FOR THE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THE AMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY V; ■■ V S'- ;4\ ( Vy ' 1 Sitzung’sberichte S.ÖUl^q.'^ ,^(3^ /V\ der mattiematisch-physikalischen Klasse Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München Jahrgang 1920 München 1921 Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des G. Fraiiz’schen Verlags (J. Roth) *?//' 'Tiau^'g Akademiscbe Bucbdruckerei F. Straub in Müncben. III Inhaltsübersicht. I. Sitzungsberichte. Seite 10. Jan.: Schlötzer, Stromer, Liebmann . ... l* 7. Febr.: Faber, Kneser, Stieve 3* 6. März: v. Seeliger, Priugsheim, Burmester, Hönig- scbmid und Birkenbach, Liebmann ... 4* 8. Mai: Sommerfeld, Liebmann, Voss, Föppl, Prings- heim, Polya, Balss ...... 9* 5. Juni: Wieland und Weyland, Schmidt, Broili, Perron, Johnsen ......... 12* 3. Juli: Zenneck, Stromer v. Ileichenbach, Günther, Emden 15* Verzeichnis der iin Jahre 1920 eingelaufenen Druckschriften . 21* II. Abhandlungen. F. Broili, Ein neuer Placodontier aus dem Rhaet der bayerischen Alpen 311 L. Burmester, Über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe 183 R. Emden, Sonnenatmosphäre und Einsteineffekt . . . 387 6. Faber, Über Potentialtheorie und konforme Abbildung . . 49 A. Föppl, Die Beanspruchung eines Stabes von elliptischem Quer- schnitt auf Drillen bei behinderter Querschnittswölbung . 261 S. Günther, Optische Beweise für die Erdkrümmung sonst und jetzt 371 0. Hönigschmid und L. Birckenbach, Revision des Atom- gewichtes des Wismuths. Analyse des Wismuthchlorids . 83 A. Johnsen, Über die Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure 321 A. Kneser, Die elementare Theorie der analytischen Funktionen und die komplexe Integration 65 II. Lieb mann. Bedingte Flächenverbiegungen, insbesondere Gloit- verbiegungen 21 IV Inhaltsübersicht Seite H. Lieb mann, Ausnahmefach werke und ihre Determinante . 197 0. Perron: Über eine Verallgemeinerung des Stolzschen Irratio- nalitätssatzes II 291 G. Pölya: Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen ge- wisser ganzer transzendenter Funktionen .... 285 A. Pringsheim, Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration 145 A. Pringsheim, Über eine Konvergenzbedingung für unendliche Reihen, die durch iterierte Mittelbildung reduzibel sind . 275 ^I. Schmidt. Neuberechnung des südlichen Netzteiles der bayeri- schen Landestriangulierung zwischen der Donau und der Nord- kette der Alpen 1 M. Schmidt, West Wanderung von Hauptdreieckspunkten infolge neuzeitlicher tektonischer Bewegungen im bayerischen Alpen- vorland 297 H. Seeliger, Untersuchungen über das Sternsystem ... 87 « E. Stromer, Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbeltier- Reste 9 E. Stromer, Mitteilungen über Wirbeltierreste aus dem Mittel- pliocän des Natrontales (.■Vgypten) (mit 1 Tafel) . . . 345 A. Voss, Zur Theorie der reziproken Radien 229 H. Wieland: Über den Giftstoff der Kröte 329 1* Sitzungsberichte der niatlieiiiatiscli-])hysikalisclieii Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften .Sitzung am 10. .lanuar. 1. Herr H. Lieümann legt vor: Bedingte Flächenverbiegungen, insliesondere Gleit- verbiegungen. Unter Verwendung einer Reihe neuer Hilfsmittel, z. B. der rekurrierenden Bestimmung der analytischen Verbiegungen hüherer Ordnung, werden besondere Klassen von Verbiegungen untersucht, vor allem die Gleitverbiegungen einer ebeu- randigen Flächenkalotte, bei denen der Rand eben bleibt. (Erscheint in den Sitzungsherichten.) 2. Herr E. Stko.mer trug vor: Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbel- tier-Reste. Ange.sichts sich .sehr widersprechender und zum Teil sehr gewagter Hypothesen über die ältesten Wirbeltiere werden kurz die Tatsachen zusammengestellt, einige Angaben berichtigt und ergänzt und daraufhin mehrere Hypothesen kriti.sch er- örtert. Darnach kennt man die ältesten Wirbeltier-Reste aus dem Unter- und Obersilur, .sowie aus dem Devon Europas und Nordamerikas; die mei.sten der gefundenen Formen scheinen in Binnengewässern gelebt zu haben, waren Rodenbewohner und besatien ein sehr starkes Hautskelett und ein kaum ver- SitEungsb. d. math.-phys Kl. Jahrg. 1920, a 1 Sitzun ist, wenn J den Inhalt des Bereiches B bedeutet. andrerseits eröffnet sich ein neuer und sehr leichter Zugang zu den in der letzten Zeit viel untersuchten sogenannten Ver- zerrungssätzen. Die behandelten Fragen .stehen übrigens in Zusammenhang und gestatten u. a. auch mit der Hydrodyna- mik eine sehr einfache Ableitung der Blasiusschen Formeln und des Kutta-Joukowsky sehen Satzes. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) b) Adolf Kxeser (Breslau) : Die elementare Theorie der analytischen Funktionen und die komplexe Integration. Die vorstehende Mitteilung verfolgt den Zweck, die großen Vorteile der komplexen Integration auch für die Weier- straßische Funktionentheorie nutzbar zu machen, ohne deren elementaren Charakter zu zerstören. Ausgehend von gewissen O O Grenzljetrachtuiigon, die, ähnlich wie die analogen Zwecken 4* Sitzung am 6. März. dienenden Pi ingsheiinsclien Älittelwertbildungen, keine anderen algebrai.schen Hilfsmittel in Anspruch nehmen, als iterierte Quadratwurzeln, definiert der Verfasser zunächst das bestimmte Integral der Potenz mit ganzem positiven Exponenten, dehnt sodann diese Definition auf eine Potenzreihe nebst deren ana- l^'tischen Fortsetzungen aus und gewinnt daraus die Möglich- keit, ein solches Integral in bekannter Weise mit Hilfe der Länge des Integrationsweges und des daselbst bestehenden Funktions-Maximums abzuschätzen. Daran schlicht sich der Beweis des sogenannten Residuensatzes und des Ca uchy sehen Abschätzungssatzes für die Koeffizienten einer Potenzreihe. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 2. Herr Kückekt legt Untersuchungen des Herrn Privat- dozenten Dr. S'i'tEVE in Leipzig vor über die Spernialogene.se (Sanienbildung) und Orogenese (Eisbildung) des Croth- nolens (Proteus anguineus). Sitzung lim (i. Mürz. 1. Herr v. Seeliüek legt eine Abhandlung vor; Untersuchungen über das Sternsystem. Zwei Fragen sind durch die früheren Untersuchungen des Verfassers in den Vordergrund getreten. Die eine bezieht sich auf die räumliche Verteilung der Sterne, die zweite auf die Bestimmung der Dimensionen des als endlich erkannten Sy- stems. Das besonders anfangs sehr sjiärliche verwendbare Beobachtungsmaterial hat sich gerade in den letzten Jahren namentlich durch Benutzung photographischer Aufnahmen er- heblich vermehrt. Wenn es auch jetzt noch lange nicht aus- reichend ist, eine irgendwie definitive Lösung des groläen Problems zu ermöglichen, so hat es doch immerhin viel sicherere Hinweise auf die Richtigkeit der vom Verfasser zugrunde ge- legten Annahmen ergeben, als früher naturgemäü vorhanden Sitzung am 6. März. waren. Damit w'ar die Veranlassung gegeben, die mathe- matische Aufgabe, auf welche der Verfasser schon vor 21 Jahren die ganze Frage zurückgeführt hat, von neuem zu diskutieren. Es handelt sich um die Lösung eines Systems von vier simul- tanen Integralgleichungen und es wurden einige Sätze abge- leitet, welche von erhöhter Bedeutung sein werden, wenn das Beobachtungsmaterial an Umfang und Genauigkeit gewonnen haben wird. Aber schon jetzt lassen sich Folgerungen zieheri, die Interesse darzubieten scheinen. Übrigens hat der Verfasser nicht versäumt, auch seine früheren Methoden auf das neue Mateidal anzuwenden, um zu zeigen, daß diese Anwendung durchaus durchführbar ist. Die Z a h 1 e n resultate , denen er nur eine provisorische Sicherheit zuerkennt, stimmen bei vernünftig angestellten Anforderungen mit den früheren genügend überein. Im Querschnitt ist die ganze Querdimension des Sternsystems, etwa 16000 Lichtjahre, d. h. das Licht, das in einer Sekunde 300000 Kilometer durch- läuft, braucht zum Passieren dieser Strecke 16000 .fahre. In der Richtung der Milchstraße ist die Ausdehnung er- heblich größer, in der Richtung senkrecht darauf merklich kleiner. Die Gesamtzahl aller Sterne (also bis zu den schwäch- sten, die für kein Fernrohr mehr erreichbar sind, muß auf 6 — 10 Milliarden geschätzt werden. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 2. Herr Alfred Pkinusheim: Elementare Funktionentheorie und komplexe Inte- gration. Der Verfasser schickt zunächst eine Reihe von Bemer- kungen voraus, die sich auf die prinzipielle Feststellung der Begriffe »elementare Methoden“ und „elementare Funktionen- theorie“ beziehen. Dann zur „Elementarisierung“ der kom- plexen Integration übergehend, zeigt er zunächst, daß das bestimmte Integral der Potenz mit ganzem Ex{)onenten, aus- genommen — 1, und zwar für jeden beliebigen Integrations- 6* Sitzung am 6. März. weg, (1er nur den Bedingungen der Stetigkeit und Kektifizier- barkeit (in der allgemeinsten Bedeutung) zu genügen hat, sich ganz direkt aus der üblichen Grenzwert-Definition mit Hilfe einer einfachen identischen Umformung berechnen läßt. Aus diesem Ergebnisse resultiert dann durch bloße Addition das entsprechende für eine Potenzreihe und schließlich für eine durch ein System ineinander greifender Potenzreihen definierte reguläre Funktion f(x). Der Cauchy’sche Integralsatz über das Verschwinden von ^f{x)dx, erstreckt über einen ge- schlossenen, stetigen und rektifizierbaren Weg, erscheint dann als das unmittelbare Ergebnis eines einfachen Bechenexempels, zunächst für reguläre, d. h. in Potenzreihen entwickelbare Funktionen. Dieses Resultat läßt sich dann ohne Benützung der komplexen Integration mit Hilfe der vom Verfasser früher entwickelten Mittelwert-Methode auf stetig diflPerenzierbare Funktionen übertragen, und der Cauchy’sche Integralsatz er- scheint auf diese Weise mit demselben Grad von Allgemein- heit, wie er zuerst in Cours d’Analyse von C. Jordan durch wesentlich kompliziertere Betrachtungen hergeleitet wurde. Der Verfasser zeigt dann noch, wie auch das geschlossene, J(1 X — mit Hilfe einer sehr einfachen Grenzwert-Bestimmung ausgewertet werden kann und wie hieraus auf Grund der vorher bezeichneten Ergeb- nisse in wenigen Zeilen der Cauchy’sche Randintegral- und Residuensatz gewonnen wird. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 3. Herr Ludwiu Bl'kmestek trägt vor: Über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe. Die Zeitlupe ist ein kinematographischer Aufnahme-Apparat, der in der Sekunde bis 500 Aufnahmen schneller Bewegungs- Vorgänge ermöglicht, die bei der kineinatographi.schen Vor- führung verlangsamt, in den einzelnen Phasen anschaulich er- kennbar werden. Der optische Ausgleich wird bewirkt ver- Sitzung am G. März. mittelst einer rotierenden Trommel, auf deren Zylinderfiäche sich schmale Spiegel befinden, welche die Seitenflächen eines regulären Prismas bilden. Die von dem bewegten Objekt aus- gehenden Lichtstrahlen Averden von je einem dieser Spiegel reflektiert, gehen durch ein Objektiv und erzeugen auf einem bewegten Film das jeweilige Bild des Objektes. Mit der Drehung der Trommel vollziehen die von dem betreffenden Spiegel i’eflek- tierten Lichtstrahlen eine Schwenkung, wobei jedem Spiegel ein Bild entspricht. Denn der Apparat ist so eingerichtet, daü der Film und die auf ihm entstehenden Bildpunkte gleiche Bewegungen ausführen. (Erscheint in Jen Sitzungsberichten.) 4. Herr Hönigschmid legte für die Sitzungsberichte vor: Revision des Atomgewichtes des Wismuths, Analyse des Wismuthchlorids von 0. Hönigschmid und L. Birkenbach. Es wurde eine Revision des Atomgewichtes des Wismuths durch Analyse des geschmolzenen wasserfreien Wismuthchlo- rids ausgeführt. 5. Herr H. Liebmann legt die zweite, von ihm neu bearbeitete Auflage des Buches von R. Bonola vor: Die nichteuklidische Geometrie, historisch-kritische Darstellung ihrer Ent- wickelung. Derselbe macht eine Mitteilung über räumliche Fach werke vom Typus der Dreiecksflechtwerke. Diese sind im allgemeinen nach A. Föppl statisch bestimmt. Es werden zwei Ausnahmen angegeben, die besonders geometrisches Interesse bieten. Ein Flechtwerk vom Oktaedertypus, d. h. ein Flechtwerk, das entsteht, wenn man die Ecken ABCD eines windschiefen Vierseits mit zwei weiteren Punkten E und F verbindet, ist statisch unbestimmt, sobald E und F auf einer und derselben die Geraden {AB), {EC), {CD) und (Dyl) enthaltenden Fläche zweiten Grades liegen. 8'^ Sitzung’ ;ini ü. ^lürz. Ein Flechtwerk vom 1 tekfiedertypus. il. h. ein Flechtwerk, das entsteht, w’enn man die Ecken ABC DK eines wind- schiefen Fünfseits mit zwei weiteren Punkten F und C ver- bindet, ist statisch unbestimmt, wenn C auf einer gewissen Fläche dritten Grades liegt, die die Geraden {AB), (BC), {CD), {DE), {E A) und noch fünf weitere, leicht angebbare, durch den Knotenpunkt F der Fläche gehende Gerade enthält. 9* Sitzung am 8. Mai. 1. Herr -Sommerfeld legt eine Photographie der Sonnen- finsternis vom 29. Mai 1919 vor, die von englischen Astro- nomen aufgenommen ist, und erläutert an einem Diagramm, daß sie überraschend genau mit Einsteins allgemeiner Rela- tivitätstheorie übereinstimmt. Im Anschluß daran bespricht er die Grundlagen dieser Theorie. 2. Herr H. Liebmakn legt vor: Ausnahmefach werke und ihre Determinanten. Es werden eine Reihe von Sätzen über die Grenzfälle statisch bestimmter Fachwerke bewiesen. Insbesondere werden die „gefährlichen Orter“ der einzelnen Knotenpunkte unter- sucht, an die sie gebunden sind, wenn die andern Knoten- punkte im Raum festliegen und zugleich der Gi-enzfall vorliegt. Ferner wird u. a. gezeigt, daß jedes Ausnahmefachwerk bei allen Kollineationen Ausnahmefachwerk bleibt. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 3. Herr A. Vn.ss legt eine Arbeit vor: Uber die allgemeinen Beziehungen zwischen zwei Flächen, die einander durch das Prinzip der Inver- sion entsprechen. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 4. Herr Foppl legt eine Abhandlung vor: Uber die Beanspruchung eines Stabes vom elliptischen Querschnitt auf Drillen bei behinderter Quer- schnittswölhung. Für einen Stab, der an einem Ende eingespannt ist, wäh- rend das freie Ende durch ein drillendes Kräftepaar belastet wird, werden die Spannungen und der Drillungswinkel nach dem von Ritz angegebenen Näberungsverfahren berechnet. Die größten Spannungen treten im Einspannquerschnitt auf Sitznngsb. d. niatli.-pliys. Kl. .Talirg. 1920. b 10* Sitzung am 8. Mai. und zwar an jener Stelle des Umfangs, für die das Produkt aus den Abständen von den beiden Querschnittsbauptachsen seinen grüßten Wert annimmt. Sie sind Zug- oder Druck- spannungen und bei stai-k abgeplatteten Querschnittsellipsen ungefähr 1,6 mal so groß wie die größten Schubspannungen nach der Theorie von de St. Venant. Der Drillingswinkel fällt kleiner aus als bei nicht eingespanntem Ende. Andere Be- lastungsfälle können nach demselben Verfahren untersucht werden. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 5. Herr Alfred Pring.sheim spricht; Üb er ei ne Konvergenzbedingung für unendliche Reihen, die durch iterierte Mittelbildung reduzibel sind. Ein von Herrn G. H. Hardy herrührender Satz besagt, daß eine „stünmiei’hare“ (nach der Terminologie des Verfassers „reduzihle“) Reihe mit reellen Gliedern a, konvergiert, wenn die Zahlen va,. beschränkt sind. Herr E. Landau hat die letztere Voraussetzung dahin erweitert, daß es schon genügt, wenn die rüy nach unten beschränkt sind. Obschon die zwei Beweise, welche er für den so erweiterten Satz gibt, prinzipiell etwas einfacher sind, als der entsprechende Hardy sehe Beweis, so scheinen sie mir doch bei weitem noch nicht den wünschens- werten Grad von Einfachheit zu besitzen. Bei der unbestreit- baren Nützlichkeit des fraglichen Satzes dürfte daher der vom Verfasser hier mitgeteilte, wesentlich durchsichtigere und kürzere Beweis nicht überflüssig erscheinen, ebensowenig wie die daran geknüpfte prinzipielle Bemerkung über die Tragweite der Land au sehen Erweiterung. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 6. Derselbe legt vor G. Polya (Zürich): Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen ge- wisser ganzer transzendenter Funktionen. Der Verfasser betrachtet ganze transzendente Funktionen von der Form: Sitzung am 8. Mai. 11* F[£) — + ■ ■ ■ + jf*»* ('S') c“<» % wo die P,. (^) Polynome, die a„ Konstanten bedeuten, und macht Angaben über den Zusammenhang der Verteilung ihrer Null- stellen mit der Gestalt des kleinsten konvexen Polygons 21, welches die zu den konjugierten Punkte Uy umfaßt. Diese Nullstellen schließen sich asymptotisch denjenigen Halb- strahlen an, welche den äußeren Normalen von 21 parallel sind. Die Anzahl der einem solchen Halbstrahle sich anschließenden Nullstellen hängt asymptotisch zusammen mit der Länge der- jenigen Polygonseite, welche auf der Richtung jenes Halb- strahls senkrecht steht. Wird ferner unter a eine gewisse als „Winkelschwerpunkt“ von 21 bezeichnete und entsprechend defi- nierte Konstante verstanden und P(0)=i=0 vorausgesetzt, so ergibt sich; F{z) = f{Q)-(^‘ n ii — "'V >*=1 \ ^vj falls die Nullstellen Uy nach niemals abnehmenden Absolut- werten geordnet sind. — Mit Rücksicht auf den beschränkten Raum hat sich der Verfasser damit begnügt, den Gang der mit allgemein üblichen funktionentheoretischen Mitteln durch- führbaren Beweise kurz zu skizzieren. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 7. Herr Richard Hektwig legt vor eine Arbeit des Kustos an der zoologischen Staatssammlung Herrn Dr. Balss über Ostasiatische Decapoden. Dieselbe behandelt im Anschluß an frühere Veröffent- lichungen die Krabben-Ausbeute, welche Prof. Doflein von seiner Reise nach Japan mitgebracht hat, und berücksichtigt zugleich auch das von anderen Expeditionen stammende Ma- terial, welches im Münchener Museum vorhanden ist. Von den 62 Arten ist nahezu ^jz (19) in Japan endemisch, darunter 2 neue Arten sowie eine neue Gattung. Auffallend ist, daß die Krabben-Fauna zwar im allgemeinen den indo-pacifischen 12* Sitzung am 8. Mai. Charakter trägt, dagegen keine Beziehungen zu den nord- amerikanischen Küsten des stillen Ozeans erkennen läht, während für die langschwanzigen Decapoden solche Beziehungen erkenn- bar sind. Überraschend ist, dah eine Tiefseeforin des Mittel- meers und der Nordsee auch in der Sagamibai gefunden wurde. Sitzung am 5. Juni. 1. Herr H. Wieland legt zwei in Gemeinschaft mit P. Weylaxd ausgeführte Arbeiten vor: a) Zur Kenntnis der Lithocholsäure. Diese von Hans PiNHER in Rindergallensteinen aufgefundene Säure bildet einen normalen Bestandteil der Rindergalle. Die Ermitt- lung ihrer Konstitution zeigt, daß sie als Meno-oxysäure VOR der Zusammensetzung C24 H^^ O3 sich eng an die •beiden bisher erforschten Gallensäuren, die Cholsäure und die Desoxy-cholsäure anschließt. (Die Veröffentlichung erfolgt an anderer Stelle.) b) Über den Giftstoff der Kröte. Es ist gelungen, die Struktur des von dem Vortragenden im Jahre 1912 iso- lierten Krötengiftes, des Rufotalius, in mehreren wichtigen Einzelheiten aufzuklären. Die Untersuchung führt zu dem Resultat, daß der Giftstoff ein Abbauprodukt des Chole- sterins und mit der Gallensäure nahe verwandt ist. (Die Arbeit wird in den Sitzungsberichten veröffentlicht.) 2. Herr M. Schmidt berichtet über neuzeitliche tek- tonische Bewegungen im bayerischen Alpenvorland, die im Sinne des Vorrückens der Alpen nach Norden und in noch höherem Maße in der Richtung von Osten nach Westen durch geodätische Messungen der Lageänderung von Haupt- dreieckspunkten mit größter Zuverlässigkeit nachgewiesen sind. Dieselben zeigen seit der ersten Hälfte des vorigen Jahrhunderts westlich von München Beträge bis zu eineinhalb Meter, gegen Sitzung am 5. Juni. 13* die bayerische Ostgrenze hin aber geringere Werte, während die Lage von München selbst als unverändert vorausgesetzt ist. Diese Bewegungen sind als ein Nachklingen der in früheren geologischen Perioden in der Alpengegend eingetretenen Um- lagerungen in der Erdkruste aufzufassen. 3. Herr F. Broili macht Mitteilung von einem durch den Herrn Lehramtskandidaten K. Holl in den Kössener Schichten der Kothalpe am Wendelstein gemachten Fund eines Schädel- restes der Reptilgruppe der Placodon tier. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 4. Herr A. Pringsheim legt vor: Oskar Perron, Über eine Verallgemeinerung des Stolz- schen Irrationalitätssatzes. H. Der Verfasser hat in einer Mitteilung mit gleichem Titel, die im Jahrgang 1908 dieser Berichte erschienen ist, die Stolz- sche Verallgemeinerung des bekannten Legendreschen Satzes über die Irrationalität gewisser Kettenbrüche auf die Jakobi- schen Ketten bruchalgorithmen übertragen. Der damalige Be- weis erstreckte sich jedoch nur bis zu Ketten vierter Ordnung. In der vorliegenden Note ersetzt der Verfasser zunächst den früheren höchst umständlichen Beweis eines grundlegenden Hilfssatzes durch einen äußerst einfachen, knüpft daran noch bemerkenswerte Verallgemeinerungen und beweist schließlich den fraglichen Hauptsatz für Ketten beliebiger Ordnung. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 5. Herr v. Grotii legt eine Abhandlung von Herrn Johnsen in Kiel vor: Uber die Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure. Die Anwendung der Clausius-Clapay ronschen Gleichung auf die Umwandlung von a-Quarz in /?-Quarz ergibt, daß die Umwandlungstemperatur Atmosphäre Druckzuwachs um etwa 7ioo Celsiusgrad ansteigt. Setzt man die geotherme Tiefen- 14* Sitzung am 5. Juni. stufe gleich 33 m pro Celsiusgrad und die geobare Tiefenstufe gleich 4 m pro Atmosphäre, so ergibt sich die größte Erdtiefe, in welcher a-Quarz und nicht ß-Qüarz entsteht, zu rund 21 km; der hier herrschende Druck (5300 Atmosphären) hat die Um- wandlungstemperatur des Quarzes um 64°, also von 575° auf 639° erhöht und diese Temperatur herrscht eben in 21 km Tiefe. Da diejenigen Quarze, die sich als frei von Zwillingsbildung nach dem sogenannten Schweizer Gesetz erweisen, bekannter- maßen nicht aus /?-(}uarz hervorgegangen sein können, so müssen sie sich in der äußersten, 21 km mächtigen Erdhülle gebildet haben. Noch genauere Aussagen über Druck, Temperatur und Erdtiefe der Bildung von Quarz lassen sich dann machen, wenn dieser einen mit flüssiger und dampfförmiger Kohlensäure er- füllten Hohlraum aufweist wie z. B. manche Amethyste von Mursinka im Ural. Aus dem Volumverhältnis der flüssigen und der dampfförmigen Phase bei Zimmertemperatur läßt sich berechnen, welche Dichte die Kohlensäure zu der Zeit hatte, als sie von dem wachsenden Amethyst umschlossen wurde. Sodann gestattet die van der Waalssche Zustandsgleichung, die Isochore der Kohlensäure für jene Dichte zu konstruieren. Die zusammengehörigen Druck- und Temperaturwerte dieser Isochore setzt man in Beziehung zu denjenigen der Quarz- umwandlung. Es ergibt sich dann, daß jene Amethyste in einer Tiefe von höchstens C’/zkm gebildet sind und daß die Bildungstemperatur 100 bis 400° oberhalb derjenigen lag, die der betreflenden Erdtiefe normalerweise entspricht; der Ame- thyst stellt also ein thermales Produkt dar. Wendet man diese Methoden auf Quarzkristalloblasten an, so wird man dadurch vielleicht auch über Gesteinsmeta- morphose und über die Bildung kristalliner Schiefer genauere Vorstellungen gewinnen. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 15* Sitzung am 3. Juli. 1. Herr S. Zenneck trägt vor: Arbeit auf drahtlos-telegraphischem Gebiete in Nord- amerika während des Krieges. Der Vortragende besprach im Zusammenhang mit seinen Arbeiten in Nordamerika während des Krieges die neueren Sende- und Empfangs-Methoden in der drahtlosen Telegraphie, besonders die Frequenzwandler im Sender und die Elektronen- Relais im Empfänger. 2. Herr E. Stromer v. Reichenbach gibt Mitteilungen über Wirbeltier-Reste aus dem Mittel- pliocän des Natrontales (Ägypten). 5. Nachtrag zu 1. Affen und zu 2. Raubtiere. Aus jungtertiären Deltaablagerungen des libyschen Urniles hat der Autor schon 1913 Affen- und Raubtier- Reste beschrieben, darunter einen der be.sterhaltenen Affenschädel (Libypithecus n. g.) überhaupt. Vereinzelte Zähne und Zahnstücke, der Frei- burger Universitäts- Sammlung gehörig, erlauben nun, nicht unwichtige Nachträge zu machen. U. a. läßt sich eine neue Art der bisher nur aus dem Oberpliocän Italiens bekannten Gattung Aulaxinuus nachweisen und das Vorkommen eines echten Pavians, von ein oder zwei weiteren Affenarten und von im ganzen drei deutlich verschiedenen Fischotterarten fest- stellen. Damit ist ein verhältnismäßig großer einstiger Reich- tum von Affen und Fischottern in einem Gebiete nachgewiesen, in welchem sie heute vollkommen fehlen, und es lassen sich daraus sowie aus den einzelnen Formen manche systematische, tiergeographische und biologische Schlüsse ziehen. (Erscheint in den Sitzungsberichten.) 16* Sitzung am 3. Juli. 3. Herr S. Günther legt für die Sitzungsberichte einen Aufsatz vor: Die optischen Beweise für die Erdkrümmung sonst und jetzt. Seit einigen Jahrzehnten weih man, dah die Messung des Spiegelbildes von Sonne oder Mond in einer größeren Wasser- fläche diese letztere als Konvexspiegel erkennen läßt. Schon vor bald dreihundert Jahren fand eine Kontroverse zwischen Kepler und Chiaramonti statt, deren Gegenstand einiger- maßen an diese modernen Beobachtungen erinnert. Auf den Streit wird näher eingegangen. 4. Herr R. Emden spricht über Sonnenatmosphäre und Einsteineffekt. Es wird nachgewiesen, daß eine regelmäßig geschichtete Sonnenatmosphäre durch Refraktionswirkung eine Abbiegung der Lichtstrahlen in der Größe des Einsteineffektes nicht be- wirken kann. (Erscheint in den Sitzung.sberichten.) 17* Sitzung am 6. November. 1. Herr P. v. Groth berichtete unter Vorlage einer An- zahl von Exemplaren der daran besonders reichen mineralo- gischen Staatssammlung über das seltene Berylliumsilikat Phenakit und speziell über die neuerdings erfolgte Auffindung desselben in Bayern. Diese ist dem Sammeleifer des Lehrers Herrn L. Baumann in Nagel bei Brand, südlich Wunsiedel im Fichtelgebirge, zu verdanken; die in Drusen des dortigen Granits aufgewachsenen Krystalle wurden von dem Konser- vator der Sammlung Herrn Dr. C. Mielei tn er als Phenakit erkannt und genauer untersucht, wobei sich dieses Vorkommen als eines bestkrystallisierten des bisher nur an einer kleinen Zahl von Fundorten beobachteten Minerals, sämtlich in pneu- matologischen Bildungen gelegen, erwies. Herr R. Willstätter trägt eine in Gemeinschaft mit Herrn E. Wäldschmjdt-Leitz ausgeführte Arbeit vor über Hydrierung mit Hilfe von Metallen. Die Untersuchung behandelt den Einfluß des Sauerstoffs auf die katalytische Wasserstoffübertragung durch Platin- und Pal- ladiummohr und durch die kolloiden Metalle sowie durch Nickel. Ferner spricht Herr Willstätter über eine gemeinsam mit Herrn F. Racke ausgeführte Untersuchung Uber das Invertin der Hefe. In dieser Arbeit wird der Zustand geprüft, in welchem die Hefezelle die Kohlehydratspaltenden Enzyme enthält. Ferner wird das Verhalten des Invertins gegen Adsorptionsmittel unter- sucht und es werden Verfahren zur Trennung von den Begleit- stoffen darauf gegründet. Auf diesem Wege führt die Arbeit zu Präparaten, in denen das Invertin einen höheren Reinheits- grad als in bisher beschriebenen aufweist. Sitzungeb. d. math.-phys. Kl. Jabrg. 1920. C 18* Sitzun" am 4. Dezember. 1. Herr Th. P.\ul hielt einen Vortrag: Der Süßuugsgrad von Saccharin und Dulcin. Ausgedehnte mit zahlreichen Versuchspersonen angestellte Versuche, bei denen die sog. Konstanzraethode benutzt wurde, führten zu dem überraschenden Ergebnis, daß sich der Süßungs- grad (Süßkraft) der künstlichen Süßstoffe im Vergleich mit Zucker nicht, wie man bisher allgemein annahm, durch ein unveränderliches Zahlenverhältnis (kiystalloses Saccharin 1 : 450 und Dulcin 1 : 250) darsteUen läßt. Der Süßungsgrad ändert sich vielmehr mit der Konzentration, d. h. der Menge des ge- lösten Süßstoffes. Er schwankt bei Saccharin ungefähr zwi- schen 200 und 700, bei Dulcin zwischen 70 und 350. Ferner wurde die merkwürdige und für die Praxis wichtige Tatsache festgestellt, daß sich der Süßungsgrad des Saccharins durch Zusatz des weniger süß schmeckenden Dulcins unverhältnis- mäßig stark erhöhen läßt. So wird z. B. der Süßungsgrad einer Lösung von 280 mg Saccharin in 1 Liter Wasser durch weiteres Auflösen von nur 120 mg Dulcin so gesteigert, daß die Lösung gerade .so süß schmeckt wie eine solche, die 535 mg Saccharin enthält. Der Süßungsgrad des Saccharins ist also beinahe auf das Doppelte gesteigert und eine Ersparnis von etwa 33 °/o an Süßstoff erzielt worden. Hierzu kommt, daß das Dulcin die Saccharinlösung viel angenehmer süß und vollmundiger macht. Das Dulcin, das überdies viel koch- beständiger ist als das Saccharin, muß demnach beim Süßen unserer Lebensmittel eine viel größere Rolle spielen als bisher. Während des Krieges wurden in Deutschland ungeheuere Mengen Saccharin und Dulcin zum Süßen von Speisen und Getränken benutzt. Wenn die vorstehend mitgeteilten Tatsachen früher bekannt gewesen wären, hätten sich die Süßstoffe viel .spar- samer und rationeller verwenden lassen. Sitzung am 4. Dezember. 19^ 2. Herr R. Hertwig sprach über Geschlechtsbestimmung bei Fröschen. Seine Untersuchungen im Sommer 1919 und 1920 wurden am Wasserfrosch angestellt und ergaben eine Bestätigung des schon früher von dem Vortragenden erhaltenen Resultats, daß im Uterus überreif gewordene Eier ausschließlich Männchen liefern, während bei normaler Reife gleich viel Männchen wie Weibchen entstehen. Die Untersuchungen machten es ferner wahrscheinlich, daß die Umstimmung des Geschlechts nicht während der Eireife geschieht, sondern erst nach der Befruch- tung, indem von dem überreifen Protoplasma Einflüsse aus- gehen, welche auch die Eier mit weiblichem Chromosomen- bestand veranlassen, sich zu Männchen zu entwickeln. -i.l •i j Jrndf' (rö{j!j»Cffi5?^>ä niSf'MIltM •/• ' IbiTiV^W» 1iilJ1»4rri'^ -#--*a^ **'.1 * I ' _ *? '■ r. " . jx'r< ^ . -SL 21* Verzeichnis der im Jahre 1920 eingelaufenen Druckschriften. Die Gesellschaften und Institute, mit welchen unsere Akademie in Tauschverkehr steht, werden gebeten, nachstehendes Verzeichnis als Empfangsbestätigung zu betrachten. Aarau. Historische Gesellschaft des Kantons Aargau: Argovia, Bd. 36(1915)— 38(1920). Aberdeen, üniversity: — — Studies, No. 66—70. 73. 76. 78. Abo. Akademie: Acta, a) Humaniora, Bd. 1. Allegheny. Observatory: Publications, vol. 4. No. 1 — 5; vol. 5, No. 1 — 5; vol. 6, No. 1 — 3. Amsterdam. Academie van Wetenschappen: — — Verhandelingen (Phil. -hist. Abtlg.), deel XV. XVIII, 2. , (Math.-nat. Abtlg.), deel Xll, No. 4 u. 5. — — Jaarboek 1917. Prijsvers 1918. — — Zittingsverslagen, deel XXVI, No. 1 u. 2. — K. N. aardrijkskundig Genootschap: — — Tijdschrift, deel 37, No. 2 — 6, deel 38, No. 1. — Wiskundig Genootschap (Societe de mathemat.): — — Nieuw archief, deel 13 No. 1 u. 2. Wiskundige opgaven, deel 13, Nr. 1 u. 2. — — Revue des publications mathematiques, t. 27, No. 1 u. 2 und 28, 1. — — Oeuvres de Stieltjes, t. 2, 1918. Ansbach. Historischer Verein für Mittelfranken: — — Jahresbericht 62, 1919. Athen. Bibliotheque de l’ecole fran9aise. — — Bulletin du correspondance hellenique 44 (1920), No. 1—6. Barcelona. Camera oficial del libro: — — Bibliografia, ano 11, No. 7. Sitzungab. d. matb.-phys. Kl. Jahrg. 1920. (1 22* Verzeichnis der eingelaufeneii Dniekschriften. Barcelona. K. Acadeinia de Ciencias y Artes: — — Memorias, vol. 15, No. 11 — 18; vol. 16. Nr. 1. — — Nomina del personel 1919/20. — Institut d’ estudis Catalans: — — Rutlleti de la biblioteca de Catalaiu’a No. 4—7. Basel. Naturforschende Gesellschaft: — — Verhandlungen, Bd. HO ii. 31. — Universitätsbibliothek: — — .Jahresverzeichnis der Schweizer Universitätsschriften 1918/19. — — Universitätsschriften 1918/19. Batavia. Bataviaasch Genootschap van Künsten en Weten- schappen : — — Verhandelingen, deel 61, 5 u. 6. — — Rapporten van de connnissie in Nederlandsch-Indie 1913 — 1915. — — Oudheidkundig verslag 1915 — 1919; 1920, 1. — — 8 Einzelschritten. — — Tijdschrift voor Indische taal-, land- en volkenkunde, deel 57 -59. — — Notulen van de vergaderingen 53(1915) — 57(1919. — Observatorium: — — Seismological bulletin 1916, 11 u. 12; 1917 — 19; 1920. 1. 2. 7—10. — — Observations inade at secondary stations. vol. 4 — 7. — — Regenwarnemingen 1915 — 1917. — — Observations 37. 38. — — Maand- en jaargemiddelsen 1879 — 1917. — Naturkundige vereenigung in Nederlandsch-Indie: Tijdschrift 77-80. — — Het Idjen-Hoogland, Monografie 5, 1. Belgrad. Serbische Akademie der Wissenschaften: Glas 91. 94. — — Godisnjak 26. 27. Spomenik 52. 1914. — — Srpski etnografski zbornik 19. — — Zbornik istorijski 11. 15. Bergen. Museum; — — Aarbok 1917/18 und 1918/19. — — Aarsberetning 1918/19. — — Sars, Crustacea, vol. 7, 1—6. Berlin. Akademie der Wissenschaften: Abhandlungen phil.-hist. Kl. 1920, 1. — — „ physik.-math. Kl. 1919. 1920, 1. — — Sitzungsberichte 1920, 1—33. Verzeichnis der ein-'claufcueii Diuck.schriften. 28* Berlin. Archiv der Mathematik und Physik: — — Archiv, Bd. 28, 3 u. 4. — Allg. Elektrizitiitsgesellschaft: — — Geschäftsbericht 1919/20. — Deutsche Chemisehe Gesellschaft: — — Berichte 52, 12; 53, 1 — 11; 54, 1. — — Chemisches Zentralblatt 1920, 3 — 26; 1921, 1—4. — Deutsche Geologische Gesellschaft: — — Zeitschrift: Abhandlungen 71, 3 — 12. — Medizinische Gesellschaft: Verhandlungen 48-50. — Deutsche Physikalische Gesellschaft: — — Fortschritte der Physik 74 (1918), 1 — 3. — — Verhandlungen, 3. Reihe, Jahrg. 1, 1 — 4. — Deutsches Archäologisches Institut: — — Jahrbuch 34, 1 — 4 und 35, 1—2. Bibliographie 1918/19. — Meteorologisches Institut: — — Veröffentlichungen 304 — 310. — Preuß. Geologische Landesanstalt: — — Abhandlungen 77. — — Jahrbuch 38 I 3 und II 1 u. 2; 39 I 1 u. 2. — Astronomisches Recheninstitut: Berliner Astronomisches Jahrbuch 1922. — — Kleine Planeten 1921. — Verein zur Beförderung des Gartenbaues: Gartenflora 1920, 1 — 12; 1921, 1—2. — — Mitteilungsblatt 1 u. 2. — Verein für die Geschichte Berlins; — — Mitteilungen 1920, 1—14; 1921, 1. — — Mitteilungsblatt 1. — Verein für Geschichte der Mark Brandenburg: — — Forschungen zur brandenburgisch-preußischen Geschichte 33, 1. — Zeitschrift für Instrumentenkunde: — — Zeitschrift 1920, 1 — 12. Bern. Historischer Verein des Kantons Bern: — — Archiv, Bd. 25, 1. — Schweizerische Naturforschende Gesellschaft: Actes de la 98. et 99. session. — Universitätskanzlei: — — Schriften für 1920. d* 24* Verzeichnis der eingelaiifenen Druckschriften. Beuron. Erzabtei. — — Benedikt mische Monatsschrift 2, 8 — 8; 3, 1 ii. 2. — — Texte und Arbeiten 5. — — Ecclesia orans 4 u. 5. Bologna. Accadeinia: — — Rendiconto, ser. 1, vol. 8 (1914/15) und vol. 9 {1915/16); ser. II, vol. 1 (1916;17), vol. 2 (1917/18), vol. 3 (1918/19). — — Memorie A: Sez. di scienze storiche-filol., ser. 1, vol. 1, fase. 1—3; vol. 3, fase. 2; vol. 4; vol. 5, fase. 1; vol. 6—10. ser. 11, vol. 1 u. 2. — — Memorie B: Sez. di scienze giuridiche, ser. 1, vol. 1 — 10; ser. II, vol. 1—3. — — • Memorie C: Classe di scienze fisiche, ser. VI, vol. 6 — 9. Bonn. Verein von Altertumsfreunden im Rheinland: — — Berichte der Provinzialkommission für Denkmalpflege 1916—18. — — Bonner Jahrbücher, Heft 125. — Naturhistorischer Verein der preujs. Rheinländer — — Sitzungsberichte 1919, 1 u. 2. — — Verhandlungen, Jahrg. 75 (1918) und 76 (1919). Bromberg. Stadtbibliothek: Mitteilungen, Jahrg. 11 Nr. 4 6; Sonderheft 1920. Budapest. Ungarische Ethnographische Gesellschaft; — — Ethnographia, Jahrg. 30, 1 — 6. — Commission interallie du Danube: — — Le Danube international, Jahrg. 1, 1 — 16; Jahrg. 2, 1. — Reichsanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus; — — Jahrbücher, Bd. 40—44. — — Verzeichnis der Bücher 10 — 14. — Ungarische ornithologische Zentrale: — — Aquila 25 u. 26. Buenos Aires. Museo Nacional: Anales, Bd. 25. 1914. Buitenzorg (Java). Departement van landbouw: — — Bulletin du jardin botanique, No. 1, fase. 5 und No. 2, fase. 1—3. — — Jaarboek 1918. Mededeelingen van het algem. proefstation 4 u. 5. — — Mededeelingen voor thee 66 u. 67. — — Mededeelingen van de afdeeling voor plantenziekten 38—42. Bukarest. Academia Romanä: Bulletin de la section historique, annee 5 u. 6. — — Bulletin de la section scientifique 6 (1919/20), No. 1 — 4. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 25* Cambridge. Philosophical Society: — — Transactions, vol. 22, No. 5 — 22. — — Proceedings, vol. 18, 1 — G; vol. 19, 1 -G; vol. 20, 1. — Tufts College; — — Studies, vol. 4, No. 3—4. — Astronomical Observatory: Annual report of the Observatory syndicate 1914/15—1919/20. Circulars 219—221. Charlottenburg. Physikalisch-technische Reichsanstalt: — — Die Tätigkeit der physikal.-techn. Reichsanstalt im Jahre 1919. Chicago. Wilson Ornithological Club: The Wilson Bulletin, No. 90— 113. Christiania. Videnskabs Selskabet; — — Forhandlingar 1916 — 1918. Skrifter 1916—1918. Chur. Historisch-antiquarische Gesellschaft für Graubünden: Jahresbericht 49. Cleveland. Archaeological Institute of America: — — American Journal of Archaeology, vol. 22, 1 — 3; 23, 4; 24, 1 — 3. Colmar. Naturhistorische Gesellschaft: Mitteilungen 15. 1918/19. Columbus. Ohio State University: — — Journal of industrial and engineering chemistry, vol. 12 (1920); vol. 13 (1921), No. 1. Cordoba. Academia National de ciencias: — — Boletin, Bd. 20 — 24, 1 u. 2. Danzig. Westpreußischer Gesch ichtsverein : — — Zeitschrift 60. — Technische Hochschule: Personal Verzeichnis W.S. 1920/21. Darmstadt. Historischer Verein für Hessen: — — Quartalblätter, Bd. 6, Nr. 9 — 16. Davos. Meteorologische Station: Wetterkarten 1920. Jahresübersicht 1920. Delft. Technische Hochschule: — — Dissertationen 1920. Donaxieschingen. Verein für Geschichte und Naturgeschichte der Baar: — — Schriften 14 (1920). 26* Verzeichnis der eingelanfenen Druckschiiften. Dresden. Sächsischer Altertumsverein: — — Neues Aa-chiv für sächsische Geschichte 41. — — Jahresbericht 1919. — Journal für praktische Chemie: Journal 1919, Nr. 3 -24; 1920, Nr. 1 — 9. Drontheim. Norske Videnskabens Selskab; — — Aarsberetning 1917. Dublin. Royal Dublin Society: Economic Proceedings, vol. 2, 8 — 11. — — Scientific Proceedings, vol. 14. 17 — 23. Dürkheim. Pollichia: — — Mitteilungen 31 (1918/19). Edinburgh. Mathematical Society: Proceedings. vol. 31 {1912/13)-37 (1918/19). — Royal Society: — — Proceedings, vol. 35—38; 39, 1—2. — — Transactions, vol. 50 — 52, 3. Eisenberg. Geschichts- und altertumsforschender Verein: — — Mitteilungen, Heft 34. Emden. Gesellschaft für bildende Kunst und vaterländische Altertümer: — — Jahrbuch 20 (1920). — — Uptalsboom-Blätter, Jahrg. 9. Erlangen. Universitätsbibliothek: — — Dissertationen 1920. Florenz. R. Istituto di studi superiori: — — Sezione di filosofia, N. S., vol. 1. — — Cassuto. — Melli. — Puini. — Pasquali. — Billia. — Societä Asiatica Italiana: — — Giornale 26. Frankfurt a. M. Römisch - germanische Kommission des , Deut- schen Archäologischen Instituts*: — — Bericht über die Fortschritte der römisch-germanischen Forschung 11 (1920). — — Kataloge west- und süddeutscher Sammlungen 4 (1920). — — Korrespondenzblatt , Germania“ 4, 1 — 6. — Physikalischer Verein: — — Jahresbericht 1918/19. Vei’zeiclinis der ein>?elaufenen Dnicksebriften. Frauenfeld. T hur^auische Naturforsc.hen de Gesellschaft: — — Mitteilungen 23. Freiburg i. Br. Breisgau-Verein : , Schau ins Land“ 46. — Kirchengeschiclitlicher Verein: — — Diözesanarchiv 47. 48. — Universitätsbibliothek: — — Dissertationen 1920. Freising. Historischer Verein: — — Sammelblatt 12 (1920). Friedrichshafen. Verein zur Geschichte des Hodensees: — — Schriften 48 (1919). Fürth. Gymnasium; — — .Tahre.sbericht 1919/20. Fukuoka (Japan). Universität: — — Mitteilungen aus der medizinischen Fakultät, Bd. 3 — 5. 1917 — 20. Geestemünde. Männer vom Morgenstern: Jahresbericht 18. — — Mitteilungen Nr. 3. Genf. Institut National Genevois: — — Bulletin 41 — 43. — Journal de chimie physique: — — Journal, Bd. 17, 4; 18, 1 — 3. — Observatoire: — — Resume meteorologique 1918. — Societe d’histoire et d’archeologie: Bulletin 4, 3 — 6. — — Memoii’cs et docuiuent.s 5. 1919. — Societe de physique et d'histoire naturelle: — — Memoires, vol. 39, 3 — 4. — — Compte rendu des seances 37, 1—3. Giessen. Oberhessischer Geschichts verein; Mitteilungen 23 (1920). — Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde: — — Bericht der medizinischen Abteilung 12. — Universitätsbibliothek; Schriften 1920. Görlitz. Gesellschaft für Anthropologie und Urgeschichte: Jahreshefte, ßd. 3, Heft 1. 28* Verzeichnis der einf^elaufenen Druckschriften. Göteborg. Högskola: Arskrift, Bd. 18—24 (1912-1918). Handlingar 14-20 (1911/12-1917). Göttingen. Gesellschaft der Wissenschaften: — — Abhandlungen der mathem.-physikal. Klasse, Bd. 10, Nr. 5 u. ü. — — Göttingische gelehrte Anzeigen 1919, 9 — 12. Nachrichten der philol.-hist. Klasse 1919, 1 — 3; 1920, 1. — — , der mathematischen Klasse 1919, 2 — 3 und Beiheft; 1920, 1. — — Geschäftliche Mitteilungen 1920, 1. — Universitätsbibliothek: Dissertationen 1920. Granville. Scientific Association of Denison University: Bulletin 18, 1—7; 19, 1-8. Graz. Universitätsbibliothek: — — Verzeichnis der akademischen Behörden 1919/20. — — Verzeichnis der Vorlesungen S.-S. 1920 und W.-S. 1920/21. Greifswald. Rügisch-Pommerscher Geschichtsverein: — — Pommersche Jahrbücher 20 und Erg.-Bd. 3. — Naturwissenschaftlicher Kreis für Neuvorpommern und Rügen : — — Mitteilungen 46 und 47. Groningen. Astronomisches Laboratorium: Publications 29—30. — Verlag Wolters: Neophilologus, lg. 4, 1—4; 5, 1 — 2. Guben. Gesellschaft für Anthropologie und Altertumskunde: — — Niederlausitzer Mitteilungen, Bd. 14, 5—8. Haag. Gesellschaft zur Verteidigung der christlichen Religion: Programm für 1920. — K. Instituut voor de taal-, land- en volkenkunde van Nederlandsch-Indie: — — Bijdragen, deel 76, 1—4. Naamlijst 1920. Haarlem. Hollandsche Maatschappij der wetenschappen: — — Archives Neerlandaises de physiologie de l’homme et des animaux, tom. 5, No. 1. Oeuvres de Huygens, vol. 13. Hall in Württemberg. Histor. Verein für Württemberg. Franken: Württembergisch Franken, N. F., Heft 12. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften, 29* Halle. Leopoldinisch-Karolini.sche Deutsche Akademie der Naturforscher: Leopoldina 56. — Deutsche Morgenläiidische Gesellschaft: — — Abhandlungen, Bd. 15, 2. — — Zeitschrift 74, 2 — 4. — Thüringisch-Sächsischer Verein fürErforschung des vater- ländischen Altertums: — — Hundertjahrfeier 1920. — — Thüring.-sächs. Zeitschrift für Geschichte und Kunst, Bd. 10, 1. — Universitätsbibliothek: Schriften 1920. Hamburg. Stadtbibliothek: — — Entwurf des Hainburgischen Stadtbudgets 1919 und 1920. — — Jahrbuch der wissenschaftlichen Anstalten Hamburgs, Jahrbuch 1917 (35), Beiheft 1-8; Jahrbuch 1918 (36), Beiheft 1—5. Max Lenz: Für die Hamburgische Universität, Hamburg 1918. — — Staatshaushaltsberechnung 1917 und 1918. — — Verhandlungen zwischen Senat und Bürgerschaft 1918 und 1919. — Mathematische Gesellschaft: — — Mitteilungen 5, Nr. 8. — Deutsche Seewarte: — — Annalen der Hydrographie 48 und 49, 1. — — Aerologische und hydrographische Beobachtungen der Marine- stationen während der Kriegszeit, Heft 1. — — Jahresbericht 37—41. — Verein für Hamburgische Geschichte: — — Mitteilungen 39 und 40, 1. — — Zeitschrift 24, 1. — Naturwissenschaftlicher Verein: Abhandlungen 21, 1 — 2. Verhandlungen 24 — 27. — Verein für naturwissenschaftliche Unterhaltung: — — Verhandlungen 16. Hanau. Geschichtsverein: — — Hanauer Geschichtsblätter, Heft 3 und 4. Hannover. Natvirhistorische Gesellschaft: — — Jahresbericht 62 — 68. — Technische Hochschule: — — Dissertationen 1920. — Verein für Geschichte der Stadt Hannover: — — Hannoversche Geschichtsblätter 23. Verzeichnis der eingelaufeuen Druckechriften. Hannover. Historischer Verein für Niedersachseu: — — Zeitschrift 84. Hartford. Geological and Natural History Survey: Bulletin 28. Heidelberg. Akademie der Wissenschaften: Abhandlungen der luathemat Klasse 8. — — Jahresheft 1919. — — Sitzungsberichte der philosoph. Klasse 1919. 1920, 1 — 11. — — , der mathemat.-naturw. Klas.se 1919 A, 10 — 16; B 3—15; 1920 A, 1-8; B 1. — — Bericht über die Tätigkeit der Akademie im ersten Jahrzehnt 1920. — Wissenschaftliche Gesellschaft: Schriften 37 ; N. F. Heft 1. — Sternwarte; — — Veröffentlichungen des Astronomischen Instituts, Bd. 5, Nr. 2. — Universitätsbibliothek: — — Schriften 1920. Reden zur Jahresfeier 1919. Helgoland. Biologische Anstalt; — — Meeresuntersuchungen, Abt. Kiel 18. Helsingfors. Finnische Altertumsgesellschaft: — — Suomen Museo 21 — 26; Reg. 1894 — 1913. — — Protokoll 2. 1915. Tidskrift 27. 28. 30. 31. — — Tallgreu: Collection Tovostine 1917. — Geograf.-föreniugen i Finland: — — Meddelanden 11. — Finnländische Gesellschaft der Wissenschaften: — — Öfversigt af förhandlingar 61 A. B; 62 B. Acta 49, 1. 2; 50, 1. 2. — — Bidrag tili kännedom af Finlands uatur och folk 78. 4 — 6; 79, 1—2. — Finska fortsamfundet; — — .'Vcta forestalia Fennica 1 — 12. — Historische Gesellschaft; — — Arkisto 25. 26. 28. — — Historialina Tutkinuksia 1. 2. — Gesellschaft für finnische Geographie: — — Fennia 38 — 41. — Societas pro fauna et flora Fennica: .\cta 46. — — Meddelanden 45. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften- 31* Helsingfors. Universitätsbibliothek : — — Schriften 1920. — Finnische Litteraturgesellschaft: — — Suomi 11 — 17. Innsbruck. Naturwissenschaftlich-medizinischer Verein: — — Bericht 37. Jena. Medizinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft: Jenaische Zeitschrift 56. 2 — 3. — Naturwissenschaftliche Wochenschrift: 1920, 9-52, 1921, 1—7. Johannisburg. Union Observatory: — — Circular of Union of South Africa 45 — 49. Karlsruhe. Technische Hochschule: — — Schriften 1920. — Badische Historische Kommission: — — Bericht über die 34. Plenar-Versammlung. — — Zeitschrift für die Geschichte des Oberrheins 35. Kaufbeuren. „Heimat“: — — Deutsche Gaue 381 — 420. Sonderheft 109. 111. Kiel. Naturwissen schaftlicher Verein für Schleswig- Holst ein — — Schriften 17, 1. Klagenfurt. Landesmuseum: Carinthia 109 und 110. — — Jahresbericht 1918. Königsberg. Physikalisch-ökonomische Gesellschaft: — — Schriften 59 — 62. Kopenhagen. Akademie der Wissenschaften: — — Oversigt Juni 1918 — Mai 1919. — — Meddelelser, biologiske 2, 1. Math.-fisiske 1, 13; 15; 2, 4, 6-11. — — Brsted, Skrifter 1920. — Carlsberg-Laboratorium: — — Coinptes rendus des travaux 14. 8—10. — Botanisk Haves Bibliothek: Arbejder fra den botaniske have 87 — 93. — Gesellschaft für nordische Altertumskunde: — — Aarböger, III. 9. • Memoires 1918/19. 32* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschnften. Kopenhagen. — Kommissionen for Ha vundersogel-ser: — — Skrifter 7—9. — — Middelelser Fiskeri VI, 1. — Astronomisches Observatorium: — — Publikationer og mindre meddelelser 34 — 36. — Dänische biologische Station: — — Report from the Danish biological Station 26. Kuraschiki (Japan). Ohara-Institut: Berichte I, 1 — 4. Laibach. Musealverein für Krain: Caruiola 9, No. 3 und 4. Landshut. Historischer Verein: — — Verhandlungen 55. La Plata. Universidad Nacional: — — Contribution ä l’estudio de la ciencias, Ser. tisica, Vol. 1, entr. G. — — — Ser. tecnica, Vol. 1, entr. 2; Vol. 2, entr. 3. — — Memoria 9. Lausanne. Societe Vaudoise des Sciences naturelles: — — Bulletin, No. 197 et 198. Leiden. Maatschappij der Nederlandsche letterkunde: — — Handlingen 1917/18. Levensberichten 1918/19. — — ■ Tijdschrift 37 und 38. — Physikalisches Laboratorium der Universität; — — Communications, Suppl. 41. 42. — Mnemosyne: Mnemosyne 47 und 48. — Museum: — — • Museum, lg. 27, 5 — 12; 28, 1 — 5. — Sternwarte: — — Annalen 9, 2; 10, 2 u. 3; 11, 1 u. 2. Leipzig. Beiblätter zu den Annalen der Physik: 1919 (43), Nr. 21—24. — Deutsche Bücherei: 7. Bericht 1919. — Jablonowskiscbe Gesellschaft: — — Preisscbriften 47. 49. — Gesellschaft der Wissenschaften: — — Berichte über die Verhandlungen der philol.-hist. Klasse, Bd. 71, 7— 10. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 33* Leipzig. Berichte über die Verhandlungen der niath.-pl)ys. Kla.s.se, Bd. 71 2-4; 72, 1. — — Abhandlungen der philol.-hist. Klasse, 36, 4. — — Abhandlungen der math.-phys. Klasse, 36, 3 u. 4; 37, 1; 38, 1. Linz. ■Museum Francisco-Carolinum; — — Jahresbericht 78. Lissabon. Societe Portugaise des Sciences naturelles; Bulletin 6, 3; 7, 1, 2; 8, 1, 2. — — Meraorias 2; 3, 1; 4. Löwen. Societe scientifique de Bruxelles. Annales 39, 1 — 4; 40, 1. London. iJeteorological Office. Geophysical .lournal 1917 und 1918. — — Yearbook Part 3 sect. 2. — Geological Society: Quarterly Journal Nr. 361 und 363. Lund. Botaniska Notiser: Notiser 1920, 1—6; 1921, 1. — Universität: — — Acta 15 (Aft. 1 und 2). — — Arsberättelse 1919, ^20. — — Ärskrift 20- Bibelforskaren 1919. — — Skrifter utgiven af humanisk vetenskpssamfundet 1, 2. Luxemburg. Societe des naturalistes Luxeraburgeois: — — Bulletins 11 — 13. — Institut Grand-Ducal: — — Publications de la section historique 59. Luzern. Historischer Verein der fünf Orte: — — Geschichtsfreund 73 — 75. Madison. Wisconsin Geological and natural history survey. Bulletin, No. 28, 35-37, 42, 44, 57. — — Soll maps 2 — 10. Madrid. R. Academia de sciencias exactas: — — Programa de premios 1917. — — Discursos 1916. — — Annuario 1915—1917. Revista, Vol. 12, 8—12; 13-14; 15, 1-5. — R. Academia de la historia de Espana: Boletin 70. Tcrxeichiiis der cingelaufeueu Druckschriften. 81 + Magdeburg. Museum für Natur- und fleimatkunde. — — Abhandlungen und Dcrichte 2, 4; 3, 1 u. 2. Mannheim. Altertumsverein: — — Mannheimer Geschichtsblätter, 21. (1920); 22, 1 u. 2. Mantua. Accademia Virgiliana: — — Atti e memorie 9 — 10. Marburg. Universitätsbibliothek, Institut für das Deutschtum im Ausland: — — Jahresbericht 1. Maredsous. Abbaye: — — Revue benedictine 32, 38, 1 u. 2. Meiningen. Ilennebergischer altertumsforschender Verein: — — Neue Beiträge zur Geschichte des deutschen Altertums 29. 30. Mexiko. Institute geologico: Boleti'n 31. 32. 34. — — Anales 1. 8. 9. Parergones 5, 1—9. — Sociedad cientifica „Antonio Alzate“: — — Memorias y revista 35, 1 — 4; 37, 1—3; 38, 1 — 10. Middelburg. Seeländische Gesellschaft der Wissenschaften; Archief 1918-1920. — — Gedenkboek 1769 — 1919. Milwaukee. Public Museum: — — Bulletin of Wisconsin Natural History Society 13, 4. — — Bulletin of the Public Museum 1, jjart 3 und 4. — Annual report 29. München. Technische Hochschule: Personalstand 1920/21. — Landesanstalt für Gewässerkunde: Nr. 1 Heft 1. — Universitätsbibliothek; — — Schriften 1920. Personalstand 1919, 1919/20, 1920, 1920/21. — — Verzeichnis der Vorlesungen, 1919—1920. — Landeswetterwarte; — — Übersicht der Witterungsverhältnisse, 1920, 1 — 12. — — Ergebnisse der Beobachtungen bayer. Wetterwarten, 1920. — — Verzeichnis der Veröffentlichungen, 1920. Münster. Westfälischer Provinzial verein für Wissenschaft und Kunst: — — Jahresbericht 46 — 48. V’erzeiclinis rler eiDtrelaufenPu Dmcksoln-iCten. Münster. Verein für Geschiclite nnd Altertnmsknncle West- falens; — — Zeitschrift 77. Neubiirg. Historischer Verein: Neuburger Koliektaneenblatt 84. Neuchätel. Bibliotheque de l’Universite: — — Programme des cours, S.-S. 1920. — Societe Neuchäteloise de geographie: Bulletin 28. New Haven, American Oriental Society. Journal 40, part 5. — Yale University; Report oF the librarian, 1914/15 — 1915/19. New York. American Philological Association; Transactions and proceedings 49. — Botanical garden; Bulletin, Nr. 38 und 39. — Rockefeller Institute for medical research: — — Studies 20 — 30, 32 — 35. — American Geographical Society; — — Geographical Review, Vol. 5, Nr. 6; Vol. 6, 1 u. 2; 7; 8; 9, 1 — 3. Nijmwegen. Nederlandsch botanische Yereenigung: — — Neederlandsch kruidkundig archief 1919. — — Recueil des travaux botaniques Neerlandais 15; 16, 1 ii. 3-4. Nördlingen. Historischer Verein: — — Jahrbuch 7. Nürnberg. Verein für Geschichte der Stadt Nürnberg: — — Jahresbericht 42. — — Mitteilung 23. Osnabrück. Verein für Geschichte und Landeskunde; — — Mitteilungen 42. Paderborn. Verein für Geschichte und Altertumskunde West- falens: — — Zeitschrift, 77, 2. Padua. R. Accademia di scienze, lettere ed arti: — — Atti e memorie 378. 379. — Academia Veneto-Trentina-Istriana: Atti Anno 9, 10. Palermo. Circolo matematico: — — Rendiconti 44, 1 und Suppl. 11, 1. Vefzeiclinis der eingela\ifenen Dnicküchnften. .SG* Parenzo. Societh istriana di archeologia e storia patria: — — Atti e niemorie, Vol. 31. Paris. Coniite international des poids et tnesures; — — Proces-verbaux des seances 8. — ,La paix et le droit“: No. 30. 31, 1. — Societe de geographie; La Geographie 30 — 35, 1. Philadelphia. College of phariuacy: American Journal of pharmacy 89—93, 1. — Pennsylvania Museum and School of industrial art: — — Report 44. — üniversity of Pennsylvania: — — Bulletin, Vol. 20, No. 10. Pisa. Societä, Italiana di fisica; — — II nuovo Cimento 66, 2—5 und 9—12; 67, 1. — Universitä: Annali 4 und 5. Portici. Laboratorio di zoologia: — — Annali 12 — 14. Potsdam. Zentralbureau der internationalen Erdmessung: — — Veröfi'entlichungen 35. 36. — Preuß. Geodätisches Institut; — — Veröffentlichungen 81—83. Prag. Landesarchiv: Archiv Cesky 33. — Gesellschaft zurFörderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur in Böhmen: — — Beiträge zur deutsch-böhmischen Volkskunde 13. 14. Bibliothek deutscher Schriftsteller 30. 35. — — Rechenschaftsbericht 1920. — Sternwarte: Prey, Planetenbildung 1920. — — Mrazek, Windverhältnisse 1920- — Universität: — — Ordnung der Vorlesungen 1920. 1920/21. Personalstand 1919/20. — Verein für Geschichte der Deutschen in Böhmen: Mitteilungen 58. Quito. Observatorio: — — Resumen 1914, 1 — 6. — — Informe Anual 1913. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 37* Regensburg. Historischer Verein: — — Verhandlungen 70. Riga. Naturforscher- Verein : — — Korrespondenzblatt 56. 57. Rio de Janeiro. Museu Nacional: — — Archivos 20 — 22. Rom. Accademia Pontificiana dei nuovi Lincei: Atti 71. 72. — — Memorie, Ser. II, Vol. 3, 4. — Deutsches Archäologisches Institut; — — Mitteilungen 33. — Societä Romana di storia patria; — — Archivio 43, 1 u. 2. — Specola Vaticana: — — Catalogo astrografico 2 — 4. — Ufficio Centrale meteor ologico: Annali 23, 3; 27, 3; 28, 2, 3; 33, 1; 34, 1 ; 35, 1 ; 36, 1. Rostock. Universitätsbibliothek: — — Personalverzeichnis 1920 und 1920/21. Vorlesungsverzeichnis 1920—21. — — Schriften 1920. Rotterdam. Hataafsch genootschap der proefonderlike wijs- begierde: Catalog van bibliotheek 1917. — — Verslag der algem. vergadering 1914. 1916. 1919. — Gedenkboek 1769 — 1919. Salzburg. Gesellschaft für Salzburgische Landeskunde: Mitteilungen 60. St. Gallen. Naturwissenschaftliche Gesellschaft; — — Jahrbuch 55. San Fernando. Instituto y obser vatorio de marina: — — Almanaque 1921 und Suppl. San Francisco. California Academy of Sciences: Proceedings 9, 9 — 16; 10, 1 — 9. Sao Paulo. Museu Paulista: — Revista 10. — Sociedade seientifica: — — Revista 9. 11. Sarajevo. Landesmuseum: — — Glasnik 32. Sitzangsb. d. matb.-phyg. Kl. Jabrg. 1920. e 38* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. Schleusingen. Hennebergischer Geschichtsverein: Schriften 11. 12. Schwerin. Verein für mecklenburgische Geschichte und Alter- tumskunde: — — Jahrbücher 84. Sendai. Universität: — — The Science Reports 4—9; II. S. 2, 1 — 2; 3, 1 — 2; 4, 1—3; 5, 1 — 2. — — The Technology reports 1, 1 — 2. — — The Tohoku Journal of experimental medicine, 1, 1 — 4. — — Mitteilungen aus dem pathologischen Institut 1, 1. — — The Tohoku Mathematical Journal 6 — 18. Solothurn. Naturforschende Gesellschaft: — — Mitteilungen 6. Spalato. Archäologisches Museum: — — Bullettino di archeologia e storia Dalmata 36 — 39. Stade. Verein für Geschichte und Altertümer der Herzogt ümer Bremen und Verden: — — Stader Archiv 10. Stockholm. Akademie der Wissenschaften: — — Arkiv för botanik 15, 3—4. Arkiv för kemi 7, 4 — 5. Arkiv för Zoologie 12, 1 — 2. — — Handlingar 58, 1 — 10; 59, 1 — 8. — — Jakttagelser 59. — Landbruks- Akad emien: Handlingar 59. — Vitterhets och Antikvitets Akademie: Tidskrift 21, 3; 22, 3. — Bibliothek: — — Akzessionskatalog 33; Reg. 1906—1915. — Entomologiska föreningen: Entomologisk Tidskrift 40. — Geologiska föreningen: — — Förhandlingar 42; Reg. 32 — 41. — Schwedische Gesellschaft für Anthropologie: — — Ymer 40. Geografisk Annaler 1, 1 — 4; 2, 1 — 3. — Nordiska Museet: — — Fataburen 1919. — Reichsarchiv: Meddelanden 1, 48 — 50. — — Riksdagets protokoll 15. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 39* Stonyhurst. Observator y; — — Results 1919. Straubing. Historischer Verein: — — Jahresbericht 22. Stuttgart. Bibliothek: — — Vierteljahreshefte 28. — — Fischer, Schwäbisches Wörterbuch 59—62. Tacubaya. Observatorio astronömico nacional: Anuario 36—41. — — Catalogo astrofotografico 1. — — Boletin 1 — 6. — — Equinoccio 1920. Tokyo. Imperial geological Survey of Japan: — — Bulletin 25, 1 — 3. — — Geology of Empire 10, 9; 21, 14; 14, 12; 4, 4; 18, 14; 5,3. — — Joban coal field 1. — Universität: Mitteilungen aus der medizinischen Fakultät 13 — 16, 1—3; 14—20, 1-4; 21, 1. — Imperial Earthquake Investigation committee; — — Bulletin 8, 4 u. 5; 9, 2. Toronto. University: — — Review of historical publications 19 — 21, Index 11 — 20. — — Physiological Series 24 — 32. — — Geological Series 11. — — Biological Series 15 — 18. — — Papers from Chemical laboratories 101 — 110. — — Papers from physical laboratories 62. — — Anatomical Series 2. 3. Tromsö. Museum: — — Aarshefter 38—40. — — Aarsberetning 1915 — 1917. Turin. R. Accademia delle scienze: Atti 50. 51. 52, 1—8; Reg. 41—50; 55, 1—16. — — Memorie 65. Osservazioni meteorologiche 1914. 1915. — Museo di zoologia: — — Bollettino 30—33. — Societä Piemontese di archeologica: Atti 9, 1—2. — — Bollettino 3, 1—2. 40* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. Upsala. Schwedische Diteraturgesellschaft: Skrifter 119—155. — — Samlaren 40. — Tetenskaps societeten: — — Nova Acta 4, 1 u. 2. — Universitätshibliothek: Schriften 1918/19 und 1919/20. Utrecht. Provinciale genootschap van kunsten en weten- schapen : — — Aantekeningen 1918 und 1919. Verslag 1917—1919. — Nederlandsch meteorologisch Institut: — — Anuuaire 1915—1918. — — Mededeelingen en verhandelingen 22 — 24. — — Ergebnisse aerologischer Beobachtungen 5—7. — — Seismische Registrierungen 2 — 5. — — Onweders 35 — 38. Overzicht 17; 18, 1. Puhlicacion 110. — Physiologisches Laboratorium der Hochschule: — — Onderzoekingen VI, 1. Vaduz. Histor. Verein für das Fürstentum Lichtenstein; — — Jahrbuch 20. Vicenza. Accademia Olimpica: Atti, N. S., Vol. 7. Washington. National Academy of Sciences: [ — — Proceedings, Vol. 6, 1—5; 7 — 11. — U. S. National Museum: — — Bulletin 100. 108. 111. — — Contributions to herbarium 20, 8 — 9; 22, 1 — 3; 23, 1. — — Report 1919. — U. S. Naval Observatory: Annual Report 1919. 1920. Weihenstephan. Akademie für Land Wirtschaft und Brauerei: — — Bericht 1919/20. Weimar. Verlag Bühlau: — — Zeitschrift der Savignystiftung 41 (3 Abteilungen). Wien. Akademie: — — Denkschriften der philol.-histor. KL, Bd. 61, 3; 63, 2; 64, 1. Denkschriften der math. naturwiss. Kl. 96. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 41* Wien. Akademie: — — Sitzungsberichte der philos. Klasse 191, 3,4; 192,5; 193, 1—3; 194, 2 u. 4; 195, 2, 3, 5; 196, 2, 5; und Register 18 (171—180). — — Sitzungsberichte der math.-naturwiss. Klasse, Abt. I 128, 1 — 10; Abt. lla 127, 1—9; 128, 3-10; 129, 1 u. 2; Abt. II b 128, 1 — 10; Abt. III 127 u. 128. — — Mitteilungen der Erdbebenkommission, Nr. 55—57. — Gesellschaft der Arzte: — Wiener Klinische Wochenschrift 33 (1920); 34 (1921), 1 8. — Zoologisch-botanische Gesellschaft: — — Abhandlungen 11, 1 u. 2. — — Verhandlungen 66, 6 — 10; 68, 6 — 10; 69, 6 — 10. — Israelitiscli-theologische Lehranstalt: Jahresbericht 27. — Mechitaristen-Kongregation: — — Randes Amsorya 1917/18; 1919; 1920; 1921, 1 u. 2. — Naturhistorisches Museum: — — Annalen 33. — Geologische Reichsanstalt: — — Jahrbuch 67, 3 u. 4; 68, 1 — 4; 69, 1 — 4; Gen. -Reg. zu 51 — 60. — — Verhandlungen 1918; 1919; 1920, 1—6. — Universität: — — Bericht über die volkstümlichen Universitätsvorträge 1916/17. — — Inauguration des Rektors 1918/19 19^:0/21. — — Übersicht der Behörden 1918/19 — 1920/21. — — Vorlesungen, S.-S. 1918 — W.-S. 1920/21. — Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik: — — Jahrbücher 52. Winterthur. Naturwissenschaftliche Gesellschaft: — — Mitteilungen 13. Wolfenbüttel. Geschichtsverein für das Herzogtum Braun- schweig: (Quellen und Forschungen 6 und 8. Würzburg. Physikalisch-medizinische Gesellschaft: — — Sitzungsberichte 1919, 1-7; 1920, 1 und 2. — — Verhandlungen 46, 1. — Universität: — — Verzeichnis der Vorlesungen, S.-S. 1920 und W.-S. 1921. — Historischer Verein für Unterfranken: — — Archiv 61. — — Jahresbericht 1918. 42* Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. Zürich. Antiquarische Gesellschaft: Mitteilungen, Bd. 28 Heft 5, Bd. 29 Heft 1. — Naturforschende Gesellschaft: — — Neujahrsblatt 121—123. — — Vierteljahresschrift 65. — Schweizerische Geologische Kommission: Beiträge zur geologischen Karte der Schweiz, 47, I u. II. — Schweizerisches Landesmuseum: Anzeiger für Schweizerische Altertumskunde 20, 4; 21,4; 22,1 — 1. Jahresbericht 28. — Polytechnikum: — — Dissertationen 1920. — — Programm S.-S. 1920; W.-S. 1920/21. — Sternwarte: — — Astronomische Mitteilungen 108. — Universitätsbibliothek: — — Schriften 1919. — Schweizerische meteorologische Zentralanstalt: — — Annalen 55. Zweibrücken. Gymnasium: — — Jahresbericht 1918/19. Geschenke von Privatpersonen, Geschäftsfirmen nnd Redaktionen: Athen, Nto? ^EV.tjvofirrjjuor: — Bd. 13, 1 u. 2; 14, 2 u. 3. Balch, Ch. W.: Arbitration as a term of international law. Philad. 1920. Bezold Karl in Heidelberg: — Zeitschrift für Assyriologie, Bd. XXXIII, Heft 1 — 2. Bloom field, M.; Rig-Veda repetitions. Harvard 1916. Brandstetter, R.: Architektonische Sprachverwandtschaft 1920. Ganguli: Lectures on the theory of plane curves. 2 Bde. Calcutta 1919. Hillebrandt, Alfr. : Kalidasa. Breslau 1921. Kirfel: Kosmographie der Inder. Bonn 1920. Martellotta, Grammaticas de Latinulas Linguas. Bari 1919. Mayer, Alois: Enge des Bewußtseins. Stuttgart 1920. Meißner, Bruno: Babylonien und Assyrien I. Heidelberg 1920. Mullin, E.: Impulse e creacion. Montevideo 1919. Ponte, Andr. F.: Bolivar. Caracas 1919. Prosper, Ed. R.: Las estepas de Espana. Madrid 1920. Zeiler, A.; Einkominensabgaben und Gerichtshof für bindende Gesetz- auslegung. Zerbos: Geschichte der Medizin. Bd. 1. Athen 1914. 1 Neuberechnung des südlichen Netzteiles der bayeri- schen Landestriangulierung zwischen der Donau und der Nordkette der Alpen. Von M. Schmidt. Vorgelegt in der Sitzung am 10. Januar 1920. In der Sitzung der mathemati-sch- physikalischen Klasse vom 10. Januar bringt Professor M. Schmidt eine von ihm veranlaßte umfangreiche Rechenarbeit des Assistenten am geo- dätischen Institut der Technischen Hochschule, Dr. Ing. Adolf Schlötzer in Vorlage, welche eine Neuberechnung des südlichen Teiles des bayerischen Hauptdreiecksnetzes zwischen der Donau und der Nordkette der Alpen zum Gegenstand hat und in ihren Ergebnissen einen Beitrag zum Nachweis der bei gruppenweiser Ausgleichung umfangreicher Dreiecksnetze auftretenden soge- nannten Netzverschiebungsfehler liefert. Die Fehlerausgleichung des 121 Hauptdreieckspunkte um- fassenden Netzes der bayerischen Landesvermessung ist ur- sprünglich durch Soldner nach einem als Tatonieren bezeich- neten empirischen Verfahren vorgenommen worden, bei wel- chem die beobachteten Winkel derart verbessert wurden, daß zwar die bestehenden geometrischen Netzbedingungen erfüllt sind, nicht aber zugleich die kleinstmöglichen Werte dieser Verbesserungen erhalten werden. Gelegentlich der Veröffentlichung der Ergebnisse der Lan- desvermessung im Jahre 1873 hat der Bearbeiter dieses großen, im amtlichen Auftrag herausgegebenen Werkes eine systema- tische Ausgleichung der Winkelmessungen nach bedingten Be- obachtungen ausführen lassen, wobei die große Zahl der be- Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jalirg. I&20. 1 2 M. Schmidt stehenden Bedingungsgleichungen -- es waren gegen 1000 Sta- tionswinkelbedingungen und 651 Netzwinkel- und Seitenglei- chungen zu erfüllen — bei gleichzeitiger Auflösung eine kaum zu bewältigende Rechenarbeit verursacht hätte. Der Bearbeiter dieses Werkes, Oberst Carl von Orff, sah sich deshalb veranlaßt die Ausgleichung des Netzes in 32 Einzel- gruppen von Dreiecken vorzunehmen, welche unter sich durch Anschlußbedingungen verbunden sind. Hiedurch war eine Fehlerübertragung von einer Gruppe zur anderen bedingt und die Möglichkeit von Punktverschie- bungen für ganze Netzteile gegeben. Bei den in den letzten Jahren durch den Berichterstatter ausgeführten Untersuchungen über die im Laufe der Zeit etwa eingetretenen tektonischen Höhen- und Lageänderungen von festen Messungspunkten im südbayerischen Voralpengebiet war es von Wichtigkeit festzustellen, ob die bei einigen diesem Ge- biete angehörenden Netzpunkten auftretenden Lageänderungen sich nicht als durch die Rechnung entstandene Netzfehler er- klären lassen könnten. Ein sicheres Urteil hierüber war nur dadurch zu gewinnen, daß man die bei der Berechnung der Landesvermessung durch die gruppenweise ausgeführte Netzausgleichung gefundenen Ko- ordinaten mit den aus einer neu auszuführenden Gesamtaus- gleichung des Netzes ermittelten Koordinatenwerten in Ver- gleich brachte, wobei natürlich beiden Ausgleichungen die glei- chen Ausgangswinkelwerte und Gewichte, sowie dieselbe Basis- länge und Orientierung zugrunde gelegt w^erden mußte. Diese Aufgabe hat Dr. Schlötzer, wenn auch nicht für das ganze Hauptdreiecksnetz, so doch für den südlich der Donau gelegenen Teil gelöst und den Nachweis erbracht, daß in der Tat durch die gruppenweise Netzausgleichung Punktverschie- bungen von bemerkenswerter Größe entstanden sind. Die Zahl der dieser Untersuchung unterzogenen Haupt- netzpunkte beträgt 42. Von diesen sind indessen die beiden Endpunkte der oberbayerischen Grundlinie München — Aufkir- chen als unveränderte Ausgangspunkte angenommen worden. Neuberechnung des südlichen Netzteiles etc. O O sodaß nur für die noch übrigen 4U Punkte die Neuberechnung der Koordinaten vorzunebinen war. Hiebei sind die Koordinaten der Landesvermessung als Näherungswerte eingeführt und unter Verwendung der aus den früheren Stationsausgleichungen hervorgegangenen Winkel die wahrscheinlichsten Werte jener Koordinatenverbesserungen berechnet worden, welche sich durch die sogenannte Koordi- natenausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben. Für die Näherungskoordinaten der ausgewählten 40 Haupt- netzpunkte sind sodann 2 x 40 = 80 Koordinatenverbesserungen dx und dy derart berechnet worden, daß die aus 274 Fehler- gleichungen folgenden Richtungsverbesserungen der sie ver- bindenden Netzlinien der Bedingung der kleinsten Quadrat- summe genügen und sich zugleich eine widerspruchsfreie gegen- seitige Orientierung dieser Linien ergibt. Zu diesem Zweck waren aus 120 Bedingungsgleichungen ebensoviele Unbekannte im Zusammenhang zu berechnen. Von diesen Gleichungen konnten indessen 40 zur Berechnung der Orientierungsverbesserungen der Netzlinien dienende Gleichungen abgetrennt und für sich behandelt werden, während die übrigen 80 Gleichungen zur Berechnung der 80 Koordinatenverbesse- rungen dx und dy dienten. Die Auflösung dieses Systems von 80 Gleichungen mit ebensovielen Unbekannten nach dem Gaußschen Algorithmus hat eine sehr umfangreiche Rechenarbeit erfordert. Zur Re- duktion des Gleichungssystems war die Bildung von 60330 Ko- effizienten-Produkten vorzunehmen und zur Auflösung der sich ergebenden 80 reduzierten Normalgleichungen die Berechnung von 2874, meist 6 und 7 zifferigen Zahlenkoeffizienten und von 80 Absolutgliedern mit der gleichen Stellenzahl auszuführen. Die Auflösung wurde doppelt, unabhängig und gleich- zeitig von zwei aus einem Rechner und einem Aufschreiber bestehenden Rechengruppen mit Rechenmaschinen vom System „Brunsviga“ im Laufe des vergangenen Jahres ausgeführt. 1* i M. Schmidt Die Zahl der hiezu nötigen Kurbeldrehungen der Maschinen ist auf mehr als zweieinhalb Millionen zu schätzen. Die aus der Ausgleichung folgenden Abszissen- und Ordi- natenverbesserungen sind in der nachstehenden Tabelle zu- sanimengestellt und haben Werte bis zum Betrag von dy = — 0,787 m bei der Pyramide von Braunau am Inn und dx — — 0,844 m bei dem Signal Bohr erreicht. Tabelle 1. Aus der Netzausgleichung hervorgegangene Koordinaten- verbesserungen. Station Verbesserung in m Station Verbesserung in m Schweitenkirchen T. fdys — — 0,104 \dx^ — — 0,123 Haunsberg P /dt/,3 =-0,690 {dXi^ = —0,398 Attenhausen T. . . ldj/4 = -H Ü,22i = — 0,204 \dJ^t = — 0,412 Oberweißenk. T. . /d2/i2 = -0,421 = — 0,093 Hochplatte P. ... td^22= + 0,161 (da;22= — 0,381 Neuberechnung des südlichen Netzteiles etc. Station Verbesserung in m Station Verbesserung in m Grünten P (dyzi— -1-0,052 — — 0.299 Castlberg Sig. . . . 1^2/33= — 0,223 \dT33= — 0,333 Edelsberg P 1^2/24 =+0,042 \dcc^^ = — 0,217 Rohr Sig [d2/3* = +0,073 Wjr34=- 0.844 .\nger P 1^2/25 = +0,238 \dx,,^= +0,074 Altomünster T. . . fd 2/33 = — 0,089 = — 0,115 Kronburg T 1^2/26 = +0,157 ldToe= +0,227 Günzelhofen T. . . 1^2/33= — 0,171 lda;39 =+0,146 Schönegg P [doo^T — +0,382 Georgenberg T. . . 1^2/37 = — 0,023 lda;37= —0,214 Roggenburg s. T. . (^2/28 = —0,202 [dXii^ = +0,125 Eschers P 1^2/38 =+0,051 \(2a;33= +0,029 Kirchheim T 1^2/29 = +0,044 = -f-0,178 Hauptmannsgreith P. fd2/39 = +0,018 lda;33= — 0,102 Klimach T StaufiFersberg P. . . {^^^30= —0,119 = -|~0,126 Auerberg T 1^2/40 = +0,158 \da;4o= — 0.180 1^2/31 = — 0,184 Idx,, = —0,016 Wehringen P. . . . 1^2/41 = — 0,189 = +0,074 Pöttmes P 1^2/32 = —0,009 \dx^2 — — 0,221 Peißenberg T. . . . [d 2/42 =+0.126 lda;42 = — 0,219 Die Werte mit gleichem Vorzeichen zeigen eine ins Auge fallende Gruppierung. Sie finden sich besonders im südöst- lichen Netzteile gehäuft und la.ssen hier einseitige Punktver- schiebungen deutlich erkennen, die durch ungünstige Fehler- anhäufung in der älteren Ausgleichung ihre Erklärung finden. Im Laufe der Zeit eingetretene Lageänderungen der Netz- punkte in der Natur kommen hier nicht in Betracht, da die ältere und die neuere Ausgleichung dieselben Winkelbeobach- tungen zur gemeinsamen Grundlage haben. Hinsichtlich der Gröüe der gefundenen Koordinatenänderungen ist noch zu be- merken, dafi die von den unvermeidlichen Beobachtungsfehlcrn 6 M. Schmidt bedingte Unsicherheit der Kooi'dinaten- und der Lagebestim- mung der Netzpunkte nach der Größe der mittleren Fehler beurteilt werden muß, welche sich aus den mittleren Rich- tungsfehlern der die Lage der Punkte bedingenden Schnitt- strahlen berechnen lassen. Die Neuausgleichung ergibt mittlere Richtungs- und Winkelfehler von + 1'28 bzw. + 1"80 gegenüber den ana- logen Werten der Landesvermessung +1*52 und+2"14, wäh- rend nach der internationalen Formel aus 337 Dreiecksschluß- fehlern der Landesvermessung der mittleren Winkelfehler + 1“77 wird. Diese gute Übereinstimmung des mittleren Winkelfeh- lers der Neuausgleichung des südlichen Netzteiles mit dem Fehler des Gesamtnetzes beweist auch die Gleichwertigkeit der im südlichen Netzteil mit Multiplikationskreisen von Borda, im übrigen Netz aber größtenteils mit Reichenbachschen Re- petitionstheodoliten ausgeführten Winkelmessungen. Die mittleren Fehler der berechneten Koordinaten sind für die Netzpunkte der Landesvermessung ursprünglich nicht ermittelt worden. Da dieselben indessen von großer Bedeutung sind, so sind sie für den neuausgeglichenen Netzteil bestimmt worden. Die Berechnung erfolgte aus den mittleren Richtungs- fehlern der Schnittstrahlen durch Auflösen der sogenannten Gewichtsgleichungen. Die vollständige Ausrechnung der hie- zu nötigen 80 Gleichungssysteme würde die Bildung von un- gefähr 330 000 Koeffizientenprodukten erfordert haben. Um diese Rechenarbeit auf ein erträgliches Maß einzu- schränken, ist die Rechnung vorerst nur für 16 Netzpunkte durchgeführt worden und hat durchschnittliche Fehlerwerte von nix = +0,29 m und m,, = +0,39 m ergeben. Die nachstehenden Werte dürften genügen, um die Un- sicherheit der ursprünglichen Lagebestimmung der Dreiecks- punkte der Landesvermessung zu beurteilen, wenn es sich darum handelt, bei einer Neutriangulierung etwaige Lageänderungen dieser Punkte durch inzwischen eingetretene tektonische Schollen- bewegungen der Krdkruste festzustellen. Neuberechnung des südlichen Netzteiles etc. 7 Tabelle 2. Aus der Auflösung der Gewichtsgleichungen folgende mittlere Koordinatenfehler. Station mittl. Koordinaten- fehler in X !/ Station mittl. Koordinaten- fehler in X y m in m m Peißenberg . . . ±0,29 + 0,29 Kohr ±0,40 ±0,26 Wehringen . . . + 0,21 ±0,39 Castlberg . . . + 0,29 + 0,18 Auerberg .... ±0,35 + 0,41 Pöttmes .... ±0,29 ±0,31 Hauptmanns- greith ±0,39 ±0,54 Stauffersberg . Klimach .... + 0,26 + 0,23 ±0,42 + 0,41 Eschers ±0,36 ±0,57 Kirchheim . . . ±0,26 ±0,51 Georgenberg . . ±0,30 + 0,42 Roggenburg . . ±0,32 ±0,62 Günzelhofen . . ±0,14 ±0,21 Schönegg . . . ±0,35 ±0,60 Altomünster . . ±0,18 + 0,18 Mittelwerte ±0,29 = mx ±0,39 = i^y 9 Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbeltier -Reste. Von Ernst Stromer, Vorgetragen in der Sitzung am 10. Januar 1920. Über die ursprünglichen Wirbeltiere sind sich völlig wider- sprechende Ansichten geäußert worden. Die herrschende ist, daß es marine, den Knorpelfischen ähnliche Tiere waren, wie es unter den Paläontologen z. B. Kemna 1904, Smith Wood- wai’d (1906) und Deecke (1913) annehmen. Im schroffsten Gegensatz dazu steht die Hypothese von Simroth (1891, S. 340 ff.), der sich der Paläontologe Jäkel zuerst (1896, S. 123 — 126) zwar noch nicht ganz, neuerdings (1911, S. 10/11 und 27/28) aber in allem Wesentlichen anschloß, daß es lungenatmende Landbewohner waren, aus welchen am Boden von Süßwasser- und Küstengewässern lebende Wasserbewohner sich entwickelten, so daß jedenfalls die frei schwimmenden Fische etwas Sekun- däres wären. Gewissermaßen als Kuriosum ist auch die An- sicht'Pattens (1902) und Steinmanns (1908) zu erwähnen, wo- nach die ältesten Wirbeltiere, die Placodermi, Übergangsformen von wasserbewohnenden Arthropoden (Merostomata oder Tri- lobita) zu Fischen seien. Diese merkwürdigen Formen, deren Bau und Stellung heute noch keineswegs klar ist, gaben aber auch noch zu weiteren sich völlig widersprechenden Ansichten Anlaß, indem z. B. Traquair (1898, S. 843 ff.) und Goodrich (1909, S. 66) der herrschenden Meinung entsprechend ihre Hautpanzerplatten durch Verschmelzung von Plakoidschüppchen entstanden sein lassen, während Jäkel (1911, S. 26) umgekehrt einen Zerfall solcher Platten in kleine llautskelett-Teile anninimt. 10 E. Stromer Angesichts solcher Widersprüche und so gewagter Theorien lohnt es sich wohl, einmal kurz das Tatsachenmaterial zu prüfen. Ich kann mich dabei nicht nur auf Literatur stützen, sondern auch auf relativ gutes Material der hiesigen paläontologischen Sammlung, dessen Untersuchung mir in bereitwilligster Weise gestattet wurde. Die ältesten Wirbeltier-Reste kennt man aus dem Untersilur und zwar in Europa aus dem Glaukonitsande von St. Petersburg. Von dort beschrieb nämlich Rohon (1889) winzige kegelförmige Zähnchen aus gewöhnlichem Dentin mit Schmelz ohne Wurzeln (Palaeodus und Archodus), die ihrer Form nach nicht von Elasmobranchiern stammen. Aus Nord- amerika beschrieb dann Walcott aus dem Harding-Sandstein von Canyon City in Colorado Bruchstüeke von Hautpanzer- platten, in welchen Jäkel (in Walcott 1892) echtes Dentin, Vaillant (1902) unzweifelhafte Knochenkörperchen nachweisen konnte (Astraspis und Eriptychius) und welche zu Placodermi und Crossopterygii gerechnet wurden. Außerdem beschrieb Walcott von dort eigentümliche Gebilde (Dictyorhabdus), die er für Chorda-Scheiden von Chimaeridae erklärte. Ich konnte an hiesigem ausreichendem Materiale diese Befunde nachprüfen und kann daraufhin fe.ststellen, daß es sich bei Dictyorhabdus sicher nicht um ein inneres Organ und einen Wirbeltier-Rest handelt, weil die dünne, aber unbiegsame Schale außen eine feine Gitterskulptur zeigt und nicht aus phosphorsaurem, son- dern aus kohlensaurem Kalk besteht, an dem sich in Dünn- schliffen außer deutlicher Schichtung keine feine Struktur nach- weisen läßt. Bezüglich der andern Bruchstücke aber kann ich die Befunde von Walcott und Jäkel nur bestätigen und kann auch gegen die systematische Einreihung nichts Wesent- liches einwenden, nur scheint sie mir auf Grund so kleiner Bruchstücke nicht gesichert. Jäkel (1895, I, S. 162) und Frech (1897, S. 82/83, 232 und 252) bezweifelten aber das untersilurische Alter des Sand- steines von Canyon City, betonten die Ähnlichkeit ihrer un- zweifelhaften Wirbeltier-Reste mit devonischen und des Ge- Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbeltier-Reste. 11 Steines selbst mit devonischem Oldred-Sandsteiu, und sehr auf- fällig ist, daß weder Walcott seine angekündigte genaue Be- schreibung der Reste erscheinen ließ noch einer der zahlreichen Wirbeltier-Paläontologen Nordamerikas diese doch schon durch ihr hohes Alter sehr wichtigen Fossilien genauer untersucht zu haben scheint. Daß es sich aber doch um Untersilur (Trenton- stufe) handelt, dafür kann als Wahrscheinlichkeits-Beweis an- geführt werden, daß Darton (1906, S. 29) in einem unzweifel- haft untersilurischen Sandstein an der Basis des Bighorn-Kalkes der Bighorn-Berge in Wyoming zahlreiche Reste fand, die AValcott mit den Astraspis und Eriptychius-Resten von Canyon City identifizierte, die allerdings noch nicht beschrieben zu sein scheinen; auch scheinen amerikanische Geologen an dem unter- silurischen Alter beider Sandsteine nicht zu zweifeln. Die nächst ältesten Reste von Wirbeltieren kennt man in weitem zeitlichen Abstande aus dem Obersilur, hier aber in viel größerer Vollständigkeit, in stärkerer Mannigfaltigkeit und von viel zahlreicheren Fundorten. Ctenopleuron F. Matthew (1907) von St. John in Neu-Braunschweig allerdings ist meiner Meinung nach ein nicht näher bestimmbares Fossil und die Acanthodi sind zwar schon sehr lange durch isolierte Flossen- stacheln (Onchus) vor allem in Ludlow in England bekannt, aber leider immer noch nicht in Resten, mit denen sich etwas anfangen läßt. Dagegen sind einige Osteostraci und eine ziem- liche Zahl von Heterostraci, also Ostracodermi, von Schottland und der Insel Ösel, letztere auch aus zahlreichen andern Fund- orten Europas und Nordamerikas in verhältnismäßig guten Resten beschrieben^). Ich will mich auf Grund von Literatur- studien und Untersuchung der wenigen hiesigen Reste solcher Formen über diese schon so vielfach behandelten und so ver- schieden beurteilten Formen nicht weiter verbreiten, aber ich muß doch etwas über die Anaspida sagen, deren Reste man bisher nur aus dem Obersilur von Schottland und Kristiania kennt, von letzterem Fundorte leider nur in einer vorläufigen *) I.iteratur diirüber siahe besonclers Traq^uair 1898, S. 860 —62. 12 E. Stromer Mitteilung (Traquair 1898, 1905 und Kiaer 1911). Im Gegen- satz zu der gebräuchlichen Auffassung, die neuestens auch Abel (1919, S. 65 ff.) bringt, möchte ich wie Jäkel (1911, S. 37) oben und unten vertauschen, denn die vermutlichen Kiemen- löcher bei Birkenia und Lasanius liegen bei jener Auffassung dorsal und, was Abel bei Birkenia für eine Orbita hält, viel zu weit ventral') und außerdem scheint mir auf Tafel 40 in Traquair 1905, Fig. 7 deutlich, Fig. 5 schwach die Reste von unteren und oberen wohl nur knorpeligen und verkohlt er- haltenen Wirbelbögen zu zeigen, während in Fig. 6 vielleicht Träger einer Analflosse angedeutet sind. Allerdings würde bei einer solchen Auffassung die Schwanzflosse im Gegensatz zu der aller Fische wie bei Ichthyosaurus eine ausgesprochen hypobatische sein. Die bei einem hiesigen Exemplar von Lasanius sehr scharf abgedrückten 8 Spangen hinter der Kopf- region würde ich für Kiemenspangen halten, die auffälliger Weise fest verknöchert waren. Aus dem Unterdevon kennt man endlich eine viel reichere und besser erhaltene Fauna von Osteostraci, Heterostraci, Anti- archi, Arthrodira, Acanthodi, Dipnoi und Crossopterygii. Un- zweifelhafte Elasmobranchii (Cladoselachii) sind aber merkwür- diger AVeise nur durch wenige Zähnchen von Campbellton in Neu-Braunschweig bekannt, die meisten Wirbeltier-Reste nur aus der Oldred -Fazies Europas und Nordamerikas und nur selten aus marinen Seichtwasserschichten Europas. Erst im Mitteldevon (Oldred) Europas findet sich ein ältester Ange- höriger der Heterocerci und er.st im oberen Devon eine reichere Marinfauna besonders von Arthrodira. Was nun das Vorkommen der ältesten bekannten Wirbeltiere anlangt, so ergibt sich I’olgendes. Der Stamm der AVirbeltiere ist uns zwar später bekannt als die andern ') Befieradlicher Weise vermutet Abel (1919, S. ()8/C9) in einem Flecken vor dieser? Orbita ein Spiraculnm wie bei Elasmobrauchii ; dieses müßte doch hinter ihr liegen. Es ist auch irrig, wenn Abel (1919, S. 67, 68) von ventralen Hautlappen spricht, denn nach den scharfen Abdrücken handelt es sich zweifellos bei Birkenia wie bei Lasanius um fest verkalkte Oebilde, also um Stachelschuppen. Bemevkungen iil>?r dift ält^st^n Bekannten WirBeltier-Reste. 1^' grölseren Tierstiinime, aber es geht nicht an, wie Jäkel (1906) von oberdevonischen Resten als ältesten zu sprechen, denn im Unterdevon und Obersilur sind die Wirbeltiere schon sehr mannigfaltig und weit verbreitet und auch iin Untersilur schon so vertreten, daß selbst diese ältesten bekannten sicher noch ältere Vorläufer haben mußten. Aus dem Kambrium und Silur kennt man keine sicheren Binnenablagerungen und aus dem marinen Kambrium keine, aus dem so gut durchforschten marinen Silur und Unterdevon auffällig wenig Wirbeltier-Reste. Jäkel (1911, S. 26) und aus- führlicher Pompeckj (1913, S. 1146) erklären diese Tatsache damit, daß die ältesten bekannten Wirbeltiere Süßwasser- bewohner waren und nur gelegentlich in Küstenablagerungen eingeschwemmt wurden. In der Tat kann man die silurischen und unterdevonischen Schichten, in denen ihre Reste am besten erhalten und am häufigsten Vorkommen, aus mehreren Gründen für Binnenablagerungen ansehen, während in zweifellos marinen Seichtwasser- Ablagerungen dieser Zeit nur Bruchstücke von Wirbeltieren bekannt sind. Diese Betrachtung gilt aber nur von den weitaus vorherrschenden Formen mit starkem Haut- skelett, das wohl erhaltungsfähig und leicht zu finden ist. Das Innenskelett all der ältesten Wirbeltiere ist jedoch nicht oder nur sehr wenig verkalkt und allermeist sind Zähne nicht vorhanden. Gegenwärtig sind nun öfters nahe Verwandte stark gepanzerter Formen nackt, z. B. manche Welse gegenüber den Panzerwelsen; war es damals ebenso, so sind die Funde der äußerst dürftigen und kaum erhaltungsfähigen Reste solcher nackter und zahnloser Formen nur günstigem Zufall zu danken (Stromer 1912, S. 37). Nackte oder nur mit winzigen Plakoid- schuppen versehene Wirbeltiere ohne Zähne oder nur mit sehr kleinen Zähnchen und mit unverkalktem Innenskelett, also Thelodus ähnliche oder Palaeodus artige Tiere könnten also im marinen Silur und Kambrium nur unserer Aufmerksamkeit entgangen sein, denn solche Reste, wie die w'inzigen von Rohon (1889) beschriebenen untersilurischen Zähne werden nur bei sehr sorgfältigem Suchen gefunden. 1-1 K. Stromer Was (len Bau der bekannten ältesten Wirbeltiere anlangt, so will ich nur einiges hier erörtern. Wie oben er- wähnt, haben sie alle ein kaum oder nicht verkalktes Innen- skelett und der Mangel von Funden dürfte kaum anders zu erklären sein als daß dies für sämtliche älteste Wirbeltiere gilt. Das sogenannte primäre Knochenskelett ist also jeden- falls phylogenetisch jünger als die Hautknochen. Die uns be- kannten ältesten Wirbeltiere haben nämlich fast alle ein un- gewöhnlich starkes, verkalktes Hautskelett mit großen Platten') oder wie die Ana.spida, Thelodus und die Acanthodi ein sehr dichtes oder doch einige stärkere verkalkte Hautskelett-Teile. Jäkel (1911, S. 26) nimmt nun an, daß die großen Haut- skelett-Platten im Laufe der Entwicklung in kleine Teile zer- fallen wären; er brachte aber keinerlei positiven Beweis für diese den herrschenden Anschauungen widersprechende An- sicht, denn von der Aufstellung von Stammbäumen ist noch kaum die Rede und die oben erörterte Wahrscheinlichkeit, daß die ältesten Formen mit schwachem Hautskelett nicht erhalten oder noch nicht gefunden sind, wurde von ihm nicht beachtet. Umgekehrt vermag ich aber auch die von Traquair (1898, S. 843 flf., 1900, S. 465 flf.), Goodrich (1909, S. 195/196) und Kiaer (1911, S. 16) besonders für Heterostraci aufgestellte Ent- wicklungsreihe von fein zu großplattig gepanzerten Formen nicht als streng beweisend anzuerkennen, denn es fehlt der Nachweis der geologischen Altersfolge. Jedenfalls ist ja zu betonen, daß schon im Obersilur Wirbeltiere mit so großen Panzerplatten wie Pteraspis und Tremataspis Vorkommen und daß Panzerplatten auch in Schichten gefunden sind, die höchst wahrscheinlich untersilurisch sind. Vom Standpunkte des Pa- läontologen aus ist also diese Frage noch nicht einwandfrei zu lösen, denn für ihn genügt keineswegs der Nachweis von Formenreihen, sondern er muß als wesentlich die gesetzmäßige Altersfolge der Formen feststellen. Sehr auffällig ist die Seltenheit normaler Zähne aus Pulpo- ') Über deren Struktur siehe u. a. Gebhardt 1907. Beinevkungen über flip ältesten bekannten Wirbeltier- Reste. 1'^» clentin, obgleich Kohon (1889) solche schon im Untersilur nach- gewiesen hat, und von Hailischzähnen (Itevolvergebiß) im Silur (? Monopleurodus Pander) und Unterdevon. In letzterem sind zwar hezahnte Formen häufig (Crossopterygii, Dipnoi, Acan- thodi, auch wenige Cladoselachii und Heterocerci), aber bei den Kegelzähnen der Crossopterygii herrscht die eigentümliche Labyrinthstruktur vor, die sich derartig erst wieder bei ge- wissen Stegocephali im Karbon bis zur Trias wiederfindet, und bei den Dipnoi sind sie zu fächerförmig gestellten Kämmen verschmolzen ^). Andere Formen (Arthrodira) haben nur zahnartig gezackte Kieferränder aus Knochensubstanz, die man nicht wie Jäkel (1919) mit echten Dentinzähnen von Sphenodon usw. gleich- stellen darf.^) Die vorherrschenden ältesten Wirbeltiere sind ganz zahnlos (Anaspida, Heterostraci, Osteostraci, Antiarchi), ia sogar kieferlos, so daß Jäkel (1919) für sie das Vorhanden- sein eines Saugmundes ähnlich dem der rezenten Cyclostomata und Amphibienlarven annimmt. Für Formen mit ausgesprochen quer gestreckter Mundspalte vorn im Panzer wie Drepanaspis, Pteraspis, Tremataspis und die Antiarchi erscheint aber eine derartige Annahme sehr gewagt. Jedenfalls spricht das sehr verschiedene Verhalten in der Ausbildung des Mundes, der Kiefer und der Bezahnung bei den unterdevonischen Wirbel- tieren dafür, daß eine lange, mannigfaltige Entwicklung großen- teils gut erhaltungsfähiger Teile vorangegangen sein muß. Daß es sich hier um eine Konkreszenz von Kegelzähnchen aus Trabekulardentin handelt, dafür hat Peyer (1917, S. 35 ff.) neuerdings Wahrscheinlichkeitsgründe beigebracht. 2) Ihre Unterkiefer sollen nach Jäckel (1919) im Wesentlichen den Splenialia der normalen niederen Wirbeltiere entsprechen. Das wäre insofern nichts ganz Besonderes, als auch bei den jetzt lebenden Lepi- dosirenidae der verknöcherte Unterkiefer fast nur aus den Splenialia besteht. Der von Jäkel (a. a. 0., Fig. 9, S. 84—86) beschriebene Erro- menosteus spricht aber eher dafür, daß es Dentalia sind, da hier zwischen und vor ihnen Stücke in anscheinend normaler Lage erhalten sind, die wohl den Splenialia und einem unpaaren Praedentale entsprechen, die allerdings Jäkel seltsamer Weise als Hyoidea deutet. IG E. Stromer Da sie uns so gut wie unbekannt ist, liegt nabe, anzunehraen, dalä sie mindestens in der Hauptsache in prädevonischen Binnen- gewässern statthatte, deren Ablagerungen wir noch nicht ge- funden haben. Bei den Arthrodira und Antiarchi ist der Panzer des Kopfes und Yorderrumpfes durch eigenartige .seitliche Gelenke verbunden, die Jäkel (1919, S. 96 IF.) mit dem Akt des Mund- öfifnens in Beziehung bringt. Mir scheint aber erstlich der Umstand, daß man bei den Arthrodira fa.st niemals ein Unter- kiefergelenk fand, nur zu beweisen, daß es wohl Avie bei den jetzt lebenden Lepidosirenidae aus unverkalktem Knorpel be- stand. Jene Panzergelenke aber ermöglichten den Boden be- wohnenden Formen wohl nur ein Heben des Kopfes, ähnlich wie die Boden bewohnenden Rochen im Gegensatz zu den frei schwimmenden Fischen ein bewegliches Hinterhauptsgelenk zu dem gleichen Zwecke besitzen. Daß die uns bekannten ältesten Wirbeltiere schlechte Schwimmer und Bodenbewohner waren, wird fast allgemein hervorgehoben (Jäkel 1896, 1911, Dollo 1910, S. 390 — 400, Stromer 1912, S. 45/46, Pompeckj 1913, S. 1147). Ihre Ge- samtforni und die Lage und Ausbildung vieler Organe spricht ja entschieden dafür, wenn auch bei manchen Rekonstruktionen, z. B. von Drepanaspis, nicht beachtet ist, daß die Reste ganz platt gedrückt erhalten sind, also eine zu starke dorso-ventrale Abplattung voi'täuschen. Dem gegenüber hebt aber Kemna (1904, S. 355) und Abel (1919, S. 83) mit Recht hervor, daß der obersilurische Pteraspis eine fusiforme Fischform und keine dorso-ventrale Abplattung zeigt, also wohl ein etwas besserer Schwimmer als die andern Formen war, wenn er sich auch am Boden aufhielt, und Ahel (1919, S. 67) weist weiter darauf hin, daß die seitlich platten Anaspida, deren Hautskelett ja keineswegs stark ist, wohl frei schwimmende Tiere waren. Während wir nun leider die hintere Körperhälfte der Pteras- pidae so gut Avie nicht kennen, ist Avichtig, für die Anaspida hervorzuheben, daß ihr Schwanz nach der oben erörterten Auffassung im Gegensatz zu dem fast aller präkarbonischen Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbeltier-Reste. 17 Wirbeltiere nicht heterocerk oder ein Mittelding zwischen diphycerk und heterocerk, also nicht epibatisch war, sondern ausgesprochen hypobatisch. Bei diesen Formen müßte also die Schwanzbewegung dazu geführt haben, das vordere Körper- ende nach oben zu drehen, während bei den andern Formen, die ihre Nahrung am Boden suchten, das Umgekehrte der Fall war. Wie diese Tiere aber bei ihrem völligen Mangel paariger Extremitäten gesteuert haben sollen, ist kaum zu verstehen. Was im Übrigen die Frage der ältesten paarigen Ex- tremitäten anlangt, so kann ich dazu nichts Neues bringen und muß nur die Tatsache erwähnen, daß keinerlei Übergang zwischen Flossen und Gehfüßen gefunden ist, daß man die ältesten sehr dürftigen Spuren von letzteren erst aus dem Oberdevon kennt, (Broili 1913, S. 51/52) die ältesten gewöhn- lichen brust- und bauchständigen Fischflossen erst aus dem Mitteldevon (Heterocerci) und daß im Devon Archipterygien weitaus vorherrschen. Daneben und zum Teil im Obersilur Anden sich Formen mit anormalen paarigen Fischflossen, die Acanthodi, mit gar nicht vergleichbaren vorderen gelenkigen Organen, die Antiarchi, solche ohne paarige Extremitäten (Ostracodermi), endlich die Arthrodira, bei welchen das Becken im Gegensatz zu dem aller Fische wie bei den Tetrapoda mit der Wirbelsäule in Verbindung steht (Jäkel 1906, S. 111, Stromer 1912, S. 36)^). Dieser Tatsachenbefund scheint mir zwar eine Stütze dafür, daß die gewöhnlichen paarigen Fisch- flossen etwas sekundäres sind d. h. daß sie wohl aus Archip- terygien hervorgingen wie vielfach angenommen wird, aber kaum eine genügende Basis für die Annahme Jäkels (1911, Es ist allerdings zu berücksichtigen, daß von paarigen Flossen mit nackter Haut, Hornstrahlen und unverkalktem Innenskelett sich nur unter besonders günstigen Umständen Abdrücke erhalten können. Es ist speziell bei Arthrodira sehr wahrscheinlich, daß sie paarige Flossen besaßen, bei Anaspida keineswegs ausgeschlossen und nur bei Antiarchi und gewissen Heterostraci und Osteostraci infolge geschlossener Panze- rung nicht möglich, daß Brustflossen vorhanden waren. Sitzungsb. d. matb.-phys. El. Jahrg. 1920. 2 18 K. Strömet S. 11 und 28), »daß die ältesten Wirbeltiere von ursprünglichen Landtieren stammen. Denn wäre das der Fall, so ist kaum verständlich, warum gerade bei den ältesten bekannten Wirbel- tieren die paarigen Extremitäten so schwach verkalkt und noch häufiger überhaupt sehr schwach oder gar nicht aus- gebildet sind. Diese Frage führt schließlich zu der Ei'örterung der Frage nach den Atmungsorganen der ältesten Wirbeltiere. Jäkel (1911, S. 27) geht ja so weit, alle ältesten Fische für Lungenfische zu halten, während Deecke (1913, S. 73 und 87/88) im schroff- sten Gegensätze dazu meint, daß sogar die ältesten Dipnoi keine Lungenatmung hatten, und Kemna (1904, S. 355 ff.) für viele Placodermi das Vorhandensein von Kiemeutaschen an- nimmt. Exakte Beweise fehlen natürlich in Bezug auf die Organe selbst, bei vielen Formen sind aber Reste erhalten, die man für Kiemenöffnungen (Birkenia, Tremataspis) oder Spuren von Kiemenspangen (Lasanius, Thelodus, Tremataspis, Cyathaspis, Acanthodi) halten kann oder muß, und sind normale Kiemendeckel vorhanden (Crossopterygii, Dipnoi). Aber es ist immerhin auffällig, daß im Unterdevon Verwandte jetziger Lungenfische (Dipnoi) oder doch Darmatmer (Crossopterygii) so häufig sind. Daß erstere schon wirkliche Lungenfische waren, dafür möchte ich als Wahrscheinlichkeitsbeweis anführen, daß der unterdevonische Dipterus nach Traquair (1878 S. 9, Taf. 3, Fig. 1) Nasengänge wie der rezente Epiceratodus hatte, was bei reinen Kiemenatmern nicht vorkommt. Es scheint mir dieser Befund aber nur ein weiterer Wahrscheinlichkeitsbeweis dafür, daß diese Form wie ihre Begleiter im Oldred-Sandstein ein Bewohner von Binnengewässern Avar, während mir für die eingangs erwähnte kühne Hypothese Simroths, die Jäkel über- nahm, nichts eindeutig zu sprechen scheint, und sehr viel dagegen. neiiiprkungcn über die ältesten bekannten Wirbeltier-Reste. 19 Literatur- V erzeichnis. Abel: Die Lebensweise der altpaläozoischen Fische. Verh. k. k. zool.- botan. Ges. 1907, S. 158 — 168, Wien 1907. — Die Stämme der Wirbeltiere, S. 65 — 104, Wien 1919. Broili: Unser Wissen über die ältesten Tetrapoden. Fortschr. natur- wiss. Forschung, Bd. 8, S. 51—93, Berlin 1913. Darton: Geology of the Bighorn mountains. ü. St. geol. Survey profess. paper 51, S. 29, Washington 1906. . — Fish remains in Ordovician rocks in Bighorn mountains, Wyo- ming, etc. Bull. geol. Soc. America, Vol. 17, S. 550 — 552 und 563, Rochester 1906. Deecke: Paläontölogische Betrachtungen, IV. Fische. Neues Jahrb. f. Mineral., 1913 II, S. 86—92, Stuttgart 1913. Dollo: La Paleontologie ethologique. Bull. Soc. beige de Geol. Mem. T. 23, S. 390-400, Brüssel 1910. Frech: Lethaea palaeozoica, Bd. II, S. 82—83 und 232, 252, Stutt- gart 1897. Gebhardt: Über das älteste geologisch bekannte Vorkommen von Knochengewebe (Placodermen). Verhandl. anat. Ges., 21. Ver- samml., S. 72—90, 1907. Goodrich: Fishes. Lankaster: A Treatise on Zoology IX, S. 184— 209, London 1909. Jaekel: Referat über Walcott: Preliminary notes etc. 1892 in Neues Jahrb. f. Mineral. 1895 II, S. 162, Stuttgart 1895. — Über die Stammform der Wirbeltiere. Sitz.-Ber. Ges. naturf. Freunde, S. 107 — 129, Berlin 1896. • — Über Coccosteus und die Beurteilung der Placodermen. Ebenda 1902, S. 103—115. . — Einige Beiträge zur Morphologie der ältesten Wirbeltiere. Ebenda 1906, S. 180-189. — Die Wirbeltiere, S. 29—38, Berlin 1911. < — Die Mundbildung der Wirbeltiere. Sitz.-Ber. Ges. naturf. Freunde 1919, S. 73— 110, Berlin 1919. Kemna: Les recents decouvertes de poissons fossiles primitifs. Bull. Soc. beige de Geologie etc., T. 17, Mem. S. 339—382, Brüssel 1904. 2* 20 E. Stromer, lieinerk. flb. d. ältest, bek. Wirbeltier-Reste. Kiaer: A new downtonian fauna in tbe sandstone series of the Kristi- ania area. A preliminary report. Vidensk. Skrifter I, Nr. 7, S. 13—22, Kristiania 1911. Matthew: New genus and new species of silurian fish. Trans. R. Soc. Canada, Ser. 3, Vol. 1, Sect. 4, S. 7 — 12, Ottawa 1907. Patten; On the origin of Vertebrates. Verhandl. V. internat. 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Im zweiten Paragraphen wird die kinematische (Nr. 1) und die statische Bedeutung (Nr. 2) der von Bianchi zuerst für die Untersuchung der infinitesimalen Verbiegungen ver- wendeten „assoziierten Fläche“, auf die Volterra und Blase hke hingewiesen haben, kurz besprochen^). § 3 ist der Lehre von den analytischen Flächenverbiegungen gewidmet. Nr. 1 bringt die bekannten Grundlagen in Erinne- rung und führt zunächst auf die alte Jellettsche Gleichung (9). In Nr. 2 wird auch die Verbiegung zweiter Ordnung auf die Integration einer einzigen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung und Quadraturen — anders als von Lagally®) — zurückgeführt (10) und zur Bestimmung der Verbiegungen dritter Ordnung (11) fortgeschritten. 0 Vgl. hierzu: A. Voss, Abbildung und Abwickelung zweier Flächen aufeinander (Math. Enc. III, D 6a), Nr. 32 (S. 426—432). — W. Blasehke, Kreis und Kugel (Jahresberichte d. D. M. V. 24 (1915), 195—207). *) M. Lagally, Über unendlich kleine isometrische Verbiegungen einer Fläche mit höherer abs erster Annäherung. Math. Ann. 76 (1915), 105—128. 22 H. Liebmann In § 4 wird die Diflferentialgleicliung (12) des Bourschen Problems^), das ist die Aufgabe der Bestimmung der Flächen aus ihrer ersten quadratischen Differeutialform, dem Quadrate des Bogenelementes, zunächst in zwei besondere Formen ge- bracht (13, Nr. 1) und (14, Nr. 2), die zu den gesuchten Ver- allgemeinerungen der Formeln 9 — 11 führen, bzw. sich als besonders geeignet bei Rotationsflächen erweisen. Damit wird die Grundlage für die reJcurrierende Bestim- mung der Verbiegungen aller Ordnungen gefunden (vgl. Formel 16, 17 und 18). Im Anschlulä an (18) werden dann in § 5 Spezialunter- suchungen für die Kugel durchgeführt. Hier sind die Ver- biegungen erster Ordnung (22) durch eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmt (21), deren Lösung auch vom Standpunkt der Fuchsschen Theorie der linearen Differentialgleichungen aus besonderes Interesse bietet (Nr. 1). Es gibt insbesondere unter den infinitesimalen Ver- biegungen der Kugel eine Auswahl derart, daß bei jeder dieser Verbiegungen die Punkte eines bestimmten, als Berandung einer Kalotte vorzustellenden Parallelkreises ebene Bahnen beschreiben und der Rand als ebene Kurve erhalten bleibt (Nr. 2). Wir nennen sie Gleitverhiegungen. Es lassen sich daun leicht Paare isometrischer ebenrandiger Flächenkalotten an geben (Nr. 3). Schließlich wird noch gezeigt, daß auf Grund von (18) nun- mehr die Bestimmung der Verbiegungen zweiter Ordnung bei der Kugel nur noch Quadraturen rationaler Funktionen erfordert. In § 6 wird eine Reihe weiterer Fragen behandelt. Zu- nächst wird die Differentialgleichung der Wein garten sehen „Verschiebungsfunktion“ (p für die infinitesimale Verbiegung einer geschlossenen konvexen Rotationsfläche (25) aufgestellt und diskutiert (Nr. 1). Es ergibt sich, daß infinitesimale Be- wegungen möglich sind, deren Regularitätsgebiet nur einen der beiden Achsenendpunkte ausschließen (Nr. 2). Sodann lassen sich die verschiedenen bisher behandelten „bedingten Ver- ’) Voss, a. a. 0., Nr. 18 (S. 31)5-393). Bedingte Flächenverbiegungen etc. 28 biegungen“ affin übertragen (Nr. 3). Zum Scblufi wird noch ein allgemeiner Satz über Gleitverbiegungen konvexer Flächen- schalen aufgestellt (Nr. 4), der sein Gegenstück in der Lehre von den Polyederverbiegungen hat. 2. Es mag gestattet sein, gleich an dieser Stelle zur Deu- tung einer von Darboux ohne jede nähere Erklärung hin- gestellten Behauptung einen Beitrag zu geben ^). Wie ist wohl die Behauptung®) zu verstehen, dafi die Be- stimmung der Verbiegungen höherer Ordnung, d. h. der .W, 1, 2, . . .), die in den Formeln (2) und (4), § 3, Nr. 1 auftreten, ,nach bekannten Sätzen von Cauchy“ durch Quadraturen geleistet werden kann, sobald die infinitesimalen Verbiegungen rj, ’Q bekannt sind? Die für aufgestellte Differentialgleichung (8) ist linear, aber nicht homogen. Sie wird homogen für Tc = 0, d. h. für die .i- Komponente der infinitesimalen Verbiegung, vgl. (9). Nun zeigt die Anwendung der in der Flächentheorie mit so glänzenden Erfolgen verwendeten Laplaceschen Kaskaden- methode®), daß die unverkürzte, nicht homogene Differential- gleichung (8) mit denselben Hilfsmitteln zu integrieren ist, wie die verkürzte (9). Das inhomogene Glied ist hier als be- kannte Funktion vorauszusetzen, es enthält alle i], C bis zur Ordnung Je — 1. Also kann man in der Tat sagen, daß, wenn nicht nach Cauchy, so doch nach Laplace die Bestimmung der Ver- biegungen höherer Ordnung nur mehr Quadratui-en erfordert, wenn die infinitesimalen Verbiegungen bekannt sind. ■*) Die hier gegebene Erklärung ist das Ergebnis mehrfacher Be- sprechungen mit meinem verehrten Kollegen Lagally. ®) Darboux, Theorie generale des surfaces IV (1896), p. 5. Auch Voss führt diese wichtige Stelle an (a. a. 0., S. 427, Anm. 312). *) A. R. Forsyth, l.ehrbuch der Ditferentialgleichungen, 2. Auf- lage der deutschen Übersetzung (1912), S. 4-52 ff. 24 H. Liebmann Übrigens wird später (§ 5, Nr. 4) die Verbiegung zweiter Ordnung für die Kugel durch Quadraturen geleistet ohne Ver- wendung der Kaskadenmethode. 3. Die ursprüngliche Absicht bei den vorliegenden Unter- suchungen war, in Verfolgung des Zieles, das der Verfasser sich in einer Reihe von Arbeiten gestellt hat, weitere konkrete Fragen der Flächenverbiegung zu lösen, und die in Xr. 1 ge- gebene Übersicht w’eist auf die neuen Ergebnisse hin. Ganz von selbst ergab sich dabei die in § 3 behandelte Frage. Die gegebene Lösung, nämlich die Angabe eines be- stimmten Weges, um z. B. aus C, allein zu finden, ist praktisch sehr gut verwendbar. Eines fehlt dieser Lösung: Die elegante Symmetrie der Weingartenschen und der Lagally sehen Funktion, welche die Verbiegungen erster und zweiter Ordnung bestimmen. Zu diesem Ziel gelangt man vielleicht, w'enn es möglich ist, eine Bemerkung von Blaschkeü nutzbar zu machen, wo nach der von ihm (zuvor von Bianchi) behandelte „Drehriß“, der dort für ein Paar endlich verschiedener isometrischer Flächen untersucht wird, durch geeigneten Grenzübergang sich in den Drehriß der infinitesimalen Verbiegung, also die assoziierte Fläche verwandelt. Hier scheint der Weg zu beginnen, der dazu führt, die Eleganz der für die Verbiegungen der ersten beiden Ordnungen gefundenen Funktionen mit dem Vorzug, den eine allgemein gültige Rekursionsformel besitzt, in vollem Umfang zu vereinigen. Zur wirklichen Berechnung aber hat sich jedenfalls das hier gegebene Verfahren bereits bewährt. § 2. Drehriss und Kräfteplan. 1. Bei jeder infinitesimalen Verbiegung, die dem einzelnen Flächenpunkt F {x, y, z) die Verschiebung ey, erteilt, erleidet das einzelne Flächeneleraent mit dieser Verschiebung W. Blaschke, Über isometrische Flächenpaare (Jahresbericht (1. D. M. V. 22 (1913), 151-183). Bedingte Flächenverbiegungen etc. 25 zugleich eine infinitesimale Drehung ‘), deren Komponenten £ X, eY, eZ durch die Gleichungen di = Yd£' — Zdy, (1) d7] — Zdx — Xds, dC = Xdy — Ydx gegeben sind. Dieses System (1) ist vollkommen äquivalent mit der bekannten Gleichung (1') dx d^ -\- dy drj -\- dz d 'C = Q der infinitesimalen Verbiegung. Die Fläche mit den rechtwinkligen Koordinaten X, Y, Z ist genau die „assoziierte Fläche“ oder der „Drehriß“. Wir wollen hier zeigen, wie man in einfachster Weise die Reziprozitätseigenschaft beweisen kann, d. h. den Satz, daß die Beziehung der Assoziiertheit wechselseitig ist. Die Gleichungen (1), in denen man x, y, s und X, Y, Z durch allgemeine Ga ußsche Koordinaten ausgedrückt zu denken hat, besagen doch, daß auch die rechten Seiten dieser Glei- chungen vollständige Differentiale sein müssen, und dann sind ydZ — zd Y = d{yZ — zY) Ydz — Zdy = di, zdX — xdZ — d(z X — xZ) Zdx — X^^,; = dy, xdY — ydX = d{xY — yX) Xdy — Ydx = d'Q ebenfalls vollständige Differentiale. Es ist also nach (1) oder (1') die Fläche {x, y, ihrerseits assoziiert zur Fläche (X, Y, Z) bei der infinitesimalen Verbiegung y, C. 2. Wir wollen jetzt, zum Teil mit kleiner Abschweifung von dem Wege, den Blaschke a. a. 0. gewählt hat, noch zeigen, daß der Drehiß (X, Y, Z) zugleich als Kräfteplan innerer Spannungen {dX, dY, dZ) der Flächenhaut [x, y, z) gedeutet werden kann. *) Vgl. hierzu außer der bereits angeführten Literatur die Arbeit „Die Verbiegung von geschlossenen und offenen Flächen positiver Kriim- mung“. (Diese Berichte 1919, S. 2G7 — 291.) 26 H. Liebmann Deukt man sich eine biegsame unausdehnbare Flächen- haut (x, y, inneren Spannungen (Tangentialspannungen) unterworfen und dann längs einer geschlossenen Kurve auf- geschnitten, so setzen sich diese Spannungen zu Eleraentar- kräften zusammen — wir wollen sie zunächst mit d X, ^ K, dZ bezeichnen — die in den einzelnen Elementen ds angreifen. Zu jeder Schnittrichtung du: dv gehört eine solche tangen- tiale Spannung. Nun müssen diese Kräfte, die längs einer beliebigen Schnitt- kurve auftreten, die Gleichgewichtsbedingungen der an einem starren Körper angreifenden Kräfte erfüllen, es müssen also die drei Integrale S6X, Jar, J,5z und die drei Integrale S(,jdz-^dY), längs beliebiger geschlossener Kurven genommen, immer gleich Null sein. Demnach sind nicht nur dX = dX, d r= dY, dZ = dZ vollständige Differentiale, sondern auch dL — ydZ~zd Y, dM — z d X — xd Z, d X = xd Y— yd X. Dann sind aber nach Nr. 1 die Flächen (x, y, z) und (X, Y, Z) einander wechselseitig assoziiert. Hiernach kann also jeder Dreluiß einer Flächenhaut zu- gleich als Krüfteplan innerer Spannungen gedeutet werden, und der reziproken Beziehung zwischen zwei assoziierten Flächen entspricht die reziproke Beziehung zwischen einer Flächenhaut und dem Kräfteplan ihrer inneren Spannungen. Diese Reziprozität entspricht der Zuordnung zwischen Fachwerk und Kräfteplan, hat aber bei Flächenhäuten doch einen etwas andern Sinn als bei Systemen von Stäben; denn beim Fach werk fällt die Spannung in die Richtung der Stäbe, während hier die Spannung dX, d Y, dZ zwar innerhalb der Bedingte Flächenverbiegungen etc. 27 Tangentialebene liegt, dagegen nicht in die Richtung des Elementes ds{du,clv), dem sie zugeordnet ist. Zur vollen Einsicht in die Beziehung zwischen {x, tj, s;) und (X, r, Z) darf vielleicht nochmals besonders hervorgehoben werden, dal3 den Unterschieden d\, d Y, dZ dei Ivomponenten der Drehungen, welche die den Punkten Y (x, y, Y) und -j- rfa:, -j- ^ + ds) zugehörigen Flächenelemente er- leiden (den Komponenten der relativen Drehung) die Kom- ponenten d X, d Y, dZ der bpcinnung als gleichweitig zu- geordnet sind, die auf das Element ds = D wirkt. Dagegen unterscheiden sich die Komponenten di;, dg, (Zs der relativen Verschiebung von den Komponenten dL, dJil, dN der Span- nungsmomente um die Differentiale der drei Ortsfunktionen yZ — zY, zX — xZ, xY — yX. § 3, Analytische Flächenverbiegungen ^). 1. Damit die analytisch von dem Parameter e abhängenden Darstellungen a;i = (C -k £ 1 + • • • (2) 2/i = 2/ + £ >? + -}-.•• die Koordinaten einer Schar von Flächen angeben, die zur Fläche {x, y, z) i.sometrisch sind, muß die Identität (3) dx\ -k dy\ -k dz\ — dx' — dif — dz‘^^0 für einen gewissen Wertbereich von e bestehen. Diese Forderung führt auf eine Reihe von Gleichungen, die man in zwei Schritten erhält. Man hat zunächst in (3) die Koeffizienten von £, £^ usw. gleich Null zu setzen. So- dann hat man sich die rechtwinkligen Koordinaten [x, y, .i) der Ausgangsfläche in Gaußschen Koordinaten («, v) dar- gestellt zu denken X = X (u, v), y — y {n, v), z = («, v), b Die Entwickelungen dieses Paragraiihen setzen keine VorUennt- nisse voraus. 28 H. Liebiuann als deren Funktionen auch die >), ^ zu bestimmen sind. Man erhält aus jeder der durch die erste Überlegung gefun- denen Gleichungen also wieder drei weitere, indem man die Koeffizienten von du^, dv^ und dudv gleich Null setzt. In diesem Paragraphen wählen wir für u und v durchweg X und y und erhalten dann unter Verwendung der M unge- sehen Bezeichnungen }), q, r, s, t für die Differentialquotienten vom .3 und im übrigen von Fufimarken (1,2) zur Bezeichnung der Differentiation nach x und y ganz allgemein (4) nf + + i?**’ ^2 + »?I + PC2 + + V = 0. Die Pf*', Q^'‘\ sind aus den Differentialquotienten von .r und allen |, s bis zur (k — 1)*'*" Stufe zusammengesetzt, insbesondere ist pO) = Q^0^ ^ p(0) ^ 0, d. h. zur Bestimmung von ^ der niedrigsten Stufe er- hält man I, = u, '^2 + 5^2 = 0, ^2 + ’/l + ^2 + 2 *^1 ~ Ö- Wir wollen nun zunächst ableiten, daß (4) zur Bestim- mung von auf eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung führt, nach deren Integration zur Bestimmung von und nur noch Quadraturen zu leisten sind. Zu diesem Zweck spalten wir die letzte Gleichung (4) durch Zerlegung auf in (5) wobei -j- q ^ A ~r ' — 'I — l'(k) _j_ y^k) _ Q{k) sein muß. Durch Differentiation erhält man aus der ersten Gleichung (4) und aus der ersten Gleichung (5); Flächenveibiegungon etc. 29 tlk) ■^12 + T’Cff + .eff + pff 0, tW S12 + 2 eff + 5 eff + + V’I = = 0, also (6) ^eff -2 eff + — L^ff — w V’I = = 0. Ebenso erhält man (7) ■rW 2 Ci2 + pff — Fff + m y’2 = - 0. Differenziert man (6) nach y, (7) nach x und addiert, so folgt (8) 2 .9 Ci2 - r Utl - t eff + Pff - C>ff + Pff = 0. Aus dieser Differentialgleichung ist zu bestimmen, sodann aus (6) und (7) und endlich aus (4) und (5) l''“' und »/'‘h Zur Bestimmung von e, und C hat man also z. B. außer (9) re22 — 25^12 H“ = 0 die Gleichungen V'l ~ 2 ^11’ 2’2 P ^22 2 ^*12) %‘i = — i’C'i, ^2 = — 2e, — V’, »?i = — 7>C2 + v’, >;2 = — 2^2- Für die zweiten Differentialquotienten von | erhält man ^12 = Ssi p ^12) ^22 ^ 1 2 ^12 ^/’2 ^ '^1 P ^22 und entsprechend für ’hl ~ ^2 2^11) ^/)2~ ^^2 i^J2' ^22 ^ *^2 2 '5 22 ’ die zweiten Differentialquotienten von | und >; können also durch die von ^ und vollständig ausgedrückt werden. 2. Wir gehen weiter zu den Verbiegungen zweiter Stufe und dritter Stufe Die Ansätze (2) und (3) führen, wenn man den Koeffizienten von gleich Null setzt, auf 2i:dxd^^^^ + = 0. Dies gibt |O)_|_^^(o_^po)_0, + 2 CP’ + = 0; (40 30 11. Liebmann dabei^ist gesetzt \ye^ = I 2- 1,^3 = üm hieraus die Differentialgleichung für zu bilden, braucht man nach (8) noch wofür sich ergibt Die ersten beiden Glieder der Summe werden mit Rück- sicht auf die Formeln am Schluß von Nr. 1 und auf (9): fn I22 — ?i-2 = (rt — S-) CI + p"(Cn C22 — ^12), Vn ^122 - ifu = irt- S^) CI -h 2^ (fn C22 - c?2), SO daß (8) jetzt die Gestalt annimmt r - 2 s C5?2’ + t + (1 -f / + 5^) {Cu C22 - Cl2) +(rf-.r)(Ct + a) = 0. Man braucht also, um C^^^ zu bestimmen, nur C zu kennen (nicht C und f]l). Wir werden (10) später in anderer Form zur Berechnung der Verbiegung zweiter Ordnung für die Kugel heranziehen (§ 5) und besprechen hier nur kurz ein anderes Beispiel. Beim hijperboUschm Paraloloid s = xy, {r — t — 0, s = 1) wird aus (9) erhalten C,2 = 0, also C = f{x)-{-g(y), und auch (10) ist in diesem Falle sofort zu integrieren. Um die Verbiegungen dritter Ordnung zu bestimmen, hat man zunächst in (3) den Koeffizienten von r®, also 2:^dxdC^^^-\-2IdCdC^^'> gleich Null zu setzen. fiedingte Flächenvorliiegungeii fttc. 31 und hieraus erhält man mühelos Daran schließt sich jetzt eine längere, aber durchaus elementare Rechnung, die schließlich auf folgende Differential- gleichung führt: Diese Differentialgleichung ist ähnlich gebaut wie (10): Sie enthält weder rj noch sondern eben nur C und Man kann sich die Mühe ersparen, sie nachzuprüfen, da sie, wie wir sehen werden, auf ganz anderem Wege gewonnen werden kann. § 4. Die rekurrierende Differentialgleichung der analytischen Verbiegungen. 1. Um die allgemeine rekurrierende Differentialgleichun zu finden, welche mit den oder mic 1], rf-^^ • ■ • oder mit C» verbindet, hat man den elementaren Rahmen der Berechnungen von § 3 zu verlassen; man muß vielmehr von der Differentialgleichung des Bourschen Problems ausgehen und sie durch Reihen- entwickelung nach Potenzen von e zergliedern. Wir gehen also davon aus, daß die rechtwinkligen Koor- ' ^dinaten der Fläche mit dem Bogenelement ds^ = E du^ -j- 2 F du dv G dv^ als Funktionen der allgemeinen Gaußschen Flächenkoordi- naten {u, v) die Gleichung erfüllen') (12) b Vgl. Voss, a. a. 0., S. 396, Gleichung (2). -■ aq 32 H. Liel)inanii In (12) ist K das Krümmuugsmaß, ferner , ^_Efl-2FUU-YGf\ EG — F'^ der erste DifFerentialparameter, und auf der linken Seite steht der folgende zweite Differentialparameter ( f Äi fii fh eg — f^' hierin sind die Abkürzungen gebraucht ?;. = /■, .-{‘fjA-j'jj/; = 1,2). Die hier auftretenden Christoffelschen Symbole können aus den Lehrbüchern der Flächen theorie^) entnommen werden. Jetzt ist der einzusclilagende Weg l'tar vorgezeichnet: Ist z. B. z {ii, v) die dritte Koordinate einer Fläche mit dem ge- gebenen Bogenelement, so erfüllt z die Gleichung (12). Man setzt dann f = s (w, v) -h Z{u, v) und erhält für Z eine Differentialgleichung aus (12). Schließ- lich setzt man + + + - • • in diese Gleichung ein und fordert sodann, daß die Koeffi- zienten von f, s^, . . . gleich Null werden. Auf diesem Wese erhält man die Kette der rekurrierenden Differential- o gleichungen für s, usw. Wir wollen die Gleichung für f zunächst aufstellen, aus- gehend von der Form der Flächengleichung z = z{x, y) Dann wird E — l F = pq, G — \ -\r q^, fix — tu r JSl, /j2 = SM, /’22 = /^2 tM, 1) Z. B. Bianchi, Vorlesungen über Differentialgeometrie, 2. Auf- lage der Übersetzung von Lukat (1910), S. 202, 115 und 66. Bodinffte Flacheiiverbiegungen etc. 38 \r = ferner ist K = rt und (1 + + 2T ,, f _ {^^-p^)n~-‘^-pqUU-¥{i + q^)f\ 1 + />3_L.2 + y so daß (12) die Gestalt annimmt (13) Uh - n, - r+^T® Die Bedeutung dieser Gleichung ist also folgende: Gegeben sei die Fläche S = £!{X, tj). Wenn dann die Fläche 0 Zix,y), x, = x+X{x,y), y, = y -{- Y (x, y) isometrisch ist zu ihr, so erfüllen x^ y^ als Funktionen von X und y die Differentialgleichung (13). 2. Wir w^ollen auch den Gang der Rechnung angeben, die auf die Differentialgleichung führt, welche die Biegungs- flächen einer gegebenen Rotationsfläche bestimmt. Ist die Rotationsfläche gegeben durch (14) r ~ so wird X — r cos V , t« J o cos n ä u, s — 0 y — r sin V, - J' 0 sin c/zt, 0 Js* = dw® -j- Zl /■ = _L ZJ Q — Q (?t) , und die Christoffe Ischen Symbole werden Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl. Jabrg. 1920. 3 34 H. Liebniaiin Das Krümmungsmals ist sin u r o und so erhält man schlielslich die Differentialgleichung (15) fuU. ^ , fj^rcosu , .^fifi^QCosu 7u-h +- fl fn q‘ o fl 4- ^(rosiiiK P fl ro' cos«) -}- ^ (ro sin?* — o*cos‘^?t) — »'ßsin« = 0. Die Fufsmarken deuten selbstverständlich die Differen- tiation nach 11 und v an. Der Sinn dieser Differentialgleichung ist also: Damit die Fläche = r cos « -)- X («, v), ?/j = r sin v -j- 1’ («, v), 14 2^ = — J' ^ sin» du Z{u, v) 0 auf die Rotationsfläche (14) abwickelbar ist, müssen (?«, v), y, («, v), 3^ («, v) der Gleichung (15) genügen. Von diesen Staramgleichungen (13) und (15) aus wollen wir jetzt zur Bestimmung der analytischen Verbiegungen fort- schreiten. 3. Das Programm ist in Nr. 1 vollständig entwickelt w'orden; wir schreiten zur Ausführung. Um X (x, y) = {x, y) — 3 {x, y) zu erhalten, hat man in (13) einzusetzen und erhält für Z {x, y) die Gleichung (rZj2 — 2s ^ -2,,) (1 —pZ^ — qZ^) + ( 1 + P* + 2*) (-^11 ^32 — ^li) + ^ — 0- (16) t3c(lingtc Plächcnverbiegungen etc. ^^5 Setzt man hier /j — f (, , so erhält man, indem man den Faktor von s gleich Null setzt, wieder (9) r ^22 — 2 s Ci2 + t Cji = 0. Führt man sodann ein so wird der Faktor von r*: r - 2 s {<;> + t CS1> _ (, t, + 5 y (r f,, _ 2 s + n*„) + (1 +y+ ) (« + {» und man erhält durch Nullsetzen mit Rücksicht auf (9) wieder die Gleichung (10). Die allgemeine Rekursionsgleichung hinzuschreiben, er- übrigt sich wohl; sie würde eine viel unübersichtlichere Form haben, als die Stammgleichung (16), aus der sie jederzeit her- gestellt w^erden kann. Lehrreicher ist es, die Differentialgleichungen für X und Y herzustellen. Setzt man in (13) f=x+X, so erhält man für X die Gleichung: (Xjj Xjg— X12) (1 Y 2*) "(2^(1 + ^i)“l"2 ^2) ^22~2sXj2 -H t X„) + {rt- s*) (2 X, 4- X? X?) = 0, und hieraus z. B. für 2|,(r; — s>) — ;)(r|22 — 2sI,2 + ^I„) = 0. 4. Wir geben nun noch den Gang für die Berechnung der infinitesimalen bzw. analytischen Verbiegungen von Rotations- flächen an, mit Beschränkung auf die .^-Koordinate. Setzt man in (15) ein U f = z Z (m, v) = — J Q sin u dti Z (u, v), , 0 .so kommt 3* m H. Lielmiann f\ {) sin y ^2 ’ fix = —q‘ sintt — o cos« 4- /■,, = /;j = Z22 und als Stainmgleichung zur Bestimmung der s. u'*" . . . demnach: zyj, r sin u cos u -f~ (o cos « + sin «) 4' ( 1 "i" sin^ « (17) — sin u cos u o y y A- 7 7 ^ COS« Z^ Zi%Q j '^11 ■^22 ^12 4” ■^1 ■^11 ^ ^ I o ^2 ^12 ^ COS « . Zi , . . . 4-2 4“ ^(rpsin« — ro cos«) r -f- (r 5 sin M — q"^ cos® «()• Insbesondere erhält man für den Fall der Kugel (0 = 1) die Gleichung sin®« cos« 4- >^22 + sin®«) (18) = Zgj — ZI2 4" sin « cos « 4" 2 cot « 4- sin®« 4- >^2(1 — cot®«). Damit ist für die Bestimmung analytischer Verbiegungen aus der allgemeinen Differentialgleichung (12) nach den ver- schiedensten Seiten hin der Weg gebahnt. Beiläufig bemerkt, es hat wohl großer Mut zur Aufstel- lung dieser Gleichung gehört; ist doch von vorneherein kaum zu erwarten, daß die Aufgabe, drei Funktionen von zwei Ver- änderlichen aus drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zu bestimmen, schließlich auf eine einzige partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung führt. Man hätte viel- mehr auf ein System von Differentialgleichungen höherer Ord- nung zu rechnen, für die gemeinsame Lösungen zu suchen sind. § 5. Die analytischen Verbiegungen der Kugel. 1. Um die infinitesimalen Verbiegungen der Kugel (19) X = sin M cos v, y = sin « sin v, z =■ cos tt zu erhalten, kann man die auf elementarem Weg gefundene Bedingte Flächenverbiegungen etc. 37 Dilferentialgleichung (9) transformieren, indem man sie auf die Form bringt d (m, v) d (u, v) und hier einsetzt = — cos V tang u, z,, = — sin v tang u , ^ ,, cos V ^ sin ü sin v ^ cos v Si '52 ^^ ’ '^1/ I ^2 • • ' cosM Sin M ‘ cosu sinu Einfacher ist es, sich diese Rechenübung zu ersparen und aus der mit Hilfe von (12) gefundenen Gleichung (18) un- mittelbar zu entnehmen: g2 ■- g g2 (18') sin®i(1 + <‘)f„i=0. Wenn wir jetzt eine reguläre Verbiegung des Gebietes betrachten, das den Nordpol (i — 0) enthält, so ist C in Ge- stalt einer trigonometrischen Reihe vorzuschreiben, die nach den Sinus und Cosinus der ganzzahligen Vielfachen von v fortschreitet, wobei die Koeffizienten Funktionen von t sind. Beide Koeffizienten, der von sin li v und cos h v, erfüllen die- selbe Differentialgleichung (21) = 0. Die Fundamentallösungen dieser Gleichung sind ,, 1 -h * + (1 - k) 1 - Ä + (l-b Ä:) 1 + ’ 1 + sie gehen ineinander über, wenn man t mit vertauscht. Das war von vorneherein zu erwarten, denn dieser Vertauschung 38 H. Liebmann entspricht die Vertauschung von Nordpol und Südpol der Kugel ^). Übrigens kommt für die Umgebung des Nordpols, wenn k^2, nur die erste Lösung als regulär in Betracht, die zweite hat für ^ = 0 einen Pol. Für k = 1 erhält man = c sin u , und diese Lösung bedeutet, wie nicht weiter ausgeführt zu werden braucht, eine infinitesimale Bewegung. So erhält man schließlich (22) C (L ^) = Yj (flk coskv bk sin k v) 1 i“ “ als Lösung, deren Regularitätsbereich nur den Südpol (t = co). ausschließt. Die zugehörigen ^ und sind durch Quadraturen zu bestimmen, und zwar entsprechen dem Gliede (23) die Glieder Sk = t'‘- \ -\-k-{-(l—k)f^ 1 + coskv fk+i h = 1) (fc -f- 1) + (k + 1) cos {k — 1) v) Vk = ^ ~~ 1) (^''' + 1) — (/t + 1) sin {k — 1) v). 2. Der für ; gefundene Ausdruck gibt auch Aufschluß über infinitesimale Verbiegungen von bedingtem Charakter, Die Integration von (21) ist die einzige Aufgabe, die außer Quadraturen zu leisten ist, wenn man die analytischen Verbiegungen der Kugel bestimmen will. Die Lösung wurde auf induktivem Wege gefunden; man kann sie aber auch systematisch aus der Fuchs sehen Theorie ableiten. Ich verdanke diese Feststellung meinem verehrten Kollegen Schlesinger, der (21) als ein sehr instruktives Heispiel für eine Reihe von Sätzen dieser Theorie bezeichnet hat. Beding-te Flächenveibiegungen etc. 39 die wir GJeitverbiegungcn nennen wollen*); darunter verstehen Avir Verbiegungen einer Kalotte, wobei der den Rand bildende Parallelkreis als ebene Kurve erhalten bleiben soll. Bei der Untersuchung kann man ohne Einschränkung der Allgemeinheit des Ergebnisses verlangen, daß C längs des Parallelkreises, also für jeden Wert von v, gleich Null werden soll. Das ist insofern keine Spezialisierung, als diese Neben- bedingung immer nachträglich durch Hinzufügen einer in- finitesimalen Bewegung erfüllt werden kann, wenn nur der Parallelkreis eine ebene Kurve bleibt. Ein Blick auf (22) zeigt, daß alle Verbiegungen, die das Geforderte leisten, von der Form (23) sein müssen. Als Randkurven von Kalotten, die mit Erhaltung ebener Berandung verbiegbar sind, treten also nur die durch oder cos M = — 1 : /c gegebenen auf, das sind also , südliche Parallelkreise“, deren Ebenen von der Äquatorebene die Abstände ^ ^ usw. besitzen. u ö Den zunehmenden Werten von 7c entsprechen Parallel- kreise, die den Äquator ^/c = oo , 7 = als Häufung.s- kurve haben, aber die halbe, durch den Äquator begrenzte Kugel- flüche läßt Iceine infinitesimale Gleitverbiegung zu, denn für 7=1 ist 4” nach (22) nur dann identisch Null, wenn alle und gleich Null gewählt werden, und dann liegt eine infinitesimale Bewegung vor. Ob auch endliche stetige Gleitverbiegungen möglich sind, wobei dann nur die angegebenen Kugelkalotten als Objekte solcher Verbiegungen in Betracht kommen, bleibt vorläufig unentschieden. Vgl. diese Berichte (1919), S. 281. 40 H. Liebnmnn 3. Man kann noch eine Folgerung ziehen, ^venn man sich an den bekannten Zusammenhang erinnert, der eine Beziehung zwischen einer infinitesimalen Verbiegung und einem (endlich verschiedenen) isometrischen Flächenpaar herstellt. Es stellen nämlich wegen 2" ((Z (a; + £ |ä))2 = Zdx^ Id H = Z{d{,x — E f*))* die Gleichungen und x2 = x — ECk, y2=y — £Vk, z^ = z — E::k zwei isometrische Flächen dar, die wir uns beide durch die Linie 1 U]( = ji — arc cos ^ , die auf beiden Flächen in der Ebene Z = cos Uk gelegen ist, begrenzt denken. Damit ist die Existenz isome- trischer ebenrandiger, übrigens algebraischer Paare von Flächen- kalotten nachgewiesen. 4. Die Bestimmung der Verbiegungen zweiter Ordnung für die Kugel ist nunmehr auf elementare Rechnungen und Ausführung von Quadraturen rationaler Funktionen zurück- geführt. In der Tat erhält man aus der Stamragleichung (18) unter Verwendung von (22) für jetzt eine Differential- gleichung von der Form (24) 9» HO 9 <•(1 - *•) 3,. + <(1 + 8«» -<•) +(!-<*) /\ (f\ CO = (0 cos hv Bk it) sin h v) , 2 1 3^ 9u» wobei die Koeffizienten rechterhand Summen rationaler Funk- tionen sind. Die rechte Seite ist zunächst aus Produkten und Quadranten trigonometrischer Reihen zusammengesetzt, die nach den Sinus und Cosinus der Vielfachen von v fortschreiten, und Bedingte Flächenverbiegungen etc. 41 es muß also diese Reihe erst richtig geordnet werden. Dabei hat man folgende Regel einzuhalten: In jedem Produkt von der Form -p (Cft cos Jcv d/c sin Ä:i;) * 1 drücke man cosÄ:i; und sin Äz' aus durch e''*' und e“'*'', ordne jeden der beiden Faktoren nach auf- und absteigenden Potenzen von e'" und multipliziere die so geordneten Reihen aus. Das formal gebildete Produkt ist wieder nach auf- und absteigen- den Potenzen von e'" und endlich wieder nach trigonometri- schen Funktionen coshv und sinkv zu ordnen. (24) zerfällt dann, wenn man den Ansatz macht i 6^0 (0 + S (ffk (0 cos kv-}- hk (t) sin k v) 1 wieder in gewöhnliche Differentialgleichungen von der Form 4- ^(l = A,{t) und entsprechende Gleichungen für hk (t). Die Integration dieser Gleichungen erfordert, da die Lö- sungen der verkürzten Gleichung vorliegen, nur Quadraturen. setzt sich dann zusammen aus den mit neuen Koeffi- zienten Oft, bk auszustattenden Lösungen der verkürzten Glei- chungen und den durch Variation der Konstanten nach dem soeben angegebenen Verfahren berechneten „partikulären Lö- sungen“ der unverkürzten Gleichung (24). Dieses partikuläre Integral hat beispielsweise, wenn man von (23) ausgeht, die Gestalt = i fo (i) + Ak (0 cos 2 k V. Es lohnt sich wohl, die hier skizzierte, durchaus elemen- tare Rechnung einmal auszuführen und unter Zugrundelegung von ^2, und weiter zu berechnen; man muß dann Flächen erhalten, die in beträchtlicher Umgebung des Nord- pols gute „Modellgenauigkeit“, d. h. nahezu konstantes Krüm- 42 H. Liebiuann inungsmaiä Eins besitzen, um dann freilich beim Überschreiten des Parallelkreises i = 1/ 3 starke Abweichungen zu erleiden und sich (für t — oc) ins Unendliche zu erstrecken. Noch andere Untersuchungen können daran geknüpft wer- den, z. B. wäre es von Interesse, festzustellen, ob man auf diesem Wege vielleicht Flächen mit ebenen Krümmungslinien erhalten kann, die dann starke Annäherung an die Enneper- schen Flächen aufweisen würden. 1? 6. Verbiegungen konvexer Rotationsflächen und anderer konvexer Flächen. 1. Wir haben bisher von der Verwendung der Wein- garteuschen Funktion (p abgesehen. Jetzt werden wir zur Bestimmung der infinitesimalen Verbiegungen konvexer ge- schlossener Rotationsflächen von ihr Gebrauch machen aus einem bald (am Schluß von Nr. 2) näher zu erläuternden Grund. Bedient man sich derselben Flächenkoordinaten ii, v wie in (§ 4) nämlich der sphärischen Koordinaten (Poldistanz und Länge) des bei der Abbildung durch parallele Normalen ent- stehenden sphärischen Bildes X = sin u cos V, }' = sin u sin v, Z — cos u , dann wirdü D = — p, 1)‘ = 0, 1)“ = — rsinw, und die Differentialgleichung für 9? wird (25) sin u {>■ 9Pj, -f- p cos i< 1-2 s - j = ;>j , und ebenso S -2 ^ ~ Xi ‘ (Nebenbei bemerkt, folgt aus diesen beiden Gleichungen - einerseits wieder (9), anderseits die partielle Differentialglei- chung für X und damit für 9", freilich in spezieller Gestalt, weil X und y, nicht die allgemeinen Flächenkoordinaten u und v als unabhängige Veränderliche gewählt sind.) Man erhält dann aus •( 1 + sin® u sm ti cos u dj d U -|- (g costt -p g' sin ii) dK Sw® = 0 gegeben ist. Für die allgemeine Untersuchung dieser Gleichung nämlich der größte Parallelkreis («f = cos «« = 0 wäre ^ ein Hindernis, eine Schranke, über die erst die Weingartensche Funktion hinweghilft. 3. In diesen Zusammenhang gehört noch die Bemerkung, daß nicht nur die „angebohrte“ Kugel, sondern auch die mit einer beliebig kleinen Öffnung versehene Ellipsoidfläche infini- tesimale Verbiegungen zu lassen. Dasselbe gilt für die zu konvexen Rotationsflächen affinen Flächen, wenn man zuvor das einer Polkappe entsprechende Stück ausgeschnitten hat. Alle diese Sätze folgen sofort aus dem bekannten Umstand, daß die Grundgleichung der infinitesimalen Verbiegung, nämlich (1') dx -j- d)/ = 0 bei den kontragi'edienten linearen Substitutionen a: = «„ a:, a,j tjj -f -1 ^'n ^21 ^ ^31 ^ ■16 H. Licbiuarin unverändert bleibt, womit dann jede reguläre infinitesimale Verbiegung einer Fläche zugleich entsprechende Verbiegungen für affine Flächen an die Hand gibt. In diesem Sinne führt dann z. B. § 5, Nr. 3 durch An- wendung von Affinität auf die Konstruktion von Ellipsoid- kalotten, die Gleit Verbiegungen zu lassen. So erhält denn der Bestand an verbiegbaren Flächenstücken einen beträchtlichen Zuwachs — doch wird es noch mancher Untersuchungen bedürfen, bis die analytische Begründung dem nachkommt, was für die Anschauung als Gewißheit bezeichnet werden kann^). 4. Wir wollen noch ein letztes Beispiel bedingter infini- tesimaler Verbiegung behandeln, nämlich allgemein die Gleit- verbiegung konvexer Flächenkalotten in Angriff nehmen. Dabei wollen wir die Fragestellung noch etwas verall- gemeinern: Wir suchen nach einfachen Eigenschaften der Kurven, längs deren eine Komponente der infinitesimalen Verschiebung, z. B. J:, gleich Null ist. (Ist eine solche Nullhirvc eben, dann liegt eine Gleitverbiegung vor.) Uber die Nullkurven gibt nun die Differentialgleichung (9) in sehr allgemeiner Weise Aufschluß. Entwickelt man ^ nach Potenzen von {x — x^), (y—yo), wobei x^, ein Punkt der Fläche ist, in dem r, s, t die Werte haben mögen, so kommt aus (9) für die Glieder niedrigster Ordnung die Differentialgleichung Dabei ist unter Voraussetzung der Konvexität r^t^— sl> 0, daher indefinit und C (<^o’ Vf) extremer Wert. Im Regularitätsgebiet, wo die Entwickelung konvergiert, hat also s kein Maximum und kein Minimum. *) Es ist zu erwarten, daß jede Eifläche, aus der ein beliebig kleines Stück herausgeschnitten ist, verbogen werden kann. llodinfTte Flächen verliiegun}?en etc. •17 Dieses Gebiet kann so gewälilt worden: Ein beliebiger Punkt 0 der Fläche wird zum Koordinaten- anfang gewählt und die Tangentialebene daselbst als ajy-Ebene; es reicht dann bis zu den Punkten der Fläche, in denen die Tangentialebene zur .$^-Achse, d. h. der Normale in 0 parallel ist. Es ergibt sich also, daß die Komponente der infinitesi- malen Verschiebung in einer bestimmten Richtung ihre Ex- treme nicht erreichen kann diesseits der Eigenschattengrenze, die bei Beleuchtung parallel zu dieser Richtung auftritt. kann nicht längs einer innerhalb dieser Grenze gelegenen geschlos- senen Kurve gleich Null sein, ohne daß die Verbiegung in eine Bewegung ausartet. Dagegen kann ; gleich Null werden längs einer geschlossenen Kurve, die im Eigenschattengebiet liegt. Doch kennt man Einzelheiten hierüber nicht, abgesehen von den Gleitverbiegungen für Kugel und Ellipsoid, die wir im Laufe unserer Untersuchungen kennen gelernt haben (§ 5, Nr. 2 und § 6, Nr. 3). Durch Anwendung des schon in § 5, Nr. 3 gebrauchten Verfahrens lassen sich noch weitere Schlüsse ziehen*). Zwei isometrische Flächenkalotten, deren Ränder in derselben Ebene liegen , führen zur Konstruktion einer infinitesimalen Gleit- verbiegung der „Mittelfläche“, d. h. des Ortes des Mittelpunkts der Verbindungsstrecken entsprechender Punktepaare. Aus dem soeben für infinitesimale Gleitverbiegungen bewiesenen Satze folgt also : Eine Flächenkalotte durchweg positiver Krümmung, deren hei der Ahhildung durch parallele Normalen erhaltenes sphäri- sches Bild innerhalb eines Hauptkreises der Kugel liegt, läßt keine endliche stetige Gleitverbiegung zu. Dieser Satz hat sein Gegenstück in der Lehi’e von den Polyederdeformationen. Ein Polyederdeckel, das heißt eine von ebenem, offenem Rand begrenzte konvexe Polyederhaube {S), die in Verbindung mit dem Spiegelbild {S‘) an der Ebene der *) Vgl. diese Berichte (1919), S. 282 — 284. 48 H. Liebaiann, Betlingt« t’liichenverliiegungen etc. liandkurve ein geschlossenes konvexes Polyder (S + S") bildet, kann auch keine „Gleitverbiegung“ zulassen, bei der das offene Randpolygon eben bleibt; denn hieraus würde, in Widerspruch zum Cauchyschen Polyedersatz, die Deformation von (S -j- S‘) folgen. 4!) Über Potentialtheorie und konforme Abbildung. Von (jcorg Faber. Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 7. Februar 1920. Die folgenden Ausführungen gelten einem Kreis von Fragen und Aufgaben, der in den letzten Jahren vielfach und von verschiedenen Seiten erforscht wurde. Doch genügt es zur Herstellung des Zusammenhangs, wenn ich hier auf die unten angeführten Abhandlungen hin weise ^). § I. Die Robinsche Belegung und die Näherungslemniskaten einer geschlossenen Kurve. Die Punkte einer Ebene bezeichne ich in der bekannten Weise mit x — ^ ir] und insbesondere die einer geschlos- senen Kurve F mit a; = | + ij/. F soll sich selbst nicht über- kreuzen, darf aber ganz oder zum Teil auf ein (doppelt zu zählendes) Bogen- oder Geradenstück zusammenschrumpfen. Es gibt bekanntlich auf F eine Belegungsfunktion fx (x), die folgende Eigenschaften besitzt : Das logarithmische Potential 1) dx ') L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Berliner Sitzungsberichte, Bd. 38 (1916), S. 940 — 955. — G. Pick, Über den Koebeschen Verzerrungssatz. Leipziger Berichte, Bd. 68 (1916), S. 58 bis 64. — K. Löwner, Extremumsätze bei der konformen Abbildung. Math. Zeitschrift, Bd. 3 (1919), S. 65-77. Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. Jabrg. 1920. 4 50 G. Faber ist konstant auf F, etwa =lnQ, wo ^ > 0; ferner gilt 2) ^ II {x)\dx =1 ■^r und 3) n (a;) ^ 0. ,u (x) findet man bekanntlich mittels des Robinschen Ver- fahrens'); Q möge die Robinsche Konstante der Kurve F heihen, nötigenfalls schreiben wir statt q deutlicher q (F). Für alle x irgend eines Gebietes außerhalb F kann man das Integral (1) näher ungs weise durch eine Summe 4) iik (s , >;) = fi^ln'x — x^ \ + fi^ln x — x^ -)-••• + iJihln\x — Xk darstellen, wobei die fii noch die Gleichung 5) /* 0 ge- nügend klein ist, beliebig wenig von der Kurve F. Durch die Gleichung s = lim [(x — a:,)’'’ • {x — x^Y^ — ► ac l Vu-lH (x — Xfc)’*] ') S. z. B. Enzykl. d. math. Wiss. II 3, S. 233. 9) über Potentialtheoi'ie und konforme Abbildu 51 ng. mit der die w*® Wurzel eindeutig machenden Nebenbedingung 10) lim ^ = 1 a:— f CO ^ wird das Äußere Fa der Kurve F auf das Äußere des Kreises \z = Q konform abgebildet. In der Umgebung der Stelle X = 00 kann man für (9) auch schreiben : 11) ^ = ^ + + | + während die Umkehrung von (9) durch die für alle |^ >• o konvergierende Potenzreihe 12) x = z + a,i- 5 + • • • geleistet wird. Der Punkt x = — Cq = ist offenbar der Schwerpunkt der Robinschen Belegung, während die übrigen Koeffizienten von den höheren Momenten dieser Belegung abhängen ; für die Koeffizienten der Entwickelung 13) dlnz 1 , , a + 3 + dx X x^ X* ergeben sich aus (9) die Formeln: 14) - ^ x*' {X (x) \ dx\ US w. + 1' § 2. Zusammenhang mit dem Cauchyschen Integralsatz. Es verlohnt sich, den Zusammenhang zwischen Potential- theorie und Funktionentheorie noch von einer anderen Seite her zu beleuchten. Wir gehen daher von der Formel (9) aus, die wir kurz so schreiben: 15) z — cp{x). Durch diese Funktion wird also das Außengebiet Fa auf das Äußere des Kreises = p abgebildet; daher ist (p{x) in F„ von Null verschieden und regulär bis auf einen Pol im 4» 52 G. Faber Punkte 00. Ist nun irgend ein Punkt im Innern^) von T\ (X) so wird ln in Fa regulär; man wähle dabei etwa den X — Xj ° Zweig der Funktion ln (p{x) X — X, . der für x = oo verschwindet. Nach dem Cauchyschen Integralsatz erhält man 16) ln (p(x) X — X 1 f , w [x) dx = ln = — = J .T i J X — X. X — ; + /’ ‘ und nach partieller Integration : 1 r f {x) (p{x) 'dx\ ' dx = i [arcus weil \cp{x)^ konstant \dx\ dx — Q auf r, ln \ 1 die Reihe also auch 28) “l _L ^ _L z ^ z^^ . 1 und T,j. Nun sei F“ eine aus F durch ähnliche Vergrößerung entstehende Kurve, die ganz außerhalb der F umschließenden Lemniskate L, deren Gleichung (8) ist, verläuft. Das Ver- größerungsverhältnis sei (1 -p »;) : 1 ; dabei darf angenommen werden, daß rj mit e beliebig klein wird. Dann folgt aus der Ungleichung T„(r") > T„(iy) > XniF) und aus den Gleichungen TniF“) = (1 -|- };) T„(r), Z„ (Z) = ß 4- £ : 31) lim r„ = Q . «-►00 Ferner erkennt man: es sind alle 32) T„ > Q ; wäre nämlich t„^71, so nimmt der Betrag jedes Polynoms der Form 34) rC" -p x”“* * 4" ^'n -2 4* • • • “P ^0 auf r einen Maximalwert > r" an, außer wenn das Polynom gleich (a: — o)" und F ein Kreis um a vom Radius r ist. Dem Satze (33) kann man den folgenden gegenüberstellen: II. Wenn F kein Kreis ist, so ist der Umfang von F'>27io. Denn 1 dx + 1' ]Z =(, Z = 0 1 dx z dz dz = 2 nQ\ das Zeichen = gilt hier überall nur dann, wenn x = z ist. Für besondere Kurven kann man viel genauere Aussagen machen als die des Satzes I, z. B. gilt für eine Ellipse 4 niit den Halbachsen a, h\ 2” = (a -p 5)” -p (a — 6)”; ferner für einen doppelt zählenden Kreisbogen vom Radius r und vom Zentriwinkel (< 2?t): t„ > p = r sin i?, dagegen für das Ge- biet, das aus dem Innern zweier einander rechtwinkelig schnei- dender Kreise der Radien rj, r, besteht, t„ > p = l/r* -p rj. § 4. Koeffizientenabschätzung bei konformer Abbildung. Verzerrungssätze ^). Neben den Tschebyscheffschen Polynomen Tn{x) be- trachten wir andere 35) L„ {x) = a:» -P ' 4 P , *) Vgl. meine Abhandlung im 150. Bande des Crelleschen Journals, S. 84-86. *) Wenn auch die in diesem Paragraphen bewiesenen Sätze nur zum geringsten Teil neu sind (vgl. die S. 1 angeführten Abhandlungen und zwar deren erste zu Satz II, III, IV, die zweite zu Satz IX, XI, die dritte zu Satz V, VI, X), so scheint mir doch das Beweisverfahren neu und mitteilenswert zu sein. über Potentiallheorie und konforme Abbildung. 57 deren Nullstellen alle auf F liegen und deren Betrag auf F einen möglichst kleinen Maximalwert y” (> t") annimmt. Aus (8), (31) folgt sofort: 36) lim Q. n-*“ oo Den durch Gleichung (36) formulierten Satz kann man auch so aussprechen: Das logarithmische Potential einer stetigen von der Robinschen verschiedenen Belegung, welches der Bedingung (2) genügt, nimmt auf der belegten Kurve Feinen Maximalwert an, der >lnQ{F) ist; man kann hinzufügen : und einen Minimal wert <.ln q (F) (vgl. S. 98/99 meiner S. 56 angeführten Abhandlung). Aus Gleichung (36) ergibt sich auch ein sehr einfacher Beweis des folgenden Satzes^): I. Wenn es innerhalb oder auf F zwei Punkte P,, Pj mit der Entfernung P, Pg = 4 gibt, und wenn F nicht aus der doppelt zählenden Strecke P^ be- steht, so ist Q (F) > 1. Es möge vorausgesetzt werden, daß die beiden Punkte Pj, Pj auf F liegen, daß ihre Entfernung gleich 4 sei und daß es auf F keine zwei Punkte mit größerer Entfernung von einander gibt. Die doppelt zählende Strecke P, Pg soll F‘ heißen; a;,, • • • Xk sollen die gleiche Bedeutung wie in (4) haben. Die Behauptung lautet dann 37) Qin>Qini= 1). Zum Beweise projiziere man die Punkte x^, x^, • ■ • Xk als x\, X2, • • • x'k senkreckt auf P'; ferner sei x irgend ein weiterer Punkt von F, x' seine Projektion auf F‘. Dann gilt, falls F als nicht mit F* identisch vorausgesetzt wird, mit beliebigen ') Ich benutze diese Gelegenheit, um einen sinnstörenden Druck- fehler in einer dem gleichen Satze gewidmeten Note (diese Berichte 1916, S. 39) zu verbessern: in Gleichung (1) daselbst ist der Faktor aj durch 1 zu ersetzen. 58 G. Faber positiven ganzzahligen Exponenten i',, v^, ■ ■ ■ r*, sofern nur die Xi dicht genug auf F liegen: 38) x — x^ '' \x — x.^ ''*••• |:r — Xu > 'x' — x[ ’’*••• x' — xi- j’’*, das heilst 39) Da p (/ ') = 1 ist, folgt aus (36), (39): 40) Q{n>J- Man sieht aber unmittelbar ein, daß hier das Zeichen = nicht gelten kann, weil einerseits die Robinsche Belegung von r nur an Ausnahmestellen Null und andrerseits die Länge von r größer als die von F' ist^). Mit ganz ähnlichen Überlegungen läßt sich auch folgender Satz beweisen : JI. Hat die Robinsche Belegung einer Kurve [ ihren Schwerpunkt im Nullpunkt und ist q (F) = 1, oder (was dasselbe heißt): wird durch 41) ^ = das Gebiet \z^ > 1 auf das Außere F^ einer Kurve F der x-Ebene abgebildet, so liegt F völlig innerhalb des Kreisgebietes jxj<2, außer wenn F aus einer doppelt zählenden im Nullpunkt halbierten Strecke der Länge 4 besteht. Beweis: Es sei p (7^) = 1 und der Schwerpunkt der Robinschen Belegung sei der Nullpunkt. Auf dem Kreise X — Je liege der Punkt P von P; außerhalb aber dieses Kreises gebe es keine Punkte von F. Für die von F ab- 1) Man kann, indem man auch die Belegungen fi(x)\dx\ von F auf r' projiziert, auch .so schließen: Der Maximalwert des Potentials — — j /I nß 1 ^ 1.1 (x) ln X — x‘\\—^\\äx‘\ auf P ist einerseits w p (P") andrerseits /’■ 'dx‘\ q {F'} = 1. über Potentialtheorie und konforme Abbildung. 59 hängige Zahl li gibt es nach dem vorigen Satze eine obere Grenze g 4) und auf Grund bekannter Überlegungen ersieht man, daß es Kurven F gibt, für die h = g ist. Es werde also angenommen, daß OP = g ist. Bestünde nun F nicht aus einer doppelt zählenden Strecke, so würde man die Bo bin - sehe Belegung fi{x) dx jedes Bogenelements von F samt diesem Element auf die Strecke OP und ihre Verlängerung über 0 hinaus senkrecht projizieren; man würde so auf einer Strecke QP eine der Bedingung (2) genügende Belegung er- halten, deren Schwerpunkt der Nullpunkt ist und deren logarith- misches Potential auf QP einen Maximalwert • 1 abgebildet wird, würde auf ihrer Begrenzung einen Punkt P‘ enthalten, dessen Entfernung OP' von 0>g wäre, was der Voraussetzung, g sei die obere Grenze solcher Entfernungen, widerspricht. Aus dem bewie- senen Satze ergibt sich ohne weiteres der folgende: III. Bildet die Funktion (12) das Gebiet \z\ > 1 schlicht ab und ergibt sich für keinen dieser ^•-Werte a: = 0, so ist |ao'<2; das Zeichen = gilt nur, wenn das Bild des Kreises \z\ = 1 eine doppelt zählende Strecke der Länge 4 ist, deren einer Endpunkt der Punkt X — 0 ist. Und hieraus mittels der Substitution 42) V = z IV. Bildet die Funktion 43) « = V -}- «2 4" • ■ • das Gebiet V| < 1 schlicht ab, so ist |«,!<2; das Zeichen = gilt nur, wenn das Bild des Kreises \v' = 1 60 G. Faber ein doppelt zählender Strahl ist, der die Verlänge- rung eines Halbmessers des Kreises ',u\ = | bildet. Genau mit den nämlichen Überlegungen wie den Satz II beweist man folgende Verallgemeinerung: V. Bildet die Funktion (41) das Gebiet > 1 schlicht ab, so liegt das Bild des Kreises = q (> 1) ganz innerhalb des Kreises \x\ = g ^ und berührt diesen nun, falls das Bild des Kreises \z\ = 1 eine doppelt zählende Strecke der Länge 4 ist. Hieraus folgt weiter: VI. Bildet die Funktion (12) das Gebiet \z\ > 1 schlicht ab und ergibt sich für keinen dieser ^r-Werte a; = 0, so gilt für alle Bildpunkte x des Kreises \z\ = g (> 1) : ja;| ^ 2 -f- p + wobei das Zeichen = nur in dem bei Satz HI erwähnten Ausnahmefall gilt. VH. Bildet die Funktion (43) das Gebiet |v| 1 schlicht abbilde mit /),, Fq- die Bilder der Kreise '':Z\ = g (^ 1) und ' z\^ — q' > Qi so gibt es offenbar eine untere Grenze h (p, g') für das Minimum der Entfernung zweier Punkte P, P', von denen der eine auf P^, der andere auf liegt, und diese untere Grenze ist ein er- reichbares Minimum. Es werde also angenommen, daß P auf Pp, P' auf Pp' liege und daß die Entfernung PP' = h{g, g') sei. Auf die Halbgerade P'P oo projiziere man mittels Kreis- bögen um P' die Bogenelemente dx der Kurve F (= F^) samt ihren Rob in sehen Belegungen n(x) dx\. Man erhält so auf einer Strecke h‘ eine der Bedingung (2) genügende Be- über Potentialtheorie und konforme Abbildunpf. (;i legung, deren Potential iv ?;) = / nix) dx dx‘ ln \x — x‘ \dx‘ , in P' den nämlichen Wert Ing' annimmt wie das ursprüng- liche Potential u ?;) (1) der Belegung von P; dagegen ist, falls r als nicht aus einer doppelt zählenden Strecke der Länge 4 bestehend vorausgesetzt wird, im Punkte P : w (|, »;) < u v) — dann für die Punkte x der Strecke PP': ln X — x' im allgemeinen < und niemals > ln\x — x\ ist. Es gibt somit zwischen P und P' einen (von P und P' ver- schiedenen) Punkt P", an dem tv{i,r]) = lnQ wird. Nun ist für alle Punkte der Strecke h‘ offenbar ?^) < l, denn der Maximalwert des Potentials w auf h‘ ist kleiner als der konstante Wert 1 des Potentials u auf P, wieder weil im all- gemeinen ln x — x“ \ schlicht ab, so haben die Bilder der Kurven \z\ = q (> 1) und = überall einen Abstand > p' -p — — Q — ^ und — (wie man wegen V hinzufügen kann). Über das Gleichheitszeichen gilt das bei Satz V Bemerkte. ') In einem Doppelpunkt einer Kurve w (f, >]) — konst. erleidet nämlich ein Massenpunkt keine Anziehung durch die auf /«' verteilte Masse (wenn die anziehende Kraft umgekehrt proportional der Entfer- nung angenommen wird). Somit können außerhalb der Strecke h' und um so mehr im Gebiete w (f, ij) > 1 keine Doppelpunkte von Kurven ’t' (f, v) — konst. liegen. 62 G Faber Insbesondere ergibt sich hieraus für g = 1 nach der Trans- formation (42): IX. In Satz VII kann ohne sonstige Änderung die Aussage '« > f d urch |w| - ersetzt werden. Aus VIII folgt weiter für lim q‘ = g: X. Bildet die Funktion (12) das Gebiet > 1 schlicht ab, so gilt für alle Is = o (> 1): > >1 Ferner mit Rück.sicht auf VII: XI. Bildet die Funktion (43) dasGebiet|V|< l schlicht ab, so gilt für alle Ivl = o (< 1) : I > t' ^ ■ § 5. Die Blasiusschen Formeln und der Kutta- Joukowskysche Satz^). Da ein Teil der vorausgehenden Ansätze für die Theorie des Flugs wichtig geworden sind, möge zum Schluß noch eine, wie mir scheint, besonders einfache Ableitung der Blasius- schen Formeln und des Kutta- Joukowskyschen Satzes Platz finden. Ein unendlich langer Kreiszylinder, dessen Grundkreis in der komplexen .s'-Ebene die Gleichung z \ = g haben möge, werde in einer Flüssigkeitsströmung festgehalten, die in allen Parallel -Ebenen zur .e’- Ebene die nämliche ist und die im Unendlichen den Charakter einer Parallelströmung unter dem Winkel — a gegen die reelle Achse hat. Dann ist das Ge- schwindigkeits-Potential gleich dem Realteil der folgenden Funktion^) (p “ T i e‘°z -{ j — y^lnz\ (ii ist der Betrag der Geschwindigkeit im Unendlichen, J die Vgl. für das folgende v. Mises, Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt 1917, Heft 21/22. Vgl. Lamb, Hydrodynamik, Leipzig 1907, S. 92. über Potentialtheorie und konforme Abbildung. 63 Konstante der Zirkulation um den Zylinder). Ersetzt man nun den kreisförmigen Querschnitt durch einen anderen i’ (in der a; = I -{- i»;- Ebene), ohne sonst an den Bedingungen der Auf- gabe etwas zu ändern, so hat man als Geschwindigkeits- potential den Realteil tP (i, tf) der Funktion 45) F {x) = f{s(.x)) = ^ (I, j;) -f- i >/) zu wählen, wobei ^ {x) die Funktion (12) ist. Der Druck, der von der Strömung auf das Zylinderstück, das sich über dem Bogenelement ds des Profils F erhebt, ausgeübt wird, hat nach dem Bernoullischen Theorem die Komponenten : ö fdFY d (dd>Y in der ^-Richtung: — ( - 1 cos(w, ^) rZs = — I — ) di] , '1 \d S J \ d S J V- 2 = - (5 ist die Dichte der Flüssigkeit. Bezeichnet man mit Ps, F,) die Komponenten der von der Flüssigkeit auf den Zylinder ausgeübten Gesamtkraft und mit M deren Moment bezüglich des Nullpunkts, so erhält man P„-hiPf = 46) da ja -if( 3'/' 3!?\* dW _dF ds dn ist. Nun ist ds‘^ — {d^ idif) {dt — idi}), also 47) = + /■ Multipliziert man unter den Integralzeichen in (46) und (47) noch mit ^ ij;, so ergibt sich ebenso 48) +/■ 64 G. Faber, Über Potentialtheorie u. konf. Abbildung. (47) und (48) sind die beiden Blasiusschen Formeln^). Führt man in (47) die Veränderliche z mittels (11) ein, so findet man : 49) P,, + i Pj = (nach dem Ca uchy sehen Integralsatz); das ist der Kutta- Jouko wskysche Satz. *) Zeitschr. für Math. u. Phys., Bd. 58 (1910), S. 93 und 96. 65 Die elementare Theorie der analytischen Funktionen und die komplexe Integration. Von Adolf Kneser in Breslau. Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 7. Februar 1920. Weierstraß hat in seinen Vorlesungen die Theorie der analytischen Funktionen entwickelt, ohne von der Integration im komplexen Gebiet Gebrauch zu machen; indem er die Potenz- reihe als Grundelement der Untersuchung nimmt, führt er die Funktionentheorie zum großen Teil in eine Art algebraischer Analysis über. Dabei gehen als Preis für die Reinheit der Methode die bedeutenden Vorteile verloren, die die komplexe Integration als Hilfsmittel der Untersuchung und des Beweises darbietet, und zwar nicht nur bei der Anwendung, sondern auch in der allgemeinen Theorie. Berechtigt und naheliegend erscheint daher die Frage, ob man die komplexe Integration irgendwie der Weierstraßischen Funktionentheorie einordnen kann, ohne deren Charakter zu zerstören. Diese Frage wird besonders dadurch nahegelegt, daß es in der Vorlesung von Weierstraß eine Stelle gibt, an der wohl jeder Mathematiker ein Ersatzmittel für die komplexe Integration erblicken wird, nämlich beim Beweis des Satzes, daß die Koeffizienten einer Potenzreihe ip (a;) = a^x a.^x^ ■ die Ungleichung ° ° Un 0, ~ = c = r{p qi), r>0, p* -f g* = 1. Sei ferner ^ = -j- 1 » wenn q'> 0; sonst sei e = — 1 ; jede Quadratwurzel werde positiv verstanden. Wir definieren dann zwei Größenreihen durch folgende Gleichungen: weiter sei ni eine ganze Zahl und m > 1 ; wir definieren dann allgemein Pm + l |/ 2 ’ y 2 ■ Ist nun zunächst c eine reelle positive Größe, so ist all- gemein P = l, ? = 0, Pi = p,„ = 1, qi = qm = 0. Werke, Bd. 2, S. 235. Brief an Herrn Schwarz aus dem Jahre 1875. Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 69 Von diesem Falle abgesehen gelten folgende unmittelbar ersichtliche Beziehungen : 0 (i>m + l + + = Pm + igm, {Pm + iqmf”' = P + q.i- Setzen wir ferner . qm i'm so ist immer (2) /^m ^ qm und gelten die Beziehungen 2pm + \ 2qmA-i Pm-\-\ ?m ( Pm , 2 Pm Pm^l Pm + l l+Pi (3) 2 Pm + 1 Pm • Die drei Ungleichungen (1), (2), (3) ergeben nun, wenn s eine positive ganze Zahl ist, Pm ^ 2^ Pm-l-s ^ ^ Q.m^ 2® 2m +s 2® 2m4-s + l ? 2®Pm4-s ^ 2® "b ; von den Größenreihen 2”'2m und 2'"pm nimmt also bei wach- senden Werten von m die erste beständig zu, die zweite be- ständig ab; die Glieder beider Reihen hleiben dabei zwischen positiven Schranken. Es existieren also die positiven Grenzwerte lim 2”” 2m = A, lim 2”'pm = A‘; daraus folgt weiter (4) lim 2»i = 0 , lim Pm — 1 , lim = 1 , und die letzte dieser Gleichungen ergibt, da Ä und A' posi- tiv sind, A 4 1 70 A. Kneser Wir bezeichnen diesen Grenzwert auch durch A{p, g); da die Größen 2'" q,„ mit m wachsen, gilt noch die Beziehung (5) 2“ q„, < A (p, q). Setzen wir jetzt n = 2"\ n ^ so ist V r durch >n^fach wiederholte Quadratwurzelziehung zu gewinnen; nehmen wir, wie festgesetzt, jede Quadratwurzel n positiv, so ist auch Vr positiv. Da ferner nach unseren Vor- aussetzungen r = l-i-p, Ö^O und allgemein die Beziehungen gelten, so ergibt sich durch wiederholte Quadratwurzelziehung also V r < 1 4- p n ’ lim y r = 1. n = 00 Dieses Ergebnis führt in V erbindung mit den Gleichungen (4), wenn man »I y = yr{p,n 4- iq,n) = Vc setzt, zu der Folgerung (6) lim y = 1 sowie zu der Einsicht, daß auch in dem Sonderfalle = 1, q = 0, c = r dieselbe Gleichung gilt. Wir benutzen die erhaltenen Ergebnisse, um die Grenz- werte einiger Summen zu bestimmen, die mit den Größen' (7) Xy = Xf, y\ Xo = a, x„ = b gebildet sind; wir beschränken uns dabei auf die Sonderfalle p = 1 und r = 1, d. h. die Fälle, daß das Verhältnis b : a reell und positiv oder dem absoluten Betrage nach = 1 sei. Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 71 n _ ^ Sei erstens ^ = 1, also y = Yr und größer als Eins; wir bilden die Summe (8) 0, n-l 0,n-l ^ IdJv + l — a:,; = ;a ^ — 1) = |a|(7" — 1) = h\ — |a: = \b — a\. Sei zweitens r = 1, y\ = 1 und y von Eins verschieden; dann finden wir: 0, n— 1 0, n— 1 X) l^v+1 — Xy = a\ \y''\ \y — 1 = n\a y — 1\. Nun ist n{y — l) = 2”* {p,n — 1) + 2"* g™ t; dabei ist nach unsern Definitionen 2m 1 Pm ^ 1- Pin j 2"' (1 — Pm) < , lim 2"'qm = Ä (jp, q) ; ^ tw GO also folgt lim 2'”(1 —Pm) = 0, und weiter (9) lim n{y — 1) = iÄ{p, q), also endlich, da A eine positive Größe ist, o,«-i lim ^ \Xy + i — Xy\= aA{p,q); m = oo V die Ungleichung (5) gibt noch (10) 0, »— 1 X; l^v+i— ä;v!< a\A{p,q). Für eben diesen Fallr=l, ^<(1 läßt sich auch der Grenzwert der Summe 0, n — I ^ Y 0,« — 1 yV + \ yV S = S , - = »()■- 1) Xy T y sofort angeben; die Gleichung (9) gibt A. Kneser 12 (11) 0, «— 1 ^ liu, S m =z CO V Endlich bilden wir noch, unter h eine positive ganze Zahl verstehend, den Grenzwert der Summe 0, « — 1 iXy+X—Xy)xl V und zwar bei beliebigen Werten des Quotienten h'.a, d. h. gleichviel, welchen von Null verschiedenen Wert die Größe y hat; wir finden aus den Gleichungen (7) 0, n— 1 0,n — I ^n(fc-l-l) 1 V V y ^ — X jk+i _ «fc+i (12) 1 + 7 + 7*H h f Nun gilt die Gleichung (6) allgemein; also folgt 0, n-l lim Xj (^^ + 1 — Xy)x’‘ = in =r 00 V 7c "l" I Diese Rechnung wird von Dirichlet benutzt, um das bestimmte Integral einer Potenz aus dem Begriff des Integrals als Grenzwertes einer Summe herzuleiten, ohne Rückgang auf das unbestimmte Integral^). § 2. Abschätzung der Integrale von Polynomen und Potenzreihen. Die Gleichung (12) ergibt unmittelbar, wenn 0, s P (X) = üy X" V ein beliebiges Polynom, c eine Konstante ist und gesetzt wird. 0, S ^ T*' “f“ ^ V V -f- 1 (13) 0, *1 - 1 QQ>) — Q{(i) = lim 1) (Xy+i — Xy)P{x,). m CO V Vorlesungen über bestimmte Integrale, herausgegeben von Arendt, S. 19 (Braunschweig 1904). Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 73 Diese Formel gilt ebenso allgemein wie die Gleichung (12) und gibt den Zusammenhang zwischen unbestimmter und be- stimmter Integration eines Polynoms, wobei von a bis b längs einer logarithmischen Spirale integriert wird, die aber auch in eine Gerade oder einen Kreis ausarten kann. Nehmen wir an, das Verhältnis b : a sei reell und positiv, so ist auch y reell, und die Punkte Xy liegen in der Ebene der komplexen Zahlen auf der geraden Strecke, die a und b verbindet. Alsdann gilt die Gleichung (8), und wenn auf der bezeichneten Strecke die Ungleichung (14) \P(x)\<(j besteht, so folgt (15) b-a y. Die Voraussetzung, die bisher gilt, daß die Punkte 0, a, 6 in dieser Folge auf einer Geraden liegen, kann aber fallen gelassen werden. Denn setzen wir mit einer beliebigen Kon- stanten $ etwa x = i-j-x, F(x) = F(x), Q(x)=Q(x), b = i b, a = i-j-a, so ist F(x) ein ebenso allgemeines Polynom wie F{x); in der aj-Ebene gilt die Ungleichung F{x) \ <(j auf der geraden Strecke, die die Punkte a und b verbindet, die aber nicht mehr durch den Punkt a; = 0 zu gehen braucht, und da offenbar b — a = b — a ist, so folgt aus der Ungleichung (15) \Q{b) — Q\ay < \b — a y. Damit ist die Ungleichung (15) in dem bezeichneten all- gemeineren Sinne bewiesen; sie gilt bei beliebiger Lage der Stellen a und b, wenn auf der Verbindungsstrecke derselben die Voraussetzung (14) gilt, und die Form des Ergebnisses 74 A. Kneser zeigt, daß es gleichgültig ist, welche der Größen a\ und die größere ist oder ob beide gleich sind. Jetzt sei P{x) bei verschiedenen Werten der Gradzahl s ein Abschnitt der Potenzreihe {x) — ^ttyX'' = F (a;) + (x) ; V sei ferner 0(a;) = c + 2: + S{xy, die Reihen und seien regulär und also gleichmäßig kon- vergent auf dem Gebiete (16) ' X < r, dem auch die Werte a und h angehören mögen; auf der ge- raden Strecke, die a und h verbindet, sei g5(a;) '+1 — ^>' I • V Hat die Integrationslinie S eine Länge l, und liegt sie im Gebiet ®, so ist jedenfalls 0, fc-l Xi 1 V + 1 Cy I %• und das erhaltene Ergebnis kann in die gewöhnliche Form <=k ^f(x)dx '- M'4' * . ‘ :IVV»üUA^ jjii. tvF. ||i^^ Tfvilß 1^ • • - •n>'3Tf-' 4f:'-. wifi^'.'rV's^.'^ftC 4»^* ^s^iTyifipt-.wrw^-i *■ ’’.. V '■* , F , '-■■= ... ?*. gi ■ 4f'. _• .- .■ • ..<* Mu- • ..- -I ;. , ,i- ÄV»W;vV' ^- ■ .■ •,. A;- , - A-T> , a ■• •> •' ••' ' ^'4‘ ■ -V- -W ■Äii»' ■5> Tm V* > r •: •■ . ^ e , -'^535 . ' rV • '^ ’*'■ "% '‘- '"-xip: ; : ■ i *%, .Iä .'Täjj». I - i’f; f IS» A »• > ' *■ ':. ji*' vn fö^’i i:4jHip^ / . SW /..y \:^ ■ ^ SM iiü^t i-j« t >'“ 83 Revision des Atomgewichtes des Wismuths. Analyse des Wismnthchlorids. Von 0. Hönigschmid und L. Birckenbach. Vorgelegt in der Sitzung am 6. März 1920. Der heute gütige internationale Wert für das Atomgewicht des Wismuths beträgt Bi = 208,0. Er basiert auf den Resul- taten der Bestimmungen dieser Konstante, die in der zweiten Hälfte des vorigen und im Anfänge dieses Jahrhunderts von Schneider^), Marignac* *) sowie Gutbier®) und seinen Schülern aus- geführt wurden und die alle in vorzüglicher Übereinstimmung zu dem angegebenen Werte führten. Nur A. T. Classen^ hatte eine höhere Zahl gefunden, nämlich Bi = 208,9, die aber keine weitere Beachtung fand. Das Atomgewicht des Wismuths schien so sicher gestellt, daß B. Brauner in seiner kritischen Besprechung der Bestimmungen dieses Atomgewichtes nur eine Unsicherheit von höchstens einigen Einheiten der ersten Dezimale für mög- lich erklärt. Wir haben eine Revision dieses Atomgewichtes vorgenom- men, um eine Methode auszuarbeiten, die es gestattet in zu- verlässiger Weise und mit höchst erreichbarer Genauigkeit diese Konstante zu bestimmen, da es möglicherweise ein in wägbarer Schneider, Pogg. Anal. 82, 303 (1851); Joum. f. prakt. Ch. 50, 461 (1894). *) Marignac, Oeuvres Completes, II, 713 (1883). ®) Gutbier, Journ, f. prakt. Ch. 77, 457 (1908), 78, 409 (1908), 78, 421 (1908). «) Clasaen, Ber. 23, 938 (1890). 6‘ 84 0. Hönigschmid und L. Birckenbach Menge faßbares Isotop des Wismuths gibt, das beim radio- aktiven Zerfall des Thoriums entsteht und welches ein Atom- gewicht von 208,1 haben müßte. Die bisher beim Wismuth angewandten Atomgewichts -Bestimmungsmethoden würden es nicht gestatten, kleine, vielleicht nur eine Einheit der ersten Dezimale betragende Unterschiede im Atomgewicht festzustellen, da die Analysenserien all der genannten Forscher Differenzen aufweisen, die mehrere Einheiten der ersten Dezimale betragen. Wir wählten die Analyse des Chlorids und Bromids des Wismuths, da diese Methode jedenfalls eine viel größere Ge- nauigkeit garantiert, als die anderen bisher hiezu angewandten Bestimmungsmethoden. Über die bis heute bei der Analyse des Chlorids erzielten Ei'gebnisse soll im nachstehenden kurz berichtet werden. Als Ausgangsmaterial diente metallisches Wismuth, das nach den kombinierten Methoden von Schneider und Mylius gereinigt worden war. Das Chlorid wurde durch Erhitzen des Metalls in reinem, trockenen Chlorstrom dargestellt und zwar in dem von dem einen von uns konstruierten und bereits früher beschriebenen Quarzapparate, der es ermöglicht, das für jede einzelne Analyse benötigte Chlorid in absolut trockenem Chlor- strom darzustellen, es nochmals in trockenem Stickstoff in ein gewogenes Quarzröhrchen zu sublimieren, darin zu schmelzen und es schließlich in trockenem Luftstrom, ohne es an die Außenluft zu bringen, in ein Wägeglas einzuschließen, in dem es zuverlässig gewogen werden kann. Das Chlorid wurde in 1000 cc ca. 3 n-Salpetersäure gelöst und das Chlorion mit einer verdünnten Silbernitratlösung gefällt, wodurch das Volumen der Lösung auf ca. 2500 cc gebracht wurde, so daß sich das gefällte Silberchlorid schließlich in einer ca. 1,25 n-Salpetersäurelösung befand. Es wurde sowohl das Verhältnis Bi Clg : 3 Ag CI auf gravi- metrischem Wege, wie auch das Verhältnis Bi Clg : 3 Ag mittels gravimetrischer Titration mit Hilfe des Nephelometers bestimmt. Alle Wägungen, die mit Gegengewichten ausgeführt wurden, sind auf den luftleeren Raum reduziert. Revision des Atomgewiclites des Wismuths. 85 Die benötigten Reagentien wurden nach den wiederholt beschriebenen Methoden, wie sie von T. W. Richards und seiner Schule ausgearbeitet wurden, sorgfältigst gereinigt. Die ausgeführten Analysen ergaben die in den folgenden Tabellen wiedergegebenen Resultate. Die für Wismuth be- rechneten Atomgewichtswerte sind auf die Basis Ag = 107,88 und CI = 35,457 bezogen. Die in der I. Serie angeführten Analysen dienten dem Studium der Methode und der vorläufigen Ermittlung des angenäherten Atomgewichtes, dessen Kenntnis zur Ausführung der Titrationen notwendig war. I. (vorläufige) Serie. Verhältnis Bi Clj : 3 Ag CI. Nr. d. Anal. Gew.d.BiClai.Vak. Gew. d. Ag CI i. Vak. At. Gew. V. Bi. 1 4,85149 6,61496 209,004 2 3,48635 4,75395 208,980 3 5,49146 7,48790 208,990 4 3,81905 5,20711 209,011 5 3,77792 5,15091 209,019 Mittel . . . 209,001 II. (End-) Serie. Verhältnis Bi CI3: 3Ag. Nr. d. Anal. Gew. d. Bi CI3 i. Vak. A. Gew. d. Ag i. Vak. At. Gew. V. Bi. 6 3,29899 3,38522 209,025 . 7 3,54337 3,63594 209,029 8 4,74133 4,86523 209,027 9 2,64024 2,70934 209,015 10 4,49482 4,61203 209,044 11 5,19919 5,33506 209,026 15 4,99478 5,12542 209,019 16 5,29291 5,43129 209,023 17 4,62990 4,75076 209,035 Mittel . . . 209,027 86 0. Hönigschmid u. L. Birckenbach, Rev. d. Atomgewichtes etc. Verhältnis Bi CI3 : 3 Ag CI. Nr. d. Anal. Gew. d. Bi CI3 i. Vak. Gew. d. AgCl i. Vak. At. Gew. V. Bi. 6 a 3,29899 4,49789 209,022 7a 3,54337 4,83067 209,048 8 a 4,74433 6,46455 209,014 9 a 2,64024 3,59956 209,037 10a 4,49482 6,12841 209,016 11a 5,19919 7,08896 209,008 12 4,36226 5,94742 209,029 13 4,42255 6,02960 209,030 14 4,82574 6,57976 209,008 Mittel . . . 209,024 Auf Grund der Resultate dieser 18 Bestimmungen der Endserie ergibt sich somit als Mittel für das Atomgewicht des Wismuths der Wert Bi = 209,026 mit einer mittleren Ab- weichung vom Mittel von ± 0,009. Die gute Übereinstimmung zwischen den Resultaten der gravimetrischen Bestimmungen und den Titrationen zeigt jedenfalls, daß die Bestimmungen durch die notwendigerweise angewandte hohe Säurekonzentration nicht ungünstig beeinflußt werden und andererseits auch kein basisches Wismuthsalz mit dem Silberchlorid niedergeschlagen wird. Wir betrachten heute die Zahl 209,026 als das wahr- scheinlichste Atomgewicht des Wismuths. Dieser Wert ist um eine ganze Einheit, d. h. um 0,5 °/o höher als der inter- national angenommene, stimmt aber nahe überein mit dem seinerzeit von Classen ermittelten und wird überdies gestützt durch einige Analysen des Wismuthbromids, die uns bisher als Mittel Bi = 209,034 ergaben. Diese Untersuchung, die fortgesetzt wird, wurde mit Unterstützung der Bayerischen Akademie der Wissenschaften ausgeführt. 87 Untersuchungen über das Sternsystem. Von H. Seeliger. Vorgelegt in der Sitzung am 6. März 1920. 1. Im Jahre 1898^) habe ich die Formeln aufgestellt, welche den Zusammenhang zwischen der scheinbaren Verteilung der Sterne und ihrer räumlichen herstellen. Betrachtet man als feststellbare Daten die Anzahlen der Sterne verschiedener Hellig- keit und ihre mittleren Entfernungen oder Parallaxen, so ent- stehen vier Integralgleichungen zur Bestimmung jener Funk- tionen, welche die wesentlichen Eigenschaften unseres Stern- systems bestimmen. Ich habe das hiedurch charakterisierte Verfahren als „statistische Methode“ bezeichnet (I, S. 6). Spätere Autoren haben diese Bezeichnung in „Stellarstatistik“ umge- ändert und diese Benennung für das ganze Gebiet scheint sich immer mehr einzubürgern. Eine Erweiterung meiner Ansätze, die in I nur angedeutet war, habe ich dann in II durchgeführt, indem der Einfluß einer 1) Meine im folgenden verwendeten Abhandlungen werde ich mit den Nummern 1 bis IV bezeichnen. 1. Betrachtungen über die räumliche Verteilung der Sterne. Ab- handlungen d. Ak. d. W. München 1898. II. Unter dem gleichen Titel. Ebenda 1909. III. Über die räumliche Verteilung der Sterne im schematischen Stern- system. Sitzungsber. München 1911. IV. Über die räumliche und scheinbare Verteilung der Sterne. Ebenda 1912. 88 H. Seeliger etwaigen Absorption des Sternlichts berücksichtigt wurde. In den vier Integralgleichungen kommen als zu bestimmende Funk- tionen vor: und D, welche die Extinktion und die räum- liche Verteilungsdichte der Sterne bestimmen und als Funk- tionen des Ortes zu betrachten sind, ferner die „Häufigkeits- funktion 9? (i) der absoluten Leuchtkräfte“ und eine gewisse Maximalhelligkeit H. Diese Größen haben mehrfache Proben als überall vom Ort unabhängig erwiesen. Dadurch und durch eine verhältnismäßig leicht bestimmbare Sterngröße n ist die Entfernung der Grenze des Sternsystems vom Sonnensystem gegeben. Es sind also drei Funktionen und eine Größe H zu bestimmen und es bleiben noch Kontrollen für die Zulässig- keit der gemachten Annahmen übrig. Jedenfalls ist das Haupt- problem der Stellarstatistik auf ein allerdings verwickeltes Problem der Theorie der Integralgleichungen zurückgeführt. Seine Auflösung kann indessen durch speziellere Ansätze, da es sich um eine exakte Darstellung von Daten mit sehr be- schränkter Genauigkeit nicht handeln kann, genügend durch numerische Rechnungen bewältigt werden. Übrigens war es bisher ausreichend oder mußte als ausreichend angesehen wer- den, von der jedenfalls geringen Extinktion im allgemeinen abzusehen. Meine Ansätze gingen von der Wahrnehmung aus, daß für die helleren Sterne die Differenz log — log wo Am die Gesamtzahl der Sterne auf einem bestimmten Himmelsareale und zwar von den hellsten bis zu denen von der Größe m ist, so nahe konstant ist, daß eine systematische Veränderlichkeit mit m nicht mit Sicherheit festgestellt werden kann. Ich bin zu dieser Erkenntnis gelangt auf Grund der recht umständlichen Bearbeitung meiner vor vielen Jahren aus- geführten Abzählungen der in der Bonner D. M. enthaltenen Sterne, was damals (1884) das einzige zuverlässige Material war. Erst Jahrzehnte später erschien die Potsdamer Durch- musterung (P. D.), welche die Größen aller Sterne am nörd- lichen Himmel bis etwa zur Größe 7 enthält und an Zuver- lässigkeit und Sicherheit zweifellos alle andern Arbeiten ähn- licher Tendenz übertrifft. Es ist deshalb wichtig, wie ich Untersuchungen über das Sternsystem. 89 schon früher getan habe, darauf hinzuweisen, daß die bemerkte Tatsache durch die P. D. vollständig bestätigt wird. Die fol- gende kleine Tabelle für die Gesamtheit der Sterne gibt dar- über Rechenschaft. m P.D. log A m loga log A m 2.5 1.462 0.255 273 241 271 1.546 3.5 1.973 2.072 4.0 2.246 2.334 4.5 2.487 2.593 5.0 2.758 2.851 5.5 3.029 271 248 238 261 3.106 6.0 3.277 3.360 6.5 3.515 3.612 7.0 3.776 3.861 log a 0.263 0.262 0.259 0.258 0.255 0.254 0.252 0.249 Sch. — P. D. 0.084 99 88 106 93 77 83 97 85 Nicht viel anders gestalten sich die Vergleichungen in den einzelnen Milchstraßzonen. Aber die Differenz Sch. — P. D. zeigt nicht unerhebliche Verschiedenheiten. So ist sie z. B. für die Milchstraße um rund 0.03 größer, was vielleicht auf die Verschiedenheit der Sternfülle auf der nördlichen und südlichen Halbkugel zurückzuführen ist. Aber es könnten auch andere Umstände mitgewirkt haben, deren weitere Unter- suchung nicht ohne Interesse und Wichtigkeit wäre. Die Potsdamer Werte von log .4,,, lassen wohl kaum die leiseste Andeutung eines systematischen Ganges von loga er- kennen. Unter Sch. sind neuere auf photographischem Wege gewonnene Werte angeführt. Hier tritt eine Verkleinerung der log a mit zunehmendem ni hervor und zwar in einer Deut- lichkeit, die aufs schroffste der Genauigkeit widerspricht, welche die einzelnen Werte darbieten können, wie auch die Gegen- überstellung der an sich zweifellos viel genaueren Werte P. D. zeigt. Dieses merkwürdige Vorkommnis ist vollständig und nur dadurch erklärbar, daß die direkten Resultate der Ab- zählungen eine Art Ausgleichung durch Kurvenzeichnungen erhalten haben, die von bedeutender Willkür nicht frei sein 90 H. Seeliger kann und eine deutlich erkennbare Regelmäßigkeit vortäuscht, die trotzdem gar nicht vorhanden zu sein braucht. Ich habe schon öfters vor solchen Täuschungen durch Ausgleichungen gewarnt, die gerade bei dem vorliegenden Problem geradezu gefährlich werden können. Jedenfalls geben die Sterne bis zur Größe 7.0 die Berechtigung zur Annahme, daß log a konstant angenommen werden darf. Ob und wieweit über diesen Bezirk hinaus diese Eigenschaft besteht, ließ sich nicht mit unverminderter Sicherheit feststellen, da sowohl das in meinen früheren Rechnungen benutzte, von der D. M. dar- gebotene Material, als auch die benutzten photometrischen An- gaben der Harvard-Revision nicht die genügende Genauigkeit darboten, sobald man Sterne von erheblich geringerer Hellig- keit als von der 8. Größe heranzog. Doch war dies nicht von erheblicher prinzipieller Bedeutung, da es sich nur um den Ausgangspunkt handelte, demzufolge loga meist sehr nahe konstant anzunehmen ist und dann von einem gewissen Werte von m an zuerst langsamer, dann schneller abnimmt. Dieser Ausgangspunkt wurde auch von mir selbst korrigiert und es ist sehr merkwürdig, daß man in ziemlich leichtfertiger Kritik diese Sachlage übersehen konnte. Die gemachte An- nahme über das Verhalten der log a war zu schließen aus den Resultaten aus den von mir bearbeiteten Herschelschen „Eichungen“, die damals fast das einzige brauchbare Material darboten. Ein in jedem Falle brauchbarer Ansatz schien es zu sein, wenn angenommen wird, daß bis zu einem näher zu bestimmenden ni — n genähert log a konstant bleibt und für größere m ziemlich schnell abnimmt. Es lag nahe, ehe diese Annahme korrigiert wurde, sie als genau erfüllt anzusehen und daraus die Konsequenzen zu ziehen, zumal dies überaus leicht geschehen konnte. Es war also für m <.n genau ;.-3 ^ A - (0 log j4.tn C • htn » wo h,„ die zur Größe m gehörende Helligkeit ist und für m > n war diese Gleichung sicher nicht gültig. Die Zahlen Ä,» Untersuchungen über das Sternsystem. 91 sind also nicht durch dieselbe analytische Formel darstellbar und zwei verschiedene Formeln werden bei m = n Zusammen- stößen. Interpretiert man diese als sicher vorausgesetzte Tat- sache in einfachster und in gewissem Sinne allein zulässiger Weise, so läßt sich strenge beweisen, daß die räumliche Dichtigkeit A (r) der Sternverteilung eindeutig bestimmt ist durch die Formel: A(;r) = yr~^. (2) Diese Formel führt aber zu Konsequenzen, die mit den mehr oder weniger sicher und zwar aus den Apexbewegungen der Sterne bestimmten mittleren Parallaxen Jim für die ein- zelnen Sterngrößen im Widerspruch stehen. Dieser Wider- spruch ließ sich aber (III) heben, wenn man die Ausgangs- annahme korrigiert. Es stellte sich dann heraus, daß der doch im allgemeinen besonders interessierende Verlauf von A (r) sehr nahe durch eine Formel von derselben Gestalt wie (2) dargestellt wird und nur für einige Siriusweiten kaum über- schreitende Werte von r eine wesentliche Veränderung er- zeugende Korrektur zu erhalten hat, daß also der Verlauf der m. Parallaxen der helleren Sterne hauptsächlich infolge der veränderten Werte A für kleine r von der aus (2) folgenden Formel jim = c • iim merkbare Abweichungen zeigt. Übrigens habe ich in einer späteren gelegentlichen Bemerkung ü gezeigt, wie man wenigstens in speziellen Fällen die Korrektur der Funktion A (r) auch so vornehmen kann, daß man die Formel (2) allgemein gelten läßt, aber annimmt, daß r nicht von der Sonne, sondern von einem Punkte an zählt, der um einige Siriusweiten von ihr entfernt liegt. Daraus folgt schon die im Sinne allgemeiner Betrachtungen sehr wenig erhebliche Bedeutung dieser Korrektur. Durch die ausgeführten Betrachtungen war gezeigt, daß die Formel (2) im großen und ganzen den wahren Verhält- nissen genähert entspricht und zwar war dieses Resultat fast 9 Bemerkungen über das schematische Sternsystem. A. N., Nr. 4801. 92 H. Seeliger ohne Rechnung mühelos zu erreichen und das war doch immer- hin ein Fortschritt, da man vorher auch nicht einmal eine ganz ungefähre Angabe über den Verlauf von zJ machen konnte. Die Konstante / ist überall ein positiver echter Bruch, dessen Wert von der gallaktischen Breite abhängt und da am Himmel selbstverständlich nirgends beliebig große Helligkeiten Vorkommen, folgt — zunächst unter der Annahme einer nicht zu großen Extinktion — die endliche Begrenzung unseres Sternsystems. Die oben erwähnte Interpretation bestand in der Annahme, daß die Leuchtkräfte i einen endlichen Wert H nicht überschreiten können oder vielmehr, daß für i> H, cp (i) als unmerklich angenommen werden darf. Man kann diese Annahme, wie später gezeigt werden wird, verallgemeinern, indem man der Funktion cp (i) bei i = H einen starken Abfall oder direkt eine ünstetigkeit zuteilt. Man kann diese An- nahme weiterhin durch plausible Erwägungen bekräftigen, was hier nicht näher erörtert werden soll. Dagegen muß als ganz verfehlt angesehen werden, aus einer kleinen Zahl von Sternen, bei denen man aus rein hypothetischen Gründen von vorne- herein eine besonders große Leuchtkraft anzunehmen sich be- rechtigt fühlen mag, zu folgern, daß die Annahme eines end- lichen M unzutreffend sei. Die genannte Interpretation bietet die Möglichkeit dar, die räumliche Ausdehnung des Sternsystems zu bestimmen, ein Vorhaben, das sonst nur durch ganz vage und willkürliche Annahmen bisher ab und zu versucht wurde. Denn eine direkte Folge dieser Interpretation ist das Auftreten einer Unstetigkeit in den zweiten oder höheren Diflferentialquotienten von Ä,„, wie ich schon in I (S. 41) gezeigt habe. Umgekehrt ist eine solche Unstetigkeit kaum anders zu erklären als durch Un- stetigkeiten im Verlaufe von cp (i), wie der analytische Aus- _ druck für Ä„, ergibt. Zur Zeit meiner früheren Arbeiten war es nicht möglich, aus dem Verlaufe von Am etwas direkt nach- zuweisen, was wie eine Unstetigkeit bei m etwa gleich 9 — 10 zu betrachten ist. In den letzten Jahren sind nun ausführliche Ermittlungen über den Verlauf von A,,, und zwar bis zu Untersuchungen über das Sternsystem. 93 beträchtlichen Werten von m entstanden. Wenn auch die gewonnenen Resultate voraussichtlich noch bedeutende Korrek- turen erfahren werden, so ist doch auf den ersten Blick zu sehen, daß in der Tat für Werte von m = n, wie sie ungefähr zu erwarten waren, heftige Störungen in den offenbar künstlich ausgeglichenen Resten auftreten, die doch ganz im gewünschten Sinne und sicher nicht viel anders zu erklären sind. Darauf werde ich im folgenden einzugehen haben. Von Anfang an habe ich als Einheitsentfernung die Sirius- weite eingeführt, welche der Parallaxe 0^2 entspricht. Ihre Wahl entsprang zunächst dem Wunsch, die kleinste Entfernung zur Einheit zu nehmen, in welcher noch so viele Sterne stehen, daß Mittelbildungen einen Sinn haben. Aber die getroffene Wahl entspricht auch Gesichtspunkten, die bei der Wahl von Einheiten astronomischer Größen als maßgebend gehalten werden. Der Parallaxe 0^2 entspricht eine Entfernung von 1.03 Millionen Erdbahnradien und umgekehrt 1 Million Erdbahnradien der Parallaxe 0"206. Man müßte also in der Tat in äußerster Konsequenz, wie es Herr Charlier tut, meine Bezeichnung Siriusweite festhaltend, eine solche 1 Million Erdbahnradien zuordnen. Da aber in vielen astronomischen Angaben die Parallaxen eine große Rolle spielen, wird zur Vereinfachung und der geringen Genauigkeit stellarer Entfernungsangaben entsprechend es sich empfehlen, meine Definition „1 Sirius- weite = 0"2 Parallaxe“ nicht aufzugeben. In jedem Falle ist der offenbar aus dem Prinzip des Widerspruchs entsprungene Vorschlag als Einheit für stellare Entfernungen eine solche zu wählen, welche der Parallaxe l'O oder O'l entspricht, als ein ganz willkürlicher und durch nichts zu rechtfertigender anzusehen. Ich habe die vorstehenden Auseinandersetzungen für nötig gehalten, obwohl sie nicht wesentlich über das hinausgehen, was ich besonders in den Arbeiten II und IV ausgesprochen habe, und trotzdem eine ausführliche und vortreffliche Analyse meiner Arbeiten von Dr. Deutschland^) vorliegt, weil vor *) V. J. S. der Astr. Ges., Jahrg. 1919. 94 H. Seeliger P/a Jahren eine Schrift*) erschienen ist, die es sich zur Auf- gabe zu machen schien, nicht etwa nur die numerischen Resul- tate, sondern ihre ganze Tendenz herabzuwürdigen. Die ganze Schrift ist eine Kompilationsarbeit, deren Zusammenstellungen nirgends etwas wesentlich Neues enthalten, doch immerhin brauchbar sind. Hätte sich der Verfasser damit begnügt, so wäre seine Arbeit nicht ohne Verdienst. Er hat sich aber in, gelinde gesagt, einseitiger Kritik in Gebiete und an Fragen gewagt, die seinem Verständnis entrückt zu sein scheinen. Deshalb werde ich im folgenden auf seine Angriffe im einzelnen nur hie und da mit einer Bemerkung eingehen und es ruhig abwarten, ob der Verfasser sich besser orientieren werde. Eine allgemeine Polemik mit ihm scheint mir völlig aussichtslos zu sein. 2. Ich gehe nun zu einigen allgemeinen Betrachtungen über die früher -aufgestellten Integralgleichungen über, wobei ich mich auf die erwähnten Arbeiten, insbesondere auf die ersten Abschnitte von II beziehe. Es sei (p (i) die vom Ort unabhängige Häufigkeitsfunktion der Leuchtkräfte i, die also die Gleichung erfüllt: H J' 99 (i) i = 1 . 0 Ist weiter I){r) die Anzahl aller Sterne in der Volum- eiuheit in der Entfernung r und wird eine etwaige Extinktion dadurch eingeführt, daß die scheinbare Helligkeit h eines Sternes nicht ,-2 ’ sondern h = iyj(r) ist, so setze man : r'^ = r = fig) und Scheuten, On the Determination of the principal laws of Stati- stical Astronomy. Amsterdam 1918. Untersuchungen über das Sternsystem. 95 Dann wird die auf dem Himmelsareal a> stehende An- zahl Am der Sterne: Am = 0) J J (g) d g ’ J cp (^) df/; für m n. (II*) *0 Für die mittleren Parallaxen jt« der Sterne von der Größe m findet sich: 71,11 (O l/" ]/" ^ m m • j A(g)g*(p Qim g^)dg = ^ A {g) (p (/«,„ g‘^)dg-. (IIP) >0 ro für m H, wobei ;<(i) beliebig sein kann und nicht gerade Null zu sein braucht. Dann ist: ■Tl ^ J q){i) di -Y ^ xii) di = 1 Am einfachsten bekommt man die verallgemeinerten For- meln (I) bis (IV), wenn man für alle m *2 X A,n = 0) ^ A{Q)Q'>-dQ ^ (p{y)dy l'm setzt. Es ist hierbei H hn' (1) Man hat offenbar 2 Fälle zu unterscheiden; 1. r^> ^ , d. h. m >2 Am = ft) J* dr ^ {x) d x Ar ^ (r) J' *P{x) dx l/Z * h.„ Das erste Glied ist: VI V / H (O J A (r) rVZr J a ’o V-- -f j A{r^r‘^dr j yX^)dx. VT (I) A™ r2 Die rechte Seite kann man auch schreiben: V— V"'" ]/~^- *«» ^ n CO *m’^ J* A (r) dr^ cp (x) dx + J' A (?■) r^drj'y(x)dx - J* A (r) r* d r J* y{x)dx rü \ / H 2. /-g < , d- h. n: ]/JL ]/JL * '•n H ^ *»i CO ^ A{r)r'^dr ^ cp{x)dx -Y ^ A{r)r-^ dr ^ y{x)dx. (II) CD Co Am «2 ro Für die mittleren Parallaxen findet man nach (IIP) 71 = 0*2 • ^ , wo für m < n N \/Z «* eo Z = J A{r) ^„>•>) rfr (III) VI und N derselbe Ausdruck für f (r) = 1 wird. / — , so wird Sitzungeb. d. matb.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 7 98 H. Seeliger V" ^ K Z = J J (r) (f (/<„, r^) d r (IV) »•o und N ist selbstverständlich derselbe Ausdruck für f{f) = 1. In I S. 605 habe ich erwähnt, daß die Betrachtung des zweiten DiflPerentialquotienten , zu neuen Überlegungen (l auffordert. Die Formeln (I) und (II) ergeben: V'"- V'" ^ '■n I d Am (I) (11) (I) d h„ J J (r) r* (f {lim J'^) dr — ^ A (r) r* y (A„, r'^') d r V 1 d Ar, li) d hm = - ^ A{r)i^cr{hmr’^)dr. (II) Für die 2. Dilferentialquotienten ergibt sich: V"~ V'- ^ Am ^ »n — I' .1 (r) r® fp' (hm r*) dr — ^ A (r) r® y‘ (//,„ r'*) d r. \ H V" * K = — ^ A r ■ r^qj' {hm r^) d r, ro 1 d^A„ Oi d hm woraus für m — n folgt: ^ l = 1 Oj(\f//4// \dhlt ) 4' 2H hj /iA^I* [hJ (V) Untoisucbiingen (ihor ilas Hti'ru.syslein. 9!) Die vorstehenden Formeln ergehen für m = n und im 2. DifFerentialquotient entsteht ein Sprung vom Be- trag (V), wenn (p (H) X {H). Diesen Satz habe ich bereits in I, S. 605 abgeleitet. Offenbar ist es nun vorteilhaft log A„i und m einzuführen. Für jede von m abhängige Größe B ist, wenn die bekannte Zahl 0.4343 mit e bezeichnet wird : d\ogB £(^(log nat.4 J5) £ dB £ dB dh,,, dm dm B dm B dh,,, dm' Weiter ist: dh,„ 0.4 . d^hm d^^~ V d"^ lg B d w* ^(dB B^ \dh / \dn •X- + £ d^ Bf d hm\ ^ , £ d B d"^ h dm ) ^ B dhm\ d ni J ^ B d h,„ d m^ Es soll nun B und stetig bleiben, während — einen dh„, ^ dh‘, Sprung macht, dann ist; Nimmt man für B, log A„ und m — n, so wird aus (V) Die Grenze des Sternsystems ist nach (1) gegeben durch V’ {r^} " h„ h„ kann man bei genügendem Abzählungsmaterial als be- kannt voraussetzen. Bezeichnet man mit 31, „ den Wert von A„,, wenn man T* , A (r) “ an die Stelle von » * setzt, d. h. , , / statt A (r), so hat man : t {r) f(r) 7 100 II. Seeli^er jr 0'2 d%j„ (/ dh,n ■ (///,, Der einfacheren Schreibweise halber soll der Index m zunächst fortgelassen werden M - 0‘2 oJof = 0-2 31 . dh da dm d m Differenziert man nochmals nach m, so ist: d log 71 . d log A dm dm dA d log A . . d'^ log A dm dm dni^ + 0*2 d% d log 2( log 31 5 m, d m d m^ Bildet man denselben Ausdruck für m = w, so wird hier dA d7i A, 71 und stetig bleiben, dagegen wird einen Sprung machen müssen. Bezeichnet man denselben analog dem Früheren mit A \ dm /fZl0g7l\ dm )' ) so wird demnach : d m c^'^log A d mP- + 0'22Izl rf* log 31 d nP Nun ist nach VI 'd'^ log An ^nA dfp \ dn J dn \ri mP J An] 1 TT ( dP log . \ drP was man auch schreiben kann; ■{Vf) 71 1 + /(if logjiN \ dn J log An dn fd"^ log^,.> \ d j Untersuchungen über das Sternsystein. 101 Nun war die Funktion f definiert durch xj< (r) = r»; r = f{Q) = o Vy (r) Es ist also, wenn ^> = | gesetzt wird, flfl fio) 1 h„ V'(r) = /-j. wenn »’j die Entfernung der Grenze des Sternsystems in der Richtung CO ist. So ergibt sich schließlich: TT 0^2 1 + ( log A \ (In ) d log A„~\ än J log A d (VII) Ist also an der aus dem Verlaufe der Abzählungen erkennbaren Stelle m = n die Größe des Sprunges so- , t ■ d log 71 ■ , , 1 , . , , als auch in - ermittelt, so ergibt . c/* log A wohl in dni^ ““““ clm sich aus diesen Daten allein die Entfernung der Grenze i'j des Sternsystems und zwar eindeutig. Die wegen ihrer Einfachheit bemerkenswerten Formeln (VI) und (VII) sind nur anwendbar, wenn (:) vtD = ; j U(ix) dx >0 >•2? oder, wenn man rg • 7l(^) i/> (1) mit bezeichnet: df. *‘2 :v-(i) V’ ( T ) + > V t / t s (la) Dies ist eine Integralgleichung der zweiten Art, die be- kanntlich durch die C. Neumannsche sukzessive Substitutions- methode integriert werden kann. Die Integralgleichung (II), die für ni > n gilt, läßt sich ganz analog behandeln. Es ist /JL >0 1 / ll,n Hierin setze man = I < 1 und f dann wird /ifl mit Benützung von (1) 1 d A.„ = /s (0 = (^) V> (s , I) d S und weiterhin: 104 H. Seeliger !jo Nach 1) ist aber werde nun, da dies auch bei den früheren Rechnungen geschehen ist, A (r^) = 0 vorausgesetzt. Man setze : so wird; >•0 = -r. i) f +^i>' y (2 a) :d(1) Bei der Aufstellung der Formel für .'i,,, ist in Betracht zu ziehen, daß als bekannte Funktion von A,„ anzu- 0 2 a li,n sehen ist. Die Foi'mel (III) stimmt mit (I) vollkommen überein, wenn A ^ gesetzt wird. Also ist 1){^) zu ersetzen durch B. (^) = und sonst nichts zu ändern. fir^ f) Man erhält so: üiVj = I’ A (Cu:) ip {x)dx\ C = < 1 . *0 *‘2^ Untersuchungen über das Sternsystem. 105 Man hat also: « (0 = >'2 (.0 + J «(s") *0 _ 1 Cv'(i) \ t] 4- L / s Und ebenso für die letzte Formel (IV) UiO 1 »2 »O = r, D, (1) C) = C “11 + J«(f) A'(t,{) dS A(C,i) = 1 CA(i) (3 a) (4 a) Dieselben Formeln sind natürlich auch für = Ü an- wendbar. Es soll diese Annahme für einen Augenblick bei- behalteu werden. Wie schon erwähnt, sind Integralgleichungen von der Form (1 a) — (4 a) unter der Bedingung der Endlichkeit der auftretenden Funktionen durch die C. Neumannsche Methode durch stets konvergente Reihen auflösbar. Ist: (0 =

{0 -h FoiO + + • fo I\(() = j A(t, ,g rff. J A'(f„ f.) Äf, J K((„ y d <»2 ’ ’ * — 1 ^ — I, sfi) (s n) ■»» 0 106 H, Seeliffer S<) ist also in ( 1 a) — 1) ^m) 1 V’(l) d\zii){x)\ dx -1 In einigen speziellen Fällen läßt sich dann das vielfache Integral leicht ausrechnen, z. B. für Man findet dann: , Fn = wo /v = - . f ar-rfx, t/'(l)J dx 0 so daß U (s) = C*’ [1 + + • • •] • Nur wenn < 1 , konvergiert die Reihe und dann ist: was leicht verifiziert werden kann. In dem andern Fall ist die aufgestellte Reihe unbrauchbar, weil divergent. Man muß also die Voraussetzungen zur Erlangung konvergenter Reihen einhalten. In den Integralgleichungen (la)bis(4a) muß man die untere Grenze = 0 ausschließen dürfen, um in den Fällen, in denen dies nicht schon an sich stattfindet, eventuell zu erreichen, daß für alle n im ganzen Integrations- intervall endlich bleibt. Gleiches soll von u (r) und selbst- verständlich auch von CI» vorausgesetzt werden. Die vier Inte- grale sind entweder von der Form: ^ m =• F/i [ Vdi oder J Avobei a und h kleine konstante Größen sind und F endliche Funktionen. Ist der Maxinialbetrag etwa so ist im ersten Falle: Fn\ < V 1 • 2 . . . n’ im zweiten: Untersuchungen über this Sternsysteni. 107 und die für aufgestellte Reihe konvergiert für alle Werte von Die Funktionen n(^) sind dann bekanntlich eindeutig bestimmt. Daraus ergibt sich also, daß durch die vier Integral- gleichungen D (C) eindeutig durch y (C) gegeben ist, ferner r^y’iO eindeutig durch D(^) und ebenso durch y{C) und y\ y (C) durch Dj (C). Es sind also immer gewisse Gruppen der 3 Funktionen D (C), y (C) und f (;) als zusammengehörig zu betrachten, was man auch ohne die Reduktion auf die zu- letzt abgeleiteten Formen direkt leicht einsehen kann. Die vier Integralgleichungen liefern demnach außerdem eine Kontrolle für die zu Grunde gelegten Annahmen. Wenn die Extinktion vernachlässigt wird, so werden schon die drei ersten Gleichungen eine gewisse Überbestimmtheit zeigen, so daß die gegebenen Funktionen /*,, f^, nicht beliebig sein dürfen. Der Erfolg der früheren Rechnungen hat, so weit dies durchführbar war, ergeben, daß in der Tat die Beobachtungsresultate genügend dargestellt werden können und es wird später gezeigt werden, daß dies auch für das neue Material zutrifft. Die letzte Umformung der Integralgleichungen und ihre Auflösung durch das Neumannsche Verfahren wird im allge- meinen, wie es scheint, zu überaus verwickelten Rechnungen führen und man wird nach wie vor durch spezielle Ansätze sich zu helfen trachten müssen. Auch läßt sich nicht ohne weiteres die Eindeutigkeit der Gesamtlösung auf diesem Wege beweisen. Es ist bei solchen Versuchen entschieden einfacher, auf die Gleichungen zurückzugehen, die vor der teilweisen Inte- gration aufgestellt wurden. Dabei soll = 0 gesetzt werden, so daß wir nunmehr haben, indem mit D bzw. vereinigt wird. fl Ü) = J y{x)dx ü /zCO = dx 0 1 h iO = J* -^^1 (C x) y (x) d X 0 I /s (0 = J’ J^i (x) y (;* x) d X 0 (A) 108 H. Seeliger Es küimte vielleicht zweifelhaft erscheinen, ob auch für diese Gleichungen der Satz gilt, daß, wenn überhaupt, nur ein System von zugehörigen Funktionen Dj, yj existiert. Es ist sehr leicht, dies nachzuweisen. Denn gehörten zu einem bestimmten positiven tp zwei Funktionen D und J, so würde z. B. aus der ersten Gleichung folgen , wenn D (<^) — A — ®(‘^) gesetzt wird. 1 0 = J 0 (C a;) y> (x) d x 0 für alle 0 und allgemein: dß d>' = 2f,-2f'^f;-f: 3'. D';ip - 7); 4-37). ,/4- A v^''= 3/;' 4- 6/; 4- f- 4'. 7); V’ - 7); v' 4- 3 D\ V- 4- V" = f,' -h g/;' 4-6/34- fi". Aus den obigen Betrachtungen (S. 107) folgt, wenn, wie jetzt geschieht, 7) und 7). statt D und gesetzt wird, daß B^{C) eindeutig gegeben ist durch 7)(^). Schreibt man also: B,{:) = B{:).%, so folgt: 7))"’ = 21 7)("5 4- n 7)(»*-» 4- ( 2 ) ^ also: 7). = 3t D I 7); = 217)' 4- D 21' I (,,) 7);' = 21 7)" 4- 2 2t' 7)' 4- 21" 7). | Multipliziert man diese drei Gleichungen der Reihe nach mit y>" -|- 3 1/'^ — w' und y) und addiert, so wird nach 3') 2t 7)" jp 4- 7)' (2 2t' ip — 3t v^') 4- 7) (2t" — 21' y>‘ -f 2t v" 4- 3 2t i/) = 25. Dividiert man durch 7), y = D 2t ip = einer Größe von der Art 2t, so hat man also: f in H. Seeli^er D“ ir T) 1) 77, = 31 71 _L 31" 31' v' 31 31 31 ty ibt: 71" 71 7- V’" , 77 71 V- 3 + "' +3''’ > ly ‘ V’ V’ Durch Subtraktion ergibt sich: ^ 71' 31' 3(" _ 3t' v' _ “ 71 31 3t 3t r ‘ Danach ist also auch: o " 71 77' =33 V’ und da nach 2. , - — - eindeutig bekannt ist, ist es auch I) \p 71' und . 71 V' AVenn man also bis /’"' fortgeschritten ist, sind TT> ^ und + 71 Y’ 71 ly als eindeutig bestimmt erkannt und dieselben Größen, wenn 7), an Stelle von D gesetzt wird. Es soll nun folgender Satz bewiesen werden: AVenn bei Benützung der Differentialquotienten f‘ bis als eindeutig bestimmt die Größen 71' 71" 71’ 71 7)(«-3) _ — , ferner /D/’, 71 ly y(»l-3) und 7;(«-2) 71 ^ + (- 1)"-' - -(n-2) V’ erscheinen und dasselbe auch für Tlj gilt, so sind durch die w'eiteren Differentialquotienten auch die Größen JJ(n-2) y,(fi-2) 7)(n-l) ,y(n-)) V’ bestimmt. Untersuchungen über (t)'/'(l)- f fZ'*-! l) x) d [x" )/' {x)] dx"~^ dx dx und wenn man diese Operation weiter fortfuhrt und dann t = 1 setzt: r(») _ J)(n-n.,,,_7j(n-2) ’ '1 ' dx 1^-. rl'r-i ' X =r 0 dx*’ ij; = 0 Ferner ist: cZ"' [a;" V' (^)] dx'“* d''-'^[x»xp{xy] 'TV_n« r cZa:"-! J dx'* n(n — 1) . . . (n — »*4- 1 ) >/' (^) 4* n(n — 1) ... (n — m 4- 2)a;"~’"+’ y''(x) 1^ « • 1 X"~^ y/m-l) + (”*)•! x”yA"'^{x). Nach der 2. Integralgleichung A) ist aber — [ I) (x) xP dP yj (a:) dxP ’ also eine 51 -Größe. In dem Ausdruck für /’*”' kann man vor- aussetzungsgemäß als bekannt fortlassen alle Größen A^p^ wenn p und q ,^,(„-21 + (— 1 )'•-! 7) [?J (« — 1) eine 21 -Größe ist. Dieselbe Formel gilt, wenn man 7) mit 7>, vertauscht. Nach der obigen Formel (;■) haben wir in (n) dann, wieder mit Fortlassung der 21 -Größen, zu setzen; 7>^;-'>i/' = 5l7)(‘‘-i)i/’ + (” j r 72(”-2) 1/; J)i.n—2) y, _ 5t 2)^n~2) y, ])i»-2)y,<= %])(n~2)y,‘ 71, = 217J' V’(”-*’ 4- 2r7> v’<'‘"^^ 71, = 31 B v’("-2) 7ljiy.('-n= 2171i/,'("-i). (/^) Die Formel (a) kann man übersichtlicher schreiben: (71^’'~üy. _|_ ( — 1)"“* 71j/’^”~*^) — w7)^”'~^D/.’ -j- ( — !)”“’• w(n — l)7)("~^)i/' — 71'”“'^i/'' -j- ( — 1)"~271' ^;(n-2) _ Benützt man die Formeln (ß) und dividiert durch 21, so ergibt sich für gerade n ( y,— I} ,y,(n-l)) _ (71(«-2) y,> _ 71' y,(u-2-)) _|_ 7)(n-2) y, _ 1) _ -\- B — n(n — 1)^ = 21. Da aber B^"~^^y> -F By>^’'~^^ = 23 sein soll, so ist nunmehr: (B^»-Uyj _ Tli/"- '>) — (71('-2)i/-' — B' v-("-2>) — 71v'(”--> (w — 2) 4- = 95 und ebenfalls für gerade n ergibt iß): (7)(h-i) y, _ 7)i/'^"~^0 — V'' — — 71v^(”-2).n(w — 2) = 53,. Hieraus folgt, daß 71 und also auch B^'‘~^^y’ be- kannt sind und schließlich auch 7)^"-ü y, — /) Der angekündigte Satz ist damit bewiesen, da für ungerade n eine Uiifci'siicliungen über das Stcrnsysicin. 113 ganz ähnliche lieclinung zu machen ist. Der Verlauf der analytisch fortsetzhareii Funktionen 1), V>, und y) ist also voll- kommen gegeben durch die Werte T){\), -Di(l) und i/’(l). Außerdem sind, wie wir gesehen haben, ])^ und D eindeutig bestimmt durch ?/’ (1). Dies ist eine Konstante. Man hat noch zu beachten, daß die Häufigkeitsfunktion q>{i) so gewählt war, 7/ daß ^q){i)di= 1 angesetzt wurde. Außerdem i.st auf die 0 Betrachtungen des Artikels 2 zu verweisen, nach welchem ge- rade die Grenze des Sternsystems eindeutig durch den Be- trag des Sprunges in den 2. DilFerentialquotienten von A und tt bestimmt wurde. 4. Die Annahme, daß in den Sternzahlen bei einer bestimmten Größe m = n irgend eine Unstetigkeit auftritt, war an sich naheliegend, wenn für die hellen Sterne log a wirklich konstant war (was auch nach dem neuen Material der Fall ist), während für größere m ein wesentlich kleinerer Wert herauskam. Denn dann könnte sicher Ä,„ nicht durch eine einzige analytische Formel für alle m dargestellt werden. Solche rein mathe- matischen Kriterien lassen sich an einem empirisch gegebenen Material nicht strenge nachweisen, insbesondere da dieser Nachweis, wie ich stets hervorgehoben habe, eine recht hohe Genauigkeit der Abzählungsresultate voraussetzen muß, die früher nicht erlangt werden konnte und auch jetzt noch keines- wegs genügend weit gediehen ist. Man konnte früher nicht mehr zu erreichen hoffen als den Nachweis, daß die Annahme von Diskontinuitäten mit den empirischen Daten nicht in Wider- spruch stand. Meinen früheren Rechnungen lagen nur die Resultate aus den Abzählungen nach der Bonner D. M. in Verbindung mit photometrischen Messungen der Harvard-Stern- warte zu Grunde, die beide von systematischen Ungenauig- keiten nicht frei sind, und den Herschelschen Eichungen. Ich habe selbst immer wieder auf die große Lücke hingewiesen, die zwischen etwa den Größen 9 bis 13 klafft, wo gerade die Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. Jabrg. 1920. 8 114 II. Seeliger Eutscheidung über die Zulässigkeit verscliiedener Annahmen liegt. Diese Lücke ist, wie schon erwähnt, neuerdings durch Beobachtungen auszufüllen versucht worden, deren Resultate Herr Schouten zusainmengestellt hat. Er hat ebenfalls die Abzählungsresultate, wie ich es getan habe, nach Milchstraßen- zonen geordnet, nur hat er, wohl recht unnötigerweise, die Milchstraßenzone mit I und die den Pol der Milchstraße ent- haltende mit V bezeichnet, während bei mir die Reihenfolge der Nummern umgekehrt war. Sicher ist, daß dieses neue Material noch ziemlich deutlich hervortretende systematische und zufällige Ungenauigkeiten enthält, deren Beurteilung nicht gerade erleichtert wird durch den Umstand, daß die als „be- obachtet“ gegebenen Anzahlen schon eine zum Teil durch- greifende Ausgleichung erfahren zu haben scheinen, die selbst- verständlich nicht ohne gewisse Annahmen geleistet werden kann. Ich habe vor solchen weit ausholenden Ausgleichungen stets gewarnt, weil hiedurch gewisse für die Interpretation wichtige reale Schwankungen verdeckt werden können. Es ist deshalb von besonderer Wichtigkeit, daß im vorliegenden Falle diese Verdunkelung nicht vollkommen zustande gekommen ist, denn die Zahlen deuten sehr bestimmt auf eine Schwan- kung für m = 9 — 10 hin, die ganz ähnlich verläuft, wie eine Unstetigkeit im 2. DiflPerentialquotienten erfordert. Es ist nur durch die vorgefaßten Meinungen, die Herrn Sch. oflPenbar bei seinen Zusammenstellungen geleitet haben, erklärlich, daß er nicht selbst diese Vorkommnisse bemerkt hat. Zuerst möchte ich eine Bemerkung mitteilen, die sofort in die Augen fällt und die auch Herrn Deutschland selbstverständlich nicht entgangen ist. Der a. a. 0. gemachte Versuch, die Zahlen log A,„ bis m = 15 oder 16 durch eine quadratische Form von m darzustellen, muß als vollkommen gescheitert angesehen werden. Die Abweichungen weisen so enorme Beträge auf und zeigen einen so ausgesprochenen systematischen Gang, daß schon die Mitteilung solcher Versuche Verwunderung erregen muß, wenn nicht gleich die Unzulässigkeit solcher Ansätze hervorgehoben wird. Vielmehr ist auf den ersten Blick zu Untersuclinjigeii über das Stcnisysteiii. 115 sehen, daß inan zwei verschiedene Formeln annehmen muß, von denen die eine bis zu einem gewissen Wert m^n und die andere für m > n gültig ist. Im Sinne meiner Annahmen müßte eine solche quadratische Form für m > n, wenn n die die Grenze des Sternsystems bestimmende Größe ist, einen wesentlich verschiedenen Koeffizienten von ni^ aufweisen wie für m < n, während die beiden andern Koeffizienten überein- .stimmen müßten. Das letztere ist natürlich eine ideale Forde- rung, die ebensowenig absolut genau erfüllt zu sein braucht, wie auch die gemachten Annahmen nicht genau erfüllt sein werden. Tatsächlich gelangt man selbst unter diesen sehr ein- schränkenden Bedingungen zu einer ganz genügenden Dar- stellung. Es soll dies für die auf dem ganzen Himmel vor- handenen Sternzahlen A,„ auf einem Quadratgrade gezeigt werden. Ohne auf eine möglichst gute Darstellung Bedacht zu nehmen, ergab eine beiläufige Rechnung die Formel: f = log A,n = -h 0.764 -h 0.4700 (m - 9.5) - 0.0048 (m - 9.5)» ... w < 9.5 ^ = + 0.764 -f 0.4700 (w - 9.5) - 0.01734 (m - 9.5)» ... m> 9.5. Die Übereinstimmung mit ergibt die folgende Tabelle: VI f Sch. A 2.0 — 3.031 — 3.020 + 11 2.5 — 2.761 — 2.755 + 6 3.5 — 2.229 — 2.229 0 4.5 — 1.706 — 1.708 — 2 5.5 — 1.193 - 1.195 — 2 6.5 — 0.689 — 0.689 0 7.5 — 0.195 — 0.194 + 1 8.5 + 0.289 + 0.290 + 1 den „beobachteten“ Werten Sch. m r Sch. A 9.5 + 0.764 + 0.764 0 10.5 1.217 + 1.212 — 5 11.5 + 1.635 + 1.629 — 6 12.5 + 2.018 + 2.011 — 7 13.5 + 2.367 + 2.366 — 1 14.5 + 2.681 + 2.693 + 12 15.5 + 2.960 + 3.008 (+48) Die Verschiedenheiten der Koeffizienten von m» in beiden Formeln erzeugt für m = 14.5 bereits 0.314, also ein gänz- lich abweichendes Resultat. Noch ist zu bemerken, worauf ich noch zurückkommen werde, daß eine genauere Verfolgung dieser Umstände zunächst nicht möglich ist, was leider weitere 8* IIG JI. Seeligcr Betrachtungen sehr erschwert und unsicher macht, weil näm- lich bei ungefähr m = 9.5 eine offenbar aus der Art der Be- arbeitung entstandene Ungleichförmigkeit und zwar in allen Zonen vorhanden ist. Man kann z. B. nicht sagen, ob nicht bei m > 9.5 für alle log A„, eine konstante Korrektion von etwa -f- 0.030 anzuuehmen ist. Doch scheint dies nicht un- wahrscheinlich zu sein, ln der obigen Tabelle habe ich diese Korrektion zu -j- 0.027 angenommen. Die Größe dieser Kor- rektion, deren Notwendigkeit an sich kaum zu bezweifeln ist, hat aber großen Einfluß auf die Übereinstimmung mit Resul- taten, die auf anderem Wege erreichbar sind. Die genannte Korrektion scheint auch angedeutet in den Abzählungen, die Herr Nort nach den Harvard -Beobachtungen gemacht hat. Dort findet sich für m = 11.0, log Am = 1.417, während Sch. 1.395 angibt. Doch dürfte die Sachlage keineswegs klar liegen. In jedem Falle ist, wie aus der folgenden Tabelle der Sch.- AVerte hervorgeht, bei m = 9.5 eine auffallende Störung vor- handen, die, von allen Hypothesen abgesehen, eine Aufklärung erfordert, und es wäre dringend erwünscht, gerade die Anzahl der Sterne von der Größe 9.0 oder 9.5 ab bis 10.5 einer ge- nauen Revision zu unterwerfen. Auch die Gleichmäßigkeit der Störung in allen Zonen deutet darauf hin, daß hier in der Bearbeitung nicht die nötige Unabhängigkeit der Feststellungen in verschiedenen Himmelsteilen gewaltet hat. Es unterliegt keinem Zweifel, daß genauere Feststellungen gerade an der bezeichneten Stelle von größter Wichtigkeit sind, wenn sie auch gegenwärtig noch nicht durchführbar sind. AVenn sie trotzdem mit aller Reserve durchgeführt werden sollen, so ge- schieht dies in der Absicht, die Anforderungen, die an das Material zu stellen sind, genauer zu präzisieren und zu zeigen, wie die Durchführung der Rechnung nach den von mir auf- gestellten Gesichtspunkten zu erfolgen hat. Überblickt man die Zahlen der AYerte log Am, so geht, und das ist zunächst das AA^ichtigste, mit der größten Deut- lichkeit hervor, daß in der Gegend m = 9.5 etwa eine plötz- liche A’^eränderung im 2. Differentialquotienten stattfindet. Es Untersuchungen über das Sternsjsteni. 117 ist ganz natürlich, daß diese Tatsache besonders in den stern- reicheren Zonen wohl außer Zweifel gestellt ist, was ja auch die obige Betrachtung über die Zahlen für alle Sterne ergibt. Die zweiten Differenzen, die durchweg negativ sind, sind für m < 9.5 insbesondere in der Nähe der kritischen Stelle dem absoluten Werte nach stets kleiner wie nachher und der Über- gang ist sehr rasch und fast sprunghaft. Den Betrag dieses Sprunges abzuleiten ist natürlich insbesondere deshalb erschwert, weil eben, wie erwähnt, an -der kritischen Stelle noch eine andere Störung stattgefunden hat, die nicht zweifellos fest- stellbar ist. Um wenigstens einen ungefähren Überblick zu gewinnen, habe ich das selbstverständlich nicht ganz einwand- freie Verfahren eingeschlagen, das aber den Vorteil hat, von der unsicheren Störung einigermaßen unabhängig zu sein, daß ich das Mittel i)/_ von 4 zweiten Differenzen vor und J/4- von 4 solchen nach der kritischen Stelle bildete. Die Diffe- renz der beiden 31 gibt dann, mit 4 multipliziert, den Sprung J im 2. Differentialquotienten. Zone A V — 0.00125 — 0.00875 4- 0.030 IV — 0.00238 — 0.00850 -I- 0.025 III — 0.00375 — 0.00875 + 0.020 II — 0.00525 — 0.01025 + 0.020 I — 0.00675 — 0.01100 4- 0.017 alle Sterne — 0.00250 — 0.00850 4- 0.024 Die Zahlen sind recht sicher mit Ausnahme der für die Zonen I und II. Für alle Sterne stimmt J übrigens überein mit dem Resultat der oben gegebenen Interpolationsformeln, wie zu erwarten war. Indessen mögen die Werte -1 in Wirk- lichkeit merklich größer sein, wenn es sich bestätigen sollte, daß man von tn = 9.5 ab eine konstante Korrektion, die zu bestimmen ist, einführen darf. Korrigiert man diese log für alle Sterne z. B. um -|- 0.037, so zeigen die 2. Differenzen eine starke Vergrößerung ganz in der Nähe von m = 9.5 (vgl. S. 121). 118 H. Seeliger # Zone V (E, Milchstraße) m 2.0 log — 2.900 I + 268 11 2.5 — 2.632 + 267 — 1 3.0 — 2.365 + 268 + 1 3.5 — 2.097 + 268 0 4.0 — 1.829 + 266 2 4.5 — 1.563 — 1 5.0 — 1.298 + 265 + 262 — 3 5.5 — 1.036 + 263 + 1 G.O — 0.773 + 261 — 2 6.5 — 0.512 + 259 — 2 7.0 — 0.253 + 256 — 3 7.5 + 0.003 + 255 — 1 8.0 H- 0.258 + 254 — 1 8.5 + 0.512 + 253 — 1 9.0 + 0.765 + 251 — 2 9.5 + 1.016 — 38 10.0 + 1.229 + 213 + 22 10.5 + 1.464 + 235 — 9 uo + 1.690 + 226 + 221 — 5 11.5 + 1.911 + 210 — 11 12.0 + 2.121 — 10 12.5 + 2.321 + 200 + 193 — 7 13.0 + 2.514 — 2 13.5 + 2.705 + 191 + 176 — 15 14.0 + 2.881 + 175 — 1 14.5 + 3.056 + 171 — 4 15.0 15.5 + 3.227 + 3.395 + 168 — 3 VI Zone IV log (D) I 11 2.0 2.5 — 2.942 — 2.682 + 260 — 2 3.0 — 2.424 + 258 — 1 3.5 — 2.167 + 257 — 1 4.0 — 1.911 + 256 — 1 4.5 — 1.656 + 255 — 2 5.0 — 1.403 + 253 — 2 5.5 — 1.152 + 251 — 2 6.0 — 0.903 + 249 0 6 5 - 0.654 + 249 — 2 7.0 — 0.407 + 247 0 7.5 — 0.162 + 245 — 3 8.0 + 0.080 + 242 2 8.5 + 0.320 + 240 — 2 9.0 + 0.558 + 238 — 2 9.5 + 0.794 + 236 — 35 10.0 + 0.995 + 201 + 19 10.5 + 1.215 + ^2o — 7 11.0 + 1.428 + 213 — 6 11.5 + 1.635 + 207 — 10 12.0 + 1.832 + 197 — 11 12.6 + 2.018 + 186 — 8 13.0 + 2.196 + 178 2 13.5 + 2.372 + 176 — 12 14.0 + 2.536 + 164 — 2 14.5 + 2.698 + 162 — 3 15.0 + 2.857 + 159 — 4 15.5 + 2.012 + 155 Untersuchungen über das Sternsj’^steni. 119 Zone KI (C) Zone II (B) m log A„, II 2.0 — 3.054 2.5 — 2.794 3.0 — 2.535 3.5 — 2.278 4.0 — 2.023 4.5 — 1.769 5.0 — 1.517 5.5 — 1.268 6.0 — 1 022 6.5 — 0.777 7.0 — 0.535 7.5 — 0.296 8.0 — 0.060 8.5 + 0.173 9.0 + 0.402 9.5 + 0.626 10.0 + 0.814 10.5 + 1.021 11.0 + 1.221 11.5 + 1.412 12.0 + 1.594 12.5 + 1.766 13.0 + 1.930 13.5 + 2.091 14.0 + 2.238 14.5 + 2.383 15.0 + 2 524 15.5 + 2.661 + 260 + 259 + 257 255 254 252 249 246 245 242 239 236 233 229 224 188 207 200 191 182 172 164 161 147 145 141 137 — 1 — 2 — 2 — 1 — 2 — 3 ~ 3 - 1 — 3 — 3 — 3 — 3 — 4 — 5 — 36 + 19 — 7 — 9 — 9 — 10 — 8 — 3 — 14 — 2 — 4 — 4 m log 2.0 — 3.199 2.5 — 2.925 3.0 — 2.653 3.5 — 2.384 4.0 — 2.117 4.5 — 1.853 5.0 - 1.592 5.5 — 1.335 6.0 - 1.082 6 5 — 0.833 7.0 — 0.588 7.5 — 0.348 8.0 — 0.114 8.5 + 0.114 9.0 + 0.337 9.5 + 0.556 10.0 + 0.739 10.5 + 0.937 11.0 + 1.125 11.5 + 1.304 12.0 + 1.471 12.5 + 1.628 13.0 + 1.778 13.5 + 1.919 14.0 + 2.049 14.5 + 2.176 15.0 + 2.299 15.5 + 2.416 I 11 + 274 — 2 + 272 3 + 269 — 2 + 267 3 + 264 — 3 + 261 — 4 + 257 — 4 + 253 — 4 + 249 — 4 + 245 — 5 + 240 — 6 + 234 0 + 228 — 5 + 223 — . 4 + 219 — 36 + 183 + 15 + 198 in + 188 9 + 179 1 9 + 167 10 + 157 — 7 + 150 9 + 141 — 11 + 130 3 + 127 — 4 + 123 — 6 + 117 120 H. Seeliger Zone I (A, Pol) alle Sterne VI log 2.0 — 3.278 2.5 — 2.994 3.0 — 2.713 3.5 — 2.435 4.0 — 2.159 4.5 — 1.887 5.0 — 1.619 5.5 — 1.357 6.0 — 1.099 6.5 — 0.848 7.0 — 0.602 7.5 — 0.362 8.0 — 0.128 8.5 + 0.099 9.0 + 0.319 9.5 + 0.532 10.0 + 0.709 10.5 + 0.899 11.0 + 1.079 11.5 + 1.249 12.0 + 1.407 12.5 + 1.553 13.0 + 1.691 13.5 + 1.823 14.0 + 1.942 14.5 + 2.058 15.0 + 2.167 15.5 + 2.272 1 II + 284 Q + 281 q + 278 2 + 276 4 + 272 A + 268 ß + 262 A + 258 — 7 + 251 — 5 + 246 — 6 + 240 — 6 + 234 — 7 + 227 — 7 + 220 — 7 + 213 — 36 + 177 + 13 + 190 — 10 + 180 — 10 + 170 12 + 158 19 + 146 8 + 138 — 6 + 132 — 13 + 119 q + 116 7 + 109 1 + 105 m 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 — 3.020 — 2.765 — 2.492 — 2.229 — 1.967 — 1.708 — 1.450 — 1.195 — 0.941 — 0.689 — 0.440 — 0.194 + 0.049 + 0.290 4- 0.528 + 0.764 + 0.964 + 1.184 + 1.395 + 1.601 + 1.797 + 1.983 + 2.161 + 2.338 + 2.502 + 2.665 + 2.824 + 2.980 I + 265 + 263 + 263 + 262 + 259 + 258 + 255 + 254 + 252 + 249 + 246 + 243 + 241 + 238 + 236 + 200 + 220 + 211 + 206 + 196 + 186 + 178 + 177 + 164 + 163 + 159 + 156 Untersuchungen über das Sternsystem. 121 m Sch. 8.0 + 0.049 8.5 0,290 9.0 0.528 9.5 0.764 10.0 1.001 10.5 1.221 11.0 1.432 11.5 1.638 Aus diesem Beispiel ist zu ersehen, daß zur Feststellung der Größe des Sprunges ziemlich hohe Anforderungen gestellt werden; aber wenn die offenbaren Ungenauigkeiten ermittelt sein werden, ist eine ungefähre Bestimmung und zwar am sichersten durch aufzustellende Interpolationsformeln, wie sie schon oben beispielsweise ausgeführt worden sind, ziemlich sicher zu erreichen. Das neue Material hat aber auch schon jetzt die Möglichkeit, die Angaben über die Ausdehnung des Sternsystems sicherer gestalten zu können, dargetan und die Tatsache, daß sich in der Tat die Endlichkeit des Systems beweisen läßt, ist gegen unberufene Kritik festgestellt. Das ist immerhin ein Fortschritt, wenn auch das Problem quanti- tativ noch nicht endgültig gelöst ist und naturgemäß mehr oder weniger bedeutende Korrekturen der Zahlenresultate der Zukunft Vorbehalten bleiben müssen. Was die recht bedeutenden Abweichungen der log Ä,„ für große m gegenüber den Herschelschen Angaben betrifft, so rühren diese jedenfalls zum Teil davon her, daß man früher in der Hauptsache nur auf die nördliche Himraelshalbkugel angewiesen war. Es ist immerhin noch sehr zu bezweifeln, ob die Angaben für die südliche Halbkugel die genügende Sicherheit besitzen, die eine Mittelbildung ganz gerechtfertigt erscheinen läßt. Die Hauptursache der Divergenz bilden aber wohl die Angaben für die Milchstraße. Bei ihrer verwickelten Struktur ist es notwendig, an viel mehr Stellen zu beobachten, als geschehen ist. Die Milchstraße in den südlichen Gegenden II + 241 -i-238 -f- 236 + 237 -I- 220 + 211 + 206 — 3 — 2 + 1 — 17 — 9 — 5 122 H. Seeliger hat oÖ'eubar ein Aussehen, das recht verschieden von dem in den nördlichen ist, und die räumliche Ausdehnung mag so sehr variieren, daß es schwer wird, die mittlere Ausdehnung zu definieren. Auch hat W. Herschel offenbar die sternreichsten Stellen mehr bevorzugt als J. Herschel, wie auch meine Be- arbeitung der beiderseitigen Resultate ergeben hat. Sicher ist aber, daß die Grenzen des Sternsystems sich in der Zone V au einzelnen Stellen weit hinausschieben über die, welche die Mittelzahlen angeben. Die Eichungen der beiden Herschel ergaben nach meinen Ermittlungen, wie ich sie benutzt hatte, für die Anzahl A der Sterne auf dem Quadratgrad für den ganzen Himmel: Mittel aus W. und J. Herschel log A = 2.818 J. Herschel = 2.713. Um diese Zahlen mit Sch. vergleichen zu können, muß die Korrektion angebracht werden, welche aus der Verschieden- heit der photographischen und okularen Größen folgt. Diese Korrektion ist aber zunächst nicht recht bestimmbar. Schon für die helleren Sterne schwankt sie in den einzelnen Zonen erheblich. Für die schwachen Herschelschen Sterne werde nun die oben gefundene Korrektion von 0.085 angenommen, was natürlich nur eine mehr oder weniger willkürliche Annahme ist. Die obigen Zahlen werden dadurch in 2.903 und 2.798 verändert. Soll also durch die Herschel dieselbe Anzahl her- auskommen, wie sie Sch. angibt, dann würde die Größe der Herschelschen Sterne mindestens zu 15.3 bzw. 11.9 anzusetzen sein. Die Berücksichtigung der atmosphärischen Extinktion, deren Einfluß auf die Herschelschen Zonen bisher noch nicht untersucht worden ist, würde diese Zahlen noch etwas ver- «rrößern. Für die Milchstraße finde ich für die analogen Größen für W. Herschel, Mittel aus W. und J. Herschel und für .J. Herschel 15.7; 15.3; 14.7. Darnach würden die Herschel- .schen Sterne, denen man bisher knapp die Größe 14 zuerteilt hat, auffallend scliwach sein und den bisherigen Ansichten über die Lichtstärke des 20-Füßers oder die Lichtempfind- Untersuchungen über das Sternsystem. 123 liclikeit der Augen der Beobachter kaum entsprechen. Die Herschelschen Zahlen beziehen sich demnach sehr wahrschein- licherweise auf einen anderen mittleren Zustand, als ihn die an vielleicht zu wenigen Stellen des Himmels ausgeführten Abzählungen definieren. Namentlich in der Milchstraße müßte, wie schon erwähnt, der überwiegend größte Teil des Areales in Betracht gezogen werden, um das typische Sternsystem ge- nügend feststellen zu können. 5. Wie ich schon erwähnte, gibt das neue Material wohl eine sehr schätzbare Erweiterung unserer Kenntnisse über die Zahlen A,„. Aber es enthält doch an den wichtigsten Stellen nicht unerhebliche Unvollkommenheiten. Wenn ich trotzdem weitere Rechnungen im Sinne meiner früheren Untersuchungen anschließe, so geschieht dies aus dem Grunde, weil es mir von Wichtigkeit erscheint, nachzuweisen, daß ein Widerspruch gegen meine Ansätze nach keiner Richtung berechtigt ist. Sogar die von mir gebrauchten ganz speziellen Ansätze, deren eventuelle Umänderung ich stets als nicht von der Hand zu weisend bezeichnet habe, brauchen nicht geändert werden. Da- mit sind von vornherein alle Einwände dagegen hinfällig, die vielleicht vorzubringen versucht werden könnten. Ich will zu- nächst die mittleren Parallaxen von neuem ableiten, obwohl hier kein wesentliches neues Material vorliegt. Daß dagegen die neuen Werte für log A,„ in den Zahlenresultaten Verände- rungen hervorbringen müssen, ist selbstverständlich. Für die tn. Parallaxen (aus allen Zonen) habe ich dieselben Formeln in HI und IV benutzt und auch an den angenommenen Werten der Konstanten nur geringfügige Änderungen vorgenommen, und zwar solche, welche in Verbindung mit den weiteren Rech- nungen ein einheitliches System bilden. Deshalb war die Neu- rechnung nötig, wobei es aber auf Mitteilung von Einzelheiten nicht ankommen kann. 124 H. Seeliger Ich nehme also an; 1c = .-Q ; H entsprechend der Größe — 4.3; h = 53.875, 4.0 d. h. ö(/i) = 4.3122 — -/f; ö(l) = 3.1122; log e”' = 4.2065 o a = — ö + 0.2331 + 0.1919 (m + 4.3); — X = Dabei habe ich gegen früher a etwas mehr abgeändert und log a = 9.8771 — 10 angenommen. Darnach erstreckt sich der als sternleer angenommene Raum bis zur Parallaxe 0'353. Mir scheint diese Annahme durchwegs akzeptabel. X mußte entsprechend dem neuen Material wesentlich abgeändert und es mußte l = 0.655 gewählt werden; dann ergeben sich die m. Parallaxen aus folgender Tabelle: m log 2.0 8.682—10 0:0482 0“0530 4.0 8.422 0.0264 0.0265 6.0 8.133 0.0136 0.0132 8.0 7.813 0.0065 0.0069 10.0 7.464 0.0029 0.0033 Unter Tik sind die hypothetischen Parallaxen von Herrn Kapteyn angegeben, die ich schon früher meinen Rechnungen zu Grunde gelegt habe. Die Übereinstimmung muß als eine vollkommene angesehen werden. Inzwischen sind die Jik wieder- holt abgeändert worden. Eine Verpflichtung, diese verschie- denen Varianten immer von neuem zu berücksichtigen und die ganze Rechnung dementsprechend abzuändern, kann ich nicht anerkennen, da die Sicherheit derselben, sicherlich nicht von Herrn Kapteyn selbst, wohl aber von andern, zweifellos über- schätzt worden ist. 'Wenn Herr Sch. die Meinung zu vertreten scheint, daß mehr als 3 Stellen nach der Null in den Werten von jT,n sicher sind und jede Abweichung der jeweilig neuesten Werte als unzulässig oder als nachgewiesener Mangel der Rech- Untersuchungen über eins Sternsjsteiii. 125 nung bezeichnet wird, so wird ihm wohl niemand zustimmen. Offenbar übersieht er es, daiä die Werte .t,,, von gewissen Vor- aussetzungen abhängen, die immerhin als hypothetisch be- zeichnet werden müssen. Das Verdienst der Bestimmung der mittleren Parallaxen durch Herrn Kapteyn kann hiedurch nicht geschmälert werden. Es wird vielmehr in Zweifel gezogen durch übertriebene und ganz unzutreff’ende Au.ssagen, wie sie Herr Sch. leider macht. Bei dieser Gelegenheit möchte ich erwähnen, daß die von Herrn Kapteyn aufgestellte, sicherlich sehr brauchbare Formel für den Zusammenhang zwischen Parallaxe, Eigenbewegung und Helligkeit keineswegs mehr als eine Interpolation ist und deshalb nur einen beschränkten Gültigkeitsbereich besitzen kann. Seit mehr als 15 Jahren pflege ich in meinen Vorlesungen eine Ableitung zu geben, die diese übrigens wohl allgemein geteilte Ansicht klar hervortreten läßt. Die Bemerkung, die schon Bessel zu seinen Parallaxen- beobachtungen von 61 Cygni veranlaßt hat, daß unter sonst gleichen Umständen eine um so größere Parallaxe eines Sterns zu erwarten ist, je größer seine scheinbare Eigenbewegung gefunden wird, kann in dieser Fassung keine tiefere Bedeutung haben; insbesondere ist sie nur für große E. B. einigermaßen einleuchtend. Nicht mehr, aber auch nicht weniger vage ist der weitere Ansatz, daß die Parallaxe proportional der schein- baren E. B. zu setzen sei. Innerhalb gewisser Grenzen wird dieser Ansatz aber, wenn man die Mittelwerte für sehr viele Sterne nimmt, mit mehr oder weniger Sicherheit einen ange- näherten Erfolg versprechen. Der Ansatz : 71 = y /t, wo fx die Eigenbewegung ist, ist also ein vermutetes Kriterium, das mit einer vorläufig unbestimmten Wahrscheinlichkeit auf- gestellt werden kann. Ganz unabhängig davon ist ein anderer Ansatz. Wiederum unter sonst gleichen Umständen, d. h. unter der Annahme gleicher Leuchtkraft, wird ein Stern um so heller sein, je näher er uns ist, und zwar im quadratischen Verhältnis. 120 H. Seeliger wo m die Sterngröße bedeutet, ist Für seine Helligkeit h,n, jetzt anzusetzen: n = r - Vk, ■ Diese Formel wird ebenfalls mit einer gewissen Wahr- sclieinlicbkeit Erfolg versprechen. Offenbar wird sich nun eine neue Formel von größerer Brauchbarkeit ergeben, wenn man beide voneinander unabhängigen Formeln passend kombiniert, und zwar wird man die log rr zu kombinieren haben, denn die Brauchbarkeit der zu erhaltenden Formel wird sich selbstver- ständlich zeigen in der Größe der in Prozenten ausgedrückten zu erwartenden Fehler. Die weitere Behandlung ist dann durch ein bekanntes und erprobtes Verfahren vorgeschriebeu. Man wird empirisch durch Sterne, deren Eigenbew'egung und Helligkeit bekannt sind, die beiden Annahmen durch An- bringung: von noch zu bestimmenden Gewichten in einen Mittel- Avert vereinigen. Man erhält so: log .T = c -f- log ju ; Gewicht p.^ log TT = ^ (7 -f i log Am ; Gewicht p^. So ergibt sich: log .-I = ^ ~ j CPä + I Cp, + p^ log fl -j- log Am [ Pi T Pi I J A« Führt man Sterngrößen durch log — = — 0.4 (wi — 5.5) ”55 ein und setzt: p\ so wird: 10 d. h. — - = 1 -j- 5 logn, Px -V Pi ji = M- + 5 ’ogo). Also eine Formel mit den zwei zu bestimmenden Kon- stanten M und fl. Die Formel des Herrn Kapteyn hat genau dieselbe Gestalt, nur hat sie drei Konstante, indem der Ex- ponent von /( unabhängig von fl ist. Bemerkenswert ist aber, TTiitersuchun^en über das Sternsystem. 127 daß auch hier die vorf^eschricbeiie Verbindung zwisclien den beiden Exponenten nahe genug erfüllt wird. Für Sterne aller Typen findet er z. K.; .T = (0.905)'« -"-5 . (0.0R87 Xun ist nach der obigen Formel 1 + h log « = » d. h. a = 0.876, während nach Herrn Kapteyn a = 0.905 ist. Man überzeugt sich leicht, daß die Differenz in den beiden Werten von a prakti.sch nicht in Frage kommen kann. Es p 2 ergibt sich noch, daß - - nahe _ , daß also das Kriterium der Vi 5 Eigenbewegung 2*/2 mal so sicher ist, wie das der Helligkeit. Ganz neuerlich hat Herr Hertzsprung') ebenfalls darauf aufmerksam gemacht, daß eine nur 2 Konstante enthaltende Formel vollkommen genügt. Das deckt sich also mit meiner obigen, vor vielen Jahren gemachten Darstellung der Sachlage. 6. Ich habe schon oben ausgesprochen, daß die Darstellung der neuen Werte in einer Weise zu behandeln, die als irgendwie definitiv angesehen werden könnte, unmöglich ist. Da es aber, wie erwähnt, immerhin von Wichtigkeit ist, die Durchführbarkeit der Rechnungen in concreto zu zeigen, werde ich dieselben so weit führen, als es wünschensw^ert ist. Die Anpassung an die Beobachtungen soll deshalb keineswegs so weit geführt werden, als vielleicht möglich wäre. Auch die Genauigkeit der Rechnung an sich wurde etwas eingeschränkt, was die Sicherheit der Resultate für die schwachen Sterne, etwa von der 14. Größe ab, etwas herabgemindert hat. In- dessen sind die Resultate immerhin sicherer wie die früher gefundenen und in prinzipieller Richtung bedeuten sie wohl einen Fortschritt. Was die früheren Resultate betrifft, so er- laube ich mir zu wiederholen, was ich am Schlüsse der ge- nannten Rechnungen sagte (IV, S. 488): *) Astr. Nadir., Nr. 41)75. 128 n. Seclifjcr ,Mir lallt es nicht ein, dem Resultat der angestellten Rechnung besondere Zuverlässigkeit zuzusprechen. Aber es ist doch nicht ganz ohne AVert, weil es auf genau präzisierten Annahmen aufgebaut ist. Die Zulässigkeit derselben ist durch die Übereinstimmung mit den gegenwärtig verfügbaren Daten bewiesen, aber es tut dringend not, diese Daten zu vermehren “ Dann werden die verbesserungsfähigen Elemente und diejenigen, die nur der Einfachheit wegen für alle Zonen als unveränder- lich angesehen werden , im einzelnen erwähnt. Mit diesem Zitat beabsichtige ich festzustellen, daß ich die Sicherheit der gewonnenen Resultate nichts weniger als überschätzt habe. Deshalb ist die Kritik des Herrn Schonten als gänzlich über- flüssig zu bezeichnen, während ich das Gewand, in dem diese Kritik erscheint, mit den gebührenden Worten zu kennzeichnen unterlassen möchte. Die Formeln, nach denen die weiteren Rechnungen aus- geführt wurden, sind bis auf Umstellungen und geringfügige Änderungen dieselben, welche ich in IV zusammengestellt habe. Die räumliche Dichtigkeit der Sternverteilung A (5) in der Ent- fernung Q ist nach wie vor: — ag-'q. In der Verteilungsfunktion (p(i) habe ich das zweite Glied, entsprechend den Betrachtungen des Artikels (2), fortgelassen, also gesetzt: cp wobei natürliche Logarithmen gemeint sind. Die weiteren Bezeichnungen waren: 2 6 — C« + 1) 7 1 rl ^ , 4^ " = —o — Jc log = a; . 3-;. = " 3^. a(.») '^(/O . - r yX») = f \ J ' V 71 J — o (,«) oOO + fc log — h.. Üntersuchtni^eii über das Stcrnsystciii. 12'J 1 (H 3-;. *: ■' i-^if }ln •) Dann ist: 1 (o 2 k m < n 1 v Vn r Am = ^ H{%,, - C,) m > n. ^ iV 0) Vielleicht sind die etwas umgestellten Formeln über- sichtlicher : r, H 2 k 3 — X 3t« = h„ 3 — X (4 — ;o r hmrl H - ß ' [ä>(4 - « - “"^(1) “-i^( 3-;., 1 fH 3 — A \h x.->. 3-;., ;t(4-A)-('^) ^ xW Für die numerische Rechnung sind die von Radau ge- gebenen ausführlichen Tafeln für das Integral: von Wert, da man y>(/) = e‘'' ^ dx Z'-! SitzuDgib. d. matli.-phys. Kl. Jabrg. 1930. 9 130 H. Seeli{?er J '■ j ’-J* dx n — A braucht, wo o mehrere'' Einheiten und A klein ist. Denn es ist: J — go* — (o- 1)2 . yi(a — A) — y’io). Noch eine Bemerkung möchte ich hinzufügen, von der ich Gebrauch gemacht habe. Will man a in a, verändern, so muß auch in r, geändert werden, weil zwischen Rech- nungen nach der Gleichung = n} gewählt wurde. Es kommt aber nur in der Verbindung /i„, rl vor. Man hat also die Klammer in A,„ zu berechnen für m und rl, d. h. mit Itmt'l- Bestimmt man nun eine Größe m, so daß A,,,, » o = h,„rl, so kann man auch die Klammer für die Größe und für r,, berechnen, was durch Interpolation leichter geschieht, als durch eine neue Rechnung, wenn auch noch ßi Am ^ — ß ^ gemacht wird. Man hat also zur Be- stimmung von und dann ist in der Tat: Die passende Wahl von X für jede Zone wird durch die beifolgende Tabelle für 21,,, erleichtert. Zuerst sollen die A,„ für alle Sterne, also im „schema- tischen Sternsystem“, durch die angeführten Formeln darge- stellt werden. Hier wie im folgenden wurden die Zahlen zu Grunde gelegt, welche bei der Berechnung der mittlei^en Par- 0.515 :0.535 0.555 0.575 10.595 0.615 0.635 0.655 i 0.675 0.695 0.715 0.735 0.755 0.775 0.796 Im.Diff. Untersuchungen über ilas Sternsysteni. 131 o o o o o O o o O o o o o o O C'i CO lO CD CO ci O Ol cd xD CD F-t I CO CO Ci Ol CD Oi CO CD O CO CD Ci CO Ol Ol Ol CO CO xD lO xO CD o o o o o o o O o o o o o O O d d d d d d d d d d o d d d d CO 00 o CD CO CO 00 o 00 xO o kO Ol Ci CD Ol l> CO CD Ol Ol CD CO 00 CO GO CO Ol CD o xD Oi 00 c xD Ol Ci xD Ol CD CO 00 CO 00 CO ÜÜ CO 00 CO t- Ol t— 1 CD o xO Ci ci c^i cö CO xD xD CD CD QÖ cd od CO Ci Ci o Ol m 00 CD Ci o Ci CD o CO Ci o o o Cf) xD Ol Ci xO Ol r*- CO Ci XO CO 00 Ci GO CO 00 Ol t-»* Ol CD o o ci oi CO CO xD xD CD CD 00 od ci Oi 00 lO CO xD Ol r-* O o Ol Ol o Ol CO Ol Ci CD CO o CO CO Ci xO CO Ci Ci Ci CO 00 CO GO Ol fH CD I—« c4 Cl CO CO xD XD CD CD CO cd ci o Ol o O -f Ci xO o XO Ol xO xD Ol Ci OÜ l>> CO Oi Ci Ci 00 CO 00 CO Ol ci Ol CO CO xD xD CD CD 00 cd ci CO o CD xO Ci •x> xD 00 —1 on o 00 o o CD XO CO 00 CD CO Ci CO Ci Ci Ci Ci GO CO CO Ol Ol (H Ol CO cd xD xD CD CD t>- 00 cd ci t>- id 00 CD Ol Ol CD CO CO Ci lO 00 Ci o Oi CO xD CO O 00 xD Ol o Tf* Ci Ci xD Ci Ci Ci 00 CO 00 CO c4 oi CO CO xD xD CD CD !>• 00 cd ci CO CO o O cn xD xO xO Oi oo l> cd od ci o Ol CD Ci xD *D> Ol CO 01 Ci CO 00 Ol \0 o o 00 00 00 CD xO CO Ol o Ci o wo o XD o xD o xD O xD o xD o ci CO CO xD XD CD CD GO 00 Ci ci Ol Ol 00 xD xD O Ci o CD CD CO Ol CD U) o Ol o O Ci an CD xO o xO o CD CD 1-^ CD CD O xCi O xO CO CO xD xD CD CD 1> 00 oö Ci ci Ci o xD CO CD xD O Ci o GO CO 00 CO xD xD xD xO xO CO Ol 01 o XO CD CD p-i CD CD CD CD eo CO xD xD CD CD cd cd Ci' ci lO cc 00 xD CD CO CD Ci o O xO Ci o o CO XD r» Cf) Ci Ci Ci Ci Ci Ci Ci 00 o CD *-• CD CD •—1 CD »-H CD CD CD • Ol XD 00 O Ol CO CO '?f‘ xO xD xD xO \a o o CD Ol Ol Ol Ol r* Ol t-. c4 CO CO xD XD CD CD !>• l> 00 00 Ci ci o o o o O O O o o o O o o O o CO d CD 00 Ci d oi cd xd d 9* 132 11. Seeliger allaxen benutzt worden sind. / muß natürlich den Zahlen A,,, der betreffenden Zone angepaßt werden. Ich habe stets die Betrachtungen über das schematische Sternsystem nur als einen orientierenden A^ersuch aufgefaßt, der hauptsächlich darum einen gewissen AVert hat, weil hier die Zahlen Am selbstverständlich zuverlässiger sind als für die einzelnen Zonen. Es ist mir nicht erfindlich, wie das Gegenteil von Seite einer unmoti- vierten Kritik behauptet werden konnte. Nach einigen leichten Versuchen bin ich beim AVert / = 0.655 stehen geblieben, der auch selbstverständlich bei der Berechnung der m. Parallaxen benutzt wurde. Für die Konstante ergab sich — 5.444. Gemäß dem Verlauf der Zahlen log .4,,, wurde n = 9.5 gesetzt. Die folgende Tabelle gibt Aufschluß über die erhaltenen Resultate. Unter Sch. sind die beobach- teten log Am angegeben. Sie wurden für m > 9.5, wie schon oben als plausibel erkannt, um 0.037 korrigiert. Das ist natürlich eine wenig sichere Korrektur, aber unter den jetzigen Umständen gewiß zulässig. AVill man sie nicht als legal gelten lassen, so würden geringfügige Änderungen genügen, um die Darstellung wiederum genügend zu gestalten. Aus den aus der Zusammenstellung ersichtlichen übrig bleibenden Differenzen dürfte hervorgehen, daß der Anschluß an die Beobachtungs- daten ein vollkommener ist. Da von der Extinktion abgesehen wurde, ist die Grenze des Sternsystems gegeben durch: also log r, = 2.76; r, = 580 Siriusweiten. Untersuchungen über das Sternsystem. 133 m lo4-1)* +*•,. > r dy V c J — 00 ^ und es erreicht Ä den enormen Wert log A = 16.14. Schließ- lich sollen die von Schwarzschild gefundenen Werte (Schw.) für die räumliche Dichtigkeit 2) (/■) und die von mir hier an- gegebenen {S) verglichen werden. Es wurde gefunden y oj = [9.335 — 10]. In Einheiten des Radius ist 1 Quadratgrad CU = (1 : 57.3)^ also y = [2.851]. Die räumliche Dichtigkeit, d. h. die Anzahl der Sterne in einer Kubik-Siriusweite in der Entfernung von a Siriusweiten ist demnach: , r 0.754\ log S = \ogl) = 2.851 — 0.655 log a log . Nach Schwarzschilds Rechnungen ist die Dichtigkeit: log B, (r) = + 0.488 -f 0.485 log r — 0.2200 (log r)\ oder, da r = o-o zu setzen ist: log B[ (g) = 0.719 -H 0.177 log g — 0.2200 (log g)*. Um schließlich die Anzahl der Sterne in einer Kubik- Siriusweite zu erhalten, muß man mit 5® = 125 multiplizieren: log Schw = log B, (g) = 2.816 + 0.177 log o - 0.2200 (log g)*. Die Gegenüberstellung gibt folgende Tabelle : (7 lo lg Schw logS diff. J o log Schw logS diif. 0.10 2.419 100 2.290 1.507 + 0.783 — 0. .10 0.25 2.630 200 2.058 1.320 738 — 6 0.50 2.740 300 1.904 1.210 694 — 1 0.564 2.759 400 1.788 1.130 658 + 2 1.0 2.816 2.243 + 0.573 + ( 3.11 500 1.691 1.068 623 + 6 2.0 2.848 2.324 524 + 16 600 1.610 1.017 593 + 9 3.0 2.850 2.291 559 + 12 700 1.539 0.975 564 + 12 4.0 2.843 2.251 592 + 9 800 1.476 0.937 539 + 14 5.0 2.831 2.215 616 6 900 1.419 0.907 512 + 17 10 2.773 2.078 695 — O 1000 1.367 0.876 491 -t- 19 20 2.674 1.920 754 — 7 30 2.596 1.821 775 — 10 40 2.535 1.747 788 — 11 50 2.481 1.689 792 — 11 100 2.290 1.507 783 — 10 136 H. Seeliger Nimmt man als ungefähres Mittel der Differenz 0.680, so bleibt übrig. Bis o = 800 ist demnach der Verlauf, ab- gesehen von einer Konstanten, bei beiden Bestimmungen ange- nähert derselbe (bis etwa auf 25°/o), abgesehen von ganz kleinen o. Weiterhin tritt auch jetzt, wie früher, die Tat- sache hervor, daß die gefundenen , wenn man von kleinen n (etwa ö < 5) absieht, sehr nahe verlaufen wie o~^-. Hier ist X = 0.60, also wie schon in (III) bemerkt wurde, von dem Werte, welchen die log Am (A = 0.655) ergeben, etwas ver- schieden. (7 loga-«-«» log *8 difr. 0 log a~ ® logS diff. 1 0.000 2.243 2.243 50 — 1.019 1.689 2.708 2 — 0.181 2.324 2.515 100 — 1.200 1.507 2.707 3 — 0.286 2 291 2.577 200 — 1.381 1.320 2.701 4 — 0.362 2.251 2.613 300 — 1.486 1.210 2.696 5 — 0.419 2.215 2.634 400 — 1.562 1.130 2.692 10 — 0.600 2.078 2.678 500 — 1.619 1.068 2.687 20 — 0.781 1.920 2.701 600 — 1.667 1.017 2.684 30 — 0.886 1.821 2.707 700 — 1.707 0.975 2.682 40 — 0.962 1.747 2.709 800 — 1.742 0.937 2.679 50 — 1.019 1.689 2.708 900 — 1.772 0.907 2.679 1000 — 1.800 0.876 2.676 Wäre U = SO wären die 1 m. Parallaxen .-t„, = r-, Die empirischen Parallaxenwerte werden also in der Haupt- sache von einer Veränderung der Dichtigkeitsverteilung ganz in der Nähe der Sonne hervorgebracht. Alle diese Sätze habe ich bereits in den Arbeiten HI und IV aufgestellt. An den Mißverständnissen, die daran geknüpft worden sind, mag die Überschätzung der Sicherheit der Zahlenresultate schuld sein, welche auf anderem Wege erlangt worden sind und die keines- wegs die ihnen zugeschriebene Allgemeingültigkeit beanspruchen können. Die Rechnungen in Bezug auf die Michstraßenzone V ergaben folgende Resultate: / = 0.535; n = 10.0 log 7' = - - 5.428. Untersuchungen über das Sternsystem. 137 m log 3t, „ log C\ log(3l„-C\) log An Sch A 2.0 2.495 — 2.933 — 2.900 + 33 3.0 3.056 — 2.372 — 2.365 + 7 4.0 3.601 — 1.827 — 1.829 — 2 5.0 4.134 — 1.294 — 1.298 — 4 6.0 4.G58 — 0.770 — 0.773 — 3 7.0 5.175 — 0.253 — 0.253 0 8.0 5.686 + 0.258 + 0.258 0 9.0 6.193 -t- 0.765 + 0.765 0 10.0 6.696 + 1.268 + 1.266 — 2 10.5 6.947 5.303 6.937 + 1.509 + 1.501 — 8 11.0 7.197 6.082 7.162 + 1.734 + 1.727 — 7 12.0 7.699 7.059 7.586 + 2.158 + 2.158 0 i:3.0 8.197 7.795 7.978 + 2.550 + 2.551 + 1 14.0 8.694 7.436 8.345 + 2.917 + 2.918 + 1 15.0 9.190 8.026 8.688 + 3.260 + 3.265 + 5 16.0 9.685 8.565 8.998 + 3.570 + 2.593 + 23 Ich habe hier die Werte m > 10.0 um 0.037 korrigiert. Diese Korrektion ist, wie gesagt, zweifelhaft, ändert aber wiederum nichts an der Tatsache, daß dadurch die Möglich- keit einer fast vollkommenen Darstellung der Beobachtungs- daten nicht alteriert werden kann. Die Gesamtzahl J-o.o ist hier 9.0, demnach wäre hier eine viel größere Abweichung, als oben gefunden, vollkommen gleichgültig. Für die Zone D wurde gefunden: l — 0.675; n = 9.5; log V — — 5.377. m log««, log (31, „ — Sch 1 2.0 2.403 — 2.974 — 2.942 + 32 3.0 2.940 — 2.437 — 2.424 + 13 4.0 3.464 — 1.913 — 1.911 + 2 5.0 3.974 — 1.403 — 1.403 0 6.0 4.475 — 0.902 — 0.903 — 1 7.0 4.969 — 0.408 — 0.407 + 1 8.0 5.456 + 0.079 + 0.080 + 1 9.0 5.935 + 0.558 + 0.558 0 9.5 6.175 ' 6.406 + 0.798 + 0.794 -- 4 10.0 6.414 + 1.029 + 1.025 — 4 10.5 6.651 6.624 + 1.247 + 1.245 — 2 11.5 7.125 7.032 + 1.655 + 1.665 + 10 12.5 7.596 7.416 + 2.039 + 2.048 + 9 13.5 8.064 7.775 + 2.398 + 2.402 + 4 14.5 8.534 8.111 + 2.734 + 2.728 — 6 15,5 9.004 8.428 + 3,051 + 3.042 — 9 138 H, Seeliger Die Korrektion für m > 9.5 wurde zu 0.030 ange- nommen. Die Übereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung ist fast vollkommen. Für die Zone C wurde angenommen: = 0.715; 11 = 8.5; log / '= — 5.449 und die Korrektion für m > Die letztere zeigt, wie durch gleich der Differenzen erzielt m log A 8.0 — 0.060 8.5 + 0.173 9.0 + 0.402 9.5 + 0.622 10.0 + 0.834 10.5 -r 1.041 11.0 + 1.241 m log 3l„. log 2.0 2.377 3.0 2.909 4.0 3.428 5.0 3.931 6.0 4.425 7.0 4.911 8.0 5.391 8.5 5.627 9.0 5.863 5.856 9.5 6.099 6.073 10.5 6.568 6.482 11.5 7.040 6.842 12.5 7.499 7.223 13.5 7.961 7.559 14.5 8.422 7.887 ).5 zu 0.020 bzw. -j- 0.016. kleine Veränderungen der Aus- werden kann, nämlich; I II + 233 + 229 + 220 + 212 + 207 + 200 — 4 — 9 — 10 5 — 7 Dg Sch J 3.072 — 3.054 + 18 — 2.540 — 2.535 + 5 2.021 — 2.023 — 2 — 1.518 — 1.517 + 1 — 1.024 — 1.022 + 2 — 0.538 — 0.535 + 3 — 0.058 - 0.060 2 + 0.178 + 0.173 — 5 + 0.407 + 0.402 — 5 + 0.624 + 0.622 — 2 + 1.033 1.041 + 8 + 1.415 1.432 + 17 + 1.774 1.786 + 12 + 2.110 2.111 + 1 + 2.421 2.403 — 18 Auch diese Darstellung ist jedenfalls genügend. Schließlich seien noch die Resultate einiger Rechnungen über die Stern Verteilung in der Zone A, welche die Pole der Milchstraße enthalten, initgeteilt. Ich habe mich hiebei nur auf mehr überschlagsvreise ausgeführte Darstellungen beschränkt, Untersuchungen über das Sternsjstem. 139 da hier die Unsicherheit des Materials teils infolge der ge- ringen Anzahl der helleren Sterne, teils wohl auch durch andere Umstände viel erheblicher geworden ist, so dali eine Bestim- mung der betreffenden Konstanten zurzeit nur mit großer Ungenauigkeit auszuführen möglich scheint. Mit der Konstanten — 5.369 und l = 0.775 ergaben sich log Ä,„ = /"j und die übrig bleibenden Fehler //, . m Sch h ^•2 2 — 3.030 - 3.278 4-248 — — 4 — 1.995 — 2.159 4- 164 - - 2.111 4-48 6 — 1.019 — 1.099 4- BO — 1.076 4-23 8 -0.111 — 0.128 + 17 — 0.127 4- 1 10 + 0.708 + 0.709 — 1 4- 0.700 9 11 + 1.048 4- 1.079 — 31 — — 12 4- 1.381 4- 1.407 — 26 4- 1.377 — 30 13 -t- 1.689 4- 1.691 — 2 4- 1.689 — 2 14 + 1.984 4- 1.941 4- 43 4- 1.986 4-45 Die großen Abweichungen für m = 2 und m = 4 sind an sich ganz gleichgültig, weil die Anzahl aller Sterne 1 bzw. 17 ist, während die hiefür 2 und 14 ergeben. Für ni = 6 freilich kann die Differenz (239 gegen 194) immerhin als nicht recht zulässig betrachtet werden. Man wird voraus- sichtlich die Anzahlen der schwachen Sterne durch andere Wahl der Konstanten besser darstellen können, aber die Un- sicherheit dürfte wenig verringert erscheinen. Was die hellen Sterne betrifft, so hat man es in der Hand, die berechneten Werte den beobachteten, die übrigens offenbar durch weit- gehende und unsichere Interpolation zustande gekommen scheinen, näher zu bringen und zwar durch das oben S. 130 angegebene Mittel. Es steht doch an sich fest, daß die Konstanten a und Aj — l wesentlich durch die m. Parallaxen bestimmt wer- den und die Wahrscheinlichkeit, in allen Zonen mit denselben Konstanten a und — X auszukommen, sehr gering sein muß. Wie man aber für die hellen Sterne m = 2, 3, 4, 5 zu irgend welchen sicheren Parallaxen kommen will, ist nicht recht ver- ständlich, da die Zahlen aller Sterne der Ueihe nach nur 1, 5, 140 H. Seeliger 17, 60 sind. Auf diesem Wege ist also eine Bestimmung namentlicli von a kaum zu erwarten. Nimmt man für a den Wert a' = 1.585 a, ändert im Übrigen nichts, so ergeben sich die Zahlen und J^. Die Darstellung ist also jetzt für die hellen Sterne ganz genügend geworden, während sich für die schwachen die Sachlage nicht merklich geändert hat. Der sternleere Raum wird allerdings sich bis zur Parallaxe 0“14 vergrößern, was vielleicht beanstandet werden kann, wenn anch kaum ein begründeter Einwand dagegen erhoben werden könnte. In jedem Falle muß eine Revision der für die Zone A abgewartet werden, ehe man an weitere Rechnungen mit Erfolg wird schreiten können. Wenn man die gewonnenen vorläufigen Resultate zusammen- stellt, so ergibt sich: Zone r 7. n Grenzen in Sinusweiten alle Sterne — 5.444 0.655 9.5 587 (IV) V — 5.428 0.535 10.0 725 1700 IV — 5.377 0.675 9.5 580 645 III — 5.449 0.715 8.5 360 457 I - 5.339 0.775 7.0 180 327 Die nicht gleichmäßig verlaufende Wertreihe F deutet von Neuem auf Ungleichheiten des benutzten Materials und sicher auch auf die nicht genügend weit geführten Näh§rungsrech- nungen hin. Ein Vergleich mit den in IV gefundenen Zahlen zeigt eine besonders bedentende Abweichung in der Milchstraße, während in den andern Zonen eine größere Übereinstimmung nicht zu erwarten war, denn die Resultate sind sehr empfind- lich gegen Änderungen in den Zahlen A,„, wie ich schon sehr oft hervorgehoben habe. In der Milchstraße spricht sich die Verschiedenheit des neuen Materials und der Resultate der Herschelschen Eichungen deutlich aus. Keinem Zweifel unter- liegt, daß das Sternsystem in der Milchstraße an vielen Stellen eine viel bedeutendere Ausdehnung besitzen muß, als die neue Rechnung ergibt, da hier infolge des sehr stark mit dem Ort variierenden Sternreichtums das „typische Sternsystem“ nur üntprsuchaiigcn über das Slenisysteni. 141 ganz unsicher definiert werden kann. Es müßten jedenfalls an viel mehr Stellen Abzählungen ausgeführt werden, als bi.s- her geschehen ist. Zunächst kann man in Anbetracht aller Umstände immer- hin behaupten, daß bisher mindestens eine ungefähre Vor- stellung von der Ausdehnung des Sternsystems gewonnen ist. Es wäre eine Verkennung der ganzen Sachlage, wenn man schon jetzt mehr verlangen wollte. Die weitere Entwicklung des großen Problems der Stellar- astronomie, so weit wir auch von einer ganz befriedigenden Lösung entfernt sein mögen, ist doch immerhin auf einen einigermaßen festen Grund gestellt worden. Erwünscht bleibt auch weiterhin eine Ausfeilung und Verbesserung der Abzäh- lungsresultate, auch weitere Untersuchungen über mittlere Par- allaxen. Was den ersten Punkt betrifft, so sind die Abzäh- lungen auf noch schwächere Sterne auszudehnen, insbesondere ist aber eine möglichst scharfe Bestimmung der Zahlen A"‘ in der Nähe von m = 8 bis lO^/a erforderlich, wie die all- gemeinen Untersuchungen in Artikel (3) beweisen. Gerade in dieser Beziehung läßt offenbar das neue Material noch zu wünschen. Noch muß folgendes bemerkt werden: Aus den Integral- gleichungen können prinzipiell sowohl die scheinbare Dichtig- keitsverteilung zl, als auch die wahre D, d. h. diejenige, . wie sie nach Berücksichtigung der Extinktion stattfindet, gefunden werden. Bei der Unvollständigkeit der verfügbaren Daten wurde in den mitgeteilten Rechnungen von jeder Extinktion abgesehen. Damit aber die so berechneten mittleren Parallaxen mit der nach den richtigen Formeln berechneten genügend übereinJ stimmen, darf der durchschnittliche Einfluß der Extinktion ein gewisses Maß nicht übersteigen. Daß die Extinktion an sich voraussichtlich gering sein wird, habe ich schon in III wahr- scheinlich gemacht. Es ist von Interesse, den Zusammenhang der ohne Extinktion berechneten ti mit den nach den .strengen Formeln berechneten 7l^ zu überschlagen. 142 II. Seeliger Es ist: f (q) V ßm Q^) ^ Q j* (?) ß”> ?*) Q und weiter ^ s = «*• '/’ (0 Setzt man: 1 r (1 + Fo), so wird ^ <^n wo /', den Maximalwert von /’ bedeutet. Für die von mir als „allgemeine Extinktion“ bezeichnete Extinktion ist: y’{r) = Hieraus folgt: " r Für )• = 0 ist für r = cc F = 0; ferner folgt: Man hat nun F nimmt also fortwährend mit wachsendem r ab. Es ist also 1 == ^,, d. h. es ist: jr, — ."7 < 0“1 Nimmt man allgemein: t — J* V dt V’ (»■) = c- ^ Untersuchungen über das Sternsysleni. 143 wo v eine beliebige Funktion von r ist, und setzt: r r Der absolute Maximalwert wird für ein zunächst unbe- stimmtes r = r, stattfinden : 1 ß- ir’ (»i) r _ . ' 1 Weiterhin ist: U wo V, ein zwischen größtem und kleinstem Wert von r liegen- der Durchschnittswert ist. Unter der Voraussetzung genügend kleiner v wird also sein: , und es wird: nTj — Tr < 0"1 r, . Was die Größe von v betrifft, so habe ich in verschie- denen Ansätzen in (III) Schätzungen vorgenommen aus einem doch wohl zulässigen Prinzip heraus, nämlich dem, daß es unwahrscheinlich sein dürfte, die wirkliche räumliche Dichtig- keit sollte auf größere Strecken mit der Entfernung zunehmen. Merkwürdig ist immerhin, daß meine Schätzungen ungefähr übereinstimmen mit den Versuchen, v aus der Bestimmung des Farbenindex durch Vergleichung photographischer und photo- metrischer Intensitäts- Bestimmungen abzuleiten. Allerdings müssen die dabei benutzten Ansätze zum Teil als willkürlich, zum Teil als unzulässig angesehen werden und von der Form dieser Ansätze hängt die schließliche zahlenmäßige Bestim- mung der durchschnittlichen Größe der Extinktion ab. Auch 144 H. Seelif'er, üntcrsuchungen über das Stenisystem. neuerdings angestellte Versuche in dieser Richtung sind im Prinzip keineswegs einwandfrei. Ich hoffe auf diesen Gegen- stand bei späterer Gelegenheit zurückzukoramen. Jedenfalls dürfte es kaum zweifelhaft sein, daß z. B. bei der „allge- meinen Extinktion“ die Größe r bedeutend kleiner als etwa ist. Dann aber wird tt, — (t), also: X = q)(t) + i wo y’(t) für ein gewisses Intervall T bzw. > t>T eindeutige und stetige Funktionen vorstellen, deren Aus- wahl nur der folgenden Einschränkung unterliegen soll. Es möge das Intervall (^g, T) durch Einschaltung von n — 1 Zwischen werten: bzw. T< • • • <^i {T) = E^ Ili. Die durch Gl. (1) definierten Punkte x liefern dann einen von Xf^ bis X sich erstreckenden stetigen Weg, den wir als den Weg {Xq . . . X) bezeichnen wollen und auf welchem insbe- sondere die Punkte Xy liegen. Die oben bezeichnete Ein- schränkung soll dann darin bestehen, dah die Länge der ge- brochenen Linie (des „Sehnenpolygons“): Xf,x^ . . . Xn-\ X, also n Aäq Summe: '^y 'Xy — Xy^i \ (wo: Xn = X) bei jeder beliebigen 1 Wahl der ty bzw. Xy, insbesondere auch bei unbegrenzter Ver- größerung von n und gleichzeitigem lim (t,, — = 0 (also W ^ 00 auch: lim (Xy — = 0) stets unter einer endlichen Schranke n — ► 00 bleibt, etwa: (3) XI’’ ^1' — Xy-\ \ {ty-i)\{t) keine „äußeren Sprünge“ besitzen dürfen, d. h. daß z. B. f[^) niemals das Intervall f{^ — 0), /"(l-f-O) verläßt: a. a. 0., Theorem II. — Die Form f =

0 ist. Beweis. Die Richtigkeit der Beziehung (I) für w = 0 ist ohne weiteres ersichtlich. Sei nun zunächst p eine positive ganze Zahl, also 1, so hat man identisch: {p -^\)xP = & {xP — xP-’- xl_^) -1- xp-’- x>;_^ P — xP'^\ 1 ^ ' Xy — Xy-l (P -h 1) {Xy-Xy^x) XP = {Xy-Xy-X) , also durch Summation über v = 1, 2, . . . n: (P + 1) ^ (^V — Xy-x) XP = i;.' {Xy^— Xy-x) 't>- XP-^ {Xl — x^_j) I 1 1 _j_ + > —xp-^^, und daher: SitzuDgsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 11 162 A. Pringsheim 1(?> + — a:,_i)a:P — (X/' + ' — xp + ') \ (5) ^ ' n p ^ I Xy Xy^l j Xy | ^ ^ " j — 1 l " l 1 1 Ist nun etwa r die obere Grenze der | z | , so hat man zunächst zur Abschätzung der letzten Summe: Xy\P~’- X’- X’- ' = Xy/-’-\Xy— Xy^l \ \ ‘ ^ ^ Xy-l 4" * ’ ' ^ Xlz\ \ ') ^ ArP“* Xy Xy^X I , also : p ,Xy X^ — X';_J 0 eine untere Schranke für n so fixiert, daß für jedes v: (7) lXy — Xy-il<ö, so geht die Ungleichung (5) mit Benützung von (6), (7) und (3) in die folgende über: n (p -i-l)^'’(Xy—Xy^i)xP—(XP+'—xP+') = — x~^\) 4- '^f x^~P~'^x~^, ■* V “ V V V V — )/ ‘ J V V — 1 p p = — Ijf- X~^p4''> x~^,(x''- — x^ ,1 + X~PX~P, X^-~'' XP~\ 1 •' v-U V v-\) I V y-i^ V r-1 P p {Xy — (p + 1) = _ _ Xy-i) ]^A X- 'p+ o x-}^ {x^ - -\-x-Px;P^{xP-xP^^) p = -{Xy — x-(p4^) (^xl-xi_^)—{x-P - X-PJ. Summiert man wieder über v = 1, 2, . . . n, so findet man: n P'^^ (Xy — Xy-l) X-^P + ^^ H p = - L- (Xy - Xy-]) X- <^ + ■' X-}^ {X^ - Xl_^) — (X- P - X-P) , und daher: (9) fl \P L- {Xy — Xy-]) X-^P4') -f (X-P — X-P) n p ^ — Xy-] I • IJA \Xy\-^P+''>- Xy-l - \ X]^ — Xl_^ 1 1 Um die letzte Summe abzuschätzen, hat man mit Benützung der Voraussetzung lici^£>>0: ! Xy I -(P+1) I Xy-] \ I X\ — Xl_^ I A-1 = i Xy\-'‘P4')\Xy-] -^\Xy Xy-] \ '^>'\Xy \’‘\Xy-] | ^ 0 ;.-i = Xy Xy-]\'^>^ \Xy\^-P~'\Xy-]\-’‘-' 0 ^ Xy — a;^-! 1 A^»-iP+2), also: p Ua Xy -^P -'^Xy-]'. - ^ •\X^'^—Xl_^ \^^P{p-\- l)o-(PF2)|a;^_2;^_j| und : 11 164 A. Pringshelm » p (10) n n Wird jetzt wieder n groß genug angenommen, daß durch- weg \Xy — a;,,_i|<(5 ausfällt, so geht die Ungleichung (9) mit Benützung von (10) und (8) in die folgende über: n P S>' {Xy — Xy-{)X-''P-^^'^ -}- (X- P — <ö'^p{p-\-l)Q-'^P-^^'^L, und man findet somit: oder, wenn man schließlich noch p mit p — 1 vertauscht: Durch Zusammenfassung von Gleichung (8) und (11) er- gibt sich, wenn man noch p bzw. — p durch m ersetzt, das oben als Formel (I) ausgesprochene Resultat. 3. Wir definieren jetzt das (bestimmte) Integral einer Po- tenz a:"* (w = 0, 1, ±2, ± 3, . . .) erstreckt über einen heliehigen von Xg bis X verlaufenden, stetigen und rektifieierbaren Inte- grationsweg (der nur im Falle »n < 0 in endlicher Entfernung von der Stelle x = 0 verlaufen muß) durch den zuvor näher erklärten Grenzwert: X (II a) Infolge von Satz (I) der vorigen Nummer besteht dann die Beziehung^): 0 Dieses Ergebnis, d. h. die direkte Wertbestimmung des Integrals X n f x”' dx vermittelst des definierenden Grenzwertes lim (x^ — ^v-i) Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 165 X (II b) {x"'dx = — ^ ^ J w + 1 ^ . 0 ^ Xq Das fragliche Integral ist also vom Integrationswege völlig unabhängig, sein Wert hängt (nach Art eines reellen Integrals) lediglich von den Grenzen x^^ und X ab. Ist der Weg ein geschlossener, also X. = x^, so hat das Integral allemal den Wert Null. § 2. Das bestimmte Integral eines Polynoms und einer konvergierenden Potenzreihe. 1. Es sei f{x) eine längs eines stetigen rektifizierharen Weges (aJfl . . . X) eindeutige und stetige Funktion. Alsdann definieren wir das über diesen Weg erstreckte Integral von f{x) durch die Formel: scheint mir bei Beschränkung auf reelle x auch für die gewöhnliche Integralrechnung von Nutzen zu sein. Ohne Zweifel besteht doch in diesem Zusammenhänge das didaktische Bedürfnis, die Möglichkeit der Berechnung eines bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe an irgendwelchen Beispielen evident zu machen. In der Tat dürfte es kaum ein größeres, den fraglichen Gegenstand behandelndes Lehrbuch geben, welches diesem Bedürfnis nicht Rechnung zu tragen sucht. Dies ge- schieht nun in allen mir bekannten Lehrbüchern (und ich habe eine sehr große Anzahl daraufhin kontrolliert!) stets in der Weise, daß zunächst die Existenz des Grenzwertes bei beliebiger Wahl der Teilung erwiesen und sodann die Auswertung an die Benützung einer speziellen Teilung X geknüpft wird — z. B. bei der Berechnung von J* * dx an eine Teilung *0 X in gleiche Intervalle, bei der Berechnung von J* x”* dx (nach dem Yot- gange von Dirichlet) an eine solche, bei der die Zwischen werte x^ eine geometrische Progression bilden, während doch die unmittelbare Aus- wertung des allgemeineren, auf einer beliebigen Teilung beruhenden Grenzwertes dem fraglichen Zwecke in noch prägnanterer Weise dienen würde. Gerade aus diesem Umstande glaubte ich mit ziemlicher Sicher- heit schließen zu dürfen, daß die hier mitgeteilte Methode, so nahe- liegend sie erscheinen mag, bisher nicht bemerkt worden ist. 166 A. Pringsheim (III) r f{x) dx = lim XI>' {Xy Xy-l) f{Xy) {Xn=X), c/ n— 00 1 ^0 sofern dieser (im Sinne des vorigen Paragraphen zu bildende) Grenzwert existiert. Daß dies allemal wirklich der Fall ist, läßt sich ohne besondere Schwierigkeit nachweisen^), wird aber hier nicht benützt. Wir können nämlich in dem vorliegen- den Zusammenhänge uns damit begnügen,, für den Fall, daß jener Grenzwert existiert, daraus die nachstehenden Folgerungen zu ziehen: 1) Es ist stets: (lila) X J f(x)dxi 0 angenommen und setzt man: (1) gmix — a) = Cq -\- c^{x — a) \rc„,{x — a)”', so gilt nach Formel (Ille) und (III d) die Definitionsgleichung: X XX J' g,n{x — a)dx = Cf^^ dx ^ {x — a)dx • • • (Va) *0 + c„, j {x — «)” dx *0 und man findet mit Benützung von (IV b): (Vb) A J g,„ {x — a)dx = ((X — a) — {x^ — a)) *0 + ^-((X-a)^-(a:„-a)») + + XT ‘ - (^0 - «)"•+ ') = gl+x{X — a) — gZ+x{x^ — a), wenn gesetzt wird: (2) g:k+i(x-a) = Co(x-a)-\-^ix-af-\ \- so dafi also: (3) gm {x — a) = Dgm+i{x — d). Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 169 Analoge Beziehungen gelten offenbar für ein nach nega- tiven Potenzen (x — (wo v > 2) fortschreitendes Polynom, etwa: (4) gm = Cg (a; — «)- 2 ^ 1- c„. (x — a)- Man findet insbesondere; X (VI) J dx = Ä-. (xi J -Ä-. Jo wenn gesetzt wird: (5) SO daß also: (6) m — 1 (x — a) -(m-l) (a: - a) - (a: - a) 3. Bedeutet jetzt (a: — a) eine konvergente Potenzreihe, etwa: (7) ^ (a; — a) = Zj»« (x — aY und ist {Xq ... X) ein ganz im Innern ihres Konvergenz- bereiches verlaufender (stetiger und rektifizier barer) Weg, so besteht nach Formel (III) zunächst die Definitionsgleichung: r (Vlla) \ 'ii^{x — q)dx = \\m^v {x^ — Xy—\)^{Xy — a) (a;„=X). >} 00 1 XO Wir wollen zeigen, daß nach Analogie von Gl. (Vb) die Beziehung besteht: A. (Vllb) J ^(a: — a)rfa: = 5p*(X — a) — xo wenn gesetzt wird: 170 A. Pringsheim (8) !p*(*-a) = i;'‘-^(i-a)”+', 0 « -f- i also: (9) 'ip (a; — a) = B ip* {x — a). Wir setzen nun die beiden vorliegenden Potenzreihen in die Form: 00 ip {x — a) = (x — a)^ + {x — a)'* 0 m + l = g„ (a: — a) + (x — a), ^ 00 -rC* - a) = £. ^ (*-a)“+' + £«^(o;-ar+' = g*„+x {x — a)-\- ü:* +1 {x — a). Man hat sodann: n n S” {Xy — a:^ _]) g} (Xy — a) = S- (Xy — Xy-x) g,n {Xy — a) 1 1 und andererseits: n + S* (a:,. — a:^ _ i) B„, {Xy — a) 1 gJ*(X — a) — ip*(a:o — a) = + i (X — a) — ^^^+1 (a;^ — a)) ~H Rm + 1 (X^ oi) Rm + 1 (:^o Hieraus durch Subtraktion und Übergang zum absoluten Betrage : S*" {Xy — a;v_ i) gß (Xy — a) — (gß* (X — a) — gß* (a:^ — a)) (10) ^ ^^''{Xy Xy — ^gmiXy (^m-f-llX Oj) -f- 1 I ^ 1 ' n "b ^j'’{Xy Xy — i)Riii{Xy a) “b|7Jni4-i(X a)i-b|72„i^i(a:g ®)|* 1 Infolge der gleichmäßigen Konvergenz der beiden Potenz- reihen läßt sich zunächst m so fixieren, daß für jedes in Be- tracht kommende x: Rm {X Cl^ , I Rm 1 ix a) I ^ £ , Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 171 und daher (mit Berücksichtigung von: — Xy-i \ < L) die 1 Summe der drei letzten Glieder von Ungleichung (10) Meiner als {L -\-2) e ausfällt. Hierauf kann man mit Rücksicht auf Formel (III) und (Vb) ein N so auswählen, daß für n ^ N\ n 'L'’{Xy—Xy-i)g,„{Xy—a)—{g^^x{X-a)—g';nJf.\{XQ-a)) < e, \ I ; so daß die Ungleichung (10) in die folgende übergeht: n S’'(a;,-a:v_i)i|5(r„ — o)— (it5*(X-a)-'43*(a;o— a)) < (Z -f- 3)£ 1 und schließlich ergibt sich: n lim S” (Xy — Xy-i) ^ (Xy — a) = (X— a) — (X(^—a), «— ► CK> 1 womit die fragliche Behauptung (VII b) bewiesen ist. Ihr In- halt kann offenbar auch durch die Formel ausgedrückt werden : X X (VIIc) J' Cy. (x — dx = Cy ^ (x — ay dx ^ ® xo mit Hinzunahme der Integralformel (IV b), d. h. schließlich des Fundamentalsatzes (I). Im übrigen enthält Gleichung (VII b) die Aussage, daß das Integral von (x — a) längs eines mi Innern ihres Kon- vergenzsbereiches verlaufenden (stetigen und rektifizierbaren) ^) Weges {Xf^ . . . X) nur von dessen EndpunTden abhängt, also *) Unsere Beweismethode trägt also etwas weiter, als diejenige, welche Herr Kowalewski in seinem Lehrbuch „Die komplexen Ver- änderlichen und ihre Funktionen (1911)“ bei seinen sehr ausführlichen und exakten Untersuchungen über die vorliegende Frage angewendet hat. Dort muß zu den Voraussetzungen der Stetigkeit und Eektifizierbarkeit noch die weitere hinzukommen, daß der Quotient „Bogen durch Sehne“, wenn die letztere gegen Null konvergiert, stets unter einer endlichen Schranke bleibt (a. a. 0. S. 158). An einem sehr einfachen und lehr- reichen Beispiel wird ausdrücklich gezeigt, daß es stetige rektifizierbare Wege gibt, welche diese Eigenschaft nicht besitzen. 172 A. Pringsheim bis auf diese beiden vom Wege unabhängig ist. Ist der Weg ein geschlossener, also X = , so hat das Integral den Wert Ntdl. Schließlich findet man noch, wenn man mit x einen be- liebig veränderlichen Innenpunkt des Konvergenzbereiches be- zeichnet und zum Unterschiede für den Integrationsbuchstaben x ein anderes Zeichen, etwa s benutzt, nach Gleichung (VII b): X (11) J* ^ — a)dz = '?ß*{x — a) — ^*(a;o — a) *0 für jeden im Innern des Konvergenzbereiches verlaufenden Integrationsweg, also mit Benützung von Gleichung (9): X (12) ^d'^*{z — a) = 5]3*(a; — a) — ^^(a^o — a) *0 (wobei es offenbar freisteht, {x — a) durch {x — a)-\- honst. zu ersetzen: Zusammenhang zwischen dem unbestimmten und dem bestimmten Integral) und: (13) A dx dz = X) (a: — a) — (a: — a) *0 (das Integral als eindeutige differenzierbare Funktion seiner oberen Grenze). Analoge Beziehungen gelten mit Berück- sichtigung von Gleichung (VI) auch für eine Reihe, die nach negativen Potenzen von x — a mit Ausschluß von {x — a)“* fortschreitet. Insbesondere findet man für jeden im Innern des Konvergenzbereiches verlaufenden Weg a;^ ... X: X X (VIII) J' c« (a; — dx = ^ (x — a)“" dx *•0 *0 = - (X - a)-'^ - 1« ^ (a:, und das betreffende Integral hat wiederum den Wert Null, wenn der Weg ein geschlossener ist (gleichgültig, ob er die Stelle a, also schließlich das ganze Divergenzgebiet der Reihe umschließt oder nicht). Elementare Funktionenthtorie und komplexe Integration. 173 § 3. Das bestimmte Integral einer regulären analytischen Funktion. Der Cauchysche Integralsatz. 1. Es seien (a: — a), (a; — a,) zwei Potenzreihen mit teilweise zusammenfallenden Konvergenzkreisen und es bestehe in dem gemeinsamen Stücke B ihrer Konvergenzbereiche die Beziehung: '43(a: — a) = — a,), so definieren die beiden Potenzreihen zusammen eine im Innern des aus beiden Konvergenzkreisen bestehenden Bereiches A analytische Funktion regulären Verhaltens f{x). Dann läßt X sich zunächst zeigen, daß Jf(x)dx für jeden einzelnen im ^0 Innern von (Ä) verlaufenden Weg Xq ... X einen bestimmten Wert besitzt, auch wenn der Weg sich über die beiden Teil- bereiche erstreckt, in denen nur je eine der beiden Potenz- reihen konvergiert. Dabei genügt es offenbar den Fall zu betrachten, daß x^ dem einen, X dem anderen dieser Teil- bereiche angehört und daß der verbindende Weg Tg ... X den gemeinsamen Konvergenzbereich B einmal durchsetzt, da ja Wege zusammengesetzterer Art sich im allgemeinen') in eine endliche Anzahl solcher bzw. ganz in einem einzigen Konver- genzkreise verlaufender Wege zerlegen lassen. Bedeutet dann 6 irgend einen auf x^ . . . X gelegenen, dem Innern von B angehörigen Punkt, so hat man nach Nr. 1 des vorigen Para- graphen, Gleichung (Ulf): X b X J* /'(a:) dx = ^ f{x)dx ^ f(x)dx, Xq Xq b und da auf Grund der Definitionsgleichung (III) des vorigen ') Der allerdings denkbare Fall, daß ein Wegstück eine der beiden Grenzlinien von B unendlich oft durchsetzt, bietet keine Schwierigkeit, da ja eine der beiden Potenzreihen längs dieses ganzen Wegstückes konvergieren muß. 174 A Pringsheim A' Paragraphen der Wert des Integrals ^f{x)dx nur von den *0 Zahlenwerten der Funktion f {x\ nicht aber von deren besonderer Darstellungsform abhängt, so kann man setzen: X b X jjf{x)dx = J ^(x — a) dx J' iPi (a; — dx , xq Xq b das fragliche Integral hat also einen bestimmten Wert.^) Durch Fortsetzung dieser Schluß weise ergibt sich folgendes: Ist längs irgend eines stetigen und rektifizierbaren Weges x^ ... X eine analytische Funktion regulären Verhaltens f(x) durch ein System von Potenzreihen (a; — a^) mit ineinander greifenden Kon- vergenzkreisen definiert, so hat das über diesen Weg erstreckte X Integral J* /'(x) (7a; einen bestimmten, durch eine Summe von V+i Integralen der Form J — a^^dx darstellbaren Wert. 2. Nun sei f (x) regulär zum mindesten für alle Innen- punkte eines gewissen Bereiches S und es bedeute B' einen zusammenhängenden, von einer oder mehreren stetigen und rektifizierbaren Randkurven begrenzten Bereich, der nur aus Innenpunkteii von B besteht. Wird dann mit {B*) die gesamte Begrenzung von B‘ und mit ^f{x)dx das Integral über den + (Ä') Daß dieser Wert nicht etwa von der Wahl des Punktes h ab- hängt, ersieht man, wenn h' einen anderen in (R) gelegenen Punkt des Weges Xq ... X bedeutet, aus der Beziehung: Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 175 Weg B' in einem bestimmten Richtungssinne, dem sogenannten positiven, bezeichnet, so soll gezeigt werden, daß : (1) jf{x)dx = 0. + (ß') Beweis. Da f(x) im Innern und auf der Begrenzung von B‘ regulär ist, so existiert für jede Stelle x' von B' eine Um- gebung X — a:' < r', innerhalb deren eine Entwickelung von CD der Form f(x) = ^^■c^(x — x*y besteht. Dabei besitzen nach 0 einem bekannten Satze die positiven Zahlen r‘ ein von Null verschiedenes Minimum, das mit q bezeichnet werden möge. Zerlegt man nun den Bereich B‘ durch horizontale und ver- tikale Gerade im Abstande ]/ ^ q in eine endliche Anzahl von Teilbereichen (Quadraten und Bruchstücken von Quadraten) Bx, so ist die größte Entfernung zweier Punkte, von denen einer im Innern, der andere auf der Grenze eines solchen Teil- bereiches Bx liegt. Meiner als die Diagonale eines Quadrats mit der Seite p , d. h. Meiner als g. Wird also ein Punkt Xx ganz beliebig im Innern von Bx angenommen, so liegt die gesamte Begrenzung von Bx noch innerhalb des Konvergen;- bereiches einer Entwickelung von der Form f (x) = (x — xxy. 0 Infolgedessen ergibt sich nach Nr. 3 des vorigen Para- graphen, daß für jedes A: (2) j f{x)- dx = 0. Ferner besteht für f(x) insbesondere längs der Begrenzung von B' ein System in einander greifender Potenzreiben -Ent- wickelungen, und es besitzt daher das Integral von f {x) er- streckt über die Begrenzung {B‘), etwa in positivem Richtungs- sinne, nach Nr. 1 einen bestimmten Wert. Andererseits ist aber dieses Integral gleich der Summe aller über die ein- 176 A. Pringsheim zelnen (Bx) in entsprechendem Sinne erstreckten Integrale, da ja bei der Addition dieser letzteren alle von den (zweimal in entgegengesetzter Richtung zu durchlaufenden) Hilfsgeraden herrührenden Bestandteile sich herausheben. Somit ergibt sich mit Berücksichtigung von Gleichung (2) die Richtigkeit der oben ausgesprochenen Behauptung (1). 3. Im vorstehenden ist also der Cauchysche Integralsatz bewiesen für die lediglich als stetig und rektißzierbar voraus- gesetzte Begrenzung eines zusammenhängenden Bereiches B unter der Voraussetzung, daß die zu integrierende Funktion f (x) sich im Innern und auf der Begrenzung regulär verhält. Da aber andererseits ohne Benützung der komplexen Integration, nämlich mit Hilfe der wesentlich einfacher gearteten Mittel- werte gezeigt werden kann ^), daß jede in irgend einem Be- reich B eindeutige und stetig-differenzierhare (d. h. mit einem stetigen Differential quotienten f {x) versehene, nach der Gauch y- schen Terminologie synelctische) Funktion f{x) daselbst regu- lären Verhaltens ist, so ist damit der fragliche Satz in dem bezeichneten Umfange zugleich für solche stetig-differenzierhare Funktionen bewiesen, d. h. in genau demselben Umfange, wie ihn der Beweis von C. Jordan* *) gibt, der ja bis zum Er- scheinen des Goursatschen Beweises mit dem , Lemma“*) als der am weitesten reichende zu gelten hatte. 4. Will man schließlich dem Cauchyschen Integralsatze (immer bei Zulassung von Integrationswegen, die lediglich stetig und rektißzierbar zu sein brauchen) bezüglich der Voraus- setzungen über f{x) denjenigen Grad von Allgemeinheit geben, wie der (übrigens auf eine speziellere Gattung von Integrations- wegen sich beschränkende) Goursatsche Beweis ihn besitzt, d. h. fordert man für f{x) lediglich die Existenz eines für jedes einzelne x endlichen Differentialquotienten f {x), nicht 1) s. Math. Ann. 47 (1896), S. 147 und besonders diese Berichte, Bd. 26 (1896), S. 167 fF. *) Cours d’Analyse 1 (1893), No. 193 — 198. ®) Amer. Math. Soc. Transact. 1 (1900), S. 14. Vgl. auch 2 (1901), S. 413. Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 177 aber dessen Stetigkeit, so läßt sich dies sehr einfach in fol- gender Weise bewerkstelligen. Man braucht dazu die Beziehung ^f{x)dx = 0 nur für den Fall zu beweisen, daß die Inte- gration sich über den Umfang eines Dreiecks erstreckt ‘), wo- raus dann unmittelbar die Gültigkeit der analogen Beziehung für den Umfang eines Polygons resultiert. Wird dann in irgend einem einfach zusammenhängenden Bereiche, in welchem fipc) dififerenzierbar ist, ein beliebiger Punkt x^ fest angenom- men, so ist für jedes dem Bereiche angehörige x bei Zulassung X beliebiger polygonaler Integrationswege F{x) = ^ f{z)dz vom Wege unabhängig, also eine eindeutige Funktion von x. Man hat sodann: .-k+A x4-A Fix -Y h) — Fix) = ^ fis) d2= ^ if (2) —fix)) d2 -\-f ix) ■ h, X X (wo bei hinlänglich kleinem \ h \ die Integration von x Vxs x -[- h geradlinig vollzogen werden kann) und daher: X-\-h x-\- h wenn eine obere Schranke ö für Ä| so bestimmt wird, daß: fi2) — fix)\<.e für: \2 — x ■^\h\o h = 0 ') Eine sehr einfache und kurze Fassung dieses Beweises habe ich in Bd. 33 (1903) dieser Berichte S. 681 angegeben. Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 12 178 A. Pringsheim und zwar gleichmäßig für alle h, wenn x h geradlinig nach X konvergiert. Mithin ist F{x) in allen (geradlinigen) Richtungen gleich- mäßig differenzierbar, also schlechthin differenzierbar und schließ- lich, wegen: stetig differenzierbar, also nach dem oben gesagten regulär. Gleichzeitig mit F{x) ist aber auch F'{x), d. h. f(x) regulär und es gilt also für die zunächst nur als eindeutig und dif- ferenzierhar vorausgesetzte Funktion f {x) der Cauchysche Integralsatz in dem oben für reguläre Funktionen festgestellten Umfange. § 4. Das Integral von x~^ für einen geschlossenen Weg um den Nullpunkt. — Der Cauchysche Randintegral- und Residuensatz. 1. Aus dem Cauchyschen lutegralsatze folgt in ent- sprechendem Umfange und nach bekannten Methoden die Un- X abhängigkeit des Integrals J f{z)dz vom Integrationswege, ^‘0 die Differenzierbarkeit nach der oberen Grenze und der Zu- sammenhang mit dem unbestimmten Integral. Hierauf braucht also nicht weiter eingegangen zu werden. Dagegen bleibt noch eine Frage offen, die sich auf das Integral von x~^ be- zieht. Da x~'^, abgesehen von der Stelle x — 0, sich regulär X verhält, so existiert J f{z)dz für jeden die Stelle x = 0 ver- ■fO meidenden Integrationsweg und verschwindet, falls der letztere ein geschlossener ist und die Stelle x = 0 auch nicht im Innern enthält. Es bleibt also nur das Integral J x~' dx für einen die Stelle x = 0 umlaufenden geschlossenen Weg auszuwerten, wobei es auf Grund des Cauchyschen Integralsatzes freisteht, jeden (in dem angegebenen Umfange) beliebigen Weg durch einen nach Bedarf gewählten speziellen zu ersetzen. Wir wählen, um die Berechnung ohne die Benützung der üblichen Trans- Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 179 formationsmethoden der Integralrechnung durchzuführen, als Integrationsweg das Quadrat mit den Eckpunkten: 1— i, l + i, — l-j-*) — 1 — i- Man hat also, wenn mit 4~ (0 positiver Inte- grationsrichtung zu durchlaufenden Umfang des betreffenden Quadrats bezeichnet: i + t -! + .■ - 1 — i 1 — i dx X r dx rdx rdx rdx r J J T + J ^ + J J -f(§) 1-i 1 + .- -1+t -1-1 Das erste der rechts stehenden Integrale zerlegen wir folgendermaßen : I i i l+<- l-i Jdx r dx r X J X J dx X 1-1 1 1 und, da die Existenz dieser Integrale bereits feststeht und es demgemäß ausreicht, die betreffenden Grenzwerte mit Hilfe einer Teilung in gleiche Intervalle zu berechnen, so findet man: r • r 1 V- ^ ( c- 1 A I = i lim — y]i. I für: Xy ■=^ \ A i ) J X u^a>n 1 , . 1' . \ w / 1 1 1 + -i n 1 — 1 rdx . 1 " 1 /„ . j' I = — I hm — Y\v - für : Xy = 1 i 1 J X , OS 1 , r . \ yi j 1 ^1 1 und daher: (2) i + i rdx ^ 1" 1 = 2 i lim — Vv ; — T J X ^ Für das zweite der in Gleichung (1) rechts stehenden Integrale hat man zunächst: -i + i 1+» dx -1+1 dx X 1+1 und sodann: 12* 180 A. Pringsheim ■ +• Cdx 1 " 1 / . jA I — = lim — Vv 1 rur: Xy = i -\ 1 , J X „-00« 1 • , \ r ?-? = - li J X ,• 1 " 1 hm - "Vv V i n (für: i , also: r dx (3) J X l + i In ganz analoger - 1 — t r dx J X -! + •• (4) 1 —1 P dx J X — 1 - «■ mithin schließlich: P dx (5) J X +(§) I — t C dx .... 1 ” 1 J ^ = ^M"Ln V7Tp¥’ ■ + ' + [n> 1 + ej r dx - . 1 ” 1 J ir = «‘.'r.n VaTTVv- 1 + Durch Entwickelung der rechts auftretenden Summe nach Potenzen von 1 " 1 (6) - ‘ 1 + findet man: 1 n 21-1 /y\2;.2 fc-l n ,,2/. 1 0 n‘’ J n 2fc n 2k / \ 2 A 2 It n „2 p&(-iy(-) =£:(-iyp-„,r 2). ^22+1 • Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 181 Nun ist bekanntlich'): 1 + 1’ und daher wird für jedes k: 1 (7) lim OD ^ ■ ‘ + 1^ also schließlich : (8) 2k- 1 1 2k 1 0 1 " hm „-,00 n ^ 2A + 1’ 1 ■ > + 1« 2 1)^‘2A + 1 71 d. h, gleich der Leibnizschen Reihe für — , so daß nach Gleichung (5) sich ergibt: (9) C dx I - = 2711 J X + («) und hieraus, wenn man mit {G) einen beliebigen den Null- punkt umlaufenden geschlossenen Weg bezeichnet, etwas all- gemeiner: (9a) ^^^ = 27iL x) oc 2. Durch Substitution von x — a für x findet man, analog X X wie früher bei der Herleitung von J (x — a)”* dx aus J x”* dx ^0 (s. § 2, (Gl. IV a), S. 167), daß auch: Die Formel ergibt sich am einfachsten mit Hilfe des verall- gemeinerten Cauchyschen (Stolzschen) Grenzwertsatzes, nach welchem: n— I «n ^ h™ ITT“ = lim XTF nr > „—,00 »I — ► 00 1 falls der rechts stehende Grenzwert für lim 3f„ = -l-oo, eocistiert. »-*<*> 182 A. Pringsbeim, Elementare Funktionen theorie etc. (10) J: +(C) dx = 2ni, falls der geschlossene Weg ((7) die Stelle a im Innern enthält. Ist nun f (x) regulär im Innern und auf der Begrenzung eines Bereiches B von der Art, wie er beim Beweise des Cauchyschen Integralsatzes benützt wurde, und bezeichnet man mit x' jede beliebige Stelle hn Innern von B, so ist auch ^ — - in demselben Umfange (insbesondere auch an der OC ' ■ oc Stelle x‘) regulär, und man findet daher auf Grund des Cauchy- schen Integralsatzes und Gl. (10): 0 = J f(x)-f(x‘) dx — r clx — 2jiif {x‘), J X — x‘ also: (11) +(fi) +(ß) + (ff) {C a uchy scher Bandintegralsats). Enthält der Bereich B im Innern die isolierte singuläre Stelle a und bezeichnet man mit {K) einen in B verlaufenden Kreis um a, so hat man zunäch.st: J* f{x)dx = ^ f{x) dx. + lß) +(A-) Da nun für die Umgebung von a auf Grund der Mittelwert- methode^)eineLaurentscheEntwickelung von der Form besteht: + 00 f {x) = D- Cy. {x — ay, — oc so findet man mit Benützung des in § 2 über die Integration von Reihen nach positiven bzw. negativen Potenzen gesagten, sowie von Gleichung (10): J f{x)dx = 2 7iic-i {Cauchy scher Residuensatz). +(ß) 0 Vgl. diese Berichte, Bd. 25(1895), S.85 oder Math. Ann. 47 (1896) S. 147. 183 Über den optischen Ansgleich in der Zeitlupe. Von Ludwig Burmester. Vorgetragen in der Sitzung am 6. März 1920. Mit den gewöhnlichen kinematographischen Aufnahme- apparaten können wegen der ruckweisen Bewegungen des Films höchstens 20 Aufnahmen in der Sekunde ausgeführt werden, und deshalb sind sie bei schnellen Bewegungsvorgängen, die eine grofäe Anzahl Aufnahmen in der Sekunde erfordern, nicht verwendbar. Der von Dr. H. Lehmann konstruierte und von der H. Ernemann A.-G. in Dresden hergestellte kineraato- graphische Aufnahmeapparat mit stetiger Bewegung des Films vermittelst optischen Ausgleiches ermöglicht in der Sekunde bis 500 Aufnahmen schneller Bewegungsvorgänge, die bei der kinematographischen Vorführung verlangsamt in den einzelnen Phasen anschaulich erkennbar werden. Der früh verstorbene wissenschaftliche Mitarbeiter in dieser Firma, Lehmann hat die schematische Anordnung dieses Aufnahmeapparates mitgeteilt ^). Er schreibt: „Wie das Fernrohr und das Mikroskop eine Er- weiterung unseres Gesichtssinnes bedeutet, indem sie uns ent- fernte oder sehr kleine räumliche Elemente durch Vergröße- rung bemerkbar machen, so bedeutet auch der neue kinemato- graphische Apparat eine Erweiterung unseres Gesichtssinnes, indem er uns nämlich Bewegungsvorgänge erst bemerkbar *) Photographische Korrespondenz, .Tuli 1916, S. 227. Ferner hat auch Dr. A. Klughardt über die Zeitlupe berichtet in der Zentralzeitung für Optik und Mechanik 1919, S. 199. 184 L. Burmester macht, die infolge ihrer sehr großen Bewegungsgeschwindig- keit unsere natürliche Wahrnehmungsfähigkeit übersteigen. Man kann daher mit gutem Rechte den neuen Apparat das »Zeitmikroskop« nennen“. Dagegen hat Lehmann in dem mir gesandten Sonderabdruck von seiner Mitteilung anstatt Zeit- mikroskop korrigierend die Benennung Zeitlupe gewählt, die auch von jener Firma angenommen wurde und nun üblich geworden ist. Vermutlich deshalb, weil er nur mäßig schnelle Bewegungsvorgänge bei 15- bis 20 fach verlangsamter Wieder- gabe: Sprung vom Hund und Pferd, auch Taubenflug und Sprung auf ein Feuerwehrsprungtuch, vorgeführt hat. Der optische Ausgleich in der Zeitlupe ist auf das Reflions- gesetz des Lichtstrahles gegründet; und wird dadurch bewirkt, daß die photographische Aufnahme von einem schnell bewegten Objekt auf einem stetig schnell bewegten Film erfolgt. Durch die Zeitlupe wird der Kinematographie ein ergiebiges Gebiet für die Erforschung mannigfaltiger schneller Bewegungen eröffnet; deshalb erscheint es zeitgemäß, den optischen Aus- gleich theoretisch zu untersuchen. Zunächst betrachten wir einen einfachen optischen Aus- gleich, der abgeändert in der Zeitlupe vorkommt. In Fig. 1 trifft ein ruhender, einfallender Lichtstrahl I in einem Punkt 0 auf einen Spiegel der sich um eine in 0 auf der Zeichen- ebene senkrechte Achse dreht; und nO ist das Einfallslot. /N /N Der reflektierte Lichtstrahl l wird durch den Winkel nl = \n be.stimmt. Zur Veranschaulichung dieser Beziehung während der Drehung des Spiegels verwenden wir einen fünfgliedrigen Mechanismus, wie bei dem Heliostaten. Die vier Glieder 1, g, g, l bilden ein gleichschenkeliges Gelenkviereck mit den Gelenken 0, S, W, L. Die beiden Glieder I, l haben gleiche Länge und ebenso die beiden Glieder g, g. Das Glied I ist fest und als solches durch Schraffierung gekennzeichnet. Das schlitzförmige Glied n mit dem auf ihm senkrechten Spiegel s§ dreht sich um die feste Achse 0, und in dem Schlitz gleitet der zylin- drische Zapfen JV, durch den die Glieder g, g drehbar ver- über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe. 185 bunden sind. Infolge dieser Anordnung halbiert n als Gerade betrachtet beständig den vei'änderlichen Winkel 1 1 und ist das Einfallslot für die jeweilige Lage des Spiegels. Sonach wird durch diesen Mechanismus zu jeder Drehung des Spiegels der entsprechende reflektierte Lichtstrahl l bestimmt. Und wenn umgekehrt ein von dem bewegten Punkt L ausgehender Licht- strahl den Spiegel in 0 trifft, so befindet sich l als reflek- tierter Lichtstrahl in Ruhe. Betrachten wir als eine Ausgangslage des Einfallslotes, das sich um einen Winkel = -- gedreht hat, und machen U wir den Winkel dann schwenkt der reflektierte /\ Lichtstrahl von seiner Ausgangslage Iq nach l um den Winkel 186 L. Burmester Hiernach ist ^ ^ ^ ^ ^ ^ n Zfl -f ^0 ^ ^ ^0 + ^0 ^ und %n -{■ nl^ = In^. Indem wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen, ergibt sich /\ ^ ^ ^ /\ IqI — n^n = w ; mithin IqI = 2. n^n = a. Das gleiche folgt, wenn wir n anderseits von um den C( Winkel ^ drehen. Hiernach gilt der Satz: Dreht sich bei einem ruhenden, einfallenden Licht- strahl I der Spiegel s§ um einen Winkel; dann schwenkt der reflektierte Lichtstrahl l in gleichem Sinn um einen doppelt so großen Winkel. Bildet die Lage des Einfallslotes, wie es insonderheit gewählt ist, mit I den Winkel I = 45°, so ist der ent- sprechende reflektierte Lichtstrahl 1^ senkrecht auf l. Wir nehmen nun an, daß ein zu 1^ senkrechter Film F sich proportional der Drehung des Spiegels s§ bewegt; und während dessen Einfallslot sich von nach n um den Winkel — di dreht, durchläuft der Film F die Wegstrecke AqA, die von l begrenzt wird. Demnach entspricht dieser Wegstrecke A^ A die Schwenkung des reflektierten Lichtstrahls von 1^ bis l. Ferner nehmen wir an, daß der bewegte reflektierte Licht- strahl in allen seinen Lagen einen photographischen Bildpunkt von einem in I liegenden Objektpunkt, etwa von 8, auf dem bewegten Film F erzeugt. Die Wegstrecke A^ A teilen wir beispielsweise in vier gleiche Teile, deren Teilpunkte i, ii, in sind; und den Winkel l^l teilen wir auch in vier gleiche Teile, wodurch die drei reflektierten Lichtstrahlen bestimmt werden, die den Film in den Punkten 1, 2, 3 treffen. Wird durch Drehung des Spiegels ein Filmpunkt nach- einander in die Lagen A^, i, ii, iii, A bewegt, dann entstehen durch die entsprechenden reflektierten Lichtstrahlen die photo- über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe. 187 graphischen Bildpunkte A^, 1, 2, 3, A auf dem Film, die den Filmpunkten A^, i, ii, in, A entsprechen. In den Punkten Aq, A liegen Bildpunkt und Filmpunkt vereint, aber in den drei anderen Lagen getrennt, wie es die Zeichnung veranschaulicht. Während der Bewegung bleibt der Bildpunkt innerhalb der Weg- strecke Aq A immer hinter dem Filmpunkt zurück. Demnach entsteht nur ein angenäherter optischer Ausgleich; denn ein voll- kommener optischer Ausgleich erfordert, da& Bildpunkt und Film- punkt beständig vereint sich auf der Wegstrecke Aq A bewegen. Bei dem angenäherten optischen Ausgleich wird infolge der Abweichungen des Bildpunktes von dem entsprechenden Filmpunkt auf dem Film als Bild des Objektpunktes ein kurzer Strich erzeugt, dessen Länge gleich der auf dem Weg Ao A erlangten größten Abweichung ist; um diese nun zu ermitteln, verfahren wir in der folgenden Weise. Es sei x der Winkel, den ein reflektierter Lichtstrahl mit seiner Ausgangslage bildet, und der Abstand des Films F von dem Spiegelpunkt 0 gleich f\ ferner seien die dem Winkelte entsprechenden Weg- strecken des von Ag ausgehenden Filmpunktes und Bildpunktes beziehlich lU/, tus. Da die Wegstrecke tt)/- proportional dem Winkel x ist, so folgt, wenn 7c eine Konstante bezeichnet, tl)/ = f-lc- x\ ferner ist Wb — f ■ tan x. Für x = a ergibt sich, weil im Punkt A, Filmpunkt und Bildpunkt vereint liegen f -h- a = f- tan cc ; mithin ist die Konstante /c = (( Bezeichnet y die Abweichung des Bildpunktes von dem Filmpunkt, so ist y — Wf — tt)6- Demnach ergibt sich die Abweichung . tan a „ ^ / tan « y = t X — / • tan X = f [ - X — tan x a \ u X — tan X und der Differential-Quotient von dieser Funktion 188 L. Burmester Für das Maximum der Abweichung ist tan « 1 ^ u cos^a; also cos X = 1/ a tan a ' wobei die Winkel «, a; in Gradmaß und in Bogenlänge des Kreises vom Radius = 1 gemessen werden. Sind nun die konstanten Größen «, f gegeben, so erhalten wir rechnerisch den Wert des Winkels x, durch den die Weg- stelle des Bildpunktes bestimmt wird, wo sich dessen größte Abweichung von dem entsprechenden Filmpunkt befindet. Durch die Einsetzung dieses Wertes in die Gleichung für y folgt das Maximum yma.x der Abweichung. Wir haben nur die unter- halb der auf F senkrechten Geraden 0 erfolgenden Schwen- kung des reflektierten Lichtstrahls betrachtet, weil zu ihr die oberhalb stattfindende Schwenkung bezüglich 0 symmetrisch ist. Demnach bewegt sich auf der Wegstrecke A'Aq, die gleich Aß A ist, der Bildpunkt vor dem Filmpunkt und es entstehen oberhalb dieselben Abweichungen nach vorwärts wie unter- halb nach rückwärts. Mithin ist die Länge des kurzen Striches, der als Bild des in I liegenden Objektpunktes erscheint, gleich 2 -^max- Für die in der Zeitlupe vorkommende Strecke /"= 60 mm und den kleinen Winkel « = 9°, dessen Bogenlänge gleich 0,15707 ist, ergibt sich durch Rechnung der Wert des Win- kels a: = 5° 12' 28”, und die entsprechende Bogenlänge gleich 0,09089. Nach Einsetzung in die Gleichung für y folgt: 2/mai = 0,000502 • 60 = 0,03012 mm; mithin ist die Strichlänge 2-ymax = 0.06024 mm, und dieser optische Ausgleich also ein sehr angenäherter. In Fig. 2 ist die schematische Anordnung der Zeitlupe nach Lehmanns Angabe gezeichnet. Der angenäherte optische Ausgleich wird vermittelt durch eine um die im Punkt M zur Zeichenebene senkrechte Achse rotierende Spiegeltrommel T, über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe. 189 deren metallische Mantelfläche aus versilberten, die Spiegel bildenden Seitenflächen eines regulären Primas besteht; und der Zentriwinkel dieser Spiegel, von denen der Einfachheit halber nur 8 angenommen sind, ist mit « bezeichnet. Ein von einem Objektpunkt kommender horizontaler Lichtstrahl 2 trifft einen gegen ihn unter 45° geneigten festen Spiegel und ist so gewählt, daß der reflektierte Lichtstrahl I den zu Z par- allelen Spiegel s§ in seiner Mitte S trifft. Der nun weiter reflektierte Lichtstrahl l geht in der optischen Achse S Ag durch das abbildende Objektiv O, in dem der Einfachheit halber die beiden identischen Paare der Hauptpunkte und der Knotenpunkte vereint in einem Punkt 0 liegend angenommen werden. Der Lichtstrahl l trifft in dem Punkt Ag den auf ihm senkrechten Film F, der von einer Rolle auf eine andere geht, und sich von dem Punkt 0 im Abstand Ag 0 gleich der Brennweite f das Objektiv befindet. Vermittelst Übertragung durch Zahnräder wird der Film proportional der Drehung der Spiegeltrommel fortbewegt, so daß jedem Spiegel ein Bild auf 190 L. Burmester dem Film entspricht. Während der Drehung der Spiegel- trommel um den Winkel « durchläuft der Film am Bildfenster eine Strecke A'A , die gleich der kinematographischen Bild- höhe ist; dabei geht der von dem gedrehten Spiegel reflektierte, bewegte Lichtstrahl im Objektiv durch den Punkt 0 und schwenkt von OA' nach OA um den Winkel A'OA = 2«, der von A^ 0 halbiert wird. Dabei kann das Bildfenster ver- mittelst einer nahe vor dem Film F befindlichen, von außen verstellbaren Schlitzblende verengert und erweitert werden. Die Spiegeltrommel enthält 40 Spiegel, und demnach ist der Zeutriwinkel 40 ferner ist der Abstand der Spiegel von der Achse der Spiegel- MS = 125 mm, und die Brennweite des Objektivs, A„ 0 = /’ = 60 mm. Hiernach ergibt sich die Spiegelbreite sä = 2.125 -tan 4°, 30' = 19,6 mm und die übliche Bildhöhe h = 2.60 -tan 9*^ = 19 mm. Um den Strahlengang in der Zeitlupe für die einzelnen Spiegellagen zu veranschau- lichen, und seinen Eintritt in das Objektiv zu konstru- ieren, nehmen wir zuvörderst in der schematischen Fig. 3 die Eingangslage 5, §j, die Mittellage Sg §2 Aus- gangslage «3 §3 eines der Deut- ^ lichkeit halber sehr breiten Spiegels s § an , der um die über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe. 191 Achse M eine Drehung gleich seinem Zentriwinkel « aus- führt. Die beiden äußersten Lagen 5, §j, Sj §3 stoßen in dem Endpunkt des in der Mitte S auf §3 senkrechten lladius zusammen. Der Abstand dieses Endpunktes von S sei gleich . + l)(n + 2)(«+3) 2 6 Punkten, Es soll die Determinante D, deren Verschwinden besagt, daß die c„ {f„) Punkte auf einer C„ {F„) liegen, in eine übersichtliche Form gebracht werden ^). Diese neue Deter- minante „E“, SU der Reiß gelangt, hat nun gerade die Gestalt, ivelche die FachwerJcdeterminante D durch Laplacesche Ent- ivickelung ganz von selbst annimmt. Sie ist nämlich eine Summe von Produkten von Determinanten, die bei Benützung recht- winkliger Koordinaten die Bedeutung von Dreiecks- (bzw. Tetra- eder-) inhalten haben, abgesehen von den Zahlenfaktoren zwei (und sechs). Bei der Determinante E sind die Eckpunkte dieser Figuren gewisse Tripel (Quadrupel) der c„ (f„) Punkte, welche auf der G„ (F„) liegen sollen, bei der Fachwerkdeterminante selbstverständlich Knotenpunkte des Fachwerks* *). In § 4 werden einige allgemeine Sätze über die Fachwerk- determinante D bewiesen. Dabei ist vorerst (Nr. 1) die Be- schränkung auf Fachwerke mit mindestens einem Stabdreieck angebracht, weil andernfalls erst weitere Untersuchungen über die Abhängigkeit der (3 Ä — 9)-reihigen Determinante der Fach- 0 Die Reißsche Darstellung der G„(F^, die auf diesem Wege erhalten wird — und deren Durchführung nach dem Zeugnis des Ent- deckers (a. a. 0., S. 394) im einzelnen Schwierigkeiten zu überwinden hat — „enthält die wahre analytische Darstellung der Graßmannschen Erzeugung von Kurven und Flächen* (briefliche Äußerungen von F. Engel). Vgl. Graß man ns Werke, herausgegeben von F. Engel, Band III, 2, Leipzig 1911, S. 105-108. *) Diese besondere Struktur der Fachwerkdeterminante hat — für Trigonalpolyeder — bereits Dehn a. a. 0. herangezogen bei seinem Beweis des Cauchy sehen Satzes über konvexe Polyeder. Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 201 yvQrV-Matrix (vgl. § 4, Nr. 4) von 3 Ä — 6 Zeilen und 3 Ic Reihen der vermutlich sehr umständlichen Durchführung im einzelnen bedurft hätten^). Sodann wird (Nr. 2) die projektive In- varianz von D bewiesen und dabei der Grad gx für den „ge- fährlichen Ort“ (s. oben) eines beliebigen Knotenpunktes Px erkannt. Er ist r. ^ o g>. = ox — wobei ox die Anzahl der von Px ausgehenden Stäbe ist* *). Endlich wird noch gezeigt (Nr. 3), daß D auch bei Einfüh- rung projektiver Maßbestimmung invarianten Charakter zeigt, und daß (Nr. 4) auch in der nichtenklidischen Geometrie — ohne Beschränkung auf Fachwerke mit Stabdreiecken — sta- tischer und kinematischer Ausnahmefall sich decken. Wie schon diese Übersicht erkennen läßt, war mehrfach Gelegenheit, Fragen zu streifen, deren endgültige Erledigung noch über den Rahmen der hier begründeten Ergebnisse hin- ausgeht. § 2. Der Ausnahmefall beim Oktaeder. 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung. Es möge ein Oktaederfachwerk vorliegen, also vier in Knoten- punkte verbundene Stäbe (12), (23), (34) und (41); die Knoten- punkte 1 bis 4 sind noch mit zwei weiteren Punkten 5 und 6 durch Stäbe verbunden®). Wir erörtern den Ausnahmefall zunächst statisch, fragen also: Welche Bedingungen sind dem Fach werk aufzuerlegen, damit innere Spannungen möglich sind, die in jedem Knoten die Resultante Null für die Gelenkdrücke ergeben ? 1) Die Hilfsmittel dazu liegen vor. (Pascal, Determinanten, §29 bis 31 (S. 119—124). *) L. Henneberg, Die graphische Statik der starren Systeme (Leipzig 1911) gibt für den Grad des „gefährlichen Ortes“, oder nach seiner Ausdrucksweise, der „Grenzfläche“, S. 665 richtig g^ = 2 bei = 4, dagegen S. 669 gx = ^ (statt 3) bei = 5. ®) Wir bezeichnen hier die Knotenpunkte zumeist durch Ziffern 1, 2 . . . und nur ausnahmsweise mit Pi , Pj usw. die Stäbe durch die Ziffern der Endpunkte in ( ) gesetzt, entsprechend die Stabdreiecke. 202 H. Liebmann Die Spannungen in den Stäben des Dreiecks (3 4 5) er- geben Gelenkdrücke Es sei ferner ^45 = ■Ä:53 = -^35- *-35 ’ “■iS > K, = K^ + K, K, = K,, + K, ~ -^53 H" -^54 Dann haben die Kräfte K. .-3, K^ und K. zusammen Resultante Null, ihre Angriffslinien gehen also durch einen Punkt der Ebene soll die sich dann in zwei Kräfte zerlegen lassen, und nach den Stä- ben (32) und (36), also muß die Angriffslinie von K, mit diesen Stäben in einer Ebene liegen, sie ist also die Spur der Ebene iS6 auf E^^., und Entsprechendes gilt für und K^. (Vgl, die schema- tische, nur als Merktafel der Be- zifferung gedachte Figur 1,) Es gilt also der Satz: Damit beim Oktaederfach werk der Ausnahmefall eintritt, müssen die Spuren der drei Ebenen (z. B. £^j36, -Eg4, , -Ej.g), in denen die an ein Dreieck, z. B. (261) mit einer Kante angrenzenden Dreiecke liegen, auf der Ebene des Gegendreiecks (hier (345)) durch einen Punkt gehen. Oder kürzer (Blaschke): Die Ebenen von je vier Dreiecken, die keine Kante gemein haben, müssen durch einen Punkt gehen. Daß diese Bedingung auch hinreichend ist, kann nach- träglich durch Angabe eines — bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmten — Systems innerer Spannungen bewiesen werden, die zunächst in (34), (45), (53) so angenommen werden, daß die Gelenkdrücke in 3, 4, 5 die Spuren der Ebenen E^^^, ■^641 > -^152 Angriffslinien haben und eine Resultante vom Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 203 Betrag Null besitzen; die Fortpflanzung der Spannungen in den Stäben ist dann leicht anzugeben. Dieselbe Bedingung erhält man kinematisch so: Wenn eine (unendlich kleine) starre Bewegung des Dreiecks (3 4 5) möglich sein soll, bei der die Punkte 1, 2, 6 ihre Lage nicht ändern, so müssen dabei die Punkte 3, 4, 5 Bahnelemente be- schreiben, die zu den Ebenen E^^^, E^^^ senkrecht stehen. Diese Ebenen sind also die den drei Punkten zugeordneten „Nullebenen“ des zur geforderten infinitesimalen Bewegung ge- hörigen Nullsystems. Die Nullebenen dreier Punkte 3, 4, 5 einer Ebene E^^^ gehen aber durch einen Punkt dieser Ebene — und damit ist also nochmals gezeigt, daß, um „Wackelig- keit“ zu erreichen, die bezeichneten vier Ebenen durch einen Punkt gehen müssen. 2. Gestalt der wackeligen Achtflache. Fachwerke die die abgeleitete Bedingung erfüllen, sind leicht herzustellen. Man geht von (3 4 5) aus und legt die drei Ebenen E^, E^ und E^ durch einen beliebig auf der Ebene E^^^ angenom- menen Punkt P (zwei Freiheitsgrade) und die Geraden P 3, P 4:, P 5 (weitere drei Freiheitsgrade). 6, 1 und 2 sind dann drei im übrigen beliebige Punkte auf den drei Geraden E^x E^^ E^x E^, E^x E^. Es bleiben also nach Festlegung von (3 4 5) noch acht Freiheitsgrade ^). Ein einfacher, in der Praxis bei krahnähnlichen Gerüsten vielleicht nicht ausgeschlossener Spezialfall hievon ist das fol- gende Fachwerk: Die Punkte 1, 2, 3, 4 liegen in einer Ebene, es seien die Schnittpunkte (^j^, bzw. (^j,, ^^j) noch mit 7 und 8 bezeichnet; wir fordern, daß 5 und 6 in einer Ebene durch liegen. Bricards Konstruktion des Oktaeder -Mechanismus (octaedre articule) zeigt nach Wahl eines Dreiecks ABC noch zwei Freiheits- grade; sie beginnt auch mit Wahl eines willkürlichen Punktes in der Ebene des Dreiecks (Journal de Math. (5) B, (1897) p. 144). 204 H. Liebmann In diesem Falle liegen 2 3 68 in der Ebene E^sei 14 68 „ „ „ 1257 „ „ „ E,,„ 3 4 5 7,, „ „ ^^S45 • Die Spuren von E^^g und E^^g auf Eg^g gehen daher durch den Schnittpunkt der beiden Geraden ffgg und die Spur von Ejgg auf Eg^g aber ist die Gerade ffg^, also gehen in der Tat die drei Spuren durch einen Punkt. Im allgemeinen Fall ist 1 2 3 4 ein windschiefes Vierseit. Um dann bei gegebenem 5 die Lagebeschränkung für 6 aus- findig zu machen, denken wir uns durch 5 die Treffgerade g‘ von ^,2 und also die Schnittgerade von Ü',,. und Eg^g, und durch 6 die Treffgerade g“ von g^g und also die Schnittgerade von E^gg und E^^g gelegt. Diese vier Ebenen sollen durch einen Punkt gehen, also müssen g^ und g“ ein- ander treffen. Dies bedeutet aber, daß der Punkt 6 auf der Fläche zweiten Grades liegt, die die vier Geraden g^g, g^g, gg^, g^^ und den Punkt 5 enthält. (Vgl. die schematische Figur 2.) Da bei dieser Betrachtung die Punkte (1, 2, 3, 4, 5, 6) mit (2, 5, 4, 6; 3, 1) und (1, 5, 3, 6; 2, 4) vertauscht werden können (vgl. Fig. 1), so ergibt sich noch der Satz: Liegen die Fig. 2 Ausnahtnefachwerke und ihre Determinante. 205 Punkte 5 und 6 beide auf derselben die ^,2, und y^^ enthält, so liegen auch 1 und 3 auf derselben 9i6^ ffsi enthaltenden F^ und 2 und 4 beide auf derselben y^^, y^^, 9z6i 961 enthaltenden F^. Im Hinblick auf das in § 3, Nr. 3 zu besprechende Fach- werk vom Doppelpyramidentypus wollen wir hier bereits dar- auf aufmerksam machen, daß durch den Punkt 6 (später Pn+2) zwei dem gefährlichen Ort angehörige Gerade gehen, nämlich die Treffgeraden von ^,3, y^^ und von g^^. (In § 3, Nr. 2 begegnen uns dann fünf mit römischen Ziffern bezeichnete Gerade durch einen bestimmten Knotenpunkt usw.) Wiederholt man die hier gegebene Konstruktion genau für den Fall, daß 1, 2, 3, 4 in einer Ebene liegen, so kommt man nur darauf, daß 5 und 6 beide in dieser Ebene £^1234 liegen. Der zuvor besprochene Spezialfall muß also durch be- sondere Konstruktion genommen werden, was unschwer ge- lingt. Man sieht, daß die Ebenen und £^,25 den Punkt 7 (9ii><93i) und die Ebenen 1^236» Punkt 8 (^Tjg x ^'41) enthalten; der Grundforderung entsprechend, daß die vier Ebenen durch einen Punkt gehen sollen, müssen also die Schnitt- gerade ^5, des ersten und die Schnittgerade y^^ des zweiten Ebenenpaares einander treffen, also in einer Ebene liegen. Demnach lautet das Ergebnis in vervollständigter Fassung: Sind 1, 2, 3, 4 vier getrennte ein Viereck bildende Punkte und liegt 5 auf keiner der vier Geraden g^^i 92zi 9zii 9 ui so ist der gefährliche Ort für 6 die durch die vier Geraden ge- legte, den Punkt 5 enthaltende F^, wenn die Punkte 1 bis 4 ein windschiefes Viereck bilden. Liegen die vier Punkte aber in einer Ebene .^,234» so sind zwei Fälle zu unterscheiden: Liegt 5 in dieser Ebene, so ist 6 gar keiner Beschränkung unterworfen; liegt aber 5 nicht in £Jj2 34, so liegt 6 entweder ebenfalls in dieser Ebene, oder in der durch 5 und die Schnitt- punkte 7 von <7,2, ^^34 und 8 von y^^, g^^ gelegten Ebene *) Welche Ausartungen zeigt in diesen Spezialfällen der von Blaschke a. a. 0. in Gestalt eines Möbiusschen Doppeltetraeders an- 206 H. Liebmann § 3. Wackelige Fachwerke vom Doppelpyramidentypus. 1. Das Oktaeder. Es soll jetzt das Oktaeder analytisch untersucht werden. Von den zwölf Gleichungen, auf die die Forderung unveränderter Stablängen führt: (Xi — yk) {dXi ~dXk) + (yi — yk) (dy,- — dyk) + {Si — ^k) {pZi — = 0, wobei für i k die Ziffernpaare (1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 1); (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5); (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) einzusetzen sind, lassen wir die zu (1, 2), (5, 1) und (5, 2) gehörigen fort; dement- sprechend setzen wir auch dXi = öyi = d0i = 0 {i = 1,2, 5). Das darf gestehen, denn auf die „Wackeligkeit“ des Oktaeders hat es keinen Einfluß, wenn man die Ecken des Stab- dreiecks (1 2 5) festhält. Dann bleiben für die neun übrigen Koordinatenvariationen neun lineare homogene Gleichungen, deren Determinante wir in leicht verständlicher Symbolik so schreiben können: ^23 0 0 ^.53 0 0 ^03 0 ^SG ^43 ^34 0 0 0 0 ^•54 0 0 ^64 »*46 0 0 »*.6 0 0 Hier sind immer je drei Reihen zusammengefaßt, z. B. be- deutet ^23 die drei hintereinander stehenden Elemente gegebene reziproke Kräfteplan der inneren Spannungen? — Interessanter, aber schwieriger zu behandeln wäre die Frage; Wie sondert man aus den wackeligen Achtflachen die Bricardschen Oktaedermechanismen aus? (Vgl. die vorige Fußnote, sowie Math. Enzyklopädie IV, 3 [Kine- matik von A. Schoenflies] Nr. 21, S. 242). Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 207 ^2 — ^3 Vi — Vz ^2 — ^3 und jede Null vertritt drei hintereinanderstehende Nullen. Führt man noch die Abkürzung ein D {xX fl v) Xk — xx Hk — yx Xk — x^ yk — y^ 2k — 2tc Xk — Xy, yk — yy 2k — 2y so kann man die entwickelte Determinante D einfach schreiben und erhält als analytischen Ausdruck für die Forderung der , Wackeligkeit“ die Gleichung: D = D (2356) D (1345) D (1246) — D (2345) D (1456) D (1235) = 0. Hieraus sind unsere oben (§ 2, Nr. 2) gefundenen Ergeb- nisse wieder abzulesen: Hält man die Punkte 1 bis 5 fest, so beschreibt 6 eine Fläche zweiten Grades. Wählt man 6 so, daß D (1246) = D (1236) = 0, so ist die Gleichung erfüllt, also gehört die Gerade dem angegebenen gefährlichen Ort an; dasselbe läßt sich für ^231 Osi und nach weisen. Der Punkt 5 liegt auf der Fläche wegen i)(2355) = D(1455) = 0. Liegen 1, 2, 3, 4 in einer Ebene so spaltet sich von der Gleichung ein linearer Faktor ab, der gleich Null gesetzt, die Gleichung dieser Ebene ist, und der andere Faktor gibt, gleich Null gesetzt, die Gleichung einer Ebene durch 5 und die Schnittpunkte 7 und 8 der Geradenpaare , ^34 und g^^, g^^. Es ist angebracht, noch ein Beispiel anzugeben: Bei der Koordinaten wähl P, : 0 0 0 P2 : a 0 0 P3 : 0 a 0 P4 : 0 0 a -P5 • ^0 yo ^0 Ps- X y s 208 H. Liebmann erhält man für den gefährlichen Ort von Pg die Gleichung x^y — X — y) — s {a — x^ — y^)) -\-z{x^y — y^x) {a — x^ — y^ — = 0. 2. Das Dekaeder, In derselben Weise wollen wir ein Dekaederfachwerk behandeln von folgender Gestalt : Fünf Punkte P, (0 0 0), F^{aaa), P^{aQQi), P^(OaO), P^{0 0a) sind durch die Stäbe (1 2) (2 3) (34) (4 5) (5 1) verbunden und jeder noch mit Pg (x^ y^ und P, {x y z) durch einen Stab — wir haben gleich auch Koordinatenwerte beigefügt, die als Grund- lagen für ein Beispiel dienen sollen. Führt man bei diesem Fach werk mit 7 Knotenpunkten und 3*5 = 15 = 3'7 — 6 Stäben die entsprechende Rechnung durch, so erhält man die Fachwerkdeterminante hier als drei- gliedrige Summe, jedes Glied ist wieder Produkt von drei Determinanten der Form D(yAfj, v). Das erste Glied wird z. B. P(6345) P(7124) P(7623) 2)(7651). Man beachte, daß dieser Ausdruck je vom zweiten Grad in den Koordinaten der Punkte 1 bis 5, dagegen vom dritten Grad in den Koordinaten der Punkte 6 und 7 ist! Das gilt auch für die beiden anderen Glieder, und wir haben hier deutlich das in § 1 bereits mitgeteilte, in § 4, Nr. 2 zu be- weisende allgemeine Gesetz vor Augen, daß der Grad in den Koordinaten eines Knotenpunktes gleich ist der Anzahl der von ihm ausgehenden Stabe, vermindert um zwei Einheiten. Wir bedienen uns jetzt der von Reiß benützten Sym- bolik: Zunächst führen wir homogene Koordinaten ein durch die Beziehung Xk • yk ' • 1 X\ k • X2 k • X3 k • Xi k , sodann schreiben wir (xX/xv) für die Determinante k * ' ^4 k ^1;. • • ^4;. X\y • • Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 209 Dann ist z. B. D(6345) = (6345) _1 ^46 ^43 ^44 ^45 und wir können zufolge des mitgeteilten Aufbaus der Deter- minante aus allen drei Gliedern der Entwickelung den Faktor (^41 ^42 ^43 ^44 ^45) ' (^46 ^47) abspalten. Die Gleichung D = 0 nimmt damit die über- sichtliche Normalform an; (6345) (7124) (7623) (765 1) (1) + (64 51) (7 512) (7 6 34) (7 62 3) -h (6 2 34) (7 1 2 3) (7 6 5 1) (7 6 4 5) = 0. Man erhält also, wenn P, • • Pg festgehalten werden, als „gefährlichen Ort“ für P, eine Fläche dritter Ordnung Pg; auf ihr muß liegen, wenn das Dekaeder „wackelig“ sein soll. Pg ist ein konischer Punkt der Fläche, und zwar er- hält man die Gleichung des Berührungskegels daselbst, wenn man jedesmal in der zweiten Klammer 7 (bzw. x^^, x^^, x^^) ersetzt durch 6 (x^g x^g Xgg x^g). — Geschrieben in den recht- winkligen Koordinaten, die als Grundlage bei dem Beispiel gewählt wurden, wird die Gleichung der Pgi (y-^) {Xgy-ygX) {Xg -H yg-Zg-a) {x{a-yg-Zg;)-Xg{a-y-s)) -H {z — x) (Xg y — ygx) {Xg + «/g + — «) ((^ — «) ~ ^o) — {Xg — a){y — z)) -\-{x — y) Xg (Zg(a—x — y)—z{a — Xg — yg)) {{x — a) (yg — Zg) — {Xg — a){y — z)) = 0. Wir kehren zur allgemeinen Untersuchung zurück und heben nochmals hervor, daß wir die Koordinaten der Punkte Pj bis Pg als fest gegeben, nur die von P^ als veränderlich betrachten. Bei der Aufstellung von (1) wurden die Ecken des Stab- dreiecks (1 2 6) nicht variiert, genau wie oben beim Oktaeder die Punkte 1, 2, 5. Daraus ergibt sich auch hier eine gewisse Unsymmeti’ie der Gleichung. Man müßte aber notwendig zu 210 H. Liebmann genau derselben Lagebeziehung gelangen, wenn man statt der Ecken von (12 6) die von (2 3 6), (3 4 6), (4 56) oder (516) festhalten würde. ^) Hieraus folgt: Zyklische Vertauschung von 1, 2, 3, 4, 5 kann nur die Form der Gleichung (1) ändern. Das ist im folgenden zu berücksichtigen, wo diese äqui- valenten Formen der Gleichung des gefährlichen Ortes F^ für P.J gelegentlich herangezogen werden müssen. Die Gleichung (1) stellt, wie schon bemerkt wurde, eine F^ mit Knotenpunkt in Pg dar. Die Gleichung ist erfüllt, wenn (7 1 2 3) = (7 1 2 4) = (7 5 1 2) = 0, also liegt die Gerade g^2 auf der Pg; dasselbe gilt für die Geraden g^^, ^g^, g^^, g.^. Auch die weiteren 16 Geraden der Pg sind aus der Gleichungsform abzulesen. Die Gleichung (1) ist erfüllt für (7623) = (7645) = 0, also enthält die Pg die fünf Ge- raden I (II, III, IV, V) durch den Knotenpunkt Pg, in denen die Ebenenpaare einander schneiden, die Pg und je zwei nicht benach- barte Geraden des Fünfecks ent- halten. (Vgl. die schematische Figur 3.) Von den zehn bisher ange- gebenen Geraden der Fläche liegen je drei in den Ebenen Peu • • • Je eine weitere Gerade liegt noch in den fünf Ebenen P,23, Pgg^ . . . Pgjg und wir können die Ebenen Pj, P, . . . P, 0 Es ist eine nützliche Übung, dies an dem gegebenen Beispiel zu bestätigen. Allgemein wäre es durch die Untersuchung des analytischen Zusammenhangs zwischen den verschiedenen Formen von (1) zu bestätigen und wegen weiterer Spezialfälle, die durch identisches Verschwinden von Faktoren sich auszeichnen, nachzuprüfen. Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 211 unschwer angeben, die durch ihre Schnitte mit fünf Geraden h^, bestimmen und überdies Pg ent- halten. Der Schnitt von Pjgs mit der liegt z. B., wie aus (1) zu entnehmen ist, teils auf Pgjg, also (7 6 2 3) = 0, teils auf der F^ (2) (6345) (7 124) (765 1)-!- (6451) (7 51 2) (7634) = 0. An Stelle der Gleichung der Ebene oder (7 1 2 3) = 0 kann man aber auch setzen (7 1 2 4) _ (7 5 1 2) (4 12 3)“ (5 123)’ Setzt man diese Proportion in (2) ein, so erkennt man, dah die dritte, außer und noch in Pjjg gelegene, der Pj ungehörige Gerade \ zugleich auf der durch Pg gehenden Ebene Pg liegt, die durch (3) (6 34 5) (41 2 3) (7 6 5 1) + (6451) (5123) (7634) = 0 gegeben ist, und die, nebenbei bemerkt, II enthält. Fünf Gerade der P, liegen dann noch in den Ebenen (I II), (II III), (III IV), (IV V), (V I). Schließlich fehlt bei dieser Ableitung, die, von Pg und dem Fünfeck ausgehend, fünfzehn weitere Gerade der Pg er- kennen läßt, noch die letzte, wieder Pg enthaltende Gerade VI. Sie ist gemeinsame Achse der Ebenen Pj . . . Pj und läßt sich darstellen durch die Proportion : (7 6 1 2) : (7 6 2 3) : (7 6 3 4) : (7 6 4 5) : (7 6 5 1) = ^12 • ^23 ’ ^34 • ^45 " ^51 * Hierin ist zu setzen A., = (6 4 51) (6 5 1 2) (5 1 2 3) (6 2 3 4), und die anderen X gehen daraus durch zyklische Vertauschung hervor. 212 H. Liebmann Eine Abzählung zeigt übrigens (vgl. die folgende Nummer), daß die mit Knotenpunkt Pg durch die fünf Geraden • • ' Uiii ibr liegen sollen, vollständig bestimmt ist. Demnach lautet das Ergebnis: Ein Fachiverh von besonderem Dekaedertypus sei gegeben, bestehend aus den fünf Stäben eines windschiefen Fünfecks 1 2 3 4 5 und den zehn Stäben, die die Ecken mit ztvei weiteren Punkten 6 und 7 verbinden. Der gefährliche Ort für 7 ist dann die P,, die 6 zum Knotenpunkt hat und die fünf Geraden g^^ • ■ • enthält. Wir dürfen nochmals hervorheben: Die aus der Forderung der „Wackeligkeit“ des Dekaeders erhaltene Form der Flächengleichung (1) gestattet es, die Eigen- schafien der P, einheitlich abzuleiten. Auf jeden Fall ist hiermit ein Beitrag zu dem von F. Engel a. a. 0. (Graßmann III, 2, Seite 108) aufgestellten Programm gegeben, wo in diesem Zusammenhang der Name von M. Reiß leider nicht genannt ist. Eine Ausartung sei noch erwähnt: Liegen 1 23 45 in einer Ebene, so zerfällt der gefährliche Ort in diese Ebene und den Kegel zweiter Ordnung mit dem Scheitelpunkt 6, der noch die fünf Nebenecken des Fünfecks (1 2 34 5) enthält. Auf alle Ausartungen kann an dieser Stelle unmöglich ein- gegangen w'erden. 3. Verallgemeinerung. Es liegt nunmehr nahe, zu untersuchen, welche Fläche der gefährliche Ort für den Knoten- punkt P„-f.2 des Fach Werks vom Typus der w-seitigen Doppel- pyramide wird. Dieses Fachwerk besteht aus w -f- 2 Knoten- punkten und 3n = ^{n -\- 2) — 6 Stäben, P.P. + I (v = 1,2, . . .n—\) Pn P P. P„ + i (i = 1, 2 . . . w) Pi Pn + 2- Zu erwarten ist als gefährlicher Ort eine Fläche Fn-i mit (« — 3)-fachem Knotenpunkt Pn + i, also ein sogenanntes Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 213 Homaloid. Diese Fläche wird die n Geraden ■ Qn \ enthalten, außerdem wahrscheinlich noch (mindestens) n{n — 3) 2 ~ Gerade durch P„4-i, entsprechend den in Nr. 2 angegebenen Geraden I bis V für den Fall n = 5. Die Geraden sind zu erhalten als Schnitte der Ebenen, die durch den Knotenpunkt und die Geraden • • • 9ni gehen ^), die Träger der Seiten des w-ecks sind. Von den so erhaltenen Schnittgeraden sind aber alle fortzulassen, die Pn + \ niit einer der Ecken des w-ecks verbinden. Verfährt man so, dann stimmt die Ab- zählung, außerdem bleibt man in Einklang mit den vollständig untersuchten Spezialfällen (n = 4, w = 5). Eine Fläche «-ter Ordnung hat fn-l = + 6^+11) wesentliche Konstanten, eine P’n—'i also =^~^(n*-f-2n + 3). Ein seiner Lage im Raume nach vorgeschriebener Knoten- punkt m-ter Ordnung legt m "3 Y Konstanten der Fläche fest; in unserm Fall wäre m = n — 3 zu setzen. Wenn nun die P",, _ 2 außerdem die n Geraden 9^2 • ■ ■ enthält, so enthält sie zunächst die Punkte P, . . . P„, außer- dem aber ist zu verlangen, daß sie von jeder Geraden noch je n — 3 weitere Punkte enthält, damit die Geraden völlig auf der P„_2 verlaufen. Dadurch wären dann weitere ') Daß die namhaft gemachten Geraden dem gefährlichen Ort an- gehören, müßte sich auch direkt graphostatisch erkennen lassen. Sitzungsb. d. math.-phys. El. Jabrg. 1920. 15 214 H. Liebmann Konstanten festgelegt. n{n — 2) Da nun ^ - 3 , (n - 3)* , (n - 3)* n (n - 2) 4 h ^ ^ 3 n — 2 6 + 2 w 4- 3) , so stimmt diese Abzählung zu der Vermutung über den ge- fährlichen Ort. Aber auch eine dritte Abzählung steht damit in Einklang. O O Bei Ausartung, dann also, wenn das w-seit in einer Ebene liegt, ist der Zerfall der Fläche in diese Ebene und einen Kegel {n — 3)-ter Ordnung zu erwarten, dessen Scheitelpunkt ist. Der in einer P„ f i nicht enthaltenden Ebene E gelegene Schnitt Cn-3. dieses Kegels müßte die Schnittpunkte dieser Ebene mit den oben genannten n{n — 3) 2 Geraden durch Pn-\-i enthalten und durch sie bestimmt sein, hiermit ist in Einklang n{n — 3) 2 = C„_3 — 1. [Schneiden wir die jP„ _2 mit einer den Knotenpunkt P„4-i nicht enthaltenden Ebene P, so ist diese Schnittkurve durch Cn-2 — {n — 1) w Punkte überbestimmt. (So sind z. B. die Schnittpunkte der sechs Kanten des Oktaeders (§ 2, 2) mit einer Ebene auf einer 0*2 gelegen.) Außer den n Schnittpunkten von E mit . . gn\ kommen ja noch die Schnittpunkte mit den oben ange- , n(n — 3) gebenen — Tat ist Geraden durch P„ + i hinzu, und in der , (n — 3) (n — \)n n + n i pr = c„_2j. 2 2 Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 215 Diese dreierlei Abzählungen sprechen dafür, daß der ge- fährliche Ort für P„ -f. 2 tatsächlich die Fn — 2 t^dt {n — S)-fachem Knotenpunkt P„ ^ i ist, die die Geraden g^^ ... gn\ enthält und noch die Cn-3 genannten Geraden durch P„+i. Für diese Klasse von Homaloiden wäre dann noch folgende Reziprozität zu erweisen, die daraus zu erschließen ist, daß in der Bedingung für die „Wackeligkeit“ die Punkte Pn + i, P»i + 2 ihre Rollen vertauschen können aus rein geometrischen Gründen. Es sei P„ + 2 ein auf dem durch das w-Eck Pj . . . P„ und den {n — 3)-fachen Knotenpunkt Pn+i bestimmten gefähr- lichen Ort Fn-2 gelegener Punkt, dann liegt umgekehrt P„-f i auf dem durch P„ + 2 und das w-Eck bestimmten gefährlichen Ort Fn _ 2. Dieser (für n = 4 noch triviale) Satz zeigt, wie über- haupt jede der vorausgegangenen Betrachtungen, die heuristische Tragweite der von Möbius, Cremona u. a. geschaffenen Ver- bindung von Statik und Geometrie, die sich auch in der Flächen- theorie bewährt hat. § 4, Die Invarianz der Fachwerkdeterminante. 1. Raumfachwerke mit einem Stabdreieck. Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Feststellung des Ausnahmefalls bei Fachwerken, die mindestens ein eigentliches, nicht zu einer Strecke zusammenschrumpfendes Stabdreieck enthalten, sie gilt also insbesondere für Dreiecksflechtwerke. Übrigens zeigt die einschlägige Literatur, daß wohl nur Fach werke behandelt worden sind, bei denen diese Voraus- setzung zutrifift. Andersartige Fachwerke lassen sich unschwer angeben. Man erhält z. B. ein Fachwerk ohne Stabdreieck, wenn man vier Punkte mit sechs weiteren Punkten durch Stäbe verbindet; dann ist Z;=10, s = 4-6 = 24 = 3Ä — 6, ohne daß ein Stabdreieck auftritt. Von solchen Fällen sehen wir ab. Durch diese Beschränkung sollte erreicht werden, daß das zu untersuchende Fach werk an Freiheitsgraden der inneren 15* 216 H. Liebmann Beweglichkeit nicht verliert, wenn man drei Punkten, nämlich den Ecken des Stahdreiecks feste Koordinaten zuweist, dafür aber die drei Bedingungen fortläßt, die die Forderung unver- änderter Länge der drei Seiten analytisch wiedergeben. Es bleiben dann also für die 3 — -9 Koordinatenvariationen der k — S übrigen Punkte genau 3/c— 9 = s — 3 lineare homogene Gleichungen übrig, deren Determinante zu untersuchen ist. Gewiß ist die Verminderung der Koordinatenvariationen um neun Stücke „im allgemeinen“ gestattet, jedoch bleibt die Frage zu erörtern : Gegeben sei ein Raumfach Averk (s == 3 ä: — 6), das zum mindesten einen Freiheitsgrad der inneren Beweglich- keit besitzt. Ist es immer (durch Stabvertauschung) möglich, drei Knotenpunkte festzulegen und dafür drei Bedingungen fort- zulassen, ohne daß der Freiheitsgrad verloren geht? Aber die Beantwortung dieser Frage würde sich in Spezialuntersuchungen zersplittern. Bei ebenen Fachwerken (s = 2Jc — 3) tritt diese formale Schwierigkeit überhaupt nicht ein, denn sie verlieren keinen Freiheitsgrad der inneren Beweglichkeit, wenn man beide End- punkte eines Stabes festhält. Dann ist nur noch die Deter- minante von g ^ _ 2 Je 4 linearen homogenen Gleichungen zwischen 2 (Je — 2) Koordinaten- variationen zu untersuchen^). Die Beweisführung der Sätze, die in den drei folgenden Abschnitten für Raumfachwerke bewiesen werden, verläuft 1) Als Beispiel führen wir das bekannte, von Müller-Breslau zuerst untersuchte Beispiel des ebenen Fachwerks s = 9, k = Q an, das aus einem Sechseck mit drei Diagonalen (14), (25), (3C) besteht. Läßt man bei der kinematischen Untersuchung die Bedingung d r,2 = 0 fort und setzt öx^ = dyi = 8x2 = 6 = 0, so erhält man als Determinante der übrigen Gleichungen D = (136) (145) (234) (256) — (134) (156) (236) (245), wobei (x k y) der doppelte Inhalt des Dreiecks mit den Ecken x, A, y ist. D = 0 weist bei Festhaltung von fünf Punkten dem sechsten als gefähr- lichen Ort einen Kegelschnitt zu, und D ist geradezu das Reißsche Flächenprodukt von sechs Punkten (Reiß, a. a. 0., S. 401). Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 217 für ebene Fach werke genau so wie bei räumlichen und kann ausgelassen werden. 2. Projektive Transformationen. Wie dies zuvor in speziellen Beispielen ausgeführt worden ist (§ 3, Nr. 1 und 2), so wollen wir uns jetzt beim allgemeinen Fach werk (s = Sk — 6) die Determinante der s — 3 Gleichungen für 3 ^ — 9 Koordi- natenvariationen, die nach Auslassung eines Stabdreiecks übrig bleiben, der Laplaceschen Entwickelung unterworfen denken. Wir erhalten dann (1) D = ^ n{D (x X juv)), wobei die Faktoren Determinanten sind von der in § 3, Nr. 1 angegebenen Form ; jedes Produkt enthält k — 3 Faktoren. Der Grad von D in den 3 k Koordinaten ist dann 3 ä: — 9. Diesen Grad können wir noch in anderer Weise abzählen. Es sei Oj [oj die Anzahl der vom Punkte P, [PJ ausgehenden Stäbe, [5^«] der Grad von D in den Koordinaten des Punktes Pj [Px]. Dann ist, das wollen wir für Pj und damit allgemein für P« nachweisen (2) ^.<0.-2 {k= 1,2, . . .k). Um dies zu zeigen, bezeichnen wir für den Augenblick die mit Pj durch Stäbe verbundenen Punkte durch Pg • • • Pm (m = Oj -j- 1). Wenn nun Pj keiner der bei der Variation festgehaltenen Punkte ist, so gilt folgende Überlegung, bei der wir uns wieder der in § 3, Nr. 1 benützten Symbolik be- dienen: Die erste Reihe wird, mit Zusammenfassung der drei ersten Glieder r,ni 0 0, außerdem kommt in der ersten Zeile noch einmal die Folge also 2/2 — 2/1 ■^2 — '^or, in der zweiten Zeile noch 218 H. Liebmann einmal usw. , doch stehen diese Folgen niemals unterein- ander. Ferner ist jede Determinante ■ r^x rii vom ersten Grad in den Koordinaten des Punktes Pj, und jede Determinante r\y. \ r^y. . ^oy- ebenfalls. Demnach ist jedes einzelne Produkt, das in der Ent- wickelung (1) als Glied auftritt, in den Koordinaten des Punktes Pj höchstens vom Grade 1 m — 4 = Oj — 2 , also wird S ö, — 2. Wäre Pj ein nicht variierter Punkt, so würden die r^x überhaupt nicht Vorkommen, nur die ri«, und zwar in Oj — 2 verschiedenen Zeilen, also kommt man hier zu demselben Er- Sehnis „ ^ ^ o ® 9x > Ol — 2. Damit ist die Beziehung (2) bewiesen. Um aus dieser Abzählung weitere Schlüsse zu ziehen, müssen wir beachten, daß jede Determinante in den Koordinaten der Punkte vom dritten und nicht vom vierten Grade ist. Demnach muß man, um den Grad eines Gliedes der Summe D zu erhalten, die durch Addition der Grade Qy. erhaltene Summe mit 3 : 4 multiplizieren und erhält (3) = i{dk — 9) = ik—12. Ferner ist die über alle Knotenpunkte erstreckte Summe (4) 2^0y = 2s = ß]c-l2, denn in dieser Summe wird jeder Stab zweimal mitgezählt, seinen beiden Endpunkten entsprechend. Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 219 Aus (2) und (4) folgt also (5) — 2Z; = 4/c— 12, und hier gilt das erste Gleichheitszeichen nur, wenn in (2) überall das Gleichheitszeichen gilt. Dann zeigt aber der Ver- gleich von (3) und (5), daß nur diese Möglichkeit besteht, und damit ist also bewiesen, daß jedes einzelne Glied der Laplace- schen Entwickelung (1) in den Koordinaten des Punktes P« {h == \, 2, . . . Ti) genau vom Grad o« — 2 ist, wobei die Anzahl der von diesem Punkte ausgehenden Stäbe ist. Nunmehr können wir homogenisieren^), wir setzen wie oben (§ 3, Nr. 2) (6) Xy_‘.yy.'.2y.:l = und sodann D durch Multiplikation mit X O -2 IJx^l auf die Normalform bringen (7) S{n{y.Xix ?’)) mit Verwendung der Abkürzung (8) {xXfx v) H ^2 y. ^3 y H ^1 ?. ^2 A ^3 A ^4 A ^2fx ^3/4 ^4^ ^1 y ^2 V ^3 V ^4 V Das Ergebnis ist also : Durch Einführung homogener Koordinaten (6) hann die Fachwerkdeterminante (1) auf die Normalform (7) gebracht werden. Sie ist homogen vom Grade Sk — 9 in den 4 k homogenen Koordinaten der Knotenpunkte und homogen vom Grade o„ — 2 in den homogenen Koordinaten der einzelnen Knotenpunkte P^. Die vorausgehende Strukturuntersuchung, die, statt indirekt durch Ungleichheiten (2) auch direkt, aber umständlicher, durch Känderungs- prozesse geführt werden kann, war bei der Fachwerkdeterminante notwendig. Bei der Reiß sehen Determinante E ist die Homogenität und damit die projektive Invarianz von vorneherein selbstverständlich. 220 H. Liebmann Dabei bedeutet Oy, die Anzahl der von Py ausgehenden Stäbe. Hieraus folgen unmittelbar zwei weitere Sätze. 1) Die Klasse der ÄusnahmefachtcerJce ist gegenüber pro- jeTctiven Transformationen invariant. Bei linearen homogenen Substitutionen Vi X = Cli\ X\ y ^2 y. -V Z y. O'H y (i = l,2, 3,4; p. = l, 2, .../c) wird nämlich {xX fl j')' = a \(y. X fiv)., woraus der Satz folgt, daß zunächst D, in der Form (7) ge- schrieben, eine Invariante ist, und hierin ist die vorangestellte Behauptung mit enthalten. Außer bekannten Beispielen von ebenen „wackeligen“ Fach- werken war es gerade Blaschkes „wackeliges“ Achtflach, dessen genauere Strukturuntersuchung zu der Vermutung führte, daß in der „Wackeligkeit“ eine projektiv invariante Eigen- schaft vorliegt, die über den Rahmen der „Affingeometrie“ hinausgeht. Man kann den Satz zu verschiedenen Zwecken benützen, mit seiner Hilfe z. B. aus Fachwerken, die ohne weiteres als Mechanismen zu erkennen sind (vgl. § 1), wackelige Fach- werke ableiten. 2) Hält man im FachwerTc alle Knotenpunkte bis auf einen einzigen Py fest, so ist der gefährliche Ort für diesen Punkt, d. h. die Fläche, an die Py gebunden ist, ivenn das Fachwerk beständig Ausnahmefachwerk bleiben soll, eine Fläche von der Ordnung gy. = Oy — 2. Bei ebenen Fachwerken gilt der Satz 1 genau so, in den Aussagen des zweiten Satzes tritt an Stelle der Fläche von der Ordnung Oy — 2 eine Kurve von der Ordnung Oy — 1. Vgl. hierzu das oben in der Fußnote besprochene Beispiel von Müller-Breslau. Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 221 3. Projektive Maßbestimmung. Es sei im Raume (x, I/, z) eine projektive Maßbestimmung eingeführt unter Zu- grundelegung der nicht ausgearteten Fläche zvreiten Grades (9) F {x, y, z) = xf, {x, y,z) + y (x, y,z)-]- z (x, y, z) + fi (^. Vy = 0- Dabei ist gesetzt ai\x -]r a^y a^z = fi {x, y, z) und es ist Oj ic = Uk i • Wir führen noch die Abkürzungen ein F{x,., yy, Zy) = Fyy, fiv y^y V f\ V “1” y^i fi V ”1" fs V "P fi V = yvfifi-V -{" fift = Fyfi. Dann ist bekanntlich in der durch die Fundamentfläche (9) gegebenen projektiven Maßbestimmung die (nichteuklidische) Entfernung rjg der Punkte Pj Pg bis auf einen von den Koordinaten unabhängigen Faktor gleich dem Logarithmus des Quotienten der beiden Wurzeln der Gleichung F,,-]-2kF,,-PF,, = 0. Setzt man also so wird und für yFnF,,-Ff, = W,,, '' 12 F W 12 12 dr\2 = 0 kann man schreiben d ^12 — ^12 dF^^ = 0 2F F dF F F dF FF dF =0 " 11 22 “ 12 11 12 22 22 12 ^ 11 oder 222 H. Liebmann Diese Gleichung denken wir uns nach den Differentialen der Koordinaten von P, und geordnet, also in der Form -^12 -j- Fj2 dy^ -j- ds^ -j- X2J dx^ -f- F2j dy^ -j- dz^ = 0 geschrieben; hierin ist also X = 2F F ^*-12 n 22 ^21 = 2P„P2: 3^,2 F F aPj, dX^ ^22 -^12 dX^ aP,2 F F 12 dx^ dXg Um jetzt den (kinematischen!) Ausnahmefall zu erhalten, haben wir zu fordern, daß aus s — 3 der Gleichungen dr'f^y = 0 oder / -j \ v d x^f^ 1 y d y^ 1 Z^i y d z^ I X^^ ^ d Xy Fy fidyy ^ ^ -\-Zy,,dZy = Q sich die dx^'.dy^'.dz^ (mit Auslassung der Ecken des fest- gehaltenen Stabdreiecks) als nicht sämtlich zu Null werdende Differentiale bestimmen lassen. Ähnlich wie oben erhalten wir (statt (1)) die Determinante (12) D‘ = Sn{B‘{xXfjiv)) wobei noch zu setzen ist (13) D‘{yAfxv) = X., r«;. ZV 7 >i fA. X fX fX X^X y Yx y Zx y Diese Determinanten sind noch umzuformen, um sie mit den D{xX[xv) zu vergleichen. Dabei schreiben wir der Ein- fachheit halber 1234 statt der griechischen vier Buchstaben. Man sieht zunächst, daß aus den Zeilen von P'(1234) die Faktoren F^^, P33 und F^^ herausgestellt werden können. So- dann ist geeignete Bänderung anzuwenden; sie ergibt Ausnahmefachwelke und ihre Determinante. 223 0 0 12 " 11 F 2F F 2F 11 11 -F,, 3P,1 dx^ dX^ -F,. dX^ 13 ^X^ 9^14 -F,, aPii dX^ 3x^ Hier multipliziert man die erste Reihe mit dF,, 3F,, dF,, dx^ ’ dy^ ’ und addiert zu den drei folgenden Reihen. Sodann dividiert man diese Reihen je durch 2 und setzt den Faktor 8 heraus. Endlich multipliziert man die drei letzten Reihen mit — «I, — ^1. — ^1 und addiert zu ersten. Es kommt dann 2)'(1234) = SFl,F,,F,,F,, fii fii fzi tu fl2 fii fii hi fii fii fii fii fii fii fii fii = 8 !a| F,, F,, F^ D (1234). Jetzt ist der Zusammenhang zwischen D' (1 2) und Z>(1) leicht zu erkennen. Multipliziert man in D die Zeile • • • ^ft, ^v) yii yvi 0 . . . 0 Xy Xfi^ yy y^ci 0 . . . mit Fftf^Fyy, so gehen die Faktoren DixXfjiv) der Laplace- schen Entwickelung von D gerade über in die D' (xXjuv), wenn man von dem Faktor 8 ja| absieht. Im übrigen unter- scheidet sich dann D' von D nur von dem Faktor wobei ilf die Anzahl der von P,, ausgehenden Stäbe (also Of^ bedeutet, wenn P,» kein festgehaltener Punkt ist; in diesem Falle aber hat man — 2 einzusetzen. Im ganzen ist der 224 H. Liebmann Faktor, der D' von D unterscheidet, unwesentlich; er ist von Null verschieden, da wir selbstverständlich die Fundaniental- fläche durch keinen der Knotenpunkte legen. Es ergibt sich also der Satz: Führt man im (euklidischen) Raum (x,y,2) des Fachiverks eine projektive (nichteuklidische) Maßhestimmung ein — mit Ver- tcendung einer Fundamentalfläche, die keinen Knotenpunkt des Fachwerks enthält — so bleibt dabei der kinematische Charakter des Fachiverks erhalten. Es ist also für beide Mahbestimmungen, die euklidische und die nichteuklidische, gleichzeitig „wackelig“ oder nicht. 4. Kinematischer und statischer Ausnahmefall. Wie schon in § 1 erwähnt worden ist, gilt die bekannte Analogie zwischen Statik und Kinematik (Zusammensetzung der Kräfte in einem Punkt und der infinitesimalen Rotationen) auch in der nichteuklidischen Geometrie. Aber es bedarf doch noch eines Beweises, daß auch bei projektiver Maßbestimmung kinematischer und statischer Ausnahmefall sich völlig decken. Die Grundlagen für diesen Beweis sind übrigens gleichfalls in der in § 1 angeführten Arbeit von Lindemann gegeben. Wenn auf die beiden Endpunkte eines Stabes {gv) Kräfte wirken, so leisten sie bei einer infinitesimalen Ortsänderung eine Arbeit K-Ii y d Xfj ~j“ y d Pfi "j" V d “I“ K.y ^ d Xy “j" Fy (14) _ Kyf^ dZy. Gehen von dem Punkt P, die Stäbe rj, . . rio, aus, so wird von ihnen an P, die Arbeit geleistet (Xii . . . 4" Xi „,) dx\ 4“ (En 4“ • • • X] „j) dyi 4“ \ • • • ~\r dz\. Wenn diese Kräfte Gelenkdrücke sind, die keine äußere Resultante haben, so ist die Arbeit für jede Verschiebung gleich Null, also Ausnahraefachwerke und ihre Determinante. 225 (15) ^11 “H • • • “h = 0, ^11 + • • • + = 0, ~i~ ■ ■ ■ + -2^1 • 0) als Mittelpunkt einer dreifach ausgedehnten Kugel S^. Yon M aus projiziert man die Knotenpunkte des Fachwerks zentral auf und wählt von den beiden Schnittpunkten eines Projektionsstrahles mit Rg immer den Punkt Qu aus, dessen vierte Koordinaten kleiner als a ist. Die Q'ft mit ihren aus Hauptkreisbögen Qü Ql bestehenden, den Stäben (ju v) entsprechenden Verbindungsstücken bilden dann im ebenfalls ein Ausnahmefachwerk. Ganz entsprechend verläuft die Konstruktion von zwei- dimensionalen sphärischen Ausnahmefachwerken durch Zentral- projektion ebener Ausnahmefachwerke auf eine Kugel. Mechanismen in der euklidischen Ebene (s = 2k — 3) bzw. im euklidischen Raume {s=Sk — 6) verwandeln sich dabei selbstverständlich nur ausnahmsweise wieder in Mecha- nismen auf der Kugel bzw. im S^; überhaupt scheinen der- artige „sphärische Fachwerkmechanismen“, die endliche innere Beweglichkeit besitzen, noch kaum bekannt zu sein. Die in mancher Hinsicht überraschende Feststellung, daß die erörterten Fragen der Kinematik und Statik des Fachwerks einen invarianten Charakter gegenüber der Gruppe aller pro- Ausnahmefachwerke und ihre Determinante. 227 jektiven Transformationen zeigen, hat ihr Gegenstück in der Flächentheorie. Darboux hat gezeigt — und er sagt mit Recht, „il est interessant de voir . . — , daß man aus den infinitesimalen Verbiegungen »/, C einer Fläche F die rj, C aller aus F durch projektive Transformationen hervorgehenden Flächen F gewinnen kann^). Eine Anwendung hiervon darf zum Schluß noch mitge- teilt werden. Es ist nachgewiesen worden, daß man die in- finitesimalen Verbiegungen aller Ordnungen und damit die allgemeinste analytische Verbiegung einer Fläche rekurrierend durch Quadraturen bestimmen kann, sobald man die C kennt ^). Da nun diese infinitesimalen Verbiegungen (erster Ordnung) für die Kugel auf verschiedenen Wegen und in ver- schiedener Form bestimmt worden sind^), so ist die Bestim- mung der analytischen Verbiegungen der Flächen zweiten Grades somit auf eine Kette rekurrierender Quadraturen zurückgeführt. Theorie des surfaces IV (1. Aufl. 1896), p. 78. Ein kürzerer, ein- heitlicher Beweis dieses Satzes durch Anwendung homogener Koordinaten wäre im Sinne der Invariantentheorie wünschenswert. 2) Diese Berichte (1920), S. 21 — 48. Bedingte Flächenverbiegungen, insbesondere Gl eit Verbiegungen. ®) Vgl. z. B. S. 36 — 38 der oben angeführten Arbeit. 'rt ' : *-m ' -«>?-'’if' Pi. ^ '^3Str f t-\a . ^ i*)! 4>i > ^ «'■ " -2 ' Vn - *^ ^ ' ' > '^--i« WJK ©ij^ ^..^.*. ■ ’t I .^«rcC^r *X** Il=“ ’ • *'. •4:^- ■ V'VtV-’ ^ , ■v,ifll,p.i r ■■' '■»•ja» ,•?-; f^f .’•■ . 229 Zur Theorie der reziproken Radien. Von A. Voss. Vorgelegt in der Sitzung am 8. Mai 1920. Die folgenden Betrachtungen beabsichtigen , die allge- meinsten Beziehungen zwischen zwei Flächen, die vermöge der Transformation R durch reziproke Radien auseinander entspringen, zu entwickeln. Dabei hat sich eine große Zahl interessanter invarianter Gleichungen ergeben, die bisher keine Beachtung gefunden zu haben scheinen, von denen einige der wichtigsten hier angeführt werden sollen. § I. Invarianten bei den Transformationen /?. Wird die auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogene Fläche f{x, y, is) = 0 durch die Gleichungen der Reziprozität*) , X 2/i ^ y ^ 1) ^ y ^2 ’ ^ ,.2 1 y\ ^ -\r r\ ^ x\ -\r y\ z\, xx^ + yy^ -\- = \ in Bezug auf den Koordinatenanfang 0 transformiert, so ent- spricht jedem Punkte P von f mit den Koordinaten x, y, s ein Punkt P' mit den Koordinaten x^, i/, , der Fläche (a:, z^) = 0, und es ist 1) Von imaginären Beziehungen wird nur, so lange nicht dies be- sonders bemerkt wird, abgesehen. Der Kürze wegen ist <■)•, = 1, nicht rr, = ni* gewählt; die letztere Annahme würde allerdings der Homo- genität der Formeln mehr entsprechen. Sitzungab. d niatli.-pby.s. KI. Jabrg. 1920. 16 280 A. Voss 2) /; (x'j y, = f{xyz) = (i die Gleichung der letzteren. Die beiden Flüchen / und werden im folgenden als Fläche P und Fläche P^ bezeichnet. Die aus 2) folgende Gleichung a/”, _ df_ 9^ , 3/" dy , dz dXj dX dx^ dy dX^ d Z d Xj nebst den analogen für die Differential quotienteii nach z^ liefert mit Hilfe der Gleichungen 1) sofort dX, dX df, df , df\ + y. VT. + 3-^j > dX dy also für 3^ s-x^Uv^~l+z^J ^ ~ ^ dx^ dy^ dz' 5 = a:, l + y, + SA die Grundgleichungen der Transformation B I) 9/', a.r, 9/, 9/’ dx 2Sx, = ^-^~2Sy, dy^ dy 9/, 3.- 9/’, 2Sz, also auch, da nach 1) = — S ist, 9/- 9y df dx, ' r\ 5!/, 2 iS, 3-, , 2 'S, ?/, , = r\ — 2 S,z,. dz 9^1 Setzt man ^ ~ ^ ~ Sum- oc J \^CC^J mation sich auf x, ,?/. z etc. erstreckt, so folgt aus I) A\ = rV Vaw Theorie der reziproken Riulien. 231 Führt man für die Flächennorinalen in den Punkten P, Pj die Bezeichnungen X, Y, Z\ Xj, Y, , ein, und setzt J, = J r\ so hat man auch aus I) la) X, = X~2S,^^, Y, = Y-2S,^, Z, = Z-2S,^^ für S., = xX + yr+ X{xX). In la) ist damit eine bestimmte Richtung der Normalen des Punktes 1\ festgesetzt, die nicht immer zweckmäßig ist. Wählt man nämlich für die Koordinaten von P und J'j die Parameter u, v ihrer Ausdrücke auf den Flächen P und 7^, und bezeichnet ihre Dififerentialquotienten nach den u resp. f, uu, uv etc. durch angehängte Indizes, so daß X\ — 2 so sind die Richtungscosinus der Normale in P den Unter- determinanten der Matrix ^0 Vv proportional, und die Xj, F, , X, proportional den Faktoren von c, , Cj, C3 in der Determinante \ ^ lu y \ii ^ hl , X = i iCi „ yi „ I . I C] C2 C3 I Für X erhält man durch Ränderung mit der vierten Kolonne 16’ 232 A. Vuss und geeignete Addition der Elemente derselben zu den drei OC 'If ^ ersten Kolonnen, Avenn man darauf die mit „ , , — mul- tiplizierten drei ersten Kolonnen von der letzten abzieht, 2/i( Zu y« ■2'» X -\- c^y + C^z ^ / ^1 I I '^Ä ' V 2x 2y 2z — 1 ) oder, wenn x — y„z„ — ZuX^'.Vey — P etc. gesetzt wird '•'V. = - i Xl/r« ^ 2-*X . ^ und es tritt an die Stelle von I a) Ib) X, = -X+2:r2*^f, r. = -r+2a:2^f, i?, = — 2x1 In Bezug auf die Formeln I) ist vielleicht noch folgende Bemerkung am Platze, die sich auf die partiellen Dilferential- quotienten p, g; der Flächen P, Pj bezieht, Avobei s/", 9/’, p. ’ -f- etc. ist. aa;, dz^ Man erhält dann durch Division der beiden ersten Glei- chungen I) durch die dritte pr^ 2x{px qy — z) 2z{px qy — z) _ ^ _qr^ 2y{px -]- qy ^ z) ^ 2z{px qy — z) ' Fügt man unter der Bezeichnung iv = px qy — z die Identität Zur Theorie der reziproken Radien. 233 'Iz IV -|- 2 w hinzu, so erhält man — iv^ = — 4- ?! 2/i — 2,) = IV ; + 2iV2, also durch weitere Umrechnung _ _ Pi r'l 2 X, ^ _ gl ri + 2 y, iVi r\-\- 2 2i iVi ’ ^ r'l 4- 2 .^1 tCi Die Einführung der p, q jedoch würde für die Unter- suchungen der folgenden Paragraphen sehr weitläufige Rech- nungen mit sich bringen. Von den verschiedenen Beweisen für die Invarianz der Krümmungslinien bei der Transformation R ist wohl der aus dem Dupinschen Satze folgende, auf das dreifache Orthogonalsystem, gebildet aus /', seinen Parallelflächen und den aus den Flächennormalen längs der Krümmungslinien be- stehenden beiden Developpablen bezogene folgende besonders anschaulich. Darboux gibt (Theorie genm-ale des surfaces, I, S. 208, vgl. auch Bianchi, Vorlesungen über DilFerential- geometrie, 2. Auflage, 1910, S. 110) einen anderen auf den Grundgleichungen der Flächentheorie beruhenden Beweis. End- lich kann man sich auch des Satzes (vgl. Salmon-Fiedler, Anal. Geometrie des Raumes 1863, 3. Auflage, 1880, S. 40) bedienen, daß die Richtungen der Krümmungslinien diejenigen sind, nach denen eine Kugel die Fläche stationär berühi-t, d. h. in einer Kurve mit Spitze durchschneidet. Hier soll der Beweis durch den direkten Nachweis der Invarianz der Gleichung der Krümmungslinien erbracht werden. Setzt man 3/i dx^ 0 Voa der Determinante D, und der analogen auf f bezogenen 1) ist nur die erste Kolonne hingeschrieben. 234 A. Voss * so daß 7)j = 0 die Gleichung der Krüinmungslinien von /^ = 0 darstellt, so hat man nach 1) -f 2r(lr ll dX 4) \dxj \dxj 2 S dx — 2 X d S liilndert man nun mit den Elementen der vierten Kolonne S, dS, dr 1 und fügt dieselben mit 2 a;, 2y, 2 z multipliziert den drei ersten Kolonnen hinzu, so wird X». = © 9 a; dx + 2 /• d r 3f dx 2dxS — — d S — — S dr — — 73- 2y 2z 1 OC '?/ z Zieht man jetzt die mit den multiplizierten drei ersten Kolonnen von der letzten ab, so erhalten die Ele- mente der letzteren, wie unmittelbar zu sehen, die Werte 0, 0, 0, — 1, so daß II) ^\ — — oder r\ r D = 0 ist. Man findet übrigens für 9/ 9A dx , J. = d X^ dx ’ " 1 dx^ X X, = \ 1 so daß auch Zur Theorie der reziproken Radien. 235 1)^ J^ = —JI) eine bis aufs Vorzeichen absolute Invariante ist, zu der man hinzufügen kann. Die Invariante D hat übrigens noch eine allgemeinere Bedeutung. Aus der bekannten Formel für den kürzesten Abstand d zweier Strahlen mit den Richtungscosinus a, , ß^, ^2) /^2> Vi Neigungswinkel ö, welche von den Punk- ten \ y^, ^2 ausgehen, ^2 — 2/2 — 2/l ^2 — I 1 ßi yi |/i_cos-2ö «2 ß2 7-2 folgt für den Fall, daß a, , ß^, durch X, F, Z] ß^, y^ durch Y -\- dY, Z -\- dZ ersetzt werden dx d — X : Q , wo Q = YdX.“^ -)- -|- dZ'^. dX Multipliziert man diese Gleichung mit der Determinante X x„ x„ = VEa- F\ wobei für die Koordinaten x, y, z der Ausgangsfläche und die Richtungscosinus die Parameter u, v gewählt sind, und X-u — Xu X^y — /j , X Xfj Xu — ^ x^ Xp y XX: = E, XX„ X„ = E, XXl = G gesetzt ist, so erhält man e du 4- f dv f du 4- adv , d = — .üVEG — F\ E du 4- Edv F du Y Diese Formel, die sich in E. Kummers Abhandlung über geradlinige Strahlensysteme (.J. v. Grelle, Bd. 57) nicht findet, ist natürlich längst bekannt, aber ihre weitläufige Ableitung 236 A. Voss in Biancliis Vorlesungen über DifFerentialgeonietrie läßt sich, wie gezeigt, durch die Multiplikation mit der Determinante sehr vereinfachen ^). Setzt man voraus, daß die Ausgangsfläche x, y, z zu den Strahlen normal steht, so hat man mit der Determinante X zu multiplizieren und erhält dann sofort bei Benutzung der gebräuchlichen Bezeichnungen für die Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung e, f, g; E, F, die Gleichung d = edu-\- f dv, Edii-\- Fdv, f du -\- gdv F du Gdv : Yeg - p YdX'^ + d + dZ^. Andererseits hat man aber auch X dX dx .D Fdu-\-Fdv, Fdti~{-Gdv\ D = J> dX = ^ i, Yeq — /'■* edu-\-fdv, tduFu^^^ also 1). d = ^^VdX^ + dY^-^dZ\ YdXlYdYi-YdZl so daß auch d_ .^dfdX\-^dY\ + dZ\ d\ 1 dX^ + dY'^ ^ dZ'^ oder, wenn man die Bogeneleraente der sphärischen Abbildung der Normalensysteme der beiden durch die Transformation li zugeordneten Flächen durch ß, bezeichnet. - P _i. 0 /• ^ r, * ’ womit das Verhältnis der kürzesten Abstände je zweier unend- lich benachbarter korrespondierender Normalenpaare der Flächen F und Pj ausgedrückt ist. Vgl. Bianchi, Vorlesungen über Differentialgeometrie, Leipzig, Teubner, 2. Aufl., 1910, S. 131 und 263, 264. 2) Diese von B. Hoppe eingeführte Bezeichnung scheint mir immer noch zweckmäßiger als die gegenwärtig meist benutzte E, F, G] L, M. Nl (bei Bianchi E, E, G; IJ l>n)- Zur Theorie der reziproken Radien. 237 Das charakteristische § II- Dreieck der Transformation R. Aus den Gleichungen I) oder la) folgt sofort, was übrigens auch sehr leicht geometrisch zu ersehen ist, daß die Nor- malen N, N, der Punkte P, P, sich in einem Punkte Q mit den Koordinaten |, r], s schneiden, der. gleich weit von P und Pj entfernt ist'). Dies zeigt sich sofoit auch analytisch. Setzt man nämlich ^ o X = ic, + öj X, ^ ^ a Z = -j- 0j Xj so folgt nach § I, la) X aX — I und diese Gleichung wird zur Identität für o = Oj, wenn man 1 — zugleich o = setzt. Es sind daher die Koordinaten des Punktes Q = x-\- 1 — r* X = x-^ 1) >? = 2/ -P Y = y -\- 1 — • der mit den Punkten P und P, das Dreieck bildet. Daraus folgt: 1 — 3 /' 2^ dx IXZJ'I If-A 2S dy 1— r» df ~2S 3^"’ charakteristi sehe - 1 + (1 {i-xf-^in-yr + ic-^r (1 — r^y iSl Diese einfache Bemerkung scheint bis jetzt übersehen zu sein. Nur in K. Pascals Repertorium, Leipzig 1902, II. S. 514 finde ich die Angabe „Bemerkenswert ist das Theorem, die Normale zu einer Kurve 238 A. Voss oder Die um (^> mit dem Radius Q F beschriebene Kurve schneidet also die Eiuheitskugel um den Mittelpunkt 0 orthogonal, so dah in jedem der allerdings nicht notwendig reellen Schnitt- punkte T das Dreieck OTQ bei T rechtwinklig istD) Für den Winkel F Q F^ = d erhält man . 0 S Ist daher S : r J eine Konstante, was für die bekannte Klasse von Flächen F-(P^), bei denen die Normale einen konstanten Winkel mit dem Radiusvektor r bildet, stattfindet, so ist auch d konstant.^) Im allgemeinen mag übrigens S als von Null verschieden vorausgesetzt werden. Ist S beständig gleich Null, so redu- zieren sich die Flächen P, Pj auf Kegelflächen mit der Spitze 0. Ist S an einer bestimmten Stelle gleich Null, so sind die Normalen in P, Pj parallel, d. h. der Punkt Q unendlich ferne und für = 1 fällt Q mit P und Pj zusammen. Die Gleichung der Ebene P Q /\ ist in den laufenden Koordinaten E, II, Z 3) I II Z X y z = 0. X r in einem Punkte P und die Normale zu ihrer inversen Kurve in dem entsprechenden Punkte P, schneiden sich in einem Punkte des im Mittel- punkt von F 1\ auf FF, errichteten Lotes“. Aus der Betrachtung des Dreiecks 0(^F folgt noch im reellen Gebiet 0 Q — PQ ^OQ PQ , also für den speziellen weiter unten betrachteten Fall 0 V = V 1 -k ^2, FQ = l-, V 1 — — k < r 1 + k'^ -f k, auf S. 239. 2) Diese von Monge zuerst untersuchten Flächen, die übrigens auch in neuester Zeit noch weiter untersucht sind, sollen hier als Monge- sche Flächen bezeichnet werden. Zur Theorie der reziproken Radien. 239 In sehr einfacher Weise läßt sich auch die partielle Differentialgleichung 4) (1 — r'^y ~ h = konst., oder (1 — r*)* (1 + -f 3^) = 4 Ä:'* {px q y — lösen. Unter dieser Voraussetzung ist nämlich 5) = i + {PQy = h\ Die Punkte Q liegen daher auf einer Kugel (Q), die um 0 mit dem Radius Vl — beschrieben ist, und die Ent- fernung jeden Punktes P (resp. P^) von Q ist gleich h. Nun sind drei Fälle möglich. Entweder gibt es auf (Q) zwei- fach unendlich viele Punkte Q dieser Art. Dann ist die Kugel (Q) Parallelfläche der Fläche P (P,); letztere also selbst eine mit (Q) konzentrische Kugel vom Radius /c -j- ]/ 1 -f- P resp. — 7c. Oder es fallen alle Punkte Q mit einem einzigen Punkte von (Q) zusammen. Dann liegen die Punkte P und Pj auf einer um diesen Punkt mit dem Radius h beschriebenen Kugel. Oder endlich die Punkte Q bilden eine Kurve C auf (Q). Die Fläche P (P^) ist dann eine Röhren fläche, die durch die Enveloppe der Kugeln vom Radius k, deren Mittelpunkte auf C liegen, entsteht. Setzt man in der Tat f^{x- ^{y- yf -f (^ - 0* - = 0 ^ 11^ H- = 1 + k\ so ist die Differentialgleichung 5) erfüllt, da der Ausdruck S gleich 1 — wird. Im zweiten Falle hat man daher die vollständige Lösung mit den drei Konstanten Cj, c^, Cj, zwischen denen die Gleichung ci -p ^2 -y C'z — 1 7c^ stattfindet, f — {x — Cj)^ + ^ + (•^ — <^3)^ — erste Fall stellt die singuläre Lösung vor; der dritte endlich gibt als allgemeine Lösung durch den gewöhnlichen Prozeß 240 A. Yoss der Enveloppenbildung die Röhrenflächen vom konstanten Radius k. Die Gleichung 2) gestattet eine von Interesse erscheinende Umkehrung. Die Enveloppe der von den Punkten ij, C der willkürlichen Fläche Q mit dem Radius = P + — 1 beschriebenen Kugeln erzeugt die beiden durch das Prinzip der reziproken Radien verbundenen Punkte 1\ Pj von 2 Flächen P, Pj. Es ist nämlich für die Koordinaten x, y, z eines Punktes der Enveloppe des Systems 2) oder - xf + (,/ - tjf + (c - Zf = - 1 immer 7) x^ -\r — 2{^x -f yy -f 'Qz) -\- \ = 0. Setzt man jetzt y, s als abhängig von den Para- metern M, V voraus, so hat man y \ -|- yuy “I“ CuZ = 0 ^ ivX -f }],y -f Ccz = 0. Demnach ist /.x = Z, Xy = H, Xz = Z, wo Z, II, Z die Richtungscosinus der Normale der Fläche Q sind, also Setzt man dies endlich in 7) ein, so erhält man die Gleichung 8) X^-2X(iZ-^yH-fCZ)-\- 1 =0 deren Wurzeln X^ durch die Gleichung = 1 miteinander verbunden sind. Bezeichnet man die zugehörigen Werte der X y z durch x^, y,, z,-, x.^, y.^, z^ so ist x^ = r = X, Ke, *^1 wie gezeigt werden sollte. Dann und nur dann, wenn Z -\- 1] II Z Zf — 1 ein Quadrat ist, zerfällt die Enveloppe in zwei völlig getrennte Mäntel; dies ist in den bisher be- Zur Theorie der reziproken Radien. ’241 trachteten Unter.suchungen der Fall. Im allgemeinen aber ist diese Enveloppe eine anallagmatische Fläche.^) Es ist übrigens leicht zu zeigen, daß diese Betrachtung wieder auf die Gleichung 1) zurückführt. Differenziiert man nämlich die Gleichung 7) unter Be- achtung von 7 a) vollständig nach u und .so erhält mau = rr„ iX -j- rjy -f ^ ^ \ Setzt man zur Berechnung der C jetzt ic^ -\- tjC^ -\- Cc^ = C\ so daß die .1' die partiellen Differentialquotienten von C nach den c sind, und multipliziert die Determinantengleichung Xu Vu Zu rr,, Xv yv z„ rr„ X y z - Cj Cg Cg C = Ü mit der Determinante i XXuX^ = Vcq — P, so entsteht, wenn man die ersten drei Kolonnen, mit den x, y, s multipliziert, von der letzten abzieht Xu yu Zu 0 Xn yv Z, 0 1_,.2 ^ ^-2~ c, Cg Cg C (Cj X -\- c^y c^s) = 0, ') Diese Bestimmung der anallagmatischen Flächen mit Hilfe von 8) scheint einfacher, als die von Darboux, Sur une classe remarquable de Courbes et de surfaces algebriques, Paris, 2. Aull., 1896, S. 120 — 124. Für die Fläche ti „2 ‘2 = 1 „2 ^ 52 ^ c2 erhält man so unmittelbar (1 xi y-i = 4(x2«2 4-1/2b2-f-^2c2). A. ^'0S3 24 2* welche Gleichung durch nochmalige Multiplikation mit der eben genannten Determinante Vcq — p sofort übergeht in (6’ — (c, a; + C2 ?/ + C3 z}) {x X) — XcX aus der durch Vergleichung der Koeffizienten X, also die Gleichungen 1) entstehen. § ni. Invariante Beziehungen zwischen den Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung der Flächen P und P^. Für die Beziehung zwischen den Fundamentalgrößen erster Ordnung c. f, g\ der Flächen P. Pj erhält man unmittelbar erhält man Xu t, — II = r:F, gx = .7 : ’) 1 Gleichungen (M 1 II xr„ 3 ’ yi Xf ^ X') f — 72 — “ 7.3 V Q ^ V Q Xf t tl _ l'im n X') u'^ V — 2 +6 - yi y* 1 l-* Multipliziert man diese Gleichung mit der entsprechenden Ib) des 8 I und summiert über die Koordinaten x, y, z, so erhält man für die Fundamentalgrößen F und Pj die Beziehung F Sf Ji' O ( y y _l- V >• ^ XX ^ ' i y^ y* wobei S^ = xX-\-y^'^~\'^^ — X xX gesetzt ist. b Eine Verwechselung der Fundamentalgrößen f, fi mit der Be- ziehung für die Flächen f, fi des § I ist wohl ausgeschlossen. Zur Theorie der reziproken Radien. 243 Aus der Gleichung folgt aber so daß X- -\- tß 2^ = A’ xXnc + f= rr„^ -f r„i\, Sof + 2 ) wird. Die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung von P, sind also durch die in sich reziproken Formeln (wie leicht zu sehen, wird = I gegeben: rj r J ° ^ I) F, (J + 2^/) aus denen sich manche weitere Folgerungen herleiten lassen. Zunächst erhält man die wichtige Gleichung { E du 2 F du dv + G dv^ F^ du^ 2 F^ du dv G^ dv^ = 11) „ (e dii^ 2 f du dv g dv'^) 1 + 2S, -j I oder, wenn man durch «i»» + 2/-, dndv + dv^ = dividiert, und mit Bianchi, a. a. 0. S. 101, den Krümmungs- halbmesser E des den du, dv entsprechenden Normalschnittes von f durch die Gleichung 1 definiert, III) E du^ 4- 2F dudv G dr- e du^ 2f dudv ß g rG4 1 F _ i) Q ■ R^ R " die mau auch in der Form 244 A. Yoss r, + li r 9 S2 schreiben kann. Für die bereits erwähnten Mongeschen Flächen, bei denen ^ ZxX. eine Konstante A’ ist, ist daher insbesondere r r R\^ R = 2A. Allgemein besteht aber für irgend zwei Krüm- O O mungshalbmesser R^ und R^ von Normalschnitten, denen durch die Transformation R[ und R^ entsprechen, nach III) die invariante Beziehung; und den Haupttangentenrichtungen auf P entsprechen immer nach III) gleiche Krümmungen der entsprechenden Normal- schnitte auf Pj (und umgekehrt). Wendet man Formel III) auf die Hauptkrümmungshalb- mosser 0,, q{, g-j für P und Pj an, so folgt oder 1 + 2S,. + 28, _1 )* 2S,r^ + 4 82, also wenn man das Krümmungsmah für P und P, mit Iv und /fj bezeichnet, IV) K,=£:P — 2S,r^ff+4Sl für IJ als mittlere Krümmung — 1- 93 Für eine Minimalfläche (allgemeiner für jeden Punkt P, dessen mittlere Krümmung gleich Null ist) ist also immer K,> Kr\^) ') Das Gleichheitszeichen gilt nur für die besonderen Stellen, wo S2 = 0 ist. Zur Theorie der reziproken Radien. 245 Aus der Gleichung III) erhält man ferner V) — = +ifr2 — 4S, oder TZj »-j -}- 7/r = 4 y , was wieder eine besondere Eigenschaft der Monge sehen Flächen ist. Multipliziert man die Gleichung IV) mit — f\dudv ß Q f = — ^—7 dudv, so erhält man, falls die Gaußsche Kur- r* vatura integra durch h, Jc^ bezeichnet wird VI) 7i/j — ]c 2 + 4 J ^}dtv, Sl wobei div das Flächenelement bezeichnet. Für die Minimal- flächen ist daher insbesondere (abgesehen vom trivialen Falle ^2 = /vj > Je. Endlich ist auch, wenn man die Gleichung V) mit den korrespondierenden Flächenelementen dWy = — multipliziert VII) J’f *'• + = ' S.^ div In dieser Gleichung, die für eine Minimalfläche P wieder besonders einfach wird, hat das Integral rechter Hand eine aus der Potentialtheorie wohl bekannte Bedeutung. Denn es ist § = Tcos(iV,r), SO daß es sich um die Kegelöffnung des Flächenstückes auf P für den Punkt 0 handelt. Für eine developpable Fläche P folgt aus IV) K, = -2 S,Hr^ + 4 Sl insbesondere also für die der Kugel vom Radius c umschriebenen Developpabelen S.^ ~ konst. = k /fj = — 2 cHr^ -f- 4 c*. Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. Jalirg. 1920. 17 246 A. Voss Hiernach kann sowohl positiv als negativ für die verschiedenen Punkte ausfallen. In der Tat liefert ja auch schon ein Kreiszylinder eine Kanalfläche, die sowohl Stellen von positiver Krümmung als auch von negativer enthält. Zur Untersuchung des Zeichens von kann man sich der folgenden Betrachtung bedienen. Die beiden für jede Wahl der v absoluten Invarianten ^ EG — F^ 1 „ 2fF — gE — eG 1 . 1 (^9—r Q1Q2 cg — p p, p, zeigen, daß — ist. Für einen Flächenpunkt negativer Krümmung ist dies selbstverständlich. Setzt man aber K = — y., so ist nach IV) Ist dagegen K an einer Stelle positiv, so ist | | = 2 -|- d, wo (5 positiv ist, und dann folgt = r» YK + 2 ^2 i* T- 2 S\ und von dem Werte der rechten Seiten in diesen beiden For- meln wird das Vorzeichen von abhängen, womit zugleich auch die Lage der parabolischen Kurve der transfor- mierten Fläche gegeben ist. Es sei endlich noch eine Bemerkung über die geodä- tischen Torsionsradien T, T, entsprechender Kurven hin- zugefügt. In der Gleichung 1 _ {fE-eF)du^^{gE-eG)dudv-\- {gF-fG)dv'^ T (e du^ 2f du dv g dv‘^)y eg — p setze man nach I) fE-eF=-r^f,E,-c,F,), gE-eG = -r^(g,E,-e, G,), gF-fG = -rHg,F,^f,G,), Zur Theorie der reziproken Radien. 247 woraus sofort die invariante Beziehung T T entsteht. Für die geodätischen Linien resp. Haupttangentenkurven auf den Flächen P ergeben sich keine einfachen Beziehungen bei der Transformation. Dies beruht dai-auf, daß die Schmie- gungsebene einer Kurve auf P bei der Transformation nicht so übersichtlich umgeformt wird. Die Transformation des Aus- druckes , , ! ? — ^ j n bei dem = e gesetzt ist, liefert nämlich den Aus- druck ^ k —X r® j Xi „ _ ^2 Xu — 2e Xu i ^1 H U Xu w X -h 2 (la; -f 1 + X Xu Xu u Hiernach besteht die Gleichung der Schmiegungsebene der transformierten Kurve (7j von C aus drei Gliedern. Von diesen bezieht sich das erste auf die Schmiegungsebene von (7, das dritte auf eine Ebene P, die senkrecht zum Radiusvektor OP durch den Mittelpunkt von PPj geht. Das mittlere Glied ge- hört zu einer Ebene, die den Radiusvektor OP und die Tan- gente von 0 enthält. Eine Vereinfachung findet nur statt für die Minimalkurven e = 0 statt; hier ist die Schmiegungs- ebene von Oj immer die durch den Punkt Pj gehende Ebene des Büschels, das aus jE und der Schmiegungsebene in P besteht. Der Faktor xXuXuu 'i verschwindet nur dann, wenn der Radiusvektor in der Schmiegungsebene von P liegt. Soll das überall stattfinden, so hat man nur den trivialen Fall, daß die Kurve C eben ist und ihre Ebene durch den Pol 0 geht. IT 248 A. Voss Das ergibt sich auch aus den Formeln von Frenet. Denn man hat jetzt, wenn etwa w die Bogenlänge von C bedeutet, Zx). = 0, woraus durch Diflferentiatiou — Z(xi) = 0 entsteht. Ist die Kurve C eine Raumkurve, so folgt Z(x$) = 0 und eine weitere Differentiation liefert dann Z(ai) — ^ = 0 oder Z(ax) = 0. Daraus folgt aber x = ^ = = 0, d. h. Raumkurven dieser Art gibt es überhaupt nicht. Einer geradlinigen Minimalkurve entspricht aber immer wieder eine geradlinige Minimalkurve. Es besteht übrigens die allgemeine Gleichung ^ ^ «I 11 X Xu ^11 u Führt man hier noch die Richtungen b, der Binor- malen ein, so hat man — cos (OP, b) = — cos (OPj, 6j) als invariante Beziehung zwischen den Krümmungshalbmessern und der Richtung der Binormalen. Zur Theorie der reziproken Radien. 249 § IV. Über die zu der Transformation R gehörigen Strahlensysteme. Die Tangentenebeuen der Flächen f und /j in den Punk- ten P, P, haben nach § I, I) die Gleichungen Die Schnittlinien derselben bilden ein Strahlen System Z, dessen Brenn fläche in einfacher Beziehung zu den Flächen P, Pj steht. Aus 1) folgt durch Differentiation, unter Vor- aussetzung, daß rj, t ungeändert bleiben, für die Koordi- naten I*, rj, 'Q eines Punktes der Brennfläche Z ^ dx = r dr. Durch Elimination der rj, 'Q folgt hieraus die Gleichung 3/; — — s dX (^A — — dS \oXJ dx — — rdr 1 4- r' X ~ ~2 also durch Subtraktion der drei ersten mit x, y, z multipli- zierten Kolonnen, wie in § I 2 250 Ä. Voss Das lieißt:^Die Brennfläche von ^ ist stets reell und die Developpabelen des Systems 2 entsprechen den sich schneidenden Normalen längs der Krümmungs- linien von f oder f^. Ist insbesondere r* = 1, so ist nach 1) ö X d. h. jeder Strahl, der zu einem benachbarten Punkte von P gehört, geht durch diesen Punkt P. Ein solcher Strahl ist singulär. Der zu P, Pj gehörende Strahl trifft die Ebene PQP^ in einem Punkte C seiner Ausgangsfläche, dessen Koordi- naten sind nach § II, 3 ^^=px-\-qX, 3) 'nx = vy -{■ si + gZ, woraus 4) >^2 + 2 = ^2 > 1 -1- oder 1 p-l='^ :Sl-r\ q = S,:S\- r» folgt. Der Punkt G ist wieder gleichweit von P und Pj ent- fernt, liegt daher auf der Halbierungslinie des Winkels PQ P^. Wir untersuchen nun zunächst die Lage der Brenn- punkte selbst. Mit Hilfe der Koordinaten von G kann man sie durch die Gleichungen ^ + piyZ — V = Vi -j- p(^X — xZ), C = Ci + p(xY—ijX), 5) Zur Theorie der reziproken Radien. 251 wobei ixY — S\ = o (r^ — iS* ist als Summe von Quadraten immer positiv) die Entfernung des Brennpunktes vom Punkte C bezeichnet, darstellen. Setzt man in den Gleichungen 1) für die rj, ’Q, welche auch die Form 2'(dX = äSj, 2'^dx = rdr annehmen, die Werte 5) ein, so ergibt sich, da die beiden ersten schon von selbst erfüllt sind. ' dX\ ^ d X fl X , = d , X dx Da nach 3) dx-\- fl X X rdr. Xi, dx = pdX{xX) = pds„ Xi,dx =prdr ist, so erhält man dXi dx X = dS^{\ — p), fl X X rdril — p). Multipliziert man diese Gleichungen mit der Determinante \Xxu Xj, =yeg —p, so hat man 6) X{XudX), X{x,dX) rr„ X{x,,dx), X{x,dx) rr„ rr„ dS^{l—p)yeg — p, rdr(\ — p) Y<^g — P- 252 A. Voss In diesen Gleichungen ist noch dS.^ durch seinen Wert zu ersetzen. Man findet ihn durch die folgende Betrachtung, O O Aus den Gleichungen l^xdX = dS.^, Zx„dX = — {E du F d v) , XxtdX = — (F du Gdv), XXdX = 0 ergibt sich durch Multiplikation mit der eben genannten Deter- minante mit dem aus den vorstehenden Gleichungen folgenden Eliminationsresultat X — - dS, Xji — — {E du F dv) X, — — — {F du Gdv) X — — 0 die noch mehrfach zu benutzende Gleichung 7) {eg-ndS^ = — {{E du -\- F dv){r,,g — r„f) — {Fdu-\- Gdv){r„f—r,e)}r, Setzt man diesen Wert von dS.^ in die Gleichungen 6) ein, so hat man zwei Gleichungen zwischen den Differentialen. Eliminiert man fx, so entsteht eine quadratische Gleichung in du, dv, welche nur die der Krümmungslinien von P sein kann, so daß es unnötig erscheint, dies zu verifizieren, was durch wirkliche Ausrechnung geschehen kann. Eliminiert man dagegen die dtc, dv, so entsteht eine quadratische Glei- chung für fx, welche die beiden Brennpunkte auf dem Strahle bestimmt. Zur Vereinfachung der Formeln wird man voraussetzen, daß die Parameter u, v schon den Krüm- mungslinien von P entsprechen, also f = 0, F = 0 ist. Man hat dann nach 7) Aus den auf die Krümmungslinien von P bezogenen Gleichungen 3 u 9i ’ ^ V Zur Theorie der reziproken Radien. 253 falls wieder mit und die beiden Hauptkrümmungsradien in P bezeichnet werden. Die Gleichungen 6) werden nun für \-V V — V Er^du — (r /•„ dv) = y eg n -- \ Ql Q2. v{er„du — gr„ dv) = Y eg (r„du -f- r^dv). Eliminiert man jetzt die v, so bleibt e — r~„ g) du dv = 0 , womit zugleich gezeigt ist, daß, wie schon bemerkt wurde, die Krümmungslinien dti = 0, dv = 0 entstehen. Eliminiert man dagegen die du, dv, so folgt läßt sich noch eine Beziehung von allgemeinerem Interesse herleiten. Man hat sofort 1 3(r r„) 1 a(rrj ^ V, ^ Ql dv q2 ou " 3 0 3 u Aus der Gleichung -(-^2 = ^2 folgt aber 3{ri\) 3[rrJ dv du “ Nun ist nach den Gleichungen der Flächentheorie -^0 2eB = e^, 2gBi = ;9{e+ ’—•) + '‘i « . SO hat mau zur Bestimmung der Hauptkrümmungsradien q im Punkte Q die Gleichung {fVs -i. ^ ('■. » + 9")) 14) = 0. Läßt man den Faktor Aj X^ fort, so wird für einen Nabel- punkt in P Pj = pj, also auch Aj = Ag und die Gleichung 14) oder Oo zerfällt in die Faktoren Einem Nabelpunkte in P wird -daher nicht notwendig wieder ein Nabelpunkt bei Q entsprechen. Die Gleichung der Fläche Q ist im allgemeinen nicht einfach. Ist P die Kugel {x — a)* -\-(y — &)* — P* = 0, so hat man für $ — a = |j, rj — b = C — c = V , (x — a)N _ (y — b)N ^ i;^ — c)N ~ — A' ~ + P* — ~ r^-t-P^-yl’ falls = 1 P* — Ä gesetzt wird. Für N = 0, wo die Kugel die Einheitskugel orthogonal schneidet, reduziert sich Zur Theorie der reziproken Radien. 259 die Fläche auf den Mittelpunkt der ersteren. Im allgemeinen Falle ist aber ^ 2 {r^ -i- R^ — A)' Setzt man nun N = 2n, so ist also (2’ (^j a) — ny = 4 R^ (r> 4- iJ* — A^) ’ 4 R^ - = R'^ie.. {r^ -t- R^ — Ay Das ist die Gleichung einer Fläche zweiten Grades, bei der die Koeffizienten der quadratischen Glieder R} — a^, R?' — 5% R} — c'4 — 2a&, — 2ac, — 2&c sind. Die Wurzeln der charakteristischen Determinantenffleichunff O O dritten Grades in A sind gegeben durch {R^ — A)» {R} — X — A) = 0. Es entsteht also eine Rotationsfläche zweiten Grades, deren Axenrichtung die Richtungscosinus a h c V7' Ya' YÄ hat, also der Verbindungslinie des Pols mit dem Mittelpunkt der Kugel parallel läuft. Die Koordinaten des Mittelpunktes der Fläche sind (abgesehen von dem Falle, wo er ins Unend- liche fällt) na . nb nc 7. «I = - j , = — R} — A' R^ R* — A und die Gleichung der Fläche Q in Bezug auf ihre Hauptaxen und den Mittelpunkt 7?^ (Sl -y Hl) R^ -I- ZJ (R^ - A) = deren Zentrafläche dann die Brennfläche des Strahlensystems Q ist. Berichtigung. Auf S. 242, § III muß es heißen €^ = e\ etc. 261 Die Beanspruchung eines Stabes von elliptischem Querschnitt auf Drillen hei behinderter Quer- schnittswölhung. Von A. Föppl. Vorgelegt in der Sitzung am 8. Mai 1920. Bei der Beanspruchung auf Drillen erfährt ein Stab, wenn kein Hindernis im Wege steht, eine elastische Formänderung, bei der jeder Querschnitt in eine krumme Fläche übergeht, deren Gestalt von der Querschnittsgestalt abhängig ist. Nur wenn der Querschnitt kreisförmig ist, bleibt er bei der Form- änderung eben. Im anderen Falle müssen die in der Richtung der Stabachse gerechneten Ordinaten | der krummen Fläche der Differentialgleichung = 0 genügen, wenn y und z die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der Querschnittsebene bedeuten und außerdem muß noch die Randbedingung erfüllt werden, die sich aus der Forderung ergibt, daß die im Stabquerschnitte übertragenen Schubspannungen längs der Umrißlinie überall nur tangential gerichtet sein können. Im besonderen Falle des elliptischen Querschnitts, auf den sich unsere Betrachtung hier beschränken soll, obschon sich die Überlegungen, die wir anzustellen haben, sinngemäß auch auf andere Fälle übertragen lassen, geht die Querschnittsebene Sitzungsb. d. matk-phys. Kl. Jabrg. 1920. 18 262 A. Föppl in ein hyperbolisches Paraboloid über, dessen Odinate | durch die Formel a^ — b^ Mys (1) dargestellt wird. Darin bedeuten a und h die große und die kleine Halbachse der Querschnittsellipse, G den Gleitmodul und M das verdrehende Moment. Wesentliche Voraussetzung für die Gültigkeit dieser von de Saint -Venant aufgestellten Theorie der Stabdrillung ist jedoch, daß sich der Ausbildung der Querschnittswölbung kein Hindernis in den Weg stellt. Diese Voraussetzung ist aber bei zahlreichen praktischen Anwendungen, die man von der Verdrehungstheorie zu machen hat, keineswegs streng oder auch nur mit genügender Annäherung erfüllt. Man hat sich daher schon wiederholt bemüht, die Theorie so weit zu ver- allgemeinern, daß sie auch den Fall eines sich der Querschnitts- wölbung entgegen stellenden Widerstandes mit zu umfassen vermag, ohne daß es jedoch gelungen wäre, zu befriedigenden und allgemein brauchbaren Ergebnissen dabei zu gelangen. Für die Anwendungen in der Technik erscheint es be- sonders erwünscht, eine hinreichend genaue Näherungslösung der Aufgabe für den Fall des doppel-T-förmigen Querschnitts zu erhalten und darauf haben sich auch die bisherigen Be- strebungen ausschließlich gerichtet. Zuerst ist dies von Timo- schenko^) in verschiedenen größeren Abhandlungen über die Stabilität des elastischen Gleichgewichts mehr nebenbei ge- schehen. Timoschenko hat dabei die Formänderung der Träger- flanschen als eine Biegung aufgefaßt, auf die er die Differen- tialgleichung der elastischen Linie eines gebogenen Stabes an- wenden zu können glaubte. Daß dies nicht streng zulässig ist, war ihm wohl bekannt; aber ich möchte einstweilen an- nehmen, daß er den Grad der Annäherung an das wirkliche 1) Timoschenko, Einige Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie. Zeitscbr. f. Math, und Physik, Bd. 58, S. 337, 1910, sowie ausführlicher in „Sur la stabilite des systemes elastiques“. Annales des ponts et chaussees. Fase. III, lY, V, 1913. Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 263 Verhalten, der sich mit dieser Voraussetzung erreichen läßt, viel zu günstig eingeschätzt hat. Jedenfalls kann diese Frage noch nicht als befriedigend gelöst angesehen werden. Ich habe mit Versuchen begonnen, die elastische Formänderung solcher Träger unmittelbar zu messen und hoffe damit zu einer Klärung der Frage beitragen zu können. Zu erwähnen ist ferner noch eine Arbeit von Senft^), der sich auf eine ähnliche Annahme stützt wie Timoschenko und wiederum die Differentialgleichung der elastischen Linie eines gebogenen Stabes auf die Mittellinie des Trägerflansches an- wendet, obschon diese Differentialgleichung auf der Voraus- setzung beruht, daß die Stabquerschnitte eben bleiben, während sie hier zweifellos gekrümmt werden. Ich habe mich von diesen früheren Arbeiten jedenfalls nicht befriedigt gefühlt und mich daher bemüht, eine besser zutreffende Lösung zu Anden. Da es sich nur um eine Nähe- rungslösung handeln kann, erschien es angezeigt, zunächst durch unmittelbare Messungen einen Überblick darüber zu er- langen, wie sich ungefähr die Formänderung bei der Ver- drehung in solchen Fällen tatsächlich vollzieht. Darauf werden sich dann geeignete Näherungsannahmen stützen lassen, die einer praktisch brauchbaren Theorie zu Grunde gelegt werden können. Da diese Messungen schwierig und sehr mühsam sind, werden sie freilich nicht so bald zum Abschlüsse gebracht werden können. Außer dem experimentellen ist aber auch noch ein anderer Weg möglich, der wenigstens für den einfachsten Fall des elliptischen Stabquerschnitts zu einer Lösung führt, für die es nicht nötig erscheint, sie durch Versuchsergebnisse erst noch besonders zu stützen. Diese Lösung wird zugleich auch ein Muster dafür abgeben können, nach dem man sich für andere Fälle richten kann und aus diesem Grunde will ich sie hier veröffentlichen, ohne zuvor den Abschluß der Versuche mit den Doppel-T-Trägern abzuwarten. A. Senft, Über die Beanspruchung durch Drehmomente. Zeitschr. f. Bauwesen, Bd. 69, S. 683, 1919. 18* 264 A. Föppl Eine Hinderung der Querschnittswölbung kann auf ver- schiedene Arten herbeigeführt werden. Im einfachsten Falle geschieht dies, indem ein Stabende derart befestigt wird, daß es als vollkommen eingespannt gelten kann, in demselben Sinne, in dem man von einer Einspannung bei der Biegung eines Stabes redet, so nämlich, daß kein Punkt des Einspannquer- schnitts eine Verschiebung ^ in der Richtung der Stabachse ausführen kann. Dieser Fall liegt z. B. vor bei Guß- oder Schmiedestücken, die aus einem stabförmigen Körper bestehen, der an einem Ende in eine starke Platte ausläuft, die senk- recht zur Stabachse steht und hinreichend steif ist, um jede merkliche Krümmung der Stabquerschnitte in ihrer unmittel- baren Nachbarschaft zu verhindern. Ein anderer Fall liegt vor, wenn ein Stab durch drei drillende Kräftepaare belastet wird, von denen zwei an den beiden Enden angreifen, im gleichen Sinne drehen und gleich groß sind, während das dritte Kräftepaar in der Stabmitte angebracht ist, im entgegengesetzten Sinne dreht und doppelt so groß ist wie eins der vorigen. In diesem Falle können sich zwar die Endquerschnitte wölben, nicht aber der Mittelquer- schnitt, der aus Symmetriegründen notwendig eben bleiben muß. Darauf hat schon Timoschenko hingewiesen. Jede der beiden Stabhälften verhält sich dann genau so wie ein Stab, der am einen Ende eingespannt und am freien Stabende durch ein verdrehendes Kräftepaar belastet wird. Dann möge noch ein dritter Fall angeführt werden, näm- lich ein Stab, der so lang ist, daß man ihn als unendlich lang ansehen kann und an dem in zwei Querschnitten, die nicht zu weit von der Stabmitte entfernt sind, zwei im entgegengesetzten Sinne drehende Kräftepaare von gleicher Größe angreifen. Nach dem Prinzip von de Saint- Venant in seiner allgemeinsten Fassung können die in größeren Abständen von dem Mittel- stück liegenden Stabteile keine merkliche Formänderung durch die angegebenen Lasten erfahren. Die Querschnitte bleiben also dort eben und erst bei Annäherung an das Mittelstück gelangt man zu Querschnitten, die sich mehr und mehr krümmen. Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 265 Hier wird also die wenigstens teilweise Behinderung der mit einer einfachen und reinen Verdrehungsbeanspruchung ver- bundenen elastischen Formänderung auch in dem mittleren Stabteile durch den Zusammenhang mit dem sich nach außen hin anschließenden unbelasteten und im übrigen völlig freien Stabteile herbeigeführt. Der Einfachheit halber wollen wir uns hier auf die Be- handlung des zuerst angeführten Falles eines an einem Ende eingespannten Stabes beschränken, da ohnehin leicht ersicht- lich ist, daß sich die übrigen Fälle in ganz ähnlicher Weise erledigen lassen. Nach dem Prinzip von de Saint-Venant läßt sich hier wiederum schließen, daß sich der Einfluß der Ein- spannung nur in den nicht zu weit vom Einspannquerschnitte entfernten Stabteilen bemerklich machen kann. Wir wollen voraussetzen, daß der Stab lang genug ist, um schon in der Stabmitte und darüber hinaus diesen Einfluß vernachlässigen zu können. In diesen Stabteilen kann sich dann die elastische Formänderung nicht mehr merklich von jener unterscheiden, die der gewöhnlichen Theorie der Drillung, also der von de Saint-Venant gegebenen Lösung entspricht. Die X-Achse des rechtwinkligen Koordinatensystems, auf das sich die vorher schon angesckriebenen Gleichungen be- zogen, möge mit der Stabachse zusammenfallen und die YZ- Ebene mit dem Einspannquerschnitte. In Anlehnung an Gl. (1) machen wir dann für die Verschiebungskoraponente ^ den Ansatz worin y ein „Freiwert“ ist, der seine nähere Bestimmung späterhin noch finden wird. Jedenfalls ist er unabhängig von den Koordinaten xys. Der Ansatz entspricht einerseits dem Prinzip von de St.-V., indem das Zusatzglied für a; = oo zu Null wird und andererseits der Grenzbedingung für den Ein- spannquerschnitt. Ferner dürfen wir erwarten, daß ebenso wie in der ge- wöhnlichen Theorie der Drillung auch hier die Spannungs- komponenten 266 A. Föppl Oy = Ol = 0 zu setzen sind. Dagegen kann in unserem Falle die in der Richtung der Stabachse gehende Spannungskomponente Ox nicht mehr gleich Null sein; vielmehr ergibt sich dafür Ox = E dX y a^—b^ 71 b^ 2(w + 1) m (3) Die Bedeutung der Buchstaben ergibt sich schon aus dem Zusammenhänge und stimmt mit der in der Technik und auch in meinen Lehrbüchern gebrauchten Beziehungsweise hier und in der Folge überein. Zuletzt ist von der bekannten Beziehung zwischen den Elastizitätskonstanten , mE ^ ~ 2(m -b 1) Gebrauch gemacht worden. Wir haben jetzt die Schubspannungskomponenten r so zu wählen , daß sie mit den bereits festgestellten Normal- spannungen o überall Gleichgewicht herstellen. Die Gleich- gewichtsbedingungen lauten hier SOx , dTix dx ' dy 9 t, dz _X,V , dx ~ dz dx dy (4) Ihnen läßt sich genügen, indem man zunächst Tyi = Je (a* 6* — t/* — a* .?*)’ • (5) setzt und sich vorbehält, Xxy und Xx, dementsprechend zu be- stimmen. Für a; = 00 verschwindet, wie es sein muß, dieser Wert von Xy^ bei allen Werten von y und z in Übereinstim- mung mit der Lösung von de St.-V. und im Querschnitts- umfange verschwindet außerdem Xyi auch für jeden Wert von x, wie es die dort bestehende Grenzbedingung verlangt. Unter Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 267 h ist ein vom Verdrehungsmomente M abhängiger Festwert zu verstehen, der sich nachher ergeben wird. Damit die letzten beiden der Gleichungen (4) erfüllt wer- den, hat man zu setzen Txy = — — e~ z z"^) -}- ~^^z 1 2 M Xxi = g-!'* . 4 kh'^y{a^h‘‘‘ — b'^y^ — z^) ^ y. TC Q/ 0 (6) Bei der Ausführung der Integration nach x, die zur Ab- leitung dieser Formeln nötig ist, hat man die letzten Glieder als von X unabhängige Integrationskonstanten beizufügen, so wie sie der Theorie von de St.-V. entsprechen. Die ersten Glieder verschwinden bei jedem Werte von x am Querschnitts- umfange, so daß die Grenzbedingungen überall erfüllt sind. Die Rechtfertigung für den in Gleichung (5) gewählten Ansatz für Zyc ergibt sich jetzt daraus, daß die erste der Gleichungen (4) durch alle diese Werte identisch erfüllt wird, falls man die bisher unbestimmt gebliebene Jionstante k ent- sprechend wählt. Eine einfache Rechnung lehrt, daß man zu diesem Zwecke k = yä M (7) zu setzen hat. Der durch die aufgestellten Formeln beschriebene Span- nungszustand genügt streng allen statischen Anforderungen mit Einschluß der Grenzbedingungen. Dabei kann der Kon- stanten y noch jeder beliebige Wert beigelegt werden und um diesen Umstand ausdrücklich hervorzuheben, wurde y vorher schon als ein „Frei wert“ bezeichnet. Mit den aus dem elastischen Verhalten des Körpers her- vorgehenden Anforderungen ist dieser Spannungszustand frei- lich nicht vereinbar. Die ihm entsprechenden Formänderungs- komponenten müßten nämlich, wenn die Lösung streng richtig sein sollte, den „Verträglichkeitsgleichungen“ genügen und man überzeugt sich leicht, daß diese Bedingung nicht erfüllt ist. 268 A. Föppl Wir hatten aber von vornherein schon auf eine strenge Lösung der Aufgabe verzichtet und wollten uns mit einer hin- reichend gut zutreflPenden Näherungslösung begnügen. Wir dürfen erwarten, zu einer solchen zu gelangen, wenn wir den Freiwert y nachträglich so bestimmen, daß er die in dem Stabe aufgespeicherte Formänderungsarbeit zu einem Minimum macht. Dieses Verfahren wurde zuerst von Ritz benutzt und wird ge- wöhnlich nach ihm benannt. In dem von mir gemeinschaft- lich mit L. Föppl herausgegebenen Buche „Drang und Zwang“ ist es ausführlich besprochen und begründet und auf zahlreiche Beispiele angewendet worden. Hier soll es genau in derselben Weise gehandhabt werden, wie es dort geschehen ist. Wir gehen aus von der Formel für die auf die Raum- einheit bezogene Formänderungsarbeit A, nämlich A = 1 2'G i (0l + Oy -|- Of) 1 2 (ni 1 ) (öx + öy + (^zY .2,2.2 "T '^xy ~r "r ^ y‘ die sich aber in unserem Falle wegen Oy = Ot = 0 facht zu A = 1 2G m 2 {m -j- 1) 2 , 2 , 2 , 2 öl -1- Txy -T ^xt -T verein- Die im ganzen Stabe aufgespeicherte Formänderungsarbeit A folgt daraus durch eine Integration über den Querschnitt und über die Stablänge von a: = 0 bis a: = Z. Hierbei wollen wir annehmen, daß der Stab so lang ist, daß sich die in der Nähe des eingespannten Querschnitts auftretenden Spannungsstörungen nur auf einen kleinen Teil der ganzen Stablänge erstrecken. Unter dieser Voraussetzung kann man genau genug J' dx = J dx = — Ü 0 setzen. Wir bilden zuerst CO ^ ^ oldF dx = c'^y^ J dx j" y'^z^dF, (8) Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 269 wobei der Buchstabe c zur Abkürzung für den Ausdruck a* — 2 (m -|- 1 ) c = M n a® 6® ni dient. Führt man die Integrationen aus, so erhält man : a®&® (9) ^ ^oldFdx = c^y- 48 (10) Wir kommen jetzt zur Berechnung des Integrals JJ zl,jdxdF= ^ — — o^z’^fdF Mlia 4 TIP 1 / Die hierin noch vorkommenden Integrale über den ellip- tischen Querschnitt berechnet man am einfachsten, indem man die Ellipse als rechtwinkelige Projektion eines Kreises ansieht und die Integrale aus den für die Kreisfläche gültigen ableitet. Man erhält auf diesem Wege leicht J («3 — ¥y^ — a® z^)^ dF= J (a® P — h^y^ — a®^®) dF = 12 und im ganzen ergibt sich bei Benutzung dieser Formeln 7i¥ dx dF = 3j^® 4.3Ika*b^_^ 3IH Sy^ aW ' (11) Genau ebenso kann man auch das folgende Integral be- rechnen und erhält dafür ff 2 7 7-. 7il<3a‘W 3 Mha^h^ A/®Z jjrl,dxdF= + 5T.2 i- 3 7® 3 7® a® b' (12) Das letzte Integral läflt sich einfacher ausrechnen und man findet dafür jjTldxdF^^jiaH^-b^i/-a^zydF= ^^ (13) P .-Ta®6® 270 A. Föppl Die ganze Formänderungsarbeit A läßt sich aus diesen Gliedern bilden, nämlich A = 1 m 2G iMJcan^ Sy^ 2 (m + 1) Hier sind nun noch die Werte von c und von k einzu- setzen. Dabei kann man aber die Glieder durch Herausheben gemeinschaftlicher Faktoren erheblich zusammenziehen, so daß man auf einen verhältnismäßig einfach gebauten Ausdruck ge- langt. Er lautet , /'w-b 1\ 2G\ m ) ' 80 + . 1 3P (a* -b b^) 2G a® b^ -b b^ m 1 ' (14) Diesen Ausdruck differentiieren wir nach y und setzen den Differentialquotienten gleich Null. Damit erhalten wir für y die Bestimmungsgleichung 1 n wi v4 2 y^ {a3 -b b^) = ^ , . (15) m -b 1 Durch Auflösen ergibt sich zunächst aif = - ± l/glTWTl^ ® ^ * a^b^ w -f- 1 Für 7 ist nur eine Wurzel brauchbar, da den Bedingungen der Aufgabe gemäß y notwendig reell und positiv sein muß. Im wesentlichen ist hiermit die Aufgabe bereits gelöst. Nachdem y bekannt ist, findet man nämlich nicht nur alle Spannungskomponenten nach den dafür aufgestellten Formeln, sondern auch der Verdrehungswinkel des Stabes, auf den es für die weitere Verwendung der Theorie hauptsächlich an- kommt, kann nachträglich ebenfalls leicht daraus berechnet werden. Bezeichnet man diesen Winkel mit ^99, wobei durch das Zeichen zf darauf hingewiesen werden soll, daß der Winkel Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 271 jedenfalls als klein anzusehen sein wird , so folgt J (p aus der Arbeitsgleichung \MA(p = A, (16) in die man A aus Gleichung (14) einzusetzen hat. Es bleibt nur noch übrig, an einigen Zahlenbeispielen zu zeigen, was man ungefähr zu erwarten hat. Hierfür soll, wie üblich, die Poissonsche Konstante m = 4 gesetzt werden. Für den kreisförmigen Querschnitt, also für a = h folgt aus Gleichung (15) i , = 1,46.-^-. Freilich handelt es sich dabei nur um einen Grenzfall, in dem unsere Formeln ihre Bedeutung verlieren. Mit a = h wird nämlich Je nach Gleichung (7) zu Null und hiermit ver- schwinden alle Glieder in den Spannungskomponenten, in denen 7 vorkommt, so daß nur noch die von de St.-V. gegebene Lösung übrig bleibt. Als zweites Zahlenbeispiel betrachten wir den Fall a = 10b, der einer schon recht stark abgeplatteten Querschnittsellipse entspricht. Hierfür ergibt sich 7 = 0,265 • ^ = 0,265 • a h Für die Berechnung von A ziehen wir die in der eckigen Klammer von Gleichung (14) vorkommenden Glieder zusammen zu 80 24 7,07 24 = -0,507. Der von 7 abhängige Teil des Ausdruckes für A wird hiernach negativ und man überzeugt sich auch leicht, daß er bei allen überhaupt in Betracht kommenden Abplattungen negativ ausfallen wird. Das ließ sich von vornherein erwarten, da die Einspannung des Anfangsquerschnitts eine Erschwerung der elastischen Formänderung mit sich bringt, die nur eine Verminderung, aber keine Vermehrung der elastischen Form- änderungsarbeit zur Folge haben kann. 272 A. Föppl Hierauf ergibt sich beim weiteren Ausrechnen von A nach Gleichung (14) ^ = ^6. ('’«> l und für den Verdrehungswinkel A(p folgt aus Gleichung (16), wenn man den Wert von jt einsetzt und a durch b ersetzt ^?> = g^,(o,032 i-0,08). Das erste Glied in der Klammer entspricht dem Ver- drehungswinkel für den Fall ungehinderter Querschnittswölbung und das zweite Glied der Verminderung, die durch die Ein- spannung des Anfangsquerschnitts herbeigeführt wird. Diese Verminderung ist eben so groß, als wenn die Stablänge l um 2,5 b verkürzt wäre. Für einen Abstand x = 2,bb vom Ein- spannquerschnitte wird andererseits yx = 0,66 und = 0,41. Bis zu dieser Stelle hin haben sich daher die in den Glei- chungen (3) bis (6) für die Spannungskomponenten auftreten- den, mit y behafteten Glieder bereits auf 0,41 ihres Wertes im Einspannquerschnitt vermindert. Wir berechnen weiter die Normalspannung Ox im Ein- spannquerschnitt. Für den Fall a = 10 b erhält man dafür nach Gleichung (3) ö, = 0,021 Der größte Wert, den Ox annimmt, sei mit Oma-x bezeichnet. Diese Spannung tritt am Umfange des Einspannquerschnitts an jener Stelle auf, für die yz den größtmöglichen Wert oder jetzt 5 b^ erreicht. Hiermit folgt öu>ax = 0,105 ^f. Wir vergleichen diesen Wert mit der größten Schub- spannung Tmax, die im Stabe vorkommt. Diese entspricht der von de St.-V. aufgestellten Formel, da im Einspannquerschnitt Die Beanspruchung eines Stabes von ellipt. Querschnitt. 273 oder in seiner Nähe keine Vergrößerung von r über das im völlig freien Stabe verkommende Maß hinaus stattfindet. Man hat daher ^max 2M 71 ah'^ 0,0637 M ¥ ' Der Vergleich lehrt, daß die absolut größte Spannung im im Einspannquerschnitt auftritt und daß Omax für den Fall a = 10 b das 1,65-fache von T,nax ausmacht. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß für die meisten Baustoffe die Schub- beanspruchung an sich gefährlicher ist als eine gleich große Zug- oder Druckbeanspruchung. In der Regel wird daher keine besondere Erhöhung der Bruchgefahr durch die Ein- spannung zu erwarten sein. Endlich kann man auch noch den Grenzfall ins Auge fassen, daß a als unendlich groß gegen b angesehen werden kann. Praktisch ist dieser Fall insofern von Bedeutung, als er zugleich auch eine ungefähre Abschätzung dafür ermög- licht, wie die Verhältnisse bei einem rechteckigen Querschnitt von dem gleichen Seitenverhältnisse ungefähr liegen dürften. Für diesen Fall erhält man als Lösung von Gleichung (15) ay = 8 m m = 2,53 und wenn man diesen Wert in Gleichung (14) einführt und hierauf Acp nach Gleichung (16) berechnet, ergibt sich was mit dem Falle a = 10 b fast ganz übereinstimmt. Endlich erhält man noch für Omax in derselben Weise wie vorher örnax 3,16 71 a¥ oder das 1,58-fache von tmax für denselben Fall. ' '3ir5 — , ' ■» - ' ‘Ji* ; . .f,» ?.rT ■ ' ! ’ •jf\j 1^" * Bi . " . .(K '4 ;»i:V) ' Ci I ■ -^-r- ». T|^ ? vi'T_ 'Ai %'• *■ 'S' äffiKSB “öÄii'f»- ^4' (hf joiirt) ^ir ^ vifi'l ' i .Wir - ^^lyäppr • ^ ‘Äiv'Ä'^r in^.Xii .l•-■ ,*/ÄVrftj^>7il4*4<»>A »iJ- '’A '■ *'ä' ^ '1. ' »V; lir TasK' 'WS " > ‘'*■171»-' V h/iii % ff«^r ^ ■■ ^ • :..5 • A l'. ■ '.'^ > ‘«li/'TW ■ '' * * ' I» ‘ v; ' jJnS ^ / ir ;.;.>| .-nj. * ■*.> t, . J\V-«.-*A ■ ■ ' ■ J-»U^-r!a ■ %ar3 275 Über eine Konvergenzbedingung für unendliche Reihen, die durch iterierte Mittelbildung reduzibel sind. Von Alfred Pringsheini. Vorgetragen in der Sitzung am 8. Mai 1920. Bei der Abfassung des Nachtrages^) zu meiner Mitteilung: „Über die Äquivalenz der sogenannten Hö Id ersehen und Cesäroseben Grenzwerte etc.“^) war es mir entgangen, daß Herr E. Landau in einer umfangreichen Abhandlung: „Über die Bedeutung einiger neuer Grenzwertsätze der Herren Hardy und Axer“®), die am Schlüsse jenes Nachtrages von mir er- wähnten Hardy sehen Sätze unter gleichzeitiger Erweiterung ihrer Voraussetzung aufs neue bewiesen hat. An die Stelle der Hardy sehen Voraussetzung: (I) lim \na„ CO n-^ 00 tritt dabei, unter der (prinzipiell unwesentlichen) Beschränkung auf reelle a„ die folgende^): (H a) lim w a„ > — oo , n — f 00 d. h. die Zahlen n a„ werden nicht, wie bei Hardy als schlecht- hin beschränkt, sondern lediglich als nach unten be- q Diese Berichte, Jahrg. 1918, S. 89. q Ebendas., Jahrg. 1916, S. 209. Warschauer Berichte, 1910, S. 97 — 177. q A. a. 0., S. 99. Die in Frage kommenden Sätze sind die in der Landauschen Arbeit mit Satz III (S. 107) und Satz IV (S. 109) bezeich- neten, deren zweiter den ersten als speziellen Fall enthält. Herr Landau gibt für diesen Satz IV zwei Beweise. Bei dem zweiten wird Satz III als schon bewiesen vorausgesetzt, während der erste dieses Hilfsmittel nicht in Anspruch nimmt. 276 A. Pringsheini schränkt vorausgesetzt. JJa es sich in dem vorliegenden Zu- sammenhänge um die Konvergenz der Reihe handelt und diese stets gleichzeitig mit der Reihe 2’ ( — a„) konvergiert oder divergiert, so würde es freistehen, die Zahlen a„ von vornherein durch die ( — a„) und demgemäß die Bedingung (II a) durch die folgende: lim ( — na„)'> — cc , n— ► 3C anders geschrieben: (II b) - lim na„. = ü,l,2,...)3). ') Vgl, Jabrg. 1916, S. 212, Gl. (I). Vgl. Jahrg. 1918, S. 90, Gl. (2). Auf der i-echten Seite dieser Gleichung steht infolge eines Druckfehlers statt Diese Beziehung gilt offenbar auch noch für Pi = — 1, da sie in diesem Falle mit Berücksichtigung von Gl. (Iq) die Form annimrat: Sitznngsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 19 278 A. Pringsheim Diese Relation bildet die Hauptgrundlage für den Beweis des folgenden („Hardy-Landauschen“) Satzes; Für die Konvergenz einer bereits als reduzihel erkannten Reihe Za,, mit reellen Gliedern ist hin- reichend, daß; (Hb) lim wa„ <; -j- c» D. — ► 00 Beweis. Da die Reihe als reduzihel vorausgesetzt wird, so muß für irgend ein bestimmtes /r i> 0 eine Beziehung von der Form bestehen ; (5) lim + i (s„) = s. n — ► 00 Wir zeigen, daß dann infolge der Voraussetzung (Hb) auch; (5 a) lim 3^4 (s„) = s, n— ► CO und da es freistände, auf Grund dieses Ergebnisses die frag- liche Schlußweise beliebig fortzusetzen, so würde auf diesem Wege schließlich sich ergeben, daß; lim 21io(s„) = s, also; lim s„ = s, n — ► 00 n — ► X CO d. h. daß die Reihe gegen die Summe s konvergiert, u Es handelt sich also lediglich um den Nachweis, daß aus (5) allemal (5 a) folgt. Man hat nun infolge der Voraussetzung (H b) bei passend gewähltem H. > 0 (für r = 0, 1, 2, . . .); va,. < Ä, also auch ; {ra„) < A, und durch Fortsetzung dieser Schlußweise; (j’ßv) < A (für ;< = 0, 1, 2, . . .), anders geschrieben, mit Berücksichtigung von Gl. (4) und der zugehörigen Fußnote 3); Nach dem in der Einleitung Gesagten könnte man selbstver- ständlich statt der Voraussetzung (II b) auch die Voraussetzung (II a) zum Ausgangspunkte nehmen. Konvergcnzhcdin'Tiiiif' für reduzible unendliche Reihen. 279 (6) (5,.) - (S,. -1)}<Ä (für P. = 0, 1 , 2, . . .). Setzt man speziell y. = Je, so folgt insbesondere, daß: (7) Nun seien n, n‘ irgend zwei natürliche Zahlen und zwar: n' 2«,(s,.)- - • A n Summiert man diese Ungleichung über die n' Werte: V = n n -\- 2, . . ., n n\ und dividiert das Resultat durch w', so kommt: (1 5) % (5„) > \ V (s.,) _ . A. w'„ + i n Nun ist allgemein für f V m, (s.) = ir m, (s.) — 3)1^ («.) p + 1 (I ü = (2 4" 1) (Sj) — (/) 4“ 1) (Sp), anders geschrieben: l = (2>4l){'mw(s,)-3Jl,f,(a+(2-;>)3)lft+.(s,). Wendet man die erste dieser Formeln auf die rechte Seite von Ungl. (11), die zweite auf diejenige von Ungl. (15) an, so ergibt sich : (17) 911* (s») <'^;^{9Jl,+,(s„)-9)l,+i(s„_„0}+9)l*+i(w)+,^ > ~ {911,+, (s„+„<)-911,+i(s„)}+911,+,(s„+„0- Nun werde gesetzt: n' = [e n] , wo : £ > 0 , Konvergenzbedingung für reduzible unendliche Reihen. 281 so daß also: fl' lim (w ± «') = °° ) = e, lim . II -O) n-focW n — n‘ s l-e' lim »i — « w + l n' 1 E Da sodann mit Berücksiclitigung von Gleichung (5): lim + — lim (S/i) Sn — Sj n — ► 00 »t oc so folgt aus (17) für n — »-oo: (18) lim aUft (s„) < s ■A > S £ ■ Ä und, da es freisteht, e unbegrenzt zu verkleinern^), schließlich in Übereinstimmung mit Gleichung (5 a): lim (s„) = s, n— ► 00 womit der oben ausgesprochene Satz bewiesen ist. Die Frage, ob der Satz in der eben bewiesenen Fassung eine größere Tragweite besitzt, als in der ursprünglich von Herrn Hardy angegebenen, ist nicht ohne weiteres zu be- jahen (wie es bei oberflächlicher Betrachtung vielleicht den Anschein haben dürfte). Der Satz lehrt, daß die als reduzibel vorausgesetzte Reihe konvergiert, wenn nur so viel fest- steht, daß die Zahlen rüy einseitig beschränkt sind. Dadurch wird die Anwendbarkeit des Satzes ira Vergleich zu der Hardyschen Fassung sicherlich erleichtert, möglicher- weise auch erweitert (es könnte ja, auch wenn vollständige Das läuft also darauf hinaus, daß die früher eingeführten Zahlen n' schließlich der Bedingung n' n unterworfen werden. Doch wäre, wie ein Blick auf die Ungleichungen (17) lehrt, das gewünschte End- resultat nicht erzielt worden, wenn man diese Bedingung ohne weiteres in (17) eingeführt hätte. Der sinnreiche Kunstgriff, den erforderlichen Grenzprozeß, wie geschehen, in zwei nach einander auszuführende zu zerlegen, dürfte von Herrn de la Vallee Poussin herrühren. 282 A. Pringsheim Beschränktheit der Zahlen ra,. vorhanden sein sollte, auf un- überwindliche Schwierigkeiten stoßen, mehr als die einseitige wirklich festzustellen). Ob aber der Geltungsbereich des Satzes an Umfang gewonnen hat, hängt doch von der Be- antwortung der folgenden Frage ab: Gibt es überhaupt kon- vergente Reihen 2'a^, bei denen die Zahlen vüy nur ein- seitig beschränkt sind? Für den Fall (zum mindesten von einer bestimmten Stelle ab) durchweg gleichbezeichneter o,. macht es keine Schwierigkeit, die obige Frage zu bejahen- Hätte man etwa durchweg av>0, und limva,, - • • I ßy • • • bezeichnet werden. Wegen der Konvergenz von A’rt,, sind dann die Reihen A’a,,, ^ ß,. entweder beide konvergent oder beide divergent. Im ersten Falle ist A’«,, unbedingt konvergent und, wenn limva,, — oo bleibt, bzw. durch hinlängliches Hinausschiehen der ßy das entgegengesetzte Resultat zu erzielen. Sind dagegen die Reihen 2"a,,, ^ ßy beide divergent, so tritt bei der Reihe 2ay der (für nutzbringende Anwendung des fraglichen Satzes wohl ausschließlich in Betracht kommende) Fall bedingter Konvergenz ein, bei dem also die Zulässigkeit einer Gliederumordnung an verhältnismäßig enge Grenzen ge- bunden und daher das zuvor eingeschlagene Verfahren nicht ohne weiteres anwendbar ist. Und da ja die bedingte Kon- vergenz nur dadurch zu Stande kommt, daß bei gleichzeitiger n n Unbeschränktheit von U>' und ßv zwischen den Oy 1 1 einerseits und den (— ßy) andererseits ein gewisses Gleich- gewicht besteht, so ist die Vermutung nicht von vornherein abzuweisen, daß vielleicht im Falle der Konvergenz von Zuy die Zahlen vay entweder nach beiden Seiten beschränkt oder nach beiden Seiten unbeschränkt sein müßten^). Daß dies aber tatsächlich nicht zutritft, läßt sich folgendermaßen zeigen. Es mögen die o^, ßy so angenommen werden, daß: Oy > ßvi lim vüy = -j- < + 00 ■ j'-f 00 y— ► 00 Man kann dann die.a,,, ßy) nach dem bekannten Riemannschen Verfahren zu einer bedingt konvergenten Reihe mit vorgeschriebener Summe, z. B. mit der Summe 0, zusammenfassen ^). Dabei werden infolge der er- h Einfaches Beispiel für beide Eventualitäten: CO j ® 1 Vv - COSVX, — COS U’ I ^ I Vv wo X t 2 k jz (k = 0, + 1, + 2, . . .). Die beiden Anfangsglieder der Reihe lauten in diesem Falle: ui — ßi. 284 A. Pringsheim, Konvergenzbeding, f. reduzible unendl. Reihen. sten der obigen Bedingungen die negativen Glieder ( — ßr) wesentlich häufiger auftreten, als die positiven ay. Be- zeichnet man nun die positiven Glieder mit die nega- tiven mit a„^, so ist für r > 1 durchweg: da ja jede beliebige Anzahl von (mindestens zwei) Anfangs- gliedern auch negative Glieder enthält und zwar nach dem zu- vor gesagten zum mindesten von einem gewissen v ab mehr als die Hälfte, so daß alsdann andererseits für die a,,^ sich ergibt: ^ w,. , also : Hy lim vOy = -f- cc , lim riy [ a„^ < lim 2 v ßy co , >'^00 V-4-® V— *-CC anders geschrieben: lim vtty = -f- 00 , lim va,, > — oc , v-*-oo d. h. die Zahlen vüy sind nach oben unbeschränkt, nach unten beschränkt. Es gibt also auch bedingt konvergente Reihen Aa,., bei welchen die Zahlen rUy nur einseitig be- schränkt sind und die infolgedessen nicht auf den ursprüng- lichen Hardyschen Satz, wohl aber auf dessen Landausche Verallsemeineruns!' reagieren würden. 285 Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen gewisser ganzer transzendenter Funktionen. Von Georg Tolya in Zürich. Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 8. Mai 1920. Es handelt sich im folgenden um ganze transzendente Funktionen von der Form F {z) = Pj {e) ^ + P2 G) + • • • + P„. {z) 6“'»% wo «j, . . , a„, voneinander verschiedene Konstanten und Pj (z), P2 (z), . . . P,n {z) Polynome sind (m > 1). Diese Funk- tionen bieten sich ungezwungen der Betrachtung dar, als die Lösungen von linearen homogenen Differential- oder Differenzen- gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die asymptotische Verteilung ihrer Nullstellen folgt einfachen und eleganten geometrischen Gesetzen, die, soweit mir bekannt, bisher un- bemerkt geblieben sind, und die ich in diesen Zeilen dar- stellen will. Um nicht weitläufig zu werden, will ich die Beweise nur kurz andeuten. Denn einerseits lassen sich diese Beweise mit geläufigen Mitteln führen. Andererseits soll der Gegenstand ausführlich behandelt, in feinere Einzelheiten verfolgt und weitergeführt werden in einer von mir veran- laßten Zürcher Dissertation. 1. Man betrachte in der komplexen Zahlenebene die tn Punkte Ctj, Cijj, • • * (Ini- 286 G. Pülya Das kleinste konvexe Polygon, das diese m Punkte umfaßt, soll mit 5t bezeichnet werden. 5t kann sich eventuell auf eine Strecke reduzieren, jedoch nie auf einen Punkt, da «i>l. Ich bezeichne mit 5t das kleinste konvexe Polygon, das die m konjugiert komplexen Punkte öj, ^2, ßj, • • • ^ umfaßt. 51 und 5t sind Spiegelbilder voneinander in Bezug auf die reelle Achse. 5t und 51 haben gleich viel, sagen wir Z Ecken (^ < m). Es sei die Bezeichnung so gewählt, daß die in positivem Umlaufssinn aufeinander folgenden Ecken von 5t «j, 02, Oj, ... ai heißen. Die Nullstellen von F {s) häufen sich gegen l ver- schiedene Halbstrahlen, die den äußeren Normalen des Polygons 5t parallel sind. Mit anderen Worten und genauer beschrieben heißt das folgendes: man errichte von dem Punkt z = 0 aus l Halb- strahlen, die bzw. den Vektoren i (ög — öj), i (03 — 02), • • • i (ä, — äD parallel sind. Man umgebe jeden Halbstrahl mit einem Winkel- raum, den der betreffende Halbstrahl halbiert, dessen Spitze der Nullpunkt und dessen Öffnung e ist. Es sei e so klein gewählt, daß diese Winkelräume sich nicht überdecken. Wie klein auch die positive Größe e sein mag, es befinden sich außerhalb der beschriebenen l Winkelräume von der Gesamt- öffnung le nur endlich viele Wurzeln von F (z). Zum BeAveise betrachte man die beiden von z — 0 aus- gehenden Vektoren i {ä?. — ä;.-i) und i {äx^i — ö;.), deren Verlängerungen, und den durch diese Verlängerungen begrenzten Winkelraum (A = 1, 2, ... l). In jedem Winkelraum, der die Spitze im Punkte z = 0 hat, aber sonst ganz im Innern des eben beschriebenen liegt, ist gleichmäßig lin, Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen etc. 287 2. Es sei s die Länge einer bestimmten Seite des Polygons 2t. Die Anzahl derjenigen Nullstellen von F (z), die sich der zur besagten Seite senkrechten Richtung anschließen und einen absoluten Betrag T S unterhalb r haben, ist asymptotisch bis auf einen Fehler, der durch lg r dividiert beschränkt bleibt. Man schließe, wie vorher, die fragliche Richtung in einen AVinkelraum von der Öffnung e ein, und schneide aus dem Winkelraum einen Kreissektor aus; Mittelpunkt des Kreises ist .g = 0, sein Radius r. Es handelt sich um die asymp- totische Anzahl der Nullstellen innerhalb dieses Sektors, wo- bei e beliebig, jedoch fest und r als unbeschränkt wachsend angenommen ist. Es folgt aus dem ausgesprochenen Satze, in Verbindung mit 1, daß die asymptotische Anzahl der Null- stellen von F (g) innerhalb eines Kreises vom Radius r mit T — dem Mittelpunkt z — ^ gleich ist — x Umfang von 2t. 2 71 Der Satz wird natürlich durch die Betrachtung des Inte- bewiesen. Es empfiehlt sich nicht. dieses Integral um die Grenzen des fraglichen Sektors herum zu erstrecken, sondern um die Gi'enzen eines andern Gebietes, das ich nur in dem Falle beschreibe, daß die fragliche Seite von 2t die Richtung der positiven reellen a;- Achse hat und folglich der dazugehörige Verdichtungshalbstrahl der Nullstellen die positive imaginäre y- Achse ist. In diesem Falle (worauf ein beliebiger anderer Fall durch eine passende Drehung der Ebene zurückgeführt werden kann) besteht der zweckmäßige Integrationsweg 1) aus einem Stück der Kurve x = lc\g ij von X = 0, y = 1 bis y = r; 2) aus einer nach links ge- richteten horizontalen Strecke von der Länge 2A:lgr; 3) aus einem Stück der Kurve x = — lg y von y = r bis y = 1. Dabei bedeutet h eine passend, insbesondere hinreichend groß gewählte positive Konstante. Der heikelste Punkt der Rech- 288 G. Pölya nung, der das Integral an der horizontalen, ins Unendliche rückenden Strecke entlang betrifft, erledigt sich durch eine Überlegung von Backlundü- 3. Es seien die Nullstellen von mehrfache in richtiger Vielfachheit geschrieben, nach niemals ab- nehmenden absoluten Beträgen geordnet Oj, Oj, . . .. Ich setze voraus, daß |ajj > 0, d. h. daß der Punkt 0 = 0 keine Nullstelle ist. Dann ist Die komplexe Zahl a wird in der Gaußschen Zahlenebene durch einen inneren Punkt des Polygons 21 dargestellt, der als sein Krümmungsschwerpunkt bezeichnet wird. Unter „Krümmungsschwerpunkt“ eines konvexen Polygons versteht man den Schwerpunkt einer Gesamtmasse 2 Ji, die auf die ein- zelnen Ecken des Polygons so verteilt ist, daß eine Ecke mit dem Innenwinkel a die Masse ti — a erhält^). Zum besseren Verständnis des ausgesprochenen Satzes sei noch erwähnt, daß das Produkt . . . nicht absolut konvergent ist. Zum Beweis nimmt man an, daß z von sämtlichen Null- stellen von F (z) verschieden ist, und man betrachtet das *) Backlund, Sur les zeros de la fonction C (s) de Riemann (Comptes Rendus, Paris, Bd. 158 (1914) S. 1979 — 1981). ^) Vgl. Steiner, Gesammelte Werke Bd. 2, S. 97 fiF., insbesondere S. 129. Die Steinerseben Eigenschaften des Kriimmungssebwerpunktes ergeben sieb leicht aus passenden Integralformeln. Ist 'P = p ('2 , im positiven Sinne durchlaufen; 2) eine geschlossene doppelpunktlose Kurve, ganz im Innern des genannten Kreises enthalten, die u = 0 und ti = 2 ein- schließt, sämtliche Nullstellen von F (u) ausschließt und im negativen Sinne durchlaufen wird. Es ist zu bemerken, daß im Zwischenraum der beiden beschriebenen Kurven der Inte- grand eindeutig und bis auf Pole erster Ordnung regulär ist. Es ist zweckmäßig q nicht stetig, sondern durch gewisse ausgewählte Werte hindurch ins Unendliche wachsen lassen. Es kann F‘ (2) die eine günstige Abschätzung von gestalten. etwa der folgende elementare und verhältnismäßig einfache Hilfssatz benutzt werden: Es sei 0 < Cj Cj < C3 < . . . , lim c„ = 00. Die Anzahl n = CO derjenigen Zahlen Cy, die < r sind, sei mit N (r) bezeichnet. Es sei vorausgesetzt, daß lim r = 00 N(r) — r Yr ' = 0. Dann kann man, sobald r eine gewisse Grenze übersteigt, in dem Intervall von r — bis r -j- eine Zahl q finden (p ist als Funktion von r aufzufassen), derart daß 1 ® o lim V ^ r < 1. r= 30 |/p lg p y-i Cy p Cy\ 4. Von den Beziehungen dieser Sätze zu geometrischen Fragen sei nur einiges erwähnt. Neben F (2) und 21 betrachte man die Funktion i^) = Ql (^) e''»* + Qi (^) e’’^“ + • • ■ + Qn {2) e'‘n‘ (Ql (•^)) Q2 (■^)t • ■ ■ Qn {^) Polynome) und das kleinste konvexe Polygon 23, das die Punkte 6,, ... h„ umfaßt. Es sei 290 (i. Pölya, Geometrisches üb. d. Verteilung d. Nullstellen etc. 0<^<1. Zu der Funktion F{ts) G((l — t) z) gehört da.s kleinste konvexe Polygon, das die Punkte ^ (1 — ^ umfaßt (/t = 1, 2, 8, . . . ju; v = 1, 2, 3, . . . w). Dieses Polygon, das ich mit iU -|- (1 — ^) 33} bezeichnen will, durch- läuft die auf die Polygone 31 und 33 aufgebaute , lineare Schar“ konvexer Polygone*). Nehmen wir Einfachheit halber an, daß keine Seite von 31 einer Seite von 33 parallel ist. Aus dem Satze unter 1 folgt, daß die einzelnen Seiten des Polygons { < 3t -p (1 — 0 } entweder einer Seite von 3t oder einer Seite von 33 parallel sind. Aus dem Satze unter 2 folgt, daß { ^ 3t -}- (1 — 0 ^ } genau jw -1- n- Seiten hat; m verschiedene Seiten sind den m verschiedenen Seiten von 3t parallel und verhalten sich der Länge nach zu ihnen, wie ^ zu 1, M Seiten sind den Seiten von 33 parallel und verhalten sich zu ihnen, wie 1 — ^ zu 1. Aus dem Satze unter 3 ist ähnlicherweise eine einfache Konstruktion des Krümmungsschwerpunktes von {^3t-|- (1 — 0^} aus den Krümmungsschwerpunkten von 3t und 33 abzulesen. Die fragliche Konstruktion ist übrigens auch den in der Anmerkung **) S. 288 gegebenen Formeln zu entnehmen. Vgl. z. B. W. Blaschke, Kreis und Kugel, (Leipzig, 1916), S. 92 ff. 291 Über eine Verallgemeinerung des Stolz sehen Irrationalitätssatzes II. Von Oskar Perron. Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 5. Juni 1920. § 1. Theoreme. In einer gleichbetitelten Arbeit im .Jahrgang 1908 (S. 181) die.ser Sitzung-sberichte habe ich den folgenden Satz bewiesen: Satz 1. Wenn die Koeffizienten der Differenzen- gleichung Dy-\-n- \ + ‘ = 0 ()’ = 0, 1 , 2, • • •) reell sind und den Ungleichungen 1 > > • • . > > 0 genügen, so bleibt D,, wie auch die Anfangswerte Dq, Dy, . . gewählt sein mögen, absolut unter einer von v unabhängigen Schranke. Während mein damaliger Beweis recht umständlich ist, bin ich heute in der Lage, den Satz in wenigen Zeilen zu beweisen. Das neue Beweisverfahren führt aber auch zu dem folgenden Satz, dessen Beweis ich a. a. 0. nur für w<4 erbringen konnte. Satz 2. Wenn eine Folge von ganzen rationalen Zahlen Z),,, Dy, ... einer Rekursionsformel der Gestalt DyJ^n ”t“ DyJy.n- \ Dy 0 0' = 0,1,2, •■•) 292 0. Perron genügt, wobei 1 > > > • • • > > 0 sein soll, so ist notwendig D,, = 0 für alle r. Treten zu den Voraussetzungen von Satz 1 noch weitere hinzu, so wird man über das Verhalten der Dy noch genauere Aussagen machen können. Insbesondere werde ich beweisen: Satz 3. Wenn unter den Voraussetzungen von Satz 1 unter den reellen nicht negativen Zahlen 1 — • • • , &(’■) , — 1 ’ 1 2 ’ ’ n — 1 >1 ’ 7» keine verschwindenden und keine beliebig kleinen sind, so ist lim D,. = 0. = 30 Dieser Satz kann als eine Verallgemeinerung des Kakeya- schen Satzes angesehen werden, wonach die Wurzeln der Gleichung X» -k h^x^-^ 4 k &« = 0, wenn 1 > ft, > >•••>&„> 0 ist, alle absolut kleiner als 1 sind.^) In der Tat, ist g eine Wurzel dieser Gleichung, so braucht man in Satz 3 nur M’) =z= b,- und Dy = g" zu setzen, um den Kakeyaschen Satz zu erhalten. Endlich beweise ich noch: Satz 4. Wenn die Elemente der Jacobi- Kette ^^ter Ordnung «(0) ßCi) a(2) '*0 ’ '*0 ’ 0 ’ ■ ■ ■ aW, . . . « ’ n ’ n ’ ganze rationale Zahlen sind (a^”^ =k 0), welche von einem gewissen Index r an den Ungleichungen 0 < < aM ^ ^ 1) S. Kakeya, On the limits of the roots of an algebraic equation with positive coefficients. The Tohoku mathematical Journal, vol. 2 (1912). über den Stolzschen Irrationalitätssatz. 293 genügen, so konvergiert die Kette, und ihr Wertesystem genügt keiner Relation der Form P„aW + P,af)+ ... -|-P„a(0) = 0 mit rationalen, nicht sämtlich verschwindenden Koeffi- zienten Pf. Auch diesen Satz, der eine Verallgemeinerung des für n = 1 entstehenden Stern-Stolzschen Irrationalitätssatzes ist, habe ich früher nur für n ^ 4 beweisen können. Ich habe aber damals allgemein gezeigt, daß der Satz eine Folge von Satz 2 ist; nachdem jetzt Satz 2 für beliebiges n bewiesen wird, ist damit auch der Beweis von Satz 4 erbracht. § 2. Beweise. Beweis von Satz 1. Setzt man (1) J)q -j- Dy = /ly, so ist für j' ^ 1 (2) Dy = Ay-Ay^,, und die in Satz 1 auftretende DifiFerenzengleichung geht für r > 1 über in (3) ^v + n — (1 — + ^fv + n — 2 -}-••• Hieraus folgt, da die Klammergrößen nach Voraussetzung reell und nicht negativ sind: j,+.i s (1 -i«) 1 + • ■ ■ + (i'i’i i-^r) M.i + 4!,’’ 1^-1 1 • Setzt man also l^ax ( Ay^f, 1 I , j , • • • , j Ay , Ay^] I) = Jf^y J , SO ist \Ay^„\'^My^i, und folglich auch My< M,.-]. Daher wird ganz allgemein My < A/, , und folglich auch Ay\< sein. Wegen (2) ist dann P,,|<2Afj, und damit ist Satz I bewiesen. Sitzungsb. d. math.-phya. EL Jabrg. 1920. 20 294 0. I’erron Beweis von Satz 2. Nach Voraussetzung sind jetzt die Zahlen positiv. Die Dy und folglich auch die Ay sind ganze ratio- nale Zahlen. Nach dem soeben Bewiesenen ist limsup Jy = S »' = 00 endlich und selbstverständlich eine ganze rationale Zahl. Für genügend große v ist daher (4) Ay ^ S. Hier kann aber niemals das Kleinerzeichen gelten. Denn wäre einmal von den w -f- 1 aufeinander folgenden Zahlen Ay — I ) A v + n — 1 mindestens eine kleiner als S, so wäre nach (3) auch A,.^,, < S, und überhaupt Ax<. S für A > v -f- n. Da aber Ax und S ganze Zahlen sind, so wäre Ax K S — 1 für alle hinreichend großen A, was der Definition von S widerspricht. Daher muß in (4) stets das Gleichheitszeichen gelten; für alle hinreichend großen v ist also Ay = S, und folglich Dy = Ay — = 0. Aber dann muß die Gleichung Dy = 0 sogar für alle v gelten. Denn wäre sie etwa nur für v ^ N richtig, und für V = N falsch, so würde aus der gegebenen Dilferenzengleichung für V = N doch folgen : D^ = 0, entgegen der Annahme. Beweis von Satz 3. Jetzt wird vorausgesetzt, daß die Zahlen 1_S« b':' oberhalb einer positiven von v unabhängigen Schranke g liegen. Offenbar genügt es, den Satz 3 für reelle Dy zu beweisen. Dann sind auch die Ay reell, und nach dem Bewiesenen sind (5) limsup Ay = S, liminf = s r = 00 r = 00 endliche Zahlen; wir wollen zeigen, daß sie einander gleich sind. über Jen Stolzsclien Irrationalitätssatz. 295 Für jedes r ist von den n \ aufeinander folgenden Zahlen — 1, ^»'1 • • •» — 1 mindestens eine s und folglich > s d, wo S eine positive Zahl ist, so wäre nach (3) auch > s -F und überhaupt zl;. > s -j- d für n, was aber der zweiten Gleichung (5) widerspricht. Bedeutet nun e eine beliebig kleine positive Zahl, so sind für genügend große r in Gleichung (3) die zl der rechten Seite kleiner als S -f- e, und mindestens eines ist sogar g sind : ^v + n ^ S e — ^ ((S -j“ f s)- Wenn nun S^s, so besagt diese Ungleichung, sofern nur £ klein genug gewählt wird: zly_|_ „ ^ S g , wo t] po.sitiv ist, und überhaupt ist dann zl;. < — ?; für X,'>v-\-n, was aber der ersten Gleichung (5) widerspricht. Die Annahme <5 > s ist also falsch, und folglich muß S = s sein. Da somit der Grenzwert lim zly = /S = s y = 00 existiert, ist lim Dy = lim (/Jy — l,,_i) = 0. W. z. b. w. V = GO V = 00 Beweis von Satz 4. Ein solcher ist überflüssig, da dieser Satz eine Folge von Satz 2 ist, wie bereits in § 1 erwähnt. 20' r -i.' X.*' . ff "•'^-'?-T^'-'*^ 's ■ = . -.•y, ---t ^ .^ ■■ - " • »T'xWjfis, *f^«A((ijJf 'V’i - f L.' .. ' - ‘ -^^31 " l -er \4 - 'irsVfw sMjj«*.y^7-''\. > .„» *» ,‘h? ^ ’• '^ ■• V {»».; '_ ifvOl . ^*i( . uvi M '4 Ixj Y,p nf . V • )/f ^7.:,*4' -.' ^ ■ : ‘ W iÄfN'4 .f M*YJ 'Vj3Ji I ■'^''":»/i-* ♦<-'»’' r.\ ' p* j’ ^ ,. W "' - „i^'ÖI'iMT , .‘’V Iv,- l^A f'wpflf'v »I>' »*'!*> J m R u- > '.t ■ ’K ■■{,H » '^ ...4, {.V / ^ »A ^ _• *■ •••• ^ ' : » tt.i X ,;; .•,,, 4 , 4^ r^'iV'* jiiS*. S*' , i " r ' 'fX ■ ■■ ’ ' 't •♦»/■ -. '. . . ^y- -. : ^ j^Tsri'Ü «4! .;i?- Sl*!^4»,f;^,J. 'i> ^ ^ •* *<•• »«Ll A- f %4 * . d . A tMySl ’Vf 4* '4'r jAH^ ■^It^th* '» l > { '^* il ■ ^ * 4» Pt ■■' • ''C - ‘-W X.. • ■v*'" ' •n;'^ ■' >;-‘j ■■sr- ■■ . itfrv •:> ■> jfl ••r>' ' . . 'fc ÄJ 297 Westwanderung von Hauptdreieckspunkten infolge neuzeitlicher tektonischer Bewegungen im bayerischen Alpenvorland. Von M. Schmidt. Vorgetragen in der Sitzung am 5. Juni 1920. Netzverschiebung der südbayerischen Dreieckskette. »X In einem am 21. Juni 1919 in der Sitzung der mathem.- physikal. Klasse der Akademie gehaltenen Vortrag über die geologische Bedeutung der neueren Feinmessungen bespricht Herr E. Kayser die in letzterer Zeit in Nord- und Mittel- deutschland gemachten Wahrnehmungen über Höhenänderungen von Bodenpunkten insbesondere im Bodenseegebiet und im baye- rischen Alpenvorland und bringt dieselben in Zusammenhang mit den bereits seit der älteren Tertiärzeit inmitten der schwei- 298 M. Schmidt zerischen und süddeutschen Molasse- oder Miozäumulde ein- getretenen starken Senkungen, die offenbar in der Jetztzeit noch nachklingen. Die Senkungen im Bodenseebecken hat schon dir. Regel- inann 1907 auf einen von den Alpen her wirkenden Tangen- tialdruck zurückführen wollen, der mit einem langsamen Vor- dringen der Alpen nach Norden in Zusammenhang steht, durch das die große zwischen der böhmischen Urgebirgsmasse, dem Schwarzwald und dem Vogesenkern sowie der Nordkette der Alpen eingeschlossene Miozänmulde wie zwischen den Backen eines Schraubstockes zusammengepreßt wird. , Dadurch erklärt sich nicht allein das durch die Höhen- änderung der Nivellementspunkte von M. Schmidt nachgewiesene Einsinken der Muldenbodenfläche in einfacher Weise, sondern auch die im Laufe des vergangenen Jahrhunderts eingetretene Lageänderung von Hauptdreieckspunkten, für die sich eine deutlich ausgesprochene Bewegung in westlicher Richtung nach- weisen läßt.“ Die Ablenkung nach Westen der durch das Vorrücken der Alpen ausgelösten Druckwirkung erscheint durch den großen Widerstand bedingt, welchen die nach Norden vorgelagerten, in der Tiefe fest verankerten älteren Gebirgsmassen der Be- wegung in dieser Richtung entgegensetzen, während die gegen Westen gelegenen jüngeren Miozän- und Quartärschichten der Oberfläche, deren Zusammenhang zudem noch durch zahlreiche, tief eingeschnittene und durch lose Geröllmassen ausgefüllte Flußtäler unterbrochen ist, der Bewegung in westlicher Rich- tung einen geringeren Widerstand entgegensetzen. Eine Anzahl solcher für den gedachten Zweck geeigneter Dreieckspunkte konnte der in der ersten Hälfte des ver- gangenen Jahrhunderts ausgeführten bayerischen Landestrian- gulierung entnommen werden, da diese Punkte neuerdings bei der Durchführung der auf dem Parallelbogen zwischen 47 und 49° Breite zwischen Brest und Astrachan vorgenommenen Längengradmessung wiederholt in ihrer Lage mit größter Sorg- falt bestimmt worden waren. West Wanderung von Hauptdreieckspunkten etc. 299 Die benützten Punkte bilden eine einfach zusammenhän- gende Kette großer Dreiecke von guter Form, welche die auf dem gleichen Parallelbogen gemessenen württembergischen und österreichischen Dreiecke miteinander verbindet und mit diesen die Seiten Aenger-Roggenburg im Westen und Asten-Hoch- gern im Osten gemeinsam hat. Die dieser südbayerischen Drei- eckskette angehörenden Winkel sind nebst den aus der ober- bayerischen Grundlinie München-Aufkirchen berechneten Seiten- logarithmen in den Sitzungsberichten vom Jahre 1906 aus- führlich mitgeteilt und ergaben einen aus den auftretenden Dreieckswidersprüchen nach der internationalen Formel be- rechneten Fehler von ± OTSG. Die Winkelzusammenstellung läßt in der Spalte „Beob- achtungsnachweis“ auch die Zeit der Ausführung der Messungen in den Jahren 1903 bis 1905, beziehungsweise die Übernahme der Winkelwerte aus der in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts durchgeführten bayerischen Landestriangulierung erkennen. Mit Rücksicht auf die sehr beträchtlichen Kosten der Be- obachtungen wurde die Messung neuer Winkel tunlichst ein- geschränkt. Insbesondere sind auf den Punkten: Stauffersberg, Altomünster, Schweitenkirchen und Aufkirchen, welche die Her- stellung kostspieliger Beobachtungseinrichtungen bzw. den Bau hoher Pfeilergerüste erfordert hätten, neue Winkelmessungen ganz unterblieben, was unbedenklich geschehen konnte, da die Benützung der vorhandenen älteren Beobachtungen ohnehin zu geringen Dreiecks widersprächen führte. Die Ergebnisse der Berechnung der sphäidschen Koordi- naten und der Seitenanschlüsse der südbayerischen Dreiecks- kette sind in der in den Sitzungsberichten der Akademie vom Jahre 1910 veröffentlichten 11. Abhandlung niedergelegt und zeigen für den württembergischen Anschluß auf der Seite Aenger-Roggenburg eine Anschlußdifferenz von 2.6 mm/km = 1 : 385000 und für den österreichischen Anschluß für die Seiten Wendelstein-Hochgern und Hochgern-A.sten im Mittel einen solchen von nur 1.5 ram/km = 1 : 650000. 300 M. Schmidt Eine im Jahre 1920 auf Grund einer neuen Koordinaten- ausgleichung ausgeführte Anschlußberechnung ergab für die gleichen Seiten Anschi ußdiflferenzen von 3.85 mm/km = 1:259000 und von 1.8 mm/km oder 1:550000, wobei für den öster- reichischen Anschluß die in dem 1915 erschienenen XXIII. Band der astronom. geodät. Arbeiten des Militärgeographischen In- stitutes in Wien als Resultate der Netzausgleichung angeführten Werte der Logarithmen der Anschlußseiten die Vergleichswerte bilden. Die Richtigkeit der Berechnung der Seitenlängen der südbayerischen Dreieckskette und ihre Zurückführung auf inter- nationales Maß ist somit genügend verbürgt. Die gute Über- einstimmung zwischen den mit den Winkeln von den Jahren 1903/04 aus der 1801 gemessenen oberbayerischen Grundlinie ohne Anschlußzwang berechneten Längen der Seiten Aenger- Roggenburg und Asten-Hochgern und den aus den wesentlich später gemessenen Grundlinien von Josephstadt (1862) und Oberhergheim (1877) hergeleiteten Werten dieser beiden Seiten läßt die bei den gegenwärtigen Untersuchungen gemachte Vor- aussetzung der Unveränderlichkeit des Abstandes der beiden Basisendpunkte bei München und Aufkirchen innerhalb der Grenzen der unvermeidlichen Messungs- und Übertragungs- fehler als völlig berechtigt erscheinen. Die Ausgleichung der Beobachtungsfehler in den Winkeln der südbayerischen Dreieckskette ist zunächst unter der Annahme gleicher Winkelgewichte nach „Bedingungsgleichungen“ erfolgt und hat den mittleren Wiukelfehler zu ± 0*82 ergeben. Die ausgeglichenen Winkel und die mittelst derselben unter Beibehaltung der bei der Berechnung der Landesvermessung verwendeten Länge der altbayerischen Grundlinie München-Auf- kirchen erhaltenen Werte der Seitenlogarithmen sind in der Abhandlung 11 der Sitzungsberichte vom Jahre 1910 in Tabelle I zusammengestellt und haben auch bei der Koordinatenberech- nung der Netzpunkte Verwendung gefunden; dabei ist von den gleichen Grundlagen ausgegangen worden, wie bei der Landesvermessung, um die Möglichkeit einer unmittelbaren Ver- gleichung der älteren und neuen Koordinaten werte zu erhalten. Westwanderung von Hauptdreieckspunkten etc. 301 Die der Landesvermessung entnommenen Koordinaten der Netzpunkte ergeben mit jenen der Neuberechnung die in Ta- belle III des genannten Berichtes aufgeführten Unterschiede, die durch systematische Fehler stark beeinflußt sind. Eine Ausscheidung dieser Fehler läßt sich vornehmen, ■wenn man die beiden Punktsysteme der Landesvermessung und der neuen gemessenen Dreieckskette dadurch in eine möglichst gut übereinstimmende Lage zu bringen sucht, daß man sie übereinander legt und nach dem von Helmert in seiner Längen- gradmessung I, 1893, S. 47 angewandten Verfahren derart gegen- einander verschiebt, daß die Quadratsumme der Abstände gleich- namiger Punkte ein Minimum wird. Die dann noch übrig bleibenden, aus der gleichen Tabelle III ersichtlichen Differenzen kommen besonders an den beiden Enden der Dreieckskette zur Geltung, und ergeben für den Koordinaten- ursprung München n. Fr.-Turm den auffallenden Betrag von Vy = -j- 34 cm, der in nahezu gleicher Größe bei allen übrigen Netzpunkten auftritt. Man könnte hieraus auf eine in der Zeit zwischen der Ausführung der Landesvermessung und der Messung der südbayerischen Dreieckskette eingetretene Lage- änderung des Koordinatenursprungspunktes schließen. Die zur Feststellung einer derartigen Lageänderung ausge- führten Untersuchungen sind ebenfalls in der Abhandlung vom Jahre 1910 ausführlich mitgeteilt und haben zu dem Ergebnis geführt, daß sich die Lage der Turmspitze weder gegen die weit entfernten Hauptnetzpunkte: Altomünster, Mitbach, Wendel- stein und Peißenberg, noch gegen die in nächster Nähe gelegenen Türme der Stadt in bemerkenswerter Weise geändert hat. Die ausgeführten Messungen ergaben als derzeitig wahr- scheinlichste Koordinatenwerte der bei der Landesvermessung als Nullpunkt angenommenen Helmsäulenmitte x^ — -\- 0.013 m und y^— 4- 0.003 m, das sind Abweichungen, die sich von Null nur sehr wenig unterscheiden und die Größe der wahr- scheinlichen Fehlerwerte nicht erreichen. Von einer Mitteilung der Ergebnisse der Winkelmessungen und Berechnungen, die zur Zentrierung der auf den 3 Fenster- 302 M. Schmidt pfeileni'der Turmstube, sowie des auf der Oberfläche der Turm- haube neben der Aussteigöffnung gewählten Heliotropenstand- ortes auf die Achse der Helmstange auszuführen waren, muß abgesehen w^erden; sie befinden sich bei den Messungsakten der bayerischen Erdmessungskommission des Hauptdreieckspunktes , Nordturm der Frauenkirche“. Auch, die Beschaffenheit des Untergrundes, auf welchem die Frauenkirche steht, läßt eine Lageänderung derselben un- wahrscheinlich erscheinen. Oberbergdirektor v. Gümbel macht hierüber in einem Aufsatz über den Boden von München fol- gende Angaben: „Die unter dem in der diluvialen Zeit vom Hochgebirg herabgeschwemmten Geröllmassen liegenden, wasserundurch- lässigen tertiären Schichten des Grundgebirges bestehen aus graugrünen, sandig lettigen, als Flinz bezeichneten Ablage- rungen, deren Mächtigkeit auf viele hundert Meter geschätzt wird.“ Dieses mächtige Grundgebirge bildet, wie man mit Sicherheit annehmen darf, selbst für die gewaltigen Baumassen der Frauenkirche ein Fundament von ausreichender Tragfähigkeit. Durch die städtischen Kanalisationsarbeiten auf dem Frauen- platz ist die Oberfläche dieser Flinzschichten, auf welche die Fundamente der Frauenkirche herabreichen, in einer Tiefe von nur 4 bis 5 m unter der Bodenoberfläche aufgeschlossen worden. Ein im Stadtbauamt München im Jahre 1907 in 1:10000 Verjüngung hergestellter Übersichtsplan des Stadtbezirkes von München, in welchem die Oberflächengestaltung des Bodens, sowie jene des tertiären Untergrundes und des Grundwassers durch verschiedenfarbige Schichtenlinien dargestellt sind, läßt ferner entnehmen, daß die Frauenkirche auf dem Scheitel einer Aufwölbung des gegen Süd westen mit 3 bis 5°/oo ansteigenden Grundgebirges gelegen ist, das durch seine Festigkeit auch einer seitlichen Verschiebung der mächtigen Baumassen der Kirche den größten Widerstand entgegensetzen muß. Eine so bedeutende Verschiebung der Frauenkirche, wie sie sich aus der oben erwähnten Koordinatenberechnung ergeben hat, kann daher nicht wohl eingetreten sein, es muß vielmehr eine bessere Westwanderung von Hauptdreieckspunkten etc. 303 Erklärung für die rechnerisch festgestellten Koordinatenände- rungen gesucht werden. ln einer im Jahre 1915 in den Sitzungsberichten erschie- nenen Abhandlung über Senkungserscheinungen an der Frauen- kirche ist von mir bereits darauf hingewiesen worden, daß bei der Fehlerausgleichung großer trigonometrischer Netze, die nicht einheitlich als ganzes, sondern in einzelnen, durch Zwangs- bedingungen in Zusammenhang gebrachten Gruppen berechnet werden, sogenannte Netzverschiebungsfehler auftreten, die auch im vorliegenden Falle in Betracht zu ziehen sind, da das Hauptnetz der bayerischen Landestriangulierung für die Fehler- ausgleichung nach bedingten Beobachtungen in 29 einzelne Gruppen zerlegt worden ist, von welchen 10 auf den südlich der Donau gelegenen Netzteil treffen. Der Nachweis derartiger Fehler erscheint möglich, wenn man den ganzen in Betracht kommenden Netzteil unter Be- nützung derselben Beobachtungen wiederholt nach einem zweiten, vom ersten unabhängigen Berechnungsverfahren, wie es sich in der sogenannten Koordinatenausgleichung nach vermitteln- den Beobachtungen darbietet, ausgleicht. Über die Ergebnisse dieses durch den Assistenten am geo- dätischen Institut Dr. Ing. Ad. Schlötzer auf meine Veran- lassung ausgeführten Ausgleichungsverfahrens ist von mir in den Sitzungsberichten der Akademie vom Januar dieses Jahres unter dem Titel „Neuberechnung des südlichen Netzteiles der bayerischen Landestriangulierung zwischen der Donau und der Nordkette der Alpen“ eine Mitteilung veröffentlicht worden. Bei dieser Berechnung wurden die Koordinaten der Lande.s- vermessung als Näherungswerte eingeführt und unter Verwen- dung der im Landesvermessungswerk veröffentlichten, aus der ursprünglichen Stationsausgleichung hervorgegangenen Winkeln die wahrscheinlichsten Werte jener Koordinatenverbesserungen ermittelt, welche die kleinste Quadratsumme der Richtungs- verbesserungen geben. Es waren dabei für 40 Hauptnetz- punkte aus 274 Fehlergleichungen 80 Koordinatenverbesserungen durch Auflösung einer gleichen Anzahl von Normalgleichungen 304 M. Schmidt zu berechnen. Dabei hatten sich 120 Bedingungsgleichungen mit eben so vielen Unbekannten aufstellen lassen, von welchen indessen 40 zur Berechnung der Orientierungsverbesserungen der Netzlinien dienende Gleichungen abgetrennt und für sich behandelt werden konnten, während die übrigen 80 Gleichungen zur Bestimmung der 80 Koordinaten Verbesserungen dx und dy dienten, deren Werte in Tabelle I der erwähnten Mitteilung enthalten sind. Die Neuausgleichung des Netzteiles führte zu mittleren Richtungs- und Winkelfehlern von ± 1'28 bzw. ± 1"80 gegen- über den analogen Werten der Landesvermessung ± U52 und ± 2ri4, während nach der internationalen Formel aus 337 Drei- ecken der Gesamttriangulierung der mittlere Winkelfehler zu ± 1‘77 berechnet worden ist. Die Auflösung der Gewichtsgleichungen unter Einführung von Gewichtswerten, die proportional zu den Anschnittszahlen gewählt wurden, ergab für 16 Punkte schließlich die mittleren Koordinatenfehler mj; = ± 0.29 m, my = ± 0.39 m. Diese beiden Fehlerwerte zeigen einen auch in der Ab- handlung vom Jahre 1910 in den Koordinatenfehlern auftre- tenden auffallenden Größenunterschied, der, wie hier schon er- wähnt werden soll, seine natürliche Erklärung in einer im Laufe der Zeit eingetretenen Ordinatenänderung der Dreiecks- punkte findet, die dadurch entstanden ist, daß die der Berech- nung zugrunde liegenden Winkelbeobachtungen nicht in un- mittelbarer Aufeinanderfolge ausgeführt, sondern zeitlich auf die ganze erste Hälfte des vergangenen Jahrhunderts verteilt sind, so daß die in der Lage der Punkte mit der Zeit ein- getretenen Änderungen in der Zunahme der Größe der Punkt- fehler ihren analytischen Ausdruck finden. Ordinatenänderungen der angedeuteten Art in noch grö- ßeren Beträgen zeigen sich bei der Vergleichung der Koordi- naten der südbayerischen Dreieckskette mit jenen der iden- tischen Punkte der Landesvermessung, die aus Winkelmessungen berechnet sind, zwischen deren Ausführung teilweise ein Zeit- raum von mehr als einem halben Jahrhundert verflossen war. Westwanderung von Hauptdreieckspunkten etc. 305 Um bei dieser Vergleichung die Wirkung der mit dem Berechnungsverfahren zusammenhängenden systematischen Feh- ler tunlichst auszuschalten sind die verglichenen Koordinaten in beiden Fällen durch denselben Rechner nach dem gleichen Ausgleichungsverfahren ermittelt worden. Als Ausgangswerte für die Berechnung dienten wieder die im amtlichen Werke über die bayerische Landesvermessung angegebene Länge und Orientierung der oberbayerischen Grund- linie München -Aufkirchen und die in den Sitzungsberichten des Jahres 1906 für die südbayerische Dreieckskette zusammen- gestellten Winkelbeobachtungen, bei welchen jedoch die alten auf den Stationen: Aufkirchen, Schweitenkirchen, Altomünster und Stauffersberg beobachteten und ausgeglichenen Winkel der Landesvermessung unverändert übernommen werden mußten, da auf diesen Punkten im Jahre 1903 bis 1905 neue Winkel- messungen nicht zur Ausführung gekommen waren. Die Ergebnisse der beiden neuen Koordinatenberechnungen für die Punkte der Dreieckskette sind in der folgenden Tabelle aufgeführt, geordnet nach der Ordinatengröße in einer von Ost nach West fortlaufenden Reihenfolge, die, wie ein Blick auf die letzte Spalte der Tabelle lehrt, auch der Zunahme der Unterschiede der Ordinatenwerte in den beiden Punktsystemen entspricht. Als letzter Punkt der nachstehenden Tabelle wurde ein in der Nähe der Bruchlinie von Laufen, am Fuß des Gebirges unweit von Traunstein bei der Ortschaft Kammer liegender Punkt aufgeführt, der im Jahre 1886 vom Observator der bayerischen Erdmessungskommission Dr. K. Oertel durch astro- nomische Messungen sowie durch Rückwärtseinschneiden auf fünf Hauptdreiecksnetzpunkte der Landesvermessung auch geo- dätisch festgelegt worden ist. Seine in der die Überschrift „Landesvermessung“ tragenden Spalte der Tabelle angegebenen sphärischen Koordinaten be- sitzen die mittleren Fehler m_c — ± 0,19 m und niy = ± 0,07 m. 30G M. Schmidt Koordinatentabelle der Neuausgleichung der Landesvermessung und der südbayerischen Dreieckskette. u Punkt - ___ Landesvermessung südb. Dreieckskette dx = x' — X 1! X y x' y' 1 Watzmann — 63627.62 101661.56 — 63627.75 101661.04 — 0.13 4-0.52 2 Asten T. — 3814.76 — 85782 99 — 3814.73 — 85782.02 + 0.03 + 0.97 3 Hochgern - 42666.00 — 70760.17 — 42665.88 — 70759.26 + 0.12 4-0.91 4 Schnaitsee T. - 7194.28 — 59480.06 — 7194.34 — 59479.50 — 0 06 4-0.56 5 Rettenstein - 89313.41 — 54666.88 — 89312.37 — 54666.07 + 1 04 -+ 0.81 6 Mitbach T. -H 2960.86 — 33970.62 + 2960.85 — 33970.60 — 0.01 4-0.02 7 Wendelstein — 48295.00 — 32962.72 — 48294.85 — 32962 21 + 0.15 + 0.51 8 Aufkirchen T. -1- 18696.59 — 21506.37 +- 18696.58 — 21506.37 — 0.01 + 0.00 9 Schweitenk. T. -f- 40804.24 — 2498.80 + 40804.99 — 2498.80 -f 0.75 + 0.00 10 München n.Fr.T. 0.00 0.00 0.00 0.00 4-0.00 4-0.00 11 Altomünster T. •+•27772.04 + 23394.61 +-27772.99 + 23395.38 -1-0.95 + 0.77 12 Peissenberg T. — 37407.14 +• 41985.15 — 37407.56 + 41986.07 — 0.42 + 0.92 13 Staulfersberg -t- 34377.90 +- 63435.76 + 34378.74 63437.31 4-0.84 + 1.55 14 Kirchheim T. + 4304.40 + 81741.10 -1- 4303.94 + 81742.57 -0.46 4- 1.47 15 Grünten — 64146.51 + 94295.66 — 64147.19 + 94296.68 — 0.68 -+ 1.02 16 Roggenburg s.T. + 15993.25 + 99813.74 -f 15992.96 -i- 99816.23 — 0.29 -+2.49 17 Änger — 45909.37 + 106021.96 — 45909.93 + 106023.15 — 0 56 -+ 1.19 18 Kammer — 23083.44 — 80874.60 — 23083.06 — 80873.44 4-0.38 4- 1.16 Sie sind aus den durch die Neuausgleichung des Netzteiles südlich der Donau von den analytischen Netzverschiebungs- fehlern befreiten Koordinatenwerten der Ausgangspunkte her- geleitet, welche mit den größtenteils in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts ausgeführten Winkelmessungen be- rechnet sind. Die kleinen hiebei gefundenen Richtungsfehler von 0*3 bis 0’4 berechtigen zu dem Schluß, daß bemerkens- werte relative Veränderungen in der Lage der verwendeten Ausgangspunkte nicht eingetreten sind. Im Jahre 1918, also nach Umlauf von 32 Jahren, sind die Koordinaten desselben Punktes durch den Assistenten des geodätischen Instituts Dipl. -Ing. R. Hesselbarth auf Grund neuer im gleichen Jahre auf dem alten Pfeilerfundament aus- geführten Winkelmessungen wiederholt durch Rückwärtsein- Westwanderuiig von Ilaupldreicckspunkten etc. 307 schneiden auf vier benachbarte Hauptnetzpunkte, deren Lage durch die Neuausgleichung der südbayerischen Dreieckskette bekannt war, berechnet worden. Diese in die Tabelle gleichfalls eingetragenen Koordinaten besitzen die mittleren Fehler m'j- = ± 0,26 m und m'y = ± 0,23 m. In die Netzskizze wurde der beiläufig in die Mitte der Seite Asten-Hochgern fallende Punkt Kammer nicht eingetragen, da er ursprünglich nicht zur Dreieckskette gehört hat, sondern erst nachträglich für andere Zwecke eingeschaltet worden ist. Die Vergleichung der neuen Koordinaten des Punktes Kammer mit den daneben stehenden, aus der Landesvermessung durch Neuausgleichung ermittelten Werten liefert die Unter- schiede 0,38 m und dy = -\- 1,16 m, die ebenfalls eine heute noch in Gang befindliche, nach Nor- den und Westen gerichtete Verschiebung des Punktes anzeigen. Der etwas größere Betrag der westlichen Verschiebung von Kammer im Vergleich mit jener der Punkte Asten und Hoch- gern, auf deren Verbindungslinie er liegt, kann durch die größere Nähe der Bruchlinie von Laufen eine natürliche Er- klärung finden. Auch kommt dabei noch in Betracht, daß bis zur Wieder- holung der Winkelmessungen in Kammer eine um 15 Jahre längere Zeit verflossen ist, als bei den Punkten der südbaye- rischen Dreieckskette, sowie daß die Ausgangspunkte für die Berechnung der Lage von Kammer zum größeren Teil Gipfel- punkte der Nordkette, der Alpen sind, welche an der West- wanderung in geringerem Maße beteiligt sind, als die Punkte des Alpenvorlandes. Um einen besseren Überblick über das Größenverhältnis der in der Tabelle in Zahlen angegebenen Lageänderungen zu gewinnen, sind dieselben in der am Kopf des Textes stehenden Figur in stark vergrößertem Maßstab graphisch dargestellt, wobei die Ordinaten und Abszissenänderungen zu einer Resul- 308 M. Schmidt tierenden zusammengefaßt wurden, deren Größe mit dem Ab- stand der Punkte von München sichtlich zunimmt. Der Voraussetzung gemäß ist die Lageänderung für die Endpunkte der Grundlinie München und Aufkirchen Null. Auch für Mitbach ist sie verschwindend gering gefunden wor- den, während sie auf den übrigen Punkten teilweise beträcht- liche Werte bis zu 2.5 m bei Roggenburg aufweist. Die Punkte 1 und 5 der Tabelle, Watzmann und Retten- stein, auf welchen von bayerischer Seite zu Anfang des Jahr- hunderts Winkelmessungen nicht ausgeführt wurden, sind in die Netzskizze ebensowenig wie Kammer aufgenommen worden; ihre Lageänderung ist mit 0.5 m bzw. 0.8 m in der Ordinaten- richtung aus der Tabelle zu ersehen. Bei den München kranz- förmig umgebenden Punkten fällt die von diesem Punkte in radialer Richtung auslaufende Verschiebung auf, welche durch ein Abgleiten derselben von einer kuppelförmigen Aufwölbung des Grundgebirges bedingt sein könnte. Bemerkenswert ist ferner, daß die Verschiebungen der Netzpunkte im Gebiet westlich von München, in welchem der Rand der Juraerhebung dem Fuße der Alpen sich nähert, offen- bar zunehmen. Daß die Ordinatenänderung des Punktes Roggenburg einen größeren Wert als jene der Nachbarpunkte zeigt, ist wahr- scheinlich durch den Einfluß der Bodenrefraktion in Aenger auf die Zielrichtung nach Roggenhurg bedingt. Zur Zeit der Landesvermessung stand in Anger der Theo- dolit auf einem 20 m hohen Pfeilergerüst, während bei den späteren Winkelmessungen ein im Jahre 1885 erbauter Beton- pfeiler von nur 2.2 m Höhe als Instrumentenstandort diente und die von da nach Roggenhurg gerichtete Ziellinie den in dieser Richtung verlaufenden Rücken des Kreuzlesberges nahezu streifte; es kann sich daher hier ein schädlicher Einfluß der Bodennähe durch Verschwenkung der Zielrichtung um mehrere Sekunden geltend gemacht haben, wie sich auch durch die graphisch analytische Darstellung der in Anger beobachteten Strahlenrichtungen nachweisen läßt. Westwanderung von Hauptdreieckspunkten etc. 309 Über die theoretische (Genauigkeit der Berechnungsergeb- nisse der südbayerischen Dreieckskette mag noch bemerkt wer- den, daß sich der mittlere Winkelfehler für das durch.schnitt- liche Gewicht zu ± 0'46 ergab. Die mittleren Koordinatenfehler wurden aus den Gewichts- gleichungen für 13 Netzpunkte berechnet und in guter Über- einstimmung mit den Ausgleichungsergebnissen des zur Ver- gleichung herangezogenen neuberechneten Netzteiles der Landes- triangulierung südlich der Donau zu »»X = ± 0.28; = _± 0.35 m gefunden. Die Gewichtswerte sind dabei umgekehrt propor- tional zu den Quadraten der mittleren Richtungsfehler gesetzt worden. Der etwas größere Wert des Ordinatenfehlers er- klärt sich aus dem Umstand, daß bei der Netzberechnung die auf den oben genannten Stationen ausgeführten älteren Winkel- messungen Verwendung finden mußten, bei denen offenbar die zwischen ihrer Ausführung verflossene längere Zeit, innerhalb welcher sich ebenfalls eine Lageänderung der Punkte vollzogen haben muß, nicht ohne schädlichen Einfluß geblieben ist. Die Unsicherheit der Ordinatenbestimmung ist hiedurch offenbar vergrößert worden. In der Netzskizze tritt ferner die nach Westen gerichtete Parallelverschiebung der Dreiecksseiten deutlich hervor. Die mit der Verschiebung der oberen Bodenschichten in Zusammenhang stehende Schichtenzereißung bei Laufen, Avelche in Heft 2 der Ergänzungsmessungen zum bayerischen Präzi- sionsnivellement München 1919 eingehend behandelt und in der S. 20 dieser Veröffentlichung beigegebenen Kartenskizze dargestellt worden ist, konnte in die vorstehende Abbildung nicht aufgenommen werden, da sie weiter nach Südosten ge- legen ist und über den Bereich der Darstellung hinausfällt. Darüber, daß tatsächlich in der Zeit zwischen der Aus- führung der bayerischen Landestriangulierung in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts und der Zeit der Winkel- beobachtungen in der südbayerischen Dreieckskette eine Ver- Sitzungsb. d. math.-phys. KI. Jabrg. 1920. 21 310 M. Schmidt, Westwanderung v. Hauptdreieckspunkten etc. Schiebung von identischen Punkten beider Messungen besonders in der Westricbtung, also eine Westwanderung dieser Punkte, von einer Größe, welche die mittlere Unsicherheit der Messung wesentlich überschreitet, eingetreten ist, kann nach den vor- stehenden Ausführungen kein Zweifel mehr bestehen. Wenn daher bisher die Aufgabe der Geodäsie in der Be- stimmung der gegenseitigen Lage von Messungspunkten auf der als fest angenommenen Erdoberfläche bestanden hat, so sollte künftighin auch den Veränderungen in der Lage von Punkten der Erdkruste durch tektonische Kräfte eine größere Beachtung geschenkt werden. In der Netzskizze am Kopfe der vorstehenden Abhandlung sind auch die das Voralpengebiet durchschneidenden nach Nor- den laufenden Gebirgsflüsse Salzach, Alz, Inn, Isar, Lech, Wer- tach und Iller eingetragen. Der Verlauf ihrer in die oberen Bodenschichten teilweise tief eingeschnittenen Gerinne läßt durchweg eine nach Westen gerichtete Ausbuchtung deutlich erkennen und weist auf eine bereits seit Jahrhunderten im Gange befindliche Bewegung dieses ganzen Gebietes nach Westen hin, welche durch die Koordinatenänderung der Dreieckspunkte der südbayerischen Dreieckskette für eine geringe Zeitspanne der Neuzeit im vor- stehenden ziffermäßig nachgewiesen ist. 311 Ein neuer Placodontier aus dem Rhaet der bayerischen Alpen. Von F. Broili. Vorgetragen in der Sitzung am 5. Juni 1920. Schon einmal war mir Gelegenheit gegeben, über einen Wirbeltierrest aus den Kössener Schichten der sowohl Touristen wie Geologen wohl bekannten Kothalpe am Wendel- stein in den bayerischen Alpen zu berichten^), nun setzt mich ein weiterer Fund von dieser an Evertebraten unerschöpf- lichen Lokalität, den mir der Finder Herr K. A. Moll freund- lichst zur Untersuchung überantwortet hat, in den Stand, einen anderen Saurier des rhätischen Meeres bekannt zu machen. Ein glücklicher Schlag mit dem Hammer auf ein Gesteins- stück der Kössener Luraachelle hatte die hauptsächlichsten Teile des Restes, nämlich ein großes Stück der Schädelunterseite freigelegt, die übrigen noch von Gestein umgebenen Knochen- teile wurde von Herrn Moll selbst herauspräpariert und mir so übergeben. Demnach zeigt sich der Fund als die hintere unvollständige Hälfte eines Schädels, der allerdings, was die Oberseite anbelangt, ziemlich stark durch den Gebirgsdruck in Mitleidenschaft gezogen und deformiert wurde. Betrachten wir zunächst den erhaltenen Teil der Gauraen- fläche, so fällt uns vor allem als die am meisten charakteri- stische Eigentümlichkeit derselben die auffallende Bezahnung derselben in die Augen : Zwei median gelegene große, ovale, b F. Broili, Über die Reste eines Nothosauriden aus den Kössener Schichten. Zentralblatt für Mineralogie, Geologie und Paläontologie 1907, S. 337. 21 312 F. Broili tief braun gefärbte, glänzende Pflasterzäbne , vor denen zwei ebensolche, aber in ihren Ausmaßen bedeutend kleinere liegen, die sich durch ihre dunkle Farbengebung scharf von dem hel- leren Braun der sie umgebenden Knochen abheben. Die hin- teren Zähne besitzen bei einem Längsdurchmesser von ca. 1,7 cm einen Querdurchmesser von ca. 1,4 cm, von ihrer Mitte strahlen wellige, allmählich schwächer werdende Runzeln nach den Seitenrändern, welche nahezu glatt, wulstartig die mittlere flache und teilweise leicht eingesenkte Partie des Zahnes um- rahmen. Die Längsaxen beider Zähne konvergieren stark nach vorne, so daß sie in ihrem vorderen Drittel sehr nahe anein- ander herantreten und der hinten zwischen ihnen hervortretende Zwickel der Gaumenknochen bedeutend größer wird als der vordere. Dicht vor ihnen sitzen zwei weitere, aber um vieles kleinere Pflasterzähne. Von der gleichen Farbe wie ihre rück- wärtigen Partner sind sie mehr gerundet wie diese, ihr Längs- durchmesser beträgt 0,5, ihr Querdurchmesser 0,4 cm. Von nahezu glatter Oberfläche ist ihre Mitte mäßig aber deutlich eingesenkt, so daß die dadurch wulstartig werdenden Seitenränder wohl hervortreten ; beide Zähnchen lagern sich so dicht aneinander, daß ihre mittleren Seitenränder sich fast berühren. Reste von weiterer Bezahnung sind nicht zu finden. Direkt vor diesen beiden kleineren Gaumenzähnen wird in der Mittellinie des Schädels die rückwärtige Hälfte einer spitz nach hinten auslaufenden kleinen Grube sichtbar, in deren Grund sich eine wenn schon durch die Präparation etwas be- schädigte, aber immerhin deutliche kräftige, knöcherne Median- leiste hinzieht. Ich betrachte diese Grube als die Choanen- ölfnung, welche durch ein Septum, wahrscheinlich das Vomer, geteilt wird. Der rückwärts von den beiden großen Zähnen gelegene Teil der Gaumenseite fällt einer ursprünglich vermutlich mehr oder weniger ebenen, jetzt aber durch den Gebirgsdruck mehr- fach gebrochenen und im Laufe der Diagenese wieder ausge- heilten unregelmäßigen Fläche zu, an der sich kaum mit ab- soluter Sicherheit irgendwelche Knochennähte beobachten lassen. Ein neuer Placodontier aus dem Rhaet der bayer. Alpen. 313 Immerhin glaube ich in der Mitte Spuren einer median nach vorne verlaufenden Längsutur sehen zu können, welche die paarigen Pterygoidea und Palatina voneinander trennt. Der beste erhaltene Teil dieser Gaumenfläche ist ihr hinterster in leichter Bogenform nach rückwärts abgeschlossener Abschnitt. Die Oberfläche der an seinem Aufbau beteiligten Knochen, es dürften im wesentlichen nur die Pterygoidea, vielleicht auch noch die rückwärtigen Teile der Palatina sein, zeigt median deutliche Runzeln, wie wir sie ähnlich auf den Beleg- knochen des Schädeldaches mancher St e goc ep h ale n antreffen, auch auf der linken mehr oder weniger ebenflächigen Seite kann man diese Runzeln beobachten, während die rechte Seite durch den Gebirgsdruck fast senkrecht gestellt wurde. In der Mitte hinter der Gaumenfläche, von dieser aber deutlich abgesetzt, ragt ein vierseitiger durch die Erhaltung und die Präparation stark mitgenommener Fortsatz nach rück- wärts; die Reste des Basioccipitale. Ebenso ungünstig erhalten Ch Fig. 1 Fig. 2 1. Placochelys alpis sordidae sp. nov. Schädelfragment von unten. Kös- sener Schichten. Kothalpe. Wendelstein. Nat. GröE^e. 2. Desgl. von oben. O Hintere Begrenzung des Auges. S Schlafen-Öffnung. Ch Choane. 314 F. Broili ist auch die rechte hintere Ecke des Schädels, d. h. die Region des Quadratums und des mit demselben sich vereinigenden hin- teren Flügels des Pterygoids, irgend welche Spuren einer Ge- lenkfläche am Quadratum sind nicht mehr festzustellen. Von der Schädeloberseite sind nur einzelne Teile, die mehr oder weniger unvollständig im gegenseitigen Zusammen- hang stehen, erhalten. Zunächst zeigt sich auf der linken Seite in guter Erhaltung ein sehr wichtiger Abschnitt: die Region des Postfrontale und Postorbitale mit einzelnen Resten der Regionen von Jugale und? Squamosum. Diese Knochen zeigen eine höckerige runzelige Skulptur, ihre Grenzen lassen sich nach den Ossifikationszentren, von denen diese Rauhigkeiten auszustrahlen scheinen, vermuten, außerdem zeigen sich zwischen Postfrontale und Postorbitale meines Erachtens auch deutliche Spuren einer Naht. Jedenfalls kommt aber unter den genannten Schädelelementen dem Postorbitale die größte Ausdehnung zu. Postfrontale, Postorbitale und Jugale bilden die hintere Begrenzung der Augenöffnung. Dieselbe ist wohl erhalten und läßt erkennen, daß das ziemlich große Auge — der größte meßbare Durchmesser beträgt an den Außenrändern ca. 1,6 cm — wohl einen rundlichen Umriß besessen hat und schräg nach vorne und seitlich gestellt war. Der Hinterrand des gleichen Knochenkomplexes zeigt gleichzeitig die teilweise gut erhaltene vordere Umrahmung der Schläfengruben, die obere Umrahmung derselben wird durch ein Knochen- stück gebildet, das jetzt durch die Präparation isoliert, doch noch deutlich den Anschluß an die Postfrontal-, Postorbital-Region einerseits wie an eine hintere, allerdings stark verdrückte und deshalb nicht näher analysierbare Partis des Schädels anderer- seits zu erkennen gibt — es sind die eng miteinander verbun- denen Parietalia. Dieser Komplex ist äußerst bezeichnend skulptiert mit runzligen bis grubig-höckerig verzierten Knochen- buckeln; ähnlich wie bei Placochelys kann man 6 solcher Er- höhungen auseinander halten: 2 in der Mittellinie und je 2 an der Seite, der hinterste median gelegene ist der hervor- ragendste, die 3 vorderen verflachen sich allmählich nach vorne. Ein neuer Placodontier aus dem Rliaet der bayer. Alpen. 315 Das Foraiuen parietale, welches wohl analog wie bei Placo- chelys vor dem mittleren vorderen Knochenbuckel gelegen sein dürfte, i.st nicht mehr erhalten. Leider fehlt der weitere rück- wärtige seitliche Anschluß an das Squamosum, so daß über die hintere Begrenzung der Schläfengrube keine weiteren An- gaben gemacht werden können, meiner Schätzung nach dürfte ihr größter Dui'chmesser mindestens 2 cm betragen haben. Auf der rechten Seite ist die untere Begrenzung der Schläfengrube, d. h. ansehnliche Reste der Region des Jugale und Squamosum erhalten geblieben, auch Teile des Postorbi- tale sind daran noch beteiligt, ebenso zeigt sich noch der unten allerdings ziemlich breit gedrückte Teil von der Um- rahmung des rechten Auges. Auch hier haben wir auf den Knochen eine runzlige Oberflächenskulptur. Die geschickte Hand des Herrn Moll hat auch teilweise die Dorsalseite der Gaumenknochen freigelegt, aber auch hier erhalten wir keinen Aufschluß über die Knochengrenzen; äußerst störend dabei und leicht irreführend sind durch den Gebirgs- druck veranlaßte und wieder ausgeheilte Bruchstellen, ähnlich wie bei Placochelys und Placodus scheint ebenso hier auf der Dorsalseite das Transversum einen größeren Raum eingenommen zu haben wie auf der Ventralseite. Die Breite des Schädels 1. am Hinterrand gemessen von Quadratum zu Quadratum dürfte 6 cm und 2. in der Höhe der beiden Augenvorderränder, wenn man die Druckwirkung in Anrechnung bringt, wohl fast 4 cm betragen haben. Die Länge des Restes gemessen in der Mittellinie ist 4,2 cm. Auf Grund dieser Beschreibung geht hervor, daß wir es bei dem vorliegenden Fund mit einem Angehörigen der Placodontier und zwar, wie aus den dabei gemachten Hin- weisen schon hervorgegangen sein dürfte, wohl mit dem Genus Placochelys selbst zu tun haben dürften. Diese bis jetzt nur in 2 Schädeln und verschiedenen Skeletteilen bekannte Gattung aus den Veszpremer Mergeln des Balaton-Sees, marinen Ablagerungen, welche nach Jaekel den Raibler Schichten 316 F. Broili entsprechen, ist von diesem Autor in seiner schönen Mono- graphie eingehend beschrieben worden. Mir liegt der ausgezeichnete Gipsabguß des besten der Jaekelschen Originale von Placochelys placodonta vor, und bei dem Vergleiche desselben mit unserem Stücke geht hervor, daß das letztere einer beträchtlich kleineren Art der Gattung angehört wie die ungarische Raibler Form. Dieselbe nämlich zeigt in der Mittellinie des Schädels eine Gesamtlänge von 11,6 cm und in der gleichen Richtung bis zur Gaumenöff- nung 7,5 cm Länge auf, während unser Exemplar nur 4,2 cm aufzuweisen hat. Auch in der Skulptur scheinen Unterschiede zu bestehen, so ist die Unterseite unserer Pterygoidea mit deut- lichen Runzeln bedeckt, die der von Placochelys placodonta hingegen aber glatt — ebenso ist die Anordnung der 6 Knochen- buckel auf dem Parietale gegenseitig eine etwas abweichende und der vordere der beiden seitlichen Buckel bei Placochelys placodonta zum mindesten eben so stark wie der hintere, wäh- rend bei unserem Exemplar der vordere schwächer ist. Schließ- lich scheint die Schläfenöffnung des letzteren relativ größer zu sein als bei dem ungarischen Vertreter. Ich stelle deshalb auf Grund der bisher bekannten Eigen- tümlichkeiten unser Schädelfragment mit Vorbehalt zur Gattung Placochelys Jaekel und sehe mich auf die angedeuteten Unterschiede hin veranlaßt, zu denen noch die große zeitliche Differenz zu stellen wäre, eine neue Art zu schaffen. Nach dem klassischen Fundort in den bayerischen Alpen sei deshalb das Stück Placochelys alpis sordidae spec. nov. benannt! Das Tier fand, wenn wir uns die Annahme Jaekels zu eigen machen, daß es sich bei Placochelys um einen Muschel- fresser handle, in der reichen Mollusken- und Molluscoiden- Fauna der rhätischen Stufe, herrliche Futterplätze. 1) 0. Jaekel, Placochelys placodonta aus der Obertrias des Bakony_ Resultate der wissenschaftl. Erforschung des Balaton-Sees. 1. B., 1. Teil. Pal. Anhang. Budapest 1907. Ein neuer Placodontier aus dem Rbaet der baycr. Alpen. 317 Bei der großen Ähnlichkeit der Zähne von Placodus und Placochelys läßt es sich kaum sagen, ob der von L. v. Ammon^) als Placodus Zitteli beschriebene Zahn nicht auch zu Placo- chelys gehört. Jedenfalls gehört dieser aus dem Plattenkalk, also aus dem Liegenden der Kössener Schichten stammende Zahn vom Ansetzberg bei Partenkirchen einem sehr großen Placodontier an, denn sein Längsdurchmesser beträgt 3,3 cm, sein Querdurchmesser 2,3 cm. Der mehr rundliche Umriß des Zahnes scheint, wenn die spärlichen Funde von Placochelys diesen allgemeinen Kückschluß erlauben, mehr für diese Gat- tung als für Placodus zu sprechen , bei dem der Umriß der Gaumenzähne ein mehr vierseitiger ist. Das gleiche gilt auch für zwei weitere im Besitz der bayer. Staatssammlung befind- liche Stücke aus dem Rhät des Wundergrabens bei Ruh- polding und dem Rhät des Marmorgrabens bei Mittenwald, während ich bei drei andern Placodontierzähnen aus den Alpen im Zweifel bin; sie stammen 1. aus dem Fleckgraben der Enning Alpe im Ammergauer Gebirg aus dem Rhät, 2. aus dem Periodengraben bei Linderhof aus dem Rhät, und 3. aus den Raiblerschichten von Raibl in Kärnten. Dagegen besitzt ein Zahn, den Herr cand. geol. v. Freyberg im Jahre 1917 im bekannten Muschelkalkbruch am Burgberg bei Lenggries .sammelte, mehr vierseitigen Umriß, weshalb ich ihn zu Placo- dus selbst stellen möchte. Es Aväre nun sehr verlockend, den bekannten Panzertypus von Psephoderma alpinum (H. v. Meyer)^) aus dem rhätischen Kalk von Ruhpolding, von welcher Gegend, wie oben ge- sagt, auch ein gleichaltriger Placodontierzahn vorliegt, und von dem in der bayerischen Staatssammlung noch weitere Panzer- 1) L. V. Ammon, Die Gastropoden des Hauptdolomits und des Plattenkalks der Alpen. Abh. d. geol.-mineralog. Vereins zu Regensburg, 11. Heft, 1878, p. 53, Anm. Psephoderma alpinum aus dem Dacbsteinkalk der Alpen. Palaeon- tographica 6, S. 246. Über Psephoderma der Südalpen siehe auch bei Deecke, Über Lariosaurus etc., Zeitschr. d. D. geolog. Ges. 18, 1886, S. 196. 318 F. Broili fragmente: nämlich sogar eines aus der Nachbarschaft der Koth- alpe, aus einem Kössener Graben zwischen Schweinsberg und Thierhamer Alpe am Wendelstein , und ein zweites aus den Kössener Schichten am bekannten Kamin des Scesaplana-Gipfels im Rhäticon vorhanden sind, mit Placochelys zu vereinigen; ich möchte mich indessen einstweilen in dieser Hinsicht dem zurückhaltenden Urteil Jaekels') gegenüber der Meinung von E. Fraas^) und v. Huene®) anschliefsen , der, abgesehen von den verschiedenen Differenzen in der Form und der Anordnung der einzelnen Elemente des Panzers, auf Grund seiner histo- logischen Untersuchungen bei Psephoderma und Placochelys nachweisen konnte, daß die mikroskopische Struktur beider voneinander doch recht abweicht. Die Zähne eines kleinen Placodus, den Frhr. v. Wöhr- mann aus den Cardita-Schichten vom Thierberg bei Seehaus nennt (Fauna der sog. Cardita und Raibler Schichten in den Nordtiroler und bayer. Alpen. Jahrb. d. K. K. geol. Reichs- anstalt 1889, 39. Bd., S. 233), liegen mir leider nicht vor, vielleicht handelt es sich bei ihnen um Fischzähne, und ebenso bin ich bei einem Zahufragment aus den roten Raiblern des Schlernplateaus unsicher, ob wirklich ein Placodus vorliegt, wie V. Wöhrmann meint (Die Raibler Schichten etc., ibid. 1893, 43. Bd., S. 693). Jedenfalls geht aber, abgesehen von den letzten zwei nicht sicheren Angaben aus dieser stattlichen Zahl von sicheren Pla- codontiern von insgesamt 8 Fundorten, die sich auf die alpine Trias vom Muschelkalk — bis zum Rhät verteilen, her- vor, daß diese Reptilgruppe in der ozeanischen Trias eine große Verbreitung besaß, zumal, wenn man bedenkt, daß es sich bei diesen Funden lediglich um durch ihr cha- Jaekel, 1. c., S. 53. -) E. Fraas, Reptilien und Säugetiere in ihren Anpassungserschei- nungen an das marine Leben. Jahreshefte d. Ver. für vaterländische Naturkunde 61, 1905, S. 368. V. Huene, Übersicht über die Reptilien der Trias. Pal. und Geol. Abhandlungen. Jena, Fischer, 1902, S. 33. Ein neuer Placodontier aus dem Rhaet der bayer. Alpen. 319 rakteristisches Aussehen leicht sichtbare Zufallstreffer') handelt und nicht um so ausgezeichnet seit langen Zeiten durch die Steinindustrie sowohl wie durch Sammler systema- tisch erschlossene Gebiete, wie dies bei dem faunistisch armen Binnenmeersediment des germanischen Muschelkalks der Fall ist. Daß in den ozeanischen Sedimenten der alpinen Trias beträcht- lich mehr Reste von Wirbeltieren zu erhoffen wären, Avenn wir die nötigen Mittel zu einem systematischen Abbau der betreffenden Schichten zur Verfügung hätten, ist leicht ver- ständlich. Daß sie wirklich zu bekommen sind, beweisen unter anderem die technisch abgebauten sogenannten Asphaltschiefer des Hauptdolomits der Nordalpen, die, abgesehen von einem problematischen Teleosaurus (Kner, Sitzungsber. d. K. Akad. d. Wiss. Wien 56, I, 1867), eine stattliche Reihe schöner Fisch- reste geliefert haben, vor allem aber die bituminösen Schiefer der mittleren Trias ^) (anisischer Stufe) im Tessin und den an- grenzenden italienischen Gebietsteilen, die durch den bergmän- nischen Abbau außer Fischen eine große Zahl von Sauroptery- gier- und Ichthyosaurier-Skeletten sowie das als Flugsaurier gedeutete Geschlecht Tribelesodon Bassani gewinnen ließen, Avelche, abgesehen von älteren Arbeiten vor allem in den neueren Publikationen von Bassani®), Deecke'), Boulenger®), Repo.ssi“) und Wiman’') näher untersucht wurden. 9 Partanosaurus und Microleptosaurus Skuphos. Abhandl. d. K. K. geol. Reichsanstalt, Bd. XV, Heft 5, 1893, und Metopias Sanctae crucis Koken, ibidem, Bd. XVI, Heft 4, 1913 sind auch Zufallsfunde. A. Fiauenfelder, Beiträge zur Geologie der Tessiner Kalkalpen. Eklogae Geol. Helvet. Vol. 14, No. 2, 1910, S. 263 etc. ®) F. Bassani, Sui fossili e sulP etä degli schisti bituminosi triasici di Besano in Lombardia. Atti d. Soc. Ital. Sei. nat. Vol. 29, 1886. W. Deecke, Über Lariasaurus und einige andere Saurier des lombard. Trias. Zeitschr. d. D. geol. Gesellsch. 38, 1886, S. 176. “) A. Boulenger, On a Nothosaurian Reptile froni the Trias of Lom- bardy etc. Transact. Zool. Soc. London. Vol. 14, 1896, S. 1, E Repossi, 11 Mixosauro degli strati triasici di Besano in Lotn- bardia. Atti Soc. Ital. Sei. Nat. Vol. 41, 1902, S. 301. 9 C. Winian, Über Mixosanrus cornalianus Bass. Bull of the Geol. Inst, of Upsala. Vol. XI, S. 230. 320 F. Broili, Ein neuer Pliicodontier etc. Wie gerade diese Sauropterygier und Ichthyosaurier aus der alpinen und soweit sie von dort bekannt sind, aus der ark- tischen und kalifornischen Trias uns eine Ei'klärung geben für die großartige Entwicklung dieser Reptilordnungen zur Zeit des Jura, so müssen Avir andererseits die Erklärung für das Auftreten derselben in der Trias und anderer am Schlüsse der Trias bereits erlöschender mariner, hochgradig differenzierter Keptilgruppen wie der Placodontier Europas mit unserem Placo- chelys alpis sordidae und der nordamerikanischen Thalatto- saurier wohl in der Hauptsache nicht in der Tierwelt der Kontinentalbildungen des Perm, sondern in den oze- anischen Ablagerungen dieser Formation suchen, Avelche erst im Laufe der letzten Jahrzehnte in Bezug auf ihre Evertebraten-Fauna näher in den Kreis der Erkenntnis ge- zogen wurde und die sicher, ebenso wie in gewissem Maße bisher die ozeanische Trias, eine Wirbeltier- Fauna in sich schließt, die noch der Entdeckung harrt. München, März 1919. 321 Über die Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure. Von A. .Tohnsen in Kiel. Mit 2 Figuren und 3 Tabellen im Text. Vorgelegt von P. v. Groth in der Sitzung am 5. Juni 1920. Einleitung. Paragenese soll die gleichzeitige oder die sukzessive Entstellung mehrerer Mineralarten aus gemeinsamer Mutter- lauge bedeuten. Die Untersuchung zweier paragenetischer Mineralien ergibt simultane Bedingungsgleichungen für die Paragenese, so daß diese genauer erforscht werden kann als die Genese einer vereinzelten Mineralart. Dementsprechend wird sich im folgenden zeigen, daß der Spielraum der Bildungsmöglichkeiten einer Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure viel enger ausfällt als das Existenz- gebiet des bloßen Minerales Quarz. I. Die Entstehung von a-Quarz. Setzt man die geotherme Tiefenstufe gleich 33 m für PC. und die geobare Tiefenstufe gleich 4 m für 1 Atmosphäre, so .stehen in jeder Erdtiefe die Temperatur t und der Druck p in der Beziehung (1) ^:ii = 4:33. Temperatur und Druck p„ der Umwandlung von a-Quarz in /5-Quarz sind durch folgende Gleichung miteinander verbunden (2) = 575 -h 322 A. Johnsen Die , Konstante“ h erhält man aus der Clausius-Clapc}'- ronschen Gleichung, wenn man diese in erster Näherung schreibt /Q\ 7, -^tl iPß ^«) Hierin ist die absolute Umwaudlungstemperatur T„ = 575 + 273, die Differenz der spezifischen Volumina^) von /5-Quarz und a- Quarz bei gleich Vß — ■?;„ = 0.0026 und endlich Q = 0.178 die in Literatmosphären gemessene Zunahme der Gesamtenergie bei der Umwandlung von 1 Gramm a-Quarz in /5-Quarz; Q ist das Arbeitsäquivalent der Wärmetönung q = 4.3 Grammkalorien, die von F. E. Wright^) und E. S. Larsen^) gemessen wurde. Aus (3) ergibt sich Ti = 0.012. Um die Temperatur zu ermitteln, bei der sich im Erd- innern die beiden Quarzarten ineinander umwandeln, haben wir in (1) t = t,, und p = p,i zu setzen; dann folgt aus (1) und (2) ^„ = 639® und = 5272 Atmosphären; diesen AVerten entspricht eine Erdtiefe d = 21.1 km als Maximal- tiefe, über die hinaus eine Bildung von a-Quarz unmöglich ist, wofern nicht der Druck anomal schnell oder die Tempe- i’atur anomal langsam mit der Erdtiefe wächst. In Fig. 1 enthält die Diagonale die figurativen Punkte derjenigen Temperatur-Druckpaare, welche in den dabei ver- merkten Erdtiefen {T normalerweise herrschen. Diese ,Geo- thermobare“ wird von der in erster Näherung geradlinigen Umwandlungskurve bei t = 639®, p = 5272 Atmosphären und & = 21.1 km in zwei Stücke zerschnitten, welche die unter- irdischen Existenzbedingungen von a-Quarz und /?-Quarz dar- stellen. *) Vgl. .1. Koenigsberger, N. Jahrb. f. Miner, etc. Beil., Bd. 32, 108, 1911. F. E. Wright und E. S. Larsen, Zeitscbr. f. anorg. Chem., 68, 338, 1910. über die Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure. 323 Tejujjfralur inCelsius^faden Fig. 1 ir. Die Entstehung gewisser Aggregatzustände der Kohlensäure. Ein laut Etikette von Mursinka stammender Amethyst’) des Kieler Mineralogischen Instituts zeigt in einem Hohlraum flüssige und dampfförmige Kohlensäure nebeneinander. Bei -f- 20° C. nimmt die flüssige Phase etwa 70 °/o, die dampf- förmige etwa 30°/o des Hohlraumes ein; die beiderseitige Grenze wandert beim Erwärmen durch den Dampfraum hin, den sie bei nahezu 30° völlig durchlaufen hat. Auf jeden Fall hat sich aller Dampf unterhalb der kritischen Temperatur von 31.35° C. kondensiert, da sonst die immer langsamer wandernde und immer unschärfer werdende Grenzlinie zum Stillstand kom- men und zugleich verschwinden müßte, bevor sie den Dampf- raum völlig durchschritten hat. Es darf als höchst wahrscheinlich angenommen werden, daß die Kohlensäure nicht in zwei Phasen, sondern als eine ’) Vor einigen Jahren von der Firma Krantz-Bonn bezogen; wahr- scheinlich handelt es sich um das Vorkommen vom Dorfe Lipowaja unweit Mursinka im Bezirk Jekaterinburg; vgl. C. Hintze, Handb. d. Miner. I, 1418—19, 1905. 324 A. Johnsen einzige von dem wachsenden Quarzkristall umschlossen wurde Q. Zugleich aber leuchtet ein, daß die Temperatur des Verschwin- dens^) der Dampflibelle keineswegs gleich derjenigen der Kristall- bildung zu sein braucht. Die Dichte des bei 4- 20° gesättigten COg" Dampfes sei mit 0,1 bezeichnet, diejenige der mit ihm im Gleichgewicht befindlichen COg- Flüssigkeit mit o/ und diejenige der Kohlen- säure zur Zeit und am Ort der Quarzbildung mit o; bedeutet nun V das gegenwärtige Hohlraumvolumen bei -|- 20°, so ist V sehr annähernd gleich dem Volumen der Kohlensäure zu der Zeit, da sie eingeschlossen wurde, denn Quarz zieht sich selbst bei Abkühlung von 1000° bis auf Zimmertemperatur nur um etwa 3 Volumprozente zusammen. Folglich stellt so- wohl das Produkt v • q als auch die Summe der Produkte t^tV 9d und y\,°jj V ■ Of die gesamte COg-Masse dar und somit ist (4) Q = yV Qd 4- tV Qf- Da nach Tabelle A^), bezogen auf Wasser, — 0.190 und Qf = 0.766 ist, so ergibt sich q — 0.60; dies ist nach derselben Tabelle die Dichte flüssiger, bei 4* 30° mit ihrem Dampf im Gleichgewicht befindlicher und somit einem Druck von 70.7 Atmosphären ausgesetzter Kohlensäure. Jedoch zeigt Tabelle ß, daß in derjenigen Erdtiefe •&, deren normale Tem- peratur 4- 30° beträgt, d. h. in 1000 ra Tiefe, ein viel höherer Druck, nämlich ein solcher von 251 Atmosphären herrscht; daher ist dort auch die (JOg-Dichte erheblich größer als 0.60 und zwar 0.68. Aus dieser Tabelle ersehen wir zugleich, daß in Tiefen von mehr als 1 km, deren Temperaturen oberhalb der kritischen (31.35°) liegen, die CO^-Dichte weiterhin zu- nimmt, so daß sie bei km etwa gleich q = 0.8 wird. Diese Annahme machte für derartige Einschlüsse bereits H. CI. Sorhy in seiner klassischen Arbeit (Quart. Journ. Geol. Soc. 14, 453. London 1858). A. Karpinsky fand für drei Amethyste von Lipowaja bei Mur- sinka 28.3°, 30.1° und 30. G° (Ref. in Zeitschr. f. Krist. 6, 280, 1882). ®) E. H. Amagat, Compt. rend. 114, 1093. Paris 1892. über die Paragenese von «-Quarz und Kohlensäure. 325 Tabelle A. Temperatur in Celsiusgraden Druck des gesättigten COj- Dampfes in Atmosphären Dichte 0,1 des gesättigten CO2- Dampfes Dichte iiy des flüssigen CO Temperaiiir Än Cefslns^raden Fig. 2 III. Die Paragenese von a-Quarz und Kohlensäure. Da sich unser Amethyst von Mursinka beim Atzen mit HF als frei von Zwillingsbildung nach dem Schweizer Gesetz erwies, so ist er nicht aus ^-Quarz hervorgegangen, sondern entspricht einer Paragenese von a-Quarz und Kohlen- dioxyd, für die nunmehr die maximale Erdtiefe berechnet wer- den soll. Diese Paragenese muß offenbar der Kohlensäure- Gleichung (5) und zugleich der Quarz-Gleichung (2) gehorchen. Somit folgt (6) 575 -i-k-p,. = 645) -0.0318 0.08207 273, wonach sich px = 1593 Atmosphären ergibt; hieraus findet man die Erdtiefe = 6368 m und deren normale Temperatur t = 191° C. Dagegen liefert (2) für p„ = p.,-. = 1593 Atmo- sphären die wirkliche Temperatur t„ = tx = 594° und dem- nach eine Erhitzung um At = tx — t = 403°. Statt solcher Erhitzungen kann man, wie wir bereits sahen, auch Druck- 22* 328 A. Johnsen, Über Paragenese von n-Quarz und Kohlensäure. entlastungen annehmen; dann ist Px = L — 575 k statt tx — hlh -]rk-pj: aus (2) in (5) einzusetzen; hierdurch wird die Tem- peratur der Paragenese zwar wieder 594®, aber sie führt, als normale Erdtemperatur betrachtet, zu einer Tiefe von fast 20 km statt 6^2 km. Es ist jedoch kaum zweifelhaft, dah man bereits für 6^2 km Tiefe, wo normalerweise etwa 1600 Atmo- sphären Druck und 200® C. herrschen, Hohlräume und Ent- lastungen nicht in Betracht ziehen darf. Schluss. Die Bemerkungen der Einleitung haben sich verwirklicht. Während die Erdhülle, in der sich a-Quarz bilden kann, über 21 km mächtig ist, muß sich der durch gewisse Kohlensäure- einschlüsse ausgezeichnete a-Amethyst von Mursinka in einer Erdtiefe von nicht mehr als 6^2 km gebildet haben; überdies lag die Temperatur am Orte der Paragenese, je nach seiner Erdtiefe, um bestimmte Beträge At über dem normalen Wert und zwar wächst A t mit der Tiefe bis bei d = 6^/2 km die anomale Erhitzung den Betrag At = 400® erreicht und eine Temperatur von fast 600® zur Folge hat; der Amethyst stellt also eine thermale Bildung dar. Diese Zahlen gelten für den besonderen Fall, wo bei + 20® die Volumina der flüssigen und dampfförmigen Kohlensäure annähernd 70®/o und 30 ®/o des Hohlraumes im Quarz ausmachen. Die ange- wandte Methode aber kann naturgemäß auf andere Volum- verhältnisse übertragen werden. Eine Anwendung auf Quarzkristalloblasten vermag vielleicht genauere Vorstellungen über Gesteinsmetamor- phose herbeizuführen. 329 Über den Giftstoff der Kröte. Von Heinrich Wieland. Vorgelegt in der Sitzung am 5. Juni 1920. In einer vor sieben Jahren gemeinsam mit Fried r. Jos. Weil, meinem leider inzwischen verstorbenen ausgezeichneten Mitarbeiter, veröffentlichten Abhandlung^) habe ich den krystal- lisierten Giftstoff von Bufo vulgaris, von unserer einheimischen Kröte beschrieben. Analysen und Molekulargewichtsbestimmung führten für das Bufotalin zur Formel C,6H24 0^. Mit kon- zentrierter Salzsäure behandelt geht Bufotalin in eine, wie wir annahmen, Anhydroverbindung über, das sogenannte Bufo- talien, CJ6H20O2, in dessen Entstehung wir eine sichere Stütze für die von uns aufgestellte Formel sahen. Die Untersuchung ist, durch Krieg und Revolution unter- brochen, gemeinsam mit Herrn Paul Weyland fortgesetzt Avorden. Die sichere Beherrschung der Kunst der Mikroanalyse durch meinen Mitarbeiter hat es ermöglicht, daß wir trotz der geringen Stoffmengen, die zur Verfügung standen, einen tieferen Einblick in den Aufbau des interessanten Giftes gewinnen konnten. In der zitierten Abhandlung wird das Bufotalin als ge- sättigter Körper beschrieben, da es bei der Baeyerschen Probe auf Doppelbindungen der Einwirkung des Permanganats einige Zeit lang Stand hält. Als aber die Reaktion der katalytischen Hydrierung zu dieser Prüfung herangezogen wurde, ergab sich, daß Bufotalin ziemlich rasch Wasserstoff aufniramt und dabei Ber. d. deutschen chem. Ges. 46, 3315 (1913). 330 H. Wieland in eine schön krystallisierte neue Verbindung, das Hydro- bufotalin übergeht. Es liegen also beim Bufotalin ähnliche Verhältnisse vor wie beim Cholesterin, dessen „versteckte“ Doppelbindung nicht durch Permanganat, wohl aber bei der katalytischen Hydrierung enthüllt wird^). Die Hydrierungs- reaktion ist demnach für die Aufdeckung ungesättigter Bin- dungen weitaus zuverlässiger als die Permanganatprobe. Bei der vorsichtigen Oxydation mit Chromsäure verwandelt sich das Bufotalin in ein Keton, das wir als Bufotalon bezeichnen. Hydrobufotalin und Bufotalon gaben nun bei der Analyse in steter Übereinstimmung Werte, die zu dem Bufotalin CjgHg^O^ nicht in Beziehung gebracht werden konnten. Die analytische Nachprüfung der Substanz bestätigte aber diese Zusammen- setzung, und das gleiche ergab sich für ihi'en wichtigen Ab- kömmling, das Bufotalien, an dessen Formel Cj^HjoO^ mit den Mitteln der Analyse nicht zu rütteln war. Angesichts dieser Unstimmigkeiten erhob sich der Ver- dacht, das Bufotalin könne ein isomorphes Gemisch zweier Stoffe sein, dessen einer Bestandteil in den Produkten der Hydrie- rung und Oxydation, dessen anderer als Anhydroprodukt (Bufo- talien) auftrete. Als bei Abtrennungsversuchen das Präparat einmal aus Essigester umkrystallisiert wurde, stieg nun der Schmelzpunkt von 148° auf 156°, um aber dann bei Benützung des früheren Lösungsmittels (Alkohol) wieder auf 148° zu fallen. Aus dieser Beobachtung ging hervor, daß das Bufotalin zwar als Substanz einheitlich war, daß es aber mit Lösungsmitteln feste Verbin- dungen von verschiedenem Schmelzpunkt eingeht, die erst weit über dessen Siedepunkt das Lösungsmittel wieder abgeben. Ganz ähnliche Verhältnisse habe ich, gemeinsam mit Sorge, vor mehreren Jahren bei einem Stoff aus einer verwandten Gruppe, bei der Desoxy cholsäure angetroffen*). Die beiden festgebundenen Lösungsmittel Alkohol und Essigester werden Willstätter und M.ayer, Ber. d. deutschen ehern. Ges. 41, 2199 (1908). Hoppe-Seyler, Zeitschr. f. physiol. Chem. 97, 1 (1916). über den Giftstoff der Kröte. 331 beim Erhitzen des Bufotalins auf 100° im Hochvacuum noch nicht abgegeben. Es war notwendig, die Substanz längere Zeit unter diesen Bedingungen auf 150° zu halten, um dies vollständig zu erreichen. Auf Grund quantitativer Bestimmungen hat sich das Bufotalin mit ca. 10°/o Alkohol und ebensoviel Essigester ver- einigt. Die davon befreite Substanz schmilzt hei 222° und läßt sich im Hochvacuum zu prächtigen Krystallen sublimieren. Dem von Lösungsmittel freien Bufotalin kommt natur- gemäß eine andere Zusammensetzung zu, als wie sie vor der Erkenntnis seines irreführenden Verhaltens ermittelt worden war. Auch die Molekulargröße wurde, im Einklang damit, erheblich höher, nämlich bei 416 i. D. gefunden. Jetzt er- öflFneten sich Beziehungen zum Hydro bufotalin und Bufo- talon auf Grund der Formel 026^36^6» auch die Molekular- gewichtsbestimmung gehorcht (Mol. -Gew. 444). Hydrobufo- talin, davon abgeleitet, ist die Tetrahydroverbindung CjgH^oOg. Bufotalin hat also zwei Doppelbindungen. Bufotalon ist das Keton CggHj^Og. Die früher für reines Bufotalin gehaltene Alkoholverbindung ist die Kombination von 1 Mol Bufotalin CggHggOg und 1 Mol Alkohol, die, wie gefunden, 10°/o Alkohol enthält. Ihre Zusammensetzung entspricht genau den früheren Analysen werten und dem früher gefundenen Molekulargewicht. Bei der Einwirkung von Essigsäureanhydrid auf Bufotalin haben Wieland und Weil ein schön krystallisiertes Reaktions- produkt erhalten, das sie nur durch eine komplizierte Deutung in den Bereich der damaligen Auffassung einbeziehen konnten. Sie gaben ihm die Konstitution eines Diacetylbüfotalinäthers CggHjoOg und mußten dabei annehmen, daß nach der Acety- lierung zwischen zwei Molekülen Wasser abgespalten worden sei. Diese Verbindung ist jetzt eindeutig als Acetylbufotalin C28H3g0.j erkannt. Bufotalin ist ein Lakton. Durch Alkalien wird es langsam zu einer Säure aufgespalten, der sogenannten Bufotal- säure. Sie ist auch jetzt nicht in krystallisiertem Zustand er- halten worden, aber zwei Analysen, die Weil mit dem Roh- produkt ausgeführt hat, stimmen befriedigend auf die neue Zusammensetzung CggEggO^j. 332 H. Wieland Die besprochenen Umsetzungen und Beziehungen stehen in vollem Einklang mit der neuen Formel des Bufotalins. Nicht aber fügt sich ihr das durch konzentrierte Salzsäure aus ihm hervorgehende Avichtige Derivat Bufotalien, dessen Zu- sammensetzung C,5H2o02, wie erwähnt, bestätigt Avurde, und bei dem der geringe Sauerstoffgehalt keine Variation über das Verhältnis CgH,oO hinaus zuläßt. Die Bestimmung des Mole- kulargeAvichts Aveist auf den dreifachen Wert dieser Einheit, auf die Formel €24113503. Sie unterscheidet sich von der des Bufotalins C26H3gOg um den Betrag CgHgOj, also nicht wie bei der früher angenommenen Beziehung Cjg H24 O4 — * Cjg Hjg Og um 2 Mol. Wasser. Es ist möglich geAvesen, auch diese Re- aktion aufzuklären und die durch die Wirkung der Salzsäure Aveggenommene Masse CjHgOg in 1 Mol. Essigsäure und 1 Mol. Wasser aufzulösen. Wenn man nämlich Bufotalin längere Zeit mit Alkalien erhitzt, so wird aus ihm Essigsäure abgespalten; Bufotalin enthält daher eine Essigestergruppe. Der Verlust von je einem Mol. Essigsäure und Wasser zieht die Bildung zweier Kohlenstoffdoppelbindungen nach sich. Das intensiv gelbe Bufotalien ist demgemäß vierfach unge- sättigt. Bei der katalytischen Hydrierung nimmt es 4 Mol. Wasserstoff auf; das Perhydrierungsprodukt C24H3g03 hat den Namen Bufotalan erhalten. Bufotalien läßt sich, wie schon Wieland und Weil fest- gestellt haben, zu einem prachtvollen orangegelben Körper acetylieren, der auch bei der Einwirkung von konzentrierter Salzsäure auf Acetylbufotalin entsteht. Zur Konstitution des Bufotalins. Wenn auch von einer völligen Klarstellung der Konsti- tutionsfrage im jetzigen Stadium der Untersuchung noch nicht die Rede sein kann, so erlauben die vorliegenden Ergebnisse doch schon recht weitgehende Schlüsse in jener Richtung zu ziehen. Fürs erste sind Natur und Charakter der sechs Sauer- stoffatome des Moleküls scharf erkannt. über den Giftstoff der Kröte. 333 Zwei Sauerstoffatorae gehören der Laktongruppe, zwei weitere der Essigestergruppe an. Die Oxydation zum Bufo- talon weist auf ein sekundäres alkoholisches Hydroxyl, dem der fünfte Sauerstoff angehört. Endlich muß noch eine zweite Hydroxylgruppe vorhanden sein, die von der Acetylie- rung betroffen wird. Sie ist tertiär, denn auch ein Überschuß von Chromsäure oxydiert das Bufotalin nicht weiter als bis zum Bufotalon. Diese zweite, tertiäre Hydroxylgruppe ist im Bufotalien noch vorhanden und definiert das dritte neben der Laktongruppe noch darin enthaltene Sauerstoffatom. Daß sie identisch ist mit dem im Bufotalin acetylierten Hydroxyl, geht daraus hervor, daß Acetylbufotalin unter Abspaltung von Essig- säure und Wasser sich zu Acetylbufotalien um wandelt. Siehe S. 332. Das nachstehende Schema gibt die Erschließung der sechs Sauerstoffatome wieder 0 = C- ^0 H,C-C — 0 / Cjs Ha HO HO Die weitere Folgerung, die sich aus dieser Erkenntnis ziehen läßt, betrifft die Anzahl der Ringsysteme im Bufotalin- Molekül. Der gesättigte aliphatische Kohlenwasserstoff mit 26 C-Atomen ist CggHj^. Dem Bufotalin CggHggOg gehört der Kohlenwasserstoff Cgg H^g an ; er ist doppelt ungesättigt und geht unter Aufnahme der zur Sättigung erforderlichen zwei Mol. Wasserstoff in den Kohlenwasserstoff Cj,gH^g über. Gegenüber der offenen Kette fehlen also 4 Mol. Wasserstoff, die durch vier Ringschlüsse ersetzt sein müssen. Es ist oben nachgewiesen worden, daß das Bufotalin eine acetylierte Alkoholgruppe enthält, und durch Abspaltung der Acetoxylgruppe sind wir beim Übergang zum Bufotalien in die Gruppe gekommen, in der wir das Grundgerüst des Moleküls anzunehmen haben. 334 H. Wieland Die Gruppe G^^ mit vier Ringsystemen ist aber die der Gallensäuren. Der ganze chemisclie Habitus des Bufotalins und seiner Derivate stellt es außer Zweifel, daß in ihm ein Glied dieser biologisch wichtigen Klasse vorliegt. Die einfachste Ver- bindung, zu der wir gelangt sind, ist das Bufotalan Cjj^HggOj. Als Lakton gehört ihm die Oxysäure an, die mit der Desoxycholsäure isomer und gleich dieser als eine Dioxy- cholansäure aufzufassen ist. Wir können noch einen Schritt weiter gehen. Windaus^) hat im letzten Jahr den ungemein wichtigen Nachweis ge- führt, daß die Gallensäuren aus der Oxydation des Cholesterins hervorgehen, daß dieser Alkohol OH unter Verlust einer Isopropylgruppe (CH3)2 • CH — auf den Carboxyl-führenden Komplex Cg^ abgebaut wird. Die Isopropylgruppe steht im Cholesterin am Ende einer Kette, deren Struktur ebenfalls durch die Arbeiten von Windaus aufgeklärt ist. Sie ent- spricht der nachstehenden Gliederung - CHa • CH2 • CHj — CH — CH3/ I CH3 und enthüllt auf Grund des erwähnten Abbaus gleichzeitig den Stand der Carboxylgruppe in den Gallensäuren gemäß dem Formelbild 0 = C — CHj — CH2 — CH — I I OH CH3 Es ist nun außerordentlich wahrscheinlich, daß die Lak- tonisierung an diesem dazu prädestinierten Komplex einsetzt, daß also Bufotalin und seine Derivate y-Laktone der Form 0=-C^H2— CHa-C — CH3 sind. Anders als bei der Bildung der Gallensäuren aus Chole- sterin, wobei nur in die Ringe Hydroxylgruppen eingeführt Ber. d. deutschen chem. Ges. 52, 1915 (1919). über den Giftstoff der Kröte. 335 werden, wird vermutlich im Organismus der Kröte auch die Seitenkette von der Hydroxylierung betroffen. Die Lakton- gruppe trägt die typische Giftwirkung des Bufotalins; sie ist bei der Bufotalsäure nicht mehr voi'handen. Über die Stellung der beiden freien und der acetylierten Hydroxylgruppe läßt sich vorläufig nichts weiter aussagen, als daß sie von Ringen getragen werden. Dort liegen auch die beiden Doppelbindungen, und zwar in Nachbarschaft zu Ace- toxyl und sekundärem Hydroxyl. Denn das vierfach unge- sättigte Bufotalien, dem sonst jedes Chromogen fehlt, kann seine intensiv gelbe Farbe nur der koordinierten Lage seiner vier Doppelbindungen verdanken. Aus der Leichtigkeit, mit der sich Bufotalien perhydrieren läßt, ergibt sich weiter, — dies schließt die Eigenfarbe schon aus, — daß in ihm kein aroma- tischer Ring enthalten ist. Mit der Annahme der Nachbar- schaft von Doppelbindungen und sekundärer Hydroxylgruppe im Bufotalin deckt sich aufs beste der Umstand, daß auch Bufotalon deutlich gefärbt ist; es dürfte daher die Gruppe 0 = C — C = C — C = C— führen. Der Weg, auf dem die vorläufig noch hypothetischen Be- ziehungen des Krötengifts zu den Gallensäuren und damit zum Cholesterin, die von erheblichem biologischen Interesse sind, scharf bewiesen werden können, liegt klar zu Tage. Es handelt sich um die durch bewährte Methoden gesicherte Überführung des Bufotalans Cjj4H3g03 in Cholansäure C24H40O2, die Stamm- substanz der Gallensäuren. Die Materialfrage wird für die Lösung des Problems entscheidend sein. Bufotalin und Bufagin. Fast zu gleicher Zeit mit der Entdeckung des krystalli- sierten Bufotalins haben J. J. Abel und D. J. Macht den Giftstoff der tropischen Kröte Bufo agua beschrieben ü, den sie aus dem Hautdrüsensekret zu isolieren vermochten und den sie Bufagin nannten. Bufagin schmilzt bei 217°, also nur Journ. of Pharmakology and Exp. Therap. 1912, S. 319. 336 H. Wieland wenige Grade tiefer als das lösungsmittelfreie Bufotalin; seine Analyse führte die amerikanischen Autoren zu der Formel CjgHgiO^, die sich in den Verhältnissen ihrer Bestandteile auch nicht allzu sehr vom Bufotalin C^ßHjgOg unterscheidet (für Kohlenstoff 71,0 ®/o, für Wasserstoff 7,95 “/o gegen 70,2 °/o und 8,2 °/o). Trotz dieser Annäherung im Schmelzpunkt und in der Zusammensetzung sind die beiden Giftstoffe sicher nicht identisch, sondern zweifellos verschieden. Das geht schon aus der Tatsache hervor, daß Bufagin nicht mit Lösungsmitteln krystallisiert , eine so charakteristische Eigenschaft des Bufo- talins, daß sie von Abel und Macht unmöglich hätte über- sehen werden können. Ferner sind die Löslichkeitsverhältnisse zwischen den beiden Stoffen deutlich verschieden. Bufagin ist in sehr verdünntem Alkohol weit schwerer löslich als Bufo- talin, und die Krystallisationsmethode, nach der es umkrystal- lisiert wird, läßt sich beim Bufotalin nicht anwenden. Dann ist auch die Farbreaktion mit Essigsäureanhydrid und konzen- trierter Schwefelsäure für die beiden Substanzen nicht gleich- artig. Bufagin gibt sofort eine rein grüne Färbung, während beim Bufotalin in prachtvollem Farbenspiel die Töne rot violett und blau durchlaufen werden, denen erst nach einiger Zeit die Einstellung auf grün folgt. Die spezifische Drehung beträgt beim Bufagin -f- H“, beim Bufotalin -f- 6°. Schließlich unterscheiden sich die beiden Gifte sehr er- heblich im Grade ihrer Giftigkeit. Beide sind Herzgifte und wirken nach Art der Digitalis-glucoside. Aber die Giftigkeit von Bufotalin ist nach der Untersuchung des Herrn Kollegen E. St. Faust-Würzburg am isolierten Froschherzen eine zehn- mal größere als beim Bufagin. Abel und Macht glauben zwar durch Molekulargewichts- bestiramungen die von ihnen aufgestellte Formel CjgHg^O^ für das Bufagin gesichert zu haben. Aber die von ihnen ange- wandten Methoden finden nicht unser volles Vertrauen. Es erscheint dringend geboten, das Molekulargewicht auf kryos- kopischem Wege, z. B. in Eisessig, zu kontrollieren. Wir ver- über den Giftstoif der Kröte. 337 niuteii, daß es erheblich höher gefunden wird. Denn Bufagin muß, allen seinen Eigenschaften und seiner Herkunft nach, nahe mit Bufotalin verwandt sein. In der Zusammensetzung stimmt es auf die Formel C2..H3gOg, und es besteht begründeter Anlaß zu der Vermutung, daß in ihm der Methyläther des Bufotalins vorliegt. So ist der Stoifwechsel der tropischen und unserer ein- heimischen Kröte hinsichtlich der Produktion des Giftstoffs deutlich verschieden. Ein noch viel größerer Unterschied be- steht darin, daß nach den Feststellungen von Abel und Macht Bufo agua im Hautdrüsensekret ganz gewaltige Mengen von Adrenalin ausscheidet (beinahe 7 °/o des frischen Sekrets), während dieser Bestandteil in den Hautdrüsen unserer Kröte auch nicht in Spuren sich findet. Wir haben dies neuerdings mit aller Bestimmtheit festgestellt, und unser Befund wird durch eine vor kurzem erschienene Arbeit von Handovsky^) bestätigt. Über Bufotalidin. Schon bei der ersten Bearbeitung des Gebiets habe ich gemeinsam mit F, J. Weil neben dem Bufotalin einen zweiten Giftstoff aus den Hautdrüsen der Kröte in krystallisiertem Zu- stand isoliert, der damals Bufotalein genannt wurde. Ich gebe ihm die markantere Bezeichnung Bufotalidin. Bufotalidin kry- stallisiert aus den wässerigen Mutterlaugen von der Bufotalin- darstellung in großen schönen Tafeln aus. Es teilt die Eigen- schaft des Bufotalins, mit Lösungsmitteln zu krystallisieren. Die mit Alkohol verbundene Substanz schmilzt unter Auf- schäumen bei 175°, wenn der Alkohol im Hochvacuum ent- fernt ist, liegt der Schmelzpunkt bei 228 — 230°. Die Farb- reaktion ist ähnlich der des Bufotalins, jedoch verläuft der Wechsel der Farben viel rascher. Gegen Permanganat verhält sich Bufotalidin ungesättigter als Bufotalin. Mit konzentrierter Salzsäure reagiert es gleich diesem. Die Analysen des noch nicht näher untersuchten Stoffes stimmen mit der Formel C2gH3g0.j überein. Darnach wäre Bufotalidin als Oxybufotalin anzusehen. Ü Arch. f. exp. Path. u. Pharm., Bd. 86, 138 (1920). 338 H. Wieland Experimenteller 6eil. Bufotalin CjgHjßOg. Die Isolierung aus Krötenhäuten und die Reindarstellung der Substanz geschah nach dem schon mitgeteilten Verfahren. Das aus Alkohol mehrfach umkrystallisierte Bufotalin schmolz im Einklang mit den früheren Angaben bei 148° unter Auf- schäumen. Erhitzt man weiter, so wii’d der Inhalt des Röhr- chens wieder fest, um dann gegen 220° erneut unter schwacher Blasenbildung zu schmelzen. Die im Exsiccator zur Konstanz getrocknete Substanz verliert, im Hochvacuum längere Zeit auf 150° erhitzt, ziemlich genau 10°/o an Gewicht; es ist daher 1 Mol. Alkohol an ein Mol. Bufotalin gebunden. Wenn man vorsichtig im Hochvacuum auf 225° — 230° erhitzt, so gelingt es, das Bufotalin bei dieser Temperatur zu sublimieren. Die mit einem Stern bezeichnete Analyse ist mit einem sublimierten Präparat ausgeführt. Besonders schön krystallisiert Bufotalin aus Essigester. Der Schmelzpunkt liegt jetzt hei 154°, unter den gleichen Erscheinungen, die die Alkoholverbindung zeigt. Unter den gleichen Bedingungen wie der Alkohol wird auch der angelagerte Essigester entfernt, die Gewichtsabnahme ist eben- so groß wie dort. Daraus ergibt sich, daß 1 Mol. Essigester sich mit 2 Mol. Bufotalin vereinigt hat. Die Zusammensetzung des Bufotalins haben wir durch zahlreiche Analysen besonders scharf festgelegt; die zwei ersten sind Makroanalysen, die übrigen sind nach der trefflichen Mikromethode von Pregl ausgeführt. 0,1531 g gaben 0,3939 g CO, und 0,1150 0,1509 „ 0,3874 7f n 0,1109 7,172 mg „ 18,536 mg n „ 5,367 7,303 „ , 18,854 W n 5,273 5,807* , „ 15,004 yt w 4,131 5,211 „ „ 13,4^9 n 3,792 4,801 „ , 12,395 71 »» 3,475 Ül)er den Giftstoff der Kröte. 339 Für Ber. C 70,22o/o, H 8,17 »/o. Gef. C 70,17, 70,02, 70,49, 70,42, 70,43, 70,54, 70,41, , H 8,40, 8,22, 8,37, 8,08, 7,96, 8,14, 8,10. Molekulargewicht. Lösungsmittel Eisessig. Konst. = 39. 0,2076 g in 15,546 g gaben eine Depression von 0,130°. 0,1938 „ „ 14,444 „ „ „ „ 0,121°. Molekulargewicht für C^eliseDg ber. 444, gef. 401 und 431. Nachweis der Acetylgruppe im Bufotalin. 0,2 g Bufotalin wurden in 15 ccm n-methyl-alkoholischem Kali eine Stunde lang auf dem Wasserbad gekocht. Nach dem Verdünnen mit Wasser säuerte man vorsichtig an, bis Congo- papier eben wahrnehmbar violett gefärbt wurde, filtrierte von der ausgeschiedenen Bufotalsäure ab und destillierte dann die Flüssigkeit aus dem Ölbad ab. Das Destillat reagierte bis zum letzten Tropfen auf Lakmus sauer und verbrauchte zur Neutralisation gegen Phenolphtalein 2,5 ccm n/10 Kalilauge. Auf Essigsäure umgerechnet entspricht dies 56 °/o der theore- tisch zu erwartenden Menge. Der nach dem Abdampfen der neutralisierten Lösung hinterbleibende Salzrückstand wurde ein- wandfrei als Kaliumacetat erkannt durch die Bildung von Essig- ester, durch die Kakodylreaktion und durch den beim An- säuern auftretenden unverkennbaren Geruch der Essigsäure. Acetylbufotalin öjs H38 O.J . Die früher als Diacetylbufotalinäther beschriebene Substanz schmilzt nach sorgfältiger Reinigung bei 254° unter gelindem Schäumen, entsprechend der Angabe von Wieland und Weil. Beim Trocknen im Hochvacuum bei 160° wurde eine Gewichts- abnahme um 1,5 °/o festgestellt, ohne daß der Schmelzpunkt sich änderte. Die Analyse gab ähnliche Werte, wie sie früher gefunden worden sind. 5,267 mg gaben 13,358 mg CO2 und 3,870 mg H^O. Für CgsHjsO, ber. C 69,09 »/o, H 7,88 °/o, gef. „ 69,17 „ „ 8,22 „ 340 H. Wieland Wenii man berücksichtigt, daß die früheren, aus Alkohol umkrystallisierten Präparate nicht im Hochvacuum getrocknet waren, also noch 1,5 °/o Alkohol enthalten haben, so stimmt das von Weil gefundene Molekulargewicht von 421 gut mit dem berechneten von 486 überein. Hydrobufotalin C^gH^nOg. 1 g Bufotalin wird in 10 ccm Alkohol gelöst und mit 0,5 g Palladiumschwarz unter Wasserstoff geschüttelt. Die an- fangs recht lebhafte Wasserstoflfaufnahme ist gewöhnlich be- reits nach 3 Stunden zum Stillstand gekommen. Sie macht durchschnittlich 140 ccm aus, wovon etwa 40 ccm auf Rech- nung des Palladiums zu setzen sind, so daß rund 100 ccm an das Bufotalin angelagert werden. Soviel berechnet sich für die Aufnahme von 2 Hg durch ein Mol. Bufotalin, Die vom Palladium abfiltrierte Lösung überläßt man in einer offenen Schale der freiwilligen Verdunstung. Der krystallinische Rück- stand wird mehrmals mit Äther verrieben und kann dann aus Alkohol umkrystallisiert werden. Nach mehrmaliger Krystalli- sation bleibt der Schmelzpunkt bei 204 — 205® stehen; das Schmelzen ist von schwachem Aufschäumen begleitet. Hydro- bufotalin krystallisiert aus Alkohol in gedrungenen Prismen, die teilweise zu schräg gerichteten Kreuzen zusammengelagert sind. Im Gegensatz zum Bufotalin ist die Hydroverbindung auch in Eisessig gegen Permanganat einige Zeit stabil. Die Laktongruppe ist noch erhalten, alkoholisches Kali spaltet zur Säure auf. Die Farbreaktion mit Essigsäureanhydrid und kon- zentrierter Schwefelsäure geht von kirschrot über blau und grün rasch in ein bleibendes Hellbraun über. Die bei 160® im Hochvacuum getrocknete Substanz erfuhr keine Gewichtsverminderung. 0,1306 g gaben 0,3312 g CO^ und 0,1058 g HjO. 0,1554 „ „ 0,3958 „ , n 0,1274 „ „ 6,426 mg , 16,449 rag „ jj 5,236 mg 4,436 „ „ 11,352 „ „ n 3,620 „ „ 5,135 „ „ 13,062 „ „ n 4,226 „ „ über den Giftstoff der Kröte. 341 Für ber. C 69,59 »/o, H 8,99 °/o, gef. „ 69,17, 69,46, 69,81, 69,79, 69,38. „ n 9,07, 9,17, 9,12, 9,13, 9,21. Bufotalon Cg^Hj^Og. 0,2 g Bufotalin werden, in 2,5 ccm Eisessig gelöst, mit der Lösung von 0,1 g Chromtrioxyd in einigen Tropfen Wasser versetzt. Dabei steigt die Temperatur um etwas mehr als 5°. Zunächst scheidet sich eine flockige dunkelbraune Masse ab, die aber bald wieder in Lösung geht. Nach mehrstündigem Stehen des Gemischs entfärbt man die noch überschüssiges Chromtrioxyd enthaltende Lösung mit einigen Tropfen schwef- liger Säure und bringt dann im Vacuumexsiccator über Schwefel- säure und Ätzkali zur Trockene. Durch Extraktion mit Äther wird dem pulverisierten Rückstand das Bufotalon entzogen. Zur Reinigung krystallisiert man aus Alkohol um, in dem das Keton in der Kälte ziemlich schwer löslich ist; auch in Essig- ester ist die Löslichkeit geringer als wie beim Bufotalin. Bufotalon krystallisiert in schwach gelben rhomboedrischen Blättchen. Sein Schmelzpunkt liegt bei 261°. Das Schmelzen zu einer braungelben Flüssigkeit erfolgt unter gelindem Schäumen. Analysen. 5,174 mg gaben 13,367 mg COg und 3,630 mg H,0 5,922 , „ 15,271 „ , , 4,104 „ n 5,852 „ „ 15,146 „ „ « 4,206 „ n 6,198 „ „ 15,947 , „ , 4,348 „ y> Für 3,06 ber. C 70,54 °/o. H 7,75%, gef. „ 70,46, 70,33, 70,59, 70,17, „ H 7,85, 7,76, 8,04, 7,84. Die Farbreaktion des Bufotalons mit Essigsäureanhydrid und konzentrierter Schwefelsäure nach Li eher mann zeigt das gleiche prächtige Farbenspiel wie beim Bufotalin. Durch alkoholisches Kali wird Bufotalon wie alle Bufo- talinderivate zum Kaliumsalz der Oxysäure aufgespalten, das Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 23 842 n. Wieland schön orangegelb gefärbt ist. Hier ist es gelungen, die Säure durch Krystallisation aus Alkohol in hellgelben rhomboedri- schen Blättchen rein zu erhalten. Sie schmilzt bei 235® und gibt mit Essigsäureanhydrid und konzentrierter Schwefelsäure anfangs eine grün fluorescierende Rosafärbung, die nach einer Viertelstunde in ein tiefes Olivgrün übergeht. Materialmangel hat nicht erlaubt, die Zusammensetzung dieser Säure analy- tisch sicher festzulegen. Bufotalien C24H30O3. Bei ihrer Bedeutung für die Konstitutionsfrage haben wir auf die Reindarstellung dieser Substanz ganz besondere Sorg- falt verwandt. Dreimaliges Umkrystallisieren aus Alkohol er- höhte den Schmelzpunkt auf 222 — 223®, während er früher zu 219® gefunden wurde. Im Hochvacuum bei 160® verlor das Präparat nur 1 ®/o an Gewicht. Die Analysen bestätigen die früher festgestellte Zusammensetzung. 6,861 mg gaben 19,795 mg CO^ und 5,104 mg H^O, 4,992 „ 14,416 , .. , 3,720 , ' , 4,283 , , 12,355 „ „ „ 3,182 „ „ Für C24H30O3 ber. C 78,64®/«, H 8,26®/«, gef. , 78,69, 78,76, 78,66, „ H 8,32, 8,34, 8,31. Molekulargewichtsbestimmung. 0,0842 g in 14,789 g Eisessig verursachten eine Gefrier- punkts-Depression um 0,067®. Mol.-Gew. für C24H30O3 ber. 366, gef. 331. Bufotalan C24H3g03. 0,35 g Bufotalien wurden, in 15 ccm Alkohol gelöst, mit 0,3 g Palladiumschwarz unter Wasserstoff geschüttelt. Es er- folgte lebhafte WasserstoflFaufnahme. Schon nach einer Viertel- stunde war die anfangs gelbe Lösung entfärbt. Nach einer Stunde waren 115 ccm Wasserstoff absorbiert, davon etwa 25 ccm vom Palladium. 90 ccm sind daher vom Bufotalien aufgenommen, das mit 4 Mol. Hj der Berechnung nach 85 ccm über den Giftstoff der Kröte. 343 verbraucht. Die abfiltrierte alkoholische Lösung hinterläßt nach dem Verdunsten des Lösungsmittels einen nicht krystal- linischen Rückstand, der durch Ausziehen mit Äther in zwei Teile zerlegt wird. Das Bufotalan wird dabei vom Äther auf- genommen, bleibt aber nach dem Eindunsten der Lösung auch noch ölig zurück. Man reibt nun diesen Rückstand des öfteren mit niedrig siedendem Petroläther durch und nimmt das un- gelöst Gebliebene, die Hauptmenge, abermals in Äther auf. Beim langsamen Verdunsten, am besten im offenen Reagens- glas, hinterläßt diese Lösung farblose Krystalle, die bei 185 bis 190“ schmelzen. Sie werden zur Reinigung in ziemlich viel Alkohol gelöst, und in der Siedehitze fügt man zu dieser Lösung etwa 8 Tropfen Wasser, worauf beim Erkalten das Bufotalan in feinen, zu Büscheln gruppierten Nadeln heraus- kommt. Die so gereinigte Substanz schmilzt bei 198—199“, von 196“ ab erweichend. Im Hochva,cuum bei 110“ trat kein Gewichtsverlu.st ein. Analysen. 4,696 mg gaben 13,249 mg COg und 4,360 mg HgO, 3,952 „ „ 11,089 „ „ „ 3,458 „ Für Cj.HggOj ber. C 76,94 “/o, H 10,23, gef. „ 76,95, 76,53, H 10,25, 9,79. Beim Bufotalan tritt die Liebermannsche Farbreaktion nicht mehr auf. Zur Beschaffung des Materials stand eine Zuwendung aus den Zinsen der A. v. Baeyer-Stiftung zur Verfügung. 23* ' J! '•ik r/ c»* ^ *1^1« t •t.f' .‘* tr.n ■m -«$1 .-^>fr*i »t « t' 4.1 -fl I' ' »'H Hrt? j r . jT^r^fc' 'JL^ ’■■ •*. • . _ . ’^f hh(tnt äfflJT ' ' ^ ‘:Ä ^ " - -v,' ■>■ V ^~. ^ ^ - ^ '*,nQ|1f* ’ ^ .^hL^hh ■ * ; '"c.’.sMHIili '.'.• 'V''^' ki.' *'■ j tj \ '3' 4t; : ‘ »i- i- *r i" V . * K' lif: 345 Mitteilungen über Wirbeltierreste aus dem Mittel- pliocän des Natrontales (Ägypten). 5. Nachtrag zu 1. Affen. Von Ernst Stromer. (Mit 1 Tafel.) Vorgetragen in der Sitzung am 3. Juli 1920. Der Fossilsammler R. Markgraf hat im Winter 1912 auf meine Anregung hin in den Sanden am Garet el Muluk weitere Nachgrabungen für die paläontologische Sammlung der Univer- sität Freiburg i. B. gemacht. Die dabei gefundenen Affenreste hat mir Herr Prof. Deecke, der Vorstand dieser Sammlung, bereitwillig zur Bearbeitung überlassen, wofür ich ihm auch an dieser Stelle bestens danke. Ich kann mit Hilfe der aller- dings sehr fragmentären Reste meine in der Zeitschr. d. D. geol. Ges., Bd. 65, 1913, S. 350 ff. veröffentlichte Beschreibung pliocäner Cynopithecidae in manchem ergänzen und berichtigen. Für reichliches rezentes Vergleichsmaterial aus der hiesigen zoologischen und anthropologischen Sammlung habe ich den Herren Professoren Dr. Martin und Leisewitz zu danken. C. Aulaxinuus libycus nov. spec. Taf. Fig. 1, 1 a. Ein Bruchstück eines linken Unterkieferastes C mit stark abgekautem P^, und und mäßig abgekautem il/g paßt in Form und Größe sowie im Grade der Abkauung, allerdings nicht in der Farbe, so vollkommen zu dem von mir 1913, S. 357 — 359, Taf. 12, Fig. 2 a, 2 b von dem gleichen Fundorte 346 E. Stromer beschriebenen und abgebildeten linken Oberkiefer B, daß an einer Zugehörigkeit zur gleichen Art (nicht zu demselben In- dividuum) kein Zweifel sein kann. Wie die Abbildung und die Maße auf Seite 356 zeigen, ist’der ebenso wie der P^, wenn auch wenig, breiter als lang. Dies spricht dafür, daß auch der Pg nur kurz war, die P-lieihe also wie im Oberkiefer im Verhältnisse zur AZ-ßeihe sehr kurz, ziemlich sicher bei einem Weibchen weniger als ^/amal so lang als letztere. Der AZj ist ebenso wie der wenig länger als breit, aber kürzer als er. Auch der ist ein wenig kürzer als der 3P und wie er deutlich länger als breit, der AZj aber ist infolge sehr starker Entwicklung seines Talons lang. An dem A/j und A/g kann man sehen, daß die zwei Innen- höcker etwas von vorn und hinten komprimiert und daß sie durch ausgesprochene Querjoche mit den Außenhöckern ver- bunden sind; beides ist ein Merkmal der Semnopithecinae. Der AZg besitzt vorn und hinten ein Cingulum; der Afg in den Eingängen des vorderen Quertales innen und außen ein Höckerchen, an seinem nicht schüsselförmigen Talon ist außer einem konischen hinteren Höcker ein kleiner innerer entwickelt. Ein Vergleich des Unterkiefers mit dem des geologisch etwas jüngeren von Aulaxinuus florentinus Cocchi aus dem Oberpliocän Toskanas nach den Beschreibungen und Abbil- dungen von Cocchi 1872 und Ristori 1890 und nach einem in der Münchener paläontologischen Sammlung befindlichen Gipsabgüsse des Originals Cocchis zeigt nun in der Form wie in den Maßverhältnissen der Backenzähne eine recht gute Über- einstimmung. Da Cocchi und Ristori nur sehr wenige Maße angaben und die Figuren des ersteren darin ungenau sind, in- dem z. B. besonders die Prämolaren in seitlicher Ansicht kürzer sind als in oberer, habe ich in die Tabelle auf Seite 356 die Maße nach dem Gipsabgüsse und Ristoris Figuren eingetragen. Sie zeigen, daß die italienische Form nur wenig größer ist als die vorliegende. Mitteilungen über Wirbeltierreste. 347 Der Pj und i)/j ist allerdings nicht so auffällig kurz und der nach Ristoris Fig. 19 relativ länger als an meinem Oberkiefer P, nämlich 9,6 mm lang und etwa 8 breit. Be- merkenswert ist die Übereinstimmung in dem Bau und der Größe des Talons des Jfj. Diesem fehlen allerdings die Höcker- chen an den Eingängen des vorderen Quertales, aber derartige Gebilde sind höchst variabel, nach Ristori S. 28 sind dafür manchmal, wenigstens buccal an deren Stelle zwei kleine Furchen vorhanden. Die Querjoche sind auch an dem Gipsabgüsse sehr gut zu sehen, die Innenhöcker allerdings sind kaum komprimiert. Die Übereinstimmung bis auf letztgenanntes wichtiges Merkmal ist also so groß, daß nach den vorliegenden Resten nur ein Artunterschied anzunehmen ist, der ja bei dem ver- schiedenen geologischen Alter und der räumlichen Trennung von vornherein wahrscheinlich ist. Ich nenne die neue durch Ober- und Unterkiefer belegte Foi-m daher Aulaxinuus libycus. Diese Art hat etwa die Größe des Magot, Inuus ecaudatus, sie zeichnet sich in der Backenzahn-Reihe vor allem durch die Kürze der P aus, hat an den oberen M etwas halb- mondförmige Innenhöcker und etwas von vorn und hinten kom- primierte Außenhöcker, an den unteren M ebensolche Innen- höcker und am ilij einen starken Talon mit deutlichem Innen- höcker vor dem stärkeren hinteren Höcker. Schwierig ist nun die Stellung der Gattung zu bestimmen, denn Ristori a. a. 0. reihte sie sehr nahe an Inuus ecau- datus an, während Cocchi immerhin Unterschiede betont hatte, Gaudry 1891 aber wegen der Querjoche für eine Mittelstellung zwischen Semnopithecinae und Cynopithecinae eintrat und ich (1913, S. 358) den Oberkiefer B zu ersteren gerechnet habe. In der Tat hat der Magot nach zwei mir vorliegenden Schädeln von männlichen Inuus ecaudatus, Menagerie-Exemplaren der hiesigen zoologischen Sammlung, zu schließen, große Ähnlich- keit in den Zahnproportionen und im Talon des mit dem Unterkiefer des Aulaxinuus fiorentinus. Die neue Art aber steht Semnopitheciuae zweifellos im Bau der M näher als jene Art, andererseits fand ich weder bei mehreren Mesopithecus 348 E. Stromer Pentelici der hiesigen paläontologischen Sammlung, noch bei Seinnopithecus maurus und nasua oder zahlreichen Colobus einen so starken Talon des il/g wie bei Aulaxinuus. Bei Co- lobus ist er allerdings nicht viel schwächer, und bei Colobus ferrugineus der hiesigen zoologischen Sammlung sogar mit der Andeutung eines inneren Randhöckers versehen. Semnopithecus palaeindicus Lyd. aus den oberen Siwalikschichten , also mit Aulaxinuus ungefähr gleichalterig, hat nach den Abbildungen in Falconer (1868, Taf. 24, Fig. 5 — 7) und Lydekker (1886, Taf. 1, Fig. 7) am ebenfalls einen verhältnismäßig großen Talon mit einem oder zwei inneren Höckerchen. Der ist hier aber viel länger und der Unterkiefer verhältnismäßig niedriger als bei Aulaxinuus. Semnopithecus monspessulanus Gervais endlich aus dem Mittelpliocän von Montpellier, also gleichalterig mit Aulaxinuus libycus, hat nach den von Manche (1906, S. 137 — 148, Taf. 7, Fig. 1 — 14) an sehr versteckter Stelle beschriebenen und abgebildeten Unterkiefern am nur einen kleinen einfachen Talon und längere P als Aulaxinuus. Auffällig sind vor allem die Maßverhältnisse der Backen- zähne von Aulaxinuus. Schon 1913, S. 358 — 359 wies ich auf die für Semnopithecinae ungewöhnliche Kürze der Prämo- larenreihe hin ; bei Semnopithecinae ist auch nach meinen Mes- sungen rezenter Gebisse der P^ länger als breit, der il/j so lang als der oder sogar ein wenig länger, der M.^ aller- dings, wenigstens bei Colobus caudatus kürzer als der 3F. Bei Cynopithecinae aber ist die P-Reihe öfters ähnlich kurz, bei Inuus ecaudatus allerdings deutlich länger als bei Aulaxinuus libycus und etwas länger als bei A. florentinus. Bei Inuus ecaudatus ist auch die Ausbildung der Querjoche der Backenzähne schwächer als bei Aulaxinuus; bei dem wohl diluvialen Oberkiefer von Inuus svevicus Hedinger aus Württem- berg, der nach einem hiesigen Gipsabgüsse ein wenig größer als bei Aulaxinuus libycus ist, sind gleichfalls die beiden oberen P und der länger als bei diesem im Verhältnis zur Länge der hinteren Molaren und die P auch in dem zu ihrer Breite, wie die Maße auf Seite 356 zeigen. Deshalb glaube ich, daß Mitteilungen über Wirbeltierreste. 349 die Gattung Aulaxinuus, deren Gebiß den Abstand zwischen Semnopithecinae und Cynopithecinae überbrückt, aufrecht zu erhalten ist; ich möchte sie aber eher den letzteren anreihen, was meiner früheren Ansicht bezüglich des Oberkiefers B wider- spricht. Gut begründen läßt sich die Stellung der unvoll- ständigen Reste nicht. D. Libypithecus Markgrafi Stromer. Taf. Fig. 4. Ein Stückchen eines linken Oberkiefers D mit sehr gut erhaltenen und eben erst angekauten P^, P* und woran nur die Außenwand des P^ fehlt, dürfte zu der von mir 1913 aufgestellten Art gehöi'en. Wie die Maße auf Seite 356 im Vergleich zu denen meines Originals (1913, S. 353) zeigen, ist allerdings der ilP länger, die P ganz wenig kürzer, auch ist die Außenwand des P* nach außen konvexer als bei dem Original, ferner scheint der Jochbogenansatz hier über der hinteren Wurzel des JP auszulaufen, während er dort ober- halb des Vorderrandes des M^, also weiter hinten beginnt und endlich hebt sich der Alveolarfortsatz stärker von der Gaumen- platte ab als dort. Die Backenzähne gleichen aber sonst so sehr denjenigen des Originalschädels, daß ich in den erwähnten Unterschieden nur eine Variabilität, vielleicht auch, speziell in der Kürze der P, Geschlechtsunterschiede sehen möchte. E. Papio spec. indet. Taf. Fig. 5, 5 a. Der unabgekaute und auf einem Stückchen eines linken Unterkieferastes E haben konische Höcker, wenn auch an den Innenhöckern ein Queijoch angedeutet ist. Nach den Maßen auf Seite 356 sind beide M deutlich länger als breit, der ist länger und breiter, auch höher als der J/j, auf- fällig schmal und vorn wie hinten mit einem stärkeren Cingulum versehen als der ilfj. Bezeichnend für die Zugehörigkeit zu der rezenten Gattung Papio scheint mir zu sein, daß dieses buccalwärts an der Vorder- und Hinterseite der Außenhöcker 350 E. Stromer durch eine senkrechte Furche begrenzt wird, wobei ich die Gattung wie Elliot (1912, S. 115), nicht so w'eit wie Matschie (1900, S. 249 — 50) auffasse. Zu Papio (Cynocephalus) atlanticus Thomas (1884) kann unser Rest wegen seiner viel geringeren Größe nicht gehören. Im übrigen ist diese Art ganz leichtfertig ohne Maße und Be- schreibung auf einen vereinzelten unteren von 15 mm Länge aus dem Oberpliocän von Ain Jourdel in Algier aufgestellt und nur in seitlicher Ansicht abgebildet. Von den zwei Papioarten des indischen Oberpliocäns unter- scheidet sich P. (Cynocephalus) subhimalayanus H. v. Meyer, wenn auch nur in einem Oberkiefer bekannt (Falconer 1868, S. 298, Taf. 24, Fig. 1,2; Lydekker 1885, S. 4-5; 1886, S. 6, Taf. 1, Fig. 3) durch seine viel erheblichere Größe von dem vorliegenden Stück. Der Unterkiefer von P. Falconeri Lydekker (1886, S. 7, Taf. 1, Fig. 4; Falconer 1868, S. 300—302, Taf. 24, Fig. 3, 4; Lydekker 1885, S. 6) aber zeigt in den Maßen des il/j und il/j ziemlich gute Übereinstimmung mit ihm, außer daß speziell der 31^ ein wenig länger ist; seine Zähne sind aber so stark abgekaut, daß sich ein näherer Vergleich leider nicht ermöglichen läßt. Die verhältnismäßig große Höhe des Unterkiefers läßt mir sogar fraglich erscheinen, ob ein Ange- höriger der Gattung Papio vorliegt und jedenfalls war Fal- coners (1868, S. 302) und Lydekkers erste Stellungnahme (1885), keine Art auf einen derartigen Rest zu begründen, richtiger als Lydekkers spätere (1886). Nach Anderson (1902, S. 28 ff.) leben gegenwärtig in Nordostafrika vier Papioarten (P. hamadryas L., anubis Fischer, cynocephalus L. und pruinosus Thomas), die aber nach den von ihm angegebenen Maßen der Zähne (S. 32, 40, 74 und 80) sämtlich zu groß sind, als daß der fossile Rest dazu gehören könnte. Nach Andersons Maßtabellen (1. c., S. 76 — 77) schwankt ja nur die Länge des 31^ in weiterem Umfange, wohl infolge größerer Variabilität in der Größe von dessen Talon. Nach Elliot (II, 1912, S. 123) sind nun zwar die Papioarten Andersons irrig aufgefaßt, aber auch hier fand ich keinen Mitteilungen über Wirbeltierreste. 351 Anhalt für die Zugehörigkeit des fossilen Restes zu einer rezenten Art Nordostafrikas. Bei einem Männchen von Papio leucophaeus aus Victoria in Kamerun sind aber die M nur wenig größer als bei dem Stück E und die Proportionen die- selben. Einzelheiten in der Kronenform, z. B. die schärfere Trennung der zwei Außenhöcker bei E unterscheiden ihn aber auch von dieser Art. Die abessynischen Therocephalus-Arten , noch stattlicher als die genannten Paviane, kommen ihrer Größe wegen nicht in Betracht, auch unterscheiden sich ihre unteren 31 dadurch, daß das hintere Cingulum fast zu einer Art von kleinem Talon vergrößert und lingual deutlich vom Innenhöcker abgesetzt ist, so daß Elliot (1912, S. 155) von fünfhöckerigen unteren Molaren spricht. Eine neue Art auf den dürftigen, mir vorliegenden Rest aufzustellen, halte ich für ganz unstatthaft. F. Symphysenstück. Taf. Fig. 2, 2 a. Das Symphysenstück F enthält die wohl erhaltenen linken Jj und rechten /j, C, Pg, P^ und Jfj, aber in mehr oder weniger stark abgekautem Zustande. Es gehörte einem Weibchen an von der Größe des Aulaxinuus libycus, wie die Maße der Zähne auf Seite 356 zeigen, denen noch die Kiefer- höhe unter dem il/j mit 20 mm, die Länge der Vorderfläche der Symphyse mit 28 mm und die Breite des Unterkiefers am Pg mit etwa 22 mm anzufügen sind. Auffällig ist daran, daß die Schneidezähne stark nach vorn ragen und daß die Sym- physen-Hinterseite wenig nach hinten geneigt ist, bis sie etwa in der Breite des Hinterrandes des Pg fast senkrecht abfällt, während die Vorderseite ziemlich schräg nach hinten verläuft. Ein rezentes Cercopithecus cephus-Weibchen der hiesigen zoolo- gischen Sammlung ist darin ähnlich, bei Inuus ecaudatus aber ragen die Schneidezähne weniger vor, die Hinterseite der Sym- physe ist mehr nach hinten geneigt, und ihre Vorderseite steht 352 E. Stromer steiler, was die Regel bei Cjnopithecidae ist. An dem Gips- abgüsse des Originals von Aulaxinuus florentinus Cocchi end- lich sind zwar die Schneidezähne und die Symphysen- Vorder- seite in ihrer Neigung nicht sehr verschieden, die Hinterseite jedoch ist stärker rückgeneigt und schon in der Breite der C sehr steil gestellt, auch ist die Höhe des Astes unter dem il/, erheblich größer, wobei allerdings zu beachten ist, daß es sich um ein männliches Tier handelt. Von Aulaxinuus libycus unterscheidet die größere Länge und geringere Breite des und Afj, also etwas andere Pro- portionen der wenigen vergleichbaren Zähne und vor allem der Pj, der an dem Rest F außen hinten ähnlich wie bei Inuus ecaudatus verschmälert ist und außerdem oben eine besonders tiefe hintere Grube besitzt. Auch divergieren die Wurzeln des P^ und 31^ nicht ganz so stark wie bei jenem. Gegen die Zugehörigkeit zu Libypithecus Markgrafi, von dem leider unmittelbar vergleichbare Reste nicht bekannt sind, spricht die starke Vorneigung der I, die bei Anpassen an den Originalschädel, zu dem die Symphyse der Größe nach passen würde, zu weit vor die normalen oberen Schneidezähne kom- men, und die Breite des P^ und J/,, die größer ist als die der oberen Zähne, was dem normalen Verhalten widerspricht. Von Papio E unterscheiden sofort die völlig verschiedenen Proportionen des il/, . Bei der starken Abkauung der Backenzähne läßt sich der Rest unter den jetzigen Umständen überhaupt nicht sicher bestimmen, am wahrscheinlichsten scheint mir noch eine Zu- gehörigkeit zu Aulaxinuus libycus, da die nachweisbaren Unter- schiede kaum über die Variationsbreite hinausgehen dürften. G. Oberer rechter (Aulaxinuus libycus Str.). Taf. Fig. 3, 3 a. Mit etwas größerer Sicherheit läßt sich ein rechter oberer 31, dessen Wurzeln abgebrochen sind, dessen wenig abgekaute Krone aber vorzüglich erhalten ist, zu Aulaxinuus libycus als 3P stellen, wenn er auch ein wenig größer als an dem Ober- Mitteilungen über Wirbeltierreste. 353 kiefer B ist. Die Länge seiner Krone beträgt nämlich 10 mm, die Breite vorn 8,5, hinten 8 mm. Ein ilf® kann es nicht sein, weil der Schmelz vorn und hinten durch die Reibung angrenzender Zähne etwas abgeschlilFen ist; für Libypithecus Markgrafi ist der Zahn zu groß und seine Form gleicht völlig dem in der Abkauung ungefähr ebenso weiten des Ober- kiefers B. H. Oberer linker (Papio? spec. indet.). Taf. Fig. 6, 6 a. Ein linker mit den Wurzeln wohl erhaltener und nur etwas abgekauter oberer M zeigt wie der vorige vorn und hinten Abwetzspuren durch angrenzende Zähne und paßt in der Größe und der Form der Wurzeln gut an das oben be- sprochene Oberkieferstück D von Libypithecus Markgrafi, könnte also ein zugehöriger sein, wenn auch die dunklere Farbe eine individuelle Angehörigkeit ausschließt. Wie dessen ist der Zahn etwas groß gegenüber dem Original AL, denn die Ki’one ist 8,9 mm lang und 7,5 breit. Fraglich wird seine Zugehörigkeit zu dieser Form aber vor allem dadurch, daß seine zwei Außenhöcker durch eine kleine Außenwand ver- bunden sind, daß keine Querjoche von ihnen ausgehen und daß^die Labialseite der Innenhöcker weniger stark konvex ist, daß also auch die Innenhöcker nicht mesio-distal komprimiert sind, wie es bei Semnopithecinae der Fall ist. Zu Aulaxinuus libycus paßt er in Proportion und Form noch weniger. Eher könnte er ein oder eines Papio sein, um so mehr, als er in der Größe zu den oben beschriebenen unteren M von Papio E paßt. Ich finde allerdings bei Papio keine Außen- wand und meistens ist der ]\B und stets der 31^ hier länger, bei einem P. leucophaeus cT von Victoria in Kamerun ist aber der 71/^ in seinen Proportionen wie in seiner Form sehr ähnlich. 354 K. Stromer I. Unterer linker hinterster Milchmolar. Taf. Fig. 8. Der ziemlich stark abgekaute untere Backenzahn I ohne Wurzeln ist deutlich länger als breit, nämlich 7 mm lang und nur 5,8 breit. Die vier Höcker sind durch zwei Querjoche verbunden und hinten ist noch ein deutliches Cingulum vor- handen. Der Zahn, der bis auf letzteres in Größe und Form dem J/j von Mesopithecus Pentelici gleicht und die Merkmale eines Backenzahnes eines Semnopithecinen besitzt, ist zu klein und besonders zu schmal für einen M von Aulaxinuus libycus oder von Libjpithecus Markgrafi, könnte aber ein hinterster Milchmolar einer dieser zwei Formen sein. K. Oberer linker vierter Prämolar. Taf. Fig. 7. Der mit ziemlich vollständigen Wurzeln vorzüglich er- haltene und wenig abgekaute Prämolar K zeigt ein deutliches Querjoch zwischen seinen zwei konischen Höckern und davor wie dahinter eine schüsselförmige Grube, von welcher die hintere deutlich größer und tiefer ist. Bemerkenswert ist seine Kürze und Breite mit 6 bezüglich 8 mm, die ihn nebst dem Quer- joche von einem P von Papio unterscheidet, aber Aulaxinuus nähert. Für Aulaxinuus libycus wie für Libypithecus Mark- grafi ist aber der Zahn zu groß, er gehörte einem Tiere von der Größe des Dolichopithecus ruscinensis an, kann jedoch wegen ‘seiner Kürze auch zu dieser Form nicht gehören. In ihm ist also zum mindesten das Vorhandensein einer weiteren vierten Art von Affen im Mittelpliocän des Natrontales angezeigt. L. Unterer linker dritter Molar. Taf. Fig. 9, 9 a. Der abgesehen von den Wurzeln vorzüglich erhaltene und ganz unabgekaute Molar L zeichnet sich durch seine unge- wöhnliche Länge von 10 mm im Verhältnis zu einer Breite von nur 6 mm aus. Er trägt ausgesprochen den Charakter Mitteilungen über Wirbeltierreste. 355 eines Senmopithecinen, denn die durch ein tiefes Quertal ge- trennten Querjoche sind scharf ausgeprägt, vorn ist nur ein schwaches Cingulura vorhanden und hinten ein recht kleiner schüsselförmiger Talon mit halbkreisförmigem scharfem Rande ohne Höcker, es ist also der hinterste Molar. Zu Aulaxinuus paßt er in seinen Proportionen wie in seiner Form nicht, seine Länge macht auch nicht gerade wahr- scheinlich, daß er zu Libypithecus Markgraf! gehört, mangels direkten Vergleichsmaterials läßt sich diese Frage auch kaum entscheiden. Eine einigermaßen sichere Bestimmung dieses wie der anderen vereinzelten Zähne ist eben nur ausnahmsweise möglich wie bei G. Ergebnisse. Zu stammesgeschichtlichen Folgerungen geben die beschrie- benen unvollständigen Reste kaum Anlaß; bemerkenswert ist nur, daß ich mich der Ansicht anschließen muß, daß Aulaxinuus von Innus zu trennen ist und daß er ira Gebiß den Abstand von Cynopithecinae und Semnopithecinae verringert Q. Da auch Mesopithecus in seinem Skelett und Gebiß, Libypithecus in seinem Schädel und Gebiß eine Trennung beider Unterfamilien sehr erschwert, scheint sich diese erst in später Zeit, also im Jungtertiär herausgebildet und seitdem verschärft zu haben. Ob Aulaxinuus der Vorfahre einer rezenten Gattung ist, läßt sich bei der geringen Kenntnis seines Skeletts nicht sagen, ebenso ist keine sichere Begründung der Vermutung möglich, daß Aulaxinuus libycus der Vorfahre des geologisch etwas jüngeren und wenig größeren A. florentinus ist. Der Papio kann bei seiner verhältnismäßig geringen Größe der Ahne einer oberpliocänen oder rezenten Art sein, weil Größenzu- nahme bei Stammreihen die Regel ist; mehr läßt sich aber Die Angabe von Owen (1845, S. 443), daß die Semnopithecinae von den Cynopithecinae durch gleiche Größe des und und ge- ringere vordere Breite des im Verhältnis zu seiner Länge sich unter- scheiden, trifft nach meinen Messungen rezenter Semnopithecus-, Inuus- und Colobusarten nicht zu, außer letzteres fa.st stets für den unteren M'^. 356 E. Stromer W: p: ft! ^ ^ Ci "h- ’cC h- 'br 'bt 'o\ 00 Ox cc I I I I O 00 'bt F'- 'b' b' I I I I I I •^1 Ci I + <1 05 I "to * Ci ^ ^ '\c '*»— I I ! 00 Ci O •<1 -5 - - 3 “) N 2 C tT. 2:S§="5' © B 2*^3 g CßNO.^ ■ S" “® S-S^ 3 ";,■*) 5 "< 2. p O 9:} 'S ^ “°Q . 3=-“ 3 > 2 CD ' C JIO 00 C: 05 b^ bt 05 "co bo ji »HiÖaiWh’ ^j^pwwy /^grffclgy ,v^ t Tn h ¥ 1^’ (TV.. 4U&< f V «fw*i» *» ^ fm ’ »t-i 'ii>*jv/ wäi^t^,^j/itin .^ >T(f!‘ - t^ji* Aft>?f*Ä^* 6V-<ÄiÄM!^ ‘*|!i?» 'r J^'vsiiyrM rfit^if-* }33^' yi-^ nf IfrT'l 4? TjViiiifvJl^SÄ^ r \ ^..*f *‘.v,, » r..‘. k^ ■Iv •• -‘ 'V.-^ -■■ i';_^! *P»»" ^ • f • -4, * •■ f t 1 tv . '* üi;-, ; Ü . _ . i' ^ •-« ft* .4 ^'Muräii^ , . . * . V* l* * > «iii*. • •. « : .* 1 4i*pi*fv . >? ♦» ■. - ^»♦=^r4|* * •%''Wt»% n> -3« 4i^ V* Mfl W> ^>' •Je ^ tä ^ -UT" 3.^ i ^ ff* «*1 t (■- ■• U< ^>55! •i •‘•-’VK55*’-* * .,<■ fl ♦?.* ' Jg f^‘4v!'wj8M . '**• f.*i*’ fc- .-ä^irt ' ■■-■* 'j^oRii ^ » .* ' ttaip •' >«1 , * ’Mt' '#v; V * ;.ji _.^i 387 Sonnenatmosphäre und Einsteineffekt. Von R. Emden. Vorgetragen in der Sitzung am 3. Juli 1920. Die Einsteinsche Relativitätstheorie folgert bekanntlich, daß ein Lichtstrahl, der die Sonne in nicht zu großer Ent- fernung passiert, durch das vorhandene Schwerefeld so gekrümmt wird, daß für den irdischen Beobachter der Winkel Sonnen- mittelpunkt-Erde-Stern vergrößert erscheint. Diese Zunahme beträgt für einen Winkel gleich dem Sonnendurchmesser rund 1", mit zunehmendem Winkel diesem proportional abnehmend. Eine Krümmung des Lichtstrahles in gleichem Sinne kommt auch durch Refraktion zu Stande, falls, was durch die Erscheinung der Korona wahrscheinlich ist, eine Sonnenatmosphäre mit abnehmender Dichte sich bis in diese Entfernungen erstreckt. Wird diese Winkelvergrößerung tatsächlich beobachtet, so bleibt vorerst unentschieden, wie diese Wirkung sich auf Einstein- effekt und Refraktion verteilt oder ob sie gar letzterer allein zuzuschreiben ist. Die folgenden Ausführungen sollen klar stellen, ob die Sonnenatmosphäre durch Refraktion in einer Höhe gleich einem Sonnenradius den sonst geradlinig ver- laufenden Lichtstrahl um einen Betrag von 1" abbiegen kann. A) Die Sonnenatmosphäre sei aufgefaßt als konzentrisch geschichtetes Medium, dessen Dichte g, und folglich auch dessen Brechungsexponent fi 1) /t = 1 -f )’ o 388 R. Emden für atmosphärische Luft fi, = \ 0,0002927 t^norm. für Wasserstoff Q ?norm. = 1 + 0,2264 p = 1 + 0,0001387 = 1 + 1,546 o nach vorgeschriebenem Gesetze abnehmen. Durchsetzt der Strahl im Abstande r vom Kugelmittelpunkt den Kadius im Winkel i, so gilt bekanntlich längs des ganzen Strahles die Beziehung Daraus folgt ö // r sin i = const = sin , .du,, . dr , , . tg « h tg i 4- rf 2 = 0 ju r und weiter, da die Polargleichung jeder Kurve = fg* ergibt, tgi -\- d(p di = 0. Da aber (vgl. die Figur) £ =

1 und schließlich li — wrpj 1 (1 — NY 1 X — N)"~^ z d s Kl — z"^ sin^ ij Durch die Polytropenklasse n und die Höhe der poly- tropen Atmosphäre im Abstande ist die Refraktion ein- deutig bestimmt. Für den hier in Betracht kommenden Fall ist sie für den im Niveau horizontal streichenden Strahl sin i, = 1 zu berechnen; diese werde mit Rgg bezeichnet. C) In erster Linie sind die beiden Parameter n und N geeignet anzusetzen. Nimmt man wie oben an, daß die Schwere- beschleunigung quadratisch mit der Entfernung abnimmt, so läßt sich leicht zeigen^), daß die polytrope Atmosphäre in einem Abstande 9t vom Kugelmittelpunkte 9t = r. N endigt. kann also nie größer werden Avie r, (wodurch der obere Grenzwert der Temperatur im Abstande bestimmt ist), ohne daß die Atmosphäre sich zerstreut. Daraus folgt, daß N eingeschlossen ist zwischen den Grenzen 0• (w + l)if‘ 3fir und für die Temperatur der photosphärischen Schichten 'T' ^0^ ( -t 0 (w-l-l)i^V 91/ und daraus Für Wasserstoff haben wir anzusetzen //= 4,15 • lO’cm^/sec^, ferner = 2,67 10* cm/sec^ und = 6,96 • 10*° cm. Die Temperatur der Photosphäre setzen wir erst gleich 6000°, der effektiven Sonnentemperatur und lassen die Gasmasse endigen bei 91 = 10 >0 resp. 20 r^. Dann ergibt sich (w -f- 1) = 6720 resp. 7090 394 R. Emden Aufbau als ilissoziierteni Wasserstoffe würde diese Werte auf die Hälfte lierabsetzen; sie nehmen ferner ab umgekehrt wie T^. Für Tg = 60000° würde {n -|- 1) immer noch von der Größen- ordnung 700 sein. Die oben ausgeführte Berechnung des Integrals für sehr große AVerte von n ist damit gerechtfertigt. Mit Hülfe dieser Werte von n können wir die zugehörigen AA^erte von berechnen. Aus den Grundgleichungen der Pol}'- tropen folgt unmittelbar, wenn wir mit die Dichte der Photosphäre bezeichnen und für den in Betracht kommenden Spezialfall Setzen wir n nur gleich 1000 (entsprechend einer Tem- peratur der Photosphäre von rund 36000), so folgt für für gt = 10 resp. 20 Ql — Qo resp. lU und für die Temperatur = 6000° Ol — Oo resp. 10 Auch anderer Aufbau der Sonnenatmosphäre wie der an- 0^ — f genommene, welcher den Temperaturverlauf T = • Jt Tq r ansetzt, würde die Größenordnung der Dichte nicht ändern. Lassen wir die Temperatur bis zum AVerte 0 bei 51 = 10 r,, resp. 20 /•„ linear abnehmen, so ergibt eine leichte Rechnung für jTo = 6000° in- '890 1 n- 1650 = Qq 10 resp. Oj = 10 Sonneiiatmosphäre und EinsteinefFekt. 395 Dabei nehmen die Exponenten nahezu proportional der Temperatur ab. Nehmen wir andererseits isothermen Auf- rl bau der Gase an, so ergibt sich für y = _.70'0 Q = Q^e '■> und daraus für = 6000® T n- ’620 Q^ = ^0 10 Das Vorhandensein dieser ungeheuren Verdünnungen wird verständlich, wenn man beachtet, daß in der Erdatmosphäre für die konstante Temperatur ^ = 0® c und g = const für Wasserstoff die barometrische Höhenformel h — \ = 266,5 km • lg = 266,5 km • lg ^ gilt, wonach die Dichte in 266,5 km Höhe auf 10 ' abge- nommen hat. Da g^ auf der Sonne 27,2 mal größer ist, er- gibt sich auf ihr dieselbe Beziehung für eine Temperatur von 27,2 • 273 = 7400®. In einer Höhe von 7000 km entsprechend einem Abstande von nur ^loo Sonnenradius würde also bereits eine Verdünnung auf pg 10~ zu erwarten sein, die für li = auf Pq steigen würde. Da die mittlere Dichte der Sonne 1,4 g/cm® beträgt, ist für Po auf alle Fälle ein kleinerer Wert anzusetzen. E) Für das Refraktionsintegral fanden wir oben •^90 = 10*vpj. Um dem Strahle die Einsteinsche Durchbiegung von 1“ = 0,0000048 zu geben, müssen wir ^ • 0,0000048 = 2,4- 10~® setzen. Für die Dichte pj ergab sich nach den verschiedensten Annahmen die Größenordnung PqIO”^®^*^, so daß die beiden Seiten der Gleichung überhaupt nicht vergleichbar sind. Die zu erwartende Refraktion ist praktisch gleich Null zu setzen. Daran würde bei gleichem pj auch verschiedener Aufbau der Gasmassen nichts wesentlich ändern, wie die Behandlung des Refraktionsintegrals in der ungleich dichteren Erdatmosphäre R. Eindon, Sonnenatmospliäre und EinsteinefTekt. noG zeigt. In einem Abstande gleich dem Sonnenradius befinden sich die Gase eben in einem solchen Grade der Verdünnung, daß die Refraktionswirkung der weiter außen liegenden Massen unmerklich wird. Beobachtete Strahlabbiegunor in diesem, ge- schweige denn in mehrfachem Abstande, wobei die Dichte exponentiell abnimmt, kann deshalb unmöglich normaler Kefrak- tionswirkung einer konzentrisch geschichteten Sonnenatraosphäre zuzuschreiben sein. Daß man auch nach anderen Annahmen über den Bau der Atmosphäre zu so geringen Dichten geführt wird, habe ich an anderer Stelle^) nachgewiesen; sehr hohe Temperaturen sind dann noch immer möglich. Will mau trotz- dem das Leuchten der Korona nicht thermodynamisch erklären, so besteht die Möglichkeit, in ihr ein Seitenstück zu unseren Nordlichtern zu sehen ; von der Sonne ausgeworfene a- oder /^-Teilchen bringen die hochverdünnten Gasmassen zum Leuchten. Da die Erdentfernung 216 Sonneuradien beträgt, ist die Dichte dieses Teilchenstromes in der Korona mindestens 4,2 • 10^ mal größer wie in Erdentfernung, so daß selbst in einer außer- ordentlich hoch verdünnten Gasmasse Leuchterscheinungen auf- treten können. Die vorstehenden Ausführungen berechtigen zu dem Schlüsse: Wird bei Finsternissen eine Abstandsvergrößerung der Fixsterne von der Sonne im Betrage des Einstein- effektes festgestellt, so kann dieser weder ganz noch in einem meßbaren Bruchteile durch Refraktion einer nor- mal geschichteten Sonnenatmosphäre verursacht sein. 1) R. Emden, Gaskugeln, Kap. XVIII Die Sonne. Sitzung^sberichte matJiematisch-physikalischeii Klasse Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München 1920. Heft I Januar- bis Märzsitzung München 1920 Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des G. Franz’scben Verlags (J. Both) Inhalt. Seite Mitteilungen über die Klassensitzungen vom Januar, Februar u. März 1* Abhandlungen. M. Schmidt, Neuberechnung des südlichen Netzteiles der bayeri- schen Landestriangulierung zwischen der Donau und der Nord- kette der Alpen 1 E. Stromer, Bemerkungen über die ältesten bekannten Wirbeltier- Reste 9 H. Liebmann, Bedingte Flächen Verbiegungen, insbesondere Gleit- verbiegungen 21 G. Faber, Über Potential theorie und konforme Abbildung . . 49 A. Kneser, Die elementare Theorie der analytischen Funktionen und die komplexe Integration ...... 66 0. Hönigschmid und L. Birckenbach, Revision des Atom- gewichtes des Wismuths. Analyse des Wismuthchlorids . 83 H. Seeliger, Untersuchungen über das ‘Sternsystem ... 87 A. Pringsheim, Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration 145 L. Burmester, Über den optischen Ausgleich in der Zeitlupe . 183 Akademische Bucbdruckerei F. Straub iu Müncbeii. , Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München 1920. Heft II Mai- bis Julisilzung München 1920 Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des 6. Franz’schen Verlags (J. Roth) -V« ^t*’- 1 ' . •■' A' . ♦ V. r.i ►' ', ? k •' \ ■ S- '■• • Kii . ; ' ‘■f. ■ » , \ ■ ■• Al 1#^. •■I Inhalt Seite Mitteilungen über die Klassensitzungen vom Mai, Juni und Juli 9* Abhandlungen. H. Liebmann, Ausnahmefachwerke und ihre Determinante . 197 A. Voss, Zur Theorie der reziproken Radien 229 A. Föppl, Die Beanspruchung eines Stabes von elliptischem Quer- schnitt auf Drillen bei behinderter Querschnittswölbung . 261 A. Pringsheim, Über eine Konvergenzbedingung für unendliche Reihen, die durch iterierte Mittelbildung reduzibel sind . 275 G. Pölya: Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen ge- wisser ganzer transzendenter Funktionen .... 285 0. Perron: Über eine Verallgemeinerung des Stolzschen Irratio- nalitätssatzes II 291 M. Schmidt, Westwanderung von Hauptdreieckspunkten infolge neuzeitlicher tektonischer Bewegungen im bayerischen Alpen- vorland 297 F. Broili, Ein neuer Placodontier aus dem Rhaet der bayerischen Alpen 311 A. Johnsen, Über die Paragenese von a- Quarz und Kohlensäure 321 H. Wieland: Über den Giftstoff der Kröte 329 E. Stromer, Mitteilungen über Wirbeltierreste aus dem Mittel- pliocän des Natrontales (Ägypten) (mit 1 Tafel) . . . 345 S. Günther, Optische Beweise für die Erdkrümmung sonst und jetzt 371 R. Emden, Sonnenatmosphäre und Einsteineffekt . . . 387 Akademische Buchdruckerei F. Straub in Münehen. Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München 1920. Heft III Titel und Inhalt zum Jahrgang 1920. Berichte über die Sitzungen mit Inhaltsangaben der Vorträge im November und Dezember 1920. Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. München 1921 Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften in Kommission des O. Franz’schen Verlags (J. hoth) r-r 1 f i ? ( ■ I )