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FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THE AMERICAN MUSEUM

OF

NATURAL HISTORY

Sitzungsberichte

^öfe^u-yii^Vu.

der

mathematisch-physikalischen Klasse

Bayerischen Akademie der Wissenschaften

zu München

Jahrgang 1922

München 1923

Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften
in Kommission des G. Franz'schen Verlags (J. Roth)

Akademische Buchdrnckerei F. Straub in München.

III

Inhaltsübersicht.

I. Sitzungsberichte.

Seite

14. Jan.: Frank, Schmidt, Faber, Lindemann, Volk,

Liebmann

4. Febr.: Kayser, Schoy, Gießberger, Föppl, Stöckl
4. März: Faber, Lindemann, Kratzer, Wien
6. Mai: Willstätter, Graser, Kuhn, Stromer, Zinner,
Liebmann, Szäsz, Hamburger .

17. Juni: Burmester, Faber, Pringsheim, Hönigschmid,
Künneth

8. Juli: Stromer, Rosenthal, Kowalewski . . . .

4. Nov.: Willstätter und Wassermann, Willstätter und

Pollinger, Willstätter und Waldschmidt,
Faber, Broili, Kaiser

9. Dez.: Zenneck, Voss

Verzeichnis der im Jahre 1922 eingelaufenen Druckschriften .

1*

3*

5*

9*

11*

13*

14*

15*

II. Abhandlungen.

G. Faber, Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria com-

binationis observationum 7

G. Faber, Über den Hauptsatz aus der Theorie der konformen

Abbildung 91

G. Faber, Über nach Polynomen fortschreitende Reihen . . 157

G. Faber: Abschätzung von Funktionen großer Zahlen . . 285

L. Föppl, Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie zwischen

Kreisel und elastischer Linie ....... 69

H. Hamburger, Bemerkungen zu einem Satze über die Riemann-

sche f- Funktion 151

0. Hönigschmid, L. Birckenbach und E. Kothe, Revision des

Atomgewichtes des Thalliums. Analyse des Thallochlorids 179

IY

Inhaltsübersicht

Seite

E. Kaiser, Über zwei verschiedenartige Injektionen syenitischer

Magmen (mit 4 Textfiguren) 255

E. Kays er, Merkwürdige Senkungen des Bodens von Frankreich 51

G. Kowalewski, Die Verwertung gemischter invarianter Flächen-

elemente zur Berechnung der Differentialinvarianten einer

ebenen Transformationsgruppe 241

A. Kratzer. Störungen und Kombinationsprinzip im System der

violetten Cyanbanden 107

H. Künneth, Zur topologischen Untersuchung geometrischer Ge-

bilde 213

H. Liebmann, Die Boursche Methode der Flächenbestimmung

aus dem Linienelement ........ 39

H. Liebmann, Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck 127

F. Lindemann, Integration der partiellen Gleichung s = sin z 23
F. Lindemann, Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume 101
A. Pringsheim, Über die äußere Berandung eines im Endlichen

gelegenen Gebietes und den Jordan sehen Kurvensatz . . 187

A. Rosenthal, Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex . .221

M. Schmidt, Neuzeitliche Erdkrustenbewegungen in Frankreich

(mit einem Kärtchen) ........ 1

C. Schoy, Über die Richtung der Qibla 55

0. Szäsz, Über den Konvergenzexponenten der Fourierschen Reihen

gewisser Funktionenklassen 135

0. Volk, Über die Reihe 2 Pn (a?) 35

n=0

A. Voss: Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems 305
W. Wien, Eine Methode zur Unterscheidung der sogenannten

Bogenlinien von den Funkenlinien der Spektren . . .119

E. Zinner, Die Vorarbeiten zu einem Handschriftenverzeichnis

der deutschen Sternforschung 121

Sitzungsberichte

der mathematisch-physikalischen Klasse
der Bayerischen Akademie der Wissenschaften
1922.

Sitzung am 14. Januar.

1. Herr Frank spricht:

Über die Theorie der Schall-Leitung im Ohr.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

2. Herr M. Schmidt trägt vor:

Neuzeitliche Erdkrustenbewegungen in Frankreich.

Er berichtet im Anschluß an seine in der Sitzung vom
6. Juli 1918 gemachte Mitteilung über tektonische Höhen- und
Lagenänderungen von Messungspunkten im oberbayerischen
Alpenvorland über sehr ausgedehnte neuzeitliche Erdkrusten -
bewegungen in Frankreich, die sich auf das ganze Gebiet
zwischen dem Mittelmeere und der belgischen Küste und von
den Pyrenäen bis zum rheinischen Graben erstrecken.

Diese Bodensenkungen stehen, wie der Anblick einer oro-
graphischen Karte, in welcher die Linien gleicher Bodensen-
kung mit 10 cm Höhenabstand dargestellt sind, ohne weiteres
erkennen läßt, mit der Gebirgsbildung im engsten Zusammen-
hang und zeigen von der Mittelmeerküste bei Marseille dem
Rhonetal entlang bis zum Kanal La Manche bis zu 1 m stetig
anwachsende Beträge.

Ihre Größe ist durch die in den Jahren 1857 bis 1864
ausgeführten und 1884 — 1893 mit der größten Sorgfalt wieder-

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

a

o*

Sitzung am 14. Januar.

holten Landesnivellements von Frankreich, die eine Linien-
länge von 15000 und 12000 km besitzen, mit voller Sicher-
heit nachgewiesen. Die Genauigkeit dieser Nivellements ent-
spricht den für Erdmessungszwecke in den Jahren 1867 in
Berlin und 1912 in Hamburg für den Nachweis von Boden-
bewegungen aufgestellten Grundsätzen. Die aus dem Vergleich
der Meereshöhen einer großen Zahl von Höhenfestpunkten, die
bei den Nivellements gemeinsam sind, nachgewiesene Boden-
senkung muß als völlig zuverlässig bestimmt angesehen werden.

Der Betrag der Bodensenkung nimmt vom Mittelmeer bei
Marseille gegen Norden bis zur belgischen Küste stetig zu und
hat in 25 Jahren dort eine Größe von 1 m erreicht. Im Mittel
beträgt diese Senkung beiläufig 25 mm im Jahre.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

3. Herr G. Faber macht

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria com-
binationis observationum.

In seiner theoria combinationis observationum hat Gauß
Sätze mitgeteilt, teils mit Beweis, teils ohne, die erlauben, aus
der bloßen Kenntnis des mittleren Fehlerquadrats Aussagen
über die Fehlerkurve zu machen. Der Vortragende gibt ein-
fache Beweise für diese Sätze und für andere des gleichen
Gedankenkreises. (Erscheint in den Sitzungsberichten.)

4. Herr F. Lindemann legt für die Sitzungsberichte vor:

1. Eine Abhandlung: Integration der partiellen
Gleichung s = sin s.

2. Eine Mitteilung des Herrn Dr. O. Volk: Über die

Reihe Xj -?»(#)!•

>1=0

00

Es wird der Beweis erbracht, daß die Reihe P„ (#)

o

für — 1 < x < 1 divergiert. Dies gelingt mit Hilfe der Heine-
schen asymptotischen Darstellung der Kugelfunktionen und
eines Satzes von Fatou über Fouriersche Reihen.

Sitzung am 14. .Tanuar.

3*

5. Herr S. Finsterwalder teilt mit eine Arbeit des Herrn
H. Liebmann in Heidelberg:

Die Bo ursche Methode der Flächenbestimmung aus
dem Linienelement.

E. Bour hat die Bestimmung der Flächen mit gegebenem
Bogenelement auf die Integration einer partiellen Differential-
gleichung zweiter Ordnung zurückgeführt. Diese Differential-
gleichung wird hier nach verschiedenen Methoden bearbeitet,
und dabei z. B. in einem Spezialfall die vollständige Klasse
aufeinander abwickelbarer Flächen mit vorgeschriebenem Bogen-
element, die eine starre Kurve gemein haben, abgeleitet.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

Sitzung am 4. Februar.

1. Herr E. Kayser hielt (im Anschluß an den Vortrag des
Herrn M. Schmidt in der Januar-Sitzung) einen Vortrag

Über merkwürdige Senkungen des Bodens im Norden
Frankreichs. (Erscheint in den Sitzungsberichten.)

2. Herr S. Günther legt vor:

a) für die Sitzungsberichte eine Abhandlung von Dr.
E. Schoy: Eine arabische Abhandlung über die
Bestimmung der Giblo (Mekkaricbtung) ;

b) für die Abhandlungen eine Arbeit von Dr. H. Gries-
eerger: Die Erdbeben Bayerns.

3. Herr A. Föppl legt eine Abhandlung von Ludwig Föppl
vor, in der die von Kirchhofe zuerst bemerkte und später auch
von Hess untersuchte Analogie zwischen Kreisel und
elastischer Linie von neuem besprochen wird. Veranlassung
dazu gab die in neuerer Zeit üblich gewordene Darstellung

4*

Sitzung am 4. Februar.

der Kreiseltheorie, die den anschaulichen Begriff des „ Impuls-
vektors“ oder „Dralles“ überall in den Vordergrund stellt.
Schreibt man dementsprechend auch die Gleichung der ela-
stischen Linie in vektorieller Form an, so folgen aus dem Ver-
gleiche sofort in sehr einfacher Weise alle Beziehungen zwi-
schen dem zeitlichen Ablaufe der Kreiselbewegung einerseits
und dem räumlichen Verlaufe der elastischen Linie andererseits.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

4. Herr v. Seelioer legt eine Abhandlung von K. Stöckl,
Lyzealprofessor in Regensburg, vor: Erdmagnetische Mes-
sungen im bayer. Walde 1908 — 1913. Lamont hat bereits
in den fünfziger Jahren auf beträchtliche Störungen der erd-
magnetischen Elemente im Gebiete des bayer. Waldes hinge-
wiesen. Noch deutlicher lassen die Beobachtungen vom ver-
storbenen Professor Messerschmitt vom Anfang dieses Jahr-
hunderts den Einfluß des Urgebirges auf den Verlauf der erd-
magnetischen Elemente erkennen. Zur Untersuchung des ge-
nannten Störungsgebietes hat nun Prof. Stöckl in den Jahren
1908 — 1913 an 195 Orten erdmagnetische Beobachtungen
angestellt und die Bearbeitung dieser umfangreichen Unter-
suchungen durchgeführt, die zu mannigfachen interessanten
Resultaten über den Zusammenhang der erdmagnetischen Stö-
rungen mit den geologischen Verhältnissen geführt haben.
Eine ausführliche, durch zahlreiche bildliche Darstellungen
ergänzte Publikationen kann gegenwärtig leider nicht zur
Publikation gelangen und der Verfasser muß sich mit der Ver-
öffentlichung der vorliegenden Zusammenfassung begnügen, die
übrigens die erhaltenen Resultate in genügender Deutlichkeit
hervortreten lassen dürfte. (Erscheint in den Abhandlungen.)

5*

Sitzung am 4. März.

1. Herr Faber spricht:

Uber den Hauptsatz aus der Theorie der konformen
Abbildung.

Der Verfasser gibt für den Satz, daß jedes einfach zu-
sammenhängende Gebiet auf ein Kreisgebiet konform abge-
bildet werden kann, einen neuen Beweis mit Beantwortung
der Frage nach der Ränderzuordnung.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

2. Herr F. Lindemann trägt vor:

Zur Trigonometrie im nicht euklidischen Raume.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

3. Herr A. Sommerfeld legt für die Sitzungsberichte eine
Arbeit von A. Kratzer vor:

Störungen und Kombinationsprinzip im System der
violetten Cyanbanden.

Die Arbeit schlägt eine Abänderung in der Nuancierung
der Bandenlinien (halbzahlige Quanten) vor, welche die Gesetz-
mäßigkeiten der Banden vollkommener hervortreten läßt.

4. Herr W. Wien teilt mit: Eine Methode zur Unter-
scheidung zwischen Spektren, die von geladenen oder
ungeladenen Atomen ausgesandt werden.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

7*

Sitzung am 6. Mai.

1. Herr R. Willstätter trägt die Ergebnisse einer Unter-

suchung Über Invertin vor, die er gemeinsam mit Frln.
J. Graser und Herrn R. Kuhn ausgeführt hat. Die Arbeit
behandelt die Isolierung des Enzyms in gesteigerter Konzen-
tration und den Einfluß der Verteilung sowie der Begleitstoffe
auf seine Wirkung. (Erscheint anderwärts.)

2. Herr E. Stromer macht eine Mitteilung über
Tertiäre Wirbeltier-Reste aus Deutsch-Südwestafrika.

An die in der letzten Dezember-Sitzung gemachte erste
Mitteilung anschließend werden die fossilen Wirbeltier-Reste
von zwei weiteren Fundorten in den Diaraantfeldern von Lüde-
ritzland besprochen.

Davon sind am bemerkenswertesten die Reste von Anti-
lopen, eines Urraubtieres (Creodonten), eines Vorläufers des süd-
afrikanischen Springhasen (Pedetiden), eines Pfeifhasen (Ocho-
toniden, während fossile bisher nur aus Europa, lebende nur
aus dem hohen Norden und nordischen Gebirgen bekannt sind,
und endlich eines den jetzigen Klippschliefern Afrikas und den
ausgestorbenen Typetherien Südamerikas ähnlichen Vertreters
einer bisher unbekannten Säugetierordnung. Zu ihr gehört die
einzige Säugetier-Gattung und Art der drei Fundorte, die mit
einem anderen, dem Untermiocän des Viktoriasees gemeinsam
ist und so die erste Annahme des geologischen Alters jener
bestätigen hilft. (Wird später gedruckt.)

3. Herr H. v. Seeliger legt für die Sitzungsberichte vor
eine Abhandlung des Herrn Dr. E. Zinner:

Die Vorarbeiten zu einem Handschriften-Verzeichnis
der deutschen Sternforschung.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jalirg. 1922.

b

8*

Sitzung am 6. Mai.

4. Herr S. Finsterwalder teilt mit eine Abhandlung:

Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck von
Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Die von Lagally (Münchener Berichte 1921, S. 209 — 226)
entwickelten Formeln für den Flüssigkeitsdruck werden ohne
Dyadenrechnung mit elementarer Vektoranalysis berechnet und
ergänzt durch Berechnung des Momentes.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

5. Herr A. Pringsheim legt für die Sitzungsberichte zwei
Abhandlungen vor:

a) Herr Otto Szasz (Frankfurt a. M.):

Über den Konvergenzexponenten der Fourier sehen
Reihen gewisser Funktionenklassen.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer Frage,
über die bisher nur sehr spezielle Resultate von S. Bernstein
und Carlemann vorliegen, nämlich mit der Bestimmung des
Konvergenzexponenten v. einer Reihe 2 a,. — b,.i |*, wo a,., bv
die Fourierschen Konstanten einer stetigen, mod. 2 n perio-
dischen Funktion f{x ) bedeuten. Genügt diese einer sogen.
„LirscHiTzschen“ Bedingung:

(1) \f(x + t) — f(x) \<ZC • t\a (0<a^l)

oder auch nur der merklich allgemeineren:

2ji

(2) J { (f(x 2 1) — f{x — 2 t) — 2 /’(#)) }2 • dx< C- t ia,
o

2

so wird gezeigt, daß die fragliche Reihe bei x > — kon-

— CL "p 1

vergiert; daß es dagegen sogar unter den der engeren Be-
dingung (1) genügenden Funktionen solche gibt, für welche

2

jene Reihe bei «<5 — -7—^ divergiert, somit den Konver-

-j O. ”1“ 1

2

genzexponenten ^ q -|I 1 ^es^z^- Dieses durch seinen allge-

Sitzung am 6. Mai.

9*

meinen Charakter merkwürdige Resultat wird mit verhältnis-
mäßig einfachen Mitteln gewonnen.

b) Hans Hamburger (Berlin):

Bemerkungen zu einem Satze über die Riemannsche
Zetafunktion.

Der Verfasser hat kürzlich einen Satz veröffentlicht, wel-
cher besagt, daß die RiEMANNsche Zetafunktion durch ihre Funk-
tionalgleichung und einige weitere funktionentheoretische Eigen-
schaften bereits eindeutig bestimmt. Für diesen Satz gibt er
einen neuen und merklich kürzeren Beweis.

Sitzung am 17. Juni.

1. Herr L. Burmester spricht über die engste Lagerung
gleicher Kugeln und deren Zwischenräume bei der
Theorie der Filterung des Wassers durch Sand, in dem
die Sandkörner als gleiche Kugeln angenommen werden.

2. Herr Faber legt für die Sitzungsberichte vor eine Arbeit

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

Der Verf. untersucht die Darstellbarkeit analytischer Funk-
tionen durch Reihen, die nach Näherungszahlen oder Nähe-
rungsnennern Stieltjes scher Kettenbrüche fortschreiten.

3. Herr A. Prtngsheim legt für die Sitzungsberichte vor
eine Abhandlung:

Über die Berandung eines endlichen Gebietes und den
Jordanschen Kurvensatz.

Ein älterer Satz von Herrn E. Phragmen besagt, daß die
vollständige Begrenzung eines endlichen Gebietes mindestens
einen zusammenhängenden Teil enthält. Der Verfasser beweist
diesen Satz in wesentlich vervollkommneter und verschärfter
Fassung und zeigt, wie die hierbei benützte Methode dazu

10*

Sitzung am 17. Juni.

dienen kann, um für den Satz über die Zweiteilung der Ebene
durch jede geschlossene Jordansche Kurve einen Beweis zu
gewinnen, welcher die bisher gegebene an Einfachheit und
Anschaulichkeit merklich übertreffen dürfte.

4. Herr 0. Hönigschmid berichtet

Über die Ergebnisse einiger neuerer Atomgewichts-
bestimmungen.

Die Revision des Atomgewichtes des Thalliums durch Ana-
lyse des Thalliumchlorides ergab den Wert TI = 204, 39, der
um 0,39 Einheiten höher ist als der bisher international gül-
tige TI = 204, 0.

Die Analyse des Ferrichlorids führte zu dem Atomgewicht
des Eisens Fe = 55, 85 in naher Übereinstimmung mit dem
internationalen Fe = 55, 84.

Durch die Analyse von Bortrichlorid wurde das Atom-
gewicht des Bors zu B = 10, 82 bestimmt gegenüber dem
internationalen Wert B = 10, 90.

Aus der Bestimmung der Verhältnisse von Mercurichlorid
resp. -bromid ergab sich das Atomgewicht des Quecksilbers
zu Hg = 200, 61 in vollster Übereinstimmung mit dem inter-
national gültigen. (Erscheint in den Sitzungsberichten.)

5. Herr von Dyck berichtet über eine Arbeit von Studien-
Assessor H. Künneth in Erlangen :

Zur topologischen Untersuchung geometrischer
Gebilde.

Es handelt sich in derselben um die Bestimmung der zu-
erst von Betti eingeführten charakteristischen Zahlen als der
einfachsten unterscheidenden Merkmale mehrdimensionaler Man-
nigfaltigkeiten. Die Bestimmung wird für gewisse zusammen-
gesetzte Mannigfaltigkeiten aus den Bettischen Zahlen ihrer
Faktoren durchgeführt. (Erscheint in den Sitzungsberichten.)

11*

Sitzung am 8. Juli.

1. Herr E. Stromer v. Reichenbach macht die dritte Mit-
teilung über tertiäre Wirbeltier-Reste aus den Diamant-
feldern Deutsch- Süd westafrikas.

2. Herr A. Pringsheim legt für die Sitzungsberichte vor
eine Abhandlung des Herrn Artur Rosenthal:

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

Jede mögliche Anzahl der Schnittpunkte eines ebenen Ge-
bildes TO mit einer Geraden werde als ein „Ordnungsindex“
von TO bezeichnet; das Maximum dieser „Ordnungsindizes“ ist
dann die „Ordnung“ von TO. Es wird hier der Nachweis er-
bracht, daß für jede ganze Zahl n > 1 ebene Gebilde mit ein-
zigem Ordnungsindex n existieren, d. h. solche Mengen, die
von jeder Geraden in genau n Punkten getroffen werden.
Analoge Existenzbeweise ergeben sich für eine Reihe von Ver-
allgemeinerungen. Für n — 2 kann ein solches Gebilde kein
Kontinuum enthalten, was dagegen für andere Werte von n
möglich ist. Allgemein wird für die Gebilde 2. Ordnung fest-
gestellt, daß sie nur dann Kontinua enthalten können, wenn
alle drei Ordnungsindizes 0, 1, 2 und zwar in der Mächtig-
keit c Vorkommen.

3. Herr F. Lindemann bespricht eine Arbeit des Herrn Ger-
hard Kowalewski in Dresden: Die Verwertung gemischter
in variabler Flächenelemente zur Berechnung der Dif-
ferentialvarianten einer ebenen Transformations-

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

gruppe.

13*

Sitzung am 4. November.

1. Herr R. Willstätter spricht über eine gemeinsam mit
W. Wassermann ausgeführte Untersuchung über Invertin,
worin Fortschritte der Adsorptionsmethode zur Isolierung von
Enzymen erzielt werden.

Sodann berichtet Herr Willstätter über eine gemeinsam
mit A. Pollinger ausgeführte Arbeit Zur Kenntnis der Per-
oxydase, in der es gelungen ist, den Reinheitsgrad des En-
zyms bedeutend zu steigern und die bisherigen Kenntnisse in
der Zusammensetzung der Peroxydase zu berichtigen.

Endlich trägt Herr Willstätter eine in Gemeinschaft mit
E. Waldschmidt ausgeführte Untersuchung über Pankreas-
enzyme vor, in der es erreicht wurde, die lipatischen, dia-
statischen und tryphischen Enzyme vollständig voneinander
zu trennen.

2. Herr G. Faber legt für die Sitzungsberichte vor eine
Abhandlung:

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

Der Verfasser leitet asymptotische Reihen für die Taylor-
Koeffizienten solcher Funktionen ab, die sich aus der Veränder-
lichen 2 und beliebigen Konstanten durch die rationalen Ope-
rationen und die Erhebung in den Exponenten der Zahl e
bilden lassen. Er gewinnt so insbesondere für die Hermite-
schen und die Laguerreschen Polynome Abschätzungen, mit
deren Hilfe sich die Frage nach der Entwickelbarkeit gegebener
Funktionen in Reihen, die nach diesen Polynomen fortschreiten,
leicht lösen läßt.

3. Herr Broili sprach über die Geologie des „Vogelkop“
von Holländisch-Nordwest-Neu-Guinea, auf Grund der
Untersuchungen und Aufsammlungen des Müncheners Dr. Eduard

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

C

14*

Sitzung am 9. Dezember.

Hartmann, der von 1914 — 21 in der holländischen geologischen
Landesaufnahme tätig war und in den Jahren 19 — 21 in Neu-
Guinea Expeditionsleiter war. Von besonderem Interesse
ist die Feststellung von jüngerem Paläozoikum und oberem Jura.
Der Chef der geologischen Landesanstalt von Niederländisch-
Indien, Herr Minen-Ingenieur Moermann hat in dankenswerter
Weise das Material nach München zur Untersuchung geschickt.

4. Herr Erich Kaiser sprach

Uber zwei verschiedenartige Injektionen syenitischer
Magmen,

ausgehend von den von ihm untersuchten Gebieten der Serra
de Monchique in Portugal und der Namib Südwestafrikas, die
für die Erklärung des Eindringens der vulkanischen Massen in
die Erdrinde besondere Anhaltspunkte bieten.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

Sitzung am 9. Dezember.

1. Herr Zenneck trägt vor über Elektronen- Relais-
Generatoren mit Modulation der Amplitude durch einen
Niederfrequenzstrom und über Verwendung dieser
Generatoren für Sender und Empfänger der drahtlosen
Telephonie und Telegraphie.

2. Herr A. Voss macht eine Mitteilung

Zur Transformation rechtwinkeliger Koordinaten.

(Erscheint in den Sitzungsberichten.)

15*

Verzeichnis der im Jahre 1922 eingelaufenen Druckschriften.

Die Gesellschaften und Institute, mit welchen unsere Akademie in Tauschverkehr steht,
werden gebeten, nachstehendes Verzeichnis als Empfangsbestätigung zu betrachten.

Aachen. Geschichtsverein:

— — Zeitschrift, Bd. 43.

Aarau. Historische Gesellschaft:

— — Argovia 39.

Aberdeen. Universität:

— Studies 80 — 83, 85.

Abo. Akademie:

— — Acta mathemat. et physica 1.

Allegheny. Observatorium:

— — Publications Vol. 6, Nr. 4 u. 5.

Altenburg. G es chichts verein Osterland:

— — Mitteilungen 13, 2.

Amsterdam. Aardrijkskundig Genootschap:

— — Tijdschrift, deel 39, 2—6; 40, 1.

— Wiskundig Genootschap:

— — Nieuw Archief, 14, 1.

— — Revue des publications mathematiques, 29, 2.

Annaberg. Geschi chts verein :

— — Mitteilungen 13.

Athen. Bibliotheque de I’ecole fran9aise.

— — Bulletin du correspondance hellenique 46 1 — 6; 41 — 43.

— Wissenschaftliche Gesellschaft:

— — Athena, 32—34.

— ’Ei.h]vofivrj/.icov :

Bd. 16.

Augsburg. Historischer Verein :

— — Zeitschrift 45.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jalirg. 1922.

<1

16*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Baltimore. Geological Survey:

— — Maryland Geol. Survey 10 (1918).

— Johns Hopkins University:

Circular 1921, 1—6; 1922, 1.

— — Journal of mathematics, 43, 2. u. 3.

— — Journal of philology, 165—169.

— — Studies in historical and political science 39, 2. u. 3.

Barcelona. R. Academia de Ciencias y Artes:

— — Boletin 4, 6.

Memorias, 12,18-23; 13,1—32; 14,1-12; 15,1—5; 16,12—14;

17, 1-15.

— — Nomina del personel 1915/16 — 1921/22.

— Institut d’ estudis Catalans:

— — Annari 5 (1913/14).

— — Cadevall, Flora 3, 4.

— — Butlleti de dialectologia Catalana 1915—1921.

— — Puig de Catafalch Vol. 3.

— — Arxius Any 6 und 7.

— — Butlleti de la bibliotheca de Catalanya Nr. 1 — 8.

— — Treballs de Soeietat de biologia 1920/21.

Basel. Histor. antiquarisch e Gesellschaft:

— — Basler Zeitschrift 15 — 18, 1. u. 2; 19, 1; 20, 1.

— Naturforschende Gesellschaft:

— — Verhandlungen, 33

— Universität:

— — Dissertationen 1922.

Batavia. Genootschap van Künsten en Wetenschappen:

— — Tijdschrift 61, 3—5.

— — Notulen 59, 2. u. 3.

— — Verhandelingen 63, 4; 64, 1.

— — Oudheidkundig verslag 1921, 4; 1922, 1.

— Observatorium:

Seismological bulletin 1922, I — V.

— — Observations made at secondary stations 8 (1918).

— — Observations 40.

— — Regenwarnemingen in Nederlandsch-Indie 41 (1919).

— — Verhandelingen 9 u. 10.

— Naturkundige vereenigung in Nederlandsch-Indie:

— — Tijdschrift 81, 3; 82, 1 u. 2.

Bayreuth. Historischer Verein:

— — Archiv 28, 1. u. 2.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

17*

Belgrad. Akademie der Wissenschaften:

Glas 97-104.

— — Godisnjak 29 u. 30.

— — Zbornik, Srpski etnografski 22. 23.

— — Zbornik istorijski 1J, 6, 12.

Bergen. Museum:

Aarbok 1920/21. 1. 3.

— — Sars 8, 5 u. 6; 9, 1 u. 2.

Berkeley. University:

— — Bulletin of College of agriculture 326 — 330.

— — Chronicle 23, 1 — 3.

— — Memoirs 5.

Record Vol. 1, 1 — 3.

— Publications:

— — Botany 7, 10.

Geology 12,6—7; 13,5.7.8; 14, 1-4.

— — History, vol. 12.

— — Mathematies 1; 5—6, 8 — 14.

— — Zoology 23.

Berlin. Akademie der Wissenschaften:

— — Abhandlungen phil.-hist- Kl. 1922, 1 — 3; phys.-math. Kl. 1922, 1.

— — Sitzungsberichte „ 1922, 1 — 14; , 1922, 1 — 12.

— — Acta Borussica: Behörden-Organisation Bd. 1, 1;

— — Handelspolitik 2, 1. u. 2.

— Staatsbibliothek:

— — Jahresbericht 1916 — 20.

— Deutsche Chemische Gesellschaft:

— — Chemisches Zentralblatt 1922.

— — Berichte 55, 6 — 12; 56, 1.

— Allg. Elektrizitätsgesellschaft:

— — Geschäftsbericht 1921/22.

— Deutsche Geologische Gesellschaft:

— — Abhandlungen 73, 4; 74, 1—4.

— — Monatsberichte 73, 8 — 12; 74, 1 — 7.

— Deutsche Physikalische Gesellschaft:

— — Verhandlungen Jg 2, 3; Jg. 3, 1 u. 2.

— Landwirtschaft!. Hochschule:

— — 9 Dissertationen 1921/22.

— Deutsches Archäologisches Institut:

— — Jahrbuch 36 (1921), Heft 1 u. 2.

d*

18*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Berlin. Meteorologisches Institut:

— — Veröffentlichungen 313. 315—318.

— Preuß. Geologische Landesanstalt:

— — Abhandlungen 85. 89. 90.

Jahrbuch 41 (1920) I, 1; 39, T, 3; 39 II 1-3; 40 I 3; 40 II 2. u. 3.

— Astronomisches Recheninstitut:

— — Jahrbuch für 1924.

— — Kleine Planeten 1923.

— Verein für Gartenbau:

— — Gartenflora 1922, 5—8.

— Verein für die Geschichte Berlins:

— — Mitteilungen 1922 (39), 4 — 7.

— Verein für Geschichte der Mark Brandenburg:

Forschungen 34, 1 u. 2, 35/1.

— Zeitschrift für Instrumentenkunde:

Zeitschrift 1922; 3—6, 8 u. 9.

Bern. Bibliothek:

Verhandlungen der Schweiz, naturforsch. Gesellschaft 101.

— — Zeitschrift für Schweizerische Geschichte 1 (1921), 1—4.

— Universität:

— — Dissertationen 1922.

Beuron. Erzabtei:

— — Benediktinische Monatsschrift 4 (1922), 1 — 12; 5 (1923), 1 u. 2;

9 Einzelschritten.

Bielefeld. Naturwissenschaftlicher Verein:

— — Bericht 4.

Bologna. Accademia:

— — Memorie Classe di scienze frs. 7 u. 8.

— — Rendiconto CI. di sc. mor , ser. II, 5; CI. di sc. fis. 24 u. 25.

— — Trombetti Glottologia 1922.

Bonn. Verein von Altertumsfreunden im Rheinland:

— — Bonner Jahrbücher, Heft 127.

— Naturhistorischer Verein der preuß. Rheinlande:

— — Verhandlungen 77.

Boston. American Academy of arts and Sciences:

— — Memoirs 14, 2 u. 3.

— - Proceedings 50, 4—13; 51, 1-14; 52, 1 — 13; 53, 1-10; 54,lu.2,

4-6; 55, 1-10; 56, 1 — 11; 57, 1 — 10.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

19*

Boston. American Urological Association:

Transactions 14.

— Society of Natural History:

— — Memoirs Vol. 8, 3.

Occasional paper VII, 14.

Proceedings 35, 4 --6.

Braunsberg. Lyceum Hosianum:

— — Vorlesungs-Verzeichnisse SS. 1922; WS. 1922/23.

Bremen. Naturwissenschaftlicher Verein:

— — Abhandlungen 25, 2.

Breslau. Sternwarte:

— — Veröffentlichungen 2.

Bromberg. Bibliothek:

— — Veröffentlichungen 7 u. 8.

Brünn. Universite Masaryk:

Spisy 1921, 7; 1922, 6,8-13.

Brüssel. Societe des Bollandistes:

— — Analecta 36. 37. 40.

— — Repert. hymn. vol. 6.

Budapest. Ungarische Geographische Gesellschaft:

— — Földraizi Közlemenyek 50 (1922), 6—8.

— Reichsanstalt für Meteorologie:

— — Jahrbücher 45, 1. u. 4; 46.

— Ornithologisches Institut:

— — Aquila 28.

Buitenzorg (Java). Departement van landbouw:

— — Bulletin du jardin botanique 4, 2; 5, 1.

— — Bulletin de l’institut voor plantenziekten 17.

— — Mededeelingen van het algem. proefstation 11.

— — Mededeelingen voor thee 76, 78 — 80.

— — Mededeelingen voor plantenziekten 50—53.

— — Treubia 1, 4; 2, 1.

Eukarest. Academia Romänä:

Bulletin de la section hist. 9, 1—4.

— — Bulletin de la section scientifique 7, 7—10; 8, 1—4.

Calcutta. R. Society of Bengal:

— — Journal and proceedings 17, 1 — 4; 18, 1 u. 2.

— — Journal 75, 4.

Memoirs 7, 1 — 4; 8, 1.

20*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Calcutta. Mathematical Society:

Bulletin 12, 4; 13, 1. u. 2.

Cambridge. Observatory:

Annual Report 1913/14-1917/18; 1921/22.

Annals 71, 3 u. 4; 73, 2 u. 3; 76-78; 80, 1—3; 81, 1 ; 82, 1 u. 2

83, 1—3; 84, 1—3; 85, 1; 91—93.

— — Circulars 184 — 218.

— Antiquarian Society:

— — Proceedings 71.

— — Prandings Düring the year 1921.

— Philosophical Society:

Proceedings, 21, 2 u. 3.

— — Transactions 22, Nr. 23 — 25.

— Tufts College:

— — Studies Vol. 5, 1 u. 2.

— Museum of Zoologie:

Bulletin 63, 2; 64, 4.

— Astronomical Observatory:

— — Annals 81, 6; 86, 1; 96; 97.

— — Circulars 232 — 241.

— — Annual Report 75. 76.

— — Annual Report of Syndicate 1920/21.

Bulletin 762—780.

— Harvard University:

— — Harvard Oriental Series, 12—15, 17 — 19, 21, 28—30.

— Peabody Museum:

— — Papers Vol. 7.

Capstadt. R. Society of South Africa:

Transactions 10, 2—4.

Charlottenburg. Physikalisch-technische Reichsanstalt:

— — Tätigkeit 1921.

— — Abhandlungen 5, 1 u. 2.

Chicago. Oberlin College Library:

— — Laboratory Bulletin 22. 26. 27.

— John Crerar Library:

— — Report 27.

Christiania. Videnskabs Selskab:

— — Forbandlingar 1919. 1920.

— — Skrifter 1920.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

21*

Christiania. Meteorologisches Institut:

— — Jahrbuch 1921.

— Universität:

— — Archiv for mathematik 35.

Chur. Historisch-antiquarische Gesellschaft:

— — Jahresbericht 51.

— Naturforschende Gesellschaft:

Jahresbericht 61.

Cincinnati. Universitj Library:

Record 11, 2, 1—6; 17, 2, 1-2, 5-6; 48, 3.

— Observatory:

— — Publications 11 — 18, 1 — 4; 19.

Cleveland. Archaeological Institute:

— — Journal of Archaeology 26, 1—3.

Colombo. Museum:

— — Spolia Zeylonica 45.

The Buddhist Annual of Ceylon 1, 3.

Columbia. University Library :

— — Studies (social Science) 3, 3.

— — Studies (philosophy series) 3, 2.

— — Bulletin 22, 10 u. 16.

Cordoba. Academia:

Actas 7, 3.

Boletin 25, 3-4; 24, 3 u. 4; 26, 1,

— — Miscellanea 5 und 6.

Danzig. Westpreußischer Geschichtsverein:

— — Mitteilungen 21.

— — Zeitschrift 62. 63.

— Naturforschende Gesellschaft:

— — Schriften 15, 3 u. 4.

— Westpreuß. botan.-zool. Verein:

— — Bericht 44.

Darmstadt. Firma Merck:

— — Jahresbericht 33. 34. 35.

— Historischer Verein :

— — Archiv für hessische Geschichte 13, 1 — 3.

— — Quartalblätter 6, 17 — 24.

Delft. Technische Hochschule:

— — 9 Dissertationen 1922.

22*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Dessau. Verein für Anhalt. Geschichte:

— — Mitteilungen 14, 1.

Dorpat. Estnische Gesellschaft:

— — Sitzungsberichte 1921.

Jahresbericht der estnischen Philologie. 1, 1918.

— Universität:

— — Acta et comraentationes A 2; B 2.

— Naturforscher- Gesellschaft:

— — Sitzungsberichte 28 (1921).

— — Archiv für Naturkunde Livlands 14, 3.

Dresden. Sächsischer Altertumsverein:

Neues Archiv 43.

— — Jahresbericht für 1921.

— Journal für praktische Chemie:

Journal 1921, 9-12; 1922, 1—12.

Drontheim. Norske Yidenskabens Selskab:

— — Skrifter 1920.

— — Aarsberetning 1920.

Dublin. Royal Irish Academy:

— — Proceedings, 32 A 3—7; B 3—21; C 6—21.

, 33 A 1-6; B 1-6; C 1-19.

„ 34 A 1-6; B 1 — 13; C 1—11.

„ 35 A 1—4; B 1—11; C 1 — 12.

„ 36 A 4; B 2 u. 3; C 5-9.

Royal Dublin Society:

— — Scientific Proceedings 16, 14 — 39; 17, 1—10.

Easton. American Chemical Society:

— — Journal 44 (1 — 12); 45, 1.

Edinburgh. Royal Society:

Proceedings 42, 1 u. 2.

Transactions 52, 4; 53, 1.

Eisenberg. Geschichts-Verein :

— — Mitteilungen 35.

Emden. Gesellschaft für bildende Kunst:

Upstalsboom-Blätter 10 — 11.

Erlangen. Universität:

— — 264 Dissertationen 1922.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Ferrara. Accademia di scienze mediche:

Atti 89-91; 95; 96.

Florenz. Biblioteca Nazionale:

— — Bollettino 247—258.

— R. Istituto di studi superiori:

— — Sezione di filologia 8.

— Societä di studi geografici:

Rivista 18, 5-12; 19, 7-12.

Frankfurt a. M. Senckenbergische Gesellschaft:

— — Abhandlungen 87, 3 u. 4.

— — Bericht 51 und 52.

— — Senckenbergiana 4, 1—6.

— Römisch-germanische Kommission:

Bericht 13.

Freiburg i/Br. Kirchengeschichtlicher Verein:

Diözesanarchiv 49. 50.

— Universität:

— — Dissertationen 1922.

Jahreshefte 1920/21, Nr. 1. 5. 6; 1921/22, Nr. 1.

Friedrichshafen. Verein zur Geschichte des Bodensees

— — Schriften 50.

Fukuoka (Japan). Universität:

Mitteilungen Bd. 5, 3; 6, 1.

Geestemünde. Männer vom Morgenstern:

— — Jahrbuch 19.

— — Mitteilungen 4.

Geneva (N. Y.). U. St. Agricultural Experiment Statio
Bulletin 474-480. 483-493.

— — Technical bulletin 81—88.

Annual Report 40.

Genf. Institut National:

— — Bulletin 44. 45.

— Journal de chimie physique:

— — Journal 19, 4.

— Societe d’histoire et d’archeologie:

— — Bulletin 4, 7 u. 8.

— Societe de physique et d’histoire naturelle:

— — Compte rendu 39, 1 u. 2.

— — Memoires 39, 7.

24*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Giessen. Universität:

Thesen 1921 u. 1922.

— Oberhessischer Geschichtsverein:

— — Mitteilungen 24.

— Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde:

— — Bericht (raed. Abt.) 13.

— — Bericht (nat. Abt.) 8.

— Universitäts-Bibliothek:

— — Schriften 1922.

Nachrichten der Gießener Hochschulgesellschaft Jahrg. 2, 1 u.

3 u. 4,

Görlitz. Ober] ausitzische Gesellschaft der Wissenschaften:

— — Lausitzisches Magazin 97.

Göteborg. Högskola:

— — Arskrift 25 — 27.

— — Handlingar 21 u. 22.

Göttingen. Gesellschaft der Wissenschaften:

— — Abhandlungen (phil.-hist. Kl.) 17, 2. 3.

— — Abhandlungen (rnath. phys. Kl.) 11, 1.

— — Gauß 10, 2.

— — Gelehrte Anzeigen 184, 1 — 9.

— — Nachrichten (phil.-hist. Kl.) 1921, 2.

— — Nachrichten (math.-phys. Kl.) 1922, 1.

— — Geschäftliche Mitteilungen 1922.

Granville. Scientific Association:

— — Bulletin 19, 9 — 16.

Graz. Universität:

— — Verzeichnis der Behörden 1920/21.

— — Verzeichnis der Vorlesungen 1922/23.

— Historischer Verein:

— — Zeitschrift 17.

Greifswald. Naturwissenschaftlicher Verein:

— — Mitteilungen 48/49.

Groningen. Wolters:

Neophilologus 6, 4; 8, 1 u. 2.

Guben. Gesellschaft für Anthropologie:

Niederlausitzer Mitteilungen 15, 2.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

25*

Haag. Gesellschaft zur Verteidigung der christlichen Religion:
Programm 1922.

— K. Instituut voor de taal-, land- en volkenkunde van

Nederlandsch-Indie:

— — Bijdragen 78, 3 u. 4.

— Nijhoff:

— — Bijdragen voor vaderlandsche geschiedenis 8, 3 u. 4; 9, 1—4.

Haarlem. Hollandsche Maatschappij der wetenschappen:

— — Archives Neerlandaises A 6, 1 u. 3; C 6, 4 u. 7.

— Musee Teyler:

— — Archives 5.

— — Verhandelingen 21.

Hall. Historischer Verein:

— — Württembergische Franken 13.

Halle. Leopoldinische Akademie:

— — Nova Acta 104. 105.

Leopoldina 58, 4—6.

— Deutsche Morgenländische Gesellschaft:

— — Abhandlungen 16, 1.

— — Zeitschrift 76, 1 u. 2.

— Thüringisch-Sächsischer Verein für Erforschung des vater-

ländischen Altertums:

— — Zeitschrift 11, 2.

— Universität:

— — Dissertationen 1921.

— — Jahrbuch der philosophischen Fakultät 1920, I.

Hamburg. Stadt-Bibliothek und Universität:

Verhandlungen 1921.

Entwurf des Budgets 1922.

— — Jahrbuch 38, Beiheft zoologisches Museum.

— Mathematische Gesellschaft:

— — Mitteilungen 6, 2.

— Deutsche Seewarte:

— — Annalen 50; 51, 1.

— — Aus dem Archiv 39, 2; 40, 1 u. 2.

— Verein für Hamburgische Geschichte:

— — Mitteilungen 40, 4 — 7.

— — Zeitschrift 25, 1.

— Naturwissenschaftlicher Verein:

Verhandlungen 29.

26*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Hanau. G eschichtsverein:

— — Geschichtsblätter 5.

— Wetterauische Gesellschaft:

Bericht 1901—21.

Hannover. Historischer Verein für Niedersachsen:
Zeitschrift 87 (1922).

Hartford. Geological Survey:

Bulletin 22—24. 26. 31. 32.

Heidelberg. Akademie:

— — Abhandlungen (math.-phys. Kl.) 10. 11.

— — Sitzungsberichte (phil.-hist. Kl.) 1922, 1 u. 2.

Sitzungsberichte (math.-phys. Kl.) 1922 A 1 u. 2.

— Zeitschrift für Ässy riologie:

Zeitschrift 34.

— Wissenschaftliche Gesellschaft [Straßburg]:

Schriften, N. F. 5. 6.

— Universitäts-Bibliothek:

— — Schriften 1922.

— — Jahrbuch (philos.) 1920/21 u. 1921/22, 1 u. II.

Jahrbuch (med.) 1920/21.

Anzeige S.S. 1921 u. 1922; W.S. 1921/22 u. 1922/23.

— Historisch-philosophischer Verein:

— — Neue Heidelberger Jahrbücher 21, 2.

— Naturhistorisch-medizinischer Verein:

— — Verhandlungen 15, 1.

Helgoland. Biologische Anstalt:

— — Meeresuntersuchungen Kiel 19.

Helsingfors. Finnische Altertumsgesellschaft:

— — Suomen Museo 27. 28.

— — Tidskrift 32.

— Akademie der Wissenschaften:

— — Annales A 14 — 16; B 15.

— — Ff Communications 35 — 41.

— Finnländische Gesellschaft der Wissenschaften

— — Acta 50.

— Finska forstsamfundet:

— — Acta 13 — 16.

— Universitäts-Bibliothek:

— — Dissertationen 1920/21.

Hobart Town. R. Society of Tasmania:

— — Papers and proceedings 1921.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

27*

Indianapolis. Academy of Sciences:

— — Proceedings 1921.

Ingolstadt. Historischer Verein:

Sammelblatt 41.

Jena. Medizinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft:

— — Zeitschrift 58, 1 — 3.

— Verein für thüringische Geschichte:

Zeitschrift 25, 1.

— Fischer:

— — Naturwissenschaftliche Wochenschrift 1922.

Johannisburg. Union Observatory:

— — Circular 54. 55.

Jowa City. Universität:

— — Jowa Studies 56. 59. 61. 62.

Kahla. Verein für Geschichte:

Mitteilungen 4.

Karlsruhe. Badische Historische Kommission:

— — Bericht 35.

— — Zeitschrift 37, 1—4; 38, 1.

— — Oberrheinische Stadtrechte 9.

Kassel. Verein für hessische Geschichte:

— — Mitteilungen 1920/21.

Kairfbeuren. „Heimat“:

— — Deutsche Gaue 23 (1922).

Kiel. Gesellschaft für schleswig-holsteinische Geschichte:

Zeitschrift 51.

Klagenfurt. Landesmuseum:

Carinthia I, 111 u. 112.

— — Jahresbericht 1920/21.

Königsberg. Physikalisch-ökonomische Gesellschaft:

— — Schriften 59. 60. 63.

Kopenhagen. Carlsberg-Laboratorium:

— — Comptes rendus des travaux 14, 17 — 19.

— Akademie:

Oversigt 1920/21; 1921/22.

— — Meddelelser (biologiske) 3, 1 — 9.

„ (filosofiske) 1, 3.

— — „ (historisk-filologiske) 4, 1 — 8; 5, 1; 6, 1 u. 2; 7, 1.

— — „ (mathematisk-fysiske) 3, 12—20; 4, 1 — 10.

— — Skrifter (CI. des sc.) 6, 2; 7, 1.

28*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Kopenhagen. Conseil permanent pour l’exploration de la mer
Bulletin hydrographique 1905 — 14.

— — Bulletin statistique 10.

— — Publications de circonstance 75—76.

— — Rapports et proces verbaux 28.

— Dansk naturhistorisk förening:

— — Meddelelser 73. 74.

— Botanisk Haves Bibliothek:

Arbeijder 98 - 100.

— Kommissionen for havundersßgelser :

— — Middelelser (Fiskeri) 6, 7 — 9; 7, 1.

— — Skrifter 7. 8.

— Astronomisches Observatorium:

— — Publikationer 37 — 40.

— Biologische Station:

— — Report 28. 29.

Kuraschiki (Okayama). Ohara-Institut:

— — Berichte 1, 1 — 5; 2, 1.

Kyoto. Universität:

— — Acta scholae medicinalis 4, 2—4; 5, 1.

Lahore. Philosophical Society:

— — Proceedings 2 (1917 — 20).

Laibach. Museal verein:

— — Carniola 9, 3 u. 4.

Landshut. Historischer Verein:

— — Verhandlungen, 55. 56, 1.

La Plata. Universidad:

— — Contribucion (ser. matem.) 3, 1.

— — , (ser. tecnica) 3, 1.

— — Anuario 12.

Lausanne. Societe Vaudoise des Sciences naturelles:

— — Bulletin 204 — 206.

— — Memoires 1. 2.

Lawrence. University of Kansas:

— — Science Bulletin 13, 1 — 9.

Leiden. Maatschappij der Nederlandsche letterkunde:

— — Handlingen 1920/21.

— — Levensberichten 1919/20.

— — Tijdschrift, 40, 1—4.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

29*

Leiden. Laboratorium der Universität:

— — Communications 156. 157.

— Mnemosyne:

Bd. 49. 50.

— Museum:

Jg. 29, 8-12; 30, 1-4.

— Sternwarte:

— — Annalen 13, 1 u. 2; 14, 1.

Leipzig. Deutsche Bücherei:

— — 9. Bericht.

— Verlag Chemie:

— — Zeitschrift für Pflanzenernährung 1922 I 1 u. 2.

— Jablonowskische Gesellschaft:

Jahresbericht 1921.

— — Preisschriften 50. 51.

— Gesellschaft der Wissenschaften:

— — Abhandlungen der philol.-hist. Klasse 36, 4 u. 5; 37, 1 u. 2.

— — Abhandlungen der math.-phys. Klasse 36, 5; 38, 5 — 9.

— — Berichte über die Verhandlungen der phil.-hist. Klasse 73, 2; 74, 1.
Berichte über die Verhandlungen der math.-phys. Klasse 73, 5;

74, 1 u. 2.

— Teubner:

— — Enzyklopädie der math. Wiss. III 1 Heft 9; III 3 Heft 6; V 2

Heft 5; VI 2 B Heft 1.

Lemberg. Sevcenko-Gesellschaft:

— — Chronik 56 — 59.

— — Materiaux ethnol. ukr.-ruth. 16—20-

— — Sammlung, ethnogr. 37. 38.

Mitteilungen 122—132.

— Verein für Volkskunde:

— — Lud, Bd. Ser. II, 1, 1 u. 2 (= 21).

Leoben. Montanist. Hochschule:

— — Berg- und Hüttenärarisches Jahrbuch 69/70, 1 — 6.

Lincoln. University of Nebraska Library:

— — Extension bulletin 63.

— — Bulletin of exper. Station 179. 180.

— — Research bulletin 19.

Circular 14—17.

— — Annual Report 35.

— - Studies 14—19; 20, 1 u. 2.

30*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Linz. Museum:

— — Jahresbericht 79.

Lissabon. Biblioteca Nacional:

Reinpressaes 1 u. 2.

— Societe Portugaise des Sciences naturelles:

— — Bulletin 9, 1.

— — Memorias (Ser. geol. 1 — 3; ser. biol. 2. 4; ser. zool. 3; ser

anthrop. 1).

— Universität :

— — Archivo de anatomia 9, 2 u. 3; 2, 1 — 4; 3, 1 — 3 ; 4, 1 u. 2; 5, 1 — 3

6, 1; 7, 1.

Löwen. Societe scientifique de Bruxelles:

— — Annales 41, 3—4; 42, 1.

London. British Academy:

— — Proceedings and transactions 1913/14. 15/16. 17/18.

— — Schweich lectures 1913 — 20.

— — Records of social and economical history 1. 2. 4. 5.

— R. Society:

— — Philosophical transactions A 600 — 611;

, „ B 385-388.

— — Proceedings A 709 — 717; B 653—659.

— — Yearbook 1922.

— Geological Society:

Quarterly Journal 308—312.

— — Geological literature 1920—22.

— — List of memhers 1922.

— Linnean Society:

— — Journal (Botary) 287 — 307.

„ (Zoology) 218—232.

Proceedings 1913/14-1921/22.

— — Transactions (Botany) 8, 9; (Zool.) 17, 1 — 4; 18, 1.

— — List of members 1922/23.

Lund. Museum:

Redogerelse 1921/22.

— „Botaniska Notiser“:

Notiser 1922, 3-6.

— Universität:

Acta 17 (1921) I. II.

— — Arsberättelse 1920/21 — 1921/22.

Arskrift 21.

— — Bibelforskaren 1921.

— — Skrifter human, vetenskapssamfundet 4. 5.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

31*

Luxemburg. Societe des naturalistes:

— — Bulletins 14. 15.

Luzern. Naturforschende Gesellschaft:
Mitteilungen 8.

Madison. Wisconsin Geolog. Survey:

— — Bulletin Nr. 55. 57. 58. 64.

— Washburn Observatory:

Publications 10, 4; 13, 1.

Madras. Government:

— — Acharya u. Sastri 1921.

Madrid. R. Academia de ciencias exactas:

Anuario 1922.

— — Discursos 1920.

— — Revista 19, 1 — 6.

— R. Academia de la historia de Espana:

Boletfn 80, 3 u. 6; 81, 2—4; 82, 1.

— Universität;

Trabalos de laboratorio biologico 17—19. 20, 1 u. 2.

— Sociedad espanola de fisica y quimica:

— — Anales 187 — 197.

Magdeburg. Museum:

— — Abhandlungen und Berichte 3, 4.

Mailand. R. Istituto:

Rendiconti 47 — 55, 15.

— Societä Italiana di scienze naturali:

Atti 54—59; 61, 1 u. 2.

Mainz. Altertums verein:

— — Mainzer Zeitschrift 15. 16.

Mannheim. Altertumsverein:

— — Mannheimer Geschichtsblätter 23.

Mantua. Accademia Virgiliana:

Monumenta I.

Miscellanea, 3 Bde.

Marburg. Gesellschaft für Naturwissenschaften:

— — Sitzungsberichte 1921.

Maredsous. Abbaye:

Revue benedictine 34, 2 — 4.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jabrg. 1922.

e

32*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Meiningen. Henneberger altertumsforschender Verein:

— — Henneberger Blätter, Okt. 1921.

Meissen. St. Afra:

— — Jahresbericht 1918 — 1922.

Melbourne. R. Society of Victoria:

— — Proceedings 34, 1 u. 2; 35, 1.

Mexiko. Instituto geologico:

— — Boletin 37.

— Sociedad cientifica Antonio Alzate:

Memorias y revista 39, 9—12; 40, 1 — 6; 41, 1.

Middelburg. Seeländische Gesellschaft der Wissenschaften:

— — Archief 1922.

Milwaukee. Public Museum:

— — Yearbook 1921, I, 1 — 116.

Minneapolis (Minnesota). University:

Bulletin 122. 130. 132. 134—141. 143-171. 178-193. 195-197.

— — Bulletin (school of mines 4. 6. 7).

— — Farmers library 5, 4.

Current Problems 2 — 8. 11. 13.

— — Studies biological 3.

— — , botanical 4, 4.

— — „ economics 1.

— — „ in child welfare 1. 4. 5. 7.

— — „ in social Sciences 2 — 9.

— — „ in language 1 — 8.

— — University studies 15. 18. 19.

— — Geological Survey 11 — 14; 16. 17.

Modena. Societa dei Naturalisti e Matematici:

Atti 6 (52).

Mount Hamilton. Lick Observatory:

Bulletin 336—342.

München. Landesanstalt für Gewässerkunde:

— — Jahrbuch 21.

— — Monatsbericht 1922, 1 — 12.

— — Abhandlungen 1.

— Landeswetterwarte:

— — Jahrbuch 1921.

— — Übersicht 1922, 1—9.

— Universität:

— — Schriften 1922.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

33*

Münster. Provinzial verein für Wissenschaft und Kunst:

— — Jahresbericht 1920/21 u. 1921/22.

— Verein für Geschichte Westfalens:

— — Zeitschrift 79, 1.

Neapel. Accademia di archeologia:

— — Atti, N. Ser. 4—7.

Neuburg. Historischer Verein:

— — Kollektaneenblatt 86.

Neuchätel. Societe Neuchäteloise de geographie: .

— — Bulletin 29 u. 30.

— Societe des Sciences naturelles:

— — Bulletin 46.

— Universite:

— — Dissertationen 1921/22.

— — Programme des cours 1922, 1922/23.

— — Recueil 9.

New Albany (Ind.):

— — Contributions to Indiana palaeontology, Vol. 1 (= 1 — 20), 1898

bis 1904; Vol. 2, 1—3.

New Haven. Connecticut Academy of arts and Sciences:

— — Memoirs 4 — 7.

Transactions 23, 1—416; 24, 1—243; 25, 342—408; 26, 1 — 179.

— Yale University:

.Report 1919/20, 1920/21.

New York. Academy of Sciences:

Annals 24, 171—443; 26; 27, 1—191; 28, 1-200; 29, 1-139.

— American Philological Association:

Transactions and proceedings 52.

— American Association of genito-urinary surgeons:

Transactions 13. 14.

— American Museum of Natural History:

— — Bulletin 42 — 44.

— — Journal 17. 18. 19, 1—6.

Natural History 22, 1 — 5.

— — Guide Leaflets 54. 55.

Novitates 36 — 54 (außer 43 — 47).

— — Anthropological papers 27.

— — Report 52. 53.

— Rockefeiler Institute:

— — Studies 38.

List of publications 1922.

34*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

New York. American Geographical Society:

— — Geographical Review 1920, 1 — 3; 1921, 4; 1922, 2 u. 3.

— Geological Society:

Bulletin 32; 33, 1 u. 2.

— American Jewish Historical Society:

— — Publications 28.

— American Mathematical Society:

— — Bulletin 251 — 308.

— — Transactions 18, 3 u. 4; 19—21; 22, 1 u. 2; 23, 1 — 3.

— Columbia University:

Dissertationen (15) 1922.

— — Masters essays 1921.

University Bibliography 1920.

Nördlingen. Historischer Verein:

Jahrbuch 8.

Nürnberg. Naturhistorische Gesellschaft:

— — Abhandlungen 21, 3; 22, 1.

— — Jahresbericht 1921.

— Germanisches National-Museum :

— — Anzeiger 1921.

Osnabrück. Verein für Geschichte und Landeskunde:

— — Mitteilungen 44.

Oxford. Radclyffe Observatory:

— — Results of meteorological observations 51.

Paderborn. Verein für Geschichte Westfalens:

— — Zeitschrift 79, 2.

Padua. Accademia Veneto-Trentina-Istriana:

Atti 12 u. 13 (1921).

Parenzo. Societä Istriana di archeologia e storia patri
Atti e memorie 33.

Paris. Revue des questions historiques:

Revue 61 (1923) Nr. 1.

— Societe de geographie:

La Geographie 37, 1 — 5; 38, 1—4.

— Societe de philosophie:

Bulletin 1921, 5; 1922, 1.

— Societe fran9aise de physique:

— — Journal de physique 1, 1 — 3; 3, 9. 10. 12.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

35*

Passau. Lyzeum:

— — Jahresbericht 1919/20.

Petersburg. Archäologische Gesellschaft:

— — Marra und Orbeli: Archäologische Expedition 1916 in Wan.

Petersburg 1922.

— Socidte paleontologique:

— — Annuaire 1. 2.

Memoires 1.

Philadelphia. Academy of Natural Sciences:

— — Proceedings 73, 1 — 3.

— — Report 1919/20.

— Historical Society of Pennsylvania:

— — Magazine 181. 183—185.

— American philosophical society:

Proceedings 60, 1 — 4.

— U ni versity :

— — Contributions from the botanical laboratory 4, 2; 5, 1 u. 2.
Proceedings of university day 1921.

Pisa. Societä Italiana di fisica:

II nuovo Cimento 68,2-4; 61,1-12; 62(11), 1—4; 62(12), 5-12;

63 (13), 1—6; 63 (14). 7—12; 64 (15), 1—6; 64 (16), 1—6.

Plauen. Altertumsverein :

— — Mitteilungen 30—32.

Portland (Maine). Society of natural history:

Proceedings, vol. 3, part 2.

Posen. Historische Gesellschaft (Deutsche Bücherei):

— — Monatsblätter 19, 10 — 12; 20, 2 u. 3, 5 u. 6; 21, 3 u. 4; 22, 1 u. 2.
Warschauer: Gesch. d. Stadt Gnesen 1918.

Potsdam. Astrophysikalisches Observatorium:

— — Publikationen 78. 79.

— Preuß. Geodätisches Institut:

— — Veröffentlichung 85 — 87. 89.

Prag. Böhmische Gesellschaft der Wissenschaften:

Sitzungsberichte 1920 (A u. B).

— Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft:

— — Rechenschaftsbericht 1922.

— Lotos:

— — Lotos 67 u. 68.

— Museum:

— — Hanus: Narodei-Museum 1921.

36*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Prag. Cechoslav. Museum:

— — Vestnik 13, 4; 14, 1 u. 2; 15, 1 u. 2.

— Societas entomologica öechosloveniae:

— — Casopis 14. 15. 18 3 u. 4.

Pfirucky 10.

— Staatssternwarte:

— — Beobachtungen 78.

— Universität:

— — Ordnung der Vorlesungen 1922/23.

— Verein böhmischer Mathematiker:

— — Casopis 45, 4 u. 5; 46 — 48; 51, 1—4.

Rathenow. Optische Werke:

— — Mitteilungen 11 — 14.

Regensburg. Botanische Gesellschaft:

— — Denkschriften 15.

— Historischer Verein:

— — Verhandlungen 72.

Riga. Gesellschaft für Geschichte der Ostseeprovinzen
Mitteilungen 21, 3.

— Naturforscher-Verein:

— — Arbeiten 14.

— Universität:

— — Acta 1 — 3.

Rio de Janeiro. Biblioteca Nacional:

— — Annaes 39.

— — Boletim bibliographico 3, 1 u. 2.

— Sociedade Brasileira de Sciencias:

— — Revista 4. 5 (1920 u. 21).

Rochester. Academy of Science:

— — Proceedings 6, 4.

Rom. Accademia dei Lincei:

— — Memorie (CI. sc. mor.) 16, 1 — 9.

„ (CI. sc. fis.) 13, 1—11, 16—18.

— — Notizie degli scavi 18, 1 — 12; 19, 1—6.

— — Rendiconti (CI. sc. mor.) 30,7—12; 31, 1—4;

— — „ (CI. sc. fis.) 31, 1—12; 2° sem. 1 u. 2.

— Istituto G. Ferraris:

— — Rassegna 1, 1 — 12; 2, 1 — 12.

— Specola Vaticana:

— — Pubblicazioni 10. 12.

Miscellanea astronomica 2 (= 13—34).

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

37*

Rostock. Universität:

Vorlesungsverzeichnis 1922/23.

— — Dissertationen 1922.

Rotterdam. Bataafsch genootschap der proefonderlijke wijs-
begerde:

— — Verslag 1921/22.

Saint-Louis. University:

— — Studies 21 — 35.

Salzburg. Gesellschaft für Salzburgische Landeskunde:

— — Mitteilungen 62.

San Francisco. California Academy of Sciences:

Proceedings 10 (1920) 10—12; 11 (1921), 1—17.

Sao Paulo. Instituto sorotherapico:

— — Anexos 1, 1.

Schleusingen. Hennebergischer Geschichtsverein :

— — Schriften 13.

Sendai (Japan). Universität:

— — Arbeiten aus dem anatomischen Institut 7.

— — Tohoku Mathematical Journal 20, 3 u. 4; 21.

— — Tohoku Journal of experimental medicine 2, 5 u. 6; 3, 1 — 4.

— — The Science Reports 10, 6; 11, 1—4.

„ „ ,11. Ser. 6, 1; 7,1; III. Ser. 1, 2.

Technology Reports 2, 4; 3, 1.

Simla. India Meteorological Department:

— — Memoirs 22,3 — 7; 23, 1 — 5.

— — India Weather Review 1913 — 1918.

— — Monthly Weather Review 1914, 3 — 1920, 5.

Sofia. Archäologische Gesellschaft:

Bulletin 6 u. 7.

— Universität:

— — Godisnik 8.

Spalato. Archäologisches Museum:

— — Bullettin d’ archeologie 40—42, 44.

Speyer. Gymnasium:

— — Jahresbericht 1921/22.

— Historischer Verein:

— — Mitteilungen 39 — 42.

3«*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Stade. Verein für Geschichte:

— — Stader Archiv 12.

Stockholm. Akademie der Wissenschaften:

— — Arkiv für botanik 16 — 18, 1.

— — Arkiv för kemi 8, 3 u. 4.

— — Arkiv för matematik 16, 3 u. 4; 17, 1 u. 2.

— — Arkiv för Zoologie 14, 3 u. 4; 15, 1.

— — Ärsbok 1922.

— — Handlingar 60, 1—9 und 54.

— — Jakttagelser, astron. 7-10.

— Landbruks- Akademie:

— — Handlingar 61 (1922), 1—8.

— K. Vitterhets och Antikvitets Akademie:

— — Fornvännen 13 — 15.

— — Handlingar 34, 1 u. 2.

— Bibliothek:

— — Akzessionskatalog 36.

— Entomologiska föreningen:

Tidskrift 43.

— Geologiska förening:

— — Förhandlingar 44.

— Schwedische Gesellschaft für Anthropologie und Geo-

graphie:

— — Annaler 4, 1 u. 2.

— — Ymer 42.

— Reichs- Archiv:

— — Meddelanden I, 51 — 53.

Stonyhurst. Observatory:

— — Results 1921.

Straubing. Historischer Verein:

— — Jahresbericht 24.

Stuttgart. Bibliothek:

— — Geschichtsquellen 20.

— — Vierteljahreshefte 30.

— — Schwäbisches Wörterbuch (Fischer) 66. 67.

— Staatsarchiv:

— — Urkunden und Akten 2, 1 (1922).

— Statistisches Landesamt:

— — Würtemb. Jahrbücher 1919/20.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften. 39*

Tacubaya. Observatorio astronömico:

— — Anuario 43.

Thorn. Kopernikus-Verein :

Mitteilungen 28—30.

Tokyo. Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde
Ostasiens :

— — Mitteilungen 15 B. C. 17.

— Geological Survey:

— — Bulletin 25, 4.

— — Geology of Empire Zone 21, col. 13; Zone 11, col. 10; Zone 16,

col. 10.

— Zoological Society:

— — Annotationes zoologicae 10, 4.

— Universität:

— — Journal of biochemistry 1, 1.

— Earthquake Investigation Committee:

— — Bulletin 9, 3; 10, 1.

— — Contents of publications 2.

Toronto. University:

— — Physiological Series 41 — 45.

— — Geological Series 12.

— — Biological Series 20.

— — Papers from Chemical laboratories 111 — 129.

— — Papers from physical laboratories 79—84.

— — Philological Series 6.

Trient. Societä per gli studi Trentini:

— — Studi Trentini 3, 1 — 4.

Tübingen. Universität:

— — Universität Tübingen [= Universitätsschriften Tübingen] 18. 19.

— — Tübinger naturwissenschaftliche Abhandlungen 1 — 4.

— — Jahresbericht der Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften

1920-21.

Turin. Accademia d’agricoltura:

— — Annali 64.

— Museo di zoologia:

Bollettino 34. 35 {= 731—742).

— Societä Piemontese di archeologia:

Olivero Eug.: L'antica Pieve, 1922.

Ulm. Verein für Mathematik:
Mitteilungen 17.

40*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Upsala. Schwedische Literaturgesellschaft in Finnland:

Skrifter 161 — 165.

— Universität:

— — Arbeten af Ekmans Univ.-Fund 27. 28.

— — Arskrift 1921.

— — Zoologiska Bidrag Suppl.-Bd. 1, 1920.

— — Linnee 8.

— — Bulletin Met. Obs. 53.

— — Arsbok 2, 1920.

Utrecht. Provinciale genootschap van kunsten en weten
schapen :

— — Aantekeningen 1921.

Verslag 1921.

— Meteorologisches Institut:

— — Annuaire 1920 A. B.

— — Mededeelingen 26. 27.

— — Ergebnisse aerologischer Beobachtungen 9.

— — Overzicht 19 (1922), 1 — 11.

— — Onweders 40.

— Physiolog. Laboratorium der Tierärztlichen Hochschule

— — Onderzoekingen 6. 2.

Vaduz. Historischer Verein für Lichtenstein:

— — Jahrbuch 22.

Venedig. R. Istituto Veneto:

— — Concorsi 1922.

Verona. Museo Civico:

— — Madonna Verona 56. 57.

Vicenza. Accademia Olimpica:

Atti 7.

Warschau. Wissenschaftliche Gesellschaft:

— — Rozpravy histor. I, 1 u. 2.

— — Travaux du laborat. de biol. gen. 1. 1. 2. 5.

— — Sprawozdania stacji hydrobiol. 1, 1.

— — Arcbiwum nauk biol. 1; 1, 3, 4.

Travaux du laborat. neurobiol. 3, 1 u. 2.

Travaux du laborat. de physiol. 1, 3—12.

Washington. National Academy of Sciences:

Memoirs 16, 3.

— — Proeeedings 6, 6—12; 7, 1 — 12; 8, 1—12.

Report 1917—1921.

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

41*

Washington. Bureau of American ethnology:

Bulletin 59 — 75.

— — Report 35. 36.

— Srnithsonian Institution:

— — Miscellaneous collections 2650—58, 2662 u. 63, 2669.

— — Report 1920.

— U. S. National Museum:

Bulletin 82 I 2; 104, 113-115, 117-119, 122.

— — Contributions to herbarium 18, 3—7; 19; 20, 1—12; 21; 22, 1 — 6;

23, 1 u. 2; 24, 1-4.

— — Proceedings 59.

Report 1920/21, 1921.

— U. S. Naval Observatory:

— — Astron. papers 9, 2.

American Ephemeris 1917 — 1924.

— Surgeon General Office U. S. Army:

Index-Catalogue 20.

— U. St. Geological Survey:

Bulletin 679. 688. 706. 714. 721. 725 B-J; 726 A B. D-G.

730 A. B; 735 A— C, 736 A. C.

— — Professional papers 123. 129 A — J.

— — Water supply papers 459. 460. 468. 471. 476. 477. 481. 487.

490 B. 500 A-C.

— — Annual report 42.

Weimar. Böhlau:

— — Zeitschrift der Savignystiftung 43.

Wernigerode. Harzverein:

— — Zeitschrift 55 (1922).

Wien. Akademie der Wissenschaften:

— — Almanach 70. 71.

— — Anzeiger 1922, 1 — 20.

— — Archiv für österreichische Geschichte 109, 1 u. 2.

— — Sitzungsberichte (I. Kl.) 183,5; 191,5; 197,6; 198, 2 u. 4.

„ (II. Kl.), I. Abt.: 130,1-9; Ha Abt.: 130,1-8;

II b Abt.: 130, 1—10; 131, 1.

— — Mitteilungen der Erdbebenkommission 55 — 57.

— Gesellschaft der Ärzte:

— — Wiener Klinische Wochenschi-ift 1922.

— Zoologisch-botanische Gesellschaft:

— — Verhandlungen 69, 6—10; 70, 1 — 10; 71 (1921).

— Österr. Kommission für internationale Erdmessung:

— — Verhandlungen 1920 und 1921.

Astronom. -geod. Arbeiten N.F. 1 (1922).

42*

Verzeichnis der eingelaufenen Druckschriften.

Wien. Mechitharisten-Kongregation:

— — Handes Amsorya 1921..

— Naturhistorisches Museum:

— — Annalen 35.

— Chliborobska Ukraina:

— — Ukraina 1921, 1 — 6.

— Geologische Staatsanstalt:

— — Jahrbuch 71, 3 u. 4; 72, 1 u. 2.

— — Verhandlungen 1922, 1 — 9.

— Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik:

— — Jahrbücher 54.

— — Bericht über die Erdbeben 13.

Wiesbaden. Verein für nassauische Altertumskunde:

— — Annalen 45.

— Verein für Naturkunde:

— — Jahrbücher 74.

Würzburg. Physikalisch-medizin. Gesellschaft:

— — Sitzungsberichte 1920, 3 — 5.

— — Offiz. Sitzungsprotokolle 1921.

— Universität:

Verzeichnis der Vorlesungen 1922/23.

— Historischer Verein:

— — Archiv 62.

Zaragoza. Academia de ciencias:

Revista 6 (1921), 1.

Zürich. Antiquarische Gesellschaft:

— — Mitteilungen 29, 3.

— Naturforschende Gesellschaft:

— — Neujahrsblatt 125.

— — Vierteljahresschrift 67, 1 u. 2.

— Schweizerische Geologische Kommission:

— — Beiträge zur geologischen Karte der Schweiz 35, 1 ; 46, 4.

— — Spezialkarten 90 A. B; 94 A; 95.

— Schweizerisches Landesmuseum:

Jahresbericht 30.

— Technische Hochschule:

— — Dissertationen 1922.

Programm 1922/23.

— Universität:

— — Dissertationen 1922.

Abgeschlossen 1. Mälz 1923.

1

Neuzeitliche Erdkrustenbewegungen in Frankreich.

Von M. Schmidt.

Vorgetragen in der Sitzung am 14. Januar 1922.

Mit einem Kärtchen.

Im Anschluß an meine Mitteilungen über tektonische
Höhen- und Lageänderungen von Messungspunkten im baye-
rischen Alpenvorland (vom 6. Juli 1918) möchte ich über Boden-
bewegungen von großer Ausdehnung berichten, welche durch
die in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts in Frank-
reich wiederholt ausgeführten Feinnivellements nachgewiesen
sind und die wohl ebenfalls als tektonische Erdkrustenbewe-
gungen angesehen werden müssen.

So viel bekannt ist, war der Geographe-Duroi Dupain-
Triel (1732 — 1805) der erste, welcher die Darstellung der
Bodengestaltung durch Schichtenlinien von gleichem Höhen-
abstand zu einer Methode ausbildete und allgemein in Gebrauch
brachte. Er tat dies insbesondere durch eine der Pariser Aka-
demie am 4. Mai 1771 überreichte Abhandlung und in einem
11 Jahre später 1782 erschienenen größeren Werke über die
Darstellung der Höhengestaltung des Geländes auf Erd- und
Seekarten.

Im Jahre 1791 hat derselbe sodann eine Höhenschichten-
karte von ganz Frankreich unter dem Titel veröffentlicht:

„La France consideree dans les differentes hauteurs de ses
plaines.“ Par Dupain-Triel, Göographe, ä Paris.

Echelle 93 mm = 100 mille toises (1 : 2 100000).

Sitzungsb. d. matb.-pbys. Kl. Jalirg. 1922.

1

2

M. Schmidt

In dieser Karte sind außer den Namen vieler Ortschaften
und dem hydrographischen Netz, die hauptsächlichsten durch
Bergstriche dargestellten Gebirge und Höhenzüge eingetragen
und die Höhen der wichtigsten Berggipfel in Toisen einge-
schrieben, überdies aber der Verlauf der Höhenschichtenlinien
mit 10 Toisen Abstand mit punktierten Linien angegeben und
deren Abstufung durch einzelne Profilschnitte zur Anschauung
gebracht.

Eine der Karte ursprünglich beigefügte Erläuterung, welche
insbesondere über die Art der vorgenommenen Höhenmessungen
nähere Aufschlüsse enthalten haben könnte, ist leider abhanden
gekommen, doch muß wohl angenommen werden, daß die der
Einzeichnung der Schichtenlinien zugrunde liegenden Höhen-
angaben durch Barometermessungen erhalten worden sind, die
in der damaligen Zeit für geographische Zwecke hauptsächlich
im Gebrauch waren.

Zur Berechnung dieser Messungen wurde voraussichtlich
die von Bouguer bei seinen peruanischen Messungen benutzte
Barometerformel angewendet, die gegen Ende des 18. Jahr-
hunderts durch Laplace auf die jetzige, seither noch unüber-
troffene Form gebracht worden ist.

Eine dauernde und scharfe Bezeichnung der Lage der
Höhenpunkte im Gelände und eine genaue Einzeichnung in die
Karte ist nicht erfolgt, so daß sich ihre Lage gegenwärtig
nicht mehr auffinden läßt, wenn man sie zum Zwecke der
Wiederholung der Höhenmessungen wieder aufsuchen wollte.
Doch wenn letzteres auch möglich wäre, so würde die geringe
Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung, die selbst bei
Verwendung der verbesserten Höhenmeßbarometer der Neuzeit
nicht über 1 bis 2 m hinausgeht, die im Laufe der Zeit etwa
eingetretenen geringen Höhenänderungen der Messungspunkte
nicht mit der erforderlichen Zuverlässigkeit bestimmen lassen.

In den Jahren 1857 bis 1864 sind sodann in Frankreich
das ganze Land umfassende geometrische Nivellements von
großer Genauigkeit durch das Ministerium der öffentlichen
Arbeiten unter der Oberleitung von Bourdaloue ausgeführt

Neuzeitliche Eidkrustenbewegungen in Frankreich.

3

worden, die eine Länge von 15000 km besitzen und eine wahr-
scheinliche Größe der zufälligen Fehler aufweisen, welche 2 bis
3 mm auf das Kilometer nicht überschreiten. Dieser Genauig-
keitsgrad entspricht den Grundsätzen, welche von der 2. im
Jahre 1867 in Berlin abgehaltenen Erdmessungskonferenz für
solche Nivellements aufgestellt worden sind, welche als Grund-
lage für alle weiteren Höhenmessungen eines Landes und für
Untersuchungen über Hebungen und Senkungen des Bodens zu
dienen bestimmt sind, die durch spätere Wiederholung dieser
Nivellements in nicht zu langen Zwischenräumen festgestellt
werden sollen.

Gleichwohl hat man schon im Jahre 1878 die Ergebnisse
des von Bourdaloue geleiteten ersten geometrischen Landes-
nivellements von Frankreich den Bedürfnissen des öffentlichen
Dienstes und den Forderungen der Wissenschaft für nicht
mehr ganz entsprechend erachtet und hat sich trotz der hohen
Kosten zu einer Erneuerung des ganzen Landesnivellements
entschlossen.

Zu diesem Zweck ist eine aus Vertretern der Ministerien
des Krieges, des Inneren und der öffentlichen Arbeiten ge-
bildete große Kommission von Gelehrten, Technikern und Ver-
waltungsbeamten mit der Aufgabe betraut worden, Vorschläge
für die Ausführung eines neuen Landesnivellements zu ent-
werfen, dessen Linien hauptsächlich den Eisenbahnen und den
Meeresküsten folgen und an die vorhandenen Seepegel in den
Hafen plätzen angeschlossen werden sollten. Außerdem hatten
die neuen Nivellementslinien möglichst viele noch erhaltene
Höhenpunkte des von Bourdaloue ausgeführten Nivellements
in sich aufzunehmen, um deren Höhen zu berichtigen und etwa
eingetretene Bodenbewegungen durch Vergleichung der Höhen
der beiden Nivellements erkennen zu können.

Das Hauptnetz des neuen Nivellements mit einer Gesamt-
linienlänge von 12000 Kilometer kam in den Jahren 1884 bis
1893 unter der Oberleitung des Mineningenieurs Ch. Lalle-
mand zur Durchführung und hält sich hinsichtlich der Größe
seiner Fehler in den von der Hamburger Erdmessungskonferenz

1*

4

M. Schmidt

im Jahre 1912 für Feinnivellements von erhöhter Genauigkeit
festgesetzten Grenzen.

Die Vergleichung der durch das neue Nivellement be-
stimmten Meereshöhen mit den beiläufig 25 Jahre früher durch
das alte Nivellement erhaltenen Höhen identischer Festpunkte
läßt bemerkenswerte Unterschiede im Sinne von Bodensenkungen
erkennen, welche vom Mittelmeer bei Marseille bis an die bel-
gische Küste stetig zunehmen und bis zu einem Betrag von
1 m ansteigen.

In Anbetracht ihrer Größe und ihres systematischen Cha-
rakters können diese Unterschiede nicht mehr als Folge von
einseitigen Messungsfehlern des einen oder anderen der beiden
Nivellements aufgefaßt werden.

Sie müssen vielmehr größtenteils durch fortschreitende
Bodensenkungen erklärt werden, deren Zusammenhang mit der
Gebirgsbildung schon ein flüchtiger Blick auf das nebenstehende
orographische Kärtchen von Frankreich zeigt, in welchem die
Linien gleicher Bodensenkung (Isokatabasen) mit 10 cm Höhen-
abstand dargestellt sind, die in ihrem Verlauf eine Trog- oder
Muldenbildung deutlich erkennen lassen, deren Achse in der
Richtung des Rhonetales liegt und deren östlicher Flügel durch
die Gebirgsmassen der Alpen und des Jura gebildet wird.

Das Senkungsfeld beginnt südlich am Fuße der Pyrenäen-
kette und wird gegen Osten durch Alpen und Jura begrenzt,
während es sich westlich über das französische Zentralplateau
ausdehnt und sich nach Norden bis an das Seinebecken und
den Kanal La Manche erstreckt.

Der bekannte Geologe Geheimrat Professor Dr. Emanuel
Kayser hat sich über die wissenschaftliche Erklärung der er-
wähnten regionalen Senkungsvorgänge auf mein Ersuchen wie
folgt geäußert:

„Ich teile vollständig Ihre Meinung, daß die Abwei-
chungen der neuen von den alten Höhenmessungen in Frank-
reich nichts weniger als Beobachtungsfehler sind, sondern
eine wirkliche und zwar sehr große Bedeutung besitzen.
Man erkennt sofort, daß die Höhenlage der großen tertiären

Neuzeitliche Erdkrusten bewegungen in Frankreich,

D

Linien gleicher Bodensenkung (Isokatabasen) in Frankreich,

6

M. Schmidt, Neuzeitl. Erdkrustenbeweg. in Frankreich.

Faltungsgebirge der Alpen und Pyrenäen unverändert ge-
blieben ist — die Alpen weisen sogar eine geringe Hebung
auf — daß das ganze übrige Frankreich aber einer Sen-
kung unterliegt, die um so stärker ist, je näher man der
Nordseeküste kommt.

Dies stimmt durchaus mit der längst bekannten, seit
der Postglazialzeit eingetretenen und bis heute andauern-
den säkulären Senkung der ganzen nordfranzösischen, wie
auch der niederländischen Küste überein.

Sehr bedeutsam ist ferner die starke Ausbuchtung nach
Süden, welche die im allgemeinen west-östlich verlaufenden
Senkungslinien im Rhone- und Saonnetale zwischen Dijon
und Montpellier zeigen, d. h. in jener breiten Senke zwi-
schen Alpen, Jura und französischem Zentralplateau, die
in jeder Hinsicht ein Gegenstück unseres mittelrheinischen
Grabens bildet.“

Die Zuverlässigkeit der zur Feststellung der vorerwähnten
Höhenänderungen benutzten Messungen ist durch umfangreiche
Veröffentlichungen erwiesen, die in den Abhandlungen der Aka-
demie der Wissenschaften in Paris und in einer ganzen Reihe
von Jahrgängen der Verhandlungen der Konferenzen der Inter-
nationalen Erdmessung enthalten sind.

München im Januar 1922.

7

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria
comhinationis observationum.

Von Georg Faber.

Vorgetragen in der Sitzung am 14. Januar 1922.

rp{x) bezeichne im folgenden stets eine nie zunehmende
Funktion der positiven Veränderlichen x; die Kurve y = <p(x)
stellen wir uns in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem
vor, Parallele zur X-Achse nennen wir auch horizontal, Par-
allele zur X-Achse vertikal, die Achse der positiven x sei von
links nach rechts gerichtet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
der absolute Betrag eines Beobachtungsfehlers zwischen den
Grenzen a, ß liege, wo 0 < a < ß, werde durch

P

1)

gemessen. Wir wollen gelegentlich zulassen, daß der Fehler
Null unendlich vielmal wahrscheinlicher sei als jeder andere,
so daß ihm allein eine endliche Wahrscheinlichkeit iv0 zukommt.
Dann ist

im allgemeinen jedoch setzen wir iv0 = 0 voraus. Ferner
werden folgende Bezeichnungen benutzt:

GO

3)

Jcn = K» (> 0);

4)

8

G. Faber

n ist positiv, aber nicht notwendig ganzzahlig gedacht, cp ( x )
soll mit lfx rasch genug gegen Null konvergieren, daß alle
diese Integrale einen Sinn haben; häufig wird von einem ge-
wissen x ab <p(a;) = 0 sein. Wir setzen noch zur Abkürzung

X

5)

U

Im 10. art. der theoria combinationis observationum be-
weist Gauß folgenden Lehrsatz, den er selbst als theorema
insigne bezeichnet1):

Es ist stets

x < 31;2 k2 z (x) , falls z (x) < § ;

6)

7)

Gauß hat beim Beweise dieses Satzes die Spuren seiner
Erfindung, wie er auch sonst zu tun pflegte, möglichst ver-
wischt, und der Leser bleibt daher unbefriedigt, wenn es ihm
nicht gelingt, das Gefüge des überall glatt verputzten Bau-
werks bloßzulegen. Im vorliegenden Fall ist das nicht schwierig
und geschah durch Winckler2); dieser Mathematiker fand bei
dieser Gelegenheit zugleich die folgende Verallgemeinerung des
Gaußschen Satzes:

8) x < (m \)mkmz(x).

9) •< ^ r,

(w -f- 1) (1 — z ( x))'n

Für m = 2 erhält man das Gaußsche Ergebnis.
Einen anderen Satz, nämlich daß stets

10) 5 ^ (3 AT2)2

ist, hat Gauß im 11. art. ohne Beweis mitgeteilt.

.') Gauß, Werke, Bd. 4; Comm. soc. sient. reg. Gotting. 1823.

2) Sitzungsber. der Wiener Akad., Bd. 53 (1866).

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria etc.

9

Bei Winckler a. a. 0. findet sich die allgemeinere Un-
gleichung:

11) [(n + 1 )Kn]m > [(m 1) für n> m,

die für in — 2, n — 4 in den Gaufischen Satz (10) übergeht.
Der Winck lersche Beweis für (11) ist jedoch falsch und, wie
es scheint, nicht verbesserungsfähig.

Im Jahre 1896 beschäftigte sich Herr Krüger in den
Nachrichten der Göttinger Ges. d. Wiss. mit den beiden Gau fi-
schen Sätzen (6), (7) und (10), ohne die Wincklersche Ab-
handlung zu kennen. Er beweist zunächst genau wie Winckler
dessen Verallgemeinerung (8), (9) des Gau fischen Satzes (6), (7).
Sodann beweist er (10); es ist erstaunlich, daß dieser ein-
fache und merkwürdige Gaufische Satz erst mehr als ein
halbes Jahrhundert nach seiner Veröffentlichung mit einem Be-
weise versehen wurde. Herr Krüger verallgemeinert auch,
ganz ähnlich wie Winckler das Gaufische Ergebnis, jedoch
nicht bis zu der Wincklerschen Formel (11), von der er viel-
mehr nur die besonderen Fälle n = 2 m, und m — 2, n = 2p
beweist.

Alle erwähnten Beweise und Beweisversuche schließen sich
eng an den von Gauß für (6), (7) benutzten Gedankengang
an und bedürfen eines ziemlichen Aufwandes von Rechnung.
Durch Einführung anders gearteter Überlegungen in diesen
Aufgabenkreis lassen sich, wie ich zeigen will, die erwähnten
Sätze und andere, die neu sind, mit großer Einfachheit und
Anschaulichkeit beweisen. Ich beginne mit dem Beweise des
in seiner Allgemeinheit immer noch unbewiesenen Winckler-
schen Satzes (11).

Es sei eine den eingangs aufgestellten Bedingungen ge-
nügende Fehlerkurve Cl:

12)

y = <p 0)

mit ivQ = 0 und der zugehörige Wert

oo

0

10

G. Faber

gegeben. Daneben betrachte ich eine zweite Fehlerkurve C2 :

y — wo

( p2 ( x ) = h (konstant), falls 0 < x < a ;

14)

<p2 (x) = 0 , falls x > a.

C2 besteht also aus einer horizontalen Strecke; doch wollen
wir auch das Stück der vertikalen Geraden x = a zwischen
y — 0 und y = h mit zu dieser Fehlerkurve C2 rechnen; die
entstehende „Stufe“ besteht also aus einem horizontalen und
aus einem vertikalen Stück. (Auch an einer etwa vorhandenen
Sprungstelle xx der gegebenen Funktion cp {x) würden wir ein
vertikales die beiden Punkte xx , cp (xx — 0) und xx , (p{pc , -f 0)
verbindendes Geradenstück einfügen. Unsere Fehlerkurven sind
somit ununterbrochene Kurvenzüge, welche einen Punkt der
Y-Achse mit einem Punkte der X-Achse, der auch x = oo
sein kann, verbinden.)

Die in (14) noch vorkommenden Konstanten a, h bestim-
men wir durch die Forderungen, erstens data für C2 die Kon-
stante iv0 = 0, d. h. daß

15) ah = 1

sein soll, und zweitens, daß das mte Moment für C2:

16)

h

J' x"‘ d x — Km ,

\J

d. h. ebenso groß wie für C, sein soll; es wird, also

17)

oder

18)

ham+ 1
m 1

= Kn

m -p 1

= X,„

Wegen der Monotonie der Funktion cp (#) können die
Kurven Cx, C2 einander in höchstens zwei Punkten schneiden.
Man sieht leicht ein, daß diese zwei möglichen Schnittpunkte
tatsächlich vorhanden sind. Es folgt dies auch aus dem nach-
stehenden Hilfssatze, den wir nachher nochmals brauchen wer-

Bemerkungen 7,u Sätzen der Gaußschen theoria etc.

11

den, dessen Beweis ich aber auf den Schluß dieser Mitteilung
verschiebe.

Hilfssatz I: Ist die Funktion F(a) definiert durch

19)

0

so hat die Funktion yj (x) mindestens eben so viele posi-
tive Nullstellen mit Zeichen Wechsel als die Funk-
tion F(a ) Nullstellen >0 besitzt. (Eine Sprungstelle xx
der Funktion y(x) ist als Nullstelle mit Zeichenwechsel mit-
zuzählen, wenn y>(xt -j- 0) und y(xx — 0) verschiedene Vor-
zeichen haben.)

Wählt man für ip (x) die Differenz cp (x) — <p2(x) der Funk-
tionen (12), (14), wird F (a) = 0 für a = 0 und a = m,
woraus sich nach dem Hilfssatze die zwei Schnittpunkte der
Kurven Cx, C2 ergeben. Da aber, wie bemerkt, diese Kurven
keinen dritten Punkt gemein haben können, so kann (wieder
auf Grund des Hilfssatzes) die Funktion

er

20)

0

keine weiteren Nullstellen außer a = 0 und a = m besitzen.
Die Funktion F(a ) ist also, so weit sie für a>m existiert,
von einerlei Vorzeichen und zwar positiv, denn für hinreichend
große a hat F(a) das Vorzeichen von

a

a

Ist also n > m und existiert das Moment

22)

so wird

oo

23) if„>J (p2(x)xndx

han+l an \V(m -p l)ifm)
n -\- 1 n-\- 1 » -p 1

oder

24)

[(w -f 1) K,,]m > [(»» + 1) Km~\n.

12

G. Faber

Das ist aber die Wincklersche Ungleichung; nur wenn

O O 7

cp ( x ) mit cpa ( x ) identisch ist, ist das Zeichen > in (24) durch
= zu ersetzen.

Da die Kurve y = cp (x) von x — 0 ab zuerst oberhalb
der Kurve y = cpa{x) (14) verläuft, so gilt für hinreichend
kleine x :

25) z{x)>xh=Xa= *4-

(m + 1)"* km

oder

26) x < (m -f- 1)"* km z {x) .

Um den Giltigkeitsbereich dieser Ungleichung genau ab-
zugrenzen, wollen wir die Kurve y = cp (x) unter Festhaltung
ihres Moments Km so variieren, daß die Gleichung

X X

27) f cp (x) dx = J* cpa(x) dx

Ü ü

oder

28) z (x) = xh

für einen möglichst kleinen Wert x = erfüllt ist; dann
gilt (25), (26) immer für x<xt.

Wir gehen zuerst von irgend einer (noch nicht variierten)
von y = cpa ( x ) verschiedenen Kurve y — cp (x) aus und nennen
die einzige offenbar vorhandene Wurzel der Gleichung (27)
oder (28) x2 . Das Stück der Kurve y = cp (x) rechts von
x = xa ersetzen wir durch eine Stufe

29)

30)

V = <P3 O). wo

\ = k (konstant), falls x3 < x < b,

I 9^3 (^) = 0 » x >

und wo die Konstanten Je > 0 und b > x2 durch die Bedingungen

11 (f)

| cp3 ( x ) dx = f <p(x) dx,

31)

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria etc.

13

32)

bestimmt sind, und zwar offenbar eindeutig (vgl. (15), (16)).

Genau wie sieb vorhin, S. 11, 9> (+ 0) ^ ergab, ergibt

sich jetzt cp (x2 -j- 0) > Je und daher auch cp ( x2 — 0) > Je (nur,
falls für x>x2 von vornherein cp3(x ) = cp{x) war, muß in der
ersten und kann in der zweiten dieser Ungleichungen = statt
> stehen). Nun ersetzen wir auch links von x = x2 die Kurve
y = <p(pc) durch y — Je-, die so entstehende Kurve nennen wir
y = cpi (x). Es ist also

33)

( 9h (x) — k für 0 < x < b und
| cpi (x) = 0 für x > b.

Falls nicht etwa von vornherein <p{x) mit cp±(x) identisch

war, ist sowohl

34)

cpx{x) dx <

00

cp (x) dx = 1 ,

0

als auch

35)

(px (x) xm d x <

J cp (a;) xm dx = Km

o o

Die Ungleichung (34) kann man in eine Gleichung ver-
wandeln, wenn man die in der Definition (33) von cp^(x ) vor-
kommende Konstante b durch eine größere c ersetzt. Die so
aus cp^(x) entstehende Funktion möge cp5(x) heißen. Da bei
den letzten Variationen, die von <p3(x) zu <p3(x) führten, Feh-
lern > x2 auf Kosten von Fehlern < x2 eine größere Wahr-
scheinlichkeit zuerteilt wurde, ist

36) 1c ^ xm dx> Km ,

o

andererseits besagt (35):

b

Je j xm dx < Km.

U

37)

14

G. Faber

Mithin gibt es eine Zahl d zwischen b und c, für die

38)

xm d x = Km

wird.

39)

Für y = (p6{x), wo

| Ve (x) = ^ > falls 0 < x < d ;
1 9^6 (*) = 0 , falls x > d

ist somit die Bedingung, daß der Wert des Moments Km fest-
gehalten werden soll, erfüllt. Dagegen ist wegen d<,c :

oo

40) J <p6 (x) d x = k d < 1 .

o

Wir erteilen daher dem Fehler Null noch die endliche
W ahrscheinlichkeit

41) w o = 1 — kd.

Nun ist, da, wie schon hervorgehoben, bei dem Fehler-
gesetz <p6 Fehler > x2 wahrscheinlicher sind als bei dem ur-
sprünglichen Fehlergesetz y.

cp6(x) dx <

Die Gleichung

43)

oder

44) iv0 -f- kx = hx

hat daher eine Lösung

45)

£ =

w,

“r die

< x9 ist.

Hier ersetzen wir w0 durch seinen Wert 1 — kd und be-
achten, daß nach (38)

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria etc.

15

46)

ist, wodurch sich

lid'"+x = ham+l

47)

i =

wQ = l —

am
~ dm
am

dr+i

ham+l

d”

und

dm + 1 — amd
(^m+1 — am+1

a ist konstant = Tcm (m -f- 1)’". d kann je nach der Wahl
der Ausgangskurve y = cp{x ), die wir als verschieden von der
S. 10 mit y — <p2(x) bezeichneten Kurve annahmen, verschie-
den ausfallen, ist aber wegen (46), und da Ti < ln ist, stets > a.
Die auf der rechten Seite von (47) stehende Funktion von d
wächst mit d; | nimmt daher seinen kleinst möglichen Wert,
m

für d = a -j- 0 an. Um so mehr ist die

nämlich a

m -J- 1

YYl

Wurzel x1 der Gleichung (28) > a ^ — — , mithin s{x^) —

hxx > ah

m

m 1

, d. h. z (#,) >

m

m + 1 '

Während also für die S. 10 mit y — <p2(x) bezeichnete
Fehlerkurve stets

i

48) x = Tcm ( m -\-\)m s ( x )

ist, ist für jede andere Fehlerkurve

49)

so lange s ( x ) <C

x < Jc,n ( m + l)m z ( x ) =

z{x)
h '

m

ist. Damit ist (8) bewiesen.

»! + 1

Da die Kurve C1:y = (p(x), auch das vertikale Stück
der Kurve C2 durchsetzt, ist z(a)<ah(= 1), also nach (49)
m

z(a) >

, , . Somit gilt folgender Satz:
m + 1 ö °

16

G. Faber

f 1 .

I 9 o(x)dx, wo a = km [m -f- l)m ist, falls <p(x) mit <p%{x)

a

l

zusammenfällt, = 0, sonst stets >0, aber <

1

m 1 '

Die hier angegebene obere Schranke — Iaht sich noch

m -J- 1

verbessern ; die genaue obere Grenze ist

5°) - (— — r) •

m \m -(- 1/

Will man nämlich durch Variation von cp {pc) unter Fest-

haltung des Moments Km den Integralwert

J <P(*)

d x ver-

größern, so wird man zunächst (genau wie S. 12 geschehen, nur
daß jetzt a an Stelle von x% tritt) Je' und b‘ so bestimmen, daß

51)
und

52)

oo

— a) k1 = J* cp (x) dx

1c1 j' xm dx = J xm <p{pc) dx

a a

wird. Sodann wird man d‘ > b' so bestimmen, daß

d oo

53) k‘ j* xm dx — ^ xm <p{pc) dx

ü 0

wird; dann wird, falls man <p(x) durch die Gleichungen

54)

f cp ( x ) = Tc‘ für 0 x <T d‘,
| y(a;) = 0 für d‘

definiert,

cc

| ^(x) dx = (d‘ — a ) 7c'

a

CO

> | 9 i{x)dx .

55)

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria etc.

17

Da nach (53) :

56)

57)

Jc‘d‘m+l = ham + 1 = am,

n m

h- = a

d‘"‘+'

ist, kann man diese Beziehung (55) auch so schreiben:

58)

J/7 1 n

cp (x) dx<am^-,4

d‘m+]

{d‘ > a)

Die rechte Seite nimmt für d‘ = a ihren größten

m

(di \ m + 1 1

) — an ; es ist also für iede Fehlerfunktion w (x):

m + ljm J ’

59)

\ <p[x)dx<-(-^-- y+i

J — m \m -f- 1 J

und das Gleichheitszeichen gilt hier nur für eine bestimmte
stufenförmige Fehlerkurve y = cp(x) mit w0 > 0; damit ist (50)
als genaue obere Grenze nachgewiesen.

Ist x0 ein beliebiger Wert, für den z(x0)<Z 1 ist, so er-
setze man, wie nun schon mehrfach geschehen, die Kurve
y = cp{x) rechts von x — x0 unter Festhaltung des Moments Km

oo

und des Flächeninhalts K0 = J* cp (x) d x = 1 durch eine Stufe

o

der Höhe 1c“ und der Länge b" — x0; dann ist also

60) (ft"-*0)fc" = l-*(s0)

Das Moment

b"

61) h“ xm dx

o

wird dann sicher < K,n ; hier substituieren wir aus (60) den Wert

62)

Ti“ =

1 — 0 (x0)
b“ — x0

und erhalten, wenn wir noch ßx0 für b 11 schreiben,

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

2

18

G. Faber

63)

[1 — z(xn)]x™ ßm + '
ß-1

£ (in + 1) Km .

Die linke Seite nimmt für ß = m ^ ihren kleinsten

m

Wert an und es ist also um so mehr

64)

*o<

m Jc„

(m + 1) (1 — z(x0))m'

Damit ist Ungleichung (9) bewiesen und zwar ohne ein-
schränkende Nebenbedingung bezüglich z(x0); doch gibt (8),
m

falls z (x0) <

, eine bessere Abschätzung.

m + 1

Wir haben noch den Beweis des Hilfssatzes I von S. 11
nachzutragen und beweisen zu dessen Vorbereitung zunächst
drei andere Hilfssätze.

Hilfssatz II (Verallgemeinerung der Descartes-
schen Zeichenregel): Sind

65) a0 > a, > • • • > ar

reelle Exponenten und A0, J.,, . . . Ar reelle von Null
verschiedene Koeffizienten, so hat der (r -j— 1) glied-
rige Ausdruck

66) f(x ) = A0x°o At xa> + • • • + Arxar

höchstens so viele positive Nullstellen, als in der
Folge A0 , Ax, . . . Ar Zeichenwechsel Vorkommen.

Die Anzahl dieser Wechsel sei w(<Cr); p sei die Anzahl
der positiven Nullstellen der Funktion (66). Aus iv = 0 folgt
selbstverständlich p = 0. Wir nehmen daher w > 0 an und
zeigen, daß dann die weitere Annahme p> w auf einen Wider-
spruch führt. *

Es seien etwa die Koeffizienten Ak und Ak+\ verschieden
bezeichnet; wählt man dann den Exponenten p so, daß jede
der Summen aQ -f- p, a, -}- p, . . . ak -f- p positiv, dagegen jede
der Summen ak + 1 -j- P, ak+ 2 + p, ■ • • ar -f- p negativ wird,
so hat der (r -)- 1) gliedrige Ausdruck

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußsehen theoria etc.

19

67) fl(x) = ^M = B0xhJrB,xf^---B,xfr

mindestens p — 1 positive Nullstellen; die Folge B0, 2?,, . . . Br
dagegen hat (falls wieder die Anordnung ß0>ßl>--->ßr
hergestellt wurde) genau w — 1 Zeichenwechsel. So wie fx ( x )
aus f(x) gebildet wurde, kann man, wenn iv — 1 > 0 ist, aus
fx (#) einen ( r -)- 1) gliedrigen Ausdruck f 2 (x) bilden, der min-
destens p — 2 positive Nullstellen besitzt und genau w — 2
Zeichenwechsel in seinen Koeffizienten aufweist. Schließlich
käme man so zu einem Ausdruck f,„ ( x ) mit der positiven An-
zahl ( p — w) oder einer größeren Anzahl positiver Nullstellen,
aber mit lauter gleichbezeichneten Koeffizienten, was unmög-
lich ist.

Wir benutzen nachher nur folgenden besonderen Fall des
Hilfssatzes II :

Die Funktion (66) hat höchstens r positive Null-
stellen.

Auf Grund dieses Satzes ergibt sich leicht der folgende

Hilfssatz III: Sind xx, x2, ... xr r gegebene von-
einander verschiedene positive Zahlen und gilt (65), so
kann man in eindeutiger Weise für Ax, A2, . . . A, reelle
von Null verschiedene Zahlen finden, der Art, daß

68) f(x) = x'* -f- A1xat + • • • -J- Arxar
für x = xx, x2, ... xr verschwindet.

Löst man nämlich die r linearen Gleichungen

69) 0 = Xi° + Ax xaß H f- Ar xat'

(i = 1, 2, ... r) nach Ax, A2, . . . A, auf, so erhält man die
As als Quotienten von Determinanten, deren keine einzige, wie
leicht zu zeigen ist, verschwindet. Denn faßt man irgend eine
dieser Determinanten als Funktion F(xx) der für einen Augen-
blick als veränderlich zu denkenden Größe xx auf, so ver-
schwindet die r gliedrige Funktion F (#,) an der r — 1 Stellen
xx — x2, x3, ... xri kann also nach Hilfssatz II nicht ver-
schwinden, wenn xx, so wie es nach Voraussetzung geschehen

2*

20

G. Faber

soll, einen von x2, x3, ... xr verschiedenen Wert annimmt, es
sei denn, daß F (#,) identisch verschwindet, d. h. daß alle Koef-
fizienten von F(x^) Null sind. Das würde aber besagen, daß
gewisse ( r — 1) gliedrige Ausdrücke für mehr als r — 2 Werte
also identisch verschwinden. Schließlich käme man zu dem
Widerspruch, daß eingliedrige Ausdrücke wie xark verschwinden.
Endlich beweisen wir noch den

Hilfssatz IV: Hat die ( r -}- 1) gliedrige Funktion (66)
r positive Nullstellen, so wechselt sie jedesmal das
Vorzeichen, wenn x durch eine dieser Nullstellen hin-
durchgeht. (Es wäre leicht, noch etwas allgemeiner zu zeigen,
daß jede dieser r Nullstellen eine einfache sein muß und daß
in der Aussage des Hilfssatzes II die Nullstellen mit ihrer Mul-
tiplizität gezählt werden dürfen.)

Es ist erlaubt, beim Beweise außer der Voraussetzung (65)
noch die zu machen, daß a0 = 0 ist, weil man ja f{x) andern-
falls durch f{x ) x~"o ersetzen dürfte. Hätte dann aber die
Funktion f(x) unter ihren r Nullstellen auch nur eine ohne
Zeichenwechsel, so hätte die r gliedrige Funktion f‘(x) min-
destens r Nullstellen im Widerspruch mit Hilfssatz H.

Den Hilfssatz I von S. 11 können wir auch so fassen:
Hat die Funktion xp (x) nicht mehr als r verschie-
dene positive Nullstellen mit Zeichen Wechsel: x2 ,

. .. , xr , so kann die Funktion

co

70) .F(a) — J V’ (x) F1 dx

o

nicht r 1 verschiedene Nullstellen a0, <*,, ... ar be-
sitzen. Wäre dies nämlich doch der Fall, so wäre auch

00

71) j xp (x) ( X “0 + At Xa* -(-••• -f- ArX'tr) dx = 0,

0

mit willkürlichen Koeffizienten A1, A2, ... Ar. Wählt man
diese aber nach Hilfssatz HI so, daß x"o -J- Ax xa* + • • • -f-
A, xar = 0 wird für x = xt, X2, ... xr, so hat nach Hilfs-

Bemerkungen zu Sätzen der Gaußsehen theoria etc.

21

satz IV die Funktion (x) (z“o A1xa * — j- • • • -f- Ar xar) für
alle positiven x einerlei Vorzeichen und daher ist Gleichung (71)
unmöglich.

Mittels des im Vorstehenden auseinander gesetzten Beweis-
verfahrens lassen sich noch zahlreiche zum gleichen Gedanken-
kreis gehörige Sätze ableiten, welche die Kenntnis mehrerer
Momente K voraussetzen und auf Grund dieser Kenntnis Be-
schränkungen des Verlaufs der Kurve y = q>(x) oder der Werte
der übrigen Momente Kp behaupten. Ich erwähne als Beispiel
den folgenden : es ist, falls l < m < n :

72) [(n + 1 )Kny-” [(» + 1 + l)tf,]"— < 1;

für l = 0 geht diese Formel in (11) über.

23

Integration der partiellen Gleichung s = sin

Von F. Lindemann.

Vorgelegt in der Sitzung am 14. Januar 1922.

1. Das Quadrat des Linienelements einer Fläche von kon-
stantem negativen Krümmungsmaße — 1 läßt sich bekanntlich
in der Form

(1) ds2 = cos2 w ■ du2 -f- sin2 w • dv2

darstellen, wo u und v die Parameter die Krümmungslinien
bedeuten; die Hauptkrümmungshalbmesser sind dann

(2) Rx ~ — tg w, R2 = cotg w,

während w der partiellen Gleichung

(3)

3 2w
du2

3 2w

3^2

^ sin 2 iv

genügen muß, die durch die Substitution p = u -\- v, q = u — v

in die Form 4 — — — = sin 2 w gebracht wird.

dp dq

Da auf Grund meiner Abhandlung über die Biegungs-
flächen einer gegebenen Fläche1) alle Flächen konstanter Krüm-
mung angegeben werden können, so ist damit auch das all-
gemeine Integral der partiellen Gleichung (3) bekannt. Die
noch nötigen Rechnungen lassen sich leichter durchführen,

Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften,
math.-phys. Klasse, Bd. XXIX, 3, München 1921. Diese Arbeit wird im
folgenden kurz als Abhandlung zitiert.

24

F. Lindemann

wenn man von Flächen mit der konstanten Krümmung -f- 1
ausgeht. Man hat dann zu setzen1):

R =«*+*-*

(4)

_ e* — e~ d

~ e0_j_ e-»'

ds2 = \ [(e& -j- e~ tf)s dw2 -j- — c- ^)2 c7 v2~] ,

wobei m und v wieder die Parameter der Krümmungslinien
bedeuten, und es ist:

(5)

d2 & d2 &
du2 + a v2

= ±(e-2»-e2»),

eine Gleichung, die aus (3) hervorgeht, wenn man w durch i &
und v durch iv ersetzt.

2. Wir stellen kurz die wichtigsten Formeln der Abhand-
lung zusammen ; wie dort in der Einladung bemerkt, kann man
die Schlußformeln (83) leicht nachträglich bestätigen, wenn
man kein Gewicht auf die Art der Ableitung legt. Gegeben
sei also die Darstellung einer Fläche durch ihre Minimal-
kurven a, ß in der (schon von Bour aufgestellten) Form:

x = i j* [ Wa cosin X d a — Wß cosin fi dß~],

(6) y = i$[Wa sin X da — Wß sin /i dß],

e = ][Wada+Wßdß-].

Dann sind dx und dij vollständige Differentiale, sobald
die Bedingungen:

(7)

dX

dß

cotg

IV 3 lg Wa
2' 3 ß '

du -W

da ~ ~ C°^ 2

d\gWß

da

erfüllt sind, wo w = X — fi (vgl. a. a. 0. den Schluß von § 2);
und es folgt aus diesen beiden Gleichungen:

(8)

dX

da

dW

da

— cotg

w 3 lg Wß
2 ’ 3 o”

3 fi

d~ß

du>

dß + C°tS2

W 3 lg Wa

dß

und durch Differenzieren (§ 1 der Abhandlung):

(9)

)n V

c°tg2

W 3 lg Wa
’

\ . d ( W 3 lg WA

) + a/?(cotS2-fa— )

d2w
da dß'

M Vgl. z. B. Darboux, Lefons, t. 3, p. 385.

25

Integration der partiellen Gleichung s = sin z.

Die Fundamentalgröße F und das Krümmungsmaß K sind
(a. a. 0., § 2):

w

F —2- cosin2 ~ • Wa Wß,

u

(10)

K=-

^a^ß ^ßl^a

V ■ 2W

I • cosin2 —

1 a2 log F
F dadß 1

Nach einem in § 3 angegebenen Verfahren kann man aus
den Gleichungen (7) und (9) die Funktion w eliminieren und
statt derselben die Funktion F einführen; so wurde die auch
von Bour aufgestellte Differentialgleichung

Waa Wßß W£ß -f- Wa Wß

F\Fß

F2

— Waa Wß

Fj

F

- Wßß Wa

F„

F

(11)

32lgF

dadß

(F — 2 Wa Wß)

abgeleitet, die nichts anderes ist als ein besonderer Fall der
allgemeinen Gleichung, welcher (nach Darboux und Enneper)
die Koordinaten eines Flächenpunktes genügen müssen, wenn
die drei Fundamentalgrößen E, F, G gegeben sind. Die Be-
hauptung ist nun, daß ein Punkt t, r\, £ der allge-
meinsten Biegungsfläche der Fläche (6) in folgender
Form erhalten wird:

£ = j* [J2 • cosin F • Wa da R‘ • cosin W- Wß d ß~] ,

(12) rj = sin0- Wada + R‘. sin ¥• Wß-dß] ,

£ = i j* [£. Wa da — R‘ • Wß dß],

wo F zu XF, R zu R' konjugiert sein soll. Der Beweis ist
folgender: Damit dt, ein vollständiges Differential sei, muß
die Bedingung:

(13) Rß Wa + Ra Wß + (R + R‘) Waß = 0

erfüllt sein; ferner sind dt und dr\ vollständige Differentiale
infolge der beiden Bedingungen, die zu obigen Gleichungen (7)
analog sind:

0 Die Identität beider Ausdrücke für Ä" ist eine Folge des Gaußschen
Satzes über die Determinante DD" — D'2; zum Beweise kann man sich
auch der Gleichungen in § 3 der Abhandlung bedienen; vgl. unten den
»Nachtrag“.

26

F. Lindemann

(14)

d<P

fß

= cotg

SEB 3 lg (R
2 ' dß

dW

da

= - COtg --

3 lg ityWß

da

wo SB = $ — 'i7, und aus denen sich die weiteren , zu (8)
analogen Gleichungen

(14 a)

3 &
da

d W
dß

d SB , SB

~ C°tg 2

3 lg (R‘ Wß)

-Jß + C°tg ~2

da

9 lg (RWJ
dß

ergeben, die aber nichts neues aussagen, da sie einfach
aus der Definition von SB folgen. Mit Hilfe derselben erhält
man die zu (9) analoge Differentialgleichung:

M »lgfr\

2 3a /

32 SB

dadß'

Die Fundamentalgröße F* und das Krümmungsmaß K*
der Fläche (12) werden nach (10):

(16) F* = 2 • cosin2 y • CaCß,

K* = —

0aYß — 0ßWa

SB '

F* • cosin2

Li

Daß a, ß die Parameter der Minimalkurven der Fläche (12)
sind, ist evident. Die notwendige und hinreichende Be-
dingung für die Verbiegung der Fläche (12) auf die
Fläche (6) ist also: F = F*, oder:

(17)

cosin2 w‘ = cosin2 SB' • R R\

wo zur Abkürzung 2 w‘ = w, 2 SB' = SB. Dififerentiert man

(17) logarith misch, so ergibt sich:

. ,, . , cer.l , , . 3 lg 72 3 lg 72'

tg w‘ • (Aa — fia) = tg SB' • {&« — Fa) f — ,

(18) 3a 3a ,

tg W‘ ■ (lf - H) = tg äB ‘ • (d>, - V„) - -£ß- - - ^ .

Nun war nach (7) : Waß = Wa • Iß • tg w' = — Wß ,ua • tg w“.
Infolgedessen lassen sich die Gleichungen (14) in der Form

Integration der partiellen Gleichung s = sin z.

27

schreiben, und aus (18) ergeben sich dann die weiteren Rela-
tionen :

Die letzten Gleichungen sagen also nichts neues aus, wenn
die Bedingung (17) erfüllt ist. Die Integrabilitätsbedingung
der Gleichungen (19) und (19 a) für <Pa und <Pß einerseits, für
Wa und Wß andererseits muß sich also auf die eine Gleichung (17)
reduzieren. Das ist in der Tat der Fall, denn durch Bildung
von 4>aß und Taß findet man die Relation:

$a Wß — 0ß Wa _ la ll ß — Iß jUg

cosin2 28' cosin2 w‘ '

(20)

welche nach (10), (16) und (17) aussagt, daß das Krümmungs-
maß beider Flächen identisch ist, also dasselbe, was auch die
Gleichung (17), d. h. F = F*, aussagt. Die 4 Gleichungen (19)
und (19 a) sind die Gleichungen (79) der Abhandlung, die dort
auf andere Weise abgeleitet wurden.

Um die allgemeinste Biegungsfläche von (6) in der
Form (12) aufzustellen, hat man also folgende Schritte
zu tun:

1. Man bestimme jR, R‘ aus W mittels (13); es geschieht,
indem man R — U iV, R‘ = U — i V setzt, TJ be-
liebig annimmt und V durch Quadratur berechnet; dann
ist d £ ein vollständiges Differential.

2. Man bestimme — W = 28 = 2 2B' aus (17) durch R,
R‘ und w, dann ist F* = F.

3. Man bestimme 0 und W einzeln aus den Gleichungen (19);
dann sind auch d£ und drj vollständige Differentiale;

und damit ist die Aufgabe gelöst. Die Funktionen rj, £
sind hiernach verschiedene Formen der allgemeinen Lösung der
Bourschen Differentialgleichung (11). Man könnte letztere
auch wieder aus den Gleichungen (14) und (15) ableiten, wobei

28

F. Lindemann

die Rechnungen genau wie in § 3 der Abhandlung durch-
zuführen wären.

3. Bedeuten i£, und R2 die Hauptkrümmungsradien der
Fläche (6), so ist nach Gleichung (27) der Abhandlung, wo
Wa durch i R Wa , Wß durch — iR‘Wß, W,lß durch i(Rß W„
+ R T Vaß) — — i (Ru Wß + R‘ Wnß), w durch <P — W — SB,
W durch itg(« — ß ) zu ersetzen ist, unter Benutzung von
(7) und (17):

(21)

1 1 Rß — R t gw Rß — R tg w

7? + p - = 2 -- cro pro • cosin w = 2 • -H arv •

R, R2 sinäB-iiii sinäß-cosin 2B

Bezeichnet man also die rechte Seite mit M, so sind die
Hauptkrümmungsradien der Fläche (12), da jetzt Rt R2 = 1
sein soll, die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

(22) r2 — Mr -j- 1 = 0;

und auf Grund der Formeln (4) ist die allgemeine Lösung #
der Gleichung (5) aus den Gleichungen

(23) 72, = itg(i$) oder R2 = — icotg(itf)

zu berechnen, wenn man noch die Parameter a, ß durch die
Parameter u, v ausgedrückt hat. Letzteres verlangt die Inte-
gration der Differentialgleichung der Krümmungslinien, die nach
Lie durch Quadraturen geschehen kann1).

4. Nach Gleichung (26) der Abhandlung ist die Differential-
gleichung der Krümmungslinien der Fläche (12)

(24)

at dW

dß dß

dß2 +

d£ d®
da da

wo fPa, Wß aus (19) einzusetzen sind, und nach § 13 ist A
durch ~ — 2ß, /i durch ^ — 2 a, W durch itg(a — ß), iv‘
durch a — ß zu ersetzen; es ergibt sich also:

(24a) i Wa cotgm1 da2 -—dß2^ = 0.

’) Vgl. Lie: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Rela-
tion verknüpft sind. Arch. for Mathem. og Naturvidenskab, Kristiania,
Bd. 4, 1879.

29

Integration der partiellen Gleichung s = sin z.

Zur Integration kann man nach dem Vorgänge von Bi-
anchi1) in folgender Weise verfahren:

Es ist die linke Seite der Gleichung

—J—— [(UI)1 — FD) du 2 + (ED“ — GD) du dv

(_£/ Gr — Jo *)

+ (FD“ — GD‘)dv2]

eine quadratische Differentialform mit der Krümmung Null,
kann also gleich dyx dy2 gesetzt werden. Berechnet man die
Größen E, F, G, D, D‘, D“ nach § 2 der Abhandlung, so ent-
steht die linke Seite der Gleichung (24), und diese ist mit
(24 a) identisch. Es ist daher :

(25) N- (Ruda2 — R'ßdß2) = du dv,

wo N2 • F 2 cos2 (a — ß) — cotg 2B', und

(26)

N • du = e* (V Ra da + VTl'ß d ß ) ,
N • dv = e~ * (V Ra da — V R‘ß dß),

wobei sich x aus den Gleichungen:

oder:

B —

da

B

da

3 x

dA

dB

dß =

dß

da

dx

dB

dA

d~ß ~

3a

dß

3 D ß d x 3 A

A dß ~ da ’ 1 da dß

mittels einer Quadratur ergibt [wenn die linke Seite von (25)
mit A2 da2 — B2 dß2 bezeichnet wird]. Durch weitere Quadra-
turen findet man die Parameter u, v der Krümmungslinien
aus (26).

5. Die Integration der Differentialgleichung (5)
erfordert also folgende Operationen: 1. man stelle die
allgemeine Fläche konstanter Krümmung in der Form (12)

‘) Vorlesungen über Differentialgeometrie, deutsch von Lukat,

2. Auflage, Leipzig 1910, S. 53 und 251 ff.

30

F. Lindemnnn

durch ihre Minimalkurven dar; 2. man berechne die Wurzeln
ü, und R2 der Gleichung (22), wo M durch (21) definiert ist;
3. dann ist die Lösung # aus (23) zu gewinnen, wenn man
noch a, ß mittels (26) durch die Parameter u, v der Krüm-
mungslinien ausdrückt.

Nachtrag.

6. Die obige Gleichung (10) für das Krümmungsmafi K
erhält man aus den Gleichungen (7) und (8) in folgender Weise:
Aus der ersten Gleichung (10) folgt:

3’lgF = 32 lg Wa d- lg Wß

dadß dadß dadß

2

cosin2 w‘

• Wa Wß 2tg W‘-W'aß,

WO

Nun ist nach (9):

d*\gWaWß

dadß

32 lg wa Wß

dadß

cotg w‘

1 ( . a lg T

-r-r~, ilwo— f-
sin w \ da

Wß , . a lg Wa\ _

■- + Wß-

dß

)

2 W'aß ,

1 / , Wuß , Wa/j\ . ,

= - — r ■ — ;( + wß~nr + 2waß-tgtc\

sin w • cosin w \ Wa 11« /

also unter Benutzung der ersten Gleichung (7) und der ersten
Gleichung (8)

d2 lg F _ Waß /töi Wß \ _ 2 IVq Wß
dadß sin w‘ • cosin w' \ Wa Wß) cosin2 iv‘

_ 9 Wa Iß + Wß (wj — /„) . ^ _ 2 IV a Wß _ _ Xqfjß — X ßflq

sin w‘ • cosin w‘ ° cos2 w‘ cosin2 w‘

womit die verlangte Relation hergestellt ist. Sie erscheint hier
als Folge der Gleichung (9), d. h. der Integrabilitätsbedingung
für die Gleichungen (7) und (8) (nämlich Xaß = Xßa und /aaß
= jußa)- Ist W reell, iv rein imaginär (also X und fx
konjugiert imaginär), so ist diese Integrabilitäts-
bedingung immer identisch erfüllt. Bestimmt man näm-
lich X durch Quadratur aus der Gleichung (7) für X.ß, so ergibt

31

Integration der partiellen Gleichung S — sin z.

sich die zweite Gleichung (8), d. i. die Gleichung für /iß, aus
der Bedingung iv = l — / 1 , und somit auch /i durch Quadratur
konjugiert zu A; bildet man dann la durch Differentiation, so
muß sich der zu /iß konjugierte Wert ergeben; das ist aber
gerade der in der ersten Gleichung (8) auftretende Wert. Die
beiden Werte (für la und Iß) sind also miteinander verträg-
lich, und somit ist die Gleichung (9) von selbst erfüllt.

In derselben Weise zeigt man, daß die Gleichungen (14)
und (14 a) miteinander verträglich sind, daß folglich die Inte-
grabilitätsbedingung (15) erfüllt sein muß.

7. Im Beispiel der Minimalflächen ist nach § 12 der Ab-
handlung 1 = 2 a, fi = 2 ß, W = A -j- B

x = i J* [cosin 2 a - A1 da — cosin 2 ß - B‘ d ß~\ ,
y = i J* [sin 2 a- A‘ da — sin 2 ß - B1 dß] , z = A -j- B

und die allgemeinste Biegungsfläche ist:

, £ = cosin <&- da — Pß- cosin W-dß],

»7=J [Pa'8m&-da—Pß-smY-dß], t = i$[Pada+Pßdß],

wo P eine beliebige rein imaginäre Funktion von a, ß be-
zeichnet, und d>, W durch die Gleichungen bestimmt sind :

dß

(28)

. 3l gPß

i — -

da

■M,

M2 =

(I>ß =

i

i

2tg

-2tg

■ M,

■M,

cosin2 (a — ß)

Pa Pb + cosin2 (a — ß)'

Die drei Koordinaten f, rj, f müssen der obigen Glei-
chung (11) genügen, in der z. B. W durch iP zu ersetzen
ist, d. h. der Gleichung

- PaaPßß + Plß-PaPß*^l + PaaPß^ + PßßPjf

(29)

= {F+2PaPß)

a2 lg F

da dß ‘

32

F. Lindemann

Hat man P beliebig angenommen, so ist <P — F durch
die Gleichung (17), d. h. durch

(30) \ F* = — Pa Pß cosin2 SS' = A‘ B‘ cosin2 (a — ß) = \ F,

wo SS' = |(0— F),

bestimmt, und durch Differentiation ergeben sich die Glei-
chungen (28), welche zugleich aussagen, daß in (27) unter den
Integralzeichen vollständige Differentiale stehen. Die rechte
Seite von (29) ist wegen (30)

(31)

— 2 Pa Pß sin2 SS'

92lgP

a a iß

4 Pa Pß

sin-

cosin2 (a — ß)

Aus (30) folgt ferner:

^ — 2 tg S3' ■ SB; = ^ ,

-Fg + ^-2tgSB'-sB; = FJ.

Setzt man diese Werte in die linke Seite von (29) ein,
so wird dieselbe

= 2 tg SS' • {Paß Pß SS; + Paß Pa SS)? 2 Pa Pß Wa Mß tg SS')

= 2 Pa Pß tg2 SS' (^ ss; — Fa ss> — 2 ss; SS»

= Pa Pß • tg2 SS' • {Fa Fß $ß Fß).

Wegen (31) geht also die Gleichung (29) über in

sin2 SS'

Pa Pß tg2 m‘ {<Pa Wß - ®ß Fa) = 4 Pa Pß ..- --l?--,
p ° H H cosin2 (a — ß)

oder, da 1 = 2 a, ju = 2ß ist:

Fg Fß — 0ß Fg = 4 _ kg Hß ~ kßftg

cosin2 SS' cosin2 (a — ß) cosin2 (a — ß) '

was nach Nr. 6 wieder mit der Gleichung F = F* identisch ist.
DieFunktionPgenügtalsoin derTat der Gleichung (29).

Die Biegungsflächen (27) der gegebenen Minimal-
fläche findet man demnach in folgender Weise: 1. Man
wähle P als beliebige rein imaginäre Funktion von a, ß; dann

Integration der partiellen Gleichung s — sin z.

33

ist dC ein vollständiges Differential; 2. man bestimme sodann
<P — XF aus der Gleichung (30); 3. sodann <P und F einzeln
aus den Gleichungen (28) ; dann sind auch d$, di] totale Dif-
ferentiale; 4. diese vier Gleichungen (28) sind miteinander ver-
träglich; setzt man nämlich <P = R -j- i S, also F=R — iS,
wo R und S reell sind, so folgt : <Pa — Ra-\- i Su, Fß = Rß — iSß,
Fa = <Pa — (< P — F)a = Ra — iSa , und konjugiert dazu (Pß =
xFß -(- 2 i Sß = Rß -f i Sß ; folglich (P„ß = <Pßa; ebenso Faß = xFßa,
so daß die Gleichung (9), und folglich auch (11) erfüllt ist,
sobald <P — F rein imaginär ist; 5. die Bedingungen für a, ß
als Parameter der Minimalkurven sind dann identisch erfüllt;
6. wegen (30) ist gß + r)a rjß + U Cß = 2 P„ Pß ■ cos2 Sß' =
2 A‘ B' cosin2 (a — ß), d. h. F = F*, so daß die Bedingung
der Biegung erfüllt ist.

8. Ich benutze diese Gelegenheit, um noch folgende Druck-
oder Schreibfehler in meiner größeren Abhandlung zu verbessern :

S. 9, Zeile 8 v. u.: Lies — statt = .

S. 14 zu (37 a): Lies {s, z\ statt {x, z}.

S. 19, Zeile 10 v. u.: Lies ( Wß)n statt (Wß)u.

S. 19, Zeile 10 v. u.: Lies cotg w\ statt tang w.

S. 30, Zeile 13 v. o. : Lies Sß statt W.

S. 32: In Gleichung (88) sind a und ß miteinander zu

vertauschen.

S. 33, Zeile 1 v. u. : Die Quadratwurzel ist aus dem Nenner
in den Zähler zu setzen.

S. 34: In der zweiten Gleichung (93 a) sind a und ß mit-
einander zu vertauschen.

S. 36: In dem zweiten Ausdrucke für XF ist i durch — i
zu ersetzen.

S. 37, Zeile 12 v. o. : Lies „zweiter“ statt „dritter“.

S. 42, Zeile 7 v. u.: Der Zusatz zu Gleichung (25) ist zu
streichen.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

3

.

35

Über die Reihe f )\Pn(x) .

n = 0

Von Otto Volk.

Vorgelegt von F. Lindemann in der Sitzung am 14. Januar 1922.
Es gilt zunächst der Satz:

Die Reihe jj Pn(%) konvergiert gleichmäßig für

n =0

alle x des Intervalls — 1 < # < -f- 1 und es ist:

£ P» (*)

n=0

1

VT{i-xy

C. Neumann1) spricht im Anschluß an den Beweis dieses
Satzes, den er in sehr einfacher Weise mit Hilfe der Laplace-
schen Formeln führt, die Vermutung aus, daß die Reihe ab-
solut divergiert. Im folgenden soll nun die Divergenz der
00

Reihe [ P„ ( x ) \ bewiesen werden.

n = 0

Nach Heine2) ist, x = cos # gesetzt:

Vgl. C. Neumann, Beiträge zum Studium der Randwertauf-
gaben. Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften,
math.-phys. Klasse, Bd. XXXV, VII. (1920), S. 529, Anmerkung.

2) Vgl. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen I (1878), S. 178.

3*

36

0. Volk

co

wenn nur 0 < $ < n ist. Die Reihe X Pn cos #) | wird sich

n = 0

also von einem hinreichend großen N ab verhalten wie die
Reihe:

(2) S=t l/— 2^!cosf(n + |)^-^V.

h = n V njism ü y 4 J

Die Divergenz dieser Reihe läßt sich nun leicht mit Hilfe
des folgenden von Fatou1) aufgestellten Satzes beweisen:

Konvergiert oder divergiert die Fouriersche Reihe

00

XI ( pn cos nx -\-bn sin nx )

n = 0

in zwei Punkten absolut, so konvergiert oder diver-
giert sie absolut für alle dazwischen liegenden Punkte.
Betrachten wir nämlich die Reihe:

und nehmen wir an, daß sie absolut konvergiere. Bilden wir
mit Fatou:

cos ^(» + 4) (0 + h) — 4) + cos ((n + 4) (ß ~ h) ~

— 2 cos ^(w + \) & — = — 4 cos + 4) & — 0

• sin2 (n + 4) h ,

so folgt hieraus:

cos ^(n + 4) (0 — A) — ^ < cos ^(» + 4) (# + A) — 4)

4- 2 j cos n 4“ 4) & — ! • (1 4* 2 sin2 (n 4- j) h )

und daher:

’) Vgl. P. Fatou, Series trigonometriques et series de Taylor.
Acta math., Bd. 30 (1906), S. 398.

Über die Reihe etc.

37

cos

E

n = N

(4)

((»+!)(#-*)- f)(

ao

< s

COS ■(» + $) (0 + Ä) — -

+ 2 53

n = V

V » -~—n=N Y n

1 + 2 sin2 ( n -f- h

V*

cos

(in -b $j 0 -

Hieraus ergibt sich :

Konvergiert die Reihe $, absolut in dem Inter-
vall ft bis ft -\- h, so konvergiert sie auch in dem dazu
symmetrischen Intervall ft — h bis ft.

Würde nun die Reihe innerhalb eines beliebigen Inter-

JZ 7Z

valls innerhalb 0 bis bzw. — bis n absolut konvergieren,
so würde aus obigem Satze folgen, daß die Reihe Sx auch in

Ti 7Z

den Grenzpunkten ft = 0 und ft = bzw. ft = —■ und ft = n

La La

CO 1

absolut konvergiert. Nun divergieren aber die beiden 2j — — »

n = N Y fl

1 . . ...

23 y— -• Wir kommen also zu einem Widerspruche. Die
» = v Y2n

Reihe Sr divergiert daher absolut im ganzen Inter-
vall 0 b is n. Somit gilt entsprechend (1) und (2) der Satz:
00

Die Reihe 23 +»0*0 divergiert für alle x des Inter-

n = 0

valls — 1 < x < 1 .

Betrachten wir nun die Reihe1):

(5)

2J rn P„ (cos ft) ,

n — 0

so wird diese Reihe innerhalb des Einheitskreises ab-

') Solche verallgemeinerte Kugelfunktionen-Reihen wurden von T. J.
J’A. Brom wich, Investigations on series of zonal harmonics, Proc. of
the Lond. math. Soc. (2), 4 (1906), S. 204 — 222 untersucht; diese Unter-
suchungen sind ganz analog denen von Pringsheim, Hardy u. a. über
das Verhalten von Potenzreihen an der Konvergenzgrenze.

38

0. Volk, Über die Reihe etc.

solut und gleichmäßig konvergieren. Auf dem Ein-
heitskreise bleibt sie für 0 < # < ti, ti < # < 2 gleich-
mäßig konvergent, während sie absolut divergiert; für
ft = 0 divergiert sie gleichmäßig; für ft = n schwankt
sie zwischen -j- 1 und — 1.

Während Bromwich1) bemerkt, daß man bei den Reihen

00

2J an rn P„ (cos ft) aus dem Verhalten in einem Punkte des

n = 0

Konvergenzkreises nicht ohne weiteres auf das Verhalten in
anderen Punkten schließen kann, haben wir hier ein Beispiel,
das dies gestattet, und man kommt so unmittelbar zu der
Frage, ob nicht mit Hilfe des Fatouschen Satzes sich noch
weitere Konvergenz- und Divergenzkriterien für das Verhalten
solcher Reihen auf der Konvergenzgrenze aufstellen lassen.

>) 1. c. S. 205.

39

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung
aus dem Linienelement.

Von Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Vorgelegt von S. Finsterwalder in der Sitzung am 14. Januar 1922.

Als zweites Hauptproblem der Biegungstheorie bezeichnet
A. Voss die Aufgabe, alle Flächen mit gegebenem Bogenelement

(1) ds2 = E du2 -f- 2 F du dv -\- G dv2

zu bestimmen1)- Bours Verdienst besteht darin, daß er (zu-
erst unter Verwendung von Minimalparametern, die er „sym-
metrische Koordinaten“ nennt, also für den Fall E = G = 0,
sodann unter Verwendung eines geodätischen Orthogonalsystems,
also für den Fall E = 1, F = 0) die partielle Differential-
gleichung zweiter Ordnung aufgestellt hat, der die rechtwink-
ligen Koordinaten einer Fläche mit dem Bogenelement (1)
genügen müssen. Ist eine Lösung z (u, v) dieser „Biegungs-
gleichung“ gefunden, dann kann man die zugehörigen x (u, v )
und y ( u , v) leicht durch Quadraturen bestimmen. Die hierbei
neu auftretenden Integrationskonstanten sind übrigens „para-
sitär“ — Bour hat dieses charakteristische Adjektivum in ähn-
lichem Sinne verwendet — insofern, als ihre Werte auf die Ge-
stalt der Fläche gar keinen Einfluß haben, nur auf ihre Lage2).

fl Math. Enc. III, D 6 a, Nr. 18, Das Boursche Problem.

2) Dieser Umstand wird genauer besprochen in einer demnächst in
den „Jahresberichten der Deutschen Mathematiker- Vereinigung“ erschei-
nenden Arbeit.

40

H. Liebmann

Bo ur bat sich über seine Biegungsgleichung mit folgen-
den Worten geäußert: „Die Differentialgleichung erhält man
leicht und sogar in recht eleganter Form, aber es scheint ge-
radezu unmöglich zu sein (ii peu pres impossible), ihr allge-
meines Integral zu erhalten1).“

Angesichts dieser schwer zu widerlegenden Behauptung1)
wollen wir uns hier mit der Behandlung von Beispielen be-
gnügen, um zu sehen, was sich unter Verzicht auf die allge-
meine Lösung unter günstigen Umständen doch erreichen läßt.
Im übrigen werden wir dann ganz von selbst dazu geführt,
zum Vergleich die neuere Wein garte nsche Methode2) heran-
zuziehen und einige weitere Fragen zu erörtern, z. B. die Ver-
biegung einer Fläche unter Festhaltung einer Kurve, die dann
bekanntlich Haupttangenten-Kurve sein muß.

§ I. Die Boursche Gleichung für den Fall E = 1, F = 0, G — u.

Die Biegungsgleichung hat für das Bogenelement

(2) ds2 = du- -\- G (u) d v2

die Gestalt

4 G On *22 — z\2) + 2 GG‘z1zu
+ (2 GG“ — (Cr')2) ( l — zX) — 2 G“z\ = 0,

in der die Differentialquotienten von G nach u durch Akzente,
die von z nach u und v durch Fußmarken bezeichnet sind.
Die Fundamentalgrößen L, M, N sind dann durch

L : 31: iV: 1 = 2 zn G : (2z13 G — et G1) : (2s22 G
+ z1GG‘):2 VG(Ga — £)—zT)

bestimmt.

J) Voss hat (a. a. O., S. 397) insbesondere darauf hingewiesen, daß
auf die Biegungsgleichung, die die Monge- Amperesche Form hat, die
Charakteristikentheorie nicht angewendet werden kann, „da dieselbe keine
Zwischenintegrale besitzt“.

2) Voss, a. a. 0., Nr. 31, S. 420 ff.

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc.

41

Zu einem derartigen Bogenelement (2) gehören bekannt-
lich, wie Bour zuerst festgestellt hat, Schraubenflächen, die
man leicht bestimmen kann, indem man in (3) einsetzt

(5) z = U(u) xv;

für x = 0 erhält man Rotationsflächen.

Wir wollen jetzt unter Ausschaltung der trivialen Lö-
sungen (5) den Fall G = u genauer untersuchen. (3) nimmt
hier die Form an

(6) 4 u (zu z22 — z\2) + 2 u zx zn + z\ — 1 = 0 .

Von dieser Gleichung sollen jetzt verschiedene Lösungen
angegeben werden.

Zunächst einmal gelingt es, in bescheidenem Maß eine
„Separation der Veränderlichen“ zu erreichen. Macht man
z. B. den Ansatz

(7) e = TJ{u) fl- ^v2 + cxv (* + 0),

so erhält man zur Bestimmung von U die Gleichung
luxü“ + 2uU‘U“ -\-(U‘)2— 1 =0,
deren Integration auf

(1 + uy~ 8*(1 — uy+ 2x =

führt. TJ ist damit bis auf eine Quadratur bestimmt, und z
enthält dann drei wesentliche Konstanten, während (5) nur
eine wesentliche Konstante enthält1).

Ein zweiter Ansatz

z — u + V(v)

mit einer willkürlichen Funktion erfüllt (6) identisch und er-
gibt Regelflächen. Man erkennt dies sofort, da (4) in diesem
Falle ergibt

L = 0.

*) Vgl. hierzu die eingehende Darstellung der Verbiegung von
Rotations- und Schraubenflächen bei G. Sch ef fers, Einführung in die
Theorie der Flächen (Leipzig 1902), S. 293 und 421.

42

H. Liebmann

Also sind jetzt die geodätischeu Linien dv = 0 zugleich
Haupttangenten-Kurven, daher1) gerade Linien.

Dieses Tasten nach partikulären Lösungen ist aber nicht
der einzige Weg zur Bearbeitung von (6).

Es liegt vielmehr hier einer der wenigen Fälle vor,
bei denen die klassische Inte grationsmethode derMonge-
Ampereschen Gleichungen mit Erfolg für die Theorie
der Flächenverbiegung herangezogen werden kann.

Dieser Umstand rechtfertigt wohl eine genauere Behand-
lung nach der Methode. Um die übliche Bezeichnung ver-
wenden zu können, schreiben wir in (6) jetzt x und y an
Stelle von u und v und nach Monge

p, q, r, s, t

für die ersten und zweiten Differentialquotienten. Für (6) ist
also zu schreiben

(6') 4 x (rt — s2) -\- 2 x p r p2 — 1 =0.

Die beiden Systeme von Charakteristiken erster Ordnung
sind aus

i x dp dy = 0 ,

4 x dq -J- l2dx -f- 2 xp dy = 0

und den beiden Gleichungen zu erhalten, die hieraus durch
Vertauschung von A, und A2 entstehen2); dabei ist

K = 2 Vx W^T), A2 = - 2 Vx(f-I).

Die allgemeine Theorie lehrt weiter, daiä man ein inter-
mediäres Integral

f(x, y, z, P , 2) = c

von (6') erhalten kann, wenn es gelingt, aus einem der beiden
Systeme eine „integrable Kombination“

b Weil geodätische Krümmung und Normalkrümmung beide gleich
Null sind.

2) Vgl. Math. Enc. II, A. 5 (von Weber), Partielle Differential-
gleichungen, Nr. 43 — 45. Daselbst muß in (157) das letzte Vorzeichen
unter der Wurzel geändert werden.

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc.

43

df = 0

zu gewinnen. Dieser Fall liegt hier vor. Eliminiert man näm-
lich dy, so kommt

dQ+ 7 ß==dP+ ld*j/

oder

Vf ~ 1

Also ist

— d(q — Vx ( f — 1)) = 0 .
(q-c)2 + X(f -1) = 0

ein intermediäres Integral von (6'), was nachträglich sofort
durch Differentiation nach x und y bestätigt werden kann.
Die vollständige Lösung dieser Gleichung erster Ordnung ist

(9y) e = y (c + a) +

S V

dx + b = z (x, y, a, b, c ) .

Die allgemeine Lösung erhält man dann in bekannter
Weise, indem man in (70 für b eine willkürliche Funktion b(a)
von a einsetzt, sodann bildet

= o

da db da ’

und a eliminiert. — Schließlich hat man für x und y wieder
u und v zu schreiben.

Es ist immerhin bemerkenswert, daß die erforderlichen
Integrationen sich hier soweit führen lassen, daß man eine
„Biegungsgruppe“ mit einer willkürlichen Funktion b (a) und
einer willkürlichen Konstanten c angeben kann, die die zuerst
gefundenen partikulären Lösungen wesentlich ergänzt.

§ 2. Die Weingartensche Methode.

Das Bogenelement

ds 2 = du2 -}- udv 2

dessen „Biegungsgruppe“ durch; direkte Behandlung der Bour-
schen Gleichung (6) in § 1 noch nicht vollständig gewonnen

44 H. Liebmann

worden ist, ist auf der andern Seite geradezu das klassische
Beispiel für die Weingartensche Methode. Die Flächen mit
diesem Bogenelement sind nämlich Zentraflächen von Minimal-
flächen, und da einerseits alle Flächen mit derselben Relation
zwischen den Hauptkrümmungsradien, in unserem Fall

-Rj -f" -R2 = ^

aufeinander abwickelbare Zentraflächen besitzen, anderseits alle
Minimalflächen bekannt sind, so sind damit alle Flächen mit
dem genannten Bogenelement bekannt1).

Wir wollen aber der Vollständigkeit halber diese Lösung hier
entwickeln, um sie der weniger elastischen Bo urschen Methode
gegenüberzustellen und zugleich das Ergebnis weiter verwenden.

Wir bezeichnen die Koordinaten jetzt mit £, rj , £ und
stellen uns die Aufgabe, durch den Ansatz

£ = u X -J- aj,

(8) tj = u r+ y,

C = uZ fl- z

zu erreichen, daß das Bogenelement den Wert

(9) da2 = du2 -J- udv2

erhält. Dabei ist ( x , y, z) eine noch zu bestimmende Fläche,
X, Y, Z sollen die Richtungscosinus ihrer Normalen bedeuten.
Bezeichnet man das Bogenelement dieser Hilfsfläche mit ds2,
so hat man die Forderung

du2 -f- udv2 = do 2 = du2 -J- u2 Xd X2 -j- ds 2 fl- 2 uXdXdx

zu erfüllen. Führt man auf der Hilfsfläche Minimalparameter ein
und bezeichnet man die Fundamentalgrößen der Hilfsfläche mit
E, F, G, L, M, N, mittlere Krümmung und Krümmungsmasse
wie üblich mit H und JV, so erhält man hieraus die Forderung2)

9 Vgl. auch Math. Enc. III, D 5 (von Lilienthal), Besondere Flächen,
Nr. 17 und 18, sowie Darboux, Theorie des surfaces IV (Paris 1896), p. 324.

2) Der Formelapparat der Flächentheorie ist in den „ Tafeln“ am
Schluß des oben genannten Werkes von Scheffers zusammengestellt.
Hier kommen namentlich die Tafeln XII und XVIII in Betracht.

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc.

45

udv 2 = u(vx da v2d ß)2

= ^<2 ( H (Lda2 - f- 2 Mdadß -j- N d ß'2) — 2 K Fda d ß)

2 Fda dß — 2 u(Lda2 + 2 Mdadß + Nd ß2) ,

also

nv\ = u2 HL — 2 tcL,
uv\ = u2 HN — 2 uN.
uvxv2 = u2 ( H M — KF ) -j- F — 2 m M.

Diese drei Bedingungen sind erfüllt, wenn man für die
Hilfsfläche eine Minimalfläche nimmt, denn alsdann ist

H = M= 0,

und die Mainardi-Codazzischen Gleichungen liefern

sind also mit

d L _ d_N
dß — da

v\ = —2 L, vl = —2N

verträglich.

Hiermit ist die vollständige Biegungsgruppe des Bogen-
elementes (9) gewonnen, da man alle Minimalflächen kennt.
Wir erhalten sie so. Die Hilfsfläche (Minimalfläche) stellen
wir dar durch

* = c(a + ß)

(10) x — ci (JcosM da-\- §cosBdß),

y = ci ( j* sin A da -f- J* sin B dß) ,

worin A und B willkürliche Funktionen von a und ß sind.
Es wird dann

2 c sin2 £ (A — B )

(11) “ VÄrB‘

und

v = V2 ic(S V A‘ da + J* V—B‘dß),

46

H. Liebmann

. /sin A — sin B , . n , , , . r> _ , \

f = c h * J cos Ada. -}- i J cosBdß\ ?

(12) 17 = c ^y==^ + i j* sin A da + i SsmBdß^j ,

V iVA'B1 J

Diese Darstellung umfaßt dann alle Flächen mit dem
vorgeschriebenen Bogenelement (9).

Wir wollen die Darstellung verwenden, um ein Beispiel
bedingter Verbiegung anzugeben, nämlich die Gesamtheit
aller Flächen, die eine vorgeschrieben e Kurve gemein
haben und aufeinander abwickelbar sind. Diese starre
Kurve ist dann bekanntlich Haupttangenten-Kurve für alle sie
enthaltenden Flächen dieser speziellen Biegungsgruppe1).

Das Ergebnis ist gegeben durch

r— . ß

f sin a cos a^i + j/ S7) - + ^J0055 B d^)'

(13) /cos 2 a . . cos B .

= c I — — 1 sin- a 4 . 4- 1

\V2 B‘ V2B1

t. ( ■ sin (2 a — J5) \

\ V2B )

p

^ sin B d ß^j ,

und wurde erhalten durch die Wahl

A = n -j- 2 a .

Die Funktion B(ß) ist ganz beliebig wählbar bis auf die
beiden Nebenbedingungen

B(o) = 0, B'(o) = 2.

b Voss, a. a. 0., S. 399, Nr. 19.

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc.

47

Alle diese Flächen haben die aus (13) für ß = 0 sich
ergebende Kurve gemein:

£ (a, 0) = — c cos a sin a (1 4* 0?

(14) rj (a, 0 ) = c (cos2 a — i sin2 a),
f (a, 0) = c (a -f- i sin a cos a).

u und v sind wieder durch (11) gegeben. Insbesondere
ist unter den Flächen eine reelle Schraubenfläche enthalten,
die sich für B = 2 ß ergibt.

Diese Fläche wird in reeller Form dargestellt durch

£ = c ( sht cos cp — cht sin 99),
rj = c (sht sin cp 4- cht cos (p) ,
t = c (cp — sht cht).

Dabei ist dann

u = c ■ ch2 1 , w = V 2 c (99 — t),
cp — it = 2a, cp it — 2 ß .

Andere reelle Flächen enthält diese spezielle Biegungs-
gruppe nicht.

§ 3. Weitere Verwendung der Bourschen Gleichung.

Wir kehren nochmals zur Fragestellung des ersten Para-
graphen zurück, die wir jetzt so wenden wollen: Wie muß
man in

(2) ds 2 = du 2 4- Gi(u) dv 2

die Funktion G wählen, damit die zugehörige Bour-
sche Gleichung durch den Ansatz

(15) g = U(u) + V(v)

gelöst werden kann, ohne daß V(v) als lineare Funk-
tion angenommen werden muß?

Diese Wahl ist, wie schon in § 1 bemerkt worden ist,
immer möglich und führt auf die Schraubenflächen ; wir schalten
sie deshalb aus.

48

H. Liebmann

Setzt man (15) in die Boursche Gleichung (3) ein, so kommt
4 U“ V“G — 2

+ 2U‘U"GG‘ + (2 GnG — (Gy){\ — (U‘f) = 0;

dabei sind die Differentialquotienten von U und G nach u und
die von V nach v durch Akzente bezeichnet, überdies ist die
Anordnung so gemacht, daß die zweite Zeile von v frei ist.
Man kann nun die Wahl treffen

G“ = 0, V“ — x

und kommt damit wieder auf das in § 1 und 2 behandelte
Bogenelement, man kann aber auch setzen

V“ = y.(V y,

also

— 1 log(xt>)

und erhält dann die beiden Forderungen
iü-'Gx — 2G“ = 0,

2 U‘ V“ GG‘ + [2GG“ — (G‘f) (1 — ( UJ) = 0 ,

die jetzt zu erfüllen sind.

Setzt man

G(u)^g2(n),

so verwandelt sich die zweite Gleichung in

U‘ U"g‘ + (1 — (Uy)g“ = 0
und gibt das Integral

(gy = c*( i -(UJ).

Es ist einfach zu behandeln durch Verwendung eines Hilfs-
parameters t, indem man setzt

dg .

~r~=- 9 =«sin t,

du

d ü tt> i

du

Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc.

49

Sodann ist noch zu setzen

G“ 99“ + W

U " =

2 x G

*9

Dabei ist

7T" d ■ / /'

U = — ; — - — sin t ■ t ,

du

also

und es ist

. c cos t • 1 c2 sin2 t

— sin t • t = f-

^ 9

x g -

, dt dt da . , dt

t = -5 — = -5— • = c sin t • -y— .

aw dg du dg

Man erhält so
dt (

!

sin t

cos A l
xg ) ^ x

c2 sin t

0,

dg \

also die Riccatische Gleichung

|f + är«)U+^»> = 0.

Um hier eine bestimmte Wahl der Fundamental-Größe
Gr == g2 zu treffen, setzen wir

c = x,

1

(16)

9

sin t lg tang

t

und erhalten das Bogenelement

(17)

dg 2

ds2 == du2 -\~ g2 dv2 — „ . » , + g2 d v2 .

x- sin2 1

Der zugehörige Wert von z ist
(18) ,L U(u)+ V(y)= (^dg- l log*».

bin v /t

Zu jedem Bogenelement (17) hat man also von vorne-
herein (außer den Schrauben- und Rotationsflächen) noch eine
Fläche (18); dabei ist t als Funktion von g gegeben durch (16).

Sitzungsb. d. matli.-phys. Kl. Jahrg. 1922. 4

50

H. Liebmann, Die Bourscbe Methode etc.

Damit scheinen dann alle Möglichkeiten erschöpft zu sein,
die Boursche Gleichung durch einen * separierenden“ Ansatz

g = U(u ) + V(v)

zu integrieren.

Bour hat übrigens seine eigenen Leistungen überschätzt;
die von Voss in seinem Enzyklopädie-Artikel kritisierte Stelle
(Voss, a. a. 0., S. 421, Anm. 288) enthält zwei Irrtümer.
Er meint, daß die von ihm bestimmten, zum Bogenelement (2)
gehörigen Schrauben- und Rotationsflächen drei wesentliche
Konstanten enthalten, während in der Tat nur eine wesent-
lich ist, die anderen „parasitär“. Außerdem aber glaubt er,
die allgemeinste Lösung der zugehörigen partiellen Differential-
gleichung (3) aus einer partikulären mit drei willkürlichen
Konstanten erhalten zu können. Seine pathetische Wendung:
„Meine langwierigen Bemühungen . . . sind von Erfolg ge-
krönt worden in dem wichtigen und sehr umfangreichen Fall
der Flächen, die auf die Rotationsflächen abwickelbar sind“,
schießt also weit über das hier erreichte Ziel hinaus.

51

Merkwürdige Senkungen des Bodens von Frankreich.

Von Emanuel Kayser.

Vorgetragen in der Sitzung am 4. Februar 1922.

Im Anschluß an den Vortrag des Herrn Max Schmidt
in der Januar-Sitzung sprach Herr Emanuel Kayser an der
Hand geologischer Karten über merkwürdige Senkungen
des Bodens von Frankreich in den Jahren zwischen
1860 und 1890.

Aus der Betrachtung des dem Schmidtschen Vortrage bei-
gegebenen Isokatabasen-Kärtchens ergibt sich, daß fast ganz
Frankreich sich im Zustande säkularer Senkung be-
findet. Nur am Abhange der Pyrenäen und der Alpen,
wo die Katabase 0 verläuft, haben die Feinmessungen keine
Senkung ergeben. In der Nähe des Mt. Cenis wurde sogar
— als dem einzigen Punkte in ganz Frankreich — eine ge-
ringe Hebung (um 10 cm) festgestellt. Während also die
beidenjugendlichenHochgebirgekeineÄnderungihrer
Höhenlage erfahren haben, unterliegt dasganze übrige
Frankreich einer Senkung, die um so stärker wird, je
weiter man nach Nord kommt, und die an den Küsten
des Kanals und der Nordsee (unweit Ostende) auf 80 — 100 cm
anwächst. Wenn auch dies Ergebnis mit der bekannten Tat-
sache, daß die ganze nordfranzösische ebenso wie die nieder-
ländische Küste seit der Postglazialzeit einsinken, durchaus im
Einklang steht, so muß doch die außerordentliche Schnel-
ligkeit der Senkung, die mehr als 3 m im Jahrhundert
beträgt, im höchsten Maße überraschen.

Im allgemeinen laufen die Katabasen in der Richtung von
West nach Ost über das Gebiet Frankreichs hin, wie dies be-
sonders die fast gerade Senkungslinie — 60 zeigt. Der Wechsel

4*

52

E. Kayser

der verschiedenen Formationen, selbst ihr Übertritt aus den
alten Massiven in jüngere Sedimente, beeinflußt die Gestalt der
fraglichen Linien so gut wie nicht; wohl aber wird sie in
deutlichster Weise durch tektonische Verhältnisse bestimmt.

So machen sich besonders im Südosten des Landes, zwi-
schen Alpen und Zentralplateau, höchst auffällige Rückbie-
gungen der Senkungskurven nach Süden geltend. Sie hängen
offenbar damit zusammen, daß man sich hier im Bereich des
Rhone-Saone-Grabens befindet, jenes großen jungen Sen-
kungsfeldes, das in vielen Beziehungen ein Gegenstück unseres
mittelrheinischen Grabenbruches darstellt. Wie dieser vom
Schweizer Juragebirge — einem Seitenzweige der Alpen —
ausgeht, so der Rhonegraben von dem versunkenen, vor der
Rhonemündung liegenden Verbindungsstück zwischen Alpen
und Pyrenäen. Die unweit der Mittelmeerküste hinziehende
Katabase — 10 hat noch einen fast ungestörten West- Ost-
Verlauf; allein schon ein wenig nördlich von ihr beginnen
jene merkwürdigen tiefen Ausbuchtungen der Katabasen nach
Süden, die nach Norden zu bis über Dijon hinaus anhalten
und uns zeigen, daß wir im Bereiche des großen Rhone-Bruch-
feldes stehen und daß in diesem die Senkung erheblich schneller
fortschreitet, als im Gelände zu beiden Seiten außerhalb des
Grabens. Erst im Norden von Dijon, in der Nachbarschaft
des Plateaus von Langres, hört die Rückbiegung der Katabasen
auf. Die Katabase — 60 zeigt keine Spur einer solchen mehr,
und man darf daraus schließen, daß man sich hier schon jen-
seits des Grabenendes befindet.

Wenn übrigens die schmale Trichterform der Rückbiegung
der Katabase — 50 so auffällig von den breiten bauchigen
Rückbiegungen der Katabasen — 40 und — 30 abweicht, so
hängt dies wohl damit zusammen, daß die Gestalt der nörd-
lichen Senkungslinie lediglich durch den verhältnismäßig schma-
len Saonegraben bestimmt wird, während -weiter südlich, im
Westen des Morvan — dieses abgetrennten Stückes des Zentral-
plateaus — zum genannten Graben noch das weitere ansehn-
liche Senkungsfeld der Limagne hinzukommt.

Merkwürdige Senkungen des Bodens von Frankreich.

53

Ganz ähnliche, nicht minder merkwürdige Ausbauchungen
der Isokatabasen wie im Bereiche des Bhone-Saone-Grabens
trifft man im Nordosten von Frankreich, zwischen dem
Palaeozoikum der Ardennen und von Brabant einer-
seits und dem Seinetale andererseits wieder. Auch hier
sind die Umbiegungstrichter nach Süden gewandt; indes ver-
läuft ihre Achse nicht wie im Rhonegebiet meridional, sondern
von Südost nach Nordwest. Es kann kaum zweifelhaft sein,
daß auch in diesem Falle der Grund der Rückbiegung darin
zu suchen ist, daß wir hier in ein Abbruchsgebiet des alten
variszisch-armorikanischen Faltengebirges eingetreten
sind. Nur noch einmal treten aus diesem Senkungsfelde die
niedergebrochenen karbonischen, devonischen und sibirischen
Schichten wieder zu Tage: in dem langen schmalen Horst
von Boulogne, und dieser Horst fällt sogar ziemlich genau
in die Mittellinie der Katabasentrichter. Das in Rede stehende
große Bruchfeld ist zwar viel älter als das des Rhone-Saone-
Grabens, da es schon in permischer Zeit entstand. Allein die
Kräfte, die es schufen, sind noch nicht erloschen. Sie sind
unter der mächtigen Decke mesozoischer und tertiärer Sedi-
mente, welche das Bruchfeld später überdeckt haben, noch bis
heute tätig und geben uns eine Erklärung dafür, daß die
säkulare Senkung auch in diesem Gebiete erheblich schneller
vor sich geht, als in seiner Umgebung.

Im Westen des eben besprochenen Feldes stoßen wir im Mün-
dungsgebiet der Seine zwischen Paris und le Havre auf eine merk-
würdige nordwestlich streichende Ellipse verhältnis-
mäßig schwacher Senkung. Sie steht vielleicht in Beziehung
mit dem über hundert km langen, ebenso streichenden Bruche,
der an ihrem Nordrande von Dieppe ausstrahlt und das Hervor-
treten jurassischer Schichten aus der umgebenden Kreide bedingt.

Diese wenigen Mitteilungen lassen zur Genüge erkennen,
welche wichtigen Aufschlüsse in nicht zu großen Zwischen-
räumen wiederholte Feinnivellements uns zu geben vermögen.
Solche sollten mindestens alle 50 Jahre wiederholt und all-
mählich über immer größere Gebiete ausgedehnt werden.

54

E. Kayser, Merkw. Senkungen d. Bodens v. Frankr.

Wollte man schließlich die Frage nach den Gründen der
ausgedehnten einseitigen Senkung des französischen Bodens auf-
werfen, so ließe sich darauf folgendes antworten. Beschränkt
man sich auf Frankreich allein, so könnte es scheinen, als ob
hier eine Schaukel- oder Wippbewegung vorläge. Die Null-
kurve würde dem Stützpunkt der Wippe entsprechen, das süd-
liche Hochgebirge aufsteigen, das Land im Norden aber einsinken.
Es würde also eine Art isostatischer Bewegung im Spiele
sein. Zieht man aber die Nachbarländer Frankreichs in Be-
tracht, so kommt man zu anderen Anschauungen. Die Frank-
reich gegenüber liegende Südküste Englands sinkt zwar eben-
falls; allein schon die nördlich davon liegenden Teile Englands
sowie Schottland sinken nicht, sondern steigen. Das Gebiet
von Frankreich bildet somit ein zwischen zwei Hebungsge-
bieten eingeschaltetes Senkungsgebiet, eine Art Trog, dessen
tiefste Stelle mit dem Kanal zusammenfällt. Daß die Achse
dieses Troges sich nach Nordosten zu noch weit, nach der
Ostsee und dem Ladogasee fortsetzt, geht daraus hervor, daß
auch die norddeutschen Küsten sinken, die skandinavische aber
steigt. Man gewinnt so den Eindruck, daß Frankreich eine
große sinkende Mulde darstellt, die im Norden wie im
Süden von sich hebenden Flanken begrenzt wird. Wir
würden es darnach nicht mit isostatischen Vorgängen zu tun
haben, sondern mit der Bildung einer großen flachen Falte,
die wie alle Faltungen der Erdrinde mit deren Schrumpfung
in Verbindung zu bringen wäre. Die am ganzen Außenrande
der Alpen zu beobachtende Uberkippung der Schichten, die
Überfaltung der alpinen Decken nach Korden spricht ebenso,
wie der Nachweis einer Vorwärtsbewegung der Alpen in gleicher
Richtung1) zugunsten der Vorstellung, daß das gesamte zwi-
schen dem skandinavisch-schottischen Massiv im Norden und
den tertiären Hochgebirgen im Süden liegende Land (gleich
einer zwischen den Backen eines Schraubstockes befindlichen
Masse) der säkularen Zusammenpressung unterliegt.

’•) Die Verkürzung des Abstandes München -Wendelstein.

55

Abhandlung von al-Fadl b. Hätim an-Nairizi:

Über die Richtung der Qibla

(Arab. Hdschr. Nr. 2457, 17° der Bibi. nat. in Paris)
übersetzt und erläutert von C. Schoy in Essen a. d. R.

Vorgelegt von S. Günther in der Sitzung am 4. Februar 1922.

Schon wiederholt bestätigte sich meine Vermutung, daß
das Studium der Abhandlungen arabischer Astronomen über
die Bestimmung des Azimuts der Qibla tiefere Einblicke in ihre
trigonometrischen Praktiken gewährt, als die Behandlung all-
täglicherer Aufgaben der sphärischen Astronomie, wie man ihnen
in den astronomischen Tafelwerken (zigät) der Araber gewöhn-
lich begegnet. So findet sich z. B. in den Häkimitischen
Tafeln des Ibn Jünus (f 1009) für die Bestimmung der Qibla-
richtung ein Text, dessen Umsetzung in unsere Formelsprache
genau den Kosinus- und Sinussatz der sphärischen Trigono-
metrie ergibt1), während man aus der rein konstruktiven Be-
handlung unserer Aufgabe durch Ibn al-Haitam (Alhazen)
sofort den sog. Kotangentensatz der sphärischen Trigono-
metrie ablesen kann2).

Und als nicht minder wertvoll für die Geschichte der
arabischen Trigonometrie erwies sich die Lektüre des vor-
stehenden hübschen Schriftchens. Denn es zeigte sich, daß

') Mscr. Huntington 331, Oxford, S. 67 ff.

2) Abhandlung des al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitam
(Alhazen) über die Bestimmung der Richtung der Qibla. Nach d. Ox-
forder Mscr. Seiden, Arch. A 34, aus dem Arab. übers, von C. Schoy
(Ztschr. d. Deutsch. Morgenl. Gesellsch. 1921, S. 242 — 254),

56

C. Schoj

an-Nairizi (Anaritius) die auf sphärische Dreiecke übertra-
genen Transversalensätze des Menelaos bereits in rein trigono-
metrischer Form an wendet, und zwar sowohl die „Regel der
4 Größen“, als auch die sog. „Schattenregel“ der Araber1)
(Tangentensatz). Uber diese 2 Regeln liest man bei A. von
Braunmühl2): „Als Quelle für beide Sätze haben wir schon
früher die Sphärik des Menelaus nachgewiesen. Während wir
aber vermuten, daß das erste Theorem bereits im Besitze Täbits
(gemeint ist Täbit ibn Qorra f 901) war, ist das zweite un-
streitig Abü’l Wafä’s Eigentum.“

Da Anaritius (f 922/23) ein Zeitgenosse al-Battänis
(f 929) war, so ist er gegenüber Abü’l Wafä’ (f 998) der
Prior, und die erste Kenntnis der „Schattenregel“ muß in der
arabischen Trigonometrie um eine Anzahl Jahrzehnte vor-
datiert werden.

Über die näheren Lebensumstände unseres Gelehrten weiß
man so gut wie nichts. Er stammte aus dem persischen Städt-
chen Xairiz, südöstlich von Schiräz und hat später wohl in
Bagdad gelebt. Über seine Werke unterrichtet Suters treff-
liche Abhandlung: „Die Mathematiker und Astronomen der
Araber und ihre Werke“, Leipzig 1900, S. 45. Dazu wäre
zu vergleichen: M. Curtze, „Anaritii in decem libros priores
Elementorum Euclidis commentarii ex interpr. Gherardi Cre-
monensis, Leipzig 1899, S. VIII.

Der Übersichtlichkeit halber möchte ich zuerst eine kurze
Darstellung geben, wie an-Nairizi das Azimut der Qibla er-
mittelt hat, sodann die wörtliche Übersetzung des arabischen
Textes (ohne Auslassungen) folgen lassen, und den Schluß des
Ganzen soll die Anfügung einer geographischen Tafel des Ibn
as-Sätir (1304 — 1375/76) bilden, die außer den geographischen

1) A. von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigono-
metrie I, Leipzig 1900, S. 17, 58, 67). Vgl. auch die treffliche Abhand-
lung von Axel Anton Björnbo: Studien über Menelaos’ Sphärik (Ab-
handlungen z. Geschichte d. mathemat. Wissenschaften, XIV. Heft, 1902,
S. 89-95).

2) A. a. 0., S. 58.

Über die Richtung der Qibla.

57

Koordinaten einer Anzahl bekannter Örtlichkeiten islamischer
Länder, auch deren Qiblarichtung enthält. Ich habe diese Daten
dem arab. Codex 1403 (Gotha) entnommen (S. 72 a — 75 b).

I. A (Bagdad) sei Karten mittelpunkt, und von A aus soll
die Richtung der Qibla (= <£ a ) bz. Mekka ( G ) berechnet
werden. Die geographischen Breiten von Bagdad und Mekka
seien bzw. cpl und (p2 ; sie werden bei der Ermittlung von n
natürlich als bekannt vorausgesetzt, wie auch der Längen-
unterschied X der beiden Orte. Und zwar lehrt Anaritius:
tpx = 33° 25'; cp2 = 21° 41'; X = 301). T sei der Nordpol der
Erde uud AC der Äquator. Der Kreis ABGD mit A als
Mittelpunkt stellt den Horizont von Bagdad dar und Linie DT AB
den Meridian daselbst. Der Meridian von Mekka ist TG UK.
Zieht man jetzt noch durch Bagdad und Mekka den Großkreis
(Quadranten) AGL, so bildet er mit dem Meridian von Bagdad
den <£ a, der die Blickrichtung von Bagdad nach Mekka, d. i.
das Azimut der Qibla, in Bagdad bestimmt. Winkel a heißt
der Inhiräf (Abweichung, Deklination) der Qibla. Nach
unserem Autor gilt:

sin BT sin KT sin AU

sin BH sin KU sin AH'

*) Statt 5°. Diese um rund 2° zu geringe Längendifferenz zwischen
Bagdad und Mekka findet man bei sehr vielen arab. Autoren. Viel ge-
nauer sind dagegen die Breitenangaben für die beiden Städte. Die Breite
Bagdads haben die Söhne des Müsä b. Säkir am 17. Juni und am
16. Dezember 868 zu 33° 20' bestimmt und zwar die Breite der Bäb
at-Täq, an der ihre Wohnung lag. [Häkimitische Tafeln, Leidener Mscr.
Nr. 143, S. 222/23.] Dieser Wert ist bis zur Bogenminute genau. Man
begegnet bei den Angaben für cpx und <p2 keinen ganz übereinstimmen-
den Werten in arabischen Tafel werken. Es finden sich dafür bei

al-Battäni: <pi = 33° 9';

Abü’l Wafä* : <P\ = 34° 19';
IbnJünus: <p\ — 33° 20';

Abü3l Hasan: <px = 33° 15';
(v. Marroko)

Ibn as-Sätir: cpl = 33° 25';
Ulüg Beg: <p1 = 33°25';

<p2 — 21° 40',

<p2 = 22»,

V* = 21°,

<P2 = 21°,

cp2 = 21° 30'
<p2 = 21° 40'.

58

C. Scboy

Dabei ist: BT — 180° — <pt; BH — 90° — 9?,-; AU —
90° — UH — 90° — X; AU — TH = 90°.

Unbekannt sind die Bögen KT und KU; es besteht aber
zwischen ihnen die Beziehung KT — 90° -\- KU. Somit läßt
sich K U berechnen. Denn I. vereinfacht sich zu

sin <pj cos KU cos 1

cos <px sin K U sin 90° ’

und diese Gleichung lehrt Anaritius. Sie ist mit der „Schatten-
regel“ identisch. Wir würden zur Berechnung von K U schreiben

cotg ICU ^ tang cPl ■ . I a)

COS A

Allein der Autor besaß wohl keine Tangententafel (Schatten-
tabelle), die geeignet war zur Berechnung von arc KU aus Ia).
Vielmehr leitet er aus der „Schattenregel“ zum Gebrauch seiner
Sinustafel ab :

? f /sin <PiV

sin KU — l : | / 1 + ^ • H)

Hieraus wird arc K U gefunden. Ich füge in Klammer
den genauen Wert zu an-Nairizis Resultat jeweils hinzu.
Es ist nach des Autors Rechnung:

KU = angrenzender 1. Bogen = 56° 24' 8" [56° 32' 49791].
An-Nairizi lehrt ferner:

sin TH sin UT sin ^4A7
sin BH sin KU sin .42?'

III)

Und da TH — UT — AB = 90°; BH = 90° — cp , ist,
so ergibt sich aus III):

sin 90° sin AK

sin (90° — 99J sin K Ü '

IV)

und dies ist die „Regel der 4 Größen“, die der Autor zur
Berechnung von arc AK umformt in

sin A K —

sin 90° • sin K U

IV a)

cos

Über die Richtung der Qibla.

59

Aus IVa) findet Anaritius:

AK = Ergänzung des abgeschnittenen 1. Bogens

= 86° 12' 15“ [88° 20' 48:3],
BK = abgeschnittener 1. Bogen = 3° 47' 45“ [ 1° 39' 1 177].

Alsdann berechnet der Autor arc LG und dessen Ergän-
zung zu 90°, arc AG mit Hilfe der Gleichung:

sin BT sin TK sin LG
sin A B sin G K sin A L '

Und da

BT — 180° — 99,; AB = 90°; TK = 90° + KU]
GK = <p2-\- KU; AL = 90°

ist, so vereinfacht sich V) zu

cos KU • sin LG
Sm'P‘ = sin (<p2 ■+• K TJ) ’

welch letzterer Ausdruck nach sin Air aufgelöst wird; denn
Anaritius lehrt:

sin LG

sin cpx • sin {cp% -f- KU)
cos KU

Va)

Es finden sich für arc LG und arc AG folgende Werte:

LG = angrenzender 2. Bogen = 76° 50' [77° 58' 15“] ,
AG = abgeschnittener 2. Bogen = 13° 10' [12° 1' 45“].

Endlich findet er <£ a — arc LB mittels der Gleichung

sin Ai? sin AL sin TG v

sin KB sinzl 67 sin TK'

Dabei ist

KB= 3° 47' 45“ [1° 39' 1 177] ; zlA = 900;

AG = 13°10'[12°1'45“]; AG = 90°-<p2; AJT= 90° -f KU.

So wird denn VI) zu

sin LB —

sin 3° 47' 45“ -sin 90°
sin 13° 10'

cos 21° 41'
cos 56° 24' 8“ ’

Via)

woraus an-Nairizi folgert:

LB = 29° 7' [13° 29' 40!7].

60

C. Schoy

S. 78v

Dieser große Fehler — aus Via) resultiert nämlich mit
den Zahlen des Autors rund 29° 12' — rührt zur Hauptsache
aus dem gänzlich falschen Werte für KB her.

Auch Abü’l Wafä’ löst in seinem Almagest, der sich als
arab. Mscr. 2494 in der Bibi. nat. zu Paris befindet, die Auf-
gabe, das Azimut der Qibla für Bagdad zu berechnen. Ich
habe seine Lösung in meine „Arabische Sonnenuhrkunde“ [Teil
des Werkes „Geschichte der Zeitmessung und der Uhren* von
E. von Bassermann-Jordan, München 1922] aufgenommen
(Mscr. 2494 der Bibi, nat.1), S. 67 a). Hier sollen nur einige
Zahlenangaben gemacht werden. Es ist nach Abü’l Wafä’:
sin l = 3' 8" 24'" 34 Iv, also A = 3°,

cos (f3 = 55' 37" 51'" 43lv, „ <p2 = 22°,

sin AG — 12' 51" 57'", „ zJG = 12°23\

sina — 13' 49" 9'" 19IV, „ a = 13° 49' 15" 55"',

woraus man ersieht, daß die rechnerischen Hilfmittel des AbüT
Wafä’ ungleich vollkommener waren als die des an-Nairizi.
Die Breite Bagdads kommt bei Abü’l Wafä’ nicht vor, statt
dessen gibt er AG an. Aus seinen Daten würde für cpx der
Wert 34° 19' folgen.

II. Übersetzung des arabischen Textes.

„Im Namen Gottes des barmherzigen Erbarmers!

Abhandlung von al-Fadl ben Hätim an-Nairizi
über die Richtung der Qibla.

Es werde die Ausführung für Medinat as-Saläm (Bagdad)
gemacht. Wir verzeichnen zuerst für Medinat as-Saläm2) den
Horizontkreit ABC D mit dem Mittelpunkt H. Es möge ferner

9 Die trefflichen trigonometrischen Leistungen Abu'l Wafä’s
stehen im I. Buch seines Almagest. Ihre Kenntnis verdanken wir einer
Studie Carra de Vauxs, die er durch Analyse des obigen Pariser arab.
Mscrs. vor 30 Jahren gab (vgl. Journal asiatique 1892, S. 408 — 472).
Die trigonometrischen Anwendungen hingegen stehen im II. Buch des
Almagest, und es wäre sehr erwünscht, daß Herr Baron Carra de Yaux
auch hieraus das Wichtigste publizierte.

2) Die Handschr. hat nur selten Saläm, meist Silm.

Über die Richtung der Qibla.

61

Punkt A der Anfangspunkt des Äquators (Beginn des Widders
und der Wage) sein und C sein Schlußpunkt. Der Äquator
sei CHA und der halbe Meridian von Medinat as-Saläm BHD.
Punkt A sei das Zenit von Medinat as-Saläm, während G das
Zenit der Bewohner Mekkas bedeute. T sei der Nordpol. Ein
(größter) Kreis durch ihn und G schneidet den Bogen TGUK
aus, und arc HU ist die Längendifferenz, die sich bezüglich
Bagdads (und Mekkas) auf 3 Längengrade beläuft. Das ist
ein bekannter Bogen. Damit ist auch arc U A gegeben als
Ergänzung des Bogens HU zu 90°. Bogen TGUK ist ein
Stück des Meridians von Mekka. Er ist unbekannt, und des-
halb wollen wir ihn ermitteln. Wir ziehen durch die beiden
Punkte G und A den Viertelkreis LGA , und das zeigt, daß
as-salät1) (Gebetskreis?) in Medinat as-Saläm der untere Teil
eines Quadranten ist. Es möge jener Teil (Abschnitt) die Punkte
der beiden Horizonte passieren, d. h. die Ebene AGL senk-
recht auf den zwei Horizonten stehen. Wir wollen jetzt in
Erfahrung bringen, wie wir den Bogen BL des Horizontkreises
kennen lernen; falls wir ihn ermittelt haben, kennen wir das
Azimut der Qibla.

Da zwischen den zwei Bögen TB und AB die Bögen
TGUK und HU A sich in U schneiden, so ist

sin TB sin TK sin U A 2.

sin BH sin K U sin HA

Arc BH ist der Betrag der Höhe des Beginns des Widders
und der Wage (Äquatorhöhe = Ergänzung der geogr. Breite
Bagdäds zu 90°). Es sind also auch die beiden Bögen TB
und AH bekannt. Auch arc A UH ist gegeben; es ist arc AH
— 90°. Was aber einen jeden der 2 Bögen TK und UK an-
betrifft, so sind beide unbekannt; aber der Überschuß des
Bogens TK über UT hinaus ist bekannt und = 90°, und so
wird arc UK bekannt in der Weise, wie ich es jetzt beschreibe:

*) as-salät heißt das Gebet; es kann hier aber nur arc A G gemeint sein.

2) Natürlich stehen die Formeln in Worten da. Die multiplikative
Verbindung des Verhältnisses sin UA:sinHA mit dem Vorhergehenden
ist durch „mu’allif“ ausgedrückt.

62

C. Schoy

Kapitel über die Berechnung des Bogens UK.

Wir nennen ihn den angrenzenden 1. Bogen. Wir teilen
den Sinus des Bogens A H, der gleich dem Sinus der Breite
von Medinat as-Saläm ist, durch den Sinus 55p, d. i. der Wert
des Sinus der Ergänzung (Kosinus) der Breite von Bagdad
zu 90°. Was sich ergibt, nennen wir das Verhältnis I/II.
Darauf teilen wir den Kosinus der Längendifferenz, ich meine
der Differenz der Länge Bagdads vom Westen gezählt mit der
Länge Mekkas, durch Sinus totus (sin 90°), und was aus der
Teilung entfließt, nennen wir V/Vl. Nunmehr teilen wir I/II
durch V/VI, und was hieraus resultiert, nennen wir III/IV.
Wir erheben jetzt III/IV ins Quadrat. Das Quadrat vermehren
wir um 1 und ziehen alsdann die Quadratwurzel aus der Summe.
Mit der Wurzel, welche wir genommen haben, teilen wir in
sin • tot • (= 60p), und was sich aus der Teilung ergibt, ist der
Sinus des angrenzenden Bogens. Wir machen ihn zu Bogen,
und was wir als Bogen erhalten, das ist der angrenzende
1. Bogen UK.

Kapitel über die Berechnung der Bögen KA und KB.

S. 78r Es ist

sin TH sin TU sin AK
sin HB sin UK sin^4J5 ’

Da jeder eine der zwei Bögen TH und TU — 90° ist,
so wird gerade

sin UK sin AK
sin HB sin AB

Wir multiplizieren (also) sin UK, welches der Sinus des
angrenzenden 1. Bogens ist, mit sin AB, dem sin. tot., und
teilen das Produkt durch sin HB, d. i. der Cosinus der Breite
des Ortes; alsdann ist das Ergebnis der Teilung gleich sin AK,
und (damit) ist Bogen AK bekannt; es bleibt noch Bogen KB
(zu ermitteln). Wir ziehen arc AK von 90° ab, und es ist
(der Rest) KB der abgeschnittene 1. Bogen.

Über die Richtung der Qibla.

63

Kapitel über die Berechnung des abgeschnittenen
1. Bogens1).

Wir multiplizieren den Sinus des angrenzenden 1. Bogens
mit sin. tot. und teilen das Ergebnis durch den Kosinus der
Ortsbreite. Was aus der Teilung herauskommt, machen wir
zu Bogen, und jener Bogen ist die Ergänzung des abgeschnit-
tenen 1. Bogens.

Kapitel über die Kenntnis des Bogens AG.

Es ist sin JBT sin TK sin L G

sinzl-B sin Cr K sinzli’

und weil der 2. Bogen gleich dem 6. ist, welche beiden Bögen
aber AB und AL sind, so wird das Verhältnis des Sinus des
1. Bogens BT zum 5., nämlich LG , wie das Verhältnis vom
Sinus des Bogens TK zu dem Sinus von GK, dem 4. Wir
multiplizieren den Sinus des 1. Bogens, d. i. sin BT, mit sin GK,
welcher Bogen (GK) aus dem angrenzenden Bogen und dem
Bogen G U, d. i. der Breite Mekkas, zusammengesetzt ist, und
wir teilen das Produkt durch sin TK; was aus der Teilung
herauskommt, ist gleich sin LG. Damit wird arc LG bekannt
und infolgedessen auch arc AG. Wir nennen Bogen LG den
angrenzenden 2. Bogen; was aber Bogen AG anbetrifft, so
ist er der abgeschnittene 2. Bogen.

Kapitel über die Berechnung des angrenzenden 2.
und des abgeschnittenen 2. Bogens.

Wir multiplizieren den Sinus der Ortsbreite mit dem Sinus
der Summe des angrenzenden 1. Bogens und des Bogens der
Breite Mekkas. Was aus dieser Multiplikation hervorgeht,
teilen wir durch den Kosinus des angrenzenden 1. Bogens.
Das Resultat verwandeln wir in Bogen, und der erlangte Bogen
ist der angrenzende 2. Bogen. Wir ziehen ihn von 90° ab;
der Rest ist der abgeschnittene 2. Bogen.

M Dies Kapitel lehrt im Vergleich zum vorhergehenden eigentlich
nichts Neues.

64

C. Schoy

Kapitel über die Kenntnis des Azimuts, d. i. des
Bogens LB.

Es ist sin LB sinzlT sin TG

sin KB sinzlG sin ATT’

und es ist ein jeder der Bögen, außer dem 1. bekannt, und
er ergibt sich aus den anderen.

Kapitel über seine Berechnung,

ich meine des Azimutbogens zwischen der Mittagslinie, bis zu
dem, was an den Westen von Medinat as-Saläm grenzt, und
so wächst die Länge einer jeden Stadt bz. der Länge Mekkas
von Westen an. Wir multiplizieren den Sinus des 1. angren-
zenden Bogens mit sin. tot. und teilen das Produkt durch den
Sinus des 2. abgeschnittenen Bogens. Was aus der Division
S. 79r hervorgeht, multiplizieren wir mit dem Kosinus der Breite
Mekkas, und was sich aus dieser Multiplikation ergibt, das
dividieren wir durch den Kosinus des angrenzenden 1. Bogens.
Was aus dieser Division hervorgeht, machen wir zu Bogen,
und der sich ergebende Bogen ist das oben erwähnte Azimut.

Zahlenbeispiel.

Dieser äußersten Grenze (der Genauigkeit?) nahe zu kommen
ist mir nicht möglich, falls ich eine Beobachtung mache wie
jene berühmten Astronomen1). Trotzdem habe auch ich den
Wert der Längendifferenz zwischen Mekka und Medinat as-Saläm
durch Beobachtung festgestellt. Da diese Beobachtung sich
auf eine bevorstehende Mondfinsternis stützt, so muß einer der
Beobachter in Medinat as-Saläm, der zweite in Mekka sein,
und es muß jeder eine von ihnen den Teil der Nacht wissen,
der seit Beginn der Verfinsterung schon verflossen ist, sei es
bei dem Eintritt ihrer Totalität, sei es bei ihrer vollendeten
Entartung2). Alsdann findet sich der Unterschied der Zeiten

1 ) Es sind wohl die Astronomen al-Ma’müns gemeint.

2) Der arab. Text hat „tamäm al-chiläfh“; vielleicht soll mit diesem
Ausdruck das völlige Aufhören der Verfinsterung bezeichnet werden.

Über die Richtung der Qibla.

65

an den 2 Orten, ich meine der seit der Mitternacht verflossenen
Zeiten. Und was das bis zur Mitternacht übrig Bleibende an-
betrifft, so ist die Testierende Differenz der Abstand zwischen
den Meridianen. Und schon oben (ist gesagt), daß diese Dif-
ferenz zwischen Medinat as-Saläm und Mekka etwa 3° ist, wie
ich es geschrieben fand, in der Art, wie ich es jetzt erzähle:

Und das ist, daß der Fürst der Gläubigen, al-Ma’mün,

— möge ihn Gott zu Gnaden annehmen — es seinerseits für
notwendig erachtete, das Azimut der Qibla zu verbessern. Es
fand sich zwischen dem Meridian von Mekka und dem von
Medinat as-Saläm ein Unterschied von rund 3°, worunter 3 Grade
des Äquators zu verstehen sind; und dies ist der Wert des
Bogens UH. Wir geben von der Breite von Medinat as-Saläm
den Sinus an, und der ist = 33p2'38" oder = 118958 Sekunden

— 7 137480 Tertien. Der Kosinus der Ortsbreite ist 50p 4' 54"
oder = 180294 Sekunden. Wir teilen den Sinus der Breite
von Medinat as-Saläm durch den Kosinus; es folgt aus der
Teilung 39' 35" 17'" = 142517'". Wir nennen dies Teilver-
hältnis I/II. Der Kosinus von 3°, d. i. der Kosinus der Dif-
ferenz der 2 Meridiane, ist 59p 55' 4". Wir teilen ihn durch
sin. tot., und es kommt aus der Teilung 59' 55" 4'" heraus.

Das ist das Verhältnis V/VI, und es ist in Tertien ausgedrückt
= 215704'". Nunmehr teilen wir das Verhältnis I/II durch
das Verhältnis V/VI, und es ergibt sich aus der Teilung für das
Verhältnis III/IV das Resultat 39' 51" 14'". Wir quadrieren
diesen Wert und erhalten 26' 28" 14'". Dies vermehren wir
um 1p und ziehen die Quadratwurzel aus der Summe; die
Wurzel liefert 4322" = lp 12' 2". Damit teilen wir in den
sin. tot., aus welcher Teilung 49p 58' 37" = 179417" hervor-
geht. Und dies ist der Sinus des angrenzenden 1. Bogens, des
Bogens KU. Der entsprechende Bogen KU ist = 56° 24' 8".

Wir multiplizieren sin K U mit sin. tot. und teilen das Produkt
durch den Kosinus der Ortsbreite, welcher Kosinus = 50p 4' 54"

ist. Was aus der Teilung hervorgeht, ist = 59p 5' 6", und S. 80v
dies ist der Sinus der Ergänzung des abgeschnittenen Bogens

— sin KA. Der entsprechende Bogen ist = 86° 12' 15".

Sitzungsb. d. matli.-phys. KI. Jahrg. 1922. 5

66

C. Schoy

Die Breite Mekkas ist 21° 41'. Wir vermehren sie um den
angrenzenden 1. Bogen, und es wird die Summe = 78° 4' 8".
Der Sinus hievon ist 58p42'12". Dies multiplizieren wir mit
dem Sinus der Breite von Medinat as-Salätn, welcher Sinus
= 33p2'38" ist. Das Ergebnis der Multiplikation ist 1939p
46' 55". Das Komplement des angrenzenden 1. Bogens ist
33° 35' 52". Der Sinus hievon beträgt 33p12'18". Wirteilen
damit in das, was sich aus der 1. Multiplikation ergibt, die
6983215" lieferte, nämlich mit 112530"; aus dieser Division
kommt 58p 25' 20" heraus. Das ist der Sinus des angrenzen-
den 2. Bogens. Der entsprechende Bogen selbst ist = 76° 50'.
Wir ziehen dies von 90° ab, was übrig bleibt, ist der abge-
schnittene 2. Bogen; er ist == 13° 10' = Bogen AG.

Wir hatten den Kosinus des abgeschnittenen 1. Bogens be-
rechnet, welcher gleich sin KA = 59p 5' 6" ist. Es ist also der
Betrag der Ergänzung des abgeschnittenen 1 . Bogens = 86° 1 2' 1 5",
und seine Ergänzung, welche der abgeschnittene 1. Bogen selbst
ist, -- 3°47'45", und das ist Bogen KB. Sein Sinus ist 3P57'5".
Wir multiplizieren ihn mit sin. tot. und erhalten 237p56'. Diese
Zahl teilen wir durch den Sinus des abgeschnittenen 2. Bogens,
der = 13°40' 1" ist. Was dieser Teilung entflieht, ist 17p44'35".
Die Ergänzung der Breite Mekkas ist 68° 20' [genauer 68° 19'];
der Sinus hierzu ist = 55p45' 18". Wir multiplizieren ihn mit
dem, was aus der Teilung herauskam, und erhalten 959p 42' 15".
Dies teilen wir durch den Kosinus des angrenzenden 1. Bogens,
der = 33p 12' 15" ist. Der sich ergebende Bogen ist = 29° 7'.
Und dies ist der Betrag des Bogens LB, der das Azimut ist,
ich meine die Bogendistanz zwischen dem Südende der Mittags-
linie und dem Punkte, der gen Westen liegt, genommen auf dem
Horizontkreise von Medinat as-Saläm. Unter diesem Punkt ist
S. 80r as-salät (Azimut des Gebetskreises A GL) = 29° 7', und das ist
es, was wir beweisen wollten.“

Gerne und dankbarst erwähne.ich an dieser Stelle die gütigen
Hilfeleistungen zur Erlangung der Photos der kleinen Hand-
schrift, die ich den Herren Jo aq ui m Bensaud e (Lissabon), Baron
Carra de Vaux (Paris) und Alfred Wolfer (Zürich) verdanke.

Über die Richtung der Qibla.

67

Tafel der Länge und Breite einiger bekannter Städte, sowie des Inhiräfs

ihrer Qibla.

Städte

Länge

Breite

Inhiräf

Städte

Länge

Breite

Inhiräf

Qubbat Arin

90° 0'

0° 0'

117° 10'

Asuän

55° 50'

22° 30'

87° 0'

Insel Soqotra

67° 30'

9° 30'

176° 0'

Asiüt

55° 10'

26° 0'

70° 30'

Donqola

53° 40'

14° 0'

106° 20'

al-Fajüm

55' 0

28° 30

56° 20'

Fäs

8° 0'

35° 30'

90° 0'

al-Qäbira

54° 40'

30° 0'

55° 10'

Tanga

8° 30'

35° 30'

90° 0'

Iskenderja

51° 50'

30° 58'

58° 0'

Tunis

29° 30'

31° 40'

101° 30'

Damjät

53° 50'

31° 25'

58° 0'

Sigibncsa

10° 45'

31° 20'

93° 30'

Gaza

56° 0'

32° 0'

48° 0'

Zuweila

19° 30'

30° 0'

90° 0'

' Asqälon

55° 20'

32° 0'

48° 30'

Qortoba

8° 40'

35° 0

90° 0'

ar-Ramla

56° 50'

32° 40'

42° 30'

Rumia

35° 35'

41° 50'

63° 20'

al-Quds as-sarif

56° 30'

32° 0‘

44° 30'

Mäqidunjä

49° 0'

40° 0'

45° 0'

'Akkä

58° 30'

33° 20'

35° 0'

Qairuän

31° 0

32° 30'

81° 50'

Beii'üt

59° 50'

33° 0'

32° 0'

Taräbulus al-

Taräbulus as-

garb

32° 20'

32° 30'

78° 10'

säm

59° 40'

34° 0'

29° 0'

Barqa

43° 0'

32° 0'

68° 40'

Dimisq al-mah-

Isbilia

15° 40'

37° 15'

70° 30'

rüsa

60° 0°

33° 30'

28° 0'

Serendib

127° 30'

10° 0'

64° 30'

Homs

61° 0

34° 20'

25° 40'

'Aden

66° 30'

11° 0'

0° 0'

Tadmur

61° 40'

35° 0'

22° 30'

Hadramaut

71° 30'

12° 30'

86° 30'

as-Salt

58° 10'

32° 50'

30° 0'

San' ä5

60° 30'

14° 30'

176° 0'

Basrä(i)

60° 0'

32° 55'

30° 0'

Süäkin

60° 0'

19° 0

170° 0'

Zafar

60° 0'

13° 30'

177° 0'

trara aut

1 Saba

68° 0'

16° 30'

168° 0'

Gazira b. 'amr

56° 0'

34° 0'

39° 0'

Kandi

101° 30'

19° 10'

86° 30'

Qustantinia

56° 60'

41° 15

28° 40'

Qandahär

98° 0'

33° 0'

75° 0'

ar-Raqqa

63° 15'

36° 0'

17° 30'

Dinawar

96° 0'

33° 45'

73° 0'

Hit

69° 0'

32° 30'

9° 50'

al-Mansüra

95° 0'

35° 40'

87° 0'

al-Ambar

69° 50'

33° 15'

14° 20'

Qaimir

99° 0'

33° 20'

78° 0'

Bäb al-abwäb

66° 0'

41' 40'

3° 30'

Mekka al-mus-

Darenda

64° 50'

39° 50'

3° 30'

rafa

67° 0'

21° 30'

0°

Öirwän

67° 30'

40° 0'

0° 0'

al-Medina al-

(qibla)

Nachicawän

72° 20'

38° 30'

15° 30'

munawwara

65° 20'

24° 45'

0° 0'

Ardubid

73° 0'

37° 50'

19° 40'

al-Jamäma

71° 30

21° 50'

81° 30

Täbriz

73° 10'

37° 40'

20° 30'

Hagar

73° 30'

24° 55'

53° 20

Maräga

73° 10'

36° 25'

21° 40'

Fustät as-sa'id

51° 30

30° 0'

53° 10

Sin gär

68° 0'

35° 0'

4° 40'

5

68

C. Schoy, Über die Richtung der Qibla.

Tafel der Länge und Breite einiger bekannter Städte, sowie des Inhiräfs

ihrer Qibla.

Städte

Länge

Breite

Inhiräf |

Städte

Länge

Breite

1

Inhiräf

Ninivi

69° 0'

35° 55'

7° 40'

QäSän

76° 0'

34° 0

40° 3(

Takrit

69° 30'

35° 30'

9° 30'

Kirmän

90° 0'

30° 0'

30° 4<

al-Küfa

69° 30'

32° 0'

13° 30'

Qum

75° 0'

35° 0'

35° 41

Bagdad

70° 0'

33° 25'

13° 30'

Istachr

75° 40'

32° 0'

36° 21

al-Mösul

69° 0'

35° 10'

10° 30'

ar-Rai

70° 0'

35° 35'

38° 1(

Kazwän

77° 0'

30° 0'

48° 0'

Büzgän

85° 0'

35° 20'

54° f

Basra

75° 0'

31° 0

37° 30'

Nisabür

82° 30'

36° 20'

96° t

Siräz

75° 30'

30° 0'

57° 30'

Bersäw

57° 30'

40' 0'

28° C

Wäsit

71° 30'

32° 20'

20° 30'

Merwarrftd

87° 0'

37° 0'

32° C

al-Nahirwän

70° 20'

33° 25'

13° 20'

Heräa

88° 40'

36° 45'

61° 0

'Abadän

75° 0'

31° 0'

37° 0'

Saqrär

89° 0'

39° 0'

64° 0

Isfahän

75° 40'

32° 30'

49° 21'

Qaragistän

89° 0'

36° 40'

58° 0

Hamadän

74° 0'

35° 0'

22° 0'

Bulgär

ö

o

CO

CO

49° 0

57° 0

Samarqand

88° 20'

40° 0'

51° 40'

Aderbigsin

78° 0'

39° 0'

20° 0

Chuwärizm

84° 0'

42° 10'

39° 0'

Buchara

88° 0'

39° 0'

49° 0

F ergäna

92° 0'

42° 20'

83° 0'

Choräsän

89° 30'

40° 30'

51° 1(

69

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie
zwischen Kreisel und elastischer Linie.

Von Ludwig Föppl in Dresden.

Vorgelegt von A. Föppl in der Sitzung am 4. Februar 1922.

Kirckhoff1) hat eine bemerkenswerte Analogie zwischen
der Bewegung eines Kreisels, d. h. eines nur in einem Punkte
festgehaltenen starren Körpers, und der Gleichgewichtsfigur
eines sehr dünnen, nur an den Enden durch Kräfte oder Kräfte-
paare beanspruchten elastischen Stabes gefunden. Sie drückt
sich mathematisch durch die Übereinstimmung der Differential-
gleichungen für beide Probleme aus. Im Anschluß an Kirch-
hoff hat vor allen Dingen W. Heß2) die Analogie vom mathe-
matischen Standpunkt aus eingehend behandelt. Die Resultate
der vorliegenden Arbeit sind zum Teil in den Heßschen Ab-
handlungen schon enthalten, werden aber durchweg auf viel
einfacherem und anschaulicherem Weg gewonnen. Die vektor-
analytische Darstellung sowohl der Kreiselbewegung wie der
Gleichgewichtslage des elastischen Stabes, die hier gewählt
worden ist, läßt die Analogie beider Probleme in durchsichtiger
Weise hervortreten und zugleich ihre Ausdehnung auf ela-
stische Stäbe von ursprünglicher Krümmung erkennen. Da
in den letzten Jahrzehnten die Kreiselbewegung durch Ein-
führung des Impulsvektors oder Dralles eine so wertvolle Dar-

9 G. Kirchhoff, J. f. Math. 56 (1858), S. 285 oder „Mechanik“, S. 418.

2) W. Heß, Sitzungsberichte d. bayer. Akademie d. Wissenschaften
1883, S. 82—110 und Math. Annalen 23 (1884), S. 181—212 und 25 (1885),
S. 1-38.

70

L. Föppl

Stellung gefunden hat, die sich auch in Kreisen der Ingenieure
eingebürgert hat1), so durfte eine neue Beschäftigung mit der
Kirchhoffschen Analogie lohnend erscheinen, umsomehr, als
auch auf der anderen Seite unsere Kenntnisse über Knick- und
Kipperscheinungen des elastisches Stabes in den vergangenen
Jahrzehnten eine lebhafte Weiterentwicklung erfahren haben.
Die Analogieschlüsse, die aus der Dauer der Präzessionsbewegung
mühelos die kritische Knick- oder Kippbelastung zu berechnen
gestattet, dürfte der wertvollste Teil der vorliegenden Arbeit
sein, da diese Fragestellung in den älteren Arbeiten nicht
herausgearbeitet worden ist.

§ I. Die Analogie zwischen Kreisel und elastischer Linie in
vektorieller Darstellung.

Für die Kreiselbewegung ist der Impulsvektor oder Drall,
den wir mit 33 bezeichnen wollen, von ausschlaggebender Be-
deutung. Denken wir uns sowohl den Drall wie die Winkel-
geschwindigkeit lt auf die drei Hauptachsen des Körpers für
den festgehaltenen Punkt projiziert, so gilt bekanntlich2)

-7>J lly (~)y ; 1) 2 U 2 03 ? -2^3 ^3 03 i (1)

wenn mit 0t, 02, 03 die Trägheitsmomente für die drei Haupt-
achsen bezeichnet werden. Wir nehmen an, daß der Schwer-
punkt des Kreisels im Abstand 1 vom Unterstützungspunkt auf
der Hauptachse mit dem Trägheitsmoment 03 gelegen ist. Be-
zeichnen wir mit 3 den Einheitsvektor vom festen Punkt zum
Schwerpunkt und mit das im Schwerpunkt angreifende Ge-
wicht, so ist das statische Moment von in Bezug auf den
festgehaltenen Punkt als Momentenpunkt durch den Vektor [$J33]
gegeben und es gilt die Beziehung

dt

= DW

') Vor allen Dingen durch Klein-Sommerfeld, „ Theorie des Kreisels“,
sowie durch A. Föppl, .Vorlesungen über technische Mechanik“, Bd. IV.

2) s. A. Föppl, „Vorlesungen über techn. Mechanik“, Bd. IV, § 25.

Neue Bemerkungen zur Kirelihoftschen Analogie etc.

71

Diese Gleichung gilt aber nur für ein im Raum ruhendes
Koordinatensystem. Beziehen wir dagegen den Drall auf das
im Körper feste Hauptachsensystem, so ist zu beachten, daß
sich für einen relativ zum Körper ruhenden Beobachter der
umgebende Raum mit der Winkelgeschwindigkeit — u dreht
und demnach der Endpunkt des Dralles infolge dieser Drehung
des Koordinatensystems sich mit der Geschwindigkeit [u23] fort-
bewegt1). Auf das im Körper feste Hauptachsensystem be-
zogen, geht folglich die letzte Gleichung über in

^? = [«»] + [?«]■' (2)

Schreiben wir diese Vektorgleichung in drei Koordinaten-
gleichungen für die drei Hauptachsen des Kreisels um, so ist
zu beachten, daß die äußere Kraft im Abstand 1 auf der
dritten Hauptachse angreift und folglich

I * pi 0 j

DP 8] = j P2 o I = i P2 —j P,

I I P, 1

ist. Die Gleichung für die erste Hauptachse lautet demnach:

^-■=u,B,-u,B,+ P„

oder : 0, 'l"'/ = u, u, ( 0, — 0,) + P, .

Entsprechend findet man die beiden anderen Gleichungen
für die zweite und dritte Hauptachse, so daß wir statt (Gl. 1)
in Koordinatendarstellung schreiben können :

©,^ = «„«,(0.-0,)-^”
0,^ = «lMs(ea-e,).

(3)

*) Wegen Vorzeichen s. A. Föppl, „Vorlesungen“, Bd. 1, § 20.

72

L. Föppl

Mit Pj = P2 — 0 folgen hieraus die Eulerschen Gleichungen
für den kräftefreien Kreisel.

Wir wollen nun eine ganz entsprechende Ableitung für
die Differentialgleichung der elastischen Linie eines ursprüng-
lich geraden, sehr schlanken zylindrischen Stabes geben, der
nur an den Enden durch Einzellasten ^3 und Momente
beansprucht wird. Die ursprünglich gerade Linie, die die Stab-
achse darstellt, wird nach der Belastung des Stabes im allge-
meinen in eine räumliche Kurve übergehen. Die maßgebenden
Krümmungen und die Verwindung der elastischen Linie wird
zweckmäßig mit Hilfe eines rechtwinkligen Koordinatensystems
gemessen, dessen Anfangspunkt mit einem Punkt der elastischen
Linie zusammenfällt und dessen Achsen 1 und 2 in die beiden
Hauptrichtungen des Querschnitts fallen, während die dritte
Achse mit der Tangente an die elastische Linie übereinstimmt.
Läßt man den Anfangspunkt dieses Koordinatensystems die
ganze elastische Linie mit gleich bleibender Geschwindigkeit
durchlaufen, so daß in gleichen Zeitelementen dt gleiche Weg-
elemente ds auf der elastischen Linie zurückgelegt werden, so
geben die Winkelgeschwindigkeiten u1, ut, m3, mit denen sich
die Hauptachsen drehen, ein Maß für die Krümmungen bzw.
Verwindung des Stabes. Bezeichnen wir mit und die
Krümmungen der elastischen Linie, die man bei ihrer Projek-
tion auf die durch die Hauptachsen 2 und 3 bezw. 1 und 3
bestimmten Ebenen erhält, und wird mit t die Verwindung des
Stabes bezeichnet, so kann man setzen:

ui — y\ ; w2 = *2 ; u3==zi (4)

worin der Dimensionsfaktor, der eigentlich noch nötig wäre,
der Einfachheit halber weggelassen ist. Dem Koordinaten-
system, das sich längs der elastischen Linie in der oben an-
gegebenen Weise bewegt, entspricht beim Kreisel das im Kreisel
feste Koordinatensystem, so daß sich die Hauptachsen in beiden
Fällen entsprechen und die Winkelgeschwindigkeiten und Krüm-
mungen ineinander übergehen, wie es durch die letzten Glei-
chungen zum Ausdruck gebracht ist. Wie beim Kreisel der

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie etc.

73

Drall von maßgebender Bedeutung ist, so gilt dies in gleicher
Weise beim Stab für das in jedem Querschnitt übertragene
Moment. Projiziert man den Momentenvektor W nach den
drei Hauptachsen und bezeichnet die Projektionen mit Mx , J)/2,
J/3, so sind die beiden ersteren Komponenten die Biegungs-
momente um die beiden Hauptachsen, während M3 das Tor-
sionsmoment für den Querschnitt angibt. Bei sehr dünnen
Stäben bestehen zwischen den Momenten und den dadurch her-
vorgerufenen Krümmungen des ursprünglich geraden Stabes die
erweiterten Hookeschen Gleichungen:

Mx = C\ x, ; M2 = Oa x8 ; M3 = C\t, (5)

die unmittelbar den Gl. (1) entsprechen, wenn man die Gl. (4)
beachtet und die Trägheitsmomente der Kreiselachsen 0, und
02 den Biegungssteifigkeiten Cx — E Jx und C2 = EJ2 des
Stabes entsprechen läßt, während das Trägheitsmoment 03
der Torsionssteifigkeit C3 -= GJ entspricht. Dabei sind der
Elastizitätsmodul E und der Schubelastizitätsmodul G als ge-
gebene konstante Größen anzusehen, ebenso wie die Haupt-
trägheitsmomente des Querschnitts J, und J2 und der Drillungs-
widerstand J des Querschnitts gegebene konstante Größen sein
sollen.

Wirkt an dem Stabende außer einem Moment Tt0 auch
noch eine Kraft, die wir mit — iß bezeichnen wollen, so wird
in jedem Querschnitt außer dem Moment 'Ti die Kraft "ß über-
tragen werden müssen. Das Moment ändert sich infolgedessen
beim Fortschreiten längs der Stabmittellinie um

am

cls

= PP«L

wenn 3 einen Einheitsvektor in Richtung der Tangente an die
elastische Linie bedeutet. Bezieht man diese Gleichung auf
das oben angegebene, längs der elastischen Linie mit kon-
stanter Geschwindigkeit wandernde Koordinatensystem, das sich
jeweils mit der Winkelgeschwindigkeit u gegen den Raum dreht,
so nimmt die letzte Gleichung die Form an:

74

L. Föppl

dW

ds

= [ii3JT| + [$§]•

(6)

Mau sieht unmittelbar die Übereinstimmung mit Gl. (2)
für die Kreiselbewegung. In dieser Übereinstimmung besteht
die Analogie zwischen der Kreiselbewegung und der Gleich-
gewichtsfigur des elastischen Stabes, der an den Enden bean-
sprucht wird. Greift an den Stabenden keine Einzelkraft, son-
dern nur je ein Kräftepaar an, so fehlt in Gl. (6) das zweite
Vektorprodukt, so daß einem derart beanspruchten Stab als
kinetische Analogie der kräftefreie bzw. im Schwerpunkt unter-
stützte Kreisel entspricht.

Der Übergang von der Vektorgleichung (6) zu den Koor-
dinatengleichungen erfolgt ebenso, wie wir beim Kreiselproblem
aus Gl. (2) die Koordinatengleichungen (3) erhalten haben. Das
Resultat ist in Übereinstimmung mit den Gl. (3) folgendes:

C,

dxx

ds

c‘'d7 =*.*>(0,-0',).

0)

Die Analogie zwischen dem Kreisel und dem ursprünglich
geraden, nur an den Enden beanspruchten Stab läßt sich dem-
nach folgendermaßen zusammenfassen: Dem im Kreisel festen
Ilauptachsen-Koordinatensystem für den festgehaltenen Punkt
entspricht das dazu stets parallele, nach Tangente und Quer-
schnittshauptachsen orientierte Koordinatensystem beim Stab,
das mit gleich bleibender Geschwindigkeit der elastischen Linie
entlang gleitet. Der Trägheitshauptachse, in der im Abstand 1
vom festen Punkt der Schwerpunkt des Kreisels gelegen ist,
entspricht die Tangente an die elastische Linie beim Stab;
ferner dem Gewicht des Kreisels die Last am Stabende. Jeder
Kreiselbewegung läßt sich eine entsprechende Gleichgewichts-
lage eines elastischen Stabes zuordnen.

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffsehen Analogie etc.

75

Mit Hilfe der angestellten Überlegungen kann man auch
leicht die Frage entscheiden, ob die Analogie auch auf den
Fall übertragen werden kann, daß der Stab ursprünglich nicht
gerade war, wie oben stets angenommen worden ist, sondern
im natürlichen Zustand schon eine Krümmung besessen hat.
Gl. (6) muß auch in diesem Fall noch Gültigkeit behalten ;
dagegen ändern sich die Gl. (5), da die Komponenten des
Momentenvektors TO proportional den Krümmungsänderungen
zu setzen sind. Bezeichnen wir die Krümmungen und die Ver-
windung des unbelasteten Stabes mit x J, xi und r', so müssen
die Gl. (5) hier folgendermaßen lauten:

J/, = (7, (x, — x\) ; M2 = C2 (x2— X2); M3 = C3 (r — t'). (8)

Es ist zweckmäßig, das Moment TO, entsprechend der Zer-
legung seiner drei Komponenten, in zwei Einzelmomente zu
spalten : ^ = W" — TO',

deren Bedeutung ohne weiteres aus den Gl. (8) ersichtlich ist.
Lassen wir die Gl. (4) zwischen den Krümmungen und Winkel-
geschwindigkeiten bestehen, so entspricht dem Moment TO" der
Drall 33 des Kreisels, und man sieht ferner, daß bei verschwin-
dendem Moment, d. h. TO" = TO' der Drall ebenso wie TO"
nicht verschwindet, sondern einen Wert 230 besitzt, der durch
die anfängliche Krümmung des elastischen Stabes bestimmt ist
und dem fingierten Moment TO' entspricht. Gl. (6), die wir
folgendermaßen schreiben :

^ (W - ST) = [u • W" - mj + [D i) ,

entspricht demnach eine Kreiselgleichung von folgender Form :

d

d t

(23 33e) = [u • (33 — 330)] + [$•§]■

Da wir aber gesehen haben, daß 23 schon allein den zeit-

d%n

lieh veränderlichen Drall bedeutet, so muß

dt

0 sein oder

230 = const und, damit die Analogie möglich ist,

TO' = const; d. h. x\ — const; x'2 — const; t' = const.

76

L. Föppl

AVir sehen demnach, daß eine Analogie zwischen einem
Kreisel und einem ursprünglich krummen, elastischen Stab nur
besteht, wenn die Anfangskrümmung über die ganze
Länge des Stabes hin konstant war; also z. B. bei einem
Stab von ursprünglich kreisförmiger oder schraubenförmiger
Gestalt. Die letzte Kreiselgleichung zeigt ferner, daß 33 der
Drall des eigentlichen Kreisels ist, auf dem ein Schwungrad
so angebracht zu denken ist, daß sein Schwerpunkt mit dem
festgehaltenen Punkt des eigentlichen Kreisels zusammenfällt
und das sich relativ zum Kreisel mit konstanter Geschwindig-
keit dreht, so daß sein Drall, vom kreiselfesten Koordinaten-
system aus gesehen, den konstanten Wert 330 besitzt. Dem
Anfangszustand des elastischen Stabes entspricht demnach das
gleichförmig rotierende Schwungrad mit dem Drall 330, der
seinerseits an Stelle des fingierten Momentes beim ela-
stischen Stab tritt.

§ 2. Die Analogie zum kräftefreien Kreisel.

Die Gleichungen, die für die Bewegung eines im Schwer-
punkt unterstützten Kreisels gelten, werden aus den Gl. (2)
bzw. (3) erhalten, indem man = 0 bzw. P, = P2 = 0 setzt.
Ihnen entsprechen die Gl. (6) bzw. (7) mit — 0 bzw. P, —
P2 = 0 beim elastischen Stab; d. h. ein nur durch Momente
bzw. — 2k0 an den beiden Stabenden beanspruchter elastischer
Stab, der ursprünglich gerade und von zylindrischer Gestalt war.

Die einfachsten Bewegungen eines kräftefreien Kreisels
sind die Drehbewegungen um eine der drei Hauptachsen mit
konstanter Geschwindigkeit. Dabei bleiben jedesmal die beiden
anderen Hauptachsen in der gleichen Ebene. Das Analogon
beim Stab ist die Biegung durch Endmomente um die eine
oder andere Hauptachse bzw. die Beanspruchung auf Torsion,
entsprechend der Rotation des Kreisels um die dritte Haupt-
achse. Besitzt der Kreisel insbesondere Rotationssymmetrie um
die dritte Hauptachse, so daß 0 , = <92 ist, so besitzt der zu-
gehörige Stab einen kreis- oder kreisringförmigen Querschnitt,

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffscken Analogie etc.

77

so daß die Biegungssteifigkeiten für alle Richtungen einander
gleich sind, d. h. — C2.

Da die Differentialgleichungen für die Kreiselbewegung
und den elastischen Stab formal vollkommen übereinstimmen,
so müssen sich auch die Stabilitätsbedingungen für eine Gleich-
gewichtslage des elastischen Stabes formal durch dieselbe Be-
ziehung beim Kreisel ausdrücken lassen. Wir wollen mit dem
symmetrischen kräftefreien Kreisel beginnen, der um die dritte
Hauptachse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert. Ihm
entspricht ein auf Torsion beanspruchter zylindrischer Stab von
kreissymmetrischem Querschnitt Cr — C2. Bekanntlich1) ist
ein solcher sehr dünner langer Stab nicht mehr im stabilen
Gleichgewicht, wenn das Torsionsmoment der Bedingung genügt:

M=2n^, (9)

worin Cy = C2 = EJt die Biegungssteifigkeit des Stahes und
l seine Länge bedeuten. Die Mittellinie des Stabes nimmt die
Gestalt einer Schraubenlinie an, und zwar ist l die Länge der
Schraubenlinie für einen Schraubengang.

Um das kinetische Analogon zu der neuen Gleichgewichts-
lage, in die der ursprünglich zylindrische Stab bei dem durch
Gl. (9) bestimmten Torsionsmoment M übergeht, zu finden, er-
innern wir uns an die in Nr. 1 angegebenen Beziehungen zwi-
schen den beiden Hauptkoordinaten-Systemen beim Kreisel und
beim elastischen Stab, die einander stets parallel sind. Daraus
ergibt sich sofort, daß der kräftefreie symmetrische Kreisel
eine Präzessionsbewegung ausführt, und zwar entspricht der
Länge l des Stabes, die zu einem vollen Schraubengang ge-
hört, die Dauer T einer vollen Präzession. Man kann dem-
nach auf die verhältnismäßig umständliche Ableitung von Gl. (9)
verzichten, wenn man sie aus der altbekannten Beziehung2)
für die Präzessionsdauer des symmetrischen kräftefreien Kreisels:

A. Föppl, „Vorlesungen“, Bd. V, § 34.

2) s. Klein-Sommerfeld, „Theorie d. Kreisels“, S. 152, oder R. Grammel,
„Der Kreisel“, S. 42.

78

L. Föppl

T=2n^ (10)

ableitet, indem man die entsprechenden Größen für den ela-
stischen Stab einsetzt, woraus sofort Gl. (9) folgt.

Es lassen sich aber auch noch weitere Resultate aus der
Übereinstimmung der Gl. (9) und (10) ableiten. Die Dauer
der Präzession ist nach Gl. (10) nicht von der Neigung der
Figurenachse gegen die Richtung des Dralles, um die die Prä-
zessionsbewegung verläuft, abhängig. Auf den elastischen Stab
übertragen, bedeutet dies, daß Gl. (9) auch noch Gültigkeit
behält, wenn die beiden Enden des einen vollen Schrauben-
gang bildenden Stabes einander genähert werden, so daß die
Ganghöhe der Schraubenlinie mehr und mehr abnimmt und
schließlich die Stabmittellinie in einen vollen Kreis übergeht.
Bei diesem Übergang bleibt das Endmoment nach Größe
und Richtung konstant, ebenso wie der Drall 33 bei der Kreisel-
bewegung; dabei geht 'Dl von einem ursprünglich reinen Tor-
sionsmoment schließlich zu einem reinen Biegungsmoment über,
das dem zu einem vollen Kreis durch Endmomente verbogenen
Stab entspricht. Daß die Größe dieses Biegungsmomentes sich
auch noch nach Gl. (9) berechnet, sieht man ohne weiteres, da

die Krümmung des Kreises x — — = "V ist, woraus wegen

r l

M — Clx sofort Gl. (9) folgt. Wir können daraus entnehmen,
daß ein Stab von kreissymmetrischem Querschnitt durch die-
selben Endmomente zu einem vollen Kreis verbogen wird, die
als Torsionsmomente das Auskippen des Stabes bewirken. Ferner
zeigen die obigen Überlegungen, daß der Übergang von dem
ausgekippten Stab zum vollen Kreis durch lauter Gleichge-
wichtslagen mit indifferentem Gleichgewicht führt. Denn die
Schraubenlinien, die zwischen den beiden Endlagen des geraden
Stabes und des Vollkreises liegen, können ohne Arbeit der
äußeren Kräfte ineinander übergehen, da die Momente an den
beiden Enden des Schraubenganges stets gleich groß bleiben
und ihre unveränderliche Richtung der Schraubenachse parallel

*

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie etc.

79

verläuft, so daß sie beim Nähern oder Entfernen der beiden
Stabenden keine Arbeit leisten.

In welcher Weise der Steigungswinkel 90° — # einer dieser
Schraubenlinien mit der Verwindung r zusammenhängt, geht
aus folgender bekannten Beziehung der Kreiseltheorie hervor,
durch die sich der Neigungswinkel # der Figurenachse gegen
die Drallrichtung berechnet:

cos # =

^3 U3

B ‘

Umgeschrieben lautet diese Gleichung für den elastischen
Stab : n _ q i

2 71 '

008 *=TT

(ii)

in der die Grenzfälle der reinen Torsion (# — 0) und der reinen
Biegung ($ = 90°) mit enthalten sind.

Wir wollen nun versuchen, die für den Stab mit kreis-
symmetrischem Querschnitt gewonnenen Resultate auf einen
Stab von beliebigem Querschnitt, der auf Torsion beansprucht
wird, zu übertragen. Zu dem Zweck gehen wir von dem ent-
sprechenden Kreiselproblem aus. Dem geraden, auf Torsion
beanspruchten Stab entspricht ein kräftefreier Kreisel, der um
die Hauptachse mit dem Trägheitsmoment 03 gleichmäßig rotiert.
Wie oben, wird aus der Präzessionsbewegung dieses Kreisels,
die durch das Abrollen des Poinsotellipsoids auf der unver-
änderlichen Ebene veranschaulicht wird, die Größe des kriti-
schen Torsionsmomentes sich berechnen lassen. Nennen wir

j die Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsbewegung um
die im Raum unveränderliche Drallrichtung, so ist1)

d\p

dt

0tul + 02 u\

woraus die Präzessionsdauer T sich aus der folgenden Gleichung
bestimmt:

*) Klein-Sommerfeld, S. 150, oder R. Grammel, „ Der Kreisel“, S. 49.

80

L. Föppl

2 n = B ■

s

e,t«! + e2ui

B- — Q\ ul

(12)

Die entsprechende Gleichung für den Stab lautet:

i

n n r P @1 *1 + C9 x\ 7

“n~ M* — CWds%

oder, indem man nach Gl. (5)

M- = C\x\ + C\x\-\- CU-

einsetzt:

2 — ]\[ . f ±C>2*2 flg

z J CUl + CW,

(14)

Zunächst sieht man dieser allgemeinen Formel an, daß
sie für den Fall der Kreissymmetrie des Querschnittes ((7, = C 2)
in Gl. (9) übergeht.

Wir wollen Gl. (14) für den Fall eines elliptischen oder
rechteckigen Querschnittes anwenden, für den die Torsions-
steifigkeit 6'3 ihrer Größe nach zwischen den beiden Biegungs-
steifigkeiten (7, und Ct liegt, so daß die Ungleichung

Cx>C,>Ct (15)

gilt, wofür wir heim elliptischen Querschnitt mit den beiden
Hauptachsen 2 b und 2 a auch schreiben können :

oder:

„Ti ab3 _ 71 a b (a2 b2) ^nba3

E — > G A ~ > E J-r-

4 4 4

b ‘2 G ^ a 2

a2 + b* > E > a2 + ¥ *

Diese Ungleichung besteht hei allen schlanken Ellipsen und,

wie man sofort sieht, auch schon für das Verhältnis — = 2 der

a

beiden Ellipsenachsen. Dieselbe Ungleichung (15) gilt für alle
rechteckigen Querschnitte, die nicht zu nahe einem Quadrat sind.

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie etc.

81

Wir schreiben die entsprechende Beziehung für die Träg-
heitsmomente des kräftefreien Kreisels an:

01>03>02. (16)

Der Torsion des Stabes entspricht die Rotation des Kreisels
um die Hauptachse des mittleren Trägheitsmomentes 03. Diese
Rotation ist bekanntlich labil. Sie geht über in die in der
Kreiseltheorie unter dem Namen der trennenden Polhodie be-
kannte Bewegung. Für sie läßt sich Gl. (12) vereinfachen,
da in diesem Fall1)

B 2 = 2 03 T bzw. M2 = 2 C3A (17)

gilt, wobei an Stelle der kinetischen Energie
T = \ (0j u\ + 02 u\ -f- 03 u\)
die spezifische Formänderungsarbeit

^ = m*; + cfi*; + c3t»)

beim Stab getreten ist. Unter Benützung von Gl. (17) läßt
sich das Integral in Gl. (13) zu ~ auswerten, so daß sich in
diesem Fall das kritische Torsionsmoment berechnet zu:

M=2ti^, (18)

also entsprechend wie im Fall eines kreissjmmetrischen Quer-
schnittes nach Gl. (9), nur mit dem Unterschied, daß hier die
Torsionssteifigkeit C3, dort aber die Biegungssteifigkeit auf-
tritt. Setzt man in Gl. (18) M = C3x ein, so ergibt sich
rl — 2 7i, d. h. das kritische Torsionsmoment M ist gerade so
groß, daß sich die beiden Endquerschnitte unter dem Winkel 2 n
gegeneinander verdrehen.

4 R. Grammel, „Der Kreisel“, S. 51 ff.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl Jahrg. 1922.

6

82

L. Föppl

§ 3. Die Analogie zum schweren symmetrischen Kreisel.

Die Analogie zwischen der Bewegung des schweren Kreisels
und der Gleichgewichtsfigur eines nur an den Enden durch
Momente und Einzelkräfte beanspruchten elastischen Drahtes
ist schon in § 1 auf Grund der Übereinstimmung der Gl. (2)
bzw. (3) mit den Gl. (6) bzw. (7) ausgesprochen worden. Beim
schweren symmetrischen Kreisel sind die Trägheitsmomente 0,
und 02 einander gleich und der Schwerpunkt liegt auf der
Figurenachse mit dem Trägheitsmoment 03 im Abstand 1 vom
Unterstützungspunkt. Ihm entspricht ein elastischer Draht von
kreissymmetrischem Querschnitt, dessen beide Enden entsprechend
dem Gewicht des Kreisels durch gleich große, entgegengesetzt
gerichtete Kräfte beansprucht werden, wozu noch Momente hin-
zutreten können. Das wesentlich Neue gegenüber den Unter-
suchungen von § 2 sind die Endkräfte, deren Richtung, wie
die Analogie lehrt, mit der des Kreiselgewichtes übereinstimmt.

Der einfachste Fall einer Kreiselbewegung ist die eines

o o

Pendels. Betrachten wir zunächst eine ebene Pendelschwingung
um eine Achse mit dem Trägheitsmoment 0, = 02. Wird
der Ausschlag der Figurenachse gegen die Vertikale mit d
bezeichnet, so lautet die Differentialgleichung der Pendel-
schwingung: J2o

0i|| = -Psintf. (19)

Betrachtet man andererseits einen ursprünglich geraden
Stab von der Biegungssteifigkeit Ci, der infolge eines achsialen
Druckes P ausgeknickt ist und dessen Tangente mit der Last-
richtung jeweils den Winkel d einschließt, so lautet die Dif-
ferentialgleichung der elastischen Linie:

Ot

dV

cls

-Py,

wenn mit y der senkrechte Abstand eines Punktes der ela-
stischen Linie von der Lastrichtung bezeichnet wird. Wegen
dy

; = sin d geht aus der letzten Gleichung durch Differentiation

CI s

Neue Bemerkungen zur Kirckhoffschen Analogie etc.

83

C'J7 = -Psin{> (20)

hervor. Diese Gleichung stimmt aber mit der Schwingungs-
gleichung (19) formal vollkommen überein. Daraus folgt, daß
die verschiedenen Formen der ebenen Elastica den ebenen
Pendelschwingungen mit verschiedenen Ausschlägen entsprechen.
Da die Richtung der Figurenachse des Pendels mit der Rich-
tung der Tangente an die elastische Linie übereinstimmt, so
entspricht der Dauer einer Halbschwingung des Pendels die
Länge der elastischen Linie. Für sehr kleine Ausschläge $
kann man in Gl. (19) und (20) sin ■& durch # angenähert er-
setzen und dann ergibt sich durch einfache Rechnung der
Wert der halben Schwingungsdauer zu

woraus durch Übertragung auf den elastischen Stab die Euler-
sche Knicklast

folgt. Diese Überlegungen sind schon in ähnlicher Form von
Kirchhoff angestellt worden. Es ist klar, daß sie nicht auf
den Fall eines symmetrischen Pendels beschränkt sind, sondern
ebenso gelten, wenn der Körper um eine seiner beiden Haupt-
achsen mit den Trägheitsmomenten Qx und <92, die voneinander
verschieden sein können, Schwingungen ausführt. Den beiden
verschiedenen Schwingungen um diese beiden Hauptachsen ent-
spricht beim elastischen Analogon der Stab mit den Biegungs-
steifigkeiten Cx und. (72 in den Hauptrichtungen, der einmal
in der einen Hauptebene, das andere Mal in der dazu senk-
rechten ausgeknickt ist. Von den beiden Möglichkeiten des
Ausknickens ist jedoch nur die zur kleineren Biegungssteifig-
keit gehörige stabil. Es liegt nahe, diese Überlegung auf das
nur in einem Punkt gelagerte Pendel, das um eine der beiden
Hauptachsen schwingt, zu übertragen. Diese Andeutungen

84

L. Föppl

mögen hier jedoch genügen, da uns ein weiteres Eingehen auf
diese spezielle Frage zu weit abführen würde.

Die nach der ebenen Pendelbewegung nächst einfache
Kreiselbewegung ist die eines Raumpendels. Hier tritt die
vorausgesetzte Symmetrie des Kreisels sehr wesentlich in die
Erscheinung. Eine mögliche Bewegungsform des symmetrischen
Raumpendels ist die gleichförmige Bewegung irgend eines seiner
Punkte auf einem Kreis um die Vertikale durch den Aufhänge-
punkt, so daß die Verbindungslinie vom Aufhängepunkt mit
dem Schwerpunkt einen Kreiskegel von vertikaler Achse bei
gleich bleibender Geschwindigkeit durchläuft. Dieser Bewegung
muß ein ursprünglich gerader elastischer Draht entsprechen,
dessen Mittellinie die Gestalt einer Schraubenlinie angenommen
hat, wobei einem Umlauf des Pendels um die Vertikale durch
den Aufhängepunkt ein voller Schraubengang entspricht. Der
Dreh vektor dieser Pendelbewegung liegt dauernd in der Ver-
tikalen durch den festgehaltenen Punkt des Kreisels. Seine
zeitlich konstante Größe, die sogenannte Präzessionsgeschwin-
digkeit, sei mit /i bezeichnet; dann berechnet sich [i zu1)

P

(@3 0,) COS#’

worin P das Kreiselgewicht, das im Abstand 1 vom Auf-
hängepunkt auf der Figurenachse angreift und ft den halben
Offnungswinkel des von der Figurenachse beschriebenen Kegels
bedeutet. Die entsprechende Formel für den zu einem vollen
Schraubengang verbogenen Draht von kreissymmetrischem Quer-
schnitt (C1 — (?,) lautet:

Darin bedeutet l die Länge der Schraubenlinie, ft den
Winkel der Tangente an die Schraubenlinie mit der Schrauben-
achse und P die Kraft an den Enden des Drahtes. Statt der
letzten Gleichung kann man auch unter Einführen des Radius

*) R. Grammel, „Der Kreisel“, S. 91.

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie etc.

85

r = — sin ft des Kreiszylinders, auf dem die Schraubenlinie

u TZ

liegt, schreiben:

sin2 ft • cos ft

(C.-C,).

(21)

Außer dieser Kraft, die an den Drahtenden parallel zur
Schraubenachse wirkt, greifen Endmomente an. Man erkennt
dies sofort aus dem entsprechenden Kreiselproblem: denn der
Drall 33 entspricht dem Moment. Da 33 in der jeweiligen
Vertikalebene durch die Figurenachse liegt, so bedeutet dies
für das Moment beim Draht, daß der Vektor 2JI in der Tan-
gentialebene an den zur Schraubenlinie gehörenden Kreiszylinder
gelegen ist. Da der Drall 33 die Komponenten B3 === 03u3
— &a fi cos ft in der Figurenachse und JB1 , 2 = &1ju sin ft in
der dazu senkrechten Richtung besitzt, so sind die entsprechen-

den Momente J/3 — C3 r

C.

sin ft • cos ft

das Torsionsmoment

und Mx , 2 = (7,

sin2 ft

das Biegungsmoment. Berechnet man

hieraus die Komponenten von TR parallel und senkrecht zur
Schraubenachse, so ergibt sich für die Komponente des Mo-
mentes parallel zur Schraubenachse:

ein 1/

JSh = ilf3 cos ft + Mx , 2 sin ft = (<7, sin2 ft + C3 cos2 ft) (22)

und für die Komponente senkrecht zur Schraubenachse wegen
GL (21) Mn = M3 sin ft - Mx , 2 cos ft = P • r , (23)

so daß die an den Drahtenden wirkenden Kräfte und Momente
auf je eine Kraftschraube zurückgeführt sind, deren Achse mit
der Achse der Schraubenlinie, in die der Stab verbogen wird,
übereinstimmt.

Für ft = 90° geht die Schraubenlinie in einen Kreis vom

l C

Radius r — _ über, der nur durch das Endmoment Mi = — *
2 Ji • r

verbogen ist, während P und Mu verschwinden.

86

L. Föppl

In dem Fall, daß die Endkraft P verschwindet und nur
Endmomente wirken, kommen wir auf die Untersuchungen von
§ 2 zurück. Dort ergab sich, daß der ursprünglich gerade
Stab von seiner geraden Gestalt in eine beliebige Schrauben-
linie und schließlich in den Kreis bei konstantem Momenten-
vektor übergeführt werden konnte. Hier, wo auch noch End-
kräfte P angenommen sind, entsprechen den verschiedenen
Schraubenlinien, in die der ursprünglich gerade Stab über-
gehen kann, verschiedene Endkräfte P und Endmomente M ,
die gemäß den Gl. (21) bis (23) von der Neigung der Schrauben-
linie abhängen.

Um die Werte von P und M zu bestimmen, die für den
geraden Stab kritisch sind und ihn labil machen, setzen wir
in die obigen Formeln (21) bis (23) & — 0 ein. Es ergibt
sich dann Mn — 0 und

r. = (*r)-(C,-C,), (24)

M, = = (25)

woraus -= — c, 6'' (26)

folgt. Was die Größen Verhältnisse von Cl und C3 betrifft, so
ist bei dem hier vorausgesetzten kreissymmetrischen Querschnitt
Cj < C\ ; denn

Ca _ G • Jp _ G -2J __ G m

Cx ~ E-J ~ E J ~ ^ E ~ m+ 1 < 1<

Darin bedeuten G und E Schub- bzw. Zugelastizitäts-
modul, Jp und J polares bzw. achsiales Trägheitsmoment des
kreissymmetrischen Querschnitts, für den Jp = 2 J gilt, und
in ist die Poissonsche Konstante.

Der Wert des kritischen Drehmomentes M0 ist nach Gl. (25)
kleiner als der nach Gl. (9) von § 2 berechnete Wert und
zwar ist er so bemessen, daß sich die Endquerschnitte des ge-
raden Stabes um eine volle Umdrehung 2 n gegeneinander ver-

Neue Bemerkungen zur Kircbhoffschen Analogie etc.

87

drehen. Zu diesem Torsionsmoment tritt aber liier noch eine
achsiale Kraft, die das Auskippen unterstützt, also eine Druck-
last, die sich nach Gl. (24) der Größe und dem Vorzeichen
nach berechnen läßt.

Vergleicht man die Endkräfte und Endmomente, die den
Schraubenlinien bei verschiedenen Neigungswinkeln # entspre-
chen, nach den Gl. (21) bis (23) mit den Werten P0 und M0,

•i . • i sin & 2 tl , „ . , „

so ergibt sich wegen = 7— , daß mit zunehmender Zu-

r l

sammendrückung der Schraubenlinie die entlang der Schrauben-
achse wirkende Druckkraft P proportional mit cos # abnimmt,
während das Achsenmoment im Verhältnis

(7, sin2 $ + cos2 #

~cr

zunimmt. Der oben besprochene Fall war als Analogon zur
räumlichen Pendelbewegung des symmetrischen schweren Kreisels
gewonnen worden. Wie diese letztere nur einen speziellen Fall
der Präzessionsbewegung des schweren symmetrischen Kreisels
darstellt, so gilt etwas Entsprechendes, von den obigen Schrauben-
linien, in die der ursprünglich gerade Stab bei passend ge-
wählten Endkräften und Endmomenten übergeht. In der Tat
läßt sich für jede Schraubenlinie, die durch den Winkel $
charakterisiert ist, nach den Gl. (21) bis (23) ein ganz be-
stimmter Wert der Endkraft und des Endmomentes angeben;
dagegen ist bei gegebener Endkraft die Frage nach der Größe
des Endmomentes, um eine bestimmte Schraubenlinie zu er-
halten, noch nicht gelöst. Die Antwort auf diese Frage gibt
uns das Analogon zur allgemeinen Präzessionsbewegung des
schweren symmetrischen Kreisels.

2 71

Nennen wir /x — die Präzessionsgeschwindigkeit mit

der Periode T und v die Drehgeschwindigkeit des Kreisels um
seine Figurenachse, so gilt die Beziehung1):

P = 03 ju (v -\- ju cos #) — 0j fP cos d . (27)

B R. Grammel, „Der Kreisel“, S. 89.

88

L. Föppl

Bei der Bedeutung des Winkels # als Neigung der Figuren-
achse gegen die Vertikale durch den festen Kreiselpunkt hängt
die Winkelgeschwindigkeit u3 um die Figurenachse mit ju und v
folgendermaßen zusammen:

v -f- n cos # = u3 .

Die Gl. (27) entsprechende Gleichung für den elastischen
Draht lautet daher:

P = o, ^ r - C, (2”)2cos », (28)

in die auch der Radius r = J sin ■& des Kreiszylinders, aut

2 71

dem die Schraubenlinie liegt, eingesetzt werden kann. Dazu
treten Endmomente, wie man sofort aus der Kreiselaufgabe
entnimmt, wo der Drall den Momenten entspricht, und zwar
liegt der Momentenvektor ebenso wie früher in der Tangential-
ebene an den Kreiszylinder. Den Drallkomponenten JB3 = Q3 u3
parallel der Figurenachse und Bx, 2 = Ox ju sin# in der dazu
senkrechten Richtung entsprechen das Torsionsmoment M3 = C3r

und das Biegungsmoment Mx,2 = Cx ~ sin iJ = Cx — — .

v T

Hieraus berechnet sich die Komponente des Momentes parallel
zur Schraubenachse:

Mi = M3 cos d + Mx , 2 sin ft = C3t cos i? -j- Cx y- sin2 # ,
oder wegen Gl. (28):

Mi = P J- cosi? + Cx

2 71 l

(29)

Die Komponente des Momentes senkrecht zur Schrauben-
achse ist:

2 71

Mu = M3 sin d — Mx , 2 cos # = G3 r sin •& — Cx -y- sin # cos #

oder wegen Gl. (28):

Mu = P~ sind = Pr.

2 71

(30)

Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie etc.

89

Die Endkräfte sind demnach ebenso wie im vorigen Fall

zurückgeführt auf je eine Kraftschraube, deren Achse mit der

Schraubenachse zusammenfällt. Die Größe der Kraft P in

Richtung der Schraubenachse ist durch Gl. (28) und die Größe

des Momentes um die Achse durch Gl. (29) in Abhängigkeit

von der Neigung der Schraubenlinie bestimmt. Der vorher

untersuchte Fall, der das Analogon zum Raumpendel darstellte,

ist in diesem allgemeineren Fall enthalten und geht daraus

sin d cos ■& 2 n . . P1 ,

hervor, wenn man x = = cos v in die Gl. (28)

r l

und (29) einsetzt, womit man die Gl. (21) und (22) erhält.

Wir wollen noch die Grenzfälle untersuchen und setzten
zunächst # = 90°, wodurch die Schraubenlinie in einen vollen
Kreis ausartet. Die Gl. (28) bis (30) zeigen, daß diese Gestalt
des Drahtes möglich ist, wobei an den Enden ein Biegungs-

(j

moment von der Größe 1 , eine Kraft senkrecht zur Kreis-

r

ebene von der Größe G~ — und ein Torsionsmoment von der

i r

Größe (7st angreifen, wobei die Größe des Verdrehungswinkels x
ganz beliebig ist. Mit x = 0 erhält man den früher bespro-
chenen Fall der einfachen Biegung.

Von besonderer Bedeutung ist der andere Grenzfall # = 0,
da er die kritischen Werte der achsialen Kraft P0 und des
achsialen Verdrehungsmomentes M0, die den ursprünglich ge-
raden Stab labil machen, in Beziehung setzt. Aus den Gl. (28)
und (29) ergibt sich:

während Mn = 0 wird. Mit r = , wird hieraus der frühere

l

Spezialfall erhalten, so daß damit aus den Gl. (31) und (32)
die Gl. (24) und (25) hervorgehen.

90

L. Föppl, Neue Bemerkungen etc.

Vor allen Dingen ist GL (32) bedeutungsvoll, die uns die
Beziehung zwischen der kritischen Last und dem kritischen
Verdrehungsmoment angibt. Wir wollen sie folgendermaßen

schreiben :

(33)

Für P0 = 0 ergibt sich als Spezialfall das kritische Moment
von Gl. (9). Da bei positivem P0 der kritische Wert von M0
wächst, so sieht man, daß P0 eine Zugkraft an den Stabenden
bedeutet. Für M0 = 0 müßte P0 in den Wert der Eulerschen
Knicklast übergehen. In Wirklichkeit gibt Gl. (33) den vier-
fachen Wert, d. h. den Wert der Knicklast, wenn der Stab
nach einer vollen Welle, also zwei Halbwellen, ausknicken
würde. Dieses Ergebnis war zu erwarten, wenn wir uns daran
erinnern, daß der unter einer Achsiallast ausgeknickte Stab
einer halben Schwingung eines Pendels entspricht, so daß die
volle Schwingung die Analogie eines geknickten Stabes mit

P

zwei Halb wellen darstellt. Setzen wir daher JR0 = so

ergibt sich die folgende wichtige Beziehung:

die mit M0 = 0 den Grenzfall der Eulerschen Knicklast und
mit P0 = 0 den anderen Grenzfall des kritischen Torsions-
momentes in sich schließt.

91

Über den Hauptsatz aus der Theorie der konformen

Abbildung.

Von Georg Faber.

Vorgetragen in der Sitzung am 4. März 1922.

Wenn ich im folgenden den allmählich recht zahlreich
gewordenen Beweisen für den Hauptsatz aus der Theorie der
konformen Abbildung einen neuen hinzufüge, so mag dies
Beginnen dadurch gerechtfertigt erscheinen, daß mein Beweis
besonders einfach und rein funktionentheoretisch ist, sowie da-
durch, daß gleichzeitig für die Frage der Ränderzuordnung
eine neue Lösung von sehr durchsichtigem Gedankengang1)
gegeben wird.

Den zu beweisenden Hauptsatz formuliere ich so:
g sei ein einfach zusammenhängendes, den Punkt
2 = 0 enthaltendes, endliches Gebiet der 2-Ebene; es
liege also ein Kreisgebiet

1) | z <y

ganz in g, während andrerseits g ganz in einem
Kreisgebiete

2) \z <r {r> y)

enthalten sei. Dann gibt es eine und nur eine Po-
tenzreihe

x) Wie ich nachträglich bemerkte, benutzte schon Herr Courant
(Gott. Nachr. 1914) Überlegungen, die, wenn auch in ganz anderer Dar-
stellung, eine gewisse Verwandtschaft mit den meinen besitzen.

92

G. Faber

3) s = «P(Z) = Z + a2Z2 + a3Z3 + • • •
mit folgenden Eigenschaften:

a) $ß (0) = 0 , $'(0) = 1;

b) ty(Z) nimmt in einem gewissen Kreisgebiete

4) \Z\<q,

dessen Radius q völlig bestimmt ist, jeden Wert z
aus g einmal und nur einmal an. Die Umkehr-
funktion der Reihe (3)

5) z=m

ist also eine in g reguläre Funktion, die daselbst
jeden Wert Z , dessen Betrag < q ist, gerade ein-
mal an nimmt.

Ich mache beim Beweise dieses Satzes noch die Voraus-
setzung, daß g von einer einfachen Jordan -Kurve begrenzt ist.
Von dieser Voraussetzung kann man sich leicht hinterher durch
einen weiteren Grenzübergang befreien und so den Beweis des
Hauptsatzes auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete
ausdehnen.

Daß der Rand von g eine Jordan-Kurve sei, wird übrigens
nur beim Beweise des folgenden Hilfssatzes benutzt.

I. Hilfssatz: Ist g echtes Teilgebiet eines anderen
endlichen Gebietes b, so hat b Randpunkte, die äußere
Punkte für g sind.

Weil nämlich weder die g begrenzende Jordan-Kurve C
noch ein Stück von C den ganzen Rand eines von g verschie-
denen Gebietes bilden kann, müssen zum Rande von b Punkte
gehören, die weder C, noch auch, da ja g Teilgebiet von b
sein soll, g angehören, die also äußere für g sind.

Im folgenden ersten Paragraphen beweise ich den Haupt-
satz; auf die Frage der Ränderzuordnung gehe ich dann in
einem zweiten Paragraphen ein.

Über den Hauptsatz aus der Theorie der konf. Abbildung. 93

§ I. Beweis des Hauptsatzes.

Es gibt jedenfalls unendlich viele Gebiete b, die durch
folgende Eigenschaften gekennzeichnet sind:

a) alle b liegen ganz im Endlichen, etwa innerhalb der Kreis-
linie \z\ = 2/’ (vgl. (2)); alle b enthalten den Nullpunkt;

b) es gibt für jedes b eine Funktion Z = F(z) mit der Um-
kehrung z = p(Z), wodurch b unter Beachtung der
Nebenbedingungen F(0) = 0, F' (0) = 1 auf ein Kreis-
gebiet Z\ < r abgebildet wird;

c) g ist Teilgebiet von jedem b und zwar echtes oder un-
echtes.

Bewiesen soll eben werden, daß letztere Möglichkeit Wirk-
lichkeit ist, d. h. daß g selbst ein Gebiet b ist.

Die unter b) erwähnten Radien r sind alle ^ 2 T und > y,
wie man leicht mittels des sog. Schwarzschen Lemmas er-
kennt; die Radien r haben somit eine endliche von Null ver-
schiedene untere Grenze q. Ich behaupte nun:

a) Es gibt ein Gebiet b, für welches r — q ist.

ß) Die ses Gebiet b ist mit g identisch.

Beweis von a): Wäre für kein Gebiet b der zugehörige
Radius r = q, so gäbe es unendlich viele solche Gebiete b,,
b2, . . ., deren Radien rx, r2, ... die Bedingung lim rn = g

ti-+ OO

erfüllen. Nach einem bekannten Montelschen Satze dürfen
wir außerdem annehmen, daß die zugehörigen Potenzreihen
p,(Z), \>2(Z), ... im Gebiete \Z\ <p gegen eine Grenzfunk-
tion p (Z) = lim \>n(Z) mit p(0) = 0, p'(0) = 1 konvergieren.

W -►00

Durch z — p ( Z ) wird das Gebiet j Z\ < q auf ein einfach zu-
sammenhängendes schlichtes Gebiet e der ^-Ebene abgebildet;
wegen des sehr einfachen Beweises darf ich auf Caratheo-
dory, Math. Ann., Bd. 72 (1912), S. 120/21 verweisen, e liegt
offenbar innerhalb der Kreislinie \z \ = 2 F. Zum vollen Be-
weise von a genügt es, somit zu zeigen, daß g ein Teil von e
ist, also daß \F{zß) <p ist, für irgend einen Punkte, von g,

94

G. Faber

wenn Z = F(z) die Umkehrfunktion von z — p(Z) bedeutet.
Ist nämlich Z = F„(z) die Umkehrfunktion von z = pn(Z), so
folgt (wegen \Fn{zx) < >», lim F„(z1) = F(z ,) und lim r„ = g )
zunächst:

6) F(zt)<g.

Hier kann aber das Zeichen = nicht gelten, denn dann
gäbe es Punkte in 9 und in der Umgebung von für die
F(zi) >0 wäre im Widerspruch mit der soeben bewiesenen
Ungleichung (6), die für z2 genau so gilt wie für zx .

Beweis von ß): Wir nehmen an, b sei, wie soeben, ein
schlichter, einfach zusammenhängender Bereich der ^-Ebene,
der durch

7) Z = F(z), z = p(Z)

auf den Kreisbereich Z < o abgebildet werde (mit Beachtung
der Nebenbedingungen: .F(O) = 0, F'(0)=1); g sei Teil-
gebiet von b, g der unter a) festgestellte Minimalradius. Dann
haben wir zu zeigen, daß die Annahme, g sei ein echtes Teil-
gebiet von b, auf einen Widerspruch führt. Unter dieser An-
nahme könnte man zwei voneinander verschiedene, außerhalb
g gelegene Randpunkte a, b von b (vgl. Hilfssatz I) durch
einen außerhalb g verlaufenden Querschnitt von b miteinander
verbinden und so von b ein Gebiet t abtrennen, von dem kein
innerer und kein Randpuukt dem Gebiet g angehört. Nun
benutze ich folgenden

II. Hilfssatz: Das Bild des Querschnitts a...b ist
vermöge (7) in der Z-Ebene ein Querschnitt A...B
des Kreisgebietes | Z <p. A, B sind voneinander ver-
schiedene Punkte der Kreislinie Z = g.

Ich darf mich für diesen Hilfssatz weder auf den Beweis
des Herrn Caratheodory noch auf den des Herrn Koebe
stützen, da beide den hier zu beweisenden Hauptsatz benutzen.
Dagegen könnte ich mich auf den Lindelöfschen Beweis be-
rufen; doch werde ich, um die vorliegende Untersuchung ab-
zurunden, im zweiten Paragraphen einen neuen, sehr einfachen
Beweis mitteilen.

Über den Hauptsatz, aus der Theorie der konf. Abbildung. 95

Nach dem Hilfssatze entspricht dem Gebiete t ein Ge-
biet X der ,Z-Ebene, zu dessen Begrenzung ein Bogen A ... B
der Kreislinie Z\ = q gehört, und man kann dann zwei unter-
einander und von A, B verschiedene Punkte D, E dieses
Bogens so nahe aneinander wählen, daß die durch D und E
gehende Kreislinie, die den Kreis \Z\ = q senkrecht schneidet,
von dem Kreisgebiet \Z ein Stück wegschneidet, das ganz
dem Gebiete % angehört, also keine Bildpunkte des Gebietes g
enthält. Das nach diesem Wegschneiden vom Gebiete \Z <o
verbleibende Restgebiet möge 9i heißen.

Ich zeige nun, daß es eine Funktion
8) ^ =
die den Nebenbedingungen

9) V(0) = 0, \p‘ (0) = 1

genügt, und durch welche 9t auf ein Kreisgebiet Zx < q‘
abgebildet wird; man erkennt auf Grund des Schwarz sehen
Lemmas sofort, daß dann q‘ < q ist. Besitzt man aber die
Funktion (8), so kann man durch

10) Zx = v{FißD%

wo F(z) die gleiche Bedeutung hat wie in (7), ein Gebiet b,
der £-Ebene, in dem g als Teilgebiet enthalten ist, unter Be-
achtung der Nebenbedingungen

H) -1' ^,=0für, = 0

auf ein Kreisgebiet Zl < q1 < q abbilden, was im Widerspruch
damit steht, daß q die untere Grenze dieser Radien bedeutet.

Es bleibt also nur noch der Existenzbeweis für die Funk-
tion yj (Z) (8) übrig; man könnte sie leicht in geschlossener
Form hinschreiben ; doch genügt es offenbar, zu zeigen, daß
man das Gebiet 91 auf irgend ein Kreisgebiet fä der M-Ebene
durch eine Funktion

12)

u = X (Z)

96

6. Faber

abbilden kann; denn dann findet man leicht die den Neben-
bedingungen (9) genügende Funktion ip ( Z ) als lineare Funk-
tion von x(.Z). Somit haben wir nur noch zu zeigen, daß
man 9t oder ein dazu ähnliches Gebiet 9t, auf ein Kreisgebiet
konform abbilden kann. 9t, kann man von zwei Kreisbogen
begrenzt denken, die in der oberen (durch die Bedingung:
Realteil von Z> 0 definierten) Halbebene verlaufen und sich
in den Punkten Z = ± 1 rechtwinkelig schneiden. Dieses Ge-
biet 9t, wird durch

auf ein Kreisgebiet der ««-Ebene abgebildet. Man erkennt dies
ohne jede Rechnung, wenn man die Substitutionen

14)

u — 1
-j- 1

W,

Z —

1

macht und beachtet, daß jenen zwei Kreisbogen vermöge (15)
zwei aufeinander senkrechte Halbstrahlen der v- Ebene ent-
sprechen, die durch w = v2 in eine Gerade durch den Punkt 0
der «t'-Ebene übergehen, und daß einer solchen Geraden ver-
möge (14) ein Kreis durch die Punkte — 1 , — J— 1 der u-Ebene
entspricht.

§ 2. Die Ränderzuordnung.

Zur Ergänzung der voraufgehenden Untersuchung und um
den II. Hilfssatz zu beweisen, behandeln wir noch die Frage
der Ränderzuordnung bei konformer Abbildung. Durch

16) Z = f(e), aufgelöst z = ip(. Z ),

werde das endliche, einfach zusammenhängende, im übrigen
aber ganz beliebige Gebiet b der ^-Ebene auf das Kreisgebiet
Z < o abgebildet, q ( r ) seien durch Kreisbogen mit veränder-
lichem Radius r und festem Mittelpunkt P gebildete Quer-

Über den Hauptsatz aus der Theorie der konf. Abbildung.

97

schnitte des Gebietes b; P liege auf dem Rand von b; a (r) sei
das eine der von b durch q(r) abgetrennten Gebiete, und zwar
sei, falls r“ < r' ist, a (r") ein Teilgebiet von a(r'). Mit b(r', r“)
werde das Gebiet bezeichnet, das man erhält, wenn man aus
fl(r') die Punkte von a(r") und q(r ") wegläßt. In der Z-Ebene
seien Q(r), 21 (r), © (r', r") die Bilder von q(r), a(r), b(r', r“).
Ist ein Punkt A der Kreislinie Z — g Randpunkt eines Ge-
bietes 21 (r"), so ist er offenbar auch Randpunkt jedes Gebietes
2t (r'), wo r‘ > r“.

Alles kommt nun darauf an, zu zeigen:

Es gibt nur einen Punkt der Kreislinie Z\ = q ,
der Randpunkt sämtlicher Gebiete 2l(r) ist, wie klein
auch r sein möge.

Gäbe es nämlich mindestens zwei solche Punkte: A, B, so
gäbe es auf jedem Querschnitt Q(f) Punkte, deren Entfernung
> l wäre, falls unter l irgend eine Zahl verstanden wird, die
kleiner ist als die Maßzahl der Sehne AB. Wir zerlegen nun

das Gebiet b

durch die Querschnitte q{r ,), q(r2),

q(rn + 0, wo

17)

= r‘, r„+i = — und

rn + 1 — rn

P
2 n

sein möge, sowie durch Stücke von Radien dieser Querschnitte
in Teilgebiete, die wir uns beliebig klein, und soweit sie nicht
an den Rand von b heranreichen, mit beliebiger Annäherung
als untereinander kongruente Quadrate vom Inhalt d2 vor-
stellen dürfen, wo

18) d = ~ (vgl. (17)).

Wir lassen im folgenden die an den Rand von b heran-
reichenden Teilbereiche weg und behalten nur die quadrat-
artigen bei. Mit bezeichnen wir die Anzahl derjenigen,

Sitzungsb d. liiatb.-pliys. Kl. Jalirg. 1922. 7

98

G. Faber

die zwischen q(r{) und q (»V+i) liegen (i = 1, 2, . . . »); ihre
vi{ + 1 auf q(rt) gelegenen Ecken seien der Reihe nach: Zu,
Zf2 , Za, . . ., + Es ist klar, daß m,- für alle i mindestens
gleich 1 ist, falls nur n genügend groß gewählt wurde. Man
kann auch n unter fortdauerndem Verzicht auf die weggelas-
senen, an den Rand von b heranreichenden Teilbereiche hinter-
her weiter vergrößern und damit auch die Anzahl der Eck-
punkte Zu,, wodurch man erreicht, daß die Summe

n »Hj

19) s.^cifC^M)2,

i i

für die wir kürzer

20) X> Si

1

schreiben, kleiner wird als der Inhalt des Gebietes ®

Neben den soeben definierten Summen

21) s< = i>ar(M<5)2

i

betrachten wir die Summen

*"«

22) si=^kf‘(zik)\d.

i

Si ist mit beliebiger Annäherung die Bogenlänge eines
Stückes von Q(r,), und man könnte

23) Si>l

setzen, wann der Satz von S. 97 nicht richtig wäre. Nun
ist aber

24) $> — ,

— m,

da für beliebige positive Zahlen ws, . . ., um bekanntlich

25) u\ w* -J- • • • -f- M» — (?<, -f- u% -j- • • • -f- um)2
ist. Aus (23), (24) aber würde folgen :

26) Ä> — .

M,

Über den Hauptsatz aus der Theorie der konf. Abbildung. 99

Da aber m,' d < 2 n ^ 2 n r‘ = knnd ist (vgl. (18)),
ergibt sich

27)

1 1

— >-.

nii 4 Tin

also nach (26):
28)

S(>

l2

4 n n '

so

Der Inhalt des Gebietes ©

wäre somit > l2 : 4 n.

(r't wä,

( r‘ r'\ ( Yi y‘\

Das gleiche würde für die Gebiete ® I 9 , — J , us^-

gelten, und man käme so zu dem unsinnigen Ergebnis, daß
das Gebiet 31 (y1), das ganz in dem Kreisgebiet \Z . < £> liegt,
einen unendlich großen Inhalt besäße. Somit ist gezeigt:

Einem „Primende“ (Ca ratheodory) oder „Randele-
mente“ (Koebe) von b entspricht ein bestimmter Punkt A
der Kreislinie \Z\ = g.

Mit genau den nämlichen Überlegungen beweist man, wo-
bei nur die Gebiete b und \Z\<g ihre Rollen vertauschen:

Ein Punkt A der Kreislinie \Z\ = g kann nicht
zwei verschiedenen Randelementen von b entsprechen;
und endlich ganz allgemein:

Bei der konformen Abbildung zwei er Gebiete auf-
einander entsprechen die Randelemente einander um-
kehrbar eindeutig.

Zusätzliche Schlussbemerkungen.

Zum Schlüsse seien noch zwei andere Beweiswege zum
Hauptsatze von S. 91 andeutungsweise beschrieben:

Beim ersten mache ich wieder die Voraussetzung, das ab-
zubildende endliche Gebiet g sei von einer einfachen Jordan -
Kurve begrenzt. Ich bilde zuerst irgend ein größeres (g als
Teilgebiet enthaltendes) Gebiet b, auf ein Kreisgebiet \ Z < gt
ab, sodann, wie S. 95/96 beschrieben wurde, ein Gebiet b2, das

T

100

G. Faber, Über den Hauptsatz etc.

1

größer als g, aber kleiner als bj ist, auf ein Kreisgebiet Z <p2,
ferner b3 > g, aber < b2 auf Z < ps usw. , endlich bw durch
Grenzübergang auf Z < dann b^ _|_ i usw. Nach einer
abzahlbaren Menge von Schritten muß das Verfahren zum
Ziele, d. h. zur Abbildung von g auf ein Kreisgebiet führen.

Bei dem zweiten Wege soll das Ziel sein: das Außere
einer (nach außen hin) nirgends hohlen Kurve C der ^-Ebene
auf das Außere eines Kreises der Z-Ebene durch eine Reihe

29) z — /j -{- o,Q -}- Z 1 -| - d^Z 2 -J- ■ • •

abzubilden. Man konstruiere, was nur die Lösung einer ge-
wöhnlichen Minimumsaufgabe voraussetzt, das Polynom

30) Pn(z) = zn + bizn~1 -f b2z"~2 -\ M»,

dessen Betrag auf G einen möglichst kleinen Maximalwert be-

n

sitzt. Wird dann, außerhalb C, V P„{z) durch die Bedingung
lim (V'Ä ( z ) : z) = 1 eindeutig definiert, so existiert für alle z

%-*■<*>

außerhalb C der Grenzwert

31)

f(z) = lim V Pn (z) .

Löst man die Gleichung Z = f(z ) nach z auf, so hat man
die gesuchte Funktion (29).

Dies alles bleibt giltig, auch wenn die Kurve C der Be-
dingung, nach außen nirgends hohl zu sein, nicht genügt;
doch kann ich die Richtigkeit dieser Behauptung nur auf Grund
des anderweitig bewiesenen Hauptsatzes dartun. Es liegt also
hier ein ganz ähnlicher Fall vor, wie bei dem bekannten Neu-
mannschen Verfahren.

101

Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume.

Von F. Lindemann.

Vorgetragen in der Sitzung am 4. März 1922.

1. Die trigonometrischen Formeln der nicht-euklidischen
Geometrie (und damit auch diejenigen der sphärischen Trigo-
nometrie) beruhen auf zwei algebraischen Identitäten. Ist

Üxx = 0 oder al = bl = c\ = --- — 0

die Gleichung des Fundamentalkegelschnittes in Punktkoordi-
naten, so ist 02 q 0

die Bedingung dafür, daß die Linie x-y Tangente an Qxx = 0
sei, die linke Seite also mit ( abn )2 wesentlich identisch. In
der Tat sei w,- = (xy)i, so wird

/ 1 , (Gib ll)~ = ( ' dx by bx dy)“ = 2 dX by 2 ClX Uy bx by

= 2{QXXQyy — Qly).

Geht man umgekehrt von der Gleichung in Linienkoordi-
naten aus und setzt

lI'uu = ul = Up = ( abu y,

so ist, wenn Xi — ( uv ) die Koordinaten des Schnittpunktes von
u und v sind:

(2) 2 ( Wuu , - V'l) = (ua vß - ^ ußf = (aß xf

— 2aßbl — 2aßbßaxbx = 2Abl — 2(acd)(bcd)axbx = {A-al1),

0 Vgl. Identität (3) auf S. 286 in Bd. I von Clebsch, Vorlesungen
über Geometrie, 1. Aufl.

102

F. Lindemann

wenn A = ( abo )2 die Invariante der Kurve bezeichnet. Ist
nun u die Verbindungslinie der Punkte x und y, v diejenige
der Punkte x und z , also: = (xy)(, v, = (xz)i, so wird

2 ( *¥„ „ lF,v — 'PL) = [(asy) ißxz) — (axz) (ßxz)JJ
= {xyzf (a ß x)2 = | A • (a: «/ ^)2 • ax .

Bezeichnen wir mit x, y, z die Ecken eines Dreiecks, mit
u, v, w die gegenüber liegenden Seiten, mit cpx, cpy, <pz die
Winkel, mit rx, ry , rz die entsprechenden Seiten, so ist be-
kanntlich :

Q,

cosm - 7 - = .

* VQ,jy܄

y

Q,

Q

, cosin -f- =

xy

k VOze Qx

: , cosm y = - * ,

* 1 lQxxQyy

■ <Px
cosin tt =

'1'

<Py

cosin yr =

x MT fl

_

, . — « i^uoiu 7 . — , — « cosin . — ,

k* VW W k V V *F k V W 'P

V x vv x toto V x toto x u u r x ti <4 vv

r U f

also :

sin

<Px

sin

Je 1

und folglich :

. rx

sin

sin

Je

<p_x

Je*

VQyy Qzl — Ql, = VWUU

V &yy G" V2QyyQj

I _ (xyz)V2A- Qxx

VS

. ry . rt

1^3 *FUU , >FU W

Sin y- sm y-

A: A:

V2Aä„L>„ä„ sin| sin

womit der Sinus-Satz gewonnen ist. Für den Cosinus-Satz
benutzen wir die weitere Identität:

'l*u „ = Ua Va = {ab u) {ab v) = ( axby — bxay) ( axbe — bxaz )
2 (Qxx Qyz Üxy Qxz) )

OzxÜxy

■ ry r, . . <Px . ry . r,

cosin y • cosin y 4- cosin y- • sin y • sin y — , _

* Ä Je Je Je Qxxy Q G

Qxx Qyi

yy

***

+ ; . T-rrr • ' " = COSIH 7 ,

V 2 Üxx V Qyy Qtt Qxx Y QyyQtl *

Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume.

103

und entsprechend für den andern Winkel. Auf demselben
Wege erhält man die sphärische Trigonometrie der euklidi-
schen Kugel, indem man die Punkte der Ebene durch das
Strahlenbündel der Kugeldurchmesser, den Kegelschnitt Qxx = 0
durch den Asymptotenkegel der Kugel nach dem Prinzipe der
Dualität ersetzt.

2. Die Trigonometrie auf einer nicht-euklidischen
Kugel ergibt sich in folgender Weise. Ist Qxx = 0 jetzt die
Fundamentalfläche des Raumes und y der Mittelpunkt der Kugel
mit Radius r, so ist die Gleichung derselben:

00

y

Q XX Q yy * COSin- Q xy — 0

Zwei in der Diametralebene u liegende Gerade, die außer-
dem bzw. in der Ebene v und v1 liegen, bilden einen Winkel cp,
bestimmt durch

. qp (ab uv) (ab uv')

(5) cosin 7 , = . — ,

k Y (abuv)2 • (abuv1)2

wenn ß = ax = bx • • • . Wird die Kugel von den Linien
bzw. in den Punkten z und t geschnitten und bezeichnet r
einen beliebigen Punkt der Schnittlinie von v und v‘, so kann
man setzen :

Ui = (yzt)i , Vi = (yz t),, Vi = (ytz)i ,
und dann wird, da uy = 0, uc = 0:

Qu ctg aT

= uz • (a,j bt — by az) = (yztz) (ay bz — by az) ,

(ab uv) =
also :

by b v b j

tty %%

(abuv) (abuv1) — (y ztz) • 2(Q,, y Qet — ß^ß^))
(abuv)2 = 2(yztz)2 (Qyy Qze — Qyz),

(abuv1)2 = 2 (yztx)2 (QyyQtt — Qyt),

ß y y ß z t - - y z Qy t

k‘ yWyyQtt - ß/z) (Qyy Ott- W)

r\2 Qyy Qet Qyj Qyt _

cosin j- =

= ^cotang

ß y e ßy t

(6)

104

F. Lindemann

wenn 2ÖXX = QvyQxx — Qxy die linke Seite der Gleichung des
Asymptotenkegels bezeichnet. Der Winkel y zweier Diametral-
ebenen v, w ist bestimmt durch

(7)

• W

cosin -p =

{abcv) ( abcw )

V P V 'i'tcw V (ab cvf • ( d ef wf

Andererseits berühren die beiden zur Bestimmung des den
Winkel definierenden Doppelverhältnisses dienenden Ebenen,
die durch den Schnitt von v und w gehen, auch den Kegel
2SXX = 0 und den Kegelschnitt, in dem dieser Kegel die Fläche
üxx = 0 berührt. Die Gleichung des letzteren in Ebenen-
koordinaten u ist

P« „ = 2 (K vl — ua uß va vß ) = (ua vß — Uß vaf = 0 ,
wenn v, = CiCy = didy gesetzt wird; es ist:

O« Vß Uß V,)2 — (Ua Cß — Uß Ca) (Ua dß — Uß da) cy dy

= 2 (w„ • cß dß cy dy — ua Uß ca dß cy dy) .

Hierin ist

CßdßCydy = \(cabe)dy\(dabe)cy—{dabc)ey—(dace)by — ( dcbe)ay\
= \{cabe f d'y = \A- Qyy ,
ußua CadßCydy = ( abcu ) ( fghu ) {ab ec) {f ghd)cydy
— \{ab eu) {ab ec) cy{f g h df uy
= TV (ahe cf (f 9 h df Uy = TV A2 ■ Uy ,

also

1 A2 u-

P„ u = l A • Qyy -{abc uf
P„ „ = \ A - Qyy -{abc u) {abcv) — ^ A 2 uy vy .

Da nun vy = 0 und wy = 0 ist, so folgt:

. y Pv,„ {abcv) {abciv)

cosin 7 - = , — = J— ,

k ypvvpw,c V {abc vf -{abcwf

wie in (7), wodurch das geometrisch evidente Resultat auch
rechnerisch bestätigt wird. Zwischen den Kanten- und Flächen-
winkeln einer dreiseitigen Ecke gelten also in der nicht-eukli-
dischen Geometrie dieselben Formeln wie zwischen den Seiten
und Winkeln des ebenen Dreiecks (oder des euklidischen
sphärischen Dreiecks).

Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume.

105

3. Um den Winkel cp durch einen Bogen auf der nicht-
euklidischen Kugel zu ersetzen, müssen wir allgemein den
Bogen einer Kurve durch den zugehörigen Zentriwinkel aus-
drücken. Das Quadrat des Bogenelementes ist allgemein

(8)

ds2 _
Tc2 ~

QxjcQdxdx &xdx

Q

2

XX

und das Quadrat des unendlich kleinen Winkels der Linien u
und u du

(9)

dcp2 Fuu xFdudu — F'au

k‘2 ~ P;lu

wo Q = 0 und XF — 0 die Gleichungen des Fundamentalkegel-
schnittes in Punkt- bzw. Linienkoordinaten seien. Die Glei-
chung des Kreises mit dem Zentrum y und dem Radius r ist:

(10) R’QxxÜyy — üxy = 0, wo iü = cosin2 y,
und die Differentiale genügen der Bedingung:

(11) R ' ^xdx ^yy ^xy Qydx == 0

Nach (1), (10) und (11) haben wir, wenn zur Abkürzung

dXi -- Z{ ,

dui = Wi gesetzt wird:

u u

— 2 (Qxx

Q 02 \ —

2(1 R) QXXQyy,

W

x 10 W

II

to

IS

«S2

O OM —

özzt —

2 ,,

f) *

"ii

&ZZ R&XZ.

Uf

* uw

= 2 ( Üxl

®y y Qxy Qyz)

= 2(1-

R ) Qy y &xz j

folglich :

dcp 2

Qxx&z,— G'x‘

ds 2

1

Id2

Q-x (1 — R)

k2 1-

- R ’

oder:

ds 2

Jd ~

d(P> (1>_n 2 _

.g

"r. Im

'ts ^
ii

r\ 2

k ’

womit die bekannte Formel zwischen Bogenelement eines Kreises
und zugehörigem Zentriwinkel erhalten ist:

s . r cp

k = smk’T‘'

106

F. Lindemann, Zur Trigonometrie etc.

und der in (5) berechnete Winkel zwischen den Strahlen y-z
und y-t kann durch einen Bogen auf der Kugel (4) ersetzt
werden, so daß auf der nicht-euklidischen Kugel die-
selben trigonometrischen Formeln gelten wie auf der
euklidischen Kugel.

4. Die angewandte Methode ist besonders geeignet, die
Sätze über die Höhenlothe und die Mittellinien eines Dreiecks
abzuleiten; es ist das schon von Coolidge geschehen1), wes-
halb wir darauf nicht mehr eingehen.

0 The Elements of non-euclidean geometry, Oxford 1902.

107

Störungen und Kombinationsprinzip im System
der violetten Cyanbanden.

Von A. Kratzer.

Vorgelegt von A. Sommerfeld in der Sitzung am 4. März 1922.

Bei dem Aufsuchen von Gesetzmäßigkeiten in den Banden-
spektren bieten die sogenannten „ Störungen“ ein wichtiges
Hilfsmittel. Mit diesem Namen bezeichnet man die Erschei-
nung, daß eine Linie nicht genau an der Stelle beobachtet
wird, wo sie auf Grund der Interpolationsformel

v = A -}- 2 m B -j- m2 C -j- •• • (1)

zu erwarten wäre. Im Falle von Dublettlinien äußert sich dies
meistens darin, daß die beiden Dublettkomponenten nach ver-
schiedenen Seiten von der regelmäßigen Lage verschoben sind,
so daß das Dublett abnorm weit oder eng erscheint. Nach
Deslandres sollen nun innerhalb eines Bandensystems ent-
sprechende Serien (wir nennen sie im folgenden Teilbanden) die
gleichen Störungen an der gleichen Stelle, d. h. bei gleicher
Laufzahl m zeigen1). Dieses Gesetz wurde von Heurlinger2)
in seiner Dissertation geprüft und dahin ergänzt, daß hiebei
die Numerierung innerhalb einer Teilbande so zu treffen ist,
daß der schwächsten Linie die Laufzahl 0 zugeordnet wird.
Tut man dieses, so zeigt sich, daß nicht nur die Störungen
innerhalb verschiedener Teilbanden eines Systems, bei den vio-
letten Cyanbanden z. B. der _B-Banden von 4606, 4216, 3883 A
gleiche Laufzahl bekommen, daß vielmehr auch innerhalb einer

0 H. Deslandres, C. R. 139, 1176, 1904.

2) Dissertation, Lund 1918, S. 18.

108

A. Kratzer

Teilbande die Störungen symmetrisch zur Nullstelle liegen; und
zwar liegen sie nach Heurlinger bei den Cyanbanden bei -f- m
und — (m + 1) z. B. in den J5-Banden bei + 46 und — 47.
Demnach scheint es, daß die Störungen mit der Laufzahl m
enge verknüpft sind, und wir müssen uns fragen, ob sich die
Regelmäßigkeit des Auftretens der Störungen theoretisch ver-
stehen läßt.

§ 1. Die Störungen als Termstörungen. Auf Grund
der Theorie von Heurlinger und Lenz1) kommt die Linie
+ m dadurch zustande, daß der Rotationszustand der Molekel
von der Quantenzahl m -J- 1 auf m übergeht, während der Linie
— (m -f- 1) der Quantensprung m — >(w-(-l) zugeordnet ist.
Darnach hat es den Anschein, als ob die Störung den beiden
zueinander scheinbar inversen Sprüngen 1) zuzu-

ordnen wäre. Dieser Schluß wird aber hinfällig, wenn wir
berücksichtigen, daß beim Emissionsvorgang auch die Elek-
tronenkonfiguration sich ändert. Denken wir uns diese zum
Zwecke der bequemeren Ausdrucksweise durch eine Quanten-
zahl p gegeben und die Schwingung der Atome2) innerhalb des
Moleküls durch eine zweite Quantenzahl n festgelegt und mit
W ( p , n, m) die durch h dividierte Energie der Molekel in dem
durch die Quantenzahlen p, n und m charakterisierten Zustande
bezeichnet, so haben wir die betrachteten Linien zu schreiben :

vm = W O,, n|f m + 1) — W 02, m),

v_(m+1) = nx, m)—W{pi , w,, m + 1).

Man sieht, daß trotz der scheinbaren Symmetrie die beiden
Linien keinen Term gemeinsam haben und wir können deshalb
die Störung nicht als Termstörung auffassen. Damit ist uns
gleichzeitig jede Möglichkeit genommen, das wiederholte Auf-
treten der gleichen Störung innerhalb eines Bandensystems zu
verstehen. Diese Erscheinung würde uns aber sofort selbst-
verständlich sein, wenn wir zu einer Auffassung der gestörten

1) W. Lenz, Verh. der Deutschen Phys. Ges. 21, 632, 1919.

2) T. Heurlinger, Zeitschr. f. Thys. 1, 1920, S. 81. A. Kratzer, Phys.
Zeitschr. 22, 1921, S. 552, Ann. d. Phys. 67, 127, 1922.

Störungen und Kombinationsprinzip bei Cyanbanden. 109

Linien kommen könnten, bei der die Störung als Termstörung
auftritt. Welcher Term, ob der Anfangs- oder Endterm dabei
in Frage kommt, muh eine einfache Überlegung liefern, sobald
wir das Auftreten der Störungen durch das ganze Banden-
system verfolgen.

Wir erwähnten bereits, daß die gleichen Störungen auf-
treten bei allen L?-Banden der violetten Cyanbanden und können
noch hinzufügen, daß dasselbe auch für die H-Banden und die
Ü-Banden unter sich gilt1). Nach der vom Verfasser durch-
geführten Termdarstellung auf Grund der erweiterten Heur-
lingerschen Theorie sind aber diese Teilbanden dadurch aus-
gezeichnet, daß sie gleichen Anfangszustand der Elektronen-
konfiguration und Oscillation haben. Wir müssen also schließen,
daß die Störung bei den betrachteten Cyanbanden mit dem An-
fangszustand verknüpft ist, daß der Anfangsterm immer dann
einen gestörten, von der gewöhnlichen Formel abweichenden
Wert annimmt, wenn eine bestimmte Kombination der Quanten-
zahlen Pj n1 m vorliegt.

§2. Folgerungen für die He u r 1 i n ger-Le n zsche
Bandentheorie. Nach den vorausgehenden Überlegungen
sehen wir uns genötigt, die Deutung der einzelnen Linien der
Teilbande in dem Sinne abzuändern, daß den Linien -f- m ,
— (m -f- 1) der gleiche Anfangszustand zugeordnet wird. Dabei
müssen wir uns von dem Gesichtspunkte leiten lassen, daß sich
die Deslandressche Formel und ihre Termzerlegung durchaus
bewährt hat, daß wir also hiervon soviel wie möglich beibe-
halten müssen. Dazu gehört insbesondere, daß sich die Formel
als Differenz zweier in m quadratischen Terme ergibt. Hier-
aus folgen nämlich alle die Gesetzmäßigkeiten, die der Ver-
fasser2) zwischen den Koeffizienten C der Deslandresschen Formel
nachweisen konnte. Weniger Gewicht ist dabei dem Absolut-
wert der Laufzahl m beizulegen, dessen Bestimmung bisher ja
immer hypothetisch war und der auch quantitativ weniger gute
Zahlenübereinstimmung ergab.

9 Vgl. die Dissertation von Heurlinger, S. 18.

2) Phys. ZS. 22, 1921, S. 552, Tab. II uf.

110

A. Kratzer

Nun ist ohne weiteres klar, daß die Deslandressche Formel
ihre Gestalt nicht ändert, wenn wir die Laufzahl m um einen
beliebigen konstanten Betrag e abändern. Setzen wir

m* = m — s ,

so geht eine Formel

v = A* + 2 m* B * -f m*2 C (2)

aus (1) hervor, die mathematisch die gleiche Funktion wie (1)
darstellt, also mit vollkommen gleicher Genauigkeit wie (1) die
empirischen Daten wiedergibt. Wir wollen nun die Laufzahl m*
in (2), vorläufig ohne theoretische Begründung, als vollkommen
analog zur Quantenzahl m in (1) betrachten. Nun legt in (1)
und dementsprechend auch in (2) die Laufzahl m den End-
zustand fest. Da wir verlangen müssen, daß den Störungen
gleiche Anfangsquantenzahlen m* zugeteilt werden, so müssen
die entsprechenden Endquantenzahlen m* — 1 und m* + l heißen.
Die Laufzahlen in der Formel (2) müssen sich also bei den ge-
störten Linien nicht, wie es sich nach Heurlinger ergibt, um 1,
sondern um 2 unterscheiden und zwar muß die negative Lauf-
zahl um 2 größer sein. Wir fordern also, daß nach der von
uns gesuchten Abänderung für die Laufzahl der Störung gilt:

mo — mo — — ( m*0 + 2) = — (m0 + 1) — £ ;

daraus kommt : m* = m0 — ^ , e = I •

Wenn also in (2) die Laufzahl m* alle halbzahligen
Werte annimmt, dann haben wir erreicht, daß die Störungen
als Termstörungen des Anfangstermes sich darstellen, wie wir
es aus dem empirischen Befund fordern mußten.

3^

-3

2-3

-2

7-2

-7 V° o
0-7 ! 7-0

2-7

2

3-2

3

4-3

4

5-4

3.S-HS 2,5— 3.5 7.5-2. 5 0.5-/.5

-f.S -3.5 -2.5 —1.5

0.5— 0.5
-05
V°

7, 5—05 2,5— 7.5 3.5— 2.5 45-3.5

0.5 1.5 2.5 3.5

Störungen und Kombinationsprinzip bei Cyanbanden.

111

Die neue Zuordnung der Linien zu den Laufzahlen ist aus
der Figur zu ersehen. Im oberen Teil ist hier die Heurlinger-
sche Bezeichnungsweise benutzt, der untere Teil gibt unsere
Bezeichnungsweise wieder. Für m — 3, — (m + 1) = — 4
ist eine Störung angedeutet, sie erhält in der neu eingeführten
Schreibweise die Anfangsquantenzahlen 3,5 und die Laufzahl 2,5
bzw. — 4,5. Wir können uns also an dem Beispiel nochmals
überzeugen, daß den gestörten Linien gleiche Anfangszustände
zugeordnet sind.

Die empirischen Verhältnisse führen nach dem Voraus-
gehenden fast zwingend zu dem Resultat, daß in die Heur-
linger-Lenzsche Formel halbe Laufzahlen einzuführen sind und
daß die Formel der Rotationsenergie für die Bandenspektren
abzuändern ist.

§ 3. Die theoretische Deutung der halben Lauf-
zahlen. Fragen wir uns, ob eine Erweiterung der Energie-
formel für die Rotationsenergie

W =

ni 2 hr

8 J

(3)

theoretisch nahegelegt wird, so ist dabei folgendes zu beachten.
Bei der Ableitung der Formel ist das Molekül als starrer Körper
betrachtet und der Einfluß der Elektronenbewegung auf die
Rotation der Molekel vollkommen vernachlässigt. Treibt man
dagegen die Idealisierung des Problems nicht so weit und rechnet
mit einem Molekülmodell, in dem die Elektronen beliebige Be-
wegungen ausführen, allerdings mit der einen, für den Fall der
Cyanbanden begründeten Einschränkung, daß die Elektronen
kein resultierendes Impulsmoment um die Kernverbindungslinie
haben, so kommt als Rotationsanteil der Energie der Molekel:

w (P'p Pv)2 .

2 J ’

hier bedeutet p<p das gesamte Impulsmoment des Moleküls, das
wie sonst zu quantein ist

min

112

A. Kratzer

Der zugehörige Winkel cp ist dabei das Azimut der Kernver-
bindungslinie gegen eine raumfeste Gerade in der Rotations-
ebene; pv ist das resultierende Impulsmoment der sämtlichen
Elektronen. Bei der Quantelung ist über p,r in erster Näherung
zu mittein und wir erhalten

m- Ti-

8 71 2

m h
4 71 J

Pv +

K.

2 J

tu2 h2

8 71? J

2 m e h2

+ A, (3 a)

wobei wir pH, =

eh
2 71

und

£
2 J

— A gesetzt haben.

Die Größe A nehmen wir zu der ohnehin unbekannten
Elektronenenergie hinzu und haben als Ergebnis eine Formel
gewonnen, die sich von der früheren dadurch unterscheidet,
daß zur Quantenzahl m2 die Größe — 2 sm hinzugekommen ist.
Da p,f, im allgemeinen nicht zyklisch ist, wird es auch nicht
konstant und in einfacher Weise gequantelt sein, so daß wir über
die Größe von s von vorneherein keine Aussage machen können.
Jedenfalls brauchen wir von dem durch eine Mittelung ge-
wonnenen Werte nicht zu verlangen, daß er ganzzahlig ist.

Weiter ist zu beachten, daß der resultierende Elektronen-
impuls nicht notwendig die gleiche Richtung wie der Gesamt-
impuls haben muß. Es ist zu erwarten, daß im allgemeinen
auch die entgegengesetzte Richtung vorkommt, daß wir also

W —

h2

8 7l2J

(m2 + 2 m e)

(3 b)

zu setzen haben. Wir sind so zu einem doppelten Term ge-
langt und werden nun 2 solche Dublett-Terme als zusammen-
gehörig bezeichnen, die möglichst enge beieinander liegen, bei

denen also

(m‘ -)- e) — (: m — c) | <

ist. In diesem Falle haben die beiden Frequenzen der Rotation
die bei gegebenem e kleinstmöglichen Differenzen , nämlich
kleiner als der halbe Abstand der aufeinander folgenden ge-
quantelten Rotationsfrequenzen.

Für den Sprung des Gesamtimpulses pv verlangen wir nun
auf Grund des Auswahlprinzips wie immer, daß er nur die

Störungen und Kombinationsprinzip bei Cyanbanden. 113

Werte ± 1 annehmen kann. Der Elektronenimpuls geht dabei
von e, auf e2 über und zwar wird er dabei seinen Richtungs-
sinn beibehalten, wie man nach dem Korrespondenzprinzip
einsehen kann.

Wir erhalten so nach (3 b) aus den Übergängen
(ni + 1, e,) — *■ (m, e2), (m‘ + 1, — £t) — *• (m\ — f2),

(wt — 1, £j) > (jn , 1 1 £i) * (^> ^g)

die Frequenzen:

vjb = m2 C -f 2w
v+ = m'2 C -f- 2 m‘
v~ — Mi'2 C — 2 m‘
vj — m? C — 2 m

+

+

e2\ h
J2 ) 8 ji2

s2 \ h

J2) 8 JI2

e2\ h
J2) 8 ji2

e2 \ h
J2) 8ji2

+ 8 JI2 e/j

^ 8^2J,’

^ 8 7l2Jx'

^ 8 n2Jx'

Unsere theoretische Überlegung führt also auf 2 Teil-
banden mit positivem und negativem Zweig, die gleiche Werte
von C, aber verschiedene Werte von B nach Formel (1) haben.
Bemerkenswert ist, daß die Zweige mit gleichem Elektronen-
impulsmoment (-(- e) z. B. v+ und v~ sich nicht fortsetzen.
Derartige Teilbanden lassen sich z. B. bei Zn und Hg nach-
weisen, doch wollen wir hierauf an dieser Stellt, nicht eingehen.

Um unser Problem für die Frage der Cyanbanden zu spezia-
lisieren, betrachten wir den besonderen Fall, daß die beiden
Teilbanden ein enges Dublett bilden. Nach den vorausgehen-
den Überlegungen heißt dies, daß

( m‘ -p e) — (m — e)

sehr klein ist. Dieser Bedingung muß sowohl Cj wie e2 ge-
nügen, d. h. es muß £, — £2 ebenfalls klein sein. Die ein-
fachsten Fälle, in denen unsere Bedingung erfüllt ist, sind

m = m', e klein.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

8

114

A. Kratzer

V — j— V

Bilden wir mit diesen Werten nun ~L— — -, d. h. nehmen
wir jeweils die Dublettmitte, so kommt:

v = A + 2m + m2 G'

O 71 t/j

also genau die Heurlingerscke Formel, mit der wir die Lage
der Störungen nicht verstehen konnten.

Die nächste Möglichkeit ist:

m — m' 1, £ = | + (5 .

Nun kommt für die Dublettmitte:

v = (m2 -»J-f (m — *) + A

O 71“ J j

= (m - ff C+2 (». - i) ~-j + A *

= m*2 C -f- 2 m* B* + -4*.

Wir bekommen also wieder die Deslandressche Formel mit
derselben theoretischen Bedeutung der Konstanten, wie sie die
Heurlingersche Theorie ergibt. Zugleich haben wir aber ge-
nau unsere Formel (2) erhalten, die wir empirisch aus der
Verteilung der Störungen abgeleitet hatten. Wir sehen nun,
dafä die Schwierigkeit, die sich früher aus der halben Lauf-
zahl ergab, verschwindet: da(ä das gemittelte Elektronenimpuls-
moment nicht ganzzahlig ist, war von vorneherein zu erwarten.

Eine weitere Bemerkung knüpft sich an die sogenannte
Null-Linie m = 0. Wenn sowohl die Linie v°, die einer rota-
tionslosen Molekel entspricht, wie auch die Linie m = 0 nach dem
empirischen Befunde ausfiel, so mußte man annehmen, daß der
rotationslose Zustand statistisch auszuschließen ist, was mit den
Erfahrungen aus der Theorie der spezifischen Wärme in Ein-
klang war. Da nun aber m = 0 als x^nfangszustand bei der
Linie m = — 1 ebenfalls ins Spiel trat, so ergab sich eine ge-
wisse Schwierigkeit, das Nichtausfallen dieser Linie zu deuten1).
Nach unserer jetzigen Deutung fällt die Linie v°, wie man aus

1) A. Kratzer, Zeitscbr. f. Phys. 3, 1921.

Störungen und Kombinationsprinzip bei Cyanbanden.

115

der Figur abliest, mit der Linie — j zusammen. Da diese als
Dublettlinie sowohl dem Übergange 0 — >1, wie auch dem Über-
gange 1 — >0 der Gesamtquantenzahl m entspricht, ist nur sie
durch das Verbot m — 0 ausgeschlossen. Allerdings würden
bei den Linien -f- 0,5 und — 1,5 noch je eine Komponente
ausfallen. Da die Dubletts an dieser Stelle aber nicht auflösbar
sind, so ist diese Aussage der Theorie im vorliegenden Falle
nicht prüfbar. Auch aus der Intensität läßt sich, da diese an
der Nullstelle unter allen Umständen schwach sein soll, kein
Schluß ziehen. Wir brauchen also zum Verbot des rotations-
losen Zustandes außer dem Auswahlprinzip keine neue Hilfs-
annahme zu machen, um das Ausfallen der Linie m = 0 und
nur dieser Linie zu verstehen1). Außer diesem qualitativen
Argument zu Gunsten unserer Deutung bieten sich aber eine
Reihe zahlenmäßiger Belege, auf die wir jetzt eingehen werden.

§ 4. Die Kombinationsbeziehungen im System der
violetten Cyanbanden. Wir erwähnten bereits, daß auf
Grund unserer Formel (2) den Koeffizienten _B*, C* dieselbe
Bedeutung zukommt, die nach Heurlinger und Lenz die
Konstanten B und C haben sollen. Da sich C* von C nicht
unterscheidet, konnten wir die theoretischen Gesetzmäßigkeiten
zwischen den verschiedenen Werten von G* auch an den empi-
rischen C- Werten bestätigt finden. Anders bei B; hier kommt
es ganz wesentlich auf die richtige Numerierung an, und da
wir diese nicht hatten, so ergaben sich als natürliche Folge
Unstimmigkeiten. Wir wiesen bereits darauf hin2), daß die
B- Werte bei allen Teilbanden des Systems mit gleicher An-
fangsquantenzahl der Oscillation strenge gleich sein mußten
und fanden dieses Gesetz an den empirischen Werten von Heur-
linger nur angenähert bestätigt. Auch eine mit Benutzung von
theoretisch begründeten Korrekturgliedern ausgeführte Rech-
nung ergab keine Verbesserung, so daß sich schließlich keine

q Im Falle eines Impulsmomentes um die Kernverbindungslinie
haben hier andere Überlegungen Geltung.

2) A. Kratzer, Ann. d. Phys. 67, 145, 1922; Münchener Habilitations-
schrift; Phys. Zeitschr. 1. c.

116

A. Kratzer

andere Erklärung ergab, als die einer falschen Numerierung.
Wir haben nun auf Grund unserer abgeänderten Deutung der
Linien die Konstanten neu berechnet und zwar aus der Formel:

v — A -f- m* 2 (Z»'1' — By) ± 2 m* + (m* ± 1 )4 u\ Bl — m* 4 u\ B1! ,
wo j ,

(4) ^ = ~~ w* a* ’ ^ = “ ”2 °2
2 5

und u = ^ , v° = Kernschwingungsfrequenz war. Die Be-
rechnung wurde durchgeführt für die Banden 3883 und 4216,
für die allein die Wellenlängen der einzelnen Linien veröffent-
licht sind und auch hier vorläufig nur für die A- und 5-Bande,
wo die Linien durch Überlagerung nur selten verschoben sind.
Das Ergebnis der Rechnung, in dem die dritte Stelle hinter
dem Koma als unsicher bezeichnet werden muß, ist in der
Tabelle gegeben:

Berechnet aus 2 B°\ 2 B\ 2 B\ 2 B\ 2 B\

X = 3883 A° 3,9190 3,8744 3,7832 3,7467

* = 4216 A° 3,9174 3,8731 3,7460 3,7105

Mau sieht daraus, daß nun die Übereinstimmung der unter-
einander stehenden Werte innerhalb der Genauigkeitsgrenzen der
empirischen Daten vollkommen ist, während die Heurlingersche
Numerierung Differenzen um mehrere Einheiten der zweiten
Stelle ergab. Weiter können wir zwischen diesen Zahlen und
den früheren Ergebnissen1) folgende Vergleiche anstellen: Wir
forderten in (4), daß die 5-Werte linear mit der Schwingungs-
quantenzahl abfallen und berechneten aus den (7 -Werten die
Beträge

2 5,"> = 2 Bl — 0,0443 «, , 2 52"* = 2 5° — 0,0346 »2 .

Aus unseren Zahlen ergeben sich für die Konstanten « in (4):

a, = 0,0446 aus den Werten für 3883
= 0,0443 „ „ 4216

= 0,0445 „ „ gemittelten Werten.

l\ A. Kratzer, Phys. Zeitschr. 22, 1921, S. 552.

Störungen und Kotnbinationsprinzip bei Cyanbanden.

117

a2 = 0,0365 aus den Werten für 3883
= 0,0355 , , 4216

= 00359}” ” £emittelten Werten.

Wir erhalten also für ax vollkommene, für a2 befriedi-
gende Übereinstimmung aus den beiden Berechnungsmethoden.
Ferner können wir noch den Betrag von 2 B° — 2 Bl berechnen.
Dieser ergab sich

aus den G'-Werten zu 0,1351 cm-1
und wird aus 3883: 0,1358 cm“ 1
aus 3883 und 4216 gemittelt: 0,1350 cm“1.

Auch hier zeigt sich vollkommene Übereinstimmung. Wir
dürfen demnach die hier abgeleiteten Werte für B als die
richtigen auffassen, da sie und nur sie die vom Kombina-
tionsprinzip geforderte Identität der Terme gewährleisten. Da
andererseits der Wert von B eng mit der Numerierung ver-
knüpft ist, fassen wir die gefundene Zahlenübereinstimmung
als Bestätigung für die vorgeschlagene Deutung der Linien auf.

§ 5. Belege für das Vorkommen unganzzahliger
Laufzahlen. Das Auftreten nicht ganzzahliger Laufzahlen,
also gewissermaßen unganzer Quantenzahlen in unserer Formel,
die wir ja aus rein empirischen Daten ableiteten, ist, obwohl
wir eine theoretische Deutung gegeben haben, merkwürdig
genug, um noch weitere Beispiele wünschenswert erscheinen zu
lassen. Wir wollen hier nur auf einige hinweisen. Heurlinger
zeigt in seiner Dissertation, daß sich die Kohlenbanden 6188,
5635, 5165, 6120, 5585, 5129, 4737 A° je in 6 Teilbanden
zerlegen lassen, die selber wieder in je 2 Teilbanden aufzulösen
sind, die zueinander so liegen, daß die eine fast genau in die
Mitte zwischen 2 Linien der anderen Teilbande fällt. Wenn
wir beide Teilbanden dem gleichen Elektronenvorgang zuordnen
wollen, so ist dies nur so möglich, daß wir beide Linienfolgen
durch eine Formel der Art (2) darstellen, in der sich die m um
einen Betrag von ungefähr 0,5 unterscheiden. Ein ganz ähn-
licher Fall liegt bei der zweiten positiven Stickstoffgruppe vor.

118

A. Kratzer, Störungen und Kombinationsprinzip etc.

Man kann gegen diese Beispiele einwenden, daß sie wegen
der komplizierten Struktur der Bande nicht überzeugend ge-
nug sind. Wir möchten deshalb noch einen einfacheren Fall
erwähnen. Nach einer freundlichen brieflichen Mitteilung von
Herrn W. E. Curtis zerfallen die Heliumbanden 6400, 5770,
4546 A° von einem Nullzweig abgesehen in 2 Teilbanden mit
je einem positiven und negativen Zweig. Beide Banden unter-
scheiden sich wesentlich durch ihre Intensität, und zwar ist im
positiven Zweig die eine Bande, im negativen Zweig die andere
Bande stärker. Die gegenseitige Lage der beiden Teilbanden
ist nun wenigstens in der Nähe der Bandenmitte wieder so,
daß die eine in die Lücken der andern fällt; es sind gleichsam
beide Linienfolgen unserer Figur vorhanden. Die Besprechung
der besonders klaren Verhältnisse bei Zink und Quecksilber soll
einer späteren Arbeit Vorbehalten bleiben. Zusammenfassend
können wir nochmals sagen: Die empirischen Serienfonnein für
die Teilbanden lassen die Einführung von nicht ganzen Lauf-
zahlen als zweckmäßig erscheinen, die modellmäßige theoretische
Deutung kommt zu dem gleichen Ergebnis.

Zusammenfassung.

1. Es wird gezeigt, daß man aus der Verteilung der Stö-
rungen in den Cyanbanden darauf schließen muß, daß es
sich um Termstörungen des Anfangsterms handelt.

2. Die Deutung der Bandenlinien von Heurlinger ist mit
der Feststellung 1) nicht verträglich.

3. Es wird auf Grund theoretischer Überlegungen eine ab-
geänderte Deutung der Heurlingerschen Formel mit halb-
zahligen Laufzahlen vorgeschlagen, die mit der Forde-
rung 1) in Einklang ist.

4. Aus der theoretischen Bedeutung der Koeffizienten der
Deslandresschen Formel wird mittels der Kombinations-
beziehungen in den Cyanbanden die abgeänderte Formel
bestätigt.

5. Es werden weitere Belege für die Notwendigkeit der Ver-
wendung nicht ganzer Laufzahlen aufgeführt.

119

Eine Methode zur Unterscheidung der sogenannten
Bogenlinien von den Funkenlinien der Spektren.

Von W. Wien.

Vorgetragen in der Sitzung am 4. März 1922.

Obwohl die Unterscheidung zwischen Bogenlinien und
Funkenlinien in den Spektren keineswegs einheitlich ist, so
pflegt man doch jetzt überwiegend als Bogenlinien solche zu
bezeichnen, die von den ungeladenen Atomen ausgesandt wer-
den, während Funkenlinien von elektrisch geladenen Atomen
herrühren. Die Bogenlinien bedürfen zu ihrer Anregung einer
geringeren Arbeitsleistung, weil bei ihnen nur der Vorgang der
Lichterzeugung einzutreten braucht, während bei den Funken-
linien noch die Abtrennung eines Elektrons vorausgehen muß.
Die bisherige Unterscheidung beruhte hauptsächlich auf der
Beobachtung der Erregungsarbeit, die von Rau bei Wasserstoff
und Heliumlinien genau gemessen, sonst nur in der Weise
beurteilt wurde, daß solchen Linien, die leicht im Lichtbogen
auftreten, die geringere Erregungsarbeit, den nur im Funken
erregten der größere Energiebedarf zuzuschreiben berechtigt
schien. Eine weitere Unterscheidung ist von Stark auf Grund
der größeren oder geringeren Dopplerverschiebung versucht.

Alle diese Methoden geben unzweifelhaft Anhaltspunkte
für die Entscheidung der Frage, ob eine Spektrallinie einem
geladenen oder einem ungeladenen Atom angehört, sichere
Schlüsse lassen sich aber aus ihnen nicht ziehen.

Die neue Methode, die wir jetzt kennen lernen wollen,
beruht auf der elektrischen Ablenkung von Atomen, die in den
Kanalstrahlen im höchsten Vakuum bewegt werden.

Wenn man Kanalstrahlen durch einen engen Spalt plötz-
lich in ein hohes Vakuum übertreten läßt, so fällt die Er-
neuerung der Lichterregung der bewegten Atome größtenteils

120

W. Wien, Eine Methode zur Unterscheidung etc.

fort und man beobachtet ein Abklingen der vorher einge-
tretenen Erregung.

Läßt man nun den Kanalstrahl, nachdem er den Spalt
verlassen hat und in das hohe Vakuum eingetreten ist, zwi-
schen die Platten eines kleinen Kondensators von 2 mm Länge
und 1 mm Abstand weitergehen, so werden bei Ladung des
Kondensators die ungeladenen Atome ihren Weg ungestört fort-
setzen, die geladenen dagegen abgelenkt werden.

Ist nun der Spalt, aus dem die Kanalstrahlen austreten,
fein genug, so kann man den leuchtenden, aus dem Spalt
tretenden Kanalstrahl durch die optischen Teile eines Spektro-
graphen abbilden und erhält auf der photographischen Platte
für jede Spektrallinie eine getrennte Abbildung des Kanal-
strahls. Diejenigen Linien, die von neutralen Atomen ausge-
sandt werden, werden durch das elektrische Feld des Konden-
sators nicht beeinflußt erscheinen, während die Funkenlinien
eine Ablenkung zeigen müssen.

Die Versuche wurden in der Weise durchgeführt, daß das
hohe Vakuum, in das der Kanalstrahl eintrat, durch den Be-
trieb von 13 Diffusionspumpen aufrecht erhalten wurde. Die
Kanalstrahlen wurden durch eine 60 plattige Influenzmaschine
von Leuner, das elektrische Feld des Kondensators mit Hilfe
zweier kleiner Hochspannungsdynamos in verschiedener Stärke
(250 bis 1000 Volt) erzeugt.

Es zeigte sich nun, daß die Serienlinien des Wasserstoffs
auch bei sehr starker Belichtung der photographischen Platte
und verschiedenen ablenkenden Feldstärken keine Spur einer
Ablenkung erkennen ließen. Sehr deutliche Ablenkung trat
aber bei den sogenannten Funkenlinien des Sauerstoffs ein, die
also ihren Namen mit Recht tragen.

Auch eine Reihe von Stickstofflinien zeigen Ablenkung,
ebenso die negativen Stickstoffbanden, denen H. Rau bereits
auf Grund seiner Beobachtungen der Dopplerverschiebung einen
elektrisch positiv geladenen Träger zugeschrieben hatte.

München, Physikal. Institut der Univ.

121

Die Vorarbeiten zu einem Handschriftenverzeichnis
der deutschen Sternforschung.

Von E. Zinner.

Vorgelegt von H. v. Seeliger in der Sitzung am 6. Mai 1922.

Die Geschichtsschreibung der deutschen Sternforschung
benützte bisher meistens gedruckte Quellen. Ein Zurückgehen
auf die Handschriften unterblieb fast immer, und so kam es,
daß die übliche Darstellung der Sternforschung des Mittelalters
ganz unzutreffend ist. Aber auch über spätere Jahrhunderte,
nämlich das 17. und 18. Jahrhundert, sind die geschichtlichen
Darstellungen nicht erschöpfend, weil viele der damals ent-
standenen Handschriften infolge der unglücklichen Zustände in
Deutschland nicht veröffentlicht wurden. Sind doch nicht ein-
mal Keplers Handschriften völlig erschöpft! Ist an eine Ver-
öffentlichung selbst der wichtigsten Handschriften nicht zu
denken, so erscheint es doch notwendig, ein Verzeichnis der
die deutsche Sternforschung betreffenden Handschriften herzu-
stellen, damit jeder auf diesem Gebiete Arbeitende sich über
seine Quellen leicht unterrichten kann. Das Verzeichnis müßte
umfassen die Handschriften der früher zum deutschen Kultur-
gebiet gehörigen Länder, nämlich Deutschland, Österreich,
Schweiz, Belgien und Niederlande; ferner die im dreißigjäh-
rigen Kriege nach Rom und Schweden entführten Handschriften,
sowie solche in den Bibliotheken zu Petersburg, Paris und
London, soweit ihr deutscher Ursprung feststeht. Zurzeit ist
es sehr schwer, einen Überblick über die in Betracht kom-
menden Handschriften zu erhalten. Die Sternwarten besitzen

Sitzungsb. d mat1i.-phys.Kl. Jalirg. 1922. 9

122

E. Zinner

aus der in Betracht kommenden Zeit, nämlich vor 1850, nur
einige Schriften, weil früher nicht viel Wert auf ihre Auf-
bewahrung gelegt wurde, so daß zum Beispiel die Berliner
Sternwarte die Beobachtungsbücher ihres Begründers nicht be-
sitzt. Ein anderer Grund ist darin zu erblicken, daß die deutsche
Sternforschung fortwährend ihren Sitz gewechselt hat. Er war
im 12. Jahrhundert in Regensburg, im 14. in Erfurt, im 15.
in Wien, Regensburg und Erfurt, im 16. in Leipzig, Kassel
und Nürnberg, im 17. in Danzig, Tübingen und Nürnberg, im
18. in Wien, Mannheim und Berlin, dagegen in Frankreich
vom 13. bis 19. Jahrhundert immer in Paris und in England
in Oxford. Daher sind uns diese Staaten in der Erhaltung
ihrer Handschriften überlegen. Kommt noch dazu, daß im
18. Jahrhundert viele Handschriften ins Ausland wanderten,
so erklärt sich damit die Schwierigkeit, einen Überblick über
das Vorhandene zu erhalten.

Schon die Erfassung der in Deutschland vorhandenen Hand-
schriften ist nicht leicht. Nur ein Teil der Handschriften ist
in gedruckten Verzeichnissen beschrieben, die anderen Hand-
schriften, besonders aber kleiner Bibliotheken, nur in hand-
schriftlichen Verzeichnissen. Um auch diese Handschriften zu
berücksichtigen, wurden aus Schwenckes Adreßbuch der deut-
schen Bibliotheken sämtliche Bibliotheken mit Handschriften-
besitz ausgeschrieben und an alle, deren Verzeichnisse nicht
in München vorhanden waren, eine Rundfrage nach astrono-
mischen und astrologischen Handschriften gerichtet. Im ganzen
wurde die Rundfrage an 258 Bibliotheken gestellt, von denen
57 nicht antworteten. Auf wiederholte Anfragen liefen noch
44 Antworten ein. Die meisten Antworten enthielten eine
Mitteilung über das Vorhandensein oder Fehlen solcher Hand-
schriften. Nur wenige konnten wegen Nichtordnung der Bib-
liothek keine entsprechende Antwort erteilen. Merkwürdig ist
der Bescheid der Bibliothek des Fürsten Waldburg: „In dieser
für den Adel immer noch bewegten Zeit dürfen derartige An-
fragen zurzeit nicht beantwortet werden.“

Wie weit sind die Angaben der Verzeichnisse und der

Die Vorarbeiten zu einem Handschriftenverzeichnis etc. 123

Antworten richtig? Diese Frage ist schwer zu beantworten.
Selten nur kommt es vor, daß die angeblich astronomische
Handschrift keine solche ist; so entpuppten sich einige astro-
nomische Tafeln als Inhaltsverzeichnisse. Dagegen läßt sich
behaupten, daß es viel mehr Handschriften gibt, als aus den
Verzeichnissen folgt. Eine eingehende Nachprüfung ergab, daß
die älteren Verzeichnisse, die nicht so ausführlich wie die Ber-
liner oder Bamberger sind, für jeden astronomischen Sammel-
band ein oder zwei Handschriften zu wenig angegeben. Bis-
weilen ist für einen Sammelband mit mehreren, deutlich ver-
schiedenen Arbeiten nur ein ganz allgemein gehaltener Titel
angegeben, so daß man sich nicht des Eindruckes erwehren
kann, daß vielen Bibliothekaren die Bestimmung astronomischer
Handschriften sehr unangenehm war. Daß dabei gerade auf
solche Gesichtspunkte, auf welche die Geschichtsschreibung be-
sonderen Wert legen muß, nämlich auf die Anmerkungen und
Berechnungen, nicht besonders geachtet wurde, nimmt nicht
Wunder. Ganz der Aufmerksamkeit scheinen sich solche Hand-
schriften zu entziehen, die Druckschriften beigebunden sind.
So fanden sich in einer sonst vorzüglich geordneten Bibliothek
mehrere Handschriften, die in gar keinem Verzeichnis standen.
Kommen solche Fehler schon in gut geführten Bibliotheken
vor, so ist dies bei den kleinen Bibliotheken noch viel mehr
anzunehmen. Besonders aber werden die Antworten auf die
Rundfrage zu Zweifeln Anlaß geben, da hier die Durchsicht
des Verzeichnisses dem betreffenden Beamten oblag, der oft
geneigt sein wird, auf Grund seiner Kenntnis das Vorhanden-
sein entsprechender Handschriften von vornherein zu verneinen.
Wie es in Österreich ging, so auch in Deutschland. Während
dort die eigene Durchsicht einer ganzen Reihe von Hand-
schriften auf Grund der Verzeichnisse zu Tage förderte, ge-
lang es, verschiedene in deutschen Bibliotheken vorhandene
und sogar durch Druck bekannte Handschriften aufzufinden,
trotzdem sie in der Antwort nicht aufgeführt waren. Eine
persönliche Durchsicht der Verzeichnisse der vielen kleinen
deutschen Bibliotheken hätte sicher noch viel mehr Hand-

124

E. Zinner

Schriften auffinden lassen. Immerhin konnten durch das Ent-
gegenkommen mehrerer Bibliotheken sämtliche dort befindlichen
astronomischen Handschriften zur Durchsicht erhalten werden.
Wenn es auch möglich ist, die astronomischen Sammelbände
der großen Bibliotheken allmählich durchzusehen, so wird sich
dies bei solchen Bibliotheken, die erklären, nichts derartiges
zu besitzen, nicht durchführen lassen. Anzunehmen ist nur,
daß solche Bibliotheken im Verhältnis zu den großen nicht
viele solche Handschriften besitzen.

Bevor auf die Zahl der bis jetzt festgestellten Handschriften
eingegangen werden soll, möge noch kurz der Umfang der
Nachforschung angegeben werden. Das beabsichtigte Ver-
zeichnis der Handschriften soll alle Handschriften aufführen,
die für den Lehrbetrieb des Mittelalters und der Neuzeit und
für die Entwickelung der Forschung wichtig sind; infolgedessen
können griechische und orientalische Handschriften, da für die
Allgemeinheit nicht verständlich, nicht berücksichtigt werden.
Mitgenommen wurden die Lehrbücher der Sternforschung, ferner
Tafelwerke und die Beschreibung der Werkzeuge, sowie Beob-
achtungen und Briefwechsel. Als Grenze wurde das Jahr 1850
für die Sternwarten angenommen, aber vereinzelte in Biblio-
theken vorhandene jüngere Handschriften auch verzeichnet.
Als Anwendungsgebiete der Sternforschung wurden, weil im
Mittelalter untrennbar mit ihr verbunden, die kirchliche Oster-
rechnung und die Sterndeutung, ferner die Herstellung von
Sonnenuhren mitgenommen. Um die für die Zeitrechnung
wichtigen Kalender möglichst vollständig zu erfassen, wurden
in den Staatsbibliotheken zu Wien und München mehrere
hundert Kalender vor dem Jahre 1500 durch gesehen; etwa ein
Fünftel davon war wichtig. Die Handschriften der Sterndeu-
tung, die ihren Höhepunkt um 1500 erreichte, wurden sämt-
lich berücksichtigt, da später ihre Zahl stark abnimmt. Als
nicht zur Sterndeutung gehörig schieden aus die Losbücher,
der Kreis des Pythagoras u. a. Erdmessung und Wetterkunde
wurden nur bis zum Jahre 1600 mitgenommen. Nicht berück-
sichtigt wurden einzelne Abhandlungen über Sternkunde, wie

Die Vorarbeiten zu einem Handschriften Verzeichnis etc. 125

sie oft in Vorlesungen über Mathematik oder Erdkunde Vor-
kommen, auch nicht die Etymologie des Isidors.

Werden diese Einschränkungen gemacht, so ergeben sich
bis jetzt 8544 Handschriften. Betrachtet man ihre Verteilung
über die Jahrhunderte, wobei die an der Wende eines Jahr-
hunderts entstandenen Handschriften zur Hälfte zu dem einen,
zur Hälfte zum anderen Jahrhundert gerechnet werden, so er-
geben sich für das Alter der Handschriften folgende Zahlen:
Dem 7. Jahrhundert gehören an 2, dem 8. 11, dem 9. 187,
dem 10. 98, dem 11. 139, dem 12. 149, dem 13. 263, dem
14. 1542, dem 15. 3795, dem 16. 1275, dem 17. 647, dem
18. 316 und dem 19. 120. Deutlich zeigt sich in der ersten
Zeit der Einfluß Karls des Großen, ferner das starke Anwachsen
um 1300 und die infolge der Drucktätigkeit um 1500 ein-
setzende starke Abnahme der Handschriften. Bei den Hand-
schriften wurden berücksichtigt die in Deutschland vorhan-
denen, ferner die in Österreich im Jahre 1920 von mir fest-
gestellten, sowie die in den großen Bibliotheken der Schweiz, Bel-
giens und der Niederlande befindlichen. Unter den 8544 Hand-
schriften sind viele mehrfache Abschriften derselben Arbeit. Die
Anzahl der einzelnen Arbeiten dürfte 3000 nicht übersteigen.

Die Feststellung des Verfassers und Titels ist das erste
Erfordernis für das Verzeichnis. Da die mittelalterlichen Ab-
schreiber oft keine Überschrift mitteilten, so ist die spätere
Bestimmung des Verfassers schwierig. Aber auch wo Ver-
fasser genannt sind, hat es sich herausgestellt, daß der Name
schon im Mittelalter falsch angegeben war. Fehlt der Name
des Verfassers, so ist es möglich, eine nicht benannte Hand-
schrift einem bestimmten Verfasser zuzuschreiben, wenn die
Anfangs- und Endworte, sowie der Inhalt bekannt sind. Da
diese Worte in vielen Verzeichnissen nicht angegeben sind, so
war häufig die persönliche Durchsicht der Handschrift nötig.
Auf diese Weise gelang es, die Zahl der Handschriften unbe-
kannter Verfasser herabzumindern und zugleich für bekannte
Arbeiten eine viel größere Zahl von Abschriften festzustellen,
als bisher angenommen wurde. So führte Herr R. Klug 12 Ab-

126

E. Zinner, Die Vorarbeiten etc.

Schriften der Kalender des Johann von Gmunden an, während
sich bis jetzt 91 nach weisen ließen. Ferner wies Herr Tannery
die Anwesenheit von 10 Abschriften des Quadranten des Robert
für das deutsche Kulturgebiet nach, während mindestens 25
vorhanden sind. Ferner weist Herr Grauert in seiner Schrift
über den Meister Johann von Toledo eine Reihe von Vorher-
sagen infolge der Zusammenkunft der Planeten für die Jahre
1179, 1226, 1229, 1329 u. a. nach. Diese Reihe läßt sich
nunmehr leicht ergänzen, da auch für die Jahre 1190, 1317,
1319, 1425 und 1432 ähnliche Vorhersagen vorliegen.

Häufig kommt es im Mittelalter vor, daß Arbeiten be-
kannter Verfasser durch Einfügen von Tafeln oder Erklärungen
für den Gebrauch bestimmter Schulen geeignet gemacht wurden,
wie es mit der Arbeit des Messehalah über das Astrolab durch
die Pariser Schule und der Arbeit des Walingford über das
Albion durch die Wiener Schule geschah. Diese Umwand-
lungstätigkeit ging so weit, daß die ursprüngliche Arbeit ihr
früheres Aussehen verlor und nur noch ihre Teile unter ver-
schiedenen Namen Vorkommen, wie es mit der Arbeit des
Robert über den Quadranten geschah. Auf die Feststellung
dieser Zusammenhänge wurde großer Wert gelegt. Wichtig
sind die zahlreichen Tafelwerke, die besonders deutlich die Tätig-
keit der Schulen und den Fortschritt der Wissenschaft anzeigen.
Die vorhandenen Tafeln reichen bis ins 12. Jahrhundert zurück,
so daß es möglich ist, von der Entwicklung dieses Zweiges der
Sternforschung bei den christlichen Völkern ein vollständiges
Bild zu geben.

Der Endzweck der Zusammenstellung ist die Herstellung
eines Verzeichnisses, das so genau als möglich die Handschriften
nach Verfasser und Inhalt bestimmt, dabei auch den Zusammen-
hang mit anderen gleichartigen Abhandlungen darlegt, also da-
mit den Grund zu einer quellenmäßigen Geschichte der deutschen
Sternforschung legt.

127

Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck.

Von Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Vorgelegt von S. Finsterwalder in der Sitzung am 6. Mai 1922.

M. Lagally hat den unter der Annahme der Gültigkeit
der Bernouillischen Gleichung berechneten Druck einer sta-
tionären Flüssigkeitsströmung auf eine geschlossene Fläche zu-
rückgeführt auf die in der Strömung vorhandenen Quellen und
Wirbel1). Bei der großen Bedeutung, die dieses Ergebnis be-
sitzt, ist es von Interesse, daß seine Formel in aller Kürze
auch ohne Dyadenrechnung unmittelbar aus geläufigen
Sätzen der gemeinen Vektoranalysis gewonnen werden kann.
Ausgangspunkt ist die Formel für den Druck

1) = — j pndf = UViidf.

o o

Hierin bedeutet df das Oberflächenelement, n den Einheits-
vektor in der Richtung der inneren Normale, q die Dichtigkeit.
Wir bedienen uns jetzt der bekannten Differentialformeln:

2) div (Fti) = F div v -f- (b V) F,

3) V v2 = 2 (b V) b + 2 b x curl b

und der Gaußschen Umwandlung eines Raumintegrals in ein
Oberflächenintegral

4) Jv-Fdr = - § Fndf,

n o

*) Über den Druck einer strömenden Flüssigkeit auf eine geschlossene
Fläche. Münchener Berichte 1921, S. 209 — 226.

128

H. Liebmann

die für Vektoren die Gestalt annimmt

5) j div b d t = — J* (b it) d f.

R u

(2) und (5) geben dann

| F div b d t = — J* (b V) F d x — j F(ti tt) df.
r r o

Diese Formel enthält nur skalare Elemente, nämlich div b,
(b it) und das Symbol (b V). Man kann daher für F auch
einen Vektor, z. B. b einsetzen und erhält

(5') J b div b d t = — J* (b V) b d t — J b (b n ) df.

R HO

Nach (3) ist aber

j1 (b V) b dz = — J* b x CU1^ b dx + \ J* V b2 d x

n R Ji

und nach (4)

J'vb^r = — J* b2n df.

r o

Durch Verwendung aller dieser Beziehungen erhält man1)

'1>0 = | J* b2 ndf = q jj* b (bit) df + J* b div b dx

o U R

^ ^ — J* b x curl b (2rj .

R

Wendet man diese Formel auf die Strömung im Innern
einer geschlossenen Fläche F an (inneres Problem) und be-
achtet, dah an der Oberfläche b auf rt senkrecht steht, also
(btt) gleich Null ist, so folgt

b Lagally, a. a. 0., S. 211 steht die entsprechende mit einer Dyade
behaftete Formel (3). Unseren Formeln (4) und (8) entsprechen bei
Lagally (4) und (9).

Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck.

129

R

R

womit der Druck auf singuläre Stellen zurückgeführt und seine
Unabhängigkeit von der Gestalt der Fläche erwiesen ist.

Um den Druck auf eine umströmte Fläche zu berechnen
(äußeres Problem), dient die Formel, die aus (6) folgt:

— q J D x curl b dx.
z

Hierin bedeutet Z den Zwischenraum zwischen F und einer
F umschließenden Kugel K,

K

den Innendruck auf die Kugelfläche.

Um ißi? zu berechnen, bedürfen wir also noch des Wertes von

J* v2 n df j b (t> n) df.

i

¥

K

K

Die Kugel K (Radius r) soll so groß gewählt werden,
daß die Singularitäten im Innern liegen, und die Geschwindig-
keit soll in der Umgebung von r_1 = 0, also im Unendlichen,
das Potential besitzen

cp = ax -J- Ax r~ 1 -f- A2 r~ 2 -f- • • • ,

dabei ist dann a die rein translatorische, zur z-Achse parallele
Geschwindigkeit im Unendlichen.

Um nun anzudeuten, daß wir für K eine Kugel mit un-
begrenzt wachsendem Radius nehmen, schreiben wir R für r.
In den Flächenintegralen sind dann Glieder von der Ordnung
R~3 zu vernachlässigen.

Führt man nun noch Polarkoordinaten ein, setzt also
x = R cos 0 , y = R sin ft cos 99 , z — R sin ft sin cp ,

130

H. Liebmann

so wird das Oberflächenelement der Kusel

Ö

df = R2 d cu = R2 sin ft d ft dcp ,

ferner

11 = — i cos ft — j sin ft cos 9 0 — k sin ft sin cp ,
b = ia — Ax R~2(i cos ft + j sin ft cos cp -j- k sin & sin 9 9),
v 2 = a2 — 2 aA1 cos ft -R-2,

(b n) = — a cos ft -\- Ax R~2,

also

— ^ v2 n -(- b (b n) = i ^ a? cos ft -f- a Ax R~ + • • •

Alle weiteren Glieder sind von der Ordnuns R~3 oder
fallen wegen des Faktors cos 99 bzw. sin cp bei der Integration
über die Kugelfläche fort.

Demnach bleibt nur

— \ j*i?*n df |" ü(\)n)df = aAx R~2 j R2 da) = 4naAx

K K

und daher

(8) = 47raAj-(-^Jb div b(Zr — 9 Jb x curl b dr ,

wobei nunmehr die Integrale über den ganzen Außenraum
zu erstrecken sind.

Ist insbesondere div D = curl b = 0 und außerdem Ax = 0,
also die Geschwindigkeit im Unendlichen von höherer als
der zweiten Ordnung translatorisch, so erhält man den
bekannten, aber, wie es scheint, zuerst von Lagally wirklich
bewiesenen Satz, daß der Flüssigkeitsdruck einer singularitäten-
freien translatorischen Strömung auf eine geschlossene Fläche
die Resultante Null ergibt, ein Moment kann noch übrig bleiben.
Ich darf hier mitteilen, daß der Beweis dieses Satzes von
F. Klein in einer Vorlesung als sehr wichtige Aufgabe be-
zeichnet worden ist.

Man kannte bisher wohl nur einzelne Beispiele, unter denen
die translatorische Umströmung der Kugel vom Radius c, be-
rechnet aus dem Geschwindigkeitspotential

Die Lagallyscke Formel für den Flüssigkeitsdruck.

131

cp = ax

also mit der Geschwindigkeit

— 3\

1 + 2 — ) — ^

acixr~'°

2

( ix+jy + **).

die auf der Kugel

D = i£-f-jy + ^t r-r = c2
tangentiale Richtung hat, das bekannteste ist.

In derselben Weise kann auch das Moment des Flüssig-
keitsdruckes berechnet werden. Mit r bezeichnen wir jetzt
die Strecken vom Bezugspunkt nach den Elementen der Fläche
bzw. der Flüssigkeit und erhalten dann zunächst

o

Wir formen nun um mit Hilfe einer zuerst von A. Föppl
aufgestellten, (4) und (5) an die Seite tretenden Beziehung

(10)

curl X> d t — — x> x n df ,

h

U

und erhalten

Beachtet man, daß in

curl v2r = v2 curl r V v2 x r
das erste Glied rechts gleich Null ist, so erhält man

(11)

K

132

H. Liebmann

Dieses Integral soll dann wieder aufgespalten werden in
Raumintegrale, die nur curl b und div b enthalten und ein
Flächenintegral. Diese Aufgabe läßt sich mit wenigen Schritten
durchführen.

Aus (3) folgt durch vektorielle Multiplikation mit r
IVv2 x x = (bV)bxr-f(bx curl b) x r
und der Formel (5') tritt an die Seite

j div b • r x b dx = — J (bV)(rxb)dr — f (r x b) (b n) df.

R RU

Durch Zusammensetzung erhält man dann, der Formel (6)
genau entsprechend :

2K„ = f? !J (r x b) (b n) df -j- J* (r x b) div b d x

o R

(12) „ .

— | (b x curl b) x r dr j .

R

Betrachten wir jetzt die Strömung i m I n n e r n einer Fläche F,
so ist wieder auf der Fläche (b n) gleich Null, so daß sich,
entsprechend (7) das Moment ergibt

(13) ■Dt/,' = o { j* (r x b) div b dr — j* (b x curl b)xrdi}.

Die Integrale sind über den Innenraum zu erstrecken, und
wieder erkennt man, daß nur die Gebiete, in denen Divergenz
und curl von Null verschieden sind, Beiträge liefern.

Um auch die umströmte Fläche zu behandeln, wobei
wir, wie oben die Geschwindigkeit „im Unendlichen translato-
risch“ nehmen, haben wir zunächst entsprechend der nach (7)
folgenden Formel

)D lF — — -DJa- + 9 ( J' (r x b) (b n) df (r x b) div b dz

' K Z

— j (b x curl b) x r c7rj #

z

Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck.

133

Als Bezugspunkt nehmen wir jetzt den Mittelpunkt der
Kugel K vom Radius R und lassen R unbegrenzt wachsen.

ist gleich Null, weil der Druck auf die Flächenelemente
der Kugel die Richtung nach dem Bezugspunkt hat. Es bleibt
dann noch das erste in der Klammer stehende Integral zu
untersuchen; dabei ist wieder b aus dem Geschwindigkeits-
potential

cp = a x + A1 r~ 1 + A2 r~ 2 + • • •

abzuleiten. Ax soll nach oben getroffener Festsetzung eine
Konstante sein.

Ferner ist, wie oben gezeigt, auf der Kugel
(b n) = — a cos & -j- Ax R~ 2 + • • • ,

X> — ia — A j R ~ 2 ( i cos # -f- j sin # cos <p
k sin ■& cos cp) + • • • ,

also wegen

r = R (i cos ■& -j- j sin $ cos cp -\- k sin d sin cp) ,

D x r = a R (k sin § cos cp — j sin & sin cp) -f- R~2 (• •)-(-•••

Bei der Integration über die Kugeloberfläche K , also bei
der Bildung von

j (r x b) (bit) df

K

kommt es nun wesentlich darauf an, ob auch A2 eine Kon-
stante (und nicht eine homogene Funktion nullter Ordnung
von x, y, z) ist. Während im zweiten Fall der Wert des
Integrals wesentlich abhängt von der Gestalt dieser Funktion,
wird im ersten Fall das Integral bei unbeschränkt wachsen-
dem R zu Null.

Wir haben also das weitere Ergebnis:

Unter der Voraussetzung, daß das Geschwindig-
keitspotential in der Umgebung von | = 0 sich in
der Form darstellen läßt

134

II. Liebmann, Die Lagallsche Formel etc.

cp = a X -}- + J -1 ,

wobei A1 und A2 Konstanten sind, gilt:

(14) ‘Oft*- = o ( J (r x b) div b dr — J(tx curl b) x r dr).

Dabei sind die Integrale über den gesamten Aufäenraum
der Fläche zu erstrecken. Diese Formel tritt (8) an die Seite
und ist frei von A} .

135

Über den Konvergenzexponenten der Fourierschen
Reihen gewisser Funktionenklassen.

Von Otto Szäsz in Frankfurt a. M.

Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 6. Mai 1922.

Einleitung.

Bezüglich der absoluten Konvergenz einer trigonometri-
schen Reihe

(1) (ßj cos x + &, sin x ) -}- (a2 cos 2 x -}- b2 sin 2 x) -j- • • •

kann man nach Sätzen von Denjoy (C. R. 155, 1912, II, S. 135
bis 136), Lusin (C. R. 155, S. 580 — 582) und Fatou1) zwei
Fälle unterscheiden: die Reihe (1) ist entweder überall absolut
konvergent, oder sie ist es höchstens in einer Punktmenge vom
Maße Null, je nachdem die unendliche Reihe

£ Val + bl = £ | av — i bv = £ cv | ,

(2) V=1 V=1 v=l

Cy dy t1)y) V -i 1, 2, 3, ...

konvergiert oder divergiert.

Wenn also die Reihe (1) in einer Punktmenge von posi-
tivem Maß absolut konvergieren soll, so muß die Reihe (2)
konvergieren, und (1) ist dann offenbar die Fouriersche Reihe
einer durchweg stetigen Funktion2). Es ist daher von Interesse,

*) Man vgl. insbesondere P. Fatou, Sur la eonvergence absolue
des series trigonometriques, Bulletin de la societe mathematique de
France 41, 1913, S. 47-53. «,

2) Es ist dann sogar die Potenzreihe 2 cvz" für \z\^=Ll absolut

V — 1

und gleichmäßig konvergent, und die Reihe (1) stimmt offenbar überein
mit dem Realteil dieser Potenzreihe für z — e%x~

136

0. Szäsz

Bedingungen für die stetige, nach 2 n periodische Funktion f(x )
anzugeben, unter denen die zur Fourierschen Entwicklung

d 00

f (x) ~ 77 -}- X iflv cos v x -j- by sin v x )

gehörige Reihe (2) konvergiert. Den allgemeinsten hierher
gehörigen Satz hat Herr S. Bernstein1) aufgestellt:

Satz I. Wenn die Funktion f (x) einer Lipschitzschen
Bedingung vom Grade a > ^ genügt, so ist ihre Fouriersche
Reihe absolut konvergent (sc. überall); dagegen gibt es zu
jeder Zahl ß Funktionen, die einer Lipschitzschen Be-
dingung vom Grade ß genügen und deren Fouriersche Reihe
nicht absolut konvergiert2).

S. Bernstein gibt hierfür keinen Beweis an, sondern be-
merkt nur, daß sich derselbe auf folgende Tatsache stützt, die
er dann herleitet:

Das Maximum von

-J— <?2 “H ' * * ^«5 *'=1)2 , n, n = Primzahl

für die Gesamtheit aller trigonometrischen Polynome wter Ordnung

n

Tn (#) = XI £?»■ C0S 0' X a>) f Qy ^ 0 ,

v= 1

die der Bedingung

I Tn (x) | 1 für 0 < x < 2 n

genügen, hat die Größenordnung Vn.

Von den Untersuchungen S. Bernsteins ausgehend ge-
lange ich im folgenden zu einem einfachen Beweis und einer
Verschärfung des Satzes I, indem ich eine allgemeinere Frage-
stellung behandle. Ich sage: eine Klasse (K) stetiger Funk-
tionen besitzt den Konvergenzexponenten y, wenn einer-
seits für die Fouriersche Reihe irgend einer Funktion aus ( K )
und für jedes y. > y die Reihe

’) Man vgl. S. Bernstein, Sur la convergence absolue des series
trigonometriques. Comptes rendus 158 (I, 1914), S. 1661 — 63.

2) Gemeint ist offenbar: nicht für jedes x.

Über den Konvergenzexponenten etc.

137

S («? + &v)2 = £ ! Cy \x, (cy = av — i br)

V — 1 V = 1

konvergiert, während es andererseits zu jedem x < y eine Funk-
tion in der Klasse ( K ) gibt, so daß die zugehörige Reihe c,, *
divergiert. Herr T. Carlemann hat gezeigt, daß die Klasse
aller stetigen Funktionen den Konvergenzexponenten y = 2
besitzt, wobei natürlich y 2 längst bekannt ist. Etwas schär-
fere Resultate erhielt ich in meiner Arbeit: Über Potenzreihen,
die im Einheitskreise beschränkte Funktionen darstellen1). Wird
die Klasse ( K ) aus den stetigen Funktionen f{x) gebildet, die
einer Lipschitzschen Bedingung vom Grade a genügen, d. h. gibt
es zu jedem f(x) eine von x unabhängige Größe A, so daß

(3) \f(x) — f(u)\<^Xx — u j°

für alle x und u, so ist y eine Funktion von a, die offenbar
mit wachsendem a monoton abnimmt, und der Satz I ist gleich-
bedeutend mit den Ungleichungen:

y (a) < 1 für a > | und y (a) > 1 für a < \ .

Im folgenden wird für 0<a<l y (a) genau bestimmt;
es ergibt sich :

Y(a) = 2«2+I’ 0<a^1’

mit der Verschärfung, daß eine nur von a abhängige Potenz-
0°

reihe '^yy^v angegeben wird, die im abgeschlossenen Einheits-
o

kreise eine der Lipschitzschen Bedingung vom Grade a ge-
nügende Funktion Cr(V) darstellt, wobei '±j.yv\x für jedes

X<2^+1 diver«iert-

Schließlich ersetze ich die Bedingung (3) durch eine weit
allgemeinere, während der Konvergenzexponent derselbe bleibt
(vgl. Satz III).

') Math. Zeitschr. 8, 1920, S. 222 — 236. Daselbst Literaturnachweis.

Sitzungsb. d. niatb.-phys. Kl Jabrg. 1922.

10

138

0. Szasz

§ I. Beweis der Relation y (a) <

= 2a+ 1

Hilfssatz 1. Es sei 0 < a < 1 ; die stetige Funktion
(F) f(x) ~ ^ -(- a, cos x -j- bl sin x -j- a2 cos 2 x + b2 sin 2 x -f-

u

genüge der Bedingung

(8') x-u?

für alle x und u; ferner sei

(4)

s0 = sn = ~ -f XI («v cosvx -F by sin vx\ n = 1, 2, 3, . .

V = 1

/ s S0 + S1 + • ‘ + S»-l 1 O Q

o„ (x) = — , n = 1, 2, 3, . . .

Dann ist

XC

(5) on(x) — , 0 <,x <2 71, n = 1,2,3,...,

Yl

wobei C nur von a abliängt (nicht von f, X und x).

Aus der bekannten Formel

2

(L)a»(x)-f(x)= ÜS^\\ax+2t)+f(x-2t)~2f(x)-\dt

n Ti j \ sin t J

o

und aus (3') folgt nämlich sofort

71

t \ tt \ ^2a+1A r /sinnA2 ,

«.(*)-/•(*) { sm t ) rdt,

0

und hieraus wegen

sin £ > — £ für 0 < t < —

71 Li

On(x) — f(x) <

2a+1 X 7i- r sin 2 nt

fl TT

Jsin“ n t
t

dt.

weiter

Über den Konvergenzexponenten etc.

139

Setzt man hier

r 2 — C

nt = r, also dt = —dz, t2~u = — — ,
’ n ’ n2~a

so wird

, . .. 2a~l7iA C sin2r 2ajr/l fsimr 7

on(x ) — /(a;) < r- s — ör< — dz,

w /WI w J»“-1!2-“ »“ J r2-° ’

0 0

womit der Hilfssatz 1 bewiesen ist1).

Hilfssatz 2. Für nicht negative dv, dv und für p~> 1

gilt die Ungleichung:

«j / ”2 \ i / "2 \ . _ 1 2)

(6) SflU £ dJfW £ <U p .

v = nj \v = nj J \v=zn\ J

Insbesondere für dv = 1 (v = w, -f- 1, . . . w2) wird

(7) £ d,, < w p f £ d,pV , n = n2 — w, + 1 .

V = «! \v = t»1 /

Die Ungleichung 7 (a) ^

ergibt sich nun folgen der-

2a + 1

maßen : es ist offenbar nach (F) und (4)

| M 1 CD

f(?) — On(x) — £ v (a,, cos vx -\-bv sin rx)-\- £ (a,. cos v x

n v= 1 v=n

-f- sin v#),

und hiernach

2 Tr

1 f K (*) — f OO? da: = ~ £ v2 (a* + bl) + £ « + bl) .

Tl J n v— 1 v = n

Hieraus und aus (5) folgt nun sofort
(8) £ (al + bl) = £ \ev 2 < , n = 1, 2, 3, . .

v=n v — n — « “

') Man vgl. S. Bernstein, Sur l’ordre de la meilleure approxima-
tion des fonctions continues. Acad. Roy. de Belgique, Classe des Sciences.
Memoires, II. Serie, t. 1Y. Bruxelles 1912, S. 1 — 104; insb. S. 88—89.

2) Man vgl. z. B. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inega-
lites entre les valeurs moyennes, Acta math. 30, S. 175 — 193; insb. S. 181.

10*

li t^s

140

0. Szäsz

Aber die Anwendung der Ungleichung (7) für p = — ,
0 < y. 2 liefert

S ^*<2 ^ 2] |c„ 2)2, /* = 1,2,3,...,

v=l+2/‘ V = l-f2/* /

und mit Rücksicht auf (8) ergibt sich nun

y.

2f, + ' „#.(i-£Y2 *>C7" 2*7.* C*

V1 c * <r 2 v 2 / <"

,.=i+2/< ’ 2“a* 2/<la*+ äx— 1J'

Hieraus ergibt sich unmittelbar die Konvergenz der Reihe
I Cr | * für

(a-f-^)x — 1>0, d. h. y. >

2a+ T

Damit ist die Ungleichung 7 (a) ^

2a + 1

bewiesen.

§ 2. Beweis der Relation y (a)

s Primza

Q = + 1 oder — 1 , je

2a + 1*

Hilfssatz 3. Es sei q eine Primzahl = 1 mod. 4, und

das Legendresche Symbol

nachdem v für den Modul q quadratischer Rest ist oder nicht;
00<ff]. Ferner sei

2

q3i 2

(2

= v = 1,2,... 2-1

und

i«_, + <41,* + • • • + + a?V + <4V+' + • ■ •

2q — 2

+ = S C?V =

» = 0

Dann ist

gq{*) £ 1 für \z\ <1, und
29-2 1

s awi = * •

1=0 p g

Über den Konvergenzexponenten etc.

141

Für den Beweis verweise ich auf die S. 136 und S. 137
zitierten Arbeiten.

Hilfssatz 4. Es sei P(^) ein Polynom wteD Grades, das
der Ungleichung

(9) |P(*)|^1 für |*|^1
genügt: e sei eine positive Zahl 1. Dann ist

\P(e) — P(0|<-2»'|* — C|£ für |*|^1, |t <H.

Zum Beweise bemerke ich zunächst, daß aus (9)

(10) \P‘(P)\<n für \e\ 1

folgt1). Ferner ist nach einem auf Darboux2) zurückgehenden
Mittelwertsatz

P(*)-P(0==e(*-gP'(f-|-0Ge>-C)), o^0<i, lel^i-

Hieraus und aus (10) folgt

|P(*) — P(f)|^n £ — £ für |*| <1, |£|<;i,

also auch

(11) | P(z) — P(£) £ ne \z — C|S e > 0 .

Nun ist mit Rücksicht auf (9) für 0 < e 1

|p(^)-p(0l=|p(^)-p(c)hp(^)-p(0i1-e^2i-^|p(^)-p(0h,

und aus (11) folgt weiter

| P{z) — P(C) <L2ne\z — C |®, 0<£<1. Qu. e. d.

Es sei jetzt

1 < 2i < ?2 < < • • •

eine wachsende Folge von Primzahlen, die den Bedingungen
genügen :

(12) qv-i = 1 (mod. 4), qv>(q1 -\- q2-\ t-fr-i), v = 2,3,4, •••

(12') X) joo, — konvergiere.

0 Man vgl. etwa meine Arbeit: Ungleichungen für die Koeffizienten
einer Potenzreihe, Math. Zeitschr. 1, 1918, S. 163 — 183; insb. S. 181.

2) Man vgl. z. B. Enzykl. d. math. Wiss., Bd. II, Teil I, S. 68.

142

0. Szäsz

Ich setze zur Abkürzung

»o == 9\ ?2 " " " "4” 9V ' 9lv (**') Gv C4) i ^ == 1 > 3, . . . ,

dann ist die unendliche Reihe

gl (*) . *2«,-! g»(*) , 2n;-1 0) .

8?/>i «/*. ilßs +

(13)

^9 , . Gy (S)

= ^^,-,-> + 1-^1,

V = I

wobei ßl ß2 <. ß3 < • • • positive Zahlen sind, für \s\ < 1
gleichmäßig konvergent. Es ist nämlich

z2nv_i-r+l — z2nr_x-y+\ _ j J (z)

Qyßy Tyßy

ein Polynom vom Grade 2 wv_i — r -j- 1 + 2 gy — 2 = 2nv — v — 1,
und nach Hilfssatz 3 ist

I U.(*) g-y, ,|£1. » = 1,2,3

"*V * V

® 1

wobei — — wegen (12') für jedes a > 0 konvergiert.

Die Reihe (13) ist, wenn man die Uv (s) ausführlich an-
schreibt und nicht voneinander trennt, eine Potenzreihe, die
für ^'<1 konvergiert und für s .'< 1 eine stetige Funk-
tion G(z) darstellt:

oo /nr(3i> /O (?i> /Tf(?ü

G{Z) = £ y,*- = + ... _f_^L-i<s2?1-2

”=o rxßx nßi rxßx

rt(ld

4- — — — fß * H

Nun ist

g(*)-g(c) = £[^)-^(0], k ici^i,

v = 1

und aus Hilfssatz 4 folgt mit Rücksicht auf Ungl. (12)

(ü) U,(Z)-U,(C) IS2k-Ci*(^-<|p=^, »=1,2,3,...

Über den Konvergenzexponenten etc.

143

1

Da nun für a > e die Reihe £

v = i QT

genügt die Funktion G (z) für jedes e < a einer Lipschitzschen
Bedingung vom Grade e im Kreise \z\<\. Ist außerdem
*> 1

£ -j- eine konvergente Reihe, so genügt G(z) sogar einer

v = 1 ßv

Lipschitzschen Bedingung vom Grade a. Hier darf auch a = 1
sein. Andererseits ist für x > 0 nach Hilfssatz 3

’ß

r y

konvergiert, so

,«=2»v_l— V+l Hy lJy

= qa,+\t, ßx [1 + 2* + 3* H h (2v — 1)*] = Sy

und

1y-

J(ö — 4“1

X* dx = v * 1 — , x>0.

o

Also ist

(n _ 1^ + 1 1 £-*(« + */ 2)+l

^ a* i«+*V ß* ^ 2*+l ’ ß* ’ ’ 1 ’•••’

ly r y I y

setzt man nun

ßv = logg*, v = 1, 2, 3, . . .,

so genügt mit Rücksicht auf die Bedingung (12') die Funk-
tion G(z) einer Lipschitzschen Bedingung vom Grade a im
Kreise \z 1 , während andererseits für

1 — x(a-j-40>O, d. h. x <.

2a + 1

lim Sv = -f- oo

2

wird, also die Reihe £ | yv * für jedes x < divergiert.

v — i 2 a -f- 1

Es ist also

7 (a) > e) 2r J , 0 < a < 1 . Qu. e. d.

— 2 a 1

144

0. Szäsz

Da aber im § 1 gezeigt wurde, daß y (a) £

so hat man das Resultat

2 a + 1

ist,

(14)

y(°0 =

2a + 1’

0 < a < 1 .

Olfen bleibt dabei die Frage, wie sich die Reihe S ]cv|2a+'

V — 1

verhält. Ich zeige, daß im Falle a > \ diese Reihe auch noch

2

divergieren kann. Jetzt wird nämlich für x —

2a + 1

<1

Sy > 1

t[ß

2

2a + 1

v = 1, 2, 3 . .

Nun setze ich

ßv = „l|,<2« + l)f v = 1, 2, 3, ...,

co 1

offenbar ist jetzt S tt konvergent, also genügt G (z) einer

V — 1 (>V

Lipschitzschen Bedingung vom Grade a; dagegen ist

1

Sv>

4 v ’

also S l2a+1 divergiert. Hierbei ist 0<a<l.

V =1

Zusammenfassend gilt der Satz II:
Wenn die Funktion

CL ^

m ~ -f- S («v cos v x -f- bv sin v x )

2 V = 1

einer Lipschitzschen Bedingung vom Grade a genügt:
(3") f(x ) — f(u) | <; J £ — w|a, wobei 0<a<l,

oo oo g

so ist die Reihe S 1 av — ibr\* = S| cv |x für jedes y. > — — —

konvergent; dagegen gibt es eine Funktion /’(#), so daß

00

sogar die zugehörige Potenzreihe Xj(av — ib,)zr = G(z)

v = 0

der Lipschitzschen Bedingung

Über den Konvergenzexponenten etc. 145

|6?(*)— 0(0 \<Xz — i:\“, z< 1, 0<a^l

o

genügt und die Reihe Z \ cv\* für jedes x <

2a + 1

divergiert. Ist a > ^, so kann schon die Reihe S | cv|2a+1

divergieren. '_1

00

Ob z. B. für a = \ die Reihe S '' cv\ divergieren kann,
ist eine offene Frage.

V = 1

also

§ 3. Zusätze.

1. Die Formel (14) gilt auch für a = 1, denn es ist offenbar
7 (1) <! y (a) für 0 < a < 1 ,

y( 1)^1-

Andererseits folgt aus Satz II

y( D^l;

also ist

7(1) = 1-

2. Satz II läßt sich verschärfen durch Untersuchung der
Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe

S vz | cv \ * = Sv1 (a y -j- by)'z , 0<>i<2, r > 0 .

V = 1 v=z 1

Man setze in Ungleichung (6)

^ T [ p Ix O

= = p = ~> l;

„2 — x

dann erhält man
"2

/ «2 \- / "2

( £ kl*)* ( £ **-) 2

vv = «i z v = m '

2 r v 2 — >

/ '*2 \ _ / '*2 —

£ V1 I C„ |* <

r = rij V =

(\ « / 2 r \ 2 — «

S kl’)5 ( £

"1

2t n 2-

146

0. Szäsz

Nun ist für £ > 0

V 4 I «+1

" " c c 1

Xj v~ < I x" dx = xß dx = — — [(w + 1)? + * — 1] ,

>•=1 y = \ J J {? "T 1

also

£ vs < (n + !)<?+! ;

V — I

hieraus und aus der Formel (8) folgt für

= 2“, n2 = 2“+1 — 1 , fi = 1, 2, 3, . . .
die Ungleichung

r", 1 x 2“*- 2'*«“
also schließlich :

x*C'-

E vT |x < — r , /* = 1, 2, 3, . . .

v = 2 fl 2MVaX+ 2-r_1)

Hieraus folgt unmittelbar die Konvergenz der Reihe

U | cr |* = XI v (a‘ -j- 6,')2 ,

V=1 V=1

falls

r>0, 0 < x < 2 ,

ist. Dies heißt

0<r<y.2“±^-l, 0 < >c < 2 ;

offenbar muß dabei

y- > 2a _|_ i > d. h. y.>y ( a ) sein.

3. Eine weitere Verschärfung des Satzes II besteht darin,
daß die Bedingung (3") durch die erheblich allgemeinere

Über den Konvergenzexponenten etc.

147

2.1

(15) §[fix-\-2t) + fix-2t)-2fix)Ydx<%Xn*« für £ > 0
o

ersetzt wird.

Es kommt ersichtlich nur darauf an, zu zeigen, daß auch
unter dieser Voraussetzung die Beziehung (8) gilt, die ihrer-
seits aus der Ungleichung

2 71

(16) - [lou(x)-f{x)ydx<^~, » = 1,2,3,...

71 kJ
0

(C eine Konstante, die nur von a abhängt) folgt.

Um nun diese Ungleichung zu beweisen, setze ich nach
Formel (L)

2

.. ... 1 r /sinwA,-“ /sinwA,+ “

On (x) — fix) = • T 2 — — - + 2 lf(x +20

v 7 nnj \smt ) \ sin t )

0

4 -fix — 2 t) — 2 f (#)] dt,
und wende hierauf die bekannte Ungleichung

b b b

^ op ix) xp ix) d ^ <pix)2 dx • J yix)2 dx, b>a

a a a

an. Dann wird

nun ist

+ fix — 2 t) — 2 fix)Y dt-,

0<a<l, n = 1,2,3,...

148

0. Szäsz

Also wird

+ f{x — 2 1) — 2f{x)Y dx^ dt ,
und mit Rücksicht auf die Bedingung (15) wird

71

2 71 2

1 fr / \ . 8A2 r /sinnA2+°

,J (ist) *-<«•

0 0

Ferner ist

0 0
fjtV f (sin t)2+“ • n2~a . [ P (?r

(2) J *<8»—[»+j^

<

<16

1 — a '

Daher wird schließlich

2 n

^<,;-128f-^, n = 1,2,8,...,

0

womit die Ungleichung (16) bewiesen ist gesetzt^ .

Es ist bemerkenswert, daß die Bedingung (15) sich durch
die Fouriersche Reihe von f(x) leicht ausdrücken läßt. Es
ist nämlich

fix + 2 1) 4- f ix — 2 1) — 2 fix) ~ — 2 S (1 — cos 2 v t) iav cos vx

v = 1

also

-f- bv sin vx), 1 — cos 2vt = 2 sin2 vt,

1 r <*>

~\ [fix -{-2t) + fix — 2t)— 2fix)]2dx = 16 S(a‘ + &')sin4v^.

V = 1

Über den Konvergenzexponenten etc.

149

Wir haben somit den, auch direkt beweisbaren, Satz ge-
wonnen: Satz III.

Ist für ein positives a < 1

(o,1: -f- bl) sin4 vt P t2a für £>0,

v=l

l eine Konstante,

so ist die Reihe ( a‘ -j- ft“)2 für v. > - — - konvergent.

»■ = l <Za-\- \

Ich beweise, daß es andererseits Funktionen f(x ) gibt,

für die sogar

(ö* -j- b‘) sin2 vt P t2a, ty 0

v = 1

CO 1

gilt, während {fll + &*)2“+1 divergiert; dabei ist a eine

V = 1

Zahl des Intervalles 0 < a <i 1 .

Setzt man nämlich für die in § 2 definierte Funktion G{z )
wiederum ^ + „ = 1, 2, 3, . . .,

00 *

so ist, wie schon gezeigt wurde, U (a; -p 6,:)2“+1 divergent.

V = 1

Andererseits ist G(z) eine für \z]<l stetige Funktion und
da in den Polynomen Uv ( z ) keine gemeinsame Potenz von z
vorkommt, wird

Nun ist

2 71

~ f +

2i 71 iJ

0

G(eix)\2 dx

2 71

d- S f £/,(<:"■ 1 -'"l — UJe“) -dx.

2n’=‘i

2.-T

— f fj (yveiy(*+2« — yreirx)\2dx = £ }'v|2 1— *

Lj 71 tJ 1 v = ]

2ir/ 12

4 £ | j2 sin2 t ,

r— I

150

0. Szäsz, Über den Konvergenzexponenten etc.

und aus der Ungleichung (U) folgt für £ = a

82 1 P2it \2c

Ur(e**+ 2<)) — üv(eix) 2 < — J—4-JL

y ‘•a “t“ 1

also

2 .1

~ £ f | Ur(ei(?c+2t)) — U,.(eu) 2 dx < 82 4" sin 2at- £ ■<»* , .
Z jr ,. = i J — v = i v£a+l

Somit wird

£ |y, 2sin2W^82<2“-£ Qu. e. d.

V = 1

= 1

Schlußbemerkung.

Aus unserem Resultat folgt insbesondere:

Genügt die Funktion f(x) für ein a > | der Bedingung (15),
so ist sie durchweg stetig.

Es wäre von Interesse, hierfür einen direkten Beweis
zu geben.

«

151

Bemerkungen zu einem Satze über die Riemannsche

£- Funktion.

Yon Hans Hamburger (Berlin).

Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 6. Mai 1922.

An anderer Stelle1) wurde der Satz bewiesen: Es sei f(s)
gleich einer ganzen Funktion von endlichem Geschlecht dividiert
durch ein Polynom; wenn außerdem

1. f (s) für 9t(s)> 1 durch eine absolut konvergente Dirich-

% a

letsche Reihe vom Typus kJ '[ ,

n= 1 W

2. die Funktion

(1)

g{\ — = s

m

für 3t (s) < — a (a > 0) durch eine absolut konvergente Reihe

00 bn

vom Typus kJ - dargestellt wird, so ist f (s) = konst. ’Q (s).

n = 1 W

(Verlangt man statt 2. die schärfere Bedingung

9‘

<?(!-,) = f(l-s) = E

« = 1 W

1— s’

so besagt 2'. nichts anders, als daß f(s) der Riemannschen
Funktionalgleichung genügen möge.)

J) H. Hamburger, Über die Riemannsche Funktionalgleichung der
^-Funktion (erste Mitteilung). Math. Zeitsclir. 10, S. 240 — 254 (1921).
Im folgenden kurz mit I zitiert.

152

H. Hamburger

Einen neuen außerordentlich kurzen und eleganten Beweis
dieses Satzes hat kürzlich Herr Siegel1) angegeben; wenn trotz-
dem in der folgenden Note noch einmal auf den ursprünglichen
Beweis des Satzes (1. c., Fußnote x), S. 151) eingegangen wird,
so besteht die Absicht, zu zeigen, daß auch dieser Beweis rasch
zum Ziele führt, wenn man darauf verzichtet, die dort ange-
gebenen Hilfssätze 1 und 2 (vgl. I, S. 242 — 245) zu benutzen.
Diese Hilfssätze sind damals teils wegen ihres selbständigen
Interesses herangezogen worden, teils um einen neuen Beweis
dafür herzuleiten, daß die Funktion £ (s) der Riemannschen
Funktionalgleichung genügt (I, S. 253 — 254).

Dem Beweis schicken wir zwei einfache Integralformeln voraus.
Hilfssatz 1: Es ist2)

x~sds

2 ni J r ( 1 —

-t—*1 v^r)

Beweis: Wie man leicht einsieht, ist das Integral linker
Hand nach dem Cauchyschen Integralsatz gleich der Summe
der Residuen der Funktion

l) C. Siegel, Bemerkung zu einem Satz von Hamburger über die
Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. Math. Ann. 86
(1922), S. 276—279. Vgl. auch ebenda 85 (1922), S. 129—140 eine Note
des Verfassers „Über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung
der Riemannschen f-Funktion äquivalent sind“, die bereits den Haupt-
gedanken des Siegelschen Beweises enthält. Beide Noten sind völlig
unabhängig voneinander entstanden.

2j Ähnliche Integrale betrachtet Herr E. Landau in seiner Arbeit:
Zur analytischen Zahlentheorie der definiten quadratischen Formen (Über
die Gitterpunkte in einem mehrdimensionalen Ellipsoid). Sitzgsb. d.
Kgl. Preufi. Akad. d. Wiss. Bl (1915), S. 458-476. Vgl. insbesondere
S. 468—469. — Die Formel des Hilfssatzes ist nichts anderes als die
Integralumkehrung der Formel (9) des Hilfssatzes 3 aus I, S. 246—247.

Bemerkungen zu einem Satze etc.

153

in der Halbebene 9t (s) < — f ; mithin ist

— J — CO t

_L r =

2 J

»

JL f; (_ = A. (cos 2 a; — 1).

j (2 n) !

W. z. b. w.

Hilfssatz 2:1) Es ist für ß > 0 und positive y
1 f 2/s r7 n _ } 0 für y > 1

2jtI J (s — 1) (s — 2) s ~ \ y — y- für y < 1.

— S — 00 I

Beweis: Diese Formel ist mit Hilfe des Cauchyschen
Integralsatzes unmittelbar zu verifizieren.

Beweis des Hauptsatzes: Man setze, indem man (1)
benutzt (vgl. I, S. 248, Formel (17))

r

(2) G(s) =

(H

(5-2) (s — 1)

Aus der Relation

9 (1 ~ *) = ni S /q f(s )•

r

lim |r(l,+ i<) = V2*

< = oo — — t .

e 2 i « » — *

folgt nach geeigneter Wahl positiver Konstanten T, C, C‘ für

9t(s) = *, 1*1^

(3)

kl

;s-‘)

! r

/3-S\

V 2 J

< C t 6?(s)<C'

Andererseits findet man für 9t (s) = — ß, (ß>n), da
wegen der Voraussetzung 2. die Funktion </(l — s) auf der
Geraden o = — ß beschränkt bleibt

(4) G{s) CC" t\'\

l) Vgl. E. Landau, 1. c., Fußnote 3), S. 467.

Sitzungsb. d. matb.-phys. Kl. Jalirg. 1922.

11

154

H. Hamburger

Endlich ist nach Voraussetzung/1^) und damit auch G(s)
im Streifen — ß < 9t (s) bis auf endlich viele Pole regulär;
folglich ergibt sich aus einem oft angewandten funktionen-
theoretischen Hilfssatze von Phragmen-Lindelöf1) — der ge-
stattet, von der Größenordnung einer analytischen Funktion
auf dem Rande eines Bereiches auf ihre Größenordnung im
Innern zu schließen — wegen (3) und (4) die Existenz zweier
positiver Konstanten T‘ und C'", derart, daß in dem ganzen
Bereiche — ß < 3t ($) <i f , \ t > T'

(5) 't\~* ist.

Bezeichnet x eine positive Zahl, so bilde man das Integral

I + ® • - ß - oo i

(6) J{x) = ^ J* G(s)x~s+-ds — J (r(s)z~s+2eZs^;

^ — oo « — ß -f- ce %

dann läßt sich wegen (5) J ( x ) als ein Integral über den Rand
des Streifens — ß < 94 (s) < auffassen, und es ergibt sich nach
dem Cauchyschen Integralsatz

(7) J(x) = R(x),

unter R(x ) die Summe der Residuen von G(s) an den endlich
vielen Polen im Innern des Streifens verstanden ; mithin ist

(8)

m

R(x) = S a;_s» +2Pv(loga;),

v = l

wenn s,, s2, . . ., sy) . . ., sm die Pole von G(s) im betrach-
teten Streifen, Plt . . ., Pv, . . ., P,n Polynome in log x be-
zeichnen.

Setzt man, indem man für G{s ) Formel (2) benutzt (vgl. I,
S. 249, Formel (19))

f + <*> i

(f{x) = ~^-. I G{s)x~sJ<'- ds
2,711 J

^ —oo i

V 71
2 7i i

riti)

f{s)(7ix)~s+2 ds,

H E. Phragmen und E. Lindelöf, Sur une extension d'un principe
classique de Panalyse, Acta Math. 31 (1008), S. 381 — 406, insb. S. 385.

Bemerkungen zu einem Satze etc.

155

so ergibt sich, wenn man für f(s) die Dirichletsclie Reihe aus
Voraussetzung 1. einsetzt und wegen der absoluten Konvergenz
an

von — für 3t (s) = f, die Reihenfolge von Summation und

n = 1 W

Integration vertauscht

<P

H-®* r( S- i \

, V y On r \2 /

{x) 2ninti n2 J r ^3 - sj

(ti m)-s+2 ds

5 — 00

-1 + ®

/ rß)

V n ^ a„ r \2j

= - — t S —2 I — j. : (jinx)~säs

2m n = in2 J 1 — s\v

y \ 2 J

(9)

a

= 2 XI (cos 2yr«a: — 1) (nach Hilfssatz 1).

* = i n-

Substituiert man andererseits in das Integral

— ß + coi

1

y i

£i Jl l

— ß — 30 »

— £+»•

— p ~r ^ *

1 f 4 Jl2 /1 N . O 7

— : I 7 vröHl — S)x~s + 2ds

711 J (s — 2)(s — l)yv ’

— ß — oo i

für <jr(l — s) die Dirichletsche Reihe aus Voraussetzung 2. und
integriert dann gliedweise, so folgt aus Hilfssatz 2

— ß + 00 I

,,(*) = -4 J £=

(i)'

- ß —

(s_2) (* — 1)

(Zs

(10)

= 4 TZ2 XI &n (x — n)

» = 1

Wegen (6) und (7) ist

9 o (x) — y (x) = Ii (x) .

(m - \- 1 <^x <m).

(11)

11

156

H. Hamburger, Bemerkungen zu einem Satze etc.

cp ( x ) ist aber, wie aus (9) hervorgeht, eine periodische
Funktion mit der Periode 1. Mithin ergibt sich aus (11) und (10)

(12) Rix -\- 1) — R(x) = ip(x) — ip {x -j- 1)

= 4 Ti 2 ( x — m ) + Xj b,^j (für m < x <. m + 1)-

Formel (8) läßt erkennen, daß R (x + 1) — R ( x ) für x > 0
einen stetigen Differentialquotienten erster Ordnung hat; damit
dasselbe nun aber auch für die rechte Seite von (12) gilt, ist
notwendig, daß alle Koeffizienten gleich einer festen Kon-
stanten b sind. Mithin ist

g(l — s) = (1 — s).

Setzt man diesen Wert für $(1 — s) in die Formel (1)
ein, so folgt aus der Riemannschen Funktionalgleichung auch

m = bt(ß).

W. z. b. w.

157

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

Von Georg Faber.

Vorgelegt in der Sitzung am 17. Juni 1922.

Yor einiger Zeit habe ich mich, ohne meine damaligen
Ergebnisse zu veröffentlichen, mit der Darstellbarkeit analy-
tischer Funktionen durch Reihen beschäftigt, die nach den
Näherungsnennern

1) Q, (x) = a? + o? l^-1 + • ■ • a(0y) (v = 0, 1, 2, . . .);

(Koeffizient von xv in Qv(x) gleich 1)

des Kettenbruchs

2) W*)a 0;

— 1

fortschreiten. Inzwischen hat Herr Szegö die gleiche Frage
gelöst und als Haupt- und Endergebnis mehrerer umfangreicher
Abhandlungen folgenden Satz (mit gewissen einschränkenden
Voraussetzungen über die nie negative Funktion p (#)) bewiesen
(Math. Ann. 82 (1921), S. 193):

Jede auf der Strecke — 1, -j- 1 reguläre analytische
Funktion F{cc ) läßt sich in eine Reihe

3) F (x) = £> av Q,. (x)

o

entwickeln; diese konvergiert innerhalb der Ellipse
mit den Brennpunkten — 1, 4-1, die keinen singulären
Punkt von F{x) in ihrem Innern, wohl aber mindestens

158

G. Faber

einen auf ihrem Rande hat. Außerhalb dieser Ellipse
divergiert die Reihe (3). Die Koeffizienten av ergeben
sich in Anbetracht der Orthogonalitätsbeziehungen
+ 1

4) J* Qu (x) Qy(x)p(x) dx = 0 für ju ^ v
- i

durch die Formeln

+ i

5) av = J F (x) Qy (*) Pfädx, wo

-l

+ i

6) kf. = j Qy ( x ) p(x)dx.

— i

Falls die Summe der Halbachsen der obigen El-
lipse — R ist (ich nenne sie künftig die Ellipse R), gilt

7) lim V | avkv =4-

V —+ GO -tl

Da sich neuerdings die Mathematiker in erhöhtem Maße
mit der Darstellung analytischer Funktionen durch polyno-
mische Reihen beschäftigt haben, interessiert es vielleicht, wenn
ich im folgenden meinen überaus einfachen Beweis des obigen
Satzes mitteile und dann im Zusammenhang damit auf einige
Fragen eingehe, die in anderer Richtung liegen, als die son-
stigen bemerkenswerten Ergebnisse, die Herr Szegö auf seinem
Wege gefunden hat.

§ I. Beweis des Hauptsatzes.

Ich mache vorerst die den Beweis ein wenig vereinfachende
und hinterher leicht zu beseitigende Voraussetzung, daß p(x)
oberhalb einer endlichen Grenze g > 0 bleibt:

8) p(x)>g>0 ( — l<x^l).

Mit g, g‘, g“, G, G\ . . . bezeichne ich stets endliche
positive Konstante, mit ey, ey, et, ... positive Zahlen, die mit
1 / v gegen Null konvergieren, endlich mit gv , gl, gl, Gv, G'v, . . .

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

159

positive Zahlen, deren positive vtc Wurzeln mit unendlich wach-
sendem v gegen 1 konvergieren. Ferner sei

9) Py{pc) = arccos cos x = xv -f- • • • ,
es ist also

10)

11)

Pv (cos 0 ) = _1 cos V 9 .

u y

2v(v\)2

Ly (x) = xr + • • • sei das mit .y

multiplizierte Le gen dresche Polynom vter Ordnung.

Dann ist

-fl H* i

hl = J p(x)Ql(x)dx> g J Ql(x) dx > g J Ll{x)dx

12)

2

2v + l L (2 v)\ J

+ 1 + 1 ^
13) k;< j p{x)Pl(x)dx<^^ jp(x)dx<

G

'l V '

— 1

- 1

Aus (12), (13) folgt

14)

lim I hl — i .

Ferner ist
+ i

+ 1 +1 „

15) J Ql ipc) dx<~§p{x) Ql(x) dx < ~^~v (s. (13))

9

-i - 1

Um so mehr ist

X

16) J Ql(x)dx < falls — 1 < x < + 1,

— l

und daher

160

G. Faber

17) Qi&X^h1)

18) ^ lg Qv(x) | < G\ + ev.

Nun beachte man: wenn £ = £ + *)/ gesetzt wird und
]/ x- — 1 durch die Bedingung

1 9) lim ]/#2 — 1 : x = + 1

X-¥ CC

in der Umgebung des Punktes oo eindeutig gemacht wird, so
ist das logarithmische Potential

0 Ist nämlich ein Polynom vten Grades co (x) in irgend einem Inter-
vall J : b — a, b + a der Länge 2 a dem Betrage nach < G, so ist in J-
co“ (x) < 4 fl G v2. Durch die Substitutionen f = (x — b) : 2 a = cos ft möge
co(x) in +£) und cp (ft) übergehen; dann kann man cp (ft) = 1/2b0 -J- bt cos ft

bv cos v ft setzen , wo | b

71

=1.:/

cp (ftj cos pcftdft

<2 G ist.

Da co' (x) = — 2 a cp1 (ft) : sin ft ist, ergibt sich

sin u ft

>' (x) | < 2 a I b

.ft

<C.laGv2, w. z. b. w.

Im Hinblick auf Späteres möge hier noch der Beweis des folgenden
Satzes angefügt werden :

ln dem vergrößerten Intervall J‘\ b — fl(l+s), b + a (1 + «), wo
e 0 , ist | w {x) | < 2 G (1 + 3 V e)v (v -f- 1). Ich beweise etwas allge-
meiner: Die Funktion j^(|)| ist auf der Ellipse mit den Brennpunkten
+ 1,-1, die durch die Punkte + (1 + s) hindurchgeht, < 2 G (I + 3 V «f
(v -j- 1). Auf dieser Ellipse, deren Halbachsensumme — R sein möge, ist
nämlich cos /< arc cos £ | = i | (£ + Pf2 — lK' + (I — V+2 — lK* | ^ \ (R/l
+ R~ fl) <Z R*1. Nun ist offenbar R < 1 + 3 Vs, also | y (£) in J‘ kleiner

V

als 2 G (1+3 V~'f < 2 G (v + 1) (I + 3 V + .
o

Die in dieser Fußnote abgeleiteten Abschätzungen können leicht
durch viel genauere ersetzt werden; vgl. den Satz III auf S. 170 und ins-
besondere die in der Fußnote daselbst angeführte Abhandlung des Herrn
S. Bernstein; vgl. a. M. Riesz, acta math., Bd. 40 (1916), S. 337;
M. Fekete, Journal f. d. reine u. angewandte Math., Bd. 146 (1916), S. 88.

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

161

20)

*(f» n) = lg

+ Va

u

konstant = lg

auf jeder Ellipse R > 1 ; und dies gilt auch noch für die zur
Strecke — 1, -j- 1 ausgeartete Ellipse R = 1 .

Die logarithmischen Potentiale

21)

Wy (£, t]) = lg I Qv (£ + i v) ~u (£> v)

sind für jedes v in der längs der Strecke — 1 , +1 aufge-
schnittenen Ebene E‘ eindeutig und regulär (weil ja die Null-
stellen aller Polynome Qv(x ) auf dieser Strecke liegen); im
Unendlichen nehmen sie alle den Wert

22)

IV y (x) — 0

an. Nach (18), (20) ist der Maximalwert, den wv (£, tf) auf der
Strecke — 1 , 1 annimmt, < s,,; um so mehr ist überall in E‘:

23) wv (£, j i)<ev.

Aus (22), (23) schließt man leicht

24)
oder

25)

lim wv (£, rj) — 0 für alle Punkte £, r] in E\

lim

V -+ CO

^ lg I Qr(z)

= lg

x + y x2 — i
2

Um (24) zu beweisen, denke man sich das Gebiet E‘ auf
das Kreisgebiet r < 1 ( r Abstand vom Nullpunkte) konform
abgebildet der Art, daß dem Punkte x — oo der Punkt r = 0
entspricht. Jedem Punkte mit den Polarkoordinaten r, cp in
diesem Kreisgebiet ordne man den nämlichen Potentialwert
wv (r, cp) = wv($, r/)1) zu, der zu dem entsprechenden Punkte
x = ^ irj in E‘ gehörte. Die Funktion ivt (ip) sei mit der
Randfunktion Wy(l,ip) (0<ip<2ji) identisch da, wo diese

ü Wegen der numerischen Übereinstimmung in entsprechenden
Punkten sei es erlaubt, zwei verschiedene Funktionen mit dem näm-
lichen Buchstaben wv zu bezeichnen, wie es ja in Physik und Mechanik
üblich ist.

162

G. Faber

0 ist, sonst sei wt (xp) — 0; die ganz entsprechend ge-
bildete nirgends positive Funktion ivf (vO kann dann als durch
die Identität

26) wt (*p) -f- wv (xp) = wx (1, xp )

erklärt angesehen werden; daß wf (xp) für gewisse Werte xp gleich
— oo wird, ist für das folgende nicht störend. Nach (23) ist

2 n

27) wt {xp) < £y und also 0 < J* wt (y>) d xp < 2 n e,. .

o

Da ferner wv (r, xp) für r = 0 wegen (22) = 0 ist, hat man

2 7t

28) ^ J (wt {xp) + w~ (xp)) dxp = 0,

o

also wegen (27):

2 71

29) 0 P> ^ J* wf ( xp)dxp> — Ey .

o

Für irgend einen Punkt r, cp des Kreisgebietes r < 1 ist
nach dem Poissonschen Integralsatze

2 71

30) wv(r, <p) = 2^ J

1 f (wt (y>) + wv (xp)) (1 — r2)

r dyj

>

1 — r2 1

o

2.i

2 r cos (xp — 9?) -f- r2

(1 + rf 2

L J M d v + (T^p L J w’ M i'f

271

2 71

> ' — ~ f wf (vO dxp > — Ey j r (nach (29)).

1 — T Z 71 J 1 — T

0

Dagegen ist wegen (23):

31) Wy(r,(p)<Ev.

Aus (30), (31) ergibt sich

lim ivv(r, xp) = lim wr(£, rf) = 0, w. z. b. w.

V— ► 00 V — ► 00

32)

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

163

Aus (20) und (25) folgt nun weiter

33) lim VQÄzj = f

für alle Punkte der Ellipse R.

Daher konvergiert, wenn

34) lim V av | = ^ (< 2)

ist (was wegen (14) mit (7) gleichbedeutend ist) die Reihe

35) £* * v av Qv (x)

o

gleichmäßig in jedem Gebiet, das ganz innerhalb der Ellipse R
liegt, während außerhalb dieser Ellipse Divergenz stattfindet.

Umgekehrt sei eine analytische Funktion F{pc ) vorgelegt,
die im Innern der Ellipse R (> 1) regulär und eindeutig sei,
auf dieser aber mindestens eine singuläre Stelle besitze; und
es soll gezeigt werden, daß F{x) durch eine im Innern der
Ellipse R konvergente Reihe der Form (35) dargestellt werden
kann, und zwar mit eindeutig bestimmten Koeffizienten

+ 1

36) av = -p J* F{x) Qv(x)p(x)dx.

— i

Zum Beweise gehe man davon aus, daß bekanntlich F{pc)
im Innern der Ellipse R durch eine Reihe

37) F(X) = f> by Pv (x)

o

dargestellt werden kann (vgl. (9), (10)) mit

38) Ür^ | 1=^1) (_R>1).

0 Aus der Darstellung (38) folgt nebenbei noch folgendes: Ist -F” (a:)

eine im Intervall — 1, + 1 gegebene Funktion und 77v (#) des Polynoms

vten Grades, für das das Maximum der Differenz F (x) — 17 v (x) mög-
lichst klein (= #*) ausfällt, so ist lim &v dann und nur dann = ~ < 1,

V— ► 00 -Zt

G. Faber

164

Bildet man für diese Funktion (37) die Koeffizienten av (36),
so erhält man

+ i

1 oo n

39) «« = jT, £>• b> J (®) Q.u (*) p{x)dx ,

— 1

40) a,( < (2 + £U)2.“ S-

(2 + eyy G1 * * *
R' 2V ■ 2

+ i

ü J pW

dx

<

(1)'

41)

• Gl , also
2

lim V | | p

R’

Die mit diesen Koeffizienten gebildete Reihe (35) konver-
giert somit im Innern der Ellipse R; es ist leicht zu zeigen, daß
sie auch die gegebene Funktion F (x) darstellt, woraus dann
ohne weiteres folgt, daß in (41) das Zeichen =, nicht <C gilt.
Jedenfalls stellt die Reihe (35) eine im Innern der Ellipse R
reguläre analytische Funktion <P(x) dar, die also in eine Reihe

42) (P (x) = S> R> Py (x)

o

entwickelbar ist, wo für n — 0, 1, 2, . .

,2n — 2

+ 1

43)

Rn =

S " a „ f Q.u (x) P„ (x)

n J

- 1

. 2n — 2

+ 1 + 1 j

<*> °° 1 p p (IX

S" 2> Pr(z)Q,,(x)p(z)dx J Q.u{x)Pn(x)

(vgl. (39)).

wenn F(x) innerhalb der Ellipse R regulär ist, auf dieser aber min-
destens eine singuläre Stelle besitzt. Dagegen gilt nur lim vk &y = 0

V — ► 00

für jedes k 0, falls F(x) auf der Strecke — 1, + 1 überall unendlich oft

» 1

differenzierbar ist. Wenn also z. B. x = cos F(x ) — y]» cos B #

l B™v

gesetzt wird, wo Bt ganzzahlig, j : Bv ganzzahlig >• 1, lim wiy = oo,

V — ► CO

lim (mr \gBJ : By = 0, so ist F(x) an jeder Stelle der Strecke — 1, -f- 1

V— ► 00

unbeschränkt differenzierbar, an keiner regulär analytisch.

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

165

Daß die hier rechts stehende Doppelreihe absolut kon-
vergiert, ist ohne weiteres ersichtlich (vgl. (17)).

Der zu führende Beweis der Identität <P(x) = F(x) wird
erbracht sein, wenn gezeigt ist, daß aus (43)

44) Bn = bn

folgt. Nun sind aber offenbar in den Darstellungen

V

45) P,.(x) = X-ß^Q^x),

0

46) Q„ (x) = XI" «»" ’ P„ ix)

0

die Koeffizienten

+ i

47) ffp — ^ j Pr {x) Qu (x) p(x) dx,

l

ao\ i \ 22n~2 p1 dx

«» = j Qf< (*) P « («) pjTy^Tj

—i

eindeutig bestimmt; durch Einsetzen von (46) in (45) ergeben
sich daher die Identitäten:

49) aiv) ß[v) = 1 , £> a2° ^ = 0 , falls v>n.

n

Mit Benutzung von (47), (48) läßt sich (43) so schreiben:

50) Bn = b (bv

n \ n J

es ist also wegen (49)

51) Bn = bn (n = 0, 1, 2, . . .), w. z. b. w.

Daß die so bewiesene Darstellung der gegebenen Funk-
tion F(x) durch eine auf der Strecke — 1, +1 gleichmäßig
konvergente Reihe der Form (35) nur auf eine Weise, näm-
lich mit den Koeffizienten (36) möglich ist, leuchtet unmittel-
bar ein, denn aus

166

G. Faber

52) F (x) ■■= f> a‘v Q„ (x)

o

folgt durch gliedweise Integration nach Multiplikation mit p(x):
+ i

53) a'r = rr- 1 F(x ) Qy(x) p{x) dx = ar.

rCy V
— 1

Dagegen würde es zweifellos, genau wie bei den Fourier-
schen Reihen, eines weiteren Ausholens bedürfen, wenn man
beweisen wollte, daß überhaupt keine zweite Darstellung (52)
der Funktion F(x) möglich wäre, auch keine ungleichmäßig
konvergente oder in einzelnen Punkten versagende; von vorn-
herein ist klar, daß eine solche zweite Darstellung jedenfalls
für keinen Punkt außerhalb der Strecke — 1 , -j- 1 konver-
gieren könnte.

§ 2. Ergänzungen. Abschätzung von Polynomen.

Die bisherige Voraussetzung p{cc) > g möge nun durch
folgende ersetzt werden:

Außerhalb einer endlichen Anzahl m von Intervallen der
Gesamtlänge er sei

54) p (x) > g,.

v

(lim £y = 0 , lim V gv = 1 ; es würde übrigens keine Erschwe-

V — ► QC V— ► OC

rung des Beweises bedeuten, wenn man m durch mv mit
lim mv = oo ersetzen wollte).

V — ► 00

Bei dem folgenden Beweise dürfen und wollen wir der
Einfachheit halber m = 1 voraussetzen; iy sei dann das Inter-
vall der Länge e,., Jv der Rest der Strecke — 1, +1. Für
Jy gibt es ein Tschebyscheffsches Polynom vter Ordnung

55) Ty (#) = xr -p • • • ,

dessen Maximalbetrag in Jr möglichst klein — d\, ist. Jv kann
aus einem oder aus zwei Intervallen bestehen. Im ersteren
Falle ist

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

167

56) € = 2 (-re-y.

Es ergibt sich dies sofort daraus, daß die Strecke Jr durch
die Substitution von const. -(- x : (2 — ev) an Stelle von x aus
der Strecke — 1, +1 entsteht, und daß für die zur Strecke
— 1, +1 gehörigen Tschebyscheffschen Funktionen (9)
= 2-v+1 ist. Besteht aber Jv aus 2 Strecken — 1, a und b,
-f-l, wo b — a = so ist

57) ^<2
aber natürlich <2~v + 1.

Um (57) zu beweisen, ersetze man jede Nullstelle £ des
Polynoms Tv ( x ), die > b ist, durch £ — ey und eine etwa im
Intervall a, b gelegene Nullstelle durch a. Dadurch geht Tv{x)
in ein Polynom Tv (x) — xv + • • • über, dessen Maximalwert

auf der Strecke — 1, 2 — ev einerseits nach (56) > 2

ist, während er andererseits offenbar kleiner als der Maximal-
wert von \ Ty(x')\ in Jr ist. Aus (56), (57) folgt, gleichviel,
aus wie viel Strecken Jv besteht,

58) = P =4

Mit Lv(x) bezeichne ich das Polynom ),ten Grades

59) Lv (x) = xv -f- • • • ,
für das

60) j* Ly(x) clx

möglichst klein ausfällt; dieser Minimalwert sei xl. Indem
man zum Vergleich die Polynome (11) heranzieht, beweist man

1 — e‘v

61)

genau wie (58).

168

G. Faber

Die Polynome Qy (x) und die Konstanten k,. sollen die
gleiche Bedeutung haben wie in § 1, nur mit Voraussetzung (54)
statt (8). Dann tritt an Stelle von (12) folgende Ungleichung

62) ky > j p (x) Q; (x)dx > gv J L‘ (x)dx > (wegen (6 1 )).

Jv Jv

Da die Ungleichung (13) neben (62) ohne weiteres auch
jetzt gilt, ist das Weiterbestehen von

i

14) lim | k',. \ = ^

»'—►OO

auch unter der Voraussetzung (54) bewiesen.

Die Ungleichung (15) überträgt sich ohne weiteres nur
in der Form

63) jQ:(x)ix<~

Jy

und hieraus folgt (wie (17) aus (15)):

so ie;(*)i<~

für alle x in Jv. Daß dann aber ganz von selber (64) auch
für alle x der Strecke — 1, -f- 1 gilt, ergibt sich sofort aus
dem zweiten der beiden in der Fußnote S. 160 bewiesenen Sätze.
Nachdem aber einmal das Fortbestehen der Beziehungen (14),
(17) auch unter der erweiterten Voraussetzung (54) festge-
stellt ist, verläuft der Rest des Beweises wörtlich wie in § 1.

Ganz anders werden die Verhältnisse, wenn wir nunmehr
voraussetzen, daß p (#) auf einer Anzahl m von Teilstrecken ix ,
i2, ... im des Intervalls — 1, +1 identisch Null ist. J sei
der Rest dieses Intervalls nach Abzug der Strecken i2, ... im;
J besteht also aus einer Anzahl Strecken Jx, J2, . . . </*, wo
k m — 1 und < m -p 1 ist; in J möge p ( x ) der Bedingung (8)
oder (54) genügen. Ich schicke einige Hilfssätze voraus, die
zum Teil auch abgesehen von ihrer Anwendung auf die vor-
liegende Aufgabe mitteilenswert erscheinen und die ich daher

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

169

gleich etwas allgemeiner fasse, als für den augenblicklichen
Zweck nötig wäre.

In der x = £ ir\- Ebene sei ein p fach zusammenhän-
gendes, den Punkt oo enthaltendes Gebiet G gegeben; jeder
der Ränder Ci , C2, . . . Cp von G darf aus einer einfachen
Jordan-Kurve oder auch aus einem geradlinigen oder krumm-
linigen Schlitze bestehen. Mit r bezeichne ich den aus Clf
C 2 , ... Cp bestehenden Gesamtrand von G, mit z = £k -j- irj'
irgend einen Punkt von F.

u (£, rj) sei das logarithmische Potential einer einfachen
Belegung

65) u(£, rj) — \ \g\z*±x\fi{z)\dz\,

r

das durch folgende Bedingungen eindeutig bestimmt ist:

66) lim (u(£,rj) — lg x ) = 0,

67) u (£, rj)

nimmt einen und den nämlichen konstanten Wert lg o in allen
Punkten des Gesamtrandes r an. Mit F„ bezeichne ich die Kurve

68) u{£,rj) = Igo (>lgo);
re ist also so viel wie F

Es gibt eine untere Grenze t, der Art, daß für o > r
keine Kurve Fa einen Doppelpunkt hat; nur im Falle p = 1
ist r = Q.

qn(x) sei irgend ein Polynom nten Grades der Form

69) qn (x) = xn + • • •

I. Satz: Das Maximum von q„(x) auf F„ ist ^ o".
Das logarithmische Potential

7°) -^lg|ff»(*)| — u(£,r))

verschwindet im Unendlichen (wegen (66), (69)). Es nimmt
also in dem unendlichen von Fa begrenzten abgeschlossenen
Gebiete seinen Maximalwert auf F„ an , und dieser ist nicht

Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl Jahrg. 1922.

12

170

G. Faber

negativ. D. h. aber das Maximum von lg q„ ( x ) auf r„

Yb

ist lg o. Das Zeichen = kann liier offenbar nur dann gelten,
wenn das Potential (70) identisch Null ist.

II. Satz: Es gibt Polynome q„(x ) der Form (69), deren
Betrag auf r„<(ö + £«)n ist mit lim en = 0; und zwar

fl — ► oo

gilt dies gleichmäßig für alle o > o', falls nur o' > q ist.

Denn (ein hinreichend großes n von vornherein voraus-
gesetzt) kann man in einem beliebig vorgeschriebenen Teil-
gebiete G‘ von 6r die rechte Seite von (65) mit beliebiger An-
näherung durch eine Summe

m

71) — lg Zi — x ]

7 i n

ersetzen, wo die Punkte auf r und /<,• positive ganze Zahlen
sind, deren Summe = n ist. Das Polynom

m

72) //• (x — Zi)fl

i

hat dann die verlangte Eigenschaft.

III. Satz:1) Ist auf irgend einer Kurve r„ (einschließ-
lich des Grenzfalles re = r) der Betrag irgend eines
Polynoms wtcn Grades k„ (x) kleiner als L , so ist auf
einer Kurve wo a> > o ist,

73) ln(x) < L (!)".

Das logarithmische Potential

74) lg | («) | —

Yb

besitzt nämlich auf Fw einen jedenfalls nicht größeren Maximal-
wert als auf r„.

0 In dem besonderen Fall, wo r aus einer Strecke besteht, schon
von S. Bernstein bewiesen: Mem. publies par l’Acad. des Sciences de
Belgique 1912.

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

171

Diesem Satze kann der folgende gegenüber gestellt werden:

IV. Satz: Hat das Polynom kn (x) im Außengebiet
von r„ und auf r„ keine Nullstellen und ist auf Fa

75) \kn(x)\>l,
so ist auf rw, falls co>o:

76) lin(x) >1

Das Minimum des Potentials (74) ist nämlich auf rm nicht
kleiner als auf r„ .

Ferner gilt der folgende

V. Satz: Sind qn (x) = xn -}- • • • {n — 0, 1, 2, . . .) Poly-
nome mit dem Koeffizienten 1 der höchsten Potenz,
und liegt keine Nullstelle dieser Polynome im Außen-
gebiet von r„ (o > o), ist ferner (was nach Satz II mög-
lich ist), für einen Wert o‘ > o

77) lim /Maximum von qn(x) == o',

V auf ra. )

so konvergiert die Folge

78) V «!(.*)

wo die wten Wurzeln durch die Bedingung

79) lim x ]/ -4t = 1

x-+cc Y qn (•£)

eindeutig definiert sind, gleichmäßig im Außen ge-
biete Cr;, von r>_, falls nur l > a, gegen eine reguläre
analytische für x = co , aber sonst nirgends in Gib. ver-
schwindende Funktion F (x) und es ist in Gr;.

80) — lg|F(a:) = u (£, rf) .

Insbesondere hat also die Beziehung (77) die viel
bestimmtere

12

172

G. Faber

81) lim Y | qn ( x ) | = A1)

n — ► x

gleichmäßig für alle x auf T* und alle ^ > o zur Folge.

Jedenfalls kann man nach einem bekannten Montelschen
Satze aus der Folge (78) eine Teilfolge auswählen, die in Gc\
gleichmäßig gegen eine reguläre für x — oo aber nirgends
sonst verschwindende Funktion fix) konvergiert. Auf r„- ist

82) Maximum von f(x ) -1 = a‘.

Im Außengebiet von Fn- ist also das Potential

83) — lg f{pc) j u i£, rj)

das auf der Randkurve ra ■ seinen Maximalwert Null erreicht
<0 und identisch Null, wenn es in einem inneren Punkte
dieses Außengebietes verschwindet, was tatsächlich für x — oo
stattfindet. Die Funktion f{x) hat somit alle von F (x) be-
haupteten Eigenschaften, und es braucht nur noch gezeigt zu
werden, daß die Folge (78) selbst, nicht nur eine aus ihr her-
ausgehobene Teilfolge konvergiert. Wäre das nicht der Fall,
so konnte man aus (78) eine zweite Teilfolge herausheben, die
gegen eine andere Funktion als fix), etwa cp (x) in (x;. kon-
vergiert; dann würde aber wieder

84) ~ lg I? 0*0| =u(£,rj), also cp (x) \ = f(x)

folgen ; nach dieser Gleichung könnte sich cp ( x ) nur durch
einen konstanten Faktor vom Betrage 1 von fix) unterschei-
den; da aber lim (99(2) :fix)) = 1 ist, hat die Annahme, 9 7 ix)

X —¥■ CO

sei nicht mit fix) identisch, auf einen Widerspruch geführt.
Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz der Folge (78) in G\ ist
selbstverständlich, da jede in einem Gebiete G>. konvergente

b Falls die Randkurve /’aus der Strecke — 1, -j- 1 besteht, ist die
Behauptung (81) offenbar mit (33) identisch. Doch ist das dort benutzte
einfache Beweisverfahren nur anwendbar, wenn das Außengebiet der
Kurve rg einfach zusammenhängend ist. Durch das oben Bewiesene wird
zugleich eine Vermutung bestätigt, die ich in einer früheren Arbeit
(Math. Ann. 64 (1907), S. 121, Gl. (20)) ausgesprochen habe.

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 173

Folge beschränkter analytischer Funktionen in G>. gleichmäßig
konvergiert.

Wir nehmen nun an, die Kurve r (= re) bestehe aus den
doppelt zählenden, S. 168 eingeführten Strecken Jlf J2, . . . Jk;
das Außengebiet von r ist also ein sog. Schlitzbereich.

85) Tv (x) =xv -\

sei das zu J = -J- Ji -{- • • • Jk gehörige Tsch ebyscheff-

sche Polynom vter Ordnung; sein Maximalwert auf J sei gl,
dann folgt aus den Sätzen I, II sofort, daß

86) lim gv — g

V— ► co

ist. Es ist einleuchtend, daß die sämtlichen Nullstellen der
Polynome Ty(x ) auf der Strecke — 1, -f- 1 liegen, auch ist
leicht einzusehen, daß in jedem der Intervalle £, , i2, ... im,
die mit </,, Jt, ... Jk zusammen die Strecke — 1 , -j- 1 aus-
füllen, höchstens eine Nullstelle von Tv{x ) liegt1). Lägen näm-
lich beispielsweise in ik zwei Nullstellen x1 und xu > x1 von
Tv ( x ) und würde man dann £ > 0 so klein wählen, daß auch
die Punkte x‘ — e und x“ -f- e in ik liegen, so würde die Er-
setzung der beiden Faktoren ( x — x1), ( x — x“) in Tv(cc ) durch
( x — ( x‘ — £)), ( x — ( x “ -J- e)) bewirken, daß das so aus Tv(x )
hervorgehende Polynom an jeder Stelle in J, die keine Null-
stelle von Tv(x ) ist, einen dem Betrage nach kleineren Wert
annimmt als Ty (x), was im Widerspruch steht mit der Defi-
nition des Tschebyscheffschen Polynoms Tv (x).

Wir zerlegen Tv{x ) in zwei Faktoren:

87) Tv(x) = tv-ß(x) Tß(x) = (xv-(> ) (xß H ),

deren zweiter gerade an den in den Intervallen i, , i2, ... im
gelegenen Nullstellen von Tv(x) verschwindet; sind solche nicht
vorhanden, so ist tß{x) = 1. Jedenfalls also ist der Grad ß
von Xß höchstens gleich m.

Es kommen nur solche Intervalle it in Frage, die ganz im Innern
der Strecke — 1, + 1 liegen; denn es ist von vornherein klar, daß in
einem Intervall i/, das einen der Punkte + 1 zum einen Endpunkt hat,
keine Nullstelle von Ty ( x ) liegen kann.

174

G. Faber

88) Lr (x) — xv -f- • • •
habe die Eigenschaft, daß

89) j* L;{x)ilx

j

möglichst klein ausfällt; dieser Minimalwert ist g‘yQyy’, denn
einerseits ist er < j* T‘ (x) dx < o,Tv mal der Summe der Längen

j

der Intervalle Jx, J2, ... <7*. Andererseits aber würde die An-
nahme, (89) sei für unendlich viele v kleiner als ( gy a)2v, mit
a < 1 durch den Schluß, der von (15) zu (17) führte, ergeben,
daß für jene v

90) Ly (x) <Gv(apy)v in J

wäre, was wieder einen Widerspruch mit der Definition der
Tscheby sch eff sehen Polynome bedeutet.

Jetzt aber ist alles so weit geklärt, daß man die Gleichungen

91) lim Vh'\ = Q,

V — ► OO

92) Qy ( x ) < Gy qv in J

genau wie zuvor die Gleichungen (14), (64) beweisen kann.

Nun besitzt Qv{pc) genau wie Ty(x) in jedem der Inter-
valle ij, i2, ... im höchstens eine Nullstelle, so daß eine (87)
ganz entsprechende Zerlegung

93) Qx, (z) = qr-y (z) ( x )

möglich ist. Aus (92) folgt dann nach Satz V an Stelle von
(81) zunächst nur

i

94) lim qv-ß{x) V~P — 7.

V— ► X

gleichmäßig auf (7;., während die allgemeinere Beziehung

i

lim Q,, (x) I r = 7.

95)

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

175

für gewisse Punkte der Strecken ilt is, ... im, die übrigens nur
eine Menge vom Maße Null bilden, nicht zu gelten braucht.

CO

Um die Reihen Xj vavQv(x) zu untersuchen, bilde man
o

96) lim V av | = — .

v — ► oo Ö

Es sei 1) a> i1) (vgl. S. 169).

co

Dann konvergiert die Reibe ?LivavQv(x) in dem einfach

o

zusammenhängenden Innengebiet der Kurve Ua, während sie
außerhalb divergiert. Die durch die Reihe dargestellte Funk-
tion hat auf der Kurve ra mindestens eine singuläre Stelle.
Umgekehrt läßt sich jede im Innern von ra reguläre analy-

CO

tische Funktion F (x) in eine Reihe Xj vavQv{x) entwickeln mit

o

eindeutig bestimmten Koeffizienten av. Ist 2) q < n < r , so

00

konvergiert die Reihe Xjv av Qv(x) wieder im Innengebiet von

o

aber dieses besteht jetzt aus mehreren getrennten Bereichen,
in denen die angegebene Reihe verschiedene analytische Funk-
tionen darstellen kann. Auch ist es möglich, daß die Reihe
in einzelnen außerhalb ra gelegenen Ausnahmepunkten der
Intervalle ix , i2, ... im konvergiert.

§ 3. Ergänzungen. Zusätze.

Nur um mit einer bestimmten Vorstellung zu rechnen und
um des dadurch ermöglichten bequemeren Ausdrucks willen
setze ich im folgenden voraus, daß p[x) auf keiner Teilstrecke
des Intervalls — 1, -j- 1 identisch Null ist; die Ergebnisse
und Beweise übertragen sich leicht sinngemäß auf den allge-
meinen Fall.

b z kann im vorliegenden Falle offenbar auch so definiert werden:

V

x = lim Maximum von V \QV(X)\ für alle x des Intervalls — 1, +1.

v-f 00

176

G. Faber

Als Zähler ZY{z) des Kettenbruchs für das Integral (2)
findet man bekanntlich

+ 1

•w = -J

Qr (x) — Qy (z)

x — z

p (x) d x ,

Für alle z eines unendlichen Gebietes T , das ganz außer-
halb der Strecke — 1, -(- 1 liegt und für alle x dieser Strecke
gilt nach dem in § 1 und 2 Bewiesenen

98)

lim

V — ► cc

Qr (tt)
Qr 0)

Daher folgt aus (97):

99) *

lim

V — GO

Zv (z) rp(x)dx

Qv(z) J X — z

gleichmäßig für alle z in T1 ).

Aus (99) ergibt sich weiter für alle z in T:

und also wegen (33):

101) lim vwm = ~

V — ► 00 "

für alle Punkte z der Ellipse R.

00

Die Reihe £* av Zy+i (z) konvergiert daher genau wie die
o

00

Reihe Qr(z) im Innern der Ellipse R und divergiert außer-

o

halb, wenn

102) li^ ]/T^T = 2 < 2

)'— f CO -Lv

vorausgesetzt wird. Es läßt sich auch umgekehrt leicht zeigen,

9 Für (99) gibt es einen ganz anderen Beweis von Markoff;
s. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig 1913, S. 385.

Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

177

daß jede im Innern dieser Ellipse reguläre analytische Funk-

00

tion sich in eine Reihe 2jva,Zv+ i(z) mit eindeutig bestimmten

o

Koeffizienten ay entwickeln läßt; nur gibt es für diese nach
Kettenbruchzählern fortschreitende Reihen nicht so einfache
Koeffizientenformeln wie für die Reihen nach Kettenbruch-
nennern.

Ferner ist klar, daß jede im Innern einer Ellipse R regu-
läre Funktion daselbst als Grenzwert der Lagran gesehen Inter-
polationsformel dargestellt werden kann, wenn als Interpola-
tionsstellen die Nullstellen der Polynome Qv ( x ) (oder auch
Zv ( x )) gewählt werden.

Endlich beweist man leicht, daß für die Anzahl nv der auf
einer Teilstrecke a, b (> a) der Strecke — 1 , -fi 1 gelegenen
Nullstellen des Polynoms Q,. ( x ) (oder auch Zv{x )) die Formel

b

a

gilt. Allgemein sind die Nullstellen von Qv ( x ) für v — » oo ,
auch wenn Intervalle ix , ... im, in denen p (x) = 0 ist, zuge-
lassen werden, auf die Intervalle Jx, J2, . . . Jk nach dem
gleichen Gesetze verteilt wie die Elektrizitätsmenge 1, falls die
als unendlich dünne leitende Stäbe aufzufassenden Strecken J, ,
J2, ... Jk durch diese Belegung alle auf das gleiche kon-
stante Potential gebracht werden sollen.

Hat man neben dem Integral (2) noch ein zweites

104) +CP,W**

J X — z
— 1

wo px{x) in keinem Teilintervall der Strecke — 1, -f- 1 iden-
tisch verschwindet, in dem p(x) nicht identisch verschwindet,
und umgekehrt, bedeutet ferner Sv (z) einen Näherungszähler
oder Nenner vten Grades des Kettenbruchs für das eine oder
andere dieser Integrale und ist endlich

178 G. Faber, Über nach Polynomen fortschreitende Reihen.

105) t/,0)

so ist wegen

+ 1

j

Sy(x) — Sv(z)

p{x ) dx,

y Sy(x)
, ™ Sy(z)

= 0

(für irgend ein z außerhalb der Strecke — 1, -f- 1 und alle
x auf dieser Strecke) :

107)

+1

Uy(z) P p(x)dx

r ITÜo Sy (z) J X Z

Das ist eine sehr weit reichende Verallgemeinerung des
Markoffschen Satzes (99).

179

Revision des Atomgewichtes des Thalliums.
Analyse des Thallochlorids.

Von 0. Hönigschmid, L. Birckenbacli und E. Kothe.

(Aus dem Chem. Labor, der bayer. Akad. der Wissenschaften.)

Vorgetragen in der Sitzung am 17. Juni 1922.

Das beute gültige Atomgewicht des Thalliums beruht auf
den Ergebnissen der klassischen Untersuchung von Crookes1),
die vor 50 Jahren ausgeführt wurde und den Wert TI = 204,04
ergab. Crookes benutzte als Bestimmungsmethode die Synthese
von Thallonitrat, ausgehend von reinem Thalliummetall. Diese
Methode ist an sich einwandfrei und wurde von ihm auch in
mehrjähriger Arbeit unter Überwindung der großen Schwierig-
keiten, die ihre Ausführung bietet, in vorzüglicher Weise ge-
meistert. Richards und Forbes2) bedienten sich in neuerer Zeit
der prinzipiell gleichen Methode zur Ermittlung des fundamen-
talen Verhältnisses von Silber zu Sauerstoff, und ihr so ge-
fundener Atomgewichtswert für Silber ist heute als der beste
anzusehen, über den wir verfügen. Ein Vergleich ihrer Arbeits-
weise mit der von Crookes läßt allerdings erkennen, daß sein
Werk entsprechend den inzwischen erzielten Fortschritten und
der Vervollkommnung der Hilfsmittel nicht mehr den modernen
Ansprüchen genügen kann und daher eine Revision dieses Atom-
gewichtes als erwünscht erscheinen muß. Im letzten halben
Jahrhundert hatte sich die Atomgewichtsforschung nur sehr
wenig mit dem Thallium beschäftigt. Es liegt zwar eine vor
30 Jahren ausgeführte Untersuchung von Lepierre3) vor, die

9 Crookes, Phil. Trans. 163, 277 (1874).

2) Richards und Forbes, Zeitschr. f. anorg. Ch. 55, 34 (1907).

3) Lepierre, Bull. soc. chim. (3), 9, 166 u. 11, 423.

ISO

0. Hönigschmid, L. Birckenbach und E. Kothe

aber nicht wesentlich zur Klärung der Frage beigetragen hat,
da die Ergebnisse der nach vier verschiedenen Methoden aus-
geführten Bestimmungen untereinander recht abweichende Re-
sultate lieferten, die im wesentlichen den Crookes’schen Wert
zu bestätigen schienen.

Wir entschieden uns für die Analyse des Thallochlorids,
das bisher noch nicht als Ausgangsmaterial zur Bestimmung
des Atomgewichtes des Thalliums verwendet worden war. Aller-
dings haben Wells und Penfield 1894 zwei Analysen des Thallo-
chlorids ausgeführt und aus denselben das Atomgewicht be-
rechnet, doch geschah dies im Verlaufe einer anderen Zwecken
dienenden Untersuchung, so daß die Bestimmungen, die zu dem
Werte 204,48 führten, kaum irgend welche Beachtung fanden,
zumal sie nicht den Anspruch auf höchste Genauigkeit er-
heben konnten.

Herstellung der Reagentien.

Die verwendeten Reagentien wurden sorgfältigst gereinigt.
Das Wasser wurde zweimal destilliert und zwar mit alkalischer
Permanganatlösung und mit verdünnter Schwefelsäure. Die
Salzsäure und Salpetersäure wurden mit Quarzkühler destilliert.
Das Silber war nach den besten Methoden der Harvardschule
gereinigt und zwar fünfmal als Nitrat aus konzentrierter Lösung
mit Salpetersäure gefällt, mit Ammoniumformiat reduziert, das
Metall auf einer Unterlage aus reinstem Kalk mit dem Gebläse
zu großen Reguli geschmolzen, dann elektrolytisch aus salpeter-
saurer Lösung kathodisch abgeschieden, wobei die Reguli als
Anode dienten. Schließlich wurden die gut gewaschenen Silber-
Kristalle in Kalkschiffchen im Wasserstoffston zu Reguli ver-
schiedener Größe geschmolzen, geätzt, gewaschen und getrocknet.

Reinigung des Materials.

Zur Gewinnung des Thallochlorids gingen wir von käuf-
lichem Thalliummetall aus, das wir in verdünnter Schwefel-
säure lösten; aus der konzentrierten Lösung abgeschiedenes
Thallosulfat wurde fünfmal umkristallisiert und dabei die stark

Revision des Atomgewichtes des Thalliums.

181

verdünnte Mutterlauge der dritten Kristallisation durch Ein-
leiten von Schwefelwasserstoff auf Blei untersucht. Trotzdem
die mit H2S gesättigte Lösung lange im verschlossenen Gefäß
stehen blieb, schied sich nicht eine Spur von Bleisulfid ab.
Aus der stark verdünnten Lösung des Sulfats fällten wir mit
destillierter Salzsäure das Thallochlorid aus, trennten die Kri-
stalle durch Zentrifugieren in Platintrichtern von der Mutter-
lauge und kristallisierten sie noch 3 bis 5 mal unter Eisküh-
lung aus reinem Wasser um. Diese Operation wurde in großen
Platintöpfen vorgenommen und jedesmal das Chlorid in Platin-
trichtern zentrifugiert. Die Analysen des dreimal kristalli-
sierten Produktes gaben die gleichen Werte wie diejenigen des
fünfmal umkristallisierten, so daß eine Fortsetzung der Kristal-
lisation nicht zu einem reineren Produkt hätte führen können.
Das frisch abgeschiedene Thallochlorid ist vollkommen weiß,
färbt sich aber im Lichte violett, doch bei weitem nicht so
rasch wie Chlorsilber.

Wage und Gewichte.

Es wurde eine auf 0,01 bis 0,02 mg empfindliche Rueprecht-
wage verwendet und feinst justierte Präzisionsgewichte aus ver-
goldetem Messing resp. Platin, die nach Richards geeicht waren.
Sämtliche Wägungen wurden durch Substitution mit Gegen-
gewichten ausgeführt und auf den luftleeren Raum reduziert.
Folgende Vakuumkorrekturen kamen zur Anwendung.

spez. Gew.

Messinggewichte 8,4

TI CI 7,2

Ag CI 5,56

Ag 10,5

Vak. Korr, f . 1 g

+ 0,28 mg
+ 0,73 „
0,28 „

Vorbereitung des Thallochlorids zur Analyse.

Während der Kristallisation des Chlorids ist es absolut
nicht zu vermeiden, daß gelegentlich des oftmaligen Aufkochens
der Lösung trotz aller Vorsichtsmaßregeln, wie Vornahme der
Auflösung und der Kristallisation unter einem Schutzschirm

182 0. Hönigschmid, L. Birckenbach und E. Kothe

etwas Laboratoriumsstaub in dieselbe gelangt, der dem Chlorid
beigemischt bleibt. Andererseits sollte das Chlorid vor der
Wägung geschmolzen werden, wie es die Praxis moderner Atom-
gewichtsbestimmung von der zu wägenden Substanz verlangt.
Beim Schmelzen des Chlorids verkohlt nun der Staub, so weit
er organischer Natur ist, und gibt sich beim Auflösen als
schwarzer Rückstand zu erkennen. Es erschien deshalb als
absolut notwendig, das Chlorid zu destillieren, ein Verfahren,
das sich schon bei der Analyse des Bleichlorids ausgezeichnet
bewährt hatte. Hiezu diente der schon öfter beschriebene
Quarzapparat, der es ermöglicht, flüchtige Metallhalogenide in
ein gewogenes Quarzröhrchen in beliebigem Gasstrom zu destil-
lieren, sie darin zu schmelzen und das Quarzröhrchen mit dem
Halogenid in gereinigtem und trockenem Luftstrom in sein Wäge-
glas einzuschieben und dieses zu verschließen, ohne es vorher
mit der Laboratoriums- Atmosphäre in Berührung zu bringen.

Die Destillation wurde im Stickstoffstrom oder in trockener
Luft vorgenommen, nachdem sich bei Vorversuchen gezeigt
hatte, daß beim Arbeiten in einem HCl-Strom offenbar eine
Additionsverbindung zwischen TI CI und HCl gebildet wird, die
eine Braunrotfärbung des Clorids zur Folge hat. Das so destil-
lierte und geschmolzene Chlorid war stets vollkommen farblos
und durchsichtig, ähnlich reinstem geschmolzenen Chlorsilber.
Im Stickstoff oder in Luft geschmolzen besitzt es offenbar eine
sehr kleine Oberflächenspannung, da es die Wände des Röhrchens
stark benetzt, was zur Folge hat, daß infolge der Kontraktion
des festhaftenden Chlorids beim Abkühlen das Quarzröhrchen
zumeist zersprengt wird, wenn man nicht noch vor dem Er-
starren des geschmolzenen Chlorids durch Drehen des Quarz-
apparates dafür sorgt, daß das geschmolzene Chlorid in mög-
lichst dünner Schicht an den Wänden des Röhrchens verteilt
wird. Wird es hingegen im Chlorwasserstoff geschmolzen, so
erstarrt es am Quarzglas nicht haftend mit konvexer Oberfläche.

Revision des Atomgewichtes des Thalliums.

183

Ausführung der Analysen.

Das gewogene Chlorid wurde in heißem Wasser in einem
3 Liter Erlenmeyer-Kolben mit eingeschliffenem Stopfen gelöst.
Während der Auflösung wurde das an einem dünnen Platin-
draht befestigte Quarzröhrchen mit dem Chlorid im Wasser
schwebend gehalten, während der Kolben mittels elektrischer
Heizplatte erhitzt wurde, ohne daß die Lösung zum Sieden kam.
Ein Schutzschirm verhinderte das Hineinfallen von Staub in
die Lösung. Nach einigen Stunden war das Chlorid voll-
kommen klar ohne jeglichen Rückstand gelöst.

Die Analyse erfolgte durch Bestimmung der beiden Ver-
hältnisse TlCl:Ag und TlCl:AgCl in üblicher Weise durch
gravimetrische Titration mit Hilfe des Nephelometers resp.
durch Wägung des mit überschüssigem Silbernitrat abgeschie-
denen Silberchlorids. Es wurde zunächst in einigen Vorver-
suchen aus dem zweiten Verhältnis ein vorläufiger Wert für
das gesuchte Atomgewicht ermittelt und dann unter Zugrunde-
legung desselben die zur Fällung des Chlorions im gewogenen
Thallochlorid benötigte Silbermenge berechnet, mit Hilfe der
Silberregugi genauest ausgewogen, in verdünnter Salpetersäure
gelöst, die Lösung auf ca. 0,1 Normalität verdünnt und damit
die Fällung bewirkt. Ein Überschuß des einen oder anderen
Ions wurde auf nephelometrischem Wege ermittelt.

Verhältnis TlCl:Ag.

Nr. <1. Anal.

Präp.

TI CI i. Yak.

A g. i. Vak.

TI CI : Ag

At.Gew. v.Tl-

1

5 X krist.

4,54695

2,04516

2,22327

204,39

2

3 X „

4,87772

2,19400

2,22320

204,38

3

3 x ,

4,44375

1,99880

2,22320

204,38

4

3 x „

4,73108

2,12806

2,22318

204,38

5

3 X „

4,70255

2,11521

2,22321

204,38

6

3 x „

4,81477

2,16565

2,22324

204,39

7

3 x „

4,75748

2,13955

2,22358

204,42

8

4 x ,

4,76741

2,14415

2,22344

204,41

9

5 x „

4,64623

2,09013

2,22294

204,35

10

5 X „

4,95373

2,22829

2,22310

204,37

11

5 x ,

4,07035

1,83075

2,22332

204,40

12

5 x „

5,43917

2,44658

2,22317

204,38

56,75019

25,52633

2,22324

204,39

184

0. Hönigschmid, L. Birckenbach und E. Kothe

Zwölf Bestimmungen des Verhältnisses TI CI : Ag ergaben als
Mittelwert das Atomgewicht TI = 204,39 mit einer mittleren
Abweichung vom Mittel von ± 0,012. Im ganzen verbrauchten
56,75019 g TIC zur Fällung des Chlorions 25,52633 g Ag.
Aus diesen Zahlen ergibt sich für das Verhältnis TI CI : Ag der
Wert 2,22320 und das Atomgewicht TI = 204,38.

Verhältnis TlClrAgCl.

Nr. d. Anal. Präp.

TI CI i. Yak.

AgCl i. Vak.

TI CI: AgCl

At.Gew.v. PI.

2a

3 X krist. 4,87772

2,91508

1,67327

204,38

3a

3 x „

4,44375

2,65516

1,67362

204,43

4a

3 x „

4,73108

2,82758

1,67319

204,37

5 a

3 x „

4,70255

2,81039

1,67327

204,39

6a

3 x „

4,81477

2,87677

1,67367

204,44

7a

3 x ,

4,75748

2,84329

1,67323

204,38

8 a

4 x „

4,76741

2,84833

1,67346

204,41

9 a

5 x „

4,64623

2,77697

1,67313

204,36

11a

5 x „

4,07035

2,43251

1,67331

204,39

12a

5 x „

5,43917

3,25060

1,67328

204,39

13

5 x v

6,36696

3,80514

1,67325

204,38

14

5 x

4,94141

2,95334

1,67316

204,37

58,55888

34,99566

1,67332

204,39

Pi:P2

= 1:1,6;

A = 3,5:10000; ,4, = 2,5:

10000; At =

0,35: 10000.

Aus zwölf Bestimmungen des Verhältnisses TI CI : AgCl er-
gibt sich als Mittelwert das Atomgewicht TI = 204,39 mit einer
mittleren Abweichung vom Mittel von ± 0,02. Insgesamt er-
gaben 58,55888 g TI bei der Fällung mit Silber 34,99566 g AgCl.
Aus diesen Zahlen berechnet sich das Verhältnis TI CI: AgCl
zu 1,67332 und das Atomgewicht des Thalliums zu TI = 204,39.

Beide Analysenserien ergeben demnach identische Mittel-
werte, weshalb wir den Wert TI = 204.39 als das derzeit wahr-
scheinlichste Atomgewicht des Thalliums betrachten.

Diesem Resultat kommt auch ein gewisses theoretisches
Interesse zu. Fajans1) hat vor kurzem einen Instabilitätssatz
aufgestellt, nach welchem keine stabile Atomart mit ungerad-

’) Fajans: Radioaktivität und die neueste Entwickelung der Lehre
von den chemischen Elementen, 4. Aufl., 1922, Seite 93.

Revision des Atomgewichtes des Thalliums.

185

zahliger Kernladung und einem durch vier teilbaren Atom-
gewicht existieren dürfte. Nach diesem Satz müßte deshalb
entweder das bisher geltende Atomgewicht TI = 204,0 (Kern-
ladung 81) unrichtig sein, oder ein zufällig ganzzahliges Ver-
bindungsgewicht eines Isotopengemisches vorstellen. Als uns
nun Fajans von dieser Überlegung in Kenntnis setzte, konnten
wir ihm gleich deren Richtigkeit wenigstens zum Teil be-
stätigen, denn da das von uns inzwischen ermittelte Verbin-
dungsgewicht 204,39 stark von der Ganzzahligkeit abweicht,
muß es als sehr wahrscheinlich gelten, daß das Thallium in
der Tat ein Isotopengemisch vorstellt. Ob allerdings in diesem
Isotopengemisch, wie es der „Instabilitätssatz“ fordert, keine
Atomart mit dem Atomgewicht 204,0 existiert, wird erst die
Analyse mit Hilfe der positiven Strahlen entscheiden.

Sitzungsb. <1. math.-phys. Kl. Jalirg. 1922.

13

187

Über

die äussere Berandung eines im Endlichen gelegenen
Gebietes und den Jordan sehen Kurvensatz.

Von Alfred Pringslieim.

Vorgetragen in der Sitzung am 17. Juni 1922.

Ein älterer von Herrn E. Phragmen1) herrührender Satz
besagt, daß eine Punktmenge, welche die vollständige Begren-
zung eines im Endlichen gelegenen Gebietes bildet, irgend einen
Teil enthalten muß, welcher zusammenhängend2) ist. Ich
gebe im folgenden diesem Satze eine wesentlich vervollkomm-
nete Fassung, welche einen genaueren Einblick in die Struktur
jenes zusammenhängenden Begrenzungsteils gibt und seinen
Charakter als äußere Berandung des betreifendes Gebietes deut-
lich hervortreten läßt, und beweise ihn nach einer Methode,
welche sich gleichzeitig als geeignet erweist, als Grundlage für
einen neuen Beweis des Jordan sehen Kurvensatzes zu dienen.
Nach meinem Dafürhalten dürfte derselbe in Bezug auf ge-
dankliche Einfachheit und Anschaulichkeit vor den bisherigen
Beweisen gewisse Vorzüge besitzen und mag daher trotz deren
bereits recht stattlicher Zahl als nicht ganz überflüssig er-
scheinen. Es ist doch immerhin einigermaßen auffallend, daß
bei der prinzipiellen Wichtigkeit, ja fundamentalen Bedeutung
jenes Satzes die deutschen Lehrbücher der Funktionentheorie
sich stets mit seiner Erwähnung begnügen, daß aber noch kein

b Acta mathematica 7 (1S85), S. 45.

2) Ich zitiere den von Herrn Phragmen benützten Ausdruck. Der-
selbe läßt sich aber ohne weiteres durch den prägnanteren ersetzen, daß
jener Begrenzungsteil ein linienhaftesKontinuumfd.h.eine zusammen-
hängende abgeschlossene Punktmenge ohne Innenpunkte) bildet.

13*

188

A. Pringsheim

einziges den Versuch gemacht hat, einen der vorhandenen Be-
weise in einer für den Anfänger genießbaren Form zu repro-
duzieren1). Während übrigens die große Mehrzahl der frag-
lichen Beweise die Gültigkeit des Satzes für ein beliebiges (ein-
fach geschlossenes) Polygon voraussetzt, wird dieselbe im fol-
genden nur für ein Treppenpolygon2) in Anspruch genommen.

§ I. Der Phragmensche Satz.

1. Es sei eine unbegrenzte Folge endlicher Punktmengeu
mit beständig zunehmender Gliederzahl nv gegeben: {P,^}, {P,^},

• • • 1

{P^1}, . . . ausführlicher geschrieben:

p(.0)

Tl ,

p(0)

r 2 ,

p(°)

* 3 1 • ■

ptO)
•l r«0 *

p (*)

p(*l
Pi ,

p(l)

-C3 , • •

pO)

• 1 ■*»»! ?

p(v)

p 1

p(*'l
Pi 1

pW

Pi-

pM
• i nv *

*

wo :

*) Eine Ausnahme macht das Osgoodsche Lehrbuch der Funktionen-
theorie (l.Aufl. 1907, 2. Aufl. 1912) nur insofern, als es für den sehr
speziellen Fall „regulärer“ (d. h. abteilungsweise mit stetig sich drehen-
der Tangente begabter) Kurven einen von Herrn L. D. Arnes herrüh-
renden, übrigens doch ziemlich umständlichen Beweis wiedergibt (I, S. 130
— 141, bzw. 160—172).

2) Einen einfachen Beweis für diesen besonderen Fall habe ich im
Jahrgang 1915 dieser Berichte mitgeteilt (s. insbesondere a. a. 0., S. 41.
Übrigens läßt sich der dort gegebene Beweis noch etwas vereinfachen)
Im Anschluß hieran möchte ich noch hervorheben, daß aus der Gültig-
keit des Jordanschen Satzes für ein Treppenpolygon mit Leichtig-
keit diejenige für eine geschlossene abteilungsweise monotone Kurve
gefolgert werden kann. Will man sich also überhaupt mit dem Beweise
eines Spezialfalles begnügen (der dann für die üblichen funktionentheo-
retischen Anwendungen mehr als ausreichend ist), so erscheint die Be-
schränkung auf abteilungsweise monotone Kurven weit zweck-
mäßiger als diejenige auf reguläre (in dem Sinne, wie in Fußn. 1).

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

189

so daß also jede dieser Mengen mit demselben Punkte Pj0) be-
ginnt. Ferner soll jede aus der unmittelbar vorhergehenden
lediglich durch Einschaltung bzw. Anfügung weiterer Punkte,
im übrigen mit Festhaltung der bestehenden Ordnung hervor-
gehen und somit alle vorhergehenden als Teilmengen ent-
halten. Wird dann für hinlänglich großes v der Abstand je
zweier konsekutiver Punkte beliebig klein, etwa:

Pjv)lfU<e für v^n, M 1, 2, . . . *„ - 1 ,

so ist die (offenbar abzahlbare) Vereinigungsmenge der
obigen Mengen, die wir mit lim { } bezeichnen wollen,

V —¥ CO

zusammenhängend, und man hat:

(1) lim pFpFIi = 0

V — ► co

nicht nur für jedes einzelne A, sondern auch für beliebig ins
Unendliche wachsende l<nv — 1.

Kommt nun zu dieser Bedingung noch die folgende hinzu:

(2) limP^Pl(v) = limS^’ = 0,

so soll jene Vereinigungsmenge als zyklisch zusammen-
hängend bezeichnet werden. Sie läßt sich dann, ohne den
Charakter des zyklischen Zusammenhanges zu verliei'en,
in der Weise zyklisch permutieren, daß sie mit einem beliebig
vorzuschreibenden ihrer Punkte, etwa P;(/<) beginnt. Um dies
zu erzielen, hat man nur die obige Mengenfolge nach Weg-
lassung der ersten /u Zeilen mit der folgenden Menge zu beginnen :

pW pW

-a- A J -*- /

A + l,

pW pW pw

• rn,u'

pW

•fl-1

und jede der folgenden Mengen gleichfalls zyklisch so zu permu-
tieren, daß sie mit dem Gliede beginnt, welches den Punkt Pj_,l)
vorstellt.

2. Dies vorausgeschickt beweisen wir jetzt den folgenden
Hauptsatz:

190

A. Pringsheim

Die Berandung eines im Endlichen gelegenen zu-
sammenhängenden Bereiches 23 enthält ein linienhaf-
tes Kontinuum 8, welches die Ebene in zwei getrennte
Punktmengen zerlegt, nämlich ein ins Unendliche sich
erstreckendes lückenloses Gebiet von Augenpunkten
des Bereiches 25 und eine innere Punktmenge, welche
den Bereich 23 enthält. Dieses Kontinuum erscheint
als Grenzgebilde einer Folge ineinander liegender
Treppenpolygone und besteht aus einer zyklisch zu-
sammenhängenden abzählbaren Punktmenge mit Hin-
zunahme ihrer Grenzpunkte.

Beweis. Wir können ohne Beschränkung der Allgemein-
heit den Bereich 25 als abgeschlossen annehmen. Seine Be-
randung kann dann von vorneherein keinen isolierten Punkt
enthalten.

Es werde nun zunächst 25 in ein Quadrat £), etwa von
der Seitenlänge 1 eingeschlossen, groß genug, daß alle Rand-
punkte von 25 in das Innere von fallen, somit, da sie eine
abgeschlossene Menge bilden, einen gewissen Minimal-
abstand s0 von der Grenze besitzen. Wird jetzt eine natür-

liche Zahl m0 so gewählt, daß: d0 = — < £0 und darauf Q in

mo

ml Teilquadrate von der Seitenlänge d0 zerlegt, so werden
sämtliche an die vier Seiten von O angrenzenden Teilquadrate
weder im Innern, noch auf dem Rande einen Randpunkt von
25 enthalten, also ausschließlich aus Außenpunkten von 23
bestehen. An den so entstandenen quadratischen Ring von
rand punktfreien Teilquadraten schließen wir alle etwa vor-
handenen1) gleichfalls randpunktfreien Quadrate des nach
innen angrenzenden zweiten quadratischen Ringes, sodann von
den etwaigen randpunktfreien Quadraten des dritten Ringes

1) Sollte kein solches randpunktfreies Quadrat vorhanden sein, so
muß der im Text angenommene entgegengesetzte Fall, wie aus den wei-
teren Betrachtungen hervorgeht, bei hinlänglicher Verfeinerung des qua-
dratischen Netzes sicher eintreten, man braucht also nur die oben mit
m o bezeichnete Zahl entsprechend zu vergrößern.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

191

nur diejenigen, welche längs einer Seite an ein rand-
punktfreies Quadrat des zweiten Ringes angrenzen oder mit
einem aus diesem Grunde bereits angeschlossenen Quadrate des
dritten Ringes in gleicher Art Zusammenhängen. Dieses Ver-
fahren soll fortgesetzt werden, so lange noch randpunkt-
freie Quadrate vorhanden sind, die mit einem bereits ange-
schlossenen längs einer Seite Zusammenhängen.

Die Zusammenfassung aller dieser Teilquadrate mit der
außerhalb Q liegenden Punktmenge liefert ein ins Unendliche
sich erstreckendes Gebiet 2t0 von Außenpunkten des Be-
reiches 23, welches, wie sogleich gezeigt werden soll, von einem
einzigen (einfach geschlossenen) Treppenpolygon begrenzt
wird.

Wir betrachten irgend eine der Begrenzung von 2l0 an-
gehörige Teilquadratseite, etwa die (nur behufs Fixierung der
Ausdrucksweise) horizontal angenommene Strecke AB, die
also die Trennungslinie zwischen einem (zu 2Q gehörigen) rand-
punktfreien und einem randpunkthaltigen Quadrate oder,
wie wir von jetzt ab zumeist kürzer sagen wollen, zwischen
einem 2I-Quadrate und einem 3t-Quadrate bildet. Das
erstere (in den Figuren I — IVa mit a bezeichnet) mag, um
eine (an sich wiederum gleichgültige) Festsetzung zu treffen,
unterhalb, das letztere (eben daselbst mit b bezeichnet) ober-
halb AB angenommen werden. Für die beiden nach rechts
benachbarten Quadrate sind dann bezüglich ihrer Zugehörig-
keit zu den 21- oder 9t-Quadraten die 4 verschiedenen, durch
die Figuren I — IV dargestellten Fälle denkbar: die 21-Quadrate
sind dabei durch Schraffierung gekennzeichnet, die 9t-Qua-
drate weiß gelassen.

I E m A/ Wa

192

A. Pringsheim

Man erkennt unmittelbar, daß es in den Fällen I — III
stets eine und nur eine Quadratseite gibt (nämlich die mit
JBC bezeichnete), die als Begrenzungsstück des Gebietes 2(0 sich '
an AB anschließt. Eine Schwierigkeit würde sich dagegen
im Falle der Figur IV ergeben, in dem ja eine jede der drei
an AB sich anschließenden Quadratseiten der Begrenzung von
2(0 angehören müßte. Dieser Fall kann nun aber in Wirklich-
keit niemals eintreten. Denn jedes der beiden mit a und c
bezeichneten 2l-Quadrate gehört ja zu 210 und hängt daher mit
dem anderen zusammen (wie in Fig. IVa durch die punktierten
Linien schematisch angedeutet ist). Da außerdem der Punkt B
kein Randpunkt von SB ist, so besitzt er auch eine gewisse
randpunktfreie Umgebung, die also aus lauter Außenpunkten
von 23 besteht. Hiernach würde also das Quadrat d, das min-
destens einen Randpunkt von 23 enthalten müßte, von einem
aus lauter Außenpunkten bestehenden Gebiet vollständig um-
schlossen und von dem gleichfalls randpunkthaltigen Qua-
drate b abgetrennt sein, wa's der Voraussetzung des Zusammen-
hanges von 23 widerspricht. Damit ist also das Eintreten jeder
anderen Möglichkeit, als der in Fig. I — III dargestellten aus-
geschlossen1).

Da die analoge Schlußweise auch auf die in Fig. I — III
mit BC bezeichnete Quadratseite anwendbar ist (d. h. mutatis
mutandis, wenn die letztere, wie in Fig. I und II, vertikal
liegt), ebenso auch in Bezug auf die Fortsetzung der Quadrat-
seite AB nach links, so erscheint zunächst als Begrenzung
von 2I0 ein an die Strecke AB nach rechts sich anschließen-
der Treppenweg, der sich niemals verzweigen und nie-

B Erst gelegentlich der Drucklegung dieser Mitteilung werde ich
darauf aufmerksam gemacht, daß der von Herrn A. Winternitz her-
rührende Beweis des Jordanschen Kurvensatzes (Math. Zeitschrift 1
[1918]) an einer Stelle (a. a. 0., S. 332/3) genau die vorstehende Schluß-
weise enthält. Obschon der übrige Teil seines Beweises mit dem hier
gegebenen des Phragmenschen und des Jordanschen Satzes kaum
irgend welche weitere Berührungspunkte besitzt, so schien es mir doch
angemessen, die obige Tatsache ausdrücklich zu erwähnen.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

193

ruals abbrechen kann, also schließlich bei A wieder ein-
münden muß und so zu einem einfach geschlossenen Treppen-
polygon $£0 wird. Dieses letztere zerlegt die Ebene in zwrei
getrennte Gebiete, deren inneres den Bereich 33 und zwar
wegen des Zusammenhanges von 23 vollständig enthält»
während das äußere (einschließlich seiner polygonalen Begren-
zung) lediglich aus Außenpunkten von 23 besteht und ein
lückenlos1) ins Unendliche sich erstreckendes, oben bereits
mit 2t0 bezeichnetes Gebiet bildet.

Die an £0 nach innen anliegenden2) SÄ-Quadrate haben
teils eine Seite, teils nur einen Eckpunkt3) miteinander ge-
mein. Liegt ein Randpunkt im Innern eines solchen Qua-
drats, so muß das letztere deren unendlich viele enthalten,
da ja jeder Randpunkt zugleich Häufungspunkt von Rand-
punkten ist. l^iegt er dagegen auf einer Quadratseite (die
dann selbstverständlich nicht zu X0 gehört), so kann er für das
betreffende Quadrat und, wenn er ein Eckpunkt ist, auch
für zwei benachbarte (s. Fig. V), ja sogar für drei in diesem
Eckpunkt aneinander stoßende Quadrate (s. Fig. Ä I) der ein-
zige sein. Es besteht daher im äußersten Falle die Möglich-
keit, daß die Gesamtheit
der Randpunkte, welche
den an £0 anliegenden $R-
Quadraten angehören, eine
endliche Menge bilden.

Im allgemeinen wird aber
diese Menge eine unend-
liche sein. Wir wollen

1) Es kann nicht etwa ein zweites Treppenpolygon von der Art
des mit 2o bezeichneten irgend ein Teilgebiet aus 5to ausschneiden, da
dessen Existenz wieder der Voraussetzung des Zusammenhanges von
S5 widersprechen würde.

2) „ Anliegend“ bedeutet immer: längs einer Seite zusammen-
hängend.

3) Einen Eckpunkt nämlich dann, wenn dieser der Scheitel eines
einspringenden Winkels von bildet.

194

A. Pringsheim

nun darauf ausgehen, für diesen Fall eine bestimmte endliche
Menge daraus zu isolieren. Hierzu heben wir aus jedem der
an %0 anliegenden 9t-Quadrate je einen solchen Punkt heraus,
der von einer zu %0 gehörigen Quadratseite den kleinsten
Abstand hat, d. h., da ja ein 9t-Quadrat höchstens drei zu
S£0 gehörige Quadratseiten enthalten kann, höchstens drei solche
Punkte, die aber auch teilweise oder insgesamt und zwar so-
gar gleichzeitig für zwei oder drei benachbarte 9t-Quadrate
in einen einzigen zusammenfallen können (s. Fig. V, VI).
Sollten andererseits für irgend eine Quadratseite mehrere bzw.
unendlich viele „nä chstgelegene“ Randpunkte vorhan-
den sein, so soll es frei stehen, einen beliebigen davon aus-
zuwählen.

Wir fixieren nun irgend eins der an %0 anliegenden 9t-
Quadrate als Nr. 1 und denken uns, von diesem ausgehend,
einen vollständigen Umlauf längs 5£0 etwa in positiver Richtung
ausgeführt, zugleich jeder einzelnen zu £0 gehörigen Quadrat-
seite bzw. Folge von zwei oder drei solchen Quadratseiten
(wie in Fig. V, VI) den oben herausgehobenen nächstge-
legenen Randpunkt zugeordnet und der Reihenfolge ent-
sprechend numeriert.

Eine scheinbare Schwierigkeit könnte hierbei eintreten,
falls ein 9t-Quadrat, das zwei parallele Seiten (ohne verbin-
dende dritte) mit £0 gemein hat und daher bei Umlaufung von
£0 zweimal passiert wird, nur einen einzigen Randpunkt
enthielte. Dieser Fall kann aber wiederum in Wirklichkeit
niemals eintreten, wie die folgende Überlegung zeigt. Ange-
nommen, es gäbe ein Quadrat der fraglichen Art, etwa das in
Fig. VII mit ABB1 A' bezeichuete. Die
beiden schraffierten Quadrate sind dann
als randpunktfrei und (wie durch die
punktierten Linien wieder schematisch an-
gedeutet) zu 2I0 gehörig anzusehen, wäh-
rend jedes der beiden anderen anliegenden,
mit a und b bezeichneten Quadrate Rand-
punkte von iß enthalten müssen. Der

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

195

hypothetische einzige, dem Quadrate ABB'A' angehörige
Randpunkt müßte dann auf AB oder A‘ B‘ liegen, so daß
die ganze Fläche des Quadrats ABB‘ A‘ mit Ausnahme dieses
einzigen Punktes aus lauter Außenpunkten von 35 bestehen
und durch Vermittelung der beiden schraffierten Nachbarqua-
drate mit 2t0 Zusammenhängen würde. Dann lägen aber die
beiden randpunkthaltigen Quadrate a und b in zwei voll-
ständig von Außenpunkten umschlossenen getrennten Ge-
bieten, was wieder der Voraussetzung des Zusammenhanges
von 25 widersprechen würde. Das gleiche würde aber sogar
schon dann eintreten, wenn das Quadrat ABB‘A‘ irgend ein,
die beiden schraffierten Nachbarquadrate verbindendes Gebiet
(z. B. einen beliebig schmalen Streifen) von Außenpunkten
enthielte. Es muß daher eine von AB zu A‘ B‘ sich erstrek-
kende zusammenhängende und dann eo ipso abgeschlos-
sene Menge, also mindestens ein Kontinuum von Rand-
p unkten vorhanden sein, das dann auch die Existenz eines
Kontinuums von Innenpunkten des Bereiches 25 nach sich
zieht, das also insbesondere keinesfalls aus einer einzigen zu
AA' parallelen Strecke bestehen kann. Daraus folgt aber, daß
es zu jeder der beiden parallelen Seiten AA1 und BB‘ einen
besonderen nächstgelegenen Randpunkt gibt und daß der
am nächsten zu AA1 liegende von BB‘ entfernter ist, als
der zu BB‘ nächstliegende.

Hiernach läßt sich also in der Tat nach der angegebenen
Vorschrift eine bestimmte, eindeutig geordnete endliche Folge
„ausgezeichneter“ Randpunkte:

Pi

(0)

p( 0)

J-2 ,

p(0)

-La ,

p(0)

deren Gesamtheit mit {P«^} bezeichnet werden möge, aus der
Menge derjenigen, die den an $£0 anliegenden 9t-Quadraten
angehören, herausheben. Der Abstand zweier konsekutiver
dieser ausgezeichneten Rand punkte, also die Strecke

196

A. Pringsheim

PjT'Pl + i (A = 1, 2 , n0 — 1) ist dann im äußersten Fall1)
nicht größer als 2]/2-<50. Dies gilt auch für Pf Pf, da
ja der beim Schluß des Umlaufs als letzter vor Pf auftretende
Punkt P,f dem Nachbarquadrat des Quadrates Nr. 1 , oder
allenfalls2) dem nächst- bzw. übernächst3) vorangehenden an-
gehört.

Die Menge der Randpunkte, welche nicht nur den (bis-
her ausschließlich in Betracht gezogenen) an $£0 anliegenden,
sondern auch den nur in einem Eckpunkte an anstoßen-
den4) 9t-Quadraten angehören, besitzt wiederum einen gewissen
Minimalabstand von £0, etwa d'o (wo <5Ö < <50 sein kann).
Wird jetzt eine natürliche Zahl ml > 3 so angenommen, daß:

<5, = — - — - < <5o (und zugleich eo ipso : d, < X • — = P dftV
1 m0 m1 V 1 = 3 m0 3

sodann jedes der von £<, eingeschlossenen Quadrate in m\ Teil-
quadrate von der Seitenlänge d, zerlegt, so bilden die an $£0
längs einer Seite oder auch nur in einem Eckpunkt anstoßen-
den Teilquadrate einen lediglich aus Außenpunkten von 33

q Nämlich, wenn Pf , Pf_ j zwei 51- Quadraten angehören, die nur
einen Eckpunkt gemein haben. Andernfalls hat man:

Pf Pff ^ V2 • d0 bzw. ^ 1/5 • «50,

je nachdem Pf > P;f_, demselben bzw. zwei aneinander liegen-
den SR-Quadraten angehören.

2) Nämlich, wenn jenes Nachbarquadrat den Punkt Pf mit dem
Quadrat Nr. 1 gemeinsam hat und keinen weiteren enthält.

3) Vgl. Fig. VI. Nimmt man daselbst das Quadrat a als Quadrat
Nr. 1, so würde bei der durch die Pfeile angedeuteten Umlaufsrichtung
weder b, noch c, vielmehr erst d den Puukt Pf liefern.

4) S. z. B. in Fig. II das mit c bezeichnete Quadrat. Daselbst
würden nur die Quadrate b und d für die Auswahl der ausgezeichneten
Randpunkte Pf in Betracht kommen. Andererseits könnte aber das
Quadrat c einen Randpunkt enthalten, der näher an dem Eckpunkt B
liegt, als die ausgezeichneten Randpunkte der Quadrate b und d an
den Seiten AB und BC, was dann bei der Bestimmung des im Text
mit <5‘0 bezeichneten Abstandes ausschlaggebend wäre.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

197

bestehenden Ring, der außer von X0 von einem im Abstande <5j
parallel zu X0 verlaufenden Treppenpolygone Xö begrenzt
wird. Enthält dann irgend ein an Xö anliegendes Quadrat einen
der ausgezeichneten Randpunkte P;°\ so ist dieser wieder ein
n äcbstgelegener in Bezug auf diejenige Quadratseite, welche
jetzt an die Stelle der früher dem Punkte P)J) zugeordneten
(ihr parallelen) größeren Quadratseite getreten ist. Es besteht
dann die Möglichkeit, daß schon alle Punkte P{0) (l = 1, 2, . . . n0)
auf diese Weise wieder zum Vorschein kommen. Es können
aber auch Punkte PP (möglicherweise sogar alle) infolge der
Verkleinerung der Teilquadrate durch ein oder auch mehrere
(einen Streifen von der Breite bildende) Zwischenquadrate
von Xö getrennt sein. Alle diese Zwischenquadrate mögen
dann an das Treppenpolygon Xö noch angesetzt werden1),
ebenso auch alle Quadrate, die etwa von zwei senkrecht zu-
einander verlaufenden zusammenstoßenden Streifen und einem
Teil von Xö eingeschlossen werden2). Alsdann tritt an die
Stelle des Treppenpolygons Xö jetzt ein neues S£o, dessen
Äußeres wieder aus einem lückenlosen Gebiet von Außen-
punkten des Bereiches 53 besteht, während das Innere diesen
letzteren enthält. Zugleich besitzt dasselbe die Eigenschaft,
daß bei positivem, mit dem Quadrate, welches den Punkt Pp
enthält, beginnenden Umlauf in den an S£5 nach innen an-
liegenden Quadraten sämtliche Punkte der Menge {Pp\ und
zwar genau in der früheren Reihenfolge auftreten.

Andererseits können aber unter den an 5£ö nach innen
anliegenden Quadraten noch weitere randpunktfreie vor-
handen sein. Auch diese fügen wir noch zu dem von Xö be-

9 Sollte einer der Punkte auf der Trennungslinie zweier
benachbarter Zwischenquadrate liegen, so mögen diese beiden bzw. ein
entsprechender Streifen von der Breite 2 (5t an X'„ angeschlossen werden.

2) Solche Quadrate sind sicher randpunktfrei. Denn die ent-
gegengesetzte Annahme würde wiederum auf den bereits mehrfach vor-
gekommenen Widerspruch gegen den vorausgesetzten Zusammenhang
von 53 führen.

198

A. Pringsheim

grenzten Komplexe hinzu, ebenso auch alle diejenigen, die mit
diesen oder einem anderen bereits angeschlossenen längs einer
Seite Zusammenhängen sollten, und setzen dieses Verfahren so
lange fort, bis jedes der äußersten angeschlossenen randpunkt-
freien an ein randpunkthaltiges anzuliegen kommt. Als
Begrenzung aller so zusammengeschlossenen 2t- Quadrate er-
scheint dann auf Grund der bei dem Existenznachweise des
Treppenpolygons £0 benützten Schlußweise ein (einfach ge-
schlossenes) Treppenpolygon $£x, welches nach innen den
Bereich 23 enger umschließt, als jedes der Treppenpolygone X0,
Xo, £3 (falls es nicht mit dem letztgenannten bzw. mit beiden
letztgenannten identisch ist), und nach außen wiederum ein
lückenloses Gebiet 2Q von Außenpunkten begrenzt, welches
das zuvor mit 2t0 bezeichnete als Teil enthält. Aus jedem,
der nunmehr an anliegenden, durchweg randpunkt-
haltigen Quadrate (unter denen auch alle bereits an X] an-
liegenden 9t-Quadrate, insbesondere die P] ’-haltigen Vorkommen)
heben wir wieder genau nach den zuvor getroffenen Festsetzungen
eine (nur zum Teil neue) Menge ausgezeichneter Rand-

punkte heraus, welche die Menge {P^*} als Teilmenge ent-
hält. Die ihr angehörigen Punkte mögen in der Reihenfolge,
welche bei positivem, mit der dem Punkte P\0) zugeordneten
Quadratseite beginnenden Umlauf um 5L, zum Vorschein kommt,
mit:

PiU), Pj

CD

p CD

dCD

"l

(wo: P{n s= PH,

COK

ihre Gesamtheit mit {Pnj1} bezeichnet werden. Für den Ab-
stand konsekutiver Punkte besteht jetzt die Beziehung:

Pil) Pa+i ^ 2 V 2 • <5, (X = 1, 2, . . . n, - 1)

und dieselbe obere Schranke gilt auch für P^ Pj(1).

Wir behaupten nun, daß die innerhalb der Folge {P^,1}
vollständig enthaltene Menge der Punkte P;0), abgesehen von
Einschaltungen weiterer Randpunkte, wieder genau in der ur-
sprünglichen Anordnung auftritt, wie dies ja bei der Umlaufung
von Xj noch der Fall war und offenbar bestehen bliebe, wenn

Äußere Berandung1 und Jordanscher Kurvensatz.

199

jetzt nur diejenigen neuerdings ausgezeichneten Rand-
punkte zwischengeschaltet würden, welche an £ö anliegenden
9t-Quadraten angehören. Es erscheint aber fraglich, ob bei
Aufzählung aller möglichen bei Umlaufung von X, auftreten-
den ausgezeichneten Randpunkte nicht irgend einer der
Punkte Pf sich zwischen zwei Punkte Pf und Pf|-i ein-
schieben könnte. Das ist selbstverständlich ausgeschlossen,
wenn Pf und Pl+ i demselben oder zwei (wenn auch nur
in einem Eckpunkt) an einander stoßenden Quadraten an-
gehören. Es kommt daher lediglich der Fall in Betracht, daß
Pi°+i einem Quadrate angehört, das bei Umlaufung von
nicht unmittelbar dem mit Pf besetzten folgt. Wird das
zwischen diesen beiden Quadraten verlaufende Stück des Trep-
penpolygons SLy von lauter 3t-Quadraten begrenzt, so gehört
dasselbe auch dem Treppenpolygon Stj an, sodaß in diesem
Abschnitt der Umlaufung von X, gegen früher keinerlei Ände-
rung eintritt. Eine solche wird erst dann möglich, wenn längs
des fraglichen Stückes von %] durchweg oder wenigstens teil-
weise 2t-Quadrate anliegen. Sei dann etwa das (aus einer oder
mehreren Quadratseiten bestehende) Wegstück A...B von
das erste, an welchem durchweg 21-Quadrate anliegen. Um
3^ aus Xq herzustellen, wird zunächst an jede zu A...B ge-
hörige Quadratseite ein 5I-Quadrat angesetzt und mit weiterer
Hinzufügung von 2l-Quadraten so lange fortgefahren, bis der
entstandene Komplex, abgesehen von dem Wegstück A...B,
durchweg von 9t-Quadraten begrenzt wird. Seine Begrenzung
entsteht aus zwei Treppenwegen, die bei A und bei B be-
ginnend schließlich zu einem einzigen, die Punkte A und B
verbindenden Treppenwege t zusammenlaufen müssen1). Denn
keiner jener beiden Treppenwege kann abbrechen oder an ir-
gend einem nicht zu A...B gehörigen Punkte von 5LÖ bzw.
einmünden, da auf diese Weise das Treppenpolygon in zwei
•

x) Die Begegnung der beiden Treppenwege kann auch in einem zu

A...B gehörigen Eckpunkt stattfinden.

200

A. Pringsheim

solche zerfallen würde, das eine den Randpunkt P*0), das
andere PV+\ enthaltend, was wiederum den Zusammenhang
von 23 zerreissen würde. Der von A nach B führende Treppen-
weg t tritt dann bei positiver Umlaufung von an die Stelle
des Wegstückes A...B bei Umlaufung von Dabei werden
sich eine Anzahl der neuerdings ausgezeichneten Rand-
punkte zwischen P und Pj+i einschieben. Soll die gleiche
Möglichkeit für einen der älteren Serie angehörigen Punkt P\()
bestehen, so muß der Treppeuweg t eine Seite mit demjenigen
an anliegenden 5t-Quadrat Oa gemein haben, welches den
Punkt P;0) enthält. Dies ist nun, da t, wie bemerkt, außer
Punkten von A...B keinen weiteren Punkt mit %“0 gemein
haben kann, einzig in der Weise möglich, daß D;. nur eine
zu gehörige Seite besitzt und der Randpunkt P;0) als
nächstliegender ihr zugeordnet ist, während die ihr pa-
rallele Seite zu t gehört. Für diese muß aber auf Grund des
zuvor im Anschluß an Fig. VII gesagten ein neuer nächst-
gelegener Punkt P^) vorhanden sein und nur dieser letztere
schiebt sich unter diejenigen zwischen P*0) und P^+\ ein,
während P|0) auch bei Umlaufung von erst hinter P*°+i
an die Reihe kommen kann1).

Hiermit ist also der Nachweis erbracht, daß in der Punkt-
menge {!%} alle Punkte von genau in ihrer ursprüng-

lichen Reihenfolge, lediglich durch eingeschobene Zwischen-
punkte getrennt, enthalten sind.

Da auf selbst wieder kein Randpunkt liegt, die Menge
der letzteren also durch einen gewissen Minimalabstand
von getrennt ist, so läßt sich das Verfahren, welches von
Si0 aus zur Herstellung von führte, wiederholen und zwar
unbegrenzt oft wiederholen. Man erhält also auf diese Weise

*) Diese ganze Betrachtung bleibt auch gültig, wenn an die Stelle
von die im zyklischen Sinne konsekutiven Punkte

Pl,0) treten.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

201

eine unbegrenzt fortsetzbare Folge ineinander liegender,
aus lauter Außenpunkten von 23 bestehender Treppen-
polygone:

£ T &

~0 1 ^1 i 1 • • ■ * • • • 1

welche nach außen eine entsprechende Folge lückenloser,
beständig zunehmender und sich gegenseitig umfassender Ge-
biete von Außenpunkten:

2I0, 2t,, Slj, ... 2l„, . . .

begrenzen, während sie nach innen den Bereich 23 immer
enger umschließen. Diese letztere Tatsache findet ihren prä-
ziseren Ausdruck in der nachgewiesenen Existenz einer unbe-
grenzten Folge endlicher, durchweg mit demselben Punkte P[J)
beginnender, durch systematische Einschaltung bzw. Anfügung
neuer Punkte aus einander hervorgehender, fest geordneter
Randpunkt mengen:

{ril’f, {PiO. • • • (P”(. • ■ ■

(wo: P[v) = Pi(0) für v = 1, 2, 3, . . .), die mit unbegrenzt
wachsendem v sich unbegrenzt verdichten und deren Ver-
einigungsmenge lim {P^1} durch die Treppenpolygone St,,

v —► cc

unbegrenzt approximiert wird. Diese letztere ist also zusam-
menhängend und zwar, da P',^ P{U) mit unbegrenzt wach-
sendem v beliebig klein wird, zyklisch zusammenhän-
gend. Durch Hinzunahme ihrer Häufungspunkte, die ja
als Häufungspunkte von Randpunkten gleichfalls Rand-
punkte sind, wird sie zu einer abgeschlossenen und zwar,
da sie als Menge von Randpunkten keine inneren Punkte
enthalten kann, zu einem linienhaften Kontinuum 8.

Dieses Kontinuum 8 bildet die Begrenzung zweier ver-
schiedener Punktmengen, nämlich erstens der Vereinigungs-
menge 2t = lim 2t,. der Außengebiete 2tr ( v = 0, 1, 2, . . .)

V— ► 00

als eines lückenlos zusammenhängenden, sich ins Unendliche
erstreckenden Gebietes von Außenpunkten des Bereiches 23;

14

Sitzungsb. d matli.-pbys.Kl. Jalirg. 1922.

202

A. Pringsheim

zweitens der Komplementärmenge zu 21, deren Punkte,
soweit sie nicht zu 8 gehören, wir als innere Punkte (kürzer
3-Punkte) von 8. sie selbst mit 3 bezeichnen. Diese letztere
enthält den Bereich 23, da das Gebiet 2t keinen Punkt von 23
enthält. Da ferner jeder 2l-Punkt außerhalb eines von
hinlänglich großem (und um so mehr von noch größerem)
Index v , jeder 3_Punkt innerhalb aller liegen muß, so
findet zwischen je einem Punkte der einen und der anderen
Kategorie kein Zusammenhang statt. Denn jeder einen 2t-Punkt
und einen 3_Punkt verbindende Streckenzug muß mit jedem
von hinlänglich großem Index v einen Punkt, also als Häu-
fungspunkt dieser Punkte auch mit 8 einen Punkt gemein
haben. Es ist somit 8 identisch mit der vollständigen Be-
grenzung der beiden Punktmengen 2t und 3 und bildet ins-
besondere in dem Sinne die äußere Berandung des Bereiches 23,
daß sie ihn von denjenigen Außenpunkten trennt, welche
das lückenlos ins Unendliche sich erstreckende Gebiet 2t bilden
(möglicherweise freilich auch noch von anderen Außen-
punkten, wie alsbald gezeigt werden soll).

3. Im Anschluß an das vorstehende Ergebnis ist noch zu
bemerken, daß die Häufungspunkte der Menge lim {P» \

»-—►CO

von zweierlei Art sein können. Die eine (stets vorhandene)
Kategorie macht jene abzählbare Menge der „ausgezeich-
neten“ Randpunkte oder einen ihrer Abschnitte in der Weise
zum Kontinuum, daß das letztere alle bzw. alle dem be-
treffenden Abschnitte angehörigen Punkte der Menge in sich
aufnimmt und überall dicht enthält (in der Art, wie bei Hin-
zufügung der irrationalen Zahlen zu der abzählbaren Menge
der rationalen des Intervalls [0,1]). Die andere (welche offen-
bar auch gänzlich fehlen kann) liefert Kontinua, welche, allen-
falls abgesehen von einzelnen Punkten, überhaupt keine
Punkte der Menge lim {P„’'} enthalten. Ein bekanntes Bei-

r-¥ x>

spiel dieser Art bildet die Annahme, daß ein Teil der äußeren
Berandung von 23 aus den Punkten ( x , y ) besteht, welche der

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

203

Gleichung: ?/ = sin2-, etwa für 0 < | x <1, genügen. Die
cc

Menge der Häufungspunkte enthält alsdann die Strecke 01
der y- Axe, von der lediglich der eine Punkt (0,1) der Menge
lim {P«’’} angehört. Während nun hier das zu der übrigen

V— ► CO

äußeren Berandung von 23 hinzutretende besondere Konti-
nuum nur aus einer einfachen Strecke besteht, so kann auch
der zuerst von Herrn Brouwer1) bemerkte Fall (und zwar
beliebig oft) eintreten, daß ein solches Kontinuum, also ein
Teil der äußeren Berandung von 23, zugleich die vollständige
Begrenzung eines endlichen Gebietes von Außenpunkten
des Bereiches 23 bildet. Danach braucht also das zuvor mit 8
hezeichnete linienhafte Kontinuum die Ebene keineswegs
nur in zwei getrennte Gebiete zu zerlegen, vielmehr kann die
oben mit 3, bezeichnete, den Bereich 2? enthaltende Punktmenge
aus einer beliebigen Zahl getrennter Gebiete bestehen.

4. Wir wollen noch den Fall ins Auge fassen, daß irgend
ein linienhaftes Kontinuum 8 die vollständige Be-
grenzung eines Bereiches 23 bildet (was nicht ausschließt,
daß Teile von 8 noch andere Bereiche begrenzen). Alsdann
läßt sich 8 auch von innen und zwar durch eine Folge sich
gegenseitig umschließender Treppenpolygone beliebig
approximieren und zugleich wieder in eine abzählbare,
zyklisch zusammenhängende Punktmenge und die
Menge der zugehörigen Häufungspunkte zerlegen.

Um dies einzusehen, denke man sich zunächst ein Qua-
drat Q, etwa von der Seitenlänge X konstruiert, das ganz im
Innern von 8 liegt, also vollständig aus Innenpunkten von
23 besteht. Man bestimme dann eine natürliche Zahl m0 so,

daß <50 = — kleiner ist, als der Minimalabstand des
m0

Quadrates Q von der Begrenzung 8, teile O in m\ Quadrate
von der Seitenlänge d0 und überziehe daran anschließend den

') Math. Ann. 68 (1910), S. 423.

14*

204

A. Pringsheim

Bereich 25 mit einem Netz solcher Quadrate. Von diesen ver-
einige man alle an Q unmittelbar anliegenden (offenbar rand-
punktfreien, also ausschließlich aus Innenpunkten von 23
bestehenden) mit C, ebenso alle randpunktfreien, die mit
den letzteren oder mit bereits angeschlossenen längs einer Seite
Zusammenhängen, und setze dieses Verfahren so lange fort,
bis es durch das Auftreten anliegender randpunkthaltiger
Quadrate gehemmt wird. Man gewinnt auf diese Weise ein
erstes von lauter Innenpunkten des Bereiches 25 erfülltes und
begrenztes Treppenpolygon £0, das ringsum von daran an-
liegenden randpunkthaltigen Quadraten umgeben ist. Aus
den betreffenden Randpunkten kann man dann wieder, ge-
rade so wie beim Beweise des Hauptsatzes von Nr. 2, eine in be-
stimmter Weise geordnete endliche Menge ausgezeichneter
Randpunkte herausheben, und das in dieser Weise begonnene
Verfahren läßt sich ganz analog, wie in Nr. 2 ausführlich be-
schrieben, unbegrenzt fortsetzen. Daraus ergibt sich dann un-
mittelbar die Richtigkeit der oben ausgesprochenen Behauptung.

§ 2. Der Jordansche Kurvensatz.

1. Unter einer Jordanschen Kurve verstehen wir, wie
üblich, eine doppelpunktlose stetige Parameterkurve,
also eine Punktmenge, deren rechtwinklige Koordinaten de-
finiert sind durch zwei Gleichungen von der Form:

(1) x = <p(t), y = y(t),

unter <p(t), xp (t) eindeutige und stetige Funktionen der
reellen Veränderlichen t etwa für t0 <. t < T verstanden, die
überdies der Bedingung genügen, daß nicht gleichzeitig:

(2) cp (*,) = cp (ta) , xp ( tx ) = xp (*2) , wenn : tx * ta .

Besteht bezüglich dieser letzteren Bedingung die eine Aus-
nahme :

(3) <p(t0) = <p(T), xp{t0) = ip(T),

so heißt die betreffende Jordansche Kurve geschlossen, im
entgegengesetzten Falle offen.

Äußere Berandung und Jordanseher Kurvensatz.

205

Wie aus der vorstehenden Definition unmittelbar erkannt
wird, fällt jede geschlossene Jordansche Kurve unter den
in Nr. 2 des vorigen Paragraphen festgelegten Begriff einer
zyklisch zusammenhängenden Punktmenge mit Hinzu-
nahme ihrer Grenzpunkte, also eines linienhaften Konti-
nuums nach Art der äußeren Berandung eines Bereiches 33.
Diejenige Eigenschaft, die sie aus dem allgemeinen Typus solcher
Kontinua heraushebt, besteht dann darin, daß ihre Grenz-
punkte keine besonderen (d. h. die Punkte der abzählbaren
zyklischen Menge nicht enthaltenden) Kontinua bilden und
demgemäß auch keine besonderen Bereiche begrenzen können,
daß vielmehr jede geschlossene Jordansche Kurve die
Ebene in genau zwei getrennte Gebiete zerlegt. Dem Beweise
dieser den Inhalt des „ Jordanschen Kurvensatzes“ bilden-
den Aussage schicken wir zunächst zwei Hilfssätze voraus.

2. Hilfssatz I. Eine zusammenhängende Punkt-
menge 5)3, welche ausschließlich aus Punkten einer die
Punkte p0 und P verbindenden Jordanschen Kurve (5
besteht und Punkte in beliebiger Nähe von p0 und P
enthält, ist nach Hinzunahrpe ihrer Häufungspunkte
mit der Kurve 6 identisch.

Beweis. Es sei Gl. (1) die Gleichung der Kurve 6 und
(4) p0 = ((p(t0), yj(t0)), T=(cp(T), ip(T)).

In Folge der Stetigkeit von <p(t ), xp{t) gehört dann auch jeder
Grenzpunkt der Menge 5)3 der Kurve S an, mit anderen
Worten, auch die aus 5)3 durch Hinzufügung der Grenzpunkte
hervorgehende abgeschlossene Menge 5)3 besteht ausschließ-
lich aus Punkten von ($.

Es ist nun zu zeigen, daß auch umgekehrt jeder Punkt
von (5 der Menge 5)3 angehört. Dies gilt zunächst ohne wei-
teres für die Punkte p0 und P, da sie ja auf Grund der Voraus-
setzung Grenzpunkte der Menge 5)3 sind.

Es bedeute ferner r einen ganz beliebigen, dem Inter-
vall t0 < r < T angehörigen Parameterwert, von dem noch
nicht feststeht, daß er einen zu 5)3 gehörigen Punkt liefert,

206

A. Pringsheiiu

und es mögen andererseits diejenigen Parameterwerte, von
denen diese Eigenschaft feststeht, generell mit V bzw. mit t“
bezeichnet werden, je nachdem sie kleiner oder gröber als
r sind, sodaß also:

(5) t0<t‘<r, t < t“ < T.

Die t‘ haben dann eine obere Grenze t', die t“ eine untere
Grenze t ", und zwar folgt aus Ungl. (5), daß:

(6) V < t < t“.

Da nun die Punktmenge iß eine abgeschlossene ist, so müssen
die Punkte (9 ?(£'), xp (t1)) und {y {t“), y (£")) ihr angehören.
Da sie zugleich eine zusammenhängende ist und anderer-
seits zwischen t' und t“ keine Parameterwerte existieren sollen,
welche Punkte von ^3 liefern, so müssen jene beiden Punkte
zusammen fallen1). Daraus folgt aber auf Grund der Be-
dingung (2), daß V — t“ sein muß und daß daher mit Berück-
sichtigung von Ungl. (6) sich schließlich ergibt:

t ‘ = T = t“,

t

d. h. daß in der Tat jeder beliebige Punkt {cp (r), ip (r)), falls
t0 < t < T, der Menge ^ angehört. Dieselbe ist somit, wie
behauptet, mit der Kurve (5 identisch.

Zusatz. Tritt an die Stelle der offenen Jordanschen
Kurve eine geschlossene, so läßt sich der vorstehende Satz
in folgender Weise modifizieren :

Zerlegt man eine geschlossene Jordansche Kurve 6
durch zwei beliebige ihrer Punkte p0 und P in zwei

*) Der fragliche Zusammenhang kann nicht etwa dadurch hergestellt
sein, daß die beiden zu den Parameterintervallen [f0, t'J und [ t T ] ge-
hörigen Abschnitte von 6 in irgend einem Punkte Zusammenhängen,
der zu einem von P.bzw. t" verschiedenen Parameterwerte gehört.
Denn jene beiden Abschnitte von 6 müßten, falls <'•<<'' angenommen
wird, als abgeschlossene Punktmengen einen bestimmten Minimalabstand
haben, der nicht Null sein kann, da andernfalls 6 einen Doppelpunkt
besitzen würde.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz. 207

Abschnitte und sind zwei zusammenhängende

Punktmengen, deren eine ausschließlich aus Punkten
des einen, die andere aus solchen des anderen Ab-
schnittes besteht und deren jede Punkte in beliebiger
Nähe von p0 und P enthält, so ist die Vereinigungs-
menge der Mengen iß,, und ihrer Grenzpunkte mit
(5 identisch.

Denn auf Grund des vorstehenden Satzes folgt, daß von
den beiden abgeschlossenen Mengen ^2 die eine mit dem
einen, die andere mit dem anderen Abschnitt von 6 identisch ist.

3. Hilfssatz II. Eine offene Jordansche Kurve
kann niemals die vollständige Begrenzung eines im
Endlichen gelegenen Bereiches 93 bilden.

Beweis. Angenommen, das Gegenteil sei der Fall: dann
läßt sich nach dem Satze am Schlüsse von § 1, Nr. 4 aus den
ßandpunkten von 93, also aus den Punkten von S eine zyklisch
zusammenhängende Menge lim {P«’J} herausheben, die von

V — ► 00

innen durch eine Folge sich gegenseitig umschließender Trep-
penpolygone beliebig approximiert werden kann. Wir bilden
aus dieser zyklischen Punktmenge in folgender Weise zwei
gesonderte Mengen. Es sei (mit Beibehaltung der beim Be-
weise des Hauptsatzes von § 1, Nr. 2 benützten Bezeichnungen)
{P^} die erste Menge der Mengenfolge {P^1} (v = 0, 1, 2, . . .)
und P^0 (wo m0 > 1) ein beliebiger Punkt derselben. Wir bilden
aus der Anfangsmenge {P,^} die beiden Mengen:

p(0) n(0) p(0)

XI X 2 , . . . X niQ

p(0) p(n) p(°)

x m0 X ,„0 +1 , • • • X „q

(wo also das Glied Pj^ zweimal auftritt). Nach dem beim
Beweise des Satzes von § 1, Nr. 2 entwickelten Verfahren
schließt sich dann an jede dieser Mengen eine unbegrenzte
Folge von Mengen an :

pM
ri ,

pW

D > •

p(,f)

• • mv ?

wo: Pi”* =

p(0) p(v) p( 0) ■

X 1 , X mv X WQ

!(*-=

0,

pW
x mv j

pM

X ,nv+l 1 •

. . P'n

nv

pi*)

X »iy

P'Z HmP^ = Pl0)

V— f 00

|1, 2,..

.).

208

A. Pringsheim

Jede der beiden zugehörigen Vereinigungsmengen ist zu-
sammenhängend. Da sie beide zusammengenommen die zy-
klisch zusammenhängende Menge lim {P^} liefern, welche,

V — ► CO

wie bemerkt, durch eine Folge sich umschließender, also sich be-
ständig erweiternder Treppenpolygone beliebig approximiert
werden kaun, so folgt, daß jene beiden aus lauter Punkten
von Q bestehenden Vereinigungsmengen nach Hinzunahme ihrer
Grenzpunkte zwei linienhafte Kontinua bilden, welche
die zwei Punkte Pi(0), gemein haben, im übrigen keines-
falls identisch sein können. Diese beiden linienhaften Kon-
tinua müssen dann nach Hilfssatz I mit zwei verschiedenen,
die Punkte P}0) und PmJ verbindenden Bögen der Jordan-
schen Kurve (£ zusammenfallen, die letztere muß also ge-
schlossen sein.

Zusatz. Da jeder zusammenhängende Teil einer (offenen
oder geschlossenen) Jordanschen Kurve eine offene Jor-
dan sehe Kurve ist, so folgt: Bildet eine Jordansche Kurve
die vollständige Begrenzung eines im Endlichen ge-
legenen Bereiches, so kann keiner ihrer Teile einen
anderen Bereich begrenzen.

4. Hauptsatz. Eine geschlossene Jordansche Kurve
(£ zerlegt die Ebene in zwei und nur zwei getrennte
Gebiete.

Beweis. Es sei A ein am weitesten nach links, B ein
am weitesten nach rechts gelegener Punkt von 6. Diese
beiden Punkte zerlegen die Kurve in zwei Bögen, einen un-
teren und einen oberen, die wir durch Ansetzen beliebig
(insbesondere beliebig klein) zu denkender horizontaler Strecken
AA\ BB‘ nach links bzw. nach rechts verlängern. Hier-
durch wird der Charakter jener beiden Bögen als offene
Jordansche Kurven nicht geändert.

Wir denken uns nun durch die Punkte A‘ und B1 zwei
nach beiden Seiten unbegrenzte Vertikalen b,, b2 gezogen und
gehen darauf aus zu zeigen, daß jeder der beiden Kurvenbögen

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

209

A‘ A . . . BB1, die wir mit 61, @2 bezeichnen wollen, den so
entstandenen unendlichen Parallelstreifen in zwei getrennte
Gebiete zerlegt. Hierzu wenden wir dasjenige Verfahren an,
welches in § 1, Nr. 2 zur Approximation der äußeren Beran-
dung eines Bereiches durch eine Folge von Treppenpolygonen
diente, auf einen jener beiden Kurvenbögen, etwa den unteren
6, an.

Wir schließen also den letzteren zunächst in ein Quadrat,
dann in einen quadratischen Ring von Teilquadraten und,
von diesem ausgehend, in ein Treppenpolygon £0 ein, dem
wir wieder eine bestimmte endliche Menge {P^} von „ausge-
zeichneten Randpunkten“, d. h. von Punkten des Bogens
zuordnen. Bei weiterer Fortsetzung des a. a. 0. beschrie-
benen Verfahrens ergibt sich dann wieder eine unbegrenzte
Folge in einander liegender Treppenpolygone %v (v = 1,
2, 3, . . .), welche den Kurvenbogen 61, immer enger um-
schließen, dazu eine gleichfalls unbegrenzte Folge sich be-
ständig verdichtender endlicher Mengen {P»l} von 6!-Punkten,
denen jene Treppenpolygone unbegrenzt näher rücken, ohne
jemals einen dieser Punkte zu erreichen. Wir treffen nun die
weitere Verfügung, daß bei allen möglichen die beiden
äußersten Vertikalseiten durch entsprechende Stücke der beiden
Grenzvertikalen tq , b2 ersetzt werden sollen. Dadurch gelangen
die beiden 61-Punkte A‘ und B1 auf die Begrenzung aller %y,
während im übrigen keinerlei wesentliche Änderung eintritt.
Werden jetzt die beiden (neu geschaffenen) äußersten Vertikal-
seiten der wieder ausgeschaltet, so zerfällt jedes Xv in zwei
Treppenwege, einen unteren und einen oberen t„. Zu-
gleich zerfällt auch jede der Punktmengen {P,^} (v— 1,2, 3, . . .)
in zwei solche, deren eine dem Treppen wege t„, die andere
dem Treppenwege tv zugeordnet ist und die beide zwischen
tv und tv verlaufen. Die Vereinigungsmenge einer jeden
dieser beiden Punktmengenfolgen mit Hinzunahme ihrer Grenz-
punkte (zu denen auch A‘ und B‘ gehören) muß dann nach
Hilfssatz I mit 6! identisch sein. Da andererseits jedes jh

210

A. Pringsheim

und jedes t,. (v = 1,2,3,...) den von tij, ü2 begrenzten Parallel-
streifen in zwei und nur zwei getrennte Gebiete, ein Unter-
gebiet und ein Ober gebiet, zerlegt, so gilt das gleiche von
61, da ja auf Grund von Hilfssatz II bereits feststeht, daß
nicht etwa ein Teil von 61 ein Sondergebiet begrenzen könnte.

Ebenso ergibt sich, daß auch der (abgesehen von den
Strecken A‘ A und BB‘ ) vollständig dem Obergebiet von 61
angehörige obere Kurvenbogen 62 den Parallelstreifen in zwei
Gebiete zerlegt. Dabei können die zwei durch 61 und ©2
hervorgebrachten Zerlegungen nicht identisch sein, da sonst
61 und 62 identisch sein müßten. Es muß daher ein Teil
des Obergebietes von 6! mit einem Teil des Untergebietes
von 62 zusammenfallen, und es wird daher der Parallelstreifen
durch die beiden Bögen 61 und 62 in drei Stücke zerlegt,
von denen die beiden äußeren sich ins Unendliche erstrecken,
das mittlere, gleichzeitig von 61 und 62 begrenzte, ganz im
Endlichen liegt. Denkt man sich jetzt die beiden Ansatzstücke
AA‘ und BB‘, sowie die beiden Vertikalen ö, , D2 ausgeschaltet
und die beiden Bögen von 6, die nach Wegnahme der Strecken
AA' und BB‘ mit 6j, 62 bezeichnet werden mögen, zu der
geschlossenen Kurve 6 zusammengefaßt, so zerlegt die
letztere die Ebene in genau zwei getrennte Punktmengen,
eine äußere, von der bereits feststeht, daß sie ein einziges
zusammenhängendes (übrigens sich ins Unendliche erstrecken-
des) Gebiet bildet, und eine innere, von der noch zu zeigen
ist, daß sie gleichfalls ein einziges zusammenhängendes Gebiet
bildet. Dazu ist nur der Nachweis erforderlich, daß zwei be-
liebige, im Innern von 6 liegende Punkte P, P‘ durch eine
ganz im Innern von 6 verlaufende gebrochene Linie verbun-
den werden können.

Wir bemerken zunächst, daß durch die vorstehende Be-
trachtung für jeden der beiden Kurvenbögen 6lt 62 eine be-
stimmte Seite als untere, die andere als obere festgelegt ist.
Insbesondere hat diejenige Seite des (unteren) Kurvenbogens 6n
an welche die im Inneren von 6 liegenden Punkte angrenzen,
als obere zu gelten.

Äußere Berandung und Jordanscher Kurvensatz.

211

Da der Punkt P einen gewissen von Null verschiedenen
Minirnalabstand von © besitzen muß, so läßt er sich mit einem
ganz aus Innenpunkten von © bestehenden Quadrat umgeben,
von dem ausgehend man nach der Vorschrift von § 1, Nr. 4
eine unbegrenzte Folge ganz von Innenpunkten der Kurve (5
erfüllter und begrenzter, sich gegenseitig umschließender
Treppenpolygone Xv ( v = 1, 2, 3, . . .) nebst einer ent-
sprechenden Folge endlicher Mengen {Pn^} von „ausgezeich-
neten“ Randpunkten, d. h. ©-Punkten hersteilen kann,
denen jene Treppenpolygone unbegrenzt näher rücken. Die
beim Beweise des Hilfssatzes II angewendete Schlußweise zeigt
dann, daß die (wiederum zyklisch zusammenhängende) Ver-
einigungsmenge lim {Pnl\ nach Hinzunahme ihrer Grenz-

V— ► 00

punkte mit der Kurve (5 identisch sein muß. Bei dem obigen
Verfahren muß nun unter den ausgezeichneten ©-Punkten
einmal ein erster auftreten, der (von A und B verschieden)
dem unteren Bogen ©, angehört. Er werde mit P, , der auf
der zugeordneten Quadratseite des entsprechenden Treppen-
polygons, etwa %m, ihm gegenüber liegende mit Q bezeichnet.
Die Strecke QP, liegt dann, abgesehen von dem Punkte P,
ganz im Innern von ©. Da sich andererseits der Punkt P
mit Q durch einen im Innern von S£m, also auch von © ver-
laufenden Streckenzug verbinden läßt, so liefert der Strecken-
zug PQPX eine im Innern von © verlaufende Verbindung
von P mit der oberen Seite von ©j.

Genau in derselben Weise läßt sich auch für den Punkt P‘
eine analoge Verbindung P1 Q‘ P\ mit einem Punkte PI der
oberen Seite von ©t herstellen.

Nun läßt sich aber die obere Seite von ©j durch die
im ersten Teil des vorliegenden Beweises mit t„ bezeichneten
Treppenwege in der Weise approximieren, daß jeder Punkt
des Treppenweges einen beliebig klein vorzuschreibenden Ab-
stand von ©j hat. Da das Bogenstück Pi P\ von dem oberen
Kurvenbogen ©2 einen gewissen Minimalabstand hat, so muß

212

A. Pringsheim, Äußere Berandung etc.

bei hinlänglich großem v der Treppenweg die Strecken
Q Pj , Q' P[ nahe bei Pl bzw. Pi in zwei Punkten bzw. Q\
treffen und das Wegstück Qi Q{ dem Untergebiete von Q2 an-
gehören, also im Innern von (Ä liegen Der aus PQQ\Q[Q‘ P‘
bestehende Streckenzug liefert dann eine im Innern von (£
verlaufende Verbindung von P und P'.

Damit ist der ausgesprochene Satz bewiesen.

213

Zur

topologischen Untersuchung geometrischer Gebilde.

Von H. Künnetli in Erlangen.

Vorgelegt von W. v. Dyck in der Sitzung am 17. Juni 1922.

Die einfachsten unterscheidenden Merkmale mehrdimen-
sionaler Mannigfaltigkeiten sind vom Standpunkt der Analysis
situs aus die als „Bettische Zahlen“1) bekannten Zusammen-
hangszahlen. In meiner Dissertation2) habe ich bewiesen, wie
man für gewisse Mannigfaltigkeiten, die durch eine Art Produkt-
bildung3) aus gegebenen Mannigfaltigkeiten entstanden sind,
die Bettischen Zahlen mittelst einer einfachen Formel berechnen
kann, wenn die Bettischen Zahlen der Faktoren bekannt sind,
und habe gezeigt, wie man ein vollständiges System durch
keine Homologie verbundener, geschlossener, orientierbarer
Mannigfaltigkeiten in der Produktmannigfaltigkeit finden kann,
wenn solche Systeme in den Faktoren bekannt sind.

Ich will hier einige der dort gemachten Anwendungen
der Formel mitteilen auf Mannigfaltigkeiten, wie sie sich an
anderen Stellen der Literatur vorfinden. Der Satz selbst lautet:

Sind Pp, bzw. Pp die Bettischen Zahlen ^-ter Dimension
einer w-dimensionalen Mannigfaltigkeit A, bzw. einer m-dimen-

b Nach der zweiten Definition Poincares, „Compl. ä l’analysis situs“,
Rend. del Circ. Mat. di Palermo, t. XIII, a. 1899, S. 286 f.

2) .Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit.“
Diss. Erlangen 1922.

3) S. Steinitz, .Beiträge zur Analysis Situs“, Sitz.-Ber. d. Berl. Math.
Gesellsch., 7. Jahrg. 1908, S. 42 ff. (Archiv d. Math. u. Phys., III. Reihe,
Band 13).

214

H. Kiinneth

sionalen Mannigfaltigkeit B, so findet man die Bettische Zahl P\
l- ter Dimension der Produkmannigfaltigkeit C = AB aus:

Pf-l P=l,...(» + m-l)]. (1)

P = 0

Dabei sind folgende Festsetzungen getroffen:

Für jede w-dimensionale Mannigfaltigkeit ist Pp = 1, wenn
p < 0 oder p~> n. Für jede w-dimensionale zusammenhängende
Mannigfaltigkeit ist: P0 = 2 und, wenn sie geschlossen orien-
tierbar ist, Pn = 2, wenn sie berandet oder nicht orientierbar,
geschlossen ist, P„= 1. Diese Festsetzungen sind wegen ihrer
Zweckmäßigkeit für den vorliegenden Fall gemacht worden,
ergeben sich aber auch, wenn man die formale Definition der
Bettischen Zahlen nach der zweiten Art Poincares auf alle
Werte von p anwendet.

Ist C das Produkt von mehr als 2 Faktoren, C = A1A2
. . . A„-iA„, so findet man die Bettischen Zahlen von C durch
wiederholte Anwendung von (1) aus:

PI- 1 =

V (K

*1. &2 — kn

fcl + Ä2 H h kn = k

1) (P^1, - 1) . . . (Pl - 1) (Pfc\ - 1), (2)

wobei der untere Index eines jeden P die Dimension, der obere
die zugehörige Mannigfaltigkeit bezeichnet.

1. Als Anwendung von (1) ergibt sich für den Fall der
Torusfläche, dem Produkt zweier Kreise A und B, aus Po =
Pf = P^ = Pf = 2 r

Pi' = (Po - 1) (Pf- 1) + (Pf - 1) (Po^ - 1) + 1 = 3.

2. Wenden wir uns nun den von Steinitz angeführten
Beispielen von Produktmannigfaltigkeiten zu. Das eine ist die
fünfdimensionale Mannigfaltigkeit der reellen Flächenelemente
im projektiven dreidimensionalen Raume 9t3, wobei unter einem
Flächenelement die Kombination einer Ebene mit einem auf
ihr liegenden Punkt zu verstehen ist. Die Faktoren dieser

Zur topolog. Untersuchung geometr. Gebilde.

215

Mannigfaltigkeit sind die projektive Ebene1); d. h. eine nicht
orientierbare geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeit,
für welche P, = 1, und der projektive Raum flt3, d. h. eine
orientierbare geschlossene, dreidimensionale Mannigfaltigkeit,
für welche Px = P2 = 1 ist. Für die Produktmannigfaltig-
keit erhält man dann :

Pi = P2 = P4 = P5 = l; P3 — 2

3. Das zweite von Steinitz angeführte Beispiel einer Produkt-
mannigfaltigkeit liefert die komplexe Punktmannigfaltigkeit
einer Fläche 2. Grades und die durch die gleiche Produkt-
mannigfaltigkeit darstellbare Mannigfaltigkeit der reellen, mit
Richtungssinn versehenen Geraden im 9t3. Beide Mannigfaltig-
keiten sind vom Typus des Produktes zweier Kugelflächen.
Dieselbe Mannigfaltigkeit finden wir auch bei Study2) in „Bei-
trägen zur nicht-euklidischen Geometrie“. Nach Study läßt
sich das Kontinuum aller reellen Speere im elliptischen (oder
sphärischen) Raum überall eindeutig und stetig abbilden auf
das Kontinuum aller reellen Paare von Punkten, die man
2 Kugeln (des reellen euklidischen Raumes) vom Radius 1 ent-
nehmen kann3). Das Kontinuum dieser Punktpaare läßt sich
wieder eindeutig und stetig abbilden auf das Kontinuum der
Punkte der aus den beiden Kugeln gebildeten vierdimensionalen
Produktmannigfaltigkeit C. In diesem Falle sind A und P
Kugelflächen, also Pf = Pf = 1. Aus (1) ergeben sich dann
für C die Bettischen Zahlen :

PI = 1; Pl = 3; Pl= 1.

Es gibt also, da PI — 1 = 2 ist, 2 Arten von geschlos-
senen orientierbaren, unabhängigen zweidimensionalen Mannig-

J) Nach dem Dualitätsprinzip ist die Mannigfaltigkeit aller Flächen-
elemente (Ebenen) durch einen Punkt X des 9t3 gleichwertig der Mannig-
faltigkeit aller Geraden durch X und daher durch Perspektivität gleich-
wertig der Mannigfaltigkeit aller Punkte einer Ebene.

2) American Journal of Mathematics, vol. XXIX, 1907.

3) Ebenda, S. 121.

216

H. Künneth

faltigkeiten in C, die nickt homolog Null sind, und zwar sind
dies die Produkte von A mit Punkten aus B und die Produkte
von B mit Punkten aus A. Im elliptischen Raum ergeben
diese zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten Speerkongruenzen;
es sind die „rechts-, bzw. links-syntaktischen Kongruenzen“
Studys1). Die Geraden, auf welchen diese Speere liegen, bilden
Strahlennetze ohne (reelle) Leitstrahlen. Diese zweierlei Arten
von geschlossenen Mannigfaltigkeiten in C , die sich nicht durch
stetige Transformation auf einen Punkt zusammenziehen lassen,
liefern im elliptischen Raum die linksseitigen und rechtsseitigen
Schiebungen. Bei der komplexen Punktmannigfaltigkeit einer
Fläche 2. Grades, die ja auch G äquivalent ist, entspricht jeder
geschlossenen Mannigfaltigkeit der einen oder der anderen Art
die zweidimensionale komplexe Punktmenge einer Erzeugenden
der einen oder der anderen Schar.

4. Kehren wir nun wieder zum Beispiel Studys zurück
und betrachten auch den Fall, wo das Komplexe in die Unter-
suchung miteinbegriffen wird. Je nach der Art der zu Grunde
gelegten Definition für die komplexen Speere erhält man zwei
verschiedene Kontinua. Study unterscheidet deshalb zwischen
„Speeren“ und „Pfeilen“. Die reellen und komplexen Speere
sind gerichtete Gerade, die zwei, einen oder unendlich viele
Punkte mit der absoluten Fläche gemeinsam haben2). Die reellen
und komplexen Pfeile werden dagegen eindeutig dargestellt
durch die Paare von Punkten auf der absoluten Fläche2), wobei
auch die verschiedene Reihenfolge der Punkte innerhalb eines
Paares zu unterscheiden ist, oder durch das achtdimensionale
Kontinuum aller Quadrupel reeller Punkte, die man einzeln
vier reellen Kugelflächen entnehmen kann3). Dieses Konti-
nuum läßt sich aber wieder eindeutig und stetig abbilden auf
das Kontinuum der Punkte der aus den vier Kugelflächen ge-
bildeten Produktmannigfaltigkeit C.

*) Study, a. a. 0., S. 132.

2) Study, a. a. 0., S. 157.

3) Study, a. a. 0., S. 158.

Zur topolog. Untersuchung geometr. Gebilde.

217

Nach (2) ergibt sich für die Bettischen Zahlen von C:

5. Eine Verallgemeinerung der Produktmannigfaltigkeit
zweier Kugelflächen, d. h. also zweier zweidimensionaler sphä-
rischer Mannigfaltigkeiten auf die Produktmannigfaltigkeiten
zweier sphärischer Mannigfaltigkeiten höherer Dimension findet
sich bei Poincare in seiner ersten Arbeit über „ Analysis situs“1).
Er bespricht dort als 8. Beispiel eine Mannigfaltigkeit W von
(2 q — 2) Dimensionen im 2 g-dimensionalen Raum, die durch
folgende Gleichungen in den inhomogenen Koordinaten yt, #,•
gegeben ist:

y\ -4- y\ + • • • -f y\ — l ,
4 + • • • + 4 = 1 •

(a)

(b)

Diese Mannigfaltigkeit ist vom Typus eines Produktes
aus zwei (q — 1) dimensionalen sphärischen Mannigfaltigkeiten.
Betrachtet man nämlich (a) und (b) als die Gleichungen je
einer sphärischen (q — 1) dimensionalen Mannigfaltigkeit A bzw.
B im (^-dimensionalen Raum, so entspricht jedem Punktpaar
aus A und B, wobei immer ein Punkt des Paares aus A, der
andere aus B zu entnehmen ist, umkehrbar eindeutig ein Punkt
von W. Es ist also W gleichwertig dem Produkte A ■ B , und
da für jede ( q — 1) dimensionale sphärische Mannigfaltigkeit
Pp = 1, wenn 0 <p <q — 1, und P0 = Pt~i = 2, so ergibt
sich für die Bettischen Zahlen von W aus (l)2):

Pp = 1 für 0 < p < q — 1 und q — 1 <.p < 2 q — 2; Pq- 1 = 3.

Zwei voneinander unabhängige geschlossene, zweiseitige,
(q — 1) dimensionale Mannigfaltigkeiten, die nicht homolog Null
sind, werden dabei erhalten durch das Produkt von A mit
einem Punkte von B , bzw. durch das Produkt von B mit
einem Punkte von A.

B Journal de l’ecole polyt., 2. ser., cah. 1, S. 88.

2) Poincare kommt zu dem gleichen Ergebnis auf anderem Wege,
a. a. 0., S. 96 f.

Sitzungsb. d. matli.-phys. KI. Jalirg. 1922.

15

218

H. Künneth

6. Es seien jetzt einige Mannigfaltigkeiten betrachtet, wie
sie bei W. v. Dyck in den „Beiträgen zur Analysis situs“ auf-
treten1). Dyck hat dort ein Verfahren gezeigt, wie man jede,
im reellen projektiven 9t(i+i gelegene w-dimensionale Mannig-

O

faltigkeit 2. Grades Mn, die bei Verwendung homogener Koor-
dinaten gegeben sei durch die Gleichung:

2.2, .22 2 2 2 «
*1 + X2 H + Xv — Xy+l — Xv + 2 Xn + i — X„ + o = 0

[y < n -j- 1]

ein = eindeutig abbilden kann auf eine Mannigfaltigkeit N„,
die gegeben ist durch :

(n-|- 1 \ 2 V

Efn— a2fü + iDl?<0 a > 2

»=i / »=i

(in homogenen Koordinaten im 3t„).

Die durch F<^0 bestimmte berandete Mannigfaltigkeit
sei mit N„, ihre durch die Gleichung F = 0 gegebene Be-
randung mit Rn- i bezeichnet. Die Bettischen Zahlen von N„
und Rn- 1 sollen berechnet werden. Es sei noch folgendes
bemerkt: Für die im projektiven Sinn im Unendlichen ge-

Q

schlossene würde man eine ein — eindeutige Abbildung
erhalten durch eine Mannigfaltigkeit N«, die aus N„ entsteht,
wenn man die Punkte der Berandung Rn-i, die den uneigent-
lichen Punkten von M„ entsprechen, in bestimmter Weise paar-
weise als inzident betrachtet2).

Die Mannigfaltigkeiten N„ und R„—i sind nun, wie die
Dyckschen Betrachtungen zeigen, darstellbar als Produktmannig-
faltigkeiten, und zwar ist Nn äquivalent dem Produkt einer
(r — 1) dimensionalen sphärischen Mannigfaltigkeit3) S,.-\ mit
einer ( n — v -p 1) dimensionalen Elementar- Mannigfaltigkeit

J) Mathematische Annalen, Bd. 37, S. 284 ff. und S. 308 ff.

2) Dyck, a. a. 0., S. 309.

3) Die sphärische 0- dimensionale Mannigfaltigkeit ist dabei das
Punktepaar, die geschlossene zusammenhängende O-dimensionale Man-
nigfaltigkeit der einzelne Punkt.

Zar topolog. Untersuchung' geometr. Gebilde.

219

En-v-\. i, und Rn-i ist äquivalent dem Produkte von £v_i
mit der sphärischen Berandung Sn~v von En-r + x. Auch für
v = n + 1 läßt sich eine entsprechende Produktmannigfaltig-
keit Nn bilden. Eine Rn-i ist in diesem Falle nicht vor-
handen. N„ ist dann identisch mit 31,,.

Für die Bettischen Zahlen von Nn erhält man nach (1)
Pi = 1 , für lA'-v — 1; Pv- 1 = 2
und für die Bettischen Zahlen von Rn-\'-

_j |

wenn v 4= — — — : Pi — 1 , für Ipv — 1 , n~v; P,. _i = P„_v = 2,

(L

» + 1 7J , «. 7+*-l T>n~ 1 Q

wenn v = — -- — : Pi = 1 , für 1 41 — - ; P — = 3.

U U Li

Dieselbe Mannigfaltigkeit R„ _ i erhält man nach Dyck
auch als Produkt einer sphärischen ( v — 1) dimensionalen Mannig-
faltigkeit Sv-i mit einer linearen Mannigfaltigkeit (n — v) ter
Dimension P„_v, die sich ins Unendliche erstreckt. Faßt man
aber alle unendlich fernen Elemente zu einem einzigen Punkt
zusammen, so ist L„-y äquivalent einer ( n — v) dimensionalen
sphärischen Mannigfaltigkeit und man erhält dieselbe

Bildung von Rn-i, wie oben.

Die Gesamtheit der durch F 0 bestimmten Punkte des
sphärischen sei bezeichnet mit N„ . Auch N,[ ist vom Typus
einer Produktmannigfaltigkeit und zwar äquivalent dem Pro-
dukte von S'n-V mit der Elementarmannigfaltigkeit E',,, deren
Berandung Sl-i ist.

Die Bettischen Zahlen von N'„ sind demnach:

Pi = 1 , für l 4= n — v ; Pn_v = 2.

Für Nn , N. ,1 und R„- i wurden von Dyck die Charakteri-
stiken bestimmt1). Benützt man zu ihrer Bestimmung die ver-
allgemeinerte Eulersche Polyederformel, die sich unter Berück-
sichtigung der Festsetzungen, P0 und P„ betreffend, darstellen
läßt durch :

l) A. a. 0., S. 288 und S. 297.

15*

-20 H. Künneth, Zur topol. Untersuchung geouietr. Gebilde.

£ (-i)‘«. = £ (-i)' (P. -i),

« = 0 « = 0

so erhält man :

für jV„: 2, wenn v ungerade; 0, wenn v gerade,
für Ni,: 2, wenn n — v gerade; 0, wenn n — v ungerade,
für jR„_i: 0, wenn n gerade, oder wenn n ungerade und
v gerade,

4, wenn n und v ungerade.

Was nun die Bettischen Zahlen von Nn und damit von
Mt betrifft, so hängen diese nicht allein von den Bettischen
Zahlen von Nn und Rn-\ ab, sondern auch von der Art der
Zuordnung der Elemente von die als inzident zu be-

trachten sind. Doch soll hier auf diese Frage nicht weiter
eingegangen werden, da sie besondere Betrachtungen erfordern
würde.

221

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

Von Artur Rosenthal.

Yorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 8. Juli 1922.

Jedes Oval wird bekanntlich von irgend einer Geraden der
Ebene in höchstens zivei Punkten getroffen. Wir stellen nun
die Frage: Gibt es in der Ebene geometrische Gebilde, welche
von jeder Geraden in genau zwei Punkten getroffen werden?
Solche triviale Figuren, an die man zunächst denken könnte,
wie zwei sich schneidende Gerade, leisten natürlich das Ge-
wünschte nicht. Aber man kann mit Benutzung des Wohl-
ordnungssatzes die Existenz jener fraglichen Gebilde nachweisen.
Und dasselbe ist möglich, wenn man oben die Zahl -2 durch
irgend eine andere Anzahl n > 1 ersetzt, oder wenn man von
der Ebene zum Raum (oder zu allgemeineren Räumen) über-
geht; auch kann man an Stelle der Geraden andere Kurven-
scharen und allgemeinere Systeme von analogen Gebilden zu
Grunde legen. Ferner ergeben sich, wenn man von den
„genau n Schnittpunkten“ zu den sonst immer betrachteten
„höchstens n Schnittpunkten“ zurückkehrt, weitere in gleicher
Weise positiv zu beantwortende Existenzfragen, insbesondere
die Frage, ob jede beliebige (n enthaltende) Auswahl aus den
Zahlen 0, 1, 2, . . ., n als Schnittpunktzahlen geometrischer
Gebilde mit den Geraden möglich ist (§ 1). Wir wollen übrigens
folgende Bezeichnungsweise benutzen : Bekanntlich heißt ein
ebenes Gebilde (eine Kurve) (5 von n- ter Ordnung , wenn (5 mit
jeder Geraden höchstens n Punkte gemeinsam hat und wenn
es wirklich mindestens eine Gerade der Ebene gibt, von der 6

222

A. Rosenthal

in genau n Punkten getroffen wird. Wir wollen nun die Zahl
der Schnittpunkte, in denen 6 von irgend einer Geraden ge-
troffen wird, als einen „Ordnungsindex“ von 6 bezeichnen.
Der größte „Ordnungsindex“ von 6 ist die „Ordnung“ von 61).
Und unsere Gebilde, die von jeder Geraden in genau n Punkten
getroffen werden, besitzen einen einzigen Ordnungsindex, näm-
lich n.

Die Gebilde mit einzigem Ordnungsindex n können noch
wechselnde Eigenschaften besitzen; sie können insbesondere so-
wohl überall dicht, wie nirgends dicht sein. Stets aber haben
dieGebilde von endlicher (oder abzählbarer) Ordnung das innere
Maß Null (§ 2). Eine besonders wichtige Frage wird die sein,
ob und wann unsere Gebilde Kontinua enthalten können. Wir
werden hier in dieser Hinsicht im wesentlichen nur die ebenen
Gebilde 2. Ordnung genauer betrachten, wie wir überhaupt
hier nur einen Ausschnitt aus Untersuchungen geben, die nach
verschiedenen Richtungen geführt sind und noch weiter ver-
folgt werden sollen. Für die ebenen Gebilde mit einzigem
Ordnungsindex n — 2 ist die Existenz eines Teilkontinuums
unmöglich ; dagegen ist leicht zu sehen, daß für n^> 4 solche
Teilkontinua, die sogar in gewissem Umfang vorgeschrieben
werden dürfen, auftreten können (§ 3). Weiterhin wird allge-
meiner gezeigt (§ 4), daß ebene Kontinua 2. Ordnung stets
konvexe Kurven sein müssen und daß solche nur dann in einem
ebenen Gebilde 2. Ordnung enthalten sein können, wenn alle
Ordnungsindizes 0, 1, 2 gleichzeitig (und zwar sogar in Mäch-
tigkeit c) Vorkommen.

J) Wenn die Ordnungsindizes nicht, wie oben angenommen, be-
schränkt sind, so ist die Ordnung als die obere Grenze der Ordnungs-
indizes zu definieren. Ein Gebilde 6 heißt also dann von n-ter Ordnung,
wenn G von jeder Geraden in höchstens n Punkten getroffen wird und
dabei n nicht verkleinert werden kann.

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

223

§ 1. Existenz der Mengen mit einzigem Ordnungsindex n.

Wir wollen zunächst den Beweis für die Existenz der
ebenen Mengen mit einzigem Ordnungsindex n erbringen, wenn
n irgend eine endliche l) Anzahl >2 ist. Für n— 1 ist die
Existenz einer derartigen Menge selbstverständlich unmöglich
(enthält nämlich eine solche Menge zwei Punkte, so trifft deren
Verbindungsgerade die Menge bereits in mindestens 2 Punkten).
Wir betrachten also den Fall n > 1 : Nach dem Wohlordnungs-
satz existiert eine Wohlordnung der Menge aller Geraden g
unserer Ebene @ und zwar existiert speziell eine Wohlordnung
dieser Menge von der Form

(1) 9i > 5^2 > 9$ > • • • i • • • a <C i2c,

wobei Qc die kleinste Ordnungszahl ist, die der Mächtigkeit c
des Kontinuums entspricht, also die Anfangszahl der c zuge-
hörigen Zahlenklasse Z(c). Ferner existiert eine ebensolche
wohlgeordnete Reihe der Punkte P von @, nämlich

(2) P,, P2, P3, ..., Pa, ... a<Qc.

Die ersten n Punkte von (2), die auf gx liegen, seien mit

(3) Ql Ql . . ., Qnx

bezeichnet. Ferner nehmen wir die ersten ( n — 1) bzw. n Punkte
von (2), die auf g2 , aber nicht auf </, liegen, je nachdem g2
durch einen der Punkte (3) hindurchgeht oder nicht; diese
Punkte seien:

(4) Ql, Ql ..., Q?~l («).

Die Gesamtheit der Verbindungsgeraden aller Punkte von
(3) und (4) sei mit P3 bezeichnet2). g3 ist entweder eine Ge-
rade von P3 oder nicht, und in letzterem Fall kann g3 ent-
weder einen Punkt von (3), (4) enthalten oder nicht; ent-
sprechend diesen Fällen nehme man die ersten ( n — 2) oder

Ü Der Beweis ist in gleicher Weise auch gütig, wenn n die Mäch-
tigkeit a der abzahlbaren Mengen bedeutet.

2) Auch (j\ und g2 gehören zu _T3.

224

A. Rosenthal

(n — 1) oder n Punkte von (2), die auf g3 liegen, aber keiner
von g3 verschiedenen Geraden von ra angehören :

(5) Ql Ql Q?-\ ( QT\ ft").

Die Menge der Verbindungsgeraden aller Punkte (3), (4),

(5) werde mit I\ bezeichnet. Usw. Allgemein: Es sei a < Qc;
für alle Zahlen ß < a sollen auf gß die Punkte

(6) Qi , Qß Qnß~\ {Qnß~\ Q'ß)

bereits bestimmt sein. Die Gesamtheit der Verbindungsgeraden
sämtlicher Punkte (6) für alle Zahlen ß < a soll mit ra be-
zeichnet werden. ga kann eine Gerade von ra sein oder nicht,
und in letzterem Fall kann ga einen der Punkte Qß enthalten
oder nicht; entsprechend diesen Fällen wähle man aus (2) die
ersten ( n — 2) oder ( n — 1) oder n Punkte

(7) Ql Ql q:~\ (q:~\ qd

aus, die auf gu liegen, aber keiner von ga verschiedenen Ge-
raden von j Fa angehören. Dies ist immer möglich, weil die
Schnittpunkte des Systems -Ta mit ga eine Menge von geringerer
Mächtigkeit als c bilden; denn ist X die Mächtigkeit des zu
a gehörenden Abschnittes, so ist K < c und daher auch

(8) (n • N)2 < c ,

also hat auch die Gesamtheit der Geraden von Ta eine Mäch-
tigkeit <1 c. Wir sind deshalb sicher, daß das Verfahren nicht
vor vollständiger Durchlaufung von (1) abbrechen kann. Die
Menge G aller Punkte Qa (a < Qc) leistet daher das Ge-
wünschte, d. h. sie wird von jeder Geraden der Ebene in ge-
nau n Punkten getroffen.

Vom vorstehenden sind zahlreiche Verallgemeinerungen
möglich, die wir kurz angeben wollen, wenn wir uns auch in
den folgenden Paragraphen nur auf die oben betrachteten
ebenen Mengen beschränken werden: Zunächst gilt alles vorige
natürlich nicht nur in der Ebene, sondern genau ebenso auch
in jedem 3- oder mehrdimensionalen linearen Baum. Außerdem
kann man in analoger Weise verfahren, wenn man statt der

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

225

Geraden g irgend welche Scharen K von Kurven ft [z. B.
Kreisen, Ellipsen und dgl.] betrachtet, derart, daß jedes Indi-
viduum ft durch k seiner Punkte in K bestimmt ist. Es er-
gibt sich dann die Existenz von Mengen, die mit jeder Kurve ft
unserer Schar K genau n PunJcte gemeinsam haben, wenn nj>Jc ist.
Man hat dabei das obige Verfahren insofern etwas zu modifi-
zieren, als nach Erledigung von ß < a die Punkte (7) auf ftu
nicht gleichzeitig eingeführt werden dürfen, sondern nach ein-
ander. D. h.: Man wähle zuerst Ql auf Ä«, so daß Ql keinem
(von fta verschiedenen) Gebilde ft von Va angehört, und bilde
die Gesamtheit r\ von Kurven ft, die durch je Je aus den
Punkten ( Qß , bestimmt sind; dann wähle man Qa auf fta

so, daß Q2a keinem (von verschiedenen) Gebilde Ä von
angehört, und bilde die Gesamtheit r\ von Kurven ft, die durch
je Je aus den Punkten (Qß, Ql, Ql) bestimmt sind; usw.; das
letzte zu a gehörige V« werde sodann mit + i bezeichnet.

In gleicher Weise kann man noch weiter verallgemeinern,
einmal, indem man die Scharen von Geraden oder Kurven durch
Gesamtheiten anderer Gebilde g ersetzt, von denen jedes ein-
zelne durch Je seiner Punkte bestimmt ist, und andererseits,
indem man zu ganz beliebigen Räumen 3t irgend welcher
Elemente P übergeht. Man erhält so den allgemeinen Satz:

Es sei 3t ein ganz beliebiger Raum von unendlich vielen
Elementen P; die MächtigJeeit von 3t sei r. In 3t sei eine un-
endliche Menge F von Gebilden g folgender Art vorgelegt: Die
MächtigJeeit g der Menge F sei < r; ferner sei jedes g, als Menge
der Elemente P aufgefaßt, von einer Mächtigkeit g', für welche
g <g' < r gelte1); jedes g sei durch je k seiner Elemente in der
Gesamtheit r eindeutig bestimmt (wobei k eine endliche Anzahl ist).
Ist nun n eine Anzahl ^>&2), so existieren in 3t Mengen Q

*) g' bedeutet im Text für alle <j dieselbe Mächtigkeit; es kann
aber auch zugelassen werden, daß sich g' innerhalb der vorgeschriebenen
Grenzen mit wechselndem g ändern kann.

2) n kann statt einer endlichen Anzahl auch eine unendliche Mäch-
tigkeit bedeuten, sofern nur n <( g' ist (bei wechselndem g' ist hier das
kleinste g' zu nehmen).

226

A. Rosenthal

(von Elementen P), die mit jedem Gebilde g von E (jenan
n Elemente P gemeinsam haben.

In allen oben erwähnten Spezialfällen ist r = g = g' = c.
Sind jedoch diese Mächtigkeiten verschieden, so hat man hei
(1) a <j ü g und bei (2) a<ßt zu wählen, wobei £?g bzw. Qx
die den Mächtigkeiten g bzw. r zugehörenden Anfangszahlen
sind; und an Stelle von (8) tritt, da N^g^g1 ist,

(8) (»K)*<g\

Wir erwähnen noch eine nach etwas anderer Richtung
gehende Verallgemeinerung: Man kann statt der Geraden g
z. B. Ebenen @ nehmen; dann ist © nicht durch irgend drei
ihrer Punkte bestimmt, sondern nur durch je drei ihrer Punkte,
die nicht auf einer Geraden liegen. Man kann auch hiefür
den gleichen Beweis benutzen, wenn man die vorhin ange-
gebene Modifikation, die Punkte Qa nicht gleichzeitig, sondern
nacheinander einzuführen, an wendet; sobald man nämlich in
©, die Punkte so annimmt, daß sie zu je dreien nicht auf
einer Geraden liegen, dann werden von selbst auch in den fol-
genden Ebenen keine drei Punkte Q auf einer Geraden liegen
und man kommt auch hier für w > 3 zur Existenz von Punkt-
mengen, die mit jeder Ebene genau n Punkte gemeinsam haben.
Auch dies könnte man noch verschiedentlich weiter verallge-
meinern, insbesondere auf Systeme von Flächen. —

Wir haben bisher nur die Existenz der Mengen mit ein-
zigem Ordnungsindex n (und ihre unmittelbaren Verallgemei-
nerungen) nachgewiesen. Nun noch ein Wort über die Mengen
von n-ter Ordnung mit vorgeschriebener Verteilung der Ordnungs-
indizes. Irgend eine Gerade trifft ein solches Gebilde in höch-
stens n Punkten. Man gebe sich eine ganz beliebige, n ent-
haltende Teilmenge 9? der ganzen Zahlen 0 bis n; dann exi-
stieren dazu stets Mengen Q, so daß die Gesamtheit der Ord-
nungsindizes von £} genau mit 91 übereinstimmt 1). Man braucht

l) Auch hier kann n gleich der Mächtigkeit a der abzahlbaren
Mengen sein. Und dabei sind noch die zwei Fälle möglich: 91 enthält
» = n;.oder dies ist nicht der Fall, aber 91 enthält unendlich viele
ganze Zahlen n.

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

227

nämlich für die Zahlen 2 <[ v < n nur dieselbe Betrachtung
wie früher zu machen, wobei an Stelle der festen Schnitt-
zahlen n jetzt die (in 3^) wechselnden Schnittzahlen v genom-
men werden; und die Indizes 0 und 1 kann man ebenfalls
beliebig beifügen, da es immer wieder Gerade ga aus (1) gibt,
die keinen der vorhergehenden Punkte Qß ( ß < a ) enthalten
und die deshalb entweder (Index 0) ganz frei gehalten oder
(Index 1) mit nur einem Punkte Qa versehen werden können.
Und ebenso läßt sich (nach Übergang von 2 zu Tc) dies ent-
sprechend auf alle im obigen betrachteten Verallgemeinerungen
übertragen, indem stets die feste Schnittpunktzahl n durch die
Zahlen der Zahlenmenge 31 ersetzt wird.

§ 2. Ein paar allgemeine Bemerkungen über die Gebilde mit
einzigem Ordnungsindex n.

Nachdem wir die Existenzfragen ganz allgemein behandelt
haben, wollen wir uns von jetzt ab hier ausschließlich auf den
Fall der ebenen Gebilde beschränken, obwohl z. B. die Über-
legungen dieses Paragraphen sich ohne weiteres auch auf den
drei- oder mehrdimensionalen linearen Raum übertragen lassen.

Man kann den Gebilden mit einzigem Ordnungsindex w1)
noch mancherlei besondere Bedingungen auferlegen. Wir heben
nur hervor: Es gibt (für jedes n > \) sowohl Gebilde mit ein-
zigem Ordnungsindex n, die in der ganzen Ebene überall dicht
liegen, als auch solche, die nirgends dicht liegen, und auch solche,
die in vorgeschriebenen Gebieten überall dicht, sonst nirgends dicht
liegen. Zunächst kann man das Gebilde so konstruieren, daß
es in der ganzen Ebene (S überall dicht liegt : Es gibt in 6
nur abzählbar viele Kreisgebiete mit rationalen Mittelpunkten
und rationalen Radien und man kann also diese Gebiete in eine
einfache Reihe R ordnen. Man kann auf ga die Punkte (7)
jedesmal in dem ersten Gebiet von R wählen, in dem noch

*) Hier immer im eigentlichen Sinn genommen, d. h. auf jeder
Geraden sollen genau n Punkte liegen.

228

A. Rosenthal

keine vorhergehende Gerade einen Punkt Q besitzt (so lange
es überhaupt noch solche freien Gebiete in R gibt).

Andererseits kann man durch eine andere Spezialisierung
des Verfahrens von § 1 erreichen, daß die Menge nirgends
dicht wird. Man gebe sich eine nirgends dichte perfekte Schar
von parallelen Geraden der Richtung h und eine andere eben-
falls nirgends dichte perfekte Schar von parallelen Geraden
einer anderen Richtung Je. Es existiert eine Wohlordnung
der ersten Schar:

(9) //j , h.2 , Äg, . . ., ha , ... (i ßp
und eine Wohlordnung der zweiten Schar:

(10) ] Ag , • . • , ha , ... GL .

Wir betrachten wieder wie früher die Geraden ga aus (1),
ersetzen aber die Verwendung von (2) durch folgende speziellere
Vorschrift: Für ß < a seien die Punkte (6) bereits bestimmt
und die Gesamtheit der Verbindungsgeraden aller Paare von
Punkten Qß sei wüeder mit bezeichnet. Entiveder besitzt
nun ga nicht die Richtung h; dann nehmen wir (je nachdem
ob ga zu ra gehört oder einen oder keinen Punkt Qß enthält)
die Schnittpunkte von ga mit den ersten (n — 2) bzw. (w — 1)
bzw. n Geraden aus (9), die noch keinen Punkt Qß enthalten
und die ga nicht in einem Punkt treffen, der auf einer von
ga verschiedenen Geraden aus Va liegt. Oder ga besitzt die
Richtung h; dann verfahre man genau ebenso, nur daß an
Stelle von (9) jetzt (10) verwendet wird. In beiden Fällen
bezeichne man die so auf ga ausgezeichneten Punkte wie in (7).

Nimmt man im vorstehenden die nirgends dichten per-
fekten Geradenmengen (9) und (10) vom Maß Null, so ist man
sicher, daß auch die daraus abgeleiteten Mengen £1 das Maß
Null haben. Darüber hinaus aber erhält man in sehr ein-
facher Weise eine allgemeine Aussage über das Maß unserer
Mengen mit einzigem Ordnungsindex n oder allgemeiner über
die Gebilde von endlicher oder abzählbarer Ordnung; nämlich den

Satz: Eine Menge 391 von endlicher oder abzahlbarer Ord-
nung besitzt stets das innere Maß Null.

über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

229

Beweis: Es sei ÜSJij irgend eine abgeschlossene Teilmenge
von Nach Voraussetzung wird von jeder Geraden der

Richtung x in höchstens abzahlbar vielen Punkten, also in
einer Menge vom linearen Mate 0 getroffen; deshalb muß sHi,
auch vom ebenen Maß 0 sein1). Wenn nun aber 'äft von posi-
tivem inneren (ebenen) Maß wäre, dann müßte iDi eine abge-
schlossene Teilmenge von positivem Maß enthalten, was
unmöglich ist.

Die spezielleren Mengen mit einzigem Ordnungsindex n
können, wie wir vorhin gesehen haben, vom Maß 0 sein. Es
kann aber auch der andere noch mögliche Fall Vorkommen,
daß sie nicht meßbar, aber vom inneren Maß Null sind; man
kann nämlich, um dies zu erreichen, ähnlich verfahren, wie
dies Herr W. Sierpihski in seiner schönen Note „Sur un Pro-
bleme concernant les ensembles mesurables superficiellement“ 2)
tut3), mit der überhaupt die Betrachtungen unserer beiden
ersten Paragraphen sachlich und methodisch mannigfache Be-
rührungspunkte haben.

§ 3. Beweis der Unmöglichkeit, dass ebene Mengen mit einzigem
Ordnungsindex 2 ein Kontinuum enthalten können.

Ausgehend von allereinfachsten Kurven waren wir zu
unserer Fragestellung und zu den von uns betrachteten Ge-
bilden gekommen. Es wird uns daher vor allem interessieren,
in wie weit unsere Gebilde Ähnlichkeit mit Kurven haben,
insbesondere ob und wann sie Kontinua enthalten können.
Wir werden in dieser Hinsicht vor allem die ebenen Gebilde
2. Ordnung betrachten, in diesem Paragraphen zunächst die
ebenen Mengen mit einzigem Ordnungsindex 2.

1) Dieser Schluß ist nur ein Spezialfall der Formel:

J '§ (p[x,y)dxdy=§(§(p(x,y)dx)dy, wenn <p (x, y) = | *

ist, wobei Mt als im Borelschen Sinne meßbar vorausgesetzt wird.

2) W. Sierpinski, Fundamenta mathematicae I (1920), p. 112/15.

3) Nur müßte man hier die Reihe (1) mit zu Grunde legen.

230

A. Rosenthal

Wir beweisen zunächst den folgenden

Hilfssatz : Es sei © ein zwischen den Punkten A und B
irreduzibles Kontinuum l); ferner sei © ein (offenes) Gebiet,
dem A und B angehören, und es enthalte © einen in bezug auf
© äußeren Punkt2) C; dann muß 6 den Rand 5t von © in
mindestens 2 verschiedenen Punkten treffen.

Beweis: Das Kontinuum © muh 5t in mindestens einem
Punkt P treffen; ferner muh © ein zwischen A und P irredu-
zibles Teilkontinuum ©, enthalten. Wir nehmen nun an, es
wäre P der einzige Punkt von © • 5t. Dann behaupte ich zu-
nächst, dah Gj ganz in © liegt, wenn mit © das abgeschlossene
Gebiet bezeichnet wird, das aus der Vereinigung © + 5t ent-
steht. Bilden wir nämlich den Durchschnitt (©j*©) = ©2.
Wenn gezeigt ist, dah ©2 ein Kontinuum ist, so muh ©2 (wegen
der Irreduzibilität von ©s zwischen A und P) mit ©t iden-
tisch sein. Angenommen, ©2 wäre kein Kontinuum, dann könnte
man ©2 in zwei abgeschlossene, elementenfremde, nicht leere
Teilmengen ©* und ©*>* zerlegen. P sei in ©2* enthalten. Die
Komplementärmenge von © werde mit 51 bezeichnet; der Durch-
schnitt (21 • ©t) ist eine abgeschlossene (mindestens P enthal-
tende) Menge. Der einzige Punkt, den (2t • ©,) mit 51 und mit
©2* gemeinsam hat, ist P, während (21 • ©j) und ©2 elementen-
fremd sind. Man hat also eine Zerlegung von ©, in die beiden
abgeschlossenen, elementenfremden, nicht leeren Teilmengen ©o
und [Gr -j- (2t • ©,)] ; eine solche Zerlegung des Kontinuums ©,
ist aber unmöglich; also muh auch ©2 ein Kontinuum und
daher mit ©j identisch sein; d. h. ©j liegt ganz in ©.

Dasselbe gilt für ein in © enthaltenes, zwischen B und P
irreduzibles Kontinuum ©3. Da die beiden Kontinua ©j und
©3 den Punkt P gemeinsam haben, so ist ihre Vereinigungs-

*) D. h. ein Kontinuum, das A und B enthält, das aber kein A und
B enthaltendes Teilkontinuum umfaßt. Dieser wichtige Begriff stammt
bekanntlich von Herrn L. Zoretti [Ann. Ec. Norm. (3) 26 (1909), p. 487].

2) D. h. C soll weder innerer Punkt von © sein, noch dem Rande 91
von © angehören. ,

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

231

menge (©, -j- ©3) ein Kontinuum, das A und B enthält und
ganz in © enthalten ist. W egen der Irreduzibilkjät von (5
zwischen A und B muh also 6 mit (©j -j- ©3) identisch sein;
dies ist aber unmöglich, da (6, -f- ©3) in © liegt, während ©
den außerhalb © gelegenen Punkt C enthält. Also ist die
gemachte Annahme, daß P der einzige Punkt von (© • 3t) ist,
ausgeschlossen; d. h. © muß mit 3t mindestens zwei Punkte
gemeinsam haben, q. e. d.

Auf Grund des vorstehenden Hilfssatzes beweisen wir nun
den folgenden Satz, der die zu Beginn dieses Paragraphen ge-
stellte Frage beantwortet:

Satz: Eine ebene Menge 93i mit einzigem Ordnungsindex 2
kann kein Kontinuum enthalten.

Beweis: Angenommen, es enthielte 9Jt ein beschränktes1)
Kontinuum Ä; dann ist in $ ein zwischen zwei seiner Punkte A
und B irreduzibles Kontinuum © enthalten. Wir bilden nun
den kleinsten konvexen Bereich 33, dem © angehört. Auf der
Begrenzung von 33 liegt mindestens ein von A und B ver-
schiedener Punkt 0 von ©. Es sei g eine durch C gehende
Stützgerade von iß. Auf g liegt dann (da 93i vom einzigen
Ordnungsindex 2 ist) noch ein zweiter, von C verschiedener
Punkt C' von 93i. Durch C1 legen wir eine zu g hinreichend
benachbarte Gerade g‘, welche A und B von C trennt. Be-
zeichnen wir diejenige von g' bestimmte Halbebene, die A und
B enthält, mit ®, so zeigt der vorstehende Hilfssatz, daß g‘
von © in mindestens zwei Punkten getroffen wird, g1 enthält
daher mindestens drei Punkte von 93i, im Widerspruch zur
vorausgesetzten 2. Ordnung von 931; also ist die Annahme,
931 enthalte ein Kontinuum, unmöglich, q. e. d.2)

Der vorstehende Satz gilt sicherlich nicht mehr für Mengen
mit einzigem Ordnungsindex n, wenn n > 4 ist; d. h. für n > 4

ß Wir können $ gleich als beschränkt voraussetzen; denn in der
Tat enthält jedes beliebige Kontinuum beschränkte Teilkontinua.

2) Zwei weitere Beweise dieses Satzes werden sich am Schluß von
§ 4 ergeben.

232

A. Rosenthal

existieren Mengen ff)i„ mit einzigem Ordnungsindex n, die Kon-
tinua enthalten. (Der Fall n = 3 bleibt dabei noch offen.)
Dies läßt sich sogar so einrichten, daß ein beliebig vorge-
gebenes Kontinuum Ä von ( n — 2)-ter oder geringerer Ordnung
enthält. Man braucht zu diesem Zweck nur das Verfahren des
§ 1 folgendermaßen zu modifizieren: $ sei von der Ordnung
v <^n — 2. Für ß < a sei das Verfahren bereits durchgeführt
und wie früher werde die Menge der Verbindungsgeraden aller
Punkte Qß mit Va bezeichnet. Wenn die Gerade ga unser Ä
in Punkten trifft (wobei 0 < g v ist) und wenn g Punkte
Qß auf ga liegen (wobei 0 Q fs 2 ist), dann werden die ersten
n — g — g Punkte aus der Reihe (2) gewählt, die auf ga, aber
nicht auf $ oder auf einer von ga verschiedenen Geraden von
r„ liegen; und diese Punkte werden wieder entsprechend, wie
in (7), mit

(7a) Ql ..., QT'1-*

bezeichnet1). Die Menge der Verbindungsgeraden aller Punkte
( Qß, Qa ) werde wieder genannt. Die Vereinigungsmenge

aller Punkte Qa (für a < Qc) und des Kontinuums Ä ist
dann die gesuchte Menge. Dabei ist noch zu bemerken: Eine
beliebige von ga verschiedene, in (/’a + j — ra ) enthaltene Ge-
rade g trifft Ä in o Punkten, wobei 0 ^ o v ist, und trägt
außerdem 2 Punkte aus (7 a), so daß g insgesamt höchstens
n Punkte von enthält, also das Verfahren nicht gestört
werden kann.

§ 4. Die ebenen Gebilde 2. Ordnung, die Kontinua enthalten.

Wir haben im vorigen Paragraphen . gesehen, daß die
ebenen Mengen mit einzigen Ordnungsindex 2 kein Kontinuum
enthalten können. Wir stellen nun noch die allgemeinere Frage:
Wie muß bei einem Gebilde 2. Ordnung die Verteilung der

1 ) Natürlich wird in dem möglichen Fall, wo n — u — q = 0 ist,
unter (7 a) eine leere Menge verstanden.

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

233

Ordnungsindizes sein, damit 2)t Kontinua enthalten kann ? Und
ferner: Wie sind diese Kontinua beschaffen?

Wir behandeln die zweite Frage zuerst und beweisen den
folgenden

Satz: Jedes ebene beschränkte Kontinuum St von 2. Ordnung
ist eine konvexe Kurve.

Beiveis: Unter den Komplementärgebieten, die Ä in der
Ebene bestimmt, befindet sich genau ein nicht beschränktes
Gebiet 5p. Wir betrachten zunächst den Fall, wo auch min-
destens ein beschränktes Komplementärgebiet © von St vorhan-
den ist. [Man sieht übrigens sofort, daß in diesem Fall auch
nur ein einziges beschränktes Komplementärgebiet ® vorhanden
sein kann.] Sind nun Pj und P2 irgend zwei (innere) Punkte
von ®, so muß ihre Verbindungsgerade den Rand 9t von @
in genau 2 Punkten 9tt und 9t2 treffen und die (offene) Strecke
(P, R2) gehört ganz zu @, während ihre beiden Verlängerungen
in 5p liegen; also gehört erst recht die Strecke (P1P2) zu ©
und deshalb ist ® ein konvexes Gebiet. Sein Rand 9t ist daher
eine geschlossene konvexe Kurve, die ganz aus Punkten von
$ besteht. Außerdem muß aber 5? mit 9t zusammenfallen ;
denn enthielte St noch einen weiteren, nicht zu 9t gehörenden
Punkt Q, dann müßte die Verbindungsgei'ade von Q mit irgend
einem (inneren) Punkt P von ® den Rand 9t in zwei ver-
schiedenen Punkten treffen, im Widerspruch mit der voraus-
gesetzten 2. Ordnung von 5?. Also ist in diesem Fall 5t) eine
geschlossene konvexe Kurve.

Wir betrachten nun den anderen Fall , daß 5? kein be-
schränktes Komplementärgebiet bestimmt. Es seien A und B
zwei beliebige Punkte von 5?; g sei ihre Verbindungsgerade,
mit s werde die offene Strecke ( A B) bezeichnet. 5t) enthält
ein zwischen A und B irreduzibles Kontinuum ©. Vereinigt
man © mit s, so teilt (© -\- s) die Ebene in genau 2 Gebiete,
die beide von dem ganzen Gebilde (© -j- s) begrenzt werden J).

9 Nach A. Rosenthal, Sitzungsber. Bayer. Akad. d. Wiss. 1919,
p. 102 (Satz 6).

Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl. Jabrg. 1922.

16

234

A. Rosenthal

Von diesen ist eines beschränkt, das andere nicht beschränkt;
das erstere werde mit ©*, das letztere mit Jp* bezeichnet.
Die Verlängerungen von s gehören zu £>*; längs s gehören
die Punkte auf der einen Seite zu ©*, auf der anderen zu §*;
deshalb muß ©* vollständig auf einer Seite von g liegen und
dasselbe gilt also auch für 6. Jede Gerade, die einen inneren
Punkt von ®* enthält, muß den Rand 3t* von ®* in min-
destens zwei Punkten treffen. Wenn eine solche Gerade s
nicht schneidet, so muß sie genau zwei Punkte von Qt enthalten.
Wenn auf einer Geraden h ein [von A und B verschiedener]
Punkt C von s liegt, so sind zwei Fälle denkbar: entweder
es wird 6 von h in einem oder in zwei Punkten getroffen.
Betrachten wir den letzteren Fall näher: Die beiden Schnitt-
punkte von h mit 6 seien P, und P2 und es liege Pt zwischen
C und P2. Die Strecke (C Pj) muß zu @* gehören; dagegen
sind bezüglich (P, P2) zwei Teilfälle denkbar: entweder gehört
(Pj P2) zu §* oder zu ©*. Wir wollen zeigen , daß dieser
letztere Teilfall, wo ( C Pj) und (Pt P2) zu ®* gehören, aus-
geschlossen ist1). Es seien bzw. Q2 je ein Punkt von (CP,)
bzw. von (P, P2). Man kann innerhalb ©* und Q2 durch
einen einfachen2) Streckenzug o verbinden; o kann h in end-
lich vielen Punkten schneiden, aber es gibt auf o einen letzten
Schnittpunkt mit (CP,) und einen ersten Schnittpunkt Q2
mit (PjP2); das und Q2 verbindende Stück von o sei mit
ö bezeichnet, o liegt ganz auf der einen Seite von h. Nun
bildet die Vereinigung der Strecke [([I, $2] mit ö ein einfaches
geschlossenes Polygon s]3. Im inneren Gebiet von kann nach
unserem Hilfssatz des vorigen Paragraphen kein Punkt von
6 liegen, weil der Rand nur einen einzigen Punkt von (5,
nämlich Plt enthält. Es seien U, bzw. U2 je eine kreisförmige
Umgebung von Qi bzw. von Q2, die ganz innerhalb ©* ent-
halten sind. Man lege nun durch P2 eine (zu k hinreichend

') Der erste Teilfall [(PjP2) zu Sg* gehörend] ließe sich in analoger
Weise ausschließen; doch scheidet dieser Fall nachher von selbst aus.

2) D. h. sich nicht selbst durchsetzenden.

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

235

benachbarte) Gerade h*, die U,, U2, s auf der zu o entgegen-
gesetzten Seite von h trifft. Seien Q\ bzw. Q% je ein Punkt
auf h* innerhalb 11, bzw. ll2. Dann erhält man durch Ver-
einigung der Strecken [Q\ Q*J, [Qi $i], [ Qi (ü] mit ö ein ein-
faches geschlossenes Polygon iß*, in dessen Inneren P, liegt.
Wieder nach unserem Hilfssatz von § 3 muh deshalb von
6 in mindestens 2 Punkten getroffen werden; diese können
nur auf [$*$2] liegen; also müßte h* 3 Punkte von © ent-
halten, was unmöglich ist. Daher ist der Fall ausgeschlossen,
daß (CP,) und (P, P2) zu ®* gehören, und es gibt also auf
jeder Geraden, welche einen inneren Punkt von ®* enthält,
genau eine ganz zu ©* gehörende Strecke. Deshalb liegt die
Verbindungsstrecke von irgend 2 Punkten von ©* ganz inner-
halb ©*, d. h. ©* ist ein konvexes, beschränktes Gebiet und
seine Begrenzung 3t* = (© -f- s) ist demgemäß eine geschlossene
konvexe Kurve. Also ist © ein konvexer Kurvenbogen.

Dasselbe soll nun von dem ganzen Kontinuum $ nach-
gewiesen werden. Zu diesem Zweck legen wir zunächst an ©
in A und P die Tangenten a und b. Von den 7 Gebieten, in
welche die Ebene durch die 3 Geraden a, b, g zerlegt wird ’),
enthält eines, @1? die Kurve ©; zwei weitere sind mit ©, in
denselben von a und g bestimmten Scheitelwinkeln enthalten;
zwei weitere liegen mit ©, in denselben von b und g be-
stimmten Scheitelwinkeln; die beiden letzten, die mit ©2 und
©3 bezeichnet werden sollen, sind mit ©, in denselben von a
und b bestimmten Scheitelwinkeln enthalten und unter diesen
befindet sich eines, das an die Strecke s anschließt; dieses sei ®2.
Die zugehörigen abgeschlossenen Gebiete sollen durch Über-
streichen gekennzeichnet werden. Die nicht zu © gehörenden
Punkte von ® können sicherlich nur in @2 oder ©3 liegen;
denn ist P ein Punkt irgend eines der anderen (offenen) Ge-
biete, so muß entweder die Gerade PA oder die Gerade PB
noch in einem weiteren Punkte © treffen. Ferner kann auch

Ü Wenn a und b zueinander parallel sind, werden nur 6 solche
Gebiete bestimmt; es fällt dann @3 weg.

16*

236

A. Rosenthal

sofort @3 ausgeschaltet werden. Denn: Der Schnittpunkt C
von a und &1) liegt entweder auf der gleichen Seite von g
wie (5 oder auf der entgegengesetzten Seite; im letzteren Fall
wird die Verbindungsgerade irgend eines [von C verschiedenen2)]
Punktes von ®3 mit A (oder B) noch einmal die Kurve 6
treffen. Im erstcren Fall liegt ®3 auf derselben Seite von g
wie 6, aber in positiver Entfernung von 6 sowie von ©2, so
daß Punkte von ©3 nicht zusammen mit 6 und Punkten von
@2 ein Kontinuum bilden können. Also alle nicht zu 6 ge-
hörenden Punkte von 5? müssen in ©2 liegen. Insbesondere
liegen auf derjenigen Seite von g, auf der sich 6 befindet,
keine weiteren Punkte von $. Ist die Menge (ß — 6) nicht
leer, so muß sie A oder B oder beide Punkte zu Häufungs-
punkten haben und die durch Hinzunahme dieser Häufungs-
punkte abgeschlossene Menge (£' — (5) kann demgemäß nur
aus einem oder zwei, jedenfalls nicht aus drei abgeschlossenen
elementenfremden Teilen bestehen, ohne daß $ zerfiele. Also
seien bzw. $2 diese Kontinua, die zusammen ($ — (5) bilden.

sei vorhanden und enthalte den Punkt A. Sicherlich können
nicht zugleich A und B zu [oder fö2] gehören; denn sonst
wäre in ein zwischen A und B irreduzibles Kontinuum Gtj ent-
halten, also ein konvexer Bogen; deshalb würde ((£, -j- ©2) und
also erst recht $ mindestens ein beschränktes Komplementär-
gebiet begrenzen, wTas der frühere, nicht der jetzt betrachtete
Fall wäre. Man drehe b um B ins Gebiet ©2 hinein so lange,
bis in bezug auf eine Stützlage b* erreicht ist, d. h. b* sei
hierbei die erste Gerade, die einen (und wegen der 2. Ordnung
von ß auch nur einen) Punkt A * von enthält. [Natürlich
kann b* bereits mit b zusammenfallen; wobei aber sicherlich
A* von B verschieden ist.] Es gibt nun in dem Kontinuum

x) Sind a und b parallel, so ist ja ©3 überhaupt nicht vorhanden !

2) Auch Punkt C läßt sich hier ausschalten; denn gehört C zu
dann kann kein Punkt P2 von ®2 dazu gehören, da die Gerade P2 G
6 trifft.

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

237

(Äj -j- 6) ein zwischen B und A* irreduzibles Teilkontinuum 6*,
also einen konvexen Bogen, der ganz auf der einen Seite von
b* liegt und der mit dem ebenfalls ganz auf dieser Seite von
b* gelegenen Kontinuum (ftt -j- (5) identisch sein muß. Ebenso
zeigt man, daß (wenn ft2 vorhanden ist) auch (ft2 -j- (£) ein
konvexer Bogen mit den Endpunkten A und B* ist. Also ist
ft die Vereinigung der drei konvexen Bogen [die allerdings
nicht alle drei zu existieren brauchen] Äj, ©, ^2, die außer
A und B keine Punkte gemeinsam haben. Deshalb ist ft
selbst ein zwischen A* und B* irreduzibles Kontinuum, also
ein einziger konvexer Bogen, q. e. d.

Das gleiche läßt sich nunmehr auch leicht für ein nicht
beschränktes Kontinuum ft beweisen. Zunächst ist jedes be-
schränkte Teilkontinuum © von ft ein konvexer Kurvenbogen.
Die Endpunkte von © seien A und B. Nach der vorher-
gehenden Überlegung können weitere Punkte von ft nur in
dem zu (£ gehörenden Bereich ®2 liegen und es muß wieder
(ft — 6) aus einem oder zwei Kontinuen ftx bzw. ft2 bestehen.

sei vorhanden und enthalte wieder A. Es gibt dann wieder
unter den durch B gehenden, ©2 treffenden Geraden eine Grenz-
lage b* (die eventuell mit b zusammenfällt), so daß in dem
Winkel <£ (gb*) ganz 5?] enthalten ist. [6* selbst braucht
hier keinen Punkt von ftl zu tragen.] Jede durch B gehende,
innerhalb des <£ (gb*) liegende Gerade trifft ftt, da andern-
falls eine Zerspaltung von ftt folgen würde; und zwar muß
ft2 in genau einem Punkt getroffen werden. Betrachten wir
ferner diejenigen durch B gehenden Geraden, auf deren Nach-
bargeraden sich Punkte von ft1 befinden, die von B beliebig
weit entfernt sind. Wenn derartige Gerade überhaupt vor-
handen sind, dann gibt es im <^C (gb*), von g herkommend,
eine erste solche Gerade k. Ist k von b* verschieden, so trägt
k einen im Endlichen gelegenen Punkt von ft1, der nicht
Häufungspunkt des im <£ (gk) oder des im <£ (kb*) enthal-
tenen Teiles von Äj sein kann, so daß 5?! zerfallen müßte.
Also fällt k mit b* zusammen; d. h. in jedem im <£ (gb*) ent-
haltenen kleineren Winkel <£ (gb**) bleibt beschränkt; also

238

A. Rosenthal

der hierin enthaltene Teil von ist ein konvexer Bogen.
Daher ist entweder ein beschränkter oder ein ins Unend-
liche laufender konvexer Bogen. Analog alles für Ä2. Es er-
gibt sich so, daß 5?, wenn es nicht beschränkt ist, ein (nach
einer oder zwei Seiten) ins Unendliche laufender konvexer Kurven-
bogen sein muß. Also haben wir ganz allgemein den

Satz: Jedes beliebige ebene Kontinuum 2. Ordnung ist eine
konvexe Kurve.

Nunmehr ist es leicht, auch die erste, zu Beginn dieses
Paragraphen gestellte Frage zu beantworten, nämlich die Frage
nach der Verteilung der Ordnungsindizes derjenigen Gebilde
2. Ordnung, die Kontinua enthalten.

Zunächst muß bei einer Menge 5k 2. Ordnung, die ein Kon-
tinuum enthält, der Ordnungsindex 0 vorhanden sein.

Denn: 5k enthält nach dem vorigen Satz einen konvexen
Kurvenbogen U mit den Endpunkten A und JB. Man lege an
© in A und JB die Tangenten a und b sowie die Verbindungs-
gerade g von A und JB. Wie oben gezeigt, können weitere
Punkte von 5k nur in @2 und, wenn a und b sich auf der-
selben Seite von g schneiden, auf der U liegt, auch in ©3
liegen1). Jede zu g parallele Gerader/', welche das Gebiet ®j
trifft (in dem © liegt), ohne 6 zu schneiden, kann demgemäß
keinen Punkt von 5k enthalten. Also muß der Ordnungs-
index 0 Vorkommen und zwar auf unendlich vielen Geraden,
die in der Mächtigkeit c vorhanden sein müssen.

Ebenso einfach ergibt sich, daß bei einer Menge 5k 2. Ord-
nung, die ein Kontinuum enthält, der Ordnungsindex 1 Vor-
kommen muß.

Denn : 5k enthält wieder einen konvexen Kurvenbogen ©
mit den Endpunkten A und JB. Es sei G ein von A und JB
verschiedener Punkt von U. Man lege in C eine Stützgerade g

Der Schnittpunkt G von a und b kann in jedem Fall (wo er
existiert) zu 2k gehören; allerdings muß dann 2k ausschließlich aus der
Vereinigungsmenge von 6 und C bestehen (da die Verbindungsgerade von
C mit irgend einem Punkt P von ©2 oder ©3 6 noch einmal trifft).

Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

239

an 6; dann enthält g nur den Punkt C von (J, muß also,
wenn der Ordnungsindex 1 nicht vorkommt, noch einen zweiten
Punkt C‘ von Tft tragen. Man lege durch C‘ eine zu g hin-
reichend benachbarte Gerade g\ welche (5 in zwei Punkten
schneidet. Dann enthielte g‘ drei Punkte von üft, im Wider-
spruch mit der 2. Ordnung. — Auch hier muß der Ordnungs-
index 1 auf unendlich vielen Geraden von der Mächtigkeit c auf-
treten ; da der vorstehende Schluß für die Stützgeraden sämt-
licher von A und B verschiedener Punkte C gilt.

Die beiden vorstehenden Aussagen über die Ordnungs-
indizes 0 und 1 liefern zugleich zwei neue Beiveise des Satzes
von § 3, daß nämlich eine Menge mit einzigem Ordnungs-
index 2 kein Kontinuum enthalten kann 1).

Fassen wir alle diese Bemerkungen zusammen, so erhalten
wir den

Satz: Eine Menge 2. Ordnung kann nur dann ein Konti-
nuum enthalten, wenn alle drei Ordnungsindizes 0, 1, 2 vor-
handen sind und zwar jeder von ihnen in der Mächtigkeit c.

Übrigens kann eine Menge TO 2. Ordnung mehrere ge-
trennte Kontinua, d. h. konvexe Bögen, enthalten. Denn man
kann mehrere konvexe Bögen so legen, daß sie paarweise zu-
einander in den erlaubten Bereichen ©2 und @3 liegen (nach
der obigen Bezeichnungsweise) und von keiner Geraden in mehr
als 2 Punkten getroffen werden.

Ist in TO eine geschlossene konvexe Kurve enthalten, so
muß TO mit diesem Oval identisch sein. — Bezeichnen wir
ferner mit „Halboval11 einen (nicht geschlossenen) konvexen
Bogen mit parallelen Tangenten in den Endpunkten. Sind in
■Ui zwei getrennt liegende Halbovale O' und O" vorhanden, so
müssen die zu O' und O" gehörenden Gebiete ®2 einander
gegenseitig enthalten, was nur möglich ist, wenn £)' und O"

*) Der zweite dieser neuen Beweise benutzt übrigens denselben
Grundgedanken wie der Beweis von § 3. — Zugleich ist damit gezeigt,
daß eine Menge 95t, die auf jeder Geraden, die 5Jt trifft, genau zwei Punkte
besitzt, kein Kontinuum enthalten kann.

240 A. Rosenthal, Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex.

gemeinsame Endtangenten haben und sich gegenseitig die hohlen
Seiten zukehren. Weitere Punkte können dann zu nicht
gehören. — Schließlich kann unter den in -Dt enthaltenen
Bogen (die nicht Teile größerer Bogen sind) nur ein einziger
sein, der größer als ein Halboval ist. Denn bei zwei solchen
müßte jeder von ihnen in dem dreieckförmigen Bereich ®2 des
anderen liegen, was unmöglich ist.

241

Die Verwertung gemischter invarianter Flächen-
elemente zur Berechnung der Differentialinvarianten
einer ebenen Transformationsgruppe.

Von Gerhard Kowalewski in Dresden.

Vorgelegt von F. Lindemann in der Sitzung am 8. Juli 1922.

In zwei Abhandlungen, deren eine bereits im Dezember
1921 in den Leipziger Berichten erschienen ist, während sich
die andere dort im Druck befindet, habe ich eine neue Methode
zur Berechnung der Differentialinvarianten ebener Transfor-
mationsgruppen entwickelt. Der von mir erzielte Fortschritt
besteht darin, daß nicht mehr, wie bei Lie, vollständige
Systeme integriert werden müssen, sondern nur Integrationen
vollständiger Differentiale, also Quadraturen, auszuführen sind1).

Wenn auch von meiner Methode, die im wesentlichen auf
der bisher unbemerkt gebliebenen Tatsache beruht, daß sich Dif-
ferentialinvarianten von höherer als erster Ordnung als lineare
Funktionen der höchsten Ableitung schreiben lassen, in den
Arbeiten Lies und seiner Schule nirgends eine Spur zu finden
ist, so hatte sich doch dem großen Meister unbewußt auf
einem Umwege schon die Einsicht erschlossen2), daß die Be-
stimmung der Differentialinvarianten ebener Transformations-

') Eine Ausnahme bilden nur diejenigen Gruppen, die sich auf q
oder q, yq oder q, y q, y2q reduzieren lassen. Bei ihnen muß eine ge-
wöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung integriert werden.

2) Vgl. seine berühmte Abhandlung „Klassifikation und Integration
von gewöhnlichen Differentialgleichungen etc.“ Norwegisches Archiv
1883 oder Math. Annalen, Bd. 32.

242

G. Kowalewski

gruppen durch „ausführbare Operationen“, wie er zu sagen
pflegte, geleistet werden kann, abgesehen von den drei in Fuß-
note 1) bezeichneten Ausnahraefällen. Lie hat nämlich für
seine sämtlichen ebenen Gruppentypen die Differentialinvarianten
wirklich berechnet und andererseits gezeigt, daß die Zurück-
führung einer durch ihre infinitesimalen Transformationen ge-
gebenen Gruppe auf die zugehörige kanonische Form nur „aus-
führbare Operationen“ erfordert, wenn es sich nicht gerade
um einen jener drei Ausnahmefälle handelt.

In der vorliegenden Arbeit will ich die ganze Frage von
einer anderen Seite behandeln und die Verwertung sogenannter
gemischter Flächenelemente für die Berechnung der Dif-
ferentialinvarianten ebener Transformationsgruppen auseinander-
setzen, wodurch eine neue Quadraturenmethode zur Bestimmung
dieser wichtigen Größen gewonnen wird, bei der man schließ-
lich im allgemeinen nur ein einziges vollständiges Differential
zu integrieren hat. In dieser Richtung öffnet sich noch ein
weites, wenig bearbeitetes Gebiet, für das Lie sich erst in
seinen letzten Jahren interessierte, als er Integralinvarianten
und ihre Nutzbarmachung für Integrationsprobleme zu studieren
begann.

Es fällt von meinen Untersuchungen auch neues Licht auf
die von G. Pick in seiner Wiener Akademie- Abhandlung von
1906 begründete natürliche Geometrie ebener Transformations-
gruppen, eine bis jetzt noch viel zu wenig gewürdigte, höchst
interessante Theorie, von der die Differentialgeometrie manche
Förderung zu erwarten hat. Die Pickschen kovarianten
Koordinaten bilden eine besondere Klasse gemischter Dif-
ferentialinvarianten und können nach meiner Quadraturen-
methode durch „ausführbare Operationen“ aus den infinitesi-
malen Grundtransformationen der Gruppe gewonnen werden.

Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc.

243

§ 1. Gemischte Pfaffsche Invarianten, Bogenelemente, Flächen-
elemente und Differentialinvarianten von Gr.

Mit Gr werde eine r-gliedrige ebene Transformations-
gruppe bezeichnet, die auf zwei Kurvenelemente

x,y,yl, ■ ■ ya-2 und £, t; , t)1? . . \)ß-2

mit der Koordinatensumme a ß — r transitiv einwirkt1), so
daß diese Elemente, die wir kurz ea-2 und — 2 nennen wollen,
gegenüber Gr keine Invariante besitzen. Dann gibt es zwei
invariante Pfaffsche Ausdrücke

ni — 99, (e„_2, e^-2) dx -p cp2 ( ea-2 , (ß-2) dy,

2 Vfi ißa — 2) — 2) dx -p (ßu — 2? tß — 2) dy

mit nicht verschwindender Determinante. Dieser den Kennern
der Lieschen Theorien geläufige Satz gehört zu den Grund-
wahrheiten, von denen man sich ohne größere Vorkenntnisse
direkt überzeugen kann. Im vorliegenden Falle würde ich
dazu folgende elementare Überlegung empfehlen.

Man gehe aus von der endlichen Darstellung der Gruppe Gr
und stelle in der durch die Differentialrechnung bekannten
Weise fest, wie Gr auf die beiden Elemente ea—2 und e^_ 2 wirkt.
Die Gleichungen der so erweiterten Gruppe mögen lauten

X — F(x, y, a, , . . ., ar),

Y = G(x, y, a1 , . . ., a,)t

Ya — 2 Ga — 2 ißo, y>y\i • • • 1 2/« — 2 1 ® 1 1 • • • » us. ) 1

L F (j.-, t), öj , . . ., Q&,-) ,

d = &(?» . . ., ar ),

i)ß — 2 Gß—o(X, i • • •) tyß — 2) 1 • • •) ®i-) •

x) Wir könnten ebensogut drei oder mehr Kurvenelemente mit der
Koordinatensumme r zum Ausgangspunkt nehmen, vorausgesetzt, daß
sie keine Invariante besitzen. Die Ableitungen bezeichnen wir der Be-
quemlichkeit halber durch untere Indizes.

244

G. Kowalewski

Jetzt wollen wir noch eine neue Erweiterung der Gruppe
vornehmen, indem wir darauf achten, wie die Differentiale dx, dy
bei ihr transformiert werden, d. h. wir fügen zu den obigen
Gleichungen noch die folgenden :

(2)

dX =

dY =

dF

dX

dx -J-

dG

dX

dx -f-

dF
dy
d G
3 y

dy,

dy.

Da nach Voraussetzung a-\-ß — r ist und die Elemente
ea—i und tß -2 keine Invariante besitzen sollen, so kann das
System (1) nach den Parametern a, , . . ar aufgelöst werden,
wodurch diese als Funktionen von ea-2, C/j-2, Ea- 2, Qtß-?
erscheinen. Setzen wir die gewonnenen Ausdrücke in die Glei-
chungen (2) ein, so gehen diese über in

(2')

{ dX = <Pj(ea_o, Ea—?, tß- 2, Qzß-2)dx + <p2(ea-? , Ea-o , iß -2, @/?-2 )dy,
\ d Y =tp1(e„_2, Ea — 0 1 e/?_2, &ß-i)dx + y>2{ea-2, Ea-2, tß-?, <5^—2 )dy.

Wenn wir nun das System (1) symbolisch in der Form

{Ea-<>, Qß-o) = (ßa-2, iß— 2) Sa

schreiben und

(fa-2, Zß—j) St, — (e‘a-2, Sfi-o)

setzen, wobei Sb ebenso wie Sa eine Transformation der Gruppe Gr
bedeutet, so wird wegen der Gruppeneigenschaft

(Ea- 2, GjS— 2) = (e‘a— 2, iß~?) Sb 1 Sa = (cä-2, C/?— 2) Sc

sein. Die Systeme (1), (2) und (2') bleiben also bestehen, wenn
man x, y, . . ., J/a_2 und £, t), . . ., t)ß -2 mit Strichen versieht
und die Parameter a, , . . ., ar durch cx , . . ., cr ersetzt. Die
rechten Seiten der Gleichungen (2'), wo die Parameter ganz
fehlen, verhalten sich also invariant, wenn man Ea~ 2, @£-2
ungeändert läßt und auf x, y, ... und j, tj, . . . die Trans-
formation Sb an wendet. Denkt man sich Ea-2, @/j-2 irgend-
wie fixiert, so entstehen zwei invariante Pfaffsche Ausdrücke
77j und 772 von der behaupteten Form. Die Determinante

Die Verwertung gern, invar. Fläehenelemente etc.

245

cp1y>2 — 9Y*/;i a^s Funktionaldeterminante von X, Y nach
x, y von Null verschieden.

Man kann 77, und 772 als Invarianten des Elements
und zweier unendlich benachbarter Elemente ea-2 auffassen.
Nimmt man diese in vereinigter Lage an, setzt man also
cly = yldx, so verwandeln sich 77, und 772 in gemischte
invariante Bogenelen ente, weil die vereinigte Lage zweier
Elemente eine invariante Beziehung ist. Wir wollen ausdrück-
lich a > 2 annehmen. Dann haben diese Bogenelemente die Form

(3) da — co (ea_2, e^) dx .

Es ist ausgeschlossen, daß in beiden Fällen cd identisch
verschwindet, weil die Gleichungen

<Pi + *7 <P2 — Vi + Vx y>2 = 0

nicht zusammen bestehen können. Andererseits würde das Ver-
hältnis der beiden cd eine Invariante von ea-2 und e^-2 sein,
wenn es nicht konstant wäre. Da nach Voraussetzung der
erstere Fall ausgeschlossen ist, so folgt, daß sich die beiden
Bogenelemente nur um einen konstanten Faktor unterscheiden,
so daß nur von einem Bogenelement der obigen Form zu
reden sein wird.

Ebenso einfach erkennt man die Existenz eines gemischten
invarianten Flächenelements. Man muß zu diesem Zweck
zwei verschiedene zu ea~2 benachbarte Elemente in Betracht
ziehen, also mit zwei Reihen von Differentialen operieren, den
Differentialen d und den Differentialen d‘. Die Invarianz von
77, , 772 und

77; = 99, (ea_2, tß-2) d'x -f cp2(en-2, tß-i) d'y ,

772 — y, («■-«» fy-2) d'x + y>2 (e«_2, tß-i) d'y
bringt es mit sich, daß auch

Tly n2 cpx cp2 dx dy

77; 772 j V1V2 d'x d'y

eine Invariante ist. Es gibt also einen invarianten Ausdruck
von der Form

246

G. Kowalewski

(4) _Q(ea_2, P/j— 2) ( dxd'y — dyd'x),

und zwar bis auf einen konstanten Faktor nur einen. Er stellt
das invariante gemischte Flächenelement dar, von dem wir in
der Überschrift sprachen.

Sind von der Gruppe Gr nur die infinitesimalen Trans-
formationen bekannt, so lassen sich, wie man weih, Bogen-
element und Flächenelement durch Quadraturen finden. Ist
Af=£p-j-i]q eine der r infinitesimalen Grundtransforma-
tionen, 2t f dasselbe Symbol in den deutschen Veränderlichen,
bezeichnet man ferner die Erweiterung nach Lies Weise durch
obere Indizes und setzt zur Abkürzung

Wf=

so genügt Q den Differentialgleichungen

(5) WQ + Qtfx + r,y) = 0
und co den Differentialgleichungen

(6) W(o + u) (£* -f yx |y) = 0.

Aus (5) läßt sich d log Q, aus (6) d log co gewinnen, und
log ß, log <x> ergeben sich dann durch Quadraturen.

Wir kehren noch einmal zu dem System (1) zurück und
wollen es, anstatt durch die Gleichungen (2), nunmehr durch
die Gleichung

/ 3 (jr ri — 2

V ääT’

3 Ga- 2 .

+ y'”i -T + "

(d F , $F\

U* + y' zy )

+ Va-l

3 Ga-

dy,

erweitern, die angibt, wie sich die (a — 1) te Ableitung von Y
nach X durch die Elemente ea-\ und tß-2 ausdrückt. Setzen
wir hier für ax, . . ., a, die aus (1) gewonnenen Werte ein,
so nimmt die obige Gleichung folgende Gestalt an

Ya- 1 = 9?(ea_o, -E'a_2, Cß —2 , 6/5-2) + wipa-ii Ea-2, tß-2, &ß-o) 1 ?/a- 1-

Dabei halten wir an der Annahme a > 2 fest. Es zeigt
sich nun ähnlich wie bei der Herleitung der beiden Pfaffsclien

Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc.

247

Invarianten, daß cp -j- xpya- 1 invariant bleibt, wenn man Ea-2
und 6^-2 festhält und auf ea-i, tß- 2 irgend eine Transfor-
mation der Gruppe wirken läßt. Hiermit ist bewiesen, daß
es eine in ya- 1 lineare Invariante von ea-\ und eß-2 gibt,
mit andern Worten eine gemischte Differentialinvariante
von der Form

(7) J — cp (ea_2) ^-2) + V (e«-2) fy-2) yn-i .

Der Faktor xp kann nicht identisch verschwinden, weil in
dem Ausdruck für Ya~ 1 sicher ya— 1 vorkommt.

J ist im wesentlichen die einzige Invariante von ea~\ und
e/?-2. Ebenso gibt es je eine Invariante von ea und tß- 2, von
ea-i-i und ep-2 usw. , die immer die höchste lateinische Ablei-
tung linear enthält. Man findet diese höheren Differential-
invarianten </,, </2, ... aus der niedrigsten J mit Hilfe des
Bogenelements do, und zwar ist

j dJ d dj

= do' = • • •

Über die Berechnung von J aus den infinitesimalen Trans-
formationen von Gr läßt sich folgendes sagen. Unter der von
uns gemachten Annahme u > 2 ist

lUj/a-i = L(ea- 2) + ya- 1 AT(ea_ 2).

Setzt man diesen Ausdruck in WJ — 0, d. h. in
Wq> -\- Wxp • ya-i xpW ya-i = 0

ein, so spaltet sich die Gleichung in

(8)

Wy’ -j- xp M — 0

und

(9)

W cp -f- xp L = 0.

Aus (8) findet man d log xp und dann durch Quadratur
log xp, aus (9) dcp und durch Quadratur cp. Damit ist die ge-
mischte Differentialinvariante J gewonnen.

248

G. Kowalewski

§ 2. Verwertung der gemischten Differentialinvarianten. Bogen-
elemente und Flächenelemente zur Bestimmung der gewöhnlichen.

Die Berechnung gemischter Differentialinvarianten, Bogen-
und Flächenelemente darf für einfacher gelten als die der ge-
wöhnlichen, weil man die Erweiterung der infinitesimalen Trans-
formationen nicht so weit zu treiben braucht. Hat man nun
in der oben geschilderten Weise gemischte Differentialinva-
rianten, Bogen- und Flächenelemente durch Quadraturen be-
rechnet, so kann mau aus ihnen durch Differentiation und
Elimination auch die gewöhnlichen finden.

Die ß ersten Gleichungen der Reihe

7. (e«-i, f/9-2),

X\ (ßn 1 f/J — 2))

7.2 (®a + l > P/J— 2)?

J =

r _ d J

1 d a

r djj =

2 do

wird man benutzen, um die Koordinaten von tß- 2 durch J,
J,, . . ., Jß-i und durch die Koordinaten von er-2 auszu-
drücken. Ließen sich diese Gleichungen nicht nach den Koor-
dinaten von iß -2 auflösen, so gäbe es in der Reihe J, Jl ,
. . ., Jß-\ ein Glied, das man durch die vorhergehenden und
durch e,-2 ausdrücken könnte. Hieraus würde folgen, daß
das Element er_o bei G> nicht frei beweglich ist, daß also
eine gewöhnliche Differentialinvariante von (r — 2) ter oder
niedrigerer Ordnung existiert. Wird von diesem Ausnahme-
fall, dessen Bedeutung man in meinen andern Arbeiten erörtert
findet, abgesehen, so sind die Koordinaten von tß- 2 durch J,
J,, . . ., Jß-\ und e,_2 ausdrückbar. Die gefundenen Aus-
drücke werden nun in die nächstfolgende gemischte Differen-
tialinvariante

dJß- 1

Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc.

249

eingesetzt. Diese erscheint dann abhängig von den ß ersten
J und von er_i. Damit ist die niedrigste gewöhnliche Dif-
ferentialinvariante von Grr gewonnen1). In derselben Weise
läßt sich das gemischte Bogenelement (Za in ein gewöhnliches
Bogenelement von der Form ca (er_2 )dx und das gemischte

Flächenelement in ein gewöhnliches von der Form Q (er 2)

(dx d'y — dy d'x ) verwandeln.

Wie bereits oben erwähnt wurde, übertragen sich unsere
Betrachtungen ohne weiteres auf gemischte Invarianten, an
denen mehr als zwei Elemente beteiligt sind, wobei die Koor-
dinatensumme dieser Elemente gleich r sein muß. Auch dürfen
die Elemente gegenüber Crr keine Invarianten besitzen. Natür-
lich muß r oberhalb einer gewissen Grenze liegen, wenn man
diese Methode zur Berechnung gewöhnlicher Differentialinva-
rianten durch die gemischten überhaupt anwenden will. Man
kann es gewöhnlich einrichten, daß die beteiligten Elemente
alle von nullter oder erster und wenigstens eins wirklich von
erster Ordnung sind. Der Vorteil dieses Verfahrens ist dann,
daß man die Gruppe nur auf die erste Ordnung zu erweitern
braucht. Hat man das Flächenelement

i2(e,, tß~2, . . .) ( dx d'y — dy d'x)
und das Bogenelement

do ~ co (e ,, f/j-2, • • •) dx

bestimmt, so läßt sich di'' Berechnung der Differentialinva-
rianten ohne jede weitere Integration auf folgende Weise er-
ledigen. Es ist klar, daß auch

bS = <o(c,, eß — 2 » . • •)*>£

ein invariantes Bogenelement sein wird. Dabei sind die durch
Punkte angedeuteten Elemente dieselben geblieben. Nur die
lateinischen und deutschen Buchstaben haben ihre Rollen ge-

b Die Größen J, Jit . . ., Jß_ 1 spielen hier die Rolle von Kon-
stanten. Die Methode gilt auch noch in dem oben erwähnten Ausnahme-
fall. Wir lassen ihn nur mit Rücksicht auf die bequemere Darstellung
bei Seite.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

17

250

G. Kowalewski

wechselt. Gleichzeitig mit Q(dxd'y — dyd'x ) ist nun offen-
bar auch

(dx d‘y — dy d‘x )
b 5

eine Invariante, wobei die Operation b nur auf f, tj, . . . wirkt.

Man muß sich vorstellen, daß das Element 2 längs einer

Kurve fortrückt. Dividiert man die beiden mit dx d'y — dy d'x
behafteten Invarianten durcheinander, so entsteht die gemischte
Differentialinvariante *)

o _ b \ogÜ
1x5 bä ‘

Da bei uns ß — 2 entweder gleich 0 oder gleich 1 ist,
so wird $ von e,, e^_i, ... abhängen. Wäre ^ frei von
so müßte es, weil die Elemente en tß— 2, .. . keine
Invariante haben sollen, eine Konstante sein. Man hätte dann,
abgesehen von einem konstanten Faktor,

b 3 = b log Q.

Wir wollen von diesem Ausnahmefall, dessen gruppen-
theoretische Bedeutung sich leicht ermitteln ließe, absehen.
Dann können wir aus $ eine Reihe höherer Invarianten

cv = b 3 cv _bSi
101 bä ’ bä ’ ' ‘ '

herleiten und aus ihnen durch Elimination die gewöhnlichen
Differentialinvarianten (deutsch geschrieben).

Es kommt also letzten Endes nur darauf an, ß(e,, C/8-2,
. . .) ( dx d'y — dy d'x ) und co (elt tß-2, . . .) dx zu finden, und
wir werden sehen, daß im allgemeinen sogar das Flächen-
element allein genügt.

0 Ähnlich läßt sich auch aus da eine gemischte Differentialinva-
riante gewinnen.

Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc.

251

§ 3. Beziehungen zwischen gemischten Flächenelementen. Bogen-
elementen und Differentialinvarianten.

Aus dem Erweiterungsgesetz der infinitesimalen Transfor-
mationen läßt sich entnehmen, daß die in § 2 mit M(ea-o)
bezeichnete Größe (a > 2) den Wert

+ Vu — a (£r + V\ £//)

hat. Vergleicht man nun die Differentialgleichungen (8) mit
(5) und (6), so ergibt sich, da es bei ip auf einen konstanten
Faktor nicht ankommt,

(10) ip = ü (o~a .

Um die gemischte Differentialinvariante J = cp -f- xp ya-\
zu finden, hat man also noch mit Hilfe von (9) die Funktion cp
zu ermitteln, d. h. ein vollständiges Differential zu integrieren.
Obwohl wir am Schlüsse von § 2 eine andere Methode kennen
gelernt haben, die nur die Berechnung eines gemischten Flächen-
elements und Bogenelements verlangt, ist doch manchmal auch
das direkte Verfahren zur Bestimmung von J bequem. Handelt
es sich z. B. um eine projektive Gruppe und hat man die
Fundamentalelemente ea_2, tß—2, ... so gewählt, daß sie alle
von nullter und erster Ordnung sind, e„_2 aber von erster
Ordnung, so wird L — 0 sein, wOl die Gruppe die Differential-
gleichung y2 — 0 invariant läßt. Die Differentialgleichungen,
aus denen sich cp bestimmt, lassen dann erkennen, daß cp eine
Konstante ist, die man ohne weiteres gleich Null setzen darf,
so daß die Invariante J die Form

f/S — 2, • • •) tu , ?/?— 2, • • •)

annimmt.

Es besteht auch zwischen dem gemischten Bogenelement
und dem gemischten Flächenelement ein inniger Zusammen-
hang. Das aus den Gleichungen (5) berechnete Differential von
log Q läßt erkennen , welches die höchste in Q auftretende
Ableitung y„ ist. Wir stellen uns jetzt auf den allgemeinen
Standpunkt, denken uns also die Fundamentalelemente ea_2,
e^-2, • • . nicht ausschließlich als Punkte und Linienelemente.

252

G. Kowalewski

Nehmen wir nun o>0 an, so ergibt sich1) durch Differen-
tiation von (5) nach y2

W ®vs + {- (£r + 7h) — (Q + 1) (f* + V\ £?)} ®ye —

und der Vergleich mit den Systemen (5) und (6) lehrt, daß

Q„ = — _Q2 cu-te+i)

gesetzt werden kann. Es kommt hier auf einen konstanten

O

Faktor nicht an. Aus der gewonnenen Relation geht hervor

(11)

Hat man also durch Integration eines vollständigen Dif-
ferentials das Flächenelement Q(dxd'y — dycl'x) bestimmt
und enthält dieses eine Ableitung von y, so kann man nach
der Formel (11) das Bogenelement co dx finden. Liegt der
besondere Fall vor, daß das Fundamentalsystem aus einem
Linienelement zusammen mit Linienelementen und Punkten
besteht, so treten die Betrachtungen am Schlüsse von § 2 in
Kraft, und es ist außer der Integration des Differen-
tials d log Q im allgemeinen überhaupt keine Integra-
tion mehr zu leisten. Halten wir an dem erwähnten Sonder-
fall fest, so läßt sich, wenn ß(ßj, tß—<i , . . .) frei von yl sein
sollte, wohl aber t;, enthält, immer noch das Bogenelement
ohne Integration finden. Man erhält nämlich durch Differen-
tiation des auf diesen Fall übertragenen Systems (5) nach tyj

W (log ß)th 4- |

Vertauscht man nun in log Q die deutschen und latei-
nischen Buchstaben, so verwandelt sich (log i2)ni in eine Funk-
tion, die den Differentialgleichungen

J) Man überzeugt sich leicht, daß auch der Fall o = 1 mit ein-
geschlossen ist.

Die Verwertung gern, invar. Flächenelemente etc.

253

Wf + {£«.+ *, — 2 (£x + yx |,)} = 0

genügt, welche andererseits Q co~2 erfüllt, so daß sich wieder
die Möglichkeit ergibt, cd durch ü auszudrücken. Der einzige
Ausnahmefall, der übrig bleibt, ist der, daß Q ganz frei von
Ableitungen erscheint.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß man auch aus dem
gemischten Bogenelement cd dx das gemischte Flächenelement
Q(dxd‘y — dyd'x ) gewinnen kann, wenn in cd eine höhere
Ableitung von y als die erste vorkommt. Liegt der mehr-
fach erwähnte Sonderfall vor, so genügt es auch, wenn a>(ej,
tß-2, . . .) eine Ableitung von 9 enthält, also ß = 3 ist.

Durch Nullsetzen der Determinante der Wf ergeben sich
manchmal invariante Relationen, die noch Vereinfachungen
unserer Betrachtungen ermöglichen.

255

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenitischer

Magmen.

Von Erich Kaiser.

Mit vier Textfiguren.

Vorgetragen in der Sitzung am 4. November 1922.

Eigentümlich erscheinende Wege führten mich, nachdem
ich wenigstens kurz mit zwei der von dem Bahnbrecher moderner
petrographisch-geoiogischer Forschung W. C. Brögger unter-
suchten Vorkommen syenitischer Gesteine bekannt geworden
war, einmal zu kürzeren, aber doch eingehenden Untersuchungen
in die Serra de Monchique Portugals und dann zu ausgiebigen
Studien an den Syenitvorkommen der südlichen Namib Süd-
westafrikas. Die Serra de Monchique mit ihrem einheitlich auf-
zufassenden Injektionskörper und die verschiedenen Syenitvor-
kommen der Namib Süd westafrikas bieten in ihren Formen
und den mit ihnen zusammenhängenden Differentiations- und
Assimilationsvorgängen in manchen Beziehungen große Gegen-
sätze, nach anderer Richtung so große Ähnlichkeiten, daß sich
ein Vergleich beider miteinander lohnt, um daraus allgemeine
Schlüsse abzuleiten.

I. Die Injektionsformen und ihre Beziehung zur Faltung.

Die Serra de Monchique1) habe ich früher als einen
Lakkolithen aufgefaßt, habe die damals schon vorliegenden
Deutungen von Harker über phakolithische Injektionsformen
besprochen, glaubte aber noch nicht, einen besonderen Injek-

1) Erich Kaiser, Der Eläolithsyenit der Serra de Monchique im
südlichen Portugal. Neues Jahrbuch f. Min. 1914, Beil. Bd. 39 (Fest-
band Bauer), S. 225 — 267.

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922.

18

256

E. Kaiser

tionstypus abtrennen zu müssen. Die Folgezeit lehrte mich
aber, daß wir an so zahlreichen Stellen Injektionen in Be-
ziehung zu Faltungsvorgängen sehen, daß diese Formen doch
unbedingt von dem von Gilbert und anderen gedeuteten Lakko-
lithen abgetrennt werden müssen, vor allem, da sie genetisch
vollkommen verschiedenartig sind, so daß es recht bedauerlich
ist, daß unsere Lehrbücher den Begriff der Phakolithe noch
nicht erläutern. Schon bald nach der Abfassung meiner ersten
Arbeit über die Serra de Monchique beabsichtigte ich, meine
ältere Darstellung dahin zu verbessern, daß wir die Serra de
Monchique nicht als Lakkolith, sondern als Phakolith im Sinne
von Harker deuten müssen, daß Injektion und Form nicht
allein als aktive Äußerung des Magmas anzusehen sind, sondern
daß äußere nichtmagmatische Faktoren für die Formgebung und
Raumfüllung bestimmend waren. Diese Berichtigung schob
ich infolge der Kriegsverhältnisse auf. Jetzt führten mich die
neueren Ausführungen von Hans Cloos dazu, gerade diesen
Intrusionsvorganor wieder näher zu betrachten. Anschließend
an Untersuchungen von Erich Bederke spricht Cloos1) von
einer neuen Intrusionsform, die, ebenfalls im konkordanten
Injektionsverband, mit sichelförmigem Grundriß eine Verbin-
dung von Faltungsvorgängen und Injektion zeigt. Wenn auch
diese sichelförmig gestalteten konkordanten Injektionskörper
nicht direkt mit der Serra de Monchique verglichen werden
können, so zeigen sich doch in beiden Formen so große Be-
ziehungen zu den Faltungsvorgängen, daß beide, mit anderen
als besonderer Iujektionstypus aufgefaßt, keinesfalls mit Lakko-
lithen zusammen besprochen werden dürfen. Der Begriff der

') HansCloos, Der Mechanismus tiefvulkanischer Vorgänge. Samm-
lung Vieweg, Heft 57, Braunschweig 1921. Vgl. auch die übrigen Arbeiten
desselben Verfassers zu diesem Thema: Geologie der Schollen in schle-
sischen Tiefengesteinen. Neue Untersuchungen im Grenzgebiete der Ge-
birgsbildung. Abh. d. Preuß. Geolog. Landesanstalt, N. F., Heft 81,
Berlin 1920. — Tektonik, und Magma. Untersuchungen zur Geologie der
Tiefen. Abh. d. Preuß. Geolog. Landesanstalt, N. F., Heft 89, Berlin 1922.
Darin besonders: Erich Bederke, Die lntrusivmasse von Glatz Keichen-
stein, S. 39 — 70. — Der Gebirgsbau Schlesiens, Berlin (Bornträger) 1922.

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. ^£>7

Phakolithe von Harker bedarf einer Erweiterung. Wenn ich
Harker richtig verstehe, so betrachtet er zunächst verhältnis-
mäßig kleine Injektionsformen, wenn er auch schon auf die
Rücken von Baltzer hinweist. Im ganzen müssen alle diese
mit der Faltung zusammenhängenden konkordanten Injektions-
formen1) von den vielen kleinen und großen granitischen, bank-
und linsenförmigen Einschaltungen in die Injektionsgneise mit
weitgehender Injektionsmetamorphose bis zu den erwähnten
konkordanten Injektionsformen in wenig metamorphosierte, ge-
faltete Gesteine dem Begriff der Phakolithe untergeordnet
werden, für die eine Beziehung von Faltung und Injektion vor-
liegt. Auflockerungszonen der Gebirgsfaltung begünstigen diese
Injektion. Dabei kommen verschiedenartige Stellen der Fal-
tungszonen in Betracht. Führte Harker den Antiklinen ein-
gelagerte Phakolithe vor, so zeigt uns das Beispiel von Cloos
und Bederke Einschaltung in den einzelnen Gebirgsbogen,
wogegen wir bei den konkordanten Injektionen der Injektions-
gneise wohl in vielen Fällen noch nicht sagen können, wie sich
die einzelnen Intrusivformen zu der Faltung verhalten. In ein-
zelnen Fällen ist direkt nachzuweisen, daß die Injektion dieser
Phakolithe in die letzte, in anderen Fällen in eine besondere
Phase der Faltung fällt. Die folgenden Darlegungen über die
Serra de Monchique zeigen nach dieser Richtung ein beson-
deres Beispiel.

Einzelheiten meiner früheren Darstellung brauche ich nicht
zu wiederholen. Ich verweise auf die meiner früheren Arbeit
beigegebenen Figuren und Profile, aus denen sich nicht nur
die Konkordanz des Hauptkörpers, sondern auch vieler Parallel-
lager ergibt, auch eine Konkordanz von Schlierenzonen (Zonen
von Lazerations-Sphaeroiden Salomons) und eine Parallelität
einer ausgesprochenen Klüftung mit den äußeren Grenzen des
Intrusionskörpers.

Die Syenitstöcke der südlichen Namib bilden dem-
gegenüber deutlich diskordante Formen, die unabhängig

B Vgl L. Milch, Zentralbl. f. Min. 1903, 445.

18*

258

E. Kaiser

sind von der Faltung. Wenn ich auch bereits an früheren
Stellen einiges über die Syenite der südlichen Namib auf Grund
meiner Beobachtungen mitgeteilt habe,* 1 * * * S.) so habe ich noch nicht
die Frage des Injektionsverbandes mit den Nebengesteinen be-
handelt. Von den in der Namib Südwestafrikas bis jetzt be-
kannt gewordenen Syenitvorkommen, dem Granitberg, etwa
80 km südlich von Lüderitzbucht, dem Signalberg-Schlueberg-
Massiv an der Pomonaiusel, etwa 60 km südlich der Lüderitz-
bucht, und dem Drachenberg-Massiv, etwa 55 km südsüdöstlich
von Lüderitzbucht und dem von Herrn Dr. Reuning aufge-
fundenen Vorkommen bei Kap Cross etwa 115 km nordnord-
westlich von Swakopmund sind nur die drei ersten in bezug
auf ihren Injektionsverband durch meine Untersuchung näher
bekannt geworden. Abb. 1 zeigt uns den Granitberg selbst
und einige kleinere, nördlich davon gelegene Syenitdurchbrüche
im Verhältnis zu der Kleinfaltung in der Umgebung. An dieser
Faltung sind beteiligt ein krystalliner Untergrund von Gneisen,
mit dem Schichtverbande konkordant injizierten älteren Gra-
niten und diskordanten Durchbrüchen von jüngeren Graniten,
dann ihnen diskordant auflagernd, Schichten der Namaformation.
In diesen wird eine untere Dolomitlage von höher lagernden
Quarziten und Sandsteinen mit Tonschiefern und oberen Dolo-
miten (bändriger Dolomit und Hauptdolomit) unterschieden.
Diese Schichten sind in ungefähr parallele Falten gelegt, die
im allgemeinen S — N, in der Nähe des Granitberges mehr
SSO — NNW streichen. Durch diese hindurch sind die syeni-
tischen Gesteine durchgebrochen und zeigen nur auf gewisse
Strecken hin in einzelnen Apophysen lagerartiges Eindringen
in das Nebengestein. Es herrscht also im allgemeinen ein dis-
kordanter Injektionsverband, der nur stellenweise in Akkordanz

*) Erich Kaiser, Studien während des Krieges in Südwestafrika.

1. Assimilationserscheinungen an den Elaeolithsjeniten des Granitbergs

in der südlichen Namib. Z. d. D. Geol. Ges. 1920, Bd. 72, Monatsber.

S. 52 — 64. Bericht über geologische Studien während des Krieges in

Südwestafrika. Abh. d. Giefiener Hochschulgesellschaft II. Gießen 1920,

S. 18 u. f.

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 259

von Syenit,
Eläolithsyenit

Abb. I. Die Kleinfaltung in der Umgebung des Granitberg (Namib, SW.-Afrika).

260

E. Kaiser

im Sinne von Cloos übergeht. Die Faltenzüge, die vom Nor-
den an den Granitberg heranstreichen, setzen im Süden in
gleicher Richtung weiter fort. Selbst eine größere Scholle
innerhalb des Injektionskörpers, die uns noch näher beschäf-
tigen wird, zeigt die Fortsetzung der von N heranlaufenden
Sättel und Mulden. Wenn auf der Kartenskizze im S zum Teil
eine Fortsetzung der Faltenzüge fehlt, so liegt dies daran, daß
gerade vor dieser, wenn auch nur wenig über die Umgebung
sich erhebenden Kuppe große Massen von Flugsand angelagert
sind und einen Einblick verhindern. Aber doch lassen sich
die allgemeinen tektonischen Verhältnisse hier festhalten. Eine
eigenartige Umbiegung der tektonischen Linien am Ostrande
des Granitberges könnte leicht, aber fälschlich auf den Injek-
tionsvorgang zurückgeführt werden. Denn diese Umbiegung
der Linien im 0 erklärt sich einfacher, was aus der Abbildung 1
nicht, aber aus der, meinem demnächst erscheinenden Haupt-
werke1) beizugebenden geologischen Spezialkarte (Aufnahme
von Dr. W. Beetz und mir) zu ersehen ist. Diese Umbiegung
der tektonischen Linien im 0 ist dadurch bedingt, daß hier
von S an den Granitberg ein Sattel von alten Gneisen heran-
tritt mit sehr starker doppelter Injizierung granitischer Gesteine.
Dieser Komplex hat sich verhältnismäßig starr verhalten und
eine Umbiegung der tektonischen Linien bei der Faltung vor
der viel späteren Injektion der Syenite veranlaßt. Der verhält-
nismäßig starre Körper älterer krystalliner Gesteine hat hier
eine Ablenkung der Faltenzüge bedingt, ebenso wie an anderen
Stellen der südlichen Namib. Wäre der Injektionsvorgang
gleichzeitig mit der Faltung, so würde man eine viel weit-
gehendere Akkordanz erwarten müssen und auch eine Umbiegung
der tektonischen Linien an der W-Seite unseres Injektionskörpers.

Die beiden anderen größeren Syenitstöcke unseres Gebietes
setzen nur in krystallinem Grundgebirge auf, durchbrechen
nicht die Schichten der Namaformation. Daraus darf man

Erich Kaiser, Das südliche Diamantengebiet Südwestafrikas.
Mit zahlreichen Karten und Tafeln. Erscheint 1923 bei der Verlagsbuch-
handlung Dietrich Reimer (Ernst Vohsen), A.-G. in Berlin.

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 261

nicht schließen, daß sie älter sind als die dem Grundgebirge
diskordant auflagernden Namaschichten. Denn die mit der In-
trusion des Syenites des Signalberg-Schlueberg-Massivs und des
Drachenberges gleichzeitigen, z. T. nur der Injektion nachfol-
genden Gangintrusionen durchsetzen die gesamten Schichten
der Namaformation.

In Abbildung 2 habe ich eine Übersichtsskizze der drei
verschiedenen Syenitvorkommen, ihrer Ganggefolgschaft und
ihres Verhältnisses zur Faltung gegeben. Von der Unzahl der
bei der geologischen Kartierung festgestellten Gänge habe ich
nur einen kleinen Teil, aber doch die wesentlichsten, eintragen
können. Eine Akkordanz ist stellenweise zu beobachten. Die
Mehrzahl der Gänge durchsetzt spießwinkelig nach allen Rich-
tungen hin die Faltenzüge. Ein System kann vielleicht her-
ausgelesen werden, das sich einmal ungefähr parallel zu dem
Hauptküstenverlauf stellt und dann senkrecht dazu. Die Falten-
züge selbst stoßen im allgemeinen diskordant an der Küste ab.
Eine Parallelität zwischen Faltenzügen und Streichen der Gänge
ist nur dort häufiger zu beobachten, wo die Faltenzüge parallel
zur heutigen Küste liegen. Aber widersinnig wäre es, aus
zahlreichen Einzelbeobachtungen, von denen die Abbildung nur
einen Teil wieder gibt, nun eine Beziehung von Küstenverlauf,
Faltenbau und Gangstreichen herzuleiten. Richtiger ist es, die
Vorgänge so zu trennen, daß man Faltung als unabhängig von
der Küste ansieht, wie wir dies ja auch von anderen großen
Teilen Südafrikas bereits wissen, daß der Küstenabbruch erst
nach der Faltung erfolgte, mit dem vielleicht die syenitischen
Injektionen und die Gangausfüllungen in Beziehung stehen.
Jedenfalls aber muß man gerade aus dem Verhalten des Gang-
streichens zu dem Faltenbau herleiten, daß auch die Gang-
injektion unabhängig von der Faltung erfolgte, beide Vorgänge
nicht synchron sind. Aus meinen zahlreichen Beobachtungen
deute ich nur einen Teil an, der uns wiederum die Unab-
hängigkeit dieser Syenitinjektionen der südlichen Namib im
ganzen von der Faltung anzeigt.

Wir haben also in diesen beiden miteinander verglichenen

262

E. Kaiser

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 263

Formen von Tiefenintrusionen verschiedenartigen Injektionsver-
band vor uns. Nachdem wir nun die Untersuchungen von
Cloos über die Anwendung granittektonischer Methode haben,
fragt es sich, ob die vorliegenden Beobachtungen an den beiden
Tiefenintrusionskörpern nach dieser Methode ausgewertet wer-
den können. Bei den Untersuchungen in beiden Gebieten war
mir die Arbeitsmethode von Hans Cloos unbekannt, so daß
die Feldbeobachtungen, die z. T. bereits veröffentlicht, z. T.
aus den Aufnahmebüchern hier zusammengestellt sind, nicht
unter dem Gesichtspunkte der neueren granittektonischen Me-
thode durchgeführt sind.

2. Gang- und Kluftrichtung.

In der Serra de Monchique treten mannigfache Gang-
gesteine auf, über deren Verhalten zu dem Hauptkörper ich
früher nicht berichtete. Nach meinen Aufnahmebüchern be-
obachtete ich an zahlreichen Stellen Parallelität der Gangaus-
füllungen mit der Haupterstreckung des Phakolithen, Paralle-
lität zum Salband, oder ein dazu ungefähr senkrechtes Streichen.
Damit kommen (man vergleiche die Kartenskizze1) der Serra
de Monchique) O-W, bzw. WSW-ONO gerichtete Gänge ebenso
vor wie S-N oder SSO-NNW gerichtete. Dagegen sind nach
anderer Richtung verlaufende Gänge seltene Ausnahmen. Von
besonderer Bedeutung ist das Verhalten der basischen (camp-
tonitisch-monchiquitischen) Gänge. „Die Ausfüllung beider
Klüftungsrichtungen erfolgte wohl zu gleicher Zeit. Die basi-
schen Gänge verwerfen sich gegenseitig nicht, sondern setzen
glatt durch einander hindurch im Gegensatz zu anderen Stellen,
wo sich basische und saure kreuzen, wobei die letzteren eine
Verschiebung erfahren haben.“ Dieser bei den Feldbeobach-
tungen festgestellte Gegensatz ist von großer Wichtigkeit. Die
ältesten Gänge sind hier saurer Beschaffenheit, während die
später eindringenden basischen Nachschübe in zwei verschie-
denen KlüftungsrichtuDgen zu gleicher Zeit eindringen konnten.
Das senkrechte Durchschneiden mehrerer Gangrichtungen basi-

x) Anm. 1, Seite 255.

264

E. Kaiser

scher Ausfüllungen ist an vielen Stellen, namentlich in der
Nähe des Kontaktes beobachtet. Dabei zeigte sich auch, daß
in einer Richtung durchsetzende basische Gänge zahlreiche Apo-
pbysen in der dazu senkrechten Richtung aussenden. Sehr
schön würde hier die Cloossche Darstellung durch eine Gang-
rose das Bild vervollständigen können, aber bei den Umbieg-
ungen im Verlaufe des Salbandes würde eine derartige Dar-
Stellung ein verschleiertes Bild geben. Denn die Parallelität
und das Senkrechtstellen zum Salband bedingt beim Wechsel
in der Streichrichtung der Grenze auch ein Wechseln in dem
Streichen der Gänge. Damit würde das Bild, auf die gesamte
Serra de Monchique ausgedehnt, Abweichungen von dem im
einzelnen beobachteten Bild ergeben. — Ebenso wie eine Pa-
rallelität von Gängen zum Salband beobachtet wurde, so wurde
auch eine Parallelität der Klüftungserscheinungen mit dem Sal-
bande festgestellt. Früher1) sprach ich von einer Bankung,
davon, daß sich aus dem Verband des Eläolithsyenit Bänke
herauslösen. Diese Ausdrucksweise darf man aber nicht mit
der Bankung im Sinne von Cloos, sondern muß sie mit seinem
Lager vergleichen, das in der Serra de Monchique recht steil
gestellt ist. Ein Teil der Gangintrusionen folgt diesem Lager.
Die zahlreichen dem Syenit eingeschalteten Schlieren und Re-
sorptionserscheinungen, auf die ich später noch einmal zurück-
komme, folgen ebenfalls dem Lager. Ein anderer Teil der
Gänge entspricht aber den Querklüften von Cloos. Ich glaube
auch, daß die anderen granittektonischen Elemente auch in
der Serra de Monchique beobachtet worden wären, wenn ich
damals schon hierauf geachtet hätte.

Zu beachten ist weiter die früher schon ausführlich be-
sprochene Erscheinung, daß in der Umgebung des Eläolith-
syenits der Serra de Monchique zahlreiche, typische Lager-
gänge konkordant in den Schichten auftreten, die alle zu den
sauren Injektionen des Eläolithsyenitmagmas in die Umgebung
gehören. Gegenüber der großen Zahl dieser sauren Apophysen

]) Anm. 1, Seite 255.

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 265

sind basische Gang} dort äußerst spärlich, fehlen sogar im
größten Teil der Umgebung. Die Injektion des Eläolithsyenits
selbst und die ältere saure Spaltung sind konkordant dem Schicht-
verband eingeschaltet, während die jüngere basische Spaltung,
aber nur innerhalb des Eruptivkörpers, sich einmal derselben
Richtung anpaßt, aber auch in eine zweite, dazu senkrechte
Richtung eingepreßt wurde. Wir müssen dadurch zu der Auf-
fassung kommen, daß bei dieser phakolithischen Injektion die
gebildeten magmatischen Körper zuerst noch in die durch die
Texturlinien des Nebengesteins vorbestimmte Richtung einge-
ordnet sind infolge einer Aufblätterung, die in dem Faltungs-
vorgang ihre Begründung hat, daß dann aber eine zweite Periode
des Faltendruckes noch während der Spaltung des Eruptiv-
körpers einsetzt. Diese zweite Richtung äußert sich in einer
Klüftung, die zu den Texturlinien des Nebengesteins senkrecht
steht, während die Auflockerung sich ihrem Ende nähert. In-
folge dessen werden nun zwei zueinander senkrechte, aber in
Bezug auf den Injektionsvorgang gleichwertige Richtungen mit
den basischen Spaltprodukten des Magmas ausgefüllt. Wir
folgern daraus wiederum eine Verknüpfung von Faltungsvor-
gängen und dadurch bedingtem Wechsel der Druckrichtungen
einerseits mit Injektionserscheinungen andererseits, ein Inein-
andergreifen beider.

Im Gegensatz dazu aber stehen die Syenite der süd-
lichen Namib. Ich greife aus dem Hauptwerke1) über meine
südwestafrikanischen Arbeitsergebnisse nur das für diesen Ver-
gleich wichtige heraus. Auf Klüftungserscheinungen in den
Syeniten der Namib habe ich leider, wie ich zugeben muß,
nicht genügend geachtet. Neben den primären Klüftungen aus
der Injektionsperiode und deren direkten Folgeerscheinungen
kommen aber in jenem Trockengebiete hinzu die zahlreichen
Insolationsrisse, die die Felsen fast überall durchsetzen, an der
Oberfläche fast alle Blöcke zerteilen. Aufschlüsse zum Ein-
blick in große Tiefe gibt es nicht. Zweifellos wäre es sehr

l) Anm. 1, Seite 260.

266

E. Kaiser

wichtig, wenn einmal nachgeprüft würde, ob diese Insolations-
risse nicht in einer gewissen Beziehung stehen zu Klüftungen etc.
Dabei müßten aber auch in jenem Trockengebiete die ver-
schiedenartigen, sowohl die konkordanten (Granite im älteren
Grundgebirge) wie diskordanten (jüngere Granite und die späten
Syenite) Injektionskörper miteinander verglichen werden. Aber
eine Hauptrichtung der Klüftung ist auch bei meinen Unter-
suchungen genauer festgelegt worden durch eingehende Ver-
folgung der auftretenden Gangausfüllungen. Diesen habe ich
von Anfang an besonderes Augenmerk gewidmet, da gerade
die z. T. überreichen Gangausstriche zu einer einheitlichen Dar-
stellung führen mußten. Beschränkung war natürlich auch hier
geboten. Denn wenn auch im allgemeinen in diesen Trocken-
gebieten der Bau des Gebirges offen und klar zutage liegen
soll, so gilt das nur bis zu einem gewissen Grade. Wenn im
humiden Klima ein dichter Verwitterungsschutt und eine nur
an wenigen Stellen unterbrochene Vegetationsdecke mit ihren
humosen Verwitterungsprodukten den Einblick in den Unter-
grund bis aufs äußerste erschwert, so erleichtert zweifellos die
Ausräumung chemischer und physikalischer Verwitterungspro-
dukte auf weite Strecken hin und der Mangel an Vegetation
in jenem Wüstengebiete den Einblick sehr. Aber doch sind
viele Stellen vorhanden, an denen Schuttmassen des Trocken-
gebietes angehäuft sind und ebenso wie weit ausgedehnte Flug-
sandanwehungen den Untergrund verschleiern. Aber abge-
sehen von diesen gegenüber dem humiden Klimareiche verhält-
nismäßig beschränkten Stellen habe ich doch die meisten Gang-
ausfüllungen innerhalb der Injektionskörper wie in dem Neben-
gestein genauer verfolgen können. Dabei zeigte sich nun,
daß bei dem diskordanten Injektionsverband des Granitberg
wohl eine Richtung bevorzugt ist, die sich von WSW nach
ONO zieht, aber doch nicht senkrecht steht auf der Faltung
der Schichten in der Umgebung. Aber abgesehen von dieser
etwas bevorzugten Richtung zeigen sich alle möglichen Rich-
tungen im Granitberg und dessen Umgebung. Sowohl radial
aus dem Granitberg nach den verschiedensten Richtungen her-

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 267

austretende Gänge wie auf ziemliche Erstreckung hin parallel
zu dem äußeren Salband, konzentrisch zu diesem, verlaufende
Gänge sind vorhanden. Auch annähernd senkrecht zu dem Sal-
bande streichende Gänge sind vorhanden. Aber die daraus sich
ergebenden Wiukel zwischen den ungefähr senkrecht zuein-
ander verlautenden Gängen sind nach den verschiedensten Rich-
tungen hin geöffnet. Die Beziehung zwischen Salband und
Gangausfüllung im Innern des Injektionskörpers ist derart, daß
nach der annähernd rundlichen Begrenzung zahlreiche radiale
Gänge durchlaufen und senkrecht dazu im Innern mit Gang-
material ausgefüllte Spalten vorhanden sind, die aber bogig
verlaufend immer wieder einen radial verlaufenden Gang senk-
recht zu einem anderen Bogenstück des äußeren Salbandes ent-
senden. Die Einheitlichkeit des Injektionskörpers mit konkor-
dantem Injektionsverband der Serra de Monchique fehlt. Dafür
ist ein anderes, in den inneren, nicht den äußeren Verhält-
nissen begründetes System getreten.

3. Assimilationserscheinungen.

Sehen wir in den Gangausfüllungen beider Injektions-
körper Gegensätze, so zeigen uns die Assimilationserscheinungen
zunächst gewisse Ähnlichkeit. Unter dem Banne der früher
herrschenden Ablehnung weitgehender Assimilation habe ich
mich bei der Bearbeitung der Serra de Monchique noch
nicht so scharf für Assimilation ausgesprochen, wie es sicher
hätte erfolgen müssen, wenn ich die schönen überzeugenden
Assimilationserscheinungen an den Syeniten der südlichen Na-
mib gekannt hätte. Aber ich wies doch mehrfach auf den
eigenartigen Verband von Schlieren hin, die parallel zu der
äußeren Begrenzung des konkordanten Injektionskörpers der
Serra de Monchique auftreten, sich von den eigenartigen Ein-
stülpungen des Nebengesteins in den Syenitkörper hinein fort-
setzen. Aus meinen Aufzeichnungen ergibt sich, daß ich immer
wieder eine Parallelität der Einschlüsse mit den äußeren Be-
grenzungsflächen des Syenits feststellte, daß tafelige und nade-
lige Bestandteile, wie Feldspate, Glimmer, Hornblende der

268

E. Kaiser

äußeren Begrenzungsfläche parallel geordnet sind, woraus her-
vorgeht, daß wohl eiqe Streckung parallel dem Salbande vor-
liegt. Besonders hervortretend ist diese Parallelordnung in
eläolithsyenitporphyrischen Schlieren innerhalb des Foyaits, in
denen die tafeligen Feldspate parallel dem äußeren Salbande
des gesamten Syenitkörpers auch dann geordnet sind, wenn die
einzelne Schliere innerhalb des Syenits davon abweichend, un-
regelmäßig begrenzt ist, so daß dann z. T. einzelne Feldspate
schiefwinklig, ja senkrecht auf der Begrenzungsfläche der Schliere
stehen, sich dabei aber in die allgemeine Tektonik des ganzen
Syenits einordnen. Es sind das Erscheinungen, die nicht mehr
verwunderlich sind, wenn man von den Druckvorgängen aus-
geht, die uns Hans Cloos an den Graniten gezeigt hat.

Besonders tritt eine schlierig-streifenförmige Anordnung
der fremden Bestandteile mit deutlicher Paralleltextur in der
Serra de Monchique am Kontakte hervor. In einzelnen, auf-
einander folgenden Bändern sind reichlich oder spärlich dunkle
Gemengteile angereichert, wodurch die Texturverhältnisse oft
schon von weitem auffallen. Der Einfluß des Nebengesteins
zeigt sich an den einen Stellen durch Vorwalten femischer, an
den anderen Stellen salischer Bestandteile an der äußeren Zone
des Injektionsmassivs. Struktur und Textur wechseln ständig.
Auffallend sind auch in der Serra de Monchique am Salbande
oft recht grobkörnige, ja pegmatitische Ausbildungen. Diese
Assimilationsvorgänge an dem Salbande erklären verschieden-
artige Gesteinstypen, die man nach alter Handstücksmethodik
sehr wohl mit Namen belegen könnte und auch belegt hat,
die aber, infolge ihres geologischen Verbandes, keine Selbst-
ständigkeit besitzen. Die dem Syenit eingelagerten Einschlüsse
erlitten die stärkste Metamorphosierung, stärker als die Kon-
taktwirkung auf das Nebengestein der Umgebung. Diese Um-
wandlung entspricht genetisch der Injektionsmetamorphose der
krystallinen Schiefer. Die dunklen, basischen Schlieren zeigen
„eine außerordentlich weitgehende Schwankung in bezug auf
Mineralgehalt und Struktur“, treten „in großen, aber nur
z. T. unregelmäßig verlaufenden, und in der Zusammensetzung

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. ^69

schwankenden Schlieren innerhalb des normalen Foyaits“ auf.
Ich zeigte bereits früher, daß „diese Schlieren basischer Ge-
steine sich in die allgemeinen Struktureigentümlichkeiten (wohl
besser: tektonischen Verhältnisse) der Serra de Monchique ein-
ordnen.“1) Ich stehe nach nochmaliger Durchsicht der gesam-
melten Handstücke nicht an, den größten Teil dieser Schlieren
und der früher mit besonderem Namen belegten basischen Ge-
steine nicht Differentiations-, sondern Assimilationserscheinungen
zuzuschreiben. Die Assimilation setzte in der Serra de Mon-
chique überall an den Grenzflächen ein, besonders an den viel-
fachen Vorsprüngen des Nebengesteins innerhalb des Syenit-
körpers. In der Fortsetzung der Vorsprünge des Nebengesteins
in den Eruptivkörper hinein ist die Assimilation streichender
Fortsetzungen von Nebengestein unter Bildung von sauren und
basischen Mischgesteinen besonders stark gewesen. Aber diese
Assimilationsreste innerhalb des Injektionskörpers sind eben
deutlich gerichtet, alle in die allgemeinen tektonischen Ver-
hältnisse eingefügt, im Gegensätze zu den Assimilationserschei-
nungen am Granitberg der südlichen Namib.

Assimilation tritt am Granitberg in der Namib Süd-
westafrikas sehr ausgeprägt auf. Sie ist mit einer starken
Durchtrümerung des Nebengesteins verbunden, welche stellen-
weise den Schichtfugen folgt, stellenweise aber auch in viel-
fachen Adern diskordant durch das Nebengestein hindurchsetzt.
Die aus der Tiefeninjektion der krystallinen Schiefer bekannte
Injektion „Schicht für Schicht“ tritt in diesem Niveau unserer
syenitischen Injektion seltener auf, was mit der höheren Teufe,
dem geringeren Belastungsdrucke zusammenhängt, unter dem
die Injektion an diesen Eläolithsyeniten erfolgte. Damit kom-
men aber grobbreccienartige Texturen zu stände, so daß man
in diesen Aufschmelzungszonen zunächst an eine Eruptivbreccie
denkt. Daß aber kein rein tektonischer Vorgang diese Zer-
trümmerung bedingte, sieht man daran, daß sich das Magma
in seiner durch die Assimilation veränderten Beschaffenheit in

‘J Anm. J, Seite 255.

270

E. Kaiser

alle Fugen hineinarbeitet, daß nur magmatisches Bindemittel
diese Bruchstücke verkittet. Diese Assimilationszone ist wech-
selnd breit, abhängig von dem Nebengestein, dessen Klüftung
und dessen Neigung zur Injektion. In einiger Entfernung vom
Kontakte, nach dem Innern des Eruptivkörpers hin, nimmt die
Menge der im Magma schwimmenden Bruchstücke ab. Aber
Mineralbestand, Textur und oft auch Struktur sind noch ver-
ändert gegenüber der Hauptausbildung innerhalb des Stockes.
So hat man, von dem normalen Gestein in der Mitte ausgehend,
eine wechselnd breite, durch die Assimilation veränderte Zone
bis zum Salbande. Aber diese Übergangszone und vor allen
Dingen das Salband genauer kartographisch festzulegen, ist
unmöglich. Sowohl innere wie äußere Kontaktzone sind nicht
scharf begrenzt infolge des allmählichen Zunehmens von Neben-
gesteinsmaterial und wegen der weitgehenden Durchtrüme-
rung des Nebengesteins mit zahlreichen Apophysen. Auch hier
sind die zahlreichen Bruchstücke hoch metamorphosiert. Eine
besondere Anordnung dieser umgewandelten Einschlüsse ist
nicht festzustellen, im Gegensätze zu der Serra de Monchique.
Sie liegen regellos durcheinander. Eine Streckung derselben
ist nicht beobachtet. Zwischen ihnen winden sich die mag-
matischen Adern hindurch, in denen man zuweilen eine parallele
Anordnung der tafeligen und nadeligen Bestandteile parallel
den Grenzen sieht. Aber in bezug auf die Hauptkontaktzone
verlaufen diese Bänder ganz unregelmäßig.

Die krystallinen Schiefer am Kontakte sind von
wenigen Apophysen durchsetzt, nur von zahlreichen
Gängen aus der Gefolgschaft der Injektion durchzogen, die in
dem starren älteren Komplexe der krystallinen Schiefer in der-
selben Menge wie im übrigen Nebengesteine auftreten. Inten-
siver aber ist die Injektion des Magmas in die unteren
Dolomite der Namaschichten, unter geringfügiger Metamor-
phose, aber unter stärkerer Stauchung und Fältelung der
Carbonatgesteine und der ihnen eingelagerten Schiefer. Die
Injektion folgt dabei z. T. den Schichtfugen, setzt zum anderen
Teile quer durch die einzelnen Bänke hindurch, wie dies die

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 271

Abbildungen 3 und 4, etwas schematisiert, andeuten. Die beiden
Profile sind in etwa 200 m voneinander durch den Ostrand des
Granitberg gelegt, können trotz der Abweichungen beider Pro-
file aber nicht entfernt die wirklichen, äußerst verwickelten
Injektionserscheinungen in die unteren Dolomite wiedergeben.
Ein die Dolomite nach allen Richtungen durchsetzendes Netz-
werk liegt vor. Die untere Grenze der unteren Dolomite fällt
dabei flach gegen den Eläolithsyenit hin ein. Die krystallinen
Schiefer sind glatt durchbrochen; aber in die unteren Dolomite
setzen viele Injektionsbänder nebeneinander hinein, so daß im
Niveau dieser unteren Dolomite eine wesentliche Verbreiterung
des Injektionskörpers erfolgt. Die durch die älteren und jün-
geren Granitinjpktionen verfestigten krystallinen Schiefer sind
verhältnismäßig starr auch gegenüber der jüngeren Syenit-
injektion, so daß ein Eindringen des Magmas in sie nicht er-
folgt, während die auflagernden Sedimente für die Injektion
geeignetere Texturlinien aufweisen. Diese Injektion wird da-
durch begünstigt, daß eine teilweise Einschmelzung des Neben-
gesteins, unter Freiwerden von Gasen, erfolgt. Die Carbonat-
gesteine werden z. T. aufgeschmolzen unter Umgestaltung des
Magmas, das in allen diesen Adern, ohne irgend ein fein-
körniges Salband, grob pegmatitisch erstarrt, unter Ausbildung
von 3, 4, stellenweise sogar 10 cm großen Eläolithen und noch
größeren Feldspaten. Daß auch die femischen Bestandteile in
ihrer chemischen Zusammensetzung gegenüber dem Normal-
gesteine verändert und daß seltenere Mineralien vorhanden sind,
mag nur erwähnt werden. Diese Assimilationsvorgänge haben
zum Freiwerden von Gasen geführt, die in das Magma über-
traten und pegmatitische Ausbildung begünstigten. Man kann
diese Gase als sekundäre leichtflüchtige Bestandteile
des injizierten Magmas bezeichnen; sie entsprechen den resur-
genten Gasen von Daly. Die bei dieser Art von Injektion
und damit zusammenhängender Assimilation erhöhte Dampf-
spannung bewirkt eine weitere Aufblätterung und Zertrümme-
rung des Nebengesteins, bewirkt also nicht nur auf der einen
Seite eine strukturelle, wie chemische und mineralogische Ver-

Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1922. 19

272

E. Kaiser

Abli. 3 u. 4. Injektionsverband des Eläolithsyeints am Granitberg (Namib, SW.-Afrikal
mit den unteren Dolomiten der Namaformation.

eg

ES

Schutt und Flugsand des Trockengebietes

Gänge der Ganggefolgschaft der El'aolithsyenite ; T = Tinguait, B = Bostonit
Durch Assimilation veränderter Syenit: Hybride Gesteine
Eläolithsyenit (jünger als Namaformation)

Unterer Dolomit (Namaformation)

Jüngerer Granit (älter als Namaformation)

Injektionsgneis mit älterem Granit

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 273

änderung im Magma, sondern auch eine weitergehende Injek-
tion in das Nebengestein hinein. Die Aufschmelzung des Neben-
gesteins und die damit zusammenhängende Assimilation erlangt
also, zunächst lokal, eine wesentliche Bedeutung für den In-
jektionsvorgang selbst. Aufschmelzung von Carbonatgesteinen
ist auch schon von anderen Stellen nachgewiesen worden. Ich
verweise auf die älteren Darstellungen, die mir bei meinen
Untersuchungen nicht bekannt waren, z. B. von Högbom1)
an den Eläolithsyeniten von Alnö, von Stutzer an Eläolith-
syeniten von Botogolsky-Golez in Ostsibirien,2) von Ussing
von Julianehaab in Grönland,3) dann auf die neueren, für die
ganze Frage wichtigen Mitteilungen von Brögger aus dem
Fengebiete Norwegens4) mit eingehender Besprechung der An-
gaben anderer Verfasser, die von Brauns5) aus dem Laacher
Seegebiet, die von Sh and aus dem Sekukuniland und von
Leeuwfontein in Transvaal,6) die Zusammenfassungen von
Niggli7), die neuesten, z. T. theoretischen, aber zwingenden
Schlüsse von Bo wen8) und ebendessen ältere Schriften, wie

J) A. G. Högbom, Über das Nephelinsyenitgebiet auf der Insel Alnö.
Geol. Föreningen Förhandlingar 1895, Bd. 17, S. 100, 214; 1909, Bd. 31.

2) 0. Stutzer, Über primären Calcit im Eläolithsyenit des Boto-
golsky-Golez in Ostsibirien (Graphitgrube Alibert). Zentralbl. f. Min. 1910,
S. 433.

3) Y. Ussing, Geology of the country around Julianehaab, Green-
land. Meddelelser om Grönland. Kopenhagen 1911, Bd. 38.

4) W. C. Brögger, Die Eruptivgesteine des Kristianiagebietes.
IV. Das Fengebiet in Telemark, Norwegen. Videnskapselskapets Skrifter I.
Mat.-naturv. Klasse 1920, No. 9, besonders S. 194 u. f., 334 u. f.

5) R. Brauns, N. Jahrb. f. Min. 1913, Beil. Bd. 35, S. 202; 1922,
Beil. Bd. 46, S. 72, 110. — Die Mineralien der Niederrheinischen Vulkan-
gebiete. Stuttgart 1922, S. 111.

G) S. J. Shand, The nepheline rocks of Sekukuniland. Transact.
geol. soc. S.-Africa 1921, Bd. 24, S. 144 u. f. — The igneous complex of
Leeuwfontein, Pretoria-Distrikt. Ebenda, S. 233 u. f. — The problem of
the alkaline rocks. Proc. of the Geol. soc. of S.-Africa 1922, S. XIX u. f.

7) P. Niggli, Die leichtflüchtigen Bestandteile im Magma. Preisschr.
d. fürstl. Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig, 47. Leipzig 1920,
S. 202 u. f.

8) N. L. Bowen, The behavior of inclusions in igneous magmas.

19*

274

E. Kaiser

auch auf die experimentellen Untersuchungen von Niggli über
die Einschmelzung von Kalk bei niederen Temperaturen1) und
die neueren, noch nicht veröffentlichten Untersuchungen von
Eitel bei höheren Temperaturen, über welche dieser auf der
Tagung der Deutschen Mineralogischen Gesellschaft in Leipzig
vortrug. Nicht vergessen werden darf dabei der ausführlichen
Besprechung dieser Frage der Aufschmelzung von Carbonat-
gesteinen durch Da ly. 2) Zweifellos gibt die ältere Literatur
weiteres über die Injektion des syenitischen Magmas in Car-
bonatgesteine. Manche Angaben findet man bei Daly, aber
es ist nicht notwendig, alle im einzelnen anzuführen. Deutungs-
versuche nach der hier gegebenen Richtung bietet die ältere
Literatur wenig; die synthetischen Versuche aber geben eine
Bestätigung meiner theoretischen Auffassung der Feldbeobach-
tungen, so daß ich glaube, einen richtigen Deutungsweg ge-
funden zu haben. Die Aufschmelzung in Verbindung mit der
Injektion in geeignete Schichtkomplexe bietet für die Platz-
austauschfrage wichtige Schlüsse. Hierbei sei unter weiterer
Anführung von Angaben von R. Brauns darauf hingewiesen,
daß in unserem Falle nicht nur eine Aufschmelzung der Car-
bonate, sondern auch eine Dissoziation eingetreten ist, die auf
der einen Seite zu besonderen Bestandteilen der Eläolithsyenit-
pegmatite, auf der anderen zu den sekundären leichtflüchtigen
Bestandteilen des Magmas führte. Daß Dissoziation eintreten
konnte, hängt mit der geringen Tiefe des Intrusionsniveaus
zusammen (vgl. S. 281). — Mit diesem Vergleiche, der die
geologischen Verhältnisse nur behandeln sollte, kann ich eine
Besprechung der auch sehr interessanten chemischen und mine-

Journ. of Geol. 1922, Bd. 30, S. 513 u. f. — The reaction principle in
petrogenesis. Ebenda, S. 177 u. f. Sowie ältere Schriften desselben.

x) P. Niggli, Gleichgewichte zwischen Ti02 und C02, sowie Si02
und C02 in Alkali-, Kalk-Alkali und Alkali- Aluminatschmelzen. Zeitschr.
f. anorgan. Chemie 1916, Bd. 98, S. 242—326.

2) R. A. Daly, Igneous rocks and their origin. New-York 1914.
Genesis of alkaline rocks. Journ. of Geology 1918, Bd. 26, S. 97 — 134.
Neben anderen Schriften desselben Verfassers.

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 275

ralogischen Einzelheiten nicht verbinden, die ich dem Haupt-
werke meiner süd westafrikanischen Untersuchungen Vorbehalte.1)

Wie an den unteren Dolomiten, so tritt eine Beeinflussung
des Magmas durch die Assimilation an den quarzfüh-
renden höheren Stufen der Namaformation auf, sehr
viel weniger eine schichtige Injektion, als eine unregelmäßige
Durchtrümerung der dickbankigen Quarzite und Sandsteine.
Nur in eingeschalteten Tonschiefern sehen wir Apophysen der
Schichtlinie folgen. Die Bildung einer breccienartigen Kon-
taktzone ist aber ähnlich wie am Kontakte gegen die unteren
Dolomite, während Beeinflussung der Zusammensetzung viel
ungleichmäßiger ist. Am Kontakte gegen die Quarzite und
Sandsteine mit den ihnen eingelagerten Tonschiefern sind ein-
mal die dunklen Gemengteile angereichert zu glimmerreichen
Gesteinen, andererseits zu hornblendereichen Gesteinen. Dann
wieder treten die dunkeln Gemengteile stark zurück, so daß
also diese Assimilationszone sehr große Unregelmäßigkeit zeigt.
Die Aufnahme von Kieselsäure führt bis zur Ausbildung von
quarzführenden Gesteinen, reinen Alkaligraniten in kleinen Apo-
physen, kleinen Stöcken in der Kontaktzone. Ein Teil dieser
Injektionen im Nebengestein stellt abgequetschte Lösungsreste
dar, die aus der durch Assimilation gebildeten Mischschmelze fort-
geführt sind. Kleine, unregelmäßig begrenzte, diskordant die
Quarzite durchsetzende Apophysen sind so ebenso entstanden,
wie konkordant in die höheren bändrigen Dolomite injizierte
Gesteine. Diese abgequetschten Lösungsreste sind nicht nur
diskordant in das Nebengestein eingepreßt in gleichem Niveau,
sondern sind auch passiv in Aufblätterungsfugen der höheren
Stufe injiziert, ohne daß dabei die abweichende chemische Zu-
sammensetzung dieser höheren Schichten eine erneute Umbil-
dung der magmatischen Lösung bedingte.

Innerhalb des Syenitstockes war mir an der Ober-
fläche schon bei der ersten kurzen Besichtigung des Granit-
bergs (1914) eine ausgedehnte Zone aufgefallen, die aus einer

*) Vgl. Anm. 1, S. 260.

276

E. Kaiser

Mischung der verschiedenartigen Komponenten besteht, von
denen ich bereits vor dem Kriege Proben zugesandt erhalten
hatte, ohne sie deuten zu können. Ein meist dunkles, flächen-
haft ausgebreitetes Gestein mit vielen eingeschlossenen, stark
metamorphosierten Bruchstücken wechselnder Zusammensetzung
zeigt sich verkittet durch ein schwankendes magmatisches Binde-
mittel, selbst wieder der wechselvollsten Beschaffenheit. Ich
wies bereits früher darauf hin, daß es sich um eine Auf-
schmelzungszone handle, an einer auf dem Syenitstock be-
findlichen Scholle vom Dache des Stockes, die z. T. noch er-
halten ist, z. T. aber abgetragen, so daß nur die innere Kon-
taktzone des Syenits an dieser Scholle erhalten blieb. Abbil-
dung 1 deutet diese Scholle an, gibt aber nicht die Aufschmel-
zungszone in der Nachbarschaft. Die Einzelerscheinungen
müssen auf der dem Hauptwerke1) beigegebenen Spezialkarte
eingesehen werden. Die Scholle ist nicht groß, dagegen viel
größer die Ausdehnung der Assimilationszone innerhalb des
Syenitstockes.

Endlich treten unter den Gängen innerhalb des Stockes
meist konzentrisch zum äußeren Salbande verlaufende Gänge
auf, die mit einem ganz ähnlichen, gemischten Gesteine
gefüllt sind. In stellenweise bis 10 m mächtigen Gangaus-
füllungen sind die verschiedenartigsten, selbst immer wieder
hochmetamorphen Gesteinsbrocken der verschiedensten Zusam-
mensetzung durch ein wechselndes magmatisches Bindemittel
miteinander verbunden, das sowohl nach Mineralbestand, Struk-
tur wie Textur ständig, auf kleinste Entfernung hin, sich ändert.
Zwischen den Einschlüssen sieht man einmal normal eläolith-
syenitisches Magma, dann porphyrische Füllmassen, dann apli-
tische, wiederum pegmatitische Ausbildungsformen, hier an
dunklen Gemengteilen reiche, ebenso rasch wechselnde, wie
weiterhin an dunklen Gemengteilen arme Füllmassen. Kein
einheitliches Gestein liegt in den Adern zwischen den mehr
oder weniger stark resorbierten Einschlüssen vor. Gesteins-

l) Anm. 1, S. 260.

•-

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 277

bestimmungen von nabe beieinander liegenden Vorkommen er-
geben ebenso wechselnde Diagnose wie chemische Analyse der
verschiedenen Stücke. Ich kann auch diese Gangausfüllunsren
nur als Mischgesteine, hybride Gesteine auffassen. Woher aber
sind sie gekommen? Wir haben am Kontakte der unteren
Dolomite die große Assimilation gesehen, beobachtet wie an
dem quarzitischen Nebengesteine eine ähnliche Aufschmelzung
eingetreten ist. Resurgente Gase sind sowohl am Kontakte der
unteren Dolomite wie Quarzite in das Magma eingetreten und
gaben Veranlassung zu den sekundären leichtflüchtigen Be-
standteilen, die selbst wieder zu Intrusionsvorgängen des Misch-
magmas außerhalb der Assimilationszone in das weiter ablie-
gende Nebengestein führten. Ebenso wie eine Injektion in das
Nebengestein erfolgte, so trat auch eine Injektion dieser
hybriden Gesteine in die höher gelegenen, bereits ver-
festigten Teile auf Klüftungsfugen des magmatischen
Körpers selbst ein. So sind diese konzentrisch verlaufenden,
mit hybriden Gesteinen gefüllten Gänge als Intrusionsfugen
aufzufassen eines in der Tiefe gebildeten Mischmagmas, dessen
Auftriebskraft durch die in das Magma neu übertretenden
leichtflüchtigen Bestandteile bedingt wurde. Somit war die
Aufschmelzung und Assimilation des Nebengesteins
nicht nur in der nächsten Nachbarschaft, sondern auch auf
weitere Erstreckung hin für den Intrusionsmechanis-
mus bedeutsam. Die in der Aufschmelzungszone nicht voll-
ständig gelösten Körper von Nebengesteinsbruchstücken brauchen
also nicht, wie es so oft bei Diskussionen über die Aufschmel-
zungshypothese betont wird, als schwere Bestandteile in die
Tiefe zu sinken, sondern sie können auch, gerade durch den
Eintritt resurgenter Gase, in höhere Gebiete aufgetrieben werden.
Die Assimilation in unserem Falle führt zu einer
Massen vermeh rung innerhalb des magmatischen Kör-
pers, aber auch zu einer Massenabfuhr, zu einer Platz-
schaffung durch den magmatischen Aufschmelzungs-
vorgang. Ist der magmatische Körper noch nicht vollständig
erstarrt, so wird es durch den Auftrieb der sekundären leicht-

278

E. Kaiser

flüchtigen Bestandteile zu schlierenartigen Massen in dem er-
starrten Magma kommen, in unserem Falle aber, in dem bei
diesem Auftrieb höhere Teile bereits erstarrt waren, kam es
zu Kluftausfüllungen. Ich bezeichne diese Gangausfüllungen
als hybride Ganggesteine. Wenn man ähnliche schlieren-
artige Vorkommen und Gangausfüllungen von demselben Ge-
sichtspunkte aus betrachtet, so würden sich sicher noch viele
Beispiele zu dieser Erklärung finden. Ich glaube als sicher
annehmen zu müssen, daß durch die einseitige, von der Hand-
stückspetrographie betriebene, damit sehr theoretische petro-
graphische Erforschung magmatischer Vorgänge manches Be-
legstück für diese Auffassung falsch gedeutet worden ist. Der-
artige Vorgänge können nur durch petrographisch-geologische,
sagen wir kurz, petrogenetische Untersuchungen der Erklärung
näher geführt werden. — In unserem Falle des Granitbergs
fällt noch auf, daß diese konzentrisch zum Salbande des ganzen
Stocks verlaufenden Gänge ihre Hauptverbreitung an der Nord-
und Ostseite des Stockes haben (angedeutet in Abb. 2). Die
Aufschlüsse in der Assimilationszone an den unteren Dolomiten
liegen an der Nordostseite. Mit ihnen hängen die Gangaus-
füllungen nicht zusammen. Die Injektion erfolgte im wesent-
lichen von der gegenüber liegenden Seite aus, wo sekundäre,
leichtflüchtige Bestandteile in größerer Zahl in die Schmelze
übertraten, dort, wo eine mächtigere Folge von Quarziten auch
heute noch am Kontakte aufgeschlossen ist. In die Fugen
eines kuppelförmigen, rund umlaufenden Gewölbes drangen die
neu injizierten Massen auf der Gegenseite in die höheren Teile
der sich bereits verfestigenden Kuppel ein.

Mit diesem an die Beobachtungen sich anschließenden Er-
klärungsversuche hat der Assimilationsvorgang eine ganz wesent-
liche Bedeutung nicht nur für die Injektion, sondern auch für
die Platzaustauschfrage gewonnen.

Beide miteinander verglichene Beispiele zeigen eine weit-
gehende Assimilation. In der Serra de Monchique sind die
Assimilationsprodukte in den allgemeinen tektonischen Bau des
Injektionskörpers eingeordnet; sie folgen dort den äußeren Be-

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen.

grenzungslinien des unter Druck stehenden Injektionskörpers.
Am Granitberg sehen wir eine ähnliche Parallelität in der
äußeren Zone nur insoweit, daß überall Assimilation erfolgt,
aber eine Anordnung der Assimilationsreste parallel den Grenz-
flächen liegt nicht vor. Im inneren Kern können wir erst
recht nicht eine durch die äußeren Grenzverhältnisse gerichtete
Anordnung der Assimilationserscheinungen nachweisen.

4. Differentiationserscheinungen.

Ein Teil der früher in der Serra de Monchique als
Differentiation gedeuteten Erscheinungen fällt nach dem vor-
hergehenden unter Assimilation. Damit ist aber nicht jegliche
Differentiation für die Serra de Monchique geleugnet. Zunächst
bleiben die eigenartigen Unterschiede in dem ganzen Phako-
lithen, der Reichtum an femischen Bestandteilen am südlichen
und südöstlichen Rande, Überwiegen pulaskitischer Ausbildung
am Nordrande. Hier können wir einen Differentiationsvorgang
im großen sehen, indem in dem steil gestellten Phakolithen
uns verschiedene Differentiationsräume in demselben Denuda-
tionsquerschnitte entblößt entgegen treten. Hierin kann recht
wohl eine Gravitationsdifferentiation vorliegen, eine Anreiche-
rung von femischen Bestandteilen am liegenden, von salischen
Bestandteilen am hangenden Salbande.

Weitere Differentiation sehen wir in den Gangausfüllungen.
Die älteste Injektion in die Fugen des Nebengesteins liefert
im wesentlichen bostonitische, dem Nebengestein konkordant
eingeschaltete Injektionskörper. Im Innern des Massivs sehen
wir syenitische, aplitische und pegmatitische neben tinguai-
tischen Gängen sowohl parallel der Streckung des Phakolithen,
wie auch Tinguaite schon senkrecht dazu. Die jüngsten Gang-
ausfüllungen basischer Natur, die Camptonite und Monchiquite
als letzte Zeichen aufsteigender Differentiationsprodukte im er-
starrenden Körper, zeigen sich in verschiedenen, zueinander
senkrechten Klüftungen dem Injektionskörper eingeschaltet.
Nach allem, was ich in der Serra de Monchique beobachtete,
muß dort eine ziemlich einheitliche Differentiation erfolgt sein,

280

E. Kaiser

mit einem am längsten beweglich gebliebenen basischen Dif-
ferentiationsprodukte. Das scheint mir auf einen verhältnis-
mäßig einheitlichen, kleinen Injektionskörper hinzuweisen, was
ja gerade einer phakolithischen Intrusion mit geringfügigen
Zufuhrkanälen entsprechen würde.

An dem Granitberg und ebenso an den anderen Syenit-
vorkommen der südlichen Namib sehen wir Differentiations-
produkte innerhalb der Stöcke an der heutigen Denudations-
oberfläche höchstens ganz verschwindend nebeneinander auf-
geschlossen. Das heutige Denudationsniveau entblößt uns in
dem eläolithsyenitischen Gesteine nicht verschiedenartige Dif-
ferentiationsteile wie die Serra de Monchique. Differentiations-
erscheinungen sehen wir an den Namibsyeniten nur in den
mannigfachen Gangausfüllungen. In einer Unzahl durchschwär-
men die Gänge die Stöcke selbst, wie deren Umgebung. Nament-
lich das zwischen Granitberg und Signalberg-Schlueberg befind-
liche Gebiet von 20 km Länge ist von zahlreichen, nach ver-
schiedener Richtung streichenden Gängen durchsetzt. Ob ein
Teil nicht mit einem unter dem Meere jetzt verborgenen Syenit-
massiv in Verbindung steht, wissen wir nicht. Die Wüsten-
verhältnisse ließen es zu, eine sehr viel größere Zahl von Gang-
durchkreuzungen entweder direkt zu beobachten oder aus einer
flachen Sandüberdeckung, Schuttausfüllung oder sogar Kalk-
überkrustung auszugraben. Das Ergebnis war, daß im einen
Falle die sauren Spaltungsprodukte, im anderen die basischen,
im dritten wieder die hybriden Ganggesteine die jüngeren waren,
in weiteren Fällen aber umgekehrt. Eine bestimmte Regel
für das Alter der verschiedenen Gangausfüllungen gegenein-
ander ließ sich nicht feststellen. Wenn wir dabei bedenken,
daß sogar ein Teil der durch Assimilation beeinflußten Gänge
der hybriden Gangausfüllungen jünger ist, als die durch Dif-
ferentiation hier wie anderwärts zu erklärenden Spaltprodukte,
so kann das nur daran liegen, daß wir in den Gangausfüllungen
dieses Gebietes die Diflerentiationsprodukte verschiedener Teufen
vor uns haben, daß die Differentiation sich hier nicht in einem
beschränkten kleineren magmatischen Körper vollzog, sondern

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 281

daß dieser in größere Teufe hinuntersetzt und uns hier nun
Spaltungsprodukte verschiedener Teufen liefert. Wir haben
hier Ausbisse eines größeren, aus der Durchschmelzung aus
größerer Teufe her gebildeten fußlosen Körpers vor uns, in
dem die Differentiation nicht ebenso wie in einem kleinen ge-
schlossenen Injektionskörper sich vollzieht, sondern nach der
Tiefe zu fortschreitet. In ihm kann sich nicht die Regel eines
geschlossenen Differentiationskörpers einer konkordanten In-
jektion erkennen lassen. Als Arbeitshypothese kann ich natür-
lich eine solche Annahme nur aufstellen und es wäre sehr
wünschenswert, wenn durch eingehendere petrogenetische Unter-
suchungen diese Annahme an anderen konkordanten und dis-
kordanten Injektionskörpern nachgeprüft würde.

5. Das Injektionsniveau.

Bereits früher wurde darauf hingewiesen, x) daß aus dem
Verhältnis der Injektionen des Granitbergs zu den von mir als
gleichaltrig angenommenen Ejektionen der Phonolithe weiter
landeinwärts gefolgert werden muß, daß das Eindringen des
syenitischen Magmas am Granitberg in einer Tiefe
von 500 — 600 m unter der damaligen Oberfläche anzu-
nehmen ist. Über das Injektionsniveau der Eläolithsyenite in
der Serra de Monchique wissen wir nichts. Aber aus dem
ganzen Verbände mit den umgebenden gefalteten Schichten ist
doch wohl zu schließen, daß die Injektion in einem wesentlich
tieferen Niveau erfolgte, daß damit der Unterschied im Ver-
hältnis der Injektionen und der eingeschlossenen Nebengesteins-
bruchstücke an beiden Vorkommen zu der Tektonik der Um-
gebung ein Teufenunterschied ist. Damit würde vielleicht auch
der wesentliche Unterschied gegenüber der Tektonik von In-
jektivmassen im Sinne von Cloos eine Erklärung finden. Das
Ab weichen von der Granittektonik anderer Injektivmassen am
Granitberg würde dann einmal bedingt sein durch das höhere
Injektionsniveau, durch die Nähe der damaligen Landoberfläche.

x) Anm. 1, Seite 258.

282

E. Kaiser

Hinzu kommt aber zweifellos, daß die Abweichungen gegen-
über der Granittektonik bedingt sind durch die Durchschmelz-
erscheinungen, daß am Granitberg im Gegensatz zu der Serra
de Monchique das Magma aktiv an der Raumgebung beteiligt
war. Es liegt mir ferne, diesen Schluß auch schon auf andere
Vorkommen zu übertragen, anzunehmen, daß ganz allgemein
ein höheres Injektionsniveau Abweichen von der Tektonik an-
derer Tiefenkörper bedingt, oder daß Durchschmelzkörper eine
andere Tektonik besitzen, als mit der Faltung zusammenhän-
gende Injektivmassen. Das müßte erst an vielen anderen Punk-
ten auf Grund von genaueren geologischen Aufnahmen durch-
geprüft werden.

6. Allgemeine Schlussfolgerungen.

Der Granitberg der südlichen Namib ist mindestens zum
Teil ein Durchschmelzkörper, im ganzen aber unabhängig von
Faltungsvorgängen in der Nachbarschaft. Das Magma ist
aktiv an der Schaffung des Raumes beteiligt. Die Serra de
Monchique ist der Form nach im wesentlichen durch Faltungs-
vorgänge in der Nachbarschaft bedingt. Aufschmelzungsvor-
gänge sind eingetreten, spielen aber nicht die gleiche Rolle
wie an dem diskordanten Durchschmelzkörper des Granitberg.
Das Magma ist im wesentlichen in einen vorgebildeten Hohl-
raum eingepreßt worden.

Durchschmelzkörper wie der Granitberg zeigen in den
Kluft- und Streckrichtungen Abweichen von den durch die
tektonischen Vorgänge der Umgebung bedingten geordneten
Druckklüften der Granittektonik. Die Cloossche Untersuchungs-
methodik bedarf hier einer gewissen Umgestaltung, die in ihren
Einzelheiten nicht aus Untersuchungen gefolgert werden kann,
bei denen eine Aufnahme Schritt für Schritt, wie sie Cloos
in so umsichtiger Weise durchführt, nicht erfolgt ist.

Die Aufschmelzungen führen zu einer Injektion des Magma,
stellenweise unter erheblicher Beteiligung von aus dem Neben-
gestein herrührenden Fremdkörpern. Daraus wird ein beson-
derer Typus von (hybriden) Ganggesteinen abgeleitet, der neben

Über zwei verschiedenartige Injektionen syenit. Magmen. 283

die Gangausfüllungen mit dem Magma selbst und mit den
Spaltungsprodukten desselben tritt, so daß wir drei verschie-
dene Typen von Gangausfüllungen zu unterscheiden haben,
wobei selbstverständlich diese nicht nur in Gangform aufzu-
treten brauchen.

An dem Vergleiche der beiden Beispiele wird gezeigt, wie
Abweichen von der normalen Differentiationsfolge vielleicht
daraus eine Erklärung findet, daß bei diskordanten, fußlosen
Durchschmelzkörpern die Differentiation mit der Teufe fort-
schreitet, während sie in geschlossenen Magmakörpern einheit-
lich erfolgt.

Einen Überblick über die
folgende Zusammenstellung:

Serra de Monchique.

Injektionsverband: kon-
kordant.

Phakolith.

Magma nicht an der Raum-
bildung beteiligt.

Klüfte und Gänge: Ab-
hängig von der Faltung.

Assimilation am Salbande und
in Zonen parallel zur Haupt-
erstreckung des Phakolithen
innerhalb desselben.

Assimilation führt in
hybrider Mischgesteine.

Assimilation erfolgt vor und
bei der Verfestigung des ge-
schlossenen Intrusionskörpers.

wesentlichsten Gegensätze gibt

Namib Südwestafrikas.

D iskordant.

Z. T. Durchschmelzkör-
per, aktiv an der Raum-
bildung beteiligt.

Abhängig von rein magma-
tischen und postmagmatischen
Vorgängen.

Assimilation am Salbande,
in akkordanten Injektionsfugen
und an unregelmäßiger „ Scholle
vom Dache“ des Durchschmelz-
körpers.

beiden Fällen zur Ausbildung

Assimilation erfolgt in dem
fußlosen Durchschmelzkörper
nacheinander in verschiedenen
Niveaus.

284 E. Kaiser, Über zwei verschiedenartige Injektionen etc.

Hybride Mischgesteine blei-
ben am Orte der ersten Ent-
stehung.

Differentiation ist nor-
mal:

Basische Ausfüllungen der
Gänge jünger als saure.

Werden z. T. in höhere
Räume, z. B. Kluftsysteme, unter
dem Einfluh sekundärer, leicht-
flüchtiger Bestandteile (resur-
genter Gase) injiziert als hy-
bride Ganggesteine.

Differentiation scheinbar anor-
mal:

Saure Injektionen noch jün-
ger als basische; hybride Gang-
gesteine ebenfalls wechselnd in
der Zeit der Injektion.

285

Abschätzung von Funktionen grosser Zahlen.

Von Georg Faber.

Vorgelegt in der Sitzung am 4. November 1922.

Den Anlaß zu der folgenden Abhandlung gab das Be-
streben, die Entwickelbarkeit gegebener Funktionen (sowohl
einer komplexen wie insbesondere auch einer reellen Veränder-
lichen) zu untersuchen , welche nach Art der Fourierschen
Reihen gebildet sind und nach gewissen Polynomen, insbe-
sondere nach Hermiteschen U„(x) und nach Laguerreschen
Ln (x) fortschreiten. Beide Arten Polynome sind Grenzfälle
der Legendreschen:

1)

Xn(x) =

_1_

2 "n\

dn(x2 — 1)"
dxn

die nach Legendreschen Polynomen zu entwickelnde Funktion
hat man als im Intervalle — 1 , -{— 1 definiert anzusehen; ver-
hält sie sich außerdem in allen Punkten dieses Intervalls, auch
in den Endpunkten regulär, so konvergiert die Entwickelung
im Innern einer Ellipse, deren Brennpunkte ± 1 sind und auf
der mindestens eine singuläre Stelle der Funktion liegt. Bei
den Hermiteschen Polynomen

2)

x2

Un(x) = e 2

_ x2

d"e 2

dxn

ist das Intervall — 1, + 1 auf — oo, -f- oo ausgedehnt, wobei
die konfokalen Ellipsen in Parallelenpaare zu beiden Seiten

B Hermite, C. R. 58 (1864), S. 93. — Laguerre, Bull, de la
Soc. math. de France 7 (1379) = Oeuvres I, S. 428. Beide Benennungen
sind insofern ungerechtfertigt, als beide Arten Polynome schon vorher
von Tschebyscheff untersucht worden sind: Bull, phys.-math. de l’Acad.
de St. Petersbourg 1 (1859) = Oeuvres I, S. 501.

286

G. Faber

der reellen Achse übergehen. Dagegen hat man es bei den
Laguerreschen Polynomen

3)

Ln (x) - e

d“ xn e~ x
dxn

1

n!

mit dem Intervall 0, oo und mit konfokalen Parabeln zu tun.

Die Polynome TJn ( x ) und L„ (x) treten auch als Koeffi-
zienten gewisser Reihenentwickelungen auf :

4)

- ~(* + A)2

hn

(folgt ohne weiteres aus (2)),
1

5)

— el

0 ’v I

I> Ln ( x ) zn. *)

Ich zeige nun, wie man für diese und andere Koeffizienten
asymptotische Ausdrücke finden kann mit relativen Fehlern
der Ordnung 1/n1', wo v jede ganze positive Zahl sein kann.
Ist dies geschehen, so kann die eingangs erwähnte Unter-
suchung nach dem von Darboux2) gegebenen Vorbilde leicht
durchgeführt werden; die Unendlichkeit der Intervalle macht
keine Schwierigkeit. Der hier angegebene Weg dürfte dem
über die Theorie der Integralgleichungen führenden3) in vieler
Hinsicht vorzuziehen sein. Er führt auch bei den allgemei-
neren in dem Burkhardtschen Berichte,4) S. 900 — 903 er-
wähnten Polynomen U^] (x) , T,*,"'* (x) zum Ziel. Ich zeige im
folgenden nur, wie man die nötigen asymptotischen Darstel-
lungen finden kann; deren Verwendung für die Untersuchung
von Reihenentwickelungen nach dem Darbouxschen Vorbilde
ist dann eine leichte und lohnende Aufgabe; ich selbst ver-
zichte darauf, sie durchzuführen.

J) Sonin, Math. Ann. 16 (1880), S. 42: vgl. A. Gegenbauer,
Wien. Ber. 952 (1887), S. 274.

2) Darboux, Journ. de math. (3) 4 (1878).

3) Myller-Lebedeff, Math. Ann. 64 (1907), S. 388.

4) Jahresbericht der D. Math.-Yer. 102 (1908); daselbst auch weitere
Literaturangaben.

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

287

§ I. Auseinandersetzung des Verfahrens.

Die Ergebnisse und Anwendungen meines Abschätzungs-
verfahrens dürften neu sein. Sein Grundgedanke ist es, wie
ich nachträglich merkte, nicht; es hat ihn schon Ri e mann,
wie H. A. Schwarz aus Notizen in dessen Nachlaß heraus-
fand,1) benützt, vielleicht beeinflußt durch verwandte Über-
legungen bei Laplace. Dieser Grundgedanke besteht in fol-
gendem:

f (z) = f (| -f- i rj) sei eine analytische Funktion ; z0 sei eine
einfache Nullstelle der Ableitung f‘(z) und es sei f{z0) ^ 0.
Die Funktion f{z) gestattet dann in der Umgebung der Stelle z0
eine Entwickelung der Form :

m = rw[i+ ^ c* -*•)*+

6)

und es gibt durch zQ zwei aufeinander senkrechte Gerade g{ , g2
von folgender Eigenschaft: auf gi und g2 ist ( z —

2f(z0) ree^ und zwar positiv auf glt negativ auf g2.

Hat man nun

7)

c

zu bilden längs einer Kurve C, die durch z0 geht und in diesem
Punkte g2 zur Tangente hat, so nimmt f(z) | im Punkte z0
einen größeren Wert an als in allen auf C gelegenen Nachbar-
punkten z und man erhält unter Umständen einen Näherungs-
wert für das Integral (7), wenn man von dem ganzen Inte-
grationswege C nur eine gewisse Umgebung der Stelle zQ bei-
behält. Diese Überlegungen gelten auch dann noch, wenn die
Tangente an C in z0 nicht mit g2 zusammenfällt, sondern mit
g2 einen Winkel bildet, der dem Betrage nach < tt/ 4 ist; auch
darf an Stelle des Punktes z0 ein Nachbarpunkt gewählt werden.
Durch die so noch vorhandene große Bewegungsfreiheit läßt

*) Riemanns Werke, 2. Auf!., S. 429. Eine andere Anwendung
des Grundgedankens machte Herr Debye, Math. Ann. 67 (1909), S. 537.

Sitzungsb d. math.-phys. Kl. Jalirg. 1922. 20

288

G. Faber

sich das Verfahren den einzelnen Anwendungen anpassen. Als
Integrationsweg wird man meist eine Strecke mit dem Mittel-
punkte z0 oder einen Kreisbogen wählen können. Dann hat
man es, wenn t eine reelle Veränderliche und ß eine positive
Zahl bedeutet, schließlich mit einem Integrale der folgenden
Form zu tun:

8)

+ß

fOo) J (! + +

-ß

•: )dt .

Wenn zQ genau eine Nullstelle der Funktion f'{z) ist, so
ist a, = 0; doch machen wir diese Voraussetzung nicht, auch
nicht die, daß g2 Tangente von C und dementsprechend a2
reell und negativ sei; doch verlangen wir, daß der Realteil

9) 9t(a,)< 0

sei; gelegentlich würde auch die Annahme

(9‘) 5R(a,)^0

genügen. Das Integral (8) bringen wir auf die Form:

y

10) ea‘<+aJ<2(l + M + M2 4 )dt>

-ß

wo also 1 -f- 6, t -f- b2t2 -|- • • • die Potenzreihe für das Produkt

e— «,<— a4< 2(i _|_ a, t -|_ a2 12 -f- • • •)

ist. Danach wäre ft, = 0; doch wollen wir zulassen, daß die
Koeffizienten an a2 in (10) nur annähernd die gleichen sind
wie in (8), so daß nicht notwendig b1 — 0 sein muß.

Dagegen machen wir im Hinblick auf die beabsichtigten
Anwendungen folgende Voraussetzungen (die sich leicht durch
allgemeinere ersetzen ließen):

f(z) und damit die Koeffizienten in (8), (10) hängen noch
von einem positiven Parameter n ab, der über alle Grenzen
wächst, und es sei für n — > oo :

11) lim a2 \ = oo ,

12) lim 9t (a2) : a2 1 < 0, etwa = — 2 y,

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

289

13) lim ttij: a2 =^°°) sondern etwa = .r2(^>0),

14) lim \ K\: al | 1/2-0 =4= oo für v = 1, 2, 3, . . .

und für eine positive Zahl a; ferner von einem gewissen Werte
des Parameters n ab:

15) /5>(igK)

16) /*<0gKI)* Kl-1)

Der Fehler, der dadurch entsteht, daß der Wert J des
Integrals (7) durch das Integral (10) ersetzt wird, sei gleich
\J\o( aT), wie groß auch v sei. Relative Fehler dieser
Ordnung, für die ich kurz 0{ \a2\~ “) schreibe, werden bei
unserer asymptotischen Darstellung nicht mehr mitberücksichtigt,
sondern nur solche der Ordnungen 0 ( a2 1 ~v) (v ■— 1, 2, 3, . . .)•
Wir stellen nun einige Formeln zusammen, indem wir
von der bekannten Beziehung

17)

+ 00

n

ausgehen; es genügt, dieselbe für reelle negative a2 zu be-
weisen, sie gilt, da beiderseits analytische Funktionen von a2
stehen, dann ganz von selbst für alle a2 mit 9t (a2) <| 0. Unter
der Quadratwurzel ist der Hauptwert mit positivem Realteil
zu verstehen. Wir setzen im folgenden 9t (a2) < 0 voraus und
erhalten durch h malige Differentiation von (17) nach a2:

18)

(2 Jc)\ 1
22kk\ (—a2)k

71

CI 2

Hieraus ergibt sich nach Multiplikation mit a\k'.{2Ti)\
und Summation nach k:

19)

+°°

J'gaii+aj# fit 1^/ ■

e 4aX

4) Und selbstverständlich kleiner als der Konvergenzradius der auf
der rechten Seite von (10) vorkommenden Reihe.

20*

290

G. Faber

Endlich findet man aus dieser Formel durch k malige Dif-
ferentiation nach «j mit Beachtung von (2):

20) f tk eatt+atii dt — 1/—^— e 4ua ük(—ß~z\

J -«2 \V2a) \V2aJ

mit beliebiger Bestimmung der Quadratwurzel V2a2, die beim
Ausmultiplizieren der rechten Seite nur mit geraden Eponenten
auftritt.

Nach (13), (19) ist also

21> J

+ 00 +00

tkeait+a*i2 dt = t2dtO

Man beweist ferner leicht, daß wegen (15) die Differenz

+ 00

+ß

22) J* tk e«G+02<* 2 dt — J* tk eait+atii dt — 0 ( i«8 1-")1)

- ß

und also auch

+ 00

+ß

= j ea*t+a*t2 dt 0 (ja2 1~“) = J* eait+a^t2 dt 0 ( \a2 \ ~w) ist,

woraus wegen (21) folgt

+ß + ß

23) j tkea'l+a*i2 dt = j* e<’1<+a2<2 dt 0 ( a2 \ 2) .

-ß -ß

Die Differenz (22) ist nämlich dem Betrage nach kleiner als2)

9 Danach ist, wenn von vornherein relative Fehler der Ordnung
0( n2 ~w) außer Betracht bleiben, die durch (16) geforderte Beschrän-
kung von ß nach oben hin bedeutungslos; sie hat nur den Zweck, eine
spätere Rechnung (S. 291) abzukürzen.

2) Falls ß~\, entfällt das erste Integral auf der rechten Seite
von (24).

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

291

24)

uu

J* tke >°i

< + SR(a2)«2^^

+ oo

<

2 j e(l«»l !+«(«* ^ß)i dt -\- 2 e*/3®C«*) J* ^fcglajIi + l/aSRlaaX* ^

< 2e*r “2 1 - r «2l1/2igl«2 ) «2l-1/2ig;<»2! -|_ e-rl«,| 0(|a | — * — */a)
(wegen (12), (13), (15) für große |aa|), (wegen (12), (21))
= 0(1^1-“).

Wenn man das Integral von (10) ersetzt durch
+ß

25)

J e(«,<+«2< *)(! + &,* + &*** + 1-

-ß

so entsteht ein Fehler, der dem Betrage nach kleiner ist als

+ß ß

+ S 16,

fc + 2

l^-äj

26) j bk+\ eai<+a2(2^+' dt

-ß
-\-ß

<1 re“i<+“2«^^!0/l^±jl\ + 0(|a2|-(Ä+2^lg|a2|A+2)0(|a2|-,'2)

Ul V

(nach (23)) (nach (14)? (16)) (19), (12), (13))

+ß

= J* e«t*+«2<4 0(|a2|-(Ä+1)“) (wegen (14)).

-ß

Die Ersetzung von (10) durch (25) geschieht also mit
einem relativen Fehler der Ordnung 0 (|a2| — (t+1)a) und diese
Ordnung des relativen Fehlers wird nach (22) nicht geändert,
wenn man in (25) die Grenzen auf — oo, + oo ausdehnt.
Dann aber (und das ist der Zweck dieser Veränderung der
Integrationsgrenzen) läßt sich (25) in geschlossener Form aus-
werten und man gewinnt also, indem man
+ 00

27) J* ea> *+“2 12 (1 -f M + &2 P + • • •) dt

292

G. Faber

gliedweise integriert, für (10) und damit auch für (7) eine
asymptotische Reihe, bei der relative Fehler der Ordnung
0( \a2 vernachlässigt werden, während, falls nur genügend
viele Reihenglieder benutzt werden, der relative Fehler unter-
halb 0(|a2 bleibt, wie groß auch v sei.

Man beachte noch, daß die Geltung der Voraussetzung
(11): lim a2 =oo, falls sie von vornherein nicht erfüllt sein
sollte, stets durch Einführung einer neuen Integrationsver-
änderlichen t‘ — CnXt, wo limCf„=oo, erzwungen werden
kann. Es darf daher bei den Beispielen des nächsten Para-
graphen gelegentlich auf die Voraussetzung (11) verzichtet
werden (s. z. B. (29)).

§ 2. Anwendungen.

1. Zur Veranschaulichung meines Verfahrens leite ich mit
seiner Hilfe die Stirlingsche Formel ab, indem ich von der
Gleichung

28)

1 1 r e’ dz

n\ 2ni J zn+ 1

c

ausgehe. G kann vorerst irgend eine den Nullpunkt um-
schließende Kurve sein; f(z) ist c»+n expz, also z0 = n 1
die Nullstelle von f‘ ( z ). Wir wählen aber, um größere Über-
einstimmung mit der üblichen Formel zu erreichen, lieber den
Näherungswert z0 — n und sodann C als Quadrat, dessen Seiten
in die Geraden £ = ±n, rj — ± n fallen. Wir begehen offen-
bar nur einen relativen Fehler 0 (n~w), wenn wir von C nur
die eine durch den Punkt z = n gehende Quadratseite beibe-
halten. Setzen wir noch z = n -f- it, so geht (28) in folgende
Näherungsformel über:

29)

+ n

1 1 C ** ig(»+'<)

n\ 2

- f

71 J

dt

n -f- it

= 2^ J en_nl8"~^(1 +M + M2 + •••)«*<•

+ n

— n

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

293

Hier ist 1 -f- bx t + b2 ^ 4~

so) (1 + ir) 'exp{

die Potenzreihe für
t*

it3 t* it3
3 n2 4 n3 5 w4 6 n5

+

Für die Berechnung des Integrals (29) kann man bx — b3
= &5 = • • • = 0 setzen; für biv findet man

31) b2v — 0\n 3),

Schließlich ergibt sich durch gliedweise Integration der
Reihe auf der rechten Seite von (29) zwischen den Grenzen
— oo , -f- 00 die asymptotische Reihe :

32)

n\

V2

e" f
7i n Yin V

1_L h l 3 ! Ä* 7, L 5 ! ^ l

1 + n b2 -f 27i\ 4- 22 . 2! &e 4"

V 2 n n n"

1 +Sn2(w

n V12 n

\12»3 ^ n4/

n3- 120
8 • 1 8 w4

+ 0

@1

e"

1^2 yrn w"

1 -

12»

4 0

©

Statt, wie geschehen z — n -f i t zu setzen (geradlinige
Integration) hätten wir ebenso gut z = neil setzen können;
entsprechendes gilt für die folgenden Beispiele.

2. Als nächstes wählen wir die Hermiteschen Polynome,
die wir in Übereinstimmung mit (4) so definieren:

*2

c

es empfiehlt sich, wie wir gleich sehen werden, für C ein
Quadrat von der Seitenlänge 2 V n 1 zu wählen, dessen
Mittelpunkt der Nullpunkt ist und dessen Seiten zur reellen
und imaginären Achse parallel laufen. Da jetzt

it

34)

f(z) = e

294

G. Faber

ist, haben wir die Gleichung f‘(z ) = 0, d. h.

35) z2-\-zx-\-n-{-l = 0

aufzulösen. Es genügt (und die Formeln werden dann sogar
übersichtlicher), wenn wir die Wurzeln dieser Gleichung nähe-
rungsweise als

36) z0 = i Vn -f- 1 , zx = — i Vn + 1

berechnen. Man sieht wieder leicht, daß man von dem qua-
dratischen Integrationswege nur die Umgebungen dieser beiden
Punkte beizubehalten braucht, wenn man relative Fehler der
Größenordnung 0 (n-CÜ) von vornherein vernachlässigt. Man
wird dann in diesen Umgebungen an Stelle von z eine neue
Integrationsveränderliche durch

37) z = z0 — t, z = zx -j- t

einführen, f (z) geht dadurch über in

38) (p{t) = exp

n -J- 1

+ itVn- 1- 1

t2 _

- + ix V n + 1

± xt — (n -(- 1) lg(± i Vn 1 + £)].

Wir setzen noch

39) exp

>+l)£&W+ T)=i+<D,+i‘(D-

wobei sich

40) bk

ergibt. Dann wird

i Vn +

= 0 (n~ "®)

,

41) <p(t) =

exp[r>~^±xt + ixVn^-\—t2\ . .s

~ C±iV.-Tip-> 'MO

(±iVn+iy

+6‘G) +•■•)•

Durch gliedweise Integration zwischen den Grenzen — oo ,
+ oo erhält man ü„ (x) als Summe zweier von den

W '

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

295

Umgebungen der Stellen z0, zx herrührender asymptotischer
Reihen :

n + 1 *2

Lun(x)=^

nl

2 y 7i {y n-\- 1)1

— -j.T [ineix Vn+'
l)B+,l

H-5>

bv

* 0/2 y \y

<n)

3. Das in § 1 auseinandergesetzte Verfahren führt immer
zum Ziel, wenn es sich darum handelt, asymptotische Reihen
für die Koeffizienten solcher ganzer transzendenter Funktionen
zu finden, die man aus der Veränderlichen z und beliebigen
Konstanten durch die eine beliebige Anzahl von Malen und
in beliebiger Reihenfolge auszuführenden Operationen des Ad-
dierens, Multiplizierens und Erhebens in den Exponenten von
e bilden kann.

Ich beschränke mich der Kürze halber auf die wfach
iterierte Exponentialfunktion1)

43) expm (z) — 5> An zn

o

und auf die Angabe des Anfangs- und Hauptgliedes der asymp-
totischen Reihe für An. Man wird hier über eine Kreislinie
\z\=q integrieren, von der man nur die Umgebung der posi-
tiven reellen Zahl q zu berücksichtigen braucht, q ist Wurzel
der Gleichung

44) z expzexp^ z . . . expm-\ z — n oder z exp‘m-\ z — n,
und es ergibt sich2)

45) An ~ e-^l - — 1 .

Qn V2ti(q2 exp“m-\ q + n)

4. Ob sich nach dem Verfahren des § 1 asymptotische
Darstellungen auch für die Taylorkoeffizienten aller der trans-

x) Definition: expxz = expz = e‘ ; expmz = exp(expm—\z) für
m = 2, 3, . . .

2) Im Falle m = 1 reduziert sieb Gleichung (44) auf z = n und
(45) auf die Stirlingsche Formel.

296

G. Faber

zendenten Funktionen finden lassen, die sich aus 1 : (1 — z)
und Konstanten durch Addition, Multiplikation und Erheben
in den Exponenten von e bilden lassen, vermochte ich in voller
Allgemeinheit nicht zu entscheiden. Ich begnüge mich mit
zwei Beispielen und wähle als erstes

1 °°

46) expm- = Bn zn.

I Z Q

g sei die zwischen 0 und 1 gelegene Wurzel der Gleichung

47)

47')

(» + 1) = 0, d. h.

1

- . . . expm~ i = n + 1.

z 1 — z

Für 1 : (1 — g) schreibe ich abkürzend P und wähle als
Weg des Cauchjschen Integrals für den Koeffizienten B„ die
zwei Kreislinien ' z\ — 1 -f- g und 1 — z \ = 1 — g; die erste
ist im positiven, die zweite im negativen Sinne zu umlaufen.
Beizubehalten ist für die asymptotische Reihendarstellung nur
die Umgebung des Punktes z — g auf der zweiten Kreislinie,
ebenso gut kann über ein Stück der Tangente dieser Kreis-
linie im Punkte z = g integriert werden. Als Anfangs- und
Hauptglied findet man

48) B„ ~

exp„xB

e"+1V27i(P4 exp‘m-i (P) -j- 2 P3 exp’m-i(P)--\- (w -j-l)p~2)

5. Als letztes Beispiel, durch welches zugleich die Frage
nach der asymptotischen Reihe für die Laguerreschen Poly-
nome miterledigt wird, wähle ich die Abschätzung der Koef-
fizienten C„ der Entwickelung

49) =

Das Anfangsglied der asymptotischen Reihe für Cn im Falle

m = 1 hat schon Herr Perron gefunden. Archiv der Math, und Phys.,

3. Reihe, Bd. 22 (1914), S. 329; daselbst auch Hinweis auf eine frühere

Arbeit des Herrn Fejer.

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

297

l, Je und s seien beliebige komplexe Zahlen (s jedoch 3: 0);
m denken wir uns der Einfachheit halber positiv ganzzahlig.
Zur Abkürzung nennen wir die Funktion (49) F(z), ihren
Faktor exp s (1 — z)~m dagegen Fl (z), ihren anderen Faktor
95C2') (— ( 1 — [lg(l — ']*)• Statt dieser Funktion cp (z)

konnte ebenso gut irgend eine andere aus der Klasse der Funk-
tionen gewählt werden, die ich in einer früheren Abhandlung1)
mit <p (z), cpa(z) bezeichnet habe. Den Einfluß des Faktors
cp{z) kann man leicht hinterher in Rechnung stellen; wir be-
trachten vorerst bloß die Funktion Fx (z) und haben, um das
Cauchysche Integral für deren Taylorkoeffizienten abzuschätzen,
nach der Vorschrift von § 1 die Gleichung

d 1 s _

dz <g"+' 6XP (1 — z)m ~ °

aufzulösen. Setzt man z — 1 -f- 4T, so geht diese Gleichung
über in

51) ( — £)m+1 = — (rns -\- ms£).

n -f- 1

Ihre (m +1) Wurzeln werden bei großem n sämtlich
näherungsweise durch die Formel

52)

m + 1

Km s
n + 1

geliefert. Sehen wir von dem Falle eines reellen negativen s
zunächst ab, so ist unter den m -(- 1 Werten (52) einer mit
dem kleinsten Realteil (für reelles negatives s kämen zwei
Werte in Frage); es hat daher auch von den m + 1 Wurzeln
der Gleichung (51), falls n groß und s nicht negativ reell ist,
eine den kleinsten (notwendig negativen) Realteil; diese Wurzel
von (51) bezeichnen wir mit

52) Co=|tol«<a

und setzen

J) Diese Berichte 1917, S. 263.

298

G. Faber

53) C = C0e'> ( — n<cp<^7i),

d. h. wir betrachten die Punkte der Kreislinie 1 — z \ — C0 .
Über diese Kreislinie im negativen Sinne und über die Kreis-
linie z \ = 1 -f- | C0 im positiven Sinn ertrecken wir die Koef-
fizientenintegrale

54)

1 [F(z)

2 jii J zn+1

dz und

1 f Fi (*)

2ni J zn+l

dz.

Wir zeigen dann: Wenn man relative Fehler der Ord-
nung 0 (n~w) von vornherein vernachlässigt, so kann man das
Integral über die zweite Kreislinie ganz weglassen und von
dem über die erste Kreislinie braucht man nur die Umgebung
der Stelle C0 — zo — 1 beizubehalten. Letzteres Integral ist
ausgeschrieben folgendes (und zwar schreiben wir es gleich
für die allgemeinere Funktion F(z) (49), da die in dem ein-
fachen Falle der Funktion Fx (z) gefundenen Lösungen z0,_ C0
der Gleichungen (50), (51) ausreichende Näherungslösungen
für den allgemeinen Fall bleiben):

55) ^ (■* r a4r" s J GW)iv'

mit

56)

G(<P) = (1 — ^0)e,>

— gi'?> (—/+•)

1 +

up

lg(-to)J

F( 1+ C0e’>) Fjz0)

(1 + C0 <?'>)"+ 1 ‘ *"+1

0,<P + a2 tp 2 + aa<p 3 -\ ],

wo

57)

«1 <P + a2 <P2 + «3

= ')

s

(—Co

— (« + !) lg

1 + C0e‘>

1 + C0

(-Co)'

58)

a, = 0 (wegen (51)),

*)

Anders geschrieben = lg

>i(l+t0e,>) . Ft(z 0)\

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

299

69) <*, = (» + 1)|£, e<‘ : (1 + «

(wieder mit Rücksicht auf (51)),

60) 9t K) = (W-+1)2(m+-lt0l (cosa + 0 (|C0|)) < 0
(vgl. (52)),

61) | an | = 0 ((» + 1) | C0 1 ) = 0 ( | a, ! ) == 0 (SR (a2)) (» ^ 2) .

Aus (58), (60) folgt, daß für cp = 0 die Funktion 9t (04 cp
-j- a2 cp2 -f- • • •) und somit auch die Funktion \exp(a^cp -j-
«.^ + ••0 ein Maximum besitzt. Um zu zeigen, daß die
Funktion

9t («, <p + a2 cp2 + ...) = — («+ 1)|C0| (\- cos (a—mcp)

V 7Tb

62) + cos (a + cp) — — — cosa -f O(|?0|))

an der Stelle cp — 0 ihren überhaupt größten Wert annimmt,
m. a. W. daß sie sonst < 0 ist, bestimmen wir sämtliche Ex-
trema der Funktion 9t (ax cp -f- a3 cp2 -f- • • •) durch Auflösen der
Gleichung 9t' (a, cp -}- a2 cp2 -|- • • •) = 0. Da

9t' (al cp -f- a2 cp2 -f- • • •) = — (n 4- 1) t0 (sin (a — mcp)

63) — sin (a + cp) + O([f0|))

ist, muß jede von Null verschiedene Nullstelle der Funktion
9t (a, cp + a2 cp2 -(-•••) näherungsweise entweder gleich

64) — (* = 1, 2, . . . m)
m -j- 1

oder, falls m > 1 ,’)

65) — | (A •= 0, 1, 2, . . . (m — 1)) sein.

m — 1 m — 1 v

') Falls m = 1, kommt der Näherungswert - (statt (65)) in Frage; für

ihn wird die rechte Seite von (62) gleich (n -J- l)|f0| (cos a + O(|f0|)) < 0,
da ja cos a < 0.

300

G. Faber

An den Stellen (64) wird

66) + +

= -(" + !) Co
< 0

m -J- 1
m

cos

(“ + ^pi) ~cosa + 0( f«l*

auf Grund der Bestimmung von a (s. die Bemerkung vor (52));
an den Stellen (65) aber wird

67) 9t(a,<p + <*2<P2 H )

= -(»+l)|f0 [“^lcosa + (1 “ ^)cos(o + 9?)+0(|f0!)j

< — (» + 1) Co [m + 1 COS — — (l — — \ + €„1

L m m + 1 \ m J J

wo lim f„ = 0 ist, da ja a so bestimmt wurde, daß cos a

n— ► oo

> cos — - + fn wurde ; nun ist aber für m = 2 und um so
m + 1

mehr für größere Werte von m die Differenz m cos — -

m m + 1

— ^1 — positiv, also der Ausdruck (67) negativ. Da die

stetige Funktion 9t (flx<p + a2<p2 • . .) an den Stellen (64), (65),
die für großes n den Stellen der Extrema der Funktion be-
liebig nahe liegen, negative Werte annimmt, ist sie stets < 0
außer für <p — 0. Zugleich ersieht man, daß exp{alcp +
ai(P2 + ' • O1) außer in einer gewissen Umgebung der Stelle
cp — 0 von der Ordnung 0 («“") wird, daß also die Inte-
gration über die Kreislinie \e — 1|= £0 auf diese Umgebung
beschränkt werden darf. Nun schreiben wir die Funktion
(56) so:

68) G(cp) = (1 + 6,9? + b2(p2 + b3<p* -\ );

dann wird wegen (58), (61):

*) Anders geschrieben:

Ft(l + t0e‘y) , (z0)

(l + foe<v)n+1' *o

Abschätzung von Funktionen großer Zahlen.

301

69) 6» = 0(1)»), 6, = 0(1),

70) = 0 (| «2 1 für r^>3.

Den Ausdruck (68) für Cr (9?) setzen wir in (55) ein und
integrieren gliedweise zwischen den Grenzen — oo, -\- oo.
Indem wir noch beachten, was sogleich bewiesen werden soll,
daß nämlich das Integral über den Kreis \s\—\ -f- |£j als
von der Ordnung 0 (n~w) vernachlässigt werden darf, erhalten
wir so die gesuchte asymptotische Reihe für den Taylorkoef-
fizienten Cn der Funktion F (z). Ihr Anfangs- und Haupt-
glied ist

F C^o) £q

4+1 V—2 Ji (n -fi- 1) (m + 1) £0:z0

Daß das über die Kreislinie \z = 1 -\- |f0j zu erstreckende
Integral vernachlässigt werden darf, sieht man so ein:* 2) Sein
Wert ist

72) ext (i^p) 0 + ::.i)-+~i (~ lgl^!)|t| • °w

und es ist nur zu zeigen, daß dieser Ausdruck

= ( _F(s0)( : |^0in + 1) O(n~co) ist, oder, was dasselbe, daß

73)

1

(1 + Ko!)"+1

\FM\

kol”+1

= 0(n~")

ist. Nun gibt es aber einen Wert <p, im Intervall 0 ... 2 n
(für m > 1 sogar mehr als einen), für den der Wert des Aus-
drucks (57) gleich

74)

— 0 + i) lg

1 + £0e,yi
1 + fo

s

(FQ-

x) Auf die Koeffizienten blt b3, b6, . . . kommt es übrigens gar
nicht an, da sie bei der gliedweisen Integration von (68) zwischen den
Grenzen — oo , oo doch wegfallen.

2) Ist F ( z ) eindeutig (k = 0, l ganzzahlig), so ist dieses Integral
von einem gewissen n ab sogar genau gleich Null; denn dann kann es,
ohne seinen Wert zu ändern, auch über die Kreislinie \z\—R mit be-
liebig großem R erstreckt werden.

302

G. Faber

wird. Nach dem vorhin Bewiesenen ist, außer wenn <px in
einer mit — beliebig kleinen Umgebung der Stelle cp = 0 liegt,

TZ

75)

F,( l + £0e«*») . F(z0)

exp

d. h.

C0m . F(z0)

(1 + Co e*')n+

woraus dann um so mehr das Bestehen von (73) folgt. Liegt
aber 9?, sehr nahe der Null, so kann der Ausdruck (75)
0(1) werden; dann ist aber der Realteil von C0 e<Vt negativ
und daher

76)

(1 + C0el>Q"+I)

d + ICoD"*1

0(w~"),

und es folgt (73) durch Multiplikation aus (76) und (75),
nachdem in letzterer Gleichung 0(n~‘° ) auf der rechten Seite
durch 0(1) ersetzt worden ist.

Im Falle m — 1 würde es genügen, statt (51) die ein-
fachere Gleichung

77) £2 = — r ("oder auch = — ^

n + 1 V nJ

aufzulösen; es würde dann zwar die Konstante ax + 0 werden,
aber man könnte den Faktor exp(a1cp ) als durch die Reihe
1 -f- bx cp -j- b2 <p2 -f- • • • mitdargestellt betrachten. Ähnlich könnte
man sich im Falle m = z mit der Auflösung der Gleichung

s n + 1

begnügen; doch würde man jetzt den Faktor exp(ax<p) nicht
in die Reihe 1 -f- b1 cp + b2 cp- -f- • • • eingehen lassen, sondern
sich der Formel (20) bedienen.

Wir haben den Fall eines reellen negativen s zurück-
gestellt; ist s = — s und zugleich 1, so hat die Glei-
chung (50) zwei Wurzeln z0 = 1 -f- £0 und zx = 1 -j- t, von
ungefähr gleichem möglichst kleinem und daher sicher nega-
tivem Realteil; man wird dann die Umgebungen beider berück-

Abschätzung von Funktionen grober Zahlen.

303

sichtigen und auf der rechten Seite von (71) tritt einfach noch
ein zweiter Summand hinzu, der von zi so wie der erste von
z0 abhängt.

Ist aber s reell negativ und zugleich m = 1, so kann man
sich wieder mit der Auflösung der Gleichung (77) begnügen,
deren Wurzeln

sind. Nun aber wird a2 sowohl für die Stelle C0 als auch für
die Stelle f, für n — > oo mit beliebiger Annäherung rein
imaginär, und die für unsere Überlegungen wesentliche Be-
dingung (12) ist nicht mehr erfüllt. Diese Schwierigkeit ist
durch Abänderung des Integrationswegs leicht zu umgehen.
Das Endergebnis wird freilich das nämliche sein, als hätte man
über die Umgebungen der Stellen £0, Ci auf der Kreislinie
1 — z ; = |t0; integriert1) und die Formel (18) ohne das Er-
fülltsein der Bedingung (12) benutzt. Da man auch im Falle
m = 1 und eines beliebigen s stets über die Umgebungen
beider Nullstellen der Gleichung (77) auf dem Kreise 1 — zl
= |f0| integrieren darf, erhält man schließlich eine Formel,
die für alle s richtig ist; entsprechendes gilt auch im Falle
m > 1.

Die erwähnte Abänderung des Integrationswegs besteht
in folgendem: der neue Weg setzt sich, wenn zur Abkürzung

l/H=e

y «-fi

gesetzt wird, zusammen:

1. aus der den Punkt 1 — e mit dem Punkte 1 — e-f-
(1 -f- i) 2 e verbindenden Strecke, deren Mittelpunkt 1 + ei ist;

') Die folgende Darstellung entspricht allerdings nicht einer Inte-
gration über die Umgebungen der Punkte Co, Ci auf der Kreislinie 1 — z |
= Co , sondern auf den Tangenten an diese Kreislinie; doch ist das ein
ganz unerheblicher und leicht zu vermeidender Unterschied, der seinen
Grund nur in der großen dem Verfahren anhaftenden Freiheit hat.

Sitzungsb. d. math.-pliys. Kl Jab rg. 1922. 21

304

G. Faber, Abschätzung von Funktionen etc.

2. aus dem Kreisbogen um 0, der die Punkte 1 — e -f-
(1 -J- i) 2 e und (1 — e) + (1 — i) 2 e miteinander verbindet und
zu dem ein Zentriwinkel > gehört;

3. aus der den Punkt 1 — e -f- (1 — i) 2 e mit dem Punkte
1 — e verbindenden Strecke, deren Mittelpunkt 1 — ei ist.

Das Integral über das zweite Stück des Integrationswegs
kann genau wie vorhin das Integral über die Kretslinie z
= 1-1- C0 vernachlässigt werden.

Um das Integral über das erste Stück auszuführen, setzen wir

79) z = \ -\- ei i) et , also C = (1 + 0

und erhalten so ein Integral mit der reellen Veränderlichen t
und den Grenzen — 1, -j- 1 . Man überzeugt sich leicht, daß
man von diesem Integral nur die Umgebung der Stelle t = 0
beizubehalten braucht. Schließlich erhält man, wenn man bei
gliedweiser Integration die Grenzen auf — oo , -j- oo ausdehnt,
einen Ausdruck genau wie zuvor und einen ganz entsprechen-
den liefert vom dritten Stück des Integrationswegs her die
Umo-ebunsf der Stelle £, = — ei.

305

Transformation des rechtwinkligen Koordinaten-
systems.

Von A. VOSS.

Vorgetragen in der Sitzung am 9. Dezember 1922.

Die in der Überschrift genannte elementare Frage ist
längst eingehend behandelt, jedoch auch neuerdings wieder
untersucht worden.1) Seit einer Reihe von Jahren habe ich
in Vorlesungen über Raumgeometrie darauf aufmerksam ge-
macht, daß mittels einer etwas anderen Darstellung dieser
Gegenstand einfacher und namentlich in Bezug auf den Dre-
hungswinkel übersichtlicher dargelegt werden kann (vgl. nament-
lich § III des folgenden).

§ i. Die Gleichung dritten Grades.

Die Formeln für den Übergang von dem rechtwinkligen
System, dem Trieder XYZ zum Trieder X, Yx Zx entnimmt
man aus dem Schema von Lame

x y z

xx a, ßx yx

V\ a2 ßi Y 2

ß 2

0 Vgl. z. B. Klein und Sommerfeld, Theorie des Kreisels,
Leipzig 1897, S. 15 ff.; Salmon Fiedler, Analytische Geometrie des
Raumes, 5. Auflage, herausgegeben von K. Kommerell unter Mitwir-
kung von v. Brill, Leipzig 1922, erste Lieferung, S. 54 — 63. Vgl. auch
die Note von G. Darboux, Nouvelle demonstration des formules d’Euler
in den le^ons de cinematique von G. Koenigs, Paris 1897, S. 343.

306

A. Voss

in dem die aif ß{, 7, die Richtungscosinus der neuen Axen x
gegen die alten sind. Dabei bestehen die Gleichungen

<J + ßi + rl= 1

ai O-k + ßi ßk -f- 7< Yk — 0 , i Je ,
aus denen die weiteren Relationen mit Hilfe der Identität
x\ + y\ + A = x2 + y2 + z2

folgen. Das Quadrat der Determinante zl der Richtungscosinus
ist gleich eins; sind die beiden Trieder gleich orientiert, so
daß Xx YXZX durch Bewegung in das Trieder XYZ über-
geführt werden kann, so ist A — -f- 1, im entgegengesetzten
Falle gleich — 1. Im ersten Falle ist jedes Element von A
gleich seiner Unterdeterminante im Lameschen Schema, im
zweiten ist es ihr entgegengesetzt gleich.1)

Hieran schließt sich die Bestimmung der bei der Trans-
formation invarianten Richtungen

xx = lx, y t = ly, zx = lz,

welche den Gleichungen

Ix = axx + ßxy -b yxs
1) ly = a2x + ß3y + y3z

Iz = a3x Y ß3y + 7s*

genügen müssen, d. h. der Gleichung dritten Grades

') Werden Minimalrichtungen für die Axen des Trieders Yj ZK
ausgeschlossen, so gelten die Formeln für die a, ß, y auch bei komplexen
Werten derselben. Will man die Gesamtheit der Relationen zwischen
den Elementen und ihren zugehörigen Unterdeterminanten erhalten, so
bilde man die Identität

«i ß\ y\ «1

0

0

“2 ßi 72 ui _

0

fH

O

a3 ßi 73 u3

O

O

1*2 t'g 0

l'j t'2 V3 0

und vergleiche auf beiden Seiten die entsprechenden Koeffizienten der m, vk.
Im folgenden werden übrigens nur reelle Werte der a, ß, y voraus-
gesetzt, da sonst weitere Unterscheidungen nötig werden.

Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems. 307

öi — * ßi 7i

2) A = as ß, — X y2 I = 0 ,

ö3 /^3 7 3 ^

während aus 1) noch folgt

3) x2 (. x 2 + y2 -f ^2) = x2 + y- + z2.

Die bekannten Identitäten (je nachdem A = ± 1)

± ai = ß2Ys — Y2ß3, ± ßi = 7ia3 — a»Y3, ± Yi = a2ß3~ ß2a3

a2 Yi ßs ßiY3i — ßi «» 73 Y\ a3’ ~ Yi == ß\ a3 ai ß3

± a3 = ßi Y2 ~ Yi ßi, ± ß3 = Yi ai~a,Yi, ±Y3 = a\ ßi — ßi a2

dienen nun zur Entwicklung der Gleichung 2).

Man erhält zunächst

A = A —P — X (a, ß2 -f ax y3) + P (ax + ß3 + Y3)

~ X ( ßi Y3 ~ Yi ß3) + * (ßi ai + Yj a3)>

oder, wenn man

ßi Y3 Y2ß3 — ai
Yia3 aiYs ~ ßi
aiß\ === ai /^2 ~ Y 3

setzt, mittels des Ausdruckes

4) ® = ai + ßi + y3 i

der als Charakteristik der Determinante A bezeichnet
werde, die Gleichung

I P — PQ±XQ — A = 0,

in der die oberen (unteren) Vorzeichen dem Falle A = ± 1
entsprechen. Für A = -f- 1 hat daher A die Wurzel X = -|- 1,

für A = — 1 aber X = — 1, so daß die beiden anderen Wurzeln

durch die reciproken Gleichungen

Ia P + X(1 — Q) + 1 = 0

Ib P — X(l + Q) + 1 = 0

in der Form

308

A. Voss

2 A, = — (1 — Q) ± V(1 — Q)2 - 4
2*, = + (1 + .0) ± vn + ß)« - 4

gegeben sind.

Aus 3) folgt noch : Ist A + ± 1 , so muß x2 + y2 -j- z2 — 0
sein. Dann sind aber die x, y, s notwendig imaginär, also
auch die betreffenden Werte des A selbst.

Für A = \ 1 ist A = + 1 niemals Doppelwurzel, denn
A = f(X) gibt für diesen Fall

f‘( 1) = 3 — .Q.

Dies kann aber nur verschwinden, wenn a, = 0, ß2 = 1»
y3 = 1 ist, d. h. wenn eine von der Identität verschiedene
Transformation gar nicht vorliegt. Soll dagegen in diesem
Falle A = 4" 1, A =* — 1 Wurzel sein, so ist sie immer zu-
gleich Doppelwurzel; mutatis mutandis gelten dieselben An-
gaben für A — — l.1) Im allgemeinen erhält man also neben
einer reell in Varianten Geraden zwei Minimalrich-
tungen; für den Fall zl = -f- 1 hat die reelle Gerade die
Bedeutung der Drehungsaxe. Aber in einem besonderen
Falle können die beiden Minimalrichtungen auch ganz in Weg-
fall kommen, wras vielleicht bisher nicht bemerkt worden ist.
Sie vereinigen sich dabei etwa nicht zu einer einzigen Minimal-
richtung, was ja auch an und für sich unmöglich sein würde,
sondern ergeben nur eine einzige reell-invariante Gerade.

Dieser Fall entspricht bei A = + 1 dem Werte Q = — 1.
Zunächst hat man für A = + 1 die bekannte Lösung von

x (ai — 1) + yßt + zYi = 0

+ y(ß% — i) -f *y% = o
x as + y ßs + z (^s — i) = o ,

0 Dies entspricht dem (vgl. Göttinger Nachrichten 1887, S. 430)
von mir bereits 1878 in den Mathematischen Annalen, Bd. XIII bewie-
senen, bei allen orthogonalen Substitutionen gültigen Satze, vgl. auch
die spätere Note von Stieltjes in den Acta mathematica, Bd. VI, 188(3.

Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems. 309

die auf x : y : s — y2 — ß3 : «3 — y, : ß, — a2

führt. Ist aber auch Ä = — 1 Wurzel, so hat mau für die
entsprechende Richtung £, rj, £

£(<*, + i) + + Cyx = o

£ aa + v (A H- i) + £ j'2 = o

£ a3 + V A + £ (^3 + !) = 0 >

woraus durch Multiplikation mit den a,, a2, o3 usw. und
Addition

£ (ai + 1) + V a2 + £ a3 = 0

£A + *?(A + 1) + £A = o

f yi + »7 72 + £(7s + i) = °»
also nun durch Subtraktion

v (A — «2) + Oi — as) £ = 0
£ («a — A) + (y* ~ A) £ = 0
£ («3 — Yi) + V (A — Yt) = o,

also wieder

£ : v ■ £ = 72 — A : «s — r, : A — «»

entsteht. *)

§ II. Der Drehungswinkel.

Zur Bestimmung des Drehungswinkels um die reell in-
variante Gerade A = -f- 1 soll hier eine Formel von Darboux2)
benutzt werden, obwohl sie der Natur der Sache nach nur den
absoluten Wert von tg (9/2 desselben liefern kann, die ich hier
in etwas anderer Form ableite: Sind A, B, C die Cosinus einer
Drehungsaxe, x, y, z die Koordinaten irgend eines Raumpunk-
tes P, der durch die Drehung (9 in der Uhrzeigerbewegung
in Pl(xl, ?/,, zt) verwandelt wird, ferner Q der Fußpunkt,

J) Die vollständige Diskussion der Ausnahmefälle, die für das fol-
gende nicht in Betracht kommt, mag hier der Kürze halber unterbleiben.
2) Siehe die Anmerkung 1) zu § II.

310

A. Voss

der von P und P, auf die Drehaxe gezogenen Senkrechten, so
schneiden sich die in P und P' auf QP und Q P' und zur
Richtung A, B, C senkrecht gezogenen Geraden in einem
Punkte R mit den Koordinaten X, Y, Z. Ist 0 der Anfang
der Koordinaten und OQ = p , so sind die Richtungen von
QP = l durch die drei Cosinus1)

x — pA y — pB z — pC
l _ ’ l ’ l

gegeben. Nennt man sie X, /*, v, so ist

Ix ny + vz = 0
AaL4-/uP-{-»’(? = 0,

also IX = Bz — Cy

l fj. = Cx — Az
lv = Ay — Bz

mit l 2 = r" — p2, falls OP= OP' durch r bezeichnet wird.
Darnach hat man

X = X 4- tg (0/2) (Bz — Cy)

Y = y-\- tg(0/2) (Cx — Az)

Z = z + tg (0/2) (Ay — Bx),

für die Drehung — 0/2 aber, die den Punkt P‘ in R ver-
wandelt

X = xx — tg (0/2) (Bzx - Cyx)

Y = yx — tg (0/2) (Cxt — Azx)

Z — zx — tg )0/2) (Ayx — Bxx),

so daß die Identitäten bestehen :

* + tg(0/2) (Bz - Cy) = xx- tg(0/2) (Bzx - Cyx)

I) V + tg (0/2) (Cx - Az) = yx- tg(0/2) (Cx, - Az,)

z + tg (0/2) (Ay — Bx) = z, — tg(0/2) (Ay, — Bx,)

•) Durch eine Figur, auf die hier natürlich verzichtet werden mußte,
hätte sich die Beschreibung viel kürzer darstellen lassen.

Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems. 311

für alle korrespondierenden x y z\ xlylz1,1) d. h. sie finden
statt, falls durch Uhr zeige rbewegung um die Drehaxe P
der Punkt P‘ entsteht.

Die Identitäten I kann man nun zur Bestimmung von
tg(0/2) durch irgend welche korrespondierende P, Px ver-
wenden; wählt man P im Abstande -j- 1 auf der X-Axe, so
ist nach § I

Xj Q j, 2/ 1

so daß

1 = Oj — tg (0/2) (Pa3 — Ca2)

1) C tg (0/2) = a3 — tg (0/2) (C a1 — A a3)

— P tg (0/2) = a3 — tg (0/2) (Äa2 — Baß),

während

Ä = Je (y2 — ßß)

2) B = Je (a3 — yß)

C = Je (ß2 a2)

zu setzen, aber das Vorzeichen von Je unbekannt ist. Wählt
man die erste der Gleichungen 1), so folgt für A = -}- 1

1 — °i = — tg (0/2) k (as — yß) a3 — (0, - at) a2)

= — tg(0/2) Ä {1 — aj — y, (as —/?,«,)}

= — tg (0/2) & {1 — aj - a, ys + y3 — a, ß2 -f ßß),
also, wenn man den Faktor 1 — a, auf beiden Seiten fort läßt

tg(0/2) = — i(l + ß).

Zur Berechnung von Je2 aber hat man nach 2) die Gleichung

3) £2 {(/j — ßßf + (as — 7i)2 + (ßi — a*)2} = 1 •

x) Daß die Determinante

A B C

-=■ x — pA y — pB z — pC

Bz — Cy Cx — Az Ay — Bx

den Wert -p 1 hat, erkennt man, wenn e3 erforderlich sein sollte, durch
direkte Ausrechnung z. B.

312

A. Yoss

Setzt man nun

®* = (r, - P,y + («, - )■,)’ + (ft - «i)s.

so ergibt sich

= 3 - W + # + y!) -2y2ßs-2asYl-2ßla2,

was sich durch die Transformation der Unterdeterminanten,
die hier beständig anzuwenden ist, in

w- = 3 — (aj ß\ + yl) + 2 (a, + /?3 + ys)

= 4 — (1 — Qf = (3 — Q) (1 + Q)

verwandelt. Hiernach ist

n> tg(e/2) = -||/|^|,

also bis auf das Vorzeichen von h wieder nur von der
Charakteristik der Richtungscosinus abhängig.

Würde man an Stelle der ersten Gleichung 1) eine der
beiden anderen wählen, so würde beiderseits der Faktor a2,
resp. a3, oder bei allen den 6 Fällen, wo P im Abstande -(- 1
auf die Y, resp. Z- Axe legt, immer der betreffende Cosinus-
faktor durch Division herausfallen.* l)

§ III. Direkte Bestimmung von tg 0.

Um endlich, ohne bereits die Formeln von Euler oder
Cayley für orthogonale Substitutionen oder irgend eine andere,
wie die in § II benutzte, die sich allerdings durch Einfach-

x) Wählt man an Stelle der A, B, C die bekannten Ausdrücke
ki A, = 1 + “i — (& + ft)
ki Bt = aa + ß\
k'i = a3 +

nebst den analogen, so folgt

ki = (1 + “i — (ßt + ft)) (3 — •ß),
so daß 1 4* <*i — (ßt + ft) = 0

1 + ft — («2 + ßz) = 0
1 + ßt — (ft + ai) - 0

sein muß, was übrigens schon im § 1 angedeutet ist.

Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems. 313

heit empfiehlt, vorauszusetzen, den Wert von t g& mit seinem
Vorzeichen zu bestimmen, betrachte man neben den beiden
Triedern X, Y, Z\ X, , Y, , Zx noch ein drittes Z, H, Z,
dessen Axe Z die Richtungscosinus

A = h 02 — ßt)

1) B = Tc (as — y,)

C = h(ßl — a3)

hat, während h eine positive Zahl sein soll, so dafä dann die
Orientierung von Z völlig bestimmt ist. Alsdann führe man
die Axe H senkrecht zur X-Axe und zur Richtung 1) und
wähle die Axe Z so, dafä das Trieder Z H Z ebenso orientiert
ist wie x y s. Sind nun die Richtungscosinus der Axen Z H Z
der Reihe nach £, rj, f: o, fi, v; A, B, C, so ist

2)

£ >7 t

O fl V

ABC

= + l-

Jetzt projiziere man den Punkt P, der auf x den Ab-
stand -j- 1 hat, auf das Trieder Z H Z; seine Koordinaten
werden dann u, v, w, wobei w = £, v = 0, w — A wird. Die
3 Koordinaten des Punktes P im System Xj, Yt, Zlt welche
durch die Drehung wieder in das System X Y Z geführt sind,
seien ebenfalls in dem Trieder Z H Z mit ult vx, w1 bezeichnet.
Dann ist

Ml = C[l£ + a2J? + a3^

V1 = a2 P + a3 V

Wj = A,

und es ist

3)

Nach der Voraussetzung über die Richtung von H ist
fiB-\-vC= 0, fi — oC, v — — oB;
nach dem Schema 2)

= a1(juC — v B) -f- a2v A — a^fiA = o (Oj — A2).

314 A. Voss, Transformat, eines rechtw. Koordinatensystems.

Hieraus folgt nach 1)

*. = v ö K {( y . ~ ßs)2 + («s - 7,)2 + (/?, - ag)2} - (y, - ß,n
ui = Wo [(a, — 1) ((y2 — ßs)2 + a, (as — y,)2 + (ßt — a2)2)

+ (ö3 _ YlY + (ßl ö2)2] •

Es ist aber

(«s - Yif + (ßi~ q2)2 = 2 [1 - a, - 2 a, y3 — 2 a, £2 + 2 /?2 + 2 y3

= 2(1-0,) (1 + fl).

Wird nun aus § H, 4 der Wert von w2 in ux eingesetzt,
so erhält man

Mj = (a, — 1) h2 o (1 — Q) (1 -f- Q).

Für vt = ok (a, (ft — a2) — a, (a3 — y,))

= (a* — 1 -j- a, ft — - y3 + a, y3 — ft)

erhält man

", = («, - 1) (1 + ö),

so daß

p_l i

«, g h l—'Q l — Q

wird, so daß Übereinstimmung mit dem früher gefundenen
Werte von tg 0/2 bis auf das Vorzeichen jedesmal durch den
positiven Wurzelwert von k vorhanden ist. Für alle Systeme
gleichen Wertes von Q ist also auch der Drehungs-
winkel derselbe.

Sitzungsberichte

der

mathematisch-physikalischen Klasse

der

Bayerischen Akademie der Wissenschaften

zu München

1922. Heft I

Januar- bis Märzsitzung

München 1922

Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

in Kommission des G. Franz’schen Verlags (J. Roth)

VMÜ .* «.Sv '

Inhalt.

Seite

Mitteilungen über die Klassensitzungen vom Januar, Februar u. März 1*

Abhandlungen.

M. Schmidt, Neuzeitliche Erdkrustenbewegungen in Frankreich

(mit einem Kärtchen) 1

G. Fab er, Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria com-

binationis observationum 7

F. Lindemann, Integration der partiellen Gleichung s = sin z 23

0. Volk, Über die Reihe 2 | L» (#) | 35

n=0

H. Liebmann, Die Bourscke Methode der Flächenbestimmung

aus dem Linienelement ........ 39

E. Kajser, Merkwürdige Senkungen des Bodens von Frankreich 51

C. Schoy, Über die Richtung der Qibla 55

L. Föppl, Neue Bemerkungen zur Kirchhoffschen Analogie zwischen

Kreisel und elastischer Linie ....... 69

G. Fab er, Über den Hauptsatz aus der Theorie der konformen

Abbildung 91

F. Lindemann, Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume 101

A. Kratzer, Störungen und Kombinationsprinzip im System der

violetten Cyanbanden 107

W. Wien, Eine Methode zur Unterscheidung der sogenannten

Bogenlinien von den Funkenlinien der Spektren . . .119

Akademische Buchdruckerei F. Straub in München.

Sitzungsberichte

der

mathematisch-physikalischen Klasse

der

Bayerischen Akademie der Wissenschaften

zu München

1922. Heft II

Mai- bis Julisitzung

München 1922

Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

in Kommission des G. Franz’schen Verlags (J. Roth)

Inhalt.

Seite

Mitteilungen über die Klassensitzungen vom Mai bis Juli . . 6*

Abhandlungen.

E. Zinner, Die Vorarbeiten zu einem Handschriftenverzeichnis

der deutschen Sternforschung 121

H. Liebmann, Die Lagallysche Formel für den Flüssigkeitsdruck 127
0. Szäsz, Über den Konvergenzexponenten der Fouriersehen Reihen

gewisser Funktionenklassen 135

H. Hamburger, Bemerkungen zu einem Satze über die Riemann-
sche f- Funktion 151

6. Fab er, Über nach Polynomen fortschreitende Reihen . . 157

0. Hönigschmid, L. Birckenbach und E. Kothe, Revision des

Atomgewichtes des Thalliums. Analyse des Thallochlorids 179
A. Pringsheim, Über die äußere Berandung eines im Endlichen

gelegenen Gebietes und den J ord an sehen Kurvensatz . . 187

H. Künneth, Zur topologischen Untersuchung geometrischer Ge-
bilde , . . . . 213

A. Rosenthal, Über Gebilde mit einzigem Ordnungsindex . . 221

G. Kowalewski, Die Verwertung gemischter invarianter Flächen-
elemente zur Berechnung der Differentialinvarianten einer
ebenen Transformationsgruppe 241

Akademische Buchdruckerei F. Straub in München.

Sitzungsberichte

t

der

mathematisch-physikalischen Klasse

der

Bayerischen Akademie der Wissenschaften

zu München

1922. Heft IH

November- und Dezembersitzung

München 1923

Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

in Kommission des G. Franz’schen Verlags (J. Roth)

Inhalt.

Seite

Mitteilungen über die Klassensitzungen vom November und Dezember 13*
Verzeichnis der im Jahre 1922 eingelaufenen Druckschriften . . 15*

Abhandlungen.

E. Kaiser, Über zwei verschiedenartige Injektionen syenitischer

Magmen (mit 4 Textfiguren) 255

G. Fab er, Abschätzung von Funktionen großer Zahlen . . 285

A. Voss, Transformation des rechtwinkligen Koordinatensystems 305

Akademische Buchdruckerei F. Straub in Uüuchen.

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