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Sitzungsberichte
der
mathematisch- physikalischen Olasse
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu Müinohen.
Band XXXI. Jahrgang 1901.
Mflnchen.
Verlag der k. Akademie. 1902.
In CommiMion de« 6. Fr&iix*8ebeii V«rUg8 (J. Roth).
Akademisch« Buehdruckerei von F. Strtub in München.
Uebersicht
des Inhaltes der Sitzungsberichte Bd. XXXI
Jahrgang 1901.
Di« mit * bezeichneten Abhandlangen sind in den Sitzangsberiohten nicht abgedruckt.
Sitzung vom 5. Jammr 1901. Seite
*R. Hartig: Ueber den Einfluss der Schwerkraft auf den Bau des
Fichtenholzes 1
E. Selenka: Ueber die Placentaranlage des Lutung (Semnopithecus
pruinosus von Bomeo) (mit Tafel I und II) . . 3
S. Günther: Akustisch-Geographische Probleme . . . .15
Sitzung vom 9. Februar 1901.
H. Ebert: Weitere Beobachtungen der Luftelektricität in grösseren
Höhen 35
A. Voss: Ueber ein energetisches Grundgesetz der Mechanik . 53
*E. Weinschenk: Die Kieslagerstätten im Silberberg bei Boden- mais, ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der Falbänder 34
*K. Gruber: Der Schwefel- und Magnetkiesbergbau am Silberberge
in Bodenmais 34
*J. G. Egger: Ostrakoden aus Meeresgrundproben, gelothet von
S. M. Seh. Gazelle 34
Sitzung vom 2. März 1901.
•C. V. Kupffer: Ueber einen bis jetzt unbekannten Gehimnerven 63 J. Rückert: Ueber die Ossification des menschlichen Fussskelets
(Untersuchung von A. Hasselwander) .... 65
*Ad. v. Baeyer: Ueber Aethyl Hydroperoxyd .... 63
IV
Oe/fentliche Sitzung zur Feier des 80. Geburtstages Seiner Königlichen Hoheit des Prinzregenten^ sowie des 142, Stiftungstages der Akademie
am 13. März 1901. Seite
K. A. V. Zittel: Ansprache 73
Sitzung vom 4. Mai 1901.
Gg. Recknagel: üeber Abkühlung geschlossener Lufträume durch
Wärmeleitung 79
Gg. Recknagel: Ueber Erwärmung geschlossener Lufträume 96
M. Wolf: Die Entdeckung und Katalogisirung von kleineren Nebel- flecken durch die Photographie 111
A. Rothpletz: Ueber die Jodquellen bei Tölz .... 127
A. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik 167
Sitzung vom 8. Juni 1901.
*G. Neumayer: Bestimmungen der Länge des einfachen Sekunden- Pendels auf absolutem Wege, ausgeführt in Melbourne vom Juli bis Oktober 1863 183
F. Lindemann: Ueber den Fermat'schen Satz betreffend die Un- möglichkeit der Gleichung a:" = y" + ;e» . . . 185
W. V. Dyck: Eine in den unterlassenen Papieren Franz Neu-
mann's vorgefundene Rede von C. G. J. Jacobi . 203
Sitztmg vom 6. Juli 1901.
S. Günther: Akustisch-Geogi-aphische Probleme . . .211
H. Seeliger: Ueber kosmische Staubmassen und das Zodiacallicht 265
K. Schwarzschild: Der Druck des Lichts auf kleine Kugeln und
die Arrhenius'sche Theorie der Cometenschweife . . 293
R. Emden: Beiträge zur Sonnen theorie 339
*C. Cranz und K. R. Koch: Ueber die Vibration des Gewehi-laufs,
IL Schwingungen in horizontaler Ebene .... 209
SUzung vom 9. November 1901, Seite
*S. Finsterwalder: üeber die Zusammensetzung der Kugelober- fläche aus geodätischen Streifen von gleicher Maximalbreite
und kleinster Gesammtlänge 365
*H. Ebert: üeber die Spectra der neuen Sterne .... 365
E. V. Weber: Zur Theorie der Kreisverwandtschaften in der Ebene 367
*Ad. V. Baeyer: üeber die basischen Eigenschaften des Sauerstoffs 365
Oeffentliche Sitzung zu Ehren Semer Majestät des Königs und Seiner Königl. Hoheit des Prinzregenten am 16, November 1901.
K. A. V. Zittel: Ansprache 409
Wahlen 423
*C. V. Voit: Festrede: Max v. Pettenkofer zum Gedächtniss . 423
Sitzung vom 7, Dezember 1901.
A. Korn: a) üeber die natürliche, elektrische Belegung einer be- liebigen, stetig gekrümmten Konduktoroberfläche . 425 b) Allgemeine Lösung des Problems der magnetischen
Induktion 435
F. Lindemann: a) Zur Theorie der Spectrallinien . 441
b) üeber die Gleichung a;»» = y"4--8;» . . 495
J. Ranke: Die doppelten Zwischenkiefer des Menschen . 497
A. Pringsheim: üeber die Divergenz gewisser Potenzreihen an
der Convergenzgrenze 505
Einsendungen von Druckschriften 1*. 25*
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 5. Januar 1901.
1. Herr R. Hartig theilt die Ergebnisse seiner Unter- suchungen: „Ueber den Einfluss der Schwerkraft auf den Bau des Fichtenholzes'* mit. Dieselben werden ander- weit zur Veröffentlichung gelangen.
2. Herr S. Günther hält einen Vortrag über eine umfassende Untersuchung: ^Geographisch-akustische Probleme.*
3. Herr E. Selenka macht eine Mittheilung: „Ueber die Placentaranlage desLutung(Semnopithecus pruinosus, von Borneo).'*
1901. Sitmogsb. d. matlL-phyB. GL
Placentaranlage des Lutung
(Semnopithecus pruinosus, von Borneo).
Von Emil Selenkii.
{St'ngelaufm 6. Januar.) (Mit Taf. I n. 11.)
Die Keimblasen der AfiFen und des Menschen unterscheiden sich ganz auffallend von denen der übrigen Säugetiere durch eine Reihe caenogenetischer Anpassungen.
Wenn es auch nicht leicht gelingen wird, die mechani- schen und physiologischen Ursachen festzustellen, welche diese eigentümlichen Sonderbildungen im Primatenkeime her- vorgerufen haben, so lässt sich doch die schliessliche Bedeutung und der Wert dieser Anpassungen für die Ernährung der Frucht begreifen.
Um dies Resultat vorweg zu nehmen: Die Anpassungen, welche sowohl Keimblase wie Uterus während der ersten Schwangerschaftswochen aufweisen, haben zur Folge
1) Dass die junge Keimblase alsbald nach ihrer Festhef- tung schon durch den wertvollsten StofiF, den das Muttertier darzubieten im Stande ist, nämlich durch Blut ernährt wird;
2) Dass der gesamte embryonale wie mütterliche Ernäh- rungsapparat von vornherein in seiner endgültigen Gestalt an- gelegt wird, und zwar erstens unter Vereinfachung oder Aus- schaltung einiger altvererbter provisorischer Vorrichtungen, und zweitens unter Neubildung von Hilfsapparaten. Von proviso- rischen Nährorganen behauptet allerdings der Dottersack für
kurze Zeit seine Rolle als Blut- und Gefässbilder, aber mütter-
1*
4 Sitzung der math.'phys. Classe vom 5. Januar 1901.
lieber NahrungsstofiF wird ihm nicht mehr direkt zugeführt, wie dies doch bei Vorläufern der AfiFen der Fall sein kann.
Die den Primaten keimen eigenen Neuerungen sind sicher- lich zum grossen Teil eingeleitet worden durch die frühzeitige Verwachsung des Eies mit dem TJterusepithel. Zwar sind die jüngsten bisher aufgefundenen Keime des Menschen (das Peters'sche Ei) und der AfiFen (die hier beschriebene Keimblase) schon zu alt, um die Gestalt, in welcher das Ei sich festsetzte, mit Sicherheit bestimmen zu können; aber die Aehnlichkeit mit solchen Säugetiereiern, welche notorisch schon vor der Gastru- lation mit dem üteringewebe verwachsen, ist so frappant, dass mit grösster Wahrscheinlichkeit auf eine Verwachsung auch des Primaten-Eies mit dem TJterusepithel vor der Bildung des Dotterblatts geschlossen werden muss. Hier können nur neue Beobachtungen das Entwickelungsbild ergänzen und detaillieren. Eine Besprechung dieser Frage findet sich in meinen Studien über „MenschenafiFen", zweites und drittes Heft, Wiesbaden, 1899 — 1900. Die schematische Darstellung der Keimanlage, wie ich mir dieselbe vorstelle, ist in den Figuren 8 — 12 am Schlüsse dieser Mitteilung gegeben.
Die hier abgebildete Keimblase des Lutung giebt nun einige neue Aufschlüsse über die Form und Struktur des jungen Keimes und dessen Hülle, sowie über die frühe Anlage der Placenten.
Die erste Figur stellt den geöffneten und aufgeklappten Uterus in natürlicher Grösse dar. Die ventrale Seite trägt die
1 mm grosse Keimblase, deren Gestalt aus den Abbildungen
2 und 7 zu ersehen ist. Auf der mit dem Uterus innig ver- wachsenen Fläche erhebt sich eine einzige bereits verästelte Zotte, die ich Zentralzotte nennen will, während der Rand wallförmig vorspringt. Die andere, kuppelformige Hälfte zeigte sich zum grössten Teil frei und von Uterinschleim umspült; doch muss im lebenden Tiere auch hier schon das Chorion an der gegenüber liegenden Uteruswand festgewachsen gewesen sein, denn in der Mitte der Kuppe macht sich auf Dünn- schuitten ein Defekt des Chorion von etwa ^/i Millimeter Aus-
E, Selenka: Placentarardage des Lutung. 5
bnung nebst Zellenfetzen bemerkbar. Hier riss offenbar beim öffnen des Uterus das verwachsene Chorionstück von der imblase ab; da dasselbe aber auch von der sekundären azenta abgebröckelt ist, wie die Schnitte lehren, so liefert 3 Präparat leider keine Vorstellung von der Art und Weise r Verwachsung.
Auf der ventralen wie dorsalen Uterus-Innenfläche erhebt h ein Placentarpolster, entstanden in Folge der Ver- ichsung der Keimblasenwand mit dem Uterusepithel. Die Ister sind viel ausgedehnter, als die Verwachsungsfläche der fimblase. —
Nach diesen einleitenden Bemerkungen schreite ich zur naueren Beschreibung der Keimblase und der Placentarkissen.
Die ganze Keimblase isoliert ist in Figur 2 als Rekon- uktionsbild wiedergegeben.
Folgende Zellschichten sind in der Wand der Keimblase erkennen :
1. Das Chorion-Ektoderm, in den Astenden der Zentralzotte fhrschichtig, im Uebrigen einschichtig.
2. Dem Chorionektoderm innen anliegend ein einschichtiges ger flacher Mesodermzellen, das sich in der Zotte jedoch zu lem lockern Polster verdickt. In der 7. Abbildung ist, so- it es anging, Zelle für Zelle des Schnittes eingetragen. — t dem Polstergewebe hängt das Amnion mesoderm direkt zu- nmen. Diese Verbindungsbrücke verdient die besondere Be- chnung , Haftstiel"; sie stellt einen Embryophor dar, welcher jcessive zum Nabelstrang sich umbildet. Eine Zeitlang iwebt der Embryo auf dem Haftstiel frei im Exocoelom. iläufig bemerkt, finden sich ähnliche Verhältnisse auch bei lingen anderer Säugetiere, z. B. der Wiederkäuer; hier wird Folge des Amnionschlusses der Embryo nebst seinem Dotter- ;k rings umspült von Flüssigkeit des Exocoeloms und ist tweilig allein durch einzelne mesodermale Haftfädchen mit n Chorion verbunden oder liegt sogar vollständig frei im ocoelom, bis die Wandung der Allantois sich ausgedehnt hat d mit der Chorionwand zum Allantochorion verschmilzt
6 Sitzung der mathrphys. Clause vom 5. Januar 1901.
(Bonnet, Selenka). — Einen Haftstiel fand Hubrecht am Keime des Tarsius. Die wichtigen Untersuchungen dieses Forschers harren zum grössten Teil noch der Veröffentlichung.
3. Die gesamte Verwachsungsfläche der Keimblase ist über- zogen von einer Zellfusion, einem Syncytium. Ed. van Beneden nennt diese Schicht den Plasmodiblast. Die Kerne dieser Plasmodialschicht liegen grösstenteils in einer einzigen Lage (Fig. 7), doch erhebt sich das Syncytinm am peripheren Ver- wachsungsrande der Keimblase sowie auf den Zellenknospen und an den Enden der Zottenäste zu wechselnden Verdickungen. Bei allen von mir geprüften Affenspecies zeigt diese Plasmodial- schicht in den jungen Placenten das gleiche Verhalten; sie ist stets deutlich abgegrenzt vom Chorionektoderm, dessen Zell- kerne fast durchweg kleiner sind, sie überwuchert den peri- pheren Verwachsungsrand der Keimblase auf eine kurze Strecke und dokumentiert sich als gewebszerstörendes Element; das erweisen die in den Ausläufern seines Protoplasmas liegenden Kembrocken und die an seinen Berührungsflächen in Auf- lösung begriffenen Gefasswände und Bindegewebszellen. Die Herkunft dieses Plasmodiblasts ist weiter unten besprochen.
TJeber den Bau des Keimlings ist nur wenig zu melden. Fig. 3 — 5 zeigen denselben vom Rücken, von der Seite und von vorne in plastischen Darstellungen, Fig. 7 im Schnitt.
Das Ektoderm des Keimschildes besteht in einer ovalen verdickten Platte, deren hinteres Ende eine schwache Einsenkung, nämlich die Anlage der Primitivrinne, aufweist; vor derselben ist der Schild schwach buckelartig vorgewölbt, in gleicher Art, wie ich dies von etwas älteren Keimschildern des Cercocebus cynomolgus und des Semnopithecus nasicus be- schrieben habe.
An den Rändern biegt der Keimschild in das Amnion- ektoderm über, dessen Zipfel in den Haftstiel sich einsenkt.
Der entodermale Dotter sack ist ein winziges Bläschen; sein dorsaler Abschnitt steht direkt mit der Ektodermplatte des Keimschildes in Berührung. Der ungenügende Erhaltungs- zustand des Präparates verschaffte mir keine sichere Auskunft,
E. Selenka: Placentaranlage des Lutung, 7
wieweit auch Mesodermzellen zwischen Ektoderra und Dotter- blatt eingelagert sind; doch ist das jedenfalls nur in unter- geordneten! Grade an der hinteren Hälfte des Keimschildes der Fall.
Von einem neurenterischen Kanal ist noch nichts zu sehen, Mesoderm überzieht Amnion wie Dottersack als ein- schichtiges Zellenlager.
lieber die Struktur des Uterus geben die Dünnschnitte folgende Auskunft.
Rings um die Keimblase erhebt sich ein Wall (Fig. 1 u. 7, W). Vergleicht man diesen mit den jungen Placentar- anlagen anderer AfiFen („Menschenaffen*, Seite 189 — 197), so lässt sich folgendes allgemeine Entwicklungsbild des Placentar- walles ableiten. Zuerst wird das Bindegewebslager unterhalb des Uterusepithels hyperämisch, indem Venen und Kapillaren sich erweitern und auch sich neubilden; es lagert sich Lymph- ödem zwischen die Bindegewebszellen; das nunmehr durch- safbete Gewebe verdickt sich endlich noch weit stärker infolge der Wucherungen des Uterusepithels, welches seltner in Gestalt von Taschen, meistens von soliden Kolben in die Binde- gewebslage hineinwächst, unter stetiger Vergrösserung der Kapillaren. Die taschen- oder kolbenartigen Einwucherungen zerfallen alsbald in Zellencomplexe oder Zelle nnester, die grossenteils zu Syncytien zusammenschmelzen und dann in ihrer Struktur von der Plasmodialschicht, mit der sie auch stellenweise in Contakt treten, nicht zu unterscheiden sind, während etliche Zellennester in isolierte Zellen zerfallen, um vermutlich zu Decidua-Zellen zu werden.
Die kolbenartigen Gebilde sind jedoch nicht die einzigen Wucherungen des Uterusepithels. Die Epithellage selbst wird unregelmässig mehrschichtig und wandelt sich in eine lockere Decke um, deren Zellen ein sonderbares Aussehen gewähren: die meisten unterscheiden sich zwar nicht von den typischen Epithel- oder den jungen „Nesterzellen", viele aber sind deutlich zwei-, einige sogar dreikemig. Figur 6 zeigt die
8 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Januar 1901,
häufig wiederkehrende Form dieser offenbar in ümwandluDg begriffenen Zellen. Da sie das ganze Placentarkissen bedecken, also auch ganz ausserhalb des Yerwachsungsbezirks mit der Keimblase zu finden sind, so liegt der Gedanke nahe, dass sie später mit dem Chorionektoderm verwachsen und einen XJeber- zug über dasselbe bilden werden, sobald die Keimblase sich ausdehnt und mit ihnen in Berührung tritt; ich halte dieselben daher für die Mutterzellen des, die Zotten überziehenden Syn- cytiums (Plastmodiblast). Sowohl die Lage dieser Zellen wie ihre häufige Mehrkemigkeit, femer der Umstand, dass ihr Protoplasma sich in ganz gleicher Weise überraschend dunkel tingiert wie der Plasmodiblast, reden dieser Deutung das Wort. Nachträglich finde ich auch in meinen älteren Präparaten junger Placentarpolster die Anhäufung des Uterusepithels zu einer lockern Schichte gleicher Struktur, wenn auch weniger mächtig als im vorliegenden Objekte.
Dasselbe Bild geben Schnitte durch das sekundäre Placentarpolster des Lutung. Die Zellen der kolbenförmigen Einwucherungen gehen direkt über in die mehrschichtige äussere Epithelschicht (Fig. 6).
Ist die hier ausgesprochene Deutung richtig, so wären die Syncytienbildungen in der Placenta der Primaten vermutlich alle auf das Uterusepithel zurückzuführen ! Denn die verbreitete Ansicht, dass die verschiedenartigsten Gewebe des Uterus syncytialen Bau während der Schwangerschaft annehmen können, habe ich in meinen Präparaten nicht bestätigt gefunden.
Kollmann ^) hat unlängst die Herkunft des Plasmodiblasts aus dem Chorionektoderm dargelegt. Ich möchte vermuten, dass die Präparate dieses Forschers nicht genügend gut con- serviert waren, um eine so subtile histogenetische Frage zur Entscheidung zu bringen.
Der intervillöse Raum ist in allen bisher von mir beob- achteten jungen Placentaranlagen mit hellem Gerinsel erfüllt,
^) J. Kollmann, üeber die Entwickelung der Placenta bei den Makaken, mit 6 Figuren; in: Anatomischer Anzeiger, XVII, Nr. 24 u. 26.
E. Selenka: Placentarmilage des Lutung, 9
in welchem stets vorgefunden wurden: 1) Blutkörper der Mutter, 2) Zerfallprodukte mütterlicher Zellen, zumal vereinzelte auf- geblähte Kerne, 3) in allen Richtungen ziehende, anfangs zahl- reiche, in älteren Anlagen spärliche Balken von Syncytien.
Begrenzt wird der intervillöse oder Zwischen zotten-Raum 1) vom Plasmodiblast der Zotten, der in allen meinen Prä- paraten ein geschlossenes Lager bildet, 2) von Syncytien der Nesterzellen, die sich anfanglich und zeitweilig zu einer, ledig- lich von Muttergefässen durchbrochenen, soliden Platte ver- einigen können („Menschenaffen, Seite 197, Sy'); 3) von Binde- gewebszellen, falls die Syncytialplatte nicht ausgebildet ist, und 4) hie und da von Wandungen einiger erweiterter Venen oder Kapillaren, deren Endothel in nächster Nähe der Placenta viel- fach, aber nicht immer, zu kubischen oder cylindrischen Zellen aufgequollen erscheint; letztere Erscheinung hat zu der irrigen Ansicht geführt, dass die Gefässendothelien sich in Decidua- zellen umwandeln; die nähere Beschreibung dieser Verhältnisse wird in einer der nächsten Lieferungen der „Menschenaffen" von meinem Mitarbeiter, Herrn Dr. Ludwig Neumayer ge- geben werden. — Ausdrücklich sei hervorgehoben, dass eine geschlossene Endothelmembran nimmermehr den Plasmodiblast überdeckt, wenigstens weder bei jungen Placentaranlagen des Menschen noch der Affen. Dennoch haben Waldeyer und Win kl er recht, dass solche Membranen vorkommen; jedoch ist das dann nur in ganz beschränkter Ausdehnung und aus- schliesslich nahe den Zottenenden der Fall. Hier erscheinen die Membranen als die offenen, der Resorption noch harrenden Mündungsstücke der erweiterten Venen ! Also auch R. V i r c h o w behält Recht, dass der intervillöse Raum kein erweiterter Ge- fassraum sei, dass vielmehr das Mutterblut frei zwischen den Zotten cirkuliere, eine Ansicht, welcher auch K oll mann bei- pflichtet.
Ueber die Entstehung des intervillösen Raumes habe ich aus Schnittserien verschiedener junger Placentaranlagen dieses Resultat gewonnen. In den anfangs mit Lymphödem erfüllten Intercellularraum des Uterus drängen sich erweiternde Kapillaren
10 Sitzung der math.-phys. Cicutse www o. Januar 1901.
ein und ergiessen in denselben mütterliches Blut, nachdem ihre Wandungen durch syncjtiale Zellennester oder den Plasmodi- blast, die ich beide für identische Gebilde halte, zerstört wurden.
An dem allgemeinen Geschäfte der Einschmelzung des Muttergewebes behufs Schaffung von Platz für die vordringen- den Zotten beteiligen sich in untergeordnetem Grade auch mütterliche Leucocyten. Man findet dieselben in Zwei- und Vierteilung begriffen sehr häufig zwischen den Bindegewebs- zellen liegend, zumal in Placenten der 2. bis 3. Woche.
Da der, in den intervillösen Raum mündenden Arterien nur wenige sind, hingegen der das Blut abführenden Venen viele, so muss notwendig eine Stauung oder Stagnation der intervillösen Flüssigkeit eintreten. Eine flotte ergiebige Durch- strömung des Zwischenzottenraumes mit Mutterblut wird erst etwa in der dritten Woche der Schwangerschaft Platz greifen.
Zum Schlüsse seien die heterochronischen Verschiebungen, welche die Anlagen der ersten embryonalen Organe der Primaten erleiden, übersichtlich zusammengestellt.
A. Beschleunigung der Entwicklung erfahren folgende Gebilde:
1 . Der Trophoblast (Hubrecht), d. h. das mit dem Uterus verwachsende Chorionektoderm. Durch die, wahrscheinlich schon vor der Gastrulation sich vollziehende Verwachsung werden die forraativen Schildzellen (welche Keimschild, Amnion und Primitivstreif aufzubauen haben), ins Ei -Innere geschoben und veranlasst, sich von den Trophoblastzellen (Räuberischen Zollen) abzuschnüren. In Folge davon erscheinen auffallend frühzeitig
2. das abgeschnürte Amnion und die Amnionhöhle.
3. Sehr frühzeitig entwickelt sich ferner der Mesoblasts, jedoch nur in seinen ausserembryonalen Partien; denn im Be- reiche des Keimschildes ist seine Ausbildung verlangsamt.
4. Sehr früh entsteht die erste Zotte, die Zentralzotte. Dies gilt wohl für sämtliche Schwanzaffen, ob auch für die Menschenaffen, steht noch in Frage. Etwa eine Woche lang oder noch etwas länger unterscheidet sich die Zentralzotte durch
E. Selenka: Placentaranlage des LiUung. 1 1
ihre Grösse und reiche Verästelung von den alsbald nach- sprossenden Zotten, bis letztere die Zentralzotte in ihrem Wachs- tum einholen. In der Wurzel der Zentralzotte ist stets der Keim gelegen, ein Hinweis, dass hier die Verlötung des Eies mit dem Uterus begann.
5. Die Vascularisierung des Dottersacks, d. h. die Ent- stehung von Gefassendothelien und Blutkörpem als Mesoderm- gebilden, beginnt schon vor Anlage der MeduUarwülste, er- scheint daher ebenfalls sehr früh. — In der hier abgebildeten Keimblase ist allerdings von Gefassen noch nichts zu bemerken ; sie ist noch zu jung.
B. Verlangsamt erscheint dagegen, wie dies zumal ältere Keimblasen lehren, die Differenzierung des Keimschildes, nämlich die Anlage
1. des Primitivstreifs und der aus ihm hervorgehenden Gebilde: Urdarm, Chorda, Urwirbelblastem,
2. des Canalis neurentericus,
3. der MeduUarwülste.
Man kann sich denken, wenn schon diese Vorstellung nicht ganz den Nagel auf den Kopf trefifen dürfte, dass die Keimscheibe nach ihrer Losschnürung vom Trophoblasten all- zuwenig Zellen enthalte, um die typische DifiFerenzierung zu Stande zu bringen ; es muss ihr sozusagen Zeit gelassen werden, ihre Bausteine genügend zu vermehren.
C. Reduktion der Gestalt erfährt die Allantois, indem sie nur zur kurzen schlauchförmigen Röhre auswächst, deren mesodermale Hülle jedoch an ihrem Blindende zu einem Gefäss- polster sich ausbreitet, das in alle Zotten eindringt.
D. Als Neubildung ist der mesodermale Amnionstiel aufzufassen. Er verdickt sich als „Haftstiel** bald zusehends und nimmt den AUantoisschlauch wie die Gefässe in sich auf. Hierdurch wird er zum Träger des Embryos. Der Gang seiner Umbildung lässt sich kurz durch folgende Schlagworte kenn- zeichnen: dünner mesodermaler Amnion- oder Rückenstiel — durch Verdickung des Mesodermgewebes wird er zum volumi- nösen Haftstiel — durch allmähliche, ventral gerichtete Dreh-
12
SiUung der math.-phys. Classe vom 5. Januar 1901.
ung des Keimschildes um 90^ wird er zum Schwanzstiel, indem er zugleich den AUantoisschlauch und die Dottergefässe in sein Polstergewebe aufnimmt — durch fortgesetzte Drehung des Eilings um 90^ wird der Schwanzstiel zum Bauchstiel (His) — und endlich nach Bildung des Körpernabels, in welchen Allantoisstiel, Dottergang nebst Gefässen eingelagert werden und auf dessen Aussenfläche das Amnion sich festlegt, zum Nabelstrang.
Die Figuren 7 bis 11 geben Aufschluss über die Verlage- rung des Keimes in das Ei-Innere oder die „Entypie des Keim- feldes**, wie sie bei den Keimen der SchwanzaflFen wahrschein- lich sich vollzieht.
8
9
Fig. 8 bis 12.
^ Am.
10
11
12
Schematische Darstellung der mutmasslichen Bildung des Amnion
bei Affe und Mensch.
Dicke ümrisslinie = Chronionektoderm,
dünne Kreislinie = Dotterblatt,
punktiert = Mesoderm, Am Amnion, En Dottersack, Ex Exocoelom,
F formative Keimschildzellen, welche sich vermutlich als kugliges Gebilde abschnüren und aus denen das Ektoderm des Amnion und des Keimschildes sowie der Primitivstreif hervorgehen, M Mesoblast,
V Verwachsungsfläche des Eies mit dem üterusepithel, z die bei den Schwanzaffen zuerst gebildete Zentralzotte.
E, SelenJca: Plaeentaranlage des Lutung. 13
Erklärung zu Tafel I.
Fig. 1 — 6. Semnopithecus pruinosus, von Bomeo.
Fig. 1. Der geöffnete Uterus in nat. Gr. d dorsale Hälfte, K das Keimbläschen, N Narbe auf dem rechten Ovarium, s Anlage der sekundären Placenta, V ventrale Hälfte,
tc Wallartige Erhebung der üterinschleimhaut, in deren Mitte die 1 Millimeter grosse Keimblase liegt.
Fig. 2. Die Keimblase isoliert, ^/i. Rekonstruktionsbild. In der Wurzel der , Zentralzotte " ist der Keim bemerkbar.
Fig. 3—5. Der Keim, isoliert. Rekonstruktionsbild in 200 facher Ver- grösserung. Fig. d. Der Keimschild von oben gesehen; Amnion weggelassen.
Die Primitivrinne ist schwach angedeutet. Fig. 4. Derselbe im Profil. — Ätn Amnionstiel, dessen Zipfel in das
Mesenchympolster der Zotte übergeht. Vergl. Figur 7. Fig. 5. Derselbe von vom.
Fig. 6. Schnitt durch das wuchernde Uterusepithel des sekundären Placentarkissens, Randpartie. Vergr. ca. 600. Camera. B Bindegewebszellen, C Capillaren, C U Cavum uteri, K Kolbenförmige Ein Wucherung des Uterusepithels, später in
Zellennester zerfallend, iV Zone der Nesterzellen, Ut Zone des geschichteten Uterusepithels.
14 Sitzung der m(Uh,'phys, Classe vom 5. Januar 190 J,
Erklärung zu Tafel II.
Fig. 7. Eeimblase des Semnopithecus pruinosus nebst Umgebung,
im Schnitt. ^'®/i. Camera.
a Amnionhöhle, B Bindegewebe, Bl mütterliche Blutkörper, C erweiterte Capillare,
Ca Capillare, in den intervillösen Raum sich öffnend, Ch Chorionektoderm, C ü Cavum uteri, Br Drüsengang, E Dottersack, Ex Exocoelom,
I intervillöser Raum, mit Mutterblut gefüllt, K kolbenförmige Wucherungen des Uterusepithels, später in
Zellennester zerfallend, M Mesoderm,
PI Plasmodiblast (van ßeneden), Plasmodialschicht, Sy Syncytium, aus Zellennestern entstanden, Ue taschenartige Einsenkungen des Uterusepithels, y ein vom sekundären Placentarpolster abgerissener Teil des Chorion, Z Zellen nester.
15
Akustisch-Geographische Probleme.
Von S. Gfinther.
{EingtHaufen 5. Januar.)
Wie bereits an anderer Stelle^) bemerkt wurde, muss als derjenige Teil der allgemeinen Physik, der mit der physikali- schen Erdkunde die mindest lebhaften Beziehungen unterhält, die Lehre vom Schalle bezeichnet werden. Es wurde aber an jenem Orte zugleich betont, dass doch in neuerer Zeit eine ganze Anzahl von Fragen hervorgetreten ist, welche gleich- massig den Geographen und den Akustiker interessieren. Die bis zu einem gewissen Grade vielleicht auch einzubeziehende Fortpflanzung des Schalles unter verschiedenen äusseren Bedingungen soll hier ausgeschlossen bleiben, weil Untersuch- ungen der letzten Jahrzehnte hierüber eine vollständige Klärung gebracht haben, und ebenso soll von der vielgestaltigen Er- scheinung des Echos nicht weiter die Rede sein, obwohl die- selbe, wie man u. a. von Hirn*) und von v. Fischer-Benzon^) erfahren hat, noch manches Rätsel aufgibt. Unser Zweck ist es vielmehr, das gesamte Material, welches sich bezüglich der, wenn der Ausdruck gestattet ist, spontanen Schallphaeno- mene nach und nach angesammelt hat, kritisch zu würdigen und deren Erklärung, soweit möglich, zu erbringen oder doch,
>) Günther, Handbuch der Geophysik, 2. Band, Stuttgart 1899, S. 41.
*) Hirn, Les ächos multiples, Mondes, 2. Serie, 86. Band, S. 266 ff.
^) V. Fischer-Ben zon. Das tönende Echo, Zeitschrift für physi- kalischen Unterricht, 1. Band, S. 116 ff.
16 Sitzung der math.-phys, Classe vom 5, Januar 190 U \
falls es noch zu sehr an empirischen Daten fehlt, vorzubereiten. : Mit dem Worte „spontan" soll angedeutet werden, dass eine 4 Ursache dieser Lufterschütterungen, die bald als blosses Ge- ^ rausch, bald auch als eigentliche Klänge und sogar unter der Gestalt musikalischer Ton folgen auftreten, zunächst nicht erkennbar ist, und eben die Aufsuchung dieser Ursachen erscheint als eine Pflicht, welcher bisher nur in sehr beschränk- tem Masse genügt werden konnte. Wie schon bemerkt, fehlt noch viel, dass man heute schon soweit wäre, die gewünschte Abhilfe vollständig zu erbringen, und ehe eine solche erhofft werden kann, muss eben die Analyse der Erfahrungsthatsachen weiter fortgeschritten sein, als dies zur Zeit der Fall ist.
Man wird sich nicht darüber wundern können, dass Vor- kommnisse dieser Art, namentlich in früherer Zeit, abenteuer- liche und mystische Deutung gefunden haben; dass aber auch noch viel später selbst in naturwissenschaftlichen Kreisen der Aberglaube den Weg der exakten Forschung kreuzte, liesse sich an mancherlei Belegen nachweisen.*) In manchen Fällen kommt die Tier- und Pflanzenwelt bei diesen Tönen als mass- gebender Faktor in betracht; die hierher gehörigen Objekte sollen uns nicht weiter beschäftigen, und es reicht hin, ihrer in einer Randnote *^) Erwähnung zu thun. Dass der in einer
*) Ein drastischer Beleg ist beispielsweise ein von grosser Gelehr- samkeit zeugender Aufsatz, den der Mediziner v. Autenrieth veröffent- lichte (Ueber Stimmen in der Höhe, Morgenblatt für gebildete Stände, 1827, Nr. 297—806), der für solche spontane Töne zwar nicht direkt, aber doch in einiger Umschreibung, das Hereinragen höherer Gewalten in unser Erdenleben in anspruch nimmt.
2) Dahin gehört z. B. das berüchtigte Geschrei, das mehrere Reisende zur Nachtzeit auf der Insel Ceylon gehört haben wollten, und das nach J. Davy (An Account of the Interior of Ceylon, London 1821) thatsäch- lieh von einem allerdings seltenen Vogel, dem „ülama" (Teufel svogel) herrührt. Einen eigentümlich musikalischen Baum hat Schweinfurth (Im Herzen von Afrika, 1. Teil, Leipzig-London 1874, S. 105) im obersten Nilgebiete angetroffen. Die Dornen der Flötenakazie werden durch In- sektenstiche zu unförmlichen, zahlreiche Oeffnungen aufweisenden Miss- gebilden aufgetrieben, und wenn der Wind durch diese Löcher dringt,
S. Oünther: Akiistisch-Geoffraphiache Probleme. 17
falschen, anthropomorphistischen Auffassung erzogene Mensch ▼ergangener Jahrhunderte aus diffusen Geräuschen alles mög- hche und unmögliche herauslesen zu können vermeinte, darf uns nicht wunder nehmen. Wer sich mit der Geschichte der Erd- und Naturkunde im Mittelalter und auch noch in den folgenden Jahrhunderten abgegeben hat, wird nicht in Ver- legenheit sein, diese Behauptung durch Beispiele zu stützen,*) und auch das XIX. Jahrhundert ist an Rückfallen in eine
n «hält der in der Nähe des Baumes Befindliche den Eindruck, als ob ni jenem Flötentöne hervorkämen. Und wenn viele solche Bäume neben oonder stehen, so erhebt sich ein Flöten und Pfeifen, wie von tausend ftimmen. Dadurch, dass Schweinfurth einen „Schoffar^-Hain — dies iit die Benennung von Acacia fistulosa bei den Schilluk-Negem — ii der Nähe von Kairo anlegen Hess, ist das Studium dieser immerhin merkwürdigen Schallerscheinung wesentlich erleichtert worden.
*) Derjenige Teil der damals bekannten Erde, der von düsteren Sigen und Vorstellungen besonders heimgesucht ward, ist ohne Zweifel U»d. Darauf hatte bereits K. v. Maurer (Zur Volkskunde Islands, ZeHichrifi; des Vereins für Volkskunde, 1891, S. 42) aufmerksam gemacht, «od neuerdings hat Thoroddsen in seinem verdienstlichen Werke (Geschichte der isländischen Geographie, deutsch von A. Gebhardt, 1. Band, Leipzig 1897) die einschlägigen, für uns hier besonders wich- tigen Momente zusammengestellt. Von den im Treibeise heulenden Stimmen der verdammten Seelen weiss schon Saxo Grammaticus, dtt bekannte dänische Historiker und Geograph des XII. Jahrhunderts, nenfthlen (a. a. 0., S. 61). Hier war es also das allerdings schreckhafte Getöee der sich an einander reibenden Treibschollen, welches in der an- gegebenen Weise umgedeutet wurde, aber auch die Stimmen der im Fegefener Schmachtenden glaubte man in dem Brüllen der isländischen Vulkane zu vernehmen (K. v. Maurer, Die Hölle auf Island, Zeit- idirift etc., 1894, S. 25G ff.) zu vernehmen. Die deutschen Beschreiber Jftkob Ziegler und Sebastian Münster nahmen dergleichen bereit- wilJig hin. Sogar noch gegen Ende des XVI. Jahrhunderts ist der ^ttenberger Mathematiker Peucer von den ,. schluchzenden** Stimmen fibeneeagt, die aus der Tiefe des Hekla-Kraters kommen (Thoroddsen, S. 142); ja künftige Kriege sollen sich sogar durch den Lärm im Inneren jenes Feuerberges voraus ankündigen. Es dauerte bis tief ins XVII. Jahr- hnndert hinein, ehe Island seiner Eigenschaft als klassisches Land geo- graphischer Fabuliererei, hauptsächlich dank den Bestrebungen höher gebildeter Volksgenossen, ganz entkleidet wurde.
1901. Sitsungsb. d. iiukth.-phy8. Gl. 2
18 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5, Januar 1901.
solche Denkweise nicht arm.^) Wir werden noch zum öfteren Veranlassung haben, darauf hinzuweisen, dass auf diesem, wie auf manchem anderen Gebiete die objektive Betrachtung der Dinge erst ganz allmählich zu ihrem Rechte gelangt ist.
Prüft man die einzelnen Vorkommnisse, wie sie uns be- schrieben werden, genauer, so gewinnt man die Ueberzeugung, dass sich dieselben wesentlich in drei Gruppen sondern lassen. An der Spitze stehen diejenigen Geräusche und Klänge, welche bei der Bewegung lockerer Gesteinsfragmente entweder un- mittelbar entstehen oder doch mit solchen in ursächliche Ver- bindung gebracht werden können. Der tönende Sand, um die übliche Bezeichnung zu gebrauchen, hat schon wiederholt zu Erörterungen Anlass gegeben, während freilich eine zu- sammenfassende Behandlung dessen, was man von der Sache weiss, noch vermisst wird. Weiterhin haben eigentümliche Töne und Tonverbindungen an die Reihe zu kommen, welche man ausschliesslich im Bereiche einzelner Oertlichkeiten von genauer geographischer Abgrenzung zu hören Ge- legenheit hat, deren auslösender Grund mithin notwendig in lokalen oder doch regionalen Verhältnissen gesucht werden muss, welche es bestimmten physikalischen Gesetzen ermög- lichen, sich in einer sonst minder leicht zu beobachtenden Weise zu bethätigen. Zum dritten endlich sind die abrupten Lufterschütterungen namhaft zu machen, welche für ge- wisse Gegenden und Landstriche charakteristisch zu sein scheinen und, je nachdem, unter den verschiedenartigsten Namen in der Wissenschaft bekannt geworden sind, worüber, wie gleich hier
') Einer sehr drastischen Thatsache gedenkt v. Autenrieth am bezeichneten Orte. Der kühne Robbenschläger J. Weddell, der im Jahre 1823 die höchste südliche Breite für sehr lange Zeit erreicht hatte (Fricker, Antarktis, Berlin 1898, S.43), schilderte die Südlichen Shetland- Inseln als von monströsen Zwittergebilden bewohnt und wollte dort die sonderbarsten Laut(» gehört haben. Bekanntlich sind ähnliche Behaup- tungen auch kürzlich witMler aus dem hohen Norden zu uns gedrungen, und auch bei anderen Polarfahrern lilsst sich eine gewisse Neigung, in der Plinaamkoit JMiiintaHien uachznlebon, nicht verkennen.
8, Crünther: Akustisch-Geographische Probleme. 1$
hervorgehoben werden möge, eine Abhandlung von L. Weber ^) die beste Auskunft, die sich überhaupt vorläufig geben lässt, erteilt. Dieser unserer Klassifikation gemäss zerfällt auch die vorliegende Studie ganz von selbst in drei getrennnte Ab- teilungen.*)
I. Der tönende Sand.
Wer über Sand wegschreitet, vernimmt sehr leicht ein knirschendes Geräusch. Dass dessen Ursache in der Reibung der Gesteinspartikeln liegt, steht ausser Zweifel, und wenn es also auf solche Weise zur Bildung eines wirklichen Tones kommt, so gehört derselbe unzweifelhaft in die Klasse der so- genannten Reibungstöne, wie sie von Strouhal eingehen- derer Untersuchung unterworfen worden sind,^) mag auch die Art und Weise, wie dieser Physiker die Reibung wirken Hess, von der uns hier interessierenden noch so sehr verschieden sein. Mit Melde*) werden wir zunächst besser von Reibungs- geräuschen sprechen, wie sie stets auftreten, wenn die Luft aus einer schmalen OeflFnung zu entweichen genötigt ist. Auf dem Wege der Resonanz kann diese wirre Folge rascher Luftimpulse geregelt werden, so wie dies Tyndall*) mit fol- genden Worten ausspricht: „Der dünne Luftstrom brandet gegen die scharfe Kante der Oberlippe und bringt da ein schwirrendes Geräusch hervor, aus welchem gewisse Impulse
*) Leonhard Weber, üeber die sogenannten Miatpoeffera, Schriften des Naturwisaenschaftlichen Vereines für Schleswig-Holstein, 11. Band, S. 66 ff.
^) Der Verf. nimmt die Gelegenheit wahr, für sachdienliche Mit- teilungen den Herren Prof. Dr. S. Rüge in Dresden, Prof. Dr. 0. Lenz in Prag und Dr. H. J. Klein in Köln seinen verbindlichen Dank aus- zusprechen.
') V. Strouhal, üeber eine besondere Art der Tonerregung, An- nalen der Physik und Chemie (2), 5. Band, S. 216 ff.
*) F. Melde, Akustik; Fundamentalerscheinungen und Gesetze ein- nich tönender Körper, Leipzig 1883, S. 250.
*) J. Tjndall, Der Schall, deutsch von H. Helmholtz und G. Wiedemann, Braunschweig 1869, S. 229 ff.
2*
20 Sitzung der math.-phys, Classe vom 5. Januar 1901,
durch die Resonanz der Pfeife verstärkt und in einen Ton ver- wandelt werden/ Eine Pfeife im gewöhnlichen Sinne ist nun zwar in unserem Falle nicht vorhanden, wohl aber eine Viel- zahl von Pfeifen winzigster Dimensionen. Stellen wir uns nämlich eine Sandfläche vor, wie sie uns etwa in Dünen- und Wüstengebieten entgegentritt, so erscheint dieselbe als ein Aggregat kleiner Körperchen von wesentlich gleicher Grösse und BeschaflFenheit, die sich nur locker berühren, so dass überall Luft zwischen ihnen eingeschlossen ist. Der Tritt des Wan- derers nähert diese festen Teilchen einander, und die Luft zwischen ihnen wird komprimiert und strömt aus zahllosen Oejöfnungen mit relativ grosser Geschwindigkeit aus. Bei schneller Bewegung auf angenähert ebenem Boden ändert der den Luftaustritt bewirkende Anstoss unausgesetzt seinen Platz, und so ist kein Grund zu besonderer Verstärkung der Schrill- töne gegeben, wie sie andererseits platzgreifen muss, wenn eine grössere Partie von Sandkörnern nicht nur vorübergehend, son- dern dauernd in Bewegung gesetzt wird, falls etwa eine ge- neigte Fläche, die ein leichtes Abrutschen der Sandmasse im Gefolge hat, begangen wird. Aus der Natur der Reibungstöne scheint also von vornherein, ohne dass auf eigentliche Erfahrung bezug genommen wird, hervorzugehen, dass ein lebhafteres Tönen des Sandes nur unter gewissen Bedingungen zu er- warten ist, während unter gewöhnlichen Umständen nur leise Geräusche das Ohr treffen, die sehr häufig so wenig intensiv sein werden, dass sie die Aufmerksamkeit kaum zu erregen vermögen. Nicht zu verstehen wäre auch, inwiefern die petro- graphische Beschaffenheit der Felsmasse, durch deren Verwitterung und Zerfall sich der Sand gebildet hat, auf dessen akustische Eigenschaften einen Einfluss ausüben sollte. Sehen wir nun zu, wie sich mit unseren auf rein physikalischem Wege gewonnenen Leitsätzen das von der geographischen Litteratur gelieferte Material verträgt. Vor allem wird sich zeigen, dass in der That ausschliesslich aus Dünen- und Wüstenländern die einschlägigen Wahrnehmungen stammen. Beginnen wir mit den ersteren. Wer jemals einen Dünen-
S, Crünther: Akustisch- Geographische Probleme, 21
hügel erstiegen, wird sich erinnern, dass es dabei, wenn der Fuss in die lockere Sandmasse einsank, niemals ganz ohne akustische Begleiterscheinungen abging. Ausnahmsweise ver- stärken sich dieselben, und solche Klangphänomene haben ge- legentlich von sich reden gemacht.
Als in den siebziger Jahren L. Meyn mit der geologi- schen Aufnahme der Insel Sylt beschäftigt war, fesselte ihn der Anblick der stattlichen üferhöhen, als deren Baustoff sich reiner Kaolinsand herausstellte.*) Die Aehnlichkeit desselben mit demjenigen, der ihm früher auf Bornholm zu Gesichte gekommen war, fiel ihm auf; geognostisch sei zunächst zwischen diesen beiden Sauden nicht der geringste Unterschied ausfindig zu machen, und trotzdem sei der Ursprung ein ganz abweichen- der. Derjenige auf der dänischen Insel sei nämlich der Rest eines zerstörten jurassischen Kohlengebirges. Nur das Gehör lasse anscheinend die Verschiedenheit erkennen. Nach Meyn*) gibt der Jurasand Bornholms, zumal bei „schleifender** Bewegung des darüber hinwandelnden Fusses, einen eigentüm- lich schrillen Ton von sich, von dem auf Sylt nichts bekannt sein soll. Welchen sanguinischen HoflFnungen sich dieser ge- wiegte, mit der Feldarbeit ausserordentlich vertraute Forscher hingab, erhellt daraus, dass er den knirschenden Ton zum Range eines leitenden Prinzipes bei stratigraphischen Unter- suchungen zu erheben geneigt war.*) „Ein Charakter dieser Art und von so grosser Seltenheit kann unter Umständen ein ebenso sicherer Leitfaden werden, als die beste Leitmuschel.** Vielleicht käme man an der Hand dieses Hilfsmittels sogar soweit, jurassische Kohlenlager aufzuspüren. Einigermassen stört diese Hoffe ungsseligkeit die Thatsache, dass man auch an der pommerschen Küste bei Kolberg tönenden Sand bemerkt habe, doch hilft über den möglichen Einwand die weitere Hypothese hinweg, dass wohl das in Bornholm anstehende
^) L. Meyn, Öeognostische Beschreibung der Insel Sylt und ihrer Umgebung, Abhandlungen zur geologischen Spezialkarte Preussens und der thüringischen Staaten, 1. Band, l. Heft, Berlin 187G.
2) Ebenda, S. 30 (634) ff.
22 Sitzung der matK-phys, Classe vom 5, Januar 1901.
Küstengebirge die Ostsee unterteufen und mit Ausläufern bis unter den gegenüberliegenden Strand reichen möge.
Diese Andeutung Meyns erregte einiges Aufsehen, obwohl sie zunächst von anderer Seite nicht bestätigt wurde; der beste geographische Kenner der Kolberger Gegend wenigstens, P. Leh- mann, weiss von merkwürdigem Sande nichts zu berichten.*) Jedenfalls bat zu Beginn der achtziger Jahre Baird in Washington die preussische Geologische Landesanstalt um die Uebersendung einer Probe „klingenden Sandes von Kolberg*. Man war mithin auch anderwärts auf die ganz unzutreffende Vermutung geführt worden, es liege da eine Spezialität von Sand vor, während es sich doch nur um eine Eigenschaft aus- gedehnter Sandflächen handeln konnte. Deshalb hielt es Berendt für angezeigt, in einer eigenen Veröffentlichung*) die erforderliche Aufklärung zu geben. Er selbst hatte bei seinen Begehungen der deutschen Ostseeküste die fraglichen Töne mehrfach wahrgenommen : im Samland, auf der Kurischen und auf der Fris(;hen Nehrung, bei Rügenwaldermünde, Heringsdorf und auf der an Mecklenburg angrenzenden, vorpommerschen IIan)inH(^l Darss. Nicht immer lasse sich das oft ziemlich kriirtijjfr, „kreischende" Geräusch nach freiem Belieben hervor- rufen; IViHcli getrockneter Sand biete dazu die günstigsten Be- dingungen; vielleicht wirke ein leichter Salzüberzug mit, der uivhi langem hafte. Jedenfalls habe die Sache keinen eigent- lich g(M)g!i()stis(;luMi, sondern blos einen physikalischen Unter- grund, und von Leitniorkmalen im Sinne Meyns könne keine Itcdo s(»in. „Damit aber fällt auch die Hoffnung, in diesem Klingen des Sand(»H ein spezielleres Unterscheidungsmerkmal der Sande, eine mit einer Leitniuschel vergleichbare Handhabe zur Auffindung dlonw oder jener Formation erhalten zu können*. Von Berendt wird oflenhar der springende Punkt, auf den es
*) Paul liehniHnn, \h\H KOHtenpobiet Hinterpommerns ; Wande- rungen und Studion, /(»ilurhrift der Hcso.llschaft für Erdkunde zu Berlin, 19. Band. 8. 882 ff.
2) Berendt, Vohor „klinKmidcMi" Sand, Zeitschrift der Deutschen Geologischen Gesfillsrhafl, 85. Hand, S. 80)4 ff.
S, Günther: Akustisch- Geographische Probleme, 23
ankommt, richtig betonte An und für sich ist jede Sandan- sammlung dazu geeignet, Klangerscheinungen durch eine schlei- fende, d. h. eine relativ grössere Bodenparzelle in Mitleiden- schaft ziehende Fussbewegung auslösen zu lassen, und der Erklärung ist dann, wenn solche Erscheinungen ausbleiben, eigentlich ein viel weiteres Feld eröffnet, als wenn sie sich in der zu erwartenden Weise einstellen.
Von den Dünen weg wenden wir uns den Wüsten zu, in deren Bereiche wir auf eine reichere Ausbeute von Beobachtungs- thatsachen rechnen dürfen. Schon einer der ersten Europäer, die in der Wüste zu reisen gezwungen waren, der Flamänder Ruysbroek, weiss von sonderbarem, trommelartigem Getöse in den weiten Sandebenen Innerasiens zu erzählen, und ein gleiches gilt von dem Italiener Marco Polo, der auf einer südlicher gelegenen Route dem gleichen Ziele im fernen Osten zustrebte. Man hat wohl diese Nachrichten rein subjektiv gedeutet und in ihnen Ausgeburten eines durch die angreifende Monotonie der Wüstenfahrt krankhaft beeinflussten Empfin- dungsvermögens erblickt, wie ja wirklich auch moderne For- schungsreisende sich solchen Einwirkungen nicht immer zu entziehen im Stande sind.^) Paulmier, dem wir eine wert- volle Ausgabe des Polo'schen Berichtes verdanken, spricht*) demzufolge von „Halluzinationen'*, zitiert aber doch auch eine unzweifelhaft reelle Mitteilung von solchen, der Wüste eigen- tümlichen Beeinflussungen des Gehörorganes. Es ist ja durch- aus nicht zu wundern, dass Menschen, deren Gemüt ohnehin mysteriösen Einflüsterungen zugänglich ist, die Töne, die sie vernehmen, und von deren Herkunft sie sich keine unmittelbare Rechenschaft geben können, mit einer überirdischen Welt in Verbindung bringen. In dem erwähnten, reichhaltigen Aufsatze V. Autenrieths ist auch, mit Bezugnahme auf Angaben des
^) Man vergleiche z. B., was der Botaniker A. v. Bunge über seinen Ritt durch die persische Wüste Lut und über die dort erlebten Sinnes- täuschungen meldet (Die russische Expedition nach Chorassan in den Jahren 1858 und 1859, Petermanns Geogr. Mitteilungen, 1860, S. 223).
2) Paulmier, Le livre de Marco Polo, 1. Band, Paris 1865, S. 150.
24 Sitzung der math^-pity«. Classe vom 5. Janmar 1901.
bekannteü Erforschers Persiens, J. Morier, der Fabelwesoi g<^dacht, mit denen — Ghohols, Dschins — das persische Volk die weiten Sand- und Salzwösten seines Reiches beTölkert hat. grosw:fnteils auch unter dem Zwange unverstandener Sinnes- eindrücke. Genaue, von zuverlässigen Berichterstattern stam- mende und teilweise auch kontrollierbare Nachrichten über ScLallphänomene im Wüstensande liegen Yon drei überaus distanten Orten vor, nämlich aus Afghanistan, aus der westlichen Sahara und vom Ufer des Roten Meeres. Fürs erste sollen der erste und dritte Fall besprochen werden, während der zweite, über den man weitaus am besten unter- richtet ist. zuletzt an die Reihe zu kommen hat. Die einzige sonst noch anzuführende Erwähnung des klingenden Sandes rührt her von den Sandwich-Inseln und findet sich in einer Abhandlung von Meinicke.^)
Gegen Ende der dreissiger Jahre durchzog J. Wood den Hindukusoh auf einem seitdem von Europäern nur sehr wenig betretenen Wege. Als er die Gebirgslandschaft Eofa-Daman erreicht hatte, irfuhr er von den Eingeborenen, dass hier eine Morkwürdijrkeit gezeigt werde*): es sei dies Reig-Rawan, tlor bewegte und dixhvi tönende Sand. Die Klänge, die man dort \\ö\\\ so'wu sehnoklieh und geisterhaft. Solche Schilde- rungen rri/ti'U dt'U Keisenden, sich den Ort genauer anzusehen: vr begab sich daliin in ziemlich skeptischer Stimmung, fand aber die Hinge im grossen und ganzen so. wie man sie ihm beschrit*hen hatte. Die Neigung des mit lockerem Sande be- di'i'ktt'u II iigels betrug nngotahr 4tV: derselbe war der Sonnen- bestrahlung ausiTeset/t. so dass an der Oberfläche eine Tem-
^^ MiMiu. Kr (PiM i;olMVi:sl«;iu *ur iin:pv*' Hriwaü. Petermanns iMVi;v. Muttihnii^iM». IS; I, S .MO^ spricht \oii .itiv. IVrizlaiide von Napali und ir\\i»hi\t «liM .I.Mlni.u ^;n\«J»lüniMi vNi^hili .^/r Ir.sjifirirr'. auf denen durch tJ;»> UiM;4iM,>ll.'u \,tu Sin^»lkt^u)orr. ein tiirer.iirvii:':'«. oft donner- artiiii^s iM^tt^si' ov.««ni:( x\im,Ii« \ ^! \uvv\\ 0:u\u U. iVir..:. S. 671 flF.
•) .K Wo.^a. IVi>,viu»l \;nintt\c of rt .K-.v.r.tv :: :Lr <:iirce of the River Oxu>. b> !\io Koui»» ot iho ln«iu>. K:r.'4.". ;ir./. Rs»:iX>i:äii, London 1841, S. ISO ff.
S. Günther: Akustisch-Geographische Probleme, 25
peratur von 39^/a®, etwa zehn Zoll tiefer immer noch eine solche von fast 24® herrschte. Wie bei solchen Gelegenheiten immer, begaben sich sechs Männer auf den Gipfel der Anhöhe, um mit kräftiger Bewegung („the party above came trampling down**) beim Herabgehen den Sand durcheinanderzubringen. Der Zweck, einen grossen Lärm hervorzubringen, wurde allerdings, ungeachtet man den Versuch mehrmals wiederholte, nicht er- reicht, aber ein Ton liess sich immerhin vernehmen, gleichend dem einer weit entfernten Trommel, gemässigt durch eine sanftere Musik. Wir werden uns überzeugen, dass dieser Tontypus auch anderwärts zur Geltung kommt. Wood möchte das „Wunder" des Reig-Rawan mit der bekannten Schallverstärkung in einer sogenannten Flüstergallerie in Ver- bindung bringen, und insofern hat er darin recht, als auch in einer derartigen Gallerie eine Summation ungemein vieler, an und für sich überaus schwacher Einzelklänge zu einem sehr lauten Gesamtklange bewirkt wird. Massgebend ist aber da die Vereinigung zurückgeworfener Schallstrahlen in einem Brenn- punkte, und insofern steht die Analogie zwischen beiden Ge- schehnissen doch nur auf sehr schwachen Füssen.
Die afrikanische Wüste ist schon oft zum Gegenstande monographischer Darstellung gemacht worden, aber nur einmal begegnet uns die Akustik des Sandes. K. A. v. Zittel, Schirmer, J. Walt her, um nur einige der bekanntesten Autoren namhaft zu machen, lassen diesen Gegenstand unbe- sprochen. Dagegen war 0. Lenz in der Lage, Erfahrungen da- rüber zu sammeln, wie sich dies am besten aus seinen eigenen Worten^) ergibt. „Inmitten der Einöde hört man plötzlich, aus dem Inneren eines Sandberges herauskommend, einen langen dumpfen Ton, wie von einer Trompete, der einige Sekunden anhält, dann aufhört, um nach kurzer Zeit aus einer anderen Gegend wieder zu ertönen. Es macht dies in der totenstillen, menschenleeren Wüste einen unheimlichen Eindruck. Es muss hier gleich bemerkt werden, dass es sich durchaus nicht etwa
») 0. Lenz, Timbuktu, 2. Band, Leipzig 1892, S. 53 ff.
2() Sitguny der wathrphys, Glosse vom 5, Januar 1901,
um (nne akustische Tiinschung, wie man etwa auch optischen TilUHcliungen unterworfen ist, handelt; nicht nur ich, sondern aUo meine Leute hörten diese dumpfen Töne, und der Führer Mohammed hatte uns schon am Tage vorher auf dieses l*hilnomen aufmerksam gemacht*. Lenz bringt, anderer Natur- stimmen nur im Vorbeigehen gedenkend, dieses Tönen der Sandhügel in engen Kausalzusammenhang mit der analogen Tonbildung auf der Sinaihalbinsel, deren Kennzeichnung wir uns für die dritte Stelle vorbehalten hatten, und wir halten dafür, dass er sich dabei im vollen Rechte befindet. Wir wer- den auf die Einzelheiten seines Erklärungsversuches nochmals zurückkommen, wenn wir zuvor das Verhalten des sinaitischen Glockenberges, der nicht mehr isoliert, sondern als Zielpunkt zahlreicher schriftstellerischer Aeusserungen dasteht, näher kennen gelernt haben.
Diesen Namen — Djebel Nakus — führt eine litorale Erhöhung am Golf von Suez, nach RüppelP) etwa 3^/a Stunden nordwestlich von dem bekannten Küstenplatze Tor gelegen, deshalb, weil das arabische Märchen dorthin die Stätte eines versunkenen Klosters verlegt, dessen Glocke sich noch ab und zu vernehmen l?isse. Der erste Europäer, der das allgemeine InteresH(! auf diese merkwürdige Erdstelle lenkte, war der be- kannte Orientreisende Seetzen, der Studienfreund A. v. Hum- boldts von Göttingen her.*) Als er mit seinen Leuten den Berg bestieg, v(!malmi er') zuerst ein leises, säuselndes Geräusch, welchfjs nicht aus (lern inneren Preisen selbst, sondern von dem di(;s(!n bedeck^-nden, lock(;ren Quarzsande kam und nach und nacli (l(!!n Tönr-n chwH Brummkreisels ähnlich ward, schliesslich aber in ein Niarkrvs Drcihnen überging. Bios die Bewegung,
*) K. IMi I» I» »• 1 1 , Uom*i\ imrh Ntibion, Kordorfan und dem petraeischen Amh'iv.u, Knmkfiiri a. M. 1H29, M. 200 If. («Der tönende Berg Nakus*).
') K. linilniH, AloxiiiiflMr v. Humboldt; eine wissenschaftliche HioKniphii', I. Mund, hoip/if^ 1872, H. B9.
") In «nifMMii lli'iHMworkn (Mf-rlin 1854, ed. Kruse) gedenkt Seetzen diir Hiirh« mmIiI ; v^l, dM^i'gcn d'M» Noiiz Monatl. Korrespondenz zur Be- f^')r^U'nn\^^ iUm KmI iitid Ilirninplskundp. 2(». Band, S. 895 ff.
S. Oünther: Akustisch-Geographische Probleme. 27
nicht aber der Wind schien ihm dabei mitzuwirken, und zumal durch absichtliches Herabrutschen von der steilen Höhe brachte er ein immer stärkeres Wogen des zuerst unerheblichen Klanges zuwege. Die starke Lufterschütterung, welche eintritt, wenn eine Klangscheibe, ein Gong, mit einem Schlägel bearbeitet wird, hat eine sehr grosse Aehnlichkeit mit dem musikalischen Rauschen des Sandes, und da solche Instrumente in den Könobien des Ostens viel gebraucht werden, so hatte man auch den Schlüssel zur Erklärung der Volkssage. Es spricht sehr zu gunsten Seetzens, dass er gleich anfangs die nüchterne, in der Hauptsache zutreflPende Interpretation des Vorganges gab. Das Rutschen des Sandes erzeugt Luftwellen, deren Amplitude anfänglich sehr klein ist und stetig grösser wird.
Seetzens Eröffnung machte viel von sich reden, zumal da sie bald nachher auch von anderen Reisenden bestätigt ward. Eine Notiz in einer geachteten französischen Zeitschrift, die übrigens auf die näheren Umstände nicht eingeht, sprach den Glockenberg sogar für eine Weltmerkwürdigkeit an.*) Auch Arago widmete dem „unterirdischen Geräusch zu Nakus** eine Betrachtung, die aber den Kern der Sache nicht trifft.*) Wirk-
*) Sur les bruits souterrains qu'on entend k Nakous, Annales de Chimie et de Phjsique (1), 33. Band, S. 439 ff. ^11 y a pres de Tor une montagne qui sous le rapport des circonstances physiques est peut-etre une des plus remarquables non seulement h l'Arabie Petree, mais du monde entier*.
*) Für den Bericht Aragos war ebenso, wie für denjenigen Brewsters (Edinburgh Journal of Science, 7. Band, S. 51) die Erzählung eines Engländers Gray bestimmend gewesen, der, offenbar voreingenom- men, den ganzen Hergang durch eine trübe Brille betrachtet und an die Mitwirkung vulkanischer Kräfte appelliert hatte. Seiner Ansicht nach sollte der Lärm die primäre, das Abrutschen des Sandes die sekundäre Erscheinung sein. Daher kommt auch die unzutreffende Bezeichnung des Geräusches als eines „unterirdischen", was es in keiner Weise ist. Aus diesem Grunde stellt auch Arago den Glockenberg in Parallele zu anderen Erdgegenden, die mit ihm nicht das mindeste zu thun haben, zu deren Besprechung vielmehr erst in der zweiten und dritten Abteilung dieser Abhandlung Anlass gegeben ist. Vgl. F. Aragos Sämtliche Werke,
li^ Sitzung der wath.-phys. Classe vom 5, Januar 1901,
lieh wertvolle Ermittlungen verdanken vrir, nächst und nach Seetzen, einzig Rüppell, Ehrenberg und Palmer.
Von Rüppells Ortsstudie hatten wir schon zu sprechen; sie ist besonders deshalb von Wert für uns, weil sie uns ein gutes Bild von den Terrainverhältnissen liefert. Der Glocken- berg ist eigentlich ein Sandsteinplateau von namhafter Höhe, welches oben in eine Flugsandebene übergeht. Statt steil ab- zufallen, zeigt sich die Uferhöhe durch eine „Felshohle*, wie sich Rüppell ausdrückt, aufgeschlossen; dies ist ein schräg vom Meere aus ansteigender Einschnitt, dessen Böschungswinkel auf nahe an 50^ geschätzt wird. Nicht blos die Decke, son- dern auch der ganze Untergrund besteht aus feinem Sande, so dass jeder Fusstritt das labile Gleichgewicht stört. Man kann nach Willkür die ganze Masse zum Rollen, und damit zugleich zum Tönen, bringen, und auch ein Windstoss kann diesen Effekt erzielen. Dass die Reflexion des einmal erregten Schalles von den Wänden des Hohlraumes eine verstärkende Wirkung ausübt, wird man Rüppell unbedingt zugeben.
Ehrenbergs an Ort und Stelle gemachte Beobachtungen wurden nahe gleichzeitig mit denjenigen seines Landsmannes in Deutschland bekannt,*) machten aber weit mehr von sich reden. Dass die Bewegung des in der Hohlkehle aufsteigenden Wanderers die massgebende Ursache sei, wird unumwunden anerkannt. Neu ist, dass die Intensität des Tones als eine so beträchtliche geschildert wird. „Mit einem leisen Rauschen anfangend, ging das Geräusch allmählich in ein Murmeln, Summen und zuletzt in ein Dröhnen von solcher Heftigkeit
deutsch von W. (;. Hankcl, 15. Hand, Leipzig 1860, S. 572. Der Heraus- gebor Hanke 1. woloher die Mitteilungen der deutschen Berichterstatter kannte, boriohtigt den Irrtum des französischen Physikers in einer Rand- note und konstatiert: ^Das Cieriiusch entsteht nur durch das Herabrollen des SandcH*.
^) Ehrenberg, lieber das eigentümliche Getöse zu Nakuhs am Berge Sinai, Ann. d. Phys. u. Chem., 16. Band, S. 312 ff.; Schriften der Berliner Gesellschaft Naturforschender Freunde, 1829, S. 393 ff.; Laue, C. G. Khrenberg, ein Vertreter deutscher Naturforschung im XIX. Jahr- hundert, Berlin 1895, S. 08.
S. Günther: Akustisch-Geographische Probleme. 29
über, dass man es mit einem fernen Kanonendonner hätte ver- gleichen können, wenn es nicht anhaltender und gleichförmiger gewesen wäre**. Ehrenberg bemerkte auch, dass das lang- same Erlöschen des Getöses mit der Beruhigung der aufge- rührten Sandlagen zeitlich Hand in Hand geht. Auch wies er, dem eine ganze Reihe spontaner Schallerscheinungen bekannt war, jeden Zusammenhang derselben mit dem Djebel Nakus zurück und liess einzig und allein die Rutschbewegung des Sandes als Tonquelle zu.
Der englische Archaeologe Palm er, der sich übrigens in dem diesem Phänomene gewidmeten Abschnitte seines Reise- werkes ^) auch in naturwissenschaftlichen Dingen gut beschlagen zeigt, charakterisiert die Art des Tönens ganz ebenso, wie dies ziemlich viel früher Ehrenberg that. Je höher man das amphitheatralische Thal hinaufkam, umso mehr verstärkte sich der Schall, und ebenso waren die dröhnenden Klänge desto kräftiger, je weniger bereits die Ruhe der lockeren Sandmassen gestört war. Es ist, so hebt Palmer hervor, eine rein ört- liche Erscheinung und hängt zugleich von der Reibung und von der Erwärmung ab. Die präzise Betonung dieses letz- teren Momentes ist neu, indem früher nur Wood, wie wir uns erinnern, auf die starke Temperaturerhöhung der obersten Schichten des rutschenden Sandes hingewiesen hatte. Bei einem Thermometerstande von etwas über 16^ sei die Schallentwick- lung lange keine so mächtige gewesen, als bei einem Thermo- meterstande von nahe 42^. Auch merkt Palmer an, dass die Feinheit der Sandkörner einen unterstützenden Faktor dar- stelle.*) Jedenfalls steht der Bericht dieses englischen Reisen- den, obwohl derselbe nicht in erster Linie von naturwissen- schaftlichen Interessen geleitet war, in bezug auf Genauigkeit
M E. H. Palm er, The Desert of the Exodus, 1. Teil, Cambridge 1871, S. 217 ff.
*) Einige benachbarte Sandhügel blieben, während der Glockfenberg erdröhnte, völlig neutral, allein sie bestanden aus gröberen Kömern und besassen — hierauf wird gleich nachher zurückzukommen sein — sämt- lich einen kleineren Böschungswinkel.
30 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5. Jantiar 1901,
und allseitige Würdigung aller beeinflussenden Umstände obenan. Auch dadurch bekundet Palm er seine Objektivität, dass er nicht versucht, ein Schallphänomen, das nicht weit vom Glockenberge seinen Sitz hat, auf die gleiche Ursache zurück- zuführen.^)
Eine gewisse Schwierigkeit für den Erklärer bietet nun aber die neuerdings hervortretende Thatsache, dass der Djebel Nakus mit der Zeit entschieden schweigsamer*) geworden
') Auch auf dem Sinai selbst hört man bisweilen dumpfe Töne, die den Arabern umso mehr Stoff zu superstitiöser Deutung geben, als der von Gott angeblich mit eigener Hand gespaltene Berg (Eazwinis Kosmographie, deutsch von Ethe, 1. Halbband, Leipzig 1868, S. 863) vom Volke mit banger Scheu betrachtet wird. Wir lesen bei Palmer (S. 251) über diese Lufterschütterungen: „They are in all probability caused by large masses of rocks becoming detached by the action of frost and roUing wight a mighty crass over the precipice into the valley below". Zweifellos wird hier angespielt auf ein der Wüste eigentüm- liches Vorkommnis, nämlich auf die als eine natürliche Folge des jähen Wechsels von Tageshitze und nächtlicher Kühle sich häufig vollziehende Abtrennung von Gesteinsstücken, die mit jähem Krachen abspringen. Es liegen hierüber unwidersprechliche Zeugnisse von J. G. Wetzstein (Reiseberichte über Hauran und die Trachonen, Berlin 1860, S. 20) und 0. Fraas (Aus dem Orient, Stuttgart 1878, 1. Teil, S. 38 ff., 2. Teil, S. 110) vor, wie nicht minder von dem berühmten Afrikaforscher Livingstone.
^) Gegen Ende der siebziger Jahre befand sich Th. Löbbecke am Golfe von Suez. Der kurze Bericht, den er von seinem Besuche des Glockenberges abstattet (Sitzungsberichte der Niederrheinischen Gesell- schaft für Natur- und Heilkunde in Bonn, 1880, S. 82 ff.), und der von keiner besonderen Vertrautheit mit früheren Mitteilungen über den tönenden Sand zeugt, gewinnt dadurch an Bedeutung, dass es dem Er- zähler nicht gelang, die Masse in Bewegung zu bringen und damit die Töne zu erzeugen. Erst der Abendwind verhalf ihm dazu, „einen eigen- tümlich vibrierenden** Ton zu vernehmen, den auch er mit dem Er- klingen eines Gongs vergleicht. Jedenfalls also war jetzt, etwa zehn Jahre nach Palm er s Anwesenheit an Ort und Stelle, die Sandmasse weniger leicht zum Tönen zu erregen. In den neunziger Jahren endlich bestieg Hen- Professor Dr. Rothpletz den Uferhang, ohne überhaupt irgendwelcher Klangerscheinung inue zu werden; auch in der Tagespresse stösst man nicht mehr auf Angaben dieser Art.
S. GiAnther: ÄJcustisch- Geographische Probleme, 31
ist. Zunächst scheint eine Naturerscheinung mit dem Orte, an dem sie zu wiederholten Malen beobachtet worden war, un- trennbar verwachsen zu sein; freilich weiss man von den Echos, dass ganz geringe Umgestaltungen der reflektierenden Wände diesen Widerhall abgeschwächt oder ganz vernichtet haben, ^) und so darf man von vornherein auf eine geminderte Stabilität akustischer Erscheinungen gefasst sein. Und im vorliegenden Falle liegt eine einfache Hypothese nahe genug, durch deren Anwendung man sich von einer fortschreitenden akustischen Trägheit des Sandes Rechenschaft zu geben vermag. Die Töne werden immer matter werden, je mehr sich das Profil der Sandanhäufung seiner natürlichen Gleichgewichts- lage nähert.
Durch das Studium der Profile von Stratovulkanen, welche sich je gleichfalls zum grossen Teile aus losem Materiale aufbauen, ist man mit der Kurve bekannt geworden, welche die Oberfläche einer Sand- oder Schuttanhäufung bestimmt, wenn diese im stabilen Gleichgewichtszustande verharren soll. Nach J. Milne*) wäre dies eine sogenannte logarithmische Linie; indessen ist in dieser Bestimmung, wie aus den um- fänglichen Versuchen von Loewe^) erhellt, nur eine Annähe- rung an die Wahrheit zu erblicken, indem man nicht einen konstanten, sondern thatsächlich einen vom Böschungswinkel selbst bis zu einem gewissen Grade abhängigen Reibungs- koeffizienten zu Grunde zu legen hat. Auf die Form der Gleichung der Profilkurve kommt es hier nicht an; vielmehr genügt es, festgestellt zu haben, dass eine Anhäufung unge- mein vieler, gleich grosser Körperchen, welche ganz den Wir- kungen der Schwerkraft, Adhäsion und Reibung unterworfen
*) Gehl er 8 Physikalisches Wörterbuch, 2. Auflage, besorgt von Muncke, 3. Band, Leipzig 1827, S. 96.
2) J. Mi Ine, On the Form of Volcanos, Geological Magazine (2),
5. Band, S. 837 ff.; Further Notes on the Form of Volcanos, ebenda (2),
6. Band, S. 506 ff.
*) F. Loewe, Alte und neue Versuche über Reibung und Kohilsion von Erdarten, München 1872.
. 1
32 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5. Januar 1901.
ist, unter dem öesamteinflusse dieser Kräfte eine Gleichgewichts- lage annimmt, für deren Oberfläche eine gegen aussen kon- kave Leitkurve von ganz bestimmter Beschaffenheit mass- gebend ist. Diese wird aber nicht sofort, sondern, wie man auch an den Schutthalden unserer Berge konstatieren kann, erst nach und nach erreicht, und wenn sie erreicht ist, so können örtliche Gleichgewichtsstörungen keinen nachhaltigen Effekt mehr erzielen. Offenbar meint Palm er dasselbe, wenn er sagt, die Neigung des Abhanges sei der »angle of rest** des Sandes im Normalstande. Man beachte wohl, dass von Rüppell und Ehrenberg der Böschungswinkel auf 50^, von Palm er hingegen nur auf 30^ veranschlagt wird; wenn also auch wohl schwer- lich die genannten Reisenden mit Klinometern versehen waren, um genauere Messungen vorzunehmen, so ist der Unterschied von 20^ denn doch ein zu bedeutender, um blossen Schätzungs- fehlern zugeschrieben werden zu können. Bedenkt man viel- mehr, dass ein Zeitraum von mehr denn vierzig Jahren beide Beobachtungen trennt, so kann man sich der Vermutung nicht ent- ziehen, dass im Laufe der Zeit eine Abflachung der Wände des Amphitheaters stattgefunden hat. Und dass es damit auch zu einer grösseren Verfestigung der Masse und infolgedessen wieder zu geringerer Geneigtheit des Sandes, die Rutschklänge hervorzubringen, kommen musste, ist nicht minder eine physikalische Notwendigkeit.
Anders liegen die Dinge, wenn man die von Lenz be- schriebenen Sandhügel der westlichen Sahara ins Auge fasst. Dies sind nämlich echte Dünen. „Die langgestreckten Sand- dünen von Igidi, welche ganze Bergreihen mit scharfen Kanten und Spitzen bilden, haben, wie alle Dünen, eine flachan- steigende, dem Winde zugewendete Fläche und einen stärker geneigten, zum Teile sogar sehr steilen Absturz auf der ent- gegengesetzten Seite. " ^) Wenn also eine ganze Karawane sich
^) 0. Lenz, S. 56, Ueber die gestaltlichen Verhältnisae der Kon- tinentaldünen geben Aufachluss: Sokolow-Arzruni, Die Dünen; Bil- dung, Entwicklung und innerer Bau, Berlin 1894; Bertololy, Kräuse- lungsmarken und Dünen, Münchener Geographische Studien, 9. Heft, 1900.
S. Günther: Akustisch-Geographische Probleme, 33
auf der Leeseite eines solchen Sandberges abwärts bewegt, so ist es nicht zu wundern, dass eine progressive Verschiebung der ganz labil gelagerten Korpuskeln eintritt, welche die be- kannten Geräusche und Töne auslöst.
Auch Lenz macht, ebenso wie Seetzen und Ehrenberg es thaten, die Reibung für die erste Entstehung dieser Klänge verantwortlich, deren stetige Verstärkung dann unbedingt als eine Resonanzerscheinung aufgefasst werden muss. Ob man jedoch mit ihm den einzelnen Quarzkörnchen eine gewisse ,Klangföhigkeit" beilegen darf, erscheint nicht sicher; wir kommen vielmehr auf die gleich eingangs verlautbarte Ansicht zurück, dass nicht sowohl die wechselseitige Reibung der ein- zelnen Teilchen an einander, sondern wesentlich der erzwungene Austritt der bis in grössere Tiefen hinab das lockere Qefüge der Sandmasse durchdringenden Luft sich zuerst als diffuses Reibungsgeräusch, wie es Meyn und Berendt kennen, und allgemach als wirklicher Reibungston im Sinne der Strouhal -Melde sehen Definition (s. o.) bemerklich macht. Bei den flachen baltischen Sandanhäufungen verblieb es beim Knistern, Knirschen, Kreischen; die mächtigeren Sandberge Afrikas, Arabiens, Turkestans gewähren die Möglichkeit wirk- licher Tonbildung. Und mit dieser Auffassung sehr wohl ver- einbar ist endlich auch die mehrseitig gemachte Wahrnehmung, dass Erhitzung des Sandes der Intensität des Schalles förder- lich ist, indem sich eben die eingeschlossene Luft an sich schon in lebhafterem Bewegungzustande befindet.
Hiemit beschliessen wir den ersten Teil unserer Aus- führungen. Das Phänomen des tönenden Sandes kann als ein in der Hauptsache geklärtes gelten, indem lediglich die sekundäre Mitwirkung anderer Faktoren, wie etwa der Wind- richtung, mangels ausreichender Erfahrungsdaten noch einiger- massen in Frage bleibt. Es wäre zu wünschen, dass man hin- sichtlich der der zweiten und dritten Abteilung zugewiesenen Schallerscheinungen auch bereits zu einem gleich befriedigenden Gesamtergebnis gelangen könnte.
1901. SiUoiigab. d. nutth.-phy«. Ol. 3
34
Sitzung vom 9. Februar 1901.
1. Herr H. Ebert hält einen Vortrag: „Weitere Beo- bachtungen der Luftelektricität in grösseren Höhen."
2. Herr F. Lindemann legt eine von dem auswärtigen Mit- gliede der Classe, Herrn A. Voss in Würzburg, eingesandt« Abhandlung: „Ueber ein energetisches Grundgesetz der Mechanik** vor.
3. Herr P. Groth überreicht eine Arbeit des Herrn Prof. Ernst Weinschenk dahier: „Die Kieslagerstätten im Silber- berg bei Bodenmais, ein Beitrag zur Entstehungs- geschichte der Falbänder**, nebst einem Beitrag von Herrn Hüttenverwalter Kaspar Gruber in Bodenmais: „Der Schwefel- und Magnetkiesbergbau am Silberberge in Bodenmais^ Die beiden Abhandlungen erscheinen in den Denkschriften der Akademie.
4. Herr K. A. v. Zittel legt eine Abhandlung des Herrn Obermedizinalrathes Dr. Joseph Georg Ecjger vor: „Ostracoden aus Meeresgrundproben, gelothet von S.M.Sch.Gazelle*. Die Abhandlung wird in den Denkschriften veröffentlicht.
35
Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung
in grossen Höhen.
Von Hermann Ebert.
(Eingelaufen 16. Februar.)
Nachdem durch zwei Fahrten mit dem Freiballon ^) nach- gewiesen worden war, dass man mit der neuen von Elster und 6 eitel ausgearbeiteten Methode die Grösse der elektri- schen Leitfähigkeit der Atmosphäre im Luftballon in grossen Höhen mit kaum minder grosser Sicherheit wie am Boden messen kann, war es bei der Wichtigkeit der Kenntnis des Jonengehaltes der oberen Schichten erwünscht, bei möglichst ruhig gelagerter Atmosphäre eine neue Messungsreihe anzustellen. Auf die hierzu nötigen meteorologischen Bedingungen ist bei uns nur während des Winters mit einiger Sicherheit zu rechnen und zwar dann, wenn sich ein stabiles barometrisches Maximum mit klarem, kalten Frostwetter über dem Continente für längere Zeit erhält. Es wurde daher beschlossen eine neue, dritte Auf- fahrt bei der genannten Wetterlage zum Zwecke luftelektri- scher Messungen vorzunehmen.
Bei dieser Fahrt, für welche die Mittel von dem Münchener Verein für Luftschiffahrt zur Verfügung gestellt wurden, und die wiederum Herr Dr. Robert Emden leitete, sollte ausser- dem eine neue Aufstellart für das Instrument ausprobiert wer- den. Zu diesem Zwecke war am Gondelrande aussen ein kleines Tischchen durch übergreifende Metallbügel angehängt. Durch
4 Vergl. diese Berichte Bd. XXX, Heft III, p. 511, 1900.
3*
36 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 9, Febniar 1901.
die unteren äusseren Enden derselben gingen zwei grobge win- dige Griffschrauben mit Platten an den dem Ballonkork zuge- kehrten Enden, so dass das Tischchen eingestellt werden konnte. Auf dasselbe wurde das Messinstrument mit allem Zubehör gesetzt. Diese Aufstellung hat sich als eine äusserst stabile und für das Beobachten sehr vorteilhafte bewährt. Endhch wurden bei dieser Fahrt auch Messungen mit einem das ganze Instrument umschliessenden, mit dem Zerstreuungskörper gleich- namig geladenen Fangkäfig angestellt, wodurch in den oberen Schichten sehr grosse Beträge der Zerstreuung erzielt wurden (bis zum 23 -fachen der gleichzeitig am Boden gemessenen Zerstreuungen). Da nicht nur negative, sondern auch positive Ladungen mit wesentlich grösserer Geschwindigkeit bei An- wendung des Käfigs zerstreut wurden, so können Störungen durch direkte Bestrahlung des Zerstreuungskörpers (Hall- wachs-Effekt) oder durch Ballonladungen nicht die Ursache dieser hohen Neutralisationsgeschwindigkeiten gewesen sein. Im Gegenteil erhält die von Elster und G eitel aufgestellte Ansicht, dass die Atmosphäre mit frei beweglichen elektrisch geladenen Partikelchen „Jonen" erfüllt sei, eine neue Stütze durch diese Versuche mit dem Fangkäfig, welche zugleich zeigen, dass die Zahl und die Beweglichkeit dieser Teilchen in den höheren Schichten eine ausserordentlich grosse ist.
Während der ganzen, über fünf Stunden dauernden Fahrt wurden gleichzeitig nach einem genau verabredeten Plane in München Zerstreuungsmessungen von Herrn Ingenieur K. Lutz mit einem Instrumente vorgenommen, welches sowohl vor der Fahrt wie nach derselben mit dem im Ballon benutzten In- strumente verglichen worden war.
Dritte Fahrt am 17. Januar 1901.
Schon am 13. Januar bedeckte nach Ausweis der Wetter- karte und des Wetterberichtes der k. b. meteorologischen Central- station den grössten Teil Europas hoher gleichmässig verteilter Druck, während eine anscheinend über dem Ocean liegende
H, Ebert: Weitere Messufigen der eleVtrischen Zerstreuung, 37
Depression sich mit ihrem vorderen Rande nur an der West- küste der britischen Inseln bemerkbar machte.
In den continentalen Lagen herrschte im Flachland meist nebliges Wetter; im südlichen Bayern reichte die Nebeldecke bis hart an den Rand der Voralpen heran. Dagegen meldeten alle Hochstationen übereinstimmend wolkenlosen Himmel und sehr reine öebirgsaussicht.
Am 14. steigerte sich die Herrschaft des hohen Luftdruckes noch mehr, und über Deutschland und Oesterreich lageiiie der Kern eines intensiven Maximums mit 780 mm Druck. Gleich- zeitig bildete sich allmählich eine Temperaturverteilung mit der Höhe heraus, die für unsere Fahrt bestimmend war, da sie die beste Gewähr für eine möglichst stabile Lagerung der Schichten bot: Während die Temperatur im Flachlande überall zu sinken begann, ging sie auf den Hochstationen in die Höhe.
Am 15. hatte sich die Luftdruckverteilung nicht geändert, noch immer behauptete das barometrische Maximum über dem Continente seine Herrschaft, die über dem Ocean ebenfalls noch immer sich haltende Depression machte sich nur im äussersten Westen geltend. Die Temperaturen sanken bei immer klarer werdendem Wetter im Flachlande immer tiefer, auf den Hoch- stationen wurde es immer wärmer, so dass bereits an diesem Tage Temperaturumkehr constatiert werden konnte; in München herrschte z. B. am Morgen — IP, auf der Zug- spitze — 8®.
Da die Wetterkarte vom 16. zeigte, dass das über dem Ocean liegende Minimum im Vorgehen begriffen war und daher der Druck im Westen des Continents zu sinken begann, so durfte die Fahrt nicht länger aufgeschoben werden, wenn wir noch von der überaus günstigen Witterungslage Nutzen ziehen wollten; sie wurde also für den nächsten Tag beschlossen. Noch immer behauptete der hohe Druck seine Vorherrschaft über dem Continente, wenn auch das Barometer etwas zurück- zugehen begann. In Bezug auf die Höhenstationen herrschte noch immer Temperaturumkehr (München —12^, Zugspitze — 7®).
38 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 9. Februar 190t,
Am Fahrttage, den 17. Januar, war keine wesentliche Aenderung in der allgemeinen Wetterlage eingetreten. Noch immer lag das ausgeprägte barometrische Maximum über dem grössten Teile Europas und verlor nur langsam an Intensität, Der Kern desselben wies über Deutschland und Oesten*eich noch immer mehr als 770 mm Luftdruck auf. Die Depression dagegen, welche am 16. über den britischen Inseln erschienen war, zog dem Golfstrome folgend nach Norden hin ab. Ueberall herrschte in Central-Europa das heitere Frostwetter der letzten Tage, nur local durch tiefliegende Nebelschichten getrübt.
In München war am Morgen Rauhfrost gefallen und starker Nebel aufgetreten bei einer Temperatur von — 12®, 769 mm Druck und völliger Windstille. Die Bergstationen hatten alle heiteres, wolkenloses Wetter, die Zugspitze — 5*^ Temperatur.
Das klare Frostwetter dauerte auch noch den folgenden Tag an und erst am 19. trat im Westen Trübung mit zuneh- mender Temperaturerhöhung ein, während gleichzeitig eine tiefe Depression vor den Scilly-Inseln im Westen Englands erschien. —
Am 16. wurden die beiden Zerstreuungsapparate noch einmal miteinander verglichen; dazu wurden sie auf zwei Pfeilern der Attika des Mittelbaues der technischen Hochschule so aufgestellt, dass alle näherliegenden Gebäudeteile (Dachfirst des Haupttraktes u. s. w.) symmetrisch zu den beiden Stand- orten lagen; eventuelle Spitzenwirkungen oder sonstige Stö- rungen durch das Gebäude mussten sich auf beide Instrumente in gleicher Weise äussern. Die Entfernung der beiden In- strumente von einander betrug 7,7 m, so dass auch eine gegen- seitige Beeinflussung ausgeschlossen war.
Ein von der individuellen Beschaffenheit des Apparates unabhängiges Maass der elektrischen Zerstreuung geben die Grössen a (gleich der in einer Minute am Zerstreuungskörper neutralisierten Elektricitätsmenge, diese ausgedrückt in Procenten der ursprünglichen Ladung, vergl. die vorige Mitteilung p. 519). In der folgenden Tabelle beziehen sich die ungestrichelten Buchstaben auf das Balloninstrument, die gestrichelten auf den
H. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung, 39
Vergleichsapparat. Als Versuchsdauer wurde immer eine Viertel- stunde gewählt. Hinzugefügt sind die nach der Fahrt erhal- tenen Vergleichs werte, sowie die ein Maass für die Unipolarität der Leitfähigkeit abgebenden Werte q = a-j a^ und endlich das Verhältnis (r) der procentualen Entladungsgeschwindigkeit : Balloninstrument / Vergleichsinstrument für Ladungen von dem- selben Vorzeichen.
Zeit (p. m.) Vorzeichen
E
ii^lo
a'O/o
|
2h 27ni |
|
|
3 |
15 |
|
2 |
45 |
|
3 |
5 |
|
3 |
25 |
|
3 |
45 |
München, den 16. Januar 1901.
42« ' + 1,36 0,41^ I ^^^ 0,42 \
30 —
1,36 1,30
0,39 /
0,39/
0,93
0,98 1,00
München, den 18. Januar 1901.
|
3h 0™ |
+ |
0,87 0,26 1 1,80 1 0,54/ |
2,07 |
|
20 |
— |
||
|
40 |
+ |
1,56 0,47 \ |
1,26 |
|
4h 0» |
— |
1,97 j 0,59/ |
0,34 \ 0,57/ 0,26 \ 0,51/
1,67
2,00 Mittel
0,77 0,95 1,83 1,15
1,11
Die beiden Apparate waren nicht ganz gleich dimensioniert; der im Ballon verwendete hatte einen Zerstreuungskörper von 10,4 cm Höhe und 5,0 cm Durchmesser; das unten benutzte Vergleichsinstrument dagegen einen solchen von 10,2 cm Höhe und 4,6 cm Durchmesser. Die relative Capacität n des Elektro- skopes allein zu dem System : Elektroskop ~|- Zerstreuungskörper hatte bei den Instrumenten den Wert 0,488 bezw. 0,450 (Mittel aus je 12 Einzelbestimmungen). Bildet man aus den mitgeteilten Vergleichszahlen r das Mittel, so findet man, dass die Angaben des Vergleichsinstrumentes auf diejenigen des im Ballon benutzten reduciert werden, wenn man die ersteren mit 1,11 multipliciert.
Ein Reductionsfactor von etwa derselben Grösse hat sich auch an anderen Tagen, an denen beide Instrumente an dem- selben Orte gleichzeitig benutzt wurden, ergeben. Man sieht,
40 Sitzung der mathrphys. Classe vom 9, Februar 1901.
dass gelegentlich nicht unerhebliche Abweichungen vom Mittel vorkommen. Immerhin werden durch die genannte R^duction wenigstens angenähert vergleichbare Werte erhalten. In allen folgenden Tabellen werden daher zum Vergleiche unter den gestrichelten Buchstaben die auf das Balloninstrument durch Multiplication mit 1,11 reducierten Angaben des Vergleichs- instrumentes aufgeführt, so oft der im Ballon benutzte Apparat ohne Fangkäfig, sondern nur mit dem gewöhnlich über ihn gesetzten Schutzdach gegen Sonnenstrahlung und Influenz- wirkungen benutzt wurde.
Um aber auch für den Fall, dass das Balloninstrument mit dem Käfig ausgerüstet wurde, die Reduction der Vergleichs- zahlen zu ermöglichen, wurden die beiden Instrumente wieder- holt verglichen:
Balloninstrument im Käfig, Vergleichsinstrument unter dem Schutzdach.
Ich teile im Folgenden nur die beiden am Tage vor der Fahrt erhaltenen Vergleiche mit.
Zeit (p. m.) Vorzeichen I E \ n^JQ \ q a'0/„ ; q' j{
,____,_^, _ . X 1 J . . ^ L ■ .-._-._...
München, den 16. Januar 1901. Balloninstruraent im Käfig.
2h 52m -3h 7n. ^ I 2,03 | 0,61 \ ' ,, ! 0,30) ' ' 2,03
3 50 - 4h 5« - 3,00 ' 0,90/ ' 0,48/' ' \ 1,88
Mittel 1,96
Der Käfig wurde sehr weitmaschig gewählt, damit er die freie Circulation der Luft möglichst wenig behindere; er war cylinderfbrmig, 45 cm hoch und 25 cm im Durchmesser. Unten stand er auf einer runden Metallplatte mit Metallrand, welche auf einer mit Siegellackfüssen versehenen, dicken Glasplatte lag. Die Maschen hatten rhombische Gestalt und 46 bezw. 38 mm Diagonalenlänge im Lichten, gegenüber 1,6 mm Dicke des ver- zinkten Eisendrahtes, aus dem das Netz bestand. Der im
U. Ehert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung. 41
Inneren stehende Zerstreuungsapparat wurde nach dem Vor- gange von Elster und Geitel vermittelst einer Sonde, einem in ein Glasrohr mittels Siegellack eingekitteten dicken Metall- drahtes, von der Trockensäule aus so geladen, dass das Draht- netz, welches gleichzeitig zur Erde abgeleitet wurde, nichts von dieser Ladung empfing. Im Ballon wurde statt der Erdleitung eine längere Drahtleitung benutzt, welche am Rande des Ballon- korbes entlang geführt und mit allen grösseren leitenden Massen in der Gondel, u. A. dem Beobachter verbunden war. Sobald der Apparat im Inneren für sich bis zu einem Potentiale von der Höhe, wie sie auch sonst als Anfangsladung für die Mes- sungen benutzt wurde, gegenüber dem ihn umschliessenden Metallhohlkörper (Netz + metallene Fussplatte), mit dem auch das Elektroskopgehäuse in leitender Verbindung stand, ge- laden war, wurde die Leitung von dem Drahtnetze abgenommen, so dass der Käfig nun völlig isoliert dastand, da er ja auf dem Glastischchen ruhte; nun wurde die Trockensäule mit dem eben benutzten Pole an den Käfig angeschlossen, ihr anderer Pol mit der Ableitung verbunden, so dass der Käfig mit demselben Vorzeichen wie der Zerstreuungskörper selbst geladen war. Dass das Netz, trotz seiner Maschen weite das von ihm einge- schlossene Elektroskop mit seinem Zerstreuungskörper voll- kommen gegen äussere elektrostatische Einwirkungen schützte, war schon daran unmittelbar zu erkennen, dass die Blättchen weder bei den Beobachtungen an der Erde noch bei denen im Ballon irgend wie zucken, wenn die Ableitung oder die Trocken- säule an den Käfig angelegt oder von ihm abgenommen wird. Durch besondere Versuche im Laboratorium habe ich mich aber ausserdem davon überzeugt, dass ein elektrisch geladenes Teil- chen, welches durch die Maschen in das Innere des Käfigs ge- langt ist, dessen elektrostatischen Wirkungen in der That voll- kommen entzogen ist. Es wird nicht wieder herausgezogen, wenn die Käfigladung der seinigen etwa entgegengesetzt ist, selbst wenn man den Käfig so stark ladet, dass man kräftige Funken aus ihm ziehen kann.
Dieses Resultat steht vollkommen im Einklänge mit den
42 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 9, Februar 1901,
Berechnungen, welche Maxwell in seinem Treatise, B. I, § 203 ff., über die elektrostatische Schutzwirkung von solchen Metallgittern angestellt hat. Hierdurch erklärt sich die jeder- zeit zu beobachtende gesteigerte Geschwindigkeit, mit der Ladungen im Inneren des gleichnamig geladenen Käfigs neu- tralisiert werden, in ungezwungener Weise, falls man sich auf den Standpunkt von Elster und Geitel stellt und annimmt, dass in der Atmosphäre in der That frei bewegliche, positiv und negativ geladene kleine Partikelchen jederzeit vorhanden sind, von denen in einem solchen geladenen Käfig eine grössere Anzahl angesammelt wird.
Die oben mitgeteilten Messungen zeigen, dass der hier ver- wendete Käfig die Entladungsgeschwindigkeit etwa verdoppelt. Nahezu dieselbe Zahl i? = 2 hat sich an anderen Tagen ergeben, z. B. am 9. Dezember 1900, einem kalten, klaren Wintertage, an dem die Vergleichungen von früh morgens bis zum Abend fortgesetzt wurden. Wir wollen daher die Angaben des Ver- gleichsinstrumentes immer mit 2 nmltipliciert unter a' in den folgenden Tabellen dann aufführen, wenn oben im Ballon mit Käfig gearbeitet wurde. Diese Zahlen geben dann ungefähr die Entladungsgeschwindigkeit in Procenten der Anfangsladung an, welche von dem Balloninstrumente angezeigt würde, wenn dasselbe zur gleichen Zeit unten mit dem Käfig benutzt wer- den könnte. Freih'ch ist diese Beziehung der gleichzeitigen Beobachtungen auf einander eine nicht ganz sichere. Denn die Spannungen, bis zu denen der Käfig durch die Trocken- säule geladen wird, wechseln mit dem Zustand der Säule, der bekanntlich selbst kein sehr constanter ist. Dass aber vor, während und nach der Fahrt die benutzte Ladesäule keine grossen Aenderungen erfahren hat, geht aus Folgendem hervor. Zur Erzielung eines geeigneten Ausschlages war die Spannung der ganzen Säule zu gross; sie musste an einer Stelle nahe der Mitte abgeleitet werden, wenn der für die Messung geeignetste Maximalausschlag am Elektroskop erhalten werden sollte. Die Stellen, an denen für die beiden Vorzeichen die Ableitung zu erfolgen hatte, blieben während der drei Beobachtungstage die
jff. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung. 43
gleichen, ein Zeichen, dass sich wenigstens in dieser Zeit die Spannung der Säule nicht merklich verändert hatte. —
Am Fahrttage massen wir früh 8** 40™ am Aufstiegplatze — 15,2** C. und 89% Feuchtigkeitsgehalt, einem Mischungs- verhältnis (kg Wasserdampf pro kg Dampf-Luftgemisch) von 0,0011 entsprechend. Rauhfrost und Nebel waren ringsum. Während das Elektroskop mit Schutzdach negativ geladen auf einem Wagen stand, wurde die Ballonkugel, als sie aus der Ballonhalle gebracht wurde, so dicht wie möglich an das In- strument herangeführt. Nicht das geringste Zucken der Blätt- chen war bemerkbar, die Zerstreuung zeigte vor und nach dem Herannahen des Ballons keinen Unterschied. Dadurch wird die früher (vorige Mitteilung p. 520) geäusserte Befürchtung, der Ballon möchte wenigstens im Anfange, bis sich seine Eigen- ladung zerstreut hat, die Messungen beeinflussen, entkräftet und die Ergebnisse der Herren Tuma und Börnstein, welche auf den Mangel einer merklichen Eigenladung des Ballons hin- weisen, auch durch die Zerstreuungsmethode bestätigt, eine Thatsache, welche natürlich das Vertrauen, welches man in die im Freiballon angestellten Messungen setzen darf, erheblich steigert. Sowohl am Aufstiegsorte vor der Fahrt wie am Lan- dungsplatze nach derselben wurden Messungen mit beiden Vor- zeichen vorgenommen; die folgende Tabelle zeigt,' dass die er- haltenen Resultate untereinander gut übereinstimmen, so dass das Instrument durch die Fahrt nicht gelitten haben konnte; die Werte liegen femer ganz in dem Bereiche derjenigen, welche sonst um die entsprechende Tageszeit am Boden er- halten wurden, sowie der am Vergleichsinstrumente erhaltenen Zahlen, wenn dieselben auch am Morgen etwas später, am Nachmittage, nach der Landung, etwas früher erhalten wurden, als die mit dem Balloninstrumente gefundenen Werte. Die Zahlen V der letzten Colonne geben den Vergleich der Beo- bachtungsorte (V = a [Balloninstrument J / a' [Vergleichs- instruraent, letzteres reduciert]).
44
Sitzung der math.-phys. Classe vom 9. Februar 1901.
Zeit
Vorzeichen | E
München, den 17. Januar, Vormittags. Exerzierplatz der Militär-LuftschifFerabteilung.
^ 30™ 8 48
45m 58
+
2,33 2,11
0,70 \ 0,63/
0,91
oiso/r^'^^
1.0 1,6
Hohenaltheim bei Nördlingen, den 17. Januar, Nachmittags.
2 30 — 45 2 50 - 31» 5»^
+
3,35
2,88
1,00 \ 0,86/
0,86
0,33 \^ 0,57/
1,78
3,0 1,5
Um 9^ 8™ fuhren wir mit starkem Auftrieb ab; in einer Minute hatten wir 79 m über dem Boden die obere Schicht des Nebels erreicht. Hier aber wurde der Aufstieg plötzlich gebremst, da wir mit unserer kalten GasfüUung in eine sehr viel wärmere Luftschicht eingetreten waren. Erst als vier Sack Ballast ausgegeben waren, vermochten wir den Einfluss der erheblichen Temperaturumkehr zu überwinden und weiter zu steigen. Um 9^ 18°^ wurde in 842 m Meereshöhe (318 m über dem Boden) -{-1,2^ Temperatur gemessen, so dass wir in ca. 16^ wärmere Luftschichten einfuhren. Die durch die Berg- stationen bereits angezeigte Temperaturumkehr wurde also auch im freien Luftmeer angetroflfen und war hier sogar noch stärker ausgeprägt, weil sich das Luftmeer ca. 4® — 6® wärmer als die gleich hoch gelegenen Hochstationen erwies. Ueber uns war tiefblauer wolkenloser Himmel, an dem selbst das leichteste Cirrusgewölk fehlte. Die Alpen waren von seltener Klarheit, Bodennebel bedeckte die Hochebene nur zum Teil, besonders dicht über München, so dass nur die runden Kuppen der Frauen thürme aus dem weissen, streifenförmig angeord- neten Nebelmeere emporragten. Es konnte keinem Zweifel unterliegen, dass wir uns unter der Einwirkung absteigender Luftströme befanden, die uns die ionenreichere Luft der höheren
H. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung, 45
Schichten zutrieb und so durften wir ausnehmend grosse Zer- streüungsgeschwindigkeiten von vornherein erwarten.
Auch bei dieser Fahrt waren deutlich drei verschieden geartete Luftschichten zu unterscheiden, die sich durch ver- schiedene Temperaturen und Temperaturgradienten, verschie- denes Mischungsverhältnis und namentlich durch die verschiedene Richtung und Geschwindigkeit, in der und mit der sie uns be- wegten, hinreichend scharf gegen einander abgegrenzt werden konnten.
1. Luftschicht: vom Boden bis ca. 1400 m.
In dieser untersten Schicht wurde zunächst die bereits erwähnte sehr starke Temperaturzunahme mit der Höhe un- mittelbar über der Nebelschicht beobachtet. Der Temperatur- gradient ging in ca. 1000 m in eine dem adiabatischen Gleich- gewichte entsprechende Zunahme von rund 1^ pro 100 m Anstieg über. Diese Temperaturverteilung war der Ausdruck einer äusserst stabilen Lagerung der dem Boden unmittelbar aufliegenden Schicht. Der relative Feuchtigkeitsgehalt war auf 49°/o herabgegangen (gegen 89®/o am Boden), das Misch- ungsverhältnis war auf 0,00245 gestiegen. In dieser untersten Schicht wurden elektrische Verhältnisse angetroffen, welche denen am Boden insofern glichen, als eine ausgesprochene Unipolarität (durch q gemessen) und ein Ueberwiegen an freien + Jonen angezeigt war; da die Beweglichkeit der Jonen in der klaren reinen Luft eine viel grössere als unten im Nebel sein musste, dürfen wir uns nicht wundern für den negativ geladenen Zerstreuungskörper eine ca. viermal so grosse Ent- ladungsgeschwindigkeit zu finden, als sie gleichzeitig unten beobachtet wurde. Es wurde mit Schutzdach aber ohne Käfig geraessen.
46
Sitzung der mathrphys. Classe vom 9, Febrtuir 1901,
Zeit
Höhe
Tem- peratur
9h IQm — 33in 9 37 — 52
995m' + 1,60 C. 1275 3,0
Relative Feuchtig- keit
490/0 49
I
Mischange- verhältnis
0,0024 0,0025
Span- nungen
189—188 199-172
2. Luftschicht: von 1400—2000 m.
Etwa um 10^ traten wir in eine eigentümlich beschaffene Luftschicht ein, die wir erst um 11^ 8°* etwa in 2000 m Höhe verliessen: eine nahezu vollkommen isotherme Schicht mit dem Temperaturgradienten Null. Bekanntlich bildet es noch ein ungelöstes Problem der Thermodynamik der Atmo- sphäre, wie solche isotherme Schichten von mehreren Hundert Metern Mächtigkeit im Luftmeere zu Stande kommen und wie sie sich zu erhalten vermögen. Der Uebergang war kein allmählicher, sondern ein plötzlicher mit 44®/o relativer Feuch- tigkeit, -f- 4,4^ Temperatur und 0,0027 kg Mischungsverhältnis, Werte, welche bis zum Austritt aus der Schicht fast die gleichen blieben. Vielleicht hatten wir es sogar mit zwei übereinander liegenden und schwach gegeneinander bewegten isothermen Schichten, die in etwa 1750 m Höhe aneinander grenzten, zu thun.
In dieser Schicht wurde zum ersten Male mit Käfig ge- arbeitet. Das Schutzdach über dem Zerstreuungskörper wurde dabei weggelassen, da die Laboratoriumversuche gezeigt hatten, dass der Drahtkäfig genügenden elektrostatischen Schutz gewähi*te.
Zeit
Höhe
I Relative , '^^'"- I Feuchtig- r'""^""«"- peratur 1 •. Verhältnis
|
IQh 2™ — 17»" |
1470 m |
1 + 4,40 c. |
440/0 |
|
10 22 — 27 |
1550 |
4,5 |
45 |
|
10 29 — 40 |
1605 |
' 4,3 |
46 |
0,0027 0,0028 0,0028
Span- nungen
192—141 180—141 197-126
H. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung. 47
Spannungs-
abnahme pro
15 Minuten
Vorzeichen
E
6 Volt
+
1,38 6,32
aO/o
°% ;} *•"
a'O/o
0,61 0,44
}
0,86
0,80 4,3
Wie die vorstehenden Zahlen zeigen, wurden verhältnis- mässig sehr hohe Werte für die Zerstreuung gefunden. Dabei ist nicht nur die Neutralisationsgeschwindigkeit der negativen Ladungen gesteigert, sondern auch die der positiven, ja die Entladungsgeschwindigkeit der letzteren ist relativ mehr er- höht, als diejenige der negativen Ladungen, so dass das mittlere Verhältnis q = a^ j a^ gegen die vorher mit Schutzdach erhal- tenen Werte zurückgeht. Es kann also kein merklicher Hall- wachseffekt vorliegen und die intensive Sonnenbestrahlung hat keinen Einfluss auf den vollkommen geschwärzten Zer- streuungskörper mehr, wie dies auch die Herren Elster und Geitel feststellten. Das Zurückgehen des Wertes für q zeigt an, dass sich die ünipolarität der luftelektrischen Lei- tung mit der Höhe mehr und mehr ausgleicht, wäh- rend zugleich die absoluten Beträge der Leitfähigkeiten für beide Vorzeichen zunehmen, genau wie dies schon bei den früheren Fahrten gefunden worden war.
3. Luftschicht: über 2000 m.
Erst als wir um 11^ 8™ nach Ballastauswerfen die Höhe von 2000 m tiberschritten, kamen wir aus der isothermen
Spannungs-
abnahme pro
15 Minuten
51 Volt
(117)
(97)
|
Vorzeichen |
E |
aO/o |
? |
|
+ |
13,39 31,81 26,46 |
7,93 |
a'O/o
0,96 )
1 I 1.50
} 1,44 )
4.2 7,1
48
Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9, Februar 1901.
Schicht heraus und traten in eine neue Luftschicht ein, was sich sofort auch an einer Aenderung der Fahrtrichtung zu erkennen gab; dieselbe ging bis dahin ziemlich genau nach Westen und bog jetzt nach Nordwesten um. In dieser Schicht nahm die Temperatur regelmässig von -|- 4,0 ^ in der isothermen Schicht auf — 2,5 ^ ab in der höchsten bei dieser Fahrt er- reichten Höhe von rund 3200 m mit einem Gradienten von ca. 0,53 auf 100 m Erhebung. Dieser geringe Gradient ist wieder ein Zeichen von der ausserordentlich stabilen Lagerung aller Luftschichten an diesem Tage auch in diesen grösseren
1 11
1 20 I 2730 I + 0,6
43
0,0024
|
Zeit i _ iih i2in |
Höhe j 1930 m ' |
Tem- peratur + 3,3<»C. |
Relative Feuchtig- keit 420/0 1 |
Mischnngs- vei'hältnis 0,0027 |
Span- nungen |
|
|
101» 52" |
189—170 |
|||||
|
11 17 |
— 32 |
2285 |
2,1 |
42 |
0,0025 |
198—168 |
|
11 42 |
— 47 |
2376 |
1,7 |
43 |
0,0024 |
174—122 |
|
11 49 |
— 59 |
2660 |
1,7 |
42 |
0,0024 |
183—104 |
|
12 4 |
- 9 |
2880 |
0,3 |
' 42 |
0,0023 |
142—104 |
|
12 11 |
— 17 |
2930 |
-1,0 |
' 42 |
0,0023 |
178-104 |
|
12 19 |
— 24 |
3005 |
1,9 |
46 |
0,0023 |
179—125: |
|
12 32 |
— 47 |
3106 |
2,2 |
: 47 |
0,0028 |
198—183 |
|
12 61 |
— Ih gm |
3060 |
2,1 |
46 1 |
0,0024 |
188-126 |
188—184
Höhen. Die relative Feuchtigkeit erhielt sich auf 42 — 47°/o, das Mischungsverhältnis ging von 0,0027 auf 0,0023 zurück. Noch während des Ueberganges aus einer in die andere Luft- schicht wurde die erste der unten folgenden Messungen ohne Käfig aber mit Schutzdach angestellt. Wenn ihr auch wegen der grossen Vertikalbewegung kein allzugrosses Gewicht zu- kommt, so zeigt sie doch beim Vergleiche mit den in der ersten Schicht viel tiefer unten in gleicher Weise angestellten Mes- sungen durch die Höhe der erhaltenen Zerstreuung für +, dass sich die relative Zahl der — »Tonen in diesen höheren
H. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung. 49
Schiebten erheblich vergrössert haben musste. Die — Zer- streuung zeigt dagegen nur eine geringe Zunahme, die durch q ausgedrückte Unipolarität wird kleiner.
In dieser Luftschicht wurden bei Anwendung des Käfigs (Zahlen unterhalb des ersten Striches) die grössten Entladungs- geschwindigkeiten erhalten, die ich je beobachtet liabe. Wäh- rend bei den Messungen am Boden für jede Beobachtung ge- wöhnlich ein Zeitraum von 20 — 30 Minuten gewählt wird, um einen deutlichen Rückgang der Blättchen zu beobachten, fielen dieselben hier oben so rasch zusammen, dass die Messung be-
|
Spannungs- abnahme pro 15 Minuten |
Vorzeichen |
E |
1 ao/o |
a |
a'O/o |
3' |
V |
|
(14) Volt 30 |
+ |
8,44 7,12 |
1,03 2,13 |
} 2,07 |
^»'^ llll 0,40 / '''' |
2,9 6,2 |
|
|
' (156) (119) l (114) (185) (1C2) |
+ + |
46,21 86,80 40,57 58,33 46,78 |
13,86 11,04 12,16 17,48 14,03 |
1,17 |
1 0,60 1,22 |
1 . 2,03 |
} 20,8 [ 11,9 |
|
15 , 62 |
+ |
3,40 17,86 |
1,02 5,20 |
} 6,10 |
^^^^ \ 1 71 0,54 / ^''^ |
3,3 9,6 |
|
|
(V) |
+ |
1,55 |
0,46 |
reits nach 5 Minuten beendet war, da ein weiteres Warten zu zu kleinen Divergenzen geführt hätte, bei denen die Potential- messungen ungenau werden. Dieses rasche Verschwinden der Ladungen hat den grossen Vorteil, dass viel mehr Einzel mes- sungen ausgeführt werden können, was den grossen, nament- lich bei Hochfahrten mit WasserstofFgas nicht zu unterschützen- den Vorzug bietet, dass man für einzelne Luftschichten geltende Werte erhalten kann, auch wenn man bei nisclier Vertikal- bewegung die Schichten schnell wechseln muss.
Die zwischen 11^' 42»" und 11'» 47»»» in 2375 m Höhe er-
1901. Siizangsb. d. matb.-pbyn. Ct. 4
50 Sitzung der math.-phys. Classe vom 9, Februar 1901,
haltene Zerstreuungsgeschwindigkeit von 13,86% für + Ladung übertrifft diejenige, welche man gleichzeitig unten (nach den Angaben des Vergleichsinstrumentes und der oben angegebenen Reduction) bei demselben Instrumente mit dem Käfig erhalten haben würde um das 23 fache. Noch grosser war die Ent- ladungsgeschwindigkeit der — Ladung zwischen 12^ 11™— 17" in 2930 m mit a_ = 17,48%.
Während wir noch auf der grössten Höhe waren, wurde zwischen 12^ 32*" und P 6™ nochmals mit Schutzdach beob- achtet (Zahlen unter dem zweiten Strich).
Wie man sich die hierbei zu Tage tretende Unipolaritat von einer Grösse, wie sie diesen hohen Schichten bei den an- deren Fahrten nicht eigen gewesen ist, zu erklären habe, ver- mag ich vor der Hand noch nicht anzugeben.
Um 1** 13™ begann der Ballon sehr rasch zu fallen, ohne dass der Fall weiter aufgehalten werden konnte. Die begonnene Messung mit + Ladung und Schutzdach ohne Käfig wurde in- dessen noch weiter fortgesetzt (letzte Reihe der Tabelle). In- dessen besitzt der erhaltene Wert nicht dieselbe Sicherheit, wie die anderen Zahlen, da wegen allerlei Hantierungen in der Gondel, das Instrument nicht mehr so grosse Ruhe hatte wie zuvor. —
Wie früher, so wurde auch bei dieser Fahrt nicht nur am Anfang und am Ende der in der Tabelle angegebenen Zeiten, sondern auch in Zwischenzeiten, meist in Intervallen von je 5 Minuten abgelesen. Das gesamte im Ballon aus 49 Einzel- ablesungen erhaltene Zahlenmaterial lässt wieder erkennen, dass im Allgemeinen in gleich lange dauernden Unterabschnitten jeder Beobachtungsreihe etwa die gleichen Elektricitätsmengen unabhängig von der Höhe des Ladungspotentiales entladen werden (vergl. vorige Mitteilung Nr. 529), wenn dieses Mal diese Erscheinung auch nicht so deutlich wie sonst hervor- getreten ist.
H. Ebert: Weitere Messungen der elektrischen Zerstreuung, 51
Resultate:
1 . Die Ergebnisse der früheren Fahrten haben sich voll- kommen bestätigt.
2. Bei der sehr regelmässigen Schichtung der Atmosphäre bei dem barometrischen Wintermaximum, in welches diese dritte Fahrt fiel, war die nach oben hin abnehmende Unipolarität, also die Verminderung der Wirkung des negativ geladenen Erdkörpers bei erheblich zunehmender Entladungsgeschwindig- keit für beide Vorzeichen deutlich ausgeprägt.
3. Die Aufstellung des Zerstreuungsapparates auf einem ausserhalb der Gondel befestigten Tischchen hat sich sehr gut bewährt und empfiehlt sich aus verschiedenen Gründen mehr als die Aufhängung im Inneren des Ballonkorbes.
4. Durch Einbauen des Zerstreuungsapparates in einen gleichnamig geladenen Fangkäfig lässt sich die Zerstreuungs- geschwindigkeit für beide Vorzeichen erheblich steigern; so wurde in 2375 m Höhe eine 23 mal so grosse Entladungs- geschwindigkeit für + beobachtet, als dasselbe Instrument am Boden (nach Ausweis eines Vergleichsinstrumentes) mit Käfig ergeben haben würde. Dabei dürfte die Genauigkeit nur un- beträchtlich vermindert sein ; dagegen wird der Vorteil erreicht, dass die Zahl der Einzelbestimmungen erheblich gesteigert werden kann.
5. Bei dieser Fahrt haben sich sehr grosse Beträge der Zerstreuung in der Höhe ergeben, offenbar unter der Wirkung einer schon seit vielen Tagen andauernden grossen Luftklarheit und absteigender Luftströme, welche sehr ionenreiche Höhen- luft dem Instrumente, namentlich dem vom Schutzdach nicht bedeckten, zuführten.
6. Störungen durch Ballonladungen oder durch lichtelek- trische Wirkungen waren nicht nachweisbar.
53
Ueber ein energetisches Grundgesetz der Mechanik.
Von A. Voss in Würzburg. (Eingeiaufen 10. Februar.)
Herr C. Neumann^) gelangt bei einer kritischen Be- sprechung des Ostwald'schen Principes des grösstmöglichen Umsatzes der Energie*) zu folgendem Satze:
„Ein beliebigen Bedingungen unterworfenes materielles System bewege sich unter Einfluss gegebener Kräfte, die ein Potential haben. Befindet sich dieses System zu Anfang eines unendlich kleinen Zeitelementes t in Ruhe, so wird unter allen mit jenen Bewegungen und mit der Formel des Principes der lebendigen Kraft verträglichen virtuellen Bewegungen eine vorhanden sein, deren lebendige Kraft zu Ende der gegebenen Zeit T am grossesten ist. Diese letztere wird alsdann die- jenige sein, welche unter dem Einfluss der gegebenen Kräfte während der Zeit t in Wirklichkeit eintritt.**
Wenn es sich darum handelt, diesen Satz, der übrigens mit bekannten Sätzen über die Wirkung momentaner Kräfte zusammenhängt,^) auf den Fall auszudehnen, wo das System sich nicht in relativer Ruhe befindet, so wird die unbestimmte
*) C. Neumann, das Ostwald 'sehe Axiom des Energieumsatzes, Leipz. Ber., p. 184 (1892).
») W. Ostwald, Lehrbuch d. allg. Chemie, 2. Aufl., Bd. 2, p. 37 (1892).
3) Man vergleiche z. B. J. Routh, Dynamik der Systeme schwerer Körper, übers, v. A. Schepp, Bd. 1, p. 335 u. fF., sowie die Noten von J. Bertrand zur Mecanique analytique (Lagrange, Oeuvr. Coiiipl. XI. p. 311).
54 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 9, Februar 1901,
Form, in welcher in der Mechanik von virtuellen Bewegungen und Verrückungen Gebrauch gemacht wird, hinderlich. Man versteht unter solchen bald fingirte Verschiebungen, dann wieder Geschwindigkeiten oder auch Beschleunigungen, welche den betrachteten Puncten zur Zeit t oder auch für die Lage, welche sie zur Zeit t -}- dt einnehmen, zugeschrieben werden. Es beruhen darauf auch die Unklarheiten, welche über manche Sätze, wie z. B. über das ebenfalls mit dem obigen Theorem in engem Zusammenhange stehende Princip des kleinsten Zwanges noch gegenwärtig selbst in ausführlicheren Lehr- büchern^) enthalten sind.
Versucht man, dem obigen Falle, soweit er sich auf die Vorstellung einer bei einer virtuellen Bewegung erzeugten lebendigen Kraft bezieht, eine vollständig klare mecha- nische Bedeutung zu geben, so kommt man zu folgender An- schauung.
Werden die Coordinaten der Punkte (x,), (y,), (ßi) des Systems zur Zeit ^ = 0 ohne Unterschied mit a?,, ihre Massen durch m,, die auf sie wirkenden Kraftcomponenten durch Xi bezeichnet, so dass
^1 = (^i)» ^2 = (^i)» ^s = (^)i ; ^4 = W» etc. . .
mj = mj, iWg = mj, m^ = m^ ; . . Xj = Xj, Xg = Yj, Xj = ^j ; . .
sind, so sind die DifiFerentialgleichungen der Bewegung*)
1) fnx: = Xt-{-:^^.l^'-
oXi
falls die Bedingungen durch die Gleichungen
99g = 0, s = 1, 2 . . ./c
1) Vgl. z. B. W. Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 1880, 2. Aufl., Bd. 2, p. 502.
2) Die Differentialquotienten von cc^ nach t sind durch nebengesetzte
d X dl X
Striche bezeichnet, so dass x' = -j-, x" = -j-^ u- s, w,
at at^
A. Voss: Ein energetisches Chrundgesetz der Mechanik. 55
ausgedrückt sind. Die lebendige Kraft T, nach Potenzen der Zeit t entwickelt, ist gegeben durch
Man führe nun das System unter denselben Kräften ebenfalls aus der Ruhelage, aber unter anderen Bedingungen
V^a = 0, ö = 1, 2 . . . . Z,
welche mit der Lage der Puncte verträglich sind, und bezeichne die entstehenden Beschleunigungen durch 1,", so ist
2) »». I? = X, + L /./^^i"
C Xi
und die lebendige Kraft T^ gegeben durch
2 T, = ^^ £ m, r'/ + . . Danach wird
2 {T-T,) = t^^ Mi {x: — ^:f + 2 ^^ L m, f; (:x: - 1:)
oder, wie nach 1) und 2)
», w - «) = L (^. :-t - .». ^-)
2 (T - T,) = <» i: m, (ic; - 1.-)* f 2 <« L ^ I? 1? ')•
Der zweite Theil auf der rechten Seite verschwindet sicher dann, wenn die virtuelle Bewegung so festgesetzt wird, dass die Bedingungen ^„ = 0 die Bedingungen ^^^ = 0 vollständig enthalten, also z. B.*) aus letzteren* und beliebigen weiteren ebenfalls von t unabhängigen ausgewählt wurden. Unter diesen Voraussetzungen ist daher T in der That ein Maximum.
Diese Betrachtung kommt übrigens vollständig mit der von Herrn Neumann zu Grunde gelegten Vorstellung vir- tueller Bewegungen überein. Dagegen brauchen die wirkenden
*) Alle ^ Zeichen erstrecken sich immer auf sämmtliche mehr- fach vorkommende Indices.
*) Die Bedingungen für xp sind im folgenden allgemein definirt.
56 Sitzung der tnathrphys. Classe vom 9, Februar 1901.
Kräfte keiner Bedingung irgend welcher Art zu unter- liegen/) während allerdings die Bedingungen von der Zeit un- abhängig sein müssen.^)
Der angegebene Satz lässt sich indessen noch erweitem. Er bleibt bestehen, wenn die 1/ nur so gewählt sind, dass
ä Xi
einen positiven Werth hat. Dazu ist aber erforderlich, dass die virtuelle Arbeit der Reactionen des Systemes
') D. h. bis auf die auch im folgenden festzuhaltende Voraussetzung, dass die Coordinaten der Systempunete für die wirkliche und jede vir- tuelle Bewegung in der Form
x^ + Ait + B^t^ + B^t^
wo B^ den Rest bezeichnet, darstellbar sind. Alsdann handelt es sich auch nicht mehr um eine unendlich kleine, sondern um eine hinreichend kleine Zeit, während der die Maximumeigenschaft besteht.
2) Um diesen Punct völlig sicher zu stellen, betrachte man etwa die Bewegung eines einzelnen Punctes von der Masse eins auf der Fläche 7? ~ 0, deren Gleichung t enthält und delinire die virtuelle Bewegunjr durch q> = 0, 1/; = 0, wo i/; wieder t enthalten kann. Man findet dann vermöge der Gleichungen
..« - V -L. ; L^
für den Ausdruck den Werth
während die Lagrange 'sehen Multiplicatoren A, //, v die Gleichung befriedigen
(^- - /O S [^-^J = V Ij 3-- 3~r
so dass der angegebene Werth nur dann verschwinden würde, wenn 9? und 1/' t linear enthalten. Der Satz könnte also nur dann bestehen bleiben, wenn der Begriff der virtuellen Bewegung noch weiter als noth- wendig eingeschränkt wird.
A, Voss: Ein energetisches Grundgesetz der Mechanik, 57
bei den |J entsprechenden virtuellen Verschie- bungen, die sonst völlig beliebig sein können, einen positiven Werth besitzt.
Auf den Fall, wo das System sich bereits in einem beliebigen Bewegungszustande befindet, lässt sich dieser Satz nicht unmittelbar übertragen. Auch kann man mit vir- tuellen Verschiebungen, welche lebendige Kraft hervoiTufen, jetzt keinen klaren Sinn mehr verbinden, und die Benutzung solcher Vorstellungen muss nothwendiger Weise zu Missver- ständnissen führen. Trotzdem besteht ein dem obigen Maximal- theorem ähnliches aber allgemeineres, wenn man den strengen Begriff virtueller Bewegungen festhält, der im Vorstehenden entwickelt wurde. Dies soll jetzt gezeigt werden.
Wenn die Geschwindigkeiten der Systempuncte Xi zur Zeit ^ = 0 mit a, bezeichnet werden, so sind dieselben zur Zeit t
3) -j^=-ai-^tXi+^x i + . .
also ist die lebendige Kraft gegeben durch
2 T = 2 To -f- 2 ^ L X, a,- + ^* ü m,- {x'l + a, x"i) + . .
wobei Tq = ^ ]£ m, a^ und vermöge der Differentialgleichungen der Bewegung
dt dXiO Xk
bei festen Verbindungen (p^ wird.
Man kann aber auch von einer relativen lebendigen Kraft r sprechen, welche den relativen Geschwindig- keitscomponenten x'i — a, entspricht; diese hat den Werth
4) T == 2 L nii x'l + . .
so dass
fi = 2 T— T = 2 To + 2 ^ L X, a,
58 Sitzung der math.-phys, Classe vom 9. Februar 1901,
wird. Für eine virtuelle Bewegung, deren Bedingungen ^^ = 0 mit der Lage des Systems und jenen Geschwin- digkeiten üi verträglich sind, deren Beschleunigungen wie vorhin durch ii bezeichnet werden, kann man daher setzen
Demnach wird
i.-ß-=?i;»,(«".'-r.-)+<'s(j.,-2f^-,-.,-|^)<.,a.+.
Für die rechte Seite ergiebt sich aber weiter nach den Gleichungen 1) und 2)
^ S m, (x: - s:y
oder wegen der bekannten Identitäten
Unter der Voraussetzung, dass die Bedingungen yj„ = 0 die Bedingungen 9?« = 0 vollständig unter sich enthalten oder allgemeiner fc der Functionen \p„ in deren ersten und zweiten Differentialquotienten mit denen der Functionen q)^ bezielilich für die Lage zur Zeit ^ = 0 übereinstimmen, d. h. h der Man- nigfaltigkeiten 1/^ = 0 die 99 = 0 beziehlich osculiren, ist aber der zweite Theil auf der rechten Seite von 5) Null, also
U-Q' = ^~i: mi {x\ - 1;)^ + . .
beständig positiv. Es ist mithin der Ueberschuss ß der doppelten lebendigen Kraft 2 T über die relative lebendige Kraft r ein Maximum im Vergleich zu dem
+..
A. Voss: Ein energetisches Chrundgesetz der Mechanik. 59
entsprechenden Ueberschuss, der für das System in derselben hinreichend kleinen Zeit bei einer virtuellen Bewegung desselben entsteht.*)
Für die Diflferenz 2 (t — t,) findet man nach 3) unter der Voraussetzung, dass die ^^ = 0 die cpa = 0 vollständig enthalten,
dieselbe wird daher nicht, wie Herr Helm*) behauptet, der sich zur Ableitung einer Formel für diesen Werth virtueller Verschiebungen bedient hatte, durch den Ausdruck
t' (S m, (x: - S:y - 2 T,) dargestellt.
Das angegebene Maximaltheorem kann übrigens auch noch unter der Voraussetzung erweitert werden, dass die Bedingungs- gleichungen ^^ = 0 nur mit den bereits bestehenden Geschwin- digkeiten verträglich sind, d. h. die Mannigfaltigkeiten \p=0 die (p = 0 sämmtlich für die Lage bei ^ = 0 be- rühren. Schreibt man nämlich den zweiten Theil von 5) (rechts) in der Gestalt
d Xi
so erkennt man sofort:
Jener Ueberschuss ist auch ein Maximum gegen- über allen virtuellen Bewegungen, bei denen die Arbeit der Reactionen des Systems in Bezug auf die Ab- weichung ^'i — x'i der Systempuncte einen positiven Werth hat.
Wir kehren jetzt zu den engeren Voraussetzungen über die v^a = 0 zurück. Da die Maximumeigenschaft der Function Q für die wirkliche Bewegung characteristisch ist, so muss
^) Bezeichnet man die Geschwindigkeiten der Punkte zur Zeit 0 and i durch r^®, r,., den Winkel desselben durch w^, so ist
Q= r+ £ m,. V- r? cos w,. — Tq.
2) G. Helm, die Energetik in ihrer geschichtlichen Entwicklung, Leipz. 1898, p. 262.
60 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9. Februar 1901.
man auch umgekehrt die Gleichungen derselben aus dieser Eigenschaft herleiten können. Wir beweisen daher den folgen- den Satz:
Die Voraussetzung der Maximum-Minimumeigen- schaft der Function Q führt zu den Gleichungen der Bewegung, falls der allgemeine Satz über die Bezieh- ung zwischen kinetischer Energie und Arbeit als gültig vorausgesetzt wird, d. h. die Bedingungen die Zeit nicht enthalten.
Entwickelt man in der Gleichung
0
beiderseits nach Potenzen von t, indem man für T seinen Werth aus 3) bildet, so folgt
t S mtaiXi + - 2j {tUiX'i -\- a^miX^i) + . . .
also müssen die Gleichungen
S {niiXi + aimiX'i) = XJ ix' X,- + (^i-^f) gelten. Der Ausdruck
wird daher
2 r, + 2 < i; X,a, + I S U X, + a, ^-^ - ^) + . .
und soll ein Max. -Min. werden, falls die Bedingungsgleichungen
2j tni üi x1 ==■ ij X, a,-
^^ :^l'^x: + i^ = o
dXi
für die x] bestehen. Dies gibt
-4. Voss: Ein energetisches Grundgesetz der Mechanik, 61
i — m, Xi = juai — Äs ^— ;
multiplicirt man diese Gleichungen mit den a, und summirt, so folgt nach 7) wegen
/Lt Xj «4* = 0.
Entweder sind nun alle a,- gleich Null; dann befindet sich das System in relativer Ruhe. Oder das System hat einen beliebigen Bewegungszustand, dann muss /* = 0 sein. In beiden Fällen ergeben sich so die Gleichungen
m,a;; = X, + SA, ^^'
' d Xi
wie gezeigt werden sollte.
Wir geben dem bewiesenen Satze schliesslich noch die folgende Form:
Die Bewegung eines beliebigen materiellen Systems unter dem Einflüsse irgend welcher Kräfte und unter festen Verbindungen ist in jedem Augenblicke dadurch characterisirt, dass der Ueberschuss der gewöhnlichen Beschleunigung der kinetischen Energie des Systems über die Beschleunigung der halben relativen kineti- schen Energie desselben für die wirklich eintretende Bewegung einen grösseren Werth hat, als für irgend eine mit den Bedingungen verträgliche virtuelle Be- wegung.
Mit allgemeinen Gesichtspuncten teleologischer Art dürfte sich derselbe in ungezwungener Weise nicht in Verbindung bringen lassen.
Der Satz kann wegen seiner Beschränkung auf feste Ver- bindungen weder das d'Alembert'sche noch das mit letzterem für Bedingungs-Gleichungen äquivalente Gauss'schePrincip ersetzen. Für das letztere erhält man übrigens im Anschluss an die entwickelten Anschauungen eine Ausdrucksweise, die
62 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 9. Februar 1901.
gewisse Vortheile bieten dürfte. Bewegt sich ein Punct des Systems, der zur Zeit ^ = 0 die Coordinaten a;^% die Geschwin- digkeitscomponenten a« hat, unter Einfluss der Kräfte X,- und der Bedingungen (ps = 0, so sind seine Coordinaten zur Zeit t
Xi = x^ + a, ^ -[- a;,- 2 + . . und für eine virtuelle Bewegung
• f rf = a;? + a.- ^ + f ; 2 + . . .
Bezeichnet man als Grösse des Zwanges den mit Hülfe der freien Bewegung jedes Punctes
(a;,) = a;.» + a.<+^^ <» + ••• gebildeten Ausdruck
so ist der Zwang für die virtuelle Bewegung
;?, = X; m, [(a:,) - f J».
Alsdann ist, ohne dass der BegriflF der virtuellen Bewegung weiter eingeschränkt zu werden braucht, als dass die ersten und zweiten Differentialquotienten nach den Xi und t von Ä der Functionen t/;^ = 0 beziehlich mit denen der Functionen 9?, = 0 für ^ = 0 übereinstimmen, die Differenz Z — Z^ für eine hinreichend kleine Zeit stets negativ oder die Be- schleunigung dritten Grades von Z ist für die wirk-^ liehe Bewegung stets kleiner als für jede virtuelle.
63
Sitzung vom 2. März 1901.
1. Herr C. v. Kdpffer hält einen Vortrag: „Ueber einen bis jetzt unbekannten Gehirnnerven**. Die Resultate werden anderweit veröffentlicht.
2. Herr J. Rückert berichtet über eine im Anatomischen Institut München von Herrn A. Hassel wander ausgeführte Unter- suchung: „üeber die Ossification des menschlichen Fussskelets".
3. Herr Ad. v. Baeyer spricht über „Aethyl Hydroper- oxyd**. Die Abhandlung wird an anderer Stelle zur Ver- öffentlichung gelangen.
65
Herr J. Rückert berichtet über eine im Anatomischen Institut München von Herrn A. Hasselwander^) ausgeführte Untersuchung:
üeber die Ossification des menschlichen Fnssskelets.
{SingtiaufßH 2. Man.)
Das Untersuchungsmaterial bestand in den Füssen von 277 Föten, Kinderleichen und lebenden Kindern. Sämmt- liche Objekte, gleichviel ob lebende oder todte, wurden zuerst mittelst der Röntgenphotographie untersucht. Daran schloss sich für den grösseren Theil des Materials, nämlich die Füsse von 188 Föten und Kinderleichen, die anatomische Unter- suchung, die theils durch makroskopische und mikroskopische Präparation, theils durch einfache Aufhellung mittelst der von 0. Schnitze empfohlenen Kaliglycerinbehandlung vorgenommen wurde. Die Kombination des röntgographischen mit dem rein anatomischen Untersuchungs verfahren hat den grossen Vortheil, dass sie Mängel, welche jeder dieser beiden Methoden bei alleiniger Anwendung anhaften, beseitigt.
Die Ergebnisse der Untersuchung sind folgende:
Calcaneus.
In mehr als der Hälfte der Fälle tritt bei 4*/a — 5-monat- lichen Föten eine dünne periostale Knochenscheibe auf, die der
*) Herr Hasselwander wird später eine ausführliche mit Abbil- dungen versehene Darstellung seiner Untersuchungen an anderer Stelle publiciren.
1901. Sttzangab. d. math.-pbys. Gl. 5
66 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 2. März 1901.
hinteren Hälfte des Processus trochlearis aufsitzt. Dazu kommt im 6. Fötalmonat der enchondrale Kern. Vom Ende des 6. Monats sind die beiden Kerne verschmolzen, doch weist die kräftige periostale Schale am fibularen Umfang des späteren Calcaneus-Kernes noch beim Neugebornen und in den ersten Lebensmonaten auf die geschilderte Entstehung hin.
In der weiteren Entwicklung bilden der Calcaneus und ebenso der Talus sehr frühzeitig, nachdem der centrale Kern das Perichondrium erreicht hat, eine periostale Rinde. Hier- durch stehen diese Knochen in einem Gegensatz zu den übrigen Fusswurzelknochen, die erst nach Jahre langem Wachstum ihren Periostknochenüberzug erhalten.
Talus.
Die Ossification fand sich durchschnittlich im 7. Fötal- monat, ausnahmsweise schon im 6. An einem Teil der Füsse tritt die erste Ossification in Gestalt zweier kleiner Knochen- keme auf. Da diese ofifenbar sehr schnell verschmelzen, ist es möglich, dass die Anlage des Talus aus 2 Kernen ein häufiges Vorkommnis ist, obwohl die beiden Kerne nur ab und zu ge- trennt angetroffen werden.
Die Ossification im Processus posterior beginnt nicht vor dem 7. Jahr.
Naviculare.
Die Verknöcherung tritt meist mit 8^/2 Jahren auf, aus- nahmsweise schon mit 1 Jahr 8 Monaten, oder fehlte noch mit 4 Jahren. Nicht selten entsteht sie in Form zweier Knochen- kerne.
Cunei forme I.
Die Ossification erscheint gewöhnlich mit 3 Jahren. Aus- nahmsweise war sie schon mit 1 Jahr 8 Monaten vorhanden und fehlte noch bei einem 3 Jahre 2 Monate alten Kinde.
Der Knochen legt sich zuweilen aus 2 Kernen an. Diese
J. Rückert: Ossification des mejischlichen Fussskelets. 67
liegen über einander, ein Verhalten, welches dem am fertigen Fuss beschriebenen Cuneifonne I. bipartitum entspricht.
Cuneiforme IL
Der Kern erscheint mit 3 Jahren, fast gleichzeitig mit dem Cun. I, wahrscheinlich ein wenig später. Er war stets einheitlich.
Cuneiforme III.
Die Ossification beginnt gewöhnlich im 5 — 6. postfötalen Monat, ausnahmsweise wurde sie schon im 2. Monat nach der Geburt gefunden und im 7. noch vermisst.
Cuboideum
verknöchert nicht vor dem 9., meist im 10. Fötalmonat. Nur einmal unter 36 Kindern des 1. Lebensjahres fand sich erst im 6. Monat die Vorbereitung zur Ossification. Beim Neugebornen ist der Kern in etwa 50 ^/o der Fälle vorhanden.
Im Cuboideum entsteht zuerst ein rundlicher, zuweilen doppelter Kern, dann ein zweiter lateral gelegener, der den ersten schalenförmig deckt und später mit ihm verschmilzt. Aus der Hakenform des vereinigten Kerns kann man nach- träglich noch eine Zeit lang die Entstehung aus 2 Stücken erkennen.
Metatarsus.
Die Ossification der Diaphyse findet von der 9. Woche ab statt, wenigstens für einen Teil der Zehen; von der 10. Woche ab sind die Ossificationspunkte in sämtlichen Zehen vorhanden. Die Reihenfolge des Entstehens ist IL III. IV. V. L, wie schon einige frühere Autoren richtig angegeben haben.
Der Knochenkern der Epiphysen ist durchschnittlich mit 3 Jahren vorhanden, ausnahmsweise schon mit 2 Jahr 4 Monaten. Das älteste Kind, welches ausnahmsweise noch keine Epiphysen- keme besass, zählte 5 Jahre.
An der grossen Zehe, deren Metatarsus bekanntlich im Gegensatz zu dem der übrigen Zehen einen basalen Epiphysenkern
68 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, März 1901,
besitzt, erscheint der Ossificationspunkt zuerst, dann folgen die Köpfchen-Epiphysen 11, III, IV und V.
An allen denjenigen Knorpelepiphysen, die einen Knochen- kem bekommen, tritt an der Grenze zwischen Epiphyse und Diaphyse besondei*s intensive Säulenknorpelbildung auf. Dieser histologische Befund harmoniert mit den schon von anderen Autoren durch Messung konstatierten lebhafteren Wachstum an den betreffenden Epiphysen.
Nach den bisherigen Angaben in der Litteratur kommt am Metatarsus nur in der Köpfchenepiphyse der grossen Zehe eine Pseudoepiphysenbildung vor, in Wirklichkeit finden wir aber diesen Vorgang, der eine Uebergangsstufe zwischen der typischen Epiphysenbildung und dem gänzlichen Ausfall der- selben vorstellt, ab und zu auch an den Basalepiphysen der Metatarsen, jedoch in etwas schwächerem Masse als an der Köpfchenepiphyse des Hallux.
Phalanx I.
Diaphyse. Die Ossification beginnt durchschnittlich in der 14. Fötalwoche, was mit der kürzlich gemachten Angabe von L amber tz übereinstimmt. Die Schwankungsbreite er- streckt sich von der 12. zur 16. Woche.
Die von dem eben genannten Autor statuierte Reihenfolge, nach welcher die Ossification der Basalphalangen zuerst an der ersten Zehe auftreten und von da fibularwärts bis zur V. Zehe fortschreiten soll, wurde nicht immer gefunden.
Der Kern der (proximalen) Epiphyse tritt gewöhnlich im Vorlauf des 3. Jahres auf und zwar zuerst an den mittleren Zt»hon, zuletzt an den randständigen, mit einer Schwankungs- breite von 1 Jahr 5 Monat bis 3 Jahren.
Phalanx IL
Djiss der I)ia])hyseukern an der Mittelphalanx später auftritt, als an den übrigen Phalangen, ist eine bekannte Thatsache, al)(»r die (irösse des Unterschiedes ist in der Litte-
J. Bückert: Ossification des menschlichen Fussskelets, 69
ratur für alle Zehen, namentlich für die V., viel zu gering angegeben, und ferner sind die DiflFerenzen, welche zwischen den einzelnen Zehen in dieser Richtung sich ergeben, unge- nügend berücksichtigt.
Es zeigt sich in dieser Hinsicht folgendes:
An der IL Zehe erscheint die Ossification der Mittel- phalanx gewöhnlich im 6. Monat des Fötallebens, ausnahms- weise schon im 4., an Zehe III im 7. Fötalmonat, hie und da schon im 5., während sie im 9. noch fehlen kann, an Zehe IV ebenfalls schon im 7. Fötalmonat, jedoch mit einer Schwan- kungsbreite vom 5. Fötal- bis 7. Lebensmonat.
Eine besondere Stellung nimmt die Mittelphalanx der V. Zehe ein, insoferne der zeitliche Eintritt von deren Ossi- fication in evidenter Weise davon abhängig ist, ob die knorp- lige Anlage dieses Skeletstücks von dem Knorpel der End- phalange getrennt oder mit ihm verschmolzen ist. Ist das erstere der Fall, was in etwa 50®/o der daraufhin untersuchten Kinder und Föten gefunden wurde, so erscheint der Knochen- kem in der Diaphyse der Mittelphalanx durchschnittlich im 10. Fötalmonat, ausnahmsweise wurde er schon im 7. Monat des intrauterinen Lebens konstatiert, und im 7. Monat nach der Geburt noch vermisst.
In der anderen Hälfte der Fälle dagegen, in welcher die oben genannte, von Pfitzner zuerst beschriebene Knorpel- verschraelzung vorlag, trat der Kern mit grossen zeitlichen Schwankungen bei den einzelnen Individuen auf und erheblich später als bei der ersteren Kategorie.
Unter 61 untersuchten Individuen vom 7. Fötalmonat bis zum Ende des 2. Jahres fand er sich nur bei 6 Individuen vor, darunter einmal schon im 9. Fötalmonat, während die übrigen 5 Fälle dem 1. und 2. Lebensjahr angehörten. Konstant vor- handen ist er erst vom Ende des 3. Lebensjahres an. Dieses verspätete und für die einzelnen Zehen sehr ungleichmässige Auftreten der Ossification in den Mittelphalangen weist auf eine im Gang befindliche Rückbildung dieses Skeletstücks hin,
70 Sitzung der mathrphys. Classe vom 2, März 1901.
die vom fibularen Fussrand aus gegen den tibialen zu fort- schreitet. Am fertigen Fussskelet existiert, wie Pf i t z n e r eingehend gezeigt hat, eine allgemeine Neigung der Mittelphalangen zur Verkürzung.
Was den feineren Vorgang bei der Ossification der Mittel- phalangen anlangt, so kann man hier drei auf die einzelnen Zehen folgendermassen sich verteilende Typen unterscheiden:
1) an der IL Zehe und bei einem Teil der Füsse an der
III. Zehe, ausnahmsweise an der IV. tritt der normale Typus der ßöhrenknochenbildung auf.
2) An der III. Zehe in einem Teil der Fälle, an der
IV. Zehe in den meisten Fällen erscheint zuerst ein periostales Knochenplättchen am dorsalen Umfang der Diaphyse, und geht von dieser Stelle aus die enchondrale Ossification zapfenartig i^ die Tiefe,
3) an der IV. Zehe in einigen Fällen, und stets an der V. Zehe ist nur ein enchondraler Knochenkern vorhan- den, wie Pfitzner schon beschrieben hat. Auch in dem histologischen Verhalten des Ossificationsvorganges macht sich somit eine Abstufung von den tibialen zu den fibularen Zehen bemerkbar.
Die Epiphyse der Mittelphalanx fehlt wie Pfitzner gezeigt hat stets an der V. Zehe, nur in einem Fall fand sich eine Pseudoepiphyse, an der IL — IV. ist immer eine Epiphyse oder Pseudoepiphyse vorhanden. Sie treten auf zwischen 2^2 und 3 Jahren, verfrüht schon mit 2 Jahren, wäh- rend sie ausnahmsweise mit 4 Jahren 9 Monaten noch fehlen.
Auch in Bezug auf den Untergang der echten Epiphysen existiert eine Stufenreihe, die vom tibialen zum fibularen Fuss- rand führt; an der IL Zehe ist die Entwicklung einer echten Epiphyse die Kegel, an der III. Zehe ist bei einem kleineren Teil der Fälle die Epiphyse durch eine Pseudoepiphyse ersetzt, an der IV. Zehe ist dies meist der Fall und an der V. ist überhaupt von einer Epiphysenbildung nichts mehr erhalten, abgesehen von dem seltenen Fall einer Pseudoepiphysenbildung daselbst.
J. Rückert: Ossification des menschlichen Fussskelets. 71
Phalanx HI.
Die Diaphyse der Endphalanx an der I. — IV. Zehe er- scheint zwischen der 9. und 11. Fötal woche. Ein grösserer Unterschied zwischen diesen 4 Zehen in Bezug auf das zeit- liche Auftreten des Kernes besteht nicht; doch kann man sagen, dass die fibularen im Allgemeinen etwas später ossificieren als die tibialen und dass speciell die erste Zehe den übrigen stets vorangeht, so dass ihre Endphalanx der zuerst verknöchernde Röhrenknochen des Fusses ist.
In der Endphalanx der V. Zehe wurde erst vom 4. Fötal- monat an ein Knochenkern gefunden, doch wurde er öfters noch an erheblich älteren Füssen vermisst und zwar dann immer an solchen, die eine Verschmelzung mit der Mittelphalange besassen. Es macht sich also an der kleinen Zehe auch für die Endphalanx eine gewisse Inconstanz bemerkbar, wenn auch in viel geringerem Grade als für die Mittelphalange. Auch in Bezug auf den histologischen Vorgang der Ossification zeigt die Endphalange Schwankungen.
Pfitzner hat angegeben, dass an derselben im Gegensatz zu den übrigen Zehen die Knochenbildung auf die periostale Ossification der Endkappe beschränkt sei. Dies kann aber höchstens für einen Teil der Füsse Geltung haben, an denen sich in der That nur die periostale Endkappe vorfand, an anderen, vielleicht der Mehrzahl der Füsse, schliesst sich an diese Ossification eine enchondrale wie bei Zehe I — IV an.
Unter den Epiphysen der Endphalanx nehmen die der I und V eine besondere Stellung ein; es sollen daher zuerst die Epiphysen der Zehen II — IV besprochen werden. Hier tritt der Kern durchschnittlich im fünften Jahr auf, also ein wenig später als an den übrigen Phalangen. Ausnahmsweise wurde er schon bei 3 Jahren 1 Monat gesehen und in einem verein- zelten Fall noch mit 7 Jahren 4 Monaten an einer Zehe vermisst.
Bei Zehe V besteht ein durchgehender Unterschied, je nachdem eine Verschmelzung der End})ha]anx mit der Mittel- ]>halanx existiert oder nicht. Im letzteren Fall tritt der Epi-
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72 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 2. Mars 1901.
physenkern zur gleichen Zeit auf, wie an den Zehen 11— IV, eher noch etwas früher. Im ersteren Fall dagegen fehlt der Epiphysenkern vollständig. Es steht dies in Widerspruch zu den Angaben Pfitzner's, nach welchen der Epiphysenkern der V. Zehe, ohne dass eine Unterscheidung zwischen beiden Fällen gemacht wird, stets erhalten bleiben und gross werden soll. Es zeigt sich also an Zehe V bei Verschmelzung der beiden Phalangen auch an der Epiphyse der Endphalange eine ent- schiedene Rückbildungserscheinung.
Die Epiphyse der Endphalange an Zehe I steht zu denen der übrigen Zehen durch eine auffallend frühzeitige Ossification in einem unvermittelten Gegensatz. Der Kern tritt gewöhnlich im 3. Lebensjahr auf, wiederholt wurde er bei Kindern des zweiten Jahres konstatiert. Bei einem polydactylen Kind von S^/a Monaten fand sich im Röntgenbild an beiden Füssen zwischen End- und Grundphalange der grossen Zehe ein kleiner Kern, der kaum anders denn als früh aufgetretener Epiphysen- kern der Endphalange gedeutet werden konnte. Durch dieses frühe Auftreten der Epiphyse unterscheidet sich die Endphalange des Hallux nicht nur von den Endphalangen der übrigen Zehen, sondern von sämtlichen Röhrenknochen des Fusses.
In diesem Befund können diejenigen Forscher, welche am Daumen und der Grosszehe einen Ausfall der Mittelphalange annehmen, eine ontogenetische Unterlage für ihre Ansicht er- blicken, indem sie sich vorstellen, dass die früh entstehende Epiphyse der Endphalanx einer Diaphyse der vermissten Mittel- phalanx entspricht. Die Mittelphalanx des Hallux würde als- dann nicht verloren gegangen sein, sondern würde, nachdem sie sich mit der Endphalanx vereinigt — eine Vereinigung wie sie an den fibularen Zehen, besonders der V. (vgl. Pfitzner's Untersuchungen) jetzt noch im Gange ist — zur Bedeutung einer Epiphyse der Endphalange herabgesunken sein. Es er- scheinen aber solche Schlussfolgerungen deshalb zum mindesten verfrüht, weil für die Vorfrage, ob überhaupt an Pollex und Hallux ein Glied verloren gegangen ist, die vergleichend ana- tomische Unterlage fehlt.
73
Oeffentliche Sitzung
zur Feier des 80. Geburtstages Seiner Königlichen
Hoheit des Prinz-Regenten
sowie des 142. Stiftungstages der Akademie
am 13. März 1901.
Die Sitzung eröffnet der Präsident der Akademie, 6e- beimrath Dr. K. A. v. Zittel, mit folgender Ansprache:
Königliche Hoheiten! Hochgeehrte Festversammlung!
Noch ist der Jubel, welcher gestern ganz Bayern durch- braust hat, nicht völlig verklungen; noch herrscht in allen Theilen der Wittelsbach'schen Lande eine gehobene Feststim- muDg, gilt es doch den 80. Geburtstag unseres ehrwürdigen und geliebten Regenten zu feiern.
Auch die Königl. bayer. Akademie der Wissenschaften, diese ureigenste Schöpfung der Witteisbacher, wollte nicht zurückbleiben, wenn es sich darum handelte, ihrem erlauchten Protektor die Gefühle der Dankbarkeit und Ergebenheit zu Füssen zu legen. Eine Deputation, bestehend aus dem Prä- sidenten und den Classensekretären, welcher sich ein Vertreter der historischen Commission anschloss, haben Seiner Königlichen Hoheit dem Prinz-Regenten Luitpold ihre Glückwünsche dar- gebracht, die auch in huldvollster Weise entgegen genommen wurden.
74 Oeffentliche Sitzung vom 13. März 1901.
Und in der That, wenn wir zurückblicken auf die Ent- wickelung unserer Akademie und der im General-Conservatorium der wissenschaftlichen Sammlungen vereinigten Museen und Institute während der weisen und erleuchteten Regierung unseres jetzigen Protektors, so haben wir alle Ursache dankbar zu sein.
Getreu den ruhmreichen Ueberlieferungen seiner König- lichen Vorgänger hat auch Seine Königliche Hoheit Prinz Luitpold unserer Akademie in reichem Masse die Unterstützung und Förderung zu Theil werden lassen, ohne welche sie ihre wissenschaftlichen Aufgaben nicht hätte erfüllen können.
In den Jahren 1887 — 89 fand der Umbau des Wilhelmin- schen Gebäudes statt, durch welchen die Akademie diesen würdigen Festsaal, günstig gelegene und helle Sitzungszimmer und grössere Geschäftsräume erhielt. Eine durchgreifende Aenderung in der Vertheilung der Localitäten des Wilhelminum gestattete eine Neuaufstellung und bessere Anordnung der Museen, wodurch manche schwere Missstände beseitigt oder doch gemindert wurden. Gleichzeitig erhielten die naturhisto- rischen Sammlungen den modernen Anforderungen der For- schung und des Unterrichts entsprechende Lehr-Institute.
Diese Einrichtung bedeutet wohl die einschneidendste Um- gestaltung, welche unsere wissenschaftlichen Staatssammlungen erfahren haben. Bis dahin war ihre Benützung eigentlich nur den Beamten der betreffenden Conservatorien und einzelnen be- günstigten Specialisten gestattet; mit der Errichtung der Lehr- Institute aber wurden sie auch vorgeschritteneren Studierenden zugänglich und welchen Aufschwung die naturhistorischen Disciplinen in München seitdem genommen haben, geht aus der stattlichen Anzahl von wissenschaftlichen Arbeiten hervor, welche in den neuen Instituten alljährlich ausgeführt werden.
Mit warmem Interesse hat unser hoher Protektor das Ge- deihen der Akademie und der wissenschaftlichen Sammlungen des Staates verfolgt und so oft sich Gelegenheit bot, dasselbe durch allerhöchstes Eingreifen zu fördern, durften wir auf das huldvollste Wohlwollen rechnen. Auch den mancherlei Stif- tungen und Zuwendungen, durch welche die Akademie in den
V. Zittel: Ansprache. 75
letzten Jahren finanziell gekräftigt und zu grösseren wissen- schaftlichen Unternehmungen befähigt wurde, hat Seine König- liche Hoheit stets die lebhafteste Anerkennung gezollt.
Unbehelligt von äusseren Angriffen und inneren Dissidien war es der Akademie vergönnt unter der schirmenden Hand ihres allerhöchsten Protektors ihre Thätigkeit auszuüben. Sind auch keine besonderen Ereignisse in den letzten zwei Jahr- zehnten zu verzeichnen, so war doch der Fortschritt in ihrer ganzen Entwickelung ein durchaus befriedigender. Entsprechend ihrer Bestimmung ist sie eine Freistätte der Forschung ge- blieben und wie unter ihrem erlauchten Stifter und den bis- herigen Königen von Bayern, so erfreut sie sich auch heute der unumschränkten geistigen Freiheit. Und dies ist die werthvollste Gabe, welche wir unserem gütigen Schirmherm verdanken, denn nur da, wo dem Suchen nach Wahrheit keine Hindemisse im Wege stehen, kann ächte Wissenschaft gedeihen. Möge sich unsere Akademie noch lange des Schutzes und der Huld Seiner Königlichen Hoheit des Prinz-Regenten Luitpold erfreuen !
Um die festliche Stimmung der heutigen Freudenfeier nicht zu stören, sollen die Nekrologe unserer verstorbenen Mit- glieder, sowie die Erinnerungsrede auf unseren unvergesslichen früheren Präsidenten Geh. Rath von Pettenkofer auf .die nächste Festsitzung im Herbst verschoben werden.
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i.o.
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung; vom 4. Mai 1901.
1. Herr W. Dyck legt zwei Abhandlungen des correspon- direnden Mitgliedes der Classe, Rektor Dr. Georg Recknagel in Augsburg, vor
a) über Abkühlung geschlossener Lufträume durch Wärmeleitung,
b) über Erwärmung geschlossener Lufträume.
2. Herr H. Seeligek überreicht eine Abhandlung des Herrn Prof. Dr. M. Wolf, Direktor der Sternwarte in Heidelberg: ^Die Entdeckung und Catalogisirung von kleinen Nebelflecken durch die Photographie.**
3. Herr Aug. Rothpletz hält einen Vortrag „Ueber die Jodquellen in Tölz.**
4. Herr F. Lindemann legt eine Arbeit des auswärtigen Mitgliedes der Classe, Prof. Dr. Aurel Voss in Würzburg vor: , Bemerkungen über die Prinzipien der Mechanik, L Ueber die energetische Begründung der Mechanik."
1901. Sitsungsb. d. m*th.-ph7«. CL 6
79
Üeber Abkühlung geschlossener Lufträume
durch Wärmeleitung.
Von G. Becknagel.
{King4lau/m 20, Marx.)
1. Voraussetzungen. Ein mit Luft von konstanter Masse (L) und überall gleich hoher Temperatur (J) erfüllter Raum ist durch seine Begrenzung von der übrigen Luft voll- kommen abgeschlossen. Er kehrt der äusseren freien Luft, deren Temperatur (Ä) konstant angenommen wird, nur eine homogene Wand (Mauer) von gegebener Fläche (F) und gleich- massiger Dicke (d) zu. Die ganze übrige Begrenzung wird als wärmedicht angenommen, d. h. sie gibt weder Wärme an die Luft des Raumes ab, noch nimmt sie solche von ihr auf.
Denkt man sich die Mauer, auf deren beiden Grenzflächen die Abscissenaxe senkrecht stehen soll, durch Schnitte, die den Grenzflächen parallel geführt sind, in Schichten von der Dicke d X geteilt, so wird angenommen, dass jede einzelne Schicht von Anfang an durchaus die gleiche Temperatur hat, und dass die Temperaturen der Schichten von innen nach aussen stetig ab- nehmen. Bezeichnet man die Anfangstemperaturen 1) der inneren Luft mit e/^, 2) der Innenwand mit S,o, 3) der Aussen- wand mit lao» 4) der Aussenluft mit A und 5) der Mauer- schicht, die sich in der Entfernung x von der Innenwand be- findet, mit [7q, so wird demnach vorausgesetzt
e/o>J/o> V^>%as> A. H TT
Femer Uq = f(x) und -^—^ durchaus negativ.
Cv X
it*
80 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4. Mai 19Ö1.
Es soll untersucht werden, wie sich von diesem «Anfangs- zustande** aus im Laufe der Zeit (Z) die Temperaturen J der Innenluft, Xt der Innenwand, U der Mauerschicht im Abstände X, Xa der Aussenwand verändern, und wieviel Wärme in ge- gebener Zeit an die Aussenluft verloren geht. Die genannten vier Temperaturen sind somit als Funktionen der Zeit zu denken, und diese Funktionen sollen ermittelt werden.^)
2. Die Grundlage der folgenden Rechnung gibt der Satz:
die Wärmemenge, welche in der Zeiteinheit aus der Schicht
{x, U) in die Schicht {x -^ dx, U — d U) übergeht, ist dem
Temperaturgefälle
_dU
dx
proportional.
Die Wärmemenge, die man dem Temperaturgefalle ak Faktor beizugeben hat, um die in der Zeiteinheit übergehenden Kalorien zu erhalten, hängt von der Grösse der gewählten Zeiteinheit, von der Grösse der Wandfläche und vom Material der Mauer ab. Nimmt man als Zeiteinheit die Stunde, als Wandfläche ein Quadratmeter, so heisst der dem Temperatur- gefalle beizugebende Faktor k das innere Leitungsver- mögen des betrefienden Materials.
Demnach ist die bei dem Gefälle I — -r— j in der Stunde
^) Es werden dabei die Hilfsmittel benützt, welche Fonrier in der Theorie analytique de la Chaleur gibt. Doch darf bemerkt werden, dass Fourier den Fall einer veriablen Lufttemperatur überhaupt nicht behandelt hat, und dass das von ihm Gebotene für diesen Fall nicht auHreicht. Von späteren Arbeiten in dieser Richtung ist mir durch Byorly, An Elem. treatise on Fourier's Series etc. S. 123 bekannt, dass E. W. Ho])son das Problem behandelt hat: die Wärmebewegung in einem unendlich langen festen Körper von der Anfangstemperatur Null zu ennitteln. wenn eine ebene Grenzfläche derselben an Luft grenzt, deren Temperatur eine gegebene Funktion der Zeit ist. Der von IJjerly gegebenen Probe nach zu urteilen, erfolgt die Behandlung
durch das ebenfalls von Fourier eingeführte J e d«, dessen Grenzen
den Bedingungen des Problems angepasst werden.
G, Beclcnagel: Abkühlung geschlossener Lufträume. 81
durch 1 Quadratmeter des Querschnittes (x, U) einer Mauer vom inneren Leitungsvermögen k gehende Wärmemenge
— k -^— Kalorien.*)
3. Indem man von der Wärmemenge, welche in der Zeit djs; in die Schicht (a;, U) von der Dicke d x eintritt, die gleich- zeitig austretende Wärmemenge subtrahiert, bleibt die zur
J TT
Temperaturerhöhung -r- d z der Schicht verwendete Wärme
Cli z
übrig, für welche man mittelst eben dieser Temperaturerhöhung noch einen zweiten Ausdruck gewinnt. Durch Vergleichung beider erhält man die Differenzialgleichung
dJJ ^ X d^ü
dz sw dx^^ ^ ^
in welcher S das Gewicht eines Kubikmeters Mauer, w die
Wärmekapazität des Materials bezeichnet.*) Statt wird
künftig X geschrieben.
4. Dieser DiflFerenzialgleichung genügt die Funktion
U = Ä-]- (acosmx -{- bsinmx) e^"*"*^. (U)
Dieselbe enthält die drei Konstanten m, a, 6, mittelst deren man den Eigentümlichkeiten des Problems gerecht werden kann, und überdies die Annahme, dass sich mit unendlich wachsender Zeit die Temperatur der Mauer überall der kon- stanten Temperatur der äusseren Luft nähert.*)
5. Ei nführungderEigentümlichkeiten desProblems. Die Wärmemenge, welche in der Zeiteinheit von der Aussen- wand {F) der Mauer abgeht, nämlich
^) Fourier, Chap. I Nr, 72 und an anderen Orten.
2) Fourier, Chap. II Nr. 142.
8) Fourier, Chap. IV Nr. 239 und ff.
82 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4. Mai 1901.
(wobei Ag den äusseren Leitungskoeffizienten der Aussenwand bezeichnet), ist der Wärmemenge gleich, welche in derselben Zeit durch die äusserste Schicht der Mauer geht, nämlich
dU
— Fl
dx
wobei durch den Index 6 angedeutet werden soll, dass in
/7 TT
~ der Grenzwert d an die Stelle von x gesetzt werden soll.*)
Cv X
Die Gleichung
(J„-^)A, = — A
dU
(UI)
dx
geht durch Substitution aus 11 ( f7 = 2^« für x=^ S) über in
Ag {a cos m d -Y h sin m S) = Xm{a^\nm d — 6 cos m S). (IV)
Man erhält so die erste Beziehung zwischen den ein- geführten Konstanten a, 6, m, den Leitungsvermögen A, \ und der Mauerstärke d.
Dividiert man durch ka cos m 5, schreibt p^ für ~, )8 für
A
— und löst nach tani/ m 5 auf, so erhält man a
tangm(J=-^»-'t^^ (IV a)
^^ — ßP2
Denkt man sich ß bestimmt, so ergeben sich hieraus unendlich viele Werte von m von der Form
worin nach und nach für n alle ganzen positiven Zahlen von 1 bis CO zu setzen sind, während yn als ächter Bruch ge- dacht ist.
Es ist demnach eine Erweiterung der Gleichung II vorzu- nehmen, so dass rechts eine unendliche Reihe von Gliedern auftritt, die dem ersten konform gebildet sind.
») Fourier, Chap. II Nr. 146—154.
G. Becknagel: Abkühlung gesclüosscncr Lufträume,
83
U =^ Ä -\- {a^ cos m, a; -f 6, sin m, x) e'*""'!^
-f (a, cos lAij ^ + &ä ^^^ ^^2 ^) e"'*'"-i^ +
-j- (a„ cos mn a: -f 6h sin m^ a?) e
— Htn^z
(IIa)
Zur Abkürzung soll im Folgenden e, für c-»«*"!^, e^ f^^*" f,-xm^z^ e„ für e"**"*»^ geschrieben werden.
6. Fortsetzung. Wie für die Aussen wand so gilt analog auch für die Innenwand die Gleichung
(j-%)h, = -x
dU
dx
0
(V)
welche aussagt, dass die in der Zeiteinheit vom Quadratmeter aufgenommene Wärme {J — JO^n derjenigen gleich ist, die gleichzeitig durch die innerste Mauerschicht, ihrem Temperatur- gefsille und ihrer Leitungsfähigkeit gemäss, in die Mauer eindringt.
Setzt man in Gl. (II a) a: = 0, so geht U in I, über, und es wird
nrzOB
N=l
Ferner ist
dU dx
= £ (&H m„ e„).
0 M=l
Durch Substitution dieser Werte in Gl. V erhält man einen Ausdruck für die Temperatur J der Innenluft, nämlich
(j =i^» gesetzt j
oder
(Va)
84
Sitzung der math.-phys, Glosse vom 4. Mai 1901,
Ein zweiter Ausdruck für die Temperatur J wird auf folgende Weise gefunden.
Bezeichnet man mit ( — d J) die Aenderung, welche die
Temperatur J in der Zeit dz dadurch erfährt, dass der Luft
die Wärmemenge
dU
dx
— X
Fdz
entzogen wird, mit L die (konstant angenommene) Masse der eingeschlossenen Luft, mit c ihre Wärmekapazität, so ist
dU
was sich, da
— dJLc = — X dU
dx
Fdz,
0
dx integrieren lässt.
Da für ^=0, J=Jq, erhält man
m
eine Funktion der Zeit Z allein ist, sofort
(J,-J)Lc=^^-^
^(e„-l)].
Erinnert man sich an den Wert von tc = , dividiert
sw
beiderseits durch Fsw und setzt den im allgemeinen kleinen
Bruch -^, — - = o, so erhält man die Form 1' sw ^
(J^-J)g = J^
(^H — 1)
(VI)
Nach Gl. (Va) geht J {\lv Z=oo oder e» = 0 in ^ über. Somit gilt auch
(/o-^). = -£(^) (6)
Zieht man Gl. VI von 61. (6) ab, so bleibt
Q
(Via)
Da nun die beiden Ausdrücke für die Temperatur J, welche die Innenluft zur Zeit Z hat, identisch sein müssen, so
G. Becknagel: Abkühlung geschlossener Lufträume. 85
folgt aus (Va) und (Via) die Gleichheit der Koeffizienten beider Reihen:
1 . K
an On mn = —
Pl Q Wh
und somit eine zweite Beziehung zwischen den eingeführten Konstanten a, 6, m, welche alsbald in der Form ( ~ = i^n )
Verwendung finden wird.
7. Berechnung der m. Indem man aus (VII) in (Via) substituiert, erhält man
Q (w* + n)
m tang m d = p^ —
wo m die einzige Unbekannte ist.
Cl-)'
^^ m = (2(«-l) + j')^,
SO wird allgemein
tang m 6 = tang ( ^ ^ ) .
Da d bekannt und n die gewählte Ordnungszahl der m ist, so ist auch im Werte von m der Bruch y die Un- bekannte, und z. B. für d = \ Meter das dritte m von der Form
Diese Einführung des y bietet den Vorteil, dass bei Ver- suchen mit nahe liegenden Werten von y die rechte Seite nur geringen Aenderungen unterliegt, während die linke Seite sehr empfindlich reagiert.
8. Berechnung der a. In der Reihe
nsscD
n
U — -4 =B S [a» (cos m„ x + ß„ sin m„ x) e~ '*'"»• ^J
86 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 4. Mai 1901.
können nun die m und ß aus den Konstanten des Problems (//,, A^» ^1 ^1 Q) berechnet werden. Es erübrigt noch, die Ko- effizienten a zu bestimmen, was dadurch geschieht, dass man den „Anfangszustand*, d. h. die Funktion von x^ durch welche der Ueberschuss der Anfangstemperatur TJq der Mauer über A gegeben ist, durch die Reihe
11= »
Uq — A= ^ [an (cos nin x -{- ßn sin m„ x)] (VIII)
n=l
darstellt. Hiefür stehen noch die Koeffizienten a zur Ver- fügung.»)
^) Fourier hat für solche Darstellungen eine Methode angegeben, die ich am ausführlichsten Chap. VI Nr. 315 und 316 beschrieben finde, wo sie verwendet wird, um den Anfangszustand eines unendlich langen Cylinders darzustellen. Auf den vorliegenden Fall übertragen, würde die Vorschrift etwa so lauten : Es sei Uq — Ä^ f{x) und cos nin x + ßu sin w« x mit Mji bezeichnet, so soll durch geeignete Bestimmung der a werden
f(x) = aj Wi + «2 ^'2 + ^8 ^'a + öfw t*« + . . .
„Um den ersten Koeffizienten (^i) zu bestimmen, multipliziere man jedes Glied der Gleichung mit a^dx, wobei oi eine Funktion von x ist, und integriere dann von x = 0 bis x = d. Die Funktion oi ist so zu bestimmen, dass nach Ausführung der Integrationen die rechte Seite der Gleichung sich auf das erste Glied reduziert, d. h. dass alle übrigen In- tegrale Null werden. Um den zweiten Koeffizienten «a zu bestimmen,
multipliziert man mit o^dx etc/ „Es handelt sich jetzt darum,
die Funktionen öj, o^ . . . zu finden.* Fourier gibt hiefür in Nr. 316 eine Anleitung, die sich zwar auf das spezielle Problem des Cylinders bezieht, aber leicht auf andere Fälle übertragen werden kann.
Ein übersichtliches Beispiel hiezu findet man Chap. V Nr. 291, wo der Anfangszustand Fi-r) einer Kugel durch die Reihe
F(x) = - («1 sin ^?i »r + «2 sin Wj x-]- a^sinn^x , , .)
dargestellt werden soll, und die n ebenso wie meine m die Wurzeln einer
transscendenten Gleichung
n X 1 . .
, ^ — ^ =1 — hX\ sind, die ähnlich wie
tang n X \
Gl. (IV a) durch Vergleichung der von der Oberfläche abgehenden mit der
aus der äussersten Kugel schiebt heraus dringenden Wärme gefunden ist.
(X ist der Kugelradius.) Fourier multipliziert, um a^ zu bestimmen,
mit X sin »i x^ integriert zwischen den Grenzen 0 und X, und kann mit-
G» Recknagel: Abkühlung geschlossener Lufträume. 87
Um den Koeffizienten «, zu bestimmen, multipliziert man beide Seiten der Gl. VIII mit
(cos mrX -^^ ßr sin m,. x)dx
und integriert zwischen den Grenzen 0 und d.
Links erhält man eine Funktion von Wr, 3 . . ., die mit 9^(m,) bezeichnet werden soll:
(p (nir) = f ( f^o — -^) (^^^ *^'»' ^ "^ ßr sin rur x)dx,
0
Kechts erhält man eine unendliche Reihe, deren allgemeines (u^-«) Glied:
f^ = a„ f (cos nir X -j- ßr sin nir x) (cos w„ x + /^i* sin m„ x)dx
0
untersucht werden soll.
Das unbestimmte Integi*al bringt man leicht auf die Form :
- { ttir sm nir X cos niu x — m„ cos m, x sm m„ x
in} — mi l
— ßr (w,. cos wi,. X COS m„ :z: -f- w^„ sin mr «; sin lUn x) -|- /S„ (m^ sin m, a: sin m„ x -|- wi„ cos m^ Jt cos m„ a;)
— ßr ßti (wr cos m,. X siu !//„ o: — nin sin m». a; cos /h» a;) J
telst der transscendenten Gleichung nachweisen, dass rechts klle Integrale vorschwinden bis auf das erste.
In ganz analoger Weise führt die Methode Fouriers zuni Ziel, wenn man sich im vorliegenden Probleme auf die Annäherung beschränkt, die man unter Ausseracht lassung des Einflusses der Luft (/? = 0) tewnnnt.
Die Schwierigkeit der hier behandelten Aufgabe fand ich darin, dass für Ml = cos wij a; + /?j sin M/j j; eine Funktion, welche die Rolle des obigen o^ oder des beispielsweisen xsuiv^x übernehmen konnte, nicht zu ermitteln war. Am günstigsten gestaltete sich «lie Kechni^ng für Ol -= t/|. Zwar verschwanden die Integrale auf der rechten Seite nicht, 8on<leni bildeten jedesmal eine unendliche Reihe bestimmter mit den Koeffizienten a multiplizierter (irössen. Die Lösung gelang aber dadurch, ilass die Summe dieser Reihe angegeben werden konnte. Der Text gibt die detaillierten Nachweise.
88 Sitzung der m(Uh,-phys. Glosse vom 4, Mai 1901.
daraus folgt:
tn = — 2 — - — ^ l ^r sin ntr d cos nind — m» cos mr d sin m^ d Dir — m^ K
— ßr (m, cos Mr d COS Mn ^ + m„ sin nif d sin wi» S) -J- ßn (^r sin Mr 6 sin nin d 4" Wh COS Wir ^ COS m» <5) — ßr ßu {^r COS My S sin w„ <5 — m« sin mr 3 cos Wn ^) 1
^r Wr — ßn Wh
m' — mi
Es lässt sich nachweisen, dass der Ausdruck in {} Null ist. Gemäss Gl. (IV) ist fiir jedes m und das zugehörige ß
m (sin m d — ß cos m S) Ä^
cos md -\- ßsinmd X '
Somit
tUr (sin nir d — ßr cos ntr S) nin (sin nind — ßn cos nin d)
cos ntr ^ -]- ßr sin m^ ö cos wtn ^ + /8h sin nt« d
Führt man hier die Multiplikation mit dem Produkte der Nenner aus und ordnet nach den ß, so erhält man das Be- hauptete : { } = 0 .
Es verschwindet somit in jedem Gliede (ßn), in welchem m„ von nir verschieden ist, der erste Summand, und er- hält sich nur in dem einen Gliede tr, in welchem wegen n = r auch der Nenner nir — ^i zu Null wird, in der unbe- stimmten Form g, deren wirklicher Wert noch zu bestimmen ist und vorläufig durch a,. Q bezeichnet werden soll.
Der zweite Summand von tni
ßr nir ßn ^n
a.
nir Wn
wird von dem Nenner nir — ^n frei, wenn man aus Gl. VII die Werte der ß, nämlich
o QPi^r f. Q Pi nin
Pi — Q ni} Pi — Qmi
einsetzt, und erhält die Form:
Q. BeckfMgel: Abkühlung geschlossener Lufträume. 89
anQPi
(Qm}—p,)(Qmi—p,)
^ Pl ( _ CinPt q\
Pl — Q^f \ Pi—Q '^nj
Qmr \ rrin J Qmr\ ntn)
Somit gilt die Gleichung
^ ^ Qnir\ m^ m^ nir m^ )
er
Nun ist aber nach Gl. (6)
e Summe der Reihe ^1 ^ 1. Folglich wird
^(nir) = arQ + ^{J,-A). (IX)
Es ist noch Q zu bestimmen.
In der Reihe -^ V] ( ** 1 ist auch der zweite Summand
gm, s Gliedes ^r enthalten, nämlich
Qmr\ mj Q m} '
dass der volle Wert desselben ist
90 Sitzung der matK-phys, Classe vom 4, Mai 1901,
Andererseits ist (unter Benützung von 61. \Y)
t^. = ür f (cos nir X -{- ßr siu Wi^ X^ d X
0
= a.
:'-t^+o+fe''.)--
sin nir d cos (m,. d — cp,)
(X)
2 mr cos <p
wobei ßr = tang 99,. gesetzt ist.
Schreibt man zur Abkürzung für das mit a^ multiplizierte Integral das Zeichen Br^ so dass
so folgt nun Q aus
ür Br = arQ — — [^]
e = a + 1 (&)'.
Nach Substitution dieses Ausdruckes in IX wird der ge- suchte Koeffizient
'"r /VT\
9. Zusammenstellung der Resultate.
1) Für die Temperatur f^, welche die im Abstände x von der Innenwand befindliche Schicht der Mauer zur Zeit Z be- sitzt, gilt
tl= OD
U — J. = S [(In (cos nin X -J- ßn siu niu x) e""*"»* ^] .
Zunächst sind die m nach dem in Nr. 7 angegebenen Ver- fahren zu berechnen, worauf die ß aus Nr. 6, Gl. VII erhalten werden.
O. Mecknagel: Abhiihlung gesddossener Lufträume.
91
Schliesslich erhält man die a, wenn der Anfangszustand {Üq — A) der Mauer und die anfängliche Temperatur (c/„) der eingeschlossenen Luft bekannt sind, aus Nr. 8 61. X
ßn
a„ =
Q \mnl
wobei
^ (w„) = f ( f 7^ — A) (cos m„ X -{- ßn sin 7W„ x)dx
Ü 6
jBm = f (cos m^ X + ßn sin m„ x^ dx.
0
2) Daran reihen sich als besondere Fälle: die Temperatur %„ der Aussenwand (a: = d):
Za = A-\-^ [a„ (cos w„ ö + /8„ sin m„ S) c-''*^u'^\
und die Temperatur J, der Innenwand (a: = 0):
3) Die Temperatur (J) der Innenluft ist nach Gl. Via:
j=A--i:
Q
ßn -xmlZ
4) Die in der Zeit Z an die äussere Luft abgegebene Wjlmie V (der Wärmeverlust) ist gegeben durch
V=j{^a — A)h^Fdj^.
0
Durch Ausführung der Integration w^rd
V = -^ — L —^ (cos nin d 4- ^„ sin w?„ (5)
h^F
cos m„ ^ + ^n sin w?„ d) e '*"*♦•
und es stellt der Minuend die ursprünglich in dem Objekte (Innenluft und Aussenmauer) über dem Temperaturniveau
en
92 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4, Mai 1901.
A enthaltene Wärme dar, während der Subtrahend aussagt, wieviel von dieser Wärme zur Zeit Z noch vorhanden ist.
10. Anwendungen. Als Anfangszustand des Ab- kühlungsprozesses bietet das grösste Interesse der Dauer- zustand, in welchem sich ein vollkommen durchgeheiztes Zimmer befindet.
Im Dauerzustande f -j-^ = 0 j gelten die Beziehung
A, (Jo - Xu) = A ^ÜL=L^«1 = h, (J.. - A)
und, insofern er als Anfangszustand des Abkühlungsprozesses angenommen wird
oder j^ . ,^ . !E,o — 2^ao
Dabei ist
- + -
J,„ -A = {J, - A) ^^'*-
|
1 |
. fi |
1 • |
|
|
K |
+ 1 1 X |
+ |
K |
Führt man die einfachere Bezeichnung ein
U^ — A = C — Dx, so wird in Nr. 9. 1)
qy (mt.) = J* {C — B x) (cos m„ x -f ßn sin m^x)dx,
0
C = — (^w + sin 7nn (5 — jff„ cos nin S)
i [ — 1 + ^^^n ^ (sin w?„ 5 — ßn cos m« i)
+ (cos t?^» ^ + i^n sin tUn ^)],
G. BeckncLgel: Abkühlung geschlossener Lufträume.
93
was mit Hilfe der 61. IV auf
D + ninßnC
ml
zurückgefQhii werden kann.
11. Als Beispiel für numerische Rechnung sei ein Zimmer gewählt von 5 m Länge, 5 m Breite, 4 m Höhe, welches eine Wand von 5 • 4 = 20 qm Fläche und 0,25 m Dicke der freien Luft zukehrt. Die Wand ist von Backsteinmauerwerk, so dass k = 0,7, Äj = 6 und unter der Annahme von Windstille auch A, = 6 angenommen werden darf. Ferner ist S = 1800 kg,
w = 0,2, also X =
3600'
cL
Fsw
wurde zu 0,004 ange-
nommen.
Wenn man kleinere Werte als 1 (1 Stunde) für Z nicht heranziehen will, genügen 6 Glieder der Reihe in Nr. 9. 1), um die Temperaturen auf 0,1® Geis, genau zu berechnen. Die bezüglichen Koeffizienten sind in folgender Tabelle zusammen- gestellt.
|
m |
<nia |
ß |
a |
|
|
(1) |
4,38 |
620 9' |
- 0,01751 |
0,63894 {Jo~A) |
|
(2) |
14,45 |
ISO** 4-270 0' |
— 0,06407 |
0,07651 |
|
(3) |
25,82 |
3600+ 9050' |
- 0,1499 |
0,03235 |
|
(4) |
37,04 |
540« 90 20' |
— 0,4120 |
0,02395 |
|
(5) |
45,48 |
720« 680 32' |
— 5,213 |
+ 0,00407 |
|
(C) |
53,24 |
7200 + 420 34' |
+ 0,6636 |
— 0,01000 |
12. Nimmt man JJ, = -j- 20®, -4 = — 20^ so berechnen sich die Temperaturen, welche die Innenluft, die Innenwand, einzelne Mauerschichten und die Aussenwand nach Verlauf von 1, 2, 10 Stunden besitzen, wie folgt:
1901. Siizangsb. d. maih.-phys. Gl
94
Sitzung der math.-/hys. Glosse vom 4. Mai 1901.
|
Abstand , von der Innenwand |
Ursprung]. Temperatur 1 |
1 Temperatur nach ' 1 Stunde |
Temperatur nach 2 Stunden |
Temperatur nach 10 Stunden |
|
w |
(^i) |
W |
(J«i |
|
|
Innenluft |
+ 20 |
7.8 |
5,e |
- 2,1 |
|
X |
1^0 |
Ui |
^2 |
t^.0 |
|
0 |
10,35 |
7,1 |
5,2 |
— 2,2 (Innenwand) |
|
0,2 5 |
G,2 |
5,4 |
4,1 |
- 2,7 |
|
0,4 5 |
2,1 |
1,9 |
0,9 |
- 4,0 |
|
0,7 5 |
- 4,1 |
- 4,1 |
- 4,2 |
- 7,4 |
|
d |
— 10,35 |
— 10,35 |
— 10,5 |
— 12,2 (Aussenwund |
Es ist bemerkenswert, dass die Temperaturen der Innen- luft und der Innenwand, die für die Bewohner von unmittel- barem Interesse sind, nach Abstellung der Heizung sehr rasch abnehmen, während die Temperatur der Aussenwand eine zähe Ausdauer zeigt. Sie sinkt in 10 Stunden um nicht ganz 2^ während die Zimmerluft um mehr als 22®, die Innenwand um 12V2^ kälter wird.
Der auch nach Abstellung der Heizung in der früheren Richtung fortfliessende Wärmestrom verhält sich demnach wie ein Wasserlauf, der in seinem Oberlaufe durch eine Schleusse abgesperrt wird. Während hier alsbald Ebbe eintritt, erleidet die Stromstärke im Unterlaufe noch längere Zeit hindurch keine erhebliche Aenderung.
Damit in Zusammenhang steht das Rechnungsergebnis Nr. 9. 4), welches für den gesamten Wärmeverlust in 10 Stunden
10888 Kalorien
gibt, nicht viel weniger als die Wärmemenge von
11600 Kalorien,
welche man hätte aufwenden müssen, um den Dauerzustand in diesen 10 Stunden aufrecht zu halten.
G, BecJcnagel: Abkühlung geschlossener Lufträume, 95
Will man nach zehnstündiger Unterbrechung der Heizung das Zimmer zunächst wieder bewohnbar machen, und dann vollständig durchheizen, so hat man in der folgenden Heiz- periode nicht nur die gleichzeitigen Wärmeverluste zu decken, die nicht viel geringer sind als die im Dauerzustand statt- findenden, sondern auch jene verlorenen 10888 Kalorien all- mählich wieder zuzuführen. Welche Mittel und wieviel Zeit hiezu nötig sind, soll in der Folge dargelegt werden.
7*
96
Üeber Erwärmung geschlossener Lufträume.
Von 6. Recknagel.
{Eingelauf&H 4. Mai.)
1. Es soll ermittelt werden, wie die Erwärmung eines geschlossenen mit Luft erfüllten Raumes vor sich geht, dem eine konstante Wärmequelle von bekannter Leistung Wärme zuführt, während eine homogene Wand von bestimmter Fläche (F), gegebener Dicke (d) und bekanntem Material (s Gewicht des Kubikmeters, tv Wärmekapazität des Kilogramms, l innere Leitungsfähigkeit, Aj äussere Leitungsfahigkeit der Innenseite, Äg äussere Leitungsfähigkeit der Aussenseite) der äusseren Luft zugekehrt ist, deren Temperatur Ä durchaus konstant ist. An den übrigen Wandflächen wird Wärme weder aufgenommen noch abgegeben.
Ueber den Anfangszustand wird die Annahme gemacht, dass er durch irgend einen Abkühlungsprozess entstanden ist, durch welchen die Innenluft die Temperatur e/^, die Mauer- schicht in der Entfernung x die Temperatur Uq = f^ (x) er- halten hat. Besondere Werte sind /Jj(0) = J/o» /o(^) = 2^ao-
Nach Verlauf von ^ Stunden sind diese Temperaturen
2. Von der Wärmezufuhr gewinnt man am leichtesten eine deutliche Vorstellung, wenn man an eine Luftheizung denkt, die durch eine Oefthung vom Querschnitt q Luft von der Temperatur B^ Celsius mit der Geschwindigkeit v zuführt. Man erhält dann stündlich 3600 v q Kubikmeter Luft, vom Gewichte
O, Becknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume, 97
1 2Q^ 7?
3600 V q — q- — = • — - Kilogramm, die bei jedem Grad, um
den sie sich abkühlt, die Wärmemenge
3600..« ^.A„_«.
abgibt, wenn c die Wärmekapazität bei konstantem Druck be- zeichnet. In dem an die Zeit Z anschliessenden Zeitelemente d z dringt die Luftmenge Qd z ein, welche sich mit der Zimmer- luft von der Masse L und der Temperatur J mischt und eine Erhöhung dieser Temperatur um d J hervorbringt, während sie sich selbst von jR auf {J '\- dJ) Grade abkühlt. Zugleich muss, damit diese Temperaturerhöhung eintritt, von der zuge- führten Wärme der Verlust gedeckt werden, den die Innenluft durch Wärmeabgabe an die Innenwand erleidet, nämlich {J — Si) Fh^dz. Man erhält demnach (von unendlich Kleinem zweiter Ordnung abgesehen) die Gleichung:
cQdz{R — J) = c LdJ+{J—Z.) F\ dz, (I)
Hier sind J und !E, Funktionen der Zeit (Z). Die Masse L der Innenluft ist nicht völlig konstant. Denn da durch Ab- züge und Poren fortgesetzt soviel Luft entweicht, als zum Aus- gleich des Innern Luftdruckes mit dem äusseren dient, so ver- mindert sich die Dichtigkeit der inneren Luft infolge der
stetigen Temperatursteigerung in dem Maße, dass L = i^" >»
wenn L^ die bei 0** C. den Raum ausfüllende Luftmasse und a den Ausdehnungskoeffizienten der Luft bezeichnet. Da durch Berücksichtigung dieser Dichtigkeitsänderung auch L als Funk- tion der Zeit und damit eine Komplikation in die Rechnung eingeführt würde, die zur erreichbaren Genauigkeit ausser Ver- hältnis stünde, wird L konstant angenommen.*)
') Die Ungenauigkeit, welche dadurch in die Rechnung kommt, (lass man für L einen konstanten Mittelwert annimmt, z. B. den für
lOO C. geltenden — -^ beträgt demnach bei Heizung von 0'' auf 20^ C.
98
Sitzung der math.-phys, Classe vom 4, Mai 1901.
3. Eine zweite Gleichung erhält man, wenn man das Schicksal der durch die Innenfläche in die Wand eindringenden Wärme weiter verfolgt. Sie kann teils zur Temperaturerhöhung der Mauerschichten verwendet werden und teils von der Aussen- wand ins Freie entweichen.
0
Bedenkt man, dass (vgl. „Abkühlung" Nr. 5 und 6)
und
(J-Si)A, = — ^
d U
dU dx
{Za-A)h^ = -X
dx so erhält man aus II:
0
dU dx
dU dx
0
^d^U dx'
= X^:.'i^^'
'd^U, ^ dU,
k f -^-v dx = I sw ^ - dx Jj dx^ ^Q dz
woraus man die Beziehung zwischen der Temperatur U und den beiden unabhängigen Variabein x und z ableiten kann:
,d''U dU
dx^ dz
m
4. Die weitere Entwicklung muss sich an den Grenzfall anschliessen, in welchem die variablen Temperaturen J und V die höchsten durch die gegebene Wärmequelle erreichbaren Werte angenommen haben und auf diesen konstant erhalten werden. Diese Grenzmaxima sollen durch den Index m kennt- lich gemacht werden.
J TT
Da in diesem Falle d J" und -^ dz Null sind, so folgt aus I
C Q {11 - Jm) = iJ,n - Zim) F\ (I a)
d. h. alle zugefUhrte Wärme dringt in die Wand ein.
weniger uIh A Prozent der Luftmasse und ist bei dem geringen Einfluas, den die (irössi' dieser Masse überhaupt auf den Vorgang ausübt, ohne Bedeutung.
O. Becknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume.
99
Aus n erhält man:
{Jm — Zim) h, = {Zam - Ä) Ä, (Ha)
h. ebensoviel Wärme, als durch die Innenwand eindringt, rd an der Aussen wand abgegeben.
Für die Temperaturverteilung innerhalb der Mauer hat in aus (EI)
dx'
)raus
Un.^Cn,-B„,X. (IV)
Dabei ist Cm = Zim die Maximaltemperatur der Innen-
Dn.=
ind, und aus 'iam^' Gm — Dm d folgt: Aus IV folgt auch:
dx
= — D
m
d da
-A
dU,
m
dx
dUm
dx
= (Jm 'S^int) Aj
dU.
m
dx
= —Dm,
ergibt sich
er
X Dm = (e/iii — %im) ^i
d
(«/|ji — <^ini) f^i •
(III a)
Es werden nun aus den Gleichungen la, IIa, III a die nschentemperaturen Zam und Xim eliminiert. Aus
<"im — ^'am ^= ~~Y~ Kr ^^ ^im)
3ält man
100 Sitzung der math,-phys, Classe vom 4. Mai 1901,
j,„. - ^ = (j„ - j,„) ft + Y)
oder
J,n, ( 1 + ?
+ t: + ¥) = -'-(J: + ¥) + ^-
Führt man hier den Transmissionskoeffizienten j) ein mit der Definition:
so ergibt sich:
Jm 2^»m — (ym -^) jT
oder
'f im -4 {y,n — -4)
('-Ö
und
am — -^ — («^m -^) T"
2
Durch Substitution in la erhält man zunächsit
cQ(R- J„,) = (J. — ^)l> F, (Ib)
woraus sich eine der drei Grössen Q^ R, Jm berechnen lässt.
Für den grössten erreichbaren Ueberschuss der Luft- temperatur Jm über die Temperatur A der Aussenluft ergibt sich daraus
J,.-A = (B- Ä) -QZfjF^
was mit der von Fourier (Chap. I Sect. VI) gegebenen Formel im wesentlichen übereinstimmt. Ferner erhält man:
P
■Dm ^=- (Jm A) y
C„ =A + (J„,-A)(\-^\
5. Es soll nun die Temperatur U aufgefasst werden als Difi*erenz zwischen der Maximaltemperatur
O, Becknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume.
101
und einer niedrigeren Temperatur TJ\ welche angibt, wieweit die an der Stelle x bestehende Temperatur TJ zur Zeit Z noch von der Maximaltemperatur entfernt ist:
Bewirkt man nun durch geeignete Wahl der Funktion V , dass
dz
X
da;»
so ist auch Gleichung III erfüllt, d. h.
dU
d^U
(
wenn
X = - .
sivj
dz dx^ \
Da nun U' eine mit fortschreitender Zeit abnehmende Funktion von z ist, so hindert nichts
[/" = (a cos m a; + Ä sin m x) e- »"»«'^
zu setzen. Denn die damit eingeführte Annahme, dass die Maximalwerte erst in unendlich langer Zeit voll- ständig erreicht werden, ist durchaus sachgemäss.
Stellt man den Gang der Temperatur U an der Stelle x als Funktion der Zeit Z dar, so erhält man eine Kurve, wie Fig. 1, in welcher die Parallele Um = Cm — Dm x als Asymptote erscheint.
Fig. 1.
Da sich für m in U' unendlich viele Werte ergeben und sowohl a als b von m abhängig werden, erhält man für die Funktion U die unendliche Reihe:
102
Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4, Mai 1901,
n=oo
U = C — Dx — S [(ö^n COS m„ X -^ bn sin m„ x) e~''"*n^] (VI)
n=l
wobei nun an C und D zur Vereinfachung der Schreibweise der Index m weggelassen ist.
Ferner wird das Temperaturgefälle in der Wand im all- gemeinen
/7 TT
— -T- = D 2j [^^^n {fln sin nin X — bn COS m,i x) e~'""n^ (VII)
Cv X
und die beiden besonderen Werte desselben
dU dx
d U
dx
= 2)+i:(m„fe„e-''»"A2)
(VII a)
= Z) — 2j [^n (ö^M sin nin S — 6„ cos m„ ^) e" ** "*n ^ (VUb)
Für die Temperaturen an den Grenzflächen erhält man (a; = 0)J, = (7— S(a„e->*"»«^ (Via)
(x=^d)Xa = C-Dd-j:,[{anCOsmnd+bnSmmnd)e-^<^ (VIb)
Im Anfangszustande, wenn das Heizen beginnt, ist
(^ = 0) Uq= C — D x — ^(a„ cos nin X -{- bn sin m„ x)
(^ = 0, a; = 0) J/o = C — L (a„)
(^ = 0, a; == (5) Jao = t' — -D (5 — S (ötn cos m« r5 -f- 6„ sin m« ^).
T/q muss mit dem Problem zugleich als Funktion von x gegeben sein, da nur auf Grund einer vollständigen Beschrei- bung des Anfangszustandes etwas bestimmtes über die Wirkung der Heizung ausgesagt werden kann.
6. Bestimmung der Konstanten m, a, b, 1) Substituiert man aus VIb und VUb in
{X, — Ä) h, =
dU dx
so erhält man
^,
O. Beeknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume.
103
n
— D b — -4)y fS [(ö^n cos m^6 \'bn sin w„ S) 6-"***"^^]
= D — £ [m„ (a„ sin m« 3 — 6„ cos m« ^) e~'*"*u^.
Da diese Gleichung für jedes Z gelten soll, müssen die >efGzienten von e~'*''"n^ einander gleich sein.
Die Forderung (C — D d -- Ä)^ = D ist erfüllt, weil — Dd = Xam, D= **" c — ^ und gemäss IIa und III a
_2»» — OTH jg^ -g^ bleibt somit noch
0
aNr. 4)(Ja„-^)Ä,= A i erfüllen:
- («M cos m» ^ + 6« sin m„ ^) = m„ (a„ sin m„ ^ — 6„ cos m^ ^) (VIII)
ir jedes n. Lässt man zur Vereinfachung der Schreibweise 3n Index n weg, dividiert durch a cos 7n d und setzt ß für
, so erhält man zunächst
h
f (1 + /* tg w d) = m (tg m d — ß)
ler
Ä,
i. it P9-\' ^ß
(VIII a)
obei P2 für y geschrieben ist. Durch diese Gleichung sind
e Koeffizienten m und ß mit einander verbunden.
7. Fortsetzung. Substituiert man in die Gleichung
dU dx
X = {J—^,)h,
0
e aus VII a und Via entnommenen Werte von » erhält man
dU dx
und J„
0
Dü-{-k'^[mb e--"»*^] = {J— C + i: [a c-^"^'^]) \ .
104
Sitzung der mathrphys. Classe vom 4, Mai 1901.
Hieraus ergibt sich ein Ausdruck für die Lufttemperatur J als Funktion der Zeit z
in welchem (nach Nr. 4)
|^m6 — aj e-**"»'^ L
(7+,-D = S.,„ + ^^"i
'am
h.
K
= J.
m
die Maximaltemperatur der Luft ist. Man schreibt somit ein- facher
J=J,
m
U
{a-l^mi^
i—xm*Z
(IX)
,— xm'Z
Es wird nun ein zweiter Ausdruck für die Temperatur J hergestellt, indem man die Differentialgleichung I
cL~- = cQ{R-J) — F(J— Xd K
nach Einsetzung der Werte von J (aus IX) und I,- (aus Via) integriert. Die Differentialgleichung wird zunächst:
— FDX — FX^[mh e-'^"*'^], und es lässt sich nachweisen, dass das Aggregat der Constanten
cQR'-cQJ,n — FDX^(^.
Denn nach Nr. 4, la und III a ist
CQ{R- J„) = F(Zim-Xand ^ = ^ D X,
Sodann gibt die Ausführung der Integration
cLJ^-'^^
X
a
X h
— e
— Htn^Z
+ F-L
— e m
— xm'^Z
+ Constante.
E, Becknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume,
105
Die Integrationskonstante lässt sich aus der Erwägung estimmen, dass für ^ = oo das J = J^ wird. Demnach er- ält man:
Constante = c LJ^-
Dividiert man nun die Gleichung durch c i, den kalori- ;hen Wasserwert der Luft, und erinnert sich, dass
A
X
WS
obei tv s den Wasserwert eines Kubikmeters vom Material der i^and vorstellt, so erhält man
j^j.^^'Al^
:)^[(s-E~)-i
Der Bruch
cL
Fws
soll mit Q bezeichnet werden, ferner die
erhältnisse y^ mit p^^ -j mit p^. Dann ist
J — J ,n ij
Q
— Hm*Z
|
K. |
Ib ,J |
|
+ -^ |
^ Q-y.m^Z |
|
Q |
[m J |
(X)
Man kann nun zunächst die Anfangstemperatur der Luft nführen, indem man zugleich 0 für Z und J^ für J setzt, an erhält so:
(LX a)
id
ler
Jm — JQ = ^\a - — w 6 j
,(/.-^o)=i>oi:(|.)-(f; + i)s(^). (xa)
Ferner müssen die beiden für J erhaltenen Reihen iden- 3ch sein, wodurch folgendes zweite System von Gleichungen halten wird:
106 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 4, Mai 1901,
a — — =?^ - ^— L
j9, Q ni^ Qp^m mg
oder, wenn man mit —— multipliziert und ß für — schreibt:
QP^ m^—p^p, = ß{m^Q —p^ m —p^ m), woraus sich ergibt:
ß^_P6l^^J^\ (XI)
Wird dieser Ausdruck in Villa substituiert, der Nenner wegmultipliziert und nach steigenden Potenzen von m geordnet, so erhält man:
"" —PoPi P2 + iPo + Pi + QPi Pi) w* — e ^'*'
Für die Auflösung empfiehlt sich die Umformung:
PiP» + Po(Pi + Pi) — Q(j>i+Pi)*^^ wobei mit P der reciproke Wert von
1.1 .1 = 1
Po Pi P% P
bezeichnet ist. Dividiert man nochmals partiell mit dem Be- kannten des Nenners in das erste Glied des Zählers, so er- hält man:
p ^Po + Pi—QPiPi +P2) + QP1P2 ' PiPi + PoiPi+Pi)
als Koeffizienten von m*, und demnach
m cotg m a = - P + P, ,««+ i-^'/\+^»^-/^7* -,
" ' P:p2-^PoiPi+Pt)-Q(j>i+Pi"^
und schliesslich
g[P,(F.+l>.)-l] ,„♦ m cotg m <5 : P + P. m- + -^1^+ ^« ^^« + ^*) -
1 1 (^!+ A) „,»
i»! i'« + Po (Pi + Pi)
Q. Becknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume, 107
8. Nachdem so gezeigt ist, wie sich die m und ß be- stimmen lassen, erübrigt noch die Bestimmung der Ko- effizienten a.
Hiezu muss der Anfangszustand dienen, der einerseits durch die Gleichung
M= 00
Uq = C — Dx — ^{ßn (cos nin 0!^ + ßn siu m^ xj] ,
andererseits durch bestimmte Werte der inneren Lufttemperatur Jq, der Aussentemperatur Ä, und für die Wand durch eine Funktion von x gegeben ist, die mit /Jj (x) = Uq bezeichnet werden soll. Man hat demnach die Gleichung:
C — Dx — /J, (ic) = S [a» (cos m,» x -{- ßn sin m„ x)] , (XIII)
in welcher die Faktoren (cos ninX -]- ßn sin m« x) bestimmt sind und für jedes x zwischen 0 und d berechnet werden können.
Um irgend einen der Koeffizienten ar zu bestimmen,
multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem zu a^
gehörigen Faktor
cos m,. X -\- ßr sin nir x
und integriert beiderseits zwischen den Grenzen 0 und d. Da- iurch erhält man links eine Funktion von ^, 7H, ß, C, D, die mit q) (tHr) bezeichnet werden soll, so dass also
6
p (fUr) ^= nC—Dx—fQ (x)] [cos m,. x -{- ßr sin m^ x] d x. (XIV)
0
Ist der zu ar gehörige Wert von nir bekannt, so lässt iich (p (mr) numerisch berechnen.
Auf der rechten Seite erhält man eine unendliche Reihe, leren allgemeines Glied ist:
6
t^^an ^ (cos ninX -{- ßn sin m» x) (cos nirX -]- ßr sin m,. x) • dx
0
ind es ist bereits (Abkühlung Nr. 8) nachgewiesen, dass sich lieses Glied im allgemeinen d. h. so oft w von r verschieden st, auf
106 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4. Mai 1901,
mh Pq Ci Po ^ ^
j9, ^ m* Qp^m mg
oder, wenn man mit — multipliziert und ß für — schreibt:
a '^ a
QP^ m* —PoPi =ßim^Q —Po m —p^ m),
woraus sich ergibt:
ß^_PA^-L9.^\ (XI)
Wird dieser Ausdruck in Villa substituiert, der Nenner wegmultipliziert und nach steigenden Potenzen von m geordnet, so erhält man:
tg ^ ^ = ^ PoP^ + (^0 + f .).a-- g-(gL+ {«) ^'
Für die Auflösung empfiehlt sich die Umformung:
PiP, + Po(J>i-\-P2) — Q(J>i+P»)»I'* wobei mit P der reciproke Wert von
1+1+1=1 J'o Pi Pi -P
bezeichnet ist. Dividiert man nochmals partiell mit dem Be- kannten des Nenners in das erste Glied des Zählers, so er- hält man:
p = i'o + i*! — g -P (Pi +Pi)-\-QPiP, ' PiPi^ Po(Pi-\- Pi)
als Koeffizienten von m*, und demnach
m cotg md = -F-\- 1\ m^ + g_g. O'. + P*) -}] f
' PtP, + Po(P,-\rP2)-e(j>i+Pt'"
und schliesslich
Q\1\(P^+P»)-1] . „,4
m cotg md = — P+ P, ni" + ^' ^' + ^" ^' + ^«) ..
1 e(^i + A) ^,
Pl P% + I'O (l»! + P^
O, Recknagel: Erwärmung geschlossener Lufträume, 107
8. Nachdem so gezeigt ist, wie sich die m und ß be- stimmen lassen, erübrigt noch die Bestimmung der Ko- effizienten a.
Hiezu muss der Anfangszustand dienen, der einerseits durch die Gleichung
M= 00
Uq = C — 2) a; -— S [«« (cos nin x -\- ßn sin nin xj] ,
M=rl
andererseits durch bestimmte Werte der inneren Lufttemperatur Jqj der Aussentemperatur -4, und für die Wand durch eine Funktion von x gegeben ist, die mit /J, (x) = Uq bezeichnet werden soll. Man hat demnach die Gleichung:
C — Dx — fo(x) = ^[an (cos m„ x -{- ßn sin m« x)] , (XIII)
in welcher die Faktoren (cos mnX -]- ßn sin m„ x) bestimmt sind und für jedes x zwischen 0 und ö berechnet werden können.
Um irgend einen der Koeffizienten Uy zu bestimmen,
multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem zu a^
gehörigen Faktor
cos tUy X -^ ßr sin rrir x
und integriert beiderseits zwischen den Grenzen 0 und d. Da- durch erhält man links eine Funktion von ^, m, ß^ C, D, die mit 9? {nir) bezeichnet werden soll, so dass also
d qy (nir) =nC — Dx—fQ (x)] [cos nir X -\- ßr sin mr x] d x. (XIV)
0
Ist der zu ür gehörige Wert von m^ bekannt, so liisst sich (p {ntr) numerisch berechnen.
Auf der rechten Seite erhält man eine unendliche Reihe, deren allgemeines Glied ist:
d t^ = an { (cos ntnX -{- ßn siu nin x) (cos rtir X -{- ßr siu nir x) • dx
0
und es ist bereits (Abkühlung Nr. 8) nachgewiesen, dass sich dieses Glied im allgemeinen d. h. so oft w von r verschieden ist, auf
114 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 4, Mai 1901,
weite von 2 Meter haben, sind in Folge dieser längereu Brennweite die kleinsten Nebel viel sicherer als solche zu er- kennen, und deshalb wird das Arbeiten sicherer und leichter. Da zwei gleiche Linsen vorhanden sind, so können stets zwei Aufnahmen gleichzeitig gemacht und die Zweifel wegen der stets vorhandenen vielen störenden Plattenunreinlichkeiten be- seitigt werden. Es sei mir erlaubt hier einzuflechten , dass die Lichtkraft trotz mehrfacher Warnungen und Befürchtungen seitens befreundeter Astronomen ganz entschieden nicht ge- ringer geworden ist gegenüber den kleineren Linsen ; das Oeffnungs Verhältnis zwar ist das gleiche wie bei jenen und die Absorption musste mit den grösseren Glasdicken stark zunehmen, nichts destoweniger blieb die Lichtkraft praktisch mindestens die gleiche, sie ist vielmehr eher etwas grösser ge- worden. Die Ursache liegt unter Anderem vielleicht darin, dass die bei den meisten seitherigen Absorptionsunterauchungen ganz übersehene Helligkeit des Himmelsgrundes, die eine wesentliche KoUe in der Praxis spielt, bei den grösseren Linsen viel gün- stiger für die Platte wird. Als Beispiel sei angeführt, dass die feinen Ausläufer des C-Orion-Nebels mit dem grossen Teleskop bei gleicher Belichtung kräftiger herauskommen, als mit dem kleinen.
Seit seiner Aufstellung im August musste das grosse Instrument fast ausschliesslich zur Verfolgung von kleinen Planeten benutzt werden. Ebenso wurden fast ausschliesslich Positionen solcher Hinmielskörper auf den erhaltenen Platten ausgemessen. Doch wurde, wenn Zeit war, die Gelegenheit benutzt, die von den verwandten Anhaltsternen eingeschlos- senen kleinen Nebel mit zu vermessen. Dies wird gegenwärtig weitergeführt.
Es ist aber meine Absicht die Katalogisirung der kleinen Nebelflecken zur Hauptaufgabe unseres Observatoriums zu machen.
Um eine Vorstellung davon zu ermöglichen, wie zahlreich diese unbekannten kleinen, planetarischen Nebelflecken sind, und wie sich ihre Katalogisirung mit Hülfe des parallaktischen
M, Wolf: Entdeckung von kleineren Nebelflecken, 115
Messapparates ausführen lässt, möchte ich im Folgenden einige ausgemessene Gruppen mitteilen. Zuvor einige Bemerkungen über die Anordnung der Vermessung.
Dem parallaktischen Messapparat steht das auf einem Steinpfeiler befindliche schwere Plattenstativ besonderer Kon- struktion^) auf gemeinsamem Betongrund gegenüber. Beide Apparate sind mit den nötigen Bewegungen versehen, um sie in ihrem Abstand und ihrer Einstellung beliebig auf einander richten und justiren zu können. Beide Apparate werden auf einander durch AutocoUimation und durch Ausmessung einer Anzahl über die Platte verteilter Anhaltsterne mit dem Recta- scensionskreise des Messapparates möglichst genau auf den richtigen Abstand, d. i. die Brennweite des Teleskopes, mit der die Aufnahme gemacht ist, und ein bestimmtes Aequi- noctium orientirt, sodass direkt Rectascension und Deklination dieses Aequinoctiums auf der Platte gemessen werden können.
Die zu vermessende Nebelgruppe wird von bekannten xVnhaltsternen, die den Katalogen entnommen werden, einge- schlossen und diese Sterne werden zugleich mit den Nebeln nach Rectascension und Deklination ausgeniessen.
Aus den Sternen wird dann ein Mittelort gebildet und die vermessenen Objekte an diesen angeschlossen. Es handelt sich also um Differenzenmessung wie beim Fadenniikrometer am Femrohr, nur dass die Gruppe ausgedehnter und die Anzahl der Vergleichsterne grösser genommen werden kann. Sowohl der Wert einer Revolution der Mikrometerschraube in Deklination, als der Wert einer Minute des Rectascensions- kreises wird für jede Gruppe aus den Anhaltsternen abgeleitet. Die übrige Orientirung wird so genau ausgeführt, dass die Orientirungsfehler kleiner werden, als die durch die Mängel des Apparates verursachte Unsicherheit beträgt.
Aus diesem Grunde und um eine einigermassen rasch fortschreitende Katalogisirungsarbeit überhaupt zu ermöglichen, wurde beschlossen, auf genauere Ausgleichung und Verbesse-
>) Die Beschreibung erfolgt an anderer »Stelle.
116 Süzung der mathrphys, Classe vom 4. Med 190 J.
rungen der kleinen Fehler zu verzichten. Ein Urteil darüber, welche Genauigkeit auf diese Weise erreicht werden kann, erhält man, wenn man die Positionen der Anhaltsteme aus den Messungen mit berechnet und sie mit den Katalogs- positionen vergleicht (s. u.).
Zur Sicherung richtiger Berechnung wird jedes Objekt sowohl von dem gemeinsamen Mittelort aus, als von einem möglichst central gelegenen Stern aus unabhängig gerechnet, wodurch sich eine Controle, wenigstens was die Berechnung betrifft, ergibt.
Da der Kreis leider stellenweise zufallige Fehler bis zu lf34 besitzt, und noch nicht genügend untersucht war, so mussten die Rectascensionen öfters unsicherer ausfallen, als die Deklinationen, welche mit der Schraube gemessen werden, deren periodische Fehler bekannt sind. Dieselben sind übrigens auch recht beträchtlich, denn sie erreichen ir54 oder 0,007 einer Revolution. Diese Fehler machen sich besonders beim Orientiren der Platte unangenehm fühlbar.
Aus Einfachheitsgründen und um Irrtümer zu vermeiden wurde beschlossen, das m. Aequinoctium von 1875.0 für alle Positionen zu wählen, sich also direkt an den Sternkatalog der Astronomischen Gesellschaft anzuschliessen.
Es ist noch eine Schwierigkeit zu erwähnen, die ungünstig auf die Genauigkeit der Positionen wirkt. Es sind das die Hellig- keitsverhältnisse der Vergleichsterne. Es müssen meistens Sterne der 6., 7. und 8. Grösse als Anschlusssteme gewählt werden. Diese werden aber bei der für Nebelaufnahmen (bezw. Planeten- aufnahmen) nötigen Belichtungsdauer schon sehr gross auf der Platte, und die Einstellung darauf — besonders am Rand der Platte — ist wegen einer gewissen optischen Verzeichnung unsicherer als auf die meisten der kleineren planetarischenNebel. Leider ist schwer etwas zu ändern, weil die Sternkataloge keine schwächeren Sterne enthalten. Es wäre notwendig, erst von jeder Gegend eine Aufnahme mit kurzer Belichtungsdauer (vielleicht auf dieselbe Platte) zu machen und schwächere Vergleichsterne an die dann noch kleinen Scheiben der hellen Katalogsterne anzuschliessen,
M. Wolf: Entdeckung von kleineren Nebelflecken, 117
um die so erhaltenen Sterne dann als Anhaltsterne zur Ver- messung der Nebelflecken zu benutzen. Dadurch würde aber die Arbeit sehr vergrössert, sodass ihr Fortschreiten und damit ihr Nutzen in Frage gestellt würde.
Ich gehe nun zur Mitteilung einiger Beispiele.
Die erste im Folgenden aufgeführte Gruppe von Nebel- flecken findet sich auf der Platte B 137. Sie ist aufgenom- men mit dem Bruce-Teleskop a am 13. Februar 1901 von 12h 42.9«° M.Z. Königstuhl bis U^ 15.0°^. Das Ende ist eine Spur unsicher, weil der Schluss durch ziemlich plötzlich auf- ziehende Wolken bedingt wurde. Das ist hier ohne Belang und kommt nur für die mitaufgenoramenen kleinen Planeten in Betracht. Die Mitte der Platte liegt in
a = 8^ 20,9°» 5 = + 19« 30:4 (1875.0)
während die Mitte der folgenden Nebelgruppe in
a = 8^ 12.1°» d= + 19«20:0
zu suchen ist.
Gruppe 1.
Nr. 1 8»» 10»» 11?74 18« 50' 17^3 p B, S, H h3f,*BD 18?190t nf.
2 10 27.52 18 47 43.0 v S, p B N, 1 1, O, sends arc in
the M. of*BD 18?1905.
3 10 48.24 19 28 52.5 p B, S, gh M, * np 0*22.
4 10 55.23 19 7 13.5 v F, v S, ghM, v nr * 680 con-
nected by a neb arc.
5 11 2.22 18 47 13.3 Sy p B, h M, nr sp of Nr. (J. G 11 3.07 18 47 50.3 S, p B, larger ihen b, gb M.
7 11 2.83 19 3 5.2 i>J5, nebulous *, 2 Spiral arms 135<^.
8 11 18.18 18 51 51.4') i F!
y 11 21.35 19 2 14.3 p F, v S, i F.
10 11 23.32 18 50 54.0') iF!
11 11 24.69 18 57 18.4 F, S, O, /j, pr. ed«,'e sharper.
12 11 27.67 18 50 10.4«) iF!
') 8, 10 u. 12 liegen in einem Nebel; derselbe ist drapericiirti*^ und wird durch vier Bögen im SW. begränzt, wie eine Boj^enbrücke mit drei Pfeilern. Die Fusapunkte der drei Pfeiler sind gemessen. 10 hat die
118 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4, Mai 1901,
13 8h um 47?ö3 18» 59' 4üf2 -F; S, dif, stell N, v near*«/*.
U 11 51.35 19 18 6.2 j^ F, 5 semicircle, N, conneck
by an arc with * 13.
15* 11 42.27 19 17 45.0') * app Nr. 14.
16 11 51.89 19 20 36.1 pB, vS,l 50*>.
17 11 56.73 18 53 11.2 p F, S, i F, sharp edges.
18 12 7.13 18 53 45.6 v F, S, dif, gbM, II 125«.
19 12 13.76 19 22 27.5 p F, v S, i F, l 135".
20 12 16.20 18 48 10.9 F, v S, 2 90^, v F stell N, B* s
21 12 16.49 19 17 14.2 p F, v S, i F, vlb M.
22 12 54.53 18 46 25.0 p B, S, O, sev. similar quite nea
23 12 56.61 18 47 38.4 p F, S, i F, N exe s, t? nr * n
24 13 2.23 18 48 38-9 F, pS, sends two rectangala
arms n & j).
25 13 3.34 18 49 32.3 v F, II, pB exe N (nieas.), *s
26 13 6.58 19 48 30.6 F, v S, l 0«.
27 13 27.19 19 30 9.0 p F, v S, i F, gb M.
28 13 33.05 18 47 22.6 v F, 1 165«, sev FN, the brighte?
meas.
29 13 35.69 18 51 23.1 p 2^, / 40^ curved, t? nw, iV 3/ .
30 13 42.38 18 54 3.4 vF,l46^,dif,vlbM.
31 13 43.78 18 54 27.9 v F, in the Axis of 30, vS std
NM.
32 . 13 51.85 19 9 21.2 F, S, S-shsiped, v FN M,
33 13 58.88 19 18 28.7 F, v S, R, dif, N.
34 14 9.90 19 14 13.1 F, v S, dif, V F stell N.
35 14 12.28 19 32 28.0 i) J5, n550, br, 2 parall.Lines, »i'
36 14 21.96 19 0 58.6 F, v S, O, N M.
37 14 22.18 18 52 12.3 F, R, S, O.
38 14 24.11 19 3 .50.7 F, v S, O, NM.
39 14 28.56 18 51 49.9 p B, R, v S, O.
40 14 28.83 18 52 40.4 F, S, dif.
41 14 30.21 19 0 27.3 p F, 5, R, O.
schärfste Spitze, 12 bat zwei Verdichtungen an der Spitze, wovon die SW. gemessen ist. Die drei gemessenen Fusspunkte liegen fast auf einer Geraden im PW. 120^*.
^) Dieser Stern ist nachträglich in d an Nr. 14 angeschlossen, daher das absolute S etwas unsicher, A ö = 21"17.
M, Wolf: Entdeckung von kleineren Nebelflecken. 119
42 8h 14n»46!44 lO^ 35' 2i:7 v F, Z, scv FN, (south. N iiicas.).
43 U 56.94 19 18 28.2») t?F, Z,br,dif,cmved,end8/'inaF*.
44 15 0.00 19 24 28.1 v F, dif, l 90«, sev N, {M meas.).
45 15 11.86 19 14 59.2 ß, i2, i? S, stell, two Spiral arms.
46 15 48.74 19 28 44.0 F, S, B, N.
47 15 49.24 19 0 43.0 j) -F, S, B, O.
48 16 8.62 18 56 4.4 vF,ByO,vS (sev O neb. quite nr).
49 16 9.94 18 55 58.8 F, B, O. v S.
50 16 19.05 19 8 52.8 p L, CO, NOpB.
51 16 21.75 18 58 43.1 jJ -B, i?, 5, O, vF arm connects
with * 112^
52 16 42.41 19 25 27.9 F, di\f, pS, Ih M.
53 16 44.27 19 3 30.5 p F, B, O, Ib M, aitn 45«.
54 17 3.25 19 10 28.4 t? F, dif, i F, 5.
55 17 5.27 19 24 23.7 p F, X, dif, l b M,
.56 17 15.11 19 57 12.0 vF, S, gbM, stell N, B*S.
57 17 19.53 18 59 20.62) similar 58, sm, att 58.
58 17 20.63 18 59 49.63) p L, p B, dif, i F, F stell N,
59 17 27.24 19 3 27.0 p B, S, B, O, Spiral arms.
60 17 29.87 19 4 3.4 v F, dif, v S, v F N.
Für die obige Nebelgruppe sind die folgenden Vergleicli- sterne benutzt worden:
H= BD, 18?1904 = AG. Berlin Ä 3265
G 18.1905 A 3268
J 20.2045 B 3330
F 19.1982 Ä 3281
L 18.1925 Ä 3306
K 19.1991 Ä 3296
Q 19.1963 Ä 3257
Diese Anhaltsterne stellen sich aus den Messungen auf der Platte mit folgender Genauigkeit dar:
*) Draperieartig, brückenförmig, die Fusspunkte der Brückenpfeiler im Süden.
2) Hier ist Alles voll von kleinen Nebeln. 8) 56 = NGC. 258X: Q^ 17« 21» + 11)0 oH,
120 Sitsfung der math,-phys. Glosse vom 4, Mai 1901.
|
a |
d |
|
|
Katalog-Messnng : |
Katalog-Messung : |
|
|
H |
+ 0?04 |
i:o |
|
a |
+ 0.25 |
- 1.4 |
|
j |
0.11 |
1.3 |
|
F |
0.05 |
+ 1.1 |
|
L |
0.05 |
+ 1.1 |
|
K |
0.16 |
+ 1.6 |
|
Q |
0.11 |
0.6 |
Daraus ergibt sich der durchschnittliche Fehler einer
Position in
a d
± o?ii ± 1:2
Da die Nebelflecken meistens viel sicherer eingestellt werden ktinnen, als die grossen Scheiben der Vergleichsterne, so dürfte die Darstellung der Oerter der Nebelflecken selbst kaum mit grösseren Fehlern behaftet sein. Dafür tritt aber ein durch die zu grossen Scheiben Aer hellen Vergleich steme verursachter systematischer Fehler ein.
Bei der Vermessung der obigen Gruppe betrug der Wert einer Revolution der Mikrometerschraube, mit der die Deklina- tionen gemessen werden
B = 210:43 + 0:015 w. F.
Der Kopf der Mikrometerschraube ist in 300 Teile geteilt. Der Wert einer Minute des Kectascensionskreises ergab sich aus den gemessenen KectascensionsdiflFerenzen zu
M == 0'" 59?98 + 0?009 w. F.
d. h. der Messapparat stand von der Platte etwas zu weit weg; gleichzeitig sieht man aber aus der Zahl, dass die Distanz doch schon sehr genau getroff'en war. Das ist übrigens ziem- lich belanglos, weil ja doch nicht mit den Ablesungen, son- dern mit ihrem so bestinnnten wahren Wert gerechnet wird. Ganz analog wurde die folgende Grui)pe vermessen. Sie findet sich auf derselben Platte, wie die erste Gruppe. Die Mitte der Platte war in
M. Wolf: Entdeckung von kleineren Nebelflecken, 121
a = 8^ 20.9°» ^ = + 190 30:4,
die Mitte der folgenden Nebelgruppe ist in
gh 17 7m 20^ 5:9
zu suchen.
Gruppe 2.
Nr. 1 8h llin54?64 lO« 47' 15:2 vF,pS, dif, IbM.
2 12 2.85 19 42 6.9 p F, p S, dif, l N 1350 (sev. dif.
neb. V. nr).
3 12 8.38 19 57 9.1 v S, l 135», Axis b, spindle shaped.
4 12 57.26 19 43 43.3 F, vi 60», nw.
5 13 4.41 19 44 53.4 vS, F, R, vlbM.
6 13 22.10 19 49 56.9 B, stell, v S.
7 13 26.93 19 50 42.9 v F, S, l N,
8 13 27.03 19 30 7.7 v S, F, R, b M.
9 13 30.78 19 49 58.9 p J5, dif, p 5, Z 0«.
10 13 32.01 19 45 18.9 p B, R, i Ff, v S, b M.
11 14 1.74 20 9 5.2 p B, S, R, stell N exe, i Ff 12») 14 12.17 19 32 31.8 pJ5, dif, l 155», * 13 s att.
13 14 46.11 19 35 24.9 pF.nwJ lbb^,seyN,{sbNmeuA.).
14 15 3.62 20 0 45.1 p B, l 65«, traillike, h.
15 15 7.70 19 48 41.8 pF, pUlO», v nw, spindle shaped,
f curved, * M. IC 15 21.91 20 4 40.0 t?F,i)X,22,dif(sev.similarquitenr).
17 15 25.42 20 19 10.9 p B, R, v S, stell N, F * s att.
18 15 54.34 19 48 28.8 p S, F, dif, vlbhiN, (n JYmeas.).
10 16 47.54 20 3 54.0 pL, dif, p B, h, N !
20 16 54.11 20 21 13.1 F, S, l 90\ B * p att
21 16 57.18 20 6 25.7 v F, S, R, b M, OO (s f v nr a
similar).
22 17 4.27 20 56 3.9 F, nw, /450,torpedoshaped, ftAxis.
23 17 26.66 20 0 17.1 5, F, dif, / 6 i»f, cont sm A
24 17 36.51 20 51 57.5 p JB, 5, 22, stell N, dif / f and p.
25 17 48 05 19 53 58.9 F, v S, /, traillike N.
26 17 51.35 19 54 40.0 p F, S, stell N, R, OO,
27 17 52.22 19 53 51.7 F, H 135«, FJY, curved (v nr /*« V S Neb).
1) NGC. 2572: 8»» 14«" 12^ + 19^ 32:5.
122 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4, Mai 1901,
28 ») 8b 1 7^ 56?89 20<> 44' 14f 1 F, v S, l 160^, stell N, exe r.
(M meas.).
29 18 2.31 19 51 40.7 F, S, dif, v F N, exe.
30 18 27.25 20 20 44.7 p L, p F, dif, b M, bet 4 B st.
31 18 32.51 19 51 11.5 p L, p F, h M, ouiaide dil
32 18 37.87 20 9 50.1 pL,S,R,bM,
33 18 47.40 20 17 24.0 p F, v S, b M, l N I7(fi.
34 19 1.60 20 38 16.2 pB, S, B, stell, t dif f.
35 19 9.69 20 2 38.8 p B, v S, N, i.
.36 19 23.62 20 12 18.7 p B, S, B, 1 1 90^.
37 19 26.83 20 17 23.4 F, S, B, 1 1 135», B * s f.
38 19 34.03 20 46 21.4 F, S, dif, exe N.
39 21 8.54 20 12 7.6 p F, S, B, dif, b M.
Die Vergleichsterne zu dieser Nebelgnippe waren:
AG. Berlin JB 3396 Ä 3338 A 3336 J5 3380 A 3296 B 3354 A 3281
|
z> = |
BD. |
20?2095 = |
|
7? |
19.2014 |
|
|
A |
19.2012 |
|
|
C |
20.2082 |
|
|
K |
19.1991 |
|
|
t: |
20.2066 |
|
|
F |
19.1982 |
|
|
)arst« |
^llung |
f der Sterne |
|
I) |
a 0;28 |
|
|
B |
0.21 |
|
|
A |
+ 0.24 |
|
|
C |
0.31 |
|
|
K |
+ 0.03 |
|
|
E |
0.34 |
|
|
F |
+ 0.22 |
d
+ i:i
|
+ |
0.5 |
|
+ 1.8 |
|
|
1,5 |
|
|
1.5 |
|
|
+ |
0.3 |
— 1.1
und damit der durchschnittliche Fehler einer Position
+ 0f23 + i:i
•) NGC. 2582: 8'' IT» 55» + 20" 43^8.
M. Wolf: Entdeckung von Heineren Nebelflecken,
123
Die Darstellung in ßectascension ist hier schlechter. Ich rmute, dass der Steni E die Schuld daran trägt.
Es folgt eine weitere Nebelgruppe. Sie findet sich auf atte B 104, aufgenommen mit dem Bruce-Teleskop a: am Januar 1901 von 7^ 55.7»" bis 9^ 40.7'°M.Z.K. Die Mitte r Platte lag auf
a = 8M9.2'" 5 = + 24056:6
lihrend sich die Mitte der vermessenen Gruppe in
s^'S.S"» +24042:5
jfindet.
r. 1 2
4 ■y
(;
7
H
\)
10
11 12 13 14 15
IG
17
18
19
^0 2il
:22
i23
Gruppe 3.
8l> C« 6?78 + 240 27' öfO p B, S, dif, l 1350 OO.
6 10.10 24 25 20.9 p B, 1 0^ dif OO. G 38.54 25 3 14.1 O^ v 1\ p Sy p di^. G 39.28 25 2 12.9 O, p F, S.
G 39.68 24 14 29.8 p B, S', R, stell JNT, OO.
7 18.98 24 50 35.8 v F, dif, S, l 1550. 7 41.26 24 30 27.0 p F, O, dif, S, CO.
7 44.11 24 30 38.6 p F, O, dif, S, fainter then 7.
7 51.40 24 20 27.5 F, dif, 8, bi N.
7 53.85 24 55 24.4 S, v F, 1, l 0^.
8 0.23
8 34.45
9 0.15 9 12.26 9 13.09
9
9
10
10
10 10
11
11
27.40
58.97
23.14
32.93
37.95 52.02
19.67
47.06
24 24 24 24 25
24
25
24
25
25 24
24
25
54 13 52 19
52.9 46.5 31.7 49.2
4 32.9
33 3
34
7
10 54
55
10
36.2
23.5
42.7
18.9
52.1 42.6
29.4
47.1
8 11 48.84 + 25 10 27.5
pB, S, p dif, h f.
F, V Sj dif, i Ff app * sp.
O^pFfpS, h
pF, B, O, S,
B, pSyl 2050.
pF,S, J?, O.
pFy vS, B, O, s i F.
pB, vi 1350, nw !
p B, B, S, O. p B, dif, iS, b M.
pF, S, II 0'», dif, b M.
pF, L, dif, * 1350.
pB, S, b M, V nr B *, nr 23.
124 Sitzung der mcttK-phys. Glosse vani 4, Mai 1901.
Vergleichsterne :
F = BD. 25?1888 = AG. Berlin B 3315
E = 25.1891 = 3323
M= 25.1878 = 3291
G = 24.1889 = 3306
I) = 24.1907 = 3339
Die Darstellung der Vergleichsterne durch die Messung auf der Platte ergibt sich:
Durchschnittl. Fehler in Rectascension in Declination
+ o?o4 + o:6
Der Stern E wurde in Rectascension nicht verwandt, nur in Declination.
Die folgende 4. Gruppe befindet sich auf derselben Platte B 104. Mitte der Platte: 8»^ 19.2°^ + 24^ 5616, Mitte der Gruppe: 8^ 9.7°^+ 23« 39:5.
Gruppe 4.
Nr. 1 8»» 8ra34?55 + 230 34' 45"! p F, l 1350, in Axia 5, bi }s\
(northern measured).
|
2 |
8 |
40.60 |
23 |
30 |
51.0 |
pB,pL, E 90«, N north of Axw. |
|
3 |
9 |
6.38 |
24 |
0 |
48.6 |
S, F, O. |
|
4 |
9 |
17.60 |
23 |
50 |
10.7 |
pL,vF,lb8N. |
|
^ ö |
9 |
44.55 |
24 |
1 |
54.5 |
S, F, dif, l concentrated M. |
|
G |
9 |
50.57 |
23 |
57 |
37.7 |
S, p F, dif, 1 1 0«, bi N, (north, meas.). |
|
9 |
52.53 |
23 |
56 |
46.1 |
V F, S, dif, diffic. |
|
|
8 |
10 |
8.15 |
23 |
53 |
52.2 |
V F, l 450, nw, nr * Nr. 8 *. |
|
8* |
10 |
12.37 |
23 |
53 |
42.1 |
nr Nr. 8, B *. |
|
9 |
10 |
15.22 |
23 |
57 |
50.9 |
vF, S, dif 00, vlhM, l 0\ |
|
10 |
10 |
19.12 |
24 |
5 |
59.2 |
p B, S, dif 00, stell N, |
|
11 |
10 |
28.60 |
23 |
51 |
24.8 ») |
V B, L, dif, h A" with 2 spiral anns! |
|
12 |
10 |
45.20 |
23 |
26 |
59.5 |
pF, S, l 25». |
|
13 |
11 |
56.57 |
24 |
t |
57.3 |
F, S, dif, l 90», b Axis. |
4 Nr. 11 im NGC. 2554: S^' lim 30« + 23» 51^4, am Katalogort ist kein Nebel, während die Beschreibung auf Nr. 11 pasat. Es ist daher ew Irrtum im NGC. anzunehmen.
M, Wolf: Entdeckung von kleineren Nebelftecken. 125
Die Anhaltsterne für diese Gruppe sind:
(7= BD. 24?1889 = AG. Berlin B 3306
I)= 24.1907 3339
B= 23.1922 3317
A= 23.1925 3321
Sie werden in folgender Weise aus den Messungen auf der Platte dargestellt:
Durchschnittl. Fehler in Rectascension : + 0f06
in Declination: + ir2
Zu der Beschreibung der Nebel ist zu bemerken, dass die Bezeichnungs weise des HerschePschen Generalkataloges benutzt ist, wie sie sich im Drey ersehen N. G. C. befindet. Ausserdem mussten aber noch folgende BegrifiFe eingeführt werden:
breit = br schmal = nw homogen = h nach aussen allmählich verlaufend = oo
Die Positionswinkel sind in Ermangelung einer Mess- vorrichtung nur roh geschätzt und zwar so, dass ein Strich im Beobachtungsheft bezüglich der Lage der Fäden gezogen und dessen Lage mit dem Transporteur abgelesen wurde.
Ueber einige interessante Eigentümlichkeiten einzelner von den gemessenen Nebelflecken soll an anderer Stelle berichtet werden. Ueberhaupt sollen später auch die interessantesten Objekte möglichst genau mit einem bei Repsold in Arbeit be- findlichen Messapparat anderer Konstruktion untersucht werden. Hier war der Zweck der Mitteilung, zu zeigen, wie es möglich wäre, auf photographischem Wege und mit einfachen Messwerk- zeugen die vielen unbekannten Nebel zu katalogisiren und sie kurz zu beschreiben. In dieser oder ganz ähnlicher Weise soll nach und nach eine Grundlage für einen photo- graphischen Nebelkatalog und damit für eine für die Erkenntnis unseres Weltsystems so wichtige Statistik geschaffen werden.
1901. SitouDgsb. d. matb.-phys. Gl. 9
126 Sitzung der math.-phys. Classe vom 4, Mai 1901,
Wie wichtig diese Katalogisirung ist, geht auch aus den angeführten Beispielen so recht anschaulich hervor. Es war absichtlich in den behandelten vier Gegenden eine Stelle des Himmels nicht gar weit von der Milchstrasse gewählt worden, die bisher als nebelarm betrachtet worden war. Die von den vier angeführten Gruppen bestrichene Fläche am Himmel beträgt 4.7 Quadratgrade. Es wurden auf ihr 135 Nebelflecke ver- messen, von welchen, wie oben ersichtlich, nur 3 als bekannt im Drey er 'sehen Generalkatalog angegeben sind. In den mir zugänglichen Listen Swift 's befindet sich kein Nebel, der die betreflTenden Gegenden berührt.^) In diesen vier Gegenden, — sie liegen alle zwischen Praesepe und Milchstrasse — , nämUch
a = 8^ 12.1"^ a == + 19« 20' (1875.0) 8 17.7 20 6
8 8.8 24 43
8 9.7 23 40
stellt sich daher das Verhältnis von neuentdeckten zu be- kannten Nebelflecken wie 132 zu 3. Mit anderen Worten, es wären bisher — vor Anwendung der Photographie mit den kurzbrennweitigen Linsen — nur zwei Prozent der leicht zu pliotographirenden Nebelflecken katalogisirt.
Aus den wenigen Schätzungen, die ich an anderen als nebelreich bekannten Orten anstellen konnte, scheint hervor- zugehen, dass dort die Zahl der Nebel durch die Photographie nicht in wesentlich grösserem Maasse zunimmt. Es sind dort im Durchschnitt die Nebel nur grösser und heller und daher mehr bekannt.
Sollte sich diese Erfahrung bei der Weiterführung der Katalogisirung bestätigen, so würde daraus ein merkwürdiger Schluss auf die Konstitution des Weltsystems zu ziehen sein.
^) Listen Nr. 2, 3, 4, 0, 7, 8, 12 in M. Notices, sowie Catalogues 1, 2, 3, 4, 4a in ^Hi.story and Work of Warner Observatory.
1
127
Ueber die JodqueUen bei Tölz.
Von !• Rothpletz.
{Eingilaufm 20. Mai.)
Am Nordrand der bayerischen Alpen entspringen mehrere jodhaltige Quellen, die zu Heilzwecken benutzt werden und unter denen diejenigen bei Tölz gegenwärtig die grösste Be- rühmtheit erlangt haben. Ueber den Ursprung dieser Quellen und ihres Jodgehaltes wissen wir jedoch trotz der theoretischen und praktischen Bedeutung, welche diesem Gegenstande zu- kommt, sehr wenig. Nur das eine steht vollkommen fest, dass diese Quellen nicht etwa aus ein und derselben Gesteinsschicht oder aus gleicher Formation entspringen. Die Quellen von Salzberg bei Kempten und von Heilbrunn bei Penzberg treten aus der oberoligocänen Molasse zu Tage, die bei Tölz aus dem Eocan und die des Kainzenbades bei Partenkirchen aus der Trias auf der Grenze zwischen Partnach- und Raibler Schichten, die hier durch eine Gebirgsstörung neben einander gerückt worden sind.*)
Im vorigen Jahre wurde bei Tölz durch planmässige An- lage eines Stollens eine neue verhältnissmässig starke Quelle aufgeschlossen und diese Arbeiten, welche nach meinen Vor- schlägen ausgeführt worden waren, haben neues Licht auf den Ursprung der Krankenheiler Jodquellen und auf den geologi- schen Bau der dortigen Gegend geworfen, so dass es geboten erscheint, darüber einen Bericht zu geben. Doch will ich zum
*) Siehe A. Rothpletz, ein Querschnitt durch die Ostalpen, 1894, S. 127.
9*
128 Sitzung der mathrphys. Classe vom 4. Mai 1901,
leichteren Verständnisse für Femerstehende , kurz über die Vorgeschichte der dortigen Jodquellen einiges vorausschicken.
Die Entdeckung der ersten Krankenheiler Jodquelle fallt ins Jahr 1846. Der Jaudbauer war am Blomberg in etwa 800 Meter Meereshöhe beim Graben nach Mergel auf eine schwache Quelle gestossen, in der Otto Sendtner, damals Privat- dozent, später Professor der Botanik in München, Jod nach- wies. Doch ging die Quelle durch Verschüttung wieder ver- loren und der Bergingenieur ßohatzsch, der das Quellgebiet dem Bauer abkaufte, musste mehrere Stollen in das Berg- gehänge treiben, wobei er zwar nicht die verschüttete, aber mehrere andere Quelladern antraf. Er hat darüber einen Be- richt 1851 im Neuen Jahrbuch für Mineralogie (S. 164) ver- öffentlicht und darin zwei Quellen in Erinnerung an sein sächsisches Heimathland Bernhard- und Johann Georgen- Quelle getauft.
Analysen des Quellwassers wurden gemacht und ebenso Versuche eine Kuranstalt zu gründen, die aber erst von Erfolg begleitet waren, als Karl Herder aus Freiburg i. B. die Quellen 1856 durch Kauf erworben hatte. In diesem Jahre wurde auch die Jodquelle an der Bockleiten (Annaquelle) entdeckt und später kamen bei Krankenheil noch die Mäximiliansquelle (1868) und die zwei Marienquellen (1870) hinzu. Seit 1861 sind die Quellen im Besitz einer Actiengesellschaft.
Einen kurzen Bericht über die geologischen Verhältnisse der Karls- ^) und Annaquelle, bei deren Fassung er zugegen war, gab Gümbel 1861 in seiner Geognost. Beschreibung des bayer. Alpengebirges S. 634. Dieser und der frühere Bericht von Rohfitzsch sind die einzigen literarischen Quellen, aus denen die zahlreichen Badebrochüren der Doctoren Gsell-Fels, Höfler und Streber bei Darstellung der Quell Verhältnisse geschöpft haben.
Es ist mir unbekannt, wen Herder bei Fassung der Quellen als technischen Berather zur Seite hatte, aber sicher ist es,
^) Diese Quellen waren schon theilweise von Rohatzsch erschürft f^eweson, aber erst später und nach ihrer Fassung durch Herder wurde die hinterste von den 3 Quellen 1872 erschlossen.
Ä, Bothpletz: Ueber die Jodquellen hei Tölz, 129
dass bei dieser Fassung Fehler begangen wurden. Zwar ging man durch Schürfungen den einzelnen Quellen so lange nach, bis man an die Stelle kam, wo sie aus dem festen Felsen heraustreten, aber dann umschloss man bei den wichtigeren Quellen diese Stelle mit einer festen Cementhülle domartig und zwang das Wasser aus diesem kleinen Sammelkessel durch eine Röhre zu entweichen, die fest in dem Cementmantel ein- gefügt war und die bei der Bernhard- und Maximilian quelle P/a bezw. 3 Meter lang und senkrecht aufgestellt war, so dass es nur bei entsprechendem Auftrieb oben zum Ueberlaufen des Wassers kam. Die Folge war, dass später niemand die Ursache feststellen konnte, als die Quellen geringere Wassermengen gaben, und da auch weder Pläne noch Beschreibungen der Quellfassungen existirten, so blieb selbst der eingehenden im Jahre 1892 vom kgl. Bezirksamte vorgenommenen Untersuchung der eigentliche Ursprung der meisten dieser Quellen verborgen. Als dann im Februar 1900 die Cementverschlüsse der Kranken- heiler Quellen gänzlich entfernt wurden, sah man, dass sich in den künstHchen Sammelkesseln im Laufe der Zeit ein feiner grauer Schlamm angehäuft hatte, der auch die Abflussröhren zum Theil verstopfte und wahrscheinlich die Ursache geworden war, dass das Quellwasser tiefer unten im Gestein auf dessen feinen Spalten andere Auswege gesucht und gefunden hatte. Schon 1890 und 1892, als die Bernhard- und die Johann- Georgenquelle neuen quantitativen Analysen unterworfen wurden, ergab sich, dass gegenüber den früheren 1852 von Fresenius und Wittstein vorgenommenen Untersuchungen der Jodgehalt abgenommen hatte. Man musste daraus erkennen, dass die vorhandenen Quellen den steigenden Ansprüchen des immer mehr aufblühenden Badeortes nicht mehr genügen konnten, und so entschloss sich die Verwaltung der Actiengesellschaft endUch 1899 energische Nachforschungen nach neuen Quellen zu unternehmen.
Es war nicht leicht hierfür einen bestimmten Arbeitsplan zu entwerfen, denn nachdem schon die Natur durch eine mäch- tige und weit ausgedehnte Decke von Moränen, Gehängeschutt
130 Sitzung der mathrphys. Classe vom 4, Mai 1901,
und Alluvionen Lage und Ausdehnung der Schichten des Unter- grundes fast ganz verhüllt hatte, waren durch die schon er- wähnte Verkleisterung der Quellfassungen auch die künstlich geschaffenen Aufschlüsse fast gänzlich der Beobachtung wieder entzogen worden. Die Schilderung derselben in den eingangs erwähnten zwei Berichten von ßohatzsch und Gümbel gab ebenfalls keine verlässigen Anhaltspunkte, da mehreres in den- selben unklar und widerspruchsvoll blieb. Kohatzsch, der seiner Beschreibung leider weder Grundrisse noch Profile bei- gegeben hat, scheint bei Angabe des Einfallens der Schichten Nord und Süd mit einander verwechselt zu haben. Ebenso Gümbel, der zwar eine Profilzeichnung gab, darin aber ein nördliches Einfallen einzeichnete, obschon im erläuternden Text in Uebereinstimmung mit Kohatzsch ausdrücklich ein süd- liches Einfallen erwähnt wird. Gleiches Einfallen zeigen Text und Profil für den Steinbruch an der Bocksleiten, in dem auch heute noch deutlich das Entgegengesetzte beobachtet wird. Den breiten Streifen von Eocän, den die geologische Karte am Eierbach aufweist, habe ich vergeblich gesucht, dahingegen fehlt auf derselben der Bühel von glaukonitischer senoner Kreide, der nordöstlich der Blomberger Quellen im Walde auf- ragt und in dem schon vor langem der Jaudbauer einen kleinen Schleifsteinbruch angelegt hatte.
Eine mehrtägige Untersuchung des Tölzer Quellengebietes im October 1899 führte mich zu folgenden Ergebnissen: Alle Jodquellen am Blomberg entspringen einem rothen Kalklager, das beiderseits von thonigen Mergeln eingefasst ist. Dieses Lager entspricht dem mitteleocänen Enzenauer Marmor. Es streicht von SO. nach NW. und die Mergel auf seiner S W.- Seite haben das Aussehen der jüngeren Stockletten. Die Mergel auf der Nordostseite sind anders beschaffen und schliessen kleine Bänke eines glaukonitischen Quarzsandsteines ein. Ob sie ebenfalls wie die Stockletten dem Kalklager concordant ange- lagert sind, blieb zweifelhaft, weil es sich nicht sicher ent- scheiden Hess, ob die Auflagern ngsfläclie, welche mit 40 — 60* nach NNO. einfällt und stellenweise deutliche Schrammen auf
A. Boihpletz: üeher die Jodquellen hei Tölz, 131
dem rotlien Kalkstein zeigt, eine Schicht- oder eine Verwer- fungsfläche sei. Der im Süden davon auftretende Flysch zeigt ein so verschiedenes Streichen und Fallen, dass ein noimaler Verband desselben mit den eocänen Schichten nicht bestehen kann. Beide stossen wahrscheinlich auf einer grossen Ver- werfungsspalte aneinander. Jodhaltig hatte sich bisher keine der vielen Quellen erwiesen, die dem Flysch entspringen, die Jodquellen sind vielmehr auf das Ealklager beschränkt und sie entspringen alle mit Ausnahme der Karlsquellen am Nordrande des rothen Kalkes. . Anscheinend bilden die Spalten dieses Kalklagers die Wege, auf denen die Quellen aufsteigen, die von seitlichem Ausweichen durch die Mergel im Hangenden und Liegenden abgehalten werden.
Daraus ergab isich von selbst, wie man es zu machen habe, um, ohne die gefassten Quellen zu stören und ohne allzugrosse Kosten, etwa vorhandene neue Quellen aufzuschliessen. Ein Stollen von N. her mit südöstlicher Richtung in den Berg getrieben, musste bei einer verhältnissmässig geringen Länge, weiter westlich das rothe Kalklager erreichen und dabei höchst wahrscheinlich auf aufsteigende Quellen stossen.
Im Januar 1900 wurde mit der Anlage eines solchen Stollens begonnen, der bei einer Länge von 35 Metern wirk- lich auf das Kalklager stiess und zwar etwa 9 Meter nord- westlich von der Bemhardsquelle. Schon am 10. März traf man eine jodhaltige Quelle, die aus einer Spalte jenes Kalk- lagers empordrang und viel wasserreicher als die benachbarte Johann Georgen- und Bernhardsquelle war. Indem man im Streichen des Marmorlagers den Stollen nach NW. noch eine kurze Strecke weit trieb, erreichte man alsbald noch eine zweite aber schwächere Jodquelle und es kann kaum einem Zweifel unterliegen, dass in dieser Richtung noch weitere Quellen anzutreflfen sind. Da aber die gefundene Wassermenge vorerst genügend erschien, wurde die Arbeit eingestellt. Nach einigen Tagen zeigte es sich, dass zwischen den neuen und den zwei benachbarten alten Quellen ein Zusammenhang besteht, denn letztere begannen bedeutend schwächer zu laufen und
132 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4. Mai 1901 ,
haben bis heute ihren ehemaligen Wasserreichtum nicht wieder erlangt. Dahingegen machte sich bei den anderen Kranken- heiler Quellen keinerlei Abnahme bemerkbar. Die neue Quelle lieferte ungefähr soviel Wasser als sämmtliche alten Kranken- heilerquellen zusammen (also mit Ausschluss der Annaquelle an der Isar). Jetzt erst ging man daran, die Fassung jener alten Quellen aufzudecken, wobei die bereits erwähnten Mängel der- selben, zugleich aber auch eine Anzahl sehr wichtiger geo- logischer Thatsachen zu Tage kamen, die in Verbindung mit den Aufschlüssen im neuen Stollen es gestatten eine bestimmtere Vorstellung von den Beziehungen der Jodquellen zum Gebirgsbau zu gewinnen.
1. Die geologischen Verhältnisse bei Erankenheil
am Blomberg.
Die beistehende Kartenskizze zeigt alle Aufschlüsse des tertiären Gesteins, welche von Natur oder Menschenhand im Fassungsgebiete der Krankenheiler Quellen geschaffen worden sind. Alles, was weiss gelassen ist, gehört zu der grossen Moränen decke, welche das Gehänge des Blomberges an dieser Stelle bedeckt und die selbst wieder zum Theil durch jüngere Gehängebildungen und künstliche Aufschüttungen verhüllt ist.
Mit e ist der rothe Kalkstein bezeichnet, der dem Enzenauei mitteleocänen Marmor entspricht. Rohatz seh hat seinerzeit bei seinen Schürfarbeiten viel Versteinerungen darin gefunden die aber nie einer genauen Bestimmung unterworfen wordeJ sind. Nummuliten kommen darin sicher vor und auch sons weist die petrographische Beschaffenheit auf den Enzenaue: Marmor hin, der ungefähr in 700 Meter westnord westliche:! Entfernung auf dem Nordgehänge des Blomberges in einen grossen Steinbruch des Tölzer Magistrates ansteht. Gegen- wärtig ist der Bruch auflässig, aber über den mehrere Metei hohen Wänden des rothen Marmors sieht man noch recht deutlich mit schwacher südlicher Schichtneigung die jüngeren foramiuiferenführenden Stockletten oben aufliegen.
A. BothpleU: Ueber die Jodquellen bei TSli. 133
I. KuicDtkitiB ilar Blombsrger (JuclIcDrs^suntien. 1 :üu(i. h UnUrciiFäne
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134 Sitzung der math.'phys. Classe vom 4, Mai 1901.
Letten von gleicher BeschaflFenheit sind auch im Karls- stollen auf der Südseite des Marmors aufgeschlossen (s. die Skizze) und scheinen ebenso wie letzterer senkrecht aufgerichtet zu sein.
Von anderer BeschaflFenheit sind die Mergel auf der Nord- seite des Marmorzuges. Sie sind schwärzlich und enthalten sehr viel silberglänzende Schüppchen von Ealiglimmer. Vereinzelt kommen Einlagerungen von festem etwas glaukonitischem Kalk- stein und kalkigem Sandstein in schmalen Bänken in diesem dünnschieferigen Mergel vor. Versteinerungen sind selten und dann meist schlecht erhalten. Theils sind es unbestimmbare kohlige Pflanzenreste, theils weisschimmemde Schalen von Mollusken. Doch sind die meisten Schalen verdrückt, von mehliger BeschaflFenheit und zum Theil schon aufgelöst. Nur in den harten Kalkbänken sind sie gut erhalten, dann aber schwer freizulegen. Solche Versteinerungen wurden durch den 30 Meter langen Stollen mehrfach zu Tage gefordert. Soweit sie sich bestimmen Hessen, verweisen sie auf untereocänes Alter der Ablagerung. Ich fand:
Gryphaea Gümbeli M.-E. Anomia tenuistriata Desh. Cardium sp. Cytherea sp. Turritella sp. Nautilus sp.
Es haben diese Funde deshalb eine weiterreichende Be* deutung, weil bisher aus der Tölzer Gegend untereocäne Ab' lagerungen noch nicht bekannt geworden sind. Auch diese Mergel sind senkrecht aufgerichtet und wir haben mithin scheinbar eine ganz regelmässige Aufeinanderfolge von Nof^ nach Süd: untereocäne Mergel, mitteleocäner Marmor und obct' eocäne Stockletten.
Gleichwohl besteht keine concordante Lagerung zwischen den untereocänen Mergeln und dem Marmorlager. Erstet^ streichen von Ost nach West mit localer Ablenkung nacl^
A. Bülhplele: üeber die Jodqudlen bei Tält. 135
WSW (am Eingang des neuen Stollens N 105" W). Die Grenze aber gegen den Marmor streicht bei der Neuen Quelle und im Bernhardstollen, von kleinen Verbiegungen abgesehen, N 70" W, im Karlsstollen N 80" W. Diese Fläche und die M«rgelschichten bilden also im Streichen einen Winkel ab- wechselnd von 10 bis 35*^. Dazu kommt noch, dass die Mergel in der Regel senkrecht oder doch fast senkrecht stehen, wäb- reod die Grenzfläche mit 40»— 60" nach NNO. einfällt. Be- sonders deutlich war dies wäh- rend der Wegnahme der alten Quellenfassung im Bemhards- ■koUen zu beobachten (s. Fig. 2). Anders rerhiilt sich die Grenze swischen dem Marmor und den Stockletten, die allerdings nur im Karlstollen sichtbar ist. Sie streicht N 65» W und seheint ^'^^.llZurM^c.rrlTilfptn''' vertikal gestellt wie die Stock- letten seihst, so dass sie also eine wirkliche Schichtfläche ist, die zugleich die llichtung des Marmorlagers bezeichnet, die sonst mangels Bankung nicht erkannt werden kann.
Wir haben also zwei verschiedene Schichtcomplexe vor uns: der eine im Süden besteht aus oberem und mittlerem Eocän, seine Schichten stehen saiger und streiehen N 65" W; der audere besteht nur aus unterem Focän mit ebenfalls saigeren Schichten, die jedoch 0 — W bis N 75" 0 streichen, mit denen des anderen Compleies also Winkel von 25 — 40" bilden.
Dieser ältere nördliche Complex liegt dem südlichen und jüngeren auf einer mit 40 — 60" nach Norden geneigten Fläche auf. Diese Auf lagerungslläche kann nur als eine Verwerfungs- fläcfae aufgefasst werden, und da das Aeltere im Hangenden der- selben liegt, muss sie eine Ueberschiebungsfläche sein. Die Richtung der Ueberschiebung wird im Bemhardstollen an den kräftigen Parallelschrammen erkannt, welche die Oberflüche des Harmorli^ers im vorderen Theile des Stollens bedecken.
Dieselben liegen jedoch nicht genau in der Richttmg der
136 Sitzung der mathrphys, Classe vom 4, Mai 1901,
Falllinie dieser Fläche, sondern steigen von NW. her schräg zur Falllinie gegen SO. auf. Die Schubbewegung fand also auf einer gegen NNO. geneigten Fläche, aber ziemlich genau von N. nach S. statt.
Im hinteren Theile des Stollens ist diese Schubfläche nicht geschrammt, auch nicht mehr so glatt, sondern rauh und brecciös, als wenn die härteren Einlagerungen des darüber ge- schobenen untereocänen Mergels auf dem Marmor eine Rei- bungsbreccie erzeugt hätten. Im neuen Stollen ist hingegen das Bild wieder etwas anders. Die Schubfläche ist nicht glatt und eben, sondern sanft gewellt, als ob sie vom Wasser cor- rodirt wäre. Es ist das vielleicht das Werk der gerade dort entspringenden kohlensäurehaltigen neuen Quelle, aus der Zeit, wo sie noch weiter aufwärts steigen musste, um die Oberfläche zu erreichen.
Auch die Mergel im Hangenden zeigen durchweg nahe der Schubfläche merkliche Veränderungen. Im neuen Stollen sind sie vor Ort ganz verdrückt und gestaucht, wie das auf Ver- werfungsspalten gewöhnlich beobachtet wird. Aber bei der (Quelle selbst und in noch höherem Maasse im Bernhardstollen ist der sonst grau-schwarze Mergel grünlich gefärbt, fest an die Marmorfläche angeschmiegt, in deren Unebenheiten binein- gepresst und von spiegelnden welligen Druckflächen dicht durch- setzt. Es sind das nur die gewöhnlichen untereocänen Mergel, die jedoch längs der Ueberschiebung stark umgewandelt wur- den. Da sie aber zugleich die Verschlussmauer für die schwefel- wasserstofl'haltigen, im Kalkstein emporsteigenden Wasser bildest so sind sie bis zu einem gewissen Grade damit getränkt und unterscheiden sich auch dadurch von dem gewöhnlichen Mergel-
Beim Ausräumen der Max quelle hat sich ergeben, da^ diese (Juelle ebenfalls aus einer Spalte des Marmorlagers ent^ springt, dass letzteres jedoch daneben im Streichen gegen Weste^ von den grauen untereocänen Mergeln abgeschnitten wir^^ nach Art einer Querverschiebung, wie dieselbe in der Skiz^^ eingetragen ist. Ich konnte das Streichen dieser saigem TreiE^ nungsspalte mit N 40^ 0 bestimmen.
A. Bothpletz: lieber die Jodquellen hei TÖlz.
187
In Uebereinstimmung damit findet man die Nordgrenze des Marmors zwischen den Marienquellen und der Maxquelle gegenüber der im Karlstollen etwa um 2 Meter nach Norden Yorgeschoben, so dass ein ent- sprechender horizontaler Vorschub des östlichen Theiles angenommen werden darf.
Etwas ähnliches muss zwi- schen der Earlsquelle und der Bemhardsquelle eingetreten sein, denn wenn man die Ueberschie- bungsfläche beider Theile gegen- einander fortsetzt, wie das in der Skizze mit Berücksichtigung der Höhenlagen des Terrains durch- geführt ist, so treffen sie nicht genau aufeinander. Hier ist es das westliche Gebirgsstück, wel- clies nach Norden und zwar um etwa 4 Meter vorgeschoben ist. Wenn man ferner die Grenzlinie zwischen Marmor und Stockletten vom Karlstollen nach West ver- I lagert, so schneidet sie alsbald Äö der Ueberschiebungslinie ab Qnd so ist es wahrscheinlich, dass ^ Marmorlager des Karlstollens Ton demjenigen des Bernhard- stollens auf eine kurze Erstreckung durch Mergel getrennt ist. Für ^e aufsteigenden Quellen ist dies gewiss von grosser Bedeutung.
Aus alledem geht hervor, dass der Gebirgsbau im (}uell- gekiet ein recht verwickelter ist. Das beigegebene Profil ver- sucht die Verhältnisse für die neue Quelle zu geben, wobei
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138 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 4, Mai 1901,
auch das diluviale Deckgebirge eingetragen wurde, dessen wirk- liche Mächtigkeit jedoch nicht genau bekannt ist. Ob die saigere Stellung des Marmorlagers hier so wie bei den Earlsquellen zutrifft, wissen wir ebenfalls nicht, es ist also diese und das Vorhanden- sein der sich südlich anlagernden Stockletten nur Vermuthung.
Dahingegen ist die Existenz des Flysches auf der anderen Seite des Wasserrisses sicher. Ein Schürf und ein alter Stollen haben denselben angefahren. In ersterem besteht er vorwiegend aus typischem, weichem, glimmerreichem Flyschsandstein mit kleinen verkohlten Pflanzenresten. Die Schichten fallen mit schwacher Neigung nach SW. ein, und es ist deshalb sehr wahrscheinlich, dass sie von dem Eocän durch eine Verwerfungs- spalte getrennt sind, wie dies weiter im Westen bei Enzenau sicher nachgewiesen worden ist. Es gehört dieser Flysch einer breiten Zone an, die sich zwischen Isar und Loisach in einer Breite von 6 Kilometer überall südlich an den Eocänzug des Blomberges und von Enzenau anlegt. Von bestimmbaren Ver- steinerungen kommen fast nur die bekannten Flyschfucoiden darin vor, die im nördlichen Eocän jedoch gänzlich fehlen. Foraminiferen sind zwar auch sehr häufig darin, aber sie haben noch zu keiner specifischen Bestimmung geführt. Glücklicher Weise fand Herr Quass auf einer geologischen Excursion, welche ich im Sommer 1900 hierher führte, in einem Flysch- block der vom Blomberg stammt und in einem Wassergraben unmittelbar im Norden dieses Quellgebietes lag, den deutlichen Abdruck eines Inoceramus Cripsi, so dass wenigstens ein Theil dieses Flysches jedenfalls noch zur oberen Kreide gehören muss.
Geht man von den Krankenheiler Quellen über Wiesen und durch Wald, deren Boden durchweg aus Moränen und Gehänge- schutt besteht, ungefähr 200 Meter nach NW., so gelangt man an einen etwas steil ansteigenden Waldhang, auf dessen halber Höhe ein längst verlassener kleiner Schleifsteinbruch liegt. Herumliegende Blöcke von grünem glaukonitreichem Kalkstein machen uns darauf aufmerksam. Er schliesst wenig gut erhaltene Schalen der Gryphaea vesicularis ein und gleicht auch sonst so vollkommen dem senonen „Grünsandstein** von Enzenau^
A. BotkpleU: Ueber dit Jodquellen bei TÖlis. 139
dass kein Zweifel über sein Alter bestehen kann. Wenn wir diesen Aufschluss mit unserem Queliprofil (Fig. 3) in Verbin- dung setzen, so ergibt sich als das Wabrscbeinlicliste, dass diese Kreide die Unterls^ des untereocänen Mergels bildet, und dass in dem aufscblusslosen zwischenliegenden Gebiete von 200 Meter Brate noch die obersten senonen Mergel zu suchen sind.
Der Kreidebruch liegt danach in der Mitte eines Gewölbes, dessen Nordflügel nicht erhalten oder wenigstens nicht sichtbar ist, dessen SüdflUgel aber aus den Schichten besteht, denen die Jodqaellen entspringen. Es endet dieser Flflgel an dem Flysch auf der bereits erwähnten Verwerfungsspalte. Ob letztere so saiger steht, wie ich sie gezeichnet habe, weiss ich nicht — an manchen Stellen der Kachbarschaft erscheint es so, an den meisten aber lässt es sich nicht feststellen. In dem eocänen Theü des genannten SUdöligels hat eine nach SUd gerichtete üeberschiebung stattgefunden, und die Jodquellen entspringen gerade da, wo die Uebersehiebungsfläche zu Tage geht.
In Figur 4 habe ich Tersucht nach den Aul^hlüssen der Ober- fläche den Bau des Gebirges bis herab zu einerTiefe von fünfhun- dert Meter darzustellen. Ich habe in der Tiefe eine muldenartige Um- biegung des zu Tage siüger gestellten Flügels angenommen. Es ent- spricht das den Lage- i rungsrerhältnissen von I Kreide und Eocän, wie sie weiter im Westen durch die iibeiten insbesondere von Dr. H. Inikeller') klargelegt
') Die Kreide- und Eocän bild untren am Stellauer Eck und Enzcniiucr Ktipf bei Töl«. Programm zum .Tahrcobericht l895/!)6 Uer städti^clien HMdeluchule München. Neuerdings auch Palaeontographica 1901 Bd. 48.
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140 SUiung der mcUh.-phi/s. Clasae vom 4. Mai 1901.
worden sind. Es soll damit jedoch keineswegs die Möglich- keit ausgeschlossen werden, dass die Schichten auch noch in grössere Tiefe senkrecht hin absetzen oder dass noch andere Complicationen in der Lagerung hinzutreten.
Die geologischen Terbaltnisse bei der Aimaqnelle an der Bocksleiten.
Dieselben sind von denen am Blomberg recht verschieden. Flysch, senone Kreide, untereoeäne Mergel und Enzenauer Marmor sind nirgends sichtbar, aber an mehreren Stellen schauen unter der mächtigen diluvialen Ablagerung, welche hauptsnch- lieh den langen und breiten Höhenzug des Wackersberges auf- baut, kleine Partien von Stockletten hervor, die wenig mach- tige Einlagerungen von Granitmarmor enthalten.
Den besten Äufschluss gewährt der gegenwärtig auflässige Kirch may er 'sehe Steinbruch etwa 100 Meter südlich der Häuser von Bocksleiten dicht neben der Pahrstrasse. Das eigentliche Lager von Lithotamnien-reiehem Granitmarmor ist nur noch in einer Mächtigkeit von 2 Metern aufgeschlossen, darUber liegt 5 j, 3 m stark ein feinkör-
nigerSandstein.dannSiu Stockletten (ein grauer globigerinenreicherMer gel) und zu oberst noch- mals Sandstein, der aber
stark verwittert und
bröckelig geworden bt. Alle diese Schichten bti eichen \ 75* \\ und fallen mit 25" nach N ein. Zwei iilttre Steinbiuche liegen jl 50 m weiter im SUden, sind aber bereits ganz verwachsen und zum Theil bewaldet. Auch in ihnen stosst man nur aut Stockletten und Granitmarmor. Noch 100 m weiter südwärts im Fuchsgraben trifft man abermals einen Stockletten artigen Mergel anstehend.
Zwischen dein Kirchmayr'schen Steinbruch und der 200 in
A. Bothpletz: üeber die Jodquellen hei Tölz. 141
nordwestlich dayon gelegenen Annaquelle fand ich in einem kleinen Wassergraben mitten im Wald einen grösseren Block von Oranitmarmor, der wohl auf das Ausgehen einer solchen Gesteinsbank hinweist. Im nahen Gründelgraben steht wieder ein Stockletten artiger Mergel an, wie er auch im Annastollen- haus aufgeschlossen ist und vor dem Stollen auf einer kleinen Halde liegt.
Ob dieses 4 malige Vorkommen von Granitmarmor vier ver- schiedenen Lagern entspricht, oder job es nur in Folge von Verwerfungen oder Faltung die Wiederholung ein und des- selben Lagers darstellt, lässt sich bei der Geringfügigkeit der Au&chiüsse nicht entscheiden. In ersterem Falle müsste man den Stockletten eine Mächtigkeit von etwa 300 m zusprechen. Wenn ich die Stockletten hier kurzweg als Obereocän bezeichne, so soll das zunächst nur andeuten, dass sie jedenfalls jünger als der Enzenauer Marmor sind. Erst durch charakteristische Fossilfunde, die einstweilen von hier fehlen, liesse sich ent- scheiden, ob sie obereocän in dem Sinne sind, wie es nach O. Reis für die Stockletten bei Kressenberg zutriflPb.
Der Verputz, den man seinerzeit der Annaquelle bei ihrer Fassung gegeben hat, lässt nur erkennen, dass die Quelle da entspringt, wo sich die diluvialen „Kreide** -Mergel discordant auf die Stockletten aufgelagert haben. Das heisst, sie sickert an mehreren Stellen aus jener Auflagerungsfläche hervor, ihr eigentlicher Ursprung ist unbekannt. Die Beschafienheit des Stocklettens kann man nur aus den Stücken beurtheilen, die vor 46 Jahren beim Fassen der Quelle ausgegraben und vor dem Quellhaus auf eine Halde geworfen worden sind. Sie haben natürlich seither stark durch Verwitterung gelitten, doch lassen sie noch erkennen, dass dieser Mergel verhältniss- mässig viele kleine kohlige Pflanzenreste einschliesst.
Die „Tölzer Kreide**, welche darüber liegt, führt zu unterst vereinzelte kleine GeröUe und ist ziemlich sandig, was man direct über der Quelle sehen kann. 300 m südlich des Quell- hauses ist diese Kreide in einer ofienen Grube und südlich wie nördlich davon durch Stollen aufgeschlossen. Sie ist deutlich
1901. Siiziingsb. d.mat]i.-phy8. GL 10
1
142
Sitzung der math.-phys. Classe vom 4, Mai 1901,
horizontal geschichtet und wird von mächtigen fluvioglacialen Schottermassen überlagert. Ad. Schwager (Geognost. Jahres- hefte 1894, S. 86) gibt Analysen des grauen Mergels (1) und einer gelblichen Abart (2) und zum Vergleich eines Dolomit- sandes, wie er vom Hauptdolomit des Kramer bei Garmisch durch den Regen abgeschwemmt wird:
|
CaO |
MgO |
CO2 |
SiO^ H2O3 Fe-iOs |
K2O |
Na^O |
H^O+Org |
Summa |
|
|
1 |
33.08 30.90 31.60 |
6.31 4.50 18.50 |
32.90 33.94 46.00 |
14.73 8.17 1.78 |
0.94 0.14 |
0.16 0.11 |
2.66 2.70 |
100.73 |
|
2 3 |
21.75 sonstiges 3.4 |
100.04 99.50 |
Ob diese Kreide noch auf Eocän ruht, ist unbekannt, aber 400 m nördlich der Annaquelle kann dies jedenfalls nicht mehr der Fall sein, weil da am Ufer der Isar bereits unter Winkeln von 50 — 65^ aufgerichtete Mergel und Sandsteine der ober- oligocänen Molasse anstehen, die ein ostwestliches bis nordwest- liches Streichen und südliches Einfallen zeigen. Sie fallen ako widersinnig gegen den obereocänen Granitmarmor ein und ohne Zweifel stossen sie auf eine Verwerfungsspalte an dieselben an, ein Lagerungsverhältniss, das in ganz ähnlicher Weise bei dem Gern ent werk Mariahilf bei Schaftlach nachgewiesen worden ist. Wo diese Verwerfung am Wackersberg durchstreicht, ist un- gewiss. Es kann nahe der Annaquelle sein, vielleicht aber auch 400 m davon nördlich.
2. Das Wasser der Tölzer Jodquellen.
Von allen zu Heilzwecken benutzten Quellen besitzen wir chemische Analysen, die zwischen 1890 und 1900 gemacht worden sind. Von drei Quellen, nemlich der Bernhard-, Johann Georgen- und Annaquelle, liegen noch ältere Analysen von 1852 bezw. 1857 vor, so dass wir auch über die Veränderungen des Mineralgehaltes während 50 Jahren etwas wissen.
Ä, Bothpletg: üeber die Jodquellen hei Töh. 143
Ich gebe im Nachfolgenden eine Zusammenstellung dieser Analysen, doch will ich dazu bemerken, dass ich die Bestand- theile, welche nur in Spuren oder winzigsten Mengen von ein- zelnen Chemikern nachgewiesen worden sind, weggelassen habe, ebenso wie die fünfte Dezimalstelle. Die Bestimmungen der freien Kohlensäure und des Schwefelwasserstofifes sind nicht immer durchgeführt worden oder an Wasser, das in unzweck- mässiger Weise der Quelle entnommen worden war, so dass die Analyse einen zu geringen Betrag ergeben musste. Nur die von L. A. Buchner, Fresenius und Hobein geraachten Bestinnnungen verdienen Berücksichtigung. Die Analysen wur- den ausgeführt 1852 von Fresenius und Wittstein (München), 1857 von Prof. L. A. Buchner (München), 1890 von Carl Bu ebner und Sohn in München, 1892 und 1900 von Dr. M. Hobein in München — alle im Auftrag der Quellenbesitzer, von denen ich diejenigen Angaben, welche bisher noch nicht veröflFentlicht worden sind, erhalten habe. Von den StoflFen, die ich aus den Analysen weggelassen habe, sind quantitativ bestimmt worden in 1000 Theilen:
doppeltkohlensaures Lithion in der Johann Georgen- quelle nur von Wittstein (0.0023),
doppeltkohlensaures Manganoxydul in der Bem- hardsquelle von Fresenius 1862 und C. Buchner 1890 (0.0001),
phosphorsaures Eisenoxyd in der Johann Georgen- quelle von Wittstein (0.0005) und von C. Buchner (0.0004),
kieselsaures Natron in der Johann Georgenquelle von Wittstein (0.0175), in der Karlsquelle von C. Buchner (0.0042), in der Maxquelle von C. Buchner (0.0076) und in der Marienquelle (0.0003),
kieselsaure Thonerde in der Bernhardsquelle von Fresenius (0.0020), in der neuen Quelle (0.0017), in der Annaquelle von L. A. Buchner (0.0012) und von C. Buchner (0.0096).
Aus den Jahren 1852 liegen von der Bernhards- und Jobann Georgenquelle je zwei Analysen von Fresenius und
10*
144 Sitzung der math.-phys, Clcksse vom 4, Mai 1901,
Wittstein vor, die in der Hauptsache eine gute Ueberein- stimmung, im Einzelnen jedoch auch kleine Dififerenzen zeigen. Es mag dies zum Theil davon herrühren, dass das Wasser zu verschiedenen Zeiten den Quellen entnommen wurde, zuerst für Fresenius, später für Wittstein. Auch in der Oesammt- menge der Mineralbestandtheile ergab es Unterschiede bis zu 0.0534, also bis 7®/o. Aus diesen Schwankungen erklärt es sich wohl auch, dass der Gehalt an Jodnatrium von 1890 auf 1892 in der Johann Georgenquelle beinahe auf das Doppelte, in der Karlsquelle auf das siebenfache gestiegen war, trotzdem sich seit 1852 im Allgemeinen eine erhebliche Jodabnahme deutlich bemerkbar gemacht hat.
Fassen wir nun zunächst die Bernhardsquelle ins Auge, so lassen sich die gelösten Bestandtheile leicht in drei Gruppen bringen: die erste umfasst die Natriumverbindungen und die Kieselsäure, die zweite die Sulfate und die dritte die Carbonaie von Kalk, Magnesium und Eisenoxydul. Von 1852 bis 1892 haben die gelösten Bestandtheile im Ganzen um etwa 20®/o abgenommen, die Natriumverbindungen sogar um beinahe 40% während die Kalkcarbonate umgekehrt um 85®/o zugenommen haben. Die Sulfate hingegen zeigen abwechselnd Zu- und Abnahme, schliessen aber 1892 mit einer Mehrung gegen 1852 I von 64°/o, gegen ^1852 II mit einer Minderung um 6^/0 ab.
Man sieht hieraus, dass diese 3 Gruppen eine gewisse Selbstständigkeit besitzen, und da die erste Gruppe die Haupt- bestandtheile der Soolquellen, die zweite der Schwefelquellen und die dritte der gewöhnlichen Quellen des Kalkgebirges ein- schliesst, so will ich sie der Kürze halber weiterhin als die Kochsalz-, Schwefel- und Kalk-Gruppen bezeichnen. Dass ich zu ersterer auch noch die Kieselsäure rechne, hat seinen Grund darin, dass dieser Bestandtheil regelmässig die Schwankungen nur dieser Gruppe mitmacht. Zur Schwefelgruppe ist natür- lich auch der SchwefelwasserstoflF zu zählen.
Vergleichen wir damit die Bestandtheile der Johann Georgenquelle, so ergeben sich auch jene 3 Gruppen ganz
Ä. Bothjpletz: üeber die Jodquellen bei TÖlz, 145
von selbst; aber die Kochsalzgruppe weist zwischen 1852 und 1892 eine Mehrung von 29®/o bei einer Zunahme von nur 19®/o des Gesammtgehaltes auf. Umgekehrt hat die Kalkgruppe und selbst die Schwefelgruppe Abnahme zu verzeichnen, erstere um 12, letztere um 43®/o. Doch macht sich die der letzteren erst seit 1890 bemerkbar, während die der ersteren bis 1890 sogar um 28®/o zurückgegangen war, seither aber wieder schwach zunahm. Von der Kieselsäure bleibt es in dieser Quelle unsicher, ob man sie zur ersten oder dritten Gruppe stellen soll. Sie zeigt ungeföhr gleiche Schwankungen wie das Jod- natrium, das ebenfalls eine Abnahme und zwar statt um 10 sogar um 20®/o aufweist und ebenso 1890 einen noch tieferen Stand als 1892 hatte. Bemhardsquelle und diese haben es gemeinsam, dass der Jodnatriumgehalt abgenommen hat, in jener sogar um 62®/o.
Die neue Quelle stimmt in allem sehr aufföUig mit der Johann Georgenquelle überein und zwar mit Bezug auf Ge- sammtgehalt und die Kochsalzgruppe mit deren Stand von 1892, mit Bezug auf Sulfate und Kalkgruppe mit deren Stand von 1852. Die Bemhardsquelle war von beiden stets durch einen höheren Betrag in der Kalkgruppe und einen geringeren in der Kochsalzgruppe, wenigjstens seit 1890 unterschieden. In der Schwefelgruppe steht sie hingegen beiden ungefähr gleich.
Berücksichtigt man, dass die gewöhnlichen Quellen dieser Gegend nur einen Gehalt aus der Kalkgruppe haben, so lässt sich dieser Unterschied so deuten, dass die Bernhardsquelle eine etwas stärkere Beimischung gewöhnlichen Quellwassers erhielt. 1890 hat C. Buchner Quellwasser untersucht, das ihm von der Badedirection zugeschickt worden war und das aus der Quellenfassung oberhalb der Jodquellen im Wasser- töbel stammte.*) Es enthielt weder Jod, Brom, Lithium, noch Sulfate oder SchwefelwasserstoflF und der Rückstand von 0.258 ®/oo
') Gleiches Resultat hatte die Analyse von 1891 eines Wassers, das wahrscheinlich aus dem kleinen Versuchsstollen im Flysch südlich des Karlstollen stammte. Ein Rückstand von 0.302 enthielt 0.235 kohlen- sauren Kalk.
152 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 4. Mai 1901,
Schichten immer mehr in die Tiefe, andere folgen nach und es entstehen Untergrundwasser- Ansammlungen, die aber in der Hauptsache nur auf einzelne Gesteinsschichten beschränkt bleiben. ^
In unserem Falle sind diese Schichten zwar muldenförmig gebogen und fallen in Folge dessen steil nach Süd ein, aber ehe sie zur Umbiegung kommen, welche sie wieder zu Tage bringen müsste, werden sie von einer bedeutenden Verwerfungs- spalte abgeschnitten, auf deren anderer Seite jetzt in Folge der stattgehabten Verwerfung stark gefaltete und gefältelte Flysch- mergel und Sandsteine anstehen.
Durch diese Anlegung des thonigen Flysches an die unteren Enden der wasserführenden Schichten werden dieselben also nach unten abgeschlossen und das Untergrundwasser an weiterem Absteigen abgehalten. Der hydrostatische Druck muss aber bestrebt sein das angesammelte Wasser auf dem wenn auch engen Riss der Verwerfungsspalte in die Höhe zu treiben, wie in der Röhre eines artesischen Brunnens. Wenn dann dieses aufsteigende Wasser an die Stelle kommt, wo der stark zerklüftete Enzenauer Marmor an der Verwerfung abstösst, wird es leichter in die Spalten dieses Kalksteines eindringen als in der Verwerfungsspalte weiter aufsteigen und so erklärt es sich, dass die aufsteigenden Jodquellen des Blomberges alle aus diesem Marmorlager entspringen. Die stärksten dieser Quellen können freilich gar nicht bis zu Tage aufsteigen, weil sie von den überschobenen thonigen untereocänen Mergeln, in die sie nicht eindringen können, zurückgehalten werden. Erst künstlicher Abdeckung dieser Mergel ist es gelungen auch diesen Quellen einen Ausfluss zu schafifen.
Mit dieser Auffassung steht es im Einklang, dass die Jod- quellen stärker fliessen müssen, wenn eine Periode stärkerer atmosphärischer Niederschläge vorausgegangen ist, weil dann mehr Wasser in die porösen Schichten eingedrungen, der Unter- grundwasserspiegel dadurch gestiegen und der hydrostatische Druck vergrössert worden ist. Die thatsächlich beobachteten
Ä. Both^eli: Ueber die Jodqatlhn hti Tölt.
147
(0.117 und 0.139) und ähnliche Beträge in der Karl- und Max- quelle. Es scheint fast als wenn in diesem Jahre eine aus- nahmsweise starke Kohlensäureentwickelung stattgefunden hätte. Die Annaquelle hingegen ergab sowohl 1857 als auch 1892 ungefähr gleiche Betr^e, nemlich 0,083 und 0.089.
Neben der Yeränderlichkeit in der chemischen Zusammen- setzung, welche ftlr die Tölzer Heilquellen, wie wir gesehen haben, im Laufe der letzten 50 Jahre nachgewiesen worden ist, besteht aber auch noch eine solche in der Wassermenge. Für frühere Jahre liegen allerdings die Messungen nicht mehr vor und nur ein uncontrollirbares Gerücht behauptet, dass die Annaquelle, als sie aufgefunden wurde, viel stärker gewesen sei als später, nachdem man sie gefasst hatte. Ob dies richtig, ob daran eine ungeschickte Fassung Schuld hat, muss unent- schieden bleiben.
Anzahl der Sekunden, in denen ein Liter Wasser geliefert wurde:
Bernhard quelle Job. Geor(;enquell( Neue Quelle Karlsquellen MiLXqiielle Marienquellcn
20 23 17,5 17.5 24! 23
6S 62.5 62.5
86 \m.b\ 85
27.6 29 31 22 22.6' 22
29 [^30 31 i5.B'64.S 70
22.2 22.7
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^1 25
211 22
Bei anhaltend trockenem Wetter oder grosser Kälte laufen im Allgemeinen die Quellen schwächer. Die Zunahme bei den Karlsquellen mit dem Jahre 1900 kommt daher, dass die un- geschickte Fassung derselben entfernt und ein bis dahin unbe- rflcksichtigt gebliebener Quellast hinzugenonimen worden war. Die starke Abnahme der Bernhard- und Johann Georgenquclle
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148 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 4. Mai 1901,
zwischen Februar und April 1900 hängt mit der Erscheinung der Neuen Quelle zusammen.
Ueber die Temperatur des Jodquell wassers liegen leider nur mangelhafte Berichte vor. G. Höfler gab 1869 für die Bernhardsquelle 7.5® C. und für die Johann Georgenquelle 7.6*^ an. Gümbel erwähnte 1861 9.1® von der Jodquelle am Sauersberge, womit jedenfalls eine der beiden obigen Quellen gemeint sein muss. Leider ist bei keinen dieser Messungen die Jahreszeit angegeben und Höfler hat wohl nicht die Quelle an ihrem Ursprung gemessen, da sie 1869 schon längst ver- cementirt war, sondern an ihrem Röhrenausfluss. Gegenwärtig lassen sich an ihnen keine Thermometermessungen mehr vor- nehmen. Dahingegen ergab mir die neue Jodbrunnenquelle im März 1901 8.37® C. Die Messungen habe ich mit controllirten Instrumenten vorgenommen, die mir Herr Prof. Ebert aus der Sammlung der Technischen Hochschule freundlichst über- lassen hat.
Am gleichen Tag fand ich für die Marien- und die vordere der Karlsquellen 6.9® und für die dritte hintere 3.9®.
Die Annaquelle wurde im Mai 1857 von L. A. Buchner mit 8.75® (= 7® R.) gemessen, im März 1901 fand ich 8.27». Die Stollenquelle des Oementwerkes auf gleicher Meereshöhe (650 m) hatte 8.17®.
Nach den von Gümbel 1861 (Alpengebirge S. 835) zu- sammengestellten Quellenmessungen wäre die normale Quellen- temperatur der Annaquelle 8.25®, für die Quellen am Sauers- berg (805 m) 7.25®.
Die dort im Hintergrund des Bernhardstollen gefasste ge- wöhnliche, aber ziemlich starke Brunnen quelle, zeigte aber im März 1901 nur 1.75®. Im Sommer ist sie bedeutend wärmer.
3. Der Ursprung der Tölzer Jodquellen.
Aus den vorausgehenden Angaben lassen sich einige Schlüsse über die Herkunft dieser Quellen und ihres Mineral- gehaltes ziehen.
A. Eothplets: üeher die Jodquellen bei Tölz, 149
Aus welcher Tiefe kommen diese Quellen?
Die neue Jodquelle ist nur um etwas mehr wie 1^, die Annaquelle blos um den Bruchtheil eines Grades wärmer als eine normale gewöhnliche QueUe und die Marien- und Karls- quellen sind sogar kälter. Dieser scheinbare Widerspruch klärt sich jedoch leicht auf, wenn wir die Art der Quellenfassung und die Natur der dortigen gewöhnlichen Quellen ins Auge fassen.
Die neue Quelle ist einige Meter unter der Bergoberfläche da gefasst, wo sie direct aus einer Felsspalte austritt, die an- deren gemessenen Quellen hingegen sind gerade an der Ober- fläche der festen Felsen, wo sie von Moränen- und Gehänge- schutt bedeckt werden, gefasst, so dass das im Deckgebirge circulirende Tageswasser sich leicht damit mischt. Die Anna- quelle hat in Folge dessen die Temperatur desselben von 8.17® beinahe schon erreicht, und die Karls- und Marienquellen mit 6.9® und 3.9® zeigen noch deutlicher den Einfluss des kalten März-Quellwassers.
Der ausgeprägt „heterothermale** Charakter der gewöhn- lichen Sauersberger Quellen hat seine Ursache in der geringen Mächtigkeit der Gesteinsschichten, in denen sich die atmo- sphärischen Niederschläge zu Quellwasser ansammeln. Es sind Moränen und Gehängeschutt- und -lehm, welche auf den meist thonigen Mergeln der Kreide- und Tertiärforraation liegen und die selbst mit ihren untersten Lagen nicht in die Kegion der »unveränderlichen Bodentemperatur * herabreichen. Winterkälte und Schneeschmelze werden deshalb hier sehr fühlbar und auch der Wasserreichtum und die Wasserreinheit der daraus ent- springenden Quellen zeigen grosse und unmittelbare Abhängig- keit von den jeweiligen Regenmengen.
Anders liegen die Verhältnisse bei der Annaquelle, wo die tertiären Schichtgesteine von einer bis 10 Meter mächtigen diluvialen Mergelschicht, der „Tölzer Kreide", und einer da- rüber liegenden Masse fluvioglacialer Schotter bedeckt sind. Besonders in den unteren sandigen Lagen dieser „Kreide** bilden
152 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 4. Mai 1901.
Schichten immer mehr in die Tiefe, andere folgen nach und es entstehen Untergi'undwasser- Ansammlungen, die aber in der Hauptsache nur auf einzelne Gesteinsschichten beschränkt bleiben. ^
In unserem Falle sind diese Schichten zwar muldenförmig gebogen und fallen in Folge dessen steil nach Süd ein, aber ehe sie zur Umbiegung kommen, welche sie wieder zu Tage bringen müsste, werden sie von einer bedeutenden Verwerfungs- spalte abgeschnitten, auf deren anderer Seite jetzt in Folge der stattgehabten Verwerfung stark gefaltete und gefältelte Flysch- mergel und Sandsteine anstehen.
Durch diese Anlegung des thonigen Flysches an die unteren Enden der wasserführenden Schichten werden dieselben also nach unten abgeschlossen und das Untergrundwasser an weiterem Absteigen abgehalten. Der hydrostatische Druck muss aber bestrebt sein das angesammelte Wasser auf dem wenn auch engen Riss der Verwerfungsspalte in die Höhe zu treiben, wie in der Röhre eines artesischen Brunnens. Wenn dann dieses aufsteigende Wasser an die Stelle kommt, wo der stark zerklüftete Enzenauer Marmor an der Verwerfung abstösst, wird es leichter in die Spalten dieses Kalksteines eindringen als in der Verwerfungsspalte weiter aufsteigen und so erklärt es sich, dass die aufsteigenden Jodquellen des Blomberges alle aus diesem Marmorlager entspringen. Die stärksten dieser Quellen können freilich gar nicht bis zu Tage aufsteigen, weil sie von den überschobenen thonigen untereocänen Mergeln, in die sie nicht eindringen können, zurückgehalten werden. Erst künstlicher Abdeckung dieser Mergel ist es gelungen auch diesen Quellen einen Ausfluss zu schaffen.
Mit dieser Auffassung steht es im Einklang, dass die Jod- quellen stärker fliessen müssen, wenn eine Periode stärkerer atmosphärischer Niederschläge vorausgegangen ist, weil dann mehr Wasser in die porösen Schichten eingedrungen, der Unter- grundwasserspiegel dadurch gestiegen und der hydrostatische Druck vergrössert worden ist. Die thatsächlich beobachteten
A, Bothpletz: üeber die Jodquellen hei Tölz, 153
grossen Schwankungen im Wasserreichtum der Quellen dienen zur Bestätigung.
Sobald das aufsteigende Wasser in die Klüfte des Marmor- lagers eintritt, ist es der Berührung und Vermischung mit dem- jenigen Wasser ausgesetzt, das von oben in dieses Lager einge- drungen ist. Nach unserem Profil (Fig. 4 auf Seite 139), das aller- dings in den tieferen Lagen nur vermuthungsweise gezeichnet ist, würde das bei einer Tiefe von etwa 200 Meter beginnen, wo das aufsteigende Wasser einem Wasser von etwa 13® begegnen, sich mit ihm mischen und sich abkühlen müsste. Höher herauf würde die Temperatur natürlich immer weiter sinken bis zu der „invariablen Zone**, wo das Grundwasser etwas über 7® hat. Die Abkühlung ist thatsächlich sehr gross, denn das Wasser tritt nur noch mit einem Ueberschuss von wenig mehr als P zu Tage. Wie wir schon früher sahen, hat sich das auf- steigende wahrscheinlich um etwa ein Drittel mit absteigendem Quellwasser vermischt und da diese Quellen überhaupt nur langsam fliessen und aufsteigen, so mag auch die Abkühlung durch die umgebenden kälteren Gesteine ein Wesentliches zum Endergebniss beigetragen haben.
Wie bedeutend bei local sie begünstigenden Verhältnissen diese Beimischung abkühlend wirken kann, beweisen die tiefen März-Temperaturen der Marien- und Karlsquellen.
Woher stammen die mineralischen Bestandtheile und
die Gase der Jodquellen?
Einen Theil müssen wir jedenfalls von dem gewöhnlichen Quellwasser ableiten, das sich mit dem aufsteigenden mischt. Die vorhandenen Analysen haben gezeigt, dass die gewöhnlichen Quellen am Blomberg nur sehr wenig Mineralgehalt haben (0.25 — 0.30*^/oo) und zwar hauptsächlich kohlensauren Kalk (0.21 — 0.24 ®/oo). Die Thatsache, dass bei den nachgewiesenen zeitlichen Gehaltsschwankungen der Jodquellen einer Minderung an Sulfaten oder Kochsalz stets eine Mehrung an Kalkcarbonat entspricht, ist ein deutlicher Hinweis darauf, dass die Zufluss-
152 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4. Mai 1901.
Schichten immer mehr in die Tiefe, andere folgen nach und es entstehen Untergrundwasser-Ansammlungen, die aber in der Hauptsache nur auf einzelne Gesteinsschichten beschränkt bleiben. ^
In unserem Falle sind diese Schichten zwar muldenförmig gebogen und fallen in Folge dessen steil nach Süd ein, aber ehe sie zur Umbiegung kommen, welche sie wieder zu Tage bringen müsste, werden sie von einer bedeutenden Verwerfungs- spalte abgeschnitten, auf deren anderer Seite jetzt in Folge der stattgehabten Verwerfung stark gefaltete und gefältelte Flysch- mergel und Sandsteine anstehen.
Durch diese Anlegung des thonigen Flysches an die unteren Enden der wasserführenden Schichten werden dieselben also nach unten abgeschlossen und das Untergrundwasser an weiterem Absteigen abgehalten. Der hydrostatische Druck muss aber bestrebt sein das angesammelte Wasser auf dem wenn auch engen Riss der Verwerfungsspalte in die Höhe zu treiben, wie in der Röhre eines artesischen Brunnens. Wenn dann dieses aufsteigende Wasser an die Stelle kommt, wo der stark zerklüftete Enzenauer Marmor an der Verwerfung abstösst, wird es leichter in die Spalten dieses Kalksteines eindringen als in der Verwerfungsspalte weiter aufsteigen und so erklärt es sich, dass die aufsteigenden Jodquellen des Blomberges alle aus diesem Marmorlager entspringen. Die stärksten dieser Quellen können freilich gar nicht bis zu Tage aufsteigen, weil sie von den überschobenen thonigen untereocänen Mergeln, in die sie nicht eindringen können, zurückgehalten werden. Erst künstlicher Abdeckung dieser Mergel ist es gelungen auch diesen Quellen einen Ausfluss zu schaffen.
Mit dieser Auffassung steht es im Einklang, dass die Jod- quellen stärker fliessen müssen, wenn eine Periode stärkerer atmosphärischer Niederschläge vorausgegangen ist, weil dann mehr Wasser in die porösen Schichten eingedrungen, der Unter- grundwasserspiegel dadurch gestiegen und der hydrostatische Druck vergrössert worden ist. Die thatsächlich beobachteten
A, Bothpletz: üeber die Jodquellen bei Tölz. 153
grossen Schwankungen im Wasserreichtum der Quellen dienen zur Bestätigung.
Sobald das aufsteigende Wasser in die Klüfte des Marmor- lagers eintritt, ist es der Berührung und Vermischung mit dem- jenigen Wasser ausgesetzt, das von oben in dieses Lager einge- drungen ist. Nach unserem Profil (Fig. 4 auf Seite 139), das aller- dings in den tieferen Lagen nur vermuthungsweise gezeichnet ist, würde das bei einer Tiefe von etwa 200 Meter beginnen, wo das aufsteigende Wasser einem Wasser von etwa 13® begegnen, sich mit ihm mischen und sich abkühlen müsste. Höher herauf würde die Temperatur natürlich immer weiter sinken bis zu der „invariablen Zone**, wo das Grundwasser etwas über 7® hat. Die Abkühlung ist thatsächlich sehr gross, denn das Wasser tritt nur noch mit einem TJeberschuss von wenig mehr als 1® zu Tage. Wie wir schon früher sahen, hat sich das auf- steigende wahrscheinlich um etwa ein Drittel mit absteigendem Quellwasser vermischt und da diese Quellen überhaupt nur langsam fliessen und aufsteigen, so mag auch die Abkühlung durch die umgebenden kälteren Gesteine ein Wesentliches zum Endergebniss beigetragen haben.
Wie bedeutend bei local sie begünstigenden Verhältnissen diese Beimischung abkühlend wirken kann, beweisen die tiefen März-Temperaturen der Marien- und Karlsquellen.
Woher stammen die mineralischen Bestandtheile und
die Gase der Jodquellen?
Einen Theil müssen wir jedenfalls von dem gewöhnlichen Quellwasser ableiten, das sich mit dem aufsteigenden mischt. Die vorhandenen Analysen haben gezeigt, dass die gewöhnlichen Quellen am Blomberg nur sehr wenig Mineralgehalt haben (0.25 — 0.30®/oo) und zwar hauptsächlich kohlensauren Kalk (0.21 — 0.24 ®/oo). Die Thatsache, dass bei den nachgewiesenen zeitlichen Gehaltsschwankungen der Jodquellen einer Minderung an Sulfaten oder Kochsalz stets eine Mehrung an Kalkcarbonat entspricht, ist ein deutlicher Hinweis darauf, dass die Zufluss-
154 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 4. Mai 1901.
quellen von beiderlei Bestandtheilen getrennt sind. Stärkerem Zufluss von gewöhnlichen Quellwasser mit seinem Ealkcarbonat folgt natürlich in der Mischung eine Abnahme des aufsteigenden Wassers mit seinen Sulfaten und seinem Kochsalz.
Der eigentliche Thermalantheil dieser Jodquellen, welcher bei der neuen und der Johann Georgenquelle etwa ^/a, bei den anderen bis nur ^/a ausmacht, bringt seine gelösten Stoffe aus der Tiefe mit herauf, und sie finden sich jedenfalls schon in dem Untergrundwasser vor, das diese Quellen speist. Da aber das Untergi'undwasser aus einer Ansammlung von atmosphäri- schen Niederschlägen hervorgeht, welche als solche Sulfate, Kochsalz, Soda und Jod nicht oder doch nur in Spuren in Lösung haben, so bleibt nichts anderes übrig als anzunehmen, dass diese Substanzen sich in denselben Gesteinsablagerungen vorfinden, in denen sich jene Untergrund wasser ansammeln.
Im Meerwasser kommen sie ebenfalls vor und können sich in den sandigen und thonigen Absätzen des Meeres in Form von Steinsalz, Soda, Glaubersalz u. s. w. sehr leicht mit ab- setzen. Wenn sie in älteren Meeresablagerungen, die durch Hebungen trocken gelegt sind, verhältnissmässig selten ange- troffen werden, so braucht dies nicht daher zu rühren, dass sie überhaupt nie da waren. Sie sind in Wasser so leicht löslich, dass das circulirende Grund- und Untergrundwasser sie meist schon gelöst und weggeführt hat. Wo die Circulation des unterirdischen Wassers gehemmt ist, tritt zwar Lösung aber nicht Wegführung ein, wie der berühmte „Torrent d'Anzin* bei Valenciennes in Frankreich beweist, der als eine unter- irdische Wasseransammlung in den Kreideschichten in einer Tiefe von ungefähr 80 m mit einer Dicke der Wasserschicht von 8 — 9 m ruht und einen Flächenraum von 2450 Hectaren einnimmt. Sein Wasser tritt nicht in Form von Quellen zu Tage, wird aber seit längerer Zeit von den Bergleuten künst- lich entfernt, so dass die Menge schon bedeutend abgenommen hat. Das Wasser führt pro Liter bis 13 g feste Bestandtheile und zwar besonders Kochsalz und Sulfate.
In ähnlicher Weise ist anzunehmen, dass auch die Kreide-
A. Bothpletz: üeher die Jodquellen bei Tölz. 155
und Eocänschichten bei Tök ursprünglich diese leicht löslichen Meeressalze enthielten. Bald nach ihrer Ablagerung zur mitt- leren Oligocänzeit wurden sie dann aufgerichtet und gefaltet. In den oberen Theilen der Faltengewölbe trat dann sofort Aus- laugung durch die Quellwasser ein, aber in den tieferen Falten- mulden, welche unter das Niveau der Thäler herabreichen, fehlte dem Untergrundwasser das Gefalle und damit die Strömung. Es konnte wohl jene Salze theilweise lösen, aber sie nicht weg- führen. Dies wurde bei Tölz erst möglich, als der hydro- statische Druck das stagnirende Untergrundwasser auf der in- zwischen entstandenen Verwerfungsspalte heraufzupressen be- gann. Freilich ist dieser Ausfluss so schwach, dass die Menge der Salze dadurch bisher kaum eine erhebliche Minderung er- fahren hat, dahingegen ist es wohl verständlich, dass die Lösung im Untergrundwasser keine gleichmässige ist. Sie wird in Folge der langsamen Bewegung des Wassers in den Ge- steinen an den einen Stellen mehr, an anderen weniger Salze enthalten und bald mehr Sulfate, bald mehr Kochsalz oder Soda. Insbesondere wird es nicht Wunder nehmen, wenn der Jod- gehalt sehr ungleichmässig vertheilt ist. Das Jod ist im Meer- wasser in so geringen Mengen nur vorhanden, dass es sich überhaupt erst dann bemerkbar macht, wenn Thiere und haupt- sächlich Meerespflanzen es in sich aufgenommen haben. Nach deren Tod gelangt es dann am Boden des Meeres in die ent- stehenden Ablagerungen, aber natürlich nur, wie die Thiere und Pflanzen selbst, an bestimmten Stellen in nachweisbaren Mengen.
Je nachdem nun der aufsteigende Quellstrom gerade von der einen oder der anderen Stelle jenes Untergrundwassers aus gespeist wird, enthält er mehr oder weniger Jod oder Kochsalz oder Sulfate. Diese Veränderlichkeit ist im Laufe der letzten 50 Jahre durch die Analysen auch für die Tölzer Jodquellen mit Sicherheit festgestellt worden.
Ausserdem zeigen aber auch die einzelnen Quellen nicht unerhebliche aber constante gegenseitige Verschiedenheiten in den Lösungen. Wie die Quellen in einer Reihe von Ost nach
156 Sitzung der mcUh.-phys, Glosse vom 4, Mai 1901.
West angeordnet sind, so steigt auch in dieser Richtung ihr Gehalt an Jod, Kochsalz und Soda und fallt der an Sulfaten.
Diese Verschiedenartigkeit wird noch durch besondere tektonische Verhältnisse begünstigt und verstärkt. Die neue Quelle hat nach ihrer Lösung grösste Aehnlichkeit mit der Johann Georgen- und Bernhard quelle, die 10m von ihr entfernt entspringen. Nur 30 m weiter nach Osten liegen die Karls- quellen, ihr Gehalt jedoch ist schon wesentlich verändert — von der Kochsalzgruppe nur noch halb soviel, von den Sulfaten doppelt soviel vorhanden. Eine Querverwerfung trennt beide Quellengruppen, und wenn die Verschiebung auf derselben auch nur einige Meter beträgt, so genügt dies doch schon um die Marmorbank, in der die Quellwasser aufsteigen, zu beiden Seiten soweit zu verrücken, dass sie nicht mehr einen zusammen- hängenden Zug darstellt und dass die Quellwasser in derselben nicht mehr mit einander in Verbindung treten können. Es trat dies bei Erschliessung der neuen Quelle sehr klar in die Erscheinung. Wenige Tage nachher zeigten die Johann Qeorgen- und Bernhardsquelle eine starke Abnahme ihrer Wassermenge, während der Reichtum der Karlsquellen bisher in keiner Weise in Mitleidenschaft gezogen worden ist.
Bei der Max- und den Marienquellen macht sich gegen- über den Karlsquellen wiederum eine Veränderung fUhlbar, die Menge der Kochsalzgruppe ist etwas, die der Sulfate aber erheblich kleiner geworden. Auch da liegt eine kleine Quer- verwerfung trennend dazwischen.
Sendtner hat seinerzeit den Jodgehalt auf Rechnung der Flyschfucoiden gestellt, und es scheint sogar, dass diese es waren, welche ihn veranlassten, das Wasser auf Jod zu prüfen. Diese Fucoiden finden sich zwar in grossen Mengen im Gebiet der Quellen, aber doch nur in Flyschgesteinsstücken, die von der Höhe des Blomberges herabgefallen oder von Gletschern der Eiszeit herbeigeführt und auf den Eocän- und Kreideschicht- köpfen liegen geblieben sind. Wir wissen jetzt, dass die Jod- quellen nicht aus dem Fljsch selbst entspringen. Dement- sprechend nahm Gümbel (Geol. Bayerns Bd. 11 S. 162) 1894
Ä. Bothplete: lieber die Jodquellen hei Tölz. 157
an, es mochten die Meeresthiere der Numraulitenschichten den Quellen den Jodgehalt liefern. Mir scheint, dass auch die L^anzen und Thiere der jüngeren Kreideperiode herangezogen werden müssen, jedoch nicht, als die directen Lieferanten des Jodes. Die meisten der jodausscheidenden Organismen sind gar nicht yersteinerungsföhig, ihre Körper sind längst zerfallen und verwest. Aber das Jod hat sich in die Meeressalze zurück- begeben und wird da nun wieder von den eindringenden süssen Wassern vorgefunden und aufgelöst.
Neben den Sulfaten enthalten die Jodquellen stets auch SchwefelwasserstüflF und zwar besteht diese bestimmte Relation, dass mit der Menge der Sulfate auch die des Schwefelwasser- stoffes steigt und fallt. Man wird denselben deshalb entstanden annehmen müssen aus einer Desoxydation der Sulfate, bewirkt durch Oxydation von organischen Substanzen, welche den dazu nöthigen Sauerstoff den Sulfaten entziehen, etwa nach der Formel :
Na, SO^ + 2 C + 2 H,0 = 2 (H Na C O3) + H2 S.
Ein Theil des doppeltkohlensauren Natrons wäre somit nicht aus der Auflösung von Sodamineralien entstanden, son- dern aus der Zerlegung von schwefelsaurem Natron unter Frei- werden von Schwefelwasserstoff.
Sehr geringe Mengen organischer Substanzen sind zwar in den Quellen nachgewiesen — aber für diesen Vorgang wären wohl hauptsächlich die kohligen Pflanzenreste verantwortlich zu machen, welche in den Mergeln der Eocän- und Kreide- formation nicht zwar in mächtigen Lagern, wohl aber in häufigen Bruchstücken vorkommen.
In der Badeliteratur über Tölz ist der Versuch nieder- gelegt, den Schwefelwasserstoffgellalt aus der Einwirkung organischer Verbindungen auf den in den Mergeln allerdings ebenfalls vorhandenen Schwefelkies abzuleiten, womit eine von den Sulfaten ganz unabhängige Quelle für den Schwefelwasser- stoff gegeben wäre. Es ist dies aber nicht sehr wahrscheinlich.
Die grösste Ungewissheit besteht über die Herkunft der
1901. SiUungtb. d. mAth.-phya. GL 11
1
158 Sitzung der mathrphys. Glosse vam 4, Mai 1901,
freien Kohlensäure. Die mit dem Regenwasser in den Boden und in das Untergrund wasser eindringende Kohlensäure reicht zur Erklärung nicht aus, weil diese zur Bildung der doppelt- kohlensauren Salze vollauf aufgebraucht wird. Ausserdem müssten die gewöhnlichen Quellen am Blomberg ebenfalls ent- sprechende Mengen freier Kohlensäure führen, was aber nicht der Fall ist. Können chemische Vorgänge, die im Sammel- gebiet des üntergrundwassers vor sich gehen, zur Erklärung herangezogen werden? Man möchte vielleicht an die mit Koblen- säureentwickelung verbundene Oxydation der schon erwähnten Pflanzenreste denken, wozu der mit dem Regenwasser ein- dringende und an dieselben gebundene Sauerstoff der Luft Ver- anlassung geben kann. Da jedoch mit einem solchen Vorgang stets auch die reichliche Entwickelung von KohlenwasserstoÖ- gasen verbunden ist, solche aber in den Tölzer Jodquellen bisher noch nicht quantitativ nachgewiesen worden sind, so ist diese Deutung wohl von der Hand zu weisen. Allerdings hat einmal nach den Angaben des Qu eilen Wärters bei Annäherung eines offenen Lichtes über der neuen Quelle nach Wegnahme des Deckelverschlusses der Fassung eine schwach explosions- artige Gasentzündung stattgefunden, was wohl auf die Aus- strömung von Kohlenwasserstoffgasen schliessen lässt, aber es müssen sehr geringe Mengen sein, weil es späteren Versuchen nicht mehr gelungen ist, ähnliches zu beobachten. Da Sool- lager häufig geringe Mengen solchen Gases im sog. Enistersalz einschliessen, so finden geringe Spuren in den Jodquellen ge- nügende Erklärung aus der Auflösung solcher Salze durch die TJntergrundwasser.
In den eocänen und Kreidemergeln ist Schwefelkies ein- gesprengt. Der doppelkohlensaure Kalk der Quellwasser kann auf denselben so einwirken, dass sich der Schwefel oxydirt und mit dem Kalk zu schwefelsaurem Kalk vereinigt, während das oxydii*te Eisen als Brauneisen zurückbleibt und die Kohlensäure frei wird. Wenn ein solcher Vorgang es sein sollte, der dem Quellwasser die freie Kohlensäure geliefert hat, dann müsste in demselben natürlich auch Kalksulfat nachweisbar sein. Dies
A. Bothpletz: üeber die Jod quellen hei Tölz. 159
ist aber nicht der Fall und darum entbehrt auch diese Deutung der thatsächlichen Unterlage.
Vielleicht findet das Räthsel seine Auflösung durch die Annahme, dass die Kohlensäure aus grösseren Tiefen stammt, wo sie sich aus stark erwärmten Massen loslöst und begünstigt durch die grosse Verwerfungsspalte, die Kreide und Fljsch von einander trennt, nach oben aufsteigt. Auf diesem Wege miisste sie schliesslich den ebenfalls auf jener Verwerfungsspalte auf- steigenden Jodquellen begegnen und sich mit ihrem Wasser mischen. Die Herkunft der freien Kohlensäure wäre dann eine ganz andere, wie die der in den Jodquellen gelösten Bestand- theile. In der That scheint diese Selbstständigkeit durch die Analysen des Jahres 1892 bewiesen zu werden. In diesem Jahre fand Dr. Hob ein in den Johann Georgen-, Bernhards-, Max- und Karlsquellen 0.12 bis 0.15 %o freie Kohlensäure, während früher nur Beträge von 0.014 bis 0.02 und 1900 in der neuen Quelle ebenfalls nur von 0.02 gefunden worden sind. Dem achtfachen Gehalt an freier Kohlensäure standen aber 1892 durchaus keine irgendwie erhebliche Veränderungen in den sonstigen Bestandtheilen gegenüber.
Dass in Gebieten früherer vulkanischer Thätigkeit Kohlen- säure durch die feste Erdkruste hindurch in die Höhe steigt, ist wohl bekannt und kann nicht mehr bezweifelt werden. Die Tölzer Gegend gehört zwar nicht zu solchen Gebieten, aber es ist nicht unwahrscheinlich, dass grosse Verwerfungsspalten, welche in bedeutende Tiefen herabsetzen, ebenfalls befreiend auf die von den heissen Gesteinsmassen absorbirte Kohlensäure wirken.
Wir sind also in diesem Capitel zu folgendem Ergebniss gelangt: die Tölzer Jodquellen verdanken ihre Entstehung der Ansammlung von Untergi'undwasser in steil nach Süden ein- fallenden Schichtgesteinen der Tertiär- und Kreideperiode. Dies Wasser löst die ursprünglich in diesen Schichten zum Absatz gekommenen Meeressalze auf und bringt sie zu Tage, indem es auf einer Verwerfungsspalte durch hydrostatischen Druck
aus einer Tiefe von wohl mehr als 200 Meter emporgetrieben
11*
160 Sitzung der math.-phys. Classe vom 4, Mai 1901.
wird. Während des Auftriebes findet jedoch in höheren Lagen eine Mischung mit absteigenden gewöhnlichem Quellwasser und damit eine entsprechende Abkühlung statt. Die Herkunft der freien Kohlensäure ist unbekannt, vielleicht aber eine selbst- ständige aus grösserer Erdentiefe.
Die Beziehungen der Tölzer zu den anderen Jod- quellen des bayerischen Alpengebietes.
Die Annaquelle liegt 3 Kilometer von den Blomberger Jodquellen entfernt gegen Osten. 5^/a Kilometer gegen Westen trifft man die Heilbrunner Quelle. Man versteht darum leicht die Neigung, auch diese in genetischen Zusammenhang mit jenen zu bringen, trotzdem die geologische Verschiedenheit stets bekannt war, welche darin besteht, dass die Heilbrunner Quelle nicht aus den eocänen Schichten, sondern aus der ober- oligocänen Molasse entspringt.
Letztere ist zwar nur wenig jünger als das Eoeän, aber eine sehr bedeutende Längsverwerfung trennt beide ebenso, wie Eocän und Flysch von der schon besprochenen anderen Ver- werfung geschieden sind. Kreide und Eocän waren schon ge- hoben und gefaltet, ehe die Molasse in dem jungoligocänen Meere, das sich am Nordfusse der oligocänen Alpen ausbreitete, zum Absatz gelangte. Als dann zu Ende der Miocänzeit auch die Molasse gehoben und gefaltet wurde, entstand jene Ver- werfung, die die Molasse als subalpine Formation tektonisch von den eigentlichen Alpen abgetrennt hat. Diese Verwerfung lässt sich längs des ganzen Nordrandes der Alpen verfolgen, und sie ist jedenfalls ebenso bedeutend als jene andere Ver- werfung am Nordrande des Fljsches, auf der die Tölzer Jod- quellen aufsteigen.
Gleichwohl hat Gümbel 1861 (Bayer. Alpengebirge S. 634) die Vermuthung ausgesprochen, dass auch das reiche Jodwasser der Adelheid quelle in Heilbrunn den Nummulitenschichten ent- stamme. Er hat diese Anschauung dann 1894 (in Geologie Bayerns II S. 162) wiederholt, aber wie früher ohne weitere
».
Ä, Bothpletz: üeber die Jodquellen hei Tölz, 161
Begründung oder Angabe, wie die Jodwasser in die Molasse eindringen, gelassen. Auch die Jodquelle von Sulzberg, 7 Kilo- meter südlich von Kempten, die inmitten der oligocänen Molasse aus dieser entspringt, und von der aus man fast 2 Meilen weit zu gehen hat, um die nächsten anstehenden Nummuliten- schichten anzutreffen, ist er geneigt, wenn auch mit Vorbehalt, aus letzteren abzuleiten, die in grösserer Tiefe unter der Molasse anstehen könnten (Bayer. Alpengebirge 1861 S. 734).
L. A. Buchner hat 1843 eine Analyse der Adelheid quelle veröffentlicht (Buchners Repertorium f. .d. Pharmacie Bd. 82 S. 333). Daraus geht hervor, dass die chemische Beschaffenheit dieser von der der Tölzer Quellen sehr verschieden und dass eigentlich gar kein Grund vorhanden ist, für beide gleichen Ursprung anzunehmen. Zunächst enthält die Heilbrunner Quelle ungefähr 7 mal so viel mineralische Bestandtheile als die Tölzer Quellen. Es fehlen ihr aber trotzdem die Sulfate gänzlich. Dafür hat sie etwa 20 mal so viel Kochsalz und Jod und ausserdem einen nicht unbedeutenden Gehalt an Brom. Des weiteren enthält das Wasser ungefähr der Menge nach 1 ®/o Gase, unter denen Kohlenwasserstoff, Kohlensäure, Stickstoff und Sauerstoff angegeben werden.
Es sind das Unterschiede so erheblicher Art, dass gleicher Ursprung der Quellen geradezu unwahrscheinlich erscheint, und es ist nicht einzusehen, warum die Heilbrunner und Sulz- berger Jodquellen ihren Gehalt nicht direct aus tieferen Theilen der Molasse selbst beziehen sollten, ebenso wie es ja auch für die Kainzenbadquelle bei Partenkirchen fast sicher ist, dass sie ihren Jod- und Salzgehalt nicht aus den eocänen-, sondern aus den Raiblerschichten bezieht.
Die zwei Analysen, welche L. A. Buchner von der Heil- brunner Quelle gegeben hat, sind noch in anderer Beziehung interessant. Er entnahm das Wasser für die eine im Juni, für die andere im August 1842 und es ergab sich eine nicht unbedeutende Minderung der Mineralbestandtheile in letzterem Monat (etwa um V*)- ^^ ^^^ ^^^ specifische Gewicht des
162
Sitzung der mcUh.-phys. Glasse vom 4. Med 1901,
Quell Wassers bestimmt zu 1.0037 (Juni), 1.0034 (August), 1.0036 (October) und flir die gleichen Zeiten:
feste Bestandtheile 6.1 4.6 6.0
Jodnatriura 0.0286 0.0256 0.0290
Er bemerkt dazu „ich habe überhaupt Ursache zu glauben, dass die meisten Heilquellen, je nach den zu verschiedenen Zeiten herrschenden Einflüssen, ihre Zusammensetzung mehr oder weniger ändern können, dass also ihre Mischung nicht so constant sei, als man bisher anzunehmen geneigt war.* Dass diese Vermuthung auch auf die Tölzer Quellen zutrifft, haben uns die vorhandenen Analysen bereits vollauf bestätigt.
Jodnatrium Bromnatrium Chlornatrium Chlorkalium Kohlensaures Natrium
j, Ammoniak
Kalk
n Magnesia
Eisenoxyd Thonerde Kieselsäure Organische Substanz
DiflFerenz
|
0.0286 |
0.0256 |
— |
|
0.0195 |
0.0151 |
— |
|
5.088 |
3.678 |
|
|
0.0028 |
— |
|
|
0.848 |
0.740 |
— |
|
0.010 |
— |
|
|
0.057 |
0.062 |
+ |
|
0.014 |
0.033 |
+ |
|
0.010 |
0.015 |
4- |
|
0.003 |
0.0014 |
|
|
0.014 |
0.024 |
+ |
|
0.007 |
0.0026 |
|
|
6.1019 |
4.5967 |
Trotz der bedeutenden Abnahme um ^U der festen Bestand- theile im August tritt bei den kohlensauren Verbindungen von Kalk und Magnesia, dem Eisenoxyd und der Kieselsäure dennoch gleich- zeitig eine Zunahme auf, d. h. bei den StoflFen, die schon im ge- wöhnlichen Quellwasser zu erwarten sind. Daraus muss wie bei den Tölzer Quellen geschlossen werden, dass die Abnahme der
A, Bothpletz: lieber die Jodquellen bei Tölz, 163
Thermalbestandtheile bedingt ist durch stärkeren Zufluss ge- wöhnlichen Wassers mit seinen Bestandtheilen. Ein Unter- schied besteht nur insofern, als bei Tölz die Kieselsäure ab- nimmt, wenn sie bei Heilbrunn zunimmt, dort also zu den Thermalbestandtheilen zu gehören scheint, hier aber nicht.
Die reiche Beimengung an organischer Substanz muss aus der Tiefe stammen, da sie mit den thermalen Bestandtheilen ab- und zunimmt. Sie verweist wohl auf eines der oligocänen Kohlenlager oder auf bituminöse Schichten, aus denen auch der reichlich vorhandene Kohlenwasserstoff hervorgehen wird.
Einige Jahre später hat Max Pettenkofer nochmals dieses Quellwasser analysirt (Chem. Untersuchung der Adelheid- quelle zu Heilbrunn in Abhandl. Akad. Wiss. München Bd. 6 S. 83) und ist dabei im Allgemeinen zu ganz ähnlichen Er- gebnissen wie Buchner gelangt. Bemerkenswerth ist jedoch, dass er 0.048 Bromnatrium fand in Folge von Anwendung einer anderen analytischen Methode. Dadurch vergrössert sich der Unterschied mit den Tölzer Quellen noch um ein Er- hebliches.
An freier Kohlensäure wies er 0.0546®/oo nach und in den aus der Quelle aufsteigenden Gasen fand er auf 100 Theile: 75.5 Kohlenwasserstoff, 18.0 Stickstoff, 4.3 Kohlensäure und 2.2 Sauerstoff.
164 Sitzung der math.-phys, Glosse wtn 4. Mai 1901,
Bemhardsquelle
Johann Georgenquelle
Auf 100() Theile:
Fre- seoius
1852
Ttiin C.Buchner 1852 1890
Hobeln
Fre- senius
1892 1852
Witt- stein
1852
C.Bachner! Hol 1890 1^
Joilnatriura
Chlornatrium
flopp, kohlens. Natrium
Kieselsäure
Schwefelsaures Kalium
Schwefelsaures Natrium
(lopp. kohlens. Calcium
„ Magnesium
^ Eisen oxydul
0.0016 0.29G6 0.3345 0.0098 0.0097 0.0051, 0.1018 0.0297 0.0002
0.0016 0.2655 0.2957 0.0074 0.0117 0.0126 0.1135 0.0276
0.0005 0.2110 0.3354 0.0091 0.0082 0.0049 0.1021 0.0215 0.0002
0.0006 0.1487 0.2076 0.00531
0.0072!
I
0.0156
i
0.2022' 0.0409 0.0006
0.0015 0.2343 0.3233 0.0090 0.0123 0.0123 0.0915 0.0298 0.0002
0.0017 0.2371 0.3846 0.0086 0.0117 0.0152 0.0711 0.0202
0.0007 0.C 0.2603 io.i
I
0.3992 ' 0.^ 0.0062 !o.( 0.0099 0.( 0.0141 iO.( 0.0692 'o.< 0.0184 0.( 0.(
Summai 0.7890| 0.7356
Schwefelwasserstoff j 0.0017 ?
I I
freie Kohlensäure > 0.0142 ?
0.6929 9
9
0.6287 '0.7142 0.7502
II 0.0022,0.0012 ?
0.1393 0.0196; ?
0.7780 0>. ? !O.0 ? 0.1
Bestandtheile 1 Sulfate 5—0 Carbonate 7 — 9
0.6425 0.0148 O.I317I
0.5702 0.0243 0.1411
0.5560 0.0131 0.1238
0.5681
0.3622 0.0228^0.0246 0.0269 0.2437
0.6320 0.6664
0.1215
0.0913
0.0240 0.0ti7C
0.73 0.01 0.1t
A. Bothpitete: Ueher die JodqueUen bei Tölz.
165
|
1 Karlsquellen 1 |
Maxquelle |
Marien- quelle C.Bucbner |
Annaquelle |
||||
|
\ C. Büchner j |
Hobein |
C.Bucbner |
Hobein |
L.A.Bucbner |
C.Bucbner |
||
|
, 1890 1 |
1892 |
1890 |
1892 |
1890 1 1 |
1857 |
1890 1) Hobein |
|
|
'i |
' |
1 |
1892 |
||||
|
1 0.0001 |
0.0005 |
1 ! 0.0001 |
0.0001 |
0.0001 |
1 0.0011 1 |
0.0001 |
• NaJ |
|
0.0994 |
0.1562 |
0.0702 |
0.0435 |
0.1023 |
! 0.0302 |
0.0374 |
NaCl |
|
0.2096 1 |
0.2209 |
0.2071 |
0.1191 |
0.1760 |
0.1945 |
0.2100 |
NaHCOa |
|
0.0042 |
* |
0.0037 |
9 • |
0.0001 |
0.0075 |
0.0071 |
SiO, |
|
0.0166 |
1 * |
0.0032 1 |
9 • |
0.0210 1 |
0.0217 |
0.0214 |
K,S04 |
|
0.0249 |
0.0314 |
0.0201 |
0.0297 |
0.0110 |
0.2933 |
0.2754 |
Naj S O4 |
|
0.2020 |
9 • |
0.2693 |
? |
0.1870 |
0.2496 |
0.3238 |
CaHalCOalj |
|
0.0391 |
s |
0.0571 |
0.0491 |
i 0.0490 |
0.2397 |
0.2760 |
MgH2(COs)2 |
|
1 |
T |
» |
9 • |
1 |
Tl |
fi |
Fe Ha (C O^h |
r 0.5959
l; ? 3 ?
>41; 0.3133
17
•)
0.041!
-', 0.2411
|
0.0024 0.1511 |
0.6308 1 ? 9 • |
|
0.2811 0.0233 0.3264 |
0.0021 0.1429
0.5465 ? ?
0.2785 0.0320 0.2360
1.0376 0.0101
1.1512 ! Summa 0.0050 1) H2 S
0.0830 0.0888 ») CO2
0.2333 0.2556 0.3150 0.2968
0.4893
0.5998
Kocbsalzgruppe Scbwefelgruppe Kalkgnippe
167
merkungen über die Principien der Mechanik.
Von A, Y088 in Würzburg. {Bingßtattftu 4. Mai.)
I.
eber die energetische Begründung der Mechanik.
Bei der ausserordentlichen Wichtigkeit des Energieprincipes ille Fragen der physikalischen Mechanik kann es nicht der nehmen, dass man versucht hat, aus demselben auch rrundlagen der theoretischen Mechanik selbst herzuleiten. lUen diesen Versuchen wird es sich darum handeln, das lembert'sche Princip oder irgend eine demselben äqui- te Form der Bewegungsgleichungen aus dem Energie- ip zu gewinnen.
Für diejenige Auffassung der Mechanik, welche nur von Coordinaten der Puncte abhängige conservative Kräfte k, dagegen von Bedingungen völlig absieht, wie sie Boussinesq^) in seinen Lefons entwickelt, hat dies keine ierigkeit. Aus der Gleichung
^ die nur von den Coordinaten x, y, ^ abhängige potentielle, c kinetische Energie ist, erhält man durch Differentiation der Zeit t
*) J. Boussinesq, Recherches sur les principes de la m^canique, . de Math. (2) 18, p. 315, 1873; Le^ons synth^tiques de mecanique ale, Paris 1889, p. 23.
168 Sitzung der math.-phya, Classe vom 4. Mai 1901,
1) £ m{xx"-^ y>"+ //') + L (^^x+^y + ^^') =0-
Wird nun vorausgesetzt, dass die mit den Massen multi- plicirten Beschleunigungen völlig unabhängig sind von den Geschwindigkeiten und der Constanten (7, so folgt aus 1)
d V B V d V
9 Xi d yt o Zi
Dieser Schluss lässt sich aber schon dann nicht mehr an- wenden, wenn Bedingungen zwischen den Coordinaten ange- nommen werden, da in diesem Falle die m x' etc. thatsächlich von den Geschwindigkeiten abhängig werden.*)
Herr Helm*) suchte daher den Variationsprocess zu Hülfe zu nehmen und gab dem Grundprincip der Energetik die Form: die Aenderung der Energie E = T -}- V nach jeder möglichen Richtung ist gleich Null. Jedenfalls wird man dabei aber verlangen müssen, dass der BegriflF dieser Aenderung in Bezug auf beide Theile der Energie in über- einstimmender Weise eingeführt wird. Wird nun E nach irgend einer Richtung variirt, so hat man an Stelle von Xy y, z Grössen x -\- e^^ y + « ^i ^ -(" ^ C zu setzen, wo f , ly, C will- kürliche Functionen von ^, und e eine gegen Null conver- girende Constante ist; unter der Variation b A eines Ausdruckes A ist dann der Coefficient von e in der Entwickelung von A nach Potenzen der e zu verstehen.
Dabei ist in der That aber für b T findet man den Werth
^) Siehe die Bemerkung von R. Lipschitz zu Helmholtz' Er- haltung der Kraft, Ostwald 's Klassiker-Bibliothek Nr. 1, p. 55, desgl. L. Boltzmann, Ein Wort der Mathematik an die Energetik, Wiedem. Ann. 57, p. 39, 1896.
2) Vgl. namentlich G. Helm, die Energetik in ihrer geschichtlichen Entwickelung, Leipzig 1898, p. 220 ff.
A. Voss: Bemerkungen über die Pnncipien der Mechanik, 169
^T=^^ ^m{x'^-\- y'r, + /C) - L m(a;"| + y"r, + z" 0 und dieser Ausdruck ist keineswegs gleich
was erforderlich ist, wenn man die Identität dieses Principes mit dem d'Alembert'schen behaupten will. Da die über die Ableitung der Bewegungsgleichungen zwischen Boltzmann und Helm entstandene Discussion zu keinem völlig abschlies- senden Ergebniss geführt hat,^) ist es doch vielleicht nicht überflüssig, diese einfachen Verhältnisse hier ausführlich aus- einanderzusetzen, um so mehr als Herr Helm in seiner Ener- getik mit besonderem Nachdrucke seine Auffassung aufs neue hervorgehoben hat, und dieselbe seitdem auch von andern an- genonunen ist.*)
Auf das von den Herren Planck') und Boltzmann in ähnlicher Absicht ausgesprochene Princip der Superposition der Energie glaube ich hier nicht weiter eingehen zu sollen; dasselbe ist in der That nichts anderes als eine willkUrlidi gewählte Vorstellung, durch die die Identität mit dem d'A lein- bert'schen Princip erzwungen wird. Dagegen hat Herr Schütz,*) um den Heimischen Variationsprocess zu vermeiden, ein Princip der absoluten Energieerhaltung aufgestellt. Dasselbe leistet allerdings für einen materiellen Punct das
') Vgl. G. Helm, Zur Energetik, WiedemannH Ann. 57, j*. 040; L. Boltzmann ibid. 58, p. 595, (1/5%).
*) Vgl. P. Grüner, die neueren Ansichten über Mat^jrie un^l Kncrj^ii«, Mitth. d. natarf. Ges. zu Bern, WJl.
^) M.Planck, das Princip der Erhaltung ^Ur Kucruiin, L#rii#/, Ihm7, p. 148; L. Boltzmann, Wie<lem. Ann. 57, \}.'M)fS. Vgl. üiub *li«t Mit theilung von C. Nenmann in Helm*<4 Energetik, p. 220.
*) J. Schütz, das Princip der ab^i/^Iuten Erhaltung d^T EiMTgi«*, (iött. Nachr. 1897, p. 110. Eine von H'rrrn E. Padova autg^rfOhrt«? Wt-i leitung der Bewegungsgleichungen auü »Um Khfir/ih*.Hi7j'. (r,n\\t' <r<|ii;t/ioiii della dinamica, Atti Ist. Veneto (7), .*>, p, U;il (lr'j/,jf Int um hirM.i'bl lieh der in derselben gemachten Voran i-^ftzrinj^fu ni'ht r«"bl vi'ti^M'nul lieh geworden.
170 Sitzung der math.-phys, Classe vom 4, Mai 190 J.
gewünschte, lässt aber keine Erweiterung auf ein System zu und dürfte auch an und fiir sich mit der Vorstellung von der Relativität aller Bewegungszustände unvereinbar sein.
Durch einen allgemeineren Variationsprocess kann man indessen die vorhin bemerkte Unrichtigkeit beseitigen. Variirt man nämlich neben den Coordinaten x^y^jz auch die Zeit, so dass x^y^2^t in X -\- e ^, y -\- eri^ ^ -^ eI^^ t -^ ex übergehen, wo f , ?;, f , T willkürliche Functionen von t sind, so wird x' über- gehen in
i-^'~> = a:' + e (r - TX') + . . .
1 + £T
und hieraus ergiebt sich
Nunmehr steht es frei, t so zu wählen, dass die rechte Seite sich auf die d'Alembert'sche Formel reducirt, und dies ist auch immer möglich, da T nicht verschwindet. Auf diesem Wege wird daher der gewünschte Erfolg erreicht; man wird aber in einer so willkürlichen Darstellung kaum etwas anderes als einen abstracten Formalismus erkennen können. Da auch das Ostwald'sche Princip des Maximums des Energie- umsatzes nur für den Fall relativer Ruhe benutzt werden kann, dagegen im allgemeinen durch eine ganz andere Betrachtung ersetzt werden muss,*) so scheinen die bisher gemachten Ver- suche nicht die Möglichkeit zu einer ungezwungenen Ableitung des Princips von d'Alembert oder von Gauss aus dem Energiesatze zu bieten.
0 Vgl. A. Voss, lieber ein energetisches Grundgesetz der Mechanik, diese Sitzungsber. 1901, p. 53.
A. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik. 171
n.
üeber das Hamilton'sche Princip.
Es ist in Nr. 1 darauf hingewiesen, dass man durch einen so verallgemeinerten Variationsprocess jede beliebige Re- lation für die varürten Grössen hervorrufen kann. Solche allgemeine Variationen sind es, welche Herr Holder*) benutzt hat, um die Principe von Hamilton und Maupertuis als völlig äquivalent mit dem d'Alembert'schen Princip nachzu- weisen. Diese Auffassung lässt sich aber durch den folgenden Satz noch in weit allgemeinerer Form aussprechen.
Unter Voraussetzung eines geeigneten Variations- processes ist vermöge der Differentialgleichungen der Bewegung die Variation des Integrals
J=f(aT+ßU)dt
wo a, ß zwei im allgemeinen völlig willkürliche Con- stanten sind, gleich Null, und umgekehrt führt die Forderung, dass d J in Rücksicht auf alle zulässigen virtuellen Verschiebungen verschwinde, auf die Dif- ferentialgleichungen der Bewegung.*)
Gewöhnlich fügt man noch die Bedingung hinzu, dass die Variationen der Coordinaten x y js für die Grenzen des Integrals verschwinden sollen. Im Interesse einer mechanischen Deu- tung kann dies allerdings liegen; an sich aber ist diese weitere Bedingung im allgemeinen überflüssig und unwesentlich.
Dabei möge zunächst unter d ü die virtuelle Arbeit der Kräfte x y z bei der den |, rj, C entsprechenden Verschiebung verstanden, also
^) 0. Holder, Ueber die Principien von Hamilton und Mau- pertuis, Gott. Nachrichten 189G, Heft 2.
') Selbstverständlich kann man an Stelle der Function unter dem Integralzeichen auch jede beliebige Function der x, y^ z; x\y\ z' nehmen; die lineare Function von U und T fahrt aber auf die für mechanische Gesichtspuncte wesentlichen Formen.
1
172 Sitzung der tnath.-phys, Glosse vom 4. Mai 1901.
gesetzt werden.
Ura nun das Integral^)
zu variiren, kann man dasselbe durch die Substitution*)
wo
auf das Integral zwischen constanten Grenzen 0 und 1
zurückführen. Lässt man dann x, y, -s^, u übergehen in a; + £ f, y -{- er], ^ + ^ Ci w -j- e V, so ist kv die willkürliche Function,
dx welche in Nr. 1 mit t bezeichnet wurde; zugleich wird r-y
übergehen in
Man erhält daher
"■=i[lf^+ll(^^^-F-"2)+^-+-(«-)
hdu.
was vermöge der Identitäten
*) Alle Differentialquotienten nach i sind der Kürze halber durch
d X d X"
Striche bezeichnet, so dass ä:'=-— , x" = ~-^ ist.
dt at^
2) Ist ^0=1» 80 vei-tausche man t^ mit t^y oder setze
t = w(l-f,) + «,.
^) Die eingeklammerten ^\ x\ v' bedeuten hier die DiflTerential- quotienten nach u.
A, Voss: BemerJcungen über die Principien der Mechanik. 173
(O dS dl „ k kdu dt
{pO^ dx__ , k kdu
. ,. dv kdv dt ,
du kdu dt wieder übergeht in
b[d F dF dF 1
Selbstverständlich kann man diese Formel auch unmittel- bar aus dem Begriffe der Variation entnehmen;^) in Rück- sicht auf die Missverständnisse, denen die Vorstellung der Variation bei der Benutzung des d Zeichens ausgesetzt ist, scheint mir die obige wenn auch umständliche Betrachtung für ganz elementare Zwecke nicht unzweckmässig zu sein. Wird die Formel A) durch die partielle Integrationsmethode in bekannter Weise ausgeführt, so entsteht die gebräuchliche Formel : *)
dr=
|f(|-^'r) + i^r
'« Jt^/dF d dF\^
Ich betrachte nun das Integral
J=^\aT+ß U)dt
und setze zur Abkürzung
F=i:(X|+ Yv + ZO d. h. gleich der virtuellen Arbeit der gegebenen Kräfte,
d. h. gleich dem virtuellen Moment der Bewegungs- grössen
J) So Holder a. a. 0. § 2, Anmerk.
') In dieser Gestalt wird sie z. B. bei Routh vorausgesetzt, Dynamik starrer Körper, übers, von A. Schepp, Bd. 2, p. 327.
1901. Bitziuigsb. d. iiiftih.-phys. Ol. 12
174 Sitzung der mathrphys. Clasae vom 4. Mai 1901,
d. h. gleich dem virtuellen Moment der mit den Massen multiplicirten Beschleunigungen. Alsdann ergiebt sich
dJ = fl(ß U—a T)T-]-aS'—aW+ßV]dt
oder
I) dJ=ßf{r—W)dt
+ }\(ß J'— « T) ^'+(ß — «) W+ a S'] dt
^)
II) dJ=af{V—W)di
+ / [(/^ r/ - a T) t'+ (^ — a) F+ a S'] dt. k Wählt man daher die willkürliche Function t so, dass der zweite Integraltheil in den Formeln I), II) verschwindet, so wird
6J=ßf{V—W)dt
dJ=a^\V— W)dt
d. li. die Forderung d J = 0 wird vollständig äquivalent mit dem d'Alembert'schen Princip. Je nach der Wahl der Constanten a^ ß ergeben sich nun verschiedene besondere Formen des allgemeinen Variationsprincipes.
Erstens. Setzt man a = ß^ so erfordert die Bedingung
nach I)
{U— T)t'+ S'=0
d. h., wenn der Theil aS" wie gewöhnlich durch Integration beseitigt, und die Variationen der x, y, z an den Grenzen gleich Null genommen worden, t = const resp. = 0.*) Ist insbeson-
') Durch die Vorfü«,'iin<,' ül»or die Variutionen an den Grenzen wird hier erreicht, da.ss das Princip ausnahmslos, d.h. auch dann anwend- bar bleibt, wenn U — T innerhalb der Intej^rationstrrenzen verschwindet.
M»
Ä. Voss: Bemerkungen über die Princijnen der Mechanik. 175
dere U — T = const == A, so kann man auch r h -\- S = 0 setzen. Dies ist das Hamilton'scbe Princip.
Zweitens. Wird /? = 0 genommen und setzt man jetzt
nach 11)
Tt + V+S'=0,
sp hat man die erweiterte Form des Princips der klein- sten Action;^) da T nicht Null ist, so ist diese Bestim- mungsweise für T immer möglich, was hier besonders hervorgehoben sein möge.
Drittens. Nimmt man dagegen a = 0, so ist nach I) zu setzen
wobei eine etwaige Verfügung über die Variationen an den Grenzen zu weiterer Vereinfachung ganz überflüssig wird ; doch muss hier vorausgesetzt werden, dass U innerhalb der Grenzen des Integrales nicht verschwindet.^) Unter diesen Umständen führt also auch der Ausdruck
dfüdt = 0
auf die Differentialgleichungen der Bewegung.
Viertens. Endlich erhält man für ß = — a
dfEdt = 0
mit der Bedingung (T + C7) t'+ 2 F— S'= 0.
Nur in den beiden ersten Fällen entsteht eine allgemein brauchbare Form des Principes. In den beiden letzten sowie auch im allgemeinen Falle wird schon das Auftreten des sym- bolischen Ausdruckes U hinderlich, selbst wenn man davon
1) So bei Holder a. a. 0. § 2.
2) Eine ähnliche V^oraussetzung wird natürlich immer eintreten müssen, wenn man (vgl. Anmerkung 2 8. 171) unter dem Integralzeichen eine beliebige Function nimmt; beim Princip der kleinsten Action und dem Hamilton'schen Princij) ist sie von selbst erfüllt.
12*
176 Sitzung der matih.-phys, Classe vom 4. Med 1901.
absieht, dass a T — ß U innerhalb der Integrationsgrenzen nicht verschwinden darf, was bei beliebigen Werthen der a, ß allerdings unmöglich ist. Man kann indess bei einem so all- gemeinen Variationsbegriff den symbolischen Ausdruck U yöllig vermeiden.
Variirt man nämlich den Ausdruck
welcher die totale Arbeit darstellt, die von t^ bis zur varia- belen Zeit t von den wirkenden Kräften geleistet wurde, nach der Formel A), so ergiebt sich
B) <5^ = F-F„^-/L(Z)(^^
„ \.(^Y dX\,,fdZ dX\ 3X1,.
r JdX az\ , ,/ar 3Z\ dZ]..
+
ist, und man hat sich nur vorzustellen, dass die willkQrliche Function t derjenigen Bedingung unterworfen wird, welche ent- steht, wenn an Stelle der früheren Gleichung d U^^ V die nicht symbolische B) bei der Variation des Integrales
^\aT-{- ßA)dt
benutzt wird.
Berücksichtigt man, dass das d'Alembert'sche Princip in den Formen
d^{T-{-A)df = 0, djTdt^O, dprdt = 0, d^Edt
d^{nT + ßA)dt = 0
ausgesprochen werden kann, so erweist sich dieses Yariations-
A. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik, 177
princip in seiner allgemeinen Form als eine völlig conven- tionelle Regel, die mit besonderen dem eigentlichen Gebiet mechanischer Grundanschauungen angehörigen Vorstellungen gar nichts mehr zu thun hat, sondern einzig und allein zu dem Zwecke ersonnen wird, die Differentialgleichungen der Bewegung in einer möglichst condensirten Form auszusprechen. Ich halte es nicht für überflüssig, diese an sich sehr selbst- verständliche Bemerkung, welche ich schon bei einer früheren Gelegenheit gemacht habe,*) hier aufs neue zu wiederholen, da über die principielle Auffassung des Hamilton'schen Princips auch gegenwärtig noch sehr verschiedenartige Ansichten ver- breitet erscheinen. Vom abstracten Standpuncte aus könnte man sich sogar veranlasst sehen, der besonderen Form des Principes, welches das Energieintegral CEdt benutzt, den
Vorzug zu geben. Indessen scheint es zweifellos, dass das eigentliche Hamilton'sche Integral sich durch Einfach- heit und allgemeine Gültigkeit zugleich empfiehlt; daher ist dasselbe auch von v. Helmholtz bei allen seinen Unter- suchungen (unter dem Namen des Principes der kleinsten Wirkung) als heuristisches Grundprincip zur Anwendung gebracht.
m.
üeber das Princip des kleinsten Zwanges.
Bezeichnet man die Coordinaten der Puncte eines materiellen Systems unterschiedslos durch o;,*), so ist die lebendige Kraft
Werden nun an Stelle der Xi ebensoviel neue Variabele y„ welche von einander unabhängige Functionen der Xi sind, die überdies die Zeit t enthalten können, eingeführt, so ist nach Voraussetzung die Functionaldeterminante
1) A. Vo88, üeber die Differentialgleichungen der Mechanik, Math. Ann. Bd. 25, p. 267 (1884).
2) üeber die Bezeichnung siehe H. Hertz, Ges. Werke III, p. 62.
178
Sitzung der math.-jihys. Classe vom 4. Mai 1901.
3 a;, ;
J =
|
'dx. |
|
, 3y. • |
|
• 9 Xm |
|
^!/n |
dyn
nicht Null, also verschwindet auch
m, . . . m„ J* = ^
nicht, wo Ä die aus den Elementen*)
1)
«sa = ijm,
9 Xi 9 Xi
dys^ya
gel)ildete Determinante der definiten positiven quadratischen Form
2j (ho Us no = 2j nh ( — Usj
ist. Bezeichnet man mit jI^o die durch Ä dividirten Unter- (letcrminanten dieser Elemente 1), so ist
^ Äsrasa = (ar), l'alls (o t) das bekannte Zeichen bedeutet. Da aber auch
ist, so folgt
.-, 9 j/r 9 ^\ , .
^. I . '^Xi dy\ dXi
Zj Ast- iih — - —
* dys dxjdy.
= 0
()(l(»r, W(»gen
1 rj: 0 ^)
V ^ i d Xi d yx
dy,
dXi'
') lii iilliMi l''iilliMi. wn fllMT die Siimmation nichts weiter bemerkt ist, lial Mi<'li «lirnnlln' iilitM MihimiMirlio mehrfach vorkommende Indices ^f, o^ 1 . . voll I hin ;l (I .Ml «MMlrj«i'k»«u.
'^) In FoniH'l Jl i.il ih«» Smiiiimlion in Bezug luif i selbstverständlich nicht aus/ufiihrrii.
^ ▼•:
Ä. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik. 179 Setzt man nun die Gleichungen
dy.
dt
in den Ausdruck T ein, so folgt
T = ^J^asays y'o -f L «8 y« + «
wenn
3)
«8 = 2 m,
« = i S ^^^,
dys dt
a^
gesetzt wird; T ist daher eine im allgemeinen nicht homogene Function zweiter Ordnung der y«. Zugleich wird
M •\-^ d Xi > i i n^r^ d Xi , v~» '^«' « i *^*
ay«aya'
a«/8 9^
9«/.
a^*'
Wir benutzen die Werthe 4) zur Berechnung des Zwanges Z
5) z=2:-,(.r-^y,
wobei unter den X, die Componenten der wirkenden Kräfte verstanden sind. Durch eine sehr einfache Rechnung findet man aus 4)
d /dT\ dT
d fdT\ dT
dt\dy'J dy
wobei zur Abkürzung
_a»a;, . 9»a;, X;
180
Sitzung der matK-j^ys, Glosse vom 4. Mai 1901.
gesetzt ist, während
d T
dys
dt\dyj
wird.
Man sieht nun unmittelbar, dass die erste Summe in Z sich gegen die letzte aufhebt. Dazu braucht man nur in
die Qs wieder durch ihre Werthe zu ersetzen ; drückt man auch Ys wieder durch die X, aus, so entsteht
^ X' 3 Xj
was nach 2) in
W=^mj (ij) Ei Ej = S »w,- Ei übergeht.
Durch Differentiation folgt weiter
^ v^ dXi a* Xi
L ini
S rtii
|
dj/s dyr dy„ |
|
|
dXi |
d^Xi |
|
dys |
dtdya |
|
dXi |
d^Xi |
ro
s
so
düso . dttsr dura
so dass
dys d t^
|
dyy dyo |
dys |
|
dasa . das dt ' dy„ |
da„ dys |
|
das da |
dt
dys'
dT
y'r y'n + [5 O] y'a + [s]
d dT\ dl ^^ „ . ^ ro dt\dys) dys "" ys
wird. Hiermit ist der folgende Satz bewiesen.
Ersetzt man die Variabein x durch ebensoviel neu^ Variabele y vermöge der von einander in Bezug auf di^ y unabhängigen Gleichungen
6) Xi = fi{y^ ^2 . . . yzn t), yi=(Pi{(^i ^a . . . x-^n t),
A. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik, 181
o wird der Gauss'sche Zwang Z ausgedrückt durch ie zur lebendigen Kraft T covariante Function
Dieselbe ist eine Verallgemeinerung des von Herrn Lip- chitz*) für den Fall, dass die Functionen f die Zeit nicht nthalten, als Ergebniss seiner allgemeinen Untersuchung über lie Transformation homogener DiflFerentialausdrücke herge- eiteten Resultates. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass [asselbe nicht auf den Fall einer homogenen Form T beschränkt lein kann; in diesem Falle dürfte es wohl einfacher sein, das Pransformationsresultat direct herzuleiten.
Eine wesentliche Bedingung für dasselbe ist es jedoch, [ass die Zahl der Variabein y ebenso gross ist, wie die der :r, lenn nur unter dieser Voraussetzung lässt sich die Identität 2), luf der die ganze Rechnung beruht, anwenden.*)
Man kann nun insbesondere die Variabein y so wählen,^) lass bei einem mech anischen Problem mit Ä Bedingungsgleichungen
') R. Lipschitz, Bemerkungen zu dem Princip des kleinsten Zwanges, Journ. f. Math. Bd. 82, p. 328 (1877).
^) Herr A. Wassmuth hat (üeber die Anwendung des Princips des deinsten Zwanges auf die Elektrodynamik, diese Sitzungsber. 1894, p. 219) lie Lipschitz'sche Formel für Z in Anspruch genommen für den Fall, fo die Zahl der Variabein y auch kleiner ist wie die der x. Dass dies loht gestattet ist, hätte sich schon daraus ersehen lassen, dass unter lesen Umständen der auch von ihm mit Z bezeichnete Zwang gleich füll wird, was nur bei der freien Bewegung eines Systems eintritt, ährend doch p. 220 Bedingungsgleichungen vorausgesetzt wurden. Es nd daher auch die im weiteren Verlauf der Arbeit entwickelten For- leln, soweit sie sich nicht auf freie Bewegungen beziehen, durch die eiterhin im Text abgeleiteten zu ersetzen.
Bei Herrn Lipschitz ist übrigens ausdrücklich die ungeänderte ahl der Variabein als Bedingung zur Voraussetzung gemacht (a. a. 0. . 316 und 328).
*) Selbstverständlich ]^ann man in ebenso einfacher Weise auch nur inen Theil der Bedingungen durch Einführung der allgemeinen Coordi- laten beseitigen.
174 Sitzuyig der niath,-phys. Classe vom 4. Mai 1901.
d. h. gleich dem virtuellen Moment der mit den Massen multiplicirten Beschleunigungen. Alsdann ergiebt sich
d J = /[(^ U—a T)T + aS' — aW+ßr]dt
oder
I) dJ=ßf{V—W)dt
+ /[(/? f ^— aT)T + {ß — a) W+ a S'] (IL
II) dJ=aj\V—W)dt
+ }\(ß U - aT)x'+{ß — a) F+ « S"\ dt.
Wählt man daher die willkürliche Function t so, dass der zweite Integraltheil in den Formeln I), II) verschwindet, so wird
dJ=ßj\V—W)dt
dJ=a^\V—W)dt
d. h. die Forderung d J = 0 wird vollständig äquivalent mit dem d'Alembert'schen Princip. Je nach der Wahl der Constanten a, ß ergeben sich nun verschiedene besondere Formen des allgemeinen Variationsprincipes.
Erstens. Setzt man a = ß, so erfordert die Bedingung
nach I)
{U—T)t + S'=0
d. h., wenn der Theil S' wie gewöhnlich durch Integration beseitigt, und die Variationen der x, y, z an den Grenzen gleich Null genonunen werden, r = const rosp. = 0.*) Ist insbeson-
') Durch die Verfügung über die Variationen an den Grenzen wird hier erreicht, dass das Princip ausnahmslos, d.h. auch dann anwend- bar bleibt, wenn U — T innerhalb der Integrationsgrenzen verschwindet.
A. Voss: Bemerkungen über die Pnncipien der Mechanik. 175
re U — T = const = h, so kann man auch r h -\- S = 0 kzen. Dies ist das Hamilton'scbe Princip.
Zweitens. Wird ß = 0 genommen und setzt man jetzt
.ch n)
hat man die erweiterte Form des Princips der klein- en Action;^) da T nicht Null ist, so ist diese Bestim- ungsweise für t immer möglich, was hier besonders Tvorgehoben sein möge.
Drittens. Nimmt man dagegen a = 0, so ist nach I) setzen
)bei eine etwaige Verfügung über die Variationen an den •enzen zu weiterer Vereinfachung ganz überflüssig wird; doch jss hier vorausgesetzt werden, dass U innerhalb der renzen des Integrales nicht verschwindet.') Unter ,'sen Umständen führt also auch der Ausdruck
f die Differentialgleichungen der Bewegung. Viertens. Endlich erhält man für ß = — a
öfEdt^O
t der Bedingung (T + U)x+2V—S'=0.
Nur in den beiden ersten Fällen entsteht eine allgemein auchbare Form des Principes. In den beiden letzten sowie ch im allgemeinen Falle wird schon das Auftreten des sym- lischen Ausdruckes U hinderlich, selbst wenn man davon
1) So bei Holder a. a. 0. § 2.
2) Eine ähnliche Voraussetzung wird natürlich immer eintreten üssen, wenn man (vgl. Anmerkung 2 S. 171) unter dem Integralzeichen 18 beliebige Function nimmt; beim Princip der kleinsten Action und m Hamil tonischen Princip ist sie von selbst erfüllt.
12*
176
Sitzung der mathrphys, Glosse vom 4. Mai 1901,
absieht, dass a T — ß U innerhalb der Integrationsgrenzen nicht verschwinden darf, was bei beliebigen Werthen der a, ß allerdings unmöglich ist. Man kann indess bei einem so all- gemeinen VariationsbegriflF den symbolischen Ausdruck U völlig vermeiden.
Variirt man nämlich den Ausdruck
welcher die totale Arbeit darstellt, die von t^ bis zur varia- belen Zeit t von den wirkenden Kräften geleistet wurde, nach der Formel A), so ergiebt sich
B) wo
H
dY dX
dX
dy
)^ \3x dz)
+
+
aX aJ?\ , ,/ar
9Z'
3y
ax dt
ar
dt _
a^
dt
(f - T X)
iv-fy)
(C - T /)
ist, und man hat sich nur vorzustellen, dass die willkürliche Function i derjenigen Bedingung unterworfen wird, welche ent- steht, wenn an Stelle der früheren Gleichung ^ f/^ F die nicht symbolische B) bei der Variation des Integrales
j\aT+ ßÄ)dt
benutzt wird.
Berücksichtigt man, dass das d'Alembert'sche Princip in den Formen
d^{T+A)dt^O, d^Tdt = 0, d^Udt^O, d^Edi
d^{aT+ ßA)dt=^0
ausgesprochen werden kann, so erweist sich dieses VariatioDS-
Ä. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik, 177
princip in seiner allgemeinen Form als eine völlig conven- tionelle Regel, die mit besonderen dem eigentlichen Gebiet mechanischer Qrundanschauungen angehörigen Vorstellungen gar nichts mehr zu thun hat, sondern einzig und allein zu dem Zwecke ersonnen wird, die DiflFerentialgleichungen der Bewegung in einer möglichst condensirten Form auszusprechen. Ich halte es nicht für überflüssig, diese an sich sehr selbst- verständliche Bemerkung, welche ich schon bei einer früheren Gelegenheit gemacht habe,*) hier aufs neue zu wiederholen, da über die principielle Auffassung des Hamilton'schen Princips auch gegenwärtig noch sehr verschiedenartige Ansichten ver- breitet erscheinen. Vom abstracten Standpuncte aus könnte man sich sogar veranlasst sehen, der besonderen Form des Principes, welches das Energieintegral CEdt benutzt, den
Vorzug zu geben. Indessen scheint es zweifellos, dass das eigentliche Hamilton'sche Integral sich durch Einfach- heit und allgemeine Gültigkeit zugleich empfiehlt; daher ist dasselbe auch von v. Helmholtz bei allen seinen Unter- suchungen (unter dem Namen des Principes der kleinsten Wirkung) als heuristisches Grundprincip zur An Wendung gebracht.
m.
Ueber das Princip des kleinsten Zwanges.
Bezeichnet man die Coordinaten der Puncte eines materiellen Systems unterschiedslos durch a;,*), so ist die lebendige Kraft
Werden nun an Stelle der Xi ebensoviel neue Variabele ?/„ welche von einander unabhängige Functionen der Xi sind, die überdies die Zeit t enthalten können, eingeführt, so ist nach A^oraussetzung die Functionaldeterminante
^) A. Voss, Ueber die Diflferentialgleichungen der Mechanik, Math. Ann. Bd. 25, p. 267 (1884).
^ Ueber die Bezeichnung siehe H. Hertz, Ges. Werke III, p. 62.
.^'
. *.
178
Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4. Mai 1901.
A =
• •
nicht Null, also verschwindet auch
^ x^
dtjn
d Xn
nicht, wo Ä die aus den Elementen*)
1)
«8 o = L >»l
c Xi c Xi
gebildete Determinante der definiten positiven quadratischen Fo
2j c^sa UsUa = 2j ^1 ^ — Wg
\^ys )
ist. Bezeichnet man mit A^o die durch A dividirten Uiit determinanten dieser Elemente 1), so ist
falls (a t) das bekannte Zeichen bedeutet. Da aber auch
ist, so folgt
yr^^yrB Xi
2j — = (o t)
2j [Asr~ — nii— ^ *
dys
dXiJ dya
= 0
oder, wegen zl 4= 0 ^) 2)
Zj Asr -— Mi =
3 2/.
dXi'
^) In allen Fällen, wo über die Sunimation nichts weiter bem< ist, hat sich dieselbe über sämmtliche mehrfach vorkommende Ind ."*, ö, r . . von 1 bis 3 w zu erstrecken.
'^) In Formel 2) ist die Sunimation in Bezug auf i selbstverständ nicht auszuführen.
. Voss: Bemerkungen über die Principien der Mechanik. 179 zt man nun die Gleichungen
Ausdruck T ein, so folgt
T=^^a,ays y'o -f L «8 «/» + «
|
«8 |
S >w |
'a |
a^ |
|||
|
a |
— |
ii^ |
m, |
f'^'1 |
2 |
wird; T ist daher eine im allgemeinen nicht homogene n zweiter Ordnung der y'^. Zugleich wird
ir benutzen die Werthe 4) zur Berechnung des 'es Z
unter den X, die Componenten der wirkenden Kräfte len sind. Durch eine sehr einfache Rechnung findet IS 4)
jur Abkürzung
;x,
ay,'
Y 3*^;, , , , „ a»a;, , , a»a;, XA
dysdyr^yn-^^ ^ysdtdy, '^ ' "^dy.dt^
180 Sitzung der m<Uh.-phys. Glaste vom 4. Mai 1901.
gesetzt ist, während
rf-^al/^ j " al^ = ^ "" "' + ^ "• 3T. ä^y/^ ^"
wird.
Man sieht nun unmittelbar, dass die erste Summe in Z sich gegen die letzte aufhebt. Dazu braucht man nur in
die Qs wieder durch ihre Werthe zu ersetzen; drückt man auch Ys wieder durch die X, aus, so entsteht
dXi dXj
was nach 2) in
>r = £ m,- {i j) Si Sj = £ nti 5? übergeht.
Durch Differentiation folgt weiter
ro
s
9a:, 9*a;, [_ 1 9öaa , 9a, 9a,
9yj
dys dtdya L J dt dy,
^ 9a;, 9*a;, f 1 9a,
so dass
d~t[3?J'3y. = ^'"'''''''''^^[s\^'^'--^^"'^^'-^^'^
wird. Hiermit ist der folgende Satz bewiesen.
Ersetzt man die Variabein x durch ebensoviel neu Variabele y vermöge der von einander in Bezug auf d y unabhängigen Gleichungen
6) ^i = fi{yi 2/2 •• • y^n t), yi=(pi{oc^ x^.,. x^n Ot
A. Voss: Bemerkungen iü)er die Principien der Mechanik, 181
wird der Qauss'sche Zwang Z ausgedrückt durch zur lebendigen Kraft T covariante Function
Dieselbe ist eine Verallgemeinerung des von Herrn Lip- itz*) für den Fall, dass die Functionen f die Zeit nicht lalten, als Ergebniss seiner allgemeinen Untersuchung über Transformation homogener Differentialausdrücke herge- }ten Resultates. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass ;elbe nicht auf den Fall einer homogenen Form T beschränkt
kann; in diesem Falle dürfte es wohl einfacher sein, das nsformationsresultat direct herzuleiten.
Eine wesentliche Bedingung für dasselbe ist es jedoch, I die Zahl der Variabein y ebenso gross ist, wie die der x, Q nur unter dieser Voraussetzung lässt sich die Identität 2),
der die ganze Rechnung beruht, anwenden.*)
Man kann nun insbesondere die Variabein y so wählen,') ibei einem mechanischen Problem mit Ä; Bedingungsgleichungen
^)R. Lipschitz, Bemerkungen zu dem Princip des kleinsten nges, Journ. f. Math. Bd. 82, p. 328 (1877).
') Herr A. Wassmuth hat (lieber die Anwendung des Princips des isten Zwanges auf die Elektrodynamik, diese Sitzungsber. 1894, p. 219) Lipschitz'sche Formel für Z in Anspruch genommen für den Fall, iie Zahl der Variabeln y auch kleiner ist wie die der x. Dass dies t gestattet ist, hätte sich schon daraus ersehen lassen, dass unter in umständen der auch von ihm mit Z bezeichnete Zwang gleich 1 wird, was nur bei der freien Bewegung eines Systems eintritt, rend doch p. 220 Bedingungsgleichungen vorausgesetzt wurden. Es
daher auch die im weiteren Verlauf der Arbeit entwickelten For- 1, soweit sie sich nicht auf freie Bewegungen beziehen, durch die erhin im Text abgeleiteten zu ersetzen.
Bei Herrn Lipschitz ist übrigens ausdrücklich die ungeänderte
der Variabein als Bedingung zur Voraussetzung gemacht (a. a. 0. .6 und 328).
') Selbstverständlich ^ann man in ebenso einfacher Weise auch nur a Theil der Bedingungen durch Einführung der allgemeinen Coordi- n beseitigen.
182
Sitzung der math.-phys. Classe vom 4. Mai 1901.
(pi(x^ . . .Xnt) =^ 0, Z = 1, 2 . . . i
die ersten k Functionen y, gleich Null gesetzt, eben diese Be- dingungen vorstellen, d. h.
yi = (Pi
ist, während die h = 3n — k letzten y als allgemeine Coordi- naten Qm, m = 1, . . . A angesehen werden. Unter dieser Vor- aussetzung ist dann
yl = 0, y? = 0 für l = l,2.,.k.
Soll nun der Zwang Z ein Minimum werden, so erhält man in bekannter Weise mittelst der Lagrange'schen Multi- plicationsmethode die Gleichungen
oder: a)
b)
ij Aa
L As„
dt [du'i) d f dT
d fdT
dt \dy',
d^(3T dt\3y:
dT
3T dT
's) ^Vb
Usl = /».
Clsm'\-k = 0.
— Yi = //, l — 1| . . . fc
dT
— Ym-^H = 0, W = 1, . . . Ä.
dt y^y'm-^kj ^ym-\-k
Die Gleichungen a), welche nur zur Bestimmung der Multi- plicatoren l dienen, kann man ganz fortlassen; die Gleichungen b) liefern die Bewegungsgleichungen, so wie man in denselben
yi =0 für Z = 1, . . . Ä ym-\.h = Qm für m = 1, . . . Ä setzt, und für den Zwang Z ergiebt sich der Werth
Z =^ Äij li Aj, i, ^' = 1, . . , Ä:.
183
Sitzunf» vom 8. Juni 1901.
1. Herr H. Seeliger legt eine Arbeit des correspondirenden Mitgliedes der Classe Herrn Dr. 6. Neumayek, Direktor der deutschen Seewarte in Hamburg: „Bestimmungen der Länge des einfachen Sekunden-Pendels auf absolutem Wege, ausgeführt in Melbourne vom Juli bis Oktober 1863" zur Aufnahme in die Abhandlungen der Classe vor und be- spricht deren Inhalt.
2. Herr Fekd. Lindemann macht eine Mittheilung „über den Format'schen Satz betreffend die Unmöglichkeit der Gleichung a;** = y** + ^.*
3. Herr W. v. Dyck erstattet einen Bericht „über eine im Jahre 1832 von dem Mathematiker C. G. J. Jacobi bei Gelegenheit der üebernahme der ordentlichen Pro- fessur in Königsberg gehaltenen Rede."
185
ber den Fermat'schen Satz betreffend die Unmög- lichkeit der Gleichung x*" = !/•* + ^''*
Von F. Lindemann.
{Kingtlau/tn 8. Juni.)
Bekanntlich hat Fermat, ohne einen Beweis anzugeben, Satz aufgestellt, dass die Gleichung x** = y*^ -\- z^ nicht ch drei ganze Zahlen x^ y, z befriedigt werden könne, so- i die ganze Zahl n grösser als 2 ist. Diese Angabe wird in der von Bach et veranstalteten Diop h an t- Ausgabe ^) rllefert, in welcher gelegentliche Randbemerkungen aus •mat's Handexemplare abgedruckt wurden. Die Quaestio I im zweiten Buche von Diophant's Arithmetik handelt ilich von der Aufgabe, ein gegebenes Quadrat in die Summe ier Quadrate zu zerlegen; und am Schlüsse dieser Quaestio et sich folgender Passus:*)
„Observatio Domini Petri De Fermat.
„Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum «in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infini- «tum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis
^) Diophanti Alexandri arithmeticorum libri sex, et de numeris bangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. et srsationibus D. P. de Fermat Senatoria Tolosani. Accessit Doctrinae lyticae inventum novum, collectum ex varijs eiusdem D. de Fermat bolis. Tolosae, MDCLXX.
*) Vgl. auch Oeuvres de Fermat, publies par Paul Tanne ry et wrles Henry, 1891, t. I, p. 291.
"1
186 Sitzung der mathrphys, Classe voin 8. Juni 1901.
„fas est dividere cuius rei deraonstrationem mirabilein sane „detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
Für den Fall w = 3 betont Fermat seinen Satz auch in einem Briefe an Digbj vom 7. April 1658,^) in einem andern Briefe vom 15. August 1657 stellt er die Aufgabe eine Zahl x^ in der Form iß + ^^ darzustellen.*)
Für eine gewisse Klasse von Zahlen n (zu welcher z. B. alle Zahlen unter 100 gehören) hat bekanntlich Kummer bei Gelegenheit anderer Untersuchungen den Fermat 'sehen Satz verificirt.^) Einzelne einfache Fälle sind schon vielfach be- handelt worden.
Mit x^ y, z seien drei ganze positive Zahlen bezeichnet, welche der Grösse nach geordnet sind, so dass:
(1) x>y>z.
Es bedeute n eine ungerade Primzahl; es ist also
(2) n>2.
Wir nehmen an, es bestehe eine Gleichung der Form
(3) X'' = tf' + ^»»
und wollen zeigen, dass diese Annahme zu Widersprüchen
1) Vergl. Wallis, Opera Mathematica, t. II, p. 844, Oxford 1693.
2) Beide Briefe abgedruckt in den Oeuvres de Fermat, t. 11, p. 343 ff. und p. 37G; vergl. ferner Henry, Recherches sur les manu- scripts de Pierre de Fermat, Bulletino di bibliographia e di storia delle scienze matematiche e fisiche publ. da B. Boncompagni, Bd. XII, 1879, wo insbesondere auch die Frage erörtert wird, ob Fermat im Besitze von Beweisen für seine Sätze war; vergl. dazu Mansion, Nouvelle cor- respondance de mathematiques t. V.
3) Monatsberichte der Berliner Akademie, April 1847 und Crelle's Journal Bd. 45, p. 1)3, 1847; vergl. dazu Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vorcinigung, Bd. 4, 1894/95, p. 517 ff., wo auch die ältere Litteratur an- gegeben ist; hinzuzufügen sind die Arbeiten von Genocchi ira Bd. 3 und G der Annali di matematica und Crelle's Journal Bd. 99, ferner Pepin, Comptes rendus t. 82.
F, Lindemann: üeber den Fennat^ sehen Satz, 187
führt. Da gemeinsame Factoren aus dieser Gleichung heraus- fallen, so können die Zahlen x^ y, ^ jedenfalls als relativ prim zu einander vorausgesetzt werden.
Die Differenz x*^ — y** ist sofort in die Factoren
(4) X — y und x*^~^ + ^""^ 2/ + • • • + 1/'''^
zerlegbar; es muss deshalb auch die Zahl jc in entsprechender Weise in Factoren zerfallen. Ist li ein Factor von <e^, so müssen die beiden Ausdrücke (4) zusammen den Factor B" enthalten; es wird also eine Potenz i?"~* in der Differenz X — y, eine Potenz R* in dem andern Ausdrucke (4) enthalten sein; eine solche Zahl R werde mit r, bezeichnet; dann ist
(5) ^ = r ' r^ ' r^ /•„ ,
(6) x — y = r*'' rj-^ • rj-^ r;_2 • r^_j = r" • ^ ,
Jede dieser Zahlen r,- kann wieder in verschiedene Prim- factoren zerfallen. Für das Folgende sind die Zahlen r und r„ von besonderer Wichtigkeit; beide sind offenbar durch die Gleichungen (5), (6) und (7) eindeutig bestimmt: r,» als der- ienige Factor von ^, welcher in rr — y nicht vorkommt, und r
/v*H itM
als derjenige Factor von z, welcher in dem Quotienten —
X y
nicht enthalten ist. Die übrigen Zahlen r/ sind nicht noth-
wendig eindeutig festgelegt, sind auch für das Folgende von
geringerer Bedeutung.
In gleicher Weise kann die Differenz x — ^ in Factoren zerlegt werden; es ist:
wo X keine n^^ Potenz mehr enthält, ferner
188 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 8. Juni 1901,
Eine analoge Zerlegung kann auch für die Summe y + zur Anwendung kommen, so dass:
Offenbar lässt sich, wenn n eine ungerade Zahl bezeichne die Zahl N^ so bestimmen, dass die Differenz
af* — y** — ^1 (^ — yY durch das Product xy theilbar wird; und zwar ergibt sich
Ferner kann N^ so gewählt werden, dass der Ausdruck ^H — yn — jyr ^x — t/)** — N^xy{x — y)**"^
durch x'^ y"^ theilbar wird. Man muss zu dem Zwecke d
Factor von x^^^ y gleich Null setzen und findet N^n — -Aig =
oder
N^ = n.
Der Factor von a;y**~' fällt dann von selbst heraus, l ebenso das Aggregat
x*^ — yn^]^^(^x — y)*' - N^xyipc — yY'^ — N^ x^ y- {x — yY'
durch x^ y^ theilbar zu machen, muss man den Factor v xn-2yi (welcher bis auf das Vorzeichen gleich dem Factor v /p2^M-2 js^) 2um Verschwinden bringen, d. h. es muss
-^■G)
+ iV,(n-2)-i^3 = 0,
also ^ n (n — 3)
^3 — - 2
sein. In gleicher Weise wird
x^i -yn__j^^(^x — yY — N^xyix — yY~'^ — N^ x^ y"^ {x - yf'^
— iV^ x^ \f (rr — liy''^
T, Lindemann: Veher den Fermaf sehen Säte. 189
durch a:*y* theilbar, wenn
ist, oder:
_ n (n — 4) (n — 5)
* ~ 1.2.3
Ebenso kann man weiter schliessen und findet durch ein Becursionsverfahren leicht, dass das Aggregat
(8) Ol?" — tf" — N^ipc — yY — N^xy {x -yy--
— iV. rc»-' y» -' (:z; — y)~-2 .+2
durch oif y theilbar ist, wenn
Vgx ^ n{n — s){n — s — 1) (n — 2g + 4)(n— 2g + 3)
'~ 1 . 2 . 3 . . . . (5 - 1)
gesetzt wird.
Sei nun die Primzahl n gleich 2r -f 1» und setzen wir ^ =^ V, so wird
(10) N - (2v+l)v(i- + l)
^ ^''~ 1.2.3
Es ist also identisch
(U) x"" — y*" — N^(x — yY — N^xy{x — yy-^ — , . . . — Ny X^-^ tf"-^ ipc — yf = Nx^y^x — y),
^^ -^ noch zu bestimmen ist, denn die linke Seite ist theilbar ^^^ch a;" y^ und ist Null für x = y. Der Werth von N wird *oer durch Fortsetzung derselben Schlussweise gefunden, die ^^ bisher anwandten, nemlich indem wir verlangen, dass aus lexii Ausdrucke
^ ^y*" — N^ix — yY --.,, — NyX''-^y-\X'-yy — Nx''y'{x — y)
ler Term a;*^' y*' (und folglich auch x'' JT+O herausfalle; es 'i^d daher
^^2) JV'= iv;,^j = 2 r + 1 = w.
Unter Benutzung von (6) und (7) erhalten wir sonach die ^^iitität:
^^1. Bitiungsb. d. math.-phys. GL 13
190 Sitzung der maihrphys, Classe vom 8, Juni 1901.
nx
vyv^n Q^^.yn yi. _ ^ iV, X'-^ y-* |.n(n-2 1+2) ^«
«=1
oder, wenn beiderseits mit q r" dividirt wird :
V
(13) ncd'if = ^1- ^2^ . . . . >t — S NiO(^'^ y*-^ ^(n-2.4-1) ^n-:
t=i
wobei die Zahlen Ni offenbar sämmtlich ganze Zahlen :
Die relativen Primzahlen x und y können wegen (6) den Zahlen r,, r^, . . . . r^-i keinen Factor gemein haben. J Glied der rechten Seite von (13) ist durch jede dieser Za theilbar, da mit q die Zahl rj""^ r^~^ .... r^_j bezeichnet wi]
Soll daher auch die linke Seite durch r,, rg, . . . r„-i thei sein, so muss die Zahl n diese Factoren enthalten. Nun s( aber n eine Primzahl bedeuten ; also bleiben nur folgende ü lichkeiten :
Entweder es ist
(14) ^1 = w, r^ — r^ = = rn-\ = 1 ,
und dann folgt aus (5) und (6)
(15) ^ = w • r • r„ , X — y = r^' ' n^-^ .
Oder es ist
(16) rj = rg = ^3 = . . . = Tn-i = 1 , und dann folgt
(17) ^ = r'rn, X — y = r*'.
Eine andere Möglichkeit bleibt nicht offen, denn von Zahlen r^^r^^ . . . >n-i kann keine gleich n sein; es wäre n lieh dann die rechte Seite von (13) mindestens durch n* tl bar, folglich auch die linke Seite; d. h. es müsste x od durch n theilbar sein; dann aber wären nach (6) beide Za durch n theilbar, während sie doch als relative Primza vorausgesetzt sind. Die Zahl r„ bleibt zunächst behebig.
Da die Gleichung (11), wenn N durch (12) bestimmt t eine Identität ist, können wir in ihr y durch ^ ersetzen
F, Lindemann: tJeher den Fermate sehen Satz. 191
aalten so in Rücksicht auf (6») und (7») an Stelle von (13) e Beziehung:
13») n rc" ^ = jj . g2 . . . . 3« _ S N,x'-' ^'^ (^(— 2H-1) x~-2 .+1^
Mrf welche wir die gleichen Ueberlegungen anwenden können. Ss ist also entweder
15*) y = w • g • g„ , X — ^ = 2" . n**~* ,
Jer:
Endlich können wir in der Identität (11) auch x durch y id y durch — z ersetzen; dann ergibt sich mit Rücksicht auf »^) und (7^):
(-l)''wr^=i?,i?^...i?:
13^)
die nochmalige Wiederholung der gleichen Schlussweise '^ zu dem Resultate, dass entweder:
der
7»>) ^==:^.^^^ y-j-^=2?**
^Ji muss.
Da x^ y, z keinen gemeinsamen Factor enthalten sollen, so ?ibt die Combination der Gleichungen (15), (17), (15»), {Vl^ ^^), (17^), dass nur drei Fälle noch näher zu unter- chen sind. Die Annahme (15) nemlich ist mit (15*) oder ^**) nicht vereinbar, so dass aus der Annahme (15) noth- *ndig die Gleichungen (17») und (17^) folgen. Gehen wir er von (17) aus, so kann sowohl (15*) als (15^) möglich sein, trachten wir diejenigen Möglichkeiten als gleichwerthig, die J"ch Vertauschung von y mit z aus einander hervorgehen, so siben die folgenden drei Fälle:
13*
192 Sitzung der matK-phys, CtcLSse vom 8. Juni 1901,
I) X — y = r" • n**-' , -er = w • r • r„ ,
11) X — y = ^, £r=r-r„,
y -(- ^ == p»» . w**""^ , X = n - p - p^; III) a; — y = r**^ z=^ r • r^^
x — z = g[^, y^-q^qn,
y+^ = P^^ x=p'p^.
Hieraus folgt im Falle I):
I?" + g" + w""^ r**
im Falle II):
^ |.n _j_ gn _J_ ^M-1 ^t»
^■^ 2
und im Falle III):
_ j?" + g" + ^" 2
Dass o; sich durch drei Zahlen p, q, r in einer die»
Formen darstellen lassen müsse, hat schon Abel ohne Mi
theilung eines Beweises angegeben.^) Er erwähnt ausserde noch die Möglichkeit
X 2— - ,
welche bei uns ausgeschlossen ist.
Wir machen zuerst die Annahme I). Die Gleichung (13 wird hier
V
(18) nx^z" = g(^ — ^ N. x^-^ r*-» q*" ("-^ ,+i)
1=1
Alle Zahlen Ni mit Ausnahme von ^^ =: 1 sind durch theilbar; auch z ist durch n theilbar; vom dritten Gliede
*) Lettre ti Holmboc vom 3. August 1823, Oeuvres t. II, p. 255-
F. Lindemann: lieber den Fermat' setzen Satz, 193
o alle Terme der rechten Seite durch w* theilbar. Die ite ist mindestens durch W+^ theilbar; folglich ist auch
^n _ gM (»-1) = 0 mod. n\
ch dem Fermat 'sehen Satze ist
kann, da y zu ;e^ relativ prim ist, nicht durch n theil- i. Es ergibt sich
0'" ^ 1 mod. n},
identisch q** ^ q mod. n ist
qn^^l mod. n. enso folgt aus (13^):
V
** 1=1 *
ö Anwendung derselben Schlussweise führt zu der ;nz
^„ zz 1 mod. n .
[glich ist auch
X =p ' pn^p mod. w,
y=q'qn^q y, n. •ner ist
^ — ^ =PPn — (Z (Zn =i? — q niod. n
5h:
p^ :zi:q*^ mod. n^.
äiter folgt aus den Gleichungen I):
2 ^ = p*' — q** -\- r^ - n**'"^
ch (25), da w > 2 :
2 -2^ ZT 0 mod. n^
194 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 8. Juni 1901.
Es wäre also z nicht nur durch w, sondern durch n* theiJ- bar, d. h. eine der beiden Zahlen r oder /*„ müsste den Y^icUn n enthalten.
Setzen wir die der Annahme I) entsprechenden, in (M) und (15) gegebenen Werthe der Zahlen r, in (13) ein, so ergibt sich:
und nach Division mit n:
X'
yv = ^ S iV. a:*'--' y'-' r" (»•-2i+l) ^n«-2rfw+2i-2
•=i
(28) = r" — r*» ("-^) w" ("-2) — xyr^ <"-^) w*»*-* »»+3 —
Wäre also r^ ^ 0 mod. w, so müsste eine der Zahlen ^ oder ?/ durch n theilbar sein, was nicht angeht. Es kanB also nur r den Factor n enthalten, so dass z minde* stens durch n^ theilbar ist.
Wir wollen allgemein annehmen, dass r durci w^"~^, also z durch n^ theilbar sei, wobei also X minde- stens gleich 2 wäre. Durch diese Annahme modificiren sich auch die soeben an die Relation (18) geknüpften Schlüsse. D^ jetzt z durch n^ theilbar ist, ergibt sich nemlich an Stelle von (19):
(29) S^ — 2" ^""^^ = 0 mod. w^+S
also auch
qn^cf^"^ mod. w^
Ebenso folgt aus (22)
Pn^^p**^^ mod. w^.
Ferner mit Hülfe der Gleichungen I)
x=p-pn^^p^ mod. n^,
F, lAndemann: lieber den Fermaf sehen Satz, 195
Nun ist nach I)
^ = 3^ + -^ ^ 3^ mod. n^
m auch
[30) p^ ^(f mod. w^
folglich :
p ^g mod. w^""',
30«) p'^ — if^^ mod. n^^\
^obei A>2 ist. Andererseits aus I) und (1): ^,.« _ gn« = (y ^ ^)n — (a; — zf
'enn alle anderen Terme der rechten Seite enthalten höhere otenzen von z^ multiplicirt in Binoraialcoefficienten des Ex- ponenten w.
Aus den Identitäten (18) und (23) folgt durch Subtraction t-(/;;=i?**^*'"'^— g"^"-^^ — w^(t/i?"("*3) — a^g"^**-^"^)) mod. ^2^+^
Wir multipliciren beiderseits mit /)** g** und benutzen wieder 6 Relationen x=ppn, y = QQni sowie die Congruenz (31); lön ergibt sich
(/*• o;** — p**i/^^ (?*** ((/** — p**) -{-nzq** {x**~^ + Z/**~0 — nzp**q** {i/p** ^**'^^ — xq** ^""-^^) mod. n^^+^.
Da nun r durch n^~^ theilbar sein sollte, und da nach I) ■^ 1/ durch r**w" "^ theilbar ist, kann hier (indem nk—l'>2k-\-l ^ überall x durch y ersetzt werden; es ist also auch
[qn^^^^n_ ff')^2nzy*'-^q''—nzy2)*'q''(j>*'^*'''^^-' q^i»-^))
mod. w^^+^
Der erste Factor der linken Seite ist nach (30) durch w^, ^ zweite Factor (da y = qqu) nach (29) durch n^-'^^ theilbar; r letzte Factor des zweiten Gliedes der rechten Seite enthält •ch (30) den Factor n^, das ganze Glied also (da z durch n^ eilbar ist) auch den Factor n-^+^; es folgt also
196 Sitzung der mcUhrphys, Classe vom 8, Juni 1901,
0 ^ 2 w ^ y*"^ g* mod. n^^+^
oder, da n nicht durch 2 theilbar ist:
(32) ^y**-ig" = 0 mod. n«^.
Nach unseren Annahmen sollten y und q nicht durch theilbar sein; es muss demnach £r den Factor n^^ enthalten.
Nimmt man also an, dass die Zahl z durch n^ theilb sei, so müsste sie auch durch n^^ theilbar sein, was nur n der Voraussetzung £f = 0 verträglich ist. Der Fall 1) i damit als unzulässig nachgewiesen.
Der Fall 11) lässt sich in genau der gleichen Weise e ledigen. Aus den Identitäten (13) und (17*) erhalten wir ix
(33) " 'T
w ^^ ^^ = g^ — S N. x^-^ -sr»-> ^ (»«-2 «+1) ,
1=1
und schliessen aus ihnen, wie in (21), (23) und (24) die Co
gruenzen
g„^ r„ ^ 1 mod. n,
y = g-g„^g mod. n,
^ = r • r„ ^ r mod. n,
2/ + '2^ = (Z^» + ^n» = (Z + ^ mod. w, = |)n.^n-i ^0 mod. w,
also auch, entsprechend zu (25):
g** + r" =E 0 mod. n*,
femer aus II)
2a; = g^-|"^+i^ w**~^ =^ 0 mod. w*.
Die Identität (13^) gibt nach Division mit n
(__ \y yv ^v __ pti _ ^n(M-l) |jti(n-2)
r34)
^ ^ 4- S (— !)•• iV. o;*-^ y* ^ ;?« («-2 •+^) n-"- 2«~+2.-2^
1^2
F, Lindemann: lieber den FermaV sehen Satz, 197
Hieraus folgt, wie oben entsprechend aus (28), dass p rch n theilbar sein muss. Sei allgemein p durch w^"^ also durch n^ theilbar; dann folgt aus (33)
r^ — r** (~-i) ^ gw_g«(n-i) ^0 jhqJ^ ^a+1^
Tn i^ r'«-^ g„ ^ g"-^ mod. n\
y = X -(-/•*• ^ r** mod. w^,
-2^ = X — q** ^ — q*^ mod. w^-,
r^ -\- ^ ^0 mod. w^,
r«*+9''*'=0 mod. w^+^
Endlich aus H) und (1):
T^*^ qn*=: (a; — yY -\- (x — zY
^ — n X {tf^'-^ -{• z^~'^) mod. n^+^
Durch Benutzung dieser Relation und durch Addition der
leichungen (33) wird man schliesslich, wie bei (32), zu der
>ngruenz
X y*-^ g" ^ 0 mod. n^^
führt. Also müsste x durch w^^ theilbar sein, was nicht an- ht, wenigstens nur zu der identischen Lösung x = 0 führen irde.
Wir haben endlich den Fall III) zu untersuchen, gelten wieder die Gleichungen (33) und ausserdem Gleichung 2). In jeder dieser Gleichungen sind alle Glieder der rechten ite durch n theilbar bis auf das erste und zweite; auch die ike Seite ist durch n theilbar. Es bestehen demnach die ►ngruenzen,
5) i>|;^=^i>"^"~^\ gj|^g»»("-0^ rj» ^E r* ("-^^ mod. w,
so auch nach dem Fermat 'sehen Satze (nach welchem * ^p ist)
|)M^i>**~\ (Zm— =(/**~\ ^,1^^^**"'^ mod. n
ind hieraus
|?H ^ 1 , 2n = 1 , >V» =^ 1 mod. w.
198 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 8. Juni 1901.
Nehmen wir allgemein an, es sei
(36) p^^qn^Tn^l mod. w^, A ^ 1 , so ist
(37) x=P'Ph^P , y ^q ^ z ^r mod. n^ ,
(38) 01^ ^p^^ y^^^inq^^ ^^r* mod. w^+^ also folgt aus (3)
(39) p^ = ^-\-r^ mod. w^+»
und aus den Gleichungen III):
y '\- z^{x — £)-{- {x — y) mod. w^+* folglich
(40) y -{- z^x mod. w^+^ oder, da y 4" ^ =^" ist:
(41) x=p'Pn^p^ mod. w^+^ also
(42) p*^-^ ^Pn mod. w^+^ und wegen (36):
(43) p**~^ =^^ 1 mod. n^'.
Ebenso ist
(44) q*'-^ ^ 1 , r»*-i = 1 mod. n\
Die weitere Betrachtung knüpft sich wieder an die bc Gleichungen (33), zu denen noch die aus (13) hervorgehe Relation (22), nemlich
(45) (— iyny''z''=p*' — 2?«(»»-i) _ ^ JV^(_ l)«-iy-i£r»~i^/'(«-
** 1=2 *
hinzutritt. Durch Addition der Gleichungen (33) ergibt
(46) n x" {y" + ^) = ql -V r^ — (r" (♦»->) -\- g" («-^)) — P, wo zur Abkürzung:
V
J^=^N, X'-^ (y'-^ ^»»(«-2.4-1) ^ ^.-1 gn(»-2.+l))^ 1=2
F, Lindemann: lieber den Fermat^schen Satz. 199
1 ist nach DI)
y = x — r**, z = x — 3*. ;h Anwendung des binomischen Satzes wird daher:
8=«— 1 r. ^v
ner folgt aus (37) und (40)
2> ^ g + r mod. n^, ch Potenziren
alle ''n P vorkommenden Zahlen Ni durch w theilbar demnach
]NiX'-^ S (— ly-'-'a;' (^ ) »»»(»-•-») mod. w* ; Ni x*-^ (x — ^)»-^ ^« (w-2«+i) mod. w*.
2
2h (41) ist X — i?" durch w^+* theilbar, also folgt:
P=:0 mod. w^ 3 (36) und (44) erhalten wir
.»•(w-l)_gn = 0 |.n(n-l)_^n = Q jj^^^J ^A+1
Gleichung (46) führt demnach zu folgender Congruenz:
x" {y" + z") ^: 0 mod. w.
rch Addition von (45) zu der ersten Gleichung (33) ich in analoger Weise
r (^— (— ^y 2'') = rl—pl -|-^»»(w-i) _,.»•('»--')_ Q^
V
1=2
jrin setzen wir nach UI)
200 Sitzung der mathrphys, Classe vom 8, Juni 1901,
dann wird
«•-1
-i-« mod. w'
1=2 «=0 \ S J
Erheben wir die beiden Seiten der Congruenz (47) zi Potenz n{n — i — s), so folgt:
Der Voraussetzung nach ist n eine ungerade Zahl, a ( — 1)»» = ( — l)»»" = — 1, und somit auch
Es wird daher
(;> = i: iV; 2/»-> S f ' " ^) y» gn(n-.-s) (_ jy-l 1=2 «=0 \ 5 /
V
= S iV; y*-i {xf — g»»y-i g»» (»-2 ••+!) med. n*
•=2
Da nach lU) x — ^ = Q^ ist, so folgt aus (40)
y — g^^O mod. n^+^ Es wäre demnach auch
Q^O mod. w*. Da ferner analog zu (41) die Congruenzen
y = Q^n^Q.*^^ z =^rr^zziii^ mod. w^+^ bestehen und nach (35)
ist, so würde aus (50) folgen:
(51) «/" (a;'' — (— 1)" ^0 = 0 mod. w.
In derselben Weise würde man aus der zweiten Gleichi (33) in Verbindung mit (45) die Congruenz
(52) ^{x"" — {—\y\f)^^ mod. n
ableiten können. Die Zahlen x^ y, z sollten der Voraussetzt
jp. lAndemann: Üeher den Fermat* sehen Satz. 201
it durch n theilbar sein; es müssten also wegen (49), (52) auch die Congruenzen
j^+ ^^0 mod. n,
a;" — (— 1)" ^ = 0 mod. n, :z;'' — (— 1)" y'^O mod. n
ig Geltung haben. Multiplicirt man die erste dieser
zen mit ( — 1)*" und addirt sodann die linken Seiten,
sich
2a;*'^0 mod. n,
aüsste also x durch n theilbar sein, was der Voraus- widerspricht.
mit ist die Unmöglichkeit dargethan, eine Gleichung m (3), d. h. eine Gleichung
X** = y** -\^ 2f**
anze Zahlen x^y^z zu befriedigen, wenn n eine e Primzahl bedeutet, und wenn keine der r, y, z durch n theilbar sein soll. Der Fall aber, iieser Zahlen durch n theilbar ist, wurde schon oben ) erledigt.
nun die Unmöglichkeit des Falles w = 4 von L a m ^
ßsen wurde, kann n auch keine Potenz von 2 sein;
also in der That nur die eine Möglichkeit w = 2.
im Vorstehenden herangezogenen Hülfsmittel sind
elementarer Natur; ausser dem Fermat 'sehen Satze
ntheorie sind nur einfache algebraische Umformungen
orden. Es ist daher sehr wohl möglich, dass Fermat
n Besitze eines Beweises für seine Behauptung ge-
gewonnene Resultat kann man auch dahin aussprechen, Curve
qqH yH — ^w __ Q
m drei Punkten 0, 1, — 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0 keinen Punkt mit rationalen Coordinaten besitzt.
202 Sitzung der math.-phys, Classe vom 8. Juni 1901.
Bedeutet daher X eine rationale Zahl, und schneide! die Curve mit der geraden Linie
(x — y) — k^ = 0,
welche durch den Punkt 1, 1, 0 hindurchgeht, so kam resultirende Gleichung nicht durch rationale Werthe e werden. Es ergibt sich aber
Xn (^ _ ^) __ (^ __ yY = 0, oder nach Division mit x — y, wenn noch
y
gesetzt wird,
Xn (^n-l ^ tn-2 _|. _ , ^ ^ ^ 1) _ (^ _ J)«-! ^ Q
Ist die ganze Zahl n grösser als 2, so kann demnach Gleichung nicht durch rationale Werthe von t und k ei werden, ausgenommen die Werthe ^ = 1, A = 0 und t - A = + 1, wobei das obere Zeichen für eine ungerade, untere für eine gerade Zahl gilt.
203
le in den hinterlassenen Papieren Franz Neumann's vorgefundene Rede von C. G. J. Jacobi.
Vorgelegt in der Sitzung vom 8. Juni von Walther t. Djck.
{Eingtlaufen 21. Juli.)
Die im Folgenden veröffentlichte Rede hat Jacobi zum liritt in die philosophische Facultät der Universität am Juli 1832 gehalten (die Ernennung Jacobi's zum Ordinarius 0- 1829 erfolgt).
Herr Carl Neumann in Leipzig hatte diese Rede als liident unter den Büchern seines Vaters gefunden, für sich )geschrieben und eine besonders charakteristische Stelle der- äben im Vorwort zu seinen „Beiträgen zu einzelnen Theilen er mathematischen Physik" Leipzig 1893 veröffentlicht. Als A mich im Herbste des vorigen Jahres mit Studien über „die ^«Ziehungen zwischen dem künstlerischen und dem wissen- chaftlichen Erfassen der Natur" beschäftigte und mir eben -üe citirte Stelle die Art wissenschaftlicher und künstlerischer Qtuition besonders prägnant zu bezeichnen schien, ersuchte ich »erm Carl Neumann um Mitteilungen über den Ursprung jenes 'itates. Dies gab Veranlassung, dass ein Enkel F. Neumann's, Icn* E. Neumann in Halle, in dem Nachlasse seines Gross- aters nach jener Rede forschte, mit dem Erfolge, dass er das original der Rede von der Hand Jacobi's eingetragen fand in 'inem durchschossenen Handexemplar einer für den eingangs ;eiiannten Zweck gedruckten Abhandlung, deren ausführlicher Rtel lautet:
1
204 Sitzung der math.'phys, Classe vom 8. Juni 1901.
„Commentatio / de transformatione integralis duplicis in definiti
/
d q) dtp
-4 + jB cos q) -\- (7 sin 9? + {A + B' cos 9? + C sin 9?) cos \p
+ (-4" -+- -B" cos (p '\- C sin 99) sin ^
in formam simpliciorem
dri d'»
G — 6r' cos rj cos 1? — 6r" sin rj sin 1?
j
quam / auctoritate A. Ordinis philosophorum / pro loco in e rite obtinendo / D. VH. Julii MDCCCXXXII / H. h. a. c. publice defendet / Carolus Gustävus Jacobus Jacobi Ph. Dr. Math. P. P. 0., Academiarum Parisiensis, Berolinensis, Petrö politanae sodalis. / assumpto ad respondendum socio / Herr manno Henrico Haedenkamp Halensi / opponentibus / Julir Eduardo Czwalina, Tolksensi / Augusto Rudolpho Luchterh Mariaeinsulano. / Regiomonti."
Es ist diese Abhandlung der erste Teil (Nr. 1 — 9) der 8. Band von Crelle's Journal S. 253—279 und S. 321—! abgedruckten Abhandlung „De transformatione integralis dupKe indefiniti etc." (Vergleiche Werke, Band III S. 91—158, wie das Verzeichnis sämtlicher Abhandlungen Jacobi's Bd. VII der VP'erke, S. 427.)
Ihr sind noch folgende Thesen vorgedruckt:
Theses.
1. Mathesis est scientia eorum, quae per se clara sunt.
2. Principium methodi geometricae et analyticae idem est*
3. Per Theoriam Functionum illustrissimi Lagrange ana- lysis infinite parvi non refutatur, sed demonstratur.
Dass die vorliegende Rede wirklich für die genannte Ge- legenheit verfasst wurde, geht aus der Anrede, wie aus der aio Schluss zugefügten Aufforderung zur Disputation (die wir eb^^'
W, t>. IhfcMii Rede von C, G, J. Jacobi, 205
lesbalb noch in ihren ersten Sätzen mit abdrucken) unzweifel- lafk hervor.
Ich darf Herrn Geheirarath Carl Neumann, welcher Dir mit dem Original der Rede ihre VeröflFentlichung voll- jBndig übergab, auch an dieser Stelle für die hierdurch er- riesene Auszeichnung aufs herzlichste danken. Ich glaube, lass auch heute noch die Rede Jacobi's das besondere Interesse ler Fachgenossen durch die in ihr vertretene Auffassung mathe- oatischer Arbeit erwecken wird.
^rorector magnifice, decane spectabilis, professores doctoresque larissimi atque doctissimi, commilitones ornatissimi, auditores
omnium ordinum honoratissimi.
Ex quo primum ad artem analyticam accuratius cognoscen- lam animum appuli atque exeniplaria mathematicorum assidua ■ftnu evolvi, magnum illud admiratus sum et stupendum opus pentis humanae, quod mathesis nomine usurpamus. Nam si ll jam celebramus atque posteritati commendamus, quoties Rex mt Imperator aedificii alicujus prae ceteris decori fundamento Tel unum infixerit lapidem — habemus jam aedem amplam (aene ad astra usque exstructam, cujus singulos lapides alios post alios per tantam saeculorum seriem struxerunt regia illa I et iraperatoria ingenia, quibus gloriatur genus humanum et saeculum, quod illustraverunt. Eo magis miratus sum errorem singularem, in quem video incidere viros non sane contemnendos aut rerum mathematicarum expertes, qui quasi caeci judicent de coloribus, sed viros eximios, ipsos adeo mathematicos prae- stantissimos, errorem dico, huic tantae disciplinae suum deesse 8ibi insitum principium progressionis ; fieri scilicet rerum mathe- maticarum progressum, quoties hoc vel illud problema de mundo öaturali petitum seu quaestio physica mathematicorum Labores proYocat. Tristis sane et deplorabilis sors disciplinae, sancto iBo nomine indignae, quae e libera facta esses serva, e filia
IMl, aitsmigsb. d. nutlL-phys. GL U
206 Sitzung der mathrphys, Classe vom 8. Juni 1901.
numinis divini, mentis humauae gloriam manifestante, mentis expers, ipsa nescia quid tibi velis, non proprio superbo volatu altum petens, sed dominae jussu alienae illuc dirigens gressus incertos ac titubantes. Permittatis vel Auditores omnium ordinum honoratissimi pro humanitate vesi quam imploro in re delicata et yariis difficultatibus obnoxia, paucis erroris istius fontem detegam.
Et mundus naturalis et homo sibi conscius a Deo 0. creati sunt; eaedem leges aeternae mentis humanae, eaed( naturae; quae est conditio, sine qua non intelligibilis es mundus, sine qua nuUa daretur rerum naturae cognitio. Missu hie faciamus ideas logicas quatenus expressas habet natui quam hoc respectu habito considerant philosophi recentior (ut verbo usitato utar et nimis usitato) tanquam logicam petr factam. Consideremus naturam quatenus leges exprimat math maticas. Non soHs sensibus externis per tantam phaenomen rum varietatem et quasi tumultum dignosci potuit lex mod ratrix, cui prorsus illa aut proxime obtemperant, nisi if accesseris ad contemplationem naturae ea fide et persuasioi ut mentis conceptiones tuae in ea expressas invenias. Le{ naturae insitae mathematicae percipi non potuerunt, nisi ji proprio motu mentis humanae e legibus ei insitis exstru< esset mathesis. Corpora coelestia in sectionibus proxime coni solem ambire non intellectum esset, nisi aeternum sectioni conicarum Schema observabatur Graecorum ingenio. Qu Keplerus detexit stellae Martis moderari maeandros, idem ja ApoUonii subtilitas mente conceperat, et praemeditata en Quantum in explicanda arte proficit mens humana, tantu natura etiam suam ei explicat sibi insitam mathesin.
Crescunt disciplinae lente tardeque, per varios errores se pervenitur ad veritatem, omnia praeparata esse debent diuturi et assiduo labore ad introitum veritatis novae; jam illa, cer temporis momento, divina quadam necessitate coacta emergi praeparatis omnibus causa levissima accidens, quamvis remo quaestio physica eam elicere valet. Num hanc ob rem qua stioni physicae debemus incrementa, quae veritate nova in lue«
W. V. Dyck: Bede von C, G. J, Jacobi. 207
»rolaia disciplina capit? Cur hodie applicas calculum? Num IOC die primum proponitur a natura problema? — Sedet Sphinx LÜa inde a creatione mundi, sedebit in sempiternum, proponit mcniigmata generi mortalium; at suo tan tum tempore venit Oe£pus ab Apolline missus.
Errorem, in quem diximus magnos etiam incidisse geo-
in eo videmus consistere, quod non probe distinctura
[lik inter causas yeras et causas accidentes; sive ut viri medici
t, inter causas proximas et causas remotas. Novimus,
Jbderum olim e passu Virgiliano describente fluctuantes proras,
pappes littore stantes, occasionem cepisse Hydra ulicae condendi
uudyticae fiindamenta. Exstat de Neutono lepida fabula, po-
ttum super nares dormitantis incidens dedisse viro occasionem
dfitegendi gravitatem universalem. Num pomo humi cadenti
inest principium illud progressus, num carminibus Virgilianis?
Inest ingeniis Neutonorum Eulerorum; inest ingeniis, quae
magnos illos viros antecedebant, inest toti historiae artis.
Est causa vera progressus mathesis necessaria ejus ex- jBcatio, quae fit secundum leges menti humanae insitas aeter- MB. Causa accidens esse potest quaestio physica, pomum cadens, liBsus Virgilianus. Qui de causis illis fortuitis natam putant Wathesin similes mihi videntur iis, qui Epicureorum sententia 6X atomis per vacuum volitantibus construunt mundum. Contra ?nos disserens Keplerus narrat se fessuni a scribendo animoque intus pulverulento ab atomorum istorum considerationibus voca- tnm esse ad coenam, apposuisse uxorem acetarium. Quam se interrogasse , num si toto aere confertae volitarent patinae stanneae, folia lactucae, micae salis, guttae aquae, aceti, olei, ovorum decusses, idque ab aeterno duret, num futurum sit "^Ddem aliquando, ut fortuito tale coeat acetarium; respondisse '^Uam suam: sed non hoc decore, neque hoc ordine. Neque, ^^Di Kepleriana uxore dico, de phaenomenorum tumultu ac confusione nasci potuit divina illa mathesis structura, omnibus ö^iueris absolutissima, non hoc decore neque hoc ordine.
Qeometras Francogallos plerosque, qui prodiere e schola ^üstris comitis de la Place, his temporibus in errorem illum
208 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 8, Juni 1901.
iiicidissc, dolemus. Qui dum unicam e quaestionibus phyads niathesis salutem potunt, relinquunt verain illam ac naturalem disciplinae viani, quam ingressi olim Eulerus et de la Orange, artcm analyticam ad id evexerunt, quo nunc gBudet, fasiägiun. Quo non tantum mathesis pura, sed ipsae quoque ejus ai tjuaüstiones physicas applicationes haud parum detrimenti cap- unt. Semper enim arbitratus sum, ista maxime neglig^itii factum esse, ut magnum illud et inclytum problema de moii corporum coelestium per attractiones mutuas ex orbita ellipiii exturbatorum, careat adhuc solutione, quae motibus systemaii nostri solaris explicandis satisfaciat. Simulque persuasum habeo. omni studio ac labore excultis et theoria functionum ellipti- carum et theoria integralium duplicium, quas ut problemaü praecipua nostro tempore in rebus mathematicis proposita specto, fore, ut problematis illius paene desperati solutio Tel sua sponte emergat. Theoriam functionum ellipticarum ante ' hos (juatuor aunos novis superstruxi fundamentis, itaque novom quasi calouli instrumentum cum Geometris communicavi. For- tasso otiam Iuuh* quam publice jam examini subjicio, de in- tt\i;ralibus du)>lioibus commentatiuncula non omnino indigna \idi4>itur hao soKMiinitate. qua coetui adscribar venerando erudi- torunu qui artiuiu plus ultra promovendarum saneto et augusto officio vitam et viijilias cousocraverunt.
Jam ad arma viv> provoco, juveues omatissimi, Cziralina et l.uohtorhand: suririte et tehi contra nos nostraque dirigite, qiiao evitaiv studoL>o et, si fors fort, remitiere. Quo in certa- niir.o to orv> roiroque. Ktsponde ns dilecti>4>ime, ut tidelis mihi sis armiiTcr, nani t'ortos uc i^trouui sunt adversarii. Quos et tu iam ad oortaiiuii jTov.xa, ut iio^trum puguandi ardorem iOiTnos^-ant
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 6. Juli 1901.
1. Herr Siegmünd Günther erstattet einen Bericht über den II. und III. Theil seiner Untersuchung: ^Akustisch-geo- graphische Probleme.**
2. Herr H. Seeliger spricht: ^Ueber kosmische Staub- niassen und das Zodiakallicht.**
3. Herr H. Seeliger legt eine Arbeit des Privatdozenten an der hiesigen Universität, Herrn Dr. Karl Schwarzschild: ^Der Druck des Lichtes auf kleine Kugeln und die Arrhenius'sche Theorie der Kometenschweife" vor.
4. Herr H. Seeliger legt ferner eine Abhandlung des Privat- dozenten für Physik an der hiesigen technischen Hochschule, Herrn Dr. R. Emden: „Beiträge zur Sonnentheorie" vor.
5. Herr Ferd. Lindemann überreicht eine Untersuchung der Herren C. Cranz und K. R. Koch in Stuttgart: „Ueber die Vibration des Gewehrlaufs, H. Schwingungen in hori- zontaler Ebene." Die Untersuchung erscheint wie die frühere derselben Autoren in den Abhandlungen der Akademie.
1901. Sitzoogsb. d. matlL-phys. GL 15
211
Akustisch-Geographische Probleme.
Von Siegrmnnd Günther.
{EingtHauftn 6. Juli.)
Von den drei Gruppen, in welche in unserer früheren eilung^) die spontanen Schallphaenomene zerlegt wur- hat die eine bereits ihre Erledigung gefunden.*) Die ite Gruppe hatte alle diejenigen Schallerscheinungen zu assen, bei denen es zur Herausbildung wirklicher Töne
^) Diese Sitzungsberichte, 31. Band (1901), S. 15 ff. ^) Von Prof. Dr. Pechuel-Loesche in Erlangen erfuhr der Verf., auf grund jener früheren Veröffentlichung, dass auf dem Sand- und ritboden Afrikas Töne von wechselnder Art und Stärke gar nicht n gehört werden, was natürlich dem Aberglauben der Negerstämrae ach Vorschub leistet. Dem erwähnten Geographen ist persönlich ikalischer Sand bekannt von Darsser Ort an der Ostseeküste, von der rado- Wüste, vom Kap Hatteras, von der westindischen Insel Inagua, Kap der guten Hoffnung; in der südwestafrikanischen Wüste Namib er die gleichen, tönenden Dünenhügel gefunden, wie Lenz in der ira (s. 0. S. 25). „Schreienden Sand** kennen die Neger an der igo-Küste ; natürlich behält er diese Eigenschaft nur solange, als ihn t die Tropen regen gründlich durchfeuchtet haben. Herrn Prof. huel-Loesche schuldet der Verf. aufrichtigen Dank für die um- reichen Mitteilungen, durch welche ersterer die vorliegende Unter- ung wesentlich gefördert hat. Nicht unerwähnt soll auch bleiben, Schnee, wenn er infolge extremer Kälte körnig geworden ist, sich tisch ähnlich wie Sand verhält. Payer berichtet (R. Andree, Kampf um den Nordpol, Bielefeld-Leipzig 1880, S. 263) von Franz >hs-Land: „Dort, wo der Schnee in massigen Wehen liegt, sind diese '^artig und scharf berandet, und der Schritt wiederhallt auf ihnen •^ rommelton ■* — offenbar eine ganz analoge Erscheinung.
15*
212 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Juli 1901,
kommt, die einen deutlich ausgesprochenen musikalischen Cha rakter an sich tragen, was beim tönendem Sande nicht, ode doch nur ausnahmsweise, der Fall war. Eine klar erkennbar Bezeichnung für solche Tonbildungen fehlt; wenn wir yo! musikalischen Naturklängen sprechen, so hoffen wir fä diese Namenwahl durch den Inhalt des folgenden Abschnitte die Berechtigung darthun zu können.
II. Musikalische Naturklänge.
Das Material dieser Abteilung, welches freilich nur partie und bedingt die Unterlagen für eine kritische Bearbeitung dai bietet, ist ziemlich reichhaltig. Um die Sammlung desselk< machten sich verdient einige Abhandlungen von Schi ei den, Springer*) und Carus Sterne,^) und zumal die letztgenann will ernsthaft beachtet sein, weil sie sich eine Scheidung i zumeist bunt durch einander gewürfelten Angaben nach fest Grundsätzen zum Ziele gesetzt hat. Gewisse gar nicht näl kontrollierbare Vorkommnisse, über die nur zufallige, soi nicht bestätigte Nachrichten vorliegen, scheiden wir von voi herein aus.*) Wenn dies geschieht, so verbleiben für ei
^) M. J. Schieiden, Studien und populäre Vorträge, Leipzig 18 S. 116 ff. („Die Töne in der Natur").
2) Springer, Die sonoren Naturerscheinungen im Weltall, 1 Natur, (2) 6. Jahrgang, S. 223 ff.
3) Carus Sterne (Ernst Krause), Musik der Berge und Thal Wälder und Wüsten, Gartenlaube, 1882, S. 702 ff.
*) Dahin gehören z. B. die Seufzerklänge, welche man auf ein» Berge bei Granada hie und da hören will und ,el ultimo sospiro ( Moro* — des letzten Maurenkönigs Boabdil — genannt hat (W. Irvin Chronicle of the Conquest of Granada, 2. Band, London 1850, S. 8 hierher eine Nachricht des alten Missionars G. B. Schwarz (Reise Ostindien, Heilbronn 1751, S. 26) von dem eine eigentümlich tosen Musik machenden „ Teufelsberge " nächst der Kapstadt; hierher endli gewisse, halb ins Bereich der Gespenstergeschichten einschlagende I Zählungen aus Frankreich, welche Monnier und Vingtrinier (Tra( tions populaires comparees, Paris 1854, S. 50 ff.) mit grossem Eifer g sammelt haben. Klagende Stimmen vernehme man hie und da imJnr
S, Günther: Akustisch-Geographische Probleme, 213
fntersuchung, die exakt vorzugehen bestrebt ist, wiederum Irei verschiedene Erscheinungskomplexe übrig. Wir meinen erstmalig die musikalischen Töne in abgeschlos- lenen Thälern, nächstdem diejenigen in Wäldern, an 4ritter Stelle die Töne, welche zerklüfteten Felsen zu ent- «hfeien scheinen. Dass eine scharfe Grenzlinie zwischen den fai Kategorien nicht gezogen werden kann, dass zumal die 'iffiter die beiden ersten Klassen fallenden Erscheinungen sich ursächlich nahe berühren, leuchtet ein. Wir folgen, da die wissenschaftliche Terminologie sich des Gegenstandes noch kaum «u bemächtigen begonnen hat, der populären Ausdrucksweise ^d sprechen von singenden Thälern, singenden Wäldern und »ngenden Felsen.
a) Singende Thäler. Die Ermittlungen Carus Sternes kaben ergeben, dass die erste Andeutung, die hier einzubeziehen Kt, auf den Schweizer Scheuchzer, den Begründer der physi- kalischen Geographie der Alpen, zurückgeht. In das Glarner
8*^irge bei Pontarlier, und zwar erinnerten dieselben abwechselnd an ■^schliche Töne und an „des coups d'archet sur des cordes sonores*. ™ere ^erieurs** seien in den östlichen Departements nichts ungewöhn- uches, wie z. B. „l'esprit de Cri-mont'* am Doubs. Etwas zuverlässiger ist »ohl (Stimmen in der Luft, Das Ausland, 1830, Sp. 1087) der Bericht 'Uies Reiaenden, der im Herbste 1828 den Pass „Porte de Venasque** in den ^Kenäen überstieg. Er erzählt, die Luftströmung: habe ihm vom Berge ■aladetta her „einen dumpfen, langsamen, klagenden, der Windharfe Wichen Ton* zugetragen, und zwar sei die Luft ziemlich ruhig, der Iimmel wolkenlos gewesen; später, als er den gleichen Weg nochmals 'emacht, sei die Sonne hinter Wolken gestanden, und Töne hätten sich Jcht mehr hören lassen. Nach Springer (S. 255 flf.) habe man unbe- timmte Kunde von ähnlichen akustischen Phaenomenen aus Griechen- ^^". China, der Tartarei. Wenn auch Schweden in diesem Zusammen- böge genannt wird, so wird es sich zeigen, dass es mit den dortigen '^turklängen eine ganz andere Bewandnis hat. Der gleichen — leider •^'genaue Zitate zumeist verzichtenden und etwas allzu kompilatorischen ~ Zusammenstellung sei entnommen, dass, einer Notiz im „Magazin ^^toregque* zufolge, ein Engländer 1852 in der Wüste deutlich ein zehn "öuten andauerndes Geläute, wie von Kirchenglocken, bemerkt habe, ^er dürfte fraglos an den tönenden Sand der Dünenhügel zu denken sein.
214 Sitzung der math^-phys. Classe vom 6, Jtüi 1901.
Hochgebirge eingebettet liegt ein kleines Hochthal, die Sandalp, und von ihr berichten^) die Hirten, dass sie zu Zeiten dort oben „den angenehmsten Wettkampf musikalischer Töne" u hören bekämen. Auch jetzt noch, zweihundert Jahre nach Scheuchzer, hat sich diese Ueberlieferung bei den Alpen- bewohnem erhalten. Carus Sterne stellt diesem Falle einen zweiten zur Seite, der sich auf das Siegerland (Provinz West- falen) bezieht, über den jedoch irgend zuverlässige Nachrichtei nicht vorzuliegen scheinen. Etwas festeren Boden bekommoi wir unter die Füsse, wenn wir des singenden Thaies an dtf steierischen Koralpe gedenken, insofern wir von den dortigeft Verhältnissen eine vertrauenswürdige, Sinn für Naturbeobach- tung bekundende Beschreibung*) zur Verfügung haben.
Der betreffende Gebirgszug trennt auf eine grössere Stred» auf seinem Kamme Steiermark und Kärnten. Oanz nahe da Grenze befindet sich eine kleine Mulde, auf drei Seiten töI Felsen umgeben, und wenn man diesen fast abgeschlossenfli Raum betritt, dringen eigenartige, leise Töne, die jedoch einen ganz harmonischen Eindruck hervorrufen, zu den Ohren dei Besuchers. Sowie sich stärkerer Wind erhebt, erlischt & Hörbarkeit der Töne. Nach der Ansicht Mallys ist der Ur- sprung jener in einer Quelle zu suchen, welche in der Näb des Gipfels des Speikkogels, des höchsten Punktes im Koralpen- zuge, entspringt und von dort mit vernehmlichem Rauschei über das SteingeröUe hinrieselt; die Felswände wirken al Reflektoren und vereinigen die diffusen Geräusche innerhall eines kleinen Fokusraumes, wo man also musikalische Klang vernimmt.
Diese Erklärung trifft aller Wahrscheinlichkeit nach ds Richtige. Indess bedarf es doch einer etwas eindringendere Analyse des Sachverhaltes, denn bewegtes Wasser kann, vo
^) J. J. Scheuchzer, Itinera per Helvetiae alpinas regionea, 2. Bftö Leiden 1723, S. 186.
2) Mally, Das Geläute in der Schwanbergeralpe, eine akustiÄ< merkwürdige Erscheinung, Steiermärkische Zeitschr., (2), 2. Jahrgai (1835), S. 4 ff.
8, Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 215
im gewöhnlichen, unbestimmten Brausen natürlich abgesehen, ich zwei Richtungen hin akustische Wirkungen hervor- ringen. Mit den im engeren Sinne so genannten Wasser- ftUtönen haben wir es im gegenwärtigen Falle mutmasslich öeht zu thun; von ihnen wird gleich nachher speziell die Rede m müssen. Wohl aber dürfte jene Tonbildung in frage bmmen, auf welche durch den feinsinnigen Akustiker Oppel Ke Aufmerksamkeit gelenkt wurde; er ist, wo nicht der eigent- iche Entdecker der Reflexionstöne, so doch derjenige, der Herst deren Entstehung eingehend untersucht und die ver- chiedenen Möglichkeiten unterschieden hat.^) Die erste Art olcher Töne tritt in die Erscheinung, wenn in der Nähe eines ütters eine Lufterschütterung stattgefunden hat, denn dann ort man neben dem scharf ausgesprochenen Hauptklange einen ch mit diesem kombinierenden Reflexionston, dessen Höhe isch abnimmt. Was die zweite Art von Reflexionstönen an- ngt, so besteht deren einfachste Erzeugung darin, dass man it hinlänglich starkem Schritte durch eine enge Gasse geht; irch Zurückwerfung des Schalles von beiden Wänden ent- eht ein wirklicher Ton, der übrigens ebenfalls an Höhe und Ärke ziemlich schnell sinkt. Diese letztere Gruppe von Tönen eht mutmasslich, obwohl Pfaundler einige Bedenken hegt, in 4em Zusammenhange mit derjenigen, auf deren Vorkommen >r Innsbrucker Physiker Baumgarten durch eine zufällige Wahrnehmung aufmerksam wurde.*) Die diffusen Reibungs-
*) Oppel, Beobachtungen über eine neue Entstehungaweise des )ne8 und Versuch einer Theorie desselben, Ann. d. Pbys. u. Chem., ■• Band (1855), S. 357 fF.; Beobachtung einer zweiten Gattung von eflexionstönen nebst Andeutungen über die Theorie derselben, ebenda, )1. Band (1857), S. 165 ff. In neuer Beleuchtung stellt die OppeTsche ehre von den Reflextönen jene Abhandlung v. Fischer-Benzons w, deren oben (S. 15) Erwähnung gethan worden ist. Dort ist auch von «flextoen die Rede, die man auf der grossen Freitreppe der Walhalla emehme.
^) Baumgarten, Töne durch Reflexion von Geräusch mit gleich- aWgem Schallfalle, Mitteil. d. Naturwissensch.-Mediz. Ver. zu Inns- >nick, 1877. Pfaundler hat gezeigt, dass und wie man diese Reflexions-
216 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 6. Juli 1901,
geräusche, welche durch das einigermassen gestörte Hinweg- fliessen des Wassers über loses Gestein ausgelöst wurden, er- fahren infolge der Reflexion einerseits eine Verstärkung imd andererseits auch eine Dififerentiierung in dem Sinne, dass sich ein bestimmter Ton losschält, der natürlich, angesichts dar Vielzahl der bedingenden Einflüsse, weder an Höhe noch an Klangfarbe konstant bleiben kann. Das ist Oppels Quellton. den man in unmittelbarer Nähe von Quellen in felsiger Um? gebung leicht zu hören Gelegenheit bekommt. Durch die» Entdeckung, welche von dem Vorkommnis im steierischen 6e birge ganz unabhängig zustande kam, ist für dieses letzter eine völlig zureichende Begründung ermöglicht worden.
ß) Singende Wälder. Ungleich weniger günstig i* es mit den Erscheinungen bestellt, welche nun in dieser Unte^ abteilung ihre Erörterung finden sollen. Auch für sie 15s sich ein sehr alter, der Diskussion freilich so gut wie gB entrückter Beleg beibringen. Der Engländer Gervasius r Tilbury, der für den Kaiser Otto IV. zu Anfang des XUI. Jal hunderts unter dem Titel „Kaiserliche Mussestimden** ein dida tisches Tendenzwerk verfasste, weiss von einem Walde bei c Stadt Carlisle zu melden,^) der eine Merkwürdigkeit in si schliesse. In der Mitte dieses Waldes befinde sich ein v Bergen umrandetes Thal, neben der grossen Heerstrasse, u in diesem vernehme man regelmässig „zur ersten Stunde d Tages" einen süssen Ton, wie von fernem Glockengeläute; d(
töne, die der zweiten OppeTschen Gattung doch mindestens sehr na stehen, an der Sirene nachbilden kann. ,Man beobachtet sie, wenn m zwischen einem rauschenden Bache oder Flusse — auch das Geräusc eines Eisenbahnzuges ist verwendbar — und einer Mauer, von letztei ungefähr 1 m entferat, steht. Jeder Schallimpuls triflft das Ohr zweim direkt und reflektiert. So entsteht ein Ton, der sich bei Annäheru: an die Wand erhöht, bei Entfernung von derselben vertieft" (Pfaundle üeber die geringste absolute Anzahl von Schallimpulsen, welche z Hervorbringung eines Tones nötig ist, Sitzungsber. d. Wiener Akadem d. Wissensch., Math.-Phys. Kl., 8. November 1877).
^) Gervasius von Tilbury, Otia imperalia, ed. Liebrech Hannover 1856, S. 34.
S, Crünther: Akustisch- Geographische Probleme. 217
Mb hätten die Eingeborenen dem einsamen Orte in ihrer Sprache einen bezeichnenden Namen („Laikibrait") gegeben.^) Für unmöglich braucht man die zunächst etwas abenteuerlich inmutende Mitteilung keineswegs zu halten, wenn man sie mit ka Thatsachen in Parallele stellt, die als gesichert gelten tonnen. Es sind allerdings nur zwei ähnliche Fälle, aber diese ^werden durch anscheinend unverwerfliche Zeugnisse gestützt. Zunächst sehen wir uns in den badischen Schwarzwald yereetzt. Schon vor langer Zeit, nämlich bald nach dem dreissig- jttrigen Kriege oder in der zweiten Hälfte des XVII. Jahr- kunderts, wurden, wie wir in dem grossen geschichtlich-geo- graphischen Sammelwerke Kolbs*) über Baden lesen, Soldaten, ^e in einer unfern des Städtchens Triberg gelegenen Wald- ig ficnlucht kampierten, durch einen sonderbaren Gesang, der aus den Wipfeln der Bäume zu kommen schien, überrascht und stifteten deshalb eine Votivtafel, die anscheinend zu Anfang ^ XIX. Jahrhunderts noch vorhanden gewesen ist. Inwieweit * die von Kolb versuchte Deutung*) dieses Schallphänomenes *orrekt ist, das wollen wir einstweilen noch dahingestellt sein "®^ö. Jedenfalls erheischt volle Beachtung der Umstand, dass «asselbe einen konstanten Charakter besass und nach mehr "önn hundert Jahre nachher nicht verschwunden war. Es ^are jedenfalls von Interesse, zu erfahren, ob auch jetzt noch aas Triberger Thal seine musikalische Eigenschaft beibehalten ^^^y dass aber schon geringfügige Veränderungen des Land-
*) Carlisle liegt an der Grenze von Schottland. Das keltische P'^chgebiet, jetzt auf Wales und den äussersten Norden der Insel *^^*^ränkt, hatte vor siebenhundert Jahren noch eine die heutige weit ^*"t;reffende Ausdehnung.
^) J. B. Kolb, Historisch-statistisch-topogi-aphisches Lexicon von ^^ Orossherzogtum Baden, 3. Band, Karlsruhe 1816, S. 300 ff.
^) „Die dortige Bergkluft, die durch ein schnell abbrechendes
^Heck der auf- und abströmenden Luft einen eigenen widerstrebenden
*^ gab, bildete in den Wipfeln der Tannen und des Gesträuches
Natürliche Aeolsharfe, deren Töne durch den gegenüber strömenden
^bsich begleitet wurden. Noch jetzt kann man bei windiger Nacht
^n Aeolsgesang im Konzerte mit dem Waldstrora spielen hören".
218 Sitzung der matK-phys. Classe vom 6, Juli 1901.
Schaftsbildes, wie etwa Abholzungen, einen tief gehenden fluss auf die Akustik einer Gegend auszuüben vermögen, ist bekannt und oben^) bereits betont worden.
Nunmehr gelangen wir zu dem dritten, bekanntesten und viel umstrittenen, jedoch noch keineswegs vollkommen aufge- hellten Beispiele dieser Art, zum singenden Walde oder singenden Thale von Thronecken. Wie erwähnt, kann man die Erscheinung gleich gut unter unsere erste oder zweite Rubrik bringen, denn es ist ein einsames Waldthal, in dessei Grenzen sich die Ereignisse abgespielt haben. Thronecken, der gewöhnlichen Annahme nach das ,Tronje** des Nibelungen- liedes, ist ein kleines, im südwestlichen, Hochwald genannteö Teile des Hunsrück-Gebirges gelegenes Dorf, in dessen Flu der Malborner-Bach sich mit dem zur Mosel fliessendefl Thron-Bache vereinigt. Zwei Kilometer oberhalb ergiessl sich in den Malborn er Bach der Röder-Bach, dessen mi^ dichtem Walde bestandenes Thal sich gegen den höchsten PunW der Rheinprovinz, den Erbeskopf (815 m), hinaufzieht. Diese Röderbachthal nun ist der Schauplatz der Geschehnisse, welch ihm den auch vom Volksmunde und von der Reiselitteratur^ adoptierten Namen des singenden Thaies verschafft haben.
Was wir von den Dingen wissen, verdanken wir grösstex teils dem vor wenigen Jahren verstorbenen Ingenieur H. Ret leaux aus Remagen. Es kommen zunächst drei Publikationea desselben in frage; allein auch davon abgesehen, hat er et«* einundeinhalb Dezennien daran gesetzt, das Rätsel, zu dess^
1) Vgl. 0. S. 31.
2) Hochwald- und Hunsrückf (ihrer, Kreuznach 1899, S. 153 ff.
^) H. Reuleaux, Wandernde Töne, Sitzungsber. d. Verhandl. Naturhistor. Ver. d. Rheinlande, 37. Band, S. 161 ff.; Zwei Reflexionstön ebenda, 41. Band, S. 278 ff.; Das singende Thal bei Thronecken, ein Hocl waldrätsel, Koblenz 1880. Die an letzter Stelle genannte, selbständifi Schrift enthält nebst der Gesamtheit der vom Autor angestellten Be< bachtungen auch dessen Versuche, sich auf dem weiten Felde der the< retischen Akustik zu orientieren und zu einer befriedigenden Interpr« tation der mysteriösen Erscheinung durchzudringen. Wir beziehen ^^ vorwiegend auf diese Arbeit.
8. Ch&nther: Akitstisch'Geographische Probleme, 219
Mitwisser ihn der Zufall geraacht hatte, zu lösen, und die hiezu dienlichen Materialien, welche er zu dem Ende gesammelt hatte, und welche in unserer folgenden Darstellung gebührende Berücksichtigung gefunden haben,^) erreichten einen geradezu rtainenswerten Umfang. Es darf deshalb auch die Hoflfhung ii^esprochen werden, dass das Problem, welches von Reuleaux tellurischen Physik vorgelegt ward, an dieser Stelle soweit ;|efordert wird, als dies unter den obwaltenden Verhält- [jliissen überhaupt möglich erscheint. [ An einem schönen Spätherbsttage hielt der Oberförster von ,Malbom im Hoch Waldreviere eine Hirschjagd ab, an der u. a. ^iuch Reuleaux teil nahm. Die Schützen wurden im unteren Eöderbachgrunde postiert, und während unser Berichterstatter [ rukig dastand, hörte er plötzlich ein Klingen in der Luft, wie : von fernem Glockenläuten. Vereinzelt blos liessen sich an- Änglich tiefe Glockentöne vernehmen, die vom Thaleingange W das Thal hinaufzogen und „in prächtiger Schwellung** Iwgsam vorbei wallten, so dass man den Ton selbst und zu- gleich das Mitklingen der Oktave ganz deutlich zu erkennen imstande war. Das unterste Ende des Thaies weist eine Ver- engerung auf; dem entsprechend breiteten sich von der Eng- stelle ab die Tonwellen fächerförmig aus. Die Luft war bewegt, aber von dem Brausen des "Windes hoben sich die sonoren Glockenklänge unverkennbar ab. Der weitere Verlauf ^er Jagd zwang den Beobachter, seinen Standort zu verlassen, ^öd damit hörte auch bald das Weiterbestehen des Klang- ptaenomenes auf; als jedoch nach fünf Stunden das Jagen sich ^eder dem unteren Thale zuwandte, traten auch die Töne Nieder hervor, und Reuleaux konnte ganz gut feststellen, ob
^) Durch die j^rosse Freundlichkeit von Frau und Fräulein Reuleaux, denen beiden er an diesem Orte seinen aufrichtigen Dank für das ihm geschenkte Vertrauen aussprechen möchte, wurde der Schreiber dieser teilen in den Stand gesetzt, alle Aufzeichnungen des Verstorbenen und den von ihm in der fraglichen Angelegenheit geführten, umfangreichen '^nefwechael einsehen zu können ; auch wurde ihm anstandslos gestattet, diese Daten für die vorliegende Abhandlung nach Belieben auszunützen.
220 Sitzung der tnathrphys. Glosse vom 6. Juli 1901,
eine Luftschwingung gerade über ihn hinwegging oder aber eine mehr seitliche Richtung einhielt.
Ehe wir an die Frage herantreten, wie denn wohl ein solches Wandern tönender Luftwellen zustande kommeii könne, haben wir zuerst uns über die Realität der Reuleaux- sehen Beobachtung selbst ein Urteil zu bilden. Dieselbe blieb nämlich keineswegs unangefochten. Zumal einzelne Forsfte- amte verfochten energisch die Annahme,^) dass irgend eiai Täuschung vorgekommen sein müsse ; gerade dem Forstpersom welches das Röderbachthal zu allen Tages- und Jahreszei durchstreife oder kreuze, hätte unmöglich eine so auffalleiA Schallerscheinung verborgen bleiben können. Dem gegenüber sah sich Reuleaux in die Notwendigkeit versetzt, Ohrenzeugei ausfindig zu machen, und es ist ihm dies auch vollauf geglückt.*)
^) Kritiken der Reuleaux'schen Schrift gaben Grunert und Borf greve (Forstliche Blätter, 1880, S. 276 ff.). Es müsse, hiess es, öb« Täuschung inmitte liegen; vielleicht könne man an verwehte Homsign^Je oder an das von Zugvögeln bewirkte Geräusche denken. Es fiel dem Angegriffenen nicht schwer, sich solcher — doch wirklich recht g** zwungener — Einwände zu erwehren (Noch einmal „Das singende Tb« bei Thronecken'*, ebenda 1880, besonders paginierter Anhang). InsbesoB* dere wies er darauf hin, dass eben nur durch ein seltenes Zusammc*' wirken der verschiedensten begünstigenden Momente die Tonbildung ^ charakteristische Formen annehmen könne, und dass man mithin g^ kein Recht habe, dergleichen als etwas sich regelmässig Wiederholende zu betrachten.
*) lieber die sowohl in der bezeichneten Antikritik als auch in d^ Reuleaux'schen Aufzeichnungen enthaltenen Zeugenberichte mögen no^
»
ein paar Worte hier Platz finden, um unser positives Urteil von vorbJ zu rechtfertigen. Der Förster Haak hatte zwar selbst keine direkt Kenntnis, wusste aber wohl, dass abergläubische Leute die „Geiste stimmen** des Roederbachgrundes mit den um das alte, unheimlicl Schloss von Thronecken schwebenden Sagen in Verbindung bracht^^ Ebenfalls aus dem Volksmunde hatte Oberförster Helbron seine EenntDi von dem der Ausdruck „singendes Thal** herrührt. Dies setzt ausse Zweifel ein Brief, den am 29. Dezember 1879 der Bürgermeister vo Remagen, v. Lassaulx, an Reuleaux richtete. Oberförster Wer bau r in Thronecken nannte sein Thal ein „singendes, pfeifendes oder musi zierendes*. Femer schreibt der Forstkandidat Gericke aus Greifswal'
•■
S. Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 221
Will man nicht überhaupt die Regeln ausser Kraft treten lassen,
BAch denen die Konstatierung von Naturereignissen auf dem
...Wege der Zeugenaussage gemeiniglich erfolgt, so wird man
mgestehen müssen: An der Thatsächlichkeit spontaner
langphaenomene von musikalischem Typus im Röder-
ihthale lässt sich vernünftigerweise nicht zweifeln.
Verständnis des Thatbestandes stehen hingegen sehr grosse
iwierigkeiten im Wege.
Zwei hervorragende Physiker, an die sich Reuleaux um Jehrung wandte, erklärten, wie ihre Zuschriften an den Frage- sUer beweisen, eine exakte Erklärung für unmöglich. Ein itter deutete an, dass jene Reflexionstöne, deren weiter oben rähnung geschah, wohl irgendwie im Spiele sein könnten, Aber klargestellt sei der Zusammenhang in keiner Weise. Wir Wollen versuchen, die überhaupt als möglich zu denkenden Äategorien der Prüfung zu unterziehen, um so vielleicht durch Ausschluss derjenigen, die nicht als brauchbar erfunden werden, ier Wahrheit näher zu kommen.
Aehnlich, wie bei dem Triberger Phaenomene, könnte man I «e Aeolsharfe als ein Analogon heranziehen. Schon deren «ffinder Kirch er legte Gewicht darauf,^) dass dieses originelle Musikinstrument nicht durch einen wie immer gearteten künst- «chen Mechanismus, sondern einzig durch die Aktion des '^'ndes zum Tönen gebracht werde. Man kann sich somit
*^1» er habe die typischen Töne am 8. Dezember 1880 zwischen Fuchs-
iteijx xxnd Erbeskopf, also gerade am kritischen Platze, vernommen. Noch
^^'^chtiger sind drei Schreiben (4. Juni, 22. Juni, 5. Juli 1880) des be-
. ^'^^ten Bismarck 'sehen Forstmeisters Lange aus Friedrichsruh, der
** ^hre 1852 im oberen Hunsrück stationiert war und dort diese , wilde
^Q* mehrfach zu hören bekam. Von Reuleaux' Jagdgefährten an
J '^önj Herbsttage des Jahres 1880 hatte der Gasthofbesitzer Bl in zier
^ Oodesberg, dessen Anstand ein benachbarter war, ganz die gleichen
**^iTiehmungen gemacht.
*) Athanasius Kircher, Phonurgia nova, Kempten 1573, S. 145 ff. ■ *^^in machinam harmonicam automatam concinnare, quae nulla rota- » follium, vel cylindri phonotactici ministerio, sed solo vento ed aere ^'^^cnicum sonum excitet".
222 Sitzung der tnathrphys. Classe vom 6. Jtdi 1901,
auch ganz wohl denken, dass ohne jedes Zuthun des Mensdm gelegentlich einmal eine derartige Tonbildung statt hat, wem! Stäbe oder Saiten, die einer Versetzung in longitudinale oirj transversale Schwingungen fähig sind, von ungefähr dem Wii ausgesetzt werden. Wie jedoch das Wegstreichen desWinJ über die Bäume statt des diffusen Geräusches, das jedei kennt und als etwas Selbstverständliches betrachtet, wirl Töne hervorbringen soll, bleibt ganz ungeklärt. Nehmen aber auch für den Augenblick an, es liege eine solche Tc bildung im Bereiche des Möglichen, so müsste man sol seufzende Klänge, wie sie der Windharfe eigentümlich recht häufig, in jedem vom Winde durchzogenen Walde höi und daran ist doch nicht zu denken. Zudem will sich solchen Theorie auch die Beschaffenheit der vernommeni Töne durchaus nicht fügen. Dieselben waren voll, kraf harmonisch, aber es fand kein rascher Wechsel statt; dageg«1 weiss jedermann, der einer Aeolsharfe gelauscht hat, dass dies« förmliche Melodien, und zwar mit allen möglichen AenderungÄJ der Tonstärke, entströmen. Endlich ist der Ort, von dem wi Klänge kommen, im letzteren Falle ein stabiler, während Reuleaux ein deutliches Hin wegziehen der tönenden Luft» wellen über seinen Standort und ein Hervorkommen derselbe» von einer ganz bestimmten Oertlichkeit her konstatieren konnte« Es scheint deshalb diese Hypothese, so sehr sie sich auch deift ersten Eindrucke empfehlen mag, aufgegeben werden zu müssen.^
') Ein Aufsatz von Sorel (Correspondance sur les sons produitsp*' le vent, La Nature, 1883, I, S. 206 ff.), der übrigens die von Carfl« Sterne mitgeteilten Thatsachen, den , Glockenberg* und die MemnO*^' Säule ohne gehörige Kritik zusammenwirft, will Reibungstöne als di< wesentliche Veranlassung aller auffölligen Schallerscheinungen hinstell^^ Wenn man einen Stab so halte, dass sich der Wind an ihm bricht, ^ vernehme man stets einen leisen Ton, wie von einer fernen Glocke, tU* so seien auch jene spontanen Naturklänge, von denen die Litteratur b^ richte, nur Folgen der sich in sehr verschiedener Weise bethätigend^ Windreibung an Hindernissen. In so bequemer Art und Weise werd^ sich die verwickelten Ereignisse, die der genannte Autor im Sinne hd-^ schwerlich als Ausüuss ein und desselben mechanischen Faktums a*^ fassen lassen.
S. Chinther: Akustisch-Geographische Probleme, 223
¥t& das Triberger Phaenomene betrifft, so gestattet dasselbe, % eben doch nur eine ziemlich vage Schilderung vorliegt, eine gleich gesicherte Entscheidung; immerhin aber sprechen «nche Anzeichen dafür, dass die unerklärlichen Schall- jrscheinungen im Schwarzwald wie im Hunsrück auf Ib nämliche Ursache zurückgeführt werden müssen. ^ Reuleaux selbst hat sich eingehend mit Spekulationen ber die von ihm entdeckten Hochwaldtöne beschäftigt und zu iesem Zwecke die Lehre vom Schalle nach allen Richtungen archgearbeitet, um Anknüpfungspunkte oder Analogien auf- ifinden. Für ihn, den mit den örtlichen Verhältnissen bestens ertrauten, unterlag es von allem Anfang an keinem Zweifel, ISS die Konfiguration des Thaies von ausschlaggebender edeutung sei, dass also nicht der Wald, sondern das Thal 18, Singen* verschulde. Nicht als ob das Thälchen eine be- >ndere Plastik besässe, so dass man etwa auf die Reibung er bewegten Luft an Felsecken u. dgl. als auf den eigentlichen rund verfallen könnte.^) Dasselbe hat ganz einfach eine tuschelform, deren Mundstück die enge Furche des unter- <en Laufes des Röderbaches darstellt. In diesen Kanal glaubt euleaux den Sitz der Tonentstehung verlegen zu müssen, Ime sich übrigens, wie er selbst einräumt, von deren Wesen ne zufriedenstellende Rechenschaft geben zu können. Am ahrscheinlichsten dünkt es ihm noch, dass bei einer ganz stimmten Richtung der Wind mit grosser Energie in die Qge hineingepresst werde, und dass dort eine Luftstauung Qtrete; diese wieder soll zu „Explosionen* führen, „aus denen G eigentümlichen, selbsttönend werdenden Luftgebilde hervor-
*) Jeder derartige Erklärungsversuch, wie er ja nicht ferne liegt ^ auch schon aufgestellt wurde (Günther, Geschichte der anorgani- ^^n Naturwissenachaften im XIX. Jahrhundert, Berlin 1901, S. 555), ^^ hinfällig, wenn man die sanfte Profilierung des in Rede stehenden '"ifgea kennt. Irgendwelche scharf hervortretende ünstetigkeiten fehlen ^ die Thäler begrenzenden Flächen, und es kommt auch angesichts •* stark entwickelten Forstknltur der anstehende Fels nur selten dem ^öderer zu gesichte.
224 Sitzung der mathrphys, Classe wm 6. Juli 1901,
gehen. ** Hier nun stehen wir vor einem physikalischen Bäteelt und dass dem so, wird auch von Reuleaux bereitwillig zuge- standen. Ebenso vermag er sich keine rechte Vorstellung m machen von der Art des Fortschreitens der im Engpasse ge- bildeten Schwingungen;^) „von wandernden Tönen oder tönoi- den Bahnen in der Luft lehrt die Physik absolut nichts.* Uni nur solche könnten sich mit seinen eigenen Beobachtungen ver* einbaren lassen. Reuleaux denkt an „selbsttönende Luftge^j bilde** oder „tönende Körper*, die sich fortbewegen; kurz sagt, an rotierende Luftwirbel von zylindrischer Gestall in deren Inneren, wie bei Tromben, die atmosphärische Vc dünnung weit fortgeschritten sei. Carus Sterne weist, na] diesen Bewegungsmodus verständlich zu machen, auf die be*i kannten Wirbelringe von Tait*) hin. So wahr es ist, da« diesen Rauchwirbeln die Eigenschaft der Erhaltung ihres Zu- sammenhanges während ihres Fortschreitens durch die Luft zukommt, ebensowenig ist davon bekannt, dass solche Wirbel- bewegungen ins Tönen geraten können. Es würde das auch Allem widersprechen, was wir von Tonerregung wissen.
Ganz allgemein betrachtet, stellen uns die Wahrnehmungen im „singenden Thale* vor zwei ganz verschiedene Fragen: Wo sind die Töne entstanden, und wie pflanzen sie sich fort? Was den zweiten Punkt angeht, so glauben wir an keine neue, unbekannte Gesetze der Naturlehre zu Hilfe neh- mende Bewegungsform appellieren zu müssen, sondern es wur- den eben die auswärts gebildeten Töne durch die herrschende Luftströmung in das Thal hineingetragen, und dass, nachdem
^) Reuleaux, Das singende Thal etc., S. 16 ff.
2) Tabakrauchversuche, die mit denjenigen von Tait die alle^ grösste Aehnlichkeit haben, wenn auch der Zweck, den der Experimen- tator im Auge hatte, ein ganz verschiedener war, hat wohl zuerst Sond- hau 8 8 angegeben (üeber die Form von aus runden Oeffnungen tretenden Luftströmungen, Ann. d. Phys. u. Chem., 85. Band (1852), S. 58ff.). D»^ Wirbelnatur der niedrigen Rauchzjlinder, welche sich beim Erschüttern des mit Rauch gefüllten Kästchens aus einem in dessen Vorderwand angebrachten Loche losringen, musste natürlich damals noch unberück- sichtigt bleiben.
8, Günther: Akustisch- Geographische Probleme, 225
bewegte Luft den Durchpass zurückgelegt hatte, eine föcher- mige Ausbreitung der Ton wellen und jenes Wogen der ne stattfand, welches wir von den Orgeln kennen, und welches b einfach durch die unvermeidlichen Schwebungen erklärt, ; ebenfalls nichts Verwunderliches an sich.
Dass von Reuleaux die Tonbildung in die Engstelle des derbachthales verlegt wird, haben wir soeben erfahren. Die leren Umstände des Vorganges entziehen sich aber ganz »rar Kenntnisnahme, denn wie durch Luftstauung eine jähe »chgewichtsänderung, vergleichbar einer Explosion, herbei- Mirt werden soll, ist nicht wohl abzusehen. Handelte es b um eine Klamm, um einen Caiion von beträchtlicher Qge, so könnte man möglicherweise noch eher begreifen, dass
stark zusammengepresste Luft mit einer Detonation den isgang verliesse; erstlich aber wäre ein solcher Knall noch ge kein musikalischer Ton, und zum zweiten ist die Thal- ndung, wenn auch vergleichsweise enge, doch sehr weit ent- nt, eine schmale Spalte zu sein, wie man sie aus dem Hoch- )irge kennt. Es bliebe nur wieder übrig, seine Zuflucht zu er Klasse von Reibungstönen zu nehmen, welche von vart*) und Sondhauss*) der Untersuchung unterstellt wor- i sind. Die Experimente des Letztgenannten würde Reu- lux wohl als eine Stütze für seine Anschauungen verwendet )eii, wenn sie ihm nicht bei seinem sonst so fleissigen Durch- sehen der einschlägigen Litteratur zufallig entgangen wären, ömt die Luft durch die OeflFnung eines dickwandigen 6e- äes aus, so kommen nach Sondhauss^) schöne und kräftige Qe von bestimmter Höhe zum Vorschein, indem die pas- sende Luft in longitudinale Oszillationen versetzt wird; je zeitiger die Reibung, umso kräftiger der Ton. Man könnte i diesen Versuchen schliessen, dass distinkte Luftzylinder
*) Savart, Von den Vibrationsphaenomenen beim Ausfliessen von asigkeiten durch kurze Anaatzröhren, ebenda, 90. Band (1853), S. 389 ff.
^ Sondhauss, üeber die beim Ausströmen der Luft entstehenden le, ebenda, 91. Band (1854), S. 126 flP.
') A. a. 0., S. 233 ff. ^^. Sitzangsb. d. math.-phy8. Gl. IG
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226 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 6. Juli 1901,
vom Querschnitte der Oeflfhung, sich abwechselnd verlängerni und verkürzend, sich vorwärts bewegten und für einen BeoV achter, der sich nicht allzu weit von ihrer Fortschreitungs- richtung entfernt befände, den Eindruck hervorrufen könnten den wir aus Reuleaux' lebensvoller Schilderung kennen.
Was aber im sorgfältig vorbereiteten LaboratoriumsYer suche zutriflPt, braucht darum noch nicht für die freie Nata zu gelten. Wir wiederholen vielmehr: Die Beschaffenhei der Gegend gestattet es nicht, die wandernden Tön mit denjenigen zu identifizieren, die Zustandekommen wenn Luft aus einer allseitig geschlossenen Oeffnuni unter namhaftem Drucke austritt. Und was von durcb schlagender Bedeutung ist: Hätte man es mit Sondhauss sehen Reibungstönen zu thun, so müsste, so oft der Wind to länglich lebhaft aus der charakteristischen Weltgegend blies» das Thal ins „Singen** geraten. So verhält es sich aber nicb denn so wenig daran gezweifelt werden darf, dass unter l sonders günstigen Umständen die Töne vernehmbar werd< ebensowenig lässt sich daran etwas ändern, dass nur äusse selten jemand so glücklich ist, den Moment ihres Lautwerdc zu erhaschen. All das scheint uns den Schluss aufzunötig( dass die geheimnisvollen Töne nicht erst im Tha selbst entstehen, sondern ausserhalb desselben g bildet worden sind und erst durch den Wind thalai wärts fortgetragen werden.
Weitaus am nächsten läge es nun zweifellos, das Läui von Kirchenglocken als die natürlichste und verständlich Tonquelle anzusprechen. Pfarrdörfer gibt es in der Run verschiedene; Thalfang, Lückenburg, namentlich aber Malbo könnten in betracht kommen. Zwar liegen diese Ortschaften zi teile reichlich weit von der kritischen Stelle entfernt, alle man weiss, dass sich die Töne oft in Entfernungen fortpflanze an die man vonvornherein kaum zu glauben geneigt wäre.
^) Unter Hinweis auf die Arbeiten von Stokes (On the Effect - Wind on the Intenaity of Sound, British Association of Dublin, 18^
S, Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 227
Zwei Gegengründe zwingen uns indessen, auf diese Deutung der Erscheinung zu verzichten. Die Kirchen des Hochwaldes «itbehren nämlich einerseits, wie wir von Reuleaux erfahren, ier eigentlichen Glocken, indem sie sich mit Glöckchen, denen 4» Dampfschiflfe vergleichbar, behelfen, und andererseits sind & fragUchen Töne auch bei nacht, und überhaupt zu Zeiten tÄihrgenommen worden, in denen Glocken ganz sicher nicht ^"gelautet wurden. Demgeraäss ist es kaum mehr erlaubt, die SiBcheinung mit irgendwelchem Eiugreifen des Menschen in Zusammenhang zu bringen.
Wohl aber hindert nichts, den Sitz der Tonbildung in ^ Wasserlauf zu verlegen, der, aus dem Röderbachthale kommend, der Vereinigung mit einer grösseren Wasserader zu- *tebt.^) Selbstredend liegt auch hier nur eine Hypothese vor,
^^ 0. Reynolds (Refraction of Sound, Philosophical Transactions, 1676, I, S. 315 ff.) hat Reis (Ungewöhnlich weite Hörbarkeit von Tönen, «fklärt durch Windbrechung, Humboldt, 2. Jahrgang, S. 53 ff.) gewisse Wahrungen, die er selbst in dieser Hinsicht gemacht hatte, zu erklären |B«ucht.
*) Die nachfolgenden Betrachtungen entstammen einer Reise, welche
«w Verf. im März dieses Jahres nach Thronecken unternahm, um sich
*** ort und Stelle über die Verhältnisse zu unterrichten. Dieser Zweck
^'^de allerdings nur unvollkommen erreicht. Reuleaux ist der Mei-
''^^S» dass man die meiste Aussicht zu einer positiven Beobachtung habe,
'^^^n man das Thal an einem kühlen Tage einer der beiden Ueber-
^**^8jahreszeiten, und bei ausgesprochenem Südwest, besuche. Diese
"Ci^en Vorbedingungen waren erfüllt; leider aber brachte besagter Wind,
Dach<lem ein paar heitere Tage vorangegangen waren, ein furchtbares,
jeden gründlichen Lokalaugenschein verhinderndes Schneegestöber von
iMt achtundvierzigstündiger Dauer. Man musste also noch sehr zu-
"J^en sein, in einer der kurzen Pausen wenigstens einen allgemeinen
Äinblict in die Terrain gestal tun g gewonnen zu haben. Nebenher musste
"M H|)e^.J^^g lebhafte und sehr weit hörbare, auch durch den heftigsten
*^**i nicht zu übertönende Brausen der Mühlenwehre auf den Ge-
*^^en bringen, ob nicht hier vielleicht der Ursprung der Tonbildung
^^chen sei. Unter den Landesbewohnem gibt es, wie einschaltend
^'^^erkt sei, zwei Parteien. Aufgeklärte Skeptiker, die auch in Dörfern
^^^*it zu fehlen pflegen, stellen die Existenz eines „singenden* Thaies
"^i'haupt in abrede und wollen höchstens eigenartige Echos als vor-
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228 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 6, Juli 1901,
die aber wenigstens als „ Arbeitshypothese* brauchbar ist i dazu dienen kann, eine anscheinend ganz isoliert dastehei Erscheinung in Beziehung zu anderen Vorkommnissen zu sets Ehe wir näher auf dieselbe eingehen, wollen wir zuvor mit den von Wasserfällen erzeugten Tönen beschäftige Dem bereits erwähnten Quellentone, der dem allgemein« Begrifife der Reibungstöne unterzuordnen ist, steht der genet einigermassen verschiedene Wasserfallton zur Seite.
Als Objekt physikalischer Erörterung hat denselben zi der Däne Oersted, der bekannte Entdecker des Elek magnetismus, in sein Recht eingesetzt.*) Er hebt ausdrücl hervor, dass man den leisen Laut, den der Strahl eines Spr brunnens von sich gebe, von dem störenden Plätschern sc sondern müsse. Ein geübtes Ohr vermöge aber diesen Eij ton wohl herauszufinden, und wenn man dann eine auf di Ton abgestimmte Stimmgabel in der Nähe zum Schwii bringe, so werde der Strahl sensitiv, d. h. er verliere, nur der erregte Ton eine genügende Intensität besitze, se Zusammenhang; ein erheblicher Teil des vorher zusami hängenden, klaren Wasserstrahles löse sich in Staubnebel zum Beweise, dass die Schwingungen, die nun in ihrer An tude entsprechend vergrössert wurden, schon vorher im Str enthalten gewesen seien. Angeregt von Oersted, sprach ( Pohl den Satz aus:^) Die von einem fallenden Wasi
banden gelten lassen, wogegen wieder Andere die Thatsache zug und solche Töne auch wohl selbst gehört zu haben versichern.
^) In seinem Bestreben, alle irgend interessanten akustischen Ge stände sich zu eigen zu machen, hatte Reuleauz der mehrfach ziti( Notizensammlung auch viele litterarische Daten über Wasserfalltöne verleibt, ohne jedoch dem Gedanken Raum zu geben, ob diese letzi nicht auch zu dem Probleme, mit dem er sich so angelegentlich befa in Kausalbeziehung stehen möchten.
^) Oersteds Gesammelte Schriften, deutsch von Kannegies 1. Band (Der Geist in der Natur), Leipzig 1850, S. 39 ff. Der betreff Essay führt die besondere Ueberschrift: „Der Springbrunnen.*
^) Pohl, Akustische Briefe für Musiker und Musikfreunde, 1. Bi chen, Leipzig 1853, S. 83 ff.
S, Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 229
strahle ausgelösten Laute sind zusammengesetzt aus einer Menge von musikalischen Einzeltönen, Wie die- selben zustande kommen, liess sich ziemlich gleichzeitig er- gründen, indem Magnus,^) v. Feilitzsch*) und vor allem Tyndall*) die Durchsetzung eines Flüssigkeitsstrahles mit Luftblasen, welcher schon Venturi*) und Buff*) Be- ichtung geschenkt hatten, nach allen Seiten experimentell er- forschten. Tyndall hat^) die Lehre von den sensitiven Strahlen ftucb zuerst systematisch abgehandelt. Die Luftbläschen, welche die tropfbare Flüssigkeit mit sich fortreisst, platzen unaus- g^esetzt an verschiedenen Stellen des Strahles, am meisten natür- lich in der Umgebung seines AuffcreflFens auf ein entgegen- stehendes Hindernis, und diese winzigen Explosionsgeräusche suirunieren sich zu wirklichen Tönen.
Diesen gegenüber war man lange gleichgiltig geblieben.
Es ist das unbestrittene Verdienst zweier zu gemeinsamer Arbeit
▼öi'hundener Brüder, des Geologen A. Heim und des Musikers
E. Eeim, auch diesen im engeren Sinne akustischen Teil der
e von den Wasserfalltönen sorgfältig studiert zu haben.')
^) Magnus, Ueber die Bewegung der Flüssigkeiten, Ann. d. Phys. n. Ohem., 80. Band (1851), S. 1 ff.
') V. Feilitzscb, Ueber den Ausfluss der Flüssigkeiten aus Oeff- nun^en in dünner Wand, ebenda, 63. Band (1844), S. 1 ff.
^) Tyndall, Phenomena of Water Jet, Philosoph. Magazine, (4) 1. Band (1851), S. 176 ff.
*) Venturi, Recherches exp^rimentales sur le principe de la com- munication laterale du mouvement dans les fluides, Paris 1797 (Bulletin "® la Societd Philomatique). Gegen Venturis Ansicht, dass das strö- mende Wasser adhärierende Luft mit sich fortreisse, ist Magnus wohl ^ Schroff aufgetreten.
^) Buff, Einige Bemerkungen über die Erscheinung der Auflösung ^^ gewöhnlichen Strahles in Tropfen, Ann. d. Phys. u. Chem., 27. Band (1832), s. 162 ff. Die im trüben Teile des Strahles enthaltenen Tropfen ^®^a.en durch elektrisches Licht sichtbar gemacht.
®) Tyndall, Der Schall, deutsch von H. Helmholtz und 6. ^^«demann, Braunschweig 1869, S. 292 ff.
'^) A. Heim, Töne der Wasserfälle, Dinglers Polytechnisches ^<^^i^al, 219. Band, S. 344 ff.; E. Heim, Töne der Wasserfölle, Verhandl. ^' Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft, 1874, S. 209 ff.
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230 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 6, Juli 1901,
Die Anzahl der eigentlichen Kaskaden und kräftig rauschenden Gebirgsbäche, die phonetisch geprüft wurden, war gross, und durchweg stellte sich eine nahezu vollkommene Uebereinstimmung des Prüfungsbefundes heraus. Am deutlichsten ist der C Dur-Dreiklang, begleitet von einem tiefen, brummen- den F. Dieser letztere Ton erscheint desto stärker ausgebildet, je grösser die fallende Wassermasse ist; fallt das Wasser hoch herab, so kann man F selbst noch hinter Bergen und Wäldern aus dem dumpfen Getöse heraushören. „Wenn man**, so äussert sich E. Heim, „am Ufer eines rauschenden Wassers ein Lied in anderer Tonart als in C Dur zu singen versucht, dann ent- stehen sehr hässliche Dissonanzen mit dem Wasser.** Die vier Töne C, E, G, F, von denen E sich am wenigsten bemerklicb^ macht, wiederholen sich, zum öfteren in verschiedenen Oktaveft» bei jedem energischeren Wassergebrause. Aus Privatmitteilungei^ von Prof. Pechuel-Loesche geht hervor, dass drei bekannt^ Wasserfalle, der Niagara-Fall, der Yosemite-Fall in Kalifomieti^ und der Regenbogen-Fall auf der Insel Hawaii tiefe Töne, wi^ von einer Riesenorgel, ertönen lassen, wenn man nur seine^ Standpunkt in hinreichender Entfernung gewählt hat, um ie^ wuchtigen Dreiklang nicht durch das Plätschern und Tose^ gestört zu erhalten. Auch die bekannte Kalema-Brandung a.^ der Küste von Nieder-Guinea bringt (Pechuel-Loesche, D£^ Loango-Expedition, 3. Band, I, Leipzig 1882, S. 20) zur Nacht>- zeit, wenn andere Naturstimmen schweigen, regelrecht rhytt-" mische Klänge hervor.
Wie nun sollen diese Wassertöne das Reuleaux'sct^ Phänomen zuwege bringen? Im Röderbachthale selber sin^:^ Wasserfälle nicht vorhanden; wohl aber liegen an der kurze*^ Laufstrecke des Baches zwischen seinem Austritte aus der mehr^ — ' genannten Engstelle und seiner Einmündung bei ThroneckeC» drei Mühlen in angenähert gerader Linie. Die Wehier^ über welche das Wasser zu stürzen gezwungen ist, bewirken»- ein lebhaftes Brausen, das, wie erwähnt, auch dem entferntet" Stehenden auffällt. Und die Linie der Mühlen ist gegen Söd-^ Westen gerichtet, so dass der aus dieser Weltgegend kommendö
S. Crünther: Akustisch- Geographische Probleme, 231
Wind die drei Fälle, die an und für sich zwar nur klein sind, in ihrer Vereinigung aber doch einen ganz stattlichen EflFekt fii^eben, folgeweise zu überstreichen hat. So kann er sehr wolil die Töne, deren Entstehungsort in seiner Richtung liegt, unier besonders günstig gelagerten Umständen mit sich fort- fthren und in das sich vor ihm öflfhende Thal hineintragen. Seuleaux liess einen Jäger, der ein Waldhorn bei sich hatte, Qimiittelbar nach der beschriebenen Episode Töne blasen, und da zeigte sich, dass das kleine C des Jagdhornes sich ▼ollständig mit dem rätselhaften Tone in der Luft deckte. Dieses C aber gehört, wie wir sahen, gerade zu den typischen Wasserfalltönen.
Kann diese Erklärung, welche erwähntermassen zunächst ftus einem Besuche des Schauplatzes hervorgegangen ist, den Anforderungen einer abschliessenden Theorie genügen? Dies zu behaupten, sind wir weit entfernt. Gleichwohl lässt sich 2u ihren Gunsten wenigstens das anführen, dass sie sich aus- ßchliesslich auf feststehende Thatsachen stützt und den. Erfahrungen grossenteils entspricht. Vorzugsweise darauf sei einiger Nachdruck gelegt, dass, wenn die bewegte ^uffc als Trägerin der vom Wasser erzeugten Töne aufgefasst ^*"<i, die grosse Seltenheit, mit der das Phaenomen offenbar auftintt, nahe genug gelegt wird. Die geringste Ungleich- ^^^xiigkeit der Tonbildung in den drei Ursprungsstätten muss emo kumulative Wirkung hintanhalten, und auch die Wind- ^d^tung braucht sich nur ein wenig zu ändern, um jede Wir- kux:^^ illusorisch zu machen. Wenn gefragt werden wollte, weslialb denn nicht auch das dumpf dröhnende F gehört ward, so liesse sich erwidern, dass dieser Begleitton ja wesentlich an hotien Wasserstürzen haftet, von denen hier nicht die Sprache ist- Ueberhaupt aber steht uns ja noch keine eigentlich akustische Analyse der im Thale gehörten Klänge zur Ver- lesung; der einzige unter allen Denen, die etwas von der *^i^^<5heinung aus eigener Erfahrung wussten, und die zugleich dl® erforderliche fachwissenschaftliche Bildung besassen, war «•^uleaux selbst, und er that, was in seinen Kräften stand,
232 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 6. Juli 1901,
indem er durch einen Horaruf den vernommenen Ton fixieite. Dieser war der intensivste ; die übrigen Töne des Akkord« können mutmasslich den ersteren begleitet haben, ohne dass sie sich dem Gehöre gleich stark aufdrängten. Die Möglich- keit, dass beim Durchgehen des zum Tönen gebrachten Windes durch den unteren Engpass eine gewisse Selektion der Tone stattgehabt habe, so dass von den der bewegten Luft über- mittelten Schwingungszuständen nur noch ein einziger Energie genug besessen hätte, um das Ohr zu affizieren, soll übrigens nicht geleugnet werden. Ein ungeübtes Gehörorgan mag in solchem Falle vielleicht eine viel weniger musikalische Ein- wirkung erfahren; der Forstmeister Lange zum mindesten, I dessen wir oben als eines klassischen Zeugen gedachten, ent- sinnt sich nur eines heftigen, ihm unerklärlichen Gepolters ^ dunkler Nacht, welches seinen Begleiter einmal derart er- schreckte, dass er sich nicht an den Rendezvousplatz zu koD^' men getraute. Wenn es sich so verhält, wie es unsere D^' Stellung wahrscheinlich zu machen sucht, so ist auch leicW zu verstehen, dass der Weg, den die wandernden Töne zurück* legen, nicht immer die gleiche Länge zu haben braucht. I^ doch die schon aus früheren Versuchen von Regnault ui*' Mach folgende Annahme, dass die Fortpflanzungsgesch windig keit des Schalles auch von dessen Stärke abhängt, neuerding völlig bestätigt worden.^) Der Wasserreichtum des Baches b^ dingt die Mächtigkeit der Töne, und je nachdem diese eid grössere oder geringere ist, wird auch die Zeit eine verschiede
^) üeber diese ältere Phase der die Schallgeschwindigkeit als Fan 1» tion der Intensität nachweisenden Untersuchungen gibt Auskunft Rose ^c berger (Die Geschichte der Physik in Grundzügen, 3. Teil, Braunschwef; 1887—1900, S. 752 iF.). Neuere Bewahrheitungen des Erfahrungssati^^ dass sich Wellen von grosser Amplitude rascher als Wellen von kleine Amplitude fortpflanzen, hat man von Jacques (Velocity of very hi< Sounds, Silliman's Journal, 1879, S. 116 iF.) und von Frechon (Sur I^ vitesse des sons, La Nature, 1883, S. 286 ff.). Die Intensität des Schalles variiert jedoch, wenn die Tonquelle ihren Ort wechselt, wie Segnita (üeber den Einfluss der Bewegung auf die Intensität des Schalles, Ajua- d. Phys. u. Chem., 85. Band (1852), S. 384 ff.) gefunden hat.
S, Günther: Akustisch-Geographische Probleme, 233
grosse sein, nach deren Ablauf erstere die Thalmündung er- leicben. E[iedurch wird aber dann auch wieder die Hörbarkeit der Töne im Bereiche der Thalweitung beeinflusst.
Wie schon bemerkt, wäre es vermessen, zu glauben, mit dieser ZurückfÜhrung der Erscheinung auf bekannte Vorgänge m nun das Rätsel endgiltig und in allen seinen Teilen gelöst. Da?on sind wir noch weit entfernt; zumal die Rolle, welche der gewiss nicht gleichgiltigen Enge des Thalausganges zuzu- weisen ist, bedarf noch sehr der Aufklärung. Sicher steht für uns nur das Eine, dass die beiden Phaenomene von Triberg önd von Thronecken einen einheitlichen Charakter an sich tragen, und dass beide in innigem Zusammenhange mit den diese Thäler durcheilenden Gewässern stehen,
Eeinenfalls dürfen wir daran denken, dieselben aus der
gleichen Ursache herzuleiten, welche dem dritten der drei oben
•useinandergehaltenen Erscheinungskomplexe zu gründe liegt,
^e dies wohl versucht wurde. Dieser ist wieder eine Sache
ftr sich allein.
y) Singende Felsen. Dafür, dass Felsen musikalische Töne aus ihrem Inneren hervorgehen lassen, liegen unseres Dissens blos zwei Beispiele vor, und zwar sind die beiden ^^rt;e, von denen dies mitgeteilt wird, einander nahe benachbart, "idem sie sich an den Ufern des Orinoko in Südamerika be- finden.^) Wir verdanken unsere Kenntnis dieser merkwürdigen ^^J^ilichkeiten A. v. Humboldt und dem französischen Reisen- "®^ Roulin. Pechuel-Loesches afrikanische Erfahrungen ^^ST^n auch bei dieser Gelegenheit besprochen werden. Ein weiterer, von Gh. Darwin mitgeteilter Fall dürfte nur sehr »>6diiigt dieser Gruppe einzureihen sein.
^) Die ademlicli häufig, so auch in der Humboldt 'sehen Reisebe- •Cu^i'^ibung, mit den Felsentönen verglichenen singenden Geräusche, welche '"^^ in älterer Zeit an der Memnonsäule zu Theben und auch an einem ^^Onpei ^jea nahe gelegenen Karnak um die Zeit des Sonnenaufganges 8^^Ört haben wollte, bleiben hier ausser betracht. Menschliche Artefakte ^^^n sich* nicht mit dem an Naturerscheinungen anzulegenden Mass- 8ta|>^ messen. Vgl. Lepsius, Briefe aus Aegypten, Berlin 1852.
234 SiUitng der math.-phys. Clause vom 6, Juli 1901,
Die Wahrnehmungen v. Humboldts^) mögen hier nach der von ihm selbst anerkannten Uebersetzung wiedergegeben werden, weil eine Paraphrase die Deutlichkeit nicht zu ver- mehren geeignet wäre. »Der Granitfels, auf dem wir lagerten, ist einer von denen, auf welchen Reisende zu Zeiten g^ Sonnenaufgang unterirdische Töne, wie Orgelklang, vernommen haben. Die Missionare nennen dergleichen Steine laxas de musica. ,Es ist Hexenwerk (cosa de bruxas)*, sagte uns» junger Steuermann, der kastilianisch sprach. Wir selbst haben diese geheimnisvollen Töne niemals gehört, weder in Carichana, noch am oberen Orinoko; aber nach den Aussagen glaubwflr* diger Zeugen lässt sich die Erscheinung wohl nicht in Zweifd ziehen, und sie scheint auf einem gewissen Zustande der Luft zu beruhen. Die Felsbänke sind voll feiner, sehr tiefer Spalten und erhitzten sich bei tage auf 48 bis 50 Grad. Ich fand oft ihre Temperatur bei nacht an der Oberfläche 39®, während die der umgebenden Luft 28° betrug. Es leuchtet alsbald ein, dass der Temperaturunterschied zwischen der unterirdischen und der äusseren Luft sein Maximum um Sonnenaufgang erreicht, welcher Zeitpunkt sich zugleich vom Maximum der Wanne am vorhergehenden Tage am weitesten entfernt. Sollten nuft die Orgeltöne, die man hört, wenn man, das Ohr dicht aö^ Gesteine, auf dem Fels schläft, nicht von einem LuftstroDö® herrühren, der aus den Spalten dringt? Hilft nicht der Mxf^" stand, dass die Luft an die elastischen Glimmerplättchen stöss^» welche in den Spalten hervorstehen, die Töne modifizieren? Dieses letzterwähnte Moment möchten wir nicht sehr hoch eif*-^ schätzen; darin aber ist dem grossen, hier auf einem no(^^ recht wenig bebauten Felde sich ergehenden Naturforscher vxx^ bedingt zuzugeben, dass die durch die Klüfte des Granii^^ streichende Luft es ist, die sich akustisch bethätigt. Es frag* sich nur, wie wir uns die Modalitäten dieser Bethätigung vof-^ zustellen haben.
^) A. V. Humboldt, Relation historique, 6. Band, Paria 1824, S. 377? Gesammelte Werke (neue Cotta'sche Ausgabe oline Jahrzahl), 3. Band* S. 91 ff.
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S. Günther: Akustisch- Gtographiache Problewe, 235
Roulin erzählt,^) ein gleichfalls granitischer Felsblock, \^. Ton seinen Begleitern „el castillo*' genannt, habe durch seine f' eigentümliche Schichtung, d. h. durch die bekannte paraklastische SSerklüftung des Urgesteines, die Augen der Reisenden auf sich f^gjdenkt. Der Klotz erwies sich nicht als massiv, sondern als ^j^Hmduhrartig^ ausgehöhlt. Durch zufällige Berührung ins iwanken geraten, sandte er tiefe, sonore Töne aus;*) ab- itlich erteilte Stösse dagegen brachten zwar gleichfalls Ton- ^eirscheinungen zuwege, aber dieselben waren weitaus schwächer. Auch Roulin thut des spanischen Wortes ,|laxas de musica'^ XSrwähnung und bemerkt, dass „laxa^ eine Steinplatte bedeute. Musikalische Platten sind es also, welche am Orinoko zu finden sind.
Die bekannten Absonderungserscheinungen an plutonischen Felsarten bewirken, dass auch eine mächtige Gesteinsmasse in ein Aggregat parallelepipedischer Bestandteile verwandelt wird; beim Fortschreiten des Verwitterungsprozes«es fallt der Fels in ein Blockmeer auseinander. Dass die so entstehenden Spalten kleinen Luftmengen den Durchzug gestatten, versteht sich ganz von selbst, und damit ist auch gesagt, dass zur Bildung von Reibungstönen mannigfache Gelegenheit geboten ist. Wie dieselben jedoch zu tiefen, klangvollen Orgeltönen werden können, bedürfte noch einer Erklärung» und eine solche möchte wohl schwer zu erbringen sein. Da fühlt man sich denn aufgefordert, eine Erscheinung zur Aushilfe heranzuziehen, für deren Eintreten alle Voraussetzungen gegeben sind. Die einzelnen sich wechselseitig überlagernden Platten können sich unmöglich ihrer ganzen Flächenausdehnung nach berühren;
^) Roulin, Note sur certains blocs granitiques de l'Orenoque, et aur la cause des bruits qu'on a entendus au lever du soleil, Bulletin des sciences mathematiques, phjsiques et chimiques (de Ferussac), 11. Band (1829), S. 52 ff.
') „Dans un de ces bonds je frappais un mamelon ahrondi de la base, qui, ä ma grande surprise, rendit un son plein, prolonge, tout-ä- fait analogue ä celui qu'on produit en £i*appant des doigts reunis la caisse d'un piano, dont le couvercle est leve."
236 Sitzung der math.-phys. Classe vom 6, Jtdi 1901.
die wirkliche Berührung wird in der Regel auf einige wenige Punkte beschränkt sein. Sobald dann die Temperierung der beiden einander gegenüber stehenden Grenzflächen einen ge- wissen Grad überschritten hat, beginnt jene alternierende Be- wegung, welche bei dem in der Experimentalphysik wohl be- kannten Trevelyan-Instrumente oder Wackler Töne er- zeugt.^) Ursprünglich war man in dem Wahne befangen, zur Hervorbringung dieser Töne seien ausschliesslich Metallplattea geeignet; Tyndall dagegen hat*) die Nichtigkeit dieser Be- schränkung dargethan und z. B. Steinsalz als einen sehr leicht in Schwingungen geratenden Stoff aufgezeigt. Es wäre auch a priori nicht abzusehen, aus welchem Grunde eine Steinplatte nicht dieselben Dienste sollte leisten können. Nur insofen werden Töne dieser Art bei Materialien von anderer petro- graphischer Zusammensetzung minder leicht hervorzubringen sein, weil gerade der Granit durch seine Tendenz zur Zerklüf- tung sozusagen der Tonbildung vorarbeitet. Je labiler der Gleichgewichtszustand ist, in dem sich eine Gesteinsmasse be- findet, so dass dieselbe leicht in eine oszillatorische Bewegung gerät, umso mehr ist, wie dies Roulins Erfahrung augenfällig zeigt, die Gelegenheit zur Hervorbringung der Trevelyan-Tön< gegeben. Nicht völlig identisch, aber doch nahe verwandt si» die Felsentöne, die man nach Pechuel-Loesche (Zur Kenntn des Herero-Landes, Ausland, 1886, S. 822 ff., S. 852, S. 89^ in den Felseinöden Deutsch-Südwestafrikas vernehmen kan Es ist eine Art Musik, wiewohl keine sehr harmonische; ^ man sie etwa durch Blasen auf einem Kamme hervorbring Durch Abschuppung, Desquamation (Penck, Morphologie i Erdoberfläche, 1. Band, S. 204) haben sich dünne Gestein schalen losgelöst, die aber doch noch an einzelnen Punkte
^) Die Anfangsstadien unserer Einsicht in die wahre Natur ä Wacklers, dessen Eigenschaften man anfanglich nicht in ihrer that^äc liehen Einfachheit erkannte, kennzeichnet R o s e n b e r g e r (a. a. 0., S. 271 ^
^) Tyndall, On the Vibration and Tones produced by the Cont»« of Bodies having different Temperatures, Philos. Magaz., (4) 8. BsSi (1854), S. 252 ff.
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8, GüntJier: Akustisch-Geographische Probleme, 237
mit dem Mutterblocke zusammenhängen, und wenn nun der Wind diese Platten vibrieren lässt, dringen merkwürdige Töne [ in das Ohr des erstaunten Reisenden. Reine Reibungstöne erscheinen dagegen in einem anderen Falle. Die durch Erosion oft unglaublich zerklüfteten Lateri tgebilde Westafrikas (P e c h u e 1- Loesche, Loango-Expedition, 3. Band, I, S. 39; Kongoland, lena 1887, S. 333) geben dem durch sie hindurchstreichenden Winde Gelegenheit, die mannigfaltigsten Klangerscheinungen, sogar heftigen Lärm, zu erzeugen, so dass die Neger des Ölaubens leben, ein unterirdisch verborgenes Riesentier verrate Inf solche Weise seine Anwesenheit. Die Zerrissenheit des in •Obelisken, Pyramiden, Türme mit eingestreuten Mulden und Zmken aufgelösten, mürben Gesteines begünstigt in seltenem Masse die akustischen Wirkungen der Luftreibung.
Der dröhnende Berg der chilenischen Kordilleren, von welchem Gh. Darwin, der diesen „Bramidor* (Brüller) nicht selbst gesehen hat, auf Hörensagen hin berichtet,^) gehört, worauf wir gleich anfangs hinwiesen, aller Wahrscheinlichkeit B&ch nicht in diese Kategorie. Ganz klar geht ja aus den wenigen Worten nicht hervor, ob der rollende Sand, der JWMxh Angabe der Chilenen dortselbst beobachtet wird, die Ur- sache der Tonbildung oder nur eine zufällige Begleiterscheinung öt. Lediglich um der Vollständigkeit willen musste aber auch dieser , singende* Berg berücksichtigt werden.
III. Abrupte Knalle.
Der Ton im Gegensatze zum blossen Geräusche bildete «as charakteristische Erkennungszeichen für diejenigen akustisch- 8^graphischen Erscheinungen, die in unserer zweiten Abteilung abgehandelt wurden, wogegen der ersten gewisse, ihrer Ent-
*) Ch. Darwins Reise-Tagebuch, herausgegeben von A. Kirch- ^off, Halle a. d. S. 1893, S. 380. Der im Thale von Copiapö gelegene "^8 gehört anscheinend weit mehr dem von früher (S. 26 ff.) bekannten ^ypU8 Djebel Nakus als demjenigen der Laxas de Musica an, zu dem "^ ihn hat stellen wollen.
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238 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Juli 1901.
stehung nach bekannte Geräusche zugewiesen waren, die si( unter günstigen Umständen und unter Mitwirkung von Resonai zu Tönen ausbilden konnten. Von diesen letzteren wii nunmehr gänzlich abgesehen. Einziges Objekt der B trachtung sind jene dumpfen, meist kurz dauernden Knal welche vielfach für fernen Geschützdonner gehalten werd und in einzelnen Fällen wohl auch diesen Ursprung hab( die aber viel zu häufig vorkommen und auch eine viel grosse geographische Verbreitung haben, als dass man di selben so leicht einer einzigen, stets ausreichend Erklärungsweise zu subsumieren vermöchte. Scb die ungemein grosse Abwechslung in der Benennung di« Lufterschütterungen spricht dafür, dass wirklich ein recht vi gestaltiges Phaenomen der Aufhellung wartet. Bezüglich ( Nomenklatur kann man sich zunächst an den schon eingar als wichtige Quelle der Belehrung angeführten Aufsatz v L. Weber^) und an die kürzere Skizze von Sieger*) halt« Die niederdeutsche Bezeichnung Mistpoeffer, die darauf hi deutet, dass die Detonationen zumeist bei nebligem Web (mist englisch und holländisch = Nebel) gehört werden, 1 auch in unsere wissenschaftliche Sprache Eingang gefiind( die beste Uebertragung in das Hochdeutsche würde also Neb( knalle sein. Auch als Nebelrülpse und Luftpuffe weri dieselben gelegentlich bezeichnet. Die Flamänder verlegen c Sitz der Gleichgewichtstörung, die sich in ihrem Lande b€S( ders häufig bemerklich macht, auf das Meer und sprechen ^ „Zeepoeffers," französisch „Rots de mer.* Wieder in deren Ländern ist vom Seeschiessen die Rede, und in Schweiz gibt es eine Menge Lokalausdrücke, über wel die sehr fleissig gearbeitete, diesem Teile einer „akustisc! Folklore" umsichtig Rechnung tragende Studie des Gra
^) Leonh. Weber, Ueber die sogenannten Mistpoeffers, Schri d. Naturwiasenscli. Ver. f. Schleswig-Holstein, 11. Band, S. 66 ff. oben S. 19.
^) Sieger, Seeschiesaen . Wasserschüsse , Nebelrülpse, Luftpi Globus, 71. Band, S. 333 ff.
8. Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 239
eppelin^) Auskunft erteilt. So kennt man im Kanton Frei- iirg ein Murtener Schiessen; im Kanton Luzem, wo sich isgleichnamige Dorf befindet, ein Rothenburger Schiessen, euerdings endlich sind wir mit den bengalischen Barisal uns (^jKanonen von Barisal**) und, durch Cancani,*) mit »r Marina Mittelitaliens bekannt gemacht worden, die sich esonders in der Provinz Umbrien hören lässt. So weit aber ach die Orte, von denen uns einschlägige Nachrichten zu- ingen, aus einander entfernt liegen — und durch die dankens- erten Zusammenstellungen von van denBroeck*) undPenck*) t unsere Kenntnis in dieser Hinsicht noch beträchtlich ver- lehrt worden — , so steht doch soviel fest, dass allenthalben e Art und Weise, wie sich die Knallgeräusche dem Hörer Jrnehralich machen,*) eine wesentlich übereinstimmende t Damit soll jedoch nicht entfernt gesagt sein, dass nun ich rückwärts von gleichen Wirkungen auf eine konstante, iveränderliche Ursache geschlossen werden darf.
Ob man mit van den Broeck und Lancaster die Kenntnis !r Nebelknalle bereits auf den englischen Philosophen und
*) Graf E. Zeppelin, Zum sogenannten ^ Seeschiessen*, Schriften Ver. f. Gesch. d. Boden-Sees u. seiner Umgebung, 25. Heft, Lindau i. B. %, S. 30 ff.
*) Cancani, Barisal Guns, Mistpoeffers, Marina, Bollettino Ha Societä Sismologica Italiana, 3. Band (1897), S. 222 ff.
') van den Broeck, Un phenomene mysterieux de la physique du obe, Ciel et Terre, 1695, S. 447 ff.; 1896, S. 110 ff. Von der Abhand- ög ist auch, unter gleichem Titel, eine separate Buchausgabe (Brüssel ®6) erschienen.
*) Penck, Ein mysteriöses Phaenomen der Geophysik, Meteorolog. itschr., 14. Band (1897), S. 143 ff.; 16. Band (1899), S. 227 ff. Nach ^ß den Broeck gearbeitet, aber eine Menge neuer Thatsachen bei- iJigend. — Andere deutsche Bearbeitungen der Monographie des belgi- ^len Gelehrten sind die folgenden: Samt er, Ein akustisches Phaenomen, '^mel und Erde, 9. Band (1897), S. 380 ff.; Mistpoeffers, Ann. d. Hydro- *Pliie u. marit. Meteorologie, 25. Jahrgang (1897), S. 160 ff.
^) Einzelne Berichterstatter haben van den Broeck versichert, *' mit dem Gehöreindrucke eine merkbare Erschütterung des ganzen ^fpers band in band gegangen sei; das scheint jedoch eine seltene Qsnahme zu sein.
240 Sitzung der math.-phys. Clause vom 6, Jtdi 1901.
Naturforscher Lord Francis ofVerulam zurückführen darf, lassen wir dahingestellt.^) Die Volksmeteorologie legte sich, den von unseren Gewährsmännern gegebenen Proben gemSsB, dumpfe Laute in der Luft verschieden zurecht; in Frankreich sollten sie gutes Wetter, in England, wie der Dichter Parnell') verkündet, sollten sie ßegen anzeigen. Auf einen festera Boden gelangen wir ei*st im XVIII. Jahrhundert, und zwar war es der später berühmt gewordene Geologe O. Fr aas, der vor fünfzig Jahren die Naturforscher aufforderte,*) sich mit einer bisher wenig beachteten Erscheinung zu beschäftigen, die in einem speziellen Falle auch der bekannte Alpinist Hugi*) bemerkt und in seinem gewohnten, etwas phantastischen Stile zu erklären versucht hatte.*^) Fraas teilt mit, dass im Oktober
^) Bacons oft äusserst konfuse Ansichten über den Schall (Sjlvi Sjlvarum or a Natural Historie, ed. Rawlej, London 1631, CentuiyH und III) lassen selten erkennen, ob seine Behauptungen einen thatsädh liehen Befund zur Grundlage haben. Einigermassen könnte noch voi geschichtlicher Bedeutung sein ein Passus in der Aufzählung der va?- schiedenen Witterungsvorzeichen. Dort heisst es nämlich (Historia nato- ralis et experimentalis de ventis, Leiden 1638, S. 150): „Sonitus a mon- tibus nemorumque murmur increbrescens, atque fragor etiam nonnulloi (sie!) in campestribus, ventos portendit. Coeli quoque murmur prodigio* 8um, absque tonitru, ad ventos maxime spectat.* Dieser , donnerlose, murmelnde Laut,'' der kein Donner ist, kann vielleicht als Mistpoeffer gelten.
2) Thom. Parnell, Poetical Works, ed. Pope, London s. a. (Nadi van den Broeck).
^) 0. Fraas, Detonationen in den höheren Luftschichten, Jahre»- hefte d. Ver. f. vaterländ. Naturkunde in Württemberg, 6. JahrganjP (1850), S. 127 ff.
*) Hugi, Naturhistorische Alpenreise, Solothurn 1830, S. 58ff. Di* Wahrnehmungen des um die Gletscherkunde verdienten, gewagten Speku- lationen aber im Geiste der noch teilweise herrschenden Naturphilosophie über Gebühr hingegebenen Mannes bezogen sich auf das vereiste Bot- thal in der Jungfraugi'uppe, dem der Volksmund ohnehin allerlei Aben- teuerliches nachsagt (vgl. v. Berlepsch, Die Alpen, in Natur- ^ Lebensbildern dargestellt, Jena 1885, S. 152 ff.).
^) Er war geneigt, einen ohne optische Begleiterscheinungen fO^ vollziehenden, langsamen Ausgleich der beiden entgegengesetzten Elek*
8. Günther: Akustisch' Geographische Probleme, 241
nd November 1847 Landleute in der Gegend von Balingen »'üdwestl. Württemberg) entfernten Donner bei heiterem Himmel ehört und mit dem damals gerade entbrannten Sonderbunds- li^e in der Schweiz in Verbindung gebracht hatten, was sich berbald schon der Zeit halber als unstichhaltig herausstellte.^) lald darauf, zu Anfang des Jahres 1848, hörte Fraas selbst ie fernen Donnerlaute im tiefsten Frieden. Schöne Frühlings- nd Herbsttage schienen ihm das Phaenomen besonders zu be- önstigen, während Witterungsumschlag wirkungslos verblieb. Jle zwei bis fünf Minuten Hess sich, wenn man auf freier löhe stand, ein dumpfer Schlag vernehmen, dessen Richtung aum angebbar war. Es ist ein eigenartiges Zusammentreffen, iss, wie wir vom Grafen Zeppelin erfahren, im gleichen ahre 1850, welches die Notiz von Fraas brachte, auch der ©kannte Erforscher der deutschen Heldensage, Baron Lass- erg in Meersburg am Boden-See, seine schon längere Zeit [emachten Beobachtungen einer Anzahl befreundeter Gelehrten ius Schwaben vorlegte, ohne dass allerdings zunächst weitere iteise hievon erfuhren.
Nachdem wir so eine kurze Geschichte der Studien über Sfebelknalle gegeben haben, tritt als nächste Anforderung die kö uns heran, die nachgewiesene geographische Verbreitung Iw Luftgeräusche näher kennen zu lernen. Die Fragebogen, welche van den Broeck in sehr zweckmässiger Anordnung örschickte, und der Sprechsaal, den die Redaktion der eng- schen „Nature" in dieser Zeitschrift für einschlägige Mit- "Ungen einrichtete, haben es bewirkt, dass ein recht statt- 'hes Material zusammenkam. Zunächst ist Flandern und '^rtaupt das flache Belgien, bis hinein in die Provinz Luxem- ^g, als ein Schauplatz der Mistpoeffers zu nennen. Aus dem
-^täten in der Atmosphäre, also eine Art Donner, zur Erklärungsbasis
Nehmen.
*) Vom Grafen Zeppelin wird auch berichtet, dass die an Kanonen- ^Üsse erinnernden Nebelknalle das im Kanton Aargau kantonnierende ^^enössische Heer in Verwirrung gebracht habe, bis dann Eingeborene '^t den Sachverhalt aufklärten.
1^1. Sitiongsb. d. math.-phyB. Gl. 17
242 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6, Juli 1901.
nördlichen Deutschland und aus Skandinavien fehlen genauen Berichte ; ^) dagegen mangelt es an solchen gar nicht aus Süd Westdeutschland und Oesterreich. Penck, der sich (s. o. namentlich auf die Erfahrungen von A. E. Forster berufl führt das Illergebiet, die obere Donau, das Wettersteingebirgj das Gebiet des Boden-Sees im weitesten Umfange, Mähren, w es einen „Donnerberg" geben soll, die Senke von Laibach mi ihrem „Grimberg" und Dalmatien als Oertlichkeiten an, i deren Bereiche sich gelegentlich die dumpfen Knallaute Tei nehmen lassen. In Grossbritannien gilt Perthsire, in Italic erwähntermassen Umbrien als das Land der Nebelschüsse. Aue in Amerika sind dieselben keineswegs unerhört; unter den« welche van den Broecks Anfragen beantworteten, befen sich auch der Oberstleutnant Don neu x, der den Staat Colo rado, sowie Mexiko und Zentralamerika überhaupt als Heim statten unserer Ei*scheinung namhaft macht, und C. Sappei zweifellos der beste Kenner der Geographie von Guatemala bezeugt bei Penck, dass in diesem Staate jedermann mit solcher fernen Donner bekannt sei. Endlich verlangen, wie gesagl die nach dem im Gangesdelta gelegenen Orte Barisal zube nannten „Kanonenschläge" besondere Beachtung; dieselben ei strecken sich über ein weites Areal und werden sogar noch i Assam gehört. Korrespondenznachrichten aus verschiedene Teilen der niederländischen Besitzungen in Hinterindien hat A Utrechter Geologe Wich mann eingeholt und in der „Natuu kundig Tijdskrift van Nederlandsch-Indie** (1890—1893) 2
*) Allerdinga gehören zu den mancherlei Rätseln, welche der gro Wettern-See in Schweden der physikalischen Geographie zu raten a gibt, auch gewisse dort auftretende Schallerscheinungen. Allein i Siegers sorgfaltiger Darstellung (Seeschwankungen und Strand verach bungen in Skandinavien, Zeitschr. d. Gesellsch. f. Erdkunde zu Berl 28. Band, S. 73 ff.) geht anscheinend hervor, dass die dortigen Schall^ rausche auf das engste mit Vorgängen, welche sich innerhalb des Si beckens selbst vollziehen, zusammenhängen, so dass also wohl eine äussi liehe Aehnlichkeit, nicht aber eine innere Verwandtschaft mit den Lu knallen bestehen würde.
S, Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 243
Kenntnis gebracht. Aus Südamerika sind nur vereinzelte Mel- I düngen, und zwar von seiten der deutschen Reisenden Meyen^) und V. Bibra,*) zu uns gedrungen. Der erstgenannte huldigte der Meinung, dass das von ihm angeblich gesehene, in Wirk- lichkeit aber wohl in das Reich der optischen Täuschungen zu ierweisende „Nachleuchten erloschener Krater" gewöhnlich von tmem fernen Dröhnen begleitet sei. Der ruhige v. Bibra l^ubt zwar die Lichterscheinung ebenfalls wahrgenommen zu haben, kann sich aber des dumpfen Donners, den sein Vor- gänger gehört haben wollte, mit Bestimmtheit nicht entsinnen. Aus Afrika endlich stammt nur eine vereinzelte Mitteilung über unerklärliche Lufterschütterungen am Kongo. Von Professor Pechuel-Loesche wird uns allerdings mitgeteilt, dass er die oewnssten Knalle, die ihm auch in den irischen Mooren und f JD den „Plains" Nordamerikas aufgefallen waren, sehr schön *^ »Bulambembo-Point* oberhalb der Kongomündung ver- kommen habe. Dieses Negerwort würde sich auch am besten ^^^ »Echo* verdeutschen lassen.
Der ziemlich zahlreichen positiven Nachrichten aus der Schweiz — Seeschüsse, Rotthaler Schiessen, Rothenburger Scniessen, Murtener Schiessen — war bereits im unmittelbaren Zusammenhange mit der geschichtlichen Entwicklung unseres Wissens von diesen Dingen zu gedenken. Auch Dalmatien ^^^^ (s. 0.) unter den in betracht kommenden Ländern ge- legentlich genannt. Wir behalten uns jedoch vor, am Schlüsse dieses Abschnittes den dalmatinischen Vorkommnissen eine be- sondere Erörterung zu teil werden zu lassen, deren Resultat, wie \vij. glauben, darin besteht, dass jene ihrem ganzen Wesen naco. YQjj ^ßjj Nebelknallen ganz und gar abweichen.
-Man sieht, dass ein erheblicher Teil der Erdoberfläche als
M.^r uns interessierenden Erscheinung in betracht zu kommen
Gerade aber der Umstand, dass ausgedehnte Areale, ja
^) Meyen, Reise um die Erde in den Jahren 1830, 1831 und 1832, • ^nd, Berlin 1835, S. 349 ff.
*) V. Bibra, Die Algodon-Baj in Bolivien, Wien 1852, S. 30.
17*
244 Sitzung der math.-phys, Classe vom 6, Jtdi 1901,
sogar ganze Kontinente nichts verlauten lassen, spricht dafür, dass eine gemeinschaftliche Ursache, niit deren Auf- deckung das Problem endgiltig gelöst wäre, nicht vorh ander ist. Die grossen Schwierigkeiten liegen eben darin, dass ein« wahre Unzahl von Hypothesen sich zusammengefunden hat um deren Sammlung sich besonders van den Broeck sek verdient machte.
Wir setzen, weil ein Gegenbeweis sich zur Zeit höchstem im Einzelfalle führen lässt, voraus, dass alle diese als Luft knalle bezeichneten Detonationen wenigstens äusserlich, wem auch nicht ihrem eigentlichen Wesen nach, einen einheitlicher Charakter besitzen.^) Damit ist erwähntermassen noch keinerle Gewähr für einheitliche Herkunft gegeben. Wie wenig au Hypothesen, zu deren Begründung zufällige Wahmehmungei eben nicht ausreichen, zu geben ist, bezeugt eine Uebersich' über die, welche bisher schon aufgestellt worden sind. HalleJ und Moulan appellieren an die Gezeiten des Meeres, und zwa denkt sich der eine von beiden, dass das ansteigende Wasse in Höhlungen des Ufers hineingepresst werde, während der an dere annimmt, die in den Uferböschungen befindliche Luft er leide eine Zusammendrückung und mache sich gewaltsam Bahn Das blosse Brandungsgeräusche wollen De Brandner und de Italiener Agamemnone für die dumpfen Luftschläge verani wortlich machen.*) De Meuse hält dafür, dass vom Wass<
^) Sichergestellt ist dies ganz und gar nicht. So werden wir v« Goodwin-Austen (The Barisal Guns and similar Sounds, Natu: 53. Band (1895), S. 247 ff.) belehrt, dass die Wasserschüsse, welche G. Scott im Indischen Ozean konstatierte, in ihrem abrupten Klange si von den rasselnden, polternden Geräuschen von Barisal doch ganz erh£ lieh unterschieden.
2) Für a priori verwerflich möchten wir diese Anschauung nie halten. Prof. Wiechert hat in einem Vortrage, den er auf der int« nationalen Erdbebenkonferenz zu Strassburg i. E. hielt, bemerkt, dass l genauem Studium der mikroseismischen Bodenbewegungen mancher vi der nächsten Meeresküste ziemlich weit entfernter Stationen die Mo lichkeit sich ergebe, eine Beeinflussung der Indikatoren durch die regelmässigen, sich rasch wiederholenden Stössen sich bethätigende Akti( der Brandungswogen zuzulassen.
S, Günther: Äktistisch-Geographische Probleme. 245
bsorbierte Luft sich ersterem wieder entringe, und auch an landeruptionen auf dem Meeresboden hat man gedacht. Elek- rische Entladungen innerhalb der Erdkruste ziehen Donneu x mdv. Pitteur-Hiegarts zur Erklärung heran. Begreiflicher rt die Vermutung, dass unvermeidliche Erdrutschungen sich «f grosse Entfernungen hin akustisch bethätigen könnten; imal auch für die Barisal Guns liesse sich diese Annahme erwerten, gegen die allerdings von Schur eingewendet wird,^) ie grosse Hörbarkeitssphäre wolle nicht recht zu einem rein rtlichen Ereignis passen. Ja sogar die Töne des Trommel- sches (Drum Fish), so meinen die Amerikaner Kain und 'leveland Abbe,*) möchten gelegentlich mit den MistpoeflFers, eren Ursprung freilich auch ein anderer sein könne, ver- wechselt worden sein.
Hielten sich diese meist nur kurz hingeworfenen Andeu- 'ögen an die feste Erde und ihre Wasserbedeckung, so fehlt doch auch nicht an Deutungsversuchen atmosphärologischer *tur. Hugis Hinweis auf elektrische Ausgleichserscheinungen 'det bei van den Broeck eine der Erkenntnis der Gegen- ^H besser angepasste Wiederbelebung. Während ferner nckheere sich damit begnügt, eine plötzliche Störung des 'gere Zeit herrschend gewesenen labilen Gleichgewichtes der ftschichten als Grund anzusprechen, wollen Cobbaert und ^ Overloop den Hergang schärfer praezisieren, indem sie Einwirkung der Sonnenstrahlen auf Nebelmassen die ^igkeit zuschreiben. Töne zu erzeugen. Wie aber geschähe ^? Die Meteorologie kennt kein Analogon; die Physik ^ keinen Anhaltspunkt, der Töne oder auch blos diffuse terschütterungen dieser Art verständlich zu machen im-
^) H. S. Schur, Barisal Guns, Nature, 61. Band (1899), S. 60.
*) ü. S. Monthlj Weather Review, 1898. üebrigens hält Cleve-
^ Abbe es auch nicht für unwahrscheinlich, dass das Wasser uns
*^nter die mit Seebeben verbundenen seismischen Geräusche zuträgt;
^viine earthquakes occuring at the bottom of the neighbouring ocean*
föchten auch derartige Knalle auszulösen.
246 Sitzung der maihrphys. Classe vom 6, JtUi 1901,
stände wäre. Tiefer eindringend, sucht sich Lieckfeldt^) eine Vorstellung von dem Akte des Verdampfens der Wasser- kiigelchen zu machen, welche in der Luft schweben und, so- lange ihr Durchmesser eine gewisse Grösse nicht überschreitet in ihrer Gesamtheit als Nebel oder Wolken erscheinen. Di« nachstehende These soll den Schlüssel des Geheimnisses ent' halten: „Bei der Verdunstung der Nebelbläschen*) tritt, eben» wie beim Sieden festgestellt ist, unter gewissen günstigen Um- ständen die Erscheinung des Siedeverzuges ein — höchst wahr- scheinlich auch umgekehrt beim Beginn der Nebelbildung eia* Hintanhaltung des Niederschi agens.* Wenn, so wird argu mentiert, die kleinen Wassertropfen eine Temperatur ange nommen haben, bei der sie längst schon ganz aufgelöst seil sollten, so tritt ein Moment ein, der mit jähem Explosionsruck- die Ueberführung in den gasförmigen Aggregatzustand herbei führt. Nun ist zuvörderst zu bemerken, dass der Vergleicl mit der als Siedeverzug angeführten Erscheinung nicht rech stimmt; letztere beruht ja darauf, dass der Flüssigkeitstropfen dem Leidenfrost'schen Versuche entsprechend, in den söge nannten sphaeroidalen Zustand übergeht, der dann aller dings ein plötzliches Ende erreicht. Sollte es ein Analogoi dieses Zustjindes geben, wenn nicht vom abrupten Sieden, soa dern lediglich vom langsamen Verdampfen die Rede ist? S achtbar das Streben auch ist, ein Motiv für explosive Vorgang in der Luft bei deren gewöhnlicher Zusammensetzung nachz^ weisen, so müssen wir doch an der Berechtigung eines dei artigen Verallgemeinerns physikalischer Wahrheiten uuse Zweifel äussern. Und vor allem: Könnte ein solches Au kochen der Wasserkörperchen ein beschränktes, regi nales Vorkommnis bleiben, müsste man nicht über^
*) Lieckfelclt, Versuch zur Erklärung der Mistpoeflfers , S schicssen u. s. w., Ann. d. Hydrogr. u. marit. Meteorologie, 25. Jahrga (18<J7), S. 308 ff.
2) I)as9 die kleinsten Bestandteile einer Wolke nicht, wie Clansi wollte, hohle Bläschen, sondern massive Wassorkcirperchen sind, wi heute allgemein zugestanden.
8, Günther: Akustisch- Geographische Probleme. 247
uf der Erde dann und wann ähnliche Folgen einer erzögerten Verdunstung erwarten? Die freie Atmo- pliäre kann kaum der Ort sein, der den Luftknallen, wenn üeser Ausdruck gestattet ist, zum Leben verhilft.
L. Weber, dem in der Hauptsache auch Sieger bei- iflichtet, glaubt dreierlei Möglichkeiten des Entstehens der Sebelschüsse auseinanderhalten zu sollen. Bewirken anor- naleLeitungs-, Resonanz- oder Brechungsverhältnisse >ine ungewöhnliche Verbreitung gewisser, wie immer tntstandener Detonationen?- Gibt es natürliche An- ässe der Lufterschütterung, die sich unserem Gehör- organe in der angegebenen Weise bemerklich machen? i^ann ein Mistpoeffer vielleicht als Kombinationston ufgefasst werden, wie er sich z. B. im tönenden Echo tisspricht? Letzteres dürfte unbedingt zuzugeben sein; ^ppels und v. Fischers Reflexionstöne (s. o.), sowie ein von '.Weber selbst angegebenes, einfaches Experiment*) liefern ie unzweideutigen Belege dafür. Dass die erste und zweite V^eber'sche Frage zusammengehören, liegt ebenfalls am Tage. Penn wir also davon abstand nehmen, dass doch wohl gar •ancher scheinbar geheimnisvolle Knall auf menschliche Initia- le hindeutet,*) so müssen wir die Fragestellung noch etwas
^) L. Weber, Mitteilung über einen die MistpoelFers betreffenden '•"Such. Sehr. d. Naturw. Ver. f. Schleswig-Holstein, 11. Band, 2. Heft.
*) Dass es denkbar sei, ferner Kanonendonner sei hin und wieder '" auch die Ursache des bewussten Krachens, ist wiederholt bemerkt ''^en; so von Jottrand, Hallez, De Skryvere, De Pauw, van ^^orn. Penck und der Verf. (Handb. d. Geophysik, 2. Band, S. 43) *^en für die Fläche, auf der die bayerischen Artillerieschiessübungen ^hfeld) gehört werden, einen bedeutenden Teil der schwilbisch-bayeri- ^^ Hochebene in ansprueh. Mit Eifer hat sich der Frage angenommen
britische Erdbebenforscher Davison (The Distance to which the ög of Heavy Guus is heard, Natnre, 62. Band (1900), S. 377 ff.). Seine Ehrungen stützen sich auf die Schiessversuche der englischen und ^^'Ösischen Marineartillerie zu Spithead (1897) und Cherbourg (1900).
Weiteste Entfernung, bis zu welcher sich in diesen beiden Fällen Schall fortgepflanzt hatte, betrug 130 Miles (rund 207 km). Aber
248 Sitzung der mathrphys. Glosse vam 6. Juli 1901.
bestimmter fassen, indem wir die folgende Form wählen: Ge- hören die unter so verschiedenen Namen bekannten Gehörerscheinungen der Atmo-, Hydro- oder Litho- sphäre der Erde an? Wenn wir über dieses Grundpostulak Klarheit erhalten, so sind wir auch der Lösung der Aufgabe, die Entstehungsursache zu ermitteln, um ein gutes Stück näher gekommen.
Welche Umwandlungen in der Luft oder im Wasser tot sich gehen könnten, um bei heiterem Himmel und bei ruhig« See Schallphaenomene von immerhin nicht ganz unbeträcht- licher Intensität auszulösen, das entzieht sich so völlig unserer Kenntnis, dass wir ein gutes Recht haben, auf die Herbei— Ziehung von Hypothesen, die nur ad hoc ersonnen worden sind und nur sehr locker im Boden der Wissenschaft wurzeln, Ver*— zieht zu leisten. Man kann nicht sagen, eine unserem KausA— bedürfnis wirklich genügende Herleitung der MistpoefiFers aau^ bekannten Gesetzen der Lehre von den tropfbaren und elast»-- schen Flüssigkeiten sei einfürallemal unmöglich; wohl ab^^ darf man behaupten, dass vorläufig auf eine in diesem Sini».^ gehaltene Erklärung keine grosse Hoffnung zu setzen is^fc Dann jedoch besteht eine um so entschiedenere Pflicht, all-^ denkbaren Fälle, die sich für eine Rückführung unserer KnalB--
auch sonst weiss die Kriegsgeschiclite von grossen Distanzen zu berichtei sogar von 200 Miles (rund 305 km). Bei so weitem Abstände von de^ ^ Schallquelle kann das Ohr nichts als nur einen ganz unbestimmten Eii druck empfangen . Pechuel-Loesche warnt, auf reichliche eigene Ei fahrung gestützt, davor, den dröhnenden Schlag entfernten Geschüt feuers mit dem eigentlichen Mistpoeffers zu verwechseln. Am 4. J« 1901 z. B. vernahm dieser Geograph in seinem Wohnorte Erlangen M Morgen charakteristische Luftknalle, aber durch sofort an Ort und Stell* eingezogene Erkundigungen ergab sich, dass gerade um diese Zeit 4« bayerische Feldartillerie auf dem um mehr denn 80 km von Erlangcc^^ entfernten Schiess^Dlatze von Hammelburg (ünterfranken) Gefechtsübung«^^ abgehalten hatte. Auch Minensprengungen können als Mistpoeffff""^^ wirken, und zwar umso eher, als ja die Explosion gar nicht an der fteieß Luft stattfindet. Forel hat (Graf Zeppelin, a. a. 0., S. 45ff.) dampfe Töne, die er vernahm, so lange nicht zu deuten gewusst, bis er erfthr» dass in den Steinbrüchen von Meillerie mit Sprengpulver gearbeitet wurde.
S, Günther: Äkustsich- Geographische Probleme. 249
Erscheinungen auf endogene, dem Bereiche der Erdrinde — oder auch allenfalls des Erdinneren — angehörige Prozesse zu eignen scheinen, in ernste Erwägung zu ziehen. Und damit *ist denn auch in neuester Zeit ein viel versprechender Anfang gemacht worden.
Die Herstellung einer Verbindung zwischen Nebel- knallen und Erdbebengeräuschen liegt nahe genug. Die letzteren bilden in den seismologischen Schriften ein stehendes Kapitel, so dass es hier bei wenigen Verweisungen sein Be- '^enden haben kann. Hoernes hat die darauf bezüglichen Nachrichten vereinigt und besprochen;^) es erhellt, dass die ''^iden Gruppen von Erscheinungen nicht notwendig zusammen- gehören, dass es Erdstösse ohne Detonationen und unterirdische Geräusche ohne begleitende Erderschütterung gibt, dass aber ^^ Wahrscheinlicher Zusammenhang immerhin anzunehmen ist. ^ nennt auch Boussingault*) zwar den dem Stosse fol- genden Schall eine „Erscheinung für sich**, aber doch eine soJcli^^ deren Eintreten ohne die vorhergehende mechanische Aus- 'ösun gsursache nicht zu erwarten wäre.^) Die akustische Ana- lyse cJer seismischen Begleitphänomene lässt noch zu wünschen übri^ , und es sind dieselben oflfenbar auch in vielen Einzel- lallerx so überaus vielgestaltig, dass die Beschreibung nur schwer ^^ nichtigen Worte findet.*) Dumpfes Rollen und Brausen
*) R. Hoernes, Erdbebenkunde, Leipzig 1893, S. 74 ff. Vgl. auch ^•"^^^bach, Das mitteldeutsche Erdbeben vom G. März 1872; ein Bei- ^^ ^ur Lehre vom Erdinneren, Leipzig 1878, S. HO ff.
^) Boussingault, Sur les detonations constatoes pendant les trenxVilements de terre, Compt. rend. de l'acad frany., 9;5. Band (1881), S. 105 ff.
^) Verbreitet haben sich hierüber auch zwei englische Gelehrte in eiUQ). Jlrjbeben-Monographie (Meldola-White, East Anglian Earthquake ^^ ^Bö4, London 1885, S. 55 ff.).
*) Auf den Santorin-Inseln, wo natürlich die Erdbeben das rein
^^Ikanische Gepräge tragen, hatte Jul. Schmidt Gelegenheit, sich mit
^^ unterirdischen Dröhnen vertraut zu machen. Er unterscheidet:
»"^Usen, Heulen, Orgelton, Pfeifen, liollen, Donner, Lärm, Gurgeln,
^^^Uen* (Vulkanstudien bei Santorin, Gaea, 18. Jahrgang (1882), S. 645).
k
250 Sitzung der math.'phys. Classe vom 6, Juli 1901,
scheint die Regel zu sein; mitunter wird aber auch nur ein einziger, heftiger Knall verzeichnet.^) Die sorgfaltigsten neueren Untersuchungen hierüber haben uns Milne*) und Davison') geliefert, und zumal die Vergleichungen , welche der zweit-* genannte hinsichtlich des Verhältnisses der Verbreitung von Schall und mechanischer Wirkung angestellt hat, dürften sehr geeignet sein, auch auf die dunkle Sache, die uns beschäftigt, einiges Licht zu werfen. Vor allem wird dargethan,*) dass Hörraum und Beschädigungsraum sich durchaus nicht zu decken brauchen, dass es Gegenden gibt, innerhalb deren das Erdbeben starke Zerstörungen ausübt, ohne das Gehör- organ zu beeinflussen. Ueber diejenigen subterranen Geräusche, welche sich ab und zu in furchtbarer Heftigkeit vernehmen lassen, ohne dass auch nur eine stärkere Erzitterung des Bodens parallel ginge, waren schon früher Nachforschungen angestellt worden.^) Es liegt mithin nahe genug, zu vermuten, dass die
^) Ein recht charakteriatisches Vorkommnis dieser Art führt V. Radios an (Historische Erdbebennotizen aus Krain und den Nachbar- ländern, Erdbebenwarte, 1. Jahrgang, S, 17).
2) J. Milne, Note on the Sound Phenomena of the Earthqaakei, Transact. of the Japan Seismological Society, 12. Band, S. 53 ff.
^) Davison, On the Nature and Origine of Earthquake-Sounds^ Geolog. Mag., (3) 9. Band (1892), S. 208 ff.
*) Meldola-Davison, Curious Aerial or Subterranean Sounds, Na — ture, 53. Band (1895), S. 4. „In great earthquakes, the Sound Area » confined to the neighbourhood of the epicentre; in moderate and sligh^t shoks the Sound Area and disturbed area approximately coincide, orth^ Sound- Area niay even overlap the disturbed area. In the limiting cas^- the disturbed area vanishes, and the vibrations are perceptible only *^ sound."
^) Detaillierte Mitteilungen über unterirdisches Rollen sind o^~ durch A. v. Humboldt im ersten Bande des , Kosmos* (Neue Ausga^^^ der Werke, I.Band, S. 148 ff.), durch Perrey (Memoire sur les trembi^ ments de terre ressentis en France, en Belgique et en Hollande depi^ le 4"ie siecle jusqu'ä 1843, Brüssel 1845) und durch Daubree (Les regio^ invisibles de la terre, Paris 1888, S. 121 ff'.) zugekommen. Ersterer 8ch£ ^ dert als den ausgezeichnetsten Fall dieser besonders unheimlichen E^ scheinung die ,.bramidos y truenos subterraneos" in der mexikanischer^ Stadt Guanoxuato, die mehrere Wochen lang anhielten, ohne dass aic^
S, Günther: Äkustsich- Geographische Probleme, 249
erscheinungen auf endogene, dem Bereiche der Erdrinde — oder auch allenfalls des Erdinneren — angehörige Prozesse zu eignen scheinen, in ernste Erwägung zu ziehen. Und damit ist denn auch in neuester Zeit ein viel versprechender Anfang gemacht worden.
Die Herstellung einer Verbindung zwischen Nebel- knallen und Erdbebengeräuschen liegt nahe genug. Die letzteren bilden in den seismologischen Schriften ein stehendes Kapitel, so dass es hier bei wenigen Verweisungen sein Be- wenden haben kann. Hoernes hat die darauf bezüglichen Nachrichten vereinigt und besprochen;^) es erhellt, dass die beiden Gruppen von Erscheinungen nicht notwendig zusammen- gehören, dass es Erdstösse ohne Detonationen und unterirdische Geräusche ohne begleitende Erderschütterung gibt, dass aber ein wahrscheinlicher Zusammenhang immerhin anzunehmen ist. So nennt auch Boussingault^) zwar den dem Stosse fol- genden Schall eine „Erscheinung für sich**, aber doch eine solche, deren Eintreten ohne die vorhergehende mechanische Aus- lösungsursache nicht zu erwarten wäre.^) Die akustische Ana- lyse der seismischen Begleitphänomene lässt noch zu wünschen übrig, und es sind dieselben ofifenbar auch in vielen Einzel- fallen so überaus vielgestaltig, dass die Beschreibung nur schwer die richtigen Worte findet.*) Dumpfes Rollen und Brausen
*) R. Hoernes, Erdbebenkunde, Leipzig 1893, S. 74 ff. Vgl. auch V. Seebach, Das mitteldeutsche Erdbeben vom G. März 1872; ein Bei- trag zur Lehre vom Erdinneren, Leipzig 1873, S. 110 ff.
2) Boussingault, Sur les detonations constatees pendant les tremblements de terre, Compt. rend. de l'acad. fran9., 93. Band (1881), S. 105 ff.
') Verbreitet haben sich hierüber auch zwei englische Gelehrte in einer Erdbeben-Monographie (M e 1 d o 1 a - W h i t e , East Anglian Earthquake of 188-4, London 1885, S. 55 ff.).
*) Auf den Santorin-Inseln, wo natürlich die Erdbeben das rein vulkanische Gepräge tragen, hatte Jul. Schmidt Gelegenheit, sich mit dem unterirdischen Dröhnen vertraut zu machen. Er unterscheidet: „Brausen, Heulen, Orgelton, Pfeifen, Rollen, Donner, Lärm, Gurgeln, Brüllen* (Vulkanstudien bei Santorin, Gaea, 18. Jahrgang (1882), S. 645).
252 Sitzung der math.-pnys. Glosse vom 6. Juli 190 L
vielleicht noch häufiger nur leise Bodenschwankungen und unbestimmte Lufterschütterungen davon Kunde geben, dass sid für einige Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand im Gezimme der Erde herausgebildet hat. Es wäre eine zu enge Fassung wollte man mit Meldola und Davison (s. o.) die LuftknaD als Konsequenzen des nie ganz rastenden Faltungsprozesses i der Erdrinde definieren; ausser den durch Lateralschub be wirkten intrakrustalen Umsetzungen gibt es doch auch doc! andere, und kleine Verwerfungen mögen sich sogar noch hau figer als Fältelungen ereignen. Isseis Bearbeitung des umbri sehen Erdbebens vom 18. Dezember 1897 wirft für diese An nähme * ebenfalls ihr Gewicht in die Wagschale, ^) und nich minder wollen die Wahrnehmungen, welche Delprat*) au Java bekanntgegeben hat, in diesem Geiste interpretiert sein Beim Graben eines Tunnels wird der Gleichgewichtszustan« eines kleinen Teiles der Erdrinde, eben des in angriff genom menen Gebirges, künstlich verändert, und die Reaktion de Felsgesteines wird in Bewegungen der festen Stoffe und durol deren Uebertragung in Luftbewegungen umgesetzt.
Neben den tektonischen Einwirkungen dürfen wir abe auch die explosiven^) nicht ausser acht lassen, welche vo Schlagwettern („grisou") in unterirdischen Hohlräumen hei rühren und natürlich nicht nur an die von Menschen ange legten Bergwerke gebunden sind, wenn sie gleich nur durc ihr Auftreten in solchen zu unserer unmittelbaren Kenntni
1) Barisal Guns, Nature, 61. Band (1899), S. 60.
2) Delprat, Remarkable Sounds, ebenda, 53. Band (1896), S. 51C Beim Bau eines Tunnels hatten sich dumpfe Töne vernehmen lassen, aL ob sie aus dem Inneren des durchbohrten Berges kämen.
^) Jene explosiven Aktionen, die Gerland als Ursache manche vermeintlichen Dislokationsbeben postuliert, sind hier nicht gemeint Wir betrachten vielmehr für unsere Zwecke, im Einverständnis voi\ Gerland selbst (Die moderne seismische Forschung, Verhandl. d« siebenten Internat. Geographenkongresses, 2. Teil, London-Berlin-Pan-' 1901, S. 152), die Erdbeben unter dem Gesichtspunkte der Einheitlicbkeit die sich, ganz unbeschadet der tiefer liegenden Entstehungsursache in Einzelfalle, in den akustischen Folgen zweifellos annehmen lässt.
^t
S. Cfünther: Akustisch- Geographische Probleme, 253
gelangen. Hier war es wieder van denBroeck, der unseren WisseDsstand übersichtlich zusammengefasst und für die Ent- stehung der Luftknalle eine neue Quelle eröffnet hat.^) Die Irforschung eines Naturereignisses, welches Menschenleben und Menschen Wohlstand in so empfindlicher Weise schädigt, hat die ^ l. belgische Akademie, die in einem an Kohlengruben reichen llttide auch dazu berufen war, veranlasst, eine „Section speciale pjpennanente d'ätudes du grisou" ins Leben zu rufen, und diese hat auch schon der für uns wichtigen Frage manchen Vorschub geleistet. Die wertvollen Untersuchungen von Guibal, Forel, Laur, Chesneau u. a. über den Zusammenhang zwischen schlagenden Wettern und Luftdruckschwankungen *^) berühren
*)van den Broeck, La meteorologie endogene et le grisou, Me 1898. Von weiteren einschlägigen Veröffentlichungen des um unser Problem sehr verdienten Belgiers, deren Inhalt wesentlich der Samm- I iwig von Beweismitteln für die Hauptthese gewidmet ist, nennen wir die I iwchstehenden : Les mistpoeffers ou detonations mysterieuses de la Mer g « Nord et des regions terrestres et maritimes circonvoisines , Brüssel *^; Les manifestations grisouteuses et leur prevision, dans ses rapports *»ec la meteorologie endogene et avec la meteorologie atraospherique, F Mttich 1898; Les previsions grisouteuses, recherches preliminaires faites •locasion des „avertissements" de M. Francis Laur, Brüssel 1899; *^ question des mistpoeffers, ebenda 1899; Question k l'ordre du jour: S^on et mistpoeffers, Lüttich 1901. Ferner gehören noch hierher als '^Jchliche Materialiensammlung: Proces-verbaux des seances tenues en 1898 P**" la section permanente etc., Brüssel 1898. Einen teilweise abwei- \ chenden Standpunkt nimmt ein E. Harze (Du grisou, Brüssel 1898).
; ) Das aus den romanischen Ländern, die ja auch die meist be-
otfenen sind, stammende Material ist ausgiebig vorarbeitet worden.
^^gen erfährt man nichts davon, dass auch die deutsche Fachlitterat ur
**^erwiegende Beiträge zur Beurteilung der Beziehungen darbietet, die
^^chen exogener und endogener Meteorologie obwalten, wenn wir für
..^ Augenblick die uns sonst wenig zusagende Nomenklatur De Rossis ^teorologia endogena, Mailand 1879—1882) uns aneignen; es werden
^P^^rch, wie noch mehr durch das auf dem gleichen Boden fussende ^^k von Canu-Gerignj (Precis de meteorologie endogene, Paris 1894)
^^ zu viele heterogene Gegenstände vermengt. Die Arbeiten von Hilt, * ^ayer, v. Friesen ho f, besonders von E. Suess kommen so wenig
^^*' Geltung, wie diejenigen der Engländer Harrics und Latham. Vgl.
254 Sitzung der math.-phys, Classe vom 6, Juli 1901,
uns an dieser Stelle nicht näher; wir halten einfach daran fest, dass auch Minenkatastrophen selbst kleineren Um- fanges Schallerscheinuugen nach sich ziehen, die nockj in grösserer Entfernung als vages Geräusch geioitj werden. Die Bedingungen haben GuibaP) und van dei! Broeck näher zu bestimmen gesucht; der letztere namentfiek] auch in seiner Polemik^) gegen Harz^, welcher an derlteaBl.j der Mistpoeffers einige Zweifel verlautbart hatte. Demgemi können wir jetzt die sogenannten Nebelknalle, die mit de Nebel gar nichts und mit der Atmosphäre nur insofern fll thun haben, als diese die Fortleitung der ihr erteilten Irapnitj besorgt,^) in zwei Gruppen sondern.
Es gibt diffuse Knalle und Schuss-ähnliche De- tonationen, die ausschliesslich geotektonischer Her- kunft sind; es gibt auch andere, welche sich auf eiplo*j sive Vorgänge in unterirdischen, von ausströmendeBJ Gasen erfüllten Hohlräumen zurückführen lassen. D*' Umstand, dass das Wasser, dass die Luft in ihrer rasch we(i*'
Günther, Der Einfluss von Luftdruckschwankungen auf die flüssig und gasförmigen Bestandteile der Erdoberfläche, (Gerlands) Beitr8#1 zur Geophysik, 2. Band (1895), S. 71 ff.
^) Guibal, Les explosions de grisou dans lea huillieres, Mens lö**n
2) van den Broeck, Reponse aux observations de M. E. Ha^^ faites au sujet du projet de programme d'etudes du grisou, Bull, d^^ Soc. Beige de Geologie, de Paleontologie et de THydrologie, 2. aoütlff^
3) A. a. 0., S. 8. „Ces bruits naturela consistent vraisamblablem^^ en la transformaticn en ondes sonores de vibrations d'origine terrestre .- ' Die Fi*age, inwieweit die akustischen Begleiterscheinungen der int^ krustalen Umwälzungen in ihrer Verbreitung besonderen Regeln unt^*^ liegen , bedarf noch , wie wir gleich nachher, im Anschlüsse an die A-^' beiten von Knett sehen werden, besonderer Erörterung. Eine wertwl>^ Vorarbeit hiefür lieferte Rudzki (üeber die scheinbare Geschwindi^ keit der Verbreitung der Erdbeben, Beitr. z. Geophysik, 3. Band (1890^ S. 519 ff.). Interessante Perspektiven für die Beurteilung des ZusammeO' banges gewährt eine von Hecker (Ergebnisse der Messung von Boden- -^ bewegungen, ebenda, 4. Band, S. 104) mitgeteilte Beobachtung von Omori, | der damals in Potsdam weilte. Es heisst dort nämlich: „Beim Eintiefieo der Schallwelle verstärkte sich die Bewegung momentan.*
S. Grünther: Akustisch' Geographische Probleme, 255
ilnden Zusammensetzung, dass endlich die verschiedenen Ge- »ins- und Erdarten, aus welchen sich die oberen Erdschichten asammensetzen, die namhaftesten Verschiedenheiten in der 'ähigkeit, den Schall fortzuleiten, aufweisen, bedingt es, dass im men Falle die Erschütterung sich rascher, im anderen minder iBch fortpflanzt, dass die Klänge, je nach den Umständen, aus br Luft, aus dem Wasser, aus den Eingeweiden der Erde zu :ommen scheinen. Verlegt man den Ort, an dem die den Ichall erzeugenden Kräfte thätig sind, unter die Erdoberfläche, 0 sind alle die Verschiedenheiten aufgeklärt, welche sich in er Beschreibung der Empfindungen der einzelnen Beobachter erfinden.
Die moderne Ausbildung der seismischen Apparate und ^strierungsmethoden setzt uns, was auch schon van den ►roeck und sein Mitarbeiter E. Lagrange hervorheben, wahr- iheinhch in den Stand, die vorstehend dargelegte Deutung er Nebelknalle empirisch zu prüfen. Dessen dürfen wir uns i wohl versichert halten, dass die letzteren für gewöhnlich, usnahmen abgerechnet, von Erschütterungen des Bodens, die ach der gleichgiltige Beobachter zu verspüren befähigt wäre, icht begleitet oder gefolgt sind. Dagegen wird man es nicht ^ unwahrscheinlich halten dürfen, dass zu jedem thatsächlich idogenen Geräusche eine etwas ausgesprochene mikro- ^ismische Gleichgewichtsstörung gehört. Dieselben ttrden sich, wenn man erst in ihrer Erkennung eine gewisse ^bung gewonnen hätte, sowohl von den gewöhnlichen Tre- mors, wie sie Milne studiert hat, wie auch von den periodi- -nen Pulsationen, die uns v. Rebeur-Paschwitz kennen 'trte, wohl unterscheiden lassen.^) Wenn erst eine grössere ^iizahl von Stationen mit exakt arbeitenden seismischen Wellen- ßichnern, seien es nun Vertikalpendel nach Wiecherts oder lorizontalpendel nach Ehlerts Konstruktion, begründet sein
*) Wir verweisen wegen dieser Oszillationen des Erdbodens auf ne frühere Darstellung (Günther, Handbuch der Geophysik, 1. Band, ;iittgart 1897, S. 495 if., S. 271 ff.).
256 Sitzung der niath.-phys. Classe vom 6, Juli 1901,
wird, dürfte sich auch eine tiefere Einsicht in die Zusammen- hänge zwischen Dem, was oben in der Luft und Dem, was unter der Erde vorgeht, mit Zuversicht erhoflfen lassen.^)
Durch unsere Zustimmung zu der schon zum öfteren, nock niemals aber in der hier versuchten Bestimmtheit formuliertei Hypothese, dass man die Entstehungsstelle der Nebel- knalle unter der Erde zu suchen habe,*) hoffen wir der
^) Sehr dankenswerte Mitteilungen einschlägiger Natur verdankei wir in neuester Zeit den „Mitteilungen der Erdbebenkommission der km Akademie der Wissenschaften in Wien." In Betracht kommen besonden die nachfolgenden drei Berichte: Nr. IX, Woldfich, Bericht über die unterirdische Detonation von Melnik in Böhmen am 8. April 1898; Nr.H Knett, lieber die Beziehungen zwischen Erdbeben und Detonationen; Nr. XXI, Bericht über das Detonationsphänomen im Duppauer Gebirg! am 14. August 1899. Knett schlägt vor, den Erdbebenschwärmen aock Detonationsschwärme zur Seite zu stellen, zu denen er auch die Schall' erscheinungen in der Nähe der venetianischen Stadt Felti'e rechnet (Haidinger, Das Schallphänomen des Monte Tomatico bei Feltie» Jahrb. d. k. k. Geol. Reichsanstalt, 1853, S. 559 fF.). Vor allem wichtip ist Knetts gelungener Nachweis, dass der Sitz der akustischen Vor^ kommnisse wirklich die Erdkruste selbst ist, und dass Schall und Bebak wesentlich die gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit besitzen. Natürlidu— wirken die verschiedenen Einflüsse zusammen, und auch bei den untc^ irdischen Knallen von Duppau (bei Karlsbad) hatte man es mit eine« „ Misch phänomen von vorwiegend akustischer Erregung* zu thun. Knett hält für den Einzelfall die Wahl offen zwischen subterranen Einstürzen, die wir allerdings nur als Teilerscheinung von Dislokationen allgemei- neren Charakters ansprechen möchten, und Druckausgleichen in Ga«- ansammlungen (Explosionen); auch die Duppauer Bodenkrache könnten, da ringsum Säuerlinge der Erde entströmen, sehr wohl durch akute Gas- entbindung veranlasst gewesen sein, wie denn nach Laube (Die geo- logischen Verhältnisse des Mineralwassergebietes von Giesshübel-Saae^ brunn, ebenda 1898) die vertikalen Ausweitungen (, Schlote*) der durch Auswitterung entstandenen „ Zwerglöcher ** mit dem Ausbruche hochg« — spannter Gase in nahem Zusammenhange stehen dürften.
2) Eine scharfe Scheidung zwischen seismischen und vulkanischen Prozessen erschien überflüssig. Die letzteren bethätigen sich nadi. De Rossi auch mikrophonisch gerade wie Erdbebengeräusche (Ein^ interessante Anwtmdung des Mikrophons auf vulkanische EracheinungeD» Ausland, 1879, S. 179),
S, Crünther: Akustisch- Geographische Probleme. 255
sein den Zusammensetzung, dass endlich die vei*schiedenen Ge- steins- und Erdarten, aus welchen sich die oberen Erdschichten zusammensetzen, die namhaftesten Verschiedenheiten in der Fähigkeit, den Schall fortzuleiten, aufweisen, bedingt es, dass im einen Falle die Erschütterung sich rascher, im anderen minder rasch fortpflanzt, dass die Klänge, je nach den Umständen, aus ier Luft, aus dem Wasser, aus den Eingeweiden der Erde zu kommen scheinen. Verlegt man den Ort, an dem die den Schall erzeugenden Kräfte thätig sind, unter die Erdoberfläche, so sind alle die Verschiedenheiten aufgeklärt, welche sich in der Beschreibung der Empfindungen der einzelnen Beobachter vorfinden.
Die moderne Ausbildung der seismischen Apparate und Registrierungsmethoden setzt uns, was auch schon van den Broeck und sein Mitarbeiter E. Lagrange hervorheben, wahr- scheinlich in den Stand, die vorstehend dargelegte Deutung der Nebelknalle empirisch zu prüfen. Dessen dürfen wir uns ja wohl versichert halten, dass die letzteren für gewöhnlich, Ausnahmen abgerechnet, von Erschütterungen des Bodens, die auch der gleichgiltige Beobachter zu verspüren befähigt wäre, nicht begleitet oder gefolgt sind. Dagegen wird man es nicht für unwahrscheinlich halten dürfen, dass zu jedem thatsächlich endogenen Geräusche eine etwas ausgesprochene mikro- seismische Gleichgewichtsstörung gehört. Dieselben würden sich, wenn man erst in ihrer Erkennung eine gewisse Uebung gewonnen hätte, sowohl von den gewöhnlichen Tre- mors, wie sie Milne studiert hat, wie auch von den periodi- schen Pulsationen, die uns v. Rebeur-Paschwitz kennen lehrte, wohl unterscheiden lassen.^) Wenn erst eine grössere Anzahl von Stationen mit exakt arbeitenden seismischen Wellen- zeichnern, seien es nun Vertikalpendel nach Wiecherts oder Horizontalpendel nach Ehlerts Konstruktion, begründet sein
1) Wir verweisen wegen dieser Oszillationen des Erdbodens auf eine frühere Darstellung (Günther, Handbuch der Geophysik, 1. Band, Stuttgart 1897, S. 495 ff., S. 271 ff.).
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258 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 6, Juli 1901.
Meleda ist eine dalmatinische Küsteninsel, etwas nord- westlich von Ragusa gelegen. Hier erregten im März 1820 dumpf tosende Geräusche, die sowohl auf dem Lande wie aadi auf der umgebenden See gehört wurden, eine kleine Panikj unter den Einwohnern, und noch mehrere Jahre lang machb sich das Poltern, fernem Donner ähnlich, bemerkbar. Itdie- nische und einheimische Gelehrte, Breislak,^) Gonfigliae- chi,*) Stulli^) widmeten der viel Aufsehen machenden B^ scheinung besondere Abhandlungen, und die österreichisek; Regierung sandte in Riepl und Partsch Experte nach des] Eilande. Der von dem letzteren, einem geachteten Mineralogn und Meteoritenforscher, erstattete Bericht*) lief darauf hinan,
^) Breislak, Sülle detonazioni deir isola di Meleda, Mem. deO* Imp. Reg. Istituto del Regno Lombardo-Veneto , vol. IV, adunanza del 24 aprile 1823.
^) Configliacchi, SuUe detonazioni deir isola di Meleda, eVendA, Vol. IV, adunanza del 7 agosto 1823. An dieser Stelle nur Anzeige i« gehaltenen Vortrages. Zugänglich sind heutzutage am meisten die Aoi- Züge, welche von Breislaks, Bossis und Gonfigliacchis Beriditc» auch in des letzteren Zeitschrift übergegangen sind (P. Configliacchi* 6. Brugnatelli, Giomale di Fisica, Chimica, Storia Naturale, Median» ed Arti, (2) 6. Band, S. 417 AT.). Die Arbeit dieses Physikers lässt erkenneo* dass es doch häufig sich wohl empfiehlt, in geologischen Fragen ancv das physikalische Element zur Geltung zu bringen. Er denkt sich 4i* Felsinsel von mehreren Kanälen und Höhlen durchzogen , zu denen d.*^ Wasser des Meeres von unten her Zutritt habe. Steigt dasselbe an, •^ muss es die in den sonst leeren Räumen befindliche Luft zusammeflt' pressen, und dieser bleibt nur übrig, sich irgendwie einen gewaltsame^ Ausweg zu bahnen. Dass ein solcher nicht ohne Krachen und Eriitter«* des Felsgerüstes der Insel erfolgen kann, wird sich, falls man die misse zugibt, nicht in abrede ziehen lassen. Gonfigliacchis Note i dem Anscheine nach ausserhalb ihres engeren Vaterlandes nur weni^ bekannt geworden. Wir wüssten, ausser bei Partsch und Hoernest nur noch eine einzige Zitierung derselben namhaft zu machen, nämücb in einem Aufsatze von Schroetter (Springbrunnen und unterirdischer Donner durch das Meer veranlasst, Steierm. Zeitschr., (2) 2. Jahrganf?. S. 164 ff.).
3) Stulli, SuUe detonazioni dell' isola di Meleda, Ragusa 1823.
*) P. Partsch, Bericht über das Detonations-Phänomen auf der Insel Meleda bei Ragusa, Wien 182G.
S, (Jünther: Akustisch-Geographische Probleme. 259
dass — so würde man sich heute ausdrücken — Erdbeben- schwärme die Schuld an diesen, von eigentlich seismischen Störungen nur ausnahmsweise begleiteten Detonationen trügen. Auch Hoernes ist*) auf das jedenfalls eigenartige Schall- /phaenomen näher eingegangen. Er analysiert die protokoUa- vMchen Feststellungen, die Partsch gemacht hat, näher, und ^ Wnn man das liest, so kann man sich allerdings nicht darüber immdem, dass viele Autoren die „kurz abgebrochenen", für Irgewöhnlich nicht rollenden Knalle einfach den Mistpoeffers ^ «ngliederten. So erwähnt Partsch,*) dass in der Nacht vom 2. zum 3. November 1823 über hundert „einzelne Schüsse'', wie fttis einer Batterie groben Geschützes, gehört wurden, immer in Zeitabständen von je fünf Minuten. Der Kreis, in dessen Innerem die ihre Intensität nach aussen rasch verlierenden Knalle vernehmbar waren, hatte keinen grossen Durchmesser, nnd nennenswerte Beschädigungen von Gebäuden waren einzig in der — offenbar epizentralen — Ortschaft Babinopoglje nach- «Jweisen. Dass eine Erderschütterung mit im Spiele war, lag i-Har zu tage, und es fragt sich nur, wie wir uns, mit Rück- •cht auf die konkreten Ortsverhältnisse, die seismischen Vor- ^ gange zurechtzulegen haben.
Partsch, ganz im Banne der „heroischen" Geologie^) ^es V. Buch und v. Humboldt stehend, geht von dem Grund- «fttze aus, dass Vulkane und Erdbeben nur verschiedene Aeusse- ^''^gen ein und derselben Zustandsänderung im tieferen Erd- nineren seien, und weist auch Breislaks Einsturzhypothese 'nrück, die, worin wir Hoernes Recht geben müssen,*) denn "Och einen weit plausibleren Eindruck macht. Unseres Er- •^^ntens freilich kommt der Wahrheit am nächsten die „ pneuma- tische* Theorie von Configliacchi, welcher seine Paduaner Kollegen Renier, Dal Negro, Melandri und Santini, sowie
*) Hoernes, a. a. 0., S. 292 ff. 2) Partsch, a, a. 0., S. 89 ff.
•) V. Zittel, Geschichte der Geologie und Palaeontologie bis Ende "68 neunzehnten Jahrhunderts, München-Leipzig 1899, S. 85 ff. *) Hoernes, a. a. 0., S. 74, S. 302 ff.
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260 Sitzung der math^-phys. Glosse vom 6, Juli 1901,
der Mailänder Astronom Cesaris und der dortige Physiker Bossi^) ihre Zustimmung gaben.*) Dieselbe hat eben dea Vorzug, dass sie allein auf die Landesnatur Rücksicht nimni Meleda ist, wie die Gesamtheit der dem kroatischen Efi8ieB> lande und Dalmatien vorgelagerten Inseln, Karstland mt nimmt somit an allen den Eigenschaften teil, welche für diei Gebirgsart als typisch anerkannt werden müssen.') Für im Meere benachbartes Karstgebirge ist nun aber auch die Thit Sache charakteristisch, dass seine Gewässer vielfach mitj dem Wasser der offenen See in Verbindung steheB,j und die Existenz solcher unbezweif elter Kanalsysteme schliesttl
^) Bossi, Sülle detonazioni delF isola di Meleda, Mailand 1824.
^) Ohne von diesen Vorläufern Kunde zu besitzen, hatte der Verf schon vor zwölf Jahren die Schallerscheinungen von Meleda als Bestand- teil eines ganz anders gearteten Erscheinungskomplexes angeeprocha (Geophysikalische Betrachtungen über das Stauungsphaenomen und über Naturfontänen, Natur und Offenbarung, 35. Band (1889), S. 11 ff.). Voi den damals dargelegten Anschauungen abzugehen, lag kein Grund vot
3) Speziell dafür, dass das Meer anstauend auf den WasserstMi von Binnenseen des Earstgebietes wirken kann, dienen als Belege dff Öepi5-See in Istrien und der Rothensteiner-See im Küstenland! (vgl. Kraus, Sumpf- und Seenbildungen mit besonderer Berücksichtigoiif der Karsterscheinungen und insbesondere der Katavothrenseen , Mittdl d. Geogr. Gesellsch. zu Wien, 1893, S. 373 ff.). Wie die unaichtbarei Abzugsröhren oder Katavothren die ganze geographische Denkart der antiken Kulturwelt beeinflusst haben, ist trefflich auseinandergesetit worden von C. Neumaun und J. Partsch (Physikalische Geographie voa Griechenland, mit besonderer Berücksichtigung des Altertums, Breelii 1885, S. 255 ff.), sowie von Kretschmer, Die physische Erdkunde im christlichen Mittelalter, Wien-Olmütz 1889, S. 82 ff.). Hierher gehören auch die berühmten Meermühlen von Argostoli (Günther, Handb. d. Geophysik, 2. Band, S. 804 ff.). Die Natur der dalmatinischen Inseb wird behandelt von H. N o e (Dalmatien und seine Inselwelt, Wien 1870, S. 53 ff.) und von K. Hassert (Montenegro, Ergänzimgsheft Nr. 115 w Petermanns Geogi*. Mitteil., S. 45 ff.). Der Verf. forderte Dr. P. Fischer in Innsbruck auf, generell „Meer und Binnengewässer in Wechselwirkung' darzustellen, und diese Studie wird sicher noch im Laufe dieses Jahres in den „Abhandlungen" der k. k. Geographischen Gesellschafk zu Wien publiziert werden.
S. Günther: Akustisch'Geographische Probleme. 261
auch schon den Beweis dafQr in sich, dass das Meer leicht unterirdisch mit den vom Namen Karst nun einmal unzertrenn-
- liehen Hohlräumen des Inneren kommunizieren kann. Sowie .dies zugegeben wird, muss auch jede gegen die Küste ge- ^IJehtete Bewegung ein stossweise erfolgendes Eindringen des ^Üleerwassers in die Klüfte und Adern des anstehenden Gesteines Folge haben, und zwar wird sich dieses Aufsteigen, wie fraglichen Orte des näheren erörtert ward, dem Prinzipe des hydraulischen Widders anpassen.^) Eine Umschau in der erdkundlichen Litteratur führt uns eine ganze Anzahl ähn- licher und auch gleichartig bedingter Erscheinungen zu. Der Anprall des Wassers muss für sich allein schon, ohne dass
i auch nur auf eine heftigere Lufkkompression im Sinne Con- figliacchis bezuggenommen zu werden brauchte, ein dauerndes Dröhnen in kurzen Pausen hervorrufen, und gelegentlich, wenn dieser Anprall ein besonders lebhafter ist, kann es recht wohl auch soweit kommen, dass der Fels zu zittern anfängt, dass ein regelrechtes Erdbeben mit den blossen Detonationen ab- wechselt. Also gerade der Punkt, der bei jeder anderen Auf- fitösung Schwierigkeiten bereitet, wird jetzt einer einfachen Erklärung zugänglich, dass nämlich die akustischen Erschei-
^) Einschlägige Nachweiaungen lassen sich knüpfen an die Bu fa- deres oder Strandspringbrunnen der Kanarischen Inseln (Calderon, £tude8 de geologie physique, Bull, de la Soc. G^ol. de France, (3) 15. Band, S. 38 ff.); ferner an ein ausgezeichnetes Beispiel intermittierenden Strahl- auswurfes, das man auf der Insel Malta beobachtete (Wanderung durch Sizilien und die Levante, 1. Band, Berlin 1834, S. 406; Ann. d. Phys. u. ehem., 33. Band, S. 349 ff.), indem hier das von Stürmen gepeitschte Meer durch ein absichtlich hergestelltes Bohrloch bis zu einer Höhe von 60 Fuss emporspritzte. Pechuel-Loesche hat Bufaderos, die ihm den Eindruck förmlicher Brandungs-Geysirs erweckten, auch an der Küste von Madeira, sowie an derjenigen verschiedener Inseln der Azoren-Gruppe gesehen; andere zur Bildung von Springstrahlen disponierte Oertlich- keiten sind ihm zufolge die Sandwich-Inseln, die Ostspitze von Kuba und, falls die Kalema energisch genug ist, auch die Küste von Kinsembo (Portugiesisch-Westafrika). Und die Ausbrüche des gestauten, in regel- mässigen Pausen in die Höhe geschleuderten Wassers sind stets von heftigem „Gurgeln und Donnern** begleitet.
262 Sitzung der matK-phys. Clasae vom 6, Juli 1901,
nungen als das Primäre, die mechanisch-seismi dagegen als das Sekundäre zu betrachten sind.
Eher möchte man sich, statt dass man diese naturg Theorie verwerfen sollte, über das verhältnismässig Auftreten dieser Wechselbeziehungen zwischen Meer und land wundem. Wir sind allerdings der Meinung, dass si bei genauerem Zusehen häufiger aufgedeckt werden k und dass die Schallphaenomene , die sich in den geg« Meer hin offenen Nischen und Höhlen manifestieren, ein löge Ursache haben. Zumal von der bekannten Fingais auf der Insel Stafa, der ja schon mancher Besucher ui Schreiber mysteriöse Töne zugeschrieben hat, wird sie vermuten lassen. An die Stelle der Karstzerklüftung ij diejenige getreten, welche den charakteristischen Absonde formen des Basaltes entspricht. Und es ist mehr denn scheinlich, dass, wenn erst alle gelegentlich gemachten ungedruckt gebliebenen Beobachtungen verwandten 6e das bereits vorhandene Material vermehrt haben würden Detonationen, welche zum Typusvon Meleda zu n sind, nicht minder in zahlreichen Fällen als solche : kennen wären. —
Unsere Uebersicht über die akustisch-geographischei kommnisse hat hiemit ihren Abschluss erreicht. Als nicht unerheblichen Nutzen derselben sind wir vorn! anzusehen geneigt, dass der bislang auf diesem Gebiei stehenden Anarchie ein Ende bereitet und eine jede uni sehr vielen Einzelerscheinungen an den Platz gestellt v ist, der ihr auf Grund kritischer Prüfung der von ihi
^) Eine solche Wahrnehmung stellten Prof. Rothpletz un Oberhummer zur Prüfung, die, an einer in den Kochel-See 81 fallenden Felswand hingehend, sonderbar säuselnde Töne vernahm deren Provenienz sich nirgends ein Anhaltspunkt finden lassen Dass alternierendes Ein- und Ausströmen des mit zerklüftetem t sich berührenden Wassers Töne hervorbringen kann, ist gewiss, i lokaler Augenschein würde vielleicht darüber vergewissern, ob die fassung des Sachverhaltes stichhaltig ist oder nicht.
S. Günther: Akustisch'Geographische Probleme, 261
auch schon den Beweis dafQr in sich, dass das Meer leicht unterirdisch mit den vom Namen Karst nun einmal unzertrenn- lichen Hohlräumen des Inneren kommunizieren kann. Sowie dies zugegeben wird, muss auch jede gegen die Küste ge- richtete Bewegung ein stossweise erfolgendes Eindringen des Meerwassers in die Klüfte und Adern des anstehenden Gesteines ^m Folge haben, und zwar wird sich dieses Aussteigen, wie . am fraglichen Orte des näheren erörtert ward, dem Prinzipe : des hydraulischen Widders anpassen.*) Eine Umschau in der erdkundlichen Litteratur führt uns eine ganze Anzahl ähn- l Kcher und auch gleichartig bedingter Erscheinungen zu. Der ' Anprall des Wassers muss für sich allein schon, ohne dass ;.auch nur auf eine heftigere Luffckompression im Sinne Con- ^'' figliacchis bezuggenommen zu werden brauchte, ein dauerndes ' Dröhnen in kurzen Pausen hervorrufen, und gelegentlich, wenn f dieser Anprall ein besonders lebhafter ist, kann es recht wohl auch soweit kommen, dass der Fels zu zittern anfangt, dass ' ein regelrechtes Erdbeben mit den blossen Detonationen ab- ■ wechselt. Also gerade der Punkt, der bei jeder anderen Auf- ' fassung Schwierigkeiten bereitet, wird jetzt einer einfachen Erklärung zugänglich, dass nämlich die akustischen Erschei-
^) Einschlägige Nachweisungen lassen sich knüpfen an die Bufa- der OS oder Strandspringbrunnen der Kanarischen Inseln (Calderon, fitudes de g^ologie phjsique, Bull, de la Soc. Gäol. de France, (3) 15. Band, S. 38 ff.); ferner an ein ausgezeichnetes Beispiel intermittierenden Strahl- auswurfes, das man auf der Insel Malta beobachtete (Wanderung durch Sizilien und die Levante, 1. Band, Berlin 1834, S. 406; Ann. d. Phys. u. ehem., 33. Band, S. 349 ff.), indem hier das von Stürmen gepeitschte Meer durch ein absichtlich hergestelltes Bohrloch bis zu einer Höhe von 60 Fuss emporspritzte. Pechuel-Loesche hat Bufaderos, die ihm den Eindruck förmlicher Brandungs-Geysirs erweckten, auch an der Küste von Madeira, sowie an derjenigen verschiedener Inseln der Azoren-Gruppe jfesehen; andere zur Bildung von Springstrahlen disponierte Oertlich- keiten sind ihm zufolge die Sandwich-Inseln, die Ostspitze von Kuba und, falls die Kalema energisch genug ist, auch die Küste von Kinsembo (Portugiesisch- Westafrika). Und die Ausbrüche des gestauten, in regel- mässigen Pausen in die Höhe geschleuderten Wassers sind stets von heftigem „Gurgeln und Donnern" begleitet.
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ler kosmische Staubmassen und das Zodiacallicht.
Von H« Seeliger.
{Sinffdaufen 6. Juli.)
Die Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen habe in zwei Abhandlungen*) entwickelt. Veranlasst wurden J Untersuchungen durch den Wunsch, über die Verhält- S welche der Satumring darbietet, in's Einzelne gehende ichlüsse zu erhalten. Hiezu waren ziemlich weitgehende vicklungen nöthig, die ich besonders in 11 in solcher All- Einheit durchgeführt habe, dass in der Hauptsache die be- enden Probleme als gelöst betrachtet werden können. Unter staubförmigen kosmischen Massen oder kosmischen bwolken hat man Aggregate von Massen zu verstehen, ci gegenseitige Entfernungen im Vergleich zu ihren Di- sionen gross sind. Dabei wird man in den meisten Fällen Cheorie nur unter der Voraussetzung zu entwickeln haben,
das genannte Verhältnis sehr gross ist, da es sich um ; genaue Formeln nicht handeln kann. Nichts hindert in- in, dass man, ähnlich wie in der kinetischen Gastheorie, :i Schritt weiter geht. Ganz genaue Formeln, die also
auf Ansammlungen dicht gedrängter Theilchen anwendbar
aufzustellen, dürfte indessen bedeutende Schwierigkeiten ieten. Solche weitergeführte Entwicklungen verlangt die
*) I. Zur Theorie der Beleuchtung der grossen Planeten, insbeson- des Satumringes. Abhdl. der bayer. Akademie der W. Bd. XVI.
-hen 1887. IT. Theorie der Beleuchtung staubförmiger kosmischer
en etc. Ebenda, Bd. XVIII. München 1893.
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266 Sitzung der math.-phys. Classe vom 6, Juli 1901.
Astronomie zunächst nicht, denn die bisher bekannt gewordenen kosmischen Staubwolken enthalten nur sehr dünn vertheilte Materie.
Die Theorie erfordert nicht die Annahme kugelförmiger Gestalt der einzelnen die Staubwolke zusammensetzenden Theil- chen, man darf aber diese Annahme machen, ohne die Allge- meinheit zu gefährden. Bei der obigen Definition der Staub- wolken, umfassen diese sehr verschiedene kosmische Gebilde z. B. den Saturnring und das Zodiacallicht, aber auch, gewisser- maassen als Specialfälle, selbstleuchtende oder theilweise selbst- leuchtende Massen, wie die Sternhaufen, wahrscheinlich auch die sogenannten Spiralnebel und schliesslich gehört der ganze sichtbare Fixsterncomplex dazu. Einige Anwendungen auf dea letzteren habe ich gelegentlich einer anderen Untersuchung gemacht.^)
In der vorliegenden Arbeit möchte ich mir erlauben'» einige Punkte der früheren Entwicklungen in Betreff der Be- leuchtung an sich dunkler Staubwolken näher auszuführen uia<i einige Bemerkungen über das Zodiacallicht hinzuzufügen.
1.
Wir denken uns die Staubwolke — den obigen Bemerkungen'«^ gemäss — aus n gleichen Kugeln vom Radius q bestehend um.^ die Lichtquelle sowie den Beobachter in so grosser Entfernung von ihr, dass die Veränderlichkeit dieser Entfernung von Kug^J zu Kugel nicht in Frage kommt. Dann wird, wenn zunäch^* von der gegenseitigen Beschattung und Verdeckung der eil»-' zelnen Kugeln abgesehen wird, die Gesammtlichtmenge, weld»^ diese n Kugeln dem Beobachter zusenden,
wo r" eine Constante ist. Ist M die Gesammtmasse dieser n Kugeln, so wird
^) lieber das Newton'sche Gravitationsgeaetz. Sitzungsberichte ä^ Münchener Akademie 1896.
H. Seeliger: Kosmische Staubmassen und das Zodiacällicht, 267
Q = r' — = yV]iPn, (1)
Q
o y und F weder von M noch von w und ^ abhängen. Be- 5gt man, woran festgehalten werden soll, stets denselben Raum lit Kugeln, so wird die mittlere Flächenhelligkeit der Staub- rolke ebenfalls durch (1) dargestellt, wenn nur y eine andere Jonstante, wie früher, bedeutet. Zertheilt man demnach die-
lelbe Masse M in eine Anzahl Kugeln, so wird die Licht-
1 3
menge der entstehenden Staubwolke mit — oder yn wachsen,
Q
d.h. je kleiner die einzelnen Kugeln sind, desto heller wird unter sonst gleichen Umständen die Staubwolke sein. Die sehr hellen sogenannten leuchtenden Nachtwolken stellen u. A. ^iche Ansammlungen sehr kleiner Theilchen dar, wofür ja auch ihr sehr langes Verweilen in so überaus grossen Höhen Pricht.
Von selbst ist klar, dass die Formel (1) nur innerhalb ß'^isser Grenzen gelten kann, denn sonst könnte Q über alle lenzen hinaus wachsen. Der Grund, weshalb das nicht ge- 'lielt, ist leicht zu finden. Je kleiner q bei festgehaltenem "^v-ird, desto mehr treten die gegenseitigen Beschattungen ^ Bedeckungen der einzelnen Kugeln in Wirksamkeit und fcommt es, dass Q über einen gewissen endlichen Betrag ''^t hinauswachsen kann.
Sehr leicht zu übersehen sind die Verhältnisse bei einer ^J^ciimensionalen Vertheilung der Kugeln. Wir nehmen z. B. die Mittelpunkte der Kugeln liegen innerhalb eines be- '^^ten ebenen Flächenstückes F. Dann wird Q zunächst ^er Verkleinerung von g wachsen. Bei fortgesetzter Ver- '^^^erung der Kugeln werden diese aber schliesslich das *^^enstück F so dicht besetzen, dass sie sich gegenseitig be- "^^en und eine weitere Verkleinerung von g kann demnach ^■^t erfolgen.
Nennt man für diesen Grenzfall o die Höhe des gleich- ßitigen Dreiecks, in dessen Spitzen je 3 sich berührende ^^geln stehen, so ist
268 Sitzung der math.-phys. Glaaae vom 6, Juli 1901.
a = 2 ^ sin 60<> = ^ "^3
und je grösser n ist, desto genauer wird die Formel sein
2nQo = F,
Nennt man noch P das Gesammtvolumen aller Kugeln udI d die Massendichtigkeit einer jeden, so ist
Der kleinste zulässige Werth von q ergiebt sich hieraus:
^ 2n 'F 2n F'd
und der Maximal werth vom n ist demnach:
2 TT» F^
n =
2lVZ P^'
Nennt man weiter den Maximalwerth von Q : Q^ und Werth von Q für ein bestimmtes gegebenes n = w^ : Qhö» ^*'' man der besseren Uebersicht wegen F=a^ und V=^a^^ so wird:
e_/2.^Y.im*=0.751.i
Qno \27YsJ n^\PJ n*
V:P=A ist umso grösser, je dünner die Massenvertheilunj ist. ^0 wächst also mit A^ und kann für grosse A bedeuteß^ werden. Die Durchsichtigkeit einer solchen Staubschic» nimmt, wie von selbst klar ist, mit der Verkleinerung von ß also der Vergrösserung von n ab.
Ganz ähnliches gilt nun auch für dreidimensionale Statte wölken. Die Entwicklungen in I und II geben hierüber nac jeder Richtung Auskunft. Infolge der gegenseitigen Bescba) tungen und Verdeckungen der einzelnen Theilchen ergiebt sie auch hier ein Maximalwerth für die Flächenhelligkeit ein Staubwolke, dem man sich durch fortgesetzte Zerstückelung i gegebenen Gesammtmasse nähert. Es tritt aber noch €
H, Steliger: Kosmische Staubmassen und das ZodiacallichL 269
jrer Umstand hinzu. Nennt man die Lichtquelle „ Sonne" den Winkel an der Kugel im Dreieck Sonne-Kugel-Beob- «r, also den Phasenwinkel, a, so wird die Helligkeit einer ibwolke von a abhängig sein und im Allgemeinen mit Ver- Qerung von a zunehmen. Die näheren Umstände dieser ahme hängen von dem elementaren Beleuchtungsgesetz für treut reflectirende Substanzen ab und sind deshalb nicht lussetzungslos angebbar. Die gewöhnlich angewandten photo- rischen Elementargesetze für glatte Oberflächen geben für Qe Variationen von a und besonders in der Nähe des rthes a = 0 nur sehr kleine Variationen der Helligkeit, tzdem können hier sehr beträchtliche Helligkeitszunahmen tfinden, die bei nahezu undurchsichtigen Staubwolken ihre igkeit auf das Doppelte erhöhen, wenn man von sehr kleinen u dem Werthe a = 0 übergeht. Dieses Resultat ergiebt aus der Ueberlegung, dass für a = 0 die beschatteten lle der Staubwolke zugleich die verdeckten sind und schon geringfügiger Vergrösserung von a die beschatteten Theil- sichtbar werden und somit die mittlere Helligkeit der bwolke abschwächen müssen. Die quantitative Verfolgung s Phänomenes ist in I und H geschehen. Dasselbe spielt er Theorie der Beleuchtung des Saturnringes eine beson- wichtige Rolle und ist hier als sehr aufföUig durch die Pachtung constatirt. Bei sehr durchsichtigen Staubwolken s dagegen von untergeordneter Bedeutung. Hier soll da- gänzlich abgesehen werden, wodurch eine grosse Verein- ung in der Betrachtung eintritt.
Bei den folgenden einfachen Rechnungen sollen die in I II getrofifenen Festsetzungen beibehalten werden. Es seien
A und zlj die Entfernung einer Kugel vom Beobachter «^. von der Sonne, deren Radius R sei. Dann ist die Licht- ge Q (a), welche eine Kugel vom Radius q beim Phasen- cel a dem Beobachter zusendet:
270 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Jtdi 1901,
Hierbei ist // die Albedo nach der von mir eingefölirte Definition*) und ferner:
71 JB
P==r tgidif^? (cos i, cos e) sin e d e
0 0
1 7t 71
f(a) = — p f sin 1? d 1? f 9? (sin i> sin (cw — a) , sin t? sin ü))di
0 a
wobei (p das elementare Beleuchtungsgesetz bedeutet. Bei i bekannten Unsicherheit darüber, welchen Ausdruck man für am besten anzuwenden hat, empfiehlt es sich mehrere mo liehst einfache bezw. mehr oder weniger erprobte Annahm zu machen. Die neuere Photometrie hat besonders auf di solche Annahmen hingewiesen, nämlich:
^ V . ^. cos i cos € -.V
1) a? = cos^cosc, 2) w = r—, , 3) a? = cosi
cos ^ + cos e
wo i und £ Incidenz- und Emanationswinkel bedeuten. Die di Annahmen sind als das Lambert'sche Gesetz, das Absorptior gesetz und das Gesetz von Euler bekannt. Für diese 3 A nahmen ist der Reihe nach P = ^i ^ und 1, wodurch wii
1) f^ (a) = f [sin a -f- (tt — a) cos a]
2)/;(a) = ^
1
sm ^ OL I J— lognat cotg \ a
7z ^ a
3) /'s(a) = 2 -cos»-.
(v 7
die Lichtmenge ist, welche ein senkrecht der Sonnenstrahlu ausgesetztes Flächenelement = 1 in der Entfernung Jj erhi Für genügend grosse zdj, für solche nämlich, für wel(
4 sin* — = sin* o gesetzt werden darf, — o ist der scheinbi
1) I art. 5.
H. Seeliger: Kosmische Staübniassen und das Zodiacallicht, 271
)nnenradius — ist tt l — j der scheinbare Flächeninhalt der
)nnenscheibe, von der betr. Kugel aus gesehen, und J ist jmnach die scheinbare Flächenhelligkeit der Sonne, also völlig labhängig von Ay Bezeichnet Jm die mittlere scheinbare lächenhelligkeit der Mondscheibe und ist om ihr Radius, I kann man setzen^):
/.ö* = e7jrai. 569500.
Betrachten wir nun nur — der Einfachheit wegen — eine omogene Staubwolke vom Rauminhalt R^ Die Zahl aller 1 Jßj enthaltenen Kugeln sei N. Dann ist die scheinbare lächenhelligkeit H in einer von einem Punkte ausserhalb der Tolke gezogenen Richtung, welche die Wolke in zwei Punkten und 2 schneidet, wo die Strecke 12 = X ist, gegeben durch:
S^r^-^S^-^--fia)äh. (1)
h und Äj sind die innerhalb der Staubwolke gelegenen töcke der Geraden, welche von dem betrachteten Punkt in i zum Beobachter bezw. zur Sonne gezogen werden. Ferner t gesetzt worden:
A = ^-, r=j.^B\ (2)
Ist, wie früher, P der Raum, den alle Kugeln zusammen ^nehmen, so wird:
Hl Q Q -Kl
S ist das Maass für die Dichtigkeit der Massenvertheilung. tzt kann man H auch schreiben :
H=--k^^-fia)dh. (3)
Wenn der Beobachter und die Sonne soweit von der Staub-
1) Müller, Photometrie der Gestirne S. 315.
272 Sitzung der math.-phys. Classe vom 6, Juli 1901.
wölke entfernt sind, dass ihre Dimension dieser EntfenMfflj! gegenüber sehr klein ist, hat man:
Einer beliebig weit fortgesetzten Zerstückelung der HaM durch Verkleinerung von ^, steht hier nichts im Wege. All für ^ = 0 nähert sich H einem endlichen Grenz werthe, i 0 (A) für A = cx) endlich bleibt.
Für A = 00 wird aber die Staubwolke unendlich wenii
durchsichtig. Zu dem Integrale ^(i) können dann nur Schichte!
einen Betrag liefern, für welche h und Aj unendlich klein sW
Zieht man an der Stelle der Oberfläche der Staubwolke, m
welche sich die scheinbare Helligkeit fi" bezieht, die Tangential
ebene und nennt man i und e den Incidenz- bezw. EinanatioBS
winkel der von der Sonne empfangenen bezw. dem Beobachte
zugesandten Strahlen, so wird, von etwaigen singulären Punkte
der Oberfläche abgesehen:
, h cos e
K = -
' cos l und es wird demnach für A = oo :
00 , , cos I + cos £ «I^Q i
$ (A) = ;i f e-'"— ^^"- dh = — ^ —
"^Q cos t -|- cos e
d. h. die Staubwolke reflectirt das Licht wie ein fester glatti Körper, dessen Oberfläche das Absorptionsgesetz (2) befolj und dessen Albedo vom Phasenwinkel abhängt. Daraus ergi«' sich z. B. die Lichtmenge einer kugelförmigen Staubwolke va Radius S^\
WO f^(a) der obige Ausdruck (S. 270) ist und f{a) das Element« gesetz ausdrückt, welchem die einzelnen Kugeln folgen.
Für zwischen 0 und oo gelegene Werthe von Jl ist J Ausrechnung des Integrales im Allgemeinen recht verwicke wie das Beispiel einer kugelförmigen Staubwolke zeigt, das i<
iSl Sediger: Kosmische Stauhmassen und das 2odiäcdllicht 273
I (S. 12 ff.) behandelt habe. Um ein möglichst einfaches ;piel zu betrachten, soll eine von zwei parallelen Ebenen, Abstand X, begrenzte Staubschicht vorliegen und es be- e sich sowohl die Sonne als auch der Beobachter auf der- en Seite der Schicht. Bezeichnet wieder i und e Incidenz- Emanationswinkel und x die Tiefe des betrachteten Volum- lentes unter der oberen Grenzebene, so ist:
üD sc
\ = : ; h =
cos i cos e
Die Integration ist dann sofort ausführbar und man hat:
cos i (^ xx'-^'±^^\
COS i + COS e \ /
Bezeichnet man also:
^ ^ cos i -\- cos e COS i cos e wird:
H^-^J{a)^ ^ ¥; ¥=l-e-^e. (4)
!P nimmt mit abnehmendem q fortwährend zu und erreicht r ß = 0 sein absolutes Maximum. Sobald i > 90® gelten die >rmeln nicht mehr. Ohne auf diesen leicht zu erledigenden ill näher einzugehen, sei nur hervorgehoben, dass dann jeden- Us für i = 0 und für A = oo H= 0 sein muss — im letz- ten Fall liegt eine von hinten beleuchtete undurchsichtige hiebt vor — so dass also das Maximum der Helligkeit für »en dazwischenliegenden Werth von k stattfinden muss.
Ich betrachte nun den Fall, wo die Sonne innerhalb der ^ubwolke, der Beobachter dagegen in sehr grosser Entfer- ^g ausserhalb liegt. Die Formel (3) gilt dann, wenn nur ^= Jj gesetzt wird. Da hier f{a) innerhalb des Integrales It, ist eine weitere Entwicklung der Formel von der Wahl ä elementaren Beleuchtungsgesetzes abhängig.
Fällt man von der Sonne eine Senkrechte s auf die vom ^bachter zum betrachteten Volumelement gezogene Gerade
1901. SitEungsb. d. math.-phys. GL 19
rvi
:^^:5i
274 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 6. Juli 1901.
und ist m der Abstand des Fusspunktes dieser Senkrechten ? der Eintrittsstelle der genannten Geraden in die Staubwoll so hat man:
Ä = m + 5 cotg a ; h -{■ A' = m •\' s cotg ^
dt
und es ergiebt sich aus (3):
TT J- ^ ^— ^w» /T'^— A»cotg ia r r \ J
if= e \ e * 'f(a)aa,
TZ s ^ # \ / 7
«1 wo Qq und Qj die Werthe von a für die Eintritt- und Austrii stelle bedeuten. Setzt man noch:
0
so wird:
Die Integrale W sind in jedem Falle leicht numerisch a zuwerthen. Ich habe beispielsweise eine kleine Tafel für Lambert'sche Gesetz berechnet. Hier ist:
f (n — a) = f [sin a — a cos a].
Die am Schlüsse mitgetheilte Tafel ist nicht nach ( Argumente v, sondern nach v^ = 0.43429 v geordnet giebt eine genügende Uebersicht über den Verlauf der Fi tion W zwischen r^ = 0 und v, = 1. Es sollen nun eil numerische Nachweise zu den vorstehenden Formeln gegc werden.
Da die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Moni von der Erde aus gesehen — nicht wesentlich verschieden j so hat man:
r = iU'JM'R^' 569500.
Betrachtet man zuerst eine Scheibe von Staubmaterie von ausserhalb beleuchtet wird, so ist nach (4) das Maxi ihrer Helligkeit:
H, Sediger: Kosmische Statibmcissen und das Zodiacallicht, 275
r cos t
71 AI cos i + cos e
^= /ff^y. 569500. Aa) '"''
Jji n \AJ
cosi -|- cos 6*
Drückt man zl, in Einheiten der Entfernung Sonne-Erde j, so wird:
gmax_.oo^^, A«) cosi 1
Jm ^ cos i -|- COS c Ai
-^ ist für a = 0 für die drei oben betrachteten Beleuch-
71
igsgesetze der Reihe nach f , ^, ^ und für a = 90^ grösser
COS 1f
i. Da für i = e, t—, = 4 ist, so kommt man leicht
cos i -j- cos e
F Maximalhelligkeiten :
ß für Jj = 1000 (etwa 30 Neptunsweiten):
fimax = e7ir.2.10-V
?iebt. Eine solche Flächenhelligkeit würde also z. B. eine
iubwolke haben können, die eine Parallaxe von 0^0 1 be-
zt und von einem Sterne von der Grösse 10.4 beleuchtet
fd, der in einer Entfernung von 10" sich von ihr befindet.
r schon recht dunklen Oberflächen entsprechende Albedowerthe
fd man so, in dem angenommenen Falle, auf Flächenhellig-
ten
H^Jm-Y' 10-'
itihrt, wo y einige Einheiten ausmacht. Diese Zahl ver- issert sich im quadratischen Verhältnis mit der Annäherung Sternes an die Staubwolke.
Liegt der Stern innerhalb der Staubwolke, so ist nach (5):
TT pyCOtgOQ
^=^,ix 3.93 • ^- { ^. in - «,) -W^{n- a,)\.
du S
19*
276 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Jtdi 19Ö1,
Nimmt man z. B. a^ ganz beiläufig in der Nähe von Na a^= 130^ V, = 0.2, so ergiebt sich mit Hülfe der Tabelle
0.94
Ist n** die jährliche Parallaxe der Staubwolke in Secuni 5" der in Secunden ausgedrückte Abstand des Sternes, von (k selben Leuchtkraft wie die Sonne, von dem betrachteten Thei der Staubwolke, so ist
,"=n"Y^-
' e/jf.
H
Setzt man z. B. -y- = A • 10-^; n = 0:01; /i =i («
sprechend einer Albedo, die zwischen der des Mercur und Mi liegt), so ist ungefähr:
Auch in diesem Falle macht es keine Schwierigkeiten der Entfernung von mehreren Secunden von einem schwächer Sterne Flächenhelligkeiten der Staubwolke zu erhalten, die to Range 10"*^ der mittleren Flächenhelligkeit der VoUmondscha sind. Es ist dabei nicht ausser Betracht zu lassen, dass 8e wahrscheinlicher Weise die meisten Sterne eine viel bedeutende Leuchtkraft als die Sonne besitzen. Man kann demnach i berechneten Werthe auch für beträchtlich kleinere Parallöi als OrOl gelten lassen. In beiden Fällen sieht man abo d« Nebelmassen in der Nähe von Sternen. Es fragt sich m aber, ob Nebelmassen von der angenommenen Flächenhelligw überhaupt bemerkbare Objecte sind.
Die Bestimmung der Flächenhelligkeit von ausgedehnt» lichtschwachen Gebilden am Himmel ist bisher nur in wenig« Einzelfällen und auch hier nur mit geringer Zuverlässige durchgeführt worden.
Namentlich ist man nur sehr selten über relative HeBij keitsschätzungen von Gebilden unter sich hinausgekommen ^
H. Seeliger: Kosmische Staubmassen und das Zodiacallicht. 277
iziehungen auf bestimmte, also gewissermaassen absolute Ein- iten sind fast gar nicht vorhanden. Als eine solche Einheit ipfiehlt sich die oben benutzte, nämlich die mittlere Flächen- lUigkeit der Vollmondscheibe oder diese Helligkeit mit einer gativen ganzen Potenz von 10 multipliciert. Behält man I erstere als Einheit bei, so werden die reciproken Flächen- iligkeiten, die ich mit Ä bezeichnen will, selbst der hellsten öbelflecke und noch mehr minder heller Objecte, wie der üchstrasse, allerdings durch grosse Zahlen dargestellt, was äessen wohl kaum bedenklich sein dürfte.
Es mag nun das Wenige, was in dieser Beziehung bekannt , hier erwähnt werden. Es ist sehr zu bedauern, dass man um über sehr vage und unsichere Angaben hinaus gelangen nn, denn die obigen Bemerkungen dürften, abgesehen von dem Fragen, darauf hinweisen, dass mit besser begründeten ststellungen von solchen Flächenhelligkeiten ein recht erheb- kes Interesse verbunden ist.
Der Himmelsgrund ist durch die Sonne oder durch den >llmond nicht gleichmässig erhellt, vielmehr hängt, wie selbst- rständlich, die Flächenhelligkeit der einzelnen Theile des mmels von ihrer Lage zum erleuchtenden Gestirn und von r Höhe des letzteren über dem Horizont ab. Einen genaueren ichweis hierüber hat Herr Wild ^) gegeben. Danach ist z. B.
Azimuthe 90® von der Sonne entfernt das Verhältnis der ächenhelligkeit der Sonnenscheibe zur Flächenhelligkeit des mmelsgrundes y • 10®, wo y eine nicht sehr von der Einheit fschiedene Zahl bedeutet. Ungefähr dieselbe Zahl würde -raus für die in den obigen Einheiten ausgedrückte reciproke 'Uigkeit des Himmelsgrundes bei Vollmond folgen, da Voll- ^öd und Sonne nahe von gleicher scheinbarer Grösse sind.
Statt dessen führt aber Olbers*) — wohl eine der frühe- ^ Angaben in diesem Gebiete — für die Zahl Ä 10* an.
indessen diese Angabe ohne nähere Begründung gemacht
') Bulletin der Akademie in Petersburg. 1876 u. 1877. 2) Olbers Werke I. S. 139.
276 Sitzung der math.-phys, Classe vom 6. Juli 1901,
Nimmt man z. B. a^ ganz beiläufig in der Nähe von KuB, %= 130®, Vj = 0.2, so ergiebt sich mit Hülfe der Tabelle
0.94
Ist 71 " die jährliche Parallaxe der Staubwolke in Secundea, s" der in Secunden ausgedrückte Abstand des Sternes, von der« selben Leuchtkraft wie die Sonne, von dem betrachteten Thdk der Staubwolke, so ist
:"=."]/^
94a* j.
• e/jf.
H
Setzt man z. B. ^ = A • 10"'; n = 0:01 ; f* = i (ent-
Um
sprechend einer Albedo, die zwischen der des Mercur und Man
liegt), so ist ungeföhr:
s" = 15"~-
n
Auch in diesem Falle macht es keine Schwierigkeiten i der Entfernung von mehreren Secunden von einem schwächere Sterne Flächenhelligkeiten der Staubwolke zu erhalten, die toi Range 10""^ der mittleren Flächenhelligkeit der Vollmondscheil sind. Es ist dabei nicht ausser Betracht zu lassen, dass set wahrscheinlicher Weise die meisten Sterne eine viel bedeutender Leuchtkraft als die Sonne besitzen. Man kann demnach di berechneten Werthe auch für beträchtlich kleinere Parallaxe; als OrOl gelten lassen. In beiden Fällen sieht man also dan Nebelmassen in der Nähe von Sternen. Es fragt sich niu aber, ob Nebelmassen von der angenommenen FlächenhelUgkei überhaupt bemerkbare Objecte sind.
Die Bestimmung der Flächenhelligkeit von ausgedehnte; lichtschwachen Gebilden am Himmel ist bisher nur in wenige Einzelfällen und auch hier nur mit geringer Zuverlässigke: durchgeführt worden.
Namentlich ist man nur sehr selten über relative HelUj keitsschätzungen von Gebilden unter sich hinausgekommen ui
• J
H. Seeliger: Kosmische Staubmassen und das Zodiacallicht, 277
Beziehungen auf bestimmte, also gewissermaassen absolute Ein- lieiten sind fast gar nicht vorhanden. Als eine solche Einheit empfiehlt sich die oben benutzte, nämlich die mittlere Flächen- helligkeit der Vollmondscheibe oder diese Helligkeit mit einer legativen ganzen Potenz von 10 multipliciert. Behält man I& erstere als Einheit bei, so werden die reciproken Flächen- l'Uligkeiten, die ich mit Ä bezeichnen will, selbst der hellsten ^ Hebelflecke und noch mehr minder heller Objecte, wie der f Milchstrasse, allerdings durch grosse Zahlen dargestellt, was . indessen wohl kaum bedenklich sein dürfte. i Es mag nun das Wenige, was in dieser Beziehung bekannt ist, hier erwähnt werden. Es ist sehr zu bedauern, dass man kaum über sehr vage und unsichere Angaben hinaus gelangen kami, denn die obigen Bemerkungen dürften, abgesehen von andern Fragen, darauf hinweisen, dass mit besser begründeten Feststellungen von solchen Flächenhelligkeiten ein recht erheb- liches Interesse verbunden ist.
Der Himmelsgrund ist durch die Sonne oder durch den Vollmond nicht gleichmässig erhellt, vielmehr hängt, wie selbst- verständlich, die Flächenhelligkeit der einzelnen Theile des Himmels von ihrer Lage zum erleuchtenden Gestirn und von der Höhe des letzteren über dem Horizont ab. Einen genaueren Nachweis hierüber hat Herr Wild ^) gegeben. Danach ist z. B. im Azimuthe 90*^ von der Sonne entfernt das Verhältnis der Plächenhelligkeit der Sonnenscheibe zur Flächenhelligkeit des ffinimelsgrundes 7•10^ wo y eine nicht sehr von der Einheit verschiedene Zahl bedeutet. Ungefähr dieselbe Zahl würde hieraus für die in den obigen Einheiten ausgedrückte reciproke Helligkeit des Himmelsgrundes bei Vollmond folgen, da VoU- Diond und Sonne nahe von gleicher scheinbarer Grösse sind.
Statt dessen führt aber Olbers*) — wohl eine der frühe- sten Angaben in diesem Gebiete — für die Zahl Ä 10* an. ^^ indessen diese Angabe ohne nähere Begründung gemacht
^) Bulletin der Akademie in Petersburg. 1876 u. 1877. ^ Olbers Werke I. S. 139.
k.
278 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 6, Juli 1901,
ist, dürfte wohl die erwähnte Wild'sche zuverlässiger sein. Bei Vollmond verschwindet nun aber für das freie Auge, die Milch- strasse überall, vielleicht mit Ausnahme der allerhellsten Partien. Hier ist die Helligkeit des Himmelsgrundes um die der Milch- strasse vermehrt. Bleibt diese Helligkeit unbemerkt, so muss der Quotient aus der genannten Vermehrung dividirt durch die Helligkeit des Himmelsgrundes < e sein, wo e eine Zahl ist, die man wohl kleiner als etwa -^ annehmen kann. Danacii
40
würde also für die Milchstrasse für A der Werth — • 10* bezw.
e
— 10® folgen, also werden voraussichtlich auch die hellen Par- tien der Milchstrasse ein Ä aufweisen, das vom Range 10' ist.
Die hellen, besonders einige kleine planetarische Nebel, scheinen eine viel grössere Helligkeit zu besitzen, doch lasserv sich nur ganz unsichere Angaben in dieser Richtung macheim- Die wenigen hierher gehörenden Angaben, deren Nachprüfung und Vermehrung dringend erwünscht wäre, hat Herr G. Mülle^ :■ in seiner Photometrie der Gestirne zusammengestellt.
Nach Herrn E. Pickering sendet der helle planetarisch- ^ Nebel G. C. 4964 soviel Licht aus, wie ein Stern von der Grös&^ 8.6.^) Die Lichtmenge, welche der mittlere Vollmond de- 3 Erde zusendet, ist gleich derjenigen, welche ein Stern von i(^^ Grösse — 11.77 besitzen würde.*) Der genannte planetarisch ^ Nebel ist ungefähr kreisrund und hat nach einer von Herr^ Villiger auf mein Ersuchen angestellten Messung einen DurcL — messer von 21". Hiermit ergiebt sich Ä für diesen Nebel rmji rund 18000. Ferner hat Herr Huggins^) die Flächenhelligkei *• von 3 Nebeln bestimmt, hierbei als Einheit die Flächenhelh'g'— keit einer auf einem nahen Dache aufgestellten Kerzenflamn»-^ genommen und hierfür gefunden:
1) Müller a. a. 0. S. 420.
2) Müller a. a. 0. S. 340.
3) Huggins, Philosoph. Transact. Vol. 156, pari. I, S. 392 ff. a«<^ Müller S. 420.
K Sediger: Koemische Staubmcusen und d(u ZodiacaüicfU, 269
Anderer umstand hinzu. Nennt man die Lichtquelle , Sonne* und den Winkel an der Kugel im Dreieck Sonne-Kugel-Beob- MJhter, also den Phasenwinkel, a, so wird die Helligkeit einer itaubwolke von a abhängig sein und im Allgemeinen mit Yer- ieinerung von a zunehmen. Die näheren Umstände dieser iOiiahme hängen von dem elementaren Beleuchtungsgesetz für erstreut reflectirende Substanzen ab und sind deshalb nicht oraussetzungslos angebbar. Die gewöhnlich angewandten photo- letrischen Elementargesetze für glatte Oberflächen geben für leine Variationen von a und besonders in der Nähe des i^erthes a = 0 nur sehr kleine Variationen der Helligkeit, rotzdem können hier sehr beträchtliche Helligkeitszunahmen attfinden, die bei nahezu undurchsichtigen Staubwolken ihre elligkeit auf das Doppelte erhöhen, wenn man von sehr kleinen zu dem Werthe a = 0 übergeht. Dieses Resultat ergiebt 4 aus der Ueberlegung, dass für a = 0 die beschatteten leile der Staubwolke zugleich die verdeckten sind und schon i geringfügiger Vergrösserung von a die beschatteten Theil- en sichtbar werden und somit die mittlere Helligkeit der lubwolke abschwächen müssen. Die quantitative Verfolgung ses Phänomenes ist in I und II geschehen. Dasselbe spielt der Theorie der Beleuchtung des Saturnringes eine beson- •s wichtige Rolle und ist hier als sehr auffällig durch die 3bachtung constatirt. Bei sehr durchsichtigen Staubwolken es dagegen von untergeordneter Bedeutung. Hier soll da- 1 gänzlich abgesehen werden, wodurch eine grosse Verein- hung in der Betrachtung eintritt.
Bei den folgenden einfachen Rechnungen sollen die in I i H getrofl'enen Festsetzungen beibehalten werden. Es seien o A und zlj die Entfernung einer Kugel vom Beobachter ;w. von der Sonne, deren Radius R sei. Dann ist die Licht- nge Q (a), welche eine Kugel vom Radius q beim Phasen- ikel a dem Beobachter zusendet:
1
280 Sitzung der math.'phys, Glosse vom 6, Juli 1901.
jecte sich beziehen können.^) Ich habe nun Herrn Villiger er- sucht, mit dem schönen Töpfer'schen Keilphotometer, welches mit dem lO^/a zölligen Refractor der Münchener Sternwarte in Verbindung gebracht werden kann, einige passend ausgewählte Nebelobjecte zu vergleichen, was auch im December 1900 und Mai 1901 geschehen ist. Auf die Details dieser Messungen soll hier nicht eingegangen werden. Ich führe nur die resul- tierenden Mittelwerthe von Ä an, wobei für den Nebel G. C. 4964 der obige Werth Ä = 18000 angenommen wurde.
G.G. 4628 Ä= 13900
Ringnebel in der Leyer 61800 DumbbeUnebel 133000
G.G. 4964 18000
G.G. 6826 32100
Andromedanebel 1 6100
Sternhaufen im Hercules ^ ak7(\(\
Messier 13 j
Die mit -4 = 13900 für G.G. 4628 berechneten, oben er- wähnten, Messungen von Herrn Huggins ergeben für:
Ringnebel Ä= 55700
DumbbeUnebel 181000
was immerhin in passabler Uebereinstimmung mit den Bestiiö- mungen des Münchener Keilphotometers steht.
Zu Gunsten der oben angeführten Zahlen dürfte der fi^ den Sternhaufen im Hercules gefundene Werth von Ä sprechen- Nach dem von Herrn Scheiner gegebenen Gatalog ergiebt sieb» dass in dem innersten und dichtesten Theil des Sternhaufen^ (30 Bogensecunden im Quadrat) im Mittel 0.1067 Sterne toi^ der Grösse 12.7 auf dem Areale einer Quadratsecunde steheo- Hieraus ergiebt sich Ä zu 22000. Bei der Unsicherheit, di^ immerhin der Grössenschätzung anhaftet, dürfte die Uebereio-' Stimmung der beiderlei Zahlen befriedigend sein, immer voraus^
^) Um ein homogenes Gesichtsfeld zu erzielen 'wird man zwei gleich^ Keile oder Stücke von solchen, deren Spitzen entgegengesetzt liegen, ^' wenden. Das eine Keilstück wird man am besten fest mit dem Ocul&r* verbinden.
1 Seeliger: Kosmische Staubmassen und das Zodiacalliche. 281
kzt, dass man nur die Grössenordnung von Ä zu be- men versucht.
Endlich kann man auf Grund meiner ^ Betrachtungen über 'äumliche Vertheilung der Fixsterne,* ^) die mittlere Flächen- gkeit nicht zu kleiner Theile der Milchstrasse bestimmen.
ist freilich gegenwärtig nicht ohne Hypothesen möglich, ich a. a. 0. S. 47 S. gezeigt habe, aber einiges Interesse len doch dergleichen Rechnungen haben.
Bezeichnet X eine Grösse, die für die Milchstrasse im Mittel ') ist, Am die Lichtmenge eines Sternes von der Grösse m, lie Stemgrösse, unter welcher die hellsten Sterne an der nze des Sternsystems erscheinen, Am die Anzahl aller Sterne
einem bestimmten Areale des Himmels, z. B. auf einem idratgrad, von den hellsten herab bis zu denen von der >sse m, dann ist:
5_A-(3-A)^ Am = An • 7z wenn m > w
'-m
=^-(fe)
8-A 2
m<w
Femer hat man A« = hn y*»-*», wo log y = — 0.4. Damit ebt sich, wenn y=lognaty ist, für m>w:
3 ;[
h„dÄ„, == — ' An hn /. y2(m-n) . dm
die Lichtmenge aller Sterne zusammen von der Grösse n Zu den schwächsten wird:
j— Anhn/ j y'dx= An hn .
Ebenso findet sich für niKn:
hm dAm = 2~ Anhny*y 2 ^ ^ 'dm
die Lichtmenge aller Sterne zusammen von den hellsten, Welche offenbar genähert m — n = — oo gesetzt werden darf:
*) Abhandlungen der Akademie d. W. zu München. Bd. XIX. 1898.
■' ^?
'"-^1^
282
Sitzung der math.'phys. Classe vom 6. Juli 1901,
— oo
Als Gesammtlichtmenge Q ergiebt sich also:
O-A h (3->t)(5-A)
Was man auch, wenn unter m eine Zahl >n verstände
wird, schreiben kann:
(3 — A) (5 — X)
Q = Ämh„
2(1-A)
(5_A)_(3-A)
^m
Für den typischen Verlauf der Milchstrasse wurde >1 = gesetzt, wodurch wird:
Q = Ämh„--
19 ■ Ä„
Nimmt man für m die Grösse der schwächsten W. Hersche sehen Sterne und schliesst man sich den weiteren Annahmen, i ich a. a. 0. gemacht habe, an, so erhält man für die 4 folg« den verschiedenen Annahmen von m die daneben steheni« Werthe von n:
1) m = 13.5
2) 14.0
3) 14.5
4) 15.0
n = 13.22 12.95 12.86 12.81
Für diese 4 Annahmen hat die Grösse:
S
11
6
1 —
11 h
m
19 K
der Reihe nach die Werthe: 1.08, 0.98, 0.95 und 0.94. Mai kann demnach bei Ueberschlagsrechnungen, um die es sid hier handelt, S=l setzen und es ergiebt sich so:
V — -^w» '^12*
JET. Seeliger: Kosmische Stavbmassen und das Zodiacallicht, 283
Die Lichtmenge eines Quadratgrades von der Flächen- igkeit des Vollmondes wäre — 13.46 Grössenklassen. Für rgiebt sich hieraus:
log ^ = + 10.184 — log -4«; ^ = 1.5 X lO^^ • -^ .
Am ist hier also die Anzahl HerschePscher Sterne auf dem dratgrad. In der typischen Vertheilung ist in der Milch- sse Am etwa = 2000 und
^ = 7^x10«.
Für sehr helle Stellen der Milchstrasse mag J. auf eine üon oder noch auf weniger herabsinken.
Nach den vorstehenden Erwägungen ist also kaum zu be- ifein, dass kosmischer Staub in der Nähe leuchtender Massen
als auf nicht unbeträchtliche Strecken ausgebreitete schwach ihtende Nebelmaterie darstellen kann. Sind die einzelnen ibtheilchen überaus klein, vom Range der Wellenlänge des ites, so werden bekanntlich die kurzwelligen Strahlen in kerem Maasse reflectirt als die langwelligen und die Staub- ke wird sich dann leichter auf der photographischen Platte ;en als dem Auge direct bemerkbar machen.
Es scheint nicht unwahrscheinlich, dass gewisse Theile der ralnebel, auf solche erleuchtete Staubwolken zurückzuführen l. Unsere Sonne ist, worauf das Zodiacallicht hindeutet, von 'r dünnen Staubwolke umgeben, welche über die Erdbahn ausreicht. Sie wird den nächsten Fixsternen deshalb als ein liger Stern erscheinen. Die Nebelhülle ist freilich wenig gedehnt, hat aber, wie leicht zu sehen, für ausserhalb des nensystems gelegene Beobachter durchaus noch merkliche ligkeit, insoweit sie natürlich nicht durch den in ihrer Nähe lenden Stern überstrahlt wird.
2.
Wie schon erwähnt wurde, zähle ich zu den staubfi3rmigen mischen Massen das Zodiacallicht. Unter den mancherlei pothesen, welche zur Erklärung dieses Phänomenes aufge-
284 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 6, Juli 1901.
stellt worden sind, scheint mir die einfachste folgende zu sei Der Raum des Sonnensystemes in der Nähe der Sonne bis Gegenden, welche die Erdbahn jedenfalls noch umschliess- ist ausgefüllt mit Theilchen kosmischen Staubes, welche i Sonnenlicht zurückwerfen. Diese Staubwolke wird sich um e Ebene, in welcher die Axe des Zodiacallichtes liegt, gruppir so dass sie in einer auf die Ebene senkrechten Richtung ei relativ geringe Ausdehnung besitzt. In der genannten Ebe selbst wird sie, da das Zodiacallicht ständige Unterschiede Aussehen, die von der Jahreszeit abhängen, nicht zu zeig scheint, nach allen Richtungen gleich ausgebreitet sein. In i Hauptsache wird also diese Staubwolke die Form einer Rotation Scheibe aufweisen, deren Mitte in der Sonne liegt und c über die Erdbahn hinausreicht. Die Dichtigkeit der Masse vertheilung wird wahrscheinlich von der Sonne nach Aussen abnehmen und es wäre möglich, dass sich die staubformi Materie bei zu grossen Entfernungen von der Sonne nach weis Hesse, aber in viel grösserer Sonnenentfernung, als die der En wird sie jedenfalls überaus dünn und ihr Einfluss also s€ gering sein müssen.
Ob die Axe des Zodiacallichtes wirklich in der Eklip liegt und also die Rotationsaxe der Scheibe senkrecht dan steht, bleibt dahingestellt. Früher hat man daran nicht f zweifelt, neuerdings aber haben zuverlässige Beobachter d gethan. So hat Herr Marchand ^) und ganz neuerdings H( M. Wolf*) gefunden, dass die Axe des Zodiacallichtes eher der Ebene des Sonnenaequators als in der Ekliptik liegend a zunehmen sei.
Die oben erwähnte Ansiclit über das Zodiacallicht drän sich von selbst auf, wenn man sich erinnert, dass auch soe verschiedene astronomische Erfahrungen auf die Anwesenh( kosmischen Staubes, namentlich in der Umgebung der Soni
1) Compt. Rend. Band CXXL S. 1134. 1895.
2) üeber die Bestimmung der Lage des Zodiacallichts und ^' Gegenschein. Sitzb. d. Münchener Akademie d. W. 1900. S. 197— 2C
H, Seeliger: Kosmische Staübmassen und das ZodiaccUlicht. 285
unzweideutig hinweisen. Vor 9 Jahren^) habe ich mich aus- drücklich zu dieser Ansicht bekannt, die auch von anderer Seite, so von dem um die Erforschung des Zodiacallichtes hoch- verdienten A. Searle verfochten worden ist und eine nähere Begründung in Aussicht gestellt. Dass eine solche bisher nicht «folgt ist, lag einmal darin, dass 1 Jahr später Herr Searle^) & Sachlage eingehend beleuchtet hat und ferner darin, dass nnrerlässige photometrische Angaben über die Helligkeitsver- iheilung im Zodiacallicht nicht zu beschaffen waren und meine ägenen dahin gerichteten Versuche einen Erfolg nicht hatten. Eine Aenderung dieser Sachlage ist zwar bisher nicht ein- getreten, aber es ist durch die neuesten Arbeiten von M. Wolf die Aussicht eröffnet worden eine solche erwarten zu können. Henn Wolf ist es in der That gelungen, eine photographische Methode zu finden, welche die Helligkeitsvertheilung im Zodiacal- lichte zu erforschen erlaubt und diese scheint mir demnach flben höchst bedeutungsvollen Fortschritt auf diesem Gebiete «ttubahnen. Man darf also hoffen in nicht zu femer Zeit die «forderlichen photometrischen Daten zu erhalten, welche über die Zulässigkeit oder Unzulässigkeit der einzelnen Ansichten über das Wesen des Zodiacallichts im Grossen und Ganzen zu ^tscheiden gestatten werden.
In dieser Richtung lässt sich freilich, wie ich glaube, *chon jetzt manches sagen und die Ausarbeitung der verschie- denen Theorien im Einzelnen dürfte zur Ausscheidung der einen ^6r andern von diesen, als unzulässig, führen. Eine solche ^öhr ins Detail gehende Beleuchtung hat einer meiner Schüler ^ternonmaen. Ohne dieser vorgreifen zu wollen, möchte ich ^^ hier nur einige ganz kurze allgemeine Bemerkungen er- **uben mit Zugrundelegung der oben erörterten Ansicht über "^ Wesen des Zodiacallichtes. Veranlasst werde ich hierzu wurcli zweierlei Umstände:
*) Üeber allgemeine Probleme der Mechanik des Himmels. Mün- chen 1892.
^) Researches on the Zodiacal Lipfht. Annales of the Harvard Col- %e Observatory. Vol. XIX, H, 1803.
286 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Juli 1901,
Erstens ist in verschiedenen Publicationen, zum Theil yoü populärer Tendenz, mein Name mit Ansichten über das Zodiacal- licht in Verbindung gebracht worden, die ich niemals gehabt und noch weniger ausgesprochen habe. Dann aber sind audi Einwände gegen die oben erwähnte Ansicht vorgebracht worden, die ich bereits a. a. 0. widerlegt habe, ohne freilich diese Widerlegung durch mathematische Formeln unterstützt zq haben. Das letztere möchte ich in allgemeinen Umrissen nun- mehr nachholen.
Die Theorie der Beleuchtung von Staubwolken tritt hier in der einfachsten Form auf, denn die gegenseitige Beschat- tung und Verdeckung der einzelnen Theilchen kann kaum einen bemerkbaren Einfluss ausüben, weil die Masse des Zodiacal- lichtes jedenfalls ausserordentlich dünn verstreut ist, wie der hohe Grad von Durchsichtigkeit dieses Gebildes beweist. Bs wäre möglich, dass hierüber genauere Auskunft durch syste- matisch ausgeführte photometrische Fixsternbeobachtungen öi erlangen wäre, denn wenn eine merkbare Schwächung der das Zodiacallicht durchquerenden Lichtstrahlen stattfindet, müssten Sterne, die in der Nähe der Axe des Zodiacallichtes stehen, Helligkeiten zeigen, die von der Elongation von der Sonne ab- hängen. Die Schwierigkeit einer solchen Untersuchung liegt in dem Umstände, dass man die Sterne bis zu beträchthcher Annäherung an die Sonne verfolgen müsste und somit die Extinction durch die Erdatmosphäre einen bedeutenden Einfluss erhielte. Man würde deshalb wohl ein positives Resultat nur dann erhalten, wenn das Zodiacallicht das Sternlicht um einen nicht zu kleinen Procentsatz schwächen würde. Indessen wäre auch ein negatives Resultat offenbar von wissenschaftlichem Interesse.
Nach dem oben Gesagten werden wir anzunehmen haben,
dass die Anzahl der in der Raumeinheit enthaltenen, das Zodiacal-
N licht verursachenden kugelförmigen Körper -^ (s. oben) eine
Function des Ortes ist. Es soll jetzt mit o der Radius einer der kleinen Kugeln, mit q und r die Entfernung eines Voluni- elementes von der Sonne bezw. von der Erde, schliessUch mit
c-v- -
H, Setiiger: Kosmische Staübm aasen und das Zodiacallicht, 287
ie Entfernung Erde-Sonne bezeichnet werden. Die Flächen- igkeit h eines kleinen Theiles des Himmels, wo das Zodiacal- it sichtbar ist, wird man ganz analog dem Früheren erhalten:
dh= ^'f(a)dr.
Hierin hat <P die Bedeutung:
I also «T, /i, R und f(a) die frühere Bedeutung haben und d I die Dichtigkeit der Massenvertheilung anzusehen ist. Es soll n hier nur die Lichtvertheilung in der Axe des Zodiacallichtes tersucht werden. Dann wird die Sonne im Mittelpunkt eines •eises mit dem Radius P liegen, welcher die staubförmige isse begrenzt. Innerhalb desselben Kreises soll die Erde in r Entfernung a vom Centrum liegen und ferner soll i? der inkel zwischen den Richtungen Erde-Volumelement und Erde- >Dne sein. Die erstere Richtung soll den Kreis in der Ent- mimg Tj von der Erde treffen. Wegen der oben erörterten Dnahme, dass nämlich die Helligkeit des Zodiacallichtes keine ihängigkeit von der Jahreszeit zu haben scheint, wird $ nur J Function von g anzunehmen sein. So ergiebt sich also für J Flächenhelligkeit h in der Elongation i? von der Sonne der isdruck :
h = f^{Q)-f{a).dr. (1)
0
Hierin kann man nach Belieben r, q oder a als Integrations- riable einführen und jede dieser Formen bietet gewisse Vor- öile dar. Dabei sind die Formeln zu benutzen:
^* = r* -j- a* — 2ar cos i?
a sin 1?
sm a =
Yr^ -\- a^ — 2ar cos i?
rj = a cos 1^ + VF'* — a* sin* i?
Führt man q als Integrationsvariable in (1) ein, so •t man:
• i •f<'»'"*'r;'?^
288 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Juli 1901.
, r — a cos 1? , ,
a p = — . rf r = cos a ' ar
Q und zerlegt man das Integral in (1) für: i? • ^ 90® in:
ri acos^ 2aco8^ r*
0 0 acos^ 2aco8^
SO ergiebt sich, wenn noch /^ («) + /* (^ — a) = 9? (a) ges^
wird:
a p
90»
Jcosa "^ ^ ^ J cosa "
acosi^ P
n=[^(^).lMdQ *>
J cosa
90«
(?
Hier ist a zu bestimmen durch:
cos a = -| — Yq^ — a* sin* ^.
Führt man schliesslich a als Integrationsvariable ein:
, , ^ da
dr = — asinü ' . ^ ,
sm' a
so hat man:
Ä = a sin ^ f ^%) . X^ .da, (t
J ^^ sm*a «0
asini? , , ' L T ^ ' asind
wo p = — ; und a« gegeben ist durch sm a« = — =r— luw
sm a u o o " jP
zwar als spitzer Winkel anzunehmen ist. Man kann übrigöö wenn man will, (3) auch in 2 Formeln zerspalten:
7 • n /TJ? N (pMda , , „/^, V f(a)da . ^^^
7» «0
9
(3*:
Ä=asint?f<P(ö).ö^ i?>90«
•^ sm* a
Aus (2) ersieht man sofoii, dass der Verlauf der Hellig- keit des Zodiacallichtes von 1? = 90« bis 180^ also bis »ff
1 •i
H. Sediger: Koamüche Stauibmassen und das Zodiacailieht, 289
Jtelle des Geirensclieines, wesentlich von der Function
° cos a
ibhängt, also Yom elementaren Beleuchtungsgesetz. Für jedes > nimmt hier nämlich a fortwährend ab mit zunehmendem *.
Wemi demnach mit zunehmendem a fortwährend wächst,
cos a
9 wird die Helligkeit des Zodiacallichtes immer abnehmen, irenn man von der Elongation 90*^ bis zur Elongation 180® fort- ichreitet. Thatsächlich zeigen manche Beleuchtungsgesetze diese Bigenschaft. So ist für das Lambert'sche und das Euler^sche hseisz die genannte Function, abgesehen von constanten factoren:
tga + TT — a.
cos* \ a cosa
Wenn man also eine dieser Formeln zur Anwendung bringt, könnte der Gegenschein nicht ohne Weiteres erklärt werden, ^ber durchaus nicht alle Beleuchtungsgesetze zeigen diese Eigen-
cos i cos £
"diaft. So erffiebt das Absorptionsgesetz r— ; eine
° x- D ^Qg ^ _|- cos c
Wction , welche von a = 0 bis a = 20® (ihr Logarithmus
cos a
twa um — 0.007) abnimmt und man wird daraus schliessen, i8s bei Zugrundelegung dieses Beleuchtungsgesetzes die Hellig- äit des Zodiacallichtes bei i? = 180® etwas grösser sein muss, 8 in einer etwas kleineren Elongation. Diese Lichtzunahme t an sich allerdings sehr gering. Es ist aber bekannt, dass e Helligkeit sehr rauher Körper in der Nähe der Opposition el stärker zunimmt, als alle die gewöhnlich benutzten Be- Uchtungsformeln ergeben. So ist diese Thatsache bei der lotometrischen Beobachtung der kleinen Planeten besonders ^tlich hervorgetreten, worauf u. A. auch Herr Searle sehr tchdrücklich hingewiesen hat. Man wird deshalb wohl be- iupten dürfen, dass hier, zunächst wenigstens, ernstliche 'liwierigkeiten für die obige Theorie des Zodiacallichtes nicht >^liegen. Zum mindesten müsste doch erst das Zeugnis von
1901. Sitsimgsb. d. iiuith.-pb78. Cl. 20
290 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 6. Juli 1901,
photometrischen Beobachtungen in der Nähe des Gegenscheines abgewartet werden.
Was den Verlauf der Helligkeit für Elongationen O^* betriflFt, so wird hier die Beschaffenheit der Function $ toi . grösstem Einflüsse sein. Während für den Theil des Zodiacal- lichts zwischen 90° und 180® Elongation nur die LichtreflexiM an Theilchen zwischen q = a bis ^ = P in Frage kommt» treten für kleinere Elongationen immer neue Theilchen, ik näher an der Sonne stehen, mit ins Spiel und daraus folgt ebeo, > dass man h als Function von i? durch passende Wahl von #..^ innerhalb eines weiteren Spielraumes wird darstellen könn^L Eine Einschränkung erleidet die Darstellung eines beliebigen Verlaufes von A(i?) schon dadurch, dass die Function 0 ihrer Bedeutung gemäss nur positive Werthe für alle g haben dart Bei der gegenwärtigen Unkenntnis des thatsächlichen Verlaufee von h kann zunächst nicht auf diesen Punkt eingegang» werden. Vorerst dürfte aber die Behauptung grundlos sein, die hier vertretene Ansicht über das Wesen des Zodiacallichttf könne nicht mit den beobachteten Thatsachen in Einkkng gebracht werden.
Mit Sicherheit dürfte anzunehmen sein, dass die Hellig- keit des Zodiacallichtes von kleinen Elongationen bis zu solcha : von etwa 90® fortwährend abnimmt und dies kann durA passende Wahl von <P erreicht werden. Durch DifferentiatioD von (3) nach i? ergiebt sich nämlich leicht:
dh
d'&
= — a sm 1? <2> (a) ' ^ . ^ ^ ^ + ^ <2> (P) -VV^
[ sin*i? P ^ ^sm^a^cosoj
+ a cos t? f ^P- 4-{Q^)'da,
dg
Wenn demnach $ stärker wie — mit wachsendem p ab-
Q
nimmt, wird zwischen i? = 0 und i? = 90^ sicher -^-^ negatii sein, welches elementare Beleuchtungsgesetz auch zu Grunde
H, Seeliger: Kosmische Stauhmassen und das Zodiacallicht. 291
gelegt werden mag und man kann durch passende Wahl von 0 {q) die Abnahme von h beliebig gross machen. Ganz in der Nähe von & = 90^ wird übrigens unter allen Umständen
^ ih . .
* äA ^^8^^^^ sein, da hier cosi? sehr klein ist.
Bei einer Vergleichung der Theorie mit der Beobachtung jWird man also so zu verfahren haben. Man wird einen Aus- hmk für ^ (q) interpolatorisch anzusetzen haben, der soviele ■ Parameter enthält, dass man durch deren Bestimmung einen ^genügenden Anschluss an die Beobachtungen zu erzielen hoffen darf. Dabei ist zu beachten, dass die Beschaffenheit der Func- tion 0 (q) zwischen ^ = 0 bis q = a ganz gleichgültig für die 'Darstellung der Helligkeit des Zodiacallichtes bei Elongationen > 90* ist. Es soll hier, wie schon erwähnt, auf diese Ange-
Elegenheit nicht näher eingegangen werden, da so gut wie gar mchts sicheres über den quantitativen Verlauf der Helligkeit ■ des Zodiacallichtes bekannt ist. Einige Schwierigkeit wird in- dessen immer die Wahl des elementaren Beleuchtungsgesetzes veforsachen.
20'
SÜJNtng der ffiat&.-pAys. Classe vom 6. Jvii 1901. Tabelle: !P;(a) (Seite 274).
|
a|., |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.6 |
0,9 1 |
|
O" |
0.0000 |
0,0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0,0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 p |
|
5 |
0 » |
0 ■> |
0 " |
0 ° |
0 ö |
0 0 |
0 » |
0» |
"TT |
|
10 |
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1 • |
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4 3 |
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20 |
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6 » |
7 ^ |
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9 • |
11 ' |
12 » |
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9 '■> |
12 T |
16 ' |
19 " |
22 '» |
24 '3 |
2715 |
SS" |
|
30 |
9 '' |
17 » |
25 '» |
31 'S |
37 '8 |
43*' |
47 *» |
51 ** |
SS« |
|
35 |
17 " |
31 '* |
44>fl |
55 « |
74»' |
82 »5 |
88 »1 |
31« |
|
|
40 |
27 W |
53" |
73" |
9136 |
106*» |
119 *s |
131*» |
140 M |
UJ", |
|
45 |
43'« |
81'« |
112 Sfl |
139*9 |
161 ^i^ |
180" |
195" |
207« |
21, »1 |
|
50 |
65" |
119»» |
165 f'» |
202 6» |
233'* |
258" |
3778* |
292«- |
SM« |
|
55 |
169 ■■» |
232 «' |
282» |
322»» |
353 »s |
376»» |
393»»' |
404" |
|
|
CO |
129»« |
233« |
316 f* |
881 »» |
431'«« |
468"r' |
494118 |
512"» |
52a'" |
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05 |
174 »6 |
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417"» |
498'" |
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115 |
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2448"« |
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|
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2191«» |
2677«"> |
2716'"' |
2701'«* |
2599 'S' |
2448'*' |
2275 •* |
2096» |
|
125 |
1583'« |
2421'"» |
2805«» |
2915'» |
2865'"* |
2728'*» |
2547 •» |
2360"^ |
2151» |
|
130 |
1763>9« |
2647Ȋ |
3017"* |
3092"' |
3004'»» |
2833'»^ |
2623 'a |
2405 " |
2190" |
|
135 |
194B'»> |
2863"« |
3209'« |
3244'"* |
3117"» |
2913 B» |
2679 ^« |
2442»' |
2215» |
|
140 |
212618' |
3064«" |
3375"*^ |
3367 ''^ |
3201« |
2969 ^« |
2716 »« |
2466»* |
2229" |
|
145 |
2302"« |
3242"« |
3510'3S |
3458»' |
3260«' |
30053« |
2736 =' |
2478 '* |
2237 ' |
|
160 |
2466'" |
3391'»» |
861 2'M |
3520 '■'ä |
3295 ä» |
3024 '» |
2747 " |
2483 <• |
2240' |
|
155 |
2613'*' |
3506"5 |
3680*8 |
3556 »» |
3312 " |
3032 « |
2751 » |
2485 » |
2240 • |
|
IGO |
2736"" |
3583 " |
3717 »' |
3671 "■ |
3319 ' |
3035 3 |
2752 1 |
2485 « |
2240 • |
|
165 ■2826" |
3624*' |
3731 '* |
3576 5 |
3320 ' |
3035 « |
2752 » |
2485 0 |
2240 ' |
|
|
170 2876 M> |
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293
^er Druck des Lichts auf kleine Kngeln und die Arrkenins'sche Theorie der Gometenschweile.
yon Karl Sohwarzsehlld.
(KhigtbutfiH ff. Juli.)
Die eigentümlichen Formen der Cometenschweife lassen ;h erklären durch Annahme einer abstossenden Kraft, die von r Sonne auf die äusserst fein verteilte Schweifmaterie ausgeübt ird. Während früher diese Kraft nur ganz vage als elek- ischen Ursprungs bezeichnet wurde, hat vor kurzem Herr r. Arrhenius^) darauf hingewiesen, dass solche abstossende Wirkungen dem Druck entspringen können, welchen nach r Maxwell'schen Theorie die Sonnenstrahlung auf jeden sorbierenden oder reflektierenden Körper ausübt, üeber die dstenz des Maxwell'schen Drucks der Lichtstrahlen kann in Zweifel sein, obwohl er experimentell mit hinreichender antitativer Sicherheit noch nicht nachgewiesen wurde. Er ISS bestehen, wofern die Grundauffassung Maxwell's richtig , dass in den Lichtschwingungen eben elektrische Kräfte sillieren, Kräfte, welche die geladenen Jonenpaare der pon- rabeln Massen angreifen. Zudem haben sich die Folgerungen, Iche sich aus den Hauptsätzen der mechanischen Wärme- jorie in Verbindung mit dem MaxwelPschen Druck ergaben, der Erfahrung glänzend bestätigt. Es liegt daher in dem uck der Lichtstrahlen eine causa realis, eine bei der Bil- ig der Cometenschweife, wie auch bei anderen Himmels-
^) Physikalische Zeitschrift. IL Jahrgang. Heft 6 — 7.
294 Sitzung der math.-phys, Classe vom 6, Juli 1901,
erscheinungen , zweifellos in irgend einem geringeren oder stärkeren Grade mitwirkende Ursache vor. Die Frage ist nur, ob dieser Druck quantitativ hinreichende Beträge erlanget kann, und das ist ein Punkt, in dem die Darlegungen toi Arrhenius nicht ganz befriedigend sind.
Fällt eine ebene Welle normal auf eine vollkommeii schwarze Platte, so erleidet letztere einen Druck, der nach Maxwell gleich der in der Volumeneinheit enthaltenen Energie E des Wellenzuges ist. Auf eine vollkommen schwarze Kugd vom Radius a, welche das Licht über eine Fläche von der Grösse n a* hin abfängt, wird daher ein Druck na} E wirken. Die auf dieselbe Kugel wirkende Schwerkraft hat den Betrag
4t 7t
-^ g ' S' a^, wo g die Schwerebeschleunigung, s das spezifische
Gewicht des Kugelmateriales ist. Je kleiner der Kugelradius a, um so stärker wird daher der Druck im Verhältnis zur Schwer- kraft. Unter Annahme der Solarkonstante 2.5 und des spezi- fischen Gewichtes s gleich 0.8 (Kohlen wasserstoflF der Cometen) findet man mit Herrn Arrhenius, dass bei einem Kugeldurch- , messer von 1.9 /i der Druck gleich der Schwerkraft wird. Sinkt ^ der Kugeldurchmesser bis auf 0.1 /i herab, so übertrifft die abstossende Kraft der Sonnenstrahlung die Schwerkraft um das 18.5fache, und erreicht damit den Höchstbetrag, welcher zur Erklärung der gestrecktesten Cometenschweife erforder- lich ist.^)
In dieser Berechnung des Drucks liegt nun eine Ungenauig- keit. Der Druckwert na^ E gilt nur, solange die Kugel das auffallende Licht gänzlich abfängt und in dem Räume hinter ihr völliger Schatten ist, solange man also die Beugungs- erscheinungen vernachlässigt. Das ist bei grossen Kugeh gestattet. Bei Kugeln aber, deren Durchmesser von der Grössenordnung der Wellenlängen des Lichts i.st, — und ge- rade solche kommen nach den eben angeführten Zahlen filr die Erklärung der Cometenschweife in Betracht — können
') Vgl. Bredichin, Annales de TObservatoire de Moscou. 1886.
K. Schwarzschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 295
durch die Beugung des Lichts die Verhältnisse sehr wesentlich geändert werden. Um ganz kleine Kugeln, deren Radius auch gegen die Wellenlänge sehr klein ist, schlägt die Lichtwoge herum, ohne in ihrem Verlaufe merklich gestört zu werden, und man kann sich hier durch einfache üeberlegungen analog denen, auf welche Lord Rayleigh^) seine Theorie der blauen Arbe des Himmels gründet, überzeugen, dass mit fortdauern- der Verringerung des Kugelradius der Druck des Lichts sogar wieder mehr und mehr unter die Schwerkraft herabsinken muss. Das Verhältnis des Lichtdrucks zur Schwerkraft wächst also nicht immerfort mit Verkleinerung des Kugelradius, son- dern erreicht ein gewisses Maximum für Kugeln von der Grossenordnung der Wellenlänge. Es ist erst noch zu unter- suchen, ob das maximale mögliche Verhältnis von Lichtdruck zu Schwerkraft wirklich den Wert 18.5 erreicht, den man, wie erwähnt, zur Erklärung der gestrecktesten Cometenschweife braucht.
Ohne auf die schwer diskutabeln Fragen einzugehen, in- wieweit eine Anschauung, welche die Cometenschweife aus lauter getrennten Tröpfchen im leeren Raum bestehen lässt, sich unseren sonstigen Kenntnissen von den Cometen anschliesst, will ich hier versuchen, nur über diesen einen quantitativen Punkt zu entscheiden. Irgendwo in der Welt muss es ja vor- kommen, dass ein kleines Teilchen im leeren Raum dem Druck des Lichts ausgesetzt ist, und daher ist dem Resultate der Rechnung in jedem Falle die physikalische Anwendbarkeit gewiss, auch wenn sich aus andern Gründen etwa die Arrhenius'sche Theorie der Cometenschweife nicht halten lassen sollte.
Bekanntlich ist der Begriff des vollkommen schwarzen Körpers mathematisch nicht exakt zu fassen und es erscheint auch physikalisch höchst zweifelhaft, ob ein Partikelchen irgend eines gewöhnlichen schwarzen Körpers von 0.1 /i bis 1 /i Durch- messer noch im geringsten Eigenschaften aufweist, nach denen man es als -schwarz" bezeichnen könnte. Zur exakteren Be-
^) Philosoph. Magazine. 1871.
296 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 6. Juli 1901.
rechnung der Grösse des Lichtdrucks habe ich daher die kleine Kugel, die wir in den Strahlenzug eingeschaltet denken, nicht als vollkommen schwarz, sondern als vollkommen reflektieresl vorausgesetzt. Es ist anzunehmen, dass für vollkommen refld[- tierendes Material der Lichtdruck besonders gross wird unl man daher auf Grund dieser Annahme eben das Gewünschte, nämlich eine obere Grenze für den Lichtdruck, erhält.
Abgesehen von der Beziehung zur Theorie der Cometeft- schweife darf das Folgende vielleicht auch ein gewisses seihet- ständiges Interesse für sich in Anspruch nehmen. Bevor der Druck des Lichts auf eine Kugel berechnet werden konnte, musste eine exakte Theorie der Reflexion und Beugung dei Lichts durch die Kugel gegeben werden. Es ist das m Problem, dem schon Clebsch in Bd. 61 des Crelle'schen Jour- nals eine umfangreiche Abhandlung gewidmet hat. *) Indessen hat Clebsch Grenzbedingungen benutzt, die wir heute nicht mehr als gültig anerkennen. Er nimmt an, dass im Aether neben den transversalen Wellen auch longitudinale auftreten können, verlangt, dass an der Oberfläche der voUkommei spiegelnden Kugel alle drei Componenten der elastischen Ve^ Schiebung verschwinden , und wird dann notgedrungen zu der Folgerung geführt, dass aus einfallenden Transversalwellei durch Reflexion an der Kugel Longitudinalwellen entstehen. Clebsch hat ausserdem in die Behandlung dieses speziellen Problems die Ableitung zahlreicher allgemeiner Sätze aus der Theorie der Kugel- und Cylinderfunktionen eingeschachtelt, die damals wohl noch weniger in den festen Wissensbestand über- gegangen waren, und das belastet seine Darstellung, so wert- voll jene Ableitungen an und für sich sind. Daher wäre eine Neubehandlung des Problems schon von formalem (Jesichte- punkt aus wünschenswert gewesen, wenn sie nicht durch die erwähnte Aenderung der Grenzbedingungen notwendig g^ worden wäre.
^) Hierauf bin ich erst nach Ausführung dieser Arbeit durch eine freundliche Mitteilung von Herrn Prof. A. Sommerfeld aufmerksam g^ macht worden.
K. 8(hwarz8chüd: Druck des lAchts auf Meine Kugeln etc, 297
§ 1. Mathematische FormuliemDg des Beugnngsproblems.
Das zunächst zu behandelnde Beugungsproblem ist dieses. Eine Kugel vom Radius a habe ihren Mittelpunkt im Nullpunkt des Coordinatensystems. Eine ebene Welle falle in der Rich- tong der a?-Axe von ihrer positiven Seite her ein. Wir wollen sunächst annehmen, dass dieselbe linear polarisiert sei und zwar so, dass die elektrische Kraft in der x, y Ebene schwinge. Für die Componenten X, Y, Z, Z, Jf, N der elektrischen und magnetischen Kraft gelten überall ausserhalb der Kugel die MaxwelPschen Gleichungen :
}^dL^iZ_dY }_dX^dM_dN (F=Licht- V dt dy dz V dt dz dy gesch windigkeit)
Bebst den entsprechenden durch cyklische Vertauschung der Goordinaten entstehenden. Die Kugel selbst soll vollkommen reflektierend oder mit anderen Worten ein vollkommener Leiter sein. Dann ist ihre Oberfläche unter allen Umständen eine Niveaufläche der elektrischen Kraft, die in die Oberfläche fallenden Kraftcomponenten müssen verschwinden, es müssen die Beziehungen gelten:
Auf der Kugeloberfläche:
Xy—Yx^Xz — Zx=^Yz — Zy = {),
Im Unendlichen muss die Componente Y der elektrischen
Kraft ein Glied der Form cos 2 ti ( - + - ) enthalten , welches
die ebene polarisierte einfallende Welle darstellt. Deren Wellen- länge ist zugleich durch diesen Ansatz zu A, ihre Periode zu T und ihre Amplitude und Intensität zu 1 festgelegt. Sonst dürfen in X, Z, Z im Unendlichen keine Glieder vorkommen, welche die physikalische Bedeutung einfallender Wellenzüge haben.
T45
298 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Jtdi 1901.
Wir setzen nun:
X = pars real (f e'^^ L = pars real {X e*«*)
Y = pars real {rf e'^^ M= pars real (ja &^*) 1)
Z = pars real (C e*'^ ^ = pars real {v e*«')
wobei f , ^, C, A, /i, v von der Zeit unabhängige komplexe Grossen sein sollen, und erhalten an Stelle der Maxwell'schen Gleich- ungen die folgenden:
tkX = ~ ^ ikjLL = - -T— tkv = Y-^ — Y- 2)
o y o z o z ox ox oy
.,. du 6 V . ^ 6 V ö k . ^ . 6 i. <5/*o\
ih ^ = ^~ — ^- ikrj = ^- tkC = j jz ^^
o z o y 0 X 0 z 0 y ox
, 2 ^ 2 71 i >.
k = —^^ = -T- . ^ J
T
V X
Durch Elimination der magnetischen Componenten i, /i, ^ ergiebt sich daraus:
Die Randbedingungen auf der Kugeloberfläche gehen durch Einführung von f, tj^ C über in:
^y — tj X = ^ z — ^ x = ri z — Cy = 0. ^)
Für das Unendliche folgt, dass yj ein Glied:
Yi = e'"'^* ?)
entsprechend der ebenen einfallenden Welle enthalten muss und dass sonst in f , ?;, C keine Teile vorkommen dürfen, welcbe physikalisch die Bedeutung aus dem Unendlichen einfallender Wellen besitzen. Unsere Aufgabe ist jetzt, drei „Wellen- potentiale" (Lösungen der Differentialgleichung Ä*t*4"^*^~^l f, Y]^ f zu finden, welche durch die Bedingung (6) verkiiüpfl
K, Schwarzschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 299
ind, auf der Oberfläche der Kugel den Bedingungen (7) und tn Unendlichen der Bedingung (8) genügen.
\ 2. Ansatz der Lösung in Form von Beihenentwick- Inngen nach Engel- und BessePschen Functionen.
Man führe Polarkoordinaten r, i?, (p ein durch die Be- gehungen :
X = r cos '& y = r sintJ^ cos q? jsi = rsin'& sin cp, 9)
Es ist bekannt,^) dass die DiiBFerentialgleichung Jc^u -|- A^u=0
sog. , Zerfallung* nach den drei Coordinaten r, i?, (p gestattet,
d. h., dass ein partikuläres Integral gegeben wird durch den
Ansatz :
u^RQ'^, 10)
Hierbei bedeutet <P eine Funktion von cp allein und zwar 1 unserem Falle cos n cp oder sin ncp {n ganzzahlig), 0 ist eine unktion von i? allein und zwar die w. Zugeordnete der Kugel- mktion irgend einer Ordnung iw, für die wir P^, m(cosi?) Hxeiben werden. Schliesslich bedeutet It eine Funktion von allein und zwar eine Lösung Rm der DiiBFerentialgleichung :
di^. 2^ ; _«K!M:_i_n ^
ar^ r dr \ r^ J
Nutzt man die Willkürlichkeit der beiden ganzen Zahlen ^ und n aus und superponiert alle aus verschiedener Wahl ^t-selben hervorgehenden partikulären Integrale der Form (9), ^ erhält man das allgemeinere Integral:
W = £ £ (?n,,„ Rm (r) Pfn,n (cOS 1?) COS W (p
'; "" 12)
+ Ij £ J3m,« Rm W Ptn,n (cOS I?) siu U cp
m n
worin die G und H willkürliche Constanten sind, und es lässt ich zeigen, dass in Rücksicht auf die weitere Willkürlich-
1) Vgl. Pockel8, lieber die Gleichung Au-\-k^u = 0. Teubner 1891, %g. 109 - 111.
Ti
298 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Jtdi 1901.
Wir setzen nun:
X = pars real (f e'^^ L = pars real {X e*«*)
F= pars real {rf e*'') M= pars real (/* e'^*) 1)
Z = pars real (C e*^') ^ = pars real (y e*^^
2n
wobei f , ?;, C, A, /i, v von der Zeit unabhängige komplexe Grösseo sein sollen, und erhalten an Stelle der Maxwell'schen Gleici- ungen die folgenden:
ihX=.. ^ iJcfi = ^ j— tkv = Y-^ — j- 2)
0 y o z ö^ da; ox oy
0 ^ oy ' ox 0 z oy ox
Durch Elimination der magnetischen Componenten i, /*»" ergiebt sich daraus:
Die Randbedingungen auf der Kugeloberfläche gehen durch Einführung von f, rj, C über in:
Sy — rj X = ^ z — C X = r] z — Cy = 0. ')
Für das Unendliche folgt, dass rj ein Glied:
entsprechend der ebenen einfallenden Welle enthalten muss und dass sonst in f , ^;, f keine Teile vorkommen dürfen, welcb physikalisch die Bedeutung aus dem Unendlichen einfallende Wellen besitzen. Unsere Aufgabe ist jetzt, drei , Wellen Potentiale" (Lösungen der DiflPerentialgleichung k'^u-\-A^u^i f, Tj, (^ zu finden, welche durch die Bedingung (6) verknüp
K, Schtoarzschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 299
i, auf der Oberfläche der Kugel den Bedingungen (7) und Unendlichen der Bedingung (8) genügen.
3. Ansatz der Lösung in Form von Beihenentwick- Ixingen nach Engel- nnd BessePschen Functionen.
Man führe Polarkoordinaten r, i?, cp ein durch die Be- hungen :
X =^ r cos '& 1/ = r sin 1^ cos q? ir = r sin i? sin 9?. 9)
Es ist bekannt,^) dass die DiiBFerentialgleichung k'^u -j- A^u = 0
g. , Zerfallung ** nach den drei Coordinaten r, 1?, cp gestattet,
h., dass ein partikuläres Integral gegeben wird durch den
nsatz :
u = R'0'0. 10)
Hierbei bedeutet 0 eine Funktion von 99 allein und zwar unserem Falle cos n cp oder sin ncp {n ganzzahlig), 0 ist eine inktion von 1? allein und zwar die n. Zugeordnete der Kugel- aktion irgend einer Ordnung m, für die wir P«, n (cos d) ireiben werden. Schliesslich bedeutet II eine Funktion von allein und zwar eine Lösung Rm der Differentialgleichung:
Nutzt man die Willkürlichkeit der beiden ganzen Zahlen Und n aus und superponiert alle aus verschiedener Wahl '^selben hervorgehenden partikulären Integrale der Form (9), • erhält man das allgemeinere Integral:
«* = £ £ Gm,n Rm (0 Pfn,n (cOS 1?) COS fl (f
'; "" 12)
+ Ij £ J3m,n Rm (r) P,„n (cOS I?) siu W (f m n
)rin die G und H willkürliche Constanten sind, und es lässt h zeigen, dass in Rücksicht auf die weitere Willkürlich-
1) Vgl. Pockel8, Ueber die Gleichung Au + k^u = 0. Teubner 1891, r. 109 - 111.
302 Sitzung der maih.-phys. Glosse vom 6, Juli 1901.
sich also nach (6) die Strömungen durch Basis und Decke ausgleichen. Die radiale Strömungskomponente ist nun:
R= ^ cos I? + w sin I? cos o? + C sin i? sin q? = cos (p {a cos I? + [ß*** + /5 + y] sin t?}.
Durch die Basis strömt daher die Masse dw ' B ein.
Durch die Decke dtv = dw l ) strömt die MasBe
\ a J
du/ • IR -\- da- -7— I aus. Demnach verlangt (6), dass:
Bdw = [B -\- da- -^ j d w
oder nach einfacher Reduktion:
a ör
ist. Führt man hierin (16) ein, so erhält man als neue Ober- flächenbedingung, welche als Ersatz der Bedingung (6) eintritt:
Für r = a:
0 = cosi?l r — 4- 2a j -f sini?
rll<ß+y+e''^)+2(ß+yi-e*'')
.17)
Nunmehr ist unsere Aufgabe darauf reduziert, die Grössen Am, Bm, Cm und die noch unbestimmten In* tegrationskonstanten der Lösungen Rm der Differen- tialgleichungen (11) so zu bestimmen, dass die SummeB (14) den drei Randbedingungen (15) und (17) genüget und im Unendlichen keine Teile enthalten, welche einfallenden Wellen entsprechen.
Zur Vorbereitung der Lösung stelle ich einige Sätze an der Theorie der Kugel- und Cylinderfunktionen zusammei welche zum Teil bekannt sind, zum Teil ohne grosse Mül aus bekannten Sätzen folgen.
-f A ■ V
K, SahioarzscMld : Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 303
§ 3. Aus der Theorie der Kugelfunctionen.
Die gewöhnliche Kugelfunction m. Ordnung wurde durch , oder Pfn^Q bezeichnet. Die n. Zugeordnete der Kugelfunction Ordnung lässt sich dann definieren durch den Ausdruck:
Pn.,n (cos 1?) = Pm^n (x) = (1 — X^f'
1 .. ..nl, d- +
m
^^'^ 18)
Zwischen den verschiedenen Zugeordneten verschiedener rdnung bestehen die folgenden drei Rekurrenzen (vgl. F. Neu- ann, Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen, Leipzig 1878, * 74) :
fn+l)cosi9P^,„ =(m+l-w)Pm+j,n+(w^+w)Pm-i,n 19)
fn+l)sini9P^.^_i=P,„+,.n-Pm-i.n 20)
w+l)sin i?P«,„4.i=(m+l -w)(w-m)Pm+i ,n+(w+l +w)(w+m)P„,_ ,,„. 2 1 )
Man findet mit Hülfe der eben angegebenen Beziehungen icht die nachstehende später zu verwendende Relation:
(2m+ l)sini?^^ = m*P^+,.i-(m + l)*P^_,,,. 22)
Ferner lassen sich die folgenden Sätze mit Hülfe von 8) — (22) aus den bekannten Integraleigenschaften der Kugel- nctionen ableiten:
;d&sm^ cos 1? Pn.,1 PmM = 0
0
ausser wenn m' = m -{- 1 oder m = m — 1.
d'»sm^ cos '& P„., 1 Pm+i.i = 2 • ^ ' ;^ '--^
j ^ • (2 m 4- 1) (2 m + 3)
r rf I? sin I? cos I? Pn,,0 Pm',0 = 0
ausser wenn m =m -{■ l oder w — 1. di^sini?cosi?P„,oP„+,,o = 2- (»» + 1)
23)
(2 m + 1) (2 m + 3) J
24)
■■•/-."^
304 Sitzung der tnathrphys, Glosse vom 6. Juli 1901.
§ 4. Aus der Theorie der Gylinderfanctionen.
Führt man in der Differentialgleichung (11) für r 4 Variable Q^=^rk ein, so schreibt sie sich:
+ -^^^f^ + Ä,M
|-j_^K!^)J_o. 25)
dg^ Q dg
Versucht man diese Differentialgleichung durch einen Ai»- druck der Form e~'^ • S zu befriedigen, wobei S eine nack negativen Potenzen von q fortschreitende Reihe sein soD, so gelingt dies durch die folgende mit einer endlichen Anzahl tod Gliedern abbrechende Reihe:
___e-^gr m{m+l) 1 m(m + l)lm(m+l) — l'2] l_ A,„- — 1^1+ 2 i^ + — 2 4 (i^f
m(m + l) [m(m + l)-l»2] MmH-^l)i--2^] 1 "*" 2 ' 4 * 6 M''^'"
261
Eine zweite Lösung der Differentialgleichung, die wirÄ nennen wollen, erhält man natürlich, indem man in dieseui Ausdruck + i mit — i vertauscht. Die allgemeine Lösung würde sich dann linear aus K^ und K'm zusammensetzen.
Andrerseits kann man Lösungen von (25) in Form auf- steigender Potenzreihen darzustellen suchen und findet dadurch die folgenden beiden Funktionen:
^"^^^^ 1.3....(2m -hl)\^2(2m+3)^2.4(2m+3)(2m+5)^"*j ^
L3..,.(2m-l)f (igy (igy I
^"^^^"~ (i^)"»+i \ 2(2m-l)"^2.4(2m-lX2w-3) "f
wobei die Coeffizienten des ersten Gliedes in Rücksicht auf <fe spätere Anwendung gewählt sind.
Auch durch Xm und cpm muss sich jede andere Losung von (25) linear darstellen lassen. Führt man dies speziell f^ Km aus, so erhält man:
i^m+l K^ (e) = x„ (e) + (_ 1)«+' g,„ (g)
oder:
8dmarz9Ml4: Druck des IdcfUs auf kleine Kugeln etc. 305
*. i I
Q
tn
?)=
.\ 2(2m+-3)^24(2wH-3X2nH-5) "f
1.3....2m+l ...(2w— l)r, , ^* , Q*
^m+l
r"*'2(2m-l)'*"2.4(2m-l)(2w-3) 'j ^^^
druck, der sich auch durch direkte Entwicklung von k Potenzen von g gewinnen liesse. Umgekehrt kann iT auch z. B. Xm linear durch Km und K'm ausdrücken ir findet man:
2 i X., (q) = je; (q) -(-!)•" Jf-m (e) . 29)
•ner besteht zwischen irgend zwei Lösungen Rm und (25) die Beziehung:
^ d R'm -n, d Rfn C
a Q aq q*
1 eine Constante ist. Speziell für Km und Xm nimmt ätante den Wert 1 an, sodass also gilt:
dxm ___ dKm __ J. dg ^"^ dg g'
^m -y^ Xm -:rz Tä* ^^)
j verschiedenen Km stehen durch folgende Rekurrenzen inder in Verbindung:
{2m + l)Km = ig (Km+^ - Km-i) 31)
= mKm — ig Km+\ = — (ni •+- 1) Km — i g Km^x
32)
(m + 1) Zm+i + m Km^i"
= -ig
2m+ 1
•
kliesslich gilt nach Heine, Hdb. d. Kugelfunctionen, , I, pag. 82 die Entwicklung:
00
e*eeo8# = S (2 M + 1) ;k™ (q) P„,o (cos ^). 33)
m=0
itzangsb. d. math.-pbys. Gl. 21
306 Sitzung der math.-phps. Classt um 6. Juli 1901.
§ 5. Explicite Darstellnng der Componenten der
electrischen Kraft.
Wir beginnen damit, die Entwicklungen (14) für a, j!j zuvorderst so zu spezialisieren, dass dieselben im XJnendlicheB keine Teile enthalten, welche einfallenden Wellenzügen eni- sprechen. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, das Um sich linear aus Km und K'm zusammensetzt, sodass mu etwa schreiben kann:
Rm=c^Km+c^K;^ = c^e-^^S+c^ e+«> S\ (c„ c. Konstante.) ;
S und 5' sind beide nach absteigenden Potenzen von ß fortschreitende Reihenentwicklungen, welche sich in sehr grosser Entfernung vom Nullpunkt, für grosses g auf ihr erstes GKed
— reduzieren. Demnach wird z. B. ein Glied der Entwicklung Q
(14) von a in grosser Entfernung vom Nullpunkt lauten:
(2m + 1)A„ U- \-c, ) P.., (cosi>).
Um den daraus entspringenden Beitrag zur x-Coraponente der elektrischen Kraft zu finden, hat man nach (1) mit e"' ^ multiplizieren und vom Resultat den reellen Teil zu nelunen. Setzt man:
{2m-\-\)kmC^ = d^€^\ {2m+l)AmC^ = d^&\ d^, d,, <5r ^2 reell so wird dieser reelle Teil gleich:
-^ cos (5i + g ^ — ^) + -^ cos {ß^-\r (li -^r q)
P«..(cosd)
oder: d
Man sieht sofort, dass das erste Glied eine zu grösserem fortschreitende, das zweite hingegen eine aus dem Unendliche einlaufende Welle darstellt. Laut der Bedingung fiir das Ui
K, Sdnoarzschüd : Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 307
dliche muss also das zweite Glied verschwindei), es muss d^ id (?j gleich null sein und Rm sich auf die einfache Form: m = c, Km reduzieren. Die Constante c, wollen wir noch so (Stimmen , dass Rm auf der Kugeloberfläche r = a gleich 1 ird. Ist zur Abkürzung:
Jcr = Q ka = Qq 34)
0 soll also sein:
Hiermit ist jede Willkürlichkeit in den Rm beseitigt und lie Bedingungen im Unendlichen sind erfüllt.
Nachträgliche Bemerkung zu § 2. Der Ausdruck
dx dy dz
tet ein Wellenpotential, welches im Unendlichen keine ein- Wlenden Wellenzüge enthält — sobald f, rjy C Wellen potentiale 8öid und unseren Bedingungen für das Unendliche genügen. «1 Rücksicht auf die eben durchgeführte Betrachtung der Funk- honen Rm wird also o nach (12) und (35) in folgender Weise entwickelbar sein:
0= S S l^^-\ Pm,n (cos d) [Gm,n COS W 9? + Hm,n siu W tp] .
m n
Für x = a geht diese Entwicklung über in : a = S 5J Pm,n (cosi>) [Gm,u cosfKf -f- if„,,„ sinn9?] .
m n
Fordert man jetzt, dass o für r = a verschwinde, so folgt, ass alle Coeffizienten G und H null sein müssen, und damit, ISS o überall identisch verschwindet. Hiermit ist der oben 3nutzte Satz erwiesen, dass es genügt, die Bedingung = 0 auf der Oberfläche der Kugel zu erfüllen, um das erschwinden von o im ganzen Raum herbeizuführen.
Wir suchen weiter durch geeignete Wahl der Constanten
w. J5m. Cm in (14) die Randbedingungen (15) und (17) zu
21»
1
308 Sitzung der math.-phys, Classe vom 6, Juli 1901,
erfüllen. Setzt man die Entwicklungen (14) in diese Rand- bedingungen ein, berücksichtigt (35) und ersetzt c'** = c'«*®'* durch die Reihe (33), so erhält man die drei Oleichungen:
S(2m+l)[P,n.0(^m + ;Cm(öo)) — ^m.2C^«] =0 35) !
m
S (2 m + 1) L A. Pm, I sin * — 2 C«.P„,2 cos i?] = 0 37)
m
£ (2 w + 1) [A„ S„ P„., cos * j
m
+ sin*{.B«Ä^P^.o+C«iS«Pm.2+J'mP«.o}]=0. 38)
In der letzten dieser Oleichungen habe ich noch folgende Abkürzungen eingeführt:
dKn,
39)
Man multipliziere (36) mit sin t?. Dann kann man nach (20) und (21) sowohl sin t? P^.o? als sin*Pm.2 mit Hülfe der ersten Zugeordneten Pm.i ausdrücken, sodass die ganze Summe dann nur noch erste Zugeordnete enthält, und zwar findet man:
m
- C„, [— (m - 1) m P„,+,,i + (^ + 1) (^ + 2) P^^,,x] = 0.
Ordnet man hier in der Weise, dass man Glieder, welche Grössen P,n,i mit gleichem Index m enthalten, zusammenfasst, so folgt:
S P^., [(m +2){m + 3) (7,+, + 5«+, + x^+i
m
— (w — 1) (m — 2) (7,„_, — 5^_i — ;cm-i] = 0. 361
Aehnlich kann man in der Summe (37) mit Hülfe der
Rekurrenzen (19) und (20) sowohl sin i? P^.i als cosi?P,^2
allein durch zweite Zugeordnete P„,,2 ausdrücken und nach diesen ordnen. Man erhält dann:
K, Schwarzschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 309
SP«.2[^-.-2(»»-2)C„_,-^„+i-2(m4 3)C„+,] = 0. 37')
Schliesslich lassen sich in (38) die drei Produkte cos t? Pm.i, sin 1? P,»,o und sin # Pm,2 alle nach (19) — (21) durch erste Zu- ' ■ geordnete Pm,i ausdrücken. Wiederum nach letzteren ordnend 1^, erhält man:
* yp r Sm-i{(m-l)^«^i+P._r(m-l)(m-2)C«-,}-fr^-il_^
r:; Es ist ZU beachten, dass, wie aus (18) sofort ersichtlich,
^ die drei Grössen Po, i, Pn.2 und Pi,2 gleich null sind. Daher
beginnen die Summen (36') und (38') mit m = 1, die Summe
(37') mit w = 2.
Wir haben hier nun drei Entwicklungen nach zugeord- neten Kugelfunktionen, die zur Summe die Null haben sollen. Dies ist aber nach einem bekannten Satze nicht anders möglich, als indem jeder einzelne Entwicklungkoeffizient verschwindet, und damit ergeben sich die folgenden Gleichungen zur Be- BÜmniung der A^^ Bm, Cmi
(m + 2) (m + 3) C„+i + ^m+i + ;Cm+i = (m — l)(m-2)(7,n-, + P«_i + ;Cm-i rn>l 41) ^+,+ 2(m + 3)C^+i=^Ai-i — 2(m — 2)(7^., m>2 42)
Sn.+i [(^^ + 2) ^„.+1 — P^+i 4- (m + 2) im + 3) 0.+,] - T„^x + Sm-i [(w — 1) A^^i + Bm^, - (m — 1) (m - 2) (7^_,]
+ r^-.i = 0 m^l. 43)
Zur Auflösung dieses unendlichen Gleichungssystems er- weist es sich als nützlich, die folgenden Grössen als Unbekannte einzuführen:
^« + 2(m + 2)a^=l>^ Pm + (^ + 1) (Pi + 2) (7^ = qm 44)
2(2m + l)(7^ = r^
Es ist hier voraus zu bemerken, dass man, da Po,i, Po,2 und Pi,2 verschwindet, in den Entwicklungen (14) von vorn-
310 Sitzung der mathrphys, Classe vom 6. JtUi 1901,
herein auch A^, Cq und (7, gleich null setzen darf, wohtb
dann folgt:
l>o=^o = n = 0 4i)
Durch Einführung dieser neuen Unbekannten verwandi sich die Gleichungen (41) bis (43) in die nachstehenden:
3m+l + Xtn+l = 3m- 1 + Xfn-l — >*m-l W > 1 4$)
Pm+l = Pm-l — rtn-l W ^ 2 (?)
Sm+\ [{m + 2)pm+i—qm+i] + Sm-1 [(m— l)p„,^i + g«-i — mrJi
+ r^_i— T^+i = 0 m>l. «I
Subtrahiert man hier zunächst (47) von (46), so folgt:
Qm+l + Xm+l — Pm+l = ?m-l + Zm-1 l>m-l ♦» ^ 2
und daraus ergiebt sich, dass für
gerades m: qfn + Xfn = Pm + 92 ^>^\ .m
ungerades m: 3m + Xm = l>m + ^i ^* ^ 1 j
sein muss, wobei ^Tj und g^ zwei vom Index m unabhängig« Constante sind.
Schreiben wir (47) noch in der Form:
rm=Pm— Pm+2 W > 1, 50]
so sehen wir, dass die Bestimmung der q^ und r^ aul die der jp„, zurückgeführt ist. Ersetzt man jetzt in den Grleichungssystem (48) die qm und r„, durch die Ausdrücke (49 und (50), so erhält man nicht etwa Rekurrenzen zwischen dei Pm, vielmehr fällt merkwürdiger Weise aus jeder Gleichunj p,n-i heraus und es ergiebt sich zur unmittelbaren Bestim mung von pm+ii
Pm+l [(ni + 1) S;n+1 + ni Sm-l] + S«+i (Xm+l — Q)
-S^-i{Xm-i-g)-]'Zn-i-T^+i = 0 m>2, 5:
wobei g gleich g^ oder gleich g^ zu setzen ist, jenachdem gerade oder ungerade ist.
Die erste für m = 1 entstehende Gleichung des Systems (4 konnte liier noch nicht ausgenutzt werden und man darf dem vorstehenden Systeme erst mit m = 2 beginnen , weil nicht nach Art der Formel (49) auf i?^ zurückgeführt werden kan
K. Si^iwareschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 311
Ueberblickt man das bisher erlangte Resultat, so lassen h nach (51) alle p von p^ an berechnen. Nach (45) ver- Lwindet p^. Ferner folgt aus r, = 0 und der ersten (für w = 1 stehenden) Gleichung des Systems (50):
Pi =Pi' 52)
Von allen Grössen p bleibt daher allein noch p^ unbe- mt. Sowie man auch p^ hätte, erhielte man aus (45) und >) alle r und aus (49) alle q — abgesehen von Qq, So bleiben erseits im Grunde nur die beiden Unbekannten g^ und p^, iererseits enthält das System (46) bis (48) aber auch noch ei unbenutzte Gleichungen. Bei der Subtraktion der Gleich- gen (47) von (46) konnte die erste (für m = 1 entstehende) 3ichung (46) nicht mitbenutzt werden, weil die entsprechende 3ichung (47) fehlt, und ähnlich lag es mit der ersten Gleichung l). Die beiden restierenden Gleichungen lauten daher:
Aus (46) für m = 1 :
Aus (48) für m = 1 :
S, l^P.-q,] + S, q,+ T,- T,= 0.
In Rücksicht auf (45) und (49) erhält man aus diesen [den Gleichungen:
% + Xo = P9 + 92 53)
[2 S,+ S,-] + S,{x2-92) - So{Xo'-9,) + T,-T, = 0. 54)
Damit sind denn alle Gleichungen befriedigt und alle [bekannten gefunden — bis auf eine eigentümliche durch- iiende Unbestimmtheit, die in der Willkürlichkeit der beiden nstanten g^ und g^ liegt. Es ist schwer zu ersehen, woher
Fixierung dieser beiden Constanten noch kommen soll, 3hdem sich bei ganz beliebiger Wahl derselben alle Rand- lingungen im Endlichen und Unendlichen haben erfüllen sen, und doch ist physikalisch evident, dass unser Problem r eine Lösung besitzen kann.
312
Sitzung der matK-phys. Classe vom 6, Juli 1901.
Der Schlüssel zur Ueberwindung der Schwierigkeit und zur Bestimmung von g^ und g^ liegt in Folgendem : Man nekne einmal an, dass keine einfallende Welle vorhanden sei. Dam verschwinden in unseren Gleichungen alle Grössen Xm und T» welche aus der Entwicklung des die einfallende Welle ist» !| stellenden Ausdrucks e'** entsprangen. Es bleiben daher in de& Gleichungen (51) die Glieder übrig:
i?m+i [(^ + 1) Sm+i + m Sm-i] — g {S„^i — /S«-l) = 0. 55)
Es soll hieraus Pm + i berechnet werden für den Fil,l dass der Kugelradius a gegen die Wellenlänge sehr klein isL Für sehr kleines q wird Km nach (28) näherungsweise darge- stellt durch:
und daraus folgt nach (34), (35) und (39):
m+l
56)
..(.=(r=(")'
Dies giebt in (55) eingesetzt:
Sm=l — ni.
57)
^•"+' m(2m— 1)-
58)
Nunmehr kann man nach (50) r^, nach den Gleichungen:
im = Pm + g
die aus (49) durch Weglassung der ;c-Glieder entstehen, die qm und, nachdem p„,^ q^ und r„, bekannt sind, aus (44) die A„^, B,nj Cm berechnen. Es genügt, das Resultat für J5„ an- zuführen :
B„=9
1 —
(2w — 3)(2»t + l)' Damit erhält man nach (14) folgende Eatwicklung von ß:
3
ß = ^9
m
2m + l —
(2w — 3)(2m +
jT I R„ (r) P„,o (cos ^).
K, Sekwarzsehüd: Druck des Lichts auf Ideine Kugeln etc. 313
Für r = a und t? = 0 wird jR,» = 1 und Ptn,o = 1 und Unit wird ß:
'* = ?4'"* + ' -(2^^(2^+1)1
80 unendlich. Mit anderen Worten: Aus den Grössen entspringen Ausdrücke für die Componenten der [ektrischen Kraft, welche mit Unstetigkeiten be- iftet sind. Die Bedingung, welche zur Fixierung der rossen g führt, ist daher die, dass die Componenten )r elektrischen Kraft stetig bleiben sollen, und zwar erlangt sie, dass g^ und g^ null sind.
Lässt man jetzt alle Glieder g aus den Gleichungen (49) s (54) weg, so kann man sie so zusammenfassen:
i?«+i [(m + 1) Sm-\.i + m iSm-i] (S;„4.iXm+i-r^+i)-(iS^-i;tm-i-J'm-i) = 0 m>l 59)
qm=Pm—Xni ^* > 1 r^^ p.n— Pfn-\-2 m>2 60)
Po=^ Pi^Ps Qo = P%—Xo ^0=^1 = 0. 61)
Die Gleichungen (59) gestatten noch eine beträchtliche reinfachung.
Nach der Definition (39) war:
dK,n
^Q ATT _ fo . /-\ I _ ^X*
c=eo
An =
2 +
Daher ist: r nach (30):
T,n = h X.. {q) + q^] .
dK,
m
— K„i — -
^%
d
S.
m jLm
dg
Q Jie=oo
62)
Femer wird:
(m + 1) Ä„+, + m S„-i = 2 (2 ni + 1)
+
|
' |
dKm-^i |
dKm-i |
||
|
(m |
+ 1) |
'^ dQ |
+ m |
dg ^ TT Am-J |
<>
=i?ü
314
Sitzung der math.-phya. Glosse vom 6. Juli 1901.
Nach (31) und (32) bestehen die Rekurrenzen:
i2m + l)Q
dg dKm-\
dq
= (m — 1) Km^x — igKn,
= — i ö [(m + 1) Z«+i + m Z^_,]
(2m+l) K„, =^^[^-^4.1 — JS:«.,].
63)
m 4-t
Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit ^^r— ,
fn K
die zweite mit ^^^ — , die dritte und vierte je mit — -=^ — ^
und addiert, so erhält man:
(m + 1) dK,n^x m dK,n-\ Q —jrr- + ^— Q
K
m+l
d Q jKm-1 ^ d ^
dK^'
Am-l Am-f-l \ ^ Q J
und damit:
Führt man jetzt (62) und (64) im Ausdruck von |?«+i ^^. so folgt:
Pm-{'1 =
{2m-]-l)K„, ^^_^
dKyn \Q Äin+l Q Km-\J
dg
odea' in Rücksicht auf (63):
Pm+\ = —
Q^Km + Q
dK,n\
65)
Q=QO
Es bleibt nur noch übrig, mit Hülfe der p,n nach (60) ^ (61) die q,n und r^ und dann nach (44) die Am, Bmi ^»^ zuleiten, um nach einer leichten Zwischenrechnung die ^^
K. Schwarzschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 315
ndige Lösung des Beugungsproblems zu erhalten, 3he, wenn man alles zusammenstellt, durch folgende For- Q gegeben wird:
Der Kugelradius sei a. Man setze:
Man berechne die endlichen Ausdrücke (26):
e-'^r m(m+l) 1 m(m+l) m(m+l)-l-2 1 } na\
= TI^ + — 2~~i^+— 2 4 M'^+'-J ^^^
i ^ _ _ K„. (- Qo) + (- 1)- K^ (gp) ...
d bilde damit:
Pm+\ = — I —jTTv^ I ^^)
"*= i?„(r) = f4^1. 69)
Dann gelten die Entwicklungen:
a = S (2 m 4- 1) ^,„ iZ^ (r) P„,i (cos i?)
m=:l
00
^ = D (2 «» + 1) ^,„ i?„. (r) P„,o (cos ö) 70)
ni=0
OD
y = 1] (2 m + 1) C„. i?„. (r) P„.2 (cos &)
m=2
' den folgenden Entwicklungskoeffizienten:
^ + l)5,„=(m+l)(m+2)i>^+2-m(m-l)i>,n-2(2m+l);Cm 71)
die Coraponenten der elektrischen Kraft für die durch die kommen reflektierte Kugel gestörte Lichtbewegung werden J^ten aus:
314
Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Juli 1901.
Nach (31) und (32) bestehen die Rekurrenzen :
dg
dKm-i dg
dK^
= (m — 1) JS:,«_i -^igKn,
(2 m + 1 ) ^ -f^ = - i e [(m + 1 ) Z-^ +1 + m K„, _ , ]
6;
Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit -j^—
die zweite mit ^ — , die dritte und vierte je mit — -^ ~
und addiert, so erhält man:
(m+1) dK,n+i
— (2 m + 1) und damit:
jKin+i d Q
Km^l d Q
Km—l £^m+l
(K„ + g^^ = -2i2m + \)
(w+l)S„+, + mÄ„_i = (2m-|-l)
-m
(^■+^f;
. 64;
Km-\K„i^i\ "* ^ ^ dg
Führt man jetzt (62) und (64) im Ausdruck von pm-^i ^i° so folgt:
Pm+l =
i2m-[-l)K„ ^^_^
dg
oder in Rücksicht auf (63):
Pm+l = —
eM^m+e
dK^\ dQ).
65)
i?=eo
Es bleibt nur noch übrig, mit Hülfe der prn nach (60) und (61) die qn% und r^ und dann nach (44) die Am^ Bmi C» * zuleiten, um nach einer leichten Zwischenrechnung die voll-
K, Sehwar zschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugelte etc, 315
Indige Lösung des Beugungsproblems zu erhalten, Iche, wenn man alles zusammenstellt, durch folgende For- in gegeben wird:
Der Kugelradius sei a. Man setze:
Qz=kr QQ=ka k = -r-.
Man berechne die endlichen Ausdrücke (26):
e-«^r , w(m+l) 1 . m{m+l) m{m+l)-h2 1 , l ... ,=._|^l + ____„+__ _ (^)^+....J 66)
id _ K„, (- Q,) + (- 1)>- K„, (g,)
^" "" 2i ^^^
nd bilde damit:
i^«»+i = "" I — ^/l Tr~\ I 68)
Dann gelten die Entwicklungen:
a = S (2 m + 1) A, En, (r) P,„,i (cos i>)
m=l
/? = L (2 «j + 1) ^„. i?„. (r) P„.o (cos d) 70)
ni=0
y = 2 (2 m + 1) C„. iim W Pm,2 (cos *?) m=2
't den folgenden Entwicklungskoeffizienten:
2w+ l)^m= (m — l)i?m+ (>W + 2)i?,n+2
2tn+l)JB,„=(m+l)(w+2)i>,.+2-w(m-l)i>,„-2(2m+l);Cm 71)
2w+ 1) Cm--=Pm —Pm-\.2
^d die Componenten der elektrischen Kraft für die durch die ►llkommen reflektierte Kugel gestörte Lichtbewegung werden Wten aus:
5
■! i
^ ».
,•■ I
\
316
Sitzung der math.-phys. Classe vom 6. Jtdi 1901,
X = pars real (e*'«* a cos (p)
T= pars real (^•■9'+»** -f- e'9' [/? + y cos 2 <^])
Z = pars real (e*'«* y sin 2 9?).
§ 6. Bemerkungen über die Verwendung dieser
Darstellung.
Die Reihen, durch die wir hier die Verteilung der elek- trischen Kraft und damit der Lichtintensität dargestellt haben, sind zwar unter allen Umständen konvergent, indessen wird, wie leicht zu sehen, die Convergenz um so langsamer, je grösser die Kugel ist, welche das Licht reflektiert. Dies Verhalten liegt insofern günstig, als man für grosse Kugeln die Licht- verteilung in rohen Zügen aus der geometrischen Optik, mit grösserer Schärfe aus der KirchhoflF'schen Beugungstheorie ab- leiten kann. In den Fällen, wo diese beiden Hülfsmittel ver- sagen, nämlich für Kugeln, deren Durchmesser nicht über wenige Wellenlängen hinausgeht, wird aber gerade die nume- rische Rechnung nach obigen Formeln durchführbar und man könnte sich an ihrer Hand überzeugen, wie sich mit dem Kleinerwerden der Kugel z. B. der Schatten hinter ihr aD- mählich auflöst. Ich will mich hier begnügen nur die Gren^ werte anzuführen, in die f, rj, C übergehen, wenn der Kugel- radius äusserst klein auch gegen die Wellenlänge wird:
f = — Jc^ a^ sin i> cos 9?
Z"i(ifcr)+ COS'» K^{kr)
k^a^
K, (Je r) (cos^ 1? -- i)
rj =c^*^ + Ä;3a^
f Zo(ifcr) + ^K, cos»+K^{i - sin»*cosV) ^3)
+ JSTg — ^— cos » (sin* » cos* q? — ^)
6
C = — k^ a^ sin* » sin 99 cos qp
K^{kr) - *y** K^{kr)cos»
K. 8(hwar£8chüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 317 bei:
g-ifcr
" kr
* kr \ ikrj
^«~ kr y'^ikr'^ (ikrf) ''^^
^g-^*7 6 15 15 \
* Ar V '^iÄr'^CiÄO^'^CiiOV- Iii grosser Distanz r von der Kugel gehen diese Formeln er in:
f = ö~ sin # cos 9? (1 -f- 2 cos i>)
,y = e«** + Ä* a^ ?^ [l + 5^ _ sin* 1? cos» J 75)
C = — Ä* a* sin* t? sin a? cos a?.
r
Lord Rayleigh hat gefunden (1. c.)» dass bei sehr kleinen ogeln aus durchsichtigen Medien die Intensität des zer- reuten Lichts umgekehrt proportional der vierten Potenz der ^ellenlange wird und dass in Richtungen, die einen rechten inkel mit der Richtung der einfallenden Welle machen, voU- indige Polarisation des zerstreuten Lichts eintritt. Ersteres erhalten gilt nach den Gleichungen (75) (da k umgekehrt oportional zur Wellenlänge ist) offenbar auch für das von ler kleinen vollkommen reflektierenden Kugel zer- eute Licht, hingegen erfolgt in keiner Richtung vollständige larisation. Man erhält für i> = 90®:
f = pr COS o? w — e*** = K* ar sm* w
2 r ' r
C = — K^ a^ sin cp cos w
r 7- r
d daraus für die Intensität der a:-Componente:
Mod ^^ = \ — ^ cos* (p
318 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6, Juli 1901,
und für die Intensität der senkrecht zur x-Axe stehenden Coraponente des zerstreuten Lichts:
Mod [{rj — e*'*^)* + C*] = ^ sin» (p .
Ist das einfallende Licht nicht, wie bisher vorausgesett wurde, polarisiert, sondern natürliches Licht, so muss man is ! diesen Ausdrücken alle möglichen Werte von tp einsetzen und das Mittel nehmen und findet dann:
für die Schwingungskomponente parallel zur a;-Axe: \ — ;
senkrecht „
jt*a«
d. h. „das von sehr kleinen vollkommen reflektieren- den Kugeln in Richtungen senkrecht zur Normale der einfallenden Welle zerstreute Licht ist zu drei Vier- teln polarisiert."
Schliesslich sei noch ein Umstand hervorgehoben. Da die Intensität des zerstreuten Lichts von der Wellenlänge abhängt, so wird, wenn das einfallende Licht weiss ist, das zerstreute eine andere Farbe zeigen. Nur bei sehr grossen Kugeh . kommt die Abhängigkeit von der Wellenlänge nicht in Be- ' tracht und das reflektierte Licht bleibt farblos. Bei sehr kleinen Kugeln entsteht, wie Lord Rayleigh gezeigt hat, dai tiefe Blau des Himmels. Bei Kugeln von der Grössenordnung der Wellenlänge bilden sich noch andere Farbennüancen aus, die sogar ein wenig von der Richtung des reflektierten Licht» abhängen und die sich alle aus den obigen Formeln ableiten Hessen.
Nach diesen Andeutungen über die anderweitige Ver- wendbarkeit der Lösung des Beugungsproblems gehen wir an unsere eigentliche Aufgabe, die Berechnung des Maxwell'schea Drucks, welchen das Licht auf die Kugel ausübt. Hierzu ist zunächst erforderlich die
K, Sehtoareschüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 319
§ 7. Ableitung der magnetischen Eraftcomponenten
aus den electrischen.
Man wähle irgend einen Punkt 0 der Kugeloberfläche zum iiUpunkt eines neuen rechtwinklichen Coordinatensystemes iüv ^v dessen x-Axe in den durch 0 gehenden Radiusvektor Be, dessen y-Axe den durch 0 gehenden Meridian tp = const. d dessen z-Axe den durch 0 gehenden Parallelkreis '& = const. igiere. Es werde j/, zu wachsendem i?, ^, zu wachsendem positiv gezählt. Die Eraftcomponenten (oder genauer die mplexen Grössen, aus denen sich nach (1) die Eraftcom- lenten ableiten) in Richtung der neuen Axen mögen heissen
^1» ^v ^v Mv ^r -^^ ^v Vv ^i G^^ält man durch Coordinaten- jhung die Ausdrücke:
f , = f cos '&Q-\- rj sin iJ^ cos (Pq-{- C sin i?q sin (p^
^, = — f sin i?o -f- (rj cos 9^0 + ^ sin (p^) cos 1?^ 76)
C, = — ^ sin 9^0 + C cos (p^.
Die magnetischen Eraftcomponenten in Richtung der neuen :en sind aus den Gleichungen, welche den (2) entsprechen, Euleiten :
l^^li^^li ii^=^h_^Ji iJcy =^^^, 77)
Wir wollen diese Gleichungen verwenden, um speziell die ignetische Eraft im Punkte 0 zu bestimmen. Im Punkte 0 id rj^ und Cj gleich null, weil auf der Oberfläche der Eugel line tangentialen elektrischen Eräfte existieren, und es gilt, i die y^' und ^,-Axe die Oberfläche tangieren, auch:
^ = ^1 = ^ ^1 = ^ = 0 dy^ öz^ Sy^ <5^,
Ferner ist geometrisch evident, dass im Punkte 0:
_A. — A A — lA A = _Jl ^_ dx^ dr dy^ r dß^ d z^ rsm^dq)
320 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Juli 1901.
ist. Damit geht (77) über in:
X,_0 t^fi^--^-^ — -j- iitv^^— — - —
Wir erfahren also zunächst, dass der magnetischen Kraft die radiale Componente fehlt, dass sie in der Kugelober- fläche liegt.
Drückt man nach (13) f, ?;, f durch a, /S, y aus, so folgt femer:
f j = cos cp {a cos 1? + sin # [e*** + /8 -}- y]}
1^1 = cos (p { — a sin 1? + cos # [e*** 4-/5 + y]} tj = — sin 9? {e»*^ + /? — y}. Auf der Kugeloberfläche wird in Folge der Relationen (15):
* * * cos 17 sm V
cos 9 ^ cos (p
und damit:
iifc/*i= +sin 9? ^-^ r + — (e»'** + ß — r)\
^^ L rsmi?cosi? 5r^ '^ '^\
Nun gilt weiter an der Oberfläche der Kugel die Gleich- ung (17):
0 = cos»? |rT-4-2a|-f-sini?
»•^(e'*'+/S + y) + 2(e'*'+/S+r)
OT
welche sich in Rücksicht auf (15) auch so schreiben lässt: 0 = r — cos 1? 4" sin 1? r 3^ (e*** + /? + y) +•
<5r <5r cost?
und damit lassen sich die Ausdrücke von fjL^ und Vj in i^ folgenden verwandeln:
•7 • r^"i.a 3" o^yi
^ Ä /i, = sin 09 — -r— COtff 17 ; — r — 2 -z-^
^^ ^ [ ^ r ® r sm 1? cos 1? d r\
., r 15a 2a ia/a\l
^ ft Vj = cos 99 ; . — Y^[ r
L sm 17 0 r r sm 17 r o 17 \cos v/.
K, S^ariäcKM: Ihr^ des lAchts 'auf Meine Kugeln etc. 321
er:
sin i> . ^ _ ,
~^Qh/^l ^: = f jj- COS 17 +
da «. 3a .^.« d y
sin 9
d r
cost?
+ 2 sin'i?r
<5 r
= cos
i?[r-J°4-2a^ +2sinÄf^
5 j' d r
+ 2y +
)
a
cos 1?
79) ,
sm^ da . ^ . . .a^/^«\
" * cos 9? o r d^ \cos t?/
bei die frühere Abkürzung ifca=^Q benutzt ist. Da wir es rigens fortan nur mit Punkten auf der Kugel selbst zu thun ben, werden wir nicht mehr eigens auf diesen Umstand hin- isen müssen und dürfen uns erlauben, den Index 0 wegzu- sen, sowie beliebig r und a zu vertauschen.
Hier führen wir nun unsere Entwicklungen (70) für a, ß^ y , die wir aber zunächst ein wenig umformen. Es ist auf • Kugeloberfläche:
= i;(2m + l)^^P^.i(cost?), y = f;(2m-)-l)(7,„P„,2(cosi^)
»1=1 m=l
d nach der Bezeichnungsweise (39):
2 a '+ r ^ = S (2 m + 1) ^„. Ä„ P,n. i (cos &)
80)
2y + ^^=fl (2 m +!)<:?«. Arn P»,.2 (cos t?)
<5 r
6 y
^ m=l
Setzt man für -4^ und (7m die Ausdrücke (71) durch die ein, so wird:
00
a= 2J [(m — l)jp„, + (m + 2)^„.-j-2] Pm.i (cos ??)
msl
er durch eine leichte Umstellung der Summe :
00
a= S jPiH+i [fn Pm+i.i (cos I?) -\rim-\-\) Pui-],i (cosi?)] .
fN=l
Da aber nach (19): (2 m + 1) cos * P,„,i = w Pm+M + (m + 1) P,n-hl >, so erhält man das einfache Resultat:
a
00
a = S (2 m + l)2>m+l -Pm.l (COS 1?). COS 17 m=l
81)
1901. Biizimgsb. d. math.-pby8. Cl.
o->
322 Sitzung der mathrphys. (Hasse vom 6, Juli 1901.
Hieraus folgt noch mit Hülfe von (22):
= L P«,l [(»» — l)»i'm — («» + 2)»^^2] . m=:l
Femer notieren wir die nach (80) folgende Formel: r J^ + 2 a = S P„, , (cosd)Ä„ [(w - 1)2,« + (w + 2)i>„+ä]. 83)
Wir bilden weiter die in dem Ausdruck (79) für /i, auf- tretende Grösse:
cos
^(''f7 + 2a) + 2sin*(r|^ + 2y)
= £ (2»ro+l)S„[^„cos#P«.i(cost?) + 2C„sin<>P,.2(cosi>)].
Drückt man sowohl cosi^P«, i, als sin tf P«,,2 nach (19) und (21) durch P,„,i aus, so geht diese Summe über in:
S Sn. iÄm {m P^+,., + (m + 1) P„._i.i}
m=:l
+ 2 (7,n {(m + 1) (m + 2) P,„-,., - m (m — 1) P«.+,.,}] und wenn man Ä^ und (7«, durch die jp„, ausdrückt, in:
00
L S;„ [mjPm+2 J^m+1,1 + (W + l)jPm ^m-l,l] m=:l
oder nach den P^.i geordnet:
cos i> ^r ^ + 2 aW 2 sin i? fr ^ + 2 y^
= L Pn..i i?m+i [(/w + 2) S«,+i + (m - 1) S«_,].
m=l
Die Einführung der Entwicklungen (81) bis (84) in (79) liefert jetzt:
— i ^ /*, sin 1?
= sin(^f; Pm.i2?m+i[2m + l-(-(m + 2)S«^., + (m-l)S.-i]
m=I
£ SehioargseMld: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 323
00
- i ^ Vj sin * = cos 9? S Pm.i [(m — l)*jp« — (m -f 2fpn^2
+ S« {(m — l)jp« + (m + 2) jp,„+2}] .
Hiermit sind die Grössen ju^ sin i> und v^ sin i> nach Kugel- iktionen entwickelt. Für das folgende werden wir aber big haben, yUj und v, selbst in Form solcher Entwicklungen besitzen, und das wird erreicht durch folgenden Ansatz. Sei:
,+i-C«-i)=i?,„+i[2m+l+(m + 2)S«+i + (m-l)/g„,.,] 85)
„,4.i-2)«-i)=(m-l)i?,«(m~l+/S«)+(m-|-2)jp«+2(S«.-m~2). 86)
Dann wird:
i ^ /ij sin * = sin 99 S Pm,i (^«-1 — C„t^x)
= sin 99 S Cm (Pm+1,1 — Pm-1,1).
m=I
Es gilt aber nach (20):
(2 m + 1) sin * Pm.o = Pm+M — Pm-i.i id damit:
OD
i ^ /ii= sin 9? S (2 w + 1) (7„. Pm,o. 87)
Oenau ebenso folgt:
00
i ^ V, = cos 9? S (2 w + 1) Dm Pm,o . 88)
Das sind die gewünschten Entwicklungen von /i, ^d Vj nach Kugelfunktionen.
Es erübrigt nur noch, die Cm und D^ aus den Rekur- nzen (85) und (86) zu bestimmen.
Zunächst lassen sich die rechten Seiten derselben verein- chen. Die Gleichung (59) schreibt sich in Rücksicht auf (62):
P«+, [(m + 1) Sm+i + m S.n-i] ~~- + -)— = 0 89)
^d damit folgt:
«H+l -— Cm-i = — ^ j^ 1- /)m-|.I [2m4-l + Sm+1— Äm-ll-
^ Am+I Q Am_i
22*
S24 Sitzung der math.'phys. Olasse wm B. JvXi iBO'i, .'
Ferner wird nach der Definition (39) von S„^ :
g , if—i —
2m+l + Än+i-Äm-i = 2m+l+ "^^ ^
Km-\~l -£«-1
und dieser Ausdruck liisst sich mit Hiüfe von (32) reduzieren auf:
jflL,n4.i • JLm -1
Demnach:
l 1 Kl
Cn,-l — Cm+1 = -TT 7 ^^ (2 Wi + l)l>m+l
Bildet man diese Gleichung für m + 1 , w -}- 3, m -f- 5 u. s. w. und addiert alle entstehenden Relationen, so ergiebt sich zur Bestimmung von Cm'-
C„. = ^ - f (2 m + 4 V + 3) y -^"y i>„+j,+2. 90)
Die Convergenz der hier auftretenden Summe lässt sich ohne Schwierigkeit erweisen.
Um die Grössen D^n zu finden, ersetze man in (85) w durch m -\-V und addiere die entstehende Relation zu (86). Es ergiebt sich:
(2)„.+i + a.+2) — (i)..-i + C„) = (m — l)i?,„(i» — 1 + S.) + ^,„+2 [2 (m + 1) S,n + (^ + 3) Ä„+2 - (m -f- 1)»].
Subtrahiert man hiervon die Gleichung (89), nachdem man in ihr m durch m -\- \ ersetzt und mit 2 multipliziert hat so bleibt:
= {m — 1) pm (m — l + Ä;„) — (m + 1) jp,„+2 (w + 1 + jS*+2)
+-J ^2—
und man sieht, dass dieser Gleichung genügt wird, wenn ß^
jeden Wert von m gilt:
2 Z),„-.i + (7,„ = — ^p {m — 1) 2?,„ (w — 1 + &„).
K, Schwarzschüd: Dtüclc des Lichts auf kleine Kugeln etc. 325
Führt man wiederum für S,n seinen Wert (39) ein und drückt den Differentialquotienten von Km nach (32) durch die Km selbst aus, so erhält man leicht:
Dm-i + Ofn = —^- h (m — l)iQPm—^- 91)
Nachdem die Cm aus (90) gefunden sind, giebt diese Gleichung unmittelbar die Dm und damit kann man die Entwicklungen (87) und (88) für die Componenten der magnetischen Kraft wirklich bilden.
Es ist für die weitere Anwendung noch erforderlich, von
den bisher verwandten komplexen Grössen zu den reellen
Schwingungskomponenten überzugehen. Zu dem Zweck setze
man :
f j = Fe'^cos q) fx^'= G e*^ sin cp ^i == He^^ cos (p
|>m+l = Fm e^^tn Cm = i Q Gm c'^in Dm^iqHm e'^m ,
wo sämtliche Buchstaben auf den rechten Seiten reelle Grössen sein sollen.
Dann erhält man einerseits:
Xj = 'p2LVBredL\{F €ff&^*co&(p) = F cos{f-Yqt)co^(p
ebenso: M^ = Gcos{g-{'qt)s\n(p^ ^, = Ä^cos(A-[-gOcos9?
und hierbei bedeutet X, die radiale Componente der elektri- schen Kraft, Jf, und N^ die tangentialen Componenten der magnetischen Kraft. Andrerseits folgt aus (78), (81), (87) und (88), indem man tiberall Reelles und Imaginäres trennt:
92)
00 OD
m
Fcos /•=i:(2ff»+l)P„., Jf",» cos/;,,, Fsin f=M2m-\- 1 )F„,yF,n sin f,
111=1 m=l
00 00
in
Gcosg=^(2m+l)Pm,i.GmCosg,n.Gsiug=Ti{2m-{-i)Pm,iGmsmg
mzzO m=0
00 00
m
.93)
l?cosA=£(2m+l)P,n,(ÄiCosA,„,irsinA=I](2m+l)P,„,(ÄnsinA
m=0 m=0
Damit ist derUebergang zu reellen Schwingungskomponenten vollzogen und die Berechnung der an der Oberfläche der Kugel wirkenden elektrischen und magnetischenKräfte ermöglicht.
326 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 6, Jidi 1901.
§ 8. Der Maxweirsche Druck.
Nach Maxwell herrscht im Aether ein Druck senkrecht zu den elektrischen Kraftlinien und ein Zug in Richtung der elektrischen Kraft, beide numerisch gleich der in der Volumen- einheit enthaltenen elektrischen Energie, also gleich
o (X» + r* + Z»),
wo o ein Proportionalitätsfaktor ist, der von der Wahl der Einheit der elektrischen Kraft abhängt. Ein ebensolcher Druck und Zug herrscht senkrecht und parallel zur magnetischen Kraft und ist wiederum numerisch gleich der in der Volumeneinheit enthaltenen magnetischen Energie o (i* + HD + JP). Um die vollen Drucke im Aether zu erhalten, hat man das elektrische und das magnetische Drucksystem zu superponieren.
Nun steht die elektrische Kraft überall senkrecht auf unserer Kugel. Demnach wirkt auf jedes Oberflächenelement derselben zunächst ein senkrechter Zug, dessen Grösse gleich o X\ ist, weil hier die elektrische Kraft nur aus ihrer Normal- komponente X, besteht. Die magnetische Kraft hingegen hegt in der Oberfläche unserer Kugel. Daher erföhrt jedes Ober- flächenelement derselben zweitens einen senkrechten Druck gleich o {M\ ■\- N\), Der Gesamtdruck auf ein Oberflächenelement wird daher: o (Jf? + 2V1 — X?) oder nach (92) gleich:
o{(T'cos%H-^-0sinV4--S^*cos'(A-[-g^)cosV — jP*cos*(/'-|- g^)cosV}'
Der Druck ändert sich hiernach periodisch mit der halben Schwingungsperiode des Lichts. Der uns allein interessierende Durchschnittswert für Zeiten, welche viele Perioden umfassen, wird:
- (Gr^ sin* q) + IP cos* <p — F^ cos* (p) .
Bildet man durch Multiplikation mit cos d die in die a:-Richtung fallende Componente dieses Drucks und integriert über die ganze Kugelfläche, so erhält man für den in Richtung der einfallenden Welle auf die Kugel wirkenden Pryck -P«
JT. 8ck«?atZ8cküd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 327
2) = ^J*a*rf*d9?sindcosd(6r*sin*99 i- IP cos^ q? — F^ cos^ (p\
wobei, wie früher, a den Kugelradius bedeutet. Da F, G und S nicht von q) abhängen, lässt sich die Integration nach (p ausfähren und das Integral auf folgende Form bringen:
D = ^^ Cd'&sin'&co3'&[{Gcosgy+ {Gsingf + {Hcoshy
^ 0
+ (JTsin Ä)» - (F cos ff - {F sin ff\ .
Hier sind nun die Summen (93) einzusetzen. Beginnen wir beispielsweise mit der Summe für Gcosjr, so folgt:
JT
f dit> sin ^ cos ^ ((? cos gf
0
OB 00 *
= 2j S (2w+lX2m'+l)6r,„G«, cos5r^cos5riH'Jd^sin^cosi?P,„,cP«',o.
m=rOM'=rO 0
Die in der vorstehenden Formel rechts auftretenden In- tegrale sind null, ausser wenn m' = m + 1 ist. Daher reduziert sich die Doppelsumme auf die einfache:
*»
2 2j (2w+lX2m+3)G,«G,„4.iCOS5rmCos(7,„+i Jdt>sini>cosi?P,„,oPm+i,o
und wenn man hier für die Integi*ale nach (24) die Werte
2 (m + 1)
(2 m + 1) (2 w + 3) einsetzt, so wird:
jr OD
j*rf^sin^co8*(Gcos5r)*=4 S (w+l)Gn,G„,+lCOS(/mCOSr/;n+l.
Ganz ähnlicher Umformungen sind die übrigen Glieder des Ausdrucks von D föhig (bei den Gliedern mit F hat man die Integralformel (23) zu benutzen) und man erhält schliesslich durch Addition der sechs entstehenden Summen die Schluss- formel für den Druck des Lichts:
328 . SitzüHg der vmth.-phys,' Glosse vom 6. Juli 1901',
D = 2o7ia^
L (m + 1) G,„ öw+i cos (g„, — g„,^i)
m=0
00
+ S (m + 1) Sm Sin+i COS (hm — Ä„,+i) 94)
— L m(m + l)(m-f2)FmF,„4.icos(/'m— /ln+i)r- . «1=1 )
Der Proportionalitätsfaktor o lässt sich leicht aus der durchschnittlichen Energie pro Volumeneinheit JE der einfallen- den Welle berechnen. Die elektrische Schwingung der ein- fallenden Welle war Y= cos{kx -\' qt)^ dementsprechend ihre elektrische Energie gleich oY^=o cos* (hx -{- qt). Der Mittel- wert dieses Ausdrucks für Vielfache der Schwingungsperiode ist
— . Es ist bekannt, dass in ebenen Wellen die Energie der
^ ' ■■■ ,
magnetischen und die Energie der elektrischen Schwingung gleich sind. Daher habe ich noch einmal ^ hinzuzufügen,
um die ganze Energie pro Volumeneinheit zu erhalten, und
finde damit:
a = E. 95)
§ 9. Formeln zur numerischen Rechnung.
Um eine etwaige Controlle der späteren numerischen An- gaben zu erleichtern, will ich die Formeln angeben, die ich zur numerischen Berechnung des Drucks benutzt habe imd die aus den oben abgeleiteten auf die einfachste Weise hervor- gehen, indem man von vorneherein für Trennung des Reellen und Imaginären sorgt.
a Kugelradius. q = — -. — .
Man bilde die endlichen Ausdrücke;
K. Schwarzsehüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 329
_ (m — l)m(m + l)(m+2) 1
,. cos ;:« — 1 — 2 ^ ^^
(m -~ 3) (m — 2). . . . (m + 3) (m + 4) 1 "^ 2.4.6.8 Q^ '"
_lm(m+l) 1 (m~2)(m-l)...(m4-2)(m4-3) ,
)wie:
lm(m+l) m(m + l) + 1.2
?m cos v'«»= 1 i— ^-75 • — ^ r
Q^ 2 4
1 (m-~2)(m-l)...(w + 2)(m + 3) m{m+l)-\-3'4: ■*'^* 2.4.6 ' 8
1 m(m+l) 1 (m-l)m(m+l)(m+2) m(m+l)4-2.3 , .sinv^.=-— 2— .^ 2:^ -^ +...
nd berechne hieraus km, Im, Xm^ Wm für eine Reihe von Werten es Index m.
Wünscht man für den Druckwert etwa eine zweistellige enauigkeit, so gehe man dabei bis zu einem Index m, für eichen km und Im grösser als 100 werden, und vernachlässige lieh in den späteren Formeln alle Glieder, in welchen km oder , mit höherem Index als m vorkommen. Für ^ = i^t bei nem Kugeldurchmesser gleich etwa ^/n Wellenlänge, genügt ^ m = 3 zu nehmen, so dass die Berechnung des Drucks sehr licht auszuführen ist; für ^ = 4 hingegen, wenn also der Kugel- iirchmesser die Wellenlänge schon um einiges übertrifft, muss lan bereits bis zu w = 7 oder 8 gehen und für Kugeln, deren Durchmesser mehrere Wellenlängen beträgt, wird die Rechnung raktisch undurchführbar, aber, wie sich unten zeigen wird. Lieh nicht mehr erforderlich.
Man berechne weiter die Hülfsgrössen : 1 __ 2m +1 ki^ _ m _kn __. 1 _ 7,.
Okm *" Q^lm km-lkm^l "* Q^lnikm-\-\ Q^lm
nd die Hülfswinkel:
330 Sitzung der math.-phys, Glasse vom 6. Juli 1901,
X'n=Xfn'\- Q 2" V'm = 2 (^ + ^^ ~ ^ ~ ^*
Dann gilt:
Gm singm -\- Gni+2smgm^2= r„,sin;i:m+ rtn+2sinxm+2+Snt^i sinö*+i.
Man kann aus diesen beiden Gleichungssystemen die 6f« und gln durch Rekurrenz berechnen, indem man mit einem hinreichend hohen Wert des Index m = m beginnt und G«,+i sowie G,n^2 gleich null setzt. Ist das ausgeführt, so findet man H„t und h'm nach den Formeln:
II,n cos hin = tm cos T,„ — 2 r« sin x'm + <Tm+i cos gU+i H„, sin hin = t,n sin t,„ — 2 r« cos Xm — Gm+i sin ^«+i .
Die Fn„ Gin und H„i stimmen überein mit den im vorigen § so bezeichneten Grössen.
Das Verhältnis des Drucks der Strahlung D zu der Strah- lungsenergie in der Volumeneinheit wird dann erhalten aus der Summe:
-= = 2jia^\J^ {m+ l)G,n Gm+i sin (g», — (/«+i)
■^ Lm=0
-{- {m -]- l) H,n H,n+i sin (A;„+i — hm) + m (m + 1) (m + 2) F,„ F^+i sin (v^« — Vmf i) •
§ 10. Grenzwerte des Drucks.
In den beiden Fällen, dass die Kugel entweder sehr klein oder sehr gross gegen die Wellenlänge ist, lassen sich einfache geschlossene Ausdrücke für den Druck angeben.
Wenn der Kugelradius und damit q sehr klein ist, kann map sich in der Entwicklung (28) von Kf^:
K, Schioarsechüd: Druck des Lichts auf Meine Kugeln etc, 331
Q
"»^ ' .TO+l
gm
1-3. ..2m+
\ 2(2m-lV2.4(2m-l)(2m-3)"7
U £!_+ 9t 1
1\ 2(2w+3)^2 4(2m+3)(2m+5)*"j
auf die paar ersten Glieder beschränken. Wo dann in den obigen Formeln ein Paktor oder Divisor Km oder ein DifiFerential- quotient dieser Grössen auftritt, kann man stets nach Potenzen von Q entwickeln und enthält schliesslich den Druck D selbst in Porm einer Potenzreihe nach ^, deren erstes Glied den ge- suchten Grenzwert darstellt. Die Rechnungen, die hierzu führen, sind ziemlich umständlich, aber ganz elementar; man muss sich nur hüten, zu früh höhere Glieder wegzulassen, da sich zum Schluss solche niederer Ordnung herausheben. Man erhält als Grenz- wert des Drucks für sehr kleine Kugeln:
DU,, 224 ,a« ^.,
Pur sehr grosse Kugeln findet man den Druck folgender- massen. Pällt eine ebene Welle unter einem Winkel \p auf eine vollkommen reflektierende ebene Platte auf, so erleidet letztere einen senkrechten Druck : P = 2 E cos^ i/;, wobei E wiederum die Energie pro Volumeneinheit der einfallenden Welle bedeutet. (Vgl. für die einfache Ableitung dieser Regel aus MaxwelPs Druckannahmen Goldhammer, Annalen der Physik, Bd. 4, 1901, pag. 844 und Boltzmann, Wied. Annalen, 22). Betrachten wir die Oberflächenelemente unserer Kugel als eben, so folgt, dass überall auf dieselbe ein senkrechter Druck gleich 2 E cos^ ?9 — in unserer Bezeichnung — wirkt. Die a;-Componente dieses Drucks ist 2 E cos^ ?9 und der Gesarat- druck auf die Kugel wird durch Integration über die Vorder- fläche gewonnen, da die beschattete Hinterfläche natürlich keine Einwirkung erleidet. Es ergiebt sich daher:
D = d^' fd(pj^d^ sin 9'2E cos' ^
0 0
oder: D _ __.
j^ = ^a\ 97)
332
Sitzung der mathrphysl Cloisse tarn 6. Jtdi 1901,
Es ist im ersten Augenblick auffällig, dass dieser für eine vollkommen reflektierende grosse Kugel geltende Wert genau tibereinstimmt mit dem von Herrn Arrhenius benutzten für eine vollkommen schwarze Kugel gültigen. Doch lässt sich dieses Resultat leicht aufklären. An der Stelle, welche von der einfallenden Welle zuerst getroflTen wird (^ = 0), erleidet eine vollkommen reflektierende Kugel allerdings einen doppelt so starken Druck, als eine vollkommen schwarze. Indessen nimmt nach den Seiten hin bei der vollkommen reflektierenden Kugel der Druck viel rascher ab, weil bei flachen Incidenzen die Druckwirkung der reflektierten Welle die der einfallenden zum Teil wieder aufhebt.
§ 11. Ergebnis.
Nachdem der Druck für sehr grosse wie sehr kleine Kugeln aus den Formeln des vorigen Paragraphen bekannt war, erübrigte noch die Berechnung für Kugeln von der Qrössen- ordnung der Wellenlänge. Ich will zur Bequemlichkeit das Verhältnis von D zu 7i a^ E mit V bezeichnen. Die Berech- nung von V habe ich nach den Foimeln § 9 für einige Werte des Kugelradius numerisch ausgeführt mit folgendem Resultat:
2 Tta
= Q
2a
V=
B
jia^E
14
|
'U |
V» |
V'h |
1 |
V2 |
2 |
|
0.08 X |
0.16 A |
0.22 A |
0.32 A |
0.45 A |
0.64 A |
|
0.018 |
0.35 |
1.07 |
2.42 |
2.16 |
1.31 |
|
0.018 |
0.29 |
1.17 |
4.67 |
1.27/
1.2i
Zur Vergleichung wurden die Werte von F, wie sie aus
der Näherungsformel (96) folgen, mitangesetzt. Man sieht:
„Beschränkt man sich auf eine Genauigkeit von etwa
14 20^/o, so genügt die Formel: D = -^7id^Q^E zur Be-
rechnung des Drucks von unendlich kleinen Kugeln
K, Scfkwargsehüd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 333
an bis herauf zu Kugeln von ein Viertel Wellenlänge Durchmesser.^ Andrerseits muss nach (97) für sehr grosse Kugeln das Verhältnis von D zu na^ E gleich 1 werden. Man sieht aus der Tabelle : Bei derselben Genauigkeit gilt die Formel D=na}E bis herab zu Kugeln von etwa andert- halb Wellenlängen Durchmesser.
Das Verhalten des Drucks für dazwischen liegende Werte wird durch Curve Fig. 1 veranschaulicht. Um dieselbe etwas sicherer zeichnen zu können, habe ich einige Punkte zwischen den oben berechneten bestimmt, indem ich die einfach ver- laufende Grösse log V — 4 log q als Funktion von log q nume- risch interpolierte. Das Verhalten des Drucks lässt sich hier- nach etwa so beschreiben: „Das Verhältnis V des Drucks zur „auffallenden Energiemenge" na^ E steigt von dem für grosse Kugeln gültigen und auch von Herrn Arrhenius benutzten Werte 1 zunächst langsam an, wenn man den Kugelradius verkleinert. Ist der Kugel- durchmesser auf etwa ^/g Wellenlänge herabgesunken, so erfolgt ein merkwürdiges rapides Anwachsen von F, welches bei etwa ^/a Wellenlänge Durchmesser zu einem Maximum gleich 2.5 führt. Bei weiterer Ver- kleinerung des Kugeldurchmessers sinkt Fnoch plötz- licher ab, als es vorher angestiegen ist. Für2a = ^/5A ist es bereits wieder unter die Einheit zurückgegangen und nimmt alsbald verschwindend kleine Werte an."
Vergleichen wir nun den Druck des Lichts mit der Schwer- kraft. Ist G die auf die Masseneinheit, also z. B. das Gramm, wirkende Schwerkraft der Sonne, s das spezifische Gewicht des Kugelmateriales, so hat die auf die ganze Kugel wirkende Schwerkraft den Betrag:
S=^ ^Tid^ S' G^
wobei a in Centimetem zu messen ist.
Der Druck des Lichts hat den Wert na^ E -V und das Verhältnis beider wird:
S *G as^
334
Sitzung der math.'phys. Glosse vom 6, Juli 1901,
Nimmt man die Solarkonstante zu 2.5 (Grammkalorie! pro Minute und Quadratcentimeter) an, so findet man mi Herrn Arrhenius (1. c. pag. 83) die Energiedichte der Sonnen
» = 2.4- 2.0
i.e-
1.2- 0.8— 0.
Fig. 1. Verhältnis des Drucks zur auffallenden Energie.
jr
2a 1 \ \ \ \ \ \ \ i \ i \ I I I
-— = 0.0 Ü.l 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 \JS 1.4 1.5
Fig. 2. Verhältnis des Drucks zur Schwerkraft für ^ = 0.6/< und s — \.
Wft=20-
strahlung an der Oberfläche der Sonne zu 27.5 • 10-^^cm"^ {g bedeutet das Grammgewicht). Andrerseits ist die Schwere auf der Sonnenoberfliiche 27.5 mal grösser als auf der Erde, daher :
G = 27.5 g
K. Sehwarzsckäd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc. 335
und damit:
D „ 27.5 10-* V ^^e,,^ , F
-ä = i: ^^^ == 0.75 10-* — ,
S * 27.5 as as
wobei immer noch a in cm zu messen ist. Zieht man es vor, a in Tausendstel mm (ju) zu messen, so gilt:
D V
W=^=0,7b—,
o as
Wir wollen zunächst den Normalfall betrachten, dass die ganze Sonnenstrahlung aus Wellen der Länge 0,6 ju bestehe, wie sie der hellsten Stelle des Spektrums entsprechen, und das spezifische Gewicht s gleich 1 sei, und wollen das diesem Fall entsprechende Verhältnis von Druck zu Schwere mit Wq be- zeichnen.
Dann ist:
D V ^o=g- = f-- 98)
Die Werte des Verhältnisses W^^ welche aus Formel (98) hervorgehen, sind in Fig. 2 graphisch dargestellt. Für grössere Werte von a, als die Figur giebt, kann man einfach F= 1 und:
" 4 a
setzen. Aus dieser Formel und der Figur entnimmt man folgendes: Im Normalfall wird der Druck des Lichts gleich der Schwerkraft, sobald der Kugeldurchmesser bis auf 2,b X = 1,S jLi herabsinkt. Bei weiterer Verklei- nerung der Kugel wächst der Druck über die Schwer- kraft hinaus, bis er sie bei einem Kugeldurchmesser von 0.3 A = 0.18 /i um das 18-fache übertrifft. Von die- sem Maximalwert sinkt er schnell wieder ab und wird bereits für den Kugeldurchmesser 0.12 A = 0.07 ju wieder der Schwerkraft gleich, um sich sodann rasch der Null zu nähern.
„Ein Ueberwiegen des Drucks der Strahlung über die Schwerkraft findet also nur für gewisse zwischen
336 Sitzung der math.-phyä, Glosse vom €, Juli 1901,
verhältnismässig engen Grenzen liegendeKugelgrössen (0.07 — 1.5/i) statt, innerhalb dieses Bereichs wächst aber der Druck bis auf das 18-fache der Schwer- kraft an.*
Bei der practischen Anwendung des vorstehenden Ergeb- nisses hat man vor allem zu berücksichtigen, dass die Strah- lung der Sonne in Wirklichkeit nicht auf die Wellenlänge 0.6 /i konzentriert, sondern über alle möglichen Wellenlängen verteilt ist. Setzt man die Intensität der Sonnenstrahlung zwischen den Wellenlängen k und l-{-dl gleich EJ{l)dl, wobei :
Sj{X)dX=l 99)
0
sein muss, damit der richtige Betrag der Gesamtenergie heraus- kommt, so hat man strenge den Druck zu berechnen nach der Formel :
D = 7ta'ESJWVdX
0
und erhält für das Verhältnis von Druck zu Schwerkraft:
Die genauere Kenntnis der Funktion J(i), der Intensität der Sonnenstrahlung für die verschiedenen Wellenlängen vor ihrer Absorption durch die irdische Atmosphäre, ist noch ein Desideratum. Um einen beiläufigen Anhalt zu gewinnen, setze ich für J(X) die nach Wien für den vollkommenen Radiator geltende Formel an:
wobei der willkürliche Faktor, mit dem J(X) im allgemeinen multipliziert ist, gleich so bestimmt ist, dass die Gleichung (99) erfüllt wird, und wobei für A,„ die Wellenlänge maximaler In- tensität, also bei der Sonne 0.6 jul einzusetzen ist. Die Mes-
K. SchwarzschÜd: Druck des Lichts auf kleine Kugeln etc, 337
mngen von Langley*) zeigen, dass man durch diesen Ansatz ien wirklichen Verlauf der Funktion J(X) jedenfalls im Groben iriflPb. Ich habe nun den Ausdruck (101) für J(l) in (100) eingeführt und den Wert des Integrals durxjh mechanische Quadratur abgeschätzt. Dabei hat sich herausgestellt, dass lurch die Verteilung der Sonnenenergie auf verschie- lene Wellenlängen der Maximalwert des Verhältnisses ron Druck zu Schwerkraft etwa auf die Hälfte des 'ür den obigen Normalfall gültigen Wertes, also bei- äufig auf 10 reduziert wird.
Auf der andern Seite sind aber auch Umstände in Be- tracht zu ziehen, welche die Druckwerte vergrössern. Es ist erstens möglich, dass die Materie der Cometenschweife ein ge- ringeres spezifisches Gewicht hat als 1, etwa das spezifische Grewicht 0.8 der Kohlenwasserstoffe. Zweitens ist die Solar- konstante mit 2.5 für die Strahlung der Atmosphäre ausserhalb 1er Sonne zweifellos zu gering angesetzt und nach neueren V^ersuchen etwa auf 3.5 — 4 zu vermehren. Beides zusammen gewirkt eine Vergrösserung des Drucks auf nahezu das Doppelte, »odass man schliesslich auf einen Maximalwert von W in der N^ähe von 20 zurückkommt.
Dass die Teilchen eine Constitution besitzen sollten, bei velchen grössere Drucke auftreten, als bei vollkommen reflek- -ierenden Kugeln, ist, wenn nicht unmöglich, so doch unwahr- icheinlich. Fasst man alles zusammen, so kommt man daher ;u folgendem Schluss: „Die Theorie der Cometenschweife 'on Arrhenius erfährt insofern eine Bestätigung, als line Zurückführung der grössten beobachteten ab- tossenden Kräfte auf den Druck der Sonnenstrahlung iben noch möglich erscheint. Noch grössere derartige Gräfte, welche die Schwere um mehr als das 20- oder ^0-fache übertreffen, würde man aber nicht erklären cönnen, ohne unwahrscheinlich kleine spezifische Ge- richte für die Schweifteilchen anzunehmen.
') Memoirs of the National Akad. of Science. Washington Vol. IV. I90I. Siiznngsb. d. math.-phys. Gl. ^3
338 Sitzung der math.-phys. Ctasse vom 6. Juli l9öi.
Schliesslich noch eine Bemerkung über einen Punkt der Sonnenphysik. Herr Arrhenius führt auch das radial gefaserte Aussehen der Sonnenkorona auf den Druck der Sonnenstrah- lung zurück, indem er annimmt, dass der aus der Sonne bei Eruptionen emporgeschleuderte Staub unter seinem Einfluss nahezu radial von der Sonne wegströmt (1. c. pag. 85). Ein Zurücksinken der Teilchen in mehr parabolischen Curven, wie sie schon beobachtet worden sind, kann nach der Ansicht von Hen*n Arrhenius dadurch bewirkt werden, dass zwei Teilchen sich zufällig treffen und zusammenbacken, mit dem Effekt, dass die Schwerkraft nun den Strahlendruck überwindet. Nach dem oben festgestellten rapiden Absinken des Drucks für sehr kleine Kugeln ist es einfacher, anzunehmen, dass die emporgeschleu- derten Körperchen sich durch Verdunstung verkleinem und sich dadurch dem Strahlendruck mehr und mehr entziehen, sodass sie schliesslich samt ihren gasförmigen Verdunstungs- produkten unter dem Einfluss der Schwerkraft zur Sonne zurückfallen.
339
Beiträge zur Sonnentheorie.
Von R« Emden.
{Eingelaufen 6, Juli.)
Helniholtz*) hat gezeigt, dass verschieden dichte, mit ungleicher Geschwindigkeit strömende Luftschichten in scharf ausgeprägten Diskontinuitätsflächen aneinander grenzen können ; dann sind ähnliche Bedingungen gegeben, wie wenn der Wind über eine Wasseroberfläche streicht, und jene Trennungsfläche wird zur Bildung gewaltiger, paralleler, in Richtung der rascher bewegten Schicht vorwärts eilender Wellenzüge veranlasst. Diese, meistens unsichtbar, können der Beobachtung zugänglich werden durch parallele, in den aufsteigenden Wellenbergen ent- stehende Wolkenstreifen, welche oft grosse Flächen des Firma- ments bedecken; durch stürmische Regenschauer, die von Peri- oden heiteren Wetters unterbrochen, in gleichen Zwischen- räumen mehrmals im Tage wiederkehren, sowie durch die Be- wegung, die sie einem zufallig von ihnen erfassten Luftballon mittheilen. Ein glücklicher Zufall gestattete mir, bei einer Ballonfahrt die Längen dieser Wellen, sowie die Beschaffenheit der beiden sich berührenden Luftschichten zu messen und Uebereinstimmung der von der Helmholtz'schen Theorie gefor- derten und der gemessenen Wellenlänge zu konstatiren.*)
In einer Reihe von Abhandlungen hat Helmholtz die Be- deutung dieser Wellenbildung für die allgemeine Zirkulation
0 Helmholtz, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I u. III.
^ R. Emden, Eine Beobachtung über Luft wogen. Wied. Annal. LXII.
pag. G2. 1897.
23*
338 Sitzung der math.-phys. Classe vom 6. Juli 19Ö1.
Schliesslich noch eine Bemerkung über einen Punkt der Sonnenphysik. Herr Arrhenius führt auch das radial gefaserte Aussehen der Sonnenkorona auf den Druck der Sonnenstrah- lung zurück, indem er annimmt, dass der aus der Sonne bei Eruptionen emporgeschleuderte Staub unter seinem Einfluss nahezu radial von der Sonne wegströmt (1. c. pag. 85). Ein Zurücksinken der Teilchen in mehr parabolischen Curven, wie sie schon beobachtet worden sind, kann nach der Ansicht von Hen*n Arrhenius dadurch bewirkt werden, dass zwei Teilchen sich zufällig treffen und zusammenbacken, mit dem Effekt, dass die Schwerkraft nun den Strahlendruck überwindet. Nach dem oben festgestellten rapiden Absinken des Drucks für sehr kleine Kugeln ist es einfacher, anzunehmen, dass die emporgeschleu- derten Körperchen sich durch Verdunstung verkleinern und sich dadurch dem Strahlendruck mehr und mehr entziehen, sodass sie schliesslich samt ihren gasförmigen Verdunstungs- produkten unter dem Einfluss der Schwerkraft zur Sonne zurückfallen.
339
Beiträge zur Sonnentheorie.
Von R« Emden.
(Bingelaufen 6. Juli.)
Helmholtz*) hat gezeigt, dass verschieden dichte, mit ungleicher Geschwindigkeit strömende Luftschichten in scharf ausgeprägten Diskontinuitätsflächen aneinander grenzen können ; dann sind ähnliche Bedingungen gegeben, wie wenn der Wind über eine Wasseroberfläche streicht, und jene Trennungsfläche wird zur Bildung gewaltiger, paralleler, in Richtung der rascher bewegten Schicht vorwärts eilender Wellenzüge veranlasst. Diese, meistens unsichtbar, können der Beobachtung zugänglich werden durch parallele, in den aufsteigenden Wellenbergen ent- stehende Wolkenstreifen, welche oft grosse Flächen des Firma- ments bedecken; durch stürmische Regenschauer, die von Peri- oden heiteren Wetters unterbrochen, in gleichen Zwischen- räumen mehrmals im Tage wiederkehren, sowie durch die Be- wegung, die sie einem zufallig von ihnen erfassten Luftballon mittheilen. Ein glücklicher Zufall gestattete mir, bei einer Ballonfahrt die Längen dieser Wellen, sowie die Beschaffenheit der beiden sich berührenden Luftschichten zu messen und Uebereinstimmung der von der Helmholtz'schen Theorie gefor- derten und der gemessenen Wellenlänge zu konstatiren.*)
In einer Reihe von Abhandlungen hat Helmholtz die Be- deutung dieser Wellenbildung für die allgemeine Zirkulation
*) Helmholtz, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I u. TIT.
^ R. Emden, Eine Beobachtung über Luftwogen. Wied. Annal. LXII.
pag. 02. 1897.
23*
338 Sitzung der math.-phys, Ctasse vom 6. Juli l9öi.
Schliesslich noch eine Bemerkung über einen Punkt der Sonnenphysik. Herr Arrhenius führt auch das radial gefaserte Aussehen der Sonnenkorona auf den Druck der Sonnenstrah- lung zurück, indem er annimmt, dass der aus der Sonne bei Eruptionen emporgeschleuderte Staub unter seinem Einfluss nahezu radial von der Sonne wegströmt (1. c. pag. 85). Ein Zurücksinken der Teilchen in mehr parabolischen Curven, wie sie schon beobachtet worden sind, kann nach der Ansicht von Herrn Arrhenius dadurch bewirkt werden, dass zwei Teilchen sich zufallig treffen und zusammenbacken, mit dem Effekt, dass die Schwerkraft nun den Strahlendruck überwindet. Nach dem oben festgestellten rapiden Absinken des Drucks für sehr kleine Kugeln ist es einfacher, anzunehmen, dass die emporgeschleu- derten Körperchen sich durch Verdunstung verkleinem und sich dadurch dem Strahlendruck mehr und mehr entziehen, sodass sie schliesslich samt ihren gasförmigen Verdunstungs- produkten unter dem Einfluss der Schwerkraft zur Sonne zurückfallen.
339
Beiträge zur Sonnentheorie.
Von R« Emden.
(Eingelaufen 6, Julf.)
Helmhol tz*) hat gezeigt, dass verschieden dichte, mit ungleicher Geschwindigkeit strömende Luftschichten in scharf ausgeprägten Diskontinuitätsflächen aneinander grenzen können ; dann sind ähnliche Bedingungen gegeben, wie wenn der Wind über eine Wasseroberfläche streicht, und jene Trennungsfläche wird zur Bildung gewaltiger, paralleler, in Richtung der rascher bewegten Schicht vorwärts eilender Wellenzüge veranlasst. Diese, meistens unsichtbar, können der Beobachtung zugänglich werden durch parallele, in den aufsteigenden Wellenbergen ent- stehende Wolkenstreifen, welche oft grosse Flächen des Firma- ments bedecken; durch stürmische Regenschauer, die von Peri- oden heiteren Wetters unterbrochen, in gleichen Zwischen- räumen mehrmals im Tage wiederkehren, sowie durch die Be- wegung, die sie einem zufallig von ihnen erfassten Luftballon mittheilen. Ein glücklicher Zufall gestattete mir, bei einer Ballonfahrt die Längen dieser Wellen, sowie die Beschaffenheit der beiden sich berührenden Luftschichten zu messen und Uebereinstimmung der von der Helraholtz'schen Theorie gefor- derten und der gemessenen Wellenlänge zu konstatiren.*)
In einer Reihe von Abhandlungen hat Helmholtz die Be- deutung dieser Wellenbildung für die allgemeine Zirkulation
*) Helmholtz, Gesammelte Abhandlungen. Bd. I u. TU.
^ R. Emden, Eine Beobachtung über Luftwogen. Wied. Annal. LXII.
pag. 02. 1897.
23*
340 Sitzung der math.'phys, Classe vom 6. Juli 1901,
der Atmosphäre dargelegt. Die Wärmemenge, welche die Atmosphäre in den äquitorialen Gegenden empfangt und in mächtiger Strömung in den obern Schichten den Polen zuführt, müssen auch der Erdoberfläche in mittleren Breiten zugeführt werden. Ein einfaches Niedersteigen jener obern Schichten ist ausgeschlossen, denn, ihr Rotationsmoment beibehaltend, würden schon in niedern Breiten regelmässig Stürme auftreten, von einer Heftigkeit, wie sie selbst ausnahmsweise nicht beobachtet werden. Der Koefficient der Wärmeleitung ist viel zu klein, dass sich der Wärmegehalt durch Leitung, der Reibungs- koefficient zu klein, dass sich Rotationsmomente durch innere Reibung ausgleichen können. Vielmehr werden sich die ain Aequator mit Energie gespeisten, polwärts strömenden Luftmassen in immer neu sich bildenden Diskontinuitätsflächen von den untern, an Energie ärmeren, zurück zum Aequator strömenden Luftmassen absondern. Die immer mächtiger sich ausbildenden Wellen werden mit immer steiler werdender Wellenfront weiter- eilen, sie werden schliesslich, wie Wasserwellen, überhängend und branden; und an Stelle jedes Wellenzuges bildet sich ein gewaltiger, horizontalgelagerter Wirbel, indem sich schliesslich die beiden Luftschichten mischen. Indem durch Bildung von Diskontinuitätsflächen die Unstetigkeit erst auf die Spitze ge- trieben wird, bewirkt das Aufrollen derselben stetige Ueber- gänge in Bezug auf Rotationsmoment und Wärmegehalt, die ohne diesen Vorgang bei der Kleinheit der Koefficienten für Wärmeleitung und Reibung unmöglich wäre.
Aehnliche Verhältnisse werden auch im Innern der flüssig gedachten, rotirenden und Wärme ausstrahlenden Sonne ein- treten müssen. Dies näher auszuführen ist der Zweck der nachfolgenden Betrachtungen.^)
^) Auf die im Folgenden zu beschreibende Schichtenbildung hat, wie ich sehe, bereits M. Brillouin hingewiesen in einer kurzen Anmer- kung zur französischen Uebersetzung der Abhandlung von W. Thomson: lieber die Sonnenwärme. W. Thomson: Conferences scientifiques et allocutions. pag. 241, Anmerkung.
B, Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 341
Wir betrachten die Sonne zur grösseren Bequemlichkeit als rotirende Kugel; die sich ergebenden Schlüsse lassen sich ohne Weiteres auch auf ein rotirendes Ellipsoid übertragen. Um eine zu rasche Abkühlung der äussersten Schichten zu ver- hüten, sind wir, da Wärmeleitung zu geringe Wärmemengen nach der Oberfläche transportiren würde, genöthigt, die Sonne ganz oder bis in beträchtliche Tiefen hinab als flüssige Masse aufzufassen, die durch Wärmeabgabe dichter wird, so dass durch Wärmeausstrahlung auf- und absteigende Strömungen und durch deren Mischung mehr oder minder gleichmässige Wärmeabgabe derselben bewirkt werden. Ob die Flüssigkeit kompressibel oder inkompressibel ist, ist hierbei gleichgültig. Wir behandeln den ersten Fall, als den Allgemeineren. Da wir die Zustandsgieichung so hoch temperirter und stark kom- primirter Gase nicht kennen, legen wir der Rechnung die Hypothese zu Grunde, dass der ganze Theil der Sonne, den wir betrachten, die Zustandsgieichung p (Druck) x v (Masse der Volumeinheit) = H (Gaskonstante) x T (absolute Temperatur) gehorcht.
Wir nehmen ferner an, dass die Masse der ganzen Sonne den Gasgesetzen gehorcht, der Durchkühlungsprocess durch Konvektionsströmung durch die ganze Masse hindurch erfolgt. Hätte die Sonne einen festen Kern, so wäre dies für das Folgende gleichgültig; die eintretende Schichtenbildung würde dann eben nur bis zur Oberfläche dieses festen Kernes hinab- reichen. Diese Gaskugel soll anfangs im adiabatischen (in- differenten) Gleichgewichte stehen, d. h. Dichte, Druck und Temperatur soll durch die ganze Masse hindurch so variiren, dass ein beliebiges Sonnentheilchen bei beliebiger, vor Wärme- austausch geschützter Verschiebung im Sonneninnern in Bezug auf Dichte, Druck und Temperatur stets mit'dem augenblick- lich verdrängten Theilchen übereinstimmt. In einer nicht rotirenden Kugel muss durch Mischung auf- und absteigender Strömungen dieser Zustand stets herbeigeführt werden.
Reibungskräfte sollen nur an Stellen mit endlichen Ge- schwindigkeitsdiflerenzen zur Wirkung gelangen.
342 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6. Juli 1901.
Wir betrachten die Sonne vom Nordpole aus und be- zeichnen eine Bewegung im Sinne der Rotation als Vorwärts- bewegung.
Die Massen an der Oberfläche der Sonne geben Wärme ab, werden dichter und müssen in die Tiefe sinken. Würde die Sonne nicht rotiren, so würden bei dem angenommenen Gleichgewichtszustande der Sonne diese Massen bis zum Sonnen- mittelpunkt herabsteigen und daselbst eine gleiche Menge Materie verdrängen, die den freigewordenen Platz an der Ober- fläche ausfüllt. Dies Strömungsbild wird aber durch die Rota- tion der Sonne vollständig geändert.
Aus Symetriegründen sind die Flächen gleichen Druckes Rotationsflächen, die Druckkräfte schneiden die Sonnenachse und die durch Abkühlung dichter gewordenen, einwärts sinken- den Massen müssen ihr Rotationsmoment beibehalten. Der Sonnenachse sich nähernd werden sie immer rascher vorwärts eilen und ihr Abtrieb durch Wachsen der Winkelgeschwindig- keit (Zentrifugalkraft) abnehmen. Die aufsteigenden Massen werden, ihr kleineres Rotationsmoment beibehaltend, immer rascher rückwärts eilen, mit abnehmendem Auftriebe. Wir erhalten so ungleich dichte, verschieden rasch rotirende Gas- massen, die in einer ausgeprägten Diskontinuitätsfläche an einander vorbeigleiten können. Wir erhalten so Diskontinuitäts- flächen, die an beliebigen Stellen im Sonneninnem auftreten können. Ueber ihre Gestalt wissen wir a priori nichts, als dass wir es wegen Symetriegründen mit Rotationsflächen, in den meisten Fällen aber wohl nur mit mehr oder minder grossen Stücken von solchen zu thun haben werden. An diese Diskontinuitätsflächen sind nun die Bedingungen für das Zu- standekommen mächtiger Wellen gegeben. Zur Sonnenachse nicht windschief gelegene Wellen oder Wellenzüge werden immer gewaltiger sich ausbilden, vorwärtseilend werden sie überhängend und an Stelle jeder Welle bildet sich durch deren Brandung ein mächtiger Wirbel, in dem sich der Ausgleich der Rotationsmomente und des Wärmegehaltes der beiden Schichten vollzieht. Nur auf diese Weise kaun ein gleich-
B, Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 343
massiger Durchkühlungsprocess der rotirenden Sonne zu Stande kommen, denn die Verschiedenheit der Rotationsmomente verhindert das Zustandekommen beträchtlicher Konvektionsströme in radialer Rich- tung; die innere Reibung genügt bei der Kleinheit des Rei- bungskoefficienten nicht, in genügend kurzer Zeit die Rota- tionsmomente auszugleichen, ebensowenig wie die Wärmeleitung den verschiedenen Wärmegehalt.
Dieser geschilderte Mischungsprocess soll näher untersucht werden. Wir haben in erster Linie die Gestalt und Lage dieser Diskontinuitätsflächen und dadurch die Lagerung der durch sie getrennten Sonnenschichten festzustellen.
Wir bezeichnen mit R den Abstand eines Theilchens vom Sonnenmittelpunkt, mit r dessen Abstand von der Sonnenachse; der Durchmesser der Sonne sei == D, Das Rotationsmoment der Masseneinheit, die mit der Winkelgeschwindigkeit co um die Sonne rotirt, sei:
1) ü=(or\
Bezeichnen p und g Druck und Dichte, X, Y, Z, ti, v, lo Beschleunigungen und Geschwindigkeiten in Richtung der xy z- Achsen, so lauten die hydrodynamischen Gleichungen:
^ 1 9« aw du du du -
X r-r tt V- W -— = \J
Q dX dt dX dy dZ
,r 1 9p 5t; dv dv dv
^ Q dy dt dx dy dz
\ dp dW dlV dw dW _
Z —- — ;r7 — u- V- tü—- = 0.
g dz dt dx dy dZ
"^ di^~~dir'^''dy '^'dz ~^-
Der Anfangspunkt des Coordinatensystems werde in den Sonnenmittelpunkt gelegt; die o:- Achse falle mit der Sonnen- aehse zusammen, die y-kchse geht durch Vorwärtsbewegung in die Z-Achse über. X Y Z sind die Beschleunigungen, welche die Sonnenmasse einer im Innern liegenden Massepeiuheit ertheilt,
344 Sitzung der mathrphys. Classe vom 6, Juli 1901.
Liegt diese im Abstände iJ vom Sonnenmittelpunkt, so ist das Potential der Gesammtmasse der Sonne auf dieselbe:
D l-^ 0 R )
Dabei ist es gleichgültig, ob wir die Sonne mit festem Kerne oder durch die ganze Masse hindurch gasförmig an- nehmen. (Durch den gasförmigen Theil hindurch ist q als Funktion von iJ bekannt, sobald die Adiabate, Vielehe dessen indifferentes Gleichgewicht darstellt, und die Natur des Gases gegeben sind.) Würden wir die Sonne nicht als Kugel, son- dern Ellipsoid betrachten, so wäre für das Folgende V als das Potential dieses Ellipsoides aufzufassen. Stets ist:
dx' dy' dz
Wir beobachten nur rotirende Bewegungen um die Sonnen- achse. Dann ist:
u =0,
Q
V = CO z = -z^
ri
Q
w= (oy= ^y.
Die 3 Gleichungen 2) vereinfachen sich, wenn die Be- wegung stationär geworden, in die beiden Gleichungen:
dX^QdX
3)
dr Q dr r* 2^ ist identisch erfüllt.
1 dt>
Der Ausdruck ——-7 worin 5 eine beliebige Richtung be- deutet, lässt bei adiabatischen Processen eine wichtige Umformung zu. Der Zustand der Gasmasse sei in einem be-
R. Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 345
stimmten Momente definirt durch die Werthe p^ u. Qq, Be- handeln wir die Gasmasse adiabatisch, so sind sämmtliche Werthe von p und ^, welche die Gasmasse durchläuft, ab- hängig von Pq u. Qq nach der Gleichung:
4) ^=^
(wenn x das Verhältniss der spezifischen Wärmen) und in jedem Momente muss sein:
4«) ^ = HT.
Q
Der Wärmegehalt einer Gasmasse wird gemessen durch deren potentielle Temperatur. Dieselbe wird gewöhnlich defi- nirt als diejenige Temperatur, die ein Gas erlangt, wenn es adiabatisch auf einen näher festzusetzenden Normaldruck ge- bracht wird. Da im Gegensatz zu einem solchen willkürlichen Normaldruck die Dichte eins eine durch das absolute Mess- system unmittelbar und eindeutig festgesetzte Grösse ist, dürfte die folgende Definition der potentiellen Temperatur zweck- mässiger sein, da sie ausserdem die Formeln sehr vereinfacht, so oft die potentielle Temperatur in dieselbe eintritt:
Potentielle Temperatur ist diejenige Temperatur, die ein Gas erlangt, wenn es adiabatisch auf die Dichte eins gebracht wird. Diese Temperatur bezeichnen wir mit 0.
Durch diese Festsetzung ist ohne weiteres auch ein poten- tieller Druck definirt als derjenige Druck, den das Gas ausübt, wenn es adiabatisch auf die Dichte eins gebracht wird. Dieser sei mit // bezeichnet. 77 und 0 ändern sich bei adiabatischer Behandlung nicht. Ist die Sonne im adiabatischen Gleich- gewicht, so haben 77 und 0 durch die ganze Sonnenmasse hindurch konstante Werthe. Strahlt ein Sonnentheilchen Wärme aus, so sinken dessen 77 und 0.
Nach 4*) stehen 77 und 0 in der Beziehung:
77 = 77.0.
346 Sitzung der maih.-phys. Glosse vom 6. Juli 1901,
Wählen wir in öl. 4 für Qq und p^ die Werthe
^0 = 1 "• -Po = ^» so lautet die Gleichung der Adiabate:
p = g*"' H &,
Diese Festsetzungen benützend können wir schreiben:
QdS ^ ' ^ dS
— (H'Oy ^ —
X — 1 ^ 95
Setzen wir:
1 K-l
X
5) 1?= TißGY, 7t =p^,
X 1
so wird:
6) — - = § — , t> = constans.
^ QdS ds'
Da ;«> 1, so ändert sich i? gleichsinnig mit 0, und kann deshalb ebenfalls als Mass für den Wärmegehalt einer Gas- masse dienen. Ebenso ändert sich Ji gleichsinnig mit p. An Stelle der beiden Variabein q und p haben wir nur noch Eine, TT, da d' bei adiabatischen Processen konstant bleibt. Bei adiabatischem Gleichgewicht hat i? durch die ganze Sonnen- masse hindurch denselben Werth.
Durch den oben geschilderten Abkühl ungs- und Strömungs- vorgang können sich in der Sonne Schichten bilden, innerhalb welchen Wärmegehalt und Rotationsmoment konstante Werthe besitzen, während beide Grössen von einer Schicht zur andern sprungweise sich ändern. Eine solche Schicht, innerhalb welcher '& und ü konstante Werthe besitzen, nennen wir eine homo- gene Schicht.
Mit Benutzung der eingeführten Bezeichnungen lauten die Gleichungen 3):
dx * dX
a F , ^ a TT Q^
- — r ^^\ ==-T' dr ^x r
B. Emden: Beiträge zur Sonnentheorie. 347
Innerhalb einer homogenen Schicht gilt also die Beziehung:
I. F+i>7r = -|Jl- + C7.
Wir betrachten nun zwei aneinander grenzende Schichten 1 und 2 und unterscheiden danach t>j fi, (7, von i?j Q^ C^.
Damit eine Diskontinuitätsfläche bestehen kann, muss zu beiden Seiten derselben der Druck, und somit auch tt, den- selben Werth haben. An jeder Stelle der Grenzfläche muss also sein:
TT j JTj ^ 0 ,
wobei längs derselben jr, und n^ variiren und an der Ober- fläche der Gaskugel die Werthe 71^=71^=0 annehmen.
Wir erhalten demnach als Gleichung der Meridiankurve der Diskontinuitätsfläche (Berührungsflächen zweier homogenen Schichten), ausgedrückt durch r und R:
Die Tangentenrichtung dieser Meridiankurve ergiebt sich durch DifFerenziren nach r und R zu:
dB dB Vß?^2 — ^V Der DiiFerentialquotient hat also stets dasselbe Vorzeichen ^, - ^.
Verschwindet dieser Ausdruck, was für i?^ = 1?, , ß^ = Q^ der Fall ist, so geht die Meridiankurve über in eine Parallele zur Sonnenachse.
Die Trennungsfläche von Schichten, die bei glei- chem Wärmegehalt verschiedenes Rotationsmoment besitzen, sind in diesem Specialfalle Kreis-Cylinder-
dV dR
oder:
wie
348 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 6. Juli 1901.
flächen, parallel und zentrisch zur Sonnenachse ge- legen.^)
Um im allgemeineren Falle weiteren Einblick in die Formen dieser Flächen und die Lagerung der Schichten 1 und 2 zu erhalten, benützen wir das von Helmholtz bei Behandlung der Diskontinuitätsflächen der Atmosphäre angewendete Verfahren.
Die Gleichung der Trennungsfläche lautet jt, — jr^ = 0 und für jede Richtung s innerhalb der Trennungsfläche ist deshalb
ds ^^' Ertheilen wir der Fläche einer Stelle eine kleine Defor- mation, so werden tTj und Jt^ sich ändern, und ebenfalls 7t ^ — jt,, falls das Gleichgewicht der Fläche nicht zufällig indifferent ist. Entfernen wir uns auf der Fläche auf der Normalen um die
9 (ji — 7t } kleine Strecke 3 w, so kann der Quotient \ — positiv
oder negativ sein, und dasselbe Vorzeichen hat bei stetiger
Druckvertheilung auf jeder Seite der Fläche auch der Quotient
9 (ji — 7t ) , , , ,
^-^ — —, wobei dh in beliebiger Richtung zurückgelegt wird.
Ist der DiS'erentialquotient positiv, so wird bei dieser Defor- mation nach dieser Seite hin ein Ueberdruck entstehen, der die Fläche wieder zurückdrängt; das Gleichgewicht der Fläche ist dann stabil. Wäre der DiS'erentialquotient negativ, so würde die auftretende DruckdiSerenz die Deformation vergrössem und das Gleichgewicht wäre labil. Zur Entscheidung des Gleich- gewichts genügt es, den Differentialquotienten nach den beiden Richtungen d r und d R z\x bilden und zu sehen, in welche Schicht bei stabilem Gleichgewicht d r oder d R hineinragt.
Wir bilden ei*st \ ^ ^ bei konstantem r, d. h. wir
gehen parallel zur Sonnenachse nach aussen. Gleichung I. liefert: 7) 9 (^1 - ^,) _ 3_V(l
dB a iJ V^s
V*
^) Vergl. E. J. Wilczynski: Hydrodynamische üntersuchmigen mit Anwendungen auf die Theorie der Sonnenrotation. Inauguraldissertation, Berlin 1897, pag. 8.
It, Emden: Beiträge zur Sonnentheorie. 349
Der Differentialquotient ist +, wennt>j>t>3, also: wenn die wärmehaltigere Schicht in Richtung nach dem Sonnenpol höher liegt, ist das Gleichgewicht der Fläche stabil.
Dabei bleiben noch zwei Möglichkeiten offen. Gehen wir auf der Trennungsfläche nach aussen, so können wir uns der Sonnen achse nähern oder von ihr entfernen. Im ersten Falle müsste die wärmehaltigere Schicht auf der der Achse abge- wendeten Seite der Fläche liegen; im zweiten Falle wäre die Lage derselben auf der der Sonnenachse zugewendeten Seite.
Um dies zu entscheiden, bilden wir aus I. — -^ ^ bei kon-
dr
stantem R und erhalten:
^ dr r^\&, {>J'
Der Differentialquotient ist positiv, wenn n^y^-^^ d. h. wenn
zum grössern Rotationsmoment ßj der kleinere Wärmegehalt i'>, oder ein höchstens gleicher Wärmegehalt {^^ gehört. In der vor Ausstrahlung geschützten Sonne hat i? überall den- selben Werth, Q nimmt von der Achse nach dem Aequator hin zu. Bei der Ausstrahlung nimmt d^ gleichmässig über die
Q%
ganze Oberfläche ab, so dass —^ vom Pol zum Aequator hin
und von der Sonnenachse senkrecht nach aussen wächst. Auch tritt die Abkühlung, Abnahme von d, ein für die an der Ober- fläche liegenden, niedersinkenden Massen, also grösseres ß, während die aufsteigenden Massen mit grösserem i> und kleinerem Q beladen sind. In den Schichten der Sonne wird deshalb stets zum grössern ii das kleinere d^ gehören.
Bewegen wir uns auf einer Eugelfläche, die wir um den Sonnenmittelpunkt legen, so liegt bei stabilem Gleichgewicht die Schicht mit grösserem Wärme- gohalt und kleinerem Rotationsmoment auf der der Sonnenachse zugewandten Seite der Trennungsfläche.
350 Sitzung der mcUh.-phys, Classe vom 6, Juli 1901.
Die Trennungsflächen der Schichten, die sich in der rotirenden Sonne durch Wärmeausstrahlung bilden müssen, liegen also der Art, dass wir bei der Bewe- gung auf derselben uns von der Sonnenachse ent- fernen, wenn wir nach aussen gehen. Dabei liegt die an Wärme reichere, mit kleinerem Rotationsmoment behaftete Schicht auf der der Sonnenachse zuge- wandten Seite.
dr
In Uebereinstimmung damit zeigt III, dass -r— positiv ist.
Gehen wir parallel zur Sonnenachse nach aussen, so treffen wir stets auf wärmereichere Schichten, ebenso, wenn wir auf einer Kugelfläche von der Aequatorebene her uns der Sonnen- achse nähern. Auf keinem dieser beiden Wege können wir deshalb dieselbe Trennungsfläche zweimal durchqueren. Dar- aus folgt:
Die Trennungsflächen sind keine geschlossenen Flächen, sondern Rotationsflächen, welche die Sonnen- oberfläche schneiden.
dr Der Schnittwinkel ist bestimmt durch den Werth von -r^
dB
an der Sonnenoberfläche.
Ueber die Gestalt dieser Fläche lässt sich im Allgemeinen
wenig aussagen; sie ist bestimmt durch -r— . Aus III. folgt;
dV Die Funktion f(Ii) = -r^ kann, wenn die Gaskonstante
und das Verhältniss der specifischen Wärme der Sonnenmassen bekannt ist, für den adiabatischen Gleichgewichtszustand mit genügender Genauigkeit berechnet werden.^) Vom Werthe 0 im Mittelpunkte steigt sie, um nach Ueberschreitung eines
*) Ritter, Untersuchungen über die Höhe der Atmosphäre und die Konstitution gasförmiger Weltkörper. Wied. Annal. XI. pag. 332. 1880.
Ji. .Emden: Seiträge tur Sonnenlheorit.
351
Maximums, dessen Lage auf dem Radius durch x bedingt ist, bis zum Werthe — g auf der Oberfläche abzunehmen. Ueber den Werth der Funktion ip (ß {^) können wir ohne Kenntniss der Grösse Ü und & nichts aussagen, als dass sie -|- ist und mit steigender Differenz des Wärmegehaltes beider Schichten zunimmt. Legen wir eine Ebene durch die x (Sonnen-) und
»/-Achse, so können wir die Gleichung für -5-= auch schreiben
dx_
\( ä
und sehen daraus, dass die Trennungsflächen die Aequator- ebene senkrecht durchsetzen und an derselben Stelle im Sonnen-
innem die Tangente an der Meridiankurve um so steiler auf der Aequatorebene steht, je kleiner (p (iJ »?) ist. Die Trennungs- flächen sind also um so gekrümmter, je mehr sich die beiden benachbarten Schichten in Bezug auf Wärmegehalt und Rota- tionsmoment unterscheiden. Wären nur die Rotationsmomente, nicht auch die potentiellen Temperaturen derselben verschieden, so wären die Trennungsflächen Cylinderfiächen parallel zur Sonnenachse.
Die Form der Trennungsflächen ist in vorstehender Figur angedeutet.
352 Sitzung der math.'phys. Classe vom 6. Jtdi 1901,
Ein Zerfallen der rotirenden Sonne in eine beliebig grosse Zahl solcher homogener Schichten würde einen stabilen Gleich- gewichtszustand derselben darstellen, falls wir die Reibung an den Trennungsflächen vernachlässigen, und die Schichten so geordnet sind, dass bei Bewegung auf der Aequatorebene nach aussen stets Schichten mit grösserem ü und kleinerem i? ange- troffen werden.
Jede dieser rotirenden Schichten zeigt nun gänzlich anderes Verhalten wie die als Ganzes rotirend gedachte Sonne. Während letztere durch die ganze Masse hindurch dieselbe potentielle Tem- peratur besitzt, ist diese hier nur innerhalb einer Schicht kon- stant und wechselt von einer Schicht zur andern sprungsweise. In jeder Schicht ist das Rotationsmoment ebenfalls konstant; der kleinste Impuls genügt daher, um ein Massentheilchen eine Schiebt in beliebiger Richtung durchqueren zu lassen. In jeder Schicht existirt ein Geschwindigkeitspotential, während die Rotation der Sonne eine Wirbelbewegung darstellt. Innerhalb einer Schicht wächst die Winkelgeschwindigkeit umgekehrt wie das Quadrat des Rotationsradiuses , die lineare Geschwindigkeit umgekehrt wie die erste Potenz, die Zentrifugalkraft umge- kehrt wie die dritte Potenz desselben. Die Differenzen der linearen Geschwindigkeit an der Berührungsfläche zweier Schichten ist deshalb nicht konstant, sondern nimmt in dem Masse zu, wie sich die Trennungsfläche der Achse nähert. Je tiefer sich eine Trennungsfläche in das Sonneninnere hinabzieht, um so grösser wird die Differenz der sich tangirenden Geschwin- digkeit und deshalb der Effekt der Reibung längs der Tren- nungsfläche.
Die Bildung dieser Schichten und die Gestalt der Tren- nungsflächen ist offenbar vollständig unabhängig von der An- wesenheit eines festen Kernes in der Sonne. In letzterem Falle wird sich die Schichtbildung eben nur bis zur Oberfläche hinab- ziehen und der feste Sonnenkern mit der zur Photosphäre reichenden, geschichteten Gashülle vollständig der Erde mit der geschichteten Atmosphäre entsprechen. Der Unterschied ist nur der, dass die Lagerung der Schichten und der Trennungs-
B. Umden: Beiträge zur Sonnentheorie, 353
flächen, wie sie der Sonne entsprechen, in der Atmosphäre der Erde, wo in der Regel die Tangente an die Meridiankurve der Trennungsfläche der Schichten das Himmelsgewölbe zwischen Horizont und Pol schneidet, nur ausnahmsweise und lokal be- schränkt auftreten kann. Der Grund hierfür liegt darin, dass in der am Aequator geheizten Atmosphäre beinahe stets zum grossem Rotationsmoment der grössere Wärmegehalt gehört,
durch Heizung der Quotient -^ abnimmt, während in den sich
berührenden Schichten der Sonne zum grössern Rotations- moment der geringere Wärmegehalt gehört, da durch Abküh-
lung § zuni.n.t.
Tritt an der Trennungsfläche solcher Schichten Mischung ein zwischen den Mengen m^ und m^ der durch fij t>j und fig ^^ charakterisirten Schichten, so lassen sich das Rotationsmoment ü (da nur innere Kräfte wirken) und die potentielle Temperatur 1^ der Mischung nach dem Schwerpunktssatze berechnen zu:
(Wj -\- m^ Q = m^ ß, -\- m^ ü^ (mj -j- ^%) ^ = wtj i>, + ^2 ^a- Gleichung UI lautete: dV dR
dB ~dr
Der Index 1 beziehe sich auf die wärmehaltigere Schicht.
Um die Lage der Grenzfläche der Mischung gegen Schicht 1
dr zu finden, die durch -p^ bezeichnet werden möge, haben wir
in dieser Gleichung an Stelle von Q^ und i?g fi und i? zu setzen
und finden:
dVfdR, _ dE\ ^ m,{>, (Q^ — ü^y dr\dr^ dr) m^-\-m^ ^^ — ^^ '
da i>,>^8 ist:
dr^ dr
dB, dB'
1901. Siizungsb. d. matli.-pliys. Cl. 24
354 Sitzung der math.'phys, Classe vom 6, Juli 1901,
Die neue Trennungsfläche gegen Schicht 1 ist also stäibf gegen die Aequatorebene geneigt, wie die ursprüngliche. Ebenso
erhalten wir für -,-*, welches die Lage der Trennungsflkke
der Mischung gegen Schicht 2 angiebt, nach demselben Ver- fahren *
dVfdR^ dR\_ m^»^ (Q^—Q^y
dr \d r^
also:
_ dE\ ^ m^»^ (^Q^—Q^ dr) tWj + m^ #, — ^j
dr, dB
dR^^dr'
Die neue Trennungsfläche gegen Schicht 2 steht also steiler auf der Aequatorebene wie die ursprüngliche. Von dem beliebigen Punkte der Trennungsfläche an, an dem die Mischung sich vollzieht, suchen sich also zwei neue Trennungsflächen in die Schichten 1 und 2 hineinzuziehen, einen dachförmigen. gegen die Aequatorebene hin offenen Raum abgrenzend. Die gemischten Partieen müssen sich deshalb längs der ursprüng- lichen Trennungsfläche äquatorwärts (in der Atmosphäre der Erde unter normalen Verhältnissen polwärts) in Bewegung setzen. In dem Masse, wie immer mehr Massen zur Mischung gelangen, wird die gemischte Schicht auch längs der Tren- nungsfläche nach aussen an Raum gewinnen und zwischen die ursprünglichen sich berührenden Schichten lagert sich eine neue Schicht mit mittlerem Rotationsmoment und Wärmegehalt ein.
Nun ist es wohl ausgeschlossen, dass die Sonne oder der gasformige Theil derselben vollständig in eine mehr oder minder grosse Anzahl solcher homogener Schichten zerfallt. Wir haben uns die in Wirklichkeit eintretenden Verhältnisse vielmehr so vorzustellen, dass bei der von aussen her statt- findenden Abkühlung der rotirenden Sonne mehr oder minder ausgedehnte Stücke dieser Diskontinuitätsflächen sich bilden werden. Die Verschiedenheit der linearen Geschwindigkeit lo beiden Seiten der Trennungsfläche regt dieselbe zu immer mächtigerer Wellenbildung an, Wellen, die schliesslich über- hängend werden und branden und sich dadurch in gewaltige
R, Emden: Beiträge zur Sonnentheorie. 355
Wirbel verwandeln, innerhalb deren sich die Mischung eines grossen Theils der Massen beider Schichten vollzieht. In- zwischen werden sich an anderen Stellen neue Trennungs- flächen neu entstandener Schichten gebildet haben, an denen sich derselbe Mischungsprocess wiederholt. Einzig und allein durch diesen Mechanismus, der nichts Hypothetisches an sich hat und in einer flüssigen, rotirenden, Wärme ausstrahlenden Masse mit Nothwendigkeit sich ein- stellen muss, kann eine gleichmässige Durchkühlung der Sonnenmasse eintreten und ein viel zu rasches Erkalten der äusseren Schichten verhindert werden. Denn Wärmeleitung und innere Reibung der Gase sind zu gering, den Ausgleich des Wärmegehaltes und der Rotationsmomente zu besorgen. Nur durch die geschilderte Bildung von Diskontinuitätsflächen und deren Aufrollen können durch Mischung verschiedene Kotationsmomente und potentielle Temperaturen aus- geglichen werden.
Wir haben bereits gezeigt, dass in einer homogenen Schicht die Winkelgeschwindigkeit im Quadrat des Abstandes von der Rotations- (Sonnenachse) abnimmt. Daraus folgt, dass es unmöglich ist, von einer Winkelgeschwindigkeit der rotirenden Sonne zu sprechen. Würde die Sonne zufällig einmal überall mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiren, so würde diese Konstanz durch die auftretende Schichtenbildung und Mischung gestört werden. Die Winkelgeschwindigkeit muss variabel sein sowohl durch die ganze Sonnenraasse hindurch, als an derselben Stelle im Laufe der Zeit. Sie braucht in einem bestimmten Moment auch nicht stetig durch die Masse zu variiren, sondern wird an einer Diskontinuitätsfläche sich sprungweise ändern. Schneidet eine Diskontinuitätsfläche die Sonnenober- fläche(Photosphäre), so er halten wir Partien, die daselbst mit ungleicherWinkelgeschwindigkeit aneinander vor- beigleiten. Dieselbe Ueberlegung gilt aber auch hinsichtlich der potentiellen Temperaturen. Wäre h für die Sonnenmasse und jene Funktion cp {ü '&) bekannt, so Hesse sich eine mittlere Ver-
356 Sitzung der math.'phys, Classe ix>m 6, Juli 1901.
theilung der Winkelgeschwindigkeiten (Rotationsmomente) und potentiellen Temperaturen angenähert berechnen. In Ermang- lung dessen müssen wir uns mit folgendem allgemeinen Raisonne- ment begnügen.
Kühlt sich die nicht rotirende Sonne von aussen her ab, so wird die Wirkung der Abkühlung auf die ganze Oberfläche gleichförmig sein, da die durch Konvektionsströmung bewirkte Mischung bis in gleiche Sonnentiefen hinabreicht. Rotirt die Sonne, so werden jene Strömungen, die sich an den Polen längs der Sonnenachse vollziehen, in keiner Weise gestört. Je näher wir aber dem Aequator kommen, desto weniger tief kann die Strömung hinabgehen, desto näher der Oberfläche wird sie durch Bildung von Diskontinuitätsflächen gehemmt und der Wärmeaustausch kann nur durch Aufrollen derselben und Bildung neuer ungleich langsamer in die Tiefe fortschreiten. Der Wärmeverlust der äquatorialen Partien wird deshalb langsamer ersetzt als der polaren Gegenden, die potentiellen Temperaturen der letzteren müssen deshalb verhältnissmässig höher werden. Da aber unter gleichen Drucken die wirklich beobachteten öastemperaturen mit den potentiellen Temperaturen wachsen, so würde der Satz folgen:
a) Die Sonnenoberfläche muss in den polaren Ge- genden höhere Temperaturen besitzen wie am Aequator.
Ob diese Temperaturdifferenz gross genug ist, um durch Strahlungsmessungen festgestellt zu werden, muss die Erfah- rung lehren.
Ganz dieselben üeberlegungen können wir anstellen be- züglich den Austausch der Rotationsmomente (Winkelgeschwin- digkeiten) in polaren und äquatorialen Gegenden. Die äusseren Sonnenportionen ziehen sich durch Abkühlung zusammen, ihre Winkelgeschwindigkeit vergrössert sich und die Hülle muss dem Kern voraneilen. Die in polaren Gegenden ungestört in grösste Tiefen hinabreichenden Konvektionsströme sorgen für Ausgleich der Winkelgeschwindigkeit. Je näher wir dem Aequator kommen, desto bälder wird die Strömung durch Dis- kontinuitätsflächen gehemmt und desto langsamer theilt sich
E. Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 357
durch fortwährendes Aufrollen und Neubildung derselben die von aussen wachsende Winkelgeschwindigkeit den tiefern Par- tien mit. Daraus folgt der bekannte Satz:
b) Die Sonnenoberfläche muss in ihren äqua- torialen Gegenden grössere Winkelgeschwindigkeiten besitzen wie in den polaren Gegenden.
Sätze a) und b) sind Parallelsätze, die auf derselben Ur- sache basiren.
Ausser durch die Verhinderung einer gleichmässigen Winkel- geschwindigkeit der rotirenden Sonne machen sich diese Dis- kontinuitätsflächen, namentlich der Process ihres Aufrollens, noch in anderer Weise bemerkbar.
Die Verschiedenheit der linearen Geschwindigkeiten ver- anlassen die Flächen und Wellen, die schliesslich tiberhängend werden und branden. An Stelle jeden Wellenzuges entsteht ein gewaltiger ^^^* ^'
Wirbel, der im Sinne der Rotations- bewegung der Sonne rotirt und nicht windschief zur Sonnenachse liegt. Die Differenz der linearen Geschwindigkeit zu beiden Seiten dieser Trennungsfläche wächst (pag. 352) mit deren Annäherung an die Sonnenachse. Der Ort maxi- maler Wellen- und Wirbelbildung wird deshalb im Innern der Sonne, nicht an der Oberfläche der- selben zu suchen sein. In Fig. 2 ist ein solcher Wirbel seiner Lage nach skizzirt. Die Theorie der Wirbel lehrt, dass in seiner Achse der Druck sinkt. In Richtung der Achse saugt der Wirbel deshalb Masse ein, um sie in andern Theilen wieder auszuwerfen. Diese Saugwirkung der Cyklone der Atmosphäre ist bekannt; jeder vertikale Wirbel in einem Flusse macht sich in einer Depression der Oberfläche geltend. Liegt der Wirbel, der sich durch Aufrollen der Diskontinuitätsfläche bildet, der Sonnenoberfläche nicht zu fern, so wird er sich in jener ebenso bemerkbar machen, wie der Wasserwirbel in der Oberfläche des Wassers. Giebt man die Wilson'sche
358 Sitzung der math.-2)hys. Classe vom 6. Juli 1901,
Theorie der Beschaffenheit der Sonnenflecke als Ver- tiefungen in der Sonnenoberfläche zu, so brauchen wir die Ursache derselben nur in diesen Wirbeln im Sonneninnern zu suchen, um eine befriedigende Er- klärung des Meisten zu erhalten, was wir über die Flecken und ihre Begleiterscheinungen wissen.
Es kann nicht im Rahmen dieser Abhandlung liegen, das ganze ungeheure Beobachtungsmaterial über Sonnenflecke in Hinsicht auf diesen Erkläi-ungsversuch eingehend zu behandeln. Es genüge hier zu zeigen, dass die charakteristischen Erschei- nungen, welche die Sonnenflecken darbieten, beinahe a priori vorausgesagt werden können, wenn wir sie mit diesen Wirbeln im Sonneninnern in Verbindung bringen.
Rollt sich. eine Diskontinuitätsfläche nicht zu entfernt von der Sonnenoberfläche auf, so wird der sich ausbildende Wirbel sich allmählich auch auf derselben bemerkbar machen. Un- ruhe der Oberfläche, vermehrte Fackelbildung sind Vorboten des sich bildenden Fleckes, nach unserer Auffassung ein Be- weis, dass die Mühle im Innern der Sonne bereits im Gange ist. Die Saugwirkung des Wirbels wird bald die an der Ober- fläche der Photosphäre gelegenen Massen ergreifen. An einem oder mehreren Punkten beginnt die Masse einzusinken. Es bildet sich ein höchst unregelmässiger Krater aus; die Strö- mung wird allmählich stationär, und in demselben Grade wird der Krater regelmässigeren Querschnitt annehmen. In radialen Strömen stürzen die photosphärischen Massen in diesen Krater hinein, das Aussehen der Absorptionslinien im Spektruni zeigt die heftige Bewegung im Innern dieses Strudels an. „Dunklere Tlieile, wie der übrige Kern, sind wahrschein- lich Oeflfnungen röhrenartiger Vertiefungen, welche in unbe- kannte Tiefen eindringen" (Dawes).
Die eingesogenen Massen müssen durch Massen aus dem Sonneninnern ersetzt werden, und der Sonnenfleck wird deshalb von einem an Fackeln und Protuberanzen reichen Gebiete um- geben sein. „Ein Fleck ist thatsächlich in der Regel von einem Ringe von Eruptionen umgeben, und es hat den An-
H. Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 359
schein, als ob die ausbrechenden Massen sämmUich in ein und dieselbe Vertiefung strömten, als ob die Massen wirklich hinab- gesogen würden, als ob der Fleck eine saugende Wirkung aus- übte, die stark genug ist, um die in der Umgebung des Fleckes hervorbrechenden Massen in das Innere des Fleckes hinabzu- ziehen** (Young).
Erschöpft sich aUmählich im Sonneninnem der Wirbel durch innere Reibung, so lässt dessen Saugwirkung nach, der Krater an der Sonnenoberfläche füllt sich aus und nur die noch einige Zeit andauernde, vermehrte Fackelthätigkeit an dieser Stelle zeigt, dass im Sonneninnern an dieser Stelle noch Kräfte thätig sind, die allmählich erlöschen. Wird, während der Wirbel noch in Thätigkeit ist, durch eintretende Unsymmetrie das Zuströmen nicht in Richtung der Achse erfolgen, so kann der Krater an der Sonnenoberfläche verschwinden, um nach Erneuerung des symmetrischen Zuflusses wieder zu erscheinen. Auf diese Weise können Sonnenflecke mehrmals verschwinden und an derselben Stelle der Sonne wieder aufbrechen. Ent- stehen die Wellen und Wirbel in zu grosser Tiefe, so wird sich ihr Auftreten auf der Sonnenoberfläche nur in vermehrter Fackelthätigkeit, nicht mehr in Kraterbildung, bemerkbar machen. Auf diese Weise lassen sich auch die „verschleierten Flecke** erklären, auf die Trouvelot aufmerksam machte. (Vgl. Young, Die Sonne, pag. 129.)
Entsteht der Wirbel nahe der Sonnenoberfläche, so wird sich sein Rotationssinn (im Sinne der Sonnenrotation) auch in einer gleichsinnigen Drehbewegung des Flecks bemerkbar machen müssen, wie sie auch zuweilen beobachtet wird. In den meisten Fällen entsteht der Wirbel in beträchtlichem Abstand von der Sonnenoberfläche, so dass der Drehsinn des Fleckes in erster Linie bedingt ist durch unsymmetrisches Herbeiströmen der an- gesogenen Massen. Die ablenkende Kraft der Sonnenrotation auf diese Strömungen ist bei der langsamen Winkelgeschwin- digkeit derselben gering (unter gleicher Breite und bei gleicher Strömungsgeschwindigkeit etwa 25 mal kleiner als auf der Erde), besonders in den niederen Breiten, in denen sich die
360 Sitzung der mathrphys, Glosse vofn 6, Juli 1901,
Mehrzahl der Flecke ausbildet. Es kann deshalb auch sehr wohl vorkommen, dass in demselben Fleck je nach der Un- symmetrie des Anströmens verschiedener Drehsinn herrscht.
Aussehen, Entstehen und Verschwinden der Flecke wird, sobald man diese wie Wilson betrachtet, vollständig durch dies Aufrollen der Diskontinuitätsflächen klar gelegt. Ebenso befrie- digend wird dadurch auch die Vertheilung der Flecke über die Sonnenoberfläche hinweg erklärt. Die Art und Weise des Entstehens der Schichtbildung und Betrachtung der Fig. 1 lehrt, dass um den Aequator herum eine Zone minimaler Flecken häufig vorhanden sein muss. Nur äusserst selten kann eine, vielleicht unsymmetrisch ausgebildete, Trennungsfläche durch unsymmetrisches Aufrollen einen Fleck in diesen Regionen ver- ursachen. Auch in höheren Breiten werden sich selten Dis- kontinuitätsflächen bilden und dann nur solche, bei denen erst in grossen Tiefen genügende Differenz der linearen Geschwindig- keiten zu beiden Seiten und dadurch Wellen- und Wirbel- bildung zu Stande kommt. In höheren Breiten werden wir wohl Fackeln, auch verschleierte Flecke, aber keine ausgebildeten Flecke mehr antreflfen. Der Ort maximaler Fleckenhäufigkeit sind mittlere Breiten, jene Breiten maximaler Schichtbildung, die sich auch an der Oberfläche durch grösste Verschiedenheit in der stetigen Anordnung der Winkelgeschwindigkeit verrathen. Wäre jene Funktion cp (fi i^) bekannt, so Hesse sich der Ort maximaler Fleckenhäufigkeit berechnen. So lange dies nicht möglich ist, müssen wir eher umgekehrt aus der Fleckenhäufig- keit auf die Stelle maximaler Schichtbildung schliessen. Die meisten Trennungsflächen müssen sich deshalb in mittleren Breiten bilden, wo die Tangentenrichtung an die der Sonnen- oberfläche näher liegenden Theile derselben letztere unter 10® bis 40° Breite schneidet, da zwischen diese Grenze die Flecken- zone (mit seltenen Ausnahmen) eingeschlossen ist. Diese Orte maximaler und ausgeprägtester Schichtbildung haben durchaus nichts Unwahrscheinliches an sich, so dass wir auf Grund unserer Hypothese die Vertheilung der Flecken rein mechanisch und ungezwungen erklären können.
B. Emden: Beiträge zur Sonnentheorie, 361
Häufig treten Sonnenflecke in gleicher Breite serienweise angeordnet auf. Unsere Hypothese lässt dies voraussehen. Denn eine Diskontinuitätsfläche bildet öfters nicht eine Welle, sondern es folgen mehrere Wellen aufeinander. Jedem Wellen- zuge entspricht bei der Auflösung desselben ein Wirbel, und jedem Wirbel kann ein Sonnenfleck entsprechen. So entstehen Flecke, die ungeföhr unter gleicher Breite liegend zu ziemlich gleichen Zeiten auftreten. (Eine Serie Sonnenflecke und ein System parallel gelagerter Cirrusstreifen in unserer Atmosphäre werden durch den gleichen Mechanismus hervorgerufen.)
Nach einer Periode geringster Fleckenhäufigkeit beginnen die wieder zahlreicher auftretenden Flecke sich in höheren Breiten zu bilden und die Fleckenbildung schreitet dann nach niedrigeren Breiten fort. Unsere Hypothese lässt auch dies voraussehen. Ist die Sonnenmasse in einer Periode grösster Ruhe, so werden die an der Oberfläche erkaltenden Massen verhältnissmässig stark sich abkühlen können, ehe sie nieder- sinken. Die Diskontinuitätsflächen beginnen in grösserer Tiefe und höherer Breite siclj zu bilden und ebenso die Sonnenflecke. In dem Masse, wie die Sonne unruhiger wird, wird das labile Gleichgewicht der erkaltenden Massen an der Oberfläche rascher ausgelöst; die Massen müssen früher, weniger stark erkaltet niedersinken und dementsprechend bilden sich Schichten und Flecke in immer niedereren Breiten.
Durch Auslösung dieses labilen Gleichgewichtes können möglicherweise Planeten die Fleckenerscheinungen beeinflussen.
Werden die Sonnenflecke durch Wirbel verursacht, so müssen sie auch Eigenbewegung besitzen. Ein gerader Wirbel- faden in einer unendlich ausgedehnten ruhenden Flüssigkeits- masse wird keine Eigenbewegung besitzen. Liegt er aber in der Nähe einer festen Wand oder der Flüssigkeitsoberfläche diesen parallel, so wird er sich diesen parallel bewegen im gleichen Sinne, wie in Folge seiner Rotationsbewegung die Flüssigkeit zwischen Wirbel und Wand hindurchströmt und mit einer Geschwindigkeit = ^ derjenigen, mit welcher die Flüssigkeit im Fusspunkte des auf die feste Wand gefällten
362 Sitzung der math.-phya, Glosse i)om 6. Juli 1901.
Lothes strömt. Die Wirbel im Sonneninnem liegen nicht parallel der Sonnenoberfläche, zerlegen wir sie aber in zwei Wirbelkomponenten senkrecht und parallel der Sonnenober- fläche, so wird namentlich für Wirbel in niederen Breiten letztere beträchtlichen Werth besitzen. In niederen Breiten müssen die Wirbel, namentlich wenn sie nicht in zu grosser Tiefe liegen, Eigenbewegung besitzen und zwar im Sinne der Rotationsbewegung der Sonne dieser voraneilen. So erklärt sich der Satz von Duner, dass sich aus Sonnenflecken- beobachtungen eine grössere Rotationsgeschwindig- keit derSonne ergiebt, wie aus Spektralbeobachtungen auf Grund des Doppler'schen Princips. Nicht senkrecht zu einander gestellte Wirbel beeinflussen gegenseitig ihre Eigen- bewegung; dadurch lassen sich die verwickelten Eigenbewe- gungen der Sonnenflecke erklären, die Faye denselben zu- schreibt. Dass ein Wirbel (Sonnenfleck) sich in mehrere Wirbel theilt, kann entsprechend an den Wasserwirbeln in einem Flusse häufig beobachtet werden.
Da nach dieser Erklärung die Flecke Folgeerscheinungen des Mischungsprocesses der rotirenden Sonne sind, so wird zur Zeit ihrer maximalen Häufigkeit der Wärmeverlust der Sonnen- oberfläche am vollkommensten durch Mischung mit tiefer liegen- den, wärmehaltigeren Massen ausgeglichen werden. Die Zeiten maximaler Fleckenhäufigkeit werden demnach mit Zeiten erhöhter Wärmestrahlung der Sonne (Klima- schwankungen) zusammenfallen.
Young hat (die Sonne, pag. 173) die Vermuthung ausge- sprochen, „dass die Flecke vielleicht Vertiefungen in der Photo- sphäre sind, die nicht unmittelbar durch den Druck von oben nach unten, sondern durch Verminderung des Drucks von unten nach oben, in Folge von Eruptionen, die in der Nähe stattfinden, erzeugt werden**, und eine etwas künstliche Theorie der Flecke auf dieser Basis versucht.
Die Entstehung von Wirbeln durch Aufrollen der Dis- kontinuitätsflächen giebt unmittelbar die Druckverminderung im Sonneninnem, nach der Young sucht. Die Faye'sche Wirbel-
R. Emden: Beiträge aur Sonnentheorie. 363
theorie der Sonnenflecke besitzt ihrer mannigfachen Vorzüge wegen noch zahlreiche Verbreitung, trotzdem, im Widerspruch mit der Erfahrung, das Fleckeninnere sämmtlich gleichsinnig mit der Sonne rotiren müsste, und die mechanische Erklärung des Zustandekommens dieser Wirbel nicht stichhaltig ist. Die hier skizzirte Theorie besitzt sämmtliche Vorzüge, welche die Theorie von Faye auszeichnen, ohne deren Nachtheile.
Da über den Flecken, falls sie durch Saugwirkung der im Innern der Sonne arbeitenden Wirbel entstehen, eine abstei- gende Strömung der die Photosphäre umhüllenden Gase ein- treten muss, wie sie Oppolzer seiner Theorie der Sonnenflecke zu Grunde legt, so werden die mannigfachen Vorzüge der Oppolzer'schen Theorie auch der hier entwickelten zu Gute kommen. Die absteigende Strömung, von der Oppolzer aus- geht, findet hier ihre Erklärung.
Schichtenbildung, nach Raum und Zeit variable Rotationsgeschwindigkeiten und den Sonnenflecken analoge Gebilde sind nothwendige Folgeerscheinungen des durch Wärmeausstrahlung bewirkten Abkühlungs- processes eines rotirenden, ganz oder nur in seinen äussern Schichten aus flüssiger Masse bestehenden Himmelskörpers.
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 9. November 1901.
1. Herr Sebastun Finstebwaldeb hält im Anschluss an die Vorzeigung einiger Modelle, welche die Herstellung des neuen Ballons des Vereins für Luftschifflfahrt betreflFen, einen Vortrag: „Ueber die Zusammensetzung der Kugeloberfläche aus geodätischen Streifen von gleicher Maximalbreite und kleinster Gesammtlänge.* Die Abhandlung wird ander- weit zur VeröflFentlichung gelangen.
2. Herr Hebmann Ebebt macht eine Mittheilung: »Ueber die Spectra der neuen Sterne.** Die Abhandlung wird ebenfalls anderweit publicirt werden.
3. Herr Waltheb v. Dyck legt eine Arbeit des Privat- dozenten E. V. Webeb: »Zur Theorie der Kreisverwandt- schaften in der Ebene** vor.
4. Herr Ad. v. Baeyeb spricht: „lieber die basischen Eigenschaften des Sauerstoffs.** Die Abhandlung wird an einem andern Orte veröflfientlicht werden.
1901. Situmgib. d. nuih.-phys. OL 25
367
Zur Theorie der Kreisverwandtschaften in der Ebene.
Von Eduard Ton Weber.
{Eingilauftn 9. Noun^ir.)
Obwohl die Lehre von den ebenen Kreisverwandtschaften schon durch Möbius zu einem gewissen Abschluss gebracht wurde und auch in der Folge stets zu den meist umworbenen Gebieten der neuern Geometrie gehört hat, so bietet sich doch bei tieferem Eindringen in diese Theorie eine erstaunliche Fülle unerledigter Probleme. In der vorliegenden Arbeit habe ich versucht, die vorhandenen Lücken besonders nach zwei Rich- tungen hin auszufüllen.
Einer genaueren Untersuchung bedürftig erscheint vor allem die Frage, welche Gestalt die Theorie der Kreisverwandt- schaften unter Heranziehung complexer Werte für beide unab- hängige Variable annimmt. Bei der nahen Beziehung der Kreisverwandtschaften zu gewissen imaginären Gebilden (den beiden isotropen Geradenbündeln) wird in der That die prin- cipielle Berücksichtigung der complexen Punkte der Ebene besonders wichtig. Ihre volle Bedeutung erlangt diese Frage- stellung freilich erst dann, wenn auch complexe Kreis - Verwandtschaften in Untersuchung gezogen werden; da wir uns aber fürs erste auf das Studium der reellen Kreis- verwandtschaften beschränken wollen und jene allgemeineren Transformationen blos gelegentlich streifen, so möge das Fol- gende nur als eine Vorarbeit in der genannten Richtung be- trachtet werden.
Eine zweite Art der Fragestellung, die übrigens mit der vorher genannten aufs Engste zusammenhängt, bietet sich dar,
25*
368 Sitzung der math.-phys, Classe vom 9, November 1901.
wenn man die von C. Segre^) und H. Wiener*) entwickelte Theorie der binären Projektivitäten vermöge eines bekannten von Möbius') herrührenden Uebertragungsprincips kreisgeome- trisch zu deuten sucht. In beiden Theorien stehen die Be- griffe „Vertauschbarkeit" und „Orthogonalität" zweier Kreis- verwandtschaften im Vordergrund des Interesses, und das Ent- sprechen der Sätze ist daher vielfach ein wörtliches. Da es aber zwei getrennte Kategorien von Kreisverwandtschaften der Ebene gibt und jene beiden Begriffe einen ganz verschiedenen geometrischen Inhalt haben, je nachdem die betreffenden Ver- wandtschaften derselben Klasse angehören oder nicht, so liefert unsere Uebertragung einen grossen Reichtum an Beziehungen, die bei der Beschränkung auf das binäre Wertgebiet nicht hervortreten können.
Auch bei dieser Gruppe von Sätzen müssen wir uns auf die Darlegung einiger Hauptgesichtspunkte beschränken.
I. Elementares über Ereisverwandtschaften.
In diesem Paragraph stellen wir zunächst die wichtigsten Sätze über Kreisverwandtschaften zusammen und knüpfen daran einige Folgerungen (Nr. 12 ff.), die zum Teil über Bekanntes hinausgehen dürften.
1. Wenn von einer ebenen KV^) drei Paare entsprechen- der Punkte Ä\Ä'u ^2^2» Äs Äs gegeben sind, so findet man nach Möbius*) in folgender Weise zu einem beliebigen Punkt -^4 den entsprechenden Äi : Man setze in der Ebene einen positiven Drehsinn fest ; dann ist der <^ (-ST, K') zwischen zwei gerichteten
») Journ. f. Math. 100 p. 317—330 (1887); vgl. auch Memorie della R. Acc. delle scienze di Torino, serie 2» vol. 38 (1888) p. 2—24.
2) Leipz. Ber. 43 (1891) p. 646, Einschub I; ferner: .Hein geometri- sche Theorie der Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen aof der Geraden". Hab.-Schrift, Darmstadt 1885.
») Leipz. Ber. 4 (1852) p. 41 54 = Journ. f. Math. 52 (1856) = Werke II p. 189-204.
*) d. h. Kreisverwandtaohaft.
^) Werke II p. 209 f.
E, V, Weher: Kreisverwandtschaften. 369
Kurven JC, K\ die sich in einem Punkte P schneiden, ein- deutig bestimmt als derjenige Winkel, um den man die ge- richtete Tangente von K im Punkte P um diesen Punkt in der angenommenen positiven Richtung zu drehen hat, bis sie mit der gerichteten Tangente von K' im Punkte P zusammen- fallt. Bezeichnet jetzt das Symbol FQJR den durch die Punkte P, Qy R gehenden Kreis, genommen in der Richtung, die von P über Q nach jR führt, so sind durch die Gleichungen
< (ÄIÄ2ÄS, ÄIÄ2Ä,) = < (ÄiAUs. Ä[Ä2Ä^)
<^(ÄiÄ2Äs, -ii-ia-^O = ^(A{Ä2Äs, Ä[A^Ä\)
die Kreise -4i -4.2-44, ÄiÄsÄi und infolge dessen auch A4 als Schnittpunkt derselben eindeutig bestimmt. Man erhält auf diesem Wege eine sog. direkte KV; eine indirekte KV er- gibt sich, wenn man in den obigen Gleichungen die rechten Seiten mit — 1 multiplicirt. Eine KV ist also eindeutig be- stimmt durch 3 Paare entsprechender Punkte und die Angabe, ob sie direkt oder indirekt sein soll.
2. Ihren einfachsten analytischen Ausdruck finden die direkten bezw. indirekten KV bezw. durch die Formeln
(1) /=«^+^
(2) z =
c^ -{- d
worin z, z\ z bezw. für x + iy, x + iy , x — iy geschrieben wurde, femer x^ y und x\ y rechtwinklige cartesische Coordi- naten der reellen Punkte der Ebene, endlich ah cd irgend welche complexe Constanten bedeuten, deren Determinante ad — hc nicht null ist. Die complexe Zahl z bezeichnen wir als das Affix des reellen Punktes x^ y.
Versteht man unter dem Doppelverhältnis von 4 Punkten A^Ä^Ä^Ä^, deren Affixe bezw. z^z^z^z^ sind, die Grösse
{A^A^A^Aj^ — —
z, ^z^ z^ z^ Zy z^ z^ z^
370 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 9, November 190t.
so ergibt sich aus den obigen Transformationsfonneln sogleich die fundamentale Eigenschaft;, dass das Doppelverhältnis von 4 Punkten bei beliebiger K V invariant bleibt, bei beliebiger indirekter KV in seinen conjugirten Wert übergeht.
3. Das Doppel Verhältnis von 4 Punkten ABCD ist dann und nur dann reell, wenn sie cyclisch (d. h. auf einem Bereise) liegen; es ist dann und nur dann von der Form e^^ (ß reell), wenn sie orthocyclisch liegen, d.h. wenn durch A^ B ein Kreis geht, der C von D harmonisch trennt;*) dann geht auch durch C und D ein Kreis, der Ä von B harmonisch trennt
Liegen 4 Punkte sowohl cyclisch als orthocyclisch, ohne dass zwei derselben zusammenfallen, d. h. ist ihr Doppel- verhältnis gleich — 1, so heissen sie harmonisch. Man erhält zu 3 Punkten Ä^ B, C den vierten harmonischen D als zweiten Schnittpunkt des Kreises ABC mit dem durch C gehenden Kreis des Büschels, das A und B zu Grenzpunkten hat, also mittels linearer Construktionen.*)
4. Aus Nr. 1 ergibt sich die euklidische Construktion einer durch 3 Paare definirten KV; eine kreisgeometrische, die nur lineare Operationen verlangt, folgt unmittelbar aus dem von H. Wiener^) herrührenden Satze, dass man für eine binäre Projektivität, von der 3 Paare gegeben sind, zu jedem Punkt den entsprechenden lediglich durch wiederholte Construktion vierter harmonischer Punkte finden kann. Diese Methode überträgt sich ohne weiteres auf jede direkte -K'F^ in der Ebene; hat man solcherweise für die KV, die durch die Paare
(3) AiA{, A2A2, AsAs
1) Dies soll heissen, dass C und D hinsichtlich des Kreises invers sind.
') Die linearen Construktion en der Kreisgeometrie sind 1) durch 3 Punkte einen Kreis zu legen ; 2) von 2 Kreisen, die durch einen ge- gebenen Punkt gehen, den zweiten Schnittpunkt zu bestimmen. Die quadratische Construktion ist die Lösung der Aufgabe, von 2 punktweise bekannten Kreisen die Schnittpunkte zu finden. Vgl. E. Study, MatL Ann. 49 p. 528.
3) Leipz. Ber. 43 (1891) p. 672.
E, V. Weber: Kreisverwandtschaften, 371
definirt ist, zu A4 den entsprechenden Punkt Ä^ linear con- struirt, so entspricht der zu Ä!^ hinsichtlich des Kreises A'iÄ2As inverse Punkt*) dem Punkte A4 in der indirekten jK'F, die durch dieselben 3 Punktepaare (3) bestimmt wird.*)
5. Wenn für eine KV^ die durch (1) definirt ist, die Determinante ad — 6c =0 ist, und mit P und Q die Punkte
mit den Affixen — bezw. bezeichnet werden, so ist jedes
c c
Punktepaar, das P als zweiten oder Q als ersten Punkt ent- hält, ein Paar entsprechender Punkte der Verwandtschaft. Diese heisst dann „singulär", die Punkte P, Q (die auch coin- eidiren können) ihre „singulären Punkte". Analoges gilt für die Formel (2) ; ein Untei-schied zwischen direkter und indirekter KV findet bei verschwindender Determinante nicht mehr statt. Singulare Verwandtschaften bleiben im Folgenden, wo nichts anderes bemerkt wird, stets von der Betrachtung aus- geschlossen.
6. Jede direkte KV besitzt zwei verschiedene oder zu- sammenfallende reelle Fixpunkte, deren Affixe -s^, £f^ die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
(4) c^» + (d — a)^ — 6 = 0
sind. Entsprechen sich in einer direkten KV irgend zwei Punkte involutorisch, so ist die Verwandtschaft selbst involu- torisch; dazu ist die Bedingung a -}- d = 0 notwendig und hinreichend. Eine derartige KV werde eine „Möbiusinvolu- tion**') genannt; sie ist durch ihre Fixpunkte M^ M^ eindeutig bestimmt und zwar derart, dass jedem Punkt A der zu ihm hinsichtlich Jtf, M^ harmonische Punkt Ä entspricht. Eine Möbiusinvolution ist ferner auch durch 2 Paare entsprechender
^) Die Construktion der Inversion an einem punktweise bekannten Kjreis ist nach E. Study (Math. Ann. 49 'p. 530) ebenfalls linear aus- führbar.
2) Nach Nr. 26 ist diese indirekte zu jener direkten KV harmonisch.
8) A. F. Moebius, Leipz. Ber. 5 (1853) p. 176-190 = Werke II p. 219-236.
372 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9. November 1901.
Punkte ÄÄ\ BB' definirt; man findet dann zu jedem Punkte C folgendermassen ^) den entsprechenden C'\ Ist D zu (7 hin- sichtlich AÄ harmonisch, ferner E zu C hinsichtlich BB', F zu D hinsichtlich BB\ G zu E hinsichtlich AA' harmo- nisch, so ist C zu C hinsichtlich F und G harmonisch. Ein- facher ist folgende Construktion: Schneiden sich die Kreise ABC und ABC zum zweitenmale in Cj, so schneiden sich die Kreise AB'C^ und BÄC^ zum zweitenmale in C\
7. Diejenige Möbiusinvolution, die mit einer gegebenen direkten KV ^ die Fixpunkte M^ M^ gemein hat, nennen wir die „ Fixpunktsinvolution * von ^; sind Ä^A^ die Punkte, die einem gegebenen Punkte -4. in ^ bezw. in der inversen Trans- formation ^~^ entsprechen, und ist B zu A hinsichtlich -4', A^ harmonisch, so ist A B ein Paar der Fixpunktsinvolution.*) Diese Involution ist also linear construirbar, auch wenn die Fixpunkte von ^ nicht bekannt sind.
8. Sind AÄ zwei entsprechende Punkte der direkten KV ^ mit den Fixpunkten M^ Jfg, so ist das Doppelverhältnis {A Ä ikfj jMg) constant, wie auch das Paar A Ä gewählt sein mag; diese complexe Constante heisst die „Invariante* von % Sind z^z^ die Affixe von M^M^^ so kann die Gleichung (1) in der Form:
ar — z, Z — Z.
(5) V-^ = X — -^ »)
z — z^ z — z^
geschrieben werden, worin 1/x die Invariante von ^ bedeutet; dabei hat x den Wert:
(6) X = i (a ^- d - l/(a + d)»=:4)*,
wenn, wie in der Folge immer, ad — bc = l angenommen wird. Die Invariante einer Möbiusinvolution ist gleich — 1. Genügen die direkten Kreis Verwandtschaften % ^', Q der Beziehung:
1) H. Wiener, Leipz. Ber. 43 (1891) p. 670.
«) H. Schroeter, Joum. f. Math. 77 p. 120 f. (1874); H. Wiener a. a. 0. 8) Vgl. auch Klein-Fricke, Vorl. über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd. I p. 163 ff. Leipzig 1890.
E, V. Weher: Kreisverwandtschaflen, 373
so sagen wir, „^ ist durch die direkte KV ^' mit Q äqui- valent" oder „^' transformirt ^ in Q" ; dann geht jedes Paar Aä' von ^ durch die Transformation ^' in ein Paar BB' entsprechender Punkte von Q über, was wir mit H. Wiener so ausdrücken:
ÄÄ'{^'}BB'.
Aus der Thatsache, dass eine Transformation ^', die ^ in Q transformirt, auch die Fixpunkte von ^ in die von Q über- führt, schliesst man jetzt sofort ; Damit zwei direkte K V durch eine direkte (bezw. indirekte) KV äquivalent seien, ist not- wendig und hinreichend, dass ihre Invarianten gleich oder reciprok (bezw. conjugirt oder conjugirt-reciprok) seien.
Erst in Nr. 34 werden wir für den Fall, dass diese Be- dingung erfüllt ist, alle Transformationen bestimmen, die diese Ueberführung leisten.
9. Eine indirekte -ST F (2) ist dann und nur dann involu- torisch, wenn sie eine Inversion an einem reellen*) Kreis dar- stellt, d. h. wenn ihre Coefficienten der Bedingung
a — d b ,,
- = : - reell
c c c
genügen. Der betr. reelle Kreis ist dann durch die Gleichung
(7) czz-^-d^ — a0 — 6 = 0
dargestellt.
Da eine gerade (bezw. ungerade) Zahl indirekter KV nacheinander ausgeübt stets eine direkte (bezw. indirekte) KV liefert, so ist das Produkt zweier Inversionen J^ und J, eine
*) Unter dem Produkt 5P 5P' ist die Transformation zu verstehen, die erhalten wird, wenn man zuerst ^\ dann 5^ ausführt.
*) Nach F. Klein nennen wir einen Kreis reell oder complex, je nachdem die Coefficienten seiner cartesischen Gleichung alle reell sind oder nicht; im ersten Fall heisst der Kreis , einteilig* oder , null teilig", je nachdem er reelle Punkte enthält oder nicht.
374 Sitzung der math.-phys. Clause vom 9. November 1901.
direkte KV ^^ und zwar eine sog. „zweispiegelige* Verwandt- schaft.^) Schneiden sich die beiden reellen Direktrixkreise der Inversionen JxJ^ (wir nennen sie kurz die Kreise c/^«/,) in 2 reellen Punkten M^ M^ , so sind diese die Fixpunkte von % und diese JSTF wird als „elliptische Transformation**) bezeich- net ; im entgegengesetzten Fall gibt es 2 reelle Punkte M^ i^, die hinsichtlich J, und J^ gleichzeitig invers sind; diese sind die Fixpunkte der Kreisverwandtschaft ^, die man jetzt eine .hyperbolische Transformation - nennt.
Die Kreise des Büschels (Jj, J,) sind die Niveaukreise') von ^, d. h. sie gehen vermöge ^ ineinander über ; die Kreise des dazu adjungirten*) Büschels nennt man die Bahnkreise, da sie (und nur sie, falls ^ keine Involution ist) vermöge ? einzeln invariant bleiben. Umgekehrt ist jede direkte KV^ die einen einteiligen Kreis K festlässt, eine zweispiegelige KY die K als Bahnkreis besitzt.
10. Da jedes Paar einer hyperbolischen -K^F' zu den Fix- punkten cyclisch, jedes Paar einer elliptischen KV z\x den Fii- punkten orthocyclisch liegt, also die Zahl x (Nr. 8) im ersten Fall reell ist, im zweiten den absoluten Betrag 1 besitzt, so schliesst man leicht: die Transformation (1) ist, wenn ad — 6<?=1 angenommen wird, dann und nur dann elliptisch, wenn a + rf reell, (a + tf)* < 4 ist; sie ist dann und nur dann hyperbolisch. wenn entweder a -\- d reell, (a + d)* > 4 oder wenn a -f- d rein imaginär ist. Eine direkte KV mit zusammenfallenden Fix- punkten ist durch die Bedingung {a-\-d)^=^i: charakterisirt; eine solche ist daher stets zweispiegelig ; ihre Bahn- und Niveau- kreise bilden je ein Berührungsbüschel.
*) Unter einer Spiegelung verstehen wir hier stets nur eine Inver- sion, nicht auch eine Möbiusinvolution, im Gegensatz zu der Bezeich- nungsweise des Herrn Wiener, wonach jede direkte JSTF, als Produkt zweier Involutionen (Nr. 36), zweispiegelig heisst.
2) Klein-Fricke a. a. 0.
8) Klein-Fricke a. a. 0.
*) 80 sagen wir statt ,conjugirt", da wir dieses Wort zu häufig in anderem Sinn gebrauchen müssen.
E, V, Weher: Kreisverwandtschaften, 375
11. Aus der Thatsache, dass das Produkt dreier Inver- sionen dann und nur dann eine Inversion liefert, wenn die 3 Direktricen, oder wie wir kurz sagen wollen, die 3 Inver- sionen demselben Büschel angehören,*) schliesst man leicht, dass in der Gleichung
? = /,/, oder e/j ^ = J,, ^ J, = Jj
jeder der Faktoren /j, J^ innerhalb des Büschels (J,, Jg) be- liebig gewählt werden kann, worauf dann der andere eindeutig bestimmt ist; mit anderen Worten: Ergibt eine zweispiegelige K V mit einer Inversion J links oder rechts multiplicirt eine Inversion, so gehört J dem Büschel der Niveaukreise an und umgekehrt.
12. Damit die Inversionen J^ und J, vertauschbar seien, ist notwendig und hinreichend, dass ihre Direktricen sich recht- winklig schneiden; ihr Produkt liefert in diesem Falle (und nur in diesem) eine Möbiusinvolution 3; eine solche kann so- wohl als elliptische wie als hyperbolische -ST F aufgefasst werden. Jeder Kreis, der die Fixpunkte derselben enthält oder har- monisch trennt, bleibt bei 3 invariant, so dass der Unterschied zwischen Bahn- und Niveaukreisen verschwindet; wir wollen beide Kreissysteme als Bahnkreise von 3 bezeichnen.
Es möge hier beiläufig die Aufgabe erledigt werden, alle Möbiusinvolutionen 3 zu bestimmen, die 2 gegebene einteilige Kreise K^ K' ineinander überführen. Sind M^ M^ die Fix- punkte einer solchen Transformation 3 und x der durch M^ M^ gehende zu K orthogonale einteilige Kreis, so steht x auch auf K' senkrecht, da ja 3 den Kreis K in K\ den Kreis x in sich tiberführt. Bezeichnet man also mit {x] die Inversion an dem Kreise x, so ist 3 gleich dem Produkte {x} {A}, wo k den in Jif, M^ auf x senkrecht stehenden einteiligen Kreis be- zeichnet. Da nun die Inversion {x) die Kreise -ST, K' invariant lässt, so muss {X) den Kreis K in K' transformiren, d. h. k ist ein einteiliger Potenzkreis der beiden gegebenen. Die
>) H. Wiener, Leipz. Ber. 43 p. G69 (1891).
376 Sitzung der mathrphys, Classe vom 9. November 1901.
Möbiusinvolutionen, die die gegebenen Kreise iE", K' ineinander überführen, haben also die Form {x} {i}, wo x einen beliebigen einteiligen Kreis des zu dem Büschel (-ff, -K"') adjungirten Büschels, k einen einteiligen Potenzkreis von -K" und K' be- deutet. Gibt es zwei solche Potenzkreise il, A', d. h. schneiden sich K und K' reell, so gibt es auch 2 getrennte Scharen von Möbiusinvolutionen der verlangten Beschaffenheit; ihre Fixpunktepaare liegen bezw. auf X und X' harmonisch zu den Schnittpunkten von K\indK\ Gibt es nur einen einteiligen Potenzkreis A, so gibt es auch nur eine Schar von Möbius- involutionen, deren Fi^punkte auf k harmonisch zu den Grenz- punkten des Büschels (JE, K') gelegen sind.
13. Die Fixpunkte einer Möbiusinvolution 3, die durch 2 Paare entsprechender Punkte Ä ä\ B B' definirt ist, werden folgendermassen construirt :
Man lege durch A und A' einen beliebigen Kreis -K, und construire nach Nr. 6 den ihm entsprechenden Kreis K\ sowie die beiden Potenzkreise p, p von K und JE^, was ausser linearen nur eine quadratische Construktion ^) erfordert; dann sind nach der vor. Nr. p,p Bahnkreise von 3. Legt man jetzt durch B und B' den zu p orthogonalen Kreis q\ femer den zu p orthogonalen Kreis q, so schneiden sich entweder p und q oder p' und q in 2 reellen Punkten, den gesuchten Pixpunkten: die Construktion erfordert sonach 2 quadratische Operationen.
14. Um die Fixpunkte einer beliebigen direkten K V zvt bestimmen, construiren wir zuerst ihre Fixpunktsinvolution (Nr. 7), dann deren Fixpunkte nach dem soeben geschilderten Verfahren. Bei einer zweispiegeligen nichtinvolutorischen KV f erfordert die Bestimmung der Fixpunkte M^ M^ ausser line- aren Construktionen nur eine quadratische; denn wählt man die Punkte A B beliebig, und ermittelt Ä A" B' B" nach der Vorschrift:
A m A' m A"; B {?} B' {^ B\
') K. Study, Math. Ann. 49 p. 632.
E, V, Weher: Kreisverwandtschaften, 377
so schneiden sich entweder die Kreise AÄ Ä' und BB' B" in M^M^, oder das durch sie bestimmte Büschel hat M^M^ zu Grenzpunkten.
Kennt man von der direkten KV % den einen Pixpunkt -Ml, so ist der zweite als vierter harmonischer Punkt zu M^ hinsichtlich eines beliebigen Paars der Fixpunktsinvolution linear construirbar.
15. Wird eine indirekte Kreisverwandtschaft Q, die keine Inversion ist, durch die Formel (2) dargestellt, worin wieder ad — 6{? = 1 gesetzt ist, so hat die direkte KV Q^ die Form: *)
/ {aä -\-hc)z -^^ (ab -\-bd)
e = — = r-,
{ca -\- de) -sf + (c 6 -j- dd)
ist also nach Nr. 10, da ihre Determinante auch gleich 1 wird, zweispiegelig. Ihre Fixpunkte bleiben entweder bei Q eben- falls fest oder sie vertauschen sich gegenseitig; im ersten Fall bezeichnen wir sie als Fixpunkte von Q und Q selbst als a hyperbolisch**; im zweiten Fall als „Gegenpunkte** von Q und Q selbst als „elliptisch**; ist Q* parabolisch, so nennen wir auch Q eine parabolische Verwandtschaft.
Ist die indirekte KV Q hyperbolisch, und bedeuten Jtfj Jfj ihre Fixpunkte, ferner J die Inversion mit dem Centrum M^ , die den Punkt M^ mit dem auf der Geraden Jfj Jf, zu wählenden Coordinatenanfangspunkt 0 vertauscht, so hat die indirekte KV JQJ augenscheinlich die Form / =^ ajs, wo a eine complexe Constante bedeutet, lässt also, wie man sofort durch Rechnung bestätigt, zwei senkrechte durch 0 gehende Gerade und sonst keine reellen Kreise oder Geraden invariant. Ist ferner Q elliptisch, und bedeuten M^ M^ ihre Gegenpunkte, ferner J dieselbe Inversion wie vorhin, so hat die Kreisver- wandtschaft JO.J die Form / = a/i, lässt also einen ein- teiligen Kreis mit dem Centrum 0 und den zu ihm concentri- schen und orthogonalen nuUteiligen Kreis, ausserdem aber keine reellen Kreise oder Geraden stehen; daraus folgt:
1) Klein-Fricke a. a. 0. p. 198 f.
378 Sitzung der math.-phys. Glosse vorn 9, November 1901,
Jede hyperbolische indirekte Ereisverwandtsckaft Q be- sitzt zwei und nur zwei orthogonale einteilige Fixkreise, die sich in den Fixpunkten von O schneiden; jede elliptische in- direkte KVQ einen einteiligen und einen dazu orthogonalen nuUteiligen Fixkreis, und die Gegenpunkte von Q sind die Grenzpunkte des durch diese 2 Kreise definirten Büschels. Die Kreise des letzteren werden durch Q involutorisch yertauschi so zwar, dass die Fixkreise die Potenzkreise eines jeden Paars entsprechender Kreise des Büschels sind; auch die Kreise des adjungirten Büschels werden durch Q unter sich transformirt, doch so, dass ausser den im hyperbolischen Falle Yorhandenen reellen Nullkreisen kein reeller Kreis des Büschels stehen bleibt. Auch ersieht man jetzt sofort, dass Q hyperbohscb oder elliptisch ist, je nachdem dies für die zweispiegelige Ver- wandtschaft Q^ zutrifft, je nachdem also das Quadrat der reellen Zahl
aä -{- dd '\' hc '\- ch
grosser oder kleiner als 4 ist.^) Für eine parabolische JTF ist der eine Fixkreis einteilig, der andere ein auf ihm liegen- der Punktkreis.
Die Ermittelung der Fix- bezw. Gegenpunkte einer durch .S Paare gegebenen indirekten K V verlangt nach dem Vorigen ausser linearen Construktionen nur eine quadratische, dasselbe gilt für die Aufsuchung der Fixkreise, die mit den Potenz- kreisen irgend zweier in G sich entsprechenden Bahnkreise von Q* identisch sind. Nur wenn Q* eine Möbiusinvolution ist, werden für die Ermittelung der Gegenpunkte zwei qua- dratische Construktionen nötig.
1 6. Ist Q eine gegebene indirekte KV^ und die Inversion J so gewählt, dass die direkte KV:
zweispiegelig wird, so muss es in dem Bahnkreisbüschel von ? einen reellen Kreis geben, der zu dem Kreis J orthogonal ist,
0 Kleiii-Fricke a. a. 0.
S, V, Weher: Kreisverwandtschaften. 379
also sowohl vermöge e7 als ^, mithin auch durch Q in sich übergeführt wird, d. h. der Kreis J muss zu einem der Fix- kreise von Q orthogonal sein. Umgekehrt, ist dies der Fall, so lässt JQ jenen Fixkreis invariant, ist also zweispiegelig; daraus folgt: Jede indirekte KV kann auf oo* Arten als Pro- dukt dreier Inversionen
dargestellt werden ; J ist dabei ein beliebiger unter den oo * reellen Kreisen, die zu dem einen oder anderen der beiden Fix- kreise von Q orthogonal sind. Hat man J gewählt, so ist das Büschel (J^, Jg) bestimmt und J, kann innerhalb desselben noch auf oo^ Arten angenommen werden, worauf J^ eindeutig festgelegt ist.
Offenbar kann man jeden der 3 obigen Faktoren unter geeigneter Modification der übrigen an eine beliebige Stelle bringen; daraus folgt die Gleichberechtigung derselben, sowie die Thatsache, dass mit JQ. zugleich £lJ zweispiegelig ist, was übrigens auch unmittelbar aus der Beziehung
hervorgeht. Ist der Kreis J zu beiden Fixkreisen von Q orthogonal, dann und nur dann ist JQ und ebenso ZlJ eine Möbiusinvolution, und Q lässt sich also auf je oo* Arten in jeder der Formen «73, ^J schreiben. Beiläufig folgt auch noch, dass jede direkte KV als Produkt von 4 Inversionen darstellbar ist, von denen eine ganz beliebig angenommen werden kann, ferner dass, wenn ^ eine zweispiegelige KV, J die Inversion an einem ihrer Bahnkreise bedeutet, das Produkt J^ eine indirekte KV liefert, die jenen Bahn- kreis und den dazu orthogonalen des Bahnkreisbüschels zu Fixkreisen hat.
Bedeutet J die Inversion an einem der Fixkreise von Q, so gilt die Beziehung OJ= JQ, d. h. J ist mit O ver- tauschbar; auch besitzen nur die Fixkreise von Q diese Eigenschaft.
3?Ö Säswm^ Itr mMkrtksß, CUmt wmm 9. Nevember 1901.
17. Jede hTperiMliddue iiidiirAte KV d kann in der Form
-- 1 ^i ^
jede elliptische in der Gestalt
^ — -x — ^
'»%
gefe»chrieben werden, wo x eine oomplexe Consiante und ^jC, dai^ einemal die Fix-, das andremal die Gegenpunkte bedeuten. Daraas folgt leicht:
Sind J/, 3^ die Fixpnnkte. AA ein beliebiges Paar eni- hprecbender Punkte einer indirekten hyperbolischen KV^ so hat das Doppekerhältnis ^Jf, JM^^^l den eonstanten absoluten lUdr'dff y, . Sind 3/, 3^ die Gegenpnnkte, A A' ein beliebiges Paar einer indirekten elliptischen KV^ so hat jenes Doppel- vf;rhältnLs eine constante Amplitnde.^)
Im hyperbolischen Falle ist die Zahl x das Doppelrer- hältnih der binären Projektirität, welche die KV auf dem einen ihrc'r einteiligen Fixkreise deänirt: anf dem anderen ist dies I)op[><rl Verhältnis dann = — x . Im elliptischen Falle ist anipl. X das Doppelverhältnis, welches irgend zwei entsprechende auf dem einteiligen Fixkreis liegende Punkte mit den Gegen- punkten bilden.
I>a eine indirekte KV durch Angabe eines Fixkreises und i\i',r daniiif herrschenden Projektirität eindeutig bestimmt ist i-jß h< hliesHt man, dass die Zahl x ^bezw. ampL x) die einzige Invaria/ite einer hyperbolischen (bezw. ellipdschen) indirekten K y gegenüber beliebigen KreisTerwandtschaften ist, d. h. zwei indirekte K V sind dann und nur dann durch eine K V in- einander transforrairbar. wenn ihre Inrarianten übereinstimmen oder n.yjprolif: Werte haben.
*j K« i«t ampl. z = — = ^, weim / = o^.
J&. V, Weher: Kreisverwandtschaften. 381
18. Sind ÄBCD vier gegebene Punkte, so ist der Ort aller Punkte D derart, dass
\{ABCD)\ = \{ABCD')\
der durch D gehende Kreis, der A von B harmonisch trennt; hieraus und aus dem oben Gesagten, sowie aus Nr. 8 folgert man leicht:
Sind AÄ^ Bff, M^ gegebene Punkte, ferner N^ der zweite Fixpunkt derjenigen direkten KV, die M^ zum ersten Fix- punkt hat und A in A\ B in B' verwandelt, und legt man durch iVj die beiden Kreise, die A von A' und B von B' harmonisch trennen, so ist der zweite Schnittpunkt M^ dieser Kreise der zweite Fixpunkt derjenigen indirekten hyperbolischen KV, die den ersten Fixpunkt M^ und die Paare AA\ BB' besitzt.
Da, wie wir später sehen werden, M^ und N^ sich in derjenigen Möbiusinvolution entsprechen, die A mit S und B mit A vertauscht, so folgt aus dem eben Gesagten eine einfache lineare Construktion des zweiten Fixpunkts einer in- direkten K V, von der der eine Fixpunkt und 2 Paare gegeben sind. Aus der Bemerkung ferner, dass die genannten Punkte 3/, M^ auch die Gegenpunkte einer indirekten KV sind, die A in B' und B in A überführt, fliesst eine einfache Construktion der indirekten KV, die zwei gegebene Paare entsprechender Punkte und einen vorgeschriebenen Gegenpunkt besitzt.
n. Funktfetder und complexe Kreise.
19. Die beiden Büschel von Minimalgeraden der Ebene sind definirt durch die Gleichungen
X -\- iy = const. bezw. x — iy =^ const.
Jede Minimalgerade enthält einen und nur einen reellen Punkt. Ist nun ein beliebiger complexer Punkt der Ebene gegeben, und bedeuten A, B die reellen Punkte der durch ihn gehenden Minimalgeraden des ersten bezw. zweiten Systems, SO nennen wir mit E. Laguerre^) die Punkte AB die „reellen Repräsentanten** jenes complexen Punktes und bezeichnen den
1) Bull. Soc. Mat. 1 p. 241—248 (1873) und an vielen andern Orten.
1901. SÜEungsb. d. math.-phys. Gl. 2G
382 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9. November 1901.
letzteren mit [A B] ; offenbar ist [BÄ\ der zu [A S] conjupit imaginäre Punkt, [-^^] der reelle Punkt A. Die Repräsen- tanten eines complexen Punktes mit den cartesischen Coordi- naten f , yj haben darnach in der complexen Zahlenebene die Affixe f + i ^ und ^ — iri\^) umgekehrt repräsentiren zwei reelle Punkte mit den Affixen z^ und is^ den complexen Punkt mit den cartesischen Coordinaten
20. Die allgemeinste direkte complexe Kreisverwandt- schaft wird definirt durch die Formeln:
(1)
a^ + 6 y _(i^ -\r ß '^ cis + d'
die allgemeinste indirekte complexe K V durch die Gleichungen (2)
az-Yh ^, az + ß
z = , z =—
worin z, z z, 7 bezw. die Bedeutung
X + iy, X -f iy\ x — iy, x — iy
haben und die x^ y, x\ y nunmehr auch beliebige complexe Werte annehmen sollen ; eine direkte (indirekte) K V ver- wandelt also jede Minimalgerade in eine Minimalgerade des- selben (des andern) Systems.
Setzt man in (1) bezw. (2) für a, ß^ y, d die Werte ä, 6, c, Ä so erhält man die allgemeinste direkte bezw. indirekte reelle iC F in einer Form, die sich auch auf die complexen Punkte der Ebene erstreckt; man erkennt jetzt unmittelbar folgendes: Transformirt eine reelle KV den reellen Punkt A in An B in B^ so verwandelt sie den complexen Punkt [AB^ in [A B'] oder [B A']^ je nachdem sie direkt oder indirekt ist.
Den complexen Punkt [A B\ der vermöge einer com- plexen K V dem Punkt [ J. JB] entspricht, findet man folgender-
*) ä bedeutet den conj. imaginären Wert zu a.
J&. V, Weher: Kreisverwandtschaften, 383
massen : Ist die K V direkt, und bedeuten ^, ^ die direkten reellen Verwandtschaften, die bezw. durch die beiden Formeln (1) definirt werden, wenn man 5, 2' durch e^ 7 ersetzt, so gilt die Beziehung
Ist die K V dagegen indirekt, und bezeichnen jetzt ^, ^' die beiden indirekten reellen K V (2), so hat man :
21. Ist eine indirekte reelle Kreisverwandtschaft Q
(3) / = ?1±^
cz -\- d
vorgelegt, so betrachten wir jedes Paar entsprechender Punkte derselben als die Repräsentanten eines complexen Punktes x^ y\ der Ort dieser oo^ complexen Punkte ^) ergibt sich durch Elimi- nation von jS', z aus der Gleichung (3) und den folgenden:
X -{- iy =^ Zy X — iy =^ z in der Form:
(4) c (x^ + y^) + d(x — iy) — ä(x-i-iy) — b:= 0,
ist also ein complexer Kreis,*) den wir einfach den „Kreis Q** nennen wollen; er ist dann und nur dann reell, wenn Q eine Inversion bedeutet; sein conjugirt complexer ist der Kreis Q■'^ Natürlich entspricht auch jedem complexen Kreis eine ganz bestimmte indirekte reelle KV.
22. Wollen wir für die direkten reellen K V eine analoge Interpretation gewinnen, so sind wir zur Heranziehung eines neuen geometrischen Begriffs^) genötigt. Die oo* complexen
*) Die Bezeichnung od" bezieht sich im Folgenden stets auf die Anzahl v der wesentlichen reellen Parameter eines Gebildes; es gibt also 00* complexe Punkte der Ebene, co^ reelle, 00^2 complexe KV etc.
2) Vgl. auch fi. Laguerre a. a. 0. p. 247.
') Analoge Begriffsbildungen für die Zwecke der projektiven Geo- metrie finden sich schon bei C. Juel, Diss. Kopenhagen 1885, Acta Math. 14 p. 1—30, und C. Segre, Atti Acc. Torino t. 25 p. 27G, 430; t. 26 p. 35, 592 (1889-91).
26*
384 Sitzung der matK-phys. Classe vom 9, November 19Ö1,
Punkte nämlich, die durch die Paare einer direkten reellen jBT F repräsentirt werden, genügen der Gleichung:
(5) '^^y-'fV'Ml-
"^ c{X'\-iy)+d
Sowie man nun die oo* complexen Punkte, die durch eine Gleichung der Form
f{x^ y) = 0 oder (p(x -\- iy, x — iy) = 0
definirt werden, als eine „Curve" bezeichnet, ebenso nennen wir den InbegriiBF aller complexen Punkte x^ y, die einer Re- lation der Form
(p{x + iy, x — iy) = 0
genügen, ein „Punkt feld**, insbesondere ein circulares, wenn diese Gleichung die Form (5) hat; doch wollen wir der Kürze halber das Wort Punktfeld stets in diesem speziellen Sinne gebrauchen.
Jeder direkten reellen KV entspricht so ein ganz be- stimmtes Punktfeld, und umgekehrt; der identischen Trans- formation insbesondere ist das Feld der reellen Punkte
X — iy z= X -{- iy
zugeordnet. Da das reelle Punktfeld genau oo® Kreisverwandt- schaften gestattet, nämlich alle reellen, so können die Punkt- felder der Ebene, wie man leicht erkennt, auch definii-t werden als der Inbegriff der oo® Lagen, die das reelle Punktfeld bei beliebiger complexer K V annimmt.
Das Doppelverhältnis von 4 reellen Punkten der Ebene ist gleich demjenigen der 4 von ihnen auslaufenden Minimal- strahlen des ersten Systems, und gleich dem conjugirten Wert des Doppelverhältnisses der 4 durch sie gehenden Minimal- geraden des zweiten Systems. Demnach lässt sich die Eigenart der Punktfelder und complexen Kreise auch so aussprechen: Bezieht man die beiden Büschel von Minimalgeraden projektiv aufeinander, d. h. so, dass je 4 Strahlen des ersten Büschels dasselbe Doppelverhältnis haben wie die entsprechenden des
E, V, Weher: Kreisverwandtschaften. 385
zweiten, so schneiden sich entsprechende Strahlen, wie be- kannt, in den Punkten eines complexen Kreises; bezieht man aber die zwei Büschel „conjugirt-projektiv", nämlich so, dass die Doppelverhältnisse entsprechender Quodrupel conjugirte Werte haben, so ist das Erzeugnis ein Punktfeld. Bemerken wir noch, dass das Doppelverhältnis von 4 Punkten [ÄiBi] eines complexen Kreises gleich dem Doppel Verhältnis der 4 reellen Punkte Ä^ Ä^ A^ Ä^ oder gleich dem conjugirten Wert des Doppelverhältnisses (JBj B^ B^ BJ zu setzen ist.
Ein Punktfeld oder ein complexer Kreis artet dann und nur dann in ein Paar von Minimalgeraden aus, wenn die zu- gehörige KV singulär ist; die singulären Punkte der letzteren sind die reellen Punkte jener beiden Minimalgeraden.
23. Unter der „Inversion an dem complexen Kreis Q" verstehen wir diejenige involutorische indirekte KV, die alle Punkte des Kreises Q einzeln fest lässt; sie hat die Form
— dz -\-h ^, äz -\'h
z = : z
— 1
c2 — a cz -\- d
wenn Q selbst durch (3) definirt ist. Der dem Punkt [-4JB] hinsichtlich des Kreises Q inverse Punkt [^'JB'] wird also nach der Vorschrift
Ä{Q}B; Ä'{€i}B
gefunden; einem reellen Punkte A entspricht demnach der- jenige complexe, dessen Repräsentanten dem A rückwärts bezw. vorwärts entsprechen, mit andern Worten: das reelle Punktfeld verwandelt sich durch Spiegelung an dem complexen Kreise Q in das Punktfeld Q*. Ist Q hyperbolisch, so bleiben bei der Inversion an Q zwei reelle Punkte fest, nämlich die Fixpunkte von Q; ist O elliptisch, so gibt es zwei reelle Punkte, die sich vermöge jener Inversion entsprechen : die Gegenpunkte von Q.
Sind die Punkte M, N' durch die Angaben
386 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9, November 1901.
definirt, so ist der Punkt [J^f ^'] der inverse zu dem Punkte x, d. h. also das Centrum des Kreises Q, und man bestätigt leicht,^) dass sein Abstand von allen Punkten des Kreises constant ist Von der „Spiegelung an einem Punktfeld", die der In- version an einem complexen Kreise analog ist, soll in § lY die Rede sein.
24. Sind ^, Q zwei Punktfelder oder zwei complexe Kreise, also die Kreisverwandtschaften
beide direkt, bezeichnen wir ferner mit AB bezw. A' If die Fixpunkte von 9t bezw. ST, so hat man
(6) AB{^}A'B; AB{0}A'B,
und es sind AA und BB die einzigen Paare entsprechender Punkte, die den beiden gegebenen Verwandtschaften ^, C ge- meinsam sind, also [--1^1'] und [^BB"] die Schnittpunkte der gegebenen Punktfelder bezw. Kreise. Sind femer ^, Q zwei Punktfelder, so entspricht dem Punkte [-4^J bezw. [5-^4] so- wohl in ^ als auch in Q der Punkt [A J?'] bezw. [B' A'] und es sind dies die einzigen complexen Punkte, die durch Sß auf gleiche Art transformirt werden wie durch Q. Bedeuten % C complexe Kreise, so gilt analoges, nur dass jetzt \_A B] sowohl durch ^^ als durch Q in [B' A] und ebenso [BA'] in [A' B'] übergeführt wird.
Ist 9i und infolgedessen auch 9f parabolisch, also A mit B und A mit B' identisch, so sagen wir, die Punktfelder bezw. Kreise ^, Q berühren sich im Punkte [A A],
25. Es bedeute jetzt ^ ein Punktfeld, Q einen complexen Kreis; dann sind 9t und 9t' indirekte KV, und zwar beide hyperbolisch oder beide elliptisch; von dem Fall, dass sie In- versionen darstellen, wollen wir vorläufig absehen.
Sind die Verwandtschaften 9t, 9t' hyperbolisch, so gilt für ihre Fixpunkte uiB bezw. AB wieder die Beziehung (6), also schneidet das Punktfeld "^ den Kreis Q in zwei Punkten
') E. Laguerre a. a. 0. p. 247,
E. V, Weber: Kreisverwandtschaften, 387
[^-4'] und [JBjB'], d.h. AA\ BB' sind die gemeinsamen Paare von ^ und Q. Dagegen gibt es jetzt kein Paar com- plexer Punkte, die sich sowohl in ^ als in Q entsprächen.
Sind 9t, 9f elliptisch, und AB, Ä B' ihre Gegenpunkte, so sind AA' und BB' Paare von % AB' und BÄ Paare von Q und es gibt keine andern vier Punkte dieser Eigen- schaft. ^ und Q haben jetzt kein reelles Punktepaar gemein- sam, und das Punktfeld schneidet den Kreis überhaupt nicht. Dagegen existiren nunmehr zwei complexe Punkte [-4jB], [£^], die von ^ und Q in derselben Weise, nämlich in [^' jB] bezw. [J5 \4'] transformirt werden.
Für den Fall, dass 9t, 9t' parabolisch, also A mit Ä und ^ mit JB' identisch sind, sagen wir wiederum: das Punktfeld ^ berührt den Kreis Q im Punkte [^^'].
Versteht man im Vorigen unter ^ das reelle Punktfeld, so entspringt die schon aus Nr. 15 bekannte Thatsache: Der Kreis Q enthält, jenachdem Q hyperbolisch oder elliptisch ist, zwei reelle Punkte (die Fixpunkte) oder zwei conjugirt imaginäre Punkte, die durch die Gegenpunkte von Q repräsentirt werden.
26. Besitzt die eine der Transformationen 9t, 9t der Nr. 24 und infolgedessen auch die andere die Periode zwei, so nennen wir die Kreisverwandtschaften % Q und ebenso die zugeord- neten Punktfelder resp. Kreise „orthogonal** oder „har- monisch*)**; z. B. werden die Möbiusinvolutionen und die In- versionen aus der Gesamtheit der reellen K V dadurch aus- geschieden, dass sie zu dem reellen Punktfeld harmonisch liegen sollen. Die harmonische Beziehung soll uns in § IV ausführ- lich beschäftigen; hier betrachten wir nur den Fall, dass ^ ein Punktfeld, Q einen Kreis, also 9t, 9t Inversionen bedeuten. Sind die Kreise der letzteren, die wir mit ÜT, K' bezeichnen, beide einteilig, und ABC , , Punkte der Peripherie von K, ferner Ä B' C' , . die ihnen vermöge ^ entsprechenden Punkte, so liegen die letzteren auf K' und es sind A A\ B B , , auch Paare von Q. Die Peripherien von K und K werden also
1) Nach H. Wiener, Lpz. Ber. 42 (1890) p. 262.
388 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 9, November 1901.
durch ^ und Q in derselben Weise projektiv bezogen; diese K V haben sonach oo^ Paare reeller entsprechender Punkte gemein, mit andern Worten: das Punktfeld Sß schneidet den Kreis Q in oo* complexen Punkten. Die von letzteren ge- bildete Mannigfaltigkeit bezeichnet man passend als eine „Kreis- spur"; eine solche entsteht aus den oo* reellen Punkten eines einteiligen Kreises durch beliebige complexe KV.
Sind die Kreise der Inversionen % SR' nuUteilig, so hat das Punktfeld ^ mit dem Kreis Q keinen Punkt gemein.
Bedeuten A, B zugeordnete Punkte der Inversion 9t, femer AB' die ihnen in ^ entsprechenden Punkte, so hat man
AB{^}B' Ä,
und AB' ist ein Paar der Inversion 9t', also wird der com- plexe Punkt [AB^ sowohl durch ^ als durch Q in den Punkt [^JB] übergeführt. Die reellen Kreise K^K' sind demnach so aufeinander bezogen, dass nicht nur ihre etwaigen reellen, sondern auch ihre oo* complexen Punkte sich vermöge ^ und C in derselben Weise entsprechen, und man erhält auf diese Weise offenbar auch alle Paare entsprechender complexer Punkte, die den Verwandtschaften ^ und Q gemeinsam sind. Sind die Kreise JST, K' identisch, so bleibt K vermöge ^ und C invariant, ^ ist also zweispiegelig, K ein Bahnkreis von i? und Q = 9t^ = ^9t.
III. Vertauschbarkeit und Inversibilität der Kreisverwandtschaften.
27. Die reellen Kreis Verwandtschaften ^, Q heissen ver- tauschbar, wenn sie der Gleichung
(1) ^Q^-i = O oder ^Q = Q^
genügen; wir sagen ferner, Q ist durch ^ »inversibel** oder „^P invertirt Q", wenn die Beziehung
(2) ^Q^-^ = Q-i
gilt. Ist ^ eine direkte K F. so führt sie das Punktfeld (bezw. den Kreis) Q unter der ersten Annahme in sich, unter der
E. V, Weher: Kreisverwandtschaften, 389
zweiten in das conjugirte Gebilde über; ist dagegen ^ indirekt, so findet das Umgekehrte statt. Ein Punktfeld (oder Kreis) d gestattet also dann und nur dann die indirekte Transforma- tion ^, wenn Q durch ^ inversibel ist.
Im vorigen Paragraphen haben wir die Wirkung reeller Kreisverwandtschaffcen auf complexe Punkte untersucht; hier soll ihre Wirkung auf complexe Kreise und Punktfelder studirt werden, d. h. wir bestimmen erstens alle Kreisverwandtschaften, die ein gegebenes Punktfeld oder einen complexen Kreis in- variant lassen, bezw. in das conjugirte Gebilde überführen, zweitens alle Punktfelder und complexen Kreise, die bei einer gegebenen KV invariant bleiben oder in das conjugirte Ge- bilde übergehen. Dazu brauchen wir nur alle Fälle aufzu- zählen, in der die Relation (1) oder (2) stattfindet.
28. Soll ^ mit Q vertauschbar sein, so muss ^ jedes Paar entsprechender Punkte von Q wieder in ein solches Paar über- führen. Ist nun ^ eine direkte -BT F, Q eine indirekte hyper- bolische K V, so muss ^ die Fixkreise -t, ti' und ebenso die Fixpunkte M^ M^ von Q entweder vertauschen oder festlassen. Bedeutet jetzt ÄÄ ein auf n liegendes Paar von Q und hat man AÄ {^}BB\ so liegen, wenn ^ die Fixkreise nn ver- tauscht, die Punkte BB' auf dem Kreise n. Blieben nun die Punkte üfj üfg bei ^ fest, so wären die reellen Doppel Verhältnisse
(3) {AÄ M,M;), (BB'M^M,)
nach Nr. 17 sowohl gleich als entgegengesetzt, was nicht mög- lich ist. Würden andererseits M^ und M^ durch ^ vertauscht, so wären jene Doppelverhältnisse sowohl reciprok als entgegen- gesetzt, was ebenfalls nicht stattfinden kann. Also muss ^ die Fixkreise von Q, aber auch die Fixpunkte 31^ M^ stehen lassen; denn andernfalls wären die Doppelverhältnisse (3) gleich und reciprok, also harmonisch, d. h. Q wäre eine Inversion. Um- gekehrt, lässt Sß die Fixkreise und Fixpunkte von Q in Ruhe, so führt sie Q in sich über.
Ist Q eine indirekte elliptische KV, so weiss man von vorneherein, dass ^ den einteiligen Fixkreis Ji von Q fest-
390 Sitzung der maihrphys. Classe vom 9. November 1901.
lassen muss, und erkennt ähnlich wie oben, dass auch die Gegenpunkte von Q bei ^ festbleiben, da Q andernfalls eine Inversion wäre. Also findet man schliesslich : Die direkten K F, die eine allgemeine indirekte Kreisverwandtschaft Q in sich überführen, bilden eine eingliedrige Gruppe^) zweispiegeliger Verwandtschaften, deren Bahnkreisbüschel die Fixkreise von C enthält.
29. Sollen die indirekten Kreisverwandtschaffcen ^', Q ver- tauschbar sein, so muss ^', falls Q zwei einteilige Fixkreise TT, 7t\ also reelle Fixpunkte üf, M^ besitzt, diese Kreise ver- tauschen oder festlassen. Ersteres ist aber ausgeschlossen; denn sind ÄÄ' wieder entsprechende auf n gelegene Punkte von Q und hätte man
ÄÄ' M, M^ {^'} BB' M, 31^ oder ÄÄ M, M^ {^'} BB' Jtf, Jlf,,
so dass B und B' auf n liegen, so gäbe es auch eine direkte KV^ die dasselbe leisten, also Q ebenfalls in sich überführen würde, was nach der vorigen Nr. nicht möglich ist. Darnach hat %' mit Q die Fixkreise gemein, entsteht also aus einer Kreis Verwandtschaft ^ der oben definirten eingliedrigen Gruppe durch Multiplikation mit der Inversion «7bezw. J\ die n bezw. 71 zur Direktrix hat. Da aber das Produkt JJ* oder J*J selbst jener eingliedrigen Gruppe angehört, ferner J und «T mit allen Transformationen derselben vertauschbar sind, so lassen sich die indirekten KV^ die Q in sich überführen, auf jede der 4 Arten
(4) J%J'%'<^J,^J'
schreiben, worin ^ die co ^ Transformationen jener eingliedrigen Gruppe durchläuft, und ganz dasselbe gilt oflFenbar auch für den Fall, dass n nullteilig, also Q elliptisch ist. Natürlich ist O selbst in der Schaar (4) enthalten.
J und J' sind offenbar die einzigen Inversionen, die C in sich überführen ; man kann daher die Fixkreise einer indirekten
^) Vgl. hierüber Klein-Fricke a. a. 0.
E. v. Weher: Kreisverwandtschaften, 391
K V Q auch als die Potenzkreise der complexen Kreise Q und Q~^ bezeichnen.
30. Die Annahme, dass Q eine Inversion bedeutet, erledigt sich sehr einfach; es genügt, das Resultat auszusprechen: Die direkten K F, die mit der Inversion Q vertauschbar sind, bilden eine dreigliedrige Gruppe, bestehend aus allen elliptischen Transformationen, deren Fixpunkte hinsichtlich Q invers sind; ist Q einteilig, so gibt es noch eine zweite dreigliedrige Gruppe dieser Art, bestehend aus den hyperbolischen Trans- formationen, deren Fixpunkte auf dem Kreis Q liegen. Die indirekten mit Q vertauschbaren Transformationen entstehen aus den genannten durch vorherige oder nachherige Multiplika- tion mit Q.
31. Da die Vertauschbarkeit zweier KV eine reciproke Beziehung ist, so haben wir durch die Entwickelungen der Nr. 28 gleichzeitig die Aufgabe erledigt, alle indirekten Kreis- ver wand tschaften ^ zu bestimmen, die mit einer direkten KV Q vertauschbar sind: Gilt die Relation (1) und bedeutet Q eine direkte, ^ eine indirekte KV, so ist 1) entweder Q hyper- bolisch, ^ eine hyperbolische indirekte K F, die mit Q die Fixpunkte gemein hat, oder eine Inversion, deren einteilige Direktrix die Fixpunkte von Q enthält, oder 2) Q ist eine elliptische direkte, ^ eine elliptische indirekte KV, die die Fixpunkte von Q zu Gegenpunkten hat, im Speziellen eine Inversion, die die Fixpunkte von Q vertauscht.
Eine Möbiusinvolution ist darnach mit allen indirekten KV vertauschbar, die ihre Fixpunkte zu Gegenpunkten oder zu Fixpunkten haben.
32. Auch der noch übrige Fall zweier vertauschbarer direkter Ä'F erledigt sich aufs leichteste:*) Zwei direkte KV sind dann und nur dann vertauschbar, wenn sie entweder die Fixpunkte gemein haben, oder wenn sie Möbiusinvolutionen sind, von denen jede die Fixpunkte der andern vertauscht.*)
^) C. Segre, Journ. f. Math. 100 p. 317-330.
2) Zwei solche Involutionen sind nach Nr. 36 harmonisch ; ihre Fix- punkte liegen ebenfalls harmonisch.
392 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9. November 1901,
Die Theorie der vertauschbaren K V ist damit vollständig erledigt.
33. Etwas umständlicher ist die Diskussion der Gleichung (2); wir begnügen uns das Resultat mitzuteilen. Damit die Relation
(2) ^Q^-i = Q-i
stattfinde, ist notwendig und hinreichend, dass einer der fd- genden Fälle realisirt sei:
1) Q ist eine direkte KV^ % eine MöbiusinvolutioD, die die Fixpunkte von Q vertauscht.
2) Q ist eine direkte elliptische KV^ ^ eine indirekte KV^ die mit Q die Fixpunkte gemein hat, z. B. eine Inrer- sion, deren Direktrix die Fixpunkte von Q enthält.
3) Q ist eine direkte hyperbolische KV^ ^ eine indirekte K V, die die Fixpunkte von Q zu Gegenpunkten hat, i. B. eine Inversion, die die Fixpunkte von Q vei"tauscht.
4) Q ist eine indirekte K V mit reellen Fixpunkten 3/, Mf ^ eine Möbiusinvolution, deren Fixpunkte harmonisch zu Jf, 3^ auf dem einen oder andern Fixkreis von G liefjen.
5) C ist eine indirekte K V mit reellen Fixpunkten J/, J/^ ^ eine Inversion, die il/j und J/j vertauscht.
6) Q ist eine indirekte K V mit reellen Gegenpunkten M^M^^ ^}5 eine Möbiusinvolution, deren Fixpunkte harmonisch zu ü/j J/g auf dem einteiligen Fixkreis von O liegen.
7) Q ist eine indirekte K V mit reellen GegenpunkteD J/j üig, "^ eine Inversion an einem durch M^ M^ gehenden ein- teiligen Kreise.
Der Fall, dass Q eine Inversion oder Möbiusinvolution bedeutet, ist bei dieser Aufzählung nicht berücksichtigt, da unter dieser Annahme die Gleichung (2) mit (1) identisch wiri
34. Die vollständige Beantwortung der beiden in Nr. 27 aufgeworfenen Fragen ergibt sich aus den Nrn. 28 — 33 durch leichte Veränderung des Wortlauts; wir wollen in dieser Rich- tung nur noch folgende Thatsachen hervorheben, die sich übrigens leicht auch unmittelbar verificiren lassen: Bei einer
E, V. Weher: Kreisverwandtschaften. 393
allgemeinen direkten KV bleiben überhaupt keine reellen oder complexen Kreise invariant, bei einer hyperbolischen bezw. elliptischen direkten KV^ nur diejenigen oo'^ Kreise, die die Fixpunkte von ^ zu Fix- bezw. Gegenpunkten haben, bei einer indirekten KV^ die keine Inversion ist, . nur deren reelle Fixkreise, endlich bei einer Inversion ^ alle Kreise, deren Fixpunkte auf dem Kreise % oder deren Gegenpunkte hinsichtlich ^ invers liegen.
Durch die Entwickelungen dieses Paragraphen ist gleich- zeitig die Aufgabe gelöst, alle Transformationen zu finden, die zwei äquivalente Kreisverwandtschaften ^ und *iß' inein- ander überführen ; ist nämlich Q eine bestimmte K F, die dies leistet, so erhält man die allgemeinste in der Form 9iQ oder jQ$R', wo SR bezw. SR' die allgemeinste KV bedeutet, die ^ bezw. ^' invariant lässt.
lY. Harmonische und associirte Ereisverwandtschaften; Büschel und Halbbüschel von Punktfeldern und complexen
Kreisen.
35. In Nr. 26 nannten wir zwei gleichartige Kreisverwandt- schaften ^ und Q harmonisch, wenn ^ Q~^ und infolgedessen auch Q~^ ^ eine Möbiusinvolution ist. Sind ah c d bezw. a ß y d die Coefficienten der zu ^ bezw. O gehörigen linearen Transformationen der complexen Variabein ^, so lautet die Bedingung für die harmonische Lage
(1) ad — by — cß + da = 0;
sie zerlegt sich in 2 reelle Gleichungen, es gibt also zu einer gegebenen KV oo* mit ihr gleichartige harmonische Kreis- verwandtschaften.
Ist dagegen ^ eine direkte, Q eine indirekte KV, so muss das Produkt ^Q"* eine Inversion sein, wenn ^ und Q har- monisch liegen sollen; die Bedingungen hiefür lauten:
394 Sitzung der matK-phys, Glosse t?om 9. November 1901.
— da 4- ßc . yb — ad ^
\- = 0;
yü — hc ya — ac
ßd — db _ ßd—db yü — dc ya — ac'
was mit 3 reellen Gleichungen äquivalent ist; es gibt also zn einer gegebenen KV co^ ungleichartige harmonische KV.
Da die Bedingung (1), auf 2 complexe Kreise angewandt deren Orthogonalität ausspricht, so bezeichnen wir allgemein 2 harmonische K V als orthogonal und die Gesamtheit der x* zu einer KV harmonischen gleichartigen KV als ein Netz.
Sind die Kreisverwandtschaften % Q harmonisch und be- deutet ÄÄ ein Paar von % während die Punkte HJB durch die Angabe (2) A{0}B\ B{Q}Ä'
bestimmt sind, so bilden auch B und B' ein Paar von f. Umgekehrt, sind die KV ^ und Q gleichartig und existirai in ^ zwei verschiedene Paare ää\ BB' derart, dass Ai und BÄ Paare von Q sind, so liegen $ und Q harmonisch. da ja ^Q~^ die Punkte Ä,B vertauscht.
Bedeutet ß», den ersten, S^ den zweiten singulären Punkt einer singulären K V *iß, so ist ^ zu Q, wie man leicht er- kennt, dann und nur dann harmonisch, wenn /Sj, S^ ein Paar entsprechender Punkte von Q bedeuten.
36. Zwei Möbiusinvolutionen sind dann und nur dann harmonisch, wenn ihre Fixpunkte harmonisch liegen, zwei In- versionen, wenn die zugehörigen Kreise sich rechtwinklig schneiden; eine Möbiusinvolution und eine Inversion, wenn letztere die Fixpunkte der ersteren entweder vertauscht oder festlässt. In allen diesen Fällen sind die betreffenden KT natürlich auch vertauschbar, und jede ist durch die andm inversibel.
Soll die Möbiusinvolution 3 zu der KV ^ harmonisch sein, so hat man:
3Q3 = 0-';
E. V. Weber: Kreisverwandtschaften, 395
nach Nr. 33 folgt also: Eine Möbiusinvolution ist dann und nur dann zu einer direkten KV harmonisch, wenn sie deren Fixpunkte vertauscht; jede direkte Ä'Fkann also auf oo*-^ Arten als Produkt zweier Möbiusinvolutionen dargestellt werden.^)
Jede indirekte KV bestimmt oo^ zu ihr harmonische Möbiusinvolutionen; sie wurden in Nr. 33 unter 4) und 6) angegeben.
Zu einer direkten hyperbolischen (bezw. elliptischen) KV mit den Fixpunkten (bezw. Gegenpunkten) M^M^, die keine Involution ist, gibt es oo^ harmonische Inversionen, deren Kreise das Büschel mit den Grenzpunkten (bezw. Grundpunkten) M^ M^ bilden; zu einer Möbiusinvolution gibt es zwei Schaaren von oo^ harmonischen Inversionen.
Eine indirekte jK^FQ, die keine Inversion ist, besitzt oo^ zu ihr harmonische Inversionen, deren Kreise das zu den Fix- kreisen von Q orthogonale reelle Büschel bilden. Sind A^Ä ein Paar von Q, -M, M^ die Fixpunkte, so liegt der Punkt B\ in den A durch eine jener oo^ Inversionen übergeht, auf dem Kreis ikf, M^ -4, ebenso der Punkt jB, in den Ä durch dieselbe Inversion transformirt wird, auf dem Kreise M^ M^ Ä ; daraus folgt: Schneidet ein beliebiger durch AÄ gelegter Kreis den Kreis M^M^ A in B\ den Kreis M^M^ A' in B, so ist BB' ein neues Paar von Q. Hieraus ergibt sich eine einfache Con- struktion der Punkte, die einem gegebenen Punkte -4 in Q vor- und rückwärts entsprechen, und zwar gilt das Vorige auch in dem Fall, dass die Punkte My^M^ conjugirt imaginär, Q also elliptisch ist.
37. Es möge hier auf diejenigen Kreis Verwandtschaften, die zu ihrer inversen harmonisch sind, also eine Gleichung der Form Q* = 3 erfüllen, und allgemeiner auf die Lösung der Gleichung Q* = 9?, wo SR eine beliebig gegebene (natürlich direkte) KV bedeutet, mit ein paar Worten eingegangen werden. Soll die jBl F Q direkt sein, so hat sie mit SK die Fixpunkte gemein, und ihre Invariante hat einen der Werte
^) Vgl. Segre a. a. 0.
396 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 9, November 190 L
+ Vx, wo X diejenige von SR bedeutet; es gibt ako 2 ver- schiedene KV, Q und Q', der genannten BeschaflFenheit, die vertauschbar und harmonisch sind, so zwar, dass Q'Q""* mit der Fixpunktsinvolution von ^ identisch ist. Soll insbeson- dere Q* = 3 sein, so haben Q und Q' bezw. die Invarianten
^•t und e*"T, sind also elliptische Transformationen der Periode 4. Bedeutet andererseits Q eine indirekte KV, so muss 9J zwei- spiegelig sein. Ist 9t zunächst hyperbolisch und seine (reelle) Invariante « > 0, so existirt eine Schaar von oo^ indirekten hyperbolischen KV obiger Eigenschaft; und zwar kann man für die Fixkreise von Q zwei beliebige orthogonale Kreise des Bahnkreisbüschels von ^ wählen, während die Invariante von Q den Wert \\/>c\ besitzt. Ist zweitens SR elliptisch, so gibt es stets zwei verschiedene Schaaren von je oo^ elliptischen in- direkten KV, die die Gleichung Q* == SR erfüllen, und zwar kann der einteilige Fixkreis von Q innerhalb des Bahnkreis- büschels von SR beliebig gewählt werden, während die Invariante
von Q den Wert +60 hat, wo e'^ diejenige von SR bedeutet, und zwar ist jede KV der ersten Schaar zu jeder der zweiten harmonisch. Insbesondere gibt es also auch 2 verschiedene Schaaren von Lösungen der Gleichung Q* = 3.
38. Nach Nr. 35 haben alle Kreisverwandtschaften, die dem durch Q bestimmten Netze angehören und ein gegebenes Paar ÄA' enthalten, auch das Paar BB' gemein, das durch die Formeln (2) definirt wird. Die Punkttransformation, welche jeden complexen Punkt [^^'J in [BB'] verwandelt, ist natür- lich involutorisch und lässt alle Paare von Q in Ruhe; für den Fall, dass Q eine indirekte KV O, bedeutet, ist sie mit der Inversion an dem Kreise Q identisch. Wenn nun Q eine direkte KV vorstellt, wollen wir jenen Uebergang als die „Spiegelung (oder Inversion) an dem Punktfeld Q" bezeichnen.
Bedeuten % Q zwei indirekte reelle K V und stehen die reellen Punkte A Ä BB' in der Beziehung
E, V. Weber: Kreisvertoandtschaften, 397
so nennen wir den Uebergang von dem Punkte [-4-4.] zu [BB ] eine „uneigentliche direkte K F" ; sind ^, Q zwei direkte reelle K V, und hat man
Ä{Q}B', Ä'{9}B,
SO heisst die Transformation, vermöge deren der Punkt [-4. -4.'] in \^BB'] übergeht, eine „uneigentliche indirekte jBlF"; er- setzt man ^ durch Q"S so erhält man als Spezialfall die Spiegelung an dem Punktfeld Q. Die Spiegelung an dem reellen Punktfeld ist also nichts anderes als der Uebergang von einem complexen Punkt zu seinem conjugirt imaginären. Eine uneigentliche direkte (bezw. indirekte) K V entsteht demnach, wenn man jedes der beiden Büschel von Minimal- geraden conjugirt-projektiv auf sich (bezw. auf das andere) bezieht und dem complexen Schnittpunkt zweier Minimalgeraden den Schnittpunkt der bezw. entsprechenden Minimalgeraden zuweist.
39. Sind ^, Q zwei gleichartige reelle K V, also beide direkt oder beide indirekt, femer ÄÄ\ BB' ihre gemeinsamen Paare, so bezeichnen wir den Inbegriff der oo* Kreisverwandt- schaften, die mit ^ und Q gleichartig sind und die Paare ää\ BB' gemein haben, als das „Büschel (^, Q)** und zwar als ein „ Feldbüschel ** oder „Kreisbüschel**, je nachdem ^ und Q direkt oder indirekt sind. Der Definition des Büschels können statt ^ und Q irgend zwei verschiedene Verwandtschaften des Büschels zu Grunde gelegt werden. Die Punkte [^ J.'], [BB] heissen die Grundpunkte, ferner [.4 B'J und [jB-4J die Grenz- punkte des Büschels. Das letztere enthält nur zwei singulare K V; ihre singulären Punkte sind Ä, B' bezw. B^ Ä,
Ein reelles Büschel, das also zu jeder KV gleichzeitig die inverse enthält, entsteht, wenn entweder A mit Ä und B mit B' identisch, d. h. die Grundpunkte reell, oder wenn A mit B' und B mit Ä identisch, also die Grenzpunkte reell werden. Ein reelles Feldbüschel insbesondere besteht entweder aus 00* direkten K V mit gemeinsamen Fixpunkten, oder aus 00* Involutionen, die ein gemeinsames Paar enthalten.
1901. Sitznngsb. d. math.-phys. Gl. 27
398 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 9. November 1901.
Ist Ä mit B, Ä mit jB' identisch, so erhält man ein „Berührungsbüschel", bestehend aus oo* Kreisverwandtschaften, die sich im Punkte [-4J.'] berühren.
Von zwei harmonischen Punktfeldern geht nach Nr. 38 jedes durch Spiegelung an dem andern in sich über, und analoges gilt auch für harmonische Kreise. Ist also die KY ^' mit ^ und Q gleichartig und harmonisch, so sind die Punkte [J^ J.'] und [-BjB] hinsichtlich 'iß' invers, ^' enthält also die Paare AÜ ^ BÄ'^ und umgekehrt. Es gibt demnach oo* Kreis- verwandtschaften, die zu allen K V des Büschels C^, Q) har- monisch liegen; sie bilden das zu letzterem „adjungirte Büschel*, das [AB'] und [-B^] zu Grundpunkten, [^-4'] und [BB] zu Grenzpunkten hat. Das adjungirte Büschel eines Be- rührungsbüschels ist wieder ein solches und hat denselben doppelt zählenden Grundpunkt.
40. Um diejenige KV ^' des zu {% Q) adjungirten Bü- schels zu finden, die ein gegebenes Paar (7, C enthält, inver- tire man den Punkt [CC] an ^ und Q, wodurch die Punkte [DD'] und [EE'] erhalten werden; dann sind CC\ DIT, EE' 3 Paare von ^'. Ist CC ein Paar von *iß, so invertire man den Punkt [CG] an C, wodurch [EE'\ und den letzteren Punkt an ^, wodurch [FF] entstehe; dann sind CC\ EE\ FF 3 Paare von ^'. Diese Construktion versagt dann und nur dann, wenn ^ zu Q harmonisch liegt, weil dann auch das Paar EE' in ^ enthalten, also mit FF identisch ist, und es bietet sich dann die weiter unten zu erledigende Aufgabe, eine zu ^ harmonische gleichartige KV z\x bestimmen, die 2 gegebene Paare von ^ enthält. Ist endlich C C' eines der gemeinsamen Paare von ^ und Q, etwa mit AÄ identisch, so muss ^' die singulare KV sein, deren singuläres Paar A und Ä sind; diese KV sowie diejenige, die jB, B' zu singu- lären Punkten hat, sind in der That die einzigen singulären KV des zu (^, Q) adjungirten Büschels.
Die Construktion derjenigen KV^ die einem gegebenen Büschel angehört und ein gegebenes Paar enthält, lässt sich
E. V, Weher: Kreisverwandtschaften, 399
auf die vorige zurückführen, indem man zunächst zwei be- liebige KV des adjungirten Büschels bestimmt.
Die Aufgabe, eine mit Q gleichartige und harmonische KV^' zu bestimmen, die zwei gegebene Paare CC\ DD* ent- hält, erledigt sich dadurch, dass man durch Inversionen an Q aus den gegebenen Paaren neue ableitet; diese Construktion versagt nur dann, wenn jene Paare beide auch in Q enthalten sind. In diesem Falle ermittle man zunächst zwei beliebige K F, die mit Q gleichartig und harmonisch sind, sowie das Paar CC enthalten; sie gehören zu einem Berührungsbüschel mit dem Grundpunkt [CC]. Ferner bestimme man zwei be- liebige Ä'F ^,, Q, des dazu adjungirten Berührungsbüschels, sowie diejenige K V ^', die das Paar D D enthält und zu ^, und Qj harmonisch ist. Diese letztere Construktion ist nunmehr stets ausführbar, da sich ^^ und Q, so wählen lassen, dass keine derselben das Paar DD enthält.
Um schliesslich diejenige Kreisverwandtschaft ^' zu be- stimmen, die zu drei gegebenen K V: ^, Q, 9t harmonisch ist, verstehe man unter CC ein beliebiges Paar von SK, ermittele nach dem Obigen die Kreisvei-wandtschaft © des Büschels C^J, Q), die das Paar CC enthält, und suche das zweite ge- meinsame Paar DD' von $R und ®. Dann sind die Punkte [CC] und [DD'] hinsichtlich ^' invers, d. h. CD' und DC' sind Paare von ^', und man findet auf diesem Wege beliebig viele Paare der gesuchten KV,
Wir bemerken noch, dass alle in dieser Nr. behandelten Aufgaben lediglich lineare Construktionen erfordern.
41. Es sei ein Büschel mit den Grundpunkten [-4 J['], [jBJB'] gegeben ; bedeutet ^ eine beliebige K V desselben, so kann die allgemeinste K V des Büschels in jeder der beiden Formen
(3) Q = SR^; 0 = ^9r
geschrieben werden, worin 5)t (bezw. 9?) das reelle Büschel der 00* direkten K V mit den Fixpunkten A B (bezw. Ä B) durchläuft; die allgemeinste Transformation Q' des adjungirten Büschels kann dann auf folgende beide Arten dargestellt werden :
27*
400 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9, November 1901,
(4) Q' = 3?; Q' = $3';
dabei durchläuft 3 alle Möbiusinvolutionen, die das Paar AB enthalten, d. h. zur Fixpunktsinvolution von G^"* harmoniscli sind, ebenso 3' alle Möbiusinvolutionen, die das Paar AB' enthalten. Nach (3) haben alle Kreisverwandtschaften ^ des Büschels (^, Q) die Eigenschaft, jede K V des .reellen Feld- büschels 9t in eine KV des Büschels SR' zu transformiren, welch letztere immer dieselbe ist, wie auch ^ innerhalb des Büschels (^, O) gewählt sein mag. Insbesondere wird die In- volution 3 mit den Fixpunkten AB m ^' verwandelt;*) diese Wirkung haben aber auch alle K V des adjungirten Büschels. Umgekehrt gibt es stets zwei adjungirte Feldbüschel und zwei adjungirte Kreisbüschel derart, dass alle ihnen an- gehörenden KV zwei vorgegebene Möbiusinvolutionen in- einander überführen.
Die Entwickeln ngen dieser Nr. gelten in leicht ersicht- licher Weise auch, wenn A mit JB, Ä mit B' identisch ist, d. h. wenn es sich um ein Berührungsbüschel handelt.
42. Bedeutet ^ eine direkte K V mit den Fixpunkten JUTj M^ , die in dem Feldbüschel (^, Q) mit den Grundpunkten [ÄÄ]^ [^BIJ'] enthalten ist, so entsprechen sich Jltf^ und M^ vermöge der im adjungirten Büschel vorkommenden Involu- tion j, die durch die Paare AB\ BÄ definirt ist; umgekehrt, bilden M^M^ ein Paar von j, so gibt es in dem Feldbüschel (^^, Q) stets eine und nur eine direkte K V mit den Fii- punkten M^ M^.
Der erste Teil dieser Behauptung folgt daraus, dass j zu "f harmonisch ist, also die Fixpunkte von ^ vertauscht, der zweite aus der Beziehung
M.M^AÄ {\) M^M.B'B,
1) Nur wenn $, C harmonisch sind, gibt es mehr als ein Pmt 3,3', so dass gleichzeitig $3?-^ = 3' = C30-1, und zwar bedeutet hier 3 *^i»^ ^'.u ß5ß-^ 3' eine zu $-^D harmonische Involution; für den Inhalt dieser Nr. vgl. übrigens C. Segre a. a. 0.
E, V. Weber: Kreisverwandtschaften, 401
welche lehrt, dass das Doppelverhältnis ( Jf, M^ Ä Ä) gleich {M^M^BB) ist. Natürlich sind ebenso die Fixpunktepaare der K V des adjungirten Feldbüschels mit den Paaren der- jenigen Involution i identisch, die Ä mit Ä' und B mit B' vertauscht.
In einem Feldbüschel gibt es nach dem Gesagten nur zwei parabolische Verwandtschaften; ihre doppelt zählenden Fix- punkte coincidiren bezw. mit den beiden Fixpunkten von j.
Für den Fall eines reellen Büschels und eines Berührungs- büschels wird die obige Schlussweise natürlich hinfallig; doch bedarf nur der zweite dieser Fälle einer nähern Erläuterung. Es handelt sich hier darum, die in den beiden adjungirten Büscheln enthaltenen Möbiusinvolutionen t, j zu construiren. Sei also ein Berührungsbüschel gegeben durch den doppelt zählenden Grundpunkt [-4-4'J und eine direkte KV ^, die das Paar J. -4' und die Fixpunkte M^M^ besitzt. Da j zu ^ har- monisch ist und gleichfalls das Paar AÄ enthält, so liegen die Fixpunkte CG' von \ zu M^M^ und zu AÄ gleichzeitig harmonisch, sind also eindeutig festgelegt. Die Involution i ist dann dadurch definirt, dass ihre Fixpunkte zu AÄ und zu C C harmonisch sind. Ist das Berührungsbüschel reell, also A mit Ä identisch, so coincidiren i und \ in die singulare Involution mit dem singulären Punkt -4, d. h. jeder beliebige Punkt der Ebene bildet mit A zusammen das Fixpunktepaar je einer K V der beiden adjungirten Büschel.
43. Wir wollen jetzt die zweispiegeligen Verwandtschaften bestimmen, die in einem Feldbüschel mit den Grundpunkten [AÄ],[BB"] enthalten sind. Die beiden Fixpunkte P, P' einer dem Büschel angehörigen hyperbolischen K V liegen so- wohl mit AÄ als mit BB' cyclisch. Bezeichnet man also mit t die involutorische Transformation, die jedem Punkte P' den zweiten Schnittpunkt der Kreise P' AÄ und P' BB' zu- weist, so folgt: Es gibt in dem vorgelegten Feldbüschel oo^ hyperbolische Transformationen ; ihre Fixpunktepaare sind iden- tisch mit den gemeinsamen Paaren der Transformation t und der Möbiusinvolution j, d. h, also mit denjenigen Punktepaaren
402 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 9, November 1901,
von i, die mit ÄA' (und infolgedessen auch mit BB) cvclisch liegen.
Um den geometrischen Ort dieser oo^ Paare zu finden, verlege man durch eine Inversion den einen Fixpunkt von j in's Unendliche; dann ist A zu B\ Ä zu B symmetrisch hin- sichtlich des andern Fixpunkts 0, den wir als Anfangspunkt eines cartesischen Coordinaten Systems x^ y wählen. Die Gleichung des Kreisbüschels mit den Grundpunkten A Ä habe die Form:
(5) {l+X){x' + y'') + 7i^Xn—2{a-\'Xa)x—2{ß'\'Xß')y = (i,
worin X den Parameter bedeutet; das ihm vermöge j ent- sprechende Büschel wird erhalten, indem man x durch — jr. y durch — y ersetzt, und aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Elimination von X die Curve:
(6) 0 = (^^ + 2/^ + 7r)(a^ + /8V)-(^' + y' + ^')(a^+M
also eine circulare Curve 3.0. Soll diese zerfallen, so muss sich, da sie hinsichtlich 0 symmetrisch ist, eine durch 0 gehende Gerade y = qx von ihr ablösen. Substituiren wir diesen Wert für y in (6) und setzen das Resultat identisch null, so zeigt sich, dass unsere 6\ dann und nur dann zerfällt, wenn die Punkte AA' BB' entweder auf einem Kreise K mit dem Centrum 0 oder auf einer durch 0 gehenden Geraden g liegen. Im ersten Fall zerfällt die Cg in den Kreis K und die gemeinsame Mittel- senkrechte der Strecken AB, AB'; im zweiten artet die (\ aus in die Gerade g und den Kreis mit dem Centrum 0, der A von B und Ä von B' harmonisch trennt. Daraus folgt:
Die Fixpunktepaare der hyperbolischen Transformationen, die einem Feldbüschel mit den Grundpunkten [^-4'], [JSi/'l angehören, erfüllen eine bicirculare (7^ (eventuell eine circu- lare C3); dann und nur dann, wenn die Punkte AA' BB' auf einem Kreise K liegen, zerfällt diese Curve, und zwar in den Kreis K und den dazu orthogonalen Kreis, der A von B und Ä von B' harmonisch trennt.
44. Die Fixpunkte PP' einer elliptischen Transformation, die dem Feldbüschel mit den Grundpunkten [-4 J.'], [BB'] an-
E. V, Weher: Kreisverwandtschaften. 403
gehört, liegen zu AA' und zu BB' orthocyclisch. Nennt man also t' die involutorische Transformation, die jedem Punkte P' den zweiten Schnittpunkt der durch P' gehenden Kreise zu- weist, die A von Ä bezw. B von B' harmonisch trennen, so sind die Fixpunktepaare der oo^ dem Büschel angehörenden elliptischen Transformationen identisch mit den gemeinsamen Paaren der beiden Verwandtschaften j und t'. Verlegt man den einen Fixpunkt von j ins Unendliche und wählt den Co- ordinatenanfang wie in der vorigen Nr., versteht man ferner unter a, ß bezw. a\ ß' die Coordinaten von A bezw. A\ und unter tt, jr' die Grössen a^ -\- ß^, a^-{-ß'^, so liefert die Gleichung (5) das reelle Kreisbüschel mit den Grenzpunkten A A\ also Gleichung (6) den gesuchten Ort, der von den Schnittpunkten entsprechender Kreise des Büschels (5) und des zu ihm hinsichtlich 0 symmetrischen Büschels erfüllt wird. Wie oben schliesst man jetzt:
Die Fixpunktepaare des oo^ elliptischen KV^ die in einem Feldbüschel mit den Grundpunkten [-1^'J und [BB'] vor- kommen, erfüllen eine bicirculare C^ (eventuell eine circulare C3); dann und nur dann, wenn die Punkte AÄ BB' auf einem Kreise K liegen, zerfällt diese C^ und zwar in den reellen Kreis JE^, der A von B und B von A' harmonisch trennt, sowie in den dazu orthogonalen reellen Kreis K'\ hinsichtlich dessen A uni A\ sowie B und B' inverse Punkte sind; von diesen Kreisen ist natürlich mindestens einer einteilig.
45. Sind P, Q die Fixpunkte einer indirekten hyper- bolischen K V des complexen Kreisbüschels mit den Grund- punkten {AAWBB'\ so gilt nach Nr. 18 die Beziehung:
d. h. Q entsteht aus P, indem man zunächst P vermöge \ in P', sodann diesen letzteren Punkt mittels f in Q überführt. OflFenbar ist t' dann und nur dann, wenn die Punkte AA! BB' auf einem Kreise K liegen, eine Kreisverwandtschaft, nämlich die Inversion an K^ und es ist dann das Produkt jt' gleich der Inversion j^ die A mit B' und B mit Ä vertauscht;
404 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 9, November 1901,
andernfalls stellt dies Produkt eine höhere birationale und augenscheinlich involutorische Transformation dar.
Die Fixpunktepaare der indirekten hyperbolischen JE^ F des Kreisbüschels mit den Grundpunkten [-4.-4.'], [-BJB'j sind nach Nr. 18 identisch mit den Gegen punktepaaren der indirekten elliptischen Transformationen des adjungirten Büschels. Be- deutet also wiederum i die Involution, die A mit Ä und B mit B' vertauscht, ferner t" diejenige involutorische Ver- wandtschaft, die jedem Punkt P' den zweiten Schnittpunkt der durch ihn gehenden Kreise zuweist, die A von J?' bezw. B von Ä harmonisch trennen, so sind irgend zwei Punkte P, P', die in der Beziehung
P{lt"}P'
stehen, Gegenpunkte einer indirekten elliptischen K Fi die dem Büschel mit den Grundpunkten [-4-4], [BB'^ angehört, und umgekehrt.
In jedem von zwei adjungirten Kreisbüscheln sind od* parabolische indirekte KV enthalten; der Ort der Fixpunkte der letzteren ist für beide Büschel die in Nr. 44 genannte Curve C^, Bei cyclischer Lage der Punkte AÄ ÜB' zerfallt diese Curve in die oben definirten reellen Kreise JST, K"; doch ist für das Büschel mit den Grundpunkten [-4.-4.'], [jBJB'] nur der Kreis K'\ sofern er einteilig ist, Fixpunktsort der in dem Büschel enthaltenen parabolischen Substitutionen, während A^ den Fixkreis der dem Büschel angehörigen Inversion darsteUt; für das adjungirte Büschel vertauschen die Kreise JSl", K" ihre Hüllen. Die Transformationen t', t" werden nunmehr identisch mit der Inversion an dem Kreise K; also ist j t' die Inversion an K\ und i t" die Inversion an K"'.
In den drei letzten Nummern wurde vorausgesetzt, dass die vier Punkte ÄÄ BB' sämtlich voneinander verschieden sind. Die Fälle, in denen zwei oder mehrere dieser Punkte coincidiren, geben zu trivialen Ausartungen der in Nr. 43 — 45 besprochenen Punktörter Anlass, mit Ausnahme des Falles, dass ein Berührungsbüschel vorliegt; wir gedenken die Theorie
E. V. Weber ; Kreisverwandtschaften. 405
dieser speciellen Büschel an anderer Stelle ausführlich zu be- handeln.
46. Soll zu zwei gleichartigen K V: % ^' eine mit beiden ungleichartige und harmonisch liegende Kreisverwandtschaft Q existiren, soll man also haben:
worin J,J' Inversionen bedeuten, so folgt
(7) ^'^-1=7^/,
d. h. das Produkt ^'^~^ ist ebenso wie ^~^^' eine zwei- spiegelige Verwandtschaft. Da femer in der Gleichung (7) die Transformation J innerhalb des reellen Kreisbüschels («7, «7') beliebig gewählt werden kann, worauf J" eindeutig bestimmt ist, so folgt aus der Zweispiegeligkeit von *iß'^~^ auch um- gekehrt die Existenz einfach unendlich vieler zu ^, ^' har- monischer, mit ihnen ungleichartiger Kreisverwandtschaften:
(8) Q = J^ = r f.
47. Wir wollen zwei gleichartige Kreisverwandtschaften ^, ^', für die das Produkt ^'^"^ zweispiegelig ist, als „asso- ciirt", ferner die oo^ Transformationen Q als „das zu ^ und *»ß' harmonische „Halbbüschel" bezeichnen. Irgend zwei Trans- formationen Q, Q' des letzteren sind natürlich ihrerseits asso- ciirt, und die mit ihnen ungleichartigen, harmonisch liegenden K V bilden ein Halbbüschel, dem ^ und ^' angehören. Diese beiden Halbbüschel kann man als harmonisch bezeichnen, in- sofern jede Transformation 9t des einen zu jeder Transforma- tion ® des andern harmonisch ist. In der That, es sei Qj durch die Beziehungen
(9) Q. = J-,^ = /i^'
definirt, wo J^, «71 Inversionen des reellen Kreisbüschels («7, «7) sind. Ferner bedeute dl eine mit Q und Qj ungleichartige und harmonisch liegende KV, so dass also
(10) Q9i-' = i, QjSR-^^ r,
406 Sitzung der math.'phys. Clcisse vom 9. November 1901.
endlich © eine Transformation des Halbbüschels (Q, Q,), die also Beziehungen der Form
(11) ^®-i = ij; ^'®-i = i; genügt, so folgt aus (8) — (10) zunächst
(12) QQ7-1 = ii = JJ,, ^'^-1 = i[i,= jjr,
so dass die Inversionen «7, J^, e7, , i, i', i, , tj alle demselben reellen Kreisbüschel angehören. Ferner hat man aus (10) und (11)
da aber das Produkt dreier Inversionen desselben Büschels wieder eine Inversion liefert, so ist unsere Behauptung er- wiesen.
48. Die harmonische Lage zweier gleichartiger K V ist ein Specialfall der Associirtheit. Ist ^ zu ^ harmonisch, so kann in der Gleichung (7) die Inversion J zwei verschiedenen adjungirten Kreisbüscheln entnommen werden, und es existiren demnach zwei verschiedene zu ^ und ^' harmonische Halb- büschel, und ^^, ^' gehören ihrerseits zwei verschiedenen Halb- büscheln gleichzeitig an. Zwei associirte nicht harmonische Verwandtschaften ^, ^' sind dagegen stets in einem und nur einem Halbbüschol enthalten, und zwar hat die allgemeinste Transformation desselben die Form 9t ^, wo 9? alle 00* zwei- spiegeligen K V derjenigen eingliedrigen Gruppe durchläuft der auch die Verwandtschaft ^'"^J"^ angehört. Eine solche eingliedrige Gruppe, sowie das reelle Büschel von Inversiimen. die zu den 00* Niveaukreisen jener Gruppe gehören, liefern sonach den einfachsten Typus harmonischer Halbbüschel.
Multiplicirt man alle Transformationen eines Halbbüschels vorn oder hinten mit ein und derselben Kreisverwandtschaft, so entsteht wieder ein Halbbüschel.
49. Jedes Halbbüschel ist in einem ganz bestimmten Bü- schel enthalten. Umgekehrt, jede Transformation des BüscheU
E, V, Weber: Kreiscerwandtachaften, 407
(^, ^) mit den Grundpunkten [^^'], [BB] gehört zwei und nur zwei Halbbüscheln ß^ ß' an, die ganz innerhalb des ge- gebenen Büschels liegen; sie sind beide durch die Gleichung Q = 9t^ gegeben, wo $R das einemal alle oo^ elliptischen, das andremal die hyperbolischen zweispiegeligen Verwandt- schaften mit den Fixpunkten Ä, B durchläuft. Bedeutet (^, ^) ein Feldbüschel, so ist das zu ß harmonische Halbbüschel in- direkter Kreisverwandtschaften in dem Kreisbüschel mit den Grundpunkten [^yl'], [2?J?'], das zu ß' harmonische Halb- büschel in dem Kreisbüschel mit den Grundpunkten [^A J? ], [JB^] enthalten. Die Berührungsbüschel nehmen auch hier eine Aus- nahmestellung ein.
50. Ist eine Kreisverwandtschaft ^' zu einer mit ihr gleichartigen KV ^ und einer ungleichartigen KV ^ harmo- nisch, d. h. bestehen die Beziehungen:
worin 3 eine Möbiusinvolution, J und J' Inversionen bedeuten, so ist 3 wegen
eine zu der indirekten Kreisverwandtschaft ^Q"^ harmonische Möbiusinvolution, und umgekehrt. Wir nehmen zunächst an, dass diese indirekte K V keine Inversion, d. h. dass ^ und Q nicht harmonisch seien. Je nachdem nun ^Q~^ zwei einteilige Fixkreise oder nur einen besitzt, gibt es nach Nr. 33 zwei Scliaaren von je oo^ Möbiusinvolutionen der verlangten Art oder nur eine, und jede solche Schaar stellt ein Halbbüschel dar. Nadi dem Schlusssatz der Nr. 48 folgt jetzt : Die Kreis- verwandtschaften, die zu zwei ungleichartigen nicht harmoni- schen KV ^ und Q gleichzeitig orthogonal sind, bilden vier bezw. zwei Halbbüschel, je nachdem das Produkt ^Q"^ dem hyperbolischen oder elliptischen Typus angehört; zwei dieser Halbbüschel (bezw. eines) sind mit ^, zwei (bezw. eines) mit Q gleichartig.
408 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 9. November 1901.
Ist ^ zu Q harmonisch, also ^Q~^ eine Inversion, so kann man für 3 eine beliebige der oo* Involutionen wählen, deren Fixpunkte durch jene Inversion vertauscht werden, oder auch, falls die Direktrix K der letzteren einteilig ist, eine der 00^ Involutionen, deren Fixpunkte auf K liegen, und es treten in dem vorigen Satze an Stelle der Halbbüschel Sy- steme von je 00* Kreisverwandtschaften, die zweckmässig als , Halbnetze " bezeichnet werden.
409
OefiFentliche Sitzung
zu Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner Königlichen Hoheit des Prinz-Regenten
am 16. November 1901.
Der Präsident der Akademie, Herr K. A. v. Zittel, eröflfnete die Festsitzung mit folgender Ansprache:
Wenn die Königl. bayer. Akademie der Wissenschaften alljährlich im November zu Ehren ihres Protektors, des regie- renden Fürsten von Bayern, eine Festsitzung abhält, so erfüllt sie damit eine Pflicht der Dankbarkeit, denn der Huld und der Unterstützung ihrer erlauchten Protektoren verdankt sie nicht nur ihre Existenz, sondern auch ihre ganze Entwicklung und ihre heutige Prosperität. Mit Begeisterung hat darum auch die Akademie im verflossenen Frühling das 80 jährige Geburtsfest unseres gütigen und geliebten Landesherrn, des Prinz-Regenten Luitpold von Bayern mit gefeiert und auch heute gedenken wir dankerfüllt der vielfachen Kundgebungen von Wohlwollen, deren sich die Akademie der Wissenschaften unter seiner Regierung zu erfreuen hatte.
Einen neuen Beweis seines Interesses für wissenschaftliche Forschungen hat unser hoher Protektor dadurch geliefert, dass er unserem Mitglied Professor Furtwängler Geldmittel zu archäologischen Ausgrabungen in Aegina zur Verfügung stellte.
410 Oe ff entliehe Sitzung vom 16, November 1901,
Die Vervollständigung der herrlichen Giebelgruppe in der hiesigen Glyptothek durch neue Untersuchungen auf der Insel Aegina war schon ein Lieblingswunsch König Ludwig!., der leider zu Lebzeiten des grossen Kunstmäcens nicht mehr zur Ausführung kommen sollte. Der Entschluss Seiner Königlichen Hoheit des Prinz-Regenten, die Ausgrabungen aufzunehmen, wurde darum von Kunstfreunden und Archäologen dankbarst begrüsst. Der Erfolg der von Professor Furtwängler ge- leiteten, im Frühling ds. Js. begonnenen und in den letzten Wochen zu Ende geführten Arbeiten hat die anfanglich ge- hegten Erwartungen weit übertrofiFen. Eine überraschend grosse Menge von Skulpturen, welche einst das Heiligthum in Aegina schmückten, wurden gefunden. Es kamen insbesondere acht Köpfe und zahlreiche Glieder von Marmorfiguren zu Tage. Ferner wurde die Geschichte der heiligen Stätte in unerwarteter Weise aufgeklärt. Es ergab sich, dass der jetzt noch in Ruinen stehende Tempel mit der ihn umgebenden Terrasse, dem neu entdeckten Altar und dem zur Terrasse heraufführenden Propylon eine Neuanlage ist, die der Zeit der Perserkriege entstammt und sich auf den Resten älterer, ja zum Teil sehr alter Bauten erhebt. Es zeigte sich, dass der Kultus an dieser Stelle ununterbrochen bis in die sogenannte mykenische Epoche zurückreicht. Durch architektonische Schönheit hervorragend sind die Bruchstücke eines alten Tempels des sechsten Jahr- hundeiis. Zahlreich, mannichfaltig und bedeutend waren kleinere Kunstgegenstände aus den früheren Jahrhunderten des Heilig- thums. Vor Allem wichtig war aber, dass es auch gelang die bisher unbekannte Gottheit festzustellen, welcher das Heihg- thum gehörte. Es war weder Zeus noch Athene, an die früher fälschlich gedacht worden war, sondern Aphaia, eine mit kreti- scher Kultur zusammenhängende, der griechischen Frühzeit angehörige und nur in Aegina bekannte Göttin. Dies Resultat ist religionsgeschichtlich von grosser Bedeutung. Endlich wurden in näherer und fernerer Umgebung des Tempels eine Reihe von Bauten freigelegt, die alle der besten klassischen Epoche an- gehören.
V, Zittel: Ansprache. 411
Zu den statu tenmässigen Obliegenheiten der Akademie gehört die Begutachtung von wissenschaftlichen Unternehm- ungen, die im allgemeinen Interesse des Staates durchgeführt werden sollen. In dieser Hinsicht bot sich im vergangenen Jahre eine Aufgabe von ungewöhnlicher Bedeutung. Schon zu wiederholten Malen wurde die Eröffnung der im Speyerer Dome befindlichen und im Jahre 1689 teilweise durch die Franzosen durchwühlten Kaisergräber angeregt, scheiterte aber stets an der Ungunst der Verhältnisse. Durch Herrn Gym- nasialprofessor Dr. Praun erhielt die Frage wieder einen neuen Anstoss. Nachdem die kirchliche Oberbehörde ihre Zustim- mung zu einer Wiedereröffnung der Grabstätten unserer her- vorragendsten Kaiser des Mittelalters erklärt hatte, forderte die kgl. Staatsregierung die Akademie zu einem Gutachten über die wissenschaftliche Bedeutung dieser Untersuchungen auf. Im Einvernehmen mit der historischen Commission er- klärte die Akademie, dass es sich bei der Eröffnung der Kaiser- gräber im Dom zu Speyer nicht nur um eine hochbedeutsame wichtige Frage, sondern auch um eine Pflicht deutschnationaler Pietät handle.
Nach allerhöchster Genehmigung wurde eine Commission mit der Durchführung der Eröffnung der Grabstätten im Speyerer Dom betraut und die Ausgrabungsarbeiten auch ohne Störung zwischen dem 16. August und 3. September vorigen Jahres durchgeführt. Von der Akademie beteiligten sich die Herren Grauer t und Ranke, vom Generalkonservatorium der wissenschaftlichen Sammlungen des Staates Herr Dr. Birkner, Assistent der prähistorischen Sammlung, an dieser Arbeit.
Wie aus Zeitungsnachrichten und einer in den Sitzungs- berichten der Akademie erschienenen Abhandlung des Herrn Herrn Kollegen Grauer t bekannt ist, ergaben die Ausgrabungen nicht nur Aufschlüsse über die Anlage, Erhaltung und teil- weise Zerstörung der Kaisergräber, sondern auch wichtige An- haltspunkte über die Persönlichkeit der einzelnen Kaiser, Könige und Kaiserinnen, sowie über die Gewänder und Kultur der damaligen Zeit. Die irdischen Ueberreste von vier Kaisern
412 OeffenÜiche Sitzung vom 16, November 1901,
und zwei Kaiserinnen aus dem Geschlecht der Salier, femer von Philipp von Schwaben, Rudolf von Habsburg, Albrecht von Oesterreich, Adolf von Nassau, von Beatrix der Gemahlin Friedrich Barbarossa's und ihrer Tochter, der kleinen Prin- zessin Agnes konnten festgestellt werden. Nur vier dieser Gräber sind von den Franzosen geöffnet und teilweise zerstört worden, die übrigen wurden seit der ersten Bestattung unbe- rührt gefunden.
Durch eine sorgfaltige anthropologische Untersuchung ge- lang es, die menschlichen Skeletteile zu sichten und das Zu- sammengehörige wieder zu vereinigen, so dass jetzt die Leichen- reste der Kaiser Konrad IL, Heinrich lU. und Heinrich IV., sowie der Kaiserinnen Bertha und Gisela in den Original- Steinsarkophagen, die Skelete von Heinrich V., Philipp von Schwaben, Rudolf von Habsburg, Albrecht von Oesterreich, Adolf von Nassau, der Kaiserin Beatrix und ihrer Tochter Agnes in provisorischen Holzsärgen im Untergeschoss der Sakristei des Domes aufbewahrt sind.
Es ist beabsichtigt, die aufgefundenen Leichen in einer zu erbauenden Gruft in würdiger Weise beizusetzen und über die wissenschaftlichen Ergebnisse der Ausgrabungen durch die Akademie ein grösseres, reich ausgestattetes Werk zu ver- öffentlichen, wofür die kgl. Staatsregierung ein besonderes Postulat von 20,000 M. in das Budget der 26. Finanzperiode eingestellt hat.
Die regelmässigen Arbeiten der Akademie wurden im ver- gangenen Jahre in normaler Weise foi^tgesetzt.
Die Sitzungsberichte und Denkschriften, die Monumenta boica, die Publikationen der historischen Commission und die Annalen der Sternwarte legen Zeugnis ab von der wissen- schaftlichen Thätigkeit ihrer Mitglieder. Es stellen diese Schriften freilich nur einen Teil der Arbeitsleistung derselben dar; wollte man alle in Zeitschriften oder in selbständigen Werken veröffentlichten Geistesprodukte unserer Akademiker in unsere eigenen Publikationen aufnehmen, so müsste unser Druckkosten etat mindestens auf das dreifache erhöht werden.
V. Zittel: Ansprache. 413
Neben der Akademie entfaltet die historische Commission eine rege Thätigkeit. Sie veröfiFentlichte im Jahre 1900/01 den in. Band der Jahrbücher des deutschen Reichs unter Heinrich IV. und Heinrich V. (1077 — 1084) durch Meyer von Knonau, den III. Band der deutschen Reichstagsakten, jüngere Reihe, durch Adolf Wrede, ferner den 12. Band der deutschen Reichstagsakten, ältere Reihe, durch Gustav Beck- mann und die drei ersten Lieferungen der Nachträge zur all- gemeinen deutschen Biographie.
Durch eine Anzahl regelmässiger staatlicher Zuwendungen und eigene Stiftungen ist die Akademie in der günstigen Lage, sowohl grössere und kostspieligere Arbeiten ihrer eigenen Mit- glieder zu unterstützen, als auch andere wissenschaftliche Unter- nehmungen anzuregen und zu fördern. So erhielt Herr Privat- dozent Dr. Lauterborn in Heidelberg aus der Position für naturwissenschaftliche Erforschung des Königreichs im vergangenen Jahr eine dritte Rate von 900 M. für seine Untersuchungen über die thierischen Organismen des Rheines und seiner Nebenflüsse innerhalb des bayerischen Gebietes; Herr Professor Dr. Hof er einen Zuschuss für Beobachtungen über die Verteilung der Thierwelt in den oberbayerischen Seen. Aus dem Erlös der akademischen Schriften erhielten Unterstützungen Herr Dr. Scherman für die Bearbeitung der orientalischen Biographie, Herr Dr. Bulle für sein Werk „Basen griechischer Statuen", Herr Professor Dr. Riggauer für die Herausgabe eines Werkes über die „Münzen und Me- daillen des Gesammthauses Witteisbach", und endlich Professor Dr. Solereder für sein Werk „anatomische Charakteristik der Dikotyledonen-Familien ** .
Von der Commission für Erforschung der Urgeschichte Bayerns konnten mit höchster Genehmigung Subventionen ver- teilt werden an eine Anzahl von Vereinen und Privaten, durch deren eifrige Arbeit die prähistorische Forschung in allen Teilen Bayerns wesentlich gefördert wurde.
Auch das Kuratorium der Liebig-Stiftung trat in diesem Sommer nach mehrjähriger Unterbrechung wieder zusammen
1901. Siiziingsb. d. maih.-phys. Gl. 28
414 Oeff entliche Sitzung vom 16, Ifweniber 19Ö1,
und beschloss aus den Renten dieses ursprünglich 15,200 fl. betragenden und jetzt auf etwa 50,000 M. angewachsenen Fonds die goldene Liebig-Medaille zu verleihen dem Vorstand der kgl. sächsischen landwirthschaftlichen Versuchsstation Möckem. Geh. Hofrat Professor Dr. 0. Kellner in Anerkennung seiner vorzüglichen Leistungen auf dem Gebiete der landwirthschaft- lichen Fütterungslehre, insbesondere in Hinsicht auf seine grundlegenden Untersuchungen über den Nahrungs- und Energie- bedarf, sowie den Stoff- und Energieumsatz der landwirthschafl- lichen Nutzthiere. Dem Privatdozenten Dr. Alfred Mitscher- lich in Kiel wurde ausserdem zur Fortsetzung seiner , Unter- suchungen über die physikalischen Bodeneigenschaften'' und zur Ausführung von Vegetationsversuchen, welche die Beziehungen zwischen ErtragsfiLhigkeit und Benetzungswärme des Bodens weiter darlegen sollen, eine Gabe von 1000 M. zugesprochen.
Es gereicht mir zur besonderen Freude mitteilen zu dürfen, dass die Münchener Bürger-Stiftung, welche wir unserem unver- gesslichen früheren Präsidenten von Pettenkofer verdanken, durch eine hochherzige Schenkung der Brüder des verstorbenen Kommerzienrates Johann Sedlmayr um 25,000 M. vermehrt wurde, so dass dieselbe jetzt die Höhe von 115,100 M. er- reicht hat.
Fast die ganzen Renten der Münchener Bürger-Stiftung, sowie der Cramer-Klett-Stiftung für das Jahr 1 90 1 wurden, abgesehen von einer Unterstützung an den ornithologischen Verein für Forschungen über die Wanderung der Vogelarten, dem Münchener Verein für Luftschiffahrt zur Anschaffung eines neuen Ballons und Ausführung wissenschaftlicher Auf- fahrten zugewiesen. Bereits vor fünf Jahren hatte die Akademie demselben Verein eine grössere Summe zum Ankauf des Kugel- ballons „Akademie" überwiesen, mit welchem über 40 wissen- schaftliche Hochfahrten unternommen worden sind. Ihre Er- gebnisse erstrecken sich vorzugsweise auf meteorologische, geo- physikalische und photogrammatische Fragen und fanden die vollste Anerkennung der wissenschaftlichen Kreise, häufig auch das Interesse des grösseren Publikums.
V, Zittel: Ansprache. 415
Der im Bau begriflfene neue Ballon des Vereins für Luft- schiffahrt wird ein Volumen von 1440 cbm fassen, sodass bei WasserstoffiüUung zwei Personen über 6000 m hoch steigen können. Der Ballon wird zunächst der Meteorologie dienen und die vertikalen Ausdehnungen der atmosphärischen Vor- gänge zu ermitteln trachten, da sich die Gründe dafür häufen, dass die Witterun gs Vorgänge auf der Erde vielfach in den höheren Schichten des Luftraumes erzeugt werden und nur Teilerscheinungen der grossen atmosphärischen Circulation sind, wie denn die anhaltende Winterkälte nur in den unter- sten 100 Metern der Atmosphäre herrscht, welche auch allein im Sommer von der nächtlichen Abkühlung betroffen werden. Ferner sollen die Methoden der photographischen Auf- nahmen des Geländes vom Ballon aus zur Ergänzung der Landkarten verbessert werden. Sie haben besondere Bedeutung im Kriegsfalle und bei kompliziertem Gelände, bei Sumpf land- schaften und Mündungsdeltas. Die dabei im Ballon gesam- melten Erfahrungen sollen auch die Leistungsfähigkeit des Registrierdrachens vergrössem, von dessen Thätigkeit reiche Früchte u. a. auch für unsere Kolonien erhofll werden dürfen. Endlich ist der Ballon auch dazu bestimmt, das Problem der Luftelektrizität weiter aufzuhellen. Es hat sich nämlich als wahrscheinlich erwiesen, dass in der freien Atmosphäre immer eine grosse Menge frei beweglicher elektrisch geladener kleinster Teilchen vorhanden sind, welche elektrisch geladene Körper durch ihre Eigenladung zu neutralisieren vermögen. In 4 Ballonfahrten bis zu 4000 m hat Herr Professor Ebert als Erster bereits erfolgreiche luftelektrische und magnetische Messungen im freien Luftmeere vorgenommen und wird seine Forschungen nunmehr auch in einer Höhe bis zu 6000 m mit dem neuen Ballon fortsetzen. Von den magnetischen Höhenbeobachtungen, welche durch solche Hochfahrten besonders gefördert werden, darf auch insofern ein praktischer Nutzen erwartet werden, als sie voraussichtlich bei trübem Wetter zur Orientierung im Luftmeere gebraucht werden
können.
28*
416 Oeff entliche Sitzung vom 16. November 1901,
Von den Studien, welche durch die Zinsen der Mün- chener Bürger-Stiftung pro 1900 ermöglicht worden sind, verdienen jene unseres Mitgliedes Hermann Ebert hervor- gehoben zu werden. Man hat beobachtet, dass die öesammt- wassermasse des Genfer Sees, unabhängig von den ab- und zu- strömenden Wassermengen, regelmässige pendelartige Schwing- ungen ausführt, derart, dass sich in Perioden von 73 Minuten die Wasser gegen die westliche Seite des Sees bei Vevey an- drängen und dort den Wassei-spiegel zuweilen um mehr als Meterhöhe heben, um dann wieder gegen das Ostende, gegen den ßhöneausfluss bei Genf zurückzufluten.
Durch einen geistreichen, aus den Mitteln der Münchener Bürger-Stiftung angeschafften selbstregistrierenden Flutmesser (Limnometer) untersuchte Herr Ebert den Starnberger See auf diese pendelartigen Schwingungen und fand, dass dasselbe Phänomen, durch die Grösse, die Gestalt und das TiefenreUef unseres Sees entsprechend verändert, sich auch am Starnberger See zeigt. Während 12*/2 Minuten hebt sich das Wasser bei Starnberg um einige Centimeter, während es sich bei Seeshaupt senkt, um in den nächsten 12*/«i Minuten bei Seeshaupt an- zusteigen. Der Flutmesser, dem Professor Ebert aus eigenen Mitteln noch einen zweiten hinzufügte, ist seit dem 7. Juli vorigen Jahres in Thätigkeit. Es sollen sämmtliche bayerische Seen, zunächst der Chiemsee, untersucht werden, um die für die Erklärung des vielleicht auf meteorologischen Faktoren beruhenden Phänomens notwendige grosse Anzahl von Be- obachtungen zu sammeln. Vermuthlich hängen mit dieser üm- legung der grossen Wassermassen innerhalb weniger Minuten die heftigen Unterströmungen zusammen, die unter dem Namen des den Netzen so gefährlichen „Rinnens* allen Kennern des Sees bekannt sind, und welche bereits von Westenrieder in seiner Beschreibung des Starnberger Sees erwähnt werden.
Die Stiftung zur Förderung wissenschaftlicher chemischer Forschungen wurde im Oktober 1900 durch ihren Begründer, Professor Dr. Wilhelm Königs, um 15,000 M. und im April 1901 durch eine abermalige Schenkung von
V. Zittel: Ansprache. 417
5000 M., an welcher sich die Geschwister des Herrn Königs beteiligten, vermehrt. Die Renten aus dieser Stiftung erhielt Herr Professor Dr. Hof mann für Studien über seltenere chemische Elemente, die noch nicht vollendet sind, aber bereits hochinteressante Ergebnisse geliefert haben.
Ueber die Verwendung der Mittel aus der Savigny-, der Zographos- und der Thereianos-Stiftung habe ich bereits früher berichtet.
Neben ihren eigenen Arbeiten hat unsere Akademie die Pflege jener Aufgaben nicht ausser Acht gelassen, welche sie nicht allein, sondern nur in Verbindung mit anderen ge- lehrten Gesellschaften zu leisten im Stande ist. So wurde die Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, an deren Herausgabe sich neben München die kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien und die Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften beteiligen, wesentlich gefordert.
Auch der Thesaurus linguae latinae, das gemeinsame Unternehmen der fünf deutschen Akademien, hat seine ersten schweren Anfange hinter sich. Noch im Sommer des Jahres 1900 wurden die beiden ersten Lieferungen abgeschlossen, deren Herstellung die Probe bildete für die Zweckmässigkeit der Vorbereitungsarbeiten und für die neugeschaffene Arbeits- organisation. Nach der Sitzung der akademischen Commission im Oktober 1900, an welcher die Herren Excellenz v. Hartel- Wien, Geheimrat Bücheler-Bonn, Geheimrat Diels-Berlin, Professor Leo- Göttingen, Professor Brugmann-Leipzig, Ge- heimrat V. Wölfflin-München und der Generalredaktor Prof. Vollmer-München teilgenommen haben, wurden drei Monate der Ergänzung des Zettelmaterials, besonders auch für die Eigennamen, gewidmet und dann im Februar ds. Js. die Artikelarbeit wieder aufgenommen. Im Laufe des Sommers konnten zwei weitere Lieferungen erscheinen, die fünfte ist im Manuskript abgeschlossen.
Durch das Entgegenkommen Seiner Excellenz des Herrn Staatsministers Dr. von Landmann konnten die Arbeits- räume im WilheUninum erweitert und zweckmässig hergerichtet
418 Oe ff entliehe Sitzung vom 16. November 1901,
werden; es war das dringend nötig, denn es arbeiten dort ausser dem Generalredaktor 12 Assistenten und mehrere Hilfs- arbeiter.
Einen sehr schätzenswerthen Förderer hat der Thesaurus in den letzten Wochen durch den Tod des Geheimrats Dr. Alfred Pernice in Berlin verloren. Der Verstorbene hat mit unermüdlichem Fleisse gelesen und wo immer Juristisches in Frage kam, aus der Fülle seines Wissens nachgeholfen und gebessert.
Wie gross das Bedürfnis nach dem wissenschaftlichen Lexikon der lateinischen Sprache war, hat die grosse Zahl der Subskriptionen dargethan. Ausser den fünf Akademien, welche Bayern, Preussen, Sachsen und Oesterreich vertreten, haben auch noch die Regierungen von Baden, Württemberg und Elsass-Lothringen ihr Interesse an dem Werke durch nam- hafte Geldbeiträge bekundet.
Es bleibt nur zu wünschen, dass die gewaltige Arbeit ungestörten Fortgang nehmen könne.
Das Kartell der deutschen und österreichischen Akademien hat am 23. und 24. Mai ds. Js. in Leipzig eine Zusammen- kunft veranstaltet, bei welcher mehrere wichtige Fragen zur Erörterung kamen. Die seit einer Reihe von Jahren vom Kartell geforderten Erdbebenforschungen sind durch die Bil- dung einer internationalen seismologischen Association in neue Bahnen gelenkt worden. Die deutsche Reichsregierung ist dieser Association beigetreten und hat in Strassburg i/E. eine seismische Centralstation errichtet. In der deutschen Reichs- Commission für seismische Forschungen ist Bayern durch den derzeitigen Präsidenten der Akademie vertreten.
Unter diesen Umständen hat das Kartell beschlossen, die eigenen Studien auf diesem Gebiete derart zu gestalten, dass sie sich mit dem Arbeitsprogramm der internationalen seis- mologischen Association im Einklang halten. Zu diesem Be- hufe hat die Akademie auf Grund eines Gutachtens ihres Mit- gliedes Professor Günther einen Antrag an die kgl. Staats- regierung gerichtet, worin sie um die Bewilligung der Mittel
V. Zittel: Ansprache, 419
zur Gründung und Ausstattung von drei seismischen Stationen in Bayern gebeten hat.
Eine andere in ihrer Tragweite wahrscheinlich noch wich- tigere Frage wurde von der Göttinger Gesellschaft der Wissen- schaften in Anregung gebracht. Es ist über die in der Atmo- sphäre nachweislich vorhandenen elektrischen Strömungen bis jetzt noch ausserordentlich wenig bekannt und namentlich fehlt es noch fast ganz an Beobachtungen über die Intensität und Zerstreuung dieser Ströme. Nach dem Muster der von den Herren Elster und Geitel in Wolfenbüttel construirten Ap- parate wurde von Herrn Mechaniker Günther in Braunschweig ein neuer Apparat hergestellt, welcher befriedigend fungiert und eine unmittelbare Vergleichung aller Beobachtungen ge- währleistet. Es sollen nun an günstig gelegenen Orten, namentlich im Gebirge, in Binnenseen und oflFenen Ebenen derartige selbstregistrierende Apparate aufgestellt werden. In Bayern beschäftigen sich mit der Zerstreuung der Luftelektri- zität bereits zwei Stationen in München und SchaufUng, weitere Stationen sind projektiert auf dem Peissenberg, der Zugspitze und an 6 anderen Orten in Deutschland und Oester- reich. Neben der Zerstreuung soll auch das Potentialgefalle und die Niederschlags-Elektrizität an diesen Stationen gemessen werden. Ebenso sind über die Beziehungen der erdmagneti- schen Strömungen zur Luftelektrizität regelmässige Beobach- tungen wünschenswerth. Die kartellierten Akademien wollen diese Studien zunächst der freien Initiative der beteiligten Forscher überlassen, allein schon jetzt wird ein planmässiges und einheitliches Vorgehen empfohlen. Besonderes Gewicht wird auch auf Beobachtungen im Luftballon und vor Allem an den Tagen der internationalen Auffahrten gelegt.
Die Lösung der in Leipzig angeregten Frage kann freilich nur durch das Zusammenwirken aller Kulturvölker gelöst werden. Und dies führt mich auf die internationale Association der Akademien und gelehrten Gesellschaften. Dieser im Jahre 1900 begründete Verband hielt im April 1901 zu Paris seine erste allgemeine Versammlung ab. Von den 18 dem Verband
420 Oeff entliche Sitzung vom 16, November 1901.
angehörigen Corporationen waren 17 und zwar meist durch eine grössere Anzahl von Delegierten vertreten. München hatte die Herren v. Dyck, Krumbacher und Lindemann entsandt. Nicht weniger als 17 Anträge lagen der Versamm- lung zur Berathung vor. Einige auf die Geschäftsordnung und Statuten bezügliche Vorschläge fanden ihre definitive Er- ledigung und ebenso wurde der Antrag der Berliner Akademie auf Erleichterung des internationalen Austauschs von Manu- skripten angenommen und beschlossen, die Vorschläge der Association zur Kenntnis der beteiligten Regierungen zu bringen. Auch der Antrag der Royal Society in London, einen Bogen des 30. Meridians im tropischen Afrika zu messen, um dadurch eine genauere Kenntnis von der Grösse und Ge- stalt der Erde zu erlangen, wurde den Regierungen von Eng- land, des deutschen Reichs und des Congostaates empfehlend zur Kenntnis gebracht.
Die Mehrzahl der übrigen Anträge wurden zur genaueren Prüfung und Vorbereitung besonderen Fachcommissionen zu- gewiesen und kommen in der nächsten Hauptversammlung, welche im Jahre 1903 in London stattfindet, zur definitiven Erledigung. Von diesen Anträgen erwähne ich nur eine von der Pariser und Berliner Akademie beabsichtigte, auf circa 140 Bände geschätzte kritische Ausgabe sämmtlicher, zum Teil noch unveröfientlichter Werke von Leibniz, ferner die von der Münchener Akademie befürwortete Ausgabe eines Corpus der griechischen Urkunden des Mittelalters und der neueren Zeit, die Herausgabe einer Realencyclopädie des Islam, eine neue Ausgabe des Mahabarata unter Mitwirkung der ostindi- schen Regierung, den Plan betreffend, die Organisation der Publikationen über antike Numismatik. Sollten die in Paris beratenen Anträge, wie zu erwarten ist, im Jahre 1903 ge- nehmigt werden, so eröfinet sich dem internationalen wissen- schaftlichen Grossbetrieb ein weites und fruchtbares Feld.
Nachdem ich im Vorhergehenden eine flüchtige Ueber- sicht der vielgestaltigen Thätigkeit unserer Akademie zu geben versucht habe, möchte ich zum Schluss es wagen, die sich
V, Zittel: Ätiaprache, 421
unwillkürlich aufdrängenden Fragen zu beantworten: Wird durch diese Fülle von Arbeit die wissenschaftliche Erkenntnis wesentlich gefördert und übt der Fortschritt der Wissenschaft einen segensreichen Einfluss auf die geistige und sittliche Ent- wickelung und das materielle Wohlbefinden der Menschheit aus?
Wenn wir die grosse Anzahl der in den Schriften unserer Akademie veröfiFentlichten Abhandlungen überblicken, so finden wir kaum eine einzige darunter, die nicht irgend eine neue Thatsache oder neuen Gedanken feststellte. In dieser Ver- mehrung des positiven Wissens beruht aber der wesentlichste Fortschritt der Wissenschaft. Wohl gibt es noch andere und höhere Geistesarbeit, als die neue Thatsachen aufzufinden und zu begründen, nämlich die, das vorhandene Wissen unter all- gemeinen Gesichtspunkten zusammenzufassen und daraus Ge- setze abzuleiten, die uns in Stand setzen, auch über noch unerforschte Gebiete Vermuthungen aufzustellen und sie durch zielbewusste Forschung aufzuklären. Freilich liegt hier die Gefahr der Entgleisung nur allzu nahe. Die Geschichte jeder Wissenschaft zeigt uns, dass auch die genialsten und für die Forschung fruchtbarsten Theorien und Systeme durch die Ent- deckung neuer, unerwarteter Thatsachen umgestürzt wurden. Irrthüraer, aus falscher Interpretation des thatsächlichen Wissens hervorgegangen, beherrschten oft viele Jahrzehnte hindurch eine Wissenschaft und führte sie auf Abwege. So vollzieht sich der wissenschaftliche Fortschritt nicht in gerader, sondern in vielfach verschlungener Zickzacklinie. Perioden des Auf- schwungs wechseln mit solchen des Stillstandes und sogar des Rückschrittes. Welche Schuttmassen von zertrümmerten Theorien mussten die Naturwissenschaften aus dem Wege räumen, bis sie ihre heutige Höhe erreichten. Aber auch in den Geistes- wissenschaften haben sich Anschauungen und Methoden durch die Vermehrung der positiven Kenntnisse gewaltig geändert. Wie viele Theorien und Systeme sind auch hier zusammen- gebrochen, die einst die Gedanken und Forschungsweise der Fachgelehrten beherrschten !
Obwohl uns die allmähliche Ausbildung der organischen
422 OeffentUche Sitzung vom 16. November 1901.
Wesen in den aufeinander folgenden geologischen Perioden im Grossen und Ganzen ein Streben nach Vervollkommnung er- kennen lässt, so haben doch zu verschiedenen Zeiten einzelne Formen eine kaum zu überschreitende Höhe erreicht. Auch die dem menschlichen Genius erreichbare Höhe scheint von einzelnen auserwählten Individuen zu allen Zeiten erklommen worden zu sein. Die grossen Philosophen, Forscher, Künstler, Dichter, Staatsmänner und Eriegshelden des Alterthums stehen wohl in keiner Weise hinter den hervorragendsten Männern der Jetztzeit zurück, aber sie erheben sich als vereinzelte Er- scheinungen hoch über ihre Umgebung, während heutzutage das geistige Niveau der Kulturvölker um ein beträchtliches gestiegen ist. Wissenschaftliche Kenntnisse sind heute bis in die tiefen Schichten der Menschheit eingedrungen, unsere ganze Lebensauffassung ist von wissenschaftlicher Erkenntnis durch- tränkt.
Mit dem Fortschritt der Wissenschaft haben sich nicht nur die ethischen und moralischen Anschauungen gehoben, die Intoleranz und der Aberglaube gemindert, sondern durch den tiefgreifenden Einfluss der Naturwissenschaften haben sich auch unsere materiellen Lebensbedingungen in fast staunenswerther Weise umgestaltet.
Freilich nicht immer lässt sich eine wissenschaftliche Ent- deckung sofort für das praktische Leben ummünzen, sie liegt häufig viele Jahre hindurch brach, bis endlich ihr Werth er- kannt wird.
Die Anstalten, an welchen wissenschaftliche Forschung ohne Rücksicht auf ihre praktische Verwerthbarkeit und ohne Zweckmässigkeits-Erwägungen gefördert wird, sind die eigent- lichen Werkstätten des wissenschaftlichen Fortschrittes. An der Erhaltung und Kräftigung solcher Anstalten hat darum nicht nur die Wissenschaft, sondern auch der Staat, ja die ganze Menschheit das lebhafteste Interesse.
Oe/fentliche Sitzung vom 16. November 1901. 423
Sodann verkündigten die Classensekretäre die Wahlen und zwar der Sekretär der IL Classe, Herr C. v. Voit, die der mathematisch-physikalischen Classe.
Von der mathematisch-physikalischen Classe wurden ge- wählt und von Seiner Königlichen Hoheit dem Prinz-Regenten bestätiget:
I. zu ordentlichen Mitgliedern:
Die bisherigen ausserordentlichen Mitglieder:
Dr. Carl v. Linde, ordentlicher Professor an der hiesigen technischen Hochschule;
Dr. Johannes Rückert, ordentlicher Professor der Ana- tomie an der hiesigen Universität;
n. zum ausserordentlichen Mitgliede:
Dr. Johannes Thiele, ausserordentlicher Professor der Chemie an der hiesigen Universität;
HL zum correspondirenden Mitgliede:
Dr. Ewald Hering, ordentlicher Professor der Physiologie an der Universität Leipzig.
Hierauf hielt das ordentliche Mitglied der mathematisch- physikalischen Classe, Geheimrath Carl v. Voit, die Festrede: „Max V. Pettenkofer zum Gedächtniss*, welche in den Schriften der Akademie veröfiFentlicht wird.
424
Sitzung vom 7. Dezember 1901.
1. Herr H. Seeliger überreicht zwei Abhandlungen des Privatdozenten an der hiesigen Universität Dr. Arthub Kom:
a) ^üeber die natürliche elektrische Belegung einer beliebigen, stetig gekrümmten Kon- duktor-Oberfläche;"
b) ^jAllgemeine Lösung des Problems der mag- netischen Induktion."
2. Herr Ferü. Lindemann hält zwei Vorträge:
a) „Zur Theorie der Linienspektra;"
b) „Ueber die Gleichung a;" = y'* + -sr".«
3. Herr Jon. Ranke macht eine Mittheilung: „lieber den doppelten Zwischenkiefer des Menschen.*
4. Herr Alfr. Pringsheim spricht: „Ueber Divergenz gewisser Potenzreihen an der Convergenz-Grenze.'
425
üeber die natürliche, elektrische Belegung einer beliebigen, stetig gekrümmten Eonduktoroberfiäche.
Von Arthur Korn.
{Bingtlaufm 7. l>tt$niJb§r.)
Die natürliche Belegung H einer stetig gekrümmten Ober- fläche oy ist durch die Bedingungen definiert:
do) r
1)
J H = const. = r (im Innern von co),
€0 T
SHd(o = l.
to
Dabei bedeutet dco irgend ein Element der Fläche co und r die Entfernung
wenn (xyz) irgend einen variabeln Punkt vorstellt. Die Funk- tion H ist stets positiv, da F positiv,^) somit
d r^^dco
dv
J^T
CO
i 71 H (y innere Normale)
ebenfalls positiv sein muss.
^) Setzt man
'S""-f'
€0
80 ist:
ji(i!)'+(i^)'+(i-r)']— 1-».
a
= 4;ir.
426 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7, Deeember 1901,
Ich will in dieser Abhandlung beweisen,*) dass H auch nicht = 0 sein kann, ein Resultat, das für das Studium der
Niveauflächen XH — = const. von Wichtigkeit ist:
(O
Die natürliche Belegung jeder stetig gekrümmten, geschlossenen Fläche (o^) ist an jedem Punkte von ü> grösser als eine von null verschiedene, lediglich von der Gestalt der Fläche abhängende Zahl.
Wir brauchen zum Beweise den folgenden Hilfssatz:
Es sei in der xy Ebene (22) ein Kreis mit dem
Radius R um den Anfangspunkt 0; p{x^o) ein Punkt
der X Axe mit dem Centralabstande rr = r^ (< J?); p {r[,o)
der demselben in Bezug auf den Kreis konjugierte
Punkt. Wir machen Oq = -^, erreichten in q die Senk-
rechte zur a; Axe, welche den Kreis in C und C schnei- den möge, bezeichnen mit -^, jS/^ die Schnittpunkte der Graden Cp und C p mit dem Kreise und mit BB die Schnittpunkte der yAxe mit dem Kreise, dann wird die Funktion:
9 f cos (r v) jB cos (r v) \ ~dx\ r» rö ^'* ^'
in der r die Entfernung und Richtung von einem variabeln Punkte des Kreises
r die Entfernung und Richtung
(f v) -^ p\
^) Den analogen Beweis in der Ebene habe ich in meinem Lehr- buch der Potential theorie II S. 348 —354 gegeben.
2) Wie bei dem analogen Satze in der Ebene (Lehrbuch der Po- tential theorie II S. 348— 354) schliessen wir Singularitäten der Fläche» aus, indem wir stillschweigend voraussetzen, dass die abteilungsweise Monotonität von cos (vx) cos {vy) cos {vz) nicht blos für q>, sondern für jede Fläche gilt, welche durch eine Transformation nach reeiproken Radien aus co entsteht.
A. Korn: UAer die natürliche, elektrische Belegung etc. 427
r die innere Normale des Kreises in (!»?) voratellt, (als Funktion von (|i;) betrachtet) auf dem Bogen N^BWN, stets positiv sein und zwar
auf dem Teile BB dieses Bogens. Die Funktion:
Sx \r r^ 7) ist für jeden beliebigen Punkt (I?;) des Kreises = 0.
X
') Mao vergleiche Lehrbuch der Potentialtheorie II S. 349 n. 287.
428 Sitzung der mathrphys. Classe w>m 7, Dezember 1901,
somit:
2) _Z(1_:5>,) = „,
dx\r r^rj
femer:
/cos (rv) R cos (r r)\ /cos (r v) cos (r' v)\ 1
hieraus folgt durch DifiFerentiation nach x (d. i. r^):
aa;!, r» r„ /» j " iJr' + ^*=''^^*^^^-:R;f-•
3)
2i?ror»
mit Rücksicht darauf, dass:
i2» = r» -|- rj — 2 r r^ cos (r a;), somit:
r'+rj — Ji'
cos (rx) =^
2r»-o
Die rechte Seite in 3) kann nur verschwinden, falls:
B' — rl
oder:
V
r*
H' + j
r
■ j/ ü» + I = (1? + r,) (iJ - r„) = M' -i»^,
(wenn Ä und Ä' die Schnittpunkte der x Axe mit dem Kreise vorstellen), also nur in den Punkten N^ und N^; nur in diesen Punkten kann der Ausdruck 3) das Zeichen wechseln. Lassen wir (f rj) nach Ä rücken {r = R — r^), so wird die rechte Seite
1) Man vergleiche die erste Formel ib. S. 350.
Ä. Korn: Ueber die natürliche, elektrische Belegung etc. 429
lassen wir (^rj) nach Ä' rücken (r = jB -|- r^), so wird die rechte Seite:
— ® , also positiv,
es ist somit die rechte Seite stets positiv auf dem Bogen N^ä'N^j negativ auf dem Bogen N^ÄN^, Beschränken wir uns auf den Bogen BÄ B\ so ist die rechte Seite, da dann stets r > iJ:
= Jt' (y^o + 3 JtQ ~ 3 ( J?^ - riy ^ {IW — ^r'^r, oder da r^2R, 7Ä' — 3r; 5 4iJ*, auch:
16iJ**
Damit ist der Hilfssatz in allen seinen Teilen bewiesen.^)
Wir gehen nun zu unserer eigentlichen Aufgabe über. Es sei p irgend ein Punkt der gegebenen Fläche co; wir nehmen die innere Normale der Fläche in p zur a; Axe, mar- kieren auf der äusseren Normalen einen Punkt 0 in der Entfernung r^ von p und schlagen um 0 als Centrum eine Kugel mit dem Radius Tq + e. Irgend eine von der x Axe begrenzte Halbebene wird aus der Kugelfläche den Halbkreis ÄBÄ und aus co ein Kurvenstück jp Q . . ausschneiden; wir werden dadurch, dass wir Tq und e genügend klein machen, stets erreichen können, dass dieses Kurvenstück von dem Halb- kreis ÄBÄ nur in einem Punkte Q getrofifen wird, oder jedenfalls in einer endlichen Zahl von Punkten QiQ^"-;*)
*) Der Satz ist ein Analogen des von C. Neumann für die Unter- suchung in der Ebene abgeleiteten Hilfssatzes (C. Neumann, Ueber die Methode des arithmetischen Mittels, Abb. der k. sächs. Ges. d. Wiss. 1887 S. 699, man vgl. mein Lehrbuch der Potentialtheorie IE S. 348).
2) Infolge der Voraussetzung Anm. S. 426. 1901. Sitzongsb. d. math.-pby8. GL 29
430 Sitzung der mathrphys, Glosse vwn 7. Dezember 1901.
wir beschränken uns auf den ersteren Fall, die Ausdehnung auf den allgemeinen Fall ist ohne jede Schwierigkeit. Wir kon- struieren endlich in der dem obigen Hilfssatze entsprechenden Weise (man vgl. die Figur) den dem Punkt p zugeordneten
Punkt N auf dem Halbkreise ABÄ^ und es wird für unseren Beweis ganz gleich- gültig sein, ob N auf dem Teile A Q oder auf dem Teile Q B Ä dieses Halbkreises liegt.i)
Es ist nun:
4) V=Jh^
eine Potentialfunktion des von CO und der Kugelfläche be- grenzten Gebietes , dessen Querschnitt von pQNBÄp begrenzt wird; es ist somit für jeden Punkt dieses Gebietes:
= - — f
4:71 J
1 rdVdo}
dn
Qp
--f
inj
dV d(o dn r
"^ 4:Jli
Qp
r^^^^dco
cos(rw)
ü)
QBA'
QBA'
wenn der Index Qp die Integration über den der Fläche o» angehörenden Teil der Grenzfläche*) andeutet und der Index QBA' die Integration über den Teil der Grenzfläche, welcher der Kugelfläche angehört. Wir können die letzte Gleichung auch so schreiben:
*) Ist CO überall konvex, so liegt N stets auf dem Teile ÄQ (h^i genügend kleinem Tq und — ).
^) n die in das Gebiet hineingehende Normale.
5 a)
A. Korn: Ueber die nalürliehe, elektrische Belegung etc. 431
4:7ij dn r inj ^ ^ r^
(O
r*
QBA' QBA'
dV d(0
1 rdV
ijij dn
Qp
Dagegen ist für das Aussengebiet der durch die Abkürz- ungen Qp und QBA' bezeichneten Flächen:
5 b)
4:71 J dn r 4:71 j r *
QBA' QBA'
1 rdV do)
47iJ dn r Qp
Wir bilden die erste Formel für den Punkt jp, die zweite für den zu p in bezug auf die Kugelfläche konjugierten Punkt
pV) subtrahieren die zweite von der ersten, nachdem wir die-
R
selbe noch mit — multipliciert haben, dann folgt:
^0
dv
47ij dv dx \r Tq r J
6)
CO
dv dx \r Tq r J
QBA' QBA'
471 J dv dx \r Vq r J Qp
somit unter Berücksichtigung unseres Hilfssatzes:
') Durch genügende Verkleinerung von e können wir stets erreichen, dass p' in dem Aussengebiete liegt, für welche die Formel 5 b) gilt.
') Indem wir zunächst den Punkt j^ variabel annehmen; erst nach der Differentiation soll derselbe unendlich nahe an eo heranrücken.
29 •
432 SüBung der math.-phys, Glosse vom 7. Detemher 1901,
7)
dV
dv
5 n*-«
32 (r, + 8)»
_ 1 r(r-F)^f5^^> - ^^-^Thd. 4:71 j ^ ^ dx\ r* r^ ^ J
QN
inj dv dx \r ^0 ^ / Qp
wenn Vq den kleinsten Wert von F — V auf dem durch BÄ dargestellten Teile der Kugelfläche darstellt. Von der Fläche QN ist in der zweiten Zeile nur der zwischen dem Pole Ä und dem Breitenkreise N gelegene Teil zu berücksichtigen.^)
Wir wollen zeigen, dass wir die dritte Zeile
dV = (endliche Konstante)
dv
p
machen können, wo jK, durch Verkleinerung von e unter jeden
beliebigen Kleinheitsgrad herabgedrückt werden kann. Es folgt
dV dies leicht, da - — an a> eindeutig und stetig ist, femer bei
9 V
genügend kleinem s:
R 1\ cos (r v) cos (r v) R^ ^ g
9/l_^ J\___ cos(y x\r Vq / ) r *
5-^^ + -r--«
wo Q die Entfernung da)—>p und a eine endliche Grösse vor- stellt, unter Berücksichtigung des Satzes IV a S. 33 meines Lehrbuches der Potentialtheorie 1 und der Bemerkung, dass das Integral :
Qp
durch Verkleinerung von e unter jeden Kleinheitsgrad herab- gedrückt werden kann (da q < endl. Konst. r).
') Bei überall konvexen Flächen fällt also die zweite Zeile fort.
A. Korn: üeber die natürliche, elektrische Belegung etc. 433
Die zweite Zeile in der Formel 8) formen wir um, in- dem wir bedenken, dass:
9 /cos(rv) R cos(rV)
i
dx \ r
%
^0 ^
[rv)\_
cos (vx) — 3 cos (r x) cos (r v)
B} cos (vrr) — 3 cos {r'x) cos(rV)
somit ist dieselbe, da wir cos(va;) durch Verkleinerung von e beliebig nahe an ( — 1) heranrücken lassen können:
QN
COS {r x) cos (r v) R^ cos (r x) cos (r v) y.3 •" Y^ /3
d
CO
oder, da wir in der Gleichung:
r'-V=r (—^cos(rvy) + e")
auf Q N die Grössen e und cos (r v) durch Verkleinerung von e unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad herabdrücken können,
wo E^ durch Verkleinerung von e unter jeden beliebigen Klein- heitsgrad herabgedrückt werden kann; wir erhalten somit:
8)
endl. Konst.
dV dv
^ V.r,
32 (r, + ey
+ i', + E,
und durch Uebergang zur Grenze (6 = 0):
9) wo:
10)
dv
4 n
N = endl. Konst. ^^1" '""
') V innere Normale der Kugeliläche.
434 Sittung ihr malK-phyn. Claste twn» 7. Dcsembtr 3901.
eine endliche Konstante vorstellt, da jetzt V^ den kleinst Wert von F—V auf der Halbkugel B A' im Falle f = 0 l präsentiert, somit der Ungleichung;
in strengem Sinne genUgt (Zusatz 4 zu Vll S. 203 meii Lehrbuches der Potentialtheorie I). Wegen der Identität:
Sv folgt jetzt:
11)
'W
und damit ist der Beweis unseres Satzes erbracht.
435
Allgemeine Lösung des Problems der magnetischen
Induktion.
Von Arthur Korn*
{Eing^au/tn 7. DtBtmber.)
Es sei CO die stetig gekrümmte Oberfläche eines (auch aus einer endlichen Zahl räumlich getrennter Teile zusammen- gesetzten) magnetisierbaren Mediums t, und es seien innerhalb des Aussenraumes irgend welche feste magnetische Ursachen gegeben, deren Potential wir mit V bezeichnen wollen. Das öesammtpotential jener festen magnetischen Ursachen und der durch sie in t inducierten magnetischen Verteilung ist dann:
d(Q+r)dco
1) Q = >cj
9 V
CO
wenn d co irgend ein Element der Oberfläche co (mit der inneren Normalen v) und r die Entfernung von dco —> einem variablen Punkt {xyz) des Innen- oder Aussenraumes vorstellt, auf den sich die Formel (1) bezieht; x ist eine dem magnetisierbaren Medium eigentümliche Konstante, positiv für die sogenannten magnetischen, negativ für die sogenannten diamagnetischen Medien.
Man kann die Aufgabe für die unbekannte Funktion Q auch so formulieren:
Es ist eine Potentialfunktion Qi des Innenraumes und eine Potentialfunktion Qa des Aussenraumes so zu bestimmen, dass:
2)
^ 9v 9v dv
Qa = Qi J
an (o.
436 Sitzung der math.-phys, Classe vom 7, Dezember 1901,
Man mag die alten Femwirkungstheorieen oder eine der neueren Theorien des Elektromagnetismus zu gründe legen, immer wird man zu diesem mathematischen Problem geführt
Dieses Problem bildet einen speciellen Fall des allgemeinen Problemes, eine Potentialfunktion Ui des Innenraumes und eine Potentialfunktion Ua des Aussenraumes so zu bestimmen, dass:
3) \ dv dv \dv ^ dv J
2/,
' an CO,
wo k eine gegebene reelle Zahl und f eine eindeutige und stetige, gegebene Funktion der Stelle auf od vorstellt.^) Ist in dem Problem 3)
4) abs. A < 1,
so ist, nach den Untersuchungen in Nr. 5 meiner Abhandlungen zur Potentialtheorie, die Existenz einer und nur einer Losung U gesichert, und die Lösung ist darstellbar durch die Reihe:
5) U=^^ + XSß^ + PSß^+ .., wenn:
h—ii^^'
6)
CO
''-ÄJ[%-+-r]'^-o-i.2...).
CO
U besitzt in ganzer Erstreckung des Innenraumes sowohl als auch in ganzer Erstreckung des Aussenraumes eindeutige und stetige Ableitungen nach x^ y, e.
Wir können nun das Problem der magnetischen Induk- tion leicht auf ein Problem von der Form 3) zurückfuhren und durch die Gleichungen 5) 6) somit zu einer allgemeinen
^) Von der wir überdies voraussetzen, dass i f Potentialfunktion
des Innen- und Aussenraumes ist. «
Ä, Korn: Lösung des Problems der magnetischen Induktion, 437
Lösung des Problemes gelangen. Diese Untersuchung bietet zugleich einen interessanten Fall der Anwendung der Poincar^'- schen Fundamentalfunktionen. —
Um das Problem 2) auf die Form 3) zu bringen, kon- struieren wir das Potential der Fläche co mit der Dichte H:
7) ^ = J
H
d(o
r
in solcher Weise, dass im ganzen Innenraum von co:
8) $ ^ ., V (im Innern von o>),
und wir setzen:
9) U=Q+0,
dann lassen sich die Formeln 2) in der folgenden Art und Weise schreiben:
dUj^ 271H fdUg dUÄ 1 fd^a d0i\
Ua = U,
an CO.
Damit ist die gewünschte Form 3) erhalten; überdies ist für magnetische Medien x > 0, somit:
11) t1|-<1'
die Formeln 5) 6) geben uns daher die Lösung Z7, wenn man in denselben:
setzt, in Gestalt einer unendlichen Reihe, die rascher kon- vergiert, als eine geometrische Reihe mit dem ^'ten Qliede:
\l + 2 7ix)
438
SÜMung der maih.-phya, Cla$$e vom ^. I^memBer fMI.
und hierauf nach 9):
13) Q = [7— *.
Nachdem so zunächst die Existenz der Lösung^ aUgemein bewiesen ist, gehen wir zu der Entwickelungr nach Poincarf- schen Fundamentalfunktionen über. Es ist nach Satz Yb S. 58 in Nr. 5 meiner Abhandlungen zur Potentialtheorie:
14) tr=c„a>„ + c,<P, + c,<P, + ...
innerhalb des Innen- und Aussenraumes von ct>, w^in ^^ ^^
(Pj . . . die Poincar^'schen Fundamentalfunktionen *) sind, welche
den Polen:
2=2 2 2
A Aq , A j , Aj , ...
der Lösung des Problemes:
dUa
dv
an CO
dv \dv
Ua = Ui
13\
entsprechen. Die Konstanten C^ C^ C^ . . . in der Entwicke- lung 14) sind dabei durch die Formeln gegeben:
15)») c,=-rff!^'rfa,=fe-jr^?^»d«,.
Q>
CD
') Die Potentialfunktionen ^j% ^ja des Innen- resp. Aussenraaniet von (o haben die wichtigen Eigenschaften (i = 1» 2 . . .):
dv dv " ^^\ dv "^ dv }'
an cu;
b)
smM'^hmV'-
während $o das Potential der natürlichen Belegung vorstellt. 2) für^ = 1, 2. ..; während:
4jrJ
dco.
a>
A. Korn: Lösung des Problems der magnetischen Induktion. 439
Mit Hilfe der ersten Gleichung 10) können wir zeigen, dass wir zur Bestimmung der Cj die Lösung U des Pro- blems 10) gar nicht zu kennen brauchen. Es ist nach der ersten Gleichung 10):
dv ^ ^ ^ dv ^ \dv ^ dvj'
somit:
(7, = —-r-T I U--^ dco ^ -T—r-^ I *f — - d o>, ^ Ay + lJ dv Ay+lJ^ar
(O (O
CO <o
CO
oder:
^' Ay+l + (l+47ix)(Ay-l)J V ar "*■ dv)'
Oi
d^ii
= ^ r<i>^
;iy + 1 + (1 + 4 TT x) (;iy - 1) J a y
do),
CO
oder schliesslich:
16) Cj') = - ,.,.,,., — ^, f— ' 0jdco.
(O
Wir können somit die Lösung Q des Problemes der magnetischen Induktion allgemein innerhalb des Innenraumes und Aussenraumes von co in der Form darstellen:
17) Q = -0+C,0, + C,^,i-C,0, + ..,
') für j = 1, 2 . . .; während nach wie vor: 16') ^'>=4lr"jTr'*'"-
09
438 Süsung der math.-phys. Glosse vom 7, Dezember 1901.
und hierauf nach 9):
13) Q = U-^.
Nachdem so zunächst die Existenz der Lösung allgemein bewiesen ist, gehen wir zu der Entwickelung nach Poincare"- schen Fundamentalfunktionen über. Es ist nach Satz Vb S. 58 in Nr. 5 meiner Abhandlungen zur Potentialtheorie:
innerhalb des Innen- und Aussenraumes von co, wenn ^^ $, $j . . . die Poincare'schen Fundamentalfunktionen *) sind, welche den Polen:
2=1 2 1
A Aq , A j , Aj , ...
der Lösung des Problemes:
dv dv \dv "^ dvj'^ l + 2jix\dv '^ dv )'
Ua = Ui
an CO
entsprechen. Die Konstanten Cq C^ C^ , . , in der Entwicke- lung 14) sind dabei durch die Formeln gegeben:
15)») Cj^-fu'4l-Uco = 'f^^{u'pdco.
CO (O
') Die Potentialfunktionen ^ji ^ja des Innen- resp. Aussenrauniei von (o haben die wichtigen Eigenschaften (i = 1> 2 . . .):
dv dv ~ ^\ dv "^ dv )'
an eo;
^m^mH'm-'-
i
während ^o das Potential der natürlichen Belegung vorstellt. 2) für j = 1, 2 . . .; während:
r 1 f ^^« ^
Ä, Korn: Lösung des Problems der magnetischen Induktion. 439
Mit Hilfe der ersten Gleichung 10) können wir zeigen, dass wir zur Bestimmung der Cj die Lösung U des Pro- blems 10) gar nicht zu kennen brauchen. Es ist nach der ersten Gleichung 10):
dv somit :
-a+^-'Ol^+l^+l?').
^ Ay + lJ ar ij+lj ^ dv '
CO CD
cü a>
CO
oder:
o>
"CO,
Ct>
oder schliesslich:
16) Cj') = - ,,,.,, .^, ^^ ^, r^' *,.da>.
^ •' ^ A/+1 +(1 + 4 jr«)(Ay--l)J ar -^
o>
Wir können somit die Lösung Q des Problemes der magnetischen Induktion allgemein innerhalb des Innenraumes und Aussenraumes von cd in der Form darstellen:
17) Q^-0+c,^,+ C,0,-^C,^, + ..,
^) für j = 1, 2 . . .; während nach wie vor: 16') ^0= 4-^-J-^;r^^-
440 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 7, Dezember 1901.
wo $ die Lösung des Dirichlet'schen Problemes für den Innen- resp. Aussenraum mit den Randwerten
271X
vorstellt und die Konstanten CqC^C^ . .. durch die Gleichungen 16) (und 16') bestimmt sind.
Im Falle der Kugel, in dem die Poincar^'schen Funda- mentalfunktionen mit den Laplace'schen Funktionen
Y-
proportional werden, führt uns die Gleichung 17) auf die be- kannte Lösung in der Form einer nach Kugelfunktionen fort- schreitenden Reihe.
441
Zur Theorie der Spectrallinien.
Von F» Lindemann«
(Riugelaufm 16. Detgmber.)
Das Auftreten discreter Linien im Spectrum eines glühenden Gases erklärt man wohl allgemein (zunächst nach Analogie mit akustischen Vorgängen) durch sogenannte Eigenschwing- ungen der Moleküle. Wie aber diese Schwingungen zu Stande kommen, darüber scheint keine feste Ansicht zu herrschen; ob das Molekül als ganzes, oder die einzelnen Atome desselben oder endlich das Innere des kugelförmig gedachten Atoms diese Schwingungen ausführt, vermag man nicht zu sagen.
Letztere Ansicht hat besonders Lord Kelvin vertreten;*) er construirt ein aus concentrischen Kugelschalen bestehendes Modell eines Atoms; diese Kugelschalen sind durch elastische Kräfte an einander und an den umgebenden Lichtäther ge- bunden. Die Schwingungen des Aethers theilen sich diesen Kugelschalen mit; solche von gewisser Wellenlänge werden gänzlich absorbirt und bedingen das Auftreten der Linien im Spectrum. Man hat hierbei für das Innere des Moleküls eine sehr grosse Anzahl von Constanten zur Verfügung, und kann es mittelst derselben natürlich (wenn auch bisher ein numeri- scher Versuch nicht gemacht wurde) so einrichten, dass die Rechnung sich den Erscheinungen ungefähr anpasst.
Die innere Construction eines Atoms würde hiernach so complicirt ausfallen, dass man sich nur ungern zur Annahme
') Sir William Thomson: Lectures of molecular dynamics and the wäre theory of light, Baltimore 1884.
442 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7. Dezember 1901.
dieser Hypothese entschliessen kann, wenngleich es wohl die einzige ist, welche die Erscheinungen im Spectrum eines Gases rein mechanisch verständlich macht.
Helmholtz hat für den Brechungs-Exponenten in seiner Abhängigkeit von der Wellenlänge ähnliche Ausdrücke auf- gestellt,^) wie Lord Kelvin; aber er setzt dabei eine Reibung zwischen dem Lichtäther und der Oberfläche des Atoms voraus, also einen Vorgang, bei dem lebendige Kraft yerloren ging.
In der elektrischen Lichttheorie*) geht man von der An- nahme verschiedener Gattungen von Jonen aus, die das Atom begleiten und deren jedes eine ihm eigenthümliche Eigen- schwingung besitzt, also von einer noch complicirteren Vor- stellung, als wie sie dem Thomson 'sehen mechanischen Mo- delle zu Grunde liegt.
Schon früher habe ich der TJeberzeugung Ausdruck ge- geben,') es sei die Hypothese von Lord Kelvin nur als Ersatz für die Thatsache anzusehen, dass die Wellenlängen der Linien eines Spectrums als Wurzeln einer transscendenten Gleichung aufzufassen sind, die von der inneren Natur des Atoms ab- hängt; es war mir aber erst nach vielen vergeblichen Ver- suchen möglich, dieser Ueberzeugung eine mathematische Unter- lage zu geben und sie durch Vergleichung mit der Erfahrung zu prüfen.
Im Folgenden gehe ich bei den entsprechenden Ableitungen von der elastischen Lichttheorie aus, da die in den Grenz- bedingungen liegenden Schwierigkeiten, welche dieser Theorie entgegenstehen, gerade beim vorliegenden Probleme fortfallen (vgl. § 2). Ich denke mir eine im Lichtäther ruhende homo- gene Kugel, deren Inneres beliebige transversale und longitu-
^) Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd, 1, p. 213 ff.
2) Vgl. z. B. p. 35G iF. in Drude 's Lehrbuch der Optik. Leipzig 1900.
3) Ueber Molekularphysik. Schriften der physikalisch-ÖkonomiacheB Gesellschaft zu Königsberg i. Pr., Jahrgang 19, 1888. Einen grossen Theil dieser meiner älteren Entwicklungen würde ich jetzt natürlich ganz anders fassen, insbesondere alles, was über den Magnetismus gesagt ist. Ich hoffe, darauf bald zurückkommen zu können.
F, Lindemann: Zur Theorie der SpectralUnien, 443
dinale Oscillationen ausführt und frage, wie sich diese Oscilla- tionen auf den Lichtäther übertragen, und zwar speciell unter der Annahme, dass vom Mittelpunkte der Kugel aus nach allen Seiten volle Symmetrie herrsche. Für die zulässigen Wellenlängen ergeben sich dabei verschiedene transscendente Gleichungen, deren Wurzeln nicht allgemein angegeben werden können. Es lassen sich aber aus ihnen Beziehungen zwischen den Spectren verschiedener Elemente unter gewissen verein- fachenden Annahmen ableiten, die ich sodann an einer Reihe von Beispielen geprüft und als annähernd erfüllt befunden habe (§ 7 — § 13).
Dabei habe ich den von verschiedenen Autoren im Spec- trum gewisser Elemente bemerkten „Serien" besondere Be- achtung geschenkt und zum Schlüsse (§ 14) erörtert, wie man etwa das Auftreten dieser Serien (unter gewissen Annahmen über die vorkommenden Constanten) als eine Eigenschaft der Wurzeln der betreffenden transscendenten Gleichungen zu er- kennen vermag.
Das Auftreten der Serien, welche man sonst durch andere Hypothesen zu erklären versucht hat,*) ist hierdurch wenn nicht völlig aufgeklärt, so doch mit den nachfolgenden theore- tischen Erörterungen in Einklang gebracht.
Besonderes Gewicht lege ich auf die Einfachheit der gemachten Voraussetzungen. Jedenfalls dürfte es ge- rechtfertigt erscheinen zu versuchen, wie weit man mittelst dieser einfachen Annahmen den beobachteten Erscheinungen mathematisch gerecht werden kann.
§ 1. Darstellung elastischer Schwingungen.
Die elastischen Schwingungen eines kugelförmig begrenzten Raumes hat Clebsch eingehend studirt, und die Lösung auf die Anwendung der Kugelfunctionen und BesseTschen Func-
^) Vgl. Riecke, Zur Kritik der Serienschwingungen eines Linien- spectrums. Annalen der Physik, 4. Folge, Bd. 1, 1900.
444 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7, Dezember 1901,
tionen zurückgeführt.^) Seine Untersuchungen beziehen ach zunächst auf den äussern Raum der Kugel, sind aber leicht in analoger Weise für das Innere durchzuführen. Die Theorie der Bessel'schen Functionen war damals noch wenig ent- wickelt; deshalb ist die Bezeichnungsweise nicht übersichthck
Die elastischen Schwingungen des Innern einer Kugel hat Clebsch unter der Annahme gleichförmig vertheilter Druck- kräfte ebenfalls eingehend behandelt, und zwar besonders die betreflfenden longitudinalen Schwingungen.*)
Bezeichnet man mit w, v, w die Verrückungen eines Punktes mit den Coordinaten x^y^z^ so lassen sich nach Clebsch diese allgemeinsten Verrückungen als Summen von vier speciellen Werthsystemen darstellen, so dass
w = w, + Wj + «*s + ^4,
(1) v = Vj + Vg + Vj + v^,
w = w^-^r w^-\- w^-^- «7^.
Hierbei bestimmen Wj, Vj, w^ eine sogenannte longitu- dinale Schwingung, indem
3P ap aP
^ ^ ^ dx ^y a^r
wobei P der partiellen DiflFerentialgleichung
aap /a^p d^p a*p\
(3) _! = ,., P = ,.(^^^, + _ + J)
genügt. Die Grössen Wg, v^^ w^^ .... gehören zu transver- salen Schwingungen; es ist
dU dU
* ' * dz * dy
dV dV
dW dW
* dy * dx * '
1) üeber die Reflexion an einer Kugelfläche. Grelle*8 Journal, Bd. 61, 1861.
2) Theorie der Elasticität fester Körper. Leipzig 1862, p. 50 ff.
F. Lindemann: Zur Theorie der Speetrallinien. 445
und die Functionen U, V, W sind Lösungen der Gleichung
(5) ^ = a*J<p.
Die Constanten a^ und 6* sind die Elasticitäts-Constanten des betrachteten elastischen Mediums. Für jede transversale Schwingung ist die räumliche Dilatation
ra\ du dv dw
Die allgemeinste Schwingung setzt sich so aus einer lon- gitudinalen Schwingung (2) und drei speciellen transversalen Schwingungen (4) zusammen.
§ 2. Die longitudinalen Schwingungen der Engel.
Wir führen mittelst der Formeln
a? == r sin 1? cos tp (0 < r <C ß)
(7) y = r sin i> sin v' (0 < v' < 2 tt)
e =: T cos 1? (0 < 1? < jr)
Polarcoordinaten ein und bezeichnen mit q den Radius der Kugelfläche, welche das schwingende Medium begrenzt. Dann erscheint nach der von Henneberg gegebenen Darstellung, der wir hier folgen, die allgemeinste Lösung der Gleichung (3) in der Form
P = £££ {cosin nht\Amuq cosin m^) + ^^„gsin m\p\
n m q
(8) -f- sin nbt [Bmnq cosin myj -|" ^mnq sin myj]}
P^(cosi?)i?,+ j(nr).
Hierbei bedeuten ^mngi ^mnqi l^mnqi B'mnq Constante, die durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen sind; Pm(cosi?)
') Ueber die elastischen Schwingungen einer isotropen Kugel ohne Einwirkung von äusseren Kräften. Annali di materaatica pura ed ap- plicata, Serie II, t. 9, 1879.
1901. SiUungttb. d. math.-pliys. GL 30
446 Sitzung der math.'phys, Glosse vom 7. Dezember 1901,
bezeichnet in bekannter Weise eine Eugelfunction, d. h. eine Lösung der Gleichung
(9)
(PPi . . .dPi
^ + cotg.^+[,(, + l)-^]pi = 0;
und -B^-fi ist eine Bessel'sche Function,*) d. h. eine Losung der Gleichung
und zwar diejenige, welche für r = q nicht unendlich wird.
In der Summe (7) ist mit m ein ganzzahliger Index be- bezeichnet; die Indices n und q können ebenfalls ganze Zahlen sein, können aber als Wurzeln transscendenter Gleichungen be- stimmt werden.
Für uns ist der Fall von Wichtigkeit, wo die Function P nur von der Zeit t und dem Radius r abhängt. Um dies zu erreichen, haben wir m = Omal g = 0 zu nehmen.
(11) P = S [An cosin nht-^-Bn sin w6f] iJj {nr).
(12)
Die Verriickung in Richtung des Radius ist gleich
dr '
der auf die Eugeloberfläche ausgeübte normale Druck ist gleich 2a»^+(6» — 2o»)JP
ar'
3r* r* er
= — 2j {An cos nht -f- Bn sin nhf] — j- -= (- n* 6* iJ
^) Es ist -Rg-i-^ die von Heine mit y« bez. JP^ bezeichnete Func- tion (bis auf einen constanten Factor).
F. Lindemann: Zur Theorie der SpectrdlUnien. 447
wenn hierin r durch q ersetzt wird, und wieder ng das Ar- gument der Function R ist.
Besonders ausgezeichnet sind diejenigen Schwingungen, bei denen die Oberfläche der Kugel in absoluter Ruhe bleibt, d. h. bei denen die Bedingung
(14) dJR,^^^ ^ ^^^^ ^,^^^^^^ _ ^
erfüllt ist. Ist dann ausserdem
(15) n»e»-2(3 + l) = 0,
so verschwindet auch der auf die Oberfläche ausgeübte Druck.*) Die aus (14) und (15) folgende Gleichung
(16) Ri+i(Vqiq+l)) = 0
stellt dann eine transscendente Gleichung für q dar; und zu jeder Wurzel derselben gehört nach (15) ein Werth von n, durch welchen nach (8) die Schwingungsdauer T„ der be- treJBEenden Oscillation bestimmt wird:
271
In Folge der Bedingungen (14) und (15) reducirt sich, da (p nicht vorkommt, die Doppelsumme (8) auf eine einfache Summe. Die hier auftretende Gleichung (16) ist bisher nicht näher untersucht worden.
In dem Falle q = 0 wird
y 71 ng
Derselbe ist von Clebsch und Henneberg a. a. 0. ein- gehend behandelt. Die transscendente Gleichung (13) lautet dann
^) Der Druck würde auch verschwinden, wenn Bing) und R'ing) gleichzeitig verschwinden; dann aber würden nach (10) sämmtliche Differentialquotienten von B {n q) gleich Null sein ; dieser Fall ist des- halb auszuschliessen.
30*
448 Sitzung der mcah.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1901.
(18) cotang n q = ^,^^ . i» = -^.
Die Wurzeln Wq, Wj, Wj, Wj, . . . . liegen in folgenden Intervallen
0<no<w,<-, — <w,<— , — <n3< — , ....
ö ^^ Q ^Q Q
Sie nähern sich mit wachsendem Index dem ganzen Viel-
71
fachen von — , und zwar um so mehr, je kleiner Ä* ist. Der Druck auf die Oberfläche ist natürlich jetzt nicht gleich Null
§ 3. Die transversalen Schwingungen der Kugel.
Es genügt hier, von den drei Functionen U, F", W, welche durch (4) eingeführt wurden und der Gleichung (5) genügen, eine zu betrachten. Beschränken wir uns wieder auf solche Schwingungen, die nur von r, nicht von i? und tp abhängen^ so wird, wie in (11):
(19) U = Jj [Cn cosin nat -|- Dnsinnat] R^(nr),
wenn mit R wieder ein Integral der Gleichung (10) bezeichnet wird. Die entsprechenden Verrückungen berechnen sich dar- nach gemäss den Gleichungen (4); sie bestehen in kleinen Oscilla- tionen nur die ruhende x-Axe; jede zum Mittelpunkte con- centrische Kugelschale bewegt sich nur in sich.
Der Normaldruck auf die Oberfläche der Kugel ist gleich Null. Innerhalb der Oberfläche selbst aber treten in Folge der Schwingung Druckkräfte auf, welche durch die beiden zu einander rechtwinkligen Componenten
(20) — a* sin ^ sin y> - - „-, — a^ cos & cos w — -
für r = o gemessen werden (vgl. Henneberg a. a. 0.).
Sollen diese Druckkräfte insbesondere verschwinden, so muss If (ng) = 0 sein, d. h. nach (10): es muss die Gleichung
(21) 2nQ R\nQ) + [n*^^- (z(^ + 1)] B{nQ) == 0
F. Lindemann: Zur Theorie der SpectralUnien. 449
erfüllt sein. Besonders ausgezeichnet ist der Fall, wo wieder die Begingungen (14) und (15) gleichzeitig erfüllt sind, und wo in Folge dessen auch die Gleichung (21) Gültigkeit hat. Dann bleibt jeder Punkt der Oberfläche in absoluter Ruhe. Die Schwingung im Innern der Kugel ist dann aber, da q von Null verschieden ist, auch von i? abhängig.
Besonders einfach ist der Fall q = 0; dann wird
/oo\ -D / \ sin nr
(22) El (nr) = .
Soll jetzt der Druck gleich Null sein, so ergibt sich die Gleichung (vgl. Henneberg a. a. 0.)
(23) cotang ng = — 2n~^'
Soll aber die Oberfläche in Ruhe bleiben, so muss
(23 a) tangn^ = ng
werden; also wieder zwei transscendente Gleichungen für w. Die Wurzeln n^, n^, n^, .... nähern sich bezw. den geraden
7t
und ungeraden Vielfachen von ^^,
Zg
§ 4. Wirkung einer schwingenden Engel auf den
Lichtäther.
Wegen der in der Elasticitäts-Theorie des Lichtes voraus- gesetzten Incompressibilität des Aethers können am Lichtäther nur transversale Wellen existiren. Die allgemeinste Schwingung desselben ist daher nach (1) und (4) durch die Gleichungen
(24)
|
M — |
dW, z aF, |
y dW, |
|
dJi |
ay r dr |
r dr |
|
V = -^r — '- |
du, X dW, |
z dV, |
|
dx |
dz r dr |
r dr |
|
du, w = - — - |
3 r, _y dU, |
X dV, |
|
^y |
dx r dr |
r dr |
450 Sitzung der matK-phys, Clause vom 7. Dezember 1901, dargestellt, wo f/,, F, TT, der Differentialgleichung
(25) ~^- =a\A<p
genügen. Sollen sich die Schwingungen der Kugel nach aussen in den Lichtäther fortsetzen, so haben wir den letztern als einen Raum zu behandeln, der im Endlichen durch die Kugel- fläche r = Q begrenzt wird. Die Functionen [7, , F, , Vt\ werden daher genau wie vorhin bestimmt; nur die Constanten sind andere. Es ist z. B.
Z7j = SS S {cosin n^ a, t [E,nnq cos w v' + E'^nq sin m\^i\
m n q
-f sin n, a, t [Fm„q cos wt v + iC«, sin m v]}
iJ<;Vl(«i »-)-?" (cos*).
Die Function Itq\.^ ist hierbei als Integral der Differential- gleichung
(26) ^^ + 1^-^ + ^ ' dr^ ^ r dr ^
', g(g+l)
Wl 7i
1 i2 = 0
definirt; und zwar ist dasjenige partikuläre Integral zu wählen, welches den von innen nach aussen sich ausbreitenden Wellen entspricht, nicht dasjenige, welches unendlich ferne Erregungs- Centren voraussetzen würde.
Soll auch hier völlige Symmetrie herrschen, d. h. Z7, nur von r abhängen, so muss wieder q = 0 und m = 0 genommen werden; und wir erhalten
(27) ?7i = S [En cosin (n, a, t) + F^ sin (n, a, 0] B^'^ (n r).
WO
^{\\ , V -4 sin n, p + J? cosin n, p
Nun ist
2 sin Wj r cosin nj a, ^ = sin n, (r + ßtj ^) -f- sin n, (r — a, 0- 2 sin Wj r sin Wj a, ^ = cosin n^ (r — «j ^) — cosin n, (r -}- fl, /). 2 cosin w, r cosin w, a^t = cosin Wj (r — a, ^) + cosin n, (r -f «, /). 2 cosin n^ r sin Wj a^ ^ = sin n^ (r -\- a^t) — sin n^ (r — a, /)•
F, Lindemann: Zur Theorie der SpectrcHUnien, 451
Um obiger Forderung zu genügen, sind die Constanten A und B so zu bestimmen,*) dass alle Glieder, welche (r + «i 0 im Argumente enthalten, fortfallen. Es wird demnach
1 (27 a) f/j == S — IGn cosin n^ (r — a, 0 + -S» sin n^ (r — a^ ty],
nj ^
Entsprechende Formeln mit anderen Constanten Gn, -ET» gelten für die Functionen Fj und W^,
Für die Art und Weise, wie sich die Schwingungen der Kugel in den Lichtäther übertragen, sind zwei Fälle zu unter- scheiden.
Erster Fall. Die Schwingung im Innern der Kugel ist transversal. Um die Amplituden der inneren und der äusseren Schwingung in üebereinstimmung zu bringen, genügt es, die Gleichungen
(28) lE^dU^ IT^IZl i^^ÜEi
^ ^ dr dr ^ dr dr * dr dr
für r = ^ zu befriedigen. Beschränken wir uns wieder auf U und C/j , so ergibt sich
n C„ B\ (n q) = n, (?„ S^ («, q) + », if, R\ (n, q),
^^^^ n Dn ä; (n q) = n, G„ B\ («. q) - n. IT» S\ (n, q),
wo nun
/on\ ü / \ sinn^ ^^ cosin n^
(29) iJi (w ^) = ^ , Äi (n ^) = ^ .
Damit die Schwingungsdauem übereinstimmen, muss femer
(30) w a = nj a,
genommen werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Func- tionen JRi(n, ^) und R^{nQ) sich nur durch das Argument von einander unterscheiden ; denn die Differentialgleichung (10) wird unabhängig von w, wenn man nr an Stelle von r als unabhängige Variable einführt.
*) Vgl. darüber die Bemerkungen von Clebsch in §6 der citirten Abhandlung aus Bd. 61 von Crelle's Journal.
452 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 7. Dezember 1901,
Sollen auch die Druckkräfte sich an der Kugeloberfläclie das Gleichgewicht halten, so muss nach (20) ausserdem
a* ——z ai - • = 0
für r = Q sein. Oder
^^^^ a^nW^ B\inQ) = a\n\ Gnli\(n, Q)-a\nlH,Sl (n, o).
Wegen der Relation (30) fallen die Factoren ä^ n* und al n\ heraus. Die Elimination der Coefficienten <7„, D«, 6r„, if, führt, wenn wir zur Abkürzung den Index -J- fortlassen, zu der Relation
(32)
= 0.
a^ R'{nQ) 0 aS' (n^ q) aR'(n^ q)
0 a^l({nQ) oiJ'(», ß) — aS'in^o)
K'ing) 0 S'(n,Q) Ii"(.n^Q)
0 R"(nQ) R"(n,Q) — S"(n,e)
Diese transscendente Gleichung bestimmt die- jenigen Zahlen n (bezw. n^ = n — 1, für welche die
Gleichungen (29) und (31) mit einander verträglich sind, und somit die Schwingungsdauern bezw. Wellen- längen der möglichen Oscillationen.
Die Auswerthung der Determinante führt zu der Gleichung
K B' (ng) S" (n, q) ~ a R" {uq) S' (n, g)]^ + [a, B' (n q) B" {n, g) — a B" (ng) B' (w, g)\^ = 0.
Die Bedingung (32) zerfällt daher in die beiden linearen Gleichungen
«1 B\ng) S'\n^ g) — a B"(ng) S'{n^ ö) + ^ «i B'ing) B'\n^Q)
— laB" {ng)B'{n^g) = 0,
a, B' (w g) S" (w, g) — a B" {n g) S' (w, g) — ia^ R' (ng) ü" (»,o)
-\- iaB" {ng)B\n^g) = 0;
F, Lindemann ; Zur Theorie der Spectrallinien, 453
und diese lassen sich in der folgenden Form schreiben
^ ^ a.R'ing) S' (n,Q)±iR' (n, g) '
Hierin ist i = Y — 1 zu nehmen, ferner nach (10):
2
R'\ng)= — —-— H (ng) — R (n g) ,
ng
2
Ii"(^iQ) = -B'(>*i q) — R{^iQ)y
2
Ä" (wi ^) = — - — fi" (ni ö) — Ä (ni ^).
Setzt man rechts die Werthe (29) ein und formt sodann die Relation (33) um, so ergibt sich, je nachdem man das obere oder untere Vorzeichen wählt, an Stelle von (32) zur Bestimmung von n, eine der beiden folgenden Be- dingungsgleichungen
(34) ^(-^ + ^__) = J- + -_A^.
a^\ng ng 'cotg ng — 1/ n^g ±tn^g — 1
Die Wurzeln der einen dieser beiden Gleichungen sind conjugirt imaginär zu denen der andern; um reelle Resultate zu erhalten, müssen immer zwei conjugirte Werthe gleichzeitig benutzt werden. Setzen wir w, = /*, + iv, , n = /i -|- iv, so wird die Schwingungsdauer:
(34 a) T=-^ = —.
Der imaginäre Theil r, bedingt das Hinzutreten von Ex- ponentialfactoren e±''^*'~''«'\ Indem man in (27a) auch den Constanten G» und Hn complexe Werthe beilegt, kann man erreichen, dass nur Exponentialfactoren mit negativen Ex- ponenten vorkommen. Ihr Auftreten zeigt an, dass für nega- tive Werthe von (r — a, t) die Schwingung mit wachsender Zeit allmählig verlöscht ; für positive Werthe von (r — a, t)
454 Sitzung der mathrphys, Classe vom 7, Dezember 1901,
kommen die Formeln nicht in Betracht, da sich die Licht- schwingung zur Zeit t noch nicht über die Stelle r — a^t^O hinaus fortgesetzt hat.
Für grosse Werthe von w,, d. h. für kleine Schwingungs- dauern und Wellenlängen (wie sie beim Lichte auftreten), reducirt sich die Gleichung (34) auf
tang(n^) ==+i-^.
Eine Wurzel ist rein imaginär; bezeichnen wir sie reit + /5^, so wird
(34b) ng =^±ßi + gn,
wo g eine ganze Zahl bezeichnet. Der reelle Theil der Wurzeln von (34) nähert sich also mit wachsender Grösse den ganzen Vielfachen von ti, der imaginäre Theil einer gewissen end- lichen Grenze.
Zweiter Fall. Die Schwingungen im Innern der Kugel sind longitudinal.
Da diese Schwingung ausserhalb der Kugel sich als trans- versale fortsetzen soll, und bei letzterer eine Verrückung in Richtung des Radius nicht eintritt, so muss für r = g
dP
(35) — = 0
sein; da ferner die transversale Schwingung auch keinen Druck in Richtung des Radius ausübt, so muss auch die Gleichung
(36) ^ = 0 für r = e
bestehen. Die innerhalb der Kugeloberfläche erzeugten Druck- kräfte werden durch die Ausdrücke
(37) 2a^-^-^- und 2a^
drdcp drdd^
gemessen. Wird P in der Form (8) angenommen, so werden sie in Folge der Bedingung (35), die sich auf (14) reducirt, von selbst gleich Null,
J''. lAndemann: Zur Theorie der Spectrallinien, 455
Wenn die Gleichungen (14) und (15) zugleich bestehen, ist die Bedingung (36) ebenfalls erfüllt.
Die longitudinale Schwingung des Kugelinnern ist in diesem Falle auch von q) und xp abhängig.
Innerhalb der Kugeloberfläche selbst existiren weder Ver- rückungen noch Druckkräfte; der Lichtäther bleibt also bei dieser Art von Schwingungen in Kühe.
Dritter Fall. Das Innere der Kugel bleibt in Ruhe.
Ebenso kann umgekehrt der Lichtäther oscilliren, das In- nere der Kugel aber ruhen. Wir haben die Gleichungen (14) und (15) als erfüllt vorauszusetzen, so dass an der Kugelober- fläche Amplituden und Druckkräfte gleichzeitig verschwinden.
Es ist nur jetzt für die Lichtäther-Schwingung die Func- tion -Rg+j unter den Integralen der Gleichung (10) in der Weise auszuwählen, wie es für den Fall g = 0 in § 3 näher erörtert wurde.
•
§ 5. Anwendung auf die Schwingungen eines Atoms.
Jedes Element ist durch sein Spectrum, d. h. durch eine gewisse Anzahl ihm eigenthümlicher Wellenlängen bezw. Schwingungsdauern charakterisirt. Man pflegt sie als Eigen- schwingungen des Elementes zu bezeichnen, ohne doch genau definiren zu können, wie diese sogenannten Eigenschwingungen zu Stande kommen.
Bei der elastischen Lichttheorie ergeben sich bekanntlich Schwierigkeiten, wenn man die Grenzbedingungen, d. h. das Verhalten an der Grenzfläche zweier verschiedener Medien charakterisiren soll. Die Forderung gleicher Amplituden und gleicher Druckkräfte führt zu Bedingungsgleichungen, die im Allgemeinen nicht mit einander verträglich sind.^) Diese Un- verträglichkeit ist aber nur vorhanden, wenn man die Tren-
^) Vgl. Kirchhoff, Ueber die Reflexion und Brechung des Lichtes an der Grenze krystallinischer Mittel ; Gesammelte Abhandlungen, p. 352 fF.; sowie Volk mann, Vorlesungen über die Theorie des Lichtes. Leipzig 1891, p. 285 ff.
456 Sitzung der matK-phys. Classe vom 7. Dezember 1901,
nungsfläche, wie es gewöhnlich geschieht, als eben annimmt, und wenn man von den durch die Verschiedenheit der Wellen- längen bedingten Unterschieden absieht. Denn die vorstehen- den Untersuchungen haben gezeigt, dass bei kugelförmiger Grenzfläche für gewisse Wellenlängen, die durch transscendente Gleichungen bestimmt werden, die Grenzbedingungen der elastischen Lichttheorie voll- kommen erfüllt werden können.
Es liegt nahe, dieses Resultat an der Hand der Erfahrung zu prüfen; und da bieten die Spectren der einatomigen Gase ein überreiches Material.
Im gasförmigen Zustande sind die Atome verhältniss- mässig weit von einander entfernt, so dass es erlaubt sein wird, ein einzelnes Atom für sich zu betrachten und mit unserer schwingenden Kugel vom Radius q zu identificiren. Bei den heftigen Bewegungen, welche im Gase stattfinden, wird jedes Atom in schneller Folge von allen Seiten durch andere Atorae getroffen; diese Stosskräfte werden elastische Schwingungen im Innern des Atoms hervorrufen, die sich dem Lichtather mittheilen und die Linien des Spectrums erzeugen. Eine so erzeugte Schwingung wird von allen drei Veränderlichen r, ^r, v' abhängen; da wir aber nicht ein einzelnes Atom beobachten. sondern nur den durchschnittlichen Zustand einer sehr grossen Anzahl von Atomen, und da durchschnittlich bei den Beweg- ungen der Atome keine Richtung ausgezeichnet ist, vielmehr jedes in jeder Richtung von anderen getroffen wird, so können wir annehmen, dass durchschnittlich volle Symmetrie nach allen Richtungen herrsche, so dass die Grössen m, v, w nur vom Radius abhängen, und somit die obigen Betrachtungen An- wendung finden.
Die Linien des Spectrums zerfallen demnach in verschie- dene Gruppen, deren jede durch eine Gleichung mit unendlich vielen AVurzeln charakterisirt ist. Die Intensität jeder Schwing- ung ist durch den zugehörigen Coefficienten (7^, 2)«» ^tc. der unendlichen Reihe bedingt. Die Convergenz der Reihe ver- langt, dass diese Coefficienten mit wachsendem n (d. h. mit
F, Lindemann: Zur Theorie der SpectralUnien. 457
abnehmender Wellenlänge) unbegrenzt abnehmen; es ist daher natürlich, dass nur eine beschränkte Zahl von Spectrallinien beobachtet werden kann.
Jede Linie sollte eigentlich unendlich schmal und somit nicht sichtbar sein. Wenn die Linien thatsächlich doch be- obachtet werden können, so hat dies seinen Grund darin, dass die gemachten Voraussetzungen immer nur annähernd erfüllt sind. Je weniger Spielraum das einzelne Atom hat, um so mehr verbreitern sich die Linien, bis sie sich zu Banden zu- sammenschliessen .
Erste Gruppe. Sie ist charakterisirt durch die Gleich- ung (34). Im Aether und im Innern der Kugel finden die Schwingungen transversal statt. Die entsprechenden Verrück- ungen sind durch die Gleichungen (24) dargestellt; sie be- stehen in kleinen Rotationen um einen Durchmesser der Kugel, dessen Lage von den Werthen der Functionen Z7j, F^, W^ ab- hängt. Diese Axe wird in schneller Folge alle möglichen Lagen in der Kugel annehmen, wodurch dann die Symmetrie hergestellt wird. Die einer Wui-zel n der Gleichung (34) ent- sprechende Schwingungsdauer ist durch die Gleichung (34 a) dargestellt.
Zweite Gruppe. Es bestehen die Gleichungen (14) und (15). Der Lichtäther bleibt in Ruhe; die Schwingung in der Kugel ist longitudinal.
Da die Beobachtung immer ausserhalb der Kugel statt- findet, wird eine entsprechende Linie im Spectrum des Atoms nicht auftreten. Wenn wir uns aber vorstellen, dass durch die heftigen Bewegungen der Atome im glühenden Gase das Gleichgewicht der umgebenden Aetherhülle gestört ist, und dass hier Oscillationen von den verschiedensten Wellenlängen hervorgerufen werden könnten, so werden diejenigen Schwing- ungen, welche dieser Gruppe angehören, durch die entspre- chenden Oscillationen im Innern der Kugel ausgelöscht werden. Die Linien dieser Gruppe werden daher, wenn sie überhaupt beobachtet werden, nur als dunkle Linien auf hellerem Grunde erscheinen.
458 Sitzung der math.-phys, Classe vom 7. Dezember 1901.
Dritte Gruppe. Das Innere der Kugel ruht, der Licht- äther oscillirt, und zwar entsprechend den Gleichungen (14) und (15). Durch die in Folge der Bewegungen der Atome entstehenden Störungen des Gleichgewichtes (wie sie soeben bei der zweiten Gruppe angenommen wurden) im Lichtäther werden Oscillationen der verschiedensten Art entstehen können; aber von der Kugel aus radial verlaufend können nur solche hervorgehen, deren Wellenlänge durch die angegebenen Be- dingungsgleichungen bestimmt sind. Andere Wellen mit anderer Schwingungsdauer werden sich tangential von der Kugel aus verbreiten.
Die Verrückungen u, v, w werden vom Winkel i? abhängig, wodurch scheinbar die Symmetrie gestört wird. Bedenkt man aber, dass wir oben nur eine der drei Functionen f/^, F,, If, betrachteten, so erhellt, dass durch gleichzeitige Berücksich- tigung der drei Functionen die Symmetrie nach allen Rich- tungen wieder herzustellen ist. Die transversale Schwingung besteht in Oscillationen um einen Durchmesser der Kugel als Axe, der seine Richtung schnell verändert.
Das Auftreten dieser Art von Strahlen kann vielleicht dazu dienen, die Erscheinung der Fluorescenz verständlich zu machen.
Vierte Gruppe. Im Innern der Kugel finden trans- versale Schwingungen statt; der Lichtäther bleibt in Ruhe. Es bestehen wieder die Gleichungen (14) und (15), wenn für Iiq-{-\ diejenige specielle Lösung der Gleichung (10) gewählt wird, welche für r = 0 endlich bleibt. Die entsprechenden Linien des Spectrums sind stets dunkel, wenn sie überhaupt erscheinen.
Fünfte Gruppe. Es erscheint nicht noth wendig, an der Forderung, dass die Druckkräfte an der Oberfläche des Atoms übereinstimmen, absolut festzuhalten. Bestehen Differenzen der Druckkräfte, so wird das Atom in Folge derselben eine fortschreitende oder rotirende Bewegung annehmen. Da nun beim glühenden Gase die Atome schon bewegt sind, liegt kein Grund vor, diese Annahme auszuschliessen. Hält man
F, Lindemann: Zur Theorie der Specträllinien. 459
an der Symmetrie und an der Ruhe der äusseren Oberfläche fest, so werden die transversalen Schwingungen dieser Art durch die Gleichung (23 a) bestimmt.
Sechste Gruppe. In gleichem Sinne sind im Innern der Kugel die durch (18) definirten Oscillationen zu berück- sichtigen. Da der Druck an der Oberfläche nicht Null ist, werden sich diese longitudinalen Schwingungen mit gleicher Schwingungsdauer als transversale Wellen in den Lichtäther fortsetzen.
Regelmässig werden die Linien der ersten und dritten Gruppe im Spectrum erscheinen, vielleicht auch die der fünften und sechsten Gruppe.
Jedenfalls aber besteht das Spectrum eines ein- atomigen Gases aus einer Reihe verschiedener Einzel- Spectra, die sich über einander lagern, und deren jedes durch eine besondere transscendente Gleichung bestimmt wird; es ist natürlich, dass dabei an einzelnen Stellen des Spectrums starke Verdichtungen auftreten. Unter verschiedenen Umständen können verschiedene Gruppen er- scheinen; und das ist mit den Beobachtungen (besonders deut- lich beim Wasserstoff) in Uebereinstimmung.
Da über die Grösse des Radius g keine Voraussetzung gemacht wurde, so kann das, was hier über sehr kleine leuch- tende Kugeln gesagt wurde, ebenso auf erheblich grössere Kugeln, z. B. auf leuchtende Himmelskörper angewandt wer- den. Jedem kugelförmigen Himmelskörper käme hiernach ein ihm eigenthümliches Spectrum zu, das nur abhängt von seiner Grösse und von den Elasticitäts-Constanten seines Innern. Ein solcher Körper ist allerdings nicht continuirlich mit Masse er- füllt, vielmehr vom Lichtäther durchdrungen, nicht scharf gegen diesen Aether begrenzt; aber in sehr grosser Ent- fernung wird man ihn doch wie unser Atom behandeln dürfen, so dass sein Spectrum theils durch die Einzelspectra der in seiner Atmosphäre glühenden Elemente, theils durch die ihm als oscillirender Kugel zukommenden Linien gebildet wird.
460 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7, Dezember t901,
§ 6. Beziehungen zwischen den Spectren verschiedener
Atome.
Hiemach ist das Spectrum eines einatomigen Gases im Allgemeinen von so complicirtem Bau, dass es kaum möglich erscheint, die einzelnen Gruppen von Linien von einander zu trennen und mit den Wurzeln der zugehörigen Gleichungen rechnerisch in Beziehung zu setzen; die Aufgabe ist über- dies dadurch erschwert, dass die Constanten, von denen jene Gleichungen abhängen (q, 6, a^) nicht bekannt sind.
Wenngleich ich daher die dargelegte Auffassung der Linien- Spectra (allerdings damals nur für die fünfte und sechste Gruppe) schon vor etwa 10 Jahren in Königsberg i. Pr. einem engeren Kreise vorgetragen habe, konnte ich die Untersuchung wegen dieser Schwierigkeiten nicht weiter führen. Erst vor etwa zwei Jahren bemerkte ich, dass in folgender Weise eine indirecte Prüfung der Theorie möglich ist.
Nimmt man zwei verschiedene einatomige Gase, so unterscheiden sich die betr. transscendenten Gleichungen nur durch die Constanten a, b und g von einander, und in manchen Gruppen in sehr einfacher Weise.
So lautet z. B. die Gleichung für die sechste Gruppe
Ä:» — nV* cotang n g = ja^^
und die entsprechende Gleichung für ein zweites Atom
cotang n g = —^^r^
Nimmt man nun an, dass für beide Atome Je und Ic wenig von einander verschieden seien, so stehen die Wurzeln beider Gleichungen nahezu im umgekehrten Verhält- nisse der Radien
(38) -^ = -?'-,
n g
F, Lindemann: Zur Theorie der SpectralUnien, 461
und die Schwingungsdauern verhalten sich direct wie die Radien ; es ist neralich, wenn b von b' wenig verschieden ist, nach (17) annähernd
(39) -5^=-"'-^
/ •
Tn n Q
Für die Gleichung (23) ist diese Relation bei zwei ver- schiedenen Atomen genau erfüllt. Wenn Je aber nur annähernd gleich Je' ist, so besteht die Relation (38) auch nur näherungs- weise richtig.
Aehnlich ist es bei der Gleichung (34). Sind hier für zwei verschiedene Atome die Constanten a und a einander gleich, so ist nach (30)
♦ _< -- / _«
na = niaij na =niai,
also für a = a:
n w'
Ui n[ Nun kann die Gleichung (34) in der Form
af{nQ) = a,F(^nQJ
geschrieben werden; ebenso ist für das zweite Atom
ay{n q) == a, F (~ n Qj;
oder folgt für a = a wieder
n o'
n Q
Und wenn nur annähernd a = a ist, so ist diese Beziehung (38) näherungs weise erfüllt.
Die Radien der Atome sind nicht bekannt, wohl aber ihre Atomgewichte, die mit G und G' bezeichnet seien. Bedeutet ferner d bezw. d' die Dichte im Innern des Atoms, so ist
1901. Siiznngsb. d. math.-phys. Gl. 31
462
wo g die '.
halten wir
(") 7- %■
Wenn also auch 6' vc wenig verschied
so besteht näherungsweise e Relation
(") 7=1/|. -VI-
d, h, die Wellenlängen der Spectra von zwei rer- schiedenen einatomigen Gasen verhalten (unter den gemachten Voraussetzungen) sich angenähert, wie ilie Cubikwurzeln aus den Atomgewichten.
Zu der Annahme, dass die inneren Coiistanten a, 6, & ein» Atoms bei verschiedenen Elementen denselben Werth habeu, dass sich also diese Atome nur durch die Grösse (d. i, durcli den Werth von q) unterscheiden, knnu man durch Vorstellung« über die Einheit der Materie geführt werden. Dadurch wurde ich zu dem Versuche veranlasst, ob nicht die Relation (4ß) wirklich bei verschiedenen Elementen erfüllt ist; ich habe für eine Reihe von Beispielen gemüss der Formel (iOi aus den beobachteten Spectriillinien eines Elementi'S die entsprechenden eines andern Elementes berechnet, und die Resultate mit den Beobachtungen an diesem anden Elemente verglichen.
Es zeigte sieh, dass die Gleichung (40) in vielen FäUen näherungsweise erfüllt ist, dass also in der That die Grössen a, h, 6 von den Grössen a, b\ d' sich wenig unterscheiden.
In anderen Fällen ist die allgemeinere Gleichung
zur Anwendung zu bringen, wo A eine Constante bedeutet, die nach (40) näherungsweise
T
zu setzen '
-n
V.J
F. Linde mann: Zur Theorie der Spectrallinien, 463
Im Falle der Gleichung (34), also bei der ersten der in § 5 unterschiedenen Gruppen, wird man auch näherungsweise
nehmen dürfen, wenn a von a wenig verschieden ist; dabei hat man näherungsweise
a
Wenn es nicht anders bemerkt ist, sind alle in den folgen- den Tabellen benutzten Beobachtungen den Abhandlungen von Kayser und Runge entnommen.*) Ein besonderes Interesse bietet die Einordnung der Spectrallinien in gewisse Serien, wie sie Balmer beim Wasserstoff, Rydberg und die beiden ge- nannten Autoren bei anderen Elementen vornahmen. Auf diese Serien ist deshalb bei den folgenden Rechnungen beson- ders Rücksicht genommen (vgl. unten § 14).
An einigen Stellen sind den berechneten Linien beobachtete gegenübergestellt, die sich weiter als wahrscheinlich zulässig ist, von dem Ergebnisse der Rechnung entfernen; ich habe sie aufgeführt, um darauf hinzuweisen, wo die nächste beobachtete Linie liegt.
§ 7. Magnesium und Calcium.
Im Spectrum des Magnesiums unterscheiden Kayser und Runge zwei Serien, die sie wegen ihrer Eigenschaften Neben- Serien nennen; diese Eigenschaften sind nämlich analog den- jenigen der bei den Alkalien auftretenden Neben-Serien, welche dort einer Haupt-Serie an die Seite treten, während eine solche Haupt-Serie beim Magnesium nicht auftritt. Jede Neben-Serie besteht aus drei Triplets von Linien, die wenig von einander verschieden sind.
*) Kayser und Runge: In den Abhandlungen der königl. preuss. Akademie der Wissenschaften und zwar : 1. Eisen, 1888; II. Kohle, 1889; III. Alkalien, 1890; IV. Elemente der zweiten MendelejeflTschen Gruppe, 1891; V. Kupfer, Silber und Gold, 1892; VI. Aluminium, Indium, Thal- lium, 1892.
31*
464 Sitzung der mathrphys. Glosse «ow 7, Dezember 1901.
Die betreflfende Wellenlänge A wird in Angström^schen Einheiten durch folgende Formeln gegeben:
l.Neben-Serie:A-i.l0«=39796,10-130398n-2_i432090n-^,
A-i . 108 = 39836,79 -130398n-2— 1432090n-*,
A-i.l08=39857,00-130398»-2— 1432090n-*.
Die Linien der Serie ergeben sich, wenn man in diesen
Formeln w = 4, 5, ... vor 9, 10 einsetzt. Sei nun X die
zugehörige Wellenlänge im Calcium -Spectrum, so ist nach
unserer Methode näherungsweise (vgl. § 6):
i'=^i/
Ca Mg
WO Ca das Atomgewicht des Calciums (40,1) und Jlf^ dasjenige des Magnesiums bedeutet (24,3). Nach dieser Formel sind die Wellen- längen des Calciums aus denjenigen des Magnesiums berechnet und in folgender Tabelle mit den Beobachtungen verglichen.
|
Magnesium |
Calcium |
|||||
|
Neben- |
Neben- |
|||||
|
Serie I n |
A beobachtet 3838,44 |
A' berechnet 4536,0 |
beobachtet |
Serie I n |
Differenz |
|
|
4 |
4535,60 1) |
4- 0.40 |
||||
|
3832.46 |
4528,9 |
4527,17 |
4- 1,73 |
|||
|
3829,51 |
4525,4 |
4512,73 |
12,67 |
|||
|
5 |
3097,06 |
3659,9 |
3653,62 |
— |
+ 5,28 |
|
|
3093,14 |
3655,2 |
3644,45 |
5 |
+ 9,75 |
||
|
3091,18 |
3652,9 |
3630,82 |
5 |
+ 22,08 |
||
|
— |
3624,15 |
5 |
||||
|
6 |
2852,22 |
3370,5 |
3361,92 |
6 |
- 8,08 |
|
|
2848,53 |
3366,2 |
3350,22 |
6 |
- 15,98 |
||
|
2846,91 |
3364,3 |
3344,49 |
6 |
- 19,81 |
||
|
7 |
2736,84 |
3233,8 |
3225,74 |
7 |
- |
- 8,06 |
|
2733,80 |
3230,6 |
3215,15 |
7 |
H |
h 15,45 |
|
|
2732,35 |
3228,9 |
3209,68 |
7 |
+ 19,22 |
||
|
8 |
2672,90 |
3158,6 |
3166,96 |
~ 8,35 |
||
|
2669,84 |
3155,7 |
3158,98 |
— |
— 3,28 |
||
|
2668,26 |
3153,1 |
3150,85 |
8 |
+ 2,25 |
||
|
3140,91 |
8 |
— |
||||
|
— |
3136,09 |
8 |
— |
|||
|
9 ' 2633,13 |
3111,9 |
3107,96 |
+ 3,94 |
|||
|
2630,52 |
3108,5 |
3101,87 |
9 9 9 |
+ 6,63 |
||
|
— |
— |
— J |
*) Im Funkenspectrum des Calcium, vgl. Rep. of Brit. Ass. 1884, p.372.
F, Lindemann: Zur Theorie der Spectrallinien,
465
Die hier fehlende Linie des dritten Triplets für n = 9 ist beim Magnesium nicht beobachtet worden; auch beim Cal- cium findet sich keine entsprechende.
Dem Werthe n = 4 in der Calcium-Serie entsprechen die
^- ^-- 4456,08; 4435.86; 4425,16.
Die aus diesen nach obiger Formel zu berechnenden Magnesium-Linien sind nicht beobachtet worden.
Die Tabelle lässt erkennen, dass bei den Triplets für n = 5, n = 6 und n = 7 entsprechende Linien von Magnesium und Calcium erhalten werden; bei w = 7, n = 8, w = 9 tritt eine kleine Verschiebung der von Kayser und Runge auf- gestellten Calcium-Serie gegen die zugehörige Magnesium-Serie ein. Jedenfalls könnte man auch die hier berechneten Cal- cium-Linien durch eine Serien-Formel annähernd darstellen; man hätte zu dem Zwecke nur die Constanten der ersten
Neben-Serie des Magnesiums mit 1/ y^ zu multipliciren.
|
Magnesium Mg — 24,3 |
Calcium Ca |
-40,1 |
|||
|
Neben- |
Neben- |
||||
|
Serie II n |
l beobachtet |
l' berechnet |
beobachtet |
Serie II n |
DiflPerenz |
|
—^ |
6162,46 |
3 |
|||
|
3 |
5183,84 |
6125,9 |
6122,46 |
3 |
4- 3,44 |
|
6172,87 |
6112,9 |
61 16,00 1) |
— 3,10 |
||
|
5167,55 |
6106,9 |
6102,99 |
3 |
+ 3,91 |
|
|
4 |
3336,83 |
3943,1 |
3949,09 |
4 |
— 5,99 |
|
3332,28 |
3937,8 |
— |
|||
|
3330,08 |
3935,2 |
3933,83 |
4- 1,37 |
||
|
5 |
2942.21 |
3476,9 |
3487,76 |
5 |
— 10,86 |
|
2938,68 |
3472,7 |
3474,98 |
5 |
— 2,28 |
|
|
2936,99 |
3470,6 |
3468,68 |
5 |
+ 1,32 |
|
|
6 |
2781,53 |
3287,0 |
3286,26 |
6 |
+ 0,74 |
|
2778,36 |
3285,2 |
3274,88 |
6 |
4- 10,32 |
|
|
2776,80 |
3228,2 |
3269,31 |
6 |
+ 12,89 |
|
|
7 |
2698,44 |
3188,8 |
3181,40 |
7 |
+ 7,40 |
|
2695,53 |
3185,4 |
3179.45 |
+ 6,95 |
||
|
2693,97 |
3183,5 |
3170,23 |
7 |
+ 13,27 |
|
|
8 |
2649,30 |
3130,7 |
3140,91 |
— |
— 10,21 |
|
2646,61 |
3127,6 |
3136,09 |
_^^ |
— 8,49 |
|
|
2645,22 |
3125,9 |
3117,74 |
8 |
+ 8,16 |
^) Vgl. Reports of the British Association, a. a. 0.
466
Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1901.
Auch hier entsprechen sich die beiden Serien im Grossen und Ganzen; bei w = 3 fehlt die Linie des ersten, bei n =4 die des ersten und zweiten Triplets, bei n == 7 die des dritten, bei w = 8 die des ersten und dritten Triplets; statt der letz- teren werden dem Magnesium jetzt zwei Linien n = 8 (3140,91 und 3136,09) im Calcium zugeordnet, welche bei Kayser und Runge dem Index 8 der ersten Neben-Serie zugehören (vgl. die vorhergehende Tabelle).
Ausserdem gibt es im Magnesium-Spectrum noch andere Linien, die nicht zu erkennbaren Serien gehören; die ihnen durch unsere Formel zugeordneten Calcium-Linien ersieht man aus folgender Tabelle.
Magnesium Mg = 24,3
X beobachtet
Calcium Ca = 40,1
l' berechnet
beobachtet
Differenz
5711,56 5528,75 4730,42 4703,33 4571,33 4352,18 4107,81 4058,45 3987,08 2930,01 2928,74 2915,57 2802,80 2798,07 2795,03 2790,88 2783,08 2779,94 2708,57 2705,47
6749,5 6533,5 5590,1 5558,0 5402,0 5143,1 4925,2 4796,0 4711,6 3470,3 3461,0 3445,4 3312,1 3306,5 3289,9 3289,1 3288,0 3285,2 3271,5 3267,8
5590,30 I — 0,20
4807,47 4685,40 (?) 3468,68
— 11,47 + 20,20 1,02
3285,00 ^)
3274,88
3269,31
4- 0,20
— 3,38
— 1.51
Im Ganzen haben wir 56 Magnesium-Linien; und unter diesen sind 38, denen im Calcium-Spectrum Linien entsprechen.
^) Vgl. II. a. 0. p. 373.
F. lAndemann: Zur Theorie der Spectrallimen.
467
die sich mit den von uns berechneten nahezu decken. Von den fehlenden 18 Linien fallen zwei nach dem Ultrarothen über das beobachtete Gebiet des Calci um -Spectrums hinaus, zwei fallen in die Nähe von verbreiterten Calcium-Linien, so dass nur 14 übrig bleiben, deren zugeordnete Caicium-Linien nicht beobachtet sind. Die letzteren fallen sehr nahe mit Eisen-Linien zusammen; es ist daher leicht möglich, dass ihre Trennung von den Eisen-Linien sehr schwer zu bewerk- stelligen sei.
Es sei bemerkt, dass Beobachtung und Rechnung noch besser Übereinstimmen, wenn man nicht die Werthe Ca = 40,1, Mg =1 24,3 benutzt, senden bezw. 40,0 und 24,4, wie sie in älteren Büchern angegeben werden. Man ersieht dies aus den in folgender Tabelle zusammengestellten Proben.
|
Magneeium |
Mg = 24,4 |
CaJcium |
Oa^ 40,0 |
|||
|
Neben- Serie " |
beobachtet |
bereclinet |
beobachtet |
Differenz |
" |
Neben- aerie |
|
3838,46 |
4526,1 |
4527,1 |
-1,0 |
T |
___ |
|
|
I ' 5 |
3097,06 |
3651.9 |
r36G3.62 \3644,48 |
— 1,72 -h7,42 |
5 |
— |
|
2652,22 |
3363,1 |
3361,92 |
-0,82 |
6 |
||
|
2736,14 |
3226,2 |
3225,74 |
+ 0,46 |
7 |
||
|
2G73,15 |
3162,0 |
3152,08 |
-0,08 |
8 |
||
|
^633,13 |
3104.8 |
3101,87 |
+ 2.93 |
9 |
||
|
I 10 |
260G,4 |
3072.1 |
||||
|
11 ' 3 |
6183,84 |
6112,1 |
6102,99 |
— 0.80 |
||
|
11 1 4 |
8336,83 |
3934,5 |
3933,83 |
+ 0.67 |
||
|
II 1 5 |
2942,21 |
3477,2 |
3474,99 |
+ 2,32 |
6 |
II |
|
2781,35 |
3379,8 |
3274,88 |
+ 4,92 |
6 |
11 |
|
|
I 1 7 |
2698,44 |
3181. 8 |
3181,40 |
+ 0,40 |
7 |
n |
|
I 1 8 1 |
2649,30 |
3123,9 |
3117,74 |
+ 6,16 |
8 |
u |
% 8. Zink and Gadmium.
Im Zink-Spectrum haben wir nach Kayser und Uunge ebenfalls zwei sogenannte Neben-Serien ; die Triplets der ersten Serie sind gegeben durch die Formel
468 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1901.
I,, 10» ;i-» = 42945,32 — 131641 n-«— 1236125»»-*, I„ = 43331,71 — 131641 n-2 — 1236125n-*,
I„ = 43521,48 — 131641 n-2 — 1236125 n-*,
wobei n die Werthe 4, 5, 6, 7, 8, 9 annimmt. Für die zweit« Neben-Serie gelten die Formeln
n,, lO^A-i = 42954,59 — 126919 n-^ — 632850»»-*, II„ = 43343,65 — 126919»»-2 — 632850»»-*,
II„ = 43533,32 — 126919 j»-" - 632850»»-*,
worin der Zahl >» die Werthe 3, 4, ... 8 beizulegen sind. Wir berechnen nach unserer Formel
'■-r§^ = #
112,0
65,4
zu jeder Cadmium-Linie die entsprechende Zink-Linie und ver- gleichen das Resultat in folgender Tabelle mit den betreffenden Beobachtungen. Zugleich geben wir bei denjenigen Linien, die von Kays er und Runge einer Serie zugeordnet werden, an, um welche Serie und welche Zahl n es sich handelt, und zwar links für Cadmium, rechts für Zink. Die Cadmium-Serien sind durch folgende Formeln dargestellt:
I,j 10» A-^ = 40755,21 — 128635w-2_ 1289619 n-^
I,, = 41914,60 — 128635w-2_i289619n-^,
1,3 = 42456,64 — 128635 w-« — 1289619 n"*,
n,, 10«A-i = 40797,12 - 126146w-2— 555137 n-*,
11.2 =41968,80 — 126146W-2— 555137 n"^,
11.3 = 42510,58 — 126146n-2 — 555137 n--».
Der an drei Stellen den beobachteten Zinklinien beige- setzte Buchstabe B. soll andeuten, dass die betreffende Linie im Bogen-Spectrum nicht beobachtet wurde, aber nach den von der British Association veröffentlichten Tabellen*) im Funkenspectrum vorkommt.
^) Report of the British Association for the adyancement of science, 1885, p. 307 flp.
F. Lindemann: Zur Theorie d«r SpeetraUinien.
469
|
Cadmium |
Zink |
||||||
|
Serie |
n |
X beobachtet A' berechnet |
beobachtet |
n |
Serie |
DiflPerenz |
|
|
_^ |
5154,85 |
4308,9 |
4293,02 |
__ |
+ 15,88 |
||
|
11,1 |
3 |
5086,06 |
4251,1 |
— |
— |
— |
— |
|
11,. |
3 |
4800,09 |
4012,1 |
4019,75 |
— 7,65 |
||
|
n.« |
3 |
4678,37 |
3910,3 |
— |
— |
||
|
— |
4662,69 |
3897,2 |
— |
— |
— |
— |
|
|
— |
— |
4413,23 |
3688,7 |
3683,63 |
— |
— |
+ 5,07 |
|
— |
4306,98 |
3599,9 |
3572,90 (?) |
— |
+ 27,00 |
||
|
— |
— |
3981,92 |
3328,2 |
3342,00 B. |
— |
— 13,80 |
|
|
3729,21 |
3117,0 |
— |
— |
— |
|||
|
3649,74 |
3050,6 |
— |
|||||
|
— |
3614,58 |
3021,2 |
3035,93 |
4 |
n,. |
— 14,73 |
|
|
1,1 |
4 |
3613,04 |
3019,9 |
3018,50 |
4 |
n., |
+ 1,40 |
|
— |
— |
3610,66 |
3017,9 |
3017,50 B. |
— |
— |
+ 0,40 |
|
— |
3595,64 |
3005,4 |
— |
||||
|
— |
3500,09 |
2925,5 |
2913,63 |
— |
+ 11,87 |
||
|
I,. |
4 |
3467,76 |
2898,5 |
2886,40 B. |
— |
+ 12,10 |
|
|
3466,33 |
2870,8 |
2873,39 |
— |
— 2,59 |
|||
|
I,» |
4 |
3403,74 |
2844,9 |
2833,13 |
— |
— |
+ 11,77 |
|
— |
3299,11 |
2757,8 |
2756,53 |
5 |
I,» |
+ 1.27 |
|
|
— |
— |
3261,17 |
2725,8 |
2736,96 |
— |
— |
— 11,16 |
|
11,1 |
4 |
3252,63 |
2718,7 |
2712,60 |
5 |
11,1 |
+ 6,10 |
|
n,. |
4 |
3133.29 |
2618,3 |
2608,65 |
6 |
1,1 |
+ 11,65 |
|
11,3 |
4 |
3081,03 |
2575,2 |
2575,15 |
— |
+ 0,05 |
|
|
— |
— |
— |
— |
2570,00 |
6 |
1,3 |
|
|
— |
3005,53 |
2512,1 |
2516,0 |
7 |
1,1 |
— 4,00 |
|
|
2981,46 |
2492,0 |
2493,67 |
7 |
11,1 |
— 1,67 |
||
|
1,1 |
5 |
2980,75 |
2491,4 |
2491,67 |
7 |
1,1 |
~ 0,27 |
|
— |
2961,64 |
2475,4 |
2479,85 |
— |
— |
— 4,45 |
|
|
— |
2908,85 |
2431,3 |
2430,74 |
9 |
1,1 |
+ 1,34 |
|
|
— |
2903,24 |
2426,6 |
2427,05 |
8 |
I.» |
— 0,45 |
|
|
I.» |
5 |
2881,34 |
2408,3 |
— |
>9 |
T « |
|
|
— |
2880,88 |
2407,8 |
2407,98 |
r |
A, 2 |
— 0,18 |
|
|
11,1 |
5 |
2868,35 |
2397,5 |
2393,88 |
— |
— |
+ 3,62 |
|
I,!. |
6 |
2677,65 |
2238,1 |
2246,90 |
— |
- 8,80 |
|
|
11,1 |
9 |
2553,61 |
2134,4 |
2138,30 |
■ ' |
— 3,90 |
Zwischen den Cadmium-Linien 2868,35 und 2677,65 liegen elf andere, deren entsprechende beim Zink bisher nicht beob- achtet sind, ebenso zwischen den Linien 2677,65 und 2553,61 zwölf weitere Linien, die beim Zink fehlen; das Spectrum des letztern schliesst nach den bisherigen Beobachtungen im Ultra- violetten mit der Linie 2138,30 ab, während beim Cadmium über die Linie 2553,61 hinaus noch siebzehn Linien beobachtet sind.
470 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1901,
Ein Blick auf die Tabelle lehrt wieder, dass eine grosse Zahl der zu Serien gehörigen Linien wieder in ebensolche Linien übergehen; aber die einzelnen Serien erscheinen ge- stört. Da die Zuweisung der Linien zu bestimmten Serien eine rein empirische ist, so wird darin kein wesentlicher Ein- wand gegen das aufgestellte Gesetz des näherungsweisen Ent- Sprechens zu erblicken sein.
In Folge eines Irrthumes hatte ich den ersten Rechnungen das doppelte Atom-Gewicht des Zinks zu Grunde gelegt; dann ergab sich durchaus keine TJebereinstimraung ; es dürfte dies ein Anzeichen dafür sein, dass die gefundenen Uebereinstim- mungen nicht blos zufällige sind.
§ 9. Baryum, Calcium, Strontium.
In gleicher Weise wie im Vorstehenden Cadmium und Zink sind im Folgenden Barjum, Calcium und Strontium mit einander verglichen. Ich bin vom Strontium ausgegangen und habe nach den Formeln
137,4
87,6'
4ÖT
87,6
zu jeder Strontiumlinie, die von Kajser und Runge an- gegeben wird, eine entsprechende Linie des Baryum- und Cal- cium-Spectrums berechnet. Die Resultate der Rechnung sind in folgender Tabelle zusammengestellt, in welcher die der Rechnung jeweils am besten entsprechenden beobachteten Linien beigesetzt sind. An einigen Stellen ist die Differenz zwischen Rechnung und Beobachtung grösser, als man an- nehmen kann und durch die verhältnissmässige Ungenauigkeit der Atomgewichts-Bestimmung gerechtfertigt sein mag. An- dererseits ist aber zu beachten, dass die Bedingungen der Be- obachtungen nie denjenigen der Rechnung wirklich entsprechen
F, Lindemann: Zur Theorie der Specträllinien,
471
können, da thatsächlich jedes Atom durch unendlich viele andere Atome beeinflusst wird, seine Schwingungen also unter gewissem Zwange vor sich gehen.
Im Strontium-Spectrum haben Kayser und Runge nur eine Serie gefunden, im Calcium-Spectrum die schon oben an- geführten zwei Neben-Serien, im Baryum-Spectrum keine Serie. Die diesen Serien angehörigen Linien sind in der Tabelle ent- sprechend hervorgehoben. Die Triplets der Strontium-Serie werden durch folgende Formel definirt
W . A-i = 31030,64 — 122328W-2 _ 837473w-^ = 31424,67 — 122328W-2 _ 837473w-S = 31610,58 — 122328W-2 _ 837473n-^
Der einigen Baryum- und Calcium-Linien beigesetzte Buch- stabe B. deutet wieder an, dass diese Linien nur im Punken- Spectmm vorkommen.^)
|
Strontium |
Baryum |
Calcium |
|||||
|
7t |
l beobachtet |
r berechnet |
beobachtet |
X" berechnet |
beobachtet |
n |
Serie |
|
6550,53 |
7610,9 |
5048,4 |
5041,93 |
^__ |
^ |
||
|
— |
6504,17 |
7557,1 |
— |
5020,0 |
502 1,0 B. |
— |
|
|
— |
6408,65 |
7444,5 |
— |
4939,1 |
— |
— |
|
|
— |
6386,74 |
7420,6 |
— |
4922,2 |
— |
— |
— |
|
— |
6380,95 |
7413,9 |
4917,7 |
||||
|
5970,38 |
6936,9 |
— |
4601,3 |
4607,7 B. |
— |
||
|
— |
5848,01 |
6794,7 |
4507,0 |
4505,04 |
— |
— |
|
|
— |
5817,01 |
6758,8 |
— |
4483,2 |
— |
— |
— |
|
— |
6717,9 |
— |
— |
||||
|
— |
5767,29 |
6701,7 |
6697,0 B. |
4444,8 |
4456,08 |
4 |
i,t |
|
— |
— |
6687,4 |
— |
4435,86 |
4 |
I,» |
|
|
|
6672,0 |
6675,30 |
4425,61 |
4 |
I.« |
||
|
|
5543,49 |
6441,0 |
6451,05 |
4272,4 |
4283,16 |
— |
|
|
— |
5540,28 |
6437,1 |
— |
4269,8 |
427 1,0 B. |
— i — |
|
|
|
5535,01 |
6431,1 |
— |
4265,8 |
— ' — |
||
|
— |
5522,02 |
6416,0 |
— |
4255,8 |
4253,9 B. |
1 |
|
|
|
5504,48 |
6395,5 |
— |
4242,2 |
4240,58 |
— — |
|
|
^■^ |
5486,37 |
6374,5 |
- |
4228,3 |
4226,91 |
"^^ |
"^— |
^) Vgl. Report of the British Association for the advancement of Bcience, 1884.
StMuitjT der mai%.-}ihy8, Clasat vom 7. Detember 1901.
|
St TOD ti um |
Ba^um |
Calcium |
|||||
|
"^ |
i beobachtet^' berechnet |
beobachtet |
beobachtet |
M Serie |
|||
|
r |
5481,15 |
6368,4 |
4224.3 |
_ |
_ |
_ |
|
|
5451,08 |
6333,5 |
6341,93 |
4201.1 |
||||
|
5267,12 |
6108,1 |
6111,01 |
4051,6 |
||||
|
5238,76 |
G086,8 |
6083,63 |
4037,5 |
||||
|
5229,52 |
6076,1 |
4030.8 |
|||||
|
5225,35 |
6071,2 |
4027.1 |
|||||
|
5222,43 |
6067,8 |
6063,33 |
4024,9 |
||||
|
5213.23 |
6057,2 |
4017,8 |
|||||
|
5156,S7 |
5991.1 |
5997,31 |
3974,0 |
3973,89 |
4 |
11. > |
|
|
5965,8 |
5971,94 |
3957,23 |
4 |
ILt |
|||
|
6963,6 |
5965,06 |
3949,09 |
4 |
II.. |
|||
|
4 |
4971,85 |
5776,7 |
5784.24 |
3831,8 |
|||
|
4968,11 |
5772,2 |
5777,84 |
3828,8 |
||||
|
4962,46 |
5765,8 |
3824,5 |
|||||
|
4892,20 |
5684,2 |
5680,34 |
3770,4 |
||||
|
4, |
4876,35 |
5665,6 |
3758,0 |
— |
— |
— |
|
|
4872,66 |
5661,4 |
3755,3 |
|||||
|
4869,41 |
5657,6 |
3752,8 |
|||||
|
4668,92 |
5657,1 |
3752,4 |
|||||
|
4856,37 |
5641,2 |
3741,9 |
3737,08 |
||||
|
i |
4832,23 |
5614,5 |
5620,41 |
3724,2 |
|||
|
4812,01 |
6591,0 |
5593,45 |
3708,6 |
3706,18 |
|||
|
4784,43 |
6558,9 |
8687,8 |
|||||
|
4755,59 |
5525,4 |
5535,69 |
3665,1 |
||||
|
4742,07 |
5510,4 |
5519.37 |
3665,2 |
3663,62 |
|||
|
4729,1(3 |
6495,6 |
5490,0 B. |
3645,3 |
3644,45 |
5 |
1.1 |
|
|
4722,42 |
6486,7 |
3639,4 |
3630,82 |
5 |
1.1 |
||
|
6463,7 |
5473,94 |
3624,15 |
6 |
1.1 |
|||
|
4678,39 |
5435,7 |
5437,66 |
3605,5 |
||||
|
4607.52 |
5353,4 |
5365,46 |
3551,0 |
||||
|
4531,54 |
5266,1 |
5267,20 |
3492,4 |
3487,76 |
5 |
11,1 |
|
|
5238,9 |
3474,98 |
5 |
II,. |
||||
|
4480,96 |
5206,3 |
3453,4 |
3468,68 |
5 |
II 1 |
||
|
4438,22 |
5156.6 |
5160,27 |
3420,5 |
||||
|
4412,82 |
5127,2 |
3400,9 |
|||||
|
4361,87 |
506S,0 |
5055,12 |
3361,7 |
3361,92 |
6 |
1.1 |
|
|
4338,00 |
5040,2 |
3343,3 |
3H50,22 |
6 |
I.i |
||
|
4326.60 |
5027,0 |
3334,6 |
3344,49 |
6 |
1.1 |
||
|
— |
4319,39 |
unaj |
— |
3329.0 |
— |
||
|
4308,49 |
5017,5 |
3320,5 |
|||||
|
4305,60 |
5002.7 |
3318,3 |
|||||
|
4954.3 |
4947.50 |
328C.26 |
6 |
11.1 |
|||
|
4937.1 |
4934,24 |
3274,88 |
6 |
11. 1 |
|||
|
4928,8 |
3269,31 |
6 |
11. 1 |
||||
|
4216,66 |
4698,1 |
4900,13 |
3249,0 |
||||
|
_ |
4863,1 |
4877,99 |
3226,74 |
7 |
1.1 |
||
|
"~ |
~ |
4347,1 |
~- |
~ |
3215,16 |
7 |
1.1 |
f. Lindemann.- Zvsr Theorie der Speetrallinien.
|
5trontium |
Barfum |
Calciam |
|||||
|
^ |
1. beobachtet'r berechnet |
beobachtet |
r berechnet |
- |
Serie |
||
|
4161,95 |
4835,3 |
_ |
3207,3 |
3209,68 |
7 |
1.» |
|
|
4796,2 |
3181,40 |
7 |
II,. |
||||
|
4779,4 |
3170,23 |
^ |
II.» |
||||
|
4772,9 |
3166,95 |
7 |
II. s |
||||
|
4750,2 |
_ |
3150.85 |
8 |
1,1 |
|||
|
4077,88 |
4736,0 |
4726,63 |
3142,8 |
3140,91 |
3 |
I,* |
|
|
4729,0 |
4724,98 |
3136,09 |
8 |
I.» |
|||
|
4700,3 |
4700.64 |
3117,74 |
8 |
II. i |
|||
|
5 |
4032,61 |
4685.3 |
4691.74 |
3107,8 |
3107.06 |
1 |
II. i |
|
— |
4030,45 |
4G81,8 |
- |
3106.2 |
3101,67 |
II.» 1,1 |
|
|
_ |
3970,15 |
4612,8 |
4605,11 |
8069,8 |
— |
||
|
5 |
3969,42 |
4612,0 |
4600,02 |
3059,2 |
|||
|
5 |
3940,91 |
4578,9 |
4579,84 |
3037,2 |
|||
|
6 |
3705,88 |
4306,8 |
4323,15 |
2856,1 |
|||
|
9GÖ3,90 |
4245,4 |
4242,83 |
2816,0 |
||||
|
6 |
3653,32 |
4244,7 |
4239,91 |
2816.6 |
|||
|
3629,15 |
4216,6 |
4224,11 |
2797.0 |
||||
|
6 |
3628,62 |
4216,0 |
2796,5 |
||||
|
3577,45 |
4166,6 |
4166,24 |
2757,1 |
||||
|
7 |
3547,92 |
4122,2 |
4132,60 |
2784,3 |
|||
|
3504,70 |
4072,0 |
4079,56 |
2701,0 |
||||
|
^ |
3499,40 |
4064.9 |
2696,9 |
||||
|
7 |
3477,33 |
4040.2 |
2679,9 |
||||
|
3475,01 |
4036,4 |
2677.4 |
|||||
|
3404,68 |
4025,4 |
2670.1 |
|||||
|
8 |
3467,70 |
4017,4 |
2664,8 |
||||
|
3456.76 |
4016,4 |
2664.1 |
|||||
|
8 |
3411,62 |
3963,9 |
3975,55 |
2629.3 |
|||
|
D |
3W0,39 |
3950,8 |
2620.6 |
||||
|
8 |
3390,09 |
3935,87 |
2612.7 |
||||
|
8380,89 |
3926,3 |
3917,42 |
2606.7 |
||||
|
3366.43 |
3911,4 |
3910,04 |
2594.5 |
||||
|
3351,36 |
3693,9 |
3892,93 |
2582.8 |
||||
|
3330.15 |
3869,2 |
2566.5 |
|||||
|
3322,32 |
3860,1 |
3861,87 |
2560.6 |
||||
|
3307,64 |
3843,1 |
2549.2 |
|||||
|
3301,81 |
3836,3 |
2545,8 |
|||||
|
8200,40 |
3718,5 |
2466,5 |
|||||
|
3199,10 |
3717.0 |
2465,6 |
|||||
|
3190,10 |
3700.5 |
2468,6 |
|||||
|
3189.40 |
3705,7 |
3701.87 |
2468,0 |
||||
|
3182,40 |
3697,6 |
2462.6 |
|||||
|
3172,30 |
3685,6 |
3689.28 |
2444,7 |
||||
|
~ |
2931,98 |
8406,6 |
2259,6 |
2276,60 |
474
Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 190 L
Das Studium der Tabelle zeigt, wie sich die Strontium- Serie auf das Baryum überträgt; wir haben in den einzelnen Triplets von n = 4, ... 8 die folgenden Baryum-Linien:
|
n |
1. Linie des Triplets 2. Linie des Triplets |
8. Linie des Triplets |
|
|
4 5 6 7 8 |
5777,84 4691,74 4323,15 4132,60 |
4600,02 4239,91 3975,55 |
5620,41 4579,84 3935,87 |
Ebenso lassen sich die bekannten Calcium-Serien auf das Baryum übertragen. Um dies in obiger Tabelle hervortreten zu lassen, sind beim Calcium auch diejenigen Linien einge- tragen, welche nicht aus Strontium-Linien berechnet werden konnten, soweit dieselben zu Serien gehören. Aus diesen Cal- cium-Linien sind die entsprechenden Baryura-Linien nach der Formel
■=^-'Vm
berechnet, und (zusammen mit den zugehörigen beobachteten Linien) in die Rubrik Baryum eingetragen.
Die Triplets der Neben-Serie I (vgl. oben p. 464) des Calcium ergeben im Baryum:
|
n = |
|
-. — _ — ._ |
|
i,t 1.2 I,» |
8
6697,08 6675,30
5490,0 5473,94
5055,12
4877,99
4726.G3 4724,90
Aus den Calcium-Linien der Neben-Serie 11 erhalten wir
im Baryum:
5267,20
11,1 11,2
n,9
5997,31 5971,94 5965,06
4947,50 4934,24
3107,8 310t».2
F, Lindemann: Zur Theorie der Speetrallinien,
475
§ 10. Quecksilber und Cadmium.
Wenn meine Rechnungen sich im Vorstehenden zunächst auf die Elemente der zweiten Mendele Jeff sehen Gruppe be- zogen, so ist dies reiner Zufall; ich habe eben zufallig bei Beginn der Rechnungen die betreflPenden Tabellen von Kayser und Runge zuerst zur Hand genommen. Es fehlt noch das Quecksilber.*) Um vollständig zu sein, sollten ferner auch in umgekehrter Richtung die Beziehungen zwischen den Spectren jedes Paares von Elementen untersucht werden.
Immerhin zeigen die mitgetheilten Resultate, dass sich thatsächlich die Wellenlängen verschiedener Elemente der zweiten Gruppe des periodischen Systems annähernd verhalten wie die Cubikwurzeln aus den Atomgewichten. Es wird daher genügen, wenn im Folgenden nur noch vereinzelte Proben mitgetheilt werden. Dabei bevorzuge ich wieder diejenigen Linien der Spectra, welche bestimmten Serien zugeordnet sind.
Cadmium, Zink und Quecksilber bilden bekanntlich eine Gruppe für sich. Von diesen sind die ersten beiden schon betrachtet (vgl. § 8); wir vergleichen jetzt noch einige Serien im Cadmium und Quecksilber. Wir gehen von der ersten Neben-Serie des Quecksilbers (nach Kayser und Runge) aus und berechnen die zugeordneten Cadmium -Linien mit der Wellenlänge A' nach der Formel
'■-]/i-i/^-
Es ergibt sich, wenn wir nur die erste Linie aus jedem Triplet berücksichtigen :
|
Quecksilber |
Cadmium |
|||
|
n |
beobachtet |
berechnet 3017,9 2491,2 2309,8 2224,5 |
beobachtet /3005,53 \3016,10B. 2491,00 2306,72 2227,OOB. |
DiflPerenz |
|
4 5 6 7 |
3663,20 3023,71 2803,69 2699,74 |
4- 12,37 + 1,80 + 0,20 + 1.08 — 3,50 |
^) Aus dem Spectrum des Beryllium sind nur so wenige Linien be- kannt, dass dasselbe hier nicht berücksichtigt werden konnte.
476 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7, Dezember 1901.
Der Buchstabe B. deutet wieder an, dass die betreffende Linie nur im Funkenspectrum des Cadmium beobachtet^) wurde: die Linie 2491,00 wurde nach Angabe von Kayser und Runge durch Liveing und De war, nicht durch sie selbst beobachtet.
Die analoge Behandlung der zweiten Neben-Serie führt zu folgendem Resultate
|
Quecksilber |
Cadmium |
|||
|
n |
beobachtet |
berechnet beobachtet |
Differenz |
|
|
3 4 5 6 7 |
5460,97 3341,70 2925,51 2759,83 2674,96 |
4499,00 2756,69 2410,15 2315,90 2203,75 |
2757,10 2418,50 B. /2312,95 \2313,60B. /2194,67 \2206,20B. |
— 0,41 — 8,35 + 3,05 + 2,30 + 9,08 — 2,45 |
Wollte man für w = 3 die der Rechnung entsprechende Linie der Serie, nämlich 5374,42 (die aber nicht beobachtet ist) zu Grunde legen, so würde ihr die Linie 4416,7 im Cad- mium entsprechen, während 4415,6 (B) beobachtet wurde.
Die hier zusammengestellten Cadmium-Linien könnte man zu neuen Serien zusammenfassen.
Ausserdem heben Kayser und Runge (a. a. 0. p. 53) noch einige ausgezeichnete Triplets und Paare im Quecksilber- Spectrum hervor, von denen ich je die erste Linie einer ent- sprechenden Rechnung unterzogen habe, was zu folgendem Resultate führte.
|
Quecksilber |
Cadmium |
||
|
beobachtet 3007,02 2799,76 3680,74 3305,23 3264,33 |
berechnet 2477,3 2306,5 3032,4 2723,0 2689,3 |
beobachtet 2474,15 2306,72 3034,90 B. 2726,90 B. 2677,65 |
Differenz + 3,15 — 0,22 — 2,50 — 3,90 + 11,65 |
1) Vgl. Reports of the British Association, 1884, p. 368 ff.
F. lÄndemann: Zur Theorie der SpectralUnien.
477
Umgekikrfc gehen wir im Folgenden ?on den Serien des Cadmiiini-Siiectniins aus und berechnen die entsprechenden Wellenlängen des Quecksilber-Spectrums; die Resultate ersieht man aus folgender Tabelle (es sind hier alle Linien eines jeden Triplets berücksichtigt).
Erste Keben-Serie,
|
Cadmium |
Quecksilber |
|||
|
« |
beobacLtet |
berechnet |
beobachtet |
Differenz |
|
4 |
3613.04 |
438Ö,G |
4385.70 B. |
— 0,10 |
|
4 |
3467.76 |
4209,9 |
421 1.80 B. |
— 2,80 |
|
i |
3403.74 |
4131.5 |
41 32,70 B. |
|
|
5 |
2980,76 |
3Ö18.1 |
3680.70 B. |
|
|
5 |
2861.34 |
3497,4 |
3494.50 B. |
+ 2,90 |
|
ö |
2937.01 |
3443,6 |
3440,Ü0B. |
+ a,oo |
|
G |
27G3,99 |
3356.0 |
3351,62 |
+ 3.48 |
|
G |
3227,60 B. |
+ 1.80 |
||
|
2G3Ü.34 |
3204.0 |
3207, 10 B. |
- 3,10 |
|
|
7 |
2GG0,4Ö |
8239,3 |
viele Bch wache Linien B. |
|
|
7 |
2580,33 |
3132,0 |
3131,94 |
— 0,0G |
|
7 |
2544,84 |
3069.0 |
3086.41 |
+ 3.59 |
|
8 |
2601,99 |
3158.3 |
3144.61 |
■t- 13.69 |
|
8 |
2525,57 |
3065.G |
3050,58 |
+ 15.0ä |
|
8 |
2491,00 |
3033.6 |
3023,71 |
- 0.11 |
|
Cadminn. |
Quefköilbfr |
|||
|
" |
beobachtet |
berechnet |
beubaebtet |
Differenz |
|
3 |
5086,06 |
6173.6 |
6152,30B. |
+ 21.30 |
|
3 |
4800,09 |
6826,4 |
5819,05 |
-t- 7,35 |
|
3 |
4678,37 |
6678,7 |
6679,10 |
— 0,40 |
|
4 |
3252,63 |
3948.1 |
3949,008. |
— 0,90 |
|
4 |
3133,29 |
3804.0 |
3807.30 B. |
— 3,30 |
|
4 |
3081,03 |
3739.8 |
viele schwache Linien B. |
|
|
5 |
2868,35 |
3481.7 |
3473,40 B. |
+ 8,30 |
|
5 |
2776,09 |
3368.6 |
8367,03 |
+ 1,47 |
|
2733,97 |
3318.6 |
8326,40B. |
- 7,80 |
|
|
6 |
2713,66 |
3292,7 |
8305,23 |
- 2,53 |
|
6 |
2629,15 |
3192,2 |
||
|
6 |
2592,14 |
8146,4 |
8144,61 |
-t- 1,79 |
|
7 |
2632,29 |
3196,0 |
3207,10 B. |
-11,10 |
|
7 |
2553,61 |
3099,6 |
3095.36 |
+ 4,25 |
|
7- |
2521,74 |
3060.9 |
3050,68 |
f 10,32 |
|
8 |
2582,86 |
3135.1 |
S136Ä9 |
— 0.79 |
|
8 |
2474,15 |
3004,2 |
8007,03 |
— 2.82 |
|
9 |
2553,61 |
3099.6 |
SOQBJIft |
->r 4.1& |
iiiigab. S. miih.-phy*. tX
478 Sitzung der math.-phys. Clause vom 7. Dezember 1901,
In den beiden letzten Tabellen sind 33 Linien des Cad- mium-Spectrums aufgeführt. Von den entsprechenden Linien des Quecksilber-Spectrums konnten nur 16 den Beobachtungen von Kays er und Runge (bezw. deren Vorgänger) entnommen werden; die anderen 17 wurden aus den neueren Beobach- tungen^) von Eder und Valenta (in denen sowohl das Funken- als das Bogen-Spectrum berücksichtigt ward) ergänzt. Entsprechend diesem Resultate dürfen wir erwarten, dass bei weiterer Verfeinerung der Beobachtungs- methoden auch manche Lücke in den früheren Ta- bellen sich wird ausfüllen lassen, und dass so eine noch bessere Uebereinstimmung zwischen Rechnung und Beobachtung wird zu erzielen sein.
§ 11. Lithium und Natrium.
Im Lithium-Spectrum unterscheidet man eine Haupt-Serie und zwei Neben-Serien.
Die Haupt-Serie ist gegeben durch die Formel:
L 108 k'' = 43584,73 — 133669n-2 — 1100084n-^
worin w = 4, 5, . . . ., 11. Für die erste Neben-Serie haben wir (immer nach Kayser und Runge)
U. IP A-i = 28586,74 — 109625,5»-» — 1847n-^,
und für die zweite Neben-Serie:
m. W k-' = 28666,69 — 122391 n-^ — 231700n-*.
Versucht man nun von der Wellenlänge A des Lithium nach der Formel
'•-fxT-l^^
05
03
zu einer Wellenlänge A' des Natrium überzugehen, so ergibt sich durchaus keine Uebereinstimmung. Nur für die Wellen-
^) Vgl. Reports of the British Association 1895, p. 300 ff. ; und Wiener Denkschriften, Bd, 51, 1894.
F. lAndemnnn: Zur Theorie der Spectrcdlinien.
479
länge 4132,44 im Lithium ergibt sich durch Rechnung die Wellenlänge 6152^ im Natrium, die der beobachteten Wellen- länge 6161,15 hinreichend nahe liegt, noch besser mit der im Funken-Spectrum des Natrium beobachteten Wellenlänge 6154,6 übereinstimmt.
Es geht hieraus hervor, dass die speciellen Voraussetzungen, welche bei den Elementen der ersten Mendelejeff'schen Gruppe genügten, jetzt nicht mehr hinreichen. Wir müssen vielmehr die allgemeinere Formel (42) oder (43)
r = ^.A.lX
Na Li
in Betracht ziehen und versuchen, ob sich ein entsprechender Werth von Ä finden lässt (vgl. oben p. 461 f.). Da man von vornherein nicht weiss, wie sich vielleicht die Linien beider Spectren entsprechen, so muss man durch Probiren einen mög- lichst günstigen Werth von Ä ermitteln. Nach mehrfachen vergeblichen Versuchen habe ich Ä so bestimmt, dass der Linie n = 4 aus der Haupt-Serie des Lithium (A = 2741,39) die Linie w = 4 aus der Haupt-Serie des Natrium (A' = 3303,07) entspricht; denn beide Linien liegen ziemlich isolirt in der Mitte des beobachteten Spectrumtheiles. Es ergibt sich dann:
Ä = 1,2052.
|
X Lithium |
X' Natrium |
||||||
|
Serie |
n |
beobachtet |
berechnet |
beobachtet |
Differenz |
n |
Serie |
|
III |
5 |
4273,44 |
5150,6 |
5149,19 |
+ 1,41 |
5 |
11,, |
|
11 |
5 |
4132,44 |
4980,6 |
4979,30 |
+ 1.30 |
5 |
III., |
|
II |
7 |
3794,90 |
4573,8 |
4573,6 B. |
+ 0,20 |
||
|
II |
8 |
3718,90 |
4482,2 |
4494,3 |
- 12,10 |
7 |
III, > |
|
III |
9 |
3670,60 |
4424,0 |
4423,70 |
— 0,30 |
8 |
II. 1 |
|
4 |
2741,39 |
3303,07 |
3303,07 |
— |
4 |
1 |
|
|
5 |
2562,60 |
3088.6 |
3093,1 B. |
— 4,50 |
|||
|
6 |
2475,13 |
2983,1 |
2984,3 B. |
— 1,20 |
— |
||
|
7 |
2425,55 |
2923,4 |
2921,4 B. |
+ 2,00 |
|
||
|
8 |
2394,54 |
2886,0 1 |
2903,0 B. |
— 17,00 |
32
o»
480 Sitzung der math,-phys, Classe vom 7, Dezember 1901.
Die letzte Colonne vorstehender Tabelle bezieht sich auf die im NatriuQi auftretenden Serien, eine Haupt-Serie und zwei Neben-Serien, wobei in letzterer immer zwei benachbarte Linien zugleich auftreten; diese Serien sind mit I, 11, III bezeichnet; und es bedeutet z. B. 11, j die erste, II, ^ die zu demselben Werthe von n gehörige zweite Linie der ersten Neben-Serie.
Von den 18 Linien, die bei Kayser und Runge ange- geben werden, genügen daher 10 annähernd der aufgestellten Formel. Die Serien sind wieder gestört; wir werden weiterhin sehen, dass ein gegenseitiges Entsprechen der Serien auch nicht sicher zu erwarten ist.
Nach den einleitenden Erörterungen ist zu erwarten, dass sich die Linien eines Spectrums aus verschiedenen Klassen zusammensetzen, und zwar so, dass jede Klasse durch eine transscendente Gleichung repräsentirt wh'd.
Die grössten Wellenlängen des Lithiums geben bei der Um- rechnung Wellen, die in's Ultrarothe fallen und sich so leicht der Beobachtung entziehen. Scheiden diese aus, so bleiben noch 7 beobachtete Linien im Lithium-Spectrum übrig. Diese Anzahl ist zu gering, um daraus Schlüsse zu ziehen; immerhin sei bemerkt, dass sich . 4 von diesen wieder nach der Formel
t = B..Y'%
annähernd berechnen lassen, wenn
B = 13,381
gewählt wird, wie die folgende Tabelle zeigt.
|
Lithium |
Natrium |
|||||
|
Serie! n |
beobachtet |
berechnet |
beobachtet |
Differenz |
n Serie |
|
|
II 3 II ; 4 III 1 7 I 3 |
6103,77 4602,37 3838.30 3232,77 |
8167,4 6156,5 5136,0 4325,7 |
8188,3 6154,62 5149,19 4325,7 |
— 20,90 + 1,88 — 13,19 |
3 4 5 9 |
m,2 11,1 II. J 111,1 |
F. Lindemann: Zur Theorie der Spectrcdlinien, 481
Die Zahl 5149,19 kam auch in der vorhergehenden Ta- belle vor; sie wäre dort eventuell durch die ebenfalls beob- achtete Wellenlänge 5153,72 zu ersetzen. Wenngleich man aus diesen wenigen Zahlen keine Schlüsse ziehen kann, haben wir diesen Vergleich doch angestellt, da sich im Folgenden beim XJebergange von Natrium zum Kalium etwas ähnliches zeigen wird.
§ 12. Natrium und Kalium.
Im Spectrum des Natrium unterscheidet man die schon soeben erwähnten Serien, nämlich eine Haupt-Serie
I 10» A-^ = 41496,34 — 127040 n-^ — 843841 n-\
und zwei Neben-Serien, jede aus Linien-Paaren bestehend:
n,i lO^'A-» = 24549,12 — 120726n-2 _ 197891 w*,
II, j 24565,83 — 120715 n-^ — 197935 w-^
IU,j 24475,34 — 110065 n-2— 4148 n-^
ni„ 24494,84 — 110153 n-2 — 3487 n'S
worin die ganze Zahl n von 3, bezw. 4 bis 9 geht.
Beim Kalium liefert die Haupt-Serie für jeden Werth von n ein Paar benachbarter Linien nach den Formeln
I,, WX-^ = 35091,83 — 127207 n-2 — 623087 n-*, I,, 35093,22 - 127213n-2 — 618547 n-\
Ausserdem treten vier Neben-Serien, die sich auch paar- weise ordnen lassen, auf, nämlich:
11,1 108A-> = 22021,83 — 119393n-2 _ 62506w-^
-4
II„ 22077,11 — 119264 n-2 — 63981 w
111.1 21991,24 — 114450 n-2— 11 1146 w-\
111.2 22050,32 - 114478 n-2 ^ 1 11337 n-*.
In den Spectra beider Elemente h abe ich zunächst wieder die Serien verglichen. Es ergibt sich, dass sich die Haupt- Serie des Natrium nach der Formel
r-i)/
Ka
Na annähernd auf das Kalium überträgt, wie folgende Tabelle zeigt.
482
Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1901.
|
Natrium |
Kalium |
|||||
|
n |
beobachtet |
berechnet 7032,2 |
beobachtet |
Differenz |
n |
Serie |
|
3 |
5896,16 |
|||||
|
4 |
3303,07 |
3939,5 |
3943,3 B. |
— 3,80 |
— |
: |
|
5 |
2852,91 |
3402.6 |
3403,8 B. |
— 1,20 |
— |
|
|
6 |
2680,46 |
3196,9 |
/3 190,2 B. \3217,27 |
+ 6,7 — 10,37 |
6 |
1.1 |
|
7 |
2593,98 |
3093,6 |
3102,15 |
— 8,55 |
7 |
i I.! |
|
8 |
2543,85 |
3034,0 |
3034,94 |
— 0,94 |
8 |
I.l |
|
9 |
2512,23 |
2928,0 |
/2938,7 B. \2942,8 |
— 10,70 — 14,80 |
11 |
I,. |
|
4494,3 |
5360,2 |
5359,88 |
+ 0,32 |
Die letzte Linie der Tabelle gehört nicht der Haupt-Serie j»n; sie ist mit aufgeführt, weil sie in gleicher Weise wie die anderen zu einer beobachteten Kalium-Linie führt. Der Buch- stabe B. bezieht sich wieder auf das Funken-Spectnim de5 Kalium.
Unter den obigen Natrium-Linien lässt sich eine Gruppe von 10 Linien aussondern, die nach der Formel
.•=^■^■1/-^
bekannte Kalium-Linien ergeben, wenn
A = 2,60215 genommen wird; sie sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
|
Natrium |
Kalium |
||||||
|
Serie |
n 6 |
beobachtet 4665,2 B. |
berechnet |
beobachtet |
DiflFerenz |
n Serie |
|
|
III, j |
5133,4 |
5112,68 |
+ 20.72 |
7; II., |
|||
|
II,. |
7 |
4546,03 |
5002,2 |
5006,8 B. |
— 4,20 |
— — |
|
|
— |
4500,0 |
4951,6 |
4952,2 |
— 0,60 |
8 III. 1 |
||
|
III,. |
7 |
4494,3 |
4946,2 |
4943,1 |
+ 2,10 |
8, III. 5 |
|
|
II, i |
8 |
4423,7 |
4867,6 |
4870,8 |
— 3,20 |
9 II,, |
|
|
II,, |
8 |
4420,2 |
4863,6 |
4863,8 |
— 0,20 |
9 |
II. f |
|
_. |
4393,7 4390,7 |
4834,6 4831,3 |
|4832,3 B. |
+ 2,30 , — 1,00 : |
^^^^ |
,^_ |
|
|
II,, |
9 |
, 4343,7 |
4779,6 |
4788,8 |
— 9,20 1 |
10! III. j |
|
|
" |
4325,7 |
4759,8 |
4759,8 |
11 |
II.. |
F, Lindemann: Zur Theorie der Spectrallinien,
483
Eine andere Gruppe von 12 Linien lässt sich gemäss der Formel
~B, wo JB = 1,0677, Na
zusammenstellen, wie die folgende Tabelle zeigt.
Natrium
Kalium
III,
II.
II, III, III,
II,
II, 111, III,
11,
1,
|
1 |
5 |
|
1 |
6 |
|
2 |
6 |
|
1 |
6 |
|
3 |
6 |
|
1 |
7 |
|
2 |
7 |
|
1 |
7 |
|
2 |
7 |
|
1 |
9 |
|
4 |
4983,53
4752,19
4748,36
4669,4
4665,2
4546,03
454:^,75
4500,0
4494,3
3343,7
3302,47
5320,5 5073.4 5069,8 4992,3 4981,1 4854,3 4850,3 4804,7 4798,6 4637,3 3526,7
|
t beobachtet |
Differenz |
n |
Serie |
|
|
5323,55 |
— 3,05 |
6 |
in.2 |
|
|
5084,49 |
— 11,09 |
7 |
in,2 |
|
|
5057.4 B. |
+ 12,40 |
|||
|
5006,8 B. |
— 14.50 |
|||
|
4965,5 |
-h 15,60 |
8 |
11,1 |
|
|
4856,8 |
~ 2,50 |
9 |
m.i |
|
|
4850,8 |
— 0,50 |
9 |
111,2 |
|
|
4808,8 |
— 4,10 |
10 .111,2 |
||
|
4796,8 |
+ 1,80 |
10 111,1 |
||
|
4650,7 B. |
- 13,40 |
|||
|
3531,2 B. |
— 4,50 |
Von den 35 Linien, welche Kayser und Runge im Natrium-Spectrum aufführen, sind so 27 mit Linien des Kalium- Spectrums annähernd zur Deckung gebracht; die doppelt vor- kommende Linie 4494,3 ist dabei nur einfach gezählt. Die Linien der Haupt-Serie des Natrium entsprechen Linien der Haupt-Serien des Kalium oder solche, die hier keiner Serie zugehören ; den Linien der Neben-Serien entsprechen im wesent- lichen ebensolche Linien.
§ 13. Kupfer, Silber und Gold.
Im Kupfer-Spectrum führen Kayser und Runge 305 Linien auf; nur verhältnissmässig wenige lassen sich zu Serien zu- sammenordnen. Auf diese beschränke ich vorläufig die nach- folgende Untersuchung. Wir haben zwei sogenannte Neben- Serien, die aus Paaren von Linien bestehen, welche aber nicht alle beobachtet wurden. Analog sind die Verhältnisse beim Silber, in dessen Spectrum 66 Linien angegeben werden. Aus den Silber-Linien sind nach der Formel
'--V%-'-V
63 108
die Kupfer-Linien berechnet.
484 Sitzung der math.'phys. Glosse iDom 7, Dezember 1901.
Silber
|
Serie |
n |
beobachtet |
|
5545,86 |
||
|
1,1 11,1 1,1 |
4 4 5 |
5471,72 4888,46 4668,70 4212,1 |
|
11,1 |
5 |
3981,87 |
|
1,1 |
6 |
3810,6 |
|
3383,0 |
berechnet
4633,8
4571,9 4084,6 3900,9 3519,4
3327,0
3183,9 2826,7
Kupfer
beobachtet
/4634,47 B.
\4642,78 4587,19 4080,70 3899,43 3520,07
/3327,2 B.
13329,68
/3 184,7 B.
\3175,81 2824,7 B.
Differenz
+
+
+
+
0,67 8,98 15.-29 3,90 1,47 0.C7 0.20 2.68 0.80 8.09 2,00
Bei der grossen Menge der im Kupfer beobachteten Linien könnte man die XJebereinstimmung für zufällig halten ; deshalb habe ich umgekehrt den Ausgang von den Linien der Kupfer- Spectrums genommen, soweit dieselben durch die Beobachtungen von Kayser und Runge ausgezeichnet sind. So ergibt sich folgende Tabelle.
Kupfer
Serie
n
beobachtet
Silber
berechnet
beobachtet
Differenz
|
|
— ....--. |
||
|
1,1 |
4 |
5782,30 5220,25 |
6920,3 6247,0 |
|
II,, |
4 |
4531,04 |
5422,8 |
|
1,1 |
5 |
4063,50 4056,8 |
4863,9 4855,3 |
|
II, J |
6 |
3861,88 |
4622,0 |
|
3688.0 |
4414,6 |
||
|
1,1 |
7 |
3512,19 |
4204,5 |
|
1,1 11,1 |
8 6 |
3415,94 3599,20 |
4087,8 4307,5 |
3274,00
3919,1
|
1 |
— • |
|
|
6249 B. |
— 1.6 |
|
|
(5436,0 |
— 13,2 |
|
|
\5424,9 B. |
— 2.1 |
|
|
4874.36 |
— 10,46 |
|
|
4848,33 |
^, |
f- 6,97 |
|
(4620,57 B. |
- |
- 1,43 |
|
U6 16,03 |
- |
h 5.97 |
|
(4411.0 B. |
- |
- 3.6 |
|
\4396,49 |
- |
h 18.11 |
|
/4209.4 B. \4212,1 |
— 4.9 |
|
|
— 7,6 |
||
|
40^5,92 B. |
+ 1.8S |
|
|
4311,3 B. |
— 3.80 |
|
|
(3919,95 B. \3914.47 |
— 0,85 |
|
|
- |
h 4.63 |
F, Lindemann: Zur Theorie der Spectrallinien,
485
Versucht man die in der vorletzten Tabelle berücksichtigten Silber-Linien auf das Spectrum des Goldes nach der Formel
V^-^V
197 108
zu übertragen, so kommt man zu folgendem Resultate.
|
Silber |
Gold |
||
|
beobachtet |
berechnet |
beobachtet |
Differenz |
|
5545,86 |
6776,1 |
||
|
5471,72 |
6685,6 |
6670 B. |
+ 15.6 |
|
4888,46 |
5973,0 |
/5957,24 \5961,40B. |
-f 15,76 4- 11,60 |
|
4668,70 |
5704,4 |
5692,49 B. |
+ 11,91 |
|
4212,1 |
5146,5 |
5142,62 B. |
+ 3,88 |
|
3981,87 |
4865,2 |
||
|
3810,6 |
4655,9 |
4649,96 B. |
+ 5,94 |
|
3383,0 |
4133,5 |
4128,80 B. |
+ 4.70 |
Der Buchstabe B. bezieht sich wieder auf die im Funken- Spectrum allein beobachteten Linien.')
Die Metalle Kupfer, Silber und Gold gehören zur ersten Mendele Jeff 'sehen Gruppe. Soweit man aus den hier mit- getheilten Proben einen Schluss ziehen kann, scheinen sie in ihrem Verhalten mehr den Elementen der zweiten Gruppe sich zu nähern; es wäre aber möglich, dass wir zufällig gerade günstige Linien-Gruppen herausgegriffen haben. Beim Ver- gleiche zwischen Gold und Silber liegen die Differenzen zwischen Rechnung und Beobachtung alle in gleichem Sinne, was an- deutet, dass noch mit einem Factor (Ä in den früheren For- meln) zu multipliciren sein wird.
§ 14. üeber das Auftreten der Serien von Spectral-Linien.
Die angeführten Beispiele zeigen, dass in vielen Fällen bei unserer Uebertragung der Linien eines Elementes auf ein an- deres Element die von Rydberg, Kayser und Runge be-
^) Reports of the British Association 1884 und (mit den neueren Beobachtungen von Eder und Valenta) 1895.
486 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1901,
merkten und durch empirische Formeln dargestellten Serien theil weise gestört werden. Man wird fragen, ob eine solche Störung mit unserer Theorie vereinbar ist, und ob letztere überhaupt zur Aufstellung solcher Serien Veranlassung gibt.
Es muss zunächst hervorgehoben werden, dass die Ein- theilung der Spectral-Linien in Serien nur bei den Elementen der ersten Mendelejeff 'sehen Gruppe nahezu gelungen ist. während bei denen der zweiten Gruppe nur vereinzelte Serien festgestellt werden konnten. Das Auftreten dieser Serien hängt demnach von den specifischen Constanten des Elements ab; und man kann nicht erwarten, dass eine allgemeine Discussion unserer transscendenten Gleichungen zu solchen Serien führen wird; nur bei speciellen Relationen zwischen den vorkommen- den Constanten wird vielmehr ein solches Resultat zu erwarten sein. Deutlich ist dies auch dadurch angezeigt, dass ein bei Alkalien gefundenes empirisches Gesetz (nach welchem die Schwingungsdifferenz der Paare oder Triplets in der gleichen Serie dem Quadrate des Atomgewichtes proportional ist) bei anderen Elementen nicht bestätigt wurde.
Die von uns aufgestellten Gleichungen (18), (23), (23a). (34) haben die gemeinsame Eigenschaft, dass sich ihre Wurzeln
fig bei wachsender Grösse den ganzen Vielfachen von -^ oder
71 nähern. Bedeutet also n eine ganze Zahl, so kann man bei hinreichend grossem Werthe des Index s die Wurzel n, in der Form
na = an '\- ßn~^ + y^~^ + • • • •
ansetzen. Nun ist n» der Schwingungsdauer T und somit auch der Wellenlänge X umgekehrt proportional. Demnach erhalten wir
(45) A-> = an + bn-^ + cn'^ +
Diese Formel möge für eine der obigen transscendenten Gleichungen Gültigkeit haben; für eine andere dieser Gleich- ungen sind statt a, 6, (?,... . andere Werthe einzusetzen. Für
F, Lindemann: Zur Theorie der SpectrcUUnien. 487
zwei verschiedene von jenen Gleichungen gelten daher Formeln der Gestalt
«0
A,7^ = an '\-^as n~*, (46)
I
^m = am -{• Zjastn^'.
8=1
Wir nehmen an, die zur Zahl n gehörige Wurzel A„ der einen Gleichung sei identisch (oder nahezu identisch) mit der zur Zahl m gehörigen Wurzel X^ der andern Gleichung, so dass die numerische Relation
(47) X^ = Am = an -|- HasU"' = am -{- Za^m"*
besteht. Nehmen wir ferner an, es sei in Folge der speciellen Constanten des Atoms m sehr gross gegen w, so dass
m =^ IX -\- n
gesetzt werden kann, wo fx eine sehr grosse Zahl bezeichnet. An Stelle der zweiten Gleichung (46) erhalten wir dann
(48) X7n' =a{fi^n)^ la.ijjL + n)-^
und mit Hülfe von (47) folgt durch Elimination von n
aXm — aA» = aaju -{- aüasifx -^ n)'' — aHagfi^'. Es ist also
Xm = A„ = 2j a« (/W + n)'* 2J a« w"».
a-a a—a ^ a—a
Lassen wir m und n gleichseitig um eine Einheit ab- nehmen, so werden die Wellenlängen kn-i und A,„_i nur wenig von einander verschieden sein; dasselbe wird für k„^r und A^-r gelten, wenn die Zahl r hinreichend klein ist. Die Gleichungen (46) bezw. (48) ergeben
i'lr = a(n — r) + i:as(n — r)-', ;«!,= (^(f^ + n — r) + 2'a,(//-f-n — r)-»; und die Elimination von n ergibt:
488 Sitzung der mcUK-phys. Classe vom 7. Dezewiber 1901.
aXm-r — oii^^r = aajx -}- aZa^ijjL -f n—r)~* — a2a^{n—r)-*.
Setzen wir nun
^-r ^— r — ^r?
SO wird
a—a a—a ^ a—a ^ ^
%-r=--^^-^ + LasO"+n-r)- Ea,(w-r)-.
a — a a—a ^ a—a ^ ^
Soll nun, wie sehen hervorgehoben wurde, ju, eine sehr grosse, Er eine sehr kleine Zahl sein, und sind auch aju, und a/i gross gegen Er, so erleidet die Differenz afi — Sr bei Verände- rung von r nur sehr geringe Aenderungen, kann also als an- nähernd constant betrachtet werden; dasselbe gilt für die Summe ajn -j- Er; wir setzen demnach
a = aa fj. — «r- Oq = a a /i + f r.
Ferner können, wenn /i gross ist, alle negativen Potenzen von {jJi-\- n — r) vernachlässigt werden, denn die Zahl r darf ia gewisse Grenzen nicht überschreiten. Unter diesen An- nahmen erhalten wir die folgenden Näherungsformeln
(49)
a — a a — a a — a a — a
Hiermit sind in der Nähe einer Stelle des Spec- trums, wo zwei verschiedene von den obigen trans- scendenten Gleichungen eine gemeinsame Wurzel haben (wo also zweien verschiedenen Gruppen von Linien eine Wellenlänge gemeinsam ist), die vorauf- gehenden reciproken Wellenlängen (Wurzeln n,) an- genähert dargestellt.
F, Lindemann: Zur Theone der Spectrcdlinien. 489
Es handelt sicli dabei selbstverständlich nicht nothwendig um convergente Reihen-Entwicklungen, sondern nur um einen Ansatz für numerische Rechnung. Solche Stellen, wo eine Gleichung von der Form (47) besteht, werden nicht bei jedem Elemente in dessen Spectrum vorkommen, sondern nur bei be- sonderer Beziehung zwischen den Constanten des Elements. Genau ist die Relation (47) wahrscheinlich niemals erfüllt, sondern immer nur näherungsweise. Vorausgesetzt ist ferner, dass jbL und e die angegebenen Grössenverhältnisse aufweisen.
Die Gleichungen (49) zeigen nun genau den Typus der Formeln, welche Kays er und Runge für ihre Paare zusam- mengehöriger Serien aufgestellt haben. Es ist nämlich das wichtige Gesetz erfüllt, dass zwei zusammengehörige Serien sich nur durch das constante Glied unter- scheiden, während die Goefficienten der negativen Potenzen des Index (n — r) in beiden Formeln iden- tisch sind.^)
Dieses Gesetz ist bei den Alkalien (ü. Na und K) nur näherungsweise erfüllt; wahrscheinlich ist bei diesen die Zahl /bt nicht gross genug, um die von uns vorgenommenen Vernach- lässigungen zu rechtfertigen.
Die Differenz zusammengehöriger Schwingungszahlen wird durch die Zahl €r dargestellt; diese Differenz wird mit wach- sendem Index r (d. h. abnehmender Wellenlänge) thatsächlich abnehmen (während wir sie als nahezu constant behandelten), was mit den Beobachtungen von Kayser und Runge über- einstimmt. Für r = 0, d. h. für die gemeinsame Wurzel der beiden transscendenten Gleichungen, wird sie gleich Null; für diesen Fall sind also die Formeln (49) nicht mehr anwendbar.
Die Rechnungen von Kayser und Runge zeigen, dass in der Praxis'
ttj = 0 und ttj = 0
') Vgl. besonders die Zusammenstellung der Neben-Serien in Nr. IV der auf p, 403 citirten Abhandlungen von Kayser und Runge.
490 Sitzung der math.-phys, Classe vom 7, Dezember 1901.
gesetzt werden kann; ihre Formeln sind nämlich von der Ge- stalt (vgl. oben p. 464, 468, 471, 478 f.):
Die Zahl n hat bei den genannten Autoren meist den Werth 8, 9 oder 10, r successive die Werthe 1, 2, 3, 4, 5. Es ist aber zu beachten, dass unsere Zahl n nicht nothwendig mit der entsprechenden Zahl bei Kayser und Runge über- einstimmt. Bis jetzt ist nemlich der Anfangspunkt w = 0 noch willkürlich gelassen; durch die Substitution
(50) n = nQ + N
kann man ihn an eine beliebige Stelle verlegen; dann wird
1 ^ 1 ^ 1 A _ np _ ^ \
-r n^+N — r N—r\ N—r'^{N—r)^ '")'
n —
wenn w^ < jN" — r ist. Unter dieser Voraussetzung ändern also die Formeln (49) durch die Substitution (50) ihren Charakter nicht. Ist aber w^>iV— r, so wird
^ — ^ ^0 \ Wo w; /
also:
-1
l-L, = Co + C,{N-r) - C,(iV-r)» + . . . ;
wir erhalten also eine Formel von dem Typus, wie sie (mit dem Werthe 6'j = 0) Deslandres für die Bandenspectra der Me- talloide empirisch aufgestellt hat.*)
Durch directes Einsetzen des in (50) gegebenen Werthes entsteht eine Gleichung der Form
X-!.,. = C\ - (7,K + N- r)-> - C7,(«o + N- r)-^ -.. .
') Comptes rendus, t. 104, 106, 110, 112 (1887-91).
F, Lindemann: Zur Theorie der Spectrcdlinien. 491
welche sich an die Balmer'sche Formel für Wasserstoff und an die Rydberg'sche Verallgemeinerung derselben an- schliesst.
Wenn zufallig drei unserer obigen transscendenten Gleich- ungen an der einen Stelle des Spectrums eine gemeinsame Wurzel haben, so entstehen drei zusammengehörige Formeln des Typus (49), also nicht Paare sondern Triplets von Linien, die Serien bilden (vgl. das Vorkommen bei Mg, Ca, Sr, Zn, Cd, Hgy
Um eine Formel der Gestalt (49) an Stelle der ursprüng- lichen (45) zu setzen, bedarf es natürlich nicht des Hinzu- tretens einer zweiten Gleichung; denn numerisch müssen die aus (49) berechneten Werthe von X^-r mit den aus (45) be- rechneten übereinstimmen. Auch die Wurzeln einer einzigen Gruppe (aus Linie von § 5) können daher in der Nähe einer bestimmten Stelle des Spectrums durch eine Formel des Typus (49) angenähert dargestellt werden. So scheint es beim Li- thium und Wasserstoff zu sein.
Wenn die Voraussetzungen, nach denen wir in § 6 Be- ziehungen zwischen den Spectren verschiedener Elemente auf- gestellt haben genau erfüllt wären, müsste beim Uebergang von einem Elemente zum anderen aus jeder Serie wiederum eine Serie entstehen. Da aber diese Voraussetzungen wohl nur annähernd zutreffen, da ferner unsere transscendenten Gleichungen nicht in gleicher Weise von den Constanten des Atoms abhängen, so ist es natürlich, wenn bei diesem Ueber- gange die Serien in mannigfacher Weise gestört werden, wie es die obigen Beispiele zeigen (vgl. die mitgetheilten Tabellen). Andererseits zeigen diese Beispiele, dass man auf diesem Wege (wie beim Baryum, Silber und Gold) auch neue Serien auf- finden kann.
Endlich bliebe zu untersuchen, ob das Auftreten der Serien etwa durch die transscendente, noch nicht näher untersuchte Gleichung (16) bedingt sein kann.
492 Sitzung der niath,-phys. Classe vom 7. Dezember 1901,
§ 15. Versuch zur Trennung der verschiedenen
Linien-Gruppen.
Der weiteren numerischen Behandlungen der aufgestellten Gleichungen steht eine wesentliche Schwierigkeit entgegen, da man zuerst die Aufgabe hat, die verschiedenen, in § 5 auf- gestellten Linien-Gruppen von einander zu trennen.
Im Folgenden ist der Versuch gemacht, die der Gleichung (23), also der sechsten Gruppe angehörigen Linien von den übrigen zu trennen. Der Rechnung wurden die Beobachtungen am Magnesium zu Grunde gelegt. Die Wurzeln nähern sich bei wachsendem Wertlie von f = n^ den ungeraden
Vielfachen von — . Die entsprechenden Schwingungszahlen
(A"') müssen sich also annähernd verhalten, wie die auf ein- ander folgenden ungeraden ganzen Zahlen.
Es wurden nun die Differenzen der Logarithmen der auf- einander folgenden ungeraden Zahlen gebildet. Andererseits wurden die Differenzen der Logarithmen der beim Magnesium beobachteten Schwingungszahlen gebildet, die Differenzen dieser Differenzen u. s. f., bis sich eine Differenz ergab, die annähernd mit der Differenz der Logarithmen successiver ungerader Zahlen übereinstimmte. Dies trat zuerst bei dem Verhältnisse 21:19 ein; es ist nemlich
log 21 — log 19 = 0,43465.
Ln Magnesium - Spectrum kommt nun die Wellenlänge 5711,56 vor; und es ist
21 log (5711,56)-' + log-j^ = log (5167,7)-».
Im Magnesium-Spectrum kommt aber nicht die Wellen- länge 5167,7, sondern 5167,55 vor; demnach ist in der folgen- den Tabelle die Zahl 5167,7 in die zweite Columne als be- rechnet, die Zahl 5167,55 als beobachtet eingetragen. Es i>t ferner
OQ
log (5167,55)-' + logg = log (4718,1)-',
P, Lindemann : Zur Theorie der Spectratlinien.
493
während die Zahl 4703,33 einer beobachteten Wellenlänge entsprechen würde. Die erste Golumne der Tabelle enthält die zugeordneten ganzen Zahlen 19, 21, 23, ... . In dieser Weise ist die Rechnung fortgeführt bis an das Ende der be- obachteten Linien im Magnesium-Spectrum. Die Golumne der beobachteten Linien weist einige Lücken auf. Die vierte Go- lumne gibt die entsprechenden Wellenlängen des Galcium, und zwar gemäss der in § 7 aufgestellten Zuordnung; die einge- klammerten Zahlen sind nur berechnet und nicht beobachtet. Die fünfte Golumne enthält in gleicher Weise die zuge- ordneten Linien des Gadmium, die sechste diejenigen des Queck- silbers. Wo der berechneten Linie eine beobachtete annähernd entsprach, ist diese letztere in die Tabelle eingesetzt. Der Buchstabe B. bezieht sich wieder auf die Funken-Spectra in den Publicationen der British Association.
Im Funken-Spectrum liegen die Quecksilber-Linien so dicht, dass ihre Aufführung in der Tabelle keine besondere Beweis- kraft hat. Ich habe mich aber überzeugt, dass auch im Stron- tium, Baryum und Zink eine ähnliche Serie ausgesondert wer- den kann.
|
Maguesium |
Zugeordnete Linien des |
||||
|
m |
berechnet |
beobachtet |
Calcium |
Cadmium |
Quecksilber |
|
19 |
Ausgangspunkt |
5711,56 |
— > |
— |
|
|
21 |
51G7,7 |
5167,55 |
6102,99 |
— |
— |
|
23 |
4718,1 |
4703,33 |
(5558,0) |
— |
|
|
25 |
4352,0 |
4352,18 |
(5143,1) |
— |
— |
|
27 |
4029,8 |
(4762,1) |
(6322,9) |
(6457,8) |
|
|
29 |
3751,9 |
3765 B. |
(4449,2) |
(4923,7) |
(6034,1) |
|
31 |
3522,1 |
— |
4143,0B. |
4662,69 |
5781,9 B. |
|
33 |
3308,G |
3330,08 |
3933,83 |
(4398,6) |
5416,9 B. |
|
35 |
3139,8 |
3706,18 |
4141,0B. |
4864,8 B. |
|
|
37 |
2970,1 |
(3509,8) |
3940,0 B. |
4616,5 B. |
|
|
39 |
2817,8 |
2802,80 |
3729,21 |
4525,1 B. |
|
|
41 |
266(i,l |
2668,26 |
3158,98 |
3500,09 |
4246,1 B. |
Hiermit sind wir an das Ende der Magnesium-Spectrums angelangt; setzen wir nun die Itechnung für Calcium fort, so ergibt sich:
1901. SitzangBb. d. maib.-pbys. CI. 33
494 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7. Dezember 1901,
|
Calcium |
Zugeordnete Linien des |
|||
|
ni |
berechnet |
beobachtet |
Cadmium |
Quecksilber |
|
43 45 |
3012,1 2807,9 |
3006,95 |
(3361,1) 3211,8 B. |
4078,05 3896,3 B. |
Hiermit ist auch das Ende des Calcium-Spectrums erreicht: wir müssen daher die Rechnung im Cadmium-Spectrum fort- setzen und finden:
771
Cadmium
berechnet i beobachtet
Zugeordnete Quecksilber- Linien
47 49 51 53 55 57 59 61 63
3075,1 2955,3 2845,5 2729,9 2634,6 2539,9 2458,7 2378,1 2148,2
|
3081,03 |
3738,9 B. |
|
2961,64 |
3593,2 B. |
|
2837,01 |
3440,6 B. |
|
2733,97 |
3320,5 B. |
|
2632,29 |
3207,7 B. |
|
2544,84 |
3085,41 |
|
2469,3 B. |
3007,02 |
|
2377,3 B. |
2386,8 B. |
|
2144,45 |
2605,29 |
Es kommen in der Tabelle einige Linien vor (z. B. 5167,55 und 2668,26 beim Magnesium, 3938,33 beim Calcium), welche schon in den Serien von Kayser und Runge verwendet wur- den; das dürfte nicht sein, wenn die hier ausgeschiedenen Serien wirklich einer anderen Gruppe als die früheren Serien angehören, sofern nicht zufallig mehr Coincidenzen vorkommen. Die mitgetheilten Tabellen haben daher keine andere Be- deutung als diejenige, dass sie zeigen, nach welcher Methode vielleicht eine Ausscheidung nach Gruppen möglich ist. Ich hoffe, die hier aufgeworfene Frage demnächst rechnerisch weiter verfolgen zu können.
Sollte es gelingen, hierdurch einzelne Linien des Spectrums den absoluten Zahlen (in der ersten Columne) definitiv zu- zuordnen, so wäre dadurch für die Berechnung der andern charakteristischen Constanten des Elementes ein wesentlicher Schritt gethan.
495
Ueber die Gleichung x'' = if + ^**.
Von F. Lindemann«
{Eingelaufen 7. Deeember.)
Vor einiger Zeit habe ich eine Untersuchung über den F er mat 'sehen Satz, betreffend die Unmöglichkeit dieser Gleich- ung veröffentlicht, in der ein Beweis für diese Unmöglichkeit versucht wurde. Leider ist derselbe an zwei Stellen (p. 195 und 199) durch Rechenfehler entstellt, und leistet in Folge dessen nicht das verlangte. Er gibt aber insofern einen Fort- schritt, als die von Abel gemachten Angaben zum ersten Male bewiesen worden sind, wonach sich die drei Zahlen x, y, z^ welche obiger Gleichung genügen, durch drei ganze Zahlen V^ Q.'t ^ gemäss den Formeln
2x =■ p*^ -\- q^ -{■ r»*, 2y = p^ -\- q*' — r»», 2 ^ = ^»» — q^ + ^**»
darstellen lassen, wenn keine der Zahlen durch n theilbar ist, im andern Falle aber, wenn z. B. z den Factor n enthält, durch die Formeln
2 a; := ^*» + {/** + ^""* ^**» 2 y = ^)»» -j- q'^ — n^~^ r",
2z = p*' — (?♦* + W*-^ r".
38'
500 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1901,
Nasenfortsatz des Zwischenkiefers und dem Stimfortsatz des Oberkiefers bleibt etwas länger deutlich offen, aber schon bei wenig grösseren Früchten ist aus serlich von der ehemaligen Trennung nichts mehr oder fast nichts mehr zu bemerken.
Speziell hebe ich hervor, dass von einer Trennung zwischen den Alveolen der beiden Schneidezähne auf der Vorderansicht d. h. auf der alveolaren Vorderfläche der Zwischenkiefer auch nicht die leiseste Spur bemerkbar wurde.
Soweit stimmen meine Ergebnisse vollkommen mit denen Theodor Kölliker's überein.
Aber meine Ergebnisse stinmien auch vollkommen mit den Beobachtungen überein, welche Biondi an Schnittserien, also nach einer ganz anderen Methode, gefunden hat:
Seine beiden „Zwischenkiefer* stehen nicht im Ganzen neben einander, sondern im Wesentlichen hinter einander, so dass von dem zweiten auf der Aussenfläche des Alveolarfort- satzes normal nichts in Erscheinung tritt.
Der eine der beiden Ossificationscentren Biondi^s für jeden Zwischenkiefer liegt im Gebiete des inneren Nasenfortsatzes: metopogener Zwischenkiefer, der andere im Gebiete des Ober- kieferfortsatzes: gnathogener Zwischenkiefer. Der letztere, welchen ich mit Meckel u. A. als vorderen Zwischenkiefer bezeichnen möchte, bildet die Hauptmasse des Knochens, er ist es, den unsere Fig. 1 wiedergibt. Die beiden metopogenen oder, wie ich sagen möchte, die hinteren Zwischenkiefer, bilden (rechts und links) die hintere Alveolar wand für die beiden mittleren Schneidezähne, jeder hintere Zwischenkiefer für sich also die hintere Wand seines (des mittleren) Schneide- zahns. Die hintere Alveolarwand für den äusseren Schneide- zahn jederseits wird von dem äusseren Zwischenkiefer gebildet. Beide Zwischenkiefer bilden jederseits gemeinschaftlich den Zwischenkieferabschnitt des harten Gaumens.
Diese letzteren Verhältnisse, die Ausdehnung des hinteren Zwischenkiefers an der Rückwand des Alveolarfortsatzes sowie auf dem harten Gaumen, lassen sich viel leichter nachweisen als das isolirte Bestehen des äusseren Zwischenkiefers, welches
497
Die doppelten Zwischenkiefer des Menschen.
Von Johannes Ranke«
(Eingilaufin 6. Februor 1902.)
In Beziehung auf die Zwischenkieferfrage stehen sich bis jetzt zwei Anschauungen unvermittelt gegenüber.^)
Auf der einen Seite vertritt eine Anzahl von Autoren die von Theodor Kölliker-Sohn nach Untersuchungen an Kali- präparaten gewonnene Anschauung, dass der Mensch wie alle Säuger jederseits nur eine Zwischenkieferanlage besitze. Oscar Schnitze sagt in seinem Grundriss der Entwickelungsgeschichte des Menschen und der Säugethiere : *) „Die Zwischenkiefer hat Th. Kölliker zuerst mit Bestimmtheit beim Menschen nach- gewiesen als zwei kleine, in der 8. bis 9. Woche auftretende Knöchelchen, die sehr bald mit dem Oberkiefer verschmelzen.**^)
Es bleibt bei dieser Angabe unberücksichtigt, dass unter Waldeyer's Augen Biondi durch Untersuchung von Schnitt- serien nachgewiesen hat, dass der Zwischenkiefer der Säuge- thiere aus jederseits 2 also im Ganzen aus 4 Ossifications- punkten sich entwickele.*)
^) Die Literatur findet sich zusammengestellt bei Prof. Dr. F. Graf V. Spee, in K. v. Bardeleben: Skeletlehre. II. Abtheilung. Kopf. Jena 1896. S. 258 u. ff.
2) 1897. S. 221.
3) Kölliker Theodor, Ueber das Os intermaxillare des Menschen und die Anatomie der Hasenscharte und des Wolfsrachens. Nova Acta, Acad. L.-C. 43. Bd. 1881.
*) Biondi, Ueber Zwischenkiefer und Lippenkiefer-Gaumenspalte. Arch. f. Anat. u. Phys. Physiol. Abtheilung. 1886.
Derselbe, Ueber den Zwischenkiefer. Anatom. Anzeiger, 3. Bd.
498 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7, Dezember 1901,
Die beiden verschiedenen Ergebnisse waren 1888 bei dem Anatomen-Kongress in Würzburg von den beiden Haupt- betheiligten selbst: Th. Kölliker und Biondi vorgetragen worden. Obwohl bei dieser Gelegenheit Waldeyer die Prä- parate Biondi 's der Versammlung persönlich demonstrirte. kam es zu keinem Ausgleich der scheinbar nicht zu vermit- telnden Gegensätze.
A. V. Kölliker-Vater fand es, „was den Menschen anlange, auffallend, dass niemand nach seinem Sohne sich die Mühe gegeben habe, die erste Entwickelung der Inter- maxillare an den unzweideutigen Kalipräparaten zu prüfen, welche allein ganz sichere und relativ leicht zu gewinnende Ergebnisse liefern".^) —
Durch Studien über die überzähligen Knochen des mensch- lichen Schädels^) wurde ich zur Nachprüfung der Angaben über den menschlichen Zwischen kiefer veranlasst. Ich benützte, jenem Wunsche A. v. Kölliker 's entsprechend, die in- zwischen durch 0. Schnitze^) zu einer Methode ersten Ranges für derartige makroscopische Knochenuntersuchungen ausge- bildete Kalimethode.
Als Resultat dieser Untersuchung kann ich eine natur- getreue Abbildung der Vorderansicht der Oberkieferpartie eines Embryo von 28 mm Scheitel-Steisslänge, also aus dem Anfang des 3. Monats, vorführen (Fig. 1).
S. 577 (1888). Unter den darauf geprüften Säugethieren zeigte nur da* Schwein eine nur unvollkommene aber immer noch erkennbare Trennung dieser Ossifikationspunkte ; am Schwein hatte Th. Kölliker seine ver- gleichenden Untersuchungen hauptsächlich ausgeführt.
Theodor Kölliker, Ueber die einfache Anlage des Zwischenkiefer« (gegen Biondi). Anatom. Anzeiger, 3. Bd. S. 572 (1888).
1) Verhandlungen der Anatomischen Gesellschaft. Versammlung iu Würzburg 1888. Anatom. Anzeiger, 3 Bd. (1888). S. 579.
2) J. Ranke, Die überzähligen Hautknochen des menschlichen Schädeldachs. Abhandl. der kgl. bayer. Akademie d. W. II. Cl. XX. Bd. II. Abth. S. 276—464.
^) Oscar Schnitze, Grundriss der Entwickelungsgeschichte de^ Menschen und der Säugethiere. Leipzig 1897. S. 459.
J. Rnnke: Die doppelten Zmschenkiefer dea Menschen. 499
Die Zwischenkieferanlage erscheint jederseits, von der Vorderseite gesehen, als eine einheitliche, ganz so wie sie Th. Kölliker aus einem etwas früheren Stadium und daher noch etwas weniger entwickelt abgebildet hat. Mein Präparat entspricht in der Form sehr nahe der Form des Z wi sehen kief er s des nach- stehend abgebildeten kind- Zwischenkiefer emeB mensch] [eben Embryo liehen OrangUtan - Schädels """ Antane« Aea dritten Monsle»
(Fig. 2). Die definitive Form
des Älveolarfortsatzes des Interm axillare mit den Nachbar- partien, vor allem aber der Nasenfortsatz, welcher bei Th. Kölliker kaum angedeutet, ist schon ziemlich fertig uus-
Mein Bild entspricht auch sehr nahe dem von Leuekart')mitgetheil- ten, bei welchem aber die Trennung vom Ober- kiefer nur einseitig (rechts) unvollständig noch zu erkennen war.
Bei wenig älteren Embryonen sah ich
Zwischenkiefer und Oberkiefer mit einander in beginnender Ver- schmelzung. Diese beginnt an der oberen hinteren Ecke des Zwischenkiefer- Älveolarfortsatzes, die Trennung des Älveolar- fortsatzes nach unten erscheint dann noch als mehr oder weniger tiefe Einkerbung, die Trennungsspalte zwischen dem
') F. S, Leuckart, Untersuchungen ober das Zwiaehenkieferbein de» Menschen. Stuttgart 1840 (a, hier die illteie Literatur).
.1
505
Ueber die Divergenz gewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze.
Von Alfred Pringsheim.
(Eingelaufen 27. Desember.)
In einer früheren Mittheilung „Ueber das Verhalten von Potenzreihen auf dem Convergenzkreise'* habe ich im Anschlüsse an einen zuerst von Herrn Tauber bewiesenen Satz die Vermuthung ausgesprochen,^) dass die beiden Be- dingungen :
(A) \im^{QX) = Ä, lim av = 0
^ ^ e=l-0 v=<»
00
für die Convergenz von ^(x) = ^^ ayX'' an der Grenzstelle
1
X = X nicht hineinreichen dürften. Im folgenden will ich zeigen, dass es thatsächlich Reihen giebt, welche den Beding- ungen (A) genügen — ja sogar der ersten dieser Bedingungen in dem erweiterten Umfange, dass lim ^(x) ^= Ä beim Grenz-
Uebergange auf einem beliebigen, dem Innern des Conver- genzkreises angehörigen Strahle — und welche dennoch für
1) Sitz.-Ber. Bd. 30 (1900), p. 43. — Ich möchte bei dieser Gelegen- heit bemerken, dass ein ähnlicher Satz, wie der a. a. 0. p. 85 von mir formulirte, in einer anderen, mir inzwischen erst bekannt gewordenen Abhandlung des Herrn Tauber sich findet: „Ueber das Poisson'sche und das demselben conjugierte Integral* (Wiener Monatshefte, Jahrg. VI [1895], p. 118).
506 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7, De^mber 1901.
X = X divergiren.^) Dabei wird es ofifenbar, ohne der All- gemeinheit Eintrag zu thun, gestattet sein, speciell X = l anzunehmen.
00
1. Ist die Reihe 5j«v convergent und ihre Summe = .«,
1
so bestehen die beiden Bedingungen:*)
(1) lim l-«. + 2-a, + ...-f«.a. _ ^
MSOO
(2) lim ?L±A+_lJ.l±i!^ = 5 (wo:5,= ]L:^a,).
N-oo n I
Jede dieser Beziehungen (die zweite in dem Sinne, dass der betreffende Grenz werth irgend eine bestimmte Zahl s vor- stellt) ist also noth wendig für die Convergenz, dagegen erweist sich keine allein auch als ausreichend: der 1^- dingung (1) genügt z. B. jede divergente Reihe, für welche limw-a„ = 0 ist;^) der Bedingung (2) unendlich viele inner-
»i^OO
halb endlicher Grenzen oscillirende Reihen, als deren einfacli-
oo
ster Typus £»' ( — l)*""' gelten kann.
i
Wohl aber sind beide Bedingungen zusammen genonimeu für die Convergenz von 2!uy allemal auch hinreichend. Da nämlich:
5, + ^2 + . . . + 5„ = w . «1 + (n — 1) • a^ + . . . 4- 1 . a,,
so ergiebt sich durch Addition der Beziehungen (1) und (2i unmittelbar :
lim ^?-— — (aj + a, + . . . + a^) = s,
W=:co f»
^) Natürlich , uneigen tlich", da ja bei eigentlicher Divergenz von ZfiyX^ allemal lira^^l^X) = oo sein müsste (vgl. a. a. 0. p. 41).
2) Vgl. a. a. 0. p. 44.
3) Dies folgt unmittelbar aus dem bekannten C au chy 'sehen Greni-
werth-Satze: ^Es ist lim — ^ = lim (-4^ — -4„_,), falls der rechts»- stehende G^enzwerth existirt."
Ä, Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 507
also schliesslich:
00
lim («1 + 0^2 + . . . + dn) ^ S»' tty = 5.
M=:oo
Es erscheint zweckmässig, dieses Resultat in folgender Weise ausdrücklich zu formuliren:
Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Convergenz von -^a^, also für die Existenz eines endlichen lim 5» = 5 lässt sich in die beiden
n=oo
Bedingungen (1) und (2) zerlegen, derart dass jede einzelne dieser Bedingungen als eine noth- wendige^ aber erst beide zusammen als hinreichend erscheinen. Hierzu sei noch bemerkt, dass die Beziehung (1) allemal die für die Convergenz nothwendige Bedingung:
lim a„ == 0
in sich enthält. Ersetzt man nämlich in (1) n durch (n — 1), so folgt, dass für jedes beliebig kleine £ > 0 bei passender Wahl einer unteren Schranke für n die Ungleichung besteht:
I 1 • ttj + 2«a, + • • • + (w— '1) -ötM-i I < (w — !)• e. Da sodann auch:
I 1 • ttj + 2 • «2 + • • • 4' (^ ~ 1) • ^H-i -\- n'an\<n' e^ so folgt durch Subtraction:
I w • a„ I < (2n — 1) • €, also a fortiori | a^ | < 2f,
d. h. schliesslich:
lim an == 0.
Etwas analoges findet bezüglich der Bedingung (2) nicht statt. Vielmehr sind gerade die zunächst sich darbietenden Beispiele von divergenten Reihen, welche der Bedingung (2)
00
genügen (wie: £»' ( — 1)''~0» durchweg von der Art, dass
1
lim \an nicht verschwindet. Es entsteht nun naturgemiLss die
M = ao
508 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1901.
Frage: Giebt es wirklich divergente, der Bedingung (2) ge- nügende Reihen, deren Glieder den Grenz werth Null besitzen? Sobald die Existenz derartiger Reihen erwiesen ist, wird dann, wie leicht zu sehen, auch die am Anfange berührte Frage in bejahendem Sinne entschieden sein.
2. Es bedeute m;. (A = 1, 2, 3, . . .) eine unbegrenzte Folge wachsender natürlicher Zahlen von der Beschaffenheit, dass:
(3) lim {mxA-i — mx) = oo , lim — — = 1
;.=oo A=oo ^x
(z. B. nix = ^^, wo 2? > 1); ferner sei 2!dy eine divergente Reihe mit positiven, für r = oo verschwindenden Gliedern von der Art, dass:
(4) lim (d^.+i + d^,+2 + . . . + d«, . i) = 2 ^ > 0.^)
Jl=ao
Nun wurde gesetzt:
00
S*' «v = ^1 + . . . + d;„t ^1 • . . — d,n^
1
+ ^mi-fl + •••"!" dm^ — dmri-1 — • • • »mj
(5) +
"T" ^»»A-l4~^ I • • • 1 ^mx ^«»A— 1+1 • • * ^«"i
+
SO dass also:
^) Die allgemeinen Beziehungen, welche zwischen den d^ und m^ bestehen müssen, damit ein solcher „singulärer Reihenrest* ^y d,
«A+l
einen gewissen endlichen Grenzwerth besitzt, habe ich in einer früheren Arbeit („lieber die Werthveränderungen bedingt convergenter Reihen und Producte% Math. Ann. Bd. 22, 1883) ausführlich unter- sucht (vgl. a. a. 0. p. 470; 485 ff.). Handelt es sich, wie im vorliegenden Falle, im wesentlichen nur um die Herstellung specieller Beispiele, so lassen sich die </>-, i»v in überaus einfacher Weise auswählen, wie im Texte weiter unten noch gezeigt wird.
Ä, Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 509
(6) ^«A+/* ^
dntj^^f, für: (wa+1— mA) + l^/i<2(mA4-i— Wa)
{::
n
(A = 0, 1, 2, . . . und Mq = 0). Ist sodann wiederum Sn = S*' «
1
so hat man offenbar:
S2fnx = 0
also :
lim 52mA = 0 , lim s«^^.«^ , ^ = 2Ä.
A=oo A=oo "^
Da aber die Zahlen Sim^^ ^«a+'^a+i ^^ Minima und Maxima der Folge 5v (v = 1, 2, 3, . . .) liefern, so findet man schliesslich:
rrj^ lim Sn = 0, lii^ 5h = 2Ä,
n=QO N = 0O
d. h. die R^ihe Huy ist uneigentlich divergent, sie oscillirt in den Grenzen 0 und 2-4.
Andererseits ergiebt sich nun:
«2mA_i+l = ^mA_i+l
^^«*A-l+2 = ^mA_i+l + ^mA_i+2
^»*A_i-JM»;^ = ^»»A-l~l~^ •" ^"»A-l"f"2 I • • • r ^/"A ^»•A-i+mA+l ^ ^mA_i4-2 T~ • • • 4" ^m^
52mA— 1 ^^^ '"A
Ä2mA = 0
und daher:
5vf»i^_l4-l + 52mA_i+2 + . . . + 52mA
= (W^A - niA-l) (dmA-1+1 + ^»«A-1+2 + • • • + d^^), 1901. SitznngNb. d. Tnath.-pbys. Cl. 34
510 Sitzung der math.-phys. Glosse vom T. Dezember 1901. Daraus folgt weiter:
2mA
. . . + (mA — m^-i) (dm;._i4-i + • • • + ^ihJ
und sodann mit Benützung des Cauchy-Stolz'sclien Grenz- werthsatzes :
hm ^ Ij" Sy= lim — r
A=oo 2m;, 1 A=a, 2 (w^ ~ mx-i)
(9) = J[.
Bedeutet jetzt n eine ganz beliebige natürliche Zahl, so kann man allemal setzen:
2 mx^n<2mx-\.i.
Alsdann hat man:
und, wegen:
2»»A H 2mA_|.i
S" Sy < S*" 5v < £»' Sk
1 <1< 1
2mx+i n =" 2mi^ auch :
^ 2m; „ ?mA4.i
2mA4-i I w 1 2m), i
anders geschrieben:
, I 2m^ „ / 1 ^'"^+1 \
^-(s ILj" Sy] <--S»'5v<— ^-(Ti S-Sr),
mx^i v2in;. 1 / w , — m^ \2mx^i i J und somit schliesslich mit Benützung von Gl. (8) und (9):
(10) lim -'j:-Sy = Ä.
n=oo n 1
Die Reihe ^ üy besitzt also in der That die am Schlüsse von Nr. 1 bezeichneten Eigenschaften.*)
') Auf einem weit weniger elementaren, ja sogar in seinen Grund- lagen äusserst complicirten Wege, kann man — worauf mich Herr
Ä. Pringsheini: Divergenz gewisser Potenzreihen, 511
Um Reihen dieser Art in der denkbar einfachsten Art wirklich herzustellen, wird man etwa alle diejenigen dy, welche in dem Reihen-Schema (5) jedesmal eine Zeile bilden, einander gleich setzen und zwar:
2Ä
(11) dy = für: Wa + 1 "^^^^A+i,
also:
(12) a2m;i-t-^
2Ä
für: 1^/*^.*^^a+i-Wa
2Ä
= —- — 3^ für: (mx^i-mx)+l^/i^2{mx^i-mx).
An die Stelle der Gleichung (4) tritt dann die folgende, für jedes A = 0, 1, 2, . . . gültige:
(13) ^mx+\ + ^m;i^2 + • • • 4" ^'»X+l = 2 ^ .
Die so definirte Reihe -2*«^ genügt wiederum der Be- ziehung (10), während sie andererseits in den Grenzen 0 und Ä oscillirt und auf Grund der ersten Bedingung (3) lim Uy = 0 wird. Dabei wird man schliesslich noch die nix
v=oo
am einfachsten etwa in der Weise fixiren, dass man setzt m^-f 1 — mx = {^-{-ly oder auch mx = Ap+\ wo p eine natür- liche Zahl bedeutet.
3. Setzt man jetzt:
00
1
L. Fejer aufmerksam gemacht hat — die Existenz derartiger Reihen mit Hülfe eines Satzes nachweisen, den letzterer in den Coraptes rendus (10. Dezember 1900) mitgetheilt hat. Damach genügt die Summe einer Fourie r 'sehen Reihe, welche eine stetige (oder nur mit gewöhn- lichen Sprüngen behaftete) Function darstellt, durchweg der Bedingung (10). Da es nun nach Du Bois-Reymond stetige Functionen mit divergenter Fourier 'scher Reihen-Entwicklung giebt, so liefert jede solche Reihe, wenn man der Veränderlichen den Werth einer Divergenz- Stelle beilegt, ein Beispiel der verlangten Art. (Vgl. im übrigen die Be- merkung am Schlüsse von Nr. 3.)
34*
512 Sitzung der math.-phya. Classe vom 7. Dezember 1901.
wo ütty eine Reihe von der eben construirten Art vorstellt,
1 "
so hat man, wegen lim — JJv ^^ = ^^ nach einem bekannten,
n=oo W 1
von Herrn Frobenius bewiesenen Satze*) zunächst:
lim $ (e) = Ä,
wenn q eine positive reelle Veränderliche bedeutet. Der betrefiPende Satz lässt sich aber, wie weiter unten (s. Nr. 6) noch gezeigt werden soll, analog wie der AbeTsche Satz über den Grenzwerth einer für x=l noch convergenten ^(a;),*)
1 " dahin er weitem, dass aus lim — S'' Sy = Ä allemal geschlossen
werden kann:
wenn x auf einem beliebigen Strahle (bezw. einer beliebigen den Einheitskreis nicht tangirenden Curve) aus dem Innern des Einheitskreises der Stelle 1 zustrebt. Damit wäre dann aber die zu Anfang ausgesprochene Behauptung vollständig bewiesen, d. h. es gilt der Satz:
Die Bedingungen:
00
lim S'' «V ^^ = -4, lim a^ = 0
x=l 1 v=oo
sind für die Convergenz von 2ay zwar noth- wendig, aber keineswegs ausreichend.
Man bemerke noch, dass bei geeigneter Auswahl der a, die Reihe Z\ay — «v-f i | convergent ausfallt, somit -Za, x* noch auf dem ganzen Einheitskreise mit Ausnahme der einzigen Stelle x = 1 convergirt und zwar, nach Ausschluss eines beliebig kleinen, die Stelle 1 umgebenden Bogens, gleich- massig. Definirt man nämlich die Uy durch die Gleichungen (12), so wird im allgemeinen:
(ly (ly-\-l = 0,
») Journal f. Math. Bd. 89 (1880), p. 262. 2) Vgl. Sitz.-Ber. Bd. 27 (1897), p. 347.
nur:
(14)
A. Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 513
f 1 1 \
9.
mx+i — mx
(wenn man noch der Einfachheit halber 2-4 = 1 annimmt). Darnach wird aber 2*1«^ — «v+i | allemal convergent, wenn die mx so gewählt werden, dass 2!(mx-{.i — mx)"^ convergirt, also z. B. mA-4-i — m^ = (A + ^Y oder auch ntx = A'^^ "wo p>_2. Die zur Potenzreihe üa^x'' gehörige Randfunction f{x) ist dann bis in beliebige Nähe der Stelle x = 1 vollkommen stetig und für x = \ selbst noch ,,nach Innen** stetig. Fraglich bleibt nur noch das Verhalten von f {x) für die der Stelle X = \ benachbarten Randpunkte, also das Verhalten von f(e^*) in der Nähe von '& = 0, Jedenfalls erscheint die Stetigkeit auch hier keinesfalls a priori ausgeschlossen. Gelänge es, dieselbe an irgend einem zweckmässig gewählten Beispiele der vorliegenden Art wirklich festzustellen, so wäre damit eine Frage in verneinendem Sinne entschieden, die ich in der zu Anfang citirten Arbeit noch als eine offene be- zeichnet habe:^) nämlich, ob die vollkommene Stetigkeit der Randfunction stets auch die durchgängige Convergenz von ^{e^*) nach sich ziehen müsse. Durch die blosse Existenz von stetigen Functionen y^ {&) mit divergenter Fourier'- scher Reihenentwickelung wird, wie a. a. 0. des näheren aus- geführt ist, die Möglichkeit jener Annahme noch keineswegs beseitigt.
4. Um den Frobenius'schen Satz in der angedeuteten Weise zu verallgemeinern schicke ich zunächst den folgenden Hülfssatz voraus:*)
*) a. a. 0. p. 98.
'^) Dieser Hülfssatz ist auch geeignet, die etwas weniger einfache, einen analogen Zweck verfolgende Betrachtung zu ersetzen, welche ich beim Beweise des verallgemeinerten Abel'schen Satzes (a. a. 0. p. 348) benützt habe.
514 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7, Dezeniber 1901.
Zieht man vom Punkte 1 aus zwei zur reellen Axe symmetrische, dem Einheitskreise angehörige Sehnen, deren Länge = a sein möge, und be- schreibt um den Punkt \ einen Kreis mit dem
Radius ^, bezeichnet sodann mit (X) den- jenigen zusammenhän- genden Bereich, wel- cher von diesem Kreise und den beiden Sehnen begrenzt wird, so hat man:
(15) ^i \i:r\- < r =
\ — \x
a
für alle von 1 verschiedenen Stellen x im Innern und auf der Begrenzung von (X).
Beweis. Man bemerke zunächst, dass der mit dem Ra- dius ^ um den Punkt ^ beschriebene Kreis alle vom Punkte 1 aus gezogene Sehne halbirt. Wird sodann x für's erste auf einer der begrenzenden Sehnen von der Länge a angenom- men, so hat man:
w = >-(t)'+(t-|i-«,)'
= 1 — a.|l— a;| + 11-
X
also:
1
x^ =
>
1 1
X
X
(a — 11 — x\)
a '2
a
(wobei das Gleichheitszeichen nur für den einen Fall 1 1 — a;| = —
gilt, d. h. wenn x im Mittelpunkte der betreflfenden Sehne liegt). Daraus folgt weiter:
1 — X T—x
<
a
l+x\ < —
Ä, Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 515
Liegt jetzt x auf einer anderen vom Punkte 1 aus ge- zogenen Sehne mit der Länge a\ wobei dann allemal a > a, so hat man auf Grund des eben gewonnenen Resultates:
II x\ 4: . . 4
< — , also a fortiori <— ,
1 — \x\ a' a
womit der ausgesprochene Hülfssatz bewiesen ist.
5. Unter dem Grenzübergange lim soll im folgenden ein
für allemal verstanden werden, dass x auf einer beliebigen, dem Bereiche (X) angehörigen Curve der Stelle 1 zustrebt und somit der Ungleichung (15) genügt.
Alsdann gilt zunächst der folgende Satz:^) Ist:
\ Sn
(16*) Sn = 2j'' öy und lim —=: A
(wo A eine bestimmte Zahl incl. Null), so hat man:
00
(16^) lim(l —x)'l^^ayX^ = A.
x=l 1
00
Beweis. Setzt man S*' (^v x" = ?(^)i so ergiebt sich durch
1
Anwendung einer bekannten Transformation:*)
00
^ (x) = (1 — a;) • L»' Sy x"
I
= {1 — X) ' \j^^ Sy X" + ^ Sy XA
l 1 «+1 i
und daher:
(17) I ^ (a;) I < ! 1 — a; I . j S- 1 5, 1 + f; I s. 1 . 1 ^ |4.
*) Verallgemeinerung des Hülfssatzes II auf p. 49 der Sitz.-Ber., Bd. 30 (1900).
2) Vgl. a. a. 0. p. 47. Dass die Voraussetzung (16 a) allemal die Convergenz von ^ (x) für | a; | < 1 nach sich zieht, ist leicht zu er- sehen. Vgl. im übrigen auch Nr. 7.
516 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1901.
Wegen lim — • | 5n | = | -4 | hat jede Zahlenfolge —^ für
v = (m -{- 1), (m + 2), . . . in inf. eine endliche obere Grenze, welche mit a« bezeichnet werden möge. Damach ergibt sich weiter:
I ^ (a:) I < I 1 — :k 1 { a^ • £ V + ^»1 • £ >' • I ^ 1" r
< I 1 - a: I . j I a^- n (w + 1) f a^ . ^^_^^ *
und somit: |(l-^)-?(^)|<iao.n(n+l)-il-^l*+o.-(Ll£L^'J
<i^o-w(^+l)-|l-^l* + r^-^H(nachUngL(15)). Es werde nun zunächst angenommen, dass -4 = 0. Als- dann kann a„ durch passende Wahl von n beliebig klein, etwa : ^
gemacht werden, wenn e eine positive Zahl von vorgeschriebener Kleinheit bedeutet. Wird jetzt noch x derartig eingeschränkt, dass:
\'OQ'n{n-]r\)'\\—x\^<^ (also: |1— a:|<|/ -^
IS
so hat man:
also schliesslich:
(18) lim(l-a;)-^(:r) = 0 d. h. lim (1 -^) -f;' a,a?'' = 0.
x=l x=l 1
Bedeutet jetzt -4 eine beliebige von Null verschiedene
Zahl, so kann die Beziehung
Sh . 1 **
lim — ^ = Ä d. h. Um — £" Uy ^= A
n=:Qo W n=ao W i
zunächst folgendermaassen geschrieben werden:
1 **
lim ü*' («V — J.) = 0.
W=oo w 1
Ä. Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen, 517
Alsdann ergiebt sich aber auf Grund des eben gewonnenen Resultates (Gl. (18)):
00
lim (1 — x) ' S" (ö^v — J.) • a;'' = 0,
x=l 1
anders geschrieben:
{• X ]
S»" ayX'' — A fZT^ i = 0
also schliesslich, wie behauptet:
00
lim (1 — x) ' S*" «v x" = A,
x=l I
6. Da nach dem Cauchy 'sehen Grenz werth -Satze die Be- ziehung lim — ^ = Ä sicher erfüllt ist, wenn lima„ = Ä, so
M=ao ^ n=oo
folgt noch, dass auch diese letztere Bedingung für die Existenz
der Relation (16**) hinreichend ist.
Ersetzt man ferner in dem zuvor gewonnenen Satze a^
durch 5v, so ergiebt sich:
Ist:
1 •• (19^) lim— Sv5^=^^
«=00 n I so hat man:
00 00
(19^) lim {l— x) ' ^^ SyX'' = Ä, also: lim^^ ayX" = Äy
x=l 1 «=1 1
d. h. man erhält die oben angekündigte Verallgemeinerung des Frobeni US 'sehen Satzes.
Da wiederum die Bedingung (19*) sicher erfüllt ist, wenn lim 5„ = Ä, so resultirt noch als specieller Fall der verall-
n=ao
gemeinerte Abel'sche Satz.
7. Der Satz von Nr. 5 gestattet unmittelbar noch die folgende Verallgemeinerung : ^)
*) Zugleich Verallgemeinerung des a. a. 0. p. 49, Fussnote, ange- führten Satzes. (NB. Daselbst steht in Folge eines Druckfehlers
00 00
lim {l — Q?~P'^va^Q^ statt: lim {l- gf -J^v %Q''h
518 Sitzung der m(Uh.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1901.
Ist: (20«) lim ^ Sv a, = lim ^ = ^ (p>OV)
SO ist ^a^xf^ convergent für |ic| < 1 und man hat: (20»>) lim (1 —x)P . S" ay x' = r{p + 1) • ^.
Beweis: Aus (20°) folgt, dass auch: lim -^^ = ^4 und somit :
lim — :^= lim = 0.
•,=00 WP „=00 WP
Da sodann für ^ < 1 : lim wp • ^♦^ = 0, so ergiebt sich durch
n=ao
Multiplication mit der vorhergehenden Gleichung:
lim an Q^ = 0,
«t=oo
sodass S dv ^*' sicher für | a: | < ^, also schliesslich für \x\<\ convergirt.
Man hat dann wiederum, wie in Nr. 5 (s. Ungl. (17)):
l"^ (x)\ < \ 1 — X \ ' Ij^y \ Sy \ + ^^ \ Sy \ -\ X 4.
l 1 n+1 J
Aus der Voraussetzung:
lim^ = ^
n=oo nP
folgt mit Berücksichtigung der bekannten Beziehung:
^) Die zum Beweise dienlichen Schlüsse bleiben auch noch gültig für: 0^p> — 1. Die Reihe Sayxy ist alsdann für die Stelle x = I nicht mehr divergent, sondern convergent und zwar mit der Summe lim 5n = 0, wenn l><0. Die Gleichung (20*>) macht also in
n=oo
diesem Falle eine bestimmte Aussage über die Art des Nullwerdens
00
von lim^j^'^v^*- Für den Fall ^ = 0 resultirt wiederum der A bei- des i i
00
sehe Satz: lim ^v a^x^ = lim s».
(21)
(
A, Pnngsheim: Dioergenz gewisser Potenzreihen, 519
lim (^±^ L_
(j,+ l)(p + 2)...ip + n)
wo: (p + »)„ =
1 -2 ... »
n + 1) \ ■r(n+l))
dass: ^(i'+l)
I 5 I
Jede Zahlenfolge , , n für v = (m + 1)» (^ + 2), . . .
KP + »'Jv
in inf, hat also eine endliche obere Grenze, welche mit a„» bezeichnet werden möge. Damach ergiebt sich aus der obigen Ungleichung die folgende:
\^(X)\<\1 ^ X\ ^\ O.'h (j) + V\ + On'h (P + V)r ' \x\^ \
[ l fl+1 J
<jl— :r|.|ao-(i?4-w + 1)« + a„ • (^ _ |a;|)H-i| wegen :
(23) IKp + v). = (/>+«+!)»»)
0
00
(24) S(i> + »'),-|«i' = (1-1*1)-^+".
0
und, wenn man die letzte Ungleichung noch mit 1 1 — x'f multiplicirt:
\(l-xy-^(z)\<\l-x\P^^-o,-(p+n-}- 1)^ + 0 J^^^^Y^'
(25) ^^ 1"^!^
<^\l—x\'^^'0„-{p-\-n-\-l)n-\-y'^^-an (nach
_____ Ungl. (15)).
*) Man hat zunächst: Po + (P + Di = 1 + (P + 1)
= (p + 2)i. n— 1
Angenommen man habe: Jj (P + *')v ~ (i^ "H 'On— i »
0
N
80 folgt unmittelbar: ^v {p + v)^ = (p + w)m-i + (P + *»)„
0
= (P + w + 1)h.
520 Sitzung der math,-phy8. Glosse vom 7. Dezember 1901.
Es werde nun zunächst wiederum Ä = 0 angenommen. Man kann dann n derart fixiren, dass:
darauf x nahe genug an 1 annehmen, dass auch:
|l_^|P-fi.a,.(i?-Hw+l).<-2.
Alsdann wird:
\{l—x)P'^(x)\<e,
und daher schliesslich:
(26) lim (1 — xy • S»' Uy X'' = 0.
11=00 1
Bedeutet jetzt Ä eine von Null verschiedene Zahl, so kann die Voraussetzung (20*) zunächst durch die Beziehung (22) ersetzt werden. Man hat nun aber nach Gl. (23), wenn man darin p durch p — 1 ersetzt :
n
S»' (p + V — 1)^ = (^ + W)n 0
für jedes positive ganzzahlige w, also auch:
(27) lim 7-^ . S^ (l> + v - 1). = 1.
n=oo (P + n)n 0
Fügt man diesen letzteren Grenzwerth der rechten Seite von Gl. (22) als Factor hinzu, so lässt sich dieselbe folgender- maassen schreiben:
lim
••=00 (P + n)n
l 0 ]
n
oder auch, wenn man s^ durch S*' civ ersetzt (wo : a^ = 0), mit
0
Berücksichtigung von Gl. (21):
Ä. Pringsheim: Divergenz gewisser Potenzreihen. 521
(28) lim^ ■i:Aa, - r(p + l) . A-(j> + V - \)A = 0.
Die Anwendung des in 61. (23) enthaltenen Resultates giebt alsdann:
lim (l-xy . S- j a, — r(p + l).A'(j> + v—l)y [ • a;- = 0,
x=l 0 l j
anders geschrieben:
lim (l-x)P ' I S- a,x- — r(p'\-l)'Ä (l — x)-P \ = 0, «=i I 1 )
also schliesslich, wie behauptet:
(29) lim (1 — x)P . f:- ar x- = r{p + l)' Ä.')
ff=i 1
8. Nach dem Cauchy-Stolz 'sehen Grenz werth-Satze hat man:*)
5|, , . An
lim — = lim , , .
n=a,nP ,i=ooWP-(«-l)P
1 ,. a
= — • lim
n
P n=wn^
— 1
wegen: nP-(w-l)P = wp(l- f 1 j j
= 2? • nP"^ falls der rechts stehende Grenzwerth existirt. Ist nun:
SO wird also:
^) Der Satz findet sich auch in einer jüngst erschienenen Arbeit des Herrn E. Lasker (^lieber Reihen auf der Convergenz- grenze.* Lond. Philos. Transactions, Vol. 196 [1901], p. 438) als Fol- gerung aus einem allgemeinerem Grenzwerth-Satze. Der Beweis enthält indessen einen auf verkehrter Anwendung einer Ungleichung beruhen- den Trugschluss (a. a. 0. p. 437).
2) Hier ist die Bedingung p > 0 durchaus wesentlich.
522 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7. Dezember 1901,
und die Gleichung (29) liefert somit, wenn man noch berück- sichtigt, dass:
r{p->r\)=p-r[jp)
den folgenden, für reelle positive x und A' von Herni Appell bewiesenen') Satz:
Ist: (30») lim-^ = ^'(i,>0),
n=oo '•^
SO hat man: (30^) lim (1 — xy . S- a, x- = r(jp)' Ä\
x=l 1
9. Dem Satze in Nr. 7 lässt sich der folgende an die Seite stellen :
Ist:
(31^) lim -^ = ^,
n=Qo lg n
so hat man: (3P) lim flgT-^V- S- ay x^ = A.
«=1 \ A — Xj 1
Beweis. Aus Ungl. (17) folgt, wenn man die obere
s Grenze von —^ für v = (m -f" 1 )? {m -\-2) , . , in inf, mit o,
bezeichnet:
I ^ (a:) I < I 1 — ä: I { S»" I 5v I + a^ • S>' lg v • I a; > >.
l 1 n^\ )
^) Comptes rendus, T. 87 (1878), p. 690. Auch: Picard, Traite d' Analyse, T. I (1891), p. 210, jedoch mit der Beschränkung i> > 1. - Für complexe x findet sich der Satz als Folgerung aus einem allgemeineren Satze bei Herrn Hadamard: Journ. de Math. (4), T. 8 (1892), p. 176 (NB. Auf der rechten Seite derjenigen Relation, welche der Gl. (30 4 entspricht, steht dort fälschlich A statt: r{(o)'A^ was wohl lediglich auf einem Schreibfehler beruhen dürfte.)
Ä, Pringsheim: Vitergenz gewisser Potenzreihen,
523
Da sodann:
00
CO
w+l 1
X
= y • S»" (lg (»^ + 1) — lg v) • I a; 1
00 2 J
< y . 2" — • I a: I*' = y • lg
1 V
l— X
so folgt:
I <ß (a;) I < I 1 - a; I . £v I s^ I + o^ . y ^Ig ^_^ .^ ig ^ j ,
1
also, wenn man noch mit
lg
l-x
multiplicirt und beachtet,
d&ss lg
1
\-x
>lg
1
i-xr
(lgy4^)"'-^(.)
< I 1 — a; I • lg
1
I -X
-1 n
+ On-yU + lgy Igfz:^ ]•
Daraus folgt dann zunächst wieder im Falle -4 = 0 (also : lim On = 0), dass:
M=«0
(32)
!;^,0«T^r?^«'^='-
Ist nun andererseits A von 0 verschieden, so lässt sich mit Berücksichtigung der bekannten Relation:
n
1 '^ 1
lim ; Xj*' — = 1
nrroo
lg W 1 V
die Voraussetzung (31*) auf die Form bringen:
lim (sn — ^ • L»'-) =0,
« = 00 lg w V 1 ^ /
524 Sitzung der math.-phys, Clasae vom 7. Dezember 1901.
anders geschrieben:
lim -, S** ( «v — A- —] =0.
♦,=00 lg w 1 \ V J
Die Anwendung des in 61. (32) enthaltenen Resultates giebt dann zunächst:
»1 1 also, wegen: S»' — • a:*' = lg ^ , schliesslich, wie behauptet:
lim f Iff :; I • S»' a^ a:'' = -4.
10. Da wiederum nach dem Cauchy-Stolz'schen Grenz- werth-Satze :
^M -■ . O/n
lim ,-- ^ = lim , , . -.
«=00 lg n n=oo lg w — lg (n — 1)
= lim n an ,
•1=00
falls dieser letztere Grenz werth existirt, so erweist sich auch
die Bedingung
/33\ lim n • «n = -4
^ ^ 11 = 00
als hinreichend für die Existenz der Beziehung (31**).^)
Einen allgemeineren Satz, welcher die in Nr. 5 — 10 ange- gebenen Sätze als specielle Fälle enthält, werde ich in einem demnächst in den Acta mathematica erscheinenden Aufsatze mittheilen.
*) Für reelle positive .r und -4 wiederum bei Appell, Comptos rendus, a. a. 0.
Berichtigung zu A. Korn, Allgemeine Lösung des Problems der magnetischen Induktion S. 435, ist Zeile 6 von oben vor ,Gesammt- potential einzuschalten: „inducierte*.
Namen - Register.
525
V. Baeyer Adolf 63. 365.
Cranz C. 209.
V. Dyck Walther 203.
Bbert Hermann 35. 365. Egger Joseph Georg 34. Emden Robert 339.
Finsterwalder Sebastian 365.
Gruber Kaspar 34. Günther Siegmund 15. 211.
Hartig Robert 1.
Hering Ewald (Wahl) 423.
Koch K. R. 209. Korn Arthur 425. 435. V. Kupffer Carl 63.
V. Linde Carl (Wahl) 423. Lindemann Ferdinand 185. 441. 495.
Neumayer Georg 183.
Pringsheim Alfred 505.
Ranke Johannes 497. Recknagel Georg 79. 96. Rothpletz August 127. Rückert Johannes 65. (Wahl) 423.
Schwarzschild Karl 293. Seeliger Hugo 265. Selenka Emil 3.
Thiele Johannes (Wahl) 423.
V. Voit Carl 423. Voss Aurel 53. 167.
V. Weber Eduard 367. Weinschenk Ernst 34. Wolf M. 111.
V. Zittel Carl Alfred 73. 409.
1901. Sitziingsb. d. niath.-phys. Cl.
35
526
Sach- Register.
Abkühlung geschlossener Lufträume 79.
Aethylhydroperoxyd 63.
Akustisch-geographische Probleme 15. 211.
Ansprache des Präsidenten in der öffentlichen Sitzung 73. 409.
Belegung, elektrische 425.
Bergbau auf Schwefel- und Magnetkies am Silberberg 34.
Druckschriften, eingelaufene 1* — 24*, 25*— 52*.
Erwärmung geschlossener Lufträume 96.
Fermat'scher Satz 185.
Fussscelett, menschliches, seine Ossifikation 65.
Gehirnnerv, bis jetzt unbekannter 63. Gewehrlauf, Vibration desselben 209. Gleichung a:** = y** + z*^ 495. Grundgesetz, energetisches der Mechanik 53.
Jacobi C. G. J., vorgefundene Rede 203. Induktion, magnetische 435. Jodquellen bei Tölz 127.
Kieslagerstätten im Silberberg bei Bodenmais 34. Kreis Verwandtschaften, Theorie derselben in der Ebene 367. Kugeloberfläche, Zusammensetzung derselben aus geodätischen Streifen 365.
Licht, Druck desselben auf kleine Kugeln 293. Luftelektricität in grösseren Höhen 85.
Mechanik, Prinzipien derselben 167.
Nebelflecken, ihre Entdeckung und Katalogisirung 111.
Sach'Begister. 527
Ostracoden aus Meeresgi'undproben 34.
Fettenkofer, Gedächtnissrede 423.
Placentaranlage des Lutung (semnopithecus pruinosus) 3.
Potenzreihen, Divergenz derselben an der Convergenzgrenze 505.
Sauerstoff, basische Eigenschaften desselben 365. Schwerkraft, deren Wirkung auf den Bau des Fichtenholzes 1. Sekundenpendel, Bestimmungen seiner Länge auf absolutem
Wege 183. Sonnentheorie 339. Spektra der Sterne 365. Staubmassen, kosmische 265.
Wahlen 423.
Zodiakallicht 265.
Zwischenkiefer, doppelte, des Menschen 497.
I.
TerzeiehniB der etngrelftureneB Drackscfariften
Jaonar bis Jodi 1901.
NAtis fHr dM BiehWnttor.
Du fol[{cnii« Vnrxiiiclinit int «ifton* |taf{tni»t (l*— 'i**) uuJ luit lief tWMl*n ftülftc am Sililtit» de« .liihm>Ban(lis ui verwuigMi.
A'. kroat.-shumi.-dalmiUin yjestnik. Bd. 9, Heft 1, 2. 1901. 4°.
Nem-York Statt Library in Älbany: New- York SUte Library, ai"» annual Report for 1698. 1899. 8",
Unieergity of Ike State of Nen-Yorlt in Atbany: New-York State Museum. 49tii Report part 3. 4". BO"- Report part 2. 4».
Bl'i' Report part 1, 2. B", 1898-99. Second annu^kl Heport of the College Department. Toi. I. 1900. S". ÖuUetinof the New-York State MuHeum. Vol. IV. No. 19. 1898; Vol. V, No. 20-24. 1898; Vol. VI, No. 26 -31. 1899: Vol. Vl(, No. 32. 1900. 8».
1*
Terzeichnis der eingelaufenen Drucksehriften
Janaar bis Jani 1901.
Die yerehrlichen Gesellschaften and Institute, mit weleben ansere Akademie In Taaschyerkehr steht, werden gebeten, naehstehendes Verzeichnis zugleich als Empfangs- bestätlgnng zn betrachten.
Von folgenden Gesellsohaften nnd Instituten:
Geschichtsverein in ÄacT^n: ZeiUchrift. Bd. XXII. 1900. 8<'.
Historische Gesellschaft des Kantons Aargau in Aarau: Taschenbuch fQr das Jahr 1900. 8^.
University of Aherdeen: Sindies. No. I— III. 1900. 40.
Boyäl Society of South-Ausiralia in Adelaide: Transactions. Vol. 24, pari 2. 1900. 8*.
Observatory in Adelaide: Meteorological Observations daring ihe jear 1897. 1900. fol.
Sildslaoische Akademie der Wissenschaften in Agram:
Bad. Bd. 143, 144. 1900. 80.
Zbomik za narodni 2ivot. Bd. V, 2. 1900. 80.
Natko Nodilo, Historija srcdnjega yijeka. 1900. 8^
K, kroat.'Slavon^-dalmatinisches Landesarchiv in Agram: Vjestnik. Bd. 3, Heft 1, 2. 1901. 4»
New- York State Library in Albany: New- York SUte Library. 81*»» annual Report for 1898. 1899. 8<>.
University of the State of New- York in Alhany:
New- York State Museum. 49*»» Report part 3. 4®. 60*^ Report part 2. 4^.
51«» Report part 1, 2. 8». 1898-99. Second annual Report of the Collegfe Department. Vol. I. 1900. 8®. Bulletin of the New- York State Museum. Vol. IV, No. 19. 1898; Vol. V,
No. 20-24. 1898; Vol. VI, No. 26-31. 1899; Vol. VII, No. 32.
1900. 8°.
1
2* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Naturforschende Gesellschaft des Osterlandes in Altenburg: Mitteilungen aus dem Osterlande. N. F. Bd. 9. 1900. 8^.
Historischer Verein in Ansbach: 47. u. 48. Jahresbericht. 1900/01. 4».
Paedologisches Laboratorium der Stadt Antwerpen: Paedologisch Jaarboek. II. Jahrg. 1901. 8®.
Redaktion der Zeitschrift „Athena": Athenä. Tom. 12, fasc. 4. 1900; Tom. 13, fasc. 1—3. 1901. 8«.
Johns Hopkins üniversity in Baltimore:
Ophiura brevispina by Gas well Grave. 1900. 49.
Circulars. Vol. 20, No. 144—161. 1900—01. 4».
American Journal of Mathematics. Vol. XXII, No. 2 — 4; Vol. XXIII,
No. 1. 1900 Ol. 4®.
The American Journal of Philology. Vol. XXI, No. 1^4. 1900. S9. American Chemical Journal. Vol. 23, No. 5, 6; Vol. 24, No. 1—6; Vol. 25,
No. 1—3. 1900—01. 8«. Johns Hopkins üniversity Studies. Ser. XVIII, No. 6 — 12; Ser. IX, No. 1-8.
I^QQ Ol. 8^.
Bulletin ofthe Johns Hopkins Hospital. Vol. XI, No. 109; Vol. XII, No. 120.
1901—01. AP. The Johns Hopkins Hospital Reports. Vol. VIII, No. 3—9. 1900. 49.
Maryland Geologicdl Survey in Baltimore: Allegany County mit Atlas. 1900. 4^ u. fol.
Historischer Verein in Bamberg:
60. Bericht für das Jahr 1899. 80.
H. Weber, Die Privilegien des alten Bistums Bamberg. 1900. 8®.
Naturforschende Gesellschaft in Basel: Verhandlungen. Bd. XIII, Heft 1. 1901. 8». Gesammelte kleine Schriften von L. Rütimeyer. 2 Bde. 1898. 8^.
Bataviaasch Genootschap van Künsten en Wetenschappen in Batavia:
Tijdschrift. Deel 43, afl. 1, 2. 1900; afl. 3—6. 1901. 8». Notulen. Deel 38, afl. 2, 3. 1900. 8».
Nederlandsch-Indisch-Plakaatboek 1602-1811. Deel XVII. 1903. 8®. Dagh-Register gehonden int Casteel Batavia. Anno 1637. s'Gravenbage 1899. 4^
Observatory in Batavia:
Observations. Vol. XXII. 1899. Part 1. 1900. fol. Regen waamemingen. XXI. Jaarg. 1899. 1900. gr. 8^.
Historischer Verein in Bayreuth: Archiv. Bd. XXI, 2. 1900. S^.
K. Serbische Akademie in Belgrad:
Zur Erinnerung an Dimitrije Stamenkovic, in serb. Sprache. 1901. 8^. Glas. LIX, LXI. 1900. S^.
Spomenik. No. XXXV u. XXXVIII. 1900—01. fol. Godischniak. XIII. 1899. 1900. 8». Geologija Srbnie. Teil 2 mit Atlas. 1900. 4».
Katalog der Handschriften und alten Drucke der k. serb. Akademie der Wissenschaften von L. Stojanovic, in serb. Sprache. 1901. 8^.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 3*
Museum in Bergen (Norwegen):
Aarsberetning for 1900. 1901. 8®.
Meeresfauna von Bergen. Redig. v. A. Appellöf. Heft 1. 1901. 8^.
Aarbog fOr 1900. 1901. 8®.
üniversity of California in Berkeley: Schriften aus dem Jahre 1900.
K. preuss. Akademie der Wissenschaften in Berlin:
Abhandlungen aus dem Jahre 1899—1900. 1900. 4^. Sitzungsberichte 1900, No. XXXIX— LIII; 1901, No. I-XXXIl. 4». Politische Korrespondenz Friedrich's des Grossen. Bd. 26. 1900. 8®.
K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Berlin:
Jahrbuch für das Jahr 1899. Bd. XX. 1900. gr. 8«. Abhandlungen. N. F. Heft 80. 1900. gr. 8^.
Zentrcdhureau der internationalen Erdmessung in Berlin: Veröffentlichungen. N. F. No. 3. 1901. 4».
Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin: Berichte. 88. Jahrg., No. 20; 34. Jahrg., No. 1—9. 1900. 1901. 8«.
Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin: Zeitschrift. Bd. 62, Heft 4. 1900. 8».
Medizinische Gesellschaft in Berlin: Verhandlungen. Bd. XXXI. 1901. 8».
Deutsche physikalische Gesellschaft in Berlin:
Die Fortschritte der Physik im Jahre 1899. 55 Jahrg., Abtlg. 1 — 8.
Braunschweig 1900. S^. Verhandlungen. Jahrg. 3, No. 1—7. Leipzig 1901. 8^.
Physiologische Gesellschaft in Berlin:
Zentralblatt für Physiologie. 1900. Bd. XIV, No. 21— 26; 1901. Bd. XV,
No. 1—6. 1901. 8». Verhandlungen. Jahrg. 1900/01, No. 3-5. Leipzig 1901. 8<>.
K. technische Hochschule in Berlin:
Die Hundertjahrfeier der k. techn. Hochschule Berlin. 1900. fol. Berlin, die Stadt der Hohenzollern. Rede bei der Feier des 200jährigen Jubil&ums des Königreiches Preussen. 1901. 4^.
Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin: Jahrbuch. Bd. XV, Heft 4; Bd. XVI, Heft 1. 1901. 4».
K. preuss. geodätisches Institut in Berlin:
Veröffentlichung. N. F. No. 6. 1901. 4P.
K. preuss. meteorologisches Institut in Berlin:
Abhandlungen. Bd. 1, No. 7. 1901. 4».
Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen. II. u. III. Ordnung im Jahre 1900. 1901. 4».
Physikal. -techn. Tteichsanstalt in Berlin:
Verzeichnis der Veröffentlichungen 1887—1900. 1901. 49,
1*
4* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
Verein zur Beförderung des Gartenbaues in den preuss, St€uUen
in Berlin:
Garkenflora. Jahrg. 1901, Heft 2—13. 8<>.
Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin:
Fordchungen zur Brandenburgischen und Preussischen Geschichte. Bd. XVI, 1. Hälfte. Leipzig 1901. 8^.
Naturwissenschaftliche Wochenschrift in Berlin: Wochenschrift. Bd. XVI, Heft 1—6. 1901. fol.
Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin: Zeitschrift. 21. Jahrg., 1.— 6. Heft. 1901. 49.
Societe d* Emulation du Doübs in Besan^on: Mdmoires. VH« S^rie, Vol. 4. 1899. 1900. 8«.
Natural History and Phüosophical Society in Birmingham:
Proceedings. Vol. X, part 1, 2; Vol. XI, part 1. 1896—99. 8«. Records of Meteorological Obseryations for 1896 and 1897. 1899. 8®.
B. Accademia delle Scienze delVIstituto di Bologna:
Memorie. Serie 6. Vol. 7. 1897. 40.
Renticonto. N. Ser. Vol. 2, fasc. 1—4; Vol 3, faac. 1—4. 1898—99. 8».
B. Deputazione di storia patria per le Provincie di Romagna
in Bologna:
Atti e Memorie. m» Serie. Vol. XVIII, fasc. 4—6. 1900. G9.
Verein von Altertumsfreunden im Bheinlande in Bonn: Bonner Jahrbucher. Heft 106. 1901. 4».
Societe de geographie commerciale in Bordeaux: Bulletin. 1901. No. 1-12. 8«.
American Academy of Arts and Sciences in Boston: Proceedings. Vol. 36, No. 9—19. 1900—1901. 8».
Boston Society of natural History in Boston:
Proceedings. Vol. 29, No. 9—14. 1900. 8°. Memoirs. Vol. 5, No. 6, 7. 1900. 4P. Occasional Papers IV. 1900. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein in Bremen:
Abhandlungen. Bd. XV, Heft 3. 1901. 8».
Beiträge zur nord westdeutschen Volks- und Landeskunde. Heft 3. 1901. 8^.
Queensland Museum in Brisbane: Annais. No. 5. 1900. 8^.
Deutscher Verein für die Geschichte Mährens u. Schlesiens in Brunn. Zeitschrift. Jahrg. 5, Heft 1—3. 1901. gr. 8^.
Naturforschender Verein in Brunn:
Verhandlungen. Bd. 38. 1900. 8°.
XVI IL Bericht der meteorol. Kommission für das Jahr 1898. 1900. 8*.
Vereeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
•K
Äcadimie Boy die de midecine in Brüssel:
Mdmoiree couronn^s. Tome 15, fasc. 7 u. 8. 1901. 8^.
Bulletin. IV. Särie. Tome 14, No. 11; Tome 15, No. 1— 4. 1900/01. S».
Äcadimie Boy die des sciences in Brüssel:
Annuaire 1901. 67« ann^e. 8<>.
Bulletin, a) Glasie des lettres 1900, No. 12; 1901, No. 1-5. 8^ b) Ciasee des sciences 1900, No. 12; 1901, No. 1-5. 80.
Sociiti des Bollandistes in Brüssel: Analecta BoUandiana. Tome XX, fasc. 1, 2. 1901. 8®.
SocietS entomologique de Belgique in Brüssel: Annales. Tom. 44. 1900. 8^
SociHi beige de giologie in Brüssel:
Bulletin. XI® annäe, tom. 11, fasc. 4, 5; XIII« annee, tom. 13, fasc. 2; XVo annde, tom. 15, fasc. 1—3. 1901. 8®.
SociitS Boydle mälacologique de Belgique in Brüssel: Annalee. Tome 35. Ann de 1900.
Obseroaioire Boy die in Brüssel: Bulletin mensuel. 2« annde 1900. Avril— Novembre. 8*.
K, Ungar, geologische Änstdlt in Budapest:
Mitteilungen aus dem Jabrbuche. Bd. 12, Heft 3—5. 1900/01. 4^. Földtani Közlöny. Bd. 30, Heft 8— 12; Bd. 31, Heft 1—4. 1900. gr. 8<>. Jahresbericht für 1898. 1901. 4^.
K. Ungar. Ackerbau-Ministerium in Budapest:
Landwirtschaftliche Statistik der Länder der ungarischen Krone. Bd. V.
1900. 40.
Museo naciondl in Buenos Aires:
Comunicationee tom. I. No. 8. 1901. 8^.
Botanischer Garten in Buitenzorg (Java):
Mededeelingen. No. 42. 44, 45, 46, Deel 1, 47. Batavia 1900/01. 4^. Gatalogus plantarum phanerog. etc. Fasc. II. 1901. 8^. Bulletin. No. VH. 1900. 4«.
Societe Linnienne de Normandie in Caen:
Mdmoires. Vol. 20, fasc. 1, 2. 1899—1900. 4°. Bulletin. 6« Sdrie. Vol. 3. Annäe 1899. 1900. 8«.
Meteorological Department of the Government of India in Calcutta:
Monthly Weatber Review. August— Dezember 1900, Januar 1901.'
1901. 8«.
Indian Meteorological Memoirs. Vol. XI, part 3. 1901. fol.
Asiatic Society of Bengal in Calcutta:
Bibliotheca Indica. New Ser. No. 971—76. 1900. 8°.
Journal. No. 387 -391. 1900/01. 80.
Proceedings. 1900, No. IX— XI; 1901, No. I, II. 8<>.
6* VerzeidinU der eimgdaufenen Dructsekriften.
Geohffical Surtey of India in CalcuH<i:
Memoirs. Vol. 28. part 2. 1900; Vol. 33. pari 1. 1901. 4«. Paläoniologica Indica. Ser. DL VoL IL pari 2. 1899—1900. foL General Eeport. Ser. XV. Vol. CI, pari 2. 1899—1900. fol.
3Itiseum of comparatite Zociogy at Hartard Coütge in Cijunbridge, Mass,
Balletin. VoL 36. No. 5, 6; Vol. 38. No. 1—4. 1900/01. 89. Annoal Report for 1899—1900. 1901. 8®.
AstronomicaJ Observatory of Harvard Cottege in Cambridge, Mass.:
55(l> annoal Report for 1899—1900. 1900. 8*. Vol. 19, 1; 20, 1, 2; 21,2; 30. 1-8; 31. 1, 2; 37. 1; 40, 1 — 3; 41. 1. 2, 6; 43, 1; 45. 1889—1901. 40.
Phäcsophical Sodetg in Cambridge:
Lut of Fellowe. Janoary 1901. 8^.
Proceedinge. Vol. 10, pari?; Vol. 11, pari 1, 2. 1901. 8®.
Obsertatory in Cambridge: Annoal Report for 1898—99, 1899—1900. 1900—01. 8*.
Accademia Gioenia di sdenze naturali in Catama:
Atti. Serie IV. Vol. 13. 1900. 49.
Bollettino mensile. Nao?a Ser. Fase. 64—67. 1900—01. A^.
Physikalisch-technische Beiehsanstalt in Chartottenburg:
Die Thätigkeit der physikalisch-technischen Reichsanstalt im Jahre 1900. Berlin 1901. 49.
K. sächsisches meteorologisches Institut in Chemnitz :
Das Klima des Königreiches Sachsen. Heft 6. 1901. 4*. Jahrboch 1898. Jahrg. XVI. 1. Abtlg. 1900. foL Abhandlongen. Heft 5. Leipzig 1901. 4^,
Societe des sciences naturelles in Cherbourg : Memoires. Tom. 31. 1898-1900. 89.
Field CoJumhian 3Iuseum iti Chicago: Poblications. No. 45, 51—54. 1901. 89.
Yerkes Obsertatory of the üniversity of Chicago: BoUetin. No. 16, 17. 1901. 8«.
Zeitschrift „Ästrophysical Journal^ in Chicago: Vol. Xn, No. 5; Vol. XIII, No. 1—4. 1901. gr. 8«.
Norsk Folkemuseum in Christiana: Aarsberetning 1900. 1901. 8^
Fridtjof Nansen Fund for the advaticement of science in Christiana: The Norwegian North Polar-Expedition 1893—1896. Vol. 2, 1901. 4®.
Naturhistorische Gesellschaft in CoJmar: Mitteilungen. N. F. Bd. 5. 1899 u. 1900. 1900. 8«.
Academia nacional de ciencias in Cordöba (Bepüblik Argentinien): Boletin. Tom. XVI, 2, 3. Buenos Aires 1900. 8®.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 7*
Franz Josefs- Universität in Czernowitz: Schriften aus dem Jahre 1900—1901 in 4» u. S®.
Westpreussischer Geschichtsverein in Danzig: Zeitschrift. Heft 43. 1901. 8».
Colorado Scientific Society in Denver, Colorado: Proceedings. Vol. 7, pag. 1—40. 1901. 8^.
Verein für Anhaltische Geschichte in Dessau: Mitteilungen. Bd. 9, Teil 1, 2. 1901. 8^
Union geographique du Nord de la France in Douai: Bulletin. Tom 21, trimestre 2. 1900. 8®.
Pollichia in Dürkheim: Mitteilungen. 57. Jahrg., 1900, No. 13. 1900. 8».
American Chemical Society in Easton, Pa.: The Journal. Vol. 23, No. 1—6. 1901. Q^.
Royal Society in Edinburgh: Proceedings. Vol. 23, pp. 161—224. 1901. 8°.
Geological Society in Edinburgh: Transactions. Vol. VIII, part 1. 1901. S^.
Reale Accademia dei Georgoßi in Florenz: Atti. IV. Ser. Vol. 23, disp. 3e, 4; Vol. 24, diap. 1. 1900—01. 8^
Senckenbergische naturforschende Gesellschaft in Frankfurt ajM.:
Abhandlungen. Bd. XXV, 1, 2; XXVI, 2; XXVIII. 1900/01. 4». Bericht. 1900. 8».
Verein für Geschichte und Altertumskunde in Frankfurt a/M.: Archiv für Frankfurts Geschichte u. Kunst. 3. Folge, Bd. 7. 1901. 8<>.
Physikalischer Verein in Frankfurt a/M.: Das Klima von Frankfurt a/M., von Jul. Ziegler u. Walter König. 1901. 4^.
Kirchengeschichtlicher Verein in Freiburg i. Br,: Freiburger Diöcesan-Archiv. N. F. Bd. I. 1900. 8^.
Universität Freiburg in der Schweiz: Collectanea Friburgensia. Nouv. S^rie. Fase. 1. 1901. gr. 8^.
Societe d^histoire et d'archiologie in Genf: Bulletin. Tome 2, livre 4. 1900. 8»
Museo civico di storia naturale in Genua: Annali. Serie II. Vol. 20 und Indice zu Vol. 1—40. 1901. 8«.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz:
Neues Lausitzisches Magazin. Bd. 76. 1900. 8®.
Codex diplomaticus Lusatiae superioris. II Bd., Heft 1. 1900. 8^.
8* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: Göttingische gelehrte Anzeigen. 1900. No.XlI; 1901. No.I— V. Berlin. 4». Abhandlungen. N. F. Philol.-hist. Classe. ßd.lV, No.5. Berlin 1901. 4». Nachrichten, a) Philol.-hist. Classe. 1900. Heft 3, 4. 40.
b) Mathem.-phys. Classe. 1900. Heft S. 49,
c) Geschäftliche Mitteilungen. 1900. Heft 8. 4^
The Journal of Comparative Neurology in ChranviUe (ü. St, A.): The Journal. Vol. 10, No. 4. 1900. 8^.
Scientific Laboratories of Dension üniversity in Granvüle, Ohio: Bulletin. Vol. XI, 9. 1900. 8».
Historischer Verein für Steiermark in Graz:
Mitteilungen. Heft 47. 1899. 8^
Beiträge zur Kunde steierm&rkischer Geschichtsquellen. 30. Jahrgang. 1899. 80.
Naturwissenschaftlicher Verein für Neu- Vorpommern in Greif suxüd: Mitteilungen. 32. Jahrg., 1900. 1901. 8».
K, Instituut voor de Taal-^ Land- en Volkenkunde van Nederlandsch Indie
im Haag: Bijdragen. VI. Volgreeks. Deel 8, aflev. 3 en 4. Register op -de eerste
60 Deelen (1853—1899) var de Bijdragen. 1901. 80. Naamlijst der leden op 1. Juni 1901.
Societi Hollandaise des Sciences in Haarlem:
Archives Nderlandaises des sciences exactes. S^rie II. Tom. 4, liyr. 2; Tom. 6. La Haye 1900/01. 8».
Nova Scotian Institute of Science in Halifax: The Proceedings and Transactions. Vol. X, part 2. 1900. 8®.
Kaiserl. Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforseher
in Halle: Leopoldina. Heft 36, No. 12; Heft 37, No. 1—6. 1900—01. 40. Nova Acta. Abhandlungen, Bd. 76, 76. 1900. 4P,
Deutsche morgenländische Gesellschaft in Halle: Zeitschrift. Bd. 54, Heft 4; Bd. 55, Heft 1, 2. Leipzig 1900/01. 8«.
Universität Halle: Verzeichnis der Vorlesungen. Sommer-Semester 1901. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle: Zeitschrift für Naturwissenschaften. Bd. 13, Heft 5 n. 6. Stattgart 1901. S*.
Mathematische Gesellschaft in Hamburg: Mitteilungen. Bd. 4, Heft 1. Leipzig 1901. 8«.
^ Verein für Hamhurgische Geschichte in Hamburg:
Mitteilungen. 20. Jahrg., 1900. 1901. 8^. Zeitschrift. Bd. X, 1. 1901. 8°.
Naturwissenschaftlicher Verein in Hamburg:
Verhandlungen. 1900. Dritte Folge. VIIL 1901. 8°. Abhandlungen. Bd. XVI, 2. Hälfte. 1901. 4«.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 9*
Naturhistorische Gesellschaft in Hannover: 48 u. 49. Jahresbericht für 1897/98 u. 1898/99. 1900. 80.
Naturhistorisch-medizinischer Verein zu Heidelberg: Verhandlungen. N. F. Bd. VI, 4. 1900. 8».
Oeschäftsfährender Äusschuss der Beichslimeskommission in Heidelberg:
Limesblatt Nr. 33. 1901. Trier. 8«.
Der Obergermanisch-Raetische Limes des Römerreiches. Liefg. XIT, XIII. 1900. 40.
Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt:
Archiv. N. F. Bd. 29, Heft 8. 1900. 8». Jahresbericht f^r das Jahr 1900. 1901. &^.
Verein für Meiningische Geschichte und Landeskunde
in Hildburghausen:
Schriften. 87. Heft. 1901. 8«.
Journal of Physical Chemisiry in Ithaca, N,Y,: The Journal. Vol. 5, No. 2—6. 1901. 8».
Universiti de Jassy: Annales scientifiques. Tom. 1, fasc. 3. 1901. 8^.
Medizinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft in Jena: Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Bd. 35, Heft 1 — 4. 1901. 8®.
Verein für Thüringische Geschichte und Altertumskunde in Jena:
Zeitschrift. N. F. Bd. XI, Heft 2-4; Bd. XII, Heft 1. 1898-1900. 80. Hegesta diplomatica historiae Thuringiae. Bd. II, 2. 1900. 4^.
Universität Jurjew (Borpat): Schriften aus dem Jahre 1899/1900. ^.
Grossherzogliche Sternwarte in Karlsruhe: Veröffentlichungen. Bd. 1. 1900. 40.
Universität Kasan: ütachenia Sapiski. Bd. 67, No. 11, 26; Bd. 68, No. 1— 4. 1900—01. 8«. Godischnij Akt 1900. 1901. S^.
Verein für hessische Geschichte und Landeskunde in Kassel:
ZeiUchrift. N. F. Bd. XXIV, 2. 1901. 8». Mitteilungen. Jahrg. 1899. 1901. 8®.
Verein für Naturkunde in Kassel: Abhandlungen und Bericht XLVI. 1901. 8«
Sociiti mathematique in Kharkow: Communications. 2« Särie. Tome VII, No. 1. 1900. S^,
UniversitS Imperiale in Kharkow: Annales 1901. Kniga 1. gr. 8<>.
Kommission zur wissenschaftl. Untersuchung der deutschen Meere in Kiel:
Wissenschaftliche Meereauntersuchungen. N. F. Bd. IV. Abteilung Helgo- land, Heft 2 j Bd. V, Heft 2, Abteilung KieL 1900-01. foL
10* Vereeicknis der eingelaufenen Druckschriften.
Universität in Kiew: Iswestija. Bd. 40, No. 10— 12. 1900; Bd. 41, No. 1—2. 1901. gr. 8<>.
Medizrnaturtoissenschaftl. Sektion des Museumsvereins in Klausenburg: Sitzungsberichte. Abtlg. 1, Bd. 22, Heft 3. 1901. 8«.
Physikalisch-ökonomische Gesellschaft in Königsberg: Schriften. 41. Jahrg. 1900. 4^.
K, Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen:
Oversigt. 1900, No. 6; 1901, No. 1—3. S».
Memoires. Section des sciences. Serie VI«. Tom. 10, No. 2. 1901. 4^-
Regesta diplomatica historiae Danicae. Series II. Tom. II, 5. 1901. 4^.
Gesellschaft für nordische Altertumskunde in Kopcfihagen: Aarböger, IL Raekke. 16. Bd., Heft 3, 4. 1900/01. &^.
Musie national in Kopenhagen: Afialdadjnger fra Stenalderen i Danmark. 1900. fol.
Akademie der Wissenschaften in Krakau:
Anzeiger 1900. November, Dezember; 1901. Januar— März. 8^. Rozprawy filologiczne. Ser. II. Tom. 15, 16, histor.-filozof. ; Ser. II. Tom. U.
1900. 80. Biblioteka pisarzow polskich. Tom. 87, 38. 1900. 8^ Rocznik. Rok 1899/1900. 1900. 8».
Collectanea ex Archivo collegii juridici. Tom. VII. 1900. gr. 8®. Atlas geologiczny Galicyi. Zeszyt XII. Text und Atlas. 1900. 8®. Kinkel, Bibliografie. Tom. 2, Heft 3. 1900. 8». Karlowicz, Slownik. Tom. 1. 1900. 8«. P. Royzii carmina pars 1, 2. 1900. 8®. Inszykiewicz, Melodye litewskie. 1900. 49. Birkenmajer, Kopemik. 1900. 4^. K. J. Fijalek, Mistrz Jaköb z Paradyza. 1900. eP.
Societe Vaudoise des sciences naturelles in Lausanne: Bulletin. IV. S^rie. Vol. 36, No. 138; Vol. 37, No. 139. 1900-01. Bfi.
Sternwarte in Leiden: Verslag 1896—1900 in 2 Heften. 1898—1901. 8^
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig:
Abhandlungen der philol.-histor. Glasse. Bd. XX, 3. 1901. 4®. Berichte der philol.-histor. Glasse. Bd. 52, IX. 1900. 8^. Berichte der mathem.-physik. Glasse. Bd. 52, VII. 1900. 8<>.
Fürstlich Jahlonowski*sche Gesellschaft in Leipzig: Jahresbericht. 1901. 8°.
Journal für praktische Chemie in Leipzig: Journal. N. F. Bd. 62, Heft 12; Bd. 63, Heft 1—8. 1901. 8^.
Universite de Lüle:
Travaux et Mtooires. No. 22—27. 1899—1900. 8^. Livret de T^tudiant. 1900—1901. 1900. 8»
Verzeichnia der eingelaufenen Druckschriften, 11*
Literary and phüosophicäl Society in Liverpool: Proceedings. 89«» Session 1899—1900, No. 54. 1900. 8^.
üniversite Catholique in Loewen: Schriften der Universität aus dem Jahre 1899—1900.
Zeitschrift „La Cellule" in Loewen: La Cellule. Tome 18, fasc. 1. 1901. 4^.
Boyal Institution of Great Britain in London: Proceedings. Vol. XVI, pari 1, No. 93. 1900. S^.
The English Historicdl Beview in London: Historical Review. Vol. XVI, No. 62. 1901. 8®.
Boyal Society in London:
Reports to the Malaria Committee. IVth and V"» Series. 1901. 8^. Proceedings. Vol. 67, No. 440, 441; Vol. 68, No. 442-446. 1901. 8«. Philosophical Transactions. Year-Book 1901. 8®.
B, Ästronomical Society in London: Monthlj Notices. Apendix to Vol. 60; Vol. 61, No. 2—7. 1900/01. 8".
Chemical Society in London:
Journal 1900. Supplementary Number (Titlepager and Indexes), No. 459
bis 464 (Febr.— July). 1901. 8«. Proceedings. Vol. 16, No. 230; Vol. 17, No. 231—239. 1901. 8^
Linnean Society in London:
The Journal, a) Botany. Vol. 35, No. 242; b) Zoology. Vol. 28, No. 181.
1901. 8». List of the Linnean Society 1900-1901. Q^.
B, Microscopical Society in London: Journal 1901. Part 1—3. 8«.
Zoological Society in London:
Proceedings. 1900, part 4; 1901, part 1. 1901. 8<>. Transactions. Vol. XV, parte, 7; Vol. XVI, part 1. 1901. 4P.
Zeitschrift „Natur e" in London: Nature. No. 1630-1653. 4^.
Äcademy of Science in St. Louis: Transactions. Vol. IX, No. 6, 8, 9; Vol. X, No. 1—8. 1899—1900. 8«.
Societe geologique de Belgique in Lüttich:
Annales. Tome 26, livr. 1 in 4«. Tome 27, livr. 8 und Tome 28, livr. 1, 2 in 80. 1899—1901.
Historischer Verein der fünf Orte in Luzern: Der Geschichtsfreund. Register zu Band 41—50. Staus 1901. 8^.
UniversitS in Lyon:
Annales. I. Sciences, fasc. 4. II. Droit, Lettres, fasc. 4—6. Paris et Lvon 1900-01. $0.
12* Verzeichnis der eingelaufenen DrttcJcschriften,
Wisconsin Äcademy of Sciences in Madison: Transactions. Vol. VII, part 2, 1899. 1900. 8<>.
Wisconsin Geologiccü and Natural History Survey in Madison: Bulletin. No. III, V, VI. 1898—1900. 8«.
Government Museum in Madras: Bulletin. Vol. 4, No. 1. 1901. 8«.
B. Academia de ciencias exactas in Madrid: Memorias. Tome 19, fasc. 1. 1893—1900. 4fi,
B. Academia de la historia in Madrid: Boletin. Tom. 38, cuad. 1—6. 1901. 8^.
Istituto tecnico superiore in Mailand: Inaugurazione del Monumento a Francesco Brioschi. 1900. 4^.
B. Osservatorio di Brera in Mailand: Publicazioni. No. 41. 1901. 40.
Societä Italiana di scienze naturali in Mailand: Atti. Vol. 39, fasc. 3, 4; Vol. 40, fasc. 1. 1901. 8«.
Societä Storica Lomharda in Mailand:
Archivio Storico Lombardo. Serie III. Fasc. 28—30. 1900—01. 8®. Supplementi all' Archivio. Fasc. I, IL 1900. 8®.
Liter ary and phüosophicdl Society in Manchester: Memoirs and Proceedings. Vol. 45, part. 1, 2. 1901. 8®.
Fürsten- und Landesschule St, Äfra in Meissen: Jahresbericht für das Jahr 1900-01. 4«.
Boyal Society of Victoria in Melbourne: Proceedings. Vol. XIII, part 1. 1900. 8®.
Bivista di Storia Äntica in Messina: Rivista. N. Ser. Anno 6, fasc. 4. 1901. 8^.
Instituto geolögico in Mexico: Boletin. No. 14. 1900. 4».
Observatorio meteorolögico-magnHico central in Mexico: Boletin mensual. Julio— Diciembre 1900. 4®.
Observatorio astronömico nacional de Tacubaya in Mexico:
El Clima de la Republica Mezicana por M. Moreno j Anda y Antonio
Gomez. Anno 2. 1900. S^. Boletin. Tom. II, No. 6. 1900. 4P.
Sociedad cientifica „Antonio Älzate" in Mexico: Memorias y revista. Tomo 14, No. 11—12; Tomo 15, No. 1—6. 1901/01. ö*.
Societä äei naturalisti in Modena: Atti. Serie IV. Vol. 2. Anno 33. 1900. 1901. 8«.
Verseichnis der eingelaufenen Druckschriften, 13*
Museo nacionäl in Montevideo: Anuales. Tomo 2, fasc. 17; Tomo 8, fasc. 18. 1900—01. fol.
ÄcadSmie de sciences et lettres in Montpellier:
M(Sinoires. Section des lettres. 2« S^rie. Tom. 8, fasc. 1. 1900. 8®.
Section des sciences. 2® Särie. Tom. 2, fasc. 6, 7. 1899 bis 1900. 80.
Oeffentliches Museum in Moskau:
Ottschet. Jahrg. 1900. 1901. 8<>.
Lazarev*sches Institut für Orientalische Sprachen in Moskau: Trudy. Bd. 1—8. 1900. 40
Sociiti Imperiale des Naturdlistes in Moskau: Bulletin. Annde 1900, No. 1—8. 1900-01. S®.
Mathematische Gesellschaft in Moskau: Matematitscheskij Sbornik. Bd. XXI, 8, 4. 1900-01. B®.
lAck Ohservatory in Mount Hamilton, California: Bolletin. No. 1. 1900. A9,
Deutsche Gesellschaft für Anthropologie in Berlin und München: Korrespondenzblatt 1900, No. 9—12; 1901, No. 1-6. 4».
Hydrotechnisches Bureau in MüncJien: Jahrbuch 1900, Heft IV, Teil 1 u. 2; 1901, Heft I. 4».
Generäldirektion der h 6. Posten und Telegraphen in München:
Verzeichnis der in und ausserhalb Bayern erscheinenden Zeitungen. Acht Nachträge zu den Zeitungspreisverzeichnissen. fol.
K. hayer, technisclie Hochschule in München: Personalstand. Sommer-Semester 1901. 8^.
Metropolit an- Kapitel München- Freising in München:
Schematismus der Qeistlichkeit für das Jahr 1901. 8^.
Amtsblatt der Erzdiözese München und Freising. 1901, No. 1—17. 8^.
K. Oherhergamt in München: Geognostische Jahreshefte. XIII. Jahrg. 1900. 1901. 49.
Universität in München:
Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4<> u. 8^.
Amtliches Verzeichnis des Personals. Sommer-Semester 1901. 8^.
Verzeichnis der Vorlesungen im Sommer-Semester 1901. 4^.
Rede des Rektors Emanuel UUmann, der Deutsche Seehandel. 1901. 4^.
Äerztlicher Verein in München: Sitzungsberichte. Bd. X. 1900. 8^.
Verlag der Hochschut- Nachrichten in München: Hochschul-Nachrichten 1901, No. 124-129. 4«.
14* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Verein für Geschichte und Altertumskunde Westfalens in Münster: Zeitschrift. Bd. 58. 1900. S®.
Academie de Stanislas in Nancy: M^moires 1899—1900. 5« Särie. Tom. 17. 1900. 8».
Society des sciences in Nancy: Bulletin. Serie III. Tom. 1, fasc. 4, 5. Paris et Nancy 1900. 8®.
Reale Accademia di scienze morali et politiche in Neapel:
Atti. Vol. 32. 1901. 80. Rendiconto. Anno 39. 1900. 8^.
Accademia delle scienze fisiche e matematiche in Neapel:
Rendiconto. Ser. III. Vol. 6, fasc. 8—12. 1900; Vol. 7, fasc. 1 —4. 1901. 4« Atti. Ser. II. Vol. X. 1901. 4».
Gesellschaft Philomathie in Neisse: 30. Bericht. 1898—1900. 8».
Ilistonscher Verein in Neuhur g ajD,: Neuburger Kollektaneen-Blatt. 63. Jahrg., 1899. 8^.
North of England Institute of Engineers in New-Castle (upon-Tyne):
Transactions. Vol. 48, No. 7, 8; Vol. 49, No. 3—6; Vol. 60, No. 1.
1900. 80. Annual Report for the year 1899—1900. 1900. 8®.
Connecticut Academy of Arts and Sciences in New-Haven: Transactions. Vol. X, part 2. 1900. 8®.
The American Journal of Science in New-Haven: Journal. IV. Ser. Vol. 11, No. 62—66. 1901. 8«.
American Oriental Society in New-Haven: Journal. Vol. 31, 2. 1901. 8».
Academy of Sciences in New -York:
Memoirs. Vol. II, part 2. 1900. 4«.
Annais. Vol. XIII, part 1. Lancaater 1900. 8^.
American Museum of Natural History in New -York: Bulletin. Vol. XI, 3 u. Xlll. 1900. 8».
American Geographical Society in New -York: Bulletin. Vol. 32, No. 5; Vol. 33, No. 1 u. 2. 1900—01. 8^
Archaeological Institut of America in Norwoad, Mass.:
American Journal of Archaeology. Vol. IV, No. 4 und Supplement; Vol. V, No. 1. Norwood 1900/01. 8».
Germanisches National museum in Nürtiherg: Anzeiger und Mitteilungen 1900, Heft 1—4. gr. 8®.
Mathematische Gesellschaft in Odessa: Sapieki. Tom. 19. 1899. 8».
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 15*
Neurussische naturforschende Gesellschaft in Odessa: Sapiski. Bd. XXIII, Heft 1, 2. 1899—1900. 8^.
Verein für Geschichte und Landeskunde in Osnabrück: MitteiluDgen. 25. Bd. 1900. 1901. 8<>.
Eadcliffe Ohesrvatory in Oxford: Observations. 1892—99. Vol. 48. 1901. 8<>.
M, Äccademia di scienze in Padua: Atti e Memoire. Nuova Serie. Vol. XVI. 1900. 8».
Circolo matematico in Palermo: Rendiconti. Tom. XIV, fasc. 6; Tom. XV, fasc. 1—4. 1900—01. 4®
Collegio degli Ingegneri in Palermo:
Atti. 1900. Luglio— Dicembre. AP. Bollettino. Anno I, No. 1. Maggio 1901. fol.
Acadimie de medecine in Paris:
Rapport annoel de la commission de Tbygiene de TeDfance pour Tann^e
1899. 80. Rapport 8ur les vaccinations pour Tannee 1898. 1899. 8®. Bulletin. No. 1—24. 1901. 8».
Äcademie des sciences in Paris: Comptes rendus. Tome 132, No. 1—25. 1901. 4^.
Comite international des poids et mesures in Paris: Proc^s-verbaux des i^ances de 1900. 1900. 8^.
Moniteur Scientifique in Paris: Moniteur. Livr. 710—715. Fävrier- Juillet 1901. 4«.
Musee Guiniet in Paris:
Revue de Thistoire des räligions. Ann^e 21, Tom. 41, No. 8; Tom. 42,
No. 1. 1900. 8». Petit guide illusträ du Musee par L. de MilloutS. 1899. 8^.
Museum d^histoire naturelle in Paris:
Bulletin. Annde 1900, No. 5, 6. 80.
Nouvelles Arcbives. IV« St^rie. Tom. 2, fasc. 1. 1900. 4«.
Sociite d^anthropologie in Paris:
Deuxi^me ^tude sur les pierres figures par A. Thieullen. 1901. 4®. Bulletins. IVe S^rie. Tom. 10, fasc. 6; Ve S^rie. Tom 1, fasc. 1 u. 2 et table generale 1860—1899. 1899—01. 8».
Sociiti de gSographie in Paris: La Geographie. Annde 1901, No. 1—6. 4°.
Sociiti mathematique de France in Paris: Bulletin. Tom. 29, No. 1, 2. 1901. 80.
16* Verzeichnis der eingelaufenen Drttckschriften.
Äcadimie ImptricHe des sciences in St, Petersburg:
Sbornik. Bd. 61. 1900. S^.
Proces-verbaux des sdances de rAcad^mie Imp. des sciences depuis sa
fondation. Tom. 1—3. 1897—1900. S». Byzantina Chronika. Tom. 7, Liefg. 3. 1900. gr. 8^. Memoires. a) Classe historico-pbilologique. Tom. 4, No. 8; b) Claase
physico-matbämat. Tom. 10, No. 3—9. 1900. 49, BuUetin. Tom. 12, No. 2—5; Tom. 13, No. 1^3. 1900. 4». Annuaire du Mus^e zoologique. Tome 5, No. 4. 1900. 8^. S. Patkanov, Die Irtisch-Ostjaken. Teil II. 1900. 4».
Comite g^logique in St, Petersburg :
Bulletins. Tom. 19, No. 1—6. 1900. 8». Mt^moirea. Vol. XIII, No. 3. 1900. 4P.
Kaiserl, botanischer Garten in St. Petersburg: Actaborti Petropolitani. Tom. XVI, XVIII, fasc. 1-3. 1900—01. gr. 8^.
Kaiserl, mineralogische Gesellschaft in St, Petersburg : Verbandlungeu. II. Serie. Bd. 38, Liefg. 2. 1900. 8^.
Physihal. -chemische Gesellschaft an der kais. Universität St. Peler^urg: Schurnal. Tom. XXXII, No. 9; Tom. XXXIII, No. 1— 4. 1900-01. 8*.
Physikalisches Zentral-Observatorium in St. Petersburg: Annalen. Jahrg. 1899, Teil I, II. 1901. 4».
Kaiserl, Universität in St, Petersburg: Ottsebet 1900. 1901. 8».
Academy of natural Sciences in Philadelphia:
Journal. II. Seriea. Vol. XI, pari 3. 1900. fol. Proceedinga. 1900, part 2, 3. 1900—01. 8<^.
llistoricdl Society of Pennsylvania in Philadelphia:
Tbe Pennsylvania Magazine of History. Vol. 24, No. 4; Vol. 25, No. 1, 2, 1900-01. 8».
Alumni Association of the College of Pharmacy in Philadelphia: Alumni Report. Vol. 36, No. 12; Vol. 37, No. 1—6. 1900—01. 8<>.
American Phüosophicäl Society in Philadelphia: Proceedings. Vol. 39, No. 163, 164. 1900. 8°
R, Sciwla normale superiore di Pisa: Annali. Filosofia e filologia. Vol. XIV. 1900. 8«.
Societä Itdliana di fisica in Pisa:
II nuovo Cimento. Ser. IV. Tom. 12. Settembre— Dicembre 1900; Ser.V. Tom 1. Gennaio— Giugno 1901. 1900/01. 8^.
Historische Gesellschaft in Posen:
Zeitschrift. Jahrg. 15, 1. u. 2. Halbbd. 1900. 8».
Historische Monatsblätter. Jahrg. 1, 1900, No. 8—12; Jahrg. 2, 1901, No. 1-3. 8^.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 17*
Astrophysikcdisches Observatorium in Potsdam: Publikationen. Photographische Himmelskarte. Bd. II. 1901. 4®.
Böhmische Kaiser Franz Josef-Akademie in Prag:
Pamätky archaeolof?icke. Dil XIII, sesitG — 8 u. Register; Du XIX, seäit 1 — 5. 1899—1900. 40.
StarozitnoRti zeme öeskä. Dil I, svazek 2. 1900. 4^.
Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Litteratur
in Prag:
üebersicht der Leistungen der Deutschen Böhmens 1895—97. 1900. 4®. Beiträge zur Kenntnis der Wirbeltierfauna der böhmischen Braunkohlen- formation I. 1901. 40. Mitteilung. No. XIII u. XIV. 1901. 8». Bechenschafbsbericht für das Jahr 1900. 1901. 8^.
K. böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag:
Jahresbericht für das Jahr 1900. 1901. &>.
Sitzungsberichte 1900. a) Classe für Philosophie, b) Mathem.-naturw. Classe. 1901. 8^.
Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag: Caaopis. Roönfk 30, No. 4, 5. 1901. 8»
Museum des Königreichs Böhmen in Prag:
Bericht für das Jahr 1900. 1901. 8». Casopis. Bd. 75, Heft 1. 1901. 8»
K. K. Sternwarte in Prag:
Astronomische Beobachtungen in den Jahren 1892—99. Herausgegeben von L. Weinek. 1901. 4«.
Deutsche Karl Ferdinands -Universität in Prag: Die feierliche Installation des Rektors am 8. November 1900. 8®.
Verein böhmischer Mathematiker in Prag: Sbomik. Bd. IV. 1901. 8«. Casopis. Bd. 30, Heft 1—3. 1900-01. 8^.
Historischer Verein in Begensburg: Verhandlungen. 52. Bd. 1900. 8^.
Naturforscher- Verein in Biga: Arbeiten. N. F. Heft 10. 1901. S^.
Geological Society of Amenca in Bochester: Bulletin. Vol. XL 1900. 8»
Beäle Accademia dei Lincei in Bom:
Annuario 1901. 8^.
Atti. Ser. V. Classe di scienze morali. Vol. VIII, parte 2. Notizie degli
scavi 1900, Settembre— Dicembre; Vol. IX, parte 2, 1901. Gennaio.
1900—01. 40. Atti. Serie V. Reodiconti. Classe di scienze fisiche. Vol. IX, semestre 2,
fasc. 12; Vol. X, semestre 1, fasc. 1—11. 1900/01. 40. Rendiconti. Classe di scienze morali e filologiche. Serie V. Vol. IX,
fasc. 7—12; Vol. X, fasc. 1-4. 1900/01. 8<>.
18* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Äccademia Pontifida de^ Nuovi Lincei in Rom: Atti. Anno 64, Sessione I. 1900—01. 4^
22. Comitato geologico d'Itdlia in Rom: Bollettino. Anno 1900, No. 3, 4. 80.
Kaiserl, deutsches archäologisches Institut (röm, Ahtlg.J in Rom: Mitteilungen. Bd. XV, 4; XVI. 1901. S^.
R, Societä Romana di storia patria in Rom : Archivio. Vol. XXUI, S, 4. 1900. 8®.
Acadimie des sciences in Rouen: Prdcig analytique des travaux. Annde 1898—99. 1900. 8®.
R. Äccademia di scienze degli Ägiati in Rovereto: Atti. Serie III. Vol. 6, fasc. 4. 1900. QP.
Naturwissenschaftliche Gesellschaft in St, Gallen: Bericht 1898—99. 1900. 80.
Californio Academy of Sciences in San Francisco:
Occasional Papers. Vol. 7. 1900. 80.
Proceedings. III^ Series. Zoology, Vol. II, No. 1 — 6; Botany, Voll,
No. 10, II, No. 1, 2; Geology, Vol. I, No. 7-9; Math.-Phys.. Vol. I,
No. 5— 7. 1899—1900. 8».
Ohservatorio astronömico y meteorolögico in San Salvator: Anales. 1900. fol.
Bosnisch-Herzegovinisches Landesmuseum in Sarajevo: Wissenschaftliche Mitteilungen. (Siehe Wien.)
Verein für mecklenburgische Geschichte in Schwerin: Mecklenburgisches Urkundenbuch. Bd. XXII. 1900. 4«.
R. Äccademia dei fisiocritici in Siena: Atti. Serie IV. Vol. 12, No. 4-10. 1900. 8®.
K. K. archäologisches Museum in Spdlato: Bullettinodi Archeologia. Anno 23, 1900, No. 12; Anno 24, 1901, No. 1—5. 8*.
K. Akademie der Wissenschaften in Stockholm:
Meteorologiska^iakttagelser i Sverige. Bd. 37 (1895). 1900. 4®. öfversigt. 57. Arg&ng 1900. 1901. 8«.
Geologiska Förening in Stockholm: Förhandlingar. Bd. 22, No. 7; Bd. 23, No. 1—4. 1901. 8«.
Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften in Strasshurg: Monatsbericht. Bd. 34, Heft 7 u. 10; Bd. 35, Heft 1—6. 1900—01. 8«.
K. öffentliche Bibliothek in Stuttgart: Hermann Fischer, Schwäbisches Wörterbuch. Liefg. 1. TQbingen 1901. 4^
K. Württemberg. Kommission für die internationale Erdmessung
in Stuttgart:
Veröffentlichung. Heft IV. 1901. 4^.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 19*
Ohservatario astronömico naciondl in Tacubaya:
Boletin. Tomo II, No. 7. Mexico 1901. fol. Anuario. Ano XXI. Mexico 1901. 8®.
Physikalisches Observatorium in Tiflis: Beobachtungen im Jahre 1897. 1900. 4^.
Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokyo: Mitteilungen. Bd. VIII, Heft 2. 1901. 8».
Kaiserl. Universität Tokyo (Japan): The Journal of the College of Science. Vol. XV, 1. 1901. 4»
Earthquake Investigation Committee in Tokyo: Publications, No. 5, 6. 1901. 4®.
Canadian Institute in Toronto: Proceedings. Vol. II, pari 4, 1901. gr. 8^.
üniversity of Toronto:
Studies. a) Psychological , Series No. 4. b) Geological, Series No. 1.
c) Anatomical, Series No. 1. 1900. 4®. Edw. C. Jeffrey, The Morphology of the central cylinder in the Angios
perma. 1900. 4<>.
Universiti in Totdouse:
AnnalcB du Midi XII^ annde, No. 46-48. 1900. 8».
Annales de la facultä des sciences. II ^ Sdrie. Tom. 2. Annde 1900.
Paris. 49. Livret de Tüniversitd 1900.
Biblioteca e Museo comunale in Trient: Archivio Trentino. Anno XV, 2. 1901. S®.
R, Accademia delle scienze in Turin:
Osservazioni meteorologiche fatte nell* anno 1900. 1901. 8^. Atti. Vol. 36, disp. 1-5. 1901. 8» Memorie. Serie II. Tom. 50. 1901. 4P.
K, Gesellschaft der Wissenschaften in üpsala: NoTa Acta. Ser. III. Vol. 19. 1901. 4».
Meteorolog. Observatorium der Universität Upsdla: Bulletin mensuel. Vol. XXXII, Annexe 1900. 1900—01. 4^
K. Universität in Upsdla:
Uppsatser i Romansk Filologi tillägnade Professor P. A. Oeijer pll hans
sextio arsdag den 9. April 1901. 1901. 8<>. Urkunder tili Stockholms historia I. Andra haftet. 1900. 8^.
Historisch Genootschap in Utrecht:
Bijdragen en Mededeelingen. Deel XXI. Amsterdam 1900. 8^ Werken. N. Serie. No. 52* u. 61. 1899—1900. 8^.
Instittit Royal MHeorologique des Pays-Bas in Utrecht: Nederlandsch Meteorologisch Jaarboek Toor 1898. 1901. 4^.
20* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Provincial Utrechtsch Genootschap in Utrecht:
Aanteekeningen 1900. 8^. Verslag. 1900. S«.
Physiologisch Laboratorium der HoogescJwol in Utrecht: Onderzoekingen. V. Reeks. Bd. 11, aflev. 2. 1901. S®.
Äccademia di Sdenze in Verona: Atti e Memorie. Serie IV. Vol. I, fasc. 1. 1900. 4^.
Bureau of American Ethnology in Washington: 17. annual Report (1895-96), part II. 1898. 4^.
Bureau of Education in Washington: Report 1898—99. Vol. 2. 1900. 8<>.
U. S. Departement of Agriculture in Washington:
Report. 1900. No. 67; 1901, No. 68. 8^.
Bulletin. Division of biological Survey No. 14. 1900. 8*^.
North American Fauna No. 16. 1899. S^,
Yearbook 1900. 1901. 80.
Smithsonian Institution in Washington:
Report on the U. S. National-Museom. Part II. 1901. S^.
Annual Report 1898. Parti, II. 1900. 8^.
A select Bibliography of Chemistry by H. C. Bolton. 1901. 8®.
U. S. Nacal Ohservatory in Washington:
Publications. 11°^ Series. Vol. I. 1900. 4«.
Observations made dnring the year 1891 and 1892. 1899—1900. 4^
Report for the year 1899—1900. 1900. 8®.
U. S. Coast and Geodetic Survey in Washington:
Special Publication No. 4. 1900. 40.
Report of the Superintendent for the year 1898—99. 1900. 4«.
Harzverein für Geschichte in Wernigerode: Zeitschrift. 33. Jahrg., 1900, 2. H&lfte. 1900. 8^,
Kaiserl. Akademie der Wissenschaften i?i Wien:
Sitzungsberichte. Philos.-histor. Glasse. Bd. 141, 142 und Register XIV.
1899—1900. 80. Mathem.-naturwissenschaftl. Classe.
1899, Abtlg. I, No. 1-10. 1900, No. 1—6. 1899, Abtlg. IIa, No. 1—10. 1900, No. 1—7. 1899, Abtlg. IIb, No. 1—10. 1900, No. 1—7. 1899, Abtlg. III, No. 1—10. 1900, No. 1—7. 1900. 8®. Denkschriften. Philos.-histor. Classe. Bd. 46. Mathem.-naturw. Classe. Bd. 66, Abtlg. III; Bd. 68. Archiv für österr. Geschichte. Bd. 87, Hälfte I, II; Bd. 88, Hälfte I, II;
Bd. 89, Hälfte I. 1900. 8^. Fontes rerum Austriacarum. II. Abtlg., Bd. 48, Hälfte II; Bd. 49, H&lfte S.
1900. 80. Almanach. 49. Jahrg., 1899. 8®. Tituli Asiae Minoris. Vol. I. Tituli Lyciae ed. £• Kaiinka. 1901. foL
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 21*
K. K, geologische Beichsansialt in Wien:
Abhandlungen. Schriften der Balkankommission. Linguistische Abteilang.
I. Sfldslavische Dialektstudien. Heft I. 1900. 4^. Jahrbuch 1900. Bd. 50, Heft 2, 3. 1900/01. 4». Abbandlungen. Bd. XVI, Heft 1. 1900. fol. Verhandlungen 1900, No. 13—18; 1901, No. 1—6. 4P,
K. K. Zentralanstalt für Meteorologie in Wien:
Jahrbücher. Jahrg. 1898. N. F. Bd. 36; 1899. N. F. Bd. 36, Teil I. 1900. 40.
K. K. Gesellschaft der Aerzte in Wien:
Wiener klinische Wochenschrift 1901, No. 3—26. 4».
Anthropologische Gesellschaft in Wien:
Hitteilungen. Bd. XXX, Heft 6. Generalregister zu den Bänden 21—30. 1900A)1. 40.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien:
Verhandlungen. Bd. 50, Heft 10; Bd. 51. Heft 1-4. 1901. 8«. Botanik und Zoologie in Oesterreich 1850—1890. 1901. 8<>.
K, K, gemeinsames Ministerium in Angelegenheiten Bosniens und
der Herzegowina in Wien:
Wissenscbaftl. Mitteilungen aus Bosnien und der Herzegovina. Bd. VII. Wien 1900. 4».
Verein für Nassauische Altertumskunde etc, in Wiesbaden:
Annalen. 31. Bd., Heft 2. 1901. 4^. Mitteilungen 1900/01, No. 1—4. 4». Gottfried Zedier, Die Inkunabeln Nassauischer Bibliotheken. 1900. 4^.
Physikalisch-medizinische Gesellschaft in Würzburg:
Verhandlungen. Bd. 34, No. 2—6. 1901. 8®. Sitiungsberichte. Jahrg. 1900, No. 2—4. 8°.
Historischer Verein von Unter franken in Würzburg: Archiv. Bd. 42. 1900. 8».
Natur forschende Gesellschaft in Zürich:
Neujahrsblatt auf das Jahr 1901. 103. Stück. 4<'. Vierteljahrsschriffc. 45. Jahrg., 1900, Heft 3 u. 4. 1901. 4«.
Schweizerische geologische Kommission in Zürich:
Beiträge. N. F. Liefg. 10. Bern 1900. 4«.
Notice explicative de la feuille XI (2^0 ed.). Bern 1900. 8°.
Schweizerisches Landesmuseum in Zürich: Anzeiger für Schweizerische Altertumskunde. N. F. Bd. 2, 1900, No. 3. 4®.
22* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
Von folgenden Privatpersonen:
Albert I. Prince de Monaco:
Resultats des campagnes scientifiques. Fase. 17, 18. 1900. fol. Notes de gdographie biologique marine. Berlin 1900. 8®.
Archer de Lima in Lissabon: Pour la Paix et pour Thumanit^. 1898. 8^,
Verlagshandlung von Johann Ambrosius Barth in Leipzig: Beiblätter zu den Annalen der Physik. 1900, No. 12; 1901, No. 1—7. 8*.
Verlag von Hugo Bermühler in Berlin: Forschungen zur Geschichte Bayerns. Bd. I— VIII. 1893—1900. 4^
E, Bortolotti in Modena: Sulla determinazione deir ordine di infinite. 1901. 8^.
Emanuele Ciaceri in Catania: La Alessandra di Licofrone - Testo , traduzione e commento. 1901. 8^.
Theodore Crivetz in Bukarest: Essai sur requidistante. 1900. 8^.
H, Fritsche in St. Petersburg: Die Elemente des Erdmagnetismus. Publikation III. 1900. 8®.
Madame V^ Godin in Guise (Aisne): Le Devoir. Tom. 25. Janvier— Juin 1901. 8<>.
Friedrich Goppelsröder in Basel: Capiliaranalyse. 1901. 8^.
Hugo Groth in Hamburg: Zur Dynamik des Himmels. 1901. 8^.
Robert Hartig in München: Holzuntersuchungen. Altes und Neues. Berlin 1901. 8^.
Franz J, Heilemann -Völlshausen in Schöneberg hei Berlin: Die Kraft des Weltalls. Berlin 1900. 8^.
H. Herkenne in Bonn, Die Textüberlieferung des Buches Öirach. Freiburg 1901. S^.
Hermann Hippauf in Breslau: Die Rektifikation und Quadratur des Kreises. 1901. 8^.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 23*
A, von KölUker in Würzhurg: DieMedulla obloDgata von Ornithorbynclias und Echidna. Leipzig 1901. 4®.
Karl Krumbacher in München: Byzantinische Zeitschrift. Bd. 10, Heft 1, 2. Leipzig 1901. S«.
Robert Lauterhorn in Ileidelberg: Der Formenkreis von Anuraea cochlearis. Teil L 1900. 8®.
Henry Charles Lea in Philadelphia: The Moriscos of Spain. 1901. 8^.
Fr. Lehmanns Buchhandlung in Zweibrücken: Loitpold von Bayern von Richard Graf Du Moulin Eckart. 1901. 8P,
C, MeUis in Neustadt a/H,: Walahstede. Eine rheinische Burganlage. Kaiserslautern 1901. 8^.
Gabriel Monod in Versailles:
Revue historique Annde XX VL Tom. 75, No. II (Mars & Avril); Tom. 76, No. I, II (Mai— Aoüt). 1901. 8^.
Antonio Pranzeldres in Trient: Niccolo d*Arco, studio biologico. 1901. 8®.
Dietrich Reimers Verlagshandlung in Berlin:
Zeitschrift für afrikanische und ozeanische Sprachen. 5. Jahrg., 3 Heft.
1900. 40.
Gustav Retzius in Stockholm: Crania Suecica Antiqua. Jena 1900. fol.
Jädouard Sarasin in Genf: Lea oscillations du lac des quatre-cantons. 1901. 8^.
Verlag von Seitz <# Schauer in München: Deutsche Praxis. 10 Jahrg., 1901, No. 3— 12. 8«.
Serge Socolow in Moskau: Corr^Iations r^gulieres supplementaires du syt^me plan^taire. 1901. 8®.
B. G, Teubner in Leipzig:
Thesaurus linguae latinae. Vol. II, fasc. 1. 1901. 4^
Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe, Bd. I, Heft 1 und 2.
1901. gr. 80.
Enkyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd. I, Heft 6; Bd. IV, 2, Heft 1. 1901. 80.
24* Vergeiehnis der eingelaufenen Druckschriften.
E, Teza in Padua: Air Ascoli. Iniorno al Vocabolario di Nie. Volla da Girgenti. 1901. 8*.
N, Wecklein in München: Euripidis fabulae. Vol. III, 4. Phoenisse ed. N. Wecklein. Leipzig 1901. 8".
Johannes WisUcenus in Leipzig: Sir Edward Frankland. s. 1. 1901. 8^.
Ed, von Wölfflin in Müncf^en: Archiv för lateinische Lexikographie. Bd. XII, 2. 1901. 80,
25*
Verzeichnis der eingelaufenen Druckscliriften
Juli bis Dezember 1901.
Die Yorehrlichen Gesellschaften and Institute, mit welchen unsere Akademie in Tauschverkehr steht, werden gebeten, nachstehendes Verzeichnis zugleich als Empfangs- beetätigung zu betrachten.
Von folgenden Gesellschaften nnd Instituten:
Royal Society of South-Australia in Adelaide: Transactions. Vol. XXV, part 1. 1901. 8^
Observatory in Adelaide: Meteorological Observations of the year 1898. 1901. fol.
Südslaoische Akademie der Wissenschaften in Agram:
Ljetopig 1900. 1901. 8^.
Kad. Bd. 146. 1901. 8°.
Monumenta historico-juridica. Vol. VIII. 1901. 8®.
Zbornik za narodni zivot. Bd. VI, 1. 1901. 8^.
K, kroat.-slavon.-dalmatinisches Landesarchiv in Agram: Vjestnik. Bd. 8, Heft 3, 4. 1901. 4".
Kroatische archäologische Gesellschaft in Agram: Vjesnik. N. Ser. Sveska 6. 1901. 4«.
Societi des Antiquaires de Picardie in Amiens:
La Picardie historique et monumentale. Tom. I, No. 6. 1899. fol. Bulletin. Annäe 1899, trimestre 2— 4; 1900, trimeatre 1. 1900. 8^.
K, Akademie der Wissenschaften in Amsterdam:
Verbandelingen. Afd. Natuurkunde I. Sectie. Deel VII, No. 6, 7; II. Sectie,
Deel VII, No. 4-6. Verhandelingen. Afd. Letterkunde. Deel III, No. 1-4. 1900. 4<>. Jaarboek voor 1900. 1901. 8°. P. H. Damstä, Patria rura, Carmen. 1901. 8^.
Redaktion der Zeitschrift „Athena": Athena. Tom. 13, fasc. 4. 1900. 8^.
Historischer Verein für Schwaben und Neuburg in Augsburg: Zeitschrift. 27. Jahrg. 1900. 8^.
3
2^T* TazeiAmk 4er m^idimfrmem Ißrwdtadkriftem
C^^fSLJ^r^ T<>L1X y.-Ä 53: TgL XJDL Xa 54, 1»1. 4» Am^erfeata Jovrul <if KüÄ«sa&2f- V;L XXIIL So. 2-4. 1901. 4«. Tz^ AaL*ritaji J:-«xnaI o«!f ?k£I»3l»»j. V:L XXIL 1. 1901. S*.
IkmMTJi:^ CfcKüi!»! J:iniAL VoL25l Xx4-<5: V.^LÄ, Xo. 1—3. 1901. 6«.
/-itiM Hr'pkf&i Uttfr^^tTT Scaüs». VoL lOL X>- 4—9. 19Ö1. 8^.
B<s:>tfB of tL* Joi» Ho^kiu ei3*f|icaL VoL XfL Xr. 121—128. 1901. 4<'.
Tbt J-.iaLi Hopcixj B^fpiLkl B^fwirt?. T«L H. ToL X^ Xo. 1, 2. 1901. 4«.
34^ äBfi^iäl Eiepon Jos« 1. ISOl. C^.
Matyl/imd Gtfifißpctü Smrxej im B^Mmore:
XaiMrfondkemde Gei^4dkaft in B^atberg: XTllL Berich!:. 1901. ö*.
UUioriidk^ntiqwiriifke Gtteüidkaft tu B^uei:
h^T^*: zsT T&t^rUiidiaekai Geschichte. X. F. Bd. T, Heft 4. 1901. 8^.
25. Jacre-h^rlckt l99& 1900. ISöO. 8'^.
Bs^ler Z^u^iirif: fo Geschidite. Bd. 1, Bcft 1. 1901. 8*.
ÜKirerfUät^jibiwikek im B^iei: .rkhHften der UniTerfitlt aos dem Jaiire 19(X)»01 m 4* und 8^.
ßa(aKiaaiKh GtnooiJidiap ran Kumsiem em W€tenttkapp€n im Batazia:
Tijdicfchft- Deel 44. aä. 1 — 4. IS^Jl. 8».
SotnlejL Deel ZS, ad. 4; Deel 39. afl. 1. 1900—1901. 8*.
bs^^hh^r^^iMier, Anno 1641—42 and 1673. 1900^1. S*.
Obierratory in Bitada:
OUerratfon^. Vol. XXIL part 2. 1901. foL Ke;^enwaameiDiBgeD. XXIL Jahrg. 1900. 4*.
K. naiuurkundige Vert^niging in SedcrlamdMck Imdie zu Baiacia: Natnofkandig Tijd#chrift. Deel 60. 1901. 6*.
K. HerhUdi^ Akademie der Wissensduiftem im Btigrcid:
Glaj. No. LX, LXIL 1901. 8^
(JeflijchiTi'tkf*tieT für Xicifor Dacic, Archimandriten und Akademiker im 22. April 1901. 8®.
Museum in Bergen (Noncegen):
An Account of the Crastacea of Norwey. VoL IT, par« i^ %, 1901 4*. Aarbog far 1901. 8".
K. preuss. Akademie der Wissenschaften in Berlin:
Acta borruÄS.'ca. Behördenorgani^ation. Bd. VI, Abtlg. 1 — 3. Getreiöe-
bandelpolitik. Bd. 3. 1901. 8'^ Sitzungsberichte 1901. No. XXIII-XXXVIIL gr. 8». Corpus ingcriptorura latinarum. Vol. XI, partis posterioris fksc.I; VoLXllL
partim tert. fa^c. I. 1901. fol.
K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Beriin: Abhandlungen. N. F. Heft 34. 1901. 4». Geologisch- morphologische Uebersichtskarte der ProTinz Pommern ISÖI
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 27*
Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin: Berichte. 34. Jahrg., No. 10—17. 1901. 8».
Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin: Zeitschrift. Bd. 53, Heft 1-3. 1901. 8^.
Deutsche physikalische Gesellschaft in Berlin:
Die Fortschritte der Physik im Jahre 1900. 56 Jahrg., Abtlg. I— IIL
Braunschweig 1901. 8<>. Verhandlungen im Jahre 1901. Leipzig 1901. 8^.
Physiologische Gesellschaft in Berlin:
Zentralblatt für Physiologie. 1901. Bd. XV, Nr. 7—17 und Register zu
Bd. XIV. Leipzig. 80. Verhandlungen 1900—1901. No. 11—19. 8^
Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin:
Jahrbuch. Bd. XVI, Heft 2, 3. 1901. 4«. Antike Denkmäler. Bd. II, Heft 4. 1901. fol.
K. preuss, meteorologisches Institut in Berlin:
Begenkarte der Provinzen Brandenburg und Pommern von G. Hellmann.
1901. 8^ Bericht über das Jahr 1900. 1901. 8». Abhandlungen. Bd. 1, No. 6— 8. 1901. 4^. Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen. II. u. III. Ordnung im
Jahre 1896 und 1900. 1901. 4».
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik in Berlin: Jahrbuch. Bd. XXX, Heft 1 -3. 1901. 8».
K. Sternwarte in Berlin: Beobachtungsergebnisse. Heft 9. 1901. 4^.
Verein zur Beförderung des Gartenbaues in den preuss. Staaten
in Berlin:
Gartenflora. 50. Jahrg. 1901, No. U— 24. 1901. 8°.
Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin:
Forschungen zur Brandenburgischen und Preussischen Geschichte. Bd. 14, 2. Hälfte. Leipzig 1901. 8^.
Naturwissenschaftliche Wochenschrift in Berlin: Wochenschrift. Bd. XVI, Heft 7, 8.
Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin: Zeitschrift. 21. Jahrg. 1901, Heft 7— 12. 4«.
Allgemeine geschichtsforschende Gesellschaft der Schweiz in Bern: Jahrbuch für Schweizerische Geschichte. 26. Bd. Zürich 1901. 8^.
Naturforschende Gesellschaft in Bern:
82. Jahresversammlung in Neuchatel. 31 . Juli bis 2. August 1899 ; 83. Jahres- versammlung in Thusis. 2. bis 4. Sept. 1900. 8^. Nebst französischem Auszuge aus beiden.
3*
28* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
SocUti d^J^mülation du Doubs in Besangon: M^moires. 5« Sär. Tom. 6 cahier 2. Paris 1901. 8^.
B, Depuiazione di storia patria per le Provincie di BomcLgna
in Bologna:
Atti e Memorie. Serie III. Vol. XIX faac. 1—3. 1901. 8^
Niederrheinische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde in Bonn: SitzuDgsberichte 1900. 2. Hälfte. 1900. 8^.
Universität in Bonn: Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4^ und 8<^.
Verein von Altertumsfreunden im Bheinlande in Bonn: Bonner Jahrbücher. Heft 107. 1901. 4P,
Naturhistorischer Verein der preussischen Rheinlande in Bonn: Verhandlungen. 57. Jahrg. 2. Hälfte. 1900. 8».
Societe des sdences physiques et naturelles in Bordeaux:
Proefea-verbaux des s^ances Annde 1899—1900. Paris 1900. 8^, Observationa pluviomätriques 1899—1900. 1900. 8^. M^moires. 5® S^r. Tom. 5 cahier 2. Paris 1901. 8®.
Societe Linneenne in Bordeaux:
Actes. Vol. 55. 1900. 8^
Catalogue de la biblioth^ue. Fase. 2. 1901. 8^.
Sociite de geographie commerciale in Bordeaux: Bulletin. 1901. 27« anu^e No. 13—24. 8«.
American Academy of Arts and Sciences in Boston: Proceedings. Vol. 36 No. 20—29; Vol. 87 No. 1—3. 1901. 8^.
American Philological Association in Boston: Transactions aud Proceedings. Vol. 31. 1900. 8^.
K. Lyceum Hosianum in Braunsberg: Arbeiten aus dem botanischen Institut. I. 1901. 4®.
Meteorologisches Observatorium in Bremen: Deutsches meteorologisches Jahrbuch für 1900. 1901. 4®.
Naturwissenschaftlicher Verein in Bremen: Abhandlungen. Bd. XVII, 1. 1901. 8«.
Schlesische Gesellschaft für vaterländische Kultur in Breslau: 78. Jahresbericht 1900 und Ergänzungsheft 1901. 8^.
Sternwarte in Breslau: Mitteilungen. Bd. I. 1901. 4®.
Deutscher Verein für die Geschichte Mährens u. Schlesiens in Brunn Zeitschrift. Jahrg. 5 Bd. 4. 1901. gr. 8^.
Academie Boyale de midecine in Brüssel: Bulletin. IV. Sdrie. Tome XV No. 5—9. 1901. 8^.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 29*
ÄcadSmie Boy die des sciences in Brüssel:
M^moires couronn^s in 4^. Tom. 67, 58.
Mdmoires couronnds in 8®. Tom. 68—60 avec carte pour le tom. 48. Biographie nationale. Tom. XV, 2; XVI, 1. 1899—1900. 8^. Bulletin, a) Classe des lettres 1901, No. 6—10. 8^.
b) Classe des sciences 1901, No. 6—10. 8^. 4 volumes Croniques in 8^. 1899—1900. 4 volumes Croniques in 4P. 1899—1900.
Bihliotheque Boy die in Brüssel: Catalogue des Manuscits. Tom 1. 1901. 8^.
Societe des Bollandistes in Brüssel: Analecta Bollandiana. Tom. XX fasc. 3, 4. 1901. 8®.
Societe entomologique de Belgique in Brüssel: Mdmoires. VIII. 1901. 8^.
SociSte beige de gSologie in Brüssel: Bulletin. Tom. XII fasc. 8; Tom. 14 fasc. 6; Tom. 16 fasc. 4, 6. 1901. 8<>.
K. ungarische Akademie der Wissenschaften in Budapest:
Almanach. 1901. 8^.
Njelvtudomänyi Eözlemdnyek. (Sprachwissenschaftliche Mitteilungen.)
Bd. 30 Heft 3, 4; Bd. 31 Heft 1, 2. 1900/01. S». Archaeologiai £rtesitö. Uj foljam. (Archäologischer Anzeiger.) Bd. 20
Heft 3-6; Bd. 21 Heft 1, 2. 1900/01. 4^ firtekez^sek a nyelvtudomanjok kör^böl. Bd. 17, Heft 6— 8. 1900-01. S^. Ertekezdsek a tärsadalmi tudomänjok kör^böl. Bd. 12, Heft 6-7. 1901. 8®. Ertekez^sek a tört^neti tudomänyok kördböl. Bd. 19, Heft 1—6. 1901. 8^. Mathematikai Ertesitö. (Mathemat. Anzeiger.) Bd. 18, Heft 3— 6; Bd. 19,
Heft 1, 2. 1900/01. S». Mathematikai Közlem^nyek. (Mathemat. Mitteilungen.) Bd. 27 Heft 5.
1901. 80. Mathematische und naturwissensch. Berichte aus Ungarn. Bd. 14 — 16.
Berlin 1898—99. 8°. Happort sur les traveaux de TAcad^mie en 1900. 1901. 8®. Gröf Kuun Gdza, Ismereteink tibetröl. 1900. 8». Daday Jenö, A Magyarorszägi kagylösräkok Mayänrajza. 1900. 8^. A Magyar Nemzets^gek a XIV. 8zä.zad Eözep^ig Irta Ear^csonyi Jä.nos.
1900. 8^. Arja ds Eaukäzusi elemek. Irta Munkdcsi Berndt. 1901. 8^.
K. Ungar, geologische Anstalt in Budapest:
Abafi Aigner, A lepk^szet törtänele Magyarorszägon. 1898. 8®. Hdjas A., A zivatarok Magyarorszagou 1871—95. 1898. 8®.
Statistisches Bureau der Haupt- und Residenzstadt Budapest: Publikationen. No. XXIX, 1; XXX, XXXI. Berlin 1900—1901. 4».
Museo nacional in Buenos Aires: Camunicaciones. Tom. I, No. 9. 1901. 8^.
Deutsche akademische Vereinigung in Buenos Aires: Veröffentlichungen. Bd. I Heft 4, 6. 1901. S®.
30* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
Botanischer Garten in Buitenzorg (Java):
Verslag over het jaar 1900. 1901. 4^.
Grondsoortenkaart van een gedeelte van Deli door D. S. Hissink. Karte
mit erläuterdem Text. 1901. 4». Mededeelingen. No. 48-60. 1901. 4«. Bulletin. No. VIII. 1901. 4^.
Society of natural sciences of Buffalo: Bulletin. Vol. VII, No. 1. Albanj 1901. 8».
Äcademia Romana in Bukarest:
Discursuri de recep^iune XXIII. 1901. 49.
Analele. Serie IL Tome 22. 1899—1900. Memoriile sec^iunii sciitifice;
, 22. 1899 — 1900. Memoriile sec^iunii istorice;
„ 23. 1900—1901. Parteaadministrativa. 1900bi8 1901. 4«. Publicajiunile fondului Princesa Alina Stirbei. No. II— IV. 1896. Grigorie Cretu, Lexicon Slavo-Rom&nesc. 1900. 8®.
Sim. Fl. Marian Serbatorile la Romani. Vol. 3. 1901. 8^.
Sodete Linn^enne de Normandie in Caen:
Mdmoires. Vol. XX, fasc. 3. 1900/01. 4. Bulletin. 5e S^rie. Vol. 4. 1901. 8®.
Meteorological Department of the Government of India in Caicutta:
Montbly Weather Review 1901. Februarj — July und Annual Sammarj
1900. fol. Rainfall in India 9*1» year 1899. 1900. fol. Report on the Administration 1900—1901. 1901. fol.
Departement of Bevenue and Agriculture of the Government of India
in Caicutta:
Memorandum on tbe snowfall in the mountain districts 1900. 1901. fol.
Äsiatic Society of Bengdl in Caicutta:
Catalogue of printed Books and Manuscripts. Fasc. 3. 1901. 49. Biblioiheca Indica. New Ser. No. 977—982, 956, 984—998, 1000. 1899
bis 1901. 80. Journal. No. 392-394. 1901. 8«. Proceedings. 1901. No. 3—8. 8^.
Geological Survey of India in Caicutta:
Memoirs. Vol. XXX, 2; Vol. XXXI, 1; Vol. XXXII, 2; Vol. XXXIII, 2.
1900/01. 40. Paläontologica Indica. Ser. IX. Vol. III , part I und New Series. Vol. 1,
No. 3. 1900-1901. fol. General Report 1900/01. 1901. 4«.
Mtiseum of comparative Zoology at Harvard College in Cambridge^ Mass.:
Bulletin. Vol. 36, No. 7, 8; Vol. 37, No. 3; Vol. 39, No. 1. 1901. B9. Annual Report for 1900—1901. 1901. 8«. Memoirs. Vol. XXV, No. 1. 1901. 4®.
Ästronomicdl Ohservatory of Harvard College in Cambridge, Mass.: Annais. Vol. 28, part 2; Vol. 41, part 7. 1901. 4®
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 31*
Philosophicäl Society in Cambridge: Proceedings. Vol. XT, part 3. 1901. 8^.
Accademia Gioenia di scienze naturali in Catania: BoHettino. Fase. 68—70. 1901. 8°.
K, sächsisches meteorologisches Institut in Chemnitz ; Jahrbuch. Jahrg. XVI, Abtlg. II. 1901. 4^ Dekaden-Monataberichte. Jahrg. III, 1900. 1901. 4^. AbhandluDgen. Heft 6. Leipzig 1901. 4^.
Field Columbian Museum in Chicago: Publications. No. 65— 69. 1901. 8«.
Zeitschrift „Ästrophysical Journal" in Chicago: Vol. Xni No. 5; Vol. XIV No. 1—4. 1901. gr. 8^.
Zeitschrift „The Journal of Gedlogy": Vol. IX No. 6. 1901. 8».
Gesellschaft der Wissenschaften in Christiana:
Forhandlingar 1900. 1901. 8^.
Skrifter. I. Mathemat.-naturwissensch. Classe 1900 No. 5 — 7 und Titel. IL Hietor.-filos. Classe 1900 No. 6 und Titel. 1900. gr. 8».
K. Norwegische Universität in Christiania: Schriften aus dem Jahre 1900.
Historisch-antiquarische Gesellschaft für Graubünden in Chur: XXX. Jahresbericht. Jahrg. 1900. 1901. 8^.
Naturforschende Gesellschaft Graubündens in Chur: Jahresbericht. N. F. Bd. 44. Vereinsjahr 1900/01. 1901. 8^.
Ohio State üniversity in Columbus: Xlllti» annual Report. 1900. 8».
Äcademia naciondl de ciencias in Cordoba (Republik Argentinien): Boletin. Tom. XVI, 4. 1901. 8».
Naturforschende Gesellschaft in Danzig: Schriften. N. F. Bd. X, Heft 2, 3.
Historischer Verein für das Grossherzogtum Hessen in Darmstadt:
Archiv für hessische Geschichte. N. F. Bd. 3 Heft 1 und Ergänzungs- band 1 Heft 1. 1900—1901. 8^.
Äcademie des Sciences in Dijon: Mämoires. IVe S^rie. Tome 7. Annäes 1899—1900. 1901. 8«.
Union gSographique du Nord de la France in Douai: Bulletin. Tome 21, trimestre 4; Tome 22 trimestre 1,2. 1900—1901. 8^.
K. sächsischer Ältertumsverein in Dresden:
Jahresbericht 1900/01. 1901. 8».
Neues Archiv für sächsische Geschichte. Bd. 22. 1901. 8^
32* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
GeneraJdtrel'tion der Ic, Sammlungen für Kunst und Wissenschaft
in Dresden:
Bericht über das Jabr 1898/99. 1900. fol.
Eoyal Irish Academy in Dublin:
Proceedings. Ser. III. Vol. VI, 2. 3; Vol. VII. 1901. 8®. Transactions. Vol. XXXI. Parts 8—11. 1900. 4P.
PoUichia in Dürkheim: Mitteilungen. 68. Jahrg. 1901 No. 14, 16. 8«.
American Chemical Society in Easton, Pa,: The Journal. Vol. 28, No. 6-11. 1901. 8^.
Eoyal Society in Edinburgh:
Proceedings. Vol. XXIII, No. 4, 6. 1901. 8^ Transactions. Vol. 40. Part I No. 8. 1901. 4®.
Royal Physical Society in Edinburgh: Proceedings. Session 1899—1900. 1901. 8«.
Verein für Geschichte der Grafschaft Mansfeld in Eisleben: Mansfelder Blätter. 15. Jahrg. 1901. 8®.
Naturforschende Gesellschaft in Emden: 85. Jahresbericht für 1899/1900. 1901. Q^.
K. Akademie gemeinnütziger Wissenschaften in Erfurt: Jahrbücher. N. F. Heft 27. 1901. 8».
K. Universitätsbibliothek in Erlangen: Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4 und 8®.
Eeale Accademia dei Georgoßi in Florenz: Atti. Ser. IV. Vol. 24 disp. 2. 1901. 8^
Societä Asiatica Italiana in Florenz: Giornale. Vol. 14. 1901. 8«.
Senckenbergische natur forschende Gesellschaft in Frankfurt alM.:
Abhandlungen. Bd. XXVI, Heft 3. 1901. 4». Bericht. 1901. S».
Physikalischer Verein in Frankfurt a/M,: Jahresbericht für 1899—1900. 1901. 8«.
Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt afO,:
Helios. Bd. 18. 1901. S».
Societatum Litterae. 1900, Jahrg. XVI, No. 1—12. 8».
Natur forschende Gesellschaft in Freiburg t. Br.: Berichte. Bd. XI, 3. 1901. 8».
Breisgau' Verein Schau-ins-Land in Freiburg t. Br,: ,Schau-ins-Land.* 28. Jahrg. 1901. fol.
Kirchengeschichtlicher Verein in Freiburg i. Br,: Freiburger Diöcesan-Archiv. N.F. Bd. 2 (= Bd. 29 d. ganz. Reihe). 1901. b^
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 33*
Universität in Freiburg i, Br,: Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4^ und 8<*.
Universität Freihurg in der Schweiz: CoUectanea Friburgenaia. Nouv. S^rie. Fase. 2. 1901. 8^.
Institut national in Genf: Mdmoires. Tom. XVIIT. 1893—1900. 1900. 4».
Ohservatoire in Genf:
Resum^ m^teorologique de l'annäe 1899 pour Gen^ve et le Grand Saint-
Bemard. 1900. 8«. Observations m^t^orologiques faites aux fortifications de Saint-Maurice 1899.
1901. 80.
Universität in Genf:
Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4» und 8^.
Histoire de T Universum de Genbve par charles Borgeaud. L'Acad^mie de Calvin 1559—1798. 1900. 4».
Sociite de physique et dliistoire naturelle in Genf:
Me'moires. Tom. 33, partie 2. 1899—1901. 4«.
Universität in Giessen:
Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4^ und 8^.
Naturforschende Gesellschaft in Görlitz:
Abhandlungen. 23. Bd. 1901. 8^.
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen:
Festschrift zur Feier des 150jährigen Bestehens der k. Gesellschaft der
Wissenschaften und zwar Abhandlangen. N. F.
a) Philol.-hist. Classe. Bd. III, 2; Bd. IV, 4; Bd. V, 1, 2. Berlin 1901.
b) Mathem.-phjsikal. Classe. Berlin 1901.
c) Beiträge zur Gelehrtengeschichte Göttingens. Berlin 1901. 40.
Nachrichten, a) Geschäftliche Mitteilungen. 1901, Heft 1.
b) Philol.-hist. Classe 1901, Heft 1, 2.
c) Mathem.-physik. Classe. 1900, Heft 1. 1901. 4». Gelehrte Anzeigen. 1901. Jahrg. 163, No. 6— 11. 1901. 4^.
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Gothemburg: Handlingar. Serie IV. Tom. 3. 1901. 8».
Universität in Gothemburg: Ärsskrift. Bd. VI, 1900. 1901. 8^.
Scientific Laboratories of Dension University in Granville, Ohio: Bulletin. Vol. XI, 10. 1901. 8«.
Historischer Verein für Steiermark in Graz:
Mitteilungen. Heft 48. 1900. 8».
Beiträge zur Kunde Steiermark ischer Geschichtsquellen. 31. Jahrgang.
1901. 80. Der historische Verein für Steiermark 1850—1900. 1900. 49. Die Feier des 50jährigen Bestehens und Wirkens des Vereins. 1900. B®.
34* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
Naturwissenschaftlicher Verein für Steiermark in Grcui:
MitteilungCD. Jahrg. 1900, Heft 37. 1901. 8».
Bügisch-Pommerscher Geschichtsverein in Greifswdld:
Pommersche Jahrbücher. Bd. 2 und 1 Ergänzungsband. 1901. 8^
K. Instituut voor de Taal-, Land- en Volkenkunde van Nederlandsch Indie
im Haag:
Bijdragen. VI. Reeks. Deel IX, 1, 2. 1901. 8®.
Teyler's Genootschap in Haarlem: Arcbives du Mus^e Teyler. Ser. II. Vol. VII, partie 3, 4. 1901. 4«.
SociStS Hollandaise des Sciences in Haarlem:
Oeuvres compl^tes de Christian Huggens. Vol. IX. 1901. 4®. Arcbives Nöerlandaises des sciences exactes. S^rie II. Tom. 4, livr. 3—6 und Sörie II. Tom. 6. La Haye 1901. 8^.
Kaiserh Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der NcUurfarscher
in Halle:
Kepertorium zu den Akta und Nova Akta. Vol. I, II, 1, 2. 1894 bis
1899. 40. Geschichte der Bibliothek und Naturaliensammlung. 1894. 8®. Leopoldina. Heft 37, No. 7— 11. 1901. 4«. Nova Acta. Abhandlungen, Bd. 77, 78. 1901. 4».
Deutsche morgenländische Gesellschaft in Halle: Zeitscbrift. Bd. 65, Heft 3, 4. Leipzig 1901. 8^.
Universität Halle: Schriften aus 1900/01 in 4« und 8*».
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle: Zeitschrift für Naturwissenschaften. Bd. 74, Heft 1, 2. Stuttgart 1901. 8®.
Thüringisch-sächsischer Verein ?'.ur Erforschung des vaterländischen
Altertums in Halle:
Neue Mitteilungen. Bd. 21, Heft 1. 1901. 8«.
Deutsche Seewarte in Hamburg:
23. Jabresbericbt für 1900. 1901. 8».
III. Nachtrag zum Katalog der Bibliothek. 1901. 8®.
Stadtbihliothek in Hamburg:
Jahrbuch der Hamburgiscben wissenschaftlichen Anstalten. XVII. Jahrg.
1899. 8».
Sternwarte in Hamburg:
Mitteilungen. No. 7. 1901. 8®.
Verein für naturwissenschaftliche Unterhaltung in Hamburg: Verhandlungen. Bd. XT, 1898-1900. 1901. 8®.
Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover: Zeitschrift. Jahrg. 1901. 8<>.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 35*
Universität Heidelberg:
Akademische Rede zur Feier des Geburtsfestes des Grossherzogs, von
Adolf Hausrath. 1901. 4». Schriften der Universisät aus dem Jahre 1900/01 in 4P und 8^.
Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg: Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrg. X, Heft 2. 1900. 8*.
Naturhistorisch-medizinischer Verein zu Heidelberg: Verhandlungen. N. F. Bd. 6, Heft 6. 1901. S^.
Geschäftsführender Ätisschuss der Eeichslimeskommission in Heidelberg:
Der Obergermanisch- Rae tische Limes des Römerreiches. Liefg. XIV, XV. 1901. 40.
FinJändische Gesellschaft der Wissenschaften in Helsingfors:
Acta societatis scientiarum Fennicae. Tom. 26, 27. 1900. 4^
Commission geologique de la Finlande in Helsingsfors:
Carte geologique detaill^e, feuilles 86, 87, avec notes explicatives. Kuopi 1900. 8<>.
Universität Helsingfors: Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4P und Q^.
Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt:
Archiv. N. F. Bd. 80, Heft 1. 1901. S^.
Siebenbürgische Münzen und Medaillen, von Adolf Resch. 1901. 4^.
Siebenbürgischer Verein für Naturwissenschaften in Hermannstadt: Verhandlungen und Mitteilungen. 60. Bd. Jahrg. 1900. 1901. 8^.
Verein für Meiningische Geschichte und Landeskunde
in Hildburghausen:
Schriften. 88 und 89. Heft. 1901. 8«.
Altertums forschender Verein in Hohenleuben:
70. und 71. Jahresbericht. 1901. 8^.
Ungarischer Karpathen- Verein in Iglö: Jahrbuch. 28. Jahrg. 1901. 8®.
Ferdinandeum in Innsbruck: Zeitschrift. 8. Folge, 45. Heft. 1901. 8^.
Naturwissenschaftlich-medizinischer Verein in Innsbruck: Berichte. 26. Jahrg., 1900/01. 1901. 8».
Journal of Physical Chemistry in Ithaca, N,Y.: The Journal. Vol. 6, No. 6—8. 1901. 8«.
Medizinisch-naturicissenschaftliche Gesellschaft in Jena:
Denkschriften. Bd. VIL Lieferung 8, 4. Text und Atlas. 1901. fol. Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. 86. Bd. 1901. 8^.
Gelehrte Estnische Gesellschaft in Jurjew (Dorpat); Sitzungsberichte 1900. 1901. 8^.
36* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Natur forschende Gesellschaft hei der Universität Jurjew (Dorpat): Sitzungaberichte. Bd. 12, Heft 3, 1900. 1901. 8^
Zenträlbureau für Meteorologie in Karlsrühe: Jahresbericht des Zentralbureaus für das Jahr 1900. 4®.
Grossherzoglich technische Hochschule in Karlsruhe: Schrifcen aus dem Jahre 1900/01 in 4» und 8<>.
Naturwissenschaftlicher Verein in Karlsruhe: Verhandlungen. XIV. Bd., 1900—1901. 1901. 8<>.
Sociiti physico-mathematique in Kasan: Bulletin. II« S^rie. Tome X, No. 2-4. 1900—1901. 8^
Universität Kasan:
ütschenia Sapiski. Bd. 68, No. 5, 7—11. 1901. 8^ 8 medizinische Dissertationen vom Jahre 1901.
Verein für hessische Geschichte und Landeskunde in Kassel:
Zeitschrift. N. F. Bd. XXV. 1901. 8». Mitteilungen. Jahrg. 1900. 1901. 8°.
Universiti Imperiale in Kharkow:
Annales 1901. kniga 2—4. 1901. 8». W. A. Danilewski, Isledowania physiolog. II. 1901. 8^. W. Sawwa, Der Moskowitische Czar und das Byzantinische Königtum. 1901. 8^. (In russischer Sprache.)
Gesellschaft für Schleswig-Holstein-Lauenhurgische Geschichte in Kiel:
Zeitschrift. Bd. 81. 1901. 8». Quellensammlung. Bd. 5. 1901. 8^.
Sternwarte in Kiel: Publikationen. No. XI. Leipzig 1901. 4^.
K, Universität in Kiel: Schriften aus dem Jahre 1900/01 in 4^ und 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein für Schleswig-Holstein in Kiel: Schriften. Bd. XII, Heft 1. 1901. 8«.
Universität in Kiew:
Iswestija. Vol. 41, No. 8—9. 1901. 8».
Geschichtsverein für Kärnten in Klagenfurt:
Jahresbericht für 1900. 1901. S«. Carinthial. 91. Jahrg., No. 1-6. 1901. 8«.
Naturhistorisches Landesmuseum in Riagenfurt:
Jahrbuch. 26. Heft, 47. Jahrg. 1900. 8^.
Diagramme der magnetischen und meteorolog. Beobachtungen 1900. fol.
Mediz.-naturwissenschaftl. Sektion des Museumsvereins in Klausenburg:
Sitzungsberichte. 25. Jahrg. 22. Bd., Abtlg. IT, Heft 1—8. 1901. 8^.
26. Jahrg. 23. Bd., Abtlg. I, Heft 1—2. 1901. 8^
Abtlg. 11, Heft 1. 1901. 8<>.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 37*
Universität in Königsberg: Schriften aus dem Jahre 1900/01.
K, Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen:
Oversigt. 1901, No. 4, 6. S».
Skrifber. 6® Sörie. Section des sciencea. Tom. IX, No. 7; Tom. XI, No. 1.
1901. 40. Tychonis Brahe Dani operam primitias de nova stelia denuo edidit regia
societas scientiarum Danica. 2 Voll. Hauniae 1901. 8^.
Genealogisk Institut in Kopenhagen:
Chr. Thaarup, Fortegnelse paa danske Oversättelser af gräfke og latinske Skribenter. 1836. 8^.
Akademie der Wissenschaften in Krakau:
Anzeiger. No. 4—8. (April— Juli, Oktober). 1901. 8^
Rozprawy historyczno-filozof. Ser. II. Vol. 15. 1901. 8**.
Rozprawy filolog. Serya II. Tom. 17. 1901. gr. 8®.
Biblioteka pisarzow polskich. Tom. 39, 40. 1901. 8®.
Stownik gwar Polakich ulozyt Jan Kastowicz. Tom. 2. 1901. 8®.
Sprawozdanie komisyi fizyograficznej. Tom. 35. 1901. 8^.
Katalog literatury naukowej polskiej. Tom. I. Heft 1, 2, 3. 1901. 8^.
Materiaty i Prace komisyi j^zykowej. Tom. I 1. 1901. 8®.
Botanischer Verein in Landshut: 16. Bericht 1898-1900. 1901. 8®.
Historischer Verein in Landshut: Verhandlungen. Bd. 37. 1901. 8^.
Societe Vaudoise des sciences naturelles in Lausanne:
Bulletin. 4« Särie. Vol. 37, No. 140, 141. 1901. 8". Observations mätdorologiques 1900. XIV» ann^e. 1901. 8*^.
Kansas University in Lawrence, Kansas:
The Kansas University Quarterly. Vol. IX No. 4; Vol. X No. 1, 6.
(Neue Serie. Vol. II.) 1900/01. 8». Bulletin. Vol. I No. 4. 1900. 8«.
Maatschappij van Nederlandsche Letterkunde in Leiden:
Tijdschrift. N.Serie. Deel XIX, 3, 4; DeelXX, 1, 2. 1900-1901. 8<>. Handelingen en Mededeelingen, jaar 1900—1901. 1901. 8^. Levensberichten 1900—1901. 1901. S^.
Universität in Leiden: Recueil de Travaux. Tom. 1, 2. 1899. 8^.
Uerhier Boy dl in Leiden: Livr. 1—8. Musäe Botanique de Leide, publik par W. F. R. Suringar. 4®.
K, Gesellschaft der Wisse^ischaften in Leipzig:
Abhandlungen der philol.-histor. Classe. Bd. XXI No. 1. 1901. 4*^. Abhandlungen der mathem.-physik. Classe. Bd. XXVI No. 5— 7. 1901. 4®. Berichte der philol.-histor. Classe. Bd. 53 No. I— III. 1901. 8<>. Berichte der mathem.-physik. Classe. Bd. 53 No. I 1901. BP.
38* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Journal für praktische Chemie in Leipzig: Journal. N. F. Bd. 63 Heft 9— 12; Bd. 64 Heft 1—10. 1901. 8°.
Verein für Erdkunde in Leipzig:
Mitteilunj?en 1900. 1901. 8^.
Wiasenschaftliche Veröffentlichungen. Bd. V. Mit 1 Atlas in fol. 1901. 8^.
Universite de Lille:
Travaux et Mtooires. Tom. X. Memoire No. 28. 1901. 8^. Livret de T^tudiant. 1901—1902. S®.
Museum Francisco-CaroUnum in Linz: 59. Jahresbericht. 1901. 8®.
Boyal Institution of Oreat Britain in London: Proceedin^rs. Vol. XVI part 2 No. 94. 1901. 8».
The English Historical Beview in London: Historical Review. Vol. XVI No. 63, 64. 1901. 8®.
Boyal Society in London:
Proceedings. Vol. 68 No. 447—450; Vol. 69 No. 451—453. 1901. ^. Philosophical Transactions. Series B. Vol. 193; Series A. Vol. 195, 196.
1900-1901. 40. List of Members. 80. November 1900. 4^
JB. Ästronomical Society in London:
Montbly Notices. Vol. 61 N0.8, 9; Vol. 62 No. 1 und Appendix to. Vol. 61 No. 2-4. 1901. 8°.
Chemical Society in London:
Journal. No. 465—470 (August- December 1901 und January 1902). 8^. Proceedings. Vol. 17 No. 240-244. 1901. 8«.
Linnean Society in London:
Proceedings. Nov. 1900 — June 1901. 8".
The Journal, a) Zoology. Vol. 28 No. 182, 183; b) Botany. Vol. 35 No.243.
1901. 8». The Transactions. a) Botany. Vol. V part 13 — 15; Vol. VI part 1;
b) Zoology. Vol. VIII part 1—4. 1900. 4». Iii8t of the Linnean Society 1901—1902. 1901. 8".
JB. Microscopical Society in London: Journal 1901. Part 4— 6. 8«.
Zoological Society in London:
Proceedings. 1901. VoL I part 2; Vol. II part 1. 1901. 4©. Transactions. Vol. XVI, part 2, 3. 1901. 4«.
Zeitschrift „Nature" in London:
Nature. No. 1664-1680.
Sociite geologique de Belgiqxie in Lüttich: Annales. Tome 28 livr. 3. 1901. 80.
SociSte Boy die des Sciences in Lüttich: Memoireg. III« S^rie. Tom. 3. 1901. 8«.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 39*
Institut Grand Ducäl in Litxemhurg: Publications de la section des sciences naturelles. Tom. 26. 1901. 8^.
Historischer Verein der fünf Orte in Luzern: Der Geschicbtsfreund. Bd. 56. Stans 1901. 8^.
Wisconsin Academy of Sciences in Madison: Transactions. Vol. XllI part 1. 1901. 8<>.
Wisconsin Geological and Natural History Survey in Madison: Bulletin. No. VII part I. 1901. S».
Government Museum in Madras:
Bulletin. Vol. 3 No. 3. 1901. 8^.
Catalogue of the prehistoric Antiquities by R. Bruce Foote. 1901. 8^.
The Government Ohservatory in Madras:
Report on tbe Eodaikanal and Madras Observatorj for 1900 — 1901. 1901. fol.
B. Äcademia de ciencias exactas in Madrid: Memorias. Tom. XIV. 1890-1901. 4^.
B. Äcademia de la historia in Madrid: Boletin. Tom. 39, cuad. 1—6. 1901. S^.
B. Istituto Lomhardo di scienze in Mailand:
Rendiconti. Serie IL Vol. 33. 1900. 8^
Memorie. a) Classe di scienze matematicbe. Vol. 18 fasc. 11; Vol. 19, fasc. 1 — 4; b) Classe di scienze storiche. Vol. 21 fasc. 3. 1900. 4®.
Comitato per le onoranze a Francesco Brioschi in Mailand:
Opera matematicbe di Francesco Brioscbi. Tomo I. 1901. 4^.
Societä Itdliana di scienze naturali in Mailand:
Memorie. Vol. VI fasc. 3. 1901. 40. Atti. Vol. 40 fasc. 2, 3. 1901. 8^.
Societä Storica Lomharda in Mailand: Ärchivio Storico Lombardo. Serie III. Anno 28 fasc. 30 und 31. 1901. 8®.
Literary and philosophical Society in Manchester: Memoirs and Proceedings. Vol. 46 part 3, 4; Vol. 46 part 1. 1901. 8®.
Universität Marburg: Scbriften aus dem Jabre 1900/01 in 4^ und 8^.
Faculte des sciences in Marseille: Annales. Tom. XI, fasc. 1—9. 1901. 4P.
Boyai Society of Victoria in Melbourne: Proceedings. Vol. XIII. (New Series), part 2; Vol. XIV, part I. 1901. 8°.
Bivista di Storia Antica in Messina: Rivista. N. Serie. Anno 6, fasc. 1. 1901. 8®.
Gesellschaft für lothringische Geschichte in Metz: Jabrbuch. 12. Jabrg. 1900. 4^.
40* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.
Observatorio meteorolögico-magnStico central in Mexico: Boletin mensual. 1901. Enero — Junio. 4^.
Sociedad cientifica „Antonio Älzate" in Mexico:
Memoriaa y revista. Tom. XIII, No. 1, 2; Tom. XV, No. 7—12; Tom. XVI, No. 1. 1901. 80.
Regia Äccademia di scienze lettere ed arti in Modena: Memorie. Serie III. Vol. 2. 1900. 4^.
Observatoire du Moni Blanc: Annales. Tom. 4, 5. Paris 1900. 4^^.
Bureau de depöty distribution et ichange des Publications in Montevideo:
Manifiesto de S. E. el Presidente de la Republica Don Juan L. Cnestas.
1898 8^. Mensaje 1900 j 1901. 1900—1901. 8<>. Reglamento de la oficina de depösito. 1892. 8^. Geografia nacional por Orestes Araujo. 1895. 8^. (Con una carta
geografica.) Constitueiön de la republica oriental del Uruguay. Por Pablo V. Gojena.
1887. 8®. Nuestro Pafs, cuadros descriptivos por Orestes Araujo. 1895. 8^. Ceremonia inaugural de les obras del Puerto de Montevideo. 1901. 8®.
Direcdön general de Estatistica in Mantevideo: Comercio exterior y movimiento de navegaciön. 1901. 4®.
Museo nacional in Montevideo: Anales. Tomo IV fasc. 19— 21. 1901. fol.
Äcad^tnie de sciences et lettres in Montpellier:
M^moires. Section des lettres. 2® Serie. Tom. 3, No. 2; Tom. 4, No. 1. Section des mddecine. 2® S^rie. Tom. 1, No. 4. 1900. 8".
Numismatic and Äntiquariati Society of Montreal:
The Canadian Antiquarian and Numismatic Journal. III. Serie. Vol. 111,
No. 1—4. 1900. 80. Catalogue of the Chateau Ramezay Museum. 1901. 8^.
Observatoire metiorologique et magnetique de Vüniversite Imp,
in Moskau:
Observations. Septembre 1899— Fövrier 1901. 4®.
SodiU Imperiale des Naturalistes in Moskau: Bulletin. Ann^e 1901 No. 1, 2. 8®.
Mathematische Gesellschaft in Moskau: Matematitscheskij Sbornik. Bd. XXII 1. 1901. 8®.
lAck Observatory in Mount Hamilton, California:
Bulletin. No. 2— 11. 1901. 4».
Statistisches Amt der Stadt München:
Münchener statistische Jahresübersichten für 1900. 1901. 4^. Die Volk- und Wohnung-Zählung vom 1. Dezember 1900 in München. Teil I, II. 1901. 40.
Verzeichnis der eingelaufenen Dru(ikschriften. 41*
Deutsche Gesellschaft für Anthrepölogie in Berlin und München: Korrespondenzblatt, 32. Jahrg. No. 7 - 10. 1901. 4^.
Hydrotechnisches Bureau in München: Jahrbuch. lU. Jahrg. 1901 Heft 2, 3. foL
Generaldirektion der k. b. Posten und Telegraphen in München:
Preisverzeichnis der in Bayern ei scheinenden Zeitungen fQr das Jahr 1902. I. AbtIg. und Nachträge. 1901. fol.
K. hayer, technische Hochschule in München: Peraonalstand. Winter-Semester 1901/02. 8<^.
Metropolitan- Kapitel München-Freising in München: Amtsblatt der Erzdiözese München und Freising. 1901 No. 18—27. 8®.
K. Staatsministerium des Innern für Kirchen- und Schulangelegenheiten
in München:
Ergebnisse der Untersuchung der Hochwasser Verhältnisse im deutschen Rheingebiete. Heft IV. Berlin 1900. fol.
Universität in München:
Schriften aus dem Jahre 1901 in 4^ und 8^.
Amtliches Verzeichnis des Personals. Winter- Semester 1901/02. 8®. Rede des Rektors L. Brentano, Ueber Ethik und Volkswirtschaft in der Geschichte. 1901. 4».
Historischer Verein in München: Altbajerische Monatsschrift. 3. Jahrg. 1901 No. 1, 2. 4^.
Ornithologischer Verein in München: II. Jahresbericht für 1899 und 1900. 1901. S^.
Verlag der Hochschül-Nachrichten in München: Hochschul-Nachrichten. 1901 No. 10—12; 1902 No. 2. 4«.
Sociite des sciences in Nancy:
Bulletin. Sdr. III. Tom. 1 fasc. 6; Ser. III. Tom. 2 fasc. 1, 2. Paris 1900—1901. 8®.
Beale Accademia di scienze morali et politiche in Neapel: Atti. Vol. 33. 1901. 80.
Accademia delle scienze fisiche e matematiche in Neapel: Rendiconto. Ser. 3. Vol. VII fasc. 6— 11. 1901. S^.
Zoologische Station in Neapel: Mitteilungen. Bd. XIV 3, 4; Bd. XV 1, 2. Berlin 1901. 8». North of England Institute of Engineers in New-Castle (upon-Tyne) :
Transactions. Vol. 49 part6; Vol. 50 part2-6; Vol. 61 part 1. 1901. 8^. Annual Report for the year 1900-1901. 1901. 8». Subject-Matter Index of mining and metallurgical litterature for the year 1900. 1901. 8».
4
42* Vergeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
American Association for the Advancement of science in New-Hacen : Proceedings. 49^^ Meeting held at New-Tork, Jane 1900. Easion 1900. 8^^.
The American Journal of Science in New-Hacen: Journal. IV. Ser. Vol. 12 No. 67—72 (September— Dezember). 1901. 8^
American Oriental Society in I^ew-Haüen: Journal. Vol. XXII 1. 1901. &>.
Academy of Sciences in Neto-York:
Memoirs. Vol. II part 3. 1901. 4®. Annale. Vol 18 parts 2, 3. 1901. S».
American Museum of Natural History in New -York: Annual Report for the year 1900. 1901. 8<>.
American Geographical Society in New -York: Bulletin. Vol. 33 No. 3, 4. 1901. ^.
Archaeological Institut of America in Norwood, Mass.:
American Journal of Archaeology. Vol. V No. 2 — 4 und Supplement 1901. 8».
Naturhistorische Gesellschaft in Nürnberg:
Festschrift zur Säkularfeier 1801—1901. 1901. gr. S^.
Verein für Geschichte der Stadt Nürnberg: Jahresbericht 1899, 1900. 1900-1901. 8«. Mitteilungen. Heft XIV. 1901. 8«.
Verein für Naturkunde in Offenbach: 37.-42. Bericht von 1895—1901. 1901. 8^.
Geological Survey of Canada in Ottawa:
Catalogue of Canadian Birds. Part I bj John Macoun. 1900. 8®. Annual Report. New. Series. Vol. XI. With Maps. 1901. 8^.
B. Accademia di scienze in Padua: Indice generale degli Atti 1779—1900. 1901. 8«.
Circolo matematico in Palermo: Rendiconti. Tom. XV fasc. 6, 6. 1901. 4».
Collegio degli Ingegneri in Palermo: Bollettino. Anno I No. 3—5. 1901. fol.
Academie de midecine in Paris: Bulletin. 1901 No. 26—43. 8«.
Acadimie des sciences in Paris:
Comptes rendus. Tom. 133 No. 1—26. 1901. 4^.
Oeuvres complbtes d'Augustin Gauch j. I. Sörie. Tom. 12. 1900. 4®.
A. G. Pingrd, Annales Celestes du XVIIe siecle. 1901. 4».
£cole polytechnique in Paris: Journal. 11« Särie. Cahier 5, 6. 1900 4».
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 43*
Ministhre de Vinstruction publique in Paris:
Lee Carbures d'hydrogene 1861 — 1901. Par M. Berfchelot. Paris 1901. 3 Vol8. 80.
Moniteur Scientifique in Paris:
Moniteur. Livre 716— 721. (Aoüt 1901 — Jan vier 1902.) 40.
Musie Guimet in Paris:
Bibliothbque d'ätudea. Tom. IX. 1901. S».
Revue de l'histoire des r^li^ons. Tom. 42 No. 2, 8; Tom. 43 No. 1, 2. 1900—1901. 8^.
MusSum d^histoire naturelle tn Paris:
Bulletin. Ann^e 1900 No. 7. 8; 1901 No. 1—3. 8».
Sociite d'anthropölogie in Paris:
Bulletins. 5« S^rie. N. S. Tom. 1 fasc. 3— 6; Tom. 2 fasc. 1. 1901. 8^.
SociHi de giographie in Paris:
La Geographie. Ann^e 1901 No. 7—12. 4<>.
SociitS mathimatique de France in Paris:
Bulletin. Tom. 29 fasc. 3 1901. S».
SociStS zoologique de France in Paris:
Bulletin. Tom. XXV. 1900. 8» Mämoires. Tom. XIIL 1900. S».
Acadimie Imperiale des sciences in St. Petersburg:
Byzantina Chronika. Tom. 7 Heft 4. 1900. 4».
Annuaire du Mus^e zoologique. Tome VI No. 1. 1901. 8^.
Comite giologique in St. Petersburg :
Bulletins. Vol. XX No. 1—10. 1901. 8®. M^moires. Vol. XVIII No. 1, 2. 1901. 4®. Biblioth^ue giologique de la Bussie 1897. 1901. 8^.
Kaiserl. mineralogische Gesellschaft in St. Petersburg: Verhandlungen. IL Serie. Bd. 39, Liefg. 1. 1901. 8^.
Physikal .-chemische Gesellschaft an der kais. Universität St, Petersburg :
Schurnal. Tom. 33 No. 6—9. 1901. 8®.
Section giologique du cabinet de Sa Majeste in St. Petersburg:
Traveaux. Vol. III, 2; Vol. IV. 1901. 8».
Kaiserl. Universität in St. Petersburg:
Schriften aus dem Jahre 1900/01.
Sternwarte in St. Peterburg:
Publications de TObservatoire Central Nicolas. S^rie II. Vol. VI, VIII. 1900—1901. fol.
Academy of natural Sciences in Philadelphia:
Journal. 11^ Series. Vol. XI part 4. 1901. 4^. Proceedings. Vol. 53 part 1, 2. 1901. 8^
llistoricdl Society of Pennsylvania in Philadelphia: The Pennsylvania Magazine of History. Vol. XXV No. 99. 1901. 8^
44* Verzeichnis der eingelaufeneu Druckschriften.
Alumni Association of the College of Pharmacy in Philadelphia: Alumni Report. Vol. 37 No. 7—11. 1901. S».
American Philosophicdl Society in Philadelphia:
Proceedings. Vol. 40 No. 165, 166. 1901. S^. Transactions. New Series. Vol. XX part 2. 1901. 4^.
Societä Toscana di scienze naturdli in Pisa: Atti. Processi verbali. Vol. XII, pag. 169—230. 1901. 4«.
Societä Italiana di fisica in Pisa: II nuovo Cimento. Serie V. Tom. 2. Luglio -Ottobre. 1901. 8**.
Alleghany Observatory in Pittshurgh: Miscellaneoufl scientific Papers. New Series. Vol. 1 — 3. 1901. 8**.
Altertumsverein in Plauen: Mitteilungen. 14. Jahresschrift auf das Jahr 1900. 1901. 8®.
Portland Society of natural History in Portland: Proceedings. Vol. II part 6. 1901. S^.
Zentralhureau der internationalen Erdmessung in Potsdam:
Verhandlungen der XIII. Allgemeinen Konferenz der internationalen Erdmessung, I. Teil. Berlin 1901. 4».
K. geodätisches Institut in Potsdam: Veröffentlichung. N. F. No. 6. 1901. S».
Böhmische Kaiser Franz Josef- Akademie in Prag:
Rozprawy. THda I, Ro6nik 8; THdall, Rocnik 9; THda JII, Ro6nik 3.
6islo 1. 1900. 80. Historicky Archiv. Öislo 17—19. 1900. 8^. Vestnik. Bd. IX Heft 1—9. 1900. 8®. Almanach. Rocnik 11. 1901. 8^. Sbirka pramenüv III, 3. 1900. 8^.
Frantisek Bartofi, Narodni Pisne Moravskd Seäit I. 1899. S». Zikmund Winter. 2ivot a u6en{. 1901. 8«. Gustav Gruss, Zäkladovö tbeoretickä Astronomie Dil druhy. 1900. 8^.
Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Litteratur
in Prag:
J. E. Scherer, Die Rechtsverhältnisse der Juden in den deutsch-öster reichischen Ländern. Leipzig 1901. 8^
Bericht über die Festsitzung vom 4. März 1901. 4®.
Die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung. I. Bd. Aussig 1901. 6^.
Beiträge zur Kenntnis der Wirbeltierfauna der böhmischen Brannkohlen- formation II. 1901. 40.
J. Lang, Ueber die Stickstoff ausscheidung nach Leberexstirpation. Strasä- bürg 1901. 8®.
K, böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag:
Bericht über die astrologischen Studien Tycho Brahe's. 1901. 4®. Bericht über die Untersuchung der Gebeine Tycho Brahe's. 1901. 4°.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 45*
Lese' und Bedehalle der deutschen Studenten in Prag: 52. Bericht über das Jahr 1900. 1901. 8<>.
Museum des Königreichs Böhmen in Frag: Öasopis. Bd. 76 Heft 2, 3. 1901. 8«.
K. K. Sternwarte in Prag:
Magnetische und Meteorologische Beobachtungen im Jahre 1900. 61. Jahrg. 1901. 40.
Verein für Geschichte der Deutschen in Prag: Mitteilungen. 89. Jahrg. Heft 1—4. 1900. B«.
Deutscher natuncissenschaftlich'medizinischer Verein für Böhmen „Lotos"
in Prag:
Sitzungsberichte. Jahrg. 1900. N. F. Bd. 20. 1900. 8<>.
Verein für Natur- und Heilkunde in Pressburg: Verhandlungen. Bd. XXI (= N. F. XII). 1901. 8«.
Stadtarchiv in Pressburg:
Beiträge zur Geschichte der Medizin in Pressburg. Von D. Stephan von Vämossy. 1902. 8®.
Naturwissenschaftlicher Verein in Begensburg: Berichte. VIII. Heft für das Jahr 1900. 1901. 8^.
Naturforscher- Verein in Biga: Korrespondenzblatt. No. 44. 1901. 8®.
Observatorio in Bio de Janeiro:
Boletim raensal. Majo— üezembro 1900. 1900—1901. 4^. Annuario XVII. 1901. 8^.
Geological Society of America in Bochester: Bulletin. Index to Vols 1, to 10, p. 1—209. 190O. 8^.
Beale Accadewia dei Lincei in Born:
Atti. Serie V. Rendiconti. Classe di seien ze fisiche. Vol. 10 semestre 1
fasc. 12 e Indice del volume; Vol. X semestre 2 fasc. 1 — 11. 1901. 4®. Atti. Classe di scienze fisiche Vol. I-IH., 1895 — 1901. 4<>. Atti. Serie V. Classe di scienze morali. Vol. VII parte I: Memorie;
Vol. IX parte 2: Notizie degli scavi 1901. Febbrajo — Ottobre.
1901. 40. Atti. Rendiconto deir adananza solenne del 2 Gingno 1901. 1901. 4^. Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V. Vol. 10 fasc. 6—8.
1901. 8«.
Äccademia Pontificia de' Nuovi Lincei in Bom: Atti. Anno 54 (1900-1901). Sessione II— VII. 1901. 4<>.
B. Comitato geologico d^Italia in Bom: Bollettino. 1901 No. 1, 2. gr. 8».
Kaiserl. deutsches archäologisches Institut (röm. Ahtlg.) in Bom: Mitteilungen. Bd. XVI fasc. 2, 3. 1901. S».
46* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
K, italienische Regierung in Born : Le Opere di Galilei. Vol. XI. Firenze 1901. 4».
B. Societä Romana di storia patria in Rom: Archivio. Vol. 24 fasc. 1, 2. 1901. 8».
Universität Rostock: Schriften aas dem Jahre 1900/01 in 4^ und S^,
Acad^mie des sciences in Rouen: Pr^cis analytique dea travaux. Ann^e 1899/1900. 1901. S^.
R. Accademia di scienze degli Ägiati in Rovereto: Atti. Serie III. Vol. 7 fasc. 1, 2. 1901. 8®.
jScole frangaise d* Extreme-Orient in Saigon: Bulletin. Tom. 1 No. 1—3. Paris und Hanoi 1901. 40.
Historischer Verein in St. Gallen:
Alfred Dobler, Erlebnisse eines Appenzellers in neapolitanischen Diensten« 1854—1869. 1901. 4«.
Missouri Botanical Garden in St. Louis: Xllti» annual Report. 1901. 8«.
Instituto y Observatorio de marina de San Fernando (Cadiz): Almanaque nautico para 1908. 1901. 4^.
Bosnisch'Herzegovinische Landesregierung in Sarajevo:
Ergebnisse der meteorologischen Beobachtungen in Bosnien- Herzegovina im Jahre 1898. Wien 1901. 40
Verein für mecklenburgische Geschichte in Schwerin: Jahrbücher und Jahresberichte. 66. Jahrg. 1901. 8^.
K. K. archäologisches Museum in SpaJato: Bullettino di Archeologia. Anno 24 No. 6-11. 1901. 8^
Stanford Üniversity in Stanford (California): Contributions to Biology. No. XXIII— XXVI. 1901. 8».
K. Vitterhets Historie och Äntiquitets Akademie in Stockholm:
Handlingar. Deel 33 Heft l. 1901. 90.
M&nadsblad. Jahrg. 25, 1896; Jahrg. 29, 1900. 1901. 8^.
K. Akademie der Wissenschaften in Stockholm:
Lefnadsteckningar. Bd. 4 Heft 1, 2. 1901. 8®.
Meteorologiska iakttagelser i Sverige. Bd. 88 (= 2. Serie Bd. 24), 1896.
1901. 4®. Handlingar. N. F. Bd. 33, 34. 1900—1901. 49. Bihang til Handlingar. Bd. 26 Teil 1—4. 1901. 8^.
Geologiska Förening in Stockholm: Förhandlingar. Bd. XXIII Heft 5, 6. 1901. 8^.
Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften in Strasshurg. Monatsbericht. Bd. 35 Heft 6-9. 1901. 8^.
Verzeicihnis der eingelaufenen Druckschriften. 4/*
Universität Strassburg:
Scbriften aas dem Jahre 1900/01 in 4<^ und ^.
K. Württemberg. Kommission für die internationale Erdmessung
in Stuttgart:
Relative Schweremessnngen I. 1901. 8^.
Württembergische Kommission für Landesgeschichte in Stuttgart:
Vierteljahreshefte für Landeagescbichte. N. F. 10. Jahrg. 1901 Heft 1 — 4. 1901. 80.
K, Württemberg, statistisches Landesamt in Stuttgart:
Beschreibung des Oberamts Heilbronn. Teil 1. 1901. 8^. Württembergische Jahrbächer fdr Statistik and Landeskunde. Jahrg. 1900. Heft 1-8. 1901. 80.
Geological Survey of New-South-Wales in Sydney: The Mineral Resources of New-South- Wales by Edw.F. Pittmann. 1901. 8®.
Department of Mines and Ägricutture of New-South- Wales in Sydney:
Memoirs of the Geological Survej of New-South- Wales. Geology No. 2. 1901. 40.
Royal Society of New-South- Wales in Sydney:
Abstract of Proceedings 1900/01. 8®. Journal and Proceedings. Vol. 34. 1900. 8®.
Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokyo:
Supplement der Mitteilungen. Japanische Mythologie von Karl Florenz. 1901. 8«.
KaiserL Universität Tokyo (Japan):
Calendar 1900/01. 8®.
The Journal of the College of Science. Vol. XIII, 4; Vol. XV, 2, 3
1901. 40. Mitteilungen aus der medizinischen Fakultät. Bd. 5 No. 1. 1901. 4^. The Bulletin of the College of Agriculture. Vol. IV, 4. 1901. 8«.
Kansas Äcademy of Science in Topeka, Kansas:
Transactions. Vol. XVII. 1901. 8».
Canadian Institute in Toronto:
Transactions. Vol. VU part 1. August 1901. gr. 8®.
Boy cd Society of Canada tn Toronto:
Proceedings and Transactions. II. Series. Vol. 6. 1900. 8®.
University of Toronto:
Studios. History, first Series. Vol. 5. 1901. 4^.
Universite in Toulouse:
Annales du Midi. No. 49, 50. 1901. 8^.
Annales de la fiacult^ des sciences. 11^ Serie. Annee 1900. Tom. 2
fasc. 3, 4; Annfee 1901. Tom. 3. 19(X)/öl 4». Bibliothfeque meridionale. I« Serie. Tom. 6; IH Serie. Tom. 6. 1901. 8*^ Rey-Pailhade, Röle du Philothion. Paris 1901. 8^.
Biblioteca e Museo comunale in Trient: Archivio Trentino. Anno XVI fasc 1. 1901. 8^
48* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Universität Tübingen : Schriften aus dem Jahre 1900/01 in A^ und S^.
B. Accademia delle scienze in Turin: Atti. Vol. 36 disp. 6— 9, 11-16. 1901. S».
R. Beputazione sopra gli studi dl stona in Tnrin: Historiae Patriae Monumenta. Vol. XIX. 1900. fol.
K. Universität Upsala: Schriften der Universität aus dem Jahre 1900—1901.
Provincial Utrechtsch Oenootschap in Utrecht:
Prodromus florae Batavae. Vol. 1 pars 1. Nijmegen 1901. 8®. Anteekeningen, 21. Juni 1901. 1901. 8^. Verslag, 22. Juni 1901. 1901. 8«.
Physiologisch Laboratorium der Hoogesclwol in Utrecht:
Onderzoekingen. V. Reeks. III. Aflev. 1. 1901. 8^
Accademia di Scienze in Verona:
Atti. Serie IV. Vol. 1 fasc. 2. 1901. S«.
Accademia Olimpica in Vicenza: Atti. Annale 1899—1900. Vol. 32. 1900. 8^.
Mathematik' physikalische Gesellschaft in Warschau: Prace matematyczno-fizyczne. Vol. XII. Warschau 1901. 4^.
Bureau of American Ethnology in Washington:
17. annual Report (1895 — 1896), part I und 18. annual (1896—1897), part I. 1898—1899. 40.
Bureau of Education in Washington:
Report for the jear 1899—1900. Vol. I. 1901. 8^.
U. S, Departement of Agriculture in Washington: North American Fauna No. 20, 21. 1901. 8^.
Smitlisonian Institution in Washington:
Miscellaneous Collections No. 1258. 1901. 8^
Annual Report for the year ending June 30. 1899. Part I, II. 1901. 8*. Annals of the astrophysical Observatory of the Smithsonian Institution. Voll. 1900. 40.
Phüosophicdl Society in Washington:
Bulletin. Vol. XIII und XIV, p. 1—166. 1900. 8».
United States Geological Survey in Washington:
Bulletins. No. 163—176. 1900. 8».
Monographs. No. 39, 40. 1900. 4«.
20th annual Report 1898—1899. Parts II— VII. 1900. 4«.
21th annual Report 1899—1900. Parts I, VI and VII continued. 1901. 4».
Preliminary Report on the Cap Nom Gold Region Alaska. 1900. 8*.
Grossherzogliche Bibliothek in Weimar:
Verzeichnis der von Dr. Reinhold Köhler hinterlassenen Büchersammlniig' 1901. 80.
Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 49*
Kaiaerl, Akademie der Wissenschaften in Wien:
Mitteilungen der prähistorischen Kommission. I Bd. No. 5. 1901. 4^. Sitzungsberichte.
Abtlg. I Bd. 109 Heft 7.
Abtlg. IIa Bd. 109 Heft 8, 9.
Abtlg. IIb Bd. 109 Heft 8-10. 1900. S^. Südarabische Expedition. Bd. II. 1902. 4<>.
Fontes rerum Austriacarum. Abtlg. II v. Bd. 51 u. Reg. zu Bd. 1—50. 1901. 8®. Almanach. 50. Jahrg. 1900. S^,
K. K, geologische Reichsanstalt in Wien:
Jahrbuch. Jahrg. 1900. Bd. 50 Heft 4; Jahrg. 1901. Bd. 51 Heft 1. 4» Verhandlungen 1901 No. 7—14. 4«.
K, K. Gesellschaft der Aerzte in Wien:
Wiener klinische Wochenschrift 1901 No. 27—52; 1902 No. 1. 4».
Anthropologische Gesellschaft in Wien:
Mitteilungen. Bd. 81 Heft 1-5. 1901. 4«.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien:
Verhandlungen. Bd. 51 Heft 5— 8. 1901. 8^. Abhandlungen. Bd. 1 Heft 1, 2. 1901. 49.
Die Schwalbe, Berichte der ornitholog. Beobachtungsstationen. N. F. II. 1900/01. 40.
K. K. militär geographisches Institut in Wien:
Die astronomisch-geodätischen Arbeiten. Bd. VII. 1901. 6*^.
K. K. naturhistorisches Hofmuseum in Wien:
Annalen. Bd. XV No. 3-4. 1900. 4^.
K, K. Universität Wien:
Schriften aus dem Jahre 1900/01 in S^.
Verein zur Verbreitung naturwissenschaftlicher Kenntnisse in Wien:
Schriften. 41. Bd. 1900/01. 1901. 8«.
Nassauischer Verein für Naturkunde in Wiesbaden:
Jahrbücher. Jahrg. 54. 1901. 8^.
Ortsverein für Geschichte und Altertumskunde in Wolfenbüttel:
Braunschweigisches Magazin. Jahrg. 1900. 4^.
Historischer Verein von Unterfranken in Würzburg:
Archiv. Bd. 43. 1901. 8». Jahresbericht für 1900. 1901. S».
Naturforschende Gesellschaft in Zürich:
Vierteljahersschrift. 46. Jahrg. 1901 Heft 1, 2. 1901. S^.
Schweizerisches Landesmuseum in Zürich:
Anzeiger für Schweizerische Altertumskunde. N. F. Bd. III 1901 No. 1 — 8.
1901. gr. 8». 9. Jahresbericht 1900. 1901. 8®. Itobert Durrer, Die Kunst- und Architekturdenkmäler Unterwaldens.
Bogen XI. 1901. 4©. J. K. Rahn, Zur Statistik Schweiz. Kunstdenkmäler. Bogen 12.
50* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Von folgenden Privatpersonen:
Prinz Albert I, von Monaco:
Resultats des campagnes scientifiques. Fase. 19, 20, avec les cartes III, Y et VI. 1901. fol.
Verlagsbuchhandlung von Johann Ämbrosius Barth in Leipzig: Beiblätter zu den Annalen der Physik. Bd. 25 Heft 8-12. 1901. 8^.
Verlagsbuchhandlung Hermann Böhlaus Nachfolger in Weimar:
Zeitschrift für Rechtsgeschichte. Bd. XXII. (Roman, u. german. Abteilang.) Weimar 1901. 8».
Julius Wilhelm Brühl in Heidelberg:
Roscoe-Schorlemner's Ausführliches Lehrbuch der Chemie. Bd. VIII Teil 6; Bd. IX. Braunschweig 1901. 8^.
Ulysse Chevalier in Paris:
Oeuvres historiques. Tom. 2. Valence 1900. 8®.
Bibliothfeque patrologique I. Paris 1900. 8®.
Biblioth^que liturgique. Tom. V, 2; Tom. VI, VII. 1900. 8».
Margarites G. Dimitsas in Athen: '0 TioXixioiÄog Ttjg aQxaiag 'EXXddog, Athen 1902. 8®.
Verlagsbuchhandlung Ferd. Dümmler-Berlin:
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Bd. XVI Heft 7 — 9. 1901. fol. (Fortsetzung siehe „Fischer- Jena*.)
Verlagsbuchhandlung Gustav Fischer in Jena: Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Bd. XVII No. 1 — 14. Jena. fol.
Magistrat der Stadt Mainz: Gutenberg-Fest zu Mainz im Jahre 1900. 49,
Albert Gaudry in Paris:
Sur la similitude des dents de Thomme et de quelques animaux. Paris 1901. 80.
Karl Gegenbauer in Heidelberg: Vergleichende Anatomie der Wirbeltiere. Bd. II. Leipzig 1901. 8®.
Allgemeine FleJctrizitäts- Gesellschaft in Berlin: C. Arldt, Elektrische Kraftübertragung. 1901. 8^.
Madame J.-B.-A, Godin in Gttise (Aisne): Le Dovoir. Tom. 25. 1901. Juillet— Döcembre. 8«.
Verzeichnis der eingelaufenen Drucicschriften, 51
L. Grünenwald in Speier: Beiträge zur Urgeschichte der Pfalz. Speier 1901. 8®.
Ernst Haeckel in Jena: Kungtformen der Natur. Liefg. VI. Leipzig 1901. fol.
G. N, Hatzidal'is in Athen:
"EXsyx^^ ^fl« ^Qi'oeig, 1901. 8®. T).woooXoyixai fiiXexai. Athen. Tom. 1. 1901. 8®.
Gideon Max HirscJi in Breslau: Chronologische Reformen. 1901. 8®.
F, Imhoof'Blumer in Winterthur: Kleinaaiatische Münzen. Bd. I. Wien 1901. 4».
Alexander von KalecsinsJcy in Budapest: Ueber die ungarischen warmen und heissen Kochsalzseen. 1901. 8®.
Karl Krwnbacher in München: Byzantinische Zeitschrift. Bd. 10 Heft 3 und 4. Leipzig 1901. 8«.
Ugo Levi in Venedig:
I monumenti piü antichi del dialetto di Chioggia. 1901. 8^.
E. Liesegangund V.Friese, Magdeburger Schöffensprüche. Berlin 1901. 1. 8®.
Chr, Mehlis in Neustadt ajH.: Die Schuhleistenkeile der neolithischen Zeit. 1901. 8^.
Gabriel Monod in Versailles:
Revue historique. XXVI® ann^e, tom. 77. I. II. (Septembre— Däcembre 1901.) Paris. BP.
Chr, V, Nielsen in Kopenhagen:
Albrecht DQrer. 1895. 49, Filippo Brunellesco. 1896. 40. Leonardi da Vinci. 1897. 4®. Den Venetianske Scole. 1898. 4^. Nicolas Poussin. 1899. 4®. Berömte Eunstnerne 1901. 4^.
G, Omhoni in Venedig: Dents di Lophiodon. 1901. 8^.
AndrS PoSy in Paris:
Nouvelle conception de Tovule. 1901. 8®.
La place de la m^sologie dans la hi^rarchie encyclop^dique. 1901. 8®.
Oswald J. Beichel in Lympstone (England):
The Devonshire »Domesday" IV— VL 1898—1901. 8^.
Extracts from the Pipe Rolls of Henry II. Relating to Devon. 1897. 8^
52*
Verxeitfinie der vingetaHftnen Drueksekrtfttn,
Verlai/ahandlunii Dietridi Seimer in Berlin: Zeittcbrift fflr afribouische and ax«aniache Spradien. G. Jahrjt. 4. Hdt. 1900. 4'.
Adolf Hoemer in Erlangen: Studien za Ariatophanes. Leipxig 1902. 60.
Lueian Seheraiatin in MüHCken:
SIV. Jabrg. l.Ealbjabresben, Liefg. 1
VerlagAandlutig Seitt et Schauer in Slünehen; Dentache Prazw. 10. Jahrg. Ho. 13—24. Hünchen, 8°.
Verlagshandlung lt. G. TeiAner in Leiptig: Archiv der Mathematik und Physik. HI. Reihe, Bd. I Heft 3 und 4.
Leipzig 1901, gr. 8". Enc^cloplldie der DiatheiDatischeD Wiaienacharten. Bd. IV, 1 Heft 1;
Bd. II, 2 Heft 1. Leipiig 1901. 8». The8iiunuliiiguaelatinae.Vol.il fasc.1,2; Vol.lfaBc.3. Leipzig 1901. 40.
A. Tläeulleu in Paris: Deuxiöme ^lade aar leB pierrea figurea. 1901. 8". Varia. Oi trarailMs ä, l'^poque de Chellea. 1901. 4°.
Otlo Walkhoff i„ München: MikrophotographiBcber Attas der pntbologiecben Histologie mcaachlicber Zähne. Text und Atlas. Stuttgart 1897. fol.
N. Weeklein m Mündien: EuHpidlB fabulae. Vol. 1. Pars 3 et G, Lipaiae 1901. &>.
Boris Weinberg in Odessa: t P. Pasaalak;, Anomaliea magu^tiquea dana la region de« mines da KriTöi-Rog. 1901. 4".
Sitzungsberichte
lathematisch-physikalischeu Clusse
(icr
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu Alünchen.
1901. Heft IT.
flünrben.
Vt-rl«.^ iler k. ifcuilamiiL 1902.
^
52* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften,
Verlagshandlung Dietrich Reimer in Berlin:
Zeitschrift für afrikanische und ozeanische Sprachen. 5. Jahr|^. 4. Heft. 1900. 40.
Adolf Roemer in Erlangen: Studien zu Aristophanes. Leipzig 1902. 8^.
Lucian Schermann in München:
Orientalische Bibliographie. XIV. Jahrg. 1. Halbjahresheft, Liefg. 1, S. Berlin 1901. S».
Verlagshandlung Seitz dt Schauer in München: Deutsche Praxis. 10. Jahrg. No. 13—24. München. 8^.
Verlagshandlung B, G. Teubner in Leipzig:
Archiv der Mathematik und Physik. III. Reihe, Bd. I Heft 3 und 4.
Leipzig 1901. gr. 8^ Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd. IV, 1 Heft 1;
Bd. II, 2 Heft 1. Leipzig 1901. 8». Thesaurus linguae latinae. Vol. II fasc.1,2; Vol.Ifasc. 3. Leipzig 1901. 4*.
A. ThieuUeu in Paris:
Deuxieme t^tude sur les pierres figures. 1901. 8®. Varia. Od travaill^s ä l'äpoque de Chelles. 1901. 4®.
Otto WaWioff in München:
Mikrophotographischer Atlas der pathologischen Histologie menBcblicher Zähne. Text und Atlas. Stuttgart 1897. fol.
N. Wecklein in München: Euripidis fabulae. Vol. I. Pars 3 et 5. Lipsiae 1901. 8®.
Boi'^is Weinberg in Odessa:
t P. Passalsky, Anomalics magn^tiques dans la r^gion des mines de Krivöi-Rog. 1901. 4».
Sitzuiijafsberichte
thematiscb-physikalischen Olasse
k. b. Akademie der Wissenschaften
KU JMüiichen-
190t. Haß IV.
lOdü. tu OviDiul^aa Am G. nawMua T«tao ^. Ualll
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