lässt. Die beiden mittlern Gleichungen 2) und II) zwischen H, a und a, dienen zur Controle; diese wird namentlich dann vollständig befriedigen, wenn man bei der hier vorkommenden Berechnung von log (1 + «e) Hilfs- winkel einführt, wobei sich zwischen diesen Hilfswinkeln einerseits und dem jedes- maligen » und z andererseits eine interessante Uebereinstimmung herausstellen wird. Auch findet man die Zeit, die der Anfangsgeschwindigkeit a im leeren Raum, oder dem c entsprechen würde, — 2t'! = 2.29",395083 = 59,7%0166, wofür Euler 63“ und Bernoulli 58° hat. 8 57. So interessant das vorstehende Euler’sche Problem ist, so muss man doch ge- stehen, dass es für die Praxis keinen Gewinn abwirft, da es einerseits die Kenntniss des Widerstandscoefficienten d‘ oder des Widerstandsexponenten h vorausetzt, und da andererseits kein geeignetes Mittel vorhanden ist, zu prüfen, in wie weit die be- rechnete Höhe H oder x mit der wirklich von der Kugel erreichten Höhe überein- stimmt. Deshalb haben Poisson (I. pag. 248), Littrow (in Gehler X, pag. 1751) und Duhamel (Cours de Mecanique, 1362, I, pag. 367) aus anderweitigen Erfahrungen die Anfangsgeschwindigkeit «, mit welcher die Kugel senkrecht emporgeschossen wird, als bekannt angenommen und wollen dann — namentlich die beiden erstgenannten — die beobachtete Zeit ©, welche während des Steigens und Fallens der Kugel ver- fliesst, benutzen, um %k und damit d’ durch Versuche zu bestimmen. Die Formel, welche diese drei Gelehrten an den angeführten Orten zu dem Zwecke aufgestellt haben, lautet: k 7 Q = are t z + Log at B_o oder u [9 2 — a ar gr tag (i HViH ())) Man wird einräumen müssen, dass die Berechnung des %k aus der vorstehenden Gleichung nicht ohne Mühe gelingen wird. Bedeutend leichter wird man zum Ziele gelangen, wenn man sich aus $ 8 erinnert, dass Log (£+y1 + 82) = Ar. Sin E ist. Dadurch nämlich geht die vorige Gleichung in folgende über: Ir x EL „9=ur.tg, + Ar.Sin,.=o+2. Hat man nun ein beliebiges k angenommen, so findet man, da hier die eyklische . . . . . er . a Tangente und der lıyperbolische Sinus einander gleich sind, nämlich = z und da in meinen Tafeln diese beiden trigonomischen Functionen in einer und derselben Spalte vorkommen, durch Addition der nebenstehenden und zusammengehörigen o und z sofort, ob die Summe dem Ausdruck j © entspricht, und man wird durch Wiederholung dieser leichten Arbeit bald zur genauen Kenntniss von % oder d‘ oder h gelangen. Bei Rechnungen dieser Art wird man hoffentlich ganz besonders inne werden, welchen grossen Vortheil die Verschmelzung der eyklischen und hyperbolischen Tafeln, die ich angestrebt habe, gewährt. 51 Die vorstehende Gleichung leite ich übrigens aus unsern oben aufgestellten Formeln auf folgende einfache Weise ab: Aus $ 56, 2 und III wissen wir, dass k2 a? k? B H=75, Log (' +) 7 Log Cos 7 ist. Deshalb ist Log 1 + = — Log Cos 2 3, oder / a\? re (:) (608 Mithin haben wir: Sin 3,—= V1+ Sin? 3,2. k a A 2 oder 3, — E Ar. Sin 7. za a IS & F k a Nehmen wir dazu S 56, L-: tg Nase 4 oder $ — ; artg » so haben wir: ya Si ; (" 19% + Ar. Sin ı) m ; (° +2). Oberflächlich betrachtet, ist diese Gleichung für © dieselbe, wie die im vorigen $ für X aufgestellte; der Unterschied besteht aber darin, dass dort, wenn aus X wir ® und z gefunden hatten, diese Grössen ® und z uns die Zeiten $ und 3, gaben, während hier in der Endgleichung für © die nämlichen Grössen ® und z mit den genannten Zeiten nichts mehr zu thun haben, sondern, wenn k gegeben ist, unmittel- bar zur Kenntniss der Anfangsgeschwindigkeit a führen, und wenn a gegeben ist, die Auffindung von k ermöglichen. Aber auch auf Resultate dieser Art wird kein grosses Gewicht zu legen sein, da die hiebei als bekannt vorausgesetzte, durch Pulver und Kanonen gewonnene Anfangsgeschwindigkeit a mit nicht unbedeutenden Fehlern behaftet sein dürfte. Will man das Gesetz des Widerstandes der Medien finden, so muss man die zu diesem Ende zu veranstaltenden Versuche so einrichten, dass sie von allen fremden Elementen möglichst befreit sind. Und das ist von einfachen Fallversuchen zu er- warten, ich wende mich daher zu solchen. 8 58, Der erste, dessen Fallversuche für uns einen Werth haben, ist zugleich derjenige, dessen Theorie des Fallens im widerstehenden Mittel noch heute in Ansehn steht. Und dies ist Newton. Die hierauf bezüglichen Resultate seiner tiefen Untersuchungen finden wir vorzugsweise in der Ste”, Iren, 57sten, 38sten, 39sten und 40° Propositio des zweiten Buches seiner Principien. Newton nennt das Gewicht der fallenden Kugel im leeren Raum A, im wider- stehenden Mittel B, so dass A:A— B= D:D%* ist. Dann fasst er F'als einen Raum auf, der mit 4 des Kugeldurchmessers (27) und mit den Dichtigkeiten der Kugel und des widerstehenden Mittels folgende Proportion bildet: F:3.2r—D:D‘, d D . .. . . so dass also F — ,„. u ist. Unter @, wofür ich z, setzen werde, versteht er die Zeit, in welcher der Körper mit seinem relativen Gewicht B, ohne einen Widerstand zu erfahren, durch den Raum 7 fallen würde, so dass also z, — } guiäh Ferner ist bei ihm H die Geschwindigkeit, welche der Körper bei diesem seinem Fallen (hocce casu suo) erlangt, und da er beweisst, dass dieses 7 zugleich die grösste Geschwin- 4* 52 digkeit ist, mit welcher die Kugel bei ihrem Gewichte B im widerstehenden Mittel überhaupt fallen kann, so müssen wir der Uebereinstimmung mit unserer frühern Bezeichnung wegen k statt H setzen und haben k—= gr,. Daraus ergiebt k? sich: Tr gt? —2F, so dass Newton’s F = Euler’s A ist, d. h. Euler’s Exponent des Widerstandes ist nichts anders als Newton’s /', wenn ich, wie ich mir in $ 51 er- k2 - k2 Aue A laubt habe, } = 37 und nicht etwa —= I setze. Eliminirt man as aus den beiden E — k? e letzten Gleichungen k = gr, und 2 F = z; 50 erhält man: k = a ee be- merkt noch ausdrücklich, dass der Widerstand, welchen die Kugel bei dieser ihrer grössten Fallgeschwindigkeit erleidet, ihrem Gewicht B gleich ist, und dass er ihn im Uebrigen dem Quadrat der jedesmaligen Geschwindigkeit proportional setzt. Nun ist nach unsrer Auffassung in $ 42: fo} D.r k2 OEM DR» =. Ber N ee —o k — 73:9 pr; also 57 =7957 D = W. g D, Da aber nach Newton’s Darstellung ! — 3. “ist, so sieht man, dass nach seiner Theorie d’ — % ist, wie ich oben gesagt habe. Nachdem Newton noch angeführt hat, dass er nur denjenigen Widerstand be- rüksichtigen wolle, welcher eine Folge der Trägheit der flüssigen Materie ist, dass er, was sonst auf ihn Einfluss haben könnte, z. B. ihre Elasticität, ihre Zähig- keit, die Reibung ihrer Theile unter einander, spätern Forschungen anheim gebe, setzt er 21 2 2 N+1 N+1 N — num. log (M )= e' und ! = log 2. (oder Li=1.Log -- ) und kommt durch Reflexionen an einem Kreise und der zugehörigen gleichseitigen Hyperbel u. a. zu folgenden zwei Gleichungen zwischen Geschwindigkeit (v), Zeit (t) und Raum (Ss): Net 1,2: —=%.. Ne» 2) s =! F — 1,3862943611. F + 4,605170186. F.1. ’ s 59. Zunächst wollen wir zeigen, dass diese Gleichungen Newton’s mit den unsrigen, welche wir in $ 44, I) und III) aufgestellt haben, identisch sind. t t 1) Da vr == Bi: —, da ferner nach$® u, — - , und nach $ 3 und $ 6, 3) "al . #. ze — Tg: ist, so hat man sofort: BE vH — EN undv—k.797 3% Ich habe schon gesagt, dass Newton in seiner 9 Bear die Abhängigkeit zwischen vo und t in einer Weise aussprach, die der unsrigen ziemlich a ae; (sitangentes angulorum ....sectoris hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, erit tempus omne.... descendendi a loco summo ut sector hyperbolae); wenn er jetzt, wo er rechnen will, den Zusammenhang der Grössen » und t durch N ver- 93 mittelt, so geschah das eben nur, weil zu seiner Zeit es weder eine hyperbolische Trigonometrie, noch weniger hyperbolisch-trigonometrische Tafeln gab. «2 \ 2) Aus = - Log Cos z t folgt nach dem vorigen $: s—=2F.Log Cos (.). Weil nun Cos z = 3 ie a > (' | : ): T, Z gi? x Be AL. 3 so ist Log Cos z— z — Log 2 + Log (=) und wenn wir wieder £ für’ 2 es ' schreiben, so haben wir: s=2F.7 — (2 Loy2).F+2F.L oder 2t m 2 & 2, p ae =: (mo) F 4 „de Aber es ist 2 Log 2 — 1,3862943611 und „; — 4,605170186. Daher stimmen die in Rede stehenden Formeln vollkommen überein. $ 60. Am wichtigsten für die Fallversuche ist offenbar die 2'* Gleichung der beiden vorigen $$, da man Mittel in Händen hat, s und t zu beobachten und dann im Stande ist, die Beobachtungen zu prüfen, wenn man k oder d‘ als bekannt voraus- setzt, oder k zu finden, wenn man die Beobachtungen als correct voraussetzen kann. Nun versteht es sich von selbst, dass, wenn man das Gesetz des Widerstandes erst finden will, man die Versuche so einrichten wird, dass der Widerstand deutlich hervortritt, ich meine, dass D‘ ım Vergleich zu D möglichst gross ist, oder dass die fallenden Körper möglichst leicht sind. Das hat zur Folge, dass, da 8 Diriastl; : i ; ; > 0: Zn ist, k sehr klein ausfallen wird und mit k auch z,. Dann aber ist t g t z FR N e oder e oder N so gross, dass man einerseits e als unbedeutend vernach- nl ., N-+1 > lässiıgen kann, und dass andererseits — ohne Nachtheil — 1, also ! oder = o gesetzt werden kann. Kurz, die Formel, nach welcher man unter der gemachten Voraussetzung wird rechnen können, lautet: 2 k2 s = F— 2F.Log 2, oder s = kt Log 2. Dies ist die Formel, nach welcher Newton seine Experimente berechnet hat und zu- ES ; P > gleich die Näherungsformel Poisson’s, von welcher am Schlusse des $ 44 die Rede war. 8 61. Die Versuche Newton’s mit Kugeln, welche in Wasser fielen, übergehend, komme ich zu den Experimenten, welche im Jahre 1710 auf seine Veranlassung Hawksbee in der Paulskirche zu London ausführte, Derselbe liess von einer Höhe von 220 engl. Fuss immer gleichzeitig zwei Glaskugeln herunterfallen, die eine mit Quecksilber, die andere bloss mit Luft angefüllt. Solche zwei Kugeln lagen mitten auf einem hölzernen Brette, welches an dem einen Ende in eisernen Zapfen ging 54 und an dem andern Ende auf einem hölzernen Riegel lag. Ein eiserner Drath schob gleichzeitig den Riegel weg und liess unten in der Kirche ein Secundenpendel los. Die auf diese Weise beobachteten Fallzeiten der Kugeln, ihre Gewichte und Durchmesser giebt folgende Tabelle: 6laskugeln voll Quecksilber Glaskugeln voll Luft E Gewichte | Durch- |Fallzeiten "Gewichte Durch- |Fallzeiten >) in messer in in in messerin in Gran. Zollen. |Secunden. Gran. Zollen. |Secunden. 1 908 | 0,8 4 510 2.8. be 2 2) 983 | 0,8 4— || 642 | 52 | 8 3| 866 | 0,8 AN 1599 75T | 8 ANA VOTE A lin 51h 550. |, 8% 5) 808 9 075 sa 483 | 5,0 | 8% 6| 784 0,75 4+ 641 5,2 8. Nun nimmt Newton an, dass die Fallzeiten der Quecksilberkugeln nach Galilei’s Gesetz zu berechnen sind, wonach zu 220 Fuss Höhe nur eine Fallzeit von 3° 42 gehört. Die Verspätung von 18° rühre davon her, dass das Brett nach dem Weg- ziehen des Riegels nicht schnell genug umschlug uud dass dadurch für den Anfang eine Verzögerung des Herabfallens entstand. Aus derselben Ursache müssten aber auch die beobachteten Fallzeiten für die mit Luft angefüllten Kugeln wenigstens um 18° verkürzt werden, da diese grössern Kugeln sicher auf dem umschlagenden Brette länger liegen blieben, als die kleinen aber schwerern Quecksilberkugeln. Indessen begnügt sich Newton auch für diese grössern Kugeln mit einem gleichmässigen Abzuge von 18‘ und notirt für die weitere Rechnung bezüglich folgende Fallzeiten: 8 12, Zn 42, 7. 42, zu DI, 8 12% und 7“ 42%, 8 92. Der Verlauf der Rechnungen Newton’s ist folgender. Nach ihm wiegt ein englischer Kubikfuss Regenwasser 76 römische Pfund (a 12 Unzen, & 480 Gran), demnach beträgt das Gewicht ‘einer Wasserkugel von 1 Zoll Durchmesser, in der Luft gewogen, 132,645 Gran und im luftleeren Raum 132,8 Gran, indem er die Dichtigkeit der Luft 360 mal geringer annimmt, als die des Wassers. (Ich finde aus der Gleichung: & — ö — 132,645 dafür 132,7994 Gran), Da mithin eine Luft- 132,8 860 ist das angegebene Gewicht der fallenden Körper immer noch erst um D‘ zu ver- mehren, um ihr Gewicht D im Vacuum zu erhalten. Hat sich Newton auf diesem D - - 3 Wege =}. Zr verschafft, so ist sein nächstes Bestreben 9—y’. kugel mit dem Durchmesser 2r im luftleeren Rauın .(2r7)?. = Di wiegt, 50 4 zu er!l- halten, er setzt g’ — 2.193% engl. Zoll. Damit hat er z, = undk=yr,—®# gefunden und kann jetzt bei jedem Experiment aus der beobachteten Fallzeit t sich den Fallraum s berechnen und denselben mit der gegebenen Höhe, also diesmal BR) mit 220 engl. Fuss vergleichen, wobei ihm die abgekürzte Formel aus $ 60: Ele — — F—2F.Log2=kt— 2. Loy 2 genügt. Hier sind die Resultate seiner Rechnungen in Bezug auf die mit Luft erfüllten 6 Glaskugeln: Exp. 1. Exp. 2. Exp. 3. | Bxıpd. Exp. 5. Exp. 6. 226' 11" 230° 9 227 10% | 224° 5 225° 5“ 230° 7° Ich habe die Rechnungen nach der vollständigen Formel: s = 2 F'.Log Cos - mit Newton’s Angaben noch einmal gemacht und statt der gemessenen Höhe s — 220 Fuss erhalten: Exp. 1. Exp. 2. Exp. 3. | Exp. 4. Exp. >. Exp. 6. 226’ 3,0896 ya1.0.0817 | er. 15808 | 224° 4,6927 225° 4,7321 | 230° 10',1424, also in Beziehung auf den Raum nur geringe Abweichungen von den Resultaten Newton’s. 5 68. Um beurtheilen zu können, ob die in $ 61 mitgetheilten Versuche zur Auf- findung des Widerstandscoefficienten d‘ geeignet sind, habe ich einen dem $ 62 entgegengesctzten Weg eingeschlagen; ich ging von der doch gewiss sorgfältig ge- messenen Höhe s — 220° aus und berechnete nach der so eben citirten vollständigen Formel die dazu gehörige Fallzeit, deren genaue Beobachtung schwieriger ist. Damit man meine Rechnungen leichter controliren könne, füge ich noch Rubriken für D‘, für log 2 F\, log g und log z, hinzu. Die hohlen mit Luft angefüllten 6laskugeln. Von mir berechnet Von Newton corrigirt a alizeiten. u. cs ansehe Fallzeiten | f | Ir" D* 2 1, Inge. ZU) bogısg log t, Te Tr Tr ee nz 8 12° 170,58“ 70442| 13,29558 |20,531006 | 2,54585.94| 2,57019.62|9,98782.16 liste 2a Tage 09563 | 19,90437 | 21,712492 | 2,62724.24| 2,57239.17|0,02717.54 a a2 727 97153 | 14,02847 | 20, 531006 | 2,61319.1712,57270.05 |0,02024.56 7 571 | Tag 47552! 8,52448 | 19,302325 | 2.56711.62| 2,57135.69 19,99787.97 Bu 12 STE 180L9 10,81387 19,302325 | 2,54029.43 |2,57031.87 |9,98498.78 ne a2 1.92: 37362 19,62638 |21,712492 | 2,62658.76 |2,57286.96 | 0,02685.90. Da es sich hiebei besonders um die Rubrik 41“ handelt, so habe ich dieselbe noch einmal in folgender Weise berechnet: QOtPunNn- Se : BEN an: Durch Differentiation der Gleichung: s = 2 F. Loy Cos — in Beziehung auf ’ s und t erhält man successive: dCos- ds y Lm Do A z, ESTER ds rar Tel RER Ne > ,2.m8 me ü k.Tg & T, T, ein Resultat, welches wir auch ohne Weiteres aus $ 44 hätten entnehmen können. Nun ist aber die hyperbolische Are a (=z) bei den 6 der Rechnung unter- worfenen Experimenten der Reihe nach — 8,4331976, 7,2329480, 7,3492851, 7,9839087, 56 8,4884042 nnd 7,2382193; sie liegt also bei allen Experimenten weit über die in 844 mit Z bezeichnete Grenze hinaus, und wenn man daher in der voranstehenden Formel 7y — 1 setzt, so begeht man höchstens einen Fehler in der 7!" Decimale. ds EL." In meine weitere Rechnung gewährt folgende Tabelle einen Einblick, wobei ich 4." — dt“ mit 4 4 bezeichnet habe: Mithin können wir für diese Experimente ganz unbedingt annehmen: dt —= ı 2 ds log (ds) | log k | 4.0” | 44 1 | 800896 | 1,90357.61 | 2,55801.78.2 13,29565 . — 0,00007 2 | 132“,0877 | 2,12086.24 | 2,60006.70.9 | 19,90437 | + 0,00009 3 | 915808 | 1,96180.44 | 2,59294.61.2 14,02844 | + 0,00003 4 | 52“.6927 | 1,72175,04 | 2,56923.65.3 8,52443 | + 0,00005 5 | -64",7351 | 1.81113.99 | 2,55530 64.8 10,51596 | — 0,00009 6 | 130“,1424 | 2,11441.88 | 2,59972.85.9 | 19,62644 | — 0,00006. Obgleich die Unterschiede zwischen den von Newton angegebenen und den von mir berechneten Zeiten, welche sich ungefähr zwischen '/, und !/; Secunden bewegen, verschiedene Ursachen haben können, so liegt es auch nicht ausserhalb der Grenzen der Wahrscheinlichkeit, dass dieselben bloss von mangelhaften Beo- bachtungen der Zeit herrühren. Zu den von Newton selbst angegebenen Gründen, welche für diese Annahme sprechen und welche ich am Schlusse des $ 61 angedeutet habe, füge ich noch zwei Gründe hinzu: 1) Nach den unmittelbaren Beobachtungen verfloss beim Herunterfallen der zweiten und dritten Glaskugel eine gleiche Zeit von 8 Secunden, und doch ist schon ohne Rechnung klar, dass die dritte kleinere und specifisch leichtere Kugel -—— sie müsste 606 Gran wiegen, wenn sie dieselbe specifische Schwere hätte, wie die zweite Kugel — dazu mehr Zeit nöthig hätte, und da die Rechnung ergiebt, dass sie nahe an 6 Tertien mehr gebraucht, so ist daraus zu ersehen, dass die Beobachtungen nicht bis auf Zehntel der Secunde ver- lässlich sind. 2) Da die Fallzeiten an einem Pendel, welches Secunden angab, er- mittelt wurden, und da Newton ausser den ganzen Secunden nur noch halbe und Viertel-Secunden angemerkt hat, so möchte daraus zu schliessen sein, dass die Beobachter sich wohl um ein Viertel einer Zeitsecunde geirrt haben können, dass sie das Aufschlagen der Glaskugeln auf den Erdboden wohl um ein Viertel der Secunde später vernahmen als es wirklich erfolgte. Gestattet man uns also, von den Zeitangaben Newton’s respective noch 13, 20, 14, 8, 11, 20 Tertien abzuziehen, so stimmen die Fallversuche Hawksbee’s voll- kommen mit Newton’s Theorie, nach welcher der Widerstand dem Quadrat der Ge- schwindigkeit proportional und d‘ — 1, ist, überein. Wollte man abc: diese oder ähnliche Versuche benutzen, um zu prüfen, ob es bei dem angegebenen Werthe des Widerstandscoefficienten sein Bewenden haben könne, oder ob d’ zu vergrössern oder zu verkleinern sei, so müssten hiebei die Zeitangaben bis auf einzelne Tertien zu verbürgen sein. Und da dies bei Anwendung der gewöhnlichen Mittel zur Zeit- bestimmung, der Pendel und Uhren, nicht möglich ist, so ersieht man hieraus, dass selbst hohle Glaskugeln noch zu schwer sind, noch in Luft zu schnell fallen, als 65 Fallhöhe Fallzeit Unterschied Stadium. „|. berechnet |beobachtet in| in Tertien. A ee Me n.. P a1) 248 | 1misw,so| zog | 0,19 ; Ela. 827 ..12% ana | 30 Bee 173 |p\3 | 144,0 | 30 5wag 30 gmgs| 1,67 slm|t| 23344 | 306%,39 |” 1,05 | 4,66 m|5| 240,0 | 359,20 | 40 370) 4,50 r c|6 | 321,0 | 436,63 | 448,30 | 11,67 n m|? 340,0 | 4440,70 | 5% 0W,00 | 15,30 52% Aus der von mir hinzugefügten letzten Rubrik, welche die Unterschiede zwischen der beobachteten Fallzeit in der Luft und der für’s Vacuum nach Galilei’s Gesetz berechneten Fallzeit angiebt, wird man ersehen, dass die beobachteten Fall- zeiten nicht auf unser volles Vertrauen Anspruch machen können, Solches Zurück- springen von 1,73 auf 1,67 oder gar von 4,66 auf 4,50 kann in der Wirklich- keit nicht vorkommen. Auch ohne von einem bestimmten Widerstandsgesetz aus zugehen, begreift man, dass der Widerstand des Mittels eben eine Verzögerung der nach Galilei’s Gesetz berechneten Fallzeit zur Folge haben muss. Wenn also der Körper im Vacuum f Sekunden — 116,89 gebraucht, um die erste Station, 24,8 Fuss, von A bis B zu durchlaufen, so braucht er, um denselben Weg im lufterfüllten Raum zurückzulegen, t + 9 Secunden. Wenn dann ferner die Kugel im leeren Raum, um von BbisC zu gelangen, um neue 42,9 Fuss herunterzufallen, £, Sekunden — 50,15 nöthig hat, so wird sie auf diesen Weg in der Luft £, + 9, Secunden verwenden. Die Verzögerung der Fallzeit in der Luft für einen Raum, der dem ganzen zweiten Stadium, der gleich 67,6 Fuss ist, beträgt @ 4 $‘. Ebenso, wenn für den nun folgenden Weg von C bis D, welcher 76,3 Fuss repräsentirt, nach Galilei i,, Secunden — 68,24 erforderlich sind, so wird die Kugel in der Luft denselben Weg erst in t£, + 9,, Secunden zurücklegen können, und die ganze Ver- zögerung beim Fallen in der Luft für eine Strecke, die dem dritten Stadium von 144 Fuss gleich kommt, mus +9, + g, betragen, u. s. f. Je grösser also die Fallhöhen sind, desto grösser müssen — unter übrigens gleichen Umständen — die durch die Luft hervorgebrachten Verzögerungen sein, Ich darf wohl nicht fürchten, dass man gegen das vorstehende Räsonnement den Einwand erheben wird, dass Benzenberg die Stadien nicht von der Spitze des Thurmes A abwärts nach H hin genommen hat, sondern im Allgemeinen, mit alleiniger Ausnahme des vierten Stadiums, von unten, von @ aufwärts nach 3 hin, so dass bei ihm eB = 24,8 ey = 61,7 u. s. w. ist. Dieser Umstand, der wegen der verschiedenen Dichtigkeit der Luft in A und Han und für sich nicht ganz aus der Acht zu lassen ist, würde hier, wo es sich um einen fallenden Körper handelt, der 8720mal schwerer als Luft ist, wohl zu übersehen sein: Wenn also meine eben ausgesprochene Be- hauptung, dass grössere Fallhöhen auch grössere Verzögerungen nach sich ziehen, richtig ist, so erkennt man von vorne herein, bevor man sich noch in irgend eine Berechnung einlässt, dass die beobachteten Fallzeiten, trotz aller von Benzenberg auf deren Erforschung verwendeten Mühe, wenigstens eine Unsicherheit von e > 2/0 Tertien zulassen, während er behauptet, dass „die Ungewissheit im Resultat nicht auf *"/,. Tertie in “ Damit habe ich zugleich sagen wollen, dass auf das für das erste Een durch Beobachtung gewonnene Resultat gar Er Gewicht zu legen ist, da ein Unterschied von 0,19 Tertien, wie er sich zwischen der idealen Fallzeit für's Vacuum und der wirklich beobachteten Fallzeit für die Luft heraus- gestellt hat, viel zu gering ist, um mit Sicherheit wahrgenommen zu werden. Und dieser Unterschied kommt doch eigentlich allein in Betracht, weshalb auch Newton, wie wir geselien haben, immer zwei Kugeln zugleich fallen liess, von denen die eine nur als Signal dienen sollte. Füge ich nun noch hinzu, dass die für die beiden letzten Stadien gewonnenen Resultate Benzenberg selbst nicht völlig befriedigten, weil schon auf dem 6. Stadium das Aufschlagen der Kugeln auf die unten in H hingelegten Bretter oben in der Gegend von 3 kaum zu hören war und weil des- halb für das 7. Stadium das Aufspringen der Bretter, was eine neue völlig unbe- kannte Grösse in die Rechnung hineinbrachte, als Merkzeichen genommen werden musste, so bleibt es vorläufig noch ganz in Frage gestellt, ob von der mühsamen Arbeit Benzenberg’s irgend ein neuer Aufschluss für die Lösung des vorliegenden Problems zu erwarten ist. Eigentlich beabsichtigte Benzenberg auch gar nicht, einen neuen positiven Aufschluss hierüber zu geben, er wollte, wie er pag. 187 sagt, durch seine Versuche weniger aufbauen, als die Giltigkeit des Newton’schen Wider- standsgesetzes für grosse Fallhöhen niederreissen; darum störte es ihn z. B. nicht, dass er von manchen seiner Kugeln nicht unmittelbar das specifische Gewicht unter- sucht hatte, dass ihre Durchmesser zwischen 1,48 und 1,7 engl. Zollen variüirten und dass diese Kugeln durch mehrmaliges Fallen oft schon sehr an ihrer Kugelgestalt gelitten hatten. Ich bin aber doch der Meinung, dass eine in Ansehn stehende Hypothese, wie die Newton’s über den Widerstand, nur durch sehr correcte Ver- suche modifieirt werden kann. Nichts desto weniger wollen wir Benzenberg’s Ver- suche einer sorgfältigen Berechnung unterbreiten, zuvor aber die von ihm selbst mitgetheilte Berechnung kennen lernen. g 72. Da Benzenberg der Ansicht ist, „dass es vortheilhaft sei, wenn derjenige, welcher die Versuche macht, um 15 Meilen von dem, der sie berechnet, entfernt ist‘, so veranlasste er zur Berechnung seiner Versuche Brandes, welcher sie nach folgen- der Formel (pag. 194) vollzog: - = Bere 1—e EEE er 1— 1-—e Ich habe wohl nur von der Bedeutung des Buchstabens x zu sprechen. Brandes schreibt dafür k und versteht darunter den Exponenten des Widerstandes, erklärt denselbigen aber nicht wie Euler, sondern als „diejenige Geschwindigkeit, bei welcher die Kraft des Widerstandes —1, der natürlichen Schwere, der absoluten Kraft, mit der die Schwere die Körper im Vacuo niedertreibt, ist.“ Während wir also auf der einen Seite xy von Newton’s F und Euler’s A zu unterscheiden haben, müssen wir diesen Buchstaben auch von dem, was wir mit k bezeichnet haben, aus- einanderhalten, da wir unter k die grösste Geschwindigkeit verstehen, welche der 67 Körper bei seinem relativen Gewichte B ($ 58, pag. 52) im widerstehenden Medium wirklich erlangt. Um uns aber keine Uebereilung wegen des Zusammenhangs von x und k zu Sellden kommen zu lassen, wollen wir Brandes weiter hören, Er sagt: „Der Exponent des Widerstandes band bekanntlich von der Gestalt des fallenden Körpers und von dem Verhältniss seiner specitischen Schwere zu der der Luft ’ . D . . . . . (> wofür ich 5, schreibe) ab; hier, wo nur von Kugeln die Rede ist, wird Ps 1% V32.Dr 0 . Dann nimmt er, wie schon mitgetheilt, » — 0,061, er 15,1013 par. F. und z — 8720 an und findet, „indem er alle diese Zahlen als genau annimmt,“ — 292,7148 par. Fuss. Ich aber finde, wenn ich mit denselben Zahlen rechne, % = 15146 par. F. Bei einigem Nachdenken und aus Gründen, die später ($ 74) einleuchten werden, erkannte ich indess, dass die Ursache meines Abweichens von Brandes lediglich an einem oder zwei Druckfehlern liest; Brandes nämlich hat in seinem Briefe an .Benzenberg vom 10. Januar 1803 gewiss geschrieben: 3 PJ 3: rZ Da - Veen oder vielmehr er hat gemeint: x — = 8: Dir 6 Erg Pag jr Nun ist aber nach unserer Auffassung ($ 42) k =: DI FE DI 3 und wenn 5 E 32 .D.r a s wir mit Newton d’ = % setzen, =. . 5. Halten wir jetzt die Ausdrücke für k2 und X? zusammen, so erkennen wir, da g = y’.@ ist, dass @.x? = k#, also ER . ae Ve ist und dass Brandes mit Newton d’ — 1, angenommen hat. Die Resultate von Brandes’ Rechnungen nach der obigen sehr unlogarithmi- schen Formel für t und ihre Vergleichung mit Benzenbergs Beobachtungen giebt folgende Tabelle: =) Fallzeiten | = von von Brandes | Unterschied = | Benzenberg berechnet | in Tertien. 7 beobachtet. Terid27— 15 | )! 1j]77% 08 aTeol 0,07 > u 8.071 24 2.5 1.22 3 3% Ggn | 3686| 0,09 4 4 14.05 3.594671 1,38 5 4 ) 4” 24 59 ] „11 6| Auaguo | auaısg | 6,41 (7 Hu 0,0 450" 50 9, 501 \7 wofür ich finde:) 490,43) 9,57) 8 73, Es muss uns nun vor Allem daran liegen, einen Massstab zu gewinnen, nach dem wir beurtheilen können, welches Gewicht wir den einzelnen Beobachtungen beizulesen berechtigt sind. Zu dem Zwecke wird es gut sein, aus den beiden vorigen Tabellen eine neue Zusammenstellung zu machen, wobei die aus Galilei’s Gesetz gefolgerten Fallzeiten mit @, die von Brandes nach Newton’s Theorie berechneten 5* 68 mit N und endlich die von Benzenberg beobachten Fallzeiten mit B bezeichnet werden mögen; daraus ergiebt sich von selbst, was unter NG, B—- NB-—-G und unter — (} zu verstehen ist. (N— G)“ | (B—N)'“ Fallhöh Be vu allhöhe B—-G)"\ 3-8 1 24,8 0,12 0,07 0,19 1,7 2 rer 0,51 1,22 1,73 0,4 3| 144,0 1,58 0,09 1,67 17,6 4| 234,4 3,28 1,38 4,66 2,4 5 | 240,0 3,39 1,11 4,50 3,1 6 | 321,0 5,26 6,41 11,67 0,8 7 | 340,0 5,73 9,57 15,30 0,6 Wäre die Hypothese, nach welcher der Widerstand dem Quadrat der Ge- schwindigkeit proportional und d’ — 4, ist, durch nichts anzufechten, so müssten vollkommene Beobachtungen den Unterschied der Fallzeiten für’s Vacuum und für die Luft, auf den es hier allein ankommt, so geben, wie die Rubrik N— @ es vor- schreibt und die Zahlen der nächsten Columnen B — N wären Beobachtungsfehler. Dann wäre auf den zweiten, sechsten und siebenten Versuch fast gar kein Gewicht zu legen, weil die Fehler hier grösser sind, als die durch die Uhren zu messenden Quantitäten, und auch der erste Versuch könnte nur einen geringen Anspruch auf Berücksichtigung machen, weil der Beobachtungsfehler mehr als die Hälfte der in Betracht kommenden Zeitgrösse betrüge; es blieben zur weitern Berücksichtigung eigentlich nur der 3°, 4 und 5'° Versuch übrig, deren Ansprüche auf Berücksichtigung nach den in der Rubrik Q enthaltenen Zahlen 17.6, 2.4, 3.1 zu bemessen wären. Ob- gleich nun Benzenberg zu den schon mitgetheilten Andeutungen, weshalb einige Ver- suche weniger Ansprüche auf Berücksichtigung erheben können als andere, noch hin- zufügt, dass auf dem zweiten Stadium die Tertienuhr nicht wie sonst eine hölzerne Unterlage, sondern eine steinerne, die Temperatur der Uhr erniedrigende Unterlage hatte, dass schon der sechste Standpunkt in der Kuppel der Kirche lag, in welcher durch den dort herrschenden Luftzug das Fallen der Kugeln verzögert werden konnte, dass auf dem siebenten, höchsten Beobachtungsort von vier Versuchen immer drei” vollständig misslangen, weshalb das für dieses Stadium angegebene Resultat nur das Mittel von 10 Einzelbeobachtungen ist*), so meint er doch, dass alle diese und andere Umstände zwar kleine Abweichungen erklären könnten, aber nicht so be- deutende, wie sie namentlich für’s 6 und 7'* Stadium hervortreten, und dass diese grossen Abweichungen nur durch die Annahme, dass die grössern Fallhöhen all- mälig die Newton’sche Hypothese alteriren, hinlänglich erklärt werden können. Ich kann mich aber dieser Meinung Benzenbergs nicht anschliessen; denn wenn wirklich die Beobachtungsfehler gegen die Fehlerhaftigkeit des Newton’schen Widerstands- gesetzes nur unbedeutend wären, wenn also die in der Columne B— N enthaltenen Zahlen vorzugsweise in dieser Fehlerhaftigkeit des Gesetzes ihren Ursprung hätten, so müssten diese Zahlen nach Benzenberg selbst mit den Fallhöhen in eine angemessene *) Die rohen, noch nicht wegen der Zeitgleichung und anderer Ursachen reducirten 10 Einzel- beobachtungen schwanken zwischen 5” 13" und 5” 30, 69 Beziehung zu bringen sein, was aber keineswegs der Fall ist. Demnach werden wir mit Berücksichtigung aller Umstände zu der Annahme hingedrängt, dass die in der Rubrik B — N aufgestellten Zeitunterschiede vorzugsweise Beobachtungsfehlern zuzuschreiben sind, und dass nur ein unbedeutender Theil dieser Zahlen der nicht vollkommen richtigen Newton’schen Hypothese zur Last zu legen ist. Damit haben wir den gesuchten Massstab für die weitere Benutzung der sieben Resultate, welche Benzenberg aus der grossen Menge seiner Versuche gezogen hat, gefunden; er ist in der letzten Rubrik ZT — @Q enthalten, wonach wir z. B. verpflichtet sind, auf den dritten Versuch einen 44 mal grösseren Werth zu legen als auf den zweiten Versuch. $ 74. Bevor ich weiter gehe, scheint es angemessen, in Kürze den Zusammenhang zwischen der in $ 72 mitgetheilten Formel, nach welcher Brandes die Versuche Benzenberg’s berechnet hat, und der von mir in $ 44 aufgestellten entsprechenden Formel anzugeben. Es war nach Brandes t — ELLE ] - : u k 2 = Wenn es nun einerseits erlaubt ist y = yo und X? — —, zu setzen, und wenn wir g8 — 2gs » En 172 BEE 1 . andererseits der Abkürzung wegen e® — Zunde * — = schreiben, so geht der Ausdruck in folgenden über: SE a N k 35T t Fee 2 I = fh) u 2 ) Aber aus unsrer Formel s = = Log Cos : t können wir für t denselben Werth ab- gt leiten. Setzt man nämlich noch e # — £, so geht die Formel, da 2 Cos z —E+ : ist, in folgende über: & + ; — 22, welche e= + y®— lodert—= Log (Z + y2? — 1) giebt. Der andere Werth, den man aus der quadratischen Gleichung erhält, bezieht sich auf das Reciproke von £, wonach : — 2 — y2?— / ist. — In dieser Uebereinstimmung liegt zugleich eine Bestätigung dafür, dass wir die Bedeutung von x in $72 richtig ermittelt haben. & 7. Da die von Brandes berechneten Zeiten ($ 72) die Annahme d’ = 4, voraus- setzen, so müssten diese Zeiten, wenn sie vollkommen richtig wären, umgekehrt ö‘ — %, ergeben; man erhält aber mit Benutzung der vollständigen Formel = = . Log Cos t für die aufeinander folgenden sieben Stadien nachstehende Werthe für log k? und für d’: 70 Se RE a a a a FFIEIE ‚91972|4,93503| 4,93310 4,93266|4,93334]4,93281| 4,92780 . 0,49742 | 0,49970 0,50021 | 0,49943 | 0,50003 | 0,50576 wobei ich noch et bemerke, dass hier, wo der Widerstand unbedeutend, k also sehr gross ist, die Auffindung nicht aus der schon oft erwähnten Näherungs- formel und dem daraus in $ 66 abgeleiteten Ausdrucke für k erfolgen konnte. Aus den theilweise nicht unbedeutenden Abweichungen dieser Werthe für d’ von dem hiebei als Normalwerth geltenden d‘ — 1, geht hervor, dass entweder Brandes die Fallzeiten nicht richtig berechnet hat, — man sehe $ 72, 7!® Stadium — oder dass er sie nicht genau genug, nicht auf eine hinreichende Anzahl von Decimal- stellen berechnet hat. Weil es mir nun — wozu die Nothwendigkeit aus $ 73 erhellt — darum zu thun war, genaue Angaben der Fallzeiten sowohl für’s Vacuum, als für die wider- stehende Luft zu besitzen, so entschloss ich mich, bevor ich an die eigentliche Auf- gabe, 6‘ aus Benzenberg’s Beobachtungen zu finden, ging, die Fallzeiten mit aller nur möglichen Sorgfalt unter der auch von Brandes gemachten Voraus- setzung, dass d‘ — %, ist, nochmals zu berechnen und stelle Brandes Resultate und die meinigen im Folgenden neben einander: Nach Brandes: | Nach meiner Rechnung: 5 Für’ s Vacuum|Für Newton’s| A = Fürs Vacuum | Für Newton’s AU" = F Hr, ö‘=% IN—-G —UE; dr N—ÜC ) I 1.,17 16/2. 89,.1 17.01) 0,12 1”16°,890018 | 1°'17',00646 | 0,10644 2 | 2” 7,04.127= 7,55. | +0,51. |. 24. 7,0394041 27, 755256 705 BE 3|3” 5,98 |3” 6,86 | 1,58 | 3” 5,278638| 3“ 6,86070 | 1,58206 4 | 3” 56,391 3.39.57 | 3,28 | 3” 56,386608 3'59,66856 | 3,28195 5b | 3% 59,207714772.59: |, 3,39 3 59,193660 | 4" 2,59400 | 3,40034 6 | 44 36,63 |4” 41,89*)| 5,26 \ 4” 36,628308 | 4”41,88952 |5,26121 7 | 4“ 44,70 |4” 50,50 |! 5,80 ‚ 4 44,697426 | 450,43342 |5,73599 Dass ich bei meiner Berechnung der Fallzeiten genöthigt war, meine Zuflucht zu Gudermann’s siebenstelligen Tafeln zu nehmen, darf ich wohl nicht noch be- sonders hervorheben, vielleicht aber, dass ich mich dabei nicht seiner bequemeren zweiten Tafel, welche nur für hyperbolische Aren über 2 eingerichtet ist, bedienen konnte, sondern seine erste Tafel benutzen musste, welche auf der Verwandlung von hyperbolischen Aren (z) in entsprechende eyklische Aren (w») beruht. Um eine etwaige Revision meiner Rechnungen zu erleichtern, theile ich für die einzelnen Versuche noch die Hilfsgrössen ® und die dazu gehörigen z = t mit; die unter der Ueberschrift‘ dt“ befindlichen Zahlen geben den Unterschied zwischen den von Brandes und von mir berechneten Fallzeiten in Tertien an. Ein für alle- mal ist hiebei logg = 1,47999.45 und log k? — 4,93283.95, also k = 292,6980.07 Bao) — AL). *) In der von Benzenberg besorgten neuen Ausgabe seiner Schrift vom Jahre 1845 steht pag. 34 ohne nähere Motivirung 4 43,46 Tertien statt 4’ 41',89. Für z | dr“ ı | 70 39-53“ 941 | 0,1324191.7 |+ 0,00354 2 |12028° 3,140 0,2193373.9 | — 0,00256 3. |180 6° 5,642 0,3213227.2 | — 0,00070 4 122058” 18”,958 0,4121303.8 |-1- 0,00144 5 1930 14° 13,314! 0,4171608.2 | — 0,00400 6 |260 44° 43,265 | 0,4847328.3 |} 0,00048 7 |270.29' 40”,483| 0,4994248.1 |-1- 0,06658 S 76. Obgleich wir nicht erwarten, dass gleiche Fehler in der Zeitbestimmung sich auf den verschiedenen Stadien von gleichem Einflusse zeigen sollen, so dürfte es dennoch befremden, dass z. B. der für’s erste Stadium hervorgetretene kleine Unter- schied von 0,00354 Tertien 6‘ um 0,01534 ändert, während der für das 7'e Stadium angegebene bedeutende Zeitunterschied von 0,06658 Tertien 6’ nur um 0,00576 ver- grössert. Daher wollen wir zur grösseren Aufklärung dieser Erscheinung das Differential von d’ in Bezug auf t aufstellen. Mit Bezugnahme auf $ 69 überzeugt man sich, dass die Fundamentalgleichung auf folgende Form gebracht werden kann: 5 % — Log Cos (t. | 2 yo‘. Setzt man d‘, welches = = ist, — u2, so folgt = udu = (Tg) v% (udt + tdu), ferner / V% u.(Ty).dt F.2.(Ty).dt A — eh a ET y u Vi lTet 2.5.u— YF9(Ty).t g 20 F.,(Tg).dt kd.(Tg).dt En Tu RR BUNn kö'.Tgrt.dt ddl ee Tg 2t. Die nach dieser Differentialformel geführten Rechnungen ergaben folgende Resultate: du | log Tote dd 46 44 0.00354 9,11942 13| 0,01576.2| 0,01534]| 0,00042.2 2 0,00256 '9,33422.54 | — 0,00252.7 | — 0,00258 | 0,00005.3 3 | 0,00070 19,49234.67 | — 0,00022.2) — 0,00030 | 0,00007.8 4 | 0,00144 9,59138.14| 0,00022.0) 0,00021 | 0,00001.0 5 1--0,00400 9,59608.65 | — 0,00050.6 | — 0,00057 | 0,00006.4 6! 0,00048 9,65323.76| 0,00004.6) 0,00003| 0,00001.6 7 | 0,06658 .9,66432.66 | 0,00578.9| 0,00576 | 0,00002.9 rg 8 De un 1 wo 4‘ die sich aus $ 75 ergebenden Abweichungen der d‘ von dem Normalwerth, wie sie aus der unmittelbaren Benutzung der von Brandes und mir berechneten Zeiten hervorgegangen sind, bedeuten und wo 44 die Differenz zwischen diesen durch unmittelbare Berechnung erhaltenen Unterschieden der d' und den durch die Differentialformal gewonnenen Unterschieden angiebt. Anmerkung. Das in 8 69. II. angegebene Differentialverhältniss zwischen d6‘ und dg lässt sich dem so eben erhaltenen Verhältniss zwischen död'und dt ent- sprechender also darstellen: kö'.Tgit er .dg EI ET. Tg%t Wenn dd’ in beiden Differenisalquotienten — und ri dasselbe wäre, so würde durch Elimination desselben folgen, dass 29.dt = t.dg sei. Dagegen erhält man br aus der Fundamentalgleichung: s — 2 Log Cos 1, oder — Log Cos (VE.Vo. 2 durch Differentiation in Bezug auf t und g, wenn man wieder vg mit g bezeichnet: o — (79.75 (edt +tdo), was 2gydt= — tdg giebt, ein Resultat, welches auch der für’s Vacuum geltenden Formel s — zt? entspricht und natürlich allein richtig ist. 8 77. Dadurch, dass wir in 875 die Fallzeiten genauer berechnet haben, als Brandes, sind wir in den Stand gesetzt, den in 8 73 niedergelegten Massstab, wonach die Güte der Beobachtungen Benzenberg’s zu beurtheilen ist, bedeutend zu verbessern. Es ist nun: Für ATS N—-G Stadium N—G | B—-N [a=3=5 1 0,106 0,074 | 1,432 2 | 0513 1,217 | 0,422 3 1,582 0,089 | 17,775 4 | 3,282 1,381 2,377 5 | 3,400 1,106 3,074 6 | 5,261 6,410 0,821 7 | 5,736 9,567 0,600. 8 78. Jetzt ist esan der Zeit, den Widerstandscoefficienten 4 aus Benzenbergs Beob- achtungen zu berechnen. Da für dieselben k sehr gross ist, so kann die Be- rechnung nicht nach den in 8 66 befindlichen, aus Newton’s Näherungsformel abge- leiteten Ausdrücken vollzogen werden. Wir müssen uns an die vollständige Formel: 2 2 = - Log Cos 2t =7 Log Cosz wenden. Weil aber, wenn k sehr gross, also z sehr klein ist, wir mit Vortheil uns werden der Reihenentwicklung für Log Cos z bedienen 73 können, welche uns mehr oder weniger genäherte Werthe für k und d’ verschaffen wird, so sind wir wenigstens nicht von vorne herein auf das lästige Probiren ange- wiesen. Es ist nämlich nach Gudermann $ 45 oder nach meiner „Auflösung der kubi- schen Gleichungen“ $ 42: { ga Log Cos z 5 — - ER 5 — Sr Benutzen wir von dieser Reihenentwicklung, bei welcher z = Zt ist, nur die beiden ersten Glieder, so erhalten wir als ersten Näherungswerth I) a gar: 12 ( 2 — ) Nehmen wir noch das dritte Glied der heihe hinzu, so haben wir k? = K aus folgender quadratischen Gleichung zu bestimmen: K?+pK+ De a g=+H Ne, 12 6 58 ) 45 e Be ) Nun ist, wie in $ 66 (vergl. Aufl. der kub. Gl. $ 32, D): K=—p.cos (2)° oder K= — p.sin 2) ‚wobei sen = —+ u. Doch hat man aus ähnlichen Gründen, wie die in $ 66 aufgestellten, hier nur zu nehmen: 2 9, I) K=k?— — ».cos (2) ‚und sing en 3 wodurch ein zweiter Näherungswerth für d‘ erlangt wird. Geht man noch einen Schritt weiter und benutzt die ganze oben hingestellte Reihe für Log Cos z, so gelangt man zu folgender kubischen Gleichung: aK®+93ß.K’+3yK+d=o, g° t* g°? 6 en Zap EIK 0579 0000 Nach meinen „kubischen Gleichungen“ $ 24 sind die Bedingungen für den irredu- eibeln Fall folgende zwei: (a y — PB?) (Bd — y?) > (ad — Py)? und PP > ay. Da dieselben für die nachfolgenden Zahlenbeispiele nicht beide zutreffen, so hat man es hier stets mit dem reducibeln Falle zu thun, für welchen ich in meinen „kub. Gl.“ 8 26, D folgende Auflösung durch hyperbolische Functionen gegeben habe: I RE 9 ıst. ee) per o\ \ I ge 4 2er (2), | nn 5 (a8 - BY —B: R—ay) woneı 08 —— ann — z VR— (@ y° Dieser dritte Näherungswerth für A kommt der Wahrheit immer schon sehr nahe, so ee man höchstens noch zwei Versuche nach der vollständigen Formel: = 7. Log Cos ? „? zu machen hat, um den Werth von k? mit aller Schärfe zu er- nr Dass 6‘ — Ir FundF— 3 ER ist, darf wohl kaum mehr in Erinnerung Ban, werden. 74 8 79, Auf dem im vorigen $ angegebenen Wege habe ich aus Benzenberg’s Beobach- tungen den Widerstandscoefficienten d” berechnet und zwar, wie die folgende Tabelle ausweist, einmal unter der Voraussetzung, dass der Kugelradius r — 0,061 par. F. ist und dann für r, = 0,060833 par. F. (vergl. $ 70): f | | Fallhöhe 4 Beobachtete | 7, pa N Fürr,—0,060833 2 — 38 Fallzeit = t og ist?’ = | ist / — 1 24,8 |1” 17“,08| 4,71399.5 | 0,82759 0,82534 2 67,7 |2” 8,77) 4,40174.5| 1,69846 | 1,6939 3 | 144%0 EZ 6”, 95| 4,90891.5 | 0,52831 | 0,52688 4 | 234,4 |4” 1%05| 4,730454 | 0,71016 | 0,70822 5 | 240,0 |4” 370) 4,81067.0 | 0,66243 | 0,66062 6 | 321,0 14” 48” 30| 4,58864.5 | 1.10450, - |: „1,1015 7 [734050 , |5* 0,0 ]4,509495.| 1,82534 | 1,3217 07° Arithmetisches Mittel: | 0,97954 | _0,97688. Das einfache arithmetische Mittel aus den voranstehenden sieben Versuchen, d“ — 0,97954 oder d‘ — 0,97688, weicht zu sehr von dem Resultate ab, welches wir aus den unter günstigeren Verhältnissen angestellten Versuchen Desaguliers’ abge- leitet haben, als dass wir darauf ein besonderes Gewicht legen könnten. Daher habe ich die einzelnen 6, welche ich für Benzenberg’s Angabe r — 0,061 berechnet habe, mit den bezüglichen Zahlen Q aus $ 73, welche ein Mass der Ansprüche auf Be- rücksichtigung für die einzelnen Beobachtungen ausdrücken, multiplieirt und erhalte dann als Mittelwerth aus sämmtlichen Beobachtungen d’ — 16,821264 : 26,6 — 0,63238, Legt man aber an Benzenberg’s Beobachtungen den in $ 77 verbesserten Massstab der Berücksichtigung an, so ist das Resultat folgendes: ö’ = 16,71892 : 26,501 = 0,63088. $ 80. So wären wir denn zu einem ziemlich befriedigenden Resultat gelangt, freilich nicht aus Benzenberg’s Beobachtungen allein, sondern mit Hilfe des Newtonschen Gesetzes, nach welchem wir die Güte jener Beobachtungen bemassen. Da wir es uns aber zur Aufgabe gemacht haben, den Widerstandscoefficienten bloss aus V er- suchen zu bestimmen, so bleibt uns aus den in $ 71 und $ 73 angegebenen Grün- den nichts andres übrig, als den 1, 2, 6 und 7" Versuch Benzenberg’s gänzlich zu ignoriren; nehmen wir dann von den Zahlen, welche sich aus dem 3, 4 und te Ver- such ergaben, das arithmetische Mittel, so erhalten wir: (6 — 0,63363 für r — 0,061, und 19 — 0,63191 für r, — 0,060833. Lassen wir auch noch den vierten Versuch, weil er von der Kuppel der Kirche aus angestellt ist, als unzuverlässig weg, so würde das Mittel aus dem 3er und He Versuch für beide Radien 6‘ — 0,59456 sein. Dieses Resultat, so wie das aus Desaguliers’ Versuchen gezogene Resultat würde dann aber nur aus Experimenten hervorgegangen sein, welche sich auf 75 mittlere Fallhöhen beziehen, es bliebe daher nach der Meinung Benzenberg’s und Anderer immer noch die Frage, wie gross der Widerstandscoefficient für kleine und grosse Fallhöhen sei, zu beantworten. In der ersten Hinsicht verweise ich auf Newton’s Versuche mit in Wasser fallenden Kugeln, welche der Annahme 0’ — % ziemlich gut entsprechen, und in letzter Hinsicht wollen wir zum Schlusse noch des Herrn Prof. Dr. F. Reich’s Fallversuche, in dem Dreibrüderschachte bei Freiberg, im August und September 1831 angestellt, zum Gegenstande einer kurzen Besprechung machen. 8 31. Die Fallhöhe war bei Herrn Reich ungefähr 158% Meter (= 488 par. F. — 520 engl. F.), seine Kugeln waren nicht immer von schwerem Blei, sondern öfter von Zinn mit etwas Wismuth vermischt und von noch leichterm Elfenbein. Um den Moment des Herunterfallens der Kugeln genau angeben zu können, wurden sie meistens mit einer Zange festgehalten, bei deren Oeffnen sie herabfielen, oder um ganz massive Kugeln ohne irgend einen störenden Faden anwenden zu können, legte man sie auch wohl erwärmt auf einen metallenen Ring, durch welchen sie, nach- dem sie wieder gehörig erkaltet waren, durchfielen. Die bei den Versuchen an- gewandten grossen Zinnkugeln hatten im Mittel einen Durchmesser von 2 r = 40,38 Millimeter, ihr absolutes Gewicht war im Mittel B = 270,45 Gramme und ihr spe- cifisches Gewicht D — 7,878; bei den kleinen Zinnkugeln war 2r — 39,59 Milli- meter, B — 190,00 Gramme, D — 8,028. Bei einer grössern Elfenbeinkugel war 2r — 36,64 Millimeter, B — 46,24 Gramme, D — 1,790, bei den zwei kleinern Elfenbeinkugeln war 2r = 28,56 Millimeter, B — 22,322 und D = 1,811. Von den angewandten Bleikugeln sagt Herr Reich nur, dass ihr absolutes Gewicht B — 270,27 Gramme und ihr specifisches Gewicht D — 10,603 betrug, Um mir den Durchmesser der Bleikugeln selbst zu verschaffen, legte ich den Normalwerth des absoluten Gewichts von einem Kubikcentimeter Wasser w, nämlich 1 Gramma, zum Grunde, obgleich jener nur für den Zustand des Wassers gilt, bei welchem es seine grösste Dichtigkeit erlangt hat; ich glaubte mich zu dieser Annahme um so mehr berechtigt, da sich bei den vier andern Versuchen mit Kugeln von Zinn und Elfenbein aus den von H. Reich angegebenen drei Zahlen B, D und r der Werth von w bald unter, bald über 1 Gramm ergab, nämlich successive 0,9987682; 1,002683; 0,9867507 ,; 1,010512. Bei der Annahme also, dass w — 1 ist, fand ich für die Bleikugeln 2r — 36.51378 Millimeter, also r = 0,0561947 par. F. Der Moment, in welchem die Kugeln unten im Schacht anlangten, wurde dadurch bestimmt, dass man daselbst einen um eine Axe beweglichen eisernen Rahmen anbrachte, auf welchen man dünne Bretter legte und an dessen einem Ende sich ein Metallspiegel mit einer vorgestellten Argand’schen Lampe befand; so wie eine Kugel auf eines der Bretter aufschlug, verschwand dem obern Beobachter das Bild der Lampe im Spiegel. Der Fehler der angewandten Tertienuhr mochte innerhalb der bei den Versuchen in Betracht kommenden 6 bis 7 Secunden „kaum in einzelnen Fällen“ 2 Tertien be- tragen. Als constanter Fehler der Sinne werden 8,76 Tertien angemerkt. Der Fallraum in der ersten Secunde für den leeren Raum ist bei der hier in Betracht kommenden Breite von 50° 33° 22,81 nach H. Reich — 4904,93 Millimeter. Da nun der mittlere Baro- meterstand bei diesen Versuchen 4 — 317,58 par. Linien, der mittlere Thermometer- 76 stand t = 13%,2 C. und die Spannung der Wasserdämpfe d’ = 0,934 x 11,555 — 10,79 par. Linien betrug, so fand H. Reich nach der Formel 800 EIER 63 D‘ = 0,001299 399 - 0 Br ( 54) die Dichtigkeit der Luft D’ = 0,0011550. Hiernach ist das jedesmalige relative Beschleunigungsmass der Schwerkraft er 2 4 zu berechnen. Für die Bleikugeln, deren Dichtigkeit auf D —= 10,603 angesetzt ist, findet H. Reich 5 —= 4,90459 Meter, ich 3 — 4,904396 Meter. LSGTES) 8 32. Ueber die weitern Rechnungen giebt folgende Tabelle Aufschluss, in welcher die erste Horizontalreihe sich auf die mit den grossen Zinnkugeln veranstalteten vier Versuchsreihen, die zweite auf die zwei Versuchsreihen mit den kleinen Zinn- kugeln, die dritte auf die fünf Versuchsreihen mit den Bleikugeln, die vierte auf sechs Beobachtungen mit der grossen Elfenbeinkugel, die fünfte auf eilf mit den kleinen Elfenbeinkugeln gemachten Beobachtungen bezieht: ; | Fallzeit Wahrsch. —Yt Fehler Be 0,72 |1584041 |0,99159.91 |2,56450.86 |3,72670.86 | 0,67514.81 “ Fallhöhe > 1 2 361,111 0,51 | 158,4084 |0,99160.03 |2,51829.21 |3,64914.96 | 0,72568.10 3 4 ==,S log g | log F | log k? d 355,861 0,53 | 158,3894 0,99161.55 |2,65024.23 | 3,77849.57 | 0,73006.59 407,91| 0,89 | 158,4276|0,99138.26| 1,87916.52|3,13554.56 | 0,54325.31 5 | 421,10| 0,61 | 158,4279 |0,99138.57 |1,77603.34 |3,05795.08 | 0,51223.39 Die Berechnung von log A? aus der Gleichung s = a Log Cos : t ist hier meistens durch Probiren geschehen, da einerseits Elfenbein nicht leicht genug ist, dass man nach den in $ 66 aufgestellten Formeln rechnen könnte, und andererseits Zinn nicht schwer genug ist, dass man sich mit Vortheil der Formeln in $ 73 bedienen könnte. Als arithmetisches Mittel aus H. Reich’s Beobachtungen ergiebt sich ö‘ — 0,63127.64, ein sehr günstiges Resultat. Anmerkung. Die Unterschiede zwischen den beobachteten Fallzeiten und den für's Vacuum berechneten sind resp. 16,81; 20,13; 14,89; 66,91 und 80,12. 8 83, Wie man sieht, hat H. Reich neben den Fallzeiten noch die denselben anhaf- tenden wahrscheinlichen Fehler NL wir können also durch die in $& 76 ent- k.d Tg t.dt = ‚wo P—=s— %ktTgItist,denGrad der Genauigkeit der berechneten d’ in Beziehung auf die beobachtete Zeit prüfen. Da nun die mitgetheilten Fallhöhen auch nicht absolut richtig sein werden, so schien es mir nöthig, den Einfluss eines kleinen letz in der Bestimmung TE: Fallhöhe auf ’ gleichfalls zu untersuchen. haltene Differentialformel dd’ — 17 Von der Gleichung s — 2. Log Cos 7 t ausgehend, setze man 7=Aund t yg = {, so erhält man aus der Gleichung A s = Log Cos (€. yA) durch Differentiation Ad B DR - di = nn, und weil “=, —=4.F ist, st. 17 796. Y9—s ee x yik.Tgt—s dd U Man hüte sich einen Ausdruck für etwa dadurch ableiten zu wollen, dass man ds in dem obigen Ausdruck für a statt dt den von $63 her bekannten Werth a k.Tg*t k substituirt, man würde dadurch das falsche Resultat dd’ — = -- erhalten. (Vergl. die Anm. zu $ 76.) Da nun einerseits H. Reich die wahrscheinlichen Fehler bei den Fallräumen nicht angiebt, und da ich andererseits zu wissen wünschte, was bei diesen Versuchen auf die Bestimmung von d’ nachtheiliger eingewirkt habe, ein kleiner Fehler in der Zeitbestimmung oder ein kleiner Fehler in der Raumbestimmung, so nahm ich im Folgenden die Beobachtungsfehler in Beziehung auf den Raum (ds) so an, dass sie zu den Fallhöhen (s) in demselben Verhältniss standen, wie der jedesmalige wahr- scheinliche Fehler bei der Zeitbestimmung (dt) sich zur Fallzeit (2) verhielt. Nach dieser Auseinandersetzung wird folgende Tabelle verständlich sein: ee el 5| log.dt 1og 7 (2+)) lgP | log.ds | = | 2 1 18.07918.12| 9,82260.92 ] 1,13759.1419,50348.28] 0,028639 |— 0,015678 2 |7,92941.89| 9,85032.85 | 1,20568.07|9,34970.89| 0,018171 |— 0,010110 3 |7,94612.46| 9,80317.26 | 1,09124.13|9,37273.50 | 0,025743 | — 0,013959 4 |8,17123.87| 9,97640.84 | 1,59574.86|9,53865.64| 0,007156 |— 0,004763 5 |8,00717.85| 9,98517,64 | 1,64130.25|9,36977.62| 0,003886 |— 0,002685. Die vorstehende Tabelle giebt mir zu folgenden Bemerkungen Veranlassung: 1) Die von Herrn Reich angegebenen wahrscheinlichen Fehler in Beziehung auf die Fallzeit und denselben proportionirte Fehler in Bezug auf den Fallraum haben auf die erste Decimalstelle des Werthes von d’ keinen Einfluss. 2) Der Einfluss der Fehler der ersten Art auf den Widerstandscoefficienten 0’ ist ungefähr doppelt so gross, als der Einfluss entsprechender Fehler der zweiten Art auf denselben. 3) Obgleich die Fehler in der Zeitbestimmuug bei den Versuchen mit den leichtern Elfenbeinkugeln im Durchschnitt grösser angenommen sind, als bei den Versuchen mit den schwerern metallenen Kugeln, so haben sie doch dort einen ge- ringern Einfluss auf d’ als hier bei den metallenen Kugeln. 4) Reich’s Bleikugeln waren kleiner als Benzenberg’s Bleikugeln und fielen ausserdem durch einen grössern Raum, beides Gründe, weshalb selbst unter Vor- aussetzung von gleicher Güte der beiderseitigen Beobachtungen der Widerstand dort deutlicher und schärfer sich herausstellen musste als bei Benzenberg. 78 $ 84. Fassen wir nun die gewonnenen Resultate zusammen, so haben wir aus den Fallversuchen Newton’s d‘ — 0,51175, aus denen Reich’s . . d‘ — 0,63728. Wegen Benzenberg ist man in einiger Verlegenheit; will man allen seinen Beobachtungen ein gleiches Stimmrecht beilegen, so wäre mit Zugrundelegung von r,, wie aus $ 79 zu ersehen ist, nach ihm d — 0,97688 und wir hätten dann als arithmetisches Mittel von den drei Angaben, welche sich auf die Versuche Newton’s, Benzenberg’s und Reich’s beziehen, d” — 0,70864 anzuführen. Ich meine aber, wir nehmen für Benzenberg wegen der oben mitgetheilten Gründe denjenigen Werth für d’ aus $ 80, welcher bloss aus seinem 3, 4 und 5" Versuch für r, hervorgegangen ist, nämlich d“ —= 0,63191. Dann ergiebt das arithmetische Mittel nach den Fall- versuchen der drei genannten Gelehrten den Widerstandscoefficienten 0’ — 0,59365. Aus meinen frühern Rechnungen habe ich, wie in $ 42 erwähnt ist, für New- ton’s Pendelsversuche d’ — 0,77482 und für einige Pendelversuche Bessels 0‘ = 0,67778 abgeleitet, danach wäre für Pendelversuche im Durchschnitt . . d — 0,72630. Nimmt man schliesslich noch das Mittel von den beiden Angaben, welche aus meinen Berechnungen von Pendel- und Fallversuchen hervorgegangen sind, so hat man als Endresultat 0‘ = 0,65997, ein Resultat, welches mit der in $ 42 erwähnten Angabe Lombard’s und Borda’s, wonach d‘ — 0,6 ist, ziemlich gut übereinstimmt. Es bleibt also dabei, wie schon pag. 34 hervorgehoben wurde, dass nicht Newton’s Theorie, wie Poisson und Littrow behaupten, den Widerstand grösser angiebt als die Erfahrung, sondern dass im Gegentheil die Versuche denselben ungefähr im Verhältniss 6 : 5 grösser ergeben als jene Theorie. Der nächste Schritt, der jetzt zu thun sein möchte, um durch Fallversuche das Gesetz des Widerstandes vollständiger zu erforschen, als es auf den voranstehenden Blättern geschehen ist, möchte der sein, dass man, wie schon pag. 33 angedeutet wurde, den Widerstand nicht bloss dem Quadrat der Geschwindigkeit, sondern ausserdem noch der ersten Potenz derselben proportional setzt. Da dann y — un): ; VD Di r k SR : : %T p () — — 0.04 % D_„%- v’ist, so wird man von der Differentialgleichung .T R dw, 9 Pre EZ IE UN ZZENED D' 4 auszugehen haben, we = % n—..yd= KL) D' 1 . und 7 = Ya — 56 ist, und wo d und Ö’ die nun zu bestimmenden Widerstandscoeffhicienten sind. Setzt man noch L(,): sn ER und IR — Tyy, so wird man auf folgende zwei Gleichungen kommen: R +5 Tg Rt IDas= Loy (Te zen Cos p 2 79 welche den Zusammenhang zwischen Zeit (t), Raum (s) und Geschwindigkeit (v) darlegen. Es versteht sich von selbst, dass, wenn man bei der Berechnung obiger Fall- versuche die letzte Gleichung (II) zum Grunde legen wird, man d’ etwas kleiner finden wird, als ich angegeben habe, da ein Theil davon auf d kommen mıuss. Soll- ten aber auch dann noch die Resultate aus den verschiedenen Beobachtungen mehr von einander abweichen, als man auf Rechnung von Beobachtungsfehlern glaubt schreiben zu können, dann, aber auch erst dann scheint es mir angemessen, noch die dritte Potenz der Geschwindigkeit nach dem Vorgange Piobert’s (Lois de la resistance de l’air sur les projectiles, 1857, pag. 21. Par Js. Didion) in den Bereich der Untersuchung zu ziehen. Nachschrift. Wenn einerseits noch immer die hyperbolischen Functionen ignorirt werden, wie z. B. von Herrn Dr. Strauch in Muri, Praktische Anwendungen für die Inte- grationen der Differentialgleichungen, 1865, pag. 256, wo derselbe bei einer und derselben Differentialgleichung auf ER, een N), oder auf —— are. tg ae Zn 11-832 4gu + (1— VI— 892) Y3®—1 ver kommt, je nachdem /= $ g? ist, so ist es auf der andern Seite besonders erfreulich, dass Herr Prof. Dr. Heis in seiner schon pag. öl erwähnten neuen Auflage der weit- verbreiteten Sohncke’schen „Sammlung etc.“ den hyperbolischen Functionen ein Capitel gewidmet hat. Doch sei es mir gestattet, dazu einige flüchtige Bemerkungen zu machen. 1) Im 2. Theil der „Sammlung“ pag. 5 macht Herr Heis einen Fehler, den ich auch einmal, pag. 16, begangen, aber pag. 80 corrigirt habe; er sagt nämlich, es sei dx 1-5 > Ar. Tga und auch — Ar.Cotg x, während aus $ 8, Nr. 3 und Nr. 4 meiner Abhandlung folgt, ass [} 27 zaur = ArTga ds at 2) Auf Seite 24 sagt H. no dass = — YO, Ar . Sin ee 1 YC.Ar. En V4 AC — B2 sei, während nach $ 19 meiner Schrift y — AT: ist, | Ü und dass Ar. Cotg x — ist. 3) Auf Seite 87 findet H. Heis in Nr. & für (ee folgenden unpraktischen und wegen des darin vorkommenden i — y— / abschreckenden Ausdruck: a, el i Sin « N en ba 0 während ich in $ 8, Nr. 8 angegeben habe: fe — o, gleich der der hyperbolischen Are x entsprechenden cyklischen Are. 4) In der nächsten Auflage der „Sammlung‘‘ werden solche Ausdrücke, wie sie pag. 103 und pag. 107 für £und 7 vorkommen, gewiss durch andre ersetzt sein, die noch geschmeidiger sind, als meine analogen Formeln in $ 40 und $ 41. hamma nme 0 om dm „one rem Druckfehler in den Tafeln von 1863. Seite III, Zeile 10 von unten: statt nal u lies — itgiu. Seite 5, unten: statt 0° lies 89°. Seite 48 muss in der vorletzten Spalte das Wort: Diff. von oben nach unten ver- setzt werden. nn Druckfehler und Verbesserungen in der Abhandlung. Seite 6, Zeile 10 von unten statt 45° 1 ” lies 45° +5. Seite 13, Zeile 7 statt 15 lies 113. Seite 16, Zeile 1 fehlt Ar vor Cotg (Y2 Cos x). Seite 16, die Zeilen 2 und 3 sind zu streichen, da stets 2 Cose>1 und Tg< 1 ist. Seite 16, Zeile 13 von unten statt Bjorling lies Björling. Seite 31, Zeile 17 von unten statt OD lies OD. Seite 32, $ 41 fehlt am Rande: Fig. 10. Seite 41, Zeile 14 von oben und Zeile 1 von unten ist das Zeichen für Meter (m) an eine falsche Stelle gesetzt. Seite 47, Zeile 8 von unten statt n—_ N bis? 9 —E Seite 52, Zeile 17 von unten ist beidemal z, statt 7’ zu lesen. Seite 53, Zeile 10 von unten statt seine lies die folgenden. Seite 56, Zeile 5 statt wobei lies in der. Seite 56, Zeile 12 statt 1.8... lies 1,8.. Seite 59, Zeile 8 statt 41, lies 44). Seite 63, Zeile 14 statt | lies [. Seite 63, Zeile 2 von unten statt der d‘ lies erhaltenen d‘. Die dann folgenden Worte: „bei etwas verschiedenen g’* können als selbstverständlich gestrichen werden. Seite 64, Zeile 10 von unten: Nach dem Worte angenommen könnte noch hinzu- gefügt werden: was etwa 10° Temperatur voraussetzt. Th Aust v. A dePayretrume Danzig. ber iu uriemlanr I ————— EI | eg >77 = en Paar) TE Se er 2 mE Beier, x I Garden Libra La ii II\ \ 35185 0028 ah u # v Kr ser: You.” un rien EEE _ Se VE on N 0 (N =