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R, TracY Crawford

fii@hiili@l

für

Mathematik, Physik, Geodäsie
und Astronomie.

Von
Dr. R. Wolf, Prof.

Sechste, durch dessen Nachfolger, Prof. A. Woller,

Direktor der eidg. SternAvarte in Zürich

vollendete Auflage.

Mit 32 Tabellen und vielen Holzschnitten.

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Zürieh

Diui'k und Vcrhig von Friedrich Schulthess
1895.

ÄSTPONOMY DEFEi

\V9

zur z^^reiten Auflag-e.

Was ich bei Herausgabe meines Taschen-
buches im Jahre 1852 kaum zu hoffen wagte,
ist zur AVahrheit geworden. Das unansehnliche,
ursprünglich. nur für mich und meine Schüler
angelegte Werkchen hat auch in weitern Kreisen
Anerkennung gefunden, und Mancher, dem es
im ersten Augenblicke um seiner gedrängten
Kürze Avillen nicht recht munden wollte, hat
es bei näherer Kenntnis lieb gewonnen und
zum beständigen Begleiter gewählt.

Ich darf hoffen, mit vorliegender zweiter Be-
arbeitung, bei der mich teils meine Nachfolger
in meinem Lehramte an der Berner-Eealschule,
teils mehrere verehrte Kollegen am Schweize-
rischen Polytechnikum, freundschaftlich unter-
stützten, noch Besseres erzielt zu haben. Alle
behandelten Disciplinen sind besser abgerundet,
und entsprechend meiner gegenwärtigen Lelir-
thätigkeit so weit geführt worden, dass meine
Scliüler und Zuhörer in dem neuen Taschen-
buche einen volisiäudigen Leitfaden für meine

17.5^98788

IV

Unterrichtsstunden und Vorträge finden , und
ein damit Vertrauter in Arithmetik, Geometrie,
praktischer Geometrie, Mechanik und Pliysik
der Aufnahmsprüfung ins Schweizerische Poly-
technikum ruhig entgegensehen kann. Die durch
Einteilen in Kapitel, fortlaufende Kolumnen-
titel, etc. erhöhte Deutlichkeit und Übersicht-
lichkeit, sowie die durch den Herrn Verleger
mit Liebe überwachte, schöne typographische
Ausführung dürfte der neuen Auflage auch
unter Solchen, welche sich nicht an der Hand
des Lehrers mit derselben vertraut machen
können, sondern eine kompendiöse Sammlung
von Erklärungen, Lehrsätzen, Formeln und
Tafeln suchen, noch mehr Freunde gewinnen.
Ich könnte noch anführen, dass das vor-
liegende kleine Buch wolil mehr Inhalt hat,
als man nacli Massgabc des Raumes erwarten
möclile, — dassnmnche in demselben gegebenen
Sätze und Ableitungen, sowie namentlich das
in der Geometrie befolgte System mein un-
bestreitbares Eigentum sind, und ihm einen
wissenschaftlichen Wert sichern dürften, —
dass es sich von den meisten ü])rigen Tasch.en-
bücliern und Formelnsammlungcn durch Bei-
gabe von Beweisen und Citation der zum Be-
weise nötigen Sätze unterscheidet, dalier auch
zu Kepetitorien dienen -kann, — etc. Doch
ich schliesse mit dem Wunsche ^ dass meine

V

x\rbeit mit eben der Liebe aufgenommen werden
möge^ mit welcher ich sie ausführte^ und kein
Rezensent über den zweifelsohne ihr noch an-
hängenden ün Vollkommenheiten das bereits
Erreichte und die Schwierigkeit der gestellten
Aufgabe vergessen möge.
Zürich, im August 1856.

Rudolf Wolf.

zur f Hilft 011 Anl'iaftC.

Das im Vorworte zur vierten Auflage an-
jjeküiidigte, bei gleiclier Einrichtung mit dem
'raschcnbuclic weitere Phitwicklungcu , zaiil-
reiche historisch-litterarische Notizen u. s. f.
entlialteude Handbuch ist nun längst er-
schienen und hat sicli, wenn mich nicht alle An-
zeiclien trügen, bereits ebenfalls viele Freunde
erworben, — darunter aber auch solche, welclien
(las Taschenbuch schon früher ein lieber
Begleiter war, und die nun im Handbuche
vorzüglich einen willkommenen Konnnentar zu
demselben fanden. Zu Gunsten dieser bewähr-
testen Freunde meiner beiden Publikationen
habe ich es für angemessen erachtet, dicKcilien-

VI

folge der Sätze auch für die fünfte Auflage des
Taschenbuches unverändert beizubehalten^ und
nicht durch Abänderungen die so bequeme Kor-
respondenz mit dem Handbuche zu stören =^, —
habe dagegen innerhalb des gegebenen Rahmens
teils aus eigenem Antriebe ^ teils nach dem
Rate und mit der Hülfe mehrerer meiner
Kollegen, Manches bedeutend umgearbeitet, und
soweit möglich überall den Fortschritten der
Wissenschaft Rechnung getragen. Ich darf
darum helfen, dass auch diese fünfte Auflage
wieder freundliche Aufnahme finden, ja dazu
beitragen dürfte, dass in einigen Jahren nahe
gleichzeitig neue Auflagen von Handbuch und
Taschenbuch nötig werden könnten, wodurch
ich dann freie Hand erhalten würde, beiden
wieder eine etwas grössere gemeinschaftliche
Umgestaltung zu geben, für welche bereits
vielfache Vorarbeiten vorliegen.

Zürich, inj Februar 1877.

Rudolf Wolf.

'■■■ FÄiw einzige, Ausnaliiuo miLs.ste ich mir in Ab-
.sclmilt XXV erlauben.

VII

"Vor-^vo^'t

zur sechsten Auflage,

Die am Schlüsse des Vorwortes zur fünften
Auflage seines Taschenbuches ausgesprochene
Hoffnung des vor Jahresfrist verstorbenen
Prof. E. Wolf hat sich durch das Erscheinen
seines mit so grossem Beifall aufgenommenen
„Handbuches der Astronomie" nach der einen
Richtung hin vollständig erfüllt, und bereits
war er auch in den Vorbereitungen zu einer
Umgestaltung und Neuausgabe des Taschen-
buches ziemlich weit vorgeschritten, als der
Tod des unermüdlichen Gelehrten dieselben
unterbrach.

Der Aufforderung des Herrn Verlegers, die
Arbeit zu Ende zu führen, rechnete sich der
Unterzeichnete zur Ehre an, zu folgen-, für
den ersten — mathematisch-physikalischen Teil
des Buches, — fand sich im Nachlasse Wolfs
ein druckfertiges Manuskript vor, und die
Herstellung eines solchen für den zAveiten —
astronomischen — Teil war auf Grund hinter-
lassener schriftlicher Notizen und nach den
noch bei des Verfassers Lebzeiten von ihm

VIII

gemacliten mündlichen Andeutungen über die
beabsichtigten Modifikationen verhältnismässig'
leicht. Die neue Ausgabe sollte in wesentlich
gedrängterer Form erscheinen •, es sind deshalb
auch im zweiten Teile überall da beträcht-
liche Kürzungen vorgenommen worden, wo es
möglich erschien , ohne den ursprünglichen
Charakter des Buches zu beeinträchtigen.
Anderseits waren namentlich im astronomischen
Teil Methoden und Ergebnisse der Neuzeit
thunlichst zu berücksichtigen und auch die
Tafelsammlung hat, in teil weiser Anlehnung
an das neue „Handbuch der Astronomie" eine
eingreifende Umgestaltung erfahren. Den Be-
sitzern des letztgenannten Werkes, w^elches in
seiner Anordnung sich von dem 1870 erschie-
nenen „Handbuch der Mathematik, Physik,
Geodäsie und Astronomie", und damit auch vom
Taschenbuche durchaus unterscheidet, während
diejenige des Taschenbuches auch in der neuen
Auflage dieselbe geblieben ist, wird es nicht
unwillkommen sein, in Letzterem neben den
Nummern der einzelnen Paragraphen je die
dem Inhalte nach entsprechenden des neuen
Handbuches in Klammern angegeben zu finden.

Zürich, im Februar 1895.

A. Wolfer.

Inhalt

A. Arithmetik.

Nro. pag.

I. Einleitung 3—7

Aufgabe der Mathematik und Physik 3 ; die älteste
Zeit 3; die mittlere Zeit 4; die neuere Zeit 5.

II. Die arithmetischen Operationen . . . 7—12
Vorbegriffe 7; Addition und Subtraktion 7; Mul-
tiplikation und Division 8 ; verschiedene betreffende
Kegeln 9; Elevation und Extraktion 10; ver-
schiedene betreffende Eegeln 10 ; die Logarithmen
11 5 die Zahlsysteme 11 ; das Decimalsystem 11 ;
die gemeinen Logarithmen 12.

III. Die Gleichungen und Proportionen . 12—16
Gleichheit und Gleichung 12; die Gleichungen
ersten Grades 13; die Verhältnisse und Propor-
tionen 13; die Gleichungen zweiten Grades 14;
die Gleichungen dritten Grades 14; die Gleich-
ungen höhern Grades 14; Gleichungen mit mehreren
Unbekannten 15; die unbestimmten Gleichungen
15; transcendente Gleichungen 16; Ansatz der
Gleichungen 16.

X

IV. Die Progressionen und Kettenhrüche 17—19
Die arithmetischen Progressionen 17; die geo-
metrischen Progressionen 17 ; die Zins- und Eenten-
rechnung 17; die Kettenbrüche 18; die Näherungs-
hrüche 18; die periodischen Kettenbrüche 19.

V. Die Kombinationslehre und Wahr-

scheinlichkeitsrechnung 19—23

Die Variationen 19; die Permutationen 20; die
Kombinationen 20; die Inversionen und Deter-
minanten 20; die Wahrscheinlichkeit 21; einige
Grundregeln 21; die relative Walirscheinlichkeit
21 ; die Erfahrungswahrscheinlichkeit 22 ; die
Wetten und Hazardspiele 22; die Mortalität 22.

VI. Der binomische Lehrsatz 23—25

Begriff des binomischen Lehrsatzes 23; Eigen-
schaften des Symboles n über h 24; Verallgemei-
nerung des binomischen Lehrsatzes 24; einige
Anwendungen 24.

VII. Die Lehre von den Reihen .... 25—30
Die sog. Funktionen 25; die Exponentialreihe 25;
die logarithmische Reihe 26; die natürlichen Loga-
rithmen 26; die gemeinen Logarithmen 27; die
goniometrischen Reihen 27 ; die umgekehrten
Reihen 28 ; weitere Entwicklungen 28 ; Konvergenz
und Divergenz 29; die Interpolation 29.

VII f. Die Differential- und Integralrech-
nung 31-39

Begriff der Differentialrechnung 31; Differentiation
der algebraischen Funktionen 31; Differentiation
der transcendenten Funktionen 32; Differentiation
der Funktionen mit mehreren Variabein 32; Dif-
ferentiation der Gleichungen 32; der Taylor'sche

XI

Lehrsatz 32; die Maclaurin'sche Reihe und die
Lagrang-e'sche Reversionsformel 33; unbestimmte
Ausdrücke 34; Maximum und Minimum 34; Be-
gfriff' der Integ-ralrechnung 34; Integration durch
Substitution 35; Integration durch Zerlegung
oder Auflösung in Reihen 36; Integration durch
Rekursion 36; verschiedene Integralformeln 36;
bestimmte Integrale 37; Integration der Differen-
tialgleichungen erster Ordnung 38; Integration
der Differentialgleichungen höherer Ordnung 39;
Begriff der Variationsrechnung 39.

B. Geometrie.

IX. Geometrische Vorbegriffe 40—44

Der Ort 40; die fortschreitende Bewegung 40;
die drehende Bewegung 40; die Parallelen und
Senkrechten 41; die Koordinaten 41; die ge-
brochene Linie 42; das n-Eck und n-Seit 42; die
Winkelsumme 43; Anzahl und Einteilung der
n-Ecke 43; die Kongruenz und Ähnlichkeit 44.

X. Das Dreieck 44—46

Grundeigenschaften des Dreiecks 44; das gleich-
schenklige Dreieck 44; das ungleichseitige Drei-
eck 45 ; weitere Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze
45; die Symmetrie 45; Abstand und Projektion 45;
Parallelensätze 46; weitere Sätze 46.

XI. Das rechtwinklige Dreieck und die

goniometrischeii Funktionen . . . 46—52
Das rechtwinklige Dreieck 46; Dimensionen und
Fläche 47; der pythagoräische Lehrsatz 47; die
Seitenverhältnisse 48; die goniometrischen Funk-
tionen 48; einige Grundbeziehungen 49; die sog.

XII

Transformation der Koordinaten 49 ; weitere gonio-
metrisclie Formeln 50; der Moivre'sclie Lehrsatz
50; einig-e g-oniometrische Reihen 50; Anwendung*
auf algebraische Gleichungen 51; Anwendung auf
transcendente Gleichungen 52.

XII. Die Trigonometrie und einige wei-
tere Eigenschaften des Dreieckes . 52—55

Die trigonometrischen Grundbeziehungen 52; wei-
tere Formeln 53; die Berechnung der Dreiecks-
fläche 53 ; die Trigonometrie 53 ; die Flächensätze
53; einige isoperimetrische Sätze 53; die Trans-
versalen 54; einige weitere Sätze 54; das Cent-
rum der Ecken und das Centrum der Seiten 54;
der Schwerpunkt und der Höhenpunkt 55.

XIII. Das Viereck und Vieleck 55-58

Das Viereck 55 ; die Tetragonometrie 56 ; einige
Eigenschaften des Parallelogrammes 56 ; das Vier-
seit und die harmonische Teilung 57 ; das Vieleck
58; die Polygonometrie 58.

XrV. Das centrische Vieleck u. d. Kreis . 58—63
Die nach den Ecken centrischen Vielecke 58 ; die
nach den Seiten centrischen Vielecke 58 ; die cent-
rischen Vielecke 59 ; das centrische Unendlicheck
60 ; die Kreislinie 60 ; die Sekanten und ihre Win-
kel 60; die Tangenten und ihre Winkel 61; die
ein- und umgeschriebenen Vielecke 61 ; Bezieh-
ungen zwischen verschiedenen Kreislinien 61;
Pol und Polare 62; Sehne, Pfeil, Sektor und Seg-
ment 62'^ noch einige Beziehungen 63.

XV. Die analytische Geometrie der Ebene 64—76
Die Gleichung der Geraden 64 ; verschiedene Auf-
gaben 64; der Punkt der mittlem Entfernungen

XIII

65; die Gleichung der Kreislinie 66; die Linien
zweiten Grades 6(i'^ Axen und Mittelpunkt 67;
Transformation und Einteilung 67 ; die Tangenten
und Normalen 69; der Krümmungskreis 69; die
Quadratur 70; die Eektiiikation 70; die Ellipse
70; weitere Beziehungen 71; die Parahel 72;
weitere Beziehungen 72; die Hyperbel 73; wei-
tere Beziehungen 73; die sog. besondern Punkte
74 ; einige Kurven dritten Grades 74 ; einige Kur-
ven vierten Grades 75 ; einige transcendente Kur-
ven 75 ; einige Spiralen 75 ; die Kolllinien 75 ; die
Cykloide 76.

XVI. Raumdreieck und Raumtrigonometrie 76—82
Das Raum-Eck 76; die Senkrechten und Projek-
tionen 77; die Parallelen 77; Eigenschaften der
Projektionen 78 ; die Senkrechtenwinkel 78 ; Grund-
beziehungen am Raumdreiecke 78; die Gauss'schen
Formeln und die Neper'schen Analogien 79; wei-
tere Beziehungen 79; Fehlergleichungen 79; pa-
rallele Ebenen 80; die Flächenprojektionen 80;
weitere Eigenschaft des Dreikants 80; das Polar-
dreieck und der Excess 80; Umsetzungen mit
Hülfe des Polardreieckes 81; die Raumtrigono-
metrie 81; Symmetrie und Kongruenz 82.

XVII. Das Vierflach und Vielflach . . . 82—87

Das Polyeder 82; das Vierflach 83; das recht-
winklige Vierflach 83; der Rauminhalt des Vier-
flachs 84; die Pyramide 84; der Kegel 85; das
Prisma 85; der Cylinder 86; das Prismoid 86;
der Obelisk 86.

XVIII. Das centrische Vielflach u. die Kugel 87—91
Der Euler'sche Satz 87; die regelmässigen Poly-
eder 87; die Kugel 88; Pol und Polarkreis 88;

XIV

die Guldin'sche Regel 88; Kugeloberfläche, Zone
und Möndchen 89; Kugelinlialt, Abschnitt und Aus-
schnitt 90; das Kugeldreieck 90; der Legendre'-
sche Satz 90; weitere Sätze 91.

XIX. Die analytische Geometrie im Räume 91—102
Die Raumkoordinaten 91; die Transformation der
Koordinaten 92; die Gleichung der Ebene 93; die
Gleichung der Geraden 94 ; verschiedene Aufgaben
95; der Schwerpunkt 95; die Flächen zweiten
Grades 96; Transformation und Einteilung 97;
das EUipsoid und Sphäroid 98; die tangierende
Ebene 98; die Krümmung der Flächen 99; die
Kurven von doppelter Krümmung 99; die ein-
hüllenden und developpabeln Flächen 99; die
Komplanation 100; die Kubatur 101; die dar-
stellende Geometrie 101.

XX. Die Methode der kleinsten Quadrate 102-105
Grundsatz der Methode der kleinsten Quadrate 102;
Theorie der Fehler bei direkten Bestimmungen
102; Theorie der Fehler bei indirekten |Bestim-
mungen 104; die überschüssigen Gleichungen 104.

XXI. Die Messungen mit Kette, Kreuz-
scheibe und Messtisch 105—110

Die praktische Geometrie 105; die Setzwage und
die Libelle 105 ; die Längenmessung 106 ; Kreuz-
scheibe und Winkelspiegel 107; der Messtisch 108;
das Princip der Multiplikation 108; die Pothe-
not'sche Aufgabe 109; der Distanzmesser 110.

XXII. Die Messungen mit Theodolit

und Nivellirinstrument 110—116

Die geteilten Kreise 110; der Vernier 111; der
Theodolit 111; der Spiegelsextant 113; die Reduk-

XV

tion auf Centrum und Horizont 114; die sog.
Triangulationen 114; die Messung der Hölien-
winkel 115; das Nivellierinstrument 116.

C. Mechanik.

XXIII. Die reine Statik 117-122

Vorbegriffe 117; das sog. Kräfteparallelogramm
117; allgemeine Eegeln für das Zusammensetzen
und Zerlegen der Kräfte 119; die sog. Momente
119; der Mittelpunkt der parallelen Kräfte und
der Schwerpunkt 119; die sog. Kräftepaare 120;
Zusammensetzung der Paare 121 ; die allgemeinen
GleichgeAvichtsbedingungen 121.

XXIV. Die reine Dynamik 122—127

Vorbegriffe 122; die gleichförmige Bewegung 122;
die gleichförmig beschleunigte Bewegung 123; das
Parallelogramm der Bewegungen 123; allgemeine
Beziehungen zwischen Weg, Geschwindigkeit und
Beschleunigung 124; das Princip der Erhaltung
des Schwerpunktes 125; das Princip der Erhaltung
der Flächen 125; die unveränderliche Ebene 125;
die Hauptaxen 126 ; die augenblickliche Kotations-
axe 126.

D. Physik.

XXV. Physikalische Vorbegriife . . . 128-132
Allgemeine Eigenschaften der Materie 128; Teil-
barkeit und Ausdehnbarkeit 128; Anziehung und
Gewicht 129; Aggregationszustand, Cohäsion und
Adhäsion 130; Festigkeit 130; die chemische Ver-
wandtschaft 131.

XVI

XXVI. Geostatik und Geodynamik . . 132-141

Die Beschleunigung der Schwere 132; stabiles
und labiles Gleichgewicht 133; der Keil 133; die
schiefe Ebene 133 ; das mathematische Pendel 134 ;
das physische Pendel 135 ; die Uhren 136 ; Ballistik
136; der Hebel 137; die Wage 137; das Wellrad
138; die Bollen und Flaschenzüge 139; die Central-
bewegung 139; einige Definitionen 140; die Lehre
vom Stosse 140; Beibung und Widerstand des
Mittels 141.

XXVII. Hydrostatik und Hydraulik . 141-144
Hydrostatisches Grundgesetz 141; weitere hydro-
statische Gesetze 142; Bestimmung der Dichte
142; die Kapillarität 143; die Ausflussgesetze 143;
die Wellenbewegung 144.

XXVIII. Aerostatik , Pneumatik und
Akustik 144-149

Das Barometer 144; das Mariotte'sche Gesetz 145;
die Hypsometrie 146; die Luftpumpe 147; einige
andere Apparate 147 ; Bestimmung der Dichte von
Gasen 147; die Diffusion 148; die Hygroskopie
148; Geschwindigkeit und Intensität des Schalles
148; Gesetze der Schwingungen 149.

XXIX. Die Optik 149-160

Das Licht 149; der ebene Spiegel 150; Hohlspiegel
und Konvexspiegel 151; die totale Beflexion 152; die
Refraktion 152; das Prisma 153; die Linsen 153;
weitere Gesetze 154; Camera obscura und Auge
155; das Mikroskop 155; das Teleskop 156; das
Spektrum 157; der Achromatismus 158; Inter-
ferenz und Beugung 159; die Doppeltbrechung
159; die Polarisation 160.

XVII

XXX. Die Wärmelehre 160-166

Das Wesen der Wärme 160; die Wärmeleitung
161 ; die Ausdehnung 161 ; specifisclie Wärme 162 ;
die gebundene Wärme 163; die Verdunstung 163;
August's Psychrometer und das Hutton'sche Prin-
cip 164; der Dampfdruck 164; die Dampfmaschine
165; die Wärmeerzeugung 166.

Die magnetischen Körper 166; die Grundeigen-
schaften 167; die künstlichen Magnete 167; der
Diamagnetismus 168; der Erdmagnetismus 168;
die Boussole 169.

XXXII. Elektricität u. Galvanismus . . 169-174
Die elektrische Anziehung 169 ; Grundeigen-
schaften 170; die galvanischen Ströme und Bat-
terien 171; das Ohm'sche Gesetz 172; weitere
Eigenschaften 173; der Elektromagnetismus und
die Telegraphie 173.

E. Astronomische Vorbegriffe.

XXXIII. Einleitung 177-181

Aufgabe der Geodäsie und Astronomie 177; die
Astronomie der ältesten Völker 178; die Eefor-
mation der Sternkunde 179; die neuere Astro-
nomie 180.

XXXIV. Die ersten Messungen und die

sog. tägliche Bewegung .... 181—190
Die Instrumente 181; das Fernrohr und sein
Fadenkreuz 182; das Ablesemikroskop 182; die
Excentricität und die Teilungsfehler 183; die
Axenlibeile 185; die erste Bestimmung des Meri-

XVIII

dianes 186; die erste Bestimmung- der Polhöhe
des Beobachters und der Poldistanz eines Sternes
187; die Eefraktion 187; die ßegulierung- einer
Uhr nach den Sternen 188 ; das paraliaktisch mon-
tierte Fernrohr 188; die Sternkoordinaten 189;
das Dreieck Pol-Zenit-Stern 189; die Transfor-
mation der Koordination 190 ; Auf- und Untergang,
Elongation 191.

XXXV. Die Bestimmungen im Meri-
diane 191-197

Der Meridiankreis 191; das Fadennetz 192; die
Personalgleichung und der Chronograph 194;
Bestimmung der Grösse und des Einflusses der
Fehler 195.

XXXVI. Die Bestimmungen ausserhalb

des Meridianes 197—205

Die Bestimmung der Zeit 197; Bestimmung des
Azimuthes 199; Bestimmung der Polhöhe 200; das
Equatoreal 201; das Kreismikrometer 204; das
I^ositionsmikrometer 205.

XXXVII. Die Fixsterne und Wandel-
sterne 206-216

Die Sternbilder 206; die jährliche Bewegung der
Sonne 207 ; der Sonnentag 208 ; die Gnomonik 209 ;
die Ekliptikkoordinaten 210; die Bestimmung einer
ersten Eektascension 211 ; die Präcession und das
tropische Jahr 212; Hipparchs Theorie der Sonne
213; der Mond 214; die übrigen Wandelsterne und
die Astrologie 215.

XXXVIII. Die Zeitrechnung 216-220

Die Zeitrechnung nach dem Monde 216; die Zeit-
rechnung nach der Sonne 217; die Cykeln 218;

XIX

die Festreclinung, der Sonntagsbuchstabe und die
Epakte 219.

F. Die Erde und ihr Mond.

XXXIX. Die niathemat. Geographie . 221-225
Die Gestalt der Erde 221 ; Übertragung der Kreise
von der scheinbaren Himmelskugel auf die Erde
222; die geographischen Koordinaten 222; Be-
stimmung des Mittagsunterschiedes durch gleich-
zeitige Erscheinungen 223; Bestimmung des Mit-
tagsunterschiedes durch den Mond 224; Bestim-
mung des Mittagsunterschiedes durch direkte Zeit-
übertragung 224.

XL. Die Geodäsie 225-233

Die ältesten Erdmessungen 225; die Messungen
von Snellius und Picard 226; der Streit über die
Gestalt der Erde 227 ; die Messungen in Peru und
Lappland 227; die neuern Breitengradmessungen
228; die Längengradmessungen 229; die Bestim-
mungen mit dem Sekundenpendel 229; die Be-
rechnung der Grösse und Gestalt der Erde aus
zwei und mehr Gradmessungen 231; die geocent-
rischen Koordinaten 232 ; weitere geodätische Ent-
wicklungen 233.

XLI. Die Chorographie 234-237

Begriff der Chorographie 234 ; die perspektivischen
Projektionen 234; die cylindrischen und konischen
Projektionen 236; einige andere Projektionsarten
237.

XLII. Die Parallaxe 237-244

Begriff" der Parallaxe 237; die Bestimmungen von
Aristarch und Hipparch 238; die Bestimmungen

XX

von Richer und La Caille 239; die neuern Be-
stimmungen 240; der Einfluss der Parallaxe auf
die Koordinaten 241; einii'-e Anwendungen 243.

XLllI. Die Erde und ihr Mond . . . 244-252
Bau und Dichte der Erde 244; die Atmosphäre
245 ; die Witterungserscheinungen 246 ; der Erd-
magnetismus und das Polarlicht 247; die äussere
Erscheinung des Mondes 248; die Bewegung des
Mondes 249; die physische Beschaffenheit des
Mondes 251; der Einfluss des Mondes auf die
Erde 252.

XLIV. Die Finsternisse und Bedeck-
ungen 253-257

Begriff' der Finsternisse und Bedeckungen 253;
die Mondfinsternisse 253; die sog. Sonnenfinster-
nisse 255; die Sternbedeckungen und die Durch-
gänge der untern Planeten 257.

G. Das Sonnensystem.

XLV. Die sog. Weltsysteme 258—266

Die ältesten Weltsysteme 258; das Ptolemäische
Weltsystem 259 ; das Kopernikanische Weltsystem
260; die Fallversuche und das Foucault'sche Pendel
261; die Fixsternparallaxe und die Aberration 262;
die Kepler'schen Gesetze und die allgemeine Gravi-
tation 264.

XLVI. Die Mechanik des Himmels . . 267-282

Vorbegriffe 267; die Kepler'schen Gesetze als
Folgen der Gravitation 268; die Bahn-Elemente
271 ; die Berechnung der Elemente aus geocent-
rischen Beobachtungen 272; die Berechnung von

XXI

Kreiselementen 273; die Berechnung- von para-
bolischen Elementen 274; die Berechnung von
elliptischen Elementen 275 ; die Bestimmung der
Masse 276; die Kepler'sche Aufgabe 277; Ent-
wicklung einiger betreffenden Reihen 278; die
sog. Störungen der Planetenbewegung 280; die
Störungen der Mondbewegungen 281; die Gestalt
der Himmelskörper, und die Bewegung derselben
um ihren Schwerpunkt 282; die Tafeln und Ephe-
meriden der Wandelsterne 282.

XLVII. Die Sonne 283-287

Die physische Beschaffenheit der Sonne 283; die
Periodicität in der Häufigkeit der Sonnenflecken
284; der Zusammenhang mit Magnetismus, Nord-
licht, Fruchtbarkeit, etc. 285 ; die Bestimmung der
Rotation der Sonne, und der Lage der Flecken
auf derselben 286.

XLVIir. Die Planeten, Monde und Ringe 287—292
Merkur und Venus 287; Mars und seine Monde
288; Jupiter und seine Monde 288; Saturn, sein
Bing und seine Monde 289; Uranus und seine
Monde 290; Neptun und seine Monde 291.

XLIX. Die Asteroidenringe 292-298

Der Asteroidenring zwischen Mars und Jupiter
292 ; Venusmond, Vulkan und die problematischen
Durchgänge durch die Sonne 293; die Stern-
schnuppen und Feuerkugeln 294; die Meteoriten
295; die Sternschnuppenregen 296; das Zodiakal-
licht 297.

L. Die Kometen . 298-301

Die altern Ansichten über die Kometen 298 ; die
Periodicität der Kometen 298; die Kometen von

XXII

kurzer Umlaufszeit 299; die neuern Ansichten
über die Kometen 300.

n. Das Weitgebäude.

LT. Die Stellarastronomie 302—304

Die Anzahl der Sterne 302; die Aichung-en und
Zonenbeohachtungen 302; die Ausstreuung- der
Sterne 303; die Milchstrasse 303.

LIT. Grössen, Farben und Spektren der

Fixsterne 304—306

Die Sternvergleichungen 304 ; die Sternphotometer
304; die Farben der Fixsterne 305; die Spektral-
analyse 305.

LUX. Die veränderlichen und neuen

Sterne 306-309

Der neue Stern von 1572 306; Mira der Wunder-
bare 307; die Sterne y] Aquilae und ß Persei 307;
die Sterne ß Lyrse und yj Argo navis 308 ; die
veränderlichen Sterne 308; die sog. neuen Sterne
309.

LIV. Die Fixsternparallaxe u. die sog.

Eigenbewegung der Fixsterne . . 309—314
Die Fixsternparallaxe 309; der scheinbare und
mittlere Ort und die Eigenbewegung der Fix-
sterne 311; die fortschreitende Bewegung der
Sonne 312; die Sternkataloge und Ephemeriden
313.

LV. Die Doppelsterne 314-316

Die sog. Fixsterntrabanten 314; die Arbeiten
Herschels 315; die neuern Arbeiten 315; die
Bahnen der Doppelsterne 316.

XXIII

LVI. Die Sternhaufen und Nebel . . . 317-322
Die ersten Entdeckungen 317; die Arbeiten von
Messier und Herschel 317; die neusten Arbeiten
318; die veränderliclien Nebel 318; die Doppel-
nebel 318; die Natur und Ausstreuung der Stern-
haufen 319; die Natur und Ausstreuung- der Nebel
319 ; die Entstehung des Weltgebäudes 321 ; die
Organisation des Weltgebäudes 321; die Dauer
des Weltgebäudes 322.

I. Tafeln.

LVII. Einleitung zu den Tafeln . . . 323-328

LVIII. Tafeln 329-388

Reduktionstafel für Masse und Gewichte 329;
Quadrattafel 330-331; Tafel der Potenzen, Reci-
proken und Vielfachen 332-333 ; Mortalitätstafel
und Hülfstafel für Zinseszinsrechnung 334; Tafel
der Binomialkoefficienten und Hülfstafel zur Fehler-
reclmung 335; Logarithmentafel 336—337; Zehn-
stellige natürliche und gemeine Logarithmen 338 ;
Reduktionstafel für Bogen und Zeit und Tafel
der Bogenlängen 339; Sehnentafel 340; Trigono-
metrische Zahlen und hyperbolische Funktionen
341; Log. Sinus 342-343; Log. Tangens 344-345;
physikalische Tafel 346—347; Tafel für Wasser-
dampf 348; Hypsometrische Tafel 349; Bessel'sche
Refraktionstafel 350; Tafel für die Gestalt der
Erde und Bodes Tafel 351; Ortstafel 352-353;
Deklination und Radius der Sonne 354—355;
Zeittafel 356—357; Tafel der Sonnenflecken und
magnet. Deklinationsvariationen 358; Spektral-
tafel 359; Planetentafel 360-361; Kometentafel

XXIV

360—361 ; Sternbilder und Sternnamen 862 ; Stern-
tafel 363—368; veränderliche und neue Sterne
369; Verzeichnis von Doppelsternen 370; Ver-
zeichnis von Nebelfiecken und Sternhaufen 371;
Immerwährender Gregor. Kalender, Epakte, Sonn-
tagsbuchstabe und Ostern 372—373; Römischer
und französischer Kalender 374 ; Statistische Tafel
375: Historisch-litterarische Tafel 376-388.

Mathematik und Physik.

Die Arithmetik,

Die .Matiioiiiatik ist einem scharfen Messer
zu ver>?leichen , <las nichts nützt, wenn
n:nn nichts damit zu schneiden hat und
zu schneiden weiss. (Homer.)

I. Einleitung.

1 [15]. JLufg:abe der ^Mathematik und
Physik. Was eines mehr untl minder fähig ist, lieissc
Grösse, — die Lehre von den Grössen Mathematik.
Letztere teilt sich in Arithmetik, Geometrie und Me-
chanik, je nachdem sie sich die Aufgabe stellt, die
Eigenschaften der sog. Zahlen und die Regeln für das
Operieren mit denselben zu entwickeln, — oder die
Raumgebilde nach ihrer Entstehung und organischen
Beschaöenheit zu betrachten, — oder endlich. die durch
sog. Kräfte, sei es bloss versuchten, sei es in be-
stimmter Zeit bewirkten Bewegungen zu studieren.
Sowie diesen Kräften und den Gebilden, auf welche
sie wirken, bestimmte in der Natur vorkommende,
durch Beobachtungen oder Versuche ermittelte Gesetze
und Eigenschaften zugeteilt werden, tritt man aus
dem Gebiete der reinen Mathematik in das der Physik
über.

3 [15]. Die älteste Zeit. Die Verrichtung
des Zählens, die Einführung von Buchstaben oder
Kerben als Zahlzeichen, und die einfachsten bürger-
lichen Rechnungsarten datieren mutmasslich aus vor-
historischer Zeit, — dagegen die Anfänge einer wissen-
schaftlichen Arithmetik wohl erst aus der Zeit der

Alexandriner Euklid bis Diophant, — die Ausführung
grösserer numerischer Rechnungen aber als Folge der
glücklichen Idee der Indier, Zahlzeichen mit Stellen-
wert anzuwenden. — Die Geometrie entwickelte sich
zunächst aus dem Feldmessen ; sodann ordneten Eu-
doxus und Euklid ihre Elemente, während Plato und
Apollonius die Lehre vom geometrischen Orte und
speciell die Kegelschnitte cultivierten, ja Archimedes
durch Rektifikation des Kreises und Quadratur der
Parabel bereits Anfänge einer höhern Geometrie, so-
wie durch Aufstellung der Lehre vom Hebel und der
hydrostatischen Grundgesetze die vor ihm trotz
Aristoteles kaum existierende Mechanik und Physik
schuf. — Die Araber bildeten die von Hipparch be-
gründete Trigonometrie aus, und überlieferten dieselbe
mit den indischen Ziffern und den mathematischen
Kenntnissen der Griechen dem Abendlande, wo Fibo-
nacci, Chuquet, Rudolff etc. dieselben einbürgerten,
während durch Einführung des Kompasses, der Brillen-
fabrikation, der Konstruktion von Gewichtuhren etc.,
auch Mechanik und Physik Boden gewannen.

3 [15, 53, 107, 117j. Oie mittlere Zeit. Die
Entstehung hoher Schulen, die Erfindung der Buch-
druckerkunst , und der überhaupt mit dem 15. Jahr-
hundert beginnende Aufschwung gaben auch der
Mathematik und Physik einen neuen Impuls: Vieta
und Harriot führten die Buchstabenrechnung, Bürgi,
Neper und Briggs die Decimal- und Logarithmen-
Rechnung ein. — Ferro und Cardano bearbeiteten die
Lehre von den Gleichungen, — Fermat schuf die
Zahlentheorie, — Nie. Mercator und Wallis erweiterten
die Lehre von den Reihen, — Pascal, Huygens, Jak. Ber-
noulli etc. studierten die Probabilitäten, — etc. Ander-
seits führte Descartes die Koordinaten in die Geometrie

— Einleitung- — b

ein und veranlasste dadurch Arbeiten auf dem Gebiete
der Kurvenlelire, welche der Theorie der Funktionen
riefen, die Newton, Leibnitz und die altern Bernoulli
so rasch entwickelten, dass viele schwierige Probleme
auf dem Gebiete der reinen und angewandten Mathe-
matik leicht lösbar wurden. — Stevin und Varignon
erweiterten durch Einführung- der Principien der
schiefen Ebene und des Kräfteparallelogrammes die
Statik, während Galilei und Huygens durch Fest-
stellung- der Gesetze des freien Falles, der Pendel-
schwingungen und der Centralbewegung die Dynamik
schufen, und die Erstellung- von Eegulatoren und
Chronometern ermöglichten; Torricelli erfand das
Barometer , Ferdinand II. ein Weingeistthermometer.
— Eob. Boyle und Mariotte stellten das den. Namen
des Letztern tragende, Halley das hypsometrische
Gesetz auf, — Otto von Guerike construierte Luft-
pumpen und Elektrisiermaschinen, — die Brillenmacher
Jansen und Lippershey stellten ein Mikroskop und
das holländische, Kepler das astronomische Fernrohr,
Zucchius das Spiegelteleskop her, — Georg Hartmann
fügte der längst bekannten Deklination der Magnet-
nadel die Inklination bei, — Snellius fand das
Brechungsgesetz , Römer die Geschwindigkeit des
Lichtes, Grimaldi die Beug-ang, Bartholinus die
doppelte Brechung, Newton die Farbenzerstreuung,
und des Letztern mathematische Principien der Natur-
philosophie bildeten den würdigen Abschluss dieser
langen Reihe ausgezeichneter Forschungen und Ent-
deckungen.

4 [15, 53, 107, 117]. Mie neuere Zeit. Sie
wurde allseitig durch Euler eingeleitet, indem er nicht
nur die mathematischen Kenntnisse seiner Vorgänger
zu einem organischen Ganzen umschmolz und weiter-

6 — Einleitung-. —

führte, sondern auch die ersten Lehrbücher der analy-
tischen Mechanik und Dioptrik schrieb, und mit Dan.
Bernoulli die mathematische Physik überhaupt zu
einer fruchtbaren Disciplin erhob. Auf der so gelegten
Basis gelang es sodann den d'Alembert, Clairault,
Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, Cauchy, Jacobi,
Eiemann, etc., die Analysis zu ihrer jetzigen hohen
Blüte zu bringen, während Monge, Carnot, Poncelet,
Steiner, etc., die darstellende und die sog. neuere
Geometrie schufen. Young und Fresnel verhalfen der
durch Huygens und Euler begründeten Undulations-
theorie zur Herrschaft, — Lavoisier schuf die neuere
Chemie, Lambert mit Bouguer die Photometrie, mit
Lesage aber die seither durch Fourier, Poisson, Mayer,
Joule, Clausius, Zeuner, etc. so mächtig geförderte
Wärmelehre, — Chladni entdeckte die Klangfiguren,
Montgolfier die Aerostaten, Malus die Polarisation des
des Lichtes, — DoUond, WoUaston, Fraunhofer,
Daguerre, Talbot, Kirchhoff, etc., verbesserten die
optischen Instrumente , erfanden die Lichtbilder und
die Spektralanalyse, etc., — Watt, Fulton, Seguin,
Stephenson, etc. konstruierten, auf Grundlage der
Ideen Papins, brauchbare Dampfmaschinen und Loko-
motiven, — Gauss und Weber bildeten die Theorie
des Erdmagnetismus aus, — Galvani und Volta aber
gaben der schon von Gray, Dufay und Franklin ge-
pflegten Elektricitätslehre eine ungeahnte Bedeutung,
welche, seit Oersted, Faraday und Steinheil die Ab-
lenkung der Magnetnadel durch den galvanischen
Strom, die Induktionsströme und die Leitungsfähigkeit
der Erde auffanden, und für Telegraphie, Telephonie,
Chronographie, etc. nutzbar machten, noch mehr ge-
steigert wurde. — Für die litterarischen Bedürfnisse
endlich wurde ebenfalls reichlich gesoigt : Chr. Wolf,

— Einleitung — 7

Kästner, Hutton, Klügel, Gehler, etc. schrieben um-
fassende Lehr- und Wörterbücher, — Gergonne, Grelle,
Poggendorf, Liouville, etc. vermittelten durch Journale
den raschen Austausch der Arbeiten, — und Montucla
schrieb eine erste Geschichte der mathematischen
Wissenschaften.

II. Die arithmetischen Operationen.

& [16]. Vorbegrriffe, Kann man sich von zwei
gleichartigen Grössen die eine durch Wiederholung
der andern entstanden denken, so heisst die erstere
Vielheit oder Ganzes, je nachdem man sich die letztere
als Einheit oder Teil denkt. Hat man, um die Eine
zweier Grössen zu bilden, eine Einheit oder einen Teil
gleich oft, öfter oder weniger oft zu wiederholen als
zur Bildung der Andern, so heisst die erstere ver-
gleichungsweise gleich (=), grösser (» oder kleiner
«). Begleitet man das Wiederholen mit einer Folge
von Namen, so heisst diese kombinierte Operation
zählen, und der letzte Name Zahl, wenn man sich eine
Einheit, — Zähler, wenn man sich einen Teil derselben,
— Nenner, wenn man sich letztern bis zum Entstehen
des Ganzen wiederholt denkt. Zähler und Nenner
bilden einen Bruch, und zwar einen echten, unechten
oder Scheinbruch, je nachdem der Zähler kleiner oder
grösser als der Nenner, oder ein Vielfaches des Nenners
ist. Als Zahlzeichen bedient man sich bald eigener
Zeichen, sog. Ziffern, bald der gewöhnlichen Buch-
staben, je nachdem man eine bestimmte oder irgend
eine Zahl notieren will.

6 [17]. Addition ond Subtraktion. Eine
Zahl, welche entsteht, indem man zu einer andern die

8 — Arithmetische Operationen —

in einer dritten enthaltenen Einheiten zuzählt, heisst
Summe dieser letztern, ihrer Summanden (Posten) oder
Glieder, — die Operation des Summierens Addition.
Wenn man dagegen Einheiten abzählt (rückwärts
zählt), so nennt man die Operation Subtrai(tion , ihr
Kesultat Differenz' (Kest), die Zahl, von der man ab-
zählt, Minuend, diejenige, welche man abzählt, Sub-
trahend. — Sind zwei Operationen, wie Addition und
Subtraktion, so beschaifen, dass es gleichgültig ist, ob
man beide von ihnen in gleichem Masse, oder keine
von ihnen vornimmt, so heissen sie im Gegensatze
stehend, und es kann dieser Gegensatz auch auf die
Grössen übergetragen werden, mit denen sie vorzu-
nehmen sind: So wird eine Grösse subtrahiert, indem
man ihren Gegensatz addiert, — so gehen aus additiven
und subtraktiven Zahlen die positiven und negativen
Zahlen oder die Zahlen mit Vorzeichen hervor, und
Summe und Differenz vereinigen sich zur Summe
mit Kücksicht auf das Vorzeichen oder zur sog.
algebraischen Summe. Für Addition und positive Zahl
hat man das gemeinschaftliche Zeichen 4-> für Sub-
traktion und negative Zahl aber — gewählt.

7 [18]. muUiplikation und Uiviision.
Eine Zahl, welche entsteht, indem man eine andere,
den Multiplikand, so als Summand setzt, wie eine
dritte, der Multiplikator, aus der Einheit entstanden
ist, nennt man Produkt dieser sog. Faktoren, — die
Operation Multiplikation und ihren Gegensatz Division,
— den Gegensatz eines Faktors Divisor oder Reciproke;
die Operationszeichen sind x oder • , und : oder auch
ein Bruchstrich. Die Zahl c, welche zählt, wie oft
man einen Divisor b von einer Zahl a, dem Dividend,
abzählen kann, heisst Quotient. Bleibt ein Rest d übrig,
so bezeichnet man diesen symbolisch mit [a : b]. —

— Arithmetische Operationen — 9-

Bezeichnet man unendlich klein und gross mit 0 und
cx), so ist 1 : 0 = oo und 1 : oo = 0, dag-eg-en 0 : 0 un
bestimmt, wenn auch (62) zuweilen bestimmbar. Ein
Produkt aus zwei (a • a = a^), drei (a-''), vier (a^) etc.
gleichen Faktoren heisst Quadrat, Kubus, Biquadrat,
etc. Lässt ein Divisor keinen Rest, so heisst er Teiler,

— eine Zahl, welche keinen Teiler hat, Primzahl, —
während zwei Zahlen, die keinen gemeinschaftlichen
Teiler besitzen, Primzahlen unter sich genannt werden,^

— zwei Zahlen a und ß aber , für welche [a : y] =
[ß : y] wird, kongruent in Beziehung auf den Modulus x,
wobei man nach Gauss a ee ß (y) schreibt. — Haben
die Faktoren Vorzeichen, so hat das Produkt mit dem
Multiplikand gleiches oder verschiedenes Zeichen, je
nachdem der Multiplikator positiv (durch Wiederholung
der Einheit entstanden) oder negativ (durch Wieder-
holung des Gegensatzes der Einheit entstanden) ist,.
d. h. : Gleiche Zeichen geben ein positives , ungleiche
ein negatives Produkt.

H [18]. Verschiedene betrelfeiide Reg^eln*
Eine Summe wird multipliziert, indem man jedes Glied
multipliziert; so z.B. ist, Avenn ;=^ nahe gleich be-
zeichnet,
(a + b) • (a — b) == a^ — b« (a + b)^ = a^ 4: 2ab -f b«
a'^ -f- b ^=^ (a + x)^ wenn x = b : 2a und a > b
Werden zwei Faktoren und ihr Produkt, oder Dividend
und Divisor, nach derselben Regel (z. B. lexiko-
graphisch) geordnet, so ist das erste Glied des Pro-
duktes oder Quotienten gleich dem Produkte oder
Quotienten der ersten Glieder der Faktoren oder des-
Dividends und Divisors. — Ein Produkt wird multi-
pliziert, indem man Einen Faktor multipliziert. Ein
Bruch (Quotient) bleibt unverändert, wenn man Zähler
und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder

10 — Arithmetische Operationen —

erweitert, dividiert oder abkürzt, — wird dagegen
multipliziert, indem man den Zähler multipliziert oder
den Nenner dividiert. — Die kleinste Zahl, in welcher
sämtliche Nenner mehrerer Brüche als Faktoren ent-
halten sind, nennt man kleinsten gemeinschaftlichen
Nenner.

9 [19]. Elevatioii und Extraktion. Setzt
man eine Zahl, die sog. Basis, so als Faktor zur Ein-
heit, wie eine andere Zahl, der Exponent, aus dieser
Einheit entstanden ist, so erhält man eine Potenz der
erstem Zahl, oder hat eine Elevation vollzogen, den
Gegensatz einer Extraktion. Bezeichnen a, b, c der
Reihe nach Basis, Exponent und Potenz, so schreibt man

b ,

a'' = c _^ oder a = c /^ = ]/ c
wo das Zeichen ]/ Wurzelzeichen, a aber Wurzel des
Radikand c genannt wird , und es ist nach Definition
a» = 1, a"" = 1 : a". — Gerade Potenzen sind positiv,
und es kann somit eine gerade Wurzel aus einer
negativen Zahl nicht auf die gewöhnliche Einheit
reduziert werden, sondern erfordert die neue Einheit
i = }/ — 1, so dass

j4n__^^ i^" + ^.= 4-i ['- + '=-1 i*" + ^=-i

Man nennt a + bi eine komplexe Zahl, und es kann
^ie Gleichheit a + b • i = c + d • i nur für a = c und
b = d bestehen.

10 [19J. Verschiedene betreffende Re-
g:eln. Aus (9) folgen die Regeln

a^a'' = a^+'' a\a'= = a'-'= (a'r = a''-^ 1
(a . b)" = R''\f (a : b)' = a" : b*' (= b : a)"*^ 3

Ferner bestehen die Gleichheiten

1 a -f }/¥ + 1 a — ]/¥ = V2a±2[/a^^^ 3
2] a ± |/B = 1 2a -f 2 ^^ä^^T ± V 2a — 2 \/^^^ 4

— Arithmetische Operationen — 11

11 [21—25]. Wie liO^arithmen. Ist eine
Folg-e von Zahlen c einer Folge von Potenzen einer
Easis a gleich, so heissen die Exponenten b Logarithmen
der c in Beziehung- auf a, und man schreibt b = Lg. c.
Hiefür geben aber die Potenzregeln (10 : 1)
Lg. (a . b) = Lg. a + Lg. b Lg. (a : b) = Lg. a — Lg. b

Lg. (a^) = b . Lg. a
und nennt man die halbe Summe zweier Zahlen ihr
arithmetisches, die zweite Wurzel aus ihrem Produkte
ihr geometrisches Mittel, so ist der Logarithmus des
geometrischen Mittels zweier Zahlen gleich dem arith-
metischen Mittel ihrer Logarithmen, so dass es leicht
ist durch Näherung eine Logarithmentafel zu erstellen.

13 [19]. öie Wahlsysteme. Jede ganze oder
gebrochene Zahl N lässt sich durch Potenzen irgend
«iner Zahl k ausdrücken, so dass (wenn a, ß, ...
kleiner als k)

N = a . k" -h ß . k"-' + . . . + X • k ' + |x + V . k-' + . . .
oder, wenn die Potenzen von k nicht geschrieben,
sondern der Stelle zugeteilt werden (wobei rechts vom
Komma die negativen Potenzen beginnen),

N = aß . . . ?.|ji, V . . .
und es ergiebt sich hieraus die Möglichkeit, jede Zahl
in Beziehung auf eine Grundzahl k durch (k — 1) mit
Stellenwert versehene Zeichen oder sog. Ziffern und
das Stellenzeichen 0 auszudrücken. Die meisten Völker
haben die Grundzahl Zehn oder das Decimalsystem
angenommen.

13 [20]. Das Decimalsystem. Teilt man
eine Decimalzahl a + b • 10 + c • 10- + . . . Glied für
Glied durch eine Zahl, und addiert die Reste, so ist
•<lie erste Zahl durch die zweite teilbar, wenn die
Summe der Beste es ist. Hierauf beruhen die sog.

12 — Arithmetische Operationen —

Teilregeln durch 3, 9, 11, etc. — Ist A>B und

A = B • q, H- i'i , B = 1*1 • q^ -f- 1'2 , i'i = i'i ■ (h + hr
• •.rh_i = r^j • %^^, so muss der grösste gemeinschaftliche
Teiler von A und B auch r, , also auch r.^,... also
auch r,, teilen; folglich ist er r^. — Wiederholt sich
bei einem Decimalbruche eine Folge von n Ziffern,
eine sog. Periode, ohne Aufhören, so berechnet man^
um ihn in einen gemeinen Bruch zu verwandeln , zu-
erst den (10" — 1) fachen Wert.

14 [24]. Uie g^emeinen IiOg:arithi]ien.
Logarithmen der Basis zehn heissen gemeine, und
haben den Vorzug, dass sich dieselben für gleiche
Ziffernfolgen nur in den Ganzen, der Kennziffer oder
Charakteristik, unterscheiden, nicht aber im Decimal-
bruche, der Mantisse. Steht das Komma nach der
ersten Ziffer, so ist die Charakteristik Null, — für
jede Stelle, um welche es rechts oder links rückt,
nimmt sie um eine Einheit zu oder ab. Statt einer
negativen Charakteristik setzt man gewöhulich ihre
Ergänzung zu zehn.

in. Die Gleichnngen und Proportionen.

1& [27]. «Gleichheit und «Gleichung:. Sind
zwei Ausdrücke nur der Form nach verschieden, so
bilden sie eine Gleichheit; sind sie dagegen nicht
wirklich gleich, sondern soll durch Bestimmung einer
oder mehrerer der in ihnen enthaltenen Grössen, der
Unbekannten, ihre Gleichheit erst herbeigeführt werden,
so bilden sie eine Gleichung , welche die Genüge
leistenden Werte zu Wurzeln hat. Gleichheiten und
Gleichungen werden nicht gestört, wenn man auf
beiden Seiten dieselbe Operation vornimmt.

— Gleichungen und Proportionen — 13

16 [27]. Vie ^leichung^en eristen Cirades«

Lässt sich eine Gleichung-, nachdem man (15) Brüche,
Bruchpotenzen, etc., weggeschafft, und die eine Seite
auf Null gebracht hat, nach den Potenzen der Un-
bekannten ordnen, so heisst sie algebraisch, und die
höchste Potenz bestimmt ihren Grad, — lässt sie sich
nicht ordnen, so heisst sie transcendent. So ist jede
Gleichung, welche sich auf die Form

ax -f- b — 0 bringen, somit durch x = — b : a
auf eine Gleichheit reduzieren lässt, eine algebraische
Gleichung ersten Grades, und der angegebene Wert
von X stellt ihre einzige und reelle Wurzel dar.

17 [21]. Die Terliältnisse und Pro-
portionen. Ist a — b = m und a : b — - n , so nennt
man m das arithmetische, n das geometrische Verhältnis
der Grössen a und b; durch Gleichsetzung zweier
entsprechenden Verhältnisse aber erhält man eine sog.
Proportion. Vier Zahlen bilden daher eine arithmetische
Proportion

zu wie zu

a • b : c • d wenn a-j-d = b-|-c 1

eine geometrische Proportion

zu wie zu

a : b : : c : d wenn axd = bxc Z

und sind von den 4 Zahlen dreie bekannt, so lässt
sich die vierte durch Auflösung einer Gleichung ersten
Grades finden. Beide Proportionen heissen stetig, wenn
die Innern Glieder gleich oder (11) Mittel der äussern
sind. — Aus 2 folgen

a : c : : b : d, b : a : : d : c, a : bm : : c : dm,

(a + b):b::(c + d):d 3

Ist ferner e : f : : g : h, so verhält sich auch

ae : bf : : cg : dh und wenn a : c : : (a — b) : (b — c) 4
so nennt man b harmonisches Mittel zwischen a und c

14 — Gleichungen und Proportionen —

IS [29]. Hie <Hleichangen zweiten €rra-

des. Jede Gleichung- zweiten Grades lässt sich auf

die Form

x-2 + 2ax + b = 0

bringen, und hieraus folgt

x2H-2ax + a2==a2 — b oder x = — a + yä/^"^"lb

Sie hat somit zwei reelle, gleiche oder imaginäre

Wurzeln, je nachdem a"^ > , =, <b; —2a ist gleich

der Summe, -p b gleich dem Produkte beider Wurzeln.

19 [29]. Die Crleieliiingreii dritten <i}ra-

des. Setzt man in der Gleichung

x3 4- ax2 4- ßx -f Y = 0 1

successive x = y — Va«» ^,3 a'^ — ß = 3a, Va^ß — ^'27°^^ —

— Y = 2b, y = u + a:u und u^ = z, so ergeben sich

y3 — 3ay — 2b = 0 3

7} — 2bz + a3 = 0 »

womit die Reduktion auf den zweiten Grad erfolgt

und (18) die sog. Cardanische Formel

3 3 ^

y =y b + \iv^2j^ + y b — i/b^ — ^ 4

erhältlich ist, welche für b- > a^ eine reelle, für
b-<a3 aber scheinbar nur eine imaginäre Wurzel er-
giebt, während gerade im letztern Falle (vgl. 101) y
sogar drei reelle Werte hat.

30 [30—32]. l^ie Cileichung^en höiiern
Cirades. Jede algebraische Gleichung besitzt, wie
Gauss, Cauchy, etc. nachgewiesen haben, eine Wurzel
der Form a=a + bi, und lässt sich somit durch
(X — a) ohne Rest teilen. Es hat also jede Gleichung
vom Grade n notwendig auch n Wurzeln, unter denen
aber paarweise imaginäre vorkommen können. Zur
Auflösung höherer numerischer Gleichungen dient wohl
am besten die sog. Regula Falsi (132).

— Gleichung-en und Proportionen — 15

21 [28]. €^leichung:eii mit mehreren IJn-
bekaniiten. Hat man n Gleichungen mit n Un-
bekannten, so können sie auf (n — 1) Gleichung-en mit
(n — 1) Unbekannten reduciert werden , indem man
mittelst einer derselben eine Unbekannte durch die
übrigen ausdrückt und den so gefundenen Wert in
alle andern Gleichungen einsetzt. Wendet man dieses
Eliminationsverfahren an, bis man auf Eine Gleichung
mit Einer Unbekannten gekommen ist, so giebt diese
den wirklichen Wert derselben , und mit seiner Hülfe
lassen sich sodann auch die übrigen Unbekannten
definitiv berechnen. Hat man z. B. zwei Mengen m,
und rUi zu den Preisen p, und p^, und bezeichnet m
die Gesamtmenge, p den Durchschnittspreis, so ist
offenbar

m • p = m, • p, -h m^ • Po und m = m, -f m^ 1
und hieraus folgen durch Elimination von m oder m.^
mi(P-Pi) = ni2(p., — p) und m(p — p.i) = m, (p, — p^) 2
wonach sich die Hauptaufgaben der sog. Alligations-
oder Mischungsrechnung lösen lassen. — Ist die Anzahl
der Gleichungen kleiner oder grösser als die Anzahl
der Unbekannten, so wird in ersterm Falle die Eli-
mination eine Endgleichung mit mindestens zAvei Un-
bekannten (eine sog. unbestimmte Gleichung, s. 22),
— in letzterm Falle mindestens Eine Gleichung
zwischen Bekannten (eine sog. Bedingungsgleichung;
s. 194) ergeben. Vgl. 210.

33 [28]. Ute unbeistimmteii Cilelehuiig^eii.
Um eine unbestimmte Gleichung der Form

ax + by = c
wo a, b, c ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen
Faktor, a < b und a prim zu b sein sollen, in ganzen
Zahlen aufzulösen , bildet man successive , wenn

16 — Gleichungen und Proportionen —

q, qj . . . Quotienten , r, rj . . . Eeste sind , die Hülfs-

^leichungen

X = (c — by) : a = q, — q, y + p, wo p, = (r, — r^ y) : a

y = (r, — ap,) : r.^ = qg — q^ p, -f- p, p^ = (rg — 14 p,) : ig

p, = (rg — ra P3) : r4 etc.
Setzt man diese Operation fo^'t, bis ein Best r2h = l
wird, so werden offenbar für jeden beliebigen ganzen
Wert von p^ alle frühem p, sowie x und y ebenfalls
g-anze Zahlen, und man erhält somit im allgemeinen
unendlich viele Auflösungen, — in speciellen Fällen
jedoch, wo z. B. nur positive Werte von x und y Be-
deutung haben können, vielleicht auch gar keine.

33 [32]. Transcendente €rleichnn|s;en.
Einzelne transcendente Gleichungen lassen sich auf
algebraische zurückführen ; so z. B. können namentlich
manche sog. Exponentialgleichungen, d. h. Gleichungen,
bei denen die Unbekannte als Exponent erscheint,
durch Gleichsetzen der Logarithmen beider Seiten
oder sog. Logarithmieren auf Gleichungen vom ersten
Orade reduziert werden (vgl. 26, 27) ; alle numerischen
transcendenten Gleichungen aber sind mit Hülfe der
Eegula Falsi (132) löslich.

34 [27]. Ansatz der Gleiehungren. Um
die in einer Aufgabe ausgesprochenen Beziehungen
zwischen Bekannten und Unbekannten durch Gleich-
ungen auszudrücken, denkt man sich Letztere eben-
falls als bekannt, und rechnet mit ihnen, wie wenn
man ihre Richtigkeit prüfen wollte. Stellen z. B. t und
T die Zeiten vor, in welchen zwei Punkte einen Um-
lauf vollenden, und x die Zeit, in welcher der erstere
den andern je einmal überholt, so ist

x:t==:l + T:T d.h. T = T.t:(T — t)
t = T • X : (T + '^)

— Progressionen und Kettenbriiche — 17

IV. Die Progressionen und Eettenbrüche.

S.i [21]. Uie arithmetUchen Prog^reis-

sionen. Die n Zahlen

-^ a . (a + d) . (a + 2(1) (a + (n —1) d) 1

von denen (17) jede drei auf einander folgende eine
stetige arithmetische Proportion eingehen, bilden
eine sog. arithmetische Progression; a heisst erstes,
z = a + (n— l)d letztes Glied, d Differenz. Da die
Summe jeder zwei von beiden Enden gleich weit ent-
fernten Glieder offenbar gleich gross wird, so ist die
Summe aller n Zahlen

s = V2 [2a + (n — 1) d] . n = ^i, (a + z) . n 3

und beispielsweise

1 + 3 + 5 + . . . + (2n — 1) = n'^ 3

36 [21]. l>ie g^eonietriischen l*rog;reiS-
sionen. Die n Zahlen

-i^ a : aq : aq2 : aq' : aq"~"^ 1

von denen (17) jede drei aufeinander folgende eine
stetige geometrische Proportion eingehen, bilden eine
geometrische Progression; a heisst erstes, z = aq"""^
letztes Glied, q Quotient. Die Summe aller n Zahlen ist

s = a(q"-l):(q-l) = (qz-a):(q-l) Z

woraus durch Logarithmieren

n = [Lg [s (q — 1) -h a] — Lg a] : Lg q 3

folgt, — und beispielsweise, wenn a>l,

I:a + l:a2 4-l:a34- = 1 : (a — 1) 4

27. Die Zins- und Uentenrechnuugr*

Ist a ein Kapital, r. der Zinsfuss und somit p = Vi 00 '^
der Zinsfaktor, so stellt offenbar ap den Jahreszins,
Wolf, Taschenbuch 2

18 — Progressionen und Kettenbrüclie —

a (1 + p) den Wert des Kapitals nach einem Jahre und
somit a (1 -f p)" den Wert nach n Jahren vor. Ist
ausserdem b eine jährliche Zulage , und a^ der Wert
des Ganzen nach n Jahren, so ist (26)
a„ == a (1 -f p)" + b (1 + P)"-' + b (1 + p)"-- + . . . + b
= (a + b : p) . (1 + p)" - b : p 1

und hieraus folgt durch Logarithmieren

n = [Lg (b + P . aj - Lg (b + pa)] : Lg (1 + p) S
Ist a„ = 0 und b negativ , so erhält man für die sog.
Rentenrechnung (40), wo a das eingelegte Kapital und
b die Rente bezeichnet,

^ (l+p)"-l , p (1 4- p)" Lgb-Lg(b-ap)

' = ' TITTpr' '^' (lTpr=l' '^ ""Lg(l + p) *
Ist überdies b = a(p + q), d.h. will man ein Kapital
mit Hülfe eines stärkern Zinses amortisieren, so wird

n = [Lg (p + q) — Lg q] : Lg (1 + p)
und q = p : [(1 + p)" - 1] 4

3S [20j. Die Ketteiibruche. Wird ein echter
Bruch B : A auf die Form

1 : (q, + 1 : (q, + 1 : (qa + • • •))) = 1 : [qi, q., üa, • • •]
gebracht, so heisst er in einen Kettenbruch verwandelt ;
die einzelnen Brüche 'q,, 'qa»--- heissen Ergänzungs-
brüche, der Wert B„ : A^ aber, auf den sich der Ketten-
bruch bei Vernachlässigung der dem n*''" folgenden
Ergänzungsbrüche reduciert, n'*"" Näherungsbruch.
29 [20]. Die Käheriingrsbrüche* Da

A = ^ A = l Ä = 1 ^ B, qa+B^

Ao ~~ 1 A, q, A.2 qi + 1 : q.> A. q., -f A^

B3 _ B^q3-f B, ^n _ ^n-l • % + B^__3

A3" " A^qg + AT Ä„ ~ A„_, . q„ + A„_2

— Progressionen und Kettenbrüclie — 19

so kann jeder Näherungsbruch aus den zwei vorher-
gehenden leicht abgeleitet werden. — Mit Hülfe
obiger Werte von B,^ und A^^ erhält man die Kekursion
Bn-A„_,-B„_,.A„ = -(B„_,.A„_,-B„_,.A„_,)3
folglich, da B, A, — B, A, = — 1 ist,

Bn.A„_.-B_,.A„ = (-ir-^ 3

woraus z. B. folgt, dass Zähler und Nenner jedes
Näherungsbruches relative Primzahlen sind, und der
Fehler des n^''" derselben kleiner als

(_l)»-i:A„.A„_j ist.

SO [20]. Wie periodiischeii Hetteiibrüche*

Bilden bei einem Kettenbruche die Nenner der Er-
gänzungsbrüche von einer gewissen Stelle an, ohne
Ende fortlaufende Perioden, so heisst auch er perio-
disch. Soll der Wert x dieses periodischen Teiles be-
stimmt werden, so ersetzt man alle der ersten Periode
folgenden Perioden durch x, und berechnet dann x
aus der entstehenden Gleichung 2. Grades.

V. Die KombinatiDnsIehre und Wahr-
scheinlichkeitsrechnung.

31 [33]. Wie Variationen. Sollen n Grössen
auf alle möglichen Arten je zu h zusammengestellt
oder zur Klasse h variert werden, so hat man für die

erste Stelle n Grössen zur Auswahl, für die zweite
(n — 1), ... für die letzte noch (n — h + !)• Es giebt
also

V (n, h) =- n (n — 1) (n — 2) . . . (n — h + 1) 1

solcher Variationen. Darf jedes Element beliebig oft
erscheinen oder soll mit Wiederholung variert werden.

20 — Kombinationen , Wahrscheinlichkeit —

so bleiben auch für das 2'*, 3'^ etc. Element immer
noch n Elemente zur Auswahl übrig-, und es ist daher
V(n,h,w)-=n'^ Z

die Anzahl der Variationen mit Wiederholung.

32 [33]. liie Hermutationeu. Kömmt die
Anzahl der Grössen mit dem Klassenzeiger h überein,
so heissen die Variationen Permutationen, und es giebt
daher aus h Elementen, wenn das Fakultät genannte
Produkt

1 • 2 • 3 . . . h = [h] gesetzt wird, P (h) = [h]
Permutationen. Sind jedoch unter den h Elementen p
gleiche, so erscheint jede Permutation [p] mal, und es
muss daher P(h) mit [p] dividiert werden.

33 [33]. Die Kombinationen. Behält man
von allen Variationen, welche die gleichen h Elemente
enthalten, je nur Eine, so erhält man die Kombinationen
von n Elementen zur Klasse h, und es giebt somit,

solcher Kombinationen. Sollen n Elemente zur Klasse
h mit Wiederholung kombiniert werden, so fügt man
gewissermassen (h — 1) neue Elemente bei und es ist
daher

C(n,h,w) = (" + ;;"!) 2

34. Die Inversionen und Determinan-
ten, Verändert man in einer Reihe von Elementen
a b c d . . . die ursprüngliche Ordnung durch Permu-
tation, so findet sich je eine bestimmte Anzahl von
Paaren gestörter Elemente oder sog. Inversionen, und
je nachdem diese Anzahl eine gerade (Avie z. B. bei
a c d b mit den 2 Inversionen c b und d b) oder un-
gerade (wie z. B. bei b c d a mit den 3 Inversionen

— Kombinationen, Wahrscheinlichkeit — 21

ha, ca, da) i?t, teilt man die betreuende Permutations-
form einer ersten oder zweiten Klasse zu. Hat man n
Gruppen von je n Elementen

ai a, aj . . . b, b^ bj . . . c, c.^ Cg

bildet aus diesen Elementen Produkte, indem man je
aus jeder Gruppe ein Element verwendet, und legt
jedem Produkte das Zeichen + oder — bei, je nach-
dem die in ihm wechselnden Zeiger eine Permutation
erster oder zweiter Klasse darstellen, so nennt man
die z. B. durch das Symbol [a, b, c, . . .] angedeutete
Summe aller dieser Produkte die Determinante des
Elementensystemes. Für n — 3 ist

[a, b, c] = a, b^ c. — a, b, c, — a, b, C3 -|- a^ h-^ c, +
a^ b| c^ — a^ b^ c,

35 [49]. Uie H ahrischeiiilichkeit. Sind
einem Ereignisse unter n möglichen Fällen m Fälle
günstig, so nennt man m:n mathematische Wahr-
scheinlichkeit dieses Ereignisses, und je nachdem

m = 0 m < ';,n m = ' .^n m > '/an m = n ,
ist sein Eintreffen als unmöglich, unwahrscheinlich,
ungewiss, wahrscheinlich oder gewiss zu bezeichnen.

36 [50]. IDiiiig^e €*iriindreg:elii. Bezeichnen
p und q die zwei von einander unabhängigen Ereig-
nissen günstigen, m und n aber alle möglichen Fälle,
80 ergeben sich nach

W| = p : m Wj = q : n W3 = w, • Wj,

W4 = (1 — w, ) • (1 - w,) w- = 1 — W4 = w, + w., — W3
die Wahrscheinlichkeiten des ersten oder zweiten
Ereignisses, sowie diejenigen ihres Zusammentreffens
oder gänzlichen Fehlens, oder endlich des Eintreffens
mindestens Eines derselben bei zwei Versuchen.

3? [50]. Mie relative H'alirscheinlleh-
keit. Unter relativer Wahrscheinlichkeit, dass ein

22 — Kombinationen, Walirsclieinliclikeit —

Ereignis eher als ein anderes eintreife, versteht man
das Verhältnis von dessen Wahrscheinlichkeit zu der
Summe der Wahrscheinlichkeiten heider Ereignisse.
So z. B. zeigen von den 36 bei zwei Würfeln möglichen
Fällen 6 je 7 und nur 3 bloss 4 Augen, also ist die
relative Wahrscheinlichkeit eher 7 als 4 zu werfen
gleich 6/9.

3S [49]. l>ie firfahrungrüwahrsclieiii-
lichkeif. Wird die Anzahl der günstigen und die
der möglichen Fälle durch die Anzahl der günstigen
und die der sämtlichen Versuche ersetzt, so erhält
man die sog. Erfahrungswahrscheinlichkeit. So z. B.
warf ich unter 100000 Versuchen 5928 mal 5 • 6 , oder
6 • 5, also ist die betreffende Erfahrungswahrscheinlich-
keit 0,05928^^56.

39 [49]. Uie Wetten und Hazardspiele.
Das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit zu gewinnen
und dem zu hoffenden Gewinn nennt mau Erwartung
(Lucrum, esperance mathematique) , und es ist eine
Wette oder ein Spiel nur ehrlich, wenn beide Parteien
gleiche Erwartung haben , Avas bei den öffentlichen
Spielen in der Eegel nicht der Fall ist. So z. B.
werden bei den aus 90 Nummern bestehenden Lotterien
nur je 5 Nummern gezogen, so dass von den [90 2] =
4005 möglichen Amben nur [5 2] = 10 herauskommen,
folglich die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse
Ambe herauskomme, '"'4005 , diejenige , dass sie nicht
herauskomme, ^'*V40)5 ist; also sollten sich Einsatz
und Gewinn wie 1 : 3995 verhalten , während der Ge-
winner mit dem 270fachen seines Einsatzes abgefunden
wird.

40. Ute :9IortaIität. Bezeichnen (m), (m+l),...
die Anzahl der Personen aus einer abgeschlossenen
Bevölkerung, welche das Alter von m, m -f- 1, . . .

— Kombinationen, "Wahrscheinlichkeit — 23

Jaliren überschreiten, so finden sich die Wahrscheinlicli-
keiten für die angenommenen Alter je das nächste
Jahr zu durchleben

p,^^ = (m + 1) : (m) V..+i = (i« + 2) : (m + 1) 1
Ferner finden sich die Wahrscheinliclikeiten für den
m-jährigen successive die nächsten 1, 2, 3,... Jahre
zu durchleben

(m4-l):(m) = p„ (m + 2) : (m) = p^ • p„^, . . . 2

Multipliziert man diese letztern Wahrscheinlichkeits-
werte sämtlich mit ein und derselben grossen Zahl,
z. B. mit 100,000, so erhält man die Werte, die in den
gebräuchlichen Mortalitätstafeln (vgl. Tab. II*") für die
verschiedenen Alter als Anzahl der Lebenden angegeben
sind, und als Grundlage der Eenten- und Versicherungs-
rechnungen dienen. Trägt man die Alter m als Abs-
cissen und die Anzahlen (m) der Lebenden nach der
Mortalitätstafel als Ordinaten auf, so erhält man die
sog. Mortalitätskurve, während die Anzahl der Jahre,
welche die in dem Alter m noch Lebenden auf die
Hälfte reduziert, die wahrscheinliche Lebensdauer
dieses Alters genannt wird.

VI. Der binomische Lehrsatz.

41 [35]. BegrilT des biiiomischeu liclir-
satzes. Multipliziert man n Binome (a -f b), (a -f c), . . .
mit einander, und setzt sodann b = c = . . . , so erhält

man (33)
(a + b)-^ = a" + (;) a"-^ • b + ( S) a""- • b^- + • • • + b"

d. h. den binomischen Lehrsatz für ganze positive
Exponenten.

24 — Binomischer Lehrsatz —

42 [34]. Eigreii Schäften des Syniboles
II über h. Sind n und h ganze Zahlen, so ist

und wenn auch nur h einen ganzen Wert hat

(:=;)+ er) =(:)= er) -(.-,) »
(■■■:")=(:)ö+(T)(.-.)+--- +(:)(:) »

4 3 [35]. Verallg:eineinerniig: des biiio-
misehen liehrsatzes. Durch Multiplikation er-
hält man (42 : 3), wenn m und n beliebige Zahlen sind,
und h unter dem Summenzeichen y alle Ganzen von
0 bis CO durchläuft,

jCJ) a'"-^ . b' X !'(;) a"-" • b' = J (" + ") a"^+" " »^ • b'^ ^

d. h. das Produkt zweier, folglich auch mehrerer
solcher Reihen, ist wieder eine Reihe derselben Form,
und zwar ist der Zeiger (m + n + • • •) (les Produktes
gleich der Summe der Zeiger (m, n, . . .) der Faktoren.
Hienach ist z. B.

^(J) a"-' . b*^ X i'(^") a-"-' . b" = J (;) a'^-" b'" = 1 3
[^(t") a"^"~' • h' I" = !'(;:) a"-' . b*' = (a -|- b)" 3
folglich hat man

2' ("/") a"'/"-'' . b" = (a -f b)"''" 4

oder es dehnt sich der binomische Lehrsatz auch auf
negative und gebrochene Exponenten aus, nur dass in
diesen beiden Fällen die Reihe nicht abbricht.

44. Einigre Anwendungen. Mit Hülfe des
binomischen Lehrsatzes erhält man z. B.

— Binomischer Lehrsatz — 25

(1 + a)" = 1 ± (;) a + (;) a'^ + (;) a^ + . . . 1

WO 2 Anleitung- giebt, wie man aus einer Zahl durch
Zerfällen in zwei Teile, leicht die n** Wurzel ziehen
kann.

VII. Die Lehre von den Reihen.

4& [37]. »ie sog:. Fanktioiieii. Um die

Abhängigkeit einer Grösse x von andern Grössen y,
z, . . . im allgemeinen auszudrücken, nennt man sie eine
Funktion derselben, und schreibt

X = f (y, z, . . .) oder F (x, y, z, . . .) = 0
Entsprechend den Gleichungen werden die Funktionen
in algebraische und transcendente geteilt, — wobei
erstere noch in rationale und irrationale zerfallen, je
nachdem die Variabein nur mit ganzen oder auch mit
Bruch-Exponenten behaftet sind. Die rationalen Funk-
tionen

y = a • X + b • X- -f c • x3 -f . . .

x = A.y + B.y2 + C.y^4-... t

entsprechen sich, nach der durch Moivre eingeführten

Methode der unbestimmten Koefficienten, wenn

A = l:a B = — b:a3 C = (2b^ — a • c) : a^ . . . 3

46 [38]. Diefixponentialreihe. — Setzt man

A = (a - 1) - V, (a - 1)'- + ',3 ia - 1)^ - . . . 1

so hat man für jeden Wert von x und n (43)

a^ = [(1 + (a - 1))"]^/" = [1 + n (A -f nf (a, n))f''
oder (43), da diese Gleichheit nur bestehen kann, wenn
sich rechts die Glieder mit n heben,

26 — Lehre von den Reihen

d. h. die Exponentialreihe.

49 [39]. Uie lograrithmische Reihe. Ist

a'' = y oder x = Lg. y 1

so erhält man durch entsprechende Entwicklung

A . Lg. y = (y - 1) - ^ , (y - l)^ + Va (y - D^ - . • • 3
d. h. die logarithmische Reihe.

4S [39]. Wie iiatürliclien liOgrarithmen.

Für X = Va giebt die Exponentialreihe 46 : 2

,a'/v = 1 + 1 + J^ -f ^p-|-^ + ...= 2,71828 18285 = e

Für A = 1 wird somit a = e , und heisst dann Basis
der natürlichen Logarithmen. Bezeichnet man daher
letztere mit Ln, so hat man (46, 47)

Ln y = (y - 1) - '/, (y - 1)'^ -f- 1 3 (y _ 1 )3 _ . . . 3
A = Ln a Ln y = A • Lg y 3

a^ = 1 + X . Ln a 4- j^ (Ln a)2 + j^ (Ln a)^ + . . . 4

oder , wenn in 4 successive x = 1 und a = x gesetzt
wird,

X = 1 + Ln x + j~2 (Ln x)"^ + ^ J 3 (Ln x)3 + . . . 5
Für y = 1 + z erhält man nach 2 successive

Ln(l±z) = + z --tz'+-3-z-^--4-z* + --- *
Ln l-'tA = 2 I z + ^ z^^ 4- 4- z' + . . . I »

= 2[z + i-z3 + ]-z^ + ...]

— Lehre von den Reihen — 27

Die letztere Reihe giebt für z = '/a , -^ , Va j • • • die
natürlichen Log-arithmen von 2, 3, 4, . . . (Vgl. Tab. III^).

49 [39]. Die g:eiiieiiien liOgrarithineii.

Hat man von einer Reihe von Zahlen die natürlichen
Logarithmen berechnet , so hat man sie (48 : 3) zur
Reduktion auf eine andere Basis a nur mit dem sog^.
Modulus l:Lna zu multiplizieren, so z.B. um sog.
gemeine Logarithmen der Basis 10 (vgl. Tab. III) zu
erhalten, mit 1 : Ln 10 -- 0,43429 44819
Setzt man z = 8 : (2y + S), so erhält man (48 : 7)

L,. (y + 5) = Lg y + ^ [^^^ + 1 (g-^' + •• •]

d. h. eine ganz bequeme logarithmische Interpolations-
formel.

50 [40]. Itie g:oiiiome<rischen Reihen.

Eührt man mit Euler durch

gxi _ g -xi ^ 2i Si X e'^' + e-''' = 2 Co x

1

oder el''' = Cox + i- Six

Z

zwei neue Funktionen Sinus und Cosinus ein,

so

folgen

Si^ X + Co'^ x = 1 oder Co x = [/l — Si'^ x

3

(Co X + i Si x)" = Co nx zh i • Si nx 4

Si (X 4: y) = Si X • Co y ± Co x • Si y
Co (X + y) -= Co X . Co y + Si X . Si y
Si x = x-x3:[3] + x5:[5] - x^ : [7] + • • • -,
Co X = 1 — x2 : [2] + X* : [4] - X« : [6] + . • .
Aus 4 , dem sog. Moivreschen Lehrsatze , findet man
mit Hülfe von 43, dass die Gleichheiten

Si nx = (") Co"-' X • Si X - (;) Co"-=* x • Si^ x + . . .
Co nx = Co" X — (^') Co"-' X . Si'^ X + . . .

28 — Lehre von den Reihen —

hestehen müssen, so z. B.

Si 2x = 2 Si X Co X Si 8x = 3 Si x — 4 Si^ x

Co 2x = 2 Co« X — 1 Co 3x = 4 Co3 X — 3 Co x

Setzt man ferner Si x : Co x = Tg x, so folgt

e"^' — 1 , 2xi l + i-Tgx «^

Tg X = -. oder e^''' = ^-^v-^-— 9

^ i(e^^' + l) 1-i-Tgx

und mit Hülfe von 3,6 und 43 : 4

Tgx = Six(l-Si«xr'''^ = Six4-'/2Si3xf 3sSi5x+...

51 [40]. Die omgrekelirten Reihen. Setzt
man

e^y' = Co2y + i.Si2y = f±^oderz=:~P-J- = i.Tgy
1 — z e^ +1

so erhält man durch Logarithmieren (48 : 7, 50 : 10)
1 ^ l + z 1 . , 1 , , 1 . , -,

= Tgy - -|-Tg3y + ^^ Tg^y - y Tg^ y + . . .

y = Siy + lsi^yH-^Si^y + ^~Si^y^... »

53 [40]. Weitere Eiitwicli funken. Ist

Tg X = a • Tg y und (a — 1) : (a + 1) = b 1
so folgt (48; 50)

x = y+h-Si2y + -^-Si4y + -^Si6y + ... »

Setzt man dagegen

Tgy = a-Six:(l — a-Cox) »

so ergieht sich (51)

— Lehre von den Reihen — 29

y = a • Si X 4- '2 a'^ Si 2x + V3 a' Si 3x + • • • ^
Setzt man (50 : 2)

y = Co X -h i Si X = e^' oder Ln y = xl
so folgt (50 : 3,9), für Arcus ein A vorsetzend,

Lny = i • Asi^^ir^ = i- Aco^y^ = 2iAtg4^-^5
"^ 2yi 2y 1-fy

Überdies hat man

Ln |/1 + 2a Co X 4- a-^ = a Co X — V^ a'^ Co 2x +
J 3 a^ Co 3x — . . . 6

Ferner, wenn n durch Si ^2 tc = 1 definiert wird,

--=>['-©■][■-©•][•-©•]■■,

8

Co X

und aus der erstem dieser Faktorenfolgen
7z_ _ 2^2^ 4-4>6-6-8-8...
2 ~ 1 . 3 -3 • 5 • 5 . 7 • 7 • 9 . . .

53 [37]. Honverg:enz und Uiverg^enz.

Wenn die Summe der n ersten Glieder einer ins
Unendliche fortlaufenden Reihe sich immer mehr einem
Grenzwerte nähert, je grösser n wird, so heisst die
Reihe konvergent, sonst divergent; so ist z. B. die
Reihe 26 : 4 für a > 1 konvergent, sonst divergent.

54 [36]. Ifie Interpolation. Hat man eine
Reihe von Zahlen a_„ . . . a_j a^ a, . . . a„ , und bildet
aus ihnen, indem man jede Zahl von der folgenden
abzieht, erste Differenzen Aa, aus diesen durch ent-
sprechende Operation zweite Differenzen A^a, etc., die
in beistehender Weise mit Indices versehen werden
mögen, so ergiebt sich leicht, dass jede Zahl der so
gebildeten Tafel erhalten wird, indem man zu der

30

— Lehre von den Eeihen —

iL

AiL

a\

Ä\

A^a

-1

-1

_3

-3

-V

-1

_ 2

-3

-1

- 1

-1

-r m

1
1

1

1

-1

n

-1

über ihr stehenden die rechts
oben von ihr stehende addirt,
dass überhaupt, wenn irgend
eine ihrer Zahlen aus andern
nach einem bestimmten Ge-
setze erhalten werden kann,
auch jede andere auf analoge
Weise erhältlich ist, und
dass namentlich die nach

-f-..

NeAvton benannte Interpolationsformel

a„ = ao + (^)Aao + (2)A% + (3)A3a,

besteht. Statt den Differenzen I kann man ferner die
zunächst über oder unter II stehenden Zahlen zur
Interpolation benutzen, wenn man 1 durch

a„=a,-.(J)Aa.+(°)A'a_,.(''+l)A3a_,+('';y.a_,+._^

ersetzt. Die hier erscheinenden geraden Differenzen
liegen mit a auf derselben Horizontalen III, die un-
geraden unterhalb. Führt man, um auch Letztere auf
III zu bringen, noch die Mittel aus ihnen und den
ungeraden oberhalb ein, und bezeichnet sodann alle
diese Differenzen mit S, so hat man endlich

n [Sa

-%53a
'en^a^a-

•/,28^a + ...]-f

-fVi^on^S^a -...] + ... a

welche Eeihe in dem Falle grosse Vorzüge hat, wo a,^
gleichzeitig für verschiedene Werte von n berechnet
werden muss.

— Diiferential- und Integralrechnung- — 31

VIII. Die Differential- nnd Integral-
Rechnnng.

55 [41]. Begrriff der »iftereutialrecli-
nnng'. Nimmt in y = f (x) die unabhängige Variable
X einen Zuwachs Ax an, so erhält auch die abhängige
Variable y einen Zuwachs A y. Das Verhältnis A y : A x
dieser Zunahmen hängt einerseits mit der Natur der
Funktion f und der Grösse von x zusammen, ist aber
anderseits auch von der Grösse von A x abhängig, so-
bald die Funktion in Beziehung auf x nicht vom
ersten Grade ist. Um diesen Einfluss von A x zu ent-
fernen, lässt man dasselbe unendlich abnehmen, avo-
durch sich A y : A x einem bestimmten Werte, der sog.
Limes (Ay:Ax), nähert, den man mit dy : dx be-
zeichnet, und Djfferentialquotient (Fluxion: erste Ab-
leitung) nennt, während man unter dem Differential
einer abhängigen Variabein das Produkt aus dem
Diiferentialquotienten und dem Diiferential der unab-
hängigen Variabein versteht.

56 [41]. DifTereiitiatioii der alg:ebrai-
sehen Funktionen. Ist

t = a — b-x-hy-z-furv 1

so hat man entsprechend 55
dt = — b • dx -f (y . dz + z • dy) + (v • du — u • dv) : v« 3

woraus die Differentialregeln für ein konstantes Glied,
einen konstanten Faktor , ein Produkt und einen
Quotienten hervorgehen. Ist ferner y = x'", so folgt
aus 43

Ay : Ax = [(x -f- Ax)"' — x""] : Ax oder dy = m • x'""' • dx *

32 — Differential- und Integralreclinung- —

S7 [51]. MifTcrentiation der transcen-

denten Funktionen. Ganz entsprechend findet
man (48, 50, 56)

d . a'' = a'' • Ln a • dx d • Lg- x = dx : (x • Ln a) 1

d . Si X = Co X • dx d . Asi y = dy : |/l — y^ 3

d • Co X = — Si X • dx d • Aco y = — dy : ]/l — y- 3

d . Tg X = dx : Co^ x d • Atg y == dy : (1 + y^) 4

5S [41]. l>ilferentiation der Funktionen
mit meiireren Tariabeln. Ist z = f(y) und
y = cp (x), oder z = f (x • y), so hat man offenbar

dz dz dy , , dz , , dz ,

-V- = -j r^ oder dz = -^ — dx -f -r- • dy 1

dx dy dx dx dy ''

und wenn u = cp(y, z), wo y:=r(x) und z = f(x),

du _ du dy du dz

dx ~ dy dx dz * dx

59 [41]. Differentiation der Gleich-
ung^en, Ist f (x, y) = 0, so muss auch f(x + Ax, y +
Ay) = 0, und daher d • f (x, y) : dx = 0 sein, so dass (58)

df , df dy ^ , dy df df

-, h -1 — • -f^ = 0 oder -/- = — —-: —

dx dy dx dx dx dy

60 [42]. »er Taylor*selie lielirsatz, Ist

y = f (x) SO beschaffen , dass den Substitutionen x,
X + Ax , X 4- 2 Ax , . . . reelle Werte y, y, = y + Ay,
y-i = y + Ay, , . . . entsprechen , und bezeichnet man
die höhern Differenzen mit A^y, A^y, ... so hat man
entsprechend 54 : 1

^*" ^^> 1.2-3 Ax' + ■

— Differential- und Integralrechnung — 33

Nimmt man an, die Zunahme n.Ax, welche x erhält,
Avährend y in y^ übergeht , habe einen konstanten
Wert h , d. h. die Zahl n nehme , während Ax ohne
Aufhören kleiner werde, in gleichem Verhältnisse zu,
so erhält man , da (1 — 1 : n) , (1 — 2 : n), . . . sich der
Grenze 1 nähern, die nach Taylor benannte Reihe

m + h) = . + A.^. + _^..^^ + ... ^

= f (X) 4- \ ^' (^^ + 1^2" ^" (^^ + • • •

wo die sog. zweite Ableitung f" (x) ebenso aus f (x)
hervorgeht, wie diese aus f (x), etc. Entsprechend
findet man

f(x + h,y + k)=:f(x,y)

h df k df
1 ■ dx "^ T ' dy "^"
1 i^ d^ hk d^f k^ d^

~^i-2'clx^"^ 1 'dx-dy + l-ä'dy^"^

61 [43]. l^ie Haclaurin'fsche Reihe und
die Iiag;rang:e'sciie Reverj^ionsformel.

Setzt man in der Taylor'schen Eeihe x = 0 und be-
zeichnet durch f (0), f (0), ... die entsprechenden Werte
von f(x), f (x), ... so erhält man, wenn schliesslich h
mit X vertauscht wird, die sog. Maclaurin'sche Reihe

f (x) = f (0) + X f (0) + % x-^ f" (0) + . . . 1

und mit ihrer Hülfe, wenn

u = 4^ (y) y = w 4- X • cf (y) d<\> (w) : dw = z 9
ist, die von Lagrange aufgestellte Reversionsformel

u = c{; (w) + X [q: (w) • zj -f \, x« d [cp (w)'^ • z] : dw +

+ Ve x3 d'^ [cp (w)' • z] : dW^ + . . . 3

über deren Anwendung namentlich 416 zu vergleichen
ist.

Wolf, Taschenbuch 3

34 — Differential- und Integ-ralrechnung- —

63 [44]. lIiibeNtimiiite Aiifidrücke. — Da

nach 60

f (X -^ h) ^ f(x)-|-Iif^(x)4- \ih'{"{x)-^...

F (X -i- h) ~ F (X) -f h F' (X) + ';, h« F" (x) ^ . . .
so hat man , wenn für x = a sowohl f (x) als F (x)
gleich Null werden, für ein unendlich abnehmendes h
f (a) __ 0 _ J'(a + h) _ f_(a)
F(a) ~" 0 "" F (a + h)" ~ F' (aj
Sollten auch f (a) und F'(a) Null werden, so würde der
Quotient der zweiten Ableitung- an die Stelle treten,
etc.; würde dagegen nur f (a) oder nur F' (a) Null, so
hätte f(a):F(a) den Wert 0 oder oo; etc.

63 [44]. illaiKLiniuiu und jfliniinuin. Offen-
bar nimmt f (x) für jeden Wert von x, dessen Nachbar-
werte zu beiden Seiten entweder beide Abnahme oder
beide Zunahme von f(x) bedingen, ein Maximum oder
ein Minimum an. Da nun eine Grösse h immer so
klein angenommen werden kann, dass ein mit einer
Potenz derselben behaftetes Glied über die Gesamtheit
der Glieder mit hohem Potenzen dominiert, so folgt
(60), dass für. jeden Wert von x, der f (x) = 0 macht,
f (x) ein Maximum oder Minimum annimmt, je nachdem
für denselben Wert von x die zweite Ableitung f" (x)
ein negatives oder positives Vorzeichen erhält.

64 [45]. lteg:rifr der Integ^ralrecliiiun^.
Ist y = F (X) und dy : dx =:: f (x) , d. h. ist f (x) dx das
Differential von F (x) , so nennt man umgekehrt F (x)
das Integral von f (x) dx. Das Operationszeichen des
Integrierens ist /, und es besteht somit die Gleichheit

/f(x)-dx = F(x) + Const. 1

wo Constans beigefügt worden, da (56) beim Differen-
zieren konstante Glieder wegfallen. So z. B. erhält
man (56, 57)

— Differential- und Integralrechnung — 35

/a.dx = ax + C. /x" dx -= x'"+' : (m + 1) + C. 8

/v • du = UV — /u • dv /du : v = u : v +/u • dv : v- 3
/a"" • dx = a'' : Ln a -f C. /dx : x = Ln a • Lg • x + C. 4
/Oox-dx = Six + C. /dx:j/r^x^=:Asix + C. 5
/dx:Co2x = Tgx + C. /dx : (1 + x^) = Atg x -f C. 6

65 [46]. Integ;i*ation dureli {Substitution.

Nach 64 : 4 erhält man, wenn x mit a + hx vertauscht
wird,

/dx : (a + hx) = + Ln (a + ^x) : b + C. 1

oder, diese Formel für + aufschreibend und addierend

h

dx 1 T- a + bx

• Ln

b2x2 2ab a — bx ' '

Setzt man in 64 : 6, 5 bx : a statt x, so wird

/-

dx 1 . , bx

l/a'^— b* x2 IJ a

oder j wenn man in 4 noch b in bi verwandelt (52 ; 5),

/-

flY 1 . .

.-.:=:, = -f Ln (bx + j/a'^ + b'^ x-^) + C.

Va'^ + b2 x-^

oder, wenn man x durch l:x ersetzt und a mit b
wechselt,

r— j^ = - 1 T.n ^ + l/^-b'-jI ^ g

•^ X }/a2 + b« x2 a x

Vertauscht man in 2 bis 5 noch x mit x + c, so wird

dx _ 1 p^^ ]/4aT+g+2YX-ß ^ ^^ ^

a + ßx — Yx2 }/4aY+ß2 j/4aY+ß'^— 2YX-f ß

a-fßx + YX^ y4aY— ß2 ]/4aY-ß^

36 — - Differential- und Integralrechnuno- —

(''a-fßx— yx2 Yy [^4ay-hß2

dx 1

, =r=rr— = — Ln[2YX+ß^2VT]^a+ßx+TX"']4-C. lO

l/a+ßx+yx' {/y

66 [46]. Intes:ration durch Zerleg^ungr
oder Auflöiiung: in Reihen. Ist y=/(X:X')dx,
wo X und X' ganze rationale Funktionen von x
sind, ferner der höchste Exponent von x im Zähler
kleiner als der im Nenner sein, und Letzterer die
reellen binomischen oder trinomischen Faktoren (a +
bx)"", (c + dx), (a -f ßx + yx-) . . . haben soll, so kann man
X ^ A ^ B ^ ^ M+Nx

X' (a+bx)"' (a+bxf-' '"'^c + dx'^*"'^ a+ßx+yx'^"^"'
setzen, die unbestimmten A, B,... ermitteln, indem
man beidseitig die Nenner wegschafft, und dann y
gleich der Summe der Integralien dieser mit dx
multiplizierten, sog. Partialbrüche setzen. In ähnlicher
Weise kann man durch Auflösung in Pteihen vorgehen.

67. Integ^ratlon darch Rekursion. Setzt
man z. B. in 64 : 3

m — 1

so erhält man die Rekursion

/Si"" cp • Co" 9 . dcp = - Si""-' 9 • 00*^+ ' cp : (m 4- n) +

+ (m — 1) : (m + n)/Si'"-^ qj • Co" cp • dcp 1

und auf ähnliche Weise findet man
/cp™ . Si cp . dcp == — 9"" . Co qj + m/qj™-' • Co cp • dq)
fcp"" . Co q: . dcp = cp"^ . Si qj — m/cp"-' • Si q^ • dcp

68 [46]. Terschiedene Integrralformeln.

Ferner kann man durch beidseitige Differentiation
leicht verifizieren, dass

Differential- und Integ-ralrechnung — 37

f^i^^jil = Se . X fTgX' dx = - Ln Co x

I — -^-. = Lt2- ^- — , . = Ase x

-^ |/a + bx ö -^ X |/a-^x« - b^ » o

/Tg2 X . dx = Tg X — X /Cs 2x • dx = V2 Ltg x

1

Ferner, Avenn X = |/a f ^x und X' = j/a + bx + x-,
dass

/X • dx = 2 X'/^ : 3b /x • X • dx = (6bx - 4a) • X'^'^ : 15b^ 5
X - ]-^a ^ 2 ^^^ X

b + 2cx ^. . 4ac — b- r dx

S

Jx-X {/a " ■ - ■'

fx'.dx=^-^.x'+^"^fii^.r-^

J -40 8c J X'

rdx 1 ^ 2a+bx-2Va-X' 1 ,^ 2a+bx
'^xX' j/a X |/_a ^2[/-a.X'

69 [47]. Beistimmte Iiiteg:rale. Nimmt in

y = F(x)=--/f(x)dx
die Grösse x nach und nach die Werte x, x + Ax,
. . . X -j- n • Ax an, so erhält y die Werte y, jj = y -f -^y,
y„ = yn-i H- ^n-i y> so dass

•^" ^ ' Iax^Ax ' Ax ^ ^ Ax J
Giebt man n • Ax einen konstanten Wert h , und lässt
n unendlich zunehmen, Ax aber abnehmen, so erhält
man die Grenzgleichheit

F(x4-li) — r(x)= [f (x)+f (x+dx) 4-...+f (x + (n-l) dx)] dx
d. h. der Wert eines Integrals zwischen gewissen
Grenzen ist gleich der Summe der Werte, die das

38 — Differential- und Integralrechnung- —

Differential zwischen diesen Grenzen annimmt, und
man kann sj'mbolisch
b

|'f(x)dx = F(l)) — F(a)

a

schreiben. So z. B. ist mit Hülfe von 65 : 4

dx r x"l

I — ^ . = Asi - = Asi 1 — Asi 0 = -^-

-i la^ — x^ L aj 2

70 [48]. Iiiteg:ratloii der DlfTerential-
j^leicliuiig^en erster Ordnung:. Eine Gleichung

f(xy ^^~ ^'^- )-0

nennt man eine Differentialgleichung der ersten, zweiten,
etc., Ordnung, je nach der Ordnung des höchsten
Differentialquotienten, und zwar linear, wenn y, dy:dx,
etc. nur in erster Potenz erscheinen, — jede ihr Ge-
nüge leistende, eine, zwei, etc willkürliche Konstante
enthaltende Gleichung F (x, y) = 0 aber ihr allgemeines
Integral. So hat z. B. die lineare Differentialgleichung
erster Ordnung

dy , 1 n 1 xdy — ydx , b • dx ^
^ -/ y + h = 0 oder — - — ^ ., =0

dx "^ X- x^

wo 1 : X- der ein vollständiges Differential herstellende
oder sog. integrierende Faktor ist, wenn a eine will-
kürliche Konstante bezeichnet, das allgemeine Integral

rxdy — ydx , , fdx y b , , ,

a = ^ \- b = _^_ oder y = ax + b

-^ X- J x* X X "^

So genügt der Differentialgleichung 1. Ordnung und

2. Grades

y • dx — X . dy = r Vdx' +^y^

das allgemeine Integral

— Differential- und Integralrechnung — 39

y = ax + r • |/l -f a-
aber auch das die Willkürliche a nicht enthaltende,
sog. besondere Integral

x^ 4- y2 = r2
71. Iiiteis^ration der UifTerentialgrleich-
iiiig:eii höherer Ordnung:. Hat man z. B. die
Differentialgleichung zweiter Ordnung

(dx^ + dj-'-f- + a . d^y • dx = 0
so geht sie für dy : dx = p und |/l -f p" = q in
dx = — a • q~' • dp über, so dass x = — ap : q + «
dy = — a • p • q~^ • dp oder y = a : q 4- ß
wo a und ß willkürliche Konstante sind. Aus diesen
Werten folgt aber durch Elimination von p die Inte-
gralgleichung

(x-a)2 4-(y_ß)i = a2
7 3. Beg;riflr der Tariationsreehnung:.
Während es sich bei der Lehre vom Grössten und
Kleinsten (63) darum handelte, den Wert einer Un-
bekannten so festzusetzen, dass eine andere, als eine
bestimmte Funktion der ersten gegebene, Grösse ein
Maximum oder Minimum annimmt, so hat dagegen die
sog. Variationsrechnung die Aufgabe, jene Relation so
zu bestimmen, dass der Wert einer von ihr abhängigen
Funktion so gross als möglich werde. Geometrie und
Mechanik liefern in den Problemen der Isoperimetrie,
der Brachystochrone, etc. für Letztere die schönsten
Beispiele.

Die Geometrie.

Schaffen und Streben ist Gottes Gebot.

Arbeit ist Leben, Nichtstbun der Tod.

(Venedey)

IX. Geometrische Vorbegriffe.

73 [54]. Der Ort. Ein Ding- ohne endliche
Grösse, an dem einzig der Begriff der Lage haftet,
heisst Punkt. Verändert Letzterer seine Lage, so heisst
man ihn in Bewegung, verbindet damit den Begriff" der
Richtung, und fasst eine Folge von Lagen als Ort zu-
sammen, denselben als gerade oder krumme Linie be-
zeichnend, je nachdem der Punkt seine Richtung fort-
während beibehält oder fortwährend ändert, und es
liegt im Begriffe der Richtung, dass von einem Punkte
zu einem andern nur Eine Gerade , die kürzeste Ver-
bindung, führt. Den Ort einer sich bewegenden Linie
nennt man Fläche, — eine durchweg gerade Fläche
Ebene.

7 4 [54]. Die fortschreitende Beweffong:.
Wenn sich ein Punkt beständig in gleichem Sinne in
einer Geraden bewegt, so nennt man ihn fortschreitend,
und die Grösse des Fortschrittes Länge. Die Längen-
einheit ist ihrer Natur nach willkürlich, und darum
in jedem Lande und für jeden Zweck gesetzlich fest-
gestellt. [Vgl. Tab. I.].

75 [54]. Die drehende BeM'eg^ungr* Bewegt
sich eine Gerade um einen Punkt, so heisst man sie

— Geometrische Vorbegriife — 41

drehend, und die auf die Ebene der Endlagen, der sog.
Schenkel, bezügliche Grösse der Drehung Winkel, den
Drehpunkt Scheitel, den Ort der Geraden Strahlen-
büschel. Die Winkeleinheit ist die Umdrehung, welche
in 2 Gerade, 4 Rechte (4 R) und 360 Grade ä 60 Mi-
nuten ä 60 Sekunden eingeteilt wird. Ist a < 90^, so
heissen die Winkel a , 90» + a, 90^ + a und 270^* ± %
der Reihe nach spitz, stumpf, konkav und konvex, —
Winkel, welche sich zu 90^, ISO*^ oder 360° ergänzen,
complementär, supplementär oder explementär. Ver-
längert man einen Schenkel eines Winkels über seinen
Scheitel hinaus, so erhält man den zu ihm supplemen-
tären Nebenwinkel, — verlängert man beide, den ihm
gleichen Scheitelwinkel. Bezeichnen ab und de die
Schenkel, c den Scheitel eines Winkels, so schreibt
man Z c == Z_ acd = Z. (ab, de).

76 [54]. ]>le Parallelen und Senkrechten.
Zwei Gerade einer Ebene, welche bei gleicher Grösse
der Drehung in zwei Punkten einer dritten Geraden
entstanden sind, heissen parallel oder zeiiig ( |i ), —
zwei Gerade dagegen, deren Winkel 90*^ beträgt, senk-
recht (_L) zu einander. Nennt man die gleichliegenden
Winkel zweier Geraden mit einer dritten korre-
spondierende, die entgegengesetzt liegenden Wechsei-
winkel, so sind diese für Parallele je einander gleich.
5 7 [54]. öie Koordinaten. Um von einer
Geraden oder Äxe und einem
ihrer Punkte, dem Anfangs-
punkte oder Pol , zu einem
äussern Punkten! überzugehen,
dreht sich entweder zuerst die
Gerade um den Pol bis sie
jy- durch m geht (v), und dann
schreitet der Pol bis zu m

42 — Geometrische Vorbegriffe —

fort (r); oder es schreitet der Pol zuerst in der Axe
so weit fort (x), dass die Axe nach Drehung um einen
gegebenen Winkel (a) durch m geht, und nun schreitet
der Punkt wieder fort bis zu m {y). Die Bestimmungs-
stücke r und V heissen Radius Vektor und Position,
zusammen Polarkoordinaten, — die x und y, Avelche, um
sämtliche vier Quadranten des Winkelraumes zu be-
herrschen, die Zeichenfolgen

+ r -4- -f

annehmen müssen, Äbscisse und Ordinate, zusammen,
je nachdem a = 90'^ ist oder nicht, rechtwinklige oder
schiefwinklige Koordinaten.

7S [54]. l*ie srebroclieiie lilnie. Wird die
abwechselnde Bewegung in Fortschritt und Drehung
fortgesetzt, so entsteht eine sog. gebrochene Linie, bei
der die einzelnen Fortschritte Seiten, die mit den
Drehwinkeln gleichartigen Winkel der Seiten Winkel,
die Drehpunkte konkave oder konvexe Ecken heissen,
je nachdem die Drehwinkel konkav
\^*^^;i>i' oder konvex sind. Die Summe von
(^T^ Winkel und Drehwinkel beträgt an
\ / einer konkaven Ecke 2 R, an einer
%y konvexen Ecke 6 E. — Verbindet
^J man zwei Punkte durch verschie-
--^y / — j. (leue , aber gegen die gerade Ver-
bindung nur konkave Ecken zeigende
gebrochene Linien, so ist jeder umschlossene Zug (73)
kürzer als der umschliessende,

79 [54]. Itas ii-Eck und n-§eit. Kehren
Punkt und Gerade nach n Doppelbewegungen in die
erste Lage zurück, so hat man ein n-Eck oder ein
n-Seit, je nachdem die Seiten nur zwischen den Ecken
oder in der unbegrenzten Länge der mit ihnen zu-

— Geometrische Vorbegriffe — 43

sammenfallenden Geraden betrachtet werden. Im n-Ecke
finden sich zu jeder Ecke (n — 3) mit ihr nicht in
einer Seite liegende, sog. Gegen-Ecken, und es können
dalier in demselben [.^n (n — 3) sog. Diagonalen, ge-
zogen werden. Im n-Seite, avo jeder Durchschnitts-
punkt Ecke heisst, giebt es dagegen zu jeder der
e = ^2 n (11 — 1) Ecken , g = \ ., (n — 2) (n — 3) Gegen-
ecken und d — ^^ e • g Diagonalen Die Anzahl der
durch n Gerade oder n Punkte bestimmten n-Ecke
endlich ist '/, • [n — 1].

50 [54]. »ie. Winkelsumme. Die Winkel-
summe eines n-Ecks wird offenbar gefunden, indem
man (78) für jede konkave Ecke 2 E, für jede konvexe
Ecke 6 E in Rechnung bringt, und für jede Umdrehung
4 R abzieht. Bezeichnet somit p die Anzahl der kon-
vexen Ecken, und r die der Umdrehungen, so ist die
Winkelsumme

P„ (P, !•) = 2 (n + 2p - 2r) R

51 [54]. JLiizahl und Kinteilung: der
n-£eke» Unterscheiden sich zwei n-Ecke in ihrer
Erzeugung nur durch den Sinn, in welchem sich die
Gerade dreht, so genügt es, dasjenige zu betrachten,
das die geringere Anzahl konvexer Ecken hat. Da
ferner ein konkaver Winkel immer zwischen 0 und 2 R,
ein konvexer zwischen 2 R und 4 R enthalten sein
muss, so ist notwendig '/•> (n + P) > i"? sowie ' ', p < r,
und für p = 1 muss mindestens r = 2 sein, damit die
Figur zum Schlüsse kommen kann. Es lässt sich
hieraus durch Induktion ableiten, dass, wenn n gerade
ist, 'A (n- — 4) n-Ecke, und wenn n ungerade ist, V4
(n- — 5) n-Ecke möglich sind. Diejenigen n-Ecke, für
welche r — p = 1 und daher P^ (p, r) = 2(n — 2) R ist,
heissen gemein, die andern sind ohne Ausnahme über-

44 — Geometrische Vorbegriffe —

schlagen. Ein Vieleck endlich, in dem alle Seiten und
alle Winkel gleich sind, heisst regelmässig.

SZ [54]. l^ie Hong:riienz und Ähnlich-
keit. Zwei n-Ecke heissen kongruent (50) oder ähnlich
(rv)), wenn sie sich in ihrer Erzeugung gar nicht oder
nur durch die Einheit des Fortschrittes unterscheiden,
d. h. wenn sie gleiche Winkel und entweder gleiche
Seiten oder gleiche Seitenverhältnisse haben. Die Er-
zeugung des n-Ecks wird aber durch (n — 1) Seiten
und die (n — 2) eingeschlossenen Winkel, — oder durch
(n — 1) Winkel und die (n — 2) zwischenliegenden
Seiten bestimmt; folglich sind zwei n-Ecke schon bei
Übereinstimmung solcher (2n — 3) Elemente kongruent
und aus jedem Kongruenzsatze geht ein Ähnlichkeits-
satz hervor, wenn man die Gleichheit der Seiten durch
die ihrer Verhältnisse ersetzt.

X. Das Dreieck.

53 [55]. €rrnndeig:enschaf'ien des Drei-
ecks. Das Dreieck ist (81) nur Einer Form fähige
hat (80) die Winkelsumme 2 R ^ 180", — ist (82) durch
eine Seite und die anliegenden Winkel, oder durch zAvei
Seiten und den eingeschlossenen Winkel vollkommen
bestimmt, — durch zwei Winkel oder durch einen
Winkel und das Verhältnis der einschliessenden Seiten
der Form nach gegeben. Jede Dreieckseite ist (73)
kleiner als die Summe, aber grösser als die Differenz
der beiden andern Seiten, — ein Drehwinkel (Aussen-
winkel) gleich der Summe der gegenüberliegenden
Dreieckswinkel.

54 [55]. Uas g:leichschenkiig:e Dreieck.
Hat ein Dreieck zwei gleiche Seiten, so heisst es gleich-

— Das Dreieck — 45

schenklig-. Die den Winkel der Schenkel halbierende
Gerade halbiert die dritte Seite oder Basis unter
rechtem Winkel. Errichtet man in der Mitte einer Ge-
raden eine Senkrechte, so steht jeder Punkt der Senk-
rechten von den Endpunkten der Geraden gleich weit ab.

S& [55]. Das an^leichseitis:« Dreieck*

Schliessen zAvei Seiten eines Dreiecks einen grössern
Winkel ein, als zwei ihnen gleiche Seiten eines andern
Dreiecks, so hat auch (83) das erstere Dreieck die
grössere dritte Seite.

86 [55]. H^eitere Hongrrneiiz- und Ähn-
lielikeitsisätze« Zwei Dreiecke, welche alle drei
Seiten oder deren Verhältnisse gleich haben, besitzen
(84) auch gleiche Winkel , sind somit kongruent oder
ähnlich, — ebenso zwei Dreiecke, welche zwei Seiten,
oder deren Verhältnis, und den der grössern gegen-
überliegenden Winkel gleich haben.

8^ [55]. llie Symmetrie. Zwei Punkte, deren
Verbindungslinie durch eine andere Gerade unter
rechtem Winkel gehälftet wird , heissen in Beziehung
auf Letztere symmetrisch. Verbindet man von zwei
Punkten, welche auf derselben Seite einer Geraden
liegen, den Einen mit dem symmetrischen des Andern,
so erhält man (83) den Pujikt der Geraden, von welchem
die gegebenen Punkte die kleinste Distanzensumme
haben, und in dem sie gleiche Winkel mit der Geraden
bestimmen.

88 [55]. Abstand and Projektion. Die Senk-
rechte von einem Punkte auf eine Gerade misst als
kürzeste Verbindung seinen Abstand. Ihr Fusspunkt
heisst ProjeI<tion des Punktes, — die zwischen die Pro-
jektionen der Endpunkte fallende Folge der Projektionen
aller Punkte einer Geraden Projektion der Geraden.

46 — Das Dreieck —

Die Senkrechte von einer Dreiecksecke auf die Gegen-
seite heisst Höhe, letztere Basis.

89 [55]. Parallelensätze. Parallele bilden
(vgl. Fig.) mit jeder Geraden gleiche
korrespondierende oder Wechsel-
Winkel. — Parallele zwischen Para-
llelen sind (=ff) gleich. Zwei Gerade
werden (83) durch ein System von
Parallelen in gleichen Verhältnissen
geschnitten, und schneiden von den

Parallelen Stücke ab , deren Differenzen in denselben
Verhältnissen stehen. Parallele haben (76, 88) überall
denselben Abstand, und schneiden sich daher nicht.
Dreiecke, deren Seiten paarweise zu einander parallel
oder senkrecht stehen, haben gleiche Winkel und sind
daher ähnlich.

90 [55]. Weitere l§ätze. Verbindet man die
Mitte einer Dreiecksseite mit der Gegenecke, so wird

(vgl. Fig.) das Dreieck halbiert.
— Von zwei Dreiecken gleicher
Basis und Höhe hat (78) das-
jenige, dessen Basiswinkel die
des andern der Grösse nach
jjv zwischen sich schliessen , den
2L m "b m e grössern Umfang.

XI. Das rechtwinklige Dreieck und die
goniometrischen Funktionen.

91 [55]. Das reehtwinkligre Dreieck.

Ist in einem Dreiecke ein Winkel ein Rechter, so
heisst die gegenüberliegende und (85) grösste Seite

— Rechtwinkliges Dreieck — 47

Hypotenuse, jede der andern Kathete. Die Kongruenz
von zwei rechtwinkligen Dreiecken wird (83) durch
eine Seite und einen zu ihr gleichliegenden Winkel,
oder durch zwei Seiten, — ihre Ähnlichkeit durch
einen Winkel, oder das Verhältnis zweier Seiten he-
stimmt.

93 [55]. Oimeiisioiieii und Fläche. Teilt
man die eine Kathete in gleiche Teile, und verbindet
die Teilpunkte mit der Spitze, so erhält man ebenso-
viele gleiche Dreiecke, und bezeichnen somit AB, ab
und Ab die Katheten dreier rechtwinkliger Dreiecke
der Flächen F, f und cp, so hat man

F:cp = B:b cp:f=A:a also F : f = AB : ab
Die Flächen hängen also von den Katheten, die darum
Dimensionen heissen, ab, und nimmt man ein recht-
winkliges Dreieck, dessen erste Dimension 1, und
dessen zweite 2 beträgt, als Flächeneinheit an, so ist
die Fläche irgend eines rechtwinkligen Dreiecks gleich
dem halben Produkte seiner Katheten.

93 [55]. Der pythag^orälische I^ehrsatz.

Wird die Hypotenuse c durch die ihr entsprechende
Höhe h in zwei Abschnitte x und y geteilt, so ver-
hält sich

x:li = h:y c:a = a:x c:b = b:y 1

folglich besteht der sog. pythagoräische Lehrsatz

a'- + b-^ = c2 3

(vgl. 115) und umgekehrt, wenn in einem Dreiecke das
Quadrat einer Seite gleich der Quadratsumme der
beiden andern ist (z. B. 5, 4, 3), so liegt der erstem
Seite ein rechter Winkel gegenüber. Ist das Dreieck
nicht rechtwinklig , so besteht der sog. erweiterte
pythagoräische Lehrsatz

48 — Rechtwinkliges Dreieck —

a2 + b2 =F 2ax = c« 3

wo das obere Zeichen für Z. (a • b) < 90'^ gilt , und x
4ie Projektion von b auf a bezeichnet.

94 [62]. Die Seitenverhältnisse. Da in

einem rechtwinkligen Dreiecke die Seitenverhältnisse
von einem Winkel abhängen , so kann man sie in Be-
ziehung auf diesen benennen, und zwar setzt man
(vgl. Fig. in 77)

y : r — Sinus v = Si v r : x = Secans v = Se v

X : r = Cosinus v = Co v r : y = Cosecans v = Cs v
y : X — Tangens v = Tg v (r — x) : r = Sinus versus v

= Siv V
X : y =: Cotangens v = Ct v (r — y) : r = Cosinus versus v

= Cov V

Ferner wird r = 1 als Sinus totus bezeichnet,

und, wenn A (Arcus, vgl. 124) ein Bogenmass ist,

V = Asi (y : r) = Aco (x : r) = Atg (y : x) = etc. gesetzt.

95 [62, 63]. Vie g^oniometri sehen Funk-
tionen. Dehnt man die Sinus etc. auf den ganzen
Winkelraum aus, indem man in ihren Definitionen
Hypotenuse und Winkel durch die Polarkoordinaten,
die beiden Katheten durch die rechtwinkligen Koor-
dinaten mit ihren Zeichen (77) ersetzt, so werden aus
ihnen die sog. goniometrischen Funktionen. Sie lassen
sich, indem man je den Nenner als Einheit wählt, leicht
nach ihrem Verlaufe durch den ganzen Winkelraum
verfolgen, wobei man findet, dass den 4 Quadranten
für

die Funktionen Sinus Cosinus Tangens Cotangens

die Zeichenfolgen + + -\ + + — + — + — + —

und Grenzwerte 0,1 1,0 0,oo oc,0

entsprechen, wo je die erste Grenze bei 0*^ und 180", die
zweite bei 90'* und 270" eintrifft. Sie sind periodisch,

Goniometrische Funktionen

49

disch, und nehmen (abgesehen vom Zeichen) für 180 — a,
180° + a und 360" — a je wieder dieselben Werte an,
die sie für a hatten. Speciell ist Tg 45° = 1 = Ct. 45"
und Si 30° = ^^2 = Co 60°»

96 [62]. Kinlg^e €irandbeziehung:eii. Für
jeden Winkel a hat man nach dem Vorhergehenden
offenbar

Si-a + Co2a = l Sia : Co a = Tga = 1 : Cta
Si a • Cs a = Co a • Se a = Tg a • et a = 1
Si a = Tg a : j/lT Tg"^ Co a = 1 : ]/l + Tg'^
Ferner darf man nur echte Brüche als Si oder Co, da-
gegen jede Zahl als Tg oder Ct betrachten, sowie zwei
Zahlen x = a • Si A und y = a • Co A setzen, da daraus
für A und a immer mögliche Werte folgen.

97 [62, 69]. Wie sog. Transformation
der Koordinaten. Kennt man die Koordinaten

eines Punktes M in Beziehung
auf ein rechtwinkliges Koordi-
natensystem XY, so kann man
leicht seine Koordinaten in Be-
ziehung auf ein anderes recht-
winkliges Koordinatensystem
X' Y' finden , wenn man die
Grössen a, ß, cp kennt, welche
die gegenseitige Lage der beiden Systeme bestimmen.
Man hat nämlich offenbar

X = a + x' Co cp — y' Si cp y = ß + x' Si cp + y' Co cp 1
x'=(x-a) Co 9+(y— ß) Si cp y'=(y-ß) Co cp-(x— a) Si cp S
Überdies ergeben sich hieraus durch Einführung der
Polarkoordinaten (94) , wenn man cp = a, cj^ = b oder
xp = b, 4j = a — b setzt , die goniometrischen Grund-
formeln

Wolf, Taschenbuch 4

1)0 — Goniometrisclie Funktionen —

Si (a ± 1)) = Si a • Co b rr Co a • Si b »

Co (a + b) = Co a • Co b T Si a • Si b 4

98 [62]. Weitere groniometriische For-
meln. Mit Hülfe von 96 und 97 findet man leicht,
dass

s\ ~ j 1 + Tga-Tg-b ^ l + Tg-a

Si 2a = 2 Si a • Co a Si 3a -= 3 Si a - 4 Si^ a

Co 2a = Co^ a - Si^ a = 1 - 2 Si^ a == 2 Co« a - 1

Si 2a + Si 2b -= 2 Si (a ± b) Co (a =F b)
Co 2a -f Co 2b =^ 2 Co (a + b) Co (a — b) • »

Co 2a — Co 2b = 2 Si (a -f- b) Si (b - a)
Tg- (a + b) : Tg (a -b) =Tg- (45« + X) wo Tg- X -- Si 2b : Si 2a 4

Si ' 2 a = r 'a (1 — Co a) Co K'^ a = j/ ' j (1 -f Co a) Ä
rp a _ 1 /i — Co a _ 1 — Co a _ Si a
^2 ~ F 1 T Co^ " "l^i a " " "" r^Co^,

99 [40]. Der ^loivre'sclie l^ehrsatz. Durch
Multiplikation findet man (97)

(Co a + i Si a) . (Co ß + i Si ß) • (Co y ± i Si r) . . . -=
Co (a -f ß 4- Y + . . .) ± i Si (a -f ß -f- Y -f . . .)
oder für a = ß = y = . . . den Moivre'schen Lehrsatz
(Co a + i Si a)" = Co na + i Si na 3

dessen Gültigkeit für negative und gebrochene Ex-
ponenten sich ebenfalls leicht erweisen lässt.

100 [40, 64]. JBinig^e g^oiiiometrische
Reihen. Da 99 : 2 mit 50 : 4 übereinstimmt, so findet
man nach 50, 43, indem man Co x durch [/l — Si^
ersetzt,

sinx^ntsix-°i=^si3.^e';:^;H°;:3')si>x-..,

— GoDiometrisclie Funktionen — 51

Setzt man hier n = 3m und x = 30", also (95) Si x = Va»
und ordnet nach m, so erhält man die Reihen

Si (m.90J)=:m • 1,5707963 — m^ -0,6459641
4-m3 . 0,0796926 — m^ -0,0046818
-f m9 - 0,0001604 — m ^ ^ • 0,0000036
-fm' 3.0,0000001 — ...
Co (m- 900)= 1,0000000 — m« -1,2337006

-f m* - 0,2536695 — m« - 0,0208635
+ m« • 0,0009193 — m »o • 0,0000252
+ mi2-0,0000004 — ...
aus welchen sich ergieht, dass
1,5707963 1

^' ^" ~ 90 - 60 • 60 ~ 206264,8 ~ 4,6855749
und wenn a eine kleine Anzahl Sekunden bezeichnet,
Si a = a • Si 1" oder a == Si a : Si 1" und Co a = 1 S
ist. Setzt man aber x = a : n , und lässt n unendlich
gross, also a:n unendlich klein werden, so nehmen
Si a : n, Co a : n und n über h die Grenzwerte a' : n,
1 und nh : [h] an , wo a' = A a ist , und man erhält
aus 50 : 7

Si^==^'-r:2T3 + --- Coa = l-— ^ + ...4
woraus sich die Vergleichung zwischen den in 50 und
94 eingeführten Sinus und Cosinus ergiebt.

lOl [29]. Aiiwencluiig: auf alg^ebraiische

€Tleichung;eii. Wenn in der Cardanischen Formel
(19) b- + a' negativ werden soll, so muss a negativ
und a3 > b^ sein. Setzt man in 19 : 2 die a negativ, so
geht sie (98 : 2) für y = — 2 l^a • Si cp" 1

in j/b^:T3 = 3Sicp — 4Si3cp = Si3cp 3

über, so dass cp möglich wird, und die ihr genügenden
Werte 3-^, 180» -3-^, 360o + 3cp, 540<' — 3cp , . . . für
2Va = c

52 — Goniometrisclie Funktionen —

y^^^cSicp y3 = _cSi(60"-cp) y3:=cSi(60o+cp)a
oder (vgl. 19) drei reelle Wurzeln ergeben.

103« AiiMendaiig: auf traiiscendente
4wleicliiiiig:eii. — Setzt man in der Gleichung
a • Si X + b • Co X = c a = m • Co cp b = m • Si cp 1
so erhält man (97, 3) die Lösung

Si (x ± 9) = c • Si cp : b wo Tg cp = b : a 3
ist. — Hat man die Gleichungen

X Si y — a Si a — b Si ß x Co y = a Co a — b Co ß 3
so erhält man aus ihrer Kombination

Tg (y — a) = b . Si (a — ß) : [a — b . Co (a — ß)] 4
oder (52 : 3, 4) , wenn man rechts mit Si 1" dividiert,

^^ = « + a-S^P^^^^-ß) + 2^a^^^^^°^^

XII. Die Trigonometrie und einige weitere
Eigenschaften des Dreieckes.

103 [65]. IBie trig:oiioinetrischeii Cirond-

beztehuiig:eii. Bezeichnet man die Seiten eines

j, Dreiecks mit a — 2a, b = 26,

/Tv c = 2c, die Gegenwinkel mit

,/; \, A = 25r, B = 233, C = 2ß;, so

D/ •-, \a ' ' '

7 i^ X^ ist (94)
A / X j y Xt^ a-SiB = h = bSiA

f c = x + y = b.CoA + a.CoB

und somit

a : b : c : : Si A : Si B : Si C 1

a==bCoC+cCoB,b=cCoA+aCoC, c=aCoB+bCoA»

— Trigonometrie — 53

104 [65, Q6[. Weitere FormelD. Aus 103

und 98 ergeben sich ferner

(a + b) : (a - b) = Tg (21 + «) : Tg (3( - 53) 1

Tg (2( - 33) -- Tg (450 - T) • et e wo Tgcp = b:a 3

Tg A = h : (c — y) =- a . Si B : (c — a - Co B) 3

und, wenn

a + b + c=32s d = 21/¥^-Co2r... 4

gesetzt werden

a = l/b-2 -j- C-' - 2bc • Co A = j/(b -f c + d) (b + c — d) 5

Si 21 = ]/(s — b) (s - c) :"bc Co 21 = ^s (s — a) : bc 6

10.% [65]. nie Berechnung der Dreieeks^-
fläche. Bezeichnet F die Fläche des Dreiecks ABC
(s. 103 Fig.), so ist (92, 104)

F = '/2 X • h + '/., y • h = •

= Vo c-^ Si A • Si B • Cs C = |/s (s — a) (s — b) (s — c) a

106 [65]. Mie Trig:onometrie. Sind in einem
Dreiecke eine Seite und die Winkel gegeben, so kann
man nach 103, — sind zwei Seiten und der einge-
schlossene Winkel gegeben nach 104:5 und 103, oder
nach 104:2 und 103, — sind alle drei Seiten gegeben
nach 104 : 6 je die übrigen Elemente , sowie nach 105
die Fläche berechnen.

lOy. Die FläelienNätze. Dreiecke von
gleicher Grundlinie und Höhe sind (105) gleich gross,
und es wird daher (89) die Fläche eines Dreieckes
nicht verändert, wenn man eine seiner Ecken parallel
zur Gegenseite verschiebt. Ähnliche Dreiecke verhalten
sich wie die Quadrate gleichliegender Seiten.

108 [55]. £lnig:e isoperimetriselie j^ätze.

Haben zwei Dreiecke gleicher Basis gleichen Umfang,

54 — Trigonometrie —

so entspricht (90) demjenigen, das den kleinsten und
g-rössten Basiswinkel hat, die kleinere Höhe und somit
auch die kleinere Fläche, während das gleichschenklige
von allen solchen Dreiecken, das gleichseitige aber von
allen isoperimetrischen Dreiecken überhaupt, die grösste
Fläche besitzt.

109 [55j. Wie TraiiNver^aleii. Jeder von
drei Punkten einer Geraden bestimmt mit den beiden
andern zwei Abschnitte, deren Summe oder Differenz
ihre Distanz darstellt, je nachdem er zwischen ihnen
(innerer Teilpunkt) oder auf derselben Seite von beiden
(äusserer Teilpunkt) liegt. So
z. B. bildet eine beliebige Ge-
rade oder sog. Transversale
auf den Seiten eines Dreiecks
entweder zwei innere und einen
äussern, oder drei äussere
Teilpunkte, und in beiden Fällen werden die Produkte
der nicht aneinander liegenden Abschnitte gleich, oder
bilden eine sog. Involution.

HO. Kiiii^e ^veitere Sätze. Jede Gerade,
welche durch eine Dreiecksecke geht, teilt (89) die
Gegenseite und eine zu ihr Parallele proportional, und
zwar (107), wenn sie den Dreieckswinkel oder den
Aussenwinkel halbiert, im Verhältnisse der einschliessen-
den Seiten. (Vgl. 116.) Zieht man von einem Punkte
durch^ die Dreiecksecken Gerade oder Senkrechte zu
den Seiten, so teilen sie letztere so, dass die Produkte
oder die Quadratsummen der nicht aneinander liegenden
Abschnitte gleich werden.

111 [55]. Was Ceiitruiti der Ecken und
das Ceiitriim der Seiten. Die in den Mitten
der Dreiecksseiten errichteten Senkrechten schneiden

— Transversalen — 55

sich (110) in Einem Punkte, der von allen Ecken g-leicli
weit um den Radius (p) absteht, daher Centrum der
Ecken heisst, und (83) überdies die Eigenschaft besitzt,
dass von ihm aus jede Seite unter doppelt so grossem
Winkel erscheint als von der Gegenecke aus. Ferner
(91) fällt der Durchschnittspunkt der Bissectrissen
zweier Dreieckswinkel auch in die Bissectrix des
dritten, und dieser von allen Seiten gleich weit, um
das Apothema (a), abstehende Punkt, heisst Centrum
der Seiten. Ist h die der Seite c entsprechende Höhe,
so findet man (94, 105) leicht, dass

p = 1,2 ab : h und a = Y, ch : s
118 [55]. Wer Schwerpunkt und der
Höhenpunkt. — Die von den Dreiecksecken nach
den Mitten der Gegenseiten gehenden Geraden schneiden
sich (110) in Einem Punkte, dem sog. Schwerpunkte,
der (89) von jeder Ecke um % der Verbindungslinie
absteht. Ebenso treffen sich (110) die drei Höhen eines
Dreiecks in Einem Punkte, dem Höhenpunkte, von
dessen Verbindung mit dem Centrum der Ecken der
Schwerpunkt -3 abschneidet.

XIII. Das Viereck und Vieleck.

113 [56]. Was Viereck. Es ist (81) der drei
Formen

P,(0,1; = 4R P4(1,2) = 4R P,(2,2) = 8R
fähig, deren zwei erste gemein und der Fläche nach

56

— Viereck und Vieleck —

gleich dem halben Produkte einer Diagonale in die
Summe der Entfernungen der Gegenecken von der-
selben, oder beider Diagonalen in den Sinus ihres
Winkels sind. Besitzt ein Viereck der ersten Form
zwei parallele Gegenseiten (Basen) so heisst es Trapez
und ist gleich dem Produkte aus deren Mittel und
Abstand. Werden auch noch die beiden andern Seiten
parallel und somit (89) jede zwei Gegenseiten gleich,
so hat man ein Parallelogramm oder Zeileck, dessen
Fläche gleich dem Produkte einer Seite (Grundlinie)
in ihre Entfernung von der Gegenseite (Höhe) ist.^—
Ein gleichseitiges Parallelogramm heisst Rhombus, ein
gleichwinkliges Rechteck, ein gleichseitig-gleichwink-
liges Quadrat.

114 [67]. öie Tetrag:onoiiietrie. Statt
analog der Trigonometrie eine eigene Tetragonometrie
aufzustellen, lassen sich die Aufgaben
am Vierecke bequemer mit Hülfe
der erstem auflösen. Sind z. B. die
Winkel a, ß, y, S bekannt, so erhält
man (103; 104:5) um b aus a, oder
a aus b zu bestimmen:

b=:aj/(f + g + h)(f+g-h) wo f==SiY:Si(a4-T)
g = Si 8 : Si(ß + S) h = 2 |/fg Co [, (a - ß)
115 [56]. Einigfe Eigenschaften des
Parallelogrammen. Verlängert man zwei Neben-
y selten eines Parallelogrammes
so , dass die Endpunkte mit
der Gegenecke eine Gerade
bilden, und hält den einen End-
punkt (a) als Pol fest, so be-
schreiben (83, 89) die Ecke (c)
und der andere Endpunkt (b)

Viereck und Vieleck —

57

ähnliche Wege , indem bb' 1| cc' und bb' : cc' = ba : ca.

Es beruht hierauf der sog. Storchschnabel oder Panto-

graph. — Konstruiert man über zwei Seiten eines
.,. Dreiecks Parallelogramme, und

verlegt die Verbindungslinie ( a)
des Durchschnittspunktes der
Gegenseiten und der gemein-
schaftlichen Ecke an die dritte
Seite, so bestimmt sie (113)

mit ihr (als Erweiterung des pyth. Lehrsatzes in 93)

ein Summenparallelogramm.

116 [56]. Was Vierseit and die harmo-
nische Teilung:« Sind a, 6, c, b vier Punkte einer
Geraden A, und a, b, c, d [die von einem Punkte B
nach ihnen führenden Strahlen,
so findet man (103) die Pro-
portion
ab ^ ab_ _ Si (aj)) ^ Si(a,d)
"k" * Tr "~ SiTb7c) * SUd,^)
so dass mit den einen der 4
Elemente auch das den andern entsprechende Doppel-
verhältnis gleich bleibt. Werden die Doppelverhältnisse,
wie z. B. für ab = bc und bb = oo , oder für (a, b) =
(b, c) und (b, d) = 90 ' gleich der Einheit , so heissen
die Punkte und Strahlen harmonisch, und entsprechend
heisst eine durch einen Innern und äussern Teilpunkt
in gleichem Verhältnisse ge-
teilte Distanz harmonisch ge-
teilt. So z. B. wird (109) jede
der drei Diagonalen eines
Vierseits durch die beiden
übrigen harmonisch geschnit-
ten.

58 — Viereck und Vieleck —

117 [56]. Was Vieleck. Um ein Vieleck seiner
Fläche nach durch Drehung- einer Geraden von ver-
änderlicher Länge zu erzeug-en, wählt man eine Ecke
als Pol, eine der durch sie gehenden zwei Seiten als
Ausgangslage, die zweite als Endlage der erzeugenden
Geraden, und dreht nun die Erzeugende so um den
Pol, dass ihr Endpunkt den Umfang des Vielecks
durchläuft, —- wobei ein Drehen in entgegengesetztem
Sinne offenbar negativen Räumen entspricht, so dass
jedes Vieleck einer algebraischen Summe von Dreiecken
entspricht.

118 [67]. Die l'olygrononietrie. Bezeichnen
a, %2 " ■ ^n ^"^^ Seiten, a, a,^ . . . a^ die Drehwinkel eines
n-Ecks und r die Anzahl der Umdrehungen, so erhält
man (94, 80) als Grund formein der Polygonometrie
0=a, ^a^Coa, -fa3Co(a, 4 a^)^ ..+a^Co(aj4-..4-a„_j)l
0 = a, Si a, + a3 Si (a, -f a.,) f . . . -|- a„ Si (a, + . . . -f- a^_,) 3

4rR = a, 4- a^ 4- a3 4- . . . a^ 3

XIV. Das centrische Vieleck nnd der
Kreis.

119 [57]. Die nacli den Ecken centri-
sciien "Vielecke. Findet sich zu einem Vielecke
ein Punkt, der von allen Ecken denselben Abstand
hat, so heisst es centrisch nach den Ecken, der Punkt
Mittelpunkt der Ecken und der gleiche Abstand Radius.
Bezeichnen a, b zwei Nebenseiten und B deren Winkel,
so findet man den Radius nach

r = )/a^ T- b- — 2ab . Co B : 2 Si B
120 [57]. Die nacli den Seiten centri-
(schen Vielecke. Findet sich zu einem Vielecke

— Centrisches Vieleck und Kreis — 59

ein Punkt, der von allen Seiten denselben Abstand
hat, so lieisst es centrisch nach den Seiten, der Punkt
Mittelpunkt der Seiten, und der gleiche Abstand Apo-
thema. Bezeichnen a, 2 A, 2 B eine Seite und die an-
liegenden Winkel, so findet man das Apothema nach

a = a • Si A • Si B . Cs (A + B)
und dessen Produkt mit dem halben Umfang giebt die
Fläche.

131 [57]. Die centrischen Vielecke. Findet
sich zu einem Vielecke ein Punkt , welcher zugleich
Centrum der Ecken und Seiten ist, so heisst es cent-
risch, und die von diesem Mittelpunkte mit den Seiten
bestimmten Dreiecke, die Bestimmungsdreiecke, sind
(119, 120) sämtlich kongruent, so dass das centrische
Vieleck regelmässig ist — während bei einfacher Um-
drehung zwischen Winkel (W=:2w), Seite (S), Kadius
(R) und Apothema (A) die Beziehungen
n.W = (2n — 4).90o 2R = S. Se w 2A = S. Tg w 1
bestehen. Ist ferner in dem gleichschenkligen Dreiecke
h cd, n • q; — 90^ so stellen S, R, A Seite, Radius und
Apothema eines n-Ecks, — s, R,
r und s', r, a aber dieselben
Grössen für zwei 2n-Ecke dar,
deren erstes mit dem n-Ecke
gleichen Radius, das zweite aber
gleichen Umfang besitzt, und
man hat (93, 94)
S = 2R . Si 2:p = s |/4R2-s7: R, a = V^ ( A 4- R) , r = j/aR 3
Im Bestimmungsdreiecke des 10-Ecks der Seite s macht
die Bissectrix eines BasisAviukels auf dem Gegen-
schenkel R einen sog. goldenen Schnitt, da R:s = s:(R— sj.
Es folgt hieraus (18) der leicht konstraierbare Wert
2s = R ( |/o — 1) während nach 2 S« = R^ + s'- 3

60 — Centrisches Vieleck und Kreis —

133 [57]. Das centrische IJnendlicheck»

Im Quadrate der Seite! ist A = V2 j K=i.,]/2 =
0,707107. Berechnet man hieraus successive nach 121 : 2
für das 8. 16, 32,. ..-Eck a und r, so nähern sich beide
dem Werte 0,636620 , der somit für das ünendlicheck
gilt. Bezeichnet man daher in einem solchen das Ver-
hältnis vom halben Umfange zum Radius mit u, so ist

7t = 2 : 0,636620 = 3,14159 ^S'/j = 355 : 113

133 [57]. Wie Kreislinie. Der Ort eines
Punktes, der von einem Punkte, Centrum, einen ge-
gebenen Abstand, den Radius r, hat, heisst Kreislinie,
und kömmt mit einem centrischen Unendlichecke über-
ein, so dass (122, 120), wenn der Umfang des Kreises,,
seine Peripherie mit p und dessen Fläche mit f be-
zeichnet wird,

p = 2ru f = '/., p • r = r-7i

134 [57]. Die Sekanten nnd ilire Winkel.

Bezeichnet d den Abstand einer Geraden vom Centrum^
so hat sie für d < r , wo sie Sekante heisst , zwei
Punkte mit der Kreislinie gemein, die von einander
um die Sehne s = 2 )/r- — dP abstehen; für d = r hat
sie nur Einen Punkt gemein, und heisst Tangente in
demselben ; für d > r liegt sie ganz ausserhalb. —
Mittelpunkt, Mitte der Sehne und Mitte des Bogens
liegen in einer Senkrechten zur Sehne. Gleichen Sehnen
entsprechen gleiche Bogen und Mittelpunktswinkel,.
die sich gegenseitig messen. — Ein Winkel , dessen
Scheitel in der Kreislinie liegt, heisst Peripheriewinkel,,
und ist (111) gleich der Hälfte des mit ihm auf gleichem
Bogen stehenden Mittelpunktswinkels ; umgekehrt lie-
gen die Scheitel gleicher Winkel, deren Schenkel zwei
Punkte gemein haben, auf einer durch diese Punkte
gehenden Kreislinie. Zwischen parallelen Sekanten ent-

— (Jentrisches Vieleck und Kreis — 61

haltene Kreisbogen sind g-leich lang-, und der Winkel
zweier Sekanten ist daher gleich einem Peripherie-
winkel, der auf der Summe oder Differenz der zwischen
den Sekanten liegenden Bogen steht, je nachdem die
Sekanten sich innerhalb oder ausserhalb des Kreises
schneiden.

135 [57]. Hie Tang:enten und ihreüTin-
kel. Der Durchschnittspunkt zweier Tangenten steht
von ihren Berührungspunkten gleich weit ab, — ihr
Winkel ist zum Winkel der Berührungsradien supple-
mentär, und beide Winkel werden durch die Verbin-
dungslinie ihrer Scheitel halbiert. — Zieht man von
einem Punkte Sekanten zu einem Kreise , so erhält
man Sehnensegmente von gleichem Produkte, welches
Potenz des Punktes heisst und für einen äussern Punkt
gleich dem Quadrate der von ihm an die Kreislinie
gezogenen Tangente ist.

136 [57]. l^ie ein- und um g^eisciiri ebenen
Vieleclie. Ein Vieleck, dessen Ecken in der Kreis-
linie liegen, heisst eingeschrieben, — dagegen um-
geschrieben, wenn seine Seiten Tangenten sind. — In
jedem eingeschriebenen Vierecke besteht (125; 93:3)
der sog. Ptolemäische Lehrsatz: Das Produkt der Dia-
gonalen ist gleich der Summe oder Differenz der Pro-
dukte der Gegenseiten, je nachdem das Viereck gemein
oder überschlagen ist. In jedem eingeschriebenen Sechs-
ecke, dem Hexagrammum mysticum Pascals, liegen (109,
125) die Durchschnittspunkte der Gegenseiten in einer
Geraden, während sich die drei Hauptdiagonalen in
demselben Punkte schneiden.

127. Bezieliung;en ziri seilen veriscliie-
denen Kreislinien. Bezeichnet a die Central-
distanz zweier Kreise der Radien E und r, so haben

62

— Centrisches Vieleck und Kreis —

die Kreise für R + r>a>R — r eine von der Cen-
trallinie unter rechtem Winkel halbierte gemeinschaft-
liche Sehne, — für a = R + i' (äussere Berührung-) und
a = R — r (innere Berührung) eine zu der Centrallinie
senkrechte gemeinschaftliche Tangente , — während
sie für a — 0 concentrisch, in
allen übrigen Fällen excentrisch
heissen. Für den Ort eines Punk-
tes, von dem aus die Tangenten
an zwei Kreise gleich lang- werden^
findet man (93)

X == (a'^

P'^) : 2a

d.h. dieser Ort, die Radikalaxe ist eine zur Central-
linie senkrechte Gerade, welche für zwei sich schnei-
dende Kreise mit der gemeinschaftlichen Sekante zu-
sammenfällt.

188 [57]. Pol lind Polare. Wenn ob-od = r%
so heissen die Punkte b und d reciprok, und teilen ac
harmonisch. Zieht man durch einen derselben, den Pol,

eine Sekante, — durch den andern
eine Senkrechte zu ac, die Po-
lare, so teilen (116) Pol und
Polare (z. B. d und bf) die ent-
sprechende Sehne (eg) harmo-
nisch. — In jedem eingeschrie-
benen Vierecke bestimmen (116)
die Durchschnittspunkte der Dia-
gonalen und der Gegenseiten ein
Dreieck, in welchem jede Ecke Pol ihrer Gegenseite
ist, so dass man leicht zu einem Punkte seine Polare,
und, indem man für zwei Punkte einer Geraden die
Polaren aufsucht, deren Pol bestimmen kann.

189 [67]. i^ehne, IMeil, j^ektor und Seg;-
ment« Bezeichnet cp einen Mittelpunktswinkel, b den

Centrisches Vieleckfund Kreis

63

entsprechenden Bogen, s die Sehne
(Chorde, Suhtensa), p den Pfeil
(^Bogenhöhe) , F den Kreisaus-
schnitt (Sektor) und f den Kreis-
abschnitt (Segment), so hat man,
wenn

A cp = cpTi : 180 = cp" • Si 1^^ 1
die r = 1 entsprechende Bogen-
länge ist, nach 123, 105, 93, 94, 98

b = (cp : 180) r:i = r • A cp = r . cp" . Si 1" 3

2F=(cp:180)r'Tc=br=r-^A:cp,2f^rMAcp-Sicf)=r(b-li')3

s = 2r Si % cp = 2 Y^i^f^) r = (s^ + 4p2) : 8p 4

p = r • Siv Va 9 =-" 2r Si'^ '/^ cp — r

j/(2r + s)(2r-s)5

Sind die Winkel so klein, dass man schon die dritten
Potenzen ihres Bogenmasses vernachlässigen darf, so
bestehen (50, 94) die Näherungsformeln

Siv 2cp = 4 • Siv cp =: 4 (Se • cp — 1)

8p -- r • A2 • cp

— r • A cp etc.

6

ISO [67]. Koch einigte Bezieh iiiig^eii. Be-
zeichnet X den Radius eines Krei-
ses und b den Abstand zweier
Sehnen 2a und 2c der Winkel 2a
und 2ß, so folgen successive

a = x-Sia c = x-Si3
b = x(Coa — Goß)

b:(c — a) TgV2(ß— a) = b:(c-f a)«

Die 1 lassen aus x, a, c die a. ß, b finden, — die 2
aber aus a, b, c die a, ß und dann x nach 1.

Tg Va (ß

64 — Analytische Geometrie der Ebene

XV. Die analytische Geometrie der Ebene.

131 [69]. Die CJIeichiing: der Cieradeii.

Eine für jeden Punkt einer Linie statthabende Be-
ziehung- zwischen Abscisse und Ordinate, oder zwisclien
Eadius Vektor und Winkel, heisst Gleichung der Linie.
So ist für jeden Punkt m einer Geraden (1)

ay + ßx = aß
also

x:a + y:ß=:l 1

die Gleichung dieser Geraden,
und umgekehrt stellt jede Glei-
chung ersten Grades
y = aj X -f b, wo a, = — ß : a = Tg (1 • x) bj = ß 2
eine Gerade (1) vor; a und ß heissen Parameter.

133 [69]. Verschiedene Aufgraben. Für
Durchschnittspunkt und AVinkel zweier Geraden (1)
und (2) erhält man aus ihren Gleichungen (83, 98, 131)
x = — (b, — b2):(a, — a^), y= (a, b^ — a2b,):(ai — aä) i
(1, 2) = (1, X) - (2, X) = Atg [(a, - a,) : (1 + a^ a^)] 3
so dass aj = aj die Bedingung des Parallelismus, und
1 + a, a^ = 0 die des Senkrechtstehens ist. — Zwei
Punkte (Xj y,) und (Xj j{) haben die Distanz

r = l/(x, -X2)2 + (y, -y,)-^ 3

und bestimmen eine Gerade der Gleichung

y — yi = (yi — i-i) • (x — x,) .- (x, — x,) 4

Ist y eine beliebige Funktion von x, so folgt für
y = 0 aus 4

x = X, - y, (x, — Xa) : (y, — J^) &

und sind daher yj und y^ kleine Werte (Fehler), welche

— Analytische Geometrie der Ebene — 65

f (x) für zwei Annahmen x, und x, annimmt, so kann
man nach 5 einen Wert X3 aus-
rechnen, welcher einer Wurzel von
f (x) = 0 sehr nahe kömmt , ja x
durch Wiederholung- dieses Ver-
fahrens, der sog. Regula falsi oder
^iU^^"^ ^ '^^ aurea, mit heliebiger Annäherung
finden. Der Ahstand eines Punktes (aß) von der Ge-
raden (1) ist

d = (ßi — b, — aaj : l/i"+a7 «

133 [72]. »er Punkt der mittlem £iit-
fernDiig:eii. Das Produkt des Abstandes eines Punk-
tes (xy) von einer Geraden in eine ihm zugeteilte
Konstante m heisst Moment des Punktes in Beziehung
auf die Gerade. Für ein S3'stem solcher Punkte hat
der Punkt

x = ^mx : ^m y = i^^iy • ^^ ^

die Eigenschaft, dass, wenn man ihm ^m als Kon-
stante zuordnet, für jede Gerade sein Moment gleich
der Summe der Momente aller Punkte des Systemes
ist; er heisst Punkt der mittlem Entfernungen oder
Schwerpunkt, — jede durch ihn gehende Gerade Schwer-
axe. Wählt man den Schwerpunkt als Anfangspunkt
der Koordinaten, bezeichnet die Abstände der Punkte
des Systemes von demselben mit r,, rj, etc., von einem
Punkte (a, b) aber mit p,, p^, etc., — den Ahstand
des letztern vom Schwerpunkte endlich mit r, so
werden 2'iiix = i^my = 0 , und es ergiebt sich die
merkwürdige Beziehung

Ymp'- = Jmi'ä -f r^ i^m S

Werden allen Punkten einer Geraden gleiche Kon-
stanten zugeschrieben, so fällt ihr Schwerpunkt in die
Mitte, und hat eine ihrer Länge proportionale Kon-
Wolf, Taschenbuch 5

66 " — Analytische Geometrie der Ebene —

stante. Ein Dreieck kann man sich aber als eine Folge
von Parallelen zu einer Seite denken, und da somit
(89) deren Schwerpunkte in der Geraden lieg-en, welche
die Mitte der Seite mit der Gegenecke verbindet, so
muss der Schwerpunkt des ganzen Dreiecks mit dem
(112) bestimmten Punkte zusammenfallen. Der Schwer-
punkt irgend eines Vieleckes wird gefunden, indem
man dasselbe durch Diagonalen auf zwei Weisen teilt,
und je die Schwerpunkte der Teile verbindet.

134. Uie Cfleicliuiig: der Kreislinie.

Ihre Gleichung ist (s. Fig. und 132:3)

(X — a)2-f (y — b)-2 = r2 1

für b = 0 und a = r oder a = o
aber

y = \/2rx — x^ oder x- -f y^ = r^ 3
Für den Winkel cp, unter dem sich
zwei Kreise schneiden, folgt (132:3;
104 : 6)

(b — ß)^] : 2r p 3

Co cp = [r'^ -f p

(a

%)'

135 [73]. Die Oiiien zweiten C^rades.

Da aus der allgemeinen Gleichung zweiten Grades

ay- + bxy + ex- 4- dy -f ex -f f = 0 1

eine der Konstanten durch Division weggeschaift
werden kann, so muss die Linie zweiten Grades durch
5 Punkte bestimmt sein. Eliminiert man x aus 1 und
der Gleichung

y - ax + ß »

einer Geraden, so findet man

y2 [aa2 + ba -f c] -f y [a (ad .+ e) - ß (ab + 2c)] -f

+ [cß2 — aße 4- ioL-i] = 0 3

und es hat daher eine Gerade mit einer Linie zweiten

— Analytische Geometrie der Ebene — 67

Grades zwei Punkte (Sekante, Sehne), oder einen Doppel-
punkt (Tangente), oder gar keinen Punkt gemein.

136 [73]. Axeii and Mittel piinkt. Ent

sprechen u und t der Mitte der Sehne, so hat man

(135:2; 18)

, ^ ß(ab + 2c) — a(ad + e) .
t = au H- ß und t = ' , — vh-^ — ^^ — r — - 1

2 (aa* + ba + c)

und eliminiert man hieraus ß, so ergiebt sich für den
Ort der Mitten aller um Atg- a geneigten Sehnen
_ ab 4- 2c ad + e

b'H^ä^^^^b+^ä^
d. h. eine Gerade, eine Axe. Setzt man in dieser Glei-
chung statt a den Faktor von u ein, so erhält man
für die Axe aller zu der ersten Axe parallelen Sehnen
t = au -f M 3

so dass die neue Axe ein Element des ersten Sehnen-
systemes ist. Zwei solche Axen oder Sehnensysteme
heissen konjugiert, und ihr Winkel fx ist (132 : 2) durch

■^^^~^b(l-a-^)-f2(a-c)a
bestimmt. Für \i ==^ 90^, d. h. für

a = (a — c=fk):b wo k = |/(a — c)- + b'^ Ä
nennt man die konjugierten Axen Hauptaxen. Für den
Durchschnittspunkt zweier Axen erhält man (132 : 1)
nach 2 die von a unabhängigen Koordinaten
A = (2ae — bd) : g B = (2cd — be) : g wo g = b' — 4ac 6
so dass alle Axen einen Punkt, Mittelpunkt, gemein
haben.

137 [73]. Tranüforniatloii und Bintel-
lungf. Verlegt man den Anfangspunkt in den Mittel-
punkt, und dreht die Abscissenaxe in die Richtung

68 — Analytische Geometrie der Ebene —

der einen Hauptaxe , d. h. setzt man (97) a = A,
ß = B und

Tg

Tg
so

a

' Y

erhält

— c-k

, Si'^Cp:

Co -2 cf =

tt 135:

^vo h

-fg')

c-k)

1

= b • d • e — a • e- — c • (

2(h-fg-)
g- (a + c + k)

b
\

— c

b
— b

1

a-c '
man stai

2(li-

~g-(a'+

k

3

Es sind somit die Linien zweiten Grades nach beiden
Axen symmetrisch, und die in sie fallenden Sehnen
gleich 2a (g-rosse Axe) und 2b (kleine Axe). Diejenigen
Punkte der grossen Axe, welche von den Endpunkten
oder Scheiteln der kleinen Axe um die halbe grosse
Axe abstehen, heissen Brennpunkte, ihre Entfernungen
ae vom Mittelpunkte Excentricität, und die Ordinaten
p in den Brennpunkten Parameter, so dass
a- = a'^e- + 6- p = 6'-:a a = — p (a -f c -f k)-: g 3
Man sieht aus diesen Beziehungen, dass die Werte
g = — e<l a = + b = +

0 =1 oo oo

+ >1 - i

miteinander korrespondieren, und hierauf stützt sich
die Einteilung der Linien 2. Grades in Ellipsen (g = — ),
Parabeln (g = 0) und Hyperbeln (g = +). — Verlegt
man den Anfangspunkt in einen Scheitel der grossen
Axe, so erhält man für Ellipse, Parabel, Hyperbel

y - = 2px — p X- : a y ^ = 2px y - = 2px -j- p x- : a 4
Sind r, v die Polarkoordinaten in Beziehung auf die
Brennpunkte, so hat man

— Analytische Geometrie der Ebene — 69

r = |/(x + a e)'^ -f y2 = a + e X = p : (1 + e • Co v) 5

so dass für die Ellipse die Summe, — für die Hyperbel

die Differenz der Radienvektoren gleich der grossen

Axe ist. Bildet letztere mit der Abscissenaxe einen

Winkel n, so geht 5 in

p = r [1 + e • Co (V — n)] 6

über, so dass drei Wertepaare (r, v) genügen um p, e, n

zu berechnen.

13S [70]. Ute Taiig;eiiten und Normalen.

Bezeichnen x, und x, + i die Abscissen zweier Punkte

einer Kurve y = f (x), so hat die Letztere verbindende

Gerade (132:4; 60) die Gleichung

f(x, +i)— f(x, ), , r^i/ N ii?/i- N 1 ■ \

y-y, = -)^J— ^~-^^l\x-Xi) = [f(x,)+^f'(xO+...](x-x,)

Für 1 = 0 gehen die beiden Punkte in einen Doppel-
punkt, die Sekante in eine Tangente über, und es hat
letztere, wenn d y, : d x, = p ist, die Gleichung

y — y, =f (x,)-(x — x,) = p-(x — X,) 1

die zu ihr senkrechte Normale aber (132)

y — y. =-(x-x,):p 8

139 [70]. 11er Hrilmmiing^skreiisi. Bezeichnen
X, X -f i und X — i die Abscissen dreier Punkte der
Kurve y = f(x), — A, B, R aber Mittelpunktskoordi-
naten und Ptadius des durch sie bestimmten Kreises,
so hat man (134) R^ = [x — A]* -f [f (x) — B]^ =
[x + i — A]^ + ff (x i i) — B]^ und hieraus folgen (60)

_ 1-f f(x)fMx) + f (x)'^-f ijJPjx, i)

f"(X)4-i.'4;(x,i)"

A = x -f [f (x) — B] f (X) -f- i • e (x, i)
Setzt man i = 0, so wird aus den drei Punkten ein
dreifacher Punkt und der Kreis zum sog. Krümmungs-
kreise, für welchen daher, wenn k = 1 + P (x/- ist,

70

Analytische Geometrie der Ebene

A = x-

kf (x)

B-f(x)-h

R =

k^/^

y+Ay

f"(x) " ''"' ' f"(x) f"(x)

Der Ort der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve
lieisst Evolute, — diejenige Kurve, welche eine gegebene
Linie zur Evolute hat, Evolvente derselben.

140 [71]. l>ie f^uadratur. Betrachtet man

^ die von zwei, den Abscissen x
und X + Ax entsprechenden Or-
dinaten y und y + Ay, der Kur-
ve und der Abscissenaxe ein-
geschlossene Flcäche als Flächen-
element, so hat man
y • Ax < A F < (y ^ A y) A x

also d f = y • dx und entsprechend d f = V 2 1'' • ^^ ^" für
das von r , r -f Ar und der Kurve eingeschlossene
Flächenelement, so dass, wenn a, b die Grenzwerte
von X, und a, ß diejenigen von v bezeichnen,

b ß

f =Jy . dx und f = 2 /i'' • ^^^'

a a

Die zur sog-. Quadratur geforderte Integration wird
mechanisch durch Umfahren mit den sog. Planimetern
von Gonella-Oppikofer, Amsler, etc. erhalten.

141 [71]. l*ie Kektifikation. Für das Bogen-
element As hat man (s. Fig. 140) ae < As < ad -f de
also, wenn Tg- cp = dy : dx = p und dr : dv = q ist

b ß -

ds
dx

Vi -[- p^ oder s = f (^1 +^p^- dx = j'Vr^^V'' dv
a a

14a [74]. l>ie Ellipse. Sucht man eine Reihe
von Punkten m auf, welche von zwei gegebenen Punk-
ten Fl und F^ dieselbe Distanzensumme r, -f r^ = 2a

Analytische Geometrie der Ebene —

71

haben, so erhält man (137) eine Ellipse der Brenn-
punkte Fl und F2. Macht man mc = r^ und mdlcFa,
c so ist r, + Vi (87) die kürzeste
Verbindung von F, und F2 mit

\>^ -we n J:

md, — also liegt jeder andere
Punkt von md ausser der Ellipse,
oder es ist md Tangente, — - die

dazu Senkrechte mn aber, welche Z(r, ,r.J halbiert,

Normale in m.

143 [74, 75]. Weitere Beziehung:en. Da

aus der Mittelpunktsgleichung der Ellipse (137)

f (x) = — b'^xra^y f" (x) = — b* : a« y^ 1

folgen, so werden für sie (138, 139) Tangente, Normale
und Krümmungskreis durch

h'

6^x.
a-y,

B

(X

X,) y
- a'

b^x.

X,) Ä

b*

y3 R^(a^yl+^^3

bestimmt. Ferner hat man, wenn a die sog. Abplattung
und ß = yi- e2 Si^ ist
a = (a — b) : a e- = 2a — a-
b = a(l-a) p = b(l — a)24
Tgcf = a--Tgv:b-, s = e^-x
x = r • Co V = a • Co 03 : ß
y = X • Tg V

r = a . Se V : yr+Tg^^g^
■;=^a{l — oL- Si- cp) 6

N = a : ß n = (1 — e^) N ^

^p(l+a.Si-^q:) 7

72 — Analytische Geometrie der Ebene —

E = -~^-,— = a (1 - e-^) ; ß^/2 = 1)2 . N3 : a^ «

Endlich erhält man (140, 141) für den Ellipsenqua-
dranten

f = 1 4 ab • 71 s ^ Vz a 71 (1 — •;4 e2) 9

144 [76]. IMe Parabel. Ist fbl.bc, fc beliebig,

fd = de , dm 1. cf und cm || bf, so

^y^ ist (137) m ein Punkt der Parabel

yV\ ^ ^^^ Brennpunktes f, Scheitels a

//v; \ und Parameters p = 2q. Die Hülfs-

/'^' linie dm hat nur m mit der Pa-

U f X rabel gemein oder ist Tangente,

\ — die Normale mn 1 dm hälftet

\.^ Z emf, — bc lieisst Leitlinie (Di-

^ rektrix) — Aus 137:5 folgt die

Polargleichung

r = 2:i : (1 + Co v) = q • Se'^ ',., v = q + x

145 [76]. Weitere Beziehang^en. Die Pa-
rabel hat (138) die Tangentengleichung

y — yi =P(x-x,):y, 1

aus der folgt, dass die Tangente in der Distanz x,
hinter dem Scheitel auf die Abscissenaxe trifft. Für
die Quadratur der Parabel folgt (140)

F=%X'y= Voy^:q Ä

Teilt man eine durch die Abscissenaxe, ein Kurven-
stück und zwei Ordinaten der Distanz x begrenzte
Fläche F durch gleichabstehende Ordinaten in 2n
Streifen, und betrachtet die von den paaren Ordinaten
bestimmten Kurvenabschnitte als Parabelbogen, so er-
hält man die Simpson'sche Regel

F = ' 6 X [yo - y,„ 4- 2 i (y„. -f 2 • y,,_,)] : n »

— Analytische Geometrie der Ebene

73

146 [77]. -Wie Hyperbel. Sucht man eine
Reihe von Punkten m auf, welche von zwei gegebenen

Punkten f, und f, dieselbe
Distanzendifferenz r, — i'i
= 2a = ab < f, f^ besitzen,
so erhält man (137) eine
Hyperbel, die aus zwei
unendlichen Ästen besteht,
die beiden Punkte fj und
f-i zu Brennpunkten, ab
zur grossen und , wenn
ac = of, ist, cd = 26 = 2a j'''e^ — 1 zur kleinen Axe
hat. Ist a = b, so heisst die Hyperbel gleichseitig.

14^ [77]. Weitere Bezieliungreii. Da für

die Hyperbel (137)

v2 v2 f)

also

]/x2 — a'

so nähern sich ihr bei zunehmendem x die Geraden
y = ± X • & : a = ±- X Tg cc 3

fortwährend und heissen Asymptoten. Führt man in 1
die auf letztere als Axen bezogenen schiefwinkligen
Koordinaten Xj und y, ein, so erhält man die Asymp-
totengleichung

4x, y, = a'- 4- &^ 3

Die Konstante V4 (<^'' + &") heisst Potenz der Hyperbel.
— Ist a = b = 1 und führt man y, x, y : x als hyper-
bolische Sinus, Cosinus, Tangens (Sih, Coh, Tgh) der
Doppelfiäche

-^ - X . y - 2/y . dx = Ltg (450 + Va ']>) : Lg e 4

ein, so bestehen die, ihre Verwandtschaft mit den
frühern goniometrischen Funktionen (50, 95) kenn-

74

— Analytische Geometrie der Ebene —

zeichnenden und zu man-
chen Transformationen be-
quemen Formeln
Sihcp^Tgc}; Cohcp = Sec{j
Tg a = Si cj;
Tgh cp = Sih cp : Coh cp
Coh2 cp — Sih2 ^, ^ 1

(Coh cp + Sih cp)" = Coh ncp +
±Sihn:p = e--"^ 6

Die Winkel a und <\) heissen
Augulus communis und trans-
cendens. Vgl. [78] und Tab. IV\

14S. Die sog:, besondern Punkte. Zu

den besondern Punkten der Kurven gehören unter
Anderni die Wendepunkte, wo die Ordinate ein Maxi-
mum oder Minimum annimmt, — die Inflexionspunkte,
wo die Konkavität in Konvexität übergeht, — die
Spitzen, in denen sich zwei Äste der Kurve vereinigen,
und eine gemeinschaftliche Tangente haben, -- die
vielfachen Punkte, in denen sich zwei oder mehr Äste
einer Kurve schneiden, ohne eine gemeinschaftliche
Tangente zu besitzen, — die isolierten Punkte einer
Kurve, die sich ergeben, wenn für eine bestimmte
Abscisse die Ordinate reell, für jede noch so kleine
Veränderung derselben aber imaginär wird, — etc.

149 [79]. Einigre Kurven dritten Grades.

Der Ort der Gleichung

y^ = ax- .... 1 heisst Neil's Parabel

y- = x3 : (a — X) . 3

Folium Cartesii
Cissoide des Diokles.

— Analytische Geometrie der Ebene — 75

150 [79]. Einige Kurven vierten Crrades.

Der Ort der Gleichung

x'- . y^ = (a + y)- (b- — y '') 1 heisst Conchoide
x^ + y ' = l/4ÄH^b^ — a - 3 Cassinoide

x^ -f y« = a |/x^— y- . . 3 Lemniscate

151 [79]. Einigre transeendente Kurven.
Der Ort der Gleichung

x = a^' 1 heisst Logistik

y = Si X Ä Sinusoide

y = >/., h (e" ' '^ + e~ '^ • '■) • 3 Kettenlinie.

153 [79]. Einigte Spiralen. Der Ort der

Gleichung

r = u : 2t: . . 1 heisst Archimedische Spirale
u = Lnr . . 3 logarithmische Spirale

r- = u : 2r. . . 3 parabolische Spirale

153 [80]. öie Kolllinien. Rollt ein konvexes

a>. Vieleck der

y a\a&' — ■^N,^^^^\ Fläche f auf

'A *" ''a\ ' — ■' "^ ' ^ ' V ' \ /

\ ^-''^5 'Wi ''■■ /'' ^'-./' ^-''' \-''' V ^^^j SO be-
^^5 s ehre ibtje der

damit verbundene Punkt eine aus Kreisbogen be-
stehende sog. Rolllinie, welcher nach eine r vollen Um-
wälzung (129) die Fläche

F = f -f '/2 2* a- a 1

entspricht. Setzt man die Konstanten m gleich a, und
ist cf die vom Schwerpunkte beschriebene Fläche, so
wird

76 — Analytische Geometrie der Ebene —

F = f + ' 2 (2* 1'- a + r^ i' a) = f -f ' 2 ^ !•'- a -f r« :i «
cp = f 4- 1 2 2» r-2 a also F = --p + r^ ti 3

Diese merkwürdige Beziehung gilt auch noch, wenn
das Vieleck in eine Kurve übergeht.

154 [80]. l>ie Cykloide. Rollt ein Kreis des
Radius a auf einer Geraden den Winkel u ab , so be-
schreibt ein vom Centrum um b abstehender Punkt
eine Rolllinie, für welche

X = au — b Si 'j y = a — b • Co 'J

X = a Aco (a — y) : b — |/b'^ — (a — y)^

Je nachdem b = , < , > a heisst diese Rplllinie ge-
meine, verlängerte oder verkürzte Cykloide. Inhalt und
Länge der gemeinen Cykloide werden (153, 141) durch
P=:3a2ix und S = 8a gegeben. — Rollt der Kreis auf
oder in einem Kreise, so heisst die entstehende Kurve
Epicykloide oder Hypocykloide.

XVI. Das Ranmdreieck nnd die Ranm-
trigonometrie.

155 [81]. Das Raum-Eck. Eine Ebene wird
durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte
bestimmt, und schneidet jede andere Ebene in einer
Geraden, der Kante (Spur, Knotenlinie). — Dreht sich
abwechselnd eine in einer Ebene befindliche Gerade
um einen als Pol gewählten ihrer Punkte und dann
die Ebene um die Gerade, so entsteht, wenn nach n
Doppelbewegungen Gerade und Ebene wieder in die
ursprüngliche Lage zurückkehren, ein n-Kant oder
Raum-n-Eck. Die Drehwinkel der Geraden heissen

— Raumdreieck und Eaumtrigonometrie

77

Kantenwinkel, diejenigen der Ebene Flächenwinkei. Die
Kanten, Kantenwinkel und FläclienAvinkel des n-Kants
entsprechen den Ecken, Seiten und Winkeln des n-Ecks.
156 [81]. Die j^eiikrechten and Projek-
tionen. Eine Gerade ab steht (83, 86) auf allen
durch ihren Fusspunkt a gehenden
Geraden einer Ebene (z. B. auf a e)
senkrecht, sobald sie auf zweien
derselben (a c und a d) senkrecht
steht, und heisst dann senkrecht
zur Ebene. Die Senkrechte ist
oifenbar die kürzeste Verbindung
des Punktes b mit der Ebene, und
b g-leich weit

abstehen, stehen auch von a, der sog. Projektion von
b auf die Ebene, gleich weit ab. — Ist a e ± c d J_ b f,
b so heisst e f Projektion von a b
auf c d, und wenn eg || ab mit c d
den Winkel cp bildet, so ist ef=
a b • Co cp. — Projiziert man auf
eine Gerade alle Seiten eines
ebenen oder räumlichen Vielecks,
so ist die Projektion irgend einer Seite gleich dem
Gegensatze der algebraischen Summe aller andern-,
haben daher zwei Vielecke eine gemeinschaftliche Seite,
so sind für eine und dieselbe Gerade die Summen der
Projektionen aller übrigen Seiten derselben einander
gleich.

15 y [81]. öie Parallelen. Sind zwei Gerade
zu einer dritten parallel, so sind sie es auch unter
sich, und Winkel mit parallelen und gleichgerichteten
Schenkeln sind (89, 86) gleich. Parallele zu einer Senk-
rechten stehen senkrecht, und Senkrechte zu derselben
Ebene sind parallel. Eine Parallele zu einer Geraden

78 — Eaumdreieck und Eaumtrig-onometrie

einer Ebene kann Letztere nicht schneiden, und ist
daher auch als parallel mit ihr zu betrachten.

1Ä8 [81]. Eigrenischafteii der Projek-
tionen. Steht eine Gerade auf einer Geraden einer
Ebene senkrecht, so steht (156, 84) auch ihre Projektion
zu derselben senkrecht. Jede Gerade bildet mit ihrer
Projektion auf eine Ebene einen kleinern Winkel als
mit einer andern Geraden derselben, und dieser kleinste
Winkel dient als Mass der Neigung- der Geraden gegen
die Ebene.

159 [81]. »ie ^enkreehtenwinkel. Wenn
auf zwei Kanten Senkrechte in den sie bildenden
Ebenen gezogen werden, so haben (156) die Flächen-
winkel gleiche Grösse, wenn diese Senkrechtenwinkel
einander gleich sind. — Teilt man einen Senkrechten-
winkel in gleiche Teile, und legt durch die Teillinien
und die Kante Ebenen, so zerfällt auch der Flächen-
winkel in gleiche Teile, folglich sind die Flächenwinkel
den Senkrechtenwinkeln proportional und werden durch
sie gemessen, — Jede Ebene, w^elche durch eine Senk-
rechte zu einer Ebene gelegt wird, steht auch senk-
recht, und zwei zu einer dritten Ebene senkrechte
Ebenen haben eine zu ihr senkrechte Kante.

160 [87, 90]. Cirondbezieliung^en am
Raunidreieeke. Sind a — 2a, b = 2b, c = 2c die

Seiten eines Raumdreieckes,
A = 251, B = 253, C = 2(5: ihre
Gegenwinkel, so hat man (94,
104)

Si a : Si b -^ Si A : Si B 1
Co c = Co a • Co b +

-fSia-Sib Co C Z

X) . Se X wo Tg X = Tg a • Co C »,

jX ;

'l'^<^\

.4

1

Aus

2 folgt

j

Coc

= Coa-

Co(b

— Raumdreieck und Raumtrigonometrie — 79

ferner, wenn auch a die g-rösste Seite,

Co c < Co (a — b) oder c> a — b oder a < b -i- c

und endlich, wenn s die halbe Summe der Seiten

gi6 = T/Si(ir^)Si(^-''),coS = V'
\ Si a • Si b ' r

Si s -^Sijs — c)
"Si a • Si b *

161 [90]. Die Ciaiü^^'i^chen Formeln und
die ■lieper'sehen .Inalog^ien. Mit Hülfe von
160:4 findet man die sog. Gauss'schen Formeln

Si (5t+3?) - ^^^1 • Co (a - 6), Si (51-«) = ^| • Si (a-b)

Co(5r+33) = ^^-^-Co(a4-b), Co (31-33) = |-|-Si(a+b)
und aus ihnen die Neper'schen Analogien
^^•^^^-^^ = §^^^^^' Tg(3t-^)=|g^Ct(E
Tg (a + b) - c-o-(2ix^-^ Tg c, Tg {a-h)- -^^^-J^^f% c

168 [90]. Weitere Bezieliung^en. Nach
160 : 2 ist

Co a = Co b . Co c -f Si b . Si c • Co A

Co b -r Co a • Co c + Si a • Si c . Co B *

und hieraus folgen successive

Si a • Co B = Co b . Si c — Si b • Co c . Co A 3

Si A • et B = et b . Si c ~ Co c • Co A 3

Tg B = Si X . Tg A . Cs (c — x) wo Tg x = Tg b • Co A 4

16a [92]. Felilerg:leiehuug:eu. Durch Dif-
ferentiation von 162 : 1 und 160 : 2 erhält man

da = Co C • db + Co B • de + Si B • Si c • dA 1

db = Co A . de + Co C . da + Si C . Si a • dB Z

de = Co B • da 4- Co A . db + Si A • Si b . dC 3

80 — Raumdreieck und Raumtrigonoinetiie —

und dadurch die Mittel den Einfluss kleiner Yerän-
derung-en der bestimmenden Elemente zu berechnen.

164 [81]. Parallele Ebenen. Zwei Ebenen,
welche mit einer dritten Ebene parallele Kanten und
gleiche korrespondierende oder Wechselwinkel bilden,
heissen parallel, — haben (157—59) überall denselben
Abstand und schneiden sich somit im Endlichen nicht.
Parallele zwischen parallelen Ebenen sind gleich, —
und jede zwei Gerade werden durch ein System von
parallelen Ebenen proportional geschnitten.

165 [81]. l^ie Flächenprojektionen.

Projiziert man ein Dreieck auf
eine durch seine grösste Seite
oder Basis gelegte Ebene, so sind
die Basiswinkel der Projektion
kleiner als die Basiswinkel des
Dreiecks (z. B. a < a , entspre-
chend DC'<DC),— .folglich ist
der Winkel an der Spitze in der
Projektion grösser als im Dreiecke. Hat Letzteres
die Fläche F und ist cp der Projektionswinkel, so ist
F • Co cf die Fläche der Projektion, — eine Beziehung,
welche sich leicht auf jede Fläche und ihre Projektion
ausdehnen lässt.

1 66 [82]. Weitere C:i|s:eni§chaft des Drei-
kants. Projiziert man die Seiten eines Dreikants auf
eine dasselbe schneidende Ebene, so ist die Summe der
Projektionen gleich 360'^; also ist (165) die Summe der
Seiten eines Dreikants notwendig kleiner als eine Um-
drehung.

167 [82]. Das Polardreleek und der

Excess. Fällt man von einem innerhalb eines Drei-
kants liegenden Punkte o Senkrechte auf die Seiten

— Eaumdreieck und Eaumtrig-onometrie — 81

______^,^ desselben, so "bestimmen die drei

/a\ , - -y- S Senkrechten ein neues Dreikant,
f iL'-'^F i ^ welches Polardreikant des ersten
V ,^"^1^ Qf 1^', \ heisst, und umgekehrt jenes erste
\ i A 7^ zum Polardreikant hat. Jede Seite

\ J/- y / eines Dreikants ist (159, 113) zu dem

^ — -—^ Geg-enwinkel des Polardreikants
supplementär und umgekehrt, so dass die Summe der
Winkel eines Eaumdreiecks die Seitensumme seines
Polardreiecks zu 6 R ergänzt ; folglich (166) einen Ex-
cess 2e über die Winkelsumme des ebenen Dreiecks
hat, der zwisclien 0 und 4ß liegt, während

Si e = — Co (5( + ^ + ©) = Si a • Sib . Se c • Si C

168 [88]. Umsetzongren mit Hülfe deis
Polardreiecks. — Schreibt man eine für ein
Eaumdreieck geltende Beziehung für ein Polardreieck
auf, und ersetzt dann die vorkommenden Elemente
durch ihre Supplemente aus dem ursprünglichen Drei-
ecke, so findet man z. B.

Co C = — Co A • Co B + Si A . Si B . Co c 1

= — CoA-Co(B + x).Sex wo Tgx=:Tg A- Co c 8

Tg c = j/Si e . S'UC — e) . Cs (A — eylMB^~e) 3

Si A ■ Co b = Co B . Si C + Si B . Co C • Co a 4

Si a • et b = et B • Si C + Co C . Co a 5

dA = — Co c . dB — Co b . dC + Sib • Si C . da 6

169 [87]. l>ie Ranmtrig^onometrie. Sind
in einem Eaumdreiecke alle drei Seiten gegeben, so
kann man nach (160:4), — sind zwei Seiten und der
eingeschlossene Winkel gegeben, nach (160:3, 1, oder
161 : 3 und 160 : 1), — sind eine Seite und die an-
liegenden Winkel gegeben , nach (168 : 2 und 160 : 1,
oder 161 : 2 und 160 : 1), — sind alle drei Winkel ge-
Wolf, Taschenbuch Q

82 — Raumdreieck und Raumtrigonometrie —

geben, nach (168 : 3) je die übrigen Elemente berechnen.
— Speciell wird für C = 90"

Sia-=Sic-SiA Tga = TgA.Sib 1

Co c = Co a • Co b Ct c = Ct b • Co A Ä

CoA=Coa-SiB CtA=Coc.TgB S

170 [82]. Symmetrie und Koii8:rDenz.

Fällt man auf eine Seite des Eaumdreiecks von einem
Punkte der Gegenkante eine Senkrechte und verlängert
diese über ihren Fusspunkt hinaus um ihre eigene
Länge, so bestimmt die Verbindungslinie des so er-
haltenen Punktes mit dem Scheitel ein neues Raum-
dreieck, welches zu dem gegebenen in Beziehung auf
die gemeinschaftliche Seite symmetrisch ist, und mit
ihm (ohne kongruent zu sein) alle Seiten und Winkel
gleich hat. — Haben zwei Raumdreiecke drei be-
stimmende Elemente gleich, so sind sie kongruent oder
nur symmetrisch gleich, je nachdem das eine in die
Lage des andern oder nur in die Gegenlage gebracht
werden kann.

XVII. Das Vierflach und Vielflach.

IJl [83]. öas Polyeder. Kann man durch
eine Auswahl aus den * , • n (n — 1) Kanten, in welchen
sich n Ebenen schneiden, sämtliche Ebenen so be-
grenzen, dass jede der gewählten Kanten beide Ebenen,
denen sie angehört, begrenzen hilft, so erhält man
eine Reihe von Vielecken, die einen Raum vollständig
einschliessen, oder einen Körper, ein n-Flach, bilden.
Für n = 4, 5, 6, 8, 12, 20, etc. heisst das n-Flach auch
Tetraeder, Pentaeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder,
Ikosaeder, etc., im allgemeinen Polyeder.

— Vierflach und Vielflach — 83

US [83]. Das Tierflach. Der einfachste Körper
ist das von 4 Dreiecken begrenzte Vierflach. Bezeichnen
a, b, c, d seine Seiten, so erhält man (165) successive

a = b • Co (a, b) + c • Co (a, c) + d • Co (a, d) 1
a2=b2+cH d^ - 2bc Co (b, c)-2bd Co (b, d)-2cd Co (c, d) Z

Verbindet man eine Ecke eines Vierflachs mit einem
Punkte der Gegenseite , und verlängert diese Verbin-
dungslinie um ihre eigene Länge, so bestimmt der er-
haltene Punkt mit der Seite das (für eine Senkrechte
symmetrische) Gegenvierflach , welches mit dem Vier-
flach gleichen Rauminhalt haben muss, da (90) jeder
durch die Gerade der Spitzen gelegten Ebene in beiden
Vierflachen ein gleich grosser Schnitt entspricht. Zwei
Vierflache, welche kongruente Grundflächen und gleiche
Höhen haben, sind beide mit demselben Gegenvier-
flache, und daher auch selbst gleich gross. Legt man
durch die Mitte einer Tetraederkante und ihre beiden
Gegenecken eine Ebene, so wird das Tetraeder halbiert.

173 [83]. llas reehtwinklig:e Tierflaeh.

Stehen drei Seiten eines Vierflachs, z. B. b, c, d, paar-
weise zu einander senkrecht , d. h. ist es rechtwinklig,
so wird

a^ = b2 + c2 -f d2 1

Zwei rechtwinklige Vierflache , welche zwei von der
rechten Ecke ausgehende Kanten gleich haben, ver-
halten sich (172) wie die dritte. — Sind daher A B C^
aBC, abC, abc entsprechende Kanten von 4 recht-
winkligen Vierflachen der Inhalte oder Volumina VV,v, v,
so hat man

V:Vi =A:a V, :v, == B : b
folglich

V:v = A.B.C:a-b.c

84 — Vierflach und Vielflach —

oder wenn man (analog- 92) den Inhalt gleich 1 setzt,
falls die drei Kanten (Dimensionen) 1, 2, 3 sind,
A^^C_1 AB
1.2.3 ~ 3 2
174 [83]. »er Rauminhalt des Yier-
llachs. Da man die Grundfläche jedes Tetraeders in
zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, und die Spitze
(172) senkrecht üher den Teilpunkt der Basis der
Grundfläche bringen kann, so ist (173) der Inhalt jedes
Tetraeders gleich ein Drittel des Produktes aus Grund-
fläche und Höhe, — oder (160), wenn a, b, c drei in
einer Ecke zusammenstossende Kanten a, ß, y aber
deren Winkel bezeichnen,

V = ^,3 abc ]/Si s • 8i (s — a) • Si (s — ß) . Si (s — y)
wo 2s = a -f ß + y. — Jeder zu einer Seitenfläche eines
Tetraeders parallele Schnitt ist ihr ähnlich.

lys [83]. Die Pyramide. Bewegt sich eine
Gerade um einen Punkt, und folgt dabei irg-end einer
Figur (Grundfläche) als Leitlinie, so entsteht die nach
der Anzahl ihrer dreieckigen Seitenflächen benannte
Pyramide, deren Inhalt (174) gieich dem Drittel des
Produktes aus Grundfläche und Höhe ist, und die ge-
rade heisst, wenn ihre Spitze senkrecht über dem
Schwerpunkte der erstem steht. Ist die Leitlinie eine
krumme Linie, so heisst die Pyramide Kegel (Conus).
— Bezeichnen g-, h, s Grundfläche, Höhe und Seiten-
fläche einer geraden Pyramide der Seitenkante k, deren
Grundfläche ein regelmässiges n-Eck der Seite 2a ist,
so hat man (93; 121 : 1), wenn cp = 180'' : n ist,

g =: n . a2 . et cp, h = }/k2^^a2'^'s^"i; s = a yW^^^ 1

0 = ns + g V=V3§'li »

wo 0 die aus Mantel und Grundfläche bestehende sog.

— Vierflach und Vielflacli — 85

Oberfläche, V (las Volumen vorstellt. — Hat eine Pyra-
mide ein Trapez zur Grundfläche, so nennt man das
durch die Spitze und die Mitten der nicht parallelen
Seiten der Grundfläche bestimmte Dreieck Hauptschnitt
g. derselben. Die vier Ecken der

//f\\ Grundfläche haben von dem

/ / / \V^\ Hauptschnitte gleichen Abstand,

/ // \\ \ a und iede derselben bestimmt mit
\7~y---._\ X/ ihm ein Tetraeder, dessen Inhalt
^\/ "'-"" \/ ^ '4 der Pyramide beträgt; die
^ ' ^ ganze Pyramide ist daher gleich

■*.'3 des Produktes aus Hauptschnitt und Eckenabstand.
1^6 [83]. öer Heg:el. Bei einem geraden Kegel
der Höhe h und des Eadius r sind alle Seitenkanten
k = ]/r'^ -f h'^, sein Mantel aber ist gleich einem Kreis-
ausschnitte des Eadius k und des Bogens 2r7r, so dass
(175) die Formeln

Y= ', i'-i Tih 0 =- (k + r) rTi

Volumen und Oberfläche zu berechnen lehren. (Vergl.
180.) — Wird ein Kegel des Winkels a in der Distanz
d von der Spitze und unter dem Winkel cp zur Kante
durch eine Ebene geschnitten, so erhält man für die
Schnittlinie

yi= 2px-f qx- wo p = d Si -^ Tg a, q= Si --f Si {2ol—-^) Se'-a
Die Linien zweiten Grades sind somit Kegelschnitte.

19 7 [83]. Das Prisma. Bewegt sich eine Ge-
rade parallel mit sich selbst, und folgt dabei irgend
einer Figur als Leitlinie, so umschreibt sie einen
prismatischen Raum; parallele Schnitte desselben sind
(164, 89) kongruent, und bestimmen als Grundflächen
ein Prisma, das nach der Anzahl der die Seitenflächen
bildenden Parallelogramme benannt wird. Ist auch die
Leitlinie ein Parallelogramm, so heisst das Prisma

86 — Vierflacli und Vielflach —

Zeilflach (Parallelepipedon), dageg-en Zylinder (Walze),
wenn sie eine krumme Linie ist. — Ein dreiseitig-es
Prisma lässt sich durch zwei Diagonalebenen (172) in
drei gleiche Tetraeder zerlegen, und ist daher (174)
gleich dem Produkte aus Grundfläche und Höhe, —
eine auf jedes Prisma ausdehnbare Ptegel.

178 [83]. »er Zylinder. Wird die Höhe h
eines Zylinders durch die Verbindungslinie der Mittel-
punkte seiner Grundflächen des Radius r dargestellt,
so ist sein Mantel gleich einem Eechtecke der Basis
2r7: und Höhe h, und es bestehen daher (177) die
Formeln

V-=rV.h 0 = 2(r + h)rr.

t»9 [83]. n»» Priiiimoid. Wird ein prisma-
tischer Eaum durch irgend zwei ebene Schnitte be-
grenzt, so heisst der entstehende Körper Prismoid.
Ein dreiseitiges Prismoid lässt sich durch zu den
Kanten senkrechte Querschnitte in ein Prisma und
zwei Pyramiden zerlegen, ist daher gleich Querschnitt
mal Mittel der parallelen Kanten.

1 SO [83]. »er Obelisk. Nennt man ein Viel-
flach mit zwei parallelen Grundflächen, dessen Seiten-
flächen Trapeze oder Dreiecke sind, Obelisk, so lässt
sich derselbe, indem man alle Ecken mit einem Punkte
des in halber Höhe geführten Querschnittes verbindet,
in zwei auf den Grundflächen stehende Pyramiden und
eine Eeihe von Trapez -Pyramiden,
deren Hauptschnitte den Querschnitt
bilden, zerfallen, so dass der Obelisk
ein Sechstel eines Prisma's von gleicher
Höhe ist, dessen Grundfläche aus den
beiden Grundflächen (F, f) und dem
vierfachen Querschnitte (q) besteht.

— Vierflach und Vielflach — 87

Ist (wie bei dem abgekürzten Tetraeder^ F cxo q cvo f,
so wird (107)

q = i/^[f-l-2| Ff + F] und V= »3h(f-M'Ff-f F)l
oder wenn F und f Kreise der Eadien H und r sind,
q = 1 ^ 7t (r-^ + 2Er-rK-2) und V= Vs h?: (r^4-Er-f R^) Z

XVIII. Das centrische Vielflach und die
Kugel.

181 [84]. »er Ealer'sche Satz. Bezeichnet
k die Anzahl der Kanten eines Polyeders, f=f3 4-
fj r • . . die Anzahl seiner Flächen und e = e3 + 64 + • • •
seiner Ecken, so ist offenbar

3f3 -f 4f4 4- Sfj + . . . = 2k = 3e3 4- 4e, + 5e, -f . . . 1
und wenn jede seiner Flächen der Form (0, 1) ange-
hört, d.h. dasselbe konvex ist, so besteht die nach
Euler benannte Beziehung

e4-f = k + 2 Z

Es lässt sich daraus ableiten, dass es nur fünf Arten
von Polyedern giebt, bei welchen alle Flächen dieselbe
Seitenzahl und alle Ecken dieselbe Kantenzahl be-
sitzen, nämlich: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder
aus Dreiecken, Hexaeder aus Vierecken und Dode-
kaeder aus Fünfecken.

188 [84]. Mie regrelniäissig^en l'olyeder.

Ist ein Vielflach centrisch nach den Ecken oder Kanten,
so ist (156, 158) auch jede seiner Flächen centrisch
nach den Ecken oder Seiten; ist es centrisch nach den
Seiten, so halbiert (158, 91) jede durch den Mittelpunkt
und eine Kante gelegte Ebene den zugehörigen Viel-
flachwinkel. Wenn endlich, was aber (181) nur bei fünf
Vielflachen zutreffen kann, derselbe Punkt in allen drei

88 — Centrisches Vielflach und Kugel —

Beziehungen Centrum, oder das Vielflach centrisch ist,
so hat es gleiche Kanten, Seiten und Winkel, oder ist
regelmässig.

183 [84]. Die Hngrel. Der räumliche Ort
eines Punktes, der von einem Punkte (Centrum) einen
unveränderlichen Abstand (Radius) hat, heisst Kugel-
fläche, — der von der Kugelfläche begrenzte, ein
regelmässiges Unendlichflach darstellende Körper Kugel.
— Steht eine Ebene von dem Kugelcentrum um den
Radius ab, so hat sie (156) nur Einen Punkt mit der
Kugel gemein oder tangiert sie in diesem Punkte ; ist
der Abstand kleiner, so schneidet sie die Kugelfläche
(156) in einer Kreislinie, deren Centrum mit der Pro-
jektion des Kugelcentrums auf die Schnittebene zu-
sammenfällt, und deren Radius um so grösser ist, je
mehr sich der Schnitt dem Kugelcentrum nähert.
Schnitten durch das Centrum entsprechen grösste
Kreise, sog. Hauptkreise.

184 [84]. Pol und l»oIarkreis, Die End-
punkte des zu einem Kugelkreise senkrechten Kugel-
durchmessers stehen (156) von allen Punkten desselben
gleich weit, bei einem Hauptkreise um 90^ ab; sie
heissen Pole des Kreises, — die Kreise von gemein-
schaftlichen Polen Parallelkreise, — der zu ihnen ge-
hörende Hauptkreis Polarkreis (Equator). — Steht ein
Punkt der Kugelfläche von zwei andern Punkten der-
selben um 90'* ab, so ist er (156) Pol des sie verbin-
denden Hauptkreisbogens, und umgekehrt misst dieser
(159) den Winkel am Pole.

185 [85]. »ie C;aldin'sche Kegrel. Dreht
sich eine Ebene um eine ihrer Geraden als Axe, so
beschreibt jede andere (176) eine Fläche

F = 2d7c . 1 = 2a7^ • p 1

Centrisches Vielflach und Kugel —

89

Bilden die Geraden 1, 1, I3 . . . eine
ebene gebrochene Li^i^j und be-
zeichnen g-, g, g3 . . . die Abstände
ihrer Schwerpunkte von einer
Drehaxe, g- aber den Abstand des
Schwerpunktes der ganzen Linie, so ist (133) die ent-
stehende Eotationsfläche

F = 27t 2* lg = 27xg 2* 1 2

d.h. es besteht, wenn die gebrochene Linie in eine
Kurve übergeht, die sog. Guldin'sche Eegel. — Be-
zeichnen (x, y,), (Xj y.,) und (Xg j^) die Koordinaten der
auf eine Drehaxe ihrer Ebene
bezogenen Ecken eines Dreieckes
der Fläche F, G den Abstand
des Schwerpunktes von der Dreh-
axe, und V das von dem Dreiecke
xi X3 x^ |jg- ejjjQj. Rotation beschriebene
Volumen, so hat man (132, 133, 180) die Formeln
F = ^, 2 [yi (X3 — X.,) + y^ (x, — X3) + y3 (X, — X, ) »
G='/-s(yi+y-z+J,) V = 2G7i.F 4

welche sich auf jede rotierende Figur ausdehnen lassen.

186 [85]. Hngfeloberfläclie, Zone und

Möndchen. Nennt man einen zwischen zwei Parallel-
kreisen enthaltenen Teil der Kugelfläche Kugelzone, so
ist (185) ihre Fläche gleich dem Produkte aus der
Peripherie eines Hauptkreises in die Höhe der Zone.
Setzt man Letztere gleich 2r, so ergiebt sich für die
ganze Kugeloberfläche 4r-7i. — Die Fläche eines von
zwei Hauptkreisen begrenzten Teiles der Kugelober-
fläche, eines sog. Nlöndchens (Kugelzweiecks), verhält
sich (184) zur Kugeloberfläche wie sein Winkel zur
Umdrehung.

90 — Centrisches Vielflach und Kugel —

1S7 [85]. Hn^elinhaU, Abschnitt und
Aas^iehnltt. Der Inhalt einer Kugel des Radius r
ist (182, 186) gleich '',3 r^r.. Haben somit ein Cylinder,
ein Kegel und eine Kugel 2r zu Höhe und Durch-
messer, so besteht der Archimedes'sche Satz, dass
ersterer gleich der Summe der beiden letztern ist. —
Bezeichnet h die Höhe eines Kugelabschnittes, J seinen
Inhalt, und V den Inhalt des entsprechenden Kugel-
ausschnittes, so ist (186, 182, 176)

V = V3 i-'t: h J == '3 h-^ (3r — h) • t

188 [86]. öas Hug:eldreieck. Verbindet
man drei Punkte der Kugelfläche teils mit dem Mittel-
punkte, teils paarweise durch Hauptkreise, so entstehen
ein Dreikant und ein sphärisches Dreieck, deren Seiten
und Winkel gleiches Mass haben. Es gehen somit die
Elemente des Letztern alle für das Dreikant ausge-
sprochenen Beziehungen ein; sind jedoch seine Seiten
in Länge gegeben, so hat man sie vor Einführung in
die Formeln auf Winkel zu reduzieren. — Die den

drei Winkeln A, B, C entsprechen-
den Möndchen übertreffen, da Ku-
gelgegendreiecke (wie ABC und
D E G) notwendig die gleiche Flä-
che F haben, die halbe Kugel um
2 F, so dass (186) , wenn e den
halben Excess bezeichnet,

F = '/90 e" • i'-t: = 2 • e^' • r'^ • Si 1"

189 [91]. »er lieffendre'sche ^atz. Sind
die Seiten eines Kugeldreieckes in Länge ausgedrückt
(188), und im Verhältnisse zum Radius r so klein, dass
man die 5ten Potenzen vernachlässigen darf, so ist
(160, 50)

PA— ^M:c^-a-^ aH-h^+c^-2(a«b'^4-a^c^+b^cg)
^^^~ 2bc ' 24bcr2

— Centrisclies Vielflach und Kugel — 91

Bezeiclinet man daher die Winkel eines ebenen Drei-
ecks derselben Seiten mit A', B', C und setzt seine
Fläche f derjenigen des sphärischen Dreiecks gleich,
so hat man (104 : 6 ; 105 : 2 ; 188)

Co A = Co A' - ^^y-L;^- = Co A' - 1 e Si A' . Si 1" Z
24bcr- 3

Setzt man aber A = A' 4 x, so wird für ein kleines x

CoA = CoA' — xSiA'-Sil'' oder x = V3e
so dass

A'=-A— ^/aC 3

ist, oder ein kleines sphärisches Dreieck, nachdem
man von jedem Winkel [^ des Excesses abgezogen hat,
wie ein ebenes Dreieck behandelt werden kann.

190 [86]. Weitere Sätze. Im sphärischen
Dreiecke liegt einer gleichen oder grössern Seite auch
ein gleicher oder grösserer Winkel gegenüber. Die
Hauptkreise, welche die Seiten eines sphärischen Drei-
ecks normal halbieren, oder welche durch die Ecken
normal zu den Gegenseiten gezogen Averden, oder
welche seine Winkel halbieren , schneiden sich je in
Einem Punkte, dem Centrum der Ecken, dem Höhen-
punkte und dem Centrum der Seiten. Jede sphärische
Transversale schneidet die Seiten eines sphärischen
Dreieckes oder ihre Verlängerungen so, dass die Pro-
dukte der Sinus der nicht aneinander liegenden Ab-
schnitte gleich werden.

XIX. Die analytische Geometrie im Ranme.

191 [93]. Die Raiinikoordinaten. Die

Lage eines Punktes m im Eaume wird entweder durch
rechtwinklige Koordinaten, die Abscisse (x), die Ordi-

92

Analytische Geometrie im Räume

nate (y) und die Applikate (z) gegeben — oder durch
Polarkoordinaten, den Radius Vektor (r) und die yon
ihm gebildeten Winkel (a, ß, y)
oder (v, w), welche durch
X = r • Co a = r • Co V • Co w
y = r . Co ß — r • Co V • Si w 1
z = r • Co y = r • Si V

r^ = x2-fy2
Co«a4-Co2ß-f Co2y = 1
zusammenhängen, während

d = VW^^^zy -h (y. - y?)' + (zi - Z2)' A

die Distanz der Punkte (x, y, z, ) und (x^ y^ z.^) giebt.

193 [93]. Die Transformation der Koor-
dinaten. Hat man von einem Koordinatensysteme

X Y Z auf ein paralleles Koordinatensystem X' Y' 7J
tiberzugehen, dessen Anfangs-
punkt die Koordinaten X Y Z
hat, so ist offenbar
X' = X - X
y' = y-Y 1

z' ==z — Z
oder, wenn man (191) die
rechtwinkligen in Polarkoordinaten umsetzt, und n
eine willkürliche Grösse bezeichnet
r' Co V' Co (w^— n) = r Co v Co (w — n) - R Co V Co (W— n)
r'Cov' Si (w' — n) = rCov Si (w — n) — RCo V Si (W— n)
r'Siv' = rSiv — RSiV Z

Haben dagegen die beiden Koordinatensysteme gleichen
Anfangspunkt, aber verschiedene Richtung der Axen,
so hat man , wenn cp, cj; und G die Winkel der X' und
X mit der Knotenlinie der Ebene X' Y' in XY und

Analytische Geometrie im Kaume —

93

den an ihr liegenden Flächenwinkel bezeichnen, —
a, bi c, , a, b., c.^ , sl^ h^ C3 aber der Keihe nach die Co.
der Winkel sind, welche jede der Axen X'Y'Z' mit
den Axen X Y Z bildet,

X = a, x' -f a, y' + a3 z' x'
y = b, X' + b, y^ + ba z' y'
z = Ci x' + c, y' + C3 z' z'

a, X + b, y + c, z
a^ X + b^ y + Ca z 3
^3 X -f ba y + C3 z

wo die neun Grössen a, b, c durch
a^=Co<:pCoc|;4-SicpSic|;Coe b, = Sic|;Cocp-Co4;SicpCoe
a.^^Co^jSicp-SicpCocpCoG b.,=SicpSic|;+Co9Co'4;Coe
a3=: — Si 4^ Si e b3= Co c}j Si 0 ^

c,= SicpSie c, = — CocpSie Cg^CoG

gegeben werden, und die Eelationen
1 =z a, 2 -f aa^ -f a^-^ = bi 2 + b^'^ -1- ba'^ = Cj '^ + c, 2 -f Cg"^

= ai2 + bi

aa'-fb.ä + c^-^^aa^ + ba^ + Ca^-

0:=aib, +a2b2-f a3b3=a, c, 4-a.2C.^+a3C3=b, Cj +b2C,+b3C3
= a, a-i+bi bj-l-c, c.,=a, a3 4-bib3 +c, C3=:a2a3 H-babg +C2C3
a.^ = ba c, — b, C3 a3 = b, c, — ba Ci
D.) — C3 a| — C[ aa D3 — Cj a.) — Cj ai •
Cj := aa b| — a, ba C3 = ai b^ — slo bj

a.

= b., C3 -

I33C2

b,

= c, aa -

Caa,

Cl

= aj b3 -

aab,

eingehen.

193

[931.

Die ^wleichung: der £bene.

Jede Fläche wird durch eine, in einem bestimmten
Punkte der Koordinatenebene errichtete Senkrechte in

94

Analytische Geometrie im Eaume

bestimmten Abständen von dieser Ebene geschnitten,
und ihr Gesetz muss sich daher durch eine Gleichun

z = f(x,y)

abz acy

oder F (x, y, z) = 0 1

ausdrücken lassen ; dabei heisst,
je nachdem diese Gleichung vom
Grade n oder transcendent wird,
auch die Fläche vom Grade n
oder transcendent. So z. B. be-
steht (173, 174) für jeden Punkt
m einer Ebene die Gleichung

bcx , X , y , z

_ ,, oder h^^

2-3 ab c

= 1 »

abc

2T3~2.3 ' 2-3

so dass eine Ebene durch eine Gleichung ersten Grades
Ax -f By 4- Cz + D = 0 3

dargestellt wird , für D = 0 durch den Pol geht, und
mit XY einen Winkel n bildet, so dass (132)

Tg n = z : d = c • |/'a^"+P : ab = j/A^ + B^: C
Co n = ab : j/a^b^ + a^ c^ + b'^"^^ = 0 : j/A^^hB^ + Ü^
194 [93]. Die Crleichang: der Geraden.

Eine Linie im Räume lässt sich immer als Durchschnitt
zweier Flächen denken, und durch deren Gleichungen
geben, so z. B. eine Gerade durch die Gleichungen

x=az+Y y = ßz + 5 1

ihrer Projektionen auf die Ebenen X Z nnd Y Z. Soll
die Gerade durch zwei Punkte (a, ß, Yj) und (a^ ßa T2)
gehen, so hat sie die Gleichungen

a,-a, aiY^—ovr, „_ßi— ßj„ ß.Ti— ßaTi -

ßi -ß-j
T.-T2

■T2 T1-T2 Tt— T? Ti— T2

Eliminiert man aus den Gleichungen zweier Geraden
x = a, z + b,, y = a2Z-fb2, x=a, z-f ßi, y = a.,z + ß23
die Koordinaten x, y, z, so erhält man die Proportion

— Analytische Geometrie im Kaiime — 95

(a, — a, ) : (a^ — oc,) = (b, — ß, ) : [\ - h) ^

als Bedingung- für das gleichzeitige Bestehen jener
vier Gleichungen, d. h. für das Schneiden der Geraden.
Die Koordinaten des Durchschnittspunktes sind

a, ß, -- "b, a, a, ß, — b, a, ^ _ ßi - b,

a, — a, "^ a, — a, a, — a,

so dass die beiden Geraden für a, = a, und a, = cc,
parallel werden, während sonst

00(1,2)= ^^,^J:±^^±^^.^L^=^ 6

= Co(l,x)-Co(2,x)+Co(l,y)Co(2,y)+Co(l,z)Co(2,z);'

und 1 4- a, a, + a, a, = 0 das Senkrechtsteheu bedingt.

195. Verschiedene Aufgraben. Die Gerade
194:1 steht auf der Ebene 193:3 senkrecht, wenn
ihre Projektionen auf die Koordinatenebenen zu der
respektiven Knotenlinie der Ebene senkrecht stehen,
d. h. (194, 132) wenn a = A : C und ß — B : C ist, wäh-
rend der Abstand des Punktes (a, ß, y) von derselben

d = [Aa -f Bß + Cy + D] : V^' + ^' + C«
ist. Um den Winkel v einer Geraden und einer Ebene,
oder den Winkel w zweier Ebenen zu bestimmen, zieht
man zu jeder Ebene eine Senkrechte, und berechnet
(194 : 6) den Winkel (90 — v) der Geraden und der einen^
oder den Winkel w beider Senkrechten.

196 [96]. lier l^ehwerpunkt. Die für die

Schwerpunkte ebener Gebilde gefundenen Gesetze, und
so namentlich auch die in 133 : 1, 2 enthaltenen, tragen
sich leicht auf den Raum über. So z. B. wird eine
Schweraxe des Vierflachs (der Pyramide) erhalten, wenn
man den Schwerpunkt einer der Seiten (der Basis) mit
der Gegenecke (der Spitze) verbindet; der Schwer-

96 — Analytische Geometrie im Eaume —

punkt selbst steht (89, 83) um ^ \^ der Schweraxe von
der Gegenecke (Spitze) ab, und hat eine dem Volumen
proportionale Konstante.

197 [97]. Die Flächen zweiten €irade.«>.

Eine Fläche zweiten Grades wird durch die Gleichung-

ax2 4- by« + cz« + 2dxy + 2exz + 2fyz -f

+ 2g-x -f 2hy + 2kz + 1 = 0 1

geg-eben und daher durch 9 Punkte bestimmt. Setzt
man x = x' -\- cc, j^ = y' -j- ß, z = z' + T» ^^^^l bestimmt
a, ß, Y so, dass

aa + dß + ey -h g = bß -f da -f f y + h -=

= CY + ea + fß + k = 0 3

so geht 1 in die Gleichung

ax'2 -f by'2 + cz'2 + 2dx' y' 4- 2ex' z' + 2fy' z' + m = 0 3
über, in welcher nur gerade Dimensionen der Koor-
dinaten vorkommen, so dass ihr auch der Punkt
( — x', — y', — z') genügt, oder die Fläche einen Mittel-
punkt hat. Setzt man in 3

X = Az -4- B y = Cz + D 4

so erhält man für die Durchschnittspunkte dieser Ge-
raden und der Fläche zweiten Grades eine Gleichung
zweiten Grades , deren halbe Summe der Wurzeln für
die Mitte der entsprechenden Sehne

_ _ aAB + bCD + d (AD + BC) -f- eB + f D
^~ aA-^-f-bC2 + c-f-2dAC + 2eA-f 2fC
giebt. Eliminiert man B und D aus 4 und 5, so wird
x(aA 4- dC -f e) -f y (dA -f bC 4-f) -f- z (eA -f fC -|- c) = 0 6
d. h. der Ort der Mitten aller parallelen Sehnen ist
eine durch den Mittelpunkt gehende oder diametrale
Ebene, in Beziehung auf welche diejenige der parallelen
Sehnen, welche durch den Mittelpunkt geht, konjugierte

— Analj'tische Geometrie im Räume — 97

Axe heisst. — Eine Axe, welche zu ihrer konjugierten
Ebene senkrecht steht, heisst Hauptaxe, und man hat

für sie (195)

_ aA -4- dC -4- e _ dA -4- bC + f

eA 4- fC -h c eA + fC -h c

19$ [97]. Transformation und £intei-
Inng:. Transformiert man nach 192 die Koordinaten
in 197 : 3 , und setzt zur Bestimmung- von cp, cp, G die
Koefficienten von xj, xz und yz gleich Null, so er-
hält man

y2 v2 72

a^ ^ b' ^ c'
wo a, b, c Halbaxen heissen. Vergleicht man 1 und
197 : 3, so findet man in Beziehung auf 1 zu der Axe
X = Az, y = Cz nach 197 : 6 die konjugierte Ebene

A . X : a2 + C . y ; ^2 ^ z : c^ = 0 3

Es ergiebt sich hieraus, dass die Koordinatenaxen mit
Hauptaxen zusammenfallen. Lässt man x in x — a
übergehen, so erhält man nach 1 als Scheitelgleichung
der Flächen zweiten Grades

x2 y2 , z2 6^ c« ^

^=-2^+2^+2p: ''' p» = ^ p^=-r *

Die Flächen zweiten Grades zerfallen, je nachdem die
Grössen a, ß, y in 197 endlich oder unendlich werden,
in zwei Hauptklassen: Die erste Klasse wird durch 1
dargestellt, und umfasst das sog.

™p^°i<» 11+It+^=^*

x^ V- z-

Hyperboloid mit einem Mantel ~ -f i^ = 1 &

a* D^ c-

x^ v- z^
Hyperboloid mit zwei Mänteln -r — "rx r = 1 6

a- D* c

Wolf, Taschenbuch 7

98 — Analytisclie Geometrie im Eaume —

Die zweite Klasse wird dagegen durch 3 für a = co
dargestellt und umfasst das sog.

Elliptische Paraboloid . x = V? y^ : Pi + \-i z^ : p^ 'S
Hyperbolische Paraboloid x = ['.^ y- : Pi — ['.^ z- : Pj S

199 [98, 99]. ]»as Klllpsoid und i§phär-
oid. Setzt man in 197 : 1 eine der Koordinaten gleich
Null, so erhält man für den Schnitt der zu ihr senk-
rechten Koordinatenebene , eine Gleichung zweiten
Grades, also z. B. für jeden ebenen Schnitt eines Ellips-
oides eine Ellipse. — In dem speciellen Falle, wo
zwei Axen , z. B. 2a und 2b , einander gleich werden,
somit alle zu ihrer Ebene parallelen Schnitte Kreise
des Radius a, alle durch die dritte Axe geführten
Schnitte (Meridiane) Ellipsen der Axen 2a und 2c sind,
kann das EUipsoid, das nun Sphäroid heisst, als durch
Rotation dieser Ellipse um 2c entstanden gedacht
werden. Die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte
eines Sphäroides nennt man geodätische Linie, und
diese schneidet jeden Meridian unter einem Winkel
(Azimut), dessen Sinus zu dem Abstände des Durch-
schnittspunktes von der Rotationsaxe umgekehrt pro-
portional ist. — Vgl. 200 und 205.

200 [94]. liie taiig^ierende Ebene. Legt
man durch einen Punkt (x, y, z, ) einer Fläche z =
f (x,y) und zwei benachbarte Punkte (x, + aj, yi, Zi + Ti)
und (x,, y, +ß,, z, + T«) ebenderselben, eine Ebene,
so erhält man (193 : 3, 4) als Gleichung derselben

z — zi = (X — Xi) Yi : «, + (y — yi) T2 : ßi ^

Sind nun ot,^ und ß, , folglich auch die y, verschwindend
klein, so wird die Ebene tangierend, und 1 geht in
z — Zi = p(x— x,) + q(y — yi) wo p = dz:dx q = dz:dya
über, so dass für ihre Neigung gegen XY

Analytische Geometrie im Kaume — 99

Con = l: j/l^p* + q^ oder Tgn = ]/p2 + q^ 3
folgt. Nach 2 ergiebt sich für das EUipsoid

301 [94]. l>ie Hrümmung: der Flächen.

Legt man durch einen Punkt einer Fläche eine Senk-
rechte zu der tangierenden Ebene (200), so erhält man
die zugehörende Normale. Legt man durch diese Nor-
male eine Ebene M, so schneidet sie die Fläche in
einer Kurve, zu der man (139) den Krümmungskreis
suchen kann. Dreht man M, so verändert sich im all-
gemeinen der Krümmungshalbmesser, nimmt aber für
eine gewisse Stellung ein Maximum, für die dazu
senkrechte Stellung dagegen ein Minimum an.

302 [100]. Die Horven von doppelter
Hrünintiing'. Stellt man eine Linie im Räume durch
zwei Gleichungen y = T (x) und z = '^ (x) dar, so sind

y' — y = (x' — x) dy : dx z' — z = (x' — x) dz : dx 1
die Gleichungen der Tangente im Punkte (x y z) ,
während

(x' — X) dx -f (y' — y) dy -f {z' — z) dz = 0 8

eine durch den Punkt senkrecht zu der Tangente ge-
legte Ebene, die sog. Normalebene, darstellt, und

die Gleichung der sich der Kurve bestanschliessenden
oder Oskulationsebene ist, welche auch die Tangente
in sich fasst. Je nachdem sich letztere Ebene ändert
oder nicht ändert, wenn man zu folgenden Punkten
übergeht, ist die Kurve doppelt gekrümmt oder eben.
203 [100]. Die einhüllenden und deve-
loppabeln Fläehen. — - Lässt man in der eine

100

— Analytische Geometrie im Kaume —

Fläche vorstellenden Gleichung- F (x, y, z, ^y) = 0 die
Grösse w successive verschiedene Werte annehmen, so
erhält man eine Folge von Flächen, von denen je zwei
benachbarte sich in einer Kurve, der sog-. Charakte-
ristik schneiden, welche ein Element der jene Flächen
einhüllenden Fläche bildet. Ist speciell die g-eg-ebene
Fläche eine Ebene, welche beständig- einer Geraden
parallel ist oder durch einen gegebenen Punkt geht,
so ist die Charakteristik eine Gerade , Avährend die
einhüllende Fläche cylindrisch oder konisch heisst und
sich (sowie überhaupt alle Flächen, welche sich als
Ort einer Geraden denken lassen) auf einer Ebene aus-
breiten lässt, oder developpabel ist — während da-
gegen Flächen, welche dieser letztern Bedingung nicht
genügen, windschief (gauche) heissen.

304 [95]. l>ie Homplaiiatlon. Bezeichnet
dO ein Flächenelement, so ist (165 ; 200 : 3)

0

ia&Cy

dx

'dy

3

dO=:dx.dyl/i + p2 + q2 1

ein Ausdruck, den man, um die
Oberfläche zu erhalten, zwei-
mal , z. B. zuerst nach x und
dann nach y, zu integrieren hat.
Setzt man

dx = P . dcp + Q . d4;

dy = P' . dcp -f Q' dcj;

so ist y für die erste Integration konstant, also
P'dcp + Q'dc}; = 0 oder dx = dcp (PQ' — QPO : Q' für die
zweite dagegen cp oder dy = Q'dcJ;, und für diese Werte
wird 1 zu

0 = /7(PQ' - QPO j/TTpM^"? • d9 • d4^ »

So genügen der Kugelgleichung x- + y ' -f z- = r- die
Werte

— Analytische Geometrie im Eaume — 101

X = r Si cp Co 4^ y = r Si cp Si c|; z ^= r Co cp
und für diese ergiebt sich nach 3

0 = rM Si '^ • d-^ • dc{; = 4r^;i 4

^ 'j? = 0^ 1^ = 0

805 [95]. öie Kubatur. Bezeichnet dV das
durch dO und seine Projektion auf XY bestimmte
prismatische Körper-Element, so ist offenbar (204)
d V = dx ■ dy • z und V =//'(P • Q' — Q • P') z • dcp • d-4; 1
So z. B. genügen der Gleichung des Ellipsoides die
Werte

X = a Si cp Co c|; y = 6 Si cp Si 'i z = c Co cp

also ist das Volumen des Ellipsoides

cp = 71 '-]; = 271 .

V=( a6cSicpCo'^cpd:pd']; = ^a6c7i3

•^ '^ = 0-^ ']; = 0 ^

306 [102]. l>ie darstellende Cieometrie.

Zieht man von einem Punkte (Pole) Gerade durch alle
bemerkenswerten Punkte eines Gebildes , schneidet
diese Geraden durch eine Ebene, und verbindet die
Durchschnittspunkte genau so, wie die Punkte am Ge-
bilde verbunden sind, so erhält man eine Polarprojek-
tion des Gebildes. Ist der Punkt das Auge, so heisst
die Projektion perspektivisch , dagegen wenn der
Punkt unendlich weit von der Bildebene entfernt ist,
Parallelprojektion, und zwar orthogonale, wenn die
Projektionsrichtung zu der Projektionsebene senkrecht
steht, speciell Grundriss oder Aufriss, wenn die Bild-
ebene horizontal oder vertikal ist, — axonometrisch,
wenn die Projizierenden mit drei zu einander senk-
rechten Hauptrichtungen des Gebildes bestimmte Win-
kel bilden, und zwar isometrisch, wenn alle drei, —
monodimetrisch , wenn zwei dieser Winkel gleich sind.

102 — Analgetische Geometrie im Eaume —

— Die Lehre, die räumliclien Gebilde durch Projek-
tionen darzustellen, und mit Hülfe derselben die Auf-
gaben durch Zeichnung zu lösen, heisst darstellende
Geometrie (geometrie descriptive).

XX. Die Methode der kleinsten duadrate.

307 [53]. Cirnndsatz der Hethode der
kleinsten Quadrate. Wird eine Grösse B unter
Vermeidung- konstanter Fehlerquellen wiederholt, z. B.
n-mal, bestimmt, so hat man offenbar, sobald n gross
genug ist um das Erscheinen jedes zufälligen Fehlers
in -f und — gleich wahrscheinlich zu machen, das
arithmetische Mittel sämtlicher Bestimmungen als
besten Beobachtungswert zu betrachten. Denkt man
sich aber alle Werte wie Punkte im Eaume verbreitet,
so entspricht (196) dieser mittlere Wert ihrem SchAver-
punkte, während die Entfernungen der Punkte von dem
Schwerpunkte die Abweichungen der Beobachtungs-
werte von dem Mittel ersetzen, und die Konstanten
bei gleicher Güte der Beobachtungen sämtlich gleich,
also z.B. gleich einer Einheit, sind. Es muss also
(133, 196) für den wahrscheinlichsten Wert die Summe
der Fehlerquadrate ein Minimum sein, und dieses ist
der Fundamentalsatz der von Gauss und Legendre ein-
geführten Methode der kleinsten Quadrate.

208 [52]. Theorie der Feliler bei direli-
ten Bestimmunsren. Hat man für eine Grösse B
eine Anzahl n gleich zuverlässiger Bestimmungen
bi bj . . . b„ der Fehler ± f j f o . ■ . f„ erhalten, so dass
immer B = bi:f, so findet man durch Addition im
Mittel

B = ^,2'b + v„i:(+f) = M + AB t

— Methode der kleinsten Quadrate — 103

wo M das Mittel der sämtlichen Bestimmungen und
AB der Fehler des Mittels ist. Setzt man

v = M — b m2 = 2"'v^:n f^ = 2" f ' : n »
d. h. bezeichnet durch v die Abweichung einer Be-
stimmung vom Mittel, durch m die mittlere Abweichung
einer solchen vom Mittel, und durch f den mittlem
Fehler einer Bestimmung, so hat man nach 207 und 1
2; P = j; \'- -{- n ■ AB' oder P = m'--{-AB^ 3
AB= Vn ^ {± f) also am wahrscheinlichsten AB = f : ]/n4L
•und somit nach 3 und 2

f i = m^ + ?- oder f = m ]/\ = ]ß^ 5
n t n— 1 } n— 1

Für Beobachtungen von verschiedenen mittlem Fehlern
f, und ty mittelt man aus, welche Anzahl '/Pi der
einen ein ebenso gutes Eesultat als eine Anzahl Vp^
der andern erzeuge, d. h. man setzt nach 4

f, :Vl:p, =t,:Vlnh woraus p, :p, = f,2:f,8 6
folgt, und diese relativen Zahlen p, die sog. Gewichte
der Beobachtungen, treten nun an die Stelle der bis-
dahin gleich der Einheit gesetzten Konstanten, so dass

7

B = ^^^-,- -f^ während ra=.]/^ t = ]/^

mittlere Abweichung und mittlem Fehler in Beziehung
auf die angenommene Gewichtseinheit bezeichnen. End-
lich ist

cp(v) = e-^-":]/^ f = 0,674486. m 8

wo cp (v) die sog. Fehlerfunktion oder die Wahrschein-
lichkeit des Vorkommens eines Fehlers v, und f den
sog. wahrscheinlichen Fehler bezeichnet. Vgl. Tab. 11"^.

104 — Methode der kleinsten Quadrate —

309 [52]. Theorie der Fehler bei in-
direkten Bestiniinungen. Ist eine Grösse t

nacj^i

t = a + Rj t, -f a^ t^ + . . . -f a,j t„ 1

aus beobachteten Grössen tutg... der Fehler f, jf^ ...
und Gewichte Pi , p^ • . . zu berechnen , so hat man
offenbar ± f = ± aj f, + a^ fj ± . . .

also im Mittel

f2 = 2"(a2fO oder l:p = 2'(a-:p) »
und den allgemeinern Fall, wo

t = f(t,,t„...tj 3

also

-=e)-. + ©-^ + ••■ + (©-» -

ist, kann man darauf zurückführen, indem man in die
partiellen Differentialquotienten die beobachteten und
berechneten Werte und für die dt die f einsetzt.

210 [52]. Die iiber^chHiBisis:en Crleich-
ung^en. Ist m < n, und hat man n Gleichungen der
Form

ax -f by + cz + . . . + h = 0 t

zwischen m Unbekannten x , y , z , . . . und gewissen
durch Beobachtung erhaltenen a, b, . . . , so werden
keine Werte von x, y,... allen diesen Gleichungen
vollkommen genügen, sondern durch Substitution irgend
solcher Werte nur auf

ax + by -f cz -[-••. + h = f 9

reduzieren, wo die f kleine, von den Beobachtungs-
fehlern abhängige Grössen sind. Quadriert und addiert
man letztere Gleichungen, so erhält man

x^ Isi^ + y- J^h-^ + z2 2'c- 4- . . . + 2xy 2'ab +

+ 2xz yj'dc + . . . -f 2x 2'ah + 2y 2'bh -f . . . = 2'f^ »

— Methode der kleinsten Quadrate — 105

und für die besten Werte der x y z . . . werden nach
dem Grundsatze der Methode der kleinsten Quadrate
diejenigen gelten müssen, welche 2J P zum Minimum
machen, d.h. für welche (63) die Diiferentialquotien-
ten von 2' f * nach x • y . . . verschwinden, so dass Letz-
tere aus den nach 3 gebildeten m Gleichungen

X i'a- + y 2'ab + z 2'ac + • • • + 2'ah = 0

X 2'ab + y ^h'^ ^ z ^hc + . . . + l^hh. = 0 ^

berechnet werden können, — Gleichungen, welche
offenbar direkt aus den Gleichungen 1 hervorgehen,
wenn man jede derselben mit dem Faktor multipliziert,
welchen x, oder y, ... in derselben hat , und alle so
erhaltenen Gleichungen, welche in Beziehung auf die-
selbe Unbekannte gebildet worden sind, addiert.

XXI. Die Messungen mit Kette, Kreuz-
scheibe und Messtisch.

811. JDie praktische deoiiietrie. Unter
praktischer Geometrie (Topographie, Feldmessen), ver-
steht man zunächst die Kunst, mit Hülfe einzelner
Längen- und Winkel-Messungen und daran gelehnter
Konstruktionen oder Eechnungen , eine Reihe von
Punkten auf dem Felde ihrer gegenseitigen Lage nach
festzulegen, und so Anhaltspunkte, sei es für die Ver-
zeichnung oder Berechnung einzelner Grundstücke, sei
es für Entwerfung eigentlicher Karten (vgl. XL und
XLI) zu erhalten.

313 [321—23]. Hie l§etzwas:e und die
liibelle. Da man sich sämtliche zu bestimmende
Punkte auf eine horizontale Ebene projiziert denkt.

106

— Messunsen

so bedarf man vor Allem ein Mittel, eine solche zu
erkennen oder herzustellen, so z. B. eine Setzwage,
d. h. ein gleichschenklig-es Dreieck, in dessen Scheitel
ein Loth hängt, Avelches nur dann über der Mitte der
Basis steht, wenn diese horizontal ist. Verändert man
die Lage einer Ebene bis die Setzwage bei zwei zu
einander senkrechten Stellungen einspielt, so ist sie
horizontal. — Genauer ist die Libelle, welche aus einer
cylindrischen, im Innern nach ohen kreisförmig aus-
geschliffenen, mit einer leicht beweglichen Flüssigkeit
(Äther) bis auf eine Luftblase gefüllten Köhre besteht,
und gewöhnlich in messingener Fassung über einem
Lineale aufgehängt ist: Die Mitte der Luftblase nimmt
|-iaj^ beständig den höch-

sten Punkt ein, und
wenn man die Libelle

^^^-i", fSfi^". i^ zwei Lagen auf

^ '4^Ju * ^^^^ ^^^ ^ geneigte

""^ Gerade aufsetzt, je

an der vom einen Ende auslaufenden Teilung den
Stand der beiden Blasenenden ablesend, so hat man
n = m, — f und n = f — m.j, also wenn v den Winkel-
wert eines Teilstriches bezeichnet,

>n

n = V4 [1. + r, - 1, - r^]- V f = V4 [l. + r. + k + r^l'V
Um V zu bestimmen, befestigt man die Libelle an ein
um eine Axe drehbares Fernrohr, bringt nach und nach
durch Drehen dasselbe Blasenende mit zwei Teilstrichen
zum Einspielen, und liest entweder an einem an der
Axe befindlichen Teilkreise, oder an einer in bekannter
Distanz aufgestellten Messlatte je die Stellung des
Fernrohrs ab.

813 [325—27]. llie liängrenineissiing:. Zum

Messen der Distanzen benutzt man gewöhnlich eine

— Messungen — 107

Messkette von 50' oder 10"' Länge, substituiert ihr
aber, wenn die Genauigkeit über Viooo betragen soll,
Systeme von auf Stativen liegenden , mit Libelle und
Thermometer versehenen Maßstäben, deren Zwischen-
räume mit Keil oder Fühlhebel bestimmt werden. Der
Wert b einer, in der Höhe h über dem Meere gemes-
senen Basis B im Niveau des Meeres ist, wenn r den
Erdradius bezeichnet, b = B • r : (r + h). Die zur Auf-
zeichnung anzuwendende Verjüngung des Maßstabes
hängt von dem Zwecke ab. Nimmt man ^ ^J""' als letzte
sichtbare Grösse an, so ist z. B. die Verjüngung Vioooo
zu wählen, wenn noch l'" sichtbar sein soll. — Mit
blosser Längenmessung kann man mit Hülfe einiger
Stäbe auf dem Felde nach 93 eine Senkrechte errichten,
nach 89 oder 116 eine Parallele konstruieren, nach 89
eine Höhe messen, nach 105 oder 117 die Flächen von
Figuren bestimmen, nach 109 die Distanz eines unzu-
gänglichen Punktes ermitteln, etc.

214 [330]. Hreuzseheibe und Winkel-
jüpieg:el. Ist man mit zwei zu einander senkrechten
Diopterlinealen, einer Kreuzscheibe, oder zwei unter
45'^ gegen einander geneigten Spiegeln (284), einem
Winkelspiegel, versehen, so lassen
sich Senkrechte so leicht errich-
ten, und (durch Probieren) fällen,
dass die meisten der in 213 ge-
lösten Aufgaben noch einfachere
und genauere Lösungen zulassen,
so z. B. nach 93 oder 89 die Be-
stimmung der Distanz eines unzugänglichen Punktes.
Ferner kann man nach 124 leicht Punkte einer Kreis-
linie von gegebenem Durchmesser auffinden, — einzelne
Pnnkte oder eine krumme Linie nach 77 durch Koor-
dinaten aufnehmen, etc.

108 — Messungen —

215 [332]. Der ^esstiscli. Eine Tafel, welche
mit Hülfe einer Libelle in horizontale Lage gebracht
werden kann, und so aufgestellt ist, dass jeder Punkt
und jede Gerade auf derselben mittelst der sog. Ein-
iothzange und einem ein Fernrohr tragenden sog.
Diopterlineal (Kippregel) vertikal über einen Punkt und
parallel zu einer Geraden auf dem Felde zu bringen
sind, kann als Messtisch (Mensel) dazu dienen, einen
Punkt in richtiger Lage gegen zwei ihrer Distanz
nach gegebene Punkte zu verzeichnen: Zuerst wird
der Tisch über dem einen Endpunkte der auf ihm ver-
zeichneten gemessenen Distanz, der Standlinie (Basis),
aufgestellt — dann, wo nötig, das Diopterlineal so
korrigiert, dass das Fadenkreuz seines Fernrohrs beim
Drehen einem Lothfaden folgt, und zugleich auch die
Kante des Lineals wenigstens annähernd nach dem
eingestellten Objekte hinweist, — nunmehr das Diopter-
lineal an die verzeichnete Basis angelegt und die
Tischplatte gedreht , bis der andere Endpunkt im
Fadenkreuze erscheint, — und schliesslich eine Visier-
linie nach dem zu bestimmenden Punkte gezogen;
nachher wird entweder bei dem sog. Polygonisieren
die Visierlinie gemessen und aufgetragen, — oder bei
dem Vorwärtsabschneiden der Messtisch über dem
zweiten Endpunkte der Basis aufgestellt, und wieder
eine Visierlinie gezogen, — oder endlich bei dem Rück-
wärtsabschneiden der Messtisch über dem gesuchten
Punkte mit Hülfe der ersten Visur annähernd einge-
stellt, und dann eine Visierlinie durch den zweiten
Endpunkt der Basis gezogen.

316 [332]. Uas l*rincip der ^liiltiplika-
tioii. Der Messtisch kann auch zum Messen eines
Winkels a dienen. Stellt man ihn nämlich über dem
Scheitel von a auf, — visiert nach dem einen Winkel-

— Messungen — 109

punkte und dann nacli dem andern, — stellt nun durch
Drehen des Tisches den Diopterlineal wieder auf den
ersten Punkt zurück, visiert nochmals auf den zweiten,
etc., bis nach n Operationen die letzte Visur einen
Winkel von etwas mehr als b Umdrehung-en mit der
ersten bildet, so hat man, wenn c die Distanz der dem
Eadius r entsprechenden Punkte dieser Visierlinien ist,

n . a = b • 360^ ~f- 2Asi (c : 2r)
also a um so genauer, je grösser n ist.

317 [67]. Hie Potlieiiot'iiche Aufgrabe.

Die Aufgabe, die Lage eines Standpunktes D gegen
drei bekannte Punkte A, B, C zu
bestimmen, kann mit dem Mess-
tische auf folgende Weise gelöst
Averden: Man stellt denselben so
über D auf, dass die auf ihm ver-
zeichneten Geraden A B nnd B C
den entsprechenden Geraden auf
dem Felde möglichst parallel sind,
und zieht nun durch die Punkte auf dem Tische und
Felde Visierlinien, welche ein sog. Fehlerdreieck a, ß, y,
bestimmen, dann dreht man den Tisch ein wenig und
konstruiert ein zweites Fehlerdreieck a, ß^ ^j ; die Ver-
bindungslinien a, a^, ßi ß.,, Yi Y,j schneiden sich sodann
sehr nahe in dem gesuchten Punkte. — Kennt man
a, b und hat ß und y gemessen, so kann man (98:4;
103), da 9 + 4^ = 3600 _ (^ _^ ß _}. .^) bekannt ist, nach

ist, cp und c{j, und dann r, s, t berechnen. — Für an-
nähernde Bestimmungen (z. B. um den Standpunkt
beim Lothen gegen bekannte Punkte am Ufer festzu-
legen) kann man nach Homers Vorschlage ß und y

110 — Messungen —

auf Strohpapier auftragen , und D durch Versuch er-
mitteln, — oder auch, wenn man AB und ihre Orien-
tierung (S -f cp) kennt, die auf D an der Boussole für
A D und B D gemachten Ablesungen 5 und s bei A
und B antragen.

2 IS [328]. Der Distanzmesser. Hat das

Fernrohr des Diopterlineales zu dem horizontalen
Mittelfaden noch einen Parallelfaden im Winkelabstande
a, und spielt eine an seiner Axe befestigte Spitze über
einem geteilten Kreise, dessen Nullpunkt seiner hori-
zontalen Lage entspricht, so kann es als Distanzmesser
aus Einem Stande dienen; denn stellt man in der Hori-
zontaldistanz X einen geteilten Stab vertikal auf, und
fällt eine Länge a desselben zwischen die Faden,
während die Spitze bei ß steht, so hat man

X Tg (a + ß) — X Tg ß = a oder x ^ a Ct a Co^ ß

et a wird am besten bestimmt, indem man den Stab
in bekannter Distanz aufstellt. — Bei der Stadia der
Militärs wird x bestimmt, indem man beobachtet, in
welcher Distanz vom Scheitel ein gewisses a (z. B. ein
Mann) zwischen die Schenkel eines in bestimmter Ent-
fernung vom Auge gehaltenen Winkels passt.

XXII. Die Messungen mit Theodolit und
Nivellierinstrument.

«19 [334—7]. Die greteilten Kreise. Die

Teilung eines Kreises kann man sich bis ins Unend-
liche fortgesetzt und ganz genau ausgeführt denken;
aber praktisch erreicht man nur zu bald eine durch
den Radius, die Teilungsmittel und das zu teilende

— Messungen — - 111

Material (früher Holz, Eisen, Messing, — jetzt ge-
wölinlich Silber) bedingte Grenze. Setzen wir z. B. die
Bogenlänge einer Minute 2r7i : 360 • 60 gleich einer Ein-
heit, so wird r = 3437, 7468, und wenn daher jene Ein-
heit auch nur *,o""" werden soll, so muss der Kreis
mehr als zweifüssig sein, ja man darf mit der direkten
Teilung bei 6— Szölligen Kreisen höchstens bis 10', bei
20— 36zölligen bis 2' gehen.

880 [338, 9]. öer Vernier. Bei jedem zu
Winkelinstrumenten verwendeten geteilten Kreise ist
die Stellung eines Index an demselben abzulesen,
wobei von Index und Teilkreis je der Eine fest, der
Andere mit der Visiervorrichtung beweglich ist. Um
diese Ablesung genauer zu erhalten, wendete man
früher den verjüngten Maßstäben konforme Transver-
salteilungen an, während jetzt der Index durch den
Nullpunkt einer Hülfsteilung , des Vernier, ersetzt
wird: Giebt z.B. ein Kreis 10', und wünscht man
dennoch auf 10" ablesen zu können, so teilt man
einen Bogen von 59 • 10' in 60 (allgemein n — 1 in n)
gleiche Teile, so dass jeder der neuen Teile um 1 : n =
10' ( 1— 59 : 60) = 10" kleiner als ein Teil der Hauptteilung
ist, und wenn also z. B. der Nullpunkt des Vernier so
zwischen 54" 30' und 54" 40' steht, dass der f Teil-
strich desselben mit einem Teilstriche der Hauptteilung
zusammenfällt, so ist die Ablesung 54" 30' -f 7 • 10" =
54" 31' 10". — Für das Ablesemikroskop vgl. 327, —
für Untersuchung der Teilung und Elimination der
Excentricität 328.

221 [349,50]. »er Theodolit. Das wichtigste
Winkelinstrument ist der nach und nach aus dem
Astrolabium der Alten (einem geteilten Kreise mit
Dioptern) hervorgegangene Theodolit, welcher aus einem

112 — Messungen —

mit Hülfe von drei Fußsclirauben horizontal zu stellen-
den g-eteilten Kreise, dem Limbus, besteht, der ent-
weder fest ist (g-eraeiner Theodolit) oder um eine ver-
tikale Axe gedreht werden kann (Repetitions-Theodolit).
Auf einer über dem Limbus drehbaren Scheibe, der
Alidade, welche mindestens ein Paar sich diametral
gegenüberstehender Verniers trägt, stehen zwei gleich
hohe Lager für die Axe eines geraden (terrestrischer
Theodolit) oder mittelst Prisma gebrochenen Fernrohrs
(astronomischer Theodolit oder Universalinstrument),
an welche wieder ein geteilter Kreis, der Höhenkreis,
angesteckt ist, dessen Vernier-Paar an einem der Lager
sitzt. Jede Veränderung in der Lage des Fernrohrs
Avird somit von selbst in eine horizontale und eine
vertikale zerlegt, und man kann daher mit demselben
gleichzeitig Horizontalwinkel und Höhendifferenzen
messen, sobald dasselbe gehörig aufgestellt und korri-
giert ist. Zu letztem! Zwecke wird die Libelle auf
die Axe des Fernrohrs gesetzt, dieses über eine der
Fußschrauben gebracht, und nun die Libelle einge-
stellt: dann wird die Libelle verkehrt auf die Axe ge-
setzt, und vom allfälligen Ausschlag die Hälfte an der
Fußschraube, der Rest an der Libelle selbst korrigiert ;
nachher dreht man die Alidade um 180", und verbessert
einen neuen Ausschlag der Libelle zur Hälfte an der
Fußschraube, zur Hälfte am einen Lager; hierauf
stellt man die Axe parallel zu den beiden andern
Fußschrauben, und bringt mit ihnen nochmals die
Libelle zum Einspielen. Sodann stellt man das Faden-
kreuz des Fernrohrs genau auf einen Gegenstand ein,
legt hierauf das Fernrohr in seinen Lagern um, oder
führt es nach Drehen der Alidade um 180 " durch
Durchschlagen auf den Gegenstand zurück, und ver-
bessert endlich die Hälfte der Abweichung an den

— Messungen — 113

Stellschrauben des Fadenkreuzes oder Prisma's. Für
die Messung- von Höhenwinkeln vgl. 225, — für die
Axenlibelle 329»

Z2Z [352]. Der Spieg^elisextant. Neben dem

Theodoliten ist der kein Stativ erfordernde, also zur

See brauchbare und auf Reisen bequeme Spiegelsextant

das wichtigste Winkelinstrument. Er besteht aus einem

pr Kreissektor , auf dessen

/b Ebene ein (oben unbelegter)

B y^y^' Spiegel A parallel zur Null-

'"^'z 'K^" ' ^' linie der Teilung des Sek-

/ /\? \\ tors fest aufsitzt. Ein zweiter

*^ T^^'—— S^^Xs ^ Spiegel B ist auf einem dreli-

/i/^...—^^^^^^^^^^ ^ baren Eadius befestigt, und

trägt zugleich den Index

für die Ablesung. Dem Spiegel A endlich steht ein

Fernrohr F so gegenüber, dass seine optische Axe und

die Verbindungslinie der beiden Spiegel an A mit der

Normale gleiche Winkel bilden. Visiert man nach einem

Gegenstande D, und dreht dann B so, dass man nach

derselben Richtung durch doppelte Reflexion einen

Gegenstand C zu sehen glaubt, so erhält man aus der

Ablesung a den Winkel ß, welchen D und C am Auge

bestimmen nach

ß = 2S — 2- = 2 [90 + S — (90 + r)] = 2a

oder auch direkt, indem man jedem Teilstriche das
Doppelte seines Wertes beischreibt , und zur Prüfung
des Parallelismus von A mit der Nulllinie oder zur
Auffindung des sog. Koilimationsfehiers hat man ein-
fach nachzusehen, welchen Wert ß für einen sehr fernen
Gegenstand annimmt. — Für die Messung von Höhen-
winkeln vgl. 225.

Wolf, Taschenbuch 8

114

— Messungen —

223 [348]. Die Reduktion aaf Centrum
and Horizont. Kann man sich im Scheitel eines
Winkels A nicht aufstellen, so misst
man von einem benachbarten Punkte
aus den Winkel D, und hat sodann,
wenn der Direktionswinkel a und die
Excentricität e ermittelt sind, nach
83 und 108

A = D + 6 Si (a + D) : b • Si 1^' - e Si a : c . Si 1'' t
Bezeichnet a den wahren, A den Horizontalwinkel
zweier Objekte der Zenitdistanzen b und c, so hat
man (160:4)

a) ___ _ a + b H- c
2

„ A i/Sis.Si(s —

^«2 = r-^b-:si^

wo s

224. Die so?. Triaus:ulationen. Verbindet
man eine Keihe von Punkten unter-
einander und mit einer bekannten
Basis durch eine Kette von Drei-
ecken oder ein Dreiecksnetz, und
misst dessen Winkel, so kann man
die Distanz irgend zweier dieser
Punkte und die Koordinaten sämt-
licher Punkte berechnen, und damit
die sicherste Grundlage für eine
Detailaufnahme erhalten. Meistens
werden die Koordinaten auf einen
der Punkte und seinen Meridian
bezogen, und dafür (330, 344) das
Azimut w einer ersten Seite be-
stimmt; dann hat man einerseits
X = a Co w, Xj — X — a, Co w, etc.
y = a Si w, y, = y — a, Si w^ etc 1

8

.jjt..

.X3_ _\

rois^

1 >^

/ ^

__.y

3:^^

aa

\^^

X,

\

\ ^

-y-^

w

^

N

(a.

ISO'', etc.

115

während anderseits

a _ Si at a,
a, ~ Si a, a-j

Sia^

also durch Multiplikation

Si ag • Si a^ .

..Sia,„

^■■-*Sia, -Siaj.

.•Sia,_,

Aus 2 folgt durch Differentiation

dai = da . f~-- - a, (Ct a^ . da, — Ct a., da^) Si 1^' 4

und man hat daher bei einer Triangulation auf mög-
lichst gleichseitige Dreiecke zu sehen. Aus 3 aber
folgt, wenn Aa den mittlem Fehler der Winkel und
Aa, Aa^ die Fehler der ersten und letzten Seite be-
zeichnen,
Aa„ = + Aa • a„ : a =r a^ (Ct a, — Ct a, + . . . ) Aa • Si 1"

oder durch Quadrieren und Weglassen der Glieder

mit rh

Aa„2 = a„2 [Aa2 : a^ + Aa^ • Si"^ 1" ■ V Ct^ a] 5

335 [354]. nie ;Messang: der Höhen-

-winkel. Um mit einem Theodoliten Höhenwinkel
oder Zenitdistanzen messen zu können, ist entweder
am Fernrohr nach seiner Längenrichtung eine Libelle
angehängt, um es horizontal stellen und direkt den
Winkel einer Gesichtslinie mit der Horizontalen messen
zu können, — oder es lässt sich das Fernrohr um-
schlagen , und so in zwei um 180" verschiedenen
Stellungen des Horizontalkreises auf denselben Gegen-
stand einstellen , wo nun die halbe Summe der Ab-
lesungen am Höhenkreise den Zenitpunkt, die halbe
Differenz die Zenitdistanz giebt. — Bei dem Spiegel-
sextanten misst man den Abstand vom scheinbaren

116 — Messungen —

Horizonte oder den, bei merklicher Entfernung sehr
nahe der doppelten Höhe gleichen Winkel mit dem
Spiegelbilde in einem künstlichen Horizonte. — Aus
dem Höhenwinkel a kann man bei kleiner Horizontal-
distanz b die Höhe nach h = b • Tg a berechnen, —
während bei grösserer sowohl der Depression des
Horizontes (378) , als der terrestrischen Eefraktion
(390) Eechnung zu tragen ist , wenn eine trigono-
metrische Höhenmessung wesentlich besser als die baro-
metrische (275), oder gar mit einem Nivellement (226)
vergleichbar sein soll.

336 [322]. Das IViTellirinstrument. Zum
Bestimmen kleiner Höhendifferenzen wendet man ausser
der Kanalwage (268) ein auf einem Pyramidalstativ
ruhendes Fernrohr mit Längslibelle an. Spielt die Li-
belle ein , so soll die Visur horizontal sein ; gesetzt
aber, sie habe noch eine Elevation, so wird sie, wenn

r das Instrument in a und eine

ijTi' "'7^ Messlatte (Mire) in einem um h
J^^^^^^^lp' tiefern Punkte b aufgestellt wird,
^^ letztere in 1, = X 4- i, + h treffen,

yK lll^r^^^^^^^A^ wo i, die Höhe des Okulars über
jJJ^77-r7^'.'<'^^ .^ ^jj^ ^ ^gj^ durch jene Elevation

verursachten Fehler bezeichnet. Wechselt man Instru-
ment und Mire, so erhält man 1^ = x + i^ — h, so dass

2h = l, -l,-(i, -i,) 2x = l, +l2-(i, +i2)
Ist X gehoben, so kann man die Höhendifferenz zweier
Punkte auch finden, indem man sich zwischen ihnen
aufstellt, für beide Punkte die Latthöhe abliest, und
die Differenz nimmt.

Die Mechanik.

Geh' jede Stunde einen schritt, aber geh
diesen Schritt jede Stunde , so wirst ilu
bald ans Ziel gelangen. (Born«.)

XXIII. Die reine Statik.

339 [107]. Vorbegriffe. Jede Bewegung er-
fordert Zeit, und jede Veränderung eines Bewegungs-
zustandes eine Ursache, eine sog. Kraft, die nach An-
griffspunkt, Grösse und Richtung zu bestimmen ist.
Wirken mehrere Kräfte zugleich, so nennt man sie
Komponenten, eine sie ersetzende einzelne Kraft Resul-
tante, und sagt, wenn letztere Null ist, die Kräfte
stehen im Gleichgewichte. Die Lehre vom Gleichgewichte
heisst Statik, diejenige von der Bewegung Dynamik,
ihre Verbindung Mechanik.

338 [108]. Das sog:. Kräfteparallelo-
gramm. Zwei Kräfte, welche in entgegengesetzter
Richtung an einem Punkte angebracht, sich Gleich-
gewicht halten, heissen gleich ; fügt man daher Kräften
eine ihrer Resultante gleiche, aber entgegengesetzte
Kraft, eine Gegenresultante bei, so ist Gleichgewicht.
— Der Angriffspunkt einer Kraft darf in ihrer Rich-
tung verlegt werden, vorausgesetzt, der neue Angriffs-
punkt sei mit dem alten starr verbunden. — Die Re-
sultante von Kräften , welche nach einer Geraden
wirken, ist gleich ihrer algebraischen Summe. — Die

118 — Reine Statik —

Resultante zweier gleichen Kräfte halbiert notwendig
ihren Winkel ; folglich steht ein Rhombus im Gleich-
gewichte, wenn man an zwei Gegenecken desselben je
zwei gleiche, nach den Seiten wirkende Kräfte an-
bringt. — Teilt man die Seiten eines Parallelogrammes
im Verhältnisse ihrer Länge, und verbindet die ent-
sprechenden Teilpunkte der
Gegenseiten, so zerfällt es
in Rhomben. Bringt man
nun an je zwei Gegenecken
dieser Rhomben gleiche
Kräfte an, so besteht einer-
seits Gleichgewicht ; anderseits heben sich alle Kräfte
im Innern auf, und die längs den Seiten des Parallelo-
grammes wirkenden Kräfte lassen sich auf zwei Paare
reduzieren, welche an zwei Gegeuecken wirken und
im Verhältnisse der Seiten stehen. Die Resultanten
dieser Paare müssen gleich sein und im Gleichgewichte
stehen, also nach der Diagonale wirken, und diese fällt
mit der Diagonale des von einem der Kräftepaare
bestimmten Parallelogrammes zusammen, so dass diese
die Richtung der Resultante darstellt. Sind drei Kräfte
im Gleichgewichte, so muss jede derselben die Gegen-
resultante der beiden andern sein , d. h. mit der Dia-
gonale ihres Parallelogrammes eine Gerade bilden, —
was nur eintrifft, wenn jede der Kräfte gleich der
Diagonale des Parallelogramm.es der beiden andern ist.
Die Resultante R zweier auf einen Punkt wirkenden
Kräfte P und Q fällt somit der Richtung und Grösse
nach mit der Diagonale des von ihnen bestimmten
Parallelogrammes zusammen, und man hat (103, 104)

P : Q : R = Si (a — cp) : Si cp : Si a 1

Ri = P^-f Q^-f 2PQCoa Z

— Reine Statik — 119

Ist speciell a = 90^, so wird

Tg^ = Q:P E = |/PM^=P-Seccp 3

339 [108]. itllg^enieine Reg:elii für da^i
Zasammmentsetzen und Kerleia^eii der
Kräfte. Bildet man einen Zug-, dessen Seiten den
auf einen Punkt wirkenden Kräften gleicli und parallel
sind, so stellt die Schlussseite desselben der Grösse
und Ptichtung nach die Resultante dar, und der Zug
selbst heisst Kräftepolygon. — Von zwei (in der Ebene)
oder drei (im Räume) zu einander senkrechten Kompo-
nenten ist (228) jede gleich der Resultante multipliziert
mit dem Cosinus des Winkels, den sie mit ihr bildet.
Mit Hülfe hievon findet man die Resultante mehrerer
auf einen Punkt wirkenden Kräfte , indem man jede
derselben nach zwei oder drei zu einander senkrechten
Richtungen zerlegt, nach jeder dieser Richtungen die
algebraische Summe nimmt und zu diesen Summen die
Resultante sucht.

330 [109]. »ie so;?. UVIonienfe. Fällt man
von einem Punkte eine Senkrechte auf eine Kraft, so
heisst ihr Produkt in die Kraft Moment der Kraft in
Beziehung auf den Punkt, und das Moment der Resul-
tante zweier Kräfte in Beziehung auf einen Punkt ist
(103, 97) gleich der Summe oder Differenz ihrer Mo-
mente in Beziehung auf denselben Punkt, je nachdem
der Punkt ausserhalb oder innerhalb des Winkels der
beiden Kräfte liegt.

331 [109]. Der Mittelpunkt der paral-
lelen Kräfte und der Sch^verpunkt. Zwei
Kräfte P und Q, deren Angriffspunkte mit einem
Stützpunkte fest verbunden sind, stehen im Gleich-
geAviehte, wenn ihre Resultante durch denselben geht,
also (230) ihre Momente in Beziehung auf denselben

120 — Keine Statik —

gleich sind. Bezeichnet a den Winkel der von dem
Stützpunkte auf die Kräfte gefällten Senkrechten, so
erleidet er durch sie (104) einen Druck

K, = |/P2-f Q2-2PQCoa

Die Resultaixte paralleler Kräfte ist somit gleich ihrer
Summe oder Differenz, je nachdem die Kräfte gleiche
oder entgegengesetzte Lage hahen; dabei teilt der
Angriffspunkt der Resultante die Verbindungslinie der
Angriffspunkte der Komponenten im ersten Falle von
Innen, im zweiten Falle von Aussen im reciproken
Verhältnisse der Kräfte , und heisst Mittelpunkt der
parallelen Kräfte oder, wenn alle Kräfte gleich gross
und gleich gerichtet sind, Schwerpunkt. Vgl. 133, 185
und 196.

233 [109]. Die »os- Kräftepaare. Die

Resultierende zweier entgegengesetzten parallelen und
gleichen Kräfte ist (231) Null, und wirkt in der Ent-
fernung unendlich , — d.h. zwei solche Kräfte lassen
sich nicht durch Eine Kraft ersetzen, und bilden somit
ein elementares Kräftesystem, ein Kräftepaar (couple).
Die algebraische Summe der Momente der zwei Kräfte
in Beziehung auf einen Punkt ist gleich dem Moment
des Paares genannten Produkte aus einer der Kräfte
in ihren Abstand, die sog. Breite; dabei entspricht
jedem Paare ein bestimmter Sinn, in dem es zu drehen
sucht. — Haben zwei Kräftepaare einer Ebene bei
entgegengesetztem Sinne gleiche Momente (P • p = Q • q)
und verlegt man die Angriffs-
p/ --^ -^ ^^ ,9-^ punkte der Kräfte paarweise in
/^ o^.y^ V die Durchschnittspunkte (b und
^ "^'■■-.l V'( ,---' c) ihrer Eichtungen, so sind die

<^ Resultierenden nicht nur gleich

^ sondern fallen nach entgegen-

— Reine Statik

121

g-esetzter Richtung in dieselbe Gerade (a b c d) , und
es stehen somit die beiden Kräftenpaare im Gleich-
gewichte,

233 [109]. Zaisanimensetzung: der Paare»

Paare einer Ebene können (232) durch andere von
gleichem Sinne und Momente ersetzt, somit auf gleiche
Breite gebracht, und dann durch algebraische Sum-
mierung der Kräfte auf Ein Paar reduziert werden.
— Zwei Paare in verschiedenen Ebenen lassen sich
auf gleiche Breite bringen, an die Kante versetzen,
und dann mit Hülfe des Kräfteparallelogrammes (228)
zu einem Paare vereinigen.

334 [110]. Die allsremeinen €ileicbg:e-

-wichtsbeding^ongren. Wirken auf eine Reihe von
Punkten der Koordinaten (A, B, C) Kräfte P, so zer-
lege man (229) jede nach den drei Axen in

X=:P.Coa
ersetze Z durch Z,

Y = P . Co

Z.> und Z3 ,

Z = P . Co Y 1

drehe das Paar Z.^ Z3
um 900 nach Z4 Z5
und zerlege es (233)
in die Paare X' X"
und Y'Y", — und
entsprechend verfahre
man mit X und Y.
Da nun die Momente
der Paare
p X' = A . P . Co Y
pY' = B-P.CoY *

etc. sind, so erhält man statt der Kräfte P, unter
der Annahme, dass ein Drehen von x um y nach z,.
von y um z nach x, und von z um x nach y als posi-
tiv betrachtet werde, die Kräfte und Paare

122 — Eeine Statik —

J P . Co a 2* P (B • Co a — A • Co ß)

j: p . Co ß i: p (c . Co ß — B • Co y) 3

2* P • Co T 2" P (A . Co Y — C . Co a)

welche für den Fall des Gleichgewichtes sämtlich
Null sein müssen. Um zu untersuchen, ob die Kräfte
P, wenn sie nicht im Gleichgewichte stehen, durch
eine einzelne Kraft R ersetzbar sind, fügt man ihnen
die Kraft ( — B) bei, und sieht, ob nun die Ausdrücke
3 wirklich Null werden.

XXIV. Die reine Dynamik.

335 [111]. Vorbegriffe. Den Ort eines sich
bewegenden Punktes nennt man seine Bahn, — die
Länge derselben bis zu der, einer gewissen Zeit (t)
zukommenden Lage, den dieser Zeit entsprechenden
Weg (s), — den Weg, welchen ein Punkt, infolge
seines Bewegungszustandes zur Zeit t, in einer Zeit-
einheit zurücklegt oder zurücklegen würde, Geschwin-
digkeit (c) zur Zeit t, — und die Geschwindigkeits-
zunahme in einer Zeiteinheit endlich , welche eine
Kraft, bei gleichmässigem Fortwirken wie zur Zeit t,
verursacht oder verursachen würde, die der Zeit t
entsprechende Beschleunigung (g).

336 [111]. ]>ie g^leictiförmig^e Ite^re^uiigr.

Ist bei einer Bewegung die Beschleunigung g = 0, so
heisst sie gleichförmig, und für sie ist offenbar

c = s:t s = c-t t = s:c

Teilt man entsprechend für irgend eine Bewegung den
AVeg durch die Zeit, so erhält man die ihr zukommende
mittlere Geschwindigkeit. Bewegt sieh ein Punkt gleich-

— Keine Dynamik — 123

förmig- in einem Kreise des Eadius r, so heisst v = c:r
Winkelgeschwindigkeit desselben.

237 [111]. Mie gleichförmig: beschlen-

nigrte Beweg'DUg. Ist bei einer Bewegung die
Beschleunigung g konstant, so heisst sie gleichförmig
beschleunigt, und wenn für t = 0 auch c = 0 ist, so
stellt offenbar '30= V2 • g't ibre mittlere Geschwindig-
keit vor. Man hat somit
s = V2 c • t = 1/., g-V- c = gt = |/2gs t = l/2s"rg

23S [111]. Das Parallelog:rainm der

BeM'eg^ans'en. — Bei jeder gesetzmässigen Be-
wegung ist der Weg s von der Zeit t abhängig, so dass
man s = F (t) setzen kann. — Wirken auf einen Punkt
zwei Kräfte, so wird er in jedem Momente die Gegen-
ecke des Parallelogrammes einnehmen, dessen Neben-
seiten die den einzelnen Kräften entsprechenden gleich-
zeitigen Wege darstellen, — gerade wie wenn jede
der Kräfte successive Avährend derselben Zeit allein
gewirkt hätte. — Stellen s, = F, (t) und s^ -= F., (t)
die durch zwei unter einem Winkel a auf einen Punkt
wirkende Kräfte erzeugten Wege dar, so sind (ent-
sprechend 228) die Polarkoordinaten des Punktes zur
Zeit t durch

s, • Si a

T? V = ^;^G^ •• = Vs, ^ + .^ + 2s,s, CO « 1

gegeben. Soll der Punkt einen geraden Weg beschreiben,
so muss V von t unabhängig, also F^ (t) = A • F, (t)
oder

Tgv = Sia:(A + Coa) r = F, (t)- yi + 2ACoa + A^ 8

sein. Es ist somit der Weg nur für gleichartig wir-
kende Kräfte gerade, dann aber aucli durch eine eben-
so wirkende einzelne Kraft darstellbar.

124 — Reine Dynamik —

239 [112]. Allgremeine Beziehungen ziiri^
»eben Weg:, Geiseh^vindii^keit und Be-
schleunigrung:. Für zuneliraende oder abnehmende
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hat man
immer

(V 4- Av) At ^ As ^ V . At (g -f Ag) At ^ Av ^ g • At

so dass nach der Grenzmethode

T . As ds T • Av dv d's

^ = ^^^-Ät=dt ^ = ^^^-At=dt = dt-^ ^

s=/vdt v=/g-dt

Hat ein Punkt der Masse m die Koordinaten x, y, z,.
so sind nach 1 zur Zeit t seine Bewegungsmengen
nach den Axen und deren Vermehrungen in dem fol-
genden Zeitelemente dt

dx dy dz ^ d^x ,, d^y ,, d^z
;r-, m -^^-, m ,-: und m -,--, • dt, m , , y • dt, m ^—
dt' dt dt dt- ' dt- dt-

Ist der Punkt frei und wirkt auf ihn eine beschleuni-
gende Kraft der Komponenten X Y Z, so stimmen
jene Vermehrungen mit

m-X-dt m-Y-dt m • Z • dt 3

überein, — ist er dagegen nicht frei, sondern mit an-
dern Punkten zu einem Systeme verbunden , so wird
die Einwirkung einer Kraft auf ihn, möglicherweise,
durch die Verbindungen modifiziert werden, und es
ergeben sich sodann Differenzen, welche aber so be-
schaffen sein müssen, dass sich ihre Gesamtheit für
das ganze System Gleichgewicht hält, d.h. man er-
hält (234:3) die Gleichungen

d^x d'^v d'z

Jm ^i = Im X, 2'm ^ = Vm Y, ^-m '^^; ^i'm Z 7

— Eeine Dynamik — 125

i^m ^-^ = i»!!! (zX — xZ)

oder das sog. d'Alemberl'sche Princip.

240 [113]. Das Princip der Erlialtang:
des ScIiMerpunlites. Aus weiterer Entwicklung
folgt, dass sich der Schwerpunkt eines Systemes so
hewegt, wie wenn alle Massen in ihm vereinigt wären,
und alle Kräfte direkt an ihm wirken würden, — und,
Avie ein Punkt ohne Wirkung einer äussern Ursache
in seiner Bewegung beharrt, so kann auch die Be-
wegung des Schwerpunktes eines Systemes durch blosse
Einwirkung seiner Teile aufeinander nicht verändert
werden, sondern es bewegt sich derselbe mit konstan-
ter Geschwindigkeit in einer Geraden, oder es besteht
das Princip der Erhaltung des Schwerpunktes.

341 [113]. »as Princip der ErhaUang;
der Fläclien. Wenn die Punkte eines Systemes
nur ihrer gegenseitigen Wirkung, oder Kräften unter-
worfen sind, welche nach dem Anfangspunkte der
Koordinaten wirken, so ergiebt sich das merkwürdige
Gesetz: Projiziert man die von den Eadien Vektoren
während eines Zeitelementes beschriebenen Flächen
auf eine durch den Anfangspunkt gelegte Ebene, und
multipliziert jede Projektion mit der Masse des be-
schreibenden Punktes, so ist die Summe dieser Pro-
dukte immer dem Zeitelemente proportional.

343 [113]. Die nnveränderliche Hbene.

Wenn man ein System von Flächen auf die drei Koor-

126 — Keine Dynamik —

dinatenebenen projiziert, und die erhaltenen Projek-
tionen auf irgend eine andere Ebene überträgt, so ist
die Summe der drei neuen Projektionen gleich der-
jenigen, welche man durch unmittelbares Projizieren
auf diese Ebene erhalten hätte. Ferner findet man,
dass die Quadratsumme der Projektionen auf drei zu
einander senkrechte Ebenen einen von der Lage dieser
Ebenen unabhängigen Wert hat, während die einzelne
Summe für eine bestimmte Ebene einen Maximalwert
annimmt, und zwar ist die Lage dieser Letztern für
die 241 zu Grunde liegenden Voraussetzungen von der
Zeit unabhängig, so dass sie als eine unveränderliche
Ebene zu betrachten ist.

343 [114]. öie Hanptaxen. Versteht man
(264) unter dem Trägheitsmom.ente eines Körpers in
Beziehung auf eine Axe die Summe der Produkte
jedes seiner Elemente in das Quadrat seines Abstandes
von derselben, so giebt es für jeden Körper drei zu
einander senkrecht stehende Axen, sog. Hauptaxen,
welche die merkwürdige Eigenschaft haben, dass Einer
von ihnen das grösste und einer Andern das kleinste
Trägheitsmoment zugehört. Sie fallen bei einem homo-
genen Ellipsoide mit den geometrischen Hauptaxen
(197) zusammen.

344 [114]. l>ie aug^enblickliche Rota-
tionsa:Ke. Alle in einem gegebenen Zeitmomente
ruhenden Punkte eines rotierenden Körpers liegen in
einer durch den Durchschnittspunkt der Hauptaxen
gehenden Geraden, der „Axe instantane de rotation".
Wirken auf den Körper keine äussern Kräfte, und
dreht er sich zu einer gewissen Zeit sehr nahe um
diejenige seiner Hauptaxen, der das grösste oder
kleinste Trägheitsmoment entspricht, so macht jene

— Keine Dynamik — 127

Eotationsaxe im Laufe der Zeit nur kleine und perio-
discli wiederkehrende Schwankungen um die ursprüng-
liche Lage und die benachbarte Hauptaxe, ja es bleibt
Letztere, wenn sie es einmal war, beständig Rotations-
axe; entspricht dagegen der benachbarten Hauptaxe
das mittlere Trägheitsmoment, so kann die geringste
Störung die Rotationsverhältnisse total verändern. Es
ist also in ersterm Falle die Stabilität gesichert, wäh-
rend im zweiten ein labiler Zustand vorhanden ist.

Die Physik.

Wir dringen nur bis zu der Wahrheit Pforte,
— Verhüllt bleibt, das dahinter brennt,
das Licht, — „Ursach und Wirkung" sind
nur Täuschungsworte, — die Wirkung
kennen wir, den Urgrund nicht.

(Bodenstedt.)

XXV. Physikalische Vorbegriffe.

345 [118]. Allgremeine Eig^enschaften
Äer Materie. Jedes Materielle muss zu jeder Zeit
einen bestimmten Eaum einnehmen , d. li. ausgedehnt
und undurchdringlich sein; ausserdem scheinen Be-
weglichkeit, Teilbarkeit, Trägheit oder Beharrungs-
vermögen, wechselseitige Anziehung, Porosität und
Ausdehnbarkeit allgemeine Eigenschaften der Materie
zu sein. Wirkung und Gegenwirkung sind gleich. Die
Mitteilung der Bewegung erfordert Zeit.

346 [118, 151]. XeilliarkeU nnd Ausdehn-
barkeit. Jeder Körper lässt sich auf verschiedene
Weise in kleinere Teile zerlegen. Da er aber (248)
sowohl einem solchen Zerkleinern, als auch einem Zu-
sammenpressen einen Widerstand entgegensetzt, so
nimmt man an, dass er aus sich anziehenden kleinen
Teilchen, sog. Molekülen (250), bestehe, deren Summe
seine Masse bilde, und dass diese von sich abstossen-
den Partikelchen eines den ganzen Kaum erfüllenden
Stoffes, des Äthers, umlagert seien, — dass er sich so-
mit je weilen in einem Gleichgewichtszustande befinde,

— Physikalische Vorbegrüfe — 129

der jedoch durch eine auf ihn einwirkende Kraft ab-
geändert werden könne. So z. B. dehnt sich ein Körper
bei Zunahme der Wärme und Abnahme des Druckes
aus . und umgekehrt wird die Wärme durch die Aus-
dehnung einer Flüssigkeit (Weingeist, Quecksilber) in
einem Gefässe mit engem, kalibriertem Halse, einem
Thermometer, genfessen; die Fundamentalpunkte der
Skale sind der Schmelzpunkt des Eises (bei Reaumur
und Celsius mit 0, bei Fahrenheit mit 32 bezeichnet)
und der Siedepunkt des Wassers am Meere (80^ bei R.,
100 bei C, 212 bei F.). Der Barometerstand (273) am
Meere ist zu TGO™'" angenommen ; beträgt er 760 + d,
so ist die Siedehitze (100 ± t) " C. , wo nach Arago
und Dulong

t = 0,037818 . d + 0,000018563 • d^ 1

Entsprechen an einer sog. Echelle arbitraire des Teil-
wertes a dem Schmelzpunkte und der Temperatur t
die Ablesungen b und x, so ist

t = a (X — b) = At -f B 3

Eutherford's Max. und Min. Thermometer besteht aus
zwei horizontal, aber entgegengesetzt liegenden Thermo-
metern, deren eines Quecksilber und eine vor ihm
liegende Stahlnadel, das andere Weingeist und ein in
ihm liegendes Glascylinderchen enthält. Sicherer ist
ein Metalithermometer, das aus zwei zusammengelöteten
Metallstreifen (z.B. Stahl und Messing) besteht, die
so zu einer Spirale aufgeAvunden sind, dass das sich
stärker ausdehnende Metall (Messing) nach aussen zu
stehen kömmt; das innere Ende der Spirale ist fest-
gemacht, während das äussere zwischen zwei Zeigern
oder mit einem Registrierapparate in Verbindung steht.
24 ^ [118]. Anziehung: nnd Ciewicht. Die
-wechselseitige Anziehung der Materie ist ihrer Masse
Wolf, Taschenbuch 9

130 — Phj'sikalische Vorbegriffe —

direkt, dem Quadrate des Abstandes verkehrt propor-
tioniert. Die Anziehung- der Erde heisst Schwere, ihre
Richtung- vertikal, die dazu senkrechte Eichtung- hori-
zontal. Die Eesultante der auf einen Körper wirkenden
Schwerkräfte nennt man sein absolutes Gewicht, — das
absolute Gewicht der Yolumeneinheit specifisches Ge-
wicht oder Eigengewicht, — die ]\l,asse der Volumen-
einheit Dichte. Als Masseneinheit dient diejenige eines
Kubikcentimeters reinen Wassers bei 4° C, das Gramm,
so dass die Masse des Kubikmeters eine Million
Gramme oder 10 Metercentner (eine Last oder Tonne)
beträgt. [V^]

348 [118]. it^sregationsziiistaud, Cohä-
sioii und Jidhäision. Man nennt einen Körper
fest, flüssig oder gasförmig, je nachdem für ihn Grösse
und Form, oder nur Grösse, oder keine von beiden
bestimmt ist. Bei Zunahme der Wärme und Abnahme
des Druckes kann ein Körper aus dem festen Aggre-
gationszustande bis in den gasförmigen übergeführt
werden. — Die festen Körper teilen sich nach dem
Widerstände gegen eine Gestaltänderung in harte
(Diamant) und weiche (Talk), dehnbare (Zinn, Platin)
und spröde (Glastropfen), — nach dem Bestreben, die
frühere Gestalt wieder anzunehmen, in elastische (Stahl^
Elfenbein) und unelastische (feuchter Thon), — nach
dem Bestreben, ihre kleinsten Teile zu einem symmet-
rischen Ganzen zu ordnen, in krystallinische (Candis-
zucker) und amorphe (Gerstenzucker). Die Kraft, welche
die Teilchen eines Körpers in ihrer gegenseitigen Lage
erhält, heisst Cohäsion, — die zwischen den Teilchen
zweier sich berührenden Körper sich zeigende An-
ziehung Adhäsion.

249. Festigkeit. Der auf der Cohäsion be-
ruhende Widerstand, den ein Körper gegen äussere

— Physikalische Vorbegriffe — 131

Kräfte leistet, welche ihn auszudehnen, zu zerdrücken,
abzubrechen oder abzudrehen streben, heisst Zug- (ab-
solute), Druck- (rückwirkende), Biegungs- (relative) oder
Drehungs- (Torsions-) Festigkeit. Sind die äussern Kräfte
nicht gross genug, um eine Trennung der Teilchen zu
bewirken, so wird doch die Gestalt des Körpers etwas
verändert; sie stellt sich aber, wenn die Kräfte auf-
hören zu wirken, innerhalb der sog. Elasticitätsgrenzen
wieder her; letztere werden durch das Verhältnis der
grössten Längenänderung zur Länge gegeben, — die
entsprechende Belastung heisst Tragmodul. Elasticitäts-
modul nennt man dasjenige Gewicht, welches ein Pris-
ma des Querschnittes 1 um seine eigene Länge aus-
dehnen oder zusammenpressen würde, — Festigkeits-
modul dagegen diejenige Kraft, Avelche die wirkliche
Trennung der Teilchen bewirkt.

350 [118]. Die clieini^iclie Verwandt-
n^chafi. Viele Körper sind durch die Thätigkeit der
sog. chemischen Verwandtschaft (Affinität) aus der Ver-
bindung einfacher (unzerlegbarer) Körper, sog. Ele-
mente, zu einem gleichartigen Ganzen hervorgegangen.
Unter Molekül (246) die kleinste Menge eines Körpers
verstehend, die für sich existieren kann, nennt man
Atom, die kleinste Menge eines Elementes, die in einem
Molekül seiner Verbindungen enthalten ist. Die che-
mischen Verbindungen erfolgen nach bestimmten Ge-
wichtsverhältnissen, Atomgewichten, oder ihren Viel-
fachen, und zwar giebt die Summe der Atomgewichte
der Bestandteile das Molekulargewicht der Verbindung.
Nicht alle Atome besitzen den gleichen Wirkungswert,
dieselbe Valenz: Der Wert des Wasserstoffatomes gleich
1 gesetzt, ergiebt als Univalente Elemente u. A. Chlor,
Brom, Jod, Kalium, Natrium, Silber;- bivalent sind
Sauerstoff, Schwefel, Calcium, Mangan, Kupfer, etc.

132 — Physikalische Vorbegriffe —

Zu den Avichtig-sten Verhindung-en der Elemente gehören
die Hydrate (Hj^drooxyde), teils die Säuren, von denen
die im Wasser löslichen sauer schmecken , und blaue
Pflanzenfarben (z. B. Lacmus) röten, — teils die Basen,
von denen die im Wasser löslichen laugenhaft schmecken
und gelbe Pflanzenfarben (z. B. Curcuma) bräunen.
Durch Zusammentreten von Säuren und Basen ent-
stehen die Salze. — Als Beispiele für chemische Vor-
gänge mögen folgende dienen: Durch Erhitzen von
Kaliumchlorat (chlorsaurem Kali) wird Sauerstoff ab-
geschieden. Übergiesst man Zinkstücke mit Wasser,
dem etwas Schwefelsäure beigesetzt ist, so erhält man
das brennbare Wasserstoffgas neben Zinkvitriol. Ver-
brennt man Phosphor unter einer mit Luft gefüllten
Glasglocke, so bleibt Stickstoff übrig. Bei gelindem
Erwärmen von Braunstein mit etwas Salzsäure ent-
wickelt sich das grünliche, erstickende Chlor. Ein
Gemenge von Sauerstoff mit dem doppelten Volumen
Wasserstoff (das sog. Knallgas) verpuff't unter Bil-
dung von Wasser , und Avenn man einer Wasserstoff-
flamme so viel Sauerstoff" zuführt, als zur vollständigen
Verbrennung nötig ist, so entsteht eine intensive Hitze.
Übergiesst man Kreide mit verdünnter Salzsäure, so
wird Kohlensäure ausgeschieden ; tröpfelt man in den
Rückstand Schwefelsäure, so fällt Gyps nieder. Etc.

XXVI. Geostatik und Geodynamik.

ZSl [119]. Itle Beschleniiig^ung: der
Sch\%ere. Wegen der ungemeinen Grösse der Erde
dürfen die auf die verschiedenen Punkte eines Körpers
wirkenden Schwerkräfte als parallel und gleich an-
gesehen werden , und zwar ist nach Borda die Be-
schleunigung der Schwere unter der Breite cp

Geostatik und Geodynamik —

133

g- ^ d"',SObbl (1 — 0,002588 Co 2cp)
und für dieses g gelten, abgesehen vom Luftwider-
stande, die 237 gefundenen Gesetze als Gesetze des
freien Falles.

353. I^tablle^ und lalillei§» dleichg^e-
M'icht. Ein Körper dessen Schwerpunkt mit seinem
Stütz- oder Aufhängepunkte in derselben Vertikalen
liegt, steht im Gleichgewichte, und zwar heisst dieses
stabil, falls der Körper nach Entfernung aus seiner
Gleichgewichtslage wieder in diese zurückkehrt, —
sonst labil.

353. öer Keil. Bezeichnet P die auf den
Eücken eines Keiles des Winkels 2a wirkende Kraft,
Q den senkrecht zu jeder der Seiten wir-
kenden Widerstand , so ist (228) für das
Gleichgewicht

P = 2 Q Si a
Ist somit a klein , so kann mit kleiner
Kraft ein grosser Widerstand überwunden werden.

354 [119]. Mie Nchiefe fibene. Liegt ein
Körper des Gewichtes P auf einer schiefen Ebene A B
und wird er nicht mit einer zu ihr parallelen Kraft
P • Si a , oder , wie bei der durch Aufwinden einer
schiefen Ebene auf einen Cylinder entstehenden Schrau-
be, mit einer nach horizontaler Eichtung wirkenden
Kraft P • Tg a gehalten, so
fällt er mit der Beschleu-
nigung g • Si a längs der
schiefen Ebene, wobei er
(237) von A bis B die Ge-
schwindigkeit ]/2ag Si a er-
hält; geht er sodann auf die schiefe Ebene BC über,
so nimmt er auf dieselbe die Geschwindigkeit

134 — Geostatik und Geodynamik —

V = ■)/2ag Si a Co (a — ß) 1

mit, welche er auf dieser selbst beim Zurücklegen des
Weges

s = v'^ : (2g • Si ß) = a Si a Co'^ (a — ß) • Cs ß 2

erhalten hätte. Er langt also in C mit der Geschwin-
digkeit

c = l/2g (a ST^o^oc^~ßy+bSi"ß) < l/2g(a^ror-f b~Si"ß) »
an, folglich mit einer kleinern Geschwindigkeit als
er beim Falle durch dieselbe Höhe A E erlangt hätte.
Diese Differenz erlischt für a = ß , d. h. auf geraden
oder krummen Bahnen wird die gleiche Geschwindig-
keit erhalten wie beim freien Falle durch dieselbe
Höhe.

355 [120]. I>as matliemaliische Pendel.

Giebt man einer starren Geraden 1, die am einen Ende
befestigt ist, am andern Ende
einen schweren Punkt trägt (einem
mathematischen Pendel) eine klei-
ne Elongation a, so fällt sie wie-
der zurück, wobei der Punkt (254)
bis zur Kückkehr nach C die Ge-
schAvindiakeit

c

>

\

/

r

\

-V ,

/

\

^^

^Hl"'^ ' " ^ c = 1/gl (a ^ - ß-^) Si V^

erlangt, welche für ß = 0 im Maximum

vr=al/pSiP' 1

wird. Mit dieser geht das Pendel über die Ruhelage
hinaus, bis es, nachdem es eine entgegengesetzte Elon-
gation a erhalten, durch die Gegenwirkung der Schwere
seine Geschwindigkeit wieder verloren, eine einfache
Schwingung vollendet hat, um sofort wieder zurückzu-
schwingen. — Denkt man sich über dem, für eine

— Geostatik und Geodynamik — 135

kleine Elong-ation zu einer Geraden werdenden Scliwing--
ung-sbog-en einen Halbkreis konstruiert, und lässt, im
Augenblicke , wo eine Schwingung- beginnt , einen
Punkt mit der konstanten Geschwindigkeit v von A
aus sich im Halbkreise bewegen, so findet man, dass
er in dem vertikal unter C liegenden Punkte D parallel
zum Schwingungsbogen die Geschwindigkeits-Kompo-
nente V • Co Y = c hat, also notAvendig zur Vollendung
seiner a • 1 • Si 1" • u langen Bahn die Schwingungszeit
t des Pendels braucht, so dass diese

t = a . 1 • Si 1" • 71 : V = TT . \/lTg 3

und somit von a unabhängig ist. Aus 2 folgen

l = gfi:iz-^ g = lTz'-:V- 21. dt -=t- dl 3

und somit für t = T oder für ein Sekundenpendei

Lr=g:rJ g = L-TJ 2L • dt = dL 4

Für g = 9'",80557 wird z. B. L = 0'",99351, und, wenn
hievon die Pendellänge nur um 1""" abweicht, so be-
trägt dies in einem Tage volle 43", 432.

Zü^ [121]. l>ais physische Pendel. Ein

phj'Sisches Pendel, bei dem starre Linie und schwerer
Punkt durch einen Stab mit Linse ersetzt sind, stellt
eine Verbindung von unzählig vielen mathematischen
Pendeln verschiedener Länge dar , von denen die
meisten gezwungen, und nur wenige, die durch die
sog. Schwingungspunkte bestimmten, frei eine mittlere
Schwungzeit inne halten. Vertauscht man den Auf-
hängepunkt mit demjenigen Schwingungspunkte, der
mit ihm und dem Schwerpunkte in einer Geraden liegt,
so wird dadurch die Schwungzeit des Pendels nicht
verändert, und man kann daher durch Versuch die
Länge des einem physischen Pendel entsprechenden
mathematischen Pendels bestimmen, indem man bei

136

Geostatik und Geod3'namik —

ersterm vertauschbare Auf hängep unkte aufsucht, und
ihre Distanz misst.

357 [122, 3]. l>ie Uhren. Die von den Alten
zur Abteilung der Zeit verwendeten Sand- und Wasser-
uhren wurden etwa vom 14. Jahrhundert hinweg nach
und nach durch Gewicht- und Federuhren verdrängt,
bei welchen die, durch die konstant wirkende Kraft
erzeugte, und durch ein sog. Echappement annähernd
gleichförmig erhaltene Bewegung mittelst eines Käder-
werkes auf ein Zeigerwerk übergetragen wurde ; aber
erst als spätestens Huygens in Letztere Pendel und
Unruhe einführte , wurden sie als Regulatoren und
Chronometer zu brauchbaren Instrumenten.

358 [111]. BallUtik. Wird ein schwerer Punkt
mit der Geschwindigkeit a unter dem Winkel a gegen

die Horizontale ge-
worfen, so sind (236,
237), wegen der gleich-
zeitigen Wirkung der
Schwere, seine Koor-
dinaten zur Zeit t

y = at Si a - 1,2 gt'- 1

woraus durch Elimination von t

y=:x(a2Si2a — gx):2a'--Co2a 3

als Gleichung der Wurflinie folgt. Es geht hieraus
hervor , dass der Punkt mit der Abscisse AB =
a2Si2a:g, der Wurfweite, zur Horizontalen zurück-
kehrt, und dass diese Abscisse für a = 45° am grössten,
für a = 450 -f ß und a = 45° — ß aber je gleich gross
wird. Ferner nimmt nach 2 die Ordinate y für AC =
a2 Si 2a : 2g einen grössten Wert CD = a^ Si^ a : 2g, die
Wurfhöhe, an. Verlegt man den Anfangspunkt der

— Geostatik und Geodynamik — 137

Koordinaten in den Scheitel D der Wurflinie, und
wählt DC als Axe, so geht 2 in

y2 = 2 • (a-^ Co^ a : g) • x »

über, und es ist daher (137) die Wurflinie, abgesehen
vom Luftwiderstande, eine Parabel. — Ist AE = a' : 2g,
so stellt EF die gemeinschaftliche Leitlinie aller Wurf-
linien dar, — der aus A mit AE beschriebene Kreis
den Ort aller Brennpunkte, — die mit AE als kleiner
und halber grosser Axe beschriebene Ellipse den Ort
aller Scheitel.

Ä59 [119]. Wer Hebel. Wirken zwei Kräfte
P und Q auf zwei Punkte, welche mit einem in deren
Ebene liegenden Stützpunkte starr verbunden sind, so
stehen sie (231) im Gleichgewichte,
wenn die Momente Pp und Qq in
o-V Beziehung auf den Stützpunkt
gleich sind. Ein solches System
heisst Hebel, und zwar doppelarmig, Winkelhebel oder
einarmig, je nachdem a = 180, < 180 oder o ist; p und
q nennt man Hebelarme. Wirkt auf einen der End-
punkte des Hebels statt einer Kraft ein zweiter Hebel,
etc., so erhält man den zusammengesetzten Hebel, an
dem Gleichgewicht ist, wenn sich Kraft zu Last wie
das Produkt der Lasthebelarme zum Produkte der
Krafthebelarme verhält. — Ist der Hebel materiell, so
ist das Moment des im Schwerpunkte wirkenden Ge-
wichtes dem Momente der in gleichem Sinne wirkenden
Kraft beizufügen.

260 [119]. Wie Wage. Bezeichnet G das Ge-
wicht eines Hebels , dessen
Schwerpunkt um d unter dem
Stützpunkte liegt i so ist (259)
derselbe bei einem Ausschlage
cp im Gleichgewichte, wenn

-^1

p

c

«1

k

' i !

0 r 1^

138 — Geostatik irnd Geodynamik —

PpCocp = QqCocp+GdSicpoderTgcp=±(Pp-Qq):Gdl

Verändert man, wie es bei der physikalischen Wage
geschieht, P, — oder, Avie es bei der Schneilwage ge-
schieht, p, bis cp = 0 wird, so ist Pp = Q<l, so dass
auf diese Weise eine unbekannte Last Q durch ein
bekanntes Gewicht P ausgedrückt oder abgewogen
werden kann. Die Wage heisst um so empfindlicher,
je grösser cp für denselben kleinen Gewichtsüberschuss
der einen Seite wird. — Eine sog. Brückenwage ist
(259, 231) im Gleichgewichte, wenn

P.ba=Q,'^-ac + Q..^^.^^.adS
^ kh kh ge

vorausgesetzt , die unbelastete
Wage sei für sich im Gleich-
gewicht. Ist sie so konstruiert,
dass ge : fg — ad : ac, so wird P • ba = Q • ac, und eine
Verschiebung von Q auf der Brücke bleibt ohne Ein-
fluss.

361 [119J. llas H'ellrad. Durch Umdrehung
eines doppelarmigen Hebels um eine durch seinen
Stützpunkt gehende Axe, erhält man ein Wellrad, und
es ist somit an diesem (259) Gleichgewicht, wenn sich
Kraft zu Last wie der Eadius der Welle zum Eadius
des Kades verhält. Sollen entsprechend dem zusammen-
gesetzten Hebel zwei Wellräder in Verbindung ge-
bracht werden , so versieht man die AVelle des ersten
und das Ead des zAveiten mit entsprechenden Er-
höhungen und Vertiefungen (Zähnen). Ein Wellrad
heisst Haspel oder Winde, je nachdem die Axe hori-
zontal oder vertikal ist, — ein gezahntes Rad Stirnrad,
Kammrad oder Kegelrad, je nachdem die Zähne Ver-
längerungen der Radien sind, oder zu denselben senk-
recht oder schief stehen.

— Geostatik und Geodj'namik — 139

362 [119]. l^ie Rollen uud Flais»c1ieiizüg:e.

Eine kreisrunde, an ihrem Umfange mit einer Rinne
zur Aufnahme eines Seiles versehene Scheihe heisst
feste Rolle, wenn sie bloss um ihr Centrum, — be-
wegliche, wenn auch letzteres beweglich ist. — Die
feste Eolle, bei welcher Kraft und Last an dem um-
g-eschlagenen Seile wirken, ist ein gleicharmiger Hebel,
und dient daher nur um die Richtung einer Kraft ab-
zuändern. Die bewegliche Rolle hängt dagegen in
einem Seile, an dessen Enden Kräfte wirken, während
die Last am Centrum angebracht ist, so dass (228) für
Gleichgewicht sich jede Kraft zur Last verhält, wie
der Radius zur Berührungssehne, also im günstigsten
Falle Avie 1 : 2. Aus Verbindung von festen und be-
Aveglichen Rollen gehen die Flaschenzüge hervor, bei
denen sich Kraft zu Last wie die Einheit zur Anzahl
sämtlicher Rollen verhält.

263 [111]. Die Ceiitralbe^i^eg^uiig:. Wird
ein sich bewegender Punkt je nach Verlauf einer Zeit
t gegen ein Centrum angezogen, so haben die von
seiner Bahn mit dem Centrum bestimmten Dreiecke
(107) gleiche Fläche, oder es gilt, da für ein unendlich
abnehmendes t die gebrochene Bahn zur Kurve wird,
das Gesetz: Bei jeder Centralbewegung werden in
gleichen Zeiten gleiche Flächen beschrieben. Diejenige
im Kreise ist somit notwendig eine gleichförmige
Bewegung, und bedarf, um die sich infolge der Träg-
heit entwickelnde Fliehkraft f zu neutralisieren, eine
ebenso grosse konstante Anziehung nach dem Mittel-
punkte. Bezeichnet a die Geschwindigkeit im Kreise
des Radius r und t die Umlaufszeit, so ist

worauf die durch die sog. Centrifugalmaschine dar-

140 — Geostatik und Geodynamik —

gestellten Erscheinungen beruhen. Analog ist für einen
zweiten, in der Zeit T einen Kreis des Eadius R durch-
laufenden Punkt

F = 47^^R:T2 so dass f : F = r • T^ : R • t^
und, wenn überdies (vgl. 406)

t^:T2 = r3:R3 speciell f:F = R«:r2 3

264 [119]. Einigte Ueflnitionen. Das Pro-
dukt aus Masse und Geschwindigkeit eines Körpers^
nennt man Menge der Bewegung , — dasjenige aus
Masse und Beschleunigung Kraft, — dasjenige aus
Kraft und Weg mechanische Arbeit, — die Hälfte des-
jenigen aus Masse und Quadrat der Geschwindigkeit
lebendige Kraft (wohl auch kinetische Energie). Die
absolute Einheit der Kraft ist das Dyn (Dyne), von
welchem 981 auf ein Gramm kommen, — diejenige
der Energie und mechanischen Arbeit ist das Erg
(Ergon), von welchem 981 erfordert werden, um ein
Gramm in einer Sekunde einen Centimeter zu heben,,
oder 10'^ mal soviel, wenn Gramm und Centimeter
durch Kilogramm und Meter ersetzt werden. Solcher
Meterkilogramme werden 75 auf eine Pferdekraft ge-
rechnet. Die Summe der Produkte aus den Elementen
eines Körpers in die Quadrate ihrer Distanzen von
einer Axe oder Ebene nennt man Trägheitsmoment
(vgl. 133 und 243).

86Ä. Wie Ijehre vom IStoisse. Folgt einer
Kugel der Masse m und Geschwindigkeit c, eine andere
Kugel der Masse M und der Geschwindigkeit C > c,
so entsteht ein Stoss. Ist dieser Stoss gerade, d.h.
geht er durch die beiden Mittelpunkte, und bezeichnen
V und V die Geschwindigkeiten nach dem Stosse, so
ist der Geschwindigkeitsverlust der Hinterkugel

— Geostatik und Geodynamik — 141

C — V = (1 -f k) • m (C - c) : (M + m) 1

und der Geschwindigkeitsgewinn der Vorderkug-el

V — c = (1 + k) . M(C - c) : (M + m) 2

wo k eine mit der Elasticität der Kugeln von 0 bis 1
ijunelimende Grösse bezeichnet.

366. Reibung: und l¥ideristand des
mittels. Die Bewegungsgesetze werden durch den
Widerstand des Mittels und die Keibung modifiziert.
Ersterer wächst mit der Dichte des Mittels und dem
Quadrate der Geschwindigkeit, hängt aber auch sehr
von der Gestalt des Körpers ab. Letztere ist bei
gleitender Bewegung von der Grösse der Berührungs-
fläche unabhängig, dagegen dem Drucke D propor-
tional, so dass der Widerstand gegen das Verschieben
W = fD ist, wo f den sog. Reibungskoefficienten be-
zeichnet. Wirkt somit eine Kraft P unter dem Winkel
a mit der Normale auf die Keibungsfläche, so ist
Gleichgewicht, wenn (229)

f . P^- Co a = P . Si a oder f = Tg a
Dieser von der Grösse der Kraft unabhängige Winkel
heisst Reibungswinkel (Abrutschungswinkel, natürliche
Böschung). Durch Anwendung von Schmiermitteln oder
Verwandlung der gleitenden in eine rollende Bewegung
kann die Reibung sehr vermindert werden,

XXVII. Hydrostatik und Hydraulik.

367 [124]. Hydrostatisches CrrundiEresetz.

In jeder Flüssigkeit pflanzt sich die Wirkung einer
Kraft nach allen Seiten fort, und der Druck auf einen
Teil der Wandung eines vollständig gefüllten und be-
grenzten Gefässes ist dessen Fläche proportional, —

142 — Hydrostatik und Hydraulik —

ein Gesetz, auf dem z.B. die Bramah'sclie Presse be-
ruht. Wird an einer Stelle der Druck aufgehoben, so
zeigt sich , wie bei Segners Wasserrad , der Gegen-
druck.

368 [124]. Weitere hydrostatisehe be-
setze. Die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit ist
infolge der Schwere and der leichten Verschiebbarkeit
der Flüssigkeitsteilchen horizontal. Der Druck auf ein
Teilchen im Innern der Flüssigkeit (folglich auch der
Gegendruck nach oben) und auf den Boden eines Ge-
fässes ist gleich dem Gewichte eines auf ihm ruhend
gedachten Flüssigkeitscylinders, und hängt nicht von
Form und Inhalt des Gefässes ab; der Druck auf eine
Stelle einer Seitenwand ist gleich dem Gewichte einer
Flüssigkeitssäule, welche dieselbe zur Grundfläche,
und die Distanz ihres Schwerpunktes vom Niveau der
Flüssigkeit zur Höhe hat. — In communizierenden
Gefässen, z. B. in den Schenkeln der Kanalwage, steht
dieselbe Flüssigkeit gleich hoch, während sich die
Höhen verschiedener Flüssigkeiten umgekehrt wie ihre
Dichten verhalten.

369 [124]. Bestimmung^ der Uiclite. Das
Gewicht der von einem Körper verdrängten Flüssig-
keit ist gleich seinem Gewichtsverluste in derselben,
und man erhält somit (246) die Dichte eines Körpers,
wenn man sein absolutes Gewicht durch seinen Ge-
wichtsverlust in reinem Wasser teilt. Ist das Gewicht
eines Körpers kleiner als dasjenige der von ihm ver-
drängten Flüssigkeit, oder schwimmt er in derselben,
so verbindet man ihn, um seine Dichte zu bestimmen,
mit einem so dichten Körper, dass noch die Verbindung
untersinkt. Je dichter eine Flüssigkeit ist, um so
weniger tief sinkt ein Körper von gegebenem Gewichte

und um so mehr muss ein Körper

— Hydrostatik und Hydraulik — 143

belastet werden, um bis zu einer bestimmten Marke
einzusinken. Auf diesen Principien beruhen die hydro-
statische Wage und die verschiedenen Aräometer.

ZVO [124]. Mie HapillarUät. Die sich in der
Adhäsion und Cohäsion (248) zeigende Molekular-
anziehung' bewirkt auch eine Modifikation des Gesetzes
der kommunizierenden Eöhren (268) , die Kapillar-
attraktion. Netzt eine Flüssigkeit die Wandungen einer
Röhre (Wasser in Glas), so steigt sie an denselben mit
konkaver Oberfläche empor, und zwar so, dass die
Höhe dem Durchmesser der Röhre umgekehrt propor-
tioniert ist. Eine nicht netzende Flüssigkeit (Queck-
silber in Glas) steht dagegen am Rande tiefer, ja
sinkt in engen Röhren mit konvexer Oberfläche unter
das Niveau, — und ebenso scheint sich eine bei ge-
wöhnlicher Temperatur netzende Flüssigkeit bei sehr
hohen Temperaturen zu verhalten. Eine verwandte
Erscheinung ist der Flüssigkeitsaustausch durch poröse
Wände oder Membranen, die sog. Endosmose und
Exosmose.

SJl [124]. Wie Auisfliisssresetze. Die Ge-
schwindigkeit des Ausflusses ist bei engen Öffnungen
gleich derjenigen zu setzen, welche beim freien Falle
durch die Druckhöhe erhalten würde, so dass (237) die
Ausflussmenge pro Sekunde durch eine Öffnung der
Fläche q für die Druckhöhe h gleich q |/2gh folgt.
Für Aveitere Öffnungen wird diese Menge durch die
im Innern der Flüssigkeit entstehenden Bewegungen
und die damit zusammenhängende Kontraktion sehr
vermindert, so dass obiger Formel ein Erfahrungs-
faktor (etwa 0,65) gegeben , oder versucht werden
muss, die Ausflussmenge durch konisch sich erweiternde
Ansatzröhren wieder zu vermehren. Der Stoss einer
bewegten Wassermasse ist gleich dem Gewichte einer

144 — Hydrostatik und Hj^draulik —

AVassersäule, deren Basis die Druckfläche ist, und
deren Höhe a' : 2g der Geschwindigkeit a des Wassers
als Druckhöhe entspricht.

Z7 2 [129]. Mie Wellenbewegruii^. Hebt
man , z. B. durch Aufsaugen , an irgend einer Stelle
einer Flüssigkeit eine Säule über das Niveau empor,
und lässt sie dann wieder los, so sinkt sie nach den
Gesetzen der Hydrostatik nieder, und geht sogar, da
die Flüssigkeit, auf welche sie fällt, nach der Seite
ausweichen kann, infolge der erhaltenen Geschwindig-
keit unter das Niveau, — es bildet sich ein Thal,
während die umgebende Flüssigkeit zu einem Berge
aufsteigt, jedoch sofort durch die Schwere wieder
niedergezogen wird, dabei nach Aussen einen neuen
Berg erzeugt, etc. Es entsteht so (und in ähnlicher
AVeise in der Luft durch den Stoss des Windes , etc.)
eine Wellenbewegung, bei der nach den Weber'schen
Versuchen jedes Flüssigkeitsteilchen in einer nahe
elliptischen Bahn oscilliert, nicht eine fortschreitende
Bewegung zeigt. Kreuzen sich verschiedene Wellen-
bewegungen, so entstehen, je nachdem dabei ein Thal
teilweise oder ganz mit einem Thale, oder aber mit
einem Berge zusammentrifft, sog. Interferenz-Erschei-
nungen.

XXVIII. Aerostatik; Pneumatik nnd
Akustik.

373 [125]. Mas Barometer. Wird eine, am
einen Ende geschlossene Köhre von ca. 1"' Länge mit
luftfreiem Quecksilber gefüllt und dann umgekehrt in
solches getaucht, so sinkt dasjenige in der Eöhre, bis

— Aerostatik, Pneumatik und Akustik — 145

sich das Gleichgewiclit mit der äussern Luft her-
gestellt hat. Die Niveau-Differenz in Röhre und Ge-
fäss, welche am Meere ca. 760™"' (28" P.) beträgt, kann
somit annähernd als Mass des Luftdruckes dienen, —
genauer ist Letzterer nach

b = a : [1 -f 0,00018018 t - 0,00001878 (x - a)] ^ a — ß • x

zu berechnen, wo a die an einer Messingskale ab-
gelesene Erhebung der Quecksilberkuppe über das Ni-
veau im Gefässe, x die in C ausgedrückte Temperatur
des Quecksilbers und Messings, a die Normaltemperatur
des der Skale zu Grunde liegenden Etalons bezeichnet,
ß = 0,00016 • a aber Tab. V*" zu entnehmen ist. Da
dieses Gefässbarometer wegen der Kapillarität (wenn
nicht die Röhre mindestens 12""" weit) etwas za kleinen
Luftdruck angiebt, und der Nullpunkt der Skale (wenn
nicht das Gefäss mindestens 120'"'" weit) beständig
verschoben werden niuss, so substituiert man ihm oft
ein Heberbarometer, das aus eiaer cylindrischen ge-
bogenen Röhre besteht, und eine Skale mit Nullpunkt
in der Mitte hat. Als Registrierapparat wird jetzt
meistens das Wagebarometer von Sprung, auf Reisen
das Aneroid von Goldschmid benutzt.

27 4 [126]. »as i^ariotte^sehe Ciesetz.

Schliesst man in einer gebogenen Röhre, deren kürzerer
Schenkel geschlossen ist, die Luft in diesem letztern
mit Quecksilber ab, und giesst dann nach und nach in
•den längern Schenkel so viel Quecksilber, dass die
Niveaudifferenz 1, 2, 3, ... (n — 1) Barometersäulen,
also der Druck auf die abgeschlossene Luft das 2, 3,
4, . . . nfache des Luftdruckes beträgt, so wird das
Volumen der letztern auf '2 > "3 > V4 > '/„ ^^^ anfäng-
lichen reduziert. Es besteht also das von Boyle und
wenig später auch von Mariotte gefundene, allerdings
Wolf. Taschenbuch IQ

146 — Aerostatik, Pneumatik und Akustik —

(vgl. 301 : 2) konstante Temperatur voraussetzende Ge-
setz: „Das Volumen einer Gasmenge ist der drückenden
Kraft umgekehrt proportioniert ," welches auch er-
laubt, aus dem Volumen rückwärts auf den Druck zu
schliessen, wie es beim Manometer geschieht.

Z7S [126, 27]. »ie ll^'psometrie. Denkt man
sich eine Luftsäule in Schichten abgeteilt, und be-
zeichnen p p, . . . Pn die Gewichte dieser Schichten,
P P, . . . P„ aber die sie drückenden Kräfte , so hat
man (274)
p : p, = P : P, , Pi : Pa = P. : P, , . . . p,_, : p„ = P„_, : P„

P, = P - p , , P3 = P, - p,„ P„=: P„_, - p,

folglich successive, wenn P : (P + p) = 71 ist

p, — p . u P2 =^ p • 71- Pn = P • '^^

Sind daher B und b die Barometerstände in den Höhen

m und n, so hat man für n — m — h

B : b = p,„ : p,. = 1 : tt*' oder h =- {Lg B — Lg b) : Lg i 1

Es ist daher die Höhendifferenz zweier Stationen der
Differenz der Logarithmen gleichzeitiger Barometer-
stände an denselben proportional, — jedoch abgesehen
von dem Einflüsse der Lufttemperatur. Unter Berück-
sichtigung dieser letztern erhält man dagegen die
Deluc'sche Formel

h = A (Lg B — Lg b) dh = — A • db : b • Ln 10 Z
in der A den für das Argument der Summe T + t der
in C ausgedrückten Lufttemperaturen beider Stationen
aus Tab. V" zu entnehmenden Wert von 18393" [1 +
0,002 (T + t)] bezeichnet. Approximativ kann man zur
Bestimmung der ungefähren Höhe über dem Meere
(B = 760"'"' und T = t = 15 0 angenommen) die der
Formel

H' = 19445 (log 760 - log b) »

— Aerostatik, Pneumatik und Akustik — 147

entsprechende Kolumne der Tab. V benutzen. — Aus
2 folgt dh = — 7988 • db : b = 11", wenn db = 1"" und
b = 725"""' angenommen wird.

296 [124]. Die liDftpumpe. Da die Dichte
einer Gasmenge ihrem Volumen umgekehrt propor-
tioniert ist, so wird eine Luftmenge A der Dichte d,
welcher man noch einen Eaum B eingiebt, die Dichte
d, = d • A : (A + B) und nach n Wiederholungen die
Dichte

d„ = d . [A : (A + B)]"

erhalten. Ein zu diesem Zwecke geeigneter Apparat
heisst Luftpumpe, und dient zum Nachweise, dass die
Luft einen Druck ausübt, — dass sie ausdehnsam,
sowie zum Leben, Brennen und als Schallmittel er-
forderlich ist, — dass sie gegen das Fallen, Ver-
dampfen, Entweichen von Gasen aus Flüssigkeiten,
etc., einen Widerstand ausübt , — dass die Körper in
ihr einen Gewichtsverlust erleiden, — etc. Lässt man
den Baum B negativ werden, so geht die Luftpumpe
in eine Kompressionspumpe über.

3 7 7 [124]. Einige andere Apparate. Wird
in dem einen von zwei kommunizierenden Gefässen
die Luft verdünnt joder verdichtet, so steigt oder sinkt
die Flüssigkeit in demselben, bis der durch die Niveau-
differenz erzeugte Druck der Ab- oder Zunahme der
Ausdehnsamkeit Gleichgewicht hält. Hierauf beruhen
das Ansaugen, die Heber, die Pumpen, etc.

Z'SH [124]. Bestinimans: der lliehte iroii
Ga^^en. Hat ein ausgepumpter Glasballon das Ge-
wicht a, — mit trockener Luft gefüllt das Gewicht b,
— mit einem Gase unter atmosphärischem Drucke ge-
füllt das Gewicht c, — mit reinem Wasser gefüllt
aber das Gewicht d, so stellen

148 — Aerostatik, Pneumatik und Akustik —

(1) — a) : (d — a) (c — a) : (d — a) (c — a) : (b — a)

der Eeihe nach die Dichte der atmosphärischen Luft
oder des Gases in Beziehung- auf Wasser, und des
Gases in Beziehung auf Luft als Einheit dar (Tab. V").
Auf der Gewichtsdifferenz, welche verschiedene Gase
unter gleichem Drucke zeigen, beruhen die Aerostaten
oder Luftballons.

Z'S9, Die DifTusion. Die expansibeln Körper
ordnen sich untereinander auf die Dauer nicht nach
dem Gesetze der Schwere, sondern durchdring-en sich
infolge ihrer Expansivkraft. Diese Diffusion zeigt sich
z. B. in der Atmosphäre, wo Sauerstoff, Stickstoff",
Kohlensäure, Wasserdampf, etc. , je eine eigene Atmo-
sphäre bilden.

280 [152]. l>ie Hygrroskopie. Manche feste
und liquide Körper haben das Vermögen, Gase an ihrer
Oberfläche zu verdichten, ja zu absorbieren. So nehmen
z.B. Haare (mit Verlängern) , Saiten (mit Verkürzen),
etc., Wasser auf und können deshalb als Hygroskope,
zur Not als Hygrometer dienen.

3S1 [129]. Ciesehwindigrkeit und Inten-
sität des Sclialles. Jede schwingende Bewegung
von hinreichender Schnelligkeit, die sich durch ein
geeignetes Medium bis zu unserm Gehörorgane fort-
pflanzen kann, wird durch dasselbe als Schal! (Ge-
räusch, Ton) wahrnehmbar, und ist gewissen Gesetzen
unterworfen , die in der sog. Akustik abgehandelt
Averden. So beträgt die Geschwindigkeit der Fort-
pflanzung des Schalles oder der, aus abwechselnd
dichtem und dünnern Luftschichten bestehenden Schall-
wellen in trockener Luft und bei 0» Wärme 332,2'",
und nimmt mit der Feuchtigkeit und Wärme zu, wäh-
rend die Intensität des Schalles mit dem Quadrate der

— Aerostatik, Pneumatik und Akustik — 149

Entfernuno- abnimmt. Das Gehörorg-an vermag in der
Sekunde 9 Laute zu unterscheiden, und ein Körper
niuss also mindestens ^33/^ ^ ^^ == 18,5*" entfernt sein, um
einen Schall als Echo (im Gegensatze zu Nachhall) zu
reflektieren.

282 [129]. Ciesetze der Sehwing:uiig:eii.

Entfernt man eine gespannte Saite aus ihrer Kuhe-
lage, so gerät sie in Schwingungen, welche einer ent-
sprechenden Wellenbewegung in der Luft rufen , und
so einen bestimmten Ton zur Folge haben. Die Anzahl
der Schwingungen einer Saite in einer bestimmten
Zeit und die Höhe des durch sie hervorgebrachten
Tones sind der Quadratwurzel der Spannung direkt,
der Länge aber umgekehrt proportioniert. Verkürzt
man die Saite auf %, ^-^, ^;^, -/a, %, 7t5J V2J so heissen
die entsprechenden Töne: Sekunde, Terz, Quart, Quinte,
Sext, Septime und Oktave des ersten Tones. — Auf
ähnliche Weise können gespannten Membranen, Stäben,
eingeschlossenen Luftsäulen etc. durch Erregung von
Schwingungen verschiedene Töne entlockt werden. —
Saiten und elastische Platten schwingen in Abteilungen,
indem die Bildung von Knoten und Knotenlinien da-
durch bedingt wird, dass einzelne Stellen am Schwingen
verhindert werden.

XXIX. Die Optik.

3S3 [130]. Oas liicht. Jede durch das Seh-
organ vermittelte Wahrnehmung einer Erscheinung
wird dem Lichte zugeschrieben, Avelches man früher
als eine Emmission der leuchtenden Körper betrachtete,
jetzt (296) für eine durch sie bewirkte Undulation eines
äusserst feinen und elastischen Mittels, des sog. Äthers,

150 — Optik —

hält. — Triift ein Lichtstrahl auf die Grenze eines
neuen Mittels, so kehrt ein Teil desselben durch Zer-
streuung, — ein anderer durch Reflexion, für welche
die Winkel des einfallenden und reflektierten Strahles
mit der in ihre Ebene fallenden Normale einander
gleich sind, in das alte Mittel zurück, — ein dritter
Teil aber geht in das neue Mittel über, oder wird, da
dabei gewöhnlich eine Ablenkung erfolgt, gebrochen,
und zwar so, dass für dieselben Mittel das Verhältnis
der Sinuszahlen der Winkel des einfallenden und ge-
brochenen Strahles mit der in ihre Ebene fallenden
Normale, der sog. Brechungsexponent, unveränderlich
ist. — Bei derselben Lichtquelle ist die Intensität der
Beleuchtung eines Körpers einerseits dem Quadrate
der Entfernung umgekehrt proportioniert, anderseits
hängt sie von dem Cosinus des EinfallsAvinkels der
auifallenden Strahlen und von der Fähigkeit des
Körpers, das Licht zu zerstreuen, d. h. von seiner sog.
Albedo, ab. — Die Geschwindigkeit des Lichtes ist
(405, 427) etwa 300,000*"", — die Dauer eines Licht-
eindruckes auf das Auge etwa V3*.

284 [131]. Oer ebene l§piegrel. Alle Strahlen,
welche von einem leuchtenden Punkte auf einen ebenen
Spiegel fallen, werden durch diesen (283) so zurück-
geworfen, wie wenn sie direkt aus dem symmetrischen
Punkte (88) kommen würden, und dieser letztere Punkt
heisst darum Bild des erstem, — ist aber nur ein fin-
giertes, nicht ein reelles Bild, da die Strahlen nicht
wirklich durch ihn gehen. — Ein Punkt wird bei einer
bestimmten Stellung des Auges im Spiegel gesehen,
wenn die Gesichtslinie nach seinem Bilde denselben
trifft ; ferner haben Gegenstand und Bild dieselbe
Grösse. — Trifft ein Strahl auf die Kante zweier zu
einander senkrechter Spiegel ein, so bilden die beiden

— Optik — 151

reflektierten Strahlen eine Gerade, worauf der Helio-
trop von Gauss beruht. — Bildet der Winkel a zweier
Spiegel den n*''" Teil von 360", so glaubt man jeden
zwischen ihnen befindlichen leuchtenden Punkt n-fach
zu sehen, — man hat ein Kaleidoskop.

ZH& [132]. Hohlispiegrel und Honvex-

spieg^el. Von einem sphärischen Hohlspiegel des
Mittelpunktes C wird jeder von einem leuchtenden

Punkte D einfallende
^^-^, ,-q_ Strahl DM so nach MB

^-y-wrNJ' "'< ü ~ -^-^ '— -t^-Jd zurückgeworfen , dass
^^"SJ. ^.---""' (110)

>-^5§'----.^ BC : CD =: BM : MD ^

^V.

BA: AD

also (116) A, B, C, D
nahe harmonische Punkte sind. Der Punkt B, in
welchem die reflektierten Strahlen den in sich selbst
zurückgeworfenen Hauptstrahl DA schneiden , ist das
reelle Bild von D. Bezeichnen a, 2p, a die Bildweite
AB, den Radius AC, und die Gegenstandsweite AD, so
folgt aus obiger Proportion

a = ap : (a ■— p) oder l:a-f-l:a=l:p 1

Ist a sehr gross, wie z. B. für die Sonne, so wird
<x- — li, und es heisst daher p als Sonnenbildweite
Brennweite. Für a<p wird a negativ, oder es ent-
steht ein hinter dem Spiegel liegendes fingiertes Bild.
Gegenstand und Bild haben gleiche oder entgegen-
gesetzte Lage, je nachdem sie auf gleicher oder ent-
gegengesetzter Seite des Mittelpunktes liegen, — ihr
Grössenverhältnis aber stimmt mit dem Verhältnis
ihrer Abstände vom Mittelpunkte überein. — Wird
der Radius eines sphärischen Hohlspiegels negativ, so

152 — Optik —

geht er in den sphärischen Konvexspiegel (Maler-
spiegel) über, so dass für diesen

a = — ap : (a + p) oder l;a-t-l:a = — l:p Z
d. h. jedes Bild hinter dem Spiegel, aufrecht und ver-
kleinert erscheint, während cylindrische und konische
Spiegel in der Richtung der Kanten als ebene, senkrecht
zur Axe als sphärische Spiegel wirken, somit Zerr-
bilder geben.

886 [136]. »ie totale Reflexion. Bezeichnet
a den Einfallswinkel, ß den Brechungswinkel und u
den Brechungsexponenten, so ist (283)

Si a : Si ß = n : 1
so dass ein Strahl im allgemeinen in Beziehung auf
das Einfallslot zugebrochen , nicht gebrochen oder
weggebrochen wird , je nachdem n grösser , gleich
oder kleiner als Eins. Ist jedoch n < 1 und zugleich
a>Asin, so wird ß unmöglich, und es kehrt der
Strahl durch totale Reflexion in das alte Mittel zurück.

289 [168]. Oie Refraktion. Denken wir uns
die Atmosphäre als eine Folge koncentrischer und homo-
gener Schichten der Brechungs-
exponenten iJL, so verhält sich nach

283

Sie„:Sib„ = fx„^,:fx„

Avährend trigonometrisch

Sib„:Sie„^i = a..^,:a„

und es ist daher
a« • f^a • Si e„ = K+i- ^^n-^-i • Si e„^ , = T *

wo Y öine Konstante. Bezeichnen daher z und z' den
ersten und letzten Einfallswinkel (die wahre und
scheinbare Zenitdistanz), r = z — z' die Ablenkung des
Lichtes durch die Atmosphäre oder die Refraktion,

— Optik

15^

und setzt man {x^ = 1, ix^^ = n, während man die Höhe
der Atmosphäre gegen den Erdradius vernachlässigt,
so ist

Si z i:^ n Si z' oder r ;=; a • Tg- z' wo a = (n — 1) : Sil'' 8
eine für z' < 75" ganz brauchbare Formel (vgl. 332).

888 [136]. Was Prisma. Die Ablenkung a
eines Lichtstrahls infolge seines Durchganges durch

ein Prisma des Winkels b und
des Brechungsexponenten n wird
durch

Si a, = n Si ß, Si ß.^ =:^ n Si a^ 1
b = ß, -f a, a = a, + ß2 — b 8
bestimmt. Für a, = ß^ oder ß, =
a^ wird a ein Minimum, und
wenn man daher das Prisma so lange dreht, bis der
Winkel des direkten und des doppelt gebrochenen
Strahles am Auge ein Minimum a,, annimmt, so hat
man

^1 = • 2 (ao 4- b) ßi = ^4 b n = Si '/j (ao -f b) • Cs '/, b 3

889 [137j. l>ie liiiisen. Ein von zwei Kugel-
segmenten der Radien R und r begrenzter durch-
sichtiger Körper heisst bikonvexe Linse, die mit der
Centraldistanz zusammenfallende Gerade Axe derselben,
der in die Linse fallende Teil d der Axe Dicke, und

die Mitte der Dicke
Mittelpunkt. Bezeich-
net n den Brechungs-
exponenten, so er-
hält man unter An-
nahme, dass der ein-
fallende Strahl einen kleinen Winkel mit der Ax&
bilde und d vernachlässigt werden dürfe (103, 283)

154 - Optik —

1 4- 1 = (n - 1) (-^- + l) = ^ oder a =

a-p

P a — p

Es gilt also für die bikonvexe Linse dasselbe Gesetz
wie für den Hohlspiegel (285), folglich bietet sie auch
ganz analoge Erscheinungen dar. Geht R durch das
Unendliche (plankonvexe Linse) in einen negativen
Wert (konkav-konvexe Linse) über, so bleibt für E, > r
das Bestreben, die Konvergenz der Strahlen zu be-
fördern , und sie bilden mit jenen die Klasse der
Sammellinsen oder Brenngläser. Wird r > R (konvex-
konkave Linse), oder schlägt auch noch r darch das
Unendliche (plankonkave Linse) in einen negativen
Wert (bikonkave Linse) über, so wird p negativ, so
dass diese drei Linsenarten nunmehr mit dem sphäri-
schen Konvexspiegel (285) gleiche Eigenschaften haben,
namentlich die Divergenz der Strahlen befördern und
die Klasse der Zerstreuungslinsen bilden.

290 [143]. Weitere Ciesetze. Um die Brenn-
Aveite P einer Sammellinse zu finden, misst man die
Bildweite eines sehr entfernten Gegenstandes, z. B.
der Sonne. Ist dieselbe sehr gross, oder handelt es
sich um die Brennweite einer Zerstreuungslinse, so
verbindet mau sie mit einer Sammellinse von kleiner
BrenuAveite p , und misst die Brennweite ti der Ver-
bindung; denn, da in diesem Falle für die Hülfslinse
der Gegensatz von P als Gegenstandsweite zu be-
trachten ist, so hat man (289:1)

— oder P = *^ *

71 P p P — 71

Erzeugen sie von einem Gegenstande der Distanz a
€in Bild in der Distanz a, so hat man somit

P =r aap : [ap + ap — aa] Z

— Optik — 155

woraus folgt, dass für P — a der Gegenstand mit der
Hülfsiinse wie ein unendlich ferner Gegenstand ge-
sehen wird.

891 [145]. Camera obscara und Anjfe.

Entwirft man in einem dunkeln Räume (der Camera
obscura) mit Hülfe einer Sammellinse ein Bild eines
äussern Gegenstandes, und fängt dieses auf einer ge-
liörig präparierten Tafel auf, so erhält man mit Hülfe
einiger weiterer Manipulationen eine sog. Photographie
jenes Gegenstandes. -- Der Camera obscura entspricht
das Auge, in welchem das durch die Krystalllinse er-
zeugte Bild von der Netzhaut aufgefangen werden
soll. Das Auge kann sich nun zwar, indem es mit
Hülfe der Innern Muskulatur die Form der Linse ab-
ändert, der Gegenstandsweite a etwas accomodieren;
aber wenn diese, um den Sehwinkel hinlänglich gross
zu machen, kleiner als die Sehweite h werden muss,
so bedarf es einer Hülfsiinse (Loupe) der Brennweite
p<h, um die Bildweite wieder auf (— h) zu redu-
zieren; da nämlich (289)

l:a — l:h = l:p oder h:a = l 4-h:p = m

und sich kleine Winkel wie ihre Tangenten verhalten,
so wird auf diese Weise der Sehwinkel m-mal ver-
grössert.

Z9Z [134]. Das IVIikroskop. Jedes Instrument,
das, wie schon die Loupe, dazu dient, einen kleinen
nahen Gegenstand unter einem grösseren Gesichts-
winkel zu zeigen, heisst Mikroskop. Gewöhnlich wird
mit einer Sammellinse, dem Objektive, von dem Gegen-
stande g ein reelles Bild b erzeugt, und dieses mit
einer zweiten, dem Okulare, betrachtet; seine Ver-
grösserung wird bestimmt, indem man ein Mikrometer
als Objekt unterlegt, und mit einem in der Sehweite

156

Optik —

angebrachten Massstabe vergleicht. Da man g- dent
Objektiv bis auf die Brennweite nähern, und dadurch
b (289 : 1) , bis ins Unendliche entfernen und ver-
grössern kann, so ist es möglich, durch einen blossen
gleichzeitigen Auszug der Okularröhre entweder nur
irgend eine stärkere Vergrösserung zu erhalten, oder
den Wert eines Umganges einer , mit dem im Brenn-
punkte stehenden Fadennetze verbundenen Mikrometer-
schraube mit einer als Objekt unterlegten Teilung
(s. 328) in Einklang zu bringen, — Beim Sonnen-
mikroskope wird der mit einer Sammellinse beleuchtete
Gegenstand vor den Brennpunkt einer zweiten ge-
bracht, und das Bild an einer weissen Wand auf-
gefangen.

89» [135]. »as Teleskop. Ein Instrument»
das dazu dient, einen entfernten Gegenstand unter
einem grössern Gesichtswinkel zu zeigen, heisst Tele-
skop (Fernrohr, Tubus). Bei demselben wird mittelst
einer Konvexlinse (Refraktor) oder einem Hohlspiegel
(Reflektor) der Brennweite P von dem Gegenstande
ein Bild entworfen , und dieses durch eine Loupe der
Brennweite p betrachtet (astronomisches Fernrohr), so
dass für sehr ferne Gegenstände die Länge des Fern-
rohrs gleich P -i- p ist. Um die Gegenstände aufrecht
zu sehen, wird entweder nicht das Bild selbst, sondern
ein durch eine neue Konvexlinse gebildetes verkehrtes
Bild des Bildes betrachtet (Erdfernrohr) oder es werden
die vom Objektiv kommenden Strahlen schon in der
Distanz P — p, ehe sie sich zum Bilde vereinigt haben»

mit einer konkaven
P.-pi ^-. •, .' p ,1 f\ Linse der Brennweite
p aufgefangen (hol-
ländisches Fernrohr).
— Bei dem astro-

%ectiv

Optik

157

nomischen und holländischen Fernrohr kann man sehr
nahe die sog. Vergrösserung cp : c|; durch das Verhältnis
P : p ersetzen, und dieses letztere beim astronomischen
Fernrohr leicht bestimmen, indem man das für ferne
Gegenstände ajüstierte Fernrohr gegen den Himmel
richtet, und die Durchmesser des ein- und austretenden
Lichtcylinders vergleicht (vgl. 297). Das Gesichtsfeld
ist der Fläche des Okulars proportional, — die Hellig-
keit des Bildes der Fläche des Objektives.

Ä94 [147]. Has Spektram. Lässt man durch
eine enge Spalte Sonnenlicht auf ein Prisma fallen,
und fängt den gebrochenen Lichtbüschel mit einem
weissen Schirme auf, so erhält man ein breites farbiges
Bild oder Spektrum, das einerseits die Kegenbogen-
farben: „Rot, orange, gelb, grün, blau (hellblau), indigo
(dunkelblau), violet" zeigt, so dass das Sonnenlicht
aus farbigen Strahlen besteht, deren
Brechbarkeit von rot bis violet be-
ständig zunimmt, — und anderseits
eine Menge dunkler Querstreifen,
die sog. Fraunhofer'schen Linien,
deren hauptsächlichste mit den
Buchstaben A bis H bezeichnet
werden. — Ferner ist durch neuere
Untersuchungen bekannt geworden,
dass, wenn man in einer Flamme
kleine Mengen gewisser Salze (z. B.
in einer Weingeistflamme etwas
Kochsalz) verbrennt, das entstehende
Spektrum aus einzelnen farbigen
Linien (bei Kochsalz aus einer
gelben Linie besteht, — und dass,
wenn man hinter diese Flamme eine
Lichtquelle von höherer Temperatur

roth.

(Braille

.&-.

grmi

-^-»J

■bJau

inclirfo

•vrnlet

lf>8 — Optik —

und Intensität bringt (z. B. ein durch ein Knallgas*
gebläse bis zur Weissg-lut erhitztes Stückchen ge-
brannten Kalkes) das Spektrum der Flamme dadurch
umgekehrt wird , d. h. die hellen Linien in dunkle
verwandelt erscheinen. Man muss somit einerseits
schliessen, dass die dunkeln Linien im Sonnenspektrum
durch ümkehrung des Spektrums der Sonnenatmosphäre
entstehen, und dass diese z. B. Kalium, Natrium und
Hydrogen enthält, weil genau an der Stelle der diesen
Stoffen entsprechenden Linien A, D und F dunkle
Querstreifen gesehen werden, dagegen kein Lithium,
Barium, Csesium, weil die diesen Stoßen entsprechenden
Linien keine Eepräsentanten unter den Fraunhofer'schen
Linien besitzen, — und anderseits, dass drei Arten
von Spektren zu unterscheiden sind : Das von undurch-
sichtigen, mutmasslich nur von festen oder flüssigen
Körpern gelieferte kontinuierliche Spektrum, — das
von gasförmigen Körpern gebildete diskontinuierliche
Spektrum^ — und das sog. Absorptions-Spektrum, welche»
wie oben entsteht, wenn das Licht vor dem Eintritte
ins Prisma durch Dämpfe einzelner Strahlen beraubt
wird. — Endlich bleibt zu erwähnen, dass sich im
Spektrum ausserhalb rot noch Wärmestrahlen, und
ausserhalb violet chemisch wirksame Strahlen finden,
deren letztere wahrscheinlich bei einzelnen Körpern
(Fluorcalcium, etc.) momentan eine als Fluorescenz be-
zeichnete Lichterscheinung erzeugen, während andere
Körper (Diamant, Kalkspath, etc.) erst nach Entziehen
des Lichtes leuchten oder Phosphorescenz zeigen.

395 [140]. "Der Achroniatismiiis. Nach dem
Durchgange durch eine Linse treffen sich die roten
Strahlen später als die violetten, — es zeigt sich die
der Schärfe des Bildes schädliche chromatische oder
Farbenabweichung, die jedoch gehoben werden kann^

— Optik — 159

da es Körper giebt, welche bei nahe gleicher Brechung
sehr verschieden zerstreuen. Lässt man z. B. einem
Crownglasprisma von 25" ein verkehrt liegendes Flint-
glasprisma von 12" folgen, so wird die Zerstreuung,
nicht aber die Brechung gehoben, und analog kann
man aus einer Konvexlinse von Crownglas und einer
Konkavlinse von Flintglas eine achromatische Linse
zusammensetzen.

396 [148]. Interferenz und Beug^ung:.
Gewisse farbige Erscheinungen, die beim Zusammen-
treffen nahezu paralleler, durch stumpfwinklige Prismen^
dünne Ölschichten, etc. erhaltenen Lichtstrahlen, oder
beim Vorbeigehen solcher an Gitterwerken, an den
Rändern undurchsichtiger Körper, etc. entstehen, und
unter dem Namen der Interferenz und Beugungsphäno-
mene bekannt sind, haben zunächst der Undulations-
theorie (283) zum Siege verholfen, da sich jene Er-
scheinungen unter der Annahme, dass den verschie-
denen Farben Lichtwellen entsprechen, deren Länge
für rot bis violet von etwa 62 bis 42 Hundertstel-
Mikron abnehme, theoretisch rekonstruieren lassen : Je
nachdem nämlich die Wegdifferenz zweier Lichtwellen
ein Vielfaches einer Wellenlänge , oder ein ungerades
Vielfaches einer halben Wellenlänge beträgt, so ver-
stärken oder schwächen sich dieselben, — und wie ein
Teil eines Strahles aufgehoben wird, so tritt notwendig
die komplementäre Farbe hervor.

397 [148]. Uie Uoppeltbrechung:. Be-
trachtet man durch einen Doppelspath einen Punkt,
so sieht man ihn doppelt, und zwar bewegt sich beim
Drehen des Krystalles das eine Bild um das andere in
einem Kreise, des Halbmessers 6*^ 12' = 372'. Um eben-
soviel wird der Mittelpunkt eines Kreises versetzt,
und wenn somit die beiden Bilder eines auf einer fernen

160 — Optik —

Tafel verzeichneten Kreises, die man durch einen vor
das Okular eines Fernrohrs gebrachten Doppelspath
sieht, sich tangieren, so ist sein scheinbarer Durch-
messer 2cp durch das Fernrohr auf 372' gebracht, d. h.
es ist die Vergrösserung des Letztern gleich 372 : 2cp.
Eine Gerade erscheint, wenn sie in einer durch die
stumpfen Ecken des Doppelspaths gehenden Ebene,
einem Hauptschnitte, liegt, einfach, sonst immer doppelt.

298 [148]. l>ie Polarisation. Wenn ein
Lichtstrahl unter einem Winkel von 54 '/j" auf einen
geschwärzten Glasspiegel , und nach der Reflexion
unter gleicher Neigung auf einen zweiten Spiegel ein-
fällt, so wird er, je nachdem die neue Einfallsebene
zu der ersten parallel oder senkrecht steht, noch oder
nicht mehr reflektiert. Gelangt er dagegen nach seiner
ersten Reflexion auf einen doppeltbrechenden Körper,
so erleidet er nur die gewöhnliche oder nur die un-
gewöhnliche Brechung, je nachdem der durch ihn und
die Hauptaxe gehende Hauptschnitt zur Reflexions-
ebene parallel oder senkrecht steht, etc. Die Undulations-
theorie hat unter der Annahme, dass längs eines solchen
polarisierten Strahles einander parallele , zur Fort-
pflanzungsrichtung senkrechte Vibrationen statthaben,
auch diese Erscheinungen als notwendig nachgewiesen.

XXX. Die Wärmelehre.

299 [149]. »as Wesen der Wärme. Die

sog. Wärme ist mit dem Lichte verwandt und häufig
verbunden, strahlt wie dasselbe, wird nach denselben
Gesetzen reflektiert und gebrochen, und ebenfalls nicht
mehr als Stoif, sondern als eine Bewegungsform be-
trachtet. Das Ausstrahlungsvermögen warmer Körper

— Wärmelehre — 161

hängt von ihrer Beschaifenheit ab, und nimmt nament-
lich mit der Rauhigkeit ihrer Oberfläche zu, mit der
Dichte derselben ab.

300 [149]. nie Wärmeleitniig:. Das Ver-
halten der Körper gegen das Durchlassen von Wärme-
strahlen und Lichtstrahlen ist sehr verschieden, indem
z. B das Steinsalz sehr diatherman , der fast gleich
durchsichtige Alaun sehr atherman ist. — In Beziehung
auf das durch innere Strahlung bewirkte Verbreiten
der absorbierten Wärme in einem Körper, teilen sich
die Körper in gute und schlechte Wärmeleiter. Zu den
erstem gehören Metalle und Steine, zu den letztern
Glas, Kohle, Wolle, Erden, etc. Von unten erwärmte
Flüssigkeiten und Gase scheinen bessere Wärmeleiter
zu sein, als sie wirklich sind, indem Strömungen ent-
stehen, auf denen z. B. die Luft- und Wasserheizungen
beruhen.

301 [149]. ©ie Jiusdehnnug:. Da für ein
kleines d sehr nahe (1 -}- d)" = 1 + nd , so kann die
Volumenausdehnung eines Körpers durch die Wärme
gleich dem Dreifachen, die Flächenausdehnung gleich
dem Doppelten der Längenausdehnung gesetzt werden.
— Hat ein Originalmass seine Normallänge 1 bei t^ C,
so ist, wenn a die Ausdehnung der Längeneinheit für
1« C. ist, seine Länge bei T « • C.

L = 1 [1 + a (T - t)] 1

^1 Um eine Uhr gegen die (nach 255)

schädliche Einwirkung der Wärme auf
die Pendellänge zu kompensieren, er-
setzt man entweder nach Graham die
Linse durch ein Gefäss mit Quecksilber,
oder unterbricht nach Harrison die
Pendelstange durch einen Rost, bei dem

Wolf, Taschenbuch 11

162 — Wärmelehre —

die nach oben wirkenden Stäbe z aus einem Metalle
(z. B. Zink) bestehen , das sich bedeutend stärker als
das Metall der Pendelstange (meist Eisen) ausdehnt.
— Bezeichnen v und v' die Volumina eines Gases bei
b und b'cm Barometerstand, t und t' C. Erwärmung,
so ist sein Volumen bei 16°"" und 0*^

bv h'Y' , bv 1 4- at

- so dass

76(l+at) 76(l + atO V v' 1 + at' *'

das auf verschiedene Temperaturen erweiterte Mariot-
te'sche Gesetz ist. Da a = 0,003665 ^ 1 : 273, so korre-
spondieren t = — 273° C. und v = 0, so dass man den
um 2730 C. unter dem Eispunkte liegenden Punkt un-
bedenklich als einen jeder Wärme baren absoluten
Nullpunkt betrachten kann.

303 [149]. Speciiische Wärme. Die Wärme-
menge, welche ein Kilogramm Wasser von 0^' erfordert,
damit seine Temperatur auf 1 ° steigt, nimmt man als
Wärmeeinheit oder Calorie an, und nennt sodann die
in dieser Einheit ausgedrückte Wärmemenge s, welche
irgend ein anderer Körper erfordert, damit die Tem-
peratur einer Gewichtseinheit desselben um 1° steigt,
seine speclfische Wärme (Wärmekapacität). — Taucht
man einen solchen Körper der Masse m und Temperatur
ti in ein Kilogramm Wasser der Temperatur t, , so
hat man, wenn kein Wärmeverlust entsteht, und t die
durch die Ausgleichung entstandene Temperatur be-
zeichnet,

s • m (ti — x) = X — t^

Bei Gasen, oder eigentlich strenge genommen bei allen
Körpern, hat man die specifische Wärme bei konstantem
Volumen und die bei konstantem Drucke zu unter-
scheiden, je nachdem man bei der Wärmezuführung
das Volumen der Masse, oder aber (indem man dem

— Wärmelehre — 163

Körper eine Ausdehnung' gestattet) den von aussen
stattfindenden Druck konstant erhält. Für atmo-
sphärische Luft ist z. B. die specifische Wärme bei
konstantem Volumen 0,1687, und diejenige bei kon-
stantem Drucke 0,2377.

303 [149]. l^le g^ebundeiie Wärme. Wäh-
rend ein Körper in einen höhern Aggregationszustand
tibergeht, wird alle ihm zufliessende Wärme zu dieser
Formänderung verbraucht oder gebunden (latent) —
eine Vermehrung des Wärmezuflusses hat keine Tem-
peraturerhöhung , sondern eine Beschleunigung des
Processes zur Folge. Umgekehrt wird bei Erniedrigung
des Aggregationszustandes eine entsprechende Wärme-
menge frei, worauf z. B. die Anwendung des Dampfes
zum Kochen , Waschen , etc. beruht. — Wenn ein
Körper während der W^ärmezuführung sich ausdehnt,
und unter einem äussern Drucke steht, so wird sog.
äussere Arbeit verrichtet, bei welcher eine gewisse
Wärmemenge verschwindet. Die einer Calorie ent-
sprechende Arbeit, ein mechanisches Wärme-Equivalent,
beträgt nahezu 427 Kilogrammeter.

304 [149]. Wie Verdnnstang*. Die Flüssig-
keiten gehen an der Oberfläche schon unter der Siede-
hitze in den expansibeln Zustand über, sie verdunsten,
wobei Wärme gebunden und dadurch Verdunstungskälte
erzeugt wird. Auf ähnliche Weise entsteht beim Mischen
von Schnee mit Salz, — beim Auflösen von 5 T. Sal-
miak und 15 T. Salpeter in 16 T.Wasser, — etc.,
künstliche Kälte. — Um die Spannkraft des Wasser-
dampfes zu messen, lässt man in den einen zweier
Barometer einen Wassertropfen steigen und beobachtet
die , verschiedenen Temperaturen entsprechenden Ver-
kürzungen seiner Säule; für höhere Temperaturen lässt
man den Dampf auf ein Manometer (274) wirken.

164 — Wärmelehre —

305 [152]. Aug:ast's Psychrometer and
da$» Hutton'selie Priiicip. Bezeichnen t, und
t, die Angaben eines trockenen und eines benetzten
Thermometers bei b"""' Luftdruck, e, und e., aber die
diesen Temperaturen entsprechenden Spannkräfte, so
gfiebt nach August, wenn t.^ > 0

E = e, - 0,000804 (t, - t,) b

die Spannkraft des in der Luft enthaltenen Wasser-
dampfes; E heisst absolute, das gewöhnlich in Pro-
centen gegebene Verhältnis E : e, aber relative Feuchtig-
keit. — Wenn zwei mit Feuchtigkeit gesättigte Luft-
massen von ungleicher Temperatur t, und tj, also auch
ungleicher Spannkraft s, und s^, zusammentreffen, so
entspricht (vgl. Tab. V**) ihrer Mischungstemperatur
T = V2 (ti + %) eine Spannkraft S < V2 (»i + S-j), und
es findet daher nach Hutton ein Niederschlag statt,
sei es in Form einer Wolke, sei es als Regen, Schnee,
etc.; sind sie nicht gesättigt, so werden sie zum
mindesten feuchter. Ähnliche Vorgänge haben bei
Bildung von Nebel, Tau, Reif, etc., statt.

306. Der Dampfdruck. Wenn bei ver-
dunstenden oder siedenden Flüssigkeiten die ent-
stehenden Dünste oder Dämpfe nicht weggeschafft
werden , so entsteht nach kurzer Zeit ein Gleich-
gewicht zwischen der Expansivkraft derselben und
dem auf der Flüssigkeit ruhenden Drucke. Bei ver-
mehrtem Wärmezufluss nimmt dann einerseits die
Flüssigkeit eine höhere Temperatur an, und anderseits
erreichen die Dünste oder Dämpfe eine höhere Ex-
pansivkraft und Dichte (Papinianischer Topf). —
Wenn 1 Kil. Wasser von 0« unter dem der Tempera-
tur t entsprechenden Dampfdrucke erhalten und ihm
die Wärmemeusre

— Wärmelehre — 165

q = t -f- 0,00002 1^ + 0,0000003 1^ 1

zugeführt wird, so steigt seine Temperatur auf t. Bei
weiterer Wärmezuführung- geht das Wasser in Dampf
über und hiebei überwindet die Masse während der
Volumenvergrösserung- einen äussern Druck, verrichtet
also Arbeit. Ist dieser Druck konstant, so ist die der
Arbeit entsprechende latente Wärme pro 1 Kil. ver-
dampftes Wasser

L = 31,10^- 1,096 -t-q 9

Diejenig-e Wärme, welche 1 Kil. gesättigter Wasser-
dampf mehr enthält als 1 Kil. Wasser von gleicher
Temperatur ist

P =- 575,40 - 0,791 • t 3

L und p zusammen geben den AVert, den man ge-
wöhnlich (303) kurzweg latente Wärme (Verdampfungs-
wärme) nennt, während

H = q + L + P -- 606,5 -f 0,305 • t 4

die sog. Gesamtwärme ist , Avelche man 1 Kil. Wasser
von 0" zuführen muss, um es unter konstantem Drucke
in gesättigten Dampf von f^ zu verwandeln. Das
Volumen v von 1 Kil. gesättigten Wasserdanipfes
findet sich , wenn p den Druck des Dampfes pro
Quadratmeter bedeutet,

V = 427- L : p -f 0,001"" [BT - C • |/p] : p *

wo T = 273 -f t und p in Atmosphären einzusetzen
ist, die Konstanten aber B = 0,0049287, C = 0,187815
sind. Die Dichtigkeit y des Dampfes oder das Gewicht
von einem Kubikmeter ist endlich ^ = 1:\.

307. Bie Dampfmaschine. Die doppelte
Eigenschaft der Wasserdämpfe, einerseits einer grossen
Expansivkraft fähig zu sein, anderseits dem Volumen
nach durch Abkühlung plötzlich fast ganz vernichtet

166 — Wärmelehre —

zu werden (1 YoL Dampf vod 1 Atm. Spannkraft
g'iebt 0,00059 Wasser), begründet ihre technisch so
wichtige Anwendung- auf die Dampfmaschine , bei
welcher die erzeugten Dämpfe mittelst der Steuerung
abwechselnd über und unter den Kolben im Dampf-
cylinder und von da in den Kondensator geführt
werden, Avodurch eine va et vient genannte Bewegung
des Kolbens entsteht, die durch Watt'sches Parallelo-
gramm und Balancier in eine rotierende Bewegung
verwandelt, und durch SchAvungrad und Eegulator
gleichmässig erhalten wird. Da der Druck einer Atmo-
sphäre auf 1'"'" nahe 1,033 Kil. beträgt, so stellt (264)

A = 1,033 • n • V • f Ivilogrammeter
für eine Druckfläche von f '''"' und eine Gescliwindigkeit
von v'" die mechanische Arbeit von n Atmosphären in
1' vor.

308. I>ie KläTnieerzeosuiis:. Ausser dem
Erzeugen der Wärme durch mechanische Arbeit (pneu-
matisches Feuerzeug, Feuermachen der Indianer), und
ihrem Freiwerden bei Erniedrigung des Aggregations-
zustandes (303), wird bei Concentration und Absorption
der Sonnenstrahlen (Brennpunkt, schAvarze Tücher), bei
chemischen Processen (Zündlampe), etc., Wärme er-
halten. Besonders Avichtig aber ist die Erzeugung der
Wärme beim Verbrennen, das aber nur fortdauern
kann, Avenn Brennstoff und Zündstoff genügend A^or-
handeu sind, und Ersterer durch das Verbrennen hin-
länglich erAvärmt Avird.

XXXI. Der Magnetismus.

a09 [153]. Wie masrnetiseheii Körper.

Manche Körper, besonders der Magneteisenstein, be-

— Mag-netismus — 167

sitzen die Eigenschaft, kleine Stücke Eisen, Stahl, etc.
anzuziehen, und hei freier Beweglichkeit eine bestimmte
Eichtung gegen die Weltgegenden anzunehmen, — sie
heissen magnetisch. An jedem Magnete sind Paare von
Stellen vorhanden, in denen sich diese Anziehungskraft
concentriert, die Pole, von denen der eine Nordpol, der
andere Südpol heisst, — und wenn man einen Magnet
zerbricht, so zeigt jedes Bruchstück wieder beide Pole.

31 0 [153]. Die Grnndei^enschaften.
Nähert man dem einen Pole eines Magneten den einen
Pol eines andern, so findet Anziehung oder Abstossung
statt, je nachdem die beiden Pole ungleichnamig oder
gleichnamig sind; nähert man ihm dagegen das eine
Ende eines des Magnetismus fähigen Stabes, so findet
nicht nur immer Anziehung statt, sondern das andere
Ende zeigt sofort gleichnamigen Magnetismus mit
dem diese sog. Verteilung bewirkenden Pole, — wenn
man aber den Stab zurückzieht, so behält oder verliert
er seine magnetischen Eigenschaften, je nachdem er
aus Stahl oder weichem Eisen besteht.

311 [153]. Die künistlichen Hagrnete.
Künstliche Magnete werden aus Stahlstäben durch
Streichen mit einem Magnete erzeugt: Beim sog. ein-
fachen Striche wird der Magnet wiederholt mit dem
einen Pole auf die Mitte des zu magnetisierenden
Stabes aufgesetzt, und dann bis ans Ende fortgeführt,
wodurch dies Ende den ungleichnamigen Pol erhält.
Beim sog. Doppelstriche setzt man dagegen die beiden
Pole eines Hufeisenmagneten in der Mitte des zu
magnetisierenden Stabes auf, bewegt beide Pole bis
an das eine Ende des Stabes, von da bis an das andere
Ende, und noch bis zur Mitte zurück, wodurch jedes
Ende einen mit dem ihm zunächst gekommenen Pol
xingleichnamigen Pol erhält. Verbindet man die beiden

168 — Magnetismus —

Pole durch ein Stück weiches Elsen, einen Anker, und
belastet letztern von Zeit zu Zeit etwas mehr (oder
speist den Magneten), so steigert sich die magnetische
Kraft, Avährend das Ahreissen des Ankers sie schwächt.

312 [153]. »er Uiamagnetismus, Während
sich ein zwischen die Pole eines Hufeisen-Magneten
gehrachter magnetischer Körper axial stellt, so nehmen
dagegen manche andere Körper (Wismut, Holz etc.)^
eine dazu senkrechte equatoriale Lage an, und heissen
diamagnetisch.

313 [154]. Der JBrdmagrnetismus. Hängt
man eine Stahlnadel in ihrem Schwerpunkte an einem
ungedrehten Coconfaden auf, und macht sie sodann
magnetisch, so nimmt sie nach einer Keihe von
Schwingungen nicht nur eine Ruhelage an, welche
gewisse Abweichungen vom Meridiane und von der
Horizontalen, die Deklination und Inklination zeigt,
sondern setzt auch einen von bestimmter Intensität
zeugenden Widerstand entgegen, wenn man sie aus
dieser Lage entfernen will. Bezeichnet I diese Letztere,^
H ihre horizontale, V ihre vertikale Komponente, K
das Trägheitsmoment, m die Masse und d die Ent-
fernung eines Poles der Magnetnadel von ihrer Dreh-
axe, also d-m = M das sog. magnetische Moment der
Nadel, so hat man, da eine Magnetnadel offenbar wie
ein Pendel schwingt,

"K"

in '^ = ''iwrT *^ = "/m-

V*

wo t, die Schwangzeit einer horizontal, t^ die einer
in der Inklinationsrichtung und t^ die einer lotrecht
schwingenden Nadel ist. Für die Inklination i hat
man sodann

Z

— Magnetismus — 169

und wenn ein Stäbchen von a°™ Länge, b°" Breite und
p^"" Gewicht zu einer einfachen Schwingung t* braucht,
und in der zum magnetischen Meridiane senkrechten
Lage eine in der Entfernung r befindliche Nadel um
den Winkel v ablenkt, so setzt man nach Gauss

rt r 6r Ts: V ^ ^

iL-
Tgv^ ' — "^'^ * ^~" Coi

Deklination, Inklination und Intensität sind verschie-
denen, an längere und kürzere Perioden gebundenen
Variationen unterworfen (vgl. 392), zu deren genauerer
Bestimmung Gauss ein Unifilar — und ein Bifilar-
Magnetometer mit Spiegelablesung konstruiert hat.

314 [153]. Die Kousi^ole. Eine über einem
Horizontalkreise mit Diopterlineal oder Fernrohr
schwingende , gegen die Inklination equilibrierte
Magnetnadel heisst Boussole (Kompass) und kann teils
bei Kenntnis der Deklination dazu dienen, die Welt-
gegenden oder die Orientierung irgend eines Punktes
aufzufinden, — teils, (wenn etwa Fehler von 10' über-
sehen werden können) zum Winkelmessen, indem man
am Kreise die Differenz des Standes der Nadel abliest,
welche entsteht, wenn man Diopter oder Fernrohr
successive auf zwei Winkelobjekte einstellt.

XXXII. Elektricität nnd Galvanismns.

315 [157]. Die elektrische Anmehunfs,

Manche Körper, namentlich Glas und Harze erhalten
durch Reiben mit Seide und Wolle, eine sog. elek-
trische Anziehungskraft, welche sich von der mag-
netischen dadurch unterscheidet, dass sie auf jeden
leichten Körper wirkt, nicht an Pole gebunden,

170 — Elektricität und Galvanismus —

aber auf die geriebene Stelle beschränkt ist. — Andere
Körper, wie Metalle und Kohle, werden dagegen durch
Keiben, wenigstens scheinbar, nicht elektrisch; nähert
man ihnen aber einen elektrischen Körper, so teilt
sich die Elektricität ihrer ganzen Oberfläche mit. Sie
heissen Leiter oder Konduktoren, — Körper der ersten
Art dagegen, wie auch Seide, trockene Luft, etc. Nicht-
leiter oder Isolatoren.

316 [157]. €irandeig:eDSchafteii. Um diese
Erscheinungen zu erklären, nimmt man gewöhnlich
zwei Flüssigkeiten, die positive oder Glas-Elektricität,
und die negative oder Harz -Elektricität an, deren
Trennung' den elektrischen Zustand begründet; dabei
stösst sich gleichnamige Elektricität ab, während sich
ungieiclmamige anzieht, wie sich dies z.B. bei den
sog. Elektroskopen aus Hollundermarkkügelchen , etc.
zeigt. — Nähert man einem elektrischen Körper einen
isolierten Leiter , so wird Letzterer durch Verteilung
ebenfalls elektrisch, — die ungleichnamige Elektricität
wird angezogen, die gleichnamige abgestossen. Bei
grösserer Annäherung wächst die elektrische Spannung,
und wird am Ende stark genug, um die schlechtleitende
Luft zu durchbrechen, — es entsteht ein Funke, und
der Leiter ist nun ganz mit derselben Elektricität be-
deckt, wie der elektrische Körper, Hätte man aber
vor dem Überschlagen den Leiter zurückgezogen, so
hätte er keine Spur von Elektricität gezeigt, — da-
gegen die dem elektrischen Körper entgegengesetzte,
wenn man ihm vor dem Zurückziehen durch Berührung
des abgewandten Teiles die abgestossene Flüssigkeit
entzogen hätte. Hierauf beruht das sog. Laden des
einer, z. B. durch Lederkissen mit Mussivgold ge-
riebenen Glastafel gegenüberstehenden Konduktors der
Elektrisiermaschine und einer beidseitig metallisch be-

— Elektricität und Galvanismus — 171

legten sog, Franklin'schen Tafel oder der Leidnerflasche,
— ebenso der Elektrophor, — die Influenzmaschine, etc.
317 [157]. Uie ^alTanischen Ströme and
Batterien. Wie in dem Augenblicke, wo entgegen-
gesetzt elektrische Körper durch einen Leiter, so z. B.
die beiden Belegungen einer Leidnerflasche durch einen
sog. Auslader, verbunden werden, ein momentaner
elektrischer Strom entstellt, so können auch dauernde
elektrische, oder nach ihrem Entdecker Galvani'sche
geheissene Ströme durch chemische Wirkung erregt
werden: Taucht man nämlich eine Zinkplatte in ver-
dünnte Schwefelsäure, so entwickelt sich Wasserstoff-
gas, das zunächst an der Platte aufsteigt, — amal-
gamiert zeigt sie sich fast unempfindlich gegen die
Säure, — setzt man aber noch eine Kupferplatte (— )
in die Säure und verbindet sie metallisch mit der
Zinkplatte (-f), so entstellt ein elektrischer Strom, der
durch das nunmehrige Aufsteigen des Wasserstoffgases
am Kupfer sichtbar wird. Einen kräftigern Strom er-
hält man durch Vereinigung mehrerer Elementenpaare
zu einer Kette: Entweder baut man eine Säule, bei
welcher in gleicher Folge Zink, Kupfer und eine mit
hinein Leiter (Salzwasser oder stark verdünnte Säure)
befeuchtete Tuchscheibe wechseln, eine sog. Voita'sche
Säule, — oder man taucht in eine Keilie mit ver-
dünnter Schwefelsäure gefüllter Zellen je ein Zink-
end ein Kupferelement, und verbindet die Zinkplatte
einer Zelle metallisch mit der Kupferplatte der fol-
genden Zelle, — oder man teilt, um eine Batterie von
etwas konstanterer Wirkung zu erhalten, jede Zelle
durch eine poröse Scheidewand ab, setzt in den einen
Teil ein Zinkelement in eine Lösung von Kochsalz,
In den andern ein Kupferelement in eine Lösung von
Kupfervitriol, — etc. In allen Fällen entsteht der

172 — Elektricität und Galvanismus —

Strom, sobald die äussersten Elemente durch den soir»
Polardraht miteinander verbunden werden. — Ebenso
entstehen elektrische Ströme, wenn man, wie bei der
Erdbatterie, in die feuchte Erde eine Zinkplatte, an
einer andern Stelle eine Kupferplatte eingräbt, und
beide Platten durch einen Draht verbindet, — oder,
wenn man, wie bei der thermo- elektrischen Säule, aus
zwei Streifen verschiedener Metalle einen Ring zu-
sammenlötet, und den Lötstellen verschiedene Tempera-
turen giebt, — etc.

318 [157]. Itaü Ohm'sche diesetz. Be-
zeichnet s die Stärke eines elektrischen Stromes, aus-
gedrückt in sog. „Ampere", e die in sog. „Volt'' aus-
gedrückte elektromotorische Kraft der verwendeten
Elemente, die um so grösser ist, je weiter die daza
verwendeten Stoffe in der Spannungsreihe (-f Zink,
Blei, Zinn, Eisen, Wismuth, Kupfer, Platin, Gold,.
Silber, Kohle, Graphit — ) voneinander abstehen, m die
Anzahl der Elemente, f ihre in Quadratdecimetern
gegebene Oberfläche , w, den in sog. „Ohm'' aus-
gedrückten (für Wasser sehr grossen, durch Zusatz,
von Säuren, Salzen, etc. zu vermindernden) Wider-
stand eines Elementes der Oberfläche 1, 1 die Länge
des Schliessungsdrahtes in Metern, d die Dicke des-
selben in Millimetern, und w^ den (für Eisen 6, Platin.
7, Quecksilber 39 mal so gross als für Kupfer ge-
fundenen) Widerstand eines Schliessungsdrahtes der
Dimensionen 1, so ist nach Ohm

_ md-ef Summe der elektromot. Kräfte

~ md^v, + flw., ~ Summe der Widerstände.

Für Elemente bestimmter Art ist, je nachdem 1 klein
oder gross, das erste oder das zAveite Glied im Neiyier
von überwiegender Bedeutung, und somit im erstem

— Elektricität und Galvanismus — 173

Talle s nahe proportional der Grösse, in letzterm aber
der Anzahl der Elemente, so dass man z. B. für Lokal-
batterien wenige grosse, für Linienbatterien dagegen
viele kleine Elemente verwendet.

319 [157]. Weitere Eig^enschaften. Der
galvanische Strom erhitzt dünne Leitungs- Drähte,
durchläuft sie mit einer zu 60000 Meilen angeschlagenen
Geschwindigkeit, — erregt beim Schliessen oder Öffnen
in einem benachbarten Leiter einen sog-, induzierten
Strom, der z.B. in den zur Zeit vielfach medizinisch
verwendeten Erschütterungsapparaten benutzt werden
konnte, weil er fortwährend seine Richtung- ändert,
nämlich als Öffnungsstrom g-leiche , als Schliessungs-
strom entg-egeng-esetzte Richtung- wie der erregende
Strom besitzt, — etc. Auch ist der galvanische Strom
als chemische Kraft thätig, kann, wie z. B. im Volta'
sehen Eudiometer, Wasser bilden, oder auch zersetzen,
— Kupfer aus Kupfervitriollösung in Wasser, Gold
aus Goldchloridlösung in Wasser mit unreinem Cyan-
kalium, etc. metallisch niederschlagen, und so zur sog.
Galvanoplastik behülflich sein, — etc. Zwei parallele
Polardrähte ziehen sich an oder stossen sich ab, je
nachdem der Strom sie in gleichem oder entgegen-
gesetztem Sinne durchläuft.

320 [157, 8]. Her l]lektromag:iietii§iiius
and die Teleg^rapMe. Bringt man den Polar-
draht in den magnetischen Meridian, so wird das Nord-
ende einer über demselben schwebenden Magnetnadel
für einen nach ihr sehenden , Kopf voran im Strome
sich schwimmend denkenden Beobachter links ab-
gelenkt. Wird ein weiches Eisen mit einem durch um-
sponnene Seide isolierten Polardrahte umwunden, so
wird es zum Elektro magnete, verliert aber beim Öffnen
der Kette seinen Magnetismus augenblicklich wieder,

174 — Elektricität und Galvanismus —

— während ein Stahlstab, den man (analog- 311) durch
eine solche Drahtspirale zieht, dauernde magnetische
Sättigung erhält. Umgekehrt entsteht, wenn einem
Hufeisenmagnete gegenüber ein mit einem isolierten
Kupferdrahte umwundener hufeisenförmiger Anker
rotiert, eine Magneto-Elektrisiermaschine. — Die Ab-
lenkung der Magnetnadel durch galvanische Ströme
wird zum Messen der Letztern durch eine Boussole
verwendet. — Da der Strom auch den längsten Polar-
draht fast augenblicklich durchläuft, und dieser über-
dies nach Steinheils folgenschwerer Entdeckung zur
Hälfte durch die Erde ersetzt werden kann, so wird
es möglich, in kürzester Zeit auf beliebige Distanzen.
Zeichen zu geben oder elektrische Telegraphen einzu-
richten , indem man an der einen Station den Strom
mit Hülfe eines sog. Tasters abwechselnd herstellt und
unterbricht, dadurch auf der zweiten Station einen
Elektromagneten befähigt, einen Anker abwechselnd
anzuziehen und loszulassen, folglich auch jeden mit
Letzterm in geeigneter Verbindung stehenden Apparat^
sei es ein Schreibapparat, ein Läutwerk, eine sympa-
thische Uhr, ein Chronoskop oder Chronograph, etc.,
in Thätigkeit zu setzen. Von den Schreibeapparaten
ist der von Morse mit den aus • (di) und — (doo)
kombinierten Buchstaben und Ziffern am gebräuch-
lichsten.

Geodäsie und Astronomie,

Astronomische YorbegrifFe.

O blicke, wenn den Sinn dir will die Welt
verwirren , — zum Himmel auf, wo nie
die Sterne irren. (Riickert)

XXXIII. Einleitung.

331 [1, 2]. Aufgrabe der <weodäi§iie und

itstronomie. In der Morgendämmerung- von einem
freien Standpunlvte aus eine Umschau beginnend, glaubt
man unter einem hohen Kugelgewölbe, mitten auf der
durch eine kreisrunde Linie , den zur Lotriehtung
Zenit-Nadir senkrechten Horizont, begrenzten Erde zu
stehen, — sieht dann gegen Aufgang (Morgen, Ost)
die Sonne erscheinen, sie in einem Bogen zu der dem
kürzesten Schattenwurfe längs der Mittagslinie Süd-
Nord entsprechenden Kulmination aufsteigen, nachher
dem Niedergange (Abend, West) zueilen. Bald nachdem
die Sonne ihren sog. Tagbogen vollendet, tauchen
Sterne verschiedener Art (Fixsterne, Planeten, Monde,
etc.) auf, bewegen sich ähnlich wie die Sonne, und
werden von Osten her immer wieder durch neue er-
setzt, — scheinbar und abgesehen von einzelnen Eigen-
bewegungen, wie wenn sie am Himmelsgewölbe fest
wären, und dieses sich in einem Tage um einen Pol
oder vielmehr um den entsprechenden Durchmesser,
die gegen die Mittagslinie um die Polhöhe geneigte
und mit ihr die Ebene des Meridians bestimmende
Weltaxe, drehen würde. Die sich hieran knüpfende
Wolf, Taschenbuch 12

178 ~ Einleitung —

Aufgabe, die Grösse, Gestalt, Masse und physische
Beschaifenheit der Erde und aller dieser Gestirne, so-
wie die wirklichen Gesetze ihrer Bewegung und ihres
Einflusses aufeinander zu bestimmen, fällt der von der
Sterndeuterei (Astrologie) wohl zu unterscheidenden
Astronomie anheim, in welche die ausschliesslich die
Erdmessung behandelnde, sich der praktischen Geo-
metrie (211 — 226) anschliessende Geodäsie als inte-
grierender Teil einzuschalten ist.

332 [3—6]. Die Astronomie der älte§»teii
Völker. Die ersten Astronomen bedienten sieh zur
Beobachtung ausschliesslich ihrer Sinne, und führten
Register über ihre Wahrnehmungen, — erfanden jedoch
bald den zur Sonnenuhr führenden Gnomon, Die Erde
erschien ihnen als unbeweglicher Mittelpunkt der
täglichen Bewegung des Himmelsgewölbes und der
den Wechsel der .Jahreszeiten herbeiführenden Eigen-
bewegung der Sonne. Letztere gab ihnen in Verbindung
mit den sich regelmässig folgenden Lichtgestalten des
Mondes Grundlagen für die Zeitrechnung, und in den
Finsternissen erkannten sie periodisch wiederkehrende
Erscheinungen. Zwischen Sonne und Mond fanden sie
noch zwei, und über der Sonne drei Wandelsterne auf,
welche sie nebst jenen zu Zeitregenten einsetzten, und
zuweilen sahen sie diesen sich noch einen unheimlichen
Haarstern beigesellen. — Die Griechen hatten bereits
Sand- und Wasseruhren und geteilte Kreise (Astro-
labien), mit denen sie Koordinaten der in Bilder ab-
geteilten Sterne massen. Pythagoras lehrte die Kugel-
gestalt der Erde und Eratosthenes versuchte ihre
Grösse zu messen, — Plato und Aristarch vermuteten
die Axendrehung der Erde und ihre Bewegung um die
Sonne, während Eudoxus und Aristoteles das geo-
centrische System weiter ausbauten. Hipparch schlug

— Einleitung — 179

vor, die Lage auf der Erde durch Länge und Breite
zu bestimmen, ermittelte die Grössen und Distanzen
von Sonne und Mond, fand das sog. Vorrücken der
Naclitgleichen , und suchte für die scheinbare Be-
wegung der Wandelsterne um die Erde eine zu Tafeln
führende Theorie aufzustellen, welche sodann Ptole-
mäus vollendete, und in seinem Almagest zu einem
Lehrgebäude abrundete, das die Astronomie der Grie-
chen durch Vermittlung der, namentlich ihre prak-
tischen Teile wesentlich vervollkommnenden arabischen
Astronomen Albategnius, Abul Wefa, Ihn Junis, etc.
nach dem Abendland brachte, wo sie durch Purbach,
Regiomontan und Walther ihre letzte Ausbildung er-
hielt. [XIl'j.

SS 3 [7—10]. öie Reformation der Stern-
kunde. Mit den Fortschritten der Mathematik und
Phj^sik (vgl. 3), korrespondierten diejenigen der Geo-
däsie und Astronomie : Die Instrumente, Beobachtungs-
und Berechnungsmethoden wurden verbessert, und die
Grundlagen geschaffen, auf welche Copernicus durch
die nach ihm benannte Lehre die Eeformation der
Sternkunde begann, Kepler durch Aufstellung seiner
Gesetze fortführte, und Newton durch Nachweis der
allgemeinen Gravitation vollendete. — Snellius und
Picard massen die Erde, — Galilei, Fabricius, Hevel,
Cassini, Huygens, Fatio, etc., entdeckten die Rotation
der Sonne und der Planeten , die Phasen der Venus,
die Trabanten von Jupiter, den Ring Saturns, die Be-
schaffenheit der Mondoberfläche, das Zodiakallicht, die
Existenz von Nebelflecken und veränderlichen Sternen,
die Konstitution der Milchstrasse, etc., — Cysat, Bo-
relli , Dörfel , Halley, etc. brachten die Kometen zu
Ehren, — Römer bestimmte die Geschwindigkeit des
Lichtes, Richer die Marsparallaxe, — und Gregor XIIL

180 — Einleitung- —

lialmte die von der Kirche längst verlangte Kalender-
reform an. [XII''.]

334 [11—14]. öie neuere Aistroiiomie.

Das Bedürfnis vergleichbarer Masse, genauer Karten,
sicherer Ortsbestimmungen zu Land und Wasser , zu-
verlässiger Anhaltspunkte für Chronologie, etc., und
das sich mehrende Interesse für allseitige Kenntnis
des Weltgebäudes förderten die Astronomie auch in
der neuern Zeit ungemein: Die frühem Instrumente
wurden nicht nur verbessert, und durch die Brander,
Eamsden, DoUond, Eeichenbach, Fraunhofer, etc. um
Theodolit, Meridiankreis, parallaktisch-montierte Achro-
maten mit Bing- und Schraubenmikrometern, Helio-
meter, Eegistrier-Apparate, etc. vermehrt, sondern die
Mayer , Bradley, Bessel , Gauss , etc. erfanden Be-
obachtungs- und Eechnungsmethoden zur Bestimmung
oder Elimination ihrer Fehler, — die Sternwarten
wurden zweckmässiger eingerichtet, über die ganze
Erde verbreitet und zum Teil durch Telegraphen ver-
bunden, und die astronomischen Tafeln und Sternkarten
durch Bouvard, Lindenau, Hansen, Argelander etc.
vervollkommnet ; Weidler, Montucla, Lalande, Littrow,
etc. sorgten für Geschichtswerke und Lehrbücher, —
Bode, Zach, Bohuenberger, Schumacher, etc. für raschen
Austausch der Arbeiten. Grösse, Gestalt und Gewicht
der Erde wurden durch Bouguer, La Condamine, Mas-
kelyne, Cavendish, etc., immer genauer ermittelt, —
die tägliche und jährliche Bewegung derselben teils
durch Benzenbergs und Foucaults Fall- und Pendel-
Versuche, teils durch Bradleys Entdeckung der Aber-
ration des Lichtes erwiesen; Lacaille und die zahl-
reichen Beobachter der Venusdurchgänge von 1761 und
1769 massen die Parallaxen von Mond und Sonne, —
Bessel, Struve, etc. sogar diejenigen einiger Fixsterne;

^. — Einleitung — 181

Herschel begann mit Uranus die sodann durch Piazzi,
Olbers, Hencke, etc. aufgenommene lange Reihe neuer
Planetenentdeckungen, leitete durch seine Studien über
Sonne, Mars, etc. die seither durch Schröter, Schwabe,
Mädler, Schiaparelli, etc., sowie durch Photographie
und Spektralanalyse geförderte Kenntnis der physischen
Beschaffenheit der Weltkörper ein , erstellte lange,
durch Struve, d'Arrest, Secchi, etc. wesentlich ver-
vollständigte Verzeichnisse von Himmelsnebeln und
Doppelsternen, und führte durch Nachweis der fort-
schreitenden Bewegung der Sonne, durch Aichungen,
etc. die Arbeiten der Kant und Lambert über den Bau
des Himmels energisch weiter, — Laplace endlich
sammelte die von Euler, d'AIembert, Clairaut, etc.
auf Newtons Grundlage fortgeführten Untersuchungen,
und verband sie mit eigenen Forschungen zu einem
grossen Ganzen, der Mecanicßie Celeste, die bereits,
z. B. in Leverriers Neptun-Entdeckung, die schönsten
Triumphe gefeiert hat. [XII^'.]

XXXIV. Die ersten Messungen und die
sog. tägliche Bewegung.

325 [329]. IMe liiistriimente. Um ihre Auf-
gabe auf dem einzig zuverlässigen Wege , d. h. durch
Messung und Berechnung, lösen zu können, bedarf die
Astronomie vor Allem zweckmässiger Instrumente zur
Bestimmung von Längen-, Richtungs- und Zeit-Unter-
schieden. Für Erstere kann nun zwar auf (213) , für
die Winkelinstrumente auf (219—222) , und für die
Uhren auf (257) verwiesen werden, — jedoch bleibt
noch Verschiedenes nachzutragen.

182 — Erste Messungen —

326 [329-31]. Das Fernrohr und i§ein
Fadenkreuz. Das Messen eines Winkels besteht
meistens darin, dass man den Mittelpunkt eines ge-
teilten Kreises über den Scheitel bringt, — ein mit
dem Kreise oder einem auf demselben spielenden In-
dex verbundenes Absehen successive auf die beiden
Winkelobjekte richtet, je die gegenseitige Stellung
von Kreis und Index abliest, — und schliesslich die
Differenz der Ablesungen als Mass des Winkels be-
trachtet. Die Genauigkeit der Winkelmessung hängt
also zunächst von der Schärfe ab, mit welcher die
Yisuren gemacht werden können , und wurde daher
wesentlich vergrössert, als man die Diopter durch ein
Fernrohr mit Fadenkreuz ersetzen konnte. Die Faden-
platte muss jedoch genau mit der

Faden

Bild.

Bildebene des Objektives zusammen-
fallen, sonst wechselt die gegenseitige

^ ^ j^^^Q Stellung von Faden und Bild mit der

Lage des Auges, oder es entsteht eine
Fadenparallaxe. Ferner muss man das Gesichtsfeld oder
die Faden Nachts durch Hülfsprismen oder durch
Seitenöffnungen am Okularkopfe beleuchten können.

337 [339,40]. Vas Ableiseinikroskop. Die
Genauigkeit der Winkelmessung hängt ferner von der
Sicherheit der Ablesung ab, die allerdings schon beim
Vernier (220) nicht unbedeutend ist. Immerhin wird
dieser jetzt häufig durch ein Mikroskop mit beweg-
lichem Faden ersetzt, das (292) so reguliert ist, dass
die mit einer geteilten Trommel versehene Mikrometer-
schraube eine bestimmte Anzahl von Umgängen uiacht,
um den Faden durch einen Teil der Hauptteilung zu
beweisen. — Führt man den beweglichen Faden vom
Index zum nächsten Teilstriche, so giebt die Ablesung
an der Trommel an, um Avie viel der Wert jenes Teil-

— Erste Messune-en

183

Striches zu vermehren oder zu vermindern ist, um die
Stellung des Index zu erhalten.

38S [341-45]. Die fixcentricität und die
Teilong^isfehler. Die Differenz der Ablesungen am
Kreise giebt nur dann ein richtiges Mass für den
Stellungsunterschied des Fernrohrs, wenn dessen Dreh-
punkt keine merkliche Excentricität zum Kreise, und
dieser keine erheblichen Teilungsfehler hat. Bezeichnet
nun A den Stand des Index, bei welchem er mit

seinem Drehpunkt D
und dem Mittelpunkt
C des Kreises in einer
Geraden liegt, — A,
den Stand, welchen er

an der Teilung nach

C ^ einer Drehung um ß

einnimmt, — Aj denjenigen, welchen er annehmen
sollte, um diese Drehung wirklich zu zeigen, — und
e die (bei guten Instrumenten nie ^,50""" betragende) /^
Excentricität, so hat man nahe

eSi(A2-A)_ xSiA.-yCoAj

*v«

A,=A,+ß-«=A,+ ^,g.^„ _„, , ^,g.^,

und für einen zweiten Index B des Abstandes y =
B, — A2 vom ersten, entsprechend

B, = B.

e Si (B, - A) ^ X Si B, — y Co B,

rSil-' ■" ' ' rSil"

Ist B nahe diametral von A, also Bj — A2 = 180"+ s,
wo s eine kleine Grösse ist, so hat man nach 1 und 2
'4 (Aj + B-i) = V2 (A, -f Bi) — e £ Co (A^ - A) : 2r 3
Das zweite Glied rechts hat den Maximalwert
m = + e s : 2r der viel kleiner als M = + e : r Si 1'' 4
d. h. nach 1 als der Maximalfehler einer einzelnen Ab-

184

— Erste Messungen

lesung- ist, so dass Aj -f Bi ?^ A.^ + B^ gesetzt werden

darf. — Setzt man ferner die beliebig oft, am besten

aus 12 Einstellungen von 30 zu 30°, zu ermittelnde

Grösse

B, — A, — 180« = D und x:rSir' = x^ y:rSil" = Y'Ä

so ergiebt sich mit Hülfe von 1 und 2 selir nahe

D = s + 2x' Si A, — 2y' Co Ai 6

und hier successive a und ISO^ + oc für A, einsetzend
und die beiden Gleichungen addierend, erhält man

D, +D. = 2s

oder

2* D = 12s

Man kann somit nach 7 s. ermitteln, und sodann nach
6 und (210)

X' = ",2 2" (D - c) Si Ai y' = - ^:\, ^ (D - b) Co A, 8
Tg A = y : X = y' : x' e = y Cs A = y' • r (Cs A) Si 1'^ 9
setzen. Berechnet man mit diesen Werten nach 6 rück-
wärts die Grössen D, so lässt sich aus der Differenz
zwischen den berechneten und den beobachteten D
schliessen, in wie weit sich Letztere durch die Ex-
centricität erklären lassen, und ob merkliche Teilungs-
fehler vorhanden zu sein scheinen. Ist Letzteres der
Fall, so sucht man sie bei geodätischen Beobachtungen
mit einem Repetitionstheodoliten durch Multiplikation
(216) einigermassen zu eliminieren, — bei grössern
astronomischen Instrumenten dagegen Avirklich auszu-
mitteln. Zu letzterm Zwecke stellt man zwei Ablese-

Tlißilanc

mikroskope so auf, dass ein
bestimmter Teilstrich in das
erste, ein von ihm im Sinne
der Teilung um Z = 3G0 : n
entfernter Teilstrich in das
zweite Mikroskop fällt, und
misst mit dem beweglichen

Erste Messungen —

185

Faden, um wie viel jeder der Teilstriche von dem
Index des betreffenden Mikroskopes vorwärts liegt.
Bezeichnet man sodann mit y die Distanz der beiden
Teilstriche, mit x die Distanz der Mikroskope, und
mit a, ß die erwähnten Verschiebungen des beweglichen
Fadens, so hat man offenbar y = x — a + ß, und ähn-
liche Gleichungen werden sich ergeben, wenn man bei
unverändertem Stande der Mikroskope durch Drehen
des Kreises den Teilstrich Z in das erste, folglich 2Z
in das zweite Mikroskop bringt, etc., bis der Kreis
erschöpft ist. Durch Addition aller dieser n Gleichungen

folgt aber

360o = n.x-2"'a+2'ß lO

und man kann somit x, folglich aus den einzelnen
Gleichungen die wirklichen Winkeldistanzen y be-
rechnen. Alsdann kann man in ähnlicher Weise, sei es
für andere Werte von n , sei es durch Anknüpfen an
zwei schon bekannte Teilstriche , auch andere be-
stimmen, etc.

339 [324]. »le Axeiilibclle. Die Erfüllung
aller erwähnten Vorschriften sichert aber natürlich die
Genauigkeit nur in dem
Falle , wo das betreffende
Instrument richtig aufge-
stellt wird, und hiezu muss
(vgl. 221, 339) meist die Li-
belle helfen. Soll aber diese
zum Nivellieren einer Axe
dienen, so kann sie nur auf
die , die eigentliche Axe umhüllenden Stahlzapfen,
deren Radien immer eine kleine Ungleichheit A r =
r.^ — r, haben, aufgesetzt werden. Bezeichnet nun a
den halben Winkel der Libellenfüsse und a den halben
Winkel der Lager, so hat man sehr nahe

186 — Erste Messungen —

X, = z 4- n • Ar wo n = 1 : tl • Si a • Si 1"

yj = z + (m -f n) Ar m = 1 : d • Si a • Si 1''

und analog- bei umgelegter Axe, da liiefür nur das
Yorzeiclien von Ar wechselt,

Xj = z — n-Ar y« = z — (m-|-n)Ar 3

Aus 1 und 2 aber ergeben sich

'^i' = V2(yi— y2):(m+n) x,=y,— m-Ar x.j=y., + m-Ar3

und man kann daher, da sich (212) yi und y, aus den
Ablesungen an der Libelle direkt finden lassen, sowohl
die Zapfenungleichheit, als die für sie korrigierten
Neigungen der Drehaxe berechnen. — Dreht man ein
Prisma e f in der Richtung des Pfeiles um ab, und

e ist cd nicht parallel ab, sondern

V^HH- ^ c näher, d ferner, so sinkt c,

y~i ^^^^^^ ] I während d steigt. Entsprechend

xa, ;/^ wird, wenn die Axe der Libelle

^ derjenigen des Instrumentes nicht
parallel ist, oder eine sog. Lateralabweichung hat, die
Blase, sobald man die Libelle ein wenig um die Auf-
setzlinie dreht, sich dem fernem Ende nähern.

330 [165, 6]. Die erste Bestimmang: des
9Ieridianes. Misst man mit einem Theodoliten
(221, 22n) die Horizontalwinkel a und b, welche ein
Stern bei gleichen oder sog-, korrespondierenden Höhen
Tor und nach seiner Kulmination mit einem terrest-
rischen Gegenstande bildet , so stellt , unter Voraus-
setzung der (321) angenommenen täglichen Bewegung,

w = Va (a -f b)
die AVinkeldistanz des Gegenstandes vom Meridiane
oder sein sog. Azimut vor, und da wiederholte Be-
stimmung w als unabhängig von der Wahl des Tages,
Sternes und seiner Anfangshöhe erzeigt, so ist auch

— Erste Messungen — 187

die Zulässigkeit der Voraussetzung- dargethan. Mit
Hülfe von w kann man aber den Hölienkreis des Theo-
doliten in den Meridian bringen, und ein Meridian-
zeichen einvisieren.

331 [167]. Uie erste Bestimmung^ der
Polhöhe des Beobachters und der Pol-
distanz eines Sternes. Beobachtet man mit dem
im Meridiane aufgestellten Theodoliten die Höhen
1i = ()00 — z eines Circumpolarsterues bei seinen beiden
Kulminationen, so giebt unter der frühern Voraus-
setzung ihre halbe Summe die Polhöhe 9 des Beob-
achters, ihre halbe Differenz aber die Poldistanz p
des Sternes. Ist erstere einmal gefunden, so giebt

wegen

p = 90" — cp + z

jede Beobachtung der kleinsten, auch ohne genaue
Kenntnis des Meridianes und schon mit dem Sextanten
(222—225) durch Verfolgen eines aufsteigenden Sternes
erhältliche Zenitdistanz desselben seine Poldistanz.

332 [168—70]. Bie Refraktion. Jede ge-
messene Zenitdistanz ist für die (287) ihrer Tangente
nahe proportionale Kefraktion zu verbessern. Bezeichnet
a die Kefraktionskonstante (Refraktion bei 45<>), so
ist somit für einen Circumpolarstern

900 — cp=:z + a.Tgz + p ]

zu setzen, je nachdem er in oberer oder unterer Kul-
mination steht, — für einen südlich kulminierenden
Stern aber

90 — cp = p — z — aTgz Ä

Kann man keine der Grössen p, cp, a als bekannt
voraussetzen, so beobachtet man zwei Circumpolar-
sterne in ihren beiden Kulminationen, und bestimmt
jene aus den sich nach 1 ergebenden 4 Gleichungen.

188 — Erste Messungen —

Kennt man dagegen p bereits für einzelne Sterne, so
genügt es zur Bestimmung von a und cp, einen zeni-
talen und einen etwas tief kulminierenden Stern je
einmal zu beobachten.

333 [171, 2]. ©ie Ke^ulierang* einer Uhr
nach den Sternen. Bringt man eine Uhr durch
Korrektion an ihrem Pendel oder ihrer Unruhe (257)
dahin, dass sie bei successiveu Kulminationen eines
Sternes nahezu dieselbe Zeit zeigt, so heisst sie auf
Sternzeit reguliert , und die Korrektion, welche eine
ihrer Angaben bedarf, um die entsprechende des vorher-
gehenden Tages zu ergeben, stellt ihren, von der Uhr-
korrektion (312) wohl zu unterscheidenden sog. täglichen
Gang vor, der nahe konstant sein soll. Besitzt eine
gute Uhr ein Kompensationspendel (301) oder steht
sie in einem Eaume mit konstanter Temperatur, so
wird die Variation ihres Ganges von einem Tage zum
andern nie eine volle Sekunde betragen.

334 [173, 4]. Dais fiarallaktiiseh mon-
tierte Fernrohr. Verbindet man ein Fernrohr so
mit einer Axe, dass es unter jedem beliebigen Winkel
zu derselben festgehalten werden kann, und bringt
dann diese Axe in die Richtung der Weltaxe, so heisst
das Fernrohr parallaktisch montiert. Richtet man es
auf irgend einen Stern, und dreht die Axe durch ein
Uhrwerk in einem Tage einmal gleichförmig um, so
bleibt der Stern, solange er über dem Horizonte ist,
beständig im Fernrohr, und kann, wenn er etwas helle
ist und nicht gar zu nahe an der Sonne steht, auch
am Tage (was früher trotz allen Sagen kaum möglich
war) fortwährend gesehen werden. Es ist damit offen-
bar der faktische Beweis geleistet, dass die tägliche
Bewegung wirklich genau so vor sich zu gehen scheint,
wie wenn sich die scheinbare Himmelskugel in einem
Tage umdrehen würde.

Täeiiclie Bewegung _

189

Nord

33Ä [176]. Die Stemkoordiiiateii. Um

einen Punkt der scheinbaren Himmelskugel seiner Lage
nacli zu bestimmen, wendet man seit den ältesten

Zeiten sphärische
Koordinaten an: Ent-
weder bezieht man
sich auf den Horizont,
d. h. giebt die zur
'*>«* Zenitdistanz (z) kom-
plementäre Höhe (h)
als Ordinate, das im
Sinne der täglichen
Bewegung von Süd
?iadü- bis 360° gezählte Azi-

mut (w) als Abscisse, — oder man benutzt den Equa-
tor, d. h. giebt die zur Poldistanz (p) komplementäre
Deklination als Ordinate, und die entgegengesetzt zur
täglichen Bewegung von einem festen Punkte desselben,
dem sog. Frühlingspunkte Y (350) bis 360 ^ oder
24'' gezählte Kektascension {Ai, a) als Abscisse. Ein
Parallelkreis zum Horizonte heisst Almucantarat, ein
ebensolcher zum Equator schlechtAveg Parallel, — jeder
durch den Zenit gehende grösste Kreis Höhenkreis oder
Vertikal, jeder durch den Pol gehende aber Deklinations-
kreis und sein im Sinne der täglichen Bewegung ge-
zählter Winkelabstand vom Meridiane Stundenwlnkel (s),
— der zum Meridiane senkrechte Höhenkreis erster
Vertikal, der Deklinationskreis des Frühlingspunktes
Colur der Nachtgleichen und sein Stundenwinkel Stern-
zeit (t = a-l-s). ^(^^-j

336 [177]. Vais Dreieck Poi-Zenit-^tern.
Durch Anwendung der sphärischen Trigonometrie auf
das Dreieck Pol-Zenit-Stern, den Winkel am Stern als
Variation (v) einführend, erhält man die Formeln

190

— Tägliche Bewegung

Si s : Si w : Si V : : Si z : Si p : Co cp
Co p = Si 9 • Co z — Co cp . Si z • Co w
Co z = Si cp . Co p + Co cp . Si p . Co s
Si cp = Co p . Co z + Si p • Si z • Co V
Co s = Co w • Co V + Si w • Si V • Co z
Co w = Co s . Co V — Si s • Si V • Co p
Co V = Co s • Co w -f- Si s • Si w • Si cp

Cos

•Sip =

Co z

Co cp + Si z

.Si9

Cow

Cos

•Cocp =

Coz

Si p — Si z

• Cop

• Co V

Cow

. Si z = -

-Cop

Cocp + Sip

•Sicp

• Cos

Cow

. Co cp = -

-Cop

• Si z + Si p

•Coz

•Cov

Cov

•Si z =

Si cp

Si p — Cocp

Cop

• Cos

Cov

•Sip==

Si cp

Si z -f Cocp

Coz

• Cow

Si s

• Cop=-

-Cow

Siv -f Siw

Cov

Coz

Si s

•Sicp=

Cov

Si Av — Si V

Cow

•Coz

Siw

.Coz==

Co s

• Si V -f Si s

Cov

• Cop

Siw

• Sicp =

Co V

• Si s + Si V

Co s

•Cop

Siv

• Co p = -

-Cow

• Sis 4- Siw

Co s

•Sicp

Si V

• Co z =

Co s

• Si w — Si s

Cow

•Sicp

dp =

Co V . dz

— Co

3 • dcp — Si V

Siz^

dw

dz = Co w • dcp -f Co V • dp -f Si Av • Co cp . ds 6

dcp = Co w • dz — Co s • dp — Si s • Si p • dv
deren Wichtigkeit die Folge bewähren wird.

337 [178]. Oie Tranisformatioii der
Hoordinaten. Die Alten benutzten für die Trans-
formation der Koordinaten einen Globus, während man
jetzt die Rechnung vorzieht, für welche nach 336 : 2, 4,
wenn die Hülfsgrössen x und y durch
Coz = x'.Coy' Siz.Cow==x'^Siy' 1

Co p = x" Co y" Si p . Co s = x" Si y" Z

eingeführt werden, die Formeln

Co p = x' • Si (cp — y'), Co s • Si p = x' • Co (cp — y') 3
Coz = x'^Si(cp + y'0, Cow Si z = — x"Co(cp-f y")4

— Täg-liche Bewegung — 191

folgen, nach welchen man für bekannte Werte von --p
und t, und unter Berücksichtigung, dass p und z be-
ständig konkav, s und w aber beide gleichzeitig ent-
weder konkav oder konvex sind, sowohl d = 90*' — p
und a = t — s aus z und w , als z und w aus d und
a leicht berechnen kann.

338 [179, 80]. Auf- und In t ergrau ^j £lon>
g^atiou. Für z = 90o, erhält man nach 336:2

Co s = — et p . Tg cp Co Av = — Co p . Se -^ 1

wo nun s den halben Tagbogen des Gestirnes misst, w
aber die Entfernung des Auf- oder Untergangspunktes
vom Südpunkte, deren Diiferenz von 90 ^ Morgen- oder
Abendweite heisst. Für pr=90<' wird für jedes -^, oder
für '^ = 0 (Sphsera recta der Alten) für jedes p , Tag-
bogen gleich Nachtbogen, — für 0<cp<90'' (Sphaera
obliqua) hat für p>180'' — cp gar kein Aufgang, für
p < cp kein Untergang mehr statt , und für p ^ 90 "^
wird s ^ 90°, — für cp = 90"^ endlich (Sphaera parallela)
kommen überhaupt Auf- und Untergang höchstens nocli
bei Wandelsternen vor. In dem den nördlich vom
Zenit kulminierenden Sternen entsprechenden Falle
p<900 — cp erreicht nach 336:1, 2, 4 das Supplement
von w für v = 90" ein Maximum oder der Stern eine
sog. Elongation, für welche somit

Co z = Si cp . Se p Co s = Tg cp . Tg p »

XXXV. Die Bestimmnngen im Meridiane.

»39 [376, 7]. l>er lüleridiaukreis. Da für

den 3Ieridian der Stundenwinkel Null, also die Stern-
zeit gleich der Eektascension wird, und die Zenit-
distanz mit der Differenz zwischen Polhöhe und Dekli-

192 — Bestimmung-en im Meridiane —

nation übereinstimmt, so eignet er sich ganz besonders
teils für Eegulieruug der Uhren und Ermittlung der
Polhöhe, teils für Bestimmung der Eektascension und
Deklination, und es sind für ihn eigene Instrumente,
zuerst schon im Altertum Mauerquadranten , sodann
durch Römer die sie ergänzenden Passageinstrumente,
ja auch die beide vereinigenden Meridiankreise kon-
struiert worden. Letztere bestehen im Wesentlichen
aus einem im Meridiane spielenden, mit sofort zu be-
schreibendem Fadennetze versehenen Fernrohr , und
einem an seiner Drehaxe befestigten Teilkreise, er-
lauben also, Moment und Zenitdistanz der Kulmination
eines Gestirnes zu beobachten: Symmetrischer und
möglichst stabiler Bau, — gute, von unten wirkende
Balancierung, — solide Lager mit Coulissen für verti-
kale und azimutale Verschiebung der Axe, — sichere
Klemmung und feine Bewegung, — freier, mit mikro-
skopischer Ablesung versehener Kreis, — bequemer
ümlegewagen und Beobachtungsstuhl, — etc. zeichnen
zumal die neuern dieser, für absolute Bestimmungen
jetzt fast ausschliesslich gebrauchten, Instrumente aus.
340 [378, 79, 82]. Uais Fadennetz. Dasselbe
besteht zunächst aus einem gewöhnlichen Fadenkreuze :
Der zu beobachtende Stern wird in den Horizontal-
faden eingestellt, sein Durchgang durch den Vertikal-
faden abgewartet, und sodann auch der Kreis abgelesen.
Meistens sind zu beiden Seiten des Vertikalfadens noch
Urttpj einige equidistante Seitenfaden

gespannt, an welchen die ührzeit
des Durchganges ebenfalls notiert
und sodann in folgender Weise
auf den Mittelfaden reduziert
wird: Bezeichnet t die Zeit, welche ein Stern der
Deklination d nötig hat , um die Distanz 15 x eines

— Bestimmungen im Meridiane — 193

Seitenfadens vom Mittelfaden zu durchlaufen, so hat

ar.an

Sil5x:Cod=Sil5t:Si90o

folglich mit hinlänglicher Annäherung

X = Co d . Si 15 1 : 15 • Si 1'' ^ t • Co d 1

und entsprechend, wenn t' die Zeit ist, welche ein

anderer Stern der Deklination d' braucht, um dieselbe

Distanz zurückzulegen

Sil5t' = 15x.Sir'.Sed' oder t'^x-Sed' »

Hat man daher einmal nach 1 die x für alle n Faden

bestimmt und beobachtet nun einen Stern an denselben,

so ist die wahrscheinlichste Durchgangszeit durch den

Mittelfaden

t=V„2't -f ^;n(2'x,-2'xj.Sed' ^

= Fadenmittel + Fadenkorrektion

wo 2^ t die Summe aller Uhrzeiten , 2* ^o ^^^ Summe
der östlichen, ^ x^^ die der westlichen Fadendistanzen
bezeichnet. W. Struve hat für den wahrscheinlichen
Fehler bei Angabe der Durchgangszeit eines Sternes
der Deklination d durch einen Faden bei n maliger
Yergrösserung die Formel

w„ = l/Ö^Ö722 -f (180 : n) 2 . 0,0162 . Se^ 4

aufgestellt, aus welcher, da dx = w • Co d • \/2 den auf
die Fadendistanz übergehenden Fehler giebt, hervor-
geht, dass namentlich bei stärkern Vergrösserungen
die polaren Sterne zur Bestimmung der Fadendistanz
am vorteilhaftesten sind. — Hat das Fadennetz noch
bewegliche Horizontal- und Vertikalfaden, um die
Koordinaten irgend eines Punktes im Gesichtsfelde
gegen das feste Netz bestimmen zu können, so findet
man den Wert des Ganges der zugehörenden Schrauben
.z. B. indem man mit derjenigen des Vertikalfadens eine
Wolf, Taschenbuch 13

194 — Bestimmungen im Meridiane —

der bereits bekannten Fadendistanzen misst. — Um
aus der Kreisablesung- die scheinbare Zenitdistanz des
Sternes erhalten zu können, muss der Zenitpunkt des
Kreises bestimmt werden. Meist g'iebt man hiefür nach
Bohnenbergers Vorschlage dem Fernrohr annähernd
die Eichtung- nach einem im Nadir aufgestellten Queck-
silberg-ef ässe , beleuchtet (z. B. mit Hülfe eines vor-
gesteckten Glimmerblättchens) die Faden intensiv,
bringt durch Drehen des Fernrohres den festen Hori-
zontalfaden mit seinem Spiegelbilde zur Deckung und
liest den Kreis ab, wodurch man sofort den Nadir und
daraus den Zenitpunkt erhält. — Stellt man einen
Stern schon an einem Seitenfaden ein, so ist die aus-
der Ablesung am Höhenkreise abgeleitete Zenitdistanz
z für den betreifenden Stundenwinkel s und die all-
fällige Neigung cd des Horizontalfadens um

Az = '/4 Si 2p . Si V • s2 -f s • Si p . Tg to S

zu korrigieren, wobei sich aber das zweite Glied im
Mittel aus korrespondierenden Faden hebt.

341 [382]. I>ie Personalg^leichung' und
der Chronog^raph. Während ein geübter Beob-
achter a den Durchgang eines Sternes durch einen
Faden mit einer Sicherheit von ca. 0',1 zu bestimmen
glaubt, kann er gegen einen zweiten b um eine weit
grössere Zahl a — b = p differieren. Um diese sog.
Personalgleichung, welche offenbar aus einem ungleich
verspäteten Auffassen mit Auge und Ohr resultiert,
zu bestimmen, notieren a und b die Durchgangszeiten
a und ß zweier equatorealer Sterne in der Weise, dass
a den Stern a an den ersten Faden, den Stern ß an
den letzten Faden, — b aber je das Übrige beobachtet.
Man hat dann nämlich offenbar

P = % (»a -r ßa — «b — ßb)

— Bestimmungen im Meridiane — 195

Um den Hörfehler zu eliminieren (eigentlich mit dem
gegen ihn fast verschwindenden Tastfehler zu ver-
tauschen), hat man in neuerer Zeit unter dem Namen
Chronograph folgende Einrichtung getroffen: Es geht
ein Papierstreifen ohne Ende (oder eine Walze) mittelst
eines Käderwerkes an zwei Stiften vorüber, deren jeder
mit dem Anker eines Elektromagneten verbunden ist,
und somit eine Ausweichung macht, sobald ein Strom
durchgeleitet wird, — für den einen bei jeder Elon-
gation eines Sekundenpendels, für den andern durch
Niederdrücken eines Tasters im Momente der Beob-
achtung.

343 [380, 1]. Bestimmung; der €irö»»e
und des Einflusses der Fehler. Auch bei
sorgfältig aufgestelltem Meridiankreise hat man anzu-
nehmen, dass der in Verlängerung der Axe liegende
sog. Westpunkt des Instrumentes nicht genau mit dem
eigentlichen Westpunkte zusammenfalle , also die von
ihm mit Pol, Zenit und Meridian bestimmten Bogen
und Winkel um kleine Grössen
a, b, m, n von 90" abweichen
werden, — und dass ferner der
von der optischen Axe mit der
Drehaxe gebildete Winkel eben-

^ ^ , falls um eine kleine Grösse c von

90*^ verschieden sei. Um diese
kleinen Fehler bestimmen und in Rechnung bringen
zu können , erhalten wir vorerst aus Dreieck PSW
die Beziehung

Si c = Si n • Si 5 -f Co n . Co 8 . Si (X ± m) t

wo das untere Zeichen für untere Kulminationen gültig
ist, und hieraus folgt, da neben c, m, n auch x eine
kleine Grösse ist, sehr nahe

196 — Bestimmungen im Meridiane —

x = c.Se8 — n-TgS=Fm t

Auf ähnliche Weise erhält man aus Dreieck P Z W

n = b • Si 9 — a • Co cf b = n • Si 9 + m • Co 9 3
und aus ihnen durch Elimination von n

m = b • Co 9 + a • Si cp 4

Bezeichnet man durch T die (für untere Kulminationen
um 12'' vermehrte) Rektascension des Sternes, durch t
die Uhrzeit seines Durchganges durch den Mittelfaden,
und durch At die Korrektion der Uhr gegen Sternzeit,
so hat man mit Hülfe von 2—4 die Formeln

T = t 4- At + Vi5 [m + n Tg S + c Se Ö] &

= t + At -f- ' ,5 [a Si (cp =F 5) + b Co (9 T 8) =F c] • Se S 6

von denen 5 Bessel'sche, 6 aber Mayer'sche Formel
heisst, und bei welchen man das untere Zeichen durch
die Eegel ersetzen kann, dass für untere Kulminationen
die Deklination des Sternes in ihr Supplement über-
gehe. -— Die Konstanten a, b, c, aus denen sodann m
und n nach o und 4 berechnet werden können, be-
stimmt man am besten auf folgende Weise: Man be-
obachtet die Durchgangszeiten eines polaren und eines
equatorealen Sternes, — ferner, um die möglichst selten
vorzunehmende Umlegung des Fernrohrs zu vermeiden,
die Abweichung 2ß des vertikalen Mittelfadens von
seinem Spiegelbilde im Nadirhorizonte (340), — endlich
vor Beginn und nach Beendigung dieser Operationen
das Niveau , um daraus den mittlem Wert von b und
c = ß — b abzuleiten, — und kann sodann nach 6 zwei
Gleichungen zur Bestimmung von a und At aufstellen.
Kennt man aber At und die Konstanten, so dienen 5
oder 6 oifenbar auch zur Rektascensionsbestimmung
anderer Sterne aus ihrer Durchgangszeit, während sich
die entsprechende Deklinationsbestimmung aus 340

— Bestimmungen im Meridiane — 197

ergiebt, jedoch zu erinnern bleibt, dass die gemessene
Zenitdistanz auch für die in der Regel merkbare sog.
Durchbiegung des Fernrohrs , welche man dem Sinus
der Zenitdistanz proportional setzen darf, verbessert
werden muss. Kann man bei dem betreffenden Fernrohr
Okularkopf und Objektivkopf verwechseln, so hat man
nur vor und nach Umtausch eine im Horizonte be-
findliche Mire und den Nadir-Horizont abzulesen, um
aus der halben Differenz der so erhaltenen zwei Zenit-
distanzen der Mire die hiefür nötige Biegungskonstante
zu finden.

XXXVI. Die Bestimmungen ausserhalb
des Meridianes.

343 [355, 7, 8], llie Bestimmung: der Zeit.

Stehen bereits einzelne nach Rektascension (a) und
Deklination (d = 90 — p) bekannte Sterne zur Ver-
fügung, und kennt man von Uhrkorrektion, Azimuth
einer Mire und Polhöhe wenigstens die Einen an-
nähernd, so kann man die Übrigen, ohne sich aus-
schliesslich an den Meridian zu halten, auf verschiedene
Weise genauer bestimmen. So z, B. kann man unter
Voraussetzung der Polhöhe eine Zeitbestimmung, d. h.
die Korrektion der im Momente der Beobachtung
notierten Uhrzeit erhalten , wenn man die Höhe (h =
90 — z) eines bekannten Sternes misst, sodann s nach
der aus dem Dreiecke Pol-Zenit-Stern folgenden Formel

^2 r Co g • Co (z -f g) '^ <£ VT ,

und daraus die Sternzeit t = a -f s der Beobachtung
berechnet, — nur hat man, weil (336:6)

198 — Bestimmungen ausserh. d. Meridianes —

Si w • Co cp ds = dz — Co w • dcf 2

folgt, bei der Beobachtung die Nähe des Meridianes
zu vermeiden. — Eine andere Methode der Zeit-
bestimmung unter gleicher Voraussetzung besteht darin,
dass man die ührzeiten t, und t.^ der Durchgänge
zweier bekannten Sterne durch denselben, wenn auch
unbekannten Vertikal des Azimuths w oder ISO^ + w
beobachtet. Man hat nämlich

s, =t|^At — a, . Sj = t2+At — a, 3

also s, — s, =(t, — a.,) — (t, — a,) 4

Setzt man ferner

Si (d, -f d,) Si ',2 (s, — s,) = m Si M
Si (d., — d, ) Co ',2 (s.> — s, ) =r m Co M *

so erhält man mit Hülfe von 336 : 4, 1
Si (M - 1/0 (s, -f- s, )) tg d, = Si (M - V, (s, - s, )) tg 9 6
und kann daher nach 4, 5, 6 succesßive s^ — s, , M und
s, -f s,, also auch s, und sodann At nach 3 berechnen.
Da aber mit Hülfe von 336 : 6, wenn die Fehler der
Sternpositionen vernachlässigt werden,

Tgw , Siz,Siz,[dw + Siyd(t,-t.)]

"^^^^^^ Co9 ^ ^ ' " Sifz, -:^z,)CocpCow

_ Co z, Si z, dt, 4= Co z., Si z, dt,
Si (z, =<= z, )
folgt, wo dw den Unterschied der beiden Azimuthal-
feliler bezeichnet, und das obere oder untere Zeichen
gilt, je nachdem der zweite Stern im Azimuthe w des
ersten oder im Azimuthe 180^' + ^ steht, so ist nach
dieser Methode nur in der Nähe des Meridianes eine
gute Zeitbestimmung erhältlich, und sind die Sterne
so zu wählen, dass sie bald nacheinander in möglichst
verschiedener Höhe durch den Vertikal gehen. Besonders
vorteilhaft ist die Verbindung des Polarsternes mit

— Bestimmungen ausserli. d. Meridianes — 199

einem aequatorealen, die sog. Zeitbestimmung im Ver-
tikal des Polarsterns . und man kann so z. B. sogar
ohne Instrumente die Uhrkorrektion finden, indem man
sich zu einem Lotfaden so stellt , dass er den Polar-
stern deckt, und nun den Moment abpasst, wo ein der
untern Kulmination naher Stern ebenfalls hinter ihn
tritt. — Eine dritte, namentlich bei Anwendung des
Sextanten und auf Keisen zu empfehlende Methode
besteht darin, dass man die Uhrzeiten t, und t, notiert,
zu denen ein Stern der Rektascension a vor und nach
der Kulmination dieselbe, wenn auch unbekannte, Höhe
hat, und sodann nach

At = a — V2 (ti + t^) S

die Uhrkorrektion sucht. Es ist hiebei zweckmässig,
die Nähe des Meridianes zu vermeiden, und die Beob-
achtung zu vervielfältigen.

344 [362]. Bestimmung: üe» Azimutheü.

Schreibt man die Zeit der Visur nach einem Sterne
.auf, so findet man unter Voraussetzung der Uhr-
korrektion und bei angenähert bekannter Polhöhe nach
der aus 336 : 1, 4 folgenden Formel
Tg w = Tg s • Co a : Si (9 — a) wo Ct a = Tg p • Co s 1

einen guten Wert für das Azimuth des Sternes, also
bei gemessenem Horizontalabstande auch für dasjenige
einer Mire, namentlich Avenn man, da nach 336:6

dw=^^-^^lP.ds-Siw.Ctz.dcp Z

ist, einen Circumpolarstern beobachtet. — Steht Letz-
terer in seiner Elongation, so hat man (338)
Si w = Sip • Se (f, Co z — Si qp • Se p, Co s = Tg p • Tg cp 3
und kann daher aus einer solchen Beobachtung, indem
man einfach die entsprechende Ablesung am Horizontal-

200 — Bestimmungen ausserh. d. Meridianes^^ —

kreise macht, unter Voraussetzung der Polhöhe das^
Azimuth, ja zur Erleichterung- annähernd die der Elon-
gation zukommende Einstelluug und Zeit berechnen,
während (336 : 6)

dw = ^^ — PS dv + Tg- w • Tg- cp • dcp 4

ist, so dass (ahg-esehen von g-anz zenitalen Sternen)
eine kleine Abweichung- der Variation von 9C oder
eine kleine Unsicherheit in der Polhöhe wenig Einfluss
auf das Resultat hat. Beobachtet man zwei Circuni-
polarsterne , die bald nacheinander , der eine seine
östliche, der andere seine westliche Elongation hat,.
und ergiebt sich hieraus eine Azimuthaidifferenz a,
so ist

w, + Wg = a, Si Pi = Co cp • Si w, , Si p.> = Co cp • Si w.^ S
also o.

Tgwi = Sia.Six:Si(a-l-x) wo Tgx = g! ^^' Sia It

und man kann somit w, oder den Meridian nach 6,^
und sodann nach 5 sogar noch cp finden.

345 [367—69, 85]. Bestimm ang? der Pol-
höhe. Beobachtet man die Ulirzeiten ti und t^ der
Durchgänge zweier Sterne durch denselben, wenn auch
unbekannten Vertikal , so kann man , wenn die ühr-
korrektion At bekannt ist, nach 343:3, 5, 6 successive
s,, Sj, M, cp finden, nur ist (343:7) die Nähe des Meri-
dianes zu vermeiden. Wird derselbe Stern in den Azi-
muthen 180° + w und w beobachtet, so ist d, = d, ,.
also M = 900; ist überdies w = 90", d. h. beobachtet
man, was (343:7) der günstigste Fall ist, im ersten
Vertikale, so wird s^ = — s,, z^ = zj, v.^ = — Vi, und
Si V = Co qj : Si p Co z = Co p : Si .p 1

während sich 343:4, 5, 7 auf

— Bestiiiimungen ausserh. d. Meridianes — 201

Ctcp = Ctd.Cos oder Cos = Tgd:Tg'^ 3

dcp = - ^2 Tg z [dw 4- Si cp . d (t2 - t,)] - g^2^ dp 4

reduzieren, so da^s man nach 1 und 3 zur Erleichterung
der Beobachtung z und s mit vorläufigem cp voraus-
berechnen, und sodann nach 2 und 3 die Polhöhe um
so sicherer bestimmen kann, je kleiner z ist. — Eine
andere Methode besteht darin, abwechselnd bei Okular
Ost und Okular West Höhen eines dem Pole nahen
Sternes, und ebenso Circummeridianhöhen eines südlich
nahe in gleicher Höhe kulminierenden Sternes zu messen,
diese Höhen nach

Si ^^^ = Co -^ . Co d . Cs (z - %^) Si^ l 5

auf Kulminationshöhen zu reduzieren, aus diesen in
schon bekannter Weise auf die Polhöhe zu schliessen,
und endlich durch Kombination der erhaltenen Werte
ein von Zenitpunkt und Biegung freies Schlussresultat
abzuleiten. Ebenso einfach als sicher endlich bestimmt
man die Polhöhe nach der sog. Horrebow-Talcott'schen
Methode, indem man für zwei Sterne, welche bald
nacheinander den Meridian in nahe gleichen südlichen
und nördlichen Zenitdistanzen passieren, den Unter-
schied dieser Zenitdistanzen mikrometrisch misst und
dessen Hälfte dem arithmetischen Mittel der beiden
Deklinationen hinzufügt .

346 [387—88]. »as fiqnatoreal. Zur un-
mittelbaren Messung von Sternkoordinaten eignet sich
ganz besonders das sog. Equatoreal , d. h. ein paral-
laktisch montiertes Fernrohr (334) , mit dessen Axen
der optischen Kraft desselben entsprechende Kreise,
Stundenkreis und Deklinationskreis verbunden sind, und

202 — Bestimmungen ausserh. cl. Meridianes —

zu dessen Ajüstierung- folgende Operationen ausreichen:
Man hängt an die Axe des Deklinationskreises eine
Libelle, — stellt sie durch Drehen am Stundenkreise
ein, — kehrt sie um, und verbessert an ihr den halben
Aussehlag-. Dann dreht man den Stundenkreis um 12^
d. h. verwechselt die Lager, und verbessert den halben
Ausschlag- an ihnen. Hat das Fernrohr ein Fadenkreuz,
so ceutriert man dasselbe, stellt es sodann auf ein
Objekt ein, legt das Fernrohr in den Lagern um oder
schlägt es nach Drehen um 12'' durch, und korrigiert
die halbe Abweichung an den betreffenden Korrektions-
schrauben. Da die Fernrohraxe infolge der zwei ersten
Operationen horizontal und dem Stundenkreise parallel
ist, so muss sie, wenn Letzterer im Equator liegt, der
einzigen horizontalen Eichtung des Equators, der Linie
Ost-West, parallel sein, folglich die nach der dritten
Operation zur Drehaxe senkrechte optische Axe des
Fernrohrs im Meridiane spielen oder das Fadenkreuz
das Meridianzeichen treifen. Es wird nun der Meridian-
punkt des Stundenkreises abgelesen , beziehungsweise
auf Null gebracht. Endlich stellt man das Fadenkreuz
auf einen im Meridiane befindlichen Punkt bei normaler
Lage des Fernrohrs, und dann nach Drehen um 180"
und Durchschlagen nochmals ein; die halbe Summe
der Ablesungen am Deklinationskreise giebt sodann
den Polpunkt des Instrumentes, und es soll daher die
mit seiner Hülfe für einen dem Zenite nahen, also
durch die Refraktion unbeeinflussten, kulminierenden
Stern ermittelte Poldistanz die Deklination desselben
zu einem Quadranten ergänzen, — geschieht es nicht,
so ist die Neigung der Hauptaxe des Instrumentes
entsprechend zu verändern. — Die kleinen übrig-
bleibenden Fehler sind in ähnlicher Weise wie beim
Meridiankreise zu ermitteln und in Rechnung zu

— Bestimmungen ausserli. d. Meridianes — 203

Ijringen: Bestimmen nämlich |i, 180^ — y und m die
Lage von Pol und Meridian des vorläufig* korrig-ierten
Equatoreals gegen den wirklichen
Pol und Meridian, so hat man
zwischen den instrumentalen und
wirklichen Werten von Stunden-
winkel und Deklination eines
Sternes S aus Dreieck P P' S die Beziehungen

Si S = Si 5, Co (X -f Co 5, Si |x Co (t, -f m) 1

Si 5, = Si 5 Co (Jt — Co S Si fx Co (- + r) »

Co a Co (T -f Y) = Co S, Co |x Co (x, + m) — Si 5, Si |x 3

Co S, Co (Ti 4- m) = Co S Co jx Co (X -f y) f Si 5 Si |x 4

Co g Si (X + y) = Co g, Si (x, + m) ft

von denen 1, 3, 5 od^r 2, 4, 5 die einen oder andern
unter Voraussetzung- von »x, y, m berechnen lassen. Da
[X klein und nahe 5 = 5,, sowie m 4- x, = y + ", so ist
nach 1 und 5 auch nahe (mit Ausnahme sehr polarer

Sterne)

5 = 5, -f |x Co (x, -f m) 6

•: == X, 4- ra - y 4- 11 Tg 5i Si (x, 4- m) »

Beobachtet man nun, nachdem man, mit Hülfe des
Niveaus auf der Axe des Deklinationskreises , den
x, = 0 entsprechenden Punkt des Stundenkreises auf-
gesucht hat , 4 bekannte Sterne der Deklinationen
^i gii giii giv 1^^. Einstellung des Stundenkreises auf
-c, = 0, 90, 180, 270 (wobei , wenn man nicht die Re-
fraktion anbringen will, die Sterne so zu wählen sind,
dass die im Meridiane und die im 6''kreise beobach-
teten je unter sich nahe gleiche Höhe haben), und liest
man je den Wert von 5, ab, so hat man nach 6

2fx Co m = 5' — 5"' — (5, ' - 8|"')
2{xSim = g — G — (Sj — 8i )

204 — Bestimmungen ausserh. d. Meridianes —

woraus sich jx und m berechnen lassen. Notiert man
beim Durchgänge des ersten Sternes noch die Sternzeit,
so kennt man mit Hülfe der M auch x, und kann nach
7 noch y bestimmen. Findet man so fi, y? ^^ wirklich
klein, so kann man fortan 6 und 7 zur Reduktion der
Ablesungen benutzen.

, 34 y [394-98]. l»as Mreismikrometer.
Will man sich nicht auf die Unveränderlichkeit der
Aufstellung verlassen , oder entsprechen die Kreise
des Equatoreals der optischen Kraft des Fernrohrs
nicht, so thut man besser, dasselbe nicht zu absoluten
Bestimmungen zu verwenden, sondern mit ihm nur
Positionsunterschiede zu messen. Zu diesem Zwecke
d^ent unter Anderm das sog. Kreismikrometer, d. h.
ein in die Bildebene des Objektives eingesetzter Stahl-
ring: Beobachtet man nämlich die Zeiten t und x, zu
welchen ein Gestirn der Deklination d in den Ring
eintritt, und bei unveränderter Lage des Fernrohrs
denselben wieder verlässt , so entspricht die halbe
Summe derselben dem Durchgange durch die Mitte der
lieschriebenen Sehne, während die Sehne in 15 (x — t) Co d
ein Mass erhält. Lässt man daher zwei Sterne von
bekannter Deklination durchgehen , so kennt man
zwei Sehnen des Kreises und ihren der Deklinations-
diiferenz gleichen Abstand, kann somit (130) den Ra-
dius des Kreises berechnen. Einmal aber dieser bekannt,,
lässt sich (130) aus ihm und zwei Sehnen durch Nähe-
rung ihr Abstand, folglich die Ortsdifferenz eines Ge-
stirnes und eines bekannten Sternes finden , wobei
allerdings, wenn die beiden Gestirne dem Pole so nahe
sind, dass die von ihnen beschriebenen Wege nicht
mehr als Sehnen betrachtet werden dürfen , oder das
eine Gestirn eigene Bewegung hat, noch einige Korrek-
tionen anzubringen sind.

Bestimmungen ausserli. d. Meridianes

205

34 S [402]. »as Positionsmlkrometer.

Eine andere mikrometrische Vorrichtung-, bei der die
Rechnung vermieden, dagegen Beleuchtung notwendig
wird, ist das sog. Positionsmikrometer, das meist ein
aus zwei festen und zu einander senkrechten Faden
(a, b) und einem (z. B. zu a) parallelen beweglichen
Faden (c) bestehendes Netz hat,
jt^r^ ->. das in seiner Ebene messbar

// vf*.-r'^<'^ \ gedreht Averden kann. — Soll

das Mikrometer zur Bestimmung
von Eektascensions- und Dekli-
nationsdifferenzen dienen , so
dreht man dasselbe so , dass
der eine Stern dem Faden a
folgt, und stellt nunmehr mit
der Mikrometerschraube c auf den andern Stern ein:
Die Differenz der Durchgangszeiten durch b giebt die
Eektascensionsdifferenz , und die nötige Drehung der
Mikrometerschraube, um c zur Koincidenz mit a zu
bringen, die Deklinationsdifferenz. — Will man da-
gegen die Lage von B gegen A und dessen Dekli-
nationskreis durch Polarkoordinaten festlegen, so wird
die Lage von a abgelesen, A in das Fadenkreuz ge-
bracht, und dort (allfällig mit Hülfe des Uhrwerks)
festgehalten, b nach B gedreht und auch c nach B
gebracht. Die Ablesungen an der
Mikrometerschraube und an dem
gewöhnlich von N über 0 laufenden
Positionskreise geben sodann die
Distanz AB = A und den Positions-
winkel p. — Zur Vermittlung beider
Bestimmungsweisen dienen die nach den sog. Gauss'-
schen Formeln (161) erhaltenen Näherungsformeln
5 — d=:A-Cop (a — a)Cod = ASip

206 — Fixsterne und Wandelsterne —

XXXVII. Die Fixsterne nnd Wandelsterne.

349 [181-88]. Die Sternbilder. Da die

Sterne in ihrer grossen Mehrzahl ihre durch Rekt-
ascension und Deklination bestimmte relative Lage bei-
behalten oder sog. Fixsterne sind, so lag es nahe, sie
in Gruppen, sog. Sternbilder einzuteilen, und wirklich
stellten schon die Griechen 48 solche Sternbilder auf,
— eine Anzahl, welche sodann später auf 84 erhöht
wurde. — Die einem Sternbilde zugeteilten Sterne
wurden in älterer Zeit nach ihrer Lage in demselben
beschrieben , während später nach Bayers Vorschlage
jedem Sterne ein Buchstabe oder eine Zahl beigeordnet
wurde, bei den helleren Sternen die ersten Buchstaben
des griechischen Alphabets verwendend. — Ferner
wurden nach dieser Helligkeit, der scheinbaren Grösse,
die Sterne in Klassen eingeteilt, von denen etwa die
6 ersten mit freiem Auge, die 6 folgenden mit 6füssigen
Refraktoren, und wieder die 6 folgenden mit den licht-
stärksten Fernröhren sichtbar sind, — und später noch
Zwischenstufen in der Weise eingeschaltet, dass man
einer Grössennummer noch die vorhergehende oder
nachfolgende anhängt e nachdem man verstärken oder
schwächen will, so dass z. B. starke, mittlere und
schwache Sterne zweiter Grösse mit 2 • 1, 2 und 2 • 3
bezeichnet werden. — Unter Berücksichtigung dieser
Sterngrössen hat die sog. Astrognosie keine Schwierig-
keit, wenn man sich mit Hülfe von Sternkarten einige
Konstellationen von autfallender Gestalt, wie z. B. die
beiden Bären, Cassiopeia, Orion, etc. merkt, dann un-
bekannte Sterne durch Alignements mit Bekannten
verbindet, diese wieder in der Sternkarte aufsucht, etc.

— Fixsterne und Wandelsterne — 207

350 [1911. l>ie Jährliche Bewegfiingr der
l§onne. Die Sonne nimmt im allgemeinen an der
täg-lichen Bewegung- des Himmels teil, hat aber ausser-
dem noch eine entgegengesetzte Bewegung , welche
sie in einem zum Equator etwas geneigten, vom auf-
steigenden Knoten, dem Frühlingspunkte, aus in 12 sog.
Zeichen (Widder Y, Stier ^j, Zwillinge [f, Krebs ^,
Löwe Q , .Jungfrau np , — Wage ^ , Scorpion ll\ ,
Schütze /, Steinbock Z, Wassermann ^^, Fische X)
von je 30 0 geteilten grössten Kreise, der Ekliptik, um
die Erde führt, und dadurch täglich um nahe 4™, in
einem ca. 365' 4 Tage langen Zeiträume, dem Jahre,
um einen vollen Tag gegen die Sterne verspätet. 3Ian
erkannte diese Eigenbewegung nebst der demselben
Cyclus unterworfenen Veränderung der Mittagshöhe
schon sehr frühe, — teils durch Beobachtung der
Schattenlänge an dem aus einem vertikalen Stabe und
einer durch seinen Fusspunkt gezogenen Mittagslinie
bestehenden Gnomone, teils durch Notieren der Tages-
länge und des sog. heiischen, d.h. je zum erstenmal
vor Tagesanbruch sichtbaren Aufganges gewisser
Sterne, etc. Auch merkte man auf die Zeitpunkte der
sog. Sonnenwenden oder Solstitien, der Nachtgleichen
oder Equinoctien, von denen erstere den grössten und
kleinsten, letztere den mittlem Mittagshöhen korre-
spondierten, — und teilte das Jahr in die vier Jahres-
zeiten: Frühling, Sommer, Herbst und Winter. Die
mit der halben Distanz der die Ekliptik zwischen sich
schliessenden Parallelkreise, der sog. Wendekreise des
Krebses und Steinbocks, oder mit der halben Differenz
der Solstitialhöhen übereinkommende Neigung der
Ekliptik gegen den Equator, die Schiefe der Ekliptik,
nimmt nach den Beobachtungen langsam ab, beträgt
im Jahre 1850 + t

208 — Fixsterne und Wandelsterne —

e = 230 27'2V6 — 0,''48-t

und wird nach Lagrange A-6000 im Min. 22" 54' be-
tragen, während sie etwa 2000 v. Chr. ein Max. 23°
53' erreichte.

SÄl [191—93]. Der Sonnentag:. Das Interval
zwischen zwei aufeinander folgenden Kulminationen
der Sonne nennt man Sonnentag, — teilt diesen fast
allgemein in 24*" ä 60*" ä 60' ein, und beginnt ihn ent-
weder astronomisch nach alt-arabischem Gebrauche
wirklich um Mittag, oder bürgerlich nach alt-egyp-
tischem Gebrauche 12^ früher um Mitternacht. Da
ferner die Beobachtung gezeigt hat, dass die ver-
schiedenen Sonnentage nicht genau gleich lang sind,
so hat man in neuerer Zeit zu Gunsten guter Uhren
einen mittlem Sonnentag eingeführt, d. h. der wirk-
lichen, sich in der Ekliptik etwas ungleichförmig be-
wegenden Sonne in Gedanken eine sich im Equator
gleichförmig bewegende Sonne (416) substituiert, und
hat darum der aus Sonnenbeobachtungen folgenden
wahren Zeit (Apparent Time) eine zwischen den Grenzen
zb 16"' schwankende, aber (416) für jede Zeit voraus-
bestimmbare Korrektion, die Zeitgleichung, zuzufügen,
um die der fingierten Sonne entsprechende mittlere
Zeit (Mean Time) zu erhalten, und sodann noch, wo
als bürgerliche Zeit die mittlere Zeit eines bestimmten
Ortes oder (wie bei der Stundenzonenzeit) Meridiane«
eingeführt ist, den Mittagsunterschied (366—368) bei-
zulegen. — Mit Hülfe einer Uhr findet man im Mittel

1 Sonnentag = 24" 3" 56',55 = 1^0027379 Sternzeit

1 Sterntag = 23' 56™ 4',09 = 0'\9972696 Sonnenzeit

und bezeichnet T die Sonnentage , in denen die Ver-
spätung der Sonne zu einem Tage aufläuft, so ist

Fixsterne und Wandelsterne —

209

T = 365^25636 = 365' 6^ 9" 9'.0
die Länge des sog. siderischen Jahres.

353 [194—96]. l>ie C^nomonik. Zur Be-
stimmung der wahren Zeit sind nach und nach viele,
in der sog. Gnomonik beschriebene kleine Apparate
konstruiert worden. Die Einen derselben geben ent-
sprechend dem Gnomone (350) direkt die Zeit des
Mittags, so z. B. das Dipleidoskop, das Passagen-
prisma, etc., — die Andern, sei es aus der Höhe der
Sonne, sei es aus der Länge oder Richtung des von
ihr erzeugten Schattens, bald durch Eechnung, bald
durch unmittelbare Ablesung, ihren Stundenwinkel, so
z. B. der Sonnensextant, das Horoskop, und vor Allen
die verschiedenen Sonnenuhren, bei denen man je nach
der Auffangsfläche: Equatorealuhren, Horizontaluhren,
Vertikaluhren, etc. unterscheidet^
Eine Equatorealuhr erhält man,
indem man eine Tafel mit einem
dazu senkrechten Stifte und einer
von seinem Fusspunkte aus-
laufenden , ihren Nullpunkt im
Meridian besitzenden Winkel-
teilung so aufstellt, dass der Stift
die Lage der Weltaxe erhält,
folglich der Schatten in jedem Augenbicke den Stunden-
winkel der Sonne zeigt. Bei gleicher Lage des Stiftes
bildet dagegen unter der Polhöhe cp sein Schatten auf
einer Horizontalebene einen
Winkel

Atg(SicpTgs)

mit der Mittagslinie, der auch
durch beistehende Konstruktion
erhalten wird und die Horizontal-

EcixOLt.V-hr

SorizpaffT-

i^%\s \

N.

Wolf, Taschenbuch

14

210

— Fixsterne und Wandelsterne

uhr ergiebt. Zur Konstruktion einer Vertikaluhr wird
an der dafür bestimmten Wand eine Lotlinie gezogen,
und ein Stab, unter dem Winkel 90 — cp zur Wand, so
festgemacht, dass sein Schatten die Lotlinie im wahren
Mittag deckt; die übrigen Stundenlinien werden am
leichtesten mit Hülfe einer am Gnomon nach wahrer
Zeit regulierten Taschenuhr gezogen.

353 [197]. »ie fikliptikkoordinateii. Um

ein Gestirn auf die Ekliptik zu beziehen, giebt man
seinen Abstand von derselben, die Breite b als Ordi-
nate, den Abstand ihres Fusspunktes vom Frühlings-
punkte , die entsprechend der
Kektascension gezählte Länge 1
als Abscisse. — Da der Frühlings-
punkt Pol des Colurs der Solsti-
tien ist, so lassen sich die Equa-
tor- und Ekliptik - Koordinaten
leicht in Dreieck P • EP • S ver-
einigen, und aus diesem folgen,
wenn u den Winkel an S, die
Position bezeichnet

Sie:Cob:Cod::Siu:Coa:Col 1

Co u = Si 1
Si 1 = Si a
Si a = Si 1
Sib =Coe
Si d = Co e

Si a + Co 1
Co u 4- Co a
Co u — Co 1
Si d — Si e
Si b -f Si e

Co e = Si b^- Si d + Co b

Co a-

Siu •

Siu-

Cod

Cob

Cod

Si e
Si e
Cob
Cod
Si 1

Si 1 = Si d
Si a = — Si b
Cou= Co e
Co u = Co e
Co b = Si e

Cob — Cod
Co d -1- Co b
Co d -t- Si e
. Co b — Si e
Sid -f Coe

Coe

Sid
Sib
Si a
Sil
Cou

Cou
Cou
Sia
Sil

Sia

Sib
Sid
Sid
Sib
Cod

Cod

• Si a ==

Col

. Sib =

Sil! •

. Sib =:

Col.

Co e =

Siu-

Sid =

Coa

■ Coe =

Coa

. Sid =

Fixsterne und Wandelsterne — 211

Si e . Si b + Co e . Co b . Si 1
Si a . Si u + Co a . Co u • Si d *
Si a . Co 1 + Co a • Si 1 • Co e
Co u • Co a — Si u • Si a • Si d
Si 1 .Coa — Co l-Sia-Coe
Co u • Co 1 + Si u • Si 1 • Si b
Si 1 . Si u + Co 1 . Co u . Si b
sowie die Fehlerg-leicliungen

db = Co u • dd — Si 1 . de — Co d . Si u . da

dd = Co u • db 4- Si a • de + Co b • Si u • dl 4

de = Si a . dd — Si 1 • db'+ Co a • Co d • du f^^

Für die Sonne ist b = 0 und daher^speciell

Col^Coa-Cod, T§-u = Tge.Col,|Si a r= SiU • Co u |
Coe = Cod.Cou, Si d = Si e • Sil, Tg a = Coe-Tgl5
Siu = Coa-Sie, Tgd = Tge-Sia, Tga = Ctu-Sid

Aus 1—3 endlich erhält man, wenn

Tg m = et d • Si a Tg n = Ct b • Si 1 6

gesetzt wird,

Sib = Sid-Co(m+e)-Sem Tgl = Tga-Si(m+e)-Csmy
Sid==Sib-Co(n — e).Sen Tga = Tgl. Si(n — e).CsnS

so dass man leicht von Equator auf Ekliptik, und um-
gekehrt transformieren kann, zumal a und 1 notwendig
immer gleichzeitig 90 *' oder 270 ^ werden.

354 [198, 372—74]. »ie Bestimmung^ einer
eristen Relctascension. Der als Anfangspunkt
gewählte Frühlingspunkt, dessen Kulmination den An-
fang des Sterntages bezeichnet, kann bestimmt werden
mit Hülfe der Sonne, indem man nach dem Vorschlage
von Wilhelm IV. an einer Sternuhr die Uhrzeit t ihrer
Kulmination beobachtet , zugleich ihre Deklination
misst, und (339; 353:5) daraus nach

212

Fixsterne und Wandelsterne

Si a = Tg d . et e und A t = V, 5 a — t
ihre Rektascension a, sowie die ührkorrektion At be-
rechnet. — Die Alten , welche keine zuverlässigen
Uhren hatten, bestimmten dagegen Sonnendeklination
und Eektascensionsdifferenzen mit Hülfe ihrer Armillar-
sphäre und einem zwischen Sonne und Stern (Tag und
Nacht) vermittelnden Gestirne (Mond oder Venus), und
noch Tycho behielt, um nicht von den Uhren abhängig
zu sein, letzteres Hülfsmittel bei, berechnete aber die
Deklinationen aus Zenitdistanz und Azimuth, die Rekt-
ascensionsdifferenz zweier Gestirne aus deren Dekli-
nationen und dem direkt gemessenen Abstände.

355 [200—02, 609]. »ie Präcession and
das tropische Jahr. Als Hipparch seine Stern-
positionen mit denjenigen seiner Vorgänger verglich,
ergab sich ihm die wichtige Thatsache, dass zwar die
Breite der Sterne im Laufe der Zeit nahe unverändert
bleibt, dagegen die Länge derselben jährlich um min-
destens 36" zunimmt, gerade wie wenn sich der Aus-
gangspunkt der Länge im Sinne der täglichen Be-
wegung langsam verschieben, oder ein Vorrücken der
Nachtgleichen statt haben würde. — Nach den neuern
Untersuchungen von Laplace und Bessel geben
4,0 = 50",37572 • t - 0,0001217945 1'-
c|^ = 50 ,21129 • t + 0,0001221483 1^ *

genauer an, um wie viel sich
während t Jahren von der
Epoche 1750 hinweg der Früh-
lingspunkt in der sog. festen
(1750) oder wahren (1750 -ft
entsprechenden) Ekliptik ver-
schoben hat, oder wie viel die
Lunisolarpräcession und die
allgemeine Präcession beträgt, während

— Fixsterne und Wandelsterne — 213

eo = 230 28' 18",0 4- 0'',0000098423 • t^

e = 23 28 18 ,0 - 0'S48368 • t - 0,0000027229 • t^ *
die Winkel der festen und wahren Ekliptik mit dem
Equator von 1750 -}- 1 sind, und

da : dt = m 4- n Si a • Ct p dp : dt = — n • Co a 3
wo m = 46^^02824 + 0'^0003086450 • t

n = 20 ,06442 - 0 ,0000970204 • t *

ist, die jährlichen Beträge der Präcession in Rekt-
ascension und Deklination darstellen, die dann allerdings
noch durch eine mit der Neigung der Mondbahn gegen
die Ekliptik zusammenhängende, an die Mondsknoten-
periode von 18,6 Jahren gebundene, in Länge im Max.
etwa 18'' betragende Störung, die sog. Nutation^ etwas
verändert werden. — Die Präcession, in deren Folge
der Frühlingspunkt in ca. 26000 Jahren die ganze
Ekliptik durchläuft, während der Pol des Equators
denjenigen der Ekliptik umkreist, bewirkt auch, dass
die Sonne etwas früher zu dem Frühlingspunkte
zurückkelirt als zu demselben Sterne, dass also zwischen
dem siderischen (351) und dem, dieselben Jahreszeiten
zurückführenden tropischen Jahre unterschieden werden
muss. In der That fand schon Hipparch, dass Letzteres
nur 365'',24667 betrage, und die neusten Bestimmungen
haben dafür

365'',24220 == 365"' 5' 48" 46'
ergeben.

»56 [203-05]. Hipparchs Theorie der
Sonne. Schon Hipparch fand, dass die Ekliptik durch
ihre Kardinalpunkte in ungleiche Teile geteilt werde,
— dass damals dem Frühjahr 94 Vo, dem Sommer 92 '/j,
dem Herbst 88, und dem Winter 90 Tage (jetzt 93,
931 2, 89^2» 89) zufielen. Er stellte diese Ungleichheit
dadurch dar, dass er den Mittelpunkt der Sonnenbahn

214 — Fixsterne und Wandelsterne —

um V24 ilii'Gs Radius aus dem durch die Erde ein-
genommenen Centrum des Fixsternhimmels g'eg-en den
6. Grad der Zwillinge {66^ Länge, jetzt 101 0, so dass
eine jährliche Bewegung von ca. ' ,„" oder ein Umlauf
in etwa 20000 Jahren statt hat) hin verlegte, — wo-
durch er zugleich nicht nur die Lage des Apogeum
und Perigeum fixierte, sondern auch die Möglichkeit
erhielt, eine erste Sonnentafel zu berechnen : Bezeichnet
nämlich t die seit dem Durchgange durch das Apo-
geum (damals V 28, jetzt VII 1) verflossene Anzahl von
Tagen, — m die sog. mittlere
Anomalie oder die vom Mittei-
punkte der Bahn, v die wahre
^Xv Xm \ Anomalie oder die von der Erde
repi^. a,e Apog-. ^^^ gesehene Entfernung der
Sonne vom Apogeum, so kann man, wenn e = ' .,4 jene
Excentricität bezeichnet, m und v aus

m : 3600 = t: 365 V4 oder m = Oo,9856-t 1
a:ae = Siv:Si(m— V) Tg(m— v)-=eSim:(l+.eCom) 2

berechnen, und folglich eine Tafel entwerfen, welche
V für das Argument t giebt. Die Differenz (m — v),
welche im Max. +2° 13' beträgt, nannten die Alten
Gleichung. — Hipparch nahm mit Aristarch an, dass
die sog, scheinbare Grösse der Sonne, oder der Winkel,
unter dem man von der Erde aus ihren Radius sieht,
1 4O betrage, sah aber gewiss ein, dass seine Theorie
der Sonne eigentlich denselben als veränderlich erkläre,
wie man denn auch jetzt weiss, dass derselbe zwischen
945'SO und 977'S3 schwankt.

35» [207—09]. Der Hond. Neben der Sonne
erschien der Mond als das Hauptgestirn, — war er ja
das Einzige, das ihr an scheinbarer Grösse gleichkam,
neben ihr sichtbar zu bleiben und die Nacht zu er-

— Fixsterne und Wandelsterne — 215

bellen vermochte. Seine Verschiebung- gegen die Sterne
machte sich schon im Laufe einer einzigen Nacht be-
merklich, und seine Phasen (der Neu- und Vollmond
und die beiden Viertel), in denen sich die Stellungs-
änderung- gegen die beleuchtende Sonne abspiegelte,
Teranlassten durch ihre regelmässige Folge schon
frühe die Einführung der Woche von 7 Tagen und des
Monats von ca. 4 Wochen. Bezeichnet

t = 29^53059 = 29^ 12'' 44" 2",8
die z. B. aus weit entlegenen Neumonden geschlossene
Zeit, welche Sonne und Mond in dieselbe gegenseitige
Lage zur Erde zurückführt oder die sog. synodische
Umlaufszeit des Mondes, — x die Länge eines Mond-
tages oder die mittlere Zwischenzeit zwischen zwei
Mondkulminationen, — t' und T endlich die siderischen
ümlaufszeiten des Mondes und der Sonne, so hat man,
da nach Definition t die Zeit ist, welche der Mond
braucht, um gegenüber der Sonne eine Kulmination
zu ersparen oder gegen sie um eine volle Umdrehung
zurückzubleiben

X (t - 1) = t oder T = l',03505 = l' 0^' 50" 28',3
und

t • 360 : T + 360 = t . 360 : t' oder t' = 27',32166
Die scheinbare Grösse des Mondes wurde von Ari-
starch gleich derjenigen der Sonne gesetzt; später
wurde sie ebenfalls als veränderlich erkannt, und in
den neusten Zeiten nimmt man den scheinbaren Mond-
radius als zwischen 885'',0 und 987'^7 schwankend an,
so dass der Mond bald kleiner, bald grösser als die
Sonne erscheint.

35S [211—14]. Die Übrigren Wandelsterne
und die Aistrolog^ie. Ausser Sonne und Mond
fanden schon die Alten noch 5 andere, in ähnlicher

216 — Fixsterne und Wandelsterne —

Weise wie diese allmählich gegen die Sterne zurück-
bleibende Wandelsterne auf, die sog. Planeten Merkur,
Venus, Mars, Jupiter und Saturn, — und es schien
ihnen, dass, weil nun die Gesamtzahl gerade der An-
zahl der Wochentage entsprach , ihre Eeihe komplet
sei , — dass sie gewissermassen Zeitregenten sein
möchten, — und dass ihre gegenseitigen Stellungen,
voraus ihre Konjunktionen, kaum ohne Einfluss auf
die Erde und ihre Bewohner bleiben dürften. Die
neuere Zeit hat letztere Ansichten, welche zur Gründ-
lage der sog. Astrologie geworden waren, beseitigt,
und auch den Wandelsternen der Alten noch manche
Andere beigefügt. — Vgl. (425—40).

XXXVIII. Die Zeitrechnung.

359 [301—03]. Die Zeitrechnang: nach
dem llonde. Die ältesten Völker scheinen überein-
stimmend ihre Zeitrechnung nach dem Mondlaufe ge-
ordnet und ihren Monat je mit dem Tage begonnen zu
haben, an welchem sie Abends die Mondsichel zum
erstenmale wahrnehmen konnten. Der Monat umfasste
30 Tage und 12 Monate bildeten ein Jahr, das z. B.
die Griechen mit dem ersten Monate nach dem Sommer-
solstitium begannen. Dann wurde etwa 600 v. Chr.
die Regel eingeführt, volle Monate von 30 Tagen mit
leeren Monaten von 29 Tagen abwechseln zu lassen,
dadurch aber das Jahr nur auf 354 Tage gebracht.
Durch Hinzufügen von Schaltmonaten suchte man
mehrmals eine bessere Übereinstimmung mit dem
Sonnenlaufe herzustellen , bis es endlich Meton 433
V. Chr. gelang, durch Einführung eines dem Tchong
der Chinesen entsprechenden Cyklus von einerseits

— Zeitrechnung — 217

125 vollen und 110 leeren Monaten, und anderseits
12 gemeinen Jahren zu 12 Monaten und 7 Schaltjahren
zu 13 Monaten, Monat und Jahr auf 29*^332 und 365^263
zu bringen, und so die Zeitrechnungen nach Mond und
Sonne in befriedigender Weise zusammenzufassen.
Dieser Cyklus spielt noch jetzt im Kalenderwesen eine
gewisse Rolle, — namentlich der im Mittelalter mit
dem Namen der goldenen Zahl belegte Divisionsrest

g = [(n + 1) : 19]
der angiebt, das wievielte in demselben das Jahr n
ist, sofern man ihn mit dem Jahre 0 beginnt.

360 [304—10]. l>ie Zeitrechnongr nach
der l§onne. Die Eömer, welche anfänglich ebenfalls
nach dem Monde rechneten, Hessen sich von Julius
Cäsar belieben, vom Jahre 708 der Stadt Rom (46
V. Chr.) hinweg, ähnlich wie es schon früher die Egyp-
ter machten, ausschliesslich der Sonne zu folgen;
während aber Letztere die Jahreslänge auf 365*^ ab-
rundeten, wodurch ihr ursprünglich mit dem heiischen
Aufgange des Sirius zusammenfallender Jahresanfang
in der Sothischen Periode von 1460 Jahren alle Jahres-
zeiten durchwanderte , führte Cäsar den Gebrauch
ein, jedem vierten Jahre nach II 23 einen Schalttag
einzufügen. Dieser sog. Julianische Kalender fand bald
grosse Verbreitung, und wird noch gegenwärtig von
den Anhängern der griechischen Kirche unverändert
benutzt, obschon bei ihm wegen der etwas zu starken
Einschaltung der Jahresanfang sich langsam verspätet.
Die übrigen Christen haben ihm dagegen seit 1582,
wo der Fehler auf 10'* angewachsen war, nach und
nach den damals von Lilio und Clavius dem Papste
Gregor XIII. beliebten und darum Gregorianischen ge-
nannten substituiert, d. h. zur Zeit ihrer sog. Kalender-

218 — Zeitrechnung —

Verbesserung die bisdahin aufgelaufene Verspätung
durch Weglassen einer betreffenden Anzahl von Tagen
gehoben, und durch die Verordnung, jedem nicht durch
4 teilbaren Sekularjahre den Schalttag zu nehmen,
eine neue merkliche Verspätung auf Jahrtausende
hinaus verschoben. Er wurde 1582 in Italien, Spanien
und Frankreich, — 1584 in den katholischen Teilen
von Deutschland und der Schweiz, — 1586 in Polen,

— 1587 in Ungarn, — 1700 in Dänemark, den Nieder-
landen und dem evangelischen Deutschland, — 1701
in Zürich, Born, Basel, Genf, etc., — 1724 in St. Gallen,

— 1752 in England, — 1753 in Schweden, — 1784 in
Chur, — und endlich 1798 auch in Glarus, etc. ein-
geführt. — Während die Ägypter dem Jahre (ent-
sprechend wie die Franzosen bei ihrem von 1792 — 1805
gebrauchten sog. Eevolutionskalender ; s, XF) 12 gleiche
Monate zu 30 Tagen gaben, und diese durch 5 Supple-
mentartage (entsprechend den 5 Sanscullotides der
Schreckensmänner) ergänzten, teilten die Eömer das
Jahr in die noch jetzt gebräuchlichen 12 ungleichen
Monate (s. XF). Der Jahresanfang ist wiederholt und
von verschiedenen Völkern verschieden verlegt worden,
bis es endlich gelang, ihn auf den ersten Januar zu
fixieren.

361 [311—12]. Die Cykeln. Ausser dem Meton'-
schen Mondcirkel von 19 Jahren (359) haben seit alter
Zeit noch zwei andere Cykeln Geltung: Der sog.
Sonnencirkel von 28 Jahren, der die Wochentage wieder
dauernd auf dieselben Jahrestage zurückführt, und
nach getroffener Übereinkunft so (z. B. mit 1868) be-
ginnt, dass

s = [(n + 9) : 28] 1

angiebt, welches Jahr im Sonnencirkel unser Jahr n
ist, — und der sog. Indiktionscirkel von 15 Jahren,

— Zeitrechnung- — 219

-eine römische Steuerperiode, die so (z.B. mit 1858)
beginnt, dass die sog. Indiktion oder Römerzinszahl

z = [(n + 3) : 15] 2

ist. — Zur Vermittlung- dieser drei Cirkel führte
Scaliger noch die sog-. Julianische Periode von 19 •28-
15 = 7980 Jahren ein , die mit dem Jahre 3960 vor
Erbauung der Stadt Eom (4714 v. Chr. Geburt, oder
— 4713, da das Jahr 0 fehlt), auf welches in allen
<lrei Cirkeln das Jahr Null fällt, beginnt, und in
welcher der Divisionsrest

X = [(4845 . s + 4200 • g + 6916 • z) : 7980] 3

<len Zahlen g, s und z entspricht.

363 [314—20]. Die Festrecbnang*, der
^onntagr^liachstabe und die ESpakte. Eine

Hauptaufgabe der Kalendariographie ist die Voraus-
bestimmung der Ostern, die nach alter Kirchensatzung
je auf den Sonntag- fallen soll, welcher dem ersten
Vollmonde nach der Frühlingsnachtgleiche folgt. Setzt
man die Divisionsreste

[n : 19] - a [n : 4] = b [n : 7] = c

[(19 • a -f X) : 30] = d [(2b + 4c + 6d + y) : 7] = e *
so ist Ostern nach Gauss im Jahre n unserer Zeit-
rechnung am (22 + d + e)*'" März oder am (d + e — 9)*'"
April zu feiern, — und je 7 Wochen vorher der sog.
Fastensonntag, 40 und 50*^ nachher aber (Ostern als
erster Tag gezählt) Auffahrt und Pfingsten. Dabei ist
für den Julianischen Kalender beständig x = 15 und
y = 6 zu setzen, für den Gregorianischen aber

von 1.Ö83-1699, 1700-1799, 1800—1899, 1900-2099
x=- 22 23 23 24

y= 2 3 4 5

tind zugleich ist für letztern Kalender, wenn die

220 — Zeitrechnung —

Rechnung- Ostern auf IV 26 hringt, immer IV 19, ~
wenn sie Ostern auf IV 25 bringt, und zugleich d = 28
und a>10 wird, IV 18 zu nehmen. Es kann also
Ostern von III 22 bis IV 25 oder um volle 34 Tage
varieren. — Bezeichnet man die Tage des Jahres fort-
laufend mit den Buchstaben abcdefg, abcdefg, ...,
so werden diese offenbar während jedem gemeinen
Jahre immer denselben Wochentagen entsprechen, und
derjenige beständig auf Sonntag fallen oder Sonntags-
buchstabe sein, der dem Osterdatum zukömmt. In
Schaltjahren wird vor II 29 der folgende Buchstabe
den Sonntagen entsprechen. — Die 'Anzahl der dem
letzten Neumonde eines Jahres noch folgenden Jahres-
tage, das sog. Alter des Mondes am Schlüsse des Jahres,,
heisst Epakte, und ist nach Delambre für das Jahr
n == 100 • s -|- m und die ihm entsprechende goldene
Zahl g

e = [11 (g - 1) : 30] + 8 4- V4 s + ^ 3 s - s 2

wo bei V4 s und ^ 3 s je nur die Ganzen in Rechnung
zu bringen sind. Setzt man den Buchstaben a b c . . .
die Zahlen 29, 28, 27, ... 0 (bei jeder zweiten Folge
die Zahl 25 ausschaltend) bei, so fallen die der Epakte
entsprechenden Zahlen jeweilen annähernd auf Neu-
mond. [Xr, XI'].

Die Erde und ihr Mond.

Sage nicht immer was du weisst, aber wisse
immer was du sagst. (Claudius.)

XXXIX. Die mathematische Geographie.

363 [215-16]. Die C^estalt der Erde. Die

ältesten Griechen beschrieben die Erde als eine flache,
vom Strome Okeanos umflossene Scheibe, ohne sich um
die nötige Unterlage zu bekümmern oder daran zu
denken, dass die Tageslänge im Sommer nach Norden,
im Winter nach Süden wächst , — dass ein an einem
gewissen Orte noch in merklicher Höhe kulminierendes
südliches Gestirn etwas nördlicher gar nicht mehr zum
Aufgange kömmt, — dass die Erde bei Mondfinster-
nissen immer einen runden Schatten auf den Mond
wirft, und dass solche im Osten bisweilen sichtbar
sind , während im Westen der Mond noch gar nicht
aufgegangen ist, — dass man am Meere den Mast
eines heransegelnden Schiffes früher als den Rumpf,
von jedem freien Aussichtspunkte den sichtbaren Teil
der Erde rund begrenzt sieht, und entsprechend, wie
man weiter geht, auch der Horizont weiter rückt, nie
eine Grenze erreicht werden kann, — etc., was sich
mit einer solchen Gestalt schlecht genug reimen würde.
Als dann aber durch Pythagoras und seine Zeitgenossen
die jene Erscheinungen bedingende Lehre von der frei-
schwebenden Erdkugel entstand, gewann diese bald so

222 — Mathematische Geographie —

festen Boden, dass sie sogar während des Verfalles
der Wissenschaften nie ernstlich beanstandet wurde,
und kaum noch der faktischen Bestätigung durch die
im 16. Jahrhundert beginnenden Erdumsegelungen,
oder die im folgenden Abschnitte zu behandelnden
Erdmessungen bedurfte.

364 [217]. Übertrag^ung: der Kreise von
der scheinbaren Himmelskng^el auf die
Erde. Stellt man sich nach dem Vorhergehenden die
Erde als eine zum Himmelsgewölbe concentrische
Kugel vor , so liegt es nahe , auch die Weltaxe , den
Equator, die Parallelkreise und Meridiane von der
Himmelskugel auf die Erdkugel überzutragen. Die
den Wendekreisen der Himmelskugel entsprechenden
Parallelkreise der Erde, und die sog. Polarkreise, d. li.
diejenigen Parallelkreise, welche ebensoweit vom Pole
abstehen als die erstem vom Equator, teilen die Erde
in fünf Zonen: Die sog. heisse Zone zwischen den
beiden Wendekreisen , — die zwei gemässigten Zonen
zwischen je einem Wendekreise und dem entsprechenden
Polarkreise, und die zAvei kalten Zonen, welche die
Polarkreise als Grenze und die Pole als Mittelpunkte
haben.

365 [217—18]. Die g:eog:raphisciien Koor-
dinaten. Um die Lage eines Ortes auf der Erde zu
Pestimmen, giebt man seit den
Zeiten Hipparchs seine Entfernung
vom Equator, die (wie die bei-
stehende Figur zeigt) mit der
Polhöhe übereinstimmende Breite
(b = cp) , und die Distanz seines
Meridianes von einem beliebig
gewählten ersten oder Ausgangs-

— Mathematische Geographie — 223

Meridiane an, die Länge (1), welche sich, wegen der
gleichförmigen Bewegung des Himmelsgewölbes um
dieWeltaxe, zu dem Mittagsunterschiede, oder dem
Unterschiede der Ortszeiten in demselben Momente,
gerade so verhält, wie der volle Umkreis zu einem
Tage. — In den ältesten Zeiten legte man den ersten
Meridian schlechtweg durch die canarischen Inseln,
als die äussersten bekannten Punkte nach Westen, —
später bestimmter durch den Pic von Teneriffa, —
endlich infolge eines 1630 durch Richelieu versammelten
Kongresses durch die Westspitze von Ferro. Letzterer
Ausgangsmeridian erhielt bald fast allgemeine Gel-
tung, musste dann aber ein Jahrhundert später für
astronomische Zwecke den Meridianen von Paris oder
Green wich weichen, während die Geographen meist
einen fingierten Meridian von Ferro in genau 20 '^
westlicher Länge von Paris benutzten.

366 [406]. Bestimmnngr des ^Utagis*
Unterschiedes doreh g^leichzeitlg^e Er-
sebeinung^en. Die Polhöhe zu bestimmen wurde
(331, 332, 345) bereits gelehrt, — ebenso (342, 343,
354) die Bestimmung der Uhrkorrektion auf Ortszeit;
es fragt sich also bloss noch, um eine vollständige
geographische Ortsbestimmung machen zu können,
wie die demselben Momente entsprechenden Ortszeiten
behufs einer Längenbestimmung zu vergleichen sind,
und hiefür ist wohl die älteste und dem Begriffe nach
einfachste Methode die, eine für beide Orte wirklich
gleichzeitige Erscheinung, wie das Eintreten eines
Weltkörpers in den Schatten eines andern, das Auf-
blitzen einer Sternschnuppe oder eines Pulversignales,
etc., an beiden Uhren zu notieren, an deren Angaben
die Uhrkorrektion anzubringen und die Differenz zu
nehmen.

224 — Mathematische Geographie —

367 [407—08]. Bestimmnngr des IllUtagrs-
nntersehiedes durch den llond. Andere
Methoden für Uhrvergleichung- liefert der rasch rück-
läufige Mond: Entweder misst man an beiden Orten
zu bestimmten Zeiten die Distanzen des Mondes von
einem Sterne, und leitet daraus (mit Hülfe von 387)
die Ortszeiten ab, zu welchen die geocentrische Distanz
an beiden Orten dieselbe war. Oder man bestimmt
durch Vergleichung mit einem Sterne die Verspätung
des Mondes von dem einen Meridiane zum andern,
und dividiert sie durch seine stündliche Bewegung in
Eektascension. Oder man beobachtet an beiden Orten
die Bedeckung der Sonne oder eines Sternes durch
den Mond, und leitet (400) aus den für eine gewisse
Phase der Erscheinung erhaltenen Ortszeiten die augen-
blickliche Zeitdifferenz durch Eechnung ab.

36S [409—10]. Bestimmung: des Hittagrs-
nnterschiedes durch direkte Zeitüber-
trag^ung:. Sehr einfach macht sich die Uhrver-
gleichung, wenn man die Ortszeit des einen Beobachters
mit einem Chronometer an den andern Ort überträgt,.
— oder wo es infolge telegraphischer Verbindung an-
geht, eine Erscheinung sowohl an seinem eigenen, als
als an dem Chronographen des andern Beobachters
notiert. Von letzterm Verfahren giebt Folgendes einen
nähern Begriff: Wenn der Beobachter an der östlichem
Station 0 durch Niederdrücken des Tasters in einem
beliebigen Momente oder beim Durchgange eines
Sternes durch den Mittelfaden seines Meridian-
instrumentes den Strom schliesst, so wird bei ge-
höriger Verbindung auf beiden Chronographen ein
Zeichen entstehen , und es werden die demselben
Momente entsprechenden Sternzeiten der beiden Beob-
achter

— Mathematische Geographie — 225

t,=u, +(At, + o)-o + i,

t,. = u^^. + (At^ 4- w) - 0 + i, - X

sein, wo u die abgelesene Uhrzeit, At die Uhrkorrektion,
0 und w die Personalfehler der beiden Beobachter, i
die Instrumentalkorrektion, und x die Verspätung- des
Zeichens auf der Linie bezeichnen. Entsprechend ist,
wenn der Beobachter an der westlichem Station ein
Zeichen giebt oder denselben Stern beobachtet,
t', = u'^ + (At, + o)-w + i,.-x

und hieraus folgt, wenn 1 die Längendifferenz der

beiden Stationen ist, aus dem von 0 oder W gegebenen

Zeichen

■K -W =u„ -u^. 4-o-w-f At„-At,. + x 1
^t'o-tV = <-u^. + o-w + At,-At^-x 9

aus den Sternaufzeichnungen in 0 oder W dagegen
= ^'o—K ^- «'o — «o + 0 — w + i^ — i„ — x 3
==K-K =<-^w +o-w + i,v-io +x i

also im Mittel aus 1 und 2 oder 3 und 4
= VaK -fu',-u,.-u'J + At„-At^ + o-w 5
= Va [u'o + u'^ - u„ - u^] + i,. - io + 0 - w 6

von welchen Werten der Letztere somit von der
Uhrkorrektion, der Erstere aber von der Instrumental-
korrektion (soweit sie nicht zur Bestimmung der ühr-
korrektion beigetragen hat) frei ist.

XL. Die Geodäsie.

369 [219, 412-15]. »ie ältesten Erd-
messang^en. Unter Voraussetzung der Kugelgestalt

Wolf, Taschenbuch 15

226 — Geodäsie —

der Erde genügt es oifenbar, um ihre Grösse zu er-
mitteln, einen durch die Differenzen der Polhöhen oder
Längen der Endpunkte gegebenen Teil eines Meridianes
oder Parallels zu messen, — und wenn aus verschie-
denen Messungen für den Erdradius dieselbe Grösse
hervorgeht, so ist damit zugleich die Richtigkeit der
Voraussetzung zum allerwenigsten sehr wahrscheinlich
gemacht. — Eine erste Erdmessung dieser Art machte
um 220 V. Chr. Eratosthenes , indem er zur Zeit des
Sommersolstitiums , wo die Sonne sich um Mittag zu
Syene in einem tiefen Brunnen spiegelte, also im Zenite
stand, ihre Zenitdistanz in dem nach den Angaben der
königl. Wegmesser ca. 5000 Stadien (ä 184"',97) nörd-
licher gelegenen Alexandrien zu '4o des Kreises be-
stimmte, somit für den Erdumfang 250000 Stadien
(46242500'") erhielt. Dann folgten die Araber, welche
um 827 auf Befehl des Kalifen Al-Mamoun in der
Ebene Sinjar bei Bagdad mit Stäben zwei Meridian-
grade massen, und im Mittel für einen Grad 56^,3
arabische Meilen (ca. 58700*) fanden, — und 1525 unter-
nahm oder fingierte Jean Fernel eine neue Bestimmung,
indem er von Paris aus einen Grad nach Norden ab-
gesteckt, und für die Länge desselben durch Abfahren
57070' gefunden haben will.

370 [416—18]. Die ^essongren von Snel-
lias nnd Picard. Eine bessere Methode der Grad-
messung führte etwas später Willebrord Snellius ein :
Er bestimmte die Polhöhendiff'erenz zweier ungefähr
unter demselben Meridiane liegenden Punkte, — ver-
band dieselben durch ein Dreiecksnetz (224), in dem
er sämtliche Winkel und mittelst einer sorgfältig ge-
messenen Basis auch die Seiten ermittelte, — suchte
das Azimuth einer ersten Seite (344), — und berechnete
sodann die Koordinaten sämtlicher Eckpunkte auf den

— Geodäsie — 227

Meridian des Anfangspunktes. Die letzte Abscisse gab
ihm offenbar die Distanz von diesem Anfangspunkte
zum Parallel des Endpunktes, und in Vergleichung mit
der Polhöhendift'erenz die Länge eines Grades. Der
praktische Erfolg dieser Methode Hess zwar aller-
dings bei einer von Snellius selbst im Jahre 1615 aus-
geführten Messung noch zu wünschen übrig; dagegen
erhielt Picard 1671 nach derselben zwischen Sourdon
und Malvoisine mit bessern Hülfsmitteln ein ganz vor-
zügliches, durch die spätem Arbeiten auf's Schönste
bestätigtes Resultat, nämlich einen Grad von 57060
Toisen.

371 [419-20]. Der (Streit über die Ge-
stalt der £rde. Als Newton die von Copernicus
(403) aufgestellte Lehre von der Rotation der Erde
mit der von ihm (406) entdeckten allgemeinen Gravi-
tation zusammenhielt, wurde ihm klar, dass die Re-
sultierende der Anziehung eines Punktes der Oberfläche
nach dem Mittelpunkte, und der auf ihn wirkenden
Centrifugalkraft bei einer Kugel nicht mit der Nor-
male zusammenfallen könne, wohl aber bei einem an
den Polen abgeplatteten Rotationsellipsoide, dass aber
bei einem solchen die Meridiangrade vom Equator
nach den Polen hin an Länge zunehmen müssten, —
und als Richer (385) in Cayenne fand, dass die Länge
des Sekundenpendels gegen den Equator hin abnehme,
sah Newton darin eine notwendige Folge der Rotation
und Gestalt der Erde. Auf der andern Seite erhielten
aber die Cassini, als sie die Picard'sche Gradmessung
nach Süden fortsetzten, gegenteils einen etwas grössern
Grad, und daraus entstand ein langer und bitterer
Streit über die Gestalt der Erde.

37 S [421—23]. »ie Meissansen in Fern
und liappland. War Newtons Lehre von der Ge-

228 — Geodäsie —

stalt der Erde richtig-, so musste sich zwischen einem
Meridiangrade in der Nähe des Equators und einem
solchen im hohen Norden ein so erheblicher Unter-
schied ergeben, dass er bei irgend sorgfältiger Messung
durch die unvermeidlichen Fehler derselben nicht ver-
wischt werden konnte, und es war daher von hoher
Bedeutung, dass einerseits La Condamine und Bouguer
mit einer Gradmessung in Peru beauftragt wurden,
und anderseits Maupertuis zu einer entsprechenden
Operation nach Lappland abgieng. Die Resultate der
beiden Messungen, nämlich Grade von

57438* unter 66^ 20' nördlicher Breite

56734 - 1 31 südlicher
bestätigten nun Newtons Lehre auf das Schönste, und
eine neue Messung in Frankreich, die einen Grad von

57012' unter 45 o 0' nördlicher Breite
ergab, hob auch den frühern Widerspruch auf.

373 [424—27]. Die neuem Breitenj^rad-
me^snngren. Seit den Expeditionen nach Peru und
Lappland haben sich die Gradmessungen ungemein
vervielfältigt. Nicht nur unternahmen Maire und Bos-
covich solche im Kirchenstaate, Liesganig in Ungarn
und Österreich, Beccaria und Canonica in Piemont,
Mason und Dixon in Pennsylvanien, Lacaille und später
Maclear am Cap der guten Hoffnung, Burrow in Ben-
galen, Gauss in Hannover, Schumacher in Dänemark,
Bessel und Baeyer in Preussen, Eoy, Mudge und James
in England, etc., sondern es wurden auch drei ganz
grosse Operationen dieser Art durchgeführt, — die
französische, die ostindische und die russische Grad-
messung: Die Ersterwähnte, welche in den Jahren 1791
bis 1808 durch Mechain, Delambre, Biot und Arago zur
Bestimmung der Länge des dem metrischen Systeme

— Geodäsie — 229

zu Grunde gelegten Meridian quadranten unternommen
wurde, umfasst nämlich nicht weniger als 12 ^2 Grade,
— die von Lambton und Everest von 1802 bis 1843 in
Ostindien Ausgeführte über 21 Grade, und die von
Tenner, Hansteen, Seiander und Struve 1816 bis 1855
vom Eismeer bis an die Donau durchgeführte Messung
sogar über 25 Grade. Alle diese Messungen vereinigen
sich auf das Schönste mit den Ergebnissen der beiden
erst-erwähnten Expeditionen, und es darf wohl als
dadurch erwiesen angesehen werden, dass die Erde
wenigstens sehr nahe die Gestalt eines Rotations-
ellipsoides besitzt.

374 [427]. Die Iiäng:eng:radmessang:eii.
Alle bis jetzt besprochenen Gradmessungen bezogen
sich auf Breiten-Grade; aber neben ihnen wurden auch
einige Messungen von Längen-Graden unternommen,
namentlich die von 1811 bis 1823 durch Brousseau,
Henri, Carlini, Plana, etc, quer durch Frankreich und
Italien bis nach Istrien Geführte. Auch diese be-
stätigten im allgemeinen die früheren Resultate ; aber
ergaben auch das Vorkommen kleiner Anomalien , sei
es infolge von Avirklichen Unregelmässigkeiten in
der Gestalt , sei es als Wirkung besonderer Lokal-
anziehungen. Letztere zeigten sich namentlich in auf-
fallender AVeise bei dem durch Carlini und Plana auf
der Südseite der Alpen bestimmten Meridiangrade,
indem man dadurch gezwungen wurde, an den beiden
Enden desselben eine Differenz der Lotablenkung von
vollen 42'V5 anzunehmen. Seither hat Schweizer bei
Moskau eine gewissermassen entgegengesetzte Er-
scheinung wahrgenommen, die auf eine grosse Höhlung
in der Erde schliessen lässt.

3 75 [432]. Die Bestiiiimniig:en mit dem
l§ekundenpendel. Die Länge des Sekundenpendels

230 — Geodäsie —

hängt für jeden Ort teils von seiner geographischen
Lage , teils von der Gestalt und den Schichtungs-
verhältnissen der Erde ab, — und umgekehrt muss es
daher auch möglich sein, aus den an zwei und mehr
Orten gemessenen Pendellängen auf Dimension, Ge-
stalt, ja sogar auf die innere Struktur der Erde zu
scliliessen. Die Länge 1 des Sekundenpendels ist näm-
lich (255:4) gleich g'-rJ, wo g (371) die nach der
Normale wirkende Resultierende aus der Anziehung
nach dem Mittelpunkte und der Centrifugalkraft ist.
Nun schneidet aber die Normale von der grossen Axe
ein Stück ab, das (143: 10; 263 : 1) der Centrifugalkraft
proportional ist, also kann auch die Schwere dem von
der grossen Axe abgeschnittenen Stücke der Normale
proportional gesetzt werden. Bezeichnet daher g^ die
Schwere unter der Breite cp, so ist (143 : 12)
gcp:go^(H-\,e2Si2q:):l
g^ = A -r B . Si2 q: = C (1 — D . Co 2cp) 1

A = go B = %go-e^ C=io(2A-fB) D=B:(2A+B)»
und daher die Länge des Sekundenpendels

1^ = (A 4- B Si2 cp) : r.-^ L^ = (A + B Si^ cjj) : r.« 3
woraus bei bekannten Werten von l^ und ^

Si (cp + 4^) Si (cp — c};) *

folgen, also nach 2 auch go und e, sowie (143:5) die
Abplattung a bestimmt werden kann, — Letztere je-
doch nach Clairauts Untersuchung, da die Voraus-
setzung eines homogenen Ellipsoides bei der Erde
nicht statthaft ist, besser nach der Formel

a. = [10a-TJ:T'—B]:A *

wo a die halbe grosse Axe des Equators in der A und
B zu Grunde liesrenden Länofeneinheit, und T die auf

— Geodäsie — 231

einen Sterntag fallende Anzahl mittlerer Zeitsekunden
bezeichnet. Mit Hülfe dieser Formeln fand Pouillet
1854 aus zahlreichen Pendelmessung-en , für deren
Prineip auf 256 zu verweisen ist,

g^ =r 9'",781027 + 0,0500574 • Si'^ q; 1

1^ = 0,991026 -f 0,0050719 -Si^cp °''"283;3 *

376 [428]. Itie Berechnung^ der Crrösse
and Crestalt der £rde aas zwei and mehr
Crradnieiisang^en. — Jede einzelne Messung eines
Meridiangrades G giebt die Grösse des Krümmungs-
halbmessers unter seiner mittlem Breite cp

R = 180.G:7i 1

und da man (143 : 15) für jede zwei solche

(1 — e'- Si2 cp, ) -' ' (1 - e'^ Si'^ cp,) ^^

hat, so kann man somit aus ihnen nach

1 — A , /R,\-/:! /G,\^/3_

^'^sF^T-A-si^?, ""'' ^^\^J ^W *

die Excentricität e, nach 2 sodann a, und nach 143
auch & und die Abplattung a = (a — b) : a berechnen.
In solcher Weise fand Maupertuis aus seiner Messung
und derjenigen von Cassini

e^ = 0,0145031, a=.3278631\ 6 = 3254768*, a=Vi37
während sich aus der Peruanischen und der von Svan-
berg revidierten Lappländischen Messung, welche nun
für einen Grad unter 6Q'' 20' 10" nur noch 57196\15
abwarf,

e^ = 0,0064376, 0 = 3271651', 6 = 3261103^ a =1/310
ergeben. — Hat man mehr als zwei Messungen, so
kann man diese Werte nach der Methode der kleinsten
Quadrate so bestimmen, dass sie der Gesamtheit der

232 — Geodäsie —

Messungen möglichst gut entsprechen, und so fand
Bessel 1837 unter Benutzung aller damals vorhandenen
guten Gradmessungen, dass

a = 6,5148235337 = 3272077\14 a = 1 : 299,153

6 = 6,5133693593 = 3261139 ,33 Vi 5** = 3807^23463

Lg e = 8,9122052075 Lg VT^ e^ = 9,9985458202

ihrer Gesamtheit so ziemlich innerhalb der Grenzen
der Beohachtungsfehler genügen , — nahe so gut, als
ein nachher von Schubert ermitteltes dreiaxiges Ellip-
soid, und ein von Ritter aufgesuchter Rotationskörper,
dessen Erzeugende etwas von der Ellipse abweicht.
Man darf daher annehmen, dass das Geoid sehr nahe
ein Eotationsellipsoid sei, zu praktischen Zwecken
ihm sehr häufig sogar eine Kugel substituieren, deren
Radius

r = 3266330' = 6366197"' = 859,4268 g. M.

oder deren Quadrant 10 Millionen Meter beträgt.

37 9 [428]. Die g^eocentrischen Koor-
dinaten. Ist die Erde ein Rotationsellipsoid, so
entsprechen verschiedenen Breiten auch verschiedene
Entfernungen vom Erdmittelpunkte, und diese in Be-
ziehung auf a als Einheit gegebenen Radien Vektoren
p bilden mit dem Equator Winkel (u), welche merklich
kleiner als die geographischen Breiten (cp) sind, zur
Unterscheidung geocentrische oder verbesserte Breiten
heissen, und mit den Radien Vektoren zusammen die
geocentrischen Koordinaten bilden. Sie werden (143),
nebst dem Radius R der Krümmung und der Normale
N bis zur Umdrehungsaxe, nach den Reihen

<j = cp - 11' 30",65 • Si 2'-p -f 1",16 Si 4-^ - . . . 1

Lg p = 9,9992747+0,0007215 Co 2cp-0,0000018Co4'^+... Z

— Geodäsie — 233

Lg R = 9,9992711-0,0021813 Co 2^+0,0000018 Co 4cp-,.. 3
Lg N = 0,0007265-0,0007271 Co 2cp4-0,0000006 Co 4cp-... 4
berechnet. Die Länge einer Meridiansekunde ist sodann
offenbar R a Si 1'', die einer Sekunde des Parallels
N a Co cp Si 1", so dass für cp = 45 " dafür die Werte
30"',86 und 21'",89 folgen. [VII'^]

378 [481]. Weitere geodätische fint-
itlcklong^en. Sind einmal die Dimensionen der Erde
festgestellt, so lassen sich unter Voraussetzung der
Kugel oder des Rotationsellipsoides durch geometrische
Betrachtungen verschiedene Aufgaben auf derselben
lösen , deren Gesamtheit die sog. höhere Geodäsie
bildet. Kennt man z. B. die Länge 1 und Breite q?
eines Punktes M, so kann man auch die geographische
Lage eines andern Punktes M' bestimmen, wenn man
seine, z. B. in Bogensekunden ausgedrückte Distanz a
von M kennt, sowie das Azimuth w, unter welchem
M' von M aus erscheint. Bezeichnet nämlich 1' die
Länge, cp' die Breite von W und w' das Azim.uth von
M in Beziehung auf W, so findet man unter Voraus-
setzung einer sphärischen Erde, dass
9' =z cp — a Co w — 1 2 a-^ Tg cp Si'^ w • Si 1" + . . . 1

P = l_aSiw-Secp+a-^Siw-Cow-Tgcp.Secp.Sil''+...8
w' = w-180-aSiw.Tgcp+V4a-Si2w(l+2Tg2cp)-Sil"+...3
gesetzt werden können. — Unter derselben Voraus-
setzung findet man ferner die Be-
'- Ziehungen

X

h = |^ = 2rSi2^ -Secp 4

bSia ^ r^icp_ ^krSi-^ ^
Co(q?+a7 ^ Co(cp + a)' ^~"' b" *

<i4-|^, + ..., '-P = 34-,67-|/hC

234 — Geodäsie —

(wo h für 6 in Metern auszudrücken ist), um die
wirkliche Höhe h -f k oder die scheinbare Höhe x von
M über A, die Depression des Horizontes oder die
Kimmtiefe cp für einen Beobachter in B, etc., zu be-
rechnen.

XLI. Die Ghorographie.

38^9 [101]. Be^rifT der Chorographie.

Weder die Kugel noch das Rotationsellipsoid lassen
sich auf einer Ebene ausbreiten, und wenn daher, wie
es Aufgabe der sog. Ghorographie ist, Teile der Erde
oder der scheinbaren Himmelskugel auf einer Ebene
dargestellt, sog. Karten entworfen werden sollen, so
muss es entweder durch Projektion oder dadurch ge-
schehen, dass man der darzustellenden Fläche, sei es
eine abwickelbare Fläche substituiert, sei es sie sonst
annähernd abzubilden sucht. Auf welchem Wege dies
jedoch zu erreichen angestrebt wird, so schlägt man
immer den Weg ein , vorerst ein sog. Kartennetz zu
entwerfen, d.h. den Ort der Bilder je aller Punkte
von gleicher Länge und gleicher Breite oder die Ab-
bildungen eines Systems von Meridianen und Parallel-
kreisen aufzusuchen , und dann erst die Bilder der
einzelnen Punkte durch eine Art graphischer Inter-
polation in dieses Netz einzutragen.

SSO [102—05]. Uie perspektivischen Pro-
jektionen. Unter Voraussetzung der Kugelgestalt
ist die sog. perspektivische Projektion, bei der jeder
Punkt da verzeichnet wird, wo ^in von dem Pole
oder Auge, nach ihm gezogener Strahl die gewählte
Bildebene schneidet, von vielfacher Anwendung. Wird
dabei derjenige Meridian , dessen Ebene durch das

— Chorog-rapliie

235

Auge geht, als Ausgangsmeridian gewählt, so hat
man (336) für die Projektion m
eines Punktes M der Länge X
und Breite cp in Beziehung auf
den Augpunkt 0 als Anfangs-
punkt und die Projektion des
Ausgangsmeridianes als Axe,
die Koordinaten

Co 9 Co a Co X — Si 9 Si a
a4- Co a Si cp 4- Co cp Si a CoX

y-i)

Co cp Si X

a+CoaSi9+CocpSiaCoX

wo a und b in Teilen des Radius gegeben sind. Eli-
miniert man aus 1 und 2 die Breite cp, so erhält man
eine der Meridianprojektion zugehörende Gleichung
2. Grades, so dass dieselbe immer eine Linie zweiten
Grades ist, und zwar (137) eine Ellipse, Parabel oder
Hyperbel, je nachdem

c2 = a^— 1-f Si^a-SiU
positiv. Null oder negativ wird, und zwar sind die
Koordinaten des Mittelpunktes, die Halbaxen und der
Winkel von a mit der Axe nach

51 = b Si a Co a Si^ X : c^ 33 = — b Si X Co X Si a : c'-
a = b : c b = ab Si a Si X : c- w == A tg (Co a • Tg X)

zu berechnen. Eliminiert man ferner aus 1 und 2 die
Länge X, so erhält man eine der Parallelen-Projektion
zugehörende Gleichung 2. Grades, so dass auch diese
eine Linie 2. Grades ist, und zwar, da für sie

^' = _bSia[aSicp4-Goa]:d2, 53^ = 0, w' = 0«
a'= b Co cp (a Co a H- Si cp) : d- b' = b Co cp : d
wird, wo d« = [a -f Si (cp + a)] • [a + Si (cp — a)] ist, fast

236 — Chorographie —

immer eine Ellipse , da a -f Si (cp — a) selten ver-
schwindet oder gar negativ ausfällt. In dem besondern
Falle a = 1 = b, wo die Bildebene die Kugel halbiert,
und das Auge ebenfalls an die Kugel herangerückt
wird, projizieren sich die Meridiane und die Parallele
immer als Kreise, wodurch natürlich die Entwerfung
des Kartennetzes ungemein erleichtert wird. Überdies
erlaubt diese sog. stereographische Projektion mehr als
die Hälfte der Kugel darzustellen , und giebt Bilder,
deren kleinste Teile dem Originale ähnlich oder kon-
form sind. Ist a — oo = b oder a = 0 und b = 1 , so
heisst die Projektion orthographisch oder central.

3S1 [106]. Die cylindrischen und koni-
scben Projektioneu. Zu den abwickelbaren
Flächen, welche man einzelnen Zonen der Kugel sub-
stituieren, und dann direkt auf eine Ebene ausbreiten
kann, gehören vor Allem Cylinder und Konus. — Wird
der Cylinder gewählt, was übrigens eigentlich nur bei
schmalen und equatorealen Zonen angeht, so erhält
man die sog. Piattkarten, deren Netz aus zwei zu
einander senkrechten Systemen von Parallelen besteht :
Der Abstand der Parallelkreise entspricht dabei dem
Grade g des Equators, — derjenige der Meridiane
g • Co cp , Avo cp die mittlere Breite der Zone ist. —
Wird dagegen derjenige Conus gewählt, welcher die
abzubildende Zone in ihrem mittlem Parallel tangiert,
so hat man, um das Netz zu erhalten, den Mantel des
der Zone entsprechenden abgekürzten Kegels in der
gewöhnlichen geometrischen Weise auszubreiten , —
und es werden daher die Parallelkreise durch con-
centrische, je um einen Equatorgrad voneinander ab-
stehende Kreise , die Meridiane aber durch in ihrem
Mittelpunkte zusammenlaufende Gerade dargestellt.
Die nach Delisle und Bonne benannten Projektionen
sind Abarten der Konischen.

— Chorographie — 237

3S3 [106]. Hlnig^e andere Projektions-
arten. Ausser den bis jetzt behandelten Projektions-
arten sind im Laufe der Zeiten noch eine ganze
Menge anderer , zum Teil bestimmten Forderungen
entsprechender Verfahren aufgestellt, namentlich sog.
konforme Projektionen aufgesucht worden, bei welchen
die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten
Teilen ähnlich wird. Zu letztern gehört neben der
stereographischen (380) vor Allem die besonders für
Seekarten beliebte und ebenfalls konforme Mercator'sche
Projektion, bei welcher die Gradmeridiane je um g,
die Parallele um g • Se cp voneinander abstehen , und
welche die Eigenschaft hat, dass sich bei ihr die für
die Nautik wichtige loxodromische, d. h. alle Meridiane
unter demselben Winkel schneidende Linie als Gerade
verzeichnet. Auch die konische Projektion wird kon-
form, Avenn man nach dem Vorgange von Lambert die
Radien der Parallelkreise nach der Formel

Lg r = Si cpo • Lg [Tg (45 <> - % 9) : Tg (45 « - Va 9o)]
berechnet, wo cpQ die Breite des mittlem Parallels,
dessen Kadius als Längeneinheit gewählt ist, be-
zeichnet. Für andere konforme Projektionen vergleiche
die von Gauss gegebene „Allgemeine Auflösung der
Aufgabe, die Teile einer gegebenen Fläche auf einer
andern gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Ab-
bildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen
ähnlich wird."

XLII. Die Parallaxe.

383 [231]. Beg:rifr der Parallaxe. Den

Winkel, um welchen ein Objekt, wenn es von ver-
schiedenen Standpunkten aus angesehen wird, seine

238 — Parallaxe —

Stelle zu verändern scheint, nennt man seine Parallaxe,
und speciell seine tägliche, wenn man den Unterschied
der auf Beobachtungsort und Erdcentrum bezogenen
sog. scheinbaren und geocentrischen Positionen eines
Gestirnes ins Auge fasst. Da die Ebene der Gesichts-
linien eines Gestirnes vom Centrum der Erde und vom
Beobachtungsorte aus, bei sphärischer Erde durch den
Zenit des Beobachters geht , also einen Vertikalkreis
bestimmt, so hat unter dieser Voraus-
setzung die tägliche Parallaxe, von
der in diesem Abschnitte ausschliess-
lich die Kede sein soll, auf das Azi-
muth keinen Einfluss, sondern nur
auf die Zenitdistanz. Bezeichnen
aber z' die scheinbare, z die geocentrische Zenitdistanz,
u' die Parallaxe und p die Entfernung des Gestirnes
vom Erdcentrum, so ist

z' — z = 7t' = Asi (r Si z') : P =^ r Si z' : p Si 1" 1
Die Parallaxe ist also im Zenite Null, und für z' = 90o,
wo sie Horizontalparallaxe des Gestirnes heisst, wird
sie im Maximum

u = Asi(r:p)^r:pSir' 9

Es stehen somit für eine sphärische Erde Horizontal-
parallaxe und Distanz des Gestirnes in so einfachem
Rapporte, dass ihre Bestimmung Hand in Hand geht.
3S4 [437—38]. Die Bestimmon^en vou
Aristarch und Hipparch. Die ersten auf Mes-
sung beruhenden Angaben über Entfernung und Grösse
von Gestirnen verdankt man Aristarch und Hipparch.
Ersterer leitete aus dem rechtwinkligen Dreiecke,
welches zur Zeit der Quadratur oder Dichotomie Sonne,
Erde und Mond bilden, unter Annahme, dass sein
Winkel an der Erde 87° betrage, für das Verhältnis

— Parallaxe — 239

der Distanzen der Erde von Mond und Sonne die
Grenzwerte 1 : 18 und 1 : 20 ab. Letzterer aber machte

die schöne Entdeckung^
dass die Summe der
Parallaxen von Mond (C)
und Sonne (O) gleich der
Summe der scheinbaren Halbmesser (r, cp) der Sonne
und des Schattenkegels der Erde in der Distanz des
Mondes sein müsse, und da er teils ihr Verhältnis
gleich dem reciproken Verhältnisse (1 : 19 nach Ari-
starch) ihrer Distanzen setzen, teils aus der Dauer
der Mondfinsternisse den Halbmesser des Erdschattens
annähernd (zu 39') bestimmen konnte, so gelang es
ihm, jene Parallaxen (zu 57' und 3'), und damit auch
die in Erdhalbmessern (r') ausgedrückten Distanzen
(d = 59 • r' , D = 1200 • r') und Grössen (R = 5 \, ■ r',
p = lg . r') jener beiden Hauptgestirne , wenn auch
(wenigstens für die Sonne) noch nicht dem Zahlwerte
nach befriedigend, doch nach einer mathematischen
Methode, zu ermitteln.

385 [440—44]. Die Bestimmuiig^eii von
Rieher nnd Ia» Caille. Später kam man zu der
Überzeugung, dass eine genaue Bestimmung der Parall-
axe eines Gestirnes am Besten erhältlich sei, wenn
man an zwei Punkten desselben Meridianes seine
gleichzeitigen Kulminations-Zenitdistanzen beobachte
und in der That erlauben unter Voraussetzung der
Kugelgestalt der Erde die Formeln
Tc, + 7i2 = Zi + Z.2 — (cp, — cpj) Tg a r= Si Zi : Si z^ 1
.^^^^^^^^^^^ Tg \, (u, - ::,) - Tg (a - 45 ») •
^; />^^^ • Tg ^', (^, + ri,) Z

;/^;l_--V^^^^'^^ p = r Si z, : Si Ui Si z = r : p 3

240 — Parallaxe —

den Abstand p des Gestirnes vom Erdcentrum und
seine Horizontalparallaxe t: zu berechnen, — ja man
kann sogar ohne grosse Schwierigkeiten auch den
Einfluss der Abplattung und einer allfälligen Meridian-
differenz der beiden Beobachter in Eechnung bringen.
Auf diese Weise erhielten z. B. La Caille und Lalande
aus korrespondierenden Beobachtungen des Mondes,
welche sie 1751 am Cap und in Berlin machten, für die
mittlere Polarhorizontalparallaxe 56' 56", für das Ver-
hältnis zwischen Parallaxe tc und scheinbarem Eadius [x
r. = 3,646 11, für die mittlere Entfernung 51800. M., für
den wahren Durchmesser 466. M., — und die neuere Zeit
hat an dieser Mondparallaxe, die, wegen der ver-
schiedenen Distanz des Mondes von der Erde, zwischen
53' und 62' schwankt, und überhaupt an diesen Zahlen
nur wenig verändern müssen. — Durch das dritte
Gesetz Keplers (406) über das Verhältnis der Distanzen
der Planeten belehrt, genügt es ferner, um auch diese
zu erhalten. Eine solche Distanz oder Parallaxe direkt
zu messen, und zu einer solchen Messung nach obiger
Methode eignet sich voraus der zur Zeit seiner Oppo-
sition der Erde relativ nahe tretende Mars. Um dieses
1672 eintretende günstige Verhältnis zu benutzen,
wurde damals Kicher von der Pariser-Academie nach
Cayenne gesandt , während Cassini in Paris korre-
spondierende Beobachtungen zu machen hatte, und das
Ergebnis war eine der Distanz 0,372 entsprechende
Marsparallaxe von 25 '/g", aus der sich sodann für die
Distanz 1 oder die Sonne die durch die neuern Beob-
achtungen nur wenig abgeänderte Parallaxe d%"
ergab.

3S6 [445—52]. Die neuem Bestimmung^en.
Beim Durchgange eines untern Planeten (vgl. 425) er-
hält jeder Beobachter sowohl für irgend eine Phase

— Parallaxe — 241

Durchgangs als für die Dauer desselben eine be-
stimmte, teils von seinem Standpunkte, teils von der
Differenz der Parallaxen ( $ oder 9 ) des Planeten
und (O) der Sonne abhängige Zeit, und es lässt sich
daher diese Differenz (jedoch besser 9 — Q =: 3© als
$—0= *.,0) entweder, wie Hallej^ schon 1716 vor-
schlug , aus der Vergleichung der von verschiedenen
Beobachtern erhaltenen Dauer, oder, wie später Delisle
zeigte, aus der Vergleichung des von ihnen ermittelten
Eintrittes derselben Phase, bestimmen, — folglich, da
nach dem dritten Kepler'schen Gesetze (406) das Ver-
hältnis der Parallaxen bekannt ist, auch diese selbst.
In der That ergaben die während den Venusdurch-
gängen von 1761 und 1769 an den verschiedensten
Orten gemachten, und nach diesen Grundsätzen ver-
werteten Beobachtungen eine Eeihe von nahe unter
sich und auch mit dem Eicher'schen Resultate gar
nicht übel übereinstimmenden Werten für die Sonnen-
parallaxe, — nach Encke im Mittel 8",58. Seither sind
namentlich die 1862 und 1877 eingetroffenen Erdnähen
des Mars in ähnlicher Weise wie von Richer — Cassini
verwendet und wieder nahe gleiche, wenn immerhin,
entsprechend Leverriers theoretischer Bestimmung,
etwa um 0'',3 grössere Werte als der Encke'sche er-
halten worden. Die Venusdurchgänge von 1874 und
1882, sowie die auf die Beziehung zwischen der Sonnen-
parallaxe und der physikalisch ermittelten Licht-
geschwindigkeit (427) sich stützenden Methoden haben
diese grösseren Werte bestätigt und es ist anzunehmen,
dass die Sonnenparallaxe etwa 8'',9 betrage, was mit
einer Sonnendistanz von 147801000 km und einem
Sonnendurchmesser von 1376000 km übereinkömmt.

387 [435]. Der fiinflass der Parallaxe
auf die Koordinaten. Um den Einfluss der
Wolf, Taschenbuch 16

242

— Parallaxe

Parallaxe ti eines Gestirnes, mit Berücksichtiofung' der
wahren Gestalt der Erde , auf seine Koordinaten zu
bestimmen, erhalten wir für n = 0 aus 192:2, wenn
wir R durch die in der Einheit des Equatorradius
gegebene Distanz p des Beobachters vom Erdcentrum
und r (nach 383) durch 1 : Si 7t , r' aber durch A : Si :t
ersetzen, wo A das Verhältnis der Distanzen von Ober-
fläche und Centrum bezeichnet,

A Co V . Co w' -= Co V • Co w - p Si ;i Co V- CoAV 1
A Co V' • Si w' = Co V . Si Av — p Si 71 Co V . Si W S
A . Si v^ = Si V — p Si 7c Si V 3

Hieraus erhält man aber unter der Annahme, dass
p Si 7c . CoJ^ Ter Ti — TgV-Co 'g (w' - w)
Si 1" "^ " ~

^^Cov

Tgn

W]

SiV

Co [V2 (w' -+- w)
P m • Si 7x

sei, d und d^ aber die Centrum und Oberfläche ent-
sprechenden scheinbaren Durchmesser bezeichnen,
w^ = w 4- P Si (w — W) -f '2 p- Si 1" Si 2 (w — W) + ... Ä
V' = V + q Si (V - n) -f "2 q- Si 1^' Si 2 (v — n) + . . . 6
d' : d = 1 : A == Si (V — n) : Si (V — n) 7

Um diese Formeln auf die gewöhnlichen drei Koor-
dinatensysteme anzuwenden, hat man, wenn w, z, a,
d, 1, b die geocentrischen, dagegen w', z', a', d', V, b'
die scheinbaren Horizont- , Equator- und Ekliptik-
koordinaten sind, und cp', t geocentrische Breite und
Sternzeit bezeichnen.

die Grössen

für d. Horizont durch

- d. Equator durch

- d. Ekliptik durch

w 90«-z

-ai d

w'

90-z'
b'

W

0

-t
-L

90o_(cp_cp')
B

— Parallaxe — 243

zu ersetzen , wo B und L die Werte sind , welche 9'
und t annehmen, wenn man sie auf g-ewohnte Weise
vom Equator auf die Ekliptik transformiert.

3SS [435]. Einigte Aii^vendaiig^eii. Wenn
die sog. tägliche Parallaxe für die Fixsterne als ver-
schwindend, für die oberu Planeten wenigstens als
sehr klein betrachtet werden darf, so erlangt sie da-
gegen bei der Sonne und den untern Planeten eine
nicht zu vernachlässigende und beim Monde eine ganz
erhebliche Grösse, so dass ihr Einfluss berücksichtigt
werden muss, wobei zugleich die eigene Bewegung in
Rechnung zu ziehen ist. So findet man z. B. für einen
Wandelstern des scheinbaren Radius r, wenn t das
Mittel der beobachteten ührzeiten, f die Fadenkorrek-
tion und At die Uhrkorrektion ist, und

I = cSe5— nTgS — m, II = fSe5, III = + rSe5
IV == p Si 71 Se S [(c — f ) Co (cp' — 5) — m Co 9- - n Si cf j
gesetzt wird,

a = t + At — (I - II — III — IV) : ( 1 - X) 3
wo I der Bessel'schen Eeduktionsformel 343:2 ent-
spricht, — II der gewöhnlichen Fadenreduktion 340:2, 3,
— III der für vorgehenden oder nachfolgenden Rand
zu addierenden oder zu subtrahierenden Durchgangs-
zeit des Radius, — IV, wo cp' die geocentrische Breite,
p die Distanz des Beobachters vom Erdcentrum und
7c die Parallaxe bezeichnet, dem Einflüsse dieser Parall-
axe, — während der gemeinschaftliche Divisor (1 —X),
in welchem X die in Zeitsekunden ausgedrückte Zu-
nahme der Rektascension des Gestirnes in einer Se-
kunde Sternzeit bezeichnet, der eigenen Bewegung
Rechnung trägt.

244 — Die Erde und ihr Mond

XLIII. Die Erde und ihr Mond.

389 [221-22]. Baa uud Uichte der Erde.

Über den Bau der Erde weiss man leider so wenig,
dass man bisdahiu nur zu sehr berechtigt geblieben
ist, von einer „Terra incognita" zu sprechen. Die ver-
dienstlichen Untersuchungen der Geologen können sich
natürlich nur auf die Schichtungsverhältnisse der
äussersten Erdkruste beziehen, und die Astronomie
kann wohl kaum je andere Beiträge geben, als die
allerdings nicht unwichtigen Bestimmungen der mitt-
lem Dichte der Erde und gewisser Anomalien der
Schwere und Lotrichtung (vgl. 374). Erstere, die schon
Newton mit seinem merkwürdigen Scharfblicke etwa
gleich 5 vermutete, ist teils durch die 1774 von Hatton
und Maskelyne beobachtete Ablenkung des Lotes am
Shehallien unter Benutzung der mutmasslichen Masse
dieses Berges, — teils durch die 1798 von Cavendish
mit einer Art Drehwage durchgeführte Vergleichung
zwischen den Anziehungen einer bekannten Masse und
der Erde, — teils in neuerer Zeit durch die Baily,
Carlini, Eeich, Airy, Wilsing, etc. auf verschiedene
Weise zu ca. 5 7-, bestimmt worden; da diese Zahl
entschieden grösser ist als die im Mittel der Erdkruste
zukommende Dichte (nach Studer 3, nach Humboldt
bei Einrechnung des Meeres sogar nur IVa)» so darf
Avohl mit ziemlicher Sicherheit der Schluss gezogen
werden, dass die Schichten der Erde im allgemeinen
nach Innen an Dichte zunehmen, — ob aber diese Zu-
nahme bis zum Centrum statt hat, oder später wieder
in Abnahme übergeht, sogar zuletzt entsprechend
naturphilosophischen Ideen ein hohler Eaum folgt,
lässt sich wohl nie definitiv bestimmen.

— Die Erde und ilir Mond — 245

390 [223, 453—59]. Die Atmoi§phäre. Die

den Übergang- von Tag- zu Nacht vermittelnde Däm-
merung liefert uns nicht nur schon durch ihre blosse
Existenz den Beweis für das Vorhandensein einer die
Erde umgebenden Lufthülle oder Atmosphäre, sondern
g'iebt uns sogar ein Mittel, wenigstens annähernd ihre
Höhe zu bestimmen. Nachdem nämlich die sog-, bürger-
liche Dämmerung, die nach Brandes bei 6'^*^ Depression
der Sonne aufhört, längst erloschen, d. h. uns bereits
für unsere Arbeiten künstliche Beleuchtung notwendig
geworden ist, sehen wir am westlichen Himmel noch
ein, oft ziemlich scharf begrenztes, merklich beleuch-
tetes Segment, dessen Höhe fortwährend abnimmt, und
können durch eine Art Interpolation den Moment seines
Verschwindens , daraus aber auch die entsprechende,
von Brandes zu 18^ angenommene Depression der
Sonne, und die etwa 11 Meilen betragende Höhe der
letzten Luftschichte berechnen, welche uns noch Licht
zu reflektieren vermag. — Die Ablenkung des Lichtes
durch die Atmosphäre, oder die sog. Refraktion ist
bereits früher (287, 332) behandelt Avorden, und es mag
hier nur noch die von Simpson und Bradley für die
Refraktion aufgestellte bequeme Formel

r t=r (b : 29,6) • 400 : (350 + t) • hT' ■ Tg {z, — 3r)

wo b den Barometerstand in englischen Zollen und t
die Lufttemperatur in Fahrenheit bezeichnen , an-
geführt, — der Bemühungen der Euler, Laplace, Bessel,
etc. zur theoretischen Ableitung solcher Formeln unter
bestimmten Voraussetzungen über die Konstitution
der Atmosphäre gedacht, — auf die Bessel'sche Re-
fraktionstafel [VI] hingewiesen, — endlich darauf auf-
merksam gemacht werden , dass auch terrestrische
Höhenwinkel durch die Refraktion eine Vergrösserung

246 — Die Erde und ihr Mond —

erleiden, welclie nach Eschmann gleich 18",T2 • d ge-
setzt werden kann, wo d die Distanz in geographischen
Meilen bezeichnet. — Über die Durchsichtigkeit der
Luft, und die so wünschbare Möglichkeit, dieselbe zu
messen, ist leider nichts wesentliches beizubringen, —
dagegen ist noch zu bemerken, dass das namentlich
durch Ch. Dufour jahrelang konsequent beobachtete
sog. Funkeln oder Scintülieren der Sterne ziemlich
sicher als eine Interferenzerscheinung nachgewiesen
worden ist.

391 [225]. Oielf¥itterong:sersc]ieiniing:en.
Jede Stelle unserer Erde erhält beständig Wärme, sei
es durch direkte Einwirkung der Sonne oder sog. In-
solation, sei es durch Mitteilung der umgebenden Luft,
— giebt aber auch beständig Wärme ab , teils an die
auf ihr liegende Luftschichte, teils durch Strahlung
an den Weltraum. Je nach dem Wechsel der Tages-
und Jahreszeit und der Beschaffenheit der Atmosphäre
ist bald der Wärmegewinn, bald der Wärmeverlust
grösser, und da dieses Verhältnis gleichzeitig für ver-
schiedene Stellen der Erde teils wegen der Verschieden-
heit jener bedingenden Ursachen, teils wegen lokalen
Verhältnissen ein Anderes ist, so ändert sich auch die
Verteilung der Wärme auf der Erde immerfort. Mit
diesen Veränderungen stehen aber notwendig Luft-
strömungen und Variationen im Dampfgehalte der Luft
im Zusammenhange, und damit Avieder Änderungen im
Luftdrucke, wässerige Niederschläge (305), zum Teil
auch optische und elektrische Phänomene (Eegenbogen,
Höfe, Gewitter, etc.), d. h. überhaupt die sog. Witterung.
Letztere ist somit offenbar das Produkt sehr mannig-
faltiger Wechselwirkungen , und der einzig sichere
Weg zur Ausbildung der Meteorologie ist, nach und
nach für eine erosse Zahl von Stationen die ihr Klima

— Die Erde und ihr Mond — 247

bedingenden mittleren Temperaturen, Barometerstände,
Keg-enmengen, etc. zu ermitteln, und sodann für eine
Folge von Zeiten die Differenzen zwischen diesen
mittlem und den wirklichen Werten über grössere
Teile der Erde zu verfolgen.

393 [155,229]. Her ii:rdmas:netismu[S and
dais Polarlicht. Für verschiedene Orte der Erde
erhalten im allgemeinen Deklination, Inklination und
Intensität (313) gleichzeitig verschiedene Werte , und
wenn man diejenigen Punkte, für welche sie gleich
werden, verbindet, oder sog. Isogonen, Isocünen und
Isodynamen zieht, so bilden die erstem gewissermassen
magnetische Meridiane und die beiden letztern Parallel-
kreise, vA'elche jedoch, — so wenig als die magnetischen
Pole (Inklination 90" oder Intensität ein Max.) und
Equatoren (Inklination 0 oder Intensität ein Min.)
unter sich oder mit den geographischen zusammen-
fallen. — Auch an demselben Punkte der Erde sind
alle drei Grössen bedeutenden Veränderungen unter-
worfen; so z. B. gieng die Deklinationsnadel bei uns
etwa in den letzten 300 Jahren von NNO über N nach
NNW, und kehrt nun wieder zurück. Dieser Pendel-
schlag besteht jedoch nicht in einer kontinuierlichen,
sondern in einer zitternden Bewegung, gewissermassen
einer Summation der Überschüsse von kleinen täglichen
Variationen in einem bestimmten Sinne, und zwar
zeigt sich die tägliche, in ihrem Betrage ungefähr der
Mittagshöhe der Sonne proportionale BeAvegung gegen-
wärtig auf der nördlichen (südlichen) Halbkugel in
der Weise, dass das Nordende (Südende) der Nadel
etwa um 20'' den östlichsten Stand hat, dann bis gegen
2'' nach Westen geht, und über Nacht (etwa von 11—15
nochmals etwas nach Westen ausschlagend) nach Osten
zurückkehrt. Ferner zeigen an jedem Orte die Jahres-

248 — Die Erde und ihr Mond —

mittel der tägiiclien Variation eine Periode von 11 V»
Jahren (vgl. 422), und endlich erleidet der tägliche
Gang der Nadel zuweilen starke Störungen, — nament-
lich wenn ein sog. Nordlicht (oder Südlicht, allgemeiner
Polarlicht) statt hat. Dieses Letztere beginnt ge-
wöhnlich mit der Bildung eines dunkeln Segmentes,
über welchem ein bläulich weisser Lichtsaum wallt,
dessen Scheitel immer nahe in den magnetischen Meri-
dian fällt; dann beginnen Strahlen zu schiessen, die
in allen Farben spielen, verschwinden und wieder er-
scheinen, sich nach 0 oder W bewegen, etc., und nur
da, wo das Südende der Inklinationsnadel hinweist,
bemerkt man eine in ruhigem, mattem Lichte fort-
glänzende Stelle, die sog. Krone, sonst überall Be-
wegung. Es tritt gegen die Equinoctien hin am häufig-
sten auf, — unterliegt nach Fritz in seiner jährlichen
Anzahl einer etwa 5 sekundäre Wellen umfassenden
Periode von 55'., Jahren, — und entsteht nach De la
Rive, wenn sich die negative Elektricität der Erde
mit der positiven der Luft bei einer gewissen Spannung*
an den Polen ausgleicht.

393 [233—37]. Die äussere Erscheinung
des Mondes. Vor Erfindung des Fernrohrs unter-
schied man auf dem Monde nur zur Zeit seiner Oppo-
sition einige dunklere Flecken, aus denen rege Phantasie
eine Art Gesicht bildete; nach derselben erkannte da-
gegen Galilei einen, bei Wiederkehr der gleichen Phase
sich immer wieder in gleicher Weise zeigenden , also
festen Detail, namentlich jeweilen an der Lichtgrenze
ganz unverkennbare Berge und Thäler. Seine Nach-
folger Hevel und Grimaldi entwarfen bereits Mond-
karten, in die ßiccioli die Namen berühmter Männer
einschrieb, und welche sodann Tob. Mayer, Schröter,
Lohrmann, etc., immer mehr vervollkommneten, bis

— Die Erde und ihr Mond — 249

endlich Mädlers mustergültige Karte entstand, die nun
freilich nach und nach hinter Mond-Photographien
zurücktreten wird. Schon Hevel begann ferner aus den
geworfenen Schatten die Höhen der Berge (Leibnitz
und Dörfel 25000', Huygens 19800', etc.) abzuleiten;
später entdeckte man sog. Rillen (Rainures), d. h. über
Berg und Thal fortlaufende, scharf eingeschnittene
Vertiefungen, und sah bei Vollmond von einzelnen
Gebirgen (Tycho, Kepler, Aristarch, etc.) auslaufende,
sog. Strahlensysteme, deren Natur und Entstehungs-
weise noch nicht sicher festgestellt ist, die aber mit
bei der Hebung der Gebirge entstandenen Rissen in
Zusammenhang stehen dürften. Der von Hevel „Lumen
secundarium" genannte Reflex der Erde bewirkt, wie
schon Leonardo da Vinci erkannte, dass in den ersten
Tagen nach der Konjunktion auch die Nachtseite des
Mondes sichtbar wird.

394 [210, 40]. Die Ben eg^ung: des Mondes.

Da uns der Mond bei seiner BeAvegung um die Erde
beständig dieselbe Seite zuwendet, so muss er während
einer Revolution auch eine Rotation uip seine Axe
vollenden. Letztere ist aber ihrer Natur nach eine
gleichförmige, Erstere dagegen eine ungleichförmige
Bewegung, da sie nicht nur (357) elliptisch ist, sondern
noch einer ganzen Reihe kleiner Ungleichheiten unter-
liegt , so dass z. B. , wenn 1, L, m, M die mittlem
Längen und Anomalien von Mond und Sonne bezeichnen
)s. 408), die wahre Länge des Erstem

X^l-|-6oi6'-Sim-f-13'-Si2m + m6'.Si[2(l-L)-m)]
4- 39'.Si2(l-L)4-ll^-SiM

wo die zwei ersten Glieder die schon Hipparch be-
kannte Mittelpunktsgleichung darstellen, die sich bei
jeder elliptischen Bahn zeigt, das dritte die von Ptole-

250 — Die Erde und ihr Mond —

maus entdeckte, an eine Periode von 32*^ gebundene
Evektion, die sich in den Syzygien (1 ~ L = 0,180) und
Quadraturen (1 — L = 90,270) als + 1» 16' • Si m mit I
vermischt, so dass die Alten aus den Finsternissen
eine zu kleine, Ptolemäus aus den Quadraturen aber
eine zu grosse Gleichung fand, wie wenn sich die
Mondbahn periodisch verändern würde, — das vierte
die mutmasslich schon von Abul Wefa entdeckte Varia-
tion, das fünfte endlich die von Kepler festgestellte
jährliche Gleichung. Die Winkeldrehung a' des Mondes
um seine Axe wird infolge davon bald etwas kleiner,
bald etwas grösser als die Winkelbewegung a in der
Bahn, also der Punkt a, welcher
bei einer ersten Stellung des
Mondes seine Mitte bildet, bei
einer zweiten Stellung bald in
a', bald in a'' erscheinen, so dass
am rechten oder linken Eande des Mondes noch Stellen
sichtbar werden, die man früher nicht sah, — gerade
wie wenn der Mond etwas schwanken würde. Ausser
dieser Libration in Länge hat der Mond auch eine
^ry^ 'HN '-'*^''^*'°" '" Bi'ß'tßj f^iö daher rührt,

L/"^:^~* ^c/ J ^^^^^ ^^^ Mondaxe nur einen Winkel

XL-'-'' 6 "^41^ von 83'/,° mit der Mondbahn bildet,
— endlich noch eine parallaktische Libration, da der
vom Auge des Beobachters mit dem Monde bestimmte
Kegel für entlegene Standpunkte verschieden ist. Diese
Librationen, deren erste Entdeckung zu den schönsten
Ehrentiteln Galileis gehört, bewirken nach Mädlers
Berechnung, dass man nur '-['^ der Mondoberfläche be-
ständig, und nur ebensoviel nie sieht. — Die Ebene
der Mondbahn ist gegen die Ebene der Ekliptik um
5^9' geneigt, und es kann sich daher die Deklination
des Mondes um volle 2 (23« 27' + 5"9') = 57n2' ver-

— Die Erde und ihr Mond — 251

ändern, womit die grossen Schwankungen in der täg-
lichen Verspätung- seines Aufganges (V4 — l'-j*") ^^'
sammenhängen. Bei Vollmond ist die Deklination im
AMnter gross, im Sommer klein. Die Knotenlinie der
beiden Ebenen vollendet in 6798',335f)3 = ca. 18",6
eine Umdrehung, und zwar kömmt sie dem Monde
entgegen, so dass derselbe schon nach 27'',21222, dem
sog. Orachenmonat, zu demselben Knoten zurückkehrt,
während die Apsidenlinie der Mondbahn in 3231*^,46623
= ca. 9',0 eine Umdrehung in entgegengesetztem
Sinne vollendet, und der Mond erst in 27*^,55460, dem
sog. anomalistischen Monat, zu demselben Apsiden-
punkte, z. B. zum Perigeum, zurückkehrt.

395 [238—39]. Hie physische Beschaffen-
heit des Iflondes. Da man beim Monde keine
Spuren von Dämmerung, und bei seinem Vorübergange
vor andern Gestirnen weder Refraktionserscheinungen,
noch allmähliges Bedecken bemerkt hat, so scheint
man berechtigt zu sein , ihm eine merkliche Atmo-
sphäre und lebende Organismen abzusprechen. Im
Übrigen dürfte sonst der Mond nach seinem Baue
sich nicht gar sehr von der Erde unterscheiden, da
teils seine in der Präcession, Nutation und den sog.
Störungen zu Tage tretenden Wirkungen, teils seine
sofort näher zu berührende Einwirkung auf die Erde
schliessen lassen, dass er bei ^ go der Erdmasse auf
^49 ihres Volumens etwa die Dichte 3 besitzt, und
auch die Gestaltung seiner Oberfläche manche Analo-
gien darbietet. Ob die vielen, mit Centralkegeln aus-
gestatteten Ringgebirge des Mondes auf eine vor-
herrschend vulkanische Natur schliessen lassen, und
ob einzelne Vulkane noch in neuerer Zeit thätig ge-
wesen sind, mag vorläufig in Frage gestellt bleiben.

252 — Die Erde und ihr Mond —

396 [241-42]. Der Einflnss des ]inonde§i
auf die £rde. Die auffallendste Wirkung- des
Mondes auf die Erde zeigt sich in dem Phänomene
der sog. Ebbe und Flut, das zuerst durch Strabo richtig
beschrieben, dann durch Kepler als eine Wirkung des
Mondes bezeichnet, und endlich von Newton als eine
Gravitationserscheinung erwiesen wurde: Denkt man
sich nämlich die Erdkugel mit einer concentrischen
Wasserschichte umgeben, so wird Letztere infolge der
Anziehung des Mondes, welche auf den Punkt, in
dessen Scheitel er steht, stärker wirkt als auf den
Mittelpunkt, und auf diesen stärker als auf den Gegen-
punkt, die Form eines Sphäroides anzunehmen suchen,
dessen grosse Axe durch den Mond geht. Dieses
Sphäroid wird aber wegen der Rotation der Erde nie
zur Euhe kommen, sondern in Gestalt einer breiten
Welle dem Monde in seiner täglichen Bewegung von
Ost nach West folgen, und dadurch an jedem Orte
während einem Mondtage zweimal Flut und zweimal
Ebbe veranlassen. Diese Bewegungen erleiden jedoch
nicht nur durch eine analoge, wenn auch etwas schwä-
chere Differentialwirkung der Sonne, sondern nament-
lich auch durch die Veränderung der Deklination und
Entfernung beider Gestirne, durch die Zerteilung des
Oceanes, etc., nach Fortpflanzung und Höhe grosse
Modifikationen, und es gelang trotz den Anstrengungen
der Dan. Bernoulli, Maclaurin, Euler, etc., erst Laplace
unter Zugrundelegung langer Beobachtungsreihen im
Hafen zu Brest, sie theoretisch bis ins Detail zu be-
wältigen , und so z. B. Linien gleicher Flutzeit oder
sog. Isorachien auszumitteln. — Eine entsprechende
Ebbe und Flut der Atmosphäre ist am Barometer kaum
bemerklich, da ihr Betrag nach Toaldo höchstens 0,2"""
wäre; dagegen zeigt der Luftdruck nach Eisenlohr

— Die Erde und ihr Mond — 253

durchschnittlich zur Zeit der Syzyg-ien Minimas, und
überhaupt kann wolil ein gewisser Einfluss des Mondes
auf die Witterung, die Organismen, die Erdbeben und
Yulkanausbrüche , den Gang der Magnetnadel, etc.,
nicht geläugnet werden, nur darf man ihm auch nicht
gar zu viel zumuten, wie es vom grossen Publikum
von Alters her geschehen ist.

XLIV. Die Finsternisse und Bedeckungen.

397 [243]. Beg:rifr der Finsternisse und
Bedecknngfen. Wenn von zwei durch dieselbe
Lichtquelle beleuchteten Weltkörpern der Eine in den
vom Andern geworfenen Schattenkegel tritt, so wird
ihm das Licht entzogen, — er erleidet eine partiale
oder totale Verfinsterung, — und es ist dieselbe von
allen Punkten des Weltraumes , von denen man nach
dem verfinsterten Körper sehen kann , im gleichen
Momente und genau in gleicher Weise sichtbar, — so
beim Eintreten eines Mondes in den Schatten seines
Planeten. Wenn dagegen ein dunkler Körper zwischen
einen Beobachter und eine Lichtquelle tritt, so wird
dadurch die Lichtquelle nicht verfinstert, sondern nur
für gewisse Punkte teilweise oder ganz bedeckt, —
es ist somit die partiale, oder annulare oder totale Be-
deckung der Lichtquelle oder die entsprechende Ver-
finsterung des Beobachters etwas wesentlich lokales,
und somit nach Zeit und Verlauf für verschiedene
Standpunkte möglicherweise ganz verschieden, — so
die sog. Sonnenfinsternisse , Sternbedeckungen und
Durchgänge der untern Planeten.

398 [245-47, 462]. Die Mondfinsternisse.
Steht der Mond zur Zeit seiner Opposition nahe am

254 — Finsternisse und Bedeckungen —

Knoten, so taucht er teilweise oder ganz in den Schatten
der Erde. Wird er total verfinstert, so verschwindet er
zuweilen (so 1620 XII 9, 1642 IV 25, 1816 VI 6, etc.)
vollständig-; in der Regel aber bleibt er in schmutzig
rotem Lichte, das nach Erscheinung und Ursache
dem Saume der sog. Gegendämmerung zu entsprechen
scheint, sichtbar. — Um diese Finsternisse, welche
nach IS'' 1V\ der Chaldäischen Periode Saros von 223
synodischen = 242 draconitischen Monaten, je nahe in
gleicher Weise wiederkehren , zu berechnen , hat man
einerseits (384) für den zwischen 38' 24" und 46' 38"
schwankenden Halbmesser des Erdschattens in der
Distanz des Mondes die Formel

wo "^'Veo 6in ^^ch Tob. Mayer angenommener Erfahrungs-
faktor ist, — und anderseits kann man dem Monde die
Differenz der Bewegungen von Mond und Sonne geben,
den Erdschatten als ruhend, und die scheinbare Mond-
bahn als eine Gerade annehmen. Bezeichnen sodann
Aß und AX die stündlichen Bewegungen des Mondes
in Länge und Breite, AI die der Sonne in Länge, also
AX — AI die hier einzig in Betracht kommende stünd-
liche Verschiebung in Länge, so hat man offenbar

^ AX-Al

h = Aß Cs n 2

e = ßSin d = ßCon

' EBiptDt \% 1^ /u%-/^\ wo d die kürzeste

Distanz des Mondes
vom Centrum des Schattens bezeichnet, also der Mitte
der Finsternis entspricht, und h die scheinbare stünd-
liche Bewegung des Mondes in seiner Bahn ist. Ist

ZOO

daher T die Zeit der Opposition, so ist die Zeit der
Mitte der Finsternis

t = T — e : h -= T — ß Si^ n : Aß 3

während

T = (g- - e) : h - |/(T+T)"(f -T) : h 4

angiebt, um wie viele Stunden vor oder nach der Mitte
der Finsternis der Mond die Verfinsterung

m = cp — (f— p) = cp4-p — f 5

erleidet. Für Anfang und Ende der partialen oder

totalen Finsternis ist f = cp -f p oder f=cp — p zu

setzen, während für die Mitte f ^= d wird, so dass

M = cp -f p — d = 6 (cp + p — d) : p sog. Mondzolle 6

die grösste Phase oder die sog. Grösse der Finsternis
(Max. 22 Zolle) giebt. Die Grösse d
lässt sich für jede Opposition nach
Tg d = Tg ß • Co i 7

wo i = 5^ 9' ist, vorausberechnen.
Wird d < cp + P > ^o hat immer eine Finsternis , für
d < cp — p sogar eine totale Finsternis statt. Von den
223 Oppositionen, welche auf eine Saros fallen, er-
geben etwa 29 eine Finsternis. Die längste Dauer
einer solchen aber ist etwas mehr als 4K'^^ , wovon
etwa die Hälfte auf die Totalität fällt. Um endlich zu
bestimmen, ob der Mond an einem Orte zur Pariser-
Zeit t über dem Horizonte stehe, stellt man einen
Globus so, dass ein Punkt 0, dessen Breite gleich
der Deklination 5 des Mondes , und dessen Länge
L = 12*' — t ist , im Zenite steht , so begrenzt sein
Horizont die Zone der Sichtbarkeit.

399 [249—52, 468]. Die sog;. Sonnenlinster-

nisse. Steht der Mond zur Zeit der Konjunktion
nahe am Knoten, so tritt er zwischen Sonne und Erde,

256

Finsternisse und Bedeckungen

und bewirkt dadurch eine partiale, totale oder annulare
Sonnenfinsternis. Bei einer totalen Finsternis (Max. 8""
für Einen Ort) werden durclischnittlicli die Sterne der
zwei ersten Grössen sichtbar, — die dunkle Mond-
scheibe ist von einem weissglänzenden Lichtkranze,
der sog. Corona, umgeben, von dem zahlreiche, an-
scheinend zum Mondrande senkrechte Strahlen aus-
laufen, — und an einzelnen Stellen zeigen sich röt-
liche, bald scheinbar auf dem Mondrande aufsitzende,
bald freischwebende, wolkenartige Gebilde, sog. Protu-
beranzen, über die sich der Mond wegbewegt, so dass
sie translunarisch sind , und erwiesenermassen der
Sonnenatmosphäre angehören. — Die Saros passt na-
türlich auch für die Sonnenfinsternisse, und ebenso
sind für Letztere überhaupt
entsprechende Eechnungen wie
für die Mondfinsternisse zu
führen, nur 9 durch r zu er-
setzen. Namentlich wird der-
jenige Punkt der Erde, für
den der Mond den Horizont
nach 0 oder W von oben tan-
giert, zuerst oder zuletzt die
partiale oder totale Finsternis
sehen, wenn die Sonne gleich-
zeitig den Horizont von oben
oder unten tangiert, — und
in allen diesen Fällen wird

f = u-f(C-0 1

sein, wo für die partiale, to-
tale oder centrale Finsternis u = p-l-r, p — r, Ozu
setzen ist. Für die Phase an der Oberfläche der Erde
hat man in Sonnenzollen

— Finsternisse und Bedeckungen — 257

m = 6 (p i- r - u) : r, M = 6 (p + r) : r Ä

so dass die Finsternis, wenn das nach 398 : 8 berechnete
d<p + r4-^— O ist, mindestens partial, — wenn
d<p — r+ ([^ — O und p > r ist, bestimmt total, —
wenn endlich d < ^— 0 ist, central, und zwar total
oder annular wird, je nachdem p>r oder p<r ist.
Nimmt für d = 0 zugleich p : r einen Maximalwert an,
so wird M = 12V2 Zoll, und die Dauer der Totalität
für die ganze Erde zusammengenommen 2x, =4V2'''
Um endlich den Verlauf der Sonnenfinsternis für einen
bestimmten Ort der Erde zu erhalten, dienen ganz
entsprechende Verfahren wie für die Mondfinsternis,
nur müssen erst für ihn (mit Hülfe von 387) aus den
geocentrischen die scheinbaren Koordinaten des Mondes
abgeleitet werden. — Während einer Saros haben etwa
40 Sonnenfinsternisse statt, — an einem bestimmten
Orte aber nur etwa 9, und unter diese fällt ca. alle
200 Jahre eine totale.

400 [447]. Die j^ternbedeckung^en and
die Darchgrängre der untern Planeten. Wie
die Mond- und Erdfinsternisse, so lassen sich auch die
übrigen Finsternisse und Bedeckungen sowohl mit
Hülfe der Tafeln vorausberechnen, als nach ihrer Be-
obachtung verwerten. Namentlich werden die sog.
Sternbedeckungen durch den Mond häufig zur Be-
stimmung von Längendifferenzen verwendet, — die
Durchgänge Merkurs zunächst zur Verbesserung seiner
Theorie (vgl. 420), die der Venus aber, wie wir (386)
bereits wissen, zur Ermittlung der Sonnenparallaxe.

Wolf, Taschenbuch 17

Das Sonnensystem.

Der grosse Mann eilt »eiaer Zeit voraus,

Der Kluge geht mit ihr auf allen Wegen,

Der Schlaukopf beutet sie gehörig aus,

Der Dummkopf stellt sich ihr entgegcr

(Bauernfeld J

XLV. Die sog. Weltsysteme.

401 [253—54]. Die älteisten Weltsysteme.

Die ältesten Völker hielten die Erde für den Mittel-
punkt der Welt, — ja für die Welt selbst. Die Pytha-
goräer lehrten dagegen bereits die Mehrheit der Welten,
und einer derselben, Philolaus, stellte ein Weltsystem
auf, in dessen Mitte ein Centralfeuer stand, um welches
sich die Erde, die sieben ihnen bekannten Wandelsterne
und der Fixsternhimmel in harmonischen Abständen
drehten, und dadurch den vollkommensten Wohlklang,
die sog. Sphärenmusik, erzeugten. Dies widersprach
jedoch dem Zeugnis der Sinne allzusehr, so dass Plato
wenigstens in jüngeren Jahren vorzog, wieder von der
Erde als festem Mittelpunkte auszugehen, — die Kreis-
bewegung um dieselbe als damals einzig zu bewäl-
tigende und daher am vollkommensten erscheinende
Bewegung festzuhalten, — und nur die Aufgabe zu
stellen, die Ungleichheiten im Laufe der Wandelsterne,
welche die Beobachtung unter dem Namen der Sta-
tionen und Retrogradationen kennen gelehrt hatte,
durch Kombination verschiedener Kreisbewegungen zu

— Die sog-. Weltsysteme — 259

erklären. Eudoxus und Aristoteles kamen liiedurch auf
die Idee, jedem Wandelsterne gewissermassen einen
eigenen, aus mehreren concentrischen, sich gegenseitig
in ihren Bewegungen modifizierenden Krystallsphären
bestehenden Himmel zuzuschreiben, — Sphären, deren
Realität vielleicht schon Plato in spätem Jahren,
spätestens Aristarch bekämpfte, zugleich die Lehre
von der Bewegung der Erde um die Sonne aufstellend,
welche jedoch damals noch nicht Fuss fassen konnte,
— während dagegen die wohl von Apollonius her-
rührende Erfindung der sog. Epicykel, d. h. von Kreis-
bahnen für die Wandelsterne, deren Centra sich selbst
wieder in Kreisen um die Erde bewegen, ein für jene
Zeit vortreffliches Annäherungsmittel für Darstellung
der erkannten Ungleichheiten ergab.

40S [255—56]. Das Ptolemäiscbe Welt-
system. Nachdem es Hipparch (356) gelungen Avar,
die Bewegung der Sonne durch einen excentrischen
Kreis darzustellen, versuchte er auch für die übrigen
Wandelsterne in ähnlicher Weise Theorien aufzustellen
und Tafeln zu entwerfen. Er teilte hiefür die sog.
Ungleichheiten ihrer Bewegung in zwei Gruppen: Die
von ihm Erste genannte, mit dem siderischen Umlaufe
zusammenhängende Ungleichheit, die sich in der ver-
schiedenen (wie wir jetzt wissen, mit jeder elliptischen
Bewegung verbundenen) Geschwindigkeit zeigte, stellte
er entsprechend wie bei der Sonne durch einen ex-
centrischen Kreis dar. Die von ihm Zweite genannte,
mit dem synodischen Umlaufe zusammenhängende Un-
gleichheit, die sich in den (wie wir jetzt wissen, durch
die Bewegung des Beobachters veranlassten) Stationen
und Retrogradationen zeigte, stellte er dagegen (ent-
sprechend 401) durch Epicykel dar, und zwar bestimmten,
zum Teil noch Er, zum Teil der hiefür ganz in seine

260 — Die sog. Weltsysteme —

Eußstapfen tretende Ptolemäus, für jeden Planeten
sowohl die Grösse und Eichtung der Excentricität, als
unter Zugrundelegung der bei ihm vorkommenden
Elongationen (untere Planeten, welche die Ägypter
bereits um die Sonne laufen Hessen) oder Retrograda-
tionen (obere Planeten) die Grösse der Epicykel und
die Geschwindigkeit in denselben. Die hierauf gebauten
Planetentafeln sind die höchste Blüte der griechischen
Astronomie, und bilden den Kern des sog. Ptolemäischen
Weltsystems, das dann noch äusserlich in der Lehre
bestand, es stehe die Erde im Centrum der Welt fest,
und es bewegen sich um dieselbe mit Hülfe des sog.
Primum mobile, eine Anzahl von Sphären verschiedener
Radien, von denen die Letzlerm (der 11. Sphäre) nach
innen zu folgenden (die 10. und 9.) die Erscheinungen
der Präcession zu besorgen hatten, während die Sphären
1 — 7 der Reihe nach den Mond, Merkur, Venus, Sonne,
Mars, Jupiter, Saturn, und eine 8. die sämtlichen Fix-
sterne an sich trugen.

403 [257—61]. Das Copernicanische Welt-
system. Nachdem das Ptolemäische Weltsystem durch
etwa 15 Jahrhunderte unbestritten Geltung besessen
hatte, wurde es zur Zeit der kirchlichen Reformation
ebenfalls in seinen Grundfesten erschüttert , indem
Copernicus zeigte, dass die Erscheinungen der täg-
lichen und jährlichen Bewegung viel einfacher erklärt
werden können, wenn man, entsprechend den Ideen
von Aristarch, annehme, es bewege sich die Erde in
der Richtung von West nach Ost einerseits täglich
um ihre Axe, und anderseits jährlich um die Sonne,
— dass, wenn man Merkur, Venus, Mars, Jupiter und
Saturn sich ebenfalls um die Sonne bewegen lasse,
Hipparchs zweite Ungleichheit ganz dahinfalle, — und
dass somit der Erde nur der Mond als Trabant zu

— Die sog. Weltsysteme — 261

belassen sei. — Zuerst sowohl vom Papste als von
den Keformatoren nicht ungünstig aufgenommen, und
von den Männern der Wissenschaft freudig- begrüsst,
hatte dieses sog. Copernicanische System später mit
verschiedenen Einwürfen und Gegensystemen zu käm-
pfen, namentlich mit der Lehre, dass zwar die fünf
Planeten Trabanten der Sonne seien, aber diese sich
samt Mond (Tycho) und Erde (Reymers) um die feste
Erdaxe drehen, — bald dann auch mit beiden Kirchen,
indem die Eine sich ängstlichem Wortglauben ergab,
und die Andere meinte, dass sie der Eeformation nur
dann auf die Dauer zu widerstehen vermöge, wenn sie
der Reform überall entgegentrete. Der Kampf mit der
katholischen Kirche nahm sogar, als sie durch Galilei's
kühnes Auftreten gegen den Autoritätsglauben gereizt
wurde, bedenkliche Dimensionen an: Im Jahre 1614
wurde das Copernicanische System von der Kanzel,
1616 von den obersten kirchlichen Autoritäten ver-
dammt, und als es Galilei's Feinden gelang, den ihm
früher günstigen Papst gegen ihn einzunehmen, wurde
er 1633 von der Inquisition gezwungen, diese Irrlehre
abzuschwören. Zum Glücke begnügte sich jedoch die
katholische Kirche mit ihrem Scheinsiege : Das Coperni-
canische System wurde nicht ernstlich weiter verfolgt,
— ja endlich, wenn officiell auch erst 1821, von ihr
selbst angenommen.

464 [262]. Uie Fallversuche und das
Foacault'sche Pendel. Was Copernicus noch
nicht gelang, nämlich der empirische Nachweis der
Rotation der Erde um ihre Axe in sekundären Er-
scheinungen, ist seither nachgeholt worden: Einerseits
muss bei rotierender Erde, wie schon Newton zeigte»
der Auffallspunkt eines aus bedeutender Höhe herunter-
fallenden Körpers etwas östlich vom Lotpunkte liegen,

262 — Die sog-. Weltsysteme —

und wirklich fand z. B. Benzenberg: 1804 bei Versuchen
in einem Kohlenschachte zu Schlebusch für 262' Fall-
höhe eine Abweichung- von 5'",1 nach 0 8",1 N. Ander-
seits muss, wie Foucault 1851 zeig-te, bei
mit einer Winkelgeschwindigkeit y ro-
tierender Erde die Mittag-slinie der Breite
9 während einer Rotation eine Kegelfläche
beschreiben, deren Abwicklung den Eadius
r • et 9 , den Bogen 2r Co cp • ti , also den
Mittelpunktswinkel 360o.Sicp hat, und
entsprechend muss die Winkelgeschwindigkeit der
Mittagslinie gleich y • Si cp sein. Es wird somit schein-
bar die nach ihrer Natur unbewegliche Schwingungs-
ebene eines Pendels sich per Stunde um 15o.Sicp nach
Westen drehen, wie dies die seit Foucaults Vorgange
unter den verschiedensten Breiten angestellten Ver-
suche wirklich auf das Schönste ergaben.

405 [263-64]. Uie Fixsternparallaxe
and die Aberration. Dass infolge der jährlichen
Bewegung der Erde die Breite eines Sternes zur Zeit
seiner Konjunktion mit der Sonne ein Minimum, zur
Zeit seiner Opposition ein Maximum annehmen müsse,
erkannte bereits Copernicus, aber die ihm zu Gebote
stehenden Instrumente reichten zur Bestimmung des
kleinen Unterschiedes, der sog. jährlichen Parallaxe,
nicht aus, ja bis auf die neuste Zeit konnte auf diesem
Wege nur das negative Resultat erhalten werden,
dass jene Variation nicht +1'' betragen, also inner-
halb 4 Billionen Meilen, einer sog. Sternweite, kein
Stern stehen könne. Zwar gelang es schon Bradley,
bei dem zenitalen Sterne y Draconis eine jährliche
Veränderung seiner Breite nachzuweisen; aber da die
Max. und Min. mit den Quadraturen zusammenfielen,
so war sie nicht die gesuchte Parallaxe, sondern wie

— Die sog. Weltsysteme

263

ihm 1728 klar wurde, eine andere Folge der jährlichen
Bewegung der Erde, welche er Aberration des Lichtes
nannte. AVenn nämlich die Geschwindigkeit der Erde
in ihrer Bahn zu der des Lichtes in
einem endlichen Verhältnisse q steht,
so wird man ein Fernrohr nach einem
Sterne S gerichtet glauben, wenn die
Richtung S' seiner Axe aus der wirk-
lichen Richtung nach dem Sterne
^ ' und der Bewegungsrichtung der Erde

resultiert, also gegen letztere hin um einen bestimmten
Winkel cp abliegt, so dass

Si cf : Si (a — cp) = q : 1 oder 9 ^ q Si a : Si 1'' = k Si a 1
wo k den Maximumswert von <:p oder die sog. Aber-
rationskonstante bezeichnet. Sind aber Q ^^^ X die
Längen der Sonne und eines
Sternes der Breite ß, so ist, da
unter Voraussetzung einer Kreis-
bahn die Bewegungsrichtung
der Erde zum Radius der Sonne
senkrecht steht,

Co a ^ Co ß • Si (O — X) 3
und es durchläuft somit a für jeden Stern alle Werte
von ß bis 180" — ß. Ist ß nahe an 90", so wird der
Stern einen Kreis des Radius k zu beschreiben scheinen,
— sonst eine Ellipse der grossen Axe 2k. Die Kompo-
nenten der Aberration in Länge und Breite sind
(340:2; 169:1, 2)

AX ^ — cp - Si S • Se ß = - k Co (O — X) Se ß 3
Aß ^ — 9 • Co S = — k Si (O - X) Si ß 4

so dass die Aberration in Länge in Konjunktion und
Opposition, — diejenige in Breite aber in den Qua-
draturen am grössten wird. Bradley, der k = 20",7

264 — Die sog. Weltsysteme —

fand , während nach Struve k — 20'',445 ist , hat also
den von Copernicus gewünschten Beweis geleistet, nur
in etwas anderer Weise als dieser es beabsichtigte.
[Vgl. 456].

406 [265—69]. Die Kepler'scheii «besetze
und die allg^emeine Crravitation. Gerade zu
der Zeit, wo das Copernicanische System in Galilei
am heftigsten verfolgt wurde, vervollkommnete Kepler
dasselbe auf Grundlage der Beobachtungen Tychos in
so denkwürdiger Weise , dass es eigentlich seinen
Namen tragen sollte: Zunächst suchte er nämlich
Beobachtungen des Mars auf, deren erste der Zeit
einer Opposition entsprach, die zweite einer, um den
siderischen Umlauf des Mars oder ein Vielfaches des-
selben, spätem Zeit, d.h. zwei Beobachtungen, bei
denen Mars an der gleichen Stelle des Himmels stand,
die Erde aber an zwei verschiedenen Punkten ihrer
Bahn um die Sonne ; er konnte hieraus die Polar-
koordinaten der Erde bei ihrer zweiten Stellung in
Beziehung auf die Sonne als Pol, und die Distanz
Sonne-Mars als Einheit und Axe berechnen. Für jedes
andere Vielfache der Umlaufszeit konnte er in Be-
ziehung auf dieselbe Einheit und dasselbe Koordinaten-
system einen neuen Ort der Erde finden, diese Orte
dann auftragen , und durch ihre Verbindung die Erd-
bahn in richtiger Gestalt und Lage zur Sonne finden ;
so ergab sich ihm, dass er durch sämtliche Orte sehr
nahe einen Kreis legen könne, zu dem die Sonne ein
wenig excentrisch stehe, und zugleich hatte er so die
Kichtung der vom Perihel zum Aphel führenden, sog.
Apsidenlinie gefunden, sowie die Möglichkeit erhalten,
eine förmliche Erdtheorie aufzustellen, nach der er
den Ort der Erde für jede Zeit berechnen konnte.
Nun suchte er irgendwelche Beobachtungen des Mars

— Die sog. Weltsysteme — 265

auf, die wieder um die siderische Umlaufszeit oder
ein Vielfaches derselben voneinander abstanden, be-
stimmte aus seiner Theorie der Erde für jede der
Beobachtungszeiten die Lage der Erde gegen die
Sonne, berechnete aus ihr und dem beobachteten schein-
baren Abstände des Mars von der Sonne die Polar-
koordinaten des Mars in Beziehung auf die Sonne als
Pol und die Frühlingsnachtgleichenlinie als Axe, trug
die erhaltenen Orte auf, — und da ergab die Ver-
bindung der Letztern, Dank der relativ grossen Ex-
centricität der Marsbahn, eine vom Kreise merklich
abweichende Ellipse, in deren einem Brennpunkte die
Sonne stand. Er versicherte sich sodann verhältnis-
mässig leicht, dass auch den Beobachtungen der übrigen
Planeten ähnliche Bahnen genügen, und sprach 1609
für das Sonnensystem die Gesetze aus :

1) jeder Planet bewegt sich in einer Ellipse, in deren
einem Brennpunkte die Sonne steht,

2) die von den Radien Vektoren in gleichen Zeiten
beschriebenen Flächen sind gleich gross,

denen er 1619 noch das auf mehr spekulativem Wege
gefundene, aber gewissermassen organische Gesetz

3) die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten
verhalten sich wie die Würfel der grossen Axen
ihrer Bahnen,

beifügte. — Schon Boulliau, Borelli, Pascal, etc. ahnten
hierauf, dass sich ein diese drei Gesetze umfassendes
mechanisches Princip finden lassen werde; aber den
Beweis zu leisten, dieses Princip zu formulieren und
namentlich in seinen Konsequenzen zu verfolgen, blieb
Isaak Newton vorbehalten : Nachdem dieser unver-
gleichliche Manu erst nachgewiesen, dass sich (263)
die Fliehkräfte zweier Planeten umgekehrt wie die

^66 — Die sog-. Weltsysteme —

Quadrate ihrer Distanzen von der Sonne verhalten,
fragte er sich, ob die nach diesem Gesetze berechnete
Beschleunig-ung' der Erdschwere g in der Distanz R
des Mondes etwa auch gleich der Fliehkraft des Letz-
tern sei, — ob also dieselbe Kraft, welche den Fall
der Körper bewirke, auch den Mond in seiner Bahn
um die Erde zurückhalte. War dies der Fall, so musste

g'^, = 4Tz'-^,, oder §^ ^ t^y) • 180 • a

sein, wo r den Kadius und a einen Equatorgrad der
Erde bezeichnete, T aber die siderische Umlaufszeit
des Mondes. Nun setzte jedoch Newton nach den ihm
1666 zu Gebote stehenden Daten zwar nahe richtig
R = 60,4 • r und T = 27'' 1 43'" 48' = 2360628% dagegen
fälschlich a = 60 Engl. Meilen == 297251' Par. , fand
so g = 26',586 , während nach Galilei's Messungen g
über 30' betrug, — konnte also seine Idee nicht als
erwiesen betrachten, und erst, als er 1682 erfuhr, dass
(370) Picard 1671 den Grad zu 342360' bestimmt habe,
fand er in Eevision seiner Eechnung g = 30',621 , so
dass er wagen durfte, sein sog. Gravitationsgesetz
4) jeder Planet wird von der Sonne mit einer Kraft
angezogen, welche ihrer Masse direkt und dem
Quadrate ihrer Entfernung umgekehrt propor-
tional ist,
auszusprechen. Er leitete nun daraus in einem Zeit-
räume von kaum zwei Jahren die Kepler'schen Ge-
setze, die Regeln zur Berechnung der Bahnen der
Planeten, Monde und Kometen, die Methoden zur Er-
mittlung ihrer Masse und Gestalt, etc., ab, und legte
1686 der Royal Society seine berühmten Principien
vor, welche den würdigen Schlußstein der Reformation
.der Sternkunde bildeten.

Mechanik des Himmels

267

XLVI. Die Mechanik des Himmels.

AOa* [481]. Yorbeg^riffe. Wählen wir die Sonne
M als Masseneinheit und Anfangspunkt der Koordinaten,
und bezeichnen x, y, z, r, m
Koordinaten, Distanz und Masse
eines Planeten, dessen Bewegung
um die Sonne betrachtet werden
soll, — g, ti, ^, p, [x aber die-
selben Grössen für einen der
übrigen Planeten, so hat man, da
offenbar

r-^ = x' + r + z-^ p2 = g-^ +0^-4-^2

r-3 + p2 _ 2r PS - d-^ = (g - x)'^ + (u - jT- + (^ - z)^
und die Bewegung von m um M der Differenz der Be-
wegungen von m und M entsprechen muss, nach dem
Oravitationsgesetze und den Grundsätzen der Mechanik

(\H f^ Pix

^ = -\y Co [180 + (r, X)] +1:^00 (d, x) -

- Co (r, X)

f^fX

Co (p, X)

wo f- eine dem Sonnensysteme zugehörige Konstante
bezeichnet, — oder, wenn man

l_xg + yu + z^
d

K=T-

[r'^ -f p-^ - 2r

-P'

setzt, und entsprechend für die andern Axen rechnet,
d-x , „, 1 -^ m _, -, dR _

dt- r'^ ^ r- ^^

df2 ^ r3 ^

IP\^

d^z
dt

,^p^±^., = ^P^

dR
dy
dR
dz

268 — Mechanik des Himmels —

welche Gleichungen den Namen von Lagrange
tragen.

40S [482—84]. Die Kepler'schen «esetze
als Folgten der CiraTitation. Vernachlässigt
man in erster Annäherung die Massen der übrigen
Planeten gegen die Sonnenmasse, und setzt f * (1 + m)
= H, so reduzieren sich 407:3—5 auf

df^ "^ r' dt -2 "^ r3 dt^ "^ r^
und diese ergeben

xd^y — yd^x _ zd^x — xd^z __ yd^z — zdy _ „
dt^ "~" dt2 ~ dt'^ ~

oder durch Integration, wenn c' c'' c'^' Konstante sind,

xdy — ydx _ zdx — xdz _ ydz — zdy __

dt ~ ' dt "" ' dt "

so dass

c'z 4- c^'y + c'^'x = 0 3

oder die Bahn eines Planeten um die Sonne in einer
durch diese gehenden Ebene liegt. — Multipliziert
man die 1 der Eeihe nach mit 2dx, 2dy, 2dz, addiert
mit Rücksicht auf 407 : 1 und integriert , so erhält
man, wenn h konstant,

(dx« -h dy2 + dz2) : dt« - 2|i : r + h = 0 4

Ferner ergiebt sich durch Quadrieren und Addieren
der 2

r2(dxM-dy24-dz2-dr2)=kMf2 wo k-^=c'^+c"'^+c"'^&
folglich, da (analog 141) dx« + dy« + dz- = ds- = dr« +

dv = k . dt : r« oder Va r^ dv : dt = '2 k 6

so dass die Winkelgeschwindigkeit dem Quadrate de?
Radius Vektors umgekehrt proportional, die Flächen-

— Mechanik des Himmels — 269

Geschwindigkeit aber entsprechend dem zweiten Kepler'-
schen Gesetze konstant ist. — Durch Elimination von
dx- -f- dy- -|- dz'^ aus 4 und 5 erhält man

dt = r . dr : j/2[xr^^hr^^T S

und somit durch Kombination mit 6

dr : dv == r |/2|JLr - hr^ - k^ : k 8

so dass die Bahn des Planeten um die Sonne so be-
schaffen sein muss , dass hr- — 2}ir + k- für das Ma-
ximum und Minimum von r gleich Null wird, und
setzen wir daher diese extremen Werte gleich a (1 + e)
und a (1 — e), so ergiebt sich

h = {X : a k = yi j/a (1 — e^) 9

Substituiert man diese Werte in 8, und setzt
a(l — e2) = (ex + l)r oder dr:r2= — edx:a(l — e^) lO
so erhält man

dv = — dx : |/r — X- oder v = Aco x + w
wo w eine Konstante ist, folglich mit Hülfe von 10
r = a (1 — e2) : [1 + e Co (v — w)] 11

so dass der Planet um die Sonne als Brennpunkt eine
Linie zweiten Grades, und zwar, als einzige geschlos-
sene Linie dieser Kurvenklasse , entsprechend dem
ersten Kepler'schen Gesetze, eine Ellipse beschreibt.
— Führt man endlich in 7

r = a (1 — e Co u) oder dr = ae Si u • du 13
ein, so erhält man durch Integration, wenn v und t
vom Perihel weg gezählt, ferner

a-Va . |/jl — n und nt = m 13

gesetzt werden

nt = m = u — e Siu = uo eSiu 14

71

270 — Mechanik des Himmels —

während durch Gleichsetzung der r in 11 und 12

wird. Aus 14, 12, 15 folgen aber für u^ = 360o + ii

t' = t 4- 360 : n r' = r v' = v

und es braucht somit der Planet, um zu demselben
Punkte seiner Bahn zurückzukehren, die Zeit

T = 360 0 : n = a'^- • 2:1 : f j/fT m 1 6

so dass sich für zwei Planeten die Proportion

T'2 :T"^ = a'3 : [1 + (m' — m'') : (1 + m")] • a''» 1 »
d. h. bei Vernachlässigung von m' — m'' auch noch das
dritte Kepler'sche Gesetz ergiebt, — ferner, wenn mit
Gauss a = l, T = 365 • 2563835 und m= '/3547t o an-
genommen wird

" Tl/r+m ~ 10,017202098951 " ^^^^ '^^^^ ' ^' ^

Aus 16 folgt, dass die Umlaufszeit von der Excentri-
cität unabhängig ist, also gleich gross bleibt, wenn
wir die Ellipse mit einem Kreise des Radius a ver-
tauschen. In diesem Falle ist aber e = 0, und hiefür
folgt aus 15 und 14, dass v = u = m = nt ist, d. h. es
wird die entsprechende Bewegung im Kreise eine
gleichförmige. Man nennt nun
einen gedachten Planeten, der
sich gleichförmig im Kreise be-
wegt, und mit dem wahren Pla-
-^- ^^^- neten gleichzeitig durch Perihel

und Aphel geht, einen mittlem Planeten, — seinen
Winkelabstand nt = m vom Perihel mittlere Anomalie,
— den Hülfswinkel u, für welchen aus Vergleichung
der Ellipsenformel r = a — ex mit 12 sofort a • Co u = x,

— Mechanik des Himmels — 271

und damit seine in der Figur ersichtliche geometrische
Bedeutung folgt, excentrische Anomalie, — den Winkel-
abstand V des wahren Planeten vom Perihel wahre
Anomalie, — den Unterschied zwischen m und v endlich
(356, 416) Mittelpunktsgleichung.

40» [485]. »ie Bahn -Elemente. Um die
Bahn eines Wandelsternes und seinen Ort in derselben
zu einer bestimmten Zeit, der Epoche E, festzulegen,
hat man sich über eine Auswahl von Bestimmungs-
stücken oder Elementen geeinigt. — Die Ebene der
Bahn wird durch

1) die Länge des aufsteigenden Knotens (ft), d. h. des
Punktes der Ekliptik , in welchem der Wandel-
stern sich über sie erhebt,

2) die Neigung (i) derselben gegen die Ekliptik ge
geben, — die Bahn selbst durch

3) den Abstand (P — ^) des Perihels vom auf-
steigenden Knoten, oder die sog. Länge des Peri-
hels (P),

4) die auf die halbe grosse Axe der Erdbahn als
Einheit bezogene halbe grosse Axe (a) — wohl
auch durch die in Tagen ausgedrückte siderische
(T') oder tropische (T") ümlaufszeit, — oder die
sog. mittlere tägliche Bewegung [i = 360 • 60 • 60 : T",

5) die Excentricität (ae), oder den Winkel cp = Asi e,
oder die Periheldistanz q, — endlich die Lage
in der Bahn zu einer bestimmten Zeit, der sog.
Epoche E, durch

6) die mittlere Länge (M) zur Epoche , d. h. die
Länge eines gedachten, gleichzeitig durch das
Perihel gehenden , aber sich gleichförmig be-
wegenden oder (408) mittlem Wandelsternes zur
Zeit E, — wohl auch häufig durch die, dann zu-

272 — Mechanik des Himmels —

gleich als Epoche dienende Durchgangszeit durch
das Perihel.
Nimmt die Länge des Wandelsternes nach seinem
Durchgange durch den aufsteigenden Knoten zu, so
heisst er rechtläufig oder direkt (D), sonst rückläufig
oder retrograd (R).

41 0 [495—99], Hie Berechnang: der Ele-
mente aus greocentriscben Beobachtnnppen.
Ein Kegelschnitt, dessen Brennpunkt man kennt, ist
(137) durch drei Punkte bestimmt, — also die Ele-
mente der Bahn eines sich um die Sonne bewegenden
Körpers durch die heliocentrischen Koordinaten 1, b, r
oder, unter Voraussetzung der heliocentrischen Koor-
dinaten R , L der Erde , durch die geocentrischen
Koordinaten p, X, ß dreier Positionen. Durch Beob-
achtung sind aber nur X , ß direkt erhältlich , also
müssen noch durch Beiziehung der Kepler'schen Ge-
setze und der Zwischenzeiten der Beobachtungen die
Distanzen p, r mit genügender Annäherung ermittelt
werden, und dann erst wird es möglich, durch geo-
metrische Verfahren die Transformation der Koor-
dinaten und die wirkliche Berechnung der Elemente
durchzuführen. Zur Vermittlung dienen die Gleichungen
0 = fi (aS, -I- A, R,) - fa Aj R, -f t, A3 R3 1

0 = f, B, R, -f2(a§2-f B,R2)-f faBgRs 9

0 = f, C, R, - t, C, R2 4- fa («Sa + C3 R3) 3

r2 = R2 + p2 + 2Rp Co ß Co (X — L) 4

in welchen fj t^ t^ die doppelten, von den Radien Vek-
toren r2 r3, r, r^ und r, r^ bestimmten Dreiecke, die 5
aber die Projektionen der p auf die Ekliptik oder die
sog. curtierten Distanzen bezeichnen, und die Hülfs-
grössen a, A B C durch
a=TgßiSi(X3-X,)+Tgß2Si(X,-X3)+Tgß3Si(X,-Xi)&

— Mechanik des Himmels — 273

A = Tg ß, Si (L - X3) - Tg ß3 Si (L - X,)

B = Tg ß3 Si (L - X,) - Tg ß, Si (L - X,) 6

C = Tg ß, Si (L - X,) - Tg ß, Si (L - X,)

bestimmt werden, wo ABC mit L die Zeiger 1, 2, 3

erhalten sollen. Aus 1—3 ergiebt sich aber, wenn f,

und £3 klein und nahe gleich sind, dass

§, _ _ A., f. 5,, _ _ B J3 Ö3 ^ C^

§," B,f, 53'^' C,f, S.'^A.fa

411 [500]. l>ie BerechnDii^JT von Hreis-
«»lenienteii. Unter der für eine erste Annäherung
und Bahnen von geringer Excentricität zulässigen
Voraussetzung einer Kreisbahn genügt zur Berechnung
der Elemente schon die Kenntnis zweier Positionen:
Ist nämlich a der Radius der Kreisbahn, t die Zwischen-
zeit der beiden Beobachtungen und s die durch die
beiden Positionen bestimmte Sehne, so hat man

p,==l/a2-(R,2— E,-^)-E, ^yo E,=R,Coß, Co(L,-X,)l

p.^=ya-i—{R,-i-E,')—E, wo E,=:rR,Coß,Co(L,-X,)3
s^= 2a-2— 2R, R, Co (L, — L,) —

— 2R, p, Co ß, Co (L, — X,)-2R., p, Co ß, Co (L,— X,) —

— 2p, p, [Co ß, Co ß, Co (X; — X,) + Si ß, Si ß,] 3

2 • -d^- • Asi (s : 2a) = 3548",1877 • t 4

Hat man mit Hülfe dieser 4 Gleichungen, indem man
für a Annahmen macht, successive nach 1, 2, 3 die
Pi p, und s berechnet, durch Einsetzen in 4 die ent-
sprechenden Fehler ermittelt, dann die Regula Falsi
<132) anwendet, etc., a und die p bestimmt, so sucht
man mittelst

a • Si b = p • Si ß p Co ß • Si (L - X) = a Co b • Si (L — 1) Ä
die heliocentrischen Koordinaten 1 und b, endlich nach
Tg b, - Tg i • Si (1, - ^1 ) Tg b, = Tg i . Si (Ij - fi ) 6
Wolf, Taschenbuch 13

274 — Mechanik des Himmels —

die Elemente ^ und i. Als Epoche kann eine der
beiden Beobachtungszeiten dienen.

413 [501]. l>ie Berechnung: von para-
bolii§chen Hlementen. Einer Bahn von sehr
grosser Excentricität kann in erster Linie eine para-
bolische substituiert werden, zu deren Bestimmung:
Dusejour und Olbers folgende Methode aufgestellt
haben: Man sucht zunächst nach den 4 Gleichungen
r, 2 T= R, 2 + S, 2 Se2 ß, -f 2R, a, Co (L, — X, ) 1

h' = R3' + m2 5, 2 Se2 ß3 + 2m R3 S, Co (L3 - 1,) Z
k2 = r, 2 + r32 — 2E, R3 Co (L, — L3) —
- 2m 8, 2 [Co (X, - X3) -f Tg ß, Tg ^,] -
~2S, [mE, Co(Li -X3)-f R3Co(L3-X,)] at
60-, j/|I = {V, + r, + k)''^ - (r3 + r, - ^f' 4

mit Hülfe der Regula Falsi ri t^ 8, k, und sodann nach
83 = mS, wo m = C, ^, : Ag ^3 5

auch noch 83. Die Bedeutung der Grössen r, 8, R, ß,.
X, L, A, C, jJL ist (410, 408) bereits bekannt, — die
i>3, %-,, %•^ sind die Zwischenzeiten zwischen der 1. und
2., 1, und 3,, 2. und 3. Beobachtung, und k die übri-
gens nur als Hülfsgrösse auftretende Distanz der 1.
von der 3. Position. — Sodann berechnet man suc-
cessive nach
rCobSi(L — l) = SSi(L — X) rSib = 8Tgß

r Co b Co (L — 1) = R 4- 8 Co (L — X)
die heliocentrischen Längen 1 und Breiten b in der 1.
und 3. Beobachtung, — nach

Tgn-Si(l, -ß) = Tgb,
Tgn-Co(l,-ft) = Tgb3.Cs(l3-l,)-Tgb,.Ct(l3-l,)
die Länge ^ des Knotens und die Neigung n der
Bahnebene gegen die Ekliptik, — nach

— Mechanik des Himmels — 275

Tga^ = Tg(l,-ß).Sen Tg cc, = Tg {l,- ^) -SenS

ilas mit (1 — ft) im gleichen Quadranten liegende
Argument a der Breite oder die Distanz vom Knoten,
und daraus die Länge in der Bahn v = a -f ^, — nach

Co

lO

1/5 2 Vh

„_i,si^-i^^ = 4.-ct^-^i-4..cs^--^

|/q 2 ]/r. 2 |/r^ 2

die Länge P des Perihels und die Periheldistanz
— endlich nach

WO t, die Zeit der ersten Beobachtung bezeichnet, und
das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem das
Gestirn rechtläufig oder rückläufig ist, die Durch-
gangszeit T durch das Perihel.

413 [502]. Hie Berechnung: von ellip-
tischen £lenienten. Zeigt die Vergleichung mit
andern Beobachtungen eine merkliche Abweichung der
wirklichen Bahn vom Kreise oder der Parabel, so ist
es an der Zeit, elliptische Elemente zu bestimmen, und
hiefür sind in der neuern Zeit verschiedene Methoden
aufgestellt worden. So hat z. B. Lagrange gezeigt,
dass die Gleichung

0 =

rJE.2« + r,«R2^ + r,^E-f-r,

*R3

E +

1-2^^2

2E +

+ v,'F + Y,-R,F-i-

R,

2F

1

best

eht, wo zur Abkürzung

E =

-2TK,H"^o(L,-X.3)-T2Se2

h

r=

T^n,'

Se^ß,^

T =

: IX [B, R, ^, 3 — Bj Ej ^,3 4_ B^

R3

^3^]:

: 6a 0-,

gesetzt wurden, und die Bedeutung der ji, a, 0-, B, E,
L, X, ß den Sätzen 410 und 412 zu entnehmen ist. Man

276 — Mechanik des Himmels —

kann also r^ berechnen, und sodann nach Analogie der
in 411 und 412 gegebenen Methoden die eigentlichen
Elemente bestimmen.

414 [270]. Uie Beütlmmuii^ der blasse.

Das Gravitationsgesetz verschafft die Mittel, einen im
Abstände R von der Sonne befindlichen Planeten der
Masse m, der einen Mond besitzt,
annähernd gegen die Sonne der
Masse M abzuwägen, — so z. B.
unsere Erde. Nimmt man nämlich
zur Hülfe einen fingierten Planeten
an, der denselben Abstand r von
der Sonne hat, wie der Mond von
der Erde, so verhalten sich die Wirkungen der Sonne
auf jedes Element dieses fingierten Planeten und der
Erde, und diejenigen der Erde und Sonne auf ein
Element in der Distanz r

F:P = R2:r2 und p:P' = m:M 1

während nach den Gesetzen der Centralbewegung,
wenn T und t die Umlaufszeiten der Erde und des
Mondes sind,

P : p = [47i2R : T^] : [47-.^r : t^j = R • t^ : r • T-

und die Multiplikation dieser drei Proportionen er-

giebt

M:m = (ß:r)3:(T:t)-^ Z

Da nun R^=:^400-r und T^13-t, so folgt somit

M : m ^ 400^ : 13« = 378698 : 1

während dann allerdings Leverrier aus den hiefür
mehr Genauigkeit gewährenden, und nicht an einen
Mond gebundenen Störungsrechnungen, von denen 417
einen Begriff geben wird, 354936 fand.

Mechanik des Himmels

277

415 [486-93]. öie Kepler'sche Anfj^abe.

Sind die Elemente einer Bahn bekannt, so kann man
die nach Kepler benannte Aufgabe, den Ort zu irg-end
einer Zeit z zu ermitteln, auf folgendem Weg-e lösen:
Ist M die Länge des mittlem Planeten zur Epoche
E, P die Länge des Perihels, und T die Umlaufszeit,
so kann man vorerst nach

m = M — P -f- (X — E) • 360 : T 1

die mittlere, sodann nach 408:14, 15 successive die
excentrische und wahre Anomalie, und nach 408:12
den Radius Vektor erhalten. Um sodann aus diesen
Polarkoordinaten die heliocentrische Länge 1 und Breite
b zu bestimmen, rechnet man zu-
erst das Argument der Breite

a=v+P-^ Z

und hat sodann aus dem durch SM,
SM' und S^ gebildeten Dreiecke
Tg(l-a) = Tga.Coi
Si b = Si a Si i r' = r Co b
Um dann endlich noch die geo-
centrische Länge X und Breite ß, zu berechnen, be-
nutzte man früher die aus der Figur folgenden Be-
ziehungen

p^ = r2+R2-2rRCobCo(l-L)4

Tg ß : Tg b = Si e : Si (1 - L)
X = 180 + L — e *

wo die sog. Elongation e nach:
Tge=r'Si(l-L):(R-r'Co(l-L))6

gefunden wurde, während man
jetzt die aus 192, 2 z. B. für n = L unter Vernach-
lässigung der Sonnenbreite folgenden Formeln vor
zieht :

278 — Mechanik des Himmels —

p Co ß Co (X - L) -. r Co b Co (1 — L) - R
p Co ß Si (X — L) = r Co b Si (1 - L) 'S

P Si ß = r Si b

416 [489, 94]. Entwicklnns: eiiiis:er be-

trefTenden Iteilieu. — Durch Vergleichung- von
y = w + X • cp (y) und u = m -f e • Si u 1
kann man nach (61) eine beliebige Funktion c|; von u
nach Potenzen von e entwickeln. Um z. B. für u selbst
eine solche Reihe zu erhalten, hat man c|; (y) = u, also
c]; (w) = m und d • 4^ (w) : dw = 1 zu setzen, und erhält
u = m+eSim + ',U'Si2m+i,/6e3(9/4Si3m— 3 4Sim)-f...8
Setzt man dagegen cjj (y) = Co u, so erhält man
Co u = Co m — e Si2 m — % e"^ Si^ m Co m —
— 23 e3 (3 Si2 m Co^ m — Si^ m) — . . . 3

und mit Hülfe dieser Reihe nach 408 : 12
r = a [1 — e Co m + e^ Si"^ m + ^A e3 Si« m Co m -f . . .] 4
wofür man in vielen Fällen die Annäherung

r = a (1 — e Co m)
substituieren kann. Durch weitere Entwicklung er-
giebt sich

v = m + 2eSim4-V4Si2m + V,2e3(13Si3m — 3Sim)4-...5
wodurch teils die Mittelpunktsgleichung (408) bestimmt,
teils die Lösung der Kepler'schen Aufgabe ohne Hülfe
der excentrischen Anomalie ermöglicht wird. Setzt man
ferner für die Epoche 1850 I 0,0'' m. Z. Paris nach
Hansen die Excentricität der Erdbahn e = 0,0167712,
die Länge des Perihels P = 280o 21' 41",0, und be-
zeichnet X die wahre Länge der Sonne, L aber die
Länge einer sich in der Ekliptik gleichförmig be-
wegenden, gedachten Sonne (408), so dass P -f m = L
und X = P + V = L -f V — m ist , so ergiebt sich mit
Hülfe von 5

— Mechanik des Himmels — 279

X = L + 1244",31 Si L - 67",82 Si 2L - 0-^54 Si 3L + • • •
-f6805,56CoL4-25,66Co2L-0,90Co3L-...6

während die Kektascension A der Sonne nach 353:5
durch

TgA = Tg-X-Cos wo s = 23027'3r',0 J
oder nach 52 : 2 durch die Eeihe
A = X-8891'S56.Si2X + 191",65Si4X-5",51Si6X + ...8

gefunden wird. Für die erwähnte Epoche war aber
nach Hansen die mittlere Länge L der Sonne, die mit
der Kektascension einer zweiten mittlem, sich gleich-
förmig im Equator bewegenden, und mit der ersten
mittlem Sonne gleichzeitig durch die Equinoctien
gehenden, als Zeitregulator (351) angenommenen, ge-
dachten Sonne übereinstimmt, also die Sternzeit ihrer
Kulmination oder die Sternzeit im mittlem Mittage,
18*" 39"' 9',261, — die Länge des tropischen Jahres
aber 365^2422008, und daher die mittlere tägliche
tropische Bewegung der Sonne 24" : 365,2422008 = 3"'
56\555, die Bewegung in 365" also 23'' 59'" 2\706 =
— 57',294, in 366'' aber + 2"" 59',261, und die Bewegung
in 1' endlich 0',002738 , womit die Möglichkeit ge-
geben ist, für jede Zeit und den mittlem Mittag jedes
Ortes die entsprechende Zeit L, und damit successive
nach 6 und 8 die entsprechenden Werte von X und A,
also auch die Zeitgleichung A — L (351) zu berechnen.
Diese letztere wird etwa

II 12 IV 15 V 14 VI 14 VII 26 VIII 31 XI 18 XII 24
+ 14'"3r 0 — 3"53' 0 -f-6"'ir 0 — 16"'18^ 0

und wurde zuerst durch Flamsteed berechnet, während
Mallet zuerst die mittlere als bürgerliche Zeit ein-
führte. [VIII''].

280 — Mechanik des Himmels —

417 [505, 11]. Die fsosr. Störungen der

Planetenbeweg^nng;. — Vernachlässig-t man in
407 die E, nicht, und rechnet mit den vollständigen
Gleicliuug'en genau so wie in 408 mit den Näherungs-
gleicliungen verfahren wurde, so gelangt man zu den
Beziehungen

c' z 4- c" y + C" X = 0 i

a (1 — &■')

r =

t

1 •+- e Co (v — w)

welche scheinbar ganz mit 408:3, 11 übereinstimmen,
aber sich von ihnen wesentlich dadurch unterscheiden,
dass die c, a, e, w nicht mehr konstant, sondern von
der Zeit abhängig sind, somit Lage und Gestalt einer
Planetenbahn sich durch die Einwirkung der übrigen
Planeten langsam ändern. Und in der That zeigen
Aveitere Entwicklungen , dass man dem wirklichen
Planeten einen fingierten Planeten in einer elliptischen
Bahn mit veränderlichen Elem.enten so folgen lassen
kann, dass der erstere nur kleine Oscillationen um den
letztern zu machen scheint, welche man von jeher
unter dem Namen von Störungen zusammengefasst und
in zwei Kategorien abgeteilt hat, — in seculäre,
welche jene, übrigens nur langsame Variabilität der
Elemente involvieren, und in periodische, welche die
kleinen Oscillationen in sich fassen, und Laplace hat
zeigen können, dass die seculären Störungen die grosse
Axe und damit die ümlaufszeit nahe unverändert
lassen, — dass Excentricität, Neigung und Länge des
Knotens längsam zwischen engen Grenzen schwanken,
und nur das Perihel seinen Kreislauf fortsetzt, bis
dasselbe nach Ablauf vieler Jahrtausende ebenfalls zur
alten Lage zurückkehrt, — dass also die Stabilität
den Grundcharakter des Sonnensystems bildet.

— Mechanik des Himmels — 281

418 [506, 07]. Wie ^törnnsren der 9Iond-

beweg^iins:. Die Existenz zahlreicher Anomalien
der Bewegung- des Mondes ist schon aus 394 bekannt,
und es bleibt hier nur beizufügen , dass dieselben zu-
nächst Veranlassung- gaben, das sog. Problem der drei
Körper aufzustellen, und dass sie, sowie überhaupt
alle bis jetzt beobachteten Ungleichheiten als Folgen
der allgemeinen Gravitation nachgewiesen werden
konnten, wenn es auch zuweilen nicht im ersten Wurfe
gelang. So z. B. hatte schon Halley aus alten Finsternis-
beobachtungen nachgewiesen, dass die mittlere Be-
wegung des Mondes einer Beschleunigung zu unter-
liegen scheine, welche für die gegenwärtige Zeit etwa
12" in 100 Jahren beträgt. Während nun Newton diese
sog. secuiäre Acceleration als Folge einer durch den
Widerstand des Mittels veranlassten Annäherung des
Mondes darstellte, und noch Euler und Lagrange sich
vergeblich bemühten, sie aus der Gravitation theore-
tisch zu bestimmen, zeigte Laplace 1787, dass die
Einwirkung der Sonne auf den Mond eigentlich dessen
Winkelgeschwindigkeit in der mittlem Distanz um
\\ 79 vermindere, dass aber der genaue Ausdruck dieser
Verminderung ein dem Quadrate der Excentricität der
Erdbahn proportionales Glied enthalte, also gegen-
wärtig, wo diese Excentricität sich vermindere, die
Winkelgeschwindigkeit notwendig (nach seiner Rech-
nung jetzt 6" per Seculum zunehme. Die zweite Hälfte
der 12" suchte neuerlich Delaunay, entsprechend Kants
Idee, durch eine vom Gegenschlage der Flut veran-
lasste Verzögerung der Erdrotation, — Dufour da-
gegen durch eine langsame Vermehrung der Erdmasse
in Folge meteorischer Niederschläge zu erklären, --
während Hansen es dagegen noch gar nicht für aus-
gemacht hielt, dass die Theorie wirklich nur 6" er-

282 — Mechanik des Himmels —

kläre und für den Eest eine andere Ursache gesucht
werden müsse.

419 [514]. Uie f^iestalt der HimineU-
körper, iind die Bewesrungr derselben um
ihren ^chMerpnnkt. Auch die Theorie der Ge-
staltung der Himmelskörper, die durch dieselbe beein-
flusste Einwirkung der andern Himmelskörper, und
die dadurch hervorgebrachten Modifikationen in der
Bewegung der Erstem um ihren Schwerpunkt, haben
zu einer Menge der interessantesten analytischen Unter-
suchungen Veranlassung gegeben, aus welchen z.B.
hervorgieng, dass die einem Planeten entsprechende
Lunisolar-Präcession (355) im allgemeinen seiner Ab-
plattung proportional ist, und sich aus einer Wirkung
der Sonne (für die Erde 16" per Jahr) und einer Wir-
kung jedes Mondes (für die Erde 36" per Jahr) zu-
sammensetzt. Einige hieher gehörende Andeutungen
sind schon in 243 und 244 gegeben worden.

420 [515-16]. »ie Tafeln und Kphenie-
riden der Wandelsterne. Die sog. Theorie eines
AVandelsternes besteht in der Feststellung der zwischen
seinen Koordinaten und der Zeit bestehenden Be-
ziehungen, und wenn daher Letztere, sowie die dafür
massgebenden Elemente, nach den im Vorhergehenden
entwickelten Methoden bestimmt sind, so ist es mög-
lich, für jede Zeit jene Koordinaten zu berechnen.
Führt man diese Rechnung für bestimmte Epochen
oder für eine Folge von Zeiten aus, so hat man eine
Tafel oder Ephemeride des Wandelsternes erstellt, aus
der man durch Interpolation (54) auch für zwischen-
liegende Zeiten dieselben Daten erhalten kann.

— Die Sonne — 283

XLVII. Die Sonne.

481 [272-74, 517]. «le physif^che Be-
üchafTeiiheit der Sonne. Die Alten betrachteten
die Sonne als ein reines Feuer, und erklärten einzelne
dunkle Stellen, welche sich zuweilen auf ihr zeigten,
als Durchgänge fremder Weltkörper. Nach Erfindung
des Fernrohrs erkannten jedoch die Fabricius, Galilei,
Scheiner, etc., dass die Sonne selbst gar häufig an
einzelnen Stellen, sei es durch Schlacken oder Wolken
verdunkelt werde , und nach Vervollkommnung der
optischen Hülfsmittel lag es klar vor, dass die ganze
Sonnenoberfläche oder die sog. Photosphäre fast be-
ständig wie mit Schuppen bedeckt erscheint, während
an einzelnen Stellen sich dunkle , fast schwarz er-
scheinende Flecken von verschiedener Grösse und Ge-
stalt befinden, — dass wenigstens die grössern dieser
Flecken fast immer mit einem grauen, die Umrisse
des Fleckens wiederholenden Hofe, umgeben und, be-
sonders wenn sie in der Nähe des Sonnenrandes stehen,
von glänzenden Lichtadern, sog. Fackeln, begleitet
sind. — Flecken und Fackeln haben eine gemeinsame,
offenbar von einer Rotation der Sonne herrührende
Bewegung vom Ostrande nach dem Westrande, welche
sie zuweilen, je ca. 2 Wochen nach Verschwinden am
Westrande, neuerdings am Ostrande in Sicht bringt,
— finden sich fast ausschliesslich in zwei zum Equator
symmetrischen Zonen, und sind nach Zahl, Grösse -und
Form ausserordentlich veränderlich. Bei Flecken,
welche in der Mitte der Sonne von einem allseitig
nahe concentrischen Hofe umgeben sind , erscheint
Letzterer häufig vorher und nachher auf der von der
Mitte abgewandten Seite breiter, und dies führte die

284 — Die Sonne —

Schulen, Wilson und Herscliel zu der Annahme, dass
wenigstens diese Flecken konische Vertiefungen in der
Photosphäre seien, — vielleicht durch Gaseruptiouen
veranlasst, welche, vom relativ dunkeln Sonnenkerne
aufsteigend, dieselbe stellenweise zerreissen. Die seit-
herigen Ergebnisse der Spektralanalyse (294) fordern
jedoch gegenteils einen aus einer glühenden Masse
bestehenden Kern, und eine umgebende Atmosphäre
entsprechender Dämpfe von etwas niedrigerer Tem-
peratur und es ist somit eine neue Theorie aufzu-
stellen, welche zugleich den in 422—424 mitgeteilten
Ergebnissen gerecht werden muss; dass dies bis jetzt
trotz den Bemühungen der Kirchhoff, Spörer, Faye,
Zöllner, etc., noch nicht vollständig gelungen, darf bei
der grossen Mannigfaltigkeit der zu erklärenden Er-
scheinungen nicht verwundern. (Vgl. 448).

48S [518-20]. nie IVriodicitat in der
Hänlig:kelt der Sonnenflecken. Nachdem man
lange geglaubt hatte, es sei die Häufigkeit der Sonnen-
Hecken keinem bestimmten Gesetze unterworfen, und
nur HorrebOAv 1776 annahm, man habe ein solches bloss
infolge inkonsequenter Beobachtung noch nicht ent-
deckt, — zeigte Schwabe 1843, dass das Auftreten der
Sonnenflecken einer Periode von ca. 10 Jahren zu
unterliegen scheine, und seit 1852 gelang es mir (vgl.
Tab. VIIF), die Folge der nach Entdeckung der Sonnen-
flecken eingetretenen Minima und Maxima festzustellen
und die daraus folgende mittlere Länge der Periode,
sowie deren Schwankung und Unsicherheit zu

ll^lU ± 2%030 (als Schwankung)
± 0 ,307 (als Unsicherheit)

festzusetzen. — Zu Gunsten der erwähnten Bestim-
mungen führte ich, um die mit verschiedenen Mitteln

— Die Sonne — 285

und von verschiedenen Beobachtern erhaltenen ein-
zelnen Beobachtungen homogen zu machen, sog. Relativ-
zahlen ein, — Produkte, deren einer Faktor aus korre-
spondierenden Beobachtungen für jeden Beobachter
und jedes Instrument bestimmt wurde, während der
andere die mit den Gewichten 10 und 1 in Rechnung
gebrachten Abzahlungen der Gruppen und Flecken
■enthielt. Tab. VIII" enthält für den seit 1749 ab-
gelaufenen Zeitraum die Jahresmittel dieser Relativ-
zahlen.

433 [521—24]. Der Ziifi^ainineiihang: mit
;9Iag:netisiiius, IVordlicht, Fruchtbarkeit,
etc. Im Jahre 1852 fanden Sabine, A. Gautier und ich
nahe gleichzeitig, dass die von Schwabe angedeutete
Sonnenfleckenperiode sich in den erdmagnetischen
Störungen und Variationen auf das Schönste reprodu-
üiiere, — ja es gelang mir bald darauf, zu zeigen, dass
Letztere nicht nur derselben mittlem Periode und
denselben Schwankungen entsprechen, sondern sich
sehr angenähert aus den Sonnenflecken-Relativzahlen
nach einer Formel berechnen lassen, welche eine ge-
wöhnliche Scalenänderung darstellt. So z. B. erhielt
ich aus den von Lamont für 1835—50 bestimmten
Münchner-Variationen, die Formel

V = 6',273 4- 0',051 • r

wo r die dem betreffenden Jahre entsprechende mittlere
Sonnenflecken-Relativzahl bezeichnet , und die nach
dieser Formel für die folgenden Jahre 1851—60 voraus-
berechneten und publizierten Werte stimmten durch-
schnittlich bis smt 0',46 (Max. der Abweichung + 0',72
im Jahre 1851 und — 0',71 im Jahre 1855) mit den
nachmals von Lamont bekannt gemachten Beobachtungs-
zahlen zusammen. (Vgl. Tab.VIir). Später wies Fritz

286 — Die Sonne —

nach, dass, wie ich schon 1852 vermutet hatte, ebenso
die Häufigkeit der Nordlichterscheinung-en derjenigen
der Sonnenflecken parallel laufe, und dass sich auch
da sehr entschieden grössere Perioden zeigen. Die
von Gautier und mir, sowie noch neuerlich von Gould,
Koppen, etc. besprochene Relation mit Fruchtbarkeit
und mittlerer Jahreswärme ist ziemlich sicher, da-
gegen haben die Untersuchungen von Meldrum, Kluge,
etc. über Beziehungen zu Regenmengen, Stürmen, Erd-
beben, etc. noch nicht zu einem definitiven Abschlüsse
geführt.

434 [525—28]. Die Itestiinman^ der Ro-
tation der Coline, and der Iia|g|:e der Fle-
cken anf denselben. Zur Zeit der Entdeckung
der Flecken wurde zur Bestimmung der Rotations-
dauer der Sonne die Wiederkehr desselben Fleckens
abgewartet, und aus den so erhaltenen 27 '/V^ unter
Berücksichtigung der Bewegung der Erde (nach 24)
die Gesuchte durch Rechnung gleich 25 ',a/' gefunden.
In der neuern Zeit misst man dagegen gewöhnlich zu
wenigstens drei verschiedenen Zeiten die Distanz und
den Positionswinkel eines Fleckens in Bezug auf das
scheinbare Sonnencentrum und berechnet daraus so-
wohl die Lage des Sonnenequators, nämlich die Länge
seines aufsteigenden Knotens (^ = 75'') und seine
Neigung gegen dte Ekliptik (i — 7") , als auch die
Lage des Fleckens gegen denselben, sowie endlich die
im Mittel etwa 25' 4"' betragende Rotationsdauer. —
Die Vergleichung der nach dieser und ähnlichen Me-
thoden durch Peters, Carrington, Spörer, etc. erhal-
tenen Bestimmungen hat ergeben, dass die Rotations-
dauer mit der Breite der benutzten Flecken zunimmt und
im Maximum bis auf ca. 27"^ steigt, — dass die gegen
ein Minimum hin am Equator aussterbenden Flecken

— Die Sonne

287

nach dem Minimum plötzlich durch Flecken in höhern
Breiten (Mux. ca. 40") ersetzt werden, wie wenn neue
Strömungen von den Polen ausgegangen wären, —
dass endlich die einzelnen Flecken Eigenbewegungen
zeigen, die mit ihrer Entwicklungsweise zusammen-
zuhängen scheinen.

XL VIII. Die Planeten^ Monde und Ringe.

43Ä [276, 535-37]. Herkur und Venus.

Die beiden Planeten Merkur und Venus, die näher bei
der Sonne stehen als die Erde, daher nie in Opposition
und nur in eine bestimmte Elongation (28*^ und 48"),
aber vor und hinter die Sonne (untere und obere Kon-
junktion) treten können, heissen untere Planeten, und
zeigen, wie Copernicus lehrte und Galilei zuerst sah,
Phasen wie der Mond. — Der nur geringer Elongation
fähige Merkur wird selten bequem
sichtbar, — dagegen ist Venus,
welche, je nachdem sie vor der
Sonne auf-, oder nach der Sonne
untergeht, Morgenstern (Phospho-
rus oder Lucifer) oder Abendstern
(Hesperus) heisst, eine der brillan-
testen Erscheinungen am Himmel,
besonders wenn sie, etwa 36 Tage
vor und nach der untern Kon-
junktion, in ihrem grössten Glänze
steht. — Durch Verfolgung kleiner Ungleichheiten an
der Lichtgrenze glaubte Schröter die Rotationszeiten
beider Planeten zu 24'^ 5" und 23" 16'" ermittelt zu
haben, während dieselben nach Schiaparelli nahe mit
der Eevolutionsdauer übereinstimmen sollen. Über die

288 — Planeten, Monde und Einge —

Oberflächenbescliaffenheit ist fast nichts bekannt, wenn
aucli gewisse Dämmerung-serscheinungen und der An-
blick bei Venusdurchgängen wenigstens für diesen
Planeten eine dichte Atmosphäre wahrscheinlich
machen. — Nach den Untersuchungen von Vogel ent-
sprechen ihre Spektren, wie überhaupt diejenigen der
Planeten, fast ganz dem Sonnenspektrum.

436 [539-42]. ^ars und steine llonde.
Der erste der sog. obern, zur Opposition kommenden
Planeten, der sich durch sein rötliches Licht aus-
zeichnende Mars, rotiert nach Cassini in 24'' 37'", und
hat nach den neuern Bestimmungen eine sehr geringe
Abplattung. Eigentümlich sind weisse Flecken ver-
änderlicher Grösse, welche schon von Maraldi an den
Polen gesehen und dann von Herschel als den Jahres-
zeiten konforme Schneedecken nachgewiesen wurden.
Da der Mars-Equator um 28" 42' gegen seine Ekliptik
geneigt ist, so stimmt Mars auch nach Jahreszeiten
und Zonen nahe mit der Erde überein; ferner ist es
den Schröter, Mädler, Schiaparelli, etc. gelungen, auf
Mars eine Reihe von Kontinenten und Meeren nach-
zuweisen, und förmliche Karten unsers Nachbars zu
entwerfen. Endlich sind 1877 durch Hall bei Mars
zwei kleine Monde von 30' 14'" und 7" 38'" Umlaufs-
zeit aufgefunden worden.

42 7 [549-52]. Jupiter und seine IHonde.
Jupiter, der nach Cassini in 9^" 55™ rotiert, und ent-
sprechend die starke Abplattung [ , ^ zeigt , zeichnet
sich teils durch seine Grösse, — teils durch zwei,
zuerst von Zucchi gesehene, equatoreale, nach Lage,
Breite und Tinte veränderliche, ohne Zweifel seiner
Atmosphäre angehörende, nach Eanyard und Lohse
mutmasslich in Rapport zu den Sonnenflecken stehende,
dunkle, wie durch parallele Linien gebildete Streifen,

— Planeten, Monde und Einge — 289

teils durch vier von Galilei, Marius und Harriot fast
g-leiclizeitig- gesehene Monde aus, welche ihn in a =
1,76986, b = 3,55409, c = 7,16638 und d =^ 16,73355
Tagen beinahe in der Ebene seines Equators um-
kreisen, und zuerst den bestimmten Beweis geliefert
haben, dass die Erde nicht das allgemeine Centrum
der Bewegungen ist. Diese 4 Monde, deren Umlaufs-
zeiten die merkwürdige Beziehung

k = 247- a = 123 . b = 61 • c == ca. 26 • d = 437''

eingehen, sind durch ihr häufiges Eintauchen in den
Schatten Jupiters für Längenbestimmungen zur See
wichtig geworden, — und zugleich führte die That-
sache , dass die beobachteten Verfinsterungen sich im
Vergleiche zu den Berechneten gegen die Konjunktion
hin immer mehr verspäten, bis am Ende die Differenz
nahe 1000* beträgt, während die Entfernung der Erde
vom Jupiter um ca. 40 Millionen Meilen zugenommen
hat, Römer auf die Idee, dem Lichte eine Geschwindig-
keit von 40000 Meilen beizulegen. Letztere ist durch
Struve genauer dahin bestimmt worden, dass das Licht
497',827 = 2,6970785 braucht, um die Sonnenweite zu
durchlaufen, oder in einem siderischen Jahre 63392 =
4,8020330 Sonnenweiten, ein sog. Lichtjahr, zurück-
legen kann.

43S 553—56]. Satarn , sein Ring: und
iseine jMlonde. Der oberste der alten Planeten, der
in 10*' 15'" rotierende und entsprechend die starke Ab-
plattung V,2 zeigende Saturn,
zeichnet sich durch seinen
schon von Galilei und Hevel
bemerkten, aber erst von Huy-
gens wirklich erkannten, von
Cassini zuerst geteilt ge-

VVolf. Taschenbuch 19

290 — Planeten, Monde und Ringe —

sehenen Eing- aus, innerhalb dessen Bond noch einen
dritten, dunkleren, durchscheinenden Eing- entdeckt
hat; die äussern und Innern Durchmesser der Einge
und Saturns betragen nach W. Struve 40'M, 35". o,
34".5, 26". 7 und 17'M. Die geringe Dicke dieses Eing-
systems erklärt sein Verschwinden, wenn seine Ebene
durch die Erde oder Sonne geht. Die Frage nach
seiner Beschaffenheit und Entstehung ist bis jetzt
nicht mit Sicherheit zu beantworten; aus Gründen der
Stabilität besteht es aber wahrscheinlich aus einem
Schwärme diskreter, undurchsichtiger Körperchen und
bietet somit eine gewisse Analogie zu dem Asteroiden-
ring zwischen Mars und Jupiter (431). Die Monde Sa-
turns, deren Zahl 8 beträgt und von denen der 6, schon
durch Huygens aufgefunden wurde, haben die Umlaufs-
zeiten a = 0,94, b = 1,37, c = 1,89, d = 2,74, e = 4,52,
f = 15,94, g = 22,50 und h = 79,33^ welche die Eela-
tionen

494 . a = 340 • b = 247 . c = 170 • d, g = 5e, h = 5f
einzugehen scheinen.

489 [557—58]. L'ranas und iseine Monde.

Als Herschel am 13. März 1781, nachdem man bei 2000
Jahren Saturn als äussersten Planeten betrachtet hatte,
infolge 1779 begonnener konsequenter Durchmusterung
des Himmels in den Zwillingen einen unbekannten
Wandelstern entdeckte, dachten anfänglich weder Er
noch Andere an einen neuen Planeten, sondern an
einen Kometen, und erst als die beobachteten Orte
sich in keine Parabel fügen wollten, dagegen Lexell
und Laplace eine dazu passende Kreisbahn von grossem
Eadius auffanden, ja es sich zeigte, dass schon Le-
monnier und Andere ihn wiederholt als vermeintlichen
Fixstern beobachtet hatten , la-g der planetarische

— Planeten, Monde und Ringe — 291

Charakter so deutlich vor, dass der Findling- unter
dem Namen Uranus in das Planetensystem eingereiht
wurde. Weitere Bestimmungen konnten wegen der
grossen Entfernung nicht mit voller Sicherheit er-
halten werden, wenn auch Mädler eine starke Ab-
plattung und Buffham eine Rotation von ca. 12'' zu
erkennen glaubte, — dagegen haben Herschel und
Lassen 4 Monde der Umlaufszeiten a = 2,520, b = 4,144,
c — 8,706 und d = 13*',463 aufgefunden, und Newcomb
hat den Nachweis geleistet, dass sich diese Monde,
in Beziehung auf die Ekliptik retrograd bewegen,
also letztere Bewegung in unserem Sonnensysteme
nicht total ausgeschlossen ist.

430 [558-60]. ?ieptun und seine Honde.
Kleine Abweichungen zwischen den beobachteten und
den berechneten Uranusorten führten Bouvard auf die
Idee , sie möchten mit einem unbekannten äussern
Planeten zusammenhängen, und es sollte möglich sein,
den Letztern aus jenen Wirkungen zu bestimmen.
Diese Aufgabe wurde sodann von Leverrier und Adams
mit Erfolg behandelt, — ja 1846 VIII 31 konnte
Ersterer der Pariser Akademie anzeigen, dass er jene
Störungen aus dem Gravitationsgesetze erklären könne,
wenn er einen Planeten mit den Elementen E = 1847 1 1,
a = 36,154, T = 217^387, P = 284"45S e = 0,10761
und M = 318*' 47' annehme, der jetzt in der Nähe
von 8 Capricorni stehen und die Masse '/oaoo lia,ben
müsste, — und IX 23 fand Galle bei Vergleichung der
Bremiker'schen Hora XXI mit dem Himmel den Störe-
fried, der sodann den Namen Neptun erhielt, wirklich
auf. Seither haben Bond, Lasseil und 0. Struve minde-
stens Einen Mond von 5^9 Umlaufszeit gesehen, der
nach Newcombs Untersuchungen ebenfalls retrograd
sein dürfte ; auch ist es wahrscheinlich geworden, dass

292 — Planeten, Monde und Eing-e —

hinter Neptun noch ein Planet steht, und der von
Leverrier Gefundene aus Neptun und diesem resultiert.
— Es ist für das Sonnensystem charakteristisch, dass
alle Planeten Bahnen besitzen, welche bei geringer
Excentricität auch ganz geringe Neigungen gegen
einander haben, und dass alle aufsteigenden Knoten
weit innerhalb eines Quadranten nebeneinander liegen.
Charakteristisch ist auch, dass die Innern Planeten
Merkur — Mars sämtlich klein, dicht, langsam ro-
tierend und wenig abgeplattet sind, — die äussern,
Jupiter — Neptun , sämtlich das Gegenteil zeigen.
Ferner, dass die Umlaufszeiten der Monde mit einer
einzigen bekannten Ausnahme (426) immer grösser
sind als die Rotationszeiten ihrer Planeten, — die der
Planeten grösser als die Rotationszeit der Sonne, —
endlich alle Revolutionen (mit allfälliger Ausnahme
derjenigen der Monde der äussersten Planeten, vgl.
oben und 429) und Rotationen der Planeten und Monde
gleichen Sinn mit der Rotation der Sonne haben.
(Vgl. 470).

XLIX. Die Asteroidenringe.

431 [543—47]. I^er ü ister oidenriiig: züi-
sclieu iflars und Jupiter. Nachdem schon ältere
Astronomen auf die grosse Lücke zwischen Mars und
Jupiter hingewiesen hatten, veröffentlichte Titius 1766
für die Distanzen der Planeten eine annähernde, durch
die Formel i/, „ (4 + 3 • 2") dargestellte Zahlenreihe, in
der entsprechend jener Lücke für n = 3 ein Glied
fehlte, während nachträglich der neue Planet Uranus
für n = 6 in sie passte, — und am Ende des 18. Jahr-
hunderts wurde von Zach, Schröter, etc. eine eigene

— Asteroidenriuge — 293

Gesellschaft gegründet, um die teleskopischen Sterne
des Tierkreises behufs Auffindung des vermissten Pla-
neten durchzumustern. Noch hatte jedoch Letztere
kaum ihre Statuten entworfen, als Piazzi am ersten
Tage des 19. Jahrhunderts einen kleinen Planeten ent-
deckte, welcher in die Lücke passte, Ceres benannt
und für Gauss die Veranlassung wurde, seine berühmte
Theoria motus zu entwerfen. Als sodann 1802, 1804
und 1807 Olbers und Harding noch in nahe gleicher
Distanz Pallas, Juno und Vesta fanden, so hatte man
entweder mit Olbers an einen „katastrophierten" Pla-
neten , oder mit Huth an einen Asteroidenring zu
denken. Letztere Idee siegte natürlich, als von 184.'>
an durch die Hencke , Hind , de Gasparis, Luther,
Goidschmidt, Peters, Palisa, etc. noch viele Dutzende
solcher kleiner, nach der Zeit ihrer Entdeckung mit
Ordnungsnummern versehener Körper entdeckt wurden,
so dass bis jetzt (1894) diese Planetenfamilie aus
vollen 378 Gliedern besteht, denen sich wahrscheinlich
noch viele anschliessen werden, zumal in der neuesten
Zeit durch Max Wolf auch die Photographie mit Er-
folg zum Aufsuchen benutzt wurde. Charakteristisch
für dieses, die Planeten in innere and äussere ab-
teilende Ringsystem ist die zuerst von d'Arrest nach-
gewiesene Thatsache, dass die Bahnen sämtlich in-
einander eingreifen.

433 [538]. Tenuismond, Tnlkan und die
problematischen Doreh^äiigre durch die
l^onne. Cassini , Short , Horrebow , etc. glaubten
wiederholt einen Venusmond zu sehen, und Lambert
unternahm, aus ihren Beobachtungen angenäherte Ele-
mente desselben zu berechnen ; aber seither gelang es
weder diesen Mond neuerdings aufzufinden, noch jene
Erscheinungen in anderer Weise genügend aufzuklären.

294 ~ Asteroidenring-e —

Ebensowenig- sind von dem durch Leverriers Unter-
suchungen über die starke Bewegung- des Merkur-
perihels geforderten intramerkuriellen Planeten oder
Asteroidenriuge sichere Spuren nachgewiesen worden,
obschon man mehrfach, insbesondere in einem durch
Lescarbault 1859 bei seinem Vorübergang vor der
Sonne beobachteten dunkeln Körper, der den Namen
Vulkan erhalten sollte, den ersteren gefunden zu haben
glaubte; aber weder die totalen Sonnenfinsternisse,
noch die fortlaufende Registrierung der Sonnenober-
fläche haben bis jetzt auf Objekte in der Umgebung
der Sonne geführt, welche die Leverrier'sche Voraus-
sicht bestätigen könnten.

433 [561—66]. Die Stcrnschnnppeu und
FeaerkDg^eln. Die Sternschnuppen (Stella cadens,
etoile filante) und Feuerkugeln (globus ardens, bolide),
welche lange fast ganz unbeachtet blieben, sogar nach-
dem J. J. Scheuchzer 1697 öffentlich zur Beobachtung
aufgefordert , und G. Lynn sie 1727 zu Längen-
bestimmungen empfohlen hatte , — hielt man erst
wirklich für fallende Sterne, — dann für den Irr-
lichtern verwandte atmosphärische Gebilde, — seit
Chladni, der auch namentlich die Identität der Stern-
schnuppen und Feuerkugeln betonte, für kosmische
Körper. — Die Bahn, welche mutmasslich in der Regel
gerade ist, sehen wir als Durchschnitt der durch sie
und den Beobachter bestimmten Ebene mit dem schein-
baren Himmelsgewölbe, und es sind somit die Punkte,
in welchen die wahre Bahn Letzteres schneidet, die
sog. Radiationspunkte, verschiedenen scheinbaren Bahnen
gemein. — Die nach dem Vorgange von Brandes und
Benzenberg aus korrespondierenden Beobachtungen
bestimmten Höhen und Geschwindigkeiten schwanken
Beide etwa zwischen 4 und 20 Meilen, — doch scheint

— Asteroidenringe — 295

in der Regel bei demselben Individuum die Anfangs-
liöhe erheblich grösser als die Endhöhe zu sein. —
Bei grössern Meteoren tritt häufig vor dem Erlöschen
ein Funkensprühen ein , zuweilen ein zweites Auf-
leuchten, — namentlich aber bleibt die Bahn oft nach
ihrer ganzen Ausdehnung während längerer Zeit sicht-
bar, ja diese Art Schweif nimmt zuweilen nachträglich
ganz phantastische Formen an. — Die von Coulvier-
Gravier zuerst erkannte Thatsache, dass die Häufigkeit
der Sternschnuppen von Abend gegen Morgen zunimmt,
und zwar im Jahresmittel von

6^-7-8-9— 10— 11-12— 13— 14-15-16-17— 18"
6,5 7,0 6,3 7,9 8,0 9,5 10,7 13,1 16,8 15,6 13,8 13,7

Sternschnuppen gesehen werden, kömmt nach Schia-
parellis Untersuchungen damit überein, dass ein Beob-
achter durchschnittlich um so mehr Sternschnuppen
sieht, je höher für ihn der ca. um 6*' Abends in unterer,
lim 6" Morgens in oberer Kulmination stehende, von
der Sonne immer nahe um 6" nach Westen abliegende
Punkt, der sog. Apex, steht, nach dem die Bewegungs-
richtung der Erde hinweist, — und einen ganz ent-
sprechenden Grund hat nach ihm die Thatsache, dass
man (s. 435) durchschnittlich in der zweiten Hälfte
des Jahres mehr Sternschnuppen sieht als in der ersten,
indem die Deklination des Apex vom Frühlings- bis
zum Herbst-Equinoctium von — 23'/2" bis -f 23'/.2<' zu-
nimmt.

454 [561—62]. »ie Meteoriten. Einzelne
Sternschnuppen und Feuerkugeln scheinen unsere Atmo-
sphäre unbeschädigt zu passieren, — Andere dagegen
gehen in ihr zu Grunde, und fallen als Meteorstaub
oder Meteorsteine zur Erde nieder. Früher wurde
Letzteres bezweifelt; aber nach und nach mehrten sich

296 — Asteroidenringe —

die g-ut konstatierten Fälle von Meteoriten, und man
unterscheidet gegenwärtig zwei Arten: Steinmeteoriten,
welche, Avie z.B. der 1492 zu Ensisheim Gefallene,
aus einer etwa 3 ',2 dichten Mengung von Kieselerde
und Eisenoxyd bestehen, — und Eisenmeteoriten, bei
denen, wie z.B. bei dem 1751 zu Agram Gefallenen,
die Dichte auf mehr als das Doppelte ansteigt, fast
nur gediegenes Eisen vorkömmt, und eine polierte
Schnittfläche, bei Behandlung mit Salpetersäure die
sog. Widmanstett'schen Figuren zeigt. Einzelne Male,
wie z. B. 1803 bei Aigle im Dep. de l'Orne , fielen
förmliche Steinregen.

435 [567—71]. l>ie Stcrnselinuppeiiregren.

Während nach 3750 viertelstündlichen, im Ganzen 9961
Sternschnuppen ergebenden Zählungen , welche ich
1851—59 veranstaltete, ein einzelner Beobachter iis
den 12 Monaten durchschnittlich per Stunde

5,5 5,4 5,2 4,6 4,1 5,4 9,8 12,9 7,4 6,4 5,0 4,1

also im Jahresdurchschnitte stündlich etwa 6 Stern-
schnuppen sieht , nimmt diese Zahl zeitweise auf
Hunderte und Tausende zu. Namentlich wurden 1799
und 1833 je am 12. November förmliche Sternschnuppen-
regen gesehen, wie wenn in ca. 33 Jahren eine Meteor-
wolke die Sonne umkreisen, und ihre Bahn die Erd-
bahn an der Stelle schneiden würde, welche wir XI 12
einnehmen. Diese schon von Olbers gemutmasste Perio-
dicität wurde von H. A. Newton rückwärts bis zum
Jahre 902 ziemlich schlagend nachgewiesen, und seit-
her 1865—67 neuerdings konstatiert. — Nicht ebenso
dichte, aber dafür konstantere Regen zeigen sich um
den 10. August, erscheinen schon in der Sage von den
feurigen Thränen des heil. Laurentius, und sind seit
einigen Dezennien nach Quetelets Aufforderung regel-

_ — Asteroidenring-e — 297

massig beobachtet worden ; sie lassen sich durch einen
ununterbrochenen, aber nicht überall gleich dichten,
nach Coulvier-Gravier in 20, nach Schiaparelli aber in
ca. 108 Jahren um die Sonne rotierenden Meteor-Eing
erklären, der die Erdbahn an der Stelle schneidet, wo
sich die Erde um VIII 10 befindet. — Bei den Stern-
schnuppenregen, welche sich auch noch an einzelnen
andern Jahrestagen in untergeordneterer Weise ein-
stellen, scheint, wie Heis schon längst betonte, die
grosse Mehrzahl der Sternschnuppen von demselben
Eadiationspunkte auszugehen, der für den August-
schwarm in den Perseus (2'\9 ; -f 56 «), für den November-
schwarm in den Löwen (10'',0; 4-23") fällt, so dass
man erstere Perseiden, letztere Leoniden nennen kann.
41 S6 [572-73]. Was Zodiakallielit. In
mittleren Breiten sieht man im Frühjahr etwa l'-..
Stunden nach Sonnenuntergang, im Herbst etwa 1',
Stunden vor Sonnenaufgang, in der heissen Zone fast
täglich zweimal, einen vom Horizonte längs der
Ekliptik aufsteigenden, weisslichen, in Ausdehnung
und Intensität wechselnden Lichtschimmer, das sog.
Zodiakallicht, das sich unter günstigen Umständen bis
zu dem ihm ähnlichen, aber etwas schwachem, vom
Gegenpuukte der Sonne ausgehenden sog. Gegenschein
erstreckt und so den Eindruck eines vollständigen
Lichtringes erzeugt. Obschon noch so ziemlich zu den
rätselhaften Erscheinungen gehörend, kann man sich
dasselbe, wie schon sein erster eigentlicher Beobachter
Fatio lehrte, so ziemlich durch einen, die Sonne um-
schwebenden, sich etwas über die Erdbahn hinaus er-
streckenden und senkrecht zur Ekliptik wenig aus-
gedehnten Gürtel kleiner von der Sonne beleuchteter
Körperchen erklären, der um so sichtbarer wird, je
mehr er sich vom Horizont entfernt und je kürzer die

298 — Astei'oidenringe —

Dämmerung- ist, d, h. je grösser bei Auf- oder Unter-
gang der Winkel

n = Aco (Si cp Co e — Co cp Si e Si t)
wird, welchen Ekliptik und Horizont bilden, — oder
je kleiner cp ist und je näher für Auf- oder Untergang
t an 900 = 6'^ fällt.

L. Die Kometen.

43? [279-80, 574]. »ie altern Aui^lchten
über die Kometen. Schon im Altertume beachtete
man die Kometen, hielt sie aber, mit rühmlicher Aus-
nahme von Seneca, nicht für Gestirne, sondern für
ephemere Produkte unserer Atmosphäre, die alle mög-
lichen Übel anzeigen, und solchen Aberglauben unter-
stützten dann auch im Abendlande die Chroniken durch
kritiklose Zusammenstellungen. Immerhin begannen Re-
giomontan, Appian, Tycho, etc., Positionsbestimmungen
von Kometen zu machen, ihre Schweife zu studieren,
etc., und nach und nach brach sich durch die Bemüh-
ungen der Kepler, Hevel, Borelli, Dörfel, etc. die
Ansicht Bahn, dass diese Gestirne sich ebenfalls gesetz-
mässig bewegen, ja entsprechend den Planeten Kegel-
schnitte um die Sonne beschreiben möchten.

438 [575-78]. Wie l'eriodieität der Ko-
meten. Nachdem NeAvton Methoden für Berechnung-
parabolischer Bahnen entwickelt hatte, wandte Halley
dieselben unter Anderm auf die Kometen von 1531,
1607 und 1682 an, und fand für diese bei annähernd
gleichen Zwischenzeiten so ähnliche Elemente, dass
ihm die Frage nahe lag, ob sie nicht etwa nur ver-
schiedene Erscheinungen eines und desselben Welt-
körpers gewesen seien, — ja überzeugte sich durch

— Kometen — 299

weitere Studien, dass sich sämtliche Beobachtungen
durch eine Ellipse darstellen lassen, welche den Ko-
meten nahe genug- an Jupiter und Saturn vorbeiführe,
um kleine Differenzen der Umlaufszeiten durch störende
Anziehungen erklären zu können, — und er wagen
dürfe, eine Wiederkehr auf Ende 1758 oder Anfang
1759 anzukündigen, die dann auch wirklich zu der
angegebenen Zeit, und 1835 nochmals erfolgte, ab-
gesehen davon , dass sich mehrere ältere Kometen
ebenfalls als frühere Erscheinungen dieses nach Halley
benannten Kometen nachweisen Hessen. — Sobald die
Periodicität Eines Kometen erwiesen war, lag der
Gedanke nahe, dass auch andere wiederkehren könnten,
und alsbald schien nun die frühere Kometenfurcht in
neuer Gestalt als Furcht davor auftauchen zu wollen,
es könnte einer der Kometen bei seiner Wieder-
erscheinung mit der Erde zusammentreffen, und über
sie die Schrecken des jüngsten Tages bringen.

439 [580—84]. Die Kometen von kurzer
llmlaufiszelt. Unter den vielen übrigen Kometen,
welche im Laufe der Zeiten der Kechnung unterworfen •
wurden, haben sich manche von entschiedener Perio-
dicität, und darunter mehrere von relativ kurzer Um-
laufszeit gefunden, welche seither sichtbar wieder-
gekehrt sind, so der sog. Encke-Pons'sche Komet von
SVa Jahren Umlaufszeit (jetzt bereits 27 mal gesehen),
der Brorsen'sche von 5V2> fler De Vico'sche von 5V.,j
der d'Arrest'sche von 6'/2, der Biela'sche von 6% und
der Möller-Faye'sche von 7V2- ^lan ist durch sie dahin
belehrt worden, dass wenigstens einzelne Kometen
eine Verminderung ihrer Umlaufszeit erleiden, die man,
wenn sie nicht etwa nur periodisch ist, durch einen
Widerstand des Mittels erklären kann, — dass eine
Art von Doppelkometen existiert, ja dass solche viel-

300 — Kometen —

leicht noch gegenwärtig sich bilden können, — und
dass Kometen, welche nahe an Planeten vorbeigehen^
zwar nicht merklich auf sie einwirken, dagegen um-
gekehrt von ihnen (vgl. 440) sehr stark beeinflusst
werden können.

440 [587—90]. Wie neuem Aufsichten über
die Kometen. Die Kenntnis der physischen Be-
schaffenheit der Kometen wurde in neuerer Zeit nicht
unerheblich gefördert. So hat man gefunden, dass vom
Kern eines grossen Kometen bei dessen Annäherung
an die Sonne die Materie zunächst nach der Sonne
hin ausströmt, dann aber, wahrscheinlich unter dem
Einflüsse elektrischer Eepulsivkräfte erst seitlich^
dann rückwärts umbiegt und so in einem Zustande
ausserordentlicher Verdünnung den von der Sonne ab-
gewandten und mutmasslich sich ununterbrochen er-
neuernden Schweif bildet. Ferner hat die spektro-
skopische Untersuchung ergeben, dass neben einem
schwachen, kontinuierlichen Spektrum, welches in Ver-
bindung mit den beobachteten Polarisationserschei-
nungen auf reflektiertes Sonnenlicht hinweist, ein dis-
kontinuierliches Spektrum auftritt, welches auf vor-
herrschendes Eigenliclit schliessen lässt und in der
Regel drei, den Spektren von Kohlenwasserstoffver-
bindungen entsprechende Banden, in einzelnen Fällen
auch helle Metalllinien zeigt, so dass also die Kometen
wahrscheinlich aus teils festen oder flüssigen, teils
gasförmigen Stoffen bestehen. Es ist wohl anzunehmen,
dass nur Einzelne der Kometen speciell unserm Sonnen-
systeme angehören, dass dagegen die überwiegende
Mehrzahl und gerade die glänzendsten derselben
dem grossen Fixsternsysteme zugehört, und zu uns
nur auf vorübergehenden Besuch kömmt , — dass
bei diesen sehr excentrische , ja parabolische und

— Kometen — 301

hyperbolische Bahnen vorherrschen , dass sie unter
allen möglichen Neigungen zur Ekliptik herumlaufen,
zum Teil der Sonne sehr nahe kommen, glänzend und
stark beschweift sind, — und dass sie unter Um-
ständen dauernd (wie der Halley'sche) , oder vorüber-
gehend (wie der Lexell-Messier'sche von 1770), dem
Sonnensysteme annexiert Averden können. Die Unter-
suchungen von Schiaparelli, Weiss, etc. endlich haben
eine gewisse Verwandtschaft zwischen einzelnen Ko-
meten und den Sternschnuppenschwärmen höchst wahr-
scheinlich gemacht, indem die aus dem Durchgangs-
punkte der letzteren durch die Ekliptik und der nach
dem Radiationspunkte führenden Tangente berechneten
Bahnelemente je mit denjenigen einer gewissen Ko-
metenbahn übereinstimmen, und es dürften die Stern-
schnuppenschwärme Auflösungsprodukte von Kometen
sein.

Das Weltgebäude.

Wo das Wissen aufhört, beginnt notwendig-
das Glauben: Wer also vorjariebt, nichts
zu glauben , gleicht einem Narren , der
die fixe Idee hat, allwissend zu sein.

LI. Die Stellarastronomie.

441 [182]. Die Anzahl der Sterne. Die

Anzahl der von freiem Auge sichtbaren Sterne wurde,
obschon nach Moses I 15 bereits Abraham den Auftrag-
dazu erhielt, erst in neuerer Zeit mit einiger Sicher-
heit bestimmt, und zwar fand Argelander für das
mittlere Europa nur 3237, Heis für den Horizont von
Münster 4701, Houzeau am ganzen Himmel 5719 Sterne.
Dagegen ist für die Anzahl der teleskopischen Sterne
noch keine obere Grenze gefunden worden; doch mag
angeführt werden, dass Herschel schon die Anzahl der
mit seinem 20füssigen Teleskope sichtbaren Sterne auf
20 Millionen schätzte.

442 [591-92]. »ie Aiehangren und Zonen-
beobaehtang:en. Als Grundlage aller Studien über
die Verteilung der Sterne sind die sog. Aichungen und
Zonenbeobachtungen von grosser Wichtigkeit: Erstere,
die W. Herschel einführte , bestehen darin , dass man
ein Fernrohr nach und nach auf verschiedene Punkte
des Himmels einstellt, je die gleichzeitig im Fernrohr
erscheinenden Sterne abzählt, und aus mehreren benach-

— Stellarastronomie — 303

barten Zählungen unter Berücksichtig-ung der Grösse
des Gesichtsfeldes auf die mittlere Dichte der Sterne
an der betreffenden Stelle des Himmels schliesst. Bei
den namentlich von Bessel und Argelander zuerst in
grossem Maßstabe durchgeführten Zonenbeobachtungen
stellt man ein Meridianfernrohr je auf eine bestimmte
Deklination ein, und beobachtet nun alle Sterne, welche
während einer gewissen Zeit nach und nach durch das
Gesichtsfeld gehen.

443 [591—93]. öie itnsstreuung: der
Sterne. Als Herschel die Ergebnisse seiner Aichungen
ordnete, ergab sich ihm das merkwürdige und durch
spätere Arbeiten ähnlicher Art vollkommen bestätigte
Gesetz, dass die Häufigkeit der Sterne längs der sog.
galaktischen Ebene am grössten sei, und von da gegen
deren Pole (12' 47"', -f 27°) und (O'' 47", —27«) ziem-
lich regelmässig abnehme, wie wenn die sämtlichen
Sterne ein linsenförmiges System bilden würden, dessen
grosse, nach Herschel etwa das llfache der kleinen
betragende Axe jener Ebene angehört. — Ordnet man
anderseits z.B. die 314925 Sterne, welche das Arge-
lander'sche Verzeichnis für den nördlichen Himmel
aufweist, nach ihrer scheinbaren Grösse, so findet man,
dass jede folgende Grössenklasse ca. 3V2 ii^al so viele
Sterne zählt als die vorhergehende, und hieraus scheint
zu folgen, dass die Sterne im allgemeinen nahe von
gleicher Grösse und nahe gleich verteilt sind, und
einzelne Sterne zunächst nur darum grösser erscheinen,
weil sie näher an uns stehen.

444 [284, 591]. öie Hilehstrasse. Schon
mit unbewaifnetem Auge sieht man in mondfreien
Nächten ein Lichtgewölk, das sich bei verschiedener
Breite und Intensität gürtelähnlich , ungefähr der
galaktischen Ebene entlang um den Himmel zieht, und

304 — Stellarastronoraie —

sich, wie schon Demokrit ahnte, aber Galilei zuerst
sah, als gemeinschaftlicher Schimmer zahlloser kleiner
Sterne erweist. Diese sog. Milchstrasse, die schon
Kepler als ein grosses Sternsystem betrachtete, ist
somit der Hauptrepäsentant der obigen, auch unsere
Sonne einschliessenden Sternlinse.

LH. Die Grössen, Farben und Spektren
der Fixsterne.

445 [285]. llie ^ternverg^leichiiiig^^en.

Um zwei Sterne ihrer scheinbaren Grösse nach zu
vergleichen, ist nach Argelander in erster Linie das
unbewaffnete Auge zu empfehlen , das bei einiger
Übung noch ganz geringe Lichtunterschiede derselben
herausfindet, wenn man sie abwechselnd ins Auge
fasst: Findet man sie beständig gleich, so notiert man
a • b ; dagegen bezeichnet b • 1 • a , dass b zuweilen
heller als a erscheine (erste Stufe) , — b • 2 • a dass b
immer heller als a (zweite Stufe) , — b • 3 • a dass b
schon auf den ersten Blick heller (dritte Stufe), —
b • 4 • a dass b sogar merklich heller als a (vierte Stufe)
gefunden wurde. Mehr als 4 Stufen, von denen etwa
10 auf eine Grössenklasse gehen, — schätzt man direkt
nicht mehr zuverlässig, sondern muss Zwischensterne
annehmen.

446 [595]. Die !$teriiphotometer. Für
hellere Sterne und zu fundamentalen Bestimmungen
sind eigentliche photometrische Messungen nötig, und
hiefür haben in der neuern Zeit Steinheil, Zöllner und
Andere wirksame Sternphotometer konstruiert, von
denen das ZöUner'sche das bekannteste ist. Es beruht

— Stellarastronomie — 305

auf der Vergleichung eines Sternes mit einem im
Fernrohr neben ihm stehenden, durch eine seitliche
Flamme erzeugten künstlichen Sterne, dessen Hellig-
keit mittelst Nicol'scher Prismen messbar verändert
werden kann. Neben ihm wird häufig das Keilphoto-
meter angewandt, bei welchem eine aus zwei Keilen
von weissem und neutralem Glase zusammengesetzte
planparallele Platte in der Bildebene oder vor dem
Okulare des Fernrohres messbar verschoben werden
kann, bis jeder der zwei zu vergleichenden Sterne
verschwindet.

447 [286]. Hie Farben der Fixsterne.
Die Farbe der Fixsterne ist vorherrschend weiss bis
gelblich-weiss; doch kommen entschieden auch andere
Farben, namentlich rot, vor. So sind nach Doppler
etwa 5 Zelmteile der Sterne gelblich-weiss, 2 ent-
schieden weiss, 2 orange und ein letzter Zehnteil rot,
blau, etc. Leider ist die subjektive Auffassung kaum
ganz zu eliminieren; doch scheinen bei einzelnen
Sternen Farbenwechsel vorzukommen, und zwar nicht
nur bei den sofort zu behandelnden sog. veränderlichen
Sternen : So wurde z. B. von den Alten Sirius zu den
roten Sternen gezählt, während er jetzt den weissesten
gleichkömmt.

448 [597—98]. l>ie Spektralanalyise. Schon
Fraunhofer kam, nachdem er seine Linien entdeckt
hatte, auf die Idee, Fixstern-Spektren zu entwerfen
und mit dem Sonnenspektrum zu vergleichen; aber
seine Versuche waren noch sehr unvollkommen, und
erst seit Entdeckung der eigentlichen Spektralanal^^se
(294) wurden sie durch Secchi, Huggins, Vogel, etc.,
mit wirklichem Erfolge ausgeführt. Man hat dabei
ermittelt, dass die Sterne im allgemeinen eine ähnliche
Koi^stitution wie die Sonne haben, d. h. dass ihr Licht

Wolf, Taschenbuch 20

306 — Spektren der Fixsterne —

von einer intensiv glühenden Masse ausgeht und eine
Atmosphäre von absorbierenden Dämpfen geringerer
Temperatur durchläuft, welche im Spektrum dunkle
Linien and Streifen erzeugt, die z.B. bei a Orionis
das Vorkommen von Natrium , Magnesium , Calcium
und Eisen vermuten, hei Sirius Vorherrschen von stark
erhitztem Wasserstoff' erwarten lassen , dass aber die
einzelnen Spektren charakteristische Unterschiede so-
wohl unter sich als gegenüber dem Sonnenspektrum
zeigen. In diesen Unterschieden fand Secchi zunächst
einen Zusammenhang mit den Farben der Sterne, in-
sofern diese mit der Zahl , Stärke und Verteilung der
Absorptionsstreifen wechselt, so dass z. B. die weissen
Sterne wie Sirius, aLyrae, etc. nur wenige Absorp-
tionslinien, die roten Sterne, wie a Orionis, a Herculis,
etc. zahlreiche breite Absorptionsbänder zeigen. Sie
führten ihn sodann dazu , unter den Sternspektren
4 Haupttypen nachzuweisen , welche mit einigen
Modifikationen seither in ausgedehnter Weise bestätigt
worden sind, und in denen sich nach Vogel die Haupt-
entwicklungsstufen der Sterne, insbesondere die da-
selbst herrschenden Temperaturverhältnisse abspiegeln
dürften.

Uli. Die veränderlichen nnd neuen Sterne.

449 [287, 600]. Oer neue feiern von 15^3.

Tycho Brahe sah 1572 XI 11 in der Cassiopeia einen
vorher nie bemerkten, der Venus an Grösse gleich-
kommenden, aber weiss glänzenden Stern, — und fand
im Laufe der folgenden Monate die Position immer
genau gleich, dagegen den Glanz rasch abnehmend,
indem er im März 1573 nur noch einem Sterne erster

— Veränderliche und neue Sterne — 307

Grösse, im Jali einem solchen 3. Grösse glich, und im
März 1574 ganz unsichthar wurde. Auch Andere ver-
folgten diese Erscheinung, sowie 1604—06 eine ähnliche
im Ophiuchus, und es waren somit die früher in das
Gebiet der Sage verwiesenen Nachrichten von dem
Erscheinen neuer Sterne und deren Wiederverschwinden
vollständig rehabilitiert.

450 [288, 603]. Mira der Wanderbare.
Im Jahre 1596 sah Dav. Fabricius wiederholt einen
ihm früher unbekannten Stern am Halse des Walfisches
von etwa 3. Gr.; später verschwand er ihm wieder,
wurde dagegen von Bayer als 0 Ceti in seine 1603 er-
schienene üranometria eingetragen, und 1638 von Hol-
warda neuerdings gesehen. Es lag also ein nur zeit-
weise sichtbarer Stern vor, und als ihn sodann Hevel
und Boulliau konsequent beobachteten, ergab sich so-
gar für ihn eine regelmässige, wenn auch etwas variable
Periode von durchschnittlich 332 Tagen, in deren erster
Hälfte er von ca. 3. Gr. bis zur ünsichtbarkeit, d. h.
eigentlich etwa bis zur 10. Gr., abnahm, um. dann in
der zweiten Hälfte nach und nach wieder zu 4., 3.
oder gar 2. Grösse zurückzukehren. Die neuern Beob-
achtungen von Wurm , Argelander , etc. haben diesen
Verlauf bestätigt und seinen Detail näher kennen ge-
lehrt, namentlich also die Existenz periodisch veränder-
licher Sterne ausser Zweifel gesetzt.

451 [604]. Die Sterne tj Aquil^e und
ß l*ersei. Der mutmasslich schon 1612 von Bürgi als
veränderlich erkannte, aber erst 1784 durch Pigott
seiner Periode von 7'',176 nach festgestellte Stern
-q Aquilae hat einen ziemlich regelmässigen Wechsel
von 3-4 bis 4-5 Gr. , und zwar ist seine Lichtkurve
der mittlem Fleckenkurve der Sonne sehr ähnlich.
Der 1667 von Montanari als veränderlich erkannte.

308 — Yeränderlioke und neue Sterne

und in neuerer Zeit namentlich von Argelander stu-
dierte Stern ß Persei hat dageg-en die Eigentümlich-
keit, das3 er seine Periode von 2\867 fast ganz in
nahe 2. Gr. zubringt, dann in etwa 4*' bis zur 4. Gr.
abnimmt, in dieser ^4'' verweilt, und dann in neuen 4''
wieder bis zur 2. Gr. zunimmt.

4ÄÄ [604—05]. »ie Sterne ß I^yra? und
vj Arg;o navis. Der 1784 von Goodricke als veränder-
lich erkannte Stern ß Lyrse hat die Eigentümlichkeit,
dass er in 12*^,91 eine Lichtkurve mit zwei Max. von
3 • 4 Gr. und zwei Min. von 4. und 4 • 5 Gr. durch-
läuft. Eine noch kompliziertere Lichtkurve scheint der
Stern r^ Argo navis , der oft sämtliche Sterne erster
Grösse überglänzt, und dann wieder kaum 4. Gr. hat,
zu besitzen, so dass man sich vorläufig damit behelfen
muss, dieselbe als unregelmässig zu bezeichnen.

453 [606]. Die veränderliehen Sterne.
Über die eigentliche Natur der durch die Bemühungen
der Pigott, Schönfeld, Chandler, etc., bereits in einer
Anzahl von mehreren Hundert bekannt gewordenen
Veränderlichen ist man noch nicht recht ins Klare
gekommen, zumal die ausserordentliche Verschieden-
heit der Einzelnen jede Theorie ungemein erschwert.
Immerhin denkt man kaum mehr daran, die betreffenden
Erscheinungen durch linsenförmige Gestalt , Ober-
flächenverschiedenheit, etc., erklären zu wollen, sondern
hat, nach meinem Vorgange im Jahre 1852, einerseits
angefangen, sie mit den Ei'scheinungen an der Sonne
zu vergleichen, und kann anderseits hoffen, nach und
nach durch die Spektralanalyse auf eine gute Fährte
zu kommen , wie es denn auch bereits Vogel und
Scheiner gelungen ist, bei ß Persei die Existenz eines
dunkeln Begleiters als Ursache der Veränderlichkeit

— Veränderliche und neue Sterne — 309

nachzuweisen. Interessant ist, dass nach Schönfelds
Zusammenstellung- bei ■' , q der Veränderlichen rot bis
gelb, nur ' ,o weiss, und kein Einziger grün oder
blau ist.

454 [601— 02J. öie sog. neuen Sterne.

Die sog. neuen Sterne von 1572 und 1604 sind nicht
vereinzelt geblieben; die spätere und neueste Zeit
haben uns wiederholt mit Sternen bekannt gemacht,
die plötzlich auftauchten, und dann nach verhältnis-
mässig kurzer Zeit wieder erloschen. Sind es ebenfalls
veränderliche Sterne gewesen, — oder waren wir je
Zeugen einer Katastrophe, — oder liegt da eine von
den Übrigen wesentlich verschiedene Art von Selbst-
leuchtern vor? Erst die Folgezeit wird darüber de-
finitiv entscheiden, — doch hat in der allerneuesten
Zeit die mittlere Ansicht entschieden etwas Boden
gewonnen, indem z. B. nach Huggins der 1866 während
kurzer Zeit auüeuchtende Stern in der Krone zwei
übereinander liegende Spektren zeigte , — ein ge-
wöhnliches Sternspektrum mit dunkeln Linien , und
ein Spektrum mit hellen, namentlich Wasserstoff-Linien.

UV. Die Fixsternparallaxe und die sog.
Eigenbewegung der Fixsterne.

455 [289, 607-08]. »ie Fixsternparallaxe.

Nachdem man längere Zeit (405) nur anzugeben Avusste,
dass die jährliche Parallaxe bei keinem Sterne auf
eine volle Sekunde ansteige , d. h. die Distanz immer
mehr als 4 Billionen Meilen oder (427) 3' 3 Lichtjahre
eine sog. Sternweite, betrage, versuchten Bessel, Struve,
etc., mit Erfolg für dieselbe wenigstens auch eine

310

Fixsternparaliaxe

obere Grenze zu erhalten: Stehen nämlich für einen
Beobachter zwei Punkte nahe in einer Geraden, so
bewegt sich scheinbar, wenn der Beobachter seitwärts
geht, der fernere der beiden Punkte mit ihm, und
wenn sich somit bei wieder-
holter Messung des Abstandes
zwischen einem hellen Sterne
Si und einem ihm scheinbar
nahen schwachen , also mut-
masslich fernem Sterne Sg
dieses Verhältnis zeigt, so ist
der schwächere wirklich ferner, und zugleich ist die
Differenz der Abstände

a, — a, = Tt — f oder a, — ai < t:

also bestimmt etwas, aber mutmasslich um nicht sehr
viel kleiner als die der Bewegung des Beobachters
entsprechende Parallaxe r, des heilem Sternes, so dass
sie dieser nahe gleich gesetzt werden, und aus ihr die
sog. jährliche, d.h. die der mittlem Entfernung der
Erde von der Sonne entsprechende Parallaxe des
Sternes berechnet werden darf. So fanden z. B. für die
Parallaxe von

61 Cygni

Bessel

0",37

-

0. Struve

0,51

-

Auwers

0,56

a Bootis

Peters

0,13

34 Groombr.

Auwers

0,31

a Urs. min.

Peters

0,18

a Lyrse

a Centauri
aCan.maj.

W. Struve,0",26

0. Struve | 0,15

Brünnow

Elkin

Gill

p Ophiuchi i Krüger

0,21
0,78
0,37
0,17

etc., und es steht somit 61 Cygni höchstens um 3 Stern-
weiten oder 10 Lichtjahre , a Lyrae mindestens um 4
Sternweiten, a Centauri aber nicht viel mehr als Eine
Sternweite von der Erde ab, etc.

— Fixsternparallaxe — 311

456 [290, 612-13]. Wer ischeiiibaie und
mittlere Ort und die Ei^enbewes^ans: der
Fixsterne. Unter dem mittlem Orte eines sog. Fix-
sternes versteht man die Koordinaten, welche er zu
einer bestimmten Zeit , z. B. der Epoche eines Kata-
loges oder dem Anfange eines Jahres, abgesehen von
Aberration und Nutation, infolge des Einflusses der
Präcession haben würde, — unter scheinbarem Orte
dagegen die ihm zu irgend einer Zeit zukommenden,
von Aberration und Nutation modifizierten Koor-
dinaten, Beobachtet man jedoch zu verschiedenen
Zeiten die Positionen eines Fixsternes, und reduziert
dieselben unter Berücksichtigung von Präcession, Nu-
tation und Aberration auf dieselbe Epoche, so werden
sie dennoch nicht genau gleich, sondern es ergeben
sich kleine, der Zeit proportionale Differenzen, welche
man gewohnt ist, als eigene Bewegungen zu bezeichnen.
— Die mutmassliche Bedeutung dieser Eigenbewegung
der folgenden Nummer vorbehaltend, mögen hier die
unter Berücksichtigung derselben zur Berechnung der
scheinbaren Eektascension und Deklination eines Sternes
für T Jahre nach der Epoche und t Tage (wo t als
Jahresbruch zu geben) nach dem Anfange des be-
treffenden Jahres dienenden Formeln

^ = ,f^ + (Prsec. -f '/.oo See. Var. • T + Eig. Bew.) T -h

"'" +Aa + Bb + Cc + D(I + t- Eig. Bew.

D = D -f (Prsec. -f V200 See. Var. • T + Eig. Bew.) T +

''" -f A a' + B b' + C cM- D d' + t • Eig. Bew.

angeführt werden, in denen je die erste Zeile dem
mittlem Ort des Sternes zu Anfang des Jahres T
entspricht , — die zweite Zeile aber daraus den
scheinbaren Ort zur Zeit t berechnen lehrt. In diesen

312 — Fixsternparallaxe —

Formeln, welche offenbar auch zur Bestimmung der
eigenen Bewegung führen können, sobald man für
zwei Epochen aus Beobachtungen gute Werte für die
Koordinaten ableiten kann, ist

A = — 18'S732 . Co 0 B = - 20",420 • Si O

C = t - 0",025 • Si 2 O - 0'',343 Si ft + 0'^004 Si 2 ^ 3
D = — 0'S545 Co 2 O - 9'',250 Co ^ -j- 0",090 Co 2 ^
a=SeS-Coa a' = Tge-Co 5-Si5Sia

b = Se§.Sia V=Si5.Coa

c = 46",059 + 20'S055 Si a Tg a c' = 20'S055 • Co a ^
d = Tg a • Co a d' = - Si a

wo O die wahre Länge der Sonne, ^ die mittlere
Länge des Mondknotens und e die Schiefe der Ekliptik
je für die Zeit t, dagegen a und 8 die nach den ersten
Zeilen von 1 und 2 berechneten Werte der mittlem
Rektascension und Deklination für den Anfang des
Jahres bezeichnen.

45 ;' [292, 614]. Mie fortschreitende Be-
ireg'ang^ der ^oiine. Die 1761 von Lambert ge-
stellte Aufgabe, aus den scheinbaren EigenbeAvegungen
der Sterne eine eventuelle Bewegung der Sonne nach-
zuweisen, löste Herschel 1783 nach folgendem Ge-
dankengange : Steht Jemand auf einer Lichtung mitten
in einem Walde, so sieht er die umgebenden Bäume
in einer bestimmten gegenseitigen Lage; bewegt er
sich aber nach irgend einer Richtung, so scheinen die
Bäume zur rechten Hand sich im Sinne des Uhrzeigers
zu bewegen, oder ihre Länge nimmt ab, — die zur
Linken in entgegengesetztem Sinne, oder ihre Länge
nimmt zu. Ähnlich bei den Sternen, wenn wir uns mit
der Sonne in unserm Sternhaufen nach einer bestimmten
Richtung fortbewegen, — und wenn diese Verschie-

— Fixsternparallaxe — 313

bungen für eine gewisse Richtung- mit den Eigen-
bewegungen der Sterne übereinstimmen, so wird um-
gekehrt der Schluss zu machen sein , dass sich die
Sonne Avirklich nach dieser Richtung bewegt. —
Herschel fand dabei, dass sich der grösste Teil der
Eigenbewegungen der Sterne unter der Annahme er-
klären lasse, es bewege sich die Sonne nach einem
Punkte , dem sog. Apex , in der Nähe von X Herculis
oder in (17" 22'"; 4-26" 11'), und spätere Astronomen
bestätigten nicht nur je unter Zugrundelegung ganz
anderer Sterne und neu bestimmter Eigenbewegungen
sein Resultat (Argelander fand z. B. 17' 12" ; +28*^ 49',
— 0. Struve 17' 26"; +37 «45', — Galloway 17" 20'" ;
+ 340 22', — Mädler 17' 27'"; +39« 54'), sondern
machten sogar wahrscheinlich, dass die Bewegung der
Sonne und ihres Gefolges per Stunde nicht weniger
als etwa 4000 Meilen betrage. In folgenden Jahr-
hunderten wird man die langsame Veränderung der
gegenwärtigen Bewegungsrichtung erkennen, daraus
auf die eigentliche Bahn der Sonne schliessen, und
ihre Umlaufszeit um einen fernen Schwerpunkt be-
rechnen , d. h. die Aufgabe wirklich lösen können,
welche sich Mädler etwas zu frühzeitig bei Bestimmung
seiner sog. Centralsonne. (Alcyone in den Pleyaden)
gestellt hatte.

4S8 [616-18]. »le i$ternkatalog:e nnd
£pheinerideii. Ein Sternkatalog hat für eine be-
stimmte Epoche für eine Anzahl Sterne den mittlem
Ort , und überdies die nötigen Daten zu geben , um
daraus für andere Zeiten je den mittlem oder schein-
baren Ort berechnen zu können, d. h. die Betreffhisse
der Präcession und ihrer sekulären Veränderung , so-
weit bekannt die eigene Bewegung, und die nach 456 : 4
zu berechnenden AVerte der a, b, c, d, welche , wenn

314 — Fixsternparallaxe —

sie für die Epoche berechnet sind , offenbar für viele
Jahre vor und nach derselben brauchbar bleiben. Die
für ein bestimmtes Jahr auf Grund der Katalog-e be-
rechnete Ephemeride hat dagegen für eine kleinere
Eeihe von sog. Zeitsternen den entsprechenden mittlem
Ort, und z. B. für jeden 10. Tag den scheinbaren Ort
zu geben, — ferner zu Gunsten der Reduktion anderer
Sterne, z. B. ebenfalls für jeden 10. Tag, die nach
456 : 3 zu berechnenden Werte der mit der Zeit ver-
änderlichen, dagegen für alle Sterne gleichen Grössen
A, B, C, D.

LV. Die Doppelsterne.

459 [293, 619—20]. «ie soff. FLvstern-

trabanten. Die altern Astronomen, ja noch Cassini
und Bradley, kannten nur sehr wenige einander ganz
nahe stehende oder sog. Doppelsterne, wie z.B. c;ürs8e
majoris, yYirginis, a Geminorum, etc., und wandten
auch diesen keine besondere Aufmerksamkeit zu, da
sie dieselben nur als optische , d. h. nur für unsern
Standpunkt scheinbar nahe Sterne, nicht als physische,
d. h. wirklich Zusammengehörige betrachteten. Lambert
hatte danuAvohlum 1760 Aviederholt versucht, richtigere
Begriffe über binäre Sj^steme zu verbreiten, und un-
gefähr gleichzeitig wies Michell auf die Unwahr-
scheinlichkeit hin, dass die zahlreichen Sternsysteme
überhaupt nur auf zufälliger Gruppierung und nicht
auf innerer Beziehung beruhen; aber dennoch wurde
Christian Mayer von Vielen verlacht, als er ernstlich
nach solchen Doppelsternen suchte, und die bestimmte
Ansicht aussprach, dass die betreffenden Sterne, von
denen er nach und nach etwa 80 Paare aufgefunden

— Doppelsterne — 315

liatte, wirklich verbunden, gewissermassen die Einen
Begleiter oder Trabanten der Andern sein möcliten.

460 [294, 621]. Die Arbeiten Heriüehels.

Bald nach Christian Mayer unternahm Herschel mit
kräftigern optischen Mitteln und ungewöhnlicher Ener-
gie ebenfalls systematisch nach doppelten und viel-
fachen Sternen zu suchen, und hatte binnen wenigen
Jahren die für optische Doppelsterne ganz unwahr-
scheinliche Anzahl von 97 Paaren gefunden, welche er
nur mit den mächtigsten Instrumenten trennen konnte
(erste Klasse), — 102, welche zwar eine merkliche,
aber nicht über 5'' gehende Distanz besassen (zweite
Klasse), — 114 von 5 bis 15'S 132 von 15 bis 30", 137
von 30 bis 60" (dritte bis fünfte Klasse), — und noch
121, welche wenigstens nicht weiter als 2' voneinander
entfernt waren (sechste Klasse). Dabei hatte er die
glückliche Idee, je den schwächern Stern durch Polar-
koordinaten auf den hellem und dessen Deklinations-
kreis zu beziehen, — konnte so frühere und spätere
Positionen miteinander vergleichen, — und dadurch
mit Bestimmtheit für eine nicht geringe Zahl von
Doppelsternen wenigstens einen Teil der scheinbaren
Bahn des Einen um den Andern festlegen, somit die
wirkliche Existenz von physischen Doppelsteruen nach-
weisen.

461 [294, 622, 29]. Oie neuem Arbeiten.
Was Herschel begonnen hatte, wurde durch seinen
Sohn, durch die South, Secchi, Dembowsky, etc. uner-
müdet fortgesetzt, vor Allem aber durch Wilh. Struve,
<ler nicht weniger als 2640 Systeme doppelter und
vielfacher, höchstens 32" distanter Sterne katalogisierte
und vermass, von denen wenigstens 4"o schon ihm
sichere Positionsveränderungen zeigten, obschon die
Hauptfrüchte des von ihm und seinem Sohn Otto Struve

316 — Doppelsterne —

gesammelten Materials erst spätem Geschlechtern zu
gute kommen Averden. — In der neusten Zeit haben
ferner, von einer Untersuchung von Bessel über die
Eigenbewegungen ausgehend, Peters, Auwers, etc.^
nachgewiesen, dass es mutmasslich auch Sonnensysteme
giebt, wo zwar nur Eine Sonne herrscht, dagegen.
dunkle Begleiter von relativ so bedeutender Grösse-
vorkommen, dass diese Sonne eine für uns noch merk-
liche Bewegung um den Schwerpunkt des ganzen
Systemes besitzt, — ja Clark fand bei Sirius wirklich
einen solchen Begleiter auf.

463 [624—28]. »ie Baliiien der Ifoppel-
Sterne. Herrscht in einem Doppelsternsysteme das
Gravitationsgesetz, so beschreibt eigentlich jeder der
Sterne eine Ellipse um den gemeinschaftlichen Schwer-
punkt; aber, wenn man nur die relative Bewegung
ins Auge fasst, so scheint auch der Eine eine Ellipse
um den Andern zu beschreiben, und es sind durch
Savary, Encke u. A. geometrische Methoden aufgestellt
worden, nach denen man aus einigen Positionsbestim-
mungen diese relativen Bahnen wirklich berechnen»
und aus der Übereinstimmung zwischen Beobachtung
und Rechnung die Piichtigkeit des fundamentalem
Grundsatzes nachweisen kann. So z. B. bewegt sich
nach Villarceaus Rechnung der Begleiter von i^Herculis
in etwas mehr als 36 Jahren um seinen Hauptstern in
einer Ellipse, deren halbe grosse Axe uns unter dem
Winkel von 1",2d erscheint, und welche die Excentri-
cität 0,45 hat, ja es hat dieser Stern schon mehr als
einen Umlauf vor den Augen seiner terrestrischen.
Beobachter vollendet.

— Sternhaufen und Nebel — 317

LVI. Die Sternhaufen und Nebel.

463 [295—96, 630-34]. öie ersten Ent-
deekung^en. Als Galilei sein Fernrohr auf die schon
den Alten unter dem Namen der Pleyaden bekannte
Sterng-ruppe im Stier richtete, überzeugte er sich so-
fort von der grossen Zahl hier zusammengedrängter
Sterne, und bald fand er auch an andern Stellen des
Himmels, in der sog. Krippe im Krebs, am Schwert-
griffe des Perseus, etc. mehrere ähnliche, zum Teil
noch viel dichtere Sternhaufen. — Ungefähr gleich-
zeitig entdeckte Marius in der Andromeda eine neblichte
Stelle, welche ihm den Eindruck eines durch ein Horn-
blättchen gesehenen Lichtes machte, und ihre Position
gegen die umliegenden Sterne nicht veränderte, —
und bald darauf wurde ein noch viel glänzenderer
Himmelsnebel unter dem Gürtel des Orion entdeckt,
den Cysat 1619 zu Vergleichungen mit dem damals
sichtbaren Kometen benutzte, und mit dem sich später
Huygens ernstlich befasste. An sie reihten sich die
gegen den Südpol hin liegenden, später von Lacaille
einlässlich beschriebenen sog. Magelhaens-Wolken, —
ein 1665 von Ihle im Schützen aufgefundener Nebel,
— ein 1714 von Halley im Herkules gesehener Über-
gang von Sternhaufen zu Nebel, — und einige wenige
andere verwandte Objekte an.

464 [297, 636]. öie Arbeiten von Hessier
und Herschel. Nach der Mitte des 18. Jahrhunderts
wurde Messier durch die oft nicht geringe Schwierig-
keit, einen Kometen mit Sicherheit von einem Nebel
zu unterscheiden, veranlasst einen ersten Katalog von
Nebeln und Sterngruppen anzulegen, der bereits 103
Nummern enthielt. Bald folgte dann W. Herschel mit

318 — Sternhaufen und Nebel —

einem Verzeichnisse von 1000 und zwei Supplementen
von zusammen 1600 Nummern, und teilte zug-leich
diese merkwürdigen Objekte in 8 Klassen ein: Helle,
lichtschwache, und sehr lichtschwache Nebel, — plane-
tarische Nebel und Nebelsterne, — sehr grosse Nebel,
— sehr dicht gedrängte, zerstreute und grob zer-
streute Sternhaufen.

465 [636]. Mie iieui^ten Arbeiten. Seit W.
Herschel hat zunächst sein Sohn John diese Arbeiten
weiter geführt , dieselben während längerem Auf-
enthalte am Cap auch auf den, in dieser Beziehung so
reichen, südlichen Himmel ausgedehnt, und 1864 einen
Generalkatalog von 5079 Nummern gegeben, dem 1888
eine 7840 Objekte enthaltende Neuausgabe durch
Dreyer gefolgt ist. Neben ihm beschäftigten sich mit
den Nebeln hauptsächlich Lamont, 0. Struve, Lasseil,
Secchi, etc., vor Allem aber d'Arrest, der die Kata-
logisierung fortsetzte, und Lord Eosse, der mit seinem
mächtigen Teleskope Einzelne im Detail studierte und
darstellte.

466 [635]. liie veräuderlielien 3lietoel.
Da man leider noch keinen sichern Maßstab für die
jeweilige Durchsichtigkeit der Luft hat, so ist es fast
unmöglich, kleine Schwankungen in der Helligkeit der
Nebel zu konstatieren; aber dennoch ist es zum min-
desten sehr wahrscheinlich, dass einzelne Nebel, wie
namentlich ein 1852 von Hind im Stier Entdeckter, in
ähnlicher Weise wie einzelne Sterne veränderlich, also
kaum ferne Sternhaufen, sondern eher in Bildung be-
griffene Einzelsterne sind.

465- [635]. «ie Woppeliietoel. Während W.
Herschel der Gedanke an physische Doppelnebel noch
zu ferne lag, sprach ihn schon sein Sohn unzweideutig
aus , und seither fand d'Arrest über ein Hundert

— Sternhaufen und Nebel — 319

Doppelnebel auf, von denen eine grosse Anzahl physisch
verbunden sein dürfte. Bei einzelnen dieser Doppel-
nebel hat man auch in der That schon Andeutungen
relativer Bewegung gefunden, und man wird vielleicht
in späteren Jahrhunderten die Bahnen von Doppel-
nebeln ebenso wie jetzt die der Doppelsterue berechnen.

46& [637-40]. Wie .^aliir und .^usstroiiuiiff

der Ntf ruh au IV II. Schon die Herschel kannten bei
650 Sternhaufen, und es ist daher, — auch abgesehen
davon , dass Einzelne durch ihre Abrundung nach

Aussen und durch ihr
Verdichten nach Innen
entschieden den Charak-
ter eines Ganzen an sich
tragen , — kaum anzu-
nehmen , dass sie zu-
fällige Anhäufungen von
Sternen sind , sondern

Sternhaufen im Herkules. , •, i ,

man hat sie wohl als
organisierte Systeme zu betrachten, über deren innere
Anordnungs- und Bewegungsverhältnisse die Folge
der Beobachtungen, wenn auch erst nach Jahrhunderten,
Bestimmteres lehren wird. Interessant ist es, dass die
grosse Mehrzahl der Sternhaufen in der Milchstrasse
und ihrer nächsten Umgebung zu Hause scheint und
sich dadurch, noch mehr aber durch die wichtige That-
sache, dass ihr Spektrum ausnahmslos kontinuierlich
ist, definitiv von den eigentlichen Nebeln (469) trennt.

469 [637-40]. Mie \ainr uiad .%us§»treHaiig:
der Xebel. Die sog. Nebel, von denen schon die
Herschel bei 3400 kannten, finden sich nicht wie die
Sternhaufen zunächst nur bei der Milchstrasse, sondern
im Gegenteil sporadisch am ganzen Himmel, ja gegen

320

— Sternhaufen und Nebel —

die Pole der Milclistrasse hin fast häufiger als sonst.
Dabei sind sie, wie schon des altern Herschels Ein-
teilung (464) andeutet , sehr mannigfaltiger Art. Die
meisten derselben haben nur geringe scheinbare Aus-
dehnung von höchstens einigen Minuten und oft regel-
mässig kreisrunde, elliptische, ringförmige oder, wie
der nebenstehende, von Lord Eosse in den Jagdhunden
Entdeckte, spiralige Gestalt; es giebt darunter sog.
planetarische Nebel, die auf ihrer ganzen Fläche ein
gleichmässiges Licht zeigen und solche, deren Licht
sich mehr oder weniger zu einem Kerne verdichtet.

Andere erstrecken sich,
wie namentlich aus den

photographischen Auf-
nahmen der Neuzeit her-
vorgeht, teils in Gestalt
unregelmässiger Conglo-
merate, wie der Orion-
nebel und die beiden Cap-
wolken, teils als schmale Streifen über weite Eäume.
Diese grosse Mannigfaltigkeit der Nebel macht es
wahrscheinlich, dass auch ihre Natur sehr verschieden
ist; im Ganzen aber kann man nach den Ergebnissen
der Spektraluntersuchungen annehmen, dass ein grosser
Teil der Nebelflecke in Wirklichkeit wegen ihres con-
tinuierlichen Spektrums Sternhaufen sind , die nur
wegen ihrer grossen Entfernung für unsere optischen
Mittel unauflösbar bleiben, dass dagegen ein kleinerer
Teil, welcher ein Spektrum von hellen Linien zeigt,
wie der Orionnebel und die meisten planetarischen,
unzweifelhaft aus glühenden Gasmassen besteht, welche
wie schon W. Herschel dachte, werdende "Welten, viel-
leicht aber auch fertige Gebilde sind, für welche wir
noch kein Analogon besitzen.

— Sternhaufen und Nebel — 321

470 [298]. Oie Eiitj^tehung: des Welt-
i;:ebäade8. über Zweck, Plan und Schöjjfung des
Weltgebäudes, oder auch nur unsers Sonnensysteines
wissen wir eigentlich Nichts; doch liegt wenigstens
für Letzteres (vergleiche 430) die Idee eines gemein-
schaftlichen Ursprungs nahe: Denkt man sich mit
Laplace, es habe sich der rotierende, aus einer glü-
henden Gasmasse bestehende Sonnenball ursprünglich
über die ganze Planetenregion ausgedehnt, so konnte
sich infolge der Centrifugalkraft von der equatorealen
Zone eine Masse ablösen, welche sofort Kugelgestalt
oder Eingform annahm und als Planet oder Asteroiden-
ring um die Sonne kreiste. Eine solche Kugel er-
hielt dann teils die dem Mittelpunkte eigentümliche
Rotationsgeschwindigkeit nunmehr zur Revolutions-
gescliAvindigkeit, — teils nahm sie, infolge des Ge-
schwindigkeitsüberschusses der äussern Teile eine
Rotation in gleichem Sinne an, die bei Kontraktion
durch Abkühlung (geAvissermassen durch Umsetzen
der Entfernung in Winkelgeschwindigkeit) gesteigert
werden, und zur Bildung von Monden oder Ringen
führen konnte. Analog kühlte sich die übrig bleibende
Sonnenmasse langsam ab, rotierte entsprechend immer
schneller, bis eine neue Ablösung provoziert wurde,
etc. — Möglich, dass sich ähnliche Bildungsweisen in
den übrigen Sonnensystemen , ja im ganzen Welt-
gebäude geltend machten, und zum Teil noch statt haben.

471 [299]. l>le Org^anisation des Welt-
S^ebäudes. Nach den Ideen und Forschungen der
Kant, Lambert, Herschel, etc. haben wir etwa anzu-
nehmen, dass eine Reihe dunkler Körper (Planeten),
von denen Einzelne noch untergeordnete Begleiter
(Monde, Ringe) besitzen. Andere unter sich zu einem
Riugsysteme verbunden sind (Asteroiden), — mit ein

Wolf, Taschenbuch 21

322 — Sternliaufen und Nebel —

oder mehreren Selbstleuchtern (Sonnen, Doppelsterne)
ein System von organischem Zusammenhange (Sonnen-
system) bilden. Viele Tausende solcher Sonnensysteme
sind zu einem Systeme höherer Ordnung (Sternhaufen)
vereinigt, — Myriaden solcher Sternhaufen neuerdings
zu einem höhern System (Milchstrasse), wobei die
einzelnen Elemente sich, wie die Planeten im Sonnen-
systeme, gegen eine Ebene (die galaktische Ebene) an-
häufen mögen, — und solcher Systeme giebt es wieder
zahllose, die Teile eines grössern Ganzen sind, und so
fort bis ins Unendliche. Alle diese Systeme sind zu-
nächst ursprünglichen Gesetzen, voraus dem Gravi-
tationsgesetze, unterworfen, — doch ist auch ein neues
schöpferisches Eingreifen nicht ungedenkbar.

473 [300j. Die Hauer des Weltgrebäudes.
Nach den Ergebnissen der Mechanik des Himmels ist
im Weltgebäude Alles von einer weisen Hand so ge-
ordnet, dass zunächst das Princip der Erhaltung vor-
herrscht; aber wir beobachten auch Lebenserschei-
nungen, und wo wir Leben sehen, finden wir nicht
minder Tod und Wiedergeburt, und so wird mut-
masslich dennoch nach Tausenden von Jahrtausenden
unsere jetzige Welt absterben, um einer neuen Platz
zu machen. Wann dies statt haben und was folgen
wird, wissen wir allerdings ebensowenig, als wann
und wie unser gegenwärtige Wohnplatz geschaffen
wurde, — wissen wir ja kaum, wohin unser Schiff
heute treibt , geschweige , was die Räume bergen,
denen wir morgen zusteuern : aber wir dürfen dennoch
getrost auf dem unbekannten Weltmeere fahren, denn
wir besitzen ein, wenn nicht aller Anschein trügt,
noch ganz solides Schiff und vor Allem einen erprobteu
Fährmann, dem wir uns ruhig anvertrauen dürfen.

Einleitung zu den Tafeln.

NB. Die eingeklammerten Zahlen bezeichnen die einschlägigen
Nummern des Textes.

I. Eeditktionstafel für Masse und Gewichte. — Die
angegebenen Zahlen sind grossenteils Hübners
geographisch-statistischen Tabellen für 1894 ent-
nommen.
IL Arithmetische Tafeln.

a) Quadrattafel. — Die roten Ziffern gehören
zu allen Kolumnen, sind jedoch für jeden
Punkt um eine Einheit zu vermehren.
h) Tafel der Potenzen, Vielfachen und Reci-

proken.
c) Mortalitätstafel und Hülfstafel für Zinses-
zinsrechnung. — Die Mortalitätstafel (40)
ist diejenige der 23 deutschen Lebens Ver-
sicherungsgesellschaften, für das Alter von
0—20* interpoliert nach der preussischen
Volkstafel, für das Alter 87—99 nach der
Tafel der 17 englischen Gesellschaften. Sie
giebt z. B. an , dass von den das 40. Jahr
Erlebenden nahezu die Hälfte das Alter
67" erreicht, also ein Vierziger noch 27
Jahre leben werde. — In der Zinseszins-
tafel (27) bedeutet 2* den Wert , welchen
eine während n Jahren jährlich einzu-
zahlende oder als Rente auszubezahlende

324 — Einleitung zu den Tafeln —

Einheit schliesslich rejiräsentiert, ^' aber
den gegenwärtigen Wert, welche eine von
nun an während n Jahren jährlich zu be-
zahlende oder als Rente zu beziehende
Einheit repräsentiert. So sind bei einem
Zinsfuss von 4 » o z- B- 1000 Fr. nach 20
Jahren 2191 Fr. wert, — 1000 nach 20
Jahren zahlbare dagegen jetzt nur 456, —
für jährlich eingezahlte 1000 Fr. hat man
nach 20 Jahren 30969 Fr. gutzuschreiben,
und für eine , während noch 20 Jahren
fällige Rente von 1000 Fr. könnte man
jetzt 13590 Fr. bezahlen.
d) Tafel der Binomialkoefficienten (41—44).
Hülfstafel zur Fehlerrechnung (208). Letz-
tere giebt mit dem Argumente v den Wert
der Fehlerfunktion 9 (v) , d. h. die Wahr-
scheinlichkeit für das Auftreten eines
Fehlers von der Grösse v in einer Beob-
achtungsreihe vom Genauigkeitsmass h = 1,
ferner mit dem Argumente t die Wahr-
scheinlichkeit w' dafür, dass in einer Beob-
achtungsreihe vom Genauigkeitsmass h ein

Fehler die Grenze c = r- nicht überschreite,

f
endlich mit dem Argument ^ die Wahr-
scheinlichkeit w" dafür, dass in einer
Beobachtungsreihe vom wahrscheinlichen
Fehler f ein Fehler innerhalb der Grenze
i" liege. Da die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Fehler zwischen gewissen Grenzen
liege, übereinstimmt mit dem Verhältnis
der Anzahl der zwischen diesen Grenzen

~ Einleitung- zu den Tafeln — 325

liegenden Fehler zur Anzahl aller Fehler,
so enthält diese Tafel auch die Mittel, zu
bestimmen, wie viele Fehler bei einer ge-
gebenen Beobachtungsreihe je zwischen
gewissen Grenzen liegen. Man hat z. B.
bei 1000 Beobachtungen

für {" = f -^^ = 1 w" = 0,5000

= 2f =2 = 0,8227

= 3f =3 = 0,9570

somit liegen zwischen 0 u. f 500 Fehler

f u. 2f 323 „

2f' u. 3f 134 „

III. Logarithmentafeln.

a) Vierstellige gemeine Logarithmen (14, 49).

b) lOstellige natürliche und gemeine Loga-
rithmen (48); mit Hülfstafeln zur Be-
rechnung einzelner anderer solcher Loga-
rithmen. Da nämlich jede Zahl sich auf
die Form bringen lässt:

n=10J^-A(l+a,.10-')(l + a,-10-")(l+a3.10-')

worin p, irgend eine ganze positive oder
negative Zahl , A eine ebenfalls ganze
Zahl, die hier immer kleiner als 100, also
höchstens zweistellig angenommen ist,
aj a.2 . . . irgend eine der Zahlen 1 — 9 be-
deutet, so lässt sich der natürliche oder
gemeine Logarithmus derselben durch ein-
fache Addition der Tabellenwerte finden.

IV. Trigonometrische Tafeln.

a) Reduktionstafel für Bogen und Zeit. Tafel
der Boe-enläneren.

326 — Einleitung zu den Tafeln —

h) Sehnentafel. Trigonometrische Zahlen und
hyperbolische Funktionen (147).

c) Vierstellige Logarithmen der Sinus.

d) Vierstellige Logarithmen der Tangens.
V. Physikalische Tafeln.

a) Tafel der Atomgewichte, Brechungsexpo-
nenten, Ausdehnungskoefiicienten etc.
h) Tafel für Wasserdampf (305).
c) Hypsometrische Tafel (273, 75).
VI. Bessel'sche Kefraktionstafel (287, 332).

Für z' = 62" 0', den auf 0" reduzierten Baro-
meterstand 725""" und die Lufttemperatur 22 »C
giebt sie z. B.

r = 108", 2(1 — 0,035 — 0,043) = 99^^8
und ist in dieser Abkürzung etwa bis auf 75 ^C.
Zenitdistanz brauchbar.
VII. Geodätische Tafeln.

a) Tafel für die Gestalt der Erde (377) und
Bodes Tafel für Auf- und Untergang. —
Erstere giebt auf Grund der Bessel'schen
Erddimensionen für die Polhöhe cp ihren
Überschuss über die geocentrische Breite,
ferner die Logarithmen der Entfernung p
vom Centrum und der Normale N bis zur
Umdrehungsaxe , endlich die Länge eines
Grades im Meridian und Parallel.
h) Ortstafel.
VIII. Sonnen- und Mondtafeln.

a) Deklination, Kadius und wahre Länge der
Sonne , Länge des aufsteigenden Mond-
knotens (394).
h) Zeittafel (416). — Man findet z. B. die
Sternzeit im mittlem Mittag von Zürich
für 1896, Februar 18. wie folgt:

Einleitung- zu den Tafeln — 327

Die Tafel giebt für Febr. 15. :

;21"

41'" 47^3

N,=7 N, = 65

Korrektion für 3 - 1 = 2 Tage +

7 53,1

. 1896

+

2 9,5

„ „ Nutation

(N, -f N, = 72)

+

0,5

Abzug für Zürich _

—

5,6

21 51 44,8
Die zweite Tafel enthält ausser der Zeit-
gleichung ein bequemes Mittel, die zwischen
zwei Daten verflossene Anzahl von Tagen
zu berechnen. vSo ist z. B.
1865 VII 3 = 42003 + 181 + 3 = 42187'
1789 Y 17 :^ 14245 + 135 4- 2 = 14382
1865 VII 3 - 1789 V 17 = 27805

c) Tafel der Sonnenflecken und Variationen
(422-23).

d) Spektraltafel.

IX. Planeten- und Kometentafel.

a) Planetentafel.

b) Kometentafel.
X. Sterntafeln.

a) Verzeichnis der Sternbilder und Stern-
namen. Sterntafel. Die Sterntafel giebt
nach dem Berliner Jahrbuche für den An-
fang des Jahres 1900 die genäherten Orte
und jährlichen Variationen von 148 Sternen
zwischen — 30 » und + 80 « Deklination
und 6 Polstern^n in beiden Kulminationen.
Die Kolumne T enthält für die Polhöhe
von Zürich (47" 22' 40") die genäherten
Zeiten, zu welchen die zAvischen —30° und

328 — Einleitung- zu den Tafeln —

+ 60*^ Deklination liegenden der obigen
Sterne den Vertikal des Polarsterns pas-
sieren und z ist die genäherte Meridian-
zenitdistanz, welche auch für Einstellungen
im Vertikal des Polarsterns (343) ver-
wendbar ist.

Die Hülfstafel für die Mayer'sche Formel
(342) enthält ebenfalls für die Polhöhe von
Zürich die bekannten Faktoren der Instru-
mentalfehler für die Reduktion von Durch-
g-angsbeobachtungen im Meridiane, bei den
Polsternen je für beide Kulminationen.
h) Verzeichnis veränderlicher und neuer Sterne
(449-54).

c) Verzeichnis von Doppelstcrnen (459—62).

d) Verzeichnis von Nebeln und Sternhaufen,
(neb. = Nebel, cum. = Sternhaufen). (Nach
Dreyers New general catalogue).

XI. Kalendariographische Tafeln.

a) Immerwährender gregorianischer Kalender

(360, 62).
h) Epakte, Sonntagsbuchstabe und Ostern (362).
c) Römischer und französischer Kalender (360).
XII. Statistische, historische und litterarische Tafeln.

a) Statistische Tafel. Für die Schweiz wurden
die neuesten Angaben des schweizerischen
statistischen Bureaus benutzt, — im Übrigen
die 1894er Ausgabe der Hübner'schen Ta-
bellen.

b) Historisch-litterarische Tafel.

1.

Reduktionstafel für Masse und Gewichte.

329

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12

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4641

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332 IIb. Tafel der Potenzen, Reciproken und Vielfachen.

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1

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1,000

1,0000

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2

8

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3

27

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4

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6

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1000

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18

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1256,6

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21

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24

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33

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34

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5.4U

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35

42875

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6,000

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38

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64000

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6;366

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.5541.8

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49

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7.000

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50

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7854,0

7.958

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Hb. Tafel der Potenzen, Reclproken und Vielfachen. 333

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8,12

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52

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3.733

0,0192

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0,121

53

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54

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58

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62

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63

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8;485

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80

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0,0104

603,19

28953

15,28

0,065

97

912673

9,849

4.595

0,0103

609.47

29559

15.44

0.065

98

941192

9.899

4.610

0.0102

615,75

30172

15.60

0,064

99

970299

9,950

4 626

0,0101

622,04

30791

15,76

0,063

100

1000000

10,000

4 642

0,0100

628,32

31416

15.92

0063

334 II c. Mortalitäts-
tafel (40).

Hülfstafel für
Zinseszinsrechnung (27).

Alter

Lebende

Alt^r

Lebenrle

a

1,03"

'^'T

1,04^

2^

O'-'

100000

50-'^

43109

1

1,0300

1,0400

_

1

78634

51

42386

2

1.0609

2.0909

1,0816

2.1216

2

72815

52

41568

3

1.0927

3.1836

1,1249

3,2465

3

69976

53

40711

4

1,1255

4,3091

1.1699

4.4163

4

68160

54

39816

5

1,1593

5 4684

1,2167

5.6330

5

66885

55

38S81

6

1,1941

6.6625

1.2653

6,8983

6

65939

56

37900

7

1,2299

7,8923

1.3159

8,2142

7

65178

57

36890

8

1,2668

9,1591

1,3086

9.5828

8

64571

58

35833

9

1,3048

10.4639

1,4233

li;0061

9

64091

59

34732

10

1.3439

11,8078

1,4802

12,4864

10

63696

60

33590

12

1.4258

14.6178

1.6010

15,6268

11

63358

61

32403

14

1,5126

17.5989

1.7317

190236

12

63060

62

31178

16

1.6047

20:7616

1,8730

22,6975

13

62786

03

29918

18

1.7024

24.1169

2.0258

26,6712

14

62523

64

28626

20

1,8061

27,6765

2,1911

30,9692

15

62241

65

27306

30

2.4273

49,0027

3,2434

58.3283

16

61934

66

25956

40

3;2620

77.6633

4,8010

98.8265

17

61583

67

24572

50

4.3839

116,1808

7.1067

158:7738

18

61166

68

23157

60

5,8916

167,9450

10.5196

247,5103

19

60664

69

21715

70

7,9178

237,5119

15,5716

378,8621

20

60098

70

20254

80

10,6409

331,0039

23,0498

573,2948

21

59546

71

18780

90

14,3005

456,0494

34,1193

861,1027

22

59000
58467

72
73

17305
15841

100

19,2186

625,5064

50.5049

1287,1286

23

24

25

57950
57448

74
75

14395
12976

a

1,03-'^

r

1,04-*^

2"

26

56958

76

11595

1

0,97087

0,96154

_

27

56474

77

10267

2

94260

1.9135

92456

1.8861

28

55995

78

9003

3

91514

2.8286

88900

2,7751

29

55518

79

7812

4

88849

3,7171

85480

3.6299

30

55037

80

6701

5

86201

4.5797

82193

4,4518

31

54551

81

5661

6

83748

5.4172

79031

5,2421

32

54060

82

4700

7

81309

6.2303

75992

6,0021

33

53560

83

3833

8

78941

7.0197

73069

6.7327

34

53055

84

3073

9

76642

7.7861

70259

7,^:353

35

52540

85

2424

10

74409

8,5302

67556

8,1109

3ß

52016

86

1886

12

70138

9.9540

62460

9,3851

37

51481

87

1448

14

66112

11,2961

57748

10,5631

38

50937

88

1098

16

62317

12.5611

53391

11,6523

39

50379

89

807

18

58739

13 7535

49363

12,6503

40

49808

90

572

20

55368

14.8775

45639

13,5903

41

49222

91

386

30

41199

19,6004

30832

17^2920

42

48618

92

247

40

30656

23.1148

20829

19.7928

43

47996

93

147

50

22811

25.7298

14071

21,4822

44

47357

94

80

60

16973

27,6756

09506

22.6235

45

46701

95

39

70

12630

29,1234

06422

23,3945

46

46029

96

16

80

09398

30,2008

04338

23.9154

47

45344

97

6

90

06993

31.0024

02931

24.2673

48

44642

98

2

100

05203

31 5989

01980

24,5050

49

43918

99 .

1

II d. Tafel der Binomial-
koefficienten (41—44).

Hüifstafel zur Fehler-
rechnung (208).

335

-(^)l(ä);-(4y(5)

cp(v)
0 ! 5

0

0.00

0.00000

0.00000

02

00980

00647

04

00920

01254

06

02820

01824

08

03n80

02355

10

04500

02850

12

05280

03309

14

06020

03732

16

06720

04122

18

07380

04477

0.20

08000

04800

22

08580

05091

24

09120

05350

26

09620

05580

28

10080

05779

30

10500

05950

32

10880

060!i3

34

11220

06208

36

11520

06298

38

11780

06361

0,40

12000

06400

42

12180

06415

44

12320

06406

46

12420

06376

48

12480

06323

50

12500

06250

52

12480

06157

54

12420

06044 1

56

12320

05914

58

12180

05765

0.60

12000

05600

62

11780

05419

64

11520

05222

60

11220

05012

68

10880

04787

70

10500

04Ö50

72

10080

04301

74

09620

04040

76

09120

03770

78

08580

03489

0.80

08000

03200

82

07380

02903

84

06720

02598

86

06020

02288

88

05280

01971

90

04500

01650

92

03680

01325

94

02820

00996

96

01920

00666

98

00980

00333

l.flO

0,00000

0,00000

0,0000 ,0.000

0048
0093
0134
0172
0207
0238
0267
0293
0316
0336
0354
0309
0382
0393
0402
0408
0413
0416
0417
0416
0414
0410
0405
0398
0391
0382
0372
0361
0349
0336
0322
0308
0293
0278
0262
0245
0228
0211
0194
0176
0158
0140
0122
0104
0087
0069
0051
0034
0017
0,0000

004
007
Oll
013
016
018
021
022
024
026
027
0'28
029
029
030
030
030
030
030
030
029
029
029
028
027
027
026
025
024
023
022
021
020
018
017
016
015
014
012
011
010
009
008
007
005
004
003
002
001
0,000

0.5642
5586
5421
5156
4808
4394
3936
3456
2975
2510
2076
1683
1337
1041
0795
0595
0436
0314
0221
0153
0103
0069
0045
0028
0018
0011
0007
0004
0002
0001

5628
5517
5300
4992
4608
4169
8698
3215
2739
2288
1873
1503
1183
0912
0689
0511
0371
0264
0184
0126
0084
0055
0036
0023
0014
0008
0005
0003
0002
0001

w

0,0000
1125
2227
3286
4284
5205
6039
6778
7421
7969
8427
8802
9103
9340
9523
9661
9763
9838
9889
9928

0564
1680
2763
3794
4755
5633
6420
7112
7707
8209
8624
8961
9229
9438
9597
9716
9804
9867
9911
9942

0.0000
0538
1073
1004
2127
2641
3143
3632
4105
4562
5000
5419
5817
6194
6550
6883
7195
7485
7753
8000
8227
8433
8622
8792
8945
9082
9205
9314
9410
9495
9570
9635
9691
9740
9782
9818
9848
9874
9896
9915
9930
9943
9954
9963
9970
9976
9981
9985
9988
9991

0269
0806
1339
1866
2385
2893
3389
3870
4336
4783
5212
5620
6008
6375
6719
j 7042
i 7342
7621
1 7879
8116
8332
8530
8709
8870
9010
9146
9261
9364
9454
9534
9603
9664
9716
9761
9800
9833
9861
9885
9905
9922
9936
9948

9973
9978

9992

336

lila. Vierstellige gemeine Logarithmen.

n

0

1

2

D

3

4

5

6

D

7

8

9

10

0000

0043

0086

4-2

0128

0170

0212

0253

41

0294

0334 1 0374

11

0414

0453

0492

o'.J

0531

0569

0607

0645

37

0682

0719 '0755

12

0792

0828

0864

.■Sf,

0899

0934

0969

1004

34

1038

1072^1106

13

1139

1173

1206

3:-.

1239

1271

1303

1335

32

1367

1399 ! 1430

14

1461

1492

1523

'

1553

1584

1614

1644

29

1673

1703

1732

15

1761

1790

1818

2'.)

1847

1875

1903

1931

28

1959

1987

2014

16

2041

2068

2095

27

2122

2148

2175

2201

26

2227

2253

2279

17

2304

2330

2355

2')

2380

2405

2430

2455

25

2480

2504 1 2529

18

2553

2577

2601

24

2625

2648

2672

2695

23

2718

2742 1 2765

19

2788

2810

2833

2o

2856

2878

2900

2923

22

2945

2967

2989

20

3010

3032

3054

21

3075

3096

3118

3139

21

3160

3181

3201

21

3222

3243

3263

21

3284

3304

3324

3345

20

3365

3385

3404

22

3424

3444

3464

V}

3483

3502

3522

3541

19

3560

3579

3598

23

3617

3636

3655

Vj

3674

3692

3711

3729

18

3747

3766 i 3784

24

3802

3820

3838

18

3856

3874

3892

3909

18

3P27

3945

3962

25

3979

3997

4014

17

4031

4048

4065

4082

17

4099

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7396

Ilia. Vierstellige gemeine Logarithmen.

337

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4

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4

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4

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4

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4

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4

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4

9943

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9965
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9969

9974

9978

9983

4

9987
22

9991

9996

838 III b. Zehnstellige natürliche und gemeine Logarithmen.

Natürliche Logarithmen

Gemeine Logarithmen

a

Lna i a

Ln(l+a.lO~"'

a 1 Lg-a : a;i>s(i+a.i(r")

1

0,00000 00000

n = 2

1 0,00000 00000

n = 2

2

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1

0,00995 03309

2 0,30102 99957! 1

0.00432 13738

3

1,09861 228871 2

1980 26273 {

310,47712 12547
4 0,60205 99913

2 0860 01718

4

1,38629 436111 3

2955 88022

3 1283 72247

5

1,60943 79124

4

3922 07132

5 '0,69897 00043

4

1703 33393

6

1,79175 94692

5

4879 01642

6 :0,77815 12504

5

2118 92991

7

1,94591 01491

6

5826 89081;

7 ! 0,84509 80400

6

2530 58653

8

2.07944 15417

7

6765 86485 i

8 0,r0308 99870

7

2938 37777

9

2;i9722 45773

8

7696 10411

9,0,95424 25094

8

3342 37555

10

2,30258 50930

9

8617 76962

10 1,00000 00000

9

3742 64979

11

2,39789 52728

1

n = 3

0,00099 95003

11

1.04139 26852

1

n = 3

0,00043 40775

12

2,48490 66498

2

199 80027

12

1,07918 12460

2

■ 086 77215

13

2.56494 93575

3

299 55090

13

1,11394 33523

3

130 09330

14

2,63905 73296

4

399 20213

14

1,14612 80357

4

173 37128

15

2,70805 02011

5

49^ 75415

15

1,17609 12591

5

216 60618

16

2,77258 87222

6

598 20717

16

1,20411 99827

6

259 79807

17

2,83321 33441

7

697 56137

17

1,23044 89214

7

302 94706

18

2-89037 17579

8

796 81697

18

1,25527 25051

8

346 05321

19

2.94443 89792

9

895 97414

19

1,27875 36010

9

389 11662

20

2;99573 22736

„ = 4

20

1,30102 90957

n = 4

1

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1

0,00004 34273

23

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2

19 99800

23

1,30172 78360

2

08 68502

29

3,36729 58300

3

29 99550

29

1,46239 79979

3

13 02688

31

3,43398 72045

4

39 99200

31

1,49136 16938

4

17 36831

37

3 61091 79126

5

49 98750

37

1,56820 17241

5

21 709.30

41

3,71357 20667

6

59 98201

41

1,61278 38567

6

26 04985

43

3,76120 01157

7

69 97551

43

1,63346 84556

7

30 38998

47

3,85014 76017

8

79 96801

47

1,67209 78579

8

34 72967

53

3,97029 19136

9

89 95952

53

1.72427 58696

9

39 06892

59

4,07753 74439

n = 5

59

1,77085 20116

n = 5

61

4,11087 38642

1

0,00000 99999

61

1.78532 98350

1

0,00000 43429

67

4,20469 261941 2

1 99998

67

l 82607 48027

2

0 86858

71

4,26267 98770! 3

2 99995

71

1,85125 83487

3

1 30287

73

4,29045 94411 4

3 99992

73

1,86332 28601

4

1 73715

79

4,36944 78525

5

4 99988

79

1,89762 70913

5

2 17142

83

4.41884 01)078

6

5 99982

83

l 91907 80924

6

2 60569

89

4,48863 63697

7

6 99976

89

1,94939 00066

7

3 03996

97

4,57471 09785

8

7 99968

97

1,98677 17343

8

3 47422

100

4 60517 01860

9

8 99960

100 2,00000 00000

9

3 90848

a Ln 10

n = 6 .

a Lg e

n ^ 6

1

2,30258 50930

1

0,00000 10000

1

0,43429 44819

1

0.00000 04343

2

460517 01860

2

20000

2

0,86858 896381 2

08686

3

6,90775 52790

3

30000

3

1,30288 34457

3

13029

4

9,21034 03720

4

40000

4

1,73717 79276

4

1 7372

5

11,51292 54650

5

50000

5]2,17147 24095

5

21715

6

13,81551 05580

6

60000

6,2,60576 68914

6

26058

7

16,11809 56510

7

70000

7:3,04006 13733

7

30401

8il8;420G8 07440

8

80000

8 i 3.47435 58552

8 i 34743

9

20,72326 58369

9

90000

9

3,90805 0.3371

9

39086

iVa. Reduktionstafel für Bogen und Zeit.

339

•c

Um-

^ .

~ c

Um-

- d

Um-

Um-

rr>

t

"irehuugen

!s i

-9

drehungen

li

03 .S

drehungen

drehungen

O

oder Tilge

N ■*

O "^

oder Tage

oder Tage

oder Tage

1

15»

0,041667

1

15'

0,000694

31

45

0,021528

1.

15"

0.000011c

2

30

083333

2

30

001389

32

80

022222

2

30

23i

8

45

125000

3

45

002083

33

15

022917

3

45

347

4

60

166667

4

1»

002778

34

30

023611

4

60

463

5

75

208333

5

15

003472

35

45

024306

5

75

57»

ö

90

250000

6

30

004167

36

90

025000

6

90

694

7

105

291667

7

4ö

004861

37

15

025694

7

105

8I0

8

120

333333

8

2o

005556

3^^

30

026389

8

120

926

ü

135

375000

9

15

006250

39

45

027083

9

135

104i

10

150

416667

10

30

006944

40

100

027778

10

150

1 15;

11

165

458333

11

45

007639

41

15

028472

1'

4«

0,0000463

12

180

500000

12

30

008333

42

30

029167

2

8

92ß

13

195

541667

13

15

009028

43

45

029861

3

12

1389

14

210

583333

14

30

009722

44

110

030556

4

16

1852

15

225

625000

15

45

010417

45

15

031250

5

20

23 15

l'i

240

666667

16

40

011111

46

30

031944

6

24

2778

17

255

708333

17

15

011806

47

45

032639

7

28

324i

18

270

750000

18

30

012500

48

120

033333

8
9
10

32
36
40

37O4

4I67

0.000463ü

19

285

791667

19

45

013194

49

15

034028

20

300

833333

20

50

013889

50

30

034722

21

315

875000

21

15

014583

51

45

035417

1"

0107

0,000000«

22

330

916667

22

30

015278

52

130

036111

2

13

Ir,

23

345

958333

23

45

015972

53

15

036806

3

20

23

24

360

1,000000

24

60

016667

54

30

037500

4
5
6

27
33
40

3i

38

4.?

54

62
69

77

25

15

017361

55

45

038194

26

30

018056

56

140

038889

7

47
53
60

27

45

018750

57

15

039583

8

28

70

019444

58

30

040278

9

29

15

020139

59

45

040972

10

67

30

30

020833

60

150

041667

Tafel der Bogenlängen (r = 1).

^

a7l:180

aTl:l80.60

a7l : 180 . 602

a. 180. 60: TT

a. 180. 002:7t

= a Are 1»

— a Are 1'

= a Are 1"

= a : Are 1'

= a .• Are 1"

1

0,0174533

0,00029 08882

0,00000 484814

3437,7468

206264,806

2

0349066

58 17764

0 969627

6875,4935

412529,612

■^

0523599

87 20646

1 45444i

10313,2403

618794,419

4

0698132

116 35528

1 939255

13750.9871

825059,225

5

0872665

145 44410

2 42406h

17188,7338

1031324,031

f)

1047198

174 53293

2 9O8882

20626,4806

1237588.837

V

1221730

203 62175

3 39369ü

24064,2274

1443853,643

8

1396263

232 71057

3 87850»

27501,9742

1650118,450

9

0,1570790

0,00261 79939

0,00004 363323

30939,7209

1856383,256

71 =

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Lg7t =

0.49714 98727 Ln U = 1,14472 98858 U- = 9,86960 44011
1,77245 38509 F'^ = 1,46459 18876 J/tT- = 2,14502 93971

V^-

l:7i: =

0,31830 98862 Vi -.7^ = 0,56418 95835 1:7^^ = 0,10132 11836

180 : 7C =

57,29577 95131 = 57" 17' 44",800 Lg Si 1" = 4,68557 48608

340

IVb. Sehnentafel.

(r = 10000)

175
349
524
698

872

1047
1221
1395
1569
1743

1917
2091
2264
2437
2611

2783
2956
3129
3301
3473

3645
3816
3987
4158
4329

4499
4669
4838
5008
5176

5345
5513
5680
5847
6014

6180
6346
0511
0670

97
110
123
137
152

167
184
201
219
237

256
276
297
319
341

364
387
412
437
463

489
517
545
574
6840 I 603

7004 633
7167 1 664
7330 j 696
7492 ; 728
7054 , 701

47
48
49
50

51
52
53
54
38 55

7815
7975
8135
8294
8452

8610
8767
8924
9080
9235

9389
9543
9696
9848
10000

10151
10301
10450
10598
10746

10893
11039
11184
11328
11472

11614
11756
11896
12036
12175

12313
12450
12586
12722
12856

12989
13121
13252
13383
13512

13640
13767
13893
14018
14142

795
829
865
900
937

974
1012
1051
1090
1130

1171
1212
1254
1296
1340

1384
1428
1474
1520
156Ö

1613
1661
1710
1759

1859
1910
1961
2014
2066

2120
2174
2229
2284
2340

2396
2453
2510
2569
2627

2686
2746
2807
2867
2929

no 1426E

100

101

102
103
104
105
106
107
108
109
110

111
112
113
114
115

116
117
118
119
120

121

122
123
124
125

126
127
128
129
130

131
132
133

14387
14507
14627
14746

14863
14979
15094
15208
15321

15432
15543
15652
15760
15867

15973
16077
16180
16282
16383

16483
16581
16678
16773
16868

16961
17053
17143
17233
17S21

17407
17492
17576
17659
17740

17820
17899
17976
18052
18126

18199
18271
18341

134 I 18410

135 18478

2991
3053
3116
3180
3244

3374
3439
3506
3572

3639
3707
3775
3843
3912

3982
4052
4122
4193
4264

4336
4408
4481
4554
4627
4701
4775
4850
4925
5000

5076
5152
5228
5305
5383

5460
5538
5616
5695
5774

5853
5933
6013
6093
6173

1360
137
138
139
140

141
142
143
144
145

146
147
148
149
150

151
152
153
154
155

156
157
158
159
160

161
162
163
164
105

166
167
168
169
170

171

172
173
174
175

176
177
178
179
180

c

c

4)

Ch

18544

6254

18608

6335

18672

0416

18733

6498

18794

6580

18853

6662

18910

6744

18906

6827

19021

6910

19074

6993

19120

7076

19176

7160

19225

7244

19273

7328

19319

7412

19363

7496

19406

7581

19447

7666

19487

7750

19526

7836

19563

7921

19598

8006

19633

8092

19665

8178

19696

8264^

19726

8350

19754

8436

19780

8522

19805

8608

19829

8695

19851

8781

19871

8868

19890

8955

19908

9042

19924

9128

19938

9215

19951

9302

19963

9390

19973

9477

19981

9504

19988
19993
19997
19999
20000

9651
9738
9825
9913
10000

IVb. Trigon. Zahlen und hyperb. Funktionen (147). 341

Ans;.

si4;

Tgc|j

Se c{;

Sect.

Ang.

Anj?.

Si (\l

Tgc};

See];

Seet.

All er.

trs.

iüV-

com.

trs.

i'yp-

com.

'\>

Tga

Sihcp

CohCp

9

a

^

Tga

siii cp

Coli cp

9

a

1"

0,0175

0,0175

10002,0,0076

1» 0'

460

0.7193

1.0355

1,4396

0,3936 35044'

2

0349

0349

0006 i 0152

2 0

47

7314

0724

4663

4046 1 36 11

3

0523

0524

0014

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61

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25

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27

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24 25

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31

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76

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34

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35 16

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45 0

54ä IVc. trigonometrische Tafel.

Log. Sinus.

1

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2832
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20
40

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5708 5776 5842!
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20
40

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7088; 7731
8098 8137

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7773
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20
40

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9135

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9196

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20
40

6 0
20
40

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9460
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8,9996
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20
40

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1080
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1099
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20
40

1436
1612
1781

1453
1629
1797

1471
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1814

1489
1663
1830

1507
1680
1847

1525 1542 1560
1697 1714! 1731
1863 1879 1895

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17471 1764
l!;il 1927

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20
40

1943
2100
2251

1959 1975
2115! 2131
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1991
2146
2295

2007
2161
2310

2022
2176
2324

2038! 2054
2191 2206
2389' 2853

20691 2085
2221 2280
2368; 2382

10 0 1 2397

2411 2425

2439

2454

2468

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2510 2524

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4915

4931

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5:41
5156

12

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20

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5185
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24
28
32

2565
2593
262C

2959

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3342
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3996

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4278

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4992
5007
5022

5213
5228
5242

30
40
44

2647
2674
2701

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3058
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3387
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3432

3713
3734
3755

4015
4035
4054

4296
4814
4332

4559
4576
4593

4805
4821
4837

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5052
5067

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5270
5285

48
52
50

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3816

4073
4092
4111

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4626
4643

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4884

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5097
5112

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5313
5327

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280(

3179

3521

3837

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4659

4900

5120

5841

IV c. Trigonometrische Tafel.

Log. Sinus.

343

20"

21"

22" 23"

24"

25"

26"

27"

28" 29"

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40

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50

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37"

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39"

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30

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7640

7744 1 7844

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40

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40" 41" 1 42" 43"

44"

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46" 1 47"

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10

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20

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30

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40

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40

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9966

9975

9982

1 9989

9993

9997

9999

0000

344 IVd. Trigonometrische Tafel.

Log. Tangens.

0' 2' ' 4' 6' 8' 10'

12'

14'

16' 18'

0» 0'
20
40

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2 0
20
40

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20
40

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4 0
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40

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8762
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5 0

20
40

6 0
20
40

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8,9966^8,9992 9,0017 9,0043 9 0068;9,0093i9,0118 9,0143|9,0167 9.0192
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50 !

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140

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3691!

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20

9701!

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3748!

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30

9836!

0567 11941 17451 22361 26801 3085

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40

9966

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3859

4178

50

9,0093!

0786! 1385! 19151 2389! 2819; 3212

3576!

3914!

4230

150 1 16« 170 I 18« i 19« i 20« I 21« j 22« I 23« 1 24«

9,428119,4575 9.4853 9.5118 9,5370:9,5611 !9.5842,9,6064'9,6279l9.6486
43311 4622: 4898i 51611 5411 5ö50| 5879J 6100| 63141 6520

4943, 5203 5451 56891 5917 6i;

6348 6553

4381'

44301 47161 4987; 5245' 5491 57271 5954] 6172! 63831 6587

4479! 47621 5031! 52871 5531 5766 5991 6208' 641 7 j 6620

4527 48081 5075! 5329! 5571 5804i 60281 6243! 6452! 6654

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30 6785 6977 I 71651 7348! 75261 7701 7873 8042

40 6817 7009 7196! 7378J 7556! 7730 7902: 8070]

50 I 6850! 7040l 72261 74081 7585! 7759! 7930l 80971

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10

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9874

20

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9899

30

8533, 8092 8850

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40

8559! 8718 8876

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9494! 9646 9798

9949

50

8586 1 8745 8902

9058| 9212 9366

9519| 9671 9823

9975

IV d. Trigonometrische Tafel.

Loo-. Tangens.

345

450

460 470

48"

490

500 510 520

530

540

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10

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1098

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20

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1361

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590

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620

630

640

0'

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10

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20

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1820

1986

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_50_

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2184

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3280

650

660

67«

680

69^

700

710

720

730

740

0'

0,3313

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;0,4630

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10

3346

3548

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4196

4429

'4671

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20

3380

3583

3792

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4234

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4969

5238

5521

30

3418

3617

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5284

5570

40

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5331

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4121

4850

4589

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5378

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75»

76"

770 1 780

790

800

810

820

830

840

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10

5770

6086

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6141

6483

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30

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0164

40

5926

6252

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5979

6309

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9664

0437

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12'

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16'

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40

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84 0

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0,9932

0,9957 0.9983

1,0008

20

1.0034! 1,0060

l,0085!i;0112

i:0138

i;0164

1,0191

10218

1,0244

1,0271

40

0299; 0326

0354 1 '0381

0409

0437

0466

0494

0523

0551

85 0

0580 i 0610

0639

0669

0698

0728

0759

0789

0820

0850

20

08821 0913

0944

0976

1008

1040

1073

1105

1138

1171

40

1205 1238

1272

1306

1341

1376

1411

1446

1482

1517

8»? 0

1554 1590

1627

1664

1701

1739

1777

1815

1854

1893

20

1933 1972 2012

2053

2094

2135

2177

2219

2261

2304

40

2348 i 2391! 2435

2480

2525

2571

2617

2663

2710

2758

87 0

2806

2855; 2904

2954

3004

3055

3106

3158

3211

32t)4

20

3318

3373 i 3429

3485

3541

3599

3657

3717

3777

3837

40

3899

39621 4025

4089

4155

4221

4289

4357

4427

4497

88 0

4569

4642 1 4717

4792

4869

4947

5027

5108

5191

5275

20

5362

5449 5539

5630

5724

5819

5917

6017

6119

6224

40

6331

6441 j 6554

6670

6789

6911

7037

7167

7300

7438

89 0

7581

77281 7880

8038

8202

8373

8550 1

8735

8928

9130

20

1 9342 1,9565:1.9800

2,0048

2,0311

2.0591

2.08911

2,1213

2,1561

2 1938

40

2 2352|2.2810i2,3322

2,3901

2,4571

2;5363

2,6332|

2,7581

2,9342

3,,2352

22

a

346

Va. Physikalische Tafel.

Zeichen u. Formeln: a Atomgewicht; b Brechungsexponeni;

d' Dichte (Wasser = 1); d" Dichte (Luft:= 1); e spez. WUrmo;

1 Längenausdehnung der Einheit für 1 Mill. Cent.grade;

b' Schmelzpunkt; s" Siedepunkt bei 760ni Druck.

Alaun

Alkohol, spir. vini

Aluminium

Antimon, stibium

Argentan

Arsen

Baumöl

Bernstein

Blei, plumbum

Braunstein

Brom

Calcium

Chlor

Chlorsauros Kali

Crownglas

Diamant

Eisen, ferrum

Eisenvitriol

Elfenbein

Erde, humus

Essigsäure

Flintglas

Fluor

Plussspath

Glaubersalz

Gold, aurum

Granit

Gips

Höllenstein

Holz, lignum

Jod

Iridium

Kalium

Kalkspatb

Kochsalz

Königswasser

Kohlensäure

Kohlenstoß'

Kork

Kreide

AlK. (Na) 2 SO4 + I2H2O; d' 1,71; aus Thonschiefer.

CoHßO; b 1,377; d' 0,79 ; s' —130; s" 78,4-

AI.; a 27,4; d'2,60; 1 23,4; s' 700; Thonerde AI0O3.

Sb. ; a 119,6 ; d' 6,71 ; 1 11,6 ; s' 430 ; e 0,051-

Leg. von 8 Cu + 3,5 Zn + 3 Ni (Gew.); 1 18,4-

As; a74,9; d' 5,73; Arsenik A82O3.

d 0,91 ; s' 2 2 ; durch Auspressen von Samen erhalten.

b 1,552; d' 1,08; mineralisches Harz.

Pb; a 206,4; d' 11,37; e 0,031 ; 1 29,48; s' 330.

MnO^ ; d' 5,03 ; Mangansuperoxyd.

Br; a79,8; d' 3,15; s' — 7.3; s" 63; in Mineralquellen.

Ca; a39,9; d'1,57; Kalk CaO ; (d' 2,3— 3,2).

Cl; a35,4; d" 2,450; »" — 34.

KCIO3; giebt beim Erhitzen Sauerstoff ab.

62,8 Si02+22,1 KO + 12,5 CaO+2,6 AloOg; b 1,50 ; d' 2,4-2,9;

Reine Kohle; b 2,487; d' 3,52; e 0,147- [1 9,5.

Fe; a 55,9; d'7,86; e 0.114; 1 12,0; s' 1600.

FeS04 + 7H2O; bl,49; d' 1,88-

d' 1,9.

Zersetzungsprodukte von Gesteinen, Pflanzen- u. Tierresten.

2 4 2 '

117; Bleizucker PbC2H403 + 3 H2O.

44,3 Si 0,4-11,7 KO+43,0PbO ; b 1,6—2,0 ; d' 3,2—3,8; 1 7,9.
Fl; a 19,0; Fluorwasserstoff Fl H.
CaFlg; b 1,43; d' 3,1; e 0,208; 1 20,70.

NaoSO4-|-10H2O; 14Glb. 4 6 Schwefels. +4Wass.(Gew.) Kaltem.
Au; a 196,7; d' 19,32; e 0,032; 1 14,5; s' 1100.
Gemenge aus Quarz, Feldspath u. Glimmer; d' 2.58 — 2,90.
CaS04 + 2 n20; d' 2,32; Marienglas.
AgN03; giftig und ätzend.

0,5 (Tanne) —1,2 (Ebenholz); Pflanzenfaser CioHjyOjQ.
J; a 126,5; d4,9; s' 104; s" 175-
Ir; a 192,5; d' 22,42; 17,0; s' 2400.
K; a 39,0; d' 0,87; e 0,170; s' 58-
CaO -f COg; d'2.72; (Island. Doppelspath).
NaCl; d'2,15; e 0,214; 33 Salz + 100 Schnee (Gew.) Kaltem.
Salpetersäure + 3 Salzsäure (vol.); löst Gold und Platin.
CO.; b 1,000449; d" 1,529; e 0,221; s' —87.
C; al2,0; d' 2,3 ; Grubengas C2H4.
d'0,24; Rinde der Korkeiche.
CttCOa ; d' 2,72.

Va. Physikalische Tafel.

347

Kupfer

Kupfervitriol

Luft, fttmoBph.

Magnesium

Mangan

Marmor

Messing

Natrium

Kickel

Petroleum

Phosphor

Platin

Pottasche

Quecksilber

Salmiakgeist

Salpeter

Salpetersäure

Salzsäure

Sandstein

Sauerkleesalz

Sauerstoff

Schiesspulver

Schwefel

Schwefeläther

Schwefelsäure

Silber

Silicium

Soda

Stahl

Steinkohle

Stickstoff

Terpentinöl

Turmalin

Wachs

"Wasser

Wasserstoff

AVismuth

Zink

Zinkvitriol

Zinn

Zeichen u. Formeln: » Atomgewicht; b Brechungsexponent;

d' Dichte (Wa8Rer=l); d" Dichte (Luft = 1); e f>pez. Wärme;

1 Längenausdehnung der Einheit für 1 Mill. Cent.gradc;

s' Schmelzpunkt ; s" Siedepunkt bei 760m Druck.

Cu ; a 63,2 ; d' 8,92 ; e 0,095 ; 1 17,0 ; »' llOO-

CuS04+5H20;d' 2,27; wird d.elektr. Str.reduz. (Galvanopl.).

21 O + 79 N (vol.) ; b 1 ,000294 ; d' 0,00129 ; e 0,24-

Mg; a24,3; d'1,74; s'SOO; Bittersalz MgSO^.

Mn; a54,8; d' 7,39; s' 1900.

CaO + COg; d'2,84; e 0,208; 1 8,5-

Leg, v. 71,5 Cu + 28,5 Zn (Gew.); d' 8,4; 1 18,7; s' 900.

Na; a23,0; d'0,97; e 0,293; b' 90.

Ni; a 58,6; d' 8,3; e 0,109; «' 1500.

roh d'0,71; 8" 60; raff, d'0,85; s" 150.

P; a30,9; b 2,224; d'1,83; 8'44; s" 287.

Pt; a 194,3; d' 21,5; e 0,032; 1 8,84; *' 1800.

KoCOg; d'2,29; e 0,216; in Holzaschenlauge.

Hg; a 199,8; d' 13,55; 1 181,0; *' —39; s" .350.

NUg + H2O ; d' 0,85 ; s' —49.

KNO3; d'2,09.

HNO3; b 1,41; d' 1,54; s' —45; »" 86.

HCl; bl38; d' 1,22; Nebenprodukt von Soda.

d' 2,2 — 2 5; durch Thon und dgl. gebundene Quarzkörner.

KO. 2 CgOg + H2O ; oxalsaures Kali.

O; a 16,0; b 1,000272; d" 1,106; e 0,218; s" —182".

1 Salpeter + 1 Schwefel + 3 Kohle (Gew.).

S ; a 32,0; b 2,11 ; d' 2,07 ; 1 61,0 ; s' 115 ; s" 450.

C4H10O; b 1,36; d' 0,72; e 0,521; s' — 9C ; s" 35-

H2SO4; b 1,44; d' 1,84; s'— 25; s" 288.

Ag; a 107,7; d' 10.5; e 0,057; 1 19,1 ; s' 1000.

Si; a28,3; d'2.39; Kieselsäure (Quarz) SiO«.

NaoCO, -f 10 n^O ; meist aus Kochsalz gewonnen.

Eisen mit 1—2% Kohle; d' 7,8; e 0,116; 1 11,0; s'

d' 1,27; e0 20l; fossil. -pflan/.l. Ursprunges.

X; a 14,0; b 1 000300; d" 0,971; o 0,24; s" —194.

1400.

Cio"ig; b 1,47; d'0,87; «0,41;

-10; s"293.

bl668; d' 3,1 ; Hauptbest. : Kieselsäure und Thonerde.

d'0 97; s'62; Verdauungsprodukt der Bienen.

HoO; b 1,34; d" 775: e 1; s' 0 ; s" 100.

H; a 1; b 1 000138; d" 0.069; e 3,405-

Bi; a 208,4; d'9,8; ©0,031; 113,6; «'264.

Zn; a65,l; d' 7,15; e 0,096 ; 129,1; s'412.

ZnS04+ 7 HoO; d' 2,02.

Sn; a 118,8; d'7,3; e 0,056; 1 22,5; s' 230,

348

Vb. Tafel für Wasserdampf (305).

s

d

3

d

s

d

3

d

3

d

d

CS

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mm

mm

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0,93

27°

25,50

670

204,37

980,0

707,17

1200

1491.28

—15

1,40

28

28,10

68

213,59

1

709.74

121

1539,25

-12

1,78

29

29,78

69

223,15

2

712;32

122

1588.47

—10

2,09

30

31,55

70

233,08

3

714,91

123

1638,96

— 9

2,26

31

33,41

71

243,38

4

717,50

124

1690,76

— 8

2,46

32

35,36

72

254,06

98.5

720.10

125

1743.88

— 7

2.67

33

37.41

73

265.13

'6

722,71

126

1798,35

— 6

2:89

34

39,56

74

276,61

7

725,31

127

1854,20

— 5

3;i3

35

41,83

75

288,50

8

727,93

128

1911,47

— 4

339

36

44,20

76

300.82

9

730,56

129

1970,15

— 3

3,66

37

46.69

77

313,58

99.0

783.19

130

2030,28

— 2

3.96

38

49.30

78

326.79

1

735,83

131

2091.90

— 1

4,27

39

52.04

79

340,46

2

738,48

132

2155,03

0

4,60

40

54.91

80

354,62

3

741,14

133

2219,69

1

4,94

41

57,91

81

369,26

4

743,82

134

2285,92

2

5,30

42

61,05

82

384,40

99.5

746,49

135

2353^73

3

569

43

64,34

83

400.07

6

749.17

136

2423,16

4

6,10

44

67.79

84

416:26

7

751.86

137

2494,23

5

6;53

45

71:39

85

433,00

8

754.57

138

2567.00

6

7.00

46

75,16

86

450,30

9

757,28

139

2641,44

7

T,49

47

79,09

87

468,17

100

760,00

140

2717,63

8

8,02

48

83,20

88

486.64

101

787.59

141

2795,57

9

8,57

49

87,50

89

505:70

102

816,01

142

2875.30

10

9:i6

50

91,98

90

525,39

103

845,28

143

2956,86

11

9,79

51

96,66

91

54571

104

875,41

144

3040,26

12

10,46

52

101,54

92

566,69

105

906,41

145

3125.55

13

11,16

53

106.63

93

588,33

106

938,31

146

8212,74

14

11,91

54

111:94

94

610.66

107

971.14

147

3301.87

15

12,T0

55

117,47

95

633:69

108

1004,91

148

3392:98

16

13,54

56

123,24

96

657,44

109

103:>,65

149

3486,09

17

14,42

57

129,25

97.0

681,93

110

1075,37

150

3581.23

18

15,36

58

135,50

1

684,42

111

1112,09

155

4088.56

19

16.35

59

142,01

2

686,92

112

1149,83

160

4651 :62

20

17,39

60

148,79

3

689,43

113

1188,61

165

5274,54

21

18,50

61

155,83

4

691,94

114

1228,47

170

5961,66

22

19,66

62

163,16

97,5

694,46

115

1269,41

175

6717.43

23

20,89

63

170,78

6

696;98

116

1311,47

180

7540,39

24

22,18

64

178,71

7

699,51

117

1354,66

185

8453.23

25

23,55

65

186,94

8

702.05

118

1399,02

190

9442.70

26

24,99

66

195,49

9

704,60

119

1444,55

200

11689,0

Vc. Hypsometrische Tafel (273, 75).

349

b

ß

H'

T+t

A

Engl.

Mass.

mm

Fahrenh.

Gels.

mm

mm

m

m

760

0,12

0

0°

18393

21"

533,4

0"

—17.77'»

55

'l2

56

1

430

22

558,8

10

— 12 22

50

12

112

2

467

23

584,2

20

— 6^66

45

12

168

3

503

24

609,6

30

— ^M

40

12

225

4

540

25

635,0

32

0.00

735

12

284

5

18577

26

660.4

34

1,11

30

12

340

6

614

27

685,8

36

2.22

28

12

363

7

651

28

711,2

38

3,33

26

12

387

8

687

29

736,6

40

4,44

24

12

410

9

724

30

762,0

42

5,55

722

12

433

10

18761

Par.

44

6,66

20

12

457

11

798

Mass.

46

7.77

18

11

480

12

835

18"

487,3

48

8,88

16

11

504

13

871

19

514.3

50

10.00

14

11

527

14

908

20

541,4

52

11,11

712

11

551

15

18945

21

568.5

54

12,22

10

11

575

16

982

22

595,5

56

13.33

08

11

599

17

19019

23

622,6

58

14,44

06

11

623

18

055

24

649,7

60

15,55

04

11

647

19

092

25

676,7

62

16.66

702

11

671

20

19129

26

703,8

64

17,77

00

11

694

21

166

27

730,9

66

18.88

695

11

755

22

203

28

758.0

68

20,00

90

11

816

23

239

1"'

2,3

70

21,11

85

11

878

24

276

2

4:5

72

22,22

680

11

939

25

19313

3

6.8

74

23,33

75

11

1002

26

350

4

9.0

76

24,44

70

11

1064

27

387

5

11,3

78

25,55

65

11

1128

28

423

6

13.5

80

26.66

60

11

1191

29

460

7

15,8.

82

27,77

655

10

1206

30

19497

8

18.0

84

28,88

50

10

1320

31

534

9

20.3

86

30,00

45

10

1386

32

571

10

22,6

88

31,11

40

10

1451

33

'607

11

24.8

90

32.22

35

10

1518

34

644

Reaum.

Gels.

92

33,33

630

10

1584

35

19681

94

34.44

25

10

1652

36

718

1"

1.25*^

96

35.55

20

10

1719

37

755

2

2,50

98

36.66

15

10

1788

38

791

3

3i75

100

37,77

10

10

1857

39

828

4

5.00

120

48,88

605

10

1926

40

19865

5

6,25

140

60,00

600

10

1996

41

902

6

7.50

160

7i;ii

550

09

2731

42

939

7

8,75

180

82 22

500

08

3536

43

975

8

10.00

200

93.33

400

06

5420

44

20012

9

11,25

212

100.00

Für die Bedeutung von R ist 273, für H' und A aber 275 zu vergleichen.

350

VI. Bessel'sche Refraktionstafel (287, 332).
r = a (1 - ß - Y).

N

s

N

-•

N

S

=■

5

a
a

c

2

c

i

o S

a

i:

i

2 N

« 8

2 NJ

^ «•

2 '^

^ «

ß

g ü

T

a

_:

'3

,— •

'S

So

S s

:S

(O

C •"

N

Sl

s

tsi

;-

" -s

d

S

•^

J=

«

00

0.0"

570 .

1' 28.7"

820 30'

6' 53,3"

095

0.075

-150

—0.094

5

5,1

58

32,1

40

7 1,7

96

' 74

—14

' 89

10

10.2

59

35.8

50

10,5

97

73

—13

85

15

15,5

60

39,7,

83 0

19,7

98

71

—12

81

16

16.6

61

43,8

10

29.2

99

70

-11

77

17

17.7

62

1 48,2

20

7 39.2

700

0,069

—10

—0,073

18

18.8

63

52.8

30

49,5

Ol

67

— 9

69

19

19.9

64

57,8

40

8 0,3

02

66

— 8

65

20

21.0

65

2 3,2

50

11.6

03

65

— 7

61

21

22.2

66

8,9

84 0

23,3

04

63

— 6

57

22

23.3

67

2 15.2

10

8 35,6

705

0,062

— 5

—0,053

23

24.5

68

21,9

20

48.4

06

61

— 4

49

24

25,7

69

29,3

30

9 1^9

07

59

— 3

45

25

26.9

70

37.3

40

16.0

08

58

— 2

42

2C

28,2

71

46.1

50

30.9

09

57

— 1

38

27

29.4

72

0 55.8

85 0

9 46,5

710

0.055

0

—0,034

28

30.7

73

3 6,6

10

10 3,3

11

54

1

30

29

32.0

74

18.6

20

21,2

12

53

2

26

30

33.3

75

32.1

30

39,6

13

51

3

23

31

34,7

76

47,4

40

58,6

14

50

4

19

32

36.1

" n

4 4,9

50

11 18.3

715

0.049

5

-0,015

33

87.5

'^o^

25 0

86 0

38.9

16

■ 47

6

12

34

38.9

20

32.4

10

12 0,7

17

46

08

35

40.4

40

40.2

20

23.7

18

45

8

05

36

41.9

79 0

48.5

30

48,3

19

43

9

—0,001

37

43.5

10

4 52.8

40

13 15.0

720

0.042

10

0,002

38

45.1

20

57.2

50

43.7

21

41

11

06

39

46,7

30

5 1.7

87 0

14 14.6

22

39

12

09

40

48.4

40

6,4

10

47,8

23

38

13

13

41

50,2

50

11.2

20

15 23 4

24

37

14

16

42

51.9

80 0

5 16.2

30

16 0.9

725

0.035

15

0,020

43

53 8

10

21,3

40

40.7

26

34

16

23

44

55,7

20

26,5

50

17 23.0

27

33

17

26

45

57.7

30

32.0

88 0

18 8.6

28

31

18

30

46

59.7

40

37.6

10

58,0

29

30

19

33

47

61,8

50

5 43^3

20

19 51.9

730

0.029

20

0,036

48

64,0

81 0

49.3

30

20 50.9

31

27

21

' 40

49

66.3

10

55.4

40

21 55,6

32

26

22

43

50

68.7

20

6 1,8

50

23 6.7

33

25

23

46

51

71,2

30

8,4

89 0

24 24.6

34

23

24

49

52

73 8

40

6 15,2

10

25 49,8

735

0,022

25

0,052

53

76 5

50

22.3

20

27 22.7

36

21

26

' 56

54

79.3

82 0

29,6

30

29 3.5

37

19

27

59

55

82.3

10

37.2

40

30 52,3

38

18

28

62

56

85.4

20

45,1

50

32 49 2

39

17

20

65

57

88,7

30

6 53,3

90 0.

34 54,1

740

0,015

30

0,068

VII a. Tafel für die Gestalt der Erde (377)
und Bodes Tafel.

351

logp

logN

Grad

Grad

Bodes Tafel

9

9 — u

de«

des

für

9,999

0,000

Meridians

ParalleU.

Auf- und Untergang.

. u

ni

m

D

P 0 1 h ö h e

40" 0

11 19,8

4027

5997

111 023

85384

30

21,8

3902

6122

032

84757

+ —

0

46

0

47

0

48

41 0

23;6
25,2

3777
3651

6247
6373

042
051

84125
83486

30

42 0

26,6

3525

64',)9

061

82841

0

m

m

m

30

27.8

3399

6625

071

82189

1

1

1

1

43 0

11 28,8

3273

6752

111 081

81531

2

2

2

2

30

29,6

3146

6878

090

80867

3

3

3

2

44 0

30,1

3019

7005

100

80197

4

4

3

3

30

3Ö.5

2892

7132

110

79520

5

5

4

4

45 0

30,7

2766

7259

119

78837

(5

5

5

6

4

30

30,6

2639

7386

129

78149

7

7

5

46 0

11 30,3

2512

7512

111 139

77454

8

9

8

6

10

30,2

2470

7555

142

77221

9

10

9

7

20

30,0

2427

7597

145

76987

10

11

10

8

30

29,8

2385

7639

149

76753

11

12

10

9
9
10

40

29,6

2343

7682

152

76518

12
13

13
15

11

12

50

29,4

2300

7724

155

76283

47 0

11 29,1

2258

7766

111 158

76047

14

16

13

11

10

28,8

2216

7808

162

75810

15

17

15

13

20

■ 28,5

2174

7850

165

75573

16

18

16

13

30

28,2

2132

7893

168

75335

17
18

20

18

14

40

27,9

2089

7935

171

75096

21

19

15
16

50

27!5

2047

7977

175

74856

19

23

20

48 0

11 27,1

2005

8019

111 178

74616

20

24

21

17

10

26,7

1963

8061

181

74376

21

26

23

19

20

26,2

1921

8103

184

74134

22
23
24
25

28
30
32
34

25

20

30

25,8

1879

8145

187

73892

26
28

21

40

25,3

1837

8187

191

73650

23

50

24,8

1795

8229

194

73407

30

25

49 0

11 24.2

1753

8271

111 197

73163

26
27
28
29
30

37
39
42
45
48

32

27

10

23',7

1711

8313

200

72918

34
37
39
42

29
31

20

23,1

1669

8355

204

72673

30

22,5

1627

8396

207

72427

33

40

21,9

1586

8438

210

72181

35

50

21,2
11 20,5

1544
1502

8480
8522

213
111 216

71935
71687

50 0

Diese Tafel gibt an,

30

18;4

1377

8647

226

70941

um wie viel ein nörd-

51 0

15.0

1252

8771

236

70189

licher Stern später

30

13:4

1128

8895

245

69432

auf- und früher unter-,

52 0

10,7

1005

9018

255

68670

— ein südlicher

30

7,7

0881

9141

264

67902

früher auf- und später

53 0

11 4,5

0759

9264

111 273

67129

untergehe als in Berlin;

30

1.1

0637

9386 .

283

66351

so K. B. sagt sie, dnss

54 0

10 57!5

0515

9507

292

65568

die Sonne am längsten

30

53,7

0395

9627

301

64780

Tage unter 47 '* um

55 0

49,7

0275

9747

311

63986

27in später aufgehe als

30

45,5

0155

9866

320

63188

in B

erlin.

352

Vllb. Ortstafel.

Länge oder
Mittags-

Breite oder

Höhe

Temp. in

c.

Observatorium.

Unterschied

Polhöhe

über

„

V. Greenwich

9

Meer.

Jan.

Juli

Jahr.

h m s

0 ' "

m

0

0

0

Algifir

0 12 17

36 44 0

12,1

25,0

18.1

Athen

1 34 56

37 58 20

120

8,1

26.9

i8;5

licascl

0 30 19

47 33 36

278

0,0

19.3

9,5

Berlin

0 53 35

52 30 17

40

— 0.8

18.8

90

Bern

0 29 46

46 57 8

573

- IJ

18,0

8,0

Ronn

0 28 24

50 43 45

50

iJs

18,5

9,7

Bordeaux

—0 2 5

44 50 17

5;6

2o;o

12.8

Brüssel (Ucole)

0 17 26

50 47 53

2,0

18.0

9,9

Cambridge, E.

0 0 23

52 12 52

—

3.7

17.6

10,2

U. S.

—4 44 31

42 22 48

04

— 3.9

22,5

9,2

Cap

i 13 55

—33 56 4

20,6

12,6

16;5

Christiania

0 42 54

59 54 44

24

— 5,1

16,5

5,2

Cordoba, Arg.

—4 16 48

—31 25 16

22,8

9,1

166

Porpat

1 46 54

58 22 47

73

— 8,0

17,4

4,3

Edinburg-h

—0 12 44

55 57 23

71

3,0

14,6

82

Genf

0 24 37

46 11 59

408

0,3

19;i

9,5

Göttingen

0 39 47

51 31 48

132

- 0-4

17,7

8.5

Greenvvich

0 0 0

51 28 38

47

3,5

17,9

10,3

Hongkong

7 36 42

22 18 12

—

15,3

29,2

23,1

Kiel

0 40 36

54 20 29

0,4

17,0

8,3

Königsberg

1 21 59

54 42 51

22

- 3,9

17,3

6,6

Kopenhagen

0 50 19

55 41 14

27

— 0,4

16,6

7,4

Leiden

0 17 56

52 9 20

—

—

—

Leipzig

0 49 34

51 20 6

100

- 1,2

18,0

8,5

Lissabon

—0 36 45

38 42 31

103

2i;7

15,6

Lyon

0 19 8

45 41 40

155

2,4

21,2

115

Madrid

—0 14 45

40 24 30

663

49

24.5

1.35

Mailand (Brera)

0 36 46

45 28 1

130

0,5

24,7

128

Melbourne

9 39 54

—37 49 53

_

183

9,0

13.9

Moskau

2 30 17

55 45 20

14C

-11.1

18,9

3,9

Mt. Hamilton (Lick)

—8 6 34

37 20 24

—

_i

München (Bogenh.)

0 46 27

48 8 45

526

— 3.0

17.3

7,5

Neapel (Capo di M.)

0 56 59

40 51 45

55

8,2

24,3

15,9

Neuenburg

0 27 50

46 59 51

488

— 0,8

18,8

8,8

Nizza (Mt. gros)

0 29 12

43 43 17

—

8.4

23,9

15,7

Oxford (Radcl. obs.)

—0 5 3

51 45 36

—

3,9

16,9

98

Paris

0 9 21

48 50 U

60

2,0

18,3

10,3

Pulko-wa

2 1 19

59 46 19

—

—

—

—

Potsdam

0 52 16

52 22 56

98

- 1,2

17,5

8.1

Princeton

4 58 39

40 20 56

—

1 _

—

—

Rio de Janeiro

—2 52 41

—22 54 24

—

26,6

20,6

23,6

Rom (Coli, rom.)

0 49 55

41 53 54

29

6,7

24,8

15,3

Stockholm

1 12 14

59 20 34

20

- 8,7

16,4

52

Strassburg

0 31 2

48 35 0

150

- 0 3

19,2

10,2

Upsala

1 10 30

59 51 29

—

- 3.9

16,4

4,6

Washington

-5 8 12

38 53 39

35

0,2

24,4

12,0

Wien (Währing)

1 5 22

48 13 55

~

—

Ziiiicli

0 34 12

47 22 40

470

- 1,2

18,0

8,6

Vllb. Ortstafel.

353

Länge

Höhe

Ort.

von

Breite

über

Bemerkungen.

Greenw.

Meer.

h m

0

,

m

Andermatt

0 34

" 46

38

1448

Gotthardllosp. 2100, Furka 2436-

Appenzell

38

47

20

781

Weissbad 820, Ebenalp 1600-

BriPg'

32

46

18

684

Simplon 2010, St. Bernhard 2472.

(hur

38

46

51

599

Calanda 2589.

Davos-Plntz

39

46

48

1560

Flüelapass 2405.

Dissentis

35

46

43

1159

Oberalp 2052, Lukmanier 1917-

Engelberg

34

46

49

1021

Titlis 3239.

Frauenfeld

36

47

34

427

Bodensee 398.

Glarus

36

47

3

471

Glärniseh 2913, Tödi 3623-

Grinisel (Hospiz)

33

46

34

1874

Passhöhe 2183.

Interlaken

32

46

41

571

Jungfrau 4167, Thunersee 500-

Lausanne

26

46

31

507

Genfersee 375-

Lugano

36

46

0

275

Seehöhe 271, Salvatore 908.

Luzern

33

47

3

454

Seehöhe 4.38, Pilatus 2123.

Meiringen

33

46

44

606

Brünig 1024, Faulhorn 2683-

Neuenburg (Sech.)

28

47

0

435

Chaumont 1128, Chassoral 1609.

Säntis

37

47

15

2500

Schweiz. Höhen^tntion.

St. Gallen

37

47

26

648

Freudenberg 885, Gäbris 1252-

St. Moritz

39

46

31

1856

Julier 2287, Albula 2313.

Schaffhausen

34

47

42

4C4

Ilohentwiel 691-

Schwyz

35

47

1

547

Mythen 1903.

Splügen (Dorf)

37

46

38

1471

Passhöhe 2117-

Zermatt

31

46

1

1648

Matterhorn 4515, Monte Rosa
4038.

Zürich

34

47

22

409

Uto 87.S. Züri.'hberg 679, Hörnll
1135.

Zug

34

47

10

417

Rigi 1800.

Batavia

7 8

— 6

9

Magn.-met. Observatorium.

Bombay

4 51

18

54

_

.

Caleutta

5 53

22

33

25

Dhawalftgiri 8176, Gaurisankar
8840.

Chamounix

0 27

45

55

1052

Montblanc 4810.

Chicago

-5 50

41

50

—

Pikespeak 4310.

Ferro (Westspitze)

—1 U

27

45

—

Pic V. Teneriffa 3710.

Jakutzk

8 37

62

2

93

Nahe beim sibir. Kältepol.

Jerusalem

2 20

31

48

805

Bethlehem 790, Sinai 2244.

Innsbruck

0 46

47

18

570

Brenner 1336.

Mexiko

—6 37

19

26

2277

Popoeatepetl 5410.

Palermo

0 53

38

7

72

Etna 3214, Vesuv 1198.

Peissenberg

0 44

47

48

979

Bayer. Höhenstation.

Peking

7 46

39

54

37

Quito

—5 15

- 0

14

2914

Chimborazo6253, Cotopaxi 5943.

San Fran/isco

—8 10

37

49

—

Mt. Whitney 4541.

Sonnblick

0 52

47

3

3100

Öster. Höhenstation.

Tiflis

2 59

41

41

487

Ararat 5263.

Tokio

9 19

35

37

Fusijama 3770.

Toulouse

0 6

43

37

—

Pic du Midi, Observ. 2870.

Turin

0 31

45

4

250

Montcenispuss 2067.

Wolf, Taschenbuch

23

354 Villa. Deklination und Radius der Sonne.

Datum.

1893

Corr. für

i

Datum.

1893

Corr. für

94

95

96

A

94

95

96

0 '

.

<

.

„

0 '

Jan. 0

-23 3

—2

— 2

— 4

976

Juli 0

23 10

+ 1

+ 1

—1

5

—22 34

—2

— 3

— 5

976

5

22 46

+ 1

+ 2

—2

10

-21 53

—3

— 5

— 7

976

10

' 22 12

+ 2

+ 3

—2

15

—21 2

—3

— 6

— 8

976

15

21 28

+ 3

+ 5

—2

20

-20 1

—3

- 6

— 9

975

20

20 36

+2

+ 5

—3

25

—18 50

—4

— 8

—11

975

25

19 35

+3

+ 6

—4

Febr. 0

—17 14

—5

— 9

—13

974

Aug. 0

18 10

+ 4

+ 7

—4

5

—15 46

—5

— 9

—13

973

5

16 52

+ 4

+ 8

—4

10

-14 11

—5

—10

—14

972

10

15 27

+ 4

+ 8

—5

15

—12 30

-5

—10

—15

971

U

13 56

+ 4

+ 9

—6

20

—10 44

-5

—11

—16

970

20

12 19

+4

+ 9

—6

25

— 8 54

—6

-11

—16

969

25

10 37

+ 5

+ 10

-6

Mära 0

- 7 46

-6

—11

—17

968

Sept. 0

8 30

+5

+10

—7

5

- 5 52

-5

—11

+ 7

967

5

6 39

+ 6

+11

—6

10

— 3 55

—5

-11

+ 7

966

10

4 47

+5

+ 10

—7

15

— 1 57

—5

—11

+ 7

964

15

2 52

+5

+ 11

—7

20

+ 02

—6

—11

+ 7

963

20

0 55

+6

+ 11

—6

25

+ 20

—6

—11

+ 7

962

25

— 1 2

+6

+ 11

— 0

April 0

+ 4 21

—6

-12

+ 6

960

Okt. 0

- 2 58

+ 5

+ 11

—7

5

6 15

—5

—11

+ 7

959

5

- 4 55

+ 6

+11

—6

10

8 7

-5

—10

+ 7

957

10

— 6 49

+5

+ 11

—7

15

9 56

—5

—10

+ 6

956

15

— 8 42

+ 6

+ 11

—6

20

11 41

—5

—10

+ 6

955

20

-10 31

+5

+ 11

—6

25

13 21

—5

—10

+ 5

953

25

—12 16

+5

+ 10

—6

Mai 0

14 55

—4

— 9

+ 5

952

Nov. 0

—14 16

+ 4

+ 9

—6

5

16 23

—4

— 8

+ 5

951

5

—15 50

+4

+ 9

—5

10

17 45

—4

— 8

+ 4

950

10

—17 17

+4

+ 8

—5

15

18 59

—4

— 7

+ 4

949

15

—18 37

+ 3

+ 7

—4

20

20 5

-3

— 6

+ 3

948

20

—19 49

+3

+ 7

—4

25

21 2

—2

— 5

+ 3

947

25

—20 51

+2

+ 5

—4

Juni 0

21 59

—2

— 4

+ 3

946

Dez. 0

—21 44

+2

+ 4

—3

5

22 36

— 1

— 3

+ 2

946

5

-22 27

+2

+ 4

-2

10

23 3

— 1

- 2

+ 2

945

10

—22 58

+1

+ 2

-2

15

23 20

0

— 1

+ 1

945

15

—23 18

0

+ 1

-1

20

23 27

0

0

0

944

20

—23 27

0

0

0

25

23 24

0

0

- 1

944

25

-23 24

0

— 1

+ 1

Je nach 4 Jahren wiederholen sich nahe dieselben Deklinationen.

Distanz 149481000km = 11720 Erdd.

Parallaxe 8",80.

Scheinbarer Halbmesser 959", 6.

Durohmosser 1390900 km = 109,0 Erdd.

Masse 324000 Erde.

Dichte iVa = 0,254 Erde.

Siderischer Umlauf 865'',2503.

Tropischer „ ,3652422.

Neigung des Equators 7"-

Länge des aufsteigenden Knotens 74".

Rotationszeit 25d,234.

Mond.
Distanz 384390 km = 30,134 Erdd.
Equat. Parallaxe 57' 2",7.
Scheinbarer Halbmesser 933", 0.
Durchmesser 3477 km = 0,2726 Erdd.
Masse = 0,0123 Erde.
Dichte = 3,37 = 0,604 Erde.
Siderischer Umlauf 27'',321601.
Tropischer „ 27,321582.
Synodischer „ 29,530589.
Anomali-t. „ 27,55460.
Draconit. „ 27,21222.

Villa. Wahre Länge der Sonne, Kulminationsdauer 355
ihres Radius und Länge des Mondknotens.

1893

C

orr. für

.2

Datum.

1893

Corr. für

Diituin.

TT

95

96

1

94 95

J^

0 '

,

,

,

r

0 '

,

.

Jan. 0

280 in

—16

—30

—45

11

Juli 0

98 49

-14 -27

-44

5

285 25

—15

—30

—45

171

5

103 .35

-14

-28

-44

10

290 SO

—14

-29

—44

|70

10

108 21

—13

—28

—44

If)

295 36

—15

—30

—44

70

15

113 7

-13

—27

—44

20

;300 42

—15

—30

—45

70

20

117 54

—14

—28

—45

25

305 47

—15

—30

—45

69

25

122 40

-14

—28

—44

Febr. 0

811 52

—15

-29

—44

68

Aug. 0

128 24

—13

—27

—44

5

316 5G

—15

—29

—44

68

5

133 111—13

—27

—44

10

322 0

-15

—30

—44

67

10

137 59

—13

-28

—44

15

327 3

-15

—30

—44

67

15

142 47

—13

—27

—44

20

332 5

—14

-29

—44

66

20

147 36

—14

—28

—44

25

337 7

—15

-29

—44

66

25

152 25

— 13

—27

—44

März 0

340 8

—15

-30

-44

65

Sept. 0

158 13

—13

—27

—44

5

345 8

—14

-29

-43

|65

5

163 4

— 13

—28

—44

10

350 8

—15

—29

—44

65

10

167 56

— 14

—28

—44

15

355 T

—14

-29

—43

■65

15

172 48

— 14

-28

—44

20

0 5

—14

—29

—43

64

20

177 41

—14

-28

—44

25

5 3

-15

—30

—44

64

25

182 35

—14

—28

—44

April 0

10 58

—15

-29

—44

64

Okt. 0

187 30

-14 -28

_44

5

15 53

—14

—28

—43

65

5

192 25

— 14

-28

—43

10

20 48i— 14

-29

—44

65

10

197 22

— 14

-29

—44

15

25 421-15

-29

—44

65

15

202 19

—14

—28

—43

20

30 35 -]5

—29

—44

65

■ 20

207 17

—14

—28

—43

25

35 27|— 15

—29

—44

66

25

212 16

—14

—28

—43

Mai 0

40 18—14—28

—44

66

Nov. 0

218 16

]4

—29

—43

5

45 9 1—14 —28

—44

66

5

223 17

— 14

—29

—44

10

49 59 —14

—28

—44

67

10

228 18

—14

—29

—43

15

54 48 1 —14

—28

—44

67

15

233 21

—15

—30

-44

20

59 37 ! -14

—28

—44

68

20

238 23

—14

-29

—43

25

64 25-14

-28

—44

68

25

243 27

—15

-29

—44

Juni 0

70 10—14

-28

—44

68

Dez. 0

248 31

—15

—30

—44

5

74 571-14

-27

—44

69

5

253 35

—14

—29

—43

10

79 44—14 —28

—44

69

10

258 40

—15

-30

—43

15

84 31—14 —28

—45

69

15

263 45

-15 1—29

—43

20

89 171—14 —28

—44

69

20

268 51

-151—30

—44

25

94 3

-14

—28

—44

69

25

273 56

-14

-29

-43

Je nach 4 Jahren wiederholen sich nahe dieselben Längen.

Die

mittlere I^änge

des aufste

igcnden Mondknotens an

I 0 beträfet

1884

2080 38' g

1891

730 14',5

1898

297" 50',3

1885

180 15,9

1892

53 54 8

1899

278 30,6

1886

169 56.2

1893

34 32,0

1900

259 10,9

1887

150 36,5

1894

15 12.3

1901

239 51,2

1888

131 16.8

1895

355 52.6

1902

220 31,5

1889

111 53,9

1896

336 32,9

1903

201 11,8

1890

92 34.2

1897

317 10,0

1904

181 52.1

Die Abnnlinic der Li
dit'j(ni!ge in einem j^emein
in einem Tage 3' 1773.

nge in eineHi .julianischeu Jahre betgägt 19'',34150,
;n Jahre 19^ 19',71, in einem Schaltjahre 19» 22',89,

356

Viilb. Zeittafel.

Tage seit 1750 I 0.

Mittlere Zeit im wahren

10

d

10

d

10

d

Mittage (Zeitgleichung).

1750

0

1795

16436

1840

32871

Jan. 0

0

h „>

0 3

Juli 0

181

h m
0 3

1

365

6

16801

1

33237

5

5

6

5

186

4

2

730

7

17167

2

33602

10

10

8

10

191

5

3

1096

8

17532

3

33967

15

15

10

15

196

6

4

1461

9

17897

4

34332

20

20

11

20

201

6

25

25

13

25

206

6

1755

6
7
8
9

1820
2191
2557
2922
3287

1800
1
2
3

4

18262
18627
18992
19357
19722

1845
6
7
8
9

34698
35063
35428
35793
36159

Febr. 0
5
10
15

20

31
36
41
46
51

14
14
15
14
14

Aug. 0

5

10

15

20

212
217
222
227
232

6
6
5
4
3

1760

3652

1805

20088

1850

36524

25

56

13

25

237

2

1

4018

6

20453

1

36889

März 0

59

13

Sept. 0

243

0

2

4383

7

20818

2

37254

5

64

12

5

248

23 59

3

4748

8

21183

3

37620

10

69

11

10

253

57

4

5113

9

21549

4

37985

15

74

9

15

258

55

20

79

8

20

263

53

17ß5

5479

1810

21914

1855

38350

25

84

6

25

268

52

6

7

5844
6209
6574
6940

1
2
3
4

22279
22644
23010
23375

6

7
8
9

38715
39081
39446
39811

April 0

5

10

15

90
95
100
105

4
3

1
0

Okt. 0

5

10

15

273
278
283
288

50
49
47
46

1770

1

7305
7670

1815
6

23740
24105

1860

1

40176
40542

20
25

110
115

23 59
58

20
25

293
298

45

44

2

8035

7

24471

2

40907

Mai 0

120

57

Nov. 0

304

44

3

8401

8

24836

3

41272

5

125

57

5

309

44

4

8766

9

25201

4

41637

10

130

56

10

314

44

15

135

56

15

319

45

1775

9131

1820

25566

1865

42003

20

140

56

20

324

46

6

0496

1

25932

6

42368

25

145

57

25

329

47

7

9862
10227
10592

2
3

4

26297
26662
27027

7
8
9

42733
43098
43464

Juui 0
5
10

151
156
161

57
58
59

Duz. 0
5
10

334
339
344

49
51
53

1780

10957

1825

27393

1870

43829

15
20

166
171

0 0
1

15

20

349
354

55
58

1
2
3

11323
11688
12053

6
7
8

27758
28123
28488

1
2
3

44194
44559
44925

25

176

2

25

359

0 0

In der d

ie Tage des Jahres cnthal-

4

12418

9

28854

4

45290

tendeii Colun
Oten März an

ne ist für Schaltjahre vom
jede Zahl um eine Einheit

1785

12784

1830

29219

1875

45655

zu vermehren

; so z. li. entspricht nach

6

18149

1

29584

6

46020

ihr der 109te

Tag des Jahres in geniei-

7

13514

2

29949

7

46386

ncn Jahren d(

m 10., in Schaltjahren dem

8

13879

3

30315

8

46751

18. April.

9

14245
14610

4
1835

30680
31045

9 47116

1790

1880

47481

1885

49308

1890

51134 l

895

52960

1

14975

6

31410

1

47847

6

49673

1

51499

6

53325

2

15340

7

31776

2

48212

7

50038

2

51864

7

53691

3

15706

8

32141

3

48577

8

50403

3

52230

8

54056

4

16071

9

32506

4

48942

9

50

769

4

52595

9

54421

VIII b. Zeittafel (416). 357

Sternzeit im mittlem Mittag von Greenwich.

jR der

Ni

Äi der

Ni

Nj + No

1

Abzug zur
Verwandl.

mittl. Sonne.

mittl. Sonne.

1

in m. Zeit.

li ni 8

li m 8

1»

m 8

Jan. 0

18 40 25,8

0

Juli 0

6 34 2.3

27

0

-fOO

1

0 9,830

5

19 0 8.6

1

5

6 53 45,1

27

20

+ 0,1

2

0 19.659

10

19 19 51,3

1

10

7 13 27,9

28

40

-10,3

3

0 29,489

15

19 39 341

2

15

7 33 10.7

29

60

+0,4

4

0 39,318

20

19 59 16,9

3

20

7 52 53.4

30

80

+ 0,6

5

0 49,148

25

20 18 59.7

4

25

8 12 36,2

30

100

+ 0.7

6

0 58,977

Febr. 0

20 42 39,0

5

Aug. 0

8 36 15.5

31

120

+0,8

7

1 8,807

5

21 2 21,8

5

5

8 55 58,3

32

140

+ 0,9

8

1 18,637

10

21 22 4,6

6

10

9 15 41,1

33

160

+ 1-0

9

1 28,466

15

21 41 47,3

7

15

9 35 23,9

33

180

+ 1,0

10

1 38,296

20

22 1 ."0.1

7

20

9 55 6,6

34

200

+1,1

11

1 48,125

25

22 21 12,9

8

25

10 14 49,4

35

220

+1,1

12

1 57,955

März 0

22 33 2.6

9

Sept. 0

10 38 28,8

36

240

+ 1,1

13

2 7.784

5

22 52 45,3

10

5

10 58 11,5

36

260

+1,1

14

2 17.614

10

23 12 28,1

u

10

11 17 54,3

37

280

+1,1

15

2 27,443

15

23 .32 10,9

11

15

11 37 37.1

38

300

+ 1,1

16

2 37,273

20

23 51 53,7

12

20

11 57 19.9

39

320

+ 1,0

17

2 47,103

25

0 11 36 4 |13

25

12 17 2.6

40

.340

+ 1,0

18

2 56,932

April 0

0 35 15,8

13

Okt. 0

12 36 45,4

40

360

+ 0,9

19

3 6,762

5 0 54 58-6

14

5

12 56 28.2

41

380

+ 0.8

20

3 lO.fiOl

10

1 14 41,3

15

10

13 16 11.0

42

400

+ 0,7

21

3 26,421

15

1 34 24,1

15

15

13 .35 53,8

42

420

+ 0,6

22

3 36,250

20

1 54 6.9

10

20

13 55 36.5

43

440

+ 0.4

23

3 46,080

25

2 13 49;7

17

25

14 15 19,3

44

460

+ 0,3

24

3 55 909

Mai 0

2 33 32,4

18

Nov. 0

14 38 58:6

45

480

+ 0,1

m

j.

5

2 53 15,2

18

5

14 58 41,4

45

500

0,0

1

0.164

10

3 12 58,0

19

10

15 18 24,2

46

520

—0,1

2

0,328

15

3 32 40,8

20

15

15 38 7.0

47

540

-0,3

3

o|491

20

3 52 23,6

21

20

15 57 49,7

48

560

-0,4

4

0.655

25

4 12 6,3

21

25

16 17 32,5

48

580

—0,6

5

0819

Juni 0

4 35 45,7

22

Dfü. 0

16 37 15,3

49

600

— 0,7

6

0,983
1,147

5

4 55 28,4

23

5

16 56 58,1

50

620

-0,8

7

10

5 15 11,2

24

10

17 16 40,9

51

640

—0,9

8

1,311

15

5 .34 54,0

24

15

17 36 23,6

51

660

—1,0

9

l!474

20

5 54 36,8 ! 25

20

1 17 56 6,4

52

680

-1,0

25

6 14 19,5 126

25 1 18 15 492

53

700
720
740
760
780
800
820

—1,1
-1,1
-1,1
—1,1

=1:1

— 1,0

8

10
20
30

s
0,027
0,055
0,082

d ni B
1 3 56,6

d
4

m 8
15 46,2

2
3

7 53,1
11 49,7

5

6

19 42.8
23 39,3

40
50

0,109
0,137

n> B

Na

m 8

N,

1891

-0 57,3

797

1901

-2 .36 9

334

840

— LO

Die Sternzeit

92

+2 2.0

850

2

—3 34,2

388

860

—0.9

im m. Mittag

93

+ 1 4,7

904

3

-4 31,5

441

880

— 0,8

ist um n.

94

+ 0 7.5

958

4

— 1 32,2

495

900

— 0,7

Os, 002738 zu

95

-0 49,8

11

5

—2 29.5

549

920

-0,6
—0,4

vermindern,

96

+ 2 9,5

65

ß

—3 26,7

602

940

wenn ein Ort

97

4-1 12;2

119

7

-4 24,0

656

960

-0,3

-0,1

0,0

118 östlich von

98

-fO 14,9

173 1

8

— 1 24,7

710

980

Greenwich

90

-0 42.4

226 1

9

—2 22,0

763

1000

liegt/ürZürioh

1900

-1 39.6

2

80 1

1910

—3 19,3

8

17

um

58,6:^.

In Schaltjahren hat man im Jan. und Febr. vom Datum 1 Tag abzuziehen.

358 VIII c. Tafel der Sonnenflecken und magnet.
Deklinationsvariationen.

A. Epochen (422).

1610,8

i6i;t,o

1634,0
1645 0
1655,0
1666,0
1679,5
1689,5
1698 0
1712,0
1723 5
1734,0
1745,0

8,2
15.0
11.0
10,0
11,0
13,5
10,0

8,5
14,0
11,5
10.5
11,0

1615,5
1626,0
1639,5
1649.0
1660.0
1675,0
1685,0
1693,0
17055
1718,2
1727,5
1738,7
1750 3

10.5
13,5

9,5
110
15,0
10,0

8,0
12,5
12,7

9;3

11,2
11,6

1755,2
1766,5
1775.5
1784,7
1798.3
1810,6
1823,3
1833 9
1843.5
1856,0
1867,2
1878,9
1889,6

10,2

11,3

9.0

92

13.6

12,3

12,7

10,6

9,6

12,5

11,2

11-7

10,7

1761,5
1769,7
1778,4
1788.1
1804,2
1816,4
1829.9
183712
1848,1
1860,1
1870.6
1883 9
1894,1

11,2

8.2
8,7
9,7
16.1
12,2
13,5
7,3
10,9
12,0
10.5
13.3
10,2

B. Beobachtete Relativzahlen. Jahresmittel.

0

1

2

3

4

5

6

"i'

8

9

1740

80,0

50

83,4

47,7

47,8

30,7

12.2

y,«

10,2

32,4

47,6

54;o

60

62,9

85,S

61,1

45,1

86,3

20,9

114

37,8

69,8

106,1

70

100.8

81,6

66.5

34,8

30.6

7,0

19.8

92,5

154,4

125.9

80

84,8

68,1

38,5

22,8

10,2

24,1

82,9

ll{2,0

130,9

118.1

90

89,9

66.6

60.0

46.9

41,0

21,3

16,0

6,4

4!i

6;8

1800

15,3

34,0

55.0

71.2

73,1

47,6

28 9

9,4

7,7

2,5

10

0,0

1.4

5,5

12,8

14 4

35 4

46,4

41.5

30,0

24,2

20

15,0

6.1

4.0

1.S

8,6

15,6

36,0

49,4

62.5

67,3

30

70,7

47,8

27,^1

8,5

13,2

56,9

121,S

138,2

103,1

85.8

40

63.2

36.8

24,2

10,7

15,0

40,1

61,5

98,4

124,3

95,9

50

66,5

64,5

54.2

39,0

20.6

6,7

4,a

22 8

54,8

93,8

60

957

77,2

50,1

44,0

46.9

30,5

16,3

7,3

37,3

73 9

70

IHl),!

111,2 101,7

66.3

44,6

17,1

11,3

12.3

3,4

6,0

80

32,3

54,2 1 59,6

6:^,7

63,4

52,2

25,4

13,1

6,7

6,3

90

7.1

85,6

73,0

84.9

78,0

C. Deklinations-Variationen (423).

1 1840

1850

1860

1870

1880

Grccn-

Mai-

Green-

Mai-

Green-1 Mai-

Grcen-

Mai-

Green-

Mai-

1 wich.

land.

wich.

land.

wich. 1 land.

wich.

land.

wich.

land.

0 1

9,48

10.77

8,91

11.16

8,04

12.52

11,52

7,98

6,87

1 1 9,67

8,32

9,16

7,17

-10.55

7,51

12,53 i 11,00

9,15

7.68

2 1 9,04

7.50

9,24

7.58

8,47

7,61

11,91

10.32

8,80

7.66

3 1 9.01

7.35

8,06

7,59

9,53

7,26

10,31

8,64

9,22

8,17

4 i 8.G8

6,98

8,50

5,76

9,34

7,19

9,07

7,77

9,72

8,54

5

9,32

7,61

7.79

5,60

9.15

5,84

7..58

5.78

8,82

7,39

6

9,62

7.93

6,85

5,12

8,49

4.21

7,45

6,31

8,44

6,24

7

11,01

9,72

6.62

5,41

7,95

4.94

6,85

5,60

7,84

6.20

8

12.22

11.37

9.37

7,71

8.93

6.81

6,79

5.27

7,23

5,83

9

11,38

9,92

11.22

10,01

10,11

8,42

6,84

6,16

6,67

5,67

VIII d. Spektraltafel (294, 440, 448, 469). 359

Wellenlängen der wichtigsten Fraunliofer'schen Linien des Sonnenspektruins
iiiieh den Potsdamer Bestinmiuiigen ; die Einheit der Wellenlünge ist das
Milliontelmillimeter (}XfX). 5,F>'-" bedeutet .lie Fraunhofer'wohe Bezciehuung,
,,Atm.", dasg die betr. Linie oder Linicngruppo telliwisch -atmosphärischen
Ursprunges ist. (Vgl. Scheiner, Spektralanalyse).

lill

Fr.

Element.

Bemerkungen.

760,4

A

Atm. Sehr dunkel.

720,6

—

—

„ Breite Liniengruppe.

718,4

a

—

,,

687,1

B

—

„ Breites dunkles Liniensystem.

656,31

C

H

6—650

_

„ Gruppe von Streifen.

627,9

—

—

„ Breiter Streifen (% Angstr.).

7-588

—

—

Gruppe dunkler Streifen und Linien.

589,63

Dl

Na

589,02

D,

587,62

Helium ?

Helle Linie D3 der Sonncnohromosphäre.

0-567

Atm. Breites Linienband.

531,70

—

_

1474 Kirchh. Coronalinie.

527.02

E

Fe. Ca.

518,39

bl

Mg.

517,28

b2

Mg.

516,93

b3

Fe. Ni. Br.

516.77

b4

Mg.

486,16
434,07

F

H,
H.

(hT.)

430,83

G

Ca. Fe.

422,71

.

Ca. Sr.

410,20

b

H.

396,88

Hj

Fe. Ca.

393,42

Hs

Fe. Ca.

563,0

—

-

1 Grenzkanten der drei Hauptbänder im
i Kometenspektruni.

516,6
471,9

_

500,6
495,7

—

~

[ Die 4 hellsten Linien Im Spektrum der

486.1

F

H.

( Nebelflecke.

434,1

—

H.

J

557.1

—

—

Hellste Nordlichtliuie.

360

IX a. Planeten-

Name

und

Zeichen.

Mittl. Länpre
1850 11.0.

Länge

des

Perihols.

Länge
des aufst.
Knotens.

Neigung.

Mittl. tägl.
Bewegung.

Merkur $

327015' 20"

750 7' 14"

46^33' 9"

70 0' 8"

14732",42

Venus 9

245 33 15

129 27 15

75 19 52

3 23 35

5707,67

Erde 5

100 40 44

100 21 22

0 0 0

0 0 0

3548,19

Mars cf

83 40 31

"333 17 54

48 23 53

1 51 2

1886,52

Asteroiden

-

0-300

0-360

004i'_34043'

448-1139

Jupiter 2|.

160 1 10

11 54 58

98 56 17

1 18 41

299,13

Saturn t>

14 52 28

90 6 38

112 20 53

2 29 40

120,45

Uranus (?)

29 17 51

170 50 7

73 13 54

0 46 20

42,23

Neptun /^'

334 33 29

45 59 43

130 0 25

1 47 2

21,54

IXb.

Kometen-

Perihel-

Länge

Länge

1 1

des

des aufst.

Neigung.

Bewegung. 1

Durehgang.

Perihels.

Knotens.

i

1780 I 31

156"38'

3340 8'

130 30'

)

Encke i

1835 VIII 26

157 23

334 35

13 21

Dir.

1802 11 6

158 0

334 31

13 5

l

1888 VI 28

158 36

334 39

12 53

j

Tempclg

1889 II 2

300 8

121 9

12 45

Tenipola-Swift

1886 V 9

43 10

297 1

5 24

,

Rrorsen

1890 II 24

116 23

101 28

29 24

,

Winneoke

1880 IX 4

276 10

104 8

14 32

,

Tenipelj

1885 IX 26

241 22

72 24

10 50

,

Biela Kern^

1852 IX 24

109 5

245 50

12 33

,

>) 11 2

1852 IX 23

108 58

245 58

12 34

,

D'Arrest

1884 I 14

319 11

140 7

15 42

,

Faye

1881 I 23

50 49

209 35

11 20

,

Tuttle

1885 IX 11

116 29

269 42

55 14

Pons-Brooks

1884 I 26

93 21

254 6

74 3

,

Olber^

1887 X 8

149 46

84 30

44 34

)

1682 IX 15

301 56

51 11

17 45

]

Ilalley }

1759 III 13

303 10

53 50

17 37

\ Retr.

1835 XI 16

304 32

55 10

17 45

1

1861 n Tebutt

1801 VI 11

249 5

278 59

85 20

Dir.

1801 I

1861 VI 3

243 22

29 50

79 40

,,

1858 VI Donati

1858 IX 30

36 13

105 19

03 2

Retr.

1881 III Tebutt

1881 VI 16

265 13

270 58

63 26

Dir.

1811 I Flaugerg.

1811 IX 12

75 1

140 25

73 2

Rftr.

1874 III Coggia

1874 VII 9

271 0

118 44

66 21

Dir.

1882 II „

1882 IX 17

270 25

340 1

38 0

Re

tr. .1

Tafel.

361

Sidor. Unilaufsznit

Synod.

Halbe

Ex-

Durch-

Masse.

Dichte

Umlauf.

grosso

i

CPiitricität.

messer.

Sonne

Erde

inni.Tngon
87.97

in Jaliron

Axo.

km

= 1.

1,17

0,2408

115'\9

0,38710

0,20500

4800

1

5310000

224,70

0,0152

583,7

0,72333

0,00084

12700

1

0,81

412150

305,26

1,0000

-

1,00000

0,01677

12750

1

1,00

324439

G87,C8

1,8808

779.0

1,52309

0,09320

0700

1

0,71

30i»3500

1138-2887

3,12-7,90

-

2,1.3-3,97

0,012-0,380

0-400

-

-

4432 59

11,8020

398,0

r^ onoQn '

n n/(QOK

141100

1

0,24

!

1050

10759,24

29,4572

377,8

9,53886 ! 0,05607

1

118000

1

0,13

;i.-)00

30088,39
00181.11

84,0202
104,7009

309,3
367,2

19,18329 j 0,04034
30,05508 0,00896

54000
48400

1

0,20
0.30

24000

1
19700

Tafel.

Halbe

Ex-

Perihel-

Aphol- •

Umlaufs-

grosse

oenlri-

P.erechner.

Axe.

citiit.

Distanz.

Distanz.

zeit.

i 2.2080

0,8484

0,3348

4,0812

3",281

Eiicke

' 2.2228

0,8450

0.3444

4.1012

3,314

„

2.2174

0,8407

0,3399

4,0949

3,302

„

2.2202

0,8455

0,3431

4,0973

3,308

Bapkhiml

3^0059

0,5521

1,3403

4,0054

5,211

Schulbof

3,1177

0,0500

1.0720

5,1627

5,505

liossort

i 3.0991

0,8103

0,5878

5.0104

5,450

K. Lanip

1 3.2338

0.7262

0.8855

5,5822

5 815

Ilaerdtl

1 3,4853

0,4051

2 0783

4,8973

6,507

Gautior

i 3,5137

0,7552

0,8602

6,1673

0,587

1 ü'Arrcst

i 3,5287

0.7551

0,8006

0,1969

6;629

35492

0,6203

1,3264

5,7720

6,680

Villar.'oau u. L<-VPau

3-8541

0-5490

1,7381

5 9701

7,506

Müller

: 5,7422

0.8215

1,0247

10,4596

13,760

Rahts j

' 17,2232

0,9550

0.7751

33,0713

71,48

Schulhof u. Hosscrt j

' 17,4078

0,9311

1,1996

33,0159

72-63

Oinzel 1

18,1099

0,9079

0,5829

35'7509

775

Rosenberger

18.0854

0,9077

0,5845

35-5F03

76,9

„

: 17,9887

0.9674

0,5866

35,3908

76.4

1

"

0.9851

0,8224

i 409

Kreutz

0,9835

0,9207

i 415

Oppolzer

0,9963

0,5785

ea. 1900

Hill

0,9904 •

0,7345

2954

RoBsert

0,9955

1,0354

ca. 3000

Argelander

1

0.9988

0,6758

—

Heppergcr

(

0,9999

0,0078

—

Kreutz

;

23*

362

Xa. Sternbilder und Sternnamen.

Nr.

Sternbild.

Nr.

Sternbild.

"7

ürsa minor

43

Corvus

Acharnar =

= a Eridani

2

ürsa major

44

Centaurus

Aldebaran

a Tauri

3

Draco

45

LupuB

Alderamin

a Cephei

4

Cepheus

46

Ära

Algenib

a Persei

5

Bootes

47

Corona austr.

Algol

ß Persei

6

Corona bor.

48

Piseis austr.

Alphard

a Hydrie

7

Herkules

49

Coma BerenJces

Altair

a Aquil»

8

Lyra

50

Columba

Antares

a Scorpii

9

Cygnus

51

MonoceroB

Arcturus

OC Bootis

10

Cassiopeia

52

Camelopardalus

Arneb

a Leporis

11

Perseus

53

Hydrus

CanopuB

a Argus

12

Auriga

54

Phönix

Capella

a Aurigte

13

Ophiuchus

55

Dorado

Castor

Ot Geminorum

14

Serpens

56

Chamaeleon

Deneb

a Cygni

15

Sagitta

57

Piseis volans

Denebola

ß Leonis

16

Aquila

58

Crux

Dubhe

OC Urs» major

17

Delphinus

59

MuBca

Gemma

Ot Coron»

18

EquuIeuB

60

ApuB

Hamal

a ArietiB

19

Pegasus

61

Triangulum austr.

Markab

a Pegnsi

20

Andromeda

62

Pavo

Menkar

a Ceti

21

Triangulum

63

Indus

Pollux

ß Geminorum

22

Aries

64

Grus

Procyon

a Canis. min.

23

TauruB

65

Tucana

Regulus

OL Leonis

24

Gemini

66

Lynx

Rigel

ß OrionJs

25

Cancer

67

Leo minor

Sadalmclck

Ot Aquarii

2G

Leo

68

Sextans

Schedir

a Casfiiope»

27

Virgo

69

Canes venatici

Sirius

a Canis. major

28

Libra

70

Scutum Sobiesii

Sirrah

Ot AndromedsB

29

ScorpiuB

71

Vulpecula

Spiea

a Virginis

30

Sagittarius

72

Lacerta

Thuban

a Draconis

31

CapricornuR

73

ApparatUB sculpt.

Wega

a Lyraj

32

Aquarius

Pisccs

Cetus

Orion

Eridanus

LepuB

Canis major

76
77
78
79
80

Fornax
Horologium
Reticulum
Caelum sculptor.
Mons mensre
Equus pictoris
Antlia pneumntiea

Yildun

§ Urste minor

33
34
35
36
37
38

Nr. 1 — 48 finden sich schon
im Almagest des Ptolemiius auf-
geführt, Nr. 49-65 wurden im
16. und 17. Jahrh. namentlich
durch Bartsch und Bayer ein-
geführt, Nr. 60-72 von Hevel,

39

Canis minor

81

Norma

Nr. 73-84

von Lacaille.

40

Argo navis

82

TeleBOOpium

41

Hydra

83

Octans

42

Crater

84

MicroBcopium

Xa. Sterntafel.

363

Stern.

Gr.

Keet.
1900,0

Var.

Deel.
1900,0

Var.

T

z

h ni 8

s

0 / .

,

h m

0 '

(X, Andromed«!

2,0

0 3 13

3,1

28 32,2

0,33

0 3

18 50

t Ceti

3,3

14 20

3,1

— 9 22,7

0 33

14

56 44

12 Ceti

6,0

24 57

3,1

- 4 30,6

0,33

24

51 52

8 Androniedaj

3,3

33 59

3,2

30 19,9

0,33

33

17 3

r Aiidronicdac

4,1

42 2

3.2

23 43,5

0,33

41

23 39

43 Cophei

4,3

55 2

7',3

85 43,2

0,32

-

—38 20

ß Andromcdi«

2,3

1 4 7

3,3

35 5,4

0,32

l 3

12 17

a Urs. min.

2,0

22 31

24,2

88 46,5

0,31

—

—41 23

0 Persei

3,6

31 51

3,7

48 7,4

0.31

32

- 0 45

X Ceti

3,3

39 25

2,8

-16 27,9

0,31

36

63 49

g I'iscium

4,0

48 23

3,1

2 41,6

0,30

46

44 40

Y Andromedaj

2,4

57 46

3,7

41 51,0

0,29

57

5 31

ß Triaiigulum

3,0

2 3 36

3,6

34 30,9

0,29

2 2

12 52

g2 Ceti

4,0

22 50

3,2

8 0,8

0,27

20

39 21

§ Ceti

4,0

34 22

3,1

— 0 6,2

026

31

47 28

41 Arietis

3,8

44 5

35

26 51,0

0,25

42

20 31

YJ Eridani

3,0

51 33

2,9

9 17,8

0,24

47

56 39

a Ceti

2,3

57 3

3,1

3 41^9

0,24

53

43 40

8 Arietis

4,1

3 5 54

3,4

19 21,0

0,23

3 3

28 1

et Persei

2,0

17 12

4,3

49 30,3

0,22

17

- 2 8

£ Eridani

3,0

28 13

2,8

— 9 47,8

0,21

23

57 9

YJ Tauri

3,0

41 32

3,6

23 47,8

0,19

39

23 34

S Persei

3.3

51 8

4,0

89 43,3

0,18

50

7 39

V Tauri

4.0

57 50

3,2

5 42,8

0,17

53

41 39

0 ^ Eridani

4,4

4 6 59

2,9

-7 5,9

0,16

4 1

54 27

5 Tauri

4^0

17 10

3,5

17 18,5

0,14

13

30 3

OC Tauri

1

30 11

3,4

16 18,5

0,12

26

31 3

X Tauri

4,3

36 14

3,6

22 45,9

0,12

33

24 36

(. Aurigw

3,0

50 29

3,9

33 0,5

0,10

48

14 22

£ Urs. min. U.

4,3

56 12

97 47,9

—

—

—50 24

CL Aurigee

1

5 9 18

4,4

45 53,9

0,07

5 9

1 29

ß Orionis

1

9 44

2,9

— 8 19,0

0,07

3

55 41

Y Oriouis

2,0

19 46

3,2

6 15,6

0,06

15

41 7

OC Leporis

3.0

28 19

2,6

—17 53,6

0,05

21

6t 14

X Orionis

2,6

43 0

2,8

— 9 42,2

0,03

36

57 4

OC Orionis

1

49 45

3,2

i 7 23.3

0,02

45

39 59

ß Aurigu;

2,0

1 52 12

4,4

: 44 56,3

0,01

51

2 26

§ Urs. min. U.

4,3

j 6 4 32

93 23,1

—

—

-46 0

ß Can. maj.

2,6

1 18 17

2,6

—17 54,4

-0,03

6 11

65 15

Y Gemiuoruni

2,3

1 31 57

3,5

16 29,0

-0,05

28

30 5:^

364

Xa. Sterntafel.

Stern.

Gr.

Rcct.
1900,0

Var.

Decl.
1900,0

Var.

T

Z

h m B

0 '

,

h m

0 '

a Can. niaj.

1

6 40 44

2,6

—16 34,6

—0,08

6 34

63 55

51 Ccphei

5,1

53 45

29.8

87 12,3

-0,07

—

—39 49

^ Geminorum

4,0

58 11

3,6

20 43,2

—0,08

54

26 39

63 Aurigaj

5,0

7 4 47

4,1

39 29,0

-0,09

7 4

7 53

5 Geminorum

3,3

14 9

3;6

22 9,9

-0,11

11

25 12

ß Can. min.

3,0

21 44

3,3

8 29,5

—0,12

17

38 52

a Geminorum

2

28 13

3,8

32 6,4

—0,13

26

15 15

a Can. min.

1

34 4

3,1

5 28,8

-0,15

29

41 53

ß Geminorum

1,8

39 12

3,7

28 16,1

—0,14

36

19 7

y Geminorum

5,0

57 23

3,7

28 4^5

—0,16

55

19 18

t, Navis

3,0

8 3 17

2,6

—24 1,0

—0,17

56

71 21

ß Cancri

3,6

11 7

3,3

9 29,6

—0,18

8 7

37 52

Br. 1197

3,6

20 40

3,0

— 3 34.8

—0,19

16

50 56

S Cancri

4,0

39 0

3;4

18 31,3

—0,22

36

28 51

^ llydrte

3,3

50 7

3,2

6 19,5

—0,23

46

41 2

X Urs. moj.

3.3

56 48

4,1

47 33,1

—0,23

56

— 0 10

%• Hydra;

4,0

9 9 10

31

2 44,1

—0,25

9 5

44 37

1 II. Dracon.

4,3

22 50

8.9

81 46,1

—0,26

—

-34 23

10 Leon. min.

4,8

28 6

3,7

36 50,5

—0,26

27

10 32

£ Leonis

3,0

40 10

3.4

24 14,2

-0,27

38

23 8

U Leonis

5,0

54 56

3^2

8 31,4

—0,29

52

38 50

a Leonis

1,3

10 3 3

3.2

12 27,3

—0,29

10 1

34 54

r Leonis

3,0

11 8

3,3

23 54,9

—0 30

9

23 47

(1 Hydra

4.0

21 16

2.9

-16 19,5

—0,30

18

63 40

X Leonis

5,1

44 0

•3,2

11 4,4

—0,32

42

36 18

a Urs. maj.

2,0

57 34

3,7

62 17,5

—0,82

58

- 14 54

C}> Urs. maj.

S.l

11 4 3

3,4

45 2,5

-0,32

11 4

2 20

§ Leonis

2,3

8 47

8.2

21 4,4

—0,33

8

26 18

a Leonis

4,1

15 51)

3,1

6 34,7

—0,33

15

40 47

g Hydra'

4,0

28 5

2,9

-31 18,2

-0^33

27

78 36

3 Dracon.

5,3

36 54

3,4

67 18,0

—0,33

—

—19 55

ß Leonis

2,0

43 58

3.1

15 7,8

—0,34

43

32 15

e Corvi

3,0

12 4 59

3,1

-22 3,8

—0,33

12 5

69 24

TT) Virgin.

3,3

14 48

3,1

— 0 6,7

—0 33

15

47 28

0 Corvi

2,3

24 42

3,1

—15 57,6

-0,33

25

63 18

24- rom.x

5,2

30 7

3,0

18 55,6

—0,33

39

28 27

£ Urs. maj.

2,0

49 39

2,7

56 30,1

-0,33

50

— 8 8

43 Cepli. U.

4,3

55 2

—

94 16,8

—

-

--46 53

%• Virgin.

4,3

13 4 47

3,1

— 4 59,7

-0,32

13 e

52 21

Y Hydra;

3,2

13 29

3,2

-22 38,0

-0,32

15

''.;) 5S

Xa. Sterntafel.

365

Stern.

Gr.

Kekt.
1900,0

Var.

Dekl.

1900,0

Var.

T

z

1) ni s

s

0 '

,

h m

0 '

a Virgin.

1

13 19 56

3,2

—10 38,4

-0,31

18 22

58 0

a Urs. min. U.

2,0

22 31

91 13,5

—

—43 50

^ Virgin.

ß^n

29 36

3,1

— 0 5,1

—0,32

32

47 27

7J Urs. niaj.

2 0

43 36

2,4

49 48,7

—0,80

44

— 2 26

yj liootis

3,0

49 56

2,9

18 54,0

—0,80

51

28 28

X Virgin.

4.0

56 33

3,0

2 1,7

-0^29

14 0

45 20

a Driicon.

3,3

14 1 41

1,6

64 51,2

—0 29

—

—17 29

(1 IJootis

5,0

5 51

2,7

25 83,8

-0,29

7

21 48

a .liootis

1

• 11 6

2,7

19 42,2

—0,31

13

27 39

^ IJüotis

3,8

21 47

2,0

52 18,8

—0^28

21

— 4 56

Y Bootis

29

28 3

2,4

38 44,8

—0,26

29

8 37

U' üootis

4,3

86 1

2,8

16 50,8

—0,26

38

30 31

a liibrm

2,3

45 21

3,3

—15 87,6

—0,25

50

62 58

ß Urs. min.

2,0

51 0

—0,2

74 33,8

-0,25

—

-27 11

Cj> ßootib

4^3

15 0 10

2,6

27 20,2

—0,24

15 1

20 2

ß Li.,r.

2,0

11 37

3,2

- 9 0,8

—0,22

17

56 22

{1 liootis

3^8

20 43

2.3'

37 43,6

—0,21

22

9 89

Y Libriv

4.3

.29 55

3,3

-14 27,4

—0,20

35

61 48

a Corona;

2,0

30 26

2,5

27 3,1

—0,20

32

20 19

a Serpcnt.

2,3

39 21

3,0

6 44,4

—0,19

43

40 37

S Scrpent.

3,3

45 50

8,0

4 46,7

—0,18

50

42 35

£ Coronie

4,0

53 26

2,5

27 lojo

—0,18

56

20 12

ß Scorpii

2,0

59 88

3.5

—19 32,0

—0,17

10 6

66 53

S Opiiiuelii

3,0

16 0 7

3,1

— 3 26,2

-0,16

14

50 48

X Hor.-iilis

3.3

16 44

1,8

46 33,0

—0,15

17

0 50

a Soorjiii

1.3

23 1.7

3.7

—26 12,6

-0,14

29

73 32

^ Oi.liitiehi

2.6

81 40

8,8

—10 22,0

—0,18

38

57 43

Tj llcrc'ulis

3,1

39 29

2,1

39 6,7

—0,12

41

8 16

IC Ophiuchi

3,3

52 56

2,8

9 31,8

—0,10

57

37 51

£ l'rs. min.

4,3

56 12

—6,3

82 12,1

—0,09

—

-34 49

7) Ophiuchi

2,3

17 4 38

3,4

—15 36,1

-0,08

17 12

62 57

§ Horculis

3 0

10 55

2,5

24 57,4

-0,07

14

22 25

0" Ophiuchi

■14

15 53

3,7

-24 54,1

—0,07

23

72 13

a Oi.liiuclii

2,0

30 18

2,8

12 38,0

— 0,05

34

34 44

0 Horculis

3,3

36 89

1.7

46 3,5

-0,03

37

1 19

}1 Iler.ulis

3,3

42 33

2 3

27 46,7

—0,04

46

19 35

^ Horeulis

4,0

52 50 ,

2,1

37 15,8

—0,01

54

10 7

T «"'^"'-

3 3

59 23

8,9

—30 25,5

0,00

18 7

77 44

8 Urs. min.

4 3

18 4 32

-19,5

86 36,9

0,01

—

—39 13

7] Serpent.

•3,0

16 9

3.1

— 2 55,5

0,01

22

50 17

366

Xa. Sterntafel.

Rekt.
1900,0

Dekl.
1000,0

Y Dracon.
a Lyrue
110 Ilerculis
51 Cephci U.
^ Aquilsc

(1) Aquil«;

5 Aquilaä

h Sagitt.

Y AquilsE
a Aquila;

Y Sagitta;
■u" Aquila;
Ot^ Capiic.

Y Cygni

£ Delpbiiii

a Cygni

£ Aquiirii

Y Cygni
61' Cygni
C Cygni
OC Cci)liei

1 Dracon. U.

ß Cephei

£ Pegasi

16 Pegasi

Ot Aqiiarii

L, Cephci

Y Aiiuarii
7 Laecrta;
t, Pegasi
X Aquarii

OC Pisc. austr.

a Pegasi

C Aijuarii

Z Pegasi

y, Pisciuni

(, Andromeilie

0)2 Aquarii

^> Pegasi

(0 Pisciuui

38

1

4,0

5,1

3 0

5,6

3,;

4^6
3,0
1,3
3,6
3,0
3,3
2,4
4,0
1,6
3,6
4.0

5;?

3,0
2,6
4,3
3,0
2,3
53
3,0
3,4
3,4
4,0
3.3
4,0
1,3
2,0
4,0
4,6
5,3
40
4,6
5,6
4,0

21

b m 8

18 22 51
33 33

'41 21

53 45

19 0 49
13 7

20 27
30 38

41 31
45 54

54 19

20 6 9
12 31
18 39
28 27

38 1

42 15

53 27
2 25
8 41

16 11
22 50
27 22

39 17
48 31

0 39

7 24

16 30

27 11

36 28
47 24
52 8
59 47

4 7
15 41

21 50
33 14

37 33
47 24

54 11

22

23

+2,0

3.0
3,7
2,9
2,9
2,7
3,1

2,9 i

2,0 {

3,2 I
2:2!

2,7 I

2,6 I

1,4 \

0,8 I

2;9|

2,7
3,1
2,1
3,1
2,5
3,0
3,1
3,3
3,0
3,2
3,0
3,1
2,9
3,1
3,0
34

0 '
72 41,2
38 41,4
20 27,1
92 47,7

13 42,9
11 24,9

2 54,9

-25 6,2

10 22,2

8 36,3
19 13,2

-1 7,1

-12 51,3

89 56,3

10 57,8

44 55,4

- 9 51,7
40 47,0
38 15,5
29 49,0
62 9,7
98 13,9
70 7,3

9 25,0
25 27,3

- 0 48,3
57 42,5

■ 1 53,5
49 46,2
10 18^6

- 8 6,7
-30 9,1

14 40,0
-21 42^9

23 11,6
0 42,5

42 42,9
-15 5,9

18 33,9
6 18,6

0,00
0^05
0 05

0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,16
0,17
0.18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,

0,

0,24

0^25

0,26
0,27
0,'

0,:

0,29
0,30
0,31
0,31
0,32
0,32
0,32
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33

18 36
45

19 5
17
25
37
45
50
57

20 11
18
20
32
38
47
54

21 3
10

42
50

22 3
5

19
27
38
. 49
54

23 1
6

16
22
33
38
47
54

Xa. Hilfstafel für die Mayer'sche Formel 3G7

(cp = 470 22' 40'0.

D

si (cp-D)
coD

CO (cp-D)
coD

se D

D

Si (cp-D)

CO (cp-D)

sec D

coD

coD

0

—30

1,127

0,252

1,155

0
10

0,010

0,807

1,015

-29

1,111

0,209

1,143

11

0,004

0,820

1,019

—28

1,090

0,280

1,133

12

0,592

0,833

1,022

-27

1,081

0,302

1,122

13

0,580

0,847

1,020

-2G

1,000

0,318

1,113

14

0,507

0,801

1,031

-25

1,052

0,334

1,103

15

0,554

0,874

1,035

-24

1,037

0,349

1,095

10

0,512

0,888

1,040

—23

1,023

0,305

1,080

17

0,529

0,902

1,040

-22

1,009

0,380

1,078

18

0,510

0,910

1,051

—21

0,990

0,395

1,071

19

0,503

0,930

1,058

-20

0,982

0,409

1,004

20

0,489

0,945

1,004

—19

0,909

0,424

1,058

21

0,470

0.900

1,071

—18

0.950

0,438

1,051

22

0,402

0,974

1,078

-17

0,943

0,452

1,040

23

0,448

0,988

1,080

—10

0,930

0,400

1,040

24

0,434

1.005

1,095

—15

0,917

0^480

1,035

25

0,420

1,020

1,103

—14

0,905

0,494

1,031

20

0,400

1,030

1,113

—18

0,892

0,507

1,020

27

0,391

1,052

1,122

—12

0,880

0,521

1,022

28

0,370

1,008

1,133

—11

0,807

0,534

1,019

29

0,301

1,085

1,143

—10

0,855

0^547

1015

30

0,345

1,102

1^155

— 9

0,843

0,500

1,012

31

0,329

1,119

1,107

— 8

0,831

0,574

1,010

32

0,313

1,137

1,179

-7

0,819

0,587

1,007

33

0,290

1,155

1,192

— C

0,807

0,000

1,005

34

0,279

1,173

1,200

— 5

0,795

0,013

1,004

35

0,202

1,192

1,221

— 4

0,783

0,020

1,002

30

0 244

1,212

1,230

— 3

0,771

0,038

1,001

37

0,220

1,232

1,252

— 2

0,759

0,051

1,001

38

0,207

1,252

1,209

— 1

0,748

0,004

1,000

39

0,188

1,273

1,287

0

0,730

0^077

1,000

40

0,108

1,295

1305

1

0,724

0,090

1,000

41

0,147

1,317

1,325

2

0,712

0,703

1,001

42

0,120

1,340

1,340

3

0,700

0,710

1,001

43

0,1,04

1,303

1,307

4

0,089

0,728

1,002

44

0,082

1,388

1,390

5

0,077

0,741

1,004

45

0,059

1,413

1,414

6

0,005

0,754

1,005

40

0,035

1,439

1,440

7

0,053

0,707

1,007

47

0,010

1,400

1,400

8

0,041

0,780

1,010

48

—0,010

1,494

1,494

9

0,029

0,794

1,012

49

—0,043

1,524

1,524

368 Xa. Hilfstafel für die Mayer'sche Formel

(cp = 470 22' AO"),

D

si (cp-D) CO (cp-D)

sec

T)

I)

Si (9-D)

CO (cp-D)

sec D

coD

coD

^'

coD

coD

50

—0,071

1,554

1,556

0 '
70 0

—1,125

2,699

2,924

51

—0,100

1,586

1.589

30

—1,170

2,755

2,990

52

—0,131

1,619

1,624

71 0

—1,231

2,814

3,072

53

—0,163

1,654

1,662

30

—1,288

2,876

3,152

54

—0,196

1,690

1,701

72 0

—1,348

2,942

3.236

55

—0,231

1,728

1,743

30

—1,412

3.011

3,326

56

—0,268

1,768

1,788

73 0

—1,479

3,084

3,420

57

—0,307

1,810

1,836

30

—1,550

3,161

3,521

58

—0,348

1,855

1,887

74 0

—1,026

3,243

3,628

59

-0,391

1,902

1,942

30

—1,700

3,331

3,742

CO

-0,437

1,952

2,000

75 0

—1,791

3,423

3,864

61

—0,486

2,005

2,063

30

—1,883

3,522

3,994

02

-0,538

2,061

2,130

70 0

—1,980

3,628

4,134

63

-0,593

2,121

2,203

30

—2,085

3,742

4,284

64

—0,653

2,180

2,281

77 0

—2,197

3,864

4,445

05

- 0,710

2,255

2,366

30

—2,319

3,996

4,620

60

-0,785

2,330

2,459

78 0

—2,450

4,139

4,810

67

-0,860

2,411

2,559

30

—2,593

4,294

S,016

68

-0,940

2,498

2,669

79 0

—2,748

4,403

5,241

69

—1,028

2,594

2,790

30

—2,918

4,047

5,488

Pol-

D

Si (cp-B)

co(cp-D)
coD

sec D

si (9+D)

CO((p+D)

Sterne.

coD

coD

coD

1 Drnoon, |

0 '

8149

— 3,973

5,794

7,025

&,445

— 4,440

50

- 3,983

5,805

7,040

5,454

— 4,450

S Urs. min. |

82 13

— 4,218

0,061

7,384

5,690

— 4,706

14

— 4,229

0,072

7,400

5,701

— 4,718

43 Cophci 1

85 38

— 8,132

10,314

13,134

9,004

— 8,959

39

— 8,100

10,351

13,184

9,038

— 8,996

40

— 8,201

10,388

13,235

9,672

— 9,034

Sl>..min.{

86 36

—10,062

13,003

10,862

12,134

—11,708

37

—10,718

13,124

16,945

12,190

—11,770

51 C-phoi {

87 13

—13,193

15,813

20,593

14,664

—14,458

14

—13,277

15,904

20,717

14,749

—14,550

a L'r.. min..j

88 41

—28,720

32,692

43,520

30,198

—31,338

42

—29,104

33,103

44,077

30,576

-31,748

l.

43

-29,4

92

3

3,524

44,650

30,903

—

32,169

Xb. Veränderliche und neue Sterne

(A = Alg-oltypus).

369

1

Stern.

Rekt.

Dekl.

Grösse

Far- j

Speetr.

Periode

1900.0

1900.0

Max. Min.

be. 1

typ-

etc.

T Cassiop.

h ni
0 18

ü .
55 14

7—11

j.

Illa

445^*

B Cassiop.

19

63 36

>1-?

—

—

Nova 1572

S Andromedee

37

40 43

7— 0?

S-

—

Nova 1885

U Cephei

53

81 20

7- 9

w.

I

2*^493 (A)

S Cassiop.

1 12

72 5

7-<13

rch.

III

611'^

0 Ceti

2 14

— 3 26

2- 9

roh.

Illa

331^^

ß Persei

3 2

40 34

2— 4

w.

I

2'^,867 (A)

X Tauri

55

12 13

3- 4

w.

I

3,953 (A)

R Aliriga;

5 9

53 28

6—13

r.

III

461'^'

T Auriga)

26

30 22

5-14

S-

—

Nova 1892

Z, Getninorum

6 58

20 43

4— 5

s-

II?

10<*,]5

R Geminorum

7 1

22 52

7— <13

T.

IIb

371^

R Can. maj.

15

-16 12

6— 7

W.

II

1*^,136 (A)

U Geminorum

49

22 16

9—13

W.

—

86^

R Caneri

8 11

12 2

6-<l2

rch.

llla

353^^

S Caneri

38

19 24

8—10

w.

la

9'*.485 (A)

7J Argus

10 41

—59 10

>l-7

S-

Irregulär

R Virginis

12 33

7 32

7—11

geh.

Illa

146*

U Virginis

46

6 6

8—13

8-

Illa

207*^

R HydrsB

13 24

—22 46

4—10

rch.

Illa

425*^

S Libr»

14 56

- 8 7

5— 6

w.

I

2*^,327 (A)

U Coronw

15 14

32 1

8— 9

w.

I

3,452 (A)

R Coronw

44

28 28

6—13

w.

III

Irregulär

T Corona

55

26 12

2—10

S-

IIb

Nova 1866

T Scorpii

16 11

-22 44

7— <12

—

—

Nova 1860

S Herkulis

47

15 7

6—13

g-

Illa

308*^

Opliiuehi

54

-12 44

6—13

S-

—

Nova 1848

a Herkulis

17 10

14 30

3— 4

r.

Illa

Irregulär

Ophiuchi

25

—21 24

>1- ?

—

—

Nova 1604

R Scuti

18 42

— 5 49

5- 9

S-

II?

n^

ß Lyr«

46

33 15

3— 5

\v.

Ic

12<^,91

11 Vulpec.

19 43

27 4

3-?

—

—

Nova 1670

X Cygni

47

32 40

4-14

rch.

Illa

406^

7] Aquilw

47

0 45

4— 5

Vf.

IIa

7*^,18

P Cygni

20 14

37 43

3— <6

geh.

—

Nova 1600

T Aquarii

45'

- 5 31

7—13

g-

Illa

203'^

Y Cygni

48

34 17

7- 8

w.

—

l'*,498 (A)

Q Cygni

21 38

42 23

3—14

geh.

—

Nova 1876

e Cephei

22 25

57 54

1 4— 5

g-

II

5*^,366

R Cassiop.

23 53

50 50

! 5-12

r.

Illa

429**

Wolf, Tas

clienbu<

ih

2^

t

370

Xc. Verzeichnis von Doppeisternen.

Stern.

Rekt.
1900.0

Dekl.
1900,0

Di-
stanz.

Grös-
sen.

Farben.

Periode.

h m

0 '

"

rj Cassiop.

0 43

57 17

5,0

4

8

?•

r.

ca. 200*

a Urs. min.

1 22

88 46

18,6

2

9

&•

blch.

Y AriPt.

48

18 48

8,5

4

4

w.

w.

Y Andromedaj

58

41 51

10,3

3

5

S-

bl.

L Cassiop.

2 21

66 57

2,2

4

7

S-

bl.

S2 Eridani

3 49

-3 15

6,8

4

0

s-

bl.

ß Orionis

5 10

— 8 19

9,7

1

8

w.

—

X Orionis

29

9 52

4,4

4

6

«■

r.

^ Orionis

36

-20

2,7

2

6

g-

rch.

a Can. maj.

6 41

—16 35

5,8

1

10

w.

—

49''

a Geminorum

7 28

32 7

58

2

3

grch.

grch.

^ Cancri

8 6

17 57

1,0

6

7

S-

g-

60''

',"2 Cancri
38 Lync.
Y Leonis

48

9 13

10 14

30 58
37 14
20 21

1,4
3.0
3,5

6

6

. "7

crrnh

g-
bl.
grch.

3

4

grcD.

>400''

^ Urs. maj.

11 13

32 5

1,6

4

5

s-

aschf.

60''

Y Virginis

12 37

— 0 54

5,6

3

3

s-

g-

180^

t, Urs. maj.

13 20

55 27

14.5

3

4

w.

w.

7J Corona'

15 19

30 39

0-6

5

6

g-

g-

40*

^ Corona

36

36 58

6,3

4

5

grch.

grch.

ß Scorpii

16 0

-19 32

13,6

2

4

w.

rch.

OC Scorpii

23

_26 13

2,9

1

8

r.

gr.

X Ophiuchi

26

2 12

1,4

4

6

g-

blch.

230^^

a Herkulis

17 10

14 30

4.7

3

6

g-

r.

T Ophiuchi

58

_ 8 11

1,7

5

6

geh.

geh.

ca. 220

70p Ophiuchi

18 0

2 32

22

5

6

g-

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S' Lyra;

41

39 34

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5

6

grch.

blch.

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41

39 30

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5

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w.

w.

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27 45

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6

g.

bl.

X Cyerni

44

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5

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w.

—

Öl Cygni

21 2

38 15

21,2

6

6

g-

g-

X Cygrni

11

37 37

0,5

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g.

bl.

ß Cephei

27

70 7

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grch.

bl.

1 Cephei

22 1

64 8

6,7

5

7

geh.

bl.

7t Cephei

23 5

74 51

1.2

5

10

g-

r.

0 Cassiop.

54

55 12

3,0

5

7

gf-

bl.

Farbenbezeichnungen: w. = •weiss, g. = gelb, geh. = gelblich, gr. = grün,
grch. = grünlich, bl. = blau, blch. = bläulich, r. = rot, rch. = rötlich.

Xd. Verzeichnis von Nebelflecken und Sternhaufen. 371

Hekt.
1900,0

Dekl.
1900.0

B e m e r k u 11 fr e 11 .

h m
0 37

0

40

43

neb.,

(.\nclromPilH), sehr frross und hell.

43

-25

50

neb..

ziemlich gros« und hell.

1 28

30

9

neb.

gross, massig hell.

52

37

11

cum.

, gross, reich, Sterne hell.

2 15

56

40

cum.

, (Perseus), sehr gross und reich, Sterne 7 — 14ni.

IG

41

54

neb.

gross, ziemlich hell.

3 41

23

47

cum.

, Plejadengruppe.

4 10

—13

0

neb.

planetarisoh, ziemlich hell, klein.

24

37

cum.

21

57

neb.,

5

27

neb..

32

31

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46

neb.,

11

44

cum

- 1

16

cum

41

59

neb.

kugelförmig, reich, auflösbar.

gros« und hell, (Crab-Nebel).

Grosser Orionnebel.
., reich, Mitte ver<iiohtet.

gross, hell, Sterne 8m.

Doppelnebel, klein, lichtschwach.
, gross, hell und reich.

(Cancer), Prtesepe.

hell, gross, länglich, Kern.

planetarisch, hell, 45" Durchm.

planetarisch, hell, Mitte verdicbret, 150" Durch .n.

Spiralnebel, ziemlich hell.

ziemlich hell und gross, 2 Kerne.

Spiralnebel, gross, (Jagdhunde).

hell, gross, kugelförmig, Sterne lim.

11— 15ni.
,, ,, ,, auflösbar.

,, „ ,, Mitte verdichtet.

. „ „ ,, „ „ (Herk.)

I sehr reich, auflösbar.

gross und hell, (Trifid neb.).
„ ,, ,, mit grossem Sternhaufen.

., reich, sehr dicht, Sterne 15in.

hell, gross, unregelmässige Form.
, ., ., reich, Sterne 11 — 15m.

, „ „ ,, ,, lim.

Ringnebel (Lyra), hell.

»ehr hell und gross (Dumbbell-Nebel)*

planetarisch, klein, hell, elliptisch.
, hell, gross, auflösbar, Mitte verdichtet.
, auflösbar, Sterne sehr klein, ,,

planetarisch, klein, hell.

372 XI a. Immerwährender Gregor. Kalender (360, 62).
{g g-enieiiie, s Schaltjahre.)

■^

Januar.

Februar.

März.

April.

Mai.

Juni

s: 8

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31

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29

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d 27!e

XI b. Epakte, Sonntagsbuchstabe im

i Ostern

(362).

1801

15d 5A

1814

9b

10 A

1827

3 g

15A

18401

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22 M

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17 b

3A

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19

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22 A

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22 e 23 M

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22 d 29 M

t 20

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7f

7A

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25 b 23 A

10

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23

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26 M

50

17 f 31 M

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17 e 29 M

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39

1

5 f .

nM

\ 52

9d

IIA

XB. Die der Epakte entsprechenden Zahlen
Tage itiit Neumond.

des Kalenders fallen auf

XI a. Immerwährender Gregor. Kalender.

{g gemeine, .9 Schaltjahre).

373

Juli.

August.

Sei>tember.

Oktober.

November.

Dezember.

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31

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a 19

b

XI h. Epakte,

Sonntagsbuchstabe und Ostern.

1853

20 b 27 M

1865

3a

16A

1877

15 g

lA

1889

28 f 21 A

54

1 a 16 A

66

14 g

lA

78

26 f

21 A

90

9 e 6 A

55

12 g 8A

67

25 f

21 A

79

7 e

13 A

91

20 d 29 M

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23 f 23M

t 68

6 e

12A

t 80

18 d

28 M

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82

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94

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59

26 b 24 A

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9A

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25 M,

95

4 f 14A

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31 M

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15 e 5A

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18 f 31 M

73

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13A

85

14 d

5A

97

26 c 18 A

62

0 e 20 A

74

12 d

oA

86

25 0

25 A

98

7 b 10 A

63

11 d 5A

75

23 c

28 M

87

6 b

10 A

99

18 a 2A

t 64

22 0 27 M

t 76

4b

16A

t 88

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1

lA

tl900

1 Og 15 A

1

NB. Die dem SonntagsbuubstnbeB entsprechenden Buchstaben des Ka-
lenders bezeiehnea Sonntage. — M bezeichnet März, Ä April.

374 XI c. Römischer und französischer Kalender (360).

Calendffi (Januaria;)
a. d. IV Nonag (Jan.)

— III —

Pridie —

Nonse (Januarise)
a. d. VIII Idus (Jan.)

— VII —

— VI —

— IV —

— III —
Pridie —
Idus (Januari£e>
a.d.XIXCal. (Febr.)

— XVIII —

— XVII —

— XV —

— XIV —

— XIII —

— XU —

— XI —

— IX —

— VIII —

— VII —

— VI —

— IV —

— III —

Pridie —

Cal.
IV

in

Prid.

Non.

VIII

VII

VI

V

IV

III

Prid.

Idus

XVI

XV

XIV

XIII

XII

XI

X

IX

VIII

VII

VI

V

IV

III

Prid.

Januar geht nach I

Februar

März

April

Mai

Juni

Juli

Augrust

Septembe

Oktober

Xoveniber — IV

Dezember — I

II od.

V

IV

V

IV

V

I

IV

V

Cal.
IV
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Prid.
Non.
VIII
VII
VI
V
IV
III
Prid.
Idus
XVII
XVI
XV
XIV
XIII
XII
XI
X
IX
VIII
VII
VI
V
IV

III

Prid.

Cal.
IV
III
Prid.
Non.
VIII
VII
VI
V
IV

III

Prid.

Idus

XVIII

XVII

XVI

XV

XIV

XIII

XII

XI

X

IX

VIII

VII

VI

V

IV

III

Prid.

Cal.
VI
V
IV

III

Prid.

Non.

VIII

VII

VI

V

IV

III

Prid.

Idus

XVII

XVI

XV

XIV

XIII

XII

XI

X

IX

VIII

VII

VI

V

IV

III

Prid.

Die Tage II bis XVI, XVII
oder XVIII vor den Calen-
den eines Monats werden
bereits nach diesem Monat
benannt. So z.B. bedeutet:
„Scripsi ante diem decinium
sextum Calendas Februa-
rias," dass ich am 17. Januar
geschrieben habe. — Für
den Römischen Kalender
wurde Idelers Chronologie
zu Grunde gelegt.

1792 Sept.

1793 —

1794 —

1795 —

1796 —

1797 —

1798 —

1799 —

1800 —

1801 —

1802 —

1803 —

1804 —

14 1805 —

21 (265)

21 (264)
21 (264)

22 (265)
21 (265)
21 (264)

21 (264)

22 (265)
22 (266)
22 (265)

22 (265)

23 (266)
22 (266)
22 (265)

0 Vendemiaire
0 Brumaire
0 Frimaire .
0 Nivose
0 Pluviose .
0 Ventose .
0 Germin al
0 Floreal .
0 Prairial
0 Messidor .
0 Thermidor
0 Fructidor

120
150
180
210
240
270
300
330

Diesen 12 Monaten ä
30 Tagen folgten 5 bis 6
jours complementaires.
Die 30 Tage waren in
drei Decaden geteilt,
deren Tage : Primidi,
Duodi, Tridi, Quartidi,
Quintidi, Sextidi, Sep-
tidi , Oetidi , Nonidi,
Decadi hiessen.

Mit Hülfe von Tafel
VIII b hat man z. B.
17 Messidor de l'an 7
= 270+17 + 264 = 551
= 0 Jan. 1798 + 551
= {) Jan. 1799 + 186
= 5 Juli 1799.

XII a. Statistische Tafel.

375

Fläche

Bevölkerung

Ein-

Land.

per

Hauptort.

in km-'

absolut

km2

wohner.

Europa

9,892045

358.803000

36

_

Belgien

29457

6,136444

209

Brüs»el

180147

Dänemark

38279

2,172380

57

Kopenhagen

312859

Deutsches Reich

540419

49.428470

91

Berlin

1,579244

Frankreich

528876

38,343192

71

Paris

2.447957

Griechenland

65119

2,187208

34

Athen

107846

Grossbritanien

314628

37,879285

120

London

4,211056

Italien

286589

30.347291

106

Rom

436000

Niederlande

33000

4.511415

140

Amsterdam

426914

Öster.-Ungarn

625557

41,384638

66

Wien

1,364548

Portugal

89372

4,306554

48

Lissabon

242297

Russlnnd (Eur.)

4,889062

85,395209

20

St. Petersburg

954000

Schweden

450574

4,784981

11

Stockholm

250528

Schweiz

41419

2,917754

70

Bern

46009

Zürich

1723

337183

196

Zürich

136000

Bern

68«4

536679

78

Bern

46009

Luzern

1501

135360

90

Luzern

20314

Uri

1076

17249

16

Altorf

2542

Schwyz

908

50.307

55

Schwyz

6616

Kidwaiden

290

12538

43

Stans

2458

Obwalden

475

15043

32

Samen

3906

Glaru»

691

33825

49

Glarus

5357

Zug

239

23029

96

Zug

5120

Freiburg

1669

119155

71

Fribourtr

12195

Solothurn

792

85621

108

Solothurn

8317

Baselstadt

86

73749

2060

Basel

69809

Baselland

425

61941

146

Liegtal

4850

Schaffhausen

294

37783

128

Schaffhausen

12315

Ausserrhoden

261

54109

208

Herisau

12937

Innerrhoden

159

12888

81

Appenzell

4472

St. Gallen

2019

228174

113

St. Gallen

27390

Graubüuden

7185

94810

13

Chur

9259

Aargau

1404

193580

99

Aarau

6699

Thurgau

1005

104678

104

Frauenfeld

5996

Tessin

2818

126751

45

Bellinzona

3290

Waadt

3232

247655

77

Lausanne

33340

Wallis

5247

101985

19

Sion

5424

Neuenburg

808

108153

134

Neuohatel

16261

Genf

277

105509

381

Geneve

52043

Spanien

504552

17.565632

35

Madrid

470283

Türkei (Eur.)

226993

7,088625

31

Konstantinopel

873565

Aeien

44,142658

825,954000

19

—

—

China

4.004050

350.000000

90

Peking

1,600000

Afrika

29,207100

103.953000

5

—

—

Amerika

38,334100

121,713000

3

—

—

Brasilien

8,361350

14.600000

2

Rio Janeiro

800000

Mexiko

1,946523

11.395712

6

Mexiko

330000

V^erein. Staaten

9,212300

62.981000

7

Washington

230000

Australien

7.695726

3,230000

0,4

—

—

376 XII b. Historisch-litterarische Tafel.

— 4713! Anfang der Julianischen Periode Scaligers.
— 4179! Schöpfung nach alter Jüdischer Zeitrechnung.
— 2697|Älteste erhaltene chines. Beobachtung einer

[Finsternis.
— 1100 Tschu-Kong bestimmt die Schiefe der Ekliptik.

— 776lBeginn der Griech. Zeitrechnung nach Olym-

Ipiaden (4»).

— 753|Jahr der Erbauung Roms (Beg. röm. Zeitrechn,).

— 585| Sonnenfinsternis nach Thaies Voraussage.

— 540!Pythagoras lehrt die Kugelgestalt der Erde.

— 433| Meton'scher Cyclus von 19 Jahren und 235 Monden.

— 400|Plato lehrt (mindestens) die (tägl.) Bewegung

ider Erde.

— 360iEudoxas und Aristoteles führen die Induktion ein.

— 300!Euklid, der Geometer (Elemente; s. 1533, 1814).

— SOOjTimocharis und Aristill, Sternkatalog {JR, D).

— 270!Aristarch versucht die Parallaxen-Bestimmung.

— 250!Archimedes (tc, Quadratur, Hebel, Dichte; s. 1807).

— 240|Apollonius von Perga, der Geometer (s. 1861).

— 220:Eratosthenes niisst die Erde (Sieb, Hungertod).

— löOJHipparch: Präcession, Theorie der Sonne.

— 46|Jul. Cäsars Kalenderreform (Jahr derVerwirrung).

— 7jKonjunktionen von Jupiter und Saturn (Geb.

i Christi?).
+ 150 Ptolemäus schreibt den Almagest (s. 1538, 1813).

350,Diophantos Alexandr., der Arithmetiker (s. 1575).

380 Pappos Alexandr., der Sammler (s. 1660).

525 Dionysias führt Jahr 754 von Rom als Jahr 1 ein.

622 Flucht Mohammeds (Aera für die moh. Zeitrechn.),

820jMohammed ben Musa führt den Sinus ein.

827|A1 Mamouns Gradmessung bei Bagdad.
llSllDer Kompass wird in Europa bekannt.
1206 Universität Paris, 1221 Padua, 1249 Oxford, 1343
IKrakau, 1365 Wien, 1409 Leipzig, 1460 Basel, etc.
1202 Fibonacci, Liber Abaci et Practica geometrise.
1300 Salvino degli Armati fabriziert Brillen.
1364 Heinrich von Wick konstruiert eine Gewichtuhr.
1438 Guttenberg (1 397-1468) erfindet die Buchdr uckerk.
1460|Peurbachii (1423—1461) theoricse planetarum.
147l'Dante (1265—1321), Divina Comedia (erste Ausg.).
1474 Regiomontan (1436—1476), Ephemerides.
1484 Walther (1430—1504) beob. an einer Räderuhr.
1492|Chr. Columbus (1435—1506) entdeckt Amerika.

Xllb. Historisch-litterarische Tafel. 377

1498 Vasco de Gama (14..— 1524) schifft nach Indien.
1519 bis 1522 Magelhaens Reise um die Welt.

1524 Christoph Rudolf, die Coss (n eingeführt).

1528 Joh. Fernelii Cosmotheoria. (Gradmessung).
1533Eu"/,X£i§ou ozoi^^io)'^ ßißX. te. (1. Ausgabe durch

IGrynseus).
1538'nxoX£}iaiou auvxd^sü)^ ßißX. ly. (1. Ausgabe durch

iGrynseus).

1542 Nonius (1497—1577), De crepusculis (kürz. Dämm.).

1543 Nie. Copernicus (1473—1543), De revolutionibus.

1544 Mich. Stifel (1487—1567), Arithmetica integra.
1544i Georg Hartmann entdeckt die Inklination.

1545 C. Gessner (1516—1565), Bibliotheca universalis.

1545 Cardano (1501—1576), De regulis Algebrse über.

1546 Tartaglia (1506—1559), Invenzioni diverse.
1550 Gerb. Mercator (1512—1594), Kartenprojektion.
1557 Recorde führt das Gleichheitszeichen ein.

1561 Wilhelm IV. Sternw. Kassel, 1576 Tycho auf Hwen.
1572 Tycho Brahe (1546— 1601) neuer Stern in Cassiopeia.

1575 Diophant, Rerum arithmeth. libri VI.

1576 Rob. Normann konstruiert ein Inklinatorium.
1582 Gregor XIII. (1512-1585), Kalenderreform.
1585 Stevin (1548—1620), Decimalbruchrechnung, Statik.
1590 Zach. Jansen erfindet das zusammenges. Mikroskop.
1591|Vieta (1540—1603), Algebra nova. (Ars magna).
1596iLudolph van Colen (1539 - 1610), Van den Circkel.
1596 Dav. Fabricius entdeckt die Mira im Walfisch.
1597! Galilei konstruiert ein Luftthermometer.

1598 Tycho Brahe, Astronomipe instauratse mechanica.
1600 Giordano Bruno wird in Rom verbrannt.

1602 Galilei (1564—1642) entdeckt das Fallgesetz.

1603 Joh. Bayer (1572-1625), Uranometria.

1603 Scheiner (1575 — 1650) erfindet den Pantographen.

1604 Jo. Kepler (1571—1630), neuer Stern im Serpent.

1608 Hans Lippershey erfindet das Fernrohr.

1609 Kepler, De motibus stellse Martis. (Gesetz 1 u. 2).

1610 Galilei, Sidereus Nuucius (Phasen, Trabanten).

1611 iJo. Fabricius, De maculis in sole observatis.
1611|Prätorius (1537—1616) erfindet den Messtisch.

1611 Kepler, Dioptrica (Astron. Fernrohr).

1612 Marius entdeckt den Nebel in der Andromeda.
1614 Neper (1550—1617), Logarithm. canon. descriptio.
1615, Sal. de Caus, Les raisons des forces mouvantes.

378 XII b. Historisch-litterarische Tafel.

1616 Zucchius (1586—1670) empfiehlt ein Spiegelteleskop.
1617Snellius (1591—1626), Eratosthenes batavus.
1619 Kepler, Harmonices mundi libri V. (Gesetz 3).

1619 J. B. Cysat (1586-1657), Mathemata astronomica
!de Cometa 1618. [Nebel im Orion].

1620 Baco von Verulam stellt in seinem Organon die
I Erfahrung als Grundlage des Wissens auf.

1620Snellius entdeckt das Brechungsgesetz.

1620 Jost Bürgi (1552—1632), Arithm. und geom. Pro-

|gress-Tabul. (Keduktionscirkel, Pendeluhr).
1624 Gunter erfindet den logarithmischen Rechenstab.
1624 Briggs (1556—1630), Arithmetica logarithmica.

1629 A. Girard (15..— 1633) führt die Klammer ein.

1630 Scheiner, Rosa ursina, sive Sol.

1631 Vernier (1580— 1637), Construct. du quadrant nouv.

1631 Th. Harriot (1560—1621), Artis analyticse praxis.

1632 Galilei, Dialogo sopra i due sistemi del mondo.

1633 Juni 22, Galilei muss in Rom abschwören.

1635 Guldin (1577—1643), De centro gravitat. libri IV.
1637 Rene Descartes (1596—1650), Geometrie.
1640 Bl. Pascal (1623—1662), Essai pour les coniques.
1644 Toricelli (1618-1647) erfindet den Barometer.
1647 Pascal lässt auf Puy de Dome den Barometer beob.
1647 Joh. Hevelius (1611—1687), Selenographia.
1650 Grimaldi (1618-1663) entdeckt die Beugung.
165l!Riccioli (1598—1671), Almagestum novum. 2. Vol.
1652: Gründung der Academia naturse curiosorum, 1662
iRoy. Society, 1666 Academie des Sciences.

1654 Otto von Guerike experimentiert in Regensburg.
1655Huygens (1629-1695) erfindet die Pendeluhr.

1655 John Wallis (1616-1703), Arithmetica infinitorum.

1657 Huygens, De ratiociniis in ludo alese.

1658 Brouncker (1620-1684), erfindet die Kettenbrüche.

1659 Huygens, Systema Saturnium. Hagee. (Ring u. Mond).
1660Pappi Alexandrini, Collectiones. Bonon. fol.
1661 The venot erfindet die Röhrenlibelle.
1662Boyle (1627 -1691), Spring andWeight of the Air.
1665 Borelli (1608-1679), Cometa di 1664. (Ellipt. Bahn).

1665 Journal des Savants, 1666 Philos. Transactions, 1682
iActa Eruditorum.

1666 Ls. Newton (1642-1727) entdeckt die Farbenzer-
j Streuung und die allgemeine Gravitation.

1666 Leibnitz (1646—1716), De arte combinatoria.

Xllb. Historisch-litterarische Tafel. 379

1666JD. Cassini (1625—1712), De maculis Jovis et Martis.
1667j Sternwarte in Paris, 1675 in Greenwich.
1668iNic. Mercator (16..— 1687), Logarithmotechnia.
16691 Is. Barrow (1630-1677), Lectiones opticse.
1669|E. Bartliolinus entdeckt die doppelte Brechung.
1669iBecher, Physica subterranea (Phlogist. Theor).
1671iMorIand (1625—1695) erfindet das Sprachrohr.
1671 1 Jean Picard (1620—1682), Mesure de la terre.
.1 672 Guerike, Experimenta Magdeb. de vacuo spatio.
1672|Eicher reist nach Cayenne (Pendel, Marsparallaxe).
]673|Leibnitz erfindet die Differentialrechnung.
1673jHuygens, Horologium oscillatorium.
1675 Ol. Römer (1644-1716), Geschwindigkeit d. Lichtes.
1679|Conn, des temps, 1767 Naut. Alman., 1776 Berl.

'Jahrbuch.
1679 Fermat (1595—1665), Varia opera mathematica.
1(^81 iPapin erfindet den nach ihm benannten Topf.
1681 Dörffel (1643-1688), Astron. Betracht, d. gr. Kometen.
1683 Cassini und Fatio beobachten das Zodiakallicht.
1683 Erstes öffentl, chemisches Laboratorium (Altorf).
1686:Fontenelle (1657—1757), Sur la plural. d, mondes.
1687;P. Varignon (1654—1722), Nouvelle mecanique.
1687 Newton, Philos. natural, principia mathematica.
1689|Römer konstruiert das Passageninstrument.
1696|L'Hopital (1661— 1704), Analyse des infinim. petits.
"" Einführung des Eeichskalenders.

Newton, Treatise of light and colours. London.

Edm. Halley (1656-1742), Astronomy of Comets.

Derselbe zeigt, dass die Höhendifferenz der Differenz

der Logarithm. der Barometerstände proportional.

Chr. Wolf (1679-1754), Anfangsgr. der Mathematik.

J. J. Scheuchzer (1672-1733\ Schweizerkarte.

Jac. Bernoulli (1654—1705), Ars conjectandi.

Taylor (1685—1731) entdeckt seinen Lehrsatz.

Halley, Sonnenparallaxe durch Venusdurchgänge.

1717 Job. Bernoulli (1667 - 1748) teilt Varignon das
Princip der virtuellen Geschwindigkeiten mit.

1718 Abr. de Moivre (1667—1754), Doctrine of Chances.
1721 Graham: Quecksilberkompens.; Variation in Dekl.
1726jHarrisons Eostpendel. (Zink-Eisen-Kompensation).
1727!Grey unterscheidet Konduktoren und Isolatoren.
1728;Bradley (1692-1762), Aberration; 1748 Nutation.
17291 Bouguer (1698-1758), Essai d'optique (Photometr.).

1700
1704
1705

1710
1712
1713
1715
1716

380 XII b. Historisch-Jitteparische Tafel.

1729 John Flamsteed (1646—1720), Atlas coelestis.
1730jThermometer von Reaumur (1683—1757).
173l|Clairault (1713—1765), Courbes ä double courbure.
1731:Hadley konstruiert Newtons Spiegelsextant.
1733 Mairan (1678-1771), Traite de l'aurore boreale.
1735 bis 1745 Gradmessungen in Peru und Lappland.
1736:Leonli. Euler (1707—1783), Mechanica.
1738 Dan. Bernoulli (1700—1782), Hydrodynamica.
1739;Boscovicli empfiehlt den leeren Kreis als Mikrometer.
1740|Celsius,Einfluss des Nordlichts auf die Magnetnadel.
1741|Bose erfindet den Konduktor d. Elektrisiermaschine.
1741|Weidler (1692-1755), Historia Astronomise.

1742 Joh. Bernoulli, Opera omn^ia. Lausannse. 4 vol.
1742;Thermometer von Celsius (1701—1744).

1743 Jean-le-Rond d'Alembert (1717-1783), Dynamique.

1744 Jac. Bernoulli, Opera. Genevae. 2 vol.

1744 Newtoni Opuscula, Ed. Castill. Laus. 3 vol.

1744 Euler, Solutio problem. isoperimetrici. Laus.

1745 Entdeckung der Leydner Flasche (Kunaeus, Kleist).
1745iLeibnitii et Bernoullii Commercium epist. 2 vol.
1745iTob. Mayer (1723 - 1762), Mathematischer Atlas.
1747 La Condamine (1701—1774), Proj. d'une mes. invar.
1748Euler, Introductio in Analysin infinitorum.

1749 Staudacher beginnt seine Sonnenfleckenbeobachtg.

1750 Cramer (1704—1752), Analyse des lignes courbes.
1750;Eob. Simson (1687—1768), Sectionum conicarum

llibri V.
1750ibis 1754 Capexpedition von Lacaille (1713—1762).

1752 B. Franklin (1706-1790) erfindet den Blitzableiter.
1753Euler, Institutiones Calculi differentiaiis.

1753 Bichmann, Versuche über atmosph. Elektricität.
1753 Short und Dollond, Heliometer durch Bisektion.
1755 Kant (1724-1804), Naturgeschichte des Himmels.
1758 Montucla (1725— 1799), Histoire desmathematiques,

!2 Vol. [2. Ausg. in 4 Vol. 1799-1802.]
1758;Kästner (1719-1800), Mathemat. Anfangsgründe.
1758 J. Dollond (1706—1761) verfertigt, durch Euler

Iveranlasst, sein erstes achromatisches Fernrohr.
1758 Palitzsch findet den Halley 'sehen Kometen,
1760 J. H. Lambert (1728—1777), Photometria, 1761

jCosmologische Briefe und: Orbitse comet. propriet.

1761 und 1769 beobachtet man Venusdurchgänge.

1762 Harrison erhält für seinen Chronometer 200Ö0 Pfund.

XII b. Historisch-litterarische Tafel. 381

17()3 Berthoud (1727—1807), Essai sur l'liorlog-erie. 2 vol.
1764: Black entdeckt die latente Wärme d. Wassers u.

I Dampfes.
1764 Lalande (1732—1807), Astronomie (3. ed. 1792).
17G4iDampfmascliinen von James Watt (173G — 1819).
1768 Euler, Instit. Calculi integr. Petrop. 4V. (3. ed 1824).
1768 Bode (1747—1826), Kenntnis d. gestirnten Himmels.
1768 bis 1779 Cooks drei Eeisen um die Welt.
1770Euler, Algebra und Dioptrica.

1772 Deluc (1726— 1817), Sur les modif. de Fatmosphere.
1772;Rhuterford(1749-l819) entdeckt den Stickstoff.

1773 Laplace, Sur l'invariabilite des grands axes.
1774Priestley (1733—1804) entdeckt den Sauerstoff.
1774^ Wilson, Observ. on the solar spots. (Schulen.)
1775!Electroplior von Alex. Volta (1745—1827).

1775 Lavoisier findet die Zusammensetzung der Luft.
1775 Bailly (1736 — 1793), Histoire de l'astronomie.
1775 Feiice Fontana empfiehlt die Spinnefaden.

1777 Lichtenberg entdeckt die elektrischen Figuren.

1778 Christian Maj-er, Fixsterntrabanten. Mannheim.

1779 Lambert, Pyrometrie oder vom Masse der Wärme.
1781iW. Herschel (1738-1822) entdeckt Uranus; 1782

iCatal. of double stars, 1786 of nehulse and Clusters.
1782 Lhuilier, De relatione mutua capacit. et termin.

1782 Wedgewood (1730—1795) erfindet sein Pyrometer.
1783:Yega (1754—1802), Logarithmen (Bremiker 1856).
1783!Aerostaten von Montgolfier und Charles.

1783! Watt erkennt die Zusammensetzung des Wassers.

1783 Pingre (1711—1796), Cometographie. 2 Vol.
1783 Volta erfindet den Condensator, 1799 seine Säule.
1783 Saussure (1740— 1799) konstruiert Haarhygrometer.
1783 Herschel, Proper motion of the Sun, 1784 Polar

jEegionsofMars, 1789 Riesenteleskop (40' auf 49^2")-
1784, Coulomb (1736—1806) erfindet die Torsions wage.
1784;Atwood (1745—1807) erfindet die Fallmaschine.

1787 Chladni (1756—1827) entdeckt die Klangfiguren.

1788 Lagrange (1736-1813), Mecan. analyt. (3. ed. 1853).
1789:Lavoisier (1743—1794), Traite de Chimie.

1789 Sim. Lhuilier (1750—1840), Polygonometrie.

1790 Annalen der Physik (Gren, Gilbert, Poggendorff).
179l|Galvani (1737)— 1798) entdeckt den Galvanismus.
1791jSchröter, Selenotopographische Fragmente.
1792 Guglielmiui (17..— 1817), De diurno terrae motu.

382 XII b. Historisch-litterarische Tafel.

1792 Einführung' des republ. Kalenders in Frankreicli.

1793 Chappe erfindet den optischen Telegraphen.

1794 Chladni, Ursprung- der von Pallas gef. Eisenmassen.

1794 Vega, Thesaurus Logarithmorum. fol. (lOstellig).

1795 Bohnenberger(1765 -1831), Geogr.Ortsbestimmung.
1795Journ. de l'ecole polytechn. (1874, cah. 44).
1795 Callet (1744 -1798), Logarithmes (Ed. ster.).
1795 Monge (1746-1818), Geometrie descriptive.
1796Laplace, Expos, du syst, du monde (6. ed. 1835).
179(5 Polytechn. Schule Paris, 1815 Wien, 1855 Zürich, etc.
1797 Cavendish bestimmt die Dichte der Erde.

1797 Olbers, Methode einen Kometen zu berechnen.
1798Legendre (1752—1833), Theorie des nombres.

1798 Benzenberg und Brandes beoh. Sternschnuppen.

1799 Laplace (1749— 1S27), Mecanique Celeste. 5 vol.

1800 Zach (1754-1832), MonatL Korrespondenz (28 vol.).
1800 Nicholson zerlegt Wasser durch Galvanismus.

1800 J. T. Bürg (1766-1834) löst die Mond-Preisaufgabe.

1801 Gauss (1777—1855), Disquisitiones arithmeticne.

1801 Gius. Piazzi (1746-1826) entdeckt die Ceres.

1802 Young (1773-1829), Theory of Light and Colours.
1802 Wollaston (1766-1828), Befract. and dispers, powers.

1802 Berthoud, Histoire de la mesure du temps.

1803 Carnot (1753— 1823\ Geometrie de position.
1803 Klügel, Mathematisches Wörterbuch. 5 vol.
1803 Lalande, Bibliographie astronomique.

1803 Erstes Dampfschiff" von Fulton (1765—1815).

1803 Piazzi, Prsecipuarum stellarum positiones mediae.
1804Poinsot (1777-1859), Statiqne (9 ed. 1848).

1804 Reichenbach (1772 1826), mech.-opt. Institut
1 München.

1804 Leslie erfindet den Differentialthermometer.
1804jLuftreisen von Biot (1774—1862) u. Gay-Lussac
'(1778-1850).

1804 Benzenberg (1777—1846), Umdrehung der Erde.

1805 Puissant, Traite de Geodesie (3. ed. 1842).

1805 Monge, Application de Fanalyse ä la geometrie.

1806 Erster Versuch mit Lokomotiven auf Eisenbahnen.
1806 Mechain et Delambre, Base du Systeme metrique.
1807Peyrard (1760-1822), Oeuvres d'Archimede.
1808 Fr. Baily (1774—1844), Doctr. of Interest and

Annuities.
1808 Malus entdeckt die Polarisation des Lichtes.

Xllb. Historisch-litterarische Tafel. 383

1808Dalton, Chemical Philosophy (Atonig-eAvicht).
1809 Berzelius, Lärbok i Kemien (Wölilers Übers.).
1809 Gauss, Theoria motus corporuin coelestium.

1809 Wollaston, Camera lucida und Goniometer.

1810 Meier-Hirsch (1769-18.51), Integraltafeln.

1810 Gergonne, Annales des Mathematiques (1831 Vol. 21).

1811 Poisson (1781—1840), Mecanique (2 ed. 1833).
1811 Gottl. Fr. Bohnenberger, Astronomie. Tübingen.
1812Laplace, Theorie analytique des probabilites.

1813 Halma, Compos. mathem. de Ptolemee. 2 vol.

1814 Peyrard, Oeuvres d'Euclide. 3 vol.

1814 Volta, L'identitä del fluido elettrico e galvanico.
1815Fresnel (1788-1827), Diffraction de la lumiere.

1815 Fraunhofer (1787— 182(3), Brechung u.Farbenzerstr.

1815 Bessel, Vorrücken der Nachtgleichen.

1816 Davy (1779-1829) erfindet die Sicherheitslampe.

1817 Delambre, Histoire de l'astronomie (1827, vol. 6).
1818Lesage (1724—1803), Traite de physique.

1818 Kater (1777—1835) erfindet den Reversionspendel.

1818 Bessel (1784—1846), Fundamenta Astronomiae.

1819 Oersted (1777—1851) entdeckt die Ablenkung der
Magnetnadel durch den galvanischen Strom.

1821:Cauchy (1789-1857], Cours d'analysö.
1821iRom hebt das Verbot des Copernic. Weltsysteir« auf.
1821 ! Seebeck entdeckt die Thermoelektricität.
1821J. J. Littrow (1781—1840), Astronomie. 3 vol.

1821 Schumacher (1780-1850), Astronom. Nachrichten.

1822 bis 1837 Struve, Catal. et mensurae stellarum du-
iplicium.

1822Poncelet (1788-1868), Proprietes projectives.
1822 Fourier (1768—1830), Theorie analyt. de la chaleur.
1822 Me^noirs of the Astronomical Society. (1892 Vol. 50.)

1822 Harding, Atlas novus coelestis. (Jahn 1856.)
1823, Argelander, Untersuchung über den Kometen v.1811.

1823 Gauss, Theoria combinationis observationum.
1825 Gehlers phys. Wörterbuch von Homer, Muncke, etc.
1825|Arago (1786—1853) entdeckt den Rotationsmagnet.

1825 Legendre, Fonctions elliptiques (1828, vol. 3).
18261 Airy (1801-1892), Mathematical Tracts (3 ed. 1842).
1826ä Schwabe beginnt seine Sonnenfleckenbeobachtungen.

1826 Grelle, Journal der Mathematik (1875, Bd. 80).

1827 Pouillet (1790-1868), Elements de phys. (7 ed. 1856.)
1827;S. Ohm (1787—1854), Die galvanische Kette.

384 Xllb. Historisch-litterarische Tafel.

182T|Savary (1797—1841) berechnet die Doppelsterne.
1827 Möbius (1790—1868), Der barycentrische Calciü.

1827 J. C. Horner (1774—1834), Tables hypsometriques.

1828 Peclet, Traite de la cbaleur (nouv. edit. 1859).

1829 Jacobi (1803—1851), Fund, theor. funct. ellipt.

1830 Berliner akademische Sternkarten (24 Blätter).
1830Bessel, Tabulse Regiomontanse.

183l!Struve (1793—1864), Russ. Breitengradmessung.

1831 Fourier, Analyse des equations determinees.
1831 Monthly Notices of the Astronomical Society.
1831 Poisson, Nouv. theorie de l'action capillaire.
1831 KämtE (1801—1867), Lehrb. d. Meteorologie. 3 vol.

1831 Faraday (1791— 1867) entdeckt die Induktionsströme.

1832 Steiner (1796—1863), Abhängigkeit geom. Gestalten.
1833; Sternwarte Pulkowa, 1842 Washington, 1861 Zürich.

1833 Gauss, Intensitas vis magneticse terrestris.

1833 J. Herschel (1792—1871), Astronomy (8. ed. 1865).

1834 Littrow, Die Wunder des Himmels (7. Ausg. 1886).

1834 Beer und Mädler, Mappa selenographica.
1835! Poisson, Theorie mathematique de la chaleur.

1835 Schwerd (1792— 1871), Die Beugungserscheinungen.

1836 Liouville, Journal des Mathemat. (1875, vol. 40.)

1836 Eisenlohr, Lehrbuch der Physik (7. Ausg. 1856).

1837 Bessel bestimmt die Parallaxe von 61 Cygni.
1837 Argelander, Über die Bewegung des Sonnensystems.
1837 Poisson, Calcul des probabilites.

1837Gräffe (1799—1873), Auflösung der höhern num.
Gleichungen.

1837 Grunert, Ebene, sphär u. sphäroid. Trigonometrie.
1837:Dove (1803—1879), Repertorium der Physik (1849,

Bd. 8).
1837;Cliasles (1793—1880), Des methodes en geometrie.

1838 Libri, Eist, des sciences mathem. en Italie, 4 vol.
1838 Wilde, Geschichte der Optik (1843, Bd. 2).

1838 Steinheil entdeckt die Leitungsfähigkeit der Erde.

1838 Wheatstone (1802-1875) erfindet das Stereoskop.
1839Raabe (1801—1859), Differential- und Integral-

irechnung.

1839 N. H. Abel (1802—1829), Oeuvres completes. 2 vol.

1839 Jacobi entdeckt die Galvanoplastik und Daguerre
;die nach ihm benannten Lichtbilder.

1840 J. Eschmann (1808—1852), Ergebnisse d. Schweiz.
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1840 Navier, LeQons d'analyse (deutsch V. Wittstein 1848).

1841 Grunert, Archiv der Mathematik und Physik.
1841:Mädler (1794—1874), Popul. Astronomie (5. A. 1861).
1841 Graham (1805), Chemistry (2. ed. 1850: deutsch Otto).
1842, Peters (1806), Numerus constans nutationis.
1843 Gerling (1788-1864), die Ausgleichung-srechnungen.
1843 Argelander (1799—1875), Uranometria nova.

1843 Kopp (1817-1892), Gesch. d. Chemie (4 Bd. 1847).

1844 B. Studer (1794—1887), Physikalische Geographie.

1845 A. V. Humholdt (1769-1859), Kosmos. 4 Vol.
1845|Catalogue of Stars of the British Association.
1845'Jul. Weisbach (1806—1871), Ingenieurmechanik.

3 Vol.
1846 Leverrier (1811—1877) bestimmt, Galle findet
Neptun

1847 Die Fortschritte der Physik (1845—1872).

1848 Eedtenbacher, Resultate für den Maschinenbau.

1849 Heis (1806-1877), Die periodischen Sternschnuppen.

1850 Foucault und Fizeau, Geschwindigkeit des Lichtes.

1851 Brünnow, Sphär. Astronomie. (4. A. 1881).
1851 Foucault (1819—1868), Pendelversuch.

1851 Riemann (1826—1866), Theorie der Funktionen.
1852Sabine (1788-1883) und Wolf weisen bei den

imagnetischen Variationen und Sonuenflecken eine
Igemeinschaftliche 11jährige Periode nach.

1852 Dove, Verbreitung der Wärme auf der Erde.
1852 Chasles, Geometrie superieure.

1852Moigno (1804-1884), Cosmos; 1863 Les Mondes.
1853Riess (1805-1883), Reibungselektricität. 2 Bde.
1853:Aug. Beer (1825-1863), Höhere Optik.
1854, De laEive (1801-1873), Traite de l'electricite. 3 vol.

1854 Arago, Astronomie populaire. 4 vol.

1855 Salmon, Conic Sections (Deutsch Fiedler).

1855 Le Verrier, Annales de FOhservatoire.

1856 Bauernfeind, Vermessungskunde (3. Ausg. 1869).
1856 Duhamel (1797), Calcul infinitesimal.

1856 Schlömilch, Zeitschrift für Mathematik und Physik.
1856 Jac. Amsler (1823), Der Polarplanimeter.

1856 Mädler, Eigenbewegung der Fixsterne.

1857 Carrington, Catalogue of circumpolar Stars.
1857 Argelander, Atlas des nördlichen Himmels.
1857 Hansen (1795-1874), Tahles de la lune.
1857 Ch. Sturm (1803—1855), Cours d'analyse.

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1857|Kepler, Opera omnia. Ed. Frisch. (8. Bd. 1871.)
1858:Pog-g-eiidorff (1796-1877), Biograph.-litterarisches
jWörterbuch,

1858 Wolf, Biographien z. Kulturgeschichte d. Schweiz
|(4 Bd. 1862).

lS58;Mousson, Physik auf Grundlage der Erfahrung

1(2. Ausg. 1871).
1858:Tortolini, Annali di Mateniatica pura ed applicata.

1859 Lescarbault glaubt Vulkan zu sehen.
1860Zeuner (1828), Mechan. Wärmetheorie. (2. A, 1865.)
1861 Balsam, Apollonius 8 Bücher über Kegelschnitte.
1861 Hesse (1811—1874), Analytische Geometrie des

i Raumes.
1861 Holtzmann (1811), Lehrbuch der Mechanik.
1861 Schlömilch (1823), Compendium der höhern Analysis.

1861 Sturm, Cours demecanique. Ed. Prouhet. (2 ed. 1868.)

1862 Greenwich Seven-Year Catalogue of 2022 Stars.
1862 Kirchhoff (1824), Untersuch. über d. Sonnenspektrum.
1863,Dirichlet (1805-1859), Vorlesungen über Zahlen-

jtheorie.
1863|Chauvenet, Spherical and Practical Astronomy.
1863jCarrington (1826-1875), Observations of the spots

!on the sun. (Rotationsgesetz).
1864 Clausius (1822—1888), Abhandlung über die mech.

Wärmetheorie.
1864 J. Herschel, Catalogue of Nebulse and Clusters.

1864 Culmann (1821—1881), Graph. Statik. (2. A. 1875.)

1865 Zöllner (1834—1882), Photometrische Untersuch.
1866;Wüllner (1835), Experimentalphysik. Leipzig.
1867 Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie.
1867iSchiaparelli (1835), Teoria delle stelle cadenti.
1868jBoncompagni, Bulletino (1876 Tora. IX).
1868iLockyer und Janssen beobachten spektroskopisch

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1871 1 Thomson and Tait, Natural Philosophy.
1874!Neue Beobachtung eines Venusdurchganges.
1875|Bessel, Abhandlungen (Ausg. Engelmann, 3Bd.l876).
1875'Errichtung der deutschen Seewarte in Hamburg.
1877iR. Wolf (1816— 1893), Geschichte der Astronomie.
1877|Asaph. Hall (1829) findet zAvei Marsmonde auf.
1878iD. E. Hughes erfindet das Mikrophon.

XII b. Historisch-litterarische Tafel. 387

1878
1878

1878

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1878 J. C. Houzeau (1820—1888), Uranometrie generale.
1878jYarnall, Catal. of stars (3 ed. 1889).

1879 Poggendorf (1796—1877), Geschichte der Physik.
1879iB. A. Gould (1824), Uranometria argentina.
1879!R.Wolf,Geschichted. Vermessungen in der Schweiz.
1880|f. R. Helmert (1843), Höhere Geodäsie.
1880IM. Cantor (1829), Geschichte der Mathematik.
1882 C.A.Young (1834), The sun; 1888 General Astronomy.
1882iJ. C. Houzeau, Vademecum de l'astronome.
1882; Astron. papers prepared by S. Newcomb. (4 Bd. 1890).
1882j Auwers, Neue Eeduktion d. Bradley'schen Beobacht.
1883lJul. Hann (1839), Handbuch der Klimatologie.
1884 S. Günther (1848), Geophysik u. phys. Geographie.

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1887 Oppolzer (1841—1886), Canon der Finsternisse.
1887 Houzeau und Lancastre, Bibliographie generale

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1889;G. A. Hirn (1815-1890), Constitution de l'espace

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1889jSchiaparelli, sulla rotazione di Mercurio — 1890

|di Venere.

388 XII b. Historisch-litterarische Tafel.

18891 Vog-el und Scheiner weisen bei Algol einen dun-
keln Begleiter nach.

1889 Pritchard bestimmt Fixsternparallaxen durch
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1890 Galilei, Opere. Edizione nazionale Dir. A. Favaro.
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1802,H. C. Vogel (1842) , Bestimmung der Eigenbewe-

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Igraphischem Wege.

1892 M.Wolf, Entdeckung kleiner Planeten vermittelst
ider Photographie.

1892 Barnard findet einen fünften Jupitersmond auf.

1892 Poincare, Les methodes nouvelles de la mecanique
jceleste.

1893 Gylden (1841), Traite analytique des orbites ab-
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1893 Js. Ptoberts, Photographs of stars, star-clusters

1894
1894

Müller und Kempf: Photometr. Durchmusterung
des nördlichen Himmels.

Juni 1., Einführung der mitteleuropäischen Zeit
iin der Schweiz.

Pariser Mondphotographien.

UNIVERSITY OF CALIFORNIA LIBl
BERKELEY

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