* ieleetatad oe mw . - 4 cw i ; ) : no * 人 . a , 4 - - < Py : 7 ~ ‘ 一 - ¢ «Pi ¢ nm if ~ . “ - $ @? 二 Vy (§, 0¥Y Introduction tc Biostatistics Hn ¢ SL BI See Dal S Bie Ke obeat i. Sohal bs Sames Kohl 3 aA wR 诗 Ase PRAKEAR 五 南 图 书 出 版 合 司 ot LI a= | OF 近年 来 统 计 技术 的 应 用 逐渐 受 各 方面 的 重视 。 在 生物 学 方面 ， 统 计 的 应 用 也 逐日 增加 。 不 论 是 学 峰 、 农 或 生物 各 方面 的 人 都 需 具备 若干 生物 统计 学 的 知识 与 技术 ， 因 此 大 专 院 校 的 医 、 农 及 生物 等 方面 的 科 条 都 把 生物 统计 学 列 鸭 必修 科目 。 抱 而 在 今日 的 大 专 孝 ASHP ERA — FAR LALA PKA Rot F At S EF HK KAMRES 1 BET 7 RAPLRAS 的 不 足 ， ORR RLS ， # + A KR 的 时 间 ， 而 且 对 书 中 内 容 常 不 易 完 全 透 徽 瞳 解 ee 译 者 翻译 此 本 生物 统计 学 教科 着 的 最 初 动 机 美国 纪 约 州立 大 学 ( State University of New York at Stony Brook ) 之 Robert R. Sokal #F. James Rohlf 两 位 教授 於 1973 PTH Introduction to Biostatistics —# ( W.H Freeman and Comp- any 出 版 ) AZBREKSKGPREA Okie . HEH 4 Myst FAS BEARS AR iA MARA o BA Rte mM, LHS ZHAWRUHEA-B 明确 的 构 念 ， 是 一 本 值得 推崇 的 教科 书 ， 因 此 译 者 决 定 将 此 书 翻 译 成 中 文 ， 好 让 生物 统计 学 的 应 用 知识 更 大 么 化 ， 也 布 望 此 书 的 翻译 本 能 对 峰 、 农 、 生 物 等 方 面 的 学 生 有 所 者 助 。 又 ， 为 了 求 中文 统 计 专 有 名 词 的 统一 使 用 ， 译 者 在 书 中 所 用 的 统计 名 词 全 部 根据 民国 六 十 六 年 五 月 教育 部 公 体 的 “统计 学 名 词 ' 一 书 〔( 国 、 立 编译 馆 编 订 ， EP E ACPA) 此 翻译 工作 承蒙 国立 编译 馆 的 商 助 RARE 的 鼓励 与 支持 ， 王 仁 玉 、 林 美玲 及 高 振 丛 等 学 生 在 绸 写 、 校 对 及 其 他 方面 的 协助 ， 在 此 一 侨 致 府 。 AOR 民国 68 年 10 月 於 国立 中 内 大 学 植物 研究 所 由 於 我 们 所 著 “ BiometIry 一 天 受 到 老师 和 学 生 们 广泛 的 欢迎 ， 促 使 我 们 沁 定 再 写 这 本 比较 精简 的 “ Introduction to Biostatistics”。 这 本 豆 是 人 针对 大 专 院 校 的 学 生 学 习 生 物 统计 用 的 。 提 供 学 生 对 生物 统 计 有 一 基本 观念 以 及 良好 之 基础 。 不 需要 具 人 备 高 深 的 数学 基础 与 应 用 o MAA LAS eHow HS 锋 学 院 以 及 其 他 职 灯 学 校生 物 统计 学 的 教科 书 ， 引 的 未 着 较为 精简 ， 但 我 们 仍 保留 Biometry 该 书 比 较 不 顾 详 的 格式 ， 同 时 我 们 布 望 该 书 之 各 可 通用 认 教 学 上 Duh 2 前 的 特点 仍然 被 保留 在 这 本 记 中 。 本 书 所 抒 用 之 描述 方式 仍 依 “ Biometry 前 言 所 KMaHX, CRHKKSHHHHARLA . KAGE 用 之 方式 略 有 改变 KBRRMAKLASM A MLGE 统计 方法 之 统计 步 又 都 有 详细 之 讨论 ， 但 是 我 们 比 戟 未 注 重 计 算 的 方法 这 是 因为 有 下 列 二 原因 ， 第 一 ， 在 许多 大 专 院 校 的 课程 中 少 有 机 会 与 动机 去 进行 委 重 的 计算 来 分 析 生 物 研 究 的 数据 。 其 次 是 由 认 志 子 计 算 机 普遍 被 揉 用 。 因 此 在 本 韦 中 不 需要 对 认 各 MAAK 器 之 计算 方法 加 以 详细 的 描述 。 印 使 加 以 描述 ， 也 很 快 地 因 时 间 的 变迁 而 不 通用 ， 因 此 我 们 布 望 教师 自行 应 用 该 校 已 有 的 计算 设备 数 半 其 学 生 最 通 当 的 计算 上 水 又 。 本 书 各 章节 所 讨论 的 题目 是 依 十 进位 系统 排列 ， 小 数 点 前 面 之 数字 表示 章 次 ， 小 数 点 后面 之 数字 表示 节 的 顺序 ， 读 者 可 以 从 目 尔 以 及 索引 中 查 出 各 种 题目 _， 附 表 也 依 同样 的 十 进位 系统 排列 ， 小 数 点 前 面 的 数 字 表 示 章 次 ， 和 后 面 的 数字 表示 该 章 所 附 表 的 顺序 ， 有 SAE ok Oy Haha “Box ”，, 也 以 同样 的 十 进位 系统 = Dutt i 排列 ,这些 Boxesm MEH, H—, CM Gk +H ELAPAHMAUHLIM, Abas TRA Pt FH FRE RH 0 Boxes 1h KOLA T AH HAW TM ARROMA RAOER, ALRET MR GI mo Lok, KOA LAVA 2 Boxes 来 讨论 演 算 的 步骤 ， 不 需要 把 演算 步骤 一 一 列 出 ， 可 以 省 下 许 多 教学 时 间 。 附 国 、 到 样 实验 、 数 学 方程 式 、 练 习题 等 的 排列 方 式 也 都 和 表 及 Boxes 一 样 Mt SRF ASR ALVA AF 0 . . ) ; 由 认 本 韦 注 重生 物 疆 计 的 实际 应 用 ， 亿 量 减 少 统 HB, AEST EAORAAAM SMA 2 ， 而 常用 的 对 数 表 、 开 方 表 及 三 角 函 数 表 等 我 们 相信 读者 可 以 ， 由 其 他 书 上 找到 。 我 们 所 列 出 的 表 是 从 “Statistic- al Tables” 一 书 抄 全 而 来 ， 该 书 是 由 Rohlf 和 Sok al 二 人 所 编 ， 於 1969 年 由 Freeman 出 版 社 出 版 。 我 们 很 感 府 已 故 的 Sir Ronald A.Fisher，F.R.S. 之 版 权 管 理 人 以 及 Dr. Frank Yates, E.R. S. ## BS T 4% Oliver and Boyd 出 版 社 , ESF RAK “Statist - ical Tables for Biological, Agricultural and Duh 4 前 Medical Research” —#= ¥? 4qepA Zw Table J. 在 每 草 的 和 后 面 列 有 练习 题 ， 这 此 练习 题 大 部 份 是 和 贯 际 的 研究 问题 ， 因 此 有 些 题 目 需要 相当 的 计算 。 KRGEKBDRHY “Biometry” —Z, HARE 同事 的 建议 ， 我 们 增加 T “HE” — hh, KEM ae 的 秩序 是 从 描述 统计 开始 ， 其 次 是 各 种 基本 的 分 配 和 统计 假设 之 检定 ， 热 后 直接 讨论 变 方 分 析 o EMMA Wt Re ARS 作 是 RA DAP Se A A DL ， 被 安 排 在 本 着 数 章 里 面 几 个 节 来 讨论 ， 我 们 如 此 安排 有 二 RA, As, 9 日 趋 重 要 ， 因此 要 让 学 生 仙 快 的 学 习 变 方 分 析 。 其 次 ， 假 使 学 生 对 变 方 分 析 有 充分 的 螃 解 ， 除 了 定 信和 地 界 限 和 少数 特 珠 情 形 之 外 ， 话 用 上 上 分配 的 需要 已 经 减少 ， 所 用 检 定 可 以 用 人 变 方 分 析 来 代替 ， 而 且 变 方 分 析 所 得 到 的 资 料 更 为 完善 ， 所 需要 的 计算 量 两 者 相差 不 多 。 有 一 些 问 题 我 们 揉 用 新 的 方法 ， 因 为 茧 的 方法 已 经 不 太 庆 用 ， 例 如 ， 我 们 揉 用 联 立 检定 步 又 〔( Sim- ultaneous test procedure ) vAtE Fs, BEF Hh HK | xX ( a posteriori multiple compar isons tests ), Duh Cn 前 另外 我 们 应 用 G 统计 量 ( G- statistic ) 作 次 数 分 析 而 不用 卡 万 检定 ( chi-square tests )， 因 此 卡 方 检定 讨论 得 比较 少 。 我 们 感谢 K.R.Gabriel, R. C.Lewontin, F. J. Sonleitner, Theodore. ].Crovello. 和 Aljlbert J. Rowell ZAR HH AS AHH AHH SL » VAR Arnold B. Larson 4e Gunther Schlager wf 4 3t% #495, ,也 感谢 Edwin Bryant, David Fish- er, Koichi Fujii, John Kishoaugh 和 David Wool BBAES PX RF Boxes 数 字 的 正确 性 ， 我 们 的 雪子 Julie 和 Pat 协助 我 们 许多 编辑 的 工作 ， 我 们 的 秘书 Mrs. Ethel Savarese 对 认 原 稿 的 完成 贡献 很 多 。 Sokal Rohlf —_— : r Pd 所 和 ~* pt 7 - id “= : < ~ 5 sae he . 4 a 7 * - ity “. of} 四 -_ ) ~”* at aU oof; - 5 = . ~ a * a =) Wi tie - « . : J . ° pa . * ‘ ox o ao & W ND = 也 次 Bie PA cee ree cece tear ee teseeeceeseenseeeeeesratteteeeeeeeees 1 定义 .pp SERS ee 1 He Woy + BELA) Be BEEBE -- 0 ence ce cece eee nee veer eee ee tee ee res 3 Tee ee 4 生物 学 上 之 数据 os Oe Brie hoes Sige La oe keh Mina Pal < 0 “+7 Ee ty © LAY seh BY - Ji cca baba see eee eee oo 10 数据 的 正确 度 和 精度 .. Seon ae Faskpus hogh dees eee hate be 13 SES FR BER BA see eee eee cece ee ec ee ec neeeeeeeereceeeeeceneeeteeerenes 16 和 18 数据 的 处 理 Nin atl bd ache aan cing MRE kira Mace El telons wik's bile a 34 SESE TI a AS thar ON ine POOR 35 (28) i SS) Ce eee 27 其 他 的 平均 数 人 39 cS | CE eee eee eee 42 鲜果 43 PEE DE... cece es incceescccseccencevcccenssccecccsscessnseeccceacens 44 = ING a Ob ed Cee eee 49 计算 前 之 数据 简化 .pp 51 计算 平均 数 和 标准 差 的 实用 方法 .ppp 53 BE FR GABBY eee e ec ee cece eee ete eens eseeeeterteeseeeeetenteneueees 58 TR 分 配 之 鳃 论 63 PEAS ,随机 抽样 ， 和 假设 检定 .PP 65 TBA) Bille 站 pp 73 h FRAG} Bila cc-cceceneeccsccenceccessescsseeseenscceseseosenseees 88 Ae RE 分 配 5 101 Se be OLS / Gal: Vee 102 常态 分 配 之 由 来 103 常 能 分 配 的 性质 :4 了 106 常 能 分 配 的 应 用 .pp 112 衣 开 常态 的 情形 以 及 图 解 的 方法 5 116 fe St Fa REAR TE PIT 125 ZE $5 BY AY FP HBC, FAIA FH seen e eee reece eee ee eens ree eeeees 126 Ft OEE BEY) 70 BC FR BBB TG «vee e seen ere eee eeeeen ne ana 133 BR LPR YG cece e eee c eee reece eee ee ees rr 137 司徒 顿 | 142 a o fo N OO Of 第 八 章 样本 入 计量 的 信 顿 界限 .pp 146 卡 方 分 配 . pe tr. Ce Ree 150 $87 19 (SPUR AR «ee eee, 3. pepe get br eee ety 153. {BR BY He EHO HES one eee i SS 155 We FA t 分 配 作 简 哩 的 假设 检定 .pp 171 测验 Ho : ee peal | ee 175 SBE Dy SAY, SGA eee cette teeter tere teres 179 BEAR) BB Dy DB BBD BIG Berets 180 F Ap Pil -ccece reece ere eee ee cee eee tence eee eee ee ener eee eee eee eee eens 187 Ho :co 一 ay 的 假设 ………………: ae ee ee eee 4. POM EAA BS Hi JE aE yh TCS Rot eee Rey et 193 $e ZS 5 Fy Bd Fy FE Ep we eee were wee wees 0 204 和 下 让 211 本 本 eo area Seed gM ir fed Ny Se eer ee Mea a 计算 公式 .pp 220 n 相等 Seeks iis hbk siccuty seedy Med bas setoctemtema woke trie ot tts. c ener ek rad CNS ee 226 0 231 平均 数 问 的 比 较 : 事前 检定 pp 238 在 均 数 间 的 比较 ; 事后 检定 ania OM ms ae a ice seed barns 8.6 Jn 90's e245 第 九 章 人 双向 释 方 分 析 253 有 重 覆 的 双向 释 方 分 析 …………………………. ee ms eetenbene 254 。2 演 向 杰 方 分 析 的 显 着 性 检定 pp os 266 “3 和 无 重 覆 的 人 双向 招 方 人 分析. 269 ee A Be ee, 281 ee ME (Ss bo 2150) ee ee 282 10-2 & fee ec cccc cece nee receescceteneceeeecseeeeeesteseseesetessesaes 287 10-3 FERRI DIT FR BR cence cece eet e eee cee eeereeeeneeeaes 293 on a ee eee 303 sh icy el) eae ee errr r ree 304 11.2 ee cl) 4): ec 306 11-3 基本 的 计算 — X {ARAB OP eee 309 11.4 %—X(BBS R—(BBD V (BBG rece ec eee eee ee eee ees 320 11 .5 和 中 的 显著 人 性 检定 initovindrbies pot. Set cee gane went 2 327 11-6 RUE BE AA) FB Gere vec c cee eee ee cee cece eeeereeseesen tee teense reeeeetes 337 sh cy Ae) ds OD 2) Oe eee 340 += 相关 349 12.1 相关 和 外 中 .pe 350 12-2 积 差 相关 傈 数 …………………: 人 353 12.3 FABRA RR BEYER ie eee eee eee eee tee ee cence ete nteeneeneeesie nes 366 12-4 FARA E Fi eves eee cee e ee cee center eee eeee ete e eee reeree teeree eee 371 12.5 肯 德 等 级 相关 傈 数 .pp 2 人 第 a 本 Bete bie dennis 383 O84) WAS ------- ee tee teen ae ee 384 13°2 FAO) Aaa BE BE indienne me 二 人 394 13-3 独立 性 检定 : dE eee one war a pvt lee 了 396- inks a 25h 6 a05++0yas ses na navn nncoodransaceentanige ae iicereaintas 407 Be PMR GE. .....-2.n3e.ceace Setar ea ihe pol alten SIN .407 本 eal ho ght cc ala Sek 419 oe... PT he et PASS, ee reer ss bees Skee ees 457 i A he ae aa 2 > totic 人 e + eee: 四 » > ae ADE Qa) eae ave, ae 4 rat 本 章 首 先 对 生物 统计 学 下 个 定义 (1.1)， 和 然后 八 述 生物 统计 学 发 展 的 历史 (1.2)， 在 1.3 节 中 诗 花 了 生物 学 研究 者 所 应 有 的 统计 学 上 ZEA iio 1-1 定义 (Some definitions ) 生物 统计 学 是 应 用 辆 计 的 方法 来 解决 生物 学 上 的 问题 。 生 物 统 计 EAR FS biostatistics, biological statistics Ke biometry , it st SEAR AAAS, F—-ASH HE RADA KAA tat SA eRe: HABARRAFAHASRA CH 学 研究 。 过 个 定义 之 各 部 分 都 很 重要 ， 所 以 须要 做 进一步 的 解释 。 科学 研究 (scieztizric study): 生物 和 攻 计 学 是 科 没 中 的 一 门 ， 2 生物 和 统计 学 导论 因此 本 科目 的 研究 必需 依照 科学 的 原则 ， 对 於 描述 以 及 数据 的 评价 都 BERG, ARRRERKEABATI RARHBRBA, BH (Data): 统计 学 通常 是 研究 一 群 的 个 体 ， 因 此 所 言论 的 包 含有 多 项 资料 ， 而 不 是 单一 的 数据 ， 因 此 不 是 从 趣 於 对 从 单一 动物 的 测量 或 是 单一 生化 试验 的 反应 。 FH) (Numerical): 除非 一 项 研究 所 得 到 的 壮 料 能 狗 以 数字 玫 示 ， 否 则 就 无 法 进行 统计 分 析 。 数 字 的 痪 料 可 以 是 测量 而 得 到 的 ， 例如 一 逢 构 秒 的 长 度 、 袖 度 ; 或 是 在 某 一 逢 体液 中 的 某 逢 化 学 物质 的 含量 ， 都 可 由 测量 而 得 。 另 外 ， 数 字 的 杜 料 也 可 以 由 计数 而 得 ， 例 如 MEHR ARTA HMA, SARA BRT EBM NR, ”自然 现象 C Vatxwyrcl! phenomena): 我 们 探 用 此 名 词 的 广义 定 义 ， 包 括 所 有 不 是 人 类 所 操 火 的 自然 界 中 生物 与 非 生 物 所 发 生 的 事件 ， 以 及 科学 家 所 操 帮 的 实验 。 不 同 生物 学 家 关心 著 不 同 的 生物 现象 ， 其 ， 他 学 科 的 科学 家 ， 所 关心 的 是 他 条 的 自然 现象 。 但 是 大 家 都 同意 旺 昕 的 听 声 ， 静 豆 英 中 豆子 的 数目 ， 以 及 鸡 的 成 熟 年 龄 ， 过 些 都 是 自然 现 Ki. Avy AWEAEENE LRRZ E 改 攻心 跳 的 情形 ， 以 及 玉 ‘HELANORNANRBR, LRARRLARRR MRE ARES OF A, MRR ADBRRRS ENTS ”和 售 的 立体 昔 黎 之 数量 不 是 自然 现象 ， 但 是 社会 学 者 及 人 类 生态 学 家 可 能 把 它 党 作 自然 现象 ， 而 且 值得 研究 。 自 然 现象 被 包括 在 芒 计 学 的 必 人 备 人 条 件 内 是 因 震 某 些 现象 可 以 由 研究 的 人 完全 控制 ， 例 如 在 一 个 实验 中 所 用 的 动物 数量 ， 就 不 是 自然 现象 ， 不 是 统计 学 研究 的 对 条 。 Statistics 的 另 一 个 意义 是 当 作 Stetistic We HY, Statistic 是 指 任何 一 个 计算 或 估计 得 到 的 统计 量 ， 例 如 平均 数 、 标 准 差 以 及 相 天 傈 数 等 等 。 第 一 夫 二 相 15 区 3 1.2 生物 统计 学 的 发 展 历史 (The development of biostatistics ) ACHAEA oH, PRAM RE. B—, LARK 治 科学 中 需要 对 於 一 个 政府 的 各 方面 事物 加 以 多 量 的 描述 ， 过 方面 又 WL political axitpzaetic 。 需 了 课 税 和 保险 的 计算 ， 因 此 人 们 需要 进 行 户口 调查 ， 理 命 年 限 以 及 死亡 率 等 的 凋 查 ， 过 方面 的 调查 尤其 是 在 英国 发 展 其 霸权 时 特别 重要 。 如 Pee Graunt FlWilliam Petty 就 是 英国 早期 的 生命 统计 学 家 。 大 狗 在 同时 期 ， 第 二 方面 的 近代 统计 学 发 展 是 由 於 当 时 的 贵族 障 ARRAN SH RRMA BRK, HbA Blaise Pa- scal (1623~ 1662) 与 Pierve de Fermat (1601~ 1665) 对 RBBWNSRARAWAR ISA Jacques Bernoulli 所 发 表 的 Ars Conjectandi 一 书 对 现代 机 率 理 论 贫 定 了 基础 。 法 人 4brec - ham de Moivre (1667~ 1714) 是 第 一 个 应 用 和 统计 学 和 机 这 的 理 论 计 算出 年 俯 的 统计 学 家 ， 他 也 是 第 一 位 应 用 二 项 展开 式 来 求 常态 分 配 的 近似 值 的 人 。 另 一 方面 天 文学 也 促进 了 和 统计 学 的 发 展 在 天 文学 中 许多 单一 的 观测 需要 溃 成 一 个 连贯 的 沁 琢 。 十 八 世 可 的 Pierre Simon Lanhace’ . (1749~1827) 和 Karl Friedrich Gauss (1777~1855) 两 人 需 最 著名 的 天 文学 家 与 数学 家 。 和 合 者 的 主要 贡献 在 佟 他 所 提倡 出 来 的 最 小 平方 法 ， 此 种 方法 将 会 在 本 书 中 言 葵 到 。 RP BAD Ri BEM AT AE Adolphe Quetelet (1796 一 1874)， 他 是 比利时 的 天 文学 家 ， 也 是 数学 家 ， 他 把 统计 学 的 理 葵 与 计算 方法 应 用 到 生物 学 、 医 药学 以 及 社会 学 上 面 。 书 zczrcis Galton 4 BRR (1822~1911) BX (Charles Darwin) H%* 5H, RBBA 物 和 统计 学 以 及 优生 学 之 父 。 由 检 巡 天 文 在 遗传 学 襄 方 面 的 不 足 促使 Galton 设法 解决 遗传 的 问题 ， Ce1tox 对 於 生物 学 的 主要 页 献 是 他 应 用 葡 计 学 的 方法 分 析 生 物 的 他 办 ， 例 如 轰 轴 分 析 以 及 生物 数据 的 正 才 和 相关 分 析 。 他 本 来 是 想 利 用 此 种 研究 方法 探 庆 遗传 的 定律 ， 但 是 BAK, ARN RA EHEREN HR ARH TAR STBROR €, CRHERNBRHEEDHAMT, AE AOD RE T AW eet BOR, Hk, HA Karl Pearson (1857~1936) HA Say 2KW. F.R. Weldon (1860~1906) HHA aK ARHREREDS HAR, LEENA KERR, Weldon 是 提出 Biometry 过 个 名 说 的 第 一 个 人 。 灼 Galtox 2, Pearson® 进一步 贫 定 了 描述 和 统计 与 相关 统计 的 基础 。 本 世 和 构 对 於 般 计 学 与 生物 统计 学 贡献 最 大 的 是 Ronald A. Fisher (1890~1962), KB 者 将 很 容易 发 现 他 对 芒 计 理 葵 的 许多 贡献 。 今天 的 统计 学 应 用 很 广 ， 而 且 是 发 展 很 快 的 科学 ， 每 一 门 自 然 科 学 以 及 人 文科 学 都 要 应 用 到 和 统计 学 的 方法 。 和 统计 学 的 新 的 应 用 不 断 地 ”和 定 发 现 ， 疫 有 人 能 预言 那 一 方面 的 统计 将 圣人 於 生物 学 有 新 的 应 用 价值 。 1.3 统计 学 的 基本 认识 (The statistical frame of mind) 生物 学 应 用 和 统计 方法 的 重要 性 可 以 从 任何 生物 学 期 刊 中 看 出 来 ， 统计 学 对 生物 学 的 重要 性 与 日 俱 增 的 原因 ， 是 由 於 人 们 膀 解 在 生物 方 面 各 个 因果 爸 数 站 不 遵循 十 九 世 各 的 物理 科学 所 发 现 的 定理 。 在 十 妃 tH MA we, PI Robert Mayer 7 Helmholtz 等 ， 他 个 想 用 物理 化 学 的 现象 解释 生物 现象 ， 但 是 另 一 方面 有 些 人 提出 生机 葵 ， 训 、 需 生 物 的 现象 有 一 霸 魂 主宰 ， 不 能 用 物理 化 学 的 方法 来 解释 生物 现象 。 8-e & mS 由 从 受到 机 械 葵 的 影响 ， 骆 然 物理 学 家 已 经 开始 应 用 到 和 统计 学 的 方法 ， 但 是 有 很 多 生物 学 家 渤 保 留 车 传统 的 央 格 之 机 械 葵 的 想法 。 生 物 学 上 的 现象 是 受 很 多 因素 的 支配 ， 过 些 因 素 往 往 是 无 法 控制 、 无 法 被 驳 定 的 因素 。 和 统计 学 是 被 用 来 测量 许多 玖 与 的 现象 ， 而 且 用 来 分 状 微小 而 有 显著 的 差 恨 。 有 一 些 生物 学 家 对 於 他 们 的 实 瞪 结果 或 是 对 於 自 然 现象 疯 察 的 千 果 如 发 现 没有 明显 的 差 情 ， 在 没有 进 行 统计 分 析 之 前 ， 就 认 需 不 值得 做 进一步 的 研究 ， 其 实 ， 数 乎 每 一 逢 自然 现象 的 研究 都 须要 和 炉 计 的 分 析 。 我 们 必须 强调 攻 计 的 思考 和 一 般 的 科学 思考 是 没有 不 同 的 。 在 统 计 学 我 们 用 机 这 来 才 示 相信 或 者 不 相信 的 程度 ， 而 不 用 一 般 第 和 统 的 解 释 。 例 如 : 生物 学 家 常设 4 逢 大 於 刀 种 ， 或 是 某 一 年 生物 雌性 比 雄 性 RHESAVBTRDEREN BLL, GREK TT Be PREMERA. ERSHH MHAME— BAM SHH 械 ， 能 够 从 外 界 训 规 很 多 事实 ， 加 以 明山， 然后 得 到 一 个 摘要 的 印象 , 例如 从 我 们 的 印象 中 我 们 了 得 某 些 事 件 较 常 发 生 ， 而 某 些 事件 较 少 发 生 ， 例 如 “人 们 抽 粳 ”是 一 件 常 改 生 的 事件 ， 而 “人 被 香 共 皮 答 倒 ” 则 是 一 乔 少 发 生 的 事件 。 另外 ， 我 们 从 我 们 的 经 验 ， 我 人 晓得 日 本 人 平均 比 英国 人 斤 ， 而 埃及 人 平均 则 比 瑞典 人 黑 。 我 个 常 把 雷 疡 与 办 电 联 想 在 一 起 ， 把 车 电 和 夏天 的 垃圾 桶 联想 在 一 起 ， 但 是 下 雪 和 南 加 州 的 沙漠 则 很 少 被 联想 在 一 起 。 所 有 过 些 知识 都 是 我 们 ARTS 到 的 烙 果 ， 过 些 径 验 有 的 是 亲身 的 烃 验 ， 有 的 是 贡 到 或 藏 到 的 ， 所 有 过 些 事实 烃 温 人 的 头脑 的 处 理 ， 就 好 像 径 过 电脑 处 理 一 样 ， 能 得 到 一 个 摘要 的 印象 。 过 些 摘要 的 印象 经常 被 修订 ， 肉 然 有 些 印 象 是 钳 如 的 , 或 者 有 所 偏差 ， 但 大 体 上 来 说 是 相当 的 ER, HAM MBL 6 AM at BB iw APA EGS EEA 9 Sato HACHBE RT SRASRAV REM Ran, HE MHtHE HER bA TO ves BAtatSns as. AM, BADTA RABE HOSEA. FAA ae RAE Be ( Qa- antitative Genetics ) ; LERABHOMHBET BE MAR, i SE BASS Ae BW EBA ATT BR LW 生物 学 上 之 数据 在 2.1 节 我 们 解释 样本 ( S axable ) 和 全 体 (Population ) 的 定 Ze; 在 2-2 fin im tWRALZS BA ea 2-3 GBA ava SUE au Bk eS AT Te SW HE, 及 四 捡 五 人 的 方法 ; 第 2.4 和 莘 言 花 各 逢 遵 来 的 数据 ， 例 如 比例 和 指数 ， 过 些 数 据 也 常常 在 生物 科学 壬 面 被 应 用 到 ， 过 些 遵 来 的 数据 ， 它 们 的 精确 度 和 分 配方 面 都 有 其 特 RAHA: 第 2.5 节 我 个 讨论 次 数 分 配 ( Frequency Distribution ) 和 数据 的 麦 示 方 法 ， 知 道 如 何 把 数据 排 成 欢 数 分 配 是 很 重要 的 ， 因 饲 运 种 安排 可 以 使 我 们 对 人 於 全 部 数据 得 到 一 个 概略 的 印象 ， 冰 且 依 照 次 数 分 配 做 进一步 的 计算 ; 第 2.6 节 我 们 简单 地 言论 处 理 数据 的 各 箱 FFE 8 ”生物 统计 学 导 葵 2.1 样本 和 人 全体 (Samples and Populations ) 现在 我 们 需 一 些 在 生物 数据 上 的 重要 名 词 下 定义 。 在 生物 统计 上 的 数据 ( Data) 是 得 自 个 别 的 观测 ( Individual Observations), 它 侦 是 得 自 最 小 的 抽样 单位 ( Smallest sampling unit ), Se 最 小 的 抽样 单位 在 大 部 分 的 情形 下 也 是 指 生 物 的 个 体 ， 假 使 我 们 测量 一 百 焦 老 鼠 的 重量 ， 则 每 一 焦 老 和 鼠 的 重量 是 一 个 单一 的 观测 值 ， 过 一 BEER OH MOB SR BEA ( Sample of observations ), 此 观测 样本 可 以 解释 需 依 照 一 个 特定 的 程序 所 得 到 的 个 别 观 测 值 的 炉 称 。 过 个 例子 壬 ， 每 一 个 个 别 观 测 值 是 来 自 每 一 个 生物 个 体 ， 也 就 是 一 焦 老 鼠 ， 但 是 假使 我 们 研究 一 焦 老 鼠 在 一 段 时 间 内 体重 的 爸 化 情形 ， 则 每 个 个 别 观 测 值 将 是 过 焦 老 鼠 在 不 同时 期 下 的 各 个 重量 。 假 使 我 们 要 研究 各 个 蜂 旺 和 社会 的 温度 ， 则 每 一 个 社会 是 一 个 抽样 单位 ， 从 每 一 个 社会 所 测 得 的 温度 是 一 个 个 别 观 测 值 ， 而 观测 样本 是 指 所 有 社会 的 温度 的 炉 称 。 假 使 我 们 把 一 个 哺乳 动物 的 一 个 精 和 胞 的 DNA 含量 当 作 是 一 个 个 别 的 观测 值 ， 则 观测 样本 是 一 个 单一 的 哺乳 动物 之 分 析 温 Rts MABRY DNA 全 量 之 所 有 估计 值 。 个 别 观 测 值 也 叫做 项 目 ( 芷 ez 到 现在 垮 止 ， 我 们 还 没有 计 葵 到 我 们 所 研究 的 对 象 是 属於 那 一 逢 释 数 ， 因 垮 “个 别 观 测 值 ”与 “观测 样本 ”只 是 数据 的 糙 构 ， 而 不 是 数据 的 性 质 。 个 别 观 测 所 测量 的 性 质 称 角 性 状 (Cparecter ) RRR (Variable), 7E—-MRHRLERZABM FEEDS L, HER (Character ) 也 常 被 用 到 。 从 一 个 最 小 的 抽样 单位 上 可 以 量 到 一 个 或 一 个 以 上 的 性 状 ， 因 此 在 四 焦 老 鼠 中 ， 我 们 可 以 测量 每 一 委 老 鼠 血 液 的 PH 值 ， 也 可 以 测量 每 一 焦 老 鼠 红 血球 的 数目 ， 每 一 焦 老 鼠 是 一 第 二 章 “ 生物 学 上 之 数据 9 个 最 小 的 抽样 单位 ， 血 液 PH 值 和 红血球 的 数量 则 是 两 个 性 状 ， 每 一 个 PH 值 或 血球 数目 是 一 个 个 别 观测 值 ， 因 此 我 们 将 得 到 两 个 5 疯 测 值 的 样本 ， 一 个 是 PH 值 的 样本 ， 另 一 个 是 红血球 数目 的 柑 本 ， 我 个 可 以 称 之 坑 包 含 2 对 观测 值 的 二 元 样本 (0izcaxizte sample )， 每 一 对 观测 值 包括 一 个 PH 值 和 -- 个 村 血球 数目 。 HK, RABDB( population) 下 定义 ， 在 生物 学 上 popu- lation 一 般 称 坑 族群 ,一 个 生物 族群 是 指 在 一 定 范 围 一 定时 间 内 某 一 逢 生物 的 所 有 个 体 的 独 称 ， 或 是 只 指 生活 史 中 的 某 -一 时 期 ， 或 某 一 性 别 。 而 在 统计 学 上 ， 全 体 是 指 存 在 於 世界 上 某 一 个 地 方 ， 或 是 在 某 一 特定 的 时 间 和 空间 下 的 抽样 地 区 内 所 有 的 个 别 观 测 之 炉 称 ; 也 就 是 我 个 从 其 中 抽样 时 所 要 推论 的 对 象 。 假 使 我 们 抽样 研究 五 个 男人 的 血液 中 之 白血球 数目 ， 而 要 推 葵 世界 上 所 有 男人 的 白血球 数目 ， 则 世界 上 现在 生存 的 男人 之 白血球 数目 是 我 们 所 要 推 葵 的 至 体 。 另 一 方面 ， 候 使 我 们 把 我 们 所 研究 的 范围 加 以 熔 小 ， 例 如 我 们 研究 五 位 廿 训 的 中 国 男人 ， 则 我 们 所 要 推 葵 的 全 体 是 指 所 有 廿 央 的 中 国 男 人 之 白血球 数目 。 此 种 全体 有 时 也 被 称 坑 全 域 ( xpioexrse )。 一 个 全 体 可 以 是 指 一 逢 物体 ， 或 是 一 种 生物 的 棕 数 ， 例 如 世界 上 所 有 白 老鼠 的 尾巴 长 度 ， 或 是 世界 上 所 有 中 国士 训 男 人 的 白血球 数 ,或 是 所 有 现存 白 老 和 精 粗 胞 的 DNA 含量 ; 另外 ， 全 体 也 可 以 是 指 实验 的 千 果 ， 例 如 ， 注 射 儿 上 腺 素 后 所 有 实验 之 老鼠 的 心跳 欢 数 。 前 者 ， 一 个 全 体 通常 是 有 一 定 的 数量 ， 账 然 事实 上 我 们 不 可 能 探 集 计算 或 检查 所 有 白 老鼠 的 精 类 胞 ， 所 有 廿 诈 的 中 国 男 人 ， 或 是 世界 上 所 有 白 老鼠 ， 但 是 此 等 至 体 是 有 一 定 的 数量 。 有 一 些 比 较 小 的 全 体 ， 例 如 北美 洲 所 有 的 大 箱 (whooping cranes ) ， 或 是 在 一 群落 中 的 陆 贸 〈( pocket gophers ) ， 由 於 数量 不 多 ， 所 以 可 作 全 部 的 调查 。 相 反 地 ， 一 个 实验 可 以 被 重复 无 10 ”生物 统计 学 亲 蓝 x ( 至 少 理 葵 上 是 如 此 ) ， 例 如 注射 展 上 腺 素 之 老鼠 的 实验 可 以 重 复 和 无 壤 欢 ， 只 要 实验 的 人 能 兔 粕 灶 地 得 到 材料 ， 和 他 的 健康 、 耐 心 能 约 笨 和 续 地 共 持 。 在 过 种 情况 下 ， 实 际 上 做 的 实验 样本 是 从 一 个 可 以 补 孝 行 无 限 次 数 的 全 体 中 抽样 的 结果 。 有 一 些 统 计 方 法 对 於 有 限 的 至 体 与 无 限 的 全 体 ， 其 计算 方法 不 一 样 。 巍 然 在 生物 学 的 内 用 上 有 许多 全 体 理 葵 上 是 有 固定 的 数目 ， 但 他 个 比 由 其 中 抽样 的 样本 要 大 很 多 ， 所 以 实际 上 我 个 可 以 把 它 当 作 是 无 需 大 的 全 体 来 看 待 。 2.2 生物 学 上 的 变数 (Variables in biology ) 每 一 门生 物 学 科 有 其 特定 的 伙 数 ， 可 能 是 形态 上 的 性 状 、 体 液 中 的 化 学 含量 、 某 些 代谢 作用 的 速率 ， 在 遗传 学 或 放射 生物 学 上 所 发 生 ， 事件 的 欢 数 、 生 物 研究 上 所 用 的 光学 或 电子 人 通 器 的 芒 数 等 等 。 1: py . |- ARB ( biological variables ) 的 定义 是 : 在 一 个 样 本 中 的 个 体 上 的 某 一 性 状 ， 而 且 吉 个 性 状 在 个 体 间 有 沟 里 。 假 使 过 个 性 状 在 一 个 样本 中 没有 构 愤 ， 或 至 少 在 被 研究 的 所 有 柑 本 中 都 没有 区 展 ， 则 在 统计 学 上 通常 没有 愉 趣 来 计 葵 过 种 释 数 。 在 一 般 和 遗传 上 以 及 玫 现 型 上 有 不 同 的 生物 族群 中 ， 长 度 、 高 度 、 重 量 、 牙 些 的 数目 ， 杀 他 命 C 的 含量 和 基因 型 都 是 季 数 的 例子 。 相 反 的 ， 对 哺乳 动物 而 言 ， 温 血 过 个 性 状 汞 不 是 一 个 释 数 ， 因 和 垮 所 有 哺乳 动物 都 是 温 血 的 ， 但 是 每 一 哺乳 动物 的 体温 则 是 一 个 构 数 ， 因 需 它 们 是 有 糙 情 的 。 我 们 可 以 把 生物 学 上 的 构 数 分 成 下 列 交 逢 : @ & (Variables ) at i #% ( Measurement Variables ) i WC Continuous Variables ) Ait 4 BW ( Discontinuous Variables ) = HB ( Ranked Variables ) Mtt ( Attributes ) : 第 二 章 “ 生 物 学 上 之 数据 11 计量 轰 数 是 所 有 能 锡 用 数字 大 小 麦 示 出 来 的 楼 数 。 他 们 又 可 以 分 需 两 种 ， 第 一 种 是 过 和 续 沟 数 ， 理 论 瞎 炉 爸 数 的 值 在 两 个 固定 的 数值 之 间 是 可 以 有 和 无 数 个 数值 。 例 如 ， 长 度 在 1.5 公分 和 1.6 公分 之 范围 内 只 要 研究 的 人 有 精确 的 侥 器 和 耐心 就 可 能 得 到 无 壤 数 的 中 间 值 ， 因 此 任何 一 个 连 征 娩 数 的 数值 ， 如 长 度 1.57 毫米 ， 都 是 一 个 近似 值 ， 而 其 实际 值 通常 都 是 无 法 得 知 的 ， 在 生物 学 上 有 很 多 都 是 连 炎 度数 ， 例如 长 度 、 面 积 、 和 体积、 重量、 角度 、 温 度 、 时 间 长度 、 百 分 比 和 上 比 率 都 是 。 除了 汗 米 舍 数 之 外 ， 渤 有 不 连续 沟 数 (discontinuous vari- ables), 7G NBER IL BR ( meristic variables) RHF avi BY ( discrete zczicp1es ) 。 此 释 数 只 有 若干 固定 的 数值 ， 数 值 之 间 不 可 能 有 中 间 值 。 例 如 昆 硬 的 某 些 附属 物 之 节 数 可 能 是 4 或 5 或 6 ， 但 看 不 可 能 是 5 奴 或 4.3。 另外， 又 如 某 些 构 尘 的 数目 ( 如 和 节 、 ME, FERRO A). FROME, Heo oom eK BH, REHM PMMA. 有 些 构 数 不 能 以 量 数 玫 示 ， 但 可 将 其 各 逢 情况 依次 排 成 等 级 以 麦 示 之 。 例 如 ， 在 一 个 实验 中 ， 我 们 可 以 把 十 个 肾 几 化 的 情形 以 顺序 来 表示 ， 而 不 指明 每 一 个 肾 孵 化 的 正确 时 间 。 在 此 情况 下 我 们 称 之 需 一 (AS BR (ranked variables), WHAFRR, REIMER 序 。 有 一 些 特 殊 的 统计 方法 特别 垮 过 一 类 的 构 数 而 设计 ， 在 本 书 中 也 将 言 花 到 其 中 的 若干 方法 。 当 一 个 党 数 USAR, GIN 等 级 1，2，3，4 和 5， 此 时 等 级 1 与 等 级 2 CAMERA LUA ESHER 2 与 等 级 3 ZH WER, A eA AN BES SER, UP SS ES BSE (attributes ) > HA CAI eats, BRAN, FEALIEHN, KEN AR 12 &Bitat +i HEN: SS, SLSREVREARRR RATED wi, OM, E80OSZREH, WHISEAN, 2 和 焦 是 刺 鼠 的 颜色 (agoxti )， 其 余 的 是 灰色 。 党 属性 和 频 度 合成 一 个 万 的 时 候 ， 我 个 BERMBAB( enumeration data)， 二 种 数据 可 以 通用 於 某 一 些 和 统计 分 析 。 上 述 老 鼠 颜 色 的 枚 举 数据 ， 可 用 下 表 表 之 。 6H f ( Color ) SABE ( Frequency ) =f ( Black ) 4 fi] ZA (Agouti) 3 灰色 (Gray ) 74 Bw 80 (Total number of mice ) BEET LRN, MMB ATU RRR eS eZ , URRTRBK, 另外 有 些 属 性 TSR, AR RSM Bh, AN MEW= EBUENEE “BERS”, “BARE” Al“ Se”, BSGRRTA WU, 2, 3H, ARB (LBB RKERAL Ae Ht Be BE RR SB (variate), EAS PRL BKM RK, TK, RENE, WM, RMR 测量 SELREOWRE UEOREL- Aan, 而 长 度 的 每 一 个 苦 数 是 一 个 构 值 。 本 书 中 以 大 写字 母 麦 示 帮 数 ， 最 常用 的 是 了 ， 因此 站 可 用 来 代 麦 老鼠 尾巴 的 长 度 。 而 每 一 个 长 度 的 量度 是 一 个 构 什 , 例如 yi， 可 以 麦 示 第 ; 焦 老 鼠 的 尾巴 长 度 ， 而 了 , 麦 示 在 我 人 的 样 本 中 第 4 焦 老 鼠 的 尾巴 长 度 。 第 二 章 “” 生 物 学 上 之 数据 13 2.3 数据 的 正确 度 和 精度 ( Accuracy and precision of data ) 在 日 常生 活 中 ， 我 们 常 把 正确 度 ( Accuracy ) 和 精度 ( precision ) 混 需 一 款 。 但 在 统计 学 上 我 们 把 它们 下 比较 严格 的 定义 。 正 确 度 ( Accuracy ) 是 一 个 测量 或 计算 值 和 其 站 值 ( tyzxe value ) 接近 的 程 度 ; 精度 ( precision ) 是 对 同一 事物 重复 测量 所 得 到 之 数据 的 接近 程度 。 一 个 有 偏差 但 是 敏感 度 高 的 征 可 能 得 到 不 正确 但 精度 高 的 重量 。 相 反 的 ， 一 个 不 敏感 的 称 偶尔 也 可 以 称 得 到 一 个 正确 的 读数 ， 但 是 其 精度 则 低 ， 因 怖 重复 称 重 时 不 太 可 能 得 到 同样 正确 的 重量 。 除 非 一 AUER, 否则 精度 高 的 数据 ， 通 常 正确 度 也 大 ， 因 此 ， 我 们 通常 较 注重 数据 的 精度 。 精度 最 高 的 构 值 通常 是 ( 但 非 必 要 ) 正 整 数值 ， 例 如 当 我 们 算出 一 个 梨 中 有 4 个 蛋 的 时 候 ， 假 使 我 们 的 计数 没有 鲁 束 ， 我 们 不 可 能 局 疑 蛋 的 正确 数量 是 4， 而 泵 是 3 或 5， 同 时 也 不 可 能 是 4 加 沽 一 个 小 数 。 分 立 叙 数 通 常 是 正确 数 ， 另 一 方面 ， 由 分 立 爸 数 演 鬼 而 来 的 连 炉 叙 数 ， 在 某 种 情况 下 也 是 正确 数 。 例 如 由 正确 数 和 正确 数 所 得 到 的 比 例 值 也 是 正确 数 ， 举 例 来 贡 ， 在 一 个 动物 群落 中 有 18 焦 雌 的 ， 有 12 信雄 的 动物 ， 则 雌雄 的 比例 是 1.5， 运 个 数值 是 一 个 过 炉 秋 值 ， 但 也 是 一 个 正确 数 。 无 葵 如 何 ， 大 多 数 的 过 悉 构 数 都 是 近似 值 ， 过 个 意思 是 说 一 个 单 一 的 测量 值 ( 也 就 是 一 个 爸 值 ) 的 趴 正 值 是 不 得 而 知 的 ， 所 以 测量 所 得 的 最 后 一 个 数字 ， 只 能 麦 示 它 暗 指 的 精确 人 情况， 也 就 是 表示 我 们 相 信里 正 的 值 是 在 某 一 个 范围 之 内 ， 例 如 ， 假 使 我 们 量 到 一 个 长 度 是 (12.32%, RA ERES REWER WH 12.25 毫米 和 12.35 14 生物 统计 学 导论 毫米 之 间 ， 至 故里 正 的 长 度 在 过 瞳 指 界限 ( implied limits ) 当中 的 正确 位 置 则 不 得 而 知 。 若 是 里 正 的 值 是 12.25， 则 我 人 得 到 的 数 值 可 能 是 12. 2 或 12. 3 ， 有 两 者 的 机 这 是 一 样 的 ， 但 是 当 我 们 永 适 个 数值 是 12. 2 或 12.3 时 ， 表 示 我 们 已 经 依照 可 以 利用 的 最 好 方法 或 通 器 测量 而 决定 其 攻 数 。 假 使 您 所 用 的 测量 方法 或 全 器 非常 精确 ， ABET GER GS BREAN 12.25, SERA, RRR TE 4 BROS PER GSEE LS eI aS 一 个 位 数 。 如 果 ， 我 们 测量 到 的 数值 是 12.32 ， 我 们 障 指 贯 正 的 值 介 艾 12.315 和 12.325 之 间 ， 除 非 我 们 有 此 箱 意 思 ， 否则 只 写 到 12.3 就 可 以 。 党 我 们 塌 加 一 个 小 数位 时 ， 同 时 也 瞳 指 著 精 度 的 增加 ， 因 此 , 数值 的 正确 度 和 精度 是 相对 的 ， 而 不 是 稻 对 的 。 在 没有 候 差 的 情况 下 ， 当 我 们 能 金 应 更 多 的 有 效 数 字 ， 表 示 其 正确 度 也 随 著 塌 大 ， 我 们 以 下 列 三 个 数值 来 发 明 相对 的 正确 度 之 观念 。 iif ABC Implied limits ) 193 人 192.8 192.75 —292.85 192.76 192.755 —192. 765 我 们 把 上 面 三 个 数值 党 作 是 对 同样 一 个 构造 的 三 个 不 同 的 测量 值 ， 另 外 ， 假 设 我 们 晓得 过 个 构 尘 的 臭 正 长 度 是 192.758 Mfr, AES 个 测量 值 的 正确 度 从 上 往 下 增加 ， 也 就 是 192.76 的 正确 度 最 高 。 同 时 我 们 发 现 ， 最 上 面 的 一 个 数值 之 瞳 指 界限 最 寅 ， 而 第 三 个 测量 值 的 . PFS ABR RE, 第 二 章 ”生物 学 上 之 数据 15 肉 然 分 立 释 值 通常 是 正确 值 ， 但 是 党 其 数值 很 大 的 时 候 ， 我 们 也 可 以 训 销 其 近似 值 ， 例 如 ， 假 使 我 们 应 一 平方 公 尺 士 壤 壬 面 的 昆 吕 AA 36,000, RMR IENMRAEAK 35,500 与 36,500 之 i. | ERAS BW REM RR, BBR Rs PIE 2 假使 我 个 把 样本 中 之 个 体 从 最 小 的 到 最 大 的 依次 排列 ， 有 一 个 规则 可 循 ， 就 是 从 最 小 到 最 大 的 测量 值 之 间 应 该 有 30 到 300 个 单位 区 间 Cunit stebs )。 例 如 ， 假 使 我 们 要 量 一 系列 的 具 哉 到 最 接近 的 毫米 数 ， 而 最 大 的 具 融 是 8 毫米 寅 ， 最 小 的 是 4 毫米 寅 ， 则 过 二 个 宽度 之 间 只 有 4 个 单位 区 间 ， 因 此 我 们 必须 增加 一 个 小 数位 ， 此 时 最 大 的 具 裔 可 能 是 8. 2 毫米 宽 ， 最 小 的 可 能 是 4. 1 毫米 寅 ， 则 在 最 大 与 最 小 值 之 间 有 41 个 单位 区 间 ， 也 就 是 有 区 党 数 目的 单位 区 间 。 我 们 过 样 做 HRA, ARERR, GM 4 ZK RM MRE A 1 毫米 的 铺 RK, MRT 25% RE, HE 4.1 毫米 的 芒 数 ， 如 果 有 0. 1 毫米 HOGER, RMR AN 2.5% WR, AE, RRA ATHY SE, REWEWE173.2298, BBWE26.6 0298, BER 个 极限 之 间 有 1466 单位 区 间 ( 每 一 个 区 间 是 0.1 公分 ) ， 和 显然 是 太 多 了 ， 因 此 我 们 可 以 只 训 颖 到 最 接近 的 公分 数 ， 也 就 是 记录 最 高 的 植物 是 173 公分 ， 最 矮 的 是 27 公分 ， 两 者 之 间 有 146 个 单位 区 间 。 ”一 个 近似 值 的 最 后 一 个 位 数 是 有 效 的 ， 因 和 需 它 瞳 指 中 正 值 可 能 在 一 个 范围 之 内 ， 此 范围 即 如 上 述 ， 在 如 缘 值 之 上 下 个 个 单位 区 间 之 间 ， 生 包括 所 有 的 数字 ， 包 括 零 。 因 此 除非 雾 是 有 效 数字 ， 否 则 就 不 坟 加 在 一 个 近似 值 小 数 点 后 最 右 滤 的 一 位 数 ， 例 如 7.80 ERB IE 介 於 7.795 到 7:805 ZH. Be RS HIE (AEM 7. 75 BI 7.85 之 间 ， 则 此 测量 值 必需 写成 7.8 。 16 生物 和 统计 学 遵 论 当 我 们 要 沽 少 有 效 数 字 的 数目 时 ， 我 们 就 必须 四 拾 五 入 。 四 拾 五 入 的 规则 很 简单 ， 假 使 要 被 四 拾 五 入 的 数字 其 右 泪 数 字 小 余 5 ， 则 此 数字 保持 不 释 。 假 使 它 的 右 泪 的 数字 大 於 5 或 者 是 5 而 且 和 后 面 有 不 是 老 的 数字 ， 则 增加 1 。 当 要 被 四 抢 五 入 的 数字 后面 的 一 位 数 是 5， 而 且 5 的 后 面 是 零 ， 则 假使 该 数字 是 偶数 就 得 保持 不 妊 ， 若 艾 数 字 是 奇 数 就 增加 1 。 我 们 过 样 做 的 原因 是 因 需 一 系列 的 数字 克 过 过 样 四 捡 五 入 之 后 ， 由 於 四 拾 五 人 而 提高 的 数值 和 因而 被 降低 的 数值 大 狗 相 等 。 HER BABY OR RA HIRAI 数 值 所 要 保留 的 有 效 数 字数 目 答 案 (Number) (Significant digits desired) (Answer) 26.58 133.7137 0.03725 0.03715 18,316 17.3476 27 133.71 0.0372 0.0372 18,000 17.3 wo MO Ww WH TF DW 2-4 i% & 9 #( Derived variables ) Aa A Wie ats EA: yt SE A a BY aT NTFS AY Bie S AA Ia] AS ZK, HREADRALEA-ME RHR, UL (iy Sl aie 8A BY ( derived variables ) ， i 2 SBN SE EE Fa — , (A LEAD 7 RMR, DA SeaN Hh Se 2 «PO, BA, FAR, RBSS Ale OK SR, 比率 ( ratio) 是 以 一 个 数值 来 表示 二 个 慑 数 之 间 的 天保。 最 简 第 二 章 ”生物 学 上 之 数据 17 单 的 麦 示 方 法 ， 例 如 64 : 24 ， 过 可 能 是 代 玫 野生 箱 和 突 攀 种 的 比率 REBELS, RETA ERMA REE ROLES 等 。 上 渡 的 例子 都 是 表示 由 二 个 计数 而 得 的 比率 ; 但 一 个 比率 也 可 以 由 二 个 连 夸 季 数 而 得 ， 例 如 1.2 ::1.8 ， 可 能 玫 示 昆 号 的 骨 片 之 长 袖 比率 ， 或 者 是 水 或 土壤 中 两 箱 矿 物质 的 含量 之 比率 。 上 比率 也 可 以 分 数 Rm, PM bu Bl FAL 64/24 或 1.2/1.8 RMA, HRB HER, KARR, Alt bit Ply HAD Gz 2.666 和 0.666, 过 是 一 个 纯 数 值 ， 不 加 任何 单位 ， 过 种 比率 的 表示 方式 在 本 书 内 将 会 再 用 到 。 百 分 比 ( perceztege ) 是 比率 的 一 箱 ， 上 比率 和 百分比 是 生物 研究 上 常 被 用 到 的 基本 数值 。 指数 ( index ) 是 一 个 解剖 学 上 的 季 数 ， 被 另 一 个 较 大 的 标准 爸 数 来 除 而 得 的 比率 ， 一 个 常见 的 例子 就 是 人 类 学 上 头 的 指数 ( ceph- alic index ) 。 广 义 的 指数 可 以 是 两 个 测量 值 的 平均 ， 例 如 攻 (CA 的 长 度 十 B 的 长 度 ) ， 或 是 加 权 的 平均 (zoeigpnted average), fl W%C(2xXAMRE) 十 B 的 长 度 ] 。 (rates) 在 生物 实 验 上 很 重要 ， 例 如 每 单位 重量 或 体积 的 生物 材料 所 释放 出 的 某 一 逢 物质 的 量 ， 每 单位 时 间 内 所 增加 的 重量 ， 每 单位 时 间 内 一 个 族群 的 繁殖 速率 ( MAE). DIREC RSS RE, 在 科学 的 思想 过 程 中 常常 用 到 比率 和 百分比 ， 比 率 常常 是 胺 解 和 解释 某 些 生物 问题 的 唯一 有 意义 的 表示 方法 。 假 使 一 个 生物 的 现象 是 以 两 个 枚 数 来 进行 ， 旭 我 们 必须 胺 解 其 比率 ， 例 如 Sinnott A Ha-- mnond (1935) SAM MN (Cucurbita pepo) 形状 的 遗传 是 依 照 长 寅 的 比率 ， 而 不 是 依照 形状 上 任何 单一 个 独立 爸 数 。 同 样 地 ， 烙 乎 在 所 有 生物 的 演化 都 可 以 发 现 身 体 各 部 分 比例 的 不 同 都 与 天 择 有 密 切 的 天 傈 。 18 ”生物 统计 学 导论 应 用 比率 也 有 交 个 缺点 : 第 一 是 其 正确 度 玩 低 。 以 前 述 1.2/1.8 ZEBRA, Mei 1.2 AAIRIEMTHK 1.15 到 1.25 2H, Ala 的 ， 调 量 值 1.8 ANABIEGT KH 1.75 到 1.85 Zi, AiR ieAa 和 7.85 到 1.75 之 间 ， 假 使 1. 2RAABIE, AUR AMR AEE 4.2% CL 1.25 一 1.2/1.2 ] )， 但 是 将 它 转 释 成 比率 时 ， 则 其 最 大 的 误差 可 能 zz 7.0% ([0.714 一 0.667/0.667 ] ) 。 其 欢 ， 一 个 估计 的 比率 值 水 不 就 是 其 芙 正 值 的 可 能 范围 之 中 心 点 ， 在 我 们 的 例子 ， 我 们 所 得 到 的 比率 是 0.666， 但 是 其 真正 值 的 可 能 范围 之 中 心 点 需 0.668, BER 两 者 之 间 只 有 很 少 的 不 同 ， 但 是 在 别 的 例子 可 能 会 有 比较 大 的 出 入 。 比率 和 百分比 的 第 二 个 缺点 是 它 个 的 分 配 ( distribution ) 可 能 相当 不 规则 ， 它 个 可 能 不 旺 常态 分 配 ( 参见 第 5 章 ) ， 而 常态 分 配 是 很 多 和 统计 检定 的 必 人 甸 休 件 。 过 个 缺点 有 时 可 以 因 需 鬼 数 的 释 换 ( t7- ansformation; 参见 第 10 章 ) 而 被 刀 正 过 来 。 比 率 的 另 一 个 缺点 是 CPE A RSMO ACA, CRATE lB BS HE 1 BORO EH HS FT LL BUR SAFO 5 DiS a] REST IN 于 RE 之 问 ， 也 就 是 介 於 0.622 和 0.714 2-5 RH 分 配 Frequency distributions ) (BR OE BA BE ESE SAAS BE Ze AHN, BAP RY DAE — Me as HE 体重 大 小 的 轴 上 ， 以 一 点 表示 一 个 测量 值 ， 例 如 图 2.1 A 表示 包含 25 个 出 生 重 量 的 一 个 样本 ; 假使 我 们 从 同一 个 全 体 中 条 炉 抽 样 而 得 到 一 _ 百 个 出 生体 重 ， 则 我 们 必须 把 有 些 同 避 在 原 有 的 贴 上 ( 图 2.1 BS 当 我 们 番 炉 抽样 而 得 到 灯 百 个 或 交 千 个 出 生体 重 时 (图 2.1C 和 2.1 D), RAM @ AGE In, (EBM AM YA RE, KDE 第 二 章 ” 生物 学 上 之 数据 19 60 70 80 90 100 110 120. 130 140 150 160 出 生体 重 ( Birth weight ; oz. ) 国 2.1 @-BBRHEREHSBHEMSAVHER Ob RB—BBABMK)o A. 一 个 包括 25 个 数据 的 样本 。 OB. 一 个 包括 100 个 数据 的 样本 “。 C. 一 个 包括 500 个 数据 的 样本 。 D. 一 个 包括 2000 个 数据 之 样本 。 20 ”生物 统计 学 遂 葛 上 所 划 出 的 轮廓 可 以 狗 略 玫 示 过 一 个 他 数 的 分 配 情形 ， 但 是 要 忆 住 ， 像 出 生 和 体重 过 样 的 一 个 连续 他 数 在 横 坐 标 上 的 任何 两 点 之 间 可 以 有 乱 数 个 数值 ， 我 们 测量 的 精确 度 梁 定 在 横 坐标 的 任何 两 点 之 间 有 多 少 个 HM HY LZ, 一 个 构 数 的 分 配 情形 在 生物 学 上 有 相当 的 意义 ， 例 如 假使 我 们 发 现 其 分 配 是 不 对 称 而 且 偏向 於 一 条 ， 则 可 能 麦 示 天 择 对 人 在 过 个 分 配 的 某 一 尾巴 的 生物 较 有 利 或 不 利 。 或 者 也 有 可 能 是 因 震 所 用 的 测量 尺 度 不 太 适 合 ， 因 此 使 莫 正 的 分 配 情形 不 能 麦 示 出 来 。 假 使 在 一 个 昆 吕 PBORAHR MB RR MEK OT IS ELD ( bimodal distribution ), USA (EEE AL HUE ( dimorphism )3 我 们 的 样本 当中 可 能 包括 了 不 同 的 种 类 或 品系 ， 也 有 可 能 过 个 两 型 性 是 由 不 同性 别 或 不 同龄 忠 所 造成 。 有 效 逢 标准 的 次 数 分 配 形 状 ， 最 常见 的 是 在 第 五 章 中 言 葵 到 的 对 称 的 链 形 分 配 ( 近似 图 2.1 D ) ， 也 就 是 党 REX BA Bd ( normal frequency distribution ), BAKA Tae 的 分 配 ( 即 其 中 一 尾巴 拉 得 比较 长 ) L- 型 分 配 如 图 2.2 ，U- 型 分 配 等 等 ， 每 一 种 分 配 情形 都 有 它 的 特殊 意义 ， 各 主要 分 配 的 情形 将 放 本 书后 面 各 章节 中 吞 葵 。 ”从 -- 顶 研究 所 得 到 的 数据 必须 加 以 适当 的 排列 ， 才 适 於 计算 和 解 释 。 我 们 可 以 训 需 肆 值 最 初 呈 随 机 的 排列 ， 一 个 最 简单 的 重新 排列 方 法 就 是 把 它们 按 大 小 排 成 一 个 序列 (.array ) RUBE 7, 6，5，7， 8, 9, 65 75 45 65 7 可 以 依照 大 小 排 成 9 8, 75 75 75 7s Gs 6s Gs 5) 4, Sicha se AOL SHO, PLINER Glebe RU 6 #7, 一 个 省 时 的 方法 就 是 把 它们 排 成 一 个 次 数 表 ， 也 就 是 9， 8, 7, (4X) 6(3X)，5, 4。 过 种 简写 的 玫 是 表示 一 个 次 数 分 配 ( frequency distribution) 的 一 德 方法， 次 数 分 配 是 麦 示 各 爸 数 的 各 租 和 其 频 度 | 全 = 生物 章 上 之 数据 21 1 Se Ut 0 SED 2°53: ee Sear re 每 一 方块 的 植物 数目 ff) 2-2 RRB. RR—-MYHSE (Carex flacca) 在 500 个 7h (quadrats) 内 的 植株 数 ， 数 据 来 自 表 2.2 © 摘自 Archibald 1950 的 文章 。 ABR RHA, BRL 一 个 次 数 分 配 就 像 下 列 的 例子 ， 是 Di— (AR RAZ: SR (Variable ) ' RR ( Frequency) Y f 9 1 8 1 7 4 6 3 3 1 4 1 上 例 是 一 种 计量 的 次 数 分 配 ( quantitative frequency distr- tbution )， 因 篇 了 显然 是 一 个 测量 释 数 ， 但 是 序列 和 次 数 分 配 普 不 22 “生物 统计 学 导论 限 於 过 一 类 的 他 数 ， 我 们 也 可 以 做 属性 的 次 数 分 配 ( qualitative frequency distribution ), EEO E HEA KREME EMBO HE, AMEE, RMT LAH Feet 分 配 : f 4 一 86 aa 32 SHRSHR AAR AN, bl A—3mR A—IAW (A pheno- type ) 的 个 体 ， 共 有 86 个 ， ca Hm WEABH ( homozygous recessive ) 个 体 ， 在 此 样本 中 共有 32 个 。 在 生态 学 上 我 们 常常 要 列 出 从 一 个 生态 区 域 抽样 而 得 的 每 一 逢 类 的 个 体 数 ， 汪 种 表 常 常 依 英 妇 字母 的 顺序 排列 。 表 2.1 就 是 昆 患 的 科 的 属性 欢 数 分 配 的 例子 ， 在 过 个 例子 中 ， 昆 嚼 的 科 名 依照 英文 字母 的 顺序 排列 ; 有 的 时 候 排 的 顺序 是 依照 传统 的 一 定 顺 序 来 排列 ， 例 如 显 花 植物 的 科 名 就 常 依照 传统 的 一 定 顺序 来 排列 。 ”， 表 2.2 是 由 分 立 爸 值 所 构成 的 一 个 计量 区 数 分 配 ， 过 是 一 个 植物 生 旋 学 的 例子 ， 每 一 方块 中 的 植物 数目 列 在 左 滤 ， 而 其 观测 的 欢 数列 EE. pa ABS ITS SKB EE BIE BD A, MEDAL MAM ORLA OW, BOX 2.1 是 一 个 例子 , ie (4 Fl Fl] H— FM BRAY 25 TERE C stem mothers; 生活 史 中 的 一 个 时 期 之 名 称 ) 腿 节 的 长 度 ， 在 BOX 2-1 的 上 端 依照 测量 的 顺序 列 出 25 个 藏 数 ( 以 毫 微米 micrometer 坑 音 位 ) 。 过 些 数据 也 可 以 依照 大 小 顺序 排列 ， 然 后 将 过 些 数据 排 成 一 个 次 数 分 配 。 缀 值 的 租 距 是 以 0. 1 需 明 位， 然后 计算 在 每 一 组 辐 内 的 欢 数 ， 而 把 欢 数列 在 第 二 第 二 章 “生物 学 上 之 数据 23 表 2…1 iA BPE BAAR CA qualitative frequency distribu tion), 从 一 个 夏季 长 在 树 革 上 的 昆 串 社会 抽样 所 得 到 的 黑 杷 类 ( Heteroptera ) 的 每 一 个 科 的 个 体 数 目 。 科 4 ( Family ) J Alydidae | 2 Anthocoridae | 37 Coreidae 2 Lygaeidae 318 Miridae 373 Na bidae : 3 Neididae 5 Pentatomidae 25 Piesmidae 1 Reduvidae 3 Rhopalidae 2 Saldidae 1 Thyreocoridae 10 Tingsdae 69 T otal Heteroptera aay 来 源 : RBKA Whittaker (1952) 之 文章 。 24 ”生物 统计 学 半 靖 表 2 .2 一 个 分立 次 数 分 配 ( A meristic frequency distribution )， 在 500 个 方块 (qzuadrats ) 所 发 现 的 一 种 莎 草 ( Carex flacca ) 之 植株 数 。 每 一 方块 内 的 植株 数 观测 次 数 (No. of plants per (Ot erved frequency ) quadrat ) Y f 0 181 : 1 118 : 2 . 97 3 54 4 32 5 9 6 5 7 3 8 1 德 革 (Tote1) 500 来 源 ; BEA A Archibald ( 1950) 之 文章 。 第 二 章 “生物 学 上 之 数据 25 G, KKRMMMU DS 表 之 。 我 们 将 本 来 的 数据 作 如 此 的 处 理 ， 目 的 需 何 呢 ? 起 初 我们 有 25， AASB iG, PACER A 15M (classes) 来 代表 ， 我 个 发 现 3.6，3.8 和 4.3 等 释 值 的 欢 数 最 多 ， 而 有 些 租 (: 例 如 3.4 和 3.7 ) 的 欢 数 震 0 , 过 样 致使 整个 欢 数 分 配 看 起 来 相当 散 估 ， 其 原因 是 因 需 我 们 只 有 25 (HME, R25 个 数据 ， 太 少 不 庆 於 作成 一 个 有 15 个 粗 的 次 数 分 配 。 需 了 要 得 到 一 个 比较 如 贯 的 分 伤 ， 我 个 必须 把 本 来 的 数据 划分 成 比较 小 的 组 ， 过 逢 步 避 叫做 次 数 分 配 的 分 组 方 法 ( grouping of classes ) ， 我 个 以 BOX 2.1 Bel PLLA, 我 们 必须 逐 解 党 我 们 把 一 群 的 爸 值 入 类 和 需 比 较 袖 的 一 个 组 时 ， 其 原理 相当 於 我 们 最 初 的 测量 一 样 ， 只 是 现在 我 们 把 每 一 租 的 范围 放 实 _， 例 如 在 2.3 节 ， 当 我 们 测量 和 记 系 一 个 蚜 串 腿 节 的 长 度 是 3.3 单位 HOR. SURAT BRIS EW REET 3.25 和 3.3526, Ae SSE ME BV — 02, ATLL SRE 3.3 单位 ， 我 人 估计 其 REMARK MMH A, PR ORE Et HS ESB 3.35, 则 我 PNG SUG 3.4, PLGA 3.25 到 3.35 之 间 之 值 ， 我 们 都 以 组 标 3.3 表示 之 ， 此 时 我 们 的 组 距 是 0.1 单位 ， 假 使 我 们 想 把 组 距 放 实 ， 只 要 须 类 到 同一 组 的 测量 值 的 范围 爸 大 便 可 。 参见 BOX 2-1, MKGHIMERSRAR ESHER RAE AAWKEA ANAM HEMI, CHER RAEN ,第 一 个 分 粗 的 方法 是 把 本 来 的 租 距 加 大 一 倍 ， 也 就 是 粗 距 等 放 0. 2 单位 ， 假 使 我 们 从 数值 比较 小 的 一 端 天 始 ， 其 最 小 的 组 的 组 限 是 从 3.25 到 3.45， 下 一 个 租 的 粗 限 是 从 3.45 到 3.65。 HK, KRABRES—ANMS, 1 WE BOX 2-1 的 最 左 泪 之 次 数 分 配 是 很 简单 的 ， 因 需 本 来 的 测量 值 被 当 作 粗 标 ， 但 是 现在 26 ADR tee ig RACER KAS, WAAR HTATHMBS PORMeA, A 此 假使 我 们 要 找 出 第 一 个 租 的 租 标 ， 我 们 必须 算出 3.25 和 3.45 之 ih GE 3. 35 ， 我 们 发 现 过 个 租 标 比 本 来 的 测量 值 多 出 一 个 小 数值 ， 我 们 不 能 驶 更 需 如 此 做 我 们 就 可 以 得 到 更 大 的 精度 。 当 我 个 所 指定 的 租 距 其 最 后 一 个 有 效 数字 是 偶数 时 ( 例如 在 我 们 的 例子 中 是 0.2), ， 则 粗 标 将 比 本 来 的 测量 值 多 一 个 小 数位 。 在 BOX 2-1 内 的 表 之 右 端 ， 我 们 将 本 来 的 数据 用 另 一 箱 分 粗 的 方法 加 以 分 租 ， 我 们 把 租 距 定 需 0.3 ， 因 需 租 距 的 最 后 一 个 数字 是 奇数 ， 所 以 现在 的 粗 标 是 和 本 来 的 释 值 具有 相等 的 小 数位 ， 例 如 3.25 和 3,55 之 中 心 点 是 9.46 当 第 一 粗 的 组 限 和 粗 标 被 确定 之 后 ， 其 他 粗 的 粗 限 和 粗 标 就 可 以 ASH, RAEGBRHHHS, RAB SK MLA ee TL » AR, REAM FIRE 3.25, AUS OO PR Ree 0.2 就 可 以 ， 也 就 是 3.45、3.65、3.85 等 等 。 同 样 道理 ， 我 们 也 可 以 得 到 其 他 和 粗 的 组 标 ， 因 此 我 们 得 到 其 他 的 组 标 是 3.35、3.55、 3.75 等 等 。 显然 地 ， 当 我 们 把 组 距 放宽 的 时 候 ， 我 们 把 本 来 的 数据 GR, WEL), (EH BOX 2.1 之 蚜 号 腿 节 长 度 的 欢 数 分 配 上 我 们 发 现 最 初 杂 人 秽 的 数据 ， 现 在 已 因 和 需 分 租 而 被 简化 ， 当 我 们 把 组 距 定 坑 0.3 单位 ， 而 作成 一 个 包含 5 个 粗 的 欢 数 分 配 时 ， DAS 4H ( Bimodal ) 。 当 我 们 把 本 来 的 数据 作成 一 个 欢 数 分 配 时 ， 一 般 来 襄 需 要 包含 12 到 20 个 组 。 和 粗 的 数目 要 依 统 计 烃 验 来 作 适 当 的 决定 。 租 的 数目 需要 看 样本 的 大 小 而 定 ， 假 使 一 个 样本 只 有 40 或 50 个 数据 ， 则 通常 分 成 P12, 因 需 分 成 太 多 粗 时 旭 每 一 租 的 次 数 伙 成 很 少 ， 相 反 的 , 假使 有 效 千 个 数据 ， 则 适宜 将 之 分 成 20 粗 以 上 。 假 使 我 们 要 把 “第 二 章 ， 生 物 享 上 之 数据 27 BOX 2.1 蚜 患 的 数据 加 以 分 和 组， 我 们 不 通 宜 将 之 分 成 6 租 以 上 。 假使 原始 数据 太 少 ， 只 能 分 成 少数 楷 组 ， 如 果 我 们 所 量 的 是 分 立 代数 ， 就 无 法 补救 过 个 缺点 ， 但 是 假使 是 连 炉 妈 数 ， 可 以 分 租 的 数目 太 少 ， 可 能 麦 示 我 个 的 测量 不 欧 精 租 ， 假 使 我 们 得 照 2.3 节 的 原则 来 测量 就 不 会 有 过 逢 现象 长生。 但 是 ， 和 遗憾 的 是 一 般 人 常常 在 得 到 数据 之 后 才 请 数 统 计 学 家 适当 的 统计 方法 ， 在 过 逢 情形 之 下 就 无 法 补救 租 ADAIR, 党 租 的 数目 太 多 的 时 候 ， 必 须 把 组 距 放 寅 而 重新 分 粗 。 假 使 是 分 立 的 数据 则 它 的 连 灶 琶 数 之 租 限 就 没有 意义 。 但 是 当 我 们 有 很 多 分 立 。 爸 值 的 上 时候， 例如 刚毛 的 数目 ， 从 最 小 的 13 到 81， 则 最 好 也 将 它们 分 组 ， 每 一 租 包 括 效 个 计数 ， 而 且 最 好 探 用 奇数 的 租 距 ， 则 粗 标 将 是 整数 而 不 含 小 数位 。 例 如 ， 假 使 我 们 要 把 刚毛 的 数目 ， 13，14，15， 16 HARA, MAMRRBR 14.5, HRM EHRARR see 数目 是 没有 意义 的 ， 因 此 最 好 使 每 一 组 包括 三 征 或 五 征 刚 毛 的 计数 ， 则 和 组 标 就 等 人 14 或 15 了 。 在 什么 情况 下 数据 最 好 被 分 租 而 成 垮 一 个 次 数 分 配 呢 ? BE Bet 算 机 器 可 以 运用 ， 而 且 有 100 或 100 以 上 的 数据 ， 则 在 进行 统计 计算 之 前 最 好 先 将 数据 排 成 一 个 欢 数 分 配 。 要 或 不 要 先 排 成 一 个 次 数 分 配 是 要 看 排 成 一 个 欧 数 分 配 所 需要 的 时 间 ， 和 排 成 一 个 次 数 分 配合 计算 时 所 能 节省 的 时 间 那 一 个 比较 长 ， 假 使 数据 不 多 ( 例如 少 於 100 ) ， 则 排 成 一 个 艾 数 分 配 然后 再 计算 可 能 要 比 用 本 来 的 数据 计算 所 需 的 时 间 还 要 长 ， 另 外 假使 有 电脑 可 次 利用 ， 则 上 面 所 襄 的 原则 将 不 适用 ， AAMT Dl cee ES, fe BOERS PUREE, 通常 我 们 不 须要 把 数据 加 以 分 租 、 除 非 样本 大 小 非常 大 ， 例 如 有 交 千 个 数据 。 学 导论 28 ”生物 和 统 9 lll O'F 59 ¢ III LIN 四 Wl 2 8“ 985-99 9 IW G ll &e gsoe-—cee 1 J‘ G6: ae WK jS Be €°0 HEY “ KS AIL 。1_0TX KBE Oa : BIAS WS ta da GH ( SHSaaasuD Ly -37179907 SnFiyTuad ) ¥ fw) sz 0 O'h S0°P—S6'E G6°€. SO'P—s8'E ¢ ill 6°6... 267-686 a so Re 上 | 从 生 二 -有 5 SS- 09 De 09 7 -@ 2 Hi Of. Go"g—a0's - cs°¢ s9°g—ch’e 1 | G"8 -998 一 9 8 0 gg 了 | eg Se"e—sz"e mm ”如 wm OR + GHA A ai 本 ZO HK ‘ BK SAG . 6°€ 8°€ ac 8 8 ev ov o's Lv 8 了 98 wo we oe By o's 9 了 8 8 6°¢ €°y er bP bP 8 9 by Ub 6S 55 8'8 ( SJUuamasNSDAU 1 DUI53LO ) Hh eH Sy °( sppasajut SSD1I sapim Yim SaSSD1I samaf Ojut Surdnors puo uotyngijstp fouanbasf fo uorjvsndadd ) RGWGMA MOH Bam oR yaw mW oS mY [CC xO@ CuruT0 fo jrun ut “753Ua1 anmaf SKPeVow Ma ‘FW ) A Bb ev GL°b—SP YP Gb b—SI'P I 7 (douanbarf ‘BY, GLY cc’y CE‘? . SIV Mi CUA MM I SESS HS LS a GIR BETO BES mC EY SS GH hE OR GU MRE Sy Wa Se HYG ST “QRZ BG AE GE EE NGS. ° pon 5 Tl GH 3B Bah SO Sp Yer Ow Ly WY CM GH 1040S “N'Y AWB kK oe ce*p—So'h - I | 人 "j GL°v—S9'P 0 9°F go°h—GG'P GO°P—ch'b | Gb sg'h—ch'h € {1 | rr gh b—Ge'P chp—Stb oF {II Eb seb—s7'v ae I | 2b 92? 一 9T7? GZV-SO'F 2 . || Lb Si°h—S0'p 30 ”生物 统计 学 导论 排 成 欢 数 分 配 的 另 一 个 重要 原因 是 从 次 数 分 配 上 我 们 可 以 观察 到 它 的 分 配 形 状 。 例 如 ， 假 使 我 们 发 现 昆 嚼 幼 号 的 某 一 个 性 状 是 呈 公 刘 分 配 ， 则 表示 过 个 族群 是 呈 两 相 型 ( dimorphic )。 但 是 在 某 逢 情况 下 ， 例 如 某 一 逢 生物 的 现象 或 程序 曾 烃 被 重复 的 抽样 研究 而 知道 它 的 分 配 形状 ， 则 我 们 不 损 每 一 次 都 排 成 一 个 欢 数 分 配 ， 除 非 是 需 了 计算 上 的 原因 。 假使 我 们 想 了 解 一 个 次 数 分 配 的 形状 ， 我 们 可 以 用 图 形 来 玫 示 。 此 种 图 称 需 次 数 图 ( frequency dicgyrams )， 次 数 图 主要 有 两 种 ， 对 於 分 立 数 据 的 分 配 情形 ， 我 们 探 用 长 休 图 (2cy diagrams )， 就 像 图 2.2 ， 是 用 来 玫 示 玫 2. 2 内 的 水 草 之 数据 ， 我 们 可 用 横 座 标 麦 示 Ge ( 在 过 个 例子 是 麦 示 每 一 个 方志 内 的 植物 数目 ) ， 炎 座 标 麦 示 次 数 。 必 须 注 意 在 过 逢 图 形 内 每 一 长 休 水 不 互相 靠 搬 ， 用 以 麦 示 此 逢 释 HER, HRY, ASR, HUT eReHBaRewW KRHA, KAA BAM (histogram) 来 表示 。 在 直方 图 中 每 一 个 长 条 在 横 座 标 上 的 袖 度 玫 示 一 个 租 距 ， 而 且 所 有 长 条 都 靠 括 在 一 起 ， 用 以 表示 租 和 和 粗 问 的 芙 正 界限 是 相连 的 ， 每 一 长 条 的 中 心 点 卖 示 租 标 >» # BOX 2.1 的 底下 有 蚜 缉 的 数据 之 直方 圆 ， 包 括 分 粗 和 没 分 粗 两 种 ， 长 条 的 高 度 麦 示 每 一 租 的 次 数 ， 垮 了 如 明 直方 图 是 用 来 狗 略 表示 连续 分 配 的 一 模 方法 ， 我 们 可 以 把 租 距 爸 得 更 小 ， 把 租 的 数目 增加 ， 则 此 直方 图 将 更 接近 一 个 连 炉 分配。 我 们 可 以 更 进一步 把 组 距 营 得 更 小 ， 直 到 每 一 租 的 租 限 伙 成 无 逢 小， 此 时 直方 图 就 好 成 该 构 数 的 回炉 分 配 。 有 时 候 ， 一 个 分 粗 的 连 炉 次 数 分 配 之 各 个 租 距 是 不 相等 的 ， 例 如 在 一 个 年 秀 的 欢 数 分 配 ， 我 们 可 能 对 於 年 龄 较 小 的 个 体 有 比较 铬 竹 的 杜 料 ， 而 对 於 年 老 的 个 体 所 得 到 的 套 料 比较 不 精确 ， 在 过 逢 情况 下 , 年 老 的 租 的 粗 距 可 以 放 竟 ， 年 轻 的 租 之 粗 距 稿 小 ， 需 了 表示 过 逢 数 第 二 章 “” 生物 学 上 之 数据 31 据 ， 直 方 图 的 长 条 可 以 划 不 同 的 袖 度 。 图 2.3 是 另 一 种 用 图 形 来 表示 一 个 连 米 爸 数 的 欢 数 分 配 的 方法 ， 在 过 个 例子 是 表示 婴儿 的 出 生 重 量 » HEU KAR SW ( frequency polygon), telex a Pe— RRA mW PO eK, ERSHEA, KRATOBROAE vas BK GEARA WHANWEKEAHE OED, js] 2-3 RRS BIE ( Frequency po- lygon ) FAR RA 1950 M1951 0 -年 在 新 加 坡 第 三 种 病房 出 生 的 中 7 Te 100 TDS NY AE, RIE Millis 出 生 重 量 (盎司 ) 和 ,Sexg(1954 ) 的 文章 。 2.6 数据 的 处 理 (The handling of data ) 很 有 技巧 和 很 快 的 数据 上 处理 是 统计 分 析 的 基本 要 件 ， 蔚 者 必须 熟 悉 各 逢 和 统计 计算 的 技术 。 同 然 计 算 机 已 径 像 显微镜 一 样 地 被 普 漏 探 用 ， ABEL RIL, RAC LAHAT, HRSA FAT REAVER ( pencil and paper methods), 应 用 过 种 方法 的 时 候 ， 最 好 先 把 数据 加 以 简化 ， 计 算 起 来 比较 快 ， 有 各 MTA ， HtE (types of coding ) KAI, AZARMERAAAR RMS, S-OLAKED VEBERKCRARKEEANNBWSA MACBEMHS. FB ATE RAHA, HARE HM, TRA 32 ”生物 和 统计 学 导论 要 任何 计算 全 器 。 过 些 技术 有 的 是 非常 简 嘎 ， 例 如 有 些 和 无 征 数 法 ( nonparametric methods )， 如 10.3 和 节 的 正 负 号 检定 (si8N test ) ; 有 些 方 法 是 一 箱 近 似 法 ， 因 此 效果 就 比 过 差 一 点 ， 但 是 可 以 供 欠 我 们 一 个 大 概 的 结果 。 例 如 探 用 中 位 数 ( median ) 以 代替 平均 数 ( Ee ee 计算 的 时 候 所 探 用 的 有 效 位 数 决 定 某 一 计算 的 正确 度 。 各 逢 不 同 的 计算 机 器 有 其 不 同 的 处 理 多 少 个 位 数 的 能 力 ， 因 此 用 一 个 计算 机 和 一 个 电脑 来 处 理 同 一 个 问题 ， 可 能 会 得 到 不 同 的 答案 ， 甚 至 於 用 不 同 的 电脑 也 不 一 定 会 得 到 完全 相同 的 答案 。 利用 机 械 的 原理 抱 造 出 来 的 计算 机 器 〈 mechanical calculating machines ) 有 很 多 国家 现在 已 烃 不 再 侈 造 ， 但 是 还 有 不 少 人 应 用 此 种 机 器 ， 所 以 必须 简单 地 加 以 悦 明 。 加 减 机 器 (4ddizg machines ) 在 商店 和 关公 室 壬 仍 而 筱 探 用 ， 运 PR as a A, Le 字 ， 另 外 有 一 些 操 作 的 键 可 以 用 来 作 加 诚 、 炉 和 、 校 正 以 及 其 他 一 些 作用 ， 灶 果 印 在 一 沈 附 在 机 二 上 的 猛 条 上 。 另 外 一 类 改 良 型 的 机 器 叫 做 印刷 计算 机 (Printing calcx1rctor )， 过 种 机 器 是 由 电动 加 诚 机 路演 爸 而 来 ， 运 逢 机 器 不 但 可 以 作 加 减 ， 也 可 以 作 乘 除 ， 计 算 的 千 果 和 一 些 中 间 步 屋 可 以 印 在 狐 休 上 。 一 种 老式 的 桌 上 计算 机 ( desk calculator ) th AGE ise bat 算 机 ( rotary desk calculator )， 上 此 种 计算 机 不 能 印 WR, (8 eGR 可 以 题 示 在 机 器 上 面 。 过 年 机 名 基本 上 有 四 逢 操作 : NL BH 改 释 运 台 和 键盘 的 相关 位 置 、 和 许 掉 数字 。 乘 法 是 用 重复 的 加 法 来 进 行 ， 除 法 则 用 重复 的 减法 。 改 释 运 台 通 当 的 位 数 可 以 用 来 作 筷 乘 和 除 的 若干 简化 ， 有 的 机 器 有 除 的 键 ， 也 有 乘 键 ， 另 外 有 些 机 器 则 只 有 一 个 键 。 第 二 章 “生物 学 上 之 数据 33 近年 上课 上 型 电子 计算 机 ( electronic desk calculators ) 被 普 肖 探 用 ， 过 逢 计算 机 利用 里 空 管 、 电 晶体 和 电流 来 计算 ， 与 电脑 的 原 理 一 样 。 过 逢 机 器 的 好 处 是 轻巧 ， 携 带 方便 ， 价 钱 比 较 低 ， 而 且 用 电 子 的 原理 来 计算 速度 比 用 机 械 的 原理 要 快 。 数 字 是 由 键盘 技 入 ， 而 千 果 时 现在 签 幕 上 或 是 印 在 一 张 颖 条 上。 有 很 多 种 式样 可 以 由 人 供 葵 程 式 ， 然 后 由 机 器 来 计算 ， 所 以 可 以 作 重复 自 动 的 计算 ， 只 要 供 葵 数据 就 可 以 。 有 的 式样 容许 相当 复杂 的 程式 ( 多 到 娄 百 个 指 述 ) ses 程式 可 以 被 记 甸 在 狐 休 或 卡片 上 ， 然 后 供 葵 机 器 ， 而 且 可 以 立刻 进行 一 个 系列 的 计算 。 自从 1940 年 代 的 中 期 以 后 ， 电 脑 的 运用 已 沟 使 数据 的 处 理 方法 产生 很 大 的 改 释 。 一 个 数位 志 子 计算 机 (digite! computer ) 和 上 tS RARE LER, MULLER, BL RR) 但 是 它 RAL, WRITE, ACKER ITS OE, RES, SHU eae 。 电脑 同时 可 以 根据 一 个 量 是 正 、 负 或 零 而 执行 不 同 粗 的 指 述 ， 因 此 它 可 以 应 用 非常 揽 杂 的 程式 ( programs), MA WLR RHA 的 千 果 而 决定 后面 计算 的 方法 。 程 式 甚至 可 以 因 人 垮 计 算 的 中 间 等 果 而 REA SHIR. 一 个 标准 的 数位 电子 计算 机 包括 了 三 个 主要 部 分 ， 第 一 是 记 憾 体 (memory )， 训 居 体 可 以 峙 存 数 据 和 指 述 ; 第 二 是 处 理 机 ( proc - ess07 ) ， 它 可 以 执行 真正 的 算术 计算 ; 第 三 是 辅助 装置 peripheral devices), EH REBRMA ( input), Ri Coutput )， 以 及 中 间 ROW BRAN FER REA 过 本 书 所 提 到 的 计算 ARP LALO, MOUCEMEE 都 有 过 些 计算 的 程式 。 本 书 所 涉及 的 材料 中 ， 一 部 份 已 汉 由 作者 写成 34 ”生物 和 统计 学 导 葵 福 传 程式 ( Fortran V programs), R#HYWBR Biometry ( Sokal & Rohlf, 1969) 一 书 。 | aa 2 2-1 2e2 2°3 2-4 2:5 2°6 al FWA aw, LEP RAZ, (a) 和 统计 全 体 和 生物 族群 (Statistical and biological populations); 人 b) MRM CVariate and individual); (c) IERERE MIRE (Accuracy and precision); (di MHMME (Class interval and class mark); (ej 长 条 图 和 直方 图 (已 cr diagram and histograms ) ; (f) 横 座 标 和 答 座 标 (4bsczssa and ordinate ) 。 四 拾 五 人 而 使 下 列 数值 剩 下 三 个 有 效 数字 : 106.55, 0.06819, 3.0495, 7815.01, 2.9149, 20.1500 RAPOZA ARI RAREIE ADR C implied limits )， 东 把 同样 的 数值 四 拾 五 人 至 小 数 点 第 一 位 。 假使 在 1.32 毫米 和 2.95 毫米 之 间 有 200 测量 值 ， 你 如 何 将 它 倍 排 成 一 个 次 数 分 配 ? 写 出 组 限 ( Class limits ) MMBC class mark), 将 下 列 40 个 家 鲁 的 眼帘 间 的 宽度 排 成 一 个 次 数 分 配 ， 东 划 成 一 个 直方 图 〈 RiwKA Olson & Miler ，1958 年 的 文章 ) ， 单位 是 毫米 。 » 122 12.9 了 1.8 -1.9 ‘11.6 IL1. 123 See 10.7 11.5 11.3 11.2 116 11.9 13.3°° 0052 =e 12.1 11.9 10.4 ‘10.7 -10.8 > 11.0°' 11.9%) 7062 Spee 10.8: 11.6, 10.4. ..10.7...12.0. .12.4, > .1L7. lige REA — Met OO Re ci e RY, RA) HOB REAHE 2.8 MEK, eK AE EARLS. 5S MEK, A te FE EA BI) BH BLL? i FA ER RP 2-4 的 40 RES AR, UE ER HY HE wR — ZK AL, Ue He Be AR BT A awe HR ZK A BATE sa x st au 任何 一 门 科学 的 初期 都 是 一 种 状况 或 现象 的 描述 ， 除 非 我 们 对 一 种 现象 能 狗 精 确 地 加 以 描述 ， 否 则 我 们 就 不 能 进一步 探 告 它 的 原因 。 Pil, RIES BES — (AR REAR ( guinea pigs) 血糖 含量 WEED RES AMSABWIES Bl, RARE NM MIE EWM ZTARM BSR HBS, CE AKWRA RAED WA RSE, AL MO ee AM Dic, Bk BBR, TAREE BA, MIL. HW 如 ， 我 们 可 以 将 一 个 次 数 分 配 用 一 个 直方 图 或 长 休 图 表示 ， 但 是 通常 我 们 也 需要 一 个 数字 的 摘要 ， 来 精确 地 描述 一 个 观测 的 欢 数 分 配 之 性 A. BERKS (BOE RB RRMMHM( Descriptive stati- stics ), REBAR He MMH BRANAHK, | 36 EDA st Be ie ABH ENRVRLH EAL: AEM BORMHE ( statistics of location), ja —7AW Kat BE ABR RA E-ESMMCE, A, SRAR-KGHHRES, RASH 得 样本 的 测量 值 是 在 2 公分 的 附近 ， 或 是 20 公分 的 附近 ， 因 此 一 个 位 置业 计量 是 用 来 表示 观测 的 嫌 本 之 一 个 代表 值 。 但 是 ， 过 逢 统计 量 (Aa ta RS ch NL) 不 能 描述 一 全 次 数 分 配 的 形状 ， 衣 种 形状 可 能 是 很 长 ， 或 可 能 是 狭 窑 ; 可 能 是 突起 ， 或 是 U- 型 的 ; 也 可 能 是 有 两 个 突起 或 是 显著 地 不 对 称 ， 因 此 我 们 有 所 要 另 一 类 的 统计 量 来 表示 次 数 分 配 的 过 些 性 质 ， 过 一 类 的 统计 量 我 们 称 坑 友 势 梳 计 量 ( statistics of dispersion ) 。 在 3-1 节 所 讨 葵 的 算术 平均 数 无 疑 的 是 一 逢 最 重要 的 位 置 统计 量 , 同时 我 们 也 简单 地 言论 其 他 的 位 置 统计 量 〈 HERMES, A 平均 数 、 中 位 数 和 架 数 )， 在 3.2、3.3 和 3.4 和 节 加 以 言 葵 。 在 3.5 i, RANG -OOE MMS ME ( 2); BREA 计量 ， 也 就 是 标准 差 ， 则 在 3 6M MUNI 3-7 GRAN 本 和 统计 量 ( Sample statistic ) MIS HAH ( population parame - ters) 过 两 者 的 差 情 ; 3.8 ANALY ES 3-9 节 言 论 简 化 后 的 数据 如 何 用 机 器 来 计算 其 平均 数 和 标准 差 ; 最 后 一 节 (3.10 ) NPRM MKT NBR ALRADRADEBEE, AN AOE HAE RA Di ERR BAD 法 ， 但 是 它们 是 作 进 一 步 生物 统计 不 可 或 缺 的 工具 。 有 -- 些 其 他 的 位 置 和 衣 势 纺 计 量 将 在 和 后 面 章节 中 加 以 言论 。 重要 的 附 圭 : 在 本 章 中 我 们 就 用 到 对 数 ， 需 了 避 吏 混淆 ， 常 用 对 WHR log, AANRHBR In, PIL log x 表示 logx， 而 Inx #~AN logex A= Riteat 37 3.1 算术 平均 数 (The arithmetic mean ) 最 常用 的 位 置 统 计量 是 大 家 所 熟悉 的 算术 平均 数 ( arithmetic mean), Hm MB REQ R( mean average ) 。 平 均 数 的 计算 方法 是 把 一 个 样本 的 所 有 观测 值 加 起 来 ， 然后 除 以 项 目的 数目 。 例 如 ,一 个 研究 者 利用 一 个 呼吸 计 ( respirometer ) 来 作 气 体 分 态 而 得 1s as sighed taal 14.9 10.8 8 23.3 @Al =61.3 然后 他 用 项 目的 数目 47 来 除 炉 和 ， 而 得 到 氧气 百分比 的 平均 ， 氛 以 氧气 百分比 的 平均 是 61.3 平均 三 SS2550 at 27 BR GA RA Slit at ARE. 762-2 莘 我 个 提 到 一 个 个 别 ABIES Y: 来 代表 ， 意 思 是 指 样 本 中 的 第 ? 个 观测 值 ， 因 此 一 个 样本 中 假使 有 四 个 宙 测 值 ， 则 四 个 宙 测 值 可 以 用 下 面 的 符号 表示 : UY, PVG Beare BUPA n RRMA ZEA, teal RAIN ( Sample size), SL kU IT KR, RANMA) n ESR 4, EMA 本 我 个 可 以 把 每 一 个 项 目 用 下 列 的 符号 来 表示 : 38 ”生物 统计 学 导论 SR BRR RR, BPA RF Oe BR: 六 Yt ade 1¥ Are 7 BF > ANSAD MA, t= 1 RNSABDAMER MA feB— TAR, i =n 表示 加 到 第 2 ABRIL, THEA KANA SY (iF Za DORE AR, Ea Rats “i =” FERRE, 例如 假使 我 们 只 RUE GAR BOAR, SUMTER 六 Yi，， 另 外 ， 例 如 我 们 想 求 除了 第 一 厌 之 外 其 他 各 顶 的 煽 和 ， 我 们 可 以 写成 2D Yi, RTD 数 例 外 〈 过 些 例 外 将 在 以 后 章节 中 言 葵 到 ) ， 通 常 最 好 把 下 面 和 上 面 的 广 忠 和 统 煽 省略， 因 含 吉 些 性 号 使 方程 式 是 得 更 复杂 ， 使 学 生 的 注意 力 分 散 。 下 式 表示 和 娄 和 符号 的 简化 : SY= SY, = s¥= 3¥=2Y, A=HARTIUNRBRAMA AMY: GMM, B2-Be AN 符号 ， 但 是 本 书 中 泪 不 探 用 过 个 符号 。 第 四 个 符号 完全 没有 用 到 ? 。 最 简单 的 符号 是 最 右 姑 的 一 个 ， 过 个 符号 是 指 求 各 个 工 值 的 独 和 。 本 书 中 我 们 将 常常 探 用 过 个 符号 ， 同 时 ， 假 使 一 个 灵 数 的 前 面 加 上 一 个 ， 季 和 的 符号 ， 意 思 将 是 指 一 个 样本 中 的 所 有 项 目的 帮 和 ， 除 非 在 记号 上 加 上 诗 号 来 特别 指明 那些 项 的 籽 和 。 我 们 用 了 RRA RBM MAME OR, 其 公式 如 下 : 7= 二 =1lyy 63.489 nN AK SHAM KS HAMM, ARR Dn, EGE 3-9 dint 论 到 计算 简捷 平均 数 的 方法 。 BIH Roem 39 —(ARAW ESR ANS RAWAL ENED, RERAG 一 个 次 数 分 配 用 直方 图 表示 ， NHE-KKL, ARPB AEF 来 靠 在 黑板 上 ， 底 下 用 一 枚 铅笔 支持 著 ， BABAR CARAS 或 右 泪 ， 但 是 假使 移动 铅笔 的 位 置 ， 直 到 直方 图 过 到 平衡 而 不 倒 下 ， 则 过 个 平衡 点 就 是 算术 平均 数 。 事 实 上 ， 过 是 求 一 个 欢 数 分 配 的 算 入 平均 数 的 一 箱 实 验方 法 。 3.2 其 他 的 平均 数 ( Other means ) 在 第 十 章 和 第 十 一 章 我 们 将 提 到 有 时 候 我 们 把 释 数 爸 换 仿 其 对 数 或 倒数 ， 假 使 我 们 计算 释 换 后 的 灵 数 的 平均 数 ， 然 后 再 求 此 平均 数 的 反对 数 或 倒数 ， 则 所 得 到 的 平均 数 将 和 本 来 的 释 数 之 算术 平均 数 不 相 等 。 过 类 平均 数 在 统计 上 有 其 特殊 的 名 字 。 半 数 爸 换 的 释 数 之 平均 数 之 反对 数 称 需 交 何 平均 数 ( geometric ec ) ， 其 计算 公式 如 下 : G.M.r = antilog — ¥ log 六 Pa: 因 筷 对 数 的 相 加 等 於 其 反对 数 的 相 乘 ， 所 以 另 一 种 计算 公式 如 下 : ie Ee ae ae a) Ce te .C€3*3) AREA PHAR A LU BREA oc, ZPi 的 大 写 ， 可 以 HE “product” , EMSZERRS AMMA, 7 ERRSAWRE WRMLA, KERNHRRAME—EM, MU3-3RLRKEA 平均 的 方法 可 以 写成 下 面 比 较 简 单 的 形式 : 0 (3-3a) =1 用 3-30 WARE MMII ALE LO, PT DUBEOR LE TE 40 “AMR ate iw IB BADR ESE Fe ESE HS ARK OY (a EN BZ, S Ae RHA nz AAR ABR AMER harmonic mean), (RHR Ay 来 表示 调和 平均 数 ， 则 其 计算 公式 如 下 : ] te ( 3-4) MKT NBR Lit PARED Hy SAT Oe MAA OR, HEM SESH 14.65% HM 14.09%, RIES RAM EME, BMSAEARAEHE HESRA TPMMES Bk Rl BAA BRB), DZS RHEER TARE GR ZARA HHA ERE he BOK eh, HAREGAMKSRERSBHNES, EMH HUBER, EHH BRMMARRMRYS RES, Hie SWRELR-ELAKRTABVRRUNRE, ARRIBA RABRRARKHRE, RERARSONEORRM, RAKES + ARGS HE A Se ES ( trans formation ) 。 3.3 中 位 数 ( The median ) 偶尔 在 生物 研究 上 也 用 到 中 位 数 M , 中 位 数 的 定义 是 变数 的 一 个 值 ， 在 此 值 的 两 端 有 相等 数目 的 项 目 ， 因 此 中 位 数 把 一 个 次 数 分 配 分 成 两 牛 ， 例 如 在 下 面 五 个 测量 值 的 样本 中 让 M=16, 因 和 坑 在 第 三 个 枫 测 值 的 南端 有 同样 数目 的 观测 值 。 我 们 可 以 更 容易 脓 解 中 位 数 的 意义 ， 假 使 我 们 把 释 值 从 最 大 到 最 小 依 序 排列 » 例如， 一 排 的 人 依照 身高 排列 ， 在 过 一 排 中 最 中间 的 人 之 左 录 和 右 B=R Mu 41 ， 滤 有 相等 数目 的 人 ， 则 他 的 高 度 就 是 过 个 样本 之 中 位 数 。 和 党 一 个 样本 中 包含 有 奇数 个 体 时 ， 其 中 位 数 很 容易 求 得 ， 但 是 当 一 个 样本 的 个 体 数 是 偶数 时 ， 则 中 位 数 的 计算 方法 是 求 第 (2 /2 ) 个 和 第 (2/2 ) 十 1 个 爸 值 的 中 点 ， 例 如 下 列 四 个 疯 测 值 的 中 位 数 是 第 2 和 第 3 hy BE ,也 就 是 15.5。 当 和 但 值 是 排 成 欢 数 分 配 的 时 候 ， 中 位 数 的 决定 就 有 些 问题 ， 因 篇 有 些 释 值 和 中 位 数 同 属於 一 个 租 ， 所 以 租 标 是 一 样 ， 此 时 中 位 数 的 求 法 是 伟 有 中 位 数 的 组 之 租 限 的 中 点 (把 租 内 的 个 体委 作 是 平均 数 分 配 do , 中 位 数 只 是 把 一 个 欢 数 分 配 分 成 等 区 域 的 硫 计 量 之 一 ， 它 把 分 配 分 成 两 个 ， 而 四 分 位 数 ( quartiles ) 把 欢 数 分 配 分 成 四 个 等 区 域 ， 分 天 的 点 就 在 25，50， 和 75 弘 上 面 ， 当 然 第 二 个 四 分 位 数 就 是 等 於 中 位 数 。 其 他 还 有 五 分 位 数 (9xz7atzles )， 十 分 位 数 (deciles ) » MADAME ( percentiles), 把 一 个 分 配 分 成 5，10 和 100 个 等 分 。 从 本 书后 面 历 提 到 的 进一步 之 统计 分 析 的 应 用 来 说 ， 中 位 数 普 不 是 一 个 很 有 用 的 统计 量 ， 除 了 在 第 十 章 的 无 币 数 法 (nonparametric methods) 之 外 。 但 是 在 若干 特殊 的 情形 下 ， 通 常 是 当 分 配 呈 不 对 称 的 上 时候， 中 位 数 比 算术 平均 数 更 具有 代表 性 。 一 个 在 沟 济 学 上 常 被 引 用 的 例子 ， 就 是 一 个 公司 的 职员 的 “典型 "之 薪水 数目 ， 公 司 里 亲 个 待遇 特别 高 的 职员 的 薪水 将 会 使 算术 平均 数 成 垮 一 个 没有 代表 性 的 数 字 ， 相 反 的 ， 中 位 数 则 比较 不 会 受 少数 兹 个 高 薪水 的 影响 。 中 位 数 把 公司 的 薪水 太 度 分 成 两 个， 一 个 高 从 中 位 数 ， 一 个 低 於 中 位 数 。 42 EDR tae ie 在 生物 学 上 ， 中 位 数 的 应 用 上 比 算术 平均 数 来 得 恰当 的 例子 是 党 族 群 成 焉 的 分 配 ， 例 如 体重 ， 五 十 央 的 美国 男人 体重 的 中 位 数 可 能 比 平 均 体 重 更 具 意义 。 党 要 测量 一 个 样本 的 所 有 项 目 以 求 在 均 数 是 很 困 册 或 不 可 能 的 时 候 ， 中 位 数 的 应 用 就 季 得 很 重要 。 例 如 ， 一 个 动物 行 需 学 家 ， 要 研究 一 个 样本 的 动物 执行 某 箱 行 垮 所 需要 的 时 间 ， 此 时 的 洛 数 是 每 一 个 动物 执行 各 个 行 垮 所 花 的 时 间 的 长 短 ， 研 究 的 人 所 要 求 的 是 执行 的 平均 时 间 ， 但 是 只 有 在 记 儿 所 有 的 动物 的 执行 时 间 和 后， 才能 计算 平均 的 时 间 ， 可 是 有 些 动物 可 能 要 花 很 长 的 时 间 才 能 完成 指定 的 行 需 ， 观 测 者 不 可 能 花 那么 多 的 时 间 去 观测 ， 而 且 有 些 动物 可 能 不 会 得 照 指示 来 进行 ， 所 以 根本 不 可 能 计算 平均 数 ， 此 时 一 个 租 当 的 位 置 统计 量 来 描写 过 些 动物 的 行 需 就 是 执行 时 间 的 中 位 数 ， 或 是 相关 的 入 计量 ， 例 如 75 或 90 BAM, Mk, RBBB aM HRA 大 小 ， 他 不 需 完 成 其 分 配 的 右 尾 。 另 外 一 个 相 类 似 的 例子 是 ， 一 群 个 体 对 於 某 一 种 药品 或 毒物 的 反应 ( 致死 或 有 效 剂 量 的 中 位 数 ; LDs。 或 ED,。); 或 是 一 种 生物 内 效 个 品 逢 产生 某 一 突 构 所 需 的 时 间 的 中 位 数 。 3.4 # #( The mode) RBEH-PKABDAPRRS (RR “VET” ) 的 值 。 在 一 个 次 数 分 配 的 图 形 上 的 最 高 点 所 指 的 数值 就 是 朵 数 ; 在 一 个 分 租 的 女 数 分 Ac PRED RAKAN Be, CSR Re STR AAR AC Modal class )EDW, FEMS LRAWYR AR SBA YE, B-ASRAARASMRR, RERRENRREO—R B Zhe ( bimodal ), RAMMOUELMA, BRS ( multimodal do BAAR U - RARER, AAC AU RRR AR RM ( antimode ), - FIR RiaeH 43 当 我 们 评估 算术 平均 数 、 中 位 数 ， 和 素数 的 功用 之 时 ， 我 们 必须 -考虑 到 下 列 交 点 。 在 统计 上 一 般 比 较 适 宜 探 用 算术 平均 数 ， 因 需 它 的 标准 机 差 比 其 他 的 位 置 统计 量 的 标准 机 差 垮 小 ， 而 且 它 比 较 容易 计算 出 来 ; 另外 一 个 优点 ( 参见 6.1 i) BA RHR REARS SED 配 ， 其 算术 平均 数 的 分 配 也 呈 常 态 的 分 配 。 但 是 平均 数 容 易 受 很 特殊 ”的 观测 值 的 影响 ， 而 中 位 数 和 朵 数 则 比较 不 会 。 其 欢 ， 平 均 数 对 於 一 俩 次 数 分 配 的 情形 的 改 构 比较 敏感 ， 假 使 研究 的 人 需要 一 个 统计 量 来 反映 过 逢 改 丢 ， 则 比较 适宜 探 用 平均 数 。 在 一 个 单 些 而 且 对 称 的 分 配 ， , 平均 数 和 中 位 数 和 到 数 都 相等 ， 一 个 最 好 的 例子 是 第 五 章 所 言论 的 常态 分 配 。 在 一 个 典型 的 不 对 称 之 分 配 ， 例 如 图 3. 1 的 分 配 ， 平 均 数 RARE, RRR EO, HRA REZ 间 。 过 个 顺序 有 一 个 很 容易 训 的 方法 ， 就 是 从 分 配 的 长 尾 的 一 端 按照 英文 字母 的 顺序 排列 。 3°5 全 中 (The range ) 我 们 现在 开始 千 葵 训 散 度 的 测量 ， 从 图 3-2 我 们 可 以 看 出 非常 不 IMA HA RATS HASH, Alt, BADER HD 配 的 方法 。 | ! Beal 2 RE RY — a EB HARE BSIB( rcxzge ) ， 它 是 一 个 样 本 中 最 大 和 最 小 的 项 目 之 问 的 差 。 例 如 3 .1 SATA ARB 的 全 距 是 : 4 f= 23.3 一 10.8=12.5G BOX 2-1 WH RaeRAREWABE: 4B = 4.7—3.3=1.4 单位 是 0.1 毫 米 44 ”生物 和 统计 学 半 花 中 平 20 R 位 均 数 数 数 18 | n = 120 16 i 1 次 | 1| 12 I. | it 10 hack 加 8 | | 6 | | 1| | 4 | 2 - | | 1 3-1 一 个 不 对 称 的 次 数 分 配 ( 向 右边 偏 糙 ) ， 表 示 出 平 : 均 数 、 中 位 数 和 妙 数 的 位 置 。 此 图 表示 120 个 样品 的 牛奶 之 奶油 含量 的 百分比 。 摘自 一 个 加 拿 大 的 牛 焦 育种 公司 的 记录 ) 因 插 至 距 是 表示 在 释 数 的 尺度 上 释 值 的 分 作 实 度 ， 所 以 它 的 单位 和 本 来 的 测量 值 相 同 。 僵 距 的 大 小 可 以 因 振 一 个 极端 的 数值 而 受 影 响 ， 所 以 人 至 距 只 是 估计 一 个 样本 的 底 散 程度 之 粗略 统计 量 。 3°6 4% ## ( The standard deviation ) Me OEE EW — Sa BMRA DADS BID Ac PH 1A A BER Bit Hee 三 个 次 数 分 配 具 有 相等 的 算术 平均 数 和 样本 大 小 ， 但 是 其 万 散 的 情形 则 显然 不 同 。 45 46 ”生物 统计 学 导论 ， 而 且 依照 每 一 个 项 目 和 分 配 的 中 点 的 距 碎 的 长 短 而 葵 与 不 同 的 加 权 。 我 们 现在 设法 来 设计 出 一 个 过 样 的 统计 量 ， 在 3. 1 BAP HH BOX 2. 1 的 蚜 号 腿 节 长 度 的 数据 之 分 租 后 之 次 数 分 配 。 前 面 两 栏 卖 示 租 标 和 次 数 ， 第 三 栏 是 需 了 计算 此 欢 分 配 的 平均 数 ( 参见 3.9 节 )， 也 就 EMBYRLAKS, FORMHRARAHTA EHO BARE 4.0 单位 。 表 3.1 PREP RHR (Deviations from the mean), HH hei & BE ( 取材 自 BOX 2.1 ) Y f ae y=Y-Y fy 3.4 2 6.8 —0.6 —1.2 SUF 8 29.6 —0.3 —2.4 4.0 5 20.0 0.0 0.0 4.3 8 34.4 0.3 2.4 4.6 2 9.2 0.6 1.2 $2 Fl 25 100.0 —3.6 3.6 as 2 Ee 00.0 7. Pe pled = 420 Pa 25 #3 — ABA SU OEE Bl AME SE RT: y=Y-Y §i— (HME (deviate) BRLEKE-BWGRAFOM Y-Y MPREY—Y, EAE PMA BNT RRA, BM AU AR, 3-1 FAVS OW FH iS AAT SAME, ATR, te BIH RM 47 EXHEGRAGMEAMORMERD, RBG HM SRK AR, BERKS MEARE WADE SLBA BD WREBA, Ate ABR RUAH, KHERIIRAAM, ut (0S HIE AEE BE 然后 我 们 来 计算 一 个 平均 的 雇 差 ， 过 个 平均 数 要 先 把 所 有 的 妄 差 加 起 来 ， 然 后 除 以 样本 的 碎 差 数目 ， 可 是 当 我 们 要 把 欢 差 加 起 来 时 ， 我 们 发 现 正 负 琴 差 互相 抵消 掉 ， 就 像 第 五 栏 的 下 方 所 麦 示 的 。 只 要 我 们 是 用 算术 平均 数 来 计算 享 差 ， 则 过 种 天 傈 永 束 存在。 过 是 因 需 算 和 本 平均 数 是 分 配 的 中 心 贴 ， 因 此 斌 差 的 平均 永 束 是 等 於 零 。 附 录 A 1:1 6 RAKW EZ OMAKESRS, MEST RARER, AURA BRERS, TB AMEND TERA BEA, EAM MEE, MD Bly OF ae A A BRIA 3-2, B—-. —. =MSRAMB, 次 数 AME, HEULRRORKERAAR TM, AMA E PM EG GARG CLARLEM, RE EADMTIMES OT HEMAM WR, HREAOMRAIM, PH COMER 2.88 , 过 是 在 统计 上 非常 重要 的 一 种 计算 值 ， 叫 做 平方 和 ( Sum of sq- wares), ADy? mR, EH3-2, PHAM Dy? EH GES BEOUREK, RATER RAMARA OOM, 另 一 个 平方 和 常 用 符号 是 SS 。 下 一 个 步 台 是 求 2 个 平方 的 区 差 之 平均 ， 所 得 的 平均 叫做 思 方 ( Variance ) 或 均 方 ( mean square): 侣 方 在 统计 上 是 个 很 重要 的 统计 量 ， 在 本 书 壬 将 会 一 直 用 到 。 此 48 ADR TEBE 刻 我 们 所 要 训 住 的 是 释 方 是 由 雄 差 的 平方 计算 而 来 ， 因 此 它 的 单位 是 本 来 的 单位 的 平方 。 垮 了 去 掉 平 方 的 影 澳 ， 我 们 再 取 伙 方 的 平方 根 ， 而 得 到 标准 差 (Stcexzdcxrd deviation ) : > 2 标准 差 = 十 V 一 二 — 0.3394 ARREZEEARFARUHNRBHMEDR, Albee Bi RAY 单位 一 榜 。 要 训 住 ， 不 要 用 上 述 的 公式 和 麦 3.2 的 方式 来 计算 释 方 和 标准 差 » 因 仿 过 种 方法 太 麻 烦 。 a GER RE SSE IRS RRB RRB, R-MAA Gay ai RA. 表 3.2 @#%Z (The standard deviation ) 元 长 的 计算 AK, RRA REM eR, Fae RE 用 来 说 明 标 准 差 的 意义 ， 数 据 与 表 3.1 同 。 (1) (2) es) (4) (5) Y f y=Y-Y y” fy’ 3.4 2 = (8 0.36 0.72 3.7 8 =e 0.09 0.72 4.0 5 0.0 0. 00 0.00 4.3 8 0.3 0.09 0.72 4.6 2 0.6 0.36 0.72 $8 A 25 2.88 Y= 4.0 = fy? = 2.88 Lfy? 2.88 = fy S eee OTe n 25 Biwe7% =4/ 0.1152 =0.3394 第 三 章 “” 钱 述 统计 49 3°7 样本 统计 量 和 母 数 ( Sample statistics and parameters ) AREBLRAMLHSHRAMKOMHE, LRSE BBE 些 统 计量 所 代表 的 是 什么 。 只 要 庆 算 没有 错 愤 ， 一 个 平均 数 和 标准 差 永 天 是 测量 样本 的 位 置 和 训 散 程度 的 重 对 里 实 的 数值 。 例 如 在 3. 1 ff 所 提 到 的 四 个 氧气 百分比 的 质 正 平均 是 15.325 %，25 个 腿 节 长 度 的 标准 差 是 0.3394 Hi, 但 是 在 统计 上 我 们 很 少 只 愉 趣 放样 本 的 位 置 和 底 散 程度 的 测量 ， 通 常 我 们 归 趣 於 推 葵 全 体 ( Populations ) 的 情 形 ， 因 此 我 仙 背 不想 只 知道 四 个 氧气 百分比 的 平均 是 多 少 ， 我 们 里 正 想 脓 解 的 是 全 体 的 里 正 的 氧气 百分比 ， 而 过 四 个 攻 数 是 由 全 体 抽 样 所 得 到 的 。 同 样 的 ， 我 们 想 知道 蚜 患 干 母 之 全 体 的 腿 节 长 度 的 时 正 平均 ,水 不 是 只 想 求 25 个 个 体 的 平均 。 当 我 们 研究 衣 散 程度 的 时 候 ， 我 Pie SERBS REO RES, 而 不 是 柑 本 的 标准 差 ， 但 是 过 些 全 和 体 统计 量 通常 是 不 得 而 知 的 。 例 如 惟 能 锡 探 集 一 个 蚜 号 的 族群 的 所 有 个 体 而 量 它 何 的 腿 节 长 度 呢 ? 因此 我 们 需要 用 样本 统计 量 (samzple statistics ) RE¢EDRRH EB ( population statistics ) 或 母 数 ( parameters ) 之 估计 量 (estimators ) 。 在 和 统 计 上 我 们 惯用 希腊 字母 来 表示 全 体 母 数 ， 而 用 才 启 字母 来 玫 示 样 本 和 统计 量 。 例 如 样本 平均 数 了 ， 是 用 来 估计 全 体 的 母 数 平均 数 / 。 同 样 的 ， 一 个 样本 伙 方 (以 s* BZ) 是 用 来 估计 一 个 母 数 释 方 (以 c“ 玫 之 ) 。 而 此 等 估计 量 必需 是 不 偏 的 ( xxzpbiased )， 不 偏 的 意思 是 ， 假使 我 们 从 一 个 已 泾 知道 母 数 的 全 体 去 抽样 ， 不 管 样本 之 大 小 如 何 , 样本 策 计 值 的 平均 必须 等 於 母 数 ; 没有 具 人 备 过 种 性 质 的 估计 量 是 仿 的 (2icsed ) 。 样 本 平均 数 了 是 母 数 平 均 数 / 的 一 个 不 偏 估计 量 ， 但 50 49H HSS ing Fe ;是 以 3.6 MAAR HY ARAB UE ET, EH HK, CRABB? WB), 需 了 要 去 掉 过 个 缺点 ， 和 统计 学 家 MKBU ROT HA n—1 KR, TARA 来 除 ， 则 所 得 到 的 样本 释 方 将 是 全 体 溉 方 的 不 偏 估计 量 。 因 此 ， 歼 惯 上 计算 释 方 的 方法 是 用 # 一 1 来 除 平方 和 ， 也 因此 克 惯 上 标准 差 的 计算 公式 是 : S 一 才 (3-5) s SP ere Pe ”我们 发 现 过 个 数值 比 以 前 所 得 到 的 数值 (0.3394 ) 大 了 一 点 ， 当 和 然 BAKDRA, An Ain-1 来 除 所 得 到 的 糙 果 差 届 愈 小 ， 但 是 不 管 样本 大 小 如 何 ， 在 计算 党 方 或 标准 差 的 时 候 最 好 全 部 以 怀 一 1 KR BM, BRB s* 的 记号 的 时 候 ， 过 记号 是 指 用 % 一 1 来 除 平 广 和 所 得 到 的 一 个 释 方 ， 此 2 一 1 的 量 被 称 坑 自由 度 ( degree of Freedom ) 。 一 个 例外 的 情形 是 当 研 究 的 人 只 愉 趣 谎 有 解 样本 的 情形 ， 而 不 是 用 样本 的 统计 量 来 估计 全 体 的 母 数 ， 旭 释 方 和 标准 差 的 求法 可 以 用 # 来 除 平 方 和 。 另 一 个 例外 的 情形 是 研究 者 得 到 整个 全 体 的 数 据 ， 此 时 以 疡 来 除 是 正确 的 ， 因 需 他 已 克 不 是 在 估计 一 个 母 数 ， 而 实 际 上 是 在 计算 一 个 母 数 。 例 如 一 种 箱 篇 ( whooping cranes ) 的 所 有 Mie HORE LBA HRM Hila. 假使 诗 具 南 物 理学 奖 的 PAGE RTE, CRORE, ARR 是 来 自 全 体 。 ieee eG: ¢ AoE Rae 51 3.8 计算 前 之 数据 简化 ( Coding of data before computation ) 在 我 们 言论 如 何 用 一 个 计算 机 来 实际 计算 平均 数 和 标准 差 之 前 ， 我 们 必须 先 讨 葵 一 逢 重要 的 步骤 ， 就 是 原始 数据 的 简化 。 简 化 (coding ) 的 意义 是 把 原始 数据 加 或 减 一 个 常数 ， 或 乘 以 或 除 以 一 个 常数 ， 可 VALORES, RRO REAM ARR AR RERASRSHL, RAMERA, ES Be BUSA, TE MEARS BEA (CW DER ASR HS SE EH SR, 加 上 或 减 去 一 个 常数 的 简化 方法 ， 我 们 称 需 加 性 简化 (cdditive codizg )， 因 念 减 等 於是 加 上 一 个 负 的 值 。 乘 上 或 除 上 一 个 常数 的 简 化 方法 叫做 倍 夫 简 化 ( multiplicative coding), ARRERER 上 除数 的 倒数 。 同 时 用 到 加 性 和 倍增 的 简化 我 们 称 之 坊 组 合 简化 ( Combination coding ) 。 在 附 侍 Al1.2 ， 我 们 言论 用 此 三 种 简化 方法 来 计算 平均 数 、 伙 方 和 标准 差 所 得 到 的 烙 果 ， 至 於 平均 数 的 烙 果 ， 我 们 可 以 和 炉 和 结 如 下 : 党 每 一 个 沟 值 都 加 上 一 个 常数 ， 则 简化 后 的 平均 数 Yo DRL , 才能 得 到 原始 数据 的 平均 数 了 。 当 所 有 数值 被 乘 以 一 个 常数 ， 则 所 得 到 的 平均 数 荆 c 必需 除 以 同 样 的 常数 ， 才 能 得 到 原始 数据 的 平均 数 ; 相同 的 ， 当 本 来 的 爸 值 都 除 以 一 个 常数 ， 则 所 得 到 的 平均 数 必 需 乘 以 同样 的 常数 才能 得 到 原来 数 据 的 平均 。 径 过 和 粗 合 简化 后 所 得 到 的 平均 数 在 我 们 要 侈 换 成 本 来 数据 的 平均 数 的 上 时候， 必需 倒 值 操作 ( inverse operation ), AMR IEF ( reverse Seqtece ) 。 二 逢 操作 的 过 程 可 以 用 图 来 表示 ， 例如 我 何 §2 ADH ct Bein fA AV WA 5 再 乘 以 10 ， 则 所 得 到 的 平均 数 必 需 先 除 以 10， 再 加 上 5 才能 得 到 原始 数据 的 平均 数 。 代号 C Y +5 =10 KN flO, & A AMIEL 100 再 加 以 1. 2 则 所 得 到 的 平均 数 必 需 先 减 去 1.2， 再 乘 以 100 才 能 得 到 原始 数据 的 平均 数 : fe Be <= 100 + tae Yc 上 X100 一 1.2 去 代号 下 式 麦 示人 简单 简化 的 方法 : 十 "1L0 x4 rk ee 一 去 代号 一 一 去 代号 至 於 简化 对 於 杰 方 和 标准 差 的 影响 ,我 们 发 现 所 有 的 加 性 代号 对 於 平方 和 、 爸 方 、 和 标准 差 都 没有 影响 ， 在 附 仁 A 1. 26K Snes , 但 是 我 们 也 可 以 用 直 晕 来 明 腔 和 过 逢 天 傈 ， 因 坑 一 个 加 性 的 简化 方 不 影响 任何 一 个 项 目 和 其 平均 数 之 间 的 距 砍 。 例 如 ， 假 使 一 个 项 目的 值 是 15 ， 而 其 平均 数 是 10 ， 则 其 间 的 距 识 是 5， 假 使 我 们 把 释 值 减 去 一 个 常数 10 ， 则 过 个 项 目 狗 成 5 ， 而 其 平均 每 成 零 ， KEW 然 是 5 。 因 此 ， 假 使 我 们 只 用 到 加 性 简化 ， 只 有 一 个 统计 量 是 必需 去 代号 才能 求 得 ， 那 就 是 平均 数 。 另 一 方面 ， 倍 增 简 化 则 对 平方 和 、 绝 Bom RithHt 53 方 、 和 标准 差 都 有 影响 。 就 像 平 均 数 一 样 ， 乘 上 一 个 常数 后 所 得 到 的 一 个 标准 差 s。， 必 有 需 除 以 该 常数 ， 才 能 得 到 原始 数据 的 标准 差 。 但 是 平方 和 与 党 方 则 需要 除 以 该 常数 的 平方 才能 得 到 原始 数据 的 平方 和 RG, ARERR AEBS SAME, RAMS fi LAORER, KONVERL A LIBR, FSD Ree ES MOK 代号 之 方法 : 代号 75 X 10 - $ a7 去 代号 平方 和 与 构 方 的 去 代号 的 方法 : foggy 100 2 ye ot 2 By? at s* =< #04 下 节 的 BOX 3-1 和 3-2 需 数 据 的 简化 的 例子 。 3°9 计算 平均 数 和 标准 差 的 实用 方法 (Practical methods for computing mean and standard deviation ) 3°6 和 节 所 用 的 计算 平方 和 的 步 屋 ， BT LI BAK: Paes >) CY — V2 ( 3-6) eHABARERARSAVRERS GRRE UE FA, & RUFC ASSR aT Ae A, BA 3.6 式 来 计算 Dy’, 54 生物 统计 学 半 论 我 们 必须 先 计算 平均 数 ， 然 合计 算 每 一 项 目 和 平均 数 的 欢 差 ， 其 次 每 一 凤 差 必须 求 得 其 平方 值 ， 最 后 才 把 过 些 平方 值 加 起 来 。 在 过 些 步 且 当中 ， 最 克 烦 的 是 计算 妄 差 及 求 砍 差 的 平方 值 ， 如 果 用 桌 上 型 计算 机 来 计算 过 些 数值 ， 通 常 有 些 中 间 数 值 需要 应 在 和 颖 上 ， 然 后 在 入 当 的 时 候 再 按 入 计算 机 。 大 部 份 的 学 生 当 他 们 学 到 某 一 逢 方法 来 计算 某 一 个 量 之 后 ， 他 们 通常 杰 惯 地 一 直 探 用 戈 方法 ， 所 以 假使 学 会 了 用 玫 3.2 的 方法 来 计算 平方 和 ， 他 们 可 能 就 一 直 重 和 揽 地 探 用 此 逢 方法 ， 所 以 我 们 要 特别 强 绸 表 3.2 只 是 垮 了 数学 的 原因 才 被 列 出 来 ， 通 常平 方 和 站 不 按照 那 种 方式 来 计算 。 现 在 攻 我 们 来 说 明 计 算 标准 差 的 正常 步 股 ， 籽 共 有 三 个 步 股 ， 第 一 是 计算 平方 和 2y*， 第 二 是 用 % 一 1 KK 平方 和 而 得 到 爸 方 ， 第 三 是 求 释 方 的 平方 根 而 得 到 标准 差 。 第 二 和 第 三 步 卫 都 是 只 有 一 个 计算 ， 所 以 没有 什么 省 时 间 的 方法 可 以 姑 葵 ， 因 此 计算 的 简化 主要 是 关於 第 一 个 步 股 ， 也 就 是 平方 和 的 计算 ， 否 惯 上 ” 旗 算 平方 和 的 公式 是 : a eee. FS ie (3-7) RRAKRRGEWARVHRE, SHAW BOR, LY? 是 每 个 了 B28 5 AD AOA: DY? =Y¥24Y24Y2 + bad al. 4+yY? SY? 在 英文 可 以 叫做 “sxM of 了 squared”, iid s=8s, = 13.593 Hal 13.593 Cve=] Mins oo x 10 = oz 9 58 ”生物 统计 学 半 葵 样本 大 小 全 距 除 以 10 3 30 4 100 5 500 6 1000 6% 以 蚜 盘 数据 含 例 ， 其 全 距 需 1.4， 把 1.4 除 以 4 可 以 得 到 标准 差 的 粗略 估计 人 需 0.35 ， 过 个 数值 和 从 BOX 3-1 计算 出 来 的 数值 人 0.3656 ) 相差 不 速 。 吉 征 粗 略 估 计 的 方法 对 於 债 测 计 算 的 错 性 很 有 用 。 3°10 %%1%¥%&( The coefficient of variation) — | ee EAR RES MH, BME DI BIL ， 漂 没 有 实际 的 用 处 ， 内 然 它 在 所 有 以 后 将 会 提 到 的 统计 工作 常 便 补 用 到 。 现 在 我 人 可 以 用 标准 差 来 当 作 一 个 全 体 之 爸 忆 程度 的 估计 ， 例 如 我 们 可 以 用 标准 差 来 比较 相 类 似 的 全 体 之 爸 导 程度 ， 看 全 体 4 是 否 LEB BZBRBA, HE, RERALABHPE SREB, BI 单单 比较 它们 的 释 方 或 标准 差 是 很 危险 的 。 举 个 例子 来 设 ， 象 的 尾巴 长 度 的 标准 差 显然 比 一 焦 老 鼠 的 整个 尾巴 长 度 渤 要 大 。 需 了 要 上 比 赤 具 GHA AOE MAOH RE, CPT LAER AR Be coefficient of variation ) 。 释 办 傈 数 是 标准 差 除 以 平均 数 ， 然 后 以 百分比 来 表示 ， 其 公式 如 下 : s X 100 y CV = ( 3-8) 第 三 章 ” 钱 述 和 统计。59 例如 ，BOX 3-2 AOA RSH AUM RMS 12.37%, BRM )\ATRAOWE RR, BRAKE ESKER, 释 刁 傈 数 被 普 沁 地 用 来 比较 二 个 平均 数 不 同 的 全 体 。 比 较 中 国 男 婴 的 出 竺 体重 和 蚜 号 腿 节 长 度 的 餐 情 程度 可 能 没有 什么 意义 ， 但 是 假 BERN, Tote eRe eRRB 0.3656 x 100/4.004 =9.13%, BRABROSCMER EO BRAS A), KRER 的 是 ， 党 我 们 要 比较 一 个 生物 样本 之 某 一 个 性 状 是 否 比 另 一 个 性 状 之 MREEBA, AME-HERHRA, BENPRESLALHE SEMRREEEXK, F-6, LHEERMBLECOKR Bit CARRHAAER, AM, KATAKRNEMBRRAZ Oi REM RE, Ll GE Be Le th Bk, SHHBHSETAGLRNAME HRA EEC 傈 数 而 得 到 。 aR El 3 3-1 RRA24 之 鸽子 数据 的 平均 数 、 标 准 差 、 和 变 展 傈 数 。 然 后 把 数据 分 成 10 组 ， 再 计算 平均 数 和 标准 差 ， 冰 比较 分 组 后 和 没有 分 组 时 所 得 到 的 千 果 。 计算 分 组 后 之 数据 的 中 位 数 。 3-2 KE AMR ROR, BES, BRR. Mbim (RE RACartler , Firschein, 1 Dobzhansky, 1956 年 之 文章 ， 需 37 焦 黑猩猩 的 尿 中 每 毫克 肝 本 所 含 的 胶 基 乙酸 的 毫克 数 ) 。 答 案 : Y=0.115, s=0.10404, .008 .018 .056 .055 .135 .052 .077 .026 .440 .300 .025 .036 .043 .100 .120 .110 .100 .350. .100 .300 .011 .060 .070 .050 .080 .110 .110 .120 .133 .100 .100 .155 .370 .019 .100 .100 ..116 3-3 FURRRER-BMetrA+ERRHH, 随机 取样 得 到 的 120 €=eKY 牛 〈《 品 种 的 名 字 是 4yrspniyzre cow ) 的 牛 油 含量 百分比 。 60 ££ at SS a) ERE RRAA RIG. REA. MBAR, RHAWNTAOe Mw MIYMLZY’, AREHRHPRREABRBE, NID SMR 一 个 栏 ， 而 不 需要 重新 计算 全 部 的 数据 。 把 每 一 栏 所 得 的 结果 记 销 下 来 人 备用 。 b) 将 此 数据 加 以 分 组 而 成 一 个 次 数 分 配 ， 然 后 再 计算 工 、s 和 CT， 比 较 @ 和 人 所 得 到 的 辕 果 ， 分 组 后 其 精确 度 失掉 多 少 ? 最 后 再 计算 中 位 数 。 4.32 4.24 4.29 4.00 3.96 4.48 3.89 4.02 3.74 4,42 4.20 3. 87 4.10 4.00 4.33 3. 81 4.33 4.16 3.88 4.81 4,23 4.67 3.74 4.25 4.28 4.03 4.42 4.09 4.15 4,29 4.27 4,38 4.49 4.05 3.97 4.32 4.67 4.1] 4,24 5. 00 4.60 4.38 ae ps 3.99 4.00 4.46 4.82 3.91 4.71 3.96 3.66 4.10 4.38 4.16 Ste 4.40 4.06 4.08 3.66 4.70 3.97 3.97 4.20 4.4] 4,31 3.70 3.83 4.24 4.30 4.17 3.97 4.20 4.51 3. 86 4.36 4.18 4.24 4.05 4.05 3.56 3.94 3.89 4.58 3. 99 4.17 3.82 3.70 4.3 4.06 3. 89 4.07 3.58 3.93 4.20 5.89 4.60 4.38 4,14 4.66 3.97 4.22 4.47 392 4,91 3.95 4,38 4.12 4.52 4.35 3.9] 110 4.09 4.09 4.34 4.88 4.28 3.98 1,58 3.4 3"5 3°6 =S saeet 67 OAT RB tio k 5.2, ABR. PL BARR, PIO H. PUR. RA. PH EHate SATE YB? 加 上 5.2 2KRAKY 8.0 的 影响 又 如 何 ? 假使 我 们 先 乘 以 8.0 Me AM 6.2, HS ble abet yy BRA AI? ae 8A BE Aah thoy DL we DY? —ny? aia s? = (ARRMAL, ZHAARLRRM, ANE GR ie RAE 生 的 很 大 议 差 ， 除非 考 计 算 到 很 多 位 有 效 数 字 ) 。 人 Sees id SLOG (Gat Pr S$ SAKE AH TOL Y Al s ASB RZ 程度 如 何 ? 答案 : 723-2 S pM Hy hhstATS 0.22 及 0.1014 。 A. te SE BC Hah 我 个 在 2.5 MHB—-ASAKAD EH, PMH 2.2 列 出 一 个 分 立 或 不 违 炉 芝 数 的 分 配 ， 也 就 是 每 -方块 中 水 草 植株 的 数目 。 连 和 炉 膏 数 的 分 配 之 例子 ， 例 如 BOX 2.1 WH BZ ARM BOX 3.2 AK 出 生体 重 。 过 些 分 配 列 出 每 一 租 的 帮 对 欢 数 ， 例 如 我 们 可 以 看 出 大 部 份 的 方块 含有 一 棵 、 两 棵 或 是 不 含有 植物 ， 另 外 例如 在 9465 位 婴儿 有 201 位 是 在 139.5 盎司 的 出 生体 重 之 粗 中 ， 也 就 是 购 有 2. 1 %% 的 婴儿 是 属於 过 一 组 。 和 当然 我 们 应 各 住 各 些 次 数 分 配 是 从 圣 体 中 所 得 到 的 样本 的 分 配 ， 过 些 出 生体 重 代表 在 一 个 固定 的 地 理 区 域内 的 一 个 中 国 男 婴 的 族群 。 假 使 我 们 晓得 我 们 的 样本 是 用 来 代 玫 一 个 全 体 ， 则 我 们 可 以 根据 榜 本 次 数 分 配 来 作 各 征 的 预 估 。 例 如， 我 们 可 以 府 狗 有 2.1 多 的 过 个 族群 之 中 国 男 婴 之 出 生体 重 应 访 介 於 135.5 和 143.5 64 生物 统计 学 亲 论 肉 司 之 间 。 同 样 的 ， 我 们 也 可 以 规 在 过 个 族群 内 ， 一 位 婴儿 的 出 生体 HE 139.5 笨 司 的 机 牵 很 小 。 假 使 我 们 把 9465 个 体重 ， 每 一 个 和 葵 它 . 一 个 号 码 ， 然 后 把 过 些 号 码 放 在 一 个 帽子 里 面 混合 ， 然 后 抽 出 一 张 号 码 ， 则 过 一 张 刚好 是 201 张 139. 5 RASA SHES RABI 常 小 的 ， 其 机 牵 只 有 0.021 。 而 抽出 一 张 107.5 或 115.5 盎司 的 机 ABA, ARI AM BARASR 2240 和 2007 。 最 后 ， 假 使 我 们 从 一 个 未 知 的 婴儿 族群 去 抽样 ， 而 抽 到 第 一 个 个 体 的 出 生 苯 重 是 170#A, RARATU SRR, 3S HK aK BOX 3-2 的 MEZA, ABE BOX 3-2 之 分 配 差不多 在 10,000 位 婴儿 当中 ， 只 有 一 位 婴儿 有 二 褒 的 体重 。 同 然 我 们 在 那个 中 国 男 嗣 族 群 常 中 也 有 可 能 得 到 170 SABE, GEER, BBB Bet 是 那样 重 的 机 率 是 非常 小 的 。 所 以 在 理 葵 上 我 们 应 蕊 可 以 认 震 过 个 未 知 的 族群 和 BOX 3.2 所 指 的 族群 可 能 有 不 同 的 平均 数 ， 也 可 能 有 不 同 的 释 方 。 LER AD BOE Et ( 例如 某 一 事件 发 生 的 次 数 ) ， 或 作 某 些 判断 和 决定 ( 例如 某 一 体重 的 婴儿 是 否 可 能 属於 某 一 族群 的 一 分 子 ? ) 。 但 是 在 生物 学 上 我 们 常常 不 是 根据 径 验 分 配 来 作 预 估 ， 而 是 根据 一 些 我 们 吏 坑 正确 的 理论 来 作 PU, 例如 根据 某 些 自 然 的 力量 对 於 某 种 对 象 的 影响 ， 我 们 如 坑 其 数据 必 依照 某 种 形式 来 分 配 ， 假 使 我 们 扶 正 得 到 的 数据 站 不 依照 过 种 形式 来 分 配 ， 则 我 们 就 可 怀疑 我 们 的 假定 是 否 正确 ， 过 是 在 生物 学 上 常用 的 次 数 分 配 。 我 个 所 要 测验 的 假定 通常 遵 到 一 个 理 葵 次 数 分 配 ， 理 葵 次 数 分 配 也 叫做 被 率 分 配 & probability distribution) 。 简 单 的 机 这 分 配 例如 孟 德 隐 杂 LUNI 3 1 1 之 比率 ; 比较 复杂 的 画 数 ， 例 如 我 们 预 估 一 个 方志 内 生物 的 数量 。 假 使 我 们 发 现 观 测 数据 和 理 葵 的 预期 值 消 不 符合 ， 我 个 第 四 章 “ ”机率 分 配 之 绪论 ”65 常会 发 现 某 些 生物 的 机 人 制 引 起 过 征 差 情 。 就 像 遗 传 连 争 现 象 ， 动 物 行 需 中 不 同 麦 现 型 的 愤 择 交配 ， 动 物 在 某 些 适应 地 区 的 聚集 ， 或 它们 的 地 区 扩张 等 等 都 是 用 过 种 方法 来 研究 。 因 此 我 们 要 用 机 率 学 属 来 测 台 —KADAR, RADA, BASRA ARH, 在 以 下 数 节 我 们 将 首先 简要 地 计 论 机率 (4-1). MARR ROR 初 浇 的 概念 。 其 次 在 4. 2 节庆 葵 二 项 次数 分 配 ， 二 项 次 数 分 配 不 仅 对 某 些 研 究 很 重要 例如 遗传 学 上 的 研究 ) ， 而 且 是 要 彩 解 本 书 中 诗 葵 AOS fh GRAD A SD EE 4-3 MiNi LADO, ERORELWSLNRRRER ZH 是 常 被 用 来 测验 某 种 事件 的 发 生 是否 随 机 。 二 项 分 配 和 卜 瓦 松 分 配 都 是 分 立 机 牵 分 配 ， 而 最 常用 的 连 炉 机 率 分 配 是 常态 次 数 分 配 ， 常 态 次 数 分 配 将 在 第 五 章 中 加 以 诗 花 。 4-1 PR > MRI te > FoR ( Probability, random sampling, and hypothesis testing ) 我 个 首先 用 一 个 不 是 生物 学 上 的 例子 来 加 以 言 葵 ， 我 们 发 现 饥 了 数学 的 目的 当 我 们 要 介 狠 一 个 新 的 届 念 之 时 ， 最 好 是 举 学 生 最 熟悉 的 例子 来 司 明 ， 不 管 过 个 例子 是 不 是 生物 学 上 的 问题 。 举 个 例子 来 妨 ， 想 像 有 一 所 学 校 叫做 无 比 大 学 (Metcpnless Un- iversity ) ， 位 於 美国 的 阿 帕 拉 企 丘陵 ( Appalachians ) 和 洛 碘 IC Rockies ) 之 间 。 从 它 性 册 的 学 生 之 数目 来 看 ， 我 们 发 现 有 70 乡 的 学 生 是 美国 的 大 学 生 (AU ) 626% 是 美国 的 研究 生 (AG ),， 短 下 的 4 乡 是 从 外 国 来 的 学 生 ， 在 过 4% 中 有 1 % 是 外 国 的 大 学 生 (CFU )，3 儿 征 外 国 的 研究 生 (FG )。 坟 了 方便 起 见 ， 我 们 不 用 百分比 而 用 比率 ， 因 此 有 0.70 的 AU，0.26 的 AG，0.01 的 FU 及 0.03 66 生物 统计 学 导论 MFG, SAWMAMESH 1.0, tht 2100%, 假使 我 们 把 所 有 的 学 生 集合 在 一 起 ， 然 后 从 其 中 随机 抽样 而 得 到 100 位 学 生 ， 直 晕 上 我 们 将 预期 在 此 100 位 学 生 当中 有 3 位 是 外 国 研 eA, PEATE HOME TI RES IR, GARE AIRES fic FG 也 没有 ， 而 有 些 样本 可 能 多 於 三 位 外 国 研究 生 。 因 此 外 国 研 究 生 的 数目 除 以 抽样 的 学 生 煌 数 ， 所 得 到 的 比率 可 能 从 雾 到 大 於 0.03 。 但 是 假使 我 们 把 样本 大 小 塌 加 到 500 或 1000 位 学 生 ， 则 所 得 的 比率 将 不 会 世 0.03 AK, HAMA, FC 的 比率 愈 靠近 0.03 。 所 以 ， 抽 样 取 到 一 位 外 国学 生 的 机 率 可 以 解释 垮 当 样 本 大 小 不 断 地 增 大 上 时， 抽样 所 得 的 外 国学 生 数 目 和 抽样 折 得 到 的 所 有 学 生 数目 的 比率 。 所 以 我 们 可 以 Sh TE RELL A BHM FIA eA MARE PC FG) = 0.03， AH, WA—CARABAWMBE PC FU ] = 0. 01， 美 国 大 学 生 WA P[ AU ] = 0. 70 ， 美 国 研究 生 的 机 这 是 PC AG I=0.26, 现在 ， 蒜 我们 想像 进行 下 面 的 实验 ， 我 们 武 著 从 无 比 大 学 的 学 生 中 随机 抽样 去 抽 得 到 一 位 学 生 ， 过 个 工作 水 不 如 想像 中 那 友 容易 ， 假 使 我 们 要 实际 的 在 校园 中 去 抽 楼 ， 我 们 必需 在 校园 中 设立 一 个 收集 站 ,而且 需 了 要 作 到 契 对 的 随机 人 性， 我 们 必需 对 於 校园 的 学 生 之 生态 有 充分 的 膀 解 ， 我 们 必需 把 收集 站 屋 在 每 一 个 学 生 都 有 相等 的 机 会 肖 之 地 方 ， 在 一 个 大 学 中 过 逢 地 方 是 很 又 找到 的 。 外 国学 生 和 不 住 校生 比较 常 到 学 生 联 首 中心， 而 住 校 生 则 比较 少 到 浊 箱 地 方 ， 外 国学 生 和 研究 生 比 较 少 到 社团 ， 党 和 然 我 们 也 不 能 把 收集 站 设 在 国际 联 基 会 或 区 _ 际 学 舍 的 旁 沽 ， 因 筑 在 那里 抽样 得 到 外 国学 生 的 机 牵 将 会 显著 地 增加 。 在 出 精 员 的 办 公 室 我 们 很 容易 抽样 到 需要 付 学 费 的 学 生 ， 有 奖学金 的 学 生 则 很 少 在 那里 出 现 ， 而 我 们 站 不 及 解 外 加 大 学 生 或 研究 生 有 上 奖 学 金 的 比率 是 否 与 美国 大 学 生 或 研究 生 有 装 学 金 的 比率 一 样 。 另外 ; PUR REAM SMM 67 CHLE, RAKE, OSSARIAAMWHSA, MURAL UVAHRHRRAE, A, WRN ZRE LA ee, Wee OIG FG EM KS he BE, ME EERERARAR ARR PRMAD MOTE, HET RH 来 在 过 逢 工作 中 也 会 遇 到 相关 似 的 问题 。 假 使 我 们 只 取 穿 著 回教 头巾 或 印度 如 女 的 衣服 之 学 生 ， 则 过 个 学 生 是 外 国学 生 的 机 率 差不多 是 等 从 1 ， 过 逢 抽样 方法 就 不 是 随机 的 抽样 ， 我 们 可 以 明显 地 看 出 过 逢 抽 样 方法 是 不 适当 的 ， 但 是 在 实际 的 生物 例子 上 则 不 容易 确定 那 逢 抽样 PREAH, CMDB EEK SH He SL Re Beh IE F, REEL BRAK, atte — Re eeeb RRL PERBOBARA? MRA AWEAT HARA PS Bb A HOT WN RESO TE RE NO SCORE ESE TH OR HERE RAWAL, CAA AWAKMNY PHEMERRA DRAW —K, — ik Rh Ss — (Ae RO OR OE RAE AS, SRA AT St 2A: WOE OR ARS SI (EZRA, UA AE HS APM MDERRAI—H, ABCA LUMA HRD O 4%, RERMATARIS-CS4—-AEE, HSA RE RE— (Tb, REKE-PAWABA, BSBA Be dtbdi—e BE Hi, 2 EER PGC i OR HERS I BA, A ee — SOE, Lig RHO, RGB RMU AVE? 显然 地 ， 过 个 学 生 是 AU，AG，FU，FG #hW-, ASEEB 验 当 中 只 有 过 四 种 可 能 性 会 出 现 。 过 四 逢 可 能 性 合 起 来 生 坑 一 个 集合 (set), BMRARBRRAAM ( sample space ) ， 可 以 用 1{ AU, AG, FU, FG} 表示 。 任 何 一 个 实验 只 能 得 到 四 逢 可 能 的 事件 68 “= Mitst 2 Vim 党 中 的 二 种， 在 每 一 个 样本 空间 的 一 个 元 素 称 坑 简单 事件 〈《 simple event ) ， 简 单 事件 和 事件 (ezezt ) 不 同 ， 事 件 可 以 指 样本 空间 的 FHS (subset), 因此 在 上 述 的 样本 空间 当中 二 (AU fAG}, {FU}, {FG} Meise, Mi { AU, AG FU hs {.AU; AG FG}; {AG, FG}, { AU, FG } pot 都 是 可 能 的 事件 。 事 件 可 以 包括 简单 事件 ， 一 直到 整 但 样本 空间 。 事 件 的 意义 必需 加 以 泪 清 ， 例 如 只 要 一 个 学 生 ， 他 是 美国 人 ， 或 是 六 学 后 ， 或 是 美国 的 大 学 生 都 是 属於 {AU，Ac， FU } 过 个 事件 。 在 上 述 的 样本 空间 ， 如 果 事 件 4={ AU, AG}, ， 则 过 个 事件 包括 在 过 个 吴 间 当中 所 有 美国 学 生 的 子 集合 。 同 理 ， 假 使 事件 妃 ={ AG，FG }， 则 事件 忍 是 指 包括 所 有 研究 生 的 子 集合 。 事 件 么 和 事 人 有 的 交集 ( 4m B ) 指 同时 存在 於 4 和 刀子 集 的 事件 ， 显 然 只 有 AC 是 属於 4 下， 如 下 列 所 示 : L Ry AG ut { AG, FG } Rib AN B SERA Z 中 抽样 到 一 位 美国 研究 生 的 事件 。 当 两 个 事件 的 交集 之 情形 站 不 存在 ， 例 如 假使 C={ AU; FU}, BRC 之 交集 站 不 存在 ， 则 已 与 C 之 间 是 互相 排斥 ， 因此 在 样本 空间 之 中 运 两 个 事件 消 没 有 共同 的 元 素 。 联 集 是 指 在 榜 本 空间 两 个 事件 的 联 和 ， AMANBRARARB, Ne AMB, 2 LAP AU B Se deet A 以 及 所 有 的 研究 生 ， 和 所 有 美国 的 研究 生 。 坊 什 么 我 们 要 瞳 解 样本 空间 和 事件 ? FR Sick BH WAS AT AE BA Ba FRE BENET OB 0 (Bd (6 BAH BH KA (IE AR ZF 9 TT — 第 四 章 “机率 分 配 之 绪论 69 个 数值 ( 0 入 已 <.1 ) ， 而 所 有 人 简单 事件 的 数值 苞 和 是 等 众 1 HE 个 空间 就 是 一 个 有 限 机 率 空间 ( finit probability space), 。 在 上 迹 的 例子 中 ， 其 样本 空间 中 的 每 个 简单 事件 的 数值 如 下 : 1 AU, AGS FUR Gy 1 0.70, 0: 26. O02, 0.03 } 758 (BAZ LS AS RA, CLAIRE REET We Sl 一 位 美国 研究 生 的 机 这 是 多 少 ? BASIE BA EE PC 1 AG }) = 0.26 ， 而 取 到 一 位 美国 的 学 生 ， 或 是 一 位 研究 生 的 机 率 是 多 少 ? 过 个 机 这 fEPCAJUPCBJ=P[L{AU, AG}J+P({AG, FG}]—P C{AG }] =0.96+0.29—0.26=0.99, RPM PC{AG}H], 因 和 需 假 使 不 过 样 做 的 话 ， PC{AG}) 将 被 重复 计算 两 次 ， 一 次 是 在 PCA), B-KEEP(B), ， 而 得 到 一 个 不 正确 的 机 率 ( P> 1 )。 假设 现在 我 个 从 无 比 大 学 的 学 生 中 抽样 得 到 一 位 学 生 ， 而 过 位 学 生 是 一 位 外 国 研究 生 ， 则 我 们 可 以 从 此 抽样 竺 果 得 到 什么 结论 ? 假使 ASE, HAGE BANRAR A 0.03， 也 就 是 3 %， 因 此 我 们 的 NAERREZRE, ERREE, FAR ERM SHB E, Fl 很 购 得 到 过 个 实验 的 结果 。 要 注意 我 们 只 是 说 很 又 ( improbable ), 而 不 是 不 可 能 ( impossible )。 显 然 地 ， 我 们 有 可 能 靠 机 光 而 抽 到 第 -位 学 生 就 是 FG ， 但 是 碰 到 过 逢 机 遇 的 可 能 性 很 小 ， 而 抽 得 一 位 不 是 FaG 的 学 生 的 机 率 是 0.97。 假 使 我 们 确定 我 们 的 抽样 方法 是 随机 的 〈 例如 从 一 个 容器 之 中 抽出 一 位 学 生 的 号 码 ) ， 则 当然 我 何必 需 承 co ee Ak SES UN CE EEA, FESS PET BAO iste ASE WR IR ALS TS RK EA: SEAS FED OWE, PRE DP RS A 1) ECS SIG 7IS AREAL, UNL VRE i (V9 ESE Het Ob BR APIS EA BUA A: OLE 70 ”生物 统计 学 半 蓓 例 高 从 实际 的 情形 。 AAR CRA ORR BA RMR SA: BSS Re 验 的 可 能 千 果 将 是 如 何 ? 此 时 的 抽样 空间 可 以 用 图 4.1 Re, 4-1 可 以 看 出 16 种 可 能 发 生 的 简单 事件 ， 格 子 〈 楼 式 ) 当中 的 点 代 玫 每 一 种 简单 事件 。 如 果 不 考 虑 那 一 个 学 生 先 被 抽 到 ， 则 可 能 发 生 的 租 合 如 下 : {AU, AU}, {AU, AG}, {AU, FU}, {AU, FG}, {AG, AG}, {AG, FU}, {AG, FG}, {FU, FU}, {FU, FG} , M{FG, FG}, ae WBA AVL SERA MA? KRACK A Km 7 oR HEI SWEAR, FREER SR 率 如 何 ? SEKALLRGMESR VEY. METIS RRR ( with replacement ) FIFA, RB ( without replacement ), Kitt 例 来 设 ， 中 还 的 意思 是 把 第 一 位 抽 到 的 学 生 放 回 到 本 来 的 全 体 ， 然 后 再 抽 第 二 位 学 生 ; 不 晃 的 意思 是 不 把 第 一 位 抽 到 的 学 生 放 回 本 来 的 全 体 ， 就 抽样 取 第 二 位 学 生 。 假 使 我 们 不 把 第 一 个 个 体 需 还， 则 第 二 次 抽样 取 到 外 国 研究 生 的 机 率 就 不 是 0.03 ， 过 是 很 显而易见 的 。 例 OR GER HK BME 10,000 个 学 生 ， 因 和 垮 只 有 3 多 是 外 国 研究 生 , 所 以 在 过 所 大 学 内 只 有 300 位 学 生 是 FG ， 假 使 第 一 欢 抽 到 外 国 研 究 生 ， 则 过 个 数值 将 减 少 成 299FG ， 而 娄 共 的 学 生 是 9999。 因 此 抽样 再 取 一 个 F G 之 学 生 的 机 率 就 释 成 299/9999 = 0.0299， 比 本 来 的 0.03 之 机 率 稍 需 少 了 一 些 。 反 之 ， 假 使 我 们 把 本 来 抽 到 的 外 国 学 生 阴 还 到 本 来 的 全 体 ， 而 且 在 抽取 第 二 个 学 生 之 前 把 本 来 的 全 体 均 匀 混 合 ( 也 就 是 履 过 位 学 生 有 充分 的 时 间 消 失 在 校园 的 群 妇 中 ， 或 是 假使 是 从 一 个 容器 中 抽取 学 生 的 号 码 ， 则 必需 把 抽 到 的 号 码 中 还 到 容 器 中 ， 充 分 混合 ) ， 则 第 二 欢 再 抽 到 一 个 FG 学 生 的 机 率 仍然 和 以 前 第 四 章 “机率 分 配 之 绪论 71 —#E 0.03, 事实 上 ， 假 使 我 人 一 直 把 抽样 取 到 的 个 体 每 欢 都 放 回 本 来 的 全 体 ， 我 们 可 以 党 作 是 从 一 个 无 壤 大 的 全 体 去 抽样 。 HF ORF | | 0.70 0.26 0.01 0.03 第 一 位 学 生 图 4.1 从 无 比 大 学 抽样 取 两 位 学 生 的 抽样 空间 (FMR 参见 课文 ) 。 当然 ， 生 物 的 族群 是 有 限 的 ， 但 是 它们 常常 是 非常 大 ， 因 而 在 抽 样 实验 时 ， 不 管 我 们 是 因 顺 还 或 不 明和 还 的 抽样 方法 ， 我 们 可 以 把 苇 族 群 当 作 是 无 守 大 看 待 。 仅 管 是 在 过 个 小 的 族群 ， 只 有 10,000 个 学 生 ， 探 用 不 明 还 的 抽样 方法 取 到 第 二 位 外 国 研究 生 的 机 率 只 是 比 0.03 小 一 点 点 ， 在 本 节 中 我 们 将 当 作 我 们 的 抽样 是 有 电 还 的 抽样 ， 因 而 抽 到 一 位 外 国学 生 的 机 率 将 不 会 改 爸 。 在 过 个 设计 当中 还 有 第 二 个 可 能 发 生 的 困 又 ， 我 们 不 仅 要 假定 抽 到 第 二 个 外 国学 生 的 机 率 和 抽 到 第 一 个 外 国学 生 的 机 率 相等， 而且 必 需 假定 过 两 个 事件 是 独立 的 ( independent )。 事 件 独立 的 意思 是 , 假使 一 个 事件 有 一 定 的 发 生机 率 ， 第 二 次 发 生 同 样 事件 的 机 这 不 会 72 ”生物 统计 学 遵 葵 改 叙 ， 冰 不 会 受过 个 事件 是 否 曾经 发 生 过 的 影响 。 以 上 述 的 学 生 需 例 , 假使 第 一 欢 抽 到 一 个 外 国学 生 ， 用 同样 的 方法 抽样 而 抽 到 的 第 二 个 学 生 仍 然 是 外 国学 生 的 可 能 性 是 不 是 增加 ? 事件 的 独立 与 否 ， 要 看 我 Piet tt Bb UR BEER, REAR, 很 可 能 事件 是 不 背 立 的 ， 因 篇 假 使 第 一 个 被 抽 到 的 是 外 国学 生 ， 第 二 个 被 抽 到 的 学 生 仍 然 是 外 国 的 学 生 之 机 率 题 然 增 加 ， 过 是 因 篇 外 国学 生 第 常 和 外 国学 生 在 一 起 ， 因 此 在 无 比 大 学 跟 一 位 外 国 研究 生 走 在 一 起 的 学 生 ， 也 是 一 个 FC MRABAAKEK 0.03, 如 果 PLIDnE]J=P[D]PCE]， 则 在 过 个 抽样 空间 之 D 和 世事 件 是 独立 的 ，4.1 图 的 抽样 空间 之 格子 内 的 16 个 点 之 机 牵 值 是 假设 事件 的 发 生 是 独立 时 所 计算 出 来 的 。 例 如 假使 用 已 [DJ] RRA 第 一 位 学 生 是 一 个 AU WRA, thie PC {AU,AU,, AU,AG,, AU, FU,, AU, FG,}], ML PLE) RERBOWB4E- FG AURA, thet PC{AU,FG,, AG,FG,, FU,FG2, FG, FG。}] ， 我 们 可 以 发 现 DnE 是 {AU:,FG:,}。 在 4.1 图 的 机 这 空间 中 ， 过 个 值 是 0.0210， 而 过 个 值 是 P[{AUJ] 和 PC{fAG } ] 的 乘积 (P[{AUJJPI{FGH]=0.70x0.03=0.0210 )。 4.1 图 上 各 点 的 值 是 假设 各 个 事件 是 独立 的 时 候 所 得 到 的 值 ， 因 此 假 使 抽取 第 二 个 学 生 的 机 这 和 抽取 第 一 个 学 生 的 机 这 是 互相 独立 的 时 候 ,我 们 可 以 求 独立 机 这 的 乘积 就 可 得 到 各 种 事件 的 机 这 。 例 如 取 到 二 位 学 生 都 是 FG RRA PC{FG}] PC{FG}] =0.03x 0.03 = 0.0009 。 在 样本 中 取得 一 个 AU 和 一 个 F G WRAL 0.70 X 0.03， 但 是 事实 上 其 机 牵 应 融 增 加 一 倍 ， 过 是 题 而 易 见 的 ， 要 取 到 二 个 FG 学 生 -只 有 一 个 方法 ， 就 是 第 一 欢 取 到 一 个 上 G， 第 二 欢 再 取 到 一 个 下 G . SUB REM CRM 73 同 理 ， 要 取 到 二 个 FU S44, beRA-BHK, ALBA EA 同学 生 的 方法 有 两 种 ， 例 如 第 一 欢 是 取 到 AU ， 而 第 二 次 是 取 到 F G , 但 是 也 可 能 第 一 次 取 到 F G ， 然 后 第 二 区 取 到 AU ， 因 此 机 率 是 2P ({AU}] PC{FG}] =2X(0.70) x(0.03) = 0.0420, (Rie AEG — (A RTS BI (SFG 学 生 的 样本 ， 我 们 所 下 的 糙 葵 只 有 0.0009 的 样本 ( 也 就 是 1%% 的 百 分 之 九 ， 或 是 一 万 分 之 九 ) ERS SAI ARORA tS eS Fl (BS RWERERDASH, BEB CRAGMAS PC {FG }] = 0.03 , UDR PHS ETE (PH A BBE NRE, AS A BE SEE SE NT ( ia Ay BE es Be ASS ED VEY ARE SIN TE FE ) 。 Ba Beh ( random sampling ) 和 随机 性 常常 被 混淆 地 应 用 ， 前 者 是 指 样 本 能 狗 忠 实地 代表 事件 的 分 配 情形 ， 而 后 者 是 指 事件 的 狂 立 性 。 前 者 通常 是 可 以 受 实 验 者 的 控制 ， 和 好 的 抽样 步 对 有 天， 和 后 者 通常 是 描写 被 抽样 的 对 象 之 本 来 性 质 ， 在 生物 学 上 上 比较 重要 。 随 机 抽 样 与 事件 独立 过 两 逢 观念 容易 混淆 是 因 依 过 两 箱 假 定 的 任何 一 个 不 正 确 时 ， 所 得 到 的 事件 之 欢 数 就 合 和 期 世 值 不 同 ， 我 们 已 经 用 无 比 大 学 hy OF RSE i IS. Cs DESRRAMRECKMASREMER, HLEREMAK AVHBRARAE, AERCENEENBAREORE, TUB # Mosimann (1968) 的 书 。 4-2 二 项 分 配 〈The binomial distribution ) 坊 了 言论 简便 起 见 ， 现 在 我 们 只 吞 葵 含有 两 个 元 素 的 样本 空间 ， 过 两 个 元 素 就 是 外 国 和 美国 学 生 ， 用 { F , A } 表示 ， 而 不 考虑 他 们 是 大 学 生 或 研究 生 。 芝 我 个 以 { 1.7} 来 代表 机 率 空 间 ， 此 时 p= 74 EDRHBSH in 忆 CFE]， 也 就 是 外 国学 生 的 机 这 ，4 三 已 CA] ， 是 美国 学 生 的 机 素 o 就 如 前 述 ， 我 们 可 以 计算 两 个 学 生 的 样本 之 机 这 空间 如 下 : © iPr. Be ORA I (bt, Die sr} 假使 我 们 要 抽样 取 三 位 学 生 ， 则 三 位 学 生 的 样本 之 机 这 空间 是 { FFF, FFA, FAA, AAA } oe ee 3p°q; 3 pq’, q? } 只 有 一 箱 方 法 可 以 得 到 三 位 外 国学 生 或 三 位 美国 学 生 的 样本 ， 而 其 机 AS pp? 和 43。 但 是 要 取得 两 位 一 逢 的 学 生 和 一 位 另 一 箱 的 学 生 则 有 三 种 方法 ， 假 使 A 代 表 美 国学 生 ，F 代表 外 国学 生 ， 要 抽 到 二 位 外 国学 生 和 一 位 美国 学 生 之 抽样 顺序 是 AFF ， 或 FAF ， 也 可 能 是 EFA 。 因 此 要 得 到 过 征 样 本 的 机 达 是 3 jg ， 同 理 ， 抽 到 两 位 美国 学 生 和 一 位 外 国学 生 的 机 率 是 3 pg? 。 有 一 逢 简便 的 方法 可 用 来 计算 各 箱 机 李 ， 就 是 利用 二 项 式 的 展开 式 ， 不 管 抽样 的 全 体 的 大 小 如 何 ， 只 要 是 抽样 的 对 象 只 有 两 箱 不 同 的 情形 ， 例 如 学 生 只 有 外 国人 或 美国 人 两 种 ， 个 幅 只 有 死 的 和 活 的 两 箱 ,或 是 只 有 雄 的 和 雌 的 、 黑 的 和 白 的 、 粗 糙 的 和 光滑 的 等 等 情形 。 汪 时 适应 二 项 式 ( 少 十 4 )* 的 展开 式 ， 式 中 的 是 等 从 样本 大 小 ， 力 等 蕉 第 一 逢 情形 发 生 的 机 率 ， 4 等 从 第 二 逢 情形 发 生 的 机 率 ， 而 且 在 放 +q=1, Abita 是 娟 的 一 箱 画 数 ， 也 就 是 4 = 1 一 旋 。 以 下 需 & 从 1 到 3 的 展开 式 : 第 四 章 “机率 分 配 之 绪论 75 BANE IE, (ptq)=pte 样 示 大 小 是 2 时 ， (ptq)*=ptt+2pqtq? 样本 大 小 是 3 时 ， Cpt+q)?=p°+3p?¢+3p0'°4+¢9° 过 些 展开 式 和 以 前 讨论 过 的 机 这 空间 是 一 样 的 ， 其 中 各 个 傈 数 ( pA g MAA HWA ) 麦 示 茶 一 逢 情形 可 以 出 现 的 多 少 征 不 同方 法 。 有 一 逢 简单 的 方法 可 以 用 来 估计 二 项 展开 式 之 各 项 的 傈 数 ， 就 是 利用 帕 司 卡 三 角形 (Pusceals triangle ), KARE: Ce wee ior Oe — Oo Oo — TB gi far il” 8 Sa 2 Rapes RAR 我 们 可 以 从 帕 司 卡 三 角形 得 到 二 项 展开 式 之 各 项 的 傈 数 ， 也 就 是 各 条 事件 租 合 可 能 发 生 的 方法 之 数目 ，& = 1 时 ， 其 傈 数 各 需 1 和 1，& = 2 时 ， 把 1 写 在 过 一 横 列 之 左 滤 的 滤 黎 ， 过 一 横 列 中 间 的 2 是 上 面 一 横 列 的 左 沽 和 右 泪 的 数值 之 籽 和 ， 在 过 一 横 列 右 泪 的 滤 称 写 上 1 。 同 理 ， 第 三 横 列 的 最 左 尖 写 上 1 ， 而 其 他 的 数值 都 是 前 面 一 横 列 左右 两 个 值 的 独 和 ， 例 如 3 是 1 和 2 的 入 和 ， 根 据 过 箱 步 卫 可 以 写 出 各 横 列 ， 依 照 过 秆 方法 可 以 算出 任何 大 小 的 样本 之 傈 数 ， 例 如 & = 6 时 ， 其 傈 数 应 需 1，6，15，20，15，6，1。 旋 和 4 的 欢 方 也 是 依照 一 定 的 顺序 来 排列 ， 例 如 太一 4 时 、 | p*q’ + p°q' + p’q?+ p'g?+ pq! 76 4% Dia BG SEDER ATL SMES EM AGHA RR, 假设 我 们 有 一 个 昆 副 的 族群 ， 其 中 刚好 有 40 %% DRBR ORE X， 假 使 我 们 每 欢 取 &= 5 个 昆 串 的 样本 ， 来 检查 每 一 个 昆 患 是 否 感 染 了 病 毒 ， 如 果 一 个 样本 之 中 的 每 一 个 昆 号 感染 病毒 的 机 牵涉 不 会 影 玖 同一 个 样本 中 别 的 昆 副 的 感 当 机率 ， 则 我 们 可 以 期 吾 的 样本 分 配 将 是 如 何 ? 在 过 个 例子 ， 旋 = 0.4 ， 也 就 是 感染 的 比率 ， 4 = 0.6 是 不 感染 的 比率 ， 而 且 假 设 因 需 族群 非常 大 ， 所 以 在 抽样 时 是 否 央 还 站 没 有 什么 影响 ， 则 期 整 的 各 逢 机 率 是 二 项 式 的 展开 式 : (p+q)*=(04+0.6)3 利用 帕 司 卡 三 角形 ， 此 展开 式 等 余下 面 的 机 率 空间 : ( p> +5 p49 +10p'q? +10 624° +5pq* +q° ) th Be: (0.4)°+5(0.4)4 (0.6)+10(€0.4)° (0.6)? + +10(0.4)?(0.6)3 +5(0.4)(0.6)4+(0.6)° ERERGIS PRRORS, 4 个 感染 和 1 BRO RA, 318 感染 和 2 7 EB ERASERS, BY TBO RALOSA UR -AANAR, URS BORA, S— 种 情形 ( 例如 5 焦 感 染 的 昆 患 ) BHBANRA( 例如 (0.4 ) = 0.01024), E—-MERARAM, RAT ASR ( probability distribution), St PRBAS A RAZe a PA BUNGIE AI HE EAE BE EB 机 率 ， 例 如 上 式 是 麦 示 从 40 多 感染 病毒 的 全 体 去 随机 抽样 ， 而 且 每 一 个 样本 取 5 个 昆 嚼 时 的 期 世 分 配 。 此 箱 机 达 分 配 称 需 二 项 分 配 ( 第 四 齐 ”机 素 分 配 之 绪论 “7Z7 binormial distribution )， 利 用 二 项 展开 式 可 以 求 得 二 项 分 配 的 6 MUZE AM, 4.1 PI -BRAMA HOA, SHINS 个 楼 本 所 含 感染 的 昆 患 之 数目 ， 第 二 栏 列 出 户 的 欢 方 ， 从 js5 Bp’, 第 三 栏 列 出 4 的 欢 方 ， 从 9。 到 95 ， 利 用 帕 司 卡 三 角形 所 得 到 的 二 项 Hai Bote, AAAS RAC relative expected frequencies ARARA AURARAAUORR, RA frel RAE HEA, CMLBI. =. WMO MHOMEEH 1.0, R 需 在 第 一 栏 已 列 出 所 有 可 能 的 情形 。 从 第 五 栏 我 人 可 以 看 出 差不多 只 有 1 多 的 样本 是 被 期 肇 舍 有 5 个 感染 的 昆 吕 ， 而 25. 9 %% 的 样本 是 补 期 整 含有 一 焦 感染 和 四 焦 没 有 感染 的 昆 串 。 以 下 我 们 用 一 个 实 瞪 来 测 验 过 些 预 估 的 值 是 否 正确 。 实验 4.1: “利用 一 个 随机 数字 麦 ( 例如 附 从 的 帮工 ) 来 模 气 抽样 感 URN RHEL A, 过 个 随机 数字 玫 列 出 随机 取得 的 一 个 位 数 的 数字 , 每 一 个 0 到 9 的 数字 都 有 相等 的 出 现 机 这 。 需 了 方便 起 见 每 25 个 数字 租 成 一 个 方 格 。 因 怖 每 一 个 数字 出 现 的 机 率 都 是 一 样 ， 我 们 可 以 以 任何 四 个 数字 ( 例如 0，1，2，3 ) KRRERAORB RIK AOR 字 (4，5，6，7，8，9 ) 代表 没有 感染 的 昆 吕 。 因 此 从 和 过 个 表 上 抽 到 一 个 代表 感染 的 昆 患 的 数字 ( 即 0，1，2，3 ) WRAEL0%, Bl 0.4， 因 和 需 过 些 数字 是 十 个 数字 当中 的 四 个 。 同 时 假设 每 一 个 数字 都 有 其 独立 性 ， 因 而 在 过 个 实验 里 二 项 分 配 的 假定 都 成 立 。 在 随机 数字 表 中 随意 定 一 个 起 点 ( 不 要 物 是 从 玫 的 前 端 开 始 ) ， 然 后 起 点 起 后 面 的 五 个 数字 成 需 一 组 ， 计 算 在 每 一 租 中 有 数 个 数字 是 0，1，2， 或 3， 只 要 时 间 许 可 ， 取 愈 多 的 组 愈 好 ， 但 是 最 少 不 要 少 於 100 和 粗 。 4.1 表 的 第 七 彬 是 某 一 年 作者 的 生物 统计 课 之 实 骏 千 果 ， 从 随机 78 ADs SU #% 4-1] 从 一 个 感染 率 是 40%6 H-HRBAVDRSRBMR, S-HRASAS BEBE 染 的 昆 患 之 期 望 次 数 ( Expected frequencies of infected insects in samples of 5 insects sampled from an infinitely large population with an assumed infection rate of 40 percent) 。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 每 一 样本 所 ORO 次 AF BRR BARS BHA 观测 含有 感染 的 KR KR & RR 昆 串 之 数目 P Y =0.4 p=0.6 frel f f 5 0.01024 1-00000 1 0.01024 24.8 29 4 0.02560 -60000 5 0.07680 186.1 197 3 0.06400 -36000 10 0.23040 550.3 535 2 0-16000 .21600 10 0.34560 837.4 817 1 0.40000 -12960 5 0.25920 ”628.0 643 0 1.00000 .07776 1 0.07776 188.4 202 Lf RLFC =n) 1.00000 2423.0 2423 ZY 2.00000 4846.1 4815 4 2.00000 2.00004 1.98721 标准 差 1.09545 1.09543 1.11934 RTH PMH WES 2423 个 含有 5 个 数字 的 样本 ， 其 4 个 代表 感染 病 毒 的 数字 之 分 配 情 形 列 於 第 七 栏 ， 此 观测 欢 数 ( observed frequen- cies ) Fa f REA ABA HAS KB relative expected frequ- encies, frel ) 乘 以 样本 数目 ( n =2423) BG Fl MB HRAS AM ( absolute expected frequencies ， FAS ER), WIRBAM, 此 较 第 七 栏 的 观测 次 数 和 第 六 栏 的 期 碧 欢 数 ， 我 们 发 现 过 两 栏 的 数字 很 接近 。 图 4. 2 表示 过 两 个 分 配 ， 假 使 岗 测 欢 数 和 期 鳌 欢 数 有 显著 的 第 四 章 ，” 机 素 分 配 之 绪论 79 差 展 ， 可 能 是 因 需 机 遇 所 造成 ， 也 有 可 能 是 由 於 以 下 不 正确 的 假设 所 int: 第 一 ，0，1，2，3 四 个 数字 的 真正 比率 水 不 是 0.4 ( HE 个 假设 通常 是 不 合理 的 ， 因 乱 在 一 个 随机 数字 表 中 ， 0 ，1，2，3 四 个 数字 的 比率 是 刚好 0-4 或 非常 接近 0.4 ); 第 二 ， 抽 样 站 不 随机 ; B=, BWA. REEREAMEKNROMECHRER. TE-GREORS 抽样 实 台 ， 我 们 的 结 葵 是 昆 嚼 的 确 被 障 机 抽样 ， 而 且 我 们 没有 登 据 来 握 秦 感染 的 昆 副 之 比率 是 40 %% ORE, CORR, BERR XR HEAR UNA, TERA RBA, RAE AE oom eH HARURE0.4, RAEARU THER Eb SARE BRR ,4—, HEE, Bo, CRAPRARAWBE EB, 4.2 #£4-12R MeSH 划 成 的 长 条 图 。 80 ”生物 统计 学 遵 论 实验 4.1 的 设计 是 竿 照 随机 和 独立 事件 的 原则 。 我 们 如 何 能 锡 模 RR, CSRS RA, 0. 1, 2,3 等 数字 的 发 生 消 不 独立 ? 随便 举 个 例子 ， 我 们 可 以 叫 抽 样 的 人 按照 上 面 的 方法 抽样， 但 是 每 一 欢 发 现 一 个 3 的 时 候 ， 必 需 粒 续 找 下 去 ， 直 到 取得 0，1，2， 3 的 数字 中 的 一 个 表示 感染 的 数字 ， 而 忽略 其 他 的 数字 。 因 此 ， 只 要 找到 一 个 3， 在 同一 样本 中 包含 另 一 个 麦 示 感染 的 数字 的 机 率 是 1.0 。 按照 过 种 方法 重复 抽样 ， 则 得 到 两 个 或 者 两 个 以 上 代 玫 感染 的 数字 的 欢 数 将 比 二 项 分 配 的 期 世 欢 数 需 高 ， 而 得 到 一 个 代表 不 感染 的 数字 ZAKWE HI BAK BORNE RAE, RT AATF ZAR LL 设计 其 他 的 抽样 方法 使 事件 的 发 生 不 独立 。 现 在 读者 将 可 腑 解 过 逢 抽 样 方法 第 二 个 事件 发 生 的 机 这 和 第 一 个 事件 的 机 率 不同， 而 且 是 依 第 一 个 事件 的 情形 来 决定 。 SWARM SAMS BAER, BAAR le? Fi FE AS SB BAT a] BU LU BANG PS EK BE BT 造成 ， 过 种 统计 方法 将 在 第 十 三 章 中 加 以 计 花 。 假 设 我 们 已 烃 作 了 过 样 的 一 逢 测验 ， 而 且 显 示 观 测 欢 数 和 期 世 欢 数 有 显著 差 民 ， 过 逢 和 期 鸥 的 情形 不 同 的 情况 主要 有 两 种 类 型 : BERR clumping), 第 二 是 拒 斥 ( repulsion ), 4:2 表 玫 示 过 两 种 情形 的 假设 次 数 。 在 实际 的 抽样 实 玛 中 我 们 通常 事先 不 晓得 少 的 大 小 ， 也 就 是 不 联 得 两 箱 可 能 情形 之 一 发 生 的 机 率 。 在 过 种 情况 下 我 们 通常 探 用 观测 样本 所 得 AD pA AM, ERR AKAD 忆 ， 此 时 我 们 不 能 锡 测 验 里 EWPESD, AREER PISA BWA Pee AA 。 因 此 我 们 所 要 测验 的 是 样本 是 否 随机 ， 以 及 事件 是 否 独 立 v 第 四 章 MRS BI 表 4.2 sane Fa) sSt 7e Se A IB RAY A 78.2 5 BE ( Artificial distributions to illustrate clumping and repulsion. ), 期 望 次 数 是 由 表 4-1 而 来 -。 (1) (2) 13). (4) (5) (6) 每 一 个 样本 感 CNH RECS) BE fF mE Rear zm tke MS skh We 下 if E f 5 24.8 47 + 014 4 186.1 227 + 157 = 3 558.3 558 Or 548 ia 2 837.4 663 一 943 . 十 1 628.0 73° + 618 一 0 188.4 225 a. 143 eR: Lf Rn 2423.0 2423 2423-0 ZY 4846.1 4846 4846 平均 2.00004 2.00000 2.00000 Bes 1.09543 1.20074 1.01435. 4-2 FhWRED A eS MW EEARO RHO, TPR 的 观测 则 过 少 ， 过 年 分 配 也 叫 作 散播 分 配 ( contagious ) , Baatt _， 需 了 可 克 比 较 起 见 ， 纲 测 的 项 目的 籽 和 必须 等 於 期 世 的 项 目的 独 和 。 在 拒 斥 次 数 分 配 中 ， 在 分 配 的 中 央 的 观测 次 数 比 期 世 之 欢 数 大 ， 而 分 配 的 两 尾 的 枫 测 欢 数 比 期 世 欢 数 少 ， 上 述 碾 开 期 整 的 情形 很 容易 从 4.2 表 的 第 四 栏 和 第 大 栏 看 出 ， 在 过 两 栏 中 观测 欢 数 证 开 期 望 欢 数 的 (FATE SR I BERET 过 两 箱 现 象 的 意义 是 什么 ? 首先 ， 在 聚集 的 分 配 中 ， 全 部 感染 或 82 生物 统计 学 半 in 是 大 部 分 感染 的 样本 之 数目 要 比 期 世 的 欢 数 需 高 ， 同 样 的 ， 全 部 不 感 染 或 大 部 分 不 感染 的 样本 数目 也 是 一 样 比 期 世 欢 数 高 ， 过 可 能 由 攻 不 正确 的 抽样 设计 所 造成 ， 例 如 研究 人 在 抽样 的 时 候 便 向 於 抽 相 类 似 的 aa ( MAGMA MRE ARR), RAS BSE 榜 的 千 果 ， 但 是 假使 抽样 的 设计 是 正确 的 ， 则 必定 是 因 袁 有 其 他 的 原 Ayes eeR, LARS ORAS HEE Raa EO, PR He RE RRA, lal — AK HAO th ae ee RE RWB, GRAVE ABABA POE ak 8 OS OO 息 声 所 ， 因 此 容易 互相 传染 ， 也 有 可 能 是 接 解 到 相同 的 感染 东 源 ， 另 外 也 有 可 能 是 因 和 垮 在 昆 嚼 被 抽样 和 被 检查 的 过 段 时 间 内 同 一 样本 内 的 LAH HORAK, RK LHARHRREBT AM, ROR EA DE RNA Bie 释 。 在 过 类 分 配 中 相同 的 租 合 比较 少 ， 而 混合 的 粗 合 比较 多 ， 过 和 补 偿 的 观念 有 天 。 在 一 个 样本 中 假使 有 的 昆 患 是 感染 的 ， 则 其 他 的 昆 号 比较 可 能 是 不 感染 的 ， 假 使 榜 本 中 感染 的 昆 僵 能 狗 使 同一 样本 中 的 其 他 昆 吕 产 生 吏 疫 ， 二 种 分 配 倩 形 当然 就 可 能 发 生 ， 但 是 在 生物 学 上 不 。 太 可 能 有 过 逢 现象 发 生 。 一 个 比较 可 能 的 原因 是 在 每 一 个 抽样 单位 之 中 的 病原 菌 的 数目 是 有 限 的 ， 所 以 只 要 有 些 昆 患 被 感染 ， 另 外 的 昆 器 就 不 易 被 感染 。 过 逢 情形 在 微生物 的 感染 是 不 太 可 能 发 生 ， 但 是 某 些 寄生 病 则 有 可 能 因 需 寄生 号 的 数目 有 限 而 造成 拒 斥 分 配 。 从 4.1 玫 的 期 世 攻 数 和 观测 欢 数 我 们 可 以 计算 出 每 个 样本 中 感染 | 昆 患 的 数目 之 平均 数 和 标准 差 ， 过 些 值 列 余 4.1 表 的 第 五 、 第 六 和 第 七 栏 底下 ， 我 们 可 以 看 出 第 五 栏 和 第 大 栏 的 平均 数 以 及 标准 差 交 乎 完 2S, RARROBAAWER MARE NOAA, BW 个 和 第 五 以 及 第 六 栏 具 有 相同 母 数 的 至 体 抽样 所 得 到 的 样本 ， 其 平均 第 四 章 “ 机 率 分 配 之 绪论 83 ” 数 和 标准 差 与 第 五 栏 和 第 六 栏 簿 有 不 同 ， 平 均 数 比 期 世 值 稍 需 小 一 些 ， 而 标准 差 比 期 忒 值 稍 垮 大 一 点 。 假 使 我 们 希 获 晓得 期 忒 二 项 次 数 分 配 的 平均 数 和 标准 差 ， 我 们 不 需要 各 过 玫 4.1 的 计算 步 县 ， 二 项 次 数 分 配 的 平均 数 和 标准 差 各 需 : L=kp> 0 一 V kpq 在 上 例 中 心 =53; 少 =0.4，4 一 0.6， 所 以 = 一 2.0，o=1.09545 ， 此 值 和 4.1 玫 第 五 栏 计算 的 烙 果 完全 一 样 。 要 注意 ， 在 过 壬 我 们 控 用 希腊 字母 ， 因 需 上 和 v 是 期 世 欢 数 分 配 的 母 数 ， 而 不 是 样本 统计 量 , 第 七 栏 的 平均 数 和 标准 差 则 是 样本 统计 量 。 轧 和 4 的 值 也 是 母 数 的 值 ， 所 以 颈 格 的 襄 ， 也 应 藤 和 样本 的 比率 有 所 不 同 ， 在 合 面 的 亲 章 我 倍 用户 和 4 来 麦 示 母 数 的 比率 。 (Rt, AR SLR 一 个 圆 之 圆周 和 直径 的 比率 。 ) ) 但 是 在 过 壬 我 们 喜 坎 探 用 简单 的 符号 , 所 以 用 相同 的 符号 麦 示 母 数 和 样本 的 比率 。 和 从 4.2 玫 我 们 可 以 看 出 聚集 分 配 的 标准 差 是 大 於 期 世 的 标准 差 ， 而 拒 斥 分 配 的 标准 差 则 小 认 期 整 的 标准 差 ， 因 此 比较 样本 标准 差 和 期 获 标准 差 可 以 大 略 膛 解 其 分 ARR. BIRR BARR I, OURO 0-4 FET BBW RRA, TNS BRB hGH 2 OR HORS, HB AO RE SRE SB: = Pps» o=/ 24 k RAREBAOADMKERADS LOM, Be ah Mie AA BHR HR MASE A BADE UE BE 11 , (AE AER RAHA AY 17 个 子 代 有 14 MEAD, TAS 3 个 是 EO, ARATE CHEER ETE GR? 假设 子 代 是 雌 的 机 84 生物 统计 学 性 im ZB po = 0.5 ， 而 且 在 样本 中 的 个 体 是 雁 或 雄 的 机 李 是 独立 的 ， 旭 其 机 达 分 配 就 是 二 项 分 配 ， 而 且 样 本 大 小 &= 17。 要 展开 二 项 的 17 次 方 是 很 不 简单 的 工作 ， 所 幸 我 们 水 不 需要 把 整个 式 子 展开 来 ， 但 是 我 们 必需 晓得 二 项 傈 数 的 求法 ， 二 项 傈 数 可 以 从 帕 司 卡 三 角形 求 得 ， 也 可 以 用 底下 的 公式 求 出 二 项 分 配 之 中 任何 一 项 的 期 世 欢 数 : 二 (4-1) 在 此 式 中 ，C ( 4， 了 ) 麦 示 从 A PAAEbRAMY BRAWME 数目 ， 过 个 数目 可 以 用 1 人 [Y1 (一 了 ) 1] RA, “1” BRS 阶层 ”。 在 数学 上 “阶层 就 是 从 1 到 的 所 有 整数 的 乘 种 ， 例 如 5! =1X2X3X4x5=120, BRELO!=1. EHR SAREHAK Ze, AHO DL ROR, OW 51/3!1=(5x4x3! ) /13! = 5X4。 根 据 4.1 RS MEBWRARHSA 2 个 感染 的 昆 BM SAMS —ARMEC (5,2) =51/2131=(5x4)/2= 10, . R4-3 ft YE BNE AR 11 C pQ=0.5, ga =0.5;- (p9t+aqg)*=(0.5+ 0.5)27 ], 含有 17 BF RMRADZATMAKK 3 (3) (4) (5) (6) 本 a5 二 页 傈 数 ”相对 期 望 坎 数 17 ”一 ”0.000.00763 .1 1 0.000,007,63 16° 1 0.000,015,26. .5 17 0.000,129,71 | 15 2 0,000,030,52 .25 136 0.001,037,68 ?0.006,363,42 14 3 0,000,061,04 .125 680 — 0.005,188,40 13 4 0.000,122,07 0625 2380 — 0.018,157,91 “第 四 章 RAS ER BS 此 例 可 以 用 麦 4.3 RH, po ADH py MAM, Tha AK BRIG AAR, ERAN, RAR BBB 13MM 4 GROZEY. BAMA ZAM, AB AWS DBI 14 个 雌 的 和 3 个 雄 的 之 发 生机 这 是 0.005, 188, 40 ， 此 数值 非常 小 ， 候 使 我 们 以 此 值 加 上 所 有 “更 后” 的 情形 之 发 生机 牵 ( 意思 是 指 所 有 上 比 14 个 雌 和 3 个 雄 更 不 容易 发 生 的 机 率 ， 假 设 雌 雄 的 比率 是 1 : 1 BORE ) ， 则 我 们 得 到 0.006,363,42 ， 过 个 值 仍然 是 很 小 的 机 牵 值 。 在 统 ， 计 上 通常 计算 等 从 和 大 从 某 一 欢 差 的 机 率 。 根据 过 些 发 现 ， 下 列 的 假定 之 中 至 少 有 -- 个 假定 是 不 能 成 立 的 : (1) A ALM HUG EVE LAR AR Lt 1 ; @) 我 们 探 用 随机 抽样 以 得 到 一 个 不 偏 的 样本 ; (3) 子 代 的 每 个 个 体 性 别 是 独立 的 。 事 件 的 不 狂 立 在 此 例 来 属 就 是 肉 然 平均 的 性 别 比率 是 1 : 1 ， 但 是 同胞 胎 的 子 代 大 部 分 是 属於 同样 的 性 别 ， 所 以 任何 一 胎 的 子 代 可 能 全 部 〔 或 是 大 部 分 ) 是 雌 的 ， 或 是 全 部 是 ( 或 大 部 分 是 ) 雄 的 。 垮 了 属 明 过 个 假设 ， 我 们 必 须 取 更 多 的 样本 以 便 检查 柑 本 的 分 配 是 否 聚集 ， 如 果 是 聚集 旭 表示 同 胞 的 子 代 大 部 分 是 属於 同一 逢 性 别 。 我 们 必须 要 很 精确 的 指明 我 们 所 要 问 的 问题 ， 以 上 例 来 襄 就 有 两 个 不 同 的 于 题 可 间 ， 第 一 ， 雌 的 是 否 比 雄 的 多 ? 第 二 ， 人 性 别 的 比例 是 否 不 相等 9 在 过 两 个 不 同 的 问题 中 ， 我 们 可 能 只 关心 第 一 个 闫 题 ， 因 ROE Ee RRM ASE EAD ERTS LS, ARH RERGNAL GE RR, Rise RB YE AOL OLE 否 不 相等 ， 则 我 们 必需 同时 考虑 二 项 次 数 分 配 的 左右 两 局。 ARBRE 1 : 1 的 情形 可 能 发 生 在 左 尾 和 右 尾 ， 此 时 ， 我 们 不 仅 要 考虑 14 个 雌 和 3 个 雄 的 样本 之 发 生机 率 ( DI MERE ATTY). ， 同 时 也 要 考虑 14 (AREA 3 个 雌 的 样本 之 机 这 (以 及 在 过 个 方向 更 骨 旗 的 情形 ) 。 由 放 86 ”生物 和 统计 学 导语 HBR OA Nt) (AR p= 98 = 0.5 ) ， 我 们 只 需要 把 以 前 得 到 的 累积 机 这 0.006,363, 42 DIRE A, HMR 0.012;726, 84, 过 个 新 的 值 仍然 是 非常 小 ， 因 此 不 太 可 能 芙 正 的 性 别 比例 是 1 : 1 。 过 是 本 书 中 第 一 个 假设 检定 Chy pothesis testing ) 的 例子 。 假 设 权 定 将 在 6.8 科 中 正式 加 以 诗 葵 ， 我 们 在 此 只 是 要 指出 上 述 的 两 箱 不 同 问题 ， 一 伪 叫 做 一 尾 检定 ( one-tailed test ) ， 另 一 个 叫做 两 尾 检 定 (tzo-tailed test )， 初 学 者 常常 不 容易 分 清 过 两 种 检定 的 不 同 ,在 以 后 的 例子 我 们 会 襄 明 需 什 么 有 些 问 题 是 用 一 尾 检定 ， 而 另 一 些 问题 用 两 尾 检定 。 ”在 上 面 我 们 已 经 提 过 ， 假 使 同胞 的 子 代 ， 有 属於 同一 性 别 的 价 向 , 则 我 们 的 观测 次 数 常 呈 聚 集 分 配 ， 在 文献 上 我 们 可 以 找到 一 个 真实 ”的 例子 ， 过 个 例子 是 Ceissley 在 1889 EMBASE BKK ( Sax- ony ) 的 出 生性 别 之 数据 ， 4.4 表 列 出 615 个 有 12 个 同胞 兄弟 姊妹 的 家 庭 之 性 别 比例 ， 此 麦 中 的 每 一 栏 折 玫 示 的 意义 应 雹 都 已 很 熟悉 。 EAM UAE 1 : 1 的 假设 来 计算 ， 因 您 我 们 了 频 得 人 类 的 出 生性 别 比例 冻 不 是 1 : 1 ， 由 礁 性 别 比例 随 著 人 类 族群 的 不 同 而 有 所 不 同 , 最 好 的 估计 是 探 用 蔷 克 逐 的 出 生 数 据 来 估计 其 里 正 的 比例 。 我们 可 以 计算 61.5 个 家 庭 的 平均 男孩 数目 ( = 6,23058 )， 然 后 将 此 平均 数 转 释 成 比例 就 得 到 0.519,215 ， 因 此 雌 的 比例 是 0.480,785。 闪 4.4 玫 的 第 九 栏 我 们 可 以 看 出 观测 欢 数 和 焰 对 期 整 欢 数 有 很 大 的 差别 , 而且 其 分 配 是 成 聚集 分 配 。 在 过 些 家 庭 中 有 不 少 家 庭 是 只 有 男孩 或 只 有 女孩 ( 或 大 部 分 是 男孩 以 及 大 部 分 是 女孩 ) ， 其 数目 要 比 期 整 欢 数 大 ， 而 期 加 的 数目 是 根据 事件 的 发 生 是 独立 的 假定 而 得 到 的 。 过 箱 成 聚集 分 配 的 现象 在 遗传 学 上 逮 没 有 很 踪 当 的 解释 ， 但 是 ， 显 然 的 有 不 少 家 并 全 生 女 孩 ， 也 有 不 少 家 庭 全 生男 孩 。 过 种 聚集 的 情形 也 可 以 87 C 6881) 9SS10=D BKKE SO “机 素 分 配 之 绪论 9868Vy 8 =-S 8S08Z 9 =A GTII9 0"STT9 866 “666° 0 te iy 十 8 6 0 €S1 ‘000°0 I €S1 ‘000°0 ZI + V2 1‘@1 G26‘100°0 ZI L1€‘000°0 G12 ‘61S°0 II I + ‘POL 8°IL EPpL‘I10°0 99 099 ‘000° 0 785692 0 OT Z + 982 G*8Sz 082 ‘Zr0°0 022 8/8 ‘100°0 226 ‘6E1°0 6 8 十 0/9 1°829 802 Z0I “0 G6P 998 *Z00°0 919 *220°0 8 = 880T c°S80I_ ss -6Sh*LLT°O Z6L 886 “S00°0 PEL 280 0 9 一 88I 8 /98T 06S ‘E27 °0 726 Ice ‘Z10°0 26S ‘610°0 9 9 a ZITIT 9°S9ZI €26 ‘902° 0 26 689 ‘$Z0°0 ELT ‘0100 9 l 一 628 €°PS8 €02 ‘6E1°0 S6h ZEp‘ss0°0 —- 282*S00°0 p g + QLb 0° OIF 170‘290°0 022 Gel TIT0 cv ‘200°0 8 6 + IST 8°ZEL G21 ‘1Z0°0 99 PSI T82 0 vr ‘100°0 Z OT + CP 1°92 792 ‘F00°0 ZI 98 “087 0 6€2‘000°0 I Il + l Med 码 8 ‘000° 0 I I 78¢ ‘000°0 一 ZI Cf=-f) f of 1a4f ANS WY W ¥ a ! A Bw ie Bie Bee mwe ob Lg ae wi SS. (6) (8) (1) (9) (9) () (8) (2) (T) lg Als a 2 SOA KE 4 | CIS SMM Sloe b-ve 88 生物 统计 学 导论 (HEBD (8°) BH, ARBWNRA HO ASM OSB (0? = kpq= 12 (0.519215) 0.480785 = 2.99557 ] BXo 4.1 SAMBA 4-4 ARR RANA, 464-1 RB BRAVE, RAA- BRN RIA, TE 4.4 AUER LO 之 数据 ， 我 们 没有 过 逢 理 葵 比例 ， 我 们 探 用 从 数据 中 得 到 的 p， 而 没 有 一 个 理论 的 p 值 (理论 的 轧 值 不 是 由 数 撞 求 得 ) 。 过 个 不 同 点 是 很 重要 的 。 在 4.3 表 的 性 别 比例 之 例子 以 及 在 孟 德 尔 址 传 的 实验 ， 通 党 SAB pa | 4.3 下 瓦 松 分 配 - (The poisson distribution ) 在 二 项 分 配 的 标准 应 用 实 我 们 只 取 小 的 样本 ( 例如 2 BA, 5 个 昆 患 ， 17 个 子 代 ， 或 是 12 个 同胞 兄弟 姊妹 )， 而 且 在 样本 当中 只 有 两 种 可 能 发 生 的 事件 ， 每 一 逢 事件 有 其 发 生 的 机 牵 ( OM, SRS 生 和 外 国学 生 、 感 染 和 不 感染 的 昆 患 、 雄 的 和 雌 的 子 代 等 等 ) 。 但 是 常常 我 们 也 要 研究 大 的 样本 ( 即 样本 大 小 & 非常 大 ) ， 此 时 则 要 做 相 党 复杂 的 计算 。 二 项 式 ( pt+q)' 之 假使 很 大 时 ， 其 展开 式 构 得 很 复杂， 例如 假使 我 们 要 展开 (0.001 + 0.999)! 则 是 件 很 不 容易 的 事情 ， 在 此 例 不 但 样本 大 小 非常 大 ， 而 且 其 中 一 个 事件 的 发 生机 棕 ( Fg RAK) 是 比 另 一 逢 事件 的 发 生机 达 ( 用 pRR) 要 大 很 多 。 假 “使 要 用 二 项 展开 式 的 方法 来 解答 过 个 阅 题 就 要 进 行 很 复杂 的 计算 ， 而 且 要 用 到 非常 精 租 含有 10 个 小 数位 的 对 数 玫 ， 但 是 过 类 问题 在 生物 学 “上 常 遇 到 ， 而 且 通 常 我 们 只 关心 过 箱 分 配 的 一 尾 ， 过 尾 可 以 用 下 列 的 HRB KER: | p'qts C(ks 1) pigt. CCky 2) p2q**5 CCR, 3) p3q*t=3, + pase BEER 89 第 一 项 表示 在 一 个 含有 个 事件 的 样 示 当中 完全 没有 少 发 生 的 事件 ( rare events), the hk 个 事件 都 是 经 常 发 生 的 那个 事件 (Jre9- uent eyezts)， 第 二 项 代表 一 个 少 发 生 的 事件 和 一 1 个 常 发 生 的 事件 ， 第 三 项 是 二 个 上 消 发 生 的 事件 和 “一 2 个 常 发 生 的 事件 ， 以 此 类 推 。 各 项 的 Clk i) 代表 二 项 傈 数 ， 就 像 前 节 所 计 花 的 ， 以 租 合 的 页 目 来 玫 示 。 赂 然 过 个 式 子 可 以 外 我 们 计算 其 分 配 的 一 必 可 是 因 坑 & 非常 大 ， 计 算 起 来 还 是 非常 复杂 ， 不 信 的 话 ， 苦 者 可 以 展开 (0.001 + 0.999)! 的 一 尾 就 可 及 解 其 困 双 的 程度 。 所 幸 ， 我 们 可 以 计算 另 一 逢 比较 简单 的 分 配 ， 也 就 是 上 瓦 松 分 配 ( Poisson distribution ) ， 利 用 下 瓦 松 分 配 求 得 的 千 果 很 接近 我 们 所 要 的 结果 。 下 瓦 松 分 配 也 是 一 征 分 立 欢 数 分 配 ， 过 逢 分 配 是 用 来 估计 -一生 少 发生 的 事件 的 发 生 情 形 。 与 二 项 分 配 不 同 的 地 方 是 ， 过 逢 少 犀 生 的 事 “ 件 不 发 生 的 机 牵 非 常 大 。 在 过 壬 ， 我 们 把 上 瓦 松树 数 分 成 两 种 不 同 的 楼 本 来 研究 ， 一 个 是 空间 的 样本 ， 另 一 个 是 时 间 的 样本 。 空 间 的 样本 例如 在 一 方志 quadrat ) 中 之 昔 类 植物 的 数目 ， 或 是 一 个 寄主 体 上 HSE BHA; 时 间 的 样本 例如 在 一 个 月 中 某 一 个 遗传 品系 发 生 突 爸 的 次 数 ， 或 是 一 个 星期 中 某 一 城市 发 生 流行 性 感冒 的 欢 数 。 he 数 ( 了 ) 是 每 一 个 样本 发 生 某 一 事件 的 数目 ， 此 爸 数 的 值 是 从 0 以 上 Heh, AEBS LAS NDR A EE: (1) 与 每 一 eI SE OC HT REE A ERA RR, PLE LR. HRELKARDBA (rare), AM, LMM AFR, RAR WARD EMSA, HLM ARR ES GOMER, TARR LRAD RSE OS MOR BRED _。 AERA WT, SN ARTA ELL Re hI , FER, CE— Riis TSE AE ETE RS BY BCR NER — 2 99 ”生物 统计 学 半 葛 时 间作 需 取 样 单 位 ， 而 用 一 过 比较 适宜 ， 因 需 在 一 遇 中 理论 上 可 以 发 现 很 多 欢 的 流行 性 感冒 。(2) 一 个 事件 的 发 生 必 需 和 同一 个 取样 单位 内 已 称 发 生 的 事件 没有 关连 ， 也 就 是 事件 要 有 狂 立 性 ( independent ) o 例如 ， 在 一 方块 中 一 棵 苦 类 植物 不 应 藤 增 加 或 减少 另 一 棵 昔 类 植物 长 在 同一 个 方块 的 机 率 ， 同 理 ， 一 个 流行 性 感冒 不 应 训 影 响 另 一 个 流 行 性 感冒 出 现在 同一 取样 单位 内 的 机 这 。 符 合 过 两 个 人 条件 的 事件 ( Fi 有 的 和 随机 的 事件 ) 应 成 上 瓦 松 分 配 。 通常 卜 瓦 松 分 配 的 应 用 是 在 於 测定 某 一 逢 稀有 事件 的 发 生 是 否 有 独立 性 ， 假 使 有 独立 性 则 其 分 配 应 成 卜 瓦 松 分 配 。 上 反之， 假使 一 个 事 件 的 发 生 塌 加 第 二 个 同样 事件 发 生 的 机 率 ， 则 我 们 得 到 一 个 聚集 的 ， 或 叫 散 播 的 分 配 ( clumped or contagious distribution )。 但 是 , 假使 一 个 事件 的 发 生 降 低 在 同 一 取样 单位 内 第 二 个 同样 事件 的 发 生 之 机 率 ， 则 我 们 得 到 一 个 拒 斥 的 ， 或 叫 空 间 一 致 的 分 配 ( repulsed or spatially uniform distribution ), 下 瓦 松 分 配 不 但 可 以 被 用 来 测验 空间 的 分 配 是 合 随 机 或 境 立 ， 而 且 也 可 以 用 来 测验 时 间 上 的 分 配 人 情形。 过 个 分 配 的 名 字 取 自 法 国 数学 家 Poisson 的 姓 ，Pozssoz 在 1837 年 提出 过 种 分 配 。 它 是 一 个 无 限 的 系列 ， 而 所 有 的 项 目 加 超 来 等 佟 1 〈 Ath RA ACN Se AA th BERKS 1 ) ， 过 个 系列 可 用 下 式 表 示 : 1 Le Ht Lt Lt ut > ————— 9S 9 OO 一 一》 geod let. 24e? . -3ie® tter ev“ EXANBE RIS DMR BEY 之 相对 期 肇 欢 数 : 第 四 章 “机率 分 配 之 绪论 9 BOX 4.1 上 互 松 期 望 次数 之 计算 ( Calculation of expected Poisson frequen- | ' cies ) o — (i MRR 00FKCR eM MIR: Y=1.8 细胞 / 方 格 ; RABE n= 400. (1) (2) (3) ea ees 每 个 方 格 中 Bi BU Hing a BS 之 细胞 数 次 数 之 情形 Y lr Mee: f-7 0 75 66.1 + 1 103 119.0 = 2 121 107.1 + 3 54 64.3 一 4 30 28.9 am 5 13 10.4 + 6 2 Fa 7 7 1 i/ 0.8 714.5 ag epee 8 0 0.2 一 9 0.0 } 5 400 399.9 Bb KRHA Student ( 1907) at 26 (C Computational steps): at RV eR 4-3, RRR, ABRAM ESHEeHBSKR, fo ; 1. He” loge’ =Y loge = Y (0.43429) = (1.8) (0.43429) =; 78172. antilog (0.78172) = 6.0495 92 . 生物 杭 计 学 导论 PRE INS AEN Te GFT ce A n 一 3 fe de 2 a =66.12(1.8) = 119.02 = 119.02 eS) 107.12 1. = 107.12 ow 1.8 = 64.27 oa t: = 28:92 ( ) I. S Ler AR STE = 10.41 (—— 2X3X4X5e7 (| : fr = (oxgxaix5 tbe ny’ | yz 8 = (OxBgxK4x5 XOX7eF 8 fo MBB 9 的 情形 . 因此 ， 第 一 项 表示 不 含 过 逢 稀有 事件 的 样本 之 相对 期 肇 欢 数 ， 第 二 项 麦 示 含 有 一 个 稀有 事件 ， 第 三 项 表示 含有 两 个 稀有 事件 ， 以 此 类推 。 每 一 项 的 分 母 都 合 有 e“， e 是 自然 对 数 的 底数 ， 是 一 个 常数 ， 假 使 考 看 到 5 个 小 数位 ， 是 2.71828; /是 此 分 配 的 母 数 平 均 数 ， 对 於 任何 一 个 问题 ,4 也 是 一 常数 ; 分 母 中 的 ! HRA. 和 垮 了 腑 解 卜 瓦 松 分 配 ， 我 们 最 好 举 一 个 实际 的 例子 ，BOX 4-1 顶端 是 一 个 统计 文献 上 峭 所 熟知 的 例子 ， 它 是 一 个 血球 计数 器 中 400 第 四 章 HEPA Sem 93 方 格 内 酵母 菌 炎 胞 个 数 的 分 配 ， 血 球 计 数 器 是 用 来 计算 浮 在 液体 中 的 血球 或 其 他 征 和 的 构造 之 数目 。 第 一 栏 列 出 每 一 个 血球 计数 器 之 方 格 的 酵母 苗 数 目 ， 第 二 栏 列 出 观测 的 欢 数 ， 也 就 是 含有 一 个 固定 数目 的 酵母 菌 之 方 格 数 。 我 们 可 以 看 出 有 75 个 方 格 不 含 酵母 菌 ， 而 大 部 分 ”的 方 格 内 有 一 个 或 二 个 酵母 菌 租 胞 ， 只 有 1 7 个 方 格 含有 5 个 或 更 多 的 酵母 菌 。 需 什 么 我 们 预计 过 个 次 数 分 配 可 能 会 成 上 瓦 松 分 配 ? RAB 子 的 事件 是 一 逢 稀有 事件 ， 每 一 个 方 格 内 的 酵 豚 菌 数 平均 只 有 1.8 个 ， 而 理论 上 一 个 方 格 的 空间 可 以 容 业 很 多 个 御 胞 ， 实 际 观 测 的 数目 和 可 以 容 业 的 数目 相 比 起 来 是 非常 小 。 其 欢 ， 每 一 个 酵母 菌 粗 胞 在 一 方 _ 格 中 出 现 的 事件 有 可 能 是 独立 的 ， 不 会 影响 其 他 酵 址 菌 和 胞 的 出 现 。 过 是 一 个 实际 应 用 下 瓦 松 分 配 的 例子 。 我 们 只 要 晓得 一 个 稀有 事件 的 平均 次 数 ， 就 可 以 计算 出 上 瓦 松 分 ， AAAS ARG TESST cb, a SRS ES A 数 平 均 数 ， 我 们 探 用 一 个 估计 值 ( 也 就 是 样本 平均 数 ) 来 计算 下 瓦 松 ， -分配 之 期 整 欢 数 ， 所 以 4.2 式 可 以 写成 : y> oY Peas ede he Y 和 > 2?” ner 63?’ (4-3) ELAHRA CERT AONE Sky PRRAPSHY MI ， 除 此 之 外 ， 每 一 项 在 数学 上 都 等 从 4.2 式 的 同一 项 ， 只 是 把 4.2 式 的 写法 稍 加 改 帮 ， 以 利 计算 的 方便 。 只 要 把 4.3 式 的 第 一 项 计算 出 来 , 所 有 其 他 各 项 都 可 以 用 前 一 项 乘 以 一 个 分 数 就 可 求 得 ， 在 第 二 项 时 ， 过 个 分 数 是 平均 数 除 以 1 ， 而 后 是 平均 数 除 以 一 个 整数 ， 过 个 整数 94 EDK TSS im 从 1 Fea, BABII, ARR ERLE DRAB — WAR yao — sia weet 就 可 以 得 到 第 二 项 的 欢 数 ， 将 第 二 项 的 欢 数 乘 以 y 就 可 以 得 到 第 三 项 的 欢 数 ， 以 此 类 推 。 feat Wat ils FE BANS EA LOR, ABE eH LAE A-AUBBR, UMS AL ROABR, 14-300 URSA WEAR, ABA APNEA RURAAD, ROE A S-AWeCNUEAR RERLUOTEBRETET LEAK hs ACAI ZAM, BOX 4-1 中 有 实际 计算 的 例子 ， 所 得 到 的 WEAWFARS=HA. 我 们 从 过 个 计算 学 到 了 什么 ? ERA AR MAM, 我 们 发 现 过 两 种 欢 数 相当 接近 ， 内 然 我们 还 没有 学 到 适合 度 检定 ( test for goodness of fit; MFERERRA 132 bh Nm , FE A LAB HS A UK Es A ER 另外 由 於 计 SHAS ORT AD EI RAE ISI, ee RE FOKESD, MOAR REWOR ROMA ME — NE Hs ey HR SS — A A HH BE Fe] — 7 ih BRAS ,因此 造成 分 配 之 两 尾 的 情形 的 数目 增加 ， 也 就 是 有 一 些 方 格 含有 很 5, $i ff SS AO ME AEE 2A RB NTR. DAE A MS 例 ， 在 计数 器 内 成 随机 分 配 ， 表 示 晴 浮 液 有 充分 的 混合 。 但 是 ， 假 使 “ TRAINS, RAMSAR BH TREE, HERE 观测 的 欢 数 就 会 成 聚集 分 配 。 在 BOX 4-1 的 例子 以 及 本 章 中 其 他 下 瓦 松 分 配 的 例子 ， 我 们 都 PU REP Sikin 9S HARDW—-ZA- PERERA, SRT ORM {, GE REE RA LAT (ESE CRE ( G - test for good- ness of fit ) ， 此 检定 在 13.2 MPMOUNR, BT HEGRE, EAHA ABA 5 5 。 在 提 到 其 他 例子 之 前 ， 我 们 必需 先 对 下 瓦 松 分 配 有 更 多 的 了 解 ， 读者 可 能 已 径 注 意 到 需 了 求 得 期 整 欢 数 ， 我 们 只 需 知道 一 个 母 数 ， 过 个 母 数 是 一 个 分 配 的 平均 数 ， 而 在 二 项 分 配 我 们 则 需要 知道 两 个 母 数 , 就 是 如 和 有 。 因 此 平均 数 决定 一 个 上 瓦 松 分 配 的 形状 ， 所 以 上 瓦 松 分 配 的 释 方 是 其 平均 数 的 画 数 ， 事 实 上 ， 两 者 有 很 简单 的 天 傈 ， 就 是 (u=o?), MMHSREIOM, BOX 4-1 根据 观测 欢 数 所 计算 出 来 的 合 方 是 1.965， 与 平均 数 1.8 RE, Ath RMS aA 分 做 是 成 上 瓦 松 分 配 ， 也 就 是 成 随机 分 配 。 在 计算 期 世 欢 数 之 前 ， 利 用 释 方 和 平均 数 的 关 傈 我 们 可 以 很 快 地 粗略 估计 贡 测 次 数 分 配 是 否 成 bh SLA DBC, La coefficient of dis pe- rsion ) 2 Gp. 23 y 假使 观测 分 配 呈 卜 瓦 松 分 配 ， 则 此 值 接近 蕉 1 ， 大 於 1 表示 聚集 分 配 ， 小 於 1 表示 拒 斤 分 配 ， 在 酵母 菌 秀 胞 的 例子 ，C.ZD. =1.092, (4-36 RMI, HIRE ASB ( frequency. pol- ygons; 连接 长 条 图 的 中 心 点 而 成 ) 来 表示 五 种 不 同 平均 数 的 bP ”分 配 的 形状 ， 我 们 可 以 看 出 当 oe = OL, KE SI KL - 型 ， 但 是 党 逐 靳 增加 之 后 其 形状 晰 新 接近 於 对 称 形 。 最 和 后 我 们 绸 举 出 上 下 瓦 松 分 了 配 的 两 个 例子 ， 第 一 个 是 水 旷 Czoctszy mite ) 在 播 蚊 〈 chironomid fly ) 的 成 嚼 之 分 配 懂 形 ( 表 4.5 ) - 96 ”生物 和 统计 学 导论 SS AG Se Me a 5) (22 = AY 8 AO’ ae) oe 每 一 样本 稀有 事件 之 数目 国 4.3 RMRHMS LAG MIAMS BE 。 过 个 例子 和 酵母 菌 的 例子 有 点 相似 ， 但 是 在 此 例 中 取样 的 单位 是 一 焦 €e, 而 不 是 一 个 血球 计数 器 的 方 格 。 此 时 的 稀有 事件 就 是 水 螨 寄生 EG tL, MARR 2.225, MER EHRWARARMEAM 中 间 的 观测 次 数 则 小 於 期 世 欢 数 。 过 个 关 傈 可 由 最 后 一 栏 看 出 ， 显 然 ”天 个 分 配 是 一 个 标准 的 聚集 分 配 ， 有 一 个 可 能 的 解释 是 因 需 找 蚊 孵化 的 各 年 不 同 的 池 二 之 水 螨 之 密度 有 显著 的 不 同 。 过 逢 接 蚊 孵化 的 池 二 ， 假 使 有 很 多 水 螨 ， 则 其 成 嚼 将 有 一 个 以 上 的 水 螨 寄 生 ， 但 是 假使 在 有 很 少 水 螨 的 池塘 钱 化 ， 则 其 成 是 只 有 很 少数 ， 或 是 完全 没有 水 螨 寄 二 第 二 个 例子 ( 玫 4.6 ) 是 研究 炮 豆 象 鼻 恕 的 分 配 ， 言 算 从 每 一 个 称 豆 的 孵化 出 来 的 象 鼻 嚼 之 数目 ， 象 鼻 患 的 幼 吉 先 进 到 豆子 内 ， 然 后 EDT ASL, ALAR AMRMMWK, EES LET— AIL, B HRT b FLA RS eR TE I HR, SE OIF HY A PU MEPS i 97 #465 Hig. 寄生 在 589 Hee A) K RA [ Mites (Arrenurus sp.) infesting 589 chironomid flies (Calopsectra akrina ) } (1 (2) eee (4) 45 6 6 观测 次 数 人 瓦 松 期 望 - mee 水 螨 之 数目 次 数 ， 之 情形 Y ti i Ent 0 442 380.7 + v4 91 166.1 - 2 29 , 862 a 3 14 5.3 mn 4 4 0.6 ae 5 64a ae ee eR, 6 2 0.0 十 7 0 0.0 O 8 1 0.0 - en 589 589.0 — Y =0.4363 s* = 0.9709 (C.D, = 2.225 iE F.T. Rohlf 之 资料 有 事件 就 是 象 鼻 号 在 称 豆 之 内 。 我 们 发 现 此 分 配 是 成 拒 斥 分 配 。 含 有 ERA BHR MAM BI 下 瓦 松 之 期 整 欢 数 大 很 多 。 过 个 和 统计 的 发 现 会 使 我 们 使 疑 饥 什 么 有 此 现象 发 生 ? LULA, KOR KE 果 发 现 雄 的 象 鼻 串 在 产 卵 的 竺 候 ， 价 向 认 在 每 粒 豆 子 上 平均 分 配 ， 而 不 是 随机 的 分 配 。 过 样 可 以 不 使 很 多 个 卵 同 时 产生 一 粒 豆 子 上 ， 因 此 YEA OE, MAE Hs Sh AR A BS ee 个 豆子 内 ， 通 常 也 只 有 一 个 可 以 生存 ， 其 他 的 被 狼 死 或 趣 出 ， 过 些 现 BERT tt LD tHE RO 98 生物 统计 学 导论 表 4.6 从 112 (H&E (Phaseolus radiatus) Bit KHRDRAS (Callos- obruchus chinensis) ( Azuki bean weevils emerging from 112 azuki beans ) (1) (2) (3) (4) 4 (HR Dp 观测 次 数 KEM ae BA HAS RA BYRA 次 7: 的 情形 bas f f fret 0 61 70:4 pe 1 50 32.7 me 2 1 7.6 = 3 or? 12 89 ot Ria 4 0 0.1 Ms i 112 112.0 ¥ = 0.4643 s? = 0.269 C. D, = 0.579 ij A Utida (1943) 文献 ap 4 4 4.1 ASH ATA HOHE BI AMZ 10022: 105553 假使 在 一 年 中 我 们 从 过 种 婴 匈 的 族群 抽样 而 得 到 10,000 个 包含 有 6 ME BRA RRA, WS 有 6 个 男 时 、5 个 男 遇 、4 个 男 婴 等 等 的 组 之 期 望 次 数 将 是 多 少 ?9 4-2 下 列 两 栏 表 示 100 个 含有 10 HCP &HAZR HC Drosophila melanoga- ster ) 的 卵 之 玻璃 瓶 的 财 化 卵 数 ( 数据 来 自 R.R. Sokal )， 假 定 一 个 玻 璃 叛 内 的 各 个 卵 是 否 会 及 化 是 独立 的 事件 而 不 互相 影 密 ， 利 用 观测 平均 数 ， 计算 其 期 望 次 数 ， 东 计算 及 比较 期 望 杰 方 和 观测 釉 方 。 我 们 已 知 每 一 个 不 同 玻璃 瓶 内 的 卵 是 由 不 同 的 林 代 所 产 的 ， 解 释 坑 何 会 得 到 此 种 观测 分 配 。 答 案 hae 47 6 4.4 4.5 第 四 章 “机 素 分 配 之 绪论 99 EK A mk ” 数 ¥ f 0 a 1 3 2 8 3 10 4 6 5 15 6 14 7 12 8 13 9 9 10 9 计算 2.2 表 ( 500 BAHL BS, Carex lecca ， 之 植株 数 ) 之 次 数 分 配 的 卜 瓦 松 期 望 次 数 。 有 一 个 陆军 医疗 单位 研究 一 种 肠胃 病 X， 从 过 去 的 经 验 我 们 晓得 患 过 种 疾病 的 官兵 在 他 们 的 凌 便 中 会 有 病原 菌 ， 但 是 吉 种 病原 菌 数量 站 不 多 ， 因 此 只 有 20 % 的 玻 片 含有 过 种 病原 菌 〈 假定 只 要 有 病原 菌 存 在 於 二 个 玻 片 , RAMS 可 以 检查 出 来 ) 。 则 需要 要 求 他 们 的 实验 技术 员 对 於 每 个 样本 秽 人 备 和 检查 多 少 个 玻 片 ， 以 便 假 使 有 一 个 样本 含有 病原 菌 ， 平 均 起 来 只 有 小 於 1% 的 情形 会 被 误 认 坑 是 不 含 病原 菌 9 根据 你 的 答案 你 是 否 要 推荐 过 个 医疗 单位 去 改善 他 们 的 检查 方法 ? 答案 : 21 个 玻 片 。 E-PRERR MEER, REAR CRRA, MRA BE” ROK, BEZMARRRE SLSR. @ARRAD LNB 状 的 后 代 之 比率 应 估 多 少 ? (0) RMT ERM, R14 焦 都 具有 白眼 的 果 曙 之 机 率 是 多 少 ? (6) 4 焦 果 蝇 完 全 不 含 白眼 和 单 毛 的 果 电 之 机 这 是 多 少 ? ” 团 假 使 取 二 焦 果 蝇 的 样本 ; 取 到 至 少 有 一 焦 果 电 具 有 白眼 ， 或 音 毛 、 或 白眼 和 单 毛 之 机 率 是 多 少 ? 学 过 微 积分 的 蔚 者 可 以 当 试 辣 明 4.1 式 ， 当 上 PREBKOR pe MReB ， 因 而 p= kp REE AB AOE, APD Moe 4. 2 式 。 = Pile, pie, x 一 fn: BBE 7 一 co， (1 一 一 )” 一 ex n 100 Ameer waa 4.7 #B@RKRIA SEAL 瓦 松 分 配 之 假定 (assumptions MER ( par- ameters ) 。 | 4.8 ”假使 基因 4 的 频 度 是 力 ， 而 基因 a 之 频 度 是 g NWRATAA, Aa, aaz 期 望 频 度 各 需 多 少 ? 〈 假定 元 个 二 信和 体 之 千 合子 是 一 个 样本 大 小 需 2 之 随机 样本 。) 同 源 四 全体 ( autotetraploid ) HABARRA? 〈 如 果 基 因 座 ， 舍 近 中 和 节 ， 一 个 精 合 子 可 以 被 当 作 是 一 个 样本 大 小 霹 4 的 随机 样本 ) 4.9 ”假定 有 一 个 族群 ， 包 括 三 类 的 个 体 4; Ar, HAs, 而 其 相对 次 数 各 乌 0.5, 0.2, 0.3, @ERAANR1, 2, 3--, nA, HRA HARSBE A, MBER? OABKAA)RnZHRA, FRAHBRE 部 不 是 4i 也 不 是 As RERA? CO ARAADB1, 2, 3, 4,5, nah, S— BBD S| — Hy RE BAT? yy Te eee 5 AC 在 上 一 章 所 言 葵 的 分 配 都 是 分 立 的 理 葵 欢 数 分 配 ， 其 构 数 的 值 都 是 整数 。 例 如 每 一 个 样本 当中 所 合生 病 的 屁 是 之 数目 可 能 是 0 或 1 或 2， 但 是 不 可 能 有 过 些 数值 的 中 间 值 。 同 理 ， 每 一 个 血球 计数 喜 的 方 格 中 之 酵母 菌 炎 胞 数 ， 也 是 一 个 分 立 的 构 数 。 因 此 ， 需 用 一 个 分 立 的 机 率 画 数 来 加 以 描述 ， 但 是 在 生物 学 上 所 录 到 的 华 数 大 部 分 是 连 炉 的 释 数 〈 就 像 第 二 章 和 第 三 章 中 喘 儿 出 生 重 量 ， 和 蚜 恤 腿 节 长 度 的 例子 Ds AB any ae BH 5 .1 Bi Fe KR Hc ia» § 5+ 2 SEB a Ps AN FR 机 这 分 配 之 由 来 ，5.3 节 讨 花 常 态 机 这 分 配 之 性 质 ， 若 干 常 态 分 配 之 REFA BIZ 5-4 Bi, 5-5 节 说 明 一 种 估计 弃 开 常态 程度 以 及 估计 一 个 近 於 常态 的 分 配 之 平均 数 和 标准 差 的 图 解 方法 ， 背 旋 明 观测 次 数 分 配 102 生物 统计 学 导 葵 BE BA fs REY FA 5.1 连续 变数 的 次 数 分 配 ( Frequency distribution of continuous variables ) CON 2ARRADR (TAR REBRBR, probability density function), DARE 5-1 Wim RBRR HRA SERRBHOR COKE, MABE (density ) 是 指 沿 著 了 加 的 爸 值 之 相关 密度 ( 就 像 图 2.1 所 示 ) ， 在 过 个 圈 上 了 轴 是 横 座 标 ， TAKS (BE) 是 火 座 标 。 需 了 要 比较 理 葵 的 和 观测 的 欢 数 分 配 , 我 们 必须 把 它们 分 成 相对 的 租 ， 就 像 图 5.1 ORR, BAR ee 的 意义 是 指 两 个 租 限 OR) 之 问 的 期 鳌 欢 数 ， 此 期 碧 欢 数 用 曲 粮 之 下 两 个 界限 之 内 的 面积 来 代表 。 曲 粮 下 的 炉 面积 等 从 所 有 期 世 欢 数 的 德 和 ( SR 1.0 Bins PAMEAM MME 1.0, PHMEA Mt WOMESH n )« Cf —- ACE ROH CAM OR, ARSE SPAY , ARBs wns ELMAR, eee 图 5.1 连续 轰 数 的 机 牵 分 配 〈 参 阅 芭 中 讽 明 )。 ARE ”常态 机 率 分 配 103 ,我们 不 能 估计 释 数 等 於 某 一 个 固定 的 值 ( 例如 3 或 3.5 ) AOR, 我 个 只 能 估计 落 在 二 个 界限 之 内 的 观测 值 之 次 数 ， 因 垮 代表 曲 征 上任 ES PER), Aes Se He , 只 能 计算 二 个 租 限 之 内 的 面积 之 比例 ， 在 5.3 915-4 REN 如 何 计 算 常 态 次 数 分 配 的 期 世 欢 数 。 MI AT AE ZEY hb ROE EAU SAI EA WO 5-1, the SEAN HP OO HE, BER 6-11 图 和 5-3, ¥ReRICR, Hh BRASRAROWAK RANA SiGe KOM. Ae, SRS LRM BRA ,ABREMAR MBA Sh, HHS Sb eee Y oe, 因此 超过 某 一 个 固定 点 的 面积 之 比率 是 无 第 小 ， 所 以 实际 上 我 们 可 以 WEES, ARR Pith ERAS OME CARR OR, A: OHFSRA, RBRMAR HASSLE OSB AIAN, MER FEH MAK AN ED 7 OR, EP MRMRNA- BERNE LEB BORABEAR, hist 是 常态 次 数 分 配 。 5.2 常 驴 分 配 之 由 来 ( Derivation of the normal distribution ) AMEE H-HEABR BER MEARE HS 而 成 常态 次 数 分 配 的 步骤 大 部 分 需要 具有 相当 的 数学 基础 之 人 才能 Re, ALR PE eA GL MHRA RI OM, eet HARE OER | ORAS WOO (pt), th kB BK, HH 104 。 生物 统计 学 导论 逢 生物 学 上 的 现象 可 能 会 呈 过 种 二 项 分 配 ? 有 一 箱 可 能 就 是 由 很 多 因 子 具 有 加 成 的 作用 ， 而 造成 一 个 生物 学 上 的 结果 。 以 下 的 一 个 假设 之 例子 ， 可 能 凤 实 际 的 情形 不 太 渤 。 动 物 皮 请 的 颜色 之 深浅 是 受 很 多 因 素 的 影响 ， 有 些 是 遗传 的 因素 ， 有 些 是 环境 的 因素 。 芝 我 们 假定 每 一 GAS RARE BLURB, 就 是 存在 或 不 存在 ， 当 过 个 因子 存在 RF, ER LUBA BiH KAZ OER. SEDER, HAG 色 的 深 闭 没有 任何 影响 。 而 且 假定 ， 不 管 它 的 性 质 或 来 源 如 何 ， 每 一 个 因子 都 具有 相等 的 影响 ， 而 且 过 些 影响 是 加 成 的 ; 例如 假使 5 个 可 能 的 因素 党 中 ， 有 3 个 因素 存在 於 一 个 个 体 ， 则 尼 个 体 的 颜色 深度 是 三 个 单位 。 最 后 假定 每 一 个 因子 存在 或 不 存在 於 一 个 个 体 的 机 率 相 等 , 也 就 是 少 = P[ 居 ] = 0.5， 表 示 过 个 因子 存在 的 机 这; 4 三 LA] 二 0.5 ， 表 示 因 子 不 存在 的 机 牵 。 二 于 当 只 有 一 个 因素 的 时 候 (&= 1 ) ， 由 二 项 式 ( 少 十 4 )! 的 展开 式 可 能 得 到 两 种 闫 色 的 情况 ， 如 下 : | A er ye ae. 色素 租 〈 机 率 空 间 ) {0.55 O.5}° were (yO eo eRe 有 一 个 的 动物 之 色素 深度 是 1 ， 另 一 个 是 0 。 当 = 2 时 ， 也 就 是 有 两 个 因子 存在 於 此 族群 ( 假定 过 两 个 因子 的 发 生 是 独立 的 ， 互 不 干 援 ) ， 色 素 深度 的 分 配 情形 可 以 用 二 项 式 ( 户 二 9 ): 的 展开 式 来 表示 : { FF, Ff, ff } tase (iA HD { 0.25, 0.50, 0.25} Hera fee ee “a PRE ”常态 机 素 分 配 105 四 分 之 一 的 个 体 之 色素 深度 是 2， 二 分 之 一 的 个 体 的 色素 深度 是 1 ， 剩 下 的 四 分 之 一 的 个 体 的 色素 深度 是 0 。 AFR AB, KARAM aR, HARBOR BEANE, NASA BA, MEWHEAMAMR) H5-22 TAAES k= 10 WEG ( Bie LEB RRAA ) ， 我 们 BRAG Bai BE WH RABD AC (图 5.3 和 35.4)。 假 使 我 们 展 开 &=20 的 展 于 式 ， 其 直方 图 将 非常 接近 常态 欢 数 分 配 ， 我 们 无 法 看 出 它 和 常态 分 配 有 什么 不 同 。 在 前 面 我 们 人 垮 了 简单 起 见 ， 我 们 设 了 若干 假定 ， 假 使 过 些 假定 被 去 掉 的 新 ， 其 千 果 将 构成 如 何 ? ROE p> 4 ， 当 有 接近 艾 无 需 大 时 ， 其 分 配 仍然 接近 於 常态， 过 是 不 容易 用 直 ” 览 想像 出 来 的 ， 因 需 当 少 羡 9 时 ， 其 直 太 图 最 初 是 不 对 称 的 ， 但 是 党 kpqg2> 3 时 ， 其 分 配 旭 相当 接近 第 态 分 配 。 实 际 上 ， 因 了 于 的 发 生 可 能 会 有 多 从 两 征 的 情况 ， 某 一 箱 情 况 会 有 比较 大 的 影响 ， 另 一 逢 情况 会 有 小 一 点 的 影响 等 等 。 但 是 多 项 式 ( 妃 十 4 十 十 … 十 z )* 也 会 接近 ， ”常态 次 数 分 配 ， 只 要 六 接 近 於 无 需 大 。 不 同 因子 的 存在 可 能 会 有 不 同 的 频 度 ， 而 且 也 可 能 有 不 同 的 量 之 影响 ， 但 是 只 要 各 个 因子 有 加 成 性 和 独立 性 ， 当 上 接近 於 无 第 大 时 ， 其 分 配 仍然 接近 常态 分 配 。 04| 十 个 因子 Pea ( Ten factors) Q- - SEO : FS Y | 5-2 由 (0.5 十 0.5)10 之 二 项 式 展 开 所 得 到 的 相对 期望 次 数 之 直方 加 Y HARARAT FORA, (ARKH RA) ely b+ 4a aA IB EW BT Se OR EOE. ER 106 ”生物 统计 学 导论 此 诡 怪 有 很 多 生物 学 上 的 爸 数 接近 常态 分 配 。 六 我 们 和 籽 烙 前 天 常态 次 数 分 配 的 交 箱 人 条件: (1) 有 很 多 的 因子 ， 每 一 个 因子 是 单独 的 或 是 合成 的 因子 ; (2) 过 些 因子 的 发 生 具 有 独立 性 ; (3} 各 个 因子 的 影响 是 独立 的 ， 也 就 是 它们 的 影响 是 加 成 的 ; (4) 各 个 因 子 对 从 爸 方 的 影响 是 相等 的 。 第 四 个 条 件 在 过 壬 我 们 逮 无 法 加 以 解释 ， 只 是 需 了 完整 起 见 ， 我 们 把 它 列 出 来 ， 我 个 将 留 到 第 七 章 中 加 以 言 3A, nA o 5.3 PR a ( Properties of the normal distribution ) 常态 机 率 密度 函数 ( normal probability density function) WFR RRR: 2 表示 曲 粮 在 火 座 标的 高 度 ， 也 就 是 项 目的 密度 ， 它 是 5.1 式 中 的 因 ” 磷 数 ， 也 就 是 了 杰 数 的 一 个 画 数 。 在 上 式 中 有 两 个 常数 ， Z 之 值 接近 於 3.14159， 所 以 1/V 27 =0.39894，e 是 自然 对 数 的 底数 ， 其 (A#SEH 2.71828, 在 常态 机 率 密度 函数 中 有 两 个 母 数 ， 就 是 母 数 平 BR (Cu ) 和 母 数 标准 差 《c )， 过 两 个 母 数 决 定 其 分 配 之 位 置 和 形状 。 因此 常态 分 配 冰 不 是 只 有 一 个 ， 初 学 者 也 许 会 愤 束 仿 和 常态 分 配 是 在 数学 数 科 书 中 的 一 个 甸 形 分 配 ， 其 实 币 态 分 配 可 以 有 和 无数 种 的 HR 因 和 需 过 两 个 母 数 可 以 有 和 无数 个 值 。 图 5.3 中 有 三 个 常态 曲 粮 ， 运 三 个 HMR HOMOSASSA, HHA MEHR BR PRS, Ase PA a HZ MI tA ASS HRB HRC 具有 相等 的 平均 数 ， 但 是 标准 差 不 相 等 ， 曲 粮 C 的 标准 差 只 是 曲 粮 已 的 一 个 ， 因 此 曲 粮 C 的 形 PRE ”常态 机 素 分 配 107 HR EG HAR B BRAE, FERRE LS RE LE EL EO EK HE (eh ENREA, CABUOME BAY H, ARR LEeE, AK E36 LA MAW REACH EOREA MUP ROR HBA ALUNREAG, RELSARS\ GLE SB R= 标准 差 的 值 是 不 太 容 易 玖 生 的 ， 它 们 的 相对 期 碧 欢 数 非常 小 。 过 可 以 从 5.1 式 看 出 ， 当 了 非常 大 或 非常 小 时 ， (了 一 )2/2 2* BRIEF 大 ， 因 此 e 的 负 砍 方 过 一 项 将 爸 成 非常 小 ， 因 而 Z 也 人 成 非常 小 。 常态 曲 粮 在 平均 数 的 两 浊 是 左右 对 称 的 ， 因 此 常态 分 配 的 平均 数 ， 中 位 数 委 数 都 是 在 同一 点 。 下 面 麦 示 常 驴 次 数 分 配 在 所 表示 的 界 限 内 的 项 目 之 百分比 : | Er 人 fe) 5-3 Ue hel ae AAs RE 2 RE BY) — TS RD oY SHR 状 和 位 置 。 A. w=4, og =1; B.uw=8, 6 =13 “C, w=8, g=0.5. 108 Meat SS 其 RR » e (0.5 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.2 5-4 : ee AS oR LR Re pto 3% 68.26% 之 项 目 pt lo BH 95.46% 之 项 目 ut30 28 99.73%2Z 50% 的 项 目 介 於 上 +0.6740 之 间 95% WHAT H «+ 1.9600 Zi 99% WAARK « +2.5760 Zi 第 五 章 “” 常 态 机 素 分 本 109 图 5.4 玫 示 出 过 些 关 傈 。 上 壕 的 百分比 是 怎样 计算 而 来 的 呢 ? 要 计算 常态 曲 粮 下 的 任何 一 部 分 的 面积 需要 赚 用 5 .1 式 的 画 数 之 积分 。 所 幸 ,对 於 没有 学 过 微 积分 之 人 ( 甚至 学 过 的 ) ， 此 积分 已 被 用 一 个 常 能 分 配 的 形式 来 表示 ， 就 是 常 驴 分 配 国 数 ( normal distribution fu- ?ciio2 ， 也 就 是 常态 机 率 密度 画 数 的 理论 累积 分 配 西数 )， 图 5.4 表示 出 此 乔 累 积 画 数 。 由 此 画 数 可 以 查 出 在 横 座 标 上 从 负 的 无 坟 大 到 任何 一 点 的 炉 共 次 数 ， 因 此 我 们 可 以 直接 地 看 出 小 於 一 个 固定 的 了 值 之 观测 值 的 机 率 。 例 如 ， 从 图 5.4 可 以 看 出 从 负 的 无 祝 大 到 平均 数 的 PMHAMESO%, MAE ORRA—-BBEXHMKARE 15.87% o Hh SMS KB HOA FT RS Lee, BSE CGE SIZAORAR. KERB OURHMEBLH BSH, A 如 可 以 从 - o BI— KR, FRR Ase, He ee BL DEH 15.87%» iii — BABU AY AE A BR AT De EBAY BARAT RMRATRG AMEMS4RATBH, — (wl 值 介 於 平均 数 和 平均 数 减 去 一 个 标准 差 之 间 的 机 这 是 0.5000 一 0.1587 = (0.3413, | REARRRIRKEA, ATHSAASHR. MAREN 积 都 被 减 去 0.5 ， 因 此 过 个 玫 所 列 的 面积 比例 是 介 於 平均 数 和 平均 数 加 上 任何 一 个 数目 的 标准 差 所 估 的 比例 。 例 如 ， 介 恭 平 均 数 和 平均 数 之 上 0.50 标准 差 的 机 率 是 0.1915， 同 理 ， 介 於 平均 数 和 平均 数 之 © 上 .2.64 BBE BAZ 0.4959; 而 到 平均 数 上 4.0 BEX HRA 0.499968, HEA BRED CAM REA CA EMREA, AOD BEES RUE HS EWREA, FORRARMN—A PGi Hit Os A Reh A EO, 110 生物 统计 学 半 ma ; R5-1 翅膀 长 度 和 牛奶 产量 的 全 体 ( Populations of wing lengths and milk yields ) 。 SM: SRR FM: 100 个 车 电 翅 膀 的 长 度 ， 依 照 大 小 顺序 排列 ， 屎 三 45-4, o7=15.21, o=3.90 ; 此 分 配 接近 常态 ( 长 度 单位 是 10 1mm ) 。 第 三 栏 : 100 个 两 岁 大 的 泽 西 (Jersey ) 品 种 的 乳牛 之 牛奶 年 产量 (单位 是 100 磅 ， 依 照 大 小 顺序 排列 ; w=66.61, o?= 124.4779, o =11.1597, it 分 配 离开 常态 很 束 。 RE: 第 二 栏 数 据 来 自 Sokal and Hunter (1955), 第 三 WR AR A RK We AFH aC Ko BLE BERD 111 FE Hi — (sh Ry HR TT Oe HO Fl RT 9S 之 分 配 情形 。 实验 5.1: 芒 者 可 以 从 两 个 全 体 中 去 抽 嫌 。 第 一 个 全 体 是 一 个 接近 常 能 次 数 分 配 的 100 AMMAN, ANZ AS BE A, 它 是 包含 100 个 泽 西 乳牛 牛奶 年 产量 的 一 个 次 数 分 配 。 两 个 全 体 都 被 列 於 考 5.1。 坑 了 模拟 从 一 个 无 逢 大 的 全 体 中 去 取样 ， 苦 者 可 以 从 此 表 中 重复 取样 ， 从 每 一 个 全 体 中 抽取 含有 35 个 项 目的 样本 ， 其 方法 可 以 从 随机 次 数 表 ( EI) 中 抽 到 两 租 含 有 3 5 个 两 位 数 的 随机 数字 。 把 每 五 个 随机 数字 高 在 一 起 ， 然 后 把 过 些 随机 数字 所 指 的 了 值 ( 起 膀 长 度 或 牛奶 产量 ) ek ok. LIRR BOF, FIM EE 超 膀 长 度 消 列 出 所 需要 的 计算 。 随机 数字 翅膀 长 度 bs 16 41 59 46 99 54 36 44 21 42 Dah MR ae LY" =10413 ¥=4. 45.4 〈 过 种 样本 及 其 计算 的 告 果 将 在 下 一 章 中 再 征用 到 ， 所 以 得 小 心 保 存 你 的 数据 上 ) 在 本 实验 中 ， 把 每 一 个 爸 数 的 35 个 概 值 党 作 是 一 个 样本 ， 不 要 把 35 个 爸 值 分 成 7 A, RSS OR CR EPI RIES ( 112 生物 统计 学 导论 eRe ) 都 是 已 知 数 ， 我 们 可 以 计算 每 一 个 达 值 Y， 的 (了 一 A ) Mn fa, AU ba REN RAC AME 4.1, 其 计算 如 下 : (41—45.5) 3.90 ERTRA—PMPRELES BORER BR FW 1.1538 标准 差 o With Fa MEE Hf PAT OME BE BER Be ( standardized deviate 或 standard deviate), FX I PRAEK 开平 均 数 多少 单 位 的 ZR, BRR RRR ( standard no- rmal deviate), i # 35 BBE K-BKBOR, AERA RSKERED ER ORE, ARR AG C A Re SRS ee “ 准 差 ， 我 们 不 需要 个 别 计算 每 一 个 肉 差 ， 只 需要 把 租 限 写 出 就 可 以 了 ,而 租 限 可 以 用 实际 构 数 的 形式 来 表示 ， 也 可 以 同时 用 标准 差 的 形式 来 表示 。 麦 5.2 列 出 过 逢 次 数 分 配 的 租 限 ， 把 全 班 同学 抽样 的 烙 果 娄 和 起 来 ， 以 便 了 解 斌 开平 均 数 各 渡 一 个 、 二 个 和 三 个 标准 差 的 项 目 之 百分比 。 我 们 可 以 看 出 闭 曙 翅膀 长 度 和 牛奶 产量 的 分 配 情形 有 显著 的 不 同 。 fa =— 1.1538 54 常 驴 分 配 的 应 用 ( Applications of the normal distribution ) HEABOMEECH ES PRAR ROOM, RMS ES ANA ith—HRAGOR, RAT CHRAOR PSE, ; 1. ARUAGRE—-BRARBS BROT ME PEAR B2RE. BT BWR-BRALESEROR, RAVLARR ER Hh 8 Tin Be at A 6 fe BEC RE BERS eS KW, FEAT Be PIG MED RROD ER AHR HE — (LE Bw PRE “常态 机 素 分 配 113 表 S$.2 ac ke RSL RA CERES CY; — 1) /o 之 次 数 分 配 的 表格 (Ta2le for recording frequency distributions of standard deviates (Y; —p)/o for samples of Experiment 5-1) wee eE 牛奶 产量 St AS i f : SYA 4 两 个 f FBR Fl AY a ie FBR fg BY —30a 一 30 1 1 — 250 2 hd he, 36, 37 | Fe —15¢ 38, 39 lye 一 C 40, 41 一 0 51 一 55 Lit 42, 43 -5 o 56—61 = 45.5 44,45 p= 66.61 62—66 1 50 46, 47 请- 67 一 72 o 48, 49 0 73 一 77 1 =~ 1° — 15a 90,51 1 39 了 8 一 83 at 52,53 20 84-88 1 i fs 250 04,55 2 5 9 89—94 30 36 95—98 J14 生物 统计 学 导论 常 能 ， 过 逢 方法 将 在 下 一 节 计 论 。 2 晓得 一 个 样本 是 否 成 常 驴 分 配 可 以 使 我 们 属实 或 握 秦 有 天 我 “人 所 研究 的 现象 之 因素 的 各 逢 假设 。 5-2 节庆 葵 过 一 个 次 数 分 配 要 成 常态 分 配 的 必 介 人 条件， 因此 假使 我 们 发 现 一 个 备 数 是 成 常 驴 分 配 ， 我 们 就 没有 理由 来 所 秦 影 唤 过 个 爸 数 的 各 个 因子 具有 加 成 性 、 独 立 性 ， 以 及 具有 相等 的 慑 方 之 假 融 。 反 之 ， 假 使 我 们 发 现 我 们 所 研究 的 概 数 水 不 成 常态 分 配 ， 则 表示 有 某 逢 力量 (OM, BB) 会 影响 我 们 所 研 AeA, AM, 2EY (bimodality ) 表示 我 个 的 样本 可 能 来 自 两 个 不 同 的 全 体 ， 而 牛奶 产量 数据 的 俩 们 可 能 表示 过 些 数据 是 来 自 径 通 细 择 的 牛 焦 ， 因 而 牛奶 产量 比较 差 的 乳牛 可 能 不 包括 在 此 已 人 中 。 3 .假使 我 们 确定 一 个 分 配 是 成 常态 ， 我 们 可 以 根据 过 个 员 定 来 作 各 种 预 估 以 及 作 各 惩 假设 检定 ， 以 下 是 过 逢 巍 用 的 例子 。 在 BOX 3.2 的 中 国 男 婴 的 出 生体 重 例子 ， 其 9,465 个 出 生体 重 样本 的 平均 数 是 109.9 和 盎司， 而 其 标准 差 是 13.593 盘 司 。 假 使 我 们 从 过 个 族群 中 去 随机 抽样 ， 旭 抽 到 一 个 体重 等 从 或 大 於 151 瘟 司 的 机 率 是 多 少 ?9 此 一 体重 显然 比 平 均 数 大 很 多 ， 其 与 平均 数 的 差 是 151 一 109.9=41.1 盎司 。 但 是 我 们 不 能 根据 过 箱 盎 司 的 差 数 来 查 常态 曲 焰 的 面积 表 ， 我 们 必需 先 把 差 标准 化 〈 standardize )， 将 差 除 以 标 Mex, 1 Fl — MES ( 41.1/ 13.593 = 3.02 ) ， 过 麦 示 出 生 . 体重 151 表 司 是 大 於 平均 数 3.02 个 单位 的 标准 差 。 假 设 出 生体 重 的 分 配 是 成 常态 ， 则 我 们 可 以 查 常态 曲 稼 面积 表 ( 麦 工 ) ， 在 麦 中 可 以 找到 3.02 个 标准 差 的 值 是 0.4987, 过 麦 示 曲 入 下 的 面积 有 49.87 多 是 介 於 平均 数 和 3. 02 个 标准 差 之 间 。 反 过 来 设 ， 就 是 有 0.0013 ， 或 0:13 %% 的 面积 是 在 平均 数 之 上 的 3. 02 个 标准 差 的 外 面 。 所 以 ， 假设 出 生体 重 是 成 常态 分 配 ， 只 有 0.13 多 或 10,000 个 婴儿 中 有 13 ALB ”常态 机 素 分 配 115 个 婴儿 会 有 等 从 或 大 於 151 盎司 的 体重 。 要 和 从 过 样 一 个 族群 中 去 抽样 一 个 婴儿 就 得 到 过 样 大 的 体重 的 可 能 性 非常 小 ， 所 以 假使 我 们 从 一 个 未 知 的 族群 去 抽样 一 个 体重 而 得 到 运 样 重 的 重量 ， 我 们 有 充分 的 理由 使 疑 过 个 样本 是 否 来 自我 们 上 壕 言 葵 的 族群 。 上 壕 的 机 这 只 是 计算 分 配 的 一 尾 ， 我 个 找 出 一 个 个 体 大 於 平均 数 3.02 个 标准 差 之 发 生机 率 ， 但 是 假使 我 们 对 於 过 个 个 体 的 重量 是 否 大 於 或 小 於 平均 数 没有 事先 的 了 解 ， 而 只 是 想 知道 它 和 族群 平均 数 有 多 大 的 不 同 ， 此 时 的 问题 是 : 假设 过 个 个 体 属 於 过 个 族群 ， 在 过 个 族 群 内 抽 到 一 个 像 过 个 个 体 一 样 弃 开 平均 数 的 程度 ， 以 及 巍 开 程度 比 它 更 大 的 个 体 之 机 这 是 多 少 ? 此 时 的 骨 开 平均 数 之 情形 是 有 两 个 不 同 的 方向 ， 所 以 必需 计算 分 配 之 两 尾 之 机 牵 。 因 和 怖 常态 曲 粕 是 左右 对 称 的 , 所 以 上 述 的 机 这 应 该 乘 以 2 ， 也 就 是 2 x 0.0013 =0.0026, 。 过 个 机 率 仍 然 是 非常 小 ， 所 以 我 们 的 糙 葵 是 ， 一 个 出 生体 重 垮 151 瘟 司 重 的 男 曙 不 太 可 能 来 自前 面 所 提 到 的 中 国 男 时 的 族群 。 我 们 可 以 从 演 个 例子 学 到 很 重要 的 一 点 ， 我 们 事先 假定 出 生体 重 是 成 常态 分 配 ， 但 是 从 BOX 3.2 的 欢 数 分 配 看 来 ， 显 然 过 个 分 配 是 不 对 称 的 ， 是 向 右 偏 。 在 平均 值 之 上 有 8 个 值 ， 而 在 平均 值 之 下 只 有 6 个 值 ， 由 僚 左 右 不 对 称 ， 对 於 分 配 一 尾 所 下 的 精 葵 冰 不 能 推 葵 到 另 一 尾 。 我 们 计算 出 在 平均 值 之 上 3.02 HERE LAZARE 0.13% , REAR 151 盎司 的 机 率 是 0.13 %%。 在 我 们 的 样本 中 含有 208 项 目 ( 14 十 5 十 1 ) BAR 4758008 Tae ERE 151.5 盎司 ， 过 个 上 限 差不多 等 从 上述 的 男 婴 之 体重 ， 但 是 9465 个 硕 目 之 中 估 20 WAR ESER 0.21%, KERR ORT 0.13% 要 大 。 过 个 机 牵 仍 然 很 小 ， 所 以 还 是 不 太 容易 在 样本 中 找到 一 个 过 样 重 的 男 山 ， 但 是 ， 假 使 在 过 个 测 验 里 正确 的 机 牵 是 很 重要 的 116 MRSS a> 则 根据 常态 分 配 的 假设 所 求 得 的 机 这 是 不 正确 的 。 只 有 和 当 我 们 对 於 数据 所 作 的 假定 ( assumptions ) 是 正 克 的 时 候 ， 我 们 的 统计 千 论 才 征 正确 的 。 5°5 离开 第 仿 的 情形 以 及 图 解 的 方法 (Departures from normality and graphic methods ) . 在 很 多 情况 下 ， 一 个 观测 的 次 数 分 本 常常 会 不 成 常态 。 我 们 要 强 调 哑 开 和 常态 的 情形 主要 可 以 分 成 两 类 : 第 一 类 是 篇 态 ( skewness ), 其 实 就 是 不 对 称 ， 是 指 曲 烷 的 一 尾 比 另 一 尾 拉 得 比较 长 。 在 过 逢 曲 粮 ， 和 平均 数 和 中 位 数 就 不 相等 。 假 使 曲 糠 的 右 尾 拉 得 比较 长 就 称 坑 右 从 , 反之 ， 左 尾 拉 得 比较 长 ， 就 称 需 左 偏 。 另 一 类 弃 开 常态 的 情形 称 估 2ke Ckurtosis), Bethy SE, RAC leptokurtic ) HHRE Ha EUG HEIR] RYZE ER BBG A RD RR, EL SESE EY HAR EOAARS, TREO RRA RD, MARR (plat y- kurtic) HH@EAE RMU ROK ET SRA EWAA RD, it ERM MRS, LAK ( bimodal distribution ) BE WE 分 配 的 一 箱 极 端的 情形 。 “有 一 逢 图 解 方 法 可 以 用 来 检查 一 个 观测 分 配 之 形状 是 否 太 并 常 能 ,过 个 方法 同时 也 可 以 苇 我 们 从 图 上 估计 分 配 的 平均 数 和 奈 准 差 ， 而 不 需要 计算 。 图 解 的 方法 是 根据 累积 欢 数 分 配 而 来 的 ， 从 图 5.4 我们 可 以 看 出 一 个 常态 次 数 分 配 的 桌 积 欢 数 分 配 是 成 S 型 的 曲 糠 .( sigmoid curve ) 。 在 图 5.5， S 型 曲 述 的 炊 座 标 是 用 百分比 麦 示 的 相对 次 数 ， 累 各 HH RAUB RE Sem BC EA, tk, BR A AE RB BE BRE ”常态 机 素 分 配 .117Z CeA ID] NSE Rae 2 1 510 305070 9095 99 BREREOMREREOH B5-5 KRRAD KBAR ERAR E, HE RE HRRIESRRA ODD. 5-4 和 5.5 OMERBER 用 粮 性 的 尺度 ; A—M REM i HR RA REC normal probability scale ), iiHR MERE ( probability scale ), BEREAN TRE AY DAG SR BS Bh AY SS ( 如 图 5.5 所 示 ) 。 应 用 在 横 座 标 上 所 得 到 的 尺度 可 以 使 本 来 不 成 直 糠 的 累积 常态 曲 糠 季 成 Em BERELEM HAW EUM PREM BRAS DLO, 3 7s AT FS BY SAGE SR PR A ( arithmetic or normal probab- 118 ”生物 统计 学 导论 ility graph paper) 都 是 探 用 过 种 尺度 。 过 逢 图 狐 通 常 是 在 比较 长 的 一 录用 机 率 尺 度 ， 而 比较 短 的 一 录 用 糠 性 尺度 ， 而 且 通 常 其 网 座 标 没有 0 多 和 100 %% HE, BEAR AWARE LEME OR 蓄 大 到 负 的 无 坑 大 ， 所 以 不 管 我 们 观测 的 情形 向 两 端 延长 到 多 长 ， 都 不 可 能 过 到 0%% 和 100 多 。 假 使 我 们 把 一 个 累积 常态 分 配 划 在 一 张 火 座 标 是 用 常态 机 率 尺度 的 图 犹 上 ， 则 成 一 条 直 和 粽 ， 图 5.6.A 就 是 过 ety Hl, BOX 5.1 告诉 我 们 如 何 用 机 牵 狂 来 测验 一 个 欢 数 分 配 是 否 成 常态 ， 以 及 如 何 估计 其 平均 数 和 标准 差 ， 过 德 方法 最 适用 锥 大 的 柑 本 (2 > 50 ) 。 此 法 不 容 兽 有 100% MRAM, ABECRRMBE 均 数 有 和 无 索 速 的 距 序 。 假 使 苇 者 机 趣 於 划 出 所 有 的 观测 ， 则 可 以 用 上 一 二 来 代替 让 ( 昧 积 欢 数 ) ， 此 际 积 欢 数 是 以 刀 的 百分比 来 才 示 。 图 5.6 显示 各 箱底 开 常 态 的 情形 ， 过 些 图 中 一 般 的 欢 数 分 配 是 用 粮 性 的 尺度 〈 火 座 标 没有 划 出 ) ， 而 其 昧 积分 配 则 是 探 用 机 率 尺 度 。 将 一 个 分 配 划 在 机 率 狂 上 ， 和 然 合 和 图 5.6 比较 就 可 以 看 出 过 一 个 分 配 的 大 略 情形 。 PER HERES 119 0.01 0 ZS BEA 党 能 两 个 常态 分 配 之 等 右 Mi 7B fl & 尖 峙 网 3.6 TRA MB GS ia es ERA RE RA ATK ROA RBS RE (3 ABOX 5-1), 120 ”生物 统计 学 导论 BOX 5-1 ARR BARR REE, URGE ORAS, R FAS tis RAB EK, (Graphic test for normality of a frequency _ distribution and estimate of mean and standard deviation, Use of arithmetic probability paper ) PAR MARE ( al), RRKA BOX 3-2 +) galas (2) (3) (4) (5) a #8 _§ BR 累积 次 数 累积 次 数 的 Bas Y ri F 59.5 63.5 2 2 0. 02 67.5 71.5 3 6 8. 0.08 75.5 79.5 39 47 0.50 83.5 87.5 385 432 4.6 91.5 95.5 888 1320 13.9 99.5 103.5 1729 3049 32.2 107.5 ‘111.5 2240 5289 55.9 115.5 119.5 2007 7296 77.1 123.5 127.5 1233 8529 90.1 131.5 135.5 641 9170 96.9 139.5 143.5 201 9371 99.0 147.5 151.5 74 9445 99.79 155.5 159.5 | 14 9459 ”99.94 163.5 167.5 5 9464 99.99 171.5 175.5 | 9465 100. 0 9465 RAD PR: 1. RH-BAR—AM. S— MA S= BH RHKRDEK 2. 计算 像 第 四 栏 所 示 的 累积 次 数 分 配 ， 其 计算 方法 就 是 将 各 个 次 数值 逐步 MRK PHRMA 累积 次 数 用 百分比 来 表示 ， 也 就 是 将 第 “相合 全 全 的 7 CFE it AR 9465 ) 而 得 第 五 章 ” 常 访 机 率 分 配 121 3. 将 每 一 值 的 上 限 划 在 横 座 标 上 ( 探 用 线性 尺度 ) ， 几 座 标 划 累积 次 数 百 分 比 〈 探 用 机 达 尺 度 ) ， 也 就 是 探 用 普通 的 常态 机 牵 猛 (参见 图 5.7 )。 在 所 得 的 点 上 划一 条 直线 ， 划 时 最 好 用 一 透明 的 塑 爵 尺 ， 过 样 划 直 和 线 时 才能 看 到 各 点 的 位 置 。 划 直 精 时 要 特别 注重 累积 次 数 在 25% 到 75 % 之 关 的 点 ， 因 需 假 使 重视 南端 的 点 ， 只 要 有 一 点 改 轰 ， 整 个 直线 就 杰 成 和 本 来 的 不 同 。 在 图 5.7 上 我 们 可 以 看 出 上 端的 次 数 之 点 是 在 直线 的 右 址 ， 分 配 呈 右 偏 上 时常 有 过 种 情形 ( 参见 图 5.6D ) 。 4. 过 种 图 也 可 以 纹 我 们 很 快 地 估计 样本 的 平均 数 和 标准 差 。 平 均 数 是 由 图 工 的 中 位 数 来 粗略 估计 ， 分 配合 接近 常态 ， 其 平均 数 合 接近 中 位 数 。 中 fr 60 fH tA lh MEE | 50 % 和 累积 直 和 线 的 交叉 点 向 下 垂直 划一 人 条 ne ( 参见 图 5.7 ) 。 吉 样 估计 所 得 到 的 平均 数 是 110.7 a, RE 近 计 算 所 得 到 的 平均 数 (109.988). 5. 标准 差 的 估计 是 将 15.9 % 以 及 84.1% 和 累积 直线 交叉 的 点 向 下 垂直 划 精 直 到 与 横 座 标 交叉 ， 在 横 座 标 上 交叉 的 两 点 之 距 砍 接近 常态 分 配 的 / 士 r ， 过 两 点 的 距离 除 以 2 就 可 得 到 标准 差 的 粗略 估计 。 在 本 例 中 过 个 估计 是 s 王 13.6( 朗 27.2 盎司 除 以 2 ) ， 过 个 估计 很 接近 计算 而 得 的 标 = (13.59 Bal). 122 iat BS i ah 5 8 C RABE ) Be SSsSSs8 SS ~ a © 63.5 79.5 95.5 111.5 127.5 143.5 159.5-175.5 th BSBA HARE C Hal ) 5-7 BOX5.l 的 数据 之 图 解 分 析 。 5.1 “用 和 练习 2.4 的 数据 来 作 下 列 的 演算 : 作 一 个 次 数 分 配 ， 兹 将 此 分 配 划 成 一 个 直方 图 。 HAH = 了 和 =s 的 常态 分 配 之 每 一 组 的 期 望 次 数 。 将 期 望 次 数 划 成 一 个 直方 圆 ， 冰 和 观 测 次 数 所 划 成 的 直方 图 相 上 比较。 评述 观测 次 数 和 期 望 欢 数 相符 的 程度 。 5°2 593 5.4 5"6 第 五 章 ”常态 机 素 分 配 123 根据 生 妇 2.6 之 变换 后 的 数据 进行 练习 5.1 各 项 演算 。 假设 我 们 晓得 不 种 植物 的 一 个 全 体 之 花瓣 长 度 是 呈 常 态 分 配 ， 而 且 知 此 全 体 之 平均 数 是 /= 3.2 公分 ， 全 体 之 标准 差 是 5@ 一 1.8 ， 则 如 个 全 体 中 具有 下 列 各 种 花瓣 长 度 的 比 例 预期 是 多 少 ? (a] 大 於 4.5 公分 ，() 大 於 1.78 公分 ， (OAR 2.9 公分 和 3.6 公分 之 问 。 答案 : ) = 0.2353 ， b)= 0.7845， GC)= 0.154。 fe FARRAR ME ( probability paper ) 来 作 练 习 3.3 之 牛 油 数 据 之 图 解 分 析 。 另外 ， 横 座 标 探 用 对 数 的 单位 ， 炎 座 标 不 杰 ， 作 图 解 分 析 ， 比 较 两 种 分 析 的 fe , BRAN BREWER BE Se, MABBHERH,-28.6, o4= - 4.8, He=16.2, O2=4.1, 假使 我 们 从 族群 中 随机 取样 两 个 个 体 ， 则 抽 到 两 个 个 体 之 两 个 性 状 都 是 小 於 20 的 样本 之 机 牵 是 多 少 ?9 抽 到 至 少 有 一 个 个 体 的 性 状 互 大 於 30 的 样本 HOH ARES “>? 根据 BOX 3.2 的 资料 ， 得 到 一 个 负 的 出 生体 重 的 个 体 之 机 素 是 多 少 ? 假使 我 们 假设 出 生体 重 是 成 常态 分 配 ， 则 抽 到 一 个 负 的 出 生体 重 的 个 体 之 机 达 是 多 少 ?9 os 估计 和 假设 检定 在 本 章 中 我 们 讨论 每 但 生 物 学 家 在 他 的 研究 过 程 当 中 常 重 复 问 到 的 两 个 统计 学 上 的 基本 问题 : 第 一 ， 我 所 得 到 的 结果 有 多 可 靠 ? 第 二 _， 所 得 到 的 观测 结果 和 根据 一 个 假设 所 期 望 的 值 之 关 的 差 民 有 多 大 的 Ay BEER SS (chance ) 所 造成 的 ? 第 一 个 问题 ， 关 於 可 靠 性 可 以 烃 由 样本 统计 值 的 信和 起 界限 的 计算 而 得 到 答案 。 第 二 个 问题 是 关 礁 假 设 的 检定 。 两 个 问题 都 是 有 关 芒 计 推 葵 的 问题 ， 本 章 所 计 论 的 问题 必 AEMUEAVIRE, FRAT S SOM, 在 6.1 Mich, RS ENR DMB HWE, 6-2 MRM 论 平 均 数 之 外 其 他 统计 量 的 分 配 及 释 方 。 RANBIR, BH 机 差 是 对 於 一 个 估计 值 的 可 靠 性 之 一 种 估计 ， 而 信 顿 界限 则 是 表示 全 肌 之 母 数 在 我 们 所 得 到 的 估计 值 之 两 端的 可 能 欠 限 。 信 屯 界 限 在 6.3 126 ”生物 统计 学 亲 论 节 中 加 以 言 葵 ， 辫 以 事先 已 释 知 道真 正 的 标准 差 之 例子 ， 来 娃 葵 它 在 样本 上 的 应 用 ， 但 是 在 实际 的 情形 ， 我 们 常 遇 到 多 少 成 常态 分 配 的 小 样本 ， 而 且 事先 我 们 冰 不 知道 其 里 正 的 标准 差 ， 在 过 逢 情况 下 我 们 必 须 应 用 上 分配 ( t-distribution), Ascaerite 6-4 ins t OBE, 6-5 MINA ¢ 分 配 来 计算 全 体 之 标准 差 坑 未 知 数 的 小 样本 之 和 统计 EWSBAR, 6.6 节庆 葵 另 一 逢 重要 的 分 配 ， 就 是 卡 方 分 配 (C 访 - square distribution), 6°7 节 是 应 用 卡 方 分 配 来 定 释 方 之 信 丐 界 限 。 6.8 MHERRRE HERZ. 6. 9 节 是 应 用 常态 分 配 或 二 分 MAES GRBRE, EE, 16-108, RARARDORM AER 方 的 假设 检定 。 6.1 和 平均 数 的 分 配 及 其 变 方 ( Distribution and variance of means ) RHA AHRRRKNRE DROS, UREBRHBA. 实验 6.1: 在 实验 5.1， 我 们 要 你 保存 包括 5 HRM BREY 7 个 样本 之 各 个 平均 数 ， 以 及 7 个 牛奶 产量 的 样本 的 各 个 平均 数 。 我 们 可 以 将 一 个 班级 中 每 一 个 学 生 所 得 到 的 平均 数 集合 起 来 ， 而 且 也 可 以 把 以 前 的 各 个 班级 之 抽样 千 果 也 都 集合 在 一 起 ， 然后 做 过 些 平均 数 的 一 个 欢 数 分 配 。 对 於 每 一 个 释 数 而 言 ， 我 们 也 可 以 求 得 每 七 个 平均 数 的 平均 数 ， 也 就 是 含有 3 5 个 项 目的 样本 之 平均 数 ,， 然 合 再 作 过 些 平均 数 的 欢 数 分 配 。 通 常 须要 相当 多 的 人 去 抽样 ， 才 能 得 到 足 锡 的 包括 35 个 项 目的 样本 数目 来 作 一 个 有 意义 的 欢 数 分 配 。 在 表 6.1 我 们 列 出 1400 个 包含 5 个 车 电 起 膀 长 度 的 样本 之 平均 数 的 欢 数 分 配 。 先 看 表 中 的 第 一 栏 和 第 三 栏 ， 实 际 上 过 些 样本 站 不 是 由 修 生 物 统 计 学 的 学 生 所 得 到 的 车 果 ， 而 是 应 用 电脑 ， 使 我 们 在 一 个 第 六 章 “” 人知 计 和 假设 检定 “127 表 6.1 14000HSAS MRR ME REZ 随机 样本 的 平均 数 之 次 数 分 配 ( 数据 来 自 H5-1). WGME SRB 0 MMMM, DUES A (1) (2) (3) 和 组 标 和 组 标 7 (单位 是 10-1mm ) 《单位 是 cy ) 矿 1 39.832 ~34 1 3 40.704 一 2 于 11 41.576 -24 、 19 3 42.448 14 64 43.320 -14 128 3 44.192 -3 247 1 45.064 -+ 226 = 45.5 45.936 + 259 3 46.808 231 47.680 i> 121 3 48.552 i= 661 49.424 2+ 23 3 50.296 24 6 51.168 3 工 3 4 1400 一 一 Y= 45.480 $s =1.778 o-=1.744 128 ( R77 BESS) SED OO a ( REPU RESESS ) Seep AES oS B88S838 8 B 生物 统计 学 导论 一 3 -2-1 0 1 BPaas, ~S 以 or BME RB & 一 = ~ 3 -2-1 0 1 . 2 3 4 以 zz 3 WL Ay BB A BE 6-1 表 6.1 的 数据 之 图 解 分 析 。 国 6.2 200 (414 35 (ei Bee BE) AZ 7B OR 09 解 分 析 。 〈 FR BAEAHSS ) SES OO sae ye (aA SS) SE SD OY ae oS 88888I88R Bs _ 5.8 S7° 68 1) 3-3 以 of 需 单 位 之 牛奶 产 重 一 3 —-2-1 0 I 2 3 Do, 需 单 位 之 牛奶 产量 ，， 攻 ANE. ， 估计 和 假设 检定 129 国 6.3 1400 个 包含 5 个 牛奶 产量 之 随机 样本 的 平均 数 之 图 解 分 析 。 060.4 200 SA 35 个 牛奶 产量 的 随机 样本 之 平均 数 的 图 解 分 析 。 130 ”生物 统计 学 半 论 很 短 的 时 间 内 抽样 得 到 过 些 数据 。 尖 些 平 均 数 的 平均 数 及 其 标准 差 列 RATA. H6-1 是 把 各 个 平均 数 的 分 配 情形 划 在 一 张 机 达 狂 上， 由 6.1 图 我 们 可 以 看 出 过 些 平均 数 的 分 配 非常 接近 常态 。 图 6.2 表示 200 个 包含 35 个 翅膀 长 度 的 样本 之 各 个 平均 数 的 分 配 情形 ， 其 分 配 也 很 接近 常态 。 此 例 襄 明了 一 个 重要 的 定理 ， 和 从 一 个 常态 分 配 的 全 体 抽样 而 得 到 的 各 个 样本 之 平均 数 也 成 常态 分 配 ， 不 论 样 本 大 小 是 多 少 。 例 如 ， 成 一 常态 分 配 的 车 曙 想 膀 长 度 的 全 体 抽样 所 得 到 的 各 个 样 本 之 平均 数 也 成 常态 分 配 ， 不 论 每 一 个 样本 是 包括 5 个 或 35 个 苦 数 。 图 6.3 和 6.4 是 用 和 上 述 相同 的 抽样 方法 ， 但 是 抽样 的 对 象 是 牛 奶 产 量 的 全 体 。 以 前 曾 提 过 ， 和 牛奶 产 量 的 数据 是 成 埠 用 的 分 配 ， 靖 不 成 常态 分 配 ， 但 是 从 过 两 个 图 上 可 以 看 出 其 平均 数 的 分 配 倩 形 也 都 接 近 常 态 分 配 。 但 是 ， 包 含 5 个 牛奶 产量 之 样本 的 平均 数 ( 图 6.3 ) 比 包含 35 个 项 目的 平均 数 ( 图 6.4) 较 不 成 常态 。 过 襄 明 统计 学 上 另 一 个 重要 的 基本 定理 ， 就 是 只 要 样本 大 小 增加 ， 和 无 葵 从 一 个 如 何 分 配 的 全 体 去 抽样 ， 所 得 到 的 样本 之 各 平均 数 ， 都 会 接近 常态 分 配 。 如 果 我 们 从 一 个 固定 构 方 之 全 体 去 抽样 ， 则 过 个 定理 称 需 中央 极 限定 理 ( central limit theorem ) 。 过 个 定理 的 重要 性 是 ， 它 可 以 使 我 代 应 用 常态 分 配 来 作 全 体 之 平均 数 的 各 逢 统计 推 花 ， 不 葵 过 些 全 体 之 各 个 项 目 本 身 是 否 成 常态 分 配 。 过 个 抽样 实验 属 明 另 一 个 重要 的 事实 ， 就 是 平均 数 的 释 域 比 原始 数据 的 释 域 要 小 。 例 如 ， 包 含 5 个 翅膀 长 度 的 样本 之 平均 数 的 爸 域 是 从 39.4 到 51.6， 包 含 35 个 数据 的 样本 之 平均 数 的 释 域 是 从 43.9 到 47.4， 但 个 别 的 翅膀 长 度 的 释 域 是 从 36 到 55。 同样 的 ， 在 牛奶 产量 的 例子 ， 包 含 5 个 数据 的 样本 之 平均 数 是 从 54.2 到 89.0， 包 合 35 个 数据 的 样本 之 平均 数 是 从 61.9 到 71.3， 但 是 个 别 的 牛奶 产量 第 六 章 ” 估计 和 假设 检定 131 是 从 51 到 98 。 过 不 仅 显 示 平 均 数 的 分 配 比 本 来 项 目的 分 配 要 集中 ， 而 且 显示 柑 本 大 小 愈 大 ， 其 平均 数 的 分 配 愈 集中 。 其 释 情 的 差 刁 也 可 以 从 过 些 分 配 的 标准 差 看 出 来 。 假 使 我 们 计算 上 述 四 逢 分 配 的 标准 差 ， 我 们 得 到 下 列 的 值 : BHR FRY RA 标准 差 n=5 n= 35 翅膀 长 度 1.778 0.584 和 牛奶 产量 5.040 1.799 从 过 些 数 值 我 们 可 以 看 出 ， 包 含 35 个 项 目的 样本 之 平均 数 的 标准 差 ， 比 包含 5 个 项 目的 样本 之 平均 数 的 标准 差 小 很 多 。 其 理由 可 以 用 直 费 想 出 ， 大 的 样本 之 平均 数 应 芯 比 过 接近 从 母 数 平均 数 ， 因 此 大 的 样 本 的 平均 数 比 小 的 样本 的 平均 数 之 释 兴 程度 要 小 。 因 此 平均 数 的 爸 方 是 样本 大 小 的 一 个 画 数 ， 它 也 是 项 目的 构 方 的 一 个 画 数 。 例 如 在 上 面 过 个 玫 ， 题 示 样 本 大 小 一 样 时 ， 和 牛奶 产量 的 平均 数 之 标准 差 大 於 翅膀 长 度 的 平均 数 之 标准 差 ， 过 是 因 垮 各 个 牛奶 产量 数据 的 标准 差 ( 11.1597 ) 要 比 各 个 想 膀 长 度 的 数据 的 标准 差 ( 3.90) 大 很 多 的 称 故 。 碗 计 学 家 已 烃 做 出 求 样本 平均 数 的 汉 方 之 期 整 值 的 方法 ， 此 期 束 值 的 意思 是 指 ， 假 使 无 限 地 重复 取样 ， 所 应 得 到 的 平均 值 。 例 如 ， 假 使 我 们 重复 取 % 个 项 目的 样本 a 欢 ， 而 得 到 e 个 平均 数 ， 冰 每 欢 计算 HSER, Mieke HH SRAMS Ee, Tan AAA RAN TIM 2B HH SE: Se (6-1) ] 32 £VKR at BS ie At, PRS Ree ze: (6-2) SHARE, Pigh BEX LAAN RES RAKE. BAK) RA. FORO OE), HAL, SAKE MEI HA, PORWRELMNEPESEKS, BAW. HIERAWE AMSHE HELD REA AG AWEDRHBRE SE, 当 我 们 从 一 个 未 知 母 数 标准 差 o 的 全 体 去 抽样 时 。 我 们 只 能 得 到 样本 估计 值 * 。 而 且 ， 我 们 通常 不 会 去 取 很 多 个 样本 大 小 需 的 样本 来 直接 计算 平均 数 的 标准 差 。 因 此 ， 通 常 我 们 把 6.2 式 中 的 公式 用 s 代替 ， 由 6.3 式 之 公式 ， 从 一 个 样本 来 估计 平均 数 的 标准 差 : 、 S a 7 iy C 6-3) 如 此 ， 我 们 用 一 个 样本 的 标准 差 来 估计 平均 数 的 标准 差 。 过 逢 平均 数 标准 差 的 估计 在 统计 学 上 是 非常 重要 的 ， 而 且 轻 常 合用 到 。 EG + 2 列 出 从 我 们 寻 葵 过 的 两 个 全 体 去 随机 抽样 折 得 到 的 平均 数 标准 差 的 估计 。 包 含 5 个 想 匠 长度 的 5 个 样本 之 平均 数 是 从 43.6 到 46. 8 ， 其 标准 差 是 从 1.095 到 4.827 ， 而 其 平均 数 的 和 标准 差 之 估 计 则 是 从 0.490 到 2.159。 同 样 地 ， 在 玫 6-2 HF Hh RABAT EY 赞 域 都 涵 凌 此 等 统计 值 的 母 数 。 和 牛奶 产量 的 平均 数 标 准 差 的 估计 值 都 是 在 期 整 值 的 周围 ， 因 依 平 均 数 标 准 差 的 估计 与 爸 值 是 否 成 常态 分 本 无 天。 由 蕉 机遇 其 中 有 一 个 样本 的 样本 标准 差距 风 全 体 标准 差 很 速 牛奶 产量 的 第 二 个 样本 ) ， 用 此 样本 标准 差 来 估计 平均 数 的 标准 差 当 然 也 是 得 到 相当 不 正 雄 的 估计 。 项 目的 标准 差 和 样本 平均 数 的 标 于 差 之 间 有 一 此 是 然 的 不 同 。 候 第 六 章 “” 估计 和 假设 检定 133 使 我 们 用 一 个 样本 的 标准 差 来 估计 一 个 全 体 的 标准 差 ， 则 估计 值 的 大 小 兹 不 随 著 样 本 大 小 的 增加 而 改 千 ， 我 们 只 可 以 预期 过 个 估计 值 将 更 SSS MOR ERE, RIE OM 3 个 、 30 个 、 或 3000 个 个 苯 的 BA, HEM A)MRGMSRAA) OKT KB, SHH WUGH6- 2B, n=35 的 样本 所 得 到 的 值 比 由 2 = 5 WR 本 所 得 到 的 值 较 接近 v ， 但 是 其 估计 佳 的 大 小 都 相差 不 夭 。 可 是 ， 平 均 数 的 标准 差 是 随 著 样本 大 小 的 增加 而 丢 小 ， 从 6.3 式 可 以 看 出 过 逢 Bit At, && 3000 个 项 目的 样本 之 平均 数 标准 差 只 有 包含 30 个 项 目的 样本 之 平均 数 标准 差 的 十 分 之 一 ，. 从 下 式 可 以 看 出 过 秆 天 傈 : Ss Ss nT Ss 3000 V30XV7100 V30X10 ARR AUK BE HR ( 参见 才 6.2 ) ， 我 们 对 平均 数 标准 差 的 估计 也 有 相当 的 构 殿 。 一 个 v 的 不 正确 估计 将 导致 一 个 ny 的 不 正确 估计 6.2 其 他 统计 量 的 分 配 释 方 (Distribution and variance of other statistics ) 正如 我 们 可 以 从 每 一 个 翅膀 长 度 或 牛乳 产量 的 榜 本 得 到 一 个 平均 数 和 一 个 标准 差 ， 我 们 也 同时 可 以 从 一 个 样本 得 到 其 他 的 统计 量 ， 例 5, HUNAN CES, KERAOHRMHS, RoW ARBAGHEHAWOM, VHA, RSE, SE 统计 量 和 平均 数 一 样 ， 也 成 常态 分 配 。 但 是 在 其 他 情况 ， 只 有 当 过 些 统计 量 是 来 自 於 一 个 常态 分 配 的 全 体 ， 或 是 只 有 党 它 个 是 来 自 於 大 的 样本 ， 或 是 只 有 当 上 壕 的 两 个 条 件 同 时 成 立时 ， 过 些 统 计量 才 便 成 党 驴 分 配 。 其 他 的 例子 ， 就 像 释 方 ， 旭 不 会 成 常态 分 配 。 图 6.5 #7. ] 34 AY tat BS oma R6-2 62541135 个 项 目 之 车 晶 翅 膀 长 度 和 经 西 牛 奶 产量 的 5 个 随机 样本 之 平均 数 、 标 准 差 、 以 及 平均 数 标准 差 ( 即 标 准 机 差 ， standard errors ) 。 统计 量 的 母 数列 於 每 一 类 的 第 六 行 。 ( 数据 来 自 表 5.1 ) (1) (2) (3) y ; me wm 膀 长 度 45.8 1.095 0.490 45.6 3.209 1.435 44.8 4,764 2.131 46.8 1.095 . 0.490 p= 4.5 o = 3.90 a= 1.744 45.37 3.812 0.644 45.00 3.850 0.651 n = 35 45.74 3.576 0.604 45.29 4.198 0.710 45.91 3 0.669 pe = 45.5 o = 3.90 | a; = 0.659 牛奶 产量 66.0 6. 205 2.7% 61.6 4,278 1.913 n=5 67.6 16.072 7.188 65.0 14.195 6.348 62.2 §.215 2.332 pe = 66.61 o = 11.160 oz 三 4,991 65.429 11.003 1.860 64.971 11.221 . 1.897 66.543 9.978 1.687 n= 35 64.400 9.001 2 68.914 12.415 2.099 pe 三 66.61 = 11.160 Ct 1. 886 第 六 章 “” 估计 和 假设 检定 135 1400 个 车 曙 翅 膀 长 度 的 样本 之 爸 方 的 欢 数 分 配 ， 我 们 发 现 其 分 配 办 右 方 偏 科 ， 爸 方 的 分 配 大 部 分 成 过 年 形状 。 < 0 2 4 6 8 人 (n — 1)8?/o? 6-5 表 5.1 之 1400 个 含有 5 HARMRREHRACEA HEAL > BREE A s? M1 Cn—1) s?/o.” WEE ft. 42 Est SB EEE EB RES ( standard errors )， 初学 者 有 时 会 不 容易 分 清 标准 差 和 标准 机 差 ， AME (AME 数 或 CV.) 的 标准 机 差 是 过 个 统计 量 的 分 配 之 标准 差 ， 而 且 此 统计 量 是 从 一 个 固定 的 样本 大 小 的 样本 所 得 到 的 ， 因 此 除了 以 下 的 例子 外 ， 标准 机 差 和 标准 差 是 可 以 互相 混用 。 首 先 ， 一 个 样本 或 全 体 的 项 目的 MEX EAC BEERS Hk, DAR WKH BER 差 或 标准 差 ， 例 如 C V HMEXHTUBRCVMEERE, MER 称 标准 机 差 ， 而 不 指明 那 一 逢 统计 量 的 标准 机 差 ， 则 通常 是 指 平均 数 136 +H tat Se iz 的 标准 机 差 ， 只 称 标准 差 ， 而 不 指明 那 一 逢 统计 量 的 标准 差 ， 则 通常 是 指 一 个 样本 或 全 体 的 项 目的 标准 差 。 因 此 ， 假 使 我 们 在 一 个 麦 上 看 Z|\FGR, REE, RERE, MBARH, 其 意思 是 算术 平均 数 ， KAWRA CRE, FHORMRES ( 三 平均 数 的 标准 机 差 ) ， 和 帮 与 傈 数 。 二 两 个 名 鹿 的 用 法 摘要 如 下 : 标准 差 = s = V 2y?/ (2 一 1) 一 个 统计 量 St 的 标准 差 三 过 个 统计 量 St 的 标准 机 差 王 sy 标准 机 差 = 平 均 数 的 檬 准 机 差 一 平均 数 的 标准 差 三 sz 标准 机 差 通常 不 是 用 重复 的 抽样 所 得 到 的 欢 数 分 配 而 求 得 ， 而 是 从 一 个 样本 估计 而 得 到 的 ， 因 此 它 是 麦 示 假 使 取 到 很 多 样本 时 此 和 统计 量 之 期 世 标 准 差 。 攻 者 可 能 还 记 得 ， 我 们 是 从 单一 样本 来 估计 平均 数 的 分 配 之 标准 差 。 BOX 6-1 列 出 四 逢 常用 的 统计 量 之 标准 机 差 ， 第 一 栏 列 出 统计 量 的 名 字 ; 第 二 栏 是 此 和 统计 量 之 标准 机 差 的 估计 公式 ; 第 三 栏 是 此 标 淮 机 差 的 自由 度 ( 参见 6.5 Mi); 第 四 栏 说 明 此 标准 机 差 的 应 用 和 范围 。 过 些 标准 机 差 的 实际 应 用 将 在 以 后 末节 中 加 以 属 明 。 BOX 6.1 常用 之 租 计 量 的 醒 准 机 差 ( Standard errors for common statistics do 第 入 章 ”估计 和 假设 检定 ”137 (2) 标准 机 差 之 估计 S 这 Sy 7 ¥ s-=— = FV 2 BARRA ERS y fn n n - 方 之 全 体 。 中 位 数 Smea= (1.2533) Sz 从 常态 分 配 之 全 体 所 得 到 的 大 的 样本 。 S Ss, = ( 0.7071068 ) iz 从 常态 分 配 之 全 体 所 得 到 的 样本 (《 妈 > 15) 从 常态 分 配 之 全 体 所 得 到 的 样本 当 CY<15 时 6.3 和信 顿 界 限 的 绪论 ( Introduction to confidence limits ) KM ARGOS GRARHE ( 例如 ， 平 均 数 或 标准 差 ) ， 都 是 全 体 母 数 ( 例如 / Ro ) 的 估计 值 。 到 现在 坑 止 ， 我 们 还 没有 吞 花 过 些 估计 值 的 可 靠 性 。 首 先 在 3. 7 节 我 们 诗 葵 过 一 个 样本 统计 值 是 否 是 其 全 体 母 数 的 不 仿 估 计 值 unbiased estimators )， 但 是 知道 一 个 统计 量 是 一 个 母 数 的 不 偏 估计 值 ( RY ep 的 不 偏 估计 值 ) 还 是 不 约 ， 我 们 汪 要 了 晓得 一 个 样本 统计 量 的 可 靠 性 。 通 常 母 数 的 和 真 正 值 是 不 得 而 知 的 ， 所 以 我 们 通常 要 定 一 个 样本 统计 量 的 信息 界限 来 估计 其 可 rae : | ] 38 ”生物 统计 学 导论 攻 我 们 用 一 个 母 数 平 均 数 和 母 数 标准 差 各 念 w 和 vc 的 一 个 全 体 来 寻 葵 过 个 问题 。 一 个 含有 % 个 项 目的 样本 的 平均 数 用 了 来 表示 ， 平 均 数 的 期 歼 标 准 机 差 是 c/W2 ， 而 且 样 本 平均 数 是 成 常态 分 配 。 根 据 5.3 节 我 们 知道 ， 从 Aw ZEA 1.96 o//n Bu 之 上 方 1.96 c/V 过 个 区 域 包括 95 ZRAK) Rn 的 样本 平均 数 。 另 一 箱 方 法 就 是 考 MCY—p)/Co//n) 的 比例 ， 过 是 一 个 样本 平均 数 和 母 数 平均 数 的 标准 离 差 ， 由 於 此 标准 克 差 是 成 常态 分 配 ，95 %% 的 标准 散 差 应 介 WK 1.96 和 十 1.96 Ze RAD AT RAMEE: PAS < 一 i= h96;< a <+ 1.96 } =0.95 过 式 子 的 意思 是 样本 平均 数 了 离开 母 数 平均 数 / 不 超过 1.96 个 标准 RE o//n 单位 的 机 这 尸 等 从 0.95 。 在 上 式 的 大 括 纸 庄 的 式 子 是 一 个 不 等 式 ， 括 绝 中 的 各 项 可 以 统统 乘 以 vc/V72 ， 就 得 到 : {—1.96 <(Y- orn: Ta Jn 上 式 也 可 塌 成 : 和 96 =< (4 -¥)<+1. 96 -万 ) A®m—asb ， 可 以 使 构 方 等 从 1 ， 但 因 需 每 一 项 -都 除 以 相等 的 数量 ， 所 以 整个 分 配 都 是 成 比例 的 降低 ， 因 此 不 会 改 绝 分 配 的 形状 ， 所 以 仍然 保持 常态 分 配 。 第 六 章 ， 估计 和 假设 检定 143 反 过 来 说 ， 假 使 我 们 先 计算 每 个 样本 的 爸 方 *” ， 然 后 将 每 一 个 RAF WY, MER URAR ERE (CY: 一 4 )/sF ， 其 中 Sp 代表 第 ; 个 样本 之 平均 数 之 估计 标准 机 差 ) ， 则 我 们 将 发 现 所 得 到 的 斌 差 之 分 配 比 常态 分 配 要 寅 且 平 ， 过 可 以 从 图 6.6 看 出 来 ， 此 图 是 麦 示 6-1 KZ 1400 个 包含 5 PHMMPREWRAZ CY: —- ) EE Sp OH Sait —7-6—-5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 ts 6-6 从 1400 个 包含 5 个 车 蝇 怒 膀 长 度 的 样本 所 计算 出 来 的 ts 一 ( 工 一 4 )/ sr 之 值 当 作 横 座 标 所 划 出 AH Le BRB A, BHA 座 标 代表 直方 图 的 次 数 ， 左 BME 标 是 探 用 机 BREE HR BIR 0 144 ”生物 统计 学 导论 /sF 的 比例 。 我 们 发 现 此 分 配 是 比 常态 分 配 寅 ， 其 原因 是 因 需 此 时 的 分 母 是 样本 标准 机 差 而 不 是 母 数 标准 机 差 ， 有 时 上 比 期 世 机 差 较 小 ， 有 时 则 较 大 ， 此 增加 的 构 刁 会 连带 增加 (了 一 w )/s> WBA. 比率 的 期 世 分 配 称 翅 上 分 配 ， 也 叫做 司徒 顿 分 配 ， 过 个 名 字 是 需 了 各 aW.S. Gossett 而 命名 的 ， 他 是 第 一 个 提出 过 逢 分 配 的 人 ， 而 且 用 一 个 假名 Student KB, t 分 配 是 具有 一 个 很 复杂 的 数学 公式 的 一 逢 画 数 ， 因 此 不 在 过 壬 群 加 吞 葵 。 (PRA ROR 一 样 都 是 对 称 的 分 配 ， 而 且 也 都 是 从 负 的 无 井 大 延伸 到 正 的 无 需 大 ， 但 是 它 和 常态 分 配 有 一 点 重要 的 不 同 ， 是 上 分 配 的 形状 随 著 自由 度 的 大 小 而 改 娩 。 自 由 度 是 刀 一 1。 刀 是 样本 大 小 RZ TERSE. BT SABA WEEE RADA n 一 1 来 除 耕 方 和 。 司 徒 顿 分 配 的 自由 度 是 和 ( 工 一 w ) /s> 的 标准 差 的 自由 度 相 同 。 自 由 度 ( 简写 成 LUF ， 或 有 时 也 有 人 简写 需 ，) 可 以 从 1 到 和 无需 大 。dyr = 1 时 之 上 分 配 和 常态 分 配 相差 很 大 ， 但 是 党 自 由 度 增加 时 ， 上 分 配 也 同时 逐 渐 接 近 标 准 常态 分 配 Cn =0, o=1 ) ZH, B dy = 30 时 ， 用 一 张 像 过 一 页 大 小 的 图 形 来 麦 示 的 上 分 LAI ORR PED ANB, UH dj 一 co 时 ， + SMBS REE 分 配 。 因 此 我 们 可 以 把 上 ORS FESO, MSRM SE fe 是 上 分配 之 dr = co 时 之 一 逢 特殊 的 情形 。 图 6.7 REE 1 和 2 之 上 分 配 和 一 个 常 驴 次 数 分 配 的 比较 。 常态 曲 糠 的 面积 因 需 可 将 所 有 的 数值 先 化 垮 标准 差 的 单位 ， 因 而 只 需要 一 个 表 ， 但 是 因 需 自由 度 不 同 的 t 分 配 其 形状 也 随 著 不 同 ， 因 此 每 一 个 dy EHNA ER, 上 麦 所 表示 的 意思 和 常态 曲 入 面 积 玫 的 意义 相 类 似 。 因 需 每 一 个 自由 度 有 其 不 同 的 上 玫 ， 所 以 传统 的 + 麦 可 以 有 不 同 的 排列 方法 。 表 下 以 自由 度 和 机 牵 当 作 自 构 数 ， 而 相 第 六 章 “估计 和 假设 检定 ”145 图 6.7 ”以 自由 度 需 1 和 2 之 上 分 配 之 次 数 曲 线 来 和 常态 分 配 曲 乡 相 比 较 。 对 的 上 值 当 作画 数 ， 所 表示 的 机 率 是 在 曲 粮 上 的 两 尾 ( 在 平均 数 的 右 站 和 左 沽 超过 某 一 个 上 值 ) 的 面积 的 百分比 。 例 如 在 玫 下 中 如 果 Af =5> REP=0.05 我 们 就 可 以 找到 一 个 上 Hy BSR C critical value ), thie t=2.571, AKt KE—BMH BWR, 机 这 0.05 的 意思 是 每 一 个 尾巴 等 於 或 大 於 上 值 ( 士 2.571 ) WHR 0.025 。 芒 者 可 能 温和 得 ， 党 自由 度 是 无 坑 大 时 (HR RAM) KGB 1.960。 表 下 只 列 出 常用 的 机 率 ， 苦 者 应 坪 熟 悉 如 何 来 用 上 玫 ， 因 乱 1 玫 是 最 重要 的 玫 之 一 。 通 常常 用 te 过 个 符号 来 表示 自由 度 需 ， ,两 尾 所 估 的 比率 需 w ( 每 一 尾 是 w/2 ) 时 之 上 值 ， 此 值 等 从 累积 机 率 需 1 一 (a/2) Zt 值 ， 芒 者 可 以 管 试 找 出 若干 上 值 以 便 熟 悉 X 的 用 法 , 例如 ， 查 出 ! .os[]，t.ol[3] ，1.ozrio0 ， 和 2.05 [00] 之 值 各 fe 2.365, 5.841, 2.764 M 1.960, 现在 我 们 要 利用 上 分 配 来 定 小 样本 的 平均 数 的 信 很 界限 。 146 生物 统计 学 导论 6.5 样本 统计 量 的 信 顿 界限 ( Confidence limits based on sample statistics ) AT ARMM ERM TER BEM REE RA AM WERARO RT BAWRAZ ESR OSBRR, LARMHBH 法 是 : 二 ;= 工 一 大 -sr， 工 :一 并 二 ta-0sr (Ht RBH P= 1 一 wa 之 信 想 界限 ) 。 例 如 ， 假 使 我 们 要 定 95 %% 信息 界限 ， 则 我 们 探 用 1 .os [9-1] 之 值 。 我 个 可 以 把 6.4 ca 过 个 式 子 写成 : P {L, Sp (¥;—p)? | (6-6) CI CI 假使 我 个 把 上 式 的 母 数 平均 数 双 用 样 本 平均 数 来 代替 ， 则 Estee: mS (YAY (6-7) an 4 ERERMHEAARD BER. LER, Lt 152 ”生物 统计 学 导论 ”用 另外 一 种 利用 的 方式 来 表示 ， 就 是 SLA (6:8) CI 此 式 是 将 6"7 式 的 分 子 用 # 一 ! 乘 样本 绎 方 来 代 蔡 ，# 一 1 FBR BERESREDAM, 假使 我 们 从 一 ekeonnen wes nn XGMe 6-8RHASORAWER OR —-OAHEB n-1HRGAR. BK PPE ANREP RARE Tin NE 均 数 ， 所 以 我 们 失掉 一 个 自由 度 。 图 6. 5 ORHOREMBELAR 一 个 尺度 ， 过 个 尺度 是 第 一 相 尺 度 乘 以 一 个 常数 ( (n-1)/o? ), HRECRABH s: 构 换 成 需 6.8 式 的 单位 ， 由 於 过 个 尺度 和 s: 成 比例 ， 样 本 释 方 的 分 配 可 以 用 来 作 震 样本 分 配 接近 卡 方 分 配 的 一 个 例 子 。 过 个 分 配 非常 向 右 偏 科 ， 就 像 一 个 卡 太 分 配 所 预期 的 形状 。 表 辽 是 一 般 的 卡 方 麦 ， 此 玫 把 机 率 和 自由 度 当 作 自 攀 数 ， 而 把 相 Hix? 值 党 作画 数 。 玫 中 的 每 一 个 卡 方 值 意 指 在 所 指定 的 自由 度 之 卡 方 分 配 的 面积 壬 ， 在 此 卡 方 值 之 外 的 机 牵 是 所 列 的 机 牵 值 ， 就 像 + 分 配 的 表示 方法 一 样 ， 我 们 用 xz REMEBER 方 分 配 ， 在 x? 值 的 右 滤 之 面积 的 比例 是 K。 FEM RA BEM REV, CAB 2 的 卡 方 分 配 ( x+ ，) 我 们 发 现 90 % 的 卡 方 值 是 在 0.211 HEB, MRSS AE AR 5.991 。 和 统计 学 家 曾 必 明 过 zc 的 期 世 值 ( 即 一 个 卡 方 分 配 的 平均 数 ) 是 等 佟 它 的 自由 度 ，， 例 如 ， 一 个 zt] ZORA S ee 59 HR ERM RAH 50% fi ( 即 中 位 数 ) RE, FAS iM HS CFR) 需 小 ， 例 如 ， xc 50% 第 六 章 “估计 和 假设 检定 153 MRE 4.351。 过 是 因 需 卡 方 分 配 通常 是 不 对 称 的 ， 平 均 数 通常 是 在 中 位 数 的 右 演 。 在 下 节 壬 我 们 第 一 欢 应 用 到 卡 方 分 配 ， 但 是 卡 方 分 配 最 常用 的 情形 将 留 在 第 13 Ree LATA 657) RA AAS RIB ( Confidence limits for variances ) \ 从 上 季 中 我 们 知道 (2 一 1) s*/o? BOLL ASR El RE Rm — 1 的 卡 方 分 配 ， 我 们 可 以 利用 过 逢 性 质 来 定 释 方 的 信息 界限 。 首先 ，〈 2 一 1) s*/o? 的 比率 有 下 式 的 天 傈 : Sint ORS 2 a S% Car g-g }=l1—a P { * Gea e-0 < 上 趟 的 形式 和 6.3 GAAAOURRAO HERE EME 定 的 卡 方 值 C toy ) 之 内 的 机 率 是 1 一 % 。 上 式 括 红 内 的 不 等 式 可 以 沟 代 数 的 演算 而 成 震 : pues? /x Yy? ， 我 们 可 以 将 6-9 KHL Pt Dy? ¥ Caj2) 1) Agi Say VF Ete tai ge be F-1@, (6-10) 上 式 看 起 来 仍 很 复杂 ， 但 是 其 意义 只 是 假使 我 们 把 平方 和 了 7* 除 以 两 个 卡 方 值 C(x 名 -0 ) ， 而 且 假使 和 个 卡 方 分 配 在 所 指定 的 两 个 卡 方 值 之 内 的 面积 是 1— x ， 则 上 式 的 二 个 商 涵盖 变 方 的 暑 正 值 * 的 机 率 1 54 ”生物 统计 学 导论 f P=1-a, 我 们 用 一 个 实际 的 例子 来 加 以 说 明 ， 假 设 我 们 有 一 个 含有 5 AF ia RE MWRA, MARRABA ** 王 13.52。 pb Kt 5 SWISS ABER, RADU 6.10 式 ， 首 先 我 们 计算 汪 RAHN PBA C4 X 13.52 三 54.08 ), RERARRDSH 2705 4) Fl X75) AB, ARR AT BS 95% BBA, Aha SK0.05 。 在 自由 度 需 4 的 卡 方 曲 粮 下 有 95% 的 面积 是 在 上 述 的 两 个 卡 方 什 ZA, ia MASE 11.143 和 0.484， 因 此 利用 6.10 式 所 定 出 来 的 界限 是 : L, = 54.08/11.143 M L2 = 54.08/0.484 或 是 ,一 4.85 和 六 =111.74 GARBER MERR, Ht RRRRARRABDRERR 5 个 个 体 所 求 得 。 BA, ZHSBEMERABA (13.52) 的 两 泪 是 不 对 称 的 ， 过 和 以 前 所 讲 葵 过 的 信 想 区 间 不 同 ， 以 前 所 计 葵 过 的 信 屯 区 间 在 RACH BH HERBY, BOX 6-3 02 HZ BARRA RSA Ble BRD ( Confidence limits for a? Method of shortest unbiased confidence intervals ) 。 BOX 2-1 和 BOX3.1 之 蚜 患 干 母 腿 节 长 度 : n=25, s?=0,1337 从 表 VI 查 出 自由 度 v=n—-1=24, REMAM(1—-a)=0.95 之 二 个 因素 是 : f1= 0.5943 f 2= 1.8763 (SAAB 0.99 之 二 个 因素 是 : f1=0,5139 f2= 2.3513 第 六 章 “” 估计 和 假设 检定 ”155 4 BBG (0?) 295% (ABA MF: Li =FRR= fis? = 0:5943 (0.1337) = 0.07946 L2=£ER=f2s* = 1.8763 ( 0.1337) = 0,2509 99% (ERIE: Li =f1s*=0.5139 (0.1337) = 0.06871 Le=fes? =.2:3513¢0.1337) = 0.3144 ‘ 上 面 提 到 的 方法 叫做 等 尾 法 〈《 equal tails method ), Affe “一 尾 平分 等 量 的 机 牵 ( 例如 ， 各 需 2 长 % ) >. ABO ORE 的 ， 所 以 过 个 方法 水 不 能 得 到 最 短 的 售 区间。 假使 想 要 得 到 一 个 最 GHSREM, BL./L, 的 比率 修 可 能 爸 得 最 小 则 可 以 用 BOX6.3 的 方法 来 求 o° EGA ERE, 过 个 方法 是 Tate MKlett 在 1959 年 所 提出 ， 此 法 需 用 到 表册 。 此 玫 列 出 (m-1)/ 2p py 的 值 ， hay p RASH) /2 或 1 (a/2) Wie, ABA Te ABS 7N RSIS, BOX 6-3 的 计算 非常 简单 。 6°38 假设 检定 的 绪论 ( Introduction to hypothesis testing ) ADRES EEAOOHRELR BORE. HEA 生物 学 很 重要 是 ARS HER RSE HS ICN TE, LE STARE 支持 所 下 的 烙 花 。 一 个 统计 检定 要 先 检查 一 租 的 样本 数据 ， 然 合 根 据 ” 数据 的 期 世 分 配 来 下 烙 葵 看 是 否 接受 此 期 世 分 配 所 根据 的 假设 ， 或 是 拒 稻 过 个 假设 而 接受 另 一 个 对 立 假设 。 检 定 的 性 质 随 著 数据 和 假设 的 不 同 而 有 不 同 ， 但 假设 检定 的 一 般 原理 则 是 相同 的 ， 将 在 本 和 节 中 加 以 156 ”生物 和 统计 学 六 a 寻 花 。 茂 者 要 把 本 节 充 分 腔 解 ， 才 能 通晓 本 书 以 后 各 章 所 计 葵 到 的 问 题 。 DRA RSE 4 逢 动物 的 17 个 个 体 之 样本 ， 其 中 有 14 个 是 峻 的 ， 3 个 是 雄 的 ， 此 数据 在 4. 2 节 被 用 来 检定 看 它们 是 否 符合 二 项 次 数 分 配 ， 其 分 析 列 佟 玫 4.3。 从 4.3 玫 所 得 到 的 烙 葵 是 假使 全 体 的 性 别 比 例 是 1 : 1 ( p2=qx=0.5 ) ， 则 得 到 一 个 含有 14 个 雌 的 和 3 个 雄 的 样本 之 机 牵 是 0.005,118 , AIL RE nS SIR RZ 可 能 性 是 非常 小 。 我 们 计 葵 过 通常 要 包括 所 有 “更 灶 HR Be 括 根据 PP = =0.5 的 假设 比 我 们 所 得 到 的 千 果 更 肉 灸 的 情形 ， 则 此 机 率 是 0.006,363，, 仍然 是 一 个 非常 小 的 数值 。 上 面 的 计算 是 基 从 一 尾 检定 ( one-tailed test ) 的 观念 ， 也 就 是 我 人 只 愉 趣 於 知 道 雌雄 的 比率 是 否 不 等 人 1 ， 而 且 如 果 不 是 等 於 1 时 ， 峻 的 是 否 比 较 多 。 反之， 假使 我 们 对 於 欢 开 期 整 的 方向 没有 任何 事先 的 观念 ， 则 我 们 必须 计算 欢 开 期 世 的 两 个 方向 ， 像 14 个 雌 的 和 3 个 雄 的 那样 或 是 更 刻 导 的 样本 的 机 这， 过 个 机 率 包括 得 到 3 个 雌 的 和 14 个 雄 的 (和 更 灶 的 ) 样本 以 及 得 到 14 个 雌 的 和 3 个 雄 的 ( AE A) RAZR, SEE 检定 是 两 尾 检定 (two-tailed test ) 。 由 於 此 例 的 分 配 是 左右 对 称 的 ， 我 们 只 需要 把 以 前 所 言 葵 过 的 机 这 加 们 而 得 到 0.012,76。 过 个 机 率 的 意义 是 什么 ? 我 们 是 假设 be9 = 4 三 0.5， 此 假设 称 坑 虚 无 假设 ( null hypothesis; Ho), ， 过 个 假设 是 我 们 所 要 测验 的 o HRA Z MUR Sit REE AB CRRA RHE p CARR AY pi ( p=0.5 ) 水 无 不 同 ， 以 此 例 来 说 ， 就 是 我 们 相信 我 们 的 样 本 之 所 以 没有 得 到 1 : 1 的 性 别 比例 是 因 需 抽样 的 讽 差 所 造成 。 假 使 虚无 假设 j9 一 44 = 0.5 是 正确 的 应 ， 则 差不多 有 千 分 之 十 三 的 样本 是 会 由 於 机 届 而 得 到 过 样 骏 计 的 情形 。 因 此 单 靠 机遇 是 有 可 能 得 到 一 第 六 章 ， 估 计 和 假设 检定 “157 个 含有 14 个 雌 的 和 3 个 雄 的 之 样本 ， 但 是 其 可 能 性 不 大 ， 因 和 坊 过 样 同 于 的 事件 之 发 生 在 --. 千 欢 里 只 有 可 能 发 生 十 三 欢 ( 即 1.3 多 ) 。 假 使 我 们 事实 上 得 到 一 个 过 样 的 浪 本 ， RADNOR, Br 可 能 下 竺 花 说 ， 运 个 虚无 假 设 是 正确 的 ( 即 性 别 比例 是 1 : 1 ) ， 而 我 们 所 得 到 的 样本 是 其 分 配 之 尾 端的 情形 。 或 者 我 们 也 可 能 下 烙 葵 导 , 如 此 弃 谱 的 一 个 样本 是 不 太 可 能 从 虚无 假设 是 正确 的 情况 下 得 到 ， 因此 我 们 可 能 下 精 论 属性 别 比 率 是 1 : 1 的 假设 是 不 正确 的 。 上 面 的 两 逢 烙 闪 都 有 可 能 是 正确 的 ， 但 是 到 底 那 一 个 是 正确 的 ， 则 要 看 事实 HABA, (ROBE 1 : 1 的 比率 是 正确 的 ， 则 第 一 个 烙 葵 ( 接 受 虚 无 候 设 ) 是 正确 的 ， 在 过 箱 情 况 下 假使 我 们 决定 握 秦 过 个 假设 ， 则 我 们 犯 了 一 逢 错 驶 ， 此 逢 所 率 一 个 芙 实 的 虚无 假设 之 错误 称 志 第 一 BERZ (type I erroy ) 。 反 之 ,假使 事实 上 族群 的 芙 正 性 别 比 率 站 不 是 1 : 1 ， 则 第 一 德 千 花 ( 接受 1 : 1 的 假设 ) BORED, thse 辟 叫 做 第 二 型 误差 ( tyje | error ) ， 此 种 误差 是 接受 一 个 错误 的 虚无 假设 。 最 后， 假使 1 : 1 的 假设 是 不 正确 ， MARMRERBS RE WATT EROS. ALAND EReR, BE $e 5 — (TEM 19 od SR A SEA NTE OR, 另外 也 有 十 MUKHRE, A-HLRS-GERHERER, Bo WAS (ARTE WEY HERR BS RMT — ORE ZURAVALRER MMA BZKWS HEY (BRERORE), PERM HERERO? eH K HARA C-HEKMMIE ROU AR, MIE Awa fv GERARAHRRR Ho 是 不 正确 的 。 人 很 使 我 们 容许 5% OR AM BBM WB WR, HBA 00 RAY HSI 5 个 样本 » FRORREARAARBRBSR, REVULARAHATBA, ] 58 ”生物 统计 学 导 其 表 6.3 在 二 个 不 同 的 假 届 下 17 个 动物 的 样本 之 相对 期 望 区 数 ( Relative expected frequencies for sample of 17 animals under two hypotheses ). — FF fe. : (1) (2) (3) (4) 92 338 Het pgo=ag=Z Hit pg=2ag=h frel frel 17 0 0.0000076 0.0010150 16 1 0.0001297 0.0086272 15 2 0.0010376 0.03 45086 14 3 0.0051880 0.0862715 13 4 0.0181580 0.1509752 12. 5 0.0472107 0.1962677 11 6 0.0944214 0.1962677 10 7 0.1483765 0.1542104 9 8 0.1854706 0.0963815 8 9 0.1854706 0.0481907 | 7 10 0.1483765 0.0192763 | 6 11 0.0944214 0.0061334 | 5 12 0.0472107 0.0015333 | 4 13 0.0181580 0,0002949 3 14 0.0051880 0.0000421 2 15 0.0010376 0.0000042 | 1 16 0.0001297 0.0000002 | 0 17 0.0000076 0.0000000 | et 1.0000002 0.9999999 | 第 大 章 ， 估 计 和 假设 检定 159. 我 们 将 接 素 所 有 在 17 个 动物 中 性 别 比率 需 13 : 4 的 样本 ， 过 可 以 从 麦 6.3 的 第 三 栏 看 出 ， 此 栏 列 出 假设 po 94 = 0.5 BZA, AAR 4.3 相关 似 ， 但 是 麦 4.3 只 列 出 过 个 分 配 的 一 届 ， 假 使 我 何 把 两 尾 的 性 别 比率 是 13 ; 4 之 内 的 相 针 期 世 菊 数 全 部 加 起 来 ， 我 个 得 到 一 个 比 5 多 稍 震 小 一 此 的 第 一 型 误差 ， 从 麦 6.3 可 以 看 出 过 二 — BAH SRE 2 X 0.0245209 = 0.0490418 , 在 一 个 分 立 次 数 分 配 ( 例如 二 项 分 配 ) 中 我 们 不 能 计算 刚好 是 5 GORE, ERE 一 个 连 炉 次 数 分 配 我 们 则 可 以 计算 刚好 5 多 的 面积 。 在 上 例 中 ， 假 使 | REAM AG 1 CHR, HIS po = 43 的 假设 , 假使 样本 党 中 有 14 个 或 是 更 多 的 一 秆 性 别 的 动物 的 疾 ( 从 玫 6.3 我 们 可 以 算出 此 时 两 尾 的 相对 期 吏 区 数 = 2 x 0.0063629 = 0. 0127258), RK MRR EGE LARA), HRMS BRAD Ale EXOMURE, TORRARLEMRR Ho, RETEBRA) ORE, MATUR ERE AROS WR, OM0.1 % RBM 0.01%, RIFRATER AOMERE, FB RUDE MI HLBRMEA ERM RCRA GER DORE, “但 是 我 们 可 能 因此 而 犯 了 BORE, HES 设 ， 而 事实 上 是 对 立 假设 A, 才 是 正确 的 。 以 下 我 们 解释 其 道理 。 首先 蔷 我 们 先 了 解 更 多 的 志 有 名 词 ， 第 一 型 咒 差 通常 是 用 一 个 机 BAM, WAR w 来 代表 ， 但 是 假使 我 们 用 百分比 来 表示 的 时 候 ， 此 “种 导 差 也 叫做 显著 水 准 ( significance level )， 因 此 第 一 型 误差 w&=0.05 是 等 从 5 %% 的 显著 水 准 。 假 使 我 们 把 一 个 区 数 分 配 的 面积 HTS e 的 部 分 切 开 ， 则 此 面积 所 对 的 横 座 标 部 分 被 厌 坑 扩 府 域 vejection region ) 或 危险 域 ( critical region), 在 横 座 标 上 省 致 接受 虚无 假设 的 部 分 被 称 垮 尤 收 域 ( acceptance region ) 。 160 ADRHSER 6-10 A 是 性 别 比例 相等 的 Ho CEO MEE, Fe K I RID 1% RRMA 99 %% 的 尤 收 域 。 现在 六 我 们 仔 秋 计 花 第 二 型 肚 差 ， 它 是 接受 不 正确 的 虚无 假设 的 和 机率。 党 我 们 要 估计 第 二 型 误差 的 机 牵 的 时 候 ， 我 们 立刻 会 遇 到 一 个 HE, WR MRR HY, RATERS, BUD BRIAR, 是 正确 的 , 但 是 除非 你 能 指定 出 H, 的 大 小 ， 否 则 你 就 无 法 计算 第 二 型 误差 。 举例 来 设 ， 假 使 上 例 中 之 性 别 比率 只 有 二 逢 可 能 性 一 一 (1) 我 们 本 来 的 RBH: po=aqg, RQ)—PNWARH, : po=2¢s, BER E21, WA P= >> ag=> >» ， 则 我 们 必须 先 计算 ( pot ag P=( Sty)" 的 二 项 分 配 之 期 整 欢 数 ， 此 分 配 可 以 用 图 6-10 BREA, H6-3 Pw HS GHSKK, | Pie RE A WRX a~0.01 ( ~BRBEAWSER),. ， 也 就 是 图 6.10 A 所 表示 的 情形 ， 在 过 个 显著 水 准 下 我 们 将 接受 A, » 只 要 榜 本 中 含有 13 个 或 更 少 的 一 种 性别 的 动物 ， 大 狗 有 99%% 的 样本 合 属 於 过 一 类 。 但 是 假使 五 ,是 不 正确 的 ， 而 已, 才 是 正确 的 ， 题 然 ， Hi H, 的 全 体 我 们 也 可 能 得 到 13 个 或 小 於 13 个 的 一 种 性 别 的 动物 的 RA, RADAR A WOR CIKR AA, WOR BD, DUAR, FR EBA 0.8695 WH, 分 配 是 和 忌 分 配 的 尤 改 域 相 GA ( BAM6-10B), ML, RH, 是 正确 的 ( BA, 是 不 正确 的 ) ， 则 我 们 有 86.95 乡 的 可 能 性 会 错误 地 接受 虚 扰 假 设 。 过 个 百分比 GH, 分 配 所 得 到 的 样本 落 在 鼠 的 尤 收 域 的 范围 之 内 的 比率 ， 过 箱 比率 被 称 需 B， 也 就 是 用 上 比率 表示 的 第 二 型 诅 差 。 在 过 个 例子 BAS 大 ， 显 然 只 有 一 个 包含 17 个 动物 的 样本 是 不 狗 用 来 分 辩 两 个 假设 之 中 了 3|45678910111213|14151617 eg | | — 生生 — 5 一 ~ 0 ot 2 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13]14 15 16 17 含有 17 个 动物 的 样本 之 雄性 数目 国 6.10 “从 二 个 假 届 的 全 体 抽取 包含 17 个 动物 的 样本 之 期 望 分 配 。 A. Hoi po=aa=5, B. Hi: po=2qn=%., id 62 BA A fy BZ ea A B-HRZAKOHSHKO01. it 162 4&DReatS Siw 那 一 个 是 正确 的 。 赂 然 万 , 的 样本 中 99 GREP, ALE Reh 87 % tH, 样本 会 沙 在 同一 区 域 。 一 个 落 在 尤 收 域 的 样本 兹 不 能 使 我 们 下 一 个 可 靠 性 高 的 千 论 ， 即 到 底 那 一 个 假设 是 正确 的 。 假 使 样本 售 有 14 个 或 更 多 的 峻 的 动物 ， 我 们 将 下 车 葵 说 已 是 正确 的 。 假 使 只 有 3 AR Bay MEG, SARE SERRA, MH, BIER, A, MERAH, FC PIMA, : p90 =0.55 ) MED RBS RTH QS, PSB, ECRABRASPRIKH-ARBEEEM, RK 2» RH, 是 po=0.9, NIGH RVeBERE At, 二 型 误差 8 会 减少 。 所 以 8 的 大 小 除了 和 其 他 逢 因素 有 关 之 外 。 是 和 WV RBH, 的 母 数 有 天， 而 且 除 非 能 锡 指 明 瓦 , ， 否 则 有 的 大 小 就 无 法 估计 。 Se ARENA ( H,: po=2qs ) 一 样 是 固定 的 时 候 ， 我 们 所 准 备 容忍 的 第 一 型 吏 差 的 大 小 也 同时 决 定 了 第 二 型 误差 6 的 大 小 。 H, BG te Ko 愈 小 ， 则 鼓 分 配 的 万 收 域 1 一 w 愈 大 ,但 是 1 一 a WAR 8 也 愈 大 ， 过 个 天 傈 可 以 从 图 6.10 看 出 。 假 使 我 们 把 圈 上 的 KANE H, WRABDT ABWA-WRXa, HRABRBS H, DRE RRR ASM, Atk, BRD a 时 我 们 也 增加 了 P ， 无 法 过 到 两 全 其 美 。 在 大 部 分 的 实际 应 用 上 ， 科 BRACSHEREMRL ABA GEARS ER Bt, tA EE SAAN EE ER. SA RPG aT MB HR 持 一 定 的 水 准 ， 而 降低 6 的 方法 。 崔 然 显著 水 准 w 可 以 障 个 人 的 意愿 而 改称， 但 是 研究 的 人 通常 只 LS PRABRMOREKE, KANASRERR, HOM RARER BRI HT FD ORAS AK MEE 0.05, 0.01 A0.001, MEAAM th aS fh AE BER, i — 1H ER ER RE — (TK a, HK 第 六 章 估计 和 假设 检定 163 们 属 过 个 样本 是 显著 的 不 同 於 significantly different ) 母 数 的 或 假设 的 全 体 ， 在 p 4 = 54.0, MEM v=, HZ 代表 对 立 的 母 数 平 均 数 54.0, 由 常态 曲 粮 面积 表 以 及 我 们 对 於 平 均 数 的 爸 FHM, RATMHBH, HOR MA, HORAK RE BBD o eA EBAA , 的 克 收 域 的 上 限 是 48.92， 而 54.0 BRE 48.92 有 5.08 测量 单位 ， 此 距 万 等 从 5.08/1.744 = 2.910, 单位 〈 即 标准 机 SMH), KHIMBRMRHR RABE he —H2.91e 单位 之 外 的 面积 是 0.0018 ， 因 此 过 个 对 立 假 屋 的 分 配 面积 中 的 0.0018 SOE H, 的 尤 收 域 相 重 受 ， 此 0.0018 是 6 _， 印 过 个 对 立 假设 的 第 二 型 误差 。 在 理 花 上 过 站 不 完全 正确 ， 因 乞 鼠 , 分配 的 左 尾 理 葵 上 — BE (PF AE A, TEAS, 的 万 收 域 以 及 克 收 域 的 左 端 , 但 是 ， 实 际 上 万 , 在 过 一 范围 的 面积 是 无 雪 小 ， 因 此 可 以 被 忽略 挤 ( Hy 的 危险 域 的 下 限 是 42.08 HEME. = 54.0 有 6.830, 单位 ) 。 BUA RH, 指明 pe, BATS Mo 8.5 个 测量 单位 ， 但 是 就 如 前 述 ， 我 们 可 能 没有 事先 的 理由 相信 我 个 样本 的 质 正 平均 数 是 大 认 或 小 於 上 ， 因 此 我 们 只 能 假设 里 正 平均 数 距 离 45.5 有 8.5 个 测量 哩 位 ， 此 时 我 们 也 必须 计算 对 立 假 届 是 wp =e. - 8.5 时 之 6， 因 此 我 PURI ye RK A, :ww 三 54.0 37.0 REA, :47 三 42 ， 式 中 心 代表 54.0 或 37.0 ， 即 对 立 的 母 数 平均 数 。 由 於 此 分 配 是 对 夭 的 ， 所 以 两 个 对 立 假设 的 8 是 相等 的 ; 不 管 两 个 对 立 假设 中 那 一 个 是 正 雄 的 ， 忆 ;的 第 二 型 吏 差 都 是 0.0018 。 假 使 忌 才 是 正确 的 , 则 在 10000 Eee ee ee ee ee 166 生物 和 统计 学 亲 论 个 样本 当中 有 18 个 棣 本 会 遵 致 我 们 钳 性 地 接受 刀 ,， 此 错误 的 比例 非 常 小 。 图 6.11 显示 出 此 逢 天 傈 。 攻 者 可 能 会 问 坑 什么 我 们 相信 对 立 的 母 数 平均 数 距 询 we 三 45.5 是 8.5 个 测量 单位 ， 通 常 我 们 站 没 有 理由 来 支持 像 过 样 的 一 个 假设 , 事实 上 睦 正 的 平均 数 可 能 距 允 ws。7.5 或 6.0 或 任何 其 他 大 小 的 单位 o RERAB A, :=wo 土 7.5 的 曲线 ， 我 们 发 现 6 显然 增加 ， 此 时 Hy A, 的 曲 糠 季 得 比较 靠近 ， 因 此 8 的 大 小 要 看 对 立 的 母 数 平均 数 和 虚无 假设 的 母 数 平 均 数 的 臣 欢 有 多 速 。 当 对 立 的 母 数 平 均 数 接近 虚 无 假设 的 母 数 平均 数 时 ， 8 可 以 增 大 到 1 一 w， 而 1 一 wa 是 虚无 假设 的 尤 收 域 之 面积 。 到 巡 过 个 最 大 值 时 ， 过 两 个 分 配 是 全 部 重 漠 在 一 起 .图 6.12 表 示 当 wu, BHR BABAK, RI Rb 见 ， 图 6.12 只 玫 示 出 一 尾 的 对 立 分 配 。 ARB 5 消 不 是 一 个 固定 的 值 ， 而 是 随 著 对 立 假设 的 内 容 而 改 绝 。 在 假设 检定 中 有 一 个 重要 的 观念 是 有 关 检 定 的 检 力 (加 oxeyr ) ， 检 力 是 1 一 8 ， 是 当 事 实 上 虚无 假设 是 不 正确 的 ， 而 对 立 假设 是 正确 时 ， 担 秦 虚 无 侵 设 的 机 牵 。 显 然 对 於 任何 一 个 检定 ， 我 们 都 希望 1 一 8 的 量 愈 大 愈 好 ， 而 8 的 量 愈 小 愈 好 。 但 是 由 从 普通 我 们 不 能 指出 一 个 特定 的 对 立 假设 ， 我 们 必须 描述 一 个 连 炉 的 对 立 值 的 5 和 1 一 8 。 以 此 方法 划 出 的 1 一 6 BRR EAR TERR power curve )， 图 6.13 是 我 们 所 寻 葵 过 的 著 电 起 膀 长 度 的 例子 之 检 力 曲 述 。 图 6.12 是 HRAWMS A, ， 而 图 6.13 则 重 妨 1 - 8 。 从 图 6. 13 我 们 发 现 当 对 立 假设 接近 虚无 假设 时 ， 此 检定 的 检 力 很 快 地 下 降 。 由 直觉 我 们 也 可 以 想 出 ， 我 们 可 以 下 一 个 明确 的 糙 花 ， 到 底 我 们 的 样本 所 来 自 的 全 体 的 平均 数 是 .45.5 或 是 60.0 ， 此 检 力 是 1 。 但 是 假使 对 立 假设 是 a, = 45.6, FRM REE eR 0.1 个 测量 单位 ， 则 我 们 很 即 确 定 到 小 六 Ho: t= Mo Hi: w= wh MO A AB, 465-48. 50. SE ig BA 56: 2 BR 翅膀 长 度 ( 单位 是 0.1mm ) 6-12 hea BARRA BBR BRA, ( OH, BBL ) 时 , PVRS PMSA, BERAKRS, BARAT HK (EH) 5 % 危 险 域 ( 每 尾 2 地 % ) 。 需 了 简化 ， 只 表示 出 一 尾 的 对 立 SR, RRMA 6-11 Al, 167 168 生物 统计 学 导论 需 了 在 保持 一 个 固定 的 w 的 情况 下 来 增加 一 个 检定 的 权力 ( BM 低 6 ) ， 我 们 必须 增加 样本 大 小 。 例 如 ， 假 使 我 们 抽取 包含 35 个 起 膀 长 度 的 样本 ， 而 不 抽取 5 个 想 膀 长 度 的 样本 ， 则 其 平均 数 的 分 配 格 SRIE, LR RAD OS WRY BRR BE 44.21 和 46.79, MACK REM LAA RRS, HER HCRSRIE, E/HMBEEWAT, Re—-BRAP BRE 48.0, RARA RAMEE ARS, EMR RAAIME 加 到 35 个 翅膀 长 度 ， 而 且 如 果 虚 无 假设 是 正确 的 话 ， 则 在 十 万 个 样本 当中 只 有 15 个 样本 的 平均 数 会 巡 到 像 48.0 过 样 底 谱 的 情形 ， 因 此 我 Al Ngee, BRALMRS, HRHORMBR EA MME G, HURON, CLM, BORN RR, : p= 54.0 或 37.0 是 正确 的 话 ， 则 虚无 假设 被 错 慰 地 接受 的 机 率 ( BI UR 差 ) PARE), RERMMe, Biv. SRAM, FA 是 永 速 比 样本 大 小 2= 5 的 情形 任 小 ,图 6.13 TUBS RR x =35 的 检定 之 检 力 比 2= 5 时 之 检 力 大 很 多 ， 假 使 我 们 增加 我 们 的 样 本 大 小 到 100 或 1000， 则 检 力 会 更 增加 。 因 此 我 们 得 到 一 个 重要 的 葵 : 假使 有 某 一 检定 不 锡 敏 感 ， 我 个 可 以 增加 其 样本 大 小 来 增加 其 敏感 度 ( BIB) 。 渤 有 其 他 种 增加 一 个 检定 的 检 力 之 方法 。 假 使 我 人 不 可 能 增加 样 本 大 小 ， 可 用 改 释 检定 的 性 质 来 内 加 其 检 力 。 对 於 大 略 相同 的 一 个 假 设 的 检定 而 使 用 不 同 的 统计 技术 检定 时 ， 其 所 得 的 灶 果 以 及 检 力 曲 粮 的 君 度 可 能 都 有 不 同 ， 当 然 ， 我 倍 应 亦 滤 择 检 力 较 高 的 检定 方法 。 我 们 以 前 曾 径 提 过 ， 在 近年 有 很 多 无 币 数 检定 ( nonparametric test ) 筱 普通 地 探 用 ， 有 些 无 币 数 的 方法 甚至 被 用 来 取代 传统 的 统计 检定 (例如 上 检定 及 其 他 的 检定 ) 。 无 征 数 检定 逐渐 被 探 用 是 因 需 它 个 做 第 六 章 “” 估 计 和 假设 检定 169 0.5 Power (1 — 8) 检 力 ae 35 40 45} 50 55 顽 膀 长 度 ( 以 0.1mm & &fiz ) Bj 6-13 RMeEn=5 ( 如 图 6.11 和 6.12 ) 和 2 三 35 时 Ho >4=45.5, Ay: 45.5 之 检 力 曲线 。 起 来 比较 简单 ， 而 且 上 比较 不 会 因 需 假定 的 错 慰 而 影响 其 检 力 曲 糠 ， 但 是 ， 一 般 来 沿 ， 有 征 数 检定 的 假定 如 果 正 确 的 话 ， 其 检 力 通常 要 比 无 征 数 检定 的 检 力 二 高 。 | 攻 我 们 简单 地 庆 葵 一 个 一 尾 检定 。 过 个 检定 的 虚无 假设 就 像 以 前 REA. wp。 = 45.5， 但 是 对 立 假设 是 我 个 没有 理由 相信 我 们 所 抽 样 的 全 体 的 母 数 平均 数 会 小 於 wo 王 45.5， 假 使 不 是 45.5 ， 则 只 有 WAR 45.5, 我 们 可 能 有 两 逢 理由 来 定 过 逢 假设 ， 第 一 ， 我 们 可 AEDS LOH, ROSA PRE SUE C dwarf population )， 因 此 我 们 抽 榜 的 全 体 之 体型 不 可 能 小 於 母 数 全 体 的 体型 。 第 二 个 理由 是 ， 我 们 可 能 只 愉 趣 谎 一 个 方面 的 亡 差 例如 我 们 可 能 在 测验 一 箱 化 学 物质 的 影响 ， 而 我 们 在 幼 嚼 的 食物 中 所 加 的 化 学 物质 是 想 增加 菩 电 的 体形 的 大 小 ， 因 此 我 们 预期 w, 之 po 。 我 们 没有 愉 趣 测验 w; 是 否 小 於 wk。， 因 和 坑 过 和 我 们 所 预期 的 影响 正好 相反 。 同 理 ， 假 使 我 们 在 研究 一 箱 药 剂 治 疗 癌 症 的 能 力 ， 我 们 想 比 较 没有 处理 过 的 全 体 之 平均 致死 率 是 02， 而 处 理 过 的 全 体 之 平均 致死 这 170 生物 统计 学 导论 - 2 0,, BIRO WR MREH, : ,< 0 ， 即 我 们 没有 曙 趣 相知 道 6, 是 否 大 於 6,， 因 怖 假使 我 们 的 药剂 会 增加 癌症 的 致死 率 ， 则 当然 过 个 药剂 没有 可 能 被 用 来 治疗 癌症 。 在 作 过 样 的 一 个 一 尾 检定 时 、 横 座 标 上 的 接 秦 域 只 是 在 虚无 候 设 的 曲 粮 之 一 尾 ， 以 我 们 的 车 曙 数 据 坑 例 ( RAK =5 的 平均 数 之 SH), BERR AMOK, M614 RRB-MRE ISG 情形 。 危 险 域 的 计算 是 : 45.54 (1.645) (1.744)=48.37, 1.6452 tl.iolc|， 坑 一 尾 检定 时 之 5%% 值 。 过 个 扒 秦 域 将 担 秦 虚无 假设 ， 只 要 平均 数 是 大 於 48.37 。 而 图 6.12 上 有 二 个 揽 秦 域 ， 平 均 数 小 放 42.08 RAK 48.92 时 虚无 假设 都 会 被 扒 秦 。 由 欠 一 尾 检定 的 对 立 假设 只 和 分 配 的 一 必 有 关 ， 因 此 其 检 力 曲 粮 不 是 对 称 的 ， 而 是 只 延伸 在 分 配 的 一 边 。 Ho: w= 45.5 H,: 4 =54 48.37 起 膀 长 度 ( DL 0.1mm B HAL ) 国 6.14 图 6 .11 的 分 配 之 一 尾 的 显著 性 检定 。 此 时 耘 线 划 并 运 个 分 配 的 一 尾 之 5.96 擅 素 域 ( 此 曲线 面积 用 险 影 表 示 ) 。 BAR “估计 和 假设 检定 171 6.9 应 用 t 分 配 作 简 单 的 假设 检定 ( Tests of simple hypotheses enploying the t-distribution ) RAPA E WEF a 2 7s BE RE AO OK PE (PE RE, ”此 检定 涉及 t 分 配 。 政府 规定 某 逢 生物 仙人 备 的 标准 剂量 应 苞 是 每 立方 公分 600 个 活性 单位 。 我 们 奥 人 备 10 个 样本 来 测验 每 一 个 样本 的 活性 ， 我 们 发 现在 均 的 活性 单位 数 是 每 一 个 样本 592.5 个 单位 ， 而 样本 的 标准 差 是 11.2, 则 我 们 的 样本 是 否 合 於 政府 的 标准 ? 更 精确 的 说 ， 就 是 我 们 的 虚无 假设 是 豆 。 :7 三 Ap。， 而 对 立 假设 是 剂量 不 等 让 600, BE A, : pA. 。 RUSS Yn AREER RRR, WES EP SORES, MKZAAHRES, RACER KER BRAT 均 数 碎 开 母 数 平 均 数 的 情形 ， 因 此 我 们 计算 sz> = s/V2 =11.2//10 = 3.542， 然 后 测验 (了 一 ws。)/sy HEROS, 6-4 GRA HME RU hh REX KOR AHERn—1 的 上 分配， 所 以 我 们 写 出 : PRS : . Ge eB LRRAR ABU PRRGORELAE RH BE, OR Oe 。 在 6.11 式 中 我 们 写 :+。 ， 而 大 部 分 的 数 科 书 则 只 写 t, BER /。 HEARS SRR MEG, TAR 们 抽样 的 观测 数据 只 可 能 接近 上 分 配 ， 而 不 可 能 等 余 分 配 ， 此 区 分 似乎 很 小 ， 但 是 读者 应 坊 记 住 ， 在 任何 样本 的 假设 检定 ， 我 们 只 是 假定 ( cssxmzzg ) HW 172 生物 统计 学 半 葵 验 的 他 数 分配 是 成 某 一 箱 理 葵 机 这 分 配 ， 假 使 要 递 守 一 般 的 统计 多 惯 ， 则 上 分 配 照 理 应 蔽 用 一 个 布 腊 字 母 ( 例如 z ), MIB t AREER 本 和 统计 量 。 由 於 长 久 以 来 都 没有 人 探 用 过 逢 表示 方法 ， 所 以 我 们 加 上 S RBA ERA AY Bo 此 检定 作 起 来 很 简单 ， 我 们 利用 6-11 式 计算 : pee 600 -_»-hS 3.542 © 3.542 然后 把 所 得 到 的 纪 值 和 自由 度 需 9 的 上 CSG RR, AR toe 是 左右 对 称 的 ， 我 们 可 以 忽略 妃 WEAR, MbeA mse AAS 值 来 比较 。 从 麦 下 我们 查 出 在 志 两 泪 的 值 是 上 ostg 一 2.26 URE 0p) = 1.83， 汪 些 是 般 用 於 二 尾 检定 的 上 值 ， 也 是 适合 於 我 们 的 例子 ， 因 垮 我们 的 对 立 假 屋 是 pw 六 600 ， 就 是 可 能 大 於 600 或 是 小 於 600 。 我 Mint. 值 之 显著 水 准 是 在 5 % 和 10 %% 之 间 ， 也 就 是 ， 假 使 虚无 假设 是 正确 的 话 ， 得 到 一 个 样本 平均 数 的 碎 差 等 八 或 大 从 7.5 BARA ZAR 0.05 和 0.10 ZH, Ath is RAR SEK EAN KP 说 样本 在 均 数 和 理 葵 值 有 显著 的 差 情 ， 因 此 我 们 接受 虚无 假设 。 探 用 -一般 的 麦 示 方 法 我 们 可 以 写 出 过 个 统计 分 析 的 糙 果 如 下 : “ 此 样本 平 均 数 和 政府 规定 的 标准 没有 显著 的 差 情 ”。 在 科学 文章 上 像 过 样 的 一 个 烙 论 必须 加 上 一 个 机 率 的 值 ， 庆 当 的 表示 方法 是 0.10 > 力 > 0.05, RRR BAS RARE WRB RK O.05M0.102H, A GRADER RIE Ht. 值 不 显著 ( not significant , fA ffiks ks Se ae 在 一 LMR LALO Oe LA, oN = 2.86** ， 过 种 符号 代表 下 列 的 机 达 和 范围 : +=0.05>p>0.01, **=0.01>p>0.001, ***=p<0.001 . =—2.12, df=, 1 一 第 六 章 ”估计 和 假设 检定 ”173 但 是 ， 偶 而 有 些 作者 用 过 些 星 号 来 才 示 其 他 的 和 芳 围 ， 所 以 在 每 一 篇 科 释文 章 上 必须 指明 所 用 的 符号 之 意义 。 有 时 我 们 所 关心 的 可 能 不 是 一 个 生物 人 奥 人 备 是 否 和 一 个 标准 有 显著 H#R, 而 是 过 个 生物 抽 备 是 否 显著 地 低 於 过 个 标准 。 汪 可 能 是 因 坑 有 的 生物 仙人 备 当 其 活性 太 大 的 时 候 慈 没有 妨 三 ， 但 是 假使 活性 低 於 某 一 个 禄 准 的 时 候 则 其 效力 不 钩 ， 此 时 的 检定 是 一 尾 检定 ， 计 算 的 方法 和 前 面相 似 ， 但 是 一 尾 检定 的 上 之 踢 界 值 是 相当 於 二 尾 检定 的 一 个 机 BARBIE, Bl tu 二 2.26， 此 值 在 二 尾 检 定时 是 机 率 需 0.05 的 (i; AF tose) =1-83, HEEL BRERA O.10 的 值 。 因此 我 个 的 观测 ¢ s 值 2.12 是 如 到 5% 的 显著 水 淮 ( “ ‘ significant -at the 5% level” ), BRRHOR, ES. 05>P>0,025 的 题 著 水 淮 。 假 使 我 们 打算 接受 一 个 5 %% 的 显著 水 准 ， 则 我 们 的 千 葵 是 运 个 生物 侈 人 备 显著 低 於 标准 。 你 可 能 会 芝 误 ， 同 样 的 一 个 例子 用 同样 的 数据 和 显著 性 检定 会 得 ETN, LALA ETRE A FAS, LER OS ey ARE Ce RK RAOGCRERAEMHERKER AREER, AGH , ERMA BR ERA PIO p 是 否 可 能 大 认 标 准 的 平均 数 w。 , 则 我 们 所 发 现 的 差 情 显然 连 到 显著 水 准 。 从 这个 例子 我 们 知道 ， 对 於 任何 一 个 梳 计 检定 ， 我 们 都 必需 事先 明显 地 指明 过 个 检定 是 一 尾 检 定 、 或 是 二 尾 检定 ， 当 和 然 ， 我 们 所 举 的 例子 站 不 是 典型 的 例子 ， 过 个 例子 所 得 到 的 糙 果 刚好 是 在 显著 和 不 显著 的 泪 夭 。 假 使 样本 和 标准 的 差 民 是 10.5 活 性 单位 ， 则 不 葵 是 一 尾 检定 或 二 尾 检 定 ， 样 本 都 会 无 疑 地 和 标准 有 显著 的 差 殿 。 1 和 证 一 个 标准 平均 数 通常 站 不 足以 建立 对 从 一 fi a ORAS 2 174 &Diat BS iw E, AREA IEN A, HUAN BERRA SRE 均 数 之 间 有 没有 显著 的 差 情 ， 过 一 点 是 非常 重要 的 。 要 训 住 ， 标 准 机 差 会 因 两 方面 而 增加 ， 即 降低 样本 大 小 或 增加 所 有 重复 的 标准 差 。 任 (oy BLE BE AB A ESE ROE AL, EA BRA: We GR BN FH LE SPR PE — A 显著 性 检定 的 一 般 原 则 。BOX 6-4 列 出 要 测定 一 个 炉 计 量 是 否 和 一 个 母 数 有 显著 的 差 情 之 一 般 原则 ， 过 个 原则 可 以 适用 放任 何 往 计 量 , 只 要 过 个 统计 量 的 分 配 预 期 会 成 常态 分 配 。 党 所 计算 的 标准 机 差 是 得 自 样本 的 估计 时 ， 则 必须 应 用 上 分 配 ， 而 且 由 从 常态 分 配 是 上 分 配 的 一 个 特殊 情形 ， 即 Sc ESSERE AMO 上 分配， 所 以 大 部 分 的 统计 学 家 都 一 律 应 用 上 OR, ER, MBE MAH OR HE ( 从 1 BIB K ) 。 过 逢 检定 的 一 个 例子 是 BOX 11.4 中 的 第 二 个 步 且 ， 过 个 步 且 是 一 个 上 RE, FARR RR SEH, BOX 6-4 测验 一 个 统计 量 的 显著 狂 ， 即 测验 是 否 和 一 个 母 数 有 显著 差 刁 。 BASH Fy BRAY SET I (Testing the significance of a statistic that is, the significance of a deviation from a parameter . For’ normally distributed statistris. ) at ADR: L 先 计算 ts si— st t, = 2 Sst 式 中 st 是 一 个 样本 统计 量 ， sty 是 样本 竺 计量 所 要 比较 的 一 倘 母 数值 Sst 是 估计 的 标准 机 差 ， 其 计算 方式 如 BOX 6 “1， 或 像 本 书 中 的 其 他 例 子 。 2 主要 的 假 屋 是 第 六 章 ，” 估计 和 假设 检定 175 二 尾 检定 时 Hy: sf 一 Stp H,: st¥st, 一 尾 检定 时 Ho: st=st, | Ai: st>sty, BK : fast at, Hee tsi, 3 如 果 是 一 个 二 尾 检定 ， 查 出 top HERG, HhasHAeH PBR 差 ，， 是 计算 标准 机 差 时 所 用 的 自由 度 ( 参见 BOX 6.1 ) 。 反 之 ， 假 使 是 一 个 一 尾 检定 ， 而 且 显著 水 准 是 w 时 ， 查 tac[v] 的 临界 值 。 ;上 比较 第 一 个 步 肥 所 计算 出 来 的 如 值 和 第 三 个 步骤 所 查 出 来 的 上 之 上 界 值 ， 以 便 决 定 友 收 或 擅 素 第 二 个 步 受 中 之 虚无 假设 。 6.10 WH Hoo =os , 也 就 是 我 们 要 作 一 个 一 尾 检定 ， 然 合 查 出 «2, WIE, Heche 是 指 第 一 型 避 差 ，， 是 指 所 用 的 自由 度 。 如 6.6 节 所 述 ，w 量 代表 2 分 配 在 某 一 个 固定 值 的 右 旭 所 估 的 比例 ， 由 於 过 个 问题 是 一 尾 检定 ， 其 第 一 型 讽 差 就 是 w 所 估 的 比例 。 从 麦 隐 我 们 查 出 自由 度 是 9 时 ， X .os[g] 一 16.91 9, x 10[8] 一 14.184， x Sere] 一 8. 343 由 这些 式 子 中 可 以 知道 ， 假 使 虚无 假设 是 正确 的 话 ， 得 到 一 个 xz & 11.290 BRAWRAEAR 0.10, -)R 0.50, AX? BRA 5% 的 显著 水 准 ， 所 以 我 们 没有 理由 扒 秦 虚无 假设 ， 我 人 的 糙 葵 是 此 生物 仙人 备 的 10 个 样本 之 绝 方 可 能 没有 题 著 大 於 政府 所 容许 的 标准 ， 另 外 ， 假 使 我 们 想 测验 样本 伙 方 和 标准 有 没有 显著 差 届 ， 也 就 是 容许 两， 个 方向 的 训 差 ， 则 是 一 个 二 尾 检定 ， 其 假设 是 瓦 。: oz =o? MA, : o'*19.023 , WARRABAAMR ABA AMAER 。 SSE 8 Ol Fi BAY X? 11.290, PELE OY RE SRR, EF ERA @ NRF — A ORR RE CHASER © BARE, BHREL-ALRGEEORE, TORR R-HRABHEBKA NSA HHS BNE ”估计 和 假设 检定 ”177 a U6 6-1 6+2 6°3 6-4 6°5 6°6 6°7 6.8 6.9 6°10 ee S—-HRENB BRE, UR—-ARtReEHRAZRR. BRAD AEM ADD RAR ARH, BHRERARRADE 本 大 小 ? 假使 某 一 个 样本 的 之 95 % BRR 4.91 和 5.67 He, BE WD Pi eR 有 百 分 之 九 十 五 的 机 会 族群 平均 数 (4H) 会 落 在 4.91 到 5.67 克之 区 间 ? 假使 AY Wis RR, 应 起 如 何 下 正确 的 结 座 ?9 计算 BOX 3.2 出 生体 重 数据 的 平均 数 、 中 位 数 、 构 典 傈 数 释 方 之 99 % 信 MAR, BB: FIER 109.540, 109.060, 12.136 和 178.698 。 HAR 6.5 所 列 之 平均 RYDCSBAR, BRB RPRARSRER? 人 As HARBGASH? ) Littlejohn (1965) FF Tasmania HMR ( Hyla ewingi ) HUB ， 发 现在 一 个 包括 39 个 观测 的 样本 其 吓 声 长 度 的 平均 数 是 189 msec ， 而 标 准 差 是 32msec ， 计 算 其 平均 数 释 方 的 95 % (FRBAR. 在 4.3 和 莘 我 们 讨论 过 利用 风 散 傈 数 来 当 作 数据 是 否 成 卜 瓦 松 分 配 的 一 种 指示 。 由 於 在 一 个 真正 的 卜 瓦 松 分 配 其 平均 数 (LH) SRA BRB (07), HY AER RE 6-8 式 相 类 似 。 用 表 4.5 MKARCKEWREREVPHESSHK 样本 平均 数 ( 亦 朗 我 们 的 样本 是 否 来 自 一 个 卜 瓦 松 分 配 的 全 体 ， 假 使 是 成 上 KAA, RRRARESR1), BER, CEMA EA SRAL AR A, PUDARAAVORERHAAOBRG £73 和 节 我 们 将 讨论 另 一 种 可 以 避免 各 种 问题 的 显著 性 检定 。 答 案 : (n—-1) X C.D. =1308.30, x05] 588] = 645.708 FRA 6-7 的 方法 来 测验 表 4-6 MRRBER LRA DE (OWS ERK RM EER)» . EG OH REBRHREZEAS, PHWKHRREDKRAR HHA, MEA 向 是 随机 性 的 。 在 一 个 利用 电脑 来 模 气 过 种 行 需 的 实验 里 得 到 下 列 的 结果 ， 其 平均 位 置 是 在 一 1.352 处 ， 而 标准 差 是 12.267 ， 样 本 大 小 是 500 。 温 度 的 陆 梯 单位 以 动物 的 起 点 之 处 坑 零 ， 负 数 表 示 冷 的 一 端 ， 正 数 表示 温暖 的 一 端 。 测验 对 温度 的 反应 是 否 没有 向 较 暖 或 较 冷 的 一 端 聚集 的 趋势 ， 也 就 是 测 易 REWP HUEY BERS, Johnson (1966) FR—-MBRE BM (dusky flycatcher) HER, BB iE Fe YS Fe BRE 8.14+0.021, MHBAKKE 4.67%, MHBHA BE te (HAS DE. BR n= 328, > a : ee + 7 m ‘ "= 本 Ss 3 eit 4 tee & hs on hee = 天 af s 1 四 1 , 8 ae ee gee AE RL ; ig ad oe eh 2 4 ee a a, 4 Ree ve ‘eee Lt. 4 . ey li, ~*~ *« : 2a « , * é Se ‘ a Td “ties 4 é W 二 屿 of ~ ’ ‘ " rh “ALA i ji MS a. a ° a 4 ¥, : ‘ SF Veg ; " » ¢ = a - ? “44 ¢ 和 @ per oi . a Wwe «li \ a ‘4 和 te a 3. u Go *2 3 . 本 ’ rq >a 和 市 重 « a Speco Fs gh ah By Magi PN sh eS Ri ; ‘eer 和 > eh a » te el eee Be A BR TAR. ae Pe Lae ar ce wae z LU = : ae > : ‘a > Ey aaa ks Bee ret i ae ; + } F : ’ we En) RRO ODER Ht y we ae a4 2 LA ‘ *% 4. vias Ke hg sy am re af re \ wie 4 ~ = at ee ee BP ro Oe, RERUN MBA Oi, with R.A. Fisher 所 发 展 出 来 HN, LEMS LBAMHWEADEZ—, LHAKABBHREE BASH EAZMBARKE ASRS, WHR LRAT BREBKARAAARRESROZE. MUBWRREKSES 数 有 相当 程度 的 差 情 ， 因 而 我 们 必须 假设 它们 是 来 自 不 同 的 全 体 。 假 使 只 有 两 个 样本 ， 传 统 的 方法 是 利用 上 分 配 来 测 台 平均 数 之 间 的 显著 差 殿 ， 但 是 释 方 分 析 是 一 逢 比较 一 般 性 的 检定 ， 它 可 以 测 玛 两 个 样本 , 也 可 以 测验 多 个 样本 ， 因 此 我 们 提早 在 此 介 狠 爸 方 分 析 ， 使 芒 者 先 捧 有 一 逢 统计 上 的 有 力 武器 。 我 们 将 在 8.4 NRHA ¢ 检定 , 把 它 当 作 是 一 逢 特殊 的 情形 。 7 1 节 我 们 利用 我 们 已 泾 熟悉 的 蓄 电 起 膀 长 度 的 抽样 实验 ， WE 180 生物 统计 学 导论 些 样 本 我 们 得 到 全 体 季 方 的 两 年 独 立 估计 值 。 7. 2 RABE 堪 粮 分 配 ， 即 F 分 配 ， 慑 方 分 析 的 显著 性 检定 须要 峰 用 过 逢 分 配 。7 3 区 我 们 言 葵 如 何 利用 F 分 配 来 测验 两 个 样本 是 否 具有 相同 的 里 正 敬 Ho 7.4 节 我 们 诗 葵 各 逢 处 理 对 於 赚 本 所 造成 的 影响 。 7-5 mR 方 和 和 自由 度 的 普 分 ， 也 就 是 芙 正 的 到 方 之 分 析 。 最 后 两 节 (7.6 和 7.7 节 ) 寻 葵 和 方 分 析 的 两 逢 科学 模式 ， 即 所 请 的 固定 处理 效应 模式 (1), ， 和 爸 方 成 分 模式 (模式 工 ) 。 本 章 除 了 7.3 和 区 之 外 大 部 分 是 理 葵 的， 我们 将 在 第 八 章 寻 葵 实 际 的 计算 ， 但 是 必须 对 於 第 七 章 所 计 葵 的 内 容 有 讽 分 的 脓 解 ， 才 能 了 解 ABBA DOR RAF i RAL ARH ARAL JW. Tukey FAROE ‘anova ”来 代替 “ analysis of variavce ’ i aii ited (The variances of samples and their means ) | RAL A A A RE OR (ER 5-1 和 表 5.1 ) ， 我 们 把 7 个 包含 5 AH REORASE ARRAS 35 个 项 目的 样本 。 我 人 把 其 中 的 一 个 样本 重新 列 於 7.1 表 。 包 含 5 个 项 目的 TERA MEPIS 7.1 FeO LM, RRA RA, CRUSE 7-12, RAVDAEREE BNA SH wat aAeam 符号 ， 我 们 称 我 们 的 样本 坑 租 ( groups’, groups ARF th feclasses 或 其 他 名 字 ) ， 在 任何 一 个 属 方 分 析 的 问题 ， 我 们 必须 有 两 个 或 两 个 以 上 的 样本 或 租 ， 我 们 用 符号 e 来 表示 租 的 数目 ， 所 以 在 此 例 a=7 ， 而 每 一 个 租 或 样本 包含 # 个 项 目 ， 在 麦 7.1 的 例子 n=5, ROE EMAAR ZRBC a xz ， 以 此 例 来 裔 等 让 7X5, 即 35。 181 Ste BAH ogs'Gus=,4% LIvs¢=,(A-A)X 2201 218 8°86 2SH AGL 0 5I "62 eae SestL=, AX pe llevI=,AX Elv‘Ol SIE‘IT 2986 E06 OF8OT 289“TT 7896 me Ke "Sh = A SE 2> Rh VP ee PV eee OOP 0 BP. OEE A LEST =AZ 网 Ag uo 分 u Z7 IS cP Iv 0S SP 2¥ vy 68 Sh 87 79 人 0g 2 和 a 8 二 (el) fl) 1 BY te, 9F 8h IP 68 09 6h bP es sa IP OF 6 OF OF 8h Ip Z 9 9 y 8 Z l KHz BiG °1Z°ST= :0 Lm ae 6 SSp HT Meth ity °7*S SIN 1°S BM Mm °C ( Paraajas Kjwopuns Sat} fasnoy fo syj8uat Buim 9 fo (sgno43) sajquovs uanes ) (H) ¥RURSARBSE 9 FOR. 明 隆 昱 攻取 1°L¥ 182 生物 统计 学 导论 每 一 棚 的 项 目的 季 和 列 於 其 下 之 水 平分 界 粮 之 下 。 在 一 个 变 方 分 析 ， 物 和 的 符号 不 再 像 以 前 那样 简单 ， 我 们 可 能 只 要 计算 某 一 租 的 项 目的 煽 和 ， 也 可 能 要 计算 全 表 所 有 项 目的 帮 和 ， 因 此 我 们 必须 在 炉 和 的 符号 上 加 上 其 他 的 诈骗 ， 只 要 不 致 壮 致 殿 解 即 可 ， 我 们 将 探 用 最 简 单 的 符号 ， 我 们 用 SY RRR MORAL, BLY RR 中 所 有 项 目的 籽 和 。 每 一 租 的 所 有 项 目的 煽 和 列 於 水 平 义 之 下 的 第 一 行 ， 每 一 租 的 平均 数 ( MARY Rem, BD SY/n) 列 於 第 二 行 ， 番 下 两 行 各 列 出 每 一 租 的 六 了 * 和 之 y*， 过 两 个 数量 大 家 都 已 径 很 瓯 悉 …， 就 是 了 的 平方 之 入 和 及 工 的 平方 和 。 2 ERs — LOE a ERA LS 3 — 0 1 方 的 估计 值 ， 例 如 在 第 一 粗 > y? = 29.2, ARM WO EHEE = 29.2/4=7.3 所 得 到 的 估计 值 相 当 低 。 因 需 每 一 租 都 有 一 个 平方 和 ， 我 们 可 以 从 每 一 租 得 到 一 个 对 於 全 体 爸 方 的 估计 值 ， 但 是 是 然 假 使 我 们 求 各 个 季 广 估计 值 的 某 种 平 均 ， 我 们 可 以 得 到 一 个 较 佳 的 估计 ， 我 们 可 以 计算 一 个 加 权 平 均 数 ( weighted average) 。 事 实 上 在 过 个 例子 只 要 求 简 单 的 平均 数 就 可 以 ， 因 储 每 一 个 好 方 的 估计 值 都 是 来 自 样本 大 小 相等 、 的 样本 。 但 是 我 们 要 提出 一 个 通用 的 公式 ， 过 个 公式 可 以 适用 於 凡 本 “大 小 相等 以 及 不 相等 的 例子 ， 样 本 大 小 不 相等 时 必须 求 其 加 权 平 均 数 “任何 一 个 统计 量 St 的 加 权 平 均 数 可 以 用 下 式 来 计算 : -. TMi Mii = 一 = 一 w; Sti eg al (7-1) = Sle BAAR 183 式 中 有 入 个 芒 秆 量 ，( St )， 每 个 统计 量 用 一 个 因素 z; 来 加 权 ， 然 后 求 平均 。 以 此 例 来 设 ， 每 一 个 样本 倒 方 sz 用 其 自由 度 来 加 权 w=ni —1l, GRBK-ALGM (Dy); , ABCni-1) s? =Sy?, MU7-1AWHSFEEHAWRM, MOREE (ni 一 1 (=7X4, PS-AMEHENRA, AP oRHE ~—99.24+12.0+75.2+45.2+98.84+81-24+ 107.2 OF ie i — = a 16.029 SERS AGE ARE SB (15.21) 的 一 个 估计 值 。 过 个 估计 值 是 根据 各 和 粗 灵 方 的 7 个 独立 估计 值 所 求 得 ， 被 称 坑 和 粗 内 平 es F average variance within groups ) RBBRANB SA ( variance within groups), EMERABZBANBSA ( vari- ance of group), HRELRABAMARS, 其 原因 是 因 需 过 乔 长 方 的 估 证 值 是 根据 各 粗 之 内 的 平方 和 所 求 得 。 以 下 我 们 要 言论 租 间 沟 方 的 计算 。 | 。 “ 需 了 得 到 全 体 爸 方 的 第 二 征 估 计 值 ， 我 们 把 7 个 粗 的 平均 数 了 党 作 是 一 个 样本 的 7 个 观测 值 ， 而 把 所 得 到 的 和 统 计量 列 於 7.1 玫 之 右 下 角 ， 其 撞 头 是 平均 数 的 平方 和 之 计算 。 此 例 有 7 个 平均 数 ， 在 一 般 的 情形 是 有 个 平均 数 ， 我 们 首先 计算 BT SmwwA, SY, ea 符号 看 超 来 很 鱼 ， 写 得 完整 一 点 的 话 应 艾 是 “ 元 ，， 就 是 把 第 一 和 Ba 粗 的 平均 数 加 起 来 。 下 一 个 要 计算 的 数量 是 羡 ， 就 是 租 的 平均 M2OPK, HBHREY AS V/e, 7 个 平均 数 的 怨 和 是 > 了 184 生物 统计 学 半 论 = 317.4, PLMP BOE Y= 45.34，, 此 数值 很 接近 母 数 平均 数 ( u=45.5), FHMS(Y-Y)? RSME SMM PROM A, BT BIG BEAMRMUA GH SY, tyes 14,417.24， 然 后 雁 用 一 般 的 计算 公式 来 计算 平均 数 的 平方 和 如 下 ， S¥? —c(S¥)*/a)= 25.417 ， 人 然后 乒 一 般 的 方法 利用 平均 数 的 平方 和 来 计算 平均 数 的 倒 方 ( variance ariong the means ): S (Y-Y)*/e-1, RAH o-1 KBR n-1, BRBBOEE 方 和 是 基 於 e PAA 平均 数 ) ARE, AL RORD st = 25.417/6 = 4.2362 。 我 们 在 第 6 BY 6. 1 式 讨 花 过 从 一 个 全 钵 随 抽 抽 样 时 ee 因此 ea ar 7 所 以 ， 我 们 可 以 将 平均 数 的 好 方 乘 以 样本 大 小 而 得 到 项 目 爸 方 的 一 个 SHE ( 我 何必 须 先 假定 我 们 是 从 一 个 昌 一 的 全 体 去 抽样 ) 。 以 比例 来 设 ， 我 们 得 到 s? = 5 X 4.2362 =21.181, EAR MBH ( 15.21 ) 的 第 二 个 估计 值 ， 过 个 估计 值 不 像 以 前 根据 粗 内 释 方 平均 所 ” 得 到 的 估计 值 那样 接近 睦 正 的 释 方 , 但 是 过 是 始 料 所 及 ， 因 需 过 个 估 - EMER EAE 7 个 “ 完 测 值 ”所 求 得 。 我 们 必须 给 过 逢 估计 值 一 个 名 字 ， 我 们 称 之 需 租 间 故 方 ( variance among groups ) ， 此 值 是 等 PARES OMA, CRAMP REWARD oh Bf RCA ast. TESS (ADH Bea & TREN SS HE TS BI PY A I AY 1 c* OP WOE, (EA RSE SLR BHATCeR 185 Bey, PP Ree SS (8 Ol ee TEN, AH 16.029, M@RIMAH 21.181, MAMA RBA Ee AY 表 7.2 完全 随机 的 单 向 释 方 分 析 之 数据 的 排列 《Deta arranged for simple analysis of variance, single classification, completely randomized ) 。 a: SB: 1 2 SR Tee 3 | Yu You eS i Yi Ys) Yio Yo 了 Yi2 Yad 证 3 Y13 Yo3 Y33 ARIS Yi 项 : : 目 J Yj Y2; Y3; ae ee Yi; Vas a Tie 5 Ga Ys, °°" er , n n n n n n ma LY xy, are DY, DY; La 现在 攻 我 们 用 一 种 比较 正式 的 方法 来 表示 我 们 刚 学 到 的 。 表 7-2 AKA BRERA RR ZR, AY RRB 个 起 膀 长 度 ， 而 用 许 号 来 表明 它 在 数据 表 中 的 位 置 ，Yi， ROB: 个 样本 或 租 之 第 7 PRM PRE. Pras 火 行 的 改 和 而 改 丢 ， 而 第 二 个 许 号 是 随 著 横 列 的 不 同 而 改 丢 。 用 过 种 186 ”生物 杭 寻 学 导论 符号 我 们 可 以 计算 样本 1 AE AT: | j=a ¥,;-Y,)? gape th) WAH GeERANE BRA, AMPOURRAME : ] {=e JS2 ml. amet 之 这 (Lo +38 LRPAR MATH, RERAERACR— A, BE Be i =1 (i 是 外 面 的 之 符号 的 指数 ) 。 我 们 把 第 一 租 的 各 项 和 第 一 租 的 平均 数 之 驹 差 的 平方 帮 和 起 来 ， 也 就 是 壬 面 的 壮 的 指数 7 从 1 构 到 2 ， 然 后 我 们 回 到 外 面 的 ZX， 定 ;一 2 ， 再 设 7=1 到 7 了 = ARB AWRELEEO MA, BABATAER i-c, MH R RAERE-AAWMEME SNM, ABIES CA MAN A HA, MMM HWM : n i=a A — a—] jl AOL, BAA LAE BA SR OO a eT, B® HE UTES 2 BEAM TT EEE AS EP LES aT BA A, ST WM, Fee A — Aa RE 2 ET RABE KAHANE HRA, ERN-BRERB AEP OR, PU ZEB — MiNi F OAC 第 七 章 “ 概 方 分 析 之 导论 187 7:2 下 分 配 (C The F-distribution ) — REMRARH SO eR, BAAR, DRERERARAM, BRR RROR MD EH REAP EEOSE, LARORKESRE », TBD fo, HRHR-HPREHM, HAR, MAEM st , 然后 抽取 n, GAA MACAO si. KAA An, 可 DAS ANAS, GEAR n, Ain, 是 固定 的 值 。 SSA AT REA MEAN 8 (RAHEEM IRA (1), ， 和 6 个 起 膀 长 度 的 第 二 个 样本 ( 2。 ) ， 每 一 对 的 值 (si Ms?) 求 得 之 后 ， 我 -个 计算 : $i EF = ee FAA SEA MAR het, PTOGELAIRESER 1, ， 而 REMHRAIE Ss! Mss WANME, RERMAE Mh WRA 大 Nn, Ain, WRA, SKHACMOBHZHAF. ， 则 此 等 比率 的 平均 将 接近 (2 一 1 )/( 2 一 3 ) ， 和 党 式 中 的 2 很 大 时 ， 此 值 接 1.0 Gia HOS DAL BR FD ( F-distribution ), LAT MARHSRR.A. Fisher 而 命名 的 。 过 德 分 配 用 到 一 个 复 杂 的 数学 画 数 ， 我 们 不 在 过 里 仔 普 计 葵 ， 和 上 分 配 及 x 分 配 不 同 的 是 到 分 配 的 形状 是 决定 於 两 个 自由 度 (，， 和 ，* ) 的 值 ， 所 以 任何 一 (iv, Al», 的 可 能 租 合 都 有 其 独立 的 FOR, Sv 值 可 以 从 1 刘 iA, BERR ! 分 配 和 xz* 分 配 一 样 ， 严 分 配 是 一 个 理 葵 机率 Sy, ii RAR 方 的 比率 (sz /sz ) ERASE, HERA 188 Btn SS in SHELTER FOAL, th AER RR PA, Pee Bee AOS AF. ， 使 它 和 机 牵 分 配 的 符号 有 所 不 同 ( Rt. Ht, X* Hx), ”我们 计 葵 过 一 个 正 分配 的 来 源 是 重复 地 从 常态 分 配 的 单一 全 体 抽 取 十 个 样本 ， 但 是 从 两 个 平均 数 不 等 而 母 数 备 方 相等 的 常态 分 配 公休 (wii %*p, }of=o7 ) 去 抽样 也 可 得 到 书 分 配 ， 所 以 只 要 是 母 数 季 方 相等 ， 不 管 是 从 一 个 常态 全 体 或 不 同 的 常 驴 全 体 去 抽样 都 可 以 得 到 一 个 到 分 配 。 on 05 10..15 -20 25 30 36 -40 7-1. 三 个 代表 性 分配 图 7. 1 划 出 交 个 代表 性 的 严 分 配 ， 自 由 度 很 小 时 其 分 配 成 一 型 ， 但 是 当 两 个 自由 度 增加 时 其 形状 于 翅 隆起 ， 冰 向 右 偏 。 麦 了 列 出 三 个 愤 定 的 机 率 值 之 严 的 累积 机 牵 分 配 ， 玫 中 的 值 玫 示 Felv,,v,] > @ 是 在 严 分 配 上 某 一 个 固定 的 严 值 之 右 端 所 估 之 比例 ( 单 尾 的 )， vi 和 ， 各 需 爸 方 比率 的 分 子 和 分 母 之 自由 度 ， 表 的 排列 是 在 顶端 列 出 ,，， 亦 即 分 子 的 爸 方 之 自由 度 ， 而 在 左 瀑 的 滤 称 列 出 ”> ， 即 分 峡 的 爸 方 的 自由 度 。 在 每 两 个 自由 度 值 的 交叉 点 我 们 列 出 三 个 尺 值 ， 依 第 七 章 BeARL ee 1e9 照 & 的 大 小 来 排列 。 例 如 在 一 个 ， 二 6 ，，, = 24 的 五 分 配 ，w 一 0.05 时 的 严 值 是 2.51 ， 其 意义 是 在 F = 2.51 的 右 旭 之 面积 是 0.05 , 如 图 7.2 所 示 。 而 在 书 = 3.67 的 右边 的 面积 是 0.01。 因 此 假使 我 Fie BH, : oz 一 oz ， 和 对 立 假设 瓦 ，: oz > oz ， 则 我 们 要 用 像 图 7.2 所 表示 的 单 届 书 检 定 。 | 142 ” 到 [ea4] a = 0.05 0 ap OO O8 WDE 20°95, 30 By ae 7 F 7-2 自由 度 各 霹 6 和 2 4 的 上 分 配 之 次 数 曲线 。 单 尾 的 5 REE F= 2.51 之 处 划分 开 来 。 现在 我 们 可 以 测 7.1 AAO AREER ANE 7-1 HORSES, HL 7 个 平均 数 所 得 到 的 租 间 丢 方 是 21.180 ， 而 包括 5 个 个 体 的 7 个 租 ZMABHE 16.029, RM MR RAE Ee HME hE AOE 7, ii — Sy TAO 7 EE A FT HS KALA RAAB AM SOB, RUSE 7.4 RN 7 设 需 什么 会 有 过 年 限制 ， 过 逢 对 立 假 改 使 我 们 的 检定 成 需 单 尾 检定 。 190 生物 统计 学 导论 RAR BALAF, =s?/s? 一 21.181/ 16.029=1.32, ERA 查 严 表 之 前 我 们 必须 先知 道 过 个 释 方 比率 的 自由 度 ， 在 后面 我 们 会 庆 葵 到 计算 一 个 爸 方 分 析 的 自由 度 之 简单 公式 ， 但 是 在 此 刻 性 我 们 自己 来 想 想 自由 度 应 蕊 是 多 少 。 上 面 的 合 方 ( MER) 是 根据 7 个 平均 数 所 得 到 的 爸 方 ， 所 以 它 的 自由 度 应 藤 是 6 ; 而 以 下 的 慑 方 是 7 oe 方 的 平均 ， 而 其 中 的 每 一 个 释 方 是 根据 5 个 个 体 所 得 到 的 释 方 ， 每 一 个 季 方 有 4 个 自由 度 ， 所 以 物 共 有 7 X 4 一 28 个 自由 度 。 所 以 上 面 的 区 方 的 自由 度 是 6 ， 而 下 面 的 和 他方 之 自由 度 是 28 。 在 麦 V RAS», =6 Al», =24 的 情形 ， 我 们 发 现 Peoslo,2)=— 2.51, MU F= 1.32 的 显然 大 於 0.05 ， 因 此 我 们 可 以 预期 自由 度 各 需 6 和 28 的 样本 之 爸 方 比率 有 5%% 以 上 的 Fs 值 大 於 1.32。 我 们 的 烙 葵 是 我 个 没 ABRKBARRAR, DRE ORAS HE GRD , EHGHERERCRAMHRER, AB] 个 楼 本 都 是 取 自 相同 的 至 体 ， 所 以 根据 它们 的 平均 数 所 得 到 的 沟 方 是 对 车 电 起 膀 长 度 的 母 数 释 方 的 另 一 逢 估计 。 Me EB EF EN SS ( REE, : oz >?) 样 AMMA s2 可 能 小 於 也 可 能 大 於 sz 。 此 逢 检定 是 二 尾 检定 ， 因 此 假 (i —-WREE5 YE, B24 HRRRAE HME 有 时 我 们 必须 计算 a>0.5W Fi MEF ORME), 是 过 逢 值 很 少 被 列 在 麦 内 ， 我 们 可 以 应 用 下 列 的 简单 公式 来 计算 之 : 1 ra (7+2) & ci-a)[v。 vi] Feley.23) = MAM, F-osCs,20] = 2.62， 假 使 我 们 想 求 F-oscs,2.] ( PRRESE Ste BHARLHR 191 59124, MAERASHM RKO SWF), RADAR F.os(24,5] =4.53, 然后 已 ors 4] 是 4.53 的 倒数 ， 也 就 是 等 於 0.221 ; 所 以 在 自由 度 各 需 5 和 24 WFO HIS REE 0.221 Hy ASB, FRA? SACHA HABE, MEO CEE x? = D y/o? MHRER AER nls? 分 配 ， 假 使 我 们 将 上 式 的 AFR n—-1, ， 则 我 们 所 得 到 的 比率 是 已, = s*/c* ， 它 是 一 个 F (a-1, 00] 的 期 整 分 配 的 徊 方 比率 。 分 子 的 叙 方 的 自由 度 是 2 一 1 ， 也 就 是 样本 释 方 的 自由 度 ， 而 分 母 的 释 方 的 自由 度 是 无 摔 大 ， 因 月 只 有 根据 无 第 大 的 数目 我 们 才能 求 得 一 个 全 体 的 质 正 母 数 季 方 。 所 以 把 AX? 的 值 除 以 2 一 1 自由 度 ， 我 们 就 得 到 一 个 自由 度 各 人 垮 妈 一 1 loo) Fs fi, WE zi.]/， 一 下 [ 。] RMU FRM? BH PE PEBH RAY TEE, UME x? BEC HV ) PBR x. 05010] = 18.307, 将 过 个 值 除 以 自由 度 10 8079 1.83073 HEF (RV) 我 们 发 现 vi =10， =oo 时 ，F.wriu co] =1.83 。 因 此 过 两 种 题 著 性 的 统计 量 是 有 密切 的 坝 傈 ， 假 使 我 们 没有 x*? R, RATA PR, Ll vF Cy, 01 来 求婚 ,] 值 。 在 我 们 粮 夸 和 葵 释 方 分 析 之 前 ， 我 们 先 利 用 亚 分 配 来 测验 有 天 两 (RAR EWR. | wee Hg. of =o, HBR ( The hypothesis H, : 62, =a,7 ) BOX 7.1 HARB WR ORAM RS BSR AB AHA CnC THRE, CKARM SBA, CO ARK ROWE ERAS BOREL, Lube dR DAR 一 一 一 一 192 4 Ditst BB iw o 不 仅 在 有 关乎 均 数 的 检定 时 必须 考虑 到 过 种 检定 ， 而 且 过 逢 检定 也 有 其 独立 应 用 之 处 ， 也 就 是 要 测验 两 个 样本 是 否 有 相等 的 委 方 ， 例 如 在 遗传 学 上 我 们 可 能 想 知道 子 代 的 某 一 个 性 状 是 否 比 亲 代 的 蕊 性 状 之 BAEK, EARS LEA FG A KAR RBEE GAS, ERRAWS LR FEA A RRY RSs aR _K-BHBRERK, HE SAUMSACHEY BA) ZHRR , REAEPR ASTM RHAS, BRAG et efi HBL ER RD HI — BOX 7-1 BHM BR RSH RE (Testing the significance of diffe- rence between two variances, ) | ERAROM KH FE, wee ( Blattella vaga ) 的 生存 天 数 。 Hi et 8 n1=10 Y, =8.5% s2 = 3.6 itt see n2 =10 ¥,'= £8 so =0.9 Hy : o,f =07 H, : of #oe HRA Willis M Lewis (1957) 的 次 料 。 对 立 假设 是 两 个 楼 方 不 相等 ， 我 们 没有 理由 假设 一 个 性 别 比 另外 一 个 性 别 的 变 哎 性 要 大 ， 所 以 过 是 一 个 二 尾 检定 。 由 夫 在 麦 V 以 及 在 大 部 分 的 表 中 只 列 出 羽 分 配 的 右 尾 ， 所 以 我 们 把 比较 大 的 杰 方 当 作 分 子 ， 比 较 小 的 杰 方 当 分 母 FER Fs, 的 比率 : | ARE, RR cp A HM AM Fo/o Ev, ,v ] > a EH 第 七 章 。” 性 方 分 析 之 半 花 193 第 一 型 误差 ，21=%1 一 1，22 一 2 一] ， 分 别 是 分 子 和 分 母 的 释 方 的 自 由 度 。 至 於是 否 查 Fa/s[vli ,yz?] ， 或 是 查 Fa/s [vz,vi] ， 则 要 看 是 样本 1 或 样本 2 具有 较 大 的 灵 方 因而 被 当 作 分 子 而 定 。 té# VRB F.o2s[0,0] 一 4.03 M F.os[o,0] =3.18 ， 因 有 需 过 个 例 子 是 一 个 二 尾 检定 ， 我 们 必须 把 KS BS me, Ak 4.03 Fee eye BEaa=0.05, ARa=005 的 右 尾 面积 在 左 尾 上 也 有 一 个 相似 的 面 征 , 而 在 左 尾 上 的 唔 界 值 是 F975 Co,0] = 1/F-025 [0,0] = 0.248 。 所 以 假使 虚无 假 届 是 正确 的 闫 ， 得 到 一 个 大 於 4.00 或 小 於 1/4.00 = 0.25 HF 值 之 机 率 是 0.10> 已 > 0.05 o RK, MHKAB HE RARSER, elie 性 的 生存 时 间 之 长 短 的 楼 轴 性 相等 。 但 是 由 於 所 得 到 的 千 果 很 接近 5 % 的 显 | 著 水 准 ， 所 以 使 我 们 怀疑 两 个 缀 方 事实 上 可 能 有 不 同 。 最 好 是 能 够 重复 实 台 , 希望 能 锡 得 到 更 确切 的 车 论 。 7.4 样本 平均 数 之 间 的 非 均 这 性 ( Heterogeneity among sample means ) 我 们 现在 稍 需 改 区 7.1 节 之 7.1 RO, REET Bee 阔 不 是 从 同一 全 体 所 得 到 的 随机 样本 ， 而 是 用 下 面 的 实验 所 得 到 的 烙 ” 果 。 假 屋 每 一 个 样本 是 培养 在 不 同 的 培养 仙 中 ， 而 且 每 个 培养 负 中 的 培养 基 不 相同 ， 有 的 培养 基 加 比较 多 的 水 ， 有 的 加 比较 多 的 糖 ， 另 外 有 的 加 比较 多 的 固体 之 物质 。 芝 我 们 假设 样本 7 代表 标准 的 培养 基 ， 而 其 他 的 样本 是 要 和 此 标准 培养 基 来 比较 的 。 各 逢 不 同 的 培养 基 会 影 PRADO ZA, SHMOADN 会 影响 我 们 所 测量 的 翅膀 长 度 的 大 小 。 194 生物 统计 学 导论 六 我 们 假设 培养 基 的 处 理 造 成 下 列 的 影响 : 培养 基 1 一 使 一 个 样本 的 翅膀 长 度 平 均 降 低 5 个 单位 2 ” ”使 一 个 样本 的 翅膀 长 度 平 均 降 低 2 个 单位 3 不 会 改 季 一 个 样本 的 平均 翅膀 长 度 4 ”使 一 个 样本 的 翅膀 长 度 平均 增加 一 个 单位 5 一 使 一 个 样本 的 翅膀 长 度 平 均 增加 一 个 单位 6 -使 一 个 样本 的 翅膀 长 度 平均 增加 5 个 单位 7 — (4a) 不 会 改 徊 一 个 样本 的 平均 翅膀 长 度 我 个 把 处 理 ; 的 影响 (效应 ) ai RRM ( 要 注意 过 壬 所 用 的 w 是 AB —WRER BB, FHS a OHO HS ER By CAP ae (E@EET S_LAVARR) SH LULA EAU RR, HOME MTD : ， a, 二 一 5 a,=1 a, 三 一 2 一 a, =0 gS) a= 0 我 僻 可 以 看 出 人 mw = 0 ; HELEN ANIA, HER A 坏 用 过 德 方便 的 特性 ， 事 实 上 扯 不 是 效应 的 禾 和 一 定 等 於 零 。 我 们 现 HSE 7-1 的 每 一 个 样本 的 数据 加 上 般 当 的 mi 值 ， 样 本 1 的 on 值 是 _5 ， 因 此 第 一 个 翅膀 长 度 本 来 是 41 ( BRR7-1), REBK 36 而 第 二 个 志 膀 长 度 本 来 是 44 ， 现 在 萎 成 39 ， 余 类 推 。 第 二 个 样本 Wa, 是 一 2 ， 所 以 第 一 个 翅膀 长 度 从 48 Bh 46 。 wa, 是 0 时 ， 起 膀 长 度 不 释 ， 当 w; 是 正 值 时 ， 其 翅膀 长 度 随 著 正 值 的 大 小 而 增加 。 Mt BR SY EFS SET *3 。 玫 7.3 的 排列 顺序 和 表 7-1 相同 。 195 Ste BAA 988'IS6=,4 % L19°00I=,(A—A)Z uD D Il6@Z=,AZ vb 6b VI = 2A K uD D L : Sire ings es 7y8 9 =A ve'Sh = A L851 =AZ BK uD 2 te Yb BY ag LE ti cbr ZF et tr BG 1 EEO EE EO Ole Ge ee Bao! COP eS, = OT ees, og eX EIv‘Ol 0I8“8T FIE‘OI €9h6 OF8‘OI ZES‘OI GPL ZAR Rie ee et te Oe a Pate ec eee hg it erag” \ gene) Corey) 9 了 4 Grew euc-.. O68 tig <-ter <-..06% ~..£61 AQ BY oh es eee 1 bb as Ov bb tet ly” = Se oe rs 9G eae RE aa. en eee 人 ae Sage Iv Op oF. oe oe 四 0 ES Z 9 9 y 8 z ! 人 本 下 2 °( a7Gups yova 0} pappv ‘py sjoaffa mopuna 40 1D SI afLfa juamjva4 - ~PAXtf YIM Jo) 23192Z fO 010q ) by MRM 8 WK ee BIT Oe OY A — 8 Ten SY E-L¥E 196 生物 统计 学 导论 ?办 十?X soe t+ IX ose to + 84 2z2 十 2X ID 十 A Ef xk ?MU 十 are cabal dB, | eer Spu+ *AQ tout "AZ Tout TAR wm °C @eL 9199L fO 4duuDm a4} ut paBuvddd f+) 2190 f0 DIDG ) “ERE OHS. Shy MMS LY b-L¥ RR BHAHLBR 197 REMRABBRALMMHER, RAS ERA BM, BRE 29.2, CGE RUMAH 7-1 的 第 1 RRA HOE FARLK, RABRM BETAS. MR, WAH S y? 1G, DS-ANEHM, MEAL NMEZEAS, BBR UE VERB ILE a; FSBO BRE MIM Hes, | BARE ORR, a: 是 常数 。 从 附 人 Al1.2 我 们 可 以 看 出 加 性 简 化 对 於 平方 和 及 爸 方 都 没有 影响 ， 所 以 不 仅 每 一 个 平方 和 以 前 相等 ， 而 且 粗 内 的 平均 疗 方 仍然 是 16.029 。 现 在 统 我 们 来 计算 平均 数 的 合 A, Ge 100.617/6 = 16.770, TS RELL ah EB ZA ( 4.236) KAS. BRARU n=5 就 得 到 一 个 o* 的 估计 值 ， 亦 部 #5 BIB SHS 83.848, SEM UNE o? 。 我 们 用 新 得 FNM AREF RE, WHF, = 83.848/16.029 = 5.23 ， 过 个 值 比 临界 值 Feos(e, nl 三 2.51 大 很 多 ， 事 实 上 我 们 所 得 到 的 FP, 值 比 ” 严 mresa 三 3.67 BBA, BR LB (CB) 显著 地 ART GMBH (MAB), ， 两 个 爸 方 很 不 可 能 来 自 相同 的 母 数 BH BPA LAFASE 7-4 ARERR LIGA SUA, 927-4 BSE 7-3 AORN EBERT, BEE 7-2 KAR 7-1 一样 。 从 表 7.4 我 个 可 以 发 现 每 一 棚 都 加 上 了 一 个 常数 w; ， 过 个 常数 使 得 每 一 粗 的 炉 AUB INT na; ， 而 且 使 租 的 平 均 数 增加 wa; 。 在 7.1 节 我 们 提 到 和 粗 内 叙 方 可 以 用 下 式 来 计算 : 3 Makar gd 2» Cray — Sig) 假使 我 个 用 此 式 计 算 租 内 他 方 ， 由 扒 现 在 每 一 个 了 和 每 一 个 了 ;都 198 DRS .要 加 上 ai ， 所 以 本 来 的 公式 释 得 更 复杂 ， 可 以 写成 CC a(n—l1) ¢=1 j=1 当 我 们 把 大 括 弧 内 的 小 括 弧 去 掉 ， 则 第 二 个 wa; KPERR, Aw Bt YY GS PB EN st FT a FTX BB BREDA HEA, PRANRHBAAZKE : 2 BA IE 79 BR ST nO RS, RUIZ Re ZEABK : pe ECR +a )-(F +a)" eat Ts pls Spee eee eben ie 2Z 一】 二 1 把 上 式 中 的 大 括 跑 展开， 融 得 到 SLE “到 方 分 析 之 导论 199 1 ss ae 2 ee aaa ee ° aa | 2, Cre 2 a ae 2, seal initia wee BC Ye Eds —a) RAT AB tty BARE MOEN ZB ( st); 第 二 项 是 一 个 新 的 量 ， 但 是 我 们 对 它 的 形式 很 熟悉 ， 它 磊 然 是 一 个 报 方 ， 或 至 少 是 类 似 构 方 的 一 个 量 ; 第 三 项 则 是 一 个 新 的 形式 ， 它 就 是 所 性 的 Bi ( covcaxiczce )， 我 们 以 前 渤 没 有 讨 葵 过 过 一 个 统计 量 ， 在 此 刻 我 们 不 要 对 运 个 和 统 计量 阁 加 计 葵 ， 但 是 我 们 要 指出 在 我 们 所 寻 论 的 运 个 例子 由 於 处 理 效应 (waw;) 的 大 小 和 工 ; 的 大 小 之 间 痊 没有 关连 性 ， 亦 邹 两 者 是 独立 的 ， 所 以 其 构 积 的 期 瑰 值 是 零 ， 因 此 其 季 积 对 於 新 的 平均 数 之 释 方 小 没 有 影响 。 处 理 效应 和 样本 平均 数 之 独立 性 是 一 个 很 重要 的 观念 ， 所 以 我 们 必需 加 以 解释 。 在 前 面 所 这 的 例子 ， 假 屋 我 们 小 不 给 各 个 培 关 瓶 有 不 同 的 处 理 ， 而 把 所 有 的 培养 瓶 当 作 都 是 对 照 粗 ， 我 们 仍然 合 得 到 不 同 的 翅膀 长 度 平均 数 ， 就 像 表 7.1 从 相同 的 族群 随机 抽样 折 得 到 的 不 同 平均 数 一 样 。 由 於 机 遇 ， 某 些 平均 数 大 一 点 ， 某 些小 一 点 。 在 实验 设 诈 之 初 ， 我 们 无 法 预期 那些 样本 平均 数 会 较 小 和 那些 会 较 大 ， 因 此 在 我 们 的 实验 计划 壬 我 们 仍 无 法 使 最 大 的 处 理 效应 〈 例如 此 例 的 第 六 个 培养 瓶 ) 就 得 到 最 大 的 平均 数 ( 例如 此 例 的 第 二 个 样本 ) 。 同 理 ， 在 我 们 所 欠 的 例子 最 小 的 样本 平均 数 ( 例如 第 四 个 样本 ) 也 没有 和 最 小 的 处 理 效应 过 在 一 起 ， 只 有 在 假使 我 们 可 以 把 处 理 效 应 的 大 小 和 样本 平均 数 的 大 小 之 相关 性 能 随意 控制 〈 ERR RMS), ， 那 时 第 三 项 ( SMM) HOME GREK , 200 ”生物 和 统计 学 尊 is 上 式 的 第 二 项 显然 是 由 於 处 理 效 应 的 千 果 所 产生 的 ， 它 类 似 於 一 (ai, ANI 它 渗 方 ， 因 需 它 不 是 基 於 一 个 随机 的 的 数 所 求 得 的 ， 而 是 基 於 我 们 随意 控制 下 所 录 择 的 各 种 处 理 。 只 要 把 处 理 的 性 质 和 大 小 加 以 改 千 ， 我 们 就 可 以 使 过 个 类 似 屋 方 的 量 产 生 改 千 ， 因 此 我 个 把 它 吓 做 “由 於 处 理 效 应 所 增加 的 成 分 ”( cdded component due to treatment erects ) 。 在 过 个 例子 因 坑 a=0, 我 个 可 以 把 上 式 的 中 间 项 写成 : YCa, abe eee Tals Ba @—] ;=1 : £—--) pe 1 a— ER BOMPR ALL SROBAE n, LSSBAA WR BHL She, AECMRSZRSTNEUMANBA ( 或 租 Mets), SARBOEEES, RADLEERR : n ( sot 5 a2 ashes Ya? 4b SFR AAT LLB HY OAL ITS Sy 2 HEL OM 了 下 面 的 过 个 量 : 过 个 量 是 汪 乘 上 由 於 处 理 效应 所 增加 的 成 分 。 现 在 我 们 可 以 晓得 名 什 FEA BEAR ATS FATS ECS FP BE eK TAS Me PAR at LE Ae PF AT 容许 的 大 小 。 我 们 本 来 是 想 测验 PRES oo? fo? = 1 WR BHA, {8 是 事实 上 我 们 是 在 做 以 下 的 检定 : Ste BHSHLBR 201 从 过 个 公式 我 们 可 以 题 然 看 出 ， 当 我 们 随意 排 成 过 箱 形 式 时 ， 严 检定 AY DAUR Hi Ha HS oe EET BI MO Sit PHSEREM ABABA, CHUERM BR EAARMNVRBARMHE, bHESEHRES TURBREK Hil—Baes OKRA, RENSAMTRANRBERSPE SRN B22, ARCARERBREX AR 一 全 体 的 随机 样本 。 假 使 后 者 的 答案 是 正确 的 话 ， 由 於 处 理 效 故 所 增加 的 成 分 存在 ， 而 且 可 以 用 靠 方 分 析 的 题 著 性 检定 之 下 检定 测验 出 来 。 在 过 样 的 研究 我 们 通常 小 7. RAK AE ZAK) | 我 们 通常 是 届 趣 於 各 个 w; WAL, URANAFRR, Saw 是 不 同 的 培养 基 对 於 翅膀 长 度 所 造成 的 影响 。 另外， 例如 假使 我 们 测 量 各 个 老鼠 的 样本 的 血压 ， 而 不 同 的 粗 在 事先 曾 径 接 受 不 同 药 剂 的 处 理 ， 或 是 相同 药剂 不 同 剂量 的 处 理 ， 则 w; 玫 示 各 侈 剂 或 剂量 对 於 血 压 所 造成 的 影响 ， 它 显然 是 研究 的 人 所 愉 趣 知道 的 问题 。 我 们 也 可 能 有 负 趣 研究 w; 一 wx 的 差 ， 过 逢 研究 可 以 使 我 们 膝 解 任何 两 个 不 同 的 堵 状 基 或 两 个 不 同 的 药 间 或 剂量 抽 造 成 的 影 歼 是 否 有 显 考 的 不 同 ， 但 fis HRS EVER NK. RMA GH BRE AE DOB RAR BHD HA i — HB DH ( Model I anova), CARH 7-6 节 我 们 将 对 模式 202 生 匆 统计 学 导论 SHOT T RAM HER, RTRRIBHONZA, BE BAR FUUL A HR | BAD HAWS ADH ( Model LT anova ), & A 1 5 HTT Nat) SE — ATI A ME EE DE BEBE ( random effects), thatSE DP Ic7\Be (FREY Bt 划 或 对 於 任何 一 租 作 固定 的 处 理 ， 每 一 租 的 真正 效应 是 随机 的 ， 而 且 只 有 一 部 份 是 可 以 受 我 们 的 控制 ， 假 设 表 7.3 的 车 曙 的 7 CREM 一 个 族群 中 随机 抽取 的 7 焦 雌 电 的 子 代 ， 而 且 是 培养 在 相同 的 培养 基 。 过 7 焦 雌 电 之 问 当然 有 遗传 上 的 差 殿 ， 因 而 它们 的 子 代 也 会 有 不 同 , 而 我 们 对 於 过 些 不 同 的 里 正 原因 站 不 十 分 逐 解 ， 而 且 也 不 能 预 估 它 们 之 问 的 不 同 。 在 还 没有 时 正 量 它们 之 前 ， 我 们 无 法 晓得 第 一 焦 雌 是 的 子 代 之 翅膀 长 度 是 否 会 比 第 二 焦 雌 曙 的 子 代 要 长 ， 我 们 也 无 法 对 认 SAK BLUE Ame BE Me RA, BT BE REHREFRY KA HOBRELLEARER TORS, TRA 水 不 知道 此 等 遗传 因子 的 分 配 情形 ( 我 们 或 许可 以 预期 它们 是 成 常态 分 配 ) ， 我 们 的 7 个 样本 是 过 些 因 子 的 随机 样本 。 模 式 工 杰 方 分 析 的 另 一 个 例子 是 我 个 所 用 的 培养 基 背 不 是 一 次 配 好 ， 而 是 一 个 培养 基 配 好 之 后 再 配 下 SE, RAB OSA WEE CMBR 我 们 冰 不 愉 趣 於 知道 各 次 的 真正 不 同 ， 即 使 我 们 测量 出 各 次 的 不 同 是 多 少 ， 我 们 也 和 无 法 加 以 解释 ， 举 例 来 如 ， 因 坑 我 们 水 没 有 故意 的 使 第 三 次 的 配 法 和 其 他 欢 有 所 不 同 ， 所 以 假使 它 所 造成 的 想 膀 长 度 比 第 二 次 要 长 ， 我 们 也 优 法 解释 需 什 么 会 较 长 ， 所 以 在 过 箱 问 题 我 们 只 想 知 道 所 增加 的 效应 的 妈 方 的 大 小 。 所 以 假使 我 们 把 一 次 配 好 的 培 关 基 分 配 在 7 MARES, Seay LU SMS OME 0/5, BEAR $3 — ftp Aa 5 FEW, (ERE A — 8 HE EE Kg NT 2 OR, RUB eR re tA, :过 是 因 需 每 一 欢 配 培养 SCR BAARVHRm 203 SRS AS ASA AANA, i BA th BECERRA ER , ALT AS RR AR, RARER ER BX 的 仙人 备 所 增加 的 他方 成 分 ， 同 理 ， 在 前 面 的 一 个 例子 ， 我 们 是 要 趣 认 膀 解 由 於 雌 曙 的 遗传 差 情 所 增加 的 释 方 成 分 。 我 们 现在 简单 地 计 论 与 模式 芽 到 方 分 析 有 需 的 代数 公式 。 表 7.3 的 第 二 行 之 前 标 不 仅 有 wa; TESA, A: 就 是 我 们 用 来 表示 随机 效 应 的 符号 ， 我 们 用 一 个 大 写 的 字母 来 表示 过 箱 效 应 是 一 个 概 数 。 除 了 #7-4 ha; 现在 要 用 4, 来 代替 之 外 ， 对 於 全 体 爸 方 的 两 逢 估计 值 的 计算 方法 是 和 模式 | BHO, te SMS HE AREER, er ee bet Yee SCA, era a @—1 -i=1 2 a— 1 & (¥.-¥) (Ai —A) hws ARRON, BPYRHBD si ， 最 后 一 项 是 租 的 平均 数 和 随机 效应 A; 之 间 的 爸 积 ， 就 像 以 前 一 样 过 AMS ee 等 於 规 ， 因 需 随 机 效应 和 平均 数 的 大 小 两 者 之 间 是 独立 的 。 中 间 的 一 顶 是 一 个 芙 正 的 党 方 ， 过 是 因 需 4, 是 一 个 随机 区 数 ， 我 们 用 s: 来 KREGER, WABEA “AMR MNBARD” ( added var- Sawer component among groups ), 用 前 面 所 罕 的 一 些 例子 ， 则 和 过 个 伙 方 成 分 是 表示 雌 曙 间 增加 的 爸 方 成 分 ， 或 是 由 於 培养 基 的 调配 ”之 次 数 的 不 同 所 增加 的 释 方 成 分 。 过 个 增加 的 释 方 成 分 之 存在 与 否 可 DAF RERHR, REAM RMRA, HR PLS Fee Wot /ot=1, FARA NM EROE, HOE: 204 生物 统计 学 壮 iw ao? +noa%, o” For Etch of (ils? 的 母 数值 ) 要 乘 以 ， 过 是 因 优 我 们 必须 将 个 均 数 的 倒 方 乘 上 ， 才 能 得 到 全 体 的 属 方 之 一 逢 独立 估计 。 在 模式 5 DEM UREA: 的 大 小 ， 或 是 像 4: 一 4 之 差 , BUR OLIN 02 的 大 小 ， 以 及 它 和 0° 的 相 轩 大 小 ra es 大 小 通常 用 100 s2/(s? + 84) WESTER MMe Huet ot? 十 mez ， 我 们 可 以 用 下 列 的 方法 来 计算 4 : 1 ( ROSE — MPRA he ( 2 2 a - 1. 2 ee ras s* 43S, ) 3] =—- (Sas AMAT AB, sf =~ ( 83-848 — 16.029) = 13.56, MAM $8 Ds ED Ze : 100 13.56 — 1356 16.029+13.56 29.589 = 45.83% 6) Pa Rs AAI DUD EG BED ZAIN 45-83 % BAT BGA 折 将 在 本 章 的 7. 7 OVE TERAO MLS ; BRIS RH AT HAE 一 章 加 以 仔 狂言 葵 。 7.5 总 平方 和 与 自由 度 的 细 分 ( Partitioning the total sum of squares and degrees of freedom ) isp te Falk, BAMSRAOWA THEE 7-1 的 数据 可 以 计算 出 来 的 另 一 Ste BAAR 205 ABh, RERARERS AWD, MATA RS EES San=35 PARES HR—RA, VAAN BHR RT CetRawtennes, KAM BB K MR 7-1 和 表 7-3 kM, EMER FEM. ER 7-1 本 我 们 得 到 的 平均 数 是 立 = 45.34, SME REMY OS, YET ”个 和 粗 平均 数 的 平均 。 35 个 项 目的 平方 和 是 575.886 ， 将 此 平方 和 除 以 34 个 自由 度 ， 就 得 到 好 方 等 从 16.938 。 对 玫 7.3 的 数据 重复 运 逢 演算 就 可 得 到 立 = 45.34 ( 因 震 2a; =0 ， 所 以 此 值 和 表 7. 1 的 值 相同 ) 以 及 sz = 27.997, 3S HRA ARS 7.1 HR BH 。 从 所 有 的 on BA MHA KOMMHE cz 的 另 一 逢 估计 ， 对 认 第 一 个 例子 来 说 ， 过 逢 估计 是 一 逢 很 好 的 估计 ， 但 是 对 於 第 二 个 例 子 表 7. 3 ) FR, AR As ES MD Ime I MN Bw 存在 ， 它 是 对 全 体 爸 方 的 一 箱 不 准确 的 估计 。 (EEG A PEt Ae IIE REE c* 的 另 一 逢 fiat, WMEBTHALHHE, SRAPRM ERI RE 7-510 GCBEOITK, RINAURABEH AMEDD. WRK Eh, AMES A, UA, aN ken (ACME HHA), BOWMORE ds, OAH aBAHE GA VAR SBET ES Fis, CMBR GHEE < 一 1; AAR RQ EE o(n—1), MMR GHEE on—-1, CREM MUSA EDARBS, VERMPOMKWE SAAEMNAH 和、 竹内 平方 和 及 所 有 on 项 目的 样本 之 平方 和 ; MECC BRE 之 到 方 落 不 叫做 “性 方 ”， 而 通常 叫做 “ 均 方 ”( mean squares) ， 过 是 因 需 在 模式 工 的 释 方 分 析 它 们 水 不 是 估计 一 个 全 体 的 爸 方 。 坟 些 均 方 事实 上 背 不 是 芙 正 的 “ 均 方 ”， 因 需 平 方 和 消 非 用 楼 本 大 小 来 206 4 Mit SS in 除 而 是 以 自由 度 来 除 的 。 平 方 和 与 均 方 通常 各 用 SS MMS RRR. 玫 7.5 之 平方 和 及 均 方 除了 很 小 的 四 捡 五 人 上 的 差 让 之 外 ， 和 以 前 所 得 到 的 车 果 是 相同 的 。 但 是 要 注意 到 平方 和 的 一 个 重要 之 性 质 ， 租 间 及 和 粗 内 之 平方 和 是 各 自 独 立 的 ， 但 若 我 们 将 此 二 逢 平方 和 加 在 一 HMA SRNR DA 所 以 平方 和 是 具有 加 成 性 的 ; 换 句 话语 ， RERPAAT UMS RASA ROMAABAHRS. RA TPAUBHAAE HERA, Aey 34 个 自由 度 ， TMD AMM 6 个 自由 度 和 租 内 的 28 个 自由 度 。 因 此 若 我 们 知道 其 中 的 任何 二 个 平方 和 及 其 自由 度 ， 则 我 们 便 可 求 得 第 三 个 的 平方 和 及 自由 度 以 及 完成 我 们 的 爸 方 分 析 了 。 另 外 要 注意 均 方 小 不 具有 加 成 性 ， 二 eA RMR Cat+b)/Cc+d) ¥a/c+b/d, R755 RA 71 HRRZBADHR( Anova table for data in Table 7-1 ) 上 (1) (2) (3) (4) 2 . 因 df BAA BF Y-Y # 6 127.086. 21.181 on ae ee 28 448.800 16.029 y-Y *@ 3 34 575.886 16,938 我 们 现在 用 计算 平方 和 的 公式 (3-7) 来 属 明 过 些 平 方 和 具有 加 成 性 。 赂 然 它 是 一 乔 代 数 的 演算 ， 但 我 们 还 是 将 其 列 在 此 处 ， 而 不 BR “Wk "内 ， 过 是 因 需 温 些 公式 同时 也 可 遵 出 爸 方 分 析 芙 正 的 计 | Gta BHARLYR 207 算 公 式 。 我 何以 前 用 来 计算 平方 和 的 方法 小 非 最 简便 的 计算 方法 。 我 个 可 以 用 一 箱 更 简单 的 方法 来 计算 ， 首 先 在 均 数 的 平方 和 之 简便 求法 EROS EN EAMES, SN (3-7) 式 的 计算 公式 来 表示 ， 然 后 每 一 个 平均 数 再 用 其 租 成 的 释 值 来 表示 。 下 一 个 步 遇 是 将 各 个 苍 母 提 到 德 和 记号 ( 习 ) 之 外 就 可 得 到 最 后 的 式 子 了 。 至 於 租 间 的 平方 和 之 求法 如 同 前 面 所 述 将 SSna。 乘 上 多 便 可 求 得 了 。 因 此 5 dy EOD Ob Hk, AME MPVS AU : SSwue =33(¥ -¥)* = FS r= C543 =S3y¥?-— 30 S¥) BR, WEAR: 208 生物 统计 学 导 座 现在 我 们 把 上 面 得 到 的 各 逢 平方 和 之 公式 稍 加 重新 排列 如 下 : S 下 SY ‘ l ( a SY a Ssreue = n > C 3 ) | aS; an +2 ) . SSenin === 5 《 SY )?+ Soy? SS we = Sey? (SEY)! 由 上 面 我 们 可 以 看 出 SSeroups 及 SSwitnin 的 式 子 加 超 来 刚好 等 於 SStosa 的 式 子 。 过 恬 明 了 平方 和 具有 加 成 性 。 我 们 在 此 要 指出 各 平方 和 之 自由 度 也 是 具有 加 成 性 的 ， 但 我 们 不 想 要 在 此 以 代数 之 演算 来 登 明 它 。 入 的 自由 度 可 狂 分 坊 粗 间 构 本 之 自 由 度 和 粗 内 项 目 之 爸 愉 的 自由 度 。 在 我 们 炎炎 寻 花 其 他 问题 之 前 ， 革 我们 先 来 了 解构 方 分 析 中 的 三 GAZES MHMS (total MS ) 是 35 个 (cx2 ) 项 目 和 其 稳 平均 数 45.34 的 一 箱 胡 势 统计 量 ， 它 表示 整个 柑 本 由 於 所 有 的 原因 所 sent Ay Ss 假使 在 各 租 之 间 没 有 增加 的 处 理 效 应 或 帮 方 成 分 的 话 ， 则 它 是 对 os 的 估计 。 租 内 MS (within-group MS ) 双 叫做 “个 体 ”或 “ ry” at “ RH” HH ( individual or intragroup or error mean square), Exe —MA 5 fa ( nf ) AAR APS 数 的 平均 风势 ; 假使 c 个 租 都 是 从 一 个 共同 的 均匀 全 体 所 得 到 的 随机 AWE, BUA ito? MBH CMS among qroups ) 第 七 章 。 楼 方 分 析 之 导论 209 是 根据 租 平均 数 的 构 方 而 来 的 ， 而 租 平均 数 释 方 是 描述 7 个 (< 个) CESAR RES BEA ME ase oF tee BZ mA, ATSB ot/n, ART RASH RHABARWA, RMB MTR Din TS SID HOR EAs 38 A EE EAR RE, RUE 0? 的 一 秆 估计 。 否 则 的 应 它 是 估计 : n 5 Se ier ae Ae BR cc +noa; BRERA MERE S MERMOMNMERA | MALI 2ZBHD 析 而 定 。 前 面 我 们 刚 学 到 的 加 成 关 傈 是 和 增 加 的 处 理 或 随机 效应 的 存在 与 Bee, BURR ROL, ERE 7.6 也 可 以 简章 的 看 出 ， 而 麦 7.6 是 表 7.3 的 公 方 分 析 之 搞 要 ， 表 7. 3 的 各 样本 是 有 w， KA: 的 加 入 ， 但 加 成 性 的 关 傈 仍然 存在 ， 赂 然 租 间 SS RSS 之 什 FAIZ 7.5 所 列 的 值 有 所 不 同 。 表 7。6 表 7.3 的 数据 之 楼 方 分 析 表 (4xzovc table for data in table 7-3 ) a=, (2) (3) (4) eH af BH OK OS Y-Y «# 间 6 503086 83.848 Y-Y 8A 28 448.800 16.029 SS a 2 34 95 1.886 27.997 210 awe : SMD th TL ERS BAS HOMES RODIN, bse 7.1 坑 例 ， 其 第 七 组 的 第 一 个 个 体 之 翅膀 长 度 是 41 ， 它 与 租 平均 数 Zw | | : ‘Yn—-Y,=41~—45.4=—4.4 ALO 29 WB BE IZ BEE : Y,—Y =45.4—45.34 =0.06 RRR eR | ¥n—-¥= 41 一 45.34 一 一 34 Hi LS ESR A. FLA TRS Re be ERR Ae EZ EE UES HO SUR REE, SSE ZT DUB RAR ZI : “Ov s¥ 4 CYHY SC YS ES 把 an SH A MRE 5.2 AA YY(7- -Y)* +n¥(¥-¥)* =D (¥-¥)? ER GL MERZ pra gee Es 2 MERE cs +b + 2ab=c* Zw HPA 2b 坑 何 没有 列 出 ? BEAR ， 28(7- Y)(Y¥— ¥)= 25 ((¥-¥) 3 (¥— Y)) CRF Lam OR, 由 於 每 租 之 > 7)=0( 附 从 Al'1 hE ARH), AMOERAH OO, | CLR PHAHLMR 211 EBHOMENES, RAAT RRA OBR ( BAR 7-5RE7T6), RATAN AMS MACE EME, BARES thE MEE SH OE, | ery yee voy ya ¥ +7). 7°6 模式 1 BD 447 (Model | anova ) SAL MORO OHS RTL LT iB, BASEAAM. HEA RARHBAOM ZARA 同 ， 而 且 在 最 初 的 显著 性 检定 之 后 的 一 些 附带 的 检定 和 计算 也 有 不 同 现在 萎 我 们 管 哉 解决 一 个 释 方 分 析 的 例子 。 过 个 例子 不 仅 可 使 我 个 更 进一步 了 解 丢 方 分 析 的 意义 ， 而 且 可 使 我 们 更 进一步 了 解释 办 本 身 的 意义 。 坑 了 计 葵 方便 起 见 ， 我 们 仍 用 玫 7.3 SRE At 。 我 们 要 间 “ 什 么 原因 使 任何 一 个 首 旱 超 膀 长 度 会 成 那样 的 大 小 ?” 例如 第 一 个 样本 的 第 三 三 个 超 膀 长 度 是 43 哩 位 。 我 们 如 何 来 解释 过 ABBE 2 最 先 HCA CORRE, BOREL CO HEESKAB HMB Ce TOM, TS ew eT yee v= 45.5, HERMAMEZEAMERRHOAR, BA 知道 它 是 第 一 租 的 一 个 份子 ， 而 第 一 租 的 每 一 个 份子 都 接受 过 一 逢 特殊 的 处 理 ， 因 而 使 粗 的 平均 数 下 降 5 单位 ， 即 w, = 一 5 ， 因 而 我 们 对 Yi。( 第 一 租 的 第 三 个 个 体 ) OH 45.5 一 5 = 40.5 单位 。 可 是 事实 上 ， 它 的 值 是 43 单位 ， 也 就 是 比 最 人 后 的 一 个 期 世 值 多 2 .5 单位 。 我 们 如 何 CRE GER ?9 过 是 一 租 内 的 车 电 之 个 别 差 情 ， 因 和 需 全 体 中 的 个 体 212 生物 杭 寻 学 六 论 SH ABR, WHBHE * 二 15.21 ， 所 有 使 一 售 若 电 不 同 於 另 一 FG AE MB BREE ES. RET OR, BO TTL Mel — se Za SE otto RIAL, 3 OO a EI (SR SRO, SPLAT DLR eam 5, MIB ee EE aT — 个 培 关 EAS, RSS SEI— A BT EAI, BUCA AT iw A i ERARRHGKAARHR). TERMRELERE AW A, CY MILL BRAT BE, DRABERBAHEE ， TT LED Ge ETN ay HERO OR FB AL ARSE A RE ， HOA AWE ROA, ENCE, RM bMRBAE SAR. BAMS 2 MRM ( residual) BH, RR ZHAMSK)AS E-MARORR, ALANS AH wae Mi (error variance ) 或 误差 均 方 ( error mean square ) 。 LRAORRLIREGAMTREBR, TRERERA RA Ps SH RE UAE BRB. , REM GE ch — HOH % DUE (A cs REAR) PRS 此 符号 之 意思 是 在 第 ; 个 租 内 的 第 7 AMA CER. LRH FRB C1. = 2.5 ， 因 贷 贞 正 的 观测 值 是 比 期 刻 值 (40.5) 大 2. 5 音 位 。 RR CG ARS. Ag SAEED o. REMRARERO RAG, ERR MHS, BOR RON SMA EMER, RAR RAT EN HE AT SSN, BETA HTT Ho A BR ARTE HORE, Ef BL — 9 BALA ATLA Yip =uetay t+ ei; | (7-3) sth ill, ve a, j=l yen, €i 27H BSS he PER BAHARZHR 213 SBM, HEM, =0, MHBHo2 =o? 。 所 以 任何 一 个 Anas TRACT HRN BH EMME o, (Ai 和 粗 的 平均 数 与 糖 平均 数 w HOE ) AT ABB MEE €, ( BOB i 粗 的 第 7 个 个 eH GM, MHEG ey 十 w; ), Biba: Mei, 都 有 可 能 是 正 值 和 负 值 。e,y MHEG MEHR) LSM EMM FH 是 等 於 全 体 的 母 数 报 方 ，c* 。 假使 释 方 分 析 的 假定 (前提 ) 都 成 立 Wt, 6:7 的 分 配 应 呈 常 态 。 在 模式 IB HOM, RAM a, 一 wy SRVAMER, He 是 要 测验 有 和 无 因 处 理 而 增加 的 成 分 之 存在 。 假 使 我 们 发 现 有 过 种 成 分 的 存在 ， 则 我 倍 扒 秦 各 粗 是 来 自 同一 全 体 的 虚无 假设 ， 而 接受 至 少 有 些 租 的 平均 数 是 有 不 同 的 对 立 假设 ， 亦 印 表 示 至 少 有 些 w; 的 大 小 是 不 相等 的 。 其 欢 我 们 通常 希 世 测验 那 一 个 w， 和 那 一 个 或 那些 w; 有 所 差 情 。 过 要 用 到 显著 性 检定 ， 其 对 立 假设 就 像 囊 ，: ai > as RH: 订 (C ai 十 ar )> a3 ’ 等 等 。 用 文字 加 以 解释 的 话 ， 此 等 检定 就 是 要 测验 第 一 租 的 平均 数 是 否 显著 的 大 於 第 二 和 粗 的 平均 数 ， 或 是 第 三 租 的 平均 数 是 否 题 著 的 小 於 第 一 租 和 第 二 粗 的 平均 数 之 下 以 下 举 出 若干 生物 学 上 的 问题 应 用 到 模式 I BH OMS, 一 个 实 台 假 使 我 们 想 测 数 各 逢 不 同 的 药物 对 於 各 租 动物 的 效 雁 ， 则 我 个 须要 用 到 模式 BHO. KALA GRRE OER ， 阔 比 较 它 人 之 间 有 和 无 差 殿 。 各 逢 处 理 是 固定 的 ， 而 且 是 由 实 骨 者 来 决 定 。 党 我 们 想 测 台 某 一 因子 的 各 逢 不 同 齐 量 之 效应 时 (〔 例如 某 一 化 学 物质 或 是 光照 的 量 对 於 一 种 植物 的 影响 ; 或 是 各 逢 不 同 的 温度 对 於 昆 号 的 影响 ) ， 也 是 要 用 到 模式 BHO, RBWALAABZAT 解 各 种 处 理 ， 而 各 种 处 理 也 不 须要 完全 受 实验 者 来 操 炊 ， 只 要 是 固定 214 生物 统计 学 让 its AAS TRAE, WRBRA ETOH. AMBULRIIR Gee EG A 0 BSB LH Af oh BR 2 HOO BE A eA) — EB 出 生 的 中 国 婴儿 体重 ， 则 仍然 是 模式 1 OG TAO Eb 效应 是 “ 大 陆 对 马来西亚 ”， 包 括 一 系列 的 不 同 因子 ， 包 括 各 逢 不 同 的 遗传 与 熏 境 的 因素 ; 此 等 因素 有 些 我 们 可 以 了 解 ， 有 些 我 们 不 了 解 , 但 是 过 是 一 个 固定 的 处 理 ， 而 且 是 可 重 绪 的 ; 假使 我 们 要 的 话 ， 我 们 可 以 从 马来西亚 与 中 国 大 陆 再 取 婴 儿 出 生体 重 的 样本 。 另 一 个 模式 工 爸 方 分 析 的 例子 ， 是 研究 一 箱 动 物 的 交 个 不 同年 内 的 粗 之 体重 。 此 时 的 处 理 是 年 秀 ， 此 等 年 龄 是 固定 的 。 假 使 我 们 发 现 不 同年 齿 的 体重 ， 二 显著 差 殿 ， 则 我 们 可 进一步 问 到 底 是 两 央 的 和 三 RELR, RERA-KALRAEZR. ABMS, RAI BHO LAR GRRUER, MALSRR Eh RRS SAR. ERR GRE, KARE, Hibs BART RAAT. i 7 BARA 分 析 (Model 工 anova ) 模式 1 5855 5) HED A EIR Z SH AOE SR I 很 相似 ， 其 糙 构 如 ， mee | one Yip =e HAs Gi Ee (7-4) 式 中 = 1 2， fjolyeen, €: 是 一 个 独立 的 而 且 旦 党 能 ARM, HGH 57 =0, RBH oP =07s A 也 是 一 个 党 FOR MMM, Rane 是 独立 的 ， 其 平均 数 4 =0, RBDR o? 。 与 第 一 型 玫 方 分 析 的 主要 不 同 是 ， 此 时 我 们 考虑 租 与 租 间 不 同 的 随机 效应 4; ， 而 不 是 考虑 固定 的 处 理 效应 w; 。 由 於 此 时 的 效应 第 七 章 “楼 方 分 析 之 导论 ”215 是 随机 的 ， 所 以 水 不 须要 估计 各 和 粗 的 随机 效应 之 大 小 或 是 比较 租 与 租 之 随机 效应 的 差 情 ， 但 我 们 可 以 估计 随机 效应 的 爸 方 ， 即 钥 间 增加 的 区 方 成 分 n* 。 我 们 测验 此 种 沟 方 成 分 是 否 存在 ， 计 算 s? ， 及 其 在 模 LIHAT RM ATG St, A FRR ARAI BHONMED 假设 我 们 想 测定 老鼠 ” 肝 狂 胞 之 DV4 含量 ， 我 们 取 五 焦 老 鼠 然 后 每 个 肝 及 做 三 个 仙人 备 ， 共 有 上 = 5 和 粗 ， 每 租 有 7 一 3 个 读数 。 假 设 过 五 焦 老 甩 是 实验 者 从 一 个 群落 裹 随机 抽样 所 得 到 的 ， 他 们 必定 售 有 各 逢 遗传 和 环境 的 差 加 ， 但 是 我 们 对 此 等 差 册 的 性 质 泪 不 了 解 ， 因 此 假 珊 实 栓 的 千 果 是 第 二 焦 老 鼠 的 肝 竹 胞 之 DNA 比 第 三 焦 老 鼠 的 DNA 多 ， 过 熏 列 料 对 我 们 也 没 有 什么 用 。 但 是 我 们 曙 趣 於 估计 任何 一 个 肝 肪 的 三 个 重 覆 之 他 方 以 及 五 信 老 鼠 癌 的 爸 广 也 就 是 要 知道 除了 三 个 重 覆 的 爸 方 v* 之 外 ， 是 BACB of 之 存在 ? = RMR, REA VE LYZED REPAY NI BOL DNA 含量 不 同 所 造成 。 而 假 使 有 老鼠 间 增 加 的 爸 方 之 存在 ， 旭 可 能 是 因 需 染色 体 倍数 的 不 同 或 其 fh, BR HER Oe RAE PC BIBER) 之 相对 量 之 后 , 所 得 的 竺 果 可 以 做 需 进 一 步 研究 的 设计 之 参考 。 假 使 代 备 间 ABR 很 小 ， 老 鼠 疝 的 爸 方 较 大 ， 则 我 们 须要 用 较 多 的 老鼠 ， 但 可 做 雯 少 的 Be; 反之 ， 假 使 老鼠 间 的 他 方 较 小 ， 我 们 可 用 较 少 的 老鼠 ， 但 是 每 ， EX RB EHKS HEB. Ze AGE A ARE 1) A CSR, BO REA RE PERS 9 ANI BE A BAS 一 个 家 庭 内 的 兄弟 姊妹 之 Be fg CSE ER, HEREAVBHRREIG, REMRERRYH OA, BAT DE As EA ERR DS ETE, HUET ER EL NHRURE RE CRNE, MURA AR BARD o2 的 216 。 生物 统计 学 导论 pax: FE, RALKRBGR AM o? Mo? 的 相对 比例 ， 因 和 需 此 相对 比例 可 以 提供 我 们 重要 的 和 遗传 资料 。 根 据 我 们 的 遗传 学 知识 ， 我 们 预期 家 庭 间 的 侣 方 要 大 於 家 庭 内 兄弟 姊妹 间 的 发 方 。 bh FRY T eX HOMEY S LHRAEBAM is H-RAW-BRRMAEZ—RHA, URADRAROES ZHRREOAN, BEARER PRY AE CH ORERER 的 误差 或 不 同 材 料 间 的 误差 ， 不 同 实 圾 间 的 愤 差 ， 等 等 。 其 二 是 有 并 REA RRM BR, HARE ZR, KARE Pevey SBS, SSL. HSA BR Awe Oe A AU 522 AUB 练习 7 7"1 在 一 个 比较 黑猩猩 Chimpanzees ) 和 大 se 8 C gorillas) 的 尿素 之 化 学 和 组 成 的 研究 壬 ( Garther ， Firschein, and Dobzhansky, 1956 ~ ), FA BAE SE F Wisk R : 37 % Rie es SAM h SR BS oe & 2 # 4 0.01069, 而 对 於 6 党 大 猩猩 之 相 类 似 研究 ， 所 得 之 女方 是 ， 0. 12442 。 SH EMAAR EHP RGRAKER, 答案 : Fs =11. 639 , F. os[s, 36] ~2.90 7。2 以 下 之 数据 是 Sewall wright 的 一 个 实验 之 车 果 。 他 做 Polish 和 Flemisj 殉 子 的 杂交 实验 而 得 到 27 焦 RR, RRR MRFARM 得 112 焦 RF. WFR 生 些 殉 子 的 腿 节 长 度 之 数据 。 ae ¥. Ss Fi 27 83.39 1.65 Fs 112 ~ 80.5 3.81 RMF, Oe RLM RRS OK Pi ZRF Ay ER? 此 数 据 设 明 了 何 种 著名 的 遗传 现象 ? BLE BHSHLWR 217 7-3 BAS — MO BZ i TL FRR : FG =(Y)+(¥,; <¥ >} 4 OF) —Y; ) RPERAZAR, CARI MAR I BHR Shs HER? 7-4 把 7.3 表 的 数据 之 各 缀 值 之 值 特 分 饥 三 个 成 分 ， 王 ，〔 了 六 -Y) wcyYi;- 这 ) 。 分 别 列 成 三 表 ， 第 一 个 表 包 括 35 个 值 ， 所 有 的 值 都 是 等 於 炉 平均 数 。 第 二 佑 表 的 每 一 栏 的 值 ， 都 是 等 於 让 栏 的 平均 数 和 条 平 均 数 的 差 。 最 后 一 个 表 列 出 每 一 个 楼 值 和 其 栏 的 平均 数 之 欢 差 。 过 些 表 是 对 於 7.3 式 的 . 各 个 粗 成 的 估计， 计算 每 一 个 表 之 平均 数 和 平方 和 。 六， BARB DA KAREARBAD ZAMAN ENR ERT. K BAR EN—-ERHD Hi, UMD BR AD HR ay BHD 析 ( single classification analysis of variance ) 。 其 意义 是 样本 的 各 租 只 是 用 一 个 单一 的 准则 来 分 类 。 GR LRM ORE 七 个 样本 可 能 代表 不 同 的 培养 基 的 仙 备 ( 属於 模式 [ )， 或 不 同 峻 性 个 体 的 人 后代 ( 属於 模式 {), 都 是 只 用 单一 的 准 旭 来 分 类 。 其 他 的 例子 MEXAHOSLRKA, 而 培养 在 不 同 的 盖 度 下 ， 或 是 用 不 同 的 土壤 来 栽培 数 个 植物 的 样本 。 ”在 8.1 和 节 我 们 首先 根据 前 章 所 言 答 过 的 内 容 ， 列 出 颂 方 分 析 的 基 本 计算 公式 。 在 8.2 节 学 出 一 个 相等 柑 本 大 小 的 一 般 例子 ， 此 例子 用 到 模式 BHD. HERA HD OKRA ABER, 220 Mat Se ins RURPZASH A-ARA 1 BHAHHAF. £8-3 RAN i RALBADH, MAAPTBHAFRRAADDS, EHRLAAE HER, RHAHMEDHHAA ARATRANRAAW AA 时 提 到 专门 用 於 模式 工 释 方 分 析 的 一 些 计 算 以 叙 方 成 分 的 估计 。 8 . 4 节 计 花 只 有 二 个 样本 的 特殊 情形 。 假 使 是 模式 Meas, 种 特殊 情形 也 可 以 用 上 检定 来 分 析 。 A HARK [BAAN BRERA Hat, A Gimmes h aR WAFRAHAH-ASE, RAY EP MRA Ke h—-A Me 平均 数 有 显著 差 办 以 及 是 人 否 各 平均 数 可 以 被 分 坑 数 租 而 且 各 租 疝 有 是 著 差 办 。 此 逢 所 讲 的 复合 比较 检定 〈 multiple comparison tests ) 在 8.5 节 和 8.6 节 中 加 以 诗 花 。 8.5 节庆 花 在 喜 验 之 前 已 径 设 计 好 的 所 请 计 划 好 的 比较 ( planned comparisons )， 或 称 事 前 检定 。 8-6 Mint BE MIE ( a posteriori testfs), 过 种 检定 是 实验 者 根据 实验 的 结果 所 想 比 玩 的 检定 。 8°] 计算 公式 〈 Computational formulas ) 在 7.5 GRAN ROME DNR HET OMA Bae =OF, PUM MORTAR RESMREMEHM, Ti MAE HAMA SS tam —SSorou AKZ BRR EEA Biya, 则 不 须要 用 过 逢 方式 来 计算 。 因 入 此 时 计算 上 的 复杂 与 否 ， 不 再 是 一 个 重要 的 考虑 因素 ， 只 要 考虑 计算 的 精确 性 即 可 。 在 7.5 RMN sth EG ME HARE: MNES Py ibeersy ys an BNR Mammy aH 221 See es ( ly )'_— (sey 2 n an LAMA REBAR SOO RAAD 1 BAS, 8-3 G7) HRA A) 7A SERRA HK, (FEAR APT AT CUE BS KB BS PTH at A RZ AIR | 首先 我 位 可 DBRSAT DH RWB eM, ER RL AAS MN ( IRMA), RIMM DZ (NMA, CN—-RHEHMNHBARK ( 3.7 式 ) 的 第 二 项 很 相 Ol, SM BER BELA ( correction term )， 简 需 坑 C.T.。 和 超 平方 和 的 第 一 项 很 简单 ， 它 是 所 有 公 值 的 平方 之 竹 和 。 因 此 用 来 措 述 没 有 分 租 的 ez 个 项 目 之 构 轴 的 炉 平方 和 ， 其 实 就 是 用 大 家 所 熟悉 的 平方 和 的 公式 ( 3.7 式 ) 。 | i REE HM ZAREK RAOR AMMA AZ , RUS 租 的 样本 大 小 ， 然 后 把 各 租 计 算 所 得 到 之 商 数 加 起 来 。 由 於 上 面 的 公 式 之 各 租 样 本 大 小 相等 ， 所 以 我 们 可 以 先 求 各 租 入 和 的 平 HZ OM, 再 将 所 得 之 息 和 除 以 常数。 PREM Fs HERMEME SMMAK, RAG AS FD Hh) — HB st 算 原 则 ， RLAAAEMMAMMNE GH, RRA 平方 之 ， 兹 除 以 其 样本 大 小 ， 再 把 过 种 哥 作 所 得 到 的 各 个 商 数 相 加 起 来 ， 所 得 到 之 煽 和 再 减 去 一 个 校正 项 即 可 。 校 正 项 的 求法 是 把 所 用 到 的 各 租 的 所 有 项 目 全 部 加 起 来 ， 再 求 此 籽 和 的 平 方 ” 永 除 以 项 目的 数 日 8.2 nn 相等 (Equal n ) 本 和 节 学 一 个 模式 工 且 样本 大 小 相等 的 例子 来 谣 明 单 分 类 爸 方 分 析 222 生物 统计 学 导论 。 两 种 模式 的 爸 方 分 析 之 计算 直到 第 一 次 的 显著 性 检定 坑 止 都 是 完全 相同 的 ， 所 以 Box 8.1 的 计算 方法 也 适用 於 样本 大 小 相等 的 模式 DB HA 此 Box 所 列 的 数据 是 来 自 余 一 个 植物 生理 学 的 实 骏 ， 它 个 是 在 有 生长 素 存 在 的 租 秩 培养 下 鹃 豆 块 的 生长 长 度 ， 兹 且 是 探 用 简化 过 的 单 位 。 此 实验 的 目的 是 要 测验 加 上 各 逢 酶 类 后 ， 对 於 生长 程度 的 影 琵 。 共有 四 个 实验 组， 包括 三 种 含有 不 同 酶 类 的 租 和 一 个 混合 酶 类 的 租 ， 此 外 还 有 一 个 不 加 栈 类 的 对 照 组 。 每 一 逢 处 理 有 十 个 观测 值 《 即 十 个 重 覆 ) 。 我 们 探 用 " 上 处理 ”过 个 名 说 意思 是 指 过 是 一 个 模式 工 权 方 分 析 的 问题 ; 显然 过 五 个 租 站 非 从 所 有 可 能 的 实 欢 情况 所 得 到 之 随机 样 本 ， 而 是 依照 实验 者 的 设计 用 来 测验 若干 栈 类 对 於 生长 速 棕 的 影 要 。 我 们 想 知道 栈 类 对 於 长 度 的 影响 ， 我 们 的 虚无 假设 是 : 没有 因 怖 处 理 SER BMH RAZ HE NSASES MARE ZEAS. at RLAQAPRE IK Box 8.1， 从 第 一 个 量 计 算 到 第 七 个 量 ， 过 些 量 在 伙 方 分 析 玫 内 会 被 用 到 。 首 先 我 们 列 出 爸 方 分 析 玫 的 一 般 形式 ， 然 后 列 出 过 一 个 例子 的 爸 方 分 析 麦 。 我 们 发 现 由 於 炉 共有 五 种 处 理 所 以 租 间 的 自由 度 需 4， 而 和 组 内 的 自由 度 是 45 ， 即 是 5x (10 一 1 ) 个 自由 度 。 我 们 发 现 租 间 均 方 比 避 差 均 方 大 很 多 ， 所 以 我 们 全 疑 可 能 有 因 依 处理 效应 而 增加 的 成 分 存在 。 但 是 假使 MSvrw， SARA MSounin ， 则 我 们 不 须要 做 进一步 的 分 析 ， 因 需 此 时 显然 没有 增加 的 缀 方 成 分 之 存在 。 惹 者 可 能 僵 疑 MAS,。。 TAH BED RMS worn 我 们 要 忆 住 ， 过 两 种 估计 是 独立 的 ， 所 以 假使 没有 组 间 增加 的 爸 方 成 分 之 存在 ， 则 租 间 懒 方 的 估计 有 可 能 大 於 也 有 可 能 小 於 租 内 爸 方 。 Box 8.1 的 第 一 个 杰 方 分 析 麦 中 也 列 出 各 均 方 的 期 忒 值 之 式 子 ， BAL FRAG ME NRAX I BHD HOE MONT. 观测 ( MER) 对 RB 第 八 章 “ 单 分 类 杰 方 分 析 223 BOX 8.1 AAAS) BF BBD FI ' ( Single Classification anova with equal Sample ya ) | 加 上 不 同 酯 类 对 於 有 生长 素 存在 的 组 积 培 养 下 之 酌 豆 块 的 生长 长 度 的 影响 ; KARA RAE BHC X0.114=mm) ; nm 一 10( 每 组 之 重 缆 数 ) oB 是 一 个 模式 1 BASH. HC a=5) 加 上 2% 加 上 2% 加 上 1% 果 糖 加 上 2% 葡萄 糖 R 糖 及 1% 简 萄 糖 ” 坊 糖 or rr 。。 rr 1 75 57 58 58 62 2 67 58 61 59 66 3 70 60 56 58 65 4 75 59 58 61 63 5 65 62 57 57 64 6 71 60 56 56 62 7 67 60 61 58 65 8 67 57 60 57 65 9 76 59 57 57 62 a a a ere eee SY 701 593 582 580 641 Y Tuk 1. .50.4 58.2 58.0 64.1 来 源 : wae KAW. Purves 的 文章 224 Mimi BH i < MF Hw > L&Be@M=5 5 Y= 701 +593 +--+ 641 = 3097 2 LB 7B Jy 89 HAD = DY? = 757 +677 十 …… + 682 + 572 下 二 全 672 = 193,151 MEM MAH OMAR A=—HC EY >? = 二 [ 7012 + 593? 十 …… 2 6417)=— C 1, 929, 055) 10. 10 = 192,905. 50 42 RBAHRAROBMEHRAK) =RER ] qa n ; 2 = 191, 828.18 5 X 10 50 5. SSroeat = D- Y? —CT 三 第 2 个 量 城 第 4 fl t= 193,151 — 191, 828.18 = 1322. 82 1 @ n 6. SSeroup , te Bl Bon) LIZA i GUS HOH C analysis of variance for two groups ), Box 8.2 列 出 比较 常见 的 模式 [ BHA CHR. Box 8-2 M9) fil Fe A GAR ( Daphnia longispina ) 繁殖 成 熟 FAA FAA. Eel ea Ake Se Fs i Cath). AAW (AS (Ee PPE 数 。 假 使 过 些 平均 不 是 来 自 相 等 的 样本 大 小 ， 则 运 个 分 析 可 能 有 些 差 讽 。 但 是 我 们 没有 有 关乎 均 数 是 否 来 自 相 等 大 小 的 资料 ， 所 以 我 们 假设 麦 中 的 各 个 读数 都 是 可 葵 予以 同等 信 很 之 倒 值 。 “ 表 中 的 二 个 系列 (series ) 表示 两 种 不 同 的 遗传 杂交 ,而 每 个 系列 的 七 个 重 覆 表示 相同 遗传 杂交 的 不 同 群落 。 过 个 例子 题 然 是 模式 工 的 问题 ， 因 搞 所 要 间 的 问题 是 第 一 系列 的 开始 繁殖 平均 年 RAR AK Bo 柔 列 ， 由 所 列 的 数据 可 以 看 出 二 个 系列 的 开始 繁殖 平均 年 龄 非常 相似 ， SWFA AMAR, (HEM Bema, ARK BE BAAN RAA DRAB BSE, PRA BAREBANKN, DUE Gil aR BE AI AY SH 232 上 生 的 统计 学 于 共 倒 方 分 析 的 计算 普 没 有 列 在 Box 内 。 其 计算 HE Box8-1 HH 号 相同 。 像 过 种 只 有 二 租 而 且 样 本 大 小 相等 的 例子 ， 在 计算 上 还 可 以 做 进一步 的 简化 。 第 六 个 量 ( BD SSsv。， ) 可 以 用 下 列 简 单 的 公式 来 庆 算 : CEY,-ZY2)? (52.6—52.9)? Qn 14 Mai RAAB AR. FiosC1,12 en BIR BGA AY FH, (ESA LUPARSS RAE, ARHBADHAP ALA MS group LEMS wienm BRS. Fs 的 值 比 1 小 很 多 ， 因 此 系列 疝 不 可 能 有 由 於 处 理 效 压 所 增加 的 爸 方 成 分 之 存在 。 遇 到 Ms 小 於 或 等 从 MS winm 时 ， 我 们 通常 不 须要 计算 F., ARieRNBAAMAT HS 到 显著 的 水 准 。 SSoroups = = 0.00643 BOX 8:2 测验 两 组 在 均 数 问 之 差 轩 (Testing the difference in means between two groups ) kg ( Daphnia longispina ) tek 2 PAE CU Ast § 每 一 个 Sl A Ht SL OME AZ), A HR FU AR a a a ,每 个 系列 包括 对 一 7 个 群落 ， 壳 是 一 个 模式 1 BAS THN. RAC a=2 ) I II 72 8.8 Rook ee 9.1 Fe tale 7.6 B\H Ho gee oH 233 7.2 6.7 7.5 7.2 nY 52.6 52.9 Y 7.5143 7.5571 SY? 398. 28 402. 23 Ki : RRR Ordway, thik A Banta (1939) 的 文章 。 样本 大 小 相等 之 两 组 的 单 分 类 变 方 分 析 BATT ? ay ha me Rate F, 了 一 了 组 间 ( 系列 ) 1 0.00643 0.00643 0.0141 Y-YMA( RH; 系列 内 之 群落 ) 下 二 Y—-Ysa 13. 5.49214 下 上。 05(1, 12)— 4. 70 se 6M ——ABF.< 30 ) 之 情 形 : df 三 ni 十 nz 一 2 此 例 之 样本 大 小 相等 ， 所 以 我 们 探 用 8.3 式 : = CY, 一 Yz) 一 (Ap 一 /2 ) V/—( 8? +5? ) RARASAHASBH, BARAT EAMUERK, ARARGA 来 计算 。 ts 我 们 是 在 测验 ww, 一 wp = 0 CHRRRE, ALELARAAOKRAKE » AZO y= 3.029, 0 y¥2=2.457, Alt 二 2. 5143— 7.5571 —0. 0428 * fC 3.029+2.457)/7X6 ‘af 5. 486/42 — 0.0428 SS ee ee TT Oe 0. 3614 i OVE Et BER 22-1 )=2X 6=12y F. osiz] MMR SI 2.179, FRAO tA EN Rt, OB RRS ER ,过 个 结论 和 用 楼 方 分 析 所 得 到 的 灶 葵 相同 。 Wi (S 14 WS = 524 (SBR BRC Confidence limits of the difference between two means ) 1=C%-¥2 ) 一 ta 7% ( fe Pcp Y,—Y,=— 0.0428, t.osciz) = 2.18 ,至 多 sy 元 = 0. 3614 Bet REND SA HHH KOE 。 因 此 L, =— 0.0428 —( 2.18 ) ( 0.3614 ) =— 0. 8307 L, =— 0.0428 +( 2.18) (0.3614 ) = 0.7451 EWRAR BW, 9 CFRARAS O COMER) , ARY,-Y, 的 差 BARA BS 。 BE BOMBA AT 235 RANE 1 ROH BR. BE AMEE SRN eR t REC t — test of the differences between two means ), f 检定 是 解决 各 关 问 题 的 传统 方法 ， 攻 者 可 能 在 以 前 的 统计 学 课程 已 径 熟 如 过 逢 方法 。 过 种 方法 在 计算 上 以 及 了 解 上 薄 没 有 比较 简单 ， 而 且 由 下 面 车 者 可 以 看 出 过 逢 方法 和 Box 8 2 的 谷 方 分 析 在 数学 上 是 相等 的 。 我 们 把 过 种 方法 也 列 出 来 ， 主 要 是 饥 了 过 本 书 的 完整 性 。 假 使 在 一 本 生物 统计 学 的 数 科 书 中 不 提 到 PATER) aE WI ME BEAT | 在 0-4 MAMI (OM, WARS n —1 自由 度 的 上 分 配 可 以 从 〔 子 , 一 A ) 7 sr 之 分 配 而 得 。 式 中 之 sx 具有 妈 一 工 自 由 度 ， 而 且 子 呈 常 驴 分 配 ， 此 式 之 分 子 是 一 个 样本 平均 数 与 一 个 母 数 平均 数 的 As, 而 分 母 是 过 个 廊 差 的 标准 机 差 ， 所 以 下 式 也 呈 上 分 配 0 Lees Sooo (8-2) S Ni tn, —2 NN» 8.2 式 看 起 来 很 复杂 ， 但 是 其 实 它 的 烙 构 和 上 比较 简单 的 上 的 式 子 相同 DFE (AMEE, (ELE MES IE BRADY DY KHOEE, MEW BARAT ORY, WY. 2 his sem ePoR AKA GSBZEKPSRHN REAR CMA, CSBRER . 们 的 虚无 假设 是 两 个 样本 来 自 相 同 的 全 体 ; 亦 即 是 它 何 具有 相同 的 母 数 平均 数 ， 因 此 ww， -- pw。 ZERMERO, 而 我 们 要 测验 了, 一 了 > 的 ZRMAZAE, 8.2 式 的 分 母 是 一 个 标准 机 差 ， 是 二 个 平均 数 间 之 差 展 的 标准 机 差 ( sr -rz ) 。 分 母 的 左 滤 大 括 红 内 的 部 分 是 依照 7.1 节 的 方式 来 计算 的 南 个 样本 的 至 方 ( s? Ml sz ) 的 一 种 加 权 平 均 数 ， 而 右 瀑 的 部 分 是 ( 1/xwi) + C 1Vw。) 的 比较 简单 的 计算 方法 。 租 内 236 生物 统计 学 导论 98 HVARAE-AY CORRE SNZERHRG, BRA ARE (5°) 必须 乘 以 /n F BRR PS Bey BH (5? te, MRA REBAR EO RLS, MB 定 ( RBA) BEM D MAB, Me PE ae RE Bio (GER AM (AR, HOSEHERT OLA Box 7-1 ASR HUERS 两 个 样本 的 REMRRAA MAS, BU 8-2 式 可 简化 需 ] Mi.) — CH ~ (8-3) —( sits?) Box 8.2 的 例子 就 是 探 用 此 公式 。 假 使 样本 大 小 不 相等 而 且 都 非常 大 ， 以 至 於 2; 与 w 一 1 之 间 的 差 民 很 小 的 时 候 ，8.2 式 可 以 被 简化 需 ~C¥1-¥2) —(€ #2) ate (8-4) No 1 1 SRA 1-4 BH 8-2 式 在 某 些 条 件 下 可 以 简化 需 8.3 式 及 8.4 式 。 控 用 8.2 式 和 8.4 式 时 的 自由 度 是 2; 十 2 - 2 , MERA 8-3 式 时 的 自 FREE 2 Cn 一 1 )。 用 上 检定 来 做 平均 数 间 差 与 的 显著 性 检定 之 步 股 列 於 Box 8-2, 因 怖 我 们 的 对 立 假设 是 瓦 , : w, 半 ps ， 所 以 过 是 一 个 两 尾 检定 。 过 个 检定 所 得 到 的 结 葵 和 在 同一 个 Box PUGS DHT AT SAG) Ram CE A, LEMOPORZARSER, HARA MSh BERENS LEASH. RAR BCMA t. CRGZ, LEBSRBAD SAT SAINF. fi, Box 8-2 4 t.=—0.1184, AFL, t2= 0.0140 , RRO AEs GC F.= 0.0141 ), RAWRAALWER 。 需 什么 会 有 过 逢 天 傈 存在 ? RAT UREA, Re 。 B\E Bp RBADH 237 =(Y¥—-#)/sr, HHNo REBRNBA (Cs?) 之 自由 度 ; 所 以 th=(Y¥ —4 )2/ 踢 ， 但 是 此 式 可 以 秽 坑 一 种 他 方 的 比例 ， 分 母 最 然 是 具有 " 自由 度 的 一 种 杰 方 。 分 子 也 是 一 逢 登 方 ， 它 是 一 个 单一 其 差 的 平方 ， 它 是 具有 一 个 自由 度 的 一 个 平方 和 ( ARCLERRER ov ty — (AMES IEMA RBs, PUREE 10), AHER1L 的 一 个 平 SMHRE—BBS, Att t? 2—-BBHOHO HEE 1& = co] ， 在 附录 A 1.5 我 们 用 代数 | (RARER Box 8-2 中 所 得 到 的 42 AF. 的 值 是 等 量 。 我 们 也 可 以 从 和 统计 玫 中 看 出 二 与 严 的 天 傈 。 由 玫 V 我 个 可 找 出 Fros[y10J= 4.96, safe Bi ESR os[ig 。4.96 的 天 平方 任 2.227, MBA KAA BR t.osli1 & 2.228, 二 者 问 的 不 同 是 四 拾 五 人 的 差 愤 所 洁 成 。 由 於 当 其 自由 度 接近 无 需 大 时 ， 上 分 配 接近 常 (FROM, Aube "一 co 时 ， For.) 的 分 配 接近 常态 雄 差 的 平方 之 分 配 。 ne? RF ORDA BR, KAMINS vo, 三 1 时 ， 忆 ru = foo}, MA 7-2 HRA x fo) /¥1 = Fo, 0] , 因此 当 01 = 1 v2 O08 Z2 y= Fp g= tT ojo MMMM # NV, V 及 正中 看 出 。 例如 : 4 Fos{tr0q = 3.84 t 0s [co]= 1.960 ts [oj = 3.8416 候 使 我 们 也 想 定 二 个 平均 数 间 之 差 汪 的 信 屯 界限 ， 则 上 检定 很 有 用 。Box 8.2 列 出 水 垩 的 例子 之 系列 平均 数 间 差 哭 的 95 % ABR -的 计算 。 标 准 机 差 和 自由 度 的 计算 要 看 t. 到底 庆 用 8.2 式 ，8.3 式 或 8.4 式 而 定 。 过 个 例子 的 信息 界限 包含 零 ， 即 从 一 0.8307 到 238 生物 统计 学 导论 +0.7451, B-PARRKBRARSRMAARR, 其 信 正 界限 必 包 SS, KAA St Os FZ ERE RK PE A Ee Rae WW? B Rial 2 ERR IEA 8.5 平均 数 间 的 比较 : 事前 检 完 ( Comparisons among means : a priori tests ) 模式 BAA MEROHBFEREZE, BREAN BR 方 成 分 就 完成 此 逢 分 析 。 而 多 於 两 组 的 模式 工 释 方 分 析 在 最 初 的 显著 性 检定 之 后 ， 要 再 进一步 做 较 群 粗 的 分 析 ， 要 测验 那些 平均 数 和 那些 平均 数 不 同 ， 或 是 那些 平均 数 的 和 组合 与 另外 的 平均 数 之 租 合 或 单一 的 平均 数 不 同 ; RKAPRARNRBHRA BELO. AKMR 本 的 问题 ， 我 们 可 用 Box 8. 2 MERAH BRT. PIRI RAMA 殖 的 平均 年 龄 ， 我 们 发 现 两 仙 遗 传 系列 之 间 没 有 显著 差 展 。 即 使 我 们 BRABZER, 也 不 须要 再 做 进一步 的 分 析 。 但 是 Box 8-1 HE Hi 长 度 的 数据 之 分 析 显 示 五 个 处 理 间 ( 基 於 四 个 自由 度 ) ABSER, 可 是 驹 然 我 们 知道 各 平均 数 冰 非 宛 全 相等 ， 我 们 冰 不 知道 那些 与 那些 有 显著 差 展 。 因 此 我 们 要 进一步 的 比较 各 对 的 平均 数 ， 或 各 平均 数 租 合 间 的 差 情 。 例 如 我 们 可 以 比较 对 照 组 与 四 个 加 上 柄 类 的 处 理 租 ， 我 们 可 以 分 析 加 上 栈 类 是 否 对 天 豆 块 的 长 度 有 影 玫 ? 我 们 也 可 以 测验 各 种 不 同 酯 类 处 理 问 是否 有 差 情 。 例 如 单一 栈 类 (葡萄糖 、 果 糖 和 芒 粮 ) 的 处 理 是 否 与 混合 糖 类 〈 1 多 葡萄 糖 加 1 多 果糖 ) 的 处 理 有 显著 差 Re, | | PRREHRHAREERRROEREM, CHEERRBK £6, CRBAGAZMRORH ATT. HSH UL HEAD 比较 ”或 “事前 比较 ”( planned or a priori comparisons pee | 第 八 章 “” 单 分 类 爸 方 分 析 239 逢 检定 是 不 葵 初 步 的 爸 方 分 析 如 何 都 要 进行 的 。 相 反 的 ， 在 实 台 完 成 之后， 我 们 可 能 发 现 某 些 平均 数 有 相当 的 差 器 ， 因 此 想 加 以 比较 。 例 - MMR ZEB O41, AME CERO — (GFR BR 58.2 ) a). RA STA BAS RE STE Bey BEES 中 的 有 显著 不 同 。 此 种 在 实验 完成 之 后， 观察 实验 千 果 才 想 做 的 比较 ， 称 坑 " KB ee” at" 6 beige” ( unplanned or a posteriori comparisons ) 此 逢 检定 是 在 初步 琶 方 分 析 是 显著 时 才 进 行 。 它 个 包括 平均 数 的 所 有 可 能 的 租 合 之 比较 。 假 使 共有 < 个 平均 数 ， 旭 有 ac (Ca 一 1 ) /2 . 个 可 能 的 比较 。 我 们 之 所 以 要 区 钨 和 坑 事 前 和 事后 比较 ， 是 因 怖 两 箱 比 坎 的 显著 性 检定 有 所 不 同 。 以 下 理 出 简单 的 一 个 例子 来 加 以 及 明 。 假设 我 们 从 一 个 大 灼 呈 常态 的 人 类 高 度 之 全 体 去 抽样 ， 然后 计算 其 平均 数 及 标准 差 。 假 使 我 们 由 此 全 体 每 次 抽取 两 个 人 ， 我 们 可 以 根 L-ROKHERAAGHMOER, 有 些 人 的 高 度 很 相似 ， 有 些 旭 A SERWA NBS SRA RMAESRA0, MEMTR 20° 其 原因 在 12 . 2 节 中 加 以 计 葵 ) 。 因 此 ， 假使 我 们 随机 抽样 的 两 个 人 之 高 度 有 很 大 的 差 民 ， 过 个 差 刁 必须 大 於 雳 而 且 过 到 足 金 数目 的 标准 差 ， 我 们 才 可 以 接 秦 此 二 人 是 来 自 同一 全 体 的 虚无 假设 。 反 之 ， 若 在 抽样 之 前 我 们 先 柚 察 各 人 的 高 度 ， 然 合 抽 取 痢 起 来 高 度 非常 不 同 的 二 个 人 ， 则 显然 我 们 和 将 一 AGA Nek AREEHER, USER. Pit RO WEA DAA A SH, ALR A a eR 的 讶 无 假设 ，. 账 然 事实 上 我 们 的 虚无 假设 是 正确 的 。 所 抽取 的 人 是 来 自 相同 的 族群 ， 但 是 轩 於 慈 非 证 机 抽样 而 是 在 抽样 之 前 加 以 选择 过， 所 以 我 人 的 假说 检定 所 依据 的 机 奉 分 配 不 再 有 效 。 从 一 个 常态 分 配 的 全 体 去 抽取 两 尾 极端 的 情形 ， 则 通常 可 能 距 欢 平均 数 5 到 7 个 标准 差 ， 240 AMR BM , 所 以 假使 我 们 任意 抽取 两 尾 的 个 体 来 比较 ， 则 显然 他 们 会 有 非常 显 著 的 差 展 ， 赂 然 即 使 他 们 是 属於 相同 的 全 体 。 假使 我 们 在 得 到 各 实验 处 理 的 结果 之 后 才 上 比较 平均 数 相差 很 大 的 处 理 ， 则 正如 从 高 度 的 欢 数 分 配 中 抽取 最 高 及 最 禾 的 人 来 比较 一 样 假使 我 们 想 知道 他 们 之 间 有 和 无 显著 差 情 ， 我 们 不 能 用 爸 方 分 析 所 用 的 一 般 之 机 这 分 配 而 必须 用 特殊 的 显著 性 检定 ， 此 种 事后 检定 将 留 在 下 节 中 加 以 寻 论 ， 本 节 先 计 葵 事前 检定 ， 即 在 实验 玫 行 之 前 计划 好 的 比 较 。 事前 检定 的 一 般 原 旭 很 简单 ， 而 且 与 8.1 节 的 未 了 所 千 葵 的 平方 和 的 计算 原则 有 关 。 如 要 比较 样本 大 小 袁 m WKEE, GREE 和 疙 和 ， 平 方 之 ， 再 除 以 其 样本 大 小 1. , 然后 把 所 得 到 的 K 个 商 数 相 加 起 来 ， 再 由 此 等 商 数 的 德 和 沽 去 一 个 校正 项 ; 校正 项 的 求法 是 把 所 有 过 个 比较 的 各 租 的 煽 和 加 起 来 平方 之 ， 冰 除 以 项 目的 数目 序 得 到 校正 项 。 假 使 此 比较 包括 伙 方 分 析 的 所 有 各 和 组 ， 则 此 改正 项 是 过 个 研 POE BCT 。 但 是 假使 过 个 比较 只 包括 此 爸 方 分 析 中 的 某 些 值 ， 则 其 CT 将 不 同 於 此 研究 的 主要 CT ， 只 限 用 於 过 些 租 。 我 们 用 一 个 例子 来 说 明 过 个 原则 。 8.2 表 列 出 Box 8-1 BED HR ERZSESR GVA, URRAK/). RKEKBRAEH EF 常 显著 的 差 情 。 我 们 现在 想 知道 对 照 组 是 否 与 四 个 酶 类 处 理 租 有 显著 差 哺 。 因 此 现在 我 们 把 它 当做 是 有 两 个 租 ， 一 个 是 对 照 组 ， 另 一 个 是 " BP” Es BPRS MME 2396 ， 样 本 大 小 是 40,， 所 以 我 们 计算 SS ( 对 照 租 对 酯 类 租 ) _ (701)? | (593 +582+ 580+641)? oe yo 40 第 八 章 ” 单 分 类 楼 方 分 析 241] (701 +593 +582+580+641)? 50 ee 了 (2596) > C3097)" Hie TO 40 50 Soe. o2 FAD Lhe a GAR RHO AAV, ATO SBE TER Be 55 PT ABE EA 相同 ， 所 得 的 烙 果 是 吉 两 租 间 的 比较 之 平方 和 。 因 坊 两 组 间 的 比较 只 有 一 个 自由 度 ， 所 以 平方 和 同时 也 是 均 方 。 然 后 将 此 均 方 用 履 方 分 析 的 融 差 均 方 来 测验 如 下 : MS (ARG a a) MS witnin 832.32 : = = 152,44 5.6 Fos [1545] er Oy Fvos(ts45) = AY og. 3S (LEO ER IE BS, SI ERD @ Oe DEIR AN EE AY Wii 0 RB-2 BOX 8-1HRRCRSR, PRMRAAA BREW TRER (RABARL WMH) ) 。 cee 2% 2% 1%MBR 2% = Soe 2 加 1 % 果 糖 HR Sameer. 4: 68) 3 *- 58.2) 15820 bh 8 61/04 =¥ ) ZY 701 593 582 580 641 3097 © +X 10 10>. 10 - 10 50 242 生物 统计 学 导论 然后 我 们 测验 混合 酯 类 是 否 显著 的 不 同 於 单一 的 栈 类 ,利用 上 述 的 相同 方法 来 计算 : SS ( 混合 哺 类 对 单一 酷 类 ) (580) 0993 + 582 +641)" | 10 30 (593 +582+ 5804+ 641)? Tee a Ct (580)? (¢1816)? (2396)? = 十 一 10 30 40 此 蛙 的 C 7 与 前 面 的 C 了 个 同 ， 因 依 此 时 的 C 了 是 只 根据 栈 类 的 入 和 .- 所 求 得 的 。 接 著 进 行 的 测验 是 _MS (混合 栈 类 对 单一 AAA) M Swithin = 48.13 FF, = 根据 前 段 所 列 的 Fo ru,s] 的 各 临界 值 ， 我 们 知道 过 个 比较 也 是 显著 。 最 后 一 个 检定 是 要 测验 三 征 栈 类 间 的 差 暴 ， 由 故此 比较 包括 三 个 平均 表 ， 其 均 方 具有 两 个 自由 度 ， 因 此 我 们 计算 如 下 : SS ( 单一 畴 类 间 ， _ (593)? , 6582)! , C641)? (1816)* Regione 10 30 = 196.87 | MS (单一 酷 类 间 ) _ SS (单一 栈 类 间 ) 1 96.87 = 一 一 = = 98433 df 第 八 章 ” 单 分 类 属 方 分 析 243 i ee eee ee ee. MS witnin 二 5.46 ASF. oi(0) = 5.18, HLUGF. GES, RAG LLAMA CKRTAOERME, BARRA ven PAOeSAIKA, 而且 三 种 单一 本 类 之 问 也 有 显著 差 A 可 能 是 因 仿 基 糖 的 天 傈 ， 芒 糖 的 租 之 平均 数 比 其 他 网 组 大 很 多 ) 。 但 是 我 们 不 能 再 进一步 比较 基 糖 与 其 他 两 种 醋 类 ， 因 篇 过 样 的 比较 是 一 种 事 谷 检定 ; 是 在 我 们 看 到 和 糙 果 之 后 ， 才 想 做 的 比较 。 假 使 要 进 行 过 个 检定 ， 我 们 须要 探 用 下 一 节 的 方法 。 。 但 是 根据 我 们 起 初 的 假设 之 不 同 ， 我 们 的 事前 检定 也 可 能 不 同 放 上 面 所 写 的 。 例 如 我 们 最 初 可 以 比较 对 照 组 与 醋 类 的 租 ， 然 后 比较 变 Ai TERE) AIMS ( 葡萄 糖 ， 果 糖 ， 葡 萄 糟 加 果糖 ) ， 其 欢 再 比较 混 合 的 单 栈 与 单一 的 单 酪 ; 最 合 比 较 葡 萄 糖 与 果糖 。 事前 检定 的 比较 及 数目 是 了 次 於 研究 者 对 於 数据 的 一 些 假设 ， 但 是 有 若干 限制 ; 事前 检定 显然 不 能 将 每 一 个 平均 数 与 每 一 个 其 他 的 平 均 数 都 比较 (共有 ce (a—1) / 2 个 比较 )。 假 使 炉 共 有 va AA, 则 各 事前 检定 的 自由 度 之 移 和 不 能 超过 e — 1 。 此 外 最 好 把 各 检定 的 精 构 加 以 安排 ， 使 每 一 个 检定 测验 一 个 平均 数 间 的 独立 天 傈 ( 就 如 我 个 在 上 面 的 例子 所 做 的 ) 。 学 个 例子 来 设 ， 假 使 我 们 已 经 发 现 第 一 个 平均 数 与 第 三 个 平均 数 有 显著 差 哄 ， 则 我 们 最 好 不 要 再 比较 第 一 、 第 二 及 第 三 个 平均 数 。 因 坑 前 者 的 显著 意 指 合 者 也 砍 苹 显著 。 因 需 上 面 所 做 的 检定 都 是 独立 的 ， 所 以 三 个 平方 和 ( SERIE » 1 个 及 2 个 自由 度 ) 加 起 来 刚好 等 余 本 来 的 构 方 分 析 之 处 理 间 平 广 和 ( 基 於 4 个 自由 度 ) BD: 244 生物 统计 学 遵 葵 d SS (HREM HA ) = 832-32 = SS( 混合 柄 类 对 单一 柄 类 ) = 48.13 1 SS( 单 一 酯 类 间 ) ”= 196.87 ,家 SS ( 处理 间 ) ~ — 1077.32 4 MtRAT HEARD OD REM T AA MAS KERD, S-ARAHASHL-AFHA, HASH AE. # 个 平方 和 测量 对 照 租 和 栈 类 和 组 问 的 差 慷 ， 第 二 个 平方 和 测量 混合 本 类 与 单一 栈 类 间 的 差 刁 ， 第 三 个 平方 和 测量 三 箱 单 一 柄 类 间 剩 下 的 到 器。 我 们 可 以 如 8.3 HK, MH AL GRA RAM HAMA 表 8.3 BOX 8-1HRRZ#GS HR, 不 理 间 之 平方 和 细 分 需 各 种 事前 计划 好 的 比较 之 平方 和 。 2 因 SS df: Mee 处 理 问 1077. 32 4 269.33 49.33%" HR 832. 32 1 --B32.32 362044677 混合 糖 类 对 单一 糖 类 Ce eee 48.13 See 8-850 196.87 2 98.44 18.03%. 处 理 内 245.50 45 5:46 Fu 1322.82 49 Vee SH BOMBAAH 245 8.6 ”平均 数 间 的 比较 : SPREE ( 人 among means; a posteriori tests ) REAR DARA ORES aa, Al > (8-5) FIPSMS oroupe/MSwienin = SS grour/ CC @—1 MS won J TAB AAT 以 把 8.5 式 写成 1 (8.6) 例如 Box 8-1 的 数据 之 爸 方 分 析 是 显著 的 ， 其 SSoroups= 1077. 32 代 入 8.6 式 得 . ae ure 1077.32 >( 5—1) (5. 46)( 2.58) = 56.35 Ca=0,05) ALR A sth Ro SR EMR SS. REB SS oroups EE ARGH SS 值 ， 以 决定 是 否 显著 ， 然 合 再 进一步 探 ABE SS ww QUULK. HSS irom MP RSESS, TRE 2, BELMMNMAN, REST HSELRKHASE EGA, ROH. 大 於 me[ iocw oa] ，( 式 中 之 玉 是 被 比较 的 平 均 数 之 数目 ) 则 我 们 称 过 个 比较 显著。 现在 我 们 可 以 把 各 逢 关 傈 用 下 FHKER, OWRB—-BSS BARC K—1 ) MScinmPap-tyo6e-v] WKAR EL BS, | 上 述 的 检定 是 事前 比较 ， 事 后 比较 的 一 逢 方法 是 利用 上 面 花 的 最 谷 一 个 式 子 ， 但 是 不 葵 有 多 少 个 平均 数 被 比较 ， 全 部 定 4 = 0, Alt SS 的 临界 值 将 比 用 前 面 的 方法 求 得 者 需 大 ， 使 样本 SS RMT 著 水 准 ， 如 此 做 是 因 依 我 们 是 泪 择 租 在 均 数 间 看 起 来 差 畏 较 大 的 来 比 246 生物 统计 学 导论 Ko 以 Box 8-1 RUMHERAA, KES EY Bk ADH FMT ; 58.0 ( MMR), 58.2 (RH), 59.3 ( eM), 64.1 ( FE), 70.1 (NARA) 我们 发 现 前 三 个 处 理 的 平均 数 很 相似 ， 因 此 愤 乡 它们 之 疝 的 差 殿 可 能 不 显著 。 篇 了 测验 其 显著 性 ， 我 们 用 一 般 的 公式 计算 这 三 个 平均 数 间 之 SS 如 下 : a 593*+582?+580* (593+582 + 580)° oe 10 3(10) = 192,677.3 — 102,667.5 = 9.8 AAiE ASS) EMER ROSS (56.35) 所 以 过 三 个 平 SRO EN : REG POW SRK RAMAN PREMERA, 2 EERE MT: ) ~ _ 641" | (593 + 582 + 580)? S 2 人 只 30. “*€641 +993 + 582+ SEO 10 + 30 = 41,088.1 + 102}667.5'— 143, 52004 PT 所 得 到 的 SSA RGASS ， 因 此 我 们 的 精 葵 是 臣 糖 抑制 生长 的 能 力 显著 的 小 於 其 他 被 哉 骏 的 酯 类。 我 们 可 以 如 此 稻 续 进行 测验 所 有 看 起 来 有 差 刁 的 平均 数 ， 或 甚至 於 测验 平均 数 的 所 有 可 能 租 合 ， 每 欢 考 2, 3 个 ，4 个 或 5 个 平均 数 ， 假 使 要 比较 所 有 可 能 的 组合， 而 且 平 均 数 的 数目 大 於 五 的 时 候 ， 可 能 须要 利用 电脑 来 计算 ， 因 和 震 有 很 第 八 章 ” 单 分 类 楼 方 分 析 247 :多 可 能 的 租 合 须要 比较 。 上 述 的 方法 是 Gabrie!〔〈 1964 ) 所 提出 ， (itis HERA DAIL RED RC Sum of squares Simul- taneous test procedure ), f8BR* SS—STP”, f7ESS —STP YRARHHAAH, RRA llREAWMRAE a ， 是 对 表 V OR FT REN BA, KerwaZz" PRA RE ” EFaE MAR OS DAT Za BE A Ah cE aT AY OB a AT ARERR. ie TARAS Ca ) RB“ MRR” RAW “ experimentwise ” error rate ), KAHARMWHERA REAR 差 的 机 率 是 w， 但 是 像 前 例 比 较 三 个 或 二 个 平均 数 的 检定 ， HRA 机 这 其 实 小 於 6.1 mH. 60 5,6 625 8-3 Msltte MW Seng 1954 RR — RARB RWI RHE BPH 之 研究 。 下 面 的 数据 是 从 一 个 1950 和 1951 FHM wKandang Kerbau 妇 送 科 锋 院 的 第 三 级 稼 合 病房 之 男 黑体 重 表 中 所 抽取 之 第 一 胎 和 第 八 胎 时 多 之 体重 。 出 生体 重 出 生 顺序 - 英 磅 : 吗 1 了 320-3 27 一 一 3:28-3:15 2 一 420-—4:7 3 一 4:8 一 4:15 7 4 5:0-5:7 EE 5 5:28-5:15 267 19 250 生物 统计 学 导论 6:0-—6:7 457 52 6:8—-6:15 485 55 7-0-7277 363 61 7. 877.435 162 48 8:0-8:7 64 39 8: 8-8 -15 6 19 9. 0 一 9 .7 5 4 9:8-9:15 一 ha 10:0-10:7 一 1 10-8—-10:15 一 一 1932 307 那 一 种 出 生 顺 序 的 婴儿 看 起 来 比较 重 ? 过 个 差 屋 是否 显著 ? 我 们 可 不 可 以 下 车 论说 出 生 顺 序 的 不 同 造成 出 生体 重 的 差 刁 ( 附 填 : 杰 数 最 好 先 加 以 简化 ) 。 另 外 ， 用 上 上 检定 AMAA, WMA ti， =F, SR: te=11.016 。 8-4 Fi eee ew ( Periplaneta ) 2 Cytochrome oxidase zfKat 量 (立方 毫米 /十 分 血 / SK), KRRA Brown Brown( 1956) 之 研 Fe: h y Ss; i+#etMethoxychlor | 24 小 时 之 后 5 24. 8 0.9 对 照 租 3 人 1.4 Sh A FA By We JS SE BER ? AVE BERBER 25) 8-5 王 列 数据 是 1955 年 的 一 月 ,二 月 及 三 月 在 芝加哥 所 得 到 之 便 子 之 五 个 随机 构 本 的 数据 ES MH ATLA SIAR SR, 所 用 的 单位 是 毫米 。 数 EX A OlsonflMiller( 1958 ) 之 文章 。 可 1 2 3 4 5 5.4 5.2 5.5 5.1 5.1 5. 3 5.1 4.7 4.6 5.5 5.2 4.7 4.8 5.4 5.9 4.5 5. 0 4.9 5.5 ‘2 5.0 5.9 5.9 5.2 5.2 5.4 5.3 5.2 5.0 5.0 3.8 ee ee Be 4.8 5.9 5.9 5.2 4.9 -5.1 5.0 5.4 6.6 6.4 4. 4 4.9 5.1 5.6. 5:3: 6.5 5:3 od 5.1 ° 5.1 4.8 5.3 4.1 5.7 4.5 4.9 ae 5.2 5.1 5.3 - 6.0 4.9 4.8 4.7 4.8 4.8 5. 8 4.6 6.5 5. 3 5.7 5.0 5.7 5.1 5.4 5.5 5.6 5.9 5.4 4.9. 5.8 6.1 5.8 528 4.7 5.6 5:4 5.0 5.8 4.8 5.5. 4.8 5.0 5.9 5.0 A a Teo ee aa aS RE Se a co a ee ee es MME BRAG MRE ER ? 252 AME BM 8-6 P.E Hunter ( 1959%6H) XH , AA RRB ) BRM Drosophila melansgaster) HAMMER, —MEKLRR DSH) ( MBRSL ) , 另 一 个 品系 是 选择 幼虫 期 长 的 ( MBBLL), SARB—-BAMRAOHR 品系 ( CS ) 。 和 经 过 42 代 之 后 得 到 下 列 幼 虫 期 的 长 短 之 数据 ( 以 小 时 需 单 位 ) 。 分 析 汞 解释 此 结果 。 品 系 SL CS LL ni 80 69 33 nt : n ni , Pie 4 8070 7291 3640 uDyY?=1,994, 650 部 分 计算 已 经 事先 计算 好 了 . HERPRERASCSHMRE (GPHDRBRERS 幼虫 期 以 及 此 两 种 对 对 照 组 ) 。 定 过 些 比较 之 平均 数 差 边 之 95 %fEaBAR. 答 : MS . s1.vs.11)= 2076. 6697 8-7 FRORBRLRH RBH ORE AN #RY— BAA ( Corvan® Johnston, 1962 ) o Km 2 BR 2 M7 SA fraction 开 的 移动 速度 (以 10-5 cm?/ voltseconds 篇 单位 ) Y S> Sitka are 0.07 California Blacktail Zia 0.05 Vaneuver Island Biacktail 2.9 0.05 : Mule Deer 2.9 0.05 White Tail 2.8 | 0, OF 每 一 个 平均 数 之 了 一 12。 对 上 面 数据 做 轰 方 分 析 ， 东 用 平方 和 ST 的 方法 做 复合 比较 检定 。 答 案 : MS witnin=0.0146 ， 最 大 的 不 显著 和 组合 ( 定 己 三 0.05 > 是 样本 1 ，3 和 5 以 及 样本 2 和 4。 人 a 双向 变 方 分 析 | 。 客 顶 目 可 以 因 两 类 卡 理 或 因子 的 各 种 可 能 租 食 而 被 组 合成 各 租 。 例 如 前 章 所 述 的 车 Smues ai chaeecd kent. 而 可 以 分 成 数 个 样本 之 外 ， 也 可 以 将 它 个 分 垮 雄 的 与 雌 的 。 我 们 不 仅 想 知 道 第 一 种 培养 基 和 第 二 种 培养 基 对 於 起 膀 长 度 的 影 和 是 否 不 一 村 ， 而 且 想 知道 雄 车 电 与 峻 车 电 的 翅膀 长 度 是 否 不 同 。 此 时 显然 ,个 因 素 的 每 一 种 组 合 是 车 电 的 一 个 样本 。 假 使 有 七 种 培养 基 与 两 种 性 别 则 我 人 至少 须要 有 7 x 2 = 14 个 样本 。 同 理 ， 酌 豆 块 的 五 个 糖 类 处 理 之 实验 ( BOX 9.4 ) ,可 能 是 在 三 种 不 同 温度 下 进行 。 如 此 就 释 成 一 侦 同 时 分 析 糖 类 以 及 温度 的 效应 之 台 向 释 方 分 析 ( two-way analy- sis of variance ) 254 生物 统计 学 导论 过 种 绝 方 分 析 的 方法 是 假设 某 一 温度 与 某 一 糖 类 对 藉 一 个 哆 吕 现 的 生长 各 有 某 一 固定 量 的 影 稳 ， 而 两 种 影 玫 是 加 成 的 ， 即 一 种 因素 不 影 痪 另 一 逢 因素 。 在 9. 1 节 我 们 计 葵 如何 测 量 斌 开 过 逢 假设 的 程度 ， 我 们 同时 计 葵 在 一 个 伙 向 缀 方 分 析 如 何 把 每 一 个 释 值 和 分 垮 数 箱 成 分 。 过 种 设计 的 两 个 因子 可 能 是 属於 模式 工 或 模式 JI; 也 有 可 能 是 一 个 因子 属於 模式 T[， 另 一 个 因子 属於 模式 下 ， 和 后 者 的 情形 称 坊 混合 模 式 ( mixed model ) 。 9-1 imam th ( subclasses ) 有 重 覆 ( 即 每 一 个 子 类 或 因 子 的 组 合 具 有 多 於 一 个 的 到 值 ) LAMBHOMWHR LAN 计 学 上 的 交感 之 意义 。 9-2 节庆 花 伙 向 释 方 分 析 的 显著 性 检定 。 9.3 节庆 葵 无 重 覆 的 伙 向 缀 方 分 析 ， 即 每 一 个 子 类 只 有 一 个 单一 的 季 值 。 一 般 人 熟悉 的 成 对 比较 ( paired comparisons ) BMRB SB BAH RT iy : 我 们 现在 开始 计 论 伙 向 缀 方 分 析 的 计算 。 对 於 计算 的 解释 可 使 芒 者 对 过 逢 设计 的 精 构 有 较 深 的 了 解 。 9.1 ATRNHRGARA TH ( Two - way anova with replication ) Si FFA PA EK ( limpets )fE=e TA REWBK ZARA NRA 218 AF RR SRA at. SBR EAA, KAMARA Ro, BRIM A hb 。 表 中 每 格 ( cell; DWRBIZAS ) WRAKD Bn, BRB 小 租 ( subgroups ) 或 子 类 subclasses ) 。 数据 列 於 BOX 9.1 ， 标 名 坑 “ 初 步 计算 ( Preliminary computations ) 的 计算 步 屋 是 一 种 比较 简便 的 步 县 ， 但 是 我 们 将 把 She wera 255 过 些 演算 的 形式 稍 加 改 血 ， 使 读者 更 容易 了 解 各 逢 设计 的 意义 。 我 们 首先 把 六 个 子 类 当做 是 一 个 单 分 类 缀 方 分 析 中 的 六 个 租 ， 每 一 个 小 粗 RFRA VERRIER WME ROAR OH RAM HESHETBRRE MANES, REVEL RNNBR ZF (SURG O71 FFLSR BE 7K RS 7 ES OY I ££, BOX 9-1 (933 (Ha BRS 55 = (Ab BRE BOX 8.1 相 同 ， 只 是 所 AWGRAAAS, ABRARESR ob 个 小 组 ， 而 非 e HA, Bt 最 方 分 析 我 们 有 撩 要 一 个 校正 项 ， 此 项 的 计算 列 於 BOX 9.1 的 第 六 个 步 县 。 由 上 面 所 得 到 之 一 些 量 我 们 在 第 7、 8 及 第 12 SRE SS corr HESS wisnn ,相当 於 BOX 8.1 的 第 5、 第 6 与 第 7 HER, HK 9.1 列 出 过 个 初步 释 方 分 析 的 烙 果 ， 由 此 玫 可 看 出 小 组 间 有 相 党 的 二 NBR, 因此 我 们 可 能 发 现 两 个 因子 之 中 至 少 有 一 个 因子 具有 显著 的 we. ) BOX 9-1 AEROS BH DI ( Two-way anova with replication 4 = Ale 7K BE Fie Acmaea scabra 及 A, digitalis ) HH RMERA , PMH A “1 0?/mg KE/H(F 22°C) BAR BEORGGAA8BEE(n=8), B2-BARI BHF AFA: BRC e=2 ) AF B: ek BR Acmaea scabra Acmaea digitalis : i C6=3 ) Pei habe to. ee el eS a 7.46 8. 26 6.14 6.14 6.78 14.00 3.86 10.00 100 % 13.60 16.10 10.40 11.60 8. 93 9.66 5.49 5. 80 x= 84, 49 于 = 59. 43 143. 92 256 ”生物 统计 学 半 葵 5.20 13.20 4.47 Yee 5.20 8.39 9.90 6.49 15 % 7.18 10.40 5.75 5.44 car. 7.18 11.80 9.90 = 63.12 ==58.70 121.82 11.11 10.50 9.63 14.50 9.74 14.60 6.38 10.20 50 % 18.80 11.10 13.40 17.70 9.74 11.80 14.50 12.30 == 97.39 == 98. 61 196. 00 > 245.00 216. 74 461.74 来 源 : F. J. Rohlf 未 发 表 之 数据 。 初步 计算 ( Preliminary computations ) Lemma oY = 461.74 .2 RW RAS MMA vo HY?=(7, 16)?+--+(12, 30)? = 5065..1530 3 小 组 ( 格 ) MAME SMM, 除 以 小 组 的 样本 大 小 BUCHY)? CC 84.49)? t--+( 98. 617) = ae if 8 MOM MLRAL MA, ROMA AA Gees Ot ai _ €€ 245.00)? + (216. 74) 7) <, (3X8) .KAMBAZAA HBA, 除 以 列 之 样本 大 小 22 Cee an =4663. 6317 = 4458. 3844 SLE @AeAah 257 _. (143. 92) 7+ ¢ 121. 82)?+( 196. 00)?) = 4623.0674 | (2X8) 6 全 部 煽 和 的 平方 除 以 煽 共 的 样本 大小 一 校正 页 CT 4 b 第 2 — 《下 双方 )? 一 《第 一 个 量 ) _ = 4441. 7464 abn (2X3X8) 1. SSrom= EE Y?—CT 一 第 2 个 量 城 第 6 个 量 = 5065. 1530 — 4441. 7464 = 623. 4066 sucuy)? 8. So 一 C 了 = 三 第 3 个 最 减 第 6 个 量 = 4663. 6317 — 4441. 7464 = 221. 8853 a as Y 9. SS,( MH SS ) vec ee —CT=8 48 RM 6 HR = 4458. 3844 — 4441. 7464 = 16. 6380 EOS Go OF | | 10. SSs( 横 列 的 SS)= 一 一 一 —CT=85 HR ® 6 个 量 = 4623.0674 一 4441.7464 三 .181.3210 了 LSSe 人 交感 33) 三 39suzor 一 394 一 59s 一 第 8 个 量 减 第 9 个 量 茂 第 10. 个 量 = 221. 8853 —16. 6380 — 181. 3210 = 23. 9263 12 SSwienin ( 小 组 内 ; m= SS) 一 SS 一 SSsuoor = 第 7 个 量 城 第 8 个 量 = 623: 4066 —221. 8853 = 401. 5213 检查 你 的 计算 千 果 ， 上 面 的 一 些 量 必 须 具 有 下 列 之 关 傈 : 2 之 3 之 4 之 6 ; 32526. BA BA iH . # 因 df SS MS jSMS( #1) Yoiy 小 租 Q&0 一 1 8 GED rey ACH) ey BN a eee ad ¥,-Y Ke) b-1 10 7Ae~ aise zp? ay ay ee | | Axes) (DCD 11 Gaye tea ecom” Y—-Y \A ab(n—1) 12 ae 好 有 Ke Fa abn—1 7 258 ”生物 和 统计 学 尊 论 因 坊 本 例 的 二 个 因子 都 属於 模式 I ， 所 以 上 表 所 列 的 期 粤 MS 是 正确 的 。 下 表 列 出 其 他 型 的 期 时 Ms 。 ar 2 ” 因 a x O 混 合 : 型 2 2 2 2 2 nb 2 A o-t+no axe t+ nbo ‘A I“ 十 70 'AxB+ 1 a— B o?+noux2+nac’s a” +nag*p AXB ao? +no* axe o?+no* 4x 小 钥 内 a? a? sh DTH ( Anova table ) @ 因 df SS MS F, |) 4 5 221.8853 44.377 A (ii; @A) 1 16.6380 16.638 1.740ns BC 横 列 ; WBE) 2 181.3210 90.660 9.483" AXB( RR) 2 23.9263 11.963 1.251ns 小 组 内 (误差 ) 42 401.5213 9. 560 wm ”和 47 623.4066 F.os[1,42]= 4.07 F-os[2,42] =3. 22 F.o1[2, 42] = 9.15 由 於 过 个 例子 是 一 个 模式 IBS, MABHRLARZHARWR. 参见 9. 2 节 有 了 关 显 著 人 性 检定 的 讨论 。 和 车 葵 ( Conclusions )— W@W AA ERRASAR, 但 是 在 不 同 帮 度 下 的 氧气 消耗 量 有 显著 差 婴 ， 在 50 %% 海水 之 情况 下 ,氧气 油耗 量 增加 。 由 於 没有 足够 证 毛 痊 明 有 种 类 X 娩 度 的 交感 之 存在 ， BENE 种 类 之 影响 相似 。 rad 5, mn ALE @MeADH 259 RI-1 8 fy BID TA) Hz Ma BA 7 ir C Preliminary anova of subgroups in two-way anova ) 数据 来 自 BOX9.1 。 bs df see Sh MS Y-Y) ag 5 ab—1 221.8853 44.377 ** Y-Y)MA 42 ab(n—1) 401.5213 9. 560 y-Yea 47 abn—1 623. 4066 接著 是 求 表 内 的 各 横 列 与 各 栏 之 平方 和 。 此 计算 是 利用 8.1 节 未 的 一 般 公式 ， 如 要 计算 栏 的 在 方 和 ， 则 我 们 先 将 栏 的 炉 和 平方 之 ， 再 将 各 个 平方 加 起 来 ， 然 后 除 以 24， 24 是 各 横 列 之 项 目的 数目 ， 此 等 计算 是 BOX 9.1 的 第 4 个 步 卫 ， 第 五 个 步 驴 用 相同 的 原理 计算 横 列 的 平方 和 。 所 得 到 的 量 在 第 9 与 第 10 个 步 录 各 沽 去 一 个 校正 项 ( 在 第 6 个 步 屋 计 算 校 正 项 ) 。 由 於 比 例 的 各 横 列 与 各 栏 的 样本 大 小 相等 ， 我 们 不 须要 把 每 横 列 或 每 刁 的 籽 和 之 平方 各 别 除 以 一 个 分 母 ， 可 先 把 各 炉 和 的 平方 加 起 来 ， 然 后 除 以 样本 大 小 。 BRASH HOP RGA, Les Ay MD wD 分 ， 即 六 个 小 组 间 的 平方 和 及 小 组 内 的 平方 和 ( 亦 叫做 慰 差 平方 和 ) 。 MAZE AT BY a PA UM Lh AA RRS COME Te UN LS EN IR ea. 列 平方 和 及 栏 平方 和。 人 小 组 间 平 方 和 是 221 .8853 。 横 列 平方 和 是 181.3210, TAM HAE 16. 6380 。 栏 与 横 列 的 平方 和 加 起 来 是 197. 9590， 效 乎 接近 小 组 间 平 方 和 的 值 ， 两 者 问 的 差 称 久 交感 平方 和 ( interaction sum of: squares )， 此 例 的 区 < 感 平方 和 和 是 23. 9263 260 ”生物 和 统计 学 半 论 .我们 现在 来 告 论 过 个 新 的 平方 和 之 意义 。 此 刻 性 我 们 只 瑶 交 感 平方 - 和 关乎 永 涉 存 在 但 不 一 定 显著 ) 。 而 且 通 常 不 须 要 独立 的 计算 ， 只 撩 把 小 组 平方 和 沽 去 横 列 平方 和 及 栏 在 方 和 就 可 得 到 交感 平方 和。 图、 9.1 麦 示 各 平方 和 问 的 天 傈 ， 入 的 平方 和 可 以 分 成 小 组 平方 和 及 误差 平方 和 ， 小 组 在 方 和 双 可 确 分 垮 横 列 平方 和 、 栏 平方 和 及 交感 平方 和 。 此 等 平方 和 的 相对 大 小 随 实 骏 之 不 同 而 有 差 殿 。 图 9.1 PABA 不 麦 示 贼 的 实验 之 各 平方 和 的 相对 比 全 ”否则 代表 横 列 平 方 和 的 面积 RRMA HRAXARS+—. BI BRD T RERBHD 析 的 显著 性 检定 ， 我 们 必须 先 了 解 交感 的 意义 fF) PA M= 181.320 = 77,570.25 = 211. 8853 交感 平方 和 三 23. 9263 Re RAM= 401.5213 B\9-1 we ea De BAD HC two-way orthogondl anova ) fit® 平方 和 之 组 分 需 各 种 平方 和 。 各 小 区 的 面积 兹 非 表 示 与 各 平方 和 的 大 小 成 比例 。 我 们 可 以 用 贼 的 例子 来 解释 人 双向 双方 分 析 的 交感 之 意义 。 例 如 我 个 把 4 - digitalis 975% & 50 %% 之 数据 互 换 ， 则 我 们 得 到 麦 9.2 之 数据 。 此 玫 列 出 各 小 组 、 各 横 列 、 及 各 栏 之 炉 和 。 我 们 把 缀 方 分 析 (OE RIK I-22 EH. MEAOMEHM, DORHMRREE 第 九 章 “” 衣 向 缀 方 分 析 261 PAR (29-1) 得 到 的 相同 。 直 不 尼 稿 硒 ， 因 我 们 用 相同 的 ” 据 ， 我 们 只 是 把 才 中 右 栏 之 下 方 两 格 的 数据 互 换 。 但 是 当 我 们 把 小 租 平方 和 多 分 震 关 个 部 分 后 我 们 发 现 与 以 前 得 到 的 不 一 样 。 我 们 发 现 征 (WA) 平方 和 没有 改 释 。 过 是 因 震 我 们 互 换 的 数据 是 在 同一 栏 内 _， 鼓 栏 的 看 和 站 无 改 可 ， 此 因 栏 平方 和 也 不 枝 。 但 是 当 我 们 把 A- digitalis 75 % 与 50 % 蓝 度 的 芒 数 互 换 ， 则 第 二 横 列 与 第 三 横 Flo BOR, LEE 75 % BE Rome IE MES 50% BES ,在 以 前 此 二 种 芍 度 之 间 的 差 届 很 大 ， 但 是 现在 爸 得 很 小 。 而 此 时 由 小 组 平方 和 沽 去 横 列 平方 和 及 栏 平方 和 所 得 到 的 交感 平方 和 沟 得 非常 大 。 要 计 住 小 租 平 方 和 在 两 个 例子 中 是 相等 的 。 在 第 一 个 例子 从 小 组 平方 和 沽 去 逢 类 及 蓝 度 的 效应 之 平方 和 所 得 到 的 残留 之 交感 平方 和 很 小 。 而 在 第 二 个 例子 过 两 逢 主 效应 ( main effects; 种 类 与 题 度 ) H\OEA MOY SA), (RRR AMAIA, 1 OF ‘AOR AR SE E+ BENE? FER 9.3 我 们 列 出 表 9.1 Hy AR BL RSE 9-2 “ aE” HOB ZEIEEBRRE BRE BR ( marginal means), AROER 是 很 明显 的 ， 对 过 两 个 种 类 而 衣 在 75 % SE KO SR REBEL 在 其 他 两 逢 芍 度 下 之 消耗 量 户 小 ， 我 们 站 发 现在 两 种 奋 度 下 4.scebz& 的 氧气 消耗 量 比 4. digitalis8X, ALE RORAR BE ORR 潜 成 的 差 情 是 独立 的 。 但 是 假使 我 们 要 解释 改 徊 后 的 数据 ( 麦 9.3 的 FEBS) MRA BHR A. scabra 的 氧气 消耗 量 仍然 比 4.digitelis 多 ( ARM MAAK), IER A SBEOe BRK, 100 % Had 50 2 “eI KA. scabra SEA. digitalis RRRANAAR ,但 是 在 75 % OMS, SEPRA HIER. Reema AEs 两 个 种 类 的 氧气 消耗 量 县 下 和 结论。 我 们 必须 先 广 明 是 在 何 种 海水 洛 度 262 生物 和 统计 学 间 座 下 的 氧气 消耗 量 。 在 100% $850 % BEY scarra > Yaigivariey 但 是 在 75% FE Veco R—C+Y 第 九 章 ”双向 构 方 分 析 265 过 个 簿 坑 揽 杂 的 式 子 就 是 代表 交感 的 犬 差 。 假使 我 们 把 各 小 组 的 运 个 APH, FAL, RS PHO MARGIT SE AIL n ,我们 就 得 到 交感 SS WERE MOWED BR, FHED REGAN, BEARS ANZ AAA, RBA BERRA ROM RR ZESM .我 们 以 麦 9.3 需 例 。 没 有 交感 的 本 来 数据 ， 具 有 下 列 形 式 的 相 轩 大 外 > . sceabra ? digitalis 100 乡 V VV 75% a? Bate 50 % 7 $e I EG AOE SS BZ EIS BCAA) OF: scabra digitalis 100 % Ny . A 75% 人 Mme 50 | RERRRAAK) OAH ZUAR—RR, RAW ASR OEE 。 (ASL ZE RR GBS TENE DUE Ray a ( direction) RABAK) 可 能 受 影 唤 的 情况 下 存在 。 因 此 起 觉 的 观察 不 能 被 用 来 取代 统计 检定 。 炉 之 ， 党 两 种 因子 的 效应 不 能 用 个 别 因子 的 效应 来 预 估 的 时 候 ， 统计 学 家 称 过 逢 现象 是 交感 ， 而 用 交感 均 方 来 测验 其 显著 性 。 过 是 一 266 AMR Sem BFE RHASHA, REKMREEA BP Bwt BHR 的 影 澳 要 看 其 基因 型 而 定 ， 则 我 们 意 指 有 基因 型 X 密 度 的 交感 之 存在 。 假使 一 种 寄生 红 的 地 理 倒 内 要 看 其 所 寄生 的 寄主 逢 类 而 定 ， 则 我 们 意思 是 说 有 寄主 X 地 区 的 交感 存在 。 假 使 温度 兰 某 一 新 陈 代 谢 步 屋 的 影 澳 是 与 氧气 洛 度 的 影 于 无 天， 则 我 们 意思 是 于 无 温度 X 氧气 的 交感 不 存在 。 2] SHA RA REE PAPO Nim, HERA 指出 BOX 9-1 的 第 4 及 第 I sth Re A 8-4 节 提 到 的 两 租 疝 平方 和 的 简化 公式 来 代替 。 假 使 在 一 个 分 析 中 只 有 两 横 列 及 两 桐 则 交感 SS 可 以 直接 计算 如 下 : ( — (EAT FSBO 8 AU — ST FS A READ ) 2 abn 9-2 BQEADHRSURE ( Two-way anova significance tésting ) 在 我 们 能 约 测 验 有 关 了 BOX 9-1 ATS} BEHH OR AD Se EY RR BT , KDA PA Rat ZEB, 1 BOX 9.1 HMHAMR 中 ， 我 们 先 列 出 模式 SHA WHESA, ARBRHEAURE 水 滤 度 都 属於 固定 的 处 理 效 应 。 由 过 表 中 我 们 可 以 看 出 小 租 内 MS ( MBREMS ) Eft RASS, ERA | RADHA Bik BUDA ao: WES — BRAT Rs A Be EY 8 EA AMER BS, REAR-BOIP MER, MMAFANHEMS AZARAE RBA LAF AND DE, 而 不 含有 交感 效应 。 所 以 模式 工 的 显著 性 检定 是 非常 简单 且 直 截 了 当 的 。 任 何 一 个 格 六 都 是 用 一 个 适当 的 均 方 除 以 慰 差 WMS 来 测验 。 所 以 我 们 用 4AEyyroyr ， B/Error #1( AX B) /Error GBH LAK SERRE, APRA BA BARARIH 267 Me i555, GINIA=MS,, Error =MSeunin 8 SUPE SE OT HEE AS) BOX 9-1 的 例子 ， 我 们 只 发 现 因子 已 ( BE) 显著 。 因 子 4 与 交感 都 不 显著 。 我 们 下 桔 论说 氧气 油耗 量 的 差 BE NT (RMA ORR), ROPES PRRMAGMYAROHEABSER, MRM 各 平均 数 的 相对 大 小 ， 则 我 们 发 现 两 下 的 符号 相似 。 但 是 过 逢 表示 方 法 花 不 很 精确 的 ， 例 如 4 . scabra 的 平均 数 在 100 % HK IEE 75 %% 海水 大 很 多 ， 但 是 4. digitalis 则 只 有 大 一 点 点 。 同 然 两 个 种 类 之 氧 | 氟 油 耗 曲 粮站 不 平行 ( 参见 图 9.2 ) ， 因 而 表示 可 能 有 征 类 X 匣 度 角 交感 存在 ， 但 是 当 我 们 用 小 组 内 屡 方 来 测验 时 我 们 发 现 它 站 不 显著 。 在 过 佰 例子 我 们 发 现 鉴 度 间 有 显著 差 殿 ， (ELAR RIED. 从 数据 看 出 75 % BE EASIER, BOA LUA 8-6 和 节 的 方法 来 测验 它 是 否 属实 。 1002 /毫克 乾 重 / 秒 ( 在 22eC) 25 50 75 100 % Hs 7K BE 9-2 Ske =a FHOSABEE. 数 HEE = BOX 9 el ° 268 £ADRH SSR 当 我 们 分 析 表 9.2 的 人 怖 数据 ， 我 们 发 现 只 有 交感 MMS BH, BR 此 我 们 下 烙 葵 说 敬 度 的 影 玫 依 种 类 不 同 而 定 。 从 数据 的 观察 我 们 也 可 看 出 过 一 点 ， 在 75 乡 芍 度 下 4. scabra 消耗 最 少量 的 氧气 而 A, digitalis 消耗 最 多 量 的 氧气 。 在 人 需 数 据 的 例子 ， 二 个 因子 ( 主 效应 ) 的 均 方 都 不 显著 。 但 是 很 多 统计 学 家 只 要 发 现 交感 均 方 题 著 ， 他 们 就 不 再 测验 主 效应 的 均 方 ， 因 需 在 此 种 情况 下 ， 对 於 各 别 因子 的 入 烙 葵 是 没有 多 大 意义 的 。 单 RHLVVSRECEHS, LENWFEERALAERR BE WEEKOERANR, AULRADAS FH IER Kin, ER | RHORAPERARR OER EE ewes ZAR TE CUM ANE ASE AE AY PE FE BIA BOE Bs SOR, UF UCR ALAA ORES BS, NARMS 是 否 里 MBPT TU AE A SER BR I 5 HA ( Oe LEMS 来 测验 ) 。 BOX 9.1 中 也 列 出 模式 下 及 混合 模式 伙 向 慑 方 分 析 之 各 期 荫 均 方 。 要 注意 在 模式 { 伙 向 释 方 分 析 两 个 主 效应 包含 交感 的 屋 方 成 分 以 及 CAS OR RD. TEBE DRE RIERA (Ax B) Error 。 假使 交感 显著 ， 我 们 进一步 测验 4A( AXB) RB/(AXB), {8 是 假使 4 x BA, HL MEt BRM ABM AMBEMS ( pooled error MS ) =( SSaxe+SSwunin)/( dfaxe+dformm ) 3 ME RSE HE. HEBER SE HERE E92 FH ERR MS FRB ER AEB 应 的 显著 人 性， 我 们 在 此 书 将 探 用 过 年 方法 。 BOX 9-1 只 列 出 混合 模式 的 一 种 就 是 假设 因子 4 是 属於 固定 的 模式 而 因子 妃 是 随机 模式 的 情形 RAAT APE LMI EAR, RUSS eR, Ze RSMh, RRB SA RN RH Ti AF HR PLE SABAH 269 SH REBHARA SOB RAMNGACRRD, Abt AR 差 均 方 来 测验 随机 主 效应 的 MMS ， 而 用 交感 均 方 来 测验 固定 处 理 的 MS, , 9.3 RELMHREQRA DH ( Two-way anova without replication ) 有 很 多 实 欢 在 其 数据 玫 中 麦 示 各 逢 因子 租 合 的 每 一 格 站 无 重 覆 。 在 过 逢 情况 我 们 不 对 说 每 一 格 是 一 个 小 组 ， 因 依 每 一 格 内 只 含有 一 个 芒 数 。 常 常 由 於 太 困 双 或 油 费 太 大 ， 因 而 每 一 格 只 能 得 到 一 个 茂 数 ; 或 者 因 乱 某 些 测量 的 可 重 覆 人 性 很 大 ， 因 此 没有 必要 去 估计 其 误差 。 乱 重 覆 的 伙 向 斑 分 析 只 能 夭 用 於 某 些 候 定 成 立 的 情况 ， 此 爸 方 分 析 的 某 些 形式 和 检定 必须 先 假定 没有 交感 的 存在 。 | RADRKAMSHALRR USES GBH, BOX 9-2 列 出 某 一 湖 在 某 一 夏季 的 回炉 四 个 下 午 的 相同 时 刻 所 量 到 的 水 温 。 此 等 温度 是 在 十 个 不 同 深度 下 所 量 的 ， 而 且 我 们 知道 其 可 重 覆 人 性 很 高 ， 因 此 任何 一 天 的 每 一 深度 只 有 一 个 读数 。 此 属 方 分 析 是 属於 那 一 模式 ? 显然 深度 属 模式 [ ， 但 是 所 尘 的 四 天 站 没 有 特殊 的 意义 。 研 究 者 不 可 能 是 想 知 道 七 月 三 十 日 的 水 温 是 否 比 七 月 三 十 一 日 的 水 温 需 冷 。 对 於 过 个 问题 的 一 逢 比较 有 意义 的 看 法 ， 是 把 过 四 天 当做 是 随机 样本 而 使 我 们 可 以 估计 此 湖 在 仲夏 时 期 的 水 漂 属 次 日 日 的 他 愉 情形 。 计算 列 於 BOX 9“2。 除 了 须要 估计 的 各 式 子 慑 得 比较 简单 之 外 ， 此 计算 的 基本 原理 与 BOX 9.1 HA, An = 1， 所 以 可 以 省 略 掉 很 多 的 炉 合 的 计算 。 在 过 年 例 子 小 组 平方 和 序 等 於 李 平 方 和 ， 参 见 图 9-3 ( SRM 9.1 比较 之 ) 就 可 知道 其 原因 ， 从 图 9.3 可 以 看 出 此 逢 AERA ABR REG A, ALLER AY SS BRI ( 270 。 生 掀 纺 计 学 导论 AFA) 的 平方 和 及 横 列 (因子 妃 ) 的 平方 和 ， 则 只 剩 下 单一 的 平方 和 ， 此 一 平方 和 相等 於 以 前 的 交感 SS ， 但 是 在 过 个 到 方 分 析 它 是 唯 一 的 误差 项 。 所 以 过 个 SS RBRMRS S( remainder SS ) 或 2B ( discrepance ) 。 BOX 9-2 ee BA Si BS HC Two -way anova without replication ) 。 Agi ( Rot lake) 在 1952 年 的 夏季 之 四 个 午后 的 10 个 深水 之 水 温 (。C ) 。 过 是 一 个 混合 型 多 方 分 析 。 AFA: 日 期 (天 ) a=4 AFB: RECK) 7498 743.8 74318-8718 & b=10. 0 $328: gato 24.6 ~ 24.8. 97.2 1 22..6..: 32.4... 22/9, oa 2 二 全 22.1. 22.2 ae 3 21:2" 21.8 ~ 21.0° (REA 4 eat. pois 19.0 二 病症 5 135i a edie 14.2 238 eee 6 9.8 9.9 10.4 9.6 39.7 9. 6.0 6.0 6.3 6.3 24.6 12 5. 8 5.9 6:0 SS 15.5 5.6 5. 6 5.5 5 z 148.9 151.4 152.0 151.3 603.6 eR: BK A Vollenweider KFrei ( 1953 > XE EOP OMORMEHEES (BR), RRR EHR , 日 期 被 当做 是 随机 效应 ， 因 此 各 是 一 个 混合 型 杰 方 分 析 。 第 九 章 “双向 楼 方 分 析 MH BH ( Preliminary Computations ) Lee@mM=UUY = 603.6 2 RRM BG Sw A= UY’ , = (23.8)? ++-+(5. 6)7=11, 230. 78 MMA ZAAH BARD —RYMRAK] (SCE)? © (148.9)? +--+ (151.392) “ie? 10 } = 9108.89 4G AMMH BRAS RMRIU—BAILEAKAN UC BY)? _€ (97.2)? +--+ (22. 3)7) a : 4 = 11,227. 98 SFRRAZAARUERHRAAD=KRER are t )? _ (第 一 个 量 ) (603.6)? ab’ ab 40 CT = 9108. 32 a b Messer 2) >iY°—CT =RB2f#eme5 fa = 11,230. 78 — 9108. 32 = 2122. 46 a b | | haa 7. SSa( #82 SS ) | SR Sha 27 =S3SHSMASOAS = 9108. 89 — 9108, 32 =0.57 b a . sy y2 & SSs( 横 列 之 SS ) —~ LZ _ or > a = 4am AS He = 11,227. 98 — 9108. 32 = 2119. 66 — 9. SSerror ( HIBS ZR) = SSeotu 一 SS4—SSz =F 6H BRR 7 个 量 减 第 8 个 量 = 2122.46 — 0.57 — 2119. 66 = 2.23 271 272 -生物 统计 学 导 座 BA AHR( Anova table ) oe 因 df “SS MS F, ii @MS Y.-Y A(M@, 日 期 ) 3 0.57 0.190 2.30ns Pere ee o*+o4n + 3 一 > BCH, FH) 9 2119.66 235.5 2851.1** a A 时 放 w， Y—Y,—Ya( 误差 ， 十 了 HR, ZK ) 27 2.23 0.0826 a*+o4n Y—-Y # 和 39 2122.46 tii ( Conclusions ): 随 著 深度 的 增加 ,水温 显著 的 下 降 ， 需 了 测验 日 期 间 的 牌 愤 ， 我 们 必须 先 假设 日 期 与 深度 间 的 交感 等 锥 0 。 糙 果 发 现 日 期 间 没 有 增加 的 杰 方 成 分 。 横 列 SS=2119. 66 栏 SS=0.57 #@ SS=2122. 46 ]\ fH SS=2122, 46 交感 SS=2.23= BH 9-3 BRERRERH RS ARLBD ST HRRA MHD nee 各 小 区 的 面积 花 不 和 各 平方 和 的 大 小 成 比例 。 at 第 九 章 SMT 273 假使 我 们 同 过 头 来 看 看 BOX 9-1 Hy MBH OM ZSMEBDH, 我 们 就 可 以 知道 坑 什 么 我 们 褒 过 在 无 重 覆 的 双向 符 方 分 析 中 有 某 些 形 式 与 检定 必须 先 假定 交感 不 显著 。 假 使 交感 存在 ， 只 有 模式 开 慑 方 分 析 可 以 全 部 被 测验 ， 而 在 一 个 混合 模式 的 琶 方 分 析 只 有 固定 因子 的 MS 可 以 用 剩余 MS 来 测验 。 但 是 对 於 一 个 纯 坑 模式 工 或 一 个 混合 模 式 的 随机 因子 来 襄 ， 除 非 我 们 可 以 假定 交感 不 存在 ， 否 则 我 们 就 不 能 用 剩余 MMS 来 测验 主 效应 的 MKS 。 从 BOX 9.2 的 数据 我 们 可 以 看 出 任 何 一 天 的 温度 层 欢 与 其 他 日 期 的 瘟 度 层 欢 都 相似 。 因 此 ， 不 太 有 可 能 有 交感 的 存在 。 但 是 举 个 例子 来 说 ， 假 使 在 其 中 的 某 一 天 有 一 个 大 风 责 ， 使 湖水 充分 的 翻动 改 生 了 各 深度 的 水 温 之 天 傈 ， 则 交感 显著 ， 那 BEREAN TY LAF BOX 9.2 的 方法 来 测验 日 期 间 的 均 方 。 因 震 我 们 假定 没有 交感 的 存在 ， 横 列 与 栏 的 均 方 可 以 用 愤 差 MS 来 测验 。 所 得 到 之 精 果 站 不 足 念 奇 ; 只 要 看 本 来 的 数据 就 可 以 预 估 会 得 到 怎样 的 千 果 。 日 期 间 增 加 的 始 方 兹 不 显著 ， 但 是 各 深度 的 水 温 问 的 差 展 则 非常 显著 ， 其 有 尺 =2851 .1 。 所 以 不 可 能 单 靠 机 光 而 造成 此 a AB Ci RHA MBH" RRR ER” (repeated _ testing of the same individuals ) 。 意 指 相 同 的 若干 个 体 在 一 RARER LP E-Bay ( 常 被 当做 是 随机 因子 ， 用 做 重 覆 ) 而 时 间 是 另 一 种 因子 ， 坑 固定 处 理 效 应 。 例 如 我 们 可 能 每 隔 一 段 时 间 量 十 个 个 体 的 某 一 构造 之 生长 情形 。 此 时 如 要 测验 有 和 无 因 随 机 因子 而 增加 的 爸 方 成 分 之 存在 ， 则 必须 先 假设 时 间 与 个 体 间 和 无 交感 之 存在 ; 亦 即 各 个 体 随时 间 而 季 之 反应 都 是 相互 下 行 。 此 种 设计 的 另 一 种 应 用 是 在 各 种 生理 及 心理 的 实验 ， 在 此 实验 我 们 测验 同样 的 一 些 个 体 在 经 过 上 处理 后 对 於 某 些 反应 的 麦 现 。 例 如 在 接种 抗原 后 ， 测 274 生物 统计 学 导语 验 其 免疫 力 增加 的 情形 。 或 加 上 某 种 限制 谷 测 验 其 反应 的 改 否 ， 或 在 —EAWERMERE. WEEE, AMR TRE+ EE A, 六 其 重 覆 的 走 同 -- 迷 津 ， 测 验 其 过 到 炊 点 的 速度 。 各 重 覆 试验 属 於 固定 丰 理 效应 。 如 果 老 鼠 是 从 实 台 的 族群 随机 抽样 所得 到 的 记 ,' 旭 ”第 二 个 因子 ( 即 十 焦 老 鼠 ) LRAT, 有 一 种 可 以 特别 提出 来 各 别 讨论 的 特殊 情形 是 随机 完全 区 集 ( ， randomized complete blocks ), oat at 4 J 7A Pe (Bl bie 3 Bi a =2), BBAVLRER RAHB( paired comparisons*) , A A-HRE OS AOE A— ARE eRe, 对 可 能 是 周一 个 体 试验 两 欢 所 得 到 的 烙 果 ， 或 是 不 同 的 两 个 个 体 但 是 具有 某 些 相同 的 经验 ， 因 而 我 们 可 以 称 当 的 将 此 数据 排列 而 用 伙 向 慑 。 HAMAR. y ARAL PRR -RARONARRWY, (SG ACHE eS RKNAEOE ARR 体 被 量 两 其 ， 我 们 可 以 把 肌肉 紧张 的 芒 数 排 成 对 ， 每 一 对 是 一 个 个 体 在 有 运动 前 与 运动 合 的 芒 数 。 过 逢 数据 适用 和 无 重 覆 伙 向 屋 方 分 析 来 分 析 ， ， 但 是 因 展 只 有 两 个 处 理 粗 ， 所 以 是 一 种 成 对 上 比较 检定 ， 像 过 逢 处理 BUA REE C before and after treatment” ) 的 比较 是 成 对 比 较 所 常 遇 到 的 设计 。 另 一 赴 设 秆 是 在 两 个 不 同 的 时 间 量 一 群生 物 个 钵 的 生长 情形 。BOX 9.3 的 例子 是 属於 过 逢 设计 。 它 是 量 一 群 女 孩 在 五 炭 时 和 同一 群 女孩 在 六 旗 时 的 下 跨 寅 度 。 此 成 对 比较 是 指 同 一 个 女孩 FE BAG PLE HL Be BO Le — A: YE NHL HA Ne OR ERD, — 8B RELA GREASE, Sb Re, ANCE REE A TR BOOED, Bo DUE ee 和 天。 aa ” 二 YY ARE 双向 释 方 分 析 275 中 的 一 逢 注射 到 一 个 个 体 的 一 个 手 辟 ， 而 把 另 一 逢 注射 到 同一 个 体 的 另 一 焦 手 臂 ， 然 合 量 所 产生 的 红色 面积 之 直径 。 由 实验 设计 的 观点 最 好 不 要 把 一 箱 抗 原 注射 到 一 个 个 体 ， 而 把 另 一 逢 抗原 注射 到 另 一 个 个 体 ， 汪 两 个 个 体 对 此 抗原 的 敏感 程度 可 能 不 同 ， 因 而 我 们 无 法 得 知 两 年 抗原 的 相 对 效力 ， 因 怎 所 得 的 精 果 包含 个 体 的 不 同 反应 。 一 逢 较 佳 的 设计 是 把 抗原 1 注射 到 一 群 的 2 个 个 体 之 左 臂 而 把 抗原 2 注射 到 右 臂 ， 然 合用 交 横 列 ( 个 体 ) 和 2 栏 ( 处 理 ) HOS SBE TK 分 析 数据 。 译 於 那 一 逢 抗原 注射 到 左 臂 ， 那 一 逢 注射 到 右 臂 可 能 是 天 WARE, HARMERARALABS, RPA KA CNTR 一 无 所 知 的 话 ， 垮 了 预防 万 一 ， 我 们 可 以 随机 的 将 抗原 1 分配 到 不 同 个 BiH ae, RGR 2 注射 入 另外 的 一 焦 手 臂 。 另 一 个 相似 的 例子 是 将 某 一 淡 度 的 病毒 在 一 个 叶 的 表面 上 磨擦 然后 计算 所 产生 的 开 点 数 以 测验 某 植物 病毒 的 效力 。 由 於 不 同 的 叶片 有 不 同 的 敏感 度 ， 一 个 常用 的 方法 是 把 病毒 捧 到 叶片 中 肋 的 一 中 ， 而 把 对 照 溶液 或 标 淮 溶液 擦 到 叶片 中 肋 之 另 一 个 。 在 另 一 逢 成 对 比较 设计 ， 我 们 处 理 的 对 象 是 具有 同一 共同 经 验 的 两 个 个 体 ， 此 共同 烃 验 可 能 是 属於 遗传 上 的 ， 也 可 能 是 属於 环境 上 的 。 例如 使 四 租 的 伙 胞 胎 或 同胞 兄弟 姊妹 接受 一 逢 药物 或 一 种 心理 测 欢 , 每 一 对 中 的 一 个 接受 过 逢 处 理 ， 而 另 一 个 不 接受 过 逢 处 理 。 最 个 ， 成 对 比较 的 技术 也 可 以 用 在 两 个 个 体 共用 单一 的 实验 单位 , 因而 具有 相同 的 环境 烃 验 的 情形 。 例如 假使 我 们 有 一 租 的 老 亿 得 子 ， 每 一 个 第 子 中 放 两 焦 老 鼠 ， 我 们 可 以 把 荷尔蒙 注射 到 每 对 老鼠 中 的 一 焦 ， 而 把 同 药 内 的 另 一 焦 当 做 对 照 。 所 得 到 的 是 具有 生 的 2 x n BHA. ; PU ZENG HBS [ey BBG DT HAE HH ON BRE HO RZ 276 ”生物 和 统计 学 导论 LAR AIRE | REO HERAT, BI 成 对 比较 上 检定 ”。 BOX 9.3 的 成 对 比较 就 如 前 述 是 分 析 五 旗 和 太岁 女孩 下 显 寅 度 。 所 疝 的 问题 是 六 诚 女 孩 的 下 疆 袖 度 是 否 显著 的 袖 於 五 央 的 女孩 。BOX 9.3 AOA) ANH) IE 1 5 个 女孩 的 数据 。 栏 (3) 是 到 方 分 析 所 要 用 到 的 ， BAZ OA, BOX 9. 3 的 无 重 覆 伙 向 慑 方 分 析 是 和 BOX 9-2 的 方法 相 同 ， 因 此 没有 说 帮 列 出 。 由 琶 方 分 析 玫 可 以 看 出 两 逢 年 齿 的 女孩 之 下 疆 寅 度 有 非常 显著 的 差 刁 。 如 果 交 感 被 假定 坊 雳 ， 则 个 别 女孩 间 有 一 个 大 的 增加 的 倒 方 成 分 之 存在 ， 此 琶 方 成 分 无 疑 是 由 遗传 与 副 境 的 不 同 所 造成 的 。 BOX 9-3 BNR O= 2 的 随机 区 集 ) ( Paried comparisons; randomized block with a=2) 15 佰 北 美白 人 女孩 在 5 苞 及 ORB TBA ( cm) aa (1) (2) (3) (4) 5 KR 6 KK >» DY 一 Zi (2) 1 7. 33 7.53 14.86 0.20 2 7.49. 7.70 15.19 0.21: we 1, 2F 7. 46 14.73 0.19 4 7.93. 8. 21 16.14 0.28 5 7.56 7.81 15.37 0.25 6 7. 81 8.01 15. 82 0.20 7 Td. 7.72 15.18 0.26 a 6.94 7.13 14.07 0.19 9 7.49 ‘7, 68 15.17 0.19 10 7,44 7.66 15.10 0.22: - ii 7.95 8.11 16,06 0.16 | 12 7.47 7. 66 15.13 0.19 13 7.04 7. 20 14.24 0.16 14 7.10 7.25 14. 35 0.15 15 7.64 7.79 15.-43 0.15 SY 11.92 -114.52:: 226.84. 3. 00 Si¥? 836.3300 881.8304 3435. 6992 0. 6216 夹 源 : Newman 和 Meredit , 1956 的 研究 AA eABADH 277 oe BS BH HT 754 HH ( Anova table ) # ae SS MS ae jaSMS | ** 2 2 5 2 ite Hi, 因子 4) 1 0.3000 0.3000 200.11 = 一 Sam eae 个 体 ( 横 列 , 因 了 B) 14 2.6367 0.1883 242.02** 0 十 aa 剩 & 14 0.0108 0.000771, 0 +04s * fi 29° 2.9475 . F.oif 14) = 8, 86 F. 01 [12,14] = 3. 80 fai &@ ( Conclusions ) 一 年 郊 的 反方 比例 非常 显著 ， 因 此 我 们 下 竺 论说 太岁 女孩 的 脸 是 袖 认 五 苞 女 孩 的 脸 。 如 果 我 们 假设 交感 cia 饥 零 ， 我 们 可 以 测验 个 别 女孩 间 增 加 之 机 方 成 分 ， 而 发现 此 种 沈 方 成 分 显著 。 成 对 比较 了 检定 (THe t-test for paired comparisons ) lee 《 [一 Pe) | . SD 式 中 万 是 成 对 观测 值 间 的 平均 差 汪 - ( D==D/b =3.00/15 =0. 20 ) ff 而 55= sp// , sp2DHBEKE ， 由 栏 (4) 的 观测 差 加 计算 而 得 。 [EBC Ed?7b __ /o..6216=(3. 007715) Rh rcectair2! Yq <> Wi, dua EE =/0.0216/14 = 0.001543 = 0. 0392810 zs RABRMALRHKAH REZR( Ai 一 pz ) SRE ae 0 04 OO 1 = 14 SS P Y? = 2059.6109 9-3 Blakeslee £1921 =HRAlER ( Jimson weed ) 的 两 种 型 globe ' (G)R" nominal” (N) 之 幼苗 的 第 二 个 时 片 之 长 / 实 比 例 。16 盆 中 SASUSH= OMT. RE AME HERE TR” globe” A “ nominal.” ZR/ KKM AER? a Bi AG 型 5 G N 16533 b. 671. 535; 1/63 2, UB) BLAS >- 2; 42 16534 1; 68:2. Jo "ieee Fe ae ie ae ae 16550 a Oe a ie Oy 3 PEL 26080 — 16668 1:.66° 1,48 —1, 69 1 93.°2.500. 2,00 16767 L281: 61:-78-64 > Say Pee BR: Wa Ts 16768 a. 707° 22 722) a. 40 22,11" -2; 00 16770 £258... 1.59 2 238 2,002. 28: 2746 16771 1.49 1.52 1,68 1,94 2.13 2.29 16773 1, 48...1,44 “1,58 tos 1.95 3.10 16775 1: 282-1, 45-250 dail 2: 09 2,08 16776 1-65 1.400, t2o8 ao 4. $5 - 1292 16777 4.29. iver 0, 44 2G. 1. 94. 51:80 16780 1 36. 2, Sai ee a ene 2.87) 2. 26 16781 ae | fae ee gee 2.00. 2.23 16787 i 62> 12-5670) 56 ER 82008 ' 1.89 16789 L827 1538) -1. 0.7 2.10 . 2.00 280 ££ SS ia 9-4 下 面 的 数据 是 从 Sokal {1 Karten ( 1964) 的 一 个 比较 详尽 的 研究 中 抽取 出 来 的 。 所 列 数 据 是 一 种 甲 患 (了 reolLzzornz castaneum ) fi) MAW WE AS MH 20 焦 甲 患 的 密度 下 之 平均 乾 重 量 (mg) 。 四 个 系列 的 实验 表 7X BB o 系 列 站 1 0.958 2 0.971 3 0.927 site 0, oft 基 因 型 +6 0.98 1.051 0.891 1.010 KHSEAMS DHRERLSABRER ? bb 0.925 0.952 0. 829 0.955 2 芝 方 分 析 的 假定 我 们 现在 言论 汉 方 分 析 的 假定 ( RAE), Nala RELA 正确 的 各 种 方法 ， 冰 言论 假使 候 定 不 正确 时 ， 半 从 一 个 释 方 分 析 的 影 $5) NAL IEAR TE HERS MEER, FEL ARI AE Te A (A HWRRMAEDBHON Zi, RADAR MWS RE UL 无 问题 ， 如 有 阅 题 则 必须 探 用 数 逢 可 能 的 替代 或 补救 方法 。 10-1 节 人 简单 的 列 出 杰 方 分 析 的 各 种 假定 ， 描 述 测 验 某 些 假定 的 步 县 ， 人 简 述 假定 不 正确 时 的 影响 ， 薄 提 到 候 定 不 正确 时 所 应 探 取 的 步 县 。 此 等 假定 包括 随机 抽样 ， 独 立 性 ， 灵 方 的 均 谊 性 ， 常 态 性 和 加 成 te | | BHOMORERHAR,. HI AR RRA SZ, 新 的 尺度 以 校正 之 。 其 原因 以 及 一 些 常 用 的 释 换 (transformation ) 282 £RHBEMR 在 10.2 和 节 中 加 以 言 花 。 假使 变换 仍然 无 法 使 数据 符合 爸 方 分 析 的 假定 ， 则 必须 探 用 其 他 目的 和 缀 方 分 析 相 类 似 的 分 析 技术 ， 就 是 在 2-6 Gif PES Re 检定 ( nonparametric tecjoxzigxes ) 。 在 该 节 我 们 提 到 有 时 即使 有 征 数 的 方法 ( MBHON) 可 以 被 合理 的 探 用 ， 但 是 还 是 比较 适合 探 用 无 征 数 检定 ， 由 於 无 征 数 分 析 的 计算 较 快 ， 也 较 坊 简单 ， 所 以 使 得 许 多 研究 者 喜欢 探 用 它们 ， 但 是 如 果 爸 方 分 析 的 假定 正确 ， 过 些 无 徽 数 方法 的 效力 比 构 方 分 析 需 差 。 10 3 节 只 言论 三 种 可 以 代 蔡 两 个 样本 的 秋 方 分 析 之 无 征 数 方法 。 ere 10°1 叙 方 分 析 的 假定 ( The assumptions of anova ) 随机 性 ( Randomness )。 所 有 灵 方 分 析 有 撩 要 个 体 的 抽样 是 随机 的 。 例 如 在 研究 一 个 药物 的 三 种 剂量 ( 加 上 一 个 对 照 ) BAER 的 影响 之 实验 中 ， 每 种 处 理 所 分 配 到 的 五 焦 老 鼠 必须 是 随机 抽样 而 得 。 假 使 对 照 组 所 用 的 五 焦 老 鼠 是 最 年 轻 的 ， 或 最 小 的 ， 或 是 最 重 的 老 忌 ， 而 分 配 到 其 他 处理 的 老鼠 是 用 另外 的 方法 渤 择 而 来 ; 则 显然 所 得 到 的 和 结果 不 是 真正 处 理 效 应 的 一 种 不 偏 估 计 值 ( zzzpicssed estimate ) 。 抽 样 的 不 随机 性 可 能 也 会 反映 在 项 目的 不 独立 性 、 爸 方 的 不 均 谊 性 或 分 配 的 不 常态 性 ， 过 些 都 将 在 本 节 中 加 以 告 花 。 所 以 在 一 个 实 欢 的 设计 以 及 从 自然 族群 中 抽样 时 必须 确定 抽样 是 随机 的 。 独立 性 ( Independence )。 在 每 一 个 表示 一 释 值 的 期 望 值 之 式 子 ( PIM 7-3 KY = e+ w+ ev ) 都 有 一 种 假定 就 是 误差 项 E 是 一 个 随机 常态 树 数 。 另 外 逮 须 假设 各 *e 是 呈 饮 立 的 以 及 相同 的 分 配 (参见 下 文 ) 。 因此 ， 假 使 我 们 把 任何 一 租 的 各 构 值 依照 某 种 还 辑 的 顺序 〈 例如 第 十 章 亡 方 分 析 的 假定 283 CORLEONE) HAL, TR GRE 个 的 大 小 来 排列 ， 则 我 们 预期 各 e,， 排 列 成 一 种 随机 的 顺序 ， 我 们 可 以 预期 一 长 排 的 正 值 接著 是 一 长 排 的 负 值 之 情形 是 很 不 可 能 发 生 的 。 我 们 也 可 以 预期 正 值 与 负 值 不 会 很 有 规律 的 一 个 接 一 个 。 tae BR MEDI FY MMT RA? -个 明 是 的 例子 是 在 一 个 实验 里 假使 各 实验 单位 是 一 块 地 上 的 速 午 的 小 单位 ， 则 相 郑 的 小 单位 之 产 量 很 相似 ， 所 以 很 重要 的 一 点 就 是 要 使 接受 同 种 处 理 的 各 小 单位 站 不 是 连接 著 的 ,而 是 要 使 各 种 处 理 所 分 配 到 的 小 区 域 随机 的 分 配 在 实验 地 上 。 各 处 理 的 随机 分 配 可 以 使 各 e 具有 独立 性 。 。 各 的 不 独立 性 也 可 由 於 时 间 的 相关 而 不 是 空间 的 相关 所 造成 。 在 一 个 实验 我 们 可 能 要 训 和 十 个 个 体 的 体重 来 测量 某 一 处 理 的 效 雁 。 但 是 我 们 所 用 的 天 平 可 能 有 问题 ， 所 以 有 些 数据 是 连续 的 低估 ， 而 另 . 一 些 数据 是 比 实际 的 情形 坑 大 。 相 反 的 ， 可 能 由 於 天 平 的 操作 者 本 身 的 因素 而 产生 规则 的 低估 接 高 估 的 情形 。 此 时 如 将 各 测量 随机 排列 则 可 克服 玩 差 项 不 独立 的 问题 。 我 们 可 以 把 各 租 各 个 体 称 重 的 顺序 依 某 年 随机 步 屋 来 排列 。 凌 差 页 的 不 独立 任 不 可 能 用 女 换 或 其 他 人 简单 的 处 理 来 改正 ， 而 是 要 靠 实验 的 基本 设计 或 设计 的 孝 行 方面 之 改变 。 如 各 e 不 独立 ， 则 通 常 的 显著 性 检定 之 有 效 性 受到 岂 重 的 考验 。 7 gig ete ( Homogeneity of variance), 在 8.4 节 及 BOX 8-2 中 我 们 提 肖 两 个 平均 数 间 差 丑 的 ! 检定 ， 只 有 在 两 个 样本 的 释 方 是 相等 的 假定 下 寺 有 效 。 同 然 到 现在 我 们 逮 未 强调 过 过 一 点 ， 但 是 各 所 具有 相等 释 方 的 假定 也 是 两 个 样本 及 其 他 所 有 的 爸 方 分 析 所 必须 事先 具 人 备 的 条 件 。 一 组 样本 的 树 方 之 相等 性 是 数 种 统计 检定 所 必须 具 WDD BRE, TEMES MME 〈 equality of 284 生物 和 统计 学 导 匣 variances ) 或 称 “ 各 行列 之 等 权 输 性 ”( homogeneity of variances or homoscedasticity ) 过 个 名 订 是 由 希腊 字 而 来 ， 意思 是 相等 的 分 散 。 相 反 的 情形 BEART DARE) 叫做 “ 各 行列 之 不 等 值 差 性 ” ( heteroscedasticity ) 由 论 我 们 假设 各 样本 释 方 都 是 对 同一 母 数 遍 差 爸 方 的 一 个 估计 ， 所 以 释 方 的 均 谊 性 之 假定 是 必要 的 。 在 7.3 节 和 BOX 7-1 PRFLRNRB, HLTH APSE iy t 检定 或 两 样本 的 爸 方 分 析 之 前 ， 如 何 来 测验 雨 个 样本 的 爸 方 是 BOS, te RMA : of=of MH,: of So? 的 限 设 之 书 检 定 。 半 多 於 两 个 样本 之 情形 ， 很 多 人 喜 驶 用 一 逢 简单 快速 的 方法 叫做 Fas。 检定 ( Fuex - test ) 。 过 逢 检定 要 用 到 数 个 样本 杰 方 中 之 最 大 和 最 小 | HBA AL RABAT, ZAPRARKKV. AMRRRMAS 具 十 个 骨 标 长 度 的 六 个 人 类 学 的 样本 ， 而 我 们 想 进行 一 个 释 方 分 析 ， 六 个 样本 的 构 方 是 从 1.2 到 10.8， 则 我 们 计算 最 大 与 最 小 友 方 之 比 Gil SasrASain = 10.8/1.2 = 9.0, RH Fax a fo, RHR Frnex af 可 HOMER ay ise Mb, Ea =6Alv=n—1=9 的 情况 下 ， Fex C2 5Y 1 Y KEES 7.80 0 12.1, ALORA MRE BEAK AO 8B a BEE HOFER, Fi t+ BE ASE EELS TSE 2 LIAR CURR, BCA ERE CE BG bese eB BT BEE Ob Oe EZ RYE. AB MEHR CE Ce BS ie oh RH WMEKURARERLBRERA, E-ARRE RBH 分 析 ， 俊 方 非 均 谊 人 性 可 能 是 由 於 某 一 样本 之 数据 是 比 其 他 样本 的 数据 ELC ARLE TBE, ALR ARAN, WARS (TG 28 iy HO JESS TR JE oi WR EARN TSH RE HE A Ak 尺度 时 ， BRIT BEZEL BAA ls TR, PH BA 0 ER SS Be TG HES, AMA hLDA, HRSA DIOM, BGR “第 十 章 ， 楼 方 分 析 的 假定 285 RAWAL RAR, CSE REDS PE OBE ZAI 常 可 用 适当 的 概 换 来 校正 ， 在 本 章 稍 合 将 加 以 诗 论 。 | MAE EN fit OR ATH A HS BE HABE REEMA RAS ES BE, RR REY BH 增加 而 增加 ( 正如 下 瓦 松 分 配 的 情形 ) ， 旭 各 样本 之 Sy 了 或 SA 了 =CV 将 大 和 致 相 等 。 如 果 平 均 数 和 轰 方 各 自 狗 立 ， 则 此 等 比例 将 有 很 AAR | BEZAAROPNA OEE RELBETARE, ENR 具 一 个 自由 度 的 比较 旭 影 澳 较 大 。 | RISE (9 BBA ORR BERR A IES PRE OE, BUSRER A 10-3 Siete BH, 求 常态 性 〈 Normality ) 。 我 们 已 经 假定 每 一 个 样本 的 各 缀 值 之 避 差 项 (ev ) 具 有 独立 性 ， 各 样本 的 误差 项 之 杰 方 相等 ， 最 后 我 们 还 要 假定 避 差 项 呈 常 驴 分 配 。 如 果 对 办 数据 的 常态 性 有 怀疑 ， 则 每 一 个 样 本 可 以 各 别 用 5.5 和 节 的 图 解 方 法 来 测验 其 常 驴 性 。 REARAHERORMUYSLRARE, RAMA WR OH RENRSKEURRHHMDAREORS. KRABI SEARO AEE MO, TAR ORR DI ED fil, (HEAR GF fg BE Ae 7 RE ES, BUR 10-3 季 的 无 PBR TET AR FE HT 加 成 性 ( additivity), KBB VRBHDTVABR ERED 存在 才能 测验 模式 T BOF TE SURE, Sy BRT) HT SS ae fry AB eA PF ths AS A: OE IE RE, KEE el — By BRE AB HY SL BEML) FS EAT AUK AM BREE EZ 38 DL) F— 1 项 。 如 果 交 感 事实 上 是 存在 而 且 很 大 的 话 ， 则 屎 检定 的 效力 很 小 而 且 286 ”生物 和 统计 学 导论 可 能 得 到 钳 慰 的 结 花 。 过 个 假定 的 检查 须要 使 每 格 具 有 多 於 一 个 的 观 测 值 ( 因而 可 以 计算 一 个 如 差 均 方 ) 或 是 从 以 前 ” 相 类 似 “ 的 实验 得 BRIE Hy (AW I thet ZEKE RATER. RE RAL eB ( 例如 因子 4 的 第 二 般 与 因子 妃 的 第 三 级 组合 在 一 起 ) HAR AMSG AMS, L-RERRA LRH AA RAZ EA ER ( 例如 超 丛 互 助 或 干 援 ) 。 当 某 一 重 覆 很 反常 时 ， 也 可 以 发 生 相似 的 情形 ， 例 如 在 一 个 农业 的 实验 包括 了 一 个 特殊 试 地 ， 或 是 在 一 个 生理 实验 庄 包 括 了 一 个 生病 的 个 体 ， 或 是 在 一 个 生 入 研 究 囊 错 训 的 将 不 同 箱 类 之 一 个 体 包 括 在 内 等 等 。 其 欢 ， 假 使 两 因 子 4 与 有 对 一 个 反应 达 数 了 的 效应 具 乘 性 而 非 加 成 性 时 也 会 有 交感 项 的 产生 。 我 们 学 — (8 FAR ABE 在 麦 10. 1 Be AF] FA — (way 1 BR Ds 5D RA HB AEE A, BA RIS SHIM EE, AUER RR oH 模式 接受 因子 4 的 处 理 | HAF BRE 1 CRAMER 2 。 演 是 因 篇 每 一 因子 的 处 理会 使 平均 数 各 增加 1 。 同 理 ， 接 受 因 子 4 的 第 3 种 处 理 和 因子 妃 的 第 2 种 处 理 之 小 租 的 期 肇 平均 数 是 8 。 因 和 镶 . 每 1 因子 各 使 平均 数 增加 3 和 5 。 但 是 假使 各 因子 的 效应 是 具有 乘 性 而 非 加 成 性 〈 例如 某 些 物理 化 学 和 生物 的 现象 ) HU SE SS SS ilo HAB, ZRBMA, HSER 1 ( 即 1 与 1 之 乘 各 )o HA B. He, KSPR 3 SMA, B15, RR EBA — PRAEGER, FS oe 应 的 非 加 成 性 ， 我 们 会 发 现 交感 平方 和 很 大 ， 此 种 情形 有 一 个 简单 的 补救 方法 即 是 把 释 数 释 换 需 其 对 数 ( 见 才 10.1 ) ， 如 此 我 们 可 以 恢 复数 据 的 加 成 任 。 玫 10.1 的 每 一 格 之 第 三 项 列 出 具有 乘 人 性 天 傈 时 之 2 ee —_— a a 此 型 第 十 章 ， 楼 方 分 析 的 假定 287 期 世 值 的 对 数 。 由 表 中 我 们 可 以 看 出 如 此 爸 换 后 可 恢复 加 成 性 ( 此 时 之 SSs=0 ) ， 事 实 上 如 果 探 用 对 数 的 尺度 ， 我 们 可 以 简单 的 写 | a,=0, a=0.30, a,-0.48, 6,-0%8,-0.70, 2BRBR BEL SEH LAB SR BA RS BG OT ER EB (8 GIF» RE BRIE Fah ET. ja 10+1 Pose Wy 8S SEE AY EAA (C «Illustration of additive and multiplicative effects ) AY F> A AFB a,=1 | a2 一 2 as 一 3 Bint: 3 4 Ima pi=1 1 2 3 乘 性 效应 0 0.30 0.48 RR MZ He 6 7 ie tae 加 成 效应 Bo=5. 5 10 Paarh 乘 性 效应 0.70 1.00 1.18 ， 乘 性 效应 之 对 数 10.2 # # ( Transformations ) 假如 立 氟 显示 我 们 的 数据 不 符合 要 方 分 析 或 上 检定 的 假定 ， 则 有 EPRUBRMBZ RAT ARARAR LS EW HERE , AM GAN BZ AS BHD HD BARRE ( distribution - 288 . 生物 统计 学 性 葵 free tests )。 另 一 种 方法 是 把 我 们 所 要 分 析 的 爸 数 加 以 要 换 ， 使 驳 换 后 的 伙 值 符合 我 们 所 要 做 的 分 析 之 各 种 假定 。 导 我 们 用 一 个 简单 的 AFRABAVEREH+E, KEW RHD ( 完全 随机 的 模式 了 EGO ) 之 一 个 单一 的 树 值 可 以 分 解 如 下 ;了 一 & 十 ww 十 6 _ 在 过 一 模式 各 成 分 是 加 成 的 ， 而 且 误差 项 ey SEROM, HEA 时 我 们 可 能 允 到 的 情形 是 各 成 分 具有 乘 性 ， 因 而 Fo =#w ew ， B= 项 的 乘积 。 此 时 就 不 符合 常态 性 释 方 均 彰 人 性 的 假定 。 在 任何 一 个 区 方 分 析 ， 母 数 平均 数 上 是 一 个 常数 ， 但 是 各 租 的 处 理 效应 w 则 不 同 。 如 果 某 一 w 比 另 一 w% 大 一 售 ， 则 南 粗 的 杰 值 屎 ， 的 分 散 程度 也 随 之 加 倍 。 假 设 双 = 1， 最 小 的 ev = 1， 最 大 的 ev = 3， 因 此 如 果 w= 工 - ， 则 各 了 的 至 域 是 3 -1 = 2， 但 如 果 w=4， 则 其 全 域 是 从 4xX1 = 4 到 4 x 3 = 12, 也 就 是 等 外 8， 上 比 本 来 的 大 四 借 。 则 此 等 数据 将 ARS, SUT ARR B ARO EE, BRERA Zl) log Yiy= log #+ log a + log €y, 3 AUER AA NAHE ASR ， 因 此 可 以 对 爸 换 后 的 数值 做 释 方 分 析 。 MS GRE 有 点 不 对 ， 数据 的 他 换 似乎 有 点 像 把 数据 随意 的 改 必 ， 尤 其 是 当 你 碰 到 一 种 统计 检定 ， 释 换 合 的 数据 是 络 著 ， 而 未 径 “ 侈 换 的 数据 不 题 著 ， 你 可 能 会 有 更 多 的 疑 冯 。 数 据 可 以 释 换 的 观念 是 要 慢 慢 才 能 养 成 。 但 是 事实 上 站 没 有 什么 科学 上 的 理由 使 我 们 一 定 要 探 用 普通 统 性 的 算 本 尺度。 小 学 “新 数学 ”( new math ) 极力 排除 十 进位 系统 是 唯一 “自然 ”( natural ) 数字 的 观念 。 须 要 对 科学 有 充分 的 径 验 以 及 对 统计 数据 的 处 理 有 相当 的 经 验 之 后 ， 才 会 使 我 们 了 解 在 我 们 早期 经验 所 熟 录 的 粮 性 尺度 站 不 是 唯一 的 自然 尺度 ， 就 像 十 进位 系统 的 数字 站 不 是 唯一 的 自然 系统 ， 渤 有 二 进位 或 败 进位 等 等 其 他 数字 的 系统 。 如 果 一 个 系统 在 精 性 尺度 上 具有 乘 性 ， 则 使 它 探 用 对 第 十 章 ” 缀 方 分 析 的 假定 289 数 尺度 因而 具有 加 成 性 ， 可 能 较 震 方便 且 上 比较 容易 理解 。 伙 数 的 平方 根 是 另 一 逢 常用 的 他 换 。 一 个 有 机 体 的 麦 面 面 积 之 平方 根 比 表面 面 各 . 常 更 迁 合 当做 是 该 生 物 所 受 生理 和 演化 压力 的 一 箱 量 度 ， 此 等 面积 的 分 配 常 是 偏 科 的 ， 而 其 平方 根 的 分 配 常 呈 常态 分 配 。 在 很 多 情况 ， 稳 BERR AE EROS RRAAR >. PH ARAAEWRE, ThRABERE, HM pH 值 是 用 对 数 ， 而 微生物 的 滴定 之 稀释 系 列 则 用 倒数 来 表示 。 在 你 水 渐 接 受 测量 尺度 是 “随意 的 ”之 观念 合 ， 在 进行 一 个 释 方 分 析 之 前 ， 你 只 要 依照 各 伙 换 后 的 释 值 之 分 配 情形 来 : 沃 定 那 一 逢 树 换 最 能 满足 琶 方 分 析 的 假定 。 所幸 的 是 权 方 分 析 的 数 逢 假定 之 不 成 立 ， 常 可 因 释 换 成 一 个 新 的 尺度 而 同时 得 到 校正 。 常 常 只 要 使 数据 具有 等 释 内 就 同时 可 以 使 它们 具有 常态 性 以 及 使 庆 理 效应 具有 加 成 性 。 | CAA, 各 显著 性 检定 用 在 释 换 后 的 数据 ， 但 是 平均 数 的 估 奸 则 常用 未 径 释 换 的 尺度 来 麦 示 。 由 於 本 章 所 计 葵 的 他 换 是 非 粮 性 的 ， 所 以 由 构 换 的 尺度 计算 出 来 的 信息 界限 当 被 构 优 本 来 的 尺度 时 ,此 信 想 界 限 是 不 对 硕 的 。 因 此 标准 机 差 不 宜 探 用 本 来 的 尺度 。 在 做 过 类 研 究 报 告 时 ， 平均 数 宜 探 用 未 来 的 尺度 ， 平 均 数 后 接著 列 出 它们 不 对 称 ASR, TAN PME, A A A: AT DE _ RAAT RH OOS ERI RRM ORAW ROME RARE, 1 ZREQMERESBAR BHRRHKHERE RAAT OBY AFR OGLE GB, RZ ( TL 5-5 节 的 图 WE). RAT RHPREWREZSEO ER, aR HH ELUSRSHSeRaR, KAMEN ARH th 尺度 。 如 此 我 们 不 只 可 以 测验 酸 换 后 的 数据 是 否 较 呈 常 驴 ， 而 且 可 以 290 生物 统计 学 导论 ry SS HORS SG BES te, SAO PSM ROL, WMRSAERETA, HARA BABHY PH ERR ( The logarithmic transformation ) 。 最 常用 的 他 换 是 把 所 有 缀 值 琶 换 需 其 对 数 ， 通 常 是 探 用 常用 对 数 。 当 平均 数 和 妈 BATTEN BIE ( 平均 数 较 大 的 样本 具有 较 大 的 释 方 ) ， 对 数 营 换 党 可 校正 过 逢 情形 而 使 释 方 和 平均 数 各 自 独立 。 右 偏 的 分 配 常 可 因 毕 换 ， KARE SRN, EMRE 10-1 我 们 提 通 当 效 应 具 乘 HERS FSS A | BARBB( The square root transformation), FAA ii PAS OKMARY RE SR, RRR GIO (lie+ Hb 2 aE BREE (A PRET ERR SE 我 个 CERAM RRR, We WAS LOM TES b 分 配 而 非常 驴 分 配 ， 在 一 个 上 瓦 松 分 配 其 释 方 等 於 平均 数 。 因 此 平均 KABUL TEAS, BRABUS TL em BAEBWA ABIL, MRS CR RA RIT OE 0.5, Ammmnsine Y+5 。 # 10-2 BH SRS RMAF, KPRARKFORVE AN FE AR BA ZR RK BR 2ZRARATRABSE . KR, PORWR PRRVORGRARED ER, ANTI E BA 限 而 不 列 出 标准 机 差 。 第 十 章 ” 变 方 分 析 的 假定 291 表 10 .2 下 方 根 楼 换 的 一 个 例子 ,下列 数据 是 成 熟 的 果 旱 (5 Drosophila ) 从 两 种 AR lal oy Ha BE ERE RC ERE HEA DDT ) (1) (2) (3) (4) W(t, 9 SR Ri wt) 7B Hy A 培养 基 4 培养 基 妃 a 如 / Qo 0.00 1 ~ oo 1.00 5 一 2 1. 41 6 一 3 1.73 一 二 4 2. 00 na 一 5 eB Be -一 _ 6 2.45 一 一 7 2.65 a Orv 8 2,83 一 1 9 3.00 = ae 10 3.16. 一 3 Se $32 — fe 12 3. 46° 一 1 13 3.61 一 1 14 3.74 = 1 15 a, 87. ares 1 16 4.00 一 2 RB AS aes | ioee oo eee, age gs? 1.495 9. 410 BRM ri a 1.297 3. 307 S? 0. 2630 0.2089 VY 292 生物 统计 学 导论 SHH RE S 9.410 F,=— = —— = 6. 294 2. = 2.98 s? i 495 025 [14,14] 变换 回来 的 〔 平方 的 ) 平均 数 Of/% > 1. 682 10. 936 95 4 ia AK fe L,=V¥—tosSye 1. 207—2,145 29 3.072145 228 = 1.013 = 3.054 L,=VY¥ + t.os Sy= 1, 581 3. 560 H Hla] ey ( 平方 的 ) SAAR L? 1.026 9.327 L? 2. 500 12.674 来 源 : 数据 来 自尽 . R, Sokal 未 发 表 之 研究 。 反正 弦 变 换 ( The arcsine transformation ) , tha § Ha angular transformation ), ILE Fi ak PES IGE FIA a HEAL BGR, HSS HABE SE 4-2 ATH A A 差 是 o =/pq/k, HhRe=P, q=1—P, MAKAEA—ah BRR, MURA A HB HERA BR (a 9 RR IETK SE WY DA Bi Be OR th Aa BEKO = sin YP, APPA. RiEKRBR Whe Msin', BRESHRH aN sin 之 角度 。 例 如 sin 0.431 等 於 41.03" ， 也 就 是 sin41.03"” 60.431, RiEK RR 可 以 使 百分比 或 比例 的 一 个 分 配 之 两 尾 伸张 而 使 中 间 的 部 分 压 熔 。 如 果 本 来 的 百分比 数据 是 介 於 30 % 与 70 % 之 间 ， 则 通常 不 损 做 反正 +E BEAHHBE 293 ay SER 10.3 KRMRA DAT MBAR A ( Nonparametric methods in lieu of anova ) | RR bas a LER BRA BT 各 种 假定 ， 则 我 们 可 以 探 用 无 征 数 法 。 此 等 方法 由 於 不 须 依 据 任 何 一 个 固定 的 分 配 ( 例如 释 方 分 析 须要 依据 常态 分 配 ) 所 以 也 叫做 分 配 不 拘 法 ( distribution- free methods ), WE VBARKSEAAN Fy cl, VES PH HEI ER BEAR EE (RO (AIPA ( 例如 SHIHUVASRESR) 而 只 顾及 各 释 值 的 分 配 ， 所 以 叫做 无 徽 数 Kk, LERRAREH ZOPSGRAMECRA BEAR EM 计算 简单 ， TMARARRABHONOSRE HERAUAIBHS 各 假定 完全 或 接近 成 立时 ， 爸 方 分 析 是 测验 虚无 候 设 比较 有 效 的 统计 检定 。 peek 本 和 节 只 诗 葵 两 个 样本 之 无 征 数 检定 。 BOX 10+ 1 的 设计 本 来 假使 各 假定 成 立 可 以 探 用 上 检定 或 只 有 两 组 的 笃 方 分 析 ， 但 是 我 何 探 用 无 征 数 的 曼 。 惠 内 可 检定 ( Mann -Whitney U- test ) 。 其 唐 无 假设 是 两 个 样本 来 自 具有 相同 分 配 的 全 体 。BOX 10-1 的 数据 是 两 个 样本 的 秋 羡 号 ( chigger ) 之 活动 师 的 形 熊 上 之 测量 值 。BOX 10-1 所 学 的 曼 - 惠 内 忌 检 定 是 一 种 个 图 形 的 检定 ， 做 起 来 很 简单 。 如 果 数 据 本 来 就 以 图 表示 ， 而 且 每 一 个 样本 不 含 很 多 项 目 划 做 起 来 更 方便 。 过 逢 法 事实 上 不 需要 很 精确 的 测量 。 只 要 能 锡 将 各 观测 值 依 大 小 排列 邵 可 。 例 如 候 怕 你 把 一 些 肉 放 在 外 面 研究 两 种 璃 璃 曙 ( Do flies ) 的 个 体 来 的 时 间 。 你 可 记 俏 每 焦 车 电 来 的 正确 时 间 ， 把 肉 放 在 外 面 的 时 间 当 做 是 需 ， 另 外 你 也 可 只 记 血 两 种 的 个 体 来 的 顺序 ， 例 如 有 种 的 294 生物 和 统计 学 导论 (ii 1 最 先 来 ， 然 后 来 了 二 焦 4 种 的 个 体 ， 接 著 是 3 焦 妃 种 的 个 体 ， 然后 两 种 各 有 一 个 个 体 同时 到 汗 等 等 。 此 种 分 等 级 或 只 有 顺序 的 数据 , 不 能 用 以 前 所 言论 过 的 各 种 征 数 法 来 分 析 ， 但 是 可 以 用 BOX 10.1 的 方法 。 BOX 10.1 列 出 计算 曼 . BAU 检定 和 魏 耳 康 检定 ( Wilcoxon tests ) 的 样本 统计 量 避 ,的 方法 。 Uali,2] ORS (el BU FS SE XO BRIA n,>n, Win, 和 20 的 各 种 情形 。 表 X 亚 HRABBK— ARE, MEME REA hE MSs Wn, > 20 BF. 用 BOX 10-1 WAFRHH, HMEGKTES EMAAR, Ft 以 要 查 te (UL) AFI tape], 至 於是 要 用 一 尾 或 两 尾 的 机 牵 则 须 视 你 的 假设 而 定 。 如 果 有 平分 的 ( tie ) 观测 值 则 比较 复杂 ， 须 要 用 BOX 10. 下 末了 的 复杂 公式 。 但 是 只 有 在 平分 的 数目 相当 多 时 才 会 Hine eRe He eS. 平分 的 校正 可 使 二 值 稍 需 二 大; 因此 未 校正 的 公式 是 比较 保守 的 公式 。 ”我 个 用 直觉 的 方式 来 解释 过 种 检定 的 原理 。 在 曼 . 惠 内 检定 我 们 ， 可 以 如 需 有 两 种 极端 的 情形 ， 一 种 情形 是 南 个 样本 重 没 且 完全 相符 合 ; FAVE ERED, ERSTE Hee OZ 样本 和 另外 的 一 个 样本 完全 分 能 ， 也 就 是 所 有 低 值 样本 的 点 都 是 在 高 值 样本 的 点 之 左下 。 因 此 依照 BOX 10-1 的 方法 我 个 的 炉 共 之 计数 是 等 於 一 个 样本 的 炉 计 数 乘 上 另 一 个 样本 的 炉 计 数 ， 我 们 要 在 计数 的 炉 AIC 和 2izs 一 C fi BAW fa, ALM RAM nin, o KIKI, PGK MRA 522 HR UIA RAL AR, RAHM FOS MMED-RABRME LER PG WM EE Cn (2 一 1 ) /2 ] +( 0/2) =n7/2, Re AU ME REA IER nn, ZO, TOME EE BZ AS 第 十 章 BASH 295 BOX 10-1 的 检定 所 得 的 烙 论 是 二 个 样本 的 共 肢 和 葵 之 基部 长 度 之 分 配 有 显著 的 差 丑 。 显然 样本 4 MKS ZEBRA CERLRABS fs Ro BOX 10-1 &-BAURE, BAKASRBHRMURAKHEH RY We RA Mann- Whitney U-test for two samples, ranked observations, not paired, ) Baa fl fe AN BK Ew ( Trombicula lipovskyi ) 的 活动 师 ( D.A Cross- leyABRZKE), THEHPGLAKRREARLERR, RAW MSH Eft. ERMWRRAAWHR. RAWHBLSERMMRALCEL, BX WRALRAADE Bn, WHER N,. Et Hn=16, n,=10. 8 使 两 个 样本 之 样本 大 小 相等 ， 则 可 定 任何 一 样本 需 样 本 1。 L 两 个 样本 之 图 形 列 於 下 方 ， 用 星 号 或 十 字形 来 麦 示 数 据 的 位 置 * eA B * * *#* * * RRO 冰 样本 4 * MRC a RE PE eae gaa 100 110 120 130 测 微 器 单位 2H—-BRA CHK) DRARBA EG) 的 每 一 个 观测 ， 言 算 另 一 个 样 1 AUR Ge (RKB) 的 观测 值 数目 。 每 个 平分 算 了。 例如 ， 生 本 妇 的 第 一 个 观测 在 样本 4 的 观测 中 ， 没 有 一 个 比 它 小 ; 对 样本 妞 的 第 2 ,第 3,， 第 4 及 第 5 观测 来 吝 在 样本 4 中 有 一 个 观测 比 它 们 小 ; 4 的 2 四 岗 测 小 於 吾 的 第 六 个 岗 测 ; 4 的 4 个 观测 小 於 召 的 第 七 个 观测 ， 但 是 1 公有 一 个 是 和 它 平 分 ， 所 以 我 们 复 4 X—> . MAL, IMATE 8 , i . i ee ; 1 85% oo 等 计算 。 过 些 计 数 的 瘾 和 C 三 367。 gz: BARA fa 296 ”生物 和 统计 学 导论 U, 是 C 和 (mi nz 一 C ) 两 个 量 中 较 大 的 一 个 ， 而 过 两 个 量 各 含 36 二 及 1 y C(16X10)— 36> 3 = 1235 1 | 3 我 们 将 QU,= 123 了 之 值 和 表 XIII 之 Vx 世 kr 习 的 临界 值 来 比较 ， 如 果 鞠 WGA AA RB. HKU. 025 [16,19] — 118 和 U.o1 [16,10] = 124. HU mMRAA AS ZR ( 0.05>P> 0.02 ; 因 需 各 是 一 个 两 尾 检 , POR RS fe )。 如 果 m >20, 计算 以 下 之 量 No ) t.;= 一 -一 /n,n,(n,+n,+1) 12 此 量 大 略 呈 稍 态 分 配 。 式 中 分 母 的 12 是 一 个 常数 ， 将 所 得 之 上。， 值 和 表 IIIta[eqo 的 莉 界 值 来 比较 ， 以 决定 其 显著 与 否 ; 而 且 也 须要 先 确 定 访 检定 是 一 尾 检 定 或 二 尾 检定 ， 如果 两 个 样本 中 有 平分 之 情形 存在 ， 旭 上 式 必 须 修改 如 下 : n ( U,— : 2 N,N, U,— 《 ry ) t 一 ( We, 3 让 二 )3—(n, +n, eet (n, +n, )(n,+n,—1) 12 ERZT,42t,H—-BRR, 28 /AHDSPESCMAC KtRA EG t EBA). hE AT = 好 一 她 POAC ty—1 )t;C ty+1 RH ARR. HKREKRSHREBR DHA A t=2 到 上 =10 的 平 3}, AFURAAPAKEKRRMAS EHR T; By FA fl FB 4} ZA. ee ey ne a er ee T; 6 24 60 120 210 336 504 720 990 例如 ， 如 果 我 们 要 计算 上 述 问题 的 包 2y( 事实 上 不 须要 ; A fgn,<20). ,SBINS MBS Ble ( 107 测 微 器 单位 ) 之 t= 2, 同 理 我 们 可 以 列 出 此 问题 的 所 有 t; 及 了 77 之 值 如 下 : ee Re a IS Se ee Tots et jc ie ee es OBA ETj;=6+6++-+24 = 60 第 十 章 “” 楼 方 分 析 的 假定 297 B&, BPA 9-3 节 和 BOX 9.3 提 明 的 成 对 比较 设计 之 一 逢 无 征 数 法 。 最 常 被 探 用 的 方法 是 魏 耳 康正 负 普 等 极 检 定 ( Wilcoxon’ s signed -ranks test ), BOX10-2 举例 说 明 此 种 方法 。 像 过 个 例 子 的 情形 在 以 前 膛 未 遇 到 过 。 过 个 例子 是 到 人 从 1916 年 到 1924 年 两 种 豚鼠 ( guinea pigs ) 的 群落 的 平均 胎儿 数 ， 每 一 个 值 是 很 多 胎 的 平均 。 从 所 列 出 来 的 数据 可 以 看 出 两 个 品种 的 过 一 释 数 之 改 释 情形 很 相似 ， 从 1917 到 1918 ( BBR), HRA 和 食物 之 短缺 ， 使 得 每 胎 的 胎儿 数 降低 。 人 条 件 一 好 转 ， 平 均 胎 儿 数 就 再 度 增加 。 在 1922 年 平均 胎儿 数 又 降低 ， 显示 此 种 伙 动 是 由 环境 所 洁 成 ， 因 此 显然 此 等 数据 的 比较 可 以 被 当做 是 成 对 比较 ， 把 不 同 的 年 份 当做 是 重要 ， 而 把 不 同 的 品种 当做 是 固定 处 理 。 BOX 10 . 2 的 栏 (3) 列 出 一 般 成 对 比较 检定 所 要 用 到 的 差 。 做 魏 耳 康 检定 时 ， 过 些 差 被 分 等 级 ， 但 不 管 它们 的 正 负 号 。 所 以 最 小 的 粗 对 差 是 等 级 1， 而 最 大 的 GAS (HOKBAME) 是 等 级 9。 等 级 如 遇 平分 则 计算 坑 等 级 的 平均 ， 例 如 假使 第 四 与 第 五 的 差 之 绚 对 大 小 相等 ， 则 它们 同时 属於 等 级 4.5 。 在 等 级 计算 出 来 之 后 ， 等 级 的 前 面 加 上 每 一 个 差 的 本 来 之 正 AR, AEH ALO RANSOM ( BOAR). WREMABT... REX AARAADZIBRT (ORE, H RELL NE, MBAS BME BNR—HZR KRABMEER, EHRENHRRKEXOR HRERRRATMO NWA t 检定 ， 如 果 所 须 的 假定 都 成 立 旭 最 好 探 用 上 检定 。 殊 耳 康正 负 号 等 级 检定 至 少 须要 有 六 个 差 。 在 六 对 的 比较 ， 所 有 的 差 之 正 负 号 必须 相同 才 有 可 能 使 此 检定 的 显著 性 巡 到 5 多 的 水 准 。 假使 模 本 很 大 ， BOX 10.2 列 出 应 用 常态 曲 粮 的 近似 法 。 此 等 差 的 粳 对 大 小 只 有 当 它 们 会 影响 各 差 的 等 级 时 才 有 作用 。 298 生物 统计 学 半 花 BOX 10-2 i EF oO A BA EA HS MME ( Wilcoxon’s signed- ranks test for two groups, arranged as paried observations) Mim anKR2 PSR, HHRn=O9F, (1) (2) (3) (4) 年 MB 品种 13 D SAR) 1916 a) ae 2.36 +0. 32 +9 1917 2. 60 2.41 +0.19 十 8 1918 2. 43 2. 39 +0.04 +2 1919 2.90 2.85 +0.05 +3 1920 2.94 2,82 +0.12 +7 1921 2.70 2.73 —0.03 一 1 1922 2. 68 2. 58 十 0. 10 十 6 1923 2. 98 2. 89 +0.09 +5 1924 2.85 2.78 +0.07 +4 AZSRHCHRA 1 EN SR2Z eA 44. 来 源 : RHR S.Wright 之 文章 。 步骤 ( Procedure ) LithnHRHGHHSZ, WHS), LALDF. 2 将 过 些 性 不 管 正 负 号 分 等 级 由 最 小 排 到 最 大 。 3 各 等 级 前 加 上 各 短 本 来 的 正 负 号 。 4. 各 别 计 算 正 的 与 负 的 等 级 之 总 和 。 CRHGR)HBART,, HiT, 值 和 表 XIVz 一 9 的 值 来 比较 。 - 因 需 了 .= 1, 此 值 小 於 或 等 於 麦 中 一 尾 的 = 0.005 之 值 ， 因 此 我 们 的 观测 之 敌 避 的 显著 性 过 到 1 多 的 水 准 。 所 以 品种 如 与 品种 13 的 平均 胎 儿 数 有 显著 差 刁 。 RAK Cn > 50 ) 时 计算 ii n¢ ue ) ae [n(n+>) Crt) 12 上 式 中 的 T, 就 是 第 4 SRT HHT, HHRHBA Zia Mz 亚 的 tu [oo] 来 比较 。 | | BE PHAN BE 299 AG Bi ME ERE sien test )， 此 逢 检定 只 计算 各 差 的 正 号 与 负 号 的 数目 ( 忽略 所 有 零 的 差 ) 。 然 后 我 们 所 要 测 恰 的 假设 是 二 个 正 号 与 负 号 是 从 二 逢 符号 比例 相同 的 一 个 全 体 抽样 而 得 ( 如 果 两 个 成 对 的 样本 间 没 有 时 正 的 差 轴 ， 则 所 得 到 的 差 之 正 负 号 比例 应 芯 相 等 ) 。 如 此 的 抽样 应 呈 二 项 分 配 ， TIE RAO ABD = 0.5 的 假设 可 以 用 数 逢 方法 来 测 具 。 攻 我 们 用 BOX 10.2 的 豚鼠 数 据 来 做 正 负 号 检定 。 其 中 共有 九 个 差 ， 作 个 是 正 的 ， 而 一 个 是 负 的 。 我 个 可 以 探 用 4.2 节 及 表 4.3 的 方法 来 计算 假设 P=7F =0.5 时 抽样 到 一 个 负 号 与 八 个 正 号 的 样本 之 期 世 机 率 ， 精 果 是 发 生 此 逢 情形 以 及 所 有 “更 坏 的 ”情形 的 机 牵 等 从 0.0195, RARMKAHHEERA 其 中 的 一 个 品种 应 蔽 比 另 一 个 品种 之 胎儿 数目 多 ， 所 以 过 是 一 个 二 尾 PE, BPA IMS AS 0.0390 。 显 然 过 是 一 个 ANT AAU BE 发 生 的 事情 ， 因 此 我 们 扩 秦 分 = 人 = 0.5 HOMER 如 果 没 有 累积 的 二 项 机 这 才 可 资 利用 ， 划 正确 机 这 的 计算 可 能 非 常 揽 杂 ，' 此 时 我 们 可 以 探 用 另 一 种 方法 ， 二 种 方法 用 到 表 区 ， 此 表 供 猴 各 逢 样本 大 小 和 抽样 烙 果 的 尹 之 信息 界限 。 以 我 们 所 天 的 例子 来 训 ， 样 本 大 小 需 9 而 且 7 = 1 ( 显示 某 一 特 狂 的 数目 ) ， 用 插值 法 我 们 算出 95 %% 信 顿 界限 是 0.0028 410.4751, LEARNS Sm eR 所 提 的 分 = 全 = 0.5 的 值 。 因 此 我 们 可 以 至 少 在 5% 显 著 水 准 下 精 葵 品 正 号 与 负 号 的 数目 不 可 能 相等 。 信 息 界 限 唤 用 从 两 尾 分 配 ; 如 果 我 们 是 在 做 一 尾 检定 ， 则 我 们 用 95 % 信息 界限 来 定 0.025 ”的 显著 水 准 ， 而 用 99 % 信和 可 界限 来 定 0. 005 的 水 淮 。 显 然 过 种 一 尾 检定 只 有 在 所 得 到 的 糙 果 偏向 於 对 立 假设 时 才 进 行 。 例 如 ， 如 果 针 立 假设 是 BOX 10:2. 中 的 品 征 13 之 胎儿 数目 多 於 品种 B;， 则 我 们 根本 不 须要 做 —-BRE ARRAN ROE D ZEAL R-—P, NRAWEA 300 ”生物 统计 学 半 请 ， 我 们 可 以 探 用 二 项 分 配 的 常态 近似 方法 如 下 :; t.=(¥-4)/o= (Y—kp)// kog » SA 4-2 节 所 学 到 的 二 项 分 配 之 平均 数 和 标准 差 的 计算 方法 代入 式 中 。 以 我 们 的 例子 来 说 ， 4 是 等 锥 2， MARR p=q=0.5, Abt. =( yy )//qn=( Y—5n)/ af Jn. RGAE AM t. AK Z tao] RR, 当然 也 要 事先 确 CE-ERMERE, BRAK) n>12 时， 过 是 一 种 可 以 探 用 的 近似 法 。 第 三 种 方法 是 探 用 13 Bh MG RRM S p = 人 = 0.5 的 程度 。 7 4% 10 10-1 1964 4 Woodson K—-H& ER ti ( Asclepias tuberosa ) 的 花 之 颜色 ， 而 得 到 下 列 之 糙 果 。 地 理 区 域 y Me uc s Cl 29.3 226 4.59 SW, 15.8 94 10.15 Ca 6,3 23 1.22 AiR BRAA RHR ( 座 纯 黄色 的 1 DPR 40 分 )， 是 将 花瓣 颜色 和 Mazerz 妥 Puzl! ff) Dictionary of color 书 内 的 样本 颜色 对 照 而 得 之 数据 。 测 验 之 ， 以 确定 各 样本 是 否 等 变 轩 ( homoscedastic. ) 。 10-2 Allee & Bower f 1932: FM WM) E wi Rim AW SZ eR ( 以 秒 计 )。 第 九 号 实验 有 五 个 重 顶 ， 第 十 号 实验 有 十 个 重 路 2h Ray CPRARBSZROR-MERREMLRK Nacl 和 Na,S, BRAY 延长 鱼 的 生存 时 间 。 10-3 Stk BARHTHRE 301 gm HW Hk RR R 实验 No. 9 实验 No.10 加 上 尿素 与 路 类 210 150 330 180 180 300 240 210 300 210 240 | 420 210 240 360 120 270 180 360 240 360 120 300 150 120 分 析 六 解释 之 。 WRSPHHSRE. KERABASHNEEAUREN 糙 果 ， 假 使 实 具 9 和 实验 10 SHKRARSER WEEWRRK SHAE 上 时， 最 好 将 实验 9 和 实验 10 的 数据 稼 合 起 来 。 答 案 : HRIMAR 10 之 间 的 ,= 33。 下 列 数据 是 在 三 个 不 同时 间 计 算 三 集 母 牛 的 1 cc. 牛奶 中 的 细菌 数 ( 数据 来 _ Park, Williams Krumwiede 1924 年 的 文章 ) 。 10 .4 MBF CED 24 小 时 之 后 48 小 时 之 后 母 牛 No.1 12,000 14,000 57,000 2- -13,;000 20 ,000 65,000 3 23500": 31,000 106,000 @tk=B*AARHCMASERNBH, REBME KHER Ko SASPERASKULHERBPRRHRE PERNA. Hw BAZ RR o | OHA RABAORES M—RBH BH, UN RRHTER 。 ARBRE RS CRE WR A 9.1 ORLMEL PN GHRRORER 差 巡 之 显著 与 否 。 答 案 : 也 = 38 : P>0.10. _ - . . 站 id 可 23 i —, & : ; 有 有 ue View ~ Rf i x iy RU 有 eye mee 5 ant tne mn ated Map alpha Me eg wae hs t Ee ae ’ , 4 Ay 外 二 ,于 ay A “g ay : 4 qa! ke vies a 让 ¥. et “i ’ * - rT _ > " ale ——_ ose 后 © ~ i f i fed rete 4 4, 四 ¥; , f ‘ 4 ty + Aan 和 本 和 省 中 AN ee or Te) = 0 bei 1 He AY a, Be ig Gas 下 (ee OE SA 二 区 这 CTE OM ER MP 和 时 tt eae . » oy . ‘ aia d < © bs wi ai ty Mn * a ee BMA ‘aa ¢ 站 iy Me 4 Paws. te ai 7 AA a. | e , ere hs inf ou 四 / 局 0 和 a Sy 站 人 ON fi 有 | ee 1 ” | A) + 入 a hi ¥ ia | ae 4 到 现在 需 止 ， 我 们 所 讨 葵 的 是 只 这 涉 到 一 个 爸 数 。 但 是 我 们 常常 对 一 个 个 体 同 时 测量 二 个 或 更 多 的 移 数 ,水 想 精确 的 表明 过 些 入 数 之 URI RA RK o See JERR (regression ) 和 相关 ( correlation) MEN AHH. ARO, RA eo eR MR “ eh — ee Be RE ( RE) BREA 。 HD BA FAIR OES . CEA Te at ER RMBE. ARBNRAM, RAK SA NHRORA FATED 6% De EAP HEL SR AD ALB FT EAS a A BS a Kh, REED TRH ECAVARE CERAM. WBE (qualitative ) 玩 数 ， 不 能 用 通才 和 相关 来 分 析 。 在 11-1 节 , RANGERS HHS BRA IS 。 接 304 生物 和 统计 学 导论 著 在 11. 2 和 节 言 葵 莫 蜗 分 析 的 统计 模式 。11 .3 THBNS—A ae 量 只 有 一 个 因 爸 量 的 简单 直线 码 归 的 基本 计算 . WR 因 爸 量 的 情形 则 在 11-4 MLR. 11-5 节 计 花 想 归 间 题 的 显著 性 检定 以 及 信和 顿 区 间 的 计算 。 | 11-6 HERO HORE, LNRBRO NEEDS LSE REF o BRE 11-7 MAAN AAR eee A LR 线 关 傈 以 便利 分 析 。 11.1 2% 2=#2 Introduction to regression ) FERS 7A BH CAA) I RR RRA RRR C cause -and -effect relationship) , (AZ#FSBERARAD fs ec Rid) BRE (KR ( functional relationships ) HURRK BSH, Sr hm SR HMA R KANE AHR MHS HERA RMA. —f 数 是 一 个 数学 的 关 傈 ， 过 个 关 傈 可 以 使 我 们 能 狗 预 估 某 一 固定 值 的 慑 数 民 会 有 相对 的 某 一 值 的 瑟 数 了 。 运 种 央 侯 通常 写成 了 = 了 CX), 过 是 大 家 所 熟 亚 的 。 图 11.1 是 一 个 典型 的 直 和 线 自 中 。 此 图 表示 二 种 攻 剂 对 二 种 动物 的 血 灰 的 影响 。 此 图 所 表示 的 天 傈 可 用 公式 了 = ca 十 2 XR, B RV EXW PHM, KAR SR Y EAR R ( dependent variable >, MBX 2A BR ( independent variable), MBY WK BASAMEXTIE, ALTUKA BRK ABRERRTY 自由 的 改 千 。 赂 然 一 个 因 ( couse )KRRARE—-ABRR M— 个 果 ( effect) AMBRE FE BARB, GEG RA BRR R—-CRERRI GR Hb RAPE mY = 20+15X HOM » UDREARMRMAANDOPHLS, OMY MBEOBS TC 第 十 一 章 理 8 305 Micrograms ) Fakiz, MERI AR ( Millimeters mercury ) Rei, PMe+es WRB MB Y= 20+C15)(4)=80mmHe 0 ARR X BRR, DEABAR. HHO SR1S 3. 意思 是 剂量 每 增加 1 fa ee BME lLomm Y=a+bx Y=20+15X =AAHDMP Y = 40+ 7.5X SH BHHWQ cn = 7 = 20 十 7.5X 药 剂 B 对 动物 P 5 ws = SO Re eee eee ae 0 1 » ee: ee eae 7 “he Ag BA /cc MR Bll-1 一 种 动物 的 血 区 (mmHg) 当做 是 每 cc Mh BABE Cue) 的 一 个 画 数 。 在 生物 学 上 ， 二 种 天 傈 显然 只 入 用 共 某 一 范围 的 瑟 值 。 以 此 例 来 如 天 的 负 值 是 无 意义 的 ， 而 且 血 压 也 不 可 能 淡 照 一 定 的 速率 一 直 增 加 . SCRNHE-BSU, RUE BRK RHA eZee. 7M, BAM (ve GR) ER-HEREA, ARMY —cto xT RAGE SHY AX HERR. | *HEEALRATNSHESSRRSKSH, ABMS, a EAL ALY HAUSE RB, OLY BE ( Y — intercept ) o M11-1,.-BX=08%, HEMZRRMS HE MBE 20mm, Hom Bh) P HES EERE HIE HS MB 图 11.1 的 另外 二 个 画 数 之 ce (了 一 截 距 ) Md ( AA) 都 不 同 306 ”生物 统计 学 导语 。 在 最 底下 的 一 条 线 (了 = 20 + 7.5 X), YRS, HEAR 减 个 。 此 烤 表示 葵 剂 刀 对 动物 尸 的 血压 之 影响 。 当 没有 莉 剂 注入 时 ， 因 念 用 相同 的 动物 所 以 是 然 血压 是 在 相同 的 截 距 。 但 是 从 不 同 的 斜 雍 可 以 看 出 二 种 莉 剂 对 血压 的 增高 有 不 同 的 影响 。 第 三 逢 关 傈 是 描述 莉 剂 互 对 另 一 逢 动物 @ 的 影响 ， 此 种 动物 的 正常 血压 是 40mxmEg。 瓯 剂 已 对 种 类 @ 的 影响 可 以 写成 了 = 40+7.5 和 。 此 线 和 上 面 提 到 的 一 CHEF. RS MB RRY =a +b XHARARKS BRA ( slope ) LA mK. AREAS, Blo RB ARAM dY / dX=b ) 的 半数 ( derivative ) ， 在 生物 统计 学 b Kol MABRM ( regres- sion coefficient), MHKHRRBR Gi HEX ( regression equation ). MRR BASE KOR Y NOX RR , WKAR by-x o | 1k-2 385% &) 4X 〈Models in regression ) HRA HW BRRE ARERR SARS, EA ARAN AFS REA SHE ZEAEeRRL., Abe see 析 ; ARR ALARA AX AR, Yee at+bX, HR BRAY HEBM ( RIE) atx, ih RBS ERE UNA ARATR. KRAVE | 425% ( Model [ regression), AAW RRs ie Be, 6H RAO BE. l. ARBRXHNERARE, ALRABXE* 固定 的 ”( fixed ), RANRBERARBRY 2—AMARBM ; X BA MER, HALAREOe HH. ANIM 1 的 例子 ， 我 们 随 自 己 的 第 十 一 章 @ B 307 BAAR AYR EKA RRR MEY RE. KRRERL BH SB A LR ERR RX, SEL, AR] FARMER | 班 归 之 间 有 密切 的 天 傈 ， 我 们 将 留 到 合 面 加 以 吞 花 。 2. FEAR ENX (ce RY OS, ARERR pY=atpx 来 麦 示 。 过 个 关 傈 和 前 面 提 到 的 一 样 ， 但 是 我 们 探 用 希 央 字母 和。 ， 过 是 因 依 我 们 是 在 描述 一 箱 母 茹 的 关 人 条。 过 一 候 定 也 可 以 解释 念 了 值 的 母 数 平均 数 wY 是 X 的 一 个 画 数 ， 而 且 w 是 落 在 表示 此 方程 式 的 直线 上 。 3. 对 任何 一 个 固定 的 已 (ORR, AY LBW, BSE RE 。 汪 可 以 用 方程 式 Zw=a 十 6 和 +esy 来 表示 ， 式 中 之 es， RREL 时 常态 分 配 的 误差 项 ， 其 平均 数 需 寡 。 图 1 1 . 2 描写 过 逢 观念 ， 图 中 ERM 11: I 的 相似 。 同 样 的 一 个 实验 可 以 重 覆 很 多 欢 。 盏 全 KR, RA LR —-Be wt He 2, 4, 6, 8M104E min GA SMGSBX=2, 4, 6, 8M leg 的 血压 反应 了 之 欢 数 分 配 。 基 於 生物 材料 本 身 的 移 恰 ， 显 然 各 个 体 对 每 一 剂量 的 反 应 不 完全 相同 ; 所 以 我 们 会 得 到 了 ( mH) 的 值 在 期 整 值 附 近 的 一 个 FOG. 83 个 假定 是 指 过 些 样本 值 是 独立 的 而 且 呈 常态 分 配 。 在 H1ll-2 上 用 常态 曲 粮 玫 示 之 ， 在 旭 昭 直线 上 之 数 点 上 各 则 出 一 个 党 驴 曲 烧 。 使 苇 者 对 双 归 线 周 围 的 散 伤 有 一 个 正确 的 观念 ， 当 和 然 实际 上 它 是 一 个 连 炉 的 散 做， 就 像 有 很 多 常态 分 配 是 从 左 到 右 重 没 在 一 起 一 样 ， 因 和 依 在 任何 两 个 剂量 的 成 值 间 可 以 有 无数 个 中 间 值 。 只 有 在 极 少 数 的 情形 ， 自 琉 数 是 不 连 炉 的 ， 此 时 工 的 分 配 各 自分 开 而 且 是 在 横 座 标 代 表 自 和 值 的 各 点 。 举 例 来 设 ， 例 如 假使 老鼠 子 代 的 重量 ( 了 ) 是 子 代 数目 〈 ) 的 一 个 画 数 。 每 一 胎 可 能 有 三 个 或 四 个 子 代 ， 但 是 稻 不 可 能 每 一 胎 有 3 . 25 SERN 308 £DMtit SY a 对 於 每 一 么 值 ， 光 不 是 所 有 实验 都 有 一 个 以 上 的 了 之 重 覆 。 其 实 - 下 节 所 言 葵 的 基本 证 算是 遂 用 於 每 个 蕊 只 有 一 个 工 值 的 情形 ， 因 人 需 过 种 情形 是 比较 常见 的 。 但 是 我 们 必须 了 解 即 使 在 过 种 情形 ， 模 式 工 息 名 的 基本 假定 是 一 个 固定 并 值 所 对 的 了 之 哩 一 琉 值 是 从 独立 而 且 呈 党 态 分 配 的 一 个 全 体 抽 样 所 得 到 之 一 个 样本 。 4. RRNA RECARM AGH, EA RE are FMie HRA SERIE, hits CMA aS HO, te 方 是 上 面 所 提 到 之 方程 式 中 的 各 2H. ALKA Re Oe LRH eA EN, M AMX HY AAR ot 2:6 8.10 Ag 药剂 /cc mh wR 11.2 一 种 动物 的 血 厢 (mmHg) 当做 是 每 cc MRKbHMSSABE (pg ) 的 一 个 画 数 。 对 每 一 药剂 省 度 都 做 重 覆 抽样 。 BRRX Lai ( model I regression RRMA ASR BARR, PTX MANE EH”, DEAS A il PATO APY HE HE SERS — (18 BS DS Sete NG TB He 08 TB EY 8 AK) EM, UMBRIA. UKM REAR HORS, Hie HER Bs Le HS BA — (RU EE A BE FL 的 ， 而且 当然 也 不 是 卵 策 发 育 的 因 ”( cause ), HER Peo sel 各 逢 情形 最 好 用 相关 分 析 的 方法 来 分 析 ， 但 有 时 我 们 也 想 描述 此 等 玫 数 癌 的 西数 天 傈 。 则 必须 探 用 模式 TAR. NEARER 第 十 一 章 @ 309 MANMARA | sr. 11.3 基本 的 计算 ; 每 一 X 值 只 有 单一 的 Y 值 《The basic computation; single Y for each value of X ) 对 从 模式 |ARERNAAHS, RASS—-SMAX RAB 7 值 的 例子 。 过 逢 例子 计算 起 来 比较 简单 ， 每 一 环 值 有 重 覆 的 了 值 之 情形 旭 留 在 下 节 中 加 以 言 葵 。 麦 11 . 1 所 列 的 各 步 计 算是 袁 了 使 学 的 人 容易 了 解 进 归 的 意义 。 至 故 比 较 简单 的 计算 公式 旭 列 於 本 和 节 的 未 了 RAMEN ALES Bb ( Tribolium confusum) 失 水 的 一 AR USCS (A) BERBER ( 所 用 的 称 重 仪器 和 无 法 称 各 别 的 甲虫 ) ABET IIA REE BSBA KOR ， 钱 后 再 称 其 重量 。 然 合计 算 每 一 租 重 量 减 轻 的 毫克 数 。 过 款 然 是 一 个 模式 工 焉 吉 的 问题 。 重 量 减 轻 的 量 是 因 属 数 了 ， 而 相对 泌 度 是 自 释 数 和 ， 此 一 固定 的 处 理 傈 受 研究 者 的 控制 ， 此 分 析 的 目的 是 要 确定 相关 RENE BH Rez ORE A TD ae eee BAY =atbX RRA. RRM RE WRK 11- 1 AMD) CHEE 11.3， 由 图 11.3 可 以 看 出 重量 的 减 去 和 瀑 度 之 间 有 负 的 天 傈 ， 洗 度 增 加 时 ， 体 重 的 沽 轻 反而 降 底 。 体 重 减 轻 和 相对 瀑 度 之 平均 数 〔( 工 AUX ) 在 两 个 座 标 上 做 了 记号 。 平 均 瀑 度 是 50 . 399%v 而 平 SRM Mae 6.022 mg. KAMA A sAR RK PERE, LRRK MAS—XGUNHHKANWY CORES REHM <_£-KERL, SURAA BA eA RR eee Re BL Bo Pata RAR )A AW RE ( principle of least squares 310 Mist Bw ie ), ERALA=BNRABESHAB HH, RABKRARDE FRB, AP eH — eA SPX PUY By ERE ( BRB X BAZ FMAREY HHEZA), 再 由 代表 各 观测 值 的 点 各 划一 条 平行 认 世 轴 的 线 使 它 与 水 平 线 相连 接 ， 其 间 之 距 欢 可 以 用 来 玫 示 释 数 了 的 各 ABI WHE OME ( 参见 图 上 11 .4 ) 。 由 第 3 章 我 们 知道 各 MEWMASRS, MIOCY-Y)=2y=0,. KSMEHE HA (ADC Y—-Y )? =Ly? ) BHKEMHK hKERMSAHREE FAB), RABRAEY ON ME SRL AERE RDA HW KE #2. HE BSY WKERME HME MNOS KE, MAMET HWOMMEAK Ly. MURKY HEBKA-BERS LER ERA RRO HR, BEER LB— AMAA, Bt Meh AZAR GBA AE VOT, BURL ZE AA RY ZEROMBREY OEM, AERER, RAE KHREMRAYRN, BRE EAPWER, ANMREBATRN SAAB AX, 我 们 可 以 估计 其 所 对 的 因 琶 数 之 值 。 我 们 必须 分 清 丈 的 估计 值 和 观测 值 ， 因 此 我 们 用 Y.( MMY 一 hat RY — caret ) RAY. WEA. MBY AGA BHA, ALR TeRERR KR Y=a4+bxX 人 此 式 卖 示 对 於 每 一 个 固定 的 蕊 值 ， 过 公式 可 以 计算 估计 值 亿 (与 也 的 实际 观测 值 不 同 ) 。 一 个 观测 值 忒 距 欢 旭 归 直线 的 欢 差 是 ( YY.) , MSE dys 来 麦 示 。 此 等 账 差 在 图 上 也 是 和 阳平 行 ， 但 是 由 帮 玛 如 直线 是 群 的 ， 所 以 与 双 电 直线 成 一 角度 ( 参见 图 11.5 ) 。 此 等 离 差 的 煽 和 也 是 等 於 需 ( Udr.xr=0), HSMEP AZM i 311 种 十 一 章 © 6 — Ul Aik SE e o BIA POGT UOSTON Ae He 2 RYH BEDALE EERE Aa ee LE ee alms a> Eitan 5 SR ee A °0880°0 E910 ZL45Z'99 .一 ,9829' 80T (T 一 u)/ Che aay , 220°9 209 = 68 0S) ME 08T9'`8z 6000'0 0919°0 1100'0 6861'FS LOETHS YLIS'IHF— 688E10E8 2000 . T00- 一 ow geseh otk By 9z7T9 LL9TZ— 21000 LFEOO- LrSLe 2667S 7288086 — TZT9'9T8T ZoEez— 9th Z 人 8 86 92682 ”6IF8T 一 0000 66100 ，T08I7T 0461I88 PvESO'S9 — Tz98'L6IT zz8'T 一 TI9f8 OF ° 8 LS8Z'T s9E8T— 00000 Z29000— 24989 O108T 926988 — IZIS';089 zeEI-— I1'sz 89°F gS ESIh'0 天 79'0 一 ”4020 = ZF 9289 .6980'.0 IS78% ~- I2S99FI 26l'0— .-TTZT 88'9 9'Z9 86I00 ”688T0 一 80000 69I0'0 T888'9 ”6fTI00. F810 — IZI8'9 zio- 19% 06'9 89 媳 S1T0 8868`0 fzTIT0 8988' 0 一 “89If9 8000 98zf0 — 1TzI99 8900 68L-— 809 & I9EZT = STITT T9TZ 0 S9F0— SEI. 661F0 2989'8T 一 Iz6e 98h 8F9'0 6807-499 9 65 LT 880 9900°0 8620°0 Z990'8 6S8hh OOISI8 — IZ6LELbI siz 68:88 一 ， FI ae 1Z6U'L 8189°% 8920'0 3922'0 88028. 86f8 9ES0O'6PI— IZST6ES% 896% 6E0S— 86'8 0 eh A> 2324 2a 3 \eh fix at =A). (ye X) A xX = ii ° = X-Ap = fi = 2 Gu) Frey ef a | Bey BT ARAY (61) eile “ (py) (6) (8) (2) (9) get@) (7) ~ (8) A: Ser, 6 | (BU) Eee ZO AG o EH ‘A BTR GH lS BY 6 EBD 6 GH (mn270924,1, ) By AH SZ SHR * (uorsaied ur uoryoindwoo nsvg ) elev EWE UIT 312 生物 统计 学 导论 - »o Oo Fe OO ON © © ° ~ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % NR 国 11.3 48225 € MH MBH 9 M Tribolium 在 9 BARR, Mi 6 KA ee RAH BMC (mg), RRRARK 11.1 ， 搞 自 Nelson 1964 年 的 文章 。 9 Be 8 i 7 6 量 5h (mg) 4 3 2 一 Xx 10 20-30 40 50 60 70 80 90 100 o % 相对 混 度 图 11.4 需 圆 11.3 的 各 数据 和 了 的 平均 数 间 的 睁 差 。 gt W@ Mm 313 ICY —-Y = 2 di. rz , MPHMIy AMO, Udy.r BAR “未 被 解释 的 平 5A ” (unexplained sum of squares ) 。 最 小 平方 RIE (C linear regression line ) 的 定义 是 可 得 到 最 小 的 Dd. > 的 一 条 直线 。 在 效 何 学 上 基本 的 观念 是 要 使 各 一 条 丰 粳 俊 可 .能 接近 最 多 的 点 。 在 碍 蜗 分 析 " 接近 ”( closeness ) 的 意思 可 以 鹏 ECSBI-KEHOEEEM, 而 且 使 此 等 碾 差 的 平 HR RAR No FET AE HRD ARIA X ALY BOM. PEPER LORIE ENN RARE A -EREXMYMRLARSER, VHRR KK 解释 的 平方 和 ( 己 dz*.r )， 把 具有 最 小 Z dzr.x 的 斜率 当做 是 正确 AES AAR, (HERI BOK ASE BEA OK 7 和 L 减 “ -7 让 we 6 量 {mg) ° 4 3 2 LF ge . | wi : 0 10 20 30°40 50 60 70 80 90 100 % 相对 混 度 Blll-5 坑 图 11.3 HSM RR ER «AYE 26 BRAAR/)Z dy... HAR PAVAREEAABRS, it 公式 是 314 ERRH BSS may C tis by.x = ees BRA BRE MRR SY > = 2xy / Dx? 。 我 们 首先 计算 玫 11. 1 的 栏 ( 3 ) mC 4 ) 2XRY OS #, HSMM Ls ML y ) MHS (BS) BAA, EE RRORAANRETER. HHSHREOTAMEAWA DM Bis FR C5) AARC 7 ) TEM 6) 我 们 计算 的 zy 的 乘积 ， 在 此 例 由 於 两 种 崩 差 都 具有 不 同 的 正 负 号 ( ABR AO Oe PERE), RAARMEBANE, LRM MMS xy 叫做 乘 积 和 ( sum of products ) ， 过 个 名 字 取 得 不 太 恰 当 ， 但 是 已 被 普 HRA, RANDLE ORR OM (Ll xy) 而 不 是 屋 值 的 乘 车 之 德 和 ( 也 X7 ) 。 苦 者 应 藤 还 和 得 卫 刀 叫做 平方 和 ， 而 27: 是 平方 温 的 季 值 之 总 和 。 乘 禹 和 与 平方 和 相 类 似 。 将 乘积 和 除 以 自由 度 就 得 到 " BB” ( covariaace) ， 正 如 琶 方 是 由 平方 和 除 以 自由 度 而 得 一 EK E77 .4 和 节 我 们 第 一 次 提 到 爸 积 。 要 注意 爸 积 可 以 有 正 值 和 人 值 ， UP RHE AG, WARORRBAAAMRA, AEIX MOREY R eS, MA HMAUR RIE, RABI. HILL 1 我 们 MAL xy =—441.8176, Ux? = 8301.3889 Bb=Lxy/L? =— 0.05322, AuXRBM—BRi, Y RAE O.05322 单位 ， 也 就 是 每 增加 | YAR, WD 0.05322 me. 我 们 如何 来 完成 方程 式 了 = c +b X ? RAM RRA eF 过 筷 和 了 的 点 ， 因 此 当天 值 是 在 其 平均 数 时 ， 我 们 估计 hee 7 的 平均 数 。 我 们 无 法 从 我 们 的 数据 看 出 是 否 贯 有 此 逢 天 傈 的 存在 ， 因 需 在 我 们 的 数据 中 没有 一 个 开 琉 值 是 刚好 售 蕊 的 平均 数 。 即 使 我 们 有 这样 的 一 个 蕊 玖 值 ， 所 得 到 之 工 的 观测 也 不 太 可 能 刚好 倚 工 的 平均 第 十 一 章 ial bi 6315 KR. ZABLE BUY A RRBEK- BEBE YB LY Ate chara Bio. X=50.39 BH, Y=6.022, BiMie Y ORI ORT BOER WY (that. RU W DUS eR 数 代入 公式 ( 11.1 ) Y=a +b xX Y=a+bdX 王子 二 -所 不 a=6.022—(—0.05322,) € 50. 39 ) =e. 7036" 因此 ¥ =8.7038 —0.05322X | BLAM ENR RAAREWMRLAR, EX=0 (MBER if, fiat hie Mee A. WS Be SK a = 8.7038 mg, HEBX BMARAY 00K, PEM BEER 3.3818me BFA DSR ER ORE ; 只 要 计算 二 个 方便 的 下 点 AMX=OKRX=100) HY, RKRLECRZHE—KERE. 11. 6 MRAM BAF 2 eR, ALBIS ORE X GRY BY i He ee He RRS BA SP I eh A 可 。 AR a= 我 们 可 以 将 11-1 CL = 全 《下定 9 二 这 = Y+b(X-X) 因此 Y=Y:+o6x 316 生物 纺 计 学 导语 PRED ¥—-Y=6x Y=bx (11-3) 上 式 之 分 是 区 -Y HME. HARADA 11s1 ) RRB 所 有 的 每 一 瑟 值 的 侈 。 估 计 的 艰 值 列 礁 玫 11 . 1 AO). HA 与 机 (2) 的 了 之 观测 值 来 比较 ， 我们 发 现 两 个 栏 的 值 很 接近 。 我 们 也 可 URW TORRAWREN, DP=LY, MAY =Y. WE, BR POKIEY GEA CHXER, BEHRCERBEHS BRA. HERMES OH ROE, RE eH AREHEE, RAN ORRE AR SRAX MOH. ‘I Y 3 hgh es St a a Ww -e- NO wo , HH ao. PF" GO) -2 > | | 7 x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % 相 对 温度 图 11.6 图 11.3 HRRZAR OB, 当 我 们 计算 每 一 观测 了 值 和 其 估计 值 的 欢 差 ( 即 ( 工 一 人 ) = dr.r ) 小 列 在 椭 (9) 时 ， 我 们 发 现 过 些 风 差 和 由 平均 数 计算 出 来 的 雌 差 具 有 相同 的 一 个 特性 ， 就 是 除了 四 拾 五 入 的 慰 差 外 ， 它 人 的 纺 和 也 SRB, PRD y = 0 一 样 2d r. *=0。 其 欢 我 们 在 桶 如 计算 过 些 第 十 一 章 “， 组 bi 317 MEW AURA MA GBR HA. BD d2y.x=0.6160 | BRMILRE CY —Y )*=Dy?=24.1307 WUC Y-Y)? = Zd*y.r=0.6160 时 ， 我 们 发 现 新 的 平方 和 比 以 前 但 的 平 FA) 8S, HERA ER) ? ORR KR -MNES ( HEX (KR AES), TARESRURE— BEB. AGM RX HRAA 小 可 以 除去 样本 的 了 之 大 部 分 交情。 而 未 被 解释 的 平方 和 ( unex - plained sum of squares ) Xd*y.x ERMY WMSS 中 没有 因 考 BXWERMTRAKORD, E-RPLRARX MBM, MEH 和 ( Dy ) 和 未 被 解释 的 S SC Ldy.,) 之 间 的 差 吓 做 已 被 解释 的 平方 和 ( explained sum of squares;XL¥?), 此 平方 和 是 根据 分 =P Yaya HRA, HEME HE HART TERR 2), RABRX 7 SSE SMD? = 23.5130. DP MEARE AS S (0.6160) RAAT y? =D PH? +Ld?y.r=24.1290 » SH RI MBRRAMWRES ) HA) AT at eH REE ( 24.1307 ) 。 我 们 将 留 到 下 和 节 再 进一步 解释 未 被 解释 与 已 被 解释 平 方 和 之 意义 。 我 们 现在 言 葵 每 一 忆 值 只 有 单一 了 值 的 数据 之 坦 据 方程 式 的 一 条 比较 简单 的 计算 方法 。 mR Uey / Lx? PUB tS Se IONS Sis 0, C 11°4) Cx K 52 此 式 的 分 母 是 天 的 平方 和 。 其 计算 公式 已 在 .3.9 节 提 肖 是 “了 xz = EX?-C2EX)*/n, C1l+4) RMF ( RBA) 可 以 用 一 个 相关 似 的 公式 来 计算 ， 我 们 避 惯 用 的 公式 是 : 318 “Bits BS is Riga terie LEELEO ( 11°5) ArH LD XY EMM MAL (11-5 ) 式 的 由 来 列 在 附录 Al.6。 表 11.!1 MEM RBM RZ RD BARE BE Box ll-1, Hit@eRRS—X PRAY (. Box 11-1 hyHWHRORMBMT HMZS2 = 2 (YY)? se 未 被 解释 的 平方 和 2 d?y. * =U CY—-Y )* WHK, a) Casey 6 ee = ye * ee OY Ole iy i) BY 此 式 的 由 来 列 在 附 笑 41.7 。 显 然 已 筱 解释 的 平方 和 的 求法 是 (2xy )? (Rei pF Seta obese = b* De Ps a” ere BOX ii-1 be Heat Hath. e—-XRAR—Y aH. ( Computation of regression statistics, Single value of Y for each value OF Ee, 数据 来 自 表 11-1 体重 城 轻 量 mg&(Z) 8.98 8.14 6.67 6.08 5.90 5.83 468 4.20 3. 72 乡 相 对 瀑 度 (人 斑 ) 0 12.0 29.5 43.0 53.0 62.5 75.5 85.0 93. 0 第 十 一 章 © ff 319 基本 计算 ( Basic computations ) 1 。 计算 样本 大 小 ， OM, PHORMESMMRXY ORL OM n=9 2 X= 453.5 DY =54, 20 2X? = 81,152.75 2 Y?2 = 350. 5350 XUXY= 2289. 260 2 计算 平均 数 ,平方 和 及 乘积 和 X= 50. 389 Y= 602% >y x = 8301. 3889 dy? = 24.1306 . Cys ZY - ES EAS es n | ( 453.5) (54,20) ~ = Sone ORS oe eee ne | 9 =— 441. 8178 3 OR RB | ; _ kxy | —441.8178 _ iin 本 Dx? S501. 9889 °° > 4 Ym | a=Y—b,,,X=6, 022— (—0,05322 ) ( 50. 389 ) =8 737 已 被 解释 的 在 方 和 是 292?= 7 = = 23.5145 2X x? 8301, 3889 AR BF HB Hy A Xd*y. x=Ly? 一 之 和 = 24,1306 — 23, 5145 = 0.6161 320 生物 统计 学 导论 11.4 每 一 久 值 有 多 区 一 个 的 Y 值 之 情形 (More than one value of Y for each value of X) 我 们 现在 进一步 解释 11-2 节 及 图 11 2 所 提 到 的 模式 工 自 归 。 对 处 理 瑟 的 每 一 值 我 们 重 覆 的 抽取 了 的 样本 ， 在 每 一 届 定 的 下 点 得 到 普 值 的 一 个 样本 分 配 。 本 书 作者 之 一 ( Sokal) 做 了 一 个 实 台 ， 在 数 年 不 同 密 度 下 培养 药粉 甲虫 ( Tribolium ) 使 其 虫 卵 发育 需 成 虫 ， 然 合计 算 到 如 成 虫 阶段 的 百分比 ， 对 各 密度 做 了 不 同 数 目的 重 覆 。 用 10. 2 节 的 方法 对 各 百分比 做 反正 弦 琶 换 ， 消 列 在 Box 11 .2 。 此 等 琶 换 谷 的 数值 比 本 来 的 百分比 较 可 能 呈 常 驴 分 配 和 具有 等 构 刁 性 。 此 等 数据 的 排列 和 单 分 类 模式 工 玫 方 分 析 的 排列 很 相似 。 共 有 四 种 不 同 的 密度 ， 每 一 密度 有 数 个 重 覆 的 生存 值 。 现 在 我 们 想 确定 四 和 粗 间 的 生 存 有 和 无 差 愤 以 及 我 们 是 否 可 以 建立 一 个 生存 对 密度 的 双 电 。 首先 ， 我 们 用 8.3 节 和 麦 8. 1 的 方法 去 进行 一 个 营 方 分 析 。 图 11 .7 麦 示 出 我 们 做 过 一 分 析 的 目的 。 如 果 匣 方 分 析 不 显著 旭 玫 示 各 平均 数 问 没有 显著 差 刁 ， 就 像 图 1 1 . 7 4 所 示 ， 对 过 样 的 数据 做 一 人 条 短刀 和 线 时 其 斜率 和 零 没 有 显著 差 丑 。 偶 而 ， 厌 值 增 加 时 各 平均 数 随 著 稍 有 增加 或 降低 ， 它 们 之 因 的 差 黑 可 能 不 大 ， 因 而 其 琶 方 分 析 的 组 间 均 方 没 逐 到 显著 ， 但 是 其 班 晤 可 能 显著 。 过 通常 是 发 生 在 芝 计 的 显 著 人 性 是 在 兆 称 之 情形 。 当 我 们 如 图 11 .7 已 发 现 各 平均 数 对 无 的 坦 坑 显著 时 ， 我 个 通常 也 可 以 发 现 其 季 方 分 析 的 平均 数 间 之 差 情 也 是 显著 。 但 是 我 们 不 能 反 过 来 发 如 果 季 方 分 析 的 平均 数 间 差 刁 显 著 旭 表 示 直 线 玛 如 也 显著 。 在 图 11 :7 C 中 各 平均 数 排 成 U 型 〈 — (HW ) 。 各 平均 数 间 的 差 刁 可 能 显著 ， 但 如 对 此 等 数据 型 一 条 妈妈 直 厂 ， 则 过 条 直 线 必 定 是 在 上 面 与 下 面 的 点 之 中 间 的 一 条 水 平 线 。 对 过 样 的 一 租 #+—- sa bi 321 PR ARR RR RMR), We —ew Vee WAAR Y MBH LARD. 1-7 刀 是 一 个 类 似 的 情 形 ， 此 轩 中 的 各 平均 数 呈 遇 期 性 的 改 梧 ， 塌 高 与 降低 相间 。 此 等 数据 HER ERCARHESAS, BERGE Kee ( 循 诅 曲线 “ ) OR, ORAS RYH BHTBEERAY HSESRE W) BEB ALX ZA E, HEBER AM, BA 很 少 有 可 能 允 到 如 图 11-7 Bey eS RM 11-7 C HO dHSRS 样 刚好 的 情形 ， 也 很 少 肖 到 像 图 1 1 . 7 DARE, HRCA AES 的 情形 是 我 们 得 到 的 数据 可 以 用 直 粮 址 归来 分 析 ， 但 是 各 点 站 不 会 刚 好 落 在 直线 上 。 各 平均 数 在 直 棱 闯 蜗 旁 的 玖 余 亡 差 可 能 会 因 垮 改 用 曲 He sin RAR (如 图 11.7 玖 的 情形 ) ， 但 是 也 有 可 能 像 图 11 .7 FH. BEMUMRIERER REN, CORR SOR YE EB EAN HE | | BPE BD TMM GS Box 11-2HBHOME, BR 们 用 粗 内 均 方 来 测验 时 ， 我 们 发 现 由 四 租 间 的 三 个 自由 度 所 得 到 之 均 太 是 非常 显著 ， 因 此 显然 值得 进一步 分 析 ， 看 生存 对 密度 的 到 才 是 否 WS. Box 11-2 WHIM MRA MOR TR, RATAXOE HA , XMYWREA, Y 的 已 被 解释 的 平方 和 以 及 并 的 未 被 解释 的 平方 Al, RH -ENMAWAADAR, ARR —X (re RAY (8, MUXWE HMM, UVAGEXRLARA AWE. ASE 例子 看 起 来 好 像 只 有 四 个 密度 ， 但 是 事实 上 密度 的 个 数 是 与 了 值 的 数 肯 相 等 〈 赂 然 只 有 四 逢 大 小 的 密度 ) 。 计 算 完成 之 后 ， 我 们 把 所 得 到 的 精 果 列 在 Box 11-2 的 一 个 缀 方 分 析 表 。 我 们 可 以 看 出 此 表 中 的 大 多 数 的 量 是 与 单 分 类 到 方 分 析 的 量 相同 ， 但 是 增加 了 代表 直 烤 双 吕 的 一 个 平方 和 ， 此 平方 和 永 束 是 基 於 一 个 自由 度 所 得 。 将 粗 间 $ Swe 322 Meat Bie 图 11.7 平均 数 间 的 各 种 不 同 的 差 喷 和 直 和 线 之 天保 。 此 图 只 表示 一 般 的 倾向 ， 至 於 其 显著 性 则 要 用 适当 的 检定 来 测验 (人 参见 本 文中 之 解释 ) 。 过 个 平方 和 就 得 到 一 个 袋 余 平 方 和 ( 在 此 例 具有 两 个 自由 度 ) ， 此 下 ANTS BT OE 2, BOX 11-2 We—X (eA S A— 1a Wy Y (6 Be at ( Computation of regression with more than One value of Y per value of > gh ge MieY 2H AR ( Tribolium castaneum ) 在 四 种 密度 下 的 生存 百分比 ZR ES Hel ( X= Ag HY ch IR ) pe Be BE =X" Ca=4 ) 5/g 20/g 50/g 100/g 生存 〔 以 度 表 示 ) 61.68 68,21 58,69 53.13 58. 37 66393337 6868537201 40989 69. 30 63, 44. (58; 37) 49/82 61.68 60.84 69, 30 ni ; EY 20, 33.259, 21'* 2:75, 49" 192584 ny 5 4 5 al 3 ¥, 64,07 64. 80 58.48 50.95 a ni 2 oY = 907. 81 来 源 : Bee A Sokal 的 文章 ( 1967 ) 屡 方 分 析 的 计算 就 像 玫 8.1 的 方法 #5 iC Anova table ) me il df SS MS . F's Y—~Yapy 3 423.7016 °° 141. 2339 1, 20°"? AN 324 MK So y-Yan ll 138.6867 12.6079 y—-Yei 14 562. 3883 es a Ae aH fe) A A HR 。 RAs —-PHWRORBESFER HER, 是否 可 用 对 密度 的 直 徐 通盘 来 解释 。 DRA MMZRARS , DRAW BRAK ) ARRAS. be 如 果 S S group<(MSwithinXFC1, Sni—-a)) , RRA is 。 iol Be > AE ( Computations for regression analysis ) L DRAALMMMXLBMA=LNIX =5(5)+4(€20)+3¢ 50 )+3( 100 )=555 2 Ditkk AMMA X? t= Dei x? =5(5)2+4( 20 )?+3 ( 50.)2+3 (100 )* ag gee 3 DUA Ash pn itty XY ZRaA= Lei XY =2X( LY ) = 5(320. 33 ) +++ +100 ( 152. 84 ) = 30, 841.35 (inix)? 4. XZRIEG=CT x = 一 一 一 一 LNi 第 1 量 )2 555 )? 一 《第 1 量 ) ) = As » = 20, 535.00 DNi 15 5 X2RAM=Dx?2 = Enix? -~CTx = 第 2 量 一 第 4 量 = 39, 225 — 20,535 = 18, 690 6 乘积 和 三 之 xy (二 而 过 放 人 和 二 本 8 nj BiEXE SY Lni Se Lae 三 第 3 量 一 第 十 一 章 @ BF 325 (555 ) ( 907.81) DA ie SR 7 Ram MVR M= DI? = SEY _ (86m)? p ( — 2747.62 )? 第 5 量 18,69 = 403. 9281 & “AiR BHR =) d?5. y=SSgroup—>d 7? . = 5 S group 一 第 7 量 三 423. 7016— 403. 9281 = 19. £735 包含 = Bis SB Aa 1K C Completed anova table with regression ) eA rie OF SS MS Fs Y—-Yeme(m)m 3 423.7016 141.2339 11.20 ** ?_F mass 1 403.9281 403;9281 40.86 * | Y-Ymsgmmcmee 2 19.7735 9. 8868 MBI CSS ) RR EH Reo a RG. RRMBLF s = 403.9281 / 9.8868 =40.86, Fs KR P.osi1,2] = 18.5 , PUORMRMR ARC ae A = 0 ) 的 虚无 假设 。 忆 xy 2 HONG Ct CAM TEAM MA) 一 0. 工 一 SS 0 第 5 量 18, 690 326 “DEH SRR 10. Yaten=F - bier 2 oy 第 9 量 X 第 1 量 Eni 5 ni SAAT BL. C00 14701) S55 15 15 = 60. 5207 + 5. 4394 = 65. 9601 因此 , HRA BAY = 65. 9601 —0.14701X RAVARHS SAM EOLE, AWRWS SREA HS SHANX MAB REBT. RRS SRB HER, CRH11-7 CAMARA OBR, MASSE PRERSA AE SOE YBBR 我 们 首先 用 M S > .zx 除 以 组 内 M S Oe I RE Oh (MSy.r=s?v. x) EBRS. URAMAFRR, BR HMA IRAABS, MURR LARS, HAR RRE HERR BRNBH( MS? ), MERRY SRS. ALAR Wik OS AT REA RR. MRI Meee, WAY EXO HRM, Recs 线 旁 有 大 量 的 随机 不 均 彰 性 (ENR 11-7 ENR BRL 很 可 能 两 种 情形 同时 存在 ) 。 在 Box 11.2 的 未 了 ， 我 们 计算 怒 扩 傈 数 和 下 吉方 程式 。 我 们 的 ” 千 葵 是 党 密 度 增 加 时 ， 生 存 值 反而 随 著 降低 ， 而 此 关 傈 可 以 用 一 个 显 © yes xR CY = 65-9601 —0.14701 X ) KH, XB wee, YALA LORY RIE SK BI HERA GR TD DUA MH 11 + 8 RH 第 十 一 章 @ & 327 示 。 到 现在 坊 止 我 们 所 计 葵 的 二 个 例子 之 乘积 和 与 双响 倍率 都 是 负 的 ， 蔚 者 可 能 会 慰 训 垮 过 些 值 永 未 是 负 的 ， 但 是 其 实 过 只 是 我 们 所 油 的 二 个 例子 的 一 年 巧合 。 在 和 练 否 题 中 就 有 一 题 的 焉 归 傈 数 是 正 的 值 。 当 每 一 蕊 值 有 相等 样本 大 小 的 工 值 时 ， 其 计算 琶 得 比较 简单 。 首 先 我 们 用 Box 8.1 的 方法 做 忱 方 分 析 。 但 是 Box 11-2 hey 1 HR 到 第 8 步 螃 则 可 简化 之 ， 二 是 因 需 不 相等 的 样本 大 小 xs; 可 以 用 一 个 党 数 样本 大 小 允 来 代替 ， 而 ”通常 可 以 在 各 式 子 中 被 提出 来 而 且 mw = an 。 此 时 的 各 显著 性 检定 也 琶 得 比较 简单。 sin- V 成 是 生存 百 分 上 万 X 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 BE CIR /g BH) 11-8 BOX11.2 的 数据 之 通明 直线 。 各 个 样本 平均 数 用 十 号 来 表示 。 11.5 os ORS RR SE ( Tests of significance in regression ) SSE RLS PRR EAS Bl eK se Ok (at WY, HH 2 -ACRLUCCE OED SOX HR EKER BKY sem RS HK, —RRAWUY (80 S S ( Ly? ) 是 先 把 各 328 生物 统计 学 半 葵 wee (Cy . Edty.,= Ey? —- BAM 和 +2d?y.x ”当然 ，2y : BRR yMPHM, Ud? yr. z* 是 欢 差 dr.z 之 平方 和 , 而 hier Ae 5 >" 之 ? ae Ene) (MEN) WE HM. ALS ee ae SEEAMD SEED RRBHONMWES STUMD ASM S-ko MATHSREA ES MRE My MAM AM AMA F 之 间 的 加 成 天 傈 会 同时 成 立 ， 而 没有 任何 乘 蓝 项 的 存在 。 从 附 儿 41.8 中 的 一 些 简单 代数 演算 可 以 知道 各 乘积 项 可 以 互相 渔 掉 。 未 被 解释 的 “WE dr re CK )DERORRRWRE I OAM, EMER HD 析 中 二 个 项 目 与 样本 平均 数 间 的 峻 差 之 大 小 是 和 样本 平均 数 与 纺 平 均 MNES ARR. ORM HAZE ARES K 5 RAD LIAMDEWSE DAERAH F: 2 df SS MS — yo Y—Y 已 被 解释 的 fo Lpe= see Sa Ciba iy Y Ba Y 27859 BAH EE) a‘ Y-¥ 未 被 解释 的 ， 误 差 的 oP Ya Sy Eyes? 7 CHR BUY (ti Ba fket Y 48 Pe REX) 2 2 Y—Y it n— 1 gs Yost taal ad sy 了 CRB Y fa SY BE BR hele BE ) 330 #=BVeHSe i Re BS Fae Be eH GC explained mean square , or mean square due to linear regression ), SE FR RKRAY BRT PX HPRAKKSVDD. ARRERNA (Unexplained mean square 3} |tBHRRBRYHBADD, CRAKE Hea EMS ) ROTOR (52), LUISE, 52 ALI fa Eo AEG A n—1 SRE, AUR MS BER 2 一 2 BHR. HREM RR RH. B= 0 。 当 我 们 对 Box 11: 1 的 体重 沽 轻 量 的 数据 进行 琶 方 分 析 ， 我 们 得 到 下 列 的 烙 果 : ss af 2 388 MS Fs 已 被 解释 的 一 邹 直 和 综 邵 各 1 23.5145 23.5145 —-267.18** Ae RH ERR 7 0.6161 0.08801 旭 明 旁 的 误差 it 8 24.1306 HERE Posh / st yx. AGAMA ZG Dae 7 2 bA—-ARSRS TW AAX he Ke, RERARANR SOR HT EHREREOKK URER 在 各 假设 检定 的 应 用 和 信和 顿 界限 的 计算 方法 。 Box 11-3 将 过 些 标准 RETR, GER RS—X RABY AY. RAH 5 — fe FFE 7 RB FE RS ( standard error of the regression coefficient ), 它 的 求法 是 求 未 被 解释 的 琶 方 除 以 天 的 平方 和 的 商 之 平方 根 。 未 被 解释 的 季 方 ( s zr.r ) 是 一 个 基本 的 量 ， 它 是 碍 归 分 析 中 的 所 有 标准 机 差 的 一 部 分 。 应 用 下 归 傈 数 的 标准 机 差 可 以 使 我 们 测验 各 种 假设 以 及 用 来 定 我 们 的 样本 估计 6 TAO SAAR 。s 的 计算 列 在 Box 11-4HH1 YR. A Box 11-1 PHRMA he BOX 11.3 Hl Ba fe at BRAY ES ME OR Ze AA HH BE o ( Standard errors of regression statistics and their degree of freedom, ) 参见 11.5 和 节 有 关 此 Box、 之 解释 ; vHAHE, eSRER—XGF ni 工 值 时 的 天 值 之 数目 ; 9 需 当 每 一 屋 值 只 有 单一 了 值 时 的 样本 大 小 。 统计 量 s 每 — X f§ & S 每 一 X fa 只 by. xX /s2r.r s*y.x / v=a—2. = v=n—?2 wasn e OO eee Dx? = HEAL—X;,, (8 eee f IMSwi tin fete 样本 平均 数 8? STE em ee = v=n—2 对 一 个 固定 8 7 apy tee, Xi 值 的 估 2x at Y fii ( 如 果 探 用 纺 和 v=a—2 v=n—2 的 s2r.zr 则 - On a4 =2) 45 PR 2 HORA HE ie EH TE or ORY BEA HE (significance of the regression coefficient ); 它 所 测验 的 虚无 假设 是 样本 已 值 是 (RABE 6 = 0 的 一 个 全 体 抽 样 抽 得 到 的 。 过 是 一 个 上 RR 定 ， 所 用 的 自由 度 是 2 一 2 = 7 。 假 使 我 们 无法 扒 素 虚无 候 设 ， 则 表 REA BACARRA SOPDARS. KPA HE BE NAR AT PROM A (AE A A eee. E84 HK Met “= 332 生物 统计 学 遵 葵 F, SH Box 11-4 t.=— 16.345 FHL, RAGA 26716 o Hi (RT WBRAWREN ) SRAMASH MBS DMS WF. HR Box 11- 4 DRE 2 CRE RE te 是 否 显著 的 不 同 於 一 个 不 是 雳 的 母 数值 8 。 Te RAB RBA OC. Setting confidence limits to the regression coefficient ) VRATBRHHRSR KHAWK Box 11-4HHR3, ARMIN sf), MIAARMRRKE 在 图 11°10 中 用 虚线 来 表示 斜率 的 95% 信 顿 界限 。 从 此 图 我 们 可 以 看 Hie SRE ASR AX BY I. At b eR OR fE7EX BY (ORE be BOX 11-.4—— OG He Ht RAS eRe RRR RO BX RABY HE 。 ( Significance tests and computation of confidence limits of regression statistics. Single value of Y for each value of X. ) #AA Boxll.1 的 例子 ， aA Box 11.3 的 标准 机 差 旺 自由 度 n=9 X= 50. 389 Y = 6.022 by. x=— 0.05322 i x? = 8301. 3889 dX d* yx 0.6161 2 Sets pulgemmmeineakeaam (Ee Laveen «Sat | TTS Mest amon 7 0. 08801 LH Bi Fe A ek ER bes jae eae m /0.08801 一 V0.000,010,602 Ex? 8301. 3889 = 0,003, 2561 2 RMR ASEH is06322. ame GOR set ee t.onf 1] = 5408 P< 0.001 第 十 一 章 © f 333 3. HOG BAY 95 Zs AR t.05[7] Ss» = 2. 365( 0.003, 2561 ) = 0.00770 Li =b—t. 05[7] ss =— 0.05322 — 0.00770 =— 0.06092 L2=6+¢. o5[7] 8» =— 0.05322 +0.00770 =— 0.04552 MABRY (4X) 的 标准 机 差 ‘ Pe SYy pint ae a ey pease = 0.098, 8883 7 AXWBHR WY 95 % SABRE CY =6.022 ) t.o5 [7] Sy=2. 365 ( 0.098, 8883 ) =0. 233871 Li =Y—t.05 [7] sy = 6.022—0. 2339 = 5. 7881 Le=Y + t.0s [7] Sy = 6.022 +0. 2339 = 6, 2559 父 的 标准 机 差 ， 侈 是 指 对 某 一 固定 的 已 GHRHLY x C5 2 sf = e?y. xl i+ c = ) PijHX, = 100 SAH MS ( 100 — 50. 389 )? 二 十 9 8301. 3889 =/0.08801C 0.40760 ]=V0.035,873 =0.18940 7. HY, 的 95 %S@RR UX, —100 GAH MHWL, = 3.3817 RP t. os[7] s# = 2.365 ( 0.18940 ) = 0.44793 Li =¥,—t. os [7] sy = 3.3817 — 0. 4479 = 2. 9338 Le =¥, +t. 05[7] 8y =3.3817 +0. 4479 = 3, 8296 334 生物 统计 学 导论 ace St ad a x 0 10 20 30 40 50 60 70 80.90 100 % tA SYR BE =} 11-10 11-6 38 Bt R295 % (EAR © HK RPS BV RABY WO eR ( standard error to the observed sample mean), H6°1 HiRAAGE sf = st), 9 HEREBY OGBIX b, BT LX AeA MAY HMR — MB, ALY SELB HC s*y.x) Hs Wo PRIAFEX BF WT LB BER ( sp = Vs? er. J nd) Film — 2 的 自由 度 来 计算 辫 的 信 屯 界限 。 此 标准 机 差 的 计算 列 在 Box 11-424, TEX ORABOMY & 95 YAR UID 5. MARC 5.7881 一 6.2559 ) 比 用 一 般 的 标准 机 差 (sz7 ) 计算 出 来 的 信 顿 界限 ( 即 4.687 一 7.357 ) 要 狭 罕 很 多 。 显然 ABBE NER DUPRE MRS AB Y HO BEME Bez LIE BE LOOCE—(AETAY WORE RE (stand- ard error for any estimated value Y along the regression line ) PAY — (WR ZI. BME ASN ET EY WR 第 十 一 章 © bi .335 时 ， 有 一 个 新 的 因素 必须 考虑 到 ， 过 一 因素 的 大 小 是 和 成 RX OH 之 长 短 有 关 ，X, 郁 其 平均 数 愈 带 ， 估 计 的 误差 就 愈 大 ， 过 个 因素 列 在 Box11-3H8=W, BMX. 一 习 的 平方 除 以 于 的 平方 和 。 Box 11-4 HOARE 6 列 出 相对 混 度 X, =100 BREAD HEY. 值 的 标准 机 差 , PRT WIRY. WHR Ho. 295% SRR. HERES EE 3.8296 —2.9338=0.8958, HAR 5 EXHEREE ( B16. 2559— 5.788 =0. 4678) BRS. BRWTRAPORY © RARE SRN ERARAR, MERAHANS AMX. (6H—-AANZEBRR, RAGS 1-1 rae Oe, BPORRE, HR MAHWY ACU EREER), AAS OSH SANA TEAR 6 没有 把 握 。 a eee eae 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % 48 HH HR BE il 11-6 yee ee 23 BAY 95 % (2 界限 。 国 11.11 EK, SAT ACY ese Bat Fs Fs Ree se Be Te AY BR HE OR 336 EMR SE iw N-CHMORRE SHEGROOR GA, FAWZRRH HK, (AE WR A AR, BOAR, Ret BI WHE WT 22 CO I 8 — (HP LY CTE He, (BE PES ESS EVLRZ OPER EMD, Wie iy RIES S58 aE IE, PR th AB Oe BSA RHE HORAK A EE ERE, PERE Hh PE HOR HARW EE. a 的 母 数值 ZR, EX, = 0 的 pt 的 一 个 特殊 之 情形 , 因此 可 用 上 述 的 相同 方法 以 定之 。 | 每 一 瑟 值 有 多 於 一 个 的 开 值 之 情形 的 班 如 分 析 之 显著 性 检定 和 Box 11 .4 所 列 者 相似 但 是 必须 探 用 Box 11-3 的 左 彬 所 列 之 标 效 RE ae BK... ; ch esa BSE CEMRO KOR RE MER. BHER AS URI SRSLY SEO 我 们 可 能 因此 而 知道 不 同 的 毒剂 有 不 同 的 剂量 一 致死 率 曲 线 或 是 不 同 的 药剂 有 不 同 的 剂量 与 反应 间 的 天 全 (参见 图 11.1I 的 例子 ) 。 或 是 在 遗传 上 的 微生物 之 培养 问 可 能 对 密 度 的 增加 有 不 同 的 反应 ， 吉 方面 的 知 规 对 天 择 效 应 的 了 解 很 重要 。 一 (Hit BCH PVR DARA HR EE SERA 的 重要 和 统计 量 ， 党 我 们 比较 不 同样 本 时 。 不 仅 要 比较 平均 数 及 标准 差 SPER, Ti BRR HR A eh RB | CRE R 2 RE, WLP RACE, Bh 首先 计算 : s+—-z @ i 337 Bhs, .zx 是 二 粗 之 s : .xz 的 加 权 平 均 数 ， 其 计算 公式 是 ee gale’ Ting 2 2 对 每 一 开 值 只 有 一 了 值 的 情形 而 言 ， 2: 一 2 1: 十 2 ， 一 4， 但 是 党 每 一 闷 值 有 多 於 一 个 的 王 值 时， zs = ci + ca ， 一 4 。 其 欢 是 将 Ps 与 Puri,w] 相 上 比较 。 由 於 分 子 只 有 一 个 自由 度 ， 所 以 刀 =VF., 一 11.6 328% 4% Fl ( The uses of regression ) MARKA-HENREROMHSE ALRAGKRARMRS RORHSEER, APKAKNRORSDEE DWE. RNR HRERK I KF. 首先 ， 我 们 要 提 到 的 是 因果 的 研究 ( study of cousation ). HOR BU SY RE eh BX a TS | ， RAD IE-BRRRRAX, SEBRADLUGAY HX ABSoR. ARHRSE—-BERREHESRS, RADE DUAR. CHE PHHRSER KUIRCKRRE, DEA FRARAARER—RK NAME ARRR, HERR 可 能 只 是 偶发 的 现象 或 是 它们 可 能 同时 受 一 逢 相同 的 原因 之 支配 。 和 全 者 的 情形 通常 是 模式 lORHHE, —“GBRASAA HBR. ER 个 操 炊 一 个 区 数 而 发 现 此 种 操 攀 会 影响 第 二 个 玩 数 时 ， 我 们 通常 可 以 RASKX HBAS s|RABKY HMR ( HLAERREES RH Al )\HEHERERR LER), MMMEKABR BSD MvHoORRLLAREEW- ARR KATUSRRARER ES Ko PRA RAS—. THRBKHARBSD RA, —A 338 生物 统计 学 导 座 ABZLOBRETARMARBKR, ERAGAARAL MERE 影响 周围 环境 的 瘟 度 ， 但 是 我 们 可 能 会 对 血液 中 的 两 种 化 学 物质 间 之 ARMA THR a, MRA OMS, FRB RONE BAA WAR HR, HRY HX A(R EX zY ZR@RORA, BRABRY AX HORTRRSR. RIGEE 灯 的 情形 外 ， 我 们 可 以 很 有 把 握 ( ER A AT EI RHE ) HOR XMREAGwSY. | RHA TNA Ble Ae MAS a) ee AIA ( description of scientific laws and prediction), H2NHNBEBERARESRE Ue AF ZERO PNR. TARR TL OBR TAT A Oe BAP at HARK Hhe-BHAGRE, HSH KIA RS ROEDER. AMERS HT RAAB RHE cd (RHA He Ras ) 一 个 生物 学 上 的 解释 。 但 是 如 果 每 一 部 分 都 有 明显 的 科学 意义 ， 则 我 们 称 之 倚 ” 结构 数学 模式 ”( structural mathematical model ) 。 可 是 ， 不 属於 烙 构 模式 的 数学 曲线 也 有 其 科学 价值 。 大 部 分 的 碍 如 厂 是 ” 径 验 配合 曲线 ”( empirically fitted czyes )， 因 坑 其 夯 数 只 是 代表 一 租 观 测 数 据 的 最 佳 数学 配 合 ( 探 用 像 最 小 平方 的 一 个 准 旭 ) 。 因 殉 值 之 比较 ( comparison of dependent variates ) ag 的 另 一 应 用 。 当 某 一 玫 数 被 发 现 是 另 一 属 数 的 一 个 西数 ， 就 像 在 Box 11+ 2 我 们 发 现 甲虫 的 生存 率 是 密度 的 一 个 画 数 时 ， 我 们 要 问 任何 两 个 甲虫 样本 之 间 的 生存 率 的 不 同 有 多 大 的 程度 是 密度 的 一 个 画 数 。 比 较 在 非常 高 密度 的 甲虫 ( 生存 力 当然 很 低 ) 和 低 密 度 的 适当 人 条 件 下 的 甲虫 之 生存 率 显 然 是 不 公平 的 ， 就 像 在 比较 一 个 小 学 五 年 级 的 学 生 之 数学 知识 和 一 个 大 学 生 的 数学 知识 一 样 。 我 们 然 疑 可 以 得 到 数学 知 #+—-H Bi 339 RHE RSHEKhl—-Hee, RAMERLRHERK AR 个 个 体 底 开 其 期 碧 值 有 多 还。 因此 一 个 五 年 级 的 学 生 之 数学 程度 内 然 比 一 个 大 学 生 坑 差 ， 但 是 如 果 考 虑 到 学 和 的 年 数 ， 则 过 个 五 年 级 小 学 生 的 相对 数学 程度 可 能 比 大 学 生 所 具有 的 数学 程度 坑 佳 。 因 此 我 们 要 计算 修正 了 值 ( adjusted Y — values) 以 便 顾 及 自 慑 数 忒 的 大 小 。 此 修正 并 值 的 计算 ， 一 般 是 求全 体 的 煽 平均 数 站 加 上 一 个 了 值 (Y， ) ” 拷 息 归 粮 的 崩 差 dy . * = ( 歼 一 六 ) 。 此 等 能 差 可 能 是 正 值 亦 可 能 人 抽 值 ， 因 此 修正 了 值 可 能 大 於 平 均 数 也 可 能 小 於 平 均 数 。 修 正 了 值 是 和 一 0 人 统计 管理 ( Statistical control ) 是 通明 的 另 一 应 用 ， 二 方面 的 应 用 在 生物 学 上 还 不 太 广 ， 但 是 在 农学 方面 应 用 较 广 ， 生 物 学 家 常 把 其 工作 分 垮 描述 的 和 实验 的 两 逢 ， 而 且 训 人 震 只 有 合 者 才 可 加 以 分 析 。 但 是 统计 描述 工作 有 时 可 代替 实验 ， 有 时 甚至 比 实 欢 坑 佳 。 此 方法 是 届 法 用 实验 的 方法 来 管理 殉 数 。 我 们 可 借 底 下 的 一 个 例子 来 襄 明 各 种 技术 。 假设 我 们 是 在 研究 各 种 食 训 HERO MER ZLYS, RABE LERMBAMADAMAMS HM, RPMOCRARZ MAA RE BHEAT. €-SWARERRS REARS ERASER CER AAA ATER KATO KH eA AR See eR. BI BEER, RACK AMOER, LARS WEDS 家 的 反应 是 要 探 用 同属 一 个 年 龄 的 老鼠 重 覆 做 相同 的 实验 ; 过 样 做 党 然 没 有 错 ， 是 自然 而 然 会 想到 的 方法 。 但 是 渤 有 另 一 逢 方法 可 用 ， 坟 其 是 如 果 要 使 琶 数 保持 一 定 须要 花费 太 大 的 轻 费 或 时 间 ， 或 是 根本 就 340 生物 和 统计 学 遵 论 fe EB EE, URES UE. A SEN Ges ob4 Ra te 24 ee en Meee pT sca SUAS, MHN- EER OM, MECER BNE ERIE AAEM ER ABH TLR ACER ROwE » RE BOF tA LUE eR I ERED RNA MEE dy. x 的 影响 。 : 过 一 方法 有 什么 好 不 ? BRANT EGS ERB ee 的 个 体 。 如 果 臣 归 ， 旭 我 们 可 以 探 用 全 体 的 所 有 个 体 。 统 计 管理 的 应 AVADGE A RAX AS A ORME ERE, BR 像 实验 动物 的 年 秀吉 样 的 一 个 殉 数 是 容易 记 隶 而且 不 会 有 慰 差 。 和 统计 管理 的 另 一 个 好 不是 我 们 可 以 得 到 较 大 范围 的 了 和 天 的 资料 ， 而 且 我 ”个 可 以 得 到 过 两 到 数 间 的 天 傈 之 知识 ， 如 果 我 们 只 探 用 单一 年 龄 的 动 物 ， 旭 我 们 优 法 得 到 过 些 知 高 。 11°7 325% 4% #2 ( Transformations in regression ) SUP TEED PR — (A — (AY BE ED fi (Cf He BECERARRM AK. E-TRONGERE Re KIBKCAORPRE SRI, TARO LSM REL OM COR REROR. LAASHRE KRAHRERRRENA— 个 简 单 的 直 烤 怒 归 ， 通 常 要 比 探 用 本 来 的 算术 尺度 来 计算 一 个 复杂 的 He OSG RES, MRED TUR RA 可 以 把 各 点 各 在 普通 的 图 胜 上 ， 同 时 也 划 在 可 能 会 改善 直 粮 天 傈 的 尺 ELH htt URBRRRARBH, TAMAR s ce 2M), ALE aMRE AE BH. SF LAD AROSE OT SIE, «10-2 节 所 提 通 的 第 十 一 章 @ 341 PHRRERR REE AT RE, CRA SRR TIE ED HRS th ih RAS RR, mA REA BR (logarithmic seks Formation ) 因 此 做 和 统 证 工作 的 人 最 好 要 准备 单 对 数 狐 (semilog paper), BAK ERRAB AY, LHERARRWES CAR ARORA PR, RRMA, BMRA HERY = ae 成 RK 示 ， 式 中 的 5 及 8 是 常数 ，e 是 自然 对 数 的 底数 。 琶 换 之 个， 我 们 得 到 1og ¥ = log a+b (1og e ) X, WH log e 是 一 个 常数 ， HAL > 旭 得 到 另 一 个 新 的 常数 2 ， 它 相当 於 一 个 坦 蜗 傈 数 。 同 理 ， 1og ca 是 一 个 新 的 了 OE, Ble’ 。 因 此 我 个 可 以 把 log Y ee OMRAX 上， 而 得 到 画 数 log 了 = 2' 十 8/ X, ERAN 信 胀 区间。 图 11 . 2 是 因 爸 数 爸 换 垮 对 数 的 一 个 例子 ， 此 伙 换 使 反应 Rese, SHRLHRR TAKA ELERN REN, BABRED ABR, MME HB MS — BA iN Bae, Me WK FRMNUARR— BE RH RMF BEES EMME 是 在 生物 学 上 常 有 的 现象 。 另 一 例子 是 生理 学 与 心理 学 的 Weber - Fecpziez 定律 ， 过 个 定律 是 和 甬 一 个 刺激 必须 保持 一 个 沼 数 比例 的 增加 ， 才 能 使 反应 保持 一 个 常数 的 增加 。 图 11.13 是 自 琶 数 的 对 数 玫 换 可 VRCRRBEO AT, AHN LEALALSX PRRRANK U2 BAM OREMRMBARY =a X? 3H, BE RKB AA MARR, HERG EAA log Y = logatb log 下 ， 冰 用 一 般 的 方法 来 计算 。 例 如 有 些 生物 的 不 同 器 官 的 生长 是 非常 不 成 比例 的 ， 就 像 鹿角 的 大 小 或 里 虫 的 角 和 其 身体 大 小 的 天 傈 。 如 将 Reel SH RK ( log — log graph papcr ) 上 可 成 一 直线 ， 则 342 ADRit Sen ° ( BAM 9961 VIG BKM Wi) BNO A A NGI OM RM 8 este + NOGA SE GH CO.) MR A — Be — A OGD BY — OR Be Mi Hs (TomJ snqim350 ) seh SAAN GH — RF GE A — eh 10 oe ZT TT 国 | De ‘ x Hf 0T 0 BRK PEER PRVER 1 2 ae >> dit ~~ No WwW Fk Or DN Se ES ES ee a Ee ee 10 20 30 40 50 60 70 相对 亮度 本 00 30 探 用 对 数 之 相对 亮度 (全 和 数 ) Ps Ba BE iy SS BSR BBR ( Reciprocal Siena iene lo RARANWA ( 每 单位 时 疝 内 或 每 单位 全 体 的 某 一 反应 之 数目 ) ， 例 如 每 秒 翅 膀 拆 动 的 欢 数 或 每 个 雌 体 所 生 的 卵 数 ， 如 将 此 数据 用 本 来 的 测量 尺度 和 出 ， Wm Se hee. 它们 是 用 一 般 数 学 HBA OXY=1RC at 和 ) 了 = 工 可 以 描述 的 曲线 。 从 此 等 方程 式 我 个 可 以 道 出 1/ 了 = 天 或 17/ 了 =4 十 生 ， 如 将 因 瑟 数 殉 换 坑 其 倒数 ， 我 们 常 可 得 到 第 十 一 章 @ Bi 343 ls] 11-13 ol Ba } tr Be Seay WRK SA, KReRE SC cephalopod ) 之 眼睛 对 FOUR REA BR, ME Ze Kh (millivolts ). 横 座 标 是 照明 的 相 对 亮度 。 厌 《相对 亮度 ) 的 一 个 比例 增加 造成 7 的 一 个 直系 电 反应 (人 数 #3268 Frohlich 1921 年 之 文章 ) 。 344 生物 和 统计 学 半 论 El RHE Kk, AL RA He OT LL BEAR BH BR ( probit transfor - mation ) ("Eset FEU 5-5 HOS BCR BE Hae Be FES OE HWREKBRARE, HIST Lee, ERR, 们 做 类 似 的 琶 换 ， 但 是 我 们 所 用 的 机 这 尺度 是 用 标准 差 俩 单位 ， 即 50 GEE OME, 84. 134E4E+ 18 eS, 2.27 GEEK 2 标准 差 。 此 等 相当 於 累积 百分比 的 标准 差 称 您 常态 对 等 账 差 normal equivalent deviates; N.E.D. ), MRKRAR RHE , WAIN. B.D. See, HERBS RHR, BR Fis GEIR. “MAME” (probits) 是 常态 对 等 欢 差 加 上 5. 0， 如 此 可 以 使 和 大 部 份 的 内 差 避 殉 有 负 的 值 ; PL 5. 0 是 相当 於 50 %% 的 累积 次 数 。 机 这 单位 值 6. 0 相当 於 84.13 GH 累积 次 数 ; 而 机 率 单 位 值 3. 0 相当 於 -2. 27 % 的 累积 次 数 。 图 11 .4 所 显示 的 是 一 逢 涂 虫 剂 增加 剂量 时 所 得 到 的 致死 率 百 分 bo SRA AANA AO RMA AR, LER A BURA RAD PEE, CNBARALRBA. BAe BR MUS MA me 需 其 对 数 ， 旭 很 多 逢 生物 针 过 些 毒 剂 的 忍耐 程度 大 略 成 常态 分 配 。 过 EMRE WER CRE RAR dosages” (剂量 ) RIA INE RABE RAE EOE, BABS SCH ( dosage - mortality curves ) 。 Ht A EEA: yp E (. bioassay ) 过 四 学 问 所 寻 葵 的 主要 内 容 ， 我 们 在 此 只 能 简单 的 提 及 。 在 过 门 学 问 中 最 常用 的 ， 方法 是 机 牵 单 位 分 析 ( probit analysis) 。 此 种 分 析 的 烙 果 副 在 机 这 HAZE ( probit paper) +, HHA EER KOREA WHR, REA BA HEL LARC BOR ERR (BR 11 .4 ) 0 (SIRE BUH LIHEt 50 %% 致 死 剂 量 ( 50 % lethal dose) ， 也 就 是 我 们 可 以 估计 机 牵 单 位 坊 5.0 的 和 剂量 ) 值 。 机 牵 : SE ap OH BS Bt Sl SSE He hE 2 é : 0.1 05 1 2 510 30 abt tt 11-14 — 用 剂量 致死 率 的 数据 来 说 明 机 李 单 位 变换 的 应 用 。 所 用 的 数据 坊 二 个 重复 的 平 RHR, B— HRA 20 SRM ( Drosophila melanogaster ) 。 一 个 重 复 接受 某 欠 虫 剂 的 七 种 剂量 之 中 的 一 种 的 处 理 ， 剂 量 是 0. 1 了 时 得 到 0 % 6 HAS 。 此 致死 率 被 指定 需 2.5 的 机 素 单 位 ， 而 不 用 一 c， 因 一 co 无 法 被 划 出 。 ae 4 11 11.1 ， 下面 是 一 焦 殉 子 被 注射 一 种 病毒 ( rinder pest. virus ) 后 在 不 同时 间 CX) 所 记 多 的 体温 ( Z ) ， 数 据 摘 自 Certer MMitchell (1958 年 ) 的 文章 ”注射 后 之 时 数 温 度 Ctl te C “FD 346 ”生物 和 统计 学 导论 24 102. 8 32 104.5 48 106.5 56 107.0 72 103.9 80 103.2 96 103.1 iS RMI EL, BUR ey =e Re SBE A 有 很 大 的 不 同 。 对 前 面 四 点 作 下 列 的 分 析 ( a ) HHS; Cb) HMR AY MBs Cc) BIGR 6 = 0 Hy ME RE aes 95 % 的 信 季 界限， (d) 52 ES 50 小 时 后 之 估计 的 更 子 体 絮 之 95 CEBRR, SR: 5 = 0.1300， ¥ 50 =106.5 FRB Sokoloff (1955 )Maxe. £24°C FE RHA & ( Drosophila persimilis) HKRHEBZADRRMBECEE, GE 间作 一 杰 方 分 析 。 然 后 作 体 重 对 密度 的 班 明 ， 东 把 组 间 平 方 和 彻 分 需 直 和 线 ROR RARER, ASR aOR 线 东 解释 所 得 到 Ziti Ro 幼虫 密度 RAS R ”体重 的 标准 差 n C mg ) 〈 非 57; 是 s) 1 1.356 0.180 9 3 1.356 0.133 34 5 1, 284 0.130 50 6 1252 0.105 63 10 0.989 0.130 83 20 0,664 0.141 144 40 0.475 0.083 24 用 练习 11-1 wae AO RAR RRMA 11 . 1. 所 得 之 车 果 相 比 较 。 讨 论 包 括 最 后 三 点 对 甸 明 分 析 的 影响 。 Davis ( 1955 ) HR EIME ( Passer domesticus ) 的 能 量 代谢 量 做 了 一 个 研究 落得 到 下 面 的 辕 果 ， 麻 省 被 侗 养 在 各 不 同 齐 度 下 阔 接 受 每 天 十 小 时 的 光照 。 温 RCC) 卡 洛 里 Y n : ra 24.9 6 1.77 4 23.4 4 1.99 10 24,2 4 2.07 18 18.7 5 1.43 26 15.2 7 1.52 34 Pie 7 2.70 SReRES Fim MRE Phillips 和 Newson (1906 ) 两 人 研究 一 种 蜡 蛤 ( Heliothis zea) 在 控制 的 温度 与 光 通 期 下 的 氧气 消耗 量 ( 微 升 / 毫克 乾 重 / 小 时 ) 所 得 到 之 竺 果 m BEC °C) 光 om 《小 时 ) 10 14 18 oO: 31 P67 21 0.53 1.64 24 0.89 igs 44S — 368 ath — (ee ABH SE: 10 及 14 小 时 YH s 7 y . x&F0.019267H10.00060, ie FARRBES MGB F, —BBRC potato leaf hopper; Empoasca fabae) CRHAAKALHBRARBPCEE 以 日 计算 ( K ouskolekas & Decker ，1966 年 的 研究 报告 ) 。 数 据 本 来 是 加 权 平 均 数 ， 但 是 在 此 分 析 我 们 把 它们 当做 是 单一 观测 值 来 处 理 。 i BE CF 平均 发 育 遇 期 长 度 ( AK) 59.8 58.1 67.6 B78 70.0 26.8 70.4 26.3 1 74.0 £95. 348 ADR Sea face 19.0 78.0 16.5 80.4 15.9 81.4 14,8 83. 2 14.2 88. 4 14,4 91.4 14.6 92.5 13:2 SRE ARES. HAMM MAHS BEC Y.-F, ), eM i wate WE 11.7 211-4 ORR 15 LRAT A SER im BEC °C) ke Y n s 0 24.3 6 1.93 : 10 25.1 7 1.98 18 22.2 8 3.67 26 13,8 10 4.01 34 16.4 6 2.92 测验 10 小 时 与 15 NRE AR BOR AH) HE, 答案 : F, =0.003. KERMAN. MRO OTY RGR EN 一 琶 数 的 画 数 天 傈 。 本 章 则 计 葵 两 季 数 间 的 天 联 程 度 之 测量 ， 过 就 是 所 疆 的 相关 分 析 。 有 时 对 一 个 问题 我 们 不易 分 清 到 底 是 风 蔷 用 下 归 分 析 或 是 用 相关 分 析 。 在 研究 者 的 思考 上 以 及 在 文献 上 [， 过 两 种 分 析 常 混淆 不 清 。 我 个 将 在 12 . ! 节 计 葵 吉 两 种 分 析 的 区 分 。 在 12 . 2 节 我 倍 提 到 积 差 相 需 傈 数 ， 过 是 在 文献 上 最 常用 到 的 一 种 相关 傈 数 。 我 们 将 尊 出 过 个 傈 MWARCARRAKE REM. A ICS Nae FSR mio BHR, At ARERR. 1 2 . 3 NP 数 的 各 种 显著 任 检定 。 1 2 . 4 MNRAMONHSEER. 12.5 节 提 到 相 联检 定 的 一 种 优 油 数 法 。 此 法 通用 於 有 关 相 关 傈 350 生物 和 统计 学 半 其 数 的 检定 之 各 种 假定 不 成 立 的 情形 ， 或 是 需 了 计算 的 快速 或 态 便 等 原 因而 想 探 用 比较 简单 但 效力 差 一 此 的 检定 时 也 遂 於 探 用 此 逢 无 征 数 法 ° 12°1 48 BA 4 32. 8% ( Correlation and regression ) AAA Fe B22 ES Ni, ZERO be RS (ESC Er) Fit) sei A aoe SE TFT) Er 9 Fi od Fas BCS LD EY Fd A at FB 造成 过 种 混 涌 不 清 的 原因 有 数 箱 。 首 先 过 两 箱 分 析 疝 的 数学 天 傈 很 密 切 ， 在 数学 上 我 们 可 以 很 容易 的 由 一 箱 关 傈 转 到 另 一 逢 关 傈 。 其 次 ， 是 因 霸 早期 的 数 科 书 对 过 两 种 方 法 间 的 区 分 没有 解 秩 清楚 ， 其 所 造成 的 困 援 到 现在 膛 优 法 完全 被 克服 。 而 且 至 少 还 有 一 本 现在 的 数 科 书 把 其 中 的 一 逢 分 析 当做 是 另 一 逢 分 析 的 殿 名 ， 增 加 更 多 的 困 援 。 最 和合， 研究 者 所 尘 用 的 方法 内 然 可 能 正确 ， 可 是 所 要 分 析 的 数据 可 能 不 通 艾 用 鼓 方 法 来 分 析 。 法 我 们 对 过 些 问题 稍 加 计 花 。 双 归 与 相关 间 的 很 多 密切 的 数学 天 傈 将 留 到 下 节 才 话 加 吞 葵 。 我 们 在 过 庄 要 提 到 对 任何 一 个 固定 的 问题 AREMGRRHAON, AROWHEPREHAY, MEER 如 得 碍 归 分 析 所 要 用 到 的 重要 的 量 是 乘积 和 。 相 关 傈 数 的 计算 也 是 要 用 到 此 量 。 焉 如 傈 数 和 其 相对 的 相关 傈 数 之 间 有 一 些 简 单 的 数学 开 傈 。 因 此 ， 奸 算 莫 如 傈 数 时 ， 常 会 使 人 联想 到 要 计算 相对 的 相关 天 保 ; 但 是 这 样 做 是 不 正确 的 ， 除 非 我 们 在 研究 的 开始 就 打算 研究 相 联 的 程 度 而 且 所 得 到 的 数据 也 适用 於 过 种 计算 。 如 把 本 来 入 用 模式 [ 旭 蜗 的 数据 用 来 计算 相关 傈 数 ， 旭 所 得 到 的 相关 傈 数 是 然 意 义 的 ， 它 不 能 被 当做 是 任何 一 个 母 数 相关 傈 数 的 一 个 估计 。 同 理 ， 我 们 也 不 能 对 沉 宜 计算 相关 的 数据 估计 其 中 一 个 玫 数 对 第 十 二 章 相 “本 351 另 一 个 琶 数 的 碍 如 傈 数 ， 如 做 下 归 不 仅 优 法 过 到 我 们 想 分 析 的 目的 ， Ti EGE AB aR HO RS LY RT SH A JR RE (Ret (RB St ME, | ; Fete BM aE — A it AAS NL. CERES OT BU A vi OY NH ROX WKB. RAR SERA HE XMUBEAY HEB AR WORX WY 值 ;:: 以 及 将 XERERHEARERY H—HBR, AMAREEA DRE U8, +MSZARN-AROHEREA LYS, HONEY HHAOVs, LE-MEA NEN RAKAORTELUSS ©, SEAT LW SRAM ERR eR NAM OF. RW, EMMOMRAEBEY Ro PRR KANE , MBRBR( covary ), NE HMRHRE. KALE BERETA ER OWERR, MURSAROARBRLS. ER KRARARO NK, SUAS RE A GRR, FER (PCL AS ASE 7 RR Se OE (RAE LR ( 但 不 一 定 要 具备 的 ) RELHGRKAPLR HAR AOwS, MRE WES ASH RAE, GUAT Ae het BE LMM 2FRRERMHRECHOHMES, TEBE 产 卵 量 之 间 的 相关 程度 ， 或 是 一 逢 杂 草 的 逢 子 数 目 和 成 长 所 须 的 日 数 间 之 相关 程度 等 等 。 我 们 还 未 诗 葵 到 坑 什 么 我 们 想 调 量 一 对 琶 数 间 的 相关 之 原因 。 其 原因 将 留 到 12 . 5 节 才 加 以 诗 葵 。 现 在 我 们 只 要 提 到 当 我 们 想 测定 一 个 全 体 的 成 对 溉 数 间 的 相 联 程度 时 ， 我 们 入 宜 探 用 相 关 分 析 。 — MERA OFEACRAO AM, HERANR RCH AT AREAS EER AE, DIR ARE PO ees 352 生物 沪 计 学 导论 做 是 体重 的 一 个 西数 ， 我 们 可 能 取 同 龄 男人 的 一 个 随机 样本 ， 而 得 到 每 一 个 个 体 的 胆固醇 含量 与 体重 而 做 前 者 对 后 者 的 坦 中。 可是， 过 两 - 个 慑 数 之 测量 都 有 寺 差 。 自 疗 OX HS FE GE he Re 择 或 控制 。 因 此 模式 | Os BEAR, IS eRe I ee 是 不 合理 的 ， 验 然 我 们 站 不 几 由 发 表 允 的 研究 文献 找到 犯 过 箱 错 妹 的 例子 。 如 果 我 们 睦 的 想 用 一 个 方程 式 来 描述 二 对 厌 的 依 里 情形 ， 则 我 PUARARL OH, GLUE ER LER a PE, UREA HT. HRA KO. HB FA STG EG AK Eat a (EX ES) 用 来 计算 、 AMRK, AMARA ORAS Eee, 而 在 过 个 实验 中 用 到 数 逢 温度 。 过 样 的 一 个 相关 傈 数 赂 然 在 数学 上 容 易 求 得 ， 但 是 它 只 是 一 个 数值 ， 而 不 是 一 个 相关 的 母 数值 之 一 个 估计 值 。 相 关 傈 数 的 在 方 对 一 个 坦 蜗 的 问题 有 一 些 意义 ， 但 是 无 葵 如 何 ， 它 不 是 一 个 母 数 相 关 的 一 个 估计 值 。 上 面 的 言 葵 之 摘要 列 於 玫 12 . 1 HERA CRS BR 。 表 中 的 两 桶 麦 示 成 对 琶 数 的 两 种 不 同情 况 : SRE eee 隧 机 的 而 且 具 有 如 差 的 测量 ， 而 另 一 季 数 是 固定 的 。 另 外 的 一 逢 情形 Ei BME RA. APSR OTR YY BX RM BALI RAM ASY COROMLBEY ERERRR, PX ERERS 数 。 但 是 在 相关 分 析 ， HARON LRM, AEAR HE EMME BY. —AMBEY, ABBEY, ZA MAA 研究 者 进行 其 分 析 的 目的 ， 而 表 中 的 四 个 象限 就 明 对 某 一 目的 与 某 箱 se DN HE A ME RA HE 第 十 二 章 ，” 相 关 353 表 12.…1 FARA SRE HBA C The relatjons between correlation and regression )KABMNE-AHRBRHMA MRAM ERE, 研究 者 的 目的 = ws EE | Y Sait, X Hz Zi BY. 此 随机 建立 站 估计 一 个 娩 数 对 | 模式 I 台电 BAe 本 书 未 提 对 另 一 缀 数 的 依 顿 情 Bite we Ste) 形 建立 站 估计 两 杰 数 间 | 此 种 情形 无 意义 ， 但 是 如 | 相关 傈 数 WN 与 yz 的 相 联 ( 互相 依 顿 ) “| REM IRXRY A | 成 二 元 常态 缀 数 的 分 配 的 程度 的 相关 傈 数 之 平方 ， 把 它 | ， 则 可 作 各 种 是 著 性 检 当做 是 了 的 楼 黑 被 不 所 解 | 定 ) 释 之 比例 的 一 种 估计 12.2 积 差 相 关 4% Be ( The product-moment correlation coefficient ) | BLAS A RR SOP AOL CE EH product- moment correlation coefficient )， 汪 种 傈 数 之 现今 探 用 的 公式 是 由 Keyx! Pearson 所 提出 。 我 们 将 用 直觉 的 方法 来 寻 葵 过 个 公式 的 由 来 。 我 们 已 经 知道 乘积 和 ( sum of products) EKBRW-BUE 。 因 此 它 雁 贰 是 求 相 关 傈 数 的 公式 中 的 一 个 基本 的 量 。 我 们 把 要 佑 计 FARA ROP (AER HY, AKRAM on yo, MAR C covariance )J&C 1 / cn-1, JEN I2=S2 o BARB AML, she PR AMROUR HE. 354 APH at BH it SEZ LAAKWHEEMAKEA, WMIMN, AB FADS S, Ae, Pew ROEARAEXSD LY RRM BIMIS.2 公克 / Ko. CEARBEH UW REKRAKH WRRERM, Bay HEL RA Ci SAAR eE. PemR Oe 数 芯 与 忆 的 标准 差 ， 则 可 去 掉 本 来 的 测量 尺度 。 过 样 做 就 是 将 每 一 同 2y Ry. 除 以 其 标准 差 ， 而 使 其 成 含 一 个 标准 化 获 差 。 所 以 现在 式 子 慑 贪 标准 化 欢 差 的 乘积 和 除 必 交 一 1: 之 y1 ys (n—l1)Syis ye EM BY, BY. HW REAM RK yy, 的 公式 ， 我 们 可 以 把 符号 简 化 如 下 : ry, Y> = C1227) eee 2X1 ys aor ee C $2°2-3- 要 gx - ( n—1) Si Se Si S2 (12-2 HU RRRA-RAWBK, Ais Si trek = s2* (#1) t= =e Cn—1) 多 — | yr 所 以 ( 12-2 AT URR ik: Le , (- [2 > J Dg? Dy? 此 式 在 计算 上 上 比较 方便 ，( 12-2 ) RAD cee BY, FY, BB 用 之 形式 如 下 : — 第 十 二 章 相 HR 355 yy Ye Tin = Cn—-F) S$) Se Ct? 4 ) FABER rye KOGA Slee Ze A + 1 SISA AA — 1 > ERAS ESRB, 与 其 本 身 的 相关 时 ，( 12 .4 ) 式 就 至 成 Ny =Llyn9 (Vo YI2 =X Ws / 2 yz = 工 ， 我 们 得 到 + 工 的 一 个 完全 相关 。 如 果 两 个 瘾 数 的 砍 差 契 对 值 相等 ， 但 符号 相反 , GS-1 的 相关 傈 数 ， 因 念 分 子 的 乘 柑 和 是 负 的 。 合 面 有 相关 保 数 是 从 十 1 到 一 1 5A, 如 果 两 谷 数 的 区 值 成 一 特殊 的 二 元 常态 分 配 («bivariate normal distribution), BUFR RR 7yx Sato ASR sx © BRARCROHRLACREESR, PRKHREA Aw R A, he RAE MRM EAA 100 BRERA. 如 果 你 把 过 100 PARACEL, Be 2 如 图 12 . 3 4 的 一 个 点 的 散 念 图 。 革 我 们 假定 二 个 格 数 ”, RY, 都 呈 党 驴 分 配 ， 而 且 它 个 各 自 非常 独立 ， 因 而 一 个 个 体 的 性 状 训 MEANY 的 平均 数 不 会 对 琶 芒 的 值 之 大 小 有 任何 影响 ， 此 个 体 的 慑 数 荡 可 能 大 於 ， 也 可 能 小 於 玉 的 平均 数 。 如 果 贡 与 z: OAR, Taw 将 两 本 数 加 以 标准 化 使 它们 具有 可 相 上 比较 的 尺度 ， 则 我 们 将 发 现 其 散 伤 圈 的 外 形 大 体 上 呈 圆 形 。 当 然 对 100 个 项 目的 样本 来 襄 ， 只 能 得 到 大 体 上 是 圆 形 的 外 形 ; BRARAR, ROGRSERA, TAD 是 在 互 与 丈 的 交点 。 园 的 中 心 邵 分 因 坊 有 很 多 点 聚集 在 一 起 ， 押 以 琶 得 较 黑 。 如 果 我 们 条 和 苇 抽 样 使 样本 一 直 增 大 ， 则 有 些 新 的 点 将 与 蔓 的 点 重 曼 在 一 起 ， 如 果 我 们 把 每 一 点 看 成 如 一 粒 沙 子 ， 则 将 逐渐 堆积 成 一 个 甸 形 的 沙 堆 ， 过 种 常态 分 配 可 用 图 1 2.1 来 表示 。 由 任何 埋 一 座 356 + wit Bia 标 来 看 ， 过 一 堆 合 成 一 个 两 度 空间 的 图 形 ， 也 就 是 呈 一 常态 分 配 的 形 i, WMS, HY: 之 分 配 。 fH] 12-1 二 元 常态 次 数 分 配 。 杰 数 了 1 RY. 间 的 母 数 相 天 O SRA, RK RAR Ai 需 一 个 链 形 堆 。 AOE ee BY, 与 区 背 不 独立 而 是 有 某 逢 程度 的 正 相关 ， 旭 一 个 体 如 果 有 大 的 艾 (A, BBE 值 也 过 大 。 同 样 的 ， 一 个 小 的 ;1 值 常 和 一 个 小 的 丈 ME, HSE RR A (MH 12-30) 是 一 个 伸 长 的 构 圆 形 。 过 是 因 依 圆圈 中 本 来 玫 示 一 BG AMAR, FERARD, RST C ICYD 粒 的 模式 来 解释 ) 则 得 到 像 图 12 . 2 所 显示 的 一 个 三 度 空间 的 椭圆 堆 。 如 果 是 完全 的 相关 ， 则 所 有 的 数据 都 落 在 一 个 单一 的 息 蜗 和 线 上 《 相 AMRIT WY YON AER), MRAM EAA RHE RUA, AR, thet he te eae LA — (ee 的 第 态 曲 线 。 散 伤 图 以 及 所 得 到 之 堆 呈 圆 形 或 权 圆 形 显然 是 两 到 数 间 相关 程度 NHR, 而 过 就 是 二 元 常态 分 配 的 母 数 en 〈 邹 母 数 相 关 傈 数 ) 。 和 ( 12.2 ) 式 相关 似 ， 母 数 Cr ce: St fH 357 Pn =F yn / G; 9% Crores, 式 中 cy* LOY, RY WEBER, Moos ROY, HY 的 母 数 标准 差 。 如 果 雨 下 数 呈 二 元 常态 分 配 ， MURALI RBC T yo 估计 母 数 相关 傈 数 。 我 们 可 以 预 估 oy. 的 样本 分 配 冰 定 其 信 顿 界限 。 国 12.2 二 元 常态 次 数 分 配 ， 伙 数 了 1 与 了 HHS 12.1 的 链 形 堆 在 本 图 拉 长 了 。 OSRK0.9. fa 可 惜 ， 除 非 所 取 的 样本 非常 大 或 母 数 相关 poy* 非常 高 ， 否 则 相关 达 数 的 散 伤 图 之 机 圆 形 通常 不 会 很 明显 的 麦 示 出 来 。 震 了 说 明和 过 一 点 ， 我 们 用 图 1 2. 3 来 表示 由 具有 不 同 yx 值 的 二 元 常态 全 体 抽 取 包 售 100 个 项 目的 样本 所 得 到 之 散 做 图 。 第 一 个 图 (图 12.34 ) 的 py =0 ， 我 们 只 可 大 略 的 看 出 其 分 售 是 呈 圆 形 ， 须 要 有 更 大 的 样本 才 可 以 明显 的 看 出 其 分 配 是 呈 圆 形 。 图 12.3B BER oj, =0-3 所 得 到 之 散 伤 图 ， 但 是 看 起 来 与 图 1 2 . 3 4 没有 显著 的 不 同 。 因 和 坑 我 们 事先 知道 此 图 描述 一 个 正 的 相关 ， 所 以 我 们 可 以 在 此 散 做 图 上 大 略 的 看 出 一 个 正 的 斜坡 ; 但 是 假如 事先 冰 不 知道 ， 旭 很 将 看 出 。 下 面 的 一 个 图 358 ”生物 和 统计 学 导论 (图 12.3 C; He. = 0.5 ) 看 起 来 比较 明显， 但 是 还 没有 明 吴 的 显示 出 一 个 齐 无 疆 问 的 价 向 。 通 常 由 思 * 介 於 一 0.5 到 上 + 0.5 的 全 体 所 得 到 的 样本 之 散 佑 图 很 又 看 出 其 相关 的 情形 , 除非 所 取 的 要 本 非 Ao MARY (fall ( 12-3C ) 悦 明 了 过 一 点 ， 此 样本 也 是 取 自 65, 三 0.5 的 全 体 但 是 包含 3500 个 项 目 。 由 此 散 做 图 可 以 很 明 引 的 看 出 正 的 斜率 及 椭圆 的 外 形 。 基 获 Pye = 0.7 Kn = 100 所 得 到 的 图 12.3 忆 更 明显 的 显示 出 二 种 便 向 。 图 12 .3 Re RAAAIWY 6; (AR ARS ARR, FA AH 比 图 12.3 忆 更 明显 的 借 向 。 此 二 团 的 构 圆 形状 之 不 同 与 相关 的 正 或 负 和 无关; CEA RRR EAS 成 ， 由 此 二 图 之 比较 可 以 使 我 个 对 由 一 个 二 元 向 厄 分 配 随 机 抽样 所 得 A\ZeRY eB mE, MB 12.3 玉 是 代表 px = 三 0.9 的 一 偶 相 关 ， 此 图 显示 他 数 向 的 紧密 相 联 ， 各 点 的 分 做 呈 一 明显 的 构 圆 形 。 Fite ARI BC 12 .3 ) 式 的 样本 相关 傈 数 之 公式 。 将 此 式 平 ze 得 : 和、 p> ‘yi? x 2? 2% C Dy ive? ‘ 了 Det ae 再 y2” ERS AANA AEM ON 和 2 的 乘积 和 的 下 HRI WE SA , WR PARONS, ws Ae we, ORs, 的 已 BPEL HAC DT. ) HAAR. WR RIERA BE AED J2= ( Day)? / Dx*, Ait 六 (12.6) ak weak seen 一， » eee ee ee ee 第 十 二 章 相 BR 359 Y; Yi ls] 12-3 CARAS EA SARK O 之 二 元 常态 分 配 所 得 到 之 随机 HA, RTECS n=500 外， Pr AL Ahi 69 m HFS 100 。 A. p=0 ~... "BR. p=0.3 , Ct ABS De PROT; | E, o=—0.7, F. p=0.9, G. @=0.5. 360 ”生物 和 统计 学 导 座 由 此 可 知 相关 傈 数 的 平 方 是 等 於 概 数 丈 的 已 被 解释 的 平方 和 除 以 构 数 % 的 称 平 方 和 。 同 理 可 容易 的 尊 出 下 式 : riz? =X jy? / 二 yi12 (12-6a@) PE BU CAE — (eR BO SL, AT LS th wT ROKR 被 中 所 解释 。 上 式 的 比例 是 介 於 雳 与 一 之 间 。 只 要 对 此 公 式 的 意义 稍 加 探索 ， 就 可 以 知道 袁 什 么 是 介 於 雳 与 一 之 癌 了 。 任 一 他 . 数 的 已 被 解释 之 平 方 和 必定 小 於 其 物 平 方 和， 在 极端 的 情形 ， 如 果 一 个 叙 数 的 所 有 爸 民 都 已 被 解释 ， 则 最 多 是 等 於 炉 平方 和 ， 不 可 能 比 入 平方 和 和 逮 要 大 。 在 最 小 的 情形 ， 如 果 一 个 释 数 完全 没有 被 另 一 楷 数 所 解释 ， 则 上 式 的 值 等 於 雪 。 如 此 ， 我 们 可 以 得 到 一 个 杰 数 的 他 殿 受 另 一 个 释 数 之 侣 器 所 支配 的 比例 的 一 个 重要 的 计算 值 。 相 关 傈 数 的 平方 之 量 ( Sin?) RBRRERR ( coefficient of determination ) 。 KAKA R—Zi, MANA RR ECS IEMA, HARRIE (A. Ee toms th aD eA BARE TTR — 1 + 1 Zi. FR ERERE RG, MB Mle HR CAMERAS Zi, TL 然 其 平方 根 是 介 於 十 1 与 一 工 之 间 。 当 我 们 考虑 不 同 大 小 的 相关 之 相对 重要 性 上 时， 决定 傈 数 也 是 很 有 用 的 一 个 和 统计 量 ， 如 果 我 们 回顾 图 12.3， 我 个 可 以 看 出 散 佑 图 从 园 形 到 构 圆 形 的 分 配 之 改 释 速达 似 乎 与 ?比较 成 比例 , 而 与 > 则 能 不 成 直接 Zita. AM, H12-3B820=0.09, RHUMBRAHW AAMT » (12-3 De? =0.49， 我 们 可 以 很 明显 的 看 出 相关 的 存在 对 班 蜗 分 析 来 说 ， 决 定 傈 数 也 是 一 个 很 有 用 的 和 统计 量 ， 蔚 者 可 能 ac EO A HO RIERA AMD OR RRA Se 第 十 二 章 “ 相 天 361 被 解释 的 在 方 和 。 作 过 逢 构 方 分 析 之 后 ， 我 们 可 以 得 到 已 被 解释 平方 和 除 以 煽 平方 和 的 一 个 比例 ， 当 作 是 乱 始 哺 因 下 外 而 被 解释 的 比例 。 但 是 就 像 12. ! MATRA, MER SORE RASA HEM OE 来 当做 对 此 等 构 数 之 母 数 相关 的 一 个 估计 。 ”现在 泪 我 们 诗 论 相关 傈 数 与 坦 蜗 傈 数 问 的 数学 需 傈 。 首 先 我 们 必 须 再 次 强调 ， 赂 然 我 们 可 以 容易 的 由 一 个 傈 数 遵 出 另 一 个 傈 数 ， 但 是 过 二 逢 傈 数 通 常 不 能 同时 用 在 同 逢 的 数据 。 相 关 傈 数 与 坦 蜗 傈 数 间 的 一 个 重要 天 傈 可 由 ( 12 .3 ) ROME ee siete Jae VE GERM PFRPEREI Do, BG | 2 yi ye VE yi? Jy Vige VEG? 712 一 “XD yi pe nf a7 a p» yi? a/ by 2? ; HAWABHW-RZAFRRRSRU Vn —-1 . AG x 1? x yi Ye =} wi2>7 ) | =~ nw oy 362 EMRE BM 同 理 ， 我 们 也 可 以 发明 : ra 一 0 = (12-70) A: » (12-70.) S S1 b2.4 = T12- ; b1.2=712 Hib... ERB AY 的 址 申 傈 数 。 因 此 我 们 可 以 看 出 相关 傈 数 ES PBRAREL DROW MEE H OL MU RO RE £—-BBE HERR. URBREZAS, BES RB 傈 数 也 相等 。 在 我 们 学 过 相关 傈 数 之 后， 我 人 可 以 同 顾 9.3 节 的 成 对 ie, SRA 1.9 BR— SRM HSK: | S cy, +¥,) = S17 +527 + 2 riz S1 Se /~ £3258) 上 式 之 s: Rse Bien Rye WRB, MM rie is py Bel AY PAR o AH, AMSA, 我 们 可 以 得 到 S” (Yi -7Y-) 一 S12 十 S22 —2 rir 31-32: (12-9) 12: 8 KHRREMRR AK CR ROME Ee (, AUS — roa Bo RS AR OR A HO HO MAIO LE BH , SERA A REE E'S oe A — > MSA 1-9 BHsE—B MAA ES OY RY MMS. MRR Ine RAO CS TA, USERNAME CRS HR, ， 如 此 则 两 SKLAR HS KOK HMA, CREB BEARS 分 析 或 是 在 两 在 均 数 间 的 差 刁 之 RE, RAVACR EARS 立 人 性 才能 将 它 个 的 释 方 加 在 一 起 之 原因 。 否 则 我 们 就 须要 考虑 到 一 个 第 十 二 章 相 Bi 363 叙 积 项 。 相 反 的 ， 在 成 对 比较 我 们 预期 梧 数 间 A. ASHE 有 共同 的 烃 验 。 成 对 比较 检定 自动 的 减 去 一 个 爸 积 项 ， 因 此 得 到 一 个 芯 小 标准 机 差 和 豆 大 的 二 值 ， 因 估计 算 友 的 比例 之 分 子 保持 不 颂 。 因 此 ， 只 要 二 他 数 间 有 相关 ， 它 们 的 差 之 释 方 将 比 它们 的 释 方 之 德 和 依 小 也 就 是 需 了 过 个 原因 ， 我 们 必须 探 用 成 对 比较 检定 ， 而 不 用 普通 的 志 检定。 上述 的 过 些 考虑 也 一 样 适 用 於 单 分 类 与 双向 营 方 分 析 。 积 差 相 关 傈 数 的 计算 很 简单 。 基 本 的 量 是 与 计算 怒 归 傈 数 (11.3 节 ) 所 须要 的 六 个 量 相同 。Box 12-1 列 出 相关 傈 数 的 计算 方法 。 所 Bvt Zn ¢ ekH@b ey, HEY, RARE Ree 有 无 相关 ， 体 重 是 当做 个 体 大 小 的 一 逢 量 。 如 果 其 间 有 正 的 相关 之 存 在 旭 我 们 的 烙 葵 可 能 是 身体 较 大 的 螃 稻 的 代 妊 量 较 大 ， 因 此 须要 有 较 AMBUEKRRSEHSAR, HAWK Bor 12. 1 。 所 得 到 的 相关 傈 数 是 0. 87 ， 在 图 1 2 .4 过 些 数据 的 散 做 图 呈 一 斜 的 与 狭 罕 的 构 圆 形 。 BOX 12¢1 积 差 相关 傈 数 的 计算 Computation of the product-moment correlation coefficient) 。 $5 & ( Pachygrapsus crassipes )MRERBEHHMER, n=12, (1) (2) #8 = ( mg ) HE (Cg) 159 14. 40 179 15. 20 100 11.30 45 2.50 384 22.70 20 14. 90 364 ”生物 统计 学 六 论 100 1. 41 320 15.81 80 4.91 220 15. 39 320 17,2 210 9.52 RB: KAL.Miller 之 未 发 表 之 数据 。 计算 ( Computation ) L DY; = 159 十 …… 十 210 = 2347 2 LY? = 159? +-------+ 210? = 583, 403 3 D¥e2 = 14.40 十 …… 十 9.52 = 144.57 4. LVe? =( 14,40 )2 十 …… 十 ( 9.52 )2 = 2204. 1853 5 DY¥i Yo = 14.40 ( 159 ) 十 …… 十 9.52( 210 ) = 34,837.10 Y, )?. om 矶 之 不 方 和 = 2 HEHE — OT 2 2 poe ee oe a 罗 n 12 = 124, 368.9167 Fs 7 Ya @RGM= Ey? =D 一 7 : Sw ee EE oo tees ee n 12 = 462.4782 ¥1) (ZY MMMMAT 91 52 HEY; Y, ogee 第 1 量 X 第 3 量 347) (144,57 = 第 5 量 一 1 = 6561.6175 Ste 天 6365 9. BERMRR ( RA 123 x) 2% 为 第 8 最 ee eee aes ae 之 yi 之 72 第 6 量 X 第 7 量 6561. 6175 VC 项 55.9167 ) ( 462.4782 ) 6561, 6175 _ _ 6561, 6175 ~ 4f 57,517,912.7314 7584. 0565 = 0.8652 ~ 0.87 ese ges 0 5 1015 20 25° 30°? 体重 (Cg) 国 12.4 BOX 12.1 的 螃 稳 数据 之 散 做 图 。 366 ”生物 统计 学 导 葵 12.3 相关 的 显著 性 检定 ( Significance tests in correlation ) Bx fo (AY RAS CE Be FE Ze El BR (ERA A RB BK BC 傈 数 假 老 的 一 个 全 体 。 因 此 虚无 假设 是 如 : 0=0, bE Bee 间 疫 有 相关 。 如 果 样 本 来 自 o = 0 的 一 个 二 元 常态 分 号 ， 则 相关 傈 数 的 标准 机 差 是 sy, =V Cl—r ?/(n-2) ， 此 讶 无 假设 是 用 自由 度 仿 2 一 2 的 上 检定 来 测验 ， .三 (y> 一 0)V7 VC 1—7)?/(2-2 =rJCn-2)/C1-7 Y 。 我 们 必须 强调 此 标准 机 差 只 适用 於 o =0 ， 因 此 不 能 被 用 来 测 台 o 是 不 等 於 需 的 某 一 指定 的 值 之 虚无 Rx, * 的 显著 性 上 检定 在 数学 上 与 的 显著 性 上 检定 相 烦 似 ， 两 箱 检定 都 是 测量 二 伙 数 问 相 联 的 程度 。 过 逢 情形 与 浊 分 类 释 方 分 析 的 模 式 工 和 模式 工 相关 似 ， 在 单 分 类 慑 方 分 析 不 论 是 那 一 箱 模 式 都 用 相同 的 刁 检 定 来 测验 其 显著 性 。 上 述 公 式 的 显著 性 检定 已 个 有 系统 的 做 出 ， 北 列 在 表 ZZ77 ， 利 用 此 玫 我 们 可 以 不 须 计 算 就 可 看 出 一 个 样本 相关 傈 数 的 显著 与 否 。 Box 12-22 ARARRRBEA o = 0 的 检定 ， 探 用 表 777 以 Ea aA ¢t RIE. Bo OR, 7 的 样本 值 之 分 配 成 明显 的 不 对 称 ， 除 非 样 本 非常 KC n> 500 ) 否则 > 的 标准 机 差 不 能 求 得 。 和 起 了 克服 过 种 困 郊 ， 我 FARRAR Fisher 的 方法 ， 此 法 将 > PRBR—-BaRze, z 的 公式 是 z= 4 iy (- feta 9 Sapa ( 12-10) 此 式 相 当 於 z =tanh-'7, Br 的 反 伙 曲 正 切 ( inverse hyperbolic tangent or r )， 过 一 画 数 被 列 在 表 筷 ， 表 中 列 出 固定 I i. it Ste 4 hh 367 的 > Ae ZH z 值 。 从 ( 12-10) 式 可 以 看 > =O, zbhSr 需 ， 因 依 二 jzl SRE. GEM 接近 1 时 ，( 1+r)/(CI 一 ” ) 接近 无 第 大 ; 因此 z HERA. Mr 的 值 增 大 时 ， > 与 z 间 的 差 殿 也 随 著 增 大 。 例 如 当 ” 是 0. 115 时 ，z 一 0. 1155 。Yy 三 一 0.531 时 z 三 一 0.5915 ， 而 > =0.972 时 :z = 2.1273 。 最 后 的 一 对 值 之 z 比 * 大 很 多 。 由 玫 忆 我 们 也 可 求 出 一 个 固定 的 z 值 之 相对 > 全 。 有 时 可 能 须要 用 反 插 值 法 。 由 z = 0. 70 可 以 求 得 相对 的 > = 0.604，z =—2.76 Ally =— 0.992, z PANT REA +0 CARRE EZRADE, (A 是 z 值 的 分 配 旭 接近 常态 分 配 ， 不 葵 z HARRESY, 的 母 数 值 我 MBZAC( zeta ), zHMERHE of = —1_ (12-1 ) 2E—-PAEUMRK, BARKRAKD >50 的 情形 ， 甚 至 於 只 要 n>25 REAR, FC 12-11) 式 可 以 看 出 z 的 释 方 是 与 > 的 大 小 无 珊 ， 而 是 样本 大 小 妈 的 一 个 画 数 。 ”对 於 样本 大 小 大 从 50 的 情形 ， 就 像 Box 1 2 . 2 所 显示 的 ， 我 们 也 可 以 用 z 季 换 来 测验 样本 > 的 显著 性 ， 探 用 妃 。: 0 = 0 的 虚无 假设 。 Box 12-2WA-RERRRK OX 0 的 检定 。 我 们 可 以 测 带 二 爸 数 间 的 趴 正 相关 是 一 个 不 等 於 需 的 固定 0 值 的 虚无 假设 。 汉 逢 假 设 常 在 和 泪 传 研究 中 光 到 ， 而 我 们 想 用 观测 数据 来 测验 此 逢 假设 。 内 然 我 们 站 没有 什么 理由 来 假设 蜜蜂 的 左 翅膀 与 右 翅 膀 之 翅膀 长 度 的 扶正 相关 是 0.5 ， 但 是 我 们 用 过 一 假 届 的 检定 来 说 明 过 逢 方法 。 与 o = 0.5 相对 AAC (6, Gz 的 母 数 值 ， 也 就 是 o 的 z 爸 换 值 。 由 此 Box BR, 0.837 -的 样本 > 可 能 来 自 o = 0.5 的 一 个 全 体 的 机 牵 是 非常 小 的 。 368 ”生物 统计 学 导论 其 欢 ， 在 Box 12-2 我 们 也 看 到 如 何 来 定 一 个 样本 相关 傈 数 > 的 (ARR, BEE zB Bh FRR, RES, KABA EEATHBN, HREA FHWA MR ABR ° Box 12-2 的 最 后 一 个 例子 是 二 样本 相关 傈 数 间 的 差 展 之 显著 性 检定 。 先 计算 此 差 丑 之 标准 机 差 ， ACER RHR RAK EAB o FERT BA (aR C Drosophila ) 的 族群 的 笨重 与 不 膀 长 要 间 的 相 天 例子 ， 测 验 千 果 发 现 两 族群 间 的 相关 傈 数 之 差 轩 站 不 显著 。 所 用 的 公式 可 通用 於 二 样本 中 较 小 的 一 个 样本 之 样本 大 小 大 蕉 25 的 情形 。 (ARR Box 12. 2 所 吾 的 例子 ， 甚 至 於 更 小 的 样本 大 小 也 常 探 用 过 个 公式 。 BOX 12-2 #e Ba Be iy Be HE Pace SABRC Tests of significance and confidence limits for correlation coefficients ) 。 测验 虚无 eHe 2 0=0NH1: 040 (Tests of the null hypothesis Ho: @=0 versus Hi: 040). RRR MDAKBEARVI , HAVANA AE ( df =n —2 ) 由 工 到 1000 的 r Zk Fe, MURR, CENGARAROHIAHE, WRIA 例如 ， 在 Box 12-1 我 们 发 现 体 重 与 触 重 疝 的 相关 是 0.8652, APS m = 12 的 一 个 样本 。 AR BERS IO, 5 % 显著 水 准 的 临界 值 是 0.576 ，1 % 显 著 水 准 HbA GZ 0.708 。 因 需 观 测 的 相关 大 於 过 两 个 莉 界 值 ， 所 以 我 们 在 已 < 0.01 HO 7K EA PER Hy 2 O=0. AVI 是 根据 下 述 之 检定 所 得 到 的 数值 ， 当 人 无 此 表 可 用 或 当 我 们 要 做 一 个 很 精确 的 检定 ， 或 是 我 们 的 自由 度 在 表 中 没有 列 出 上 时， 我 们 可 以 做 下 面 的 检 | 定 。 我 们 是 用 y 的 标准 机 差 来 做 上 检定 ( 自由 度 坑 2 一 2 ) DRE, 当 O =0 时 ， 第 十 二 章 相 fi 369 ose =V 01-4 FT m2) 因此 全 ee eg, hy Cad) ey Ce-2)7Gi-r* ) FA Box 12-1 的 数据 则 t, = 0.8652 /( 12—2) / ( 1 — 0.8652? ) = 0.8652 10 / 0. 3143 =0.8652 \/ 39.7725 = 0. 8652 (. 6.3065 ) = 5.4564 > t.oo1[10] 如 果 是 单 尾 检定 ， 则 5 % 和 与 1 % 显 著 检定 各 须 探 用 守 的 0.10 520.02 的 ” 值 。 如 果 对 立 假 设 是 囊 1: O> OKRA: 0O<0 而 不 是 豆 : :0 夭 0， 则 是 一 个 单 尾 检定 。 当 允 > 50 时 ,我 们 也 可 探 用 本 文 所 讨 郑 到 的 z BR, HRo,=1/ /n—3 ， 我 们 求 2 一 人 一 3 DAR — 3 Az 呈 常 态 分配， 而 且 我 们 探 用 母 数 标准 差 ， 所 以 我 们 将 所 得 到 的 ts eRe tao] 来 比较 ， 或 是 探 用 表 工 的 常态 曲线 面积 亦 可 。 例 如 如 果 五 百 焦 ( 和 = 500 ) 密 蜂 的 右 翅 和 左 杷 的 翅膀 长 度 间 的 相关 是 > 王 0.837 , 则 由 表 X ， 我 们 找到 z = 1. 2111 t, =1.2111 (497 = 26.997 当 我 们 查 表 下 的 常态 曲线 面积 表 时 ， RA 发 现 此 t。 值 具有 一 个 很 小 的 机 这 ( RE 一 人 WR MIE RRH: 0 =, MM .#0 (Test of the null hypothesis 370 ”生物 统计 学 导论 有 0o:0=0O , where 0, #0). RAR AAV MR bth tee RWRERRR, 我们 必须 探 用 z BR BE b They AF RS UR ERE Ho: 0 一 十 0.50 , HIRAM: OF +0.50 则 我 们 要 用 下 面 的 公式 : z=] an Tega PPD =(z-C)J/n-3 ApZzzRC SR Roz BRM, RRRMBH SHH t, ta [ee] ,来 比 较 ， REAAIAGA, HKRVKMBH r = 0. 837 时 z= 1.2111 O = 0.500 时 € = 0.5493 因此 t, = ( 1.2111— 0.5493) ( J 497 ) = 14.7538 Fy a BR HH AK TG BRAN te RBAP<10-° (SRAD ) 。 因 此 左 翅 与 右 翅 之 翅膀 长 度 间 的 母 数 相关 极 不 可 能 是 0.5。 (298 界限 ( Confidence limits ) 如 果 允 > 50 ， 我 们 可 用 z 构 换 来 定 > HeBAR, ROKR RRAr Bz ， 定 此 z 的 信 吾 界限 ， 然 后 将 此 界限 杰 换 回 .的 尺度 。 我 们 现在 定 秆 述 的 翅膀 长 度数 据 之 95%% 信 各 界限 如 下 : - 对 r 一 0.837， z=1.21ll, wu = 0.05 而 言 1. 05 [oo] 1. 960 Z1 = z 一 ta[c]v。= 2 一 一 -一 =1.2111 一 一 一 一 一 一 和 多 从 所 Se 本 二 22, 2953 = 1.2111 — 0.0879 = 1. 1232 t.o5 [co] 2 ; = 1.2111 + 0.0879 = 1. 2990 Mt Le =z+ MBE X Bis z HRB r 的 尺度 如 下 : Li~0.98 ML2= 0.862 第 十 二 章 相 86 371 上 面 二 个 数值 是 > = 0. 837 的 95 GE RB, BGR te BA A EH ( Test of the difference between two correla- tion coefficients ) 。 H tH BAR RMA WB BR 9301 =O2 MH1:01 F 02 QF: AAS wae ts = bez, 一 zs 是 呈 常 态 分 配 而 且 我 们 探 用 一 个 母 数 标准 差 ， 所 以 我 们 可 将 所得 到 之 如 值 和 ta[cc] 来 比较 或 是 直接 用 麦 I 的 常态 曲线 面积 亦 可 。 例如 : Sokoloff ( 1966 ) 发 现 果 量 〔( Drosophila pseudoobscura ) 的 体重 和 翅膀 长 度 问 的 相关 ， 在 大 峡谷 ( Grand Ganyon ) 的 一 个 样本 ( n; = 39 ) 是 0.552， 而 在 亚利桑那 州 ( Arizona )W Flagstaff 的 一 个 样本 ( ne = “20) 是 C.665 。 Grand Canyon: z,; =0.6213. Flagstaff : z2 = 0.8017 ，_ 0: 6213 — 0.8017 — 0.1804 — 0. 1804 2 ape . r J0.086601 + ~—=—-0.. 29428 lag Y7 =— 0.6130 BAO 阔 用 线性 搬 值 法 ， 我 们 发 现 姑 介 於 士 0.6130 WR 2 ( 0.22941 ) = | o.45882 ， 因 此 我 们 显然 没有 盖 据 来 扩 秦 虚无 假设 。 12.4 46 Bl a FE A C «Applications of correlation ) ARAM AHES WSEAS RHR, willie 个 程度 是 否 大 於 单 靠 机 逮 所 可 期 望 得 到 的 程度 。 如 果 相 关 徙 俱 定 ， 划 可 进一步 研究 亲 致 血 数 问 的 相关 之 扶 正 原因 。 我 们 要 强调 不 要 把 显著 WAAR RER RK, MARAE DATA“ 无 意义 相关 ” ( nonsense correlation), —{ARA 4A MWR SRAM IT 372 #ADKH BSS CLR ARE RO MHS AD SM RTOS A 数 间 的 正 相 需 。 每 一 个 相关 的 情形 都 必须 加 以 仔 翘 的 分 析 ， 有 的 相关 可 能 是 由 於 一 个 释 数 是 另 一 释 数 的 因 ( 部 分 或 全 部 之 因 ) ， 但 是 有 的 相关 则 是 因 需 两 个 又 数 同 时 受 某 一 原因 的 影响 或 由 於 更 复杂 的 情况 所 造成 。 而 显著 相关 的 确立 站 不 告诉 我 们 到 底 是 那 一 箱 可 能 性 所 造成 。 所 以 须 靠 进一步 的 分 析 研 究 才能 分 辨 那 一 个 模式 是 正确 的 。 真 实 的 相关 通常 被 相信 是 因果 的 坟 速 。 而 所 性 的 无 意义 相关 或 纪 影 的 相关 通常 找 不 出 关 到 的 原因 ， 即 使 可 以 找到 ， 可 能 也 是 因 贷 抽 样 步 怠 的 慰 差 所 尘 成 。 例 如 收 师 人数 和 酒 的 消耗 量 之 间 的 相关 其 实 是 由 城市 的 大 小 所 造成 。 城 市 司 天 ， 笋 师 的 人 数 平 均 起 来 就 已 多 ， 每 人 的 酒 的 消耗 量 也 伍 大 。 酒 的 平均 消耗 量 境 大 的 原因 水 不 是 由 於 牧 师 人数 的 增加 ， 而 是 由 於 城市 的 权 大 ， 所 发 现 的 相关 不 葵 是 对 研究 牧师 人 数 ”分 配 的 人 或 是 研究 酒精 洽 耗 量 的 人 来 说 都 没有 什么 意义 。 有 些 相关 是 由 於 共同 的 时 间 所 造成 ， 隐 时 间 而 改 释 的 各 逢 现象 很 可 能 就 有 相关 的 存在 ， 过 站 不 是 因 和 需 两 至 数 间 有 任何 生物 学 上 的 画 数 天 傈 ， 而 只 是 因 需 两 个 爸 数 都 是 随 著 时 间 的 改 坚 而 改 车 。 例 如 随 著 一 个 昆 患 族群 在 夏 季 的 增 大 ， 有 些 末 章 的 高 度 也 增高 ， 但 是 其 间 的 相关 可 能 只 是 因 依 时 间 的 改 妇 所 造成 。 此 植物 与 昆 吕 间 可 能 没有 生 驴 学 上 的 天 保 ; 故 雯 被 正确 的 叫做 无 意义 的 或 幻影 的 相关 可 能 巍 藤 是 探 用 适当 的 ， RAK), CHREHRTRET BAAS OHM. AM, MRK (PAE Bea aE 2 fa FOS WO 78 PE Se MAIR BR (LC atherosclerosis ) 的 程度 间 之 相关 不 显著 ， 则 我 们 可 以 把 它 当做 是 一 个 幻影 的 相关 。 而且 要 避 著 当 我 们 用 一 般 的 显著 水 淮 来 测 骏 相关 的 显 堵 性 上 时， 我们 容忍 了 某 种 程度 的 第 一 型 况 差 ， 也 就 是 有 某 一 百分比 的 相关 CRAREGS, ii HH EMO = 0。 MARCO RA CRA-BRRWER, RMA ZOE 第 十 二 章 相关 373 有 人 用 到 。 近 年 由 於 生物 学 的 全 究 逐 奖 释 人 坊 实 验 的 研究 ， 所 以 相关 的 应 用 稍 仿 减少。 在 实验 圳 通常 一 个 因素 是 受 人 的 控制 以 便 检 查 另 一 公 数 的 反 压 ， 因 此 比较 适宜 探 用 钨 坑 的 方法。 但 是 不 其 在 生物 学 或 其 他 科学 ， 仍然 有 些 问 题 不 能 用 实验 的 方法 来 解决 ， 因 倚 有 些 人 释 数 无 法 受 俩 究 者 的 控制 。 在 生 驴 学 、 系 和 统 学 、 演 化 葵 及 其 他 科学 都 有 很 多 问题 无 法 历 用 实验 的 方法 来 解决 。 例 如 气候 不 能 受 人 仿 的 控制 ， 而 演化 压 史 的 各 种 因素 也 无 法 彼 人 所 改 构 。 但 是 ， 就 像 生 物化 学 或 实验 胚胎 学 的 问题 一 样 ， 我 们 也 须要 了 解 吉 些 现象 的 科学 机 制 。 此 时 ， 相关 分 析 FY Be FG FA A Fs SB A 12:5 肯 德 等 级 相关 傈 数 (Kendall's coefficient of rank correlation ) A GRURSITEROR, GERAURES BRA MOR Stk. SLC -BHEERS BES BHA _， 然后 计算 一 个 等 级 相关 傈 数 。 过 逢 方法 是 第 十 章 所 言 葵 过 的 无 币 数 法 之 一 ， 在 第 十 章 我 们 庆 葵 过 用 来 代替 树 方 分 析 的 各 种 等 级 爸 值 之 分 析 方 法 。 有 时 我 们 无 法 用 一 个 粳 对 的 尺度 来 测量 一 个 释 炊 ， 而 只 能 控 用 等 级 的 尺度 。 过 箱 情 形 龙 其 适合 探 用 等 级 的 方法 。 壳 箱 数 据 只 顾及 相当 的 情形 ， 就 像 在 一 个 班级 中 分 名 欢 一 样 ， 我 们 可 以 脱 4 是 最 好 的 学 生 ， 万 是 第 二 好 的 学 生 ， C 与 刀 其 次 而 且 相 等 ， 等 等 。 对 一 群 学生 ， 两 位 老师 可 以 狂 立 的 给 予 名 次 ， 而 我 们 可 以 测验 此 二 粗 分 等 级 的 情 形 是否 有 相关 ， 如 果 两 位 老师 的 状 定 都 是 基 放 客观 的 整 据 ， 则 按 道 理 他 个 分 学 生 名 欢 的 倩 形 故 蔷 是 有 相关 的 。 以 下 是 在 生物 学 上 比较 有 意 义 的 例子 。 我 们 可 能 希 世 测 验 一 个 样本 的 昆 患 之 孵化 次 序 与 个 体 大 小 Zw, 或 是 分 析 一 个 样本 的 植物 之 发 芽 硕 序 与 天 花 顺 序 之 闫 的 i 374 生物 统计 学 导论 相关 。 址 传 学 家 可 能 预 估 他 所 育 出 的 一 系列 之 允 基 因 型 之 某 箱 性 状 的 等 级 顺序 ， 阔 想 分 析 他 的 预 估 之 等 航 顺 序 和 过 些 基 因 型 实际 表现 出 来 的 等 级 顺序 之 间 的 相关 与 否 。 一 个 分 类 学 家 可 能 把 % 个 生物 个 体 依照 他 们 和 蕊 的 相似 程度 加 以 排列 。 而 我 们 想 分 析 第 一 个 分 类 学 家 与 第 二 个 分 类 学 家 所 排 的 等 级 顺序 是 否 相 关 。 也 惑 是 可 以 分 析 二 个 分 类 学 家 之 分 类 和 判断 是 否 相 类 似 。 我 个 在 Box 12.3 列 出 衣 德 等 航 相 关 ARR (C Kendall's coefficient of rank correlation ) 之 计算 三 法 ， 此 傈 数 通 常用” Tt ” (RM au) 来 表示 ， 账 然 它 是 一 个 样本 统计 量 而 不 是 一 个 母 数 。 肯 德 等 级 相关 傈 数 之 公式 是 z=N / 2 (% 一 1 )， 式 中 之 就 是 样 本 大 小 ， 而 X 是 等 级 的 一 种 计数 ， 此 计数 可 用 数 逢 方法 求 得 。 如 果 第 — #8 OY, RY 之 间 有 完全 相关 ， 则 两 构 数 的 等 级 顺序 应 衣 完 2-H, HERRERA UAE, AIO, OM 的 等 级 顺 FREREMAA. TN CARRERE ROM ARE 。 此 值 最 大 可 至 2(〔( 妈 一 1 )》， 而 最 小 可 至 一 2 Cn-1), KPA 以 用 一 个 例子 脱 明 之 。 假 设 我 们 有 五 个 个 体 的 一 个 样本 ， 其 爸 数 中 与 Ys 的 等 航 之 排列 如 下: 本 BABY, AY 的 等 级 排列 背 不 完全 相符 合 。 Box 12 .3 中 所 用 的 之 求法 如 下 ， 先 计算 对 每 一 等 级 来 豚 比 它 高 的 等 级 的 数目 计 求 所 ACHR AMMA, HMAC EC.) 乘 以 4， 冰 将 所 得 的 结 果 沽 去 一 个 校正 因子 xz ( n—-1 )， 邹 得 到 和 统计 量 W。 AINA SBN Aa EK MBREC.=44+34+24+140=10, REHBN=4EC.— 第 十 二 章 相 天 375 n(Cn—1)=40—5(04)=20, MN REZRAIEN =n (n—-1)=20, BRBEARK 和 其 本 身 的 等 级 顺序 完全 相符 合 » ANY 而 言 ， 我 们 得 到 > C,= 4+2+2+0+0=8, AN =4(8)-5(4)=12， 由 於 Y 可 能 的 最 大 值 是 2 (n-1) =20 MB 12, POAT RARBEN / Cn —-1l) n= 4CECe—n(m—-1))/n(n—1)=12/20=06€8 Box 12+3 Fp aT a0 OF aT Baa ZAK 小 和 其 子 代 平 均 胸 节 长 度 的 相关 。 在 此 例 因 锅 有 关 干 攻 据 显示 吉 些 数据 是 呈 仇 峰 分 配 而 非常 能 分 配 ， 所 以 要 转 用 等 级 相关 ， 不 然 用 一 般 的 相关 分 析 即 可 。 样 本 大 小 大 於 10 的 z 之 显著 性 检定 可 以 探 用 Box 12.3 的 标准 机 差 来 测验 ， 如 果 样 本 大 小 小 於 10， 则 查 Box 12.3 末 了 的 六 之 临界 值 。 BOX12.3 肯 德 等 级 相关 傈 数 t( Kendall's coefficient uf rank correlation , t)« 计算 15 焦 蚜 患 干 母 的 体 长 (CY ) 及 其 孤 峻 生殖 的 子 代 的 平均 胸 节 长 度 (Z ; BRK] 四 焦 有 翅 蚜 患 的 测量 ) 之 问 的 等 级 相关 傈 数 ， 妈 三 15 对 的 观测 。 (1) (2) Re Y, 10.0 10 No of WD ‘it iki RR. Sokal 的 一 个 研究 376 ”生物 和 统计 学 导 葵 at aR L BUY BY SSSR, RRASR( WADLER HYTRPASHSR) 来 RAK ASH. tS RT EH (3)8R 5). FEB BY, 中 有 一 个 平分 ， 所 以 第 4 (gy M8 (i 589511 Se A — BH SRS i fig Rech 1 BRS nh SRRRADK SHA, RRB BRAD 等 级 值 写 在 其 旁 ( 如 下 表 所 示 ) 。 如 果 只 有 - GBRADD HRAKA 平分 的 一 个 杰 数 之 大 小 顺序 ( 就 像 本 例 之 情形 ) 。 如 果 两 个 楼 数 都 有 平分 ， 则 可 探 用 任 一 树 数 的 大 小 顺序 。 TRC, 的 总 和 之 求法 如 下 : 检查 不 依 大 小 顺序 排列 的 等 级 之 第 一 个 值 ， 以 此 例 来 设 ， 此 等 级 是 等 级 2 。 计 算 在 它 之 后 所 有 上 比 它 高 的 等 级 之 数目 。 以 此 例 来 说 ， 即 土 算 所 有 上 比 2 大 的 等 级 之 数目 。 在 2 之 后 的 14 个 等 级 之 中 除了 等 级 1 ZA, BEAK 2. HAC, 的 第 一 个 计数 C,= 13 。 其 次 我 们 看 下 一 个 等 级 ( 等 级 1. ) 而 发 现在 它 之 后 的 所 有 13 个 等 级 都 比 它 大 ， 因 此 Ce 也 等 於 13 。 但 是 因 坊 等 级 13 之 后 只 有 等 级 14 M15 HEX 所 以 Cs = 2, Mk-Ath, HBVRHS-SRARAEECZREKS 级 需 高 的 数目 。 过 通常 可 用 心算 来 做 ， 但 是 需 了 设 明 清 楚 起 见 ， 我 们 在 下 表 将 此 方法 清楚 的 列 出。 遇 到 在 分 的 情形 ， 计 算 考 。 例 如 对 C io 而 言 ， 比 第 一 个 等 级 6. 5 大 的 等 级 之 数目 是 4 考 。 OO 性 WN e | RR ESRR,LTRHEAH SR HR Cy 2 13, 5, 3, 4, 12, 9 10, 6.5, 6. 5, 8 14, 11, 15, 13 1 13, 5,3, 4, 12, 9, 10, 6.5, 6.5, 8 14, 11, 15, 13 13 14,15, 2 5 12,9, 10, 6.5, 6. 5, 8, 14, 11 15, 9 3 4,12,9, 10, 6.5, 6.5, 8 14, 11,15, 10 4 12,9310, 6.5, 6, 5 8 14, 11, 15, 9 12 14, 15, 2 9 10, 14, 11, 15, 4 10 14, 11,15, 3 6.5 (6.5),8 14, 11,15, 4 6.5 8) 14,11) 15, 4 8 14, 11, 15, 3 第 十 二 章 相 天 377 13. - «14° 15 1 oM- il 15 1 | 15 15 Pads aka bt 然 后 我 们 计算 底下 之 量 : N=45C,—n(n-1)=4(¢ B5)—-15 (14) - = 314-210 = 104 | 4 TMS RM RR (Cc) 之 求法 如 下 : N Teen) ST Ji atn—1)— ST, ) Abo, RT, Na) 三 0.910 。 a 第 十 二 章 “ 相 天 379 地 区 代号 io ie 1 0.631 0.140 2 644 139 3 612 .140 4 632 141 5 675 155 6 653 148 7 655 146 8 615 136 9 712 159 10 626 140 11 . 597 ， .9 12 . 625 144 13 . 657 147 14 .586 134 15 .574 134 16 551 127 17 .556 130 18 . 665 147 19 585 138 20 629 150 2 671 148 22 .703 451 23 662 142 ”12.2 FRR HEE Brower( 1959 ) #—#A#( swallowtail butterflies) 的 种 之 分 化 所 做 的 一 外 研究 。 形 态 上 的 测量 单位 是 毫米 江 才 。 380 生物 统计 学 半 论 Y Yi 种 样品 号 码 第 8 腹部 背 板 长 度 LHerRe Papilio 1 24.0 14.0 . 2 21.0 15.0 multicaudatus 3 20.0 17.5 4 21.5 16.5 5 21.5 16,0 6 25.5 16,0 7 25.5 17.5 8 28.5 16.5 9 23.5 15.0 10 22.0 15.5 11 22.5 17.5 12 20.5 19.0 13- 21.0 13.5 14 19.5 19.0 15 26.0 18.0 16 23.0 17.0 17 21.0 18.0 18 21.0 17.0 19 20.5 16.0 20 22.5 15.5 bet 21 20.0 11.5 Papilic 22 21.5 11.0 rutulus 23 18.5 10.0 24 20.0 11.0 25 19.0 11.0 26 02.5 11.0: 27 19.5 11.0 28 19.0 10.5 29 21.5 11.0 30 20.0 11.5 31 21.5 10.0 32 20.5 12.0 33 20.0 10.5 34 21.5 12.5 35 17.5 12.0 36 21. 0 12.5 37 21.0 11.5 38 21.0 12.0 39. 19.5 10.5 40 19.0 11.0 41 18.0 11.5 42 21.5 10.5 43 23.0 11.0 44 22.5 11.5 45 19.0 13.0 46 22.5 14.0 47 21.0 12.5 ~ 第 十 二 章 ， 相 关 381 对 每 一 种 类 各 别 计 算 相关 亿 数 站 做 显著 性 检定 。 兹 测验 两 相关 任 数 是 否 ABER, 12-3 AS SSR MARNE A 12-1 HOKGREANHRE RRS BA saz, | 12:4 FRAORREAT. J. Crovello 对 一 种 杨 树 ( Populus deltoides ) 的 一 个 未 发 表 之 形态 学 研究 。 由 每 一 棵 树 取 26 AHH, WERE 及 乾燥 后 各 测量 一 次 。 下 列 的 杰 数 是 新 鲜 时 的 叶 寅 ( 立 ) RRR (Y,). MAOHEEMAREX, HAr, LHRH SH, Y, Y, 90 88 88 87 55 52 100 95 86 83 90 88 82 77 78 75 115 109 100 95 110 105 84 78 76 71 100 97 110 105 95 90 99 98 104 100 92 92 80 82 110 106 105 97 101 98 95 91 80 76 PR at , wh. iia ior We Soa Mi a eS A Bo ' | 4 Vm oo 归 “ 4 *, . “a 全 ¥; > 4 f +o je DGG BARR Tc Se | 2 21:6 — pe dahua ony vi e 4 本 sabiotish tuluaoa ) MG i2 olieves 221.5 TA AMES AAG Of ROR ah ARS ee Pech? | cen cab es Lic weeoe | | | E a HBAS YW (Ni KR . 7). @ p mn. < oy Cee ee on ° att 19 60 oe Ue 这 a | } Se 21 8 af w@ JFLiBT ot a = 229 KBD FIBER, RANRAOET SBE Ae St ARBRE. ABHRS-HEMA, KEXKBWRBRE. 4N PKTRD RRR ESE, KIER, PINE — eet BKHARETMMREM, CBE, ae OT RH Ae kB EE ( He RROD BE TEM Ds E#O—-GAFE—BEARDM, AM — LRA BI + RAGS HL AR( 数目 ) 。 对 於 过 样 的 一 个 分 配 我 们 可 以 给 巴 一 个 假设， 就 是 它 是 从 一 个 各 和 粗 的 欢 数 估 全 部 欢 数 有 一 定 的 组 数 比 例 的 全 铀 抽样 而 得 。 我 们 须要 用 一 个 租 合 度 检定 来 测验 我 们 的 午 测 次 数 分 配 是 否 与 我 们 的 假设 之 期 望 次 数 分 本 相符 合 。 若 者 可 能 漂 记 得 在 第 四 章 与 第 五 章 我 们 寻 葵 二 项 分 配 、 卜 瓦 松 分 本 和 常态 次 数 分 配 384 生物 统计 学 导论 的 期 世 分 配 时 ， 我 们 须要 用 到 过 样 的 一 逢 检定 ， 当 时 我 们 还 优 法 测验 决定 一 个 观测 的 样本 分 配 是 否 与 一 个 理 葵 分 配 有 显著 差 丑 。 在 13.1 节 我 们 计 葵 天 合 度 的 基本 观念 ， 计 花 适 合 探 用 的 各 逢 显 著 性 检定 ， 以 及 此 等 检定 的 基本 原理 水 遵 出 此 等 检定 的 计算 公式 。 13 .2 和 节 襄 明 依照 单一 准 旭 来 分 类 的 数据 之 适合 度 的 计算 ， 此 数 据 可 呈 单 向 定量 欢 数 分 配 或 呈 单 向 属性 欢 数 分 配 。 此 逢 适合 度 检 定 往 用 於 很 多 惩 案 所 和 皆 知 的 次 数 分 配 ， 例 如 二 项 分 配 、 下 瓦 松 配 和 常态 分 配 ， 以 及 根据 某 些 科学 定律 之 期 整 分 配 ， 例 如 实际 观测 的 遗传 比例 全 EN RABKNZ BARRE, £13-3MRAN MEADAHADASERE, UBER 定 。 我 个 将 寻 葵 一 般 的 2 x 2 麦 之 检定 ， 在 此 种 检定 两 箱 分 类 准则 中 之 每 一 准 旭 各 分 仿 两 组 ， 所 以 得 到 一 个 四 格 的 麦 ， 我 们 也 将 言 花 具有 BERTI RNR X C 玫 之 检定 。 在 本 章 中 ， 我 们 全 部 探 用 G 级 计量 的 适合 度 检定 。 我 们 也 简单 的 提 到 卡 方 检定 ， 但 是 在 前 面 我 们 已 经 提 肖 G 统计 量 的 应 用 不 仅 比 既 在 理论 上 有 更 多 的 优点 ， 而 且 对 独立 性 检定 来 琢 应 用 G 统计 量 在 计算 上 th fifi BE. 13°] WS Rte exe ( Tests for Goodness of fit :introduction ) Ae AMT HRRREANERRZRRBAD IS SECERE ASLAM, MRR A (ai BRET PA 杂交 和 后代 间 的 杂 交 而 得 到 90 (Fs 杂交 后代， 其 中 80GBKFAM, 10 Ree H 。 而 此 遗传 学 家 根据 显 隐 性 的 假设 期 至 表现 型 成 3 ; 工 的 比例 。 但 是 当 我 们 计算 芙 正 的 比例 上 时， 我们 所 得 到 的 比例 是 80 / 10= 8 第 十 三 章 KKH 385 。 野 生 型 与 突 玻 型 的 期 整 值 各 任 分 = 0. 75 和 分 = 0. 25 。 我 们 用 。 A” (Gl caret; 在 统计 上 通常 蔚 做 ” ht ”) 来 表示 吉 些 是 二 项 比 例 的 假设 值 或 期 肇 值 。 但 是 两 租 的 观测 比例 各 和 坑 尹 = 0. 89 而 4 = 0. 11 。 另 一 逢 表示 方法 是 用 次 数 来 麦 示 ， 两 种 玫 现 型 的 观测 欢 数 是 80K 10, MEKRESBA= 2" =0.75 ( 90) =67.5 Rh: = Gn 三 0.25(90 )=22.5。 式 中 表示 杂交 子 代 的 样本 大 小 。 HSK AO MAERSK 90. 867.5+22.5=n=90, 显然 现在 的 问题 是 我 们 的 观测 样本 确 开 3 : II 的 假设 之 程度 是 否 太 大 ， 因 而 如 此 假设 不 可 能 成 立 。 换 句 莫 说 ， 观 测 数 据 和 期 鳌 值 间 是 否 差 殿 绚 大 因而 使 我 们 决定 扒 秦 虚无 假设 。 以 所 沧 的 例子 来 襄 ， 苦 者 ERASE HKD URARRERRMELERAR BREE 一 个 二 项 分 配 的 问题 ， 其 中 心 是 野生 型 的 机 率 ， 4 是 突 玫 型 的 机 这 。 WH=0.75, G=0.25 和 样本 的 2 = 90 个 子 代 我们 可 以 计算 得 到 80 个 野生 型 和 10 PRBHURE RM’ 的 情形 之 机 率 。 我 人 在 此 用 ( 妈 十 分 )” 来 表示 ， 即 在 一 般 的 二 项 式 中 之 旋 与 9 PERE pH GK, An RKSK, EA 4 章 我 们 提 肖 一 个 次 数 分 配 的 所 有 次 数 的 纺 和 可 用 交 来 表示 。 在 此 例 我 们 只 有 一 个 样本 ， 所 以 在 二 顶 式 所 用 的 &， 在 过 壬 也 就 是 2 ， 过 箱 问 题 在 表 4.3 和 4. 2 节 中 已 烃 学 Ake wAT, KABZHAOI ARMED RRBA, KIRK HK SS, BPA) biG SURE BA ee RE oh EA RABE 0. 00085. 22—f-BRE. HWRREPANSRLRABREMMSOR 多 。 如 果 尹 = 0.75 而 公 = 0. 25 是 正确 的 话 ， 则 我 们 所 得 到 的 样本 是 一 个 非常 不 寻常 的 样本 。 因 此 我 们 的 烙 葵 是 观测 比例 与 期 世 比 例 间 BRSER, 另 一 种 原理 相同 但 比 玩 省 时 的 作法 是 像 10 .3 GHEARRE— 386 AVMs SRR PUVA ALS ARR, ARK, DREMR— 样本 的 n = 90 ， 而 且 其 中 的 一 个 观测 比率 是 89 %%， 则 野生 型 的 莫 TS 分 比 之 99 %% 信 是 界限 大 狗 是 78 96. BR P=0.75% (BE LH 99 GRRE. ACLBRANRS—oOHK LLN-ABRERE. H13- LHVKARAMMESBERE. Kh IMR ROR KGS. HOLREWRS BAOMEAR, HWLRBE3 : 10 A, RMR ASABE A= 人 =0.75 ( 90 ) =67.5 及 六 三 0025( 90 )=.22.5. 我 们 如 何 能 兔 计算 A Et A (LO BN eS (OH 鸥 欢 数 之 间 的 差 殿 程度 呢 ? 下 壕 的 统计 量 很 容易 了 解 ， 而 且 精 构 可 用 直 晕 体会 出 其 意义 。 我 们 首先 计算 SF, CURR AOR #, RABREAEZWRASHS, RRB ROK ZY MASHER. AKRAM EMT RR, BRB 稳 对 值 永 束 相 等， 但 正 负 号 相反 。 按 照 以 前 我 们 把 所 有 底 差 平方 起 来 使 它 至 坑 正 值 的 方法 ,我 们 在 椭 (4) 求 ( / -- 广 ) 的 平方 ， 用 来 当做 赚 开 期 世 程 度 的 大 小 之 一 逢 量 。 汉 个 量 必须 被 表示 成 期 蕊 欢 数 的 一 个 比 Ol, ARMS ABE 13.0. BU12.5 的 一 个 雄 差 是 一 个 非常 大 WEE, SRESN100 % ARRAN HES, RMS KR 125.0, WREMEXRH10 % ALRAEHWO), KRORL KOE A— aK, KABRAM ASR, A Bey ERR A, FG BM AT BY METS BE EM OHO B Ria Ze AMS F9.259 之 值 。 我 们 巍 蔷 听 此 新 的 统计 量 什么 名 字 ? 在 过 理 我 们 有 一 些 命名 上 的 问题 ， 若 者 可 能 早已 看 出 过 是 所 谓 的 ” 卡 方 检定 ”( chi — suaye 第 十 三 章 AMAR 387 test ); 通常 在 遗传 学 虱 程 之 开始 就 提 到 。 过 个 检定 的 名 字 已 烃 补 探 用 了 很 久 ， 因 此 要 改 球 它 似乎 是 不 合 实际 ， 但 是 事实 上 ， 刚 刚 计算 HARES) LRA, AAR? x° 是 一 个 连 炉 的 理 葵 次 数 分 配 ， 而 我 们 所 得 到 之 量 9. 259 是 分 立 欢 数 的 一 个 样本 入 计量。 只 要 我 们 看 看 其 他 可 能 的 情形 就 可 以 了 解 过 一 点 。 例 如 我 们 可 能 得 到 雳 个 突 池 型 和 90 个 野生 型 的 个 体 ( 假 怕 子 代 的 纺 数 目 仍然 是 2 = 90 )， 或 是 我 们 可 能 得 到 I 、2 、 RNS RMN ME. URBAN TH 之 数目 便 是 89、 88、 87 或 更 少 了 。 观 测 欢 数 的 改 慑 是 整数 的 增 诚 ， 而 且 因 和 坑 期 整 欢 数 保持 一 个 常数 ， 所 以 显然 其 巴 差 、 欢 差 之 平方 以 及 所 得 到 的 商 数 泪 不 是 回炉 受 数 ， 只 能 是 某 些 固定 的 值 。 过 种 检定 被 称 坑 卡 方 检定 之 原因 以 及 依 什 么 很 多 人 称 栏 (5) 之 态 和 的 统计 量 需 卡 方 之 原因 是 因 您 过 个 煽 和 的 样本 分 配 接近 自由 度 坑 1 的 卡 方 分 配 。 当 我 们 考虑 两 组 的 欢 数 而 其 德 和 是 80 + 10 = 90 时 ， 我 ”个 就 可 以 了 解 坊 什么 自由 度 是 一 个 理由 了 。 因 坑 在 过 样 的 一 个 例子 各 数 是 固定 的 , 如 果 我 们 改 琶 其 中 任 一 粗 的 欢 数 ， 则 另 一 相 也 会 随 著 改 酸 ”才能 保持 正确 的 各 和 。 如 果 第 一 粗 的 次 数 是 75 ， 则 第 二 和 粗 之 次 数 必 EE 15 THEME 90 。 因 此 只 有 一 组 可 以 自由 的 改 车 ， 另 一 租 旭 受 常数 德 和 的 限 制 。 由 此 我 们 可 以 明显 的 看 出 自由 度 坑 一 的 意义 ， 就 是 只 有 一 个 值 可 以 自由 的 改 车 。 另外 的 值 则 不 可 以 。 但 是 由 於 此 样本 梳 奸 量 普 不 是 一 个 卡 方 ， 因 此 我 们 根据 逐渐 被 普 表 探 用 的 方法 用 2 来 表示 此 样本 和 统计 量 而 不 用 xz。 将 麦 13 . I AVX? =9. 259 之 (ARAM PCF KR, RABE LIES BS ( p < 0.005 )o KFREAME-ERE, ABBE HLE, DHLERA WM ERASE ZK, WLU O, BRR : 1 的 假设 ， 千 葵 是 野生 型 的 比例 大 於 0. 7 5 。 因 此 过 位 遭 传 学 家 必须 进 一 388 ”生物 统计 学 导论 ER Fe Wie Be SAS BI weal fT ZL. 表 13 .1 适合 度 卡 方 检定 之 步 受 ,一 个 遗传 杂交 实验 之 观测 与 期 望 次 数 。 假设 子 代 的 表现 型 之 比例 是 3 +: 1» 7 (1) (2) (3) (4) (5) 支 现 型 观测 期 户 BE iy tt HZ 过 次 数 KM Ze Bp F (f-f)? f f fap ee (ye 党 野生 型 80 pn = 67.5 12.5 156.25 2.315 es Bi 10 qn=22.5 —12.5 156.25 6.944 * 和 90 90.0 0 X?=9,259 ARE DT MESA MAMA. Box 13-181 部 分 所 举 的 例子 是 一 个 很 复杂 的 遗传 杂交 实验 ， 其 期 整 比 例 是 18:6 © :6:2:12:4:12:4 。 表 的 列 法 和 以 前 相同 ， 期 世 欢 数 的 计算 方法 是 疡 = 分 2 ， 分 ,的 值 是 8 个 ( e 个 ) AZMERA. HMA SAH UZ RAW MASH 1, ， 所 以 显然 马公 , = 1 。 此 例 的 2 值 是 命 = -人 ， 多 = 已 - ， 等 等 。 然 从 我 们 计算 几 开 期 蔚 的 账 差 ， 平 广 之 ， 痊 除 以 期 世 欢 数 。 即 依照 以 下 公式 计算 之 : Cfi—fi >? ( 13-1) :'< eee F GEKARHARKAM, ABRTAMARHSRE FIZ 第 十 三 章 ”次数 分 析 389 除 以 期 鳌 获 数 。 下 式 是 X2: 的 比较 简单 的 计算 公式 ， 附 竹 4 1 .10 广 明 此 式 可 容易 的 遵 自 ( 13.1 ) HK 2 xX? 一 人 -一 一 —n ( 13-29 zs f Zz HADASSAH AHF ARDRMESKAM GH BC Al, WAL MZeMAMBA MAKE CA xn 。 Hees ERE KATA? MREAZARR KeSUME ANC hEABS eH DH, WK 个 须要 知道 在 过 个 例 子 有 多 少 个 自由 度 , 才能 将 所 得 到 之 X 黄 适当 的 x ?分 配 来 比较 。 以 此 例 来 如 纺 共有 八 组 ， 其 中 的 任何 七 个 租 可 以 自由 的 改天 ， 但 是 剩 下 的 一 个 租 必 须 等 於 全 部 的 纺 和 与 其 他 七 组 之 纺 和 之 疝 的 差 。 因 此 在 一 个 八 租 的 情形 ， 我 们 有 七 个 自由 度 ， 通 常 当 我 们 有 4& 组 时 ， 则 有 4 一 ff 自由 度 。 Box 13 .1I 的 第 一 部 分 之 例子 巍 用 ( 13-2 ) 式 可 以 得 到 和 = 9.4909, AEA *?.or7] = 14.067. ARM ARR RAY 比例 之 疝 ICR RAE ANT BZ BOX 13-1 | BAe he, MSMMABIAMEKA REAR RM ER, L KRABe>2 He 3 在 四 季 豆 ( phaseolus vulgaris ) 的 两 个 品种 间 之 一 个 遗传 杂交 实 获 ， Smith (1939 ) @Bl FAZER: z A 型 观 测 次 & 期 2k 数 (a=8 )- f y 2 紫色 / REE 63 67.8 A / 褐 黄色 31 22.6 红色 / BEA .28 22.6 和 红色 / BRA 12 7.9 390 ”生物 统计 学 导论 紫色 39 45.2 牛 血红 色 16 15.1 BRA 40 45,2 褐 黄色 12 15,1 @ Ht 241 241.1 BARBS 是 根据 18:6:6:2:12:4:12:4 的 期 望 比例 计算 而 得 。 Ain . Fi = Pin = (4) x 241 = 67. 8, 如 果 方 。 已 经 计算 出 来 ， 旭 应 用 ( 13.4 a ) 式 ， 如 果 只 知道 加。 而 没有 计算 f, URAC 13.5 ) 式 。 因 需 在 上 面 四 季 豆 的 例子 ， 我 们 已 经 让 算出 \,, 所 以 我 们 探 用 ( 13.4 a ) 式 : 让 Inf, — 2130259 S58 log fi fe FZ XI 我 们 得 到 a = Lhe In ;=63 1z63 十 …… 十 12 Im 12= 261.017 十 …… + 29: 819 = 855. 206 应 用 一 个 对 数 表 ， 我 们 可 以 计算 ES, log fy =63 log 67,8 +--+12 log 15.1 = 63.C 1, 83123 ) +--+ 12 ( 1. 17 eee = 369. 5282 因此 C 的 计算 如 下 G=2[Z2A， inf, — 2.30259 LS, log fi) =2C 855. 206 — 2.30259 ( 369.5282 )] =2C 4.334) = 8.668 APS RPA RB G= 8.668 < «7.95 [7] =14.067 ， 我 全 可 以 她 坊 所 得 到 的 数据 与 其 虚无 假设 相符 。 2 KDR a = 2 个 组 之 特殊 情形 FER MH Fe 之 一 个 杂交 实验 壬 继 共 得 到 176 焦 林 交 和 后 代 ，- 其 h 有 130 © 234 MSRM, 46 焦 是 ebony” RBM, RRR BBM — Fi A HOR HE OEM, A aH 3 BAAR 1 Fea A A 第 十 三 章 ”次 数 分 析 392 比例 。 Bn)RAW 200 时 ， 必 须 用 连续 校正 。 探 用 第 1 部 份 所 描述 的 计算 ， 但 是 如 果 要 做 此 种 校正 ， 则 必须 用 修正 F ， 而 不 用 本 来 的 fs (CBA 正文 ) 。 我 们 现在 对 :上 述 果 曙 数 据 做 CG 检定。 176 FAR XII BIE ERB S Br. In f¢ =130. 5 im 130.5 + 45.5 In 45.5 = 635.714 + 173.706 = 809. 420 应 用 一 个 对 数 表 Bs, log fi =130.5 log 132.0 + 45.5 log 44.0 130.9 ( 2. avo) + 45.5 1. 64340 '9 = 351.5114 Da =2C 809.420 — 2.30259 ( 351.5114 ) 1] = 0.0668 Be? .o5(1] KR, RABRKG LKR, TERA ASW BAER RERRRA. Me ATH CRE ( G—test ), E AUPE RR AT AS BE RA BUR, ARH 13-1 A Box 13-1 WHRARE RASA BONS eee SH Dk RAVHMSEXKHER R-—BVENRR ( extrinsic hypothesis) 而 得 ， 此 假设 与 样本 数据 的 大 小 无 天 。 相 反 的 ， 导 我们 考虑 Box 4-1 在 一 个 血球 计数 器 中 的 酵母 菌 租 胞 的 期 获 上 瓦 松 次 数 。 我 们 还 记得 坑 了 计算 过 些 次 数 ， 我 们 须要 包 值 ， 而 Ap 值 是 探 用 样本 下 BAY 的 值 。 因 此 ， 诗 算 此 卜 瓦 松 分 配 所 用 的 母 数 是 来 自 样本 观测 ， 所 以 此 例 的 期 世 卜 瓦 松 次 数 是 根据 一 个 内 在 的 假设 ( intrinsic hypothesis) 8. ZB, BI RUMAH RE( KEM) 的 正确 自由 度 ， 我 们 必须 由 和 粗 数 co HERE HE, TeBRAR 用 估计 的 平均 数 而 减 去 另外 一 个 自由 度 。 因 此 在 我 们 所 奉 的 例子 所 得 396 ”生物 统计 学 导论 到 之 样本 统计 量 G BRA HEB e 一 2 的 卡 方 分 配 来 比较 。 BUPA Box 4.1 HOP FS ABE G 检定 时 ( AR Box 13 . 工 内 的 那 一 个 公式 ， 只 要 计算 起 来 比较 方便 即 可 ) 我 们 得 到 CG = 7.529， 吉 个 计算 与 Box 13.1 的 第 一 部 分 有 两 点 不 同 。 根 据 一 般 的 He, RACHRMEANA DH 5 的 情形 。 因 此 在 分 配 的 上 尾 的 租 之 疡 太 小 。 就 像 Bor 4.1 所 示 ， 我 们 把 连续 的 交 租 之 次 数 加 起 来 。 里 然 ， 相 对 的 观测 次 数 也 一 样 要 加 起 来 。 租 数 e 是 加 过 后 所 剩 下 的 粗 之 数目 。 以 本 例 而 言 < = 6 另 一 点 不 同 的 地 方 ， 我 们 已 经 在 前 面 计 葵 过 ， 就 是 显著 性 检定 的 HHERA, RRRARER EM ( UKAKRn = 400 ) ， 所 以 我 们 要 沽 去 一 个 自由 度 。 但 是 除 此 之 外 ， 对 每 一 个 由 样本 分 配 估计 而 来 的 母 数 ， 我 们 都 须要 沽 去 另 一 个 自由 度 。 在 此 例 ,我 AHH ERR 本 的 估计 ， 因 此 要 由 e 沽 去 另外 一 个 自由 度 ， 此 自由 度数 目 成 需 & 一 2=6 一 2=4。 上 比较 G 的 样本 值 G = 7. 529 MAHER 4H x? 之 EFM, RABAELTES. ARAL ROM HMM FS Be A BE RAD ho —PkRARMEABORMOMSE G REREAD UAE bE QSL, MATAR, —AMKEOR. AR-WEROBEK Mis DRAB Ee Ro AR. MUA eee 一 35 二 项 分 配 只 有 一 个 母 数 全 须要 估计 ; 所 以 自由 度 通常 是 一 2。 13.3 ”独立 性 检定 BoA, ( Tests of independence : Two - way tables ) FE 4-1 MRAM i Fl Pst ABI te, FERRET RAGE BM — (AB AS A Wo 7 BU (aA DG AE RS eS KE PY 18 第 十 三 章 次数 分 析 397 HBR SIR, HME ES AEH EK MR EK SALE BER, EXNAMRWRERY, GSB BAM E KOZRRER XH, 如果 此 二 性 状 之 发 生 在 统计 上 是 狼 立 的 io 对 二 样 的 遗传 问题 之 适当 和 统计 检定 是 测验 观测 次 数 和 期 世 比 率 入 2 ( 秆 色 不 凹陷 ) : 2 不 是 炸 色 也 不 四 陷 ) : 1〈 和 未 色 且 四 陷 ) : | (ARAL BEAM) 的 期 鳌 欢 数 之 间 的 符合 程度 。 过 一 检定 同时 测 蚂 两 个 虚无 候 设 ， 就 是 测验 呈 和 红色 和 四 陷 的 期 整 比例 各 依 录 及 芍 ， 而 且 测验 过 两 个 比例 的 独立 性 。 第 一 个 虚 乱 假设 测 台 孟 德尔 模式 ， 第 二 个 虚无 假 珊 测 骏 过 两 个 性 状 是 否 狂 立 配合 ， 也 就 是 测 蚂 决定 过 两 个 性 状 的 基因 是 否 位 在 不 同 的 连 镇 租 上 。 如 果 第 二 个 假设 遵 按 素 ， 旭 显 示 过 二 个 性 状 是 过 在 一 起 ， 有 可 能 是 因 您 决定 过 二 个 性 状 的 基因 位 在 相同 的 染色 体 上 。 在 生物 学 上 有 很 多 例子 ， 在 这些 例子 中 有 关 二 个 性 状 的 独立 性 之 第 二 个 假 设 才 是 最 重要 的 ， 而 有 天 一 个 或 二 个 性 状 的 里 正 比例 的 第 一 个 假设 旭 没 有 太 大 意义 。 事 实 上 在 很 多 例子 研究 者 常常 无 法 提出 有 天 母 数值 灵 的 假设 。 我 们 现在 提出 各 逢 情形 的 一 些 例子 ， 过 些 例子 都 要 用 到 本 和 节 所 千 葵 的 独立 性 检定 。 我 们 用 过 个 检定 来 测 骏 二 个 不 同性 状 或 性 质 ( SERRE RT SOR) EASE. WME MMRDA RETA MAGIK RERBeM, SKM 类 可 能 有 50 PE RRKAISALR ROHR. CHEM BRK GROOM A. MBA RRO HLL CURA NA. LOB 两 个 性 状 或 性 质 是 颜色 和 公 存 这 。 我 们 可 以 把 我 个 的 样品 分 成 四 个 租 ; DUEREH, BARES, MORES, ABGRES. WRK HNREARH BOSE BUM, WE MAOMEZAMZHRE 398 生物 和 统计 学 导论 RABE HE ( HOS BY ) 和 整个 样本 被 捕 的 纺 比 例 的 乘积 。 如 果 下 述 的 钢 立 性 检定 显示 二 种 性 状 阔 不 独立 ， 旭 我 们 的 糙 葵 是 二 种 顶 色 状 态 之 一 比 另 一 逢 茵 色 状 态 更 易 潮 篇 类 的 捕食 。 过 是 生物 学 上 的 一 个 重要 的 研究 问题 ; 而 二 个 性 状 的 趴 正 比例 则 不 太 重 要 。 闫 色 钛 态 的 比例 是 由 实验 者 所 决定 ， 而 融 存 率 的 计算 主要 是 需 了 测验 二 逢 颜色 钛 LWRFREBRER, 第 二 个 例子 是 有 天 植 物 生态 学 家 的 抽样 实验 ， 一 个 生态 学 家 由 一 个 40 0 平方 哩 的 面积 抽取 一 逢 稀有 树种 之 100 个 个 体 的 一 个 随机 样本 o Wi — HELE BRE cate (Cito eA Le I RK HWLTEAEADOE. Altn = 100 SSH RATUROB OR, SRR EAE. HOE, JEM AE, JRO o WR EAE OG OA A TE ROS HNO, Ase 二 GERNOT RRR Re: 反之 如 果 在 二 种 土壤 中 有 毛 的 比例 不 同 ， 则 我 们 的 统计 检定 之 烙 果 很 可 能 拉 秦 独立 ENO HEE RR, SSF MEK DWE Se EER A 例 之 乘积 ， 即 蛇 敬 石 对 非 蛇 敬 石 和 有 毛 对 光滑 的 性 状 。 在 此 例 ， 比 例 的 大 小 可 能 也 是 研究 者 所 想 了 解 的 问题 。 下 面 我 们 要 仔 儿 言论 的 例子 是 一 个 絮 疫 学 的 例子 ， 111 SSR 一 个 样本 被 分 依 两 和 组， 其 中 57 焦 接受 一 个 病原 翘 菌 的 标准 剂量 然后 接受 抗体 血清 的 注射 ， 另 外 一 个 对 照 粗 的 54 CER RES MTA ESM ONE, MERA 38 BERK, 73 ER Be, KCHCAPA 13 CERAM ALE MES, WAY 25 CERESMROEN, MEMONBE, pe MtZoneR APOE, AM REAR AR AK, AA OIF ( RAO Bie) — BR, LO RO PAYER JRE Oth ee BT ADT 第 十 三 章 ”次 数 分 析 399 AUTH eo 3S BRAY BEES BI CA PF HOSE eA ( two -way table ). & PS ye 多 於 两 个 性 状 ) BRB RIGA ( contingency icb1es ) 。 像 此 例 的 人 艇 向 表 其 中 每 个 性 状 都 分 仿 两 租 ， 则 称 仿 2 x 2 2 tables )e 死 亡 生存 此 儿 菌 与 抗体 血清 13 44 57 Rew 25 29 54 24 Re 73 111 由 麦 中 我 们 可 以 看 出 接受 粗 菌 和 抗体 血清 的 注射 之 老鼠 中 ， 有 13 € 死 掉 ， 而 浪 降 入 和 旭 列 出 任何 一 个 性 质 的 老鼠 之 德 数目 ， 例 如 有 57 焦 老 鼠 接 受 绷 菌 与 抗体 血清 的 注射 ; 有 7 3 焦 老 鼠 在 此 实 骏 之 后 仍然 At, MHA 111 焦 老 鼠 接 受 此 种 实验 。 计 葵 此 逢 玫 时 最 好 把 玫 中 的 每 一 格 以 及 横 列 和 栏 的 纺 和 都 以 符号 表示 如 下 : a b a+b C d c+d at+c b+d n 由 一 个 双向 麦 ， 我 个 可 以 根据 独立 性 的 虚无 假设 有 系统 的 计算 各 -个 期 整 坎 数 ， VRB, Old 格 ( RES HAD 然 生存 的 情形 ) HOI KOE 400 生物 纺 计 学 导论 ae 一 np bact-asv 一 my ee Xx Bae =n (- DK ) c+d b+d | n n =(c+d)Cb+d)/n 在 此 例 就 是 (54 ) (73) / 111 = 35.5, HA EB 29 坑 高 ， 我 们 可 以 同样 的 计算 表 中 的 每 一 格 之 期 望 获 数 ， 即 横 列 的 和 粮 和 乘 mA MAD, AGS AT HF ER DAS BAY REA C compute the expected frequencies for each cell in the table by multiplying a row total times a column total,and dividing the product by the grand total. ) SjZRHRT RIE -BEAAA: 死亡 生存 > 彻 菌 与 抗 硒 血清 19.5 37.5 57.0 Pry 18.5 35.5 54.0 2 38.0 73.0 111.0 LA BRLAOS OAR SORA BOARWRA, BEA ASWEAWEHEAMANREO MARTE. AiR HERR RE C7 AE BE HER SEI AERO RTE, RRR — 个 性 状 间 是 否 各 自 独 立 。 一 个 2 x 2 麦 的 适当 和 统计 检定 须 秽 其 模式 而 定 。 统 计 文 献 对 过 个 ， 问题 的 寻 葵 相当 混 食 ， 我 们 在 过 守 不 想 仔 秋 计 葵 列 联 表 的 三 箱 模 式 间 的 区 分 。 以 下 所 提 到 的 G 检定 不 葵 对 从 那 一 逢 模式 ， 只 要 样本 大 小 是 中 等 的 或 是 大 的 ， 至 少 可 以 提供 接近 正确 的 烙 果 。 我 们 也 可 以 用 人 13. 2 ) 式 来 做 砚 测 与 期 忒 欢 数 的 雕 差 之 卡 方 检定 。 过 样 做 如 将 期 肇 第 十 三 章 “” 次数 分 析 401 OEE AO, ATG SIX? = 6.767, BMAX? 值 必须 AR HEA x? 来 比较 。 我 们 将 在 本 节 的 末了 言论 自由 度 任 什么 是 一 的 理由 。 得 到 像 过 些 数据 过 样 * 差 ”或 更 " 灶 ”的 机 率 是 0.005 < 六 <0. 01 。 因 此 我 们 的 千 葵 是 ， 过 些 老鼠 的 启 存 率 和 抗体 血清 的 存在 与 否 冰 不 独立 。 我 们 发 现 接受 灶 菌 和 抗体 血清 的 动物 之 致死 率 百 分 比 是 (13)〈 100) 57 =22.8% KEPLER ES MEH 的 老鼠 之 致死 率 (25 ) (100 ) /54 = 46.3%)84, MAEM 清 可 以 降低 致死 率 。 ”在 Box 13 .2 我 们 对 植物 生 驴 学 的 抽样 实验 做 G 检定 ， 此 权 长 在 两 逢 不 同 的 土壤 水 具有 两 箱 不 同 的 革 子 。 因 您 样本 大 小 较 小 ( 2 < 200 ) ， 所 以 我 们 做 “ 连 炉 校正 , tea MARR BIE BE ( Yates’ Correction _ ) ， 其 作法 列 於 玫 中 。 分 析 的 千 果 明 显 的 显示 我 们 不 能 PR MAM Bt LERAR, HEWRT 2 BAM BREA Bin ay LE BOX 13-2 2X 2 独立 性 检定 一 个 植物 生态 学 家 从 一 块 400 平方 哩 的 面积 的 地 上 抽取 一 种 稀有 树种 的 100 棵 树 之 样本 。 对 每 棵 树 他 记录 设 树 是否 长 在 蛇 教 石 用 化 而 成 之 土壤 , War Ris RF AA ERIC 。 +R At 光滑 he at 3 7 12 22 34 FEHE RG 16 50 66 ie Bt 28 72 100 =n KRE—-BRRERHRUF : 402 HDRES iw 之 a b a+b C d ec+d Late b+d atb+c+d=n 如 果 a da 一 ERR CEN Ci 12X90) > Se 248) , Al a Rd BRE gum) Me sink Ds mRa d— 6 ec 是 负 值 Al tad smb, ees 。 于 十 了 六 村 正 。 党 4n >>200 时 ,不 撩 做 过 种 校正 。 核 正人 后 的 新 的 2 X aint. +m in Ae tt it 1 1 HERLA id 7 22 2 34 1 1 | 一 一 66 FEE RA ) | 16 3 49 2 #8 at 28 72 100 应 用 表 XI 与 XII 计算 下 面 的 量 。 L “ 格 次 数 的 忆 F nf ee 工 + 22 工 tiigt 工 149 工 i = 11> In 115+ 22> In 2254165 In 165+ 49> In 49> = 28.087 + 70.054 + 46,255 + 193.148 = 337.544 2 BARBY f inf = 34 In 34+ 66 In 66 + 28 In 28+ 72 In 72 = 119. 896 + 276.517 + 93, 302 + 307.920 = 797. 635 3 #7 Inn=100 In 100 = 460.517 4 Geey 一 2[ 量 1 一 量 2 十 量 3 | = 2 C 337.544 一 797.635 + 460.517 ] = 2 C 0.426) = 0.852 Gea 与 自由 度 需 一 的 x2 之 临界 值 夹 比较 。 由 於 我 们 的 观测 Goay H ostx] 一 3.841 小 很 多 ,因此 我 们 接受 应 乱 俱 发， 也 就 是 全 型 届 议 档 所 和 Fz A) = 198 A EBA 。 第 十 三 章 “ 次数 分 析 403 独立 性 检定 不 是 只 限 於 2 X 2 表 。 在 本 节 所 寻 葵 的 双向 情形 ， 我 们 只 考虑 二 种 性 状 ， 但 是 每 一 性 状 可 以 分 需 任 何 数 目的 租 。 例 如 某 箱 生物 可 能 有 四 逢 颜色 粗 而 由 三 箱 地 区 取样 ， 就 成 垮 4 X 3 独立 性 检定 。 过 一 检定 是 测验 泪 降 粮 和 所 表示 的 颜色 比例 是 否 与 个 体 被 抽样 的 地 区 无 天。 过 种 检定 常 被 夭 袁 R x C 独立 性 检定 ( 尽 XC tests of in dependence ), RACK BAMRAWMAMH MR. Box 13.3 中 Ei Gl, He Gl Eee LB HY 0 NP a tiger beetle ) 的 样本 所 发现 的 鲜红 颜色 的 个 体 数 。 我 们 想 知道 鲜红 的 合体 的 百分比 是 否 随 着 观测 时 间 的 不 同 而 有 显著 的 改 否 。 我 们 要 测 验 鲜 红色 的 甲 感 之 比例 ( 估 整 个 研究 中 的 55 . 7 % ) 是 否 与 探 集 的 时 FAA | 就 女 Bor 13-3 所 显示 ， 以 下 是 独立 性 3 PERE BR G= 2[5 ( 格 欢 数 的 2 / Inf) 一 ( PALMAR MAD Sfinf)tninn) 4 (ESA A] DAH XI 。 在 Box 13-3 HANWMAKRRAASARKE PASAY Sia, EMS ARHD MM eR. Box 13: 3 的 量 fis RRERHOS i MARA 7 MOB HK Box 13 +3 WAAR BARA AY BA Pe BO AL £3 A SK REKSH OCHS, KRMBRES A OB RL we 0) HK 5, BRASS At or Pl ON. 独立 性 检定 的 自由 度 ( degrees of freedom for tests of independence ) HFA ( 13-2 ) 节 的 一 般 原 则 来 计算 。 表 中 共 有 到 格 ， 但 是 对 每 一 个 由 数据 估计 而 来 的 独立 母 数 必 须 沽 去 一 个 自由 =, BRAK BRAK) 1 是 固定 的 机 这 ， 所 以 也 必须 诚 去 一 个 自由 度 。 我 们 也 估计 了 < 一 1 个 横 列 的 机 这 与 一 [个 栏 的 机 率 404 生物 统计 学 导论 (2 与 5 各 玫 示 玫 中 的 列 与 栏 之 数目 ) 。 因 此 ， 过 种 窗 定 的 角 由 度 是 k-Ca@-—-1)—-C6-1)—-l=hk-a—-b4+1, PEHKRR= 2 X0， 因 此 此 式 可 写成 CCX0 )—-a-b+b=(Ca-1)xC 0 一 上 ) ， 过 是 独立 性 侯 向 检定 的 自由 度 之 一 般 拧 用 的 计算 公式 。 例 如 Box 13.3 的 例子 (4X 2 的 情形 ) 的 自由 度 是 (4 一 1L)X(2 —1)=3. BR2x 2HHVAIMARAC 2-1)xC 2-1): -三 工 个 自由 度 。 ; BOX 13-3 RX C 的 独立 性 检定 ， 探 用 G 检 定 。 在 各 不 同 季节 时 间 所 发 现 的 一 种 甲 患 ( Cicindela fulgida ) 之 颜色 型 式 之 数 。 | | = fh Aemt(a=2) mt Ghee # Ch=4) e © | $e | A. # 29 - 11 40 72.5 Ge # 273 191 464 58.8 初 ， 夏 8 31 39 20.5 晚 夏 ， 64 64 128 50.0 et 374~ 297 671=n 55.7 RR: H, L, Willis 之 未 发 表 的 数据 。 MAAXIKRA finf ,计算 下 列 的 各 炉 和 L! 。 列 联 表 中 的 各 格 次 数 的 机 换 值 之 煽 和 三 之 之 jy In fey = 29 In 29 +11 In 1 +--+ + 64 In 64 = 97, 652 + 26.377 十 …… 十 266. 169 = 3314. 027 2 PAMASMRMCMM=L CL fsy ) ng Ly) = 40 In 40 十 …… 十 128 In 128 = 147,555 十 …… 十 621. 060 vee ae a b 3° MRA SB RRS MM=LD CLs ) InC Zz fey ) 第 十 三 章 ”次 数 分 析 405 = 374 In 374 十 297 In 297 = 2215.672 十 1691.038 = 3906.710 4 SR RHHSR— nr In n= 671 In 671 = 4867. 384 5 G=2(81—-82-83+84) = 2 C 3314.027 — 3760. 400 — 3906. 710 + 4367. 384 3 = 2 14,301:) = 28.602 将 此 值 和 自由 度 需 (一 1 ) (5 一 1 工 ) 的 xz? 分 配 来 比较 (与 六 各 需 表 中 之 RK RAR) wLAZdf=(2—-1)(4-1) =3. HAI &?. oo5 [3] = 12.838 ， 所 以 我 们 得 到 之 G 值 显著 ( P<0.005 ) A 此 我 们 扩 素 颜色 型 式 之 次 数 与 季 简 然 关 的 虚无 假设 o 独立 性 检定 的 另 一 个 名 字 叫 做 相 联 检定 ( test of association >, MRO BERNE, ERE 相 联 的 ”， 例 如 在 二 种 革 型 与 二 种 土壤 的 例子 ， 我 们 是 测验 药 型 与 土壤 型 间 的 相 联 与 否 。 在 如 疫 学 实验 的 例子 ， 抗 体 血 清 与 致死 率 间 有 一 种 负 的 相 联 。 因 此 相 联 与 相关 很 相似 ， 但 是 相 联 是 比较 一 般 性 的 名 蛮 ， 可 以 用 在 属性 也 可 以 用 在 连 eh, FEAMIAINAW) 2 x 2 独立 性 检定 ， 我 们 也 可 以 基 於 一 年 性 状 来 比较 另 一 逢 性 状 中 的 一 组 之 发 生 百分比 。 僵 如 我 们 可 以 比较 长 在 二 种 不 同 土壤 之 植物 之 光滑 革 子 的 百分比 。 或 是 我 们 可 以 比较 有 与 没 有 抗体 血清 的 粗 之 致死 率 百分比 。 如 此 我 个 可 以 把 独立 性 检定 解释 作 是 测 骏 二 个 百分比 间 的 差 避 之 显著 性 检定 。 ae 13 13.1 EH” green ” RBBHEREAH -BHBA, EF, 车 旱 交 配 后 得 ”到 146 个 野生 型 和 30 个 突 杰 型 的 子 代 。 测 验 此 数据 是 否 符合 野生 型 对 突 杰 型 的 比率 是 3 : 1 MRR, SEC= 6.4024, 13-2 4 地 区 中 的 种 类 S 的 蛇 被 非常 透 币 的 全 部 取 到 。 检 查 所 被 取 到 的 167 人 条 RAHM, BARHA 35 人 条 蛇 的 杠 部 有 浇 色 的 环 。 由 90 BAH 一 地 区 妇 我 们 得 到 同 种 类 的 27 人 条 成 熟 的 雄 蛇 之 样本 ， 其 中 有 6 人 条 具有 环 。 武 问 过 二 个 样本 取 自 环 之 次 数 相 同 的 统计 全 体 的 机 率 是 多 少 ? 406 “Dist BS iw 13-3 从 山区 取得 一 种 蝴蝶 ( Erebia epipsodea ) 的 455 个 样品 中 ， 有 2.5 % 的 蝴蝶 在 其 翅膀 上 有 涂 色 的 带 。 而 由 草原 所 取得 的 65 个 样品 当中 有 70.8 *RAKEBARCP.R. Ehrolih 之 未 发 表 的 数据 ) ， 试 问 其 间 的 差 民 是 否 显著 ?9 SHE. Cuuy = 170.998. 13.4 Lewontin &White ( 1960 ) ARK ( Moraba scurra) 的 染色 MACS, BR 1958 年 Royalla” 妃 ”的 地 方 之 一 个 族群 的 组 成 如 下 : 染色 体 CD St/St St/Bil BI/Bl 2 18 EF Td/Td 22 96 75 | St/Td 8 56 64 —St/St 0 6 6 RHRABEFHEBARMAAHKREE Re AC 刀 的 三 种 不 同 钥 合 的 次 数 各 自 独 立 而 无 关 ? A: G = 7.396 13.5 测验 下 列 蚜 患 ( Myzus persicae ) 活动 肾 具 翅 的 百分比 的 数据 是 否 * 依 所 供给 之 食物 的 不 同 而 有 所 不 同 。 在 活动 晴 出 生 的 前 一 天 ， 二 母 被 供给 不 同 的 食物 (Mytter RDudd 1966 年 之 数据 ) 。 Synthetic diet Cotyledon “Sandwich ” Free Cotyledon 13-6 测验 表 4.1 及 4.2 之 观测 次 数 和 二 项 分 配 的 期 望 次 数 之 间 的 符合 程度 。 13。.7 测验 表 4.5 及 4.6 的 观测 次 数 和 上 瓦 松 分 配 期 望 次 数 间 的 符合 程度 。 A.l 数学 附录 A1.1 苹 明 雄 开 平均 数 的 万 差 之 态 和 是 等 於 零 。 我 们 知道 统计 的 代数 有 两 个 一 般 的 原则 ， 我 们 可 以 把 己 党 做 是 一 个 共同 的 因素 来 打开 前 面 有 忆 符 号 的 一 个 括 弧 。 即 EC Ac+ Bi) = (Ai+B,)+(C A+B; ) i" 十 ……: 站 3 = CAitAgt--+An)+(Bit+Bet+-++Bn) 因此 z C Ait B;) a8 Ait 3 Bi Bit, MUR — (ARR HEREC, TC RAR R, 此 项 可 计算 如 下 : 408 ”生物 和 统计 学 导论 EQa64C+--:-+C (nA) = aC 由 於 对 任 一 个 固定 的 问题 ， 其 平均 数 坑 一 常数 值 ， 所 以 立 了 = 2 了 。 我 们 可 帮 用 简单 的 数字 来 检查 过 些 原则 。 在 以 下 的 演算 以 及 所 有 的 演 算 ， 坑 了 简单 起 见 ， 只 要 是 项 目的 李 和 ， 我 们 都 不 对 他 数 与 向 和 符 号 加 上 证 号 。 RBG Cy =0, Ly 的 定义 是 By=23(Y<¥ ) =D y—ny a ee eal ee ee n oy 22 因此 2y 三 0 A1. 2 SATIRE , 乘 性 的 ， 及 组合 的 简化 对 平均 数 、 汉 方 、 及 标 准 差 之 影响 。 ATEABH, KRABARA MAR SRA, UTA 1 -LRMMB TCs nC, EMRE Leas Re — RZ a CHRD CY ) AM RAT RH TE Dat 2 CY;=CY ,t+CY,t--es +CY, i=1 附 OR 409 PMZCY =CXY, Uc*y*=c*Ly* ML2VY =2Y2Y, AB 2 和 了 都 是 常数 。 简化 数据 的 平均 数 (Means of coded data ) 加 性 简化 ( Additive coding )— sa M BAR IKRYo =Y¥ +C, 式 中 C 是 一 个 常数 ， 因 此 7 及 = 2VYo XY Yo = — =—+C=Y+C n n ~~ 了 e 除去 简化 的 影响 ， 我 们 可 以 从 MACMBAY, MY =Y. =F 乘 人 性 简化 ( Multiplicative coding ) —— s& BU 48 f(t BY c= DV , 式 中 忆 坑 一 个 常数 ， 因 此 274 DDY 及 可; ay 可 有 PE Os nN nN ATRARLWBS, KAMAL Yo RODMBAY, BY =Y¥./ D。 租 台 简化 ( combination coding )—— B85 fi (KAR Yc = D ( Y+C), PCHDEARR, | 2Vc=DXUCV+C) =DLVY+nDC =D— +DC=DY+DC n 410 生物 统计 学 导语 > sd RBIRABMLZHS, KRY RUD, RRBACMHBAY; BA ate y =— -—C D AR 4b eH BA MSE C Variances and standard deviations of coded data ) 加 性 简化 ( Additive coding )—— SARBRH(LRYo=Y+C, 式 中 C 是 一 个 常数 ， yWEREYy=Y-Y, i yo= Vole =[CY+C)-C¥+C)] mn eo oe gee oe =[Y-Y] ‘ar Lyg=Ly?, B Lyg Ly? n—-l1 7 一 ] 因此 加 性 简化 对 平方 和 、 必 方 、 以 及 标准 差 都 没有 影 玫 。 Fert f(t ( Multiplicative coding ) 一 一 倒数 被 简化 篇 7o = DY ， 式 中 忆 需 一 个 常数 ， 》 的 定义 是 y》 = 了 -了 yo 三 了 co bs 4 = DP De =DC(Y ay.) = Dy m= D*y*, Lye Day” 附 me 417 Lyd Dy? rea = Att, SRRRAREMLE, TERBAOTSARBSR FE MCRAE, LAMA Gao , TMBMEAE AU AT Be ket A AAS GREG OBS, Bs*= s?/D? Ks =sc/D. AG HEE ( combination coding )— BBL Yo =D ( .了 +C )， 式 中 C 与 刀 都 是 常数 ， 各 仿 加 性 与 乘 性 之 简化 数 ，y 的 定 义 是 7” 三 了 一 了 了， 而 yo =Yo —Yeo | =(DC¥+C)=—( DY +DC 了 了 =f PY --DC—DY DC =u = ¥ I yc 三 Dy 因此 在 和 组合 简化 的 情形 。 要 去 掉 简 化 对 平方 和 、 爸 方 及 标准 差 的 BA, RAF MIEN HER, | A1l-3 BREAMHMHBAT ( 3 .1 ) 式 等 於 此 统计 量 的 本 来 公式 (3.6 ) 式 。 ae cy ox) 8 CCL). ZeY—Y )? Set y*—2yYY4Y") = DY*—2yY LY+HyY? Saree Sy)? “ae Mey ag = 2yY?— : 3 n n Le ge 7 lb Sle Sinis on 28 多 BS n n 412 DK Seis ry 人 A 1 .4 二 平均 数 间 的 差 之 标准 机 差 的 简单 化 公式 。 ( 8-2 ) 式 的 标准 机 差 之 平方 是 peered Osi Cart )s? 1¢ 1 1 十 122 ) Ny+n,—2 N Ne Bn,=n,=n, EAMG Cn—1) sit+Cn-1) s? 2n CE Cn—1 )Csit+sz) (2) = Freer © l (eas nN 此 式 是 ( 8-3 ) AMBER ST A. Bn, ~n., eH ARA, HRC n,—-li~n, mC ne—l1)~ne, AC 8-2) KOREREZER NAIR n,s?+nes? Nit+ Ne ——— ] ¢ —) Ni tne NN» 2 2 nN, Sy, No Se 三 【一 一 十 ] 1 No N iN» N » ny ERE ( 8-4 ) 式 的 标准 机 差 的 平方 。 Al-5 促 明 二 平均 数 问 的 差 之 颗 著 性 检定 所 得 到 的 1， ( 例如 Box 8 .2 所 列 的 显著 性 检定 ) 是 等 於 二 个 样本 大 小 相等 的 租 之 单 附 RR AQ S38 537 1S B89 F. 值 ( BRNZER— Box Br Hh 8998875. - 分析) > t, ( 从 Box 8-2 ) 三 -一 一 一 Yi SeneM “S fait Ea 5 Bat + Bad Cn— ie ee oe _n(n—1) CF, Vay > 215 | Fe Soe fF BO YO a a yet Xy? wea + ay3 ) MEN AMR DHT ] We a Mk Pee OT Seta aT EY 2X ( 1 一 了 ) Sey Vid? Perse vor 了 2 = 上 Y, =(¥,- 44) 84 (Fe 一 (… 了 = ( Y, +¥LI/D r=, ¥ oY, "Sas 2 yee Gee mT ry 一 了 2 ) 因 企 分 子 的 平方 相等 ， 所 以 AES croxups =n x M Su cans l Vv Y7 、2 CS a i — —— gr gs Y,—Y,)’ 414 生物 和 统计 学 壮 葵 2y? 十 三 MS vitnin = ns _ 2(8 一 1] ) 济 M Si dreuse fF, 三 一 一 一 一 一 MS witnin ie 了 Y, —Y,)* C By? + Ey?)/(2(n-1)) _n(n-1)CY,-¥2)? % Dy? + Ly? 9 Al-6 苹 明 乘积 和 的 计算 公式 ( 11.5 ) 式 等 於 乘积 和 的 本 来 公式 YC *-— 20% D AT Aa) MOA Abe 2 TR BA A, bay DCXEX SCF=? yt — DXY —XLY —~VUX+inKXY ( SEXY ==XyY ) 一 也 X —XnY -YnXinXVY (…Zy7/2z = 地 ，27 =nyY, MBLUX=nX) 一 ZX 一 7 天 —DxXY—nXDyY/n = PTX =X SY 同 理 gay= LXY —Y 2X CUP) Oar 及 Ley = 2X7 — ———_____ é1d n 附 me 415 A1.] %d?.,= dy’ — CC Exy)*/Ex*) 的 计算 公式 之 汉化 。 et dvr 的 定义 知道 < = 了 一 了 ， HRY =Y, 我 们 可 以 同时 由 YRY RAY 而 得 driz=y —J —y SOx Cres é Gf BME Ly + dey = Dy? — 2bixy+ b?2x? : oxy C ee Ry = Ly? — 25 bay ol (le? )! 5 eae TS Cixy)? Lx? Lx? = Ly? 一 及 人 (AED Al-§ AES OT hh ASM PANT RMORE RRR 未 被 解释 的 平方 和 ,相互 的 乘积 互相 消 掉 。 依 定义 (参见 11.5 fi) y= y + dy.x Sy? =LC pt dvix)? = Ly? HUd?.2 + 229urs KARA mA Lydy.x=0 BA, 29ur.z= Lbx (y—bx ) [ 因 依 由 11-3 式 知道 = bx ALE SR API dye =y—bx J = bixy — b*Xx? tay ae Ty? b= cay/ an" ) = bixy—br&xy =i 416 生物 和 统计 学 导论 Ly? = Ly? + Lddx 或 ， 如 用 屋 值 的 项 写 出 ， 划 SC y-Y )*=U(P-¥)*+2(yV-¥)? - A1.9 BRO-—@RHANCBAZ O& +¥2.)= Fi +O +2 0120102 Aho, fo, SRY, 与 了 。 的 标准 差 ， oks CY: 与 了 。 赣 的 母 数 相关 傈 数 。 mw2Z=Y¥,+Y, Gi pice 7 32 of=—X(Z-Z) 1 1 =—Z( C¥:+Y3) ——2CY¥c+ Ya" n n 1 ms 5 LY y+ Ys) al 9 —— ZY,]? n n n =22((%4+%)-%-¥ 7 1 ate zs = Ek ee Ta I 2 SOT em, | n l P ae Cyi tyr t+2yiye] | i 2 =—Ly?+— Ly? +—%Uyrye n n n =o7+07+ 201, (AE, ABR Ow = O12/0192, 所 以 ou = 0129192 附 8 417 O7 = O& 172) = G7 + OF + 20120102 同 理 == 2 05 =O ty ,-¥2) -一 o? + 03 一 20120102 压 用 在 样本 统计 量 则 (12-8) ae 2 S 《ri +ys ) 二 Sit Sot 271251582 Sty ,y,)= sits? —27 125182 (12-9) Al1.10 由 ( 13.1 ) 式 导出 ( 13-2 ) 式 的 X :之 计算 公式 。 OAC 13-1 x | 5 ot ee A 2 fi SLs eo ek tea. Ki fi SCE aE wey RBS f=—-2A=n xtah gis 4 (13-2) A1.11 AGRE HM—MAA MANILA 13-4 ) 式 及 ( 13-5) 式 。 8 通常 G 是 所 有 母 数 是 由 数据 估计 而 得 的 情况 下 的 样本 机 这 和 候 设 虚无 俊 变 是 正三 的 情况 下 的 样本 机 这 两 者 之 间 的 比率 之 自然 对 数 的 两 倍 。 假 定 它 呈 多 项 分 配 ， 则 此 比率 是 n| Gy ft oe 本 le Qe se ae : L ! 6 Pe Ps tds Pa f,! f 2! or aN erent A LL LL 下 418 AMtiat BS iw a Fee Fe = Cp G= Zia : P; ae Das F< In CB? ABA =P: Rf =nP, G= 22/,. In (+) HRSA EHR n Ps RUE Fi A fi G= 2Ese tat oP, ) hae hf ENs in P, —2f, nn] 22 SA In f;— 2f; In P,;—n In n | (13 +4) (13-5) 1 AI. =F 2A BR RF 2 3 5 6 7 8 9， 10 % 419 05648 22304 61346 606793 66411 62098 68775 52679 84096 63964 31191 30545 52573 16586 81841 43563 19945 79374 48505 32049 18547 03180 94822 34330 43770 56908 32787 52441 22377 18376 53201 34919 33617 70010 19282 91429 97637 95150 39387 39246 50269 37696 4E6037 12825 06261 19595 87152 55937 toy 3d 68523 91001 81842 884681 66829 84193 23796 26615 6554) 71562 96742 24738 60599 81537 77192 07189 78392 54723 73460 28610 78901 92159 40964 68447 73328 78393 07625 78191 61350 47005 “27965 6646 R1L744 54265 13687 2.0719 A417 12386 29850 52315 01076 61191 72838 5758) 16919 43980 37937 75497 61486 67749 85828 L527 30623 80539 11733 18227 8884) 87957 59710 21971 98780 35665 13266 33021 -05255 66269 61662 33100 91011 83061 27369 23340 6938) 04349 38356 95727 05622 54175 31574 30272 57080 85604 80276 38289 70.106 76895 34183 59799 68499 76692 1431] 754675 29133 04570 34049 6472 07593 57363 52571 59832 68795 86520 93943 94880 78688 16742 51426 43759 68165 84750 01°39 54434 95404 05414 89975 30122 94719 23388 15446 45412 32818 66679 89706 46766 99605 25210 27977 86420 42834 73965 71164 18882 20589 64983 05665 34262 16415 49181 40948 45363 52325 58812 30339 61640 31006 39948 65846 16317 r6447 72344 14856 88727 79042 31796 34656 22463 11034 43556 62953 73799 40829 96395 67803 31053 35611 69930 80651 11796 Pasa 00023 05701 全 11964 41744 64362 21914 8C808 43066 93230 42931 60222 21046 77468 87031 92545 88686 1076? 93008 17994 45583 27142 98842 80018 65774 98143 27518 78831 48418 40789 31718 13491 62925 96240 10020 93750 72140 31006 67101 08249 99016 44134 60691 90636 65742 63887 00988 62668 71898 74052 31909 61029 30767 0S065 86342 76246 83282 17161 22568 99257 37600 86986 10029 74989 90572 54395 12647 59547 48202 09243 72061 62747 72881 59957 48944 25526 06895 74213 87903 00273 57624 38034 89815 89939 64040 79529 61534 25740 72641 57108 13953 22655 00879 80072 31670 98981 - 77700 32349 26025 79234 58376 26885 00563 30705 40044 00783 45893 29557 69991 89529 12532 31211 74156 55790 08915. 25220 63875 76358 06962 04909 39231 47938 09803 65964 420 “Witat 24 iw KA]. F®RORLGOR units 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ~~ 9 units 20000 (020 00398 Oe«l 00793 : O«2 01179 003 01554 004 01915 0.5 02257 : 006 22580 0.7 02861 0.8 23159 区 0。9 es3413 160 23643 lel 03849 le2 24032 123 24192 14 04332 1.5 24452 106 24554 le? 2464) 1.8 04713 109 24772 220 24821 2e1 24861 202 24893 203 24938 : 203% 24953 206 24965 267 24974 228 2498) 209 360 [24987 04987 264987 264988 64988 4989 64989 14989 24990 «4990 | 320 Bel | 。4990 e4991 064991 64991 064992 04992 04992 064992 049293 +4993 | 301 3。2 | 04993 64993 064996 64994 064996 64994 64994 64995 64995 24995 | 32 303 | 04995 064995 64995 64996 04995 264996 24996 64996 04996 24997 | 363 3e% | 08997 。4997 04997 064997 064997 04997 04997 04997 04997 64998 | 304 365 | «499767 306 | 6499841 307 | 499892 5 368 | «499928 369 | 0499952 Tabled area 4.0 | 499968 3 hel | 0499979 4e2 «499987 pe 4o3 | 2499991 4e4 | 6499995 中 4。5 | 。499997 0L-- 一 : 1 46 | «499998 Satan ae Mieta | 4。7 | 6499999 ap 4.8 2499999 Argument = se 4.9 «500000 HE: 表 中 所 列 的 值 是 在 标准 常态 密度 画 数 下 介 於 平均 数 和 临界 点 之 间 的 面 积 ， 此 面积 通常 用 二 一 w 来 表示 (如 图 所 示 )， 利 用 反 捅 值 法 我 们 可 以 求 得 在 一 个 固定 的 面积 下 的 相对 之 标准 差 数 。 附 AL. JARRE ARH RE Na 09 0.5 0.4 0.2 0.1 0.05 002. 0.01 0.001 a/y SLES 6000 Pe TS 36078-，-6537e125706-131 821- 63.687 698619 0142 e816 10061 9= 10886 = 20920 40303 0965) = 9.0925 314598 0137 2765 a978 10638 ° 20953 36182, 60561 5.841 12.92% 0134 o 74! 094) 10533 20132 20776 30747 42604 e132 e727 2920 12476 22015 2257] 34365 42032 e131 e718 0906 12440 1.2943 22447 32143 3.707 2130 e711 0896 = 16415) = 1089520365) 2998 ， 3499 2130 0706 0889 =10397 «106860 86026 306) 2 896 «36355 0129 0703 0883 16383 106833 26262 26821 34250 0129 =» 6 700 07S = TUBTe.. 19022, § °OsZ28 9°26 764 | 7°96 169 ll 2129 0S97 2875 12363 12796 2020} 2.718 32106 12 e128 2695 2873 12356 12782 20179 . 20681 32055 13 0128 2696 2870 12350 L771 23150 22659 3.012 14 2128 0692 2868 12345 1¢761 20145 220624 wr MAT 73 e128 2691 0866 16341 1.753 20131 22562 22947 16 e128 2690 0865 10337 12746 2e120 22583 rary drew | 7 0128 2689 0863 1.333 le74Q 826110 2.557 2.898 18 e127 2688 «862 12330 12734 20r0l 22552 2.8728 TS l wk27 2588 2861 12328 12729 2eC93° 20539 22845) 20 el2?7 2687 e860 10325 lel25 - 21086 20528 2 B45 21 0127 0686 °° 0859 16323 le?21. 26080 225738 2463)} 22 0127 2686 2858 16321 VelT a7, Bazine 2.508 819 23 el27 - 9685 0858 :se319 LeTl& 2.069 2a50C 2 6897 24 0127 2685 0857 1.318 Le7ll 20064 20452 PTO T 25 e127. 0684 2856 123164 16708 24060 Zeneo, Othe 26 | 127 0684 e656. 16315 1s7T06 2.056 0 2.47 2.779 27 ‘e127 0684 0855 10324 e703 2.0652 22473 折光 28 0127 0583 - 0855 e313 Le7G1—2.048 22467 AWM 29 e127 0533 285% 12321 16699 24045 244452 2 TSS 30 ereou 0683 忆 21.370 16697 2.042 PS Mea ee Xr SoH) 40 0126: 2551 2851 LeSG3". VsGBS: (2502) 0. * eh 23 22704 60 e126 “4879 0848 1.296 16671 2.2090 22390 22660 120, 0126 «677 0845 1.289 166538 1.930 22356 2e617 品 0126 0676 0842 1-282 1645 1.960 20326 20576 Hi: 如 果 是 一 尾 检定 ， 则 表 的 上 端 所 列 的 机 素 必须 城 半 。 当 自由 度 2 > 30 了 上 时， 用 捅 值 法 求 中 间 的 值 ， 此 表 适 用 铀 和 播 值 法 。 例 如 如 果 ， BERK t.osfsa] ， 则 利用 表 中 所 供给 的 t.osf4o] = 2.021 & t.os Ceo] = 2.000 二 个 值 进 行 插值 法 以 求 之 。 将 自由 度 释 换 成 120/2= 三 120 /43 = 2.791 ， 然 后 在 120/60 = 2.000 及 120/40 = 3.0002 间 用 一 般 的 线性 择 值 法 以 求 之 : t.osf43] = (0.791 X 2.021 )+CC1—0.791) x 2.000) = 2.017 Sv>120, 4 120/o=0 及 120/120= 工 间 搬 值 以 求 之 。 此 表 Wai A R.A. Fisher 及 下 .Yates 的 第 五 版 Stetistzc&l Tables for Biological, Agricultural and Medical Research ( Oliver & Boyd, Edinburgh, 1958 ) M&M ME Ha HR HY 许可 而 得 。 82610 6859 5.959 52408 5204] 4.781 4.587 4.437 $0318 4.22} 4-140 42073 4.9015 “Tei ROS 32922 3.682 3.850 32819 30792 35757 36745 — 34725 30707 2.690 22574 22559 34546 32.65 ~@es - 34466 30373 2029) oOWVoOnD AR 人 和 一 422 生物 该 计 学 导论 AN. FFPRLER NU 0.006 oD eae wrewnre 2000 0-010 02072 0-207 O¢412 26% 0,989 1-344 1¢735 22156 2¢&03 32074 9-565 4,075 Aeool Sel 5269 62265 684s 74434 8,034 82643 8,260 92886 10,520 134160 11-4808 124461] 13912} 13,787 14_458 154134 15,815 162801 17} 92 17-867 16,586 190289 19.996 20,707 214421 222138 222859 234584 244311 25-042 25-775 266511 274249 276991 0.975 000 Q.051 02216 02484 Q,83)} 1237 (12690 2-160 2-700 30247 39816 人 404. $009 59622 62262 6,308 74506 6e231 0,907 92591 104283 10,982 11e@.3 12240] 134120 13.844 149¢573 152308 16204? 162791 17,537 18,291 19,047 19.806 202569 214336 224106 220878 2349654 240433 250215 252999 26— 785 274575 28,366 29-2160 292956 30755 312555 322357 0.9 0.016 Oe211 0.584 1,064 12610 3x 2-833 34490 有 165 4,865 5,578 62304 F042 72790 8,947 9e312 10,085 10.865 Lhe@S) 129843 136240 16,042 14.848 15.659 16,473 17.292 18e1)4 18.939 192768 20-599 210434 220271 232110 23.952 ?49797 252643 260492 274343 26,196 29,051 29907 30,765 31.628 324467 332350 349215 35.0861 352949 36-818 37.689 0.5 09455 1¢386 22366 3,357 42351 50348 62346 e344 6,343 90342 10e341 1120340 122340 13_339 14,339 150338 16¢338 17,338 18,338 19,337 20-337 229337 22¢337 23-337 24_337 250336 262336 274336 28.336 292336 30e336 31.336 324336 33,336 34e336 352336 36,335 374335 3@_335 39,335 404335 414335 424335 43.335 44¢335 454335 46.335 474335 48.335 492335 0.1 22706 4-605 62251 Te779 99%236 40。645 12-017 136362 142684 152987 17,275 18,549 192812 21-064 222307 232542 240769 25-989 27,204 282412 292615 302813 322007 332196 340382 354563 36—74) 37-916 39,068 402256 4142” 42,585 43¢745 442903 46,059 470212 48.363 49e513 502660 512805 520949 54,090 550230 56.369 572505 582641 59.776 602907 62-038 63.167 0.05 3-841 52991 7 了 4195 9e 488 11-070 12,9892 14.067 15¢807 162919 18,307 190675 212026 224362 234085 24,296 262296 27-567 282869 30,104 31.910 320670 335926 344172 262415 3752 38,085 &0«e113 41,337 42.557 43.773 442989 46.194 7240 48.602 492802 50.998 92192 $32364 54572 56-758 562942 582124 592304 60.48) 61.656 62,830 64,00) 65e171 66-339 67.505 0.025 - 52024 70378 92348 112143 12-632 149409 162013 17.535 19-023 20-483 242920 23337 24-736 267119 27.488 26-845 30-491 31eS26 324982 34,170 352679 36-781 36.076 39.366 #02646 41,923 43-194 $4e461 4SeT2e2 460979 #89232 69,480 S0e725 612966 532203 542437 $52668 $6696 58.120 £92342 60-561 612777 622990 542202 652410 660617 67-621 69,023 7 了 Up222 712420 0.01 60635 92210 112345 13.277 15,086 1@,812 18,475 20.090 212666 232209 24.728 269217 272688 220141 30.978 32-000 33,409 34,805 360191 37.566 38.932 60.289 12638 422980 445314 452662 462963 48.278 49,5668 02892 520191 $29.486 54.776 96-061 879342 58,619 59,892 Glelé2 622428 634691 042950 66-206 679459 68.710 64-957 719201 729443 73-683 7#2919 762154 Area corresponding to percentage points 0.005 72879 10-2597 12.6398 14-860 16,750 18.568 20-0278 21-985 23-589 252188 260757 28-300 292819 31-319 32-801 34-267 35-718 372156 38.5862 39.997 41240) 42.726 44-18) 45.558 46.2928 48 4290 492665 50-2092 520336 530672 55.003 56.329 67 2649 56.964 602275 612582 62.884 642162 650476 66-766 68.053 69.336 702616 71-893 732166 742437 752706 762969 78.231 792490 v\a 0.995 0.975 09 05 O1 0.05 0.025 0.01 0.005 ? - 28。735 330162 38。560 50。335 646295 68。669 72。616 77T。386 80。747 | 51 52 | 29。481 33。968 39。433 51。335 65。422 69。832 713。810 78。616 82。001 | 52 53 | 300230 34。776 .40。308 526335 66。548 706993 75。002 796843 83。253 | 53 54 | 30。981 35。586 410183 53。335 67。673 7206153 76。192 81。069 84。502 | 54 55 | 31。735 36。398 42。060'54。335 68。796 73。311 77。380 82。292 85。749 | 55 56 | 320490 37。212 42。937 55。335 690918 THe468 78。567 83。513 86。994 | 56 57 | 33。248 38。027 432816 56。335 71。040 75。624 790752 840733 88。237 | 57 58 | 34。008 382844 442696 57。335 72。160 76。778 80。936 85。950 890477 | 58 59 | 340770 39.662 45.577 58。335 736279 77。931 82。117 87。166 90,715 | 59 60 | 35534 40。482 462459 596335 740397 790082 830298 846379 916952 | 60 61 360300 410303 476342 606335 750514 800232 840476 896591 9341866 | 61 62 | 372068 420126 486226 61.0335 760630 615381 85654 900802 94.419 | 62 63 | 376838 426950 49o11) 626335 770745 820529 860830 920010 950649 | 63 64 | 380610 436776 496996 634335 78860 832675 88。004 936217 960878 | 64 65 | 390383 44.603 506883 646335 79。973- 84。821 89。177 94。422 980105 | 65 66 | 4050158 456431 516770 656335 810085 852965 906349 950626 992331 | 66 67 | 406935 4606261 526659 666335 8206197 870108 916519 966828 100055 | 67 68 | 4160713 47。092 536548 6746334 834308 860250 926689 98.028 101678 | 68 69 | 420496 476924 546438 686334 b4e418 890391 936856 990228 103-00 | 69 70 | 430275 4680758 350329 694334 859。527 900531 950023 100。43 104621 | 70 Tl | 4466058 496592 566221 70334 866635 916670 966189 101462 105043 | 72 72 | 440843 500428 570113716334 870743 92。808 976353 102482 106065 | 72 73 | 450629 516265°58.006 726334 886850 936945 980516 104001 107686 | 73 74 | 4606417 520103 586900 736334 892956 950081 996678 105620 109007 | 74 75 472206 522942 594795 740334 9l1。061 96s217 100084 106039 110029 75 76 | 470997 530782 606690 750334 920166 970351 102300 107058 111050 | 76 77 | 480788 540623 616586 766334 930270 960484 103016 108¢77 1120670 | 77 78 | 492582 550466 626483 776334 940373 992617 104032 109696 113-91 | 78 79 | 500376 560309 636380 786334 956476 100675 105。47 Illel® 115012 | 79 80 | Slel72 570153 640278 790334 960578 101688 106。63 112633 116032 | 80 81 512969 57。998. 650176 800334 97。680 10360] 107。78 113651 117052 | 81 82 520767 580845 66.076 816334 985780 104014 1U8e9% 114069 118673 | 82 83 | 532567 590692 662976 826334 99。880 105。27 110609 115688 119093 | 83 84 | 540368 600540 676876 834334 100098 106639 Llle2% 117006 121013 | 84 85 | 550170 6le389 666777 846334 102008 107052 112。39 118024 122632 | 85 86 | 556973 620239 690679 856334 103018 1086665 113054 119041 123052 | 86 87 | 560777 632089 700581 866334 104。28 109。77 114069 120659 124072 | BF 88 | 570582 636941 716484 870334 105637 110690 115684 121677 125691 | 88 89 | 580389 646793 720387 880334 106047 112602 116699 122694 127011 | 89 90 | 590196 650647 736291 896334 107056 113015 1180614 124012 128.30 | 90 91 | 602005 666501 740196 900334. 108066 11s。27 119628 125029 129049 | 91 92 | 606815 676356 75.101 916334 109676 115639 120643 126646 130268 | 92 93 | 616625 686211 76.006 92334 110085 116。51 121657 127063 131087 | 93 94 | 620437 690068 760912 93-334 1110694 117063 122072 126680 133404 | ye 95 | 630250 696925 776818 946334 113004 116675 123486 129097 134025 | 95 96 | 646063 700783 786725 950334 114613 119087 125000 131014 135043 | 96 97 | 646878 720642 196633 960334 115622 120699 126014 132031 136062 | 97 652694 726501 80。.541 970334 $16032 122011 12:¢28 133648 137-80 98 666510 730361 814449 98。334 117041 123623 128042 134664 138699 99 670328 74。222 820358 996334 118650 124。34 129656 135081 140017 1100 st : By > 1008, 用 下 面 公式 来 计算 x 2 A UR, xe 8Ev]~ 4 (to, [ca i coe ) ”， 式 中 的 toefecy A He IA Hh, 例如 x2 ,,[izo] 可 以 计算 需 ¥ Ct. 10fos] 十 V240 二 1 ) “ 王 146.284 。 自 由 度 由 1 到 30 之 卡 方 值 取 自 C.M. Thompson ( Biometrika 32: 188~189, 1941) H-W BAM, We #& HH 版 者 的 许可 。 424 ADK SAR F 4p BZ Be IR A RV. 9 8 5 (MHAZLESE) ‘a (WHALES) z4 425 附 OO 0% OT syurod 33% quU90.10d 0} Zuipuqdsei1090 ealy Rl ZS A GLA C vel * 88~EL: €€ 2484, amo1g ) ¥ H)—GY uosdwoyy "wp 如 uo0isu - 1110 IN EE GHES co te OZI $09 SOF SOE ‘he 602 SST ‘ZT ‘Orie 14S 2am 'a H S000 BW 10'0 ‘Sz0'0 ‘SOO =” LAX HW ° PEGE 2G 4a Gl) EAE 1H Be LY BY — BY omy Loer‘ss] so. ay Loo‘ss}souy jam ig mm Pm Gy L019} Son py [Oar “os sory 29 A BY [09 ‘09 Js0-7 x7 [09 “os}so-y par pag «+ [08' ss] co: 7 xe Eo ng id ° X46 B) — 66 Beh et a ES “Baas ede fn a ey OY WHA AAR RhbSeKC EPMA SH ) RAYA SE 426 ”生物 和 统计 学 半 座 RV -1 0ZT 08 v% 0Z 9T (HHAZLHEY) ‘4 aI (HHAZLEe) “4 % 427 附 接 表 -2 9 g | (HHASLELG) ' (BHASL ES) Za 428 ”生物 统计 学 遵 诊 接 表 V-3 eet 82 OZ OF 附 SK 429 266。 333。 4036 2 | 199。 448. 729。 1036 1362 1705 2063 2432 2813 3204 3605 3 Meee eT oR S062) 5040 | 6220... “T2e9 a: B¥e5. 996° VOSS OA | Wiebe are? O85 ‘120s: WSie . 264... 2106)/. 2619) 2602409000) 9 3307) / 3621) 4 Bont (ieee: | Dich). 2802 2905's 3936 二 Fed Shelere hbo i HhRe0') bilvs 23062 < 49。 59 696 79。 89。 97。 106。 1136 1206 De: A 1N6T 26c3 -18c7-. 2008. 2208. Deak, 286.5 442002. -29.9 Bt acy" 225 286 ah, eee ye 466 506 54。 Be? 605 6 7 en aie 15.5" 79.1 22. 25-6 Pye i 1 25 34。 36。 a6 y 4.99 6294 é Be44 9<«70 10-8 11.8 12e7 1365 14.3 15el 1508 Seer iger ees, OP6.S “ek. 208 re 236 24。 26。 2 8 4243 6<600 7-18 8.12 9.203 9.78 10-5 Pave. 1 We 12¢2 12¢7 7250 929 1 Up baer f 1362 1425 1568 16.9 17e9 18-9 19¢8 2le 9 4003 5034 6031 Tell 7080 . 8641 8695 9045 o914--1063- 1007 6054 805 Wem eo. toot. LSely lbet Reet ceed - 21600. . 1606 10 PEG GG? Gedh 6590:. - Teed - ToS7. O62B xe 8066.0: 9e01. 39036 5.85 Te4 826 926 1064 ll.l 11-8 124 12-9 1324 139 12 Seek GelG S679 | 5030 Se72. 6609. beH2 6072/7 7000) 7Fe25) Fens eT a Ph 6.9 726 8。2 8。7 9el 965 929: 80s2 ** 1006 15 Se ae Wat 4.37 .4068.. 4098.. $629 FSae0. (55059. 15677! eos 1 207°. 429 5.5 6.0 604 6。7 71 703 75 708 . Be0 ; ee eee "Ae oe) 3.54 3.76. 3094. Sel Ms26. Shed? 165491 459 20 3040" - 3.8 4。3 6 4。9 561 5.3 505 Sub 568 509 30 ere 2.40. Seed 2578 2091... 9002. \-'3012 « Be21 20736292, 3.96 ~~ 3239 2263 3.0 303 304 326 367 328 3e9 4-0 4el 4e2 60 Me67 © 1085 1096° 2604 . 2011 2017 2022 2026 2030 20633 2036 1.96 Z2e2 2e3 204 20% 225 225 206 206 Pet 2el ve OOT t206 61.00 . £200 eO0).u, 100... 1600 00 '° 9.00 “2060 1.00 1200 1.0 1.0 1.0 1-0 1.0 _ 120 1.0 10 1-0 1¢0 广 : 对 每 一 C& (RAR) RY (SHE) 列 出 5% 及 19%6 ATH Prax 之 二 个 临界 值 ， 所 指 的 机 素 w= 0.05 及 0.01 是 分 配 在 Fax 分 配 的 一 尾 (Coxe- 如 认 ) 。 此 表 取 自 H.A. David 的 表 ， 东 经 作者 及 出 版 者 之 许可 。 430 HM tit BB im aM. RAZREFT ARR 3 BR fa BR fs AR & 六 0.95 0.99 y 0.95 0.99 ¥ y 0.95 U.99 2 +2099 21505 14 25135 24289 26 26057 25261 23.605 114.2489 22354 32244 1.825 20262 3 22681 21983 15 05242 24399 27 26110 25315 106127 29.689 20276 3.091 12802 20223 » | © 63125 22367 16 05341 24502 28 26160 05374 66590 150154 22208 2.961 1.782 20187 5 。3480 。2685 17 。5433 64598 29 26209 25427 5.054 702076 22149 2-848 1.762 20153 6 23774 22956 18 25520 24689 30 06255 25478 &e221 70637 2-097 2-750 10744 20122 7 +4025 23192 19 25601 04774 40 26634 25900 10679 6.238 22050 2。 5% 16606 12896 8° 24242 23400 20 25677 24855 50 26912 26213 3.314 5.341 22008 26588 10523’ 10760° 9 646432 23585 21 25749 04932 60 27128 +6458 32048 #2720 16971 22519 12466 12668 10 24602 23752 23° 4° “shiz 25004 70 27300 26657 20844 40265 1.936 20458 10421 1.607 11 。4755 。3904 23 。5882 。5073 80 07443 26824 22683 3.919 1.905 20402 1.387 1.549 12 24893 24043 24 25943 25139 90 27564 26966 2.553 32646 10876 2-351 16360 10508 13 25019 e4171 *4 25 26001 .25201 | 100 07669 27090 20445 32426 1850 22305 12338 10475 4: kM AM een —-1 RYD.V. Lindley, D.A, East 及 P.A. Hamilton (Biometika 47: 433~437, 1960) ZR# 所 列 的 表 中 之 值 而 得 。 附 % 431 RVI. RMAKZER EG at : 上 值 是 5%6 Ae, Fe 1 OMA. KARMA DKA George W. Snedecor (1956; The Iowa State University Press ) 的 第 五 Mz Statistical Methods 一 书 。 432 HMR SBR #IX ADHMARAR ( BP. 435) Hse FH — 38 > BAO 2 PR, 此 才 的 第 一 部 分 列 出 样本 大 小 到 # = 30 的 信和 看 界限 。 已 知 数 是 了 ( 在 样本 中 表现 某 一 性 质 的 项 目 数 ) 和 ?( 样本 大 小 )。 表 中 列 出 工 的 整数 值 从 0 到 15 ， 百 分 比 到 50% HS-RAK) n MEHR 项 目 数 了 列 出 三 行 的 数值 。 第 一 行 的 值 是 百分比 的 95 多 信 各 界 限 ， 第 二 行 是 表现 蔷 性 质 的 观测 百分比 ， 第 三 行 是 百分比 的 99 % BRR 限 。 例 如 ， 在 ”= 20 的 样本 中 表现 某 一 性 质 的 个 体 数 是 了 = 8 RI 二 行列 出 此 百分比 是 40.00 多 ， 第 一 行列 出 此 百分比 的 95 % ae FREE 19.10%~ 63.95%, ， 而 第 三 行列 出 99 GRRE 14.60%~ 70.10 So 利用 此 麦 的 插值 可 求 交 =49 的 情形 ， 播 值 的 方法 是 将 才 中 所 列 的 次 低 样本 大 小 入 (ST RR LI LG 除 以 样本 大 小 六， 然 后 将 所 得 之 商 乘 以 麦 中 所 列 的 欢 低 样 本 大 小 2%。 BO RB, MURR 在 22 个 个 体 的 一 个 样本 中 有 8 (ENE BL HE Ay Bz fe 界限 ( 表现 此 性 质 的 个 体 估 3 6.36 %% ) RIB R RL, =Li n/n 一 (19.10) 20/22=17.36%, Mare _Ebk L, =Lz 和 /02 =( 63.95 ) 20/ 22= 58.14%. 此 麦 的 第 二 部 分 是 列 出 样本 大 小 较 大 的 情形 Cn = 50, 100, 200 ,500 及 1000 ), HS HA BBR ASH HO 850%, BK 01%, MRAM ME-GAH PMRAKNn 95% 799% AMAR WIECRARHA, BAK, He PMBIAW 查 出 在 500 个 项 目的 一 个 样本 中 如 果 有 一 个 观测 百分比 是 12 多 ， 则 其 99 % fa FR AIRE 8.56 ~ 16.19%。 此 表 未 列 的 样本 大 小 可 用 下 式 附 % 433 之 插值 公式 求 出 下 限 : (Lr n-Cnt—n)+Lint(n—n-)) : : n(nt—n-) Ahn ERR WRAK/, nn” Ant BR APAIINK ERK BE AK), LIRR Li SRiE_—BRAK 2a ME, lL, 2A Mia (REM BK ARR. DAAAWARK, RERER 1KA 2 就 可 求 得 信 厅 上 限 工 , BHAT AR, MRR BRAK 80, BWEDHR 25% 95% BRAM, HHI n= 50 295% fa BR IRE 13 .84~39 .27 %, ii n= 100 95% fale FUE 16.88~34 .66 %% ， 可 将 演 些 值 代入 上 面 的 公式 ， 即 得 : 六 =[(13.84)(50)(100 二 80)+(16.88)(5100)(80-50)] (80 C100 —50)= 16.12% ChE RATERWERTR, AE Se LRe ~ L,=£(39.27)(50) (100—80) + (34.66) (100) (80 —50) 1. / 80 (100—50) =35.81% Zep BE ET NW BE Ze IIE Hh BRAS TAR UES BNO BD be ( 例如 50 个 项 目 中 的 25%) HABA, HEARTH 修 须 要 用 到 ， 所 以 也 被 列 出 。 对 於 百 分 比 大 从 50 多 的 情形 ， 可 查 100 绣 减 去 该 百 分 上 比 所 得 的 百分比 的 信 壬 界限 ， 然 后 再 以 1 00 多 FBLA Be HAO BRED Hy SBOP HT RAY (SAR 。 此 麦 是 经 作者 之 允许 摘自 D.Mainlanr，L.Herrera 及 M.I.Su- tcliffe fy Tables for Use with Binomial. Samples (1956), fH (BMAX thie Hist (Fe AT HH. n=SOZAR ADA 1 % 到 13 % BY fe FA OR Je FA ed IBS ATR 出 来 的 434 ADR SS im B A be WH 43 HR PR & KX. $6 QO ES 66) $6 66 $6 66 $6 66 $6 66 $6 66 NA To*8yg = 62°L eerez 62°Z% - 26° 92%ey - €%°S 00°02 9s*e€ = OL% ¥9°0% = 6L°C 49°91 LemE = 99°S 6E°9E -~ wvEr? eeret L°OE -~ LE .soeen 二 Te 00*0fT €s°92 - 1192 S€°Le. - Gt°O 19°9 60°Ze =. 26°0 SE°Ze «= 20°00 cere 各 2 6T°9t =. 00°O 00°0 26°tt + 00°0 96°SS - 06°8 00°82 QL°S9 -~ Olt ” 90*SE gt*69g - 90°2T 0296S - BErST ec°s¢ = 89°9 00° Zz e1°Se = GE%6 ‘00°L% = 09% — 00*02 ZL°0% = %8°9 I*2> -~ €9°2 00*9t OT°9E - 66% SLS = -O9*T “o0*2t wE°lE” = GEre g0°Zze 2%°0 60°8 0°92 - @6°0 72°92 z0°0 00° 9€°02 = ‘OT°O OT*6T - 00°0 00°0 9 . 2e°et = 00°0 66°09 = '99"8 00"05 oc*%5 - O6°IT s0°9S = .$0°6: 00°sS2 €T°6e, = 989°s@ 69906 - 人 GE 00°02 oy SY. 2 “SLPS SO°S® - LL*t 00"5T 人， T296 0L*85E - €6°0 OOTro OLeTE = 925T OL “ets. c0°o 00 "5 SO°ve* = -65°O Lz*ez - 00°0 00°0 | 68*9l - 00°0 "$°6L -一 LOST 19°99 gereL = 62°12 Ome. - L9*T1 00°0% “WLeL9 = EE*9T 69"99 - €0°R cece z9"I9 -~ 58" 8L"29 = 88% - 29°92 wt°ss = 08% 40°96 - 6€°2 00°02 20°09. = €E"e Tete -~ T2°0 cerel 67°0% 、- 99°T Lg°ow =. £0°O oe oo°es = 2teo 91°62 - 00° 00*0 09g*TZ = 000 ST. oz*ze - oe*zt 00°OS oOc°te = OL°er “T6°OR, -—" 89°L a 00709 O8°EL ~~ O2°2T Os*eL - OL*E 00 oz*s9. -~ <19°9 og**9 ;- g0*t 00*0z ag*ss - 26°2 Ors =. §0°0 00*01， 0S* + 52*0 Ell» coro 00°0 58。056”- 00°0 Or BT*25 -. 66 $6 66 $6 66 S6 66 56 66 $6 = 92° | 66 00°0% = 92°S | 66 ~ OT°O | 66 00°02 “= 1690. ] $6 ~ _00°0 | 66 00°0 ”00*0 9 BR 435 附 接 表 区 -1 sT 8T 9 | It or 66 66 $6 66 $6 66 $6 66 $6 66 $6 66 $6 eG°tEL ~ 992 00°0¢ O1°-as = GC°ts 22°49 一 LO°T? €t°ts 99°29 ~ 99962Z 69°99 ~ OS°et ' 00°0% 6E°6S ~ 99°22 is°to = 90*9T L9°9¢ €I°96. = €6°6T SE°RS -~ 69°ET Ceres 09"25 - 62 人 LI 00°SS .- koeTT 00°0€ Cve6éy = FL°eT , ‘9S6°IS - 06"6 19°92 68°S® = 62°2T €6°€L ~ vO°2Z2 ' 00°8% 一 Tele 69°89 $s°OL 90°S9 70°L9 ze°l9 9e°t9 = B¥°ls 1 7$°6S OS°ES SL°6T 00° "7% Te °nz oe°9ort 00°07 00° 9€ oo°2ze zt*tz. TO*#t L6eLT 96 "TI 96 "9T GC°OQt.— . GA°TS: 00?"05 089EAI = O2°L2 OE *o Ee ™=. "a0" SI ; 00°S* "99 ~ sO0°Ee2 or"0L - 09°! ‘00°09 S6°C9 - OTST 66 $6 66 $6 66 $6 65 S6 66 $6 66 96 66 96 66 $6 ST v1 8T at Il or 436 生物 统计 学 导论 接 表 区 -2 a 傈 数 10 11 -12 13 14 15 n 50 100 200 500 1000 200- 7ell 200=- 3662 200- 1683 200= 0。74 200- 0637 200-10.05 。U0-~ 5616 200— 2662 200- 1605 。06-~ 0653 (。02- 8688) .02— 5045 。12~ 3057 032- 2032 248- 1283 (200-1202) .00= 721 05- 4655. 022- 280 037 2013 ,05-10。66 e246 7006 555- 5004 1,0 06- 3056 10 29- 3001 201-13.98 210- 869% 034- 6017 。87-~ &e12 1el3— 3。36 . (。27-12。19) 62> Be53— loll- GeG2 1*79-~ 4s81 2。11~ 4019 (216-1560) 034-10.57 eTB— 74665 - 1。52 5244 1-68- 4-59 .49-13。72 LelO- 9693 1e74= 7073 2053- 6005 2092- 5036 0211-17621 eQ8-12008 1e31l— 9005 2el?r 6075 2064—- 5082. 6088-15014} 1064-11029 “ 2.43-~ 9200 3026-7029 3673% 6。54 1045-18676) 1010-13053 1689-10040 = 268 3— B07 © 3。39- 7405 12626-16257 2024-12-60 3018-10621 &ell- 6243 4.63- 7264 2069-20032 «= 1656-14693 = 2057-11066 ”3。63- He 2H 4。25-~ 8s18 (1.74-17。91) 2086-13090 3088-11647 4096- 9656 5652- 8673 (1604-21672) 2008-16028 3617-12099 4643-10062 5012- 9031 (2023-19025 3。51-~15。16- 4。70-12。61 5081-10070 ”6*42- 9683 1。38~23。13 2263-17-61 3293-14218 $e23-11+60 5098-10043 (2。78-~20。54Y 420-16*40 Se46-13082 6266-11683 7632-10693 (1*80-~24。46) 3421-18492 4061-15044 6004-12077 =o 8411 96 3032-21682 4690-17062 6022-15002 Fe5l-12097 8621-12203 2022-25080 3082-20620 5629-16070 6084-13095 7+ 70-1269 (3293-23006) 5265-18480 7005-16016 8241-14406 - 90413010 (2070-27611) 4e&B—21042 6206-17087 7%e70-15e07 8260-13-78 4。54-24。31 6 0 40-19098 --7。87-17。30 9030-15016 10006-14616 3018-26442 50615-22065 6683-19205 ~ 8056-16019 951-114-086 (5518-27203) ~'%ell-21620° 8e70-18044 10620-16625 10699-15623 (3672-29067) 5677-23092 .760-20。23 = 90 &2“17031 10041-15495 5082-26075 7287-22037. 3-196586 11409-17634 > 11292-16030 4。25=-30。92 © 6046-25413 48-~21v40 10. 9~1]8。43 11031-17404 46050-27294) 8664-23655 » 10036-20072 11698-18044 12684-17+37 (4682-32614) FelS—26033 = De 1S 22058 11614-19655 12021-18213 一 一 下 % 32 46 . 47 48 49 '50 {30267-67253) 1 35653-64647 31。55-68ak5 35095-62015 39 83-6017 36689-63011 39077-56628 42686-57014 40674-59226 43018-54284 45053-54047 44616-55284 n 50 100 200 500 1000 (18671-45065) 22014-41002 24067-37090 26057-35025 26615-33097 (15068-50002) 19076-4401] 22088-40005 25078-36059 27629-34290 (19055-46068 23004-42006 25061-38694 27693-36028 29012-34299 (16046-51605 20261-45015 23079-41009 26673-37062 28025-35492 (20038-47072) 23093-43010 26054-39697 28390-37631 3009-36-01 (17023-52008) 21647-46019 24969-42013 27068-38065 29222-36695 21022-48076 24683-44015 27047-41001 29086-38033 31207-37003 18。01-53。11 22033-47624 .25。60-43。18 28662-39069 30018-37297 (22006-49080) 25673-45019 28041-42604 30082-39036 32004-38205 | (18678-54014) 23。19-48。28 26051-44022. -.29057-40072 31。14-39。00 1- 22093-50080 26265-46220 “29。36-43。06 31079-40038. 33202-3906 19260-55213 24608-49430 2 7044-45 0247, 30053-41074 32012-40202 1(23080-51081) 27657-47022 30031-44008 32076-41039 34000-4007 (20042-56012) 24296-50031 28037-46026 31649-42476 33009-41003 24067-52081. 28649-48024 31025-45010 33073-42041 34098-41409 21023-57010 25985-51032 © 29030-47029 32045-43478 34007-42005 (25054-53082) 29041-49026 32020-46012 34070-43043 ”35.97-42。10 (22205-58009) 26674-52034 30023-48031 33042-44080 35404-43406 26041-54082 30633-50028 33015-47614 - 35068-44046 36095-43011 22087-59008 27663-53035 31016-49033 34038-45082, 36202-44008 (27031-55080) 3102751028 34612-48015 36666-45645 37693-44012. (23072-60004) 28454-54634 32011-50633. 35035-46083 37200-4509 28021-56078 32021-52028 35。08-49。16 37 ebh—-460b6, 38692-45012 24057-60099 29445-55033 © 33006-51053 36032-47083 37698-46410 (29010-57076) 33015-53827 36005-500%% 38262-47246 39491-46013 (25042-61095) 30637-56032 34901+32034 37429-48284 38496-47410 30200-58674 34509-54027 37001-5lol7 39060-48247 40490-47414 26627-62290 . 34028-57631 34095-53034 38027-49085 39095-48011 (30090-59071) 35003-55027 37097-52017 40058-49048 41289-48014 (27612-63986)° 32019-56430 35490-56034 39624-50686 40093-49012 (3183-60067 35499-56025 36095-53417 41657-50048 42288-49014 28000-64.78- 33413-59426 36087-55033 4Oe22-51685 41492-50012 (32075-61862) 36095-57023 39093-54016 42056-51048 43287-50014 (28089-65069) 34007-60022 37086-56031 1023-52085 42091-51012 33068-62057 37691-58621 40091-55015 43055-52047 44。87-51。14 29078-66061 35001-61619 38280-57630 42619-53085 43+90-52612 (34061-63052) 38687-59019 41089-56014 44054-59047 45086-52014 44289-53612 46285-53615 45289-54011 437 438 生物 统计 学 导论 32 33 34 35 36 37 38 39 “40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 (18。71-~45。65) (15。68-~50。02) 19655-46068 16646-51205 (20638-47272) (17223-52208) 21022-48276. 18201-5361] (22606-49280) (16278-54214) 22293-50280 19260-55613. (23080-51681) (20042-56012) 24267-52001 21223-57210 (25254 +53282) (22205-58.09) 26641-54082 22287-59208 (27.31-55.80) (23672-60204) 28021-56678 24657-60699 (29010-57076) (25042-61695) 30.00-58.74 26027-62290 (30690-59671) (27012-63286) 31283-60.67 28.00-64.78 (32675-61262) (28489-65269) 33468-62657 - 29278-66261 (34261-63452) (30667-67233) 35053-64247 31055-66445 22214-41202 19276-44611 23204-42206 20261-45615 23293-43210 21647-46019 24083-44615 22233-47524 25073-45619 23219-48228 26265-46220 24208-49230 27057-47022 24296-50231 28049-48524 25085-51632 29041-49026 26074-52034 30633-50628 27263-53035 31627-51228 28 054-54 634 32021-52028 29245-55033 33015-53027 30037-56032 34209-54027 32228-57031 35203-55027 3219-58230 35099-56025 . 33013-59026 36695-57623 3407-60022 37091-58021 350C1-61619 38687-59019 35095-62015 39263-60017 36289-63611 24067-37290 22288-40205 25061-38694 23079-41209 26054-39697 24269-42213 27047-4120) 25260-43418 28041-42206. 26051-44022 29236-43406 26097-35025 25078-36659 27293-36028 26073-37062 28490-37431 27668-38065 29286-36633 28062-39269 30662-39436 29057-40072 31¢79-40.38 27044450247 30053-41674 30031-44208 26037-46226 31025-45010 29030-47029 32020-46412 30023-4831 33015-47614 31016-49233 34912-48615 32011-50033 35208-49216 33206-5)].33 36005-50016 34001-52634 37e01-5lel7 34095-53034 37097-52017 35090-54034 38295-53217 36087-55233 39093-54016 37084-56631 40691-55215 38680-57630 41289-56214 39077-54628 4286-57614 40074-59026 32076-41639 31249-42476 33073-42041 32245-43-78 34070-43943 3342-44-80 35068-44044 34038-45682 36 2066-45445 35035-46283 37066-46046, 36032-47283 38 0662-47046 37029-48084 39260-48247 38027-49285 40058-49048 39024-50086 41057-50048 40022-51085 42656-51048 41021-52685 43255-52047 42219-53285 44254-53447 43018-54084 45053-54047 44216-55084 26015-33097 27429-34490 29012-34099 26025-35092 30209-36601 29022-36095 31007-37003 30618-37697 32204-36205 31614-39200 33202-39206 32012-40002 3400-40007 33009-41403 34098-41209 34007-42205 35097-42010 35204-43206 36295-43011 36002-44208 37093-44612 37000-45209 © 38092-45012 37096-46210 39091-46013 38296-47010 40290-47214 39295-48011 41289-48214 40093-49012 42088-49014 41592-50012 43287-50014 42091-51012 44087-51014 43-90-52012 45286-52014 44e89-53012 46085-53015 45s89~54e1 上 RY. MMAR rz z 变换 oe ~ 0.0000 020100 0.0200 . ‘020300 020400 020500 02060] 0.079) 0.0802 0.1003 061104 061206 061.307. 041499 001511. 0+1614 001717 0+18620 001923 02027 0.2132 (002237 062342 022448 062554 02661. 022769 0.2877 0.2986 0.3095 0.3205 0.3316 0.3428 00354) 023654 063769 003884 04001 - 006118 — 004236 044356 024477 0.4599 004722 064847. 064973 0.5101 0.5230 0.536] 025493 0.5627 025763 02590] 0.6042 026184 0.6328 026475 026625 026777 026931] 0.7089 0.7250 07414 027582 0.7753 0.7928 0.8107 02829) 028480 028673 0.8872 029076 0.9287 069505 0.9730 029962 120203 120454 120714 1.0986 1e1270 121568 121881 12212 162562 122933 163331 123758 104229 106722. 165275 125890 126584 17380 1.8318 129459 220923 202976 226467 ge 439 100 110 120 130 140, 150 160 179 489. 199 200 210 220 230 240 250 260 270 289 290 309 310° 320 330 - 340 350. 360 370 389 399 400 410 420 430 440 450 469 470 480 499 BS > 999, LAR MRS=2b (a 与 5< 999 ) 时 ， 则 可 利用 下 式 计 算 J ln f: ab ljncap=ae(pblnp) 十 5(alnc)。 440 生物 统计 学 导论 RN. BHfseflnf2ae 0 02000 232026 592915 1022036 1472555 195-601 2452661 . 2970395 380.562 404.983 4602517 517.053 5742499 632779 691-830 7512595 8122028 873-086 934-732 9966935 1059-663 11222893 1186-598 1250-758 131526353 13802365 14452777 15116574 .1577。741 1644。265 1711135 17782337 . 18452863 19134701 19816842- 20502277 21182997 21876996 22570265 23266797 23964586 24662624 2536-907 ‘26074428 2678。181 2749。161 2820。364 28910784 29634417 30354259 1 0.0900 264377 - 634935, 1062454 1524256 200.523 2506763 302650 355.950 4100488 4666127 .522¢e758 580.291 638.651 697.2775 7£72609 818.106 8794224 940.928 10032184 19652964 11294242 11926994 12572198 13212636 “1386.889 14522340 15180174 15842378 16502937 1717.840 17856976 1852633 19206501, 198€.672 - 20570136 21252885 21940911 22640207 . 23330765 24034579 2473466462? 25430948 - 26144493 2685-269 27560272 28272496 2898-938 29706592 30424454 2 12386 294819 682003 1102904 156.982 205.4465 2550882 3074920 3614351 4162005 4710747 5286472 586.091 644.530 7030727 7632630 - 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Ce fe 十 二 ) mn ( /十 元 ) 之 值 0. ~Oe347 242689 61.919 104-241 1492903 198-060 2482210 300-021 3536255 4072734 有 ‘ 463-321 5192904 577.394 "6356714 694.802 7542601 8152066 8762154 9372829 1000-059 1062.813 11262067. 1189.795 12532978 1318.594 1383-626 1449.058 1514.874 15812059 1647-601 17142487 1781-706 1849.247 19172101 19852256 20532706 21222441 21912453 22602735 23304281 2400.082 24702133 25406427 26104960 26814725 27522716 28234930 289546361 2967.004 3038.856 1 02608 28.087 65.963 "108.675 154.616 202.991 2532321 - 305.283 358.649 4132245 468.936 5252614 583.190 641.589 7006750 760.619 821.148 882.296 944.028 10066311 10692117 11322419 1196.194 12602420 1325.079 13906152 14550623 15214476 15872697 16546274 17212194 1788446 18563019 1923.903 1992.088 2060.567 21294330 21984369 22672678 23372249 24072076 24776151 25472470 26182026 2688.814 2759.828 28312063 29024516 29742180 30462053 20291 310572 702054 1136140 1592354 2072943 258.448 310.560 3642056 418-767 4742561 5312332 588.994 6476472 706-706 766 2643 8272235 888.444 9502232 10122569 1075425 1138.775 12022596 1266.867 1331-2568 13962681 14622191 1528.082 15944339 1660-951 17272905 17952189 18622793 19302708 19982923 20672430 21360221 22054288 22742624 234406221 24142072 24842172 25542515 26252094 26952905 27662941 283862199 29090673 29612358 30534251 3 4.385 352136 74.190 117.637 164.115 212-913 263-591 315.2850 3694475 4242299 480.196 537.060 594.806 6534363 712.669 772-673 8332329 894.597 956.441 1018.831 1081.738 11454136 1209,003 12732318 1338.061 14034215 1468.763 1534691 1600.985 16672631 17342618 1801-935 1869.571 19372516 2005-761 20746297 21436116 22122210 2281-572 23512194 2421-071 24914196 25616562 26324165 2702-996 27742057 28454337. 29160832 2988.538 30600452 4 6-768 38.775 78.367 122.163 168.899 2172902 2684750 3210155 3.42906 4292843 485-840 542.796. 6002626 659.2260 718.639 7784710 8390429 900+756 9620656 10252099 1088.056 11512502 12156415 12792773 1344.558 14092752 14756339 15412304 16072634 1674-315 17412335 18082684 18762352 19442327 20122601 2081-166 2150-013 22196134 22884522 23582171 2428-073 24982222 25682612 26392238 2710-094 2781.175 28520477 29232993 29950720 30672654 4% & Xl 5 92376 420483 822586 126.718 1736706 222-909 2730924 3260472 3802348 4350397 4912494 548.541] 6062454 6652166 7242616 784.753 8450535 9060921 968.877 10316372 1094379 11572873 1221-831 12862233 1351-059 14166293 1481.919 15472921 16146286 1681-002 1748.056 18154437 18836135 19512141 20190445 2088-038 21560913 2226061 22952476 23652150 2435-077 25052250 25752664 26462313 27172192 2788296 28592619 29312156 ' 3002-905 30744859 12¢167 460255 862844 1312302 1782535 227-935 2790114 331803 3852802 440-961 4970157 5540294 612¢291 671.078 7300599 7902803 8512647 913-091 9750102 10376650 1100707 1164248 12284252 1292697 1357.565 14226839 14862502 15542541 1620942 16876692 17546779 18226193 1889。922 1957。958 2026。291 2094。913 2163。815 2232。991 2302。431 2372e。1l31 2442 2083 25126281 258206719 26536391 27246293 27950418 28664763 29380322 30102091 30822065 7 156112 50-089 912140 1352913 1832385 2322978 286-319 337¢147 3912268 4462536 5022830 560-057 616.135 6762998 7362590 7966860 857.765 919.2267 9812334 10432933 1107¢040 1170628 1234e677 12992165 1364.074 14292388 1495-089 156106165 16272602 ‘16940386 17614506 1828.952 1896.712 1964-778 20336141 21016791 2170-721 22392923 23092390 23796115 24492092 25192314 25896775 26602471 21310395 2002-543 28734909 294544389 30170279 30890274 18.191 53-979 952472 1402550 186.256 238.038 2892538 3420503 3960746 4520121 508.512 565.827 6234987 682.926 7420587 8022922 863889 9252449 987-570 105VUe222 11132377 1177.013 12412106 13052637 1370.588 14352941 15012680 15672793 1634265 1701-083 17682236 18352714 1903.505 1971-601 20392993 2108.671 21772629 22462858 23166351 23864101 24562103 25260349 25966835 2667.553 27382500 28092670 28812058 29320659 30246469 3096 0484 9 212387 572923 99.840 1450214 193-148 2432116 29406772 3472873 4022234 457-716 5144204 571606 629.847 668-860 7482591 808-991 870-019 9312636 993-812 10566515 11194720 11836402 12472540 13120114 13772105 1442 e497 15066275 15742424 1640-931 1707+783 17744970 1842479 19102301 19782427 2046 848 21156555 | 21842540 22534795 23236314 23932090 2463117 25330387 26032896 2674.638 27452607 28162799 2886208 29592831 30310662 31032697 445 446 “生物 统计 学 潭 论 RXI. 受 惠 内 统计 量 可 的 略 界 什 a 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3 6 8 9 & 8 11 12 33... «4 16 5 9 10 13 14 15 20 4 al 23 24 25 小 NMOWF UN TFI 本 wh FUN Wh 8 2 14 LS: TAs 3 19 21 22 24 6 25 ref 28 30 31 5 30 32 34 36 38 40 6 35 38 40 42 44 47 ir 40 43 46 49 50 54 8 45 49 51 59 57 60 . 1 9 2 16 17 18 3 22 23 25 26 27 四 27 30 32 33 35 5 33 36 38 40 42 ay 6 39 42 we 47 49 52 7 45 48 51 54 56 60 8 50 54 57 61 63 67 9 56 60 64 67 70 了 4 10 1 10 2 17 19 20 3 24 26 27 29 30 G 30 33 35 37 38 40 5 37 39 42 44 46 49 6 43 46 49 52 54 57 ec 49 53 56 59 61 65 8 56 60 63 67 69 74 9 62 66 70 74 77 82 10 68 化 Paes 81 84 90 每 +: 表 中 列 出 两 个 样本 大 小 是 mi kn, , Hn, p> nr, , RRB n, =M2= 20 的 情形 之 临界 值 ， 所 列 的 是 临界 值 的 上 面 界 限 。 因此 样本 统计 量 D。 必须 大 於 所 列 的 临界 值 才能 达到 显著 水 次 。 各 栏 的 最 上 面 所 列 的 机 率 适 用 於 一 尾 检定 ， 它 们 是 在 忆 的 分 配 的 一 尾 超过 唱 界 值 的 面积 之 比例 。 对 於 二 尾 检定 ， 可 用 相同 的 临界 秆 ， 但 是 各 栏 的 最 上 面 所 列 的 机 率 必须 加 信 。 此 表 搞 目 附 & 447 He XT. 1 ; 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 { 11 1 a ; 2 mw. 2T 28 3 26,. 26 30 32. 33 4 33 36 38 .40 42 44 5 40 43 46 68 50 53 6 ay "Sa." SS. ST BS 62 7 54. 56 61 .9S 67 Fi- 8 - 61 65 6% 73 7h 4«860” 9 68 72 76 81 83 89 10 “7? FS.) Be 88..92 98 11 81 87 91 96 100 106 oe 1 12 2 A SSS 3 zo 6 63° (32 36° OSS 4 36 39 G1 - 42. $5 68 5 43 47 49 #52 54 #58 6 51 :55 58 61: 63 £468 7 5} 6s OS : 2 8 66 70 74 #79 861. 87 9 7 78 6 “87-80 9% 10 81 86 91 -96 992 106 11 8&8 94 99 104 108 115 12 76-98 202 307° 31235. - 227-124 13 pI 13 P 2 22 2% ° 25 2% 3 30. 33 35. 37 .36. 4 oS £P Be A? 649: S51 5, 47: -50_ 53 56. 58°. 62 6 55. 30 (62 {66-66 » 33 7 Sd) : m7’: ; a0 75 78 83 8 71 7, 60) «eH 47. 1.43 9 79 94. 89 94 97 103 10 87. 93 97. 103. 106 113 11 95/ 104° YO6". 122° lie —123 12 108° 100/118! . 1@3. 125. 153 13 11I° #118 #4124 130° «335 «#4143. “14 14 1 2 26 » 26 27 28 3 32 35 37 40 41 4 41 45 47 50 52 a 5 50 54 5ST -60 63 67 6 59 63 67 7 73 78 7 67 72 76 81 83 89.. 8 76 81 86 90 94 100 9 85 90 95. 100: 104 iIi1 10 93 F9L-LO4L, 1302 21S Cet =p 1029-108.) 1047 _12Z0% 1246 92732 12 1r0. 117. 123° 130. 134 143 13 TUS; A226. 132° 139121446 ~153 14 127 135 141 169°. 156 164 D. B. Owen fj Handbook of Statistical Tables ( Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass. 1962) 中 的 一 个 较 详 组 的 表 ( 表 11.4), 由 U,S, Atomic Energy Commission fh ietk , & 得 出 版 者 之 尤 许 。 448 ”生物 统计 学 导论 的 42% XE. 2 a 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 1 2 3 多 4 6 7 8 3 10 99 106 113 LIF 121 129 11 108 .115 123 128 132 14) 12 11? 125 131 138 143 152 , 13 127 134 143 148. 153 163 ; 16 136 164 151 159 164 17% ; 1 165 153 16} 169 176 165 i +k 16 2 on a 13 ‘ 3 37 40 42 45 46 入 oF 50 53 57 59 62 5 Ss? 61 65 66 ‘Th 75 6 67 71 75 80 83 68 7 7% 82 86 93 9 101 8 8& 92 97 102 106 113 : 9 96 1062 107 113 Li? 125 ; 10 106 112 118 124 129 137 11 115 122 129 135 160 149 1 12 125 132 139 146 151 161 13 134 163 169 157 163 173. . le 144 353 160 168 1746 185 15 154 163 170 179 185 197 16 163 173 181 199 196 208 卫衣 证 人 17 2 28 31 32 34 3 399 4206 645 OOP HFS 入 50 53 ST 68 62° 66 5 60° 65 68 72 75 = 60 6 71 7 80 84 87 93 7 81 86 91 96 100 106 四 91 97 102 108 212 119 9 101 108 114 120 124 132 10 112 119 125 132.136 1465 1} 122 130 136 143 168 158 12 132 260 147 155 160 170 13 162 151 258 166 172 183 14 153 161 169 #178 Les 195 ‘ 15 163 172 160 189 195 208 16 173 183 191 20! 207 220 7 303 193 202 212 21% 232 we XIEL.3 18 . 19 290 ouwewo-| 32 45 56 68 80 91 103 114 125 Ne Vg 148 159 170 182 193 204 215 19 34 47 59 72 a4 . . 108 120 132 . 144 156 167 179 191 203 214 226 238 20 36 -49 62 V5: 86 101 113 -126 136 -t$1 163 176 188 200 213 225 237 250 262 34 4&7 60 72 84 96 108 120 132 143 155 167 176 190 202 213 225 36 50 63 76 89 101 1146 126 138 151 163. 175, 188 200 212 224 236 248 38 52 66 80. 93 106 119 132 145 158 171 184 197 210 222 235 248 261 273 36 50 © 63 76 89 102 114 126 139 151 163 175 187 200 212 224 236 37 53 67 80 - 94 107 120 _ 133 146 159 - 172 184 197 219 222 235 248 260 39 $5 70 84 . 98 112 126 140 153 167 180 193 207 220 233 247 260 273 286 附 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 人 449 450 生物 统计 学 导论 RXV. 魏 耳 康 等 级 和 之 略 界 值 n 0.005 , eile tal* x a , ey” y 人 0 .0312 1 。0625 6 2 .。0469 O .0156 3“。0781 1 。0312 :. 9.00391 2 .0234 0 .0078 4.0547 3 .0391 1 0156 8 - 3. 20195 1 .0078 oO .0039 . 6: 0567" @: 0273 °° 2 .0117 1: 0078 9 8.0488 5 .0195 3 2.0098 1 .0039 9.30665 6. .02%3 & .0137 . 2 40059 20 | 10 20420 8 .024% 5 .0098 3 20049 11 20527 9 .0322. 6 .0137 4% .0068 11 13- 20415 10 .6210 7. 20093 5 20049 14.0508 11 .0269 8 .0122 - 6 . 0068 12 17 120462 43 20212 9 0081 7 20046 18 20549 14 .0261 10 .0105 8 .0061 13. 1 21. 00471 17 °60239 12 ° 60085 9 0040 22° .0549 18 .0287 13 .0107 10 .0052 14, 25 00453 21 10247 15...0083 12 20043 26 20520 22. .0290- 16 .0101 13 20054 15 30 40473 25 .0240 19 20090 15 .0042 — 31 ‘0535 26.0277. 20 0108. 16 .0051 16 35 20467 29 20222 23 20091 19. 20046 36 20523 30 .0253 24 .0107 20 20055 17 41 00492 34 60224 27 .0087 23 .0047 42 20564 35 20253 28 .0101 24 .0085 18 47 20494 40 .0241 32 .0091 27 20045 48 20542 41 40269 33 .0104 28 .0052 19 53 00478 46 .0247 37 20090 32 20047 54 2.0521 47. 0273 38 .0162 33 20054 20 60 60487 52 .0242 43 .0096 37 0047 61 60527 53 .0266 4&4 .0107 38 .0053 ak ; HA AH BA NE RS RE MSRM T, 2 Ste SEN A, «ea ST BE TEE Ek MERE ch TO ERE a Fe a4, At eh a) ek MN RR. dO , WEA n=19 时 的 1% 显著 值 ， 从 表 中 我 们 查 到 人 = 37 及 38 的 二 个 临界 值 。 过 二 个 7 RES 0.0090 及 0.0102. BHA, FR Mt BS 451 T a T a T a T a 21 - 67 204679 58 .0230 49 0097 42 20045 68 .0516 59 0251 50 .0108 43 .0051 22 75 20492 65 0231 55 20095 48 0046 76 。0527 66 .9250 56 .0104 49 .0052 23° 83 20490 73 0242 62 40098 54 20046 84 。0523 74 20261 63 40107 55 005] 24 91 0475 81 20245 69 .0097 61 2.0048 92 .0505 82. 20263 70 «4.0106 62 .0053 25 100 .0479 89.024) 76 20094 68 .0048 191 0507 90 .0258 7%, 20101 69 20053 26 110 60497 98 .0247 8% .0095 75 .0047 111° 20524 (99 .0263 685. 60102 76 .005) 27 119 20477 107 0246 92: 20093 863 40048 120 .0502 .108 .0260 93 0100 84 .0052 28 130 2.0496 116 .0239° 101 .0096 91 0048 131 20521 117 60252 102 .0102 92 0051 29 140 .0482 126 .0240 110 .0095 100 0049 141 20504 127 .0253 111 0101 101 0053 30 151 20481 137 poess 120 .0098 109 .0050 152. 20502 138 /60261 121 0104 110 .0053 ; =) 163 20491 147 .0239 130 .0099 118. 20049 164 .0512 148 .0251 131 0105 119 20052 a2 175 20492 159 .0249 “140 .0097 128 .0050 176 20512 160 .0260 141 .0103 129 .0053 33 187 20485 170 .0242 151 .0099 138 .0049 188 .0503 171 0253 152 0104 139 .0052 34 200 20488 182 .0242 162 .0098 148 .0048 201 .0506 183 .0252 163 .0i03 149 .0051 35 213 00484 195 20247 173 .0096 159 .0048 214 .0501 196 .0257 174 .0100 160 .0051 MAT, =37 ZREB)H 0.01, Ai 1% RS KE, FRX EREHREAVARERAHKREH—-AARR)RAS—A, AL HEA AOE we BT FA RS A I FS 如 果 样 本 大 小 2 > 50 . 旭 用 下 式 机 4 进行 二 尾 检定 。 452 生物 统计 学 导论 接 表 XNV.2 Allee, W. 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