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MAR 1 -"^ 1994
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FORM NO. DD3

UNIVERSITYOF CALIFORNIA, BERKELEY BERKELEY, CA 94720

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DIE GRUNDLEHREN DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE

GEMEINSAM MIT

W. BLASCHKE M.BORN C.RUNGE

HAMBURG GÖTTINGEN GÖTTINGEN

HERAUSGEGEBEN VON

R. COURANT

GÖTTINGEN BAND II

THEORIE UND ANWENDUNG DER UNENDLICHEN REIHEN

VON KONRAD KNOPP

BERLIN

VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1922

Ol A. Knop;

THEORIE UND ANWENDUNG

DER UNENDLICHEN

REIHEN

VON

Dr. KONRAD KNOPP

ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT KÖNIGSBERG

MIT 12 TEXTFIGUREN

BERLIN

VERLAG VON JULIUS SPRINGER

1922

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ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1922 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN

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STAT.

LIBRARY

Vorw^ort.

Ausgangspunkt, Umrisse und Ziel einer Lehre von den unend- lichen Reihen Hegen nicht fest. Auf der einen Seite kann die ge- samte höhere Analysis als ein Anwendungsfeld ihrer Theorie ange- sehen werden, weil alle Grenzprozesse — einschließlich Differentiation und Integration — auf die Untersuchung unendlicher Zahlenfolgen oder Reihen zurückgehen; auf der andern Seite, in einem strengsten, aber darum auch engsten Sinne, gehören in ein Lehrbuch der unend- lichen I^eihen nur deren Definition, die Handhabung: der damit ver- bundenen Symbolik und die Konvergenztheorie.

Unter Beschränkung auf diese Teile behandeln die „Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre", Band I, Abteilung 2, von A. Prings- heim unsern Gegenstand. Es konnte nicht die Absicht sein, mit dem vorliegenden Buche etwas Ähnliches zu bietenT^

^M^ine Ziele war3i andereT/TTe Betrachtungen und Untersuchungen der höheren Analysis zusammenzufassen, bei denen die unendlichen Reihen im Vordergrund des Interesses stehen, möglichst voraussetzungs- frei, von den ersten Anfängen an, aber fortführend bis an die aus- gedehnte Front der gegenwärtigen Forschung, und alles dies möglichst lebendig und leicht faßlich, doch selbstverständHch ohne den gering- sten Verzicht auf Exaktheit, dargestellt, um so dem Studierenden eine bequeme Einführung und einen reichen Einblick in das vielgestaltige und fesselnde Stoffgebiet zu geben, — das schwebte mir vor.

Aber der Stoff wuchs unter den Händen und widersetzte sich der Gestaltung. Um etwas Handlich-Brauchbares zu schaffen, mußte darum das Gebiet beschränkt werden. Dabei setzte unvermeidlich eine gewisse Willkür ein, deren Walten nun die Form des Buches und damit seinen Wert bestimmt. Doch leiteten mich immer die Er- fahrungen, die ich im Unterricht gesammeh — das gesamte Stoff- gebiet habe ich mehrfach in Vorlesungen und Übungen an den Uni- versitäten Berlin und Königsberg behandelt — , und die Zwecke, für die das Buch bestimmt sein soll: Es soll dem Studierenden hei den Vorlesungen eine zuverlässige und gründliche Hilfe bieten und gleich- zeitig zur Durcharbeitung des ganzen Stoffes im Selbststuditim geeignet sein.

M77i)7tiB

VI Vorwort.

Dies letzte lag mir besonders am Herzen und mag die Form der Darstellung begreiflich machen. Da es, besonders für die jüngeren Semester, im allgemeinen leichter ist, eine rein mathematische De- duktion nachzuprüfen, als das Zwangsläufige des Gedankenzusammen- hanges zu erkennen, habe ich mich stets bei den begrifflichen Schwierig- keiten länger aufgehalten und sie durch mannigfache Erläuterungen zu beheben versucht. Und ist mir dadurch auch viel Raum für Sach- liches verloren gegangen, so hoffe ich doch, daß es der Lernende mir danken wird.

Für unumgänglich habe ich es gehalten, mit einer Einführung in die Lehre von den reellen Zahlen zu beginnen, damit die ersten Konvergenztatsachen auf einem soliden Boden wachsen. Hieran schließt sich eine schon ziemhch weitführende Theorie der Zahlen- folgen und endHch die eigentliche Lehre von den unendlichen Reihen, die dann gleichsam in zwei Stockwerken aufgebaut wird, einem Unterbau, in dem mit den bescheidensten Mitteln gearbeitet und doch schon der klassische Teil der ganzen Lehre, etwa bis zu Cauchys Analyse algebrique, dargelegt wird, und einem Oberbau, der dann von ihrer weiteren Entwicklung im 19. Jahrhundert ein Bild zu geben versucht.

Aus den schon genannten Gründen fehlen viele Gegenstände, denen ich an und für sich gern noch Aufnahme gewährt hätte. Die halbkonvergenten Reihen, die Eulersche Summenformel, Eingehenderes über die Gammafunktion, der Problemenkreis der hypergeometrischen Reihe, die Theorie der Doppelreihen, die neueren Untersuchungen über Potenzreihen und besonders eine gründlichere Ausgestaltung des letzten Kapitels über divergente Reihen, alles dies mußte ich — schweren Herzens — beiseite lassen. Dagegen habe ich Zahlenfolgen und Reihen mit komplexen Ghedern unbedingt aufnehmen zu müssen geglaubt. Da aber ihre Theorie derjenigen im Reellen fast parallel läuft, habe ich von Anfang an alle hierfür in Betracht kommenden Definitionen und Sätze so formuhert und bewiesen, daß sie unge- ändert in Gültigkeit bleiben, mögen die auftretenden „beUebigen^* Zahlen reell oder komplex sein. Das Zeichen o soll diese Definitionen und Sätze noch besonders kenntlich machen.

Bei der Auswahl der Aufgaben — die übrigens auf Originalität keinerlei Anspruch machen, bei deren Zusammenstellung vielmehr die vorhandene Literatur ausgiebig benutzt worden ist — habe ich mich bemüht, die praktische Verwendung in den Vordergrund zu stellen und ein Spiel mit theoretischen Finessen beiseite zu lassen. Darum findet man z. B. besonders zahlreiche Aufgaben zum VIIL Ka- pitel und nur ganz wenige zum IX. Kapitel. Die Lösungen der Auf- gaben oder auch nur Anleitungen dazu beizufügen, verbot leider der Raum.

Vorwort. VII

Die wichtigsten Abhandlungen, zusammenfassenden Darstellungen und Lehrbücher über unendliche Reihen sind am Schlüsse des Buches vor dem Register aufgeführt.

Bei der Korrektur haben mich die Herren R. Courant, E, facobs- thal, H. Rademacher und H. Vermeil in freundlicher Weise unterstützt. Den Herren Jacobsthal und Rademacher verdanke ich ganz besonders viele Ratschläge und Verbesserungen sachlicher und formaler Art. Ihnen allen sei hier noch einmal der herzlichste Dank ausgesprochen.

Auch dem Verlage, der sich in diesen schwierigen Zeiten den mathematischen Wissenschaften in so weitherziger Weise zur Verfügung gestellt hat und auch bei der Drucklegung dieses Buches auf alle Wünsche bereitwillig eingegangen ist, möchte ich an dieser Stelle meinen Dank sagen.

Königsberg, September 1921.

Konrad Knopp.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung- 1

Erster Teil.

Reelle Zahlen und Zahlenfolgen.

I. Kapitel. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

5^ 1. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken 8

§ 2. Rationale Zahlenfolgen 12

i^ 3. Die irrationalen Zahlen 21

i^ 4. Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen . . 32

§ 5. Die Systembrüche und der Dedekindsche Schnitt 35

Aufgaben zum I. Kapitel (1 — 8) 40

II. Kapitel.

Reelle Zahlenfolgen.

§ 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Xullfolgen 41

§ 7. Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen 45

§ 8. Konvergente Zahlenfolgen 60

i^ 9. Die beiden Hauptkriterien 74

§ 10. Häufungswerte und Hjiufungsgrenzen 84

§11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche 93

Aufgaben zum II. Kapitel (9—33) 101

Zweiter Teil. *

Grundlagen der Theorie der unendlichen Reihen.

III. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern.

§ 12. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichskriterien . . . 105

§ 13. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium 111

§ l4. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern 114

Aufgaben zum IIL Kapitel (34—44) 119

IV. Kapitel.

Reihen mit beliebigen Gliedern.

ij 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen 121

§ 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen 129

i^ 17. Multiplikation unendlicher Reihen 139

Aufgaben zum IV. Kapitel (45—63) 142

Inhaltsverzeichnis, IX

V. Kapitel.

Potenzreihen. s^i^^

§ 18. Der Konvergenzradi iis I45

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen 151

§ 20. Haupteig-enschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen 162

§ 21. Das Rechnen mit Potenzreihen 171

Aufgaben zum V. Kapitel (64 — 73) 179

VI. Kapitel.

Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

§ 22. Die rationalen Funktionen 181

§ 2.3. Die Exponentialfunktion 183

'§ 24. Die trigonometrischen Funktionen ... 190

§ 25. Die binomische Reihe 200

§ 26. Die logarithmische Reihe 203

§ 27. Die zyklometrischen Funktionen 205

Aufgaben zum VI. Kapitel (74 — 84) 208

VIT. Kapitel. Unendliche Produkte.

§ 28. Produkte mit positiven Gliedern 211

§ 29. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz 215

§ 30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und un- bedingte, Konvergenz 219

Aufgaben zum VII. Kapitel (85—99) 221

VIII. Kapitel.

Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme.

§ 31. Problemstellung 223

§ 32. Geschlossene Auswertung der Reihensumme 226

§ 38. Reihentransformationen 234

§ 34. Numerische Berechnungen 241

§ 35. Anwendung der Reihentransformationen bei numerischen Berech- nungen 253

Aufgaben zum VIII. Kapitel (100—132) 260

Dritter Teil. Ausbau der Theorie.

IX. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern.

§ 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien 267

§ 37. Die logarithmischen Vergleichsskaleg 271

§ 38. Spezielle Kriterien 7~ 277

§ 39. Die Sätze von Abel, Dini und Pringsheim und neue Herleitung der

logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen 282

§ 40. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern . * 286

§ 41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie der Reihen mit

positiven Gliedern 290

§ 42. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie 297

Aufgaben zum IX. Kapitel (133—141) 302

X Inhaltsverzeichnis.

X. Kapitel.

Reihen mit beliebigen Gliedern. Seite

§ 43. Konverg-enzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern 804

§ 44. Umordnung- nur bedingt konvergenter Reihen 310

§ 45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen 312

Aufgaben zum X.Kapitel (142—153) 314

XI. Kapitel.

Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen).

§ 46. Gleichmäßige Konvergenz 316

§ 47. Gliedweise Grenzübergänge 326

§ 48. Kriterien für gleichmäßige Konvergenz 332

§ 49. Fouriersche Reihen 337

A. Die Eulerschen Formeln 337

B. Das Dirichletsche Integral 344

C. Kohvergenzbedingungen 352

§ 50. Anwendungen der Theorie der Fourierschen Reihen 359

§ 51. Produkte mit veränderlichen Gliedern 366

Aufgaben zum XI. Kapitel (154—173) 371

XII. Kapitel.

Reihen mit komplexen Gliedern.

§ 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen 374

§ 53. Reihen mit komplexen Gliedern 382

§ 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen ," 386

§ 55. Die elementaren analytischen Funktionen 395

I. Die rationalen Funktionen • 395

IL Die Exponentialfunktion ■ . . . 396

III. cos z und sin^r 399

IV. ctg z und tg 2 402

V. Die logarithmische Reihe " 404

VI. Die arcsin-Reihe '• ;/ 406

VII. Die arctg -Reihe '.'.*." 406

VIII. Die Binomialreihe V . '. \"407

§ 56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz,

Weierstraßscher Doppelreihensatz . . • 411

§ 57. Produkte mit komplexen Gliedern 417

§ 58. Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen 425

A. Dirichletsche Reihen . .' 425

B. Fakultätenreihcn . '. 430

C. Lambertsche Reihen * 432

Aufgaben zum XU. Kapitel (174—199) 437

XIII. Kapitel. Divergente Reihen.

§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Reihen 441

§ 60. Die Summierung durch arithmetische Mittel 453

§ 61. Anwendung der (C 1)-Summierbarkeit auf die Theorie der Fourier- schen Reihen 456

§ 62. Anwendungen der (C r)-Summierbarkeit 461

Aufgaben zum XIII. Kapitel (200—208) 467

Literatur 468

Autoren- und Sachverzeichnis 469

Einleitung.

^ Das Fundament, auf dem das Gebäude der KoHeren Analysis (ruht, ist die Lehre vop, den reellen Zahhn. UnäusweicHUch hat jede strenge Behariälung der Grundlagen der Differential- und Integral- rechnung, und der anschließenden Gebiete, ja selbst schon die strenge Behandlung etwa der Wurzel- oder Logarithmenrechnung, hier ihren Ausgangspunkt zu nehmen. /Sie erst schafft das Material, in dem dann Arithmetik und Analysis fast ausschließlich arbeiten, mit dem sie bauen können. f\\^^^ t^"^

Nicht von jeher war das Gefühl für diese Notwendigkeit vor- handen. Die großen Schöpfer der Infinitesimalrechnung — Leihniz und Newton'^) — und die nicht weniger großen Ausgestalter der- selben, unter denen vor allem Euhr^) zu nennen ist, waren zu be- rauscht von dem gewaltigen Erkenntnisstrom, der aus den neu er- schlossenen Quellen floß, als daß sie sich zu einer Kritik der Grund- lagen veranlaßt fühlten. Der Erfolg der neuen Methode war ihnen eine hinreichende Gewähr für die Tragfestigkeit ihres Fundamentes. Erst als jener Strom abzuebben begann, wagte sich die kritische Analyse an die Grundbegriffe: etwa um die Wende des 18. Jahr- hunderts, vor allem unter dem mächtigen Einfluß von Gciuß^) wurden solche Bestrebungen stärker und stärker. Aber es währte noch fast ein Jahrhundert, ehe hier die wesendichsten Dinge als völlig geklärt angesehen werden durften.

Heute gilt die Strenge gerade in bezug auf den zugrunde liegen- den Zahlbegriff als die wichtigste Forderung, die an die Behandlung jedweden mathematischen Gegenstandes zu stellen ist, und seit den letzten Jahrzehnten des vergangenen Jahrhunderts — in den 60 er Jahren wurde von Weierstraß^) in seinen Vorlesungen und im Jahre

^) Gottfried Wilhelm Leihniz, geb. 1648 in Leipzig, gest. 1716 in Hannover. Isaac Newton, geb. 1643 in Woolsthrope, gest. 1727 in London. Beide sind unabhängig voneinander zur Entdeckung der Grundlagen der Infinitesimal- rechnung gelangt.

2) Leonhard Euler, geb. 1707 in Basel, gest. 1783 in Petersburg.

^) Karl Friedrich Gauß, geb. 1777 in Braunschweig, gest. 1855 in Göttingen.

^) Karl Weierstraß, geb. 1815 in Ostenfelde, gest. 1897 in Berlin. Die von ihm in seinen Vorlesungen seit 1860 vorgetragene Lehre von den reellen Zahlen hat erst neuerdings durch einen seiner Schüler, G. Mittag-Leffler, eine sorgfältige Darstellung gefunden in dessen Abhandlung: Die Zahl, Einleitung zur Theorie der analytischen Funktionen, The Tohoku mathematical Journal, Bd. 17 (1920), S. 157—209.

Knopp, Unendliche Reihen. 1

2 Einleitung.

1872 von Cantor^) und von Dedekind-) sozusagen das letzte Wort in der Sache gesprochen — kann keine Vorlesung, kein Werk, das die grundlegenden Kapitel der höheren Analysis behandelt, Anspruch auf Gültigkeit machen, wenn es nicht von dem gereinigten Begriff der reellen Zahl seinen Ausgangspunkt nimmt.

Seit jenen Jahren ist darum die Lehre von den reellen Zahlen so oft und in so mannigfacher Art dargestellt worden, daß es über- flüssig erscheinen könnte, eine erneute und in alle Einzelheiten gehende Darlegung derselben^) zu geben; denn mit ddm vorliegenden Buche (wenigstens seinen späteren Kapiteln) möchten wir uns nur an solche wenden, die mit den Anfangsgründen der Differential- und Integralrechnung schon vertraut sind. Indessen dürfen wir uns dach nicht bloß mit einem solchen Hinweis auf anderweitige Darstellungen begnügen. Denn eine Theorie der unendUchen Reihen würde, wie aus den späteren Entwicklungen hinlänglich klar werden wird, durch- aus in der Luft schweben, wollte man ihr nicht in dem System der reellen Zahlen das feste Fundament geben, auf dem sie sich allein gründen kann. Darum und um bezüglich der Voraussetzungen, auf denen wir aufbauen wollen, nicht die geringste Unklarheit zu lassen, wollen wir im folgenden diejenigen Begriffe und Tatsachen aus der Lehre von den reellen Zahlen durchsprechen, deren wir weiterhin benötigen. Aber es soll sich dabei keineswegs um einen nur auf knapperen Raum zusammengedrängten, sonst lückenlosen Aufbau jener Lehre handeln, sondern lediglich um eine möghchst deutliche Hervor- hebung der Hauptgedanken, der wesentlichsten Fragestellungen und ihrer Antworten. In bezug auf diese freilich wollen wir durchaus lückenlos und ausführlich sein und uns nur bei allen weniger prin- zipiell wichtigen Einzelheiten, wie auch bei den nicht mehr im Rahmen dieses Buches hegenden Fragen nach Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen, mit kürzeren Andeutungen begnügen.

1) Georg Cantor, geh. 1845 in Petersburg, gest. 1918 in Halle. — Vgl. Mathem. Annalen, Bd. 5 (1872), S. 123.

•■2) Richard Dedekind, geb. 1831 in Braunschweig, gest. ebenda 1916. — VgL dessen Schrift: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872.

••') Eine besonders leicht faßliche und alle Hauptsachen bringende Dar- stellung findet sich in H. v. Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Bd. I, 2. Aufl., Leipzig 1919. — Scharf und knapp (aber gerade darum für den Anfänger etwas schwerer zugänglich) ist die Darstellung in G. Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, Leipzig 1909. — Ein strenger und bis in die letzten Einzelheiten ausführlicher Aufbau des Systems der reellen Zahlen findet sich in A. Locwy, Lehrbuch der Algebra, I. Teil, Leipzig 1915, und in A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre, I.Band, I. Abteilung, Leipzig 1916 (vgl. auch die Besprechung des letzteren Werkes durch H.Hahn, Gott. gel. Anzeigen 1919, S. 321/47).

Erster Teil.

Reelle Zahlen und Zahlenfolgen,

I. Kapitel.

Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen. § 1. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken.

Was heißt es, wenn wir sagen, daß wir eine bestimmte Zahl „kennen", oder daß sie uns „gegeben" sei, oder daß wir sie „berechnen" können? Was heißt es, wenn jemand sagt, er kenne V2 oder die Zahl 71, oder er könne Vö berechnen? Solche und ähnliche Fragen sind leichter gestellt als beantwortet. Sage ich, es sei V2 =: 1,414, so ist das offenber falsch, denn 1,414-1,414 ist nicht =2, wie man durch Ausrechnen sofort bestätigt. Sage ich vorsichtiger, es sei ^2 = 1,4142135 usw., so ist auch das keine stichhaltige Antwort und zunächst völlig sinnlos; denn es handelt sich doch zum mindesten dar- um, wie es weiter geht. Und das ist nicht ohne weiteres gesagt. Auch wird dieser Übelstand nicht beseitigt, wenn man noch mehr Ziffern des angefangenen Dezimalbruchs angibt, mögen es auch einige hundert sein. In diesem Sinne mag man wohl sagen, daß noch niemand den Wert von V2 ganz vor Augen, sozusagen vollständig in Händen ge- habt hat, ~ während uns etwa die Aussage, daß \/9 = 3 oder daß 35 : 7 --= 5 ist, eine restlos vollständige und befriedigende dünkt. Nicht besser steht es ersichtlich mit der Zahl jz oder irgendeinem Loga- rithmus, einem sin oder einem cos aus den Tafeln. Trotzdem haben wir das sichere Gefühl: ^2 oder ji oder log 5 usw. haben einen ganz bestimmten Wert und wir kennen ihn auch schon. Nur über die exakte Bedeutung solcher Aussagen fehlt uns die klare Vorstel- lung. Wir wollen versuchen, sie uns zu verschaffen.

Nachdem wir eben über die Berechtigung einer Aussage wie „ich kenne V2" oder ähnhchen zweifelhaft geworden sind, müssen wir folgerichtigerweise auch die Berechtigung einer Aussage wie „ich kenne die Zahl -- ^^", oder „mir wird (zum Zweck irgendeiner Rechnung)

1=^=

4 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

die Zahl | gegeben" nachprüfen. Ja, auch der Sinn einer Aussage wie „ich kenne die Zahl 97" oder „zu irgendeiner Berechnung wird mir a = 2 und & = 5 gegeben'', wäre nachzuprüfen; es wäre also auch die Frage nach dem Sinn oder dem Begriff der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . zu stellen.

Bei dieser letzten Frage fühlt man aber schon deutlich, daß sie über das Gebiet der Mathematik hinauslangt, daß sie in eine andere Gedankenordnung gehört, als die, die wir hier entwickeln wollen. Dem ist in der Tat so.

Keine Wissenschaft ruht ausschUeßlich in sich selbst. Die Trag- fähigkeit ihrer letzten Grundlagen entlehnt eine jede aus anderen Schichten, die über ihr oder unter ihr liegen, — der Erfahrung, der Erkenntnistheorie, der Logik, der Metaphysik oder anderen. Irgend etwas muß jede Wissenschaft schlechthin als gegeben hinnehmen, um dann von da aus weiterzubauen. Und eine Kritik der Grundlagen und ein daran ansetzender strenger Aufbau einer Wissenschaft hat lediglich die Vorfrage zu erledigen, was in diesem Sinne als „gegeben'' an- genommen werden soll, oder besser: welches Mindestmaß an Voraus- setzungen unbedingt gemacht werden muß, um aus ihnen alles übrige zu entwickeln.

Für unseren Fall, den Aufbau des Systems der reellen Zahlen, sind diese Untersuchungen langwierig und mühsam; ja es muß ein- gestanden werden, daß sie in restlos befriedigender Weise überhaupt noch nicht zu Ende geführt worden sind. Es würde daher den Rahmen des vorliegenden Buches bei weitem überschreiten, wenn hier alles nötige nach dem heutigen Stande der Wissenschaft ausgeführt werden sollte. Wir wollen uns daher nicht zwingen, alles auf einem Minimum von Voraussetzungen aufzubauen, sondern wollen sofort einen Kreis von Tatsachen als bekannt (oder „gegeben", „gesichert", . . .) hin- nehmen, dessen Herleitung aus einem geringeren Maß von Voraus- setzungen jedem geläufig ist. Ich meine das System der rationalen Zahlen, also der ganzen und gebrochenen, positiven und negativen Zahlen einschließlich der Null. Jedem ist auch in der Hauptsache geläufig, wie dies System aufzubauen ist, falls man — als geringeres Maß von Voraussetzungen — nur die geordnete Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3 . . . und deren Verknüpfungen durch Addition und MuUi- plikation ' als „gegeben" ansieht. Denn jeder weiß, — wir deuten dies nur flüchtig an, — wie aus dem Bedürfnis, die Multiplikation umzukehren, die gebrochenen Zahlen entstehen, und aus dem Be- dürfnis, die Addition umzukehren, die negativen Zahlen und die NulP).

1) Eine ausführliche Darstellung eines solchen Aufbaus findet sich außer in den in der Einleitung (S. 2) genannten Werken von Loewy und Pringsheim noch bei 0. Holder, Die Arithmetik in strenger Begründung, Leipzig 1914, und O Stolz und J.A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, 3. Aufl., Leipzig 1911.

2, § 1- Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken. 5

Die Gesamtheit der solchergestalt geschaffenen Zahlen wird als das System der rationalen Zahlen bezeichnet. Eine jede derselben kann mit Hilfe höchstens zweier natürlicher Zahlen, eines Bruch- striches und ev. eines Minuszeichens vollständig oder ziffernmäßig „gegeben'' oder ,yhingeschrieben'', ,,zur Kenntnis gebracht" werden. Wir bezeichnen sie zur Abkürzung mit kleinen lateinischen Buchstaben: a, b, . . ., X, y, . . . Die wesentlichsten Eigenschaften dieses Systems sind nun diese:

1. Die rationalen Zahlen bilden ^iriQ geordnete Meng^, d.h. zwischen irgend zweien von ihnen, etwa a und b, besteht stets eine und nur eine der drei Beziehungen

a<b, a = b, b < a ^);

und diese Anordnung der rationalen Zahlen gehorcht einer Anzahl von ganz einfachen Gesetzen, den sogenannten Ancrdnungssätzen.

Von diesen Sätzen, die wir im übrigen als bekannt ansehen wollen, 1, sind die folgenden Grundgesetze der Anordnung allein wesentlich:

1. Es ist stets a — a'^).

2. Aus a = h folgt b — a.

3. Aus fl = ö, h = c folgt a = c.

4. Aus a<&, &<c oder aus a<&, &<c folgt a<c.

2. Je zwei der rationalen Zahlen können auf vier verschiedene, als die vier Spezies Addition, Subtraktion, MultipHkation und Division bezeichnete Arten miteinander verknüpft werden. Diese Rechenope- rationen sind stets und mit eindeutigem Ergebnis ausführbar, mit alleiniger Ausnahme der Division durch 0, welche nicht definiert ist und als schlechtweg unausführbare oder sinnlose Operation anzusehen ist. Sie gehorchen außerdem einer Anzahl einfacher Rechengesetze, den sog. Grundgesetzen der Arithmetik und den daraus hergeleiteten weiteren Regeln.

Auch diese sehen wir als jedem bekannt an und stellen hier nur ganz g. kurz diejenigen Grundgesetze der Arithmetik zusammen, aus denen mit Sicherheit alle übrigen rein formal (d. h. nach den Gesetzen der reinen Logik) hergeleitet werden können.

I. Addition. 1. Zu je zwei Zahlen a und b gibt es stets eine dritte Zahl c, die die Summe von a und b genannt und mit a + b bezeichnet wird.

2. Aus « = a', b = b' folgt stets a + b = a' + b'.

3. Es ist stets a-\-b = b-\:a. (Kommutationsgesetz.)

4. Es ist stets (a -f- fc) + c = a + (& + c). (Assoziationsgesetz.)

5. Aus a < & folgt stets a + c < & + c. (Monotoniegesetz.)

II. Subtraktion. Zu je zwei Zahlen a und b gibt es stets eine dritte Zahl c, für die a + c = b ist.

^) In der Beziehung a > ö ist nur eine andere Schreibweise für die

Beziehung b <C a zn sehen. Man käme also prinzipiell mit dem einen Zeichen „<" aus.

2) Über dieses trivial anmutende „Gesetz" vgl. die Bemerkung S. 27.

I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

III. Multiplikation. 1. Zu je zwei Zahlen a und h gibt es stets eine dritte Zahl c, die das Produkt von a und h genannt und mit ab bezeichnet wird.

2. Aus a=a\ b = b' folgt stets ab=a'b'.

3. Es ist stets ab = ba. (Kommutationsgesetz.)

4. Es ist stets {ab)c = a{bc). (Assoziationsgesetz.)

5. Es ist stets {a-\-b)c = ac + bc. (Distributionsgesetz.)

6. Aus a <Cb folgt, falls c positiv ist, stets ac <Cbc. (Monotoniegesetz.)

IV. Division. Zu je zwei Zahlen a und b, deren erste nicht gleich 0 ist, gibt es stets eine dritte Zahl c, für die ac = b ist.

Aus diesen wenigen Grundgesetzen ergeben sich, wie betont, alle be- kannten Rechenregeln und vollziehen sich weiterhin alle mathematischen Schlüsse ausschließlich nach den Gesetzen der reinen Logik. Unter diesen nimmt eines wegen seines von Haus aus mathematischen Charakters eine besondere Stellung ein, nämlich

V. das sog. Induktionsgesetz, das auch als Grundgesetz der natürlichen Zahlen den Grundgesetzen der Arithmetik selbst zugerechnet werden kann und das vv'ir so formulieren wollen:

Wenn irgendeine Aussage von einer natürlichen Zahl n abhängt (z. B. „Für w ^ 10 ist stets 2" > w^" oder ähnliches), und wenn

a) diese Aussage für n = p richtig ist und

b) wenn, unter k irgendeine natürliche Zahl '^p verstanden, aus ihrer Richtigkeit für « = /?, =p-\-\, ..., =Ä stets auch ihre Richtigkeit für n — k-\-l gefolgert werden kann,

so ist jene Aussage für jede natürliche Zahl n'^p richtig. (Bei den Anwen- dungen dieses Gesetzes ist meist p = \] auch empfiehlt es sich oft , ^ = 0 zuzulassen.)

Endlich ner^^en w noch einen Satz, der) im Bereich der rationalen Zahlen sofort be\leisbar ist, der aber bald na^liher einen prinzipiellen Cha- rakter gewinnen wird, nämlich den

VI. Satz des Eudoxus. Ist a eine beliebige rationale Zahl, so gibt es stets eine natürliche Zahl n. für die — « < a <C -f « ist^).

Diese vier Verknüpfungen zweier rationaler Zahlen führen als Ergebnis stets wieä^r zu einer rationalen Zahl. Und in diesem Sinne bildet das System der rationalen Zahlen eine geschlossene Gesamtheit, den sogenannten natürlichen Rationalitätsher eich oder Zahlkörper. Eine solche Geschlossenheit in bezug auf die vier Spezies besitzt offenbar die Gesamtheit aller natürHchen oder die aller garizen (positiven und negativen) Zahlen noch nicht. Diese sind sozusagen zu spärlich gesät, um allen Anforderungen zu genügen, die die vier Spezies an sie stellen können.

Diesen natürlichen Rationalitätsher eich und die in ihm geltenden Gesetze also — und nur dieS3 — sehen wir als gegeben, bekannt, gesichert rc0ix — ^ .^:v k '

3, Nur das Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen pflegt

manchen etwas weniger geläufig ^ sein. Wir stellen darum die wichtigsten Regeln kurz und ohne Beweis zusammen:

^ Dieser Satz wird meist (doch mit Unrecht) nach Archimedes benannt; er findet sich schon bei Euklid, Elemente V, Def. 4.

3. § 1- Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken. 7

I. Ungleichungen. Hier folgt alles aus den Anordnungs- und den Mono- toniegesetzen. Es gilt speziell:

1. Die Monotoniesätze sind umkehrbar, d. h. aus a + c < & -f c folgt stets, daß a<& ist; und dies folgt auch aus ac<Cbc, falls c>0 ist.

2. Aus a<Cb, c<Cd folgt stets a + c<& + c^.

3. Aus a < &, c<Zd folgt, falls b und c positiv sind, daß ac<Cbd ist.

4. Aus a < & folgt stets —b<—a, und falls a positiv ist, auch — < -1 .

b a Und diese Sätze, sowie die Anordnungs- und Monotoniegesetze gelten (mit sinngemäßen Einschränkungen) auch mit den Zeichen „^, >, > und ==k" an Stelle von „<". "— ' _

II. Absolute Beträge. Definition : Unter \a\, dem absoluten Betrag von a, versteht man die positive unter den Zahlen +« und —a, falls a =j= 0 ist, und die Zahl 0 , falls a=0 ist. (Es ist also j 0 ; = 0 und für a 4= 0 stets j a | > 0 .)

Es gelten u. a. die Sätze:

1. lal = \-ai. 2. \ab\ = \a\-\b\.

b

3.

— = — - und

a \ a\

b\

falls a 4= 0

I a

4. \a + b\^\a\ + \b\\ \a + b\>^\a\ — \b\ und sogar ja + &|^ : | «j _ |5| ! .

5. Die beiden Beziehungen |fli<r und — r<a< + y sind völlig l^eichbedeutend; ebenso die Beziehungen \x-a\<y und a-y<Cx<Ca + r.

\ryvrv^\(^\ 6. Es bedeutet \a-b\ den Abstand der Punkte a und b bei der ^ gleich nachher beschriebenen Veranschaulichung der Zahlen auf der Zahlengeraden.

(J^esgleichen: sehen wir es als bekannt an, daß und wie man sich die Größenbeziehungen der rationalen Zahlen durch die Lage von Punkten auf einer Geraden, der Zahlengeraden, veranschaulichen kann: Man markiert auf ihr ganz beliebig zwei verschiedene Punkte 0 und E als Nullpunkt (0) und Einheitspunkt (-f 1) und ordnet nun all-

gemein der Zahl a = ^ {q>0, p^O, ganzzahlig) denjenigen Punkt P zu, den man erhält, wenn man den (elementar-geometrisch sofort zu konstruierenden) ^ten Xeil der Strecke OE von 0 aus \p\-mal hinter- einander abträgt, und zwar in der Richtung OE, falls /> > 0 ist, in der entgegengesetzten Richtung, falls p negativ ist. Den gewonnenen Punkt nennen wir kurz den Punkt a, und die Gesamtheit der auf diese Weise den rationalen Zahlen entsprechenden Punkte wollen wir kurz die rationale^i Punkte der Zahlengeraden nennen. — Diese Gerade denkt man sich gewöhnlich von links nach rechts gezogen und E rechts von 0 gewählt. Dann bedeuten die Worte positiv und negativ offenbar soviel wie rechts von 0 und links von 0; und allgemein be- deutet a<Cb, daß a links von b, b rechts von a gelegen ist. Mit Hilfe dieser Ausdrucksweise können wir den abstrakten Beziehungen zwischen den Zahlen oft eine durch die Anschauung leichter zu er- fassende Form geben.

Das ist nun in kurzen Strichen das Fundament, das wir als ge- sichert annehmen wollen. Durch die Beschreibung desselben wollen

8 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen,

wir nun auch den Zahlbegriff selbst als charakterisiert ansehen, d. h. wir wollen ein System von begrifflich wohl unterschiedenen Dingen (Elementen, Zeichen) als ein Zahlensystem, seine Elemente als Zahlen ansprechen, wenn man — zunächst ganz kurz gesagt — mit ihnen im wesendichen ebenso operieren kann, wie mit den rationalen Zahlen. Diese noch etwas ungenaue Aussage wollen wir so präzisieren: Es liege ein System S von wohlunterschiedenen Dingen vor, die wir mit a, ß, . . . bezeichnen. Dann wollen wir S als ein Zahlensystem^ seine Elemente a, ß, . . . als Zahlen ansprechen, wenn die Zeichen cc, ß, . . . zunächst einmal irgendwie ausschheßlich mit Hilfe der ratio- nalen — also letzten Endes der natürhchen — Zahlen hergestellt sind^), und wenn das System überdies den folgenden vier Bedin- gungen genügt:

1. Zwischen je zwei Elementen a und ß aus S besteht stets eine und nur eine der drei Beziehungen

a<:ß, a = ß, ß<a'') (man sagt kurz: S ist geordnet); und diese Anordnung der Elemente von 5 gehorcht denselben Grundgesetzen 1, wie die gleichbenannten Beziehungen im System der rationalen Zahlen^).

2. Es sind vier verschiedene, als Addition, Subtraktion, Multi- plikation und Division bezeichnete Verknüpfungen je zweier Ele- mente a und ß aus 5 erklärt; diese sind — mit einer einzigen, sogleich zu nennenden Ausnahme (s. 3) — stets und mit eindeu- tigem Ergebnis ausführbar und gehorchen dabei denselben Grund- gesetzen 2, I — IV, wie die gleichbezeichneten Verknüpfungen im System der rationalen Zahlen*).

3. Jeder rationalen Zahl läßt sich ein Element aus S (und alle ihm gleichen) so zuordnen, daß, wenn etwa den rationalen Zahlen a und b die Elemente a und ß aus S entsprechen, nun

^) Beispiele werden wir in § 3 und § 5 kennen lernen; im Augenblick denke man an Dezimalbrüche oder ähnliche aus rationalen Zahlen aufgebaute Zeichen. — Im übrigen vgl. hierzu die Fußnote 2 auf S. 31.

^) cc'^ ß ist nur als eine andere Schreibweise für ß <^a anzusehen ; a ={= /? bedeutet, daß a nicht gleich /?, also <i ß oder >■ /? ist.

*) Über den sozusagen praktischen Inhalt dieser Beziehungen ist dabei nichts gesagt; a <i ß kann das übliche „kleiner" bedeuten, es kann aber auch „früher", „links von", „höher", „tiefer", „später", ja schließlich jedwede An- ordnungsbeziehung (also etwa auch „größer") bedeuten. Diese Bedeutung muß nur eindeutig festgelegt sein.

*) Auch bezüglich des praktischen Inhalts dieser 4 Verknüpfungsarten gut eine analoge Bemerkung wie soeben bei den Zeichen = und <C • — Man wird noch bemerkt haben, daß die Subtraktion schon vollständig mit Hilfe der Addition, die Division schon vollständig mit Hilfe der Multiplikation erklärt werden kann. Es sind also letzten Endes nur zwei Verknüpfungen, die schlecht- weg als bekannt angesehen werden müssen.

4, § 1- Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken. 9

a) zwischen a und ß dieselbe der drei Beziehungen 1. besteht, wie zwischen a und b; und daß

b) das Ergebnis der Verknüpfungen a-\-ß, cc — ß, a-ß, a:ß auch stets dem Ergebnis der Verknüpfungen a-^-b, a — b, a-b, a:b zugeordnet ist. [Hierfür sagt man wohl auch kürzer: 5 enthäh ein Teilsystem S' — nämhch die Gesamtheit aller Elemente aus S, die einer rationalen Zahl zugeordnet sind — , welches dem System der rationalen Zahlen ähnlich und isomorph ist^)]. Ein hierbei der rationalen Zahl 0 entsprechendes Element aus S (und alle ihm gleichen) kann man dann kurz als die „Null" aus S bezeichnen. Die unter 2. genannte Ausnahme bezieht sich dann auf die Division durch die NulP).

4. 'Ist a ein beliebiges Element aus S, so soll es in 5 auch ein Element v geben, das auf Grund von 3 einer natürhchen Zahl n zu- geordnet ist und für das a<v ist. (Postulat des Eudoxus; vgl. 2, VI.) An diese abstrakte Charakterisierung des Zahlbegriffs knüpfen wir noch die folgende Bemerkung^): Enthält das System S außer den

1) Man nennt zwei geordnete Systeme ähnlich, wenn sich ihre Elemente einander so zuordnen lassen, daß zwischen zwei Elementen des einen Systems dieselbe der drei Beziehungen 4, 1 besteht wie zwischen den ihnen entsprechen- den Elementen des andern. Und man nennt zwei Systeme in bezug auf die mit ihren Elementen möglichen vier Verknüpfungen isomorph, wenn das Resultat der Verknüpfung zweier Elemente des einen Systems wiederum dem Resultat der gleichnamigen Verknüpfung der entsprechenden Elemente des andern Systems zugeordnet ist.

2) Die 3te der Forderungen, durch die wir den Zahlbegriff hier charakte- risieren, ist übrigens schon eine Folge der Iten und 2ten, Diese Bemerkung ist für unsere Zwecke nicht wesentlich; da sie aber vom methodischen Stand- punkt aus bedeutungsvoll ist, deuten wir den Beweis kurz an: Nach 4, 2 gibt es ein Element t, für das a-r'C^a ist. Aus den Grundgesetzen 2, I folgt dann ganz leicht, daß dasselbe Element t für jedes a aus 5 die Gleichung cc-r^ — a erfüllt. Dieses Element C (und alle ihm gleichen) nennt man die „Null" aus S. Ist dann a von dieser „Null" verschieden, so gibt es weiter ein Element s, für das us^a ist; und es zeigt sich wieder, daß dieses selbe Element e dieser Gleichung für jedes a aus 5 genügt. Man nennt s (und alle ihm gleichen Elemente) die „Eins" aus 5. Die durch wieder- holte Additionen und Subtraktionen dieser „Eins" erzeugten Elemente aus 5 (und alle ihnen gleichen) wird man dann als die „ganzen Zahlen" aus S be- zeichnen. Die aus diesen durch beliebige Divisionen entstehenden weiteren Elemente (und alle ihnen gleichen) bilden dann das in Rede stehende Teil- system S' von 5, von dem hiernach unmittelbar klar ist, daß es zum System der rationalen Zahlen ähnlich und isomorph ist. — Tatsächlich ist also unser Zahlbegriff schon durch die Forderungen 4, 1, 2 und 4 festgelegt.

^) Wir haben den Zahlbegriff durch eine Anzahl ihn charakterisierender Eigenschaften festgelegt. Eine kritische Grundlegung der Arithmetik, von der in dem Rahmen dieses Buches nicht die Rede sein kann, müßte nun genau untersuchen, inwieweit diese Eigenschaften voneinander unabhängig sind, ob also eine von ihnen als beweisbare Tatsache aus den anderen gefolgert werden

10 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

auf Grund der Zuordnung 3 den rationalen Zahlen entsprechenden Elementen keine weiteren davon verschiedenen, so ist unser System 5 überhaupt nicht wesentlich von dem System der rationalen Zahlen verschieden; sondern es unterscheidet sich von ihm letzten Endes nur durch die (rein äußerliche) Bezeichnung der Elemente oder durch die (rein praktische) Bedeutung, die wir diesen Zeichen geben, — also im Grunde nicht viel wesentlicher, als wenn wir die Ziffern ein- mal mit arabischen, ein andermal mit römischen oder chinesischen Zeichen schreiben, und als wenn sie einmal Temperaturen, ein ander- mal Geschwindigkeiten oder elektrische Ladungen bedeuten. Wenn wir also von der äußerlichen Bezeichnung und der praktischen Be- deutung absehen, könnten wir geradezu sagen, das System 5 sei mit den rationalen Zahlen identisch, und können in diesem Sinne geradezu a=^ a, b =^ ß, . . . setzen.

Enthält aber das System 5 außer den obengenannten noch weitere davon verschiedene Elemente, so werden wir sagen, 5 umfasse das System der rationalen Zahlen, es sei eine Erweiterung desselben. Ob es überhaupt solche umfassenderen Systeme gibt, steht natürhch im Augenblick noch ganz offen; doch werden wir im System der reellen Zahlen nun sehr bald ein solches kennen lernen.

Nachdem wir uns so über das Maß von Voraussetzungen geeinigt haben, über das nicht mehr gestritten werden soll, werfen wir noch einmal die Frage auf: Was heißt es, wenn wir sagen, wir kennten die Zahl V 2 oder die Zahl n od. ähnl. ?

Es muß zunächst als durchaus paradox bezeichnet werden, daß es eine Zahl, deren Quadrat = 2 ist, in dem bisherigen System noch nicht gibt^), oder geometrisch gesprochen, daß der Punkt A der

kann oder nicht. Ferner müßte gezeigt werden, daß keines jener Grundgesetze mit einem der andern in Widerspruch steht, — und noch manches andere. Diese Untersuchungen sind mühsam und können auch heute noch nicht als abgeschlossen angesehen werden. Näheres darüber bei A. Loewy, 1. c. Als eine besonders interessante Tatsache heben wir hervor, daß z. B. das Kommutations- gesetz der Addition als beweisbarer Satz aus den übrigen Grundgesetzen gefolgert werden kann {Hubert, Jahresber. d. Dtsch. Math. Ver., Bd. 8, 1900, S. 180). Das Gesetz 2, I, 3 dürften wir also streichen, ohne daß dadurch der Aufbau der Arithmetik eine Änderung erführe.

1) Beweis: Eine natürliche Zahl gibt es jedenfalls nicht, deren Quadrat = 2 ist, da 1"2 = 1 ist und die Quadrate aller übrigen natürlichen Zahlen ^ 4

sind. Es käme also für ^J 2 nur eine (positive) gebrochene Zahl — in Betracht,

bei der also q>2 und zu p teilerfremd (der Bruch also in gekürzter Form)

p gedacht werden kann. Läßt sich aber — nicht weiter kürzen, so ist dasselbe

mit dem Bruch (— ) = ^JZ der Fall, der also nicht gleich der ganzen Zahl 2

q/ q-q

kann. Oder etwas anders gefaßt: Aus f— ) =2 folgte p^ = 2q'^, wonach

4. §1- Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken. H

Zahlengeraden, dessen Entfernung von 0 gleich der Diagonale des Quadrates mit der Seite OE ist, mit keinem der oben eingeführten rationalen Punkte zusammenfällt. Denn einerseits liegen die rationalen Zahlen dicht, d. h. zwischen irgend zwei verschiedenen von ihnen lassen sich noch beliebig viele weitere angeben (denn ist a <, b, so

liegen die n rationalen Zahlen, die die Formel a -\~ v für

w+ 1

V '-= 1, 2, .. ., n liefert, offenbar alle zwischen a und b und sind von- einander und von a und b verschieden). Andererseits aber liegen sie sozusagen noch nicht dicht genug, um alle denkbaren Punkte zu be- zeichnen. Vielmehr, wie sich die Gesamtheit aller ganzen Zahlen als zu spärlich erwiesen hat, um allen durch die vier Spezies an sie gestellten Forderungen zu genügen, so erweist sich jetzt wieder die Gesamtheit aller rationalen Zahlen als zu lückenhaft^), um den weiter- gehenden Forderungen, die die Wurzelrechnung an sie stellt, zu ge- nügen. Trotzdem hat man das Gefühl, daß auch diesem Punkte A oder also dem Zeichen V 2 ein ganz bestimmter Zahlenwert zukommt. Welche greifbaren Tatsachen liegen diesem Gefühl zugrunde?

Es ist zunächst offenbar dies: Man weiß zwar genau, daß für V2 die Angaben 1,4 oder 1,41 oder 1,414 usw. falsch sind, daß diese (rationalen) Zahlen zum Quadrat erhoben vielmehr < 2 bleiben, also zu klein sind. Man weiß aber gleichzeitig, daß die Angaben 1,5 oder 1,42 oder 1,415 usw. in demselben Sinne zu groß wären, daß also der zu erfassende Wert zwischen den entsprechenden zu kleinen und zu großen Angaben liegen müßte. Und was uns trotz dieser „Falschheit" der Angaben die Überzeugung gibt, hiermit den Wert V2 irgendwie doch erfaßt zu haben, kann nur dies sein: Wir besitzen ein Verfahren, um die obigen Angaben soweit fortzusetzen, wie wir wollen; wir können also Paare von Dezimalbrüchen mit je 1, 2, 3, . . . Stellen angeben, die sich jeweils nur um eine Einheit in der letzten Stelle, also bei n Stellen um (^)*\ unterscheiden, und von denen der eine Bruch zu klein, der andere zu groß ist. Da dieser Unterschied,

p eine gerade Zahl, etwa —2r wäre. Aus p" — 4:r- =z2q^ folgte aber q- ==2r", wonach auch q eine gerade Zahl sein müßte, — im Gegensatz zu der An- nahme, daß p und q zueinander teilerfremd sein sollten. Es ist also niemals

PY

— 1 = 2. Diese Tatsache soll schon Pythagoras bekannt gewesen sein (vgl.

M. Cantor, Gesch. d. Mathem, Bd. 1, 2. Aufl., 1894, S. 142 u. 169).

^) Gerade dies ist das Paradoxe und der unmittelbaren Anschauung schwer zugängliche, daß auf der Zahlengeraden schon eine (im eben defi- nierten Sinne) dichte Menge von Punkten markiert ist, und daß dies doch nicht alle Punkte der Geraden sind. — Vergleichsweise kann man dies so be- schreiben: Die ganzen Zahlen bilden eine erste grobe Einteilung in Fächer; die rationalen Zahlen füllen diese Fächer wie mit feinem Sande aus, der aber für den schärferen Blick notwendig noch Lücken lassen muß. Diese nun aus- zufüllen, wird unsere nächste Aufgabe sein.

12 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

wenn wir nur die Anzahl n der Stellen groß genug machen, so klein gemacht werden kann, wie wir wollen, da das Verfahren also den zu erfassenden Wert zwischen zwei Zahlen einzuklemmen lehrt, die so eng beieinander liegen, wie wir wollen, so sagen wir mit einer zu- nächst etwas kühnen Metapher: durch dies Verfahren sei uns V2 selber „gegeben^', auf Grund dieses Verfahrens „kennten" wir V2 selbst, wir könnten V2 „berechnen" usw.

Genau so liegen die Dinge bei jedem andern Wert, der nicht durch eine rationale Zahl selbst bezeichnet werden kann, also z. B. bei TT, log 2, sin 10" usw. Wenn wir sagen, wir kennten diese Zahlen, so liegt dem jedesmal nichts anderes zugrunde als dies: Wir kennen ein (in den meisten Fällen sehr beschwerHches) Verfahren, um in ähnlicher Weise, wie eben bei V2 genauer gezeigt, den zu erfassen- den Wert zwischen immer dichter und schheßlich beliebig dicht sich zusammenschließenden (rationalen) Zahlen einzuspannen.

Um diese Dinge etwas allgemeiner und schärfer zu erfassen, schalten wir eine vorläufige, aber doch für alles folgende durchaus grundlegende Betrachtung über Folgen rationaler Zahlen ein.

§ 2. Rationale Zahlenfolgen').

Bei der vorhin angedeuteten Berechnung von \/2 bildeten wir nacheinander wohlbestimmte rationale Zahlen. Von der speziellen Dezimalbruchform wollen wir uns hierbei freimachen und beginnen mit folgender

5^ Definition: Läßt sich auf Grund irgendeines gesetzmäßigen Bil-

dungsverfahrens der Reihe nach eine 1., eine 2., eine 3., . . . {rationale) Zahl bilden, und entspricht somit jeder natürlichen Zahl n eine und nur eine wohlbestimmte (rationale) Zahl x^, so sagt man, daß diese Zahlen

^1 ' -^2 ' ^3 ' • • • > ^„ > • • •

{in dieser den natürlichen Zahlen entsprechenden Anordnung) eine Zahlenfolge bilden. Wir bezeichnen sie kurz mit {x^ oder mit

(^1,^0,... )•

Beispiele.

2. ;»r„ =2", also die Folge 2, 4, 8, 16, ...

3. Xn = a", also die Folge a, a^, a^, ..., bei der a eine gegebene Zahl sein soll.

4. Xn = V [1 - (- 1)"], also die Folge 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . _

5. ;»r„ = dem nach n Ziffern abgebrochenen Dezimalbruch für \/2-

^) Auch in diesem Paragraphen bedeuten alle vorkommenden Buchstaben- größen noch stets rationale Zahlen.

7, § 2. Rationale Zahlenfolgen. 13

f_n«-i 111

6. ^n = ^—^^ , also die Folge 1, --, +-i, -^,...

7. Es soll Xj^= l, x^ = l, x^ = Xi-{-X2 = 2 und allgemein soll für n>d stets Xn = x^_^ + x^_.^ sein. Man erhält so die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,7. .

8. 1, 2, -, -2, --, 3, -, -3, -g, ...

3 4 5^+1

y- A 2' 3^ 4' •••' -^' •••

'^' "' 2' 3' 4' 5' •••' .z ' •••

11. ;ir„ = der wten Primzahl, also die Folge 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . .

3 11 25 137 / 1 1

12. Die Folge 1,-^, — , — , -_,..., bei der allgemein Ar„= (^1 + --f- • • + -

Bemerkungen.

1. Das Bildungsgesetz kann ganz beliebig sein. Es braucht insbesondere nicht in einer expliziten Formel zu bestehen, die es gestattet, bei gegebenem n das zugeordnete Xn direkt zu berechnen. Bei Beispiel 6, 5, 7 u. 11 ist dies offenbar nicht ohne weiteres möglich. Und bei einer zahlenmäßig vorgelegten Folge braucht weder das Bildungsgesetz (vgl. 6, 5 u. 12) noch sonst irgend- eine Regelmäßigkeit unter den aufeinanderfolgenden Zahlen in die Augen zu fallen (vgl. 6, 11).

2. Manchmal ist es vorteilhaft, die Folge mit einem „Oten^« Gliede Xq. oder gar einem (-l)ten oder (— 2) ten Gliede ;ir_ ^ , x_^ beginnen zu lassen. Wir wollen dann trotzdem als wtes Glied stets dasjenige bezeichnen, welches den Index n trägt. Bei 6, 2, 3 u. 4 kann man z, B. ohne weiteres ein O^es Glied oder auch ein (-l)tes oder (-2)tes voranstellen. In solchem Falle ist also das „erste" Glied nicht das Anfangsglied der Folge. Die Bezeichnung ist dann {xq , Xj^, . . .) bzw. {x^j^, Xq, . . .) , und nur wenn über den Anfang der Nume- rierung kein Zweifel besteht, oder wenn sie ganz belanglos ist, schreiben wir kurz (xn) zur Bezeichnung der Folge.

3. Eine Zahlenfolge wird oft besonders als unendliche bezeichnet. Dies Beiwort soll dann nur betonen, daß auf jedes Glied noch weitere folgen. Man sagt dann auch, daß es sich um unendlich viele Glieder handle. Allgemein spricht man von endlich vielen oder unendlich vielen Dingen, je nachdem diese Dinge eine durch eine bestimmte natürliche Zahl angebbare Anzahl haben oder nicht. Auch weiterhin wird — wie wir gleich jetzt betonen wollen — das Wort „unendlich" immer nur eine symbolische Bedeutung haben durch die ein wohlbestimmter (meist sehr einfacher) Sachverhalt abkürzend bezeich- net wird.

4. Haben alle Glieder einer Folge ein und denselben Wert c, so sagt man, die Folge sei identisch gleich c und schreibt wohl Ar„ = c. Allgemein schreiben wir {xr^ = {xrl), wenn die beiden Folgen (;»r„) und [x^) Glied für Glied übereinstimmen, wenn also für jeden in Betracht kommenden Index

Xn^Xr! ist.

5. Oft ist es zur Veranschaulichung einer Zahlenfolge bequem, sich ihre Glieder als Punkte auf der Zahlengeraden zu markieren oder markiert zu denken. Wir haben dann eine Punktfolge vor uns. Doch ist hierbei zu be- achten, daß in einer Zahlenfolge ein und dieselbe Zahl mehrmals, ja ,. unend- lich oft" auftreten kann (vgl. 6, 4). Dann ist der entsprechende Punkt mehr- mals, evtl. unendlich oft zu zählen, d. h. als Glied der Punktfolge zu betrachten.

14 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

6. Eine andere Art der Veranschaulichung besteht darin, daß man in einem rechtwinkligen Achsenkreuz die Punkte mit den Koordinaten («, Ar„), für « = 1, 2, 3, . . ., markiert und der Reihe nach durch geradlinige Strecken verbindet. Der entstehende geradlinig-gebrochene Linienzug gibt dann ein Bild der Zahlenfolge.

Die Untersuchung der hiermit eingeführten Zahlenfolgen nach den mannigfachsten Gesichtspunkten wird nun den Hauptgegenstand aller folgenden Kapitel bilden. Insbesondere wird es sich dabei um Feststellungen oder Aussagen handeln, die für alle Glieder der Folge gelten, oder wenigstens für alle Glieder, die hinter einem bestimmten stehen^). Im Hinblick auf diese letztere Einschränkung sagt man wohl, daß es bei der betreffenden Feststellung „auf endlich viele Glieder nicht ankäme" oder daß sie sich nur auf das infinitäre Ver- halten der Folge bezöge. Als erste Beispiele solcher Feststellungen führen wir folgende Definitionen ein:

8. Definitionen. I. Eine Folge soll beschränkt^) heißen, wenn es

eine positive Zahl K gibt, so daß für alle Glieder die Ungleichung

\x^\^K oder - K^x^:^K gilt. K heißt dann eine Schranke für die Beträge der Glieder der Folge,.

Bemerkungen und Beispiele. f) ~JU -^^ ^

^""~~^ L Ob in der Definition 8 „<i^" oder „<ür" steht, ist ziemlich gleich- gültig. Denn ist stets (d. h. für alle in Betracht kommenden Indizes w) \x„\<K, so gibt es auch eine Konstante K', so daß stets \x„\<iK' ist; denn offenbar kann jedes K' > K dafür gewählt werden. Ist umgekehrt stets ' x„\<C.K, so ist erst recht |a'„|^ä'. In jedem Einzelfall kann der Unter- schied natürlich trotzdem sehr wesentlich werden.

2. Eine Schranke K von {x,) kann also durch jede größere Zahl ersetzt werden.

3. Die Folgen 6, 1, 4, 5, 6, 9, 10 sind offenbar beschränkt; 6, 3 ist es auch, falls \a\<l ist. Die Folgen 6, 2, 7, 8, 11 sind es sicher nicht. Ob die Folge 6, 12 imd ob 6, 3 für ein jedes | a j > 1 beschränkt ist oder nicht, ist nicht ohne weiteres zu sehen.

4. Weiß man nur, daß es eine Konstante K^ gibt) 'für die stets Xn<CKy bleibt, so soll die Folge nach rechts (oder: nach oben) beschränkt, K^ selbst eine obere (oder: rechte) Schranke der Folge heißen. Gibt es eine Konstante ifg > für die stets Xn_:>K„ bleibt, so soll (xn) nach links beschränkt, K., eine untere Schranke der Folge heißen. Hierbei brauchen K^ und K^ nicht positiv zu sein.

5. Ist eine Folge nach rechts beschränkt, so braucht es doch unter ihren Zahlen keine größte zu geben. So ist z. B. 6, 10 nach rechts beschränkt, und doch wird jede Zahl dieser Folge von jeder folgenden übertroffen, so daß

1) Z.B.: Alle Glieder der Folge 6, 9 sind > 1. Oder: Alle Glieder der Folge 6,2, die hinter dem 6ten stehen, sind > 100 (kürzer: für 72 > 6 ist' ^n>100).

-) Diese Bezeichnung scheint von C. Jordan, Cours d'analyse, Bd. 1,. Paris 1893, S. 22, eingeführt worden zu sein.

10. §2. Rationale Zahlenfolgen. 15

keine die größte sein kann^). Entsprechend braucht eine nach links be- schränkte Folge kein kleinstes Glied zu enthalten; vgl. 6, 1 und 9. — Mit dieser zunächst paradox anmutenden Tatsache mache sich der Anfänger wohl vertraut! — Unter endlich vielen Größen gibt es natürlich stets sowohl eine größte als eine kleinste.

II. Eine Folge soll monoton wachsend oder zunehmend heißen^ wenn stets

^« ^ ^« + 1 ist; dagegen monoton fallend oder abnehmend^ wenn stets

ist. Beide Arten werden auch kurz als monotone Folgen bezeichnet. Bemerkungen und Beispiele.

1. Eine Folge braucht natürlich weder monoton wachsend, noch monoton 9, fallend zu sein; vgl. 6, 4, 6, 8. Doch sind monotone Folgen sehr häufig und im allgemeinen bequemer zu überschauen als die nicht monotonen. Darum ist

es zweckmäßig, sie durch eine besondere Benennung auszuzeichnen.

2. Statt wachsend müßte man genauer „nicht fallend'', statt fallend ge- nauer „nicht wachsend" sagen; doch ist das meist nicht üblich. Soll in be- sonderen Fällen das Gleichheitszeichen ausgeschlossen werden, soll also stets Xn<.Xn + x bzw. ;v„ > ;i;„ + ^ sein, so nennt man die Folge im engeren Sinne monoton wachsend bzw. fallend.

3. Die Folgen 6, 2, 5, 7, 10, 11, 12 und 6, 1, 9 sind monoton; die erst- genannten steigend, die andern fallend. 6, 3 fällt monoton, falls 0<a<l ist, steigt dagegen monoton für a ^ 1 ; für a <; 0 ist sie nicht monoton.

4. Die Bezeichnung „monoton" rührt von C. Neumann her (Über die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen fortschreitenden Entwicklungen. Leipzig 1881, S. 26/27).

Wir kommen nun zu einer Definition, der die größte Aufmerk- samkeit zu schenken ist, und bei der man nicht müde werden darf, sich ihren Inhalt bis in die letzten Konsequenzen klarzumachen.

III. Eine Folge soll als Nullfolge bezeichnet werden, wenn sie 10. folgende Eigenschaft besitzt: Wenn eine beliebige positive Zahl e gegeben wird, so soll die Ungleichung

durch alle Glieder, von höchstens endlich vielen"^) Ausnahmen ab- gesehen, erfüllt werden. Oder anders ausgedrückt: Wenn eine beliebige positive Größe e gewählt wird, so soll sich stets eine Zahl n^ so angeben lassen, daß

für alle n > n^ stets \x^\ < e

ist.

^) Der Anfänger lasse sich nicht durch oft gehörte Redewendungen wie diese beirren: ,,Für unendlich großes n sei ,r„ = 1 und es sei also 1 die größte Zahl der Folge". So etwas ist barer Unsinn (vgl. hierzu auch 7, 3). Denn die Glieder der Folge sind die Zahlen 0, \, f , f , ... und von diesen ist keine = 1 , sondern eine jede <C 1 . Und ein „unendlich großes w" gibt es nicht.

•^) Vgl. 7, 3.

16 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Sind diese Bedingungen bei einer vorgelegten Folge für ein bestimmtes e erfüllbar, so sind sie um so eher für jedes größere s erfüllbar (vgl. 8, 1), nicht aber für jedes kleinere. (Bei 6, 10 z. B. sind die Bedingungen für e=l, und also jedes größere s erfüllt, wenn man n^ = 0 nimmt ; für e = l dagegen sind sie nicht erfüllbar.) Bei einer Nullfolge sollen aber die Bedingungen für jedes positive f, insbesondere also auch für jedes sehr kleine f>0 erfüllbar sein. Daher formuliert man die Definition etwas nachdrücklicher gewöhnlich so: (x„) ist eine Nullfolge, wenn jedem noch so kleinen ^ > 0 eine Zahl n^ so ent- spricht, daß nun

für alle n > w^ stets \xn\ < f

ist.

2. Die Folge 6, 1 ist offenbar eine Nullfolge; denn für

M >> — ist stets \Xn\ <Ce ,

€ '

wie auch « > 0 gegeben wird. Es genügt also w^ = — zu nehmen.

3. Die Stelle, von der an die Beträge der Glieder einer vorgelegten Folge bei gegebenem s stets < e bleiben, wird natürlich im allgemeinen von der Größe der Zahl s abhängen und im großen und ganzen um so weiter rechts liegen (d. h. n^ wird um so größer sein), je kleiner das s gegeben wird (vgl. 2). Um diese Abhängigkeit der Zahl n^ von e zu betonen, sagt man oft deutlicher „dem gegebenen s solle eine Zahl w^ = tj^ (s) so entsprechen, daß . . .".

4. Es braucht w^ keine ganze Zahl zu sein.

5. Die Vorzeichen der x^ spielen hierbei keine Rolle, da ' — Xn\ = \xn\ ist, und also keine oder beide < e sind. Demnach ist auch 6, 6 eine Nullfolge.

6. Bei einer Nullfolge braucht kein Glied gleich 0 zu sein. Alle Glieder aber, deren Index sehr groß ist, werden sehr klein sein müssen. Denn wähle

ich etwa e = , so muß ja doch für alle n, die eine gewisse Zahl w^,

übersteigen, (^«KtqöÖÖÖÖ ^^^"' ^^^^^^ ^^^ «=10-^*^ imd jedes andere e.

7. Auch die Folge 6, 3 ist, falls |a! < 1 ist, eine Null folge.

Beweis. Ist « = 0 , so ist die Behauptung trivial, da dann für jedes £ > 0

stets \xn\<e ist. Ist nun 0<!a|<l, so ist (nach 3, 1,4) -->1. Setzen

I ^ ! wir also

~z=\-\-p^ so ist ^>>0.

I a j ,,f

Dann ist aber für jedes w^2

(a) (l4-i>r>l + ni>.

Denn für n = 2 ist {\ +pf =\ +2p + p'^> \+2p , die Beziehung also sicher richtig. Ist schon für n = k^2 festgestellt, daß

{l-\-p)^>\-\-kp ist, so folgt nach 2, III, 6, daß

(1 _|- p)k+i :> (i + kp) {i + p) = i + (k -^ \) p -^ kp' > i + (k -{- 1) p

ist, daß also unsere Beziehung auch für n = k -{- 1 richtig ist. Nach 2, V ist sie also für jedes w>2 richtig^).

1) Der Beweis lehrt sogar, daß (a) für n>2 richtig ist, wofern nur l-|.p>0 also p> — 1, aber =|= 0 ist. — Die Beziehung (a) nennt man die Bernoullische Ungleichung. {Jak. BernouUi, Pos. arithm. de seriebus, 1689, Satz 4).

10. §2. Rationale Zahlenfolg-en. 17

Danach ist nun

also, wie auch t > 0 gegeben sein mag

I Ar„ [ = 1 a« I < £ für alle w > — .

ps

8. Nach 7. sind außer der unter 2. genannten Folge ( — ) insbesondere

auch die Folgen (-^) , (±) , (-L) , ((4)-^ „s^. Nullfolgen.

9. Ähnlich wie in 8, 1 gilt hier die Bemerkung, daß es bei der Defi- nition 10 ziemlich gleichgültig ist , ob dort „ < ^ " oder „ < « " steht. Denn ist für w>Wo stets \Xn\<s, so ist um so mehr \xn\^e. Ist umgekehrt für jedes £ > 0 zunächst n^ nur so bestimmbar , daß für n^n^ stets \xn\<s ist, so wähle man eine positive Zahl €i<s; ihr muß dann eine Zahl n^ so ent- sprechen, daß für M > Ml stets \Xn\<Sj_ ist. Dann ist aber

für alle ny>n^ stets \Xn\-<s; die Bedingungen sind also auch in der alten Form erfüllbar. — Ganz ähnlich erkennt man, daß es ziemlich gleichgültig ist, ob in der Definition 10 „>«o" oder „^Wq" steht. — In jedem Einzelfall dagegen muß dieser Unterschied natürlich wieder beachtet werden.

10. Obgleich in einer Zahlenfolge jedes Glied völlig für sich dasteht, einen festbestimmten Wert hat und keinerlei Beziehung zu den vorangehenden oder nachfolgenden Gliedern zu haben braucht, so pflegt man doch irgend- welche beim Durchgehen der Folge (von links nach rechts) beobachteten Eigentümlichkeiten „den Gliedern Xn" oder „dem allgemeinen Gliede der Folge" zuzusprechen. So sagt man etwa bei 6, 1: die Glieder werden kleiner; bei 6, 2: die Glieder werden größer; bei 6, 4 oder 6, 6: die Glieder schwanken auf und ab: bei 6, 11: das allgemeine Glied kann nicht durch eine explizite Formel erhalten werden usw. usw. — In diesem Sinne wollen wir das eigen- tümliche Verhalten der Glieder einer Nullfolge dadurch umschreiben, daß wir

sagen: Die Glieder werden beliebig klein, oder: sie werden unendlich klein^)^

womit nicht mehr und nicht weniger gesagt werden soll, als was die Defi- nition 10 enthält, nämlich daß bei jedem noch so kleinen £>0 die Beträge der Glieder doch schließlich (d. h. für alle Indizes n, die eine passende Zahl n^ übersteigen; oder kürzer: von einer Stelle an) kleiner als s sind 2).

11. Eine Nullfolge ist eo ipso beschränkt. Denn wählen wir £=i, so muß es eine Zahl n^ geben, so daß für n':>n^ stets \xn\<l ist. Unter den endlich vielen Beträgen \x^\, \x^\, . . ., \xn,\ gibt es aber (vgl. 8,5) einen größten, der =M sei. Dann ist für K = M+\ ersichtlich stets \Xn\<CK.

12. Wir betonen noch ausdrücklich, daß es zum Nachweis, ob eine vor- gelegte Folge eine Nullfolge ist, unbedingt erforderlich ist, daß bei vor- geschriebenem f > 0 das zugehörige n^ wirklich angegeben werden kann. Ebenso: wenn von einer Folge {x^) vorausgesetzt wird, daß sie eine Null- folge ist, so wird eben damit als möglich vorausgesetzt, daß zu jedem e das zu- gehörige n^ wirklich angegeben werden kann. Im Gegensatz hierzu mache

^) Diese Ausdrucksweise rührt von A.L. Cauchy her (Anal, alg., S. 4 u. 26).

^) Von einem monotonen Verhalten braucht dabei natürlich keine Rede zu sein (vgl. 6, 6); es können also auch schon einige |;i^„|<£ sein, deren Index < n^ ist.

Knopp, Unendliche Reihen, 2

18 I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

man sich genau klar, was es heißt, daß eine Folge (a-„) keine Nullfolge ist. Es heißt dies: Nicht bei jeder positiven Zahl s ist von einer Stelle ab immer Xn\<i^\ — sondern also: Bei Wahl einer speziellen positiven Zahl, etwa der Zahl fQ, ist von keiner Stelle an stets j;*r„|<;«'o5 ^^ ist vielmehr hinter jeder Stelle immer wieder einmal (und also für unendlich viele Indizes) \xn\yEQ.

13. Endlich deuten wir noch an, wie man sich den Charakter einer Folge als Nullfolge geometrisch anschaulich machen kann:

Bei der Veranschaulichung 7, 5 haben wir es mit einer Nullfolge zu tun, wenn die Glieder der Folge von einer Stelle ab (für m>>Mq) alle dem Intervall^) — e ...-{-£ angehören. Nennen wir ein solches Intervall kurz eine f- Umgebung des Nullpunktes, so können wir sagen: (xn) ist eine Nullfolge, wenn in jeder (noch so kleinen) f- Umgebung des Nullpunktes doch alle Glieder der Folge, von höchstens endlich vielen Ausnahmen abgesehen, gelegen sind.

Bei der Veranschaulichung 7, 6 ziehen wir durch die beiden Punkte (0, + s) Parallelen zur Abszissenachse und können sagen: (a'„) ist eine Nullfolge, wenn das ganze Bild der Folge (xn) — von einem endlichen Anfangsstück abgesehen — in jedem solchen (noch so schmalen) e-Streifen um die Abszissenachse gelegen ist.

14. Der Begriff der Nullfolge, die „beliebig" klein gegebene positive Größe £", die uns von nun an ein nicht mehr zu entbehrendes Hilfsmittel sein wird und die darum einen Grundpfeiler für den Aufbau der gesamten Analysis bildet, scheint zuerst 1655 von /. Wallis, s. Opera I, S. 382/3 benutzt worden zu sein. Der Sache nach findet sie sich aber schon bei Euklid, Elemente V.

Nun sind wir schon eher in der Lage, den Sachverhalt zu er- fassen, der der oben erörterten Bedeutung von V2 oder ji od. ähnl. zugrunde liegt. Indem wir — wir bleiben bei dem Beispiel V2 — einerseits die Zahlen

x^ = 1,4; x^ = 1,41; x^ = 1,414; x^ = 1,4142; . . . und andrerseits die Zahlen

y, ^ 1,5; y, = 1,42; y^ - 1,415; y^ = 1,4143; . . . bilden, stellen wir offenbar zwei (rationale) Zahlenfolgen (jtj und (yj nach einem ganz bestimmten (wenn auch sehr mühsamen) Verfahren auf. Und zwar sind beide monoton, die Folge {x^ wachsend, die Folge (yj fallend. Überdies ist stets x^^ < y„, aber der Unterschied beider, also die Zahlen

V — X = d '-''

bilden nach 10, 8 eine Nullfolge, da ja d^^ = j^ ist. Diese Tatsachen

sind es offenbar, die uns das Gefühl geben, daß wir V'2 „kennen", daß wir es „berechnen" können usw., obgleich — wie wir oben sagten — noch niemand den Wert V2 sozusagen vollständig vor Augen gehabt hat. — Deuten wir diese Dinge noch etwas anschau- licher auf der Zahlengeraden, so haben wir offenbar dies (vgl. Fig. 1, S. 24): Die Punkte x^^ und y^ begrenzen ein Intervall^) J^ von der

1) Als Intervall bezeichnen wir ein Stück der Zahlengeraden, das zwischen zwei bestimmten ihrer Punkte liegt. Je nachdem man diese Punkte selbst noch zum Intervall hinzurechnet oder nicht, nennt man es abgeschlossen oder offen. Wenn nichts besonderes gesagt ist, sollen im folgenden die Intervalle stets

12. . § 2. Rationale Zahlenfolgen. JQ

Länge d^; die Punkte x^ und y^ ebenso ein Intervall /, von der Länge d^. Dieses zweite Intervall liegt aber wegen

^i^^o<y2< yi

ganz in dem ersten. Ebenso begrenzen die Punkte x^ und y^ ein Intervall J^ von der Länge d^, das ganz in /^ liegt; und allgemein begrenzen die Punkte x^^ und y,^ ein Intervall /^ von der Länge d^^, das ganz in /„_i liegt. Und die Längen dieser Intervalle bilden eine

Nullfolge, es schnüren sich die Interv^alle — wie man vermutet

um eine ganz bestimmte Zahl zusammen, schrumpfen auf einen ganz bestimmten Punkt ein.

Wir haben nur noch zu prüfen, inwieweit diese Vermutung das richtige trifft. — Dazu geben wir allgemeiner die folgende

Definition. Liegt eine monoton steigende Folge (x^) und eine mono- 11, ton fallende Folge (y^J vor, deren Glieder für jedes n die Bedingung

^n ^ Vn

erfüllen, und bilden die Differenzen

^« = y — X

n yn n

eine Nullfolge, so wollen wir kurz sagen, es sei uns eine Intervall-

schachtelung gegeben. Das n'' Intervall J^^ erstreckt sich von x^ bis

y„, und ^„ ist seine Länge. Die Schachtelung selbst soll dann\{rz durch (JJ oder durch (a;„ | yj bezeichnet werden.

Unsere oben ausgesprochene Vermutung findet nun ihre erste Bestätigung in dem folgenden

Satz. Es gibt höchstens eine {rationale) Zahl s, die allen Inter- 12. Valien einer Intervallschachtelung angehört, die also für jedes n die Ungleichung

erfüllt.

Beweis: Gäbe es neben s noch die davon verschiedene Zahl s', die auch für alle n die Ungleichung

erfüllte, so wäre für alle n neben

A.' < s < y noch (s. 3, 1, 4) n _ _ n

SO daß nach 3, 1, 2 und 3, II, 5 stets

— ^^„ ^ 5 — s' ^ ^„ oder | s — s' j < d^

abgeschlossen gedacht werden. (Bei 10,13 ist das nach 10,9 gleichgültig.) Ist a der linke, b der rechte Endpunkt eines Intervalles, so nennen wir dieses kurz das Intervall a . . .b.

2*

20 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

wäre. Wählen wir also e = \s — s' ., so wäre niemals, also auch von keiner Stelle n^ ab, d^<e, — was der Voraussetzung, (dj sei eine Nullfolge, widerspricht^). Die Annahme, daß zwei verschiedene Punkte allen Intervallen angehören, ist also unzulässig — w. z. b. w.

Bemerkungen und Beispiele.

n-l w+1 , _ n-l w+1, 2

1. Es sei Xn = — -- , yn = — --- ; also /„ = --^— . . . — — , d« = - .

Man überzeugt sich sofort, daß hier wirklich eine Intervallschachtelung vor- liegt, da ja stets Xn<Xn + i <yn + l<yn "nd da für n > ~ auch stets d,, < s

bleibt, wie auch «• > 0 gewählt wird.

w— 1 ^ . •W + 1 . ^ Die Zahl s = 1 gehört hier allen /„ an, da stets < 1 < —^ — ist.

Neben 1 kann also keine zweite Zahl allen Intervallen angehören.

2. (/„) sei folgendermaßen definiert: Jq-) sei die Strecke 0 ... 1, /i davon die linke Hälfte, J^ die rechte Hälfte von J^, /g wieder die Imke Hälfte von /„ usw. Diese Intervalle sind offenbar ineinander geschachtelt, und da /„ die

Länge dn = \ hat und da diese Zahlen eine Nullfolge bilden, so liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach leichter Überlegung findet man, daß die Folge der Xn aus den Zahlen

1 1 15 j^^ 1 ^i__21

^' T' 4"'^i6~ 16' 4 ' 16 ' 64 64" ' ' '

besteht deren jede zweimal hintereinander genommen werden muß, und daß

die Folge der y„ mit 1 beginnt und dann aus den je zweimal hintereinander

zu nehmenden Zahlen

1~2"2' ^~2~8""8' ' 2 8 32 32 ' " " " besteht. Da nun

4"^T6"^'64"^""^4ft ~ 3 r 4^^ 3 und

1 1 1 _ -J_-ifi+-2-V>i

^~2~~%'"" 2-4Ä-i~ 3 V ^4Ä/ ^ 3 ist 3) so ist für jedes n stets at« < i < y„ und also s = i die einzige Zahl, die allen diesen Intervallen angehört. Durch (/„) wird hier also die Zahl i „er- faßt" oder „bestimmt", (/„) schrumpft auf die Zahl J zusammen.

1) Anschaulich gesprochen sagt der Beweis: Wenn s und s' allen Inter- vallen angehören, so ist die Länge aller Intervalle mindestens gleich dem Ab- stände \s~s'\ von s und 5' (s. 3, 11,6); diese Längen können also keine Null- folge bilden. , , ^ o^

2) Wir lassen den Index hier von 0 an laufen (vgl. 4, l).

3) Für irgend zwei Zahlen a und h und jede natürliche Zahl k gilt bekannt- lich die Formel

woraus speziell die für a 4= 1 gültigen Formeln

, _i. flÄ - 1 = _n^ und a + a- f • • • 4- «* =

\-ak . \-ak

a

folgen.

12. § 3. Die irrationalen Zahlen. 21

3. Wenn eine Intervallschachtelung (/„) vorliegt und eine Zahl s bekannt geworden ist, die allen /„ angehört, so ist diese Zahl 5 durch (/J nach unserem Satze völlig eindeutig bestimmt. Wir sagen daher schärfer: die Schachtelung (/«) deftniere oder erfasse die Zahl s, oder s sei der durch die Schachtelung ge- gebene Wert; oder auch: s sei der innerste Punkt aller Intervalle.

4. Ist s irgendeine gegebene rationale Zahl und setzt man für n =^1, 2, . . .

Xn = s und y„ = s -j , so ist (x^ \ y„) ersichtlich eine Intervallschachtelung,

durch die die Zahl s selbst erfaßt wird. Aber auch wenn stets Xn = s und y„ = s gesetzt wird, ist (x^ \ yn) eine Schachtelung, durch die die Zahl s erfaßt wird. — Man kann hiernach also in der mannigfachsten Art eine Intervallschachtelung bilden, die eine gegebene Zahl definiert. —

Unser Satz erledigt nun aber sozusagen nur die eine Hälfte unserer oben ausgesprochenen Vermutung: Wenn überhaupt eine Zahl s allen Intervallen einer Schachtelung angehört, so gibt es neben ihr keine zweite, sie ist vielmehr durch die Schachtelung eindeutig erfaßt.

Die andere Hälfte der Vermutung aber, daß es nämlich auch immer eine (rationale) Zahl s gäbe, die allen Intervallen einer Schach- telung angehörte, diese Vermutung ist — und gerade dies wird uns der Anlaß zur Erweiterung des Systems der rationalen Zahlen werden — irrig.

Das zeigt folgendes Beispiel: Ist wie oben S. 18 ;tri = 1,4; ATg = 1,41, ... ; ^1=1,5; ^2 = 1,42;..., so gibt es keine rationale Zahls, für die stets Xn ^ s ^y^ wäre. Setzen wir nämlich

'Y«' = ^«" und yn' = yn\ so bilden auch die Intervalle Jn =x,^ . ..y,l eine Schachtelung i). Nun war aber stets xj = x,c < 2 und y^l = y,^ > 2 (denn so waren ja die Dezimalbrüche Xn und >'„ gewählt), also ;ir„' < 2 < y^ . Ebenso folgte aus x^^s^y^ durch (nach 3,1,3 erlaubtes) Quadrieren, daß stets Xjl ^s'^^y.l sein müßte. Nach unserm Satz VZ müßte also 5- = 2 sein, was aber nach dem Beweis S, 10, Fußnote, unmöglich ist. Es gibt also hier sicher keine (rationale) Zahl, die allen Intervallen angehörte.

Was in solchem Falle nun zu tun ist, wollen wir im folgenden Paragraphen untersuchen.

§ 3. Die irrationalen Zahlen.

Mit der Tatsache, daß es keine rationale Zahl gibt, deren Qua- drat = 2 ist, daß also zur Lösung der Aufgabe -x^ ^ 2 das System der rationalen Zahlen zu lückenhaft, zu unvollkommen ist, müssen wir uns abfinden. Aber nicht nur in diesem einen Falle, sondern zur

^) Denn aus x^ ^ ^« + 1 < y« + 1 < j'/» folgt — da alles positiv ist — nach 3, 1, 3 durch Quadrieren, daß auch ;ir/ < at^ + 1 < y« + 1 < y„' ist ; und weiter ist >'«' — V = (y«+'r„) iy^^ — x,^, also, da die ;v,, und y,, für alle n stets <2 sind:

Jn —x,! < Yö^ , also <Cs, sobald ttt^ < x ^^^' ^^^ ^^^^ lö» 8 von einem ge- wissen Wq ab sicher der Fall ist.

22 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

Lösung vieler tausend andrer Aufgaben erweisen sich die rationalen Zahlen als ein unzureichendes Material. Fast alle die Werte, die wir

durch Vw, durch logw, sin«, tgc^ usw. zu bezeichnen pflegen, sind im System der rationalen Zahlen nicht vorhanden und können daher ebensowenig glatt hingeschrieben, ebensowenig unmittelbar „erfaßt" oder „ziffernmäßig gegeben" werden wie\/2. Das Material ist zu grob für diese feineren Zwecke.

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen geben uns nun einen Fingerzeig, wie wir uns ein geeigneteres Material schaffen können: Auf der einen Seite sahen wir nämlich, daß hinter dem Gefühl, wir kennten V~2, im wesentlichen nur die Kenntnis eines Verfahrens lag, eine ganz bestimmte Intervallschachtelung anzugeben, für deren Kon- struktion natürlich die Lösung der Aufgabe x"^ = 2 die Veranlassung gab^). Auf der andern Seite sahen wir, daß, wenn eine Intervall- schachtelung (/J überhaupt eine angebbare (d.h. also immer noch: rationale) Zahl "s enthält, diese Zahl s völlig eindeutig durch die Schachtelung bestimmt ist, so eindeutig, daß es eigentlich ganz gleich- gültig ist, ob ich die Zahl s direkt gebe (hinschreibe, nenne), oder ob ich statt ihrer die Schachtelung (/J angebe, — mit dem still- schweigenden Zusatz, daß ich mit der letzteren eben die dadurch eindeutig eingespannte oder definierte Zahl s meine. In diesem Sinne leisten beide Angaben (beide Zeichen) ganz dasselbe, beide können gewissermaßen als gleich angesehen werden, so daß wir also geradezu

(/n) = S «^^^ Kbn) = ^

schreiben können. Und demgemäß werden wir nicht nur sagen „Die

1) Der Kern dieses Verfahrens ist doch dieser: Man stellt fest, daß P <2, 22 > 2 ist und setzt demgemäß ;Vo = 1 , :Vo = 2. Man teilt nun das Intervall J =Xq . . .yQ in 10 gleiche Teile und prüft für die Teilpunkte I+Yq' Ä = 0, 1 2, . . . , 9, 10, ob ihr Quadrat < 2 oder > 2 ist. Man findet, daß Ä = o' 1 ' 2,3, 4 e'in zu kleines, k = 5,6, . . . , 10 ein zu großes Quadrat liefern und setzt 'demgemäß .r, = 1,4 und y^ = 1,5, teilt das Intervall J^ = x\...y, wieder in 10 gleiche Teile, stellt die entsprechende Prüfung für' die Teilpunkte an usw. Das bekannte Verfahren, V 2 auszuziehen, soll lediglich die jedesmalige Prüfung zu einer möglichst mechanischen machen. — Ebenso führt z. B. die Aufgabe 10* = 2 (also die Bestimmung des Briggschen log 2) auf folgende Schachtelung : Da 10^ < 2, 10^ > 2, so setzt man hier Aq = 0, >'o = 1 ""d teilt /o = '^'o---yo in 10 gleiche Teile. Für die Teilpunkte ^^ prüft man nun, ob 10'^-^^<2 oder >2 d h ob 10* .^2''^ oder > 2'" ist. Auf Grund dieser Prüfung wird man ^^ = 0,3^ ^1 = 0,4 setzen. Das Intervall J, = x^.-.yx teilt man erneut ^in 10 gleiche Teile, stellt die entsprechende Prüfung für die Teilpunkte Yq + ^ ^"^^ wird auf Grund derselben ;.„ = 0,30 und y, = 0,31 setzen usw. - Dieses naheliegende Verfahren ist für die praktische Berechnung natürlich viel zu mühsam.

12, §3- Die irrationalen Zahlen. 23

Schachtelung (/J bestimme die Zahl s", sondern „(/„) sei nur ein anderes Zeichen für die Zahl s", oder schließlich „(/J es/ die Zahl s", — genau wie wir in dem Dezimalbruch 0,333 . . . nur ein anderes Zeichen für die Zahl |, oder eben die Zahl J selbst zu sehen ge- wöhnt sind.

Es ist nun außerordentlich naheliegend, auch bei denjenigen Intervallschachtelungen^ die keine rationale Zahl s enthalten, Versuchs- weise eine ähnliche Ausdrucksweise einzuführen. Bedeuten also z. B. X und y die vorhin im Anschluß an die Aufgabe x^ =^ 2 kon- struierten Zahlen, so könnte man sich — da es doch im System der rationalen Zahlen keine einzige Zahl gibt, deren Quadrat = 2 ist • — nun entschließen, zu sagen: diese Schachtelung (a;^J yj bestimme den „wahren", nur eben mit Hilfe der rationalen Zahlen nicht bezeichen- baren „Wert von V2", sie spanne unzweideutig diese Zahl ein, also schließlich: „sie sei ein neugeschaffenes Zeichen für diese Zahl" oder kurz: „sie sei diese Zahl selbst". Und entsprechend in jedem andern Falle. Ist (/J = (A;^JyJ irgendeine Schachtelung und gibt es keine rationale Zahl s, die allen ihren Intervallen angehört, so könnte man sich doch entschließen zu sagen: Diese Schachtelung erfasse einen ganz bestimmten — nur eben mit Hilfe der rationalen Zahlen nicht unmittelbar bezeichenbaren — Wert, sie definiere zwar eine ganz be- stimmte, aber im System der rationalen Zahlen leider nicht vorhandene Zahl, sie sei ein neu geschaffenes Zeichen für diese Zahl, oder kurz : sie sei diese Zahl selbst, — die dann im Gegensatze zu den rationalen eine irrationale Zahl genannt werden müßte.

Da erhebt sich nun allerdings die Frage: Geht denn das ohne weiteres an? Darf man das tun? Darf man diese neuartigen Sym- bole, also die Intervallschachtelungen (^„|y„), ohne weiteres als Zahlen bezeichnen? Die folgenden Betrachtungen sollen zeigen, daß dem keinerlei Bedenken entgegenstehen.

Zunächst läßt uns die Veranschaulichung dieser Dinge auf der Zahlengeraden (s.Fig. 1) unsern Entschluß durchausberechtigt erscheinen. Wenn wir durch irgendeine Konstruktion auf der Zahlengeraden einen Punkt P markiert haben (z. B. indem wir von 0 nach rechts die Diagonale des Quadrates mit der Seite OE" abtragen, od. ä.), so kann man auf mannigfache Art eine Intervallschachtelung angeben, die den Punkt P erfaßt; z. B. so: Man denke sich zunächst die sämtlichen ganzen Zahlen ^ 0 markiert. Unter ihnen wird es genau eine geben, sie heiße p, so daß P auf der Streckg von f einschließlich bis (p -{- 1) ausschließlich liegt. Wir setzen demgemäß Xq=^ f, ^Q = /) -f- 1 und teilen das Intervall Jq = x^. . .y^ in 10 gleiche Teile ^).

^j Statt 10 kann man natürlich auch irgendeine andere natürliche Zahl > 2 nehmen. Genaueres darüber s. §. 5.

24

I. Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

Die Teilpunkte sind /> + Ta (p^^^ ^ = 0, 1, 2, ..., 10) und unter ihnen

k muß es wieder genau einen geben, etwa p -\- rj:, so daß P zwischen

k Ä + 1

AC^ = ^ -[- ?A einschUeßlich und y^ := p -\ — ^— ausschließlich ge- legen ist. Das Intervall /i = ^3 • • • ^i teilen wir erneut in 10 gleiche Teile usw. Denken wir uns dieses Verfahren ohne Ende fortgesetzt, so erhalten wir eine ganz bestimmte Schachtelung (Jj, deren sämt- liche Intervalle J^^ den Punkt P enthalten. Außer P kann auch kein zweiter Punkt P' in allen Intervallen J^ gelegen sein; denn dann müßten ja alle Intervalle die ganze Strecke PP' enthalten. Das ist

aber unmöglich, da die Längen der Intervalle f /^ hat die Länge —

eine Nullfolge bilden.

Zu jedem willkürlich auf der Zahlengeraden gegebenen Punkt P (mag es ein rationaler Punkt sein oder nicht) gibt es also — • offenbar

Xj

^

J3

__^ ^

Yi

Yo

Ji

Jn

Fig. 1.

sogar viele verschiedene — Intervallschachtelungen, die diesen Punkt und keinen andern enthalten. Und hier — d. h. bei der geometri- schen Veranschaulichung auf der Zahlengeraden — erscheint uns auch das umgekehrte durchaus plausibel: Wenn wir irgendeine Schachtelung haben, so scheint es immer einen (und also nach dem eben gegebenen Beweise auch nur diesen einen) Punkt zu geben, der allen Intervallen derselben angehört, der also durch sie bestimmt wird. Wir glauben dies jedenfalls aus unserer Vorstellung von der Lückenlosigkeit der Geraden unmittelbar erschließen zu können^).

Hier bei der geometrischen Veranschaulichung hätten wir also völlige Gegenseitigkeit: Jeder Punkt läßt sich durch eine passende Intervallschachtelung erfassen und jede Schachtelung erfaßt immer genau einen Punkt.

1) Der Satz, der diese Tatsache der „Lückenlosigkeit der Geraden" aus- drücklich postuliert — denn nach einem Beweis darf man hier nicht fragen, da es sich ja lediglich um eine BeschyeibutJg der Form unserer Anschauung von der geraden Linie handelt — heißt das Cantor - Dedekindsche Axiom.

13. § 3. Die irrationalen Zahlen. 95

Die Anschauung der sogenannten Lückenlosigkeit einer Geraden ist aber zweifellos etwas sehr Verschwommenes, begrifflich kaum in voller Schärfe zu Erfassendes; sie darf daher — wie übrigens alle nur der Anschauung entnommenen Vorstellungen — bei der Grund- legung der Analysis nicht selbst das letzte Fundament, sondern höchstens einen Wegweiser zur Schaffung desselben bilden. Daher vermögen wir aus der besprochenen geometrischen Veranschauhchung der in Rede stehenden Dinge zwar nicht gleich einen befriedigenden Satz ' abzulesen, aber wir gewinnen aus ihr ein hohes Maß von Vertrauen m die Zweckmäßigkeit und Berechtigung unseres Entschlusses, die Intervallschachtelungen als Zahlen aufzufassen, den wir nun in der folgenden Definition präzisieren:

Definition: Wir wollen von jeder Intervallschachtelung (JJ oder 13. (^«bJ ^^^^^^ sie definiere, oder kurz: sie sei eine wohlbestimmte Zahl. Zur Bezeichnung derselben gebrauchen wir das Zeichen der Intervall- schachtelung selbst, und nur zur Abkürzung ersetzen wir diese durch einen kleinen griechischen Buchstaben und schreiben in diesem Sinne etwa {Jn) Oder (Xn I t/n) = (T 1) .

Dies erscheint nun trotz allem als ein sehr eigenmächtiger und willkürlicher Schritt, und wir müssen nachdrücklichst die oben auf- geworfene Frage wiederholen: Geht das ohne weiteres an? Dürfen wir denn ohne weiteres die eben definierten rein begrifflichen Dinge — nämlich die Intervallschachtelungen (bzw. das durch eine solche er- faßte oder eingespannte, noch durchaus fragwürdige Etwas) ~ als Zahlen ansprechen? Sind es denn Zahlen in demselben Sinne wie die ratio- nalen Zahlen, — oder präziser: in dem Sinne, wie wir den Zahl- begriff durch die Bedingungen 4 festgelegt haben.?

Die Antwort kann einzig darin bestehen, daß wir entscheiden, ob die Gesamtheit aller nur denkbaren Intervallschachtelungen bzw. der dafür eingeführten Symbole (/J oder {x^^ \ yj oder o ein System von Dingen bildet, das den genannten Bedingungen 4 genügt-), dessen Elemente also — so können wir diese Bedingungen kurz re- kapituheren — aus den rationalen Zahlen abgeleitet sind und 1. sich ordnen, 2. sich nach vier Spezies verknüpfen lassen, hierbei den Grundgesetzen 1 und 2, I — IV gehorchen, deren System 3. ein zu den rationalen Zahlen ähnliches und isomorphes Teilsystem ent- hält und 4. das Postulat des Eudoxus erfüllt.

Erst wenn diese Entscheidung im günstigen Sinne ausgefallen ist, so wäre alles in Ordnung; denn dann hätten unsere neuen Zeichen ihren

^) D. h. ö ist eine abkürzende Bezeichnung für die Intervallschachtelung: Un) Oder (^„|y„)-

^} Man lese daraufhin diese Bedingungen nun noch einmal durch!

26 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

Zahlcharakter bewiesen, es wäre festgestelh: es sind Zahlen, deren Gesamtheit wir dann als das System der reellen Zahlen bezeichnen werden.

Die genannte Entscheidung bietet nun nicht die geringsten Schwie- rigkeiten, und wir können uns daher bei der Ausführung der Einzel- heiten kurz fassen:

Die Intervallschachtelungen — also unsere neuen Zeichen {x^^ \ yj — sind jedenfalls nur mit Hilfe der rationalen Zahlzeichen aufgebaut, und es bedarf also nur der Erledigung der Punkte 4, 1—4. Hierbei werden wir folgendermaßen zu Werke gehen: Gewisse unter den Schachtelungen definieren eine rationale ZahP), also etwas, dessen Bedeutung und dessen Verknüpfungsarten schon festgelegt sind. Man nehme nun zwei solche rationalwertigen Schachtelungen, etwa U \y) = s und (a; '|y,/) = s'. Dann können wir an den rationalen ^.Zahlzeichen s und s' sofort feststellen, ob s < , = oder > s' ist, und können sie auch mit Hilfe der vier Spezies miteinander verknüpfen. Man hat nun ledighch zu versuchen, dasselbe direkt an den Schach- telungen für s und s' selbst zu erkennen bzw. vorzunehmen und end- lich das Ergebnis auf die Gesamtheit aller Schachtelungen zu über- tragen. Ein bei den rationalwertigen Schachtelungen beweisbarer Satz (A) wird uns also jedesmal Veranlassung zu einer entsprechenden Definition (B) sein. Wir stellen diese Paare je eines Satzes (A) und einer Definition (B) zunächst kurz zusammen-): 14. Gleichheit: A. Satz. Sind {xjyj = s und «|yj = s' zwei

rationalwertige Intervallschachtelungen, so ist dann und nur dann s = s', wenn neben

^n ^ yn ^^^ ^n ^ ^n'

auch stets

x^^ ^ y,/ und stets x^ ^ y„

ist

1) Wir wollen solche Schachtelungen kurz als rationalwertig bezeichnen.

•^) Man deute sich jedesmal den Inhalt von Satz und Definition auf der Zahlengeraden.

3) Auf die sehr einfachen Beweise der Sätze 14 bis 19 wollen wir aus den allgemeinen, S. 2 dargelegten Gründen nicht eingehen. Sie werden dem Leser, sobald er die Gegenstände des II. Kapitels beherrscht, nicht die ge- ringsten Schwierigkeiten machen, während sie jetzt befremdlich wirken würden; sie sollen uns überdies in dem dortigen Kapitel als Übungsaufgaben dienen. Nur als Stichprobe und Anleitung für die späteren Aufgaben wollen wir hier den Satz 14 beweisen: , / / .

a) Wenn s = s' ist, so ist neben x,,£s£yn auch stets Xn £s<y„ , woraus sofort folgt, daß auch stets x^^y,/ und stets x„' £yn sein muß.

b) Wenn umgekehrt stets x„<yn' ist, so muß auch s<s' sein. Denn wäre s>s', also 5-s'>0, so könnte man, da (y„ - .r„) eine Nullfolge ist, einen Index p so wählen, daß

15, §3. Die irrationalen Zahlen. 27

Auf diesen Satz gründen wir nun die

B. Definition. Zwei beliebige Intervallschachtelungen o = [x^^ \ y^ und ^' =^ (^,/ 1 y,/) sollen dann und nur dann einander gleich heißen, wenn

stets x^^ < y' und stets x' < y,,

Bemerkungen und Beispiele.

1. Die Zahlen Xn und x^l einerseits und die Zahlen y„ und y,/ anderer- seits brauchen natürlich gar nichts miteinander zu tun zu haben. Es ist das nicht verwunderlicher, als daß äußerlich so ganz verschiedene rationale Zahlen wie |, W und 0,375 als „gleich" angesprochen werden. Die Gleichheit ist eben etwas, was nicht a priori feststeht, sondern was definitionsweise fest- gelegt werden muß und was mit einer — rein äußerlich aufgefaßten — starken Verschiedenheit durchaus verträglich ist.

2. Die Schachtelung ( '^

ön

•w + 1

— ] und die Schachtelung 12, 2 sind

6n '

nach unserer jetzigen Definition einander gleich.

3. Nach 14 ist z. B. [s \ s -] — ] =s = (s\s), wenn das letztere Zeichen

\ n \ nJ '

eine Schachtelung bedeutet, bei der alle linken und alle rechten Intervallenden

= 5 sind. Speziell ist (^_ 1 1 + i j = (0 j 0) = 0

I

4. Es muß nun noch festgestellt werden — was aber so einfach ist, daß wir nicht weiter darauf eingehen, daß (vgl. Fußnote 3 der vorigen Seite) auf Grund dieser Definition a) stets o = o ist^), b) aus o = o' stets o'=cf und c) aus or = ö' , a' = o" stets a = o" folgt.

Ungleichheit: A. Satz. Sind (a:, J y J ^ s und (xj^\y^) = s' zweilo, rationalw2rtige Intervallszhachtelungen ^ so ist dann und nur dann s < s' , wenn

zwar stets a;^^ ^ y/, aber nicht stets ^,/^y„, sondern für mindestens eine natürliche Zahl m also y^^^ < xln ist''-').

ist. Da aber sicher s-^y^ ist, so müßte auch noch x^,—s'^^ sein. Daher könnte man weiter einen Index r so wählen, daß

y/ - Xr' < Xp - 5'

ist. Wegen Xr < s' müßte hiernach auch y/ < Xp sein. Wählt man nun eine natürliche Zahl m , von der sowohl p als r übertroffen werden , so wäre mit Rücksicht auf das Steigen und Fallen unserer Zahlenfolgen erst recht y„/ <;ir,„, — entgegen der Voraussetzung, daß stets Xn < y,/ sein sollte. Es muß also wirk- lieh s ^s' sein.

Vertauscht man bei dem ganzen Beweise die gestrichenen und die un- gestrichenen Größen, so ergibt sich ebenso: wenn stets x^ ^Jn ist, so muß s' ^ s sein. — Ist also stets sowohl x^ < y„' als auch Xn ^ y« , so muß s = s' sein, — w. z. b. w.

^) Hier erkennt man nun, daß dieses „Gesetz" keineswegs trivial ist: Es muß eben erst gezeigt werden, daß auf Grund der Definition der Gleichheit tatsächlich jede Intervallschachtelung sich selber „gleich" ist, d. h. den Be- dingungen jener Definition genügt.

2) Und entsprechend für s > s', d. h. 5' < s .

28 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

B. Definition. Sind o = {xJ^yJ und 0' = (a:/ | yj) zwei beliebige Intervallschachtelungen, so soll dann und nur dann o < o' heißen, wenn

zwar stets x^^<y^, aber nicht stets < ^ y«, sondern für mindestens eine natürliche Zahl m also y^^ < x^ ist.

Bemerkungen und Beispiele: 1. Nach Def. 14 und 15 ist nun ersichtlich die Gesamtheit aller nur denklDaren Intervallschachtelungen geordnet. Denn zwischen irgend zweien von ihnen, etwa a und o', besteht entweder Gleichheit oder es ist mindestens einmal y ^x ' — und dann ist 0 < a' , oder mindestens einmal y/ <Xr — tmd dann ist o' < 0 zu nennen. Die beiden letzten Fälle können auch nicht zu- gleich eintreten, da dann, wenn m größer als r und p ist, um so mehr yJ„<A,„ sein müßte, was doch keinesfalls möglich ist. Es besteht also zwischen 0

xi- — ) oder ^{x\x)

o <^a' , 0 = 0, o <Co] die Gesamtheit unserer neuen Zeichen ist also durch 14 und 15 geordnet.

2. Auch hier müßte nun in allen Einzelheiten festgestellt werden, daß die reinen Anordnungssätze 1 bei der eingeführten Definition der Gleichheit und Ungleichheit gültig bleiben. Das bietet nach dem Muster des Beweises in der Fußnote zu Satz 14 so wenig prinzipielle Schwierigkeiten, daß wir darauf nicht weiter eingehen: Die Anordmmgssätze bleibert' tatsächlich alle gültig.

3. Auf Grund von 14 und 15 ist nun auch für jedes n

Xn < or < y« .

Was heißt dies? Es bedeutet, daß jede der rationalen Zahlen ;i^„ gemäß 14 und 15 nicht größer als die Intervallschachtelung o={Xn\yn) ist. Oder: Greift man eine spezielle der Zahlen Xn, etwa Xj,, heraus und bezeichnet sie kurz mit ,r , so kann (s. 14, Bern. 3)

gesetzt werden, und unsere Behauptung lautet dann

{x\x)£{x,\yn)- Wäre das aber nicht der Fall, so wäre für mindestens einen Index r

yr<x, d.h. yr<Xj,, was dann für ein m oberhalb r und p um so mehr

Vm < ^m

zur Folge hätte, — was sicher nicht sein kann. Ebenso findet man, daß stets o<yn ist. Hiernach ist also o für jedes n als zwischen x„ und y„ oder also als im Intervall Jn gelegen anzusehen!

4. Da nach dem vorigen a<y„ ist, und da y„ nach dem Satz des Eudoxus CZ, VI) von einer passenden natürlichen Zahl p übertroffen wird, so gilt das gleiche von a selbst: a <CP^)-

5. Nach 15 ist dann und nur dann a>0, also positiv zu nennen, wenn (a« ! y«) > (0 j 0) , wenn also für einen passenden Index p einmal Xp>0 ist.

1) Auch dies ist im Sinne von 15 so zu verstehen, daß etwa

ist.

-|g^ ' § 3. Die irrationalen Zahlen. 29

Dann ist aber, da die .r„ ansteigen, erst recht für alle %>/? stets ;r„ > 0 . Wir können also sagen : o = (Xn\ y») ist dann und nur dann positiv , wenn von einem gewissen Index an alle Intervallenden positiv sind. — Genau Ent- sprechendes gilt natürlich für or < 0 .

6. Ist nach 5. ö > 0 und für alle n^p stets a« > 0, so bilde man nun eine neue Intervallschachtelung (Xn\y,i') — o' , indem man x^' = xj =•..• = a-^_i sämtlich = x^ setzt, sonst aber alle x' und / den entsprechenden Größen x und y gleichmacht. Nach 14 ist offenbar o = o' , und wir können sagen : Ist <f positiv, so gibt es stets „gleiche" Intervallschachtelungen, bei denen alle Intervallenden positiv sind. Genau Entsprechendes gilt für ö<0.

In bezug auf die Ordnungsfähigkeit hätten also unsere Intervall- schachtelungen durchaus ihren Zahlcharakter bewährt. Nicht schwerer ist dies bezüglich der Verknüpfungsmöglichkeiten festzustellen.

Addition: A. Satz. Sind {x^ \ yj und {x^ \ yj) zwei beliebige Inter- 16. vallschachfelungen , so ist auch {x^^ + x^' \ y^^ + ^„0 ^^'^^^ solche; und sind die ersten beiden rationalwertig und = s bzw. = s', so ist es auch die dritte und diese bestimmt die Zahl s ^ s' '^).

B. Definition. Sind (x^ \y^ = a ^md [x^ \ y^') = o zwei beliebige Intervallschachtelungen und bezeichnet man die daraus abgeleitete Schachte- lung (x^ + x^ I y^j + yj) mit o'\ so sagt man, es sei

o" = o + o' und nennt o" die Summe von o und o' .

Subtraktion: A. Satz. Mit (a;^ | yj ist auch (— y^j — ^J eineXl, Intervallschachtelung; und ist die erste rationalwertig und = s, so ist es auch die zweite, und diese definiert die Zahl — s.

B. Definition. Ist o = [x^^ \ y^) eine beliebige Intervallschachtelung, so sagt man von der Schachtelung (— y^\ — x^) ^ o', es sei

und nennt o' zu o entgegengesetzt. — Unter der Differenz zweier Intervallschachtelungen versteht man dann die Summe der ersten und der zur zweiten entgegengesetzten.

Multiplikation: A. Satz. Sind {x^ \ yj und (jvJ | yj) zwei beliebige 18. positive Intervallschachtelungen und ersetzt man sie nötigenfalls (nach 15,6) durch zwei ihnen gleiche, bei denen sämtliche Intervallenden positiv {oder wenigstens nicht negativ) sind, so ist auch [x^x^^ly^^y^^') eine solche; und sind die beiden ersten rationalwertig und = s bzw. s', so ist es auch die dritte, und diese bestimmt die Zahl ss'.

B. Definition. Sind {x^ | y J = ^ ^^^ (^„' | y») ^^ ^' ^"^^^ beliebige positive Intervallschachtelungen , bei denen sämtliche Intervallenden positiv sind — was nach 15,6 keine Einschränkung bedeutet — und

^) Bezüglich des Beweises vgl. die Fußn. 3 auf S. 26.

30 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

bezeichnet man die daraus abgeleitete Schachtehmg {x^^xj \ y„y„') mit o",

so sagt man, es sei

ö" = o-o'

und nennt o" das Produkt von o und o' .

Die geringen Modifikationen, die an dieser Definition vorzunehmen sind, falls o oder o' oder beide negativ oder 0 sind, überlassen wir dem Leser und betrachten von jetzt ab das Produkt irgend zweier Intervall- schachtelungen als definiert. 19- Division: A. Satz. Ist [x^^ \ y,J eine positive Intervallschachtelung mit

lauter positiven Intervallenden {vgl. 15,6), so ist auch (:^^ — ) ^^^^ solche; und ist die erste ratio nalwertig und = s, so ist es auch die zweite, und diese bestimmt den Wert — .

B. Definition. Ist {x^^ \ y,j = o eine beliebige positive Intervallschach- teUtng mit lauter positiven Intervallenden {vgl. 15,6), so sagt man von

der Schachtehmg ( — i — j = ö', es sei

und nennt o zu a reziprok. — Unter dem Quotienten einer ersten durch eine zweite, positive Intervallschachtelung versteht man dann das Produkt der ersten mit der reziproken zur zweiten.

Die geringen Modifikationen, die an dieser Definifion vorzunehmen sind, falls o bzw. die in den Nenner tretende Intervallschachtelung negativ ist, können wir wieder dem Leser überlassen und betrachten von jetzt ab den Quotienten irgend zweier Schachtelungen, deren zweite von 0 verschieden ist, als definiert. — Ist (^^ | yj ^ o = 0, so kann man durch eine analoge Betrachtung nicht zu einer „rezi- proken" Schachtehmg gelangen: Die Division durch 0 bleibt auch hier

unmöglich.

Das Ergebnis der bisherigen Betrachtungen ist nun dieses: Durch die Definitionen 14 bis 19 ist das System aller Intervall- schachtelungen im Sinne von 4,1 geordnet, und im Sinne von 4,2 können seine Elemente nach den vier Spezies verknüpft werden. Auf Grund der jedesmal vorangesteUten Sätze 14 bis 19 besitzt dies System außerdem in der Gesamtheit aller rationalwertigen Intervall- schachtelungen ein Teilsystem, das im Sinne von 4,3 zum System der raUonalen Zahlen ähnlich und isomorph ist, und auf Grund der Bemerkung 15, 4 erfüllt es auch das Postulat des Eudoxus.

Es wäre nun lediglich in allen Einzelheiten noch festzustellen (vgl. 14, 4 und 15, 2), daß die durch 16 bis 19 definierten vier Spezies zwischen den Intervallschachtelungen den Grundgesetzen 2 gehorchen. Diese Feststellung macht wieder nicht die geringsten

J9^ § 3. Die irrationalen Zahlen. 31

Schwierigkeiten und wir wollen uns daher der Mühe der Ausführung entheben^). Die Grundgesetze der Arithmetik, und damit der ganze im System der rationalen Zahlen gültige Rechenapparat , bleiben tat- sächlich in Gültigkeit.

Damit aber haben sich die Intervallschachtelungen nun in jeder Beziehung im Sinne von 4 als Zahlen bewährt: Das System aller Intervallschachtelungen ist ein Zahlensystem'^), die Schachtelungen selbst sind Zahlen^).

Dieses System bezeichnen wir fortan als das System der reellen Zahlen. Es ist im Sinne der Ausführungen von S. 10 eine Erweiterung des Systems der rationalen Zahlen, weü es ja außer den rational- wertigen Intervallschachtelungen auch noch andere gibt.

Dies System der reellen Zahlen entspricht überdies in umkehrbar- eindeutiger Weise den sämtlichen Punkten der Zahlengeraden. Denn auf Grund der Ausführungen von S. 23/24 können wir unmittelbar sagen: Jeder Schachtelung o entspricht ein und nur ein Punkt, —

^) Bezüglich der Addition wäre z. B. zu zeigen:

a) Die Addition ist stets ausführbar. (Das folgt unmittelbar aus der Definition.)

b) Die Addition ist eindeutig; d. h. aus o ^ a' , t = t' (im Sinne von 14) folgt a + T = ö' + t', — wenn die Summen nach 16 gebildet werden und die Prüfung der Gleichheit wieder nach 14 geschieht. In entsprechendem Sinne wäre weiter zu zeigen:

c) Es ist stets a + t = r + er.

d) Es ist stets (^ + ö) + t = ^ + (er + t).

e) Aus er < ö' folgt stets a + r < a' + t. — Und ähnlich bei den drei anderen Verknüpfungen.

-) Die Art, wie wir den Zahlbegriff unter 4 festgelegt haben, ist natür- lich nicht die einzig mögliche. Vielfach werden auch Dinge, die der einen oder andern der dort aufgeführten Forderungen nicht genügen, doch noch als Zahlen bezeichnet. So kann man z. B. auf das konstruktive Hervorwachsen der in Rede stehenden Dinge aus den rationalen Zahlen verzichten und irgend- welche Dinge (z. B. Strecken oder Punkte od. ähnl.) schon als Zahlen ansprechen, falls sie den Bedingungen 4, 1—4 genügen, also kurz gesagt dem soeben von uns geschaffenen System ähnlich und isomorph sind. — Dieser vom mathema- tischen Standpunkt aus durchaus berechtigten Auffassung der Zahlbegriffs, nach der also allgemein isomorphe Systeme im abstrakten Sinne als identisch gelten, wird man aber erkenntnistheoretische Bedenken entgegenstellen müssen. — Eine andere Modifikation des Zahlbegriffs werden wir gelegentlich der komplexen Zahlen kennen lernen.

^) Ob man, wie wir es tun, die Intervallschachtelungen o = {x,^ ' y«) = (/„) selbst als Zahlen anspricht, oder ob man sich ein hypothetisches Ding eingeführt denkt, das allen Intervallen /„ angehört (vgl. 15, 3) und das nun erst recht eigentlich die durch die Schachtelung erfaßte Zahl und somit das allen „gleichen" Schachtelungen Gemeinsame sei, ist schließlich belanglos und reine Geschmacks- sache. — Die Gleichung a = {x^ \ y«) dürfen wir (vgl. S. 25, Fußn. 1) von nun an jedenfalls nach Belieben lesen: entweder „a ist eine abkürzende Bezeich- nung für die Schachtelung {Xn\yj^''' oder „a ist die durch die Schachtelung (^« 1 ^n) definierte Zahl".

32 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

nämlich der eine auf Grund des Cantor-Dedekindschen Axiomes allemal als vorhanden betrachtete, allen Intervallen / gemeinsame Punkt. Und zwei Schachtelungen o und o' entspricht dann und nur dann derselbe Punkt, wenn sie im Sinne von 14 einander gleich sind. Jeder reellen Zahl o (d. h. also: allen untereinander gleichen Intervallschachtelungen) ent- spricht genau ein Punkt und jedem Punkt genau eine Zahl. Den auf diese Weise einer bestimmten Zahl entsprechenden Punkt nennt man deren Bild und kann nun sagen: Das System der reellen Zahlen läßt sich umkehrbar eindeutig auf die Punkte einer Geraden abbilden.

§ 4. Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen.

Noch zwei letzte Bedenken sind zu zerstreuen'-^): Wir gingen in § 3 von der Tatsache aus, daß das System der rationalen Zahlen zu lückenhaft war, um allen Anforderungen zu genügen, die bei den dementaren Rechenoperationen an sie gestellt werden können. Unser neu geschaffenes Zahlensystem, das wir für das folgende kurz das System Z nennen wollen, ist in dieser Beziehung gewiß leistungs- fähiger, denn es enthält ja z. B. eine Zahl o, für die a' = 2 ist^). Es bleibt aber doch die Möglichkeit, daß das neue System Z noch in ähnlicher Weise Lücken aufwiese wie jenes oder in anderer Weise noch einer Erweiterung fähig wäre.

Wir werfen demgemäß die Frage auf: Ist ein System Z denkbar, das im Sinne von 4 als ein Zahlensystem anzusehen ist, welches sämtliche Zeichen des Systems Z, aber außer diesen noch weitere, von jenen verschiedene Elemente enthält?^)

Es ist leicht zu sehen, daß dies nicht möglich ist, daß vielmehr der folgende Satz gilt: 20. Vollständigkeitssatz. Das System Z aller reellen Zahlen ist keiner

mit den Bedingungen 4 verträglichen Erweiterung mehr fähig.

Beweis: Es sei Z ein System, das den Bedingungen 4 genügt und das sämtliche Elemente aus Z enthält. Ist dann a ein beliebiges Element aus Z, so gibt es nach 4, 4 eine natürliche Zahl p y- a und eine andre natürliche Zahl p' > — a. Dann ist — p' <a <p*). Geht man die (endlichvielen) ganzen Zahlen von — p' bis p durch,

1) Denn ist o = {Xn\yn) die Schachtelung, die wir S. 18 im Anschluß an die Aufgabe x^ = 2 gebildet haben, so ist nach 18 ö^ = (V i y«^)- Wegen ,r,r < 2 und yn~ > 2 ist dann aber o^ = 2, w. z. b. w.

2) Vgl. hierzu die Schlußworte der Einleitung (S. 2).

•*) Z müßte dann also in ähnlicher Weise eine Erweiterung von Z sein, wie Z selbst eine Erweiterung des Systems der rationalen Zahlen ist.

*) An dieser Stelle gewinnt das Postulat des Eudoxus seine prinzipielle Bedeutung.

21. §4. Vollständigkeit u. Einzigkeit d. Systems d. reellen Zahlen. 33

SO muß es unter ihnen eine letzte geben — sie heiße g — , welche ^ a ist. Dann ist

Wendet man auf dieses Intervall, wie schon mehrfach, die 10-Teilungsmethode an, so erhält man eine ganz bestimmte Intervall- schachtelung (.r„|y„). Und die durch diese erfaßte reelle Zahl kann nicht ^a sein, wie der Beweis des Satzes 12 gelehrt hat. Jedes Element von Z ist also einer reellen Zahl gleich, so daß Z keine von den reellen Zahlen verschiedenen Elemente enthalten kann.

Und ein letztes Bedenken wäre dieses: Wir sind zwar auf eine verhältnismäßig naheliegende, aber immerhin willkürliche Art zur Bildung des Systems Z gelangt. Selbstverständhch wird man auch andere Wege einschlagen können, um die Lückenhaftigkeit des Systems der rationalen Zahlen zu überwinden. (Schon im nächsten Paragraphen werden wir andere, gleichfalls sehr gangbare Wege dieser Art kennen lernen.) Und es wäre nun denkbar, daß man auf einem anderen Wege auch zu anderen Zahlen gelangte, — d. h. zu Zahlsystemen, die sich in mehr oder minder wesentHcher Weise von dem von uns geschaffenen unterscheiden. — Die hiermit angedeutete Frage wäre so zu präzisieren: Auf irgendeinem Wege sei man, vom System der rationalen Zahlen ausgehend, zur Konstruktion eines Systems 3 von Elementen gelangt, welches wieder, wie unser System Z, den Bedingungen 4 genügt (also als ein Zahlsystem anzusprechen ist), welches aber im Gegensatz zum System der rationalen Zahlen noch der folgenden Aveiteren Forderung genügt, die man (wegen des eben bewiesenen Satzes) gewöhnlich als das Vollständigkeitspostulat zu bezeichnen pflegt: Auf Grund von 4,3 enthält 3 Elemente, die den rationalen Zahlen entsprechen. Ist dann (a;^J y„) irgendeine Intervallschachtelung und sind y,^ und t^^^ Elemente aus 3, die nach 4,3 den rationalen Zahlen ^n ^"^ >'n zugeordnet sind, so lautet die Forderung, daß 3 immer mindestens ein Element § enthalten soll, das für jedes n den Bedingungen ?n ^ ^ ^ K genügt.

Dann lautet das aufgeworfene Problem genauer: Kann sich ein solches System 3 in irgend welchen wesenthchen Eigenschaften vom System Z der reellen Zahlen unterscheiden, oder müssen sie vielmehr m dem ganz präzisen Sinn als wesentlich identisch angesehen werden (vgl. S. 9/10), daß sie ähnlich und isomorph aufeinander bezogen werden können.^

Der folgende Satz, der dies Problem in dem zu erwartenden Sinne löst, bedeutet dann den Abschluß des Aufbaues des Systems der reellen Zahlen.

/ Einzigkeitssatz. Jedes derartige System 3 muß auf das von uns 21, geschaffene System Z der reellen ähnlich und isomorph bezogen werden können. Es gibt also im wesentlichen nur ein solches System.

Knopp, Unendliche Reihen.. 3

34 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.

Beweis: Nach 4,3 enthält 3 ein Teilsystem 3', dessen Elemente sich den in Z enthaltenen rationalen Zahlen ähnlich und isomorph zuordnen lassen und die wir darum kurz die rationalen Elemente aus 3 nennen können. Ist dann 0 = (:v„ \ yj irgendeine reelle Zahl, so enthält 3 gemäß unserer neuen Forderung ein Element §, das für jedes n den Bedingungen J„ ^ § ^ t)„ genügt, wenn f„ und t)„ die den rationalen Zahlen x^^ und y^^ entsprechenden Elemente aus 3 sind. Und eine dem Beweis von 12 wörtlich nachzubildende Betrachtung würde lehren, daß dieses Element § das einzige ist, das diesen Bedingungen genügt. Ordnen wir nun dieses Element §> und die reelle Zahl o einander zu, so wird deutlich, daß 3 ein Teilsystem 3* enthält, dessen Elemente sich denen des Systems Z aller reellen Zahlen ähnlich und isomorph zuordnen lassen. Daß ein solches System 3* aber keiner mit den Bedingungen 4 verträgUchen Erweiterung mehr fähig ist, sondern also 3* mit 3 selber identisch sein muß, war der Inhalt des vorhin bewiesenen Vollständigkeitssatzes. Damit ist gezeigt, daß 3 und Z sich ähnlich und isomorph aufeinander beziehen lassen und also als wesentlich idenüsch anzusehen sind: Das von uns geschaffene System Z aller reellen Zahlen ist im wesentlichen das einzig mögliche, das den Bedingungen 4 und dem Vollsländigkeilspostulat genügt.

Fassen wir nach diesen etwas abstrakten Betrachtungen das Hauptergebnis unserer ganzen Untersuchung noch einmal zusammen, so können wir sagen:

Neben den uns vertrauten rationalen Zahlen gibt es noch andere, die sogenannten irrationalen Zahlen. Eine jede von ihnen läßt sich (und zwar auf viele Arten) durch eine geeignete Intervallschachtelung erfassen (bestimmen, geben, . . .). Diese irrationalen Zahlen reihen sich widerspruchslos dem System der rationalen Zahlen ein und zwar derart, daß von dem System Z aller rationalen und irrationalen Zahlen zusammen die unter 4 formulierten Bedingungen erfüllt sind, daß man — kurz gesagt — mit ihnen allen formal genau so, in der Wir- kung aber erfolgreicher rechnen kann, wie mit den rationalen Zahlen allein. Dieses umfassendere System ist überdies keiner mit den Be- dingungen 4 verträglichen Erweiterung mehr fähig, und wesentlich das einzige System von Zeichen, das diesen Bedingungen 4 und zu- gleich dem Vollständigkeitspostulat genügt. Wir nennen es das System der reellen Zahlen. ^^ Seine Elemente, die reellen Zahlen, sind es, mit denen wir weiter- hin und zunächst ausschließlich arbeiten. Eine spezielle reelle Zahl gilt uns dann und nur dann als gegeben (bekannt, bestimmt, definiert, berechenbar, . . .), wenn sie entweder eine rationale Zahl ist und also mit Hilfe der natürlichen Zahlen, nötigenfalls unter Hinzuziehung eines Bruchstrichs und eines Minuszeichens vollständig hingeschrieben werden

21, §5. Die Systembrüche und der Dedekindsche Schnitt. 35

kann, oder wenn uns — und dies gilt in jedem Falle — eine sie definierende Intervallschachtelung gegeben^) ist.

Sehr bald werden wir indessen sehen, daß es an Stelle der Intervall- schachtelungen noch viele andere Wege und Arten gibt, durch die eine reelle Zahl definiert werden kann. In dem Maße, wie wir solche Wege kennen lernen werden, werden wir die eben genannten Bedingungen, unter denen uns eine Zahl als gegeben gilt, dann auch erweitern.

§ 6. Die Systembrüche und der DedeJHndsche Schnitt.

Einige von den Intervallschachtelungen abweichende, für Theorie und Praxis besonders wichtige Arten, reelle Zahlen zu definieren, wollen wir sogleich angeben.

Zunächst braucht die Schachtelung nicht immer in der von uns betrachteten Form (^x^^ | y^) gegeben zu sein. Oft läßt sie sich bequemer schreiben. So sahen wir schon, daß ein Dezimalbruch, z. B. 1,41421 . . ., sofort als Intervallschachtelung aufgefaßt werden kann, indem man

x^ = l,4:; x^ = l,4:l; x^ = l,4:U; ...

also allgemein x^ gleich dem nach n Stellen abgebrochenen Dezimal- bruch setzt und nun y^^ aus x^^ durch Erhöhung der letzten Ziffer um eine Einheit herleitet.

In den Dezimalbrüchen haben wir also ledighch eine besonders bequeme und übersichtliche Angabe von Intervallschachtelungen zu sehen^).

Es ist klar, daß die Rolle, die die Grundzdhl 10 hierbei spielt, keine wesentliche ist. Ist g irgendeine natürliche Zahl ^ 2, so können wir ganz ebenso systematische Brüche (oder kürzer: Systembrüche) mit der Grundzahl g einführen: Eine gegebene reelle Zahl a bestimmt zunächst eindeutig eine ganze Zahl p ßo) durch die Bedingung

p<o <p + l.

Das ganzzahlige Intervall /^ von p bis ^ + 1 werde nun in g gleiche Teile geteilt. Zu jedem dieser Teile rechnen wir hierbei — und ebenso bei den folgenden Schritten ■ — den linken, nicht aber den rechten Endpunkt. Dann gehört o einem und nur einem dieser Teile an, d. h. es gibt unter den Zahlen 0, 1, 2, ... , g — 1 eine und nur

^) Also durch die eben beschriebene vollständige Angabe ihrer (rationalen) Intervallenden.

'^) Ihr Nachteil liegt darin, daß man nur selten die Gesetzmäßigkeit in der Aufeinanderfolge der Ziffern — also das Bildungsgesetz der Xn und y„ — durchschauen kann.

3*

36 1- Kap. Grundsätzliches aus der [.ehre von den reellen Zahlen.

eine — wir wollen sie kurz eine „Ziffer" nennen und mit z^ be- zeichnen — , so daß

ist. Das hierdurch bestimmte Intervall /^ teilen wir nun erneut in g gleiche Teile, und o wird wieder einem und nur einem derselben an- gehören, d. h. es wird wieder eine bestimmte „Ziffer'- z.^ geben, so daß

^ + f + J.^a<^ + ^ + ^

ist. Das hierdurch bestimmte Intervall /« teilen wir erneut in g gleiche Teile usw. Die hierdurch bestimmte Intervallschachtelung (/J = K|yJ' für die

i I ^1 I ■^ä _l _L ^"-1 _1_ ^o

' ' ^ » o, = l,2,3,...)

yn=-/> + v + 5 + ••• + -^^^ +

ist^), definiert offenbar die Zahl ö, so daß a = (:v„ y J ist. Nach Ana- logie der Dezimalbrüche werden wir nun aber

(j; = p + 0,^j^i^^»s--- schreiben dürfen, — wobei dann allerdings die Grundzahl g dieses Systembruches aus dem Zusammenhange heraus bekannt sein muß.

Es gilt also der

Satz. Jede reelle Zahl läßt sich auf eine und wesentlich nur eine'-) Art durch einen Systemhruch mit der Grundzahl g darstellen. —

Als bekannt betrachten wir den weiteren sich auf diese Darstel- lung beziehenden

Satz. Der Systembruch für eine reelle . Zahl o fällt — welches auch die gewählte Grundzahl g'^2 sein ^ mag —'dann und nur dann periodisch aus, wenn o rational ist^).

1) Daß eine Intervallschachtelung vorliegt ist ja unmittelbar klar, da stets X <x <:v <V , ist und y„-x„=\ nach 10, 7 eine Nullfolge bildet.

2) Die geringe Änderung, die in unserm Verfahren eintritt, wenn wir den Intervallen jedesmal den rechten und nicht den linken Endpunkt zurechnen, wird sich der Leser wohl allein zurechtlegen können. Das Ergebnis ist dann und nur dann ein anderes, wenn die gegebene Zahl a eine rationale ist, die mit einer Potenz von g als Nenner geschrieben werden kann, oder also, wenn der Punkt a einmal Endpunkt eines unserer Intervalle ist. — In der Tat smd dann die beiden Intervallschachtelungen

gemäß 14 einander gleich. In jedem andern Falle sind zwei nicht identische

Systembrüche auch gemäß 14 nicht gleich. ^. , uu -^

3) Wir sehen hier die „abbrechenden" Systembrüche der Einfachheit

22. §5- Die Systembrüche und der Dedekindsche Schnitt. 37

Besonders vorteilhaft ist oft die Wahl g=2; man nennt dann das Verfahren zur Erfassung der Zahl o kurz die Halbienmgsmethode, den resultierenden Systembruch, dessen Ziffern dann nur 0 und 1 sein können, einen dyadischen Bruch. Diese Methode besteht also, etwas allgemeiner angesehen, darin, daß man von einem bestimmten Intervall J^ ausgeht, von seinen beiden Hälften nach irgendeiner Regel oder unter irgendeinem Gesichtspunkt eine bestimmte auswählt und mit /^ be- zeichnet, — indem man von J^ wieder eine bestimmte der beiden Hälften mit /„ bezeichnet usw. Man erfaßt dann stets eine wohlbe- stimmte reelle Zahl, die durch die Art der jedesmaligen Auswahl zwischen den beiden Hälften völlig eindeutig definiert ist^).

In den Systembrüchen sehen wir hiernach, wie in den Dezimal- brüchen, lediglich eine besonders bequeme und übersichtliche Form der Angabe einer Intervallschachtelung. Sie sollen demgemäß zur Definition reeller Zahlen fortan ebenso zugelassen werden, wie jene.

Ein wenig tiefer hegt der Unterschied zu den Intervallschach- telungen bei der folgenden Methode, eine reelle Zahl zu erfassen.

Auf irgendeine Weise seien uns zwei Klassen A und B von Zahlen gegeben 2), doch so, daß folgenden drei Bedingungen genügt ist:

1) Jede der beiden Klassen enthält mindestens eine Zahl.

2) Jede Zahl der Klasse A ist ^ jeder Zahl der Klasse B.

3) Wenn eine beliebige positive (kleine) Zahl e vorgeschrieben wird, so soll sich aus A und B je eine Zahl — etwa «' aus A und b' aus B — so auswählen lassen, daß

ist^). — Dann gilt der

Satz. Es gibt stets eine und nur eine reelle Zahl o derart, daß 22. für jede Zahl a ans A und für jede Zahl b aus B die Beziehung

a ^ a ^b gilt.

halber als periodisch mit der Periode 0 an. — Daß jede rationale Zahl durch einen periodischen Dezimalbruch dargestellt werden kann, hat schon J. Wallis, De algebra tractatus, 1693, S. .364 bewiesen. Daß umgekehrt jede irrationale Zahl stets und nur auf eine Weise durch einen nicht periodischen Dezimalbruch dargestellt werden kann, hat erst O. Stolz, (s. Allgemeine Arithmetik I, 1885, S, 119) allgemein bewiesen.

^) Ein Beispiel war schon unter 12, 2 gegeben worden.

■^) Z. B.: A enthält alle rationalen Zahlen, deren dritte Potenz < 5, -B alle rationalen Zahlen, deren dritte Potenz > 5 ist, — od. ähnl.

^) Man sagt kurz : Die Zahlen der beiden Klassen kommen einander beliebig nahe. Bei dem Beispiel der vorangehenden Fußnote sieht man sofort, daß die Bedingungen 1) und 2) erfüllt sind; daß auch 3) erfüllt ist, erkennt man, wenn man sich (etwa nach der 10-Teilungsmethode) zwei nur in der letzten Ziffer um eine Einheit unterschiedene «-stellige Dezimalbrüche Xn und y„ herstellt,

für die x,^^ < 5, y^^ > 5 und bei denen n so gewählt ist, daß -— < e ist.

38 I- Kap. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen,

Beweis: Daß es nicht zwei verschiedene solche Zahlen, etwa o und o', geben kann, ist wieder sofort klar. Denn setzt man \o — o'\= e, so wäre entgegen der Bedingung 3) für jeies Paar von Elementen a und h aus A und B stets h — a^e.

Es gibt also höchstens eine solche Zahl o. Man findet sie so: Nach Voraussetzung gibt es in A wenigstens eine Zahl a^ und in B wenigstens eine Zahl h^. Ist hier a^-^^h^, so ist ihr gemeinsamer Wert ersichtlich die gesuchte Zahl o. Ist aber a^ =t= h^, also nach 2), «1 < ^1» so wenden wir die Halbierungsmethode an. Das durch a^ und h^ bestimmte Intervall J^ teilen wir in zwei gleiche Teile und bezeichnen nun die linke oder die rechte Hälfte mit J^, je nachdem in der linken Hälfte {Endfunkte einschließlich) noch ein Punkt der Klasse B liegt oder nicht. Nach derselben Regel bezeichnen wir wieder eine bestimmte Hälfte von J^ mit /^ usw.

Die Intervalle /^, J^, . . ., J ^, ... bilden, weil nach der Hal- bierungsmethode gewonnen, eine Schachtelung

Sie haben überdies gemäß ihrer Bildungsweise die Eigenschaft, daß weder links vom linken Endpunkt eine Zahl aus B noch rechts vom rechten Endpunkt eine Zahl aus A liegen kann.

Daraus folgt aber sofort, daß die erfaßte Zahl a die verlangte Eigenschaft hat. Wäre nämlich eine spezielle Zahl ä aus A, entgegen der Behauptung, > o, also ä — o > 0, so wähle man aus der Folge der Intervalle J^ ein spezielles aus, etwa / ^ % . . . y dessen Länge < ä — ö ist. Wegen x^ ^o ^y wäre dann

y,-o£y^^-x^<ä-o, d. h. y^^ < a , während doch rechts vom rechten Endpunkt y von /^ tatsächlich kein Punkt aus A mehr liegt. Wäre andrerseits einmal b < o, so folgte analog für einen geeigneten Index q, daß b < x^ sein müßte, während doch links vom Unken Endpunkt eines Intervalles tatsächlich kein Punkt aus B mehr liegt. Es muß also stets a ^o ^b sein, w. z. b. w.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Statt der Forderung 3) ist es oft bequemer zu fordern, daß z. B. alle rationalen Zahlen entweder zu A oder zu B gehören (wie dies im Beispiel der letzten Fußnote der Fall war). Dann ist nämlich, da die rationalen Zahlen dicht liegen, die F'^orderung 3) von selbst erfüllt. Um dies einzusehen, braucht man sich nämlich nur die ganze Zahlengerade in gleiche Teile von einer Länge < ejl geteilt zu denken. Einmal muß es dann vorkommen, daß in zwei Nachbarteilen aus beiden Klassen A und B gleichzeitig mindestens je eine Zahl 1 iegt. Deren Abstand ist dann, wie es 3) verlangt, sicher < f .

2. Oft ist es noch bequemer, alle reellen Zahlen auf die Klassen A und B zu verteilen. Dann ist die Forderung 3) natürlich erst recht von selbst erfüllt.

3. Sind die Klassen A und B gemäß einer der eben besprochenen Arten gegeben, so sagt man, es sei ein Dedekindscher Schnitt im Bereich der

22. § '5- Systembrüche und der Dedekindsche Schnitt. 39

rationalen bzw. reellen Zahlen gegeben; und auch die etwas allgemeinere An- gabe von zwei Klassen, wie sie unserm Satze zugrunde liegt, wollen wir kurz einen Schnitt nennen und mit (A j B) bezeichnen. — Unser Satz kann dann kurz dahin ausgesprochen werden: Ein Schnitt {A\B) definiert stets eine wohl- bestimmte reelle Zahl o. Und sein Beweis besteht einfach darin, daß aus der Angabe des Schnittes die Angabe einer bestimmten Intervallschachtelung her- geleitet wird, die eine Zahl o mit den verlangten Eigenschaften liefert.

4. Da hiernach jeder Schnitt sofort eine bestimmte Intervallschachtelung liefert, wollen wir fortan auch die Schnitte zur Erfassung (Bestimmung, Defi- nition, . . .) von reellen Zahlen zulassen; und wir schreiben, wenn der Schnitt {A\B) die Zahl o definiert, nun auch kurz

(A\B)=a.

5. Das Umgekehrte ist natürlich auch der Fall und noch einfacher zu sehen: Ist die Schachtelung (;i^„ | y«) = <? vorgelegt und bildet man aus allen linken Intervallenden ,r„ eine Klasse A, aus allen rechten Enden eine Klasse B, so liefern diese Klassen ersichtlich einen Schnitt, durch den gleichfalls die Zahl a definiert wird, — Eine Schachtelung kann hiernach als ein spezieller Schnitt aufgefaßt werden.

6. Nach der letzten Bemerkung ist die Methode der Schnitte (zur Er- fassung reeller Zahlen) an Allgemeinheit der der Schachtelungen überlegen. Sie ist auch anschaulich ebenso bequem zugänglich wie diese. Denn nehmen wir etwa den Schnitt {A\B) in der etwas spezielleren unter 2) besprochenen Form als Schnitt im Bereich der reellen Zahlen, so besagt unser Satz: Wenn man alle Punkte der Zahlengeraden in zwei Klassen A und B verteilt, z. B. die einen schwarz, die andern weiß gefärbt denkt, und wenn dabei 1) von jeder Art weniß:stens ein Punkt da ist, wenn 2) jeder schwarze Punkt links von jedem weißen Punkt liegt und 3) auch wirklich jeder Punkt entweder schwarz oder weiß gefärbt ist, so müssen die beiden Klassen an einer ganz bestimmten Stelle zusammenstoßen und links von dieser Stelle ist alles schwarz, rechts davon alles weiß.

7. Man hüte sich aber, die eben gegebene Veranschaulichung für einen Beweis zu halten. Hätten wir uns nicht vorher mit Hilfe der Intervallschach- telungen die reellen Zahlen geschaffen, so wäre unser Satz überhaupt gar nicht zu beweisen, — ebensowenig wie wir beweisen konnten, daß jede Schachtelung eine Zahl definiert. Wir entschlossen uns nur — und der Erfolg gab uns vollauf recht — jede Schachtelung als Zahl anzusprechen. Genau so kann man sich — und das ist tatsächlich der Ausgangspunkt i?. Dedekinds^) beim Auf- bau des Systems der reellen Zahlen — entschließen, jeden Schnitt im Bereich der rationalen Zahlen als „reelle Zahl" anzusprechen; und man hätte dann nur, ganz entsprechend unsern Untersuchungen in § 3, auch hier zu prüfen, ob das erlaubt ist, ob ,,es denn angeht"; d. h. man hätte festzustellen, ob die Ge- samtheit aller solcher Schnitte (A \B) im Sinne der Bedingungen 4 ein Zahlen- system bildet, — was nicht schwieriger ist als unsere analogen Feststellungen in § 3.

Von nun ab bilden die reellen Zahlen unser zunächst ausschließ- liches Arbeitsmaterial. Dabei werden wir den Zusatz „reell" nach Belieben auch weglassen dürfen: Unter „Zahl" verstehen wir bis auf weiteres stets eine reelle Zahl

^) Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872.

40 Aufgaben zum I. Kapitel.

Aufgaben zum I. Kapitel.

1. Aus den Grundgesetzen 1 und 2 sollen die wichtigsten weiteren Rechen- regeln hergeleitet werden, z. B. a) das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv; b) aus « ~ c < 6 4- c folgt stets a<ö; c) für jedes a ist aO -0 usw.

2. Wann gilt in 3, II, 4 ein Gleichheitszeichen?

3« Man stelle die folgenden Zahlen als dyadische (triadische) Brüche dar

1 1 1 i i^.

2 ' 8 ' 3 ' 7 ' 17 '

für y' 2 , \' S , TT und c gebe man die Anfangsziffern der dyadischen (triadischen) Darstellung.

C^n _ an

4. Für die Folge 6, 7 ist Xn ~ , wenn a und 8 die Wurzeln der

cc — ß ^

quadratischen Gleichung x''^x-rl bedeuten, (Anl.: Die Folgen (cc") und (ß") haben dasselbe Bildungsgesetz wie die Folge 6, 7.)

5. Man bilde die Folgen {x,^), die für «>1 durch die Formel

^n + l^^^^n + ^^n-l geliefert werden, in welcher a und b gegebene positive Zahlen und die An- fangsglieder Xq, x^ ^-0, 1; =1, 0; 1, a; --1, ß oder beliebig sind (a und ß sollen hierbei die positive und die negative Wurzel der Gleichung x^ = ax-rb bedeuten). Man gebe für jeden der Fälle eine explizite Formel für a'„ .

ö» I^t Jq, J^, J^, ... eine Folge ineinander geschachtelter Intervalle, über deren Längen sonst nichts bekannt ist, so gibt es mindestens einen Punkt, der allen /„ angehört.

7. Eine reelle Zahl o ist irrational, wenn man eine wachsende Folge ganzer Zahlen {q„) so finden kann, daß q^o niemals eine ganze Zahl ist, daß aber (q^ a — p„) eine Nullfolge wird, wenn p,^ die zunächst bei ^„ a gelegene ganze Zahl bedeutet.

8. Man zeigt, daß in {x„\y„) Intervallschachtelungen vorliegen, wenn

P + 22-f ... + (m-1)2 12^224-.-. + «^

b) 0 < X, < y^ und für n > 1 stets x^_^^ - ■ \'x^y^, y„^^ - .V {x^ -f yj i

c)o<x,<y, „ „ „ „ ^„+1 -H^„-i-y„^' yn+i='\l'^n+i-yn>

f)0<^,<y, „ „ „ „ y„+i V^^y,;, ^'„+i=H^n + y„+i);

g)0<x,<y, „ „ „ „ y„ + i iK + yJ, ^,H-i-'^"

yn+i

gesetzt wird und bestimme in den Fällen a) und g) die dadurch definierte Zahl. (Vgl. hierzu Aufgabe 91 u. 92.)

23. §6- Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen. 41

IL Kapitel.

Reelle Zahlenfolgen. § 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen»

Wir greifen nun noch einmal auf unsere Betrachtungen in § 2 zurück, verallgemeinern sie aber dadurch, daß jetzt alle auftretenden Zahlen beUebige reelle Zahlen sein dürfen. Da sich mit diesen formal genau so operieren läßt wie mit den rationalen Zahlen, so werden bei dieser Verallgemeinerung die Definitionen und Sätze des § 2 im wesentlichen ungeändert bleiben. Wir können uns daher kurz fassen.

o Definition^). Entspricht jeder natürlichen Zahl n = 1, 2, 3, . . . je 23. eine wohlbestimmie Zahl x^^, so bilden diese Zahlen

-^l> ^ai -^3? • • • > ^„j • • •

eine Zahlenfolge.

Die Beispiele 6, 1 — 12, sind natürlich auch hier zulässig. Ebenso be- halten die Bemerkungen 7, 1—6, volle Gültigkeit. Wir geben noch ein paar Beispiele, bei denen es nicht ohne weiteres zu sehen ist, ob die auftretenden Zahlen rational sind oder nicht.

Beispiele: 1. Es sei « = 0,3010 ..., d.h. gleich dem Dezimalbruch, dessen erste Ziffern auf Grund der Aufgabe 10'^ --2 in der Fuf3note von S. 22 bestimmt wurden, und nun

Xn=-a'' für « = 1,2,3,...

2. Bei derselben Bedeutung von a sei Xn — — — .

a -\-n

3. Man wende auf das Intervall /(, z= 0 . . . 1 die Halbierungsmethode an und nehme das erste Mal die linke Hälfte, die beiden folgenden Male die rechte Hälfte, bei den nächsten 3 Schritten wieder die linke, dann 4 mal die rechte Hälfte usw. Die definierte Zahl heiße b-) (welchen Wert hat sie ungefähr?), und es werde nun Xn der Reihe nach

=+'• -"• +h -j- +^-'' -»■'• +p. -6.. +ft^•■•

gesetzt.

4. Bei derselben Bedeutung von b werde Xn der Reihe nach

= 1-0, 1+&, l-b-, l-i-b^, l-b^, l+&3^__ gesetzt.

5. Bei derselben Bedeutung von a und b sei Xj^ der Mittelpunkt der Strecke zwischen beiden, also Xj^ = ^{a+b); x.^ sei der Mittelpunkt zwischen x^ und b ; x^ der zwischen x^ und a ; x^ der zwischen Xc^ und 6 ; — es sei also allgemein Xn + -i_ der Mittelpunkt zwischen x^ und a oder aber 6, je nachdem 7z gerade oder ungerade ist.

1) Über die Bedeutung des Zeichens o vgl. das Vorwort, sowie später S. 375.

") Als dyadischer Bruch geschrieben ist 6 = 0, 011000111 10 . . .

42 II- Kap. Reelle Zahlenfolgen.

24. ^ Definitionen: 1. Eine Zahlenfolge (a;J heißt beschränkt, f.ills es eine Konstante K gibt, so daß für alle n die Ungleichung

erfüllt ist.

2. Eine Zahlenfolge (rt:J heißt monoton wachsend , wenn stets X <^ X ^^ ist: monoton fallend, wenn ste'.s x„ > ^„ , . «s'.

H = 11.1' ' ' fl = « i" 1

Alle bei 8 und 9 gemachten Bemerkungen behalten ihre volle Gültigkeit.

Beispiele: 1. Die Folgen 23, 1, 2, 4 und 5 sind ersichtlich beschränkt.

Die 8. ist es nicht und zwar weder nach rechts noch nach links; denn es ist

sicher h <^ — und also — > 2*" > m und somit < — w . Man kann also

2 ^r &^

stets Glieder der Folge angeben, die > A' oder < — K sind, wie groß auch die Konstante K gewählt wird. — Bei 5. folgt die Beschränktheit daraus, daß alle Glieder zwischen a und h liegen.

2. Die Folgen 23, 1 und 2 sind monoton fallend; die andern sind nicht monoton.

Auch die Definition der Nullfolge und die daran geknüpften Bemerkungen — man lese sie nochmals sorgfältig durch! — bleiben ungeändert.

25. ° Definition. Eine Folge (a:J soll als Nullfolge bezeichnet werden, wenn nach Wahl einer beliebigen positiven Zahl e sich stets eine Zahl n^ so angeben läßt, daß für alle n > n^ die Ungleichung

erfüllt ist.

Beispiele. 1. Die Folge 23, 1 ist eine Nullfolge, denn der Beweis 10, 7

gilt für beliebige reelle a, für die jal < 1 ist.

2. Auch 23,2 ist eine Nullfolge, denn hier ist \x„\ <. — , also <f,

n

sobald n '^^ — . e

Über die Nullfolgen — sie werden weiterhin eine vorherrschende Rolle spielen — beweisen wir noch eine Anzahl g^nz einfacher, aber im folgenden unausgesetzt angewandter Sätze. Ganz naheliegend sind zunächst die folgenden beiden:

26. °Satzl. Ist {xj eine Nullfolge und (a^) irgendeine beschränkte Zahlenfolge, so bilden auch die Zahlen

eine Nullfolge.

Beweis. Es sei stets \aj< K und e > 0 werde gegeben. Dann läßt sich nach Voraussetzung n^ so angeben, daß für alle n > n^ stets

ist. Dann ist aber für dieselben n auch stets

*J'7^ § 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen. 43

Also ist [x^^') eine Nullfolge. — Wir sagen kurz: Eine Nullfolge „darf" mit beschränkten Faktoren multipliziert werden^).

Beispiele. 1. Mit (x,i) ist auch IOa'^, .'^, lOA^g, -^ , 10;v.,... eine

Nullfolge.

2. Bedeutet (x,t) die Nullfolge 23, 2 und {a„) die Folge 23, 5, so ist (anX„) wieder eine Nullfolge.

3. Eine Folge, deren sämtliche Glieder denselben Wert, etwa den Wert c haben, ist gewiß beschränkt. Mit (x,t) ist daher auch {cx,t) eine Nullfolge.

Speziell sind also (--), (ca") für |ä{<1, usw. Nullfolgen.

oSatz 2. Ist {xj eine Null folge und genügen die Glieder der Folge {x^) für alle n von einer Stelle an der Bedingung \ x^' \ ^\x^\ oder allgemeiner der B3dingung

in der K eine beliebige [feste) positive Zahl bedeu^e^, so ist auch [x^') eine Null folge.

Der B3W3is bedarf keiner Ausführung.

Etwas tiefer liegen schon die folgenden Sätze:

osatz 1. Ist (x^) eine Nullfolge, so ist auch jede Teil folge (:v,/) 27. ders3lben eine Nullfolge^).

Beweis. Ist für n 'P- n^ stets \x^\ <. e, so ist für diese n von selbst auch ''ixj\==\ Xk,t \ < e,

da ja mit n sicher auch k^^ > n^ ist.

^Satz 2. Eine beliebige Folgz [xj W3rie in zw:i Teilfolgen (xj) und {x^') zerlegt, derzrt daß also jedes Glied von [xj einer und nur einer dieser beiden Teilfolgen angehört. Sind dann [x^') und [x^') beides Null folgen, so ist auch (^,J S3lbst eine solche.

Beweis. Wählt man eine Zahl e > 0, so gibt es n^-ch Voraus- setzung eine Zahl n, so daß für n ^ n' stets |a;^/| < e ist und ebenso eine Zahl n'', so daß für n > n" stets | xj' \ < e ausfällt. Die Glieder xj, deren Index ^ n' ist, und die Glieder xj\ deren Index ^ n" ist, haben innerhalb der ursprünglichen Folge (a;J wohlbestimmte Nummern. Ist n^ die größte derselben, so ist für n > n^ offenbar stets \x^\ < e, w. z. b. w.

^) Das -jjdarf" sie natürlich auch ohne besondere Erlaubnis. Gemeint ist mit dieser Ausdrucksweise nur, daß, wenn wir es tun, ihre im Augenblick wesentliche Eigenschaft — nämlich eine Nullfolge zu sein — nicht gestört wird.

") Bilden Ä^ < Ä.2 < '^a < • • • < ^w < • • • irgendeine Folge natürlicher Zahlen, so sagt man, daß die Zahlen

(/^ = 1, 2, 3, ...)

X„ = X

eine Teilfolge der gegebenen Folge bilden.

44 n. Kap. Reelle Zahlenfolg-en.

^Satz 3. Ist [x^^ eine Nullfolge und [x^') eine beliebige Umord- mmg^) derselben, so ist auch {x^') eine Nullfolge.

Beweis. Für n^n^ sei stets \xj<€. Unter den Nummern, die die endlich vielen Glieder x^, x^, . . ., x^^ in der Folge [x ') tragen, sei «' die größte. Dann ist ersichdich für n > n' stets \x'\<e; also ist auch [x^) eine Nullfolge.

^Satz 4. Ist [x^^ eine Nullfolge und entsteht die Folge [x^) aus ihr durch irgendwelche endlich vielen Änderungen'^) , so ist auch [x^') eine Null folge.

Der Beweis folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß für ein passen- des ganzzahliges /) ^ 0 von einer Stelle ab x^ = x^^p sein muß. Denn sind die x^^ für n ^ n^ ungeändert geblieben und hat x in der Folge [x^^) die Nummer n' bekommen, so ist in der Tat für n > n' stets

wenn p =^ n^ — n' gesetzt wird""^).

Das Rechnen mit den Nullfolgen endlich wird durch die beiden folgenden Sätze begründet:

28. ^Satz 1. Sind [x^^ und [x^^) zwei Nullfolgen, so ist auch

• d. h. die Folge, deren Glieder die Zahlen y^^ =-- x,^^ -\- x^ sind, eine Null- folge. — Kürzer: Zwei Nullfolgen ,,dürfen" gliedweis addiert werden.

Beweis. Wird e>0 beliebig gewählt, so gibt es nach Voraus- setzung (vgl. 10, 12) je eine Zahl n^ und n^, so daß

für n > n^ stets ;^„| < « ^^^ für n > n^ stets x^^' <2

ist. Ist dann n^ eine Zahl, die ^ n^ und ^ n^ ist, so ist für n > n^^

yj = K + <\ £K\ + IV! *) < 17 + - = ^-

E

2 ' 2

iy^J ist also eine Nullfolge.

*) Ist k^, Ä», ..., Ä„, ... eine Folge natürlicher Zahlen von der Be- schaffenheit, daß jede natürliche Zahl in ihr ein- und nur einmal vorkommt, so sagt man, daß die Folge der Zahlen

eine Umordnung der gegebenen Folge sei.

-) Wir wollen diesen Begriff so präzisieren: Wenn man eine beliebige Folge dadurch verändert, daß man endlich viele Glieder wegläßt oder einfügt oder abändert (oder alles zusammen) und die so veränderte Folge neu numeriert als Folge (x,/), so wollen wir sagen, (aV) sei durch endlich viele Änderungen aus (x,i) hervorgegangen.

3) Gerade wegen dieses Satzes sagt man wohl, die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, beziehe sich nur auf das infinitäre Verhalten ihrer Glieder (vgl. S. 14).

*) Nach 3,11,4.

28. §7- Potenz, Wurzel und Log-arithmus. Spezielle Nullfolgen. 45

Da mit {x^^') nach 26, 3 (oder 10, 5) auch (— xj eine Null- folge ist, so ist nach dem eben Bewiesenen auch (yj) = (x^ — x^') eine solche, d. h. es gilt der

oSatz 2. Mit {xj und {xj ist auch (yj = (^„ — xj eine Null- folge. Oder kürzer: Nullfolgen „dürfen" gliedweis subtrahiert werden.

Bemerkungen.

1. Da man zwei Nullfolgen gliedweis addieren darf, so darf man es auch mit dreien oder mit irgendeiner bestimmten Anzahl von Nullfolgen tun. Denn ist dies schon für (p - 1) Nullfolgen (x,/), (V)' •••' (^»^"^0 bewiesen, ist also schon

als Nullfolge erkannt, so liefert Satz 1 dasselbe für die Folge (x„) tUr die

ist. Der Satz gilt also für jede feste Anzahl von Nullfolgen.

2. Daß zwei Nullfolgen auch gliedweis miteinander multipliziert werden „dürfen", ist nach 26, 1 ohne weiteres klar, da ja die Nullfolgen nach 10, 11 von selbst beschränkt sind.

3. Eine gliedweise Division dagegen ist im allgemeinen nicht erlaubt, was z. ß. schon daraus zu ersehen ist, daß ja stets /" = 1 ist. Nimmt man

gar Xu = - , Xn' = - 7 , so liefern die Quotienten ^ nicht einmal eine be-

schränkte Folge!

4. Auch bei anderen Folgen {xn) kann man zunächst nur wenig über

die Folge (--) der reziproken Werte aussagen. Naheliegend, aber oft nütz- lich ist der folgende

OSatz 3. Hat die Folge {\Xn\) der absoluten Beträge der Glieder von {Xn) .eine noch positive untere Schranke, existiert also eine Zahl ;'>0, so daß stets

.bleibt, so ist die Folge ( — ) der reziproken Werte beschränkt.

In der Tat folgt aus Xn >r>^ sofort, daß mit K = — stets

bleibt.

Um weiterhin in der Anwendung unserer Begriffe sowie in der Bildung und Durchführung von Beispielen weniger beengt zu sein, schalten wir einen Abschnitt über Potenzen, Wurzeln, Logarithmen und die Kreisfunktionen ein.

§ 7. Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen.

Wie es bei der Besprechung des Systems der reellen Zahlen nicht unsere Absicht war, alle Einzelheiten erschöpfend auszuführen,

46 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

sondern nur die Grundgedanken klarzustellen und im übrigen den von jedem ja durchaus beherrschten Rechenapparat als bekannt hin- zunehmen, so wollen wir uns auch jetzt bei der Besprechung von Potenz, Wurzel und Logarithmus nur auf eine scharfe Klarstellung der Definitionen beschränken, im übrigen aber die Einzelheiten ihres Gebrauchs als jedem bekannt annehmen.

I. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.

Ist X eine beliebige Zahl, so ist das Zeichen x^ für ganze positive Exponenten k bekanntlich definiert als das Produkt von k Faktoren, die sämtlich = x sind. Es handelt sich hierbei also gar nicht um etwas sachlich Neues, sondern nur um eine abkürzende Schreibweise für etwas schon Bekanntes. Ist a; + 0, so ist darüber hinaus noch die Festsetzung zweckmäßig, es soll

x^ die Zahl 1, a; ~* den Wert (^ = i, 2, 3, . . .)

bedeuten, so daß dann xP für jedes ganzzahlige /)|o definiert ist. — Bei diesen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten betonen wir nur die folgenden Tatsachen:

1. Für beliebige ganzzahlige Exponenten p und q (>o) gelten die drei Grundregeln

xP-x^ =-x^+^; xP-yP = (xy)P; (xP)^ = xP^,

aus denen sich alle übrigen Regeln herleiten lassen, die das Rechnen mit Potenzen beherrschen^),

2. Da es sich bei einer Potenz mit ganzzahligen Exponenten nur um eine wiederholte Multiplikation bzw. Division handelt, hat ihre Berechnung natürlich nach 18 und 19 zu geschehen. Wenn also x positiv ist und etwa durch die Schachtelung {xj-^yj erfaßt wird, deren Intervallenden sämtlich ^ 0 sind (vgl. 15, 5 u. 6), so gilt neben

X = {xjyj sofort auch x^ = (x^\y^)

für jeden ganzzahligen positiven Exponenten; und ähnlich — bei sinn- gemäßen Einschränkungen — für x^O oder k^O.

3. Für positive x hat man außerdem

x^'^^^x^ je nachdem x^l

ist, — wie dies sofort aus x^ = x^ durch Multiplikadon (s. 3, I, 3) mit x^\ folgt. — Und ebenso einfach findet man:

Sind x^, x^ und der ganzzahlige Exponent k positiv, so ist x^ § ^2 je nachdem x^ ^ ^2 •

*) Hierbei ist für die Basis x bzw. y der Wert 0 nur zulässig, falls der zugehörige Exponent positiv ist.

30. § '^- Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen. 47

4. Für ganzzahlige positive Exponenten n und beliebige a und b gilt die Formel

(« + bf = «« + [1] a"-' b + («) a"-' b' + ...

+ {f]a-''b''+...+{l)b\

in der ( ^j für 1 ^k ^n die Bedeutung

fn\ _ n{n—\){n — 2,)...{n — k + \) U; ~~ 1 . 2 .3 ... k

hat und (q") = 1 gesetzt werden kann. (Binomischer Lehrsatz.)

II. Wurzeln.

Ist jetzt a eine beliebige positive reelle und k eine positive ganze Zahl, so soll unter

ra

eine Zahl verstanden werden, deren k^^ Potenz = a ist. Was uns hier interessiert, ist lediglich die Existenzfrage: Gibt es eine solche Zahl, und inwieweit ist sie durch das gestellte Problem bestimmt?

Darüber gilt der

Satz. Es gibt stets eine und nur eine positive Zahl |, die 30. die Gleichung

^^ = a

erfüllt. Man schreibt % = ya und nennt | die k^^ Wurzel aus a.

Beweis. Eine solche Zahl kann unmittelbar durch eine Intervall- schachtelung bestimmt und damit also auch ihre Existenz nachgewiesen werden: Wir benutzen die 10 -Teilungsmethode. Da 0^ = 0 <a, da- gegen, falls p eine natürliche Zahl > a bedeutet, p^^p > a ist, so gibt es eine und nur eine ganze Zahl g^O, für die

g'£a<{g + If

ist^). Das durch g und g + 1 bestimmte Intervall /^ teilen wir in 10 gleiche Teile und gelangen in der nun schon oft durchgeführten Art zu einer bestimmten der Ziffern 0, 1, 2, . . ., 9, die etwa z^ heißen möge, und für die

1) g ist die letzte der Zahlen 0, 1, 2, . . ., p, deren Ate Potenz ^a ist.

48 II. Kap. Reelle Zahlenfolg-en.

ist, usw. usw. Wir gelangen also zu einer Intervall schachtelung (/n) = KjyJ' deren Intervallenden wohlbestimmte Werte der Form

b -r iQ-r 102 I ••• • iQn-i ' 10" i,w— 1, <, ö, ...j

und

V = j^ + -^- 4- -^ -J- . . . -f- ^— ^~ 4- "" "^ -^

haben. Ist ^ = (x^^\y^ die dadurch bestimmte Zahl so folgt, da hier alle Intervallenden ^ 0 sind, nach 29, 2 sofort, daß

l* = (^„'|y*) ist. Da aber nach Konstruktion stets %^ < a < r* ist, so muß nach 12

sein. — Daß diese Zahl | überdies die einzige positive Lösung des Problems ist, folgt unmittelbar aus 29, 3, da hiernach für ein positives Ij 4= I auch ^\ + I*, d. h. + « ist.

Ist k eine gerade Zahl, so ist auch — | eine Lösung des Pro- blems. Doch werden wir diese im folgenden niemals heranziehen, sondern unter der k^^^ Wurzel aus einer positiven Zahl a nur die durch 30 völlig eindeutig bestimmte 'positive Zahl h: verstehen^). —

h

Für a = 0 setzt man auch ya = 0^).

Auf die bekannten Regeln über das Rechnen mit Wurzelzeichen gehen wir nicht weiter ein, setzen sie vielmehr als jedem geläufig voraus, und beweisen nur noch die folgenden einfachen Sätze:

Aus 29, 3 folgt sofort der

k . k .

31. Satz 1. Es ist \a=\a^, je nachdem a^a^ ist. — Ferner gilt der

Satz 2. Ist a > 0, so ist [vaj eine monotone Zahlenfolge; zwar ist

a>Va>'Va>...>l, wenn a> 1, dagegen

/- 3/-

a <va <'Va < . . . < 1. wenn a < 1

ist. {Für a = 1 ist die Folge natürlich ~~' !■)

1) Hiernach ist also z. B. \la^ nicht stets =a, sondern stets =|a|;

ebenso Va* = a .

k- -) Für negative a wollen wir ya gar nicht definieren; doch kann man,

^ _ ^

falls k ungerade ist, ya^ — y'a.^ setzen.

31, §7. Potenz, Wurzel und Log-arithmus. Spezielle Nullfolgen. 49

Beweis. Aus a > 1 folgt nach 29, 3: a^ + i > a" > 1, und also nach dem vorigen Satze, indem man die n(n -\~ \)^^ Wurzel zieht:

n n + 1,^

Va > V« :> 1 .

Da sich für a < 1 sämtliche Ungleichheitszeichen umkehren, so ist schon alles bewiesen. — Hieraus folgt endlich der

Satz 3. Ist a > 0, so bilden die Zahlen

eins {nach dem vorigen Satze monotone) Nullfolge.

Beweis. Für a=l ist die Behauptung trivial, da dann x„ = 0 ist. Ist aber a> 1 und also auch Ya > 1, d. h. x^ ^ Vä ~ 1 > 0 ,

n —

so schHeßen wir folgendermaßen: Aus ya = l-\-x^^ folgt nach der BernouUischen Ungleichung (s. 10, 7), daß auch

a = {l + xj>l-\~nx^>nx^

ist. Folghch ist x^^ = \xj<^, also (;t;J nach 26,1 und 2 eine Nullfolge.

Ist aber 0 < a<l, so ist — > 1 und somit nach dem eben er-

a

haltenen Ergebnis

eine Nullfolge. Multipliziert man diese gliedweise mit den Faktoren

n — _ n _

ya, die wegen a ^^/a <1 jetzt sicher eine beschränkte Folge bil- den, so ergibt sich nach 26, 1 sofort, daß auch

n.

\1 — ya) und also auch [x^^ eine Nullfolge ist, — w. z. b. w.

III. Potenzen mit rationalen Exponenten.

Wir sehen wieder im wesentlichen als bekannt an, wie von den Wurzeln mit ganzzahligen Exponenten zu den Potenzen mit behebigen

P_ rationalen Exponenten übergegangen wird: Unter a^ mit ^^0

^ > 0 versteht man bei positivem a die durch

eindeutig definierte wieder posiüve Zahl. Falls p > 0, darf auch noch <7 = 0 sein; man hat dann unter a^ den Wert 0 zu verstehen.

Knopp, Unendliche Reihen. 4

50 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Bei diesen Festsetzungen gelten unverändert die drei Grund- regeln 29,1, also die Formeln

r r' r + r' r ir / i\r f r\r' rr'

a -a = a ; a h = (ah) ; [a ) = a

für beliebige rationale Exponenten, so daß das Rechnen mit diesen Potenzen formal dasselbe ist wie bei ganzzahligen Exponenten. Diese Formeln enthalten dann auch gleichzeitig alle Regeln für das Rechnen mit Wurzeln, da ja jede Wurzel nun als Potenz mit rationalem Ex- ponenten geschrieben werden kann. — Von den weniger bekannten Folgerungen beweisen wir noch, weil für das Folgende besonders wichtig, die Sätze:

32. Satz 1. Ist a>l, so ist dann tmd nur dann gleichzeitig a''>l,

wenn r > 0 ist. Ebenso ist bei positivem a < 1 dann und nur dann gleichzeitig a*" < 1 , wenn r > 0 ist.

Beweis. Nach 31,2 sind a und ya entweder beide größer

oder beide kleiner als 1; nach 29, 3 gilt für a und (Va) =- a'' dann und nur dann dasselbe, wenn /> > 0 ist.

Satz 2. Ist a> 0 und die rationale Zahl r zwischen den ratio- nalen Zahlen / und /' gelegen, so liegt auch a^ stets zwischen a^' und a^"^) und umgekehrt — mag a<, = oder > 1, /<, ^ oder > /' sein.

Beweis. Ist zunächst a 1 und / < r < r" . so ist

a' = cJ -a'-' =- ^„_ .

a Nach dem vorigen Satze ergibt sich hieraus schon die Richtig- keit unserer Behauptung für diesen Fall. Für die andern möglichen Fälle aber ist der Beweis genau ebenso leicht. ^ Aus diesem Be- weise folgt sogar genauer der

Satz 2a. Ist a>l, so entspricht dem größeren [rationalen) Exponenten auch der größere Wert der Potenz. Ist dagegen a<l, so liefert der größere Exponent die kleinere Potenz. — Ganz speziell also: Ist die (positive) Basis fl+1, so liefern verschiedene Expo- nenten auch verschiedene Potenzen. — Hieraus folgt nun weiter der

Satz 3. Ist (r,j eine beliebige (rationale) Null folge, so bilden auch die Zahlen

X =«"« — ] 11

eine Nullfolge. Ist (rj monoton, so ist es auch (xj.

1) Das Wort „zwischen" kann nach Belieben stets mit oder stets ohne Einschluß der beiderseitigen Gleichheit verstanden werden, — außer wenn a = 1 und also auch alle Potenzen a' = 1 sind.

33- § 7- Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle NuUfolg-en. 51

Beweis. Nach 31,3 sind (v'ä — l) und l\ ij Nullfolgen.

Ist also 6 > 0 gegeben, so kann man n^ und n^ so wählen, daß

für n > n^ stets j Va — 1 | < e

und für n > n„ , stets V 1

ist. Ist dann m eine ganze Zahl, die sowohl n^ als n^ übertrifft, so

liegen die Zahlen W"^ — 1/ und \a ^ „ jj beide zwischen — e und -j- e, oder also

a^ und ^ ^ beide zwischen 1 — e und 1 + ^• Nach Satz 2 liegt dann auch a^ zwischen denselben Grenzen, wenn r

zwischen — und -j liegt. Nach Voraussetzung kann man aber

n^^ so wählen, daß für alle n '> n^

stets I y^ I < oder ■ <^^ r < A

ist; für n > n^ ist dann also a^^ zwischen 1 — e und 1 + e gelegen. Für diese n ist also

1 a*"^ — 1 I < £,

(a*'** — 1) somit eine Nullfolge. — Daß dieselbe monoton ist, falls [rj es ist, ergibt sich unmittelbar aus Satz 2 a.

Diese Sätze bilden nun die Grundlage für die Definition der

IV. Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten. Hier gilt zunächst der

Satz. Ist (:v^|y„) eine beliebige Intervallschachfelung (mit ratio- 33, nalen Intervallenden), so ist

für a'^1 auch o = (a^^^ \ a^^)

und für a-^1 auch o = (a^*^ \a^^^)

eine Intervallschachtehmg. Und ist (:v,Jy„) rationalwertig tmd ^r, so ist o = a^.

Beweis. Daß in beiden Fällen die Unken Folgen monoton steigen, die rechten monoton fallen, folgt unmittelbar aus 32,2 a. Nach demselben Satze ist auch stets a^^ ^ a^^ (für a'^l) bzw. a^^ <^ «^« (für « ^ l). Daß endlich in beiden Fällen die Längen der Intervalle eine Nullfolge bilden, folgt mit Hilfe von 26 sofort aus

52 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

denn der erste Faktor ist hier nach 32, 3 eine Nullfolge, da ja (y„ — x^) nach Voraussetzung eine Nullfolge mit rationalen Gliedern ist. Der zweite Faktor aber ist beschränkt, weil stets

0<a''''^a^' bzw. ^ a""'

ist, je nachdem a^l oder ^ 1 ist.

Da endlich, wenn (x^ \ yj = r ist, r für jedes n zwischen x^^ und y^ liegt, so liegt nach S2, 2 auch a*" stets zwischen «^'^ und a^», so daß o ^=^ a^ sein muß.

Auf Grund dieses Satzes entschließen wir uns zu der folgenden

Definition: Ist a>0 und ^ "= (^„ | y«) ^^^^ beliebige reelle Zahl, so soll

l--(fl^";a ») für a£ 1 gesetzt werden^).

Diese Definition wird man natürhch nur dann als eine zweck- mäßige bezeichnen können, wenn sich der dadurch festgelegte Be- griff der allgemeinen Potenz wesentlich denselben Gesetzen unterordnet, denen die bisherige Potenz mit rationalem Exponenten gehorchte. Daß dies tatsächlich im weitesten Maße der Fall ist, wird durch die folgenden Feststellungen erwiesen.

34, 1. Für rafionale Exponenten hefert die neue Definition dasselbe

wie die bisherige.

2. Ist Q = q' , so ist a^ = a^ ^).

3. Für zwei behebige reelle Zahlen q und q gelten bei positivem a und b die drei Grundregeln

a'-a'' = a'^''-. (a' • b') =^ {a bf ; (a^f ^ a''\

so daß mit den jetzigen allgemeinen Potenzen formal genau so ge- rechnet werden kann, wie mit den bisherigen speziellen.

Auf die überaus einfachen Beweise dieser Tatsachen wollen wir

1) Dieses Paar 33 aus Satz und Definition ist methodisch ein Paar von genau gleicher Art wi- die unter 14—19 zusammengestellten: Was im Falle rationaler Exponenten beweisbar ist, wird im Falle beliebiger Expo- nenten zum Range einer Definition erhoben, — deren Zweckmäßigkeit dann geprüft werden muß.

2) Diese formal sehr trivial erscheinende Aussage lautet etwas ausführ- licher: Sind {x„\yn)^Q und {x„'.yn') = 9' zwei Intervallschachtelungen, die gemäß 14 als gleich anzusehen sind, so sind auch diejenigen Schachtelungen einander gleich (wieder gemäß 14), durch die nach Definition 33 die Po- tenzen a^' und a^' geliefert werden.

J15. § 7. Potenz, Wurzel und Log-arithmus. Spezielle Nullfolgen. 53

nun, wie S. 45/46 betont, nicht weiter eingehen^); desgleichen wollen wir uns bei der nun ohne weiteres möglichen Übertragung der Sätze 32, 1 — 3, auf allgemeine Potenzen mit der neuen Formulierung und ein paar Stichworten für den Beweis begnügen. Es gelten also die gegenüber 32,1 — 3 verallgemeinerten Sätze:

Satz 1. Ist a > 1, so ist dann und nur dann gleichzeitig a'- > 1, 35. wenn g > 0 ist. Ebenso ist bei (positivem) a < 1 dann und nur dann gleichzeitig a'^ < 1, wenn ^ > 0 ist.

Denn nach 32, 1 ist z. B. bei a > 1 dann und nur dann a"^^ > 1 , wenn x ;> 0 ist.

Satz 2. Ist a > 0 und q zwischen q' und q" gelegen , so liegt auch a- stets zwischen a^ und a" . — Der Beweis ist genau derselbe wie unter 32, 2. Er liefert genauer den

Satz 2a. Ist a>l, so entspricht dem größeren Exponenten auch der größere Wert der Potenz; ist a <1, so liefert der größere Exponent die kleinere Potenz. Speziell: Ist a=^l, so liefern ver- schiedene Exponenten auch verschiedene Potenzen. — Und aus diesem Satz folgt wieder genau wie unter 32, 3 der abschließende

Satz 3. Ist [oj eine beliebige Null/olge, so bilden auch die Zahlen x„ = a'- - 1 eine Nullfolge. Ist (^J monoton, so ist es auch (x^^.

Als eine spezielle Anwendung erwähnen wir noch den

Satz 4. Ist [x^^ eine Nullfolge mit lauter positiven Gliedern, so ist für jedes positive a auch

Glied einer Nullfolge. — So ist f— j für jedes c^ > 0 eine Nullfolge.

\_ Beweis. Ist £ > 0 beliebig gegeben, so ist auch e« eine posi- tive Zahl. Nach Voraussetzung kann man also n^ so bestimmen, daß

für n > n^ stets

^) Als Stichprobe skizzieren wir den Beweis der ersten der drei Grund- regeln: Ist Q^{x,,\y;,) und q'^{x,!\y,l), seist nach 16 Q-tq' = {Xr,^x,:\y„-\-y,!) und also — wir denken uns «^1 — :

Da nun alle Intervallenden (als Potenzen mit rationalen Exponenten) positiv sind, so ist nach 18

a- • a - ={a^n. a^n I a^n . a^» ) • Weil aber für rationale Exponenten die erste der 3 Grundregeln schon als gültig erwiesen ist, so ist diese letzte Schachtelung derjenigen für a-+~' nicht nur gemäß 14 gleich, sondern sogar Glied für Glied mit ihr übereinstimmend.

54 II- Kap. Reelle Zahlenfolgen,

ist. Dann ist aber für n > n^ nach 35, 1 auch

womit schon alles bewiesen ist.

Durch diese Entwicklungen ist das Rechnen mit den allgemeinen Potenzen in seinen Grundzügen festgelegt.

V. Logarithmen. Die Grundlage für die Definition der Logarithmen bildet der 36. Satz. Sind a > 0 und h > 1 reelle, sonst ganz beliebige Zahlen,

so gibt es stets eine und nur eine reelle Zahl |, für die

b'^ = a ist.

Beweis. Daß es höchstens eine solche Zahl geben kann, folgt schon aus 35, 2a, weil die Basis /; mit verschiedenen Exponenten potenziert nicht denselben Wert a ergeben kann. Und daß es eine solche Zahl gibt, beweisen wir wieder konstruktiv durch Angabe einer sie bestimmenden Intervallschachtelung, — etwa durch 10-Teilung:

Da ö > 1 ist, so ist (&-»») =f-—j nach 10,7 eine Nullfolge, und es

gibt also, weil a und positiv sind, je eine natürliche Zahl p und q,

für die

b~^ < a und b~^ < ' oder 6^ > a a

ist. Geht man nun die ganzen Zahlen von — p bis -{- q durch, indem man sie sich in den Exponenten von b gesetzt denkt, so muß es unter ihnen eine, und kann es nur eine geben - sie heiße g — für die

h^^a, aber h^^^ > a

ist. Das hierdurch bestimmte Intervall /o =" g • •'• fe + 1) teilen wir in 10 gleiche Teile und gelangen ganz entsprechend wie S. 47/48 zu einer „Ziffer" z^, für die

b^'^'"'' £a, aber b ^^ > a ist, — und gelangen durch Wiederholung des Teilungsverfahrens zu einer ganz bestimmten Intervallschachtelung

^ = (^«bJ "^if

y« = S' -r Jq" i- • • • r iQ„ _ 1 -r 10«

für die stets

6'^»<a : b

Vn

37. § 7- Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen. 55

ist, für die also gemäß 33

ist. — Dieser Satz gibt uns die Berechtigung zu folgender

Definition : Sind a > 0 und b > 1 beliebig gegeben , so heißt die d^lrch

b^=-a eindeutig bestimmte reelle Zahl | der zur Basis b genommene Logarithmus von a; in Zeichen

g = ^loga. (g nennt man wohl auch die Kennziffer, die Gesamtheit der Ziffern z^z..,z^ . . . die Mantisse des Logarithmus.)

Von einem Logarithmen System spricht man, wenn man die Basis h ein für allemal festgelegt denkt und nun die Logarithmen aller möglichen positiven Zahlen a zu dieser Basis b sich genommen denkt. Man läßt dann das b bei ^log, weil überflüssig, gewöhnlich fort. Sehr bald wird sich als Basis für alle theoretischen Betrach- tungen ganz naturgemäß eine bestimmte, gewöhnlich mit e bezeich- nete reelle Zahl empfehlen; das auf dieser Basis aufgebaute Loga- rithmensystem wird dann das natürliche genannt. Für praktische Zwecke dagegen ist bekanntlich die Basis 10 am bequemsten; die auf ihr aufgebauten Logarithmen werden die Briggsch^n genannt. Es sind die Logarithmen, die in den gewöhnlichen Tafeln zu finden sind ^).

Die Regeln für das Rechnen mit Logarithmen setzen wir, wie bei den Potenzen, wieder als bekannt voraus und begnügen uns mit der bloßen Angabe der wichtigsten. Ist die Basis & > 1 beliebig, . aber im folgenden festliegend gedacht, und bedeuten a, a' , a" ... irgend- welche positive Zahlen, so ist

1. log (a' a") - log d + log a^'. 37,

2. log 1=0; log = — log a\ log b = 1.

3. loga^= ()log<3; (^ beliebig, reell).

4. loga = loga', je nachdem a^c^ ist; speziell:

5. loga§0, je nachdem a^l.

6. Sind b und b^ zwei verschiedene Basen (> 1) und sind | und 1^ die Logarithmen derselben Zahl a zu diesen beiden Basen, also

| = Moga, |^ = *iloga,

^) Selbstverständlich kann man auch auf einer Basis h , die kleiner ist als 1 , ein Logarithmensystem aufbauen. Doch ist das wenig üblich. Übrigens waren die ersten von Napier 1614 berechneten Logarithmen auf einer Basis fe<l aufgebaut, was besonders für die Logarithmen der trigonometrischen Funktionen kleine Vorteile bietet.

56 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen,

so ist

— wie dies sofort aus {a=)b- = b^^^ folgt, wenn man beiderseits die Logarithmen zur Basis b nimmt und 37, 2 und 3 beachtet.

log;/)' ^^ = 2,3,4,..., ist eine Nullfolge. In der Tat ist

1 1 '

1 • < e, sobald log w > - oder also n > b" ist.

log n "^ £

VI. Die Kreisfunktionen. Eine ebenso strenge, d. h. die geome- trische Anschauung als Beweisgrund prinzipiell vermeidende und ledig- lich auf den Begriff der reellen Zahl gegründete Einführung der so- genannten Kreisfunktionen, also des sin eines gegebenen Winkels i), seines cos, tg, ctg usw. ist an dieser Stelle noch nicht möghch. Wir werden später (§ 24) darauf zurückkommen. Trotzdem aber wollen wir diese Kreisfunkdonen zur Bereicherung der Anwendungen und zur Belebung der Beispiele (aber selbstverständlich niemals zu Be- weisen allgemeiner Sätze) unbedenkhch heranziehen, soweit ihre Kenntnis aus den Elementen als bekannt angesehen werden kann.

So stellt man z. B. sofort die beiden einfachen Tatsachen fest :

1. Sind Kl, 0^2, . . ., (Xn, ■ • ■ irgendwelche Winkel (d. h. also: irgend- welche Zahlen), so sind

(sin a„) und (cos a„) beschränkte Zahlenfolgen; und

2. die Folgen

sina„\ , f cos cc,

und

V n sind (nach 26) Nullfolgen, denn ihre Glieder entstehen aus denen der Xull-

folge f — j durch Multiplikation mit beschränkten Faktoren.

Als weitere Anwendung der nun festgelegten Begriffe wollen wir noch eine Anzahl spezieller Zahlenfolgen untersuchen :

^Z. Ist |a|<l, so ist neben («") sogar {na^) eine Nidlfolge.

^) Die Winkel werden wir im allgemeinen nach dem sog. Bogenmaß messen. Denkt man sich in einem Kreise vom Radius 1 den Radius von einer bestimmten Anfangslage aus gedreht, so mißt man den Drehungswinkel durch die Maßzahl des Weges, den dabei der Endpunkt des beweglichen Radius zurückgelegt hat, — und zwar positiv, wenn die Drehung im Gegensinne des Uhrzeigers geschieht, andernfalls negativ. — Ein Winkel ist also hiernach eine reine Zahl; ein gestreckter Winkel hat die Maßzahl -\- ti oder — jt, ein

rechter Winkel die Maßzahl + ^^ oder — " . Allgemein kommen jedem be-

stimmt orientierten Winkel unendlich viele Maßzahlen zu, die sich voneinander aber nur um ganzzahlige Vielfache von 2^, also um volle Drehungen, von- einander unterscheiden. Die Maßzahl 1 kommt dem Winkel zu, dessen Bogen gleich dem Radius ist, der also im Gradmaß etwa =57^17'44",8 ist.

38. § '''• Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolg-en. 57

Beweis. Ähnlich wie unter 10,7 schließen wir so^): Für a = 0 ist die Behauptung trivial; für 0 < U | < 1 kann

ia| = - , also «1" = -r -7~^

« mit ^ > 0 gesetzt werden. Da hier im Nenner alle Summanden positiv sind^ ist für M > 1

1 1-2

und es wird also

1-2

\na"\<Ce sein, sobald ; Tr~i <^ ^

' (;z — 1) ^"^

ist d. h. für alle

2 n>l + T. ■

S- Q"

Das somit bewiesene Resultat ist sehr bemerkenswert: Es besagt doch,

daß für große n der Bruch 7-—^^-— sehr klein, also sein Nenner sehr vielmal

größer ist als der Zähler. Dieser Nenner ist aber für ^ = 0 konstant =1, imd wenn g eine sehr kleine positive Zahl ist, so wächst er sehr langsam mit >/. Unser Ergebnis aber zeigt, daß, wenn nur n hinreichend groß genommen wird, der Nenner doch vielmal größer ist als der Zähler. Die Stelle 7?^,, von der an

unterhalb eines gegebenen e liegt — es hatte sich

' (1 + Qf 2 nn=\-\ ergeben — liegt ja in der Tat sehr weit rechts, nicht nur

wenn s, sondern auch wenn 0 = - — -— 1 sehr klein (d. h. \a\ sehr nahe an 1

ja] gelegen) ist. Wesentlich ist und bleibt nur: Wie auch j«!<l und ^ >■ 0 gegeben sein mögen, stets ist von einer leicht angebbaren Stelle an sicher I w a '^ ! < £ 2) .

Aus diesem Ergebnis kann man viele andere, z. B. die noch paradoxere Tatsache herleiten:

°4. Ist j«; < 1 und a>0, so ist auch (n^a**) eine Nnllfolge. 1

Beweis. Setzt man |a|a=a^, so ist nach 35,1 auch die positive Zahl ai<l. Nach dem vorigen Ergebnis ist also {n a^'') eine Nullfolge. Nach 35, 4 ist dann auch »

[wV]«, d. h. 7^"«," oder ^^a'^j

also schließlich (nach 10, 5) auch n'^ a"^ selber Glied einer Nullfolge.

1) Nur daß a und g jetzt nicht rational zu sein brauchen.

1 n

•2) Indem man wie oben \a\=- , \na"',=-r-, — w, setzt, kann man

^ ' ' 1+^ ' (1+^)"

auch sagen: (l+p)" wird — bei positivem o — stärker groß oder auch stärker unendlich groß als n selbst, — womit wieder (vgl. 7, 3) nicht mehr und nicht weniger gesagt werden soll, als daß unsere Folge eben eine Nullfolge ist. — Für später sei noch bemerkt, daß die in 3 und 4 bewiesenen Ergebnisse auch für komplexe a gelten, wenn nur j a j < 1 ist.

58 IL Kap. Reelle Zahlenfolg-en.

(Wenn man sich a sehr groß gegeben denkt und i«, nur sehr wenig unterhalb 1, so ist dieses Resultat natürlich noch merkwürdiger als das vorige^).)

-— -j eine Nullfolge-), zu welcher Basis &>1 die Logarithmen auch genommen sein mögen.

Beweis. Wegen 6>1, ö>0 ist (nach 35, 1) auch b">\. Also ist Uh^l ^^^^ ^' ^^"^ Nullfolge. Bei gegebenem «>0 ist daher von einer Stelle an — etwa für alle n >- m — stets

Nun ist aber jedenfalls

1_^^ ^l±^ ^^^n fi + l

wenn g die Kennziffer von log y\ bedeutet (so daß ^ < log « < g + 1 ist). Wird also n > b'^ genommen, so ist log n und also erst recht ^ + 1 > w , und folglich der letzte Wert gemäß der Wahl von m

< ö*" • — = f , d. h. es ist -^^^~ < t für n > &'" . 6. Sind a und ß beliebige positive Zahlen, so ist

\ nn eine Nullfolge — , mag a noch so groß und ß noch so klein sein^«).

Beweis. Nach 5. ist i-j-^\ wegen ^r 0 eine Nullfolge; nach 35,4 also auch die vorgelegte Folge.

7- (i»„) = \yn — ij ist eine Nullfolge. (Auch dieses Resultat ist sehr merk- würdig. Denn für großes « ist auch der Radikand eine große Zahl; dafür allerdings auch der Wurzelexponent. Und es ist von vornherein nicht zu sehen, wer von beiden — Radikand oder Exponent — sozusage^n der stärkere ist.)

n f^

Beweis. Es ist für «>1 jedenfalls y;? > 1 , also x„ = yn — \ sicher >■ 0 . Daher sind in

^=(i+^«)"=i+(';)^„+...-f(;;)v'

alle Summanden positiv. Folglich ist speziell

n\ o _ n {n — 1) „

1) In entsprechender Umschreibung wie vorhin sagt man hier: (1+^)" wird stärker unendlich groß als jede noch so große (feste) Potenz von n selbst!

^) „logw wird schwächer groß als jede noch so kleine (aber feste und positive) Potenz von n selber."

2) jjede noch so große (feste) Potenz von log;/ wird schwächer groß als jede noch so kleine (feste) Potenz von n selber."

38. § '^- Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen. 59

oder

Hieraus folgt

n — \ ~ n n

n--

^n\< — ,

SO daß {Xn)= \\/n-\) nach 26,3 und 35, 4 in der Tat eine Nullfolge ist.

8. Ist (;kr„) eine Nullfolge, deren Glieder sämtlich > — 1 sind, so bilden auch die Zahlen

eine Nullfolge ^) .

Beweis. Nach der S. 20, Fußn. 3, erwähnten Formel folgt, wenn darin

}^

a = y\+Xn "nd 6 = 1 gesetzt wird, daß

also, da im Nenner alles positiv, und der letzte Summand = 1 ist :

i ^«' i ^ I ^« h woraus nach 26 sofort die Behauptung folgt.

9. Ist {xn) eine Nullfolge von derselben Art wie in 8., so bilden auch die Zahlen

2/,, = log(l + u?,J

eine Nullfolge.

Beweis. Ist &>1 die Basis der Logarithmen und £>0 gegeben, so setzen wir

und die kleinere der beiden (eo ipso positiven) Zahlen f.^ und e.^ gleich e'. Nun wählen wir n^ so groß, daß für n y- %(, stets \xn\<.s' ist. Dann ist für diese n erst recht

also (nach 35,2 oder 37,4)

; y« 1 = i log (1 + Xn) \<S ,

womit alles bewiesen ist.

10. Ist (xn) nochmals eine Nullfolge wie in 8., so bilden auch die Zahlen

eine Nullfolge, wenn g eine beliebige reelle Zahl bedeutet.

1) Daß man sobald n > 2, für n — 1 verkleinernd n — ■— schreibt, ist ein

oft nützlicher Kunstgriff, um die Rechnung zu vereinfachen.

2) Durch die Voraussetzung, daß alle Xn> — 1 sind, soll nur bewirkt werden, daß die Zahlen x,/ für alle n definiert sind. Von einer gewissen Stelle an ist dies eo ipso der Fall , da (xn) eine Nullfolge sein soll und also von einer Stelle an sicher i ;*r„ { < 1, mithin ^„ > — 1 sein muß.

60 ir. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Beweis. Nach 9. und 26,3 bilden die Zahlen

eine Xullfolge. Nach 35,3 gilt dann dasselbe von den Zahlen

w. z. b. w.

§ 8. Konvergente Zahlenfolgen. Definitionen.

Bei der Betrachtung des Verhaltens einer vorgelegten Zahlen- folge haben wir bisher in der Hauptsache darauf geachtet, ob sie eine Nullfolge ist oder nicht. Indem wir diesen Gesichtspunkt in nahe- liegender Weise ein wenig erweitern, gelangen wir zu dem wichtigsten Begriff, mit dem wir uns überhaupt zu beschäftigen haben, nämlich dem der Konvergenz einer Zahlenfolge.

Die Eigenschaft einer Zahlenfolge {x^[), Nullfolge zu sein, haben wir (vgl. 10,10) schon dahin beschrieben, daß wir sagten: Ihre GHeder werden klein, werden beliebig klein mit wachsendem n. Wir könnten auch sagen: Ihre Glieder nähern sich mit wachsendem n dem Werte 0 — allerdings ohne ihn im allgemeinen jemals zu erreichen; aber sie nähern sich diesem Werte in dem Sinn beliebig, als die Beträge der Gheder (also doch ihre Abstände von 0) unter jede noch so kleine Zahl e(>0) herabsinken. Ersetzen wir bei dieser Auffassung den Wert 0 durch irgendeine andere reelle Zahl i, so würde es sich um eine Zahlenfolge {xj handeln, bei der die Abstände der Glieder von

der bestimmten Zahl | — also nach 3,11,6. die Werte \x^^-~^\

mit wachsendem n unter jede (noch so kleine) Zahl e > 0 herabsinken. Wir präzisieren diesen Sachverhalt zu folgender 39. ° Definition. Ist (x^^) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu

einer bestimmten Zahl | in der Beziehung, daß

(*„ - f) ')

eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge [x^^) konvergiere gegen i, oder sie sei konvergent mit dem Grenzwerte i, oder sie [bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ^, sie strebten gegen |, hätten den Limes |. Und man drückt diese Tatsache durch die Symbole

x,i — »- $ oder lim Xn = §

atis. Man schreibt auch, um deutlicher zu machen, daß die Annäherung an I dadurch vor sich geht, daß der Index n immer größer und größer genommen wird, vielfach

Xn —^5 für n—*(X) oder lim Xn ^^ % '')

^) Oder, was nach 10,5 auf genau dasselbe hinausläuft {^ — x,) oder

~) Sprich: „;tr„ (strebt) gegen ^ für n gegen oo" bzw. „I^imes x„ für n gegen Oü ist gleich |^".

g^^ §8. Konverg-ente Zahlenfolgen. 61

Indem wir die Definition der Nullfolge in die neue Definition mit hineinnehmen, können wir auch sagen:

Es strebt ^„->l ß^ w^oc {oder \imx^^ = i), wenn nach Wahl

von £ > 0 sich stets eine Zahl n^ = ^^(e) so angeben läßt, daß für alle n > n^ immer

ausfällt.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Statt zu sagen „{Xn) ist eine Nullfolge", können wir jetzt kürzer X ->'0" schreiben. Die Nullfolgen sind konvergente Zahlenfolgen mit dem

speziellen Grenzwerte 0.

2. Sinngemäß gelten daher alle unter 10 gemachten Bemerkungen auch jetzt, da es sich ja nur um eine naheliegende Verallgemeinerung des Begriffs der Nullfolge handelt.

3. Nach 31, 3 und 38,7 strebt

n,— n —

y rt -> 1 und yn -> 1 .

4. Ist (Ar,/y,i) = ö, so strebt x^-^o und auch y^^o. Denn es ist

\ x,^ — o\ und auch y„ — ö | ^ ■ y« — at,, , so daß beide nach 26, 2 zugleich mit (y,, -at«) eine Nullfolge bilden.

(— 1)« 14 3 6 5

5. Für ;^„=1-^ '-, also für die Folge 2, -^ . 3 , ^ > 5- » g ^ • • •

strebt AT« >1, denn ; Ar„ - 1 | = - bildet eine Nullfolge.

6. Geometrisch gesprochen bedeutet a,, ->f, daß alle Glieder mit hin- reichend hohem Index in der Nähe des festen Punktes ^ gelegen sind. Oder schärfer (vgl. 10, 18), daß in jeder e-Umgebung von ^ alle Glieder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen gelegen sind^). — Bei der Veranschau- lichung 7, 6 ziehen wir durch die beiden Punkte (0, | + s) Parallelen zur Abszissenachse und können sagen : Es strebt x^ -> ^ , falls das ganze Bild der Folge {x„), von einem endlichen Anfangssiück abgesehen, in jedem solchen (noch so schmalen) f- Streifen gelegen ist.

7. Auf das entschiedenste zu verwerfen ist eine oft gehörte laxe Aus- drucksweise, die für x„^'^ sagt „für w = 00 sei a;„ = ^". "Denn eine natürliche Zahl w = 00 gibt es nicht und x^ braucht niemals = $ zu sein. Es handelt sich durchaus nur um einen, durch alles vorangehende nun wohl hinreichend ge- klärten Annäherungsprozeß, von dem es gar keinen Zweck hat, sich ihn in irgendeiner Form vollendet zu denken. (In älteren Lehrbüchern und Abhand- lungen findet man jedoch häufig die symbolische Schreibweise „limA-„ = t'-,

gegen die sich, weil sie ja nur symbolisch gemeint ist, nichts sagen läßt, — außer eben, daß sie ungeschickt ist und daß die Schreibweise „w = 00" notwendig Verwirrungen über den Begriff des Unendlichen in der Mathematik stiften muß.)

1) Vielfach sagt man dafür auch kürzer: In jeder ^ -Umgebung von i sollen „fast alle" Glieder der Folge gelegen sein. Doch hat die Aussage „fast alle" auch noch andere Bedeutungen, z.B. in der Lehre von den Punktmengen.

62 n. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

8. Strebt x,,-*-^, so bezeichnet man die einzelnen Glieder der Folge (x^) auch wohl als Näherungswerte von ^ und die Differenz i" — x„ als den Fehler, der dem Näherungswerte x,t anhaftet.

9. Die Bezeichnung ^^konvergenf^ scheint zuerst von /. Gregory (Vera circuli et hyperbolae quadratura, Padua, 1667), die Bezeichnung „divergent^ (40) von Bernoulli (Brief an Leihniz vom 7.4.1713) gebraucht zu sein.

An die Definition von Konvergenz schließen wir sogleich die- jenige der Divergenz:

40. o Definition 1. Jede Zahlenfolge, die nicht im Sinne der Definition 3&

konvergiert, heißt divergent.

Hiernach sind z.B. die Folgen 6,2,4,7,8,11 sicher divergent.

Unter den divergenten Folgen zeichnet sich eine Art durch be- sondere Einfachheit und Durchsichtigkeit des Verhaltens aus, z. B. die Folgen (n"), (n), («") mit a > 1, (log w), u.a. Das ihnen Gemein- same ist ersichtlich, daß die Glieder mit wachsendem n jede noch so hohe Schranke übersteigen. Man sagt darum wohl auch, sie strebten nach -|- ^^, sie (bzw. ihre GHeder) würden unendlich groß. Wir präzisieren den Sachverhalt in folgender

Definition 2. Hat die Folge (x^^) die Eigenschaft, daß nach Wahl einer beliebigen {großen) positiven Zahl G sich immer noch eine Zahl n^ so angeben läßt, daß für alle n > n^ stets

^n ^' ^' {nicht \xj. > G)

so wollen wir sagen, {xj divergiere gegen +oü, strebe nach + C5C, oder sei bestimmt divergent mit dem Grenzwert -\-oc^); und wir schreiben dann x^^ -> ~- cx) {für n^oo) oder lim a:^^ = -|- oo bzw. lim x^^ = -[- cc.

n-yxi

Es bedeutet nur eine Vertauschung von rechts und links, wenn wir weiter definieren:

Definition 3. Hat die Folge {x^^ die Eigejischafty daß nach Wahl einer beliebigen {absolut großen) negativen Zahl — G sich immer noch eine Zahl n^ so angeben läßt, daß für alle n 7-- n^ stets

^n < - ^ ist, so wollen wir sagen, (a;J divergiere gegen — oc, strebe nach — oo oder sei bestimmt divergent mit dem Grenzwert — oc; und wir schreiben X ->.— oo {für n->oc) oder lim jv^^ = — oo bzw. limA:^=— oc.

1) Manchmal sagt man sogar — in scheinbarer Verdrehung der Tat- sachen — , die Folge konvergiere gegen +00. Es hat dies seinen Grund darin, daß das in Definition 2 beschriebene Verhalten in vieler Beziehung dem der Konvergenz (39) sehr nahe steht. Wir schließen uns indessen dieser Ausdrucksweise nicht an, obwohl ein Mißverständnis niemals zu befürchten wäre. — Analog bei — OO.

40, § 8. Konvergente Zahlenfolgen. 63

Bemerkungen und Beispiele.

1. Die Folgen (n), (n^), (w") für a>0, (log w), (log" m) für a>0 streben gegen +00, diejenigen, deren Glieder entgegengesetzte Werte haben, streben gegen — (30 .

2. Allgemein : Strebt Xn -> + Oü , so strebt x,/ = — at« -> — oo und um- gekehrt. — Darum genügt es weiterhin im wesentlichen, die Divergenz ^ -j- oo zu betrachten.

3. In geometrischer Sprache bedeutet ,r„ -> -[- OO natürlich, daß, wie man auch (sehr weit rechts) einen Punkt ~ G wählen möge, doch alle Punkte x,, , von höchstens endlich vielen Ausnahmen abgesehen, noch rechts von ihm ge- legen sind. — Bei der Veranschaulichung 7, 6 besagt es: Wie hoch oberhalb der Abszissenachse man auch eine Parallele zu ihr ziehen möge, es liegt doch das ganze Bild der Folge {x^) — von einem endlichen Anfangsstück abgesehen — noch oberhalb derselben.

4. Das Streben gegen j^oo braucht kein monotones zu sein; so ist z. B. auch die Folge 1, 2S 2, 2^, 3, 2^, 4, 2^, . . . , Ä, 2^ ... gegen + oc divergent.

5. Die Folge 1, —2, +3, — 4, . . . , (— l)"~^w, ... ist weder nach -f cx) noch nach — oo divergent. — Dies veranlaßt uns noch zu der

Definition 4: Von einer Folge (xj, die entweder im Sinne der Definition 39 konvergiert, oder im Sinne der Definition 40, 2 und 3 bestimmt divergiert, wollen wir sagen, daß sie sich [für w->oo) be- stimmt verhält. Alle übrigen Folgen, die also weder konvergieren noch bestimmt divergieren, sollen unbestimmt divergent oder kurz un- bestimmet heißen'^).

Beispiele und Bemerkungen.

1. Die Folgen [(- 1)«], [(- 2)«], (a«) für « ^ - 1, ebenso die Folgen 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . . und 0, - 1, 0, —2, 0, — 3, ... , ferner die Folgen 6, 4, 8 sind er- sichtlich unbestimmt divergent.

2. Dagegen weist die Folge ( | a" j ) für beliebiges reelles a , ferner die Folgen (3" -f (- 2)"), {n -f (— 1)'* log n), (n^ -f (— 1)« n), trotz aller Unregelmäßig- keiten im einzelnen, doch ein bestimmtes Verhalten auf.

3. Die geometrische Deutung des unbestimmten Verhaltens ergibt sich unmittelbar daraus, daß weder Konvergenz (s. 39, 6) noch bestimmte Diver- genz (s. 40, 3, Bem. 3) stattfinden soll.

^) Es handelt sich also um drei typische Verhaltungsweisen einer Zahlen- folge, nämlich: a) Konvergenz gegen eine Zahl |, gemäß 39; b) Divergenz gegen ±_ oü ; gemäß 40, 2 u. 3 ; c) keins von beiden. — Da das Verhalten b) manche Analogien mit a) und manche mit c) aufweist, schwankt hier der Sprachgebrauch. Man rechnet b) zwar allgemein zur Divergenz (die Aus- drucksweise, die in der vorigen Fußnote erwähnt wurde, läßt sich nicht konse- quent durchhalten), spricht aber andrerseits doch von den ,, Grenzwerten" -f CO oder — OO . — Wir sprechen also in den Fällen a) und b) von einem bestimmten, im Falle c) von einem unbestimmten Verhalten; im Falle a), und nur in diesem, von Konvergenz, in den Fällen b) und c) von Divergenz. — Statt ,, be- stimmt und unbestimmt divergent" sagt man auch „eigentlich und uneigentlich divergent". Da aber, wie betont, die bestimmte Divergenz noch viele Ana- logien mit der Konvergenz aufweist und bei ihr noch von einem Grenzwert gesprochen wird, erscheint es nicht ratsam, diesen Fall gerade als den der eigentlichen Divergenz zu bezeichnen.

64 IL Kap. Reelle Zahlenfolgen.

4. Aus ,V;, -> :- oo und aus x.

stets > 0 ; denn aus | ;ir„ > G = — folgt ja sofort

OO folgt, falls alle Glieder =j= 0 sind^),

<<«• — Dagegen braucht aus a-„ -> 0 sich kein bestimmtes Verhalten für ( -) zu ergeben.

Beispiel: Für ,r„ = — ^ strebt a-„ -> 0, aber (-^1 ist unbestimmt divergent, — Dagegen gilt ersichtlich der leicht zu beweisende

Satz: Ist {x,^ eine Nullfolge, deren Glieder einerlei Vorzeichen haben, so ist die Folge ( — j bestimmt divergent] — und natürlich gegen +00 oder gegen — (X), je nachdem alle x^ positiv oder alle negativ sind.

5. Zur bequemeren Verständigung in häufig vorkommenden Fällen führen wir endlich noch die folgende Ausdrucksweise ein:

Definition 5. Stehen zwei Zahlenfolgen {x,^ und (y«), die nicht zu konvergieren brauchen, zueinander in der Beziehung, daß der Quotient

x„

für «->-fOO einem bestimmten endlichen und von 0 verschiedenen G renzwert zustrebt-)^ so wollen wir sagen, beide Folgen seien asymptotisch proportional und schreiben dafür kurz

^'n '^ y,i ■

Ist dieser Grenzwert speziell gleich 1 , so nennen wir die Folgen asipnptotisch gleich und schreiben prägnanter

Xn ^ yn •

So ist z. B.

1

Y^w

Vw2 - 1 ^ H , log (5 «» -r 23) ^ log n , ^in -f 1 - V«

1 + 2 -j- • . • + w '■x^ w- , P -i" 2'*^ -f • . . -f- 'i" =L i ^^ • Diese Bezeichnungsweisen rühren im Prinzip von P. du Bois-Reymond her (Annali di matematica pura ed appl. (2) IV, S. 338, 1870/71).

An diese Definitionen schließen wir nun sogleich eine Anzahl ein- facher, aber durchaus grundlegender

Sätze über konvergente Zahlenfolgen,

41. ^Satz 1. Eine konvergente Zahlenfolge bestimmt ihren Grenzwert

völlig eindeutig'"^).

^) Von einer Stelle an ist dies von selbst der Fall. .

'-) Die x,i und y„ müssen dann von selbst von einer Stelle ab =|= 0 sein. Für alle n soll dies durch die obige Definition nicht gefordert sein.

3) Durch eine konvergente Zahlenfolge ist also ihr Grenzwert ebenso ein- deutig definiert (erfaßt, bestimmt, gegeben, . . . ), wie durch eine Intervallschach- telung oder einen Dedekindschen Schnitt die dort eingespannte Zahl. Daher können wir von nun an eine reelle Zahl auch als gegeben ansehen, wenn wir eine gegen sie konvergierende Zahlenfolge kennen. Und sagten wir früher kurz, eine Intervallschachtehmg (xn^yn) oder ein Dedekindscher Schnitt (A'B) oder ein Systembruch sei eine reelle Zahl, so können wir jetzt mit demselben Rechte sagen, eine gegen | konvergierende Zahlenfolge {x„) sei die reelle Zahl ^, in Zeichen: {Xn) = ^- Näheres über diese Auffassung s. S. 74 und 90.

41, §8. Konverg-ente Zahlenfolgen. 65

Beweis. Hat man.T^^->| und zugleich x^^^^', so sind (^„— I) und (x^^ — I') Nullfolgen. Nach 28, 2 ist dann auch

{(x„ - 1) - {x„ - r» = ü' - 1)

eine Nullfolge, d.h. es ist ^ = ^\ w. z. b. w. ^)

"^Satz 2. Eine konvergente Zahlenfolge {x^^ ist stets beschränkt. Und ist stets \x^^\ ^ K, so gilt für den Grenzwert i, daß \i\ ^'K ist^).

Beweis. Strebt x ->^, so läßt sich nach Wahl von £>0 die ganze Zahl m so angeben, daß für n > m stets

I - € < a;„ < I + € .

Ist also K eine Zahl, die die endlich vielen Werte \x^\, \x^\, ...,

\x^\, || — £■ und ||-f-^| übertrifft, so ist ersichtlich stets

K\<K.

Und wäre nun ||| > K, so wäre ||j — K > 0 und also von einer Stelle an

\i\-\K\£K~i\<\i\-K, also \xj\ > K, entgegen der Bedeutung von K.

o Satz 3. Hat die konvergente Zahlenfolge {x^ lauter von 0 ver- schiedene Glieder und ist auch ihr Grenzwert | H= 0, so ist auch die

Folge ( — 1 beschränkt, oder: so gibt es eine Zahl y > 0, so daß stets

\^n\ = 7 ^ ^ ^^^'' ^^^ Zahlen \x^\ besitzen also eine noch positive untere Schranke,

Beweis: Nach Voraussetzung ist |||| = £ > 0, und es gibt also eine ganze Zahl m, so daß für n >- m stets \x^^ — i\ < e und also l^nl ^i\^\^)' Bezeichnet man die kleinste der endlich vielen positiven Zahlen \x^\, \x.-,\, ..., U^J und |||| mit y, so ist auch noch y>0

und stets \x i > r, |- - < -fC = — , w. z. b. w.

1) Der hier zuletzt benutzte, im ersten Augenblick vielleicht verblüffende Schluß ist einfach der: Wenn man von einem bestimmten Zahlenwert a weiß, daß für jedes £>0 stets \a\<.£ ist, so muß notwendig cc = 0 sein. Denn wäre a=^0, so wäre |a|>0. Wählt man für s nun die Zahl -|- [ a | , so ist doch nun die Beziehung \cc\ <Cs gewiß nicht richtig. Es muß also doch a = 0 sein. Ebenso: weiß man von einem bestimmten Zahlenwert a, daß für jedes £>0 stets cc ^K 4- s ist, so muß sogar die Ungleichung u^K erfüllt sein. Das hier in Rede stehende Schlußverfahren ,Jst für jedes e>0 stets \a\ <«, so ist notwendig u = 0" ist genau das schon von den griechischen Mathema- tikern (vgl. Euklid, Elemente X) ständig benutzte und später als Exhaustions- methode bezeichnete Verfahren.

2) Hier ist auf das Gleichheitszeichen in „\^\^ A'" auch dann nicht zu verzichten, wenn für alle 7i stets \xn\ <C A ist,

3) Für ny> m sind also von selbst alle ;v„ =|= 0.

Knopp, Unendliche Reihen. "

66 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Wendet man, wenn eine gegen | konvergierende Zahlenfolge (a;^) vorliegt, auf die Nullfolge (x^ — ^) die Sätze 27, 1 bis 4 an, so hat man unmittelbar die Sätze:

° Satz 4. Ist [xj) eine Teilfolge von (xj, so folgt

aus ^„-^^ stets ^n '^ ^ •

oSatz 5. Läßt sich eine Folge (x^^ so in zwei Teilfolgen^) zer- legen, daß jede derselben gegen ^ konvergiert, so ist das auch mit [x^) seihst der Fall.

o Satz 6. Ist [x^^) eine beliebige Umordnung von (xj, so folgt

aus ^n"^l stets a:,/->|.

o Satz 7. Strebt x^^^ und entsteht {x^) aus (;tj durch endlich viele Änderungen, so strebt auch x^' -^ | .

Das Rechnen endlich mit den konvergenten Zahlenfolgen wird durch die folgenden vier Sätze begründet:

o Satz 8. Aus ^„ -> ^ und y„ -> yj folgt st eis (a;„ + y„) ^ | + ?;, und das entsprechende gilt für die gliedweise Addition irgendeiner festen Anzahl — etwa p — konvergenter Zahlenfolgen.

Beweis. Mit (^„ — I) und (y,i — »/) ist nach 28,1 auch Hx + y ) — (1 + v)) ^^^^ Nullfolge. — Ebenso folgt nach 28, 2 der

o Satz 9. Aus x^^^ und y^ -> t] folgt stets {x^^ — y J "^ ^ ~ ^ • oSatz 10. Aus ^,i->^ und y^^r] folgt stets x^y^->ir] und das

entsprechende gilt für die gliedweise Multiplikation irgendeiner festen

Anzahl — etwa p — konvergenter Zahlen folgert.

Speziell: Aus x^->^ folgt stets cx^->c^, welche Zahl auch c bedeuten möge.

Beweis. Es ist

^« y« - ^ ^ = (^n - ^) y« + {yn -v)^'

und da hier rechterhand zwei Nullfolgen ghedweise mit beschränkten Faktoren multipliziert und dann addiert sind, so ist der Ausdruck selbst Glied einer Nullfolge, w. z. b. w.

OSatz 11. Aus x^-^i und y^->r] folgt, falls alle a;„ 4= 0 sind

und auch | =|= 0 ist, stets

Beweis. Es ist

^) Oder drei oder irgendeine bestimmte Anzahl.

42. §8- Konvergente Zahlenfolgen. 67

Hier steht im Zähler aus denselben Gründen wie soeben eine Null- folge, und die Faktoren -- — sind nach Satz 3 beschränkt. Also ist

der ganze Ausdruck wieder GUed einer Nullfolge. — Nur ein Spezial- fall hiervon ist der

°Satz Ha. Aus x^-^i, folgt, falls alle x^^ und auch ^ von 0 verschieden sind, daß stets

Strebt^).

Diese grundlegenden Sätze 8 — 11 führen nach wiederholter An- wendung zu dem folgenden umfassenderen

oSatz 12. Es sei R = R(x^^\ x^^\ x^^\ . . . , x^P^) ein Ausdruck, der durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen aus den Buchstaben a;(^\ x^^\ .. ., x^P^ unter Hinzunahme be- liebiger Zahlenkoeffizienten gebildet ist^) und es seien

«"). (^f), ■■■- (^;«)

p gegebene Zahlenfolgen, die der Reihe nach gegen i^^\ i^^\ . . . , ^^^\ kon- vergieren. Dann strebt die Folge der Zahlen

R„-R i4'\ ^T, ■■■, xlt) - R (!<", I<^', .... I'«) ,

falls weder bei der Berechnung der Glieder R^ noch der des Wertes ■^ (I j I , '■ ' ,i ) die Division durch 0 verlangt wird.

Auf Grund dieser Sätze beherrschen wir die formale Handhabung konvergenter Zahlenfolgen. Wir geben noch einige weitere

Beispiele.

1. Aus Xn-> § folgt bei a > 0 stets ^2

Denn

a^w — ft^ = a^(a^»~^ — 1) ist nach 35, 3 eine Nullfolge.

2. Aus Xn -> ^ folgt, falls alle x,, und auch ^ > 0 sind, daß auch

log Xn -> log ^

Strebt.

^) Bei den Sätzen -3, 11 und IIa ist an den Voraussetzungen nur wesent- lich, daß der in die Nenner tretende Grenzwert 4=0 ist, denn dann sind von einer Stelle ab die im Nenner stehenden Glieder von selbst =[= 0, und man brauchte nur ,, endlich viele Änderungen" vorzunehmen, damit dies stets der Fall ist.

2) Kürzer: eine rationale Funktion der p Variablen x^'^\ x^^\ . . . , x^^^ mit beliebigen Zahlenkoeffizienten.

5*

68 II- Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Beweis. Es ist

log Xn — log ^ = log '-^ = log ( 1 ;- — ^

was nach 38,9 eine Nullfolge ist, da mit .r„ > 0 auch — ^— ^ > — 1 ist. 3. Unter denselben Voraussetzungen wie bei 2. strebt auch

bei beliebigem reellem o. Beweis. Es ist

-«^-f''=K~-i

V^)

X,

was nach 38,10 eine Nullfolge ist, da --— >- 1 ist und für ?( -► OO gegen 0 strebt 1). (Hierzu bildet noch 35,4 eine gewisse Ergänzung.)"

4. Strebt Xn -^ ^ und ebenso x^ -> 't, und steht die Folge (at«) zu den Folgen {xn) und (xn") in der Beziehung, daß von einer Stelle m an stets

ist, so strebt auch Xn-> ^ ■

Beweis. Nach Wahl von £>0 kann n^^m so gewählt werden, daß für n > n^ stets | — e < Ar/ und x„" <§ + s bleibt. Für diese n ist dann von selbst ^-e<:xn<^ + e, d. h. \x„-V. <s, w. z. b.w.

Der Caiichysche Grenzwertsatz und seine Verallgemeinerungen. Wesentlich tiefer und weiterhin von großer Bedeutung ist eine Gruppe von Grenzwertsätzen ^j, die in ihrer einfachsten Form von Cauchy^) herrühren und in neuerer Zeit nach verschiedenen Rich- tungen hin erweitert wurden. Es gilt zunächst der einfache 43. ° Satz 1. Ist {xq,x^,...) eine Null folge, so bildest auch die arith-

metischen Mittel

[^ , ^x^ + x^^-...-r-Xn^ «.--0,1,2,...,

« M 4- 1

eine Nullfolge.

Beweis. Wird e > 0 gegeben, so kann man' m so wählen, daß für n>m stets \xj^ < -^ ausfällt. Dann ist für diese n

P« I ^ ^+1 ' 2 ^z+1 *

1) Die Bedeutung der Beispiele 1. bis 3. ist — in die Sprache der Funk- tionenlehre übertragen — die, daß die Funktion a* an jeder Stelle, die Funk- tionen \ogx und X- an jeder positiven Stelle stetig sind.

2^ Das Studium dieser Sätze kann verschoben werden, bis in den späteren Kapiteln von ihnen Gebrauch gemacht wird. (Zuerst im IV. Kapitel.)

3) Augustin Louis Cauchy , geb. 1789 in Paris, gest. 1857 in Sceaux. In seinem Werke Analyse algSbrique, Paris 1821 (deutsche Ausgabe: Berlin 1885, bei J. Springer), werden zum erstenmale in voller Strenge die Grundlagen der höheren Analysis, unter ihnen die Lehre von den unendlichen Reihen ent- wickelt. Wir werden es im folgenden oft zu nennen haben; der obige Satz 2 findet sich daselbst S. 59.

^^^ § 8. Konvergente Zahlenfolgen. 69

Und da nun im Zähler des ersten Bruches rechterhand eine feste Zahl steht, so kann man weiter n^ > m so bestimmen, daß für n > n^ dieser Bruch < ~ bleibt. Dann ist für n > n^ aber stets \x^'\ < e, — und unser Satz schon bewiesen. — Ein wenig allgemeiner, aber doch eine unmittelbare Folgerung ist der

o Satz 2. Strebt x^^~>^, so streben auch die arithmetischen Mittel r f _- -"^'o -^ -^1 + • • • - ^n _^ ^

Beweis. Mit (a;„ — |) ist nach Satz 1 auch

_--^ _ x^ ^

eine Nullfolge, w. z. b. w.

Aus diesem Satz läßt sich nun ganz leicht das Entsprechende für die geometrischen Mittel folgern.

Satz 3. Die Folge (y^, yo,---) strebe -^i] und es seien alle ihre Glieder y^^ sowie ihr Grenzwert t] positiv. Dann strebt auch die Folge der geometrischen Mittel

Beweis. Ausy,^->?/ folgt, weil alles positiv ist, nach 42,2, daß A;„ = logy^->| = log?y strebt. Nach Satz 2 folgt hieraus, daß auch

X,: = "' + "'^;'' ^ "" = log ^/y^y,•■^y~ = log y,/ > log ^/

strebt. Nach 42, 1 liefert dies sofort die Richtigkeit unserer Be- hauptung.

Beispiele.

1+1+. ..+i ■ ,

1. - ^^ ->0, weil - ->0 strebt.

n n

2. ^n^ l/l -T-l • • • "T -^ 1 ' ^^^^^ -"''t -^ 1 ^*^^^^- ^ y 12 n — \ n — 1

1-f Vl + V^~--- + V''^ , n - ,

3. ► 1 , weil yn -> 1 strebt.

4. Wegen (l -i ) -> c (s. 46, 4 im nächsten §) strebt nach Satz 3 auch

70	II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.
oder also

eine Beziehung-, die man sich auch in der Form „y»i!^ — " merken mag.

Wesentlich weitergehend und doch ebenso leicht beweisbar ist die folgende Verallgemeinerung der Cauchyschen Sätze 1 und 2, die von 0. Toeplitz herrührt^):

oSatz 4. Es sei {x^, x^, . . .) wieder eine Nullfolge und die 'Koeffi- zienten a^y des Schemas

(A)

ßo

mögen den beiden Bedingungen genügen:

(a) In jeder Spalte stehen Nullfolgen, d. h. hei festem p^O strebt

ünp -> 0 für n -> -\^ (X) .

(b) Es gibt eine Konstante K, so daß die Summe der Beträge der Glieder einer jeden Zeile, also für jedes n die Summe

bleibt. — Dann ist auch die Folge der Zahlen

eine Nullfolge.

Beweis. Ist £ > 0 gegeben, so bestimme man m so, daß für n> m stets \xj< x-^ bleibt. Dann ist für diese n

! VI < i «„0 -^0 + • • • + ^nm ^m\ +. 2'

Nach Voraussetzung (a) kann man nun (da m jetzt fest ist) n^^ > m so wählen, daß für n > n^ stets |ß„o^o + • • • + ^nm^ml < ^ bleibt. Da für diese n dann \xj\ < e ist, so ist unser Satz schon bewiesen.

^) Der Cauchysche Satz 1 ist verschiedentlich verallgemeinert worden, so insbesondere von /. L. W. V. Jensen (Om en Sätning af Cauchy, Tidskrift for Mathematik, Bd. (5) 2, S. 81 — 84) und O. Stolz (Über eine Verallgemeinerung eines Satzes von Cauchy, Mathemat. Annalen, Bd. 83 (1889), S. 237). Die obige von O. Toeplitz (Über lineare Mittelbildungen, Prace matematyczno-fizyczne, Bd. 22 (1911), S. 113 — 119) herrührende Fassung ist darum eine in gewissem Sinne äußerste Verallgemeinerung, weil er (a. a. O.) zeigt, daß die als hin- reichend erkannten Bedingungen auch dazu notwendig sind, daß aus Xn->^ stets Xn->^ folgt.

43. §8. Konvergente Zahlenfolgen. 71

Für die Anwendungen handlich ist hierzu der folgende o Zusatz. Ersetzt man die Koeffizienten a^x durch andre Zahlen a'^x = ay,i ' a^i, die aus den a.^x durch Hinzufügung von Faktoren a^x entstehen, die sämtlich unterhalb einer festen Konstanten cc bleiben, so bilden auch die Zahlen

V = ^«0 ^0 + «wl ^1 + • • • + <^nn Xn

eine Nullfolge. ""

Beweis: Auch die alx erfüllen die Bedingungen (a) und (b) des Satzes 4, denn bei festem p strebt nach 26, 1, a'np-^O und es bleiben

die Summen

Wno\ + \<i\ + - ' - + \<n\ < K' = a^K.

Aus Satz 4 folgt nun weiter der schärfere

oSatz 5. Strebt x^->i und erfüllen die a^^y außer den Bedingungen (a) und (b) des Satzes 4 noch die weitere, daß

strebt^), so konvergiert auch die Folge der Zahlen

Beweis. Es ist jetzt

< - ^n-^ + ^noi^O - ^) + ««l(^l - ^) + • • • + ^nniK " ^)'

woraus sich nun infolge der neuen Bedingung (c) und nach Satz 4 sofort die neue Behauptung ergibt.

Ehe wir zu diesen wichtigen Sätzen Anwendungen und Beispiele geben, beweisen wir noch die folgende in eine neue Richtung weisende Verallgemeinerung.

oSatz 6. Erfüllen die Koeffizienten a^y des Schemas (A) außer den in Satz 4 und 5 genannten Bedingungen (a), (b) und (c) noch die weitere, daß

(d) auch die Zahlen jeder „Schräglinie'' in (A) eine Nullfolge bilden, daß also bei festem p für w -> + oo auch an n-p -> 0 strebt, so folgt aus x,^->^ und y^^ri, daß die Zahlen

streben^).

Beweis. Wegen

X^ yn-v ^ {Xy — I) yn-v + ^ • yn-v

ist

^n = S(^nvyn-y[^v — l') + I ' ^ ^n v y«- r=0 »- = 0

1) Bei den Anwendungen wird meist A„:i2l sein,

2) Für positive a^^ findet sich dieser Satz in der Note des Verfassers „Über Summen der Form «0^«+ ^i^«-i + ' • * + ^«^o" (Rend. del circolo mat. di Palermo, Bd. 32, 1911, S. 95— 110).

72 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Hier strebt der erste Summand nach Satz 4 und dessen Zusatz gegen 0, weil (x^—i) eine Nullfolge ist und die Faktoren y„_^ beschränkt bleiben. Und schreibt man den zweiten Summanden in der Form

« n

r=0 ,.= 0

SO erkennt man nach Satz 5, daß derselbe, und somit auch z > ^ 7] strebt; denn wegen (d) erfüllen die Zahlen «,;,, = «„„_,, genau die dortige Voraussetzung (a).

44» Bemerkungen, Anwendungen, Beispiele.

1. Satz 1 ist ein Spezialfall von Satz 4; man hat in letzterem nur

''nO = ^nl = • • • = ^nn = ^^qn" ' (" = 0, 1, 2, . . .)

zu setzen. Satz 2 ist derselbe Spezialfall von Satz 5. Die Bedingungen (a), (b), (c) sind erfüllt.

2. Sind a^, a,, . . . irgendwelche positive Zahlen, für die die Summen

«0 + «1 + . . . + a„ = a„ -> + oo streben, so folgt aus a'„->^, daß auch

0^0 + «1 + • • • + a,, strebt^). In der Tat hat man in Satz 4 nur

On |^V = 0, 1, . . . W.

zu setzen, um die Richtigkeit dieser Behauptung zu erkennen. Die Bedin- gungen (a), (b), (c) sind erfüllt. — Für a„ - 1 erhält man wieder Satz 2.

3. Statt die a„ positiv vorauszusetzen, gentigt es [nach (b)] zu verlangen,

daß nur | a^^ j -f ; a^ j + . . . + | an | ^ -f oo strebt, daß aber eine Konstante K exi- stiert, so daß für alle n

! 0^0 i + I «i I + ... + i a„ I ^ ivT •: ao + a, + ... -f a„ ; bleibt 2). (Für positive a„ steht die Existenz von I< außer Zweifel.)

4. Setzt man in 2. oder 3. zur Abkürzung (X.nX,i = yn, so ergibt sich: Es strebt ,

yo + y. + -..-^yn ^ , ^^^„^ ^^^^ y,, _; .

OC(^+0(.j_ + ...+ 0(.n ^n

strebt, und falls die a„ die in 2. oder 3. genannten Bedingungen erfüllen.

5. Setzt man noch y^^ y^-r ■ • • + Vn = Yn ""d «„ + a, + . . . -r a„ = //„ , so erhält das letzte Ergebnis die Form: es strebt

y y —Y

^^£, falls auch ^ J "- -> f

strebt und falls die Zahlen a„ = ^,j — ^„_i, (w^ 1, !Xq = A(^), die in 2. oder 3. genannten Bedingungen erfüllen.

6. So ist z.B. nach 5.:

l-f2-p... + w ,. n ,, n 1

hm = hm - — - - = hm i = 77 •

1) O. Sfoh, a. a. O. -) Jensen, a. a. O.

44, § 8. Konvergente Zahlenfolgen. 73

Ebenso

lim = lim — — — - = — ,

n^ n^—{n — iy 6

und allgemein

lim — ■ = lim _- — -

lim

nP + ^ „/' + !_ (n -1)^ + 1

n^ _ 1

wenn p eine natürliche Zahl bedeutet.

7. Ähnlich findet man, wenn man die unter 46, 4 bewiesene Konvergenz

/ -^Nn + l

der Folge der Zahlen M ^ — J vorwegnimmt:

log 1 + log 2 + . . . + log n log n\ _ , , , . ^ ,

°±-^ — ^ ^-1— -T J^ = ? ► 1 ^ d.h. log n ! ^ log 77" .

n log 7i log w**

8. Auch die Zahlen

_ 1 ln\ rw = 0,1,2, ..

'^«" 2" U'j \r=0, 1, . ... 7Z.

genügen den Bedingungen (a), (b) und (c) der Sätze 4 und 5; denn bei festem p strebt Unp-^O, weil es

1 /n\ j 1 ^ n

und also < — (s. 38, 4)

2« \p/ ^2"

ist, und es ist

\%0\ + --' + \%n\= «nO + • • • + ^nn = ^ für jedes w. Also folgt aus x^ -> ^ stets, daß auch

^o+(i) ^1 +(2)^-3+ •••-f(;;)^« .

— ► ^

2

strebt.

9. Dieselben Spezialisierungen, die in 1., 2., 3 und 8. für den Satz 5 ge- geben wurden, lassen sich natürlich auch für Satz 6 durchführen. Es seien nur die beiden folgenden Sätze erwähnt:

a) Aus Xn-> ^ und y^ -> rj folgt immer, daß

^0 yn + ^1 yn-i+^2yn-.2 + -- - + ^nVo _^ ..^ 7i -f 1

Strebt.

b) Sind (xn) und (y,,) zwei Nullfolgen, deren zweite noch der Bedingung genügt, daß für alle n

' ^0 ' + i ^1 ! + ... + i y« !

unter einer festen Schranke K bleibt, so bilden auch die Zahlen

-\ = ^^O^n + ^1 yn-1 + • • • + ^n 3^0 eine Nullfolge. (Zum Beweis hat man in Satz 4 nur Unv —yn-v zn setzen.)

10. Man wird bemerkt haben, daß es nicht wesentlich ist, daß die Zeilen des Schemas (A) in Satz 4 gerade hinter dem T^ten Gliede abbrachen. Es dürfen vielmehr die Zeilen irgendeine Anzahl von Gliedern haben. Ja, wenn wir erst die Grundzüge der Theorie der unendlichen Reihen besitzen werden, werden wir sehen, daß diese Zeilen sogar unendlich viele Elemente (uno, fl«i, ..., ünv , . . .) enthalten dürfen, sofern nur die sonst an das Schema gestellten Bedingungen erfüllt sind. Der hiermit angedeutete Satz wird S. 377 formuliert und bewiesen.

74 . n. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

§ 9. Die beiden Hauptkriterien.

Wir sind nun hinlänglich vorbereitet, um die eigentlichen Kon- vergenzprobleme in Angriff zu nehmen. Zwei Gesichtspunkte sind es hauptsächlich, unter denen vv^ir im folgenden die vorgelegten Zahlen- folgen untersuchen werden. Es ist vor allem das

Problem A: Ist eine vorgelegte Zahlenfolge (.v^J konvergent, he- 'stimmt oder ^mhestimmt divergent? (Kürzer: Welches Konvergenz- verhalten weist die Zahlenfolge auf?) — Und wenn sich nun eine Zahlenfolge als konvergent erwiesen hat, also die Existenz eines Grenzwertes gesichert ist, dann handelt es sich weiter um das

Problem B: Gegen welchen Grenzwert | strebt die als konvergent erkannte Zahlenfolge (^%J?

Ein paar Beispiele werden die Bedeutung dieser Probleme deutlicher machen: Sind z. B. die Folgen

«(^2-1)), («(i>,T-i)). {(i + i)"), ((i+-l

2 ' ■ ' * n\ usw

1 + 2» + 3^+^. . + n-\ /l + ^ + . . . + ^

\ log n

vorgelegt, so erkennt man bei einiger Vertiefung in den Bau dieser ( Folgen, daß hier stets zwei (oder mehr) Kräfte sozusagen gegen- I einander wirken und dadurch die Veränderlichkeit der Glieder hervor- I rufen. Die eine Kraft will sie vergrößern, die andere verkleinern, und es ist nicht ohne weiteres zu sehen, welche den Ausschlag gibt oder in welchem Maße dies der Fall ist. Jedes Mittel, das uns in- stand setzt, über das Konvergenzverhalten vorgelegter Zahlenfolgen zu entscheiden, nennen wir ein Konvergenz- bzw. Divergenzkriterium; sie dienen also zur Lösung des Problems A.

Das Problem B ist im allgemeinen viel schwieriger. Ja, man könnte fast sagen, daß es unlösbar — oder aber trivial ist. Letzteres, weil ja durch eine konvergente Zahlenfolge [xj nach Satz 41, 1 der Grenzwert ^ völlig eindeutig erfaßt ist und also durch die Folge selbst als „gegeben" angesehen werden kann (vgl. die Fußnote zu 41, 1). Wegen der unübersehbaren Vielgestaltigkeit der Zahlen- folgen ist diese Auslegung aber wenig befriedigend. Wir werden den Grenzwert | vielmehr erst dann als „bekannt" ansehen wollen, wenn wir einen Dedekindschen Schnitt oder noch besser eine Intervall- schachtelung, z. B. einen Systembruch, speziell einen Dezimalbruch vor uns haben. Besonders diese letzteren sind und bleiben uns die vertrautesten Darstellungsformen reeller Zahlen. Fassen wir das Pro-

46. § 9. Die beiden Hauptkriterien. 75

blem so auf, so können wir es als die Frage nach der numerischen Berechnung des Grenzwertes ansehen^).

Diese praktisch hoch bedeutungsvolle Frage ist theoretisch meist ziemhch gleichgültig, denn vom theoretischen Standpunkt aus sind alle Darstellungsformen einer reellen Zahl (Schachtelung, Schnitt, Zahlenfolge, . . .) völlig gleichberechtigt. Beachtet man noch, daß die Darstellung einer reellen Zahl durch eine Zahlenfolge als die allgemeinste Darstellungsart angesehen werden kann, so kann nun das Problem B präzisiert werden zu dem

Problem B': Es sind zwei konvergente Zahlenfolgen [x^^ und (x^) vorgelegt, — wie läßt sich feststellen, ob beide denselben Grenz- wert definieren, bzw. ob beide Grenzwerte in einer einfachen Be- ziehung zueinander stehen?

Ein paar Beispiele sollen auch diese Fragestellung noch erläutern: 45.

1. Es sei

1 + - und ^,/= 1 +

Beide Folgen werden sich (s. u. S. 77 u. 185) ziemlich leicht als konvergent zu erkennen geben. Aber etwas tiefer liegt die Tatsache, daß, wenn ^ der Grenz- wert der ersten Folge ist, der der andern — ^^ ist. 2. Es sei die Folge

i 1 I IZ ^

T' 2"' 5^' 12' 29' •■•

vorgelegt, bei der der Zähler jedes neuen Bruches dadurch gebildet wird, daß man zum verdoppelten Zähler des vorangehenden Bruches den Zähler des zweitvorangehenden Bruches addiert (z.B. 41=2-17 + 7), — und ebenso für die Nenner. — Die Konvergenzfrage wird' wieder keine Schwierigkeiten machen, auch die numerische Berechnung nicht, — wie aber erkennt man, daß der Grenzwert =^2 ist? 3. Es sei

l_i + i_i+... + (ziö (.= 1,2,...)

und Xn sei der Umfang eines regulären «-Ecks, das einem Kreise mit dem Radius 1 einbeschrieben ist. Auch hier werden sich leicht beide Folgen als konvergent erkennen lassen. Sind nun ^ und ^' die Grenzwerte, — wie er- kennt man, daß hier |^' = 8-|^ ist?

Diese Beispiele machen es hinreichend wahrscheinHch, daß das Problem B bzw. B' erheblich schwerer anzugreifen ist als das Pro- blem A. Wir beschäftigen uns daher zunächst ausschheßHch mit diesem, und wollen zunächst zwei Kriterien kennen lernen, aus denen sich dann alle andern werden herleiten lassen.

I. Hauptkriterium (für monotone Folgen). 46,

Eine monotone und beschränkte Zahlenfolge ist stets kon- vergent; eine monotone und nicht beschränkte Zahlenfolge ist

^) Numerische Berechnung einer reellen Zahl = Darstellung derselben durch einen Dezimalbruch. Näheres darüber im VIII. Kapitel.

7ö 11. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

stets bestimmt divergent. (Oder also: Eine monotone Folge verhält sich stets bestimmt, und zwar ist sie dann und nur dann konvergent, wenn sie beschränkt, dann und nur dann divergent, wenn sie nicht beschränkt ist. Und im letzteren Falle wird die Divergenz gegen -f- oc oder — oo stattfinden, je nachdem die monotone Folge steigt oder fällt.)

Beweis. a) Es sei (x^ monoton wachsend und nicht be- schränkt. Da sie dann wegen x^^ ^ X-^ sicher nach links beschränkt ist, so kann sie nicht nach rechts beschränkt sein, und es gibt also nach Wahl einer beliebigen (großen) positiven Zahl G immer noch einen Index n^, für den

^no > G ausfällt. Dann ist aber, wegen des monotonen Wachsens, für alle n > n^ um so mehr x^ > G, so daß nach Def. 40, 2 tatsächlich x^^-> -^ oc strebt. Durch Vertauschung von rechts und hnks erkennt man ganz ebenso, daß eine monoton fallende und nicht beschränkte Folge gegen — cc divergieren muß. Damit ist schon der zweite Teil des Satzes bewiesen.

b) Es sei jetzt [x^^ monoton wachsend, aber beschränkt. Dann gibt es eine Zahl K, so daß stets \x^^\^K, also auch stets

^1 < ^n < ^

bleibt. In dem Intervall J^^ x^ . . . K liegen also alle Glieder von (xj; auf dieses Intervall wenden wir nun die Halbierungsmethode an: Wir bezeichnen die rechte oder die linke Hälfte von J^ mit J^, je nach- dem in der rechten Hälfte noch Punkte von {x^ liegen oder nicht. Bei /^ wählen wir nach derselben Regel eine Hälfte aus, nennen sie L, usw. Die Intervalle der so entstehenden Schachtelung haben dann die Eigenschaft^), daß rechts von ihnen kein Punkt der Folge mehr Hegt, in ihnen aber mindestens noch einer gelegen ist. Oder: die (monoton nach rechts vorrückenden) Punkte der Fqlge dringen zwar noch in jedes Intervall hinein, aber nicht mehr aus ihm heraus; in einem jeden der Intervalle hegen also von einem passenden Index an alle Punkte der Folge. Wir können also, indem wir uns die Zahlen n^, n,,, . . . geeignet gewählt denken, sagen:

In J^ Hegen alle x^ mit n > n^, aber rechts von J^ liegt kein x^^ mehr.

Ist nun I die durch diese Schachtelung (/J bestimmte Zahl, so läßt sich sofort zeigen, daß a;„ -> | strebt. Ist nämlich e > 0 gegeben, so bestimme man den Index p, so daß die Länge von /^^ kleiner als e ist. Für n>n^ Hegen dann neben | auch alle x^^ in /^, so daß für diese n \x^^ — ^\ < e

sein muß; (x^^ — ^) ist also eine iVullfolge, es strebt x^->^, w. z. b. w.

^) Man veranschauliche sich den Sachverhalt auf der Zahlengeraden!

Mß^ §9. Die beiden Hauptkriterien. 77

Vertauscht man in diesem Beweise sinngemäß rechts und links, so ergibt sich, daß auch eine monoton fallende und beschränkte Folge stets konvergent sein muß. Damit ist dann der Satz in allen Teilen bewiesen.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Wir erinnern zunächst daran, daß (vgl. 41, 2) trotz Xn \ < I< für den Grenzwert | die Gleichung \^\=K gelten kann.

2. Es sei

-i ^ 4- — ^- + . . . + -L ' (w = 1, 2. . . .).

n^l ^ n + 2^ ^ 2n \ ^ J

Diese Folge (x„) ist wegen

_ _ 1 ,„1 L_= Jl- _ L_>o

^n + i ^»~2,i-{-l 2m + 2 n + 1 2'n+l 27? +2

monoton wachsend und wegen Xn<n rT <^ ^"^^ beschränkt. Sie ist

also konvergent. Von ihrem Grenzwert ^ weiß man zunächst nur, daß für jedes n

X <f £ <\

on

ist, was für w = 3 z. B. |^<^-<1 ergibt. Ob er einen rationalen Wert hat,

DU

oder ob ^ zu einer in irgendeinem andern Zusammenhang auftretenden Zahl in naher Beziehung steht — kurz: eine Antwort auf das Problem B -— ist hier nicht ohne weiteres zu sehen. Später werden wir sehen, daß t gleich dem natürlichen Logarithmus von 2 ist.

3. Es sei Ar,,= (^l+| + |-+.-. + ^), so daß die Folge {x^) monoton wachsend ist (vgl. 6, 12). Ist sie beschränkt oder nicht? — Ist G>0 be- liebig gegeben, so wähle man w>2G; dann ist für w>2

Die Folge ist also nicht beschränkt und divergiert daher -► — OO .

4. Besonders wichtig sind die beiden Folgen mit den Gliedern

1 + i) und y„ = (^l + -j (..= 1,2,3,...).

Es ist nicht ohne weiteres zu sehen (vgl. die allgemeine Bemerkung S. 74), wie sich die Folgen bei zunehmendem n verhalten.

Wir wollen zunächst zeigen, daß die zweite Folge monoton fällt, daß also für w > 2

y„_i > yn oder (l -r ^^^l^) > (^ "^ n^ ist. Diese Ungleichung ist nämlich gleichbedeutend mit

n oder mit

78 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Die Richtigkeit dieser Ungleichung ist aber evident, da nach der Bernoulli- schen Ungleichung 10, 7 für a > — 1 und h > 1 stets

(l-!-a)">l + wa, also speziell

■i+^Y'>i+W>i + "=i+-

ist. Da überdies stets y„ > 1 ist, so ist die Folge (y„) monoton fallend und beschränkt, also konvergent. Ihr Grenzwert wird weiterhin oft auftreten- er wird seit Eitler mit dem besonderen Buchstaben e bezeichnet i). Über seinen Zahlenwert folgt zunächst nur, daß 1 < e < y„ ist, was für m = 5 z.B.

6«

liefert.

Die erste unserer beiden Folgen dagegen ist monoton steigend. In der Tat bedeutet ^„_i<^„, daß

oder also daß

1 ^-l

i+±

■ + ^J <|-T

n — \

j_2_ /w2-l\« /. 1

d. h. daß

1-

n \ n^ J \ n^

sein soll. Nun ist aber, wieder nach 10, 7, für n > 1 tatsächlich stets

n^ J w n

Die Folge {xn) ist also monoton wachsend. Da aber unter allen Umständen

ist, so ist auch stets Xn<Cyi , d- h- (-^«) ist auch beschränkt, und also konvergent. Da endlich die Zahlen

i+iy.(i+i_i)=±.'„

n J \ n 1 n

positiv sind und (nach 26,1) eine Nullfolge bilden, so ergibt sich zunächst, daß {xr) denselben Grenzwert wie (y„) hat. Es ist also

lim Xn = lim y„ = e . Und für diese Zahl e haben wir überdies nach allem Bewiesenen in

e=(*-nl2/n)= 1 +

i)%^-T')

eine sie erfassende Intervallschachtelung. (Sie liefert z. B. für w = 3 die Un- gleichung — <C ß <! -^^ ; doch werden wir später (§ 23) andere gegen e kon-

27 ol

^) Euler benutzt diesen Buchstaben zur Bezeichnung des obigen Grenz- wertes zuerst in einem Briefe an Goldbach (25. Nov. 1731) und im Jahre 1736 in seinem Werk: Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II, S. 251.

47, § 9- Die beiden Hauptkriterien. 79

vergierende Zahlenfolgen kennen lernen, die für die numerische Berechnung geeigneter sind.)

5. Ist o = {Xn\yn) eine beliebige Intervallschachtelung, so bilden die linken und die rechten Intervallenden je eine monotone, beschränkte und also konvergente Zahlenfolge. Es ist dann

lim x,^ = lim y,, = {xn\y„)=o .

Die Fruchtbarkeit des 1. Hauptkriteriums liegt vor allem darin begründet, daß es aus sehr wenigen und meist sehr leicht zu verifi- zierenden Voraussetzungen — nämUch allein aus der Monotonie und Beschränktheit — die Konvergenz einer Zahlenfolge zu erschließen ge- stattet. Andrerseits aber bezieht es sich doch nur auf eine spezielle, j wenn auch besonders häufige und wichtige Art von Folgen, und er- i scheint darum theoretisch unzulängUch. Wir werden deshalb nach einem Kriterium fragen, welches ganz allgemein über das Konvergenz- verhalten einer Zahlenfolge zu entscheiden gestattet. Das leistet das folgende

ojl. Hauptkriterium (I.Form). 47.

Eine beliebige Zahlenfolge {xj ist dann und nur dann kon- vergent, wenn sich nach Wahl von £>0 stets eine Zahl % = nQ[e) so angeben läßt, daß für irgend zwei Indizes n tmd n', die beide ober- halb n^ liegen, immer

ausfällt. — Wir geben zunächst einige

Erläuterungen und Beispiele.

1. Die Bemerkungen 10, 1, 3, 4 und 9 gehen sinngemäß auch hier, und es empfiehlt sich, sie daraufhin noch einmal durchzulesen.

2. Das Kriterium besagt — anschaulich gesprochen — : alle Xn mit sehr hohen Indizes sollen sehr dicht beieinander liegen.

3. Es sei A'o=0, x^ = \ und nun jedes folgende Glied das arithmetische Mittel zwischen den beiden vorausgehenden, also für « ^ 2

so daß ATg = I , ^3 = 1, ^4 = i , • • • wird. Bei dieser ersichtlich nicht monotonen Folge ist einerseits klar, daß der Abstand zweier aufeinander folgender Glieder eine Nullfolge bildet; denn man bestätigt ganz leicht durch Induktion, daß

X , — x == ^~ ■ ist^) und also -► 0 strebt. Andrerseits liegen zwischen

diesen aufeinander folgenden Zahlen auch alle weiterhin folgenden. Wählt man

1) Für w = 0 und 1 ist dies richtig. Aus ^;^-j.2~^'a; + i'= o~ ' o '

folgt dann die Richtigkeit für w = Ä + 1 , falls sie schon für alle n^h fest- gestellt ist.

80 n. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

also, nachdem nur £ >> 0 vorgeschrieben wurde, p so groß, daß ^^ e ist so ist

\Xn—Xn'\ <e,

wenn nur n und n' "^p sind. Nach dem 2. Hauptkriterium wäre die Folge (x^)

also konvergent. Auch ihr Grenzwert ^ ist hier zufällig ziemlich leicht an-

2 zugeben. Nach einiger Überlegung vermutet man nämlich, daß ,^ = ^ ist. In

der Tat beweist sich die Formel

_ 2 _ 2 (-lf + ^

""" 3-3- 2"'

sofort durch Induktion, und diese zeigt, daß (^Xn — o) wirklich eine Nullfolge ist.

Ehe wir uns nun weiter in die Bedeutung des 2. Hauptkriteriums vertiefen, geben wir seinen

Beweis, a) Daß die Bedingung des Satzes — wir wollen sie kurz seine 6 -Bedingung nennen — notwendig ist, daß sie also, wenn (xj konvergent ist, stets erfüllt werden kann, erkennt man so: Strebt ^^->|, so ist {x^^ ~ i) eine Nullfolge; bei gegebenem e>0 kann

man also n^ so wählen, daß für

Ist dann neben n auch n' > n^, so ist auch |.t„'

!^n - ^«'1 = \{^n - ^) - i^n' - ^)\ £ l^,

womit dieser Teil des Satzes schon bewiesen ist.

b) Daß die e-Bedingung auch hinreichend ist, ist nicht ganz so leicht zu erkennen. Wir beweisen es wieder konstrukdv, indem wir aus der Zahlenfolge (xj eine Intervallschachtelung {Jj herleiten und dann zeigen, daß die dadurch bestimmte Zahl der Grenzwert der Zahlenfolge ist. Das geschieht so:

Nach Wahl eines jeden e > 0 soll immer \x^^ — Xn'\ < e sein, wenn nur die Indizes n und n' beide einen hinreichend hohen Wert übersteigen. Denkt man sich den einen von ihnen festgehalten und mit p bezeichnet, so kann man auch sagen: Nach Wahl von £ > 0 läßt sich immer noch ein Index -p (und zwar so weit rechts liegend wie wir wollen) so angeben, daß für alle n > p stets

ist. Wählen wir nun der Reihe i^ach e = - , . , . . ., — ^, ... so haben wir:

1) Es gibt einen Index p^, so daß

für alle n > p^ stets \x^^ — Xp^\ < ^ ist.

2) Es gibt einen Index p^, den wir :^ p^ annehmen dürfen, so daß

für alle n > p^ stets \x^^ — Xp^ < ,^., ist.

n > n^ stets	'w	^ —	■f|	^ 2	ist.
t auch \xn' —	^ 1	<	8 2"	und	also
.-f! + k»'-	-^1	•<	2	+ 1	= e,

48. §9. Die beiden Hauptkriterien. 81

k) Es gibt einen Index p^, den wir >p^_^ annehmen dürfen, so daß *

für alle n > f^ stets \x^^ -^Pi}<'^ i^^- Demgemäß bilden wir die Intervalle /^:

1) Das Intervall Xp^ — \ ... Xp^ + \ heiße /^; es enthält alle x^ mit n>p-^, also speziell den Punkt Xp^. Es enthält daher ganz oder teilweis das Intervall Xp^ — i • • • ^p^ + i ' i'^ welchem alle x^^ mit n>p^ Hegen. Da diese Punkte auch in /^ liegen, so liegen sie in dem beiden Intervallen gemeinsamen Stück. Dieses gemeinsame Stück be- zeichnen wir

2) mit /^ und können sagen: J^ liegt in /^ und enthält alle Punkte x^^ mit n> p^. Ersetzt man in dieser Herleitung sinngemäß p^ und p^ durch ^^_^ und /),. und bezeichnet also

k) mit /^ das Stück des Intervalles Xp ^^ ... Xp^-{ ^ , das

in ]^_^ liegt, so können wir sagen: /^ liegt in ]^_^ und enthält alle Punkte x^ mit n ^ p^.

Dann ist aber (/^) eine Intervallschachtelung; denn jedes Inter- vall liegt im vorangehenden und die Länge von /^ ist ^ — - .

Ist nun I die hierdurch bestimmte Zahl, so behaupten wir end- lich, daß

Strebt. In der Tat, ist jetzt ein beliebiges e > 0 gegeben, so wählen

2 wir einen Index r so groß, daß — < e ist. Dann ist aber

für ny-p^ stets \x^ — k\<E, da ja neben ^ selber auch alle x^^ mit n > p^ in /^, liegen und da dessen Länge < e ist. Damit ist alles bewiesen^).

Weitere Beispiele und Bemerkungen.

1. Die Folge 45, 3 wird nun leicht als konvergent erkannt. Denn es 48« ist hier, wenn w' >■ w ist,

''"'"''""- W-M "2^+3+ ••• -2^7+T Faßt man innerhalb der Klammer je zwei aufeinander folgende Summanden zusammen, so erkennt man (vgl. später 82, 9), daß ihr Wert positiv ist, daß also

I ^»' - ^« I = 7^ TT - 7^ — rr: + • • • ±

2w + l 2w + 3 — 2w'-}-l *

^) Für dieses grundlegende 2. Hauptkriterium werden wir noch andere Beweise kennen lernen. Der vorstehende Beweis geht unmittelbar auf die Er- fassung des Grenzwertes mit Hilfe einer Intervallschachtelung aus, — Eine Kritik früherer Beweise des Kriteriums findet man bei A. Pringsheim (Sitzungsber. d. Akad. München, Bd. 27 (1897), S. 303).

Knopp, Unendliche Reihen. 6

82 IL Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Läßt man jetzt das erste Glied für sich stehen und faßt dann erst je zwei aufeinander folgende Summanden zusammen, so erkennt man weiter, daß

ist. Es ist also ' xn' — x„' <^^e, sobald n und n' beide > -- sind. Die Folge ist also konvergent.

2. Ist A',, = (^1 +--f . . . -f -j , so sahen wir schon 46, 8, daß (a'„) nicht konvergent ist. Mit Hilfe des 2. Hauptkriteriums folgt dies daraus, daß die «-Bedingung für ein f < - nicht mehr stets erfüllbar ist. Denn wie man auch Wo wählen mag, für n > n^^ und n' = -2 n (also auch > n^) ist

also nicht <£. Die Folge ist daher divergent.

3. Das vorige Beispiel lehrt zugleich, daß das Gegenteil der Erfüllbarkeit der «-Bedingung dies ist (vgl. auch 10, 12): Nicht bei jeder Wahl von «>0, läßt sich n^ so angeben, daß nun die e- Bedingung erfüllt wäre; sondern bei einer speziellen Wahl dieser Zahl, etwa für den Wert Sq derselben, gibt es oberhalb jeder noch so großen Zahl n^ (also unendlich oft) zwei natürliche Zahlen n und w', für die

iXn" - Xn^,^eQ ist.

4. Das 2. Hauptkriterium wird im Anschluß an P. du Bois-Reymond (All- gemeine Funktionentheorie, Tübingen 1882) jetzt meist als allgemeinstes Kon- vergenzprinzip bezeichnet. Es stammt der Sache nach von B. Bolzano (1817, vgl. O. Stolz, Mathem. Ann. Bd. 18, 1881, S. 259), ist aber erst von A. L. Cauchy als formuliertes Prinzip an die Spitze gestellt worden (Analyse algebrique, S. 125).

Unserm Hauptkriterium kann man noch etwas andere Formen geben, die manchmal für die Anwendung bequemer sind. Wir denken uns dazu die Bezeichnung der Zahlen n und n' so gewählt, daß n' > n ist und also n' = n -j- k gesetzt werden kann, wenn k wieder eine natürliche Zahl bedeutet. Dann lautet das

^9^ °IL Hauptkriterium (Form la).

Die Folge (xj ist dann und nur dann konvergent, wenn sich nach Wahl von « > 0 immer eine Zahl n^ = n^ (e) so angehen läßt, daß nun für jedes n > n^ und jedes k^l stets

ausfällt.

Aus dieser Fassung des Kriteriums können wir noch weitere Schlüsse ziehen. Denkt man sich nämlich ganz willkürliche natürliche Zahlen k^, k^, . . ., k^, . . . ausgewählt, so muß nach dem vorigen für

n > Hq doch stets

C e

51, §9. Die beiden Hauptkriterien. 83

sein. Dies bedeutet aber, daß die Folge der Differenzen

eine Nullfolge bildet. — Um uns hier bequemer verständigen zu können, wollen wir die Folge (d^) kurz eine Differenzenfolge von [xj nennen. In ihr ist also d^^ die Differenz von x^^ gegen irgendein bestimmtes späteres Glied. Dann können wir unser Kriterium auch so formulieren:

o II. Hauptkriterium (2. Form). 50.

Die Folge (x^) ist dann und nur dann konvergent, wenn jede ihrer Differenzen folgen eine Nullfolge ist. '

Beweis. Die Notwendigkeit dieser Bedingung haben wir eben schon gezeigt; es muß noch bewiesen werden, daß sie hinreicht. Wir setzen demgemäß voraus, daß jede Differenzenfolge gegen Null strebt, und haben zu zeigen, daß [x^^ konvergiert, Wäre aber [x^^ divergent, so hieße das nach 48, 3, daß es bei Wähl einer speziellen Zahl Cq > 0 oberhalb jeder noch so großen Zahl n^^ immer noch (also unendlich oft) zwei Zahlen n und n' =^ n -\- k gäbe, für die die Differenz

ausfällt. Da dies unendlich oft der Fall sein müßte, so gäbe es also — entgegen der Voraussetzung — doch Differenzenfolgen, die nicht gegen 0 strebten^), (xj muß also doch konvergieren, w. z. b. w.

Bemerkung. Ist (x,i) konvergent und wählt man eine spezielle Diffe- renzenfolge ((i„), so strebt also sicher ^,j -> 0 . Dagegen sei ausdrücklich be- tont, daß aus dn^O allein noch nicht die Konvergenz von (xn) zu folgen braucht. Vielmehr ist es dazu erst hinreichend, wenn sich jede beliebige Diffe- renzenfolge (nicht nur eine spezielle) als Nullfolge erweist.

Ist z. B. die Folge (1, 0, 1, 0, 1, . . .) vorgelegt, so ist jede Differenzenfolge derselben eine Nullfolge, bei der alle kn (von einer Stelle ab) gerade Zahlen sind. Trotzdem ist die vorgelegte Folge nicht konvergent.

Indem wir die zuletzt erhaltene Fassung des Kriteriums noch ein wenig erweitern, können wir es endlich so formulieren:

^II. Hauptkriterium (3. Form). 5j^

Ist v^, v^, . . ., v^^, . . . irgendeine Folge natürlicher Zahlen^), die nur gegen -}- oo divergiert, und sind k^, k.^, . . ., k^^, . . . irgendwelche (also keinerlei Beschränkung unterworfene) natürliche Zahlen, und nennt man nun wieder die Folge der Differenzen

^) Denn bezeichnet man die unendlich vielen Werte von w, für die jene Ungleichung (bei jedesmal passender Wahl von k) möglich sein soll, mit «1 , n^^ n^^ .-. ., so gäbe es eine Differenzenfolge, deren w^tes^ n^^^^, «a*^^» • • • Glied absolut genommen ^ e^ >- 0 wäre. Diese könnte dann keine Nullfolge sein.

2) Gleich oder ungleich, monoton oder nicht.

6*

84 11. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

kurz eine Diflerenzenfolge von {x^^, so ist es für die Konvergenz von (x^ wieder notwendig und hinreichend, daß (^J jedesmal eine Nullfolge ist. Beweis. Daß diese Bedingung hinreichend ist, ist nach der vorigen Form des Kriteriums selbstverständlich, da (^J nun auch immer eine Nullfolge sein muß, wenn v^ = n gewählt wird. Und daß sie notwendig ist, ist auch sofort einzusehen. Denn ist ^ > 0 gewählt, so gibt es im Falle der Konvergenz von (a:J jedenfalls (s. Form 1 a) eine Zahl w, so daß für jedes n > m und jedes k'^1 stets

ist. Da nun 7> —»^ -\- oo divergiert, muß es eine Zahl w^ geben, so daß

für n > «0 stets v^^ > m ausfällt. Dann ist aber nach dem vorigen für n > n^ stets

d. h. (^J ist eine Nullfolge, w. z. b. w.

§ 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen.

Der Begriff der Konvergenz einer Zahlenfolge, wie wir ihn in den beiden vorangehenden Paragraphen festgelegt haben, gestattet noch eine zweite, etwas allgemeinere Behandlungsart, bei der wir gleichzeitig einige weitere für alles Folgende höchst wichtige Begriffe kennen lernen werden.

Schon in 39, 6 veranschaulichten wir uns die Tatsache, daß eine gegen | konvergierende Zahlenfolge (xj vorliegt, dadurch, daß wir sagten, in jeder (noch so kleinen) e-Umgebung von ^ müßten alle GHeder der Folge — von höchstens endhch vielen Ausnahmen ab- gesehen — gelegen sein. Es hegen also in jeder noch so kleinen Umgebung von i jedenfalls unendlich viele Glieder der Folge. Man nennt darum | einen Häufungswert der vorgelebten Folge. Solche Punkte können, wie wir gleich sehen werden, auch bei divergenten Zahlenfolgen vorhanden sein, und wir definieren darum ganz allgemein: 52. ODefinition. Eine Zahl ^ soll Hätifnngswert, Häufungspunkt

oder Häufungsstelle einer vorgelegten Zahlenfolge {xj heißen, wenn in jeder noch so kleinen Umgehung von | unendlich viele Glieder der Zahlenfolge gelegen sind; oder also, wenn es nach Wahl einer be- liebigen Zahl € > 0 immer noch unendlich viele Indizes n gibt, für die

ist.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Der Unterschied gegenüber der Definition 39 des Grenzwertes liegt, wie schon angedeutet, darin, daß \xn-^\<s nicht für alle n von einer Stelle an, sondern nur für irgendwelche unendlich vielen n erfüllt zu sein braucht, also insbesondere jenseits jeder Stelle n^ noch immer für mindestens ein n.

53.

53.

§ 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen.

85

Andererseits ist gemäß 39 der Grenzwert ^ einer konvergenten Folge {x„) stets ein Häufungswert derselben.

2. Die Folge 6, 1 hat die Häufungsstelle 0; 6,4 hat die Häufungs- punkte 0 und 1. (Jede Zahl, die unendlich oft in einer Folge (x^) auftritt, ist also eo ipso ein Häufungswert derselben.) 6, 2, 7 und 11 haben keinen Häufungswert; 6, 9 und 10 haben den Häufungswert 1.

3. Wir bilden jetzt ein Beispiel von mehr als illustrativer Bedeutung: Ist p eine natürliche Zahl ^2, so gibt es ersichtlich nur endlich viele positive Brüche, für die die Summe aus Zähler und Nenner = p ist, nämlich die Brüche

^ ~ , ^ ~ , . . ., . Von diesen denken wir uns alle diejenigen gestrichen,

1 2 P ~ ^

die sich kürzen lassen, und reihen nun die so für /)=2,3,4,...zu bildenden Brüche aneinander. Dadurch erhält man eine mit

3' ' 2' 3' 4' •"

(a)

1, 2,

..-

beginnende Zahlenfolge, die alle positiven rationalen Zahlen enthält. Fügen wir hinter einen jeden dieser Brüche den entgegengesetzten Wert ein und stellen die 0 voran, so treten in der entstehenden Zahlenfolge

(b) 0, 1, -1, 2, -2, i -i, 3, -3, i, -i 4, -4,

"2' ""2"' 3' 3' 4' '•* ersichtlich alle rationalen Zahlen und eine jede genau einmal auf.

Für diese merkwürdige Zahlenfolge ist nun jede reelle Zahl ein Häufungs- wert, denn in jeder Umgebung jeder reellen Zahl liegen unendlich viele ratio- nale Zahlen (vgl. S. 11).

4. Das hier benutzte Anordnungsprinzip werden wir häufiger gebrauchen. Wir formulieren es darum etwas allgemeiner : Für ä = 0 , 1 , 2 , . . . sei je eine Zahlenfolge

x^^\ x\^\ x},'\ ... (Ä = 0,1,2,...)

vorgelegt. Dann kann man auf mannigfache Weisen eine Zahlenfolge (xn) bilden, die jedes Glied einer jeden dieser Folgen und ein jedes genau einmal enthält.

Der Beweis besteht einfach gibt, die das Verlangte leistet. zeilenweise untereinander :

.(0)

,{0)

0 •

.(1)

darin Dazu

.(0)

daß man eine Zahlenfolge (;v„) an- schreiben wir die gegebenen Folgen

.(0)

.(1)

^.

(1)

n

.(1)

.{k)

Jk)

Ak)

Ak)

Dann stehen in derjenigen „Schräglinie" dieses Schemas, die das Element

{k)

mit dem Element x^^' verbindet, alle Elemente x^^' , für die k-\-n = p ist.

^Q ..p . , ^ ,

und nur diese. Ihre Anzahl ist = ^ + 1 . Diese Glieder reihen wir f ür p = 0 , 1 , 2 , . . . aneinander, jede vSchräglinie etwa von unten nach oben durchlaufend. So ent- steht die Folge

.(0)

.(1)

.(0)

(2)

.(1)

.(0)

.(3)

.(2)

^Q 1 '^O ' 1 ' 0 '

die ersichtlich das Verlangte leistet.

[Anordnung nach Schräglinien).

86 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Eine andere oft benutzte Anordnung ist die „nach Quadraten". Hierbei schreibt man erst die Elemente xlf\ x^^\ ..-., .r^^) der /)*^" Zeile, dann die im obigen Schema senkrecht über x^^^ stehenden Elemente Ar^^~^\ ..., x^'^^ auf. Reiht man nun diese Gruppen von je 2/^-^1 Gliedern für /> = 0, 1 2, . . . aneinander, so entsteht die mit

■ -r. 4\ -1". "f, -f. -r, .vf, .<•), ,,.f, ,r<^ ...

beginnende Anordnung nach Quadraten.

Bestehen einige oder alle Zeilen des obigen Schemas nur aus je endlich vielen Gliedern, oder besteht das Schema nur aus endlich vielen Zeilen, so erfahren die beschriebenen Anordnungsarten eine leichte, sofort zu übersehende Modifikation.

5. Ein zu 3. ähnliches Beispiel ist dieses: Für jedes p>2 gibt es nur

genau p — l Zahlen der Form H , für die die Summe der natürlichen

k m Zahlen k und m gleich p ist. Denken wir uns diese für /^ = 2, 3, 4, ... an- einandergereiht, so entsteht die Folge

,.334455^

' 2' "2- 3' ' 3' "4"' 6"' 6"' '••■

Man findet, daß diese die Häufungswerte 0, 1, -7-, , , ... und keine

Z o 4 andern besitzt.

6. Wie der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge, so brauchen auch die Häufungswerte einer beliebigen Folge nicht selbst in der Folge aufzu- treten. So gehören in 3. die irrationalen Zahlen und in 5. die 0 gewiß nicht zu der betreffenden Folge. Dagegen ist in beiden Fällen z. B. \ sowohl Häufungswert als auch Glied der Folge.

Grundlegend für unsere Zwecke ist nun der schon von B. Bolzano ^) ausgesprochene, in seiner Bedeutung erst von K. Weierstraß") voll erkannte

54. o Satz. Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt mindestens einen Häii-

fungswert.

Beweis. Wir erfassen die fragliche Zahl wieder durch eine pas- sende Intervallschachtelung. Nach Voraussetzung gibt es ein Intervall /^, in dem alle Glieder der gegebenen Folge {x^^ gelegen sind. Auf dieses wenden wir die Halbierungsmethode an und nennen seine linke oder seine rechte Hälfte J^, je nachdem schon in seiner linken Hälfte unendlich viele Glieder der Folge liegen oder nicht. Nach derselben Regel bezeichnen wir dann eine bestimmte Hälfte von J^ mit J^, usw. Die Intervalle der so entstehenden Schachtelung (/^) haben dann alle die Eigenschaft, daß in ihnen unendHch viele Glieder der Folge liegen, während links von ihrem linken Endpunkt jedesmal nur endhch viele Punkte derselben liegen können. Der erfaßte Punkt |

Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß ..., Prag, 181' In dessen Vorlesungen.

57« § 10- Häuf ung-s werte und Häufungsgrenzen. 87

ist offenbar Häufungswert; denn ist e > 0 beliebig gegeben, so wähle man aus der Folge der Intervalle / eines aus, etwa / , dessen Länge < e ist. Die unendlich vielen Glieder der Folge {x^^), die dem « Intervall / angehören, liegen dann von selbst auch in der e-Umgebung von ^, — womit schon alles bewiesen ist.

Die Ähnlichkeiten in der Definition von Häufungswert und Grenz- wert begründet natürlich trotz des in 53, 1 betonten Unterschiedes beider („jeder Grenzwert ist zugleich Häufungswert, aber nicht um- gekehrt*') auch eine gewisse Verwandtschaft beider. Diese findet ihre Klärung in dem folgenden

°Satz. Jeder Häufungswert einer Folge (x^ kann als Grenzwert 55. einer passenden Teilfolge derselben angesehen werden.

Beweis. Da bei jedem e > 0 für unendlich viele Indizes \x^^ — 1 1 < e ist, so ist für ein passendes n = k^ insbesondere \x}i;^ — |^| < 1; für ein passendes n = k.^ > k^, ebenso \x];^ — ^\ <,\, und allgemein für ein passendes n = ^^ > kv-\

\^K-^\<\ (^ = 2, 3, ...).

Für die hierdurch herausgehobene Teilfolge {x^')'^{xi^) strebt dann ^n^L weil [xjc^ — ^) nach 26,2 eine Nullfolge bildet.

Der Beweis des Bolzano-Weierstraßschen Satzes gibt noch zu einer weiteren sehr wichtigen Bemerkung Anlaß: Die Intervalle / der dort konstruierten Schachtelung hatten nicht nur die Eigenschaft, daß in ihnen stets unendlich viele Glieder der Folge (:\;^J lagen, son- dern, wie betont, noch die weitere, daß Hnks vom linken Endpunkt eines bestimmten der Intervalle immer nur endlich viele Glieder der Folge lagen. Hieraus folgt aber sofort, daß links von dem erfaßten Häufungswert | kein weiterer Häufungswert gelegen sein kann. Wählt man nämlich irgendeine reelle Zahl |' < ^, so wäre « = i(^ — |') > 0; und wenn wir nun ein Intervall / auswählen, dessen Länge < e ist, So läge die ganze 6 -Umgebung des Punktes |' links vom linken End- punkt des Intervalles / und kann also nur endlich viele Glieder der Folge enthalten. Kein links von | gelegener Punkt |' kann also noch ein Häufungspunkt der Folge (x^^ sein, und wir haben den

Satz, Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt einen wohlbestimmten 56. kleinsten Häufungswert.

Vertauscht man in diesen Betrachtungen sinngemäß rechts und links, so erhält man^) ganz entsprechend den

Satz. Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt einen wohlbestimmten 57. größten Häufungswert").

^) Oder durch Spiegelung am Nullpunkt.

2) Diese Sätze sind wieder nur in dem Falle nicht selbstverständlich, daß

88 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

Diese beiden speziellen Häufungswerte wollen wir durch eine be- sondere Benennung auszeichnen:

58« Definition. Der kleinste Häitfungswert einer (beschränkten) Zahlen-

folge soll deren untere Häufungsgrenze, ihr unterer Limes oder ihr Limes inferior genannt werden. Bezeichnet man ihn mitx, so schreibt man

liYnx^ = x oder lim inf jt;^^ = ?^

{ev. unter Fortlassung des Zusatzes „n->oü"). Ist ju der größte Häufungswert der Folge, so schreibt man

lim x^^ = ju oder lim sup x^^ = ju

und nennt ju die obere Hau fangs grenze, den oberen Limes oder den

Limes sup er lor der Folge {x^. Es ist notwendig stets x -^ fx.

Da in jeder e-Umgebung des Punktes x unendlich viele Gheder der Folge (x^ Hegen, da andererseits links vom linken Endpunkt einer solchen Umgebung nur endlich viele Glieder der Folge liegen dürfen, so ist x (bezw jj) auch durch folgende Bedingungen cha- rakterisiert:

59. Satz. Die Zahl x (bzw. ju) ist dann und nur dann untere (bzw. obere) Häufungsgrenz5 dzr Folge (x^, wenn nach Wahl eines beliebigen € > 0 doch noch für unendlich viele n die Unieichung

x^<K-\- e (bzw. > ju — e),

dagegen für höchstens endlich viele n die Ungleichung

x^< K — e [bzw. > fx-\- e) erfüllt ist^).

Ehe wir hierzu noch einige Beispiele und Erläuterungen geben, ergänzen wir unsere Festsetzungen noch für den Fall nicht beschränkter Zahlenfolgen.

60. Definitionen. 1. Ist eine Folge nach links nicht beschränkt, so wollen wir sagen, es sei — oo ein Häufungswert derselben; und ist sie nach rechts nicht beschränk: , so wollen wir -\~qo einen Häufungswert derselben nennen. In diesen Fällen besitzt die Folge, wie groß auch die Zahl G > 0 gewählt wird, immer noch unendlich viele Glieder unterhalb — G bzw. oberhalb -]- G 2) .

die Folge [x^ unendlich viele Häufungswerte hat, wie z. B. die Folge 53,5. Denn unter endlich vielen Werten müßte ja eo ipso ein kleinster und ein größter vorhanden sein.

^) Oder: von einer Stelle n^ ah ist nie mehr Xn<C.^ — s O^ + c); dagegen ist jenseits jeder Stelle n^ immer wieder einmal Xn <C^ -\- s (;> /n — s) .

2) Es spielt hier also — und ebenso bei den folgenden Festsetzungen — der rechts von + G gelegene Teil der Zahlengeraden die Rolle der £-Umgebung von +00, der links von — G gelegene Teil die der ^-Umgebung von — oo.

61.

§ 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen.

89

2. Ist also die Folge {xj nach links nicht beschränkt, so ist — oo eo ipso ihr kleinster Häufungswert, so daß wir

7i = lim r = — oü

setzen müssen. Ebenso müssen wir

lu=.\imx^ = -\-(X)

setzen, ialls die Folge nach rechts nicht beschränkt ist. Es ist dann, wie auch G > 0 gewählt wird, stets für unendlich viele Indizes x^< —G bzw. Xn> -^G.

3. Wenn endlich die Folge nach rechts nicht beschränkt ist und (außer -]- oo) sonst keinen Häufungspunkt hat, so ist -|- oo nicht nur ihr größter, sondern zugleich auch ihr kleinster Häufungswert, und wir werden daher aiich ihren unteren Limes =-j-oo setzen:

K = lim = 4"^^'

M->+00

und entsprechend wird man den oberen Limes = — oo, also

fx = lim = — oo

setzen müssen, wenn die Folge nach links nicht beschränkt ist und (außer — oo) sonst keinen Häufungswert hat. Der erste (bzw. zweite) Fall liegt dann und nur dann vor, wenn nach Wahl einer beliebigen Zahl G > 0 für unendlich viele n die Ungleichung

x^> G {bzw. x^^< — G), dagegen für höchstens endlich viele n die Ungleichung

erfüllt ist. n \ n y

Beispiele und Erläuterungen. 1, Auf Grund aller getroffenen Festsetzungen definiert nun jede Zahlen- folge von sich aus und in völlig eindeutiger Weise zwei wohlbestimmte Zeichen, X und fi, die nun allerdings auch die Bedeutung + OO oder — oo haben können und die in der Größenordnung x^f^^) zueinander stehen. Und die nachfolgen- den Beispiele lehren, daß Pi und fx alle mit dieser Ungleichung ;< < ^ verträg- lichen endlichen oder unendlichen Werte auch tatsächlich haben können.

61.

	Denn für die Folge		ist
	yX-j^ , X^, X^, • • •)		" =	^ =
1.	(tz) = l,2,3, 4. ...		+ 00	+ 00
2.	{a-\-n^-'^^")-a+l, a + 2, a + -^,	fl + 4, ...	a	+ 00
3. 4.	( (-1)"\ 1,1 1	«^1,...	a a	b a
5.	((-1)«.«) = -!, +2, -3, +4, ..	.	— OO	-f OO
6.	(a-w(-l)") = a-l, a-2, a-^,	a-4, ...	-OO	a
7.	{-n)--\, -2, -3, ...		— oo	-OO

1) Von jeder reellen Zahl sagt man, sie sei < + oo und > — OO, und bezeichnet sie darum gelegentlich ausdrücklich als eine „endliche".

90 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

2. Man beachte besonders, daß es mit dem Satze 59 nicht im Wider- spruch steht, wenn links von y. oder rechts von /< unendlich viele Glieder der

Folge liegen. So ist z. B. für die Folge ((- 1)" '-^i) , also für die Folge

o 3 4 5 6

~^> ~2> — -g, T-^, — y, ... ersichtlich y. = ~\^ ^ = -f-l^ und es liegen so- wohl links von x als auch rechts von ^i unendlich viele Glieder der Folge (und zwischen x und f^i liegt kein Glied derselben!). Es brauchen also keineswegs außerhalb des Intervalles x . . . fi nur endlich viele Glieder der Folge zu liegen. Satz 59 besagt ja auch nur, daj3 links von x — e bzw. rechts von /t 4- ^ (bei positivem e) nur endlich viele Glieder der Folge liegen können,

3. „Endlich viele Änderungen" haben auf die Häufungswerte einer Folge, speziell auf deren beide Häufungsgrenzen x und i-i keinen Einfluß. Diese be- zeichnen also eine infinitäre Eigenschaft der Folge.

4. Da durch die Folge {x„) auch jede der beiden Zahlen x und /( völlig eindeutig bestimmt ist, und da ihr Wert ja auch im Anschluß an unsere Definition durch eine wohlbestimmte Intervallschachtelung erfaßt wurde, so haben wir hierin wieder ein neues legitimes Mittel, um reelle Zahlen zu definieren, zu bestimmen, zu geben: eine reelle Zahl ist hinfort auch als ,,ge- geben" anzusehen, wenn sie die untere oder obere Häufungsgrenze einer gegebenen Zahlenfolge ist. Dieses Mittel zur Bestimmung reeller Zahlen ist ersichtlich noch allgemeiner als das bei 41, 1 angegebene, weil jetzt die benutzte Zahlen- folge gar nicht konvergent zu sein braucht und überhaupt keiner Beschränkung mehr unterliegt^).

5. Wie man im Anschluß an 55 erkennt, gilt noch der folgende

Satz. Die obere Häufungsgrenze ju der Folge (x„), fx=limxn, ist auch durch folgende beide Bedingungen charakterisiert :

a) der Grenzwert ^' jeder aus (Xn) herausgehobenen konvergenten Teil folge (Xn) ist stets <ja; aber es gibt

b) mindestens eine solche Teilfolge, deren Grenzwert gleich /n ist; — und entsprechend für die untere Häufungsgrenzc.

6. Ein mit den Häufungsgrenzen verwandter, aber doch scharf von ihnen zu trennender Begriff ist der der oberen und unteren Grenze einer Zahlenfolge (;ir„), der sich durch folgende Bemerkung ergibt : Liegt rechts von ^ lim x^ kein Glied der Folge, ist also steis x„<u, so ist // eine obere Schranke (8,4) der Folge, — aber eine solche, die nun nicht mehr durch eine kleinere ersetzt werden kann. Es ist dann /i also die kleinste obere Schraitite. Eine solche gibt es aber auch, wenn ein Glied der Folge > ^a ist. Denn ist etwa x^, > n^ so gibt es nach 59 sicher nur endlich viele Glieder in der Folge, die ^x^, sind, und unter diesen notwendig (8,5) ein größtes, etwa x,^. Dann ist stets x^^x,,, d. h. Xf^ ist eine obere Schranke der Folge, — aber wieder eine solche, die durch keine kleinere ersetzt werden kann. Jede nach rechts beschränkte Zahlen- folge besitzt also eine wohlbestimmte kleinste obere Schranke. Da ebenso jede nach links beschränkte Zahlenfolge eine wohlbestimmtc größte untere Schranke haben muß, so sind wir zu folgender Erklärung berechtigt:

^) Während uns also zunächst die Intervallschachtelung als das einzige Mittel zur Erfassung reeller Zahlen gelten sollte, haben wir jetzt eine ganze Anzahl anderer Mittel daraus hergeleitet, die nun auch als legitime Mittel zu- gelassen sind: Die Systembrüche, der Dedekindsche .Schnitt, konvergente Zahlenfolgen, obere und untere Häufungsgrenze einer Folge. In allen diesen Fällen aber hatten wir gesehen, wie man sofort auch eine Intervallschachte- lung angeben kann, welche die betreffende Zahl erfaßt.

^3. >5 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen. 91

Definition. Als obere Grenze einer nach rechts beschränkten Zahlenfolge 62. bezeichnet man die nach den Vorbemerkungen stets bestimmte kleinste ihrer oberen Schranken, ebenso als untere Grenze einer nach links beschränkten Zahlenfolge die größte unter ihren unteren Schranken. Von einer nach rechts nicht beschränkten Zahleyifolge sagt man, ihre obere Grenze sei -fOO, von einer nach links nicht be- schränkten Folge entsprechend, ihre untere Grenze sei — OO.

7. Die Begriffe der unteren und oberen Häufungsgrenze rühren von A. L. Cauchy (Analyse algebrique, Paris 1821, S. 132) her, sind aber erst durch P. du Bois-Reymond (Allgemeine Funktionentheorie, Tübingen 1882) all- gemein bekannt geworden. Die Benennung und Bezeichnung schwankt bis auf den heutigen Tag. Die besonders bequeme, im Text benutzte Bezeichnug durch lim und hm ist von A. Pringsheim (Sitzungeber. d. Akad. zu München, Bd. 28, 1898, S. 62) eingeführt worden, von dem auch die Benennungen als unterer und oberer Limes herrühren. Die im Texte , benutzte ausführlichere Bezeichnung Häufungsgrenze soll nur den Unterschied zu der soeben definierten unteren und oberen Grenze stärker betonen.

Die bisherigen Untersuchungen dieses Paragraphen waren völlig unabhängig von den Konvergenzbetrachtungen der §§ 8 und 9 ge- halten und geben uns eben dadurch ein neues Mittel an die Hand, das Konvergenzproblem A aus § 9 anzugreifen. Es läßt sich zeigen, daß die Kenntnis der beiden Häufungsgrenzen x und /t einer Zahlen- folge — also die Kenntnis zweier Zahlen, deren Existenz von vorn- herein feststeht! — vollständig ausreicht, um über die Konvergenz oder Divergenz dieser Zahlenfolge zu entscheiden. Es gelten nämlich die Sätze

Satz 1. Die Zahlenfolge {x^^ ist dann und nur dann konvergent, 63, wenn ihre Häufungsgrenzen x und ii einander gleich find endlich sind. Ist 1 der gemeinsame (und also von -\- oq und — oo verschie- dene) Wert von x und /i, so strebt x^^-^/i.

Beweis, a) Es sei x = /u und ihr gemeinsamer Wert = X. Dann ist nach 59 bei gegebenem e für höchstens endlich viele n die Ungleichung

x^^ < X — e =^ k — e

und ebenso für höchstens endlich viele n die Ungleichung

erfüllt. Von einer Stelle n^ ab ist also stets

^ — e < x^^ < X -{- e oder \x^^ — ?. < e,

d. h. die Folge ist konvergent und X ihr Grenzwert.

b) Ist umgekehrt \\m.x^ = X, so ist nach Wahl von e>0 für alle n > n^ (e) stets X — e<x^<X-\-e. Es ist also für unendlich viele n die Ungleichung

x^ < X -\- € bzw. > X — €,

92 II. Kap. Reelle Zahlenfolgen

dagegen nur für höchstens endhch viele n die Ungleichung

a;^ < A — e bzw. > ^-\~ e erfüllt. Das eine besagt, daß x = ^, das andere, daß ju = X ist. Damit ist alles bewiesen.

^64. Satz 2. Die Zahlenfolge (%J ist dann und nur dann bestimmt

divergent, wenn ihre Häufungsgrenzen zwar einander gleich sind, ihr gemeinsamer Wert aber gleich + cx) oder — oo ist^). (Und im ersten Falle divergiert sie natürlich nach -|- csd, im zweiten nach — oo.)

Beweis, a.) Ist x =^ ju =-{- csd (bzw. =: — oo), so heißt dies nach 60, 2 und 3, daß nach Wahl von G > 0 von einer Stelle ab stets

^„ > + G (bzw. < — G) ist; es ist dann also limj\;^= -}- oo (bzw. = — oo).

b) Ist umgekehrt Hm a;^^ = -^ oo, so ist nach Wahl von G > 0 für alle n von einer Stelle ab stets ^,^ > + G; es ist also

für höchstens endlich viele n die Ungleichung x < -\- G erfüllt, während

für unendlich viele n die Ungleichung x^^> -{- G gilt. Das besagt aber nach 60, daß p^ = -j- oo und also von selbst auch ju = -\- oo ist. Es ist also x = ^u = -\~ oo. Und ganz ent- sprechend schHeßt man aus lim x^= — oo, daß x = ju = — oo ist.

65. Satz 3. Die Zahlenfolge (a;J ist dann und nur dann unbestimmt divergent, wenn ihre Häufimgsgrenzen voneinander verschieden sind.

Beweis. ci)lst x^fi, also x <C ju, so liegt weder die Situation des Satzes 1, noch die des Satzes 2 vor; es muß also (:vj dann not- wendig unbestimmt divergieren. Und ebenso:

b) Ist (a;J unbestimmt divergent, so liegt gleichfalls weder die Situation des 1. noch die des 2. Satzes vor, und es kann daher nicht X = ju sein.

Der Inhalt dieser drei Sätze liefert uns folgendes.

66. Ihnttes Hauptkriteriuni für das Konvergenzverhalten von Zahlen- folgen:

Die Folge {x^ verhält sich bestimmt oder unbestimmt, je nach- dem ihre Häufungsgrenzen einander gleich oder voneinander ver- schieden sind. Im Falle bestimmten Verhaltens ist sie konvergent oder divergent, je nachdem der gemeinsame Wert der Häufungsgrenzen endlich oder unendlich ist.

1) Daß man die vSymbole + oo und — OO , die ja gewiß keine Zahlen sind, gelegentlich doch als „Werte" anspricht, darf nur als eine (nicht wichtig zu nehmende) sprachliche Freiheit angesehen werden.

76,

11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche.

93

Über die Möglichkeiten im Konvergenzverhalten einer Zahlenfolge und über die dabei benutzten Bezeichnungen geben wir noch in folgender Tabelle eine Übersicht.

p< = ^, beide = A ^= + oo	x^jLi = + CO oder — oo	^ <|t*
konvergent (mit dem Grenzwert X) lim Xn = ^ (»->+ QO) (für w-> + oo)	divergent (ev. auch: konver- gent) gegen (oder: mit dem Grenzwert) + (X) bzw. — oo; beides: bestimmt divergent, lim ;ir,j = -|- oo bzw. — oo Xn->-\- OO bzw. — OO	unbestimmt divergent
konvergent
divergent
^	unbestimmtes Verhalten
bestimmtes Verhalten

§ 11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche.

Eine Zahlenfolge kann in der mannigfachsten Weise gegeben sein; die vielfachen bisher gegebenen Beispiele belegen dies hin- reichend. Doch war hierbei in den überwiegend meisten Fällen das w'* Glied x^ der Bequemlichkeit halber durch eine explizite Formel gegeben, die es direkt zu berechnen gestattet. Das ist aber bei den Anwendungen der Zahlenfolgen in allen Teilen der Mathematik keines- wegs die Regel. Hier bieten sich die zu untersuchenden Zahlenfolgen vielmehr meist indirekt dar; und zwar kommen dafür, neben mancherlei weniger wichtigen, vor' allem drei Arten in Betracht, die wir jetzt kurz besprechen wollen.

I. Unendliche Reihen. Das sind Zahlenfogen, die auf folgende Art gegeben werden. Es wird zunächst eine Zahlenfolge (uq, a^, . . .) auf irgendeine Weise (meist durch unmittelbare Angabe ihrer Glieder) vorgelegt, doch ohne daß sie selbst den Gegenstand der Untersuchung bilden soll. Aus ihr soll vielmehr dadurch eine neue Folge, deren Glieder wir nun mit s bezeichnen, hergeleitet werden, daß

Sq = a^; s^ = «Q -f a^ ; 5^ = ß^ + ^i + ^2 und allgemein

A?^ = ao + ai + f/2 + • ■ . + ««»i . (« = 0, 1, 2, . . .)

gesetzt wird. Und erst die Folge (sj dieser Zahlen soll den Gegen- stand der Untersuchung abgeben. Man gebraucht für diese Folge (s^) die Symbolik

a) aQ + ai-{-at-^ ... + an-\- '" 67, oder kürzer

b) ao + ^1 + ^2 + • • •

94 II. Kap. Reelle Zahlenfolg-en.

oder noch kürzer und prägnanter

und nennt dies neue Symbol eine unendliche üeihe: die Zahlen s bezeichnet man als ihre Teil- oder Partialsummen. — Wir können daher sagen:

68. o Definition. Eine unendliche Reihe ist ein neues Symbol für

eine bestimmte aus ihm herzuleitende Zahlenfolge, nämlich für die Folge seiner Teilsu7nmen.

Bemerkungen und Beispiele. 1. Mit ^ a„ sind die Symbole

^0 - -T «« ; «0 -f «1 + 2: «;o «0 + «1 + • • • + «m + 2] a„

völlig gleichbedeutend. Der Index n heißt hierbei der Siimmationshuchstahe. Für ihn dürfen natürlich auch beliebige andere Buchstaben genommen werden:

so X

y^av\ «0 + flj + fl., -i- ^ üa ; USW. »- = 0 " 0 = 3 "

Die Zahlen a„ heißen die Glieder der Reihe. Sie brauchen nicht von 0 aa indiziert zu sein. So bedeutet das Symbol

00

Z fl;_ die Zahlenfolge {a^ , a^ -f a.^ , öj + «2 + «3 > • • •)

und allgemeiner

00

k = p die Folge der Zahlen s^,, s^,^^, Sp^o, . • . , die durch

5« = «jt, + ö;, + 1 + • • . ^ «« für n = p, p ~1

definiert sind. Hierbei darf ^ = 0 irgendeine ganze Zahl sein. Schließlich schreibt man auch ganz kurz

V ■>

wenn kein Zweifel darüber besteht, welche Werte der Summationsbuchstabe zu durchlaufen hat, — oder falls dies gleichgültig ist. 2. Für « = 0, 1, 2, . . . sei a«

^^ ^l^r ^^ =^-^)"' ^^ =(-l)"(2^ + l); . h) = , a = reelle Zahl 4= 0, — 1 , — 2, . . .

Dann handelt es sich um die unendliche Reihe i cß \ Go 1 111

a) vi; b) V- ~ -_Lj__L4.Jl_.

c) 1 + 1 + 1 + . . . ; d) 0 -fl + 2 + 3 + . . . ; -

^) e'^\ Ode. i->+i_i;...;

V = 0 *^ "T- 1 2 3 4

ߧ, § 11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche. 95

f) 2J (- ^f oder 1_]+1_1 + ...; g) 1-34-5-7 + 9- + ...

«1 11 1

h) y - = - h ^ — = + . ■ .

k^o (a + Ä)(a + Ä + l) a(a + l)^(a + l)(ac + 2) (a + 2)(a + 3)

Und hierin ist lediglich ein neues — und, wie sich zeigen wird, sehr handliches — Symbol für die Zahlenfolge {sq, s^, s.,, . . .) zu sehen, bei der s«

N . 11 1 r. 1

a) = 1 H ' k .-J = 2 ;

h\	1 "1-2	+ 2.« + 3.4 + ---		1
")	' {'^	+ l)0^-r2)
	-(-	4)-(l-i)-	• ^w + 1 w+2;	1— i- • M + 2 '
c)	= K-f	-1;	d) =	w (w + 1) . - - 2
e)	= 1-	i-i--4	-1)" + 1	, (vgl. 45,3 und	48, 1) ;
f)	= |[1	-(-1)« + ^]^);	^) =	= (-irO^ + i);
h)		1 1		1 ^••• + (a + ^)(a +
'^J	a(o(	:+l) (a + l)(a + 2)	n + 1)
	^(4	OL + lJ ' Va+1	oc	^ ^ • +f ^	1
	+ 2) ^ •••^Va +	n a+w + 1,
	1 a	1 a + w + 1 *

ist. —

3. Wir betonen vor allem, daß die neuen Symbole von sich aus keinerlei Bedeutung haben. Zwar ist die Addition eine wohldefinierte Operation, die sich für zwei oder irgendeine bestimmte Anzahl von Zahlen stets und nur in einer Weise ausführen läßt. Es haben also, wie auch die Glieder «„ gegeben sein mögen, die Teilsummen 5;^ unter allen Umständen wohlbestimmte Werte.

CO

Aber das Symbol 2J^n b^t vo7t sich aus keinerlei Bedeutung, — auch nicht

n = o in einem scheinbar so durchsichtigen Falle wie 2a; denn eine Addition ufi- endlich vieler Summanden ist etwas nicht Definiertes, etwas schlechthin Sinn- loses. Es ist lediglich als eine Übereinkunft anzusehen, daß wir unter dem neuen Symbol die Folge seiner Teilsummen zu verstehen haben.

4. Man beachte hiernach wohl den Unterschied zwischen einer Reihe und einer Folge-): Eine Reihe ist ein neues Symbol für eine aus ihm nach einer bestimmten Regel abzuleitende Folge.

5. Die Symbolik mit dem Summenzeichen ,,2"" wird man natürlich nur dann anwenden können, wenn die Glieder der Reihe nach einem explizit ge- gebenen Gesetz gebildet werden, oder wenn für sie eine besondere Bezeichnung zur Verfügung steht. Sollen aber z. B. die Zahlen

i 1 i 1 1 ^ -1

2; ' 3"' 5 ' 7 ' ir 13' 17' '■•

^) D. h. gleich 1 oder 0, je nachdem n gerade oder ungerade ist. ") Der Zusatz ,, unendlich" kann, wenn selbstverständlich, weggelassen werden.

96 II- Kap. Reelle Zahlenfolgen.

oder die Zahlen

i i i i_ l 1

8 ' 7 ' 8 ' 15' 24' 31' "•'

die Glieder der Reihe sein, so werden wir die ausführlichere Symbolik

2"^8 "^ 5""^ 7 ~^ll"^13"^* • und

1111 1 1 ,

3"^ T "^ 8" "^ 15 "^ 2 4 "^ 3 1 "^ • • •

anwenden müssen und hierbei so viele Glieder hinschreiben, daß man vom Leser annehmen kann, daß er das Bildungsgesetz erkannt hat. Das mag man bei der ersten dieser beiden Reihen nach dem Gliede ^^ erwarten: die Glieder sollen die reziproken Werte der aufeinander folgenden Primzahlen sein. Beim zweiten Beispiel wird man auch nach dem Gliede 3^ noch nicht wissen, wie es weiter gehen soll: In den Nennern der Glieder sollen die ganzen Zahlen der Form

p'-l (/.,g = 2,3,4,...

der Größe nach geordnet stehen.

Wir treffen nun weiter die Festsetzung, daß wir alle bei der Be- schreibung des Konvergenzverhaltens einer Zahlenfolge eingeführten Ausdrucksweisen von der Folge (sj auf die unendliche Reihe 2 a^ selbst übertragen. Dadurch gewinnen wir insbesondere die folgende

69. Definition. Eine unendliche Reihe 2a^ heißt konvergent, be-

stimmt oder unbestimmt divergent, je nachdem die Folge ihrer Teilsummen das gleichbenannte Verhalten aufweist. Strebt im Falle der Konvergenz 5,^ -> s , so sagt man, s sei der Wert oder die Summe der konvergenten unendlichen Reihe und man schreibt kurz

v = 0

im Falle der bestimmten Divergenz der Folge (s^), sagt man auch von der Reihe, daß sie bestimmt divergent sei, und daß sie, je nachdem s^ ->- + 00 oder -> — 00 strebt, gegen + 00 bzw. gegen — 00 diver- giere"^). Sind endlich im Falle der unbestimmten Divergenz von {sj, X und fx die beiden Häufungsgrenzen dieser Folge, so sagt man auch von der Reihe, sie sei unbestimmt divergent und oszilliere zwischen den {Häufungs)-Grenzen x und jli.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Man überblickt sofort, daß die Reihen 68,2 a, b und h konvergieren und

die Summe + 2 bzw. 1 und — haben; 2c und d sind bestimmt divergent gegen +C30;

a 2e ist konvergent und hat die Zahl s zur Summe, die durch die Intervall-

1) Genau wie wir gemäß Fußnote zu 41, 1 jetzt auch (s„) = s schreiben dürften.

^) Ev. auch: konvergiere.

69. §11- Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche. 97

schachtelung (52ä-iI-^2ä) definiert wird^); 2f endlich oszilliert zwischen Oundl, 2 g zwischen — oo und +CX).

2. Bezüglich der Bezeichnung Summe ist sogleich nachdrücklich vor einem Mißverständnis zu warnen: Die Zahl s ist nicht eine Summe in irgendeinem bisher üblichen Sinne, sondern nur der Grenzwert einer unendlichen Folge von Summen ; es ist also die Gleichung

Z an = s oder a^ + «i +••• + «« + .•• = 5 n = 0

lediglich eine andre Schreibweise für

lim Sn = s oder für 5„ -> 5 . Es wäre daher sinngemäßer, nicht von der Summe, sondern von dem Grenzwert oder dem Wert der Reihe zu sprechen. Doch ist die Bezeichnung „Summe" von den Zeiten her in Geb rauch geblieben, in denen Reihen zuerst in der Wissen- schaft auftraten und in denen man von dem darin steckenden Grenzprozesse sowie allgemein von dem „Unendlichen" noch keine klare Vorstellung hatte.

3. Die Zahl 5 ist also keine Summe, sondern wird der Kürze halber nur so genannt. Insbesondere wird das Rechnen mit unendlichen Reihen keines- wegs all den Regeln für das Rechnen mit Summen gehorchen. Z, B. darf man bei einer (wirklichen) Summe beliebige Klammern setzen oder fortlassen, so daß etwa

1 _ 1 + 1 _ 1 = (1 _ 1) + (1 _ 1) = 1 _ (1 _ 1) _ 1 _ 0 ist. Es ist aber keineswegs

I;(-l)" = 1-1 + !-!-[--...

n = 0

dasselbe wie

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... ^0 + 0 + 0 + ... oder wie

l-(l-l)-(l-l)-(l-l)-...:^l_0-0-0-...

Immerhin wird das Rechnen mit Reihen viele Analogien mit dem Rechnen mit

(wirklichen) Summen aufweisen. Doch ist das Bestehen einer solchen Analogie

in jedem einzelnen Falle erst zu beweisen.

4. Es ist auch vielleicht nicht überflüssig, zu betonen, daß es eigentlich etwas ganz Paradoxes ist, daß eine unendliche Reihe, etwa ^ —^ überhaupt

n = 0 ^'^ so etwas hat, was man eme Summe nennen kann. Deuten wir es in Quartaner- art mit Mark und Pfennigen : Ich gebe jemandem erst 1 M., dann i/„ M., dann V4 M., dann ^/^ M. usw. Höre ich nun mit diesen Schenkungen ni*e auf, so entsteht die Frage, ob der Reichtum des Beschenkten dabei notwendig jede Höhe überschreiten muß oder nicht. Zunächst hat man das Gefühl, daß not- wendig das erstere eintreten muß ; denn wenn ich immer wieder etwas hinzu-

-) In der Tat ist c ,_ , = f 1 _ ^U f-^-IU '^ ^ ^

172 + 374+ •••+ (2 A _\)2;^ ' so daß 5^ < 53 < 5^ < . . . ist; ebenso folgt ^"«^2.= l-(|-|)-...-(^-2^),daß5o>5,>s,>...ist. End- lich ist ^2^ - Sg^ _ ^ = + 2"^— -j , also positiv und gegen 0 strebend. Nach 46, 5

strebt 5„ -> {s^k_^\s^^). Vgl. 82, 9 u. 10, wo diese Betrachtung verallgemei- nert wird.

Knopp, Unendliche Reihen. 7

98 n. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

füge, so müßte — scheint es — die Summe schließlich jeden Betrag übersteigen. Im vorliegenden Falle ist dem nicht so, da für jedes n

.„ = l+i + i + ... + 21 = 2-2^2

bleibt. Die Schenkung erreicht also niemals auch nur den Betrag von 2 M.

Und wenn wir nun trotzdem sagen, ^ — sei gleich 2, so ist das lediglich

ein kurzer Ausdruck dafür, daß die Folge der Teilsummen dem Grenzwert 2 zustrebt.

5. Auch im Falle der bestimmten Divergenz kann man noch im über- tragenen Sinne von einer Summe der Reihe sprechen, die dann eben den

,Wert" — CX) oder — oo hat. So ist z. B. die Reihe

V 1 , , 1 1 1

2 _ oder 1- + + +...

M = 1 w 2 ö 4

bestimmt divergent, hat die ,, Summe'' +Oü, weil nach 46, 3 ihre Teilsummen > + OO streben^). Man schreibt kurz

was nur eine andre Schreibweise für lim l-f--|----H )=fOQ ist.

V 2 nJ

6. Im Falle einer unbestimmt divergenten Reihe verliert dagegen das Wort „Summe" jede Bedeutung. Ist in diesem Falle lim s« = ;>< und lim s„ = /t (>> ;x), so sagten wir oben, die Reihe oszilliere zwischen h und fi . Hierbei ist indessen zu beachten (vgl. 61,2), daß es sich nur um die Beschreibung eines infinitärcn Verhaltens handelt. Tatsächlich brauchen die Teilsummen 5,, nicht zwischen y. und u zu liegen. Ist z. B. «0 = 2 und für n >- 0 stets

„„ = ,_,)» iü±i + «t|l

In w-f IJ so rechnet man sofort nach, daß

5n = «0 + «1 + • • • + «« = (- 1)" ~| ;, (;? = 0, 1, 2, . . .)

und also lim s,^ = — 1 , lim s„ = + 1 ist. Aber alle Glieder der Folge (s„) liegen außerhalb des Intervalles — 1 . . . + 1 , und zwar abwechselnd links und rechts, so daß auf beiden Seiten des Intervalles unendlich viele Glieder der Folge liegen.

7. Betonten wir oben, daß in einer Reihe Z Un lediglich die Folge (s„) ihrer Teilsummen, — also lediglich eine andere Schreibweise für eine Folge zu sehen ist , so überzeugt man sich umgekehrt leicht , daß auch jede Folge (atq, AT, . . . .) als Reihe geschrieben werden kann. Man hat dazu nur

«0 = *'0' «1=^1—^0, a^ = X., — Xy, . . ., an = Xn — Xn-i_, ■ • ■ (^ ^ 1)

^) Wenn also die unter 4. besprochenen Schenkungen der Reihe nach 1 M., ^/a M. , ^'3 M., ^/4 M., ... betragen, so wächst der Reichtum des Be- schenkten nun doch über alles Maß. Aber es ist im Augenblick gar nicht zu erkennen, woran es liegt, daß im Falle 4. die Summe einen bescheidenen Be- trag nicht übersteigt, im jetzigen dagegen über jede Höhe hinauswächst. — Die Divergenz dieser Reihe ist von Joh. Bernoulli entdeckt und von Jak. Bev- noulli 1689 veröffentlicht worden; doch scheint sie auch schon Leihniz 1673 bekannt gewesen zu sein.

69. §^1- Unendliche Reihen, Produkte und KettenbrUche. 99

zu setzen. In der Tat hat dann die Reihe

CO CD

n = 0 k^^l

die Teilsummen

•^0 ~ -^0 ' -^1 ~ -'^o + (-^'i ~" -^'o) ~ ^1 '■> und allgemein für ii > 1

Su = ^0 -f (^'l - '^'o) -^ (^e - ^'l) + • • • + (^«, - 1 - A'„ _ .,) + (X,, - Xn _ i) = Xn ,

SO daß die hingeschriebene Reihe tatsächlich einfach die Folge (x„) bedeutet. Das neue Symbol der unendlichen Reihe ist also weder spezieller noch all- gemeiner als das der unendlichen Folge. Sein Sinn liegt hauptsächlich darin, daß nicht so sehr die Glieder der zu untersuchenden Zahlenfolge (s,,) selbst, als vielmehr die Unterschiede a,i = Sn — s^^_^ eines jeden gegen das vorangehende gegeben bzw. betont werden.

8. Über die Geschichte der unendlichen Reihen unterrichtet trefflich ein

Büchlein von R. Reiff (Tübingen, 1889). Hier mag die Erwähnung folgender

Tatsachen genügen: Das erste Beispiel einer unendlichen Reihe pflegt man

Archiniedes zuzuschreiben (Opera, ed. J. L. Heiberg, Bd. 2, Leipzig 1918, S 310 ff )

114 Doch zeigt er nur, daß 1 J- — — . . . -f ^ < -- bleibt, welchen Wert auch n

4 4 ' ö

haben mag, und daß der Unterschied zwischen beiden Werten =^ ist und

3 4" folglich kleiner als eine gegebene positive Zahl ausfällt, sofern n groß genug genommen wird. Eine allgemeinere Benutzung unendlicher Reihen setzt aber erst in der zweitenHälfte des 1 T.Jahrhunderts ein, SiXsN .Mercator und W.Brouncker 1 668 bei der Quadratur der Hyperbel die logarithmische Reihe 120 entdeckten und /. Newton 1669 in dem Werke De analysi per aequationes nurnero terminorum in-ßnitas ihren Gebrauch auf eine festere Grundlage gestellt hatte. Im 18. Jahr- hundert wurden die prinzipiellen Gesichtspunkte z. T. zwar außer acht ge- lassen, dafür aber die Praxis der Reihen, vor allem durch Eiiler, in groß- artiger Weise entfaltet. Im 19. Jahrhundert endlich wurde die Theorie durch A. L. Cauchy (Analyse algebrique, Paris 1821) in einwandfreier Weise be- gründet, — wenn man von den Unklarheiten absieht, die damals dem Zahl- begriff als solchem noch anhafteten. (Weitere historische Bemerkungen s. in der Einleitung zu § 59.)

II. Unendliche Produkte. Hier handelt es sich um Ausdrücke der Form

w,-ZY,-W3 ... //^^... oder f[uj

n = l

und sie sind in ganz entsprechender Weise wie die eben behandelten unendHchen Reihen lediglich als eine neue Symbolik für die wohl- bestimmte Zahlenfolge der Teilproiukfe

Pl = ^h ' P-2 = ^^l- ^h ' • • • ' Pn = «1 • ^^2 • • • ^U^

anzusehen. Indessen werden wir später mit Rücksicht auf die Aus- nahmerolle, die die Zahl 0 bei der Multiphkation spielt, hier noch einige besondere Festsetzungen zu machen haben.

100 11. Kap. Reelle Zahlenfolgen.

1. Ist z.B. für w>l stets w„ = - -^-^rr , so bedeutet das unendliche

11 [n -{- ^)

Produkt

77 (^+1)' oder ?1 Ü- ü- ü- i^i+ill „i^i w(«+2) 1-3 2-4 8-5 4-6 ■"■ n{n + 2) '"

die Folge der Zahlen

4 2-3 2-4 2(m + 1)

^^ = 3' ^^^'T'' ^^ = T"' •••' ^"-"^rf2"~'' •••

2. Die soeben unter I gegebenen Zusätze und Bemerkungen behalten mutatis mutandis auch hier ihre Bedeutung. Auf alles Nähere werden wir später eingehen (VII. Kapitel).

III. Unendliche Kettenbrüche. Hier wird die zu untersuchende Zahlen- folge {Xn) mit Hilfe zweier anderer Folgen (a^, «g? • • •) "^^^ (^o? ^i' • • •) ^^^^ gestellt, indem man

^0 = ^0' ^1 = ^0 + 77^ ^-2 = ^0 +

^3 = ^0 +

ö. + r'

usw. setzt, indem man also allgemein Xn dadurch aus x^_^ herleitet, daß man

a.

in X . den letzten Nenner h , durch ib^ i + ~ ersetzt und so ohne Ende

n — 1 n — 1 \ n—i fj^j

fortfährt. Für den hierdurch entstandenen „unendlichen Kettenbruch" ist keine allgemein angenommene neue Symbolik in Gebrauch. Das naheliegendste wäre, ihn mit

n=l zu bezeichnen. Auch hier muß man noch durch einige besondere Festsetzungen dem Umstände Rechnung tragen, daß bei der Division wieder die Zahl 0 eine Ausnahmerolle spielt. Auf die Kettenbrüche werden wir in diesem Buche in- dessen nicht eingehen^). ,

Von den besprochenen drei Arten, eine Zahlenfolge vorzulegen, ist die durch unendliche Reihen bei weitem die wichtigste für alle Anwendungen in der höheren Mathematik. Mit ihnen werden wir uns daher vornelimhch zu beschäftigen haben. — Da in den Reihen nichts anderes als Folgen zu sehen sind, so hefern uns die einleitenden Ausführungen des § 9 die Gesichtspunkte, unter denen eine vorgelegte Reihe zu untersuchen sein wird: Neben dem Problem A, das sich auf das Konvergenzverhalten einer vorgelegten Reihe bezieht, steht wieder das schwierigere Problem B, das nach der Summe einer als konvergent erkannten Reihe fragt. Und genau aus denselben Gründen wie damals wird sich das zweite Problem meist in der Form stellen:

1) Eine vollständige Darstellung ihrer Theorie und ihrer Anwendungen bietet O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig 1913.

69. Aufgfaben zum II. Kapitel. 101

Eine Reihe Sa^^ ist als konvergent erkannt; stimmt nun ihre Stimme mit derjenigen einer anderen Reihe oder mit dem Grenzwert irgendeiner anderen Zahlenfolge über ein oder steht sie zu solchen in einer irgendwie angebbaren Beziehung ? ^)

Da das Konvergenzproblem A das leichtere ist und da es — im Gegensatz zum Problem B — eine methodische Erledigung zuläßt, wollen wir uns diesem zunächst ausführlich zuwenden.

Aufgaben zum II. KapiteP).

9. Man beweise die Sätze 15 bis 19 des I. Kapitels nach der zu 14 in der Fußnote gegebenen Anleitung.

10. Man beweise in allen Einzelheiten, daß die durch 14 und 15 defi- nierte Anordnung- der Gesamtheit der Intervallschachtelungen den sämtlichen Anordnungssätzen 1 gehorcht. (Vgl. hierzu 14, 4 und 15, 2).

11. Man führe die Einzelheiten der S. 30/31 geforderten Beweise durch, zeige also, daß die durch 16 bis 19 definierten vier Verknüpfungsarten zwischen den Intervallschachtelungen allen Grundgesetzen 2 gehorchen.

12. Bei festem q mit 0<^<1 strebt

13. Bei beliebigen positiven a und ß strebt

(log log w/'

(log w)/

0.

14, Welche der Zahlen U-^ und L^^X" \^\. die größere]

15. Beweise die folgenden Grenzbeziehungen :

N ff 2 y^^ 1

2 '

1) So wird sich z. B. die Reihe 1 + 1 + A i _^ . + _ _|_ _! + sehr bald

als konvergent erweisen. Wie sieht man, daß ihre Summe mit der durch die Folge (^1+ .J gelieferten Zahl e identisch ist? Ebenso werden wir sehr bald die Reihen 1 + ^ + -+... 4- J_ + .. . und 1 -1 + 1 _ i + _ . . . als konver-

gent erkennen. Wie findet man, daß, wenn 5 und s' ihre Summen sind,

8 •^ = ^ -5' ^ ""d daß 4 s' = 7c (also gleich dem Grenzwert eines dritten, beim Kreise

auftretenden Grenzprozesses; vgl. 192 u. 207) ist?

'^) Bei mehreren der folgenden Aufgaben werden einige der einfachsten Erg-ebnisse über den Logarithmus und die Zahlen e und jr als bekannt ange- nommen, obwohl sie im Text erst später hergeleitet werden.

102 Aufgaben zum 11. Kapitel.

d\ \ ^^ , '^^ , . " ] ^ .

Lw2+ 1-' '^ n- -r 2" "^ • • • "^ n- + n^} ^^'

f) - \/(«-f ])(n + 2).777^'- ?/ ) V '^- .

Man beachte, daß bei a) bis d) ein gliedweiser Grenzübergang ein falsches, bei e) dag^eg^en ein richtig-es Ergfebnis liefert.

16, Es sei a ^> 0 und x^ >- 0 und eine Folge (x^^, x.y, . . .) durch die Fest- setzung definiert, daß für w > 2

a) x„ - v/rt-f;»^„_i

b) -«-IT^

sein soll. Man zeige, daß im Falle a) die Folge monoton gegen die positive Wurzel von ;v- — x — a 0; im Falle b) gegen diejenige von a-'- t x — d - 0 strebt; letzteres jedoch so, daß die x,, abwechselnd links und rechts von ihrem Grenzwert liegen.

17, Man untersuche das Konvergenzverhalten der folgenden Zahlenfolgen:

a) x^^, x^ beliebig, für «>2 stets x„ J ('V^_i • a'^_.2) '.

b) ,r,^, A'i , . . ., Xp_i beliebig, für n^p stets

A« - «1 -^«-1 ' «... -^'«-2 • • • 'h> ^n -p > ( a^ , rt., , . . . , a^, gegebene Konstanten, z. B. alle = _j ;

c) A-,^, x^ positiv, für )x > 2 stets x„ = \ x^^_^ ■ x^^_,, ;

'^ ^n — 1 ^ n — 2

d) Xq, r^ beliebig, für ;/ > 2 stets a,, ' — .

18, Wird in Aufgabe 17, c speziell .r,, - 1 , ;\r^ - 2 gesetzt, so ist der

3 — Grenzwert der Folge y 4 .

19, Es seien a^, a.,, . . . , a^, beliebig gegebene positive Griißen und es werde für ;/ 1 , 2, . . . i-'

-L— i- -=s« und \ s„ x„

P gesetzt. Es soll gezeigt werden, daß x„ stets monoton wächst und, falls unter den gegebenen Zahlen eine bestimmte, etwa ^, , die größte war, dieser größten als Grenzwert zustrebt: x„ ya^.

(Anl.: Man zeige zunächst, daß

Sj 5._,

20, Man setze, ähnlich wie in der vorigen Aufgabe,

1 1 1

- 5,/ und (5„')'' - X,!

P

P, und zeige, daß x„' monoton fallend > \ a^ a., . . . a^, strebt.

^9. Aufgaben zum IL Kapitei. 103

21. Das Intervall a...b (0<C«<&)> werde in n gleiche Teile geteilt; A'(, — a, x^^, x^, . . . , x„ = b seien die Teilpunkte. Man zeige, daß deren geo- metrisches Mittel

1

„+i 1 /ö^&t:^

fi 1 /^,n

yx,-x,.x,...x„ ~>j[-^^)

^.md ihr harmonisches Mittel -> — — strebt.

log b — log a

22, Man zeige, daß im Falle der allgemeinen Folge in Autgabe 5

^n ■*'i P ''''0

a'^ ci (a — ß) strebt.

23, Es sei x ^ 0 und die Folge (xn) durch die Festsetzungen

X-^ :---^ X , X., ^ - x^^ , x^ = x^^ , . . . , x„ ^^ X^n-i , . . . definiert. Für welche x fällt diese Folge konvergent aus?

24, Es sei lim x„ -y. , lim x^-^ fi, lim x,' ^^ x' und lim Xn = n' • Was läßt sich über die Lage der Häufungsgrenzen der Folgen

aussagen? Man diskutiere alle möglichen Fälle!

!25, Es sei {a„) beschränkt und (nach etwaiger Überspringung einiger Anfangsglieder)

«M 1 t-H

log 1

\ n / n

gesetzt. Dann ist haben (ci„) und (ß„) dieselben Häufungsgrenzen. Dasselbe gilt, wenn

n n log 11/ n n log n gesetzt wird.

26. Gilt Satz 43, 2 auch noch, falls | = -f oo oder — CX) ist? Und gilt 43, '-\ noch, falls »y — 0 oder =-fcxD ist?

27. Wenn die in 43, 2 und 8, gegebenen Folgen x„ und y,, monoton sind, so sind es auch die dortigen Folgen x,' und y,/.

28. Ist die Folge — monoton und fe„>0, so ist es auch die Folge <ler Quotienten

fl^i + «2 + •ii^+i*«

ö, -&, + ... + &;, ■

29. Es ist

lim =-- hm

n ^t + l

falls der rechtsstehende Grenzwert existiert und falls (a„), und (&„) Nullfolgen sind, deren zweite monoton ist.

104 Aufgaben zum II. Kapitel.

30, Bei positiven, monotonen c« kann aus

XQ + X^-\-...+Xn ^^ ^^j Cq ^ö + ^1 ^1 + • • • + C„ X„ ^

« + 1 ^0 + ^1 + • • • + C« '^^

geschlossen werden, falls {-^-j beschränkt ist und C„ -> -f cx) strebt. (Hierbei

ist C;, = Co + Ci -f . . . + c„ gesetzt.)

31, Ist &„ > 0, strebt &o + ^i "f ••• + &« = -B« -> + OO und ebenso x„-^ + 00, so kann von

geschlossen werden.

32, Es ist für jede Folge [xn) stets

lim;.,<li^"^« + ^^ + ;iI±^<iim;y,,. (Vgl. hierzu Satz 161.)

33, Man zeige, daß, wenn die Koeffizienten a. beim Toeplitzschen Satze 43, 5 positiv sind, für jede Folge (;ir„) die Beziehung

lim Xn <, lim Xn < lim Ar,j

gilt, in der x,,' -= ««o ^o + ««i ^i + • • • + «n« ^« gesetzt ist.

Zweiter Teil.

Grundlagen der Theorie der unend- lichen Reihen.

III. Kapitel.

Reihen mit positiven Gliedern.

§ 13. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichs- kriterien.

In diesem Paragraphen wollen wir uns ausschließlich mit Reihen beschäftigen, deren sämtliche Gheder positive oder wenigstens nicht negative Zahlen sind. Ist 2 a_^^ eine solche Reihe, die wir kurz als Reihe mit positiven Gliedern bezeichnen wollen, so ist wegen a >; 0

und also die Folge (s^J der Teilsummen eine monoton wachsende Zahlenfolge. Ihr Konvergenzverhalten ist daher besonders einfach, denn es ist dafür das 1. Hauptkriterium 46 maßgebend. Es Hefert uns sofort das ebenso einfache wie grundlegende

I. Hauptkriterium. Eine Reihe mit positiven Gliedern kann nur 70. konvergieren oder gegen -^ oo divergieren. Und zwar ist sie dann und nur dann konvergent, wenn ihre Teilsummen beschränkt sind'^).

Bevor wir die ersten Anwendungen dieses Hauptsatzes geben, wollen wir uns seinen Gebrauch noch durch die folgenden Zusätze erleichtern :

Satz 1. Ist p eine beliebige natürliche Zahl, so haben die beiden Reihen

CO CO

y a und V a

n—O n=p

dasselbe Konvergenzverhalten ^) .

^) Es kommt nur Beschränktheit nach rechts in Frage, da eine wachsende Folge nach links von selbst beschränkt ist,

2) Kürzer: Man „darf" einen beliebigen Anfang- weglassen. — Darum ist es häufig nicht nötig, die Summationsgrenzen anzugeben.

71,

106 Hl. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

Beweis. Die demselben Index des Reihengliedes entsprechen- den Teilsummen beider Reihen unterscheiden sich nur um die feste Zahl («^ -|- ß^ -|_ . . . j-.a^_^) und sind also für beide Reihen beschränkt oder für beide nicht beschränkt.

Satz 2. Mit Zc^^ is! auch l^y^^c^^ elr.e konvergenie Reihe mit positiven Gliedern, falls die FakU.ren y^^ irgendwelche positive, aber beschränkte Faktoren sind^).

Beweis. Bleiben die Teilsummen von ^c^ stets < K und die Faktoren v stets < r, so bleiben die Teilsummen von ^y c ersicht- lieh stets < yK, womit nach dem Hauptkriterium schon alles be- wiesen ist.

Satz 3. Mit 2d^^ ist auch 2\)^^d^^ eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, falls die d^^ irgendwelche Zahlen sind, die eine noch positive untere Schranke d besitzen.

Beweis. Wird G > 0 beliebig gewählt, so sind nach Voraus- setzung die Teilsummen von 2d^^ doch von einem passenden Index an sämtlich ^G:(). Von demselben Index an sind dann die Teil- summen von 2d^^d^^ sämdich > G. Also ist 2\\d^ divergent.

Beide Sätze sind im wesentlichen enthalten in dem folgenden

Satz 4. Genügen die Faktoren tc^^ den Ungleichungen 0<a'£cc^^£c', so weisen die beiden Reihen 2! a^^ und 2\c^^a^^ mit positiven Gliedern dasselbe Konvergenzverhalten auf. Oder etwas anders ausgedrückt: Die beiden Reihen mit positiven Gliedern 2\{^^ und 2^ a^' weisen dasselbe Konvergenzverhalten auf, falls es zwei, positive Zahlen a' und c/' gibt, so daß stets (oder wenigstens von einer Stelle an)

cc' < """' < cc"

— a„ —

ist"), speziell also, wenn a^^ ^^a^^ oder gar a^' ^ü^^ ist (s. 40, 5).

Beispiele und Bemerkungen.

1. Ist K eine Schranke für die Teilsummen der Reihe l'a,, mit positiven Gliedern, so ist ihre Summe s <. K (s. 46, 1).

2. Die geometrische Heihe. Es sei a ; > 0 und die sogenannte geometrische Reihe

^ a" z: 1 -j- a + «2 ^ ... + «" + .. .

') Wir werden im folgenden die Glieder einer als konvergent vorausgesetzten Reihe meist mit c„, die einer als divergent vorausgesetzten Reihe meist mit d„ bezeichnen.

') Da bei dieser Formulierung der Voraussetzungen mit «„ dividiert wird, so steckt darin die selbstverständliche Voraussetzung, daß die r/„ - 0 und nie- mals = 0 sind. — Entsprechendes ist auch weiterhin des öfteren zu beachten;

Tl. >^ 12- D^^ erste Hauptkriteriuni u. d. beiden Verg-leichskriterien. 107

vorgele«t. Ist « >. 1 , so ist 5„ >> « und also (5,,) sicher nicht beschränkt, die Reihe also divergent. Ist aber a <"_ 1 , so hat man

5„ = 1 + a + a'^ + . . . + a" = • , (vgl. S. 20, Fußn.)

\ — a

lind es ist also für jedes u

1

\ — a

die Reihe also konvergent. Da überdies

I 1 \ 1

I l — a i — a

nach 10, 7 und 26, 1 eine Nullfolge ist, so ergibt sich hier — es ist dies ein seltener Fall — auch sogleich für die Summe der Reihe eine einfache Darstellung :

OD 1

y «" = .-^ .

* 1 111

Diese sind stets < 1 , die Reihe also konvergent. Zufällig sieht man hier sofort, daß s„ > 1 strebt, daß also s = 1 ist.

* 1 1 1 "

4. I>ie harmonischen Reihen, y _ 1 + ~ + . . . + _f ... ist di-

n^l '' ^ "

vergent, denn wir sahen schon in 46, 3, daß ihre Teilsummen, also die Zahlen

gegen +00 divergieren i). Dagegen ist die Reihe * 1 111

2J -^ = '^ + T + ^ + k + '--

— :, ji^ 4 9 16

konvergent. Denn die 7^te Teilsumme ist

1 1 1 ,1.1,, 1

i + ;rT5 + ^ + --- + -T:v<i+T-ö + 9TQ +

2-2 '8-3 n-n ' ' 1-2 2-8 (n-l)n

und es ist also stets 5„< 2, die vorgelegte Reihe also konvergent. — Die Summe s ist hier nicht so leicht anzugeben; es ist aber jedenfalls 5^2. Wir

werden später finden, daß s = — - ist. — Eine Reihe der Form ^ — nennt

man eine harmonische Reihe.

1) Vgl. S. 98, Fußn.

108 in. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

5. Die Reihe ^ — = 1 + 1 + — + o, + • • • hat die Teilsummen 5. = !,

n=0 ^^' ^' ^'

5i = 2, und für « ^2 ist

^» = 2 + i+J^ + ... + ^_^2 + ^ + J^ + --- + 2:2"T^')

= 2 + 1 + 1 + .. . + -L^ = 3-^^<8. Die Reihe ist also konvergent mit einer Summe < 3. Wir werden später sehen, daß ihre Summe mit dem Grenzwert e der Zahlen (n J übereinstimmt.

6. Sagten wir oben, daß jede Reihe mit positiven Gliedern eine monoton wachsende Zahlenfolge bedeutet, so sieht man auch umgekehrt, daß jede monoton .wachsende Folge {x^, x^, . . ) als Reihe mit positiven Gliedern geschrieben werden kann (vgl. hierzu 69, 7), falls x^ positiv ist. Man hat hierzu nur

«0 = ^0» «1=^1—^0' •••» «« = ^n — ^n-l, ...

ZU setzen; in der Tat ist dann

5„ = ^0 + (^1 - ^o) + • • • + (^« - Xn - i) = Xn

und alle a„ sind >0.

Aus unserm Hauptsatz werden wir nun nach und nach immer speziellere, aber auch immer leichter zu handhabende und immer wirksamere Kriterien ableiten. Dies wird uns hauptsächlich durch Ver- mittlung der beiden folgenden „Vergleichskriterien" gelingen.

72. Vergleichskriteriuni 1, Art,

Es sei Zc^^ eine schon als konvergent und Zd^^ eine schon als divergent erkannte Reihe mit positiven Gliedern. Genügen dann die Glieder einer vorgelegten Reihe Za^^ mit gleichfalls positiven Gliedern für alle n von einer Stelle an, etwa für alle n > m

a) der Bedingung

ein ^ ^nj

SO ist auch Z a^^ eine konvergente Reihe. — Ist dagegen für n > m

b) stets

ein > an,

SO muß auch die Reihe Z a^^ divergieren'^).

Beweis. Nach 70, 1 genügt es, das Konvergenzverhalten der Reihe y. a^^ festzustellen. Im Falle a) folgt aber deren Konvergenz

H = J» f 1

00

sofort nach 70, 2 aus derjenigen von y^ c , weil nach Voraussetzung

n — m + l

^) Es wurde im Xenner jeder Faktor durch den kleinsten von ihnen, also 2, ersetzt.

■-) Gauß benutzt dies Kriterium schon im Jahre 1812 (s. Werke III, S. 140). Ausdrücklich als Konvergenzkriterium formuliert wurde es indessen, ebenso wie das nachfolgende Kriterium 2. Art, erst von Caiichy in seiner Analyse algebrique (Paris, 1821).

73. § 12. Das erste Hauptkriterium u. d. beiden Vergleichskriterien. 109 iÜY n> m stets a^^ = y^^c^ mit y^^ ^ 1 gesetzt werden kann. Im Falle b)

CO

folgt ebenso ihre Divergenz aus derjenigen von ^ d^^, weil jetzt

n = m + l

a z= S d mit ^ > 1 gesetzt werden kann^).

Vergleichsliriterium 1i, Art, 73.

Es sei wieder Z c^^ eine schon als konvergent und Zd^^ eine schon als divergent erkannte Reihe mit positiven Gliedern. Genügen dann die Glieder einer vorgelegten Reihe Za^^ mit gleichfalls positiven Gliedern für alle n von einer Stelle an, etwa für alle n ^ m

a) den Bedingungen

SO ist auch Za^^ eine konvergente Reihe. Ist dagegen für n>m

b) stets

SO muß auch Z a^ divergieren.

Beweis. Im Falle a) hat man für n >- m stets

^M + 1 ^n

a.

Die Folge des Quotienten y^^ = — ist also von einer Stelle an

monoton fallend und folglich, weil ihre Glieder sämtlich positiv sind, notwendig beschränkt. Satz 70, 2 liefert nun die Konvergenz. Im

Falle b) hat man analog ^'^^^-, so daß die Quotienten d^^ = -~

von einer Stelle an monoton wachsen. Da sie aber stets positiv sind, so haben sie eine noch positive untere Schranke. Satz 70, 3 liefert nun die Divergenz.

Diese Vergleichskriterien können uns natürlich nur nützlich sein, wenn wir schon viele konvergente und divergente Reihen mit posi- tiven Gliedern kennen. Wir werden uns dazu also sozusagen einen möglichst großen Vorrat an Reihen mit bekanntem Konvergenzverhalten anlegen müssen. Hierzu sollen die folgenden Beispiele den Grundstock liefern:

^) Oder — und fast noch kürzer — so: Im Falle a) ist jede Schranke der Teilsummen von Zcn auch eine solche für die Teilsummen von 2'a„; und im Falle b) müssen die Teüsummen von S Un schließlich jede Schranke über- steigen, da schon diejenigen von Z dn dies tun.

110 in. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

* 1 «; 1

74. 1. J;;_' _ hatte sich als divergent, J^'- ., als konvergent erwiesen Nach

dem 1. \ ergleichskriterium ist also die sogenannte harmonische Reihe

^ 1

für a^l sicher divergent, für a^2 sicher konvergent. (Ihre Summe weiß, man allerdings nur für den Fall, daß a zugleich eine ganze und gerade Zahl ist, mit anderweitig vorkommenden Zahlen in Beziehung zu bringen; z. B.

^4

werden wir später sehen, daß für a = 4 die Summe = ' ist.)

yu

, 1

2. Nach dem vorigen bleibt das Konvergenzverhalten von V nur

noch für 1 < a < 2 fraglich. Folgendermaßen läßt sich zeigen, daß die Reihe in diesen Fällen konvergiert: Um eine beliebige Teilsumme Sn der Reihe nach oben abzuschätzen, wähle man k so groß, daß 2* ^ " ausfällt. Dann ist sicher

- 2 1 \^a ga) \^^„ 5„ g„ ^uj +(^,2*_..« • ^(./^l)'

Hier sind jedesmal die Glieder in einer Klammer vereinigt, deren Index von einer Potenz von 2 (einschl.) bis zur nächsten Potenz von 2 (ausschl.) läuft. Ersetzt man nun in jeder Klammer alle Summanden durch den ersten von ihnen, so bedeutet dies eine Vergrößerung und man hat also

2 4 2^~^

sn<i-\- ,,+ ,-^■'■- r 4" (2^-1)"

Setzt man nun zur Abkürzung t = ^^ — eine positive Zahl die, weeen

a > 1 . sicher - ::; 1 ist — , so ist

i-o ^ 1 - *> '

und da dies für jedes n gilt, so sind die Teilsummen unserer Reihe beschränkt, die Reihe selbst also konvergent, w. z. b. w.

Die harmonische Reihe \^ ist also für a<l div erecnt, für a >■ 1

konvergent. Sie bildet zusammen mit der geometrischen 'Reihe schon einen sehr nützlichen .Schatz an Vergleichsreihen. •S. Auch die Reihen

OD 1

„ = i {an~bf in denen a und b gegebene positive Zahlen sind, werden für y. < 1 divergieren., für a > 1 konvergieren. Denn wegen

}i' / 1 \« 1 . 1 1

{an-^bf [a-x-^] «'' {an + b)" n""'

70, 4 liefert daher die Richtigkeit der ausgesprochenen Behauptung. Hiernach sind ganz speziell die Reihen

.,1,1. ^ N' 1

~r _,. ~r

3« 5« "=o (2n + l)«

für 3c > 1 konvergent, für a<l divergent.

•^5^ ^ 1;^. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium. 111

4. Ist ^ c,i eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern und bildet

n = 0 man aus ihr dadurch eine neue Reihe 2V„', daß man irgendwelche Glieder streicht und die stehenbleibenden mit Cq' , c/, ... bezeichnet, so ist auch die entstandene „Teilreihe" Zc,/ konvergent. Denn für ihre Teilsummen ist jede Zahl eine Schranke, die für die Teilsummen von I!c,i eine Schranke ist.

Hiernach ist z. B. die Reihe y — , in der p alle Primzahlen durch-

- p- läuft, also die Reihe

11111 2« 3« 5« 7« ji«

für a > 1 sicher konvergent. (Dagegen darf man natürlich nicht ohne weiteres schließen, daß sie für a ^ 1 divergiert !)

5. Da ^rt" für 0^a-<l schon als konvergent erkannt ist, so ist ins- besondere

^-ri 10" 10 ' 102 ' • ' 10« ' konvergent. Bedeuten nun z^, z^, . . ., z,i, . . . irgendwelche „Ziffern", d. h. je eine der Zahlen 0, 1, 2, . . ., 9, und ist Zq irgendeine ganze Zahl ^0, so ist auch

cc -

nach 70, 2 konvergent. — Man erkennt hieraus, daß man einen unendlichen Dezimalbruch auch als unendliche Reihe auffassen darf. In diesem Sinne können wir sagen: Jeder unendliche Dezimalbruch ist konvergent und stellt also eine wohlbestimmte reelle Zahl dar. — Bei dieser Form der Reihe haben wir auch durch Gewohnheit eine unmittelbare Vorstellung von dem Wert ihrer Summe.

§ 13. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium.

Eine systematischere Ausnutzung der beiden Vergleichskriterien bahnen wir nun durch die beiden folgenden Sätze an. Nehmen wir zunächst als Vergleichsreihe die geometrische Reihe ^a" mit 0 <, a <. 1, so ergibt sich unmittelbar der ^^

n /«>•■

Satz I. Ist von einer Stelle an stets a^-^a oder also

n

Van ^a <1,

so ist die Reihe 2a^^ konvergent; ist dagegen von einer Stelle ah stets

so ist 2a^^ divergent. (Cauchysches Wurzelkriterium ^).)

Zusatz. Für die Divergenz genügt es offenbar schon, wenn die Un-

n - — gleichung y a„ ^ 1 für unendlich viele verschiedene Werte von n erfüllt ist.

^) Analyse algebrique, S. 132 ff.

112 III. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

Denn für dieselben unendlich vielen n ist dann auch a„ > 1 ; und eine be- stimmte Teilsumme 5,„ wird daher eine gegebene (positive ganze) Zahl G über- schreiten, wenn man m so groß wählt, daß diese Ungleichung für 0<w<m schon mindestens G-raal eingetreten ist. Die Folge (s„) ist also keinesfalls beschränkt.

Das 2. Vergleichskriterium liefert ebenso unmittelbar den

Satz 2. Ist von einer Stelle an stets

an ~

so ist die Reihe i: a^ konvergent. Ist dagegen von einer Stelle ab stets

SO ist die Reihe 2a^^ divergent. (Cauchysches Quotienten- kriterium ^).)

7*6, Bemerkungen und Beispiele.

1. Bei den beiden in diesen Sätzen enthaltenen Konvergenzkriterien ist es wesentlich, daß ya^ bzw. -^±i- einen festen echten Bruch a von einer Stelle an nicht mehr übersteigt. Es genügt keineswegs zur Konvergenz, wenn stets

•y/^ < 1 bzw. ^±1 < 1

^«

leibt. Ein Beispiel hierfür bietet schon die harmonische Reihe V - , für

die gewiß für w >> 1 stets

"/ T 1 1 1 V— <1 und auch — i_ ; /. = 1 t ^j

« n -r 1 n w -f 1 "~

ist, die aber doch divergiert. Wesentlich ist eben, daß sich Wurzel und Quotient der Zahl 1 nicht beliebig nähern sollen.

2. Sind die Folgen iyanj oder (-^^^j konvergent, etwa mit dem

Grenzwert cz, so lehren die Sätze 1 und 2, daß für c< <^ 1 Konvergenz, für

oc > 1 Divergenz stattfindet. Denn strebt z. B. y«,, -> c^ < 1, so ist s= ~^ > 0 und also m so bestimmbar, daß für ny> m stets

ist. Und da dieser Wert a<l ist, so lehrt Satz 1 die Konvergenz. Ist da- gegen a > 1, so ist g' = — - — > 0 und m' so bestimmbar, daß für n > m' stets

n. — 1 -p c

ycin >cc — s' = — ~-^ = a

ist. Und da jetzt dieser Wert a>l ist, so lehrt Satz 1 die Divergenz. — Ganz entsprechend schließt man für den Quotienten. Ist a = 1 , so lehren diese Sätze noch gar nichts.

^) Analyse algebrique, S. 134 ff.

T6. § l'^- Das Wurzel- und das Quotientenkriterium. 113

S. Die unter 2. angewendeten Schlüsse sind offenbar schon erlaubt, falls lim -yun bzw. lim "-^^^^ < 1

■oder

lim^a„ bzw. lim ^^i±i- > 1

ist. Ist eine dieser Häufungsgrenzen = 1, oder die obere > 1, die untere < 1, so lehren sie uns gar nichts über das Konvergenzverhalten von 2'a„ . Der zu 75, 1 gemachte Zusatz lehrt aber, daß beim Wurzelkriterium schon die Be-

n . .

dingung lim y «,„ > 1 für die Divergenz hinreichend ist ^) .

4. Die unter 2. und 3. gemachten Bemerkungen sind so naheliegend, daß wir sie bei ähnlichen Fällen hinfort nicht mehr besonders erwähnen.

5. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium sind für die Praxis weitaus die wichtigsten. Bei den meisten in den Anwendungen vorkommenden Reihen kann man mit ihrer Hilfe die Konvergenzfrage schon erledigen. Wir geben einige Beispiele, bei denen x zunächst eine positive Zahl sein soll.

a) Zn^'x'' (a beliebig). Hier strebt

« -f 1 \ «

, . w + 1 I

da ja ~^~ - = 1 -^ ^^- -> 1 strebt und dauernd positiv ist (s. 35, 4 und 38, 10).

Die Reihe ist daher — und dies ohne Rücksicht auf den W>rt von oc — kon- vergent, falls x<:_l, divergent, falls x>l ist. Für x=l liefern unsere Kriterien keine Entscheidung, doch haben wir dann die uns bekannte harmo- nische Reihe vor uns.

^I("r)--i: (-)"(- v>)-

:0

Hier strebt

(P ^l ganzzahlig).

«« (n f P) W~ l+P) • . -\n -f 1) . pl ' "" ~ ^^T+i"^ ^ -^ '"^ •

Daher ist auch diese Reihe für ;<r < 1 konvergent, f ür ;tr > 1 divergent, welchen Wert auch p haben mag. Für x=l divergiert sie offenbar auch, da dann

^^^^^ ~a~ -^ ^ ^^^' ^"^ Konvergenzfalle wird für ihre Summe später der Wert

^ ^ ^

gefunden werden.

^a^;— if---f;+

Hier strebt für iedes x

4t -»«')=

die Reihe ist also für jedes x konvergent. Für ihre Summe wird später der Wert ß-'' gefunden werden.

1) Dadurch erhält das Kriterium eine disjunktive' Form. la,^ ist kon- vergent oder divergent, je nach dem lim "y'«,, < 1 oder >1 ist. (Näheres in § 36 und 42).

Knopp, Unendliche Reihen. 8

114 III. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

1 ^/~Y 1 d) y, -— ist konvergent, weil v/ — = ► 0 strebt.

^) 21 (losnY ^^^ konvergent, weil wieder y«« -> 0 strebt i). ^) II' Y+^- ^^^v^^g^^^t' weil a„<— ;

^ — - konvergent, weil für iz > 2 stets a„ = — — ' " ^^ < — -

n-n . . . n ~~ n"

y . : divergent , weil a„ >

y/n{n + l) w + 1 '

^ ~7~77 ^ konvergent, weil fl„ < _. .

&) ^ T, P>0 fest, ist divergent, weil nach 38,6 von einer

(logw)^

Stelle an (logM)^<M ist.

h) ^ ist divergent, weil yn-> 1 strebt.

nyn

i) y ■ — i ist konvergent, wie man sofort erkennt, wenn man

^ ^ (logti)^°Sn ^ ' '

das allgemeine Glied in der Form

schreibt. Dagegen ist

y ^ — Vg-aogiog«)2

(logw)'°e^°s«~

divergent, weil nach 38, 6 und Aufg. 13 von einer Stelle ab (log log n)^ < log n,

und also das allgemeine Glied der Reihe >> — ist,

n

§ 14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.

Bevor v^^ir diese ganz elementar gehaltenen Betrachtungen ver- lassen, wollen v^^ir unter den Reihen mit positiven Gliedern noch eine besonders einfache Klasse hervorheben, nämlich diejenigen, bei denen die Folge (a ) ihrer Gheder wenigstens von einer Stelle ab monoton ist. In diese Klasse gehören fast alle vorhin als Beispiele gegebenen Reihen und zu ihr gehören auch die Mehrzahl der in den Anwendungen vorkommenden Reihen. Für solche Reihen gilt folgender

^) Bei dieser Reihe darf die Summation erst bei n = 2 beginnen, da log 1=0 ist. Solche und ähnliche selbstverständliche Beschränkungen werden wir im folgenden nicht immer ausdrücklich betonen: es genügt für die Kon- vergenzfrage, wenn die hingeschriebenen Reihenglieder von einer Stelle an wohl bestimmte Werte haben. — Von jetzt ab bedeutet, wofern das Gegen- teil nicht ausdrücklich gesagt wird, das Zeichen „log" stets den natürlichen Logarithmus, also den mit der Basis e (46, 4).

77. §14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern. 115

Cauchyscher Konvergenzsatz. Ist yj a^ eine Reihe, deren Glieder 77,

eine positive monotone Folge («J bilden,- so hat sie dasselbe Konver- genzv erhalten wie die Reihe

1^ 2^^,;^ ^ ^, + 2a. + 4«, + 8«, + • • • ^).

Vorbemerkung. An diesem Satze ist besonders merkwürdig, daß nach ihm für das Konvergenzverhalten der Reihe sich schon ein geringer Bruchteil aller Glieder als entscheidend erweist. Man bezeichnet ihn darum wohl auch als Verdichtungssatz.

Nach ihm ist z. B. die harmonische Reihe ^ — sicher divergent, denn

sie verhält sich ebenso wie die Reihe

welche doch gewiß divergiert. Und allgemein verhält sich nach ihm die Reihe V, — — ebenso wie die Reihe

n

2* / 1 \*

(2-

2j ,^ks„ — 2j

Die letztere ist aber eine geometrische Reihe und konvergiert oder divergiert also je nachdem a > 1 oder ^ 1 ist.

Diese Beispiele lehren zugleich, daß das Konvergenzverhalten von Z2^a^k oft leichter erkennbar ist als das der Reihe 2 a^ selber; und gerade hierin liegt der Wert des Satzes.

Beweis. Wir bezeichnen die Teilsummen der gegebenen Reihe mit s^ , die der neuen Reihe mit t^ . Dann ist (vgl. 74, 2)

a) für n < 2*

^« < «1 + K + Äg) + • • • + («2Ä + • • • + «2Ä+1-J

< «1 + 2^2 + 4a, + . . . + 2^a,_k=t^, also

b) für n > 2*

5„ > a, + ^2 + K + ^4) + • • • + (^2^^-1 + 1 + • • • + «2 = 4) > I «1 + «2 + 2«4 + • • • + 2^-'«2/^ = | ^.>

n

also

2\>^.-

Die Abschätzung a) lehrt nun, daß mit der Folge (^^) auch die f^olge (sj beschränkt ist; die Abschätzung b) umgekehrt, daß mit (5J auch [Q beschränkt ist. Diese Folgen sind also entweder beide be- schränkt oder beide nicht beschränkt, die in Rede stehenden Reihen also entweder beide konvergent oder beide divergent, w. z. b. w.

1) Analyse algebrique, S. 135.

1 16 IJI. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

Ehe wir weitere Beispiele zu diesem Satze geben, wollen wir ihn noch etwas erweitern^); denn man sieht sofort, daß die Bevor- zugung der Zahl 2 kein wesentlicher Teil des Satzes ist. In der Tat gilt allgemeiner der

78. Satz. Ist ^a^^ wieder eine Reihe, deren Glieder eine positiv.

mo)ioion abnehmende Folge {aj bilden, und ist (g^,, g^, . . .) irgendeine monotone wachsende Folge ganzer Zahlen, so sind die beiden Reihen

\

^„ nnd i{gu^^-gMc

entweder beide konvergent oder beide divergent^ falls die g^ für jedes k die Bedingungen

Sic > gk~i ^ 0 ''''^ ^/.+l - ^ic ^ ^^^ • fe/c - Su-l)

erfüllen, in deren zweiter M eine positive Konstante sein soll-). Beweis. Ganz ähnlich wie vorhin hat man

a) für n < g,., wenn A die Summe der dem Gliede a^^ etwa vorangehenden Glieder (sonst 0) bedeutet,

S„ <S,^ ^ ^ + («go + • • • + «Si-l) + • • • + (^g, -f ■ • • + %+,-l) < ^ + (gl - ^o) «?o + • • • + (gfc+1 - g/J ^^u '

also

b) für n > g,^

K > ^ik > (^^0 + 1 + • • • + «gl) -T- • • • + K_, + l + • • • + ^gj) > fei - ^o) «gx + • • • + (g, - g,c-i) «g, ^5„ > fe2 - ^l) ^?t 4- • • • + fe,+i — gl,) ^g, '

also

Und aus diesen beiden Abschätzungen zieht mafi genau wie vorhin die in Rede stehenden Schlüsse.

Bemerkungen. ♦70 1. Es genügt natürlich, wenn die Bedingungen der beiden Sätze erst von

' einer gewissen Stelle ab erfüllt sind. Daher darf man in dem erweiterten Satze sich speziell

gfc=3*, =4*, ..., oder =[^k] gesetzt denken, wenn - irgendeine reelle Zahl > 1 und [f^k] die größte nicht oberhalb gk gelegene ganze Zahl bedeutet. Auch genügt man mit der Wahl

1) O. Schlömilch, Zeitschrift für Math. u. Phys., Bd. 18 (1873), S. 425:

2) Die zweite Bedingung bedeutet, daß die Lücken, die die Folge (g^) gegenüber der Folge aller natürlichen Zahlen aufweist, sich nicht zu stark vergrößern dürfen.

79« § 14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern. 117

den Bedingungen des Satzes. Für i^j. = k" erhält man z, B. den Satz, daß

y; Un und ^ (2/e-L l)a^2iz«o + '5^i-r5a4 + 7a5, -f . . .

n=0 k = i)

entweder beide konvergieren oder beide divergieren, — falls (a„) eine positive monoton abnehmende Folge ist. Statt der letzten Reihe darf man nach 70, 4 auch die Reihe J'Äa^a zi a^ + 2«^ r 3«., f . . . nehmen.

X 1

2. V ist divergent, — trotzdem ihre Glieder wesentlich kleiner

sind als die der harmonischen Reihe; denn nach unserm Satze verhält sich diese Reihe ebenso wie die Reihe

.^ 2^ • log (2*) "^.ri (log 27

k

und ist also nach 70 , 2 gleich der harmonischen Reihe ^^ divergent.

^~ k

Die Divergenz dieser Reihe und der in den folgenden Beispielen behandelten

wurde von A^. H. Abel entdeckt (s. OEuvres II, S. 200).

^ 1

3. ^^ -. ist auch noch divergent, obwohl ihre Glieder

^, n log n ■ log log n

wieder wesentlich kleiner sind als die der eben behandelten Abelschen Reihe, In der Tat verhält sie sich nach dem Cfl//c7zyschen Satze ebenso wie die Reihe

V = iz: V

k^2 2* • log (2*) • log (log 2^) Ä~2 ^ • 1°^ '^ • 1^§^ (^ ^^^ ^^) und diese hat, da log 2 <;; 1 ist, größere Glieder als die eben behandelte

Abcls>c\\e Reihe N^ und muß also gleich dieser divergieren.

— k log k

4. So kann man beliebig fortfahren. Zur Abkürzung bezeichnen wir den r-fach iterierten Logarithmus einer positiven Zahl x mit log^,v, so daß logQ X — X ^ log^ X = log X , log, X = log (log a) , ... log^A' = log (logv_^A') ist. Unter log_j^A; können wir noch den Wert e'-^' verstehen.

Diese iterierten Logarithmen haben erst einen Sinn, wenn x hinreichend groß ist, log X nämlich erst für x y> 0 , log., x erst für x , :■ 1 , logg x erst für X ^ ■ e , usw. ; und in den Nenner unserer Reihenglieder wollen wir sie erst setzen, wenn sie positiv sind, also log^r erst für a' > 1 , log, .r erst für x^e^ log.5 X erst für x ;::> e^ usw. Setzen wir daher die Reihe an

^' , , , (Z' > 1 ganz) ,

— ;/ log n ■ logo 11 . . . log^, n —

so darf die Summation erst bei einem passenden hinreichend großen Index beginnen, — auf dessen genauen Wert es aber (nach 70, 1) nicht ankommt. Diese Reihe verhält sich nun, da die Logarithmen mit n monoton wachsen, die Reihenglieder also monoton abnehmen, nach dem Crt^c/^yschen Satze ebenso wie die Reihe

N^ \ -^

r log2*.log„2*...log,2*

und diese wird, da 2<Cf, sicher divergieren, wenn sogar die Reihe

V '

— * log« ... log,_jft

118 in. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

divergiert. Da nun diese Divergenz für p = 1 (und p = 2) schon festgestellt ist, so folgt hieraus durch vollständige Induktion (2, V) die Divergenz für jedes p ^1.

5. Die betrachteten Reihen gehen aber in konvergente Reihen über, falls man dem letzten Faktor des Nenners einen oberhalb 1 gelegenen Expo- nenten gibt. Daß ^-^ für a>l konvergiert, ist uns schon geläufig.

Nehmen wir nun an, es sei schon für ein bestimmtes (ganzes) p > l die Kon- vergenz der Reihe

(*) y ^ '^ (a > 1)

k Ä-logÄ...log^_,Ä.(log^_,Ä)"

beveiesen, so folgt daraus ganz ähnlich wie vorhin die Konvergenz der Reihe

^'~^ 7^ n ^ (^>1)-

„ 77 • log w . . . logj,_^ n ■ (log^ ny

Denn diese wird sich nach dem erweiterten Cauchyschen Satze 78 ebenso verhalten wie die Reihe — wir wählen gj. = 3* —

r 3Mog 3^ . . (log,, 3T

Wegen S y> e hat diese aber kleinere Glieder als die soeben als konvergent vorausgesetzte Reihe (♦), falls man deren Glieder vorher mit 2 multipliziert hat (was nach 70, 2 die Konvergenz nicht stört).

Die in den beiden letzten Beispielen aufgestellten Reihen werden uns als Vergleichsreihen weiterhin die wertvollsten Dienste leisten.

Noch einen letzten bemerkenswerten Satz wollen wir über die Reihen mit positiven monoton abnehmenden Ghedern beweisen, ob- gleich er in gewisser Weise schon ejwas von den allgemeinen Kon- vergenzbetrachtungen des folgenden Kapitels (s. 82, 6) vorwegnimmt.

SO. Satz. Wenn die Reihe 2a^ mit positiven monoton abnehmenden

Gliedern konvergieren soll, so muß nicht nur a^^-^O^ sondern sogar

streben^).

Beweis. Nach Voraussetzung ist die Folge der Teilsummen ß^ -}- ^1 H~ • • • + ^71 = ^n konvergent. Nach Wahl von e > 0 kann man daher m so wählen, daß für alle v > m und alle A ^ 1 stets

!Sy + ;. — S,, ! < -,

d. h..

ar + l + ar + 2 + . . . + ür + l < ^

^) Für p = l soll dies die Reihe V sein.

-) L. Olivier, Journ. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 2 (1827), S. 34.

§Q^ Aufgaben zum III. Kapitel. 119

bleibt. Wählen wir nun n>2fn, so ist, wenn v = [ln] die größte ganze nicht oberhalb | n gelegene Zahl bedeutet, v^m und also

s

<^v + 1 -{- ^'v + 2 -{- ■ " -{- ^n ^ '2'

um so mehr ist dann

und erst recht

|--^„<|-' d.h. na^^<e.

Es strebt also na^^->0, w. z. b. w.

Bemerkung. Ausdrücklich muß hervorgehoben werden, daß die Be- ziehung nan->0 für unsere Reihenart nur eine notwendige, aber keine hin- reichende Konvergenzbedingung ist, d. h. wenn wa„ nicht gegen 0 strebt, so ist die betreffende Reihe sicher divergent^), während aus wa„->0 nichts über die etwaige Konvergenz der Reihe zu folgen braucht. In der Tat ist ja die

Abelsche Reihe V divergent, obgleich sie monoton abnehmende Glieder

^^ wlogw hat und

na,, = , ► 0

logn

strebt.

Aufgaben zum III. Kapitel.

34. Man untersuche das Konvergenzverhalten einer Reihe 2'a„ , bei der «„ von einer Stelle an einen der folgenden Werte hat:

1 n<^ n-^y/Ji (nlf 2"-n! 3»-^! fa-^-n'^

i+— ' ^ ' "n^-nT ' (2w)! ' n" ' ~n« ' V n

n n

1 f n \ / n — 1 \ / , — — — j — \ / 3

V«-! , f-^a-1-— , {y/n-^l-^}, iyn + l-i/n

a'

y/f^l—^n J 1 • ,/;

Z ^ ' lloglog'n)'^^^' ' (log3i.V"

1 ^Qg^

n

Bei denjenigen Reihen, in deren Gliedern die Konstante a auftritt, ist die Frage dahin zu verschärfen, für welche Werte von a die Reihe konvergent ausfällt, für welche nicht.

35. Mit Sdrt divergiert auch T -,"-',- • Wie verhalten sich ^ — — -—

"■ — ' 1 + »„ L -X- nein

1) Es muß hiernach z. B. die harmonische Reihe Y ~ divergieren, weil sie

monoton abnehmende Glieder hat, aber n-— nicht gegen 0 strebt,

n

120 Aufgaben zum III. Kapitel.

36. Wie verhält sich, wieder unter der Voraussetzung, daß l'd„ diver- gfiert und d,, 0 ist, die Reihe \^ ^" -^

37. Es strebe ^,, -> ^- oü . Wie verhalten sich die Reihen

38. Es strebe ^^, >_oü, doch so, daß

0 < lim (^„^.^ -/,„)< + no ausfällt. Welche Häufungsg^renzen muß die Fol^e (o„) haben, damit

V_i_

Pn''"

Konvergfiert, bzw. diver^j^icrt.

39. Für jedes « >» 1 ist

40. Die Folg-e

1 1 1

1 -f TT -f- . • -f ^ogn

a 71

fällt monoton.

41. Wenn 2'«,^ positive Glieder hat und konvergiert, so konvergiert auch 2^va„«„+^. Man zeige an einem Beispiel, daß die Umkehrung dieses Satzes nicht allgemein richtig ist, und beweise, daß sie doch gilt, wenn (aj monoton ist.

42. Wenn 2'a„ konvergiert, so konvergiert auch wV/*« ^ j^ sogar für

jedes d>0 die Reihe V V^«

^ /— l + A

\ln

43. Jede positive reelle^ Zahl x^ kann auf eine und nur eine Weise in der Form

, «•> «i a.

dargestellt werden, wenn die a„ ganze, nicht negative Zahlen sind, die der Bedingung a„^n-l genügen, ohne von einer Stelle an dauernd =« — 1 zu sein. Wenn x^ rational ist, und nur in diesem Falle, bricht die Reihe ab.

44. Ist 0 < ;v < 1 , so gibt es eine und nur eine der Bedingung 1 < k^ < A._> <Ä3^... genügende Folge natürlicher Zahlen, für die

ist. X ist dann und nur dann rational, wenn die k^ von einer Stelle an silnit- lich einander gleich sind.

81. § 15- Das 2. Hauptkriterium u. d. Rechnen mit konvergenten Reihen. 121

IV. Kapitel.

Reihen mit beliebigen Gliedern.

§ 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen.

OD

In einer unendlichen Reihe ya^^, deren Glieder nun keiner

Beschränkung mehr unterworfen sein sollen, sondern behebige reelle Zahlen bedeuten dürfen, sollte lediglich ein neues Symbol für die Folge (sj ihrer Teüsummen

5« = «0 + ^1 + •••+«„ (n = 0,1,2,...)

gesehen und die für das Konvergenzverhalten von {s^ ) eingeführten Be- zeichnungen unmittelbar auf die Reihe selbst übertragen werden. Uns interessiert vor allem wieder der Fall der Konvergenz. Das II. Haupt- kriterium (47 — 51), das die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz aussprach, liefert hier sofort den folgenden

o Hauptsatz (1. Form). Die notwendige und hinreichende Be- Sl. dingung für die Konvergenz der Reihe Za^^ besteht darin, daß nach Wahl von e>0 sich eine Zahl w^ =;?(,(£) so angehen lasse, daß für alle n > n^ und alle k^l stets

d. h. also jetzt, daß stets

|«n + l + «n + 2 + -- + «« + /c| < f

ausfällt.

Stützen wir uns auf die 2. Form des Hauptkriteriums, so erhalten wir auch für den jetzigen Hauptsatz die folgende

"^2. Form, Die Reihe 2a^^ ist dann und nur dann konvergent, wenn nach Wahl einer ganz beüebigen Folge {kj von natürlichen Zahlen sich die Folge der Zahlen

stets als eine Nullfolge erweist^). Und ähnlich wie damals können wir dies noch etwas erweitern zu der

°3. Form. Die Reihe 2\j^^ ist dann und nur dann konvergent, wenn nach der Wahl zweier ganz beliebiger Folgen (v^^) und [kJ von

^) Diese Form ist es im wesentlichen, in der N. H. Abel in seiner grund- legenden Arbeit über die BinomialrciJw (Joiirn. f. die reine u. angew. Math., Bd. 1, 1826, S. 311) das Kriterium aufstelh.

122 IV. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

natürlichen Zahlen , von denen wenigstens die erste -> -\- co streben soll, sich die Folge der Zahlen

Tn = K +1 + «f. ,2 + ... + «. -r* )

stets als eine Nullfolge erweist. - , .

^<2. Bemerkungen und Beispiele.

1. Da es sich jetzt bei den Reihen lediglich um eine neue Schreibart für Zahlenfolgen handelt und insbesondere, wie betont, nicht nur jede Reihe eine Zahlenfolge darstellt, sondern auch jede Zahlenfolge als Reihe geschrieben werden kann, so gelten sinngemäß alle S. 79 ff. gemachten Bemerkungen und Beispiele.

2. Den Inhalt des Hauptsatzes kann man etwa folgendermaßen in Worte kleiden : Nach Wahl von « >> 0 muß jedes beliebig lange Stück der Reihe, dessen Anfangsindex nur hinreichend groß ist, eine Summe haben, deren Betrag <; s ist. Oder: Nach Wahl von g >> 0 muß sich eine Stelle m so angeben lassen, daß für n^ m die Addition beliebig vieler weiterer Glieder zu s„ den Wert dieser Teilsumme niemals um mehr als s ändern kann.

3. Ein beliebig herausgeschnittenes Stück der Reihe, wie das Stück

«^+i + «,,+2 + " + «v+;. wollen wir im folgenden der Kürze halber ein TeilstficJv der Reihe nennen und mit T bezeichnen, wenn es hinter dem rten Gliede beginnt. Wenn nötig, kann man auch noch die Anzahl / der Glieder des Stückes deutlich machen, indem man es mit T^, ^ bezeichnet. Haben wir eine beliebige Folge solcher Teilstücke vor uns, deren erster Index -> -f OC strebt, so wollen wir kurz von einer T eil fttüch folge der vorgelegten Reihe sprechen. Die 2. und 3. Form des Hauptsatzes kann dann auch so ausgesprochen werden:

o 4. Form. Die Reihe ^a^ ist dann und nur dann konvergent, wenn jede Teilstückfolge derselben eine Nu II folge ist.

4. üün ist also dann und nur dann divergent, wenn sich wenigstens eine Teilstückfolge angeben läßt, die keimte Nullfolge ist. Für die harmonische Reihe

vi ist z. B.

— n

T -T -^--_^^. +i>n.A=l.

^»--'n,n- n^l ' n-i-2 ' 2ii 2n 2

Diese Folge (r„) ist also sicher keine Nullfolge, also ^ divergent. 1

5. Für y -^ ist ^- TT
T -T - 1 ^ -L	1
v.l. (v+lf	{v-r^^r
. 1 , 1	2) + -	1 _	1
'^y(v+l) (v+l)(v+:	^{v-r	I-l)> + A)
<{WJ-Llr	r-i-2/	+ ...T	.r^A i	.) =	1 V	1	>
also T^ < — , so daß T^, -> 0	strebt,	wenn	r -► r Oü strebt	. Dl	ie	Reihe	ist
konvergent.

82« § 15- I^^s 2. Hauptkriterium u, d. Rechnen mit konvergenten Reihen. 123

6. Da nach der 2. Form, wenn man dort alle Ä„ = 1 setzt, sich «,j, j-^O ergibt, so strebt (nach 27, 4) auch a„->-0, d. h. es gilt der

oSatz. jB^z einer konvergenten Reihe müssen die Glieder eine Nullfolge bilden.

Daß diese Bedingung für die Konvergenz nicht hinreichend ist, wissen wir schon von der harmonischen Reihe her.

Weiß man andererseits schon, daß 2^, konvergiert, so konvergiert mit

ihr auch die Reihe a,, , . + a,^ , ^ ■\- a ,, . o -r . • ■ ^ 2J a^. deren Summe man als

v — n + 1 sogen. Rest der Reihe Hun gewöhnlich mit r^ bezeichnet (so daß also s„ + y„ = s = der Summe der ganzen Reihe ist). Man darf dann in der für w >- Mq und alle k^l gültigen Abschätzung

k über alle Grenzen wachsen lassen, und findet, daß für n >- Hq stets | >'« | ^ £

00

ausfällt. Es bilden also auch die Reste einer konvergenten Reihe 2J ön = 5> «^so

»=o die Zahlen

(y _ j = s) , r^, fj , ^2 , . . . , ^'n ) • • • stets eine Nullfolge.

7. In 80 sahen wir, daß, wenn die Glieder einer konvergenten Reihe Zun (mit positiven Gliedern) monoton fallen, über den eben in 6. bewiesenen Satz hinaus sogar die Beziehung «a„->0 gilt. Daß dies bei Reihen mit be- liebigen Gliedern nicht mehr der Fall zu sein braucht, lehrt schon die gleich hernach in 9. gegebene Reihe. Doch läßt sich zeigen, daß jetzt

^1 + 2^2 + .. . + nan ^^

n

streben muß, daß also die Glieder der Folge (vjrt«) im Durchschnitt kleine Werte ergeben. Es gilt sogar allgemeiner der

00

^Satz. Ist y.ä^^ eine konvergente Reihe mit beliebigen Gliedern

und bedeutet {Pq, p^, • • •) ^ine beliebige monoton -> -4- oo wachsende Folge positiver Zahlen, so strebt der Quotient

Pn

Beweis. Nach 44,2, folgt aus 5„->5, daß auch

Pi ^0 + {p2-Pi)Sj_-...-{- {p^^ - p,^ _ i) 5^ _ 1

>- s

Pn

P s Strebt. W^gen ^ *^->0, s„->s, muß also

Pn

{Pi-Po)^o + (P-2-Pi)^x + ----r{Pn-Pn-l)'n-l ^ s ► 0

P'>

1) L. Kronecker, Comptes rendus de l'Ac. de Paris, Bd. 103 (1886), S. 980.

124 I^ • Kap. Reihen mit beJiebigen Gliedern.

streben. Dies ist aber genau die zu beweisende Beziehung, wie man sofort erkennt, wenn man alles auf den Xenner /?„ bringt und nun der Reihe nach die Glieder mit p^^. p^, ..., p^ sammelt^).

8. Unsere jetzigen Sätze und Bemerkungen gelten natürlich auch für Reihen mit positiven Gliedern. Man prüfe das in jedem Falle nach.

9. Für die Reihe

^-(-n--^_ . 1,1 1,1,

ist

T^^T,, , = (-ir

1 1 ^ 1 __^_ . + (-!)*"'.

M + 1 « + 2 77 -f 8 • ■ • n "k

Mag nun k gerade oder ungerade sein, der Ausdruck in der Klammer ist

jedenfalls positiv und << . Denn faßt man je ein positives und ein nega-

tives Glied in eine Klammer zusammen, so ist deren Wert jedenfalls positiv. Bei geradem k w^erden auf diese Weise alle Glieder aufgebraucht, bei iiii'^eradeni k bleibt ein positives übrig, so daß in beiden Fällen der Ausdruck als positiv erkannt wird. Schreibt man ihn andererseits in der Form

V -(_• ^L)_(_J 1

;/ -f 1 \M + 2 w -f 6/ \n -f 4 n -f so werden jetzt bei ungeradem, k alle Glieder aufgebraucht, während bei ge- radem k ein negatives Glied übrigbleibt, so daß in beiden Fällen von

nur abgezogen wird, der Ausdruck also ■ .,^ — — - ist. Wegen

]T \ = ' T i < 1 folgt nun aber, daß

strebt, unsere Reihe also konvergent ist. — Wir werden später (S. 205) sehen, daß ihre Summe übereinstimmt mit dem Grenzwert der Folge 4ö , 2 und den Wert log 2 hat.

10. Ist (fl^, r/^, cio, . . .) eine positive nunotone Nullfoh^c, so zeigt man genau ebenso, wie in 9, daß die Reihe ^'("l)"««, die man wegen der abwechseln- den Vorzeichen ihrer Glieder als alternierende Reihe bezeichnet, konvergiert. Denn jetzt ist

^„'= ^«,* <^.' was r„ > 0 und also die Konvergenz der Reihe zur Folge hat. Es gilt also die folgende

Leibnizsche Regel"): Eine alternierende Reihe, bei welcher die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden, ist stets konvergent.

^) Statt der positiven p„ darf man auch (vgl. 44,3 und 5) irgendeine Zahlenfolge {p„) nehmen, für die einerseits | />« -► f- ^NJ strebt und andrer- seits eine Konstante K angegeben werden kann, so daß stets

Po : '^Pi-Po\-r--'+Pn-Pn--l<^'\Pn-

bleibt.

■-) Briefe an /. Hermann vom 26. VI. 1705 und an Joh. Bernoulli vom 10. l. 1714.

S^. §15- Das 2. Hauptkriterium u. d. Rechnen mit konvergenten Reihen. 125

11. An den Konvergenzbedingungen ist noch hervorzuheben, daß sich die darin geforderten Bedingungen immer nur auf diejenigen Glieder be- liehen — oder zu beziehen brauchen — , die hinter einem bestimmten stehen, dessen Index übrigens durch jeden größeren ersetzt werden dürfte. Es kommt also bei der Entscheidung der Konvergenzfrage, wie man kurz zu sagen pflegt, uuf den Anfang der Reihe nicht an. Wir präzisieren dies genauer in dem folgenden

oSatz. Leitet man ans einer vorgelegten Reihe _V a^^ dadurch

eine

0

neue Reihe y u^^ her, daß man hei jener endlich viele Glieder we'^-

«=o sireicht oder endlich viele Glieder voranstellt oder endlich viele Glieder abändert (oder alles zugleich) und nun die Glieder der entstan- denen Reihe neu mit a^^'ya^',... bezeichnet '^), so sind beide Reihen konvergent oder beide divergent.

Beweis. Die Voraussetzungen besagen, daß es eine bestimmte ganze Zahl q^O gibt, so daß von einer Stelle ab, etwa für alle n > m stets

ist. Jedes Teilstück der einen Reihe ist daher auch ein Teilstück der andern Reihe, wofern der Anfangsindex derselben nur >> w + ] ^ { ist. Der Hauptsatz 81,2 liefert nun unmittelbar die Richtigkeit unserer Behauptung.

12, Ausdrücklich sei noch hervorgehoben, daß für Reihen mit beliebigen Gliedern die Vergleichskriterien aller Art vollständig außer Kraft gesetzt sind. Insbesondere kann von zwei Reihen 2'a„ und ^a/, deren Glieder asymptotisch gleich sind (a„ rs^ «„'), sehr wohl die eine konvergieren, die andre divergieren.

Man setze z. B. a„ = und a' = an '

" n log n '

Das Rechnen mit konvergenten Reihen.

Schon S, 97 wurde betont, daß die Bezeichnung „Summe" für den Grenzwert der Folge der Teilsummen einer Reihe insofern irre- führend ist, als sie den Glauben erweckt, mit einer unendhchen Reihe lasse- sich nach denselben Regeln rechnen, wie mit einer (wirklichen) Summe aus einer bestimmten Anzahl Summanden, also etwa wie mit Summen der Form [a -}- b -{- c ^ d). Das ist aber keineswegs der Fall, jener Glaube also prinzipiell falsch, wenn auch einige jener Regeln tatsächlich für unendliche Reihen gültig bleiben. Die Haupt- gesetze für das Rechnen mit (wirkHchen) Summen sind (nach 2, I. u. III) das Assoziations-, das Distributions- und das Kommutationsgesetz. Die folgenden Sätze sollen lehren, inwieweit diese Gesetze auch noch für unendUche Reihen gelten und inwieweit nicht.

oSatz 1. Das Assoziationsgesetz gilt uneingeschränkt auch bei Un- endlichen Reihen, d. h. aus

^0 + ^1 + ^2 + • • • = ^ 88.

1) Also kurz: ,, , . . daß man bei der Folge (a„) der Glieder jener Reihe endlich viele Änderungen (27, 4) vornimmt, . . .".

126 IV. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

folgt

K + «1 + • • • + «rj + {a,^ + 1 + «V, + 2 + . . . + ^,.J + = S,

wenn v^,v^,.., irgendeine wachsende Folge verschiedener ganzer Zahlen ^ 0 bedeutet und die Summe der durch eine Klammer zusammenge- schlossenen Glieder als ein Glied einer neuen Reihe

A, + A, + ... + A, + ...

(^. = «.,+, + S, + 2 + --- + %^i; Ä = 0, 1,2,...; .•„=-!)

angesehen wird.

Beweis. Die Folge der Teilsummen 5^ von 2A^ ist ersichtlich die Teilfolge 5^^, s^^, ..., s^^, ... der Folge der Teilsummen s„ von Za^. Nach 41, 4 strebt daher 5, demselben Grenzwert zu wie 5

Beispiel. Mit 2^ 1 1 1 _ ^^ + i_ _ i_ o. ... ist also auch

n = i ^^ 2 3 4

yl_J: 1\ X*. 1 11 1

und ebenso auch die Reihe

V2 3/ U hl 2-3 4-5 eT?"---

konvergent und alle drei haben dieselbe Summe. Bezeichnen wir diese mit

s, so lehrt die zweite der Reihen, daß jedenfalls s> ^-L = -L^ die dritte

1. • ü o • 4 \Z

aber, daß 5 < 1 - -— = — sein muß. Es ist also

7 ^ ^10

12<^<I2-

Bemerkung. Ausdrücklich sei betont, daß man nach Satz 1 zwar Klammern setzen, nicht aber ohne weiteres weglassen darf, — wie folgendes einfache Beispiel zeigt : Die Reihe 0 + 04-04-..- ist gewiß konvergent mit der Summe 0. Setzen wir überall (1 — 1) statt 0, so bek^Jmmen wir zunächst die richtige Gleichung

(1-1)4-(1-1)4-... -2'(1-1) = 0. Ohne die Klammern aber erhalten wir die divergente Reihe

l-l-fl-l-f-..., die also nicht „=^0" gesetzt werden darf, denn sonst würde man durch eine erneute, aber nun etwas geänderte Zusammenfassung der Glieder die Reihe

l-(l-l)-(l-l)-..._l_0-0-0-... erhalten, welche nun wieder konvergiert und die Summe 1 hat. Man würde also schließlich herausbekommen, daß 0=1 istll^)

^) In früheren Zeiten — also vor der strengen Begründung des Rechnens mit unendlichen Reihen (s. Einl.) — stand man solchen Paradoxien ziemlich ratlos gegenüber. Und weim auch die besseren Mathematiker sozusagen instinktiv solchen Schlüssen, wie dem obigen, aus dem Wege gingen, so wurden sie den minderen Köpfen um so mehr Anlaß zu den kühnsten Spekulationen. So glaubte

83. § 1^- ^^^ 2- Hauptkriterium u. d. Rechnen mit konvergenten Reihen. 127 Wir ergänzen daher den Satz 1 sogleich durch den folgenden

OD

o Satz 3. Sind die Glieder einer konvergenten unendlichen Reihe 2J ^k selbst wirkliche Summen (etwa, wie vorhin, A^ = a^ +i~^ -• ' ~^ ^v^ + i'' j^ ^ Q l -^ y^ = -^ l^^ so darf man die sie umschließenden Klam- mern nur dann weglassen, wenn die dadurch entstehende neue Reihe 2] a^, wieder konvergiert. In der Tat ist ja dann nach dem vorigen

Satze Za^ = SA^, während im Falle der Divergenz von Za^^ diese Gleichung sinnlos wäre.

Ein meist ausreichendes Kennzeichen dafür, oh nun die neue Reihe kon- vergiert, liefert der folgende

o Zusatz. Die nach dem vorigen Satz aus 2A & hergeleitete neue Reihe Za^ fällt sicher konvergent aus, wenn die Größen

k ]{ « + 1

eine Nullfolge bilden ^).

Beweis. Ist f>0 gegeben, so wähle man m^ so groß, daß für Ä > m^ stets

ausfällt, und m^ so groß, daß für k > m^ stets ^fc<Y bleibt. Ist dann m größer als jede der beiden Zahlen w^ und m^, so ist für ny-Vm stets

15«-S|<£.

Denn jedem solchen n entspricht eine ganz bestimmte Zahl ä, für die

ist und diese Zahl k muß ^m sein. Dann ist aber

5„ = 5^_i + a^^ + i + ... + «« kn-5;^_il^^i<Y'

Und wegen

s„-5 = (s„-S,_,) + (5,_i-s)

ist dann in der Tat

|s„-sj<e, d.h. ^a„ = s, w. z. b. w.

n=0

Beispiel.

ist konvergent, denn J^ ist positiv und für Ä > 1 stets

2 1^_ 1 ^1

<4Ä_4 2ä 2(ä-1).ä =/?"'

n :

z. B. Guido Grandi (nach R. Reiff, s. 69, 8) durch die obige irrige Schlußkette, die aus der Null eine Eins werden läßt, die Möglichkeit der Erschaffung der Welt aus dem Nichts mathematisch bewiesen zu haben I

1) Wegen ^^^0 ist das von selbst der Fall, wenn die Summanden, aus denen ein jedes ^^ besteht, jedesmal unter sich gleiche Vorzeichen haben, — insbesondere also, wenn alle Aj^ und alle a„ > 0 sind.

128 I^ • Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

Da ebenso für Ä > 1 stets

2 1 1

" 4Ä^4 ' 2ä h-\ ist, so ist {A]l) eine Xullfoljye. Also ist die Reihe ^ 1 1 l 1 1

konvergent. — Ihre Summe — sie heiße 5 — ist, da die Reihe in der ersttn Gestalt nur positive Glieder hatte, jedenfalls > .-J^ -f ^., >— . .

o Satz 3. Konvergente Reihen darf man gliedweis addieren. Ge- nauer: Aus

/olg	t sowohl		n=0 n = 0	und		i
als	auch —	ohne	Klammern! -	-

«0 + ^0 + «1 + ^ + «'2 + • • • = ^ + ^•

Beweis. Sind s und t ^ die Teilsummen der ersten beiden Reihen, so sind (s„ + /J diejenigen der dritten. Nach 41, 8 folgt also sofort,' daß (Sj^ -\- tj — ► s + / strebt. Daß man in der hiernach als konvergent erkannten Reihe die Klammern weglassen darf, folgt aber nach dem Zusatz zu Satz 2 sofort daraus, daß aj, und \b^^ und also auch ( i ^« + ^»r ) Nullfolgen sind.

o Satz 4. Konvergente Reihen darf man in den; selben Sinne ^lied- weis voneinander subsirahieren. Beweis ebenso.

oSatz 5. Konvergente Reihen darf man mit einer Konstanten multi- plizieren, d.h. aus 2a^^ = s folgt, wenn c eine beliebige Zahl ist,

2{ca^) = cs.

Beweis. Die Teilsummen der neuen Reihe sind cs^^, wenn die- jenigen der alten Reihe s,^ heißen. Satz 41, 10 liefert nun sofort die Behauptung. — Dieser Satz überträgt in gewissem Ausmaße das Distributionsgesetz der Addition auf unendliche Reihen.

^^^ Bemerkungen und Beispiele.

1. Diese einfachen Sätze sind darum so wichtig, weil sie jedesmal nicht nur die Konvergenz einer neuen Reihe liefern, sondern auch deren Summe mit denen der alten in Beziehung setzen. Sie bilden daher die Grundlage für ein wirkliches Rechnen mit unendlichen Reihen.

2 Die Reihe V ^~ ' war konvergent. Ihre Summe heiße 5. Nach

Satz 1 sind auch die Reihen

§5« § 16- Absolute Konverg-enz, Umordnung von Reihen. 129

konvergent mit der Summe s. Multipliziere ich die erste nach Satz 4 gliedweis mit ^ — dies liefert

1 1 \ s

j^i V4 Ä - 2 4 k) 2 — und addiere sie nach Satz 3 gliedweis zur zweiten, so erhalte ich

f. (_}_ , _i ij _i

^^1 V4 Ä - 3 ^ 4 Ä - 1 2 Ä/ ~ 2 ^ '

d. h. genauer: es hat sich die Konvergenz der linksstehenden Reihe und der Wert ihrer Summe ergeben, — letzterer ausgedrückt durch die Summe der Reihe, von der wir ausgingen. Die Konvergenz hatten wir oben bei Satz 2 schon direkt festgestellt; die jetzige Rechnung führt aber erheblich weiter, da sie eine bestimmte Aussage über die Summe liefert.

Ehe wir die Gültigkeit des Kommutations- und des Distributions- gesetzes und mit letzterem die Möglichkeit der Muhiplikation zweier Reihen untersuchen, bedürfen wir noch einer wichtigen Vorbereitung.

' § 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen.

Die Reihe l — | -j- | _ 1 -}- . . . hatte sich 82, 9 als konvergent erwiesen. Ersetzt man aber jedes Glied derselben durch seinen ab- soluten Betrag, so geht sie in die divergente harmonische Reihe 1 + 2- + 3 + • • • über. Für alles folgende wird es meist einen sehr wesendichen Unterschied machen, ob eine konvergente Reihe 2 a auch noch konvergent bleibt, wenn man alle Glieder durch ihren absoluten Betrag ersetzt, oder ob sie dadurch divergent wird. Hier gilt zunächst der

^Satz. Eine Reihe ^ a^ ist sicher konvergent, wenn die Reihe {mit 85. positiven Gliedern) ^\aJi konvergierf^). Und ist dann 2a^ = s,

S\aJ^=S, so ist \s\^S.

Beweis. Wegen

k« + l + ^n + 2 + • • • + ^„ + fc! £ K + l\ + • • • + !«„ + ,J ist mit der rechten Seite auch die linke < e, woraus nach dem Haupt- satz 81 sofort die erste Behauptung folgt. Da ferner

K\^\<i + M + --- + K\<s

ist, so ist nach 41, 2 auch \s\ ^S.

Hiernach verteilen sich alle konvergenten Reihen 2J a auf zwei verschiedene Klassen, je nachdem nämlich 2\a^\ auch noch konver- giert oder nicht. Wir definieren

^) Cauchy, Anal, alg., S. 142. (Der Beweis ist noch unzulänglich.) — Da- gegen lehrte das eben gebrachte Beispiel, daß aus der Konvergenz von 2 a^ nicht diejenige von 2'ja„| zu folgen braucht.

Knopp, Unendliche Reihen. ' 9

130 IV. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

86. ^Definition. Ist eine konvergente Reihe 2 a^^ so beschaffen, daß

sogar ^\aj konvergiert, so soll die erste Reihe absolut konvergent, andernfalls nicht-absolut konvergent heißen^). Beispiele. Die Reihen

)n — l jx

0>a>-l;

f, (- 1)" .		(«>!);	00 n=ü
	00 A-n	OD ^«	;ir<0

sind absolut konvergent. — Jede konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist eo ipso absolut konvergent.

Die große Bedeutung des Begriffs der absoluten Konvergenz wird sich einmal darin zeigen, daß die Konvergenz absolut konver- genter Reihen viel leichter als diejenige nicht -absolut konvergenter Reihen erkannt werden kann, nämlich meist durch Vergleich mit Reihen mit positiven Gliedern, so daß dafür die einfachen und weit- reichenden Sätze des vorigen Kapitels zuständig sind. Sodann ab6r wird diese Bedeutung sich darin zeigen, daß man mit absolut kon- vergenten Reihen im großen und ganzen so rechnen darf wie mit (wirklichen) Summen aus einer bestimmten Anzahl Summanden, während dies bei nicht-absolut konvergenten Reihen im allgemeinen nicht mehr der Fall ist. — Die folgenden Sätze werden dies im einzelnen zeigen.

87- o Satz 1. Ist Z c^ eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern

und genügen die Glieder elfter vorgelegten Reihe 2 a^^ für n > m der Bedingung

\^n\=^n ^^^^ ^^^ Bedingung so ist 2a^ [absolut) konvergent^).

Beweis. Nach dem 1. bzw. 2. Vergleichskrit^rium 72 und 73 ist 2\aJ^, also nach 85 auch 2!a^ konvergent^).

Infolge dieses einfachen Satzes ist der ganze Vorrat von Kriterien, die sich auf Reihen mit positiven Gliedern beziehen, nunmehr für Reihen mit beliebigen Gliedern nutzbar gemacht. Wir lesen aus ihm noch den folgenden Satz ab:

<^ ^.±±1

^) „Nicht-absolut konvergent" heißt also eine Reihe, wenn sie zwar konvergiert, aber nicht absolut. Die Bezeichnung „nicht-absolut konvergenf^ soll also nur auf konvergente Reihen angewendet werden.

') Bei der zweiten Bedingung wird wieder stillschweigend angenommen, daß für w > w stets a„ =|= 0 und c^ =|= 0 ist.

cin + l

>

dn + l\u d„ \

3) Die entsprechenden Divergenzkriterien „ | a„ | ^ ^„" bzw. ,

fallen hier natürlich fort, da nach ihnen zwar 2'|a„|, aber nicht notwendig Zun divergieren müßte. Vgl. die Fußnote auf der vorigen Seite.

§•7. § 16- Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen. 131

oSatz 2. IstZa^ eine absolut konvergente Reihe und bilden die Faktoren a^ eine beschränkte Zahlenfolge, so ist auch die Reihe

(absolut) konvergent.

Beweis. Da mit (aj auch (|c^„|) eine beschränkte Folge ist, so ist nach 70,2 mit ^"|<2„| auch 2\aJ\-\a^y^^2\a^aJ\ konvergent.

Beispiele.

1. Ist Z Cn irgendeine konvergente Reihe mit positiven Gliedern und sind die a„ beschränkt^ so ist auch S(X.nCn konvergent, — denn Z Cn ist auch absolut konvergent. Man darf also z.B. die Glieder Cq, c^^, c^, ... statt stets durch 4- -Zeichen ganz beliebig durch +- und —-Zeichen verbinden, — immer ent- steht eine (absolut) konvergente Reihe; denn die Faktoren + 1 bilden gewiß eine beschränkte Folge. So sind also z. B. die Reihen

Z{-irc,, 2'(-l)tv/»],^, Zi^-lfosn

n j

konvergent, bei denen [z] wie immer die größte ganze nicht oberhalb 2 ge- legene Zahl bedeutet.

2. Ist 2J Un absolut konvergent, so entsteht durch beliebige Änderung der Vorzeichen der Glieder immer wieder eine absolut konvergente Reihe.

Wir wollen nun — und damit kehren wir zu den am Ende des vorigen Paragraphen verlassenen Fragen zurück — zeigen, daß für absolut konvergente Reihen die Grundgesetze für das Rechnen mit (wirkHchen) Summen im wesentlichen erhalten bleiben, daß dies für nicht absolut konvergente Reihen dagegen nicht mehr der Fall ist.

So gilt schon das Komrnutationsgesetz („a -\- b = b -j- a") nicht mehr allgemein für unendliche Reihen. Der Sinn dieser Aussage ist der: Ist {v^, v^, v^, ...) irgendeine Umordnung (27,3) der Folge (0, 1,2, . . .), so wollen wir von der Reihe

OO 00

U ^n^-^21 ^v^ (^Iso a^ =- a,,^ für w = 0, 1, 2, . . .)

n = 0 n=0

. . 00

kurz sagen, sie sei durch Umordmtng aus der gegebenen Reihe ^ a

n=0

entstanden. Bei (wirklichen) Summen aus einer bestimmten Anzahl Summanden bleibt der Wert derselben ungeändert, wie man auch die Reihenfolge der Summanden umordnen (permutieren) möge. Bei un- endlichen Reihen ist dies nicht mehr der Fall^). Dies lehren schon die beiden oben bei 82, 9 und 83, 1 und 2 behandelten konvergenten Reihen l-| + |-i + -.-. und l + l_| + i+l_l++_...,

die ersichtlich Umordnungen voneinander sind, die aber verschiedene Summen haben. Die Summe s der ersten war nämlich < ^f, die Summe s' der zweiten > ^; und die Betrachtungen 84, 2 lehrten sogar genauer, daß s' = | s ist.

^) Zuerst von Cauchy bemerkt (Resumes analytiques, Turin 1833).

9*

132 IV. Kap. Reihen mit beliebig-en Gliedern.

Diese Tatsache zwingt uns natürlich große Vorsicht beim Rechnen mit unendhchen Reihen auf, da man — kurz gesagt — auf die Reihen- folge ihrer Glieder achten muß^). Um so wertvoller ist es darum zu wissen, in welchen Fällen diese Vorsicht etwa außer acht gelassen werden darf. Hierüber gilt der

88. ° Satz 1. Bei absolut konvergenten Reihen gilt das Kommutations-

gesetz uneingeschränkf^).

Beweis, a) Wir beweisen den Satz zunächst für Reihen mit positiven Gliedern. Es sei 2'c^ mit den Teilsummen s^ und der Summe s eine solche, und Zc^^Zc^. mit den Teilsummen 5*^/ eine Umordnung derselben. Dann ist

s/ < Sn, wenn iV größer genommen wird als jede der Zahlen v^,i\,v^, . . .,v^\ denn es treten dann rechterhand, neben andern, die sämtlichen Summanden der linken Seite auf. Wegen s^t < s ist also für jedes n stets s ' < s und folglich (nach 70) 2 c^' konvergent. Ist s' die Summe, so ist (nach 46, l) überdies s' ^s. Da nun umgekehrt ^c^ als eine Umordnung der Reihe Zc^ aufgefaßt werden kann, so folgt analog 5 < s'. Es muß also s =^ s' sein, — womit alles bewiesen ist.

b) Es sei jetzt Za^ eine beliebige absolut konvergente Reihe, also auch Z\a\^ konvergent. Deuten wir wieder durch Anfügen eines Akzentes an die Reihenglieder eine vollzogene Umordnung an, so ist nach a) auch Z\a^\, also nach 85 auch Za^ konvergent. Durch die Umordnung wird also jedenfalls die Tatsache der Konvergenz nicht zerstört. Es bleibt aber auch der Summenwert ungeändert. Denn ist e > 0 beliebig gegeben, so wähle man nach 81, 1 zunächst m so groß, daß für jedes k^l

ausfällt, und nun n^ so groß, daß unter den Zahlen v^,v^,v^. . . ., v^^ die Zahlen 0, 1, 2, ..., w sämtlich vorgekommen sind'"^). Dann heben sich für n> Hq in der Differenz s,/ — s„ ersichthch die Glieder a , a . a^ a fort und es bleiben höchstens solche Glieder stehen.

1) Da San lediglich für die Folge (s„) der Teilsummen steht, und da die bei einer Umordnung von Z a„ entstehende neue Reihe 2! a^' ganz andre Teil- suramen Sn' hat — die s^ bilden nicht etwa bloß eine Umordnung der s„, sondern sind ganz andre Zahlen II — so war es a priori sehr wahrscheinlich, daß eine solche Umordnung nicht ohne Einfluß auf das Verhalten der Reihe sein würde.

2) G. Lejenne Dirichlei, Abh. Akad. Berlin 1837, S. 48. (Werke!, S. 319.) — Hier findet sich auch schon das im Text gegebene Beispiel der Veränderung der Summe durch Umordnung.

3) Daß eine solche Zahl Uq existiert, folgt ja aus der Definition der Um- ordnung.

§9^ § 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen. 133

deren Index > m ist, — also nur (endlich viele) der Glieder ^m + i>^m+2' ' • • -^^ ^^^^ ^^^ Summe der Beträge beliebiger vieler von diesen < e bleibt, so ist für n > n^ stets

also (s^/ — sj eine Nullfolge. Dann hat aber s„' = ^^ + (^„' — ^J ^^^' selben Grenzv^ert wie s , d. h. ^ a und 2! a ' haben dieselbe Summe, w. z. b. w.^).

Diese Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist so wesentlich, daß sie eine besondere Bezeichnung verdient:

o Definition. Eine konvergente unendliche Reihe, für die das Kommu- 89. tationsgesetz uneingeschränkt gilt, die also hei jeder Umordnung kon- vergent bleibt und auch ihren Summenwert nicht ändert, soll unbedingt konvergent genannt werden. Eine konvergente Reihe dagegen, deren Konvergenzverhalten durch Umordnungen verändert werden kann, bei der es also auf die Reihenfolge der Glieder ankommt, soll bedingt konvergent heißen.

Der vorhin bewiesene Satz kann dann auch so ausgesprochen werden: „Jede absolut konvergente Reihe ist stets auch unbedingt kon- vergent." — Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung, also der

^Satz 2. Jede nicht- absolut konvergente Reihe ist nur bedingt konvergent^). M. a. W.: Bei einer nicht-absolut konvergenten Reihe 2 a^ mit der Summe s hängt das Bestehen der Gleichung

00

n = 0

wesentlich von der Anordnung der Glieder der linksstehenden Reihe ab und kann also durch eine geeignete Umordnung gestört werden.

Beweis. Es genügt offenbar zu zeigen, daß aus 2"«^ durch eine passende Umordnung eine divergierende Reihe 2 a^' hergestellt werden

^) Zweiter Beweis. Da Z Un und 2" j «„ | konvergieren, sind nach 83, 3, 4 und 5 auch

2 2

konvergent; P und N seien ihre Summen. Dies sind aber Reihen mit positiven Gliedern. (Welche Bedeutung haben diese Reihen und ihre Summen?) Sie gestatten also nach a) eine beliebige Umordnung, so daß auch

ist. Subtrahiert man diese Reihen — was nach 83, 4 geschehen darf — von- einander, so findet man: ^a/ = P — iV, während die ungestrichenen Reihen durch Subtraktion Z a,i = P —N liefern. 2 a^ konvergiert also und hat die- selbe Summe wie -Ta«, w. z. b. w.

2) Vgl. hierzu den Hauptsatz aus § 44.

134 IV. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

kann. Das gelingt so: Diejenigen Glieder der Reihe 2"«^^, die ^0 sind, sollen in der Reihenfolge, wie sie in 2'«^ auftreten, mit Pi>p2'p3'"- bezeichnet werden; diejenigen, die <0 sind, ebenso mit ~ ^1' ^ ?2' ~ ^3' • • • Dann sind 2"^^ und ^q^^ Reihen mit positiven Ghedern. Von diesen muß mindestens eine divergent sein. Denn wären sie beide konvergent und P und Q ihre Summen, so wäre für jedes n ersichtlich | «o I + ki I + • • • + k,, I ^ ^ + <?. also 2 a^^ ent- gegen der Annahme absolut konvergent^). Ist etwa 2/) divergent, so setzen wir eine Reihe der Form :

Pl+p2-^----^Pm,-9l + Pm^ + l + Pm, + 2 + --'+Pm,-^2+Pm,+ l+"-

an, in der also jedesmal auf eine Gruppe positiver Glieder ein einziges negatives Glied folgt. Diese Reihe ist offenbar eine Umordnung der gegebenen Reihe U a^ und soll als solche mit 2! aj bezeichnet werden. Da nun die Reihe 2^^ divergieren sollte und ihre Teilsummen also nicht beschränkt sind, so kann man hierbei zunächst m^ so groß wählen, daß pj, + p^ + ■ ■ - + p^ > 1 + y^ ist, dann m^ > m^ so eroß, daß

Pl + P. + '-+Pm, + -'--i-Pm,>^+q.+q.

wird, und nun allgemein m^ > w,, _ i so groß, daß

Pi + p2 + --- + Pm,>v-^q^ + q,^ + ...-i-q,

ausfällt (für v =^ S, 4, . . .). Dann ist aber 2«,/ offenbar divergent; denn diejenigen Teilsummen dieser Reihe, deren letzter Summand ein negatives Glied — qy ist, sind hiernach > r (^ = 1, 2, . . . ). Und da hierin v jede natürliche Zahl sein darf, so sind die Teilsummen von ^a^' keinesfalls beschränkt, 2a^' selbst also divergent, w. z. b. w. ^)

Ist 2!q^ divergent, so hat man im vorangehenden nur die Rollen der beiden Reihen 2^^^ und ^q^ sinngemäß zu vertauschen, um zu demselben Ergebnis zu gelangen.

r

Beispiel.

oc (_ l)n 1111

y, — z — 1+ — — — -1 — -f... war als nicht-absolut konvergent

n= 1 ^ 2 3 4 5

erkannt. Da (vgl. 46, 3) für A = 1, 2, . . .

1 1,1 , 1 ^ ''-

2 4 6 2"* ^ ist, so ist für f = 1, 2, . . .

111 In

2 4 6 2 Wendet man also das beschriebene Verfahren auf die Reihe y ~

^) Es ist nicht schwer zu sehen, daß sogar beide Reihen 2'^„ und Z qr divergieren müssen (vgl. § 44); doch ist das im Augenblick belanglos. ^) 2a/ divergiert ersichtlich -►-{-OO.

§9, § 16- Absolute Konvergenz. Umordnung" von Reihen. 135

so hat man nur mv = Sv zu setzen, um aus ihr lediglich durch Umordnung die divergente Reihe

herzuleiten. Denn die mit dem j^ten negativen Summanden endende Teilsumme ist größer als 2v vermindert um v echte Brüche, — also sicher ^v.

Der Satz 88, 1 von der Umordnung absolut konvergenter Reihen läßt sich noch wesentlich verallgemeinern. Dazu beweisen wir zu- nächst den folgenden einfachen

^Satz 3. Ist Z a^ absolut konvergent, so ist auch jede „Teilreihe'' Z ai — bei der also die X^ irgendeine monoton wachsende Folge verschiedener natürlicher Zahlen bedeuten — wieder {absolut) kon-

Beweis. Nach 74,4 ist mit ^|«„| auch 2\aiJ^ konvergent. Nach 85 folgt hieraus sofort die Behauptung.

Nunmehr können wir den Umordnungssatz 88, 1 folgendermaßen erweitern. Aus der absolut konvergenten Reihe 2 a^ werde eine erste Teilreihe 2 ax^ herausgegriffen, die wir jetzt mit

af) + af + ... + af + ...

und deren nach dem letzten Satz vorhandene Summe wir mit z^^^ be- zeichnen wollen^). Bei ihr und den folgenden Teilreihen wollen wir auch zulassen, daß sie nur aus endlich vielen Gliedern besteht, also gar keine unendliche Reihe ist. Aus den übriggebliebenen Gliedern werde — soweit das noch möghch ist — wieder eine (endliche oder unendliche) Teilreihe herausgegriffen, die mit

a(i) + «(i) + 4i) + ... + aW + ...

bezeichnet werden und die Summe z^^^ haben möge; aus den übrig gebliebenen Gliedern wieder eine neue Teilreihe usw. Wir bekommen dadurch im allgemeinen eine unendliche Folge endlicher oder (absolut) konvergenter unendlicher Reihen

««'"" H-«x"" + ".""+ •	•■ + «„'"' + ■•	. = zO'
«„<" + <" + < + •	.. + «..<'' + ..	. = z<i'
<j;2) + <j^<.) + «^te)+.	.. + «„<^' + ..	. = /='

Ist das Verfahren nun so beschaffen, daß jedes Ghed der gegebenen Reihe Za^ in einer und nur einer der Teilreihen vorkommt, so kann man die Reihe /^^ -\- z^'^^ -j- 2^^^ + • • • ^^^ ^^^o die Reihe

^) Der Buchstabe z soll an die Zeilen des nachfolgenden zweifach-unend- lichen Schemas erinnern.

1 36 IV. Kap, Reihen mit beliebig^en Gliedern,

auch noch im weiteren Sinne eine Umordnung der gegebenen Reihe nennen 1). Auch für eine solche gih noch der dem Satz 88, 1 ent- sprechende

o Satz 4. Eine absolut konvergente Reihe „darf" auch in diesem erweiterten Sinne umgeordnet werden. Genauer: Auch die Reihe

ist [absolut) konvergent und ihre Summe ist gleich derjenigen vonZa^, Beweis, 1. Nach 85 ist

\^'\£\a^\ + \a^\-\-...-^\a^\ + ...

\^'^\^\a^\ + \a^^\-\-...-]-\a^\-^... woraus durch Addition (nach 83, 3) folgt, daß j /^^ | -f | /^^ | -|- . . . -^ j 2* I die Summe einer gewissen Teilreihe von Z\a^^\ und also sicher nicht größer als die Summe 5 dieser Reihe selbst ist. Da dies für Ä = 0, 1, 2, . , . gilt, so sieht man, daß die Teilsummen der Reihe

beschränkt sind. Also ist l\z^^\ konvergent, 2 z^^^ absolut kon- vergent.

2. Ist nun e> 0 gegeben und m wie auf S. 132 so besümmt, daß für jedes >^ ^ 1 das Teilstück j a^^^\ + | a^^^\ + . . . + !«„, + , | < e ausfällt, so wähle man jetzt n^ so, daß in den ersten Teilreihen 2'aJ''), für >' = 0, 1, . . ., W(j, sicher die Gheder a^, a^, a„^, . . ., «„^ der gegebenen Reihe auftreten. Dann enthält für n > n^^ die Reihe

nur solche Glieder i a^^, die einen oberhalb m liegenden Index haben. Daher ist, nach der Art wie m bestimmt wurde, der Be- trag dieser Differenz ^ e; sie strebt also mit wachsendem n gegen 0, so daß

lim (/o^ + ^(1) -f . . . + /")) =: lim s„ = s = 2'«„

n->» n->x

ist, w. z. b. w.

Von diesem Satz gilt natürlich noch weniger als von Satz 83, 1 ohne weiteres die Umkehrung, d. h. wenn für ^ = 0, 1, 2, ... die konvergenten Reihen

^) In die erste Teilreihe tue man z. B. außer a^ und a^ alle Glieder «„, deren Index n durch 2 teilbar ist, in die nächste alle diejenigen der übrig- gebliebenen Glieder, deren Index durch 3 teilbar ist, in die nächste alle übrig gebliebenen Glieder, deren Index durch 5 teilbar ist; usw. unter Benutzung der Primzahlen 7, 11, 13, ... als Teiler,

90. § lö- Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen. 137

vorgelegt sind und wenn nun die sämtlichen Größen a^^^'^ irgendwie zu einer Folge (a^ angeordnet werden (vgl. 53, 4), so braucht 2a^

00

nicht zu konvergieren, — selbst wenn Y z'^^^ konvergent sein sollte.

Ä = 0

Schon ein so einfaches Beispiel, bei dem für jede der Reihen 2^^) die Reihe 1 — l + 0-f-0 + 0 + --- genommen wird, läßt dies erkennen. Und selbst wenn 2^a^ konvergiert, so braucht ihre Summe nicht gleich derjenigen von 2z^^^ zu sein.

Die allgemeine Behandlung der Frage, unter welchen Umständen diese Umkehrung unseres Satzes nun doch erlaubt ist, gehört in die Lehre von den Doppelreihen. Doch können wir schon hier den folgenden für die Anwendungen besonders wichtigen Fall beweisen:

o Großer Umordnungssatz. Es seien die unendlich vielen kon- 90. vergenten Reihen

(A)

/i> + «/i) + ... + a,/i)

^{k) _ ^^(k) _^ ^^ik) -f . . . 4- ^JÄ)

vorgelegt, und es seien diese Reihen nicht nur absolut konvergent, sondern es möge mich noch, wenn

y; I a/) I = c^*^ (^ -= 0, 1, 2, . . ., fest)

gesetzt wird,

Ä = 0

eine konvergente Reihe sein. Dann bilden auch die spaltenweis untereinanderstehenden Glieder (absolut) konvergente Reihen; und wenn

2; a^(k) ^ 5(«) (^j = 0, 1, 2, . . ., fest)

gesetzt wird^), so ist auch noch ^s^"^ absolut konvergent und es besteht die Gleichheit

n=0 fc=0

d. h. die Reihe aus den Zeilensummen und diejenige aus den Spaltensummen sind beide absolut konvergent und haben dieselbe Summe.

Der Beweis ist äußerst einfach: Die sämtlichen GHeder des Schema (A) denke man sich irgendwie (nach 53, 4) zu einer ein-

1) Hier soll der Buchstabe 5 an die Spalten von (A) erinnern.

138 IV. Kap, Reihen mit beliebigen Gliedern.

fachen Folge angeordnet und als solche mit a^, a^, a^, ... bezeichnet. Dann ist 2^a^^ absolut konvergent. Eine jede Teilsumme von 2\a„\, z.B.

l«ol + l«il + --- + l«„,l muß nämhch noch < o sein; denn wählt man k so groß, daß die GHeder a^, a^, a^, ..., a^ sämthch in den ersten k Zeilen aufgetreten sind, so ist doch sicher | «^ | + | ö J + . . . + | a^ | ^ t^^^ + C^i> + • • • + C^^\ also noch < o. Eine andre Anordnung der aj^^^ zu einer einfachen Folge a^', a^, a^, . . . würde eine Reihe ^rt,/ liefern, die nur eine Umordnung von I.a^^ ist und die also gleichfalls absolut und mit derselben Summe konvergiert. Diese stets zum Vorschein kommende Summe heiße 5.

Von 2a =s ist nun aber sowohl 2>z^^^ als auch ^s^"^ eine

n

Umordnung in dem erweiterten Sinne des eben bewiesenen Satzes 4. Also sind auch diese beiden Reihen absolut konvergent und haben dieselbe Summ'e, w. z. b. w.

Dieser große Umordnungssatz kann folgendermaJßen noch etwas allgemeiner gefaßt werden:

o Zusatz. Ist M eine abzählbare Zahlenmenge und existiert eine Konstante K, so daß die Summe der absoluten Beträge irgendwelcher endlich vieler Elemente aus M stets <C K bleibt, so ist jede Reihe ZA-k absolut konvergent — und jedesmal mit derselben Summe s — , deren Glieder A^ je eine Summe von endlich oder unendlich vielen Elementen aus M darstellen (wofern jedes Element aus M in einem und nur einem Gliede Aj. auftritt). Und dies gilt auch noch, wenn man ein mehrfaches Auftreten der Elemente in M zuläßt, wofern dann jedes Element in den Aji zusammengenommen genau ebenso oft auftritt wie in M selber'^).

Beispiele zu diesen wichtigen Sätzen werden im folgenden mehrfach an entscheidenden Stellen auftreten. Wir geben hier noch ein paar nahe- liegende Anwendungen :

1. Es sei 2'rt„ = s eine absolut konvergente Reihe und es werde

ao+2a,-f-4a, + -.- + 2;'a._^^, '' (n = 0, 1, 2, . . .)

gesetzt. Dann ist auch 2"««' = 5. Der Beweis ergibt sich nach dem großen Umordnungssatz unmittelbar aus dem Schema

'«- 2 "^ 4 "^ 8 16 ' "■

1) Ein unendlich-maliges Auftreten eines von 0 verschiedenen Gliedes ist dabei von vornherein ausgeschlossen, da sonst die Konstante K des Satzes sicher nicht vorhanden wäre. Und die Zahl 0 kann nicht stören.

90. §17. Multiplikation unendlicher Reihen. 139

2. Ähnlich hat man wegen ^^^ + (^,^1^^^^^^ -^ . . . = i (s. 68, 2 h) aus dem Schema

_ _^0 j_ ^0 _^ ^0 I '

«"1.2 ' 2-3 ' 34 "^••' '•^= « +2^^ + 23^ + ... «.,= 0 J- 0 ^3^2^ + ■■.

die Gleichung

V - -^ j- ^o + ^^i I gp + 2 g^ + 3 g^ ^'to''"~l-2"^ 2".3 "^ 3-4 "^

3. Der große Umordnungssatz gilt offenbar stets, wenn alle a,} ^ ^ 0 sind und wenigstens eine der beiden Reihen 2z^^^ und 2s^^^ konvergiert. Ferner wenn man dem Schema (A) ein analog gebautes Schema (A') an die Seite stellen kann, dessen Zahlen positiv und ^ den Beträgen der entsprechen- den Zahlen in (A) sind, und wenn nun in (A') entweder die Summe der Zeilen- summen oder die der Spaltensummen konvergiert.

§ 17. Multiplikation unendlicher Reihen.

Wir fragen endlich, inwieweit das Distributionsgesetz „a(b -{- c) = ah -\- ac" für unendliche Reihen noch gültig ist. Daß eine kon- vergente unendliche Reihe 2a^^ gliedweis mit einer Konstanten multi- pliziert werden darf, hatten wir schon 83, 5 gesehen. In der ein- fachsten Form

ist also das Gesetz für alle konvergenten Reihen richtig. Bei wirk- lichen Summen folgt aber aus dem Distributionsgesetz sofort weiter,

daß {a -\-h){c-\- d) = ac -\- ad ^hc-\- bd und allgemein, daß

K + «1 + • • • + ^g) (^0 + ^1 + • • • K) = ^oK + «0^1 + • • • + a^K

oder kürzer, daß

ljaX(2]b,]^^^a,b„

= 0 / V = 0 ^ A = 0, ...,^ ,11 = 0, ...,r

ist, wobei die Symbolik rechterhand bedeuten soll, daß die Indizes / und ju unabhängig voneinander alle ganzen Zahlen von 0 bis q bzw. 0 bis r durchlaufen und alle (q -\- l)(r-\- l) derartigen Produkte a^ba in irgendeiner Reihenfolge addiert werden sollen.

Bleibt diese Folgerung auch noch für unendliche Reihen bestehen? Ist also, wenn Za = s und 2Jb = t zwei gegebene konvergente

140 IV. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

unendliche Reihen mit den Summen s und t sind, eine ähnHche Ausmultiphkation des Produktes

^•'-{Jo-)-(i?"

mögUch, bzw. in welchem Sinne ist dies möglich? Oder genauer Die Produkte

7 = 0,1,2,.

mögen in irgendeiner Reihenfolge mit p^, p^, p^, ... bezeichnet werden^); ist dann die Reihe ^p^^ konvergent und hat sie im Falle der Konvergenz die Summe s-t? — Auch in dieser Frage verhalten sich die absolut konvergenten Reihen ebenso wie wirkliche Summen. Es gilt nämlich der

91, °Satz. Sind die Reihen Za^^^s und 2h^^ = t absolut kon-

vergent, so konvergiert auch die Reihe ^p^ absolut und hat die Summe s-t^).

Beweis. 1. Es sei w eine bestimmte natürliche Zahl, und unter

den Indizes ^ und ju der mit p^, p^, p^^ bezeichneten Produkte

a;,bn sei m der höchste. Dann ist ersieh thch

;.=o / V=o

also < (7-T, wenn mit o und r die Summen der Reihen ^|fl;J und ^\b^i\ bezeichnet werden. Die Teilsummen der Reihe ^\p^^\ sind also beschränkt und 2!p^^ somit absolut konvergent.

2. Nachdem die absolute Konvergenz von ^p^ festgestellt ist, brauchen wir die Summe dieser Reihe — sie heiße S — nur für eine spezielle Anordnung der Produkte a^b^i, etwa der „nach Quadraten" zu ermitteln. Bei dieser ist aber ersichtlich

S^O = ^0' K + ^l) (^0 + h) = Po + Pl + p2-\-p^

und allgemein

(«0 + • . . + 0(^0 + . . • + U = ^0 + . . . + An+1)^-1'

eine Gleichung, die nach41, 10und4 für n->oo in die behauptete Beziehung

S't = S übergeht.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Wie betont, ist es für das Bestehen der Gleichung l'p„ = s-t unter den gemachten Voraussetzungen ganz gleichgültig, in welcher Weise wir die

1) Wir denken uns dazu die Produkte a^b ^ genau wie in 53,4 und 90 die Zahlen a„(*) oder a^^ in Form eines zweifach-unendlichen Schemas (A) hingeschrieben. Dann kann man sich die Numerierung der Produkte ins- besondere wieder nach Schräglinien oder nach Quadraten vorgenommen denken.

-) Cauchy, Analyse alg., S. 147.

^\^ §17. Multiplikation unendlicher Reihen. 141

Produkte a.b abgezählt, d. h. zu der einfachen Folge der p„ angeordnet haben. Besonders wichtig für die Anwendungen ist die Anordnung nach Schräglinien, die uns, wenn man alle in derselben Schräglinie stehenden Produkte (nach 83, 1) zusammenfaßt, zu der folgenden Gleichung führt:

CO 00

n=0 n=0

CO

n=0 wenn zur Abkürzung ao&„ + a^^bn-i + «2 ^«-2 + • • • «m&o = ^n gesetzt wird. Deren Bestehen ist also gesichert, wenn die beiden linksstehenden Reihen absolut konvergieren.

Auf die so angeordnete „Produktreihe", die man auch als das Cauchy- sche Produkt der gegebenen Reihen bezeichnet^), wird man auch durch die Multiplikation ganzer rationaler Funktionen und die im nächsten Kapitel zu be- sprechenden Potenzreihen geführt: Multipliziert man nämlich die ganzen ratio- nalen Funktionen

«0 + ^1^ -\- ttox'^ + . . . + a,^x^ und b^ + b^x + &2 at^ -f . . . + hrX^

miteinander und ordnet das Produkt wieder nach steigenden Potenzen von x, so beginnt es mit den Gliedern

«0&0 + («0*l + ^lM^ + K^2+«l^l + «2&o)^^ + - • •)

SO dal3 als Koeffizienten gerade die eben eingeführten Zahlen Cp , c^ , Cg , . • • auftreten. Und eben wegen dieses Zusammenhanges tritt das Cauchysche Pro- dukt zweier Reihen besonders häufig auf.

2. Da Zx"" für ! ;ir I <; 1 absolut konvergent, so hat man für diese x

l \2 00 sc OD

1 i)C/ r\ t\ ^ — 1%

0 n-=Q n=0

Ar" 3. Die Reihe V — ist, vgl. 76, 4c, für jede reelle Zahl x absolut kon-

""^ n\

vergent. Sind also x^ und Xo, irgend zwei reelle Zahlen, so dürfen wir

—- — n\ — ''^ w I

nach der Cawc/iyschen Regel ausmultiplizieren. Hier wird

Es ist also — für beliebige x^ und x^ — stets

w^enn at^ -f at.^ = at^ gesetzt wird.

Durch unsern Satz ist nunmehr dargetan, daß das Distributions- ^esetz auf unendHche Reihen sicher dann ohne weiteres ausgedehnt werden kann — und sogar bei behebiger Anordnung der Produkte aih^i — wenn die gegebenen Reihen beide absolut konvergieren. Es wäre denkbar, daß diese einschränkende Voraussetzung unnötig hart ist. Daß der Satz aber ohne jede einschränkende Voraussetzung nicht

1) Cauchy untersucht 1. c. die Produktreihe nur in dieser speziellen Form.

142 Aufgaben zum IV. Kapitel.

mehr gilt, lehrt das folgende schon von Cauchy'^) zu diesem Zwecke gegebene Beispiel: Es sei

^0 ="" ^0 = Ö ""^ ^« = ^n = —^- für « ^ 1 .

Dann ist Cq = c^ =- 0 und für n ^ 2

Cn = (- 1)"

Ersetzt man hierin alle Radikanden durch den größten von ihnen^ also durch n — 1, so folgt, daß für n^2

I I \ ^~ 1 i

\ n ~ l • \ n — l

ist und daß also die Produktreihe Zc^~^I^(a^^b^^ + ^i^n-i + • • • + ^«^o) nach 82, 6 sicher divergent ist. Sie muß es um so mehr sein, wenn man die Klammern wegläßt.

Immerhin bleibt die Frage offen, ob man nicht unter geringeren Voraussetzungen die Konvergenz der Produktreihe 2!p^ — wenigstens bei spezieller Anordnung der Produkte a^^bf^, etwa wie in der Reihe ^c^ — beweisen kann. Auf diese Frage werden wir in § 45 zurück- kommen.

Aufgaben zum IV. Kapitel.

45. Man prüfe das Konvergenzverhalten der Reihe 2'(— l)"a;, , bei der a„ von einer Stelle an einen der folgenden Werte hat:

1 1 j_ j_ __„l ^_ Jl_ {-'^L

a + n' an+b' y~ ' log«' log log 7i ' "/- ' y" n ' "

46. Wie ändern sich die Antworten in Aufgabe 34, wenn nach dem? Konvergenzverhalten von 2'{— l)"a^ gefragt wird.

47. Es sei

f-M für 2^* ^n<2^^-^\ 1-1 für 2-^ + 1 ^«<22* + ^

(Ä = 0, 1, 2, ...>

Dann ist die Reihe

konvergent. Wie verhält sich V

n

00 9, n ' \

48, V(_l)"-l III__ ist konvergent und hat 1 zur Summe.

„-^1 n {n + 1)

49. Die Teilsummen der Reihe ^~7i + -^ — -r'^~-- ^^^^^ ^^^ ^« ^^"

^ ö 4

^) Analyse algebrique, S. 149.

91. Autgaben zum IV. Kapitel. 143

zeichnet und — ~— -\ -^^ + • • • + jr— "^ ^« gesetzt. Man zeige, daß für jedes n

w + 1 w -f 2 2 w

und also lim x,t = yj =^ s ( -= log 2) ist.

n = l

50. Es sei wie eben s (= log 2) die Summe der Reihe 1 — — + — — h • • • Man beweise die folgenden Gleichungen:

,1 1 11 1 ^^ 3-5-7 + 5-9-	1111, 1 1 1 o -ll^-7-T3-15 + ---'-^3-2^"^2
- -1-^^^	1111, 1 , o -8-5-IÖ-12'------2^"^2'
^)-H+W-	11, 2, _ -8-10 + ^ — •••-3^"^2'
^'"^4+M-^	- + + --. ..-iloge;
^) 1+14-^^	--^ + + 4- ...=:log2.

51. Im Anschluß an die beiden letzten Fragen zeige man allgemein, daß die Reihe konvergent bleibt, wenn man stets auf p positive Glieder q negative

1 p folgen läßt, und daß dann ihre Summe ^^ log 2 4- 7.- log — ist.

2 q

52. Die harmonische Reihe I4- — -4^4- — 4-... bleibt divergent, wenn

man die Vorzeichen so abändert, daß auf je p positive Glieder immer q nega- tive folgen und p =^ q ist. Ist p -^ q, so ist die entstandene Reihe konvergent.

* (-1)^-1

53. Man nehme mit der Reihe ^ — — genau dieselben Umordnungen

M=l \n

(_1)«-1 vor wie in Aufgabe 50 und 51 mit der Reihe V • Wann erhält man

n

eine konvergente Reihe, wann nicht? Wann läßt sich ihre Summe durch die der gegebenen ausdrücken?

54. Man nehme bei der Reihe V-^ dieselben Vorzeichenänderungen

vor, wie in Aufgabe 52 bei der Reihe J^ — . Wann entsteht eine konvergente

n

ihe?
55.	Für welche a konvergieren die Reihen
	2" 3 4" 6 6"
	l + _l._l + l + l_l + + _ 3« 2« 5" 7" 4"

56, Die Summe der Reihe 1 i 1 — ... liegt für jedes a > 0

2« 3« 4«

zwischen \- und 1 .

144		Aufgaben zum Iv. Kapitel.
57.	Ei	3 sei
Dann ist		111 3 111 1 , 2 1+50 + 70 1 JJ2 + i3e ^ 3^'
		^-'2^--4i~'^'-^+ r^ - gv- 1QO- + + --	4

(Mit der letzten Gleichung- vgl. Aufgabe 50 c).

58« In jeder (bedingt) konvergenten Reihe kann man die Glieder so in Gruppen zusammenfassen, daß die neue Reihe absolut konvergiert.

59. Leitet man aus 2'a„ mit den Teilsummen s„ durch Assoziation von Gliedern eine neue Reihe ^Aj^ mit den Teilsummen Sk her, so ist stets

lim Sn ^ lim 5/. < lim s„ , mag 2La„ konvergieren oder divergieren.

60. Ist ^'a^i mit den Teilsummen s„ unbestimmt divergent und ist s'

einer der Häufungswerte der Folge {s,X so kann man durch Assoziation von^ Gliedern aus Zun eine zur Summe s' konvergierende Reihe -^Aj^ herleiten.

61. Ist 2"«« mit den Teilsummen s„ unbestimmt divergent und strebt a,^-^0, so ist jeder Punkt der Strecke zwischen den beiden Häuinngsgrenz en von (s„) ein Häuiungspunkt dieser Folge.

62. Wenn jede Teilreihe von l'a„ konvergiert, so ist diese Reihe absolut konvergent.

63. Das Cauchyschc Produkt der beiden bestimmt divergenten Reihen

und

lautet

-i-(i)-r

^^i)-^i(-4)-(ir(--i'i-

und ist also absolut konvergent. Wie ist dies Paradoxon zu erklären?

OSJ. § 18. Der Konvergenzradius. X45

"V. Kapitel.

Potenzreihen. § 18. Der Konvergenzradius.

Die Glieder der Reihen, die wir bisher betrachtet haben, waren im allgemeinen wohlbestimmte Zahlen. Man spricht daher wohl schärfer von Reihen mit konstanten Ghedern. Indessen war das doch nicht durchweg der Fall. Bei der geometrischen Reihe 2'a" z. B. sind die Gheder erst dann bestimmte Zahlen, wenn der Wert der Größe a gegeben wird. Die Konvergenzuntersuchung dieser Reihe endete daher auch nicht einfach mit der Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz, sondern ihr Ergebnis lautete: ^a" ist konvergent, falls \a\ < 1 ist, dagegen divergent, falls \a\^l ist. Die Entscheidung der Konvergenzfrage hängt also, wie die Reihen- glieder selbst, von dem Wert einer noch nicht festgelegten Größe, einer Veränderlichen ab. Reihen, deren Glieder und bei denen somit das Konvergenzverhalten noch von einer veränderlichen Größe ab- hängt — wir werden eine solche dann meist mit x bezeichnen und von Reihen mit veränderlichen Gliedern sprechen i) — , werden wir später genauer untersuchen. Für den Augenblick wollen wir, im Anschluß an die geometrische Reihe, nur solche Reihen dieser Art betrachten, deren allgemeines Glied nicht eine Zahl a^^ ist, sondern die Gestalt

n

hat, also Reihen der Form

a^ + a^x + a^x' + . . . + aj' + . . . ::^ia^X.

Solche Reihen nennt man JPotenzneihen (in x), die Zahlen a^ ihre Koeffizienten. Bei solchen Potenzreihen wird es sich also nicht ein- fach um die Alternative „konvergent oder divergent" handeln, sondern um die genauere Frage: für welche x ist sie konvergent, für welche divergent?

Einfache Beispiele sind uns schon begeg-net: q2

1. Die geometrische Reihe l^x'' ist für \x\ <:! konvergent, für [x \>l divergent. Für \x [ <Cl ist die Konvergenz sogar eine absolute. ~~

^- U ^ ^st für jedes reelle x (absolut) konvergent. Ebenso die Reihen

yj (_ 1)^ J und y (- 1)^ ^

k^o (2ä)! ^^0 (2Ä + 1)!

1) Auch die harmonische Reihe V — ist eine solche Reihe; sie ist für x>l konvergent, für x < 1 divergent.

Knopp, Unendliche Reihen. 10

146 ^ • i^ap. Potenzreihen.

y — ist wegen

für. \ x\ <Cl absolut konvergent.

n Für AT : > 1 ist die Reihe divergent, weil (nach 38, 3 und 40) dann

\ X" ''

I _> j_ QQ Strebt. Für x = l geht sie in die divergente harmonische Reihe,

n

lür X = — \ in eine 82, 9 als konvergent erkannte Reihe über.

4, ^ — ^ ist für \x\^2 (absolut) konvergent, für | ;v j > 2 dagegen

Ä = i ri- • 2"

divergent.

5. ^n''x'' ist für x = 0 konvergent; für jeden von 0 verschiedenen Wert n=l

von X dagegen divergent, denn für ,r =j- 0 strebt |>7.y|-> + Oü, um so mehr also auch JM^AT"! ^ + CX), so daß von Konvergenz (nach 82,6) keine Rede sein kann.

Für :^; = 0 ist offenbar jede Potenzreihe 2a^x" konvergent, was für Zahlen auch die Koeffizienten a^^ sein mögen. Der allgemeinere Fall ist augenscheinlich der, daß die Potenzreihe für gewisse Werte von X konvergiert, für gewisse andere divergiert, wobei auch die beiden extremen Fälle eintreten können, daß sie für jedes x kon- vergiert (Beispiel 2), oder daß sie für kein von Null verschiedenes x konvergiert (Beispiel 5).

In dem ersten dieser besonderen Fälle sagt man, die Potenz- reihe sei beständig konvergent, im zweiten — indem man den selbst- verständlichen Konvergenzpunkt x = 0 außer acht läßt — sie sei nirgends konvergent. Allgemein nennt man die Gesamtheit der Punkte X, für die die vorgelegte Reihe Sa^^x"" konvergiert, ihren Kon- vcrgenzhereich. Bei 2. besteht dieser also aus der ganzen A;-Achse, bei 5. nur aus dem Punkte 0; bei den anderen Beispielen besteht er aus einer Strecke, die durch den Nullpunkt halbiert wird, — teils mit, teils ohne Einschluß eines oder beider Endpunkte.

Hierdurch ist schon das Verhalten im allgemeinsten Falle ge- troffen, denn es gilt der

konv.

mmmmimm r. mmmmmmm

dar. -r ^ -f-^ dnr-

Fig. 2.

93. o Hauptsatz. Ist ZaJ' eine helieUge Potenzreihe, die weder nirgends

' noch beständig konvergiert, so gibt es eine wohlbestimmte Zahl r, derart daß la x!" für alle \x\<r konvergiert {und sogar absolut), während sie für alle \x\> r divergiert^). Die Zahl r bezeichnet man als den Konvergenzradius, die Strecke - r . . . -^ r als das Kon- vergenzintervall der vorgelegten Potenzreihe. - Fig. 2 veranschaulicht die durch diesen Satz festgestellte typische Situation.

i^hTden beiden extremen Fällen sagt man wohl auch, der Konvergenz- radius der Reihe sei ^ = 0 bzw. y = + 00.

93. § 18. Der Konverg-enzradius. I47

Die Grundlage des Beweises bilden die beiden Sätze: o Satz 1. Ist eine vorgelegte Potenzreihe Za^x"^ für x = x^ {x^ =^ 0) konvergent oder auch nur die Folge {a^xj") ihrer Glieder beschränkt, so istZa^^x"" für jedes x = x^ absolut konvergent, das näher am Null- punkt liegt als Xq, für das also \x^\< \xq\ ist.

Beweis. Ist etwa stets \a.xj'\< K, so ist

<Kr.

wenn der echte Bruch ! ^

= '& gesetzt wird. Nach 87, 1 ergibt sich nun unmittelbar die Behauptung.

o Satz 2. Ist die vorgelegte Potenzreihe Za^^x^ für x = x^ divergent, so divergiert sie um so mehr für jedes x = x^, das weiter vom Null- punkt abliegt als x^, für das also \x^\ > \xq\ ist.

Beweis. Wäre die Reihe für a;^ konvergent, so müßte sie nach Satz 1 auch in dem näher am Nullpunkt gelegenen Punkt x kon- vergieren, entgegen der Annahme.

Beweis des Hauptsatzes. Nach Voraussetzung soll mindestens ein Divergenzpunkt und ein von 0 verschiedener Konvergenzpunkt existieren. Wir können daher eine positive Zahl x^^ wählen, die näher am Nullpunkt liegt als der Konvergenzpunkt und eine positive Zahl y^, die weiter vom Nullpunkt abliegt als der Divergenzpunkt. Nach den Sätzen 1 und 2 ist dann die Reihe Za^x'' für x = x^ konvergent, für x = yo divergent, und es ist daher sicher x^ < y^. Auf das l'nter- ■^^^^ /o = ^0 • • • ^0 wenden wir nun die Halbierungsmethode an: wir bezeichnen seine linke oder seine rechte Hälfte mit /^, je nachdem Za^x"" im Mittelpunkt von /^ divergiert oder konvergiert. Nach der- selben Regel bezeichnen wir eine bestimmte Hälfte von /^ mit /„, usw. Die Intervalle dieser Intervallschachtelung {Jj sind dann alle "so be- schaffen, daß Za^^^x"" in ihrem linken Endpunkt (er heiße xj kon- vergiert, im rechten dagegen (er heiße y^) divergiert. Die durch die Schachtelung bestimmte (eo ipso positive) Zahl r leistet nun das im Satz verlangte.

In der Tat, ist x = x' eine behebige reelle Zahl, für die \x'\ < r ist (mit Ausschluß der Gleichheit!), so wird \x'\<Xj^ sein, sobald wir k so groß nehmen, daß die Länge des Intervalles /^ kleiner als r— \x'\ ist. Nach Satz 1 ist dann mit Xj. auch x' ein Konvergenz- punkt; und zwar ist die Konvergenz in x' eine absolute. Ist aber a;" eine Zahl, für die \x''\> r, so ist auch \x''\> y,^, sobald m so groß gewähh wird, daß die Länge von /^^^ kleiner als \x"\—r ist. Mit y ist dann nach Satz 2 auch x" ein Divergenzpunkt. Damit ist alles bewiesen.

10*

148 V. Kap. Potenzreihen.

Dieser gedanklich sehr einfache Beweis ist deshalb etwas un- befriedigend, als er nur lediglich die Existenz des Konvergenzradius r nachweist, aber über seine Größe nichts aussagt. Wir wollen daher den Hauptsatz noch auf eine zweite Art und nun so beweisen, daß wir dabei die Größe des Radius selbst erhalten.

Dazu beweisen wir — ganz unabhängig vom vorigen — den genaueren

94, oSatz^): Ist die Potenzreihe l'a^x^ vorgelegt und /u die obere

H auf ungs grenze der (positiven) Zahlenfolge

l«il. VKI. ^fWV ■■■' y'Kl' ■■■'

also

/^=-limy|a„|, so ist

a) für ju = 0 die Potenzreihe beständig konvergent;

b) für ^ = -}- oo die Potenzreihe nirgends konvergent;

c) für 0 < JU < -\- oc die Potenzreihe für jedes

\x\ < — absolut konvergent, für jedes

\x\> ~ dagegen divergent, fi

Es ist also — bei sinngemäßer Auslegung —

_ 1^ 1

^ lim V\an\ der Konvergenzradi HS der vorgelegten Potenzreihe^).

Beweis. Ist im Falle a) Xq eine beliebige reelle Zahl (=H 0), so ist -: — ^ > 0 und also nach 59 für alle n '> m

2ko!

Nach 87, 1 ist also ^a^x^^ absolut konvergent, — womit a) bewiesen ist.

1) Cauchy, Analyse alg^brique, S. 151. — Dieser schöne Satz blieb indessen völlig unbeachtet, bis ihn /. Hadamard (J. de math. pures et appl. (4) Bd. 8 (1892), S. 107) wiederfand und zu wichtigen Anwendungen verwertete.

2) Hier soll also ei imal der bequemeren Zusammenfassung halber aus- nahmsweise — = + oo, = 0 gesetzt werden. — Übrigens sei noch be-

0 +OQ

merkt, daß keineswegs etwa dasselbe ist wie lim ^ -, — wie

man sich an naheliegenden Beispielen klarmachen kann. (Vgl. Aufgabe 24).

94. § 18. Der Konvergenzradius. 249

Ist umgekehrt 2^ a^x^ im x = x^ =\= 0 konvergent, so ist die Folge

{a^,x^'') und um so mehr die Folge y|«„^i''| beschränkt. Ist etwa stets

'V'KVT < ^1' so ist stets V'KJ^< -Ä- = i^,

Fil

d. h. es ist dann (V|«„|) eine beschränkte Folge. Im Falle b), in

dem diese Folge als nach rechts nicht beschränkt angenommen wird,

kann daher die Reihe für kein a; H= 0 konvergieren.

Ist endhch im Falle c) x' eine Zahl, für die \x'\ < ~ ist, so

wähle man eine positive Zahl q, für die |a;'| < ^ < — und also — > fi

H' 9

ist. Der Bedeutung von ^u entsprechend muß dann von einer Stelle an

^^\aJ<~ und folglich ^^\a^x'''\< ^ <1 sein. Nach 75, 1 ist daher 2^ a^x'"" (absolut) konvergent.

Ist aber \x"\>~, also -77 < /^, so ist unendhch oft (immer wieder; s. 59)

1

VkJ>

oder ax''''\>l

x"

Nach 82, 6 kann also die Reihe sicher nicht konvergieren^). Damit ist der Satz in allen Teilen bewiesen.

Bemerkungen und Beispiele.

1. Da die drei Teile a), b), c) des letzten Satzes sich gegenseitig aus- schließen, so ergibt sich, daß ihre Bedingungen nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig für das Eintreten des betreffenden Konvergenzverhaltens der Reihe Z ünX^ sind.

2. Insbesondere strebt also bei jeder beständig konvergenten Potenzreihe n

y|a„|->0. Denn nach dem oben Bemerkten ist /^ = 0; und da es sich um

eine Folge von positiven Zahlen handelt, so ist ihr unterer Limes 7t notwendig ^0. Weil andererseits >t^n sein muß, ist x = ix — ^. Nach 63 ist die Folge

(■J*/; r) also konvergent mit dem Grenzwert 0. So strebt z. B. y— r^O oder ywl^ + OO,

n\ n\

X

weil ^ — - beständig konvergiert.

^) Den Fall c) kann man etwas kürzer so abtun: Wenn

**/ » n.

limV|a„j=^ ist, so wird lim V |a„ | • |;vi = lim V |a„;*;'» j = ^ . |Ar| sein (warum?). Nach 76,3 ist also die Reihe für ^.|;»r|<i absolut kon- vergent, für ii-\x\^\ sicher divergent, w. z.b.w.

150 V. Kap. Potenzreihen.

3. Über das Verhalten der Potenzreihe für x = -{-r und x = ~r sagen die Sätze 93 und 94 nichts aus; es ist von Fall zu Fall verschieden:

ar" x^

y x"^ , V — ■, y —-r haben alle drei den Radius 1. Die erste konverg-iert

in keinem der Punkte +1, die zweite in nur einem von ihnen, die dritte in beiden,

4. Weitere Beispiele von Potenzreihen werden in den folgenden Para- graphen unausgesetzt auftreten, so daß wir hier keine besonderen zu geben brauchen.

Wir sahen, daß die Konvergenz einer Potenzreihe im Innern des Konvergenzintervalles sogar eine absolute ist. Wir wollen weiter zeigen, daß die Konvergenz sogar so stark ist, daß sie durch das Hinzutreten beträchtlicher Faktoren noch nicht gestört wird. Es gilt nämlich der

<x

95. ° Satz. Hat ^ a^ x'^ den Konvergenzradms r, so hat die Potenzreihe

CO OD

^ na^x^~'^ oder, was dasselbe ist, die Reihe 2] {'^^ ~\~ '^)^n + i^^^ genau

«=0 M=0

denselben Radius.

Beweis. Man kann diesen Satz unmittelbar aus Satz 94 ab- lesen. Denn setzt man na^^ = a^, so ist

n —

Da nun (nach 38, 7) yn-^l strebt, so folgt nach 61, 5 unmittelbar.

daß die Folgen (vlö-^'l) und (vl^^-^J) denselben oberen Limes haben. Denn hebt man aus beiden dieselbe Teilfolge heraus, so sind sie, da sich die entsprechenden GUeder nur durch den —^-{~1 strebenden

n —

Faktor yn unterscheiden, entweder beide divergent oder beide mit demselben Grenzwert konvergent^).

Beispiele. 1. Wendet man den Satz mehrmals an, so ergibt sich, daß die Reihen Zn a„ x""-^ , i:n{n-l) a„ x""'^ , ... Z n{n - l) . . . (n - k -^ l) a,, Ar""* oder, was ganz dasselbe ist, die Reihen

l'{n + l)a^^^x\ 2'(w + l)(tz + 2)fl^^.,Ar«, ...,

U{n-hl){n + 2)...in + k)a^_^,xr^^kl2j{^'^i;^)%^,^^-''

alle denselben Radius haben wie 1' UnX" , welche natürliche Zahl auch k be- deuten möge.

1) 2. Beweis. Nach 76, 5a oder 91, 2 ist Snd'''-^ für jedes \d'\<i konvergent. Ist nun \xQ\<_r und q so, daß \xQ\<iQ<ir ist, so ist SunQ'' konvergent, also (a„ ^") beschränkt, etwa stets {a„^"|</ir. Dann ist

l>^««^o**~N<— -^ (— )"" 5 '^^s ^^^ wegen ^ <1 die behauptete Konver- genztatsache lehrt.

^5, § 19- Funktionen einer reellen Veränderlichen. 151

2. Dasselbe gilt natürlich auch von den Reihen

VI ^n n + l yi _^m n + 2 y ^n n + k

^ n + l -^ {n + \){n + 2)' ''"' ^' {n + \) {n + 2) . . . {n + k)

Wir haben bisher nur Potenzreihen der Form 2 a^^x^^ betrachtet. Es macht in den Betrachtungen nur einen geringen Unterschied, wenn wir die allgemeinere Form

zugrunde legen: Setzt man % ~ Xq = x, so erkennt man, daß diese Reihen für \x'\ = \x — Xq\ <r absolut konvergieren, für \x — Xq\~> r dagegen divergieren, wenn r wieder die nach Satz 94 bestimmte Zahl ist. Der Konvergenzbereich der Reihe ist also — von den extremen Fällen, daß sie nur für x = x^ oder aber für jedes x konvergiert, abgesehen — eine Strecke, die durch den Punkt x^ halbiert wird, teils mit, teils ohne Einschluß eines oder beider Endpunkte. Von dieser Verschiebung der Lage des Konvergenzintervalles abgesehen, bleiben alle unsere Betrachtungen in Gültigkeit. Den Punkt x^ werden wir der Kürze halber den Mittelpunkt der Potenzreihe nennen. Ist x^^^ 0, so haben wir wieder die frühere Reihenform.

Im Konvergenzintervall hat die Potenzreihe 2!a^^[x — x^f^ für jedes X eine wohlbestimmte Summe s, die natürlich für verschiedene x im allgemeinen verschieden ausfällt. Um diese Abhängigkeit von x zum Ausdruck zu bringen, setzen wir

^a^^{x-xj' = s{x)

n—o

und sagen, die Potenzreihe definiere in ihrem Konvergenzintervall eine Funktion von x.

Die Grundlagen der Lehre von den reellen Funktionen, also die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung setzen wir, wie schon in der Einleitung betont, im wesentlichen als bekannt voraus. Nur um über das Maß der aus diesen Gebieten benutzten Tatsachen keinerlei Unklarheit aufkommen zu lassen, wollen wir im folgenden Paragraphen alle Definitionen und Sätze, deren wir benötigen, kurz angeben, ohne auf genauere Erläuterungen und Beweise einzugehen.

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Definition 1 (Funktion). Ist jedem Werte x eines Intervalles der ;»;- Achse durch irgendeine Vorschrift ein bestimmter Wert y zugeordnet, so sagt man, y sei eine in dem betreffenden Intervall definierte Funktion von oc und schreibt dafür kurz

152 V. Kap. Potenzreihen.

indem „/" die Vorschrift symbolisiert, auf Grund deren jedem x das zu- gehörige y entspricht^).

Das Intervall, das abgeschlossen oder auch auf einer oder auf beiden Seiten offen, beschränkt oder nicht beschränkt sein darf, heifit dann das

Definitionsintervall von f {x) .

Definition 2 (Beschränktheit). Gibt es eine Konstante A\, so daß für alle x des Definitionsintervalles

f{x)>K,

bleibt, so heißt die Funktion f [x) nach links (oder nach unten) beschränkt und ivj eine linke (oder untere) Schranke von f [x). Gibt es eine Konstante A'g, so daß für alle x des Definitionsintervalles /*(;<;) ^ A« ist, so heißt f{x) nach rechts {oben) beschränkt und /C eine rechte {obere) Schranke von f{x). Eine beiderseits beschränkte Funktion wird schlechtweg als beschränkt bezeichnet. Es gibt dann eine Konstante K, so daß für alle x des Definitionsintervalles

\f{x)\<K bleibt.

Definition 3 (Untere und obere Grenze, Schwankung). Unter allen unteren Schranken einer beschränkten Funktion gibt es stets eine größte und ebenso unter ihren obersten Schranken stets eine kleinste^). Jene bezeichnet man als. die untere, diese als die obere Grenze, die Differenz beider als die Schwankung der Funktion f{x) in ihrem Definitionsintervall. Entsprechende Bezeichnungen gebraucht man auch für ein Teilintervall a' . . .b' des Definitionsintervalles.

Definition 4 (Grenzwert einer Funktion). Ist t, ein Punkt des Definitions- intervalles einer Funktion f {x) oder einer seiner Endpunkte, so bedeutet die Symbolik

lim f {x) = c

oder

/■ {x) -> c für X -^ ^ ,

a) daß für jede dem Definitionsintervall entnommene und gegen ^ kon- vergierende Zahlenfolge (;tr„), deren Glieder sämtlich von c verschieden sind, die Folge der zugehörigen Funktionswerte

yn = f{Xn) ■ («=1,2,3,...)

gegen c konvergiert; oder

b) daß nach Wahl einer beliebigen positiven Zahl t; s^ich stets eine andere positive Zahl d = 8 {e) so angeben läßt, daß für alle dem Definitionsintervall angehörigen Werte von x, für die

\x — ^\ <C^, aber x =^ ^ ist, stets auch

\f{x)-c\<e

ausfällt 3). — Die beiden Definitionsformen a) und b) besagen genau dasselbe.

1) Statt eines Intervalles der ;»;- Achse kann man auch allgemein die Punkte einer bestimmt gegebenen Punktmenge M auf der at- Achse zugrunde legen. Man sagt dann, die Funktion sei auf der Punktmenge M definiert. Doch werden wir weiterhin ausschließlich Intervalle zugrunde legen.

2) Vgl. 8, 2, sowie 62

3) Die ältere Schreibweise lim / {x) statt lim f{x) ist durchaus zu verwerfen,

weil gerade x ^ '^ bleiben soll.

§19. Funktionen einer reellen Veränderlichen. ]53

Definition 5 (Rechts- und linksseitiger Grenzwert). Liegen im Falle der Definition 4 alle in Betracht gezogenen Punkte x„ bzw. x rechts von ^, so spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert und schreibt

lim f{x) = c',

ebenso schreibt man

\imf{x) = c

und spricht von einem linksseitigen Grenzwert , wenn man nur links von <^ ge- legene Punkte Xn bzw. x in Betracht zieht.

Definition 5a (Weitere Grenzwertformen). Neben den nunmehr festgelegten 3 Grenzwertformen kommen noch insgesamt die folgenden vor:

lim fix) = -j , ,.

oder /W^}'' +'^' -°°)

mit einem der folgenden fünf Zusätze {„Bewegungen von a;"):

für x^'^, -)-|^ + 0, ->|^-0, ->4-Oü, ^ — oo.

Im Anschluß an 2 und 3 wird es keinerlei Schwierigkeiten machen, diejenigen Definitionen — in der Form a) oder b) — genau zu formulieren, die den eben behandelten entsprechen.

Da wir diese Dinge, wie betont, im wesentlichen als bekannt ansehen, unterdrücken wir alle ins einzelne gehenden Erläuterungen und Beispiele und betonen nur noch besonders, daß der Wert c, gegen den eine Funktion z. B. für x->^ strebt, gar nichts mit dem Werte der Funktion an der Stelle | zu tun zu haben braucht. Nur hierfür wollen wir noch ein Beispiel ausführen: fix) sei für alle x dadurch definiert, daß f [x) = 0 gesetzt wird, falls x eine

irrationale Zahl ist, daß aber f(x) = - - gesetzt wird, falls x gleich der ratio-

P nalen Zahl - ist, wobei wir uns diese auf den kleinsten positiven Nenner q

gebracht denken. (Es ist also z. B. f{l)= \, /•(0) = /"(-J-) = 1 , f{^J2) = 0, usw.)

Hier ist für jedes ^

\imf{x) = 0. x->l

Denn ist e eine beliebige positive Zahl und m so groß, daß - — <Ce, so gibt es

m

zunächst einmal in jedem beschränkten Intervalle nur endlich viele rationale Punkte, deren (kleinster positiver) Nenner ^m ist. Diese denke ich mir etwa in dem Intervall |^— l...^-f-l sämtlich markiert. Da es nur endlich viele sind, muß einer von ihnen der Stelle | am nächsten liegen; (ist ^ selber eine dieser Stellen, so rechnet sie hierbei natürlich nicht mit). Deren (positiven) Abstand von ^ nenne ich ö. Dann ist jedes at, für das

^< x-^\<d

^) Im 1. dieser drei Fälle sagt man f [x) strebe oder konvergiere gegen c; im 2. und 8. Falle: f{x) strebe oder divergiere (bestimmt) gegen +00 bzw. — OO und spricht in allen Fällen von einem bestimmten Verhalten oder auch von einem Grenzwert im weiteren Sinne. Weist f{x) keine dieser 3 Verhaltungs- weisen auf, so sagt man: f {x) divergiere unbestimmt (bei der in Betracht ge- zogenen Bewegvmg von x).

154 ^ • Kap. Potenzreihen.

ist, entweder irrational oder eine rationale Zahl, deren kleinster positiver Nenner q dann notwendig >• m ist. In einem Falle ist f(x) = 0, im andern

= — <C — <Cs. Es ist also für alle 0 -c^ \ x ~ ^ <" d

q m i -

!/'(;v)-0 <., d. h. wie behauptet

lim/-(A') = 0.

Ist also ^ speziell eine rationale Zahl, so ist dieser Grenzwert von dem Fiink- tionswert /"(f) selbst durchaus verschieden.

Das Rechnen mit Grenzwerten wird durch den folgenden Satz ermöglicht: Satz 1. Sind fj^(x), f„ {x), . . ., fj>{^) gegebene Funktionen {p eine bestimmte natürliche Zahl), die sämtlich bei ein und derselben der in Def. 5 a genannten Be- wegungen von X je einem endlichen Grenzwert zustreben, etwa f\{x)->c^, . . ., fp {x) -^ Cp, so strebt auch

a) die Funktion f{x) ^ [f^ {x) +f^^{x) + ...-\- f^ (x)] -> ,^ + ,^ -f . . . + c^;

b) die Funktion f{x) ^ [f, {x) ■ f, {x) .../;, (x)] ^c,-c,..

p-,

c) speziell also die Funktion af^{x) >ac^, {a= beliebige reelle Zahl) und die Funktion f{x)y — f^ (x) -> f i — c.^ ;

d) die Funktion . . . > — , falls c. 4= 0 ist.

fx W Cx

Satz 2. Ist lim /"(at) = c (=[= +00), so ist f{x) in einer Umgebung von

§ beschränkt, d. h, existieren zwei positive Zahlen d und /v, so daß

\f{x)\<:^K bleibt, falls \x-i\ ■ , A ist,

und entsprechendes gilt bei (endlichem) Mrtv fix) für atv^ + O, >? — 0, +00, — OO.

Definition 6 (Stetigkeit in einem Punkte). Ist i" ein Punkt des Definitions- intervalles von fix) , so heißt f{x) an dieser Stelle stetig, falls

Iim/*(^) xyi •

existiert und mit dem Funktionswerte f (^) an der Stelle jf übereinstimmt:

Mm f{x)=f {5).

Nimmt man die Definition des lim in diese neue Definition mit hinein, so kann man auch sagen:

Definition 6a. f{x) heifit stetig an der Stelle ^', falls für jede dem Defi- nitionsintervall entnommene und gegen t strebende Punktfolge (Ar„) die zu- gehörigen Funktionswerte

streben.

Definition 6b. f {x) heißt stetig an der Stelle jF, falls nach Wahl eines beliebigen £ >■ 0 sich ö — Ö{e)y>0 so angeben läßt, daß für alle x des Defi- nitionsintervalles, für die

Q<\x-5 <b ist, stets auch

\f{x)-f(:^\<e ausfällt.

Definition 7 (Reclits- und linksseitige Stetigkeit). f{x) heißt an der Stelle ^ nach rechts bzw. nach Hnks stetig, falls wenigstens für x^'^ + 0 bzw. x^'^ — (i der Grenzwert lim f {x) vorhanden ist und mit /"((?) übereinstimmt.

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen. 155

Dem Satz 1 entsprechend gilt hier der

Satz 3. Sind f^ [x), f^ix), ..., fp {x) gegebene Funktionen (p eine bestimmte natürliche Zahl), die sämtlich in ^ stetig sind, so sind dort auch die Funk- tionen

a)/;W+f2W + ... + /'pW,

c) af^{x), {a eine beliebige reelle Zahl) /"i (^) — /a (^) , ^^nd

d) falls f.V^) =1= 0 ist, auch ^^-7-

im Punkte ^ stetig. Das Entsprechende gilt, wenn man nur die rechtsseitige oder nur die linksseitige Stetigkeit voraussetzt.

Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes auf die sicher überall stetige Funktion. /■(;t;)z: AT (denn für x -> ^ strebt eben x -> ^) ergibt sich sofort:

Alle rationalen Funktionen sind überall stetig mit Ausnahme der (höchstens endlich vielen) Stellen, an denen der Nenner =0 ist. Speziell: Die ganzen rationalen Funktionen sind überall stetig.

Ebenso lehrten die Limesbeziehungen 42. 1 — 3, daß die Funktion a^, (a>>0), für jedes reelle x stetig ist, log X für jedes a; > 0 stetig ist, x^, {a beliebig reell) für jedes x > 0 stetig ist.

Definition 8 (Stetigkeit in einem Intervall). Ist eine Funktion in jedem einzelnen Punkte eines Intervalles / stetig, so sagt man, sie sei in diesem Inter- vall J stetig. Die Endpunkte von / können dabei je nach Lage des Falles hinzugerechnet werden oder auch nicht. Über Funktionen, die in einem ab- geschlossenen Intervall stetig sind, läßt sich eine Anzahl wichtiger Sätze aus- sprechen, von denen wir die folgenden erwähnen:

Satz 4. Ist f[x) in dem abgeschlossenen Intervall a^x-^h stetig und ist /"(a)>-0, aber /*(&)<<0, so gibt es zwischen a und h mindestens einen Punkt I, für den /"(l) = 0 ist.

Satz 4a. Ist f{x) in dem abgeschlossenen Intervall a-^x-^h stetig und ist f) irgendeine zwischen f[a) und f (h) gelegene reelle Zahl, so gibt es wieder zwischen a und h mindestens einen Punkt |^, für den f{^) = rj ist. Oder: Die Gleichung f(x) — rj hat dort mindestens eine Lösung.

Satz 5. Ist fix) in dem abgeschlossenen Intervall a-^x-^h stetig, so läßt sich nach Wahl von « >> 0 stets eine Zahl ö ^^ 0 so angeben, daß für irgend zwei Punkte x' und x" des genannten Intervalles, deren Abstand \x" — x'\ <C8 ist, die Differenz der zugehörigen Funktionswerte { f {x") — fix') \ -< s ausfällt. (Man bezeichnet die durch diesen Satz festgelegte Eigenschaft einer Funktion als deren gleichmäßige Stetigkeit in dem zugrundegelegten Intervall.)

Definition 9 (Monotonie). Eine im Intervall a . . .b definierte Funktion heißt dort monoton wachsend bzw. fallend, wenn für zwei dem genannten Intervall entnommene Punkte x■^^ und X2-, für die a-^ << ^ir^ ist, stets fi^t) ^fi^^) bzw. /"(^i) ^/"(^a) ausfällt. Man spricht von einem Wachsen bzw. Fallen im engeren' Sinne, wenn man die eben noch zugelassene Gleichheit zwischen den Funktions- werten ausschließt.

Satz 6. Der unter den Voraussetzungen der Sätze 4 und 4a sicher vor- handene Punkt ^ ist notwendig der einzige seiner Art, wenn die benutzte Funktion f(^x) im Intervall a . . .b im engeren Sinne "monoton ist. Dann ent- spricht also jedem rj zwischen f{a) und f (b) stets ein und nur ein |, für das

156 V. Kap. Potenzreihen.

f{e) = n ist. Man sagt in diesem Falle: Die Funktion y = f{x) sei in jenem Intervall eindeutig umkehrbar.

Definition 10 (Differenzierbarkeit). Eine im Punkte ^ und einer gewissen Umgebung desselben definierte Funktion f {x) heißt im Punkt i differenzierbar, wenn der Grenzwert

existiert. Sein Wert heißt die Ableitung oder der Differentialquotient von f{x) in f und wird mit f (^) bezeichnet. Ist der genannte Grenzwert nur rechts- bzw. linksseitig (also nur für x->^-\'0 bzw. -► t _ o) vorhanden, so spricht man von rechts- bzw. linksseitiger Differenzierbarkeit, Ableitung usw.

Ist eine Funktion f(x) in jedem einzelnen Punkte eines Intervalles / differenzierbar, so sagt man kurz, sie sei in diesem Intervalle differenzierbar.

Die Regeln für die Differentiation einer Summe oder eines Produktes einer bestimmten (festen) Anzahl von Funktionen, einer Differenz oder eines Quotienten zweier Funktionen, einer mittelbaren Funktion, sowie die Regeln für die Differentiation der elementaren und der aus ihnen zusammengesetzten Funktionen sehen wir als bekannt an.

Alle zu ihrer Aufstellung notwendigen Hilfsmittel sind im Vorangehenden entwickelt, wenn man noch die Kenntnis des in 112 genannten Grenzwertes vorweg nimmt, der dort ganz direkt bestimmt wird. Wird z, B. nach der Differenzierbarkeit und der Ableitung von a*,a>0 und ± 1, im Punkte § ge- fragt, so hat man nach Def. 10 und 4 eine Nullfolge (x„) zu wählen, deren Glieder aber sämtlich von 0 verschieden sind, und die Zahlenfolge

A „ = — = a^ ■ —

Xn X,,

zu untersuchen. Setzt man den letzten Zähler =>'„, so wissen wir aus 35, 3 daß auch (y„) eine Nullfolge ist, und zwar wieder eine solche, bei der kein Glied gleich 0 ist. Mit ihrer Hilfe kann man X^ in der Form

A ;, = a^ . :;

log(l+y„) schreiben. Da aber, wie bemerkt, y„ eine Nullfolge ist, so strebt nach 112

Vn

Da dasselbe dann nach 41, IIa auch für den reziproken W^ert gilt, so strebt also A„->a^logrt. Die Funktion a* ist also für jedes x differenzierbar und hat die Ableitung a^loga.

Ebenso ergibt sich bezüglich der Differenzierbarkeit und der Ableitung von logA' an einer Stelle |^ > 0 durch Betrachtung der Folge

^ ■og(^ + .„)-.ogj ^ ^^ ^ 1 / ^N I-

Xn Xn ^ * V I /

daß dort die Ableitung existiert und = - ist.

Trotz der grundlegenden Bedeutung dieser Begriffe für die gesamte Analysis werden wir von ihnen in den folgenden Kapiteln nur verhältnis- mäßig selten Gebrauch zu machen haben. Wir benutzen zunächst fast nur die folgenden einfachen Sätze:

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen. 157

Satz 7. Ist eine Funktion f{x) in einem Intervalle / differenzierbar, und ist ihre Ableitung- dort stets = 0, so ist f{x) in / konstant, ist 2i\so^f{x^, wenn Xq irgendeinen Punkt aus / bezeichnet.

Sind die beiden Funktionen f^ [x) und f^ [x) in / differenzierbar und stimmen dort ihre Ableitungen stets überein, so ist die Differenz beider Funk- tionen in / konstant; es ist also

wenn x^ irgendeinen Punkt aus / bezeichnet.

Satz 8. {Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Ist f{x) in dem abgeschlossenen Intervall a < ;*r < & stetig und wenigstens im offenen Intervall <» <; AT << & differenzierbar, so gibt es in letzterem mindestens einen Punkt '§ ^ für den

..,.x m-/(«)

' ^^^ b-a

ist. (In Worten: Der Differenzenquotient bezüglich der Enden des Intervalles ist gleich dem Differentialquotienten an einer passenden Stelle im Innern.)

Satz 9. Ist f(x) in ^ differenzierbar und ist /"' (^) >> 0 (<C 0) , so „wächst" („fällt") f{x) im Punkte ^, d. h. es hat die Differenz

/W-/® {(das entgegengeseme)} Vorzeichen wie (^ - f) ,

solange \x — ^\ << als eine passende Zahl d gehalten wird.

Satz 10. Ist f(x) in § differenzierbar, so kann der Funktionswert f {^) nur dann von keinem andern Funktionswert f(x) in einer Umgebung von ^ der Form \x — ^\ << ö übertroffen werden , d. h. |^ kann nur dann eine Stelle des Maximums sein, wenn f (^) = 0 ist. Ebenso ist die Bedingung f'(^) = 0 not- wendig dafür, daß ^ eine Stelle des Minimums ist, daß also f(^) von keinem andern Funktionswert f(x) untertroffen wird, solange x in einer passenden Um- gebung von ^ verbleibt.

Definition 11 (Höhere Ableitungen). Ist f(x) im Intervall / differenzierbar, so ist (gemäß Def. 1) f (x) wieder eine in / definierte Funktion. Ist diese erneut in / differenzierbar, so nennt man ihre Ableitung die zweite Ableitung von f{x) und bezeichnet sie mit f" {x). Entsprechend gelangt man zu einer dritten, und allgemein zu einer Ä*^" Ableitung, die dann mit f^^\x) bezeichnet wird. Zur Existenz der k^^^ Ableitung in einem Punkte '^ ist hiernach (s. Def. 10) erforder- lich, daß die {k — 1) Ableitung im Punkte ^ und in allen Punkten einer gewissen Umgebung derselben vorhanden ist. — Die l^^ Ableitung von f^^^ {x) ist f^^ + ^^ {x) , Ä^O, /^O, (Als 0*^ Ableitung von f{x) sieht man hierbei die gegebene Funktion selbst an).

Von der Integralrechnung werden im folgenden nur die allereinfachsten Begriffe und Sätze gebraucht, außer in § 49 und 61 über Fourierreihen, wo etwas tiefergehende Dinge herangezogen werden müssen.

Definition 12 (Unbestimmtes Integral). Ist im Intervall a . . .b eine Funk- tion fix) gegeben und läßt sich eine differenzierbare Funktion F {x) finden, so daß für alle Punkte des genannten Intervalles F'{x)=f(x) ist, so sagt man, F (x) sei dort ein unbestimmtes Integral von f{x). Außer F (x) sind dann auch die Funktionen F (x) -}- c unbestimmte Integrale von f{x), wenn c irgendeine reelle Zahl bedeutet. Außer diesen aber gibt es keine Wv^iteren. Man schreibt

F{x)=Jf(x)dx.

158 V. Kap. Potenzreihen.

In den einfachsten Fällen ergeben sich die unbestimmten Integrale durch Umkehrung der elementaren Formeln der Differentialrechnung. Z. B. folgt

aus (sin ax^ = a cos a.x, daß fcos axdx = — , usw. Diese elementaren Re-

geln sehen wir als bekannt an. An speziellen Integralen dieser Art werden außer den allereinfachsten nur wenige im folgenden gebraucht; wir erwähnen r

dx 1 , 1 1 9 V _ 1

1^,3=3 l^^a--)- ^ log(l-. + .^)-|.i_arctg2^

\o V3

f 1 " sin X

Handelt es sich bei dem unbestimmten Integral lediglich um eine neue Schreibweise für Formeln der Differentialrechnung, so liegt im bestimmten In- tegral ein wesentlich neuer Begriff vor.

Definition 13 (Bestimmtes Integral). Eine im abgeschlossenen Intervall

a. . .b definierte und dort beschränkte Funktion heißt über dieses Intervall in- tegrierbar, wenn sie der folgenden Forderung genügt:

Man teile das Intervall a . . .b irgendwie in n gleiche oder ungleiche Teile (w _^ 1 , natürliche Zahl), nenne die Teilpunkte von a nach b der Reihe nach x^, Ar.> , ..., x^^^ und setze noch a = XQ, b = Xn- Nun wähle man in je- dem der n Teile (zu denen man beide Endpunkte hinzurechnen darf) je irgend- einen Zwischenpunkt, die ebenso der Reihe nach mit ,^j, ';^„, . . ., 'S,, bezeichnet werden sollen, und setze die Summe

n 5„ = 2^(^,-A'„_,)/"(^;,)

ani). Solche Summenwerte 5„ berechne man für 7/ = 1,2, 3,... und zwar einen jeden ganz unabhängig von den übrigen (d. h. also bei jedesmal ganz neuer Wahl der x^ und y. Doch soll, wenn /„ die Länge des längsten der n Teile ist, in die das Intervall bei der Bildung von 5„ zerlegt wurde^ /„->0 streben'^).

Wenn dann die Folge der Zahlen 5^ , Sg , . . . , wie ptan sie auch her- gestellt haben mag, immer konvergent ausfällt und immer denselben Grenzwert S liefert^), so soll f\x) über das Intervall a...b im Ricmannschen Sinne in- tegrierbar heißen und der Grenzwert S soll als bestimmtes Integral von f(x} über a . . . b und mit

b S=Jf(x)dx

^) Ist f(x)^0, a^^b und betrachtet man das Flächenstück 5, das von der Abszissenachse einerseits, den in a und b auf ihr errichteten Loten und der Kurve y = f{x) andererseits begrenzt wird, so ist S^ ein approximativer Wert des Inhaltes von S. Doch gibt dies nur dann ein anschauliches Bild, falls y = f[x) eine Kurve im anschaulichen Sinne ist.

2) Man sagt dann wohl auch, daß die Einteilungen mit wachsendem n unbegrenzt feiner werden.

^) Es läßt sich leicht zeigen, daß wenn die Folge (5„) immer konvergent ausfällt, sie auch von selbst immer denselben Grenzwert liefert.

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen. 159

bezeichnet werden, x heißt die Integrationsveränderliche und darf natürlich durch jeden anderen Buchstaben ersetzt werden. — Statt f{^^) darf in S„ auch die untere oder auch die obere Grenze aller Funktionswerte des Teilintervalles X ,_.... x^ gesetzt werden^).

Satz 11 {Rieniannsches Integrabilitätskriterium). Die notwendige und hin- reichende Bedingung dafür, daß f{x) über a...b integrierbar ist, ist diese: Nach Wahl von e > 0 muß sich eine Wahl von n und der Punkte a'^ , x^, x^-^^

so treffen lassen, daß

n

2J \ Oy < ^ V=l

ausfällt, wenn i^ = | a;^ — Ar^,_^ j djg Länge des v*^'^ Teiles von a...b und Ov die Schwankung von f{x) (s. Def. 3) in diesem Teilintervall bedeutet.

Aus diesem Kriterium leitet man die folgenden speziellen Sätze her:

Satz 12. Jede in a<x<b monotone, sowie jede dort stetige Funktion ist über «... & integrierbar.

Satz 13. Die Funktion f{x) ist über a . . .b integrierbar, falls sie dort beschränkt ist und nur endlich viele Unstetigkeiten besitzt.

Satz 14. Die Funktion f{x) ist über a . . .b auch noch integrierbar, wenn sie dort beschränkt ist und unendlich viele Unstetigkeiten besitzt, wofern diese nach Annahme einer Zahl s > 0 doch noch in endlich oder unendlich viele Intervalle eingeschlossen werden können, deren Gesamtlänge <£ ist 2).

Satz 15. Die Funktion f{x) ist über a . . .b sicher nicht integrierbar, wenn sie in jedem Punkte des Intervalles unstetig ist.

Satz 16. Ist fix) über das Intervall a . . .b integrierbar, so ist f{x) auch über jedes Teilintervall a! . . .b' desselben integrierbar.

Satz 17. Ist die Funktion f{x) über a . . .b integrierbar, so ist auch jede Funktion f^ix) über «...& integrierbar und liefert denselben Integralwert, die aus fix) durch willkürliche Abänderung irgendwelcher endlich vieler Funktions- werte entsteht.

Satz 18. Sind fix) und f^ix) zwei über a . . .b integrierbare Funktionen, so liefern sie denselben Integralwert, falls sie wenigstens in allen Punkten einer in a . . .b dicht gelegenen Punktmenge (z. B. nur in allen rationalen Punkten) übereinstimmen.

Für das Rechnen mit Integralen gelten die folgenden einfachen Sätze, bei denen f{x) stets eine in dem Intervall a . . .b integrierbare Funktion be- deuten soll.

ah

Satz 19. Es ist ^ fix)dx =^- U^^)^^ ""^' ^^^"^ ^i' ^2. «3 <^^ei beliebige h «

Punkte des Intervalles a . . .h sind, stets

]fix)dx -f ifix) dx ■- Jf{x)dx = 0 . «1 a2 *-

1) In diesen Fällen liefert 5„ den Inhalt eines dem Flächenstücke S em- bzw. umbeschriebenen („Treppen"-)Polygons.

2) Dieser Satz erfordert für den Fall, daß unendlich viele Intervalle zur Einschließung der Unstetigkeitspunkte von f{x) notwendig sind, tiefer gelegene Hilfsmittel zu seinem Beweise. Doch wird dieser Teil des Satzes nur beiläufig auf S. 329 für einen Zusatz in der Fußnote gebraucht.

160 V. Kap. Potenzreihen.

Satz 20. Sind f{x) und g{x) zwei über a...b, (a-Cb), integrierbare Funktionen und ist in a...b stets f{x)<g{x), so ist auch

b b

!inx)dx<j!g{x)dx.

a a

Satz 20a. Mit f[x) ist auch \f{x)\ über a...h integrierbar und es ist, falls a <^b ,

b b

Jf{x)dx<)' fix) dx

a a

Satz 21. [1. Mittelwerts atz der Integralrechnung). Es ist b

j f{x)dx = ((-{b -rt),

a

wenn ^ eine passende, zwischen der unteren Grenze m und der oberen Grenze M

von f{x) gelegene Zahl bedeutet (w^^.<M). Speziell ist

b

Jf(x)dx\<K.{b-a). a

wenn K eine Schranke von , f(x) bedeutet.

Satz 22. Sind die Funktionen f^ (x) , /!, (at) , . . . , /;, (x) sämtlich über a .. .b integrierbar (p = feste, natürliche Zahl) , so ist auch ihre Summe und ihr Pro- dukt eine über a . ..b integrierbare Funktion, und für das Integral der Summe gilt die Formel :

b b b

Kfx (^) + • • • + /; (^)) ^^ = .\'n W dx^... + j"/;, [x)dx-

a a a

d. h. eine Summe aus einer festen Anzahl von Funktionen darf gliedweise in- tegriert werden.

Satz 23. Ist f{x) über a . . .b integrierbar, so ist die Funktion

X

a im Intervall a . . . b stetig und an allen denjenigen Stellen dieses Intervalles auch differenzierbar, an denen f{x) selber stetig ist. Ist Xq eine solche Stelle, so ist dort F'{xo) = fM.

Satz 24. Ist f(x) über a...b integrierbar, und ist dort F(x) ein un- bestimmtes Integra] von f(x), so ist i

b

j'f{x)dx = F{b)~-F{a) a

{Hauptformel zur Berechnung bestimmter Integrale).

Satz 25 {Änderung der Integrationsveränderlichen). Ist f{x) über a...b integrierbar und ist x==(p{t) eine in a . . .ß stetige und differenzierbare Funk- tion, für die (p{a) = a und (p{ß)=b ist, die sich überdies, wenn t sich von cc bis ß bewegt, (im engeren Sinne) monoton von a bis b ändert, und deren Ab- leitung 7?' (/) über a . . . ß integrierbar ist i), so ist

Jf{x)dx--- (f(rpitj).rp'{t)dt. b ß

^) Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion braucht nicht integrier- bar zu sein. Beispiele, die diese Tatsache belegen, sind indessen nicht ganz leicht zu bilden. (Vgl. etwa H. Lebesgue, Le(;ons sur l'integration, Paris 1904, S. 93—94).

§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen. 161

Satz 26 {Partielle Integration). Ist f{x) über a...b integrierbar und F{x) ein unbestimmtes Integral von f{x)j ist ferner g(x) einein a...b differenzier- bare Funktion, deren Ableitung dort integrierbar ist, so ist

b b : .

Sf{x)g{x)dx=[F(x)-g{x)]l-jF{x).g'{x)dx'). a a

Wesentlich tiefer als alle diese einfachen Sätze liegt der folgende Satz 27 (2. Mittelwert satz der Integralrechnung). Sind f{x) und (p{x) über a ...h integrierbar und ist q}[x) eine dort monotone Funktion, so gibt es eine der Bedingung a<(^<& genügende Zahl |^, so daß die Gleichung

b 'S . b

J(p{x)-f{x)dx=(p{a)Jf{x)dx + cp{b)Jf{x)dx ' ' ' ■ ■ ■'

a a ^

besteht. Für q){a) kann hierbei auch der nach den übrigen Voraussetzungen sicher vorhandene Grenzwert 9?« =:= lim 99 (at) und ebenso für 9?(&) der Grenzwert

q)i, = \\va.(p{x) genommen werden^), x-¥b

Von den Anwendungen des besprochenen Integralbegriffs erwähnen wir nur :

Satz 28 (Inhalt). Ist f{x) in a...b, (a<Cb), integrierbar und etwa stets

positiv'^), so hat das durch die Abszissenachse, die Ordinaten in a und b und

durch die Kurve y = f{x) begrenzte Flächenstück — genauer: die Menge der

Punkte {x^y) iWr die ak.x^b und bei jedem solchen x zugleich 0^y<f{x)

b~ ~ ist — einen meßbaren Inhalt und dieser wird durch das Integral jf[x)dx ge-

a messen.

Satz 29 (Länge). Sind x=^cp(t) und y-=zxp(t) zwei in a-^t^ß stetige und differenzierbare Funktionen und sind (p'(t) und tp'{t) ihrerseits stetig in .«.../?, so hat die Bahn, die vom Punkte x = (p(t), y = ip(t) in der Ebene eines rechtwinkligen ;\ry- Kreuzes beschrieben wird, falls t das Intervall von a bis ß durchläuft, eine meßbare Länge, und diese wird durch das Integral

ß

a - . : i •- ,

geliefert. —

Endlich seien noch ein paar Worte über sogenannte uneigentliche Integrale gesagt :

Definition 14. Ist f(t) für t^a definiert und für jedes x^a über das Intervall a^t -^x integrierbar, so daß also auch die Funktion

X

F(x) = Jf(t)dt ,_ .., ,

a für alle x^a definiert ist, so sagt man, das uneigentliche Integral : " v

+ <» . ■ :- : ' ■ •:■ •

Jni)dt . y ;...;. . ;

a

sei konvergent und habe den Wert c, falls lim F(x) existiert und =c ist.

1) Hierbei soll [h{x)]l die Differenz h(b)-h{a) bedeuten.

"; Es handelt sich hier natürlich um einseitige Grenzwerte, da x aus dem Innern des Intervalles -> a bzw. b rücken soll.

^) — was stets durch Addition einer passenden Konstanten erreicht werden kann.

Knopp, Unendliche Reihen. 11

162 V. Kap. Potenzreihen.

qc

Satz 30. Ist für t^a stets f{t)^0, so ist \f{t)dt dann und nur dann

a konvergent, wenn die Funktion F {x) der Def. 14 für x^ a beschränkt bleibt. — Und ganz ähnlich

Definition 15. Ist f{t) in dem links offenen Intervall a <Ct ^b definiert und für jedes der Bedingung a<Cx<Cb genügende x über das Intervall :v^t ^b (nicht aber über das ganze Intervall a . . .b) integrierbar, so daß auch die Funktion

b

Fix)=jnt)dt

X

für alle diese x definiert ist, so sagt man, das uneigentliche Integral

b

S fit) dt a

sei konvergent und habe den Wert c, falls Mm F {x) existiert und =c ist.

Satz 31. Ist im Falle der Def. 15 noch stets /'(/)>0, so ist das dort genannte uneigentliche Integral dann und nur dann vorhanden, wenn F (x) in a <C X <Cb beschränkt bleibt.

§ 20. Haupteigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.

Wir knüpfen nun wieder an die Schlußbemerkung des § 18 an, nach der durch die Summe einer Potenzreihe im Innern ihres Kon- vergenzintervalles eine Funktion definiert wird, die wir nun f(x) nennen wollen:

/•w= i'''..(^--^o)". ^-^oi<'--

Das Konvergenzintervall wollen wir dabei, wenn nicht das Gegenteil ausdrücklich gesagt wird, beiderseits offen lassen, selbst dann, wenn die Potenzreihe noch in dem einen oder anderen Endpunkte kon- vergieren sollte.

Wird nun, wie hier, durch eine unendliche Reihe in einem ge- wissen Intervall eine Funktion definiert, so ist die wichtigste Aufgabe im allgemeinen die, aus der Reihe die Haupteigenschaften — dieses Wort etwa im Sinne der Zusammenstellung des vorigen Paragraphen verstanden — der dargestellten Funktion abzulesen. Für Potenzreihen bietet das keine großen Schwierigkeiten. Wir werden im ganzen sehen, daß eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion alle die Eigenschaften besitzt, die man überhaupt an Funktionen als besonders wichtig schätzt, und daß das Rechnen mit Potenzreihen sich besonders einfach gestaltet. Aus diesem Grunde spielen gerade die Potenzreihen eine hervorragende Rolle, und eben darum gehört ihre Behandlung durchaus in die Anfangsgründe der Reihentheorie.

Bei diesen Untersuchungen dürfen wir, ohne dadurch die Trag- weite der Ergebnisse zu beeinträchtigen, nach Beheben auch Xq=^ 0,

9*^^ ^ 20. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen. 163

also die Potenzreihe in der vereinfachten Form ^a^x'' annehmen. Ihr Konvergenzradius r soll natürlich positiv (> O) sein, darf aber auch + oü, die Reihe also beständig konvergent sein. — Dann gilt zunächst der

o Satz. Die durch die Potenzreihe ^^ a^{x — xj" im Konvergenz- 96.

Intervall derselben definierte Funktion f(x) ist an der Stelle x = x^ stetig; oder also: es ist

lim f{x) = lim Z^n(^- ^oT = «o == /"(^o) •

x^Xq x^>-Xq n=0

Beweis. Ist 0 < q <r, so ist nach 83, 5 mit J|«J^" auch ^\ajQ—^

n=0 »=1

konvergent. Setzen wir die Summe der letzten Reihe = K(> 0),

so ist für \x — XqI^^q stets

\f{x)-a,\ = \Xx-x,)-y:a^{^-^oY-^\^\^-^o\-K. , \

Ist also e> 0 beliebig gegeben und ist ^ > 0 kleiner als jede der beiden Zahlen q und _- , so ist für alle \x — Xq\ < d stets

\f{x)-a^\<e, womit nach § 19, Def. 6b alles bewiesen ist.

Aus diesem Satz folgt unmittelbar der sehr weitgehende und oft angewandte

Identitätssatz für Potenzreihen. Haben die beiden Potenzreihen 97, Ya^y und IJb^x""

beide einen Konvergenzradius , der ^ ^ > 0 ist (diese Zahl g darf im übrigen so klein sein wie sie will), und haben sie für alle \x\ <, q dieselbe Summe, so sind beide Reihen vollständig identisch, d. h. für jedes « = 0, 1, 2, . . . ist dann stets

a„=^b„.

n n

Beweis. Aus •- v ' - n - ^

(a) a^ + a^x + a^ -^^ . . . = b^^ b^x + by+ ...

folgt nach dem vorigen Satz, indem wir beiderseits x^O rücken lassen, daß

ist. Läßt man diese gleichen Glieder beiderseits weg und dividiert durch X, so folgt, daß für 0 <\x\ < q

(b) a^ + «2^; + «3%^ + . . . = 6i + ^2^^ + ^3 ^^ + . . .

11*

164 V. Kap. Potenzreihen.

ist, — eine Gleichung, aus der nun ganz ebenso^) folgt, daß

■ ■ ■■■■■■:■ '.:.;■. a, = b,

und ^

«2 + ^3^ + • • • = ^2 + ^3^ + • • •

ist. Fährt man in dieser Weise fort, so ergibt sich der Reihe nach (schärfer: durch vollständige Induktion) für jedes n die Richtigkeit der Behauptung.

Beispiele und Erläuterungen.

1. Dieser Identitätssatz wird uns in der Theorie sowohl wie in den An- wendungen oft begegnen. Man kann seinen Inhalt auch so deuten: wenn eine Funktion für eine Umgebung des Nullpunktes durch eine Potenzreihe dar- gestellt werden kann, so kann dies nur auf eine einzige Art geschehen. In dieser Form bezeichnet man den Satz wohl auch als Unitätssatz. Er gilt natürlich entsprechend für die allgemeinen Potenzreihen 2'a„ (a- — a-^)".

2. Da die Aussage des Satzes darin gipfelt, daß in der Gleichung (a) die entsprechenden Koeffizienten auf beiden Seiten gleich sind, spricht man bei den Anwendungen des Satzes wohl auch von der Methode der Koeffizienten- vergleichung,

3. Ein einfaches Beispiel für diese Anwendungsform ist dieses : Es ist gewiß für alle x

oder

Multipliziert man linkerhand nach 91, Bern. 1 aus und vergleicht die entsprechenden Koeffizienten auf beiden Seiten, so ergibt sich z. B. durch Vergleich der Koeffizienten von x^ ^ daß

ist, — eine Beziehung zwischen Binomialkoeffizienten, die auf anderem Wege nicht ganz so leicht zu beweisen wäre.

4. Ist f {x) für j ;tr I << y definiert und ist dort stets

' • f{x)^f.{-x),

so nennt man fix) eine gerade Funktion. Ist sie durch eine Potenzreihe dar- stellbar, so ergibt die Koeffizientenvergleichung sofort, daß

% = «3 = ^5 = • • • = «2Ä + 1 = . . . = 0

sein muß, daß also in der Potenzreihe von f{x) nur gerade Potenzen von x einen von 0 verschiedenen Koeffizienten haben können.

5. Ist dagegen f(—x) = — f(x), so nennt man die Funktion eine ungerade. Ihre Potenzreihenentwicklung kann nur ungerade Potenzen von x enthalten. Speziell ist /'(O) = 0.

^) Für AT = 0 ist die Gleichung (b) zunächst noch nicht gesichert, da sie ja durch eine Division mit x erhalten wurde. Für den Grenzübergang x ->Q ist das aber ganz gleichgültig (vgl. § 19, Def. 4).

9S, § 20. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen. 165

Wir gehen nun einen Schritt weiter und beweisen eine Anzahl Sätze, die in der Lehre von den Potenzreihen in jeder Beziehung als die wichtigsten bezeichnet werden müssen: •' ,

oSatz 1. Ist ' ■ "' 98,

,- . • l^«(^-^or ... '\..- "■'

■■'■■■ »=o ■ - ■ • • --•■..

eine Potenzreihe mit dem {positiven) Radius r, so läßt sich die da- durch für I a; — aTq I < y dargestellte Funktion f[x) auch um jeden andern im Konvergenzintervall gelegenen Punkt x^ als Mittelpunkt in eine Potenzreihe entwickeln; und zwar ist

wenn

gesetzt wird, und der Radius r^ dieser neuen Reihe ist mindestens gleich der noch positiven Zahl r — | ^i ~ ^o I •

Beweis. Liegt x^ im Konvergenzintervall der gegebenen Reihe, ist also I A^j — A^ol < f, so ist '

/'W=l«j(.^i--^o)+(^-%)r

n=0

(a) m = i a„ r(^, - X,)" + [f^{x, - x.y-^ix -x,) + ,

und alles, was wir zu zeigen haben, ist dies, daß wir hier alle GHeder mit derselben Potenz von (x — x^ zusammensuchen dürfen, daß also der große Umordnungssatz 90 angewendet werden darf. Ersetzt man aber, um dessen Anwendbarkeit zu prüfen, in der letzten Reihe jeden Summanden jedes Gliedes durch seinen absoluten Betrag, so erhält man die Reihe

ii«„|[|^x-*o! + i^-%ir;

»=o und diese ist gewiß noch konvergent, wenn

i ^1 ~ ^0 I + I ^ ~ ^i\ < ^ oder \x — x^\<r — \x^—,^.^^\

ist. Wenn also x näher an x^ liegt als jedes der Enden des ur- sprünglichen Konvergenzintervalles, so ist die geplante Um Ordnung erlaubt, und wir erhalten für f{x), wie behauptet, ein'^. Darstellung der Form

f\x) = J h^{x - x,)^ {\x-x^\<r-\x^- x^\). Führt man das Zusanimenfassen der Glieder mit {x — x^^ im ein-

\QQ V. Kap. Potenzreihen.

zelnen durch, indem man die Glieder der Reihe (a) zeilenweis unter- einander schreibt, so liefert die Ä*® Spalte:

— womit dann alles bewiesen ist.

Aus diesem Satz ziehen wir die mannigfachsten Folgerungen. Zunächst ergibt sich der

o Satz 2. Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion

■•' ■■ /■w = i«„(^-^o)"

ist in jedem inneren Punkte x^ des Konv er genzinterv alles stetig.

Beweis. Nach dem vorigen Satz darf für eine gewisse Um- gebung von x^

n=0 n=0

mit

n=0

gesetzt werden. Für x->x^ liefert dann die zweite der Darstellungen von f{x) nach 96 sofort die zu beweisende Beziehung (s. § 19, Def. 6)

lim f{x) = fix,).

X->Xi

oSatz 3. Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion f{x) = ^a„{x-xj'

n=0

ist in jedem inneren Punkte x, ihres Konvergenzintervalles differen- zierbar (s. § 19, Def. 10) und die Ableitung daselbst, f'{xj), kann durch gliedweise Differentiation gewonnen werden, d. h. es ist

f K) = J ^ «n (^1 - ^o)**"' = J (W + 1) ^n + 1 K - ^o)" • n=0 «=0

Beweis. Wegen f{x) = Zb^^{x — x^'' ist für alle hinreichend

n = 0

nahe bei x, gelegenen x

fM^ = b, + KA^-x,) + ...,

woraus für x -> x, nach 96 und unter Berücksichtigung der Bedeutung

von b, sofort die Behauptung folgt: f{x^ = b, = 2na^^{x, — xj' .

o Satz 4. Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion

n=0

1) Es ergibt sich also noch einmal ganz nebenbei die schon in 95 fest- gestellte Konvergenz der für die h^ erhaltenen Reihen.

OO, §20. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen. 167

ist in jedem inneren Punkte x^ ihres Konvergenz interv alles beliebig oft differenzierbar und es ist

/•(*) (x,) - Ä! ö, =^ J (n + 1) (^ + 2) . . . (^ + ^) «n+, (^1 - ^o)"-

n = 0

Beweis. Für jedes x des Konvergenzintervalles ist, wie eben gezeigt,

f{x) ist also seinerseits eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion, — und zwar durch eine Potenzreihe, die nach 95 dasselbe Konvergenzintervall hat wie die ursprüngHche. Daher kann auf f'{x) noch einmal derselbe Schluß angewendet werden; dieser liefert

f" {x) - 1 n {n + 1) «,+1 {x - x^y-^ = i^ (n + 1) [n + 2) a,,^^ {x - x^ ■

n=0 n=0

Durch Wiederholung dieses einfachen Schlusses ergibt sich für jedes k

r'^ (x) = Z{n + 1) (n + 2) . . . (n + k) a,,^k [x - ^o)" '

n=0

gültig für jedes x des ursprünglichen Konvergenzintervalles. Für

den speziellen Wert x = x^ folgt hieraus unmittelbar die Behauptung.

Setzen wir für die b^. die nun erhaltenen Werte — f *> {x^ in die Entwicklung des Satzes 1 ein, so ergibt sich aus allem voran- gehenden schließlich die sogenannte

oTaylorsche Reihe ^). Wenn für \x — x^l <r 99.

f(x) = J^ajx -xj

n=0

ist und wenn x^ ein innerer Punkt des Konvergenzintervalles ist, so ist für alle \x — x^\ <r^=^ r —\x^~- x^^-

f{0C) = fix,) + ^'{y'^ (X - X,) + ^'^^^ {X - X,r + . . .

^) Brook Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa, London 1715. — Vgl. dazu A. Pringsheim, Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes, Bibl. mathem., Bd. (3) 1 (1900), S. 433.

2) Die im Satze angegebene Zahl rj^ = r—\x^—XQ braucht nicht der ge- naue Konvergenzradius der neuen Potenzreihe zu sein. Dieser kann vielmehr

erheblich größer ausfallen. Für f{x) = 2 x" = ~ und Xj^= — -- erhält man

1 - X Ci

z. B. nach leichter Rechnung

1 3

und der Radius dieser Reihe ist nicht =^y — x-^~ Xq\ = -r ^ sondern = — .

168 V. Kap. Potenzreihen

Dem Satz 3 über die Differentiation unserer Reihen stellen wir noch den entsprechenden über die Integraüon an die Seite. Da eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion im Innern ihres Kon- vergenzintervalles stetig ist, so ist sie nach § 19, Satz 12 auch über jedes Intervall integrierbar, das einschließlich seiner Enden jenem Innern angehört. Hierüber gilt der

cc

o Satz 5. Das Integral der durch y^ a^(x — a;^)" im Konvergenz-

n=0

Intervall dargestellten {stetigen) Funktion f{x) darf durch gliedweise Integration gemäß der Formel

ff (t)dt=y:^ [[X, - x,r' - K - x,r']

gewonnen werden, wofern x^ und x^ beide im Innern des Konvergenz- intervalles gelegen sind.

Beweis. Wegen § 19, Satz 19 genügt es zu zeigen, daß für jeden Punkt x des Konvergenzintervalles

Ifi^)dx^l^^{x-x,r'

xo n = 0 " '^ ^

ist. Nun steht aber rechterhand jedenfalls eine für \x — Xq\ < r konvergente Potenzreihe. Deren Ableitung ist nach 98, 3 ersichtlich = ^a^^ {x — xj' = f{x). Dieselbe Ableitung hat nach § 19, Satz 23 auch die auf der linken Seite stehende Funktion, so daß auf beiden Seiten unserer Gleichung wohlbestimmte Funktionen stehen, die für \x — XQ\<r definiert und differenzierbar sind, und deren Ableitungen dort über- einstimmen. Beide Seiten unterscheiden sich also nach § 19, Satz 7 höchstens um eine Konstante. Setzt man aber x = x^, so zeigt sich, daß die unterscheidende Konstante selbst = 0 ist, daß also beide Seiten unserer Gleichung dieselbe Funktion darstellen, w. z. b. w.

Diesen Sätzen über Potenzreihen wollen wir noch nach einer besonderen Seite hin eine wichtige Ergänzung anfügen: Der Satz 2 von der Stetigkeit der durch eine Potenzreihe dargestellten Funktion galt, wie wir ausdrückhch noch einmal betonen, nur für das offene Konvergenzintervall. So läßt sich z. B. im Falle der geometrischen

Reihe 2:x'^ mit der Summe aus unsern Betrachtungen weder

l — X

unmittelbar die Unstetigkeit der Funktion y_^ an der Stelle x = -}- 1 noch die Stetigkeit derselben an der Stelle x= — 1 aus der Reihe ablesen. Auch wenn die Potenzreihe noch in einem der End- punkte des Konvergenzintervalles konvergieren sollte (wie z. B. y.-^

in X = — l] , ist ein solcher Schluß nicht ohne weiteres gestattet.

100. § 20. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen. 169

Daß jedoch in diesem letzteren Falle die vermutete Tatsache selbst wenigstens in gewissem Umfange richtig ist, lehrt folgender

Abelscher Grenzwertsatz ^) . Die Potenzreihe f{oc) = y^ a^^x' habe 1^0,

n=0

den Konvergenzradiiis r und sei noch im Punkte x =^ -{- r konvergent. Dann ist

lim f{QC) vorhanden und =^ ^ Uu'^'"^ •

ar->»" — 0 u=Q

Oder m. a. W.: Ist ^ a^^x" noch in x -- + r konvergent, so ist die

n—o

dvirch die Reihe in — r < x ^ -\- r definierte Funktion auch in dem Endpunkt x =^ -{- r noch linksseitig stetig.

Beweis. Es bedeutet keine Einschränkung, r= -\~ i anzunehmen^). Denn hat Za x^ den Radius r, so hat die Reihe Sa^'x'\ in der a ' =^ a^r^ sein soll, ersichthch den Radius +1; ^^^ die letztere Reihe ist dann und nur dann in -f ^ ^^^^ ~ 1 konvergent, wenn es die vorige in -[" ^ bzw. — r war.

Wir nehmen daher weiterhin /' = -^ 1 an. Unsere Voraussetzung ist dann, daß f{x) = 2a^x^ den Radius 1 hat und daß Sa^^ = s konvergiert; und die Behauptung lautet, daß auch

lim /■W = s(=i'«„)

->l-0 \ »=0 /

Ar->l-0

ist. Nun ist nach 91 (s. auch weiter unter 102) für \x\ <1

yI^ i "„ ^" = i ^" ■ i' «.. ^" = i' K -".

^ ^ n=0 n=0 n=0 n = 0

wenn mit s die Teilsummen von 2^a^^ bezeichnet werden. Folglich ist f[x) = (1 — x)Zs^x" und wegen 1 = (1 — x)2Jx' hat man also für !^i < 1

(a) s - fix) = (l-x)2J(s- .5,>"^~Kl - ^)i^.^"-

n=0 n=0

Hier wurden zuletzt die „Reste" s — s^^ = r^^ gesetzt; sie bilden nach 82, 6 eine Nullfolge.

1) Journal f. d. reine u. angew. Math., Bd. 1 (1826), S. 311. Vgl. hierzu § 54, S. 390 und § 62. — Der Satz wird schon von Gauß (Disquis. generales circa seriem ..., 1812, Werke III, S. 143) ausgesprochen und benutzt, und zwar genau in der nachher bewiesenen Form, daß aus y„ -► 0 stets (l—x)2rnX"->0 folgt, falls X von links her -> 1 rückt (s. o,. Gl. (a)). Der von Gauß an der genannten Stelle angegebene Beweis ist indessen nicht richtig^ da er ohne be- sondere Prüfung die beiden für diesen Satz in Frage kommenden Grenzüber- gänge vertauscht.

2) Diese Bemerkung gilt allgemein bei Untersuchungen über (nicht be- ständig konvergente) Potenzreihen mit positivem Radius ;'.

170 ^ • Kap. Potenzreihen.

Ist nun e > 0 beliebig gegeben, so wählen wir zunächst m so

e

2

groß, daß für n > m stets y^l < — ist. Dann ist für 0 ^ a; < 1

\s-m\£\{l-x)^r„x"]+^{l~x)-_Ex",

M=0 '^ n = m + l

also, wenn jr^i -}- \r^\ + . . . + \r^\ = p gesetzt wird,

,m+l X

Setzt man nun d = ^c— , so ist für 1 — d <z x < 1 stets

womit nach § 19, Def. 5 die Behauptung „f(x) > s für x >1 — 0" schon bewiesen ist.

Ganz entsprechend gilt natürlich der ^4 5^ ZscÄ^ Grenzwertsatz für das linke Ende des Konvergenzintervalles:

Ist ^ a^ %" noch für x ^ — r konvergent, so ist

n = 0

lim fix) vorhanden and =^(— l)"«„^"• ;^r->■-r+o M = 0

Bemerkungen und Beispiele für diese und die folgenden Sätze dieses Paragraphen werden im nächsten Kapitel ausführlich gebracht werden.

Der Stetigkeitssatz 98, 2 und der Abelsche Grenzwertsatz 100 be- sagen zusammen, daß stets

101 . lim (2: an x'') = v «„ §"

ist, falls die rechtsstehznde Reihe konvergiert und falls sich x vom Null- punkt her gegen die Stelle | bewegt.

Divergiert die Reihe Za^^^, so kann man über das Verhalten von 2 a x^ bei der Annäherung von x->^ ohne besondere Voraus- setzungen nichts aussagen. Doch gilt in dieser Hinsicht der folgende etwas engere

Satz. Ist 2 a^^ eine divergente Reihe mit positiven Gliedern und hat Za^x"^ den Radius 1, so strebt

fix) = ^ a^x" ^ + oo,

n = 0

wenn x vom Nullpunkt her gegen -\- 1 rückt.

-|Q2, §21. Das Rechnen mit Potenzreihen. 171

Beweis. Wird G > 0 beliebig gegeben, so kann man m so groß

wählen, daß ß^ + «i + • • • + «m > ^ + ^ ^^^' "^^ ^^^^ ^^^^ § ^^' ^^^^ ^ ^ so klein, daß für alle 1 > a; > 1 — ^

bleibt. Dann ist für diese % um so mehr

n = 0

womit schon alles bewiesen ist.

§ 21. Das Rechnen mit Potenzreihen.

Ehe wir von den tiefgehenden und mitten in das große An- wendungsfeld der Reihenlehre hineinführenden Sätzen der vorigen Para- graphen Gebrauch machen, wollen wir noch auf einige Fragen ein- gehen, deren Beantwortung uns das Rechnen mit den Potenzreihen erleichtern soll.

Daß man Potenzreihen, solange sie konvergieren, ghedweis addieren und subtrahieren darf, folgt schon aus 83, 3 und 4. Daß man auch ohne weiteres zwei Potenzreihen gliedweis ausmultiplizieren darf, solange wir im Innern der Konvergenzintervalle bleiben, folgt sofort aus 91, weil ja die Potenzreihen im Innern ihrer Konvergenz- intervalle stets absolut konvergieren. Es ist also neben

Sa„x'-±2b,y = 2{a„±h„)x" auch

J «„ ^" • i K ^" = i («0 ^. + «1 *„-. + •■• + «„ ^-o) ^".

n=0 «=0 M=0

solange x im Innern des Konvergenzintervalles heider Reihen liegt ^).

Die Formeln 91, Bem. 2 und 3 waren schon eine erste An- wendung dieses Satzes. Ist die zweite Reihe speziell die geometrische Reihe, so hat man

d.h.

oder

M=0 n-0 M=0

n=0 n=0

»

wenn s^^ = «q + «^ + . . . + «„ gesetzt wird und \x\ < 1 und zugleich kleiner als der Radius von Sa x^^ ist.

^) Hier tritt also die besondere Bedeutung der Cauchyachen Multiplikation (s. 91, 1) zutage.

172 V. Kap. Potenzreihen.

Ebenso einfach ergibt sich, daß man jede Potenzreihe mit sich selbst — und dies beliebig oft — multipHzieren darf. So ist

n=0 / n=0

und allgemein läßt sich für jeden positiv-ganzen Exponenten k 103. { i an x^'"^ = i a\^^ x"

\«=0 / n=0

setzen, wo die Koeffizienten Un^ in ganz bestimmter — für größere k allerdings nicht sehr durchsichtiger^) — Weise aus den a^^ gebildet sind. Und alle diese Reihen sind absolut konvergent, solange Z a^x^^ selber es ist.

Dies Ergebnis legt die Vermutung nahe, daß man auch durch Potenzreihen dividieren „darf", daß man also z. B. auch

a, + a,. + a,x-^7r = '0 + 0,X + C,X^ -{-,.. •

setzen darf, und daß die c^^ hier wieder in bestimmter Weise aus den a^ zu bilden sind. Denn für den linken Quotienten kann man

wenn = a^ gesetzt wird (für w = 1, 2, 3, . . . ) zunächst

1 1

und dann weiter

i [1 + «* + «,'%•■' + ...) + {alx + ...)' + K'^ + •••)' + ■■•]

schreiben, was dann, wenn man sich die Potenzen nach 103 entwickelt und die gleichen Potenzen von x gesammelt denkt, in der Tat eine Potenzreihe der Form ^c^oc^ liefern würde.

Die Berechtigung eines solchen Ansatzes wollen wir sogleich von einem etwas allgemeineren Standpunkt aus prüfen:

Es sei eine Potenzreihe ^ a^^x^ (im vorangehenden war es die Reihe y^ a^' x^) vorgelegt, deren Summe mit f[x) oder kürzer mit y

n = l

bezeichnet werde. Es sei zweitens eine Potenzreihe in y, etwa g(y) = ^&jjy" (im vorangehenden die geometrische Reihe -^y") vor- gelegt und. in diese werde für y die erste Potenzreihe eingesetzt:

^0 + ^1 (S + «1 ^ + • • • ) + ^2 K + «1 ^ + • • • )" + • • •

Unter welchen Bedingungen führt hier die Ausführung aller Potenzen nach 103 und die Zusammenfassung der gleichen Potenzen von x

1) Rekursionsformeln zur Berechnung der aj^^^ findet man bei /. W.L.Glaisher, Note on Sylvester's paper: Development of an idea of Eisenstein (Quarterly Jour- nal, Bd. 14, 1875, S. 79—84), in dem sich auch weitere Literaturangaben finden. Ferner bei B. Hansted, Tidskrift for Mathematik (4), Bd. 5, 1881, S. 12—16.

104.

§ 21. Das Rechnen mit Potenzreihen.

173

zu einer neuen Potenzreihe c^ ~{- c^^ x -\- c^ x"^ -\- . . . , welche konvergiert und als Summe den mittelbaren Funktionswert g(f{x)) hat? Wir be- haupten den

oSatz. Dies gilt sicher für alle diejenigen x, für die ^|«„^"| 104,

M = 0

konvergiert und eine Summe hat, die kleiner ist als der Radius von Eh^ y".

Beweis. Es liegt hier offenbar ein Fall des großen Umordnungs- ■' Satzes 90 vor und wir haben nur zu prüfen, ob dessen Voraussetzungen hier erfüllt sind. Setzen wir dazu zunächst die nach 103 gebildeten Potenzen

,k

(«0 + a^x + . . .)^ = <^ + 4*^^ + afx'' + . .

und denken uns diese Schreibweise auch für ^ =: 0 und k = 1 ange- wendet^), so sind

h, = b„{af + afx + ... + af)x" + ...)

Ky-K «' + a.mx + ... ^a^x" + ...) (A)

b^ y"

K «' + "? ^ +

+ a(f)^«+'.

die im großen Umordnungssatz auftretenden Reihen ;?(*) , Nehmen wir nun statt y^=Za^^x^^ die Reihe 7] -='- IJ\a^^x'"\ und bilden, indem wir noch |j^| = ^ setzen, ganz analog

(A')

\h\-\K\K' + ^i + --'-i-c^i^ +

&J«) + c4^^^ +

'bic\v'=\K\(^ + ^^-^

+ ..(1)1-4-..

so sind in diesem Schema (A') alle Zahlen positiv; und da überdies 2\bi^\r]^ noch konvergieren sollte, so ist auf (A') der große Umord- nungssatz anwendbar. Da aber ersichthch jede Zahl im Schema (A) absolut genommen ^ der entsprechenden Zahl in (A') ist, so ist dieser Satz um so mehr auf (A) selber anwendbar (vgl. 90, Bem. 3). Es liefern also insbesondere die in (A) spaltenweis untereinander- stehenden Koeffizienten stets (absolut) konvergente Reihen

oc

^^k ^? "^ ^n (^^^ jedes bestimmte n = 0,1,2, .. .)

k=0

und die mit diesen Zahlen als Koeffizienten angesetzte Potenzreihe

n=0

1) Es sind dann also J^^ = 1 , af ) = af letzteres für m = 0, 1, 2, . . .

zu setzen,

174 V. Kap. Potenzreihen.

ist ihrerseits wieder für die genannten x (absolut) konvergent und ihre Summe ist gleich derjenigen von^ft^^y". Es ist also, wie behauptet,.

g{f{x)) = ^c„x"

n=0

mit der angegebenen Bedeutung der c^.

105. Bemerkungen und Beispiele.

1. Ist die „äußere" Reihe g{y) = Zbky^ beständig konvergent, so gilt unser Satz offenbar für jedes x , für das 2" «„ x'' absolut konvergiert. Sind beide Reihen beständig konvergent, so gilt der Satz ohne Einschränkung für jedes x.

2. Ist «0 = 0, so gilt der Satz sicher für alle „hinreichend" kleinen x, d. h. es gibt dann sicher eine positive Zahl p, so daß er für alle \x\<Cq gültig ist. Denn ist y = a^^x -{- a.^ x- -{-... , so ist t] = \aj_\-\x\-\- \ao\-lx\^ i- . . . ] und da nun für x->0 nach 96 auch »; -> 0 strebt, so ist tj sicher < als der Radius, von Zb]{yk für alle x, deren Betrag < als eine passende Zahl q bleibt.

3. In die Reihe V.^-, „darf-' man z.B. y = 2\r" für '.r|<l, oder

— nl

x" y— V — für alle x einsetzen und nach Potenzen von x umordnen. — « !

4. Der oben gemachte Ansatz

Uq -\- a^ X -{- a.2 x^ t ■ ' ■ ist, wie man nun erkennt, sicher dann erlaubt, wenn zunächst «o + 0 ""^' wenn weiter x seinem Betrage so klein gehalten wird, daß

bleibt, was nach Bem. 2 bei passender Wahl von q für alle ,a'| [q der Fall ist. Wir können also sagen: Durch eine Potenzreihe „darf'-'' dividiert werden, falls ihr konstantes Glied =^ 0 ist und falls man sich auf hinreichend kleine Werte von x beschränkt^).

Die Koeffizienten c„ nach dem allgemeinen Ansatz zu ermitteln, wäre — selbst für die ersten Indizes — sehr mühsam. Aber nachdem erst einmal die Möglichkeit der Entwicklung dargetan ist — die nun nach 97 zugleich die einzig mögliche ist — findet man die c„ schneller aus der Bemerkung, daß

Za„x--2cnX"=:l ist, daß also der Reihe nach (vgl. 97, 2)

«0 ^0 = 1

«0 ^1 + «1 '^o = 0

«0 ^2 + «1 Ci + a.j. Co = 0

«n Co + «1 c, + a., Cj_ + «3 ^0 = ö

^1 . c.;.

ist, — Gleichungen, aus denen man, da «„ + 0 ist, der Reihe nach Cq in ganz eindeutiger Weise findet-).

1) Wie klein x sein muß, ist meist gleichgültig. Wesentlich ist aber, daß- es überhaupt einen positiven Radius q gibt, so daß die Relation für alle

x\<Qgih. — Die Feststellung des genauen Gültigkeitsbereiches erfordert die tieferen Hilfsmittel der Funktionentheorie.

2) Explizite Formeln für die Entwicklungskoeffizienten des Quotienten zweier Potenzreihen findet man z.B. bei /. Hagen, On division of senes, Americ. Journ. of Math., Bd. 5 (1883), S. 236.

1^00^ i5"21- ^^^ Rechnen mit Potenzreihen. 175

5. Als ein für viele spätere Untersuchungen besonders wichtiges Beispiel geben wir die folgende Divisionsaufgabe ^): £■5 soll

oder

nach Potenzen von x entwickelt werden. Hier wird die Berechnung der neuen Koeffizienten besonders elegant, wenn man sie nicht mit Cn-, sondern mit -'|

TD

oder, wie wir es aus historischen Gründen tun wollen, mit — ^ bezeichnet. Dann

' n\

lautet der Ansatz: ^

und die Gleichimgen zur Berechnung der B^ sind der Reihe nach: „ . \ B, \ B,

2! 0! ' 1! 1! ^''

und allgemein für n =^ 2, 3,

l B, 1 ß, . 1 ß. .1

+ -.:r-'^T,-v,+y~--K:^ ■.: + •..+

n\ 0! ' (»-1)! 1! ' («-2j! 2! ' '1! (w-1)!

Erweitert man diese Gleichung noch mit nl^ so kann man kürzer dafür schreiben

0J^«+(l)«^+(2)^---+(«-l)«"- = «- Stünde hier überall B^ statt By, so könnte man für diese Gleichung noch kürzer

iB^ir-B^ = 0 106.

schreiben, und in dieser bequemen Form kann man sich auch die vorstehende Rekursionsformel als sogenannte symbolische Gleichung merken, d. h. als eine Gleichung, die nicht wörtlich zu verstehen ist, sondern die erst auf Grund einer besonderen Verabredung gültig ist, — hier also der Verabredung, daß nach Ausführung der r^ten Potenz des Binoms überall wieder B^ durch By zu ersetzen ist. Unsere Formel liefert nun für n = 2,3,4,5,... der Reihe nach die Gleichungen

2 ßi + 1 = 0

3ß.2 + 3ßi + l = 0,

4B^^QB^ + 4B^ + l=0,

5 ^4+ 10 5.3 -f 10 So ^ 5 B^ i- 1 = 0,

aus denen sich
-.-1.	---:■	B,-	^' ^^-4
und dann weiter
5, = B,	= B, = B,,=	B.. = •	. . = 0, sowie
R ^ R ^	^'^ ~ 66 '	^te =	691 2730 ' ^-^ ~

7

6' ■ ■ '

ergibt. Von diesen sogenannten Bemoullischen Zahlen wird später noch öfter die Rede sein. Im Augenblick ist nur zu sehen, daß die B,^ wohlbe- stimrate rationale Zahlen sind. Sie folgen indessen keiner oberflächlichen Ge-

1) Euler, Institutiones calc. diff., Bd. 2 (1755), § 122.

176 V. Kap. Potenzreihen.

Setzmäßigkeit und sind der Gegenstand vieler und tiefgehender Untersuchungen geworden^).

Endlich wollen wir noch ein letztes allgemeines Theorem über Potenzreihen beweisen: Wenn die für \x ~ x^l < r konvergente Potenz- reihe y = 2! a^^{x — x^)" vorgelegt ist, so entspricht jedem x in der

n=0

Umgebung von x^ ein bestimmter Wert von y, speziell dem Werte X =^ Xq der Wert y = a^, den wir darum auch mit y^ bezeichnen wollen. Dann ist

y-yo = a,{x~ x^) + a, {x ~ xj- + . . .

Wegen der Stetigkeit der Funktion entspricht jedem nahe bei Xq ge- legenen X auch ein nahe bei y^ gelegener Wert von y. Wir wollen nun fragen, ob bzw. in wieweit jeder in der Nähe von y^ gelegene Wert von y erhalten wird und ob er nur genau einmal erhalten wird. Wenn das letztere zutrifft, würde nämlich nicht nur y durch x, sondern auch umgekehrt x durch y bestimmt, also x eine Funktion von y sein. Es wäre, wie man kurz sagt, die gegebene Funktion y = f{x) in der Umgebung von x^ umkehrbar (vgl. § 19, Satz 6). Über die Möglichkeit solcher Umkehrung gilt nun folgender

107. ° Umkehrsatz für Potenzreihen. Ist die für x — x^ <Cr konver-

gente Entwicklung

y - yo = «1 {^ - ^o) + «-2 (^ - -'^o)' + • . • vorgelegt, so ist unter der alleinigen Voraussetzung, daß a^ =[= 0 ^^^> ^^^ hierdurch in der Umgebung von Xq definierte Funktion y ^= f{x) um- kehrbar, d. h. es gibt eine und nur eine Funktion x = (p[y), die durch eine in einer gewissen Umgebung von y^ konvergente Potenzreihe der Form

x-x^^'^ b, [y ~ y^) -j- &, (y - y^f + . . .

darstellbar ist und für die dort (im Sinne von 104)

fW{y))-^y

ist.

^) Die Numerierung der Bernoullischen Zahlen ist häufig eine etwas andre, indem B^^ ß^, ßg , ß-, B. , ... gar nicht bezeichnet werden und statt ßg^, Ä = 1 , 2, . . . , nun {'\f~^Bj. gesetzt wird. Eine Tafel der Zahlen 5.>, JB4, ..., bis ßj24 findet man bei /. C. Adams. Journ. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 85 (1878). Es sei beiläufig erwähnt, daß B^.,^ einen 113 -stelligen Zähler und den Nenner 2 328 255 930 hat; 5j._,., hat den Nenner 6 und einen 107 stelligen Zähler. — Die Zahlen ß., , B^, ... bis B^., hatte schon Ohm, ibid., Bd. 20 (1840), S. 11 berechnet. — Die Zahlen Bj, treten zuerst bei Jak. Ber- noulli, Ars conjectandi, 1713, S. 96 auf. — Eine zusammenfassende Darstellung gibtL. Saalschütz in seinen ,, Vorlesungen über die ßen/ow/Z/schen Zahlen", Berlin (J. Springer) 1893. Neuere Untersuchungen, die besonders den aritlimetischen Teil der Theorie berücksichtigen, gibt G. Frobenüis, Sitzgsber. d. Berl. Ak., 1910, S. 809-847.

JQ'^^ §21. Das Rechnen mit Potenzreihen. 177

Beweis. Wie schon öfter nehmen wir — was keine Einschränkung bedeutet, beim Beweise an, daß x^^ und y^ gleich =0 sind^). Dann aber wollen wir auch annehmen, daß a^ = 1 ist, daß also die Ent- wicklung

(a) y = X -\- a^x"^ -\- a^x^ -\- ...

zur Umkehrung vorgelegt ist. Auch das bedeutet keine Einschränkung; denn dst a^=\= 0 sein sollte, können wir a^x -\- a^x^ -{- , . . in der Form

schreiben. Setzen wir dann zur Abkürzung a^x = x' und für w ^ 2

^^a

und lassen nachträglich der Einfachheit halber die Akzente weg, so

bekommen wir gerade die obige Entwicklungsform. Es genügt also

diese zu behandeln. Dann können wir aber zeigen, daß eine in einem

gewissen Intervall konvergente Potenzreihe der Form

(b) x = y + b,f' + b,y'> + ...

existiert, die die Umkehrung der vorigen bildet, für die also

(c) (y + hy^ + ...) + a,{y + h f' + -T + «3(y + b, f- + •••)" + -

identisch = y ist, wenn diese Reihe gemäß 104 nach Potenzen von y geordnet wird, — so daß also alle Koeffizienten = 0 sein müssen außer dem von y^, welcher = 1 ist.

Nehmen wir für den AugenbHck die Richtigkeit dieser Behaup- tung an, so sind die Koeffizienten hv ganz eindeutig durch diese Be- dingung bestimmt, daß nach der Umordnung der Reihe (c) die Koeffi- zienten von y^, y^, ... alle = 0 sein müssen. In der Tat liefert diese Forderung die Gleichungen

^2 + S = 0

^3 + 2 «2^2 + ^3 = 0

^4 + (^/ + 2 h^) ^2 + 3 ^>2«3 + ^4 == 0

(d)

aus denen, wie unmittelbar zu sehen, der Reihe nach die Koeffizienten h^ eindeutig berechnet werden können. So erhält man zunächst die Werte

(e)

— eine Rechnung, die indes sehr bald, undurchsichtig wird. Doch zeigt der Ansatz dieser Rechnung jedenfalls, daß, wenn es überhaupt

\b.=	~a^
h =	-2b,	.«2 - (Jg =	2«/ -«3
*4 =	-(V	+ 2b,)a.	-^Kh~	a.
h-

^) Oder : Wir setzen zur Abkürzung x — Xq = x' und y — y^ = y' und lassen dann der Einfachheit halber die Akzente weg.

Knopp, Unendliche Reihen. 1-^

178 • V. Kap. Potenzreihen.

eine in eine Potenzreihe entwickelbare Umkehrung x = (p{y) der Funktion y = f{x) gibt, es nur eine einzige geben kann.

Diese soeben angedeutete Rechnung Hefert nun aber, wie auch die Ausgangsreihe (a) gegeben sein mag, stets wohlbestimmte Werte 6^, so daß man also stets eine Potenzreihe y -j- h^y'^ -\- ... erhält, welche wenigstens formal den Bedingungen des Problems genügt, für die also die Reihe (c) identisch = y wird. Fraglich bleibt nur, ob die Potenz- reihe auch konvergiert. Können wir auch das nachweisen, so wäre die Umkehrung vollständig geleistet.

Dieser Konvergenzbeweis läßt sich nun, wie Cauchy zuerst ge- zeigt hat, in der Tat ganz allgemein folgendermaßen erbringen: Wählt man irgendwelche positive Zahlen a^, für die stets

I «V I ^CCy

ist, und macht genau den Ansatz, wie eben, für die Reihe

y = X — a^x'^ — a.^x^ — . . . , deren Umkehrung dann

sein möge, so erhält man für die ßy, ganz entsprechend wie oben, die Gleichungen

bei denen nun alle Summanden positiv sind. Es ist daher stets

Könnte man also die «^ noch so wählen, daß die Reihe Z ß^y^ kon- vergent wird, so würde daraus auch die Konvergenz der Reihe 2h\,y^ folgen und der Beweis wäre vollendet.

Die a^ wählen wir nun so: Es gibt jedenfalls eine positive Zahl Q, für die die Ausgangsreihe x ~{- a^x^ -\- ... 'absolut konvergiert. Dann muß es aber (nach 82, 6 und 10, 11) eine positive Zahl K geben, so daß für y = 2, 3, ... stets

\<^Aq'^K oder |«.|^ —

bleibt. Daraufhin setzen wir für ^^ = 2, 3, . . .

K

so daß es sich um die Umkehrung der für | a; | < ^ konvergenten Reihe

handeln würde. Diese Funktion kann man aber ganz unmittelbar umkehren, denn aus

y = x--^^, Oder {K-\-o)x''-Q{Q-\-y)x + Q''y^O

170. §21. Das Rechnen mit Potenzreihen. 179

folgt

2{K + q) Da aber die Werte x =^ 0 und y =^ 0 zusammengehören und kleinen Werten der einen Veränderlichen auch kleine Werte der andern entsprechen müssen, so haben wir hier vor der Quadratwurzel das -{--Zeichen zu verwerfen, so daß völlig eindeutig

sich ergibt. Nun ist weiter

y^-2{2K + Q)y + Q'^{y-A){y-B), wenn zur Abkürzung

B=^2K + q-2\/K{K-\~q) gesetzt wird, — zwei Größen, die beide > 0 sind, weil es die erste ist und weil ihr Produkt = er' ist. Dann ist aber

_^1^ U i y^ _ (i _ z7.f1 _ yy] 2{k + q) l ^ q V aJ V bJ r

Im nächsten Kapitel werden wir nun lernen, daß für |<2:| < 1

die Potenz (1 — z)'^' tatsächlich in eine Potenzreihe — beginnend mit

1 — ^ + • • • — entwickelt werden kann. Indem wir dieses Resultat

vorwegnehmen, ergibt sich nun unmittelbar, daß auch x, in eine mindestens für \y\ < B konvergente Potenzreihe

-2(iV.)[^ + i-(^-2^+-)(^-Ä+-)]

• =y + ß,y' + ---

entwickelt werden kann. Nach den vorausgegangenen Bemerkungen ist hiermit aber der Beweis in allen Teilen vollendet.

Die tatsächUche Herstellung der Reihe y -\- b^y"^ -\- ... aus der Reihe x -{- a^x'^ -}- . . . ist auch hier meist mit erhebhchen Schwierig- keiten verknüpft und erfordert von Fall zu Fall besondere Hilfsmittel ^). Beispiele hierfür werden in den §§26 und 27 auftreten.

Aufgaben zum V. Kapitel.

64, Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ^Sa^x^, wenn die Koeffizienten «„ von einer Stelle an einen der in Aufgabe 34 oder 45 an- gegebenen Werte hat.

^) Die allgemeinen Werte der Entwicklungskoeffizienten b^ findet man bis zu &J3 ausgerechnet bei C. E. van Orstrand, Reversion of power series^ Philos. Magazine, (6) Bd. 19 (1910), S. 366.

12*

IQQ Aufgaben zum V. Kapitel.

65, Man bestimme die Radien der Potenzreihen

i;^n«-.S 0<^<l; ^(3.5...(2.+l)j^

! „ ^nl ,, _ ,. _(n!)

66. Werden die Häufungsgrenzen von — — mit ;< und ^ b zeichnet,

so gilt für den Radius r der Potenzreihe Za^x'' stets die Beziehung Är^r^.".

Im besonderen: Wenn lim -^ I existiert, so liefert sein Wert den Radius

an+i I von Za^Ar".

67. SünX" habe den Radius r, 2J(^nX" den Radius y'. Was läßt sich über den Radius der Potenzreihen

aussagen ?

67. Welchen Radius hat 2J^nX", falls 0 < lim | a^ | < + oo ?

68. Die Potenzreihe ^ — r^— ^'S in der £„ die Bedeutung aus Auf-

gäbe 47 hat, konvergiert an beiden Enden des Konvergenzintervalles, aber in beiden nur bedingt.

69. Beweise im Anschluß an 97, Beispiel 3, daß

.ICT— '■.l'-'-f.-y-e:

ist.

70. In Ergänzung des ^ö^^schen Grenzwertsatzes 100 läßt sich zeigen, daß in jedem Falle, wenn nur Sa^x"- inen Radius r>l hat,

lim Sn ^ lim [ Z ^nX"]£ ^^^ s„

ist. (s„ = «0 + «1 -r • • • + ««)•

71. Die im allgemeinen nicht erlaubte Umkehrung des Abcischen Grenz- wertsatzes 100 ist dennoch gestattet, wenn die Koeffizienten a„>0 sind;

wenn dann •

lim 2anX'^

existiert, so ist also Z^^nr" konvergent mit demselben Werte.

72. Es sei

Ja„a;" = /'(;v) und J'&„a:» = ^(^)

n = l

n=l

und beide Reihen für \x\<q konvergent. Dann ist (für welche x})

2Jbnf{X'')= Zcingix"). n=l n=l

(Die Spezialisierung der Koeffizienten ergibt viele interessante Identitäten. Man setze etwa &„ ^ 1 , (- l^~^ -^ usw.).

73. Wie beginnen die durch Division gewonnenen Potenzreihen für 1 1

^2^/4 ' X X^

(Weitere Aufgaben beim nächsten Kapitel.)

108,

§22. Die rationalen Funktionen. 181

VI. Kapitel.

Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

Mit den Sätzen der vorigen beiden Paragraphen haben wir nun das Rüstzeug in Händen, mit dessen Hilfe wir eine große Zahl von Reihen nach jeder Richtung hin beherrschen. Dies wollen wir jetzt an den wichtigsten Beispielen ausführen.

Eine gewisse — übrigens ziemhch kleine — Zahl von Potenz- reihen bzw. die durch sie dargestellten Funktionen haben vor allen anderen eine große Bedeutung für die gesamte Analysis, und man bezeichnet sie darum gern als die elementaren Funküonen. Mit diesen wollen wir uns vorerst beschäftigen.

§ 23. Die rationalen Funktionen.

Aus der geometrischen Reihe

l+;. + ^^ + ... = i^" = y^,

n = 0 ^ ^

die den Grundstock für viele der folgenden speziellen Untersuchungen bildet, findet man durch wiederholte Differenüaüonen nach 98, 4 der Reihe nach

und allgemein für jede natürliche Zahl p

Multipliziert man nach 91 diese Gleichung" noch einmal mit I x"" ^ -— , so ergibt sich nach 91 und 108

Durch Vergleich der Koeffizienten (nach 97) schließt man hieraus, daß

> + l\ , , fp + n\_ln + p + r

+ ^ - /'•••■ \ p J \ pj^i

sein muß, was man natürlich auch ganz leicht direkt (durch Induktion) beweist. Tut man dies, so kann man die Gleichung 108 auch durch mehrmaliges Multi- plizieren von 2"^^"=- mit sich selbst nach 103 herleiten.

\ — X

Da

("r)=("r)-(-^)"("r^)

182 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

ist, so erhält man aus 108, wenn man dort noch x durch — % und /) -[- 1 durch — k ersetzt, die Formel

gültig für |a;| < 1 und negativ-ganzzahliges k. Diese Formel ist er- sichtlich eine Erweiterung des binomischen Lehrsatzes (29, 4) auf negativ-g^nzza.\\\\ge Exponenten; denn diesen Lehrsatz darf man auch für positiv-ganzzahlige k (oder ^ = 0) in der Form 109 schreiben, da dann für n > k die GHeder der Reihe doch alle = 0 sind.

Formeln wie die eben abgeleiteten haben — wir wollen dies gleich ein für allemal betonen — zweierlei Bedeutung: lesen wir sie von links nach rechts, so geben sie die Entwicklung oder Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe, lesen wir sie von rechts nach links, so geben sie uns die Summe einer unendlichen Reihe in geschlossener Form. Je nach Lage des Falles kann die eine oder die andere Bedeutung im Vordergrund stehen.

Mit Hilfe dieser einfachen Formeln wird es oft gelingen, eine behebig vorgelegte rationale Funktion

m

«0 + «1 ^ + . . . + «,

^Q + h^X-T... + huX^

in eine Potenzreihe zu entwickeln, nämlich immer dann, wenn man f [x) in Partialbrüche, d. h. in eine Summe von Brüchen der Form

A

zu zerlegen vermag. Jeden einzelnen dieser Brüche wird man nach 108 durch eine Potenzreihe darstellen können, und somit auch die ge- gebene Funktion. Und zwar kann diese Entwicklung für die Um- gebung eines jeden Punktes Xq angesetzt werden, der von a ver- schieden ist. Dazu hat man nur

\x-aj

1 / 1

K-«)^

zu setzen und den letzten Bruch nach 108 zu entwickeln. Hierdurch erkennt man zugleich, daß die Entwicklung für \x — Xq\ < \a — Xq\ konvergieren wird, und nur für diese Werte von x.

Prinzipielle Bedeutung gewinnt diese Methode allerdings erst bei Benutzung komplexer Größen.

110. Beispiele.

1- i^ = 2 2. i"-±^ = 4

n=0 ^ . n=0 ^

^{n + l){n + 2)_^^ , ^ /« + /'VY2V_o«+i

\€''^¥^^-' M^or;'i-ii)-

JJQ, § 23. Die Exponentialfunktion. 183

§ 33. Die Exponentialfunktion.

1. Neben der geometrischen Reihe spielt vor allem die sogenannte Exponentialreihe

weiterhin eine grundlegende Rolle. Mit der durch sie dargestellten Funktion wollen wir uns jetzt näher beschäftigen, Wir bezeichnen diese sog. Exponentialfunktion vorläufig mit E (x). Da die Reihe beständig konvergiert, ist E (x) nach 98 jedenfalls eine für alle x definierte, stetige und beüebig oft differenzierbare Funktion. Für ihre Ableitung findet man unmittelbar

E'{x) = E{x),

so daß auch alle höheren Ableitungen

E(-'^{x) = E{x) sein müssen.

Wir wollen versuchen, allein aus der Reihe heraus ihre weiteren Eigenschaften abzulesen. In 91, 3 haben wir schon gezeigt, daß für irgend zwei reelle Zahlen x^^ und x^ stets

(a) :E (Xi + X2)=1J (Xi) • JE {X2)

ist. Diese grundlegende Formel bezeichnet man kurz als das Additions- theorem der Exponentialfunktion^). Nach ihm ist weiter

^K + ^2+^3) ==£'(% + ^2)'^ (^3) = E{x^)'E{x^)'E{x^); und durch Wiederholung dieses Schlusses findet man, daß für irgend- eine Anzahl reeller Zahlen x^^, x^, ...,Xj^ stets

(b) E{x, + x,+ ...+x^) = E{x,)-E{x,) ... £ W

ist. Setzt man hierin alle Xr=l, so findet man speziell, daß die Gleichung

£^ = [£(1)]*:

für jede natürliche Zahl k richtig ist. Da £"(0) = 1, gilt sie auch für k = 0. Setzt man jetzt in (b) alle Xy = — , unter m eine zweite ganze Zahl ^ 0 verstanden, so folgt, daß

1) 2. Beweis. Die Taylorsche Reihe 99 für E (x) lautet: E (x) = E (x^^

-\ -Y^^ (^ — ^i) + • • •, gültig für alle Werte von x und Xj^ . Beachtet man, daß

E^'^Hxi) = E{x^ ist, so folgt, wenn man noch x durch x^-\-x^ ersetzt, unmittelbar

E{x, + x,)^E{x,).\i+^+'^^+..]::=E{x,)-E{x^), w.z.b.w.

184 VI. Kap. Die Entwicklung-en der sog. elementaren Funktionen, oder also — wegen E (m) = [E{i)Y — daß

m

Setzen wir noch zur Abkürzung E (l) = E, so ist bewiesen, daß die Gleichung*

(c) E{x) = E'

für jedes rationale x^Q richtig ist.

Ist dann | irgendeine positive irrationale Zahl, so können wir auf mannigfache Weise eine gegen | konvergierende Folge (a;J mit positiven rationalen Gliedern bilden. Für jedes n ist dann nach dem eben bewiesenen

Für w -> + oo strebt hierin die linke Seite (nach 98, 2) gegen E (|) , die rechte Seite (nach 42, l) gegen E^, so daß wir das Ergebnis

E{^) = E^ erhalten. Damit ist die Gleichung (c) für jedes reelle a; ^ 0 bewiesen. Endlich ist aber nach (a)

E{- x)'E{x) = E{x-x) = E{0) = 1,

woraus zunächst folgt, daß für kein ^^0 etwa E(^x) = 0 sein kann^j, und daß

E(-x) = -^=-~=E-'

^ ' E{x) E"

ist. Dies bedeutet aber, daß auch für jedes negativ-reelle x die Gleichung (c) besteht.

Damit ist bewiesen, daß diese Gleichung für alle reellen x besteht; und zugleich hat damit die Funktion E {x) ihren Namen als Exponential- funktion gerechtfertigt: E (x) ist die x^^ Potenz der festen Grundzahl

£ = £(l)=l+l + i. + l+...+'^+...

2. Es wird sich nun weiter darum handeln, über diese Grund- zahl noch Näheres zu erfahren. Wir wollen zeigen, daß sie mit der schon in 46, 4 angetroffenen Zahl e identisch, daß also

lim(l+i)''=ii

ist^). Wir führen den Beweis etwas umfassender, indem wir in Er- gänzung der Untersuchung von 46, 4 sogleich den folgenden Satz beweisen:

^) Das ist natürlich auch unmittelbar aus der Reihe abzulesen, die ja für x^O eine Reihe mit positiven Gliedern ist, deren Ot^s gleich 1 ist.

2) Es handelt sich hier also um ein prägnantes Beispiel zu Problem B. Vgl. die Einleitung zu § 9.

W\, §23. Die Exponentialfunktion. 185

osatz. Für jedes reelle x existiert lll,

lim IH und ist bleich der Summe der Reihe Jl—r)'

Beweis. Wir setzen zur Abkürzung

n ^v

Dann genügt es, zu zeigen, daß (s^ — x^->0 strebt. Ist aber, nach- dem für X eine bestimmte Zahl gewählt ist, e > 0 gegeben, so können wir zunächst p so groß nehmen, daß der Rest

ausfällt. Weiter ist für w > 2

ß

^«-i+(';)t+-+(:)^+-+(:)^

Hier ist das k^^ Glied ersichtlich absolut genommen kleiner als das entsprechende Glied der Exponentialreihe, d. h.

Folglich ist für n^p^) — nach der Art wie wir p gewählt haben —

K-s„\<^[i-{i-l)]-\xr^+...

Jeder einzelne der [p — l) ersten Summanden rechter Hand ist nun ersichtlich Glied einer Nullfolge ^); also strebt auch deren Summe —

^) Zuerst — wenn auch nicht in ganz einwandfreier Weise — von Euler (Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748, S. 86) bewiesen. — Die Ex- ponentialreihe und ihre Summe e^ kannten schon Newto-yi (1669) und Leibniz (1676).

'^) Man denke sich von vornherein /? > 2 genommen.

3) Es strebt (l W 1 , fl -- -j -> 1 , . . . , M - ^-^I- j -> 1 , also strebt

auch (nach 41, 10) ihr Produkt -> 1 , folglich h _ ('l _ Ij . . . ('l _ ^-^)j "> 0 und ebenso strebt auch, da x und p feste Zahlen sind, das Produkt dieses letzten Ausdrucks mit — .\x\^ gegen 0, — und entsprechend für die andern Summanden. — Auch kann man unmittelbar nach 41, 12 schließen.

186 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

denn p ist eine feste Zahl — gegen 0, und wir können nQ>p so wählen, daß diese Summe für n > n^ auch < ~ bleibt. Dann ist aber für alle n> Hq

i ^n - ^n I < ^'

womit unsere Behauptung bewiesen ist. — Für x = 1 folgt ganz speziell, daß

ist; und allgemeiner ist für jedes reelle x

oc

Die hiermit gewonnene neue Darstellung der Zahl e durch die Exponentialreihe ist für die weitere Untersuchung dieser Zahl sehr viel handhcher. Zunächst kann man mit ihrer Hilfe nun leicht einen guten Annäherungswert der Zahl e erhalten. Denn es ist, da alle Glieder der Reihe positiv sind, offenbar für jedes n

^« < ^ < 5« + (^ + 1)! + (w-4-l)!(„-|_l) + {n + \)\{n-{-\f + * ' ' oder

1 « + 1

W K<^<^^-^-:~ü^^

Rechnet man diese einfachen Werte z. B. für w = 9 aus, so findet man

2,718281 < e < 2,718282,

was schon eine gute Vorstellung von dem Werte der Zahl e gibt^). — Aus der Formel (a) kann man aber noch weitere wichtige Schlüsse ziehen. Eine Zahl hat man nur dann vollständig vor sich, wenn sie

rational ist und in der P^orm — geschrieben wird. Ist die Zahl e

vielleicht rational? Die Ungleichungen (a) lehren ganz leicht, daß

dem leider nicht so ist. Wäre nämlich e = ~-, so lieferte die Formel (a)

für n -= q:

mit s =24-7rr4--.- + -r- Multiplizieren wir nun diese Unglei-

2 2 ! <J '

1) Die Zahl e ist von /. M. Boormann auf 346 Dezimalen berechnet worden (Math.magazine, Bd. 1, Nr. 12, 1884, S. 204). Der Nutzen solcher langwierigen Rechnungen ist gering.

1X1. §23. Die Exponentialfunktion. 187

chung mit q\, so wird q\s offenbar eine ganze Zahl, die wir für den Augenblick mit g bezeichnen wollen, und es folgte

g<p-{q-l)\ <g-^^£g+l,

— und dies mit Ausschluß der beiderseitigen Gleichheit. Das ist aber unmöglich; denn zwischen den beiden aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen g und g-\-l kann nicht eine von beiden verschiedene wieder ganze Zahl p-{q — iy- gelegen sein: Die Zahl e ist irrational.

3. Obgleich durch die vorangegangenen Untersuchungen über den Grenzwert von fl-| J alles bekannt geworden ist, was man

zunächst wissen will — die beiden Probleme A und B (§ 9) sind befriedigend erledigt — , wollen wir wegen der grundlegenden Be- deutung dieser Dinge denselben Grenzwert noch einmal und auf andere Art — ganz unabhängig vom Vorangehenden — bestimmen.

Von früher her wissen wir nur, daß fl-| — j ->e strebt. Wir

wollen dies zunächst dahin verallgemeinern, daß wir zeigen, daß auch

IH — ->ß

strebt, wenn (yj irgendeine gegen + oo strebende Folge positiver Zahlen ist. Sind hierbei die y^ ganze positive Zahlen, so ist dies eine un- mittelbare Folge des früheren Resultates^). Sind aber die y^ nicht ganz, so wird es doch für jedes n eine (und nur eine) ganze Zahl k^^ geben, so daß

K £yn<K + ^

ist; und die Folge dieser ganzen Zahlen muß ersichtlich auch gegen -\- oo streben. Nun ist aber

■+^-)"-<('+;.)'-<('+ö*""-

Und weil die k^^ ganze Zahlen sind, so strebt nach der Vorbemerkung die Folge

ebenso wie die Folge

kn-hlJ \ ' kn + l/ ^ , 1

hn + l

gegen e. Nach 42, 4 muß also auch

1) Denn ist £ > 0 gegeben und Uq nach 46 , 4 so bestimmt , daß

1 -] j ~c\ <e bleibt für n > Vq , so wird für n > n^ auch UH j "— e|<<?

sein, sobald nämlich n^^ so bestimmt wird, daß für n > «^ stets y„ > Uq ist.

188 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen, streben. — Jetzt läßt sich weiter zeigen, daß mit yi -> — oo auch

strebt, oder also, daß mit y^^->-\-oo, auch

1 ->e

yj

konvergiert. Doch müssen wir uns dabei alle y^[ < — 1 bzw. alle y„ > 1 denken, damit die Basis der Potenz nicht negativ oder 0 wird; doch kann dies stets durch „endlich viele Änderungen" erreicht werden. Da nun

yJ \yn-\l \^yn-\i \^yn-\

ist und da mit y^^ auch (y,^— 1)^+C50 strebt, so ist diese Behaup- tung eine unmittelbare Folge der vorangehenden.

Setzen wir — = -2^„j so sagen unsere beiden Ergebnisse: Es yn strebt stets

wenn (^J irgendeine Nullfolge mit lauter positiven oder lauter nega- tiven Gliedern ist, — die im letzteren Falle nur alle > — 1 sein sollen. Hieraus folgt nun schließlich der alles Bisherige zusammen- fassende

112. Satz: Ist {%^ eine beliebige Niillfolge, deren Glieder aber alle von

0 verschieden und von Anfang an > — 1 sein sollen'^), so ist stets

1

(a) lim (1 + Xnr^ = e').

H-X»

Beweis. Da alle x^^ =|= 0 sind, so kann man die Folge (xj in zwei Teilfolgen zerlegen, deren eine nur positive, deren andere nur nega- tive GHeder enthält. Da für beide Teilfolgen der in Rede stehende Grenzwert, wie bewiesen, vorhanden und = e ist^), so ist er nach

41, 5 auch für die vorgelegte Folge vorhanden und ^=e. — Nach

42, 2 kann das gewonnene Ergebnis auch in der Form

geschrieben werden, in der sie oft gebraucht werden wird.

1) Das letztere ist stets durch „endlich viele Änderungen" (vgl. 38, 8) zu erreichen.

") Cauchy, Resume des legons sur le calcul infinit., Paris 1823, S, 81.

3) Bricht eine der beiden Teilfolgen ab, so können wir sie uns durch endlich viele Änderungen ganz ausgeschaltet denken.

113. §23. Die Exponentialfunktion. 189

Nach § 19, Def. 4, bedeutet dies Ergebnis auch: Es ist stets

Hm (1 -|- a;)^ = ^,

wenn x nur von vornherein > — 1 gehaUen wird.

Aus diesen Ergebnissen folgt nun noch einmal — also vöUig unabhängig von den Untersuchungen in 1. und 2. — , daß

i + -

' n

Strebt; denn L^-j ist jedenfalls eine Nullfolge ^), so daß nach dem letzten Satze

n

(l + ^)%, und also (l + -^)"-/

Strebt, — womit schon alles bewiesen ist^). 4. Ist a > 0 und x beliebig reell, so ist

eine Potenzreihenentwicklung der beliebigen Potenz. Aus ihr lesen wir die Grenzwertbeziehung

^^^ — loga für x^O 113^

ab^). Diese Formel liefert uns einen ersten schon einigermaßen gang- baren Weg zur Berechnung der Logarithmen. Denn nach ihr ist z.B. (vgl §9, S. 74)

n —

log a = lim n(va — l)

= lim 2^{V a — l).

Da man nun Wurzeln, deren Exponent eine Potenz von 2 ist, durch wiederholtes Quadratwurzelziehen direkt berechnen kann, so ist hier- mit ein (allerdings noch sehr primitiver) Weg zur Berechnung der Logarithmen gegeben.

^) Wir betrachten diese Nullfolge erst für n > 1 ;v [ , damit stets — > — 1 ist.

n 2) Verbinden wir dieses Ergebnis mit dem in 1. hergeleiteten, daß der obige Limes denselben Wert hat wie die Exponentialreihe, so haben wir einen zweiten Beweis dafür, daß auch die Summe der Exponentialreihe = e^ ist.

^) Direkter Beweis: Bilden die Xn eine Nullfolge, so tun es nach 35, 3 auch die Zahlen y„ — a^« — 1 ; und folglich strebt nach 112 (b) a^n _ 1 y^. log a log a

190 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

5. Daß die Funktion e"" durchweg stetig und beliebig oft diffe- renzierbar ist — mit ß^ = [e"")' = {e"")" = . . . — hatten wir schon betont. Daß sie durchweg positiv ist und mit x monoton wächst, teilt sie mit jeder Potenz a^, deren Basis a > 1 ist.

Bemerkenswerter sind eine Anzahl einfacher Ungleichungen, die wir in der Folge noch oft gebrauchen werden, und die sich meist durch Vergleich der Exponentialreihe mit der geometrischen Reihe ergeben, und deren Beweis wir dem Leser überlassen wollen: 114. a) für jedes x ist e"" > 1 + % ^)

ß) für ;t < 1 ist e"" < .p^-

y) für a; > — 1 ist --- — < 1 — e~ < x

1+;^

(5) für ;t < + 1 ist

\-x

€) für a; > — 1 ist 1 + ;k: > ßi+* C)für;t>0 ist ^''>|r, (^ = 0,1,2,...)

xy

^) für :^ > 0, y > 0 ist e"" > (l + -^ > ^^^ • ,,:

§ 24. Die trigonometrischen Funktionen.

Wir sind jetzt auch in der Lage, eine strenge, d. h. rein arith- metische Einführung der Kreisfunktionen zu geben. Wir betrachten dazu die nach 92, 2 beständig konvergenten Reihen

cw=i-^;+i;-+...+(-i)'(:^^y,+..-

und

5W = A;-3-j-f... + (-l) ^^^T^yyr + --'

deren jede eine durchweg stetige und beliebig oft differenzierbare Funktion darstellt. Wir werden die Eigenschaften dieser Funktionen aus ihrer Reihendarstellung heraus feststellen und schließlich finden, daß sie mit den aus den Elementen her bekannten Funktionen cos x und sin x identisch sind.

1. Zunächst findet man nach 98, 3, daß ihre Ableitungen die folgenden Werte haben:

C = - 5, C = -C, C" = S, C" = C;

S' = C, 5''=-S, S'"=~C, S''''==S,

1) Nur für x = 0 gehen diese und die folgenden Ungleichungen in eine Gleichung über. — Man veranschauliche sich den Inhalt der Ungleichungen an den zugehörigen Kurven.

114. §24. Die trigonometrischen Funktionen. 191

— gültig für jedes x (das wir der Kürze halber weggelassen haben). Da hiernach die 4*®° Ableitungen mit den ursprünglichen Funktionen übereinstimmen, wiederholen sich von hier an die Werte der Ablei- tungen in derselben Reihenfolge. Ferner sieht man sofort, daß C [x) eine gerade und S (x) eine ungerade Funküon ist:

C{~x) = C{x), S{-x)= -S{x).

Ähnlich der Exponentialfunktion besitzen diese Funktionen auch ein- fache Additionstheoreme, mit deren Hufe sie dann weiter untersucht werden können. Man gewinnt sie am schnellsten durch die Taylor- sche Reihenentwicklung (vgl. S. 183, Fußnote). Nach ihr hat man

— und zwar, da die Reihen beständig (absolut) konvergieren, für irgend zwei reelle Zahlen x^ und Xc^ —

C (x, + x,) = C (X,) + —^ X, + ^- ^/ + . . . ,

und da diese Reihe absolut konvergiert, dürfen wir nach 89, 4 be- liebig umordnen, dürfen also insbesondere alle die Glieder vereinigen, für die die darin auftretende Ableitung denselben Wert hat. Das ergibt

c(^,+^,) = cw[i-f^ + ff - + ...]

-S(x^\x,-^ + ^-+..] oder

(a) C {x^ + x^) = C (x^) C (x^) — S (x^) S (x^); und ganz ähnlich findet man

(b) S(x, + x,) = S{x,)C{x^) + C{x,)S{x,) ').

Aus diesen Theoremen, die der Form nach mit den aus den Elementen her bekannten Additionstheoremen der Funktionen cos und sin übereinstimmen, folgt dann leicht, daß für unsere Funktionen C und S auch alle andern sog. rein goniometrischen Formeln gelten. Wir heben insbesondere diese hervor:

Aus (a) folgt für x^ = — x^, daß für jedes x

(c) ^ C^x) + S^x)^l

ist; und aus (a) und (b), indem man dort x^^ und x,.y beide == x setzt:

C{2x)==C^x)-SHx} ^' Si2x) = 2C{x)S{x}.

^) 2. Beweis. Die Ausmultiplikation und Zusammenfassung der Reihen C(x,)C{x,)-S{x,)S{x,) liefert die Reihe für C (xj^ + x^), — ähnlich wie 91,3 bei der Exponentialreihe. 3. Beweis. Die Ableitung der Funktion f{x) = [C{x^-^rx)-C{x,)C[x) + S{x^)S{x)Y+[S{x^+x)-S{x^)C{x)-C{x;)S{x)Y

ist, wie man sofort findet, - 0. Es ist also (nach § 19, Def. 12) f{x)^f{0) =0. Also muß jede eckige Klammer für sich n 0 sein, was sofort beide Additions- theoreme liefert.

192 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

2. Ein klein wenig mühsamer ist es, die Periodizitätseigenschaften unserer Funktionen direkt aus den Reihen abzulesen. Es gelingt so: Es ist

C(0)=1>0.

Dagegen ist C(2)<0, denn es ist
C(2)-l ^' ^^-i^-	2«\	/2i«	212
^(^;-l- 2r+4! V6!	8'.;	VlO!	12!

und da hier die in den runden Klammern stehenden Größen alle positiv sind — denn für w ^ 2 ist

so ist C(2) < 1 — -2 + 24= — 3- ' ^^^ö gewiß negativ. Nach § 19, Satz 4 besitzt also die Funktion C (x) mindestens eine zwischen 0 und 2 gelegene Nullstelle |. Da übrigens

X^\ . X^ f. X

zwischen 0 und 2, wie man ebenso leicht erkennt, dauernd positiv, also C' (x) = —S(x) dort dauernd negativ ist und die Funktion C(a;) somit in diesem Intervall monoton fällt, so ist | die einzige dort ge- legene Wurzel. Die kleinste positive Nullstelle von C{x), also ^, ist hiernach eine ganz bestimmte reelle Zahl. Wir werden gleich nach- her sehen, daß sie dem vierten Teil des Umfanges eines Kreises

vom Radius 1 gleich ist und wollen sie darum schon jetzt mit -^

bezeichnen:

Aus (c) folgt dann, daß S^ [^j = 1, also, da S {x) zwischen 0 und 2 als positiv erkannt war, daß

51f) = l

ist. Die Formeln (d) lehren nun, daß

C(n)=-1, Si7i) = 0

ist, und ihre nochmahge Anwendung, daß

C(2ji) = 1, 5(27r) = 0

1) Die Situation ist also die, daß hier ji zunächst lediglich eine Ab- kürzung für 2^ sein soll; erst nachher wird gezeigt werden, daß diese Zahl ji die bekannte Bedeutung für den Kreis hat.

114.

§ 24. Die trigonometrischen Funktionen.

193

ist. Und nun folgt endlich aus den Additionstheoremen, daß für jedes x

(e)

ist.

C{% ^ 7i) = -C{x), C (ti — x) = ~ C{x),

S(x-i- 7l) =^ -S{x) S (jt ~ x) = S (x) S(x+2ji) = S{x)

Unsere beiden Funktionen besitzen also die Periode 2 7z^).

3. Es bleibt nun allein noch zu zeigen übrig, daß die von uns rein arithmetisch eingeführte Zahl 71 die bekannte geometrische Be- deutung für den Kreis hat. Damit wird sich dann auch die völhge Identität der Funktionen C (x) und 5 (x) mit cos x bzw. sin x ergeben.

Bewegt sich in der Ebene eines rechtwinkligen Koordinaten- systems OXY ein Punkt P derart, daß zur Zeit t seine Koordinaten X und y durch die beiden Gleichungen

X = C (t) und y = S (t)

gegeben sind, so ist sein Abstand | OP | = V a;^ + y^ vom Koordi- natenanfangspunkt nach (c) stets = 1 . Er bewegt sich also auf der Peripherie des Kreises mit dem Radius 1 um 0. Läßt man spezielle von 0 bis 2 tc wachsen, so beginnt der Punkt P seine Wanderung bei dem auf der posiüven x- Achse gelegenen Punkt A des Kreises und umläuft nun im mathematisch -positiven Sinne (d. h. im Gegensinne des Uhrzeigers) genau einmal die Peripherie. In der Tat, während t von 0 bis 71 zunimmt, fällt, wie nun ersichtlich, x = C (t) monoton von -}- 1 bis — 1, die Abszisse von P durchläuft also alle diese Werte und jeden genau einmal. Da gleichzeitig S (t) dauernd positiv ist, so heißt dies, daß P den oberen Halbkreis von A nach B genau einmal durchlaufen hat. Die Formeln (e) zeigen dann weiter, daß.

Fig. 3.

^) 2 7t ist auch eine sogen, primitive Periode unserer Funktionen,

d. h. eine Periode, von der nicht ein (ganzzahliger) Bruchteil auch schon Pe-

2 Jt riode ist. Wegen der zweiten der Formeln (e) ist nämlich — = er sicher keine

u 2 7t

Periode. Auch ein höherer Bruchteil — (m > 2) kann nicht Periode sein, da

dann z. B. S ( — j = 5 (0) = 0 sein müßte. Das ist aber unmöglich, da S {x)

zwischen 0 und 2 als positiv erkannt wurde und wegen S{7t — x) = S{x) sogar

0 _ zwischen 0 und n stets >0 ist. Analog schließt man für C{x\ daß — im>\)

keine Periode sein kann.

Knopp, Unendliche Reihen. 13

194 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

wenn t von jr bis 2 jr wächst, genau ebenso der untere Halbkreis von B nach A durchlaufen wird. Diese Betrachtung lehrt zunächst den

Satz. Sind x und y irgend zwei reelle Zahlen, für die x^ -\- y^ = 1 ist, so gibt es stets eine und nur eine zwischen 0 (einschl.) und 2 tz (ausseht.) gelegene Zahl t, für die gleichzeitig

C(t) ^= X und S (t) = y ist.

Fragen wir nun endlich nach der Länge des Weges, den der Punkt zurückgelegt hat, wenn t von 0 bis zu einem Werte t^ ge- wachsen ist, so ergibt die Formel § 19, Satz 29 hierfür sofort den Wert

to to

jVC' + s'ut=^Jdt=^t^,

0 0

insbesondere ist der volle Umfang des Kreises

2 TT 2.-T

= JVC"' + S'^dt = Jdt = 27z.

0 0

Hiermit ist der erstrebte Zusammenhang zwischen unsern anfäng- lichen Betrachtungen und der Kreisgeometrie hergestellt: C (t) ist als Abszisse desjenigen Punktes P, für den der Bogen Ä P =^ t ist, mit dem cos dieses Bogens bzw. des zugehörigen Zentriwinkels identisch, und S(t) als Ordinate von P mit dem sin dieses Winkels. Fortan dürfen wir also cost statt C{t) und sint statt S (t) schreiben. — Der Unterschied unserer Behandlungsart von der elementaren ist haupt- sächlich der, daß dort diese beiden Funktionen auf Grund geometrischer Erwägungen, die die Strecken-, Winkel-, Bogenlängen- und Inhalt^ Messungen sozusagen naiv benutzen, eingeführt und untersucht werden, und daß man erst als letztem Ergebnis zu der Potenzreihenentwicklung derselben gelangt. Wir gingen umgekehrt von diesen Potenzreihen aus, studierten die dadurch definierten Funktionen und stellten schheß^ lieh — unter Benutzung eines durch die Integralrechnung geläuterten Begriffs der Bogenlänge — fest, daß sie die bekannte Bedeutung für den Kreis haben.

4. Die Funktionen ctgx und tg^; definieren wir nun wie üblich als Quotienten

COS;*' sin;v

° sinAT ° cos;»;

sie bieten daher als Funktionen nichts prinzipiell Neues.

Die Potenzreihenentwicklungen dieser Funktionen sind indessen nicht so einfach. Nach dem 105, 4 J^eschriebenen Divisionsverfahren kann man natürhch leicht einige Koeffizienten der Entwicklung be-

J14, §24. Die trigonometrischen Funktionen. 195

rechnen. Doch gewinnt man damit keinen Einblick in die Zusammen- hänge. Wir gehen so vor: In 105, 5 hatten wir die Entwicklung

e--l~.4 vi ^^ 2 + 2! "^ 3! -^ '••

kennen gelernt, in der die Bernoullischen Zahlen B^ zwar nicht ex- plizit bekannt, aber mit Hilfe der sehr durchsichtigen Rekursions- formel 106 bequem berechenbar sind. Diese Zahlen können und wollen wir daher weiterhin als schlechtweg bekannt ansehen^). Hier- nach ist — gültig für alle „hinreichend" kleinen x (vgl. 105, 2, 4) —

^•^ - 1 ' 2 ' 2 !

Die linksstehende Funktion ist aber

X f 2 \ _ X ß^+ 1 X e^-{-

2 \ß^ ~ 1 ' / 2 tf^ — 1

und aus dieser Darstellung erkennt man, daß es sich um eine gerade Funktion handelt. Die Bernoullischen Zahlen B^, B^, B^, ... sind

also sämtlich = 0, und wir haben, indem wir für e^ die Exponential-

X

reihe benutzen und zur Abkürzung — = z setzen:

1 -1- — + — -I- ...

^- jyy =i+^i(2.f+^(2.r+ ...

^ + 3T + M+---

Stünden hier im Zähler und Nenner linkerhand abwechselnde Vor- zeichen, so hätten wir ersichtlich gerade die Funktion ^ctg^ vor uns. Darf man nun aus unserer Gleichung — in der wir uns noch links, um lauter gerade Potenzen zu bekommen, den Faktor z gehoben denken — ohne weiteres schließen, daß sie auch mit abwechselnden Vorzeichen richtig bleibt, daß also auch

1 — 3]~ + 5r r •'•• ist? Offenbar ja! Denn ist allgemein für alle hinreichend kleinen z

l + a,z^^ + a,z^ + ..._ i , ^ ,2 , ^ ,4 ,

^) Wie aus ihrer Definition hervorgeht, sind sie jedenfalls alle rational.

13*

196 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen. \J

so besteht auch dieselbe Beziehung mit abwechselnden Vorzeichen. Denn in beiden Fällen sind gemäß 105, 4 die Koeffizienten C2v aus den Gleichungen

S. + S.-2 K+ -"+ ^2^2,-2 + ^r = «2v

der Reihe nach zu bestimmen. Es ist also in der Tat — wir schreiben nun X statt z —

2^Bo „ 2*B. 2^^B^^

Die Entwicklung für tgA; erhält man nun am einfachsten mit Hilfe des Additionstheorems

cos- X — sin- X

2ctg2A; = = ctg;t: — tgA:,

° cos;»rsinA; ^ ^ '

aus dem

tgA; = ctgA; — 2 ctg 2 :v

und also

,2&/o2&

2=«(2^'^_1)

B.

2 k

116. tgoü = 2;(- 1)"-'—- (a^^), ^"x'"-'

folgt. — Diese Entwicklungen sind an dieser Stelle noch unbefriedi- gend, da ihr Gültigkeitsintervall noch nicht angegeben werden kann; wir wissen nur, daß die Reihen einen positiven Konvergenzradius besitzen, nicht aber, wie groß er ist.

5. Noch von einer ganz anderen Seite her ist Euler zu einer interessanten Reihenentwicklung für die Funktion ctg gelangt, die wir jetzt, zugleich wegen ihrer großen Bedeutung für viele Reihenprobleme, herleiten wollen^). Aus ihr wird sich dann auch der Konvergenz- radius der Reihen 115 und 116 ergeben (s. S. 402).

Es ist, wie eben gezeigt

ctgy = ]-(ctg|--tg|) oder also

/v l ( Jt X , Ji(x -h 1)^

(a) ctgTi^ = "2 ^^^"2" + ^^^2 I'

eine Formel, bei der rechts ein beliebiges der Zeichen + genommen werden darf. Es sei nun x eine beliebige von 0, +1, +2,... ver-

^) Diese und die folgenden Reihenentwicklungen stammen fast sämtlich von Euler her und finden sich im 9. und 10. Kapitel seiner Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748.

2) Die folgende gegenüber der Eulerschen stark vereinfachte Herleitung der Entwicklung rührt von Schröter her (Ableitung der Partialbruch- und Produktentwicklungen für die trigonometrischen Funktionen, Zeitschrift für Math. u. Phys., Bd. 13, 1868, S. 254).

Jlß, §24. Die trigonometrischen Funktionen. 197

schiedene reelle Zahl, deren Wert im folgenden festgehalten werden soll. Dann ist

7C X { 71 X , Jl (x-h 1)^

TIX CtgTlX =-- -^' I Ctg — + Ctg -^-^-^ I

und die nochmalige Anwendung derselben Formel auf die beiden Funktionswerte der rechten Seite ergibt

71 X { ^ 71 X , r 7i{x Ar'^) , ^ JT (;v — 1)1 1 ^ 7i{xAr%\ nxz\Z7ix = ^Y\g-^-\- |ctg ^^ ^-i-ctg-^-^J +ctg-^^^|.

Ein dritter analoger Schritt ergibt für nx^t^nx den Wert

71X

+ ctg-^— ^ + ctg-^— ^ + ctg-^3:j .

, nx ^ _ ^ ® , ^ ^(a;+4)

, ^ 7l{X-\) . ^ 71{X-'1) , ^ 7t{x-%) ®

+ Ctg -^g— + Ctg -^—^ + Ctg -^— ^

da je zwei Summanden, die zu dem Mittelpunkt (#) des in der ge- schweiften Klammer stehenden Aggregates spiegelbildUch liegen, gemäß Formel (a) nach Hinzufügung des Faktors | je einen Summanden des vorigen Aggregates bilden. Führt man in derselben Weise im ganzen n solche Schritte aus, so erhält man

2»-'-l

/IX , jlX { 71X . ^ ^ ^\ 7l(x-\-v) , 7l{X — V)^ , 71 X\

(b) nxQ.\znx = -^>yZtZ^-\- Z^ [ctg ^-^-^ + ctg - ^~-^ \ - ^g -^y

Da nun nach 115

hm z ctg 2: = 1

und also auch für jedes <^ =[= 0

lim -^ ctg -^

ist, so würde man, wenn man in der letzten Darstellung w-^oo streben läßt, und auf der rechten Seite, zunächst versuchsweise den Grenz- übergang bei jedem Summanden einzeln ausführt, die Entwicklung

nxci^nx =\-\-X' ^(-4- + -^-) + 0 = 1 + 2;i;2 • J -5-^

erhalten. Wir wollen nun zeigen, daß diese im allgemeinen fehler- hafte Form des Grenzüberganges uns hier doch zu einem richtigen Resultat geführt hat:

Zunächst ist die erhaltene Reihe für jedes a; =j= 0, +1, +2, ... nach 70, 4 absolut konvergent, da die Beträge ihrer GHeder denen der

Reihe ^^-^ asymptotisch gleich sind. Nun werde eine beliebige ganze

Zahl k> Q\x\ gewählt und vorläufig ebenfalls festgehalten. Ist dann n so groß, daß die Zahl 2^-^- l', die wir zur Abkürzung mit m be-

198 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

zeichnen wollen, > k ist, so zerlegen wir die gewonnene Darstellung (b) von nxctgx wie folgt:

:!ix ( ^ Tix ^ nx , *r ^ , rt x { *!L ^ \ ^^ctg™.;=2^|ctg2r-tg2;^+2[...] +^| E [•■•];•

'^ V—V ' 1'=fe + l

(In die eckige Klammer ist hier natürlich dasselbe wie in (b) einzusetzen). Die beiden Teile dieses Ausdrucks nennen wir A und B . Da nun A

n n ji

nur aus einer festen Anzahl von Summanden besteht, so ist hier der gliedweise Grenzübergang nach 41, 8 gewiß gestattet, und wir haben

und da B^ nichts anderes ist als n%c\.g7ix ~ A^^, so ist auch hm ß^ vorhanden. Seinen Wert, der noch von der getroffenen Wahl von k abhängt, wollen wir mit r^ bezeichnen, so daß also

Um B^^ = r^ = 7ixctg7ix — 1 + 2 a;^ ^-^ ^

ist. Die Zahlen B^^, folglich ihr Grenzwert r^ und also auch die zu- letzt stehende Differenz lassen sich nun leicht abschätzen:

Es ist

und also

ctg {a + b) + ctg {a-b) = 3 ~-^-

^ ji{x-{-v) , ^ jt{x-v) -2ctga

ctg -\-^ + ctg -i^-— = ii^.-^—

wenn zur Abkürzung für den Augenblick -^ = a und -^ = ß ge- setzt wird.

sin^ a

nx

71X

Wegen 2" > ^ > 6 |:vl ist sicher |ci| == — - < 1 und also

sm

Da ferner 0 < /^ < ^ < 2 ist, so ist

und also

Isinal ^ 61o:l &\x\ ^ '

2^

1) Späterer Anwendung zuliebe machen wir diese Abschätzung in der obigen groben Form.

2) Vgl. den Schluß auf S. 192.

X\7, §24. Die trigonometrischen Funktionen. 199

letzteres, da v > k > 6\x\ ist Daher ist nun (für v > k)

2 I ctg 2^1

ctg^tÜ + ctg^^l^

36a;2

-1

und also

JIX . TtX

Der vor der Summe stehende Faktor ist nun — ganz grob ab- geschätzt — sicher < 3, denn es war ^ < 1 und für |-2r| < 1 ist

-jctg^ =

1_ 1_4_^ L ...

^ 2! ^4! ^

T +

3! ' 5!

+ •

<i±i±i±-<3.^

3! 5! ^

Daher ist

^»1 < '''^'-.l.^^i^ < '''^'-.l.^^^

Hier steht nun aber eine von n ganz unabhängige Zahl, so daß auch

V — Ä + 1

ist. Diese nun für r^ gefundene obere Schranke ist aber gleich dem hinter dem k^^^ Gliede beginnenden Rest einer konvergenten Reihe ^). Ist also e > 0 gegeben, so können wir uns k^ so wählen, daß für k> Uq stets

ausfällt. Gehen wir auf die Bedeutung von r^ zurück, 30 heißt dies, daß

k

lim

lim|7rA;ctg:;rA;- [l + 2 a;^^; ^^] } = 0 oder also daß, wie behauptet,

nx ctg:7ri» = 1 + 2 x^ >f -^sup-

ist, — eine Formel, die für jedes x ^ 0, +1 +2, ... nun als gültig erwiesen ist.

6. Von dieser äußerst merkwürdigen sog. Partialbruchzerlegung der Funktion ctg werden wir gleich im nächsten Kapitel wichtige

117,

^) Vgl. Fußnote 1 der vorigen Seite.

2) Die Konvergenz ergibt sich ebenso einfach wie weiter oben die der

Reihe 2'-^..

200 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

Anwendungen zu machen haben. Aus ihr kann man natürhch leicht viele weitere herleiten; wir nennen noch folgende: Gemäß der Formel

^Ctg— 2 7lCtgJZX = Jitg-—

findet man zunächst

^ts^ = 1(2-^:,^^^^, . + + 1, +3,+5, ...').

Die Formel

ctg^ + tg^ =

2 sin ^

liefert dann weiter für x =^ 0, +1, +2, ... ar ^ 1 _, 2a; _ 2ag

x~\l-x l-\-xJ \2-x 2-\-xJ^

Ersetzt man endlich hierin x durch ^ — x, so folgt

_i^__J_, f_2 2_\_/ 2 L_W-

cosTTAT l-2;tr'Vl+2;^ d-2x/ \3 + 2;^ 5-2 W"'

Nach 83, 2 darf man hier die Klammern weglassen. Faßt man dann aber, vorn beginnend, wieder je zwei Glieder zusammen, so ergibt sich — gültig, falls A; + -fJ, +|, +|, ... ist —

J coswa; 12-4iK2 ,^2-^x2 ' 52-4a;2

?r ^ 4.1 _ 4»3 4^. 5 ^

118. ftfts ir .'»^ ^ 1 2 _ 4 r*'.2 32 _ i. ^2 I 52 — 4 rr2 ~l

Mit diesen Partialbruchzerlegungen der Funktionen ctg, tg, -^ und — ^

wollen wir unsere Untersuchungen über die trigonometrischen Funk- tionen abbrechen.

§ 25. Die binomische Reihe.

Schon in § 21 hatten wir gesehen, daß der Binomialsatz für ganze positive Exponenten, wenn man ihm die Form

gibt, ungeändert auch für den Fall gültig bleibt, daß k eine negative ganze Zahl ist^). Nur muß dann |a;| < 1 bleiben. Wir wollen jetzt

1) Die Formel ergibt sich zunächst nur für ;\; =|= 0, ± 1 , ± 2, . . ., doch prüft man ihre Richtigkeit für x = 0, ±2, +4, . . ., nachträglich ohne Schwie- rigkeit. (Die Reihe hat 0 zur Summe!).

2) Im ersten Falle ist die Reihe nur formal, im letzten tatsächlich eine unendliche.

119. §25. Die binomische Reihe. 201

zeigen, daß unter dieser Einschränkung der Satz sogar für jeden reellen Exponenten a gilt, daß also

(l+^r =£(:)«'•% {Wb<Hebig reell, II»-

ist^). Wie in den vorangehenden Fällen, wollen wir auch hier von der Reihe ausgehen und zeigen, daß sie die in Rede stehende Funktion darstellt.

Die Konvergenz der Reihe für |;t| < 1 ist sofort festzustellen, denn der Betrag des Quotienten des (7^+1)*^" zum n^^^ Gliede ist

= — — — X und strebt also -> i a; i ,

\ n-\-l \ ' '

womit nach 76, 2 schon gezeigt ist, daß -j- 1 der genaue Konvergenz- radius der binomischen Reihe ist. Nicht ganz so leicht ist es zu sehen, daß ihre Summe gleich dem — eo ipso positiven — Wert von (1+^)" ist. Bezeichnen wir die für |;t:| < 1 durch die Reihe dargestellte Funktion vorläufig mit fa{x), so kann man den Beweis folgendermaßen führen.

Da 2J[^)x^^ bei beliebigem a für |a;| < 1 absolut konvergiert, ist (nach 91, Bem. l) für beUebige a und ß und alle |::\;| < 1

^"•J„(^)^"=»lo[(o)(O+(r)(/0+-+(:)®]^"

Nun ist aber stets

ö)(ö+(i)u^)+-+(:)(^:

wie man z. B. durch Induktion ganz leicht beweist^). Daher ist bei festem |a;| < 1 — für beliebige a und ß stets

fa'fß'= fa + ß-

1) Das Symbol ( ^ j ist für beliebige reelle a und ganze m ^ 0 durch die beiden Festsetzungen

definiert und genügt für alle reellen a und alle n ^ 1 der Beziehung

(rl)+Cn')=al'

deren Richtigkeit man sofort nachrechnet.

■2) Hierzu bringe man die Behauptung durch Multiplikation mit n\ auf die Form

ß{ß-\)...{ß-n + \) + ... + {l\%{7.-\)...{(X.-k + \yß{ß-\)...{ß-n + k + \) + ..

+ (;)a(a-l)...(a-r.+l)=(a + ^)(a + /?-l)...(a + |5-w+l).

Multipliziert man nun die {n -f 1) Summanden der linken Seite erst der Reihe

202 ^ I- Kap. Die Entwicklung-en der sog. elementaren Funktionen.

Wörtlich ebenso nun, wie wir bei der Exponentialfunktion aus dem Additionstheorem E(x^' E{x^ = E{x^-^ x^) gefolgert haben, daß für alle reellen x stets E {x) ^^ [E {1)Y , folgt hier, daß für alle reellen a stets

ist. Da aber /"^ = 1 + a; ist, so besagt dies, daß

ist, w. z. b. w. ^).

Mit dem hiermit vollendeten Nachweis der Tatsache, daß sich (1 + xY in eine Potenzreihe in x entwickeln läßt, ist nun auch die § 21 beim Beweise des Umkehrsatzes noch gebliebene Lücke ausgefüllt.

Die Binomialreihe liefert, ähnlich wie die Exponentialreihe für a^, eine Entwicklung der allgemeinen Potenz: Man wähle, um a^ zu entwickeln, eine (positive) Zahl c, für die einerseits c^ als bekannt

nach mit

a,{a — \),...,{a — k),...,{a — n) dann mit

(^-«),09-n-f 1), ...,G5-« + Ä),...,/9 und addiert, so hat man sie im ganzen mit {(x.-\- ß — n) multipHziert und be- kommt, wenn man die gleichartigen Glieder links zusammenfaßt, genau die für w + 1 statt n angesetzte Behauptungsgleichung. — Die obige Formel be- zeichnet man gewöhnlich als Additionstheorem der Binominalkoeffiizienten.

1) Ein zweiter, fast noch leichterer Beweis, der aber von der Differential- rechnung Gebrauch macht, geht so vor: Aus /'„=^M '^ )^" folgt

Da aber (n -f 1) ( ^\) "^ ^ {"^ ] i^^' ^^ ergibt sich weiter

Nun ist aber

(l-rA')/',_iW = (l+^).i'/'^-^U^ »=0

- -i [(«;>(«!})] -i(:

so daß für alle \x\ <; 1 die Gleichung

besteht. Da aber (1 -\- x)"- > 0 ist, so lehrt diese Gleichung, daß der Quotient

(I + X)"

dort allenthalben die Ableitung 0 hat, dort also identisch ein und derselben Konstanten gleich ist. Da sich deren Wert für x = 0 sofort als +1 ergibt, so ist die Behauptung /"« {x) = (1 + xf- erneut bewiesen.

119. §26. Die logarithmische Reihe. 203

angesehen werden kann, andererseits 0 < — < 2 ist. Dann kann

c

— = 1 -\- X mit 1^1 < 1 gesetzt werden und man hat in die gesuchte Entwicklung. So ist z. B.

""TL-*-"" V 1/50 + \ 2 /5Ö-"~ \ 3 /5Ö3"I -"J

eine bequeme Entwicklung von V 2 .

Die Entdeckung der Binomialreihe durch Newton'^) bildet einen der großen Marksteine in der Entwicklung der mathematischen Wissen- schaften. Wie hoch sie von seinen Zeitgenossen bewertet wurde, mag man daraus ersehen, daß die Binomialreihe in den Sarkophag des Newtonschen Grabes in der Westminster Abbey in London ein- gemeißelt steht. Später hat Abel diese Reihe erneut zum Gegen- stande von Untersuchungen^) gemacht, die einen wohl gleich wichtigen Markstein in der Entwicklung der Reihentheorie bilden. (Vgl. weiter unten 170,1 und 260).

§ 36. Die logarithmische Reihe.

Wie schon S. 55 betont, empfiehlt es sich für die Theorie, aus- schließlich die sogenannten natürhchen Logarithmen, also diejenigen mit der Basis e zu benutzen. Im folgenden bedeutet also log x stets soviel wie ^logj:^;, (::t; > 0).

Ist y=z\ogx, so ist X = ey oder

^-i=y + |T + |r + ---

Nach dem Umkehrsatz für Potenzreihen (107) ist hiernach y=z\ogx für alle hinreichend nahe bei -{- 1 gelegenen x nach Potenzen von {x — l) oder also y = log (l -|- a;) für alle hinreichend kleinen | ji; | in eine Potenzreihe in x

y = \og{l+x) = x-\-b^x''-^ b^x^ + . . .

entwickelbar. Es wäre wohl ein vergebliches Unterfangen, die Koeffi- zienten b^ nach dem dortigen Verfahren allgemein berechnen zu wollen. Es muß uns genügen, durch den Umkehrsatz die Möglichkeit

^) Brief an Oldenburg vom 13. Juni 1676. — Newton besaß damals noch keinen Beweis der Formel; dieser wurde erst 1774 von Euler gefunden, 2) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 1 (1826), S. 311.

204 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

dieser Entwicklung festgestellt zu haben. Zur Bestimmung der Ko- effizienten h^^ müssen wir bequemere Wege suchen. Hier führt z. B. folgender Kunstgriff zum Ziel:

Es ist für I a: I < 1 und z>0

Benutzen wir nun links die Binomial-, rechts die Exponentialreihe, so erhalten wir

l+(\)x + ... + {l)x^ + ...

l+,log(i+.)+... + !Äi±f) +

Die Glieder der linken Seite können wir nun durch Ausmultiplikation von

nach Potenzen von z ordnen. Darf man dann den großen Umordnungs- satz anwenden und die gleichen Potenzen von z sammeln.? Nach 90 sicher dann, wenn die Reihe J^Uj^t* noch konvergent bleibt, falls

nach der eben beschriebenen Zerlegung ihrer Glieder jeder einzelne Summand durch seinen absoluten Betrag ersetzt wird. Das gibt abe r da ^ > 0 sein sollte, die Reihe

Diese Reihe ist aber, da | a; | < 1 sein sollte, nichts andres als die Binomialentwicklung von (l— |a;|)~^ und ist also wirklich konver- gent. Die demnach erlaubte Anwendung des großen Umordnungs- satzes liefert nun

\ + [x-'''^ + ~- + ..]z + ...=l+z\og{l+x) + ...

Hier haben wir nun zwei Potenzreihen in z vor uns, die für alle posi- tiven z — bei festem | ^t | < 1 — übereinstimmen. Nach dem Identi- tätssatz für Potenzreihen 97 muß also speziell für jedes | a; | < 1

120.(a) log(l + «;)^a;-^ + ^-+... + fc^^cc'' + ...

sein^). Damit ist die fragliche Entwicklung gewonnen, der man nun nachträglich auch ansieht, daß sie für | a; | > 1 nicht mehr gelten kann. Ersetzt man in dieser sogen, logarithmischen Reihe x durch — X und wechselt beiderseits das Vorzeichen, so erhalten wir — gleichfalls für alle | a; | < 1 —

(b) logjA_=«,+ f. + 'f+... + J'+..,

^) Vgl. hierzu die historischen Bemerkungen in 69,

120. §27. Die zyklometrischen Funktionen. 205

und aus diesen durch Addition — wieder für alle | x

3 ' 5 1 2^+1

Selbstverständlich führen noch mancherlei Wege zu diesen Reihen- entwicklungen, doch schließen sich diese entweder nicht so unmittel- bar an die Definition des log als Umkehrung der Exponentialfunktion an, oder sie machen von der Differential- und Integralrechnung aus- giebigeren Gebrauch^).

Unsere Herleitung der logarithmischen Reihe — auch die beiden in der Fußnote genannten Arten — läßt nicht erkennen, ob die Darstellung auch noch für x= -^1 und x= —1 gilt. Da wir aber aus 120 a für x ^ -\-l die konvergente Reihe (s. 82, 9)

2^3 4 ^

erhaken, so ist nach dem Abelsc\\Qn Grenzwertsatz der Wert dieser Reihe-

= lim log(l + aß) = log2.

aß->-l-0

Unsere Darstellung gilt also auch noch für :t; = -|- 1 ; für :^; = — 1 da- gegen gilt sie sicher nicht mehr, da die Reihe dann divergiert.

§ 27. Die zyklometrischen Funktionen.

Da die trigonometrischen Funktionen sin und tg in Potenzreihen entwickelbar sind, bei denen die erste Potenz der Veränderlichen den von 0 verschiedenen Koeffizienten +1 besitzt, so ist dies nach 107 auch mit ihren Umkehrungen, den sog. zyklometrischen Funk- tionen aresin und arctg der Fall. Wir haben also für alle hinreichend kleinen Werte von \x\ die Ansätze

y = aresin x = x -^ h^x^ -\- h^x^ -\- . . . y = arctg :v = x -{- h^ x^ + ö/r^ + . . .,

1) Wir deuten noch die folgenden beiden Wege an: 1. Da wir aus dem Umkehrsatz wissen, daß

gesetzt werden darf, hat man nach der Taylorschen Reihe 99 ^ _ 1 fdHog{\+x)\ _ (-2)^-1

^ k\ \ dxk I^^Q- k

und da log 1 = 0 ist, folgt nach 99, Satz 5 durch Integration sofort

k = 0 Ä + 1 j^^-^ ^

Der im Text beschrittene Weg ist insofern einfacher, als er vollständig ohne Benutzung der Differential- und Integralrechnung auskommt.

206 VI. Kap. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.

bei denen wir die geraden Potenzen gleich fortgelassen haben, weil unsere Funktionen ungerade sind. Auch hier wäre es aussichtslos, die Koeffizienten b und b' nach dem allgemeinen Verfahren von 107 bestimmen zu wollen. Wir gehen wieder bequemere Wege: Die Reihe für arctg x ist die Umkehrung von

(a) A;=tgy =

cos 3/ . :v^ , y^ ,

^ ~ 2T + 4! ~ + • • •

bzw. der nach Ausführung der letzten Division nach 105, 4 ent- stehenden Reihe. Stünden hier in Zähler und Nenner lauter -]- -Zeichen, so handelte es sich um die Umkehrung der Funktion

_ey — e-y e^y — 1

^ ^ ey + e-y ~ ^"-fl *

Die Umkehrung dieser Funktion ist aber

2'°gl-=^ = ^ + T + T + ---

Man überzeugt sich nun ganz ähnlich, wie in § 24, S. 195/6 bei der Herleitung der Potenzreihe von jzx ctg jix, daß die Umkehrung der tatsächlich vorgelegten Reihe für x = tg y aus dieser letzten gewonnen wird, indem wir in ihr wieder alternierende Vorzeichen nehmen, so dafi

121. »retgx = x~ J- + -J ~ -^...

wird^). Diese Potenzreihe, die ersichtlich den Radius 1 hat, Uefert also, wenn sie für y in den rechterhand in (a) stehenden Quotienten eingesetzt und die sicher erlaubte Umordnung vorgenommen wird, ^:%. Ihre Summe ist also bei beliebig gegebenem | x | ,< 1 eine Lösung der Gleichung tgy = x und zwar der sogenannte Hauptwert der hier-

^) Eine andere Herleitung ist diese: Es ist

d^rctgx^ 1 ^ 1 ^ J^ _i_;,2 , .4__ ,

dx dtgy l+tg2y l+;»r2 ^ ^•■•'

dy letzteres für | ;t: | < 1 . Da arctg 0 = 0 ist, folgt hieraus wieder nach 99, Satz 5, daß für \x\<l

arctg x = x— 3" + y~+--

ist. — Eine Herleitung, die der in der vorigen Fußnote an erster Stelle ge- gebenen entspricht, ist hier etwas mühsamer, da die höheren Ableitungen von arctg .y — selbst nur an der Stelle 0 — nicht leicht direkt zu finden sind. — Die arctg-Entwicklung ist von /. Gregory im Jahre 1671 gefunden, aber erst 1712 bekannt geworden.

123. §27. Die zyklometrischen Funktionen. 207

durch erklärten Funktion a.rctgx, d.h. derjenige Wert, der für x = 0 selbst = 0 ist und sich dann mit x stetig ändert. Er liegt für

— 1 < X < -\- 1 ^wischen — - und -{- -

und ist innerhalb dieses Intervalles eindeutig bestimmt.

Für I j^; j > 1 ist die gefundene Entwicklung sicher nicht mehr gültig; dagegen ergibt sich nach dem Abelschen Grenzwertsatz, daß sie auch noch für a; = + 1 gilt. Denn die Reihe ist noch an beiden End- punkten des Konvergenzintervalles konvergent und arctg^; ist dort stetig. Wir haben also insbesondere die wegen ihrer Durchsichtigkeit und Einfachheit besonders bemerkenswerte Reihe

4 =1-3 + 5-7+- • 122.

und damit zugleich einen ersten zur Berechnung von ji schon einiger- maßen gangbaren Weg. Diese schöne Gleichung wird meist nach Leibniz^) benannt; sie liefert sozusagen die Zahl 71 der rein arith- metischen Behandlung aus. Es ist, als ob der Schleier, der über dieser seltsamen Zahl lag, durch diese Entwicklung fortgezogen sei. Für die Herleitung der Reihe für aresin a; führt der Weg, der dem eben bei arctg% begangenen entspricht, nicht zum Ziel. Das in der letzten Fußnote angedeutete Verfahren aber liefert uns die gesuchte Reihe: Es ist

<iarcsin;v 1 1 1 ^^ „2\~i

dx ^dsiny\ cosy Jj

dy

(1-x'

letzteres, weil die Ableitung von aresin a; im Intervall — 1 . . . -\- 1 stets positiv ist. Aus

(aresin a:)' = 1 - ( i) ^^ + ( 2' j ^^ ^" ' • •

folgt aber wegen aresin 0 = 0 nach 99, Satz 5 sofort, daß für |^| < 1 , 1 £c* , 13 sc^ . 13 5 x'^ .

arcsmar;=ar^+2 3 +274-y +2TT6'^ + "- 123.

ist. Auch diese Potenzreihe hat den Radius 1, und ganz entsprechende Gründe, wie eben, lehren, daß für | a; | < 1 ihre Summe der Haupt- wert von aresin x ist, also diejenige eindeutig bestimmte Lösung y

der Gleichung siny==;A;, die zwischen — - und -j- - gelegen ist.

Für X = + 1 ist diese Gleichung noch nicht gesichert. Sie wird dort nach dem Abelschen Grenzwertsatz dann und nur dann gelten, wenn die Reihe daselbst konvergiert. Diese Konvergenz findet

^) Er fand sie wahrscheinlich im Jahre 1673.

208 Aufgaben zum V'I. Kapitel.

tatsächlich statt. Wegen des einfachen Vorzeichenwechsels beim Über- gang von -|- a; zu — x brauchen wir dies nur für die Stelle -|- 1 zu zeigen. Dort handelt es sich um eine Reihe mit lauter positiven Gliedern, und es genügt, die Beschränktheit der Teilsummen zu zeigen. Nun ist für 0 < a; < 1 , wenn wir die Teilsummen von 123 mit s^(x) bezeichnen,

^n W "^ aresin x < aresin 1 = -- . Und da dies (bei festem n) für jedes positive x < 1 gilt, so ist auch

lim s„W = sJl)^f ;

und da dies für jedes n gilt, so ist damit schon alles bewiesen. Es ist also

124. -_1- 1.1.1:1.14.1:^.1 +

2 ^2 3 "^ 2 4 5^246 l^'"

Durch die §§ 22 — 27 sind wir in den Besitz der für alle An- Wendungen wichtigsten Potenzreihen gelangt.

Aufgaben zum VI. Kapitel.

74, Man zeige, daß die Potenzreihenentwicklungen der folgenden Funk- tionen die angegebene Form haben:

a) e^ sin X ^ 2j "^ ^^ ^^^ s^ ^ \/2^ -sin n —-, d.h. s^^^^O,

n=0 ^' *

2 /fc 11 1

b) \ (arctg .f = i (- lf~' 6,~ mit b,= \+ ^ +- + .. . + ^^^ j

1 \ A- X '^ x'^^'^^ 11 1

O- arctg.. log j----.^i;.,.j^2 ■"" ^* = > " 3 + 5 " " " " +«+!'

1 * x"^^^ 1 1

d) -arctg;»;.log(H-;.-)- 2'(-1)*"'ä2*--2ä+1 ""'* ^« = ^ + 2"^'"'"^ «

1 ^ -^^

^^2

^°^I^

^ V ^~^ ;tr»^ mit derselben Bedeutung vonÄ„, wie eben. n = 2 ^

75, Man zeige, daß die Potenzreihenentwicklungen der folgenden Funk- tionen in der angegebenen Weise beginnen:

X X X- x^

124. Aufgaben zum VI. Kapitel. 209

^m

m-\-l =r /'

1 29

c) tgr (sin X) - sin (tg- x) ^ : ^^x' + ~x^ -^ . . . ;

76. Man leite im Anschluß an 105,5, 115 und 116 die Potenzreihen- entwicklungfen der folgenden Funktionen her:

a) log cos a;; b) log--—;

X

c)log^; d)-^;

^ sin AT

x^ 1

cos;»;

g) log ^_; h) ^ ;

2sini-;tr e^' + l

i) -~—\ k) ^

ß + 1 cos ;tr — sm ;»;

77. Es ist

_i__ ri, i__^, 1:3 ;y^

^i^^'L«'^ 2a + 2"^2.4"aT4"^

2 L'^a + 2'' + (a + 2)(« + 4)'^ +■

/2 w + 1 \ " 78, Es strebt f- — -— j -^e. Geschieht dies monoton? Steigend oder

fallend? Wie verhalten sich die Folgen

1 \n + a

1+- , 0<(.<1?

79, Aus Xn-^^ folgt stets

1+^

n

und, falls alle x^ und ^ positiv sind, auch

^(V^-l)->log^. 80. Ist {x^) eine beliebige reelle Folge, für die ^->.0 strebt, und wird

-M.

Xn

n

1 - -7) =yn gesetzt, so ist stets

Knopp, Unendliche Reihen. 14

210 Aufgaben zum VI. Kapitel.

81, Man beweise die unter 114 aufgeführten Ungleichungen.

82, Man suche die Summe der folgenden Reihen durch die elementaren Funktionen geschlossen darzustellen:

(Anleitung: Ist f{x) die gesuchte Funktion, so ist ersichtlich

woraus sich f(x) bestimmen läßt. Ähnlich bei den folgenden Beispielen.) , x^ x^ x'' _^, .

, 1 ■ ^ , ^^ , .

x^ x^ ^' , ,

83, Man ermittle die folgenden Reihensummen als spezielle Werte ele- mentarer Funktionen:

12 3 4

"^ 21+3! + 4! + y! + --- = ^'

1 1 13 1-3-5

^^ 2+2T4 + 2:4:6 + 2:4:6:8 + '--~^'

1 1-3 , 1.3.5.7 , 1.3.5.7.911 , _l/ö.

2"^2.4.6^2.4.6.8.10^2-4-6.8.10.1214

1 1

ll^ 1-3. 5-7 1.3.5.7.9. 11 , -^^/^-l

4^"^2. 4-6. 8-10 2.4.6-8.10.12.14' "' V 2

*^^ 2~2.4-6"^2.4.6.8.10 2.4.6-8.10.12.14' "' V 2

84. Aus den Partialbruchzerlegungen 117 ff. sollen die folgenden Dar- stellungen von 71 hergeleitet werden:

^ r. 1,1 1 . ^ '-4-

. ^ N 1 1 j_ 1 o- ^ 4-4-1

«L « — 1 oc+l 2ci — 1 ^a + 1 -^

in denen a =|= 0, ±l,±i, ±i, •.• sein soll. Man setze speziell a = 3, 4, 6.

125* §28. Produkte mit positiven Gliedern. 211

VII. Kapitel.

Unendliche Produkte.

§ 28. Produkte mit positiven Gliedern.

Ein unendliches Produkt

sollte nach § 11, II lediglich ein anderes Symbol für die Folge der Teilprodukte

sein. Danach müßte man ein solches unendliches Produkt konvergent mit dem Werte JJ nennen, also

Eu„ = u

n=l

setzen, wenn die Folge (pj gegen die Zahl U als ihren Grenzwert strebt. Das bringt die Unzuträglichkeit mit sich, daß dann jedes Produkt konvergent genannt werden müßte, bei dem nur ein einziger Faktor = 0 ist. Denn ist ^/^ = 0, so würde auch p^ = 0 sein für alle n ^ m und es würde /),^ ^ ?7 = 0 streben. Ebenso wäre ersichtlich jedes Produkt konvergent — und wieder mit dem Werte 0 — , bei dem von einer Stelle ab für alle n

ist. Um diese nichtssagenden Fälle auszuschließen, beschreibt man das Konvergenzverhalten eines unendlichen Produktes nicht ohne weiteres durch dasjenige der Folge der Teilprodukte, sondern benutzt zweckmäßiger die folgende Definition, die der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation Rechnung trägt:

o Definition. Das unendliche Produkt 125.

OD

Jlu^ = u^ . u^ . 1/3 ....

n=l

soll dann und nur dann (im engeren Sinne) konvergent heißen, wenn von einer Stelle ah — etwa für alle n > m — kein Faktor mehr verschwindet und wenn die hinter dieser Stelle beginnenden Teil- produkte

14*

212 VII- ^^V' Unendliche Produkte.

mit wachsendem n gegen einen endlichen und von 0 verschiedenen

Grenzwert streben. Setzt man diesen = U^^, so wird die Zahl U = u^-u,^' ... -'/„r^^n

als Wert des Produktes angesehen^).

Dann gilt zunächst, wie für endliche Produkte der

oSatz 1. Ein konvergentes unendliches Produkt hat dann und nur

dann den Wert 0, wenn einer seiner Faktoren = 0 ist.

Da ferner mit p^ -> U„^ auch /)„__i -> U^ strebt und da U^^ + 0

sein sollte, so strebt (nach 41, ll)

Pn -,

ti = -f- ► 1

" Pn-i

und wir haben den

o Satz 2. In einem konvergenten unendlichen Produkt strebt die Folge der Faktoren stets -> 1 .

Aus diesem Grunde wird es zweckmäßiger sein, die Faktoren u :=l-\- a zu setzen und also die Produkte in der Form

n=l

zugrunde zu legen. Für diese ist dann die Bedingung a„ -► 0 eine notwendige Konvergenzbedingung. Die Zahlen «„ wollen wir — als die wesentUchsten Teile der Faktoren — ^Is die Glieder des ^o- duktes bezeichnen. Sind sie alle ^ 0, so sprechen wir, ähnUch wie Ber~den unendlichen Reihen, von Produkten mit positiven Gliedern. Mit diesen wollen wir uns zunächst befassen. ""

Die Konvergenzfrage wird hier schon vollständig erledigt durch den Satz 3. Ein Produkt 77(1 + aj mit positiven Gliedern a„ ist dann und nur dann konvergent, wenn die Reihe Za^ konvergiert.

Beweis. Da die Teilprodukte ^„ = (1 + «i) - • • (l + ^J ^^^^^ «n^ö monoton wachsen, so ist das 1. Hauptkriterium (46) zuständig und~wir haben nur zu zeigen, daß die Teilprodukte p^^ dann und nur

1) Unendliche Produkte finden sich zuerst bei F. Vieta (Opera, Leyden 1646, S. 400), der das Produkt

ivgl. Aufg 89) und bei /. Wallis (Opera I, Oxford 1695, S.468), der 1656 das Produkt ^ ^

^_2 1 1 i i

"4 ~ 3 ■ b ■ 5 ' 5 ■ 7 " ■ angibt Erst durch Euler aber erhielten die unendlichen Produkte Bürgerrecht in der Mathematik, indem er zahlreiche wichtige Produktenwicklungen auf- stellte. Die ersten Konvergenzkriterien rühren von Cauchy her.

125. §28. Produkte mit positiven Gliedern. 213

dann beschränkt bleiben, wenn die Teilsummen s^ = a^^ -\-- a^-{- . . . -\- a^ es tun. Nun ist aber nach 114(^ stets l-\-ay-^e^^ und also

i) <e>\ andererseits ist

^n = (1 +^l) • • • (1 +0 == 1 + «1 + ^2 + • • • + ^« + ^1^2 + • • • ^ 5„>

letzteres, weil in dem ausgeführten Produkt außer den Summanden von s noch viele andere, aber nur nichtnegative Summanden auf- treten. Es ist also stets

s <i) .

n = in

Die erste Abschätzung lehrt nun, daß mit s^^ auch p^^ beschränkt bleibt, die zweite lehrt das umgekehrte, — womit schon alles bewiesen ist^).

Beispiele.

1. Da wir schon viele Beispiele konvergenter Reihen ^ a^ mit positiven Gliedern kennen, so ergeben sich auf Grund von Satz 3 ebensoviele Beispiele von konvergenten Produkten 77(l+a„). Wir erwähnen:

^(-r.)

— ] ist für a > 1 konvergent , für oc < 1 divergent. — Das letz-

tere ist hier leichter zu erkennen als bei der entsprechenden Reihe, da

strebt 2).

2. 77(14-;»;«) ist für 0 ^ ;v < 1 konvergent; ebenso 77(1+;»; 2"). 2 \_ -ß-{n-l){n-\-2) _ 1

Dem Satz 3 stellen wir sogleich den folgenden sehr ähnlichen an die Seite:

Satz 4. Ist stets ^^^0, so ist auch das Produkt II {1 — aj dann und nur dann konvergent, wenn 2 a^ konvergiert.

Beweis. Strebt a nicht gegen 0, so sind Reihe und Produkt sicher divergent. Strebt aber a ->0, so ist von einer Stelle an, etwa

^) Der erste Teilbeweis dieses elementaren Satzes benutzt die transzen- dente Exponentialfunktion. Folgendermaßen kann man sich davon frei machen: Ist Z an = s konvergent, so wähle man m so, daß für n > m stets

'^m+i + «m+2 + • • • + ^« '^ 2

bleibt. Da nun ersichtlich für diese n

(1 + «,„+,) . . . (1 + a,0 < 1 + («m+i + ••• + ««) + («m+i +"... + a„)^ + .. . '

+ («,„+! + ... + «„)«< 2

/>«<2-(l + fli)...(l+a,„) = i^, also (/?„) beschränkt.

2) Hierin steckt also auf Grund von Satz 3 ein neuer Divergenzbeweis

für die Reihe y,—.

214 VII. Kap. Unendliche Produkte.

für n> m, stets a^^ < | und also 1 — ^„ > |. Wir betrachten Reihe und Produkt erst von dieser Stelle an.

Ist nun das Produkt konvergent, so streben also die monoton abnehmenden Teilprodukte ^^ = (l — a^^^ J . . . (l _ ^^) gegen eine noch positive Zahl U^^^, und es ist für alle n > m stets

(l-«»+i)---(l-'Ü^f^„.>0. Da nun für 0 ^ «7», < 1 stets

ist (wie man durch Heraufmultiphzieren des Nenners sofort sieht), so ist

^ m

Hiernach folgt also aus der Konvergenz von 77(1 — «J diejenige des Produktes 77(1 +0 "^^ ^^^^ ^^^ ^^^ Reihe Z a^. — Ist umgekehrt ^ a^ konvergent, so konvergiert auch ^ 2 a^ und wir benutzen nun die Tatsache, daß für 0 ^ a„ ^ J stets

ist — wie man wieder durch Heraufmultiplizieren des Nenners er- kennt. Da nun bei passender Wahl von K die Produkte (1 + 2 ß^+i) • • • (1 + 2 a„) < 7^ bleiben, so bleibt

und die linksstehenden Teilprodukte streben also, weil monoton ab- nehmend, gegen einen noch positiven Grenzwert: das Produkt 77(1 — <?„) ist konvergent.

Jj^ß^ Bemerkungen und Beispiele.

1. JJil ) ist für a>l konvergent, für a<l divergent.

2. Sind die a„ < 1 und ist 2: a„ divergent, so ist 77(1 - a„) gemäß unserer Bezeichnung nicht konvergent. Da aber die Teilprodukte p„ monoton ab- nehmen und >0 bleiben, so haben sie einen Grenzwert, der aber nun not- wendig = 0 sein muß. Man sagt: das Produkt divergiere gegen 0. Die Sonder- rolle der 0 zwingt uns hier also eine kleine Inkonsequenz in der Bezeichnung auf: Es wird ein Produkt divergent genannt, für das die Teilprodukte eine durchaus konvergente Folge, nämlich eine Nullfolge, {p„) bilden. An diese Inkonsequenz soll bei der Definition 125 der Zusatz „im engeren Sinne" bei „konvergent" erinnern, falls dies erforderlich ist.

3 Daß z.B. 77(1— ) gegen 0 divergiert, erkennt man wieder sehr leicht aus

-=(-l)('4)-(>4)4-M---"-^4--

126. §29. Produkte mit beliebig-en Gliedern. Absolute Konvergenz. 215

§ 39. Produkte mit beliebigen Gliedern^). Absolute Konvergenz.

Haben die Glieder des Produktes a^ beliebige Vorzeichen, so gilt — dem 2. Hauptkriterium 81 bei Reihen entsprechend — der

o Satz 5. Das unendliche Produkt /7 (l + a^ ist dann und nur dann konvergent, wenn nach Wahl von e > 0 ein n^ so bestimmt werden kann, daß für alle n '> n^ und alle k^l stets

a^isfällt'^).

Beweis, a) Ist das Produkt konvergent, so ist von einer Stelle ab, etwa für n>m, stets a^=^ —1, und es streben die Teilprodukte

/»«--(l + ^m+J'-a + O' {n>m),

gegen einen von 0 verschiedenen Grenzwert. Daher gibt es (s. 41, 3) eine positive Zahl ß, so daß für n> m stets \p.n\^ß > 0 bleibt. Nach dem 2. Hauptkriterium 49 kann nun, wenn e > 0 gegeben wird, n^ so bestimmt werden, daß für n '> n^ und alle ^ ^ 1 stets

bleibt. Dann ist aber für dieselben n und k

1^-1 = i(l + «,.^,)(] + «„„)...(! + «„+,) - 1 I < ., — und das ist gerade die erste unserer Behauptungen.

b) Ist umgekehrt die e- Bedingung des Satzes erfüllt, so wähle man zunächst e = | und bestimme m so, daß für n > m stets

l(l+«„«),---(l+«n)-l| = l^..-l|<i

bleibt. Dann ist für diese n stets

l<\Pn\<l

und dies lehrt, daß für n> m stets l ~{- a^=^0 sein muß; und weiter, daß, wenn j) gegen einen Grenzwert strebt, dieser sicher nicht 0 sein kann. Nun läßt sich aber bei gegebenem e > 0 die Zahl n^ so bestimmen, daß für n > n^ und alle ^ ^ 1

S <ö

^) Eine ausführliche und einheitliche Darstellung der Konvergenztheorie unendlicher Produkte findet man bei A. Pringsheim, Über die Konvergenz un- endlicher Produkte, Math. Annalen Bd. 33 (1889), S. 119— 154.

^) Oder — s. 81, 2. Form — wenn stets

[(1 + an+,) (1 + «.+2) . . . (1 + ««+ftj] -> 1 strebt; oder — s. 81, 3. Form — wenn stets

Strebt.

216 VII. Kap. Unendliche Produkte.

oder also

\Pn+U-Pn\<\Pn\'^<^

bleibt Und dies lehrt, daß p^^ wirklich einen Grenzwert hat. Damit ist die Konvergenz des Produktes bewiesen.

Ähnlich wie bei den unendlichen Reihen sind auch hier bei den Produkten diejenigen besonders leicht zu behandeln, die „absolut" konvergieren. Doch versteht man darunter nicht Produkte TIu , für die auch /7| i/^J konvergiert — denn eine solche Festsetzung wäre nichtssagend, da ja dann jedes konvergente Produkt auch absolut konvergieren würde — , sondern man definiert:

127. o Definition. Das Produkt 11(1 + ßj soll absolut konvergent heißen,

falls das Produkt 77(1 + | «^ | ) konvergiert.

Ihre Bedeutung bekommt diese Definition erst durch den

oSatz 6. Die Konvergenz von 77(1 + |a^|) zieht diejenige von 77 (l -\- a^ nach sich.

Beweis. Es ist stets

l(l+«n+l)(l +"„+.)•■■(! +«„+.)- 1|

^(l+l«„+.l)(l + l«„+=l)---(l+l«„+.l)-l,

wie man sofort erkennt, wenn man sich die Klammern ausmultiphziert denkt. Ist also für n{l-\-\a^\) die notwendige und hinreichende Konvergenzbedingung aus Satz 5 erfüllt, so ist sie es von selbst auch für 77 (1 -f- O' ^- ^- ^- ^•

Auf Grund von Satz 3 können wir daher sogleich sagen:

°Satz 7. Ein Produkt U [l -\- «J ist dann und nur dann absolut konvergent, wenn 2 a^ absolut konvergiert.

Da wir zur Feststellung der absoluten Konvergenz einer Reihe schon eine hinreichend ausgebaute Theorie in Händen haben, erledigt dieser Satz 7 in befriedigender Weise die Konvergenzfrage bei abso- lut konvergenten Produkten. In allen anderen Fällen führt der fol- gende Satz die Konvergenzfrage für Produkte vollständig auf die entsprechende Frage bei Reihen zurück:

o Satz 8. Das Produkt 77(1 + a^ ist dann und nur dann konver- gent, wenn die Glieder a^ eine Nullfolge bilden und wenn die hinter einem passenden Index m begonnene^) Reihe

J log(l+«„) konvergiert. Und die Konvergenz des Produktes ist dann und nur

1) Es genügt, m so zu wählen, daß für n':> m stets | a„ | < 1 ist.

127. §29. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz. 217

dann eine absolute, wenn die der Reihe eine absolute ist. Hat diese die Summe L, so ist überdies

CC r

ir(i + «„) = (i + <'i)---(i+0-^ •

Beweis, a) Ist 77(1 -|- O konvergent, so strebt a^^->0, und es ist also von einer Stelle ab |a^| < 1, etwa für alle n> m. Da ferner die Teilprodukte

gegen einen von 0 verschiedenen (also positiven) Grenzwert U^ streben, so strebt (nach 42, 2)

log p^^ log U^.

logp ist aber die mit dem w*®" Gliede endende Teilsumme der in Rede stehenden Reihe. Diese ist also konvergent mit der Summe L = log U . Wessen U = e^ ist dann also

n{l + aj = {l + a,)...{l+aj-e^.

b) Ist umgekehrt die Reihe konvergent mit der Summe L, so strebt eben \ogp^-^L und folglich (nach 42, l)

, log p L

Pn = ^ " -^e ,

womit auch der zweite Teil des Satzes schon bewiesen ist, da e 4= 0 ist. Daß endlich Reihe und Produkt stets beide zugleich absolut konvergieren, folgt durch Vermittlung des Satzes 7 sofort daraus, daß mit a^->0 nach 112 (b)

|log(l+^J| ^ ^

I a,j I '

strebt. (Hierbei hat man diejenigen Glieder a^, welche etwa =^ 0 sind, einfach außer acht zu lassen.)

So vollständig dieser Satz nun auch das Konvergenzproblem der unendlichen Produkte auf dasjenige der unendlichen Reihen zurück- führt, so läßt dieser Satz doch praktisch deswegen etwas unbefriedigt, weil die direkte Feststellung der Konvergenz einer Reihe der Form ^ log (l -|- (^n) ^^ist mit Schwierigkeiten verknüpft sein wird. Diese Lücke wollen wir, wenigstens teilweise, durch den folgenden Satz ausfüllen :

oSatz 9. Die {bei einem passenden Index begonnene) Reihe ^log (l + ^„) und mit ihr das Produkt 77(1 + a^) ist sicher dann konvergent, wenn ^ a^ konvergiert und 2 a^ absolut konvergiert^).

^) Z ttn^ ist, wenn überhaupt, so sicher absolut konvergent. Wir w^ählen den obigen Wortlaut, damit der Satz auch für komplexe a„ richtig bleibt, für die a„2 nicht > 0 zu sein braucht (vgl. § 57).

218 VII. Kap. Unendliche Produkte.

Beweis. Wir wählen wieder m so, daß für n > m stets |ä„|<| bleibt und betrachten 77(1 -j- aj und 2'log (l + aj erst vom (m -f- l)*^" Gliede an. Setzt man dann

^osil+aj = «. + »„■< oder '"^dy-f.^^^, SO bilden die hierdurch bestimmten Zahlen ^^ sicher eine beschränkte

n

Folge. Denn wegen a^^ -> 0 strebt d'^^ -> — J ^)- Ist also* 2J a^^ und ^\a^\^

konvergent, so ist hiernach auch ^ log (l + ^J und deshalb auch das

Produkt 77(1 + aj konvergent.

Dieser einfache Satz legt noch den folgenden weiteren nahe: o Satz 10. 7s/ -Z aj^ absolut konvergent und für ny- m stets

I a^J < 1 , so stehen die Teilprodukte

n n

Pn=^ II{1 -^ (Jy) und die Teilsummen s^= 2J ^v, {n> m),

m+l m + 1

zueinander in einer solchen Beziehung, daß

' n

ist, daß also der Quotient beider Seiten gegen einen bestimmtest end- lichen und von 0 verschiedenen Grenzwert strebt, — mag 2 a^^ konver- gieren oder divergieren.

Beweis. Benutzen wir die Bezeichnungen des vorigen Beweises, so ist wegen log(l + «J = «„ + "^n'^n ^^^ n > m

v = m + l

wenn in den beiden letzten Exponenten die Summation ebenfalls von y = m -\- 1 bis V = n erstreckt wird.

Und da wegen der Beschränktheit der ^^ mit 2'«^^^ auch Z^^a^^ absolut konvergiert, so kann aus dieser Gleichung sofort die Be- hauptung abgelesen werden.

Bemerkungen und Beispiele.,' 128 1- ^'^^ Bedingungen des Satzes 9 sind nur hinreichend-^ das Produkt

' TI{\~ar) kann konvergieren, auch wenn 2'a„ divergiert. Dann muß aber nach Satz 10 auch 2'! rt„ P divergieren.

OD / \

2. Wendet man Satz 10 auf das (divergente) Produkt ]I[l+-

n = l ^ ■^

ergibt sich aus ihm, daß

^23

ist.

[1 X X^ 1

-- + --— + ...J oder

log (l+x)-x _ _ J_ , ^ _ ,

x^ ~ 2^3 "^" '

Und diejenigen Glieder, welche etwa = 0 sind, dürfen wir hier wieder einfach überspringen, da sie auf die vorliegende Frage keinen Einfluß haben.

X!39. §30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. 219

3, 77^ 1 + ^^ ist konvergent. Seinen Wert findet man zufällig

nA V '^ I

sofort durch Bildung der Teilprodukte ; er ist = 1 .

4- JI\'^-\ — ) divergiert. Aber der Satz 10 lehrt trotzdem, daß

Jl[l-{ — ) '-V/ e \ '^ ^' oder, was nach 2. auf dasselbe hinaus-

kommt, ^^>un^' ist, daß also (s. 40, 5) der Quotient

für jedes (feste) x mit wachsendem n einen bestimmten (endlichen) Grenzwert hat, der auch von 0 verschieden ist, falls x ^ —\, —2, ... genommen wird.

n'

5. 7Z(l ^) ist für jedes x absolut konvergent.

CO /

6. nil-

n=l

§ 30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und unbedingte Konvergenz.

Wir haben mehrfach betont, daß eine unendhche Reihe ^a^ nur ein andres Symbol für die Folge (sj ihrer Teilsummen ist. Ab- gesehen von der Berücksichtigung der Sonderrolle, die die 0 bei der Multiplikation spielt, gilt das entsprechende von den unendlichen Produkten. Daraus folgt, daß man — von jener Rücksicht auf die Rolle der 0 abgesehen — jede Reihe als Produkt und jedes Produkt wird als Reihe schreiben können. Im einzelnen hat dies so zu ge- schehen:

oo

1. Ist 77 (1 + <^n) vorgelegt, so bedeutet dies Produkt, wenn 129,

n=l

gesetzt wird, im wesentlichen die Folge (^J. Diese Folge ihrerseits wird durch die Reihe

P. + ih - /■!) + (^3 - ^.) + • ■ ■ ^ />! + 1 (1 + «l) • • • (1 + «„_l) • «„

n=2

dargestellt. Diese und das vorgelegte Produkt bedeuten also dasselbe, — falls das Produkt im Sinne unserer Definition konvergiert. Dagegen kann die Reihe auch einen Sinn haben, wenn dies beim Produkte nicht der Fall ist (z. B. wenn der Faktor (l -j- a^) = 0 ist und alle übrigen Faktoren = 2 sind).

220 VII. Kap. Unendliche Produkte.

2. Ist umgekehrt die Reihe ^ a^^ vorgelegt, so bedeutet sie die

n = l

n

Folge der s^^^yjUy. Diese selbe Bedeutung hat das Produkt

5o 5o -,-_ S

s^'f^f■■s,•E^^a,•^{l +

^1 ^2 n = 2 ^«-1 n = 2 ^ «i + «ä + • • • H

— falls es überhaupt einen Sinn hat. Und hierzu ist ersichtlich nur nötig, daß alle s^=^ 0 sind. Lediglich wenn s^-> 0 strebt, nennen wir die Reihe konvergent mit der Summe 0, während wir das Produkt als gegen 0 divergierend bezeichnen.

So bedeuten z. B.

genau dasselbe.

Dieser Übergang vom einen zum andern Symbol wird jedoch nur selten für die Untersuchung von Vorteil sein. Der für die Theorie entscheidende Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten wird vielmehr allein durch den Satz 8 hergestellt — bzw. durch den Satz 7, wenn es allein auf die Frage nach absoluter Konvergenz ankommt. Um den Wert dieser Sätze für allgemeine Fragen zu zeigen, beweisen wir noch — als Analogon zu Satz 89, 2 — den folgenden

130. ^ Satz 11. Ein unendliches Produkt 11(1 ~\- a^) ist dann und nur

dann unbedingt konvergent, d. h. es bleibt dann und nur dann bei jeder Umordnung (s. 27, 3) der Faktoren konvergent und zwar mit ungeändertem Werte, wenn es absolut konvergiert^).

Beweis. Diejenigen sicher nur endlich vielen Glieder a , für die I rt^ j ^ I ist, ersetzen wir durch 0. Dann haben wir im Sinne von 27, 4 nur „endlich viele Änderungen" ausgeführt und haben erreicht, daß jetzt alle j ^„ | < | sind. Daher kann die beim Beweise des Satzes 8 benutzte Zahl m = 0 genommen werden. Wir beweisen dann den Satz zunächst für das solchergestalt abgeänderte Produkt.

Jetzt sind aber

77(1 +«„) und Jlogil+aJ

gleichzeitig konvergent oder divergent, und im ersteren Falle gilt für ihre Werte U und L die Beziehung U = e^. Daraus folgt: Eine Umordnung der Faktoren des Produktes wird dasselbe dann und nur

1) U. Dini, Sui prodotti infiniti, Annali di Matern., Bd. (2) 2 (1868), S. 28—38.

J30. Aufgaben zum VII. Kapitel. 221

dann mit ungeändertem Werte U konvergent lassen, wenn die ent- sprechende Umordnung der Reihe auch diese mit ungeändertem Werte konvergent läßt. Dies findet für eine Reihe (bei jeder beliebigen Um- ordnung) dann und nur dann statt, wenn sie absolut konvergiert. Nach Satz 8 gilt also dasselbe für das Produkt.

Wenn man nun vor der Umordnung endlich viele Änderungen vornimmt, diese aber nachher wieder rückgängig macht, so kann dies auf unsere jetzige Frage keinen Einfluß haben. Der Satz ist also für alle Produkte richtig.

Zusatz. Mit Benutzung des erst weiter unten bewiesenen Riemannschen Satzes (§ 44) kann man natürlich genauer sagen: Ist das Produkt nicht absolut konvergent, und ist kein Faktor =0, so kann man durch eine passende Umordnung stets erreichen, daß für das neue Produkt die Folge der Teilprodukte vorgeschriebene Häuftmgs- grenzen >c und ju hat, wofern sie beide das gleiche Vorzeichen haben wie der Wert des vorgelegten Produktes^). Dabei dürfen k und ju auch 0 und + oq sein.

Aufgaben zum VII. Kapitel.

85. Man beweise, daß die folgenden Produkte konvergieren und den angegebenen Wert haben:

* / 2w+l \ _ 1 '

86. Man stelle das Konvergenzverhalten der folgenden Produkte fest:

falls a 4= 1 , - , g- , ... ist.

87. Man zeige, daß 11 cos Xn konvergiert, falls 2\xn\^ konvergiert.

1) Denn ein konvergentes unendliches Produkt hat jedenfalls nur endlich viele negative Faktoren; und deren Anzahl wird durch die Umordnung nicht geändert.

222 Aufgaben zum VII. Kapitel.

88. Das Produkt in Aufg. 86 d hat für positiv-ganzzahlige Werte von a den Wert Y2 . lAnl.: Das bis zum Faktor M— j genommene Teil-

2k

Produkt ist = IJ [l-—) J

v = k+l

89. Im Anschluß an Aufg. 87 zeige man, daß

71 7t Jl 2

cos — • cos -- • cos — . . . = — 4 8 16 jr

ist. (Man erkennt hierin das S. 212, Fußn., genannte Produkt von Vieta.)

90. Man zeige allgemeiner, daß für jedes x

XXX X sin X

COS2-COS-.COSg.COS-... = -^.

, X ^ X ^ X ^ X sh. X

ch -^ • ch - . ch - . ch — . . . = -^ — ,

2 4 8 16 X

in welch letzterer Formel z\\ x = , sh ;»; = ist.

Li Ci

91. Mit Hilfe von Aufg. 90 zeige man, daß die durch die Intervall-

sin t? schachtelung in Aufg. Sc definierte Zahl = — - — y^ ist, wenn ^ als positiver

spitzer Winkel aus cost?=^ bestimmt wird. Ebenso ist die durch Aufg. 8d

definierte Zahl = — — - x. , wenn d aus ch ??■ = ^^- bestimmt wird. V x^

92. Man zeige in ähnlicher Weise, daß die in Aufg. 8 e und f definierten Zahlen die Werte haben

N sh2^ e) ^^ ^1 mit ch^t^ =

yx

,, sin 2 j? . „ n ^1

93. Es ist '-'

1 _ -1 + x{x-a;) _^^^^^(^y x{x-a^)...{x-an-;)

Was folgt daraus für die Reihe und das Produkt, deren Anfänge hier stehen?

94. Man beweise mit Hilfe des Satzes 10 aus § 29, daß

1.3.5...(2»z-l) 1

2-4.6... 2w '^^z- ist.

95. Man zeige ebenso, daß für 0-^x <Cy

x{x-rl){x+2)...{x^n) ^ ^

>'(y-rl)(y + 2) ... (y + n) strebt.

\/

J30^ §31. Problemstellung. 223

96. Man zeige ebenso, daß, wenn a und b positiv sind und An und G„ das arithmetische bzw. geometrische Mittel der n Größen

a, a + &, a + 2&, ..., a + (w-l)&

bedeuten {n = 2,3,4,...),

An e_

strebt.

97. Was läßt sich aus der Konvergenz von 77(1 +a„) und 77(1 + &„) über diejenige von

77(1 +«.)(! +M ^nd -^T+l;

aussagen? (Vgl. 83, 3 und 4.)

98. Es strebe monoton fallend Un->1- Ist dann

1 1

immer konvergent? (Vgl. 82, 10).

99. In Ergänzung zu § 29, Satz 9, beweise man, daß 77(1 +«„) sicher konvergiert, wenn die beiden Reihen

^•(«„-i««^) und Zlani' konvergieren. — Wie läßt sich dies verallgemeinern? — Andrerseits zeige man an dem Beispiel des Produktes '

bei dem i < a < -| sein soll, daß 77(1 +a„) konvergieren kann, selbst wenn die Reihen 2'a„ und 2'a„^ beide divergieren.

VIII. Kapitel.

Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme.

! § 31. Problemstellung.

Im III. und IV. Kapitel haben wir uns hauptsächlich mit dem i^roblem A, der Konvergenzfrage, beschäftigt und erst in den letzten Kapiteln haben wir gleichzeitig die Reihensumme mit in Betracht gezogen. Diesen letzteren Gesichtspunkt wollen wir nun in den Vordergrund stellen. Doch ist es in Ergänzung unserer Ausführungen von S. 74/75 und 100/101 nötig, sich noch einmal die Bedeutung der dabei in Betracht kommenden Fragen klarzumachen. Hat man z. B. die Gleichung 122

I 4 3^57^-

bewiesen, so kann man ihren Inhalt auf zweierlei Art deuten. Ein- mal sagt sie uns, daß die Summe der rechtsstehenden Reihe den

m

1

224 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Wert -- hat, also der vierte Teil einer Zahl ist^), die in sehr vielen

andern Zusammenhängen auftritt und von der. auch ein jeder an- genäherte Werte kennt. In diesem Sinne mag man wohl sagen, daß wir die Summe der obigen Reihe haben angeben können. Das gilt aber doch nur sehr bedingt; denn die Zahl n kann auf keine Weise (vgl. S. 18) vollständig hingeschrieben werden, — außer durch eine Intervallschachtelung oder ein äquivalentes Symbol. Ein solches liegt aber gerade in der Reihe, also dem in der obigen Gleichung rechts stehen- den Ausdruck vor. Daher können wir von ihr auch gerade umgekehrt sagen: Sie liefert eine (sehr einfache) Darstellung der Zahl n durch eine Reihe, d. h. also durch eine konvergente Zahlenfolge, — die hier sogar besonders durchsichtig ist und (nach 69, l) auch unmittelbar als. Intervallschachtelung geschrieben werden kann^).

Ganz anders liegt der Fall bei der Gleichung (vgl. 68, 2^)

Hier sind wir mit der Feststellung, daß die Summe der Reihe = 1 ist, vollständig befriedigt, da uns eben die Zahl 1 (und ebenso jede rationale Zahl) restlos in die Hände gegeben werden kann. Hier werden wir also mit vollem Rechte sagen, daß wir die Reihensumme geschlossen ausgewertet haben. In allen andern Fällen aber, in denen also die Reihensumme keine rationale Zahl ist oder jedenfalls nicht als solche erkannt wird^), kann von einer geschlossenen Auswertung der Reihensumme im strengen Sinne nicht geredet werden.' Hier wird umgekehrt die Reihe als ein (mehr oder weniger vollkommenes") Mittel angesehen werden müssen, eine Darstellung und also ratio- nale Näherungswerte für die Reihensumme zu bekommen. Indem wir uns diese dann herstellen (gewöhnlich in Dezimalbruchform) und die ihnen noch anhaftenden Fehler abschätzen, sprachen wir von einer numerischen Auswertung der Reihensumme.

Wenn endlich, wie in dem obigen Falle der Reihe für — fest- gestellt wird, daß die Reihensumme eine Zahl ist, die zu einer iri andern Zusammenhängen auftretenden Zahl in einfacher oder jeden-^

1) In älteren Zeiten, in denen man alle diese Dinge mehr geometriscü te, sah mi

benen Quadrat.

2) Nämlic;

setzt wird, (w = 2, 3, . . .)

3) Haben wir z. B. festgestellt, daß eine Reihensumme =2^^ ist, wissen wir nicht, ob das eine rationale Zahl ist oder nicht.

deutete, sah man in -- stets das Verhältnis der Kreisfläche zum umgeschrie-

4 V

^) Nämlich: Y = (^2;ih2Ä+i)' ^^^^ '^'^^'~\'^\'^"'^Kn-\ ^^'

1

r

130. §31. Problemstellung. 225

falls angebbarer Beziehung steht — so folgt doch z. B. aus 122 und 124, daß

st, — so werden wir auch eine solche Feststellung im allgemeinen begrüßen, da sie eine Verbindung zwischen vorher getrennten Er- gebnissen herstellt. Man pflegt auch in solchen Fällen — wenn auch in übertragenem Sinne — von einer geschlossenen Auswertung der Reihensumme zu sprechen; denn man pflegt aus dem andern Zu- sammenhange her die betreffende Zahl dann als „bekannt" anzusehen und kann nun mit ihrer Hilfe auch die neue Reihensumme „ge- schlossen" angeben. Doch hüte man sich da vor Selbsttäuschung. Hat man z. B. festgestellt (s. S. 203), daß die Summe der Reihe

1 4-i_ ^1^1 1 \ 1-3-5 1 , "^ 2 ' 50 "^ 2-4 * 50'^ "^ 2.4-6 ' 503 + • • •

gleich -^- V2 ist, so ist damit die Summe der Reihe doch nur in

sehr bedingtem Sinne „geschlossen ausgewertet". Denn y2 ist uns an und für sich nicht besser bekannt als die Summe irgendeiner konvergenten Reihe. Nur weil y2 noch in vielen hundert andern Zusammenhängen auftritt und für praktische Zwecke schon oft nume- risch berechnet worden ist, pflegen wir ihren Wert als fast ebenso „bekannt" anzusehen, wie irgendeine hingeschriebene rationale Zahl. Nehmen wir aber statt der obigen etwa die folgende binomische Reihe

2 1 "+~ 5 ■ 1000 5.10 ' lööö^ + sTiö'Tö ' iöö¥ ~ •■••}

5,

und hat man gefunden, daß ihre Summe = y 100 ist, so werden wir schon weniger geneigt sein, hierdurch die Summe als festgestellt anzusehen; vielmehr werden wir die Reihe als ein recht brauchbares

5

Mittel zur genaueren Berechnung von y 100 begrüßen, die auf andre Weise nicht so leicht durchzuführen wäre. M. a. W. : Von den wenigen Fällen abgesehen, wo wir als Reihensumme eine bestimmte rationale Zahl angeben können, wird das Schwergewicht des Interesses an einer Gleichung der Form „s = 2 a^^" je nach Lage des Falles auf der rechten oder auf der linken Seite der Gleichung liegen. Dürfen wir s aus andern Zusammenhängen her als bekannt ansehen, so werden wir auch jetzt noch (in übertragenem Sinne) sagen: Wir hätten die Reihensumme geschlossen ausgewertet. Ist das nicht der Fall, so werden wir sagen: die Reihe sei ein Mittel zur Berechnung der (durch sie definierten) Zahl 5. (Selbstverständlich können beide Gesichtspunkte auch bei einer und derselben Gleichung zur Geltung

Knopp, Unendliche Reihen. 15

226 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

kommen.) In dem ersten der beiden Fälle sind wir sozusagen fertig, da dann auch das Problem B (s. S. 101 ) in einer uns befriedigen- den Form gelöst ist. In dem zweiten Fall dagegen beginnt nun eine neue Aufgabe, nämlich die der tatsächlichen Herstellung der durch die Reihe gelieferten Näherungswerte ihrer Summe in übersichtHcher Form, also etwa — das wird uns das erwünschteste sein — in (end- lichen) Dezimalbrüchen, und die Abschätzung der diesen Näherungs- werten noch anhaftenden Fehler.

§ 32. Geschlossene Auswertung der Reihensumme.

1. Unmittelbare Auswertung. Es ist natürUch leicht, sich Reihen zu bilden, die eine vorgeschriebene Summe haben. Denn soll s diese Summe sein, so konstruiere man sich nach einem der vielen Ver- fahren, die wir nun kennen, eine gegen s konvergierende Zahlen- folge (sj und setze die Reihe

So + (^1 - ^o) + (^2 - 5l) + • • • + (^« - ^n-l) + • • •

an. Da deren n*« Teilsumme ersichtUch gerade = s„ ist, so ist diese Reihe konvergent mit der Summe s. In diesem einfachen Verfahren hat man eine unerschöpfliche Quelle zur Herstellung von Reihen, die man geschlossen summieren kann; z. B. braucht man nur eine der vielen uns bekannten Nullfolgen (a;J zu nehmen und s^^ = s — x^ zu setzen, w = 0, 1, 2, . . . .

Beispiele für Reihen mit der Summe 1. ^m; " 1-2 2.3^3.4 4-5 ,

2M-fl ^^

. / ^-f 1 Y ^8n^ + 3n-fl

usw.

7. Multipliziert man die Glieder einer dieser Reihen mit 5, so erhält man eine konvergente Reihe mit der Summe s.

Die Herstellung solcher Beispiele ist nicht überflüssig, da wir sehen werden, daß ein großer Vorrai an Reihen mit bekannter Summe für die Be- handlung weiterer Reihen vorteilhaft ist.

133. §32. Geschlossene Auswertung der Reihensumme. 227

Kehren wir das eben behandelte Prinzip um, so haben wir den

00

oSatz. Ist ^ a^ vorgelegt und gelingt es, das Glied a in ^^y 131, «=o "

■ Form a^^ x^ — x^_^^ darzustellen , in der x^ das Glied einer kon- vergenten Folge mit dem bekannten Grenzwert ^ ist, so läßt sich die * Summe der Reihe angeben, denn es ist

2" ^n = ^0 - ^' n=0

Beweis. Es ist

K = K - ^i) + (^1 - ^J + • • • + {\ - ^„+J woraus wegen x^->i sofort die Behauptung folgt.

Xq x^

Beispiele. 132»

— 1, — 2, . . . verschiedene reelle Zahl,

^ 1 ^ . .. r 1 1 1

A 7 — , — r-7 — ; — :7^ = — , da hier a„ =

„^o(a + w)(a + w-f 1) a' '* La + w oi + ni-l]-

1. Ist a irgendeine von 0, -1, -2, ... verschiedene reelle Zahl, so ist (s. 68, 2^)

da jetzt

2. Ebenso ist

CO

y ^

n^o (^ + w) (a + tz + 1) (oc + w + 2) 2 a (a + 1) '

CO 1 1

^ ^ 1 r 1 1 1

'^ 2 L(a + w)(a + w + l) (a + w-M)(a + w-f 2)J '

3. Allgemein findet man für jede natürliche Zahl p J. 1 ^ 1_ 1

n=o (°^ + ^) (^ + ^ + 1) • • • (ot + ^ + Z') > a (a + 1)": . . (a + ^ - 1)

4. Für a = ^ findet man z. B. aus 2.

1 +.,^+_l_+._i

1.4.7 "^4. 7. 10 ^7- 10-13"^ 24"

5. Für a = 1 liefert uns das 3. Beispiel 1 1 1 °° 1 1

r"2T:7(r+l) + 2.3...(/. + 2) + ---==^^ '''^^' j;^7^qr^-pr = ^

Etwas allgemeiner hat man den

oSatz. Ist in Z a^ das Glied a^ in der Form x^ — Xn+q dar- l^S, stellbar, in der x^ das Glied einer konvergenten Folge mit dem be- kannten Grenzwert | ist und q eine feste natürliche Zahl bedeutet, so ist

IJ^n=^0+^l + ^^'+Xq-l~qi^ Beweis. Es ist für w > ^

5« = (^0 - ^g) + (^1 - Xg + i) + . . . + (^^_i - :V2^-l) + (Xq - X2g)

-\- ...-{- [X^ — Xn + q) = K + ^1 + • • • + Xq-i) - {Xn + 1 + Xn + 2 + • • • + Xn + q) ,

woraus wegen x^->i (nach 41, 8) sofort die Behauptung folgt.

15*

228 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Beispiele.

1 1 fl 1

n=0

^' ^ {<K + n){(X.i-n+g) ^ Va "^ a -f 1 "^ " ' " a+^-l

da hier

a _1 f 1 1

" q \(X.-\-n OL + n +q

2. Für a = 1 und q = 2. hat man hiernach für OL = l und ^ = 3 ebenso

3. Etwas allgemeiner hat man, wenn neben q auch k eine feste natürliche Zahl bedeutet

p l = J- 'y 1 ^=_ .

;^o(<X. + n){oc + n+q)...((X.'\-n + kq) kq ^^ (^^^r){(X.-^v + q) ...(oii-vi-k-lq)

4. Für a = |, g = 2, ä = 2 findet man so

1.5-9 ' 3-7-11 ' 5-913 420

Verallgemeinern wir die hierbei angewendeten Kunstgriffe ein wenig, so gelangen wir schließlich zu dem folgenden wesenthch weitergehenden

134. oSatz. Sind die Glieder einer Reihe Z a^^ für jedes n in der Form

^n = ^l^n+l + ^2^n+2 + • • • + ^fe^n+fc' (^ ^ 2, feSt\

darstellbar, hei der (a:J eine konvergente Zahlenfolge mit dem be- kannten Grenzwert | bedeuten soll und die Koeffizienten cx der Be- dingung q +^2 + ... +c^ = 0 genügen, so ist 2 a^ konvergent und

+ (c, + 2f3+... + ^^lc,)|.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar, wenn man zeilenweise die Werte von a^, a^,...,a^ so untereinander schreibt, daß die Glieder mit demselben Xy in ein und derselben Spalte zu stehen kommen. Addiert man dann spaltenweise — was hier auch ohne den großen Umordnungssatz sofort erlaubt ist — und berücksichtigt die Bedin- gung, der die c;. genügen sollen, so ergibt sich

i; «„ = ^ (^1 + ^2 + • • • + ^^)^^- + ^ (^^ + 1 + • • • + Cfc)^m+;. + l . n=0 A=l ''—1

also wieder ein Ausdruck mit einer festen Anzahl von Summanden. Für m-^oo erhält man dann sofort die behauptete Gleichung.

134. § 32, Geschlossene Auswertung der Reihensumme. 229

Beispiele.

^' ^« "" fi^l ' * = 2' '^1^-'^ 1 ^2=+! liefert

2.5^5.10 + 10.17+ ^K + 1)(^TT^ + 1)^ 2'

00 i 1*/1 1\13

J'o(3>e + l)(3t. + 10) =^"2T„^U| + »^ + l "-1 + ^ + 47 = 84' und diese Beispiele lassen sich natürlich leicht beliebig vermehren.

2. Anwendung der elementaren Funktionen. Mit diesen wenigen soeben gegebenen Sätzen haben wir im großen und ganzen die Typen derjenigen Reihen kennen gelernt, die man ohne tiefer gehende Kunstgriffe geschlossen summieren kann.

Bei weitem die meisten der bei allen Anwendungen auftretenden Reihen sind solche, die sich für spezielle Werte von x aus den Reihen- entwicklungen der elementaren Funktionen und den verschiedensten Umformungen, Zusammensetzungen und anderweitigen Folgerungen aus ihnen ergeben. Die Fülle der Beispiele geschlossener Summation, die auf diese Weise gewonnen werden können, ist unübersehbar. Wir müssen uns damit begnügen, den Leser auf die Durchrechnung der für diesen Zweck besonders zahlreich zusammengestellten Auf- gaben zum VIII. Kapitel hinzuweisen, die ihn mit den hauptsäch- lichsten dabei in Frage kommenden Kunstgriffen vertraut machen wird. Die weiteren Ausführungen dieses und des nächsten Para- graphen werden noch weitere Anleitung dazu geben. Hier bemerken wir nur generell, daß man einer vorgelegten Reihe ^a^^ oft dadurch beikommt, daß man ihre Glieder in zwei oder mehr Summanden zerlegt, die einzeln wieder konvergente Reihen liefern; oder dadurch, daß man zu 2Ja^^ eine andere Reihe mit bekannter Summe gliedweis addiert oder sie von ihr subtrahiert. Insbesondere wird, wenn a eine rationale Funktion von n ist, die Partialhruchzerlegung häufig gute Dienste leisten.

3. Anwendung des Abelsch^n Grenzwertsatzes. Ein andrer prin- zipiell sehr wichtiger Weg zur Auswertung einer Reihensumme, der im Prinzip von den soeben angedeuteten Wegen abweicht, aber wegen 101 meist aufs engste mit ihnen verbunden bleibt, besteht in der Anwendung des ^.ö^Zschen Grenzwertsatzes. Liegt die konvergente Reihe 2 a^ vor, so ist die Potenzreihe f(x) =^ 2 a^x^ mindestens für — 1 < ^ ^ + 1 konvergent und nach 101 ist daher

Za^^ = lim f(^x).

a;->1-0

Ist nun die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion f(x) soweit bekannt, daß man diesen letzteren Grenzwert angeben kann, so ist die Auswertung der Reihensumme geleistet. Hierzu bieten die Ent-

230 VIII. Kap. Auswertung^ der Reihensumme.

Wicklungen des VI. Kapitels eine breite Grundlage und dort haben wir auch schon mehrfach den Abelschen Grenzwertsatz in dem jetzigen Sinne benutzt.

Nachstehend geben wir nur noch einige naheliegende Beispiele und verweisen im übrigen auf die diesem Kapitel angehängten Auf- gaben. 135« Beispiele. Neben den uns schon bekannten Reihen

1- 1 ^^= li«^ 1 (-1)"^-T= ^'"^ log (1 -f- AT) = log 2,

2. y ^ — ^^ = lim y (- 1)« = lim arctg x = -

hat man

3. V-^'^^ lim U_-- + ----f... . Die in der Klammer n=ü3»« + l ;,.^i_oV 4 7 /

stehende Funktion hat aber die Ableitung (\ — x^ -r x^ — -{-...) = v-j^^ und ist

L -j- X

also die Funktion (s. § 19, Def. 12)

Ji

dx 1 , {xi-lf , 1 ^ 2;tr-l

= — logf -^^ — ■ — — = arctg — -=— .

1 + x^ 6 ^ x^-x+l^ J^ ^ /3

Hiernach ist die Summe der vorgelegten Reihe = — log 2 H — .

^ 6 Y 3

4. Ähnlich findet man (s. § 19, Def. 12).

ii=i);- =.1-1+1-^,+. ..=|v/^[-fiog(3+/2)].

^^4m + 1 o 9 13 ö

Für die weiteren analog gebildeten Reihen werden die Formeln natürlich immer verwickelter.

4. Anwendung des großen Umordnungssatzes. Theoretisch und praktisch gleich bedeutungsvoll ist die Anwendung des großen Um- ordnungssatzes für unsere jetzige Frage. Wir erläutern seine An- wendung gleich an einem der wichtigsten Fälle; weitere Beispiele bieten wieder die Aufgaben.

In 115 und 117 hatten wir zwei ganz verschiedene Entwick- lungen der Funktion ctg erhalten, die beide jedenfalls für alle hin- reichend kleinen \x\ gelten. Ersetzen wir in der ersten von ihnen x durch 71 X, so muß also für solche x

1 + i (- ir2^i^-(^^)^" -= 1 -~^k^^

n^l ^ (2^)1 k = l^ -^

sein. Jedes Glied der Reihe rechts läßt sich nun offenbar nach Potenzen von X entwickeln

2x

A2.

2 Ah) {k-^-=l,2,...festl)

Das wären die Reihen ^(*) des großen Umordnungssatzes; und da sich dessen Reihen C^*) hier ersichtlich nur durch das Vorzeichen

130. § ^2. Geschlossene Auswertung- der Reihensumme. 231

von den z^^^ unterscheiden, so sind die Voraussetzungen jenes Satzes alle erfüllt und wir können spaltenweis addieren. Dabei wird der Koeffizient von x^^ auf der rechten Seite

= -2i-^^ (^fest!)

und da er nach 97 mit dem auf der linken Seite übereinstimmen muß, so haben wir das wichtige Ergebnis, bei dem wir den Summations- buchstaben nun wieder mit n bezeichnen wollen

ntin'^ ^ ' 2(21»)! ' iP*est.ji36,

durch das die Reihen

geschlossen ausgewertet sind, denn die Zahl ji und die (rationalen) Bernoullischcn Zahlen dürfen wir als bekannt ansehen. Speziell haben wir:

n^in2~6' nri^*~90' ^tln«~945 '

Es ist nicht überflüssig, sich einmal genau zu vergegenwärtigen, was alles nötig war, um auch nur das erste dieser schönen Ergebnisse zu zeitigen^). Man wird finden, daß dazu ein sehr erheblicher Bruch- teil unserer gesamten bisherigen Untersuchungen erforderlich ist.

^) Ganz nebenbei ergibt die Formel 136, daß die Bernoullischen Zahlen B^^ abwechselnde Vorzeichen haben und daß (— l)^~^52n positiv ist. Ferner auch, daß die Bernoullischen Zahlen mit wachsendem Index außerordentlich

stark wachsen; denn da für jedes n der Wert ^-^— zwischen 1 und 2 gelegen

ist, so ist

o2(2«)! , j„_i3 2(2»)!

woraus noch weiter folgt, daß

-f cx) strebt. Da endlich die obige B2n

Umformung für [Ar] «<1 galt, so ergibt sich aus dieser Betrachtung auch noch, daß die Reihe 115 sicher für \x\ <C^ absolut konvergiert. Da sie für | ;«; | > jr sicher nicht mehr konvergent sein kann (denn nach 98, 2 müßte dann ctg;»; in X = jt stetig sein, was doch nicht der Fall ist), so hat 115 genau den

Radius jt. Hiernach folgt dann, daß 116 den Radius— hat.

Z

2) Um die Summe der Reihe l+x+Q' + Tß + **" ^" finden, haben sich

Jak. und Joh. Bernoulli aufs äußerste bemüht. Ersterer hat die Lösung des Problems nicht mehr erlebt, die erst durch L. Euler im Jahre 1736 gefunden wurde. Joh. Bernoulli, dem sie dann bald bekannt wurde, sagt dazu (Werke, Bd. 4, S. 22): Atque ita satisfactum est ardenti desiderio Fratris mei, qui agnos-

232 VlII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Damit hätten wir die Summen aller harmonischen Reihen mit geraden ganzzahligen Exponenten ermittelt; von den Summen dieser Reihen bei ungeraden Exponenten (> l) weiß man zur Zeit nichts,

d. h. es ist bisher nicht gelungen, diese Summen (also z. B. ^~)

mit irgendwelchen in anderen Zusammenhängen auftretenden Zahlen in Verbindung zu bringen. (Ihrer beliebig genauen numerischen Be- rechnung steht natürlich nichts im Wege; s. § 35^). Dagegen kann man aus unsern Ergebnissen noch leicht die folgenden herleiten: Es ist

y -t-= y ^^ i y _i .

1 "^ 1

Hier ist aber die letzte Reihe nichts anderes als ^ y — . Ziehen

wir diese ab, so haben wir

" ' =(l--^ y ^

n^ii2n-lfP V 2'P^n^in'P

oder also

137. 1 _!- ^ + 1 _^ . . . _ (_ 1)^-1 .f'^~^, B.^Ji''p.

g22> ' ^2p ' \ / 2 (2 p) ! -^

Für ^ = 1, 2, 3, . . . liefert dies ganz speziell die Summen

jr^ Jt* TT«

8 ' 96 ' 960 ' ■ ' ■

Subtrahieren wir die eben abgezogene Reihe noch einmal, so er- halten wir

oder also

138. l--^^ + -L-J-+-... = (-ir>i^j^B,,..,^..

Für ^ = 1, 2, 3, . . . liefert dies speziell die Summen

12^ ' 720^ ' 30240 ^' ' '" Aber auch hier weiß man von den entsprechenden Reihen mit un- geraden Exponenten nichts. — Die beiden letzten Ergebnisse hätte

cens summae huius pervestigfationem difficilorem quam quis putavent, ingenue fassus est omnem suam industriam fuisse elusam . . . Utinam Frater superstes esset! Ein zweiter, ganz andrer Beweis wird in 156, ein dritter in 210 gegeben.

00 1

^) T. /. Stieltjes (Tables des valeurs des sommes 5]^ = 2J f^, Acta mathe-

matica, Bd. 10 (1887), S. 299) hat die Summen dieser Reihen bis zum Expo- nenten 70 auf je 32 Dezimalen genau berechnet.

139. § 32. Geschlossene Auswertung der Reihensumme. 233

man natürlich auch gewonnen, wenn man die Partialbruchzerlegung

von tg oder -r- ebenso behandek hätte wie eben diejenige von ctg.

Zu neuen Ergebnissen gelangen wir noch, wenn wir dasselbe mit der

Partialbruchzerlegung 118 für — machen, also mit

^ _ _J 3_ b - (-ir(2v + l)

4cos— ^'~'^' ^'-^'~^^'-^' ~^"' ,ti (2^ + 1)^-^2-

Das r*® Glied liefert hier die Potenzreihe

OD ^2ä

so daß nach der Umordnung der Koeffizient von x^^ lautet:

y (-1)" • - 1 _ _L_ . J_^ _ _L

;i (2 V +1)2^+1 3^^+^ ' 5^^+^

in für den Augenb

^1 + ^3 ^'"^ + ^ö ^^ + • •

Bezeichnen wir diese Summen für den Augenblick mit 02^+1, so ist also

4cos-^

oder

~ = ^ ["x + ''3 (^r + ''., (vT +

Diese Potenzreihe kann nun andrerseits unmittelbar durch Division gewonnen werden und ihre Koeffizienten also — genau wie in 105, 5 die Bernoullischen Zahlen — durch einfache Rekursionsformeln ge- wonnen werden. Man schreibt gewöhnlich

so daß

ist. Dies liefert E^^ = 1 und für n^l die Rekursionsformeln, die man nach Multiplikation mit (^2 n)\ so schreiben kann:

JE,,,+ [^^) !!,„.,+ [^f)i:,„^,+ ... + X!,^0, 189.

oder noch kürzer in symbolischer Schreibweise (vgl. 106)

die nun für alle Ä > 1 gilt.

^) Die hierdurch bestimmten (übrigens ganzen rationalen) Zahlen bezeichnet man meist als Euler sehe Zahlen, Die ersten 30 dieser Zahlen hat W. Scherk, Mathem. Abb., Berlin 1825, berechnet.

234 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Aus ihnen findet man mühelos

E, = E, = E, = ... = 0 und

^^=1, E,= -l, E^ = h, E^=-Ql, Eg = 1385, ...

Mit diesen Zahlen, die wir mit vollem Recht als bekannt ansehen dürfen, hat man dann endlich

{2p)\ IT^^^ + i*

d.h.

140. 1 ^ I ^ \- ^i—W ^^ :t2^+i.

Für ^ = 0, 1, 2,, 3, ... liefert dies ganz speziell die Summen 1 1_ 3 _5_ 5 61 . -

4 ^' 32^ ' 1536^ ' 2^2.45^ ' •••

§ 33. Reihentransformationen.

Im vorigen Paragraphen haben wir einige der wichtigsten Typen von Reihen kennen gelernt, die man geschlossen — im engeren und im weiteren Sinne — summieren kann. Bei den letzten schon recht tiefgehenden Auswertungen spielte der große Umordnungssatz eine wesentliche Rolle, da durch ihn die ursprünglich vorgelegte Reihe sozusagen in eine ganz andre verwandelt wurde, die uns dann weitere Aufschlüsse vermittelte. Es handelt sich also im wesentlichen um eine spezielle Reihentransformation^). Solche Umformungen sind häufig von größtem Nutzen, und zwar für die im nächsten Paragraphen zu be- sprechenden numerischen Auswertungen noch mehr als für die ge- schlossene Summierung. Ihnen wollen wir uns jetzt zuwenden, und wir beginnen sogleich mit einer allgemeineren Auffassung der durch den großen Umordnungssatz bewirkten Reihentransformation, die wir im vorigen Paragraphen schon mit Vorteil mehrfach verwendeten:

CO

Es sei die konvergente Reihe ^. z^^^ vorgelegt und es werde auf

irgendeine Weise (z. B. nach § 32, S. 226) jedes Glied derselben durch eine unendliche Reihe dargestellt:

^(0) = «(0) _|_ ^(0) _^ ^(0) _|_ . . . 4_ ^W -}- . . .

(A)

r.(l)

zik) = ^w _}_ ß(Ä) ^ ^(Ä) -i- . . . 4- «(f) +

1) Solche Transformationen sind zuerst von /. Stirling (Methodus diffe- rentiales, London 1730) angegeben worden und beruhen bei ihm auf ähnlichen Grundgedanken wie die obigen, nur daß die Prüfung der Gültigkeitsbedingungen noch fehlt.

X41, §33. Reihentransformationen. 235

Wir wollen ferner annehmen, daß in diesem Schema auch die Spalten konvergente Reihen bilden, und ihre Summen mit s^^\ s^'^\ . . . , s^^\ . . . bezeichnen. Unter welchen Bedingungen dürfen wir dann erwarten,

daß die aus diesen Zahlen gebildete Reihe ^s^") konvergiert und daß

M = 0

k=0 n=0

ist? Ist diese Gleichung richtig, so hätten wir jedenfalls eine Trans- formation der vorgelegten Reihe ausgeführt. Der große Umordnungs- Satz liefert sofort den

^Satz. Wenn die in den Zeilen des Schemas (A) stehenden Reihen 141.

absolut konvergieren und wenn — unter t^*^ die Summe ^l<^Jf^| der

n=0

Beträge der Glieder einer Zeile verstanden — auch 2!^^^^ noch kon- vergiert, so ist ^s^**^ konvergent und =2z^^\

Das ist der Satz, den wir im vorigen Paragraphen mehrfach verwendet haben. Es entsteht aber die Frage, ob er nicht unnötig viel verlangt, und ob die Transformation nicht unter viel geringeren Voraussetzungen richtig ist.

A. A. Marko ff ^) hat in dieser Richtung einen sehr weitgehenden Satz bewiesen. Er setzt zunächst nur voraus, daß außer der Ausgangs- reihe auch die einzelnen Spalten im Schema (A) konvergieren, daß also die s^*) wohlbestimmte Werte haben. Mit

oo

Jjz^^^ und yja'^^^ konvergiert dann auch ^Ji^^^^ ~ ^cfO'

k=0 k=0 k=0

und ebenso konvergiert dann, wenn m irgendeine feste Zahl ist, die Reihe

^(^(Ä) _ ai^) -af~...- «W_J {m fest).

Die Glieder dieser Reihe sind aber nichts anderes als die Reste der in den einzelnen Zeilen stehenden Reihen, jedesmal mit dem w*^° Glied derselben beginnend^). Setzen wir diese Reste zur Abkürzung = r^^), so daß also

fik) = j; a^k) (y^ i^ind m fest)

ist, so ist die Reihe

2r^^ = -R™ [^ fest)

Ä = 0

^) Memoire sur la transformation des series (Mem. de l'Acad. Imp. de St. Petersbourg, Bd. (7) 37 (1891).

2) Für w = 0 wollen wir darunter natürlich die ganze Reihe, also verstanden wissen.

236 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme,

konvergent. Dann wird nun weiter verlangt, daß für m-^oo

Strebt. Unter diesen Voraussetzungen läßt sich zeigen, daß ^s^") kon- vergiert und = ^2:<*) ist. Es gilt also der folgende Satz:

14S. '^ MarTcoffsche Reihentransformation, Es sei die konvergente

00

Reihe ^ z'^^^ vorgelegt und jedes ihrer Glieder seinerseits durch eine

k = 0

konvergente Reihe

(A) 2(*) = rt(f) + «f ) + . . . + a(^*) + . . . , (;^ = 0, 1, 2, . . .)

dargestellt. Es seien die einzelnen Spalten ^ a'^^^ des hierdiirch ent-

stehenden Schemas (A) konvergent imd = s^^\ n = 0,1,2, ... , so daß auch die Zeilenreste

eine konvergente Reihe

^C^'-K (mfest)

bilden, und es strebe endlich mit wachsendem m diese Zahl

Dann bilden auch die Spaltensummen eine konvergente Reihe Z s^^^\ und es ist

n=0 fc=0

Der Beweis ist äußerst einfach. Es ist

^(k) ^ y(Ä) _ y{k) r ^ = 0, 1, 2, . . .

^+1 lw = 0, 1, 2, ...

und also der Spaltenanfang der n^^^ Spalte

<•+<"+•••+<" = K"'+ '■'»•+••■+ 1f) - i'Zi+'iii+-+'^W-

Rechts stehen jetzt die Anfänge zweier nach Voraussetzung konver- genter Reihen. Lassen wir also q über alle Grenzen wachsen, so folgt sofort für festes n

y;ai^ = s^-^ = Rn-Rn+i-

Hiernach ist aber

was nach der zweiten Voraussetzung die Konvergenz der Reihe 2's^'* zur Folge hat und für ihren Wert

n = 0

X43. §^3- Reihentransformationen. 237

00 00

liefert. R^ ist aber nichts anderes als ^J'^o^ "= ^-^^^^ womit schon

k = 0 k=0

alles bewiesen ist.

B. Der Vorteil der M arkoff sehen Transformation gegenüber Satz 141 besteht natürlich darin, daß bei ihr nirgends von absoluter Konvergenz die Rede ist, sondern allenthalben nur die Konvergenz schlechtweg vorausgesetzt wird. Sie gestattet viele fruchtbare Anwendungen; auf diejenigen zur numerischen Be- rechnung gehen wir in § 35 ein, und geben hier eine ihrer schönsten, die in der Herleitung einer schon von Euler'^) — natürlich ohne Konvergenzbetrach- tungen — angegebenen Transformation besteht.

Da man dabei mit Vorteil von den Bezeichnungen der Differenzenrech- nung Gebrauch macht, wollen wir diese zunächst kurz erläutern. Ist (xq , x^^, x.^, . . .) irgendeine Zahlenfolge, so nennt man

^0 ~ ^1 » ^1 ~ ^2 ' • • • 5 '^Ä ~~ ^Ä + 1 ' • ■ •

die Folge ihrer ersten Differenzen und bezeichnet sie mit

Axq, Axj^, ..., Axk, ... Die ersten Differenzen dieser Folge, also die Größen Ax^— A x^^ , ^, k =0,1,2, .. ., nennt man die Folge der zweiten Differenzen von (Ar„) und bezeichnet sie mit A^Xq, A^ x^, ... Allgemein setzt man für w^l

A-^^x, = A-x^-A^x,^^ (Ä = 0,l,2,...),

und diese Formeln gelten auch schon für w = 0 , wenn man übereinkommt» unter A^ x^ die Zahl x^ selber zu verstehen. Es ist vorteilhaft, eine Folge (xh) und ihre Differenzenfolge zeilenweis so untereinander zu schreiben, daß jede Differenz unter der Lücke der Glieder steht, deren Differenz sie ist. So ent- steht das Schema

Axq, Ax^^ Ax.2,

(A) A'x„ A^x,, A''

A^x„ A'x,,

Wir wollen noch A" x^ durch die Glieder der gegebenen Folge ausdrücken. Man findet sofort

^'^Ä= ^^Ä- ^^yfe + l ■-= (^Ä- ^Ä + l) - (^Ä + 1 -^yfe+2)

und ebenso leicht

SO daß die Formel

^" »'* = «^* - ( 1 ) «'fc + i - ( 2 ) '^fc+ä - + ■ • • + (- 1)" («) «''t + n 148.

bei festem k für n = 1, 2, S bewiesen ist. Hieraus folgt ihre Richtigkeit all- gemein durch Induktion. Denn ist 143 schon für die natürliche Zahl n be- wiesen, so folgt für die nächstgrößere A-+^Xf^=A-x^-A-Xf^^^

=-.- (1) -.-M + (2) -.^+2 -+•••+(- 1)" (:) -.-,1

^) Institutiones calculi differentialis, 1755, S. 281.

238 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

und hieraus durch Addition — wegen T ) + ( Zij==[~^) — sofort die für n-\-l statt n angesetzte Formel 143 . Damit ist diese allgemein bewiesen. Unter Benutzung dieser einfachen Bezeichnungen und Tatsachen gilt nun der folgende Satz :

144. o Eulersche Reihentransformation, Ist

S {-\f ük - a^- a^-^ a^- + . . . eine beliebige konvergente Reihe^), so ist stets

OD OD /<»*/»„

— die neue Reihe konvergiert also stets und hat dieselbe Summe wie die vor- gelegte'^.

Beweis. Wir setzen

Dann ist, wenn wir bei festem k über n (also die Glieder der ^ten Zeile) summieren, (nach 131)

i «f = (- 1)' p ^'^u = (- l)'«fc (Ä fest) ,

n-O '^

denn

hm — lim — ^—^ ^—^

n->-aoZ n->oo ^l

ist nach 44,8 gleich 0, da ja a^, — «;^,i, ^;^+2'-'- eine Nullfolge bildet. Es liefert also (a) die Darstellung der einzelnen Glieder der vorgelegten Reihe 2'(— 1) «fc durch unendliche Reihen. Summieren wir nun die w^e Spalte, so bekommen wir die Reihe

Ä = 0

1 ,« 1 J«+l

~^A a^ ~r. A ar

(m fest) ;

deren allgemeines Glied kann aber, wegen A" a^ — A" a^ — '/l" a^_(.i in die Form

k

n+X

2

A aj^-^A a^^^

2nVx[(-l)'^"«^-(-l)'^'^''^Ä+i]

gebracht werden, so daß nun die in Rede stehende Reihe wieder nach 131 ganz einfach summiert werden kann. Wir erhalten

1) Die Reihe braucht nicht alternierend, die a„ brauchen also nicht positiv zu sein. Daß wir die Reihe trotzdem alternierend schreiben, bietet kleine (durch- aus nicht wesentliche) Vorteile bei der Durchführung der Transformation.

2) Daß die Transformation stets gültig ist, wenn nur die Reihe 2(-l) an als konvergent vorausgesetzt wird, hat zuerst L. D. Arnes (Annais of Math., Bd. (2) 3 (1901), S. 185) bewiesen. Vgl. auch E. Jacobsthal (Mathem. Zeitschr., Bd. 6 (1920), S. 100) und die anschließende Note des Verf. (ebenda S. 118).

J44. § ^^' Reihentransformationen. 239

Da aber (a^) eine Nullfolge bildet, so bildet auch die Folge der ersten Diffe- renzen der aji eine solche, und allgemein auch — bei festem n — die Folge der i^ten Differenzen. Somit erweisen sich die Spalten als konvergent und ihre Summen sind

Die Gültigkeit der Eulerschen Transformation ist also dargetan, sobald wir noch zeigen, daß i?,„^0 strebt. Für die Zeilenreste findet man aber, ganz ebenso wie kurz vorher für die vollen Zeilen die Werte

SO daß

^n.=^^^i;{-'^)'^'"^u (mfest).

Diese Reihe kann aber, wenn wir zur Abkürzung die Reihenreste

(- 1)^ i"k- «Ä + l + H + 2 - + • • • ^ = ^Ä

setzen, durch gliedweise Addition der (w + 1) Reihen entstanden gedacht werden. Daher ist

^,+(T)^.+(^)'-.+---+(:)-^

ji —- _

und bildet also wieder nach 44, 8 zugleich mit (y,„) eine Nullfolge. Damit ist aber die Gültigkeit der £;w/<eyschen Transformation allgemein bewiesen.

Beispiele. 1. Es sei

vorgelegt, so daß das Schema (A) hier die folgende Gestalt hat

1 i i i i

'2' 3' 4' 5' '

JL Jl- -li JL

1-2' 2-3' 3-4' 4-5' ■■■

12 1-2 1-2

1.2-3' 2-3-4' 3-4-5' 1.2-3 1-2-3

1

1-2-3-4' 2-3-4-5'*"

und allgemein findet man

jw ^ = . . — : — — also speziell A^ öto = — 7-^ ,

was man auch leicht durch Induktion bestätigt. Daher ist

S = log2 = l-l+i-l + -... = j^ + ^+^ + ;^+...,

eine Umformung, deren Bedeutung z. B. für die numerische Berechnung (§ 34) sofort erhellt.

145.

240 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

2. Ganz ebenso leicht findet man

4 3 5 7 ^ 2 L 3 3 5^3 5 7^ J

In welchen Fällen diese Transformation für die numerische Berechnung- besondere Vorteile bietet, werden wir im nächsten Paragraphen sehen.

C. JKMmmersche Reihentransformation. Eine andre sehr nahe- liegende Transformation besteht einfach darin, daß man von einer vorgelegten Reihe eine andere subtrahiert, die einerseits eine ge- schlossen angebbare Summe hat und deren Glieder andererseits denen der vorgelegten möghchst ähnlich gebaut sind. So entsteht z. B. aus

der Reihe s = ^-^ durch Subtraktion der bekannten Reihe (68,2b)

1 == y i

die Transformation

X 1 *= 1

deren Vorteil für die Berechnung von s sofort klar ist.

So einfach und naheliegend diese Transformation auch ist, so bildet sie doch in Wahrheit den Kern der Kummerschen Reihen- iransformation^), nur daß bei dieser auf eine sinngemäße Auswahl der zu subtrahierenden Reihe besonderes Ge-wicht gelegt wird. Das geschieht so: Es sei Ua^ = s die vorgelegte (natürlich als konver- gent vorausgesetzte) Reihe und 2Jc,^ = C eine konvergente Reihe mit der bekannten Summe C. Die Glieder beider Reihen seien asympto- tisch proportional, etwa

a

c n-><x)

Dann ist

lim — = y =^ 0

w=0 w = 0 ^

an

und es kann die hier auftretende neue Reihe als eine Transformation der vorgelegten angesprochen werden. Ihr Vorteil besteht hauptsäch- lich darin, daß die neue Reihe kleinere Glieder hat als die vorge- legte, da ja die Faktoren (l —/—) ->0 streben. Daher liegt ihr An-

Wendungsfeld hauptsächlich auf dem Gebiete der numerischen Be- rechnung und wir werden im nächsten Paragraphen Beispiele dazu kennen lernen.

1) E. E. Kummer, J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 16 (1837), S. 206. Vgl. hierzu auch Ledert und Catalan [Memoires couronn^s et de savants etrangers de l'Ac. Belgique, Bd. .33 (1865/67)J.

145, §34. Numerische Berechnungen. 241

§ 34. Numerische Berechnungen.

1. Allgemeines. Wir haben schon mehrfach hervorgehoben, daß die im eigentHchen Sinne geschlossenen Auswertungen von Reihen nur recht selten sind. Der allgemeinere Fall ist der, daß durch die konvergente Reihe, wie durch eine wohlbestimmte Zahlenfolge, die reelle Zahl, gegen die sie konvergiert, sozusagen erstmalig definiert (gegeben, erfaßt . . .) ist, in dem Sinne, wie nach den Auseinander- setzungen im I. und II. Kapitel überhaupt eine reelle Zahl allein gegeben sein kann^). In diesem Sinne können wir (genau wie S. 25) geradezu sagen: Die konvergente Reihe ist die Zahl, gegen die ihre Teil- summen konvergieren. Aber für praktische Zwecke ist uns damit meistens wenig gedient. Hier wollen wir vielmehr eine deutlichere Vorstellung von der Größe der Zahl bekommen, wollen mehrere Zahlen untereinander bequem vergleichen können usw. Dazu ist erforderlich, daß wir alle durch irgendwelche Grenzprozesse definierten Zahlen auf eine und dieselbe als typisch angesehene Form bringen. Hierfür kommen in erster Linie die Darstellungen der Zahlen durch Dezimalbrüche als die uns heute vertrauteste Form in Betracht^). Doch mache man sich genau klar, daß man durch die Gewinnung dieser Darstellung im Grunde nichts anderes getan hat, als daß man eine durch einen gewissen Grenzprozeß definierte Zahl durch einen andern Grenzprozeß noch einmal darstellt. Die Vorteile dieses letzteren, des Dezimalbruchs, liegen hauptsächlich in der bequemen Vergleichbarkeit der durch sie dargestellten Zahlen und in der bequemen Abschätzung des Fehlers, der dem irgendwo abgebrochenen Dezimalbruch anhaftet. Demgegen- über stehen aber beträchtliche Nachteile: die in den meisten Fällen völlig dunkle Aufeinanderfolge der Ziffern und die Mühe, die dem- gemäß ihre sukzessive Berechnung macht.

Man mache sich diese Vorteile und Nachteile etwa an den beiden fol- genden Beispielen klar:

(log2=)l-i + i-l + -... = 0,693147...

^) Die unendliche Reihe ist sogar — wie die bisherigen Betrachtungen wohl hinlänglich belegt haben — eine der vorteilhaftesten, theoretisch wie praktisch bedeutungsvollsten dieser Arten. Man vergleiche etwa die elementar- geometrische Definition der Zahl ji (oder die von uns S. 192 benutzte rein ana- lytische) und die Erfassung derselben durch die Reihe 122; ebenso die Defini- tion 46,4 von e mit ihrer Erfassung durch die Reihe 111.

2) Daneben nur gelegentlich die Darstellung durch gewöhnliche Brüche. Der Grund ist immer der der bequemen Vergleichbarkeit: Ob \\ oder ||- die größere Zahl ist, sieht man nicht sofort, während dieselbe Entscheidung bei 0,647 und 0,641 keinerlei Rechnung erfordert.

Knopp, Unendliche Reihen. 16

242 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

Die Reihen zeigen deutlich ein Bildungsgesetz der Zahl, lassen aber z. B. nicht einmal erkennen, welche der beiden Zahlen die größere ist, und um wieviel sie es etwa sein mag; die Dezimalbrüche zeigen gar kein Bildungsgesetz, geben aber ein unmittelbares Gefühl von der gegenseitigen und der absoluten Größe beider Zahlen.

Nach allem wollen wir also im folgenden unter numerischer Be- rechnung stets die Darstellung der Zahl durch einen Dezimalbruch verstehen.

Da wir diesen nicht vollständig hinschreiben können, müssen wir ihn nach einer bestimmten Anzahl von Ziffern abbrechen. Über die Bedeutung dieses Abbrechens sind noch ein paar Worte nötig. Will man z. B. die Zahl e mit zwei Dezimalen angeben, so könnte man mit gleichem Rechte 2,71 als 2,72 schreiben, — das erste, weil die beiden ersten Dezimalen wirklich 7 und 1 lauten, das zweite, weil dieser Angabe der kleinere Fehler anzuhaften scheint. Wir wollen in dieser Beziehung folgende Vereinbarung treffen: Soll angedeutet werden, daß die hingeschriebenen n Ziffern hinter dem Komma eines Dezimal- bruchs die wahren ersten n Ziffern des (ohne Ende vorgestellten) Dezimal- bruchs der betreffenden Zahl sind, so lassen wir hinter der wteu Ziffer einige Punkte folgen und schreiben also in diesem Sinne e = 2,71 .... Soll dagegen mit Hilfe von n Ziffern die in Rede stehende Zahl möglichst genau angegeben werden, soll also die wte Ziffer um eine Einheit erhöht werden oder nicht, je nachdem die nächsten (wahren) Ziffern, mehr als eine halbe Einheit der «ten Dezimale liefern oder nicht, so setzen wir keine Punkte. In diesem Sinne ist e = 2,72 1) .

Beide Angaben sind gleich ungenau, denn der Spielraum für den wahren Wert beträgt beidemal 1 : 10", im ersten Falle nur nach oben, im zweiten halb nach oben und halb nach unten. Die erste Angabe kann man als die theoretisch klarere, die zweite als die praktisch brauchbarere bezeichnen. Auch die Schwie- rigkeit in der Ermittlung der betreffenden Ziffern ist in beiden Fällen wesent- lich dieselbe. Denn beidemal kann es bei besonders ungünstig liegenden Fällen zur Feststellung der wten Ziffer nötig werden, den Fehler der Berech- nung noch sehr erheblich unter 1 : 10" herabzudrücken. Liegt z. B. eine Zahl a = 5,279 999 993 26 . . . vor, so würde zur Entscheidung darüber, ob mit 2 Dezi- malen a = 5,27 . . . oder 5,28 . . . ist, der Fehler in der Berechnung noch unter eine Einheit der 8ten Dezimale herabgedrückt werden müssen, Ist andererseits eine Zahl ^g = 2,3850000026 .. ., so würde gleichfalls 'auf die Alternative, ob /?;=«2,38 oder ?;^ 2,39 zu setzen ist. eine Unsicherheit um eine Einheit in der gten Dezimale noch von Einfluß sein^),

2. Fehler- oder Restabschätzungen. Ist nun die konvergente Reihe 2^ a -= s vorgelegt, so nehmen wir natürlich an, daß die ein- zelnen ReihengUeder „bekannt" sind, daß also ihre Dezimalbruch- entwicklungen bis zu jeder behebigen ZifTer ohne Mühe hinge- schrieben werden können. Durch Addition können wir daher auch

1) Oder besser ß?^2,72, weil doch e =|= 2,72 ist. Bei e = 2,71 . . . kann das Gleichheitszeichen im Sinne einer Limesbeziehung gerechtfertigt werden.

2) Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten solcher Fälle ist natürHch äußerst gering. Es sollte durch ihre Erwähnung nur auf die Bedeutung dieser Dinge aufmerksam gemacht werden. In Aufgabe 139 wird indessen ein be- sonders krasser Fall dieser Art angegeben.

J45. § 34. Numerische Berechnungen. ■ 243

jede beliebige Teilsumme s^^ berechnen und die einzige Frage ist nun die: Wie groß ist der Fehler, der einem bestimmten 5^^ noch anhaftet?^) Als Fehler bezeichnen wir dabei diejenige (positive oder negative) Zahl, die zu s^ noch hinzugefügt werden muß, um den ge- suchten Wert s zu ergeben. Da dieser Fehler = s — s^, also gleich dem hinter dem n^^^ Gliede begonnenen Rest der Reihe ist, so wollen wir ihn mit r^ bezeichnen und die Bestimmung des Fehlers auch eine Restabschätzung der Reihe nennen.

Die Restabschätzungen kommen in der Praxis fast immer auf eine der beiden folgenden Arten zurück:

A. Reste ahsoltit konvergenter Reihen, Ist s = 2 a^^ absolut kon-) vergent, so suche man eine Reihe 2an rnit positiven Gliedern, die bequem geschlossen summiert werden kann und deren Glieder minde- stens so groß sind wie die Beträge derjenigen der gegebenen Reihe (und doch auch nur möglichst wenig größer). Dann ist offenbar

I f« I ^ i ^„+1 I + I ß„+2 !-!-••• ^ ^n + l + «n + 2 -\- ... = rn

und die als bekannt anzusehende Zahl rn gibt uns eine Abschätzung von r , nämlich \r^\^rn, die um so besser sein wird, je weniger die a'n die \a^\ übertreffen.

Besonders häufig ist der Fall, daß für ein gewisses n und alle Ä > 1

\an+k\^\an\-ak (0 < a < 1

ist; dann ist natürlich

\^n\<\an\ -. ,

also ganz speziell

\rn\^\an\, wenn 0 < a ^ | ist. In diesem Falle ist also der Betrag des Restes höchstens so groß wie der des letzten berechneten Gliedes'^).

B. Reste alternierender Reihen. Liegt eine Reihe der Form s = 2(~ l)"(2 vor und nehmen die (positiven) a^ monoton zu Null ab, so ist (vgl. 82, 9 u. 10)

0 < (- i)"^V, = («,+1 - ^„+2) + K+3 - ^n+4) + • • •

----^ ^n+l - (^n+2 - «n+3) - • • • < ^n+1

und man kann sagen: der Fehler r^ hat dasselbe Vorzeichen wie das erste vernachlässigte Glied, ist aber absolut genommen kleiner als dieses.

Sind diese beiden Methoden nicht anwendbar, so ist die Restabschätzung meist mühsamer und man ist von Fall zu Fall auf besondere Kunstgriffe an- gewiesen. Als gut oder schlecht konvergent werden wir dabei eine Reihe be-

^) Oder praktischer gefaßt: In wieviel Dezimalen stimmt s„ mit dem ge- suchten Wert s überein?

2) Bei diesen Abschätzungen ist zu beachten, daß sie zwar über den Betrag des Restes f„, nicht aber unmittelbar über sein Vorzeichen Aufschluß, geben.

16*

244 VIII. Kap Auswertung der Reihensumme.

zeichnen, je nachdem y„ schon für mäßige Werte von n unter die gewünschte Genauigkeitsgrenze herabsinkt oder nicht ^).

Einige weitere prinzipielle Bemerkungen endlich erläutern wir an der

3. Berechnung der Zahl e. Es war

^ = l + Ii+2T + 3T + --- + ^ + '--

und wir hatten schon S. 186 gefunden, daß hier der (eo ipso positive) Rest r^^ kleiner als der n^^ Teil des letzten berechneten

Gliedes, daß also

, 1 s <C e <. s H — r—

" ^ ^ n^ n\n ist. Bei der Durchführung der nun einsetzenden Zahlenrechnung hat man aber noch folgenden Umstand zu beachten: Auch bei der Dar- stellung der einzelnen Reihenglieder durch Dezimalbrüche müssen wir irgendwo abbrechen, d. h. Fehler machen. Und wenn n nicht gar zu klein ist, können sich diese Fehler so häufen, daß dadurch die ganze Restabschätzung illusorisch zu werden droht. Man muß dann so vor- gehen: Es ist, wenn wir etwa nach 9 Ziffern abbrechen,

«0 + ^1 + «2 = f = 2,500000000

al =0,166 666 667-

a^ 2) = 0,-41666 667 -

a^ =0,. .8333333 +

a^ =0,. .1388889-

a, =0,. . .198413-

«8 = 0,. . . .24802-

a^ =0, 2756-

«10 ===0, 276-

«,i =0, 25 +

«12 =0, 2+ ^'

^•2 <0, 0 +

und hier sollen die kleinen +- Zeichen andeuten, ob der bei dem betreffenden GHede gemachte Fehler positiv oder negativ ist. In beiden Fällen ist er absolut genommen < als eine halbe Einheit der letzten Dezimale. Die Addition aller Zahlen ergibt

2,718281830.

Sjg selber kann aber möglicherweise, nämlich wenn alle positiven Fehler nahe an 0 liegen, alle negativen Fehler dagegen nahezu eine

1) Eine schärfere Definition der Güte der Konvergenz werden wir in § 37 geben.

2) Es entsteht a„ aus a«-i einfach, indem dieses durch n dividiert wird.

145. § 34. Numerische Berechnungen. 245

halbe Einheit der letzten Dezimale ausmachen, noch bis zu ^ Ein- heiten der letzten Dezimale kleiner sein, — kann dort aber auch bis zu I Einheiten größer sein, denn wir haben 7 negative und 3 positive Fehler angemerkt. Berücksichtigt man noch den Rest, so folgt vi^egen 5^ < e = s^ 4~ ^n ^^ Sicherheit aus unseren Zahlen nur, daß

2,718281826 <e< 2,718281832

ist. Durch unsere Berechnung sind also die wahren Dezimalen nur bis zur 7*®° einschließlich gesichert, während für den abgerundeten Wert sich bis zur 8*^" Stelle ^^2,718 28183 ergeben hat^).

Für die Praxis wird es im allg-emeinen genügen, wenn man die Berech- nung der 'Reihenglieder ein paar Dezimalen (2 oder höchstens 3) weitertreibt^ als für die Summe selbst gebraucht werden, und wenn man die Anzahl n der Reihenglieder so groß nimmt, daß die für r„ bekannte Restabschätzung höchstens eine Einheit in der letzten hingeschriebenen Dezimale liefert. Dann wird es auf die Fehler bei diesen Reihengliedern selbst im allgemeinen nicht mehr ankommen. Will man aber absolut gesicherte Ziffern haben, so wird man wie beschrieben vorgehen müssen ; denn mag man die Berechnung der Glieder auch um viele Ziffern weiter treiben, — es haften den dann abgebrochenen Dezimalbrüchen doch immer noch Fehler an, die sich verstärken und bei be- sonders ungünstig liegenden Fällen (vgl. die Beisp. S. 242) ihren Einfluß bis in erheblich weiter vorn gelegene Dezimalen erstrecken können.

4. Berechnung der Zahl Ji. Zur Berechnung der Zahl ji haben wir bisher vor allem die arctg- und die aresin -Reihe zur Verfügung, von denen die erstere wegen ihrer einfacheren Bauart jetzt den Vorzug

verdient. Aus ihr hatten wir die Reihe \7i= 1 ~ V- ~ 1- ...

^ 8 5

gewonnen, die für die numerische Verwendung so gut wie wertlos ist. Denn nach S. 243 können wir über den Rest r zunächst nur

n

sagen, daß er das Vorzeichen (— l)'^+i hat und absolut genommen

< 5 — r^ ist. Um also 6 Dezimalen zu sichern, müßte man mindestens

n > 10^ nehmen. Eine MilHon Glieder zu berechnen, ist aber praktisch unmöglich. Eine wesentUche Verbesserung der Konvergenz erzielen wir hier durch die Eulersche Transformation 144, 2. Auf den Nutzen solcher Umformungen für die numerische Berechnung wollen wir im nächsten Paragraphen eingehen. Hier wollen wir aus der arctg -Reihe selbst vorteilhaftere Reihen für ji ableiten.

Schon leidhch gut brauchbar ist die Reihe für arctg —=^ = -— ;

v/3 6 sie liefert

6 ^"3 L 8-3 ^5.32 7.33 ^ •••! •

1) Vgl. S. 242, Fußn. 1.

246 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

Doch liefert das folgende Verfahren wesentlich günstigere Reihen i): Die Zahl

1_1 L4__J ^_4__

« — arctgy— ,. 3.53 "1-5. 55 7-5'^

ist aus der Reihe leicht zu berechnen (s. u.). Für sie ist tga = |, also Hiernach ist 4c^ nur wenig größer als ^ . Setzen wir 4t)^ — -^ = ß, so ist

to- /? — tg4f^-tgl:;r ^ J_ ^SP — l4-tg4<z-tg^:7r 239*

Daher ist ß aus

1 _ J 1 1 1 _

ß — arctg 23g — 239 3 * 239^ "^

sehr bequem zu berechnen. Dann liefern a und ß zusammen

jr = 4(4«-^)

= ^^' !5"~3^53" + y^~ + ... ! -4 L239"" 3:2393"^

Wollen wir nun etwa die ersten 7 wahren Dezimalen von ti berechnen, so versuchen wir es etwa mit 9 Dezimalen bei den Reihengliedern und dem Rest auszukommen 2), _ was knapp bemessen ist, da die den Zahlen a und ß an- haftenden Fehler ja zum Schluß noch mit 16 bzw. 4 multipliziert werden. Bezeichnen wir die erste Reihe mit a, - «3 + «5 - + • • -, die zweite mit ß'_a'-fa'-+ ... und die Teilsummen entsprechend mit sv und s/ , so geht nun die Berechnung so:

a, = 0,200000000 a, =0,002666667

«5 = 0,000064000

% = 0, 57-

«5 + ag = 0,200064057-

a, =0,000001829- a„ = 0,000000002-

«3 + «, + «11 = 0,002 668 498

s,, = 0,197395559 + + + =^) , ^<r,,<\^-'^

Hiernach ist ^ ^ '

3,158328936 < 16 a < 3,158328970,

denn nach der Multiplikation mit 16 müssen i| = g Einheiten in der 9ten Dezi- male abgezogen und ^^ = 24 Einheiten zugezählt werden, um eine untere bzw. obere Schranke für 16 5,, zu bekommen. Wegen 0 < 16 r,, < 2- 10-« müssen wir endlich zur letzteren noch 2 Einheiten hinzufügen, um die entsprechenden Schranken für 16 a zu bekommen. Weiter ist nun

fl/ = 0,004184100 +

a/ = 0, 024+ 0<.;<10-^S

a/ -«3' = 0,004 184076 ±

1) J Machin (in W. Jones, Synopsis, London 1706).

2 Erst der Erfolg kann lehren, ob dies genügt. Denn man weiß im voraus nicht, ob nicht einer der S. 242 beschriebenen besonders ungünstigen

Fälle vorliegt. .

3) Beim Subtrahieren wechseln die Fehler ihr Vorzeichen.

J47. § ^4. Numerische Berechnungen. 247

also

- 0,016736307 <-iß<- 0,016736302 ,

was zusammen mit dem vorigen

3,141 592 629 < ^ < 3,141 592668

ergibt. Unsere kurze Rechnung ergibt uns also wirklich die 7 ersten wahren Dezimalen für ji:

7^ = 3,1415926...

(Dieselbe Rechnung würde uns für den abgerundeten Wert erst 6 Dezimalen sichern; vgl. dazu die Berechnung von e, wo es in dieser Beziehung gerade umgekehrt lag.)

Die benutzten Reihen für die Berechnung von jr gehören zu den be- quemsten; man kann mit ihrer Hilfe ohne allzu große Mühe eine viel höhere Anzahl von Dezimalen sichern^), und wir können daher mit vollem Recht die Zahl jt von nun an zu den „bekannten" Zahlen rechnen.

5. Berechnung der Logarithmen. Schon in § 26 sagten wir, daß die Reihe

log|±£=2[.+ ^ + ^ + ...], W<1,147.

den Ausgangspunkt für die Berechnung der (natürUchen) Logarithmen bildet. Für a; = | ist die Reihe schon gut konvergent und liefert sofort

log2 = 2[:L + ^ + J^ + ..].

Bezeichnen wir die Glieder der in der eckigen Klammer stehenden Reihe mit a^, a^, ..., so ist

_ 1

'^"~(2^ + l).32«+i und

also

^ 1 1 ^_««

" (2^ + 1). 3^"+^ "3^ '8 8 •

Die Rechnung sieht nun, wenn wir die Glieder wieder mit 9 Dezimalen hinschreiben, so aus:

«^ = 0,333333333 + «1 = 0,012345679 + «2 = 0,000823045 + «3 = 0,... 065321 + «4 = 0,... 005 645 +

«5 = 0, 513 +

«e = 0, 048 +

«, = 0, 005 +

[^<0, 001]

0,346573589

1) Die Zahl tc ist auf über 700 Dezimalen berechnet worden. Vgl. in- dessen die Bemerkung S. 186, Fußn. 1.

248 VITI. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Hieraus folgt nun, unter Berücksichtigung des Restes imd der kleinen +- Zeichen:

log 2 = 0,693 1471 ... mit 7 gesicherten Dezimalen^).

Hat man erst log 2 in Händen, so macht die Berechnung der Logarithmen der übrigen Zahlen nur noch sehr viel geringere Mühe

Denn unsere Reihe liefert für a; =

148.1og(i? + l) = logi>+2[

2p + 1 1

ist also log p bekannt (p = 2, S, ...), so liefert sie log (/) -f- l), und

zwar mit Hilfe einer Reihe, die wegen = -- , -^r > • • • ^^^^ S^^^

ip -\-\ 5 7

konvergiert. Denn für den Rest hat man (vgl. oben den Fall ^ = 1)

1 1 . a„

0<r„<

(2w + 3).(2/>4-l)^**+^" 1 L_ 4/>(/> + l)

{2pV\f

also eine schon bei mäßigen Werten von n sehr kleine Schranke. Und diese Güte der Konvergenz steigert sich natürlich, sobald p schon etwas größer ist, sobald man also die Berechnung der ersten Logarithmen überwunden hat. — Hierbei ist noch die Bemerkung von Nutzen, daß man wegen 37, 1 nur die Logarithmen der Prim- zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... nöüg hat, um daraus durch einfachste Kombinationen diejenigen aller übrigen Zahlen zu bilden.

Nehmen wir nun etwa an, wir hätten schon die Berechnung der Logarithmen der ersten vier Primzahlen 2, 3, 5, 7 durchgeführt, so ist die Arbeit zur Berechnung der übrigen nur gering. So ist z. B., indem wir ^ = 10 setzen,

logll =log2 + log5 + 2 [ij- + ^, + _l^+ . mit ♦^*

so daß schon für n = S

1 1 . 1 J_

^<^n< 7.21'.ll-40 20«-2-ll-7 "" "l0»-2ö-7 ^ lO^'-^

ist, — ein Genauigkeitsgrad, der selbst für die feinsten wissenschaft- lichen Zwecke ausreichend ist.

Hiernach möchte man nur für die Berechnung von log 2 , log 3, log 5 und allenfalls noch für log 7 eine etwas bequemere Methode zu besitzen wünschen. Mannigfache Kunstgriffe führen hier zum Ziel, die alle darauf

1) Die Reihe 1 — J + i - i + • • • für log 2 ist zur Berechnung dieser Zahl natürlich ganz ungeeignet; auch ihre in 144, 1 vorgenommene Eulersche Trans- formation ist noch nicht so bequem wie die eben benutzte Reihe.

148. § ^^- Numerische Berechnungen. 249

k ausfifehen, eine rationale Zahl — zu suchen, die dicht an 1 liegt und bei der

' m

Zähler und Nenner nur aus Potenzen dieser ersten Primzahlen bestehen. So

^ .• r ., 16 25 81 . ^ u ^^^

kann man z. B. die Logarithmen von - , tti ^ TTn ^^^ unserer Ausgangsreihe 147

15 24 oü

äußerst schnell berechnen, da man dort x = —- , — , -^ setzen muß, also noch

erheblich kleinere Werte als eben zur Berechnung von log 11. Hat man diese berechnet, so prüft man sofort, daß nun

, c n. 16 ., 25 ^, 81 log 2= Vlog— + o log 2^ + 3 log —

, o ... 16 o, 25 ,, 81 log3=lllog — + 81og— + 51og —

log 5 = 16 log ^1 + 12 log 11 + 7 log |1

ist. Hiermit wären diese drei Logarithmen durch äußerst schnell konver- gierende Reihen dargestellt. — Noch bequemer für die tatsächliche Durch- führung der Rechnung ist der folgende von Adams^) angegebene Weg: Man

1 r\ oc Ol

berechne die Logarithmen von -^ « kt > kk nicht mit Hilfe der eben benutzten

Reihe, sondern mit Hilfe der ursprünglichen Reihe 120, a und b, die hier die Entwicklungen

10 , /. 1 \ 1, 1 , 1

iog-^ = -iog^i-— ;=.^+2riö^+3:^ +

25 , / 4 \ 4 .1 16 , 1 64

log 24 - ^^^ V 100/ ~ 100 "^ 2 ■ "1002 + 3 -loo^ +

100/	4 1 16 , 1 "100 ' 2 1002"^^
80/'	1 1 1 '8-10 2 64-102

lo&^= lo&il+-^]=ö^-^-äJ^TÄ2 +

80 ^V ' 80/ 8-10 2 64-102 ' 3-512-103

liefern. Wegen der im Nenner auftretenden Potenzen von 10 ist hier die Be- rechnung nun eben äußerst bequem. Mit Hilfe dieser Logarithmen hat man dann

10 25 81

log2= 71ogi--21og~-f-31og-

10 25 81

log3 = lllog-^^-31og2^ + 51og-

10 25 81

log5 = 161og^-41og- + 7 1ogg^.

Verschafft man sich nun noch den ebenso leicht zu berechnenden Wert 126_ / 8 \ 8 1 82 1 8»

^^ 125 ~ ^^ \ "^ 1000/ ~ 10^ 2 ■ 10« "^ 3 ■ 10» ~^ ' " ^'

1) Proc. of the Royal Soc. of London, Bd. 27 (1878), S. 88.

2) Wie bequem diese Berechnung ist, zeigt die folgende Ausführung, die uns nach 5 einfachen Zeilen 10 gesicherte Dezimalen von log ^ liefert:

+ 0,008 000000000

-0,... 032 000 000

+ 0, 170667-

-0, 001024

+ 0, 007-

logi|| = 0,0079681696

250 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

so hat man auch noch

log7 = 191og^-41og| + 81og|i + logl|.

Damit ist ein praktisch bequem gangbarer Weg zur tatsächlichen Berechnung der natürlichen Logarithmen eröffnet. Auf weitere Einzelheiten bei der Her- stellung der Tafeln können wir hier nicht eingehen.

Mit log 2 und log 5 hat man auch log 10 und also in

M = ^ — = 0,434294 481 90 . . . log 10

den Modul des ^Hgrfirschen Logarithmensystems mit der Basis 10, d. h. die Zahl, mit der alle natürlichen Logarithmen multipliziert werden müssen, um die ßnggschen zu ergeben^).

6. Berechnung der Wurzeln. Nachdem man in den Besitz der Logarithmen gelangt ist, ist es für die Praxis nicht sehr wichtig, auch noch bequeme Mittel zur Berechnung der Wurzeln aus den natür- lichen Zahlen zu besitzen. Wir fassen uns daher bei den folgenden Ausführungen ganz kurz: Auch die binomische Reihe

(i+..r=i(:)^"

konvergiert um so besser, je kleiner \x\ ist. Man wird aber stets

^_ 1 -

die Potenz -y/q^qt im wesentlichen auf die Form (I-J-a;)^ mit klei- nem \x\ bringen können.

149. Einige Beispiele mögen zur Erläuterung dienen. Für \/2 hatten wir

schon S. 203 die Reihe für e (^1 - ^J angegeben:

,-_7r 1 J_ , 1:3 J_ L3^ J_ 1

^^~5 L "^ 2 *50"^2.4'502 "*" 2-4-6' 50*^ ^ ' * 'J * .

Da (- 1)" {~^\ stets positiv ist und monoton fällt, hat nian für den Rest y„ die

Abschätzung

/ 1 1 \ _ (^n

— also schon bei kleinem n eine bedeutende Genauigkeit 2).

1) Ganz nebenbei sei noch bemerkt, daß die anfänglich befremdliche Bezeichnung der Logarithmen mit der merkwürdigen Basis e als „natürliche" sich nun wohl hinlänglich gerechtfertigt hat.

2) Wie bequem hiernach die Rechnung ist, zeigt die folgende Ausführung: a -Ya = 1,010 0 ^ also — vmd zwar ohne Fehlerl —

55 = 1,010152544537 5

0<>'5< 17- 10-1-2 V2 = 1,4142135623...,

a2 = 0,...15 0

«3 = 0, 25 0

«4 = 0, 4375.0

«. = 0 7875

die uns also schon die ersten 10 Dezimalen sichert.

J50. § ^4- Numerische Berechnungen. 251

Noch wirkungsvoller sind die Ansätze

^^~7Ör+98Ööy ' ^^ ~ 100 r~ 20000/ ' oder ähnliche, die man erhält, wenn man irgendeinen rohen Approximation.swert a von ^"l (im ersten Falle: — - , im zweiten: 1,41) ausgeht und

T

setzt. Da a^ in der Nähe von 2 liegen sollte, hat der Radikand jetzt die Form l+AT mit kleinem \x\. — Weiß man z.B. schon, daß yß=^\,lZ'^ . . . ist, so hat man nur

176 1-i

V2 = a V -

V3 = 1,732 V(i;4). = 1,732 [l

,732)2 ' L 3000000J zu setzen, um aus dieser Entwicklung ^/S mit größter Leichtigkeit auf 50 oder mehr Dezimalen berechnen zu können.

Wir geben noch ohne weitere Erläuterung die Beispiele:

1 ... _ _ . j-

7, Berechnung der trigonometrischen Funktionen. Die Reihen 150. für sinjv; und qo^x sind noch besser konvergent als die Exponential- reihe, da entweder nur gerade oder nur ungerade Potenzen von % auftreten und da überdies die Vorzeichen abwechseln. Daher sind keine besonderen Kunstgriffe notwendig: Für nicht allzu große Winkel leisten die Reihen alles nur irgend Wünschenswerte.

Um z.B. sin 1^ zu berechnen, haben wir zunächst 1^ im Bogen-

maß auszudrücken. Es ist 1^ = --^- = 0,017 453 292 . . 180	■' =^^^°<50
Bezeichnen wir diese Zahl mit a, so ist
sin 1^ = a - Ij- 4- ^j 1- . . . : a^- a^-\-a^-	-+■■•,
und für den Fehler y^ hat man nach S. 243, B
^<(-lJ ^n< (2n + 3)!'
was schon für n = 2 kleiner als \ • 10"^'^ ist.

ÄhnHch einfach liegen die Dinge bei cosl^; doch kann man diesen Wert auch, da sin^ 1^ < ^^ ist, sehr leicht aus

cos 1^ = (1 - sin^ \y

mit Hilfe der binomischen Reihe berechnen. — i%% und ctg;t er- geben sich nun durch Division, oder auch aus ihren Entwicklungen 116 und 115, die für kleine \%\ noch recht gut konvergieren.

151

152,

252 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

Aus diesen letzten Reihen gewinnt man noch brauchbare Entwicklungen für die Logarithmen von sin ;ir und cos;v, — Werte, die für die Praxis wich- tiger sind, als sin x imd cos x selber. Man hat nämlich (vgl. § 19, Def. 12).

sin X ^ r in

log sin X = log X + log - = log ^ + J ctg ;t dx^)

log;v+^(-l)

.2^*-B,,>

^-t; 2ä-(2ä)!

und ganz ähnlich aus 116

-\ogcosx^U^-dx=y{-\f-'^^'^^^^!l^x'' 0 Ä=i 2ä.(2ä)!

log tg X und log ctg X ergeben sich hieraus einfach durch Addition. —

Auf weitere Einzelheiten bei der Berechnung der trigonometrischen Tafeln

wollen wir hier nicht eingehen, da sie reihentheoretisch nicht von Belang sind.

8. Verfeinerte Restabschätzungen. In den bisherigen Fällen haben wir die Summe einer vorgelegten Reihe stets ganz unmittelbar durch Berechnung einer passenden Teilsumme und Abschätzung des zu- gehörigen Restes gewonnen. Es ist klar, daß dieser Weg praktisch nur beschreitbar ist, wenn die Reihe einigermaßen gut konvergiert. Will man aber z. B. die Summe

00 1

genauer berechnen, so ist dieser direkte Weg ziemHch hoffnungslos'-^). Für den Rest

hat man nämlich bei vorsichtiger Vergrößerung nur

SO daß, um nur 6 Dezimalen zu sichern, über eine MilUon Glieder berechnet werden müßten, was nicht angeht.

Dieser Übelstand kann nun häufig in etwas behoben werden, wenn man für den Rest auch eine untere Schranke zu finden sucht. Bei unserm Beispiel hat man nach demselben Prinzip auch 11 ^ 1

^« ^ (w + 1) (w + 2) + (w + 2) (w -f 3) "^ • • ' ^ + 1 '

1) Unter der in der eckigen Klammer stehenden Funktion soll hier die Reihe 115 nach Division durch x und Abzug des vordersten Gliedes Ijx ver- standen werden. Die Funktion ist also auch für x^O definiert und stetig.

2) Da wir hier zufällig wissen, daß die Summe = - ist , so ist ihre Be- rechnung auf dem Umwege über ji natürlich ganz einfach. Wir wollen aber für den Augenblick annehmen, daß wir von ihrer Summe ebenso wenig wüßten

wie etwa von der Reihe 2 —z.

lo3. § 35. Anwendung- der Reihentransformationen. 253

so daß wir nun wissen, daß die gesuchte Summe s den Bedingungen

i+^ + --. + i + ^i-<^<i + ^ + ... + ^^+^

für jedes n genügt. Und um 6 Dezimalen zu sichern, wären nun vielleicht nur 1000 Glieder nötig. Doch wäre auch diese Anzahl für die praktische Durchführung noch zu groß. Trotzdem kann in be- sonderen Fällen diese Methode der Abschätzung des Restes nach oben und unten zum gewünschten Ziele führen. (Vgl. Aufgabe 131.)

Solche Fälle sind indessen doch so selten, daß sie für praktische Arbeit nicht in Betracht kommen. WesentHcher, weil von größerer Anwendbarkeit, sind dagegen die Methoden, die eine schlecht kon- vergente und also für die numerische Berechnung zunächst unbrauch- bare Reihe in eine besser konvergente verwandeln. Hierauf wollen wir nunmehr eingehen.

§ 35. Anwendung der Reihentransformationen bei

numerischen Berechnungen.

In Fällen schlechter Konvergenz wird man versuchen, die Reihe durch passende Umformungen in eine besser konvergente zu ver- wandeln. Wir wollen die in § 33 besprochenen Reihentransformationen daraufhin durchgehen, ob sie uns in dieser Beziehung nützen können.

A. Die Kummef'sche Transformation. Bei ihr ist am unmittel- barsten zu erkennen, ob und inwieweit eine Verbesserung der Kon- vergenz erzielt wird. Denn mit den Bezeichnungen von 145 haben wir

w=0 n=0\ a.

und da il — y--j^O strebt, so sind die Glieder der neuen Reihe

(von einer Stelle an) kleiner als die der vorgelegten. Die Wirkung dieser Methode wird hiernach um so größer sein, je kleiner von An- fang an die Faktoren f 1 — y—j sind, d. h. also, je besser die GUeder der Reihe ^c^ denen der Reihe 2 a^^ angepaßt sind. Einig-e

Beispiele sollen die Anwendung- dieser Methoden erläutern.

1. Wir hatten schon S. 240 gefunden, daß V -^ = 1 + V ^^ ^ ^^ gesetzt 153. werden kann. Die Glieder der neuen Reihe sind denen von

^ 1 _i_ ^ / 1 1 \ 1

^i_n{ni-l){n-{-2) 2^^\n(n + l) (n -f 1) (w + 2)/ 4 asymptotisch gleich, d. h. es ist hier C =| und y = 1, also CO 1 1 * 1

254 VIII. Kap. Auswertung der Reihensumme.

Fährt man in entsprechender Weise fort, so erhält man nach p Schritten * 1 11 1 ^ 1

was schon für mäßige Werte von p eine gut konvergente Reihe liefert. 2. Etwas allgemeiner sei die Reihe ^00 1 1^4=0, -1,... beliebig,

, Ji, ''" ^ So ~{^Vaf~(n+~c^'+^f :..{n + a + p-\f ' \p^l ganz, vorgelegt. Wir wählen hier

c^ = {n + y) a„- {n -^ 1 -^ y) an + i, « = 0, 1, 2, ...,

und versuchen y so festzulegen, daß sich die c„ den a„ möglichst gut an- passen i). Hier wird C = y- «o, und eine leichte Rechnung ergibt y=^ ■^. Da- her erhalten wir

Die runde Klammer ist hier

_ {n-{-y)(n + a + pf-{n-{-li- y) {n + af " (2p-\){n-^ci-hPf '

also, da sich bei der Vereinfachung die Glieder mit n^ und n^ von selbst weg- heben müssen

_ {2a + Sp-2-2y)pn-\-{2p-l-y){a + pf + a^l + y) " {2p-\){n^a-^ Pf

Wählt man nun y so, daß sich auch noch die Glieder mit n wegheben, setzt man also y = ß+|/> — 1, so wird die runde Klammer weiter

/)3 1

^2i:2p-\) 'ifiTa + pf' und folglich

f ^ 1

(^ + f^-l)-2^ P^__ f ^_1 •

-c^(a-f lf...(a + p-ir 2(2p-l)„ti(^ + <---(^ + « + ^)'*

Die Transformation hat also den Erfolg, daß ein quadratischer Faktor mehr

im Nenner steht. — Spezialfälle: a) a = 1 liefert

-ttP

1

1 2 ^ 2p -l

^^^{n + inn + 2f...{n + pr V-2'...p''^

^ P' f__ l ^ .

1) Die Wahl eines c^ von der Form ;r„-^„ + i wird wegen 131 stets die bequemste sein, da man dann jedenfalls sofort C angeben kann und sich die Wahl so einrichten kann, daß die c„ den a„ gut angepaßt sind.

154. § 35. Anwendung der Reihentransformationen. 255

Setzt man zur Abkürzung

QO J °° 1

so hat man also

_ 3/) p^

— eine Formel , mit deren Hilfe man sich leicht für s = S^ = 2~% ^^^^ &"* konvergierende Reihen verschaffen kann, b) oi = i liefert ähnlich

^ 1

^ti (2n + 1)2 (2n + .3)2 ... (2m + 2^ - \f

3^-1 1 ^ 2/>« - 1

2(2/>-l) P. 32... (2^ -1)2 ■ 2p-l^^{2n+\f.,.{2n + 2p-\-\f' — eine Formel, aus der man sich in entsprechender Weise gut konvergierende

Reihen für y, —- — verschaffen kann.

^ (2w+l)2

Bezüglich weiterer Beispiele verweisen wir auf die Aufgaben 127 ff.

B. Die EulerschQ Transformation.

Mit der £'«//ß;'Schen Transformation 144 braucht keineswegs immer eine Verbesserung^) der Konvergenz verbunden zu sein.

00/1 \n 1 «>/3\n

So liefert z. B. die Transformation von ^ \-^] die Reihe -^ ^ [-r) , 154.

welche ersichtlich schlechter konvergiert. Aber auch bei alternierenden Reihen braucht sich keine Verbesserung der Konvergenz zu ergeben, vielmehr zeigen die drei folgenden Beispiele, daß hier alle denkbaren Fälle wirklich eintreten können:

* 1 1 "» 1

1. ^ (— 1)"^ liefert die hesser konvergente Reihe -5-^7^

n=0 ^ ^ n^O^ '

2. J (-!)«-! „ „ gleichartig „ „ 4" J ^ n=0 ^ ^ n=0^

2- i;(-irir » . schlechter „ „ -^ Z [i-] •

n=0 * ^ n=0 ^^^

Wir werden nun aber zeigen, daß in den praktisch allein wich- tigen Fällen alternierender Reihen 2[— if a^, <^^ > 0, in denen die

^) Die ausführliche Definition dessen, was unter besserer und schlechterer Konvergenz verstanden werden soll, wird in § 37 gegeben werden: 2a'^ wird besser oder schlechter konvergent genannt werden als 2'fl„, je nachdem

Strebt.

0 oder ->. + oo

256 VIIT. Kap. Auswertung der Reihensumme.

gegebene Reihe nicht besonders gut konvergiert, die Beträge a^ ihrer Glieder aber in einer gleich zu nennenden regelmäßigen Art zu 0 abnehmen, — daß in diesen Fällen doch eine oft beträchtliche Ver- besserung der Konvergenz erzielt wird.

Wir wollen nämlich nicht nur verlangen, daß die a^ selber monoton abnehmen, daß also ihre ersten Differenzen Aa^ sämtlich positiv sind, sondern wollen fordern, daß dies auch für alle höheren Differenzen der Fall ist. Man pflegt eine (positive) Zahlenfolge Uq, a^, «2, ... p-fach monoton zu nennen^), wenn die Folge der 1., 2., . . . und p. Differenzen lauter positive GUeder hat, und man nennt sie vollmonoton, wenn dies mit allen Differenzen A^a^, {k, n, = 0, 1, 2, . . .), der Fall ist. Mit dieser Bezeichnungsweise lautet der angedeutete

CO

155. Satz. Ist ^ (— l)"«^,! ^^"^ß alternierende Reihe, für die die [posi-

tiven) Zahlen a^, a^, . . . eine vollmonotone Nullfolge bilden, und

ist von vornherein stets -^"^^ > « > ^ ^ so wird die iransformierte

an — ^

Reihe ^- — lA^^ a^ besser konvergieren als die gegebene.

Der Beweis ist äußerst einfach. Wegen -^- ^a ist zunächst ^n^S"^"- ^^^ ^^^ ^^^ ^^^^ ^t ^^^ gegebenen Reihe hat man

(_ l)n + l^^^ _ a^^^ - a„^2 +-••• = ^^« + 1 + ^«n + 3 + ^«n + 5 + ---

also, da auch die Aa^ monoton abnehmen

kni ^ |(^«n + l + ^«„ + 2 + ^«n + .S + •••) = ! «n + 1 ^ IS'«"'"'-

Andererseits nehmen wegen zJ" a^ — zJ"+^ a^ = zi" a^ > 0 die Zähler

der transformierten Reihe ihrerseits monoton ab und sind also dauernd

^ ÖQ. Infolgedessen hat man für den Rest r'n der transformierten

■ R^ihe — welche jetzt übrigens eine Reihe mit positiven GUedern ist —

Folglich ist

\ r„ \ = a\2a/

woraus nun die Behauptung in vollem Umfange abgelesen werden kann. Und man erkennt darüber hinaus noch, daß die Konvergenz- verbesserung um so beträchdicher sein wird, daß also r^/r« um so schneller ->0 strebt, je größer a ist. Insbesondere werden alle die- jenigen (alternierenden) Reihen, bei denen der Betrag des Quotienten

1) Vgl. die zu 144 genannte Arbeit von E. Jacohsthal.

2) Durch diese Voraussetzung soll der vorher gebrauchte Ausdruck, daß die gegebene Reihe nicht besonders gut konvergiert, präzisiert sein. Die Reihe wird dann, wie der Beweis genauer zeigt, schlechter konvergieren als die Reihe 2" Q)".

255. § 35. Anwendung der Reihentransformationen. 257

zweier aufeinanderfolgenden Glieder -> 1 strebt, die also im allge- meinen schlecht konvergieren, in Reihen verwandelt, die wesentlich ebenso gut konvergieren, wie die Reihe ^JÜT'

Beispiele. Die beiden markantesten Beispiele zur Eulerschen Trans-

(— 1)'* (— 1)« f ormation — diejenige von Tj ^ ^^^ ^ ^ -r haben wir schon zu 144

vorweg genommen. Für die weiteren Anwendungen ist es wesentlich, zu wissen, welche Nullfolgen vollmonoton sind. Hierüber beweist man durch wieder- holte Anwendung des 1. Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (§19, Satz 8) leicht den

Satz 2. Die {positive) Folge üq, a^, ... ist vollmonoton fallend, wenn es eine für ;r^0 definierte und für x'^0 beliebig oft differenzierbare Funktion f{x) gibt, für die f{n) = a^ ist und deren Ä*® Ableitung das feste Vorzeichen (— 1) hat (Ä = 0, 1,2, ...).

Hiernach sind z. B. die Folgen

""■ («<"<>)' ^-^' (^>«' ''>«)' i^dwY ^'>'^' •••

vollmonoton fallend; und aus diesen leitet man viele neue her durch den

Satz 3. Sind die Folgen a^, «i , ... und fc^ , fe^ , . • . vollmonoton fallend, so gilt das gleiche von der Folge aQbQ, a^^b^, a^b^, . . ..

Beweis. Es gilt die durch Induktion sofort als richtig zu erweisende Formel

' ^k

^''a^b^^^r]A'^-^a^^^,A^bn^

in der unter A^ an und A^bn natürlich a„ bzw. bn selber zu verstehen sind. Nach ihr sind in der Tat alle Differenzen der Folge {a„b„) positiv, wenn es diejenigen der Folgen (a„) und (&„) sind.

Als ein besonderes Zahlenbeispiel skizzieren wir noch das folgende:

Die Reihe

=c 111

„ti log^lO log 11^ log 12 ^••

konvergiert außerordentlich langsam, nämlich wesentlich ebenso langsam wie die Abelsche Reihe 21jnlog^ n. Mit Hilfe der Eulerschen Transformation kann man trotzdem ihre Summe verhältnismäßig leicht genau berechnen.

Benutzt man nur die ersten 7 Glieder ( bis , "— ) , so kann man mit ihrer

\ log 16/

Hilfe auch von der transformierten Reihe die ersten 7 Glieder berechnen. Be- nutzt man 7 stellige Logarithmen, so findet man schon mit 6 gesicherten Dezi- malen für die Reihensumme den Wert 0,221840...^).

C. Die Markoffsche Transformation.

Bei der großen Willkür, die wir für den Ansatz des Schema (A), S. 234, gelassen hatten, aus dem sich die Markoffsche Transformation ergab, ist es nicht verwunderHch, daß wir keine allgemeinen Sätze

^) Wir entnehmen dieses Resultat dem Werke „Differenzenrechnung" von A. A. Markoff, S. 184, Leipzig 1896.

Knopp, Unendliche Reihen. 17

258 VIII. Kap. Auswertung- der Reihensumme.

Über die Wirkung der Transformation auf die Güte der Konvergenz werden aussprechen können. Wir werden uns daher mit etwas all- gemeiner gehaltenen Richtlinien zu ihrer vorteilhaften Verwendung und mit der Ausführung einiger Beispiele begnügen müssen:

Bezeichnen wir die gegebene (als konvergent vorausgesetzte) Reihe wieder mit Zz'^^^ so wähle man die 0*^ Spalte a^^^ «iJ^ . . ., u^qK . . . des Schema (A) so, daß sie, ähnlich wie bei der Kummerschen Trans- formation, der gegebenen Reihe möglichst gut angepaßt ist und an- dererseits eine bequem geschlossen angebbare Summe s^^^ hat. Mit ■ der Reihe 2'(2(*) — af), die nun schon besser konvergieren wird als 2:z^^\ verfahre man genau ebenso für die Wahl der nächsten Spalte usw. Dann wird die Wirkung der Transformation eine ähnliche sein, als wenn man unbegrenzt oft eine Kumm^rsche Transformation ausge- führt hätte, — eine Möglichkeit, die wir schon bei den Beispielen 153, 2 a angedeutet hatten (vgl. Aufg. 130).

OD l

156. Als Beispiel wählen wir die Reihe ^ -,-, die zur Berechnung ihrer Summe

-- praktisch unbrauchbar ist. Hier denken wir uns die 0** Zeile und die O^'Spalte aus lauter Nullen bestehend, die wir nicht hinschreiben. Dann liegt es nahe, als erste Spalte die schon S. 240 benutzte Reihe Z kJkT^) """ ^^^^^^ Dadurch wird

und als zweite Spalte wird man nun, wieder wie damals, die Reihe

nehmen, usw. Dann würde die k^ Zeile des Schemas das folgende Bild bieten 1 Ol , li , ______li-l + ....

Die weitere Rechung ist nun etwas einfacher, wenn man, statt diese Zeilen nach rechts unbegrenzt fortzusetzen, sie nach (Ä - 1) Gliedern abbricht und als k"^ Glied den fehlenden Rest n hinzufügt, auf den dann lauter Nullen zu folgen hätten. Dann sieht die k^ Zeile so aus:

1 Ol 1! (*-2)I ^

Indem man hier die Glieder der rechten Seite sukzessive von der linken Seite abzieht, findet man ganz leicht, daß

(Ä-l)l

''''-äMäTT)-.-(2ä-1) ist. Die Auflösung der Reihe Z^k^ in ein Schema der Form (A) von S. 234 sieht dann in unserem Falle folgendermaßen aus:

156. § 3ö- Anwendung der Reihentransformationen. 259

1= 1
1 0!	, 11
22 2-3	, ' 2^.3
1 0! 3'^ 3-4	' 3-4-5	^32-4-5
1 Ol	, 1!	1
k"- k{k-\- 1)	' Ä(Ä + l)(Ä + 2) ' ■•• ' /

(Ä-2)l , (Ä-1)!

Ä(Ä+i)...(2Ä-i) ' k'\k+\) ...{2k-\y

Da hier alle Zahlen des Schemas ^0 sind, so lehrt schon der große Umordnungssatz 90, daß wir nach Spalten summieren dürfen und als End-

7t

ergebnis wieder — erhalten. In der m*^'^ Spalte steht nun die Reihe

>•» + (»- 1) ' [(^T)".-.'.(2« + l) + -(f^^hw+2) + •••]' '" ''''^ • Und da nach 132,8 die in der eckigen Klammer stehende Reihe die Summe

1

w(w + l). ..(2w) hat, so liefert die w** Spalte die Summe

= C - 1) M ::j7:^^-^ö.^^ + -Tt:^. J

^2 (w + 1) . . . (2 w - 1) ' n (w + 1) . . . (2 w)J

-1)1 ^ {n-\)\ w(w + l)...(2w) (2w)!

_3 (^-1)1 ^3(^-1)!^

Es ist also

fcÄfc' „ti (2«)! ■

Diese Formel ist nicht nur für numerische Zwecke wegen der erheblichen Verbesserung der Konvergenz von Bedeutung, sondern fast mehr noch, weil sie ein neues Mittel zur geschlossenen Auswertung der Reihensumme Zljk'^ eröffnet, die uns bisher mir auf dem weiten Umwege über die Partialbruch- und die Potenzreihenentwicklnng der Funktion ctg gelungen war. Man kann nämlich leicht direkt feststellen (vgl. Aufgabe 123), daß aus 121 folgt, daß für AT 1 -^ 1 die Entwicklung

gültig ist. Setzt man hierin x = ^, so ergibt sich sofort, daß

,i,»^-\-e, (2«)'

ist.

Eine weitere prinzipiell wichtige Anwendung der Ma^Äo^schen Trans- formation haben wir schon (s. 144) in der Eulerschen Transformation gegeben, welche ja aus jener gefolgert worden ist.

Bezüglich weiterer, meist nur auf Grund besonderer Kunstgriffe glückender, aber zum Teil überraschend wirkungsvoller Anwendungen der MarAo^schen Transformation müssen wir auf die Darstellungen von Markoff selbst (s. vorige Fußn.) und von E. Fahry (Theorie des series ä termes constants, Paris, 1910) verweisen, wo sich zahlreiche Beispiele vollständig durchgeführt finden.

17*

260 Aufgaben zum VIII. Kapitel.

Aufgaben zum VIII. Kapitel.

I. Direkte Bildung der Folge der Teilsummen.

Y^ für \x\<h -^ für j^l>l.

* a 101. 2J TT-, TÄT^ — ^ ri-, ^ ^st für positive a„ stets konvergent.

„^1 (1 + «i) (1 + «2) • . . (1 + a«)

Wann konvergiert die Reihe noch bei beliebigen a„, und welche Summe hat sie im Falle der Konvergenz?

V ^ 2 3jr

102. a) i;arctg-==— ;

(Anl. : arctg -i-^ - arctg -^ = arctg A

!««• -) J(.+ l)(2. + lV..(^^+l)4' ^-^^^ - + «'-!' -^"••

b) i + — ^— +-^^^±^+... = -i-, falls y>;.>0.

g a(a + l) , a(a + l)(a + 2) ?> - 1

""^ ^+ö"^ &(& + !) "^&(&+l)(& + 2)"^'" 6-a-l'

falls &>a + l > 1.

1 ;^,-& 1 (fe,-&)(fe,-fc) 1 ^j.

104

^1

falls 6 4= 0, alle Ä,, > 0 und ^— divergent ist. ,,'

J» 1 jr 4

105. a) 2 ö7rtg^ö«+'2 = -5

n=0 -^ ^ ^

* 1 ;v 1

(Anl. : ctg y - tg y - 2 ctg 2 y.)

fest gegebene, voneinander verschiedene natürliche Zahlen, a 4^ 0, — 1, — 2, . . . beliebig reell und g (x) eine ganze rationale Funktion eines Grades <Ä — 2. Es gelte die Partialbruchzerlegung

g(x-cc) _ _fi_ _^ ^ ^fe

156. Aufgaben zum VIII. Kapitel. 261

Dann hat die vorgelegte Reihe die Summe k

^^ la 0^ + 1 a+^^-lJ

1 1.1 1 / 149

*^^' ^^ l-2.6.7~3-4.8.9'^5.6.10.11~"^ eÖT^ßO/'

^ 1.2.4-5 3.4-6.7"^5-6.8.9 "^ 36 6 ^^ '

. 1 1 , 1 _J^.

^^ l-2.4.5"^3.4.6.7"^5.6.8.9"^'"' 36 ' P 3^ 5«

^) Iiq:4~3M^"^5'4 + 4 "^ ^'

. __J 11 _^.

^^ l.(l^ + 4) 3.(3^ + 4) "^5.(5^ + 4) ^'"16'

i\ ^ ^ u- ^ u...=.iog2-7r;

^ 1.(4. P+1) 2.(4-24 + l) 3.(4.3*+l) ' ^ 2'

1 1 _ 1 1 o ^

^^ t:2".3:4^5T6^t:8 + '-'^4^''^^"24'

II. Geschlossene Auswertungen mit Hilfe der Entwicklungen für die elementaren Funktionen.

108. a) 1 - ^ - ^-1- +jX_ + ^__ + + ...= logVT; ., 1 1 , 1-3 1 , l-S-5 I , , „

X X — y X -\-y X — ly x -\- zy y y

liefert für y = 7 nebst at = 1, 2, 3

- 1 1 1 1 / ON

""^ 2:3:4~4T5:6 + 6r7T8" + ---4^^~^^'

^ ^ti4n^-l 2' .-fi (4^2-1)^ 16 '

« 1_ 32-3^ .

n = l(4^'-l)'~ 64 '

^^ 5 "^7 11 ' 13 17+ 2^ß'

2^2 Aufgaben zum VIII. Kapitel.

1-2 1-2.3 , l-2^3-4^ ^^.

110. a) ^-T-^^^-r^ g^^ . ... 2'

1 12 1.2-3 27t ,. ''^ 2-3 3-4-5^4-5.6.7 3^3

1 1-2 1.2-3 , _^!._i.

^^ 2^F4 + 3^ 4 .T- 6 "^ 4^5^6 • 7 • 8 "^ * " "^ 18 2 '

d) J ,. l :^21og2-l; „^1^(4^2-1)

* 1 3 ^

111. Wenn y 7-— ^7) = Tj, gesetzt wird, so ist

^2 = ¥~ ' ^""T'ie' ^"54 216

112. Wenn ^j'^^Sp'^ gesetzt wird (p --1,2,...). so sind die gp ganze

n = l Zahlen, die aus der symbolischen Rekursionsformel gP+^ = {l + gf gewonnen werden können. Es ist g'j = 1 , g.j = 2, gg = 5 , ... •

^^^' X x + y'^x + 2y x + ^y'^

läßt sich durch die elementaren Funktionen geschlossen summieren, falls x : y rational ist. Speziell ist

^ 4 + 7 10 ' ^[^r^ 1

2 5^8 11 3 i^^/3 ^ J

l_i + i-i-f-.., =-L(^4-21og(V2-M)). ^ 5^9 13 4V2 ^

114. Wird 2! ^'' n ^ ^ W gesetzt { x\<\) und bedeutet (.r„) die Folge 6, 7, so ist

und, wenn V^,^ =s sowie ^ l = s' gesetzt wird, -, = V^-

156. Aufgaben zum VIII. Kapitel. 263

III. Aufgaben zur Eulerschen Transformation.

115. Es ist (für welche x})

a^ ytl^''-=y-l ^ •

OD (—1)'* 1*1

""^ n^o (^+l)(^ + 2)...(tz + ^ + l) = ^! ,-1^0 2^+^+1+1?

116. Wird

n—O n=0

gesetzt, so ist bn = A" Uq. Speziell also

.,1^+2 x^ (a±^l{a_±4)x_^ 1

■^"^f^ + 12'.l!"^(«

x^

(« + l)(a + 3)22.2!

+

00 / 1\«-1 00 -K« / 1 1

„=l ^•^' n=i w! ^ 2 w

117. Ganz speziell ist:

1 fn\ 1 fn\ , , , -,^„ 1 fn\ 2-4... (2»z)

^^l-yllJ + -^UJ-+--- + ^-^^ 2^TUJ=3T5T77(2'nT"lT

118. Ist A"aQ = bn, so ist A"bQ = a„. Wie lauten demgemäß die Um- I , kehrungen der Gleichungen der vorigen Aufgabe?

119. Ist (an) eine p-tach monoton fallende Nullfolge {p>l), so gilt für

00

die Summe 5 der Reihe 2J {— 1)" ^n die Abschätzung n=o

Uq Auq , A^-\ Uq Auq , ^^~\ , A^Uq

Man beweise mit ihrer Hilfe die Gleichung

;,^'I^oL'2"~^+~^"^l+^' ■^•••J~4"'

120. Sind sj. und 5„ die Teilsummen der beiden Reihen in 144, so ist

^ _[ 1 j^o + l 2 r- +--- + U+lJ^«

2«+i

Man beweise mit Hilfe dieser Beziehung die Gültigkeit der Eulerschen Trans- formation.

264 Aufgaben zum VIII. Kapitel.

121. Es ist

a) 2:(-l)*«fc^-'' = (l-y)2:^"«o-y" "iJt (i+^)(l-y) = l;

wenn die Summation stets bei 0 begonnen wird und die Differenzenbildung sich auf die linkerhand auftretenden Koeffizienten a^ bzw. a.^^^ und «oft + i bezieht.

122. So ist z. B.

2 x^ 2-4/ Ar2

AT] L , 2 A''2 , 2-4/

+

1112 3

was für x= — , — , — , — -^ -^, ••• besonders bequeme numerische Reihen

für .T liefert, wie

11 1 ^

-|- = 2 arctg — + arctg - = 5 arctg --^8 arctg — , u. a.

123. Die vorige Reihe für arctg a- kann auch in der Form arcsiny 2 2-4

vr

y

i -^ ' 3 " 3-5

geschrieben werden. Hieraus folgt die Entwicklung

2(arcsmy)^ = l<-^g^'-(2y)^».

IV. Andere Reihentransformationen. 124. Wird Z \^ ^p gesetzt, so ist

a)	s.	+ 53 + 5^ + . .	• =	= 1;		b)	5o + S,	+ s.	+ •••	3 4
c)	Ss	+ 5, + S, + . .	.=	1 ^ 4'		d)	...i	s.-h	h.	+ ••
e)	s.	- S3 + S, - +	...	1 '" 2	>	f)	».-1	54+	y-	- + ••
		R)	1 2	5^4-	1 3	5.3 +	i»...	..^.1-	-C;

log 2:

h) i5,-|53 + -... = log2 + C-l.

125. Hat Sj, die Bedeutung aus der vorigen Aufgabe und wird — - _ JL = &fc und lim = /

156. Aufgaben zum VIII. Kapitel. 265

gesetzt, so ist

(Die Existenz des Grenzwertes A ergibt sich hierbei durch die Konvergenz der Reihe. Es ist A = y'^^O 126. Es ist

. Ä 1 ^ ri_ i_2_ . L_i__4- 1-

b) vi— ^l_=ß«_;,2,«^ + ^4,a^_ + ....

127 ^N 1 , 1 1^ , ^ 2^ ^ ^ , 1 . .

128. Im Anschluß an § 35A stelle man die Beziehung zwischen

ao 1 00 1

und ^-

^l{n+a)^n-i-a+iy ...{n+a + p- If ^^^ («+ a-Vf ... (w+a + p)

auf und beweise durch Spezialisierung von a und p die folgenden Umfor-

mungen

^z\.A^^-^^

n^ 8 '22-3^ 3 „^i(w+ 1)3 (w + 2)3(^+33) _^ 133 3^4^ y ^

26.33 ' 5 ^^^^3(^_|.l)3(^_|,2)3(w+3)3(w + 4)'^

^ V 1 _ 2537 _ 2^-3^ ^ 1

i^ n^ {n + 1)3 2520 35 ^^ n^ {n + If (n + 2)^ (n + 3)' Man berechne die erste Reihensumme auf 6 Dezimalen. 129. Man beweise ähnlich die Umformungen

- 1 7 * 7w(..+ l)+-2.

b)

6 ^t^, &n^{n+iy V _1 _ _!_ _ fr 28^2(^ + |) + 247e + 5 .

.^

c) 2;

e^i m2 (W + 1)2 . . . (W + ^ - 1)2

^ 5^ + 2 _i__M^ti)! f, (- 1)^

MPi-l) iplf 4 ^'ei^^(w-fl)2...(w + ^+l)''

Man berechne die Reihensummen unter a) und b) auf 6 Dezimalen.

130. a) Bezeichnet man die Reihensumme unter c) der vorigen Aufgabe mit Sj,, so liefert sie Beziehungen zwischen Sq und 5^^ bzw. zwischen S^ und •^SÄ+i* ^^^ lauten diese? Kann man in ihnen Ä->oo streben lassen? Welche Transformationen erhält man dadurch? Kann man diese direkt als Markoffsche Transformation gewinnen ?

266 Aufgaben zum VIIT. Kapitel.

Wie lauten nun die unter a) angedeuteten Transformationen der Reihe für log 2?

c) Führe dasselbe mit der Reihe 122 für --- aus.

131, Die Summe s der Reihe V-^ jz r^, bei der n von der

• ^^ M log w log.^ n (logg ny

ersten ganzen Zahl an laufen soll, für die logg « > 1 ist, ist auf 8 Dezimalen

abgerundet genau f^ 1,000 000 00. — Wie läßt sich entscheiden, ob ihre wahre

Dezimaldarstellung mit 0,... oder 1,... beginnt?

(Vgl. hierzu die Bemerkungen auf S. 242.)

132. Man ordne die natürlichen Zahlen der Form p^ mit p>2, ?>2 der Größe nach und bezeichne die entstehende Folge mit (/?„), so daß iPi, Po^ "O^C^, 8, 9, 16, 25, 27, 32, ...). Dann ist

Dritter Teil.

Ausbau der Theorie.

IX. Kapitel.

Reihen mit positiven Gliedern.

§ 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien.

In den vorangehenden Kapiteln haben wir uns mit der Zu- sammenstellung der grundlegenden Tatsachen aus der Theorie der unendhchen Reihen begnügt. Von nun an stellen wir uns etwas weitere Ziele, wollen tiefer in die Theorie eindringen und zu viel- seitigeren Anwendungen übergehen. Dazu nehmen wir zunächst noch einmal die ganz elementar gehaltenen Betrachtungen des III. und IV. Kapitels wieder auf und beginnen mit einer genaueren Untersuchung der beiden Vergleichskriterien I. und IL Art (72 und 73), die wir sofort aus dem ersten Hauptkriterium (70) für die Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Reihen mit positiven Gliedern hergeleitet hatten. Diese und alle verwandten Kriterien wollen wir weiterhin durch eine etwas kürzere Schreibweise zum Ausdruck bringen: 2! c^^ und Hd^ sollen im folgenden irgendwelche Reihen mit positiven Gliedern bedeuten, deren Konvergenz bzw. Divergenz schon bekannt ist, 2Ja dagegen soll eine Reihe sein — und in diesem Kafitel auch stets mit positiven Gliedern — , die auf ihr Konvergenzverhalten hin untersucht werden soll. Dann schreiben wir das Kriterium 72 einfach in der Form

(I) an<Cn : ^^ an>dn : ® , 157.

womit genauer besagt werden soll: Wenn die Glieder a^ der zu untersuchenden Reihe ^^3;^ von einer Stelle an die erste Ungleichung erfüllen, so wird die Reihe konvergieren; wenn sie dagegen von einer Stelle an die zweite Ungleichung erfüllen, so muß sie divergieren.

Das Kriterium 73 lautet dann, ebenso kurz geschrieben:

{II) ^^+1 ^.gn + l . (D^ <gu+l ^ än+1 . 5)^158.

ein ^n ^n ^n

An diese beiden Kriterien wollen wir nun zunächst noch einige Be- merkungen knüpfen. Vorweg sei aber noch einmal betont: Diese und

268 IX- Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

alle ähnlichen im folgenden aufgestellten Kriterien brauchen für eine vorgelegte Reihe die Entscheidung in der Konvergenzfrage nicht zu bringen. Es sind nur hinreichende Kriterien und sie können daher in speziellen Fällen sehr wohl versagen. Ihre Wirksamkeit wird von der Auswahl der Vergleichsreihen 2 c^^ und 2 d^ abhängen (s. u.). Und der Inhalt der folgenden Seiten wird gerade darin zu bestehen haben, durch Aufstellung möghchst vieler und möglichst wirksamer Krherien die Aussicht auf eine tatsächhche Entscheidung in speziellen Fällen zu erhöhen. J59^ Bemerkungen zum I. Vergleichskriterium (157).

1. Da für jede positive Zahl g die Reihen I gc^ und 2 gdn zugleich mit Zcn und 2dn konvergieren bzw. divergieren, so kann man das erste unserer Kriterien auch in der Form

oder also noch prägnanter in der Form

iii^ ^« < -f CX) : e, lim ^^ > 0 : ®

aussprechen.

2. Hiernach muß also stets

dn

-. — d„ , . Cfi -

lim — - = 4- oo , lim -^ = 0

d„

Cn

sein; oder anders ausgedrückt:

lim — = -f CX) ist eine notwendige Bedingung für die Divergenz von 2" a„

Cn

lim^'^^O J7 n notwendige r » ^^ Konvergenz von 2' a.„ .

dn

3. Die Limites selber brauchen hier wie in allen folgenden Fällen nicht zu existieren. Das folgt schon, allgemein zu reden, daraus, daß das Kon- vergenzverhalten der Reihen mit positiven Gliedern nicht geändert wird, wenn wir sie beliebig umordnen (s. 88). Die Umordnung kann man aber stets so einrichten, daß die in Rede stehenden Grenzwerte nicht existieren. Nimmt man z. B. für Z c^ die Reihe 1+1 + ^+1+... und für 2a„ die hieraus durch Vertauschung je zweier Nachbarglieder entstehende Reihe

SO strebt ^" gewiß keinem Grenzwert zu, die Häufungsgrenzen dieses Quo-

Cn

tienten haben vielmehr die voneinander verschiedenen Werte i und 2. Nimmt man ebenso für 2^« die Reihe 1 + i + 1 + i- + • • • und für la,, die daraus durch Umordnung entstandene Reihe

(bei der also auf je zwei ungerade Nenner ein gerader folgt), so hat J' die

voneinander verschiedenen Häufungsgrenzen | und f. Und in ähnlich ein- facher Weise kann man sich in den andern Fällen an Beispielen klar machen, daß die Limites selber nicht zu existieren brauchen. Wenn aber der Limes vorhanden ist, so unterliegt er natürlich, weil er dann beiden Häufungsgrenzen gleich ist, den für diese ausgesprochenen Bedingungen.

160. § 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien. 269

4. Im besonderen: Keine Bedingung der Form " -> 0 ist für die Kon-

dn vergenz von San notwendig, — es sei denn, daß alle Glieder der divergenten Reihe Hdn oberhalb einer festen positiven Zahl d bleiben. Denn ist auch nur lim dn = ^ und wählt man nun Ä^ < Äg < . . . < Ar < • • • so, daß

, 1

ist und setzt a^ = dj^ und die andern a„ entweder = 0 oder gleich den ent- sprechenden Gliedern irgendeiner konvergenten Reihe 2cn, so ist offenbar Z an

konvergent, aber ebenso offensichtlich strebt — ^ nicht -> 0 .

dn

Bemerkungen zum IL Vergleichskr iterium (158).

1. Die Gültigkeit des Vergleichskriteriums II. Art erkennt man jetzt noch

kürzer so: Da nach ihm im Falle (6) wegen _^^_^±1 von einer Stelle an

160.

^n-f-i

ttnlcn monton fällt und dauernd > 0 bleibt, so strebt dieser Quotient gegen einen bestimmten Grenzwert 7>0. Es ist also auch lim ^^ = r <" + OO und

Cn

also lün nach 159, 1 konvergent. Im Falle (S)) wächst a„/^„ von einer Stelle an monoton und strebt also gleichfalls gegen einen bestimmten Grenz- wert >0 oder gegen -foo. Da dann jedenfalls auch lim — ^ > 0 ist, so lehrt

dn,

159, 1 die Divergenz von 2'a„.

2. Das Kriterium II. Art erweist sich hiernach als eine fast unmittelbare Folge des Kriteriums I.Art, d. h. wenn für eine Reihe 2'a„ das Konvergenz- verhalten durch Vergleich mit den (bestimmt gewählten) Reihen 2 Cn bzw. Z d^ nach 158 festgestellt werden kann, so ist dies stets auch nach 157 (bezw. 159, 1) möglich. Dies Verhältnis zwischen den beiden Kriterien ist aber keineswegs um- kehrbar, d. h. wenn I zur Entscheidung führt, braucht II nicht dasselbe zu leisten.

Beispiele hierfür bieten schon die in 159, 3 angegebenen Reihenpaare:

Für das erste Paar ist lim — - = 2 , während -^±i abwechselnd = 2 und = - ist

On an 8 '

also teils größer teils kleiner als der entsprechende Quotient -^^^Ü- ausfällt, welcher ja stets = ^ ist. — Ebenso einfach liegt es bei dem zweiten Paar.

3. Besonders interessant ist dieses Verhältnis der beiden Kriterienarten bei denjenigen beiden Kriterien, die wir als ihre unmittelbare Anwendung in § 13 kennen gelernt hatten, dem Wurzel- und dem Quotientenkriterium, die sich aus I und II durch Benutzung der geometrischen Reihe als Vergleichs- reihe ergaben:

'^''■" l ^ 1 : S) I «« l ^ 1 : ® .

Nach den Bemerkungen unter 2. kann das Quotientenkriterium sehr wohl ver- sagen, wenn das Wurzelkriterium noch entscheidet (die dort gegebenen Reihen Zan sind naheliegende Beispiele dafür); dagegen muß nach 1. das Wurzel- kriterium stets entscheiden, wenn es das Quotientenkriterium schon tut. — Seinen prägnanteren Ausdruck findet dieses gegenseitige Verhältnis beider Kriterien in dem folgenden Satz, der als eine Erweiterung von 43, 3 an- gesehen werden kann.

270 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

161« Satz. Für eme beliebige Zahlenfolge {x^.,x.2t ...) mit positiven Gliedern ist stets

lim ^^^ < lim ■y'^ < Ü^ -y/x' < li^ ^^'- '\

Beweis. Der mittlere Teil dieser Ungleichung ist selbstverständlich^)^ und linker und rechter Teil sind so ähnlich gebaut, daß wir uns mit dem Beweis der einen begnügen können. Wir wählen den rechten und setzen

lim yxn = u , lim — — = //' ,

Xn

so daß die Behauptung „^</" lautet. Ist nun /ii' = -{-(X), so ist hier nichts zu beweisen. Ist aber ^'<-f OO, so läßt sich nach Wahl von e>0 eine ganze Zahl p so angeben, daß für v'^ p stets

Xv+l ^ , , £

-x7^^'~^2 bleibt. Denken wir uns diese Ungleichung für v = p, p + l, ••., n — 1 hin- geschrieben und alle miteinander multipliziert, so folgt, daß für n~^ p

bleibt. Setzt man nun zur Abkürzung die feste Zahl XpAfx' -\-^] = A

ist für n^ p stets

«, — ■ n. — / . e

\Xn <\A . (^/+ 2,

Da nun ■v/X-> 1 und somit L' + |-j ■\J^Z-> / + |- strebt, so kann man nQ> p

so wählen, daß für n > n^ stets L' + ^j \/A'n < A*' + ^ bleibt. Dann ist für

n'^ n^ um so mehr

n — yx„</ + e,

so daß auch fi^Z-^s, also wie behauptet, sogar /i</ sein muß. (Vgl. S. 65, Fußnote 1.) Übrigens lehren einfache Beispiele, daß an keiner der drei Stellen der bewiesenen Beziehung 161 das Gleichheitszeichen zu gelten braucht.

4. Der vorige Satz lehrt insbesondere, daß, wenn l|m -"-"^i- vorhanden ist,

auch lim y'x^ existieren und denselben Wert haben muß. Also ganz speziell: Wenn das Quotientenkriterium in der 76, 2 gegebenen Form eine Entscheidung

1) Dieser Satz ist vom Charakter des Satzes 43, 3. Denn setzt man die Quotienten %, ^' , ^'- , • . • der Reihe nach = y,, y^, ^g, . . ., so han-

1 X. X.2

delt es sich um die Folge (y„) einerseits und die Folge der y/ = Vyi^s ••• y« andrerseits, deren Häufungsgrenzen hier verglichen werden.

2) Man schreibt darum wohl kürzer — und auch wir wollen eine solche Schreibweise im folgenden oft verwenden —

lim ^^^ < m^ i>;^ <: li^^^ .

Xn - ~ Xn

wo nun in der Mitte nach Belieben der obere oder untere Limes genommen werden darf.

2ß2. §37- Die logarithmischen Vergleichsskalen. 271

bringt, so wird es das Wurzelkriterium sicher auch tun (aber nicht umgekehrt!). Alles in allem: Das Quotientenkriterium ist theoretisch weniger wirksam \ es empfiehlt sich aber oft durch seine bequemere Verwendbarkeit.

5. Hierher gehören auch die schon unter 75, 1 und 76, 3 gemachten Bemerkungen.

§ 37. Die logarithmischen Vergleichsskalen.

Es ist schon betont worden, daß Kriterien, wie die zuletzt be- handelten, nur hinreichende Kriterien sind und daher gegebenenfalls versagen können. Ihre Wirksamkeit wird von der Natur der benutzten Vergleichsreihen 2c^ und 2d^ abhängen; und ein ©-Kriterium wird, allgemein zu reden, um so mehr Aussicht auf Erfolg bieten, je größer die c^ — , ein ® -Kriterium, je kleiner die d^ sind. Zur Präzisierung dieser Verhältnisse wollen wir zunächst den hiermit schon angedeuteten Begriff der schnelleren und langsameren Konvergenz bzw. Divergenz festlegen: Wir werden eine konvergente Reihe um so besser kon- vergent nennen, je schneller ihre Teilsummen sich ihrem Summen- wert nähern, und werden eine divergente Reihe um so schwächer divergent nennen, je langsamer ihre Teilsummen ansteigen. Oder

Definition. Sind 2c^^ = s und Sc^ = s' zwei konvergente Reihen 162. mü positiven Gliedern, sind s^ und s^' ihre Teilsummen und s — s^ = r^, s' — s/ = y„' die zugehörigen Reste, so soll die zweite der ersten gegen- über als schneller oder langsamer (auch: besser oder schlechter) konvergent bezeichnet werden, je nachdem

lim — = 0 oder lim ^ = + oc

ist. Ist der Grenzwert dieses Quotienten vorhanden und hat er einen positiven endlichen Wert, oder sind auch nur seine beiden Häufungs- grenzen > 0 und < -f- oo, so wird man die Konvergenz beider Reihen als eine gleichartige bezeichnen. Liegt auch dieser Fall nicht vor, so ist es nicht tunlich, die Güte ihrer Konvergenz zu vergleichen^). — Sind 2d und 2 d^ zwei divergente Reihen mit positiven Gliedern und s^ und s/ ihre Teilsummen, so soll die zweite gegenüber der

1) Man könnte noch im Falle, daß lim -^ = 0 (> 0)' und lim -^ < + CX3

(= + Oü) ist, die Reihe 2 c'„ „nicht schlechter" („nicht besser«) konvergent nennen als die Reihe 2 Cn; doch bietet das keine besonderen Vorteile. Im Falle endlich, daß der untere Limes = 0 und der obere = + OO ist, wäre die Güte der Konvergenz beider Reihen durchaus unvergleichbar. Und ähnliche Bemer- kungen gelten für die Divergenz. (Man mache sich an Beispielen klar, daß alle genannten Fälle wirklich eintreten können.)

272 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

ersten als langsamer oder schneller divergent bezeichnet werden, je nachdem

lim — = 0 oder lim — = + cx)

ist. Hat die Folge dieser Quotienten positive endliche Häufungs- grenzen, so wird man die Divergenz beider Reihen als gleichartig bezeichnen. Liegt auch dieser Fall nicht vor, so wird man sie hin- sichtlich der SchnelHgkeit ihrer Divergenz miteinander nicht ver- gleichen^).

Die beiden folgenden Sätze zeigen, daß man die Schnelligkeit der Konvergenz oder Divergenz zweier Reihen schon oft ihren Glie- dern (nicht erst ihren Resten bzw. Teilsummen) ansehen kann:

Satz 1. Strebt -^->0 (-> + oo), so konvergiert Z c^ schneller

{langsamer) als Zc^.

Beweis. Nach Wahl von e wird man im ersten Falle n^ so be- stimmen können, daß für n > n^ stets c/ <sc^ ist. Dann ist aber auch

rn' ^ ^n+l + ^n + 2 + ' ' ' ^ ^ ^n + l+^ _ ^

SO daß dieser Quotient ->0 streben wird. Und da der zweite Fall aus dem ersten durch Vertauschung der beiden Reihen hervorgeht (vgl. den Satz aus 40,4, Bem. 4,), so ist hiermit schon alles bewiesen.

Satz 2. Strebt ^ -> 0 (^ + oo), so divergiert I d^ langsamer

{schneller) als Zd^.

Beweis. Nach 44,4 folgt aus 4^->0 unmittelbar, daß auch

^1 -f ^2 + • • • + ^« Sn

strebt, — womit der Satz schon bewiesen ist. Einfache Beispiele. 1. Von den Reihen

^^^* y ' y' y-i- y-^ v- y-, Z-

konvergiert jede folgende besser als die vorangehende. Denn es ist z. B.

für w>4

1^-1 _ ^ - f3'3-3y3 . . :^3 9 /3^^»-3 Trr ' 3""~ w! ~"\l-2-3/-4..'.w 2 \4/

1) Die in diesen Definitionen festgelegten Eigenschaften sind ersichtlich transitiv, d.h. wenn eine erste Reihe schneller konvergiert als eine zweite, diese ihrerseits schneller als eine dritte, so ist die erste Reihe auch schneller konvergent als die dritte.

163. § 37. Die logarithmischen Verg-leichsskalen. 273

l0£f" 11

was geg-en 0 strebt. Ebenso strebt —^ ►O (nach 38, 6), — und noch ein-

n '

facher liegt es bei den andern Reihenpaaren. 2. Von den Reihen

n ^^ 11 log n ' '^' n log n log., w ' divergiert jede folgende schwächer als die vorangehende.

Neben diesen einfachen Beispielen bieten die Reihen, die wir schon in § 14 antrafen, die wichtigsten Beispiele für Reihen von ab- gestufter Schnelligkeit ihrer Konvergenz bzw. Divergenz. Wir sahen dort, daß die Reihen

2-1 , V ^J , 2 ^ ^ . . . , j;— ~

w" n log'' n n log n log^ n n log n . . . log ^^ ^ -log" n

für a> 1 konvergieren, für « ^ 1 divergieren. Jetzt lehren die Sätze 1 und 2 genauer: Bei festem p wird eine jede dieser Reihen um so langsamer konvergieren bzw. divergieren, je näher der Exponent a {> 1 hzw. ^\) an 1 liegt; und ebenso wird eine jede dieser Reihen um so langsamer konvergieren bzw. divergieren, je größer p ist, — und dies, welchen positiven^) Wert bei einer jeden von ihnen der Exponent « (> 1 bzw. ^ l) sonst auch haben mag.

Nur die zweite dieser Feststellungen bedarf vielleicht einer Begründung: Dividieren wir dazu das allgemeine Glied der (p + 1)*^^ Reihe mit dem Expo- nenten a' durch dasjenige der p^^^ Reihe mit dem Exponenten cc^ so ergibt sich

log;«

\ogpn-\og^_^^n

hn Falle der divergenten Reihen sind nun a und a' positiv , aber < 1 ; der Quotient strebt gegen 0, w. z. b. w. Im Falle der Konvergenz, wo also cc und a'>l sind, strebt er aber > + Oü, weil — ganz ähnlich wie 38, 6 — der Hilfssatz gilt, daß die Zahlen

log^ + l« l0g(l0g^7j)

logl^n log^n

eine Nullfolge bilden, wenn ß irgendein positiver Exponent und p eine natür- liche Zahl ist. Damit ist beides bewiesen.

Wegen dieser abgestuften Schnelligkeit der Konvergenz und Divergenz liefern uns diese Reihen ganze Skalen von Kriterien, wenn wir sie bei den Kriterien I und II (S. 267) als Vergleichsreihen be-

^) Für <x = — ß '-C 0 divergiert die Reihe natürlich schneller als die je-

log il

weils vorangehende mit dem Exponenten 1 ; z. B. V — ^ mit ßy-O divergiert

schneller als y - .

— ' n

Knopp, Unendliche Reihen. 18

274 IX- Kap, Reihen mit positiven Gliedern.

nutzen. Diese Kriterien erhalten wir zunächst ganz unmittelbar in der Form

164.

(I)	"=l _ mit { «n ^ ^ nlogn... \ogp_^n log« n U ^ 1 :
(")	an+l£] n logn log^-i« ( ^^Spn V an ^i'^ + l log:(^ + l)'""iog^_i(^+l) Vlog^(>^+l)/ . ( a>l : e

Und diese Kriterien, die wir in der Folge kurz als die logarith- mischen Kriterien bezeichnen wollen • — auch im Falle p = 0 — , können nach dem vorher Gesagten durch Wahl von p und bei festem p noch durch Wahl von a in ihrer Wirksamkeit gesteigert werden^).

Für den praktischen Gebrauch ist es vorteilhaft, diesen Kriterien noch etwas andere Gestalt zu geben. Wir wollen im folgenden einige solcher Um- formungen nenneji und einige Bemerkungen daran anknüpfen, ohne indessen die dazu nötigen Rechnungen vollständig hinzuschreiben.

165. Umformung der logarithmischen Kriterien 164, I.

1. Da bei positivem a und b die Ungleichungen a^b und loga^logb dasselbe besagen, so kann den Ungleichungen 164, (1) nach geringen Um- formungen die Gestalt gegeben werden:

log «n + log w + log2 n-r--- logp n j <-ß<0 : ß

2. Bezeichnet man für einen Augenblick den in diesem Kriterium (!') linksstehenden Ausdruck zur Abkürzung mit yi„, so hat man in

(I") limyl„<0 : £, lim^„>0 : 2)

ein wesentlich dasselbe leistendes Kriterium. Sein auf die Konvergenz bezüg- licher Teil ist nämlich mit dem vorigen völlig inhaltgleich, der auf die Divergenz bezügliche nicht ganz. Denn hier wird jetzt nicht nur verlangt, daß der Ausdruck A„ von einer Stelle an stets ^0 bleibt, sondern sogar, daß er oberhalb einer festen positiven Zahl bleibt^).

1) Die Konvergenz und Divergenz der Reihen des obigen Typs war N. H. Abel schon 1827 bekannt, wurde aber von ihm nicht veröffentlicht (CEuvres 11, S. 200). Zur Kriterienbildung wurden diese Reihen zuerst von A. de Morgan benutzt (The differential and integral calculus, London 1842). Umformungen dieser ihrem Wesen nach stets auf 164, I und II, zurück- kommenden Kriterien wurden dann vielfach als besondere Kriterien veröffent- licht, so von /. Bertrand (J. de math. pures et appl., Bd. (1) 7 (1842), S. 35), O. Bonnet (ebenda, Bd. (1) 8 (1843), S. 78), U. Dini (Giornale di matematiche, Bd. 6 (1868), S. 166) u. a.

2) Das letzte ©-Kriterium in der Form Hm^„>0 zu schreiben wäre aber ersichtlich falsch, da die untere Häufungsgrenze einer Zahlenfolge sehr wohl 0 sein kann, ohne daß auch nur ein einziges Glied derselben positiv ist.

166« § 3''- Die log-arithmischen Vergleichsskalen. 275

3. Setzt man in etwas sorgfältigerer Schreibweise ^^ = ^^^^ und betrachtet neben AJf^ noch ^Jf+-^\ so ist ersichtlich

log^ n log n

Und da nun = wegen 38,6 mit wachsendem n gee^en

lo&^+l^ log(log^w) & ' & B

+ oo Strebt, so lehrt diese einfache Umformung folgendes : Wenn für ein be- stimmtes/? eine der Häufungsgrenzen von J„ = ^Jf^ nicht 0 ist, so ist sie für das nächstfolgende p, unter Beibehaltung des Vorzeichens, sicher oo. Oder ge- nauer : Bezeichnen wir für jedes p die untere und die obere Häufungsgrenze von ^» = ^!f^ ^^^ ^p "^^ /^py ""^ ist für ein bestimmtes p

und ist	>ip^/^p<0 ,	so ist	^P+i = f^p+i = - CXD ,
Ist aber	f^p>>ep>0 ,	so ist	f^P+i = ""p+i = + OO .

^p<0, fip>Q , so ist Xp^j^ = — oo , f^p+j^ = + oo . Eine Erledigung der Konvergenzfrage ergibt sich also durch die Kriterien- skalen (I) dann und nur dann, wenn für ein bestimmtes p die beiden Werte Xp und jUp dasselbe Vorzeichen haben, Ist es negativ, so konvergiert die Reihe ist es positiv, so divergiert sie. Haben die beiden Zahlen für ein p ver- schiedene Vorzeichen, so ist für alle höheren p

lim^(^)=-00, ][i^^|f^ = + 00

und die Skala liefert also keine Entscheidung. Desgleichen versagt sie, wenn eine der beiden Zahlen für jedes p gleich 0 ist.

Umformung der logarithmischen Kriterien 164, II. 166.

1. Hier gilt zunächst der folgende leicht beweisbare

Hilfssatz. Es besteht für jedes ganze p^Ound jedes reelle a eine Gleichung der Form

l0g^(>Z-l)\a^ 1 _ ^ K

logp n I n log n . . . log^ n n'^ ^

bei der die d'n eine beschränkte Zahlenfolge bedeuten'^). Dabei soll n erst von einem passenden, hinreichend großen Werte an laufen.

^) Eine Gleichung der hingeschriebenen Form besteht natürlich unter allen Umständen ; denn die d^ kann man ja geradezu durch die Gleichung selbst als definiert ansehen:

= n''\l-

log"/, (w - 1)\«

n log n . . . logp n \ log^, n Der Schwerpunkt der Behauptung liegt also erst darin, daß diese ^„ eine be- schränkte Zahlenfolge bilden. — Der Beweis ergibt sich induktiv unter Be- nutzung der beiden Bemerkungen, daß die durch die Ansätze

1 \ 1 ^''

(1 - AT«)« =\-ax^- {^J x^^ und log 1

V ny„/ nyn

von einer Stelle an definierten Folgen (ß^') und (<^„") beschränkt sind, falls die Xn eine Nullfolge bilden und die y„ etwa alle absolut genommen > 1 sind.

18* ~

276 IX- ^^P- Reihen mit positiven Gliedern.

Und aus ihm ergibt sich unmittelbar, daß für jedes ganze ^^0, jedes reelle a und alle n von einer Stelle an

' n-\ log(M-l) logp-i(w-l) /logy(n-l)\« n ' log w * " log^,_i n \ log^ n )

_ 1 _ 1 1 ^ nn_

~ ~'n nlogn " ' nlogn . . . log^_i n nlogn . . . logp n n- gesetzt werden kann, wenn die »y„ wieder eine passende, jedenfalls beschränkte Zahlenfolge bezeichnen.

Endlich kann dies auch _ 1 1 1 cc-i-Sn

n n log n ' " n log n . .. log^_i n n log n . . . logp n gesetzt werden, wenn (e,,) eine passende Nullfolge bedeutet^).

2. Hiernach können den logarithmischen Kriterien zweiter Art z. B. die folgenden Formen gegeben werden 2):

IßT ^^^\l_l ^- ^- "^^^

an > ) w «logw " « log M . . . log^_i w nlogn .. .logp n

: e

oder auch

ra>i l a^ 1

S)

168.

arn +

1||,-A

an >: ) n nlogn nlogn .. logp-in nlogn .. logpn

. r a' > 1 : e

nach leichter Umformung auch die Form:

,ßQ r^^!Lti_.i + Ji + ... + _- ^— • nlogn... logpn|^~ ". ^

*"*'• L an n nlogn. ..logpnJ 1^0 • -^^

oder endlich, indem man den hier linksstehenden Ausdruck abkürzend mit B„ bezeichnet und bezüglich des ©-Kriteriums eine geringe Einbuße seiner Trag- weite mit in Kauf nimmt (vgl. 165, 2)

l\v^Bn<0 : e, limJ5„>0 : ©•

Die hieran in 165, 2 angeknüpften Bemerkungen bleiben sinngemäß bestehen.

5. Auch die Ausführungen in 165, 3 bleiben hier mit ganz unwesent- lichen Änderungen gültig. Denn setzt man, in etwas sorgfältigerer Schreib- weise, Bn = B'^^ , so ist ersichtlich

ß(^+i)=l+ßf .log^+,^.

Und an diese Beziehung knüpfen sich nun in der Tat wegen log^+i w -> + CO genau dieselben Ausführungen wie in 165, 3 an die dort benützte Gleichung. Es erübrigt sich, dies im einzelnen auszuführen.

6. Man stellt nun sofort noch allgemeiner fest, daß eine Reihe von

der Form

V l

^ g(a-l)« . ^«0 iog«iM logl^n . . . log«? n

1) Wie dies alles für /? = 0 zu verstehen ist, ist ja unmittelbar klar.

2) Wir stellen hier das n^ Glied der zu untersuchenden Reihe 2'a„ dem (m_ l)t«a Qiied der Vergleichsreihe gegenüber, was nach 82, 11 geschehen darf.

170. § 38. Spezielle Kriterien. 277

dann und nur dann konvergieren kann, wenn der erste der Exponenten a, «q, ciqi der von 1 verschieden ist, >- 1 ausfällt. Auf die Werte der folgen-

• , ^g>

den Exponenten kommt es dann gar nicht mehr an. — Bei dieser Form der Vergleichsreihe sieht man noch deutlich, daß das in § 38 gegebene Raahesche und das Cauchysche Quotientenkriterium als 0*®^ bzw. (— 1)*^^ Glied der loga- rithmischen Skala angesehen werden können.

§ 38, Spezielle Kriterien.

Die logarithmischen Kriterien, die wir im vorigen Paragraphen abgeleitet haben, besitzen zweifellos mehr ein theoretisches als ein praktisches Interesse, da sie zwar eine vertiefte Einsicht in eine systematische Konvergenztheorie der Reihen mit positiven Gliedern gewähren, aber für die tatsächliche Prüfung der Konvergenz von Reihen, wie sie in den Anwendungen der Theorie auftreten, wenig in Frage kommen. (Darum haben wir die darauf bezügHchen Be- trachtungen auch nur skizzenhaft durchgeführt.) Hierzu eignen sich höchstens ihre ersten zwei oder drei Glieder, aus denen wir nun durch Spezialisierung eine Anzahl einfacherer Kriterien herleiten wollen, die im Laufe der Zeiten mehr zufällig entdeckt und jeweils auf besonderen Wegen bewiesen wurden, und die sich nun alle in einen größeren Zusammenhang einordnen.

Für p = 0 liefert die logarithmische Skala ein Kriterium 2. Art, das schon von /. L. Raabe^) herrührt. Wir erhalten es zunächst in der Form

^^{io

■»+1 , , M .. I ^ - /^ < 0 ■■ <2

a„ ' ti J I > 0 : ® ^

was man nun vorteilhafter so schreibt:

1J^{>_1 , ^.^ 170.

1) Zeitschrift für Phys. u. Math, von Baumgarten u. Ettinghausen, Bd. 10 (1832), S. 63. Vgl. auch /. M. C. Duhamel (J. de math. pures et appl. Bd. (1) 4 (1839), S. 214.)

-) Wegen des elementaren Charakters und der großen Brauchbarkeit dieses Kriteriums lohnt es sich, einen direkten Beweis für seine Gültigkeit zu geben: Die (2-Bedingung besagt, daß von einer Stelle an

-^^ ^1 oder n a„+i ^ (*^ — 1) a„ — ß a^ ist , mit /? = « — 1 > 0 .

Danach ist aber

{n — \)an — n an+x ^ /^ «« > 0 und also die Folge (n «„4-1) von dieser Stelle an monoton fallend. Da sie positiv bleibt, strebt sie einem Grenzwert y^O zu, so daß die Reihe 2 Cn mit

<^M = (w — l)«n — «««+1 nach 131 konvergent ist. Wegen an<--T-Cn liefert dies

~ P aber auch unmittelbar die Konvergenz von Za„. — Ebenso hat man, wenn

278 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

Hat der linksstehende Ausdruck für w^ + oo einen Grenzwert /, so ergibt die schon mehrfach angewandte Betrachtung (s. 76, 2), daß / < — 1 die Konvergenz und Z > — 1 die Divergenz von 2"«^ zur Folge hat, während / = — 1 uns keinen unmittelbaren Aufschluß gibt.

Beispiele. 1. In § 25 hatten wir die Binomialreihe untersucht und es fehlte dort noch die Entscheidung darüber, ob diese Reihe auch noch in den Endpunkten des Konvergenzintervalles konvergiert oder nicht, ob also bei gegebenem reellem cc die Reihen

konvergieren oder nicht. Diese Entscheidung können wir jetzt fällen. Für die zweite der Reihen hat man

an+x ^ _ «-^^ ^ (w + 1) - (o^ + 1) ^ an ~ w + 1 >^ + 1

Da dieser Quotient von einer Stelle an positiv ist, so haben die Glieder von da ab alle dasselbe Vorzeichen. Dies können wir positiv annehmen, da es auf ein gemeinsames Vorzeichen aller Glieder natürlich nicht ankommt. Weiter ist nun hiernach

und das Raabesc\ie Kriterium liefert nun sofort, daß die zweite unserer Reihen für a>0 konvergiert, für a<0 divergiert. Für k = 0 reduziert sich die Reihe auf das Anfangsglied 1.

Für die erste der Reihen ist

««+1 1 I '^^^

an w+ 1

und da dieser Wert von einer Stelle an negativ ist, so hat diese Reihe von da ab alternierende Vorzeichen. Ist nun a+1^0, so ist hiernach

««+1

>1,

und dies lehrt, daß die Glieder a„ schließlich nie mehr abnehmen. Die Reihe

«n+i

muß also divergieren. Ist aber a + l>0, so ist -^ < 1 und die Glieder

nehmen jetzt von jener Stelle an ihrem Betrage nach monoton ab. Nach dem Leihnizschen Kriterium für Reihen mit alternierenden Gliedern muß die unsere also konvergieren, wenn wir noch zeigen könnten, daß jetzt (^^j->0 strebt. Ist aber die Ungleichung

— M + 1

die 3)-Bedingung erfüllt ist,

^^^LtL ^ 1 - -- oder (w - 1) a„ - w «„+i < 0 . Hiernach ist n a„+i monoton

wachsend und bleibt daher größer als eine feste positive Zahl y. Aus «„+i > - , y > 0 , folgt nun aber unmittelbar die Divergenz.

171. §38. vSpezielle Kriterien. 279

etwa für n ^m erfüllt , so folgt durch Multiplikation dieser für w , m + 1 , . . . , n ~1 angesetzten Beziehungen, daß für n ^ m

^ ( a-\-\ \<^n\^\a,n\- n V~-^ v=m+l

ist. Da aber das Produkt ^^^M — — j nach 126, 2, 3 gegen 0 divergiert, so

strebt auch a„->0 und ^\] muß also konvergieren. Zusammenfassend haben wir also bezüglich der binomischen Reihe:

^\n)^^ w/ dann und nur dann konvergent, wenn j ;v | <C 1 oder wenn

X = — l und gleichzeitig o; >■ 0 oder wenn x — -\-\ und gleichzeitig (z >> — 1 ist. Ihre Summe ist dann stets (I+at)". In allen andern Fällen ist sie divergent. (Eine wesentliche Ergänzung hierzu bildet noch 247, S. 410.)

2. Nicht wesentlich verschieden von dem i?aa&ßschen Kriterium ist das folgende, das von O. Schlömilch herrührt:

In der Tat ist im Falle (3)) nach 114

an ~ n

was nach dem Raabeschen Kriterium die Divergenz zur Folge hat; und im Falle (S) ist von einer Stelle an

an — — n

wenn a > a' > 1 ist. Dies zieht nach 170 die Konvergenz nach sich.

Wählen v^ir in der logarithmischen Skala p = 1, so erhalten wir ein Kriterium 2. Art, das wir unter Weglassung des Grenzfalles a= 1 so schreiben können

a

n + l

==l_i__,^!^ mit /«"^«>1 = t 171

n nlogn l «.,<«< 1 : ®.

Auch hier gilt der schon mehrfach gemachte Zusatz, daß falls a^ gegen einen Grenzwert / strebt, für / > 1 Konvergenz, für / < 1 Diver- genz stattfinden wird, während aus 1=1 zunächst noch gar nichts ge- schlossen werden kann^).

^) Ein direkter Beweis für die Gültigkeit dieses Kriteriums kann ähnlich wie beim Raabeschen Kriterium folgendermaßen gegeben werden: Wie dort geben wir ihm zunächst die Form:

[{n-l)logn-l]an-[nlogn]a _^J^^''- "^'^ ^>^ ' ^

Ist nun die (S^-Bedingung erfüllt^ so ist wegen

{n — 1) log (m — 1) > (w — 1) log w — 1 — eine Beziehung, die man nach 114, a sofort als richtig erkennt — erst recht {n — 1) log {n - 1) . a„ - w log w • a^^^ ^ßa^.

280 I-^- Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

Selbst dieses erste (wirklich logarithmische) Kriterium der Skala wird nur selten in der Praxis zur Anwendung gelangen; denn die Reihen, die auf dieses Kriterium reagieren und nicht schon auf ein einfacheres (das RaaheschQ oder das Quotientenkriterium) treten äußerst selten auf; und da ihre Konvergenz eine so langsame ist wie

bei der Reihe ^' - , (« > 1), so sind sie auch für numerische

11 log" 11

Zwecke völlig unbrauchbar.

Mit seiner Hilfe lassen sich aber nun leicht noch einige andere Kriterien herleiten; wir erwähnen nur noch folgendes

172. Gaußisches Kriterium^); Kann man den Quotienten ■ in

der Form

schreiben und ist hierin X > 1 und (i^,^) eine beschränkte'^) Zahlenfolge, so ist Za^^ für a> 1 konvergent, für « ^ 1 divergent.

Der Beweis ist unmittelbar; für a^l lehrt schon d2iS Raabesch.^ Kriterium die Richtigkeit der Behauptung. Für ci = 1 setzen wir

a„ n n log n \ „^^-1

und da nun der letzte in Klammern gesetzte Faktor wegen (A — l) > 0 eine Nullfolge bildet, so ist die Reihe nach 171 gewiß divergent.

Gauß hat dies Kriterium in noch etwas speziellerer Form folgender- maßen ausgesprochen: ..Kann der Quotient an+ija^^ in der Form

Es ist also «logna„^i monoton fallend und strebt daher gegen einen Grenz- wert y^O. Nach 131 muß also die Reihe mit dem Gliede

~ c„ = (n - 1) log {n - 1) • rt„ - 11 log «•«„ + !

konvergieren. Wegen a«^-^-c„ gilt dann das gleiche für Z a^- Ist andrerseits die ^-Bedingung erfüllt, so ist

(«-l)log(w-l).fl,-nlog«.a„^i^ ;-/^' + l-(>i-l)log(l+^^^:jY)jan.

Für « -> + C50 strebt aber (nach 112, b) die in der eckigen Klammer stehende Folge -> - ß\ und ist also von einer Stelle an negativ. Daher nimmt jetzt die Folge n loen a , von dieser Stelle an monoton zu und bleibt also oberhalb einer

gewissen positiven Zahl ;-. Wegen «,^^^ > —j^-_^^, y>0, muß nun aber l^a^

divergieren.

1) Werke, Bd. :i, S. 140. — Dies Kriterium ist von Gauß 1812 aufgestellt

worden.

2) Vgl. die Fußnote auf S. 275.

172. §38. Spezielle Kriterien. 281

1 konvergieren, für nach dem Voran-

geschrieben werden, so wird	2a„	iür	\ - b:	< —
K-K^	— 1 divergieren.	i	Der	Beweis	liegt
gehenden	auf der Hand.

Beispiele. 1. Dieses Kriterium hatte Gauß hergeleitet, um über die Konvergenz der sogen, hy per geometrischen Meihe

CL.ß a(a + l) /^(^ + 1),. I

ß^{0i + \)...{a + n-\) ß{ß+\)...{ß-rn-\)

n=0

1-2. ..w _ j,(y4-i)...(j, + ,, _i)

zu entscheiden, bei der a, ß, y irgendwelche von 0, — 1, — 2, . . . verschiedene reelle Zahlen bedeuten^). Hier ist

an "(l+^rCz + w) und dies lehrt zunächst, daß die Reihe für |;tr|<;l (absolut) konvergiert, für j;ir|;>l divergiert. Es bleiben also (ähnlich wie bei der binomischen Reihe, in die die vorgelegte ja übergeht, wenn man ß = y(== 1) wählt und zugleich u und X durch — a und — x ersetzt) allein die beiden Werte x = 1 und x = ~\ zur Untersuchung. Für a' = -f- 1 ist

^n+i n^ + (cc~T ß)n + aß ein ~ n'^+{y + V)n + y und dies zeigt, daß die Glieder der Reihe von einer Stelle ab alle das gleiche Vorzeichen haben, das wir wieder positiv annehmen dürfen. Und nun lehrt das Gaußsch.e Kriterium, daß die Reihen für o: + /5 — 7 — 1-< — 1, d.h. für a-\- ß <iy konvergieren, für a-\- ß'^y divergieren werden.

Für X == — 1 ist die Reihe (von einer Stelle ab) alternierend, weil

'»+1

n^ -{- (cc -{- ß) n -}- a

a + ß~y-l &„

1+- + -„

n n-

«« w^ + (7 + 1) w + }'

schließlich negativ wird^). Fast wörtlich dieselben Erwägungen wie in 170, 1 bei der binomischen Reihe lehren nun, daß

"für a + ß — y^l Divergenz, für a-^- ß — y <Cl Konvergenz der hypergeometrischen Reihe eintreten wird^).

^) Für diese Werte würde die Reihe entweder abbrechen oder sinnlos werden. Für n = 0 soll das allgemeine Glied der Reihe = 1 gesetzt werden.

2) Die ^„ bedeuten hier wieder eine beschränkte Zahlenfolge.

3) Nur daß auch Divergenz eintritt, wenn 0: + /? — 7 = 1 ist, muß hier ein wenig anders bewiesen werden wie damals. Man schließt etwa so : Ist für

":^1±1 = _ [ 1 + " ) und hierbei stets \^J<d', so ist, wenn wir uns p gleich so groß gewählt denken, daß p'^ >> & ist ,

I ". I > I ". I (1 - ^) (1 - (^T)i) ■ • • (1 - (^TTl)^

Und da hier das Produkt konvergiert und nur positive Faktoren hat, so bleiben alle I Un \ oberhalb einer noch positiven Schranke. Die Reihe kann nicht kon- vergieren.

282 IX- Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

2. Das Raabesche (S-Kriterium versagt, falls in

an ~ n

die Zahlen ccn zwar ständig >• 1 bleiben, aber den Wert 1" zur unteren Häufungsgrenze haben. Setzt man in solchem Falle cc„ = 1 4-/?„, so ist die Be- dingung

lim n ß,^ = -f-oc notwendig zur Konvergenz von 2" a„ ^) ; denn wäre n ß„ = 0„ beschränkt, so wäre

a„ 11 n^

und folglich 2" a„ nach dem Gaz/ySischen Kriterium divergent,

§ 39. Die Sätze von Abel^ JDini und Pringsheim und neue Herleitung der logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen.

Die logarithmischen Kriterien, die wir als die bisher weitest- gehenden erhalten haben, sind insofern von etwas zufälligem Charakter, als sie auf der Benutzung der Abelschen Reihen als Vergleichsreihen beruhten, die uns ihrerseits als zufällige Anwendungen des Cauchyschen Verdichtungskriterium begegnet waren. Dieser Charakter der ZufäUig- keit wird ihnen in etwas genommen werden, wenn wir auch von ganz andrer Seite her mit einer gewissen Notwendigkeit zu ihnen gelangen. Den Ausgangspunkt hierzu bildet der folgende

173. Satz von ^6c^ und X)mi^): Ist ^d^^eine beliebige divergente Reihe

mit positiven Gliedern und sind D^ = d^-{- d.-,-\- . . . -\- ^„ ihre Teil- summen, so ist die Reihe

d^ ... J c^ > 1 konvergent,

n=i »=i^n i oj ^ 1 divergent.

Beweis. Da im Falle, daß oj = 1 ist,

dn + l |_ _| dn+k \ dn + 1 + - • • + '^n + k .- __ ^n

Dn + 1 + • ■ ■ "T~ Dn + k = AT+ä ~ J^n + k

ist, und da nach Voraussetzung Dr-^ + oo strebt, so kann man zu jedem n sich k = k^^ so gewählt denken, daß

f^ < -s- , also an + l + ^n + 2 -f • • • -h «n+Ä„ > ^

1) E. Cahen, Nouv. Annales de Math., Bd. (3) 5, S. 535.

'■^) N. H. Abel hatte (J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 3 (1828), S. 81) nur

die Divergenz von ^ ^" - bewiesen ; U. Dini (Sülle serie a termini positivi,

Annali Univ. Toscana, Bd. 9 (1867), bewies den Satz im obigen Umfange. Erst 1881 wurden Schriften von Abel bekannt (CEuvres II, S. 197), die auch den auf die Konvergenz bezüglichen Teil des obigen Satzes enthalten.

175. §39. Die Sätze von Abel, Dini und Pringsheim. 283

ist; nach 81, 2 muß also I! a^^ für oj = 1 und daher um so mehr für cc ^1 divergieren.

Der Konvergenzbeweis im Falle a > 1 ist ein klein wenig müh- samer. Wir beweisen ihn sogleich in einer von Pringsheim^) her- rührenden Verallgemeinerung:

Satz von Pringsheim: Haben d^ und D^ dieselbe Bedeutung wie 174, soeben, so ist die Reihe

^ dn ^Dn-Dn-X

für jedes ^ > 0 konvergent.

Beweis. Man wähle eine natürUche Zahl j) so, daß — < p ist.

p ^

Dann genügt es, die Konvergenz unserer Reihe für den Fall zu be- weisen, daß in ihr der Exponent q durch t = — ersetzt wird. Da ferner die Reihe

«=2UU Dl

wegen Dn-i <£)„-> + oo nach 131 konvergent ist und positive Glieder hat, so würde es ausreichen, das Bestehen der Ungleichung

n n—1 \ n— 1 n

oder also der Ungleichung

für alle 0 < :v ^ 1 zu beweisen. Die Richtigkeit dieser letzten Un- gleichung ist aber wegen (l — od*) ^= [l — x){l -]- x -\- . . . -\- x^~^) so- fort einzusehen. Damit ist der Satz schon bewiesen,

ZusätzeundBeispiele. 175,

1. Bei dem Abel-Dinischen Satze darf man natürlich die Größen D,^ durch irgendwelche Zahlen D^ ersetzen, die ihnen asymptotisch gleich sind oder für die der Quotient Dnj^n für alle n (wenigstens von einer Stelle an) zwischen zwei festen positiven Zahlen bleibt. Das kann nach 70, 4 das Konvergenz- verhalten nicht ändern,

2, Mit Z dn ist nach dem ^&ß/-i)mischen Satze auch

Sdr!:^.!^-

divergent. Man könnte fragen, in welchem Größenverhältnis die entsprechenden Teilsummen beider Reihen zueinander stehen. Hierüber gilt folgender schöne

1) Math, Annalen, Bd. 35 (1890), S. 329.

284 IX- K^P- Reihen mit positiven Gliedern.

Satz^). Falls-— -».0 strebt-), g-ilt für die Teilsummen der neuen Reihe die Abschätzung

sie wachsen also wesentlich genau so, wie die Logarithmen der alten Teil- summen.

Beweis. Wenn ;v„ = _^ ^- 0 strebt, so strebt nach 112, b

^« Oder also JÄR^ ^ \

log log

\—Xn Dn-1

= 1 und für diejenigen Indizes, für die x^^O sein sollte, auch den eben genannten Quotienten = 1 gesetzt. Nach dem Grenzwertsatz 44, 4 strebt dann (wegen log JD„-> + 00) auch

^1 4_ ?2 I I ^ZL ^1 -P^ • '^n ^ _J___ [iL , ^2 + 4-^Ul

log Z>i -f log jf- -f . . . + log —

womit der Satz schon bewiesen ist.

Man erkennt auch noch sofort, daß bei der Behauptung dieses Satzes links und rechts die Z)„ durch irgendwelche Größen D/ ersetzt werden dürfen, die ihnen asymptotisch gleich sind.

3. Mit Hilfe dieser Bemerkungen lassen sich nun in einfachster Weise die zu Eingang des Paragraphen angedeuteten Betrachtungen durchführen:

a) Die Reihe ^ d^ , bei der stets ^„ = 1 und also D„ = n ist, muß als die n=:l einfachste divergente Reihe angesprochen werden, denn die Folge D„ ee= n der natürlichen Zahlen ist der Prototyp einer -> -f- oo divergierenden Folge. Der Abel-Dinische Satz lehrt dann sofort, daß die harmonischen Reihen

konvergieren,

"»1 r a > 1

y _ für • " ^ ^

■^no^ \ a ^l divergieren.

n = l und der Satz aus 2. lehrt weiter, daß im letzteren Falle

^+^ + ^ + -'- + -^^^^Sn z ö n

ist. — b) Wählen wir nunmehr im Abel-Dinischen Satze für ^ d,t die nach a) erneut als divergent erkannte Reihe 2^—, so dürfen wir nach l. und 2. D^ durch Dn=^ogn ersetzen und finden, daß auch

CO 1 f a > 1 konvergiert,

y für < . . ,.

„flnlog«^ 1^<1 divergiert

Und der Satz aus 2. lehrt weiter, daß

1,1, ,1

21og2 ' 3 log 3 ' "^ nlogn

log log n = logg n

1) s. E. Cesäro, Nouv. Annales de Math., Bd. (3) 9 (1890), S. 353.

2) Diese Forderung ist sicher schon dann erfüllt, wenn die d^ beschränkt bleiben, — also bei allen in der Folge auftretenden Reihen.

175. § ^9- ^^^ Sätze von Abel, D ini und Pringsheim. 285

ist. — c) Durch Wiederholung dieser äußerst einfachen Schlüsse ergibt sich nun erneut, aber völlig unabhängig von den früheren Resultaten: Die hei einem hinreichend hohen Index'^) begonnenen Reihen

1 . .. f a >> 1 konvergent^

n nXogn ... log. _^ n (log^ nf l a ^ 1 divergent,

welche natürliche Zahl auch p bedeuten mag. Und für die Teilsummen der mit a = 1 angesetzten Reihe gilt die asymptotische Gleichung n j

,=,^i''logv...log^_iV-log^v ^+^

4. Ein zu 173 analoger, aber von einer konvergenten Reihe ausgehender Satz ist der folgende

Satz von JHni'^), Ist Z Cn eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern und sind r^_^ = c^ + c^_^^i- ... deren Reste, so ist

c„ ^ Cn , f c^ < 1 konvergent,

" " ^ für

<_i (^n + ^« + 1 + • • •)" '^ « ^ 1 divergent.

Beweis. Der Divergenzfall erledigt sich wieder ganz leicht, denn für a = 1 ist

^n , "^n+k ^Pn + '-- + ^n + k_. ^jt + k .

1- . . . i ^ ~ v " '

*'«-! ^n + k-1 *'n-l n-1

und da dieser Wert bei jedem (festen) n wegen r^->(i durch Wahl von k noch > 1 gemacht werden kann, so muß die Reihe nach 81, 2 divergieren. Für « > 1 wird dies dann, da von einer Stelle ab f« < 1 ist, erst recht der Fall sein.

Ist aber a < 1 , so kann man die natürliche Zahl p so wählen, daß auch

noch a < 1 ist, und es genügt nun — wieder wegen r„ < 1 für w > n^ —

P die Konvergenz der Reihe

f'n — i rji w — 1

Z^-n-X _

zu beweisen, bei der zur Abkürzung wieder - = t gesetzt wurde.

P

Da nun y„ monoton ^0 strebt und also 2j(<_i-»'n) ^^"^ sicher kon- vergente Reihe mit positiven Gliedern ist, so genügt es zu zeigen, daß

y n — 1 * ^

oder also, daß i.

(l-/)^/>(l-y), ' '" ^^

n - 1

ist, eine Beziehung, deren Richtigkeit wegen 0 < >/ < 1 nun wieder evident ist.

1) Setzt man e = e\ /= ß", und für r^ 1 allgemein /" = /"^^^ und setzen wie die größte ganze in e^"^ enthaltene Zahl [e^**^] = e^, , so sind in dem Nenner unserer Reihe alle Faktoren > 1 , falls n etwa bei ep-\-\ zu laufen beginnt.

2) s. S. 282, Fußnote 2.

286 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

§ 40. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.

Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich meist auf ganz be- liebige Reihen mit positiven Ghedern. Die Vergleichsreihen aber, die wir zur Bildung der Kriterien benutzten, waren fast immer von viel einfacherer Bauart; insbesondere nahmen ihre Glieder monoton ab. Es ist anzunehmen, daß für solche Reihen überhaupt einfachere Ge- setze gültig sein werden und vielleicht auch einfachere Kriterien sich werden aufstellen lassen.

Schon S, 118 hatten wir z. B. den Satz bewiesen, daß bei einer konver- genten Reihe ^ Cn mit monoton zu 0 abnehmenden Gliedern notwendig- nc„~>0 streben müsse, was bei andern konvergenten Reihen (auch solchen mit nur positiven Gliedern) nicht der Fall zu sein braucht. Auch das Cauchysche Ver- dichtungskriterium 77 gehört hierher.

Im folgenden wollen wir einige weitere Untersuchungen dieser Art anstellen, und zunächst einige ebenso einfache wie weittragende Kriterien für solche Reihen herleiten. Ihre Konvergenz ist, wie wir sehen werden, oft sehr viel leichter zu erkennen als die allgemeinerer Reihen.

176. 1. Das Integralkriterium ^). Ist 2 a^^ eine vorgelegte Reihe mit

positiven monoton abnehmenden Gliedern und gibt es eine für x^l positive und gleichfalls monoton fallende Funktion f{x), für die bei jedem n

/(•«) = «„

ist, so ist Z a^^ dann und nur dann konvergent, wenn die Integralwerte

J„-ff{()dt

1

eine beschränkte Zahlenfolge bilden'^).

Beweis. Da für ^ — 1 ^ / ^ ^ stets /"(i!) ^ «,. und für ^ ^ / ^ ^ -f 1 stets f(t) ^ aj. ist (k'^ 2, ganz), so ist (nach § 19, 'Satz 20)

k ' Ä-l

und wenn man diese Ungleichung für k = 2, .3, . . . , n ansetzt und addiert, so folgt

7 f (0 ^^ ^ «., + «3 + • • • + «n = ^n - ^1 ^ jVW ^i'

1) Cauchy, Exercices mathem., Bd. 2, Paris 1827, S. 221.

-) Nach 70, 4 genügt es natürlich, wenn f (x) den Gliedern a„ asymptotisch proportional ist, oder wenn /' (x) = a,, a„ gesetzt werden kann und hierbei die Faktoren a„ positive Häufungsgrenzen haben. — Statt zu fordern ,,/„ bleibt

beschränkt" kann man natürlich auch fordern, daß j f (t) dt konvergiert. Beides

i besagt (nach § 19, Def. 14) genau dasselbe.

176. §40. Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern. 287

Nach der rechten H.äifte dieser Ungleichung folgt aus der Beschränkt- heit der Integrale J^ die der Teilsummen der Reihe, nach der linken das umgekehrte, womit nach 70 schon alles bewiesen ist.

Zusatz. Hierbei nähert sich {s.,^~ J^^) monoton fallend einem zwischen 0 und a^ gelegenen Grenzwert. — In der Tat ist

(k - /„) - (S..+1 - /,.+i) = l)xt)dt - «„^, ^ 0,

n

woraus sofort alles folgt, da a^ ^ 5^^ — J ^^ ^ ^n > 0 ist.

Beispiele und Erläuterungen.

1. Das Kriterium lehrt nicht nur das Konvergenzverhalten vieler Reihen erkennen, sondern gestattet auch oft, die Geschwindigkeit von Konvergenz und Divergenz bequem abzuschätzen. So sieht man sofort, daß für a >> 1

^ 1 T fdt 1 /, 1 \ ^ 1 V — wegen /,,= — = 1 - --— <

n^ w" J e a-1 V w"~7 a-1

1

konvergiert, daß dagegen

2j — wegen /„ = -- = log n ^ + c»

=1 ^^ J ^

n = l

1

divergiert. Aber wir erfahren hier noch genauer, daß für a > 1 C dt , \+* \ C dt

M + 1 n

also

ist, — eine Restabschätzung, die wir für a = 2 schon S. 252 gefunden hatten. Ebenso erfahren wir jetzt durch den Zusatz zu 176, daß

,l-h2+--.^--log.zJ .

eine monoton fallende Zahlenfolge ist, die einem positiven, zwischen 0 und 1 gelegenen Grenzwert zustrebt. Diesen Zahlenwert bezeichnet man gewöhnlich mit C und nennt ihn die Eulev&chQ oder Mascheromsche Konstante. Es ist C = 0,577 215 66...

Für 0 ■< a <C 1 lehrt dieser Zusatz ebenso, daß

1 1

1 + -^.. + — + . 2« 3«

1

n

1 _ Cdt

eine monoton fallende Zahlenfolge ist, die einem zwischen 0 und 1 gelegenen Grenzwert zustrebt. Speziell ist also (vgl. -44, 6) für 0 ■< a << 1

. 1 1 ^»^""

2" n" 1 - a

ist, und man stellt leicht fest, daß diese Beziehung auch noch für a<0 gilt.

288 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

2. Allgemein folgt aus

J

dt I ^ ^-:j- , falls a + 1

t\ozt...\oe._,t.ioeit «-iio^; '

lo&^+l^ falls a= 1

ebenso unmittelbar — nunmehr also auf einem dritten wieder gänzlich neuen Wege — das uns schon bekannte Konvergenzverhalten der ^6e/schen Reihen. Und der Zusatz zu 176 liefert v^rieder gute Abschätzungen der Reste (im Falle der Konvergenz) bzw. der Teilsummen (im Falle der Divergenz).

3. Ist f{x) eine für alle x von einer Stelle an positive Funktion, die dort eine monoton zu 0 abnehmende (also auch positive) Ableitung f {x) besitzt, so nimmt auch f'{x)jf{x) monoton ab, und wegen

jf^^dt = logfit) werden die beiden Integrale

jf'{t)dl und J^-^^dt

^ -^ f{t)

entweder beide beschränkt oder beide nicht beschränkt sein. Daraus folgt: Die Reihen

Zf'(n) und Z^:^

werden entweder beide konvergieren oder beide divergieren. Im Falle der Divergenz, in dem also notwendig /'(w)->4-oo strebt, wird

y. -f— — — für a > 1 konvergieren.

Denn es ist jetzt

•' [/■(O]" «-' [/•(Ol""'

woraus die Richtigkeit der Behauptung abgelesen werden kann. — Diese Sätze stehen in naher Beziehung zum Abel-Dim'schen Satze.

2. Im wesentlichen denselben Wirkungsbereich hat das folgende in seiner Formulierung von der Integralrechnung freie

177. Ermakojfsche Kriterium^). ""

Steht f(x) zu der Reihe ^a^ mit positiven monoton abnehmenden Gliedern in derselben Beziehung wie heim Tntegralkriterium und genügt es auch sonst den dort gemachten Voraussetzungen, so ist 2 a^^-zz 2 f{n) konvergent, \ , „ ^^ fi^"^) f <^<1

\ f^Ms — T/ x"~ \ ^

divergent, ) f [x) { ^ 1

ausfällt, — wenigstens von einer Stelle an.

Beweis. Ist die erste Ungleichung etwa für alle x^ Xq erfüllt, so ist für diese x

e^ X X

Sf[t)dt = s^^n^')dt<^'>Sf{i)di

xo

1) Bulletin des sciences mathem., Bd. (1) 2 (1871), S. 250.

177. § 40. Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern. 289

und folglich

(1 - ^) / f(t) dt^d{l f(t) dt-] fit) dt] e-xo gX

Xq X

£>•) Jf{t}df.

X

Hiernach bleibt das hnksstehende Integral und folglich auch j f[t)dt

Xo

für alle- X > Xq unterhalb einer festen Schranke, so daß 2'«^^ nach dem Integralkriterium konvergieren muß.

Ist umgekehrt die zweite Ungleichung des Satzes für alle x > x^ erfüllt, so ist für diese x

e^ X X

Jf{t)dt = Je'f(e^)dt>Jf{t)dt,

l ^''' Xi Xi

luid der Vergleich des ersten und dritten Integrales lehrt weiter, daß

Jf{t)dt^Jfit)dt.

X Xi

Hier steht rechts eine feste Zahl y > ()^ und die Ungleichung besagt, daß man zu jedem n{>x^ ein k^^ so angeben kann, daß, wenn jr^ dieselbe Bedeutung wie in 176 hat,

bleibt. Nach 46 und 50 bleiben daher die /^ nicht beschränkt und ^a^^ kann daher nicht konv^ergieren^).

Bemerkungen.

1. Das Ermako ff sehe Kriterium hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterium. Es enthält, insbesondere wie dieses, die ganze logarithmische Vergleichsskala, zu der wir damit einen vierten Zugang gewonnen hätten: Das Konvergenzverhalten der Reihe

yj 1

^ nlogn . .. log^_^ n log^ n wird durch das Verhalten des Quotienten

*/> — 1

^) Es ist nicht schwer, den Beweis von dem Hilfsmittel des Integrals zu befreien; doch wird er dadurch etwas schwerfälliger.

Knopp, Unendliche Reihen. 19

290 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

bestimmt. Da aber diese Quotienten > 0 streben, wenn a>l ist, dagegen -> -f OO streben, wenn a < 1 ist, so liefert in der Tat das Ermako ffsche Krite- rium das uns bekannte Verhalten dieser Reihen i).

2. Statt e-^ darf man natürlich auch andre Funktionen verwenden: Ist cp (x) irgendeine mit x monoton wachsende positive und differenzierbare Funktion, für die stets (p(x)>x ist, so wird 2* a„ wieder konvergieren oder divergieren, je nachdem von einer Stelle ab stets

(p' {x)fi(p{x)) ( £^<l oder stets

m i > 1

bleibt.

Mit dem Ermakoffschen und dem Integralkriterium haben wir die wich- tigsten Kriterien für unsere jetzigen Reihen in Händen.

§ 41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie

der Reihen mit positiven Gliedern.

Die Aufstellung der in den vorangehenden Paragraphen mitge- teilten Konvergenzkriterien und die Klärung ihrei Bedeutung hat fast das ganze 19. Jahrhundert in Anspruch genommen. Erst gegen Ende desselben, insbesondere durch die Untersuchungen von Pringsheim haben die prinzipiellen Fragen einen gewissen Abschluß erreicht. Durch diese, sich in den mannigfachsten Richtungen bewegenden . Untersuchungen sind auch eine ganze Reihe von Fragen erledigt, an die vordem nur zaghaft herangetreten wurde, die uns jetzt aber so einfach und durchsichtig erscheinen, daß wir es kaum noch be- greifen, daß sie einstmals Schwierigkeiten gemacht haben, oder gar in völlig verkehrter Weise beantwortet oder abgetan wurden^). Wie weit aber der Weg bis hierher war, wird einem klar, wenn man be- denkt, daß Euler überhaupt noch nicht um Konvergenzfragen sich kümmerte, sondern einer Reihe, wo immer sie auftrat, ohne weiteres den Wert des Ausdrucks beilegte, der zu ihrer Entstehung Anlaß gab^); und daß Lagrange noch 1770*) meint^, eine jede Reihe stelle einen besümmten Wert dar, wenn ihre Glieder zu 0 abnehmen '^).

1) Das gilt sogar noch für p=0, wenn man unter log_^ x die Exponential- funktion e^ versteht.

2) Als Kuriosum sei erwähnt, daß noch im Jahre 1885 und 1889 mehrere Abhandlungen veröffentlicht wurden, deren Ziel es war, die Existenz von kon- vergenten Reihen 2' .„ zu beweisen, bei denen '^ keinem Grenzwerte zustrebt 1

3) So schrieb er als Folgerung aus ^ ^ ^ = 1 + ^ + ;^^ + • . • unbekümmert

i = l-l-f 1-1-f-...

oder

.1.= 1^-2-f 22-23 + -.-.

Vgl. hierzu auch die ersten Absätze des § 59. *) s. Oeuvres, Bd. 3, S. 61. 5) Hier sind immerhin Spuren eines Konvergenzgefühles zu sehen.

178. §41- Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie. 291

Diese letzte Annahme etwa durch den Hinweis auf die (übrigens schon damals bekannte) Divergenz der Reihe ^,— ausdrücklich zu wider- legen, erscheint uns heute überflüssig, und ähnlich liegt es bei vielen anderen Aunahmen und Beweisversuchen aus früherer Zeit. Sie haben daher meist nur für den Historiker unserer Theorie ein Interesse. Ein Teil von ihnen ist aber, mögen die Antworten bejahend oder verneinend ausgefallen sein, doch noch von solchem Interesse, daß wir kurz darüber berichten möchten. Viele von diesen sind auch von der Art, daß jeder, der sich unbefangen mit den Reihen beschäftigt, ganz natürlich zu ihnen geführt wird.

Die Quelle aller dieser Fragen, die wir besprechen wollen, liegt in dem unzureichenden Charakter der Kriterien: Diejenigen, die für die Konvergenz notwendig und hinreichend sind (also die beiden Hauptkriterien 70 und 81) sind von so allgemeiner Art, daß in spe- ziellen Fällen mit ihrer Hilfe die Konvergenz nur selten wird fest- gestellt werden können; die übrigen aber (es waren alles Vergleichs- kriterien und Umformungen derselben) waren nur hinreichende Krite- rien, und lehrten nur dann die Konvergenz einer Reihe erkennen, wenn sie mindestens ebenso gut konvergierte wie die zum Vergleich benutzte. Hiertaucht aber sofort die Frage auf:

1. Gibt es eine am langsamsten konvergierende Reihe? Diese 178. Frage ist schon durch Satz 175, 4 verneinend entschieden. Denn mit

2Jc^ konvergiert auch noch 2cn^^ ^—^, aber offenbar langsamer

als die vorige, weil Cn'ci, = rj_^ -> 0 strebt. — Fast noch einfacher hat /. Hadamard^) diese Frage durch Angabe der Reihe 2 Cn ~ ^jy^n-i —_V rj beantwortet. Da c„ = r^_^ — r„, so strebt c^ : c^ = V ;'„_! -j- y r« -> 0, so daß auch hier die gestrichene Reihe lang- samer konvergiert als die ungestrichene.

Ebenso einfach erledigt sich die Frage

2. Gibt es eine am langsamsten divergierende Reihe? Auch hier lehrt schon der Abel-Dinische Satz 173, nach dem mit 2d^ auch

noch 2 dn^^ ^j^ divergiert, daß die Frage zu verneinen ist. Denn

da dn:dn = Dn~> -f oo strebt, so läßt sich nach ihm jeder divergenten Reihe eine langsamer divergierende an die Seite stellen. — Diese Tatsachen, zusammen mit den Vorbemerkungen, lehren:

3. Kein Vergleichskriterium kann für alle Reihen wirksam sein. Eng hängt damit die folgende von Abel'^) aufgeworfene und

beantwortete Frage zusammen:

1) Acta mathematica, Bd. 18 (1894), S. 319.

2) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 3 (1828), S. 80.

19*

292 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

4. Gibt es eine positive Zahlenfolge (pj, so daß gleichzeitig

ä) Pn ^n "^ ö /^^ ^*^ Konvergenz 1 .

> "jederReihe 2. a hinreichend ist?

t>) ^n '^n ^ ^ > ö " " Divergenz } Hier folgt wieder aus dem Abel-Dinischen Satze, daß dem nicht so ist. Setzen wir nämlich a„ = ■-— , so müßte diese Reihe 2! a„ und

^ Pn

also auch noch 2an=^ 2J ~ divergieren, bei der s^ = a^ -}-... -\- a^

gesetzt ist. Für diese strebt aber p^a'n^^ > 0.

Das Ziel der Vergleichskriterien war es in gewisser Hinsicht, möglichst umfassende Bedingungen zu finden, die für die Entschei- dung über das Konvergenzverhalten einer Reihe hinreichend sind. Als Gegenfrage kann man die nach möglichst engen Bedingungen auf- stellen, die für die Konvergenz (oder Divergenz) einer Reihe 2 a^ notwendig sind. Nach dieser Richtung wissen wir bisher nur, daß fl ^0 für die Konvergenz notwendig ist, und man wird daher sofort fragen :

5. Müssen die Glieder a^^ einer konvergenten Reihe mit einer be- sonderen Geschwindigkeit gegen 0 abnehmen? Pringsheim^) zeigte, daß dem nicht so ist. Vielmehr: Wie schwach auch die positiven Zahlen ^„ -> + oo wachsen mögen, — es gibt stets konvergente Reihen ^c„, für die doch

li"^ ^« ^n = + ^ ist. Ja, sogar jede konvergente Reihe 2J Cn kann durch passende Um- ordnung in eine als Beleg für diese Behauptung brauchbare Reihe 2 c verwandelt werden^).

Beweis. Es sei also die positive gegen -\- oo wachsende Folge (pj und die konvergente Reihe 2cn gegeben. Dann wähle man eine wachsende Folge ungerader natürlicher Zahlen Wj, n^, . . ., n,., ... für die

-L<^-^ (.^ = 1,2,...)

ist und 'setze c„ = C2v-Ü und für die übrigen c^ nehme man die GUeder C2, ci, . . . in ihrer natürlichen Reihenfolge. Dann ist 2'c„ offenbar eine Umordnung von 2 Cn', aber es ist

p c ^ V, wenn n gleich einer der Zahlen n^ ist. Hiernach ist wirklich

Der Grund dieser Erscheinung ist einfach der, daß das Kon-

1) Math. Annalen, Bd. 35 (1890), S. 344.

2) Vgl. demgegenüber den Satz 82, 7, der sozusagen die durchschnittliche Abnahme der a„ berücksichtigt.

178. §41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie. 293

vergenzverhalten einer Folge der Form (^^ cj nichts Wesentliches mit dem Verhalten der Reihe 2^ c^ — also doch mit dem der Folge ihrer Teilsummcnl — zu tun haben kann, da zwar das erstere, nicht aber das letztere durch eine Umordnung der Reihenglieder von Grund aus geändert werden kann.

6. Ebensowenig kann eine Bedingung der Form lim />„^„ > 0, in der (J)^ eine, wenn auch noch so schnell gegen -|- oo wachsende posi- tive Folge bedeutet, für die Divergenz von 2d^^ notwendig sein^). Vielmehr kann jede divergente Reihe 2^ dn, deren Glieder nur zu 0 abnehmen müssen, durch eine passende Umordnung in eine solche (natürlich wieder divergente) Reihe ^d^^ verwandelt werden, für die lim^^^^ = 0 ist. — Der Beweis ist nach dem Muster der vorigen Nummer leicht zu führen.

Noch etwas weiter geht die Frage:

7. Kann es eine Vergleichsskala geben, die für alle Fälle aus- reicht? Genauer: Es seien ^ c^^\ Z c^'^\ . . ., 2 c^^\ . . . konvergente Reihen, von denen jede folgende etwa in der Weise schlechter kon- vergiert als die vorangehende, daß bei festem k

n

Strebt. (Die logarithmische Skala bietet ein Beispiel für solche Reihen.) Kann es dann eine Reihe geben, die langsamer konvergiert als eine jede dieser Reihen? Die Antwort lautet bejahend^), und es ist nicht schwer, eine solche Reihe wirklich zu konstruieren. Bei passender Wahl der ganzen Zahlen n^, n^, ..., n^, ... wird schon die Reihe

W 1 ' 2 ' 'Ml »1 + 1 ' ' «2 ' «8 + 1 ' ' «S ' M3 + I '

die aus aneinanderpassenden Stücken der Reihen ^c^^^ zusammen- gesetzt ist, das verlangte leisten. Wir wählen nämUch w^, n^, . . . so groß, daß

für n'>n^ stets y^^) ^ — ^^d zugleich c^^^ > 2c<^)

= 1 «2 n n

„ n^ n^y- n. „ r^^^ < — s- ,, „ c^^^ > 2c'-^^

"=2-^1 '^ n 2^ n n

n>nk>nk-, „ ^^'^'^ < -^ . „ c^^+D > 2 cf

^) Pringsheim, a. a. O., S. 357.

2) Für die logarithmische Skala hat dies P. du Bois-Reymond (J, f. d. reine u. angew. Math., Bd. 76 (1873), S. 88) gezeigt. Die obige allgemeinere Antwort rührt von /. Hadamard (Acta math., Bd. 18, 1894, S. 325) her.

294 I^- Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

ausfällt^). Dann ist die Reihe ü c^ sicher konvergent, denn die auf- einanderfolgenden Stücke derselben sind gewiß kleiner als die mit diesen Stücken beginnenden Reste der betreffenden Reihen, also für

k = 2, 3, ..., stets < "T- E^ strebt aber auch für jedes feste k

^-+^'

denn für n > n^ (^ > ^) i^t ersichtUch -^ > 2^ * . Damit ist schon

n

alles bewiesen. — Insbesondere gibt es also Reihen, die langsamer konvergieren als eine jede Reihe unserer logarithmischen Skala'^).

8. Genau ebenso einfach zeigt man: Wenn Z d^^ für ^ = 1, 2, . . . lauter divergente Reihen sind, von denen jede folgende in der Weise langsamer divergiert als die vorangehende, daß dl^^^:dn -> 0 strebt, so gibt es immer noch divergente Reihen 2"^^, die schwächer diver- gieren, als eine jede der Reihen S dn .

Alle diese Bemerkungen führen näher an die Frage heran, ob und inwieweit sich die Gheder konvergenter Reihen von denen diver- genter Reihen prinzipiell unterscheiden. Nach 7. wird die folgende von Stielt jes herrührende Bemerkung nicht mehr überraschen:

9. We7in {e^, e^, . . .) eine beliebig langsam monoton gegen 0 fallende Zahlenfolge bedeutet, so kann man doch stets eine konvergente Reihe Zc^^ und eine divergente Reihe 2 d^ so angeben, daß für sie c„ = €„^n ist, — was etwa besagt, daß sich die Glieder beider Reihen nur relativ wenig voneinander zu unterscheiden brauchen. — In der Tat, wenn e monoton -> 0 fäUt, wird />„ = — monoton -> + cx) wachsen. Die Reihe

P, + {p2-Pi) + '-- + (P--P-') + -y' ■ •

deren Teilsummen ersichtlich die -p^ sind, ist also ' (iivergent. Nach dem i46ß/-Dmischen Satze ist dann auch

n = l n=l '^n + l

divergent. Aber die Reihe 2'c„ -^ ^'^„^^ = ^jf^ - p^J ^^^ ^^^^^ 131 konvergent. — WesentUch dasselbe besagt die weitere Bemerkung:

10. Wenn p^ beliebig langsam m-onoton -> -f - oo wächst, so gibt es stets eine konvergente Reihe 2c^, und eine divergente Reihe 2 d^, für

^) Mit y^*^ bezeichnen wir den hinter dem iztenGliede beginnenden Rest / n

leihe Sc'^K

2) Die fehlenden Anfangsglieder dieser Reihen mag man sich dabei durch

lauter Einsen ersetzt denken.

178. §41- Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie. 295

Noch krasser erscheinen in dieser Hinsicht die beiden schon unter 5. und 6. gegebenen von Pringsheim herrührenden Bemerkungen, wenn man sie so formuHert:

11. Wie stark auch 2^ c^ konvergieren mag, es gibt stets divergente Reihen — und sogar solche mit monoton zu 0 abnehmenden Glie- dern — , für die

Hm ^ = 0

ist, so daß also Z d^ unendHch viele Glieder haben muß, die wesent- hch kleiner sind als die entsprechenden Gheder von J c^^. Und um- gekehrt:

Wie stark auch ^d^ divergieren möge, es gibt, wofern nur d -> 0 strebt, stets konvergente Reihen 2'c,^, für die hm^ = + oo

ist. Wir haben nur noch das erste zu beweisen, und da leistet

schon eine Reihe Ud^ der Form

n=0

das verlangte, wenn die wachsenden ganzen Zahlen n^, n^, . . . passend gewählt werden und die einzelnen Gruppen von Ghedern je n^, (n^ — n^ (fi^ __ n^^ . . . , Summanden enthalten. Damit die Reihe divergiert, braucht man nämhch die Anzahl der Summanden jedesmal nur so groß zu wählen, daß die Summe der Glieder einer jeden Gruppe > 1 ausfällt; und damit die Gliederfolge monoton fällt, braucht man nur nu > nk-i so groß zu wählen, daß c^^ < Cn^_i ausfäUt (^ = 1,2,...), was wegen c^^ -> 0 stets möghch ist. (Hierbei ist unter n^ der Index 1 zu ver- stehen.) Daß hier nun wirkUch der Quotient djc^^ die untere Häu- fungsgrenze 0 hat, folgt ja sofort daraus, daß er für n = n^, den

Wert r,— —r hat.

Bei den bisherigen Bemerkungen haben wir nur von Konvergenz und Divergenz schlechthin gesprochen. Man könnte hoffen, unter engeren Voraussetzungen z. B. der, daß die GUeder der benutzten Reihe monoton abnehmen, sich entsprechend mehr erweisen heße. So hatten wir schon gefunden, daß für eine konvergente Reihe 2c^ mit monoton abnehmenden GUedern stets mc„ -> 0 strebt. Läßt sich hier noch mehr aussagen? Die Antwort ist verneinend (vgl. Bem. 5):

12. Wie schwach auch die positiven Zahlen ^„ -> oo wachsen mögen, es gibt stets konvergente Reihen mit monoton zu 0 abnehmenden GUedern, für die .

296 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

nicht nur nicht -> 0 strebt^ sondern sogar -p cc zur oberen Häufungs- grenze hat^).

Der Beweis ist wieder ganz leicht. Man wähle wachsende natür- liche Zahlen n^,n.^,..., für die

/.„., >4" (v=],2, ..,)

ist und setze

_ _ 1

'ni + 1 — ^«i-r2 — • • • — Cj

^h\Pn\

S-1 + 1

^v^^Pn

Die hiermit angedeuteten Gruppen von Gliedern liefern nacheinander Beiträge zur Summe der Reihe -l'c„, die <-. ö , < 92' • • -^ < — ^^ •• - sind, so daß ^c^^ konvergieren wird. Andrerseits ist für n ^= n,, stets

so daß in der Tat

lim n • /)„ . c,^ = + (^ sein muß.

13. Durch die vorstehenden Bemerkungen, die sich leicht nach den mannigfachsten Richtungen hin vermehren und vertiefen Ueßen^), ist wohl hinlänglich deutlich geworden, daß es ganz aussichtslos ist, so etwas wie eine Scheidelinie zwischen konvergenten und divergenten Reihen einzuführen, wie dies noch von P. du Bois-Reymond ver- sucht worden ist. Wie man auch diesen zunächst ganz verschwom- menen Begriff präzisieren mag, in keiner Form entspricht er den tatsächhchen Verhältnissen. Wir deuten dies nach der nächstUegen- den Richtung hin an^).

a) Solange die Gheder der Reihen 2'c^^ und 2^ d^^ keiner Be- schränkung (außer der, : > 0 zu sein) unterworfen werden, bleibt der

1) Pringsheim, a. a. O. — Speziell die Frage, ob bei konvergenten Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern n log n-c„->0 streben müsse, ist lange diskutiert worden ; und von vielen wurde die Bedingung n log w • c„ >- 0 noch 1860 für notwendig zur Konvergenz gehalten,

-) Eine sehr eingehende und sorgfältige Diskussion aller hierher ge- hörigen Fragen findet sich in dem S. 2 genannten] Werke von Pringsheim sowie in dessen mehrfach genannten Arbeiten in den Math. Ann. Bd. 35 und in den Münch. Ber., Bd. 26 (1896) und 27 (1897).

178. §42. Systematisierimg- der allgemeinen Konvergenztheorie. 297

c„

Quotient -^ aller nur denkbaren Werte fähig, da neben der sicher bestehenden Beziehung

lim :^ = 0 zugleich lim ^ = -4- oo

sein kann. Die gebrochenen Linienzüge, durch die nach 7,6 die Zahlenfolgen (c^ und (^J veranschaulicht werden, können sich also unbegrenzt oft (und beliebig stark) durchsetzen.

b) Nach Bem. 11 ist dies auch noch der Fall, wenn die Folgen (c„) und {d^ beide monoton sind, die obengenannten Linienzüge also beide monoton fallen. Es gibt also sicher keinen sich nach rechts erstreckenden Linienzug, der die Eigenschaft hätte, daß das Bild jeder Folge vom Typus [c^ niemals über ihm, und zugleich das Bild jeder Folge vom Typus {dj^ niemals unter ihm gelegen wäre, — auch dann nicht, wenn die genannten Gebilde monoton sind und erst von einer hinreichend weit rechts gelegenen Stelle an betrachtet werden.

Ob und inwieweit diese negativen Feststellungen sich in etwas ändern, wenn man die Zahlenfolge (c^ und (^^) nicht nur, wie so- eben einfach -monoton, sondern im Sinne der S. 256 aufgestellten Definition voll-monoton annimmt, ist zur Zeit noch nicht geklärt.

§ 43. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie.

Der Charakter einer gewissen Zufälligkeit, der der bisher entwickelten Konvergenztheorie der unendlichen Reihen nicht abgesprochen werden kann, gab die Veranlassung zu verschiedenen Versuchen, die Kriterien nach um- fassenderen Gesichtspunkten zu systematisieren. In größerem Umfange wurden solche Versuche zuerst von P. Du Bois-Reymond^) gemacht, der ihnen in- dessen noch keineswegs einen Abschluß zu geben vermochte. Das ist in theoretisch und praktisch befriedigender Weise erst durch die Arbeiten von A. Pyingsheim^) geschehen. Wir wollen hier noch ganz kurz über die Haupt- gedanken seiner Entwicklungen berichten^).

Alle bisher in diesen Kapiteln zusammengestellten Kriterien sind Ver- gleichskriterien, ihre gemeinsame Quelle die beiden Vergleichskriterien I. und II. Art 157 und 158. Während dasjenige I. Art, also das Kriterium

(0 an^Cn : ß, an>dn : 3)

als das denkbar einfachste und natürlichste angesprochen werden muß, gilt nicht das gleiche von demjenigen IL Art, für das wir ursprünglich die Form

(II) ^n+l ^ C^H , g an+1 y dn + l ^ ^

dn Cn dn <?n

1) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 76 (1873), S. 61.

2) Math. Ann., Bd. 35 (1890), S. 297—394.

^) Ein Eingehen auf die Einzelheiten können wir hier um so eher unter- lassen, als die Pringsheimschen Untersuchungen in mehreren leicht zugänglichen und ausführlichen Darstellungen von ihres Autors Hand vorliegen, und dies in Formen, denen nicht leicht etwas hinzuzufügen wäre.

298 iX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

kennen lernten. Schon die Heranziehung des Quotienten zweier aufeinander- folgender Glieder ist etwas durch die Sache selbst nicht Gefordertes. Man könnte daher zunächst versuchen, durch Heranziehung anderer Verbindungen von zwei oder mehr Reihengliedern noch weitere Kriterienarten aufzustellen ; doch hat sich dadurch für die Untersuchung allgemeiner Reihen kein Kriterium von Belang ergeben.

Aber auch wenn man beim Quotienten stehen bleibt , so kann man dem Kriterium IL Art noch mannigfache andere Formen geben, da man z. B. die Ungleichungen mit den positiven Faktoren a„ oder c„ multiplizieren darf, ohne daß sich ihre Bedeutung ändert, o. ä. Hierauf wollen wir weiter unten zurück- kommen. Aber von diesen relativ unwesentlichen Umformungen abgesehen, haben wir in (1) und (II) die Grundformen aller Kriterien zu sehen ^). Alle nur denkbaren speziellen Vergleichskriterien wird man daher erhalten, wenn man in (I) und (II) alle nur denkbaren konvergenten und divergenten Reihen sich eingesetzt denkt und evtl. Umformungen der eben angedeuteten Art vornimmt.

Eine Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie wird also in erster Linie die Aufgabe haben, eine Übersicht über alle nur denkbaren kon- vergenten und divergenten Reihen zu geben.

Diese Aufgabe kann natürlich nicht im wörtlichen Sinne gelöst werden (da ja sonst von jeder Reihe schon das Konvergenzverhalten feststünde) ; sie kann nur auf andere zurückgeführt werden, die von sich aus mehr Übersicht- lichkeit haben und daher das Bedürfnis nach weiterer Behandlung nicht so dringlich erscheinen lassen. Pringsheim zeigt nun — und das ist der wesent- liche Ausgangspunkt seiner Untersuchungen — , daß eine Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie vollständig durchgeführt werden kann, wenn man sich die Gesamtheit aller monoton ins Unendliche wachsenden (positiven) Zahlenfolgen gegeben denkt.

Bezeichnen wir eine solche Folge in diesem Paragraphen weiterhin mit (p„) ,

so daß also 0 < ^o < /?i .</?o ^ • • • ist und p„ -► + OO strebt, so ist diese Aufgabe

im Prinzip schon durch die folgenden beiden einfachen Bemerkungen gelöst:

179. a) Jede divergente Reihe 2 d^ läßt sich — und eine jede nur auf genau

eine Weise — mittelst einer passenden Folge vom Typus (/?„) in der Form

:fa^ -Po + iPlPo"^- - iPn -Pn-0 + • • •

n=0

darstellen, und jede Reihe dieser Form ist divergent. ^

b) Auch Jede konvergente Reihe") läßt sich — mid eine jede nur auf

genau eine Weise — mittelst einer passenden Folge vom Typus (pn) in der Form

n=0" \Pq pJ "^Pi P'2^ ^Pn Pn+1^

darstellen, und jede Reihe dieser Form ist konvergent^).

In der Tat braucht man, nachdem dies festgestellt ist, in die Vergleichs- kriterien (I) und (II) für die c„ und d,, nur

^±^ b.w. (p,-p„_,)

Pn-pn+1

1) Also ist — da wir in 160, 1,2 sahen, daß II eine Folge von (I) ist — letzten Endes (I) doch dasjenige Kriterium, aus dem alles übrige folgt.

2) Falls ihre Glieder von keiner Stelle an sämtlich = 0 sind.

3) Die Beweise dieser beiden Behauptungen sind so einfach, daß wir nicht weiter darauf einzugehen brauchen.

180. §4:2. Systematisierimg der allgemeinen Konvergenztheorie. 299

mit allen nur denkbaren Folgen des Typus (/?„) einzusetzen, um im Prinzip alle nur denkbaren Kriterien erster oder zweiter Art zu gewinnen: Alle be- sonderen Kriterien müssen aus den so erhaltenen durch mehr oder minder naheliegende Umformungen gewonnen werden können; diese werden eben darum theoretisch nie etwas prinzipiell Neues bieten, wohl aber werden sie — und hierin ist der hauptsächliche Wert dieser ganzen Betrachtungsweise zu sehen — für den vertieften Einblick in die Zusammenhänge zwischen den ver- schiedenen Kriterien, für deren einheitliche Aufstellung und endlich für ihre praktische Verwendung von großer Bedeutung. Darum lohnte es sich nun sehr, auf die Einzelheiten der speziellen Kriterienbildung genau einzugehen ; trotz- dem wollen wir uns dabei aus dem schon genannten Grunde ganz kurz fassen.

1, Neben die in a) und b) gegebenen typischen Formen für divergente 180. und konvergente Reihen, die wohl als die denkbar einfachsten angesehen werden müssen, lassen sich selbstverständlich noch viele andere stellen, wo- durch die äußere Form der Kriterien in mannigfacher Weise verändert werden kann. So ist nach dem Abel-D inischen Satze 173 mit S (pn—pn-l) auch

divergent, während gleichzeitig nach dem Pringsheimschen Satze 174 die Reihen

>, und >

" P -P^ 1 ^ :^^+^

für ^ > 0 konvergieren. Und, von geringfügigen Einschränkungen abgesehen, kann auch jede divergente bzw. konvergente Reihe in diesen neuen Formen dargestellt werden.

2. Da bei den vorstehenden typischen Formen divergenter und kon- vergenter Reihen die p^ lediglich der Bedingung unterworfen waren, monoton > -f OO zu streben, so darf man in ihnen /?„ durch log/>„, log.^ />„, ... oder durch F (/?„) ersetzen, wenn F {x) irgendeine für a; > 0 definierte und zugleich mit X (im engeren Sinne) monoton -> + oo wachsende Funktion bedeutet. Dies führt dann wieder zu Kriterien, die zwar nicht dem Wesen nach, wohl aber (bei der Wahl spezieller /?„) der Form nach neu sind. Da insbesondere, wie man sich leicht überzeugt, die bisher genannten Reihentypen um so langsamer diver- gieren bzw. konvergieren, je langsamer ^„-> + oo strebt, so hat man, indem pn etwa durch log/?„, loga/j,», ... ersetzt wird, ein Mittel zur Bildung von Kriterienskalen vor sich^). Für den sich durch besondere Einfachheit auf- drängenden Fall pn = n ist die Ausführung der hiermit angedeuteten Gedanken der Hauptinhalt der §§ 37 und .38.

3. Ein weiterer Vorteil dieser Betrachtungsweise besteht darin, daß mit Hilfe ein und derselben Folge (pn) sowohl eine divergente wie eine konvergente Reihe dargestellt werden kann. Darum bieten sich die Kriterien ganz natur-

*) Daß man hierbei von p^ gewöhnlich gleich zu log^„, logg/?«, . . . über- geht, ist natürlich wieder freie Willkür. Doch wird dies durch die Sätze 77 und 175, 2 nahegelegt. Zwischen pn und log pn z. B. könnte man leicht noch

viele weitere Stufen der Skala einführen, z. B. e^^°^^?i, das schwächer als p^ ja schwächer als jede noch so kleine aber feste positive Potenz von pn und dennoch stärker als jede noch so hohe (feste, positive) Potenz von log/?,, an- wächst, od. ähnl, . .

300 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

gemäß immer paarweis dar. Z. B. kann jedes Vergleichskriterium erster Art aus dem Kriterienpaar

«n

>

Pn-Pn-1

Pn-l

hergeleitet werden, und entsprechend unter Benutzung der anderen typischen Reihenformen.

4. Durch eine leichte — wenn auch ihrem Wesen nach willkürliche, d. h. nicht aus dem allgemeinen Gedankengang mit Notwendigkeit sich ergebende — Änderung kann man nun hier dem Ausdrucke auf der rechten Seite eine ein- heitliche Gestalt geben und damit das Kriterium in ein einziges sogenanntes disjunktives Kriterium verwandeln. So erkennt man z. B. sofort, daß jede der Reihen

für a>l konvergiert, für a_<l divergiert. Das in 3. aufgestellte Kriterien- paar kann daher durch das folgende disjunktive Kriterium ersetzt werden:

1 r a> 1 : »3

<in ^^ ^ > mit

{i}^'

a < 1 : 3)

und im wesentlichen^) auch durch

Bei den durch diese Umformung herausspringenden Konvergenzkriterien ist es bemerkenswert, daß die Voraussetzung, es solle /?„->-]-oo streben, gar nicht mehr notwendig ist! Es genügt, wenn p„ monoton ist. Denn bleibt es beschränkt, so ist mit der Folge {p„) selber auch die Reihe S {p,i — pn-\) und

folglich auch ^ V:ll^ bzw. ^ — ^^^ konvergent, da ja nun auch

Pl a^n

{p~") und (a~^«) beschränkte Folgen sind. Diese Konvergenzkriterien '^) be- sitzen darum einen besonderen Grad von Allgemeinheit,! ähnlich dem S. 302 ge- nannten Kriterium II. Art von Kummer^).

5. Aus diesem disjunktiven Kriterium lassen sich nun wieder — und das gilt ganz allgemein von allen Kriterien — durch mannigfache Umformungen andere herleiten, die dann aber nur der Form nach neu sein können. Für solche Um- formungen läßt sich natürlich kein allgemeines Schema angeben; Blick und Geschick werden hier stets neue Wege finden. Und gerade hierin liegt die Quelle für den großen Reichtum an Kriterien, die letzten Endes jeder Syste- matisierung sich entziehen.

^) Der Ersatz ist kein vollständiger, d. h. unter Zugrundelegung derselben Folge (pn) leistet das neue Kriterium nicht soviel wie das alte, da z. B. die

Pn~Pn-l Divergenz der Reihe ^- zwar durch das alte, nicht aber durch das

neue Kriterium erkannt werden kann.

2) Pringsheim, Math. Ann., Bd. 35 (1890), S. 342.

3) Journ. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 13 (1835), S. 78.

180. §42. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie. 301

Ganz naheliegend ist es, daß man jede Ungleichung mit irgendwelchen positiven Faktoren multiplizieren darf, ohne daß sich ihre Bedeutung ändert; ebenso darf man von jeder Seite dieselbe Funktion F {x) bilden , wenn F {x) zugleich mit x (im engeren Sinne) monoton wächst, insbesondere also darf man die beiden Seiten der Ungleichung eines Kriteriums logarithmieren , radizieren od. ähnl. So kann man z. B. dem letzten disjunktiven Kriterium die Form geben

^„ l<0 : S)

oder

v,

1 1^1 : ®,

— und man erkennt nun mit einem Blick, daß hiermit ein allgemeiner Rahmen für diejenigen Kriterien entstanden ist, die wir in den voraufgehenden Para- graphen durch die Annahme pn '— n oder — log^ n erhalten hatten.

6. Wesentlich dieselben Bemerkungen bleiben nun auch in Kraft, wenn

Pn — Pn-X man in dem Grundkriterium zweiter Art (II) c„ durch und dn durch

p —p _., oder durch eine der anderen typischen Formen für die c„ und dn-, ersetzt und dadurch die allgemeinste Form der Kriterien zweiter Art aufstellt.

7. Bemerkenswert ist hierbei wieder (vgl. Bem. 4), daß das Konvergenz- kriterium durch eine leichte Umformung so gestaltet werden kann, daß es mit dem Divergenzkriterium zusammen schließlich ein einziges disjunktives Kriterium liefert. Das Konvergenzkriterium verlangt zunächst, daß von einer Stelle ab

^I^^'L-^LyQ oder 1 - -'^'^ _1_ > o

C« ^M ^n l^n ^n + 1

P^ — Pn-l

bleibt. Ersetzt man hierin c„ durch , so geht die erste Ungleichung

Pn-Pn-\ über in

Pn + l-Pn Pn-Pn-1 ^" + 1^q. Pn + l-P» Pn-Pn-1 ""n "^

und da sich hier p„ weghebt, so führen sich von selbst die typischen Glieder einer divergenten Reihe ein, und die Konvergenzbedingung lautet

oder

Berücksichtigt man endlich, daß mit Z d„ auch 2 gdn divergiert (^>0), so erhält das Kriterium die Gestalt

Da nun dem ursprünglichen Kriterium sicher durch die Forderung

302 IX. Kap. Reihen mit positiven Gliedern.

genügt wird, so zeigt es sich, daß bei dieser letzten — seine Wirksamkeit ein klein wenig vermindernden — Gestalt es für das Kriterium ganz gleich- gültig ist, ob eine konvergente oder divergente Reihe zum Vergleich herangezogen wird. Oder also: Die c„ sowohl wie die dn dürfen durch irgendwelche (positive) Zahlen ersetzt werden. Ist also (&„) irgendeine Folge positiver Zahlen, so liegt in

ein Konvergenzkriterium vor. Dieses Kriterium von besonderer Allgemeinheit rührt von E. Kummer her^). Andererseits hat man in

j^j 1 ^n+1 1 />^>o : e

^n «n ^n + 1 l^» ' ®

ein disjunktives Kriterium zweiter Art gewonnen (da der auf die Divergenz be- zügliche Teil ja eine unmittelbare Umformung von (II) ist.

Bezüglich aller weiteren Einzelheiten verweisen wir nochmals auf die Arbeiten und das Buch von A. Pringsheim. Aus den skizzierten Gedanken- gängen heraus können natürlich keineswegs alle Kriterien überhaupt, sondern nur diejenigen — diese aber sämtlich — entwickelt werden, die ihrem Charakter nach ein Vergleichskriterium I. oder II. Art sind. So konnte in den Be- trachtungen dieses Paragraphen natürlich das Integralkriterium 176 und das Ermakoffsche Kriterium 177 nicht auftreten, da sie diesen Charakter nicht besitzen.

Aufgaben zum IX. Kapitel.

133. Man beweise bei den folgenden Reihen die Richtigkeit des an- gegebenen Konvergenzverhaltens:

a) yl-3---(2— 1) 1 . ..

2-4... (2 w) 2w+l ■ ,, ^/1.3...(2w-l)\« . j cc>2

5)

c) 2.' — log"

^^ ^ n n

^) Es wurde von Kummer schon 1835 gegeben (J. f. d. reine u. angew.. Math. Bd. 13, S. 172), allerdings mit einer einschränkenden Bedingung, die erst U. Dini 1867 als überflüssig erkannte. Es wurde später mehrfach wieder- entdeckt und gab noch 1888 Anlaß zu heftigen Prioritätsstreitigkeiten. Erst O. Stolz (Vorlesungen, üb. allgem. Arithmetik Bd. 1, S. 259) fand den folgenden überaus einfachen Beweis, durch den das Kriterium erst voll verständlich wird :.

Direkt.er Beweis: Das Kriterium besagt, daß von einer Stelle an

Dies hat einmal zur Folge, daß die Produkte «„&„ monoton fallen und also einem bestimmten Grenzwert y > 0 zustreben. Nach 131 ist dann aber

^— (<^n^n~ %+^^n+l) ^^"^ konvergente Reihe mit positiven Gliedern. Und da 2 an nicht größere Glieder hat, so ist diese Reihe gleichfalls konvergent.

181.

Aufgaben zum IX. Kapitel.

303

d) Z

i log -'°?li» ±-')

n log- n logg ^ logo w

{x+\)(2x+\)...{nx^\)

für

134, Für jedes feste p hat bei n-^ + cX)

( y>x>0 \ x>y>0

n

y — , —

— log

p+1

V log V . . . \ogp V

einen bestimmten Grenzwert Cp , wenn die Summation bei der ersten ganzen Zahl begonnen wird, für die log^ w >■ 1 ist.

135, Für jedes feste o in 0 <Cg <Cl hat bei n->oo

einen bestimmten Grenzwert y^. 136. Aus x,t->^ folgt

r xpn-i-

+ ? , ^'p{n + l) + q

^'PP PP

n + q] p

q p{n + \)-rq ppn-rq

wenn p, p' und q gegebene natürliche Zahlen sind.

137. Ist 2 dn divergent, sind D^ die Teilsummen und strebt dn -> 0, so ist

ZdvDr

Dn^.

138, Hat Zun monoton abnehmende Glieder, so ist die Reihe sicher divergent, wenn für ein festes p und alle n von einer Stelle an p-a^n — a^'^O ist.

139, Ist stets 0 < ^„ < 1 , so sind die beiden Reihen ln+^[{l-d,){\-d,)...{l-d„)]^

2d„

und

>J

[{i+d,)ii + d,)...(i+d,)y^

für jedes ^ > 0 konvergent.

140. Es soll das für Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern gültige Konvergenzkriterium

2 an f < 1 : e

ohne Benutzung des Ermakoffschen Kriteriums und ohne Benutzung der Integral- rechnung direkt bewiesen werden.

141. Ist die Konvergenz einer Reihe ü a^ mit Hilfe eines Kriteriums der logarithmischen Skala 164, II festgestellt, so nimmt

[n log n logg n . . . log^ n] • a„ -> 0 ab, und zwar von einer Stelle an sogar monoton, welche natürliche Zahl auch k bedeuten mag.

304 X. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

X. Kapitel.

Reihen mit beliebigen Gliedern.

§ 43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen

Gliedern.

Während es bei den Reihen mit positiven GHedern mögHch war, die Untersuchung ihres KonvergenzverhaUens einigermaßen zu systema- tisieren, muß man bei Reihen mit behebigen Ghedern fast ganz darauf verzichten. Der Grund hiervon ist weniger in einer ungenügenden Entwicklung der Theorie zu sehen, als in der Sache selbst. Denn eine Reihe mit beliebigen Ghedern kann konvergent sein, ohne absolut zu konvergieren 1). Ja, dieser Fall wird hier sogar der fast allein interessierende, denn die Feststellung der etwaigen absoluten Kon- vergenz kommt nach 85 doch auf die Untersuchung einer Reihe mit positiven Ghedern zurück. Wir brauchen daher hier nur den Fall zu betrachten, daß die Reihe entweder tatsächlich nicht absolut konver- giert oder ihre absolute Konvergenz mit den bisherigen Mitteln nicht erkannt werden kann. Konvergiert aber die Reihe nur bedingt, so hängt die Konvergenz nicht nur von der Größe der einzelnen Glieder ab, sondern wesentHch noch von der Art ihrer Aufeinanderfolge. Etwaige Vergleichskriterien dürfen sich also nicht nur, wie früher, auf die einzelnen Gheder beziehen, sondern müssen im wesentUchen die ganze Reihe in Betracht ziehen. Das bedeutet aber letzten Endes, daß jede Reihe für sich untersucht werden muß und sich also kein allgemeiner Zugang zu allen Reihen angeben läßt.

Wir müssen uns also hier mit Kriterien eines bescheideneren Wirkungskreises begnügen. Das wichtigste Hilfsmittel bei ihrer Auf- stellung ist die sogenannte

182. o Abelsche partielle Summation -). Sind {a^^, n^, . . .) und [b^, b^, . . .)

irgend zw3i Zahlenfolgen und wird für w ^ 0

«0 + ^/i + . • • + ^„ = ^4„ gesetzt, so ist für jedes n^O und jedes k^ 1 stets

n+k n+k

2J ayb^= 2J Ar(br — br+l) — An-bn + l + An + kba + k + 1 • v=n+l v=n+l

^) Der Fall, daß die Reihe durch „endlich viele Änderungen" (s. 82, 11) oder durch einen Vorzeichenwechsel aller Glieder in eine Reihe mit positiven Gliedern verwandelt werden kann, bedarf natürlich keiner besonderen Be- handlung.

'^) Journ. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 1 (1826), S. 314.

184. § 43. Konverg-enzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern. 305 Beweis. Es ist

"Z a, K = (^„+, - ^J 6,.+, + (/1„+, - ^„^ J &„^, + . . .

I i^n + fc-1 ~ ^« + fc-2)^i + fc-l + (^n + Tc ~" ^n + fc-l)^n + fc

und fügt man hier rechts 0 == ~ A^^^.h^^^^^^ A^_^^h^^^^^^ hinzu, so ergibt sich genau die Behauptung^).

o Zusatz, /s^ c eine beliebige Konstante und setzt man A^-j-c = A'^, 183. so ist auch

»•=»1+1 v=-n+l

— denn es ist «^ ^ A^ — A^_y = A^ — Al_^

Man „darf" also bei der Abelsch^^n partiellen Summation die ,4^ um eine beliebige Konstante vermehren oder vermindern.

Diese ^&^/sche partielle Summation gestattet nun fast unmittelbar eine Anzahl Konvergenzkriterien für Reihen der Form la^by herzu- leiten 2); sie Hefert uns zunächst den folgenden sehr allgemeinen

oSatz. Die Reihe Za^by ist sicher konvergent, wenn jc^

1) die Reihe 2 A^ib^ — b^^^ konvergiert, und

2) wenn lim^ .^) vorhanden ist.

Beweis. Die Formel 182 der .46ß/schen partiellen Summation 2eigt sofort, daß — ohne Rücksicht auf den Wert von k —

n + k

lim 2J <^r br = 0

ist. Denn wegen der ersten Voraussetzung ist (nach 81, 2) in dem- selben Sinne

n + k

hm ^ A^ ■ {b, — ö^+i) = 0

n->cc v = n + l

1) Manchmal ist es vorteilhafter, die Formel in der zuerst erhaltenen Form

n+k n+k-\

v = ti + l v = n + l

Stehen zu lassen.

2) Auf diese Form läßt sich natürlich jede Reihe bringen, da man ja jede Zahl als Produkt zweier anderer Zahlen schreiben kann. Der Erfolg in der Anwendung des obigen Satzes wird von dem Geschick in der Abspaltung der Faktoren abhängen.

Knopp, Unendliche Reihen. 20

306 X- Kap. Reihen mit bclicbijj:en Gliedern.

und wegen der zweiten Voraussetzung ist

lim (-^,^, + i+^„ + ,-^, + fc + i)==0.

7t-> 00

Nach 81 ist also I^dyb,. wirklich konvergent.

Wir leiten nun aus diesem sehr weitgehenden Satze, durch den die Konvergenzfrage für 2ayhr zwar nicht beantwortet, sondern nur auf zwei neue — aber eben in vielen Fällen einfachere — zurück- geführt wird, einige speziellere und leichter zu handhabende Kri- terien her.

01. Kriterium von Ahel^). ^LaJ),, ist konvergent, wenn Zuy kon- vergiert, und wenn die Folge {bj monoton und beschränkt isf^).

Beweis. Nach Voraussetzung ist {AJ, nach 46 (6 J und somit auch (^n^n + i) ^^^^ konvergente Folge. Nach 131 ist ferner 2'(^y — b^+i) konvergent, und weil die Glieder dieser Reihe wegen der Monotonie der b^^ einerlei Vorzeichen haben, ist die Konvergenz sogar eine absolute. Folglich ist nach 87, 2 auch die Reihe 2'^,,(ö„— ^,.+i) kon- vergent, denn die A,. sind, da sie eine konvergente Folge bilden, sicher beschränkt. Die beiden Bedingungen des Satzes 184 sind also erfüllt und IJayb,. somit konvergent.

02. Kriterium von Dirlchlet'^). ^Uyby ist konvergent, wenn Zuy beschränkte Teilsummen hat^), und {bj eine monotone Nullfolge ist.

Beweis. Aus denselben Gründen wie vorhin ist Uxiy{by — b^+i) konvergent, und da mit (6J wegen der Beschränktheit der {AJ auch (A -^„+1) eine konvergente Folge ist, so sind wieder die Voraus- setzungen des Satzes 184 erfüllt.

03. Kriterien von du Bois-Beymond'*) und Dedekind^).

a) JEayby ist konvergent, wenn 2\b„ — br+i) absolut und wenn 2\iy wenigstens bedingt konvergiert.

1) 1. c. — Das Abelsche Kriterium gibt eine hinreichende Bedingung für die (ö„) an, damit aus der Konvergenz von 2"«« diejenige von 2'a„&„ folgt. /. Hadamard (Acta math., Bd. 27 (1903), S. 177) gibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen; vgl. auch E. B. Elliot (Quarterly Journ., Bd. 87 1906, S. 222), der die Fragestellung differenziert.

2) Oder auch: Eine konvergente Reihe ,,darf" gliedweise mit monotonen und beschränkten Faktoren multipliziert iverden. — Satz 184 und die daraus her- geleiteten Kriterien antworten alle auf die Frage: Mit was für Faktoren darf eine konvergente Reihe, bzw. muß eine divergente Reihe gliedweise multi- pliziert werden, damit wieder eine konvergente Reihe entsteht?

3) Vorlesungen über Zahlentheorie, 1. Aufl., Braunschweig 1863, § 101.

4) Oder — nach 69 — , wenn 2'a„ „zwischen endlichen Grenzen oszilliert".

5) Antrittsprogramm d. Univ. Freiburg, 1871. — Die oben benutzte Be- nennung der 3 Kriterien ist eine mehr konventionelle, da im Prinzip alle drei schon von Abel herrühren. Zur Geschichte dieser Kriterien vgl. A. Pringsheim, Math. Ann., Bd. 25 (1885), S. 423.

«) In § 143 des in Fußnote 3 genannten Werkes.

185. §43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern. 307

Beweis. Nach 87, 2 konvergiert auf Grund der Voraussetzungen auch 2!Ay'{by — by+i), da ja [AJ sicher beschränkt ist. Da ferner

(*o - ^) + (*i - 6,) + • . . + (6„-i - b„) = &„ - j„

für n->-\-oo gegen einen Grenzwert strebt, so ist limb^^ vorhanden; wegen der vorausgesetzten Existenz von Hm A ist also auch lim A b

'»'11 n+l

vorhanden.

b) IJa^by ist konvergent, wenn außer der absoluten Konergenz von 2{by — by^i) mir vorausgesetzt wird, daß Sa,, beschränkte Teilsummen hat, wofern dann b^^->0 strebt.

Beweis. Auch jetzt ist SA„(by ~ b^+i) wiedei konvergent und es strebt A^b^^_^^-^0.

Beispiele und Anwendungen. 185.

1. Mit l'u,, konvergiert nach dem Abelschen Kriterium auch >i ^ ,

2. 2'(-l)" hat beschränkte Teilsummen. Ist also (&„) eine monotone Nullfolge, so ist

nach dem Dirichletschen Kriterium konvergent. Wir haben so einen neuen Beweis für das Leibnizsche Kriterium bei alternierenden Reihen (82, 10).

3. Ist die Folge {k^, k^, k.,, . . .) von natürlichen Zahlen so beschaffen, daß 2'(— 1)*« beschränkte Teilsummen hat — bleibt also die Differenz zwischen der Anzahl der geraden und der der ungeraden unter den Zahlen k^, k^, . . ., k,, mit wachsendem n beschränkt, so ist

2-'(-l^&„ konvergent, wenn (ö„) eine monotone Nullfolge bedeutet.

4. Ist 2 an konvergent, so konvergiert für 0^a;<-M die Potenzreihe l^anX""; denn die Faktoren x"" bilden eine monotone Folge. — Hat Ua^ we- nigstens beschränkte Teilsummen, so ist diese Potenzreihe jedenfalls für 0 < ;*r < 1 konvergent, weil dann x"- monoton -> 0 strebt.

5. Die Reihe IJsinnx hat für jedes (feste) reelle x und die Reihe IJcosnx hat für jedes von 2kji verschiedene (feste) reelle x beschränkte Teilsummen. Denn es gilt für jedes von 2 k tc verschiedene x die elementare, aber wichtige Formel

sinw-^- . sin(f^-f(w+l)-^

sm (oc + Ar) + sin (a -i- 2 a;) + . . . -f sin (a -j- nx) = = ^ ^ ■

. X sin -

für die S. 845 auch der Beweis angegeben wird. Sie liefert für a = 0:

X . , . ^. X

sin AT 4- sin 2 ;ir + . . . -f sin n x

sin n ---sin {n -;- 1) - dl 2

sm 2

{x --^ 2Äjr2))

^) Denn y w ist von n = 3 an monoton fallend, aber > 1 . ■2) Für x = 2k:r hat diese Summe natürlich für jedes n den Wert 0 ,

20*

308 X. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

und für a = ~

X X

sin n --- • cos (w -f 1) — -

cos X -\- cos 2 ;ir 4- . . . + cos nx = ^ , {x =^ 2k7i).

sin|

Aus ihnen kann die Beschränktheit der Teilsummen in dem behaupteten Um- fange sofort abgelesen werden. Nach dem Kriterium 3b ist also, wenn 2 {b„ — b„ + i) absolut konvergiert und 6„ -> 0 strebt,

die Reihe 2bn sin nx für jedes x

die Reihe Z bn cos nx für jedes von 2kji verschiedene x konvergent. Dies findet also insbesondere bei positiven monoton zu 0 ab- nehmenden bn statt ^).

6. Sind die 6„ positiv und kann

fe« + i ^ 1 _ _^ ^

mit positivem b und beschränkten ßn gesetzt werden, so ist S{~ 1)" 6„ dann und nur dann konvergent , wenn cc >• 0 ist. Denn ist a >• 0 , so folgt aus diesen Voraussetzungen zunächst, daß für alle n von einer Stelle ab b„ + ilb„<.l, also die Folge {b„) monoton fallend ist. Die Konvergenz der Reihe wäre also nach 2. gesichert, wenn man noch zeigen könnte, daß b„^0 strebt. Dies ergibt sich, ähnlich wie in 170, 1, folgendermaßen: Ist 0<a'<ci:, so ist von einer Stelle ab, etwa für alle r >> w

Schreibt man diese Ungleichung für j- = m, m -f 1 , . . ., w — 1 an und multipli- ziert sie, so folgt

n-l/ ^'

hn<hm- n (1- ;

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe folgt hieraus wie in 170, 1, daß wirklich 6„ -> 0 strebt.

Im Falle « < 0 nehmen aus entsprechenden Gründen die bn von einer Stelle an monoton zu, so daß 2'(— l)"fe„ gewiß nicht konvergieren kann. Im Falle o: = 0 endlich schließt man, genau wie S. 281, Fußn. 3, daß auch jetzt bn nicht ^ 0 strebt und also die Reihe wieder nicht konvergieren kann.

7. Wenn eine Reihe der Form >7— " — man nennt sie DmcÄ/e/sche Reihe ;

X

n wir werden sie später (§ 58, A) eingehender behandeln — für einen bestimmten Wert von x , etwa für x = Xq konvergiert , so konvergiert sie auch für jedes

x>Xn, denn bildet dann eine monotone Nullfolge. Aus dieser einfachen

Anwendung des ^&e/schen Kriteriums ergibt sich, ganz ähnlich wie bei den

Potenzreihen (93), der Satz: Jede Reihe der Form 2J— besitzt eine wohl be-

stimmte Konvergenzabszisse / mit der Eigenschaft, daß die Reihe für jedes AT > A konvergiert, für jedes ;v < A divergiert. (Näheres s. § 50.)

1) C. /. MalmstSn, Nova acta Upsaliensis, Bd. (2) 12 (1844), S. 255.

186. § 43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern. 309

Allgemeine Bemerkungen. 1S6«

1. Es war schon einleitend hervorgehoben worden, daß bei beliebigen Reihen die Größe des einzelnen Gliedes nicht entscheidend für die Konvergenz ist. Insbesondere brauchen zwei Reihen 2'a„ und 2bni deren Glieder asym- ptotisch gleich sind, für die also a„lbn-^l strebt, nicht dasselbe Konvergenz- verhalten aufzuweisen (vgl. dagegen 70, 4). Z. B. für

an=^^ ^ + -1 und ö^^L-Jl'L (w=2,3,...)

n n log n n v ' > /

strebt

«« _ 1 _!_ (- ^y

bn log n

Trotzdem ist Zb^ konvergent, 2an aber divergent, da ja 2'(a„ — &„) nach 79, 2 divergiert.

2. Wenn eine Reihe Zun nicht absolut konvergiert (vgl. S. 130, Fußn. 1), so bilden ihre positiven und negativen Glieder für sich je eine divergente Reihe. Genauer: Es werde ^„ = a„ oder =0 gesetzt, je nachdem a„ >> 0 oder ^0 ist; und ebenso werde ^„ = — «„ oder =0 gesetzt, je nachdem a„ < 0 oder ^0 isti). Dann sind Hp^ und Sq^ Reihen mit positiven Gliedern, deren erste nur die positiven und deren zweite nur die Beträge der negativen Glieder von Zun enthält (und zwar in unveränderter Stellung innerhalb der Reihe) und sonst nur Nullen. Diese beiden Reihen sind divergent. In der Tat, da jede Teil- summe von Z ün die Differenz zweier passender Teilsummen von Sp^ und 2qn ist, so folgt sofort: Wären Sp^ und Sq^ beide konvergent, so wäre 2'|a„| (nach 70) entgegen der Voraussetzung konvergent; wäre aber die eine Reihe konvergent, die andere divergent, so würden die Teilsummen von 2'a„ wieder entgegen der Voraussetzung nach -f- oo oder — oo streben (je nachdem Spn oder Sqn als divergent angenommen wird). Also müssen Zp^ und Sqn beide divergieren.

3. Nach der vorigen Bemerkung erscheint also eine nur bedingt kon- vergente Reihe, d. h. also die Folge ihrer Teilsuramen, als Differenz zweier monoton ins Unendliche wachsender Zahlenfolgen 2). Über die Stärke des An- wachsens dieser beiden Folgen beweist man leicht den

Satz. Die Teilsummen von Spn und Zq^ sind asymptotisch gleich. — In der Tat ist

Pi + p2 + - ■ ■+Pn _ j ^ ai+a^-h. . .-{-Un .

^1+^2+'- •+9n ^1 + ^2 + • • • + ^« '

und da in diesem letzten Quotienten der Zähler beschränkt ist, während der Nenner mit n ins Unendliche wächst, so strebt dieser Quotient -> 0 , — womit schon alles bewiesen ist.

4. Über die relative Häufigkeit positiver und negativer Glieder bei be- dingt konvergenten Reihen 2'a„, bei denen [«„j monoton fällt, hat E. Cesäro^)

^) Es ist also p„ = L^+^ und q, = [^_^ ; vgl. S. 133.

^) Die in manchen Darstellungen zu findende Ausdrucksweise, die Summe einer bedingt konvergenten Reihe sei in der Form oo — OO gegeben, sollte als gar zu oberflächlich lieber vermieden werden.

8) Rom. Acc. Lincei Rend., Bd. (4; 4 (1888), S. 133. — Vgl. hierzu eine Note von G. H. Hardy, Messenger of Math., Bd. (2) 41 (1911), S. 17, und von H. Rademacher, Math. Zeitschrift, Bd. 11, 1921.

810 X. Kap. Reihen mit beliebigen Gliedern.

den schönen vSatz bewiesen, daß wenn P„ die Anzahl der positiven und Q,^

p die Anzahl der negtiven Glieder a^, ist, für die v<w ist, so kann '* keinen

andern Grenzwert als 1 haben, (Doch braucht dieser Grenzwert nicht zu existieren.)

§ 44. Umordnung nur bedingt konvergenter Reihen.

Schon in 89, 2 hatten wir den grundlegenden Unterschied zwischen absolut und nicht-absolut konvergenten Reihen hervorgehoben, der darin besteht, daß das Konvergenzverhalten der letzteren wesentlich von der Anordnung der Glieder der Reihe abhängt, daß also für diese Reihen das Kommutationsgesetz der Addition nicht gilt. Wir hatten dies dadurch bewiesen, daß wir zeigten, daß eine nicht-absolut kon- vergente Reihe lediglich durch Umordnung der Reihenfolge ihrer Glieder in eine divergente Reihe verwandelt werden kann. Dieser Satz läßt sich nun erheblich verfeinern. Es läßt sich nämlich genauer zeigen, daß sich durch eine passende Umordnung jedes nur denkbare vor- gesohriebene Konvergenzverhalten bei der Reihe hervorrufen läßt. Es gilt also der folgende

187. Riemannsche Umordnungssatz. Ist ^a^^ eine nur bedingt konver-

gente Reihe und ist ^a'n aus ihr durch Umordnung (s. 27, 3) ent- standen, so kann man diese Umordnung so einrichten, daß die Reihe Za'n

a) mit einer willkürlich vorgeschriebenen Simims s konvergiert-^);

b) nach -|- oo oder nach — oo divergiert;

c) beliebig vorgeschriebene Häufungsgrenzen x und fi ihrer Teil- summen aufweist, — wofern nur ^ ^ ^ ist.

Beweis. Da die Behauptung c) offenbar die Behauptungen a) und b) als Spezialfälle enthält, nämlich a) für x ^= ^ ^= s' und b) für X ^^ ju =^ -\- oc bzw. = — oo, so genügt es, c) zu beweisen.

Dazu wähle man irgendeine Zahlenfolge (x^^), die ->x, und irgend- eine Zahlenfolge (^aj, die -> ii strebt, für die jedoch stets ?^,j < /i„ und /^^ > 0 sein soll - ).

1) B. Riemann, Abh. d. Ges. z. Göttingen, Bd. 13 (1866/68), S. 97. — Die Behauptungen b) und c) sind naheliegende Ergänzungen.

2) Das ist offenbar in der mannigfachsten Weise möglich. Ist nämlich

x=i [.i und der gemeinsame Wert endlich (= s') , so setze man y.n = s' ■ und

n^s'-\ , /^i nötigenfalls noch größer; ist p; = // = -f oo (bzw. = — oo), so

n setze man ;<„ = w (bzw. = — n) und /<„=:;<:„-f2. Ist endlich >i<iu, so w^hle man {xn) und (jin) S^^^ beliebig -> x bzw. ->// konvergierend; dann ist von einer Stelle an auch stets y.n<!^in, und man kann durch endlich viele Ände- rungen erreichen, daß das von Anfang an der Fall und daß /^i > 0 ist.

187. §44. ümordnung nur bedingt konvergenter Reihen. 311

In der Reihe 2^ a^^ = a^ ^ a.-^ ~j- . . . bezeichne man nun (etwas abweichend von 186, 2) diejenigen GHeder a^^, welche ^ 0 sind in der Reihenfolge, wie sie auftreten, mit p^, p^, ... und die Beträge derjenigen, die <0 sind, mit q^,q^,.... Dann unterscheiden sich 2^S und I!q von den damals ebenso bezeichaeten Reihen nur durch das Fehlen vieler Nullen als Ghedern und es sind also wieder zwei divergente Reihen mit positiven GHedern, welch letztere gegen 0 streben. Wir werden nun zeigen, daß schon eine Reihe vom Typus

^1 + ^2 + • • • + ^"'1 — ^1 — 9-2 — ■ ■ ■ — Qh + Pm + i + • • • + f>n2

— qk,+\ ~ ■•• — qk, + pm^+i + • • •

das Verlangte leistet. Eine solche Reihe ist offenbar eine Umordnung der gegebenen, und sogar eine solche, die die Reihenfolge der posi- tiven Glieder tmter sich und die der negativen unter sich ungeändert gelassen hat.

Wir wählen nun die beiden wachsenden Folgen der Indizes m , m.^, , . . und k^, k^, . . . so, daß diejenige Teilsumme der Reihe, die

1) mit pm, abbricht, > ^u^ ist, diejenige aber, die ein Glied früher abbricht, ^ /t^ ist,

2) mit ^Äi abbricht < x^ ist, diejenige aber, die ein Glied früher abbricht, ^ x^ ist,

3) mit pm„ abbricht, > /i.^ ist, diejenige aber, die ein Glied früher abbricht, ^ ^u^ ist,

4) mit qk^ abbricht, < x.^ ist, diejenige aber, die ein Glied früher abbricht, ^ x^ ist, usw.

Das kann stets erreicht werden; denn indem man hinreichend viele positive GUeder auftreten läßt, kann man die Teilsummen so groß machen, wie man will, und indem man hinreichend viele negative Glieder folgen läßt, kann man sie wieder so tief sinken lassen wie man will.

Ist nun ^a'n diese wohlbesrimmte Umordnung von 2a^^, so haben die Teilsummen dieser Reihe I^an die vorgeschriebenen Häufungs- grenzen. In der Tat, bezeichnen wir der Kürze halber die mit den Gliedern pm^, pm^, • • • abbrechenden Teilsummen mit r^, t._j, . . ., die mit qk^, qk^^, ... abbrechenden mit o^. a.-,, ..., so ist stets \o„--x^-< q^^, und I T, - /A, < p^^ .

Weeen i) >0 und a -> 0 muß hiernach also a,, -> x und r,, -► a Streben, d. h. x und ^a sind jedenfalls Häufungsie^^^r/^ der Teilsummen von IJan. Daß sie nun auch deren Uäuiungsgrenzen darstellen, folgt einfach daraus, daß eine Teilsumme s^ von Hun, die weder einem Oy noch einem t,, gleich ist, immer zwischen zwei aufeinanderfolgen- den dieser besonderen Teilsummen gelegen ist. Die s'^ können also

312 X. Kap. Reihen mit beliebig-en Gliedern.

außerhalb des Intervalles x . . . jul (bzw. außer dem gemeinsamen Wert beider) keine Häufungsstelle mehr besitzen.

Dieser Satz hat ähnliche Untersuchungen in mannigfachen Richtungen angeregt. Schon M. Ohm^) und O. Schlömilch^) haben die Wirkung verschie- dener Umordnungen auf die spezielle Reihe 1 — i -}- 1 _ i .f . . . untersucht, insbesondere den Fall, daß man auf je p positive Glieder je q negative folgen läßt. Aber erst A. Pringsheim^) hat allgemeinere Resultate für den Fall erzielt, daß in einer bedingt konvergenten Reihe die relative Häufigkeit der positiven und negativen Glieder nach bestimmten Vorschriften geändert wird. E. Borel'^) umgekehrt hat die Frage vmtersucht, durch welche Umord- nungen die Summe einer bedingt konvergenten Reihe nicht geändert wird. In neuerer Zeit hat W. Sierpinski^) gezeigt, daß, wenn 2an = s bedingt konver- giert und s' < 5 ist, man durch alleinige Umordnurig der positiven Glieder, unter Belassung der negativen Glieder an ihrem Platze und in ihrer Anord- nung, der Reihe die Summe s' geben kann, und analog jede Summe s" > 5 durch alleinige Umordnung der negativen Glieder. (Der Beweis ist weniger einfach.)

§ 45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen.

Im vorigen Paragraphen zeigten wir, in Ergänzung der Aus- führungen von 89, 2, daß bei Reihen, die nur bedingt konvergieren, das Kommutationsgesetz der Addition nicht mehr gilt. Daß auch das Distributionsgesetz nicht allgemein weiterbesteht und daß also die Multiplikation zweier solcher Reihen 2a und 2h nicht mehr nach den elementaren Regeln ausgeführt werden darf, hatten wir gleich- falls schon (§17, Ende) an einem von Caiichy herrührenden Beispiel gesehen. Doch blieb dort die Frage noch unerledigt, ob die Produkt- reihe Zc^^ (mit c„ -= a^h^ + a^ ^„_^ + ••• + «„ ^o) nicht schon bei weniger strengen Voraussetzungen über die Reihen 2a^ = A und 2b^^= B — wir verlangten in § 17, daß sie beide absolut konvergent seien — konvergieren und den Wert A • B zur Summe haben muß.

In dieser Richtung gilt zunächst der folgende 188. ° Satz von Mertens^). Wenn von den beiden Reihen 2a^ = A und

2b^= B wenigstens eine — etwa die erste — absolut konvergiert, so ist ^c„ schon konvergent und ^= A- B .

Beweis. Es ist nur zu zeigen, daß mit wachsendem n die Teilsummen

^) Antrittsprogramm Berlin, 1839.

2) Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 18 (1873), S. 520.

3) Math. Ann., Bd. 23 (1883), S. 455.

*) Bulletin des sciences math^m., Bd. (2) 14 (1890), S. 97. •^) Bull, internat. Ac. Sciences Cracovie, 1911, S. 149. «) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 79 (1875), S. 182. — Eine Erweiterung des Satzes gab T. /. Stieltjes (Nouv. Annales, Bd. (3) 6 (1887), S. 210.)

189. §45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen. 313

gegen den Grenzwert A • B streben. Bezeichnen wir nun die Teil- summen von IJa^^ mit A^^, die von I!b^^ mit B^^, so ist zunächst

C„ = «„-ß„-«iß„-x+... + «„ßo oder, wenn man B^^ = B -j- ß^^ setzt,

= K-B + ("o-ß,, + «i/^„-, + • • • + "M- Da hier ^^^-^-^^ -ß strebt, so ist einzig noch dies zu zeigen: Wenn ^a^^ absolut konvergiert und /?„-> 0 strebt, so bildet auch der Ausdruck

^^n = ^n ßo -r «„-1 Ä 4- • . • + ^Oi^n

eine Nullfolge. Das ist aber eine unmittelbare Folge von 43, 9^; man hat dort nur x^^ = ß^^ und y^^ = a^^ zu setzen. Damit ist der Satz bewiesen.

Ehe wir weiter gehen, wollen wir die Frage beantworten, ob denn die Produkireihe -^c^, wenn sie konvergiert, notwendig den Wert A ' B zur Summe haben muß ?

Daß diese Frage zu bejahen ist, besagt der folgende

o Satz von Abel^). Wenn die Reihe 2'c,^ — 2'(«q ^„ + • . . + a^^ b^) 189, konvergiert, so ist ihre Summe stets = A- B ,

1. Beweis. Dieser Satz folgt ganz unmittelbar aus dem Abel- schen Grenzwertsatz (100) und ist auch so zuerst von Abel bewiesen worden. Setzt man

2a„x" = f, (x) , 2b„x" = f, (x) . 2c„x" = f,ix), SO sind diese drei Potenzreihen (vgl. 185, 4) sicher für 0 ^ :^ < 1 absolut konvergent und für die dadurch definierten Funktionen gilt für diese Werte von x die Beziehung

Wegen der vorausgesetzten Konvergenz der drei Reihen 2^a , 2^b und 2^c^ strebt aber eine jede dieser Funktionen nach dem Abelschen Grenzwertsatz einem Grenzwert zu, wenn x von hnks her sich ^ + 1 bewegt; und zwar strebt dabei

f,{x)^A=i:a^, UXx)^B = Zb^, f,{x)^C = 2c^^. Da nun für alle bei diesem Grenzübergang in Betracht kommenden Werte von x die Gleichung (a) besteht, so folgt (nach § 19, Satz 1) sofort, daß

C = AB sein muß. — Ohne Verwendung von Funktionen gelangt der folgende

2. Beweis zum Ziel, der von Cesäro''^) herrührt: Schon oben sahen wir, daß

Cy = t?o B^ + a^ B^_t -f . . . + ß^ Bq

1) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 1 (1826), S. 318.

2) Bull, des sciences math., Bd. (2) 14 (1890), S. 114.

314 Aufgaben zum X. Kapitel.

ist. Hieraus folgt, daß

C„ +C, + . . . + C„ = A,B„ + A,B„_, + ... + A„B„ ist. Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch n -\- 1 und läßt «^ -|- oo streben, so strebt dabei (nach 43, 2) die linke Seite ^C, und (nach 44, 9 a) die rechte ^AB. Also ist C = Ä- B, w. z. b. w.

Auf Grund dieses interessanten Satzes, der uns auch späterhin noch beschäftigen wird, brauchen sich die feineren Untersuchungen über die Multiplikation von Reihen nur noch mit der Frage zu be- schäftigen, ob die Produktreihe 2Jc^^ konvergiert oder nicht.

Auf diese Untersuchungen wollen wir hier indessen nicht ein- gehen'-^).

Aufgaben zum X. Kapitel.

142. Man stelle das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen fest:

a) vL^ , b) 2— -r— '

.^ /sinnxV' ... . x

c) y X , d) S^sin — ,

^ -^ \ nx J ' ' ^ n

e) y (- 1 )« sin -- , f ) 2" sin' -~ '

g) 2J sin (ir x) , h) 2J sin {n\ nx) ,

i) vJz,il-, u)

— AT + log n ^ '— n

,, / 1 1 \ sin WA' , ^ .

1) >^ I 1 -: ^ . . • H , 1") 2J cc>i sin n x cos- nx .

^ — ^ V 2 ■ nJ n ) ^ n

Bei der letzten Reihe soll (a„) eine monotone Nullfolge sein. Die Reihe g) konvergiert für liein x i ää, die Reihe h) konvergiert außer für alle rationalen x

2 Ä noch z. B. für x^e, = (2 Ä + 1) e, = — » = sin 1 , = cos 1, ferner für

_Jl^J__l^J.^_lll_

"^^ 2 4! 5! ' 2 6! 7"!"^ 2 8! '^';* und viele andere spezielle Werte von x. Man gebe Werte von x an, für die die Reihe sicher divergiert.

00 r 1 1 11

143. y = \ = — h= log 2

n=A^ + 2^-l ' ^^2« AT + wJ

und zwar für jedes at >- 0 .

144. Wenn die Folge (wa,,) und die Reihe 2"« (a„ - a,,+i) konvergieren, so ist auch Z a^ konvergent.

2) Sätze der hier in Rede stehenden Art hat A. Fringsheim (Math. Ann. Bd. 21, 1883, S. 340) bewiesen und im Anschluß an dessen Arbeiten A. Voß (ebenda, Bd. 24, 1884, S. 42) und F. Cajon (Bull, of the Americ. Math. Soc, Bd. 8, 1901/2, S. 231 und Bd. 9, 1902/3, S. 188). — Vgl. auch § 66 des schon oft zitierten Werkes von A. Fringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funk- tionenlehre (Leipzig 1916). Wesentlich tiefer liegt eine Gruppe hierher ge- höriger Sätze, von denen G. H. Hardy (Proc. of the London Math. Soc. Bd. (2) 6, 1908, S. 410j einen besonders schönen bewiesen hat.

1S9. Aufgaben zum X. Kapitel. 315

145. a) Wenn 2'a„ und 2" j &„ — ö„_|.i i beide konvergieren oder wenn b) San beschränkte Teilsummen hat, 2" I &„ — ö„+i j konvergiert und &„ -> 0 strebt, so ist für jedes ganzzahlige p'^l die Reihe 2, a^h,^ konvergent.

146. Die Bedingungen des Kriteriums 184, 3 sind in gewissem Sinne auch notwendig für die Konvergenz von S a„ h,i : Soll die Faktorenfolge (&„) so beschaffen sein, daß für jede konvergente Reihe 2" a„ auch H a„ &„ konvergent ausfällt, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß 2" j ö„ — &„+i | konvergiert, — Man zeige noch, daß es hierbei keinen wesentlichen Unterschied macht, ob man die Konvergenz von 2" I &,« — hn^x ' verlangt oder nur fordert, daß die Folge (&„) monoton sei.

147. Ist Sa^ konvergent, und strebt /?„ monoton ^ f-oo, doch so, daß 2pn~^ divergiert, so ist

— - px «1 + A2 «.2 + - • ' + Pnan ( ^ 0 >

— w \ <0.

I- 148, Es strebe a^ monoton >0, lim nUn sei vorhanden, und es sei

Ol

27 (— l)** ^n =" 5 . Ordnet man diese Reihe so um, daß stets auf p positive n=o Glieder q negative folgen:

«0 + ^2 + • • ^ + ^ip—i — fl^i — «3 — • • • — a-iq-i + a-ip 4- . . . so gilt für die Summe s' dieser neuen Reihe

' 1 P

s' ^- s-}-— lim {n a„) ■ log — . Z q

149. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß aus der Konvergenz der Reihen S a^ und Zh,i die der Produktreihe

2 Cn — 2 («0 bn + «1 &;,-! + ... + «/( &o)

folge, besteht darin, daß die Zahlen

n 9n = 2J ay {bn -T bn-i + • • • + bn-r + l) r = l

eine Nullfolge bilden.

150. Streben die Folgen (a^) und (b,i) monoton ->0, so liefern die Reihen H [— 1)^ Un und 2(— l)'*&,j dann und nur dann eine konvergente (Cauchysche) Produktreihe, wenn auch die Zahlen fT,j = a„ (ö^ f &j^ + . . . -f 6,^) und T„ = &„ (öQ + «j^ + • • • + <^n) js Gine Nullfolge bilden.

151. Die beiden Reihen ^ t_i! und ^ i"Z_J! , cz>0, ß>0, dürfen

dann und nur dann nach der Cauchyschen Regel miteinander multipliziert werden, wenn a -{- ß ^ 1 ist.

152. Sind (Un) und (pn) monotone Nullfolgen, so ist es für die Konvergenz des Cauchyschen Produktes der Reihen 2'(— l)"a;j und 2" (—!)"&„ hinreichend, daß 2 ttnbn konvergiert; und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür besteht darin, daß 2 {anb,i)^^^ für jedes p >- 0 konvergiert.

153. Ist von einer Stelle an

ün = w"° • log"i n • logg^ n . . . log^^ n , bn = n^^ • log^^^ n ■ log^'2 ^i ^ _ . log^'s n , ist 2ö„ konvergent, aber an~ = b,i, so ist

(«0 bn + «1 &„-! +... + «« öo) ^ «„• ( 2] bv

\r = 0

316 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

XI. Kapitel.

Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen).

§ 46. Gleichmäßige Konvergenz.

Bisher haben wir fast ausschheßlich Reihen in den Kreis unserer Betrachtungen gezogen, deren GHeder bestimmt gegebene Zahlen (Konstante) waren. Nur in besonders durchsichtigen Fällen hing der Wert der Glieder noch von der Festlegung einer unbestimmten Größe, einer Variablen, ab. Dieser Fall lag z. B. vor, wenn wir die geome- trische Reihe 2 a^ oder die harmonische Reihe y — betrachteten,

n deren Konvergenzverhalten noch von der Wahl von a bzw. a ab- hängig war, — und er lag allgemeiner bei jeder Potenzreihe Za^x^ vor, bei der erst noch die Zahl % fixiert werden mußte, ehe wir die Konvergenzfrage in Angriff nehmen konnten. Diese Situation soll jetzt in naheliegender Weise verallgemeinert werden: Wir wollen Reihen betrachten, deren Glieder in irgendeiner Weise von einer Variablen x abhängen, die also Funktionen dieser Variablen sind. Wir bezeichnen diese GHeder darum mit f\^{x) und betrachten also Reihen der Form

Eine Funktion von x ist nun im allgemeinen nur für gewisse Werte von x definiert (s. § 19, Def. l) für unsere Zwecke wird die An- nahme genügen, daß sie in einem oder mehreren (offenen oder ab- geschlossenen) Intervallen definiert sind. Dann wäre — wenn anders die hingeschriebene Reihe auch nur für einen einzigen Wert von x einen Sinn haben soll — zunächst zu fordern,^ daß es wenigstens einen Punkt x gibt, der den Definitionsinterval'len sämtlicher Funk- tionen f^ix) angehört. Wir wollen aber sogleich fordern, daß es wenigstens ein Intervall gebe, in dem alle diese Funktionen definiert sind. Dann sind für jedes spezielle x aus diesem Intervall jedenfalls die GHeder der Reihe 2f^[x) bestimmte Zahlen, und es kann für jedes solche x die Konvergenzfrage aufgeworfen werden. Wir wollen nun weiter annehmen, daß es ein (ev. kleineres) Intervall / gäbe, für dessen sämtliche Punkte die Reihe 2Y„(^) sich nun als kon- vergent erweist.

190. Definition. Ist J ein Intervall, für dessen sämtliche Punkte {mit

Einschluß keines, eines oder heider Endpunkte) alle Funktionen f^{x) definiert sind und zugleich die Reihe 2f^{%) konvergiert, so soll J ein Konvergenzintervall dieser Reihe genannt werden.

190. §46. Gleichmäßige Konvergenz. 317

Beispiele und Erläuterungen.

1. Für die geometrische Reihe 2";^" ist das Intervall — 1 < ;»r < + 1 ein Konvergenzintervall, und es existiert kein außerhalb desselben gelegenes.

2. Für eine Potenzreihe Zan{x—XQ)"- existiert, wofern sie auch nur in einem einzigen von Xq verschiedenen Punkte konvergiert, stets ein Konvergenz- intervall der Form XQ — r...XQ-}-r, mit Einschluß keines, eines oder beider End- punkte. Und es existiert (bei richtiger Wahl von r) kein außerhalb desselben gelegenes Konvergenzintervall.

3. Für die harmonische Reihe V — ist die Halbachse x y> 1 ein Kon-

vergenzintervall und es existiert kein außerhalb derselben gelegenes.

4. Genau wie jede Reihe lediglich ein anderes Symbol für eine gewisse Folge war, so ist auch jetzt die Reihe Sfn{x) lediglich ein anderes Symbol für eine Folge von Funktionen, nämlich für die Folge der Teilsummen

Es ist daher prinzipiell gleichgültig, oh man die Glieder der Reihe oder die Teil- summen derselben angibt; die einen sind durch die andern eindeutig bestimmt. Es ist also auch prinzipiell das gleiche, mag man von unendlichen Reihen mit veränderlichen Gliedern oder von Funktionenfolgen sprechen. Wir

werden darum alle Dsfinitionen und Sätze nur für die Reihen aussprechen und es dsm Leser überlassen, sie sich auch für Funktionenfolgen zu formulieren'^).

5. Ist für eine Reihe

lautet also die Reihe

2;AW = T4V.+ (T4Tr.-^^) +

„^1 l + X^'W+x'' l + W^Vl-fAT« 1 + Ar*y

so konvergiert die Reihe für jedes reelle x\ denn es strebt ersichtlich

a) Sn (^) -> 0 , falls \x\<:\ ist,

b) Sn (;«?)-> 1 , falls | ;»; j > 1 ist, und

c) s„(;»;)->-|-, falls \x\ = l ist.

6. Dagegen hat die Reihe, für die

Sn {x) = (2 sin xY

ist, unendlich viele getrennte Konvergenzintervalle; denn lim 5;j (;ir) ist offenbar dann und nur dann vorhanden, wenn — | <; sin x ^\ ist, also wenn

ist, oder wenn x in einem der Intervalle liegt, die hieraus durch Verschiebung um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 jt entstehen. Die Summe der Reihe ist dann im Innern dieser Intervalle stets =0, und in dem einen zu ihm ge- hörigen Endpunkt = 1.

r, ^. ^ ., . sin 2 AT sin 3;»; , . , ^^-, ^ ,

7. Die Reihe siuatH [ [- • • • konvergiert nach 185, 5 für

2 o

,. ^ ., cos2;^^ cos 3;«; r . ,

jedes reelle x] die Reihe cos;ir-! — — |- — ^ [- . . . für jedes von 2kji

■verschiedene reelle x.

^) Trotzdem werden wir gelegentlich die Definitionen und Sätze auch kfür Funktionenfolgen benutzen.

318 ^1- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Ist nun eine vorgelegte Reihe der Form 2^f^(^x) in einem be- stimmten Intervall / konvergent, so entspricht jedem Punkt x von / ein ganz bestimmter Summenwert der Reihe. Diese Summe ist dann also (gemäß § 19, Def. 1) selbst eine Funktion von x, welche durch die Reihe definiert oder dargestellt wird. Man sagt auch, wenn man diese letztere Funktion als das wesentlichste ansieht, sie sei in die betreffende Reihe entwickelt. Wir schreiben in diesem Sinne

^W = Jf„W-

Für Potenzreihen und die durch sie dargestellten Funktionen (s. V. und VI. Kapitel) sind uns diese Begriffe ja schon geläufig.

Die wichtigste Frage, die wir in solchen Fällen zu beantworten haben, wird dann meist die sein, ob bzw. in welchem Maße sich die Eigenschaften, die allen als Reihenglieder auftretenden Funktionen f^{x) zukommen, sich auch auf die durch die Reihen summe defi- nierte Funktion' jP(a;) übertragen.

Schon die einfachen vorhin gegebenen Beispiele zeigen, daß dies für keine der bei den Funktionen als wertvoll geschätzten Eigen- schaften der Fall zu sein braucht: Die geometrische Reihe zeigt, daß alle f^{x) beschränkt sein können, ohne daß F{x) es ist; die Potenz- reihe für smx, a; > 0, zeigt, daß jedes f^^[x) monoton sein kann, ohne daß F{x) monoton ausfällt; das Beispiel 5. zeigt, daß jedes f^{%) stetig sein kann, ohne daß F [x] es ist. Dasselbe Beispiel lehrt das entsprechende für die Differenzierbarkeit. Auch dafür, daß die Integrierbarkeit verloren gehen kann, ist es nicht schwer, ein Bei- spiel zu bilden.

Es sei etwa

{= 1 für alle rationalen x, die mit einem (positiven) Nenner < n ge- geschrieben werden können, = 0 für alle andern x. ,'

Dann ist Sn{x) und folglich auch fn{x) über jedes beschränkte Intervall inte- grierbar, weil es dort nur endlich viele Unstetigkeiten aufweist (vgl. § 19, Satz 13). Auch ist \\m.Sn{x) = F {x) für jedes x vorhanden. Ist nämlich x rational, etwa

= - - (?>0, p und q teilerfrerad) , so ist für n~>q stets 5„ (at) = 1 und also-

auch F {x) = 1 . Ist dagegen x irrational, so ist stets s„ [x) — 0 und also auch F{x) = Q. Es ist somit die durch S fn{x) =^\\m s„{x) definierte Funktion

^ 1 , falls X rational ^ ^~ (0, falls X irrational. Diese Funktion ist aber nicht integrierbar, denn sie ist für jedes x unstetig^).

1) Definiert man s„ {x) ein klein wenig abweichend so, daß 5„ {x) = 1 ge- setzt wird für alle rationalen x, deren Nenner in n\ aufgeht (es sind dies bei jedem n außer den eben gebrauchten natürlichen Zahlen <w noch eine be- stimmte Anzahl weiterer), und =0 gesetzt wird für alle andern x, so erhält man als lim s„ (at) dieselbe Funktion F{x), wie eben. Nun aber läßt sich Sn{x)'

X90. §^6- Gleichmäßige Konvergenz. 319

Diese Beispiele deuten schon an, daß bei den Reihen mit ver- änderhchen Gliedern nun eine ganz neue Kategorie von Problemen auftaucht und behandelt werden muß, nämlich zu untersuchen, unter welchen zusätzlichen Bedingungen nun doch diese oder jene Eigenschaft der Reihenglieder f„(^) sich auf die Reihensumme F(x) überträgt. Nach den angeführten Beispielen ist es jedenfalls nicht die Tatsache der Konvergenz, die dies bewirkt, sondern der Grund muß in der Art der Konvergenz gesucht werden. Von der größten Bedeutung in dieser Hinsicht ist die sogenannte gleichmäßige Konvergenz einer Reihe 2f^^{x) in einem ihrer Konvergenzintervalle oder einem Teile derselben.

Der Begriff ist zwar leicht erklärt, aber sein tieferes Wesen nicht so schnell zu erfassen. Wir wollen uns daher, ehe wir zur begriff- lichen Formulierung schreiten, den Sachverhalt zunächst einmal an- schauhch klarmachen:

CO

Wenn ^ /"„ (x) im Intervall /, etwa in a^x ^h ^ konvergiert und F {x) zur n=0 Summe hat, so wollen wir das Bild der Funktion y = s„ (x) = /^ (;i;) -f . . . + f„ (x) die nie Approximationskurve und das Bild der Funktion y = F (x) die Grenzkurve nennen. Die Tatsache der Konvergenz scheint dann zu besagen, daß mit wachsendem n sich die Approximationskurven mehr und mehr der Grenzkurve anschmiegen. Doch trifft dies den wahren Sachverhalt nur sehr unvollkommen. Denn die Konvergenz in / bedeutet zunächst nur, daß in jedem einzelnen Punkte Konvergenz stattfindet; und wir können daher zunächst nur sagen, daß bei jeder bestimmt ins Auge gefaßten (also festgehaltenen) Abszisse x sich die zugehörigen Ordinaten der Approximationskurven mit wachsendem n der an dieser Stelle stehenden Ordinate der Grenzkurve nähern. Was derweil die Kurven über einer andern Abszisse x' machen, steht noch völlig dahin: es braucht keineswegs die Approximationskurve y = s„ {x) in ihrer ganzen Aus- dehnung sich der Grenzkurve immer dichter anzuschmiegen. Diese etwas paradox klingende Behauptung werde zunächst an einem Beispiel erläutert.

Die Reihe, deren Teilsummen für n = 1, 2, ... die Werte

nx

haben, ist gewiß im Intervall 1 < ;ir ^ 2 konvergent. Denn es ist dort

n^x^ — n

Die Grenzkurve ist also die Strecke \^x^^ der Abszissenachse; und die Approximationskurve, die oberhalb derselben verläuft, entfernt sich nach der

und F {pc) mit den üblichen Mitteln sogar durchaus geschlossen darstellen denn es ist s^Kx) — \\va {c.o^'^ nKaxf und also

F {x) = lim j lim (cos- nlTfx)^^ .

Dieses merkwürdige Beispiel einer überall unstetigen Funktion, die doch aus. stetigen Funktionen mit Hilfe zweimaligen Grenzübergangs hergestellt werden kann, rührt schon von Dirichlet her.

320

XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

eben ausgeführten Abschätzung- von ihr längs des ganzen Intervalles \<x <,2

um weniger als — , also für große n in ihrer ganzen Ausdehnung nur sehr

wenig.

Hier lägen die Dinge also etwa so, wie man es erwarten mochte; ganz anders aber, wenn wir dieselbe Reihe im Intervall 0 < at < 1 betrachten. Auch für jeden Punkt dieses Intervalles ist lim s„ (x) = 0 ^), die Grenzkurve also das entsprechende Stück der ;*;- Achse. Hier schmiegt sich aber für kein (noch so großes) n die Approximationskurve längs des ganzen Intervalles dicht an die

Grenzkurve an, denn für x=- ist stets 5„ (,r) = - , d. h. für jedes n macht

die Approximationskurve zwischen 0 und 1 einen nach oben gehenden Buckel, der die Höhe J hat ! ! Das Bild der Kurve ^ = 54 (x) sieht ungefähr so aus :

Fig. 4. Die Kurve y = s^Q{x) dagegen bietet schon etwa das folgende Bild:

A

rL=</0

Fig. D.

Und für die größeren n wird der genannte Buckel — ohne daß sich seine Höhe veränderte — immer dichter an die Ordinatenachse herangedrückt; die Approximationskurve schnellt vom Koordinatenanfangspunkt immer steiler

herauf bis zur Höhe — , die schon für x= erreicht wird, um dann fast

2 n

ebenso schnell wieder bis dicht an die Abszissenachse herabzufallen.

Der Anfänger, dem diese Erscheinung sehr befremdlich vorkommen wird, mache sich genau klar, daß trotzdem für jedes feste x unseres Intervalles die Ordinalen der Approximationskurve sich schließlich auf die Abszissenachse

^) Denn für at > 0 ist wieder 0 -^ s„ (x) und für x = 0 ist sogar dauernd Sn(x) = 0.

— - , also <" € für n >-

nx ex

191. §46. Gleichmäßige Konverg-enz. 321

herabsenken, daß also für jedes fesic x doch lim s„ {x) = 0 ist. Denn halten wir einen (wenn auch noch so kleinen) positiven Wert von x fest, so wird für hinreichend hohe n der störende Buckel der Kurve y = s^ {x) doch ganz links von X (aber noch rechts von der Ordinatenachse) liegen und an der Stelle x selbst wird die Kurve sich schon wieder tief auf die Abszissenachse herab- gesenkt haben 1).

In dem Intervall l^r<2 werden wir die Konvergenz unserer Reihe eine gleichmäßige nennen, im Intervall 0 < at < 1 dagegen nicht.

Nachdem wir uns so mehr anschaulich mit dem Sachverhalt ver- traut gemacht haben, schreiten wir zur begrifflichen Formulierung: Besitzt 2Y„(a:) das Konvergenzintervall /, so ist die Reihe also für jedes einzelne x desselben, etwa für x = x^ konvergent, d. h. wenn allgemein F {x) = s^^{x) -^ r^^{x) gesetzt wird und e>0 beliebig ge- geben wird, so gibt es eine Zahl n^ mit der Eigenschaft, daß nun für alle n > «^ der Betrag des Restes

ausfällt. Wie schon früher betont (s. 10, Bern. 3) hängt n^ natürlich von der Wahl von e ab. Jetzt wird aber n^ auch noch von der Wahl von x^ abhängen, denn für den einen Punkt aus / wird die Reihe im allgemeinen schneller konvergieren als für den andern 2). Wir werden daher, ähnlich wie in 10, 8, n^ = n^ {e, x^) setzen, oder auch, indem wir uns den Index 0 sparen und die Abhängigkeit von e als selbstverständlich nicht mehr besonders betonen, sagen können: Bei gegebenen e > 0 und gegebenem x aus / läßt sich stets eine Zahl n {x) so angeben, daß nun für alle n > n {x) stets

ausfällt. Denkt man sich — immer bei einem bestimmt gegebenen £ — die Zahl n(x) hierbei — etwa als ganze Zahl — so klein wie möghch gewählt, so ist sie durch x eindeutig bestimmt und ist also insofern eine Funktion von x. Ihr Wert kann in gewissem Sinne als ein Maß für die Güte der Konvergenz der Reihe an der Stelle x an- gesehen werden. Wir definieren nun:

Definition der gleichmäßigen Konvergenz (1. Form). Die im Inter- 191, vall J konvergente Reihe Zf^^{x) heißt in einem Teilintervall ]' von J

1) Nimmt man etwa x = -— und dafür n = 1 000 000 , so ist die Abszisse des höchsten Punktes des Buckels = YÖÖOOOÖ ^^^ ^" unserer Stelle x hat sich die Kurve schon wieder auf eine Höhe herabgesenkt , die < ist.

-) Man vergegenwärtige sich etwa die Schnelligkeit der Konvergenz der

geometrischen Reihe Z x'' (d. h. die Schnelligkeit, mit der ihr Rest bei wach-

I 99

sendem n abnimmt) für x = und x = !

^ 100 100

Knopp, Unendliche Reihen. 21

322 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

gleichmäßig konvergent, wenn die oben definierte Funktion n (x) bei jeder Wahl von e in J' beschränkt ausfällt^). — Ist dann etwa stets n(x) < N — und dies A'' wird natürlich, wie die Zahlen n (x) selber, immer noch von der Wahl von e abhängen, — so können wir auch sagen:

2. (Haupt-)Form der Definition. Eine in J konvergente Reihe Zf (x) heißt in einem Teilintervall ]' von J gleichmäßig konver- gent, wenn nach Wahl von e sich eine einzige Zahl N ^ N (e) so angeben läßt, daß der Betrag des Restes

\rnix)\ < s

ausfällt, nicht nur {wie bisher) für jedes n > N, sondern gleichzeitig auch für jedes x aus J' .

Erläuterungen und Beispiele.

1. Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz bezieht sich stets auf ein Intervallj niemals auf einzelne Punkte-).

2. Eine in einem Intervall / konvergente Reihe JT/',, {x) braucht in keinem Teilintervall desselben gleichmäßig zu konvergieren.

3. Hat die Potenzreihe Ia,^{x — XQY den positiven Radius r und ist 0 < g < y , so ist, wenn das abgeschlossene Teilintervall —q<x—Xq^-\-q ihres Konvergenzintervallesmit /' bezeichnet wird, die Reihe in /' gleichmäßig kon- vergent. Denn da der Punkt x = Xq+q im Innern des Konvergenzintervalles der Potenzreihe liegt, so ist diese dort absolut konvergent. Konvergiert aber Z a„ ß" absolut, so kann man nach Wahl von s > 0 eine Zahl N = N {f) so be- stimmen, daß für alle ny- N stets

ausfällt. Wegen x-Xq-^o ist aber für alle in /' gelegenen x

>„ {x)\ < \an+i\-Q" + ^+\an+2 \-9'"^" +

Also ist für M > iV auch sicher jy„ {x)\<e, wo auch x in /' gelegen sein mag.

4. Nach diesem Beispiel wird es verständlich sein, wenn wir die Definition der gleichmäßigen Konvergenz etwas lockerer so formuileren: 2fn{x) heißt in J' gleichmäßig konvergent ^ wenn dort eine für alle Lagen von x gleich- zeitig gültige Restabschätzung ,, y„ (;r) I ■< s" möglich ist.

5. Die Reihe y — ist für alle x gleichmäßig konvergent, denn es

n=l W^ ist — und zwar für jede Lage von x —

woraus nach 4. das weitere zu ersehen ist.

1) Wenn also das oben erwähnte Maß für die Güte der Konvergenz an den verschiedenen Stellen x des Intervalles /' keine allzu beträchtlichen Un- gleichmäßigkeiten aufzuweisen vermag. — In besonderen Fällen kann /' natür- lich auch das ganze Intervall / ausmachen.

-) Allgemeiner allenfalls auf Punktmengen, die dann aber notwendig un- endliche sein müßten.

191. §46. Gleichmäßige Konvergenz. 328

6. Die geometrische Reihe ist in ihrem ganzen Konvergenzintervall — 1 <; AT <; + 1 nicht gleichmäßig konvergent. Denn es ist dort

„ (x) =;*?« + i+;»;« + 2 + . . . =

+ 1

und vi^ie groß jetzt auch N genommen wird, man kann stets noch ein r^ix) mit n >- N und 0 <C.x <^_1 angeben, für das z. B. r„ (x) >> 1 ist.

Nehmen M^ir nämlich n'p-4: und >- A^^ und zugleich so groß, daß l\»+l 1 / l\n+i 1 1

1 >- — ist — was wegen 1 > — >■ -^ sicher möglich ist —

nJ 4 \ n J e S

so ist für ein solches n und den Wert x =-- [1 ) der Rest

/ l\n+l 1

, ^ 1 , w. z. b.w. 4

7. Der Unterschied zwischen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Kon- vergenz und die große Bedeutung der ersteren für die Theorie der unendlichen Reihen ist zuerst (fast gleichzeitig) von Ph. L. v. Seidel (Abh. d. Münch. Akad., 1848, S. 383) und G. G. Stokes (Transactions of the Cambridge philos. Soc, Bd. 8, 1848, S. 533) erkannt worden. Doch muß K. Weierstraß , wie aus einer erst 1894 veröffentlichten Abhandlung (Werke, Bd. 1, S. 67) hervorgeht, diese Unter- scheidung schon 1841 gemacht haben. Allgemeingut der Mathematiker ist der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz erst sehr viel später geworden.

Andere Formen der Definition der gleichmäßigen Konvergenz.

3. Form. Zf^{x) heißt in ]' gleichmäßig konvergent, wenn nach Wahl einer beliebigen dem Intervall ]' entnommenen Zahlenfolge (^„)^) die zugehörigen Reste

stets eine Nullfolge bilden.'^)

Daß diese Definition mit den vorigen äquivalent ist, erkennt man so:

a) Sind die Bedingungen der 2. Definitionsform erfüllt, ist also nach Wahl von e stets N so bestimmbar, daß \y [x)\ <i e ist für alle i>i > A/" und alle x in /', so ist auch speziell

^i(^n)l "^ ^ für alle n > N ; es strebt also stets r^^ (x^) -> 0 .

b) Sind umgekehrt die Bedingungen der 3. Form erfüllt, strebt also für jede dem Intervall /' entnommene Zahlenfolge (a;„) die zu-

^) Diese Folge braucht nicht zu konvergieren, sondern darf ganz beliebig in /' gelagert sein.

2) Besitzen die Funktionen | r,i{x) j in /' ein Maximum, so kann man x„ insbesondere so wählen, daß ! rn{x„) \ --Max. j rn(x) I ist, und unsere Definition erhält dann die

Form 3a. ^ fn{x) heißt in J' gleichmäßig konvergent, wenn die dortigen Maxima Max. I Vfi (x) I eine Null folge bilden.

Haben die Funktionen \ rn{x) \ in /' kein Maximum, so besitzen sie doch eine bestimmte obere Grenze /li,, . Mit ihrer Hilfe können wir auch definieren :

Form 3b. ^fn(^) heißt in J' gleichmäßig konvergent, wenn fi„-^0 strebt, (Beweis?)

21*

324 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern

gehörige Folge der Reste r^ (.t„) ->>0, so müssen auch die Bedingungen der 2. Form erfüllbar sein. Denn entspräche nicht jedem £ > 0 ein N = N (s) mit den dort formuHerten Eigenschaften, so hieße dies: Bei einer speziellen Wahl von e, etwa für ^ =^ g^, hätte keine Zahl N jene Eigenschaften, sondern es gäbe dann oberhalb jeder noch so großen Zahl N immer noch wenigstens einen Index n, so daß für einen passenden Punkt x = x^^ aus /' der Betrag des Restes \r^{xj\ ^ e^

wäre (vgl. das letzte Beispiel, wo e^ = i und x = x^^ = 1 genommen

wurde). Ist «^ ein erster solcher Index, ist also ^ni (^njj ^ e^, so müßte es dann wieder oberhalb n^^ einen Index ;/., und einen zuge- hörigen Punkt Xn^ geben, so daß auch \rn^{Xn2)\ ^ «o ^äre, oberhalb n^ erneut, usw. Bilden wir nun eine Punktfolge [x^) aus /', von der diese Punkte Xn^, x^^, . . . eine Teilfolge sind, so wäre doch

entgegen der Voraussetzung ersichtlich keine Nullfolge. Unsere An- nahme, daß die Bedingungen der 2. Form nicht erfüllbar wären, ist unzulässig, und die 3. Form der Definition mit der 2. völlig äquivalent. Bei den bisherigen Formen der Definition der gleichmäßigen Konvergenz haben wir stets die Reste der Reihe der Abschätzung unterworfen, die Reihe selbst also schon als konvergent vorausgesetzt. Benutzt man statt der ganzen Reste nur Teilstücke der Reihe (s. 82, 3), so kann man in die Definifion der gleichmäßigen Konvergenz die- jenige der Konvergenz selber mit hineinnehmen. Wir gelangen dann zu der folgenden Definition

4. Form. Eine Reihe Zf^{x) heißt im Intervall J' gleichmäßig konvergent, wenn nach Wahl von e > 0 eine Zahl N = N (e) so ange- geben werden kann, daß nun

ausfallt für jedes n>N, jedes k^l und jedei x aus ]' . Oder endlich:

5. Form. Eine Reihe Zf^{x) heißt im Intervall ]' gleichmäßig konvergent, wenn nach Wahl beliebiger natürlicher Zahlen k^, ^.,, k^, .. . und beliebiger Punkte x^, x^, x^, ... aus J' die Werte

[/n+l (.^.) +/n + 2 {Xn) + • • • +/n + A-,, 0^,)]

stets eine Nullfolge bilden^). IQo Weitere Beispiele und Erläuterungen.

. 1. Da rn{x) -.F {x) ~ s„{x), so kann die gleichmäßige Konvergenz nun auch .so interpretiert werden (vgl. die Vorbemerkungen S. 819): Für alle hin-

1) Nach 51 dürfte hier sogar [f^ +i W + ••• + /',-„+*„ WJ geschrieben werden, wenn die v^ irgendwelche > -f CX) strebende ganze Zahlen sind.

192.

§ 46. Gleichmäßige Konvergenz.

325

reichend hohen Indizes schmiegt sich die Approximationskurve y = s„ (x) während des ganzen Interv alles /' sehr nahe an die Grenzkurve x =^ F [x) an.

2. Man studiere nun noch einmal das Verhalten der Reihe 2fn{x) mit

Sn{x)

n X

im Intervall 1 ^ ^ ^ 2 im Intervall 0 < at < 1

(Vgl. die Ausführungen S. 319/21.)

1 4-w a) b) 3. Für die Reihe

1 i- {x - 1) + {x^- - x) + . . . -^ (x"" - x''-^) -\- . . . ist ersichtlich 5„ (x) = x'' . Die Reihe konvergiert also im Intervall / : speziell also in dem Teilintervall /': 0^;ir<l. Dort ist

- 0 für 0 ^ ;tr < 1 = 1 für ;ir =. 1 .

1<^<+1

F{x)

Die Konvergenz in diesem Intervall ist nicht gleichmäßig. Sie einmal in J": 0 ^_ ;v < 1 ; denn dort ist y„ (x) =. F (x) - 5„ (x) = man nun aus /" (also auch aus /') die Punktfolge

Xn-^l

ist - x'

es nicht . Wählt

(« = 1,2,...),

so strebt r„ (;ir„) .^ - M — _j -> , so daß die Reihe nicht gleichmäßig kon- vergieren kann^). — Geometrisch wird dies durch die in der Figur veran- schaulichte Lage der Approximationskurven deutlich:

Für hohe n läuft die Kurve y = 5„ {x) fast während des ganzen Intervalles ganz dicht an der Abszissenachse, die die Grenzkurve darstellt. Kurz vor -f 1 aber erhebt sie sich steil in die Höhe, um im Punkte (1, 1) zu enden. Wie groß man also auch n nehmen mag, nie läuft die Kurve y — s„ (x) während des ganzen Intervalles/" (oder /') dicht an der Grenzkurre entlang^).

4. Bei dem vorigen Beispiel war die Un- gleichmäßigkeit in der Approximation sozusagen zu erwarten, weil F (x) selbst im Endpunkt des Intervalles einen Sprung von der Höhe 1 macht. Anders lag es bei dem S. 319 behandelten Bei- spiel. Wir geben jetzt ein ähnliches, aber noch krasseres: Es sei die Reihe vorgelegt, für die

Sn {x) ^ n X e ^ ,

Fig. 6.

ist. Für x = 0 ist dauernd 5,, (0) = 0 ; für x i Bruch, so daß (nach 38, 3) 5„ (;i?) -> 0 strebt.

(^^==1,2,..,)

0 ist e~~^~^^ ein positiver echter Unsere Reihe ist also für jedes x

1) Für

strebt sogar r^ (xn) -> — 1

2) Trotzdem aber macht man sich wieder leicht klar, daß bei jedem festen x (aus 0 < ;\; < 1) die Werte 5„ (x) mit wachsendem x auf 0 herabsinken, daß also das Hinaufschnellen zur Höhe 1 doch erst rechts von x stattfindet, mag X auch noch so dicht vor -f 1 liegen, — wenn nur n groß genug ge- nommen wird.

326 X^. Kap. Reihen mit veränderlicben Gliedern.

konvergent und hat stets die Summe F {x) =■■ 0 : Die Grenzkurve ist mit der Abszissenachse identisch. Die Konvergenz ist aber durchaus keine gleich- mäßige, wenn wir ein Intervall /' betrachten, das den Nullpunkt enthält. Denn

für Xn = — =r ist

1/

(;.„)-F(;.„)-5„(;.„) --;/;.„•.-' "^«--v'«'« ' = " V7 '

was gewiß nicht >0 strebt. Die Approximationskurven verlaufen ähnlich wie in Fig. 4 und 5, nur daß jetzt die Höhe der Buckel mit wachsendem n sogar ohne Ende zunimmt, da ja

1 \ _ / M

strebt 1).

00 e

§ 47. Gliedweise Grenzübergänge.

Sahen wir S. 318, daß die Grundeigenschaften der Funktionen/'^ [x] sich im allgemeinen nicht auf die durch die Reihe 2*4 (a;) dargestellte Funktion F {%) zu übertragen brauchen, so vi^ollen wir nun zeigen, daß dies im großen und ganzen doch der Fall ist, wenn die Reihe gleich- mäßig konvergiert"^).

Wir beginnen mit dem einfachen, aber für die Anwendungen besonders wichtigen 193. Satz 1. Ist die Reihe 2i\,[x) im Intervall a^x^b gleich-

mäßig konvergent und sind ihre Glieder f^{x) an einer Stelle Xq dieses Intervüles stetig, so ist auch die dargestellte Funktion F (x) an dieser Stelle stetig.

Beweis. Bei gegebenem e > 0 ist (nach § 19, Def. 6b) die Existenz einer Zahl d > 0 nachzuweisen, so daß

F{x)— F [Xq) I < £ bleibt für alle \x — Xq\ < r) , die dem Intervalle angehören. Nun kann ,

F{x)- F (x^) = s„ (x) - s„ {x^) + r„ {x) - r^ (x^) gesetzt werden. Und wählen wir hierin, was wegen der vorausgesetzten Gleichmäßigkeit der Konvergenz möglich ist, n =- m so groß, daß

für alle x des Intervalles stets \r^(x)\ < ^ ist, so ist

F{x)-F{x^)\£\s„,{x)-sJx^)\

€ .

1) Die .Stelle x = —=i ist für die Kurve x =^ s„ (x) tatsächlich die .Stelle des

\/ n

Maximums, wie man ans s,/ {x) ^- (w - n^ x^) e~ ^ ""' - 0 findet.

2) Doch sei gleich hier betont, daß die Gleichmäßigkeit der Konvergenz immer nur eine hinreichende Bedingung in den folgenden Sätzen darstellt und im allgemeinen nicht notwendig ist.

J94« § 47. Gliedweise Grenzübergänge. 327

Nachdem m so festgelegt ist, ist aber s^{x) als Summe einer festen Anzahl von in x^ stetigen Funktionen (nach § 19, Satz 3) dort selber stetig, und man kann daher d so klein wählen, daß für alle x des Intervalles, die der Bedingung \x — Xq\ < d genügen, stets

bleibt. Für diese selben x ist dann auch

\Fix)~F{x,)\<e.

womit die Stetigkeit von F[x) in x^ schon bewiesen ist.

Zusatz. Sind die f^ [x] sämtlich in dem ganzen Intervall a . . .b stetig, so gilt das gleiche von F (x).

In Verbindung mit dem Beispiel 191, 2^' haben wir hierin einen neuen Beweis für die Stetigkeit der durch eine Potenzreihe in ihrem Konvergenz- intervall dargestellten Funktion.

Benutzen wir statt der 6-Definition der Stetigkeit die lim-Definition (s. § 19, Def. 6), so kann man der Behauptung des Satzes auch die Form geben:

lim (1/;. (X)) = 1 (lim /„ (X))

und in dieser Form erscheint er als ein Spezialfall des folgenden sehr viel feineren Satzes:

CO

Satz 2. Es sei die Reihe F (x) = yj f^^ {x) in dem offenen Inter- 194:.

n=0

vall Xq...x^ gleichmäßig konvergent^), und es sei bei Annäherung aus dem Innern des Intervalles'^)

lim /;W = ^„

GC

für jedes einzelne n vorhanden. Dann ist auch die Reihe y, a„ konver-

n = 0

gent, und wenn ihre Summe mit A bezeichnet wird, so ist

lim F (x) = A ,

X->Xo

oder also

lim (ffn (x)) = i (lim tn {X)) . ^

ar-ya? n=0 n=0 »•->»•,)

(Wegen dieser zweiten Formuherung sagt man auch kurz: Im Falle gleichmäßiger Konvergenz darf man gliedweis zur Grenze übergehen)

1) Es darf at^ > oder auch <Cx\ sein. Ob die Reihe noch in Xq konver- giert oder nicht, ja ob dort die Funktionen f„ {x) überhaupt noch definiert sind oder nicht, ist für diesen Satz gleichgültig.

2) Es handelt sich also hier — und ebenso bei den beiden folgenden Be- hauptungen — um einen einseitigen Limes.

328 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Beweis. Ist e >0 gegeben, so wählen wir zunächst n^ so, daß (s. 4. Form der Definition 191) für n > u^ alle k ^ 1 und alle x unseres Intervalles

i/;.+iW + --- + 4+fcWi<^

bleibt. Hält man hier für den Augenblick /? und y^ fest und läßt x->x^ rücken, so folgt (nach § 19, Satz la), daß auch

ist, und zwar für alle n > «^ und alle k^l. Also ist I a^^ konvergent. Die Teilsummen dieser Reihe nennen wir A^^, die Summe A. Daß dann F{x)-^A strebt, ist jetzt leicht zu sehen. Wird nämlich nach Wahl von e die Zahl n^^ so bestimmt, daß nicht nur für n> n stets

k« Wl < ^' sondern auch .4 — A^^ < ~ ausfällt, so ist für ein (festes) m > n^

\F(x)-A\

= K^mi^) - ^4 J ~{A- AJ + r^M. < isj^ - ^4,J + ^ + | und, weil für x->Xq nun s^^ (x) -> A^^ strebt, kann man d so bestimmen, daß

K W - ^m\ < l ist für alle 0 < \x ~ x^\ < S, die dem gegebenen Intervall angehören. Für diese x ist dann auch

\F{x)-A\<e, womit alles bewiesen ist.

Ist (xn) eine ganz beliebige, dem Intervall gleichmäßiger Konvergenz entnommene Zahlenfolge, so hat wegen

F (x„) = s„ (x,,) + f„ (x„)

und wegen rn{x„)^0 (s. 191, 3. Form) die Folge der Zahlen F{x„) und die der Zahlen s„{x„) stets das gleiche Konvergenzverhalten. Betrachten wir im Gegensatz dazu die als ungleichmäßig konvergent erkanrjte Reihe mit den

Teilsummen Snix) = --—^-^ , und nehmen wir ,r„ = , so ist F(x,,)^0, also 1 -j-n^x^ n \ nj 1

auch konvergent mit dem Grenzwert 0, während Sn{Xn) = \- und also auch konvergent ist, aber mit dem Grenzwert \- . Beide Folgen haben also vcf- schiedenes Konvergenz verhalten.

195. Satz 3. Die Reihe F {x) ^= 2 f^^{x) sei im Intervall J gleich-

mäßig konvergent und in dem abgeschlossenen Teilintervall J^ : a ^x ^h seien die Funktionen f^{x) sämtlich stetig, so daß auch F{x) eine dort stetige Funktion ist. Dann kann das über das Intervall ]' ge- nommene Integral von F [x] durch gliedweise Integration gewonnen werden, d. h. es ist

J F[x)dx oder also J

w=0

dx - V

u=0

S fn{x)dx

195. § 47. Gliedweise Grenzüberg-änge. 329

(Genauer: Die letzte Reihe ist wieder konvergent und hat das gesuchte Integral von F (x) zur Summe^).)

Beweis. Nach Wahl von €>0 bestimmen wir n^ so groß^ daß für n > n^ und alle x des Intervalles a .. . b stets

• " ^ ^ I b — a

bleibt. Dann ist wegen F =-- s^^ -j- r^ zunächst

J F{x)dx~ Js^^{x)dx

fr,^{x)dx

< e

— das letzte wegen § 19, Satz 21. Nun ist aber s^^x) eine Summe von endlich vielen Funktionen und die Anwendung von § 19, Satz 22 liefert sofort, daß auch

\jF{x)dx~±' jf,{x)dx\<

e

Dies besagt aber nach 69, daß die Reihe 2 ^ f^{x)dx konvergiert

a

und das entsprechende Integral von F{x) zur Summe hat.

Nicht ganz so einfach liegen die Dinge für die gliedweise Differentiation.

In 190, 7 sahen wir z. B., daß die Reihe

^ sin nx

für jedes x konvergiert und also eine für alle reellen x definierte Funk- tion F{x) darstellt. Die Glieder dieser Reihe sind durchweg stetige und diffe- renzierbare Funktionen. Nach gliedweiser Differentiation aber erhalten wir die Reihe

00

y] cos nx ,

M = l

1) Es genügt die f,^(x) als integrierbar vorauszusetzen. Dann läßt sich zeigen, daß auch F {x) integrierbar ausfällt und nun die gliedweise Integration gestattet ist. In der Tat, ist e ;> 0 gegeben, so können die etwaigen Un- stetigkeitspunkte der integrierbaren Funktion f^ {x) in Intervalle eingeschlossen

werden, deren Gesamtlänge < |- bleibt, ebenso die von f^{x) in Intervalle, deren Gesamtlänge <— bleibt, und allgemein diejenigen von f„{x) in Inter- valle, deren Gesamtlänge < ^^^^- bleibt. Alle Punkte unseres Intervalles, in

denen auch nur eine einzige unserer Funktionen unstetig ist, liegen dann in Intervalle eingeschlossen, deren Gesamtlänge <£ bleibt. Das gleiche gilt dann aber auch von den etwaigen Unstetigkeitsstellen von F{x), da an den Stellen, an denen alle fn{x) stetig sind, nach Satz 1 auch F {x) stetig sein muß. Also ist (nach § 19, Satz 14) auch F {x) über a . . .b integrierbar. — Der übrige Beweis verläuft dann wie oben für durchweg stetige Funktionen.

330 XT- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

die für jedes x divergiert i). — Selbst wenn die Reihe für alle x ofl eichmäßig- konvergiert, wie z. B. die Reihe

(vgl. 191,2^), so liegen die Dinge nicht günstiger, da wir durch gliedweise Differentiation die Reihe

* cos nx

erhalten, die z.B. für x = 0 divergiert.

Der Satz über gliedweise Differentiation wird daher ein etwas anderes Gepräge haben müssen, er lautet:

19«. Satz 4. Liegt die Reihe Z fA^) '^or^^), deren -Glieder im Intervall

n = 0

J ' a . . .b, (a <b), differenzierbare Funktionen sind, und ist die durch gliedweise Differentiation entstehende Reihe i

n=:0

in J gleichmäßig konvergent, so gilt dasselbe von der gegebenen Reihe, falls diese in wenigstens einem Punkte von J konvergiert. Und sind dann F(x) und (p{x) die durch die beiden Reihen dargestellten Funktionen, so ist F(x) in J differenzierbar und es ist

F'(x) = (p{x),

d. h. also: unter den gemachten Voraussetzungen darf die gegebene Reihe gliedweise diffsrenziert werden.

Beweis, a) Ist c ein (nach Voraussetzung vorhandener) Punkt aus J, für den 2'/;^(c) konvergiert, so ist nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. § 1 9, Satz 8)

n+k «+*

1' {fr{x)-fAc))^(x-c)-Z t

wenn mit ^ ein passender Punkt zwischen x und c bezeichnet wird. Nach Wahl von 6 > 0 kann man nun nach Voraussetzung n^ so be- stimmen, daß für n> n^, k^l und alle x aus /

n + k 1

1) Nach den S. 345 bewiesenen Formeln ist für alle x =^ 2 k tt.

sin i n -{- -zr-] X

1 V ' 2/ __ o- cos ;»; + cos 2 AT + . , . -f cos w ;»; = — •

2 2sin-|

2) Über ihre Konvergenz wird zunächst noch nichts vorausgesetzt.

296. §47. Gliedweise Grenzüberg-änge. 331

bleibt. Dann ist unter denselben Bedingungen

'iJ ifvix) - fAo)) \<e.

\v=n+l -1

Und dies lehrt, daß 2:(fjx) — fjc)) und folglich auch 2'4(a:) selbst in dem ganzen Intervall / gleichmäßig konvergiert und somit eine bestimmte Funktion F(x) darstellt.

b) Ist jetzt Xq ein spezieller Punkt aus J, so werde

1 = gv W , [v = 0, 1; 2, . . .) ,

gesetzt, — Funktionen, die für alle h:^0 definiert sind, für die x^ + h in / liegt. Da nun, ähnhch wie eben

ij'gr w = SV; (xo+^h), (0 < 1^ < 1)

r=«4-l »»=« + 1

ist, so erkennt man wie unter a), daß

n=0

für alle diese h gleichmäßig konvergiert. Diese Reihe stellt die Funktion

F{xQ + h)- F (xq) h

dar. Nach Satz 2 können wir daher gliedweise h^O streben lassen und finden, daß F' {x^ existiert und

M = 0 Ä->0 M = 0

ist. Dies bedeutet aber, daß, wie behauptet, F' {x^ = q){x^] ist.

Beispiele und Bemerkungen.

1. Hat S an{x — x^^ den Radius y>0 und ist 0<<^«<»', so konvergiert 2^nan{x — x^^~'^ gleichmäßig für alle \x — Xq\^o . Die gegebene Potenzreihe stellt also nach Satz 4 eine Funktion dar, die für alle \ x — Xq\^q differenzier- bar ist. Faßt man ein spezielles x mit \x — Xq\ <Cr ins Auge , so kann man Q <Cy stets so wählen, daß auch \x — Xq\ <Cq <Cy ist. Die Differenzierbarkeit der durch S an{x — x^^ dargestellten Funktion besteht also sogar für jedes x des offenen Intervalles \x — Xq\ <Cr .

2. Die durch ^ — dargestellte Funktion ist für jedes x differen-

zierbar und hat die Ableitung V . (Vgl. 191, 2^.)

n=l ^"

3. Die Bedingung der gleichmäßigen Konvergenz ist bei allen vier Sätzen jedenfalls eine hinreichende. Doch bleibt es fraglich, ob sie auch not- wendig ist.

a) Beim Stetigkeitssatz 1 oder seinem Zusatz ist das sicher nicht der Fall; denn die 192, 2 und 4 behandelten Reihen haben durchweg stetige Glieder und stellen auch durchweg stetige Funktionen dar. Die Konvergenz

332 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

war aber keine gleichmäßige. Die notwendigen und hinreichenden Bedin- gungen zu ergründen, ist nicht ganz leicht. In befriedigender Form hat dies zuerst 5. Arzelä (Rendic. Accad. Bologna, Bd. (1) 19 (1883), S. 83) getan. Einen vereinfachten Beweis des von ihm ausgesprochenen Hauptsatzes findet man bei G. Vivanti (Rendiconti del circ. matem. di Palermo, Bd. 30 (1910), S. 85). — Sind die /„ {x) positiv, so ist, wie U. Dini gezeigt hat, die gleichmäßige Konvergenz auch notwendig für die Stetigkeit von F {x). Vgl. Aufg. 158.

b) Daß auch bei dem Satz 195 über die gliedweise Integration die Gleichmäßigkeit der Konvergenz der Reihe keine notwendige Bedingung für seine Gültigkeit ist, ist gleichfalls verschiedentlich durch Beispiele belegt

00

worden. Für die in 192, 2 angegebene Reihe ^ /*„ {x) , deren Teilsummen

n = l

nx

sind, und deren Summe F (x) = 0 ist, findet man sofort

X 1 1

Jl' j" /■„ (x) dx = jF{x)dx = 0. n = l 6 0

Die gliedweise Integration führt also zum richtigen Ergebnis. Bei der Reihe

1 192, 4, bei der auch jF{x)dx^O ist, strebt aber u

n 1 1

2; J fy{x) dx = J s„ (x) dx=\-e- 2 " -> 1 »• = 0 0 ö

und dies zeigt, daß die gliedweise Integration hier nicht erlaubt ist.

§ 48. Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.

Nachdem wir nun die Bedeutung des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz kennen gelernt haben, werden wir danach fragen, wie man bei einer vorgelegten Reihe feststellen kann, ob sie in ihrem Konvergenzintervall oder einem Teil desselben gleichmäßig konvergiert oder nicht. Ist schon, wie wir wissen, die Feststellung der Konvergenz nicht immer ganz einfach, so wird dies von der ^ der gleichmäßigen Konvergenz in noch höherem Maße gelten. Für die Anwendungen das wichtigste, weil am leichtesten zu handhabende, ist das folgende

197. Kriterium von Weierstraß, Sind die Funktionen f^i^) sämtlich

im Intervall J definiert und beschränkt und ist, wenn in J etwa stets

bleibt, die Reihe {mit positiven Gliedern) Zy^^ konvergent, so ist die Reihe 2f^{x) in J gleichmäßig konvergent.

Beweis. Ist (;t;J eine beliebige Punktfolge aus /, so ist doch stets

l/„+l {k) + /'«+2 (^n) + • • • + /„+fe„ W I < Tn+l + 7n+2 + ' ' ' + 7«+fe„ '

Nach 81, 2 strebt für n->oo die rechte Seite ->0; also tut dies (nach 26, 2) auch die linke Seite. Nach 191, 5. Form, ist daher -^/nW ^^ / gleichmäßig konvergent.

198« §48. Kriterien für gleichmäßige Konvergenz. 333

Beispiele.

1. In dem Beispiel 191, 3 hatten wir schon im Prinzip dieses Weierstraß- sche Kriterium benutzt.

2. Die harmonische Reihe y—- , die für xy- l konvergiert, ist auf der

Halbgeraden x'^l+d gleichmäßig konvergent; hierbei darf ö irgendeine positive Zahl bedeuten. In der Tat ist für diese x stets

1 i <: -J_ -

mit konvergenter Uy„. Damit ist die Behauptung schon bewiesen.

Die durch die harmonische Reihe dargestellte Funktion — man nennt sie die Riemannsche ^-Funktion und bezeichnet sie mit ^ (x) — ist also jeden- falls für x>l stetig 1).

3. Durch gliedweise Differentiation der harmonischen Reihe entsteht die Reihe cc ing-n

— y — - — .

n=l ^ Auch diese ist für alle ;v ^ 1 + <5 > 1 gleichmäßig konvergent. Denn für alle

log n n von einer Stelle ab ist (nach 38, 5) — ^<1; für diese n und zugleich

n '" für alle x> 1 -{- 8 ist dann auch

log w

= ^ l + <5/2 ' ^S/2 "^ l + (5i72 ~ ^^ n ^^ n

Die Riemannsche t- Funktion ist also auch für alle ;vr > 1 differenzierbar. 4. Wenn 2a„ absolut konvergiert, so sind die Reihen HunCOsnx und IJanSinnx

für alle x gleichmäßig konvergent, denn es ist z. B. stets j a„ cos nx \<^\an\=yn . Diese Reihen definieren dann also durchweg stetige Funktionen.

Das Weierstra ßsche Kriterium wird trotz seiner großen prak- tischen Bedeutung nur einen beschränkten Geltungsbereich haben, denn es verlangt ja insbesondere, daß die zu untersuchende Reihe absolut konvergiert. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen feinere Kriterien einsetzen, die wir denen von § 43 nachbilden. Das erfolg- reichste Hilfsmittel zu ihrer Aufstellung ist auch hier wieder die Abelsche partielle Summation 182. Sie liefert uns, ganz ähnlich wie ^damals, zunächst den folgenden

GO

Satz. Eine Reihe der Form ^ ^n{^)'^n{^) ^^^ sicher im Intervall J 198,

n — Q

gleichmäßig konvsrgent, wenn dort

1) die Reihe ^ -4,, •(&,, — ö,,+i) gleichmäßig konvergent und

0

2) auch die Folge ^^'^^n+i gleichmäßig konvergent ist^)

^) Denn faßt man ein spezielles xy-l ins Auge, so kann man sich stets <5 >> 0 so gewählt denken, daß auch noch xy- \ -\- ö ist.

") Die a„, &„, A„ sind jetzt stets Funktionen von x^ die in dem zugrunde gelegten Intervall / definiert sind; doch lassen wir der Kürze halber das x im folgenden häufig fort. — Bezüglich des Begriffs der gleichmäßigen Konver- genz einer Folge von Funktionen vgl. S. 317, Fußn. 1.

334 XL Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Hierbei sollen die A^ = A^(x) die Teilsummen der Reihe 2Ja^^{x) bedeuten.

Beweis. Es ist genau wie dort — man hat nur in den a^, by und Ay nicht Zahlen, sondern Funktionen von x zu sehen — zunächst

"i; Uy . ft, = ( ^2]Ar'{br- ^. + l)) + (^„+, • Ö„+fe+i - Ä^ . 6„+J . v=n + l \v = n + l '

Machen wir hier x und k in beliebiger Weise von n abhängig, so haben wir links eine Teilstückfolge

der Reihe 2^ayby, und rechts entsprechend eine solche der Reihe I!Ar{by--br+i) bzw. eine Differenzenfolge der Folge A^-b^^^^^. Da nach Voraussetzung die letzteren beiden immer gegen 0 streben (s. 191, 5. Form), so ist dies auch mit der linksstehenden der Falk Damit sind (wieder nach 191, 5) die behaupteten Tatsachen schon bewiesen.

Genau wie in § 43 lassen sich aus diesem noch sehr allgemeinen Satze nun speziellere, aber leichter zu handhabende Kriterien^) herleiten:

1. Kriterium von Abel, I!ar[x) - by(x) ist in J gleichmäßig konvergent, wenn dort Zay(x) gleichmäßig konvergiert, wenn überdies bei jedem festem x die Zahlenfolge b^(x) monoton ausfällt tind die Zahlen b^^x) für alle n und alle x aus J ihrem Betrage nach unter ein und derselben Schranke K verbleiben'^).

Beweis. Bezeichnen wir die zu den Teilsummen A^^[x) ge- hörigen Reste mit a^^(x), setzen wir also ^' «,- W ^^ 4„ (^) + ci„ W ,

n=0

so dürfen wir in der Formel der ^6^/schen partiellen Summation fnach Zusatz 183) — a,. statt Ay setzen und haben dann

n+k n+k

2] Uy 'by= - Z ^r • [by ~ ^ .. + J ) " (C^„ + , ' Ö„+,+l " C^,, " ^^,,+l) .

y = n + l r=n + l

1) Wir benennen diese Kriterien der Einfachheit halber nach den ent- sprechenden Regeln mit konstanten Gliedern. — Vgl. S. 306, Fußn. 5.

2) Die hnix) bilden bei festgehaltenem x eine Zahlenfolge &o(^)) Ki^)} •••» bei festgehaltenem n aber eine Funktion von x, die in / definiert ist. Die obige Voraussetzung kann man dann so ausdrücken: Die sämtlichen (für die verschiedenen x aus / entstehenden) Zahlenfolgen sollen gleichmäßig in bezug auf alle diese x beschränkt sein; d. h. eine jede ist beschränkt, und es gibt eine Zahl K, die für alle zugleich eine Schranke ist. Oder auch: Die sämt- lichen (für die verschiedenen Werte von n sich ergebenden) in / definierten Funktionen sollen dort gleichmäßig (in bezug auf alle diese n) beschränkt sein; d. h. eine jede ist beschränkt, und es gibt eine Zahl K, die für alle zu- gleich eine Schranke ist.

198. §48. Kriterien für g-leichmäßige Konverg-enz. 335

und es genügt wieder zu zeigen, daß sowohl die Reihe Jf c^^ • [by — /;„+i) als auch die Folge c^j^-^^+i beide in / gleichmäßig konvergieren. Da aber die a^{x) als Reste einer gleichmäßig konvergenten Reihe gleichmäßig gegen 0 streben und die b,.[x) ihrem Betrage nach stets <K bleiben, so strebt auch die Folge cc^^-h^^^^ inj gleichmäßig

n + k

gegen 0. Läßt man andrerseits bei der Summe 2^, a,, ■ (bv ~ by,+i)

v = k + l

die Variable x und die Summandenanzahl k in beliebiger Weise von n abhängen, betrachtet man also die Größen

n+k„

so streben sie — und mit dem Nachweis hiervon wäre die gleich- mäßige Konvergenz der in Rede stehenden Reihe im Intervall / ge- sichert — wirklich immer >Q. Denn ist ä der größte der unter den Zahlen | a^ [x^ |, (^v = n -^ \, w + 2, . . ., « + k^^), vorkommenden Werte, so strebt auch ü^^ -> 0 '^), und es ist

v=--n + l

so daß in der Tat T ^ ► 0 strebt.

3. Kriterium von Dirichlet, J^^ni^) ' ^^X^) ^^^ ^'^ / gl^ioh-

mäßig konvergent, wenn dort die Teilsummen der Reihe Z a^^{x) gleichmäßig beschränkt sind^), und wenn dort die Folge b^^(x) gleich- mäßig >0 konvergiert, und zwar [ür jedes feste x monoton.

Beweis. Aus den Voraussetzungen folgt jetzt unmittelbar, daß die Folge ^„-ö^+j in / gleichmäßig konvergiert (und zwar wieder ►0). Ist dann weiter K' eine obere Schranke aller 'A^^(x)\, so ist

i*' = n+l : r = n + l

Wie aber auch x und k hier von n abhängen mögen, die rechte Seite strebt infolge der Voraussetzungen immer gegen 0, also tut es auch die Linke. Damit ist aber wieder die Gleichmäßigkeit der Konvergenz der in Rede stehenden Reihe für das Intervall / bewiesen. Die Monotonie im Verhalten der b^^ [x) wurde bei beiden Kriterien nur gebraucht, um eine bequeme Abschätzung der Teilstücke 2^ \br — &v+i | zu ermöglichen. Modifiziert man zu diesem Zwecke ein klein wenig die Voraussetzungen, so erhält man

^) Man mache sich die Richtigkeit dieser Tatsache genau klar! '^) Vgl. Fußn. 2 der vorigen Seite.

336 XI. Kap. Reihen mit veriinderlichen Gliedern.

3. Zwei Kriterien von du Bois-Reytnond und DedeJcind.

a) Die Reihe Z a,. [x) • b,. [x) ist in J gleichmäßig konvergent, wenn dort die beiden Reihen Z dy und Z ' b,. — by^^^l gleichmäßig konvergieren und zugleich die Funktionenfolge der bjx] dort gleich- mäßig beschränkt ist.

Beweis. Wir benutzen wieder die Umformung

n+k n+k

y a,. -by=- 2Jcir ' {br -~ b,.+,) - K+,- />„+,+! - a,^ ■ 6„+J .

v=n+l r-n+1

Da jetzt die Reste ay(x) gleichmäßig gegen 0 streben, so ist z. B. für V > m stets | cj,, (x)\ < ^ für alle x in /. Daher ist für n ^ m

n + k		n + k
2'«,.	• {by -	- ^.'-m) I < V 1 by	- ft,.+i 1
= n + l		i r=n+l

und da nun — auch wenn x und k in beliebiger Weise von n ab- hängen — die rechtsstehenden Größen mit wachsendem 71 gegen 0 streben, so tun es auch die linken. Und daß auch c^j/^^+i gleich- mäßig in/ gegen 0 strebt, folgt daraus, daß die a^^{x) dies tun und daß die hy[x) dort gleichmäßig beschränkt sind.

b) Die Reihe Z ay{x)-by{x) ist in J gleichmäßig konvergent, wenn dort von den beiden Reihen Z a^ und 2^ by -- b^.+i\ die zweite gleichmäßig konvergiert und die erste gleichmäßig beschränkte Teilsummen hat, wofern dann ?ioch die Funktionen b^^ (x) in J gleichmäßig -> 0 streben.

Beweis. Aus den Voraussetzungen folgt zunächst wieder un- mittelbar, daß ^„^„+1 in / gleichmäßig (gegen 0) konvergiert. Ferner ist, wenn K' dieselbe Bedeutung wie vorhin hat.

woraus nun infolge der jetzigen Voraussetzungen sofort die Gleich- mäßigkeit der Konvergenz der neuen Reihe in / abzulesen ist.

Beispiele und Erläuterungen.

199. 1. Bei den Anwendungen wird oft eine der beiden Funktionenfolgen,

meist a„ (a-), sich auf eine Za';/«:';/ folge reduzieren. Wenn dann ^ Uv überhaupt konvergiert, so ist diese Reihe natürlich als in jedem Intervall gleichmäßig kon- vergent anzusehen. Denn ihre Glieder und also auch ihre Teilstücke hängen ja gar nicht mehr von x ab und jede Abschätzung gilt also eo ipso für alle x . Ebenso gelten dann die Teilsummen von 2'a,., falls überhaupt beschränkt, auch als gleichmäßig beschränkt in jedem Intervall.

2. Es sei {a„) eine ZaÄ/c«folge, ^a„ konvergent und h„{x) = x". Dann ist 2'a„A'" in 0 ^ at < 1 gleichmäßig konvergent. Denn die Bedingungen des ^6ß/schen Kriteriums sind in diesem Intervall erfüllt. In der Tat ist Z an^ wie unter 1. bemerkt, gleichmäßig konvergent; es ist ferner bei festem x die Folge (A-"j monoton und überdies ist für alle ;; und alle ,r des Tntervalls stets

n + k	n + k
2M,-(6,.-	-br+r)\<K'>y:\p
= n + l	v=n + l

199. §49. Fouriersche Reihen. — A. Die Eulerschen Formeln. 337

\x"\-^l. — Nach dem Satz 194 vom gliedweisen Grenzübergang können wir also schließen, daß

lim {Z UnX'') = ^ ( lim UnX"), d.h. ;c->l-ü ;vr >l-0

ist. Wir haben damit einen neuen Beweis des Abelschen Grenzwertsatzes 100.

3. Ebenso sind auch die Folgen &„ (x) = - bei festem x monoton und

für alle x^^ gleichmäßig beschränkt (nämlich wieder < 1). Daher schließt man ganz ähnlich wie eben, daß

lim V^^Zan^

;t >+0 ^'^

wenn Z a,^ eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern bedeutet. {A beischer Grenzwertsatz für Dirichlet sehe Reihen.)

4. Sei a„{x) = cosnx oder =sin;?;tr und bn (x) = , a>0. Dann er-

füllt die Reihe

\* / N 7 / \ ^ cosnx , ^ sinM;^; ^ „^

2Ja,,{x)-bn(x)= y — bzw. y , (a>0 ,

n = l « = 1 '^^ n = l ^^

die Bedingungen des Dirichletschen Kriteriums in jedem Intervall der Form ■ö ^x -^2 Jt — S^), bei der 8 eine positive Zahl < jr bedeuten soll.

In der Tat sind nach 185, 5 die Teilsummen von Z a,^ (x) dort gleich- mäßig beschränkt [K kann = --, -genommen werden) und b,, (x) strebt mo-

V sm 18 / ^ -^

noton ->0, und zwar eo ipso gleichmäßig, weil die &„ nicht von x abhängen. — Bedeuten die b„ irgendeine monotone Nullfolge, so sind aus denselben Gründen und in denselben Intervallen auch die Reihen

Z bn COS n X und 2' &„ sin n x

gleichmäßig konvergent (vgl. dazu 185, 5). — Alle diese Reihen stellen also Funktionen dar, die für alle x =^ 2 kjt definiert und stetig sind-). Ob diese Stetigkeit sich auch noch auf die oben ausgeschlossenen Funkte x = 2k7i er- streckt, ist nicht zu sehen, — auch bei der Reihe Zb^^^^nx nicht, obwohl diese in diesen Punkten konvergiert (vgl, 216, 4).

§ 49. Fouriersche Reihen.

A. Die Eulerschen Formeln.

Eins der wichtigsten und auch in sich interessantesten Anwen- dungsfelder der allgemeinen Untersuchungen, die wir in den voran- gegangenen Paragraphen entwickelt haben, bietet die Theorie der

^) Oder in denjenigen Intervallen, die aus dem obigen durch eine Ver- schiebung um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 71 entstehen.

-) Jedes ieste X ^ 2k7i kann in der Tat als in einem Intervall der obigen Form liegend angesehen werden, wenn ö passend gewählt wird. (Vgl. S. 831, Beisp. 1, und S. 333, Beisp. 2.)

Knopp, Unendliche Reihen. 22

338 ^I- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Fotiri er sehen Reihen und allgemeiner die der irigonomeirischen Reihen^ auf die wir nun eingehen wollen^).

Unter einer trigonometrischen Reihe soll jede Reihe der Form

oo

J «0 + ^ i^n ^^^ ^^ ^ + ^^n ^^^ ^' ^) n=l

mit konstanten a^^ und h^^ verstanden werden^). Wenn eine solche

Reihe in einem Intervall der Form c-^x<c-\-2 7i konvergiert, so

konvergiert sie wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen

für alle reellen x und stellt also eine für alle x definierte Funktion

dar, die die Periode 2 71 besitzt. Wir haben schon verschiedene

durchweg konvergente trigonometrische Reihen kennen gelernt, so

z. B. eben erst die Reihen

.«?, sin n X _ ^ cos n x

y , a> 0; 21 , a > 1; u. a.

Bei keiner von ihnen waren wir bisher in der Lage, die Summe für jedes X anzugeben. Doch werden wir nun sehr bald sehen, daß solche trigonometrischen Reihen die merkwürdigsten Funktionen dar- zustellen vermögen, — Funktionen, denen man noch zu Eulers Zeiten gar nicht den Namen einer Funktion beizulegen gewagt hätte, da sie die mannigfachsten Unstetigkeiten und sonstigen Unregelmäßigkeiten aufweisen können und darum eher ein Flickwerk aus mehreren Funk- tionen als eine Funktion zu sein schienen.

So werden wir gleich nachher sehen, daß z. B. die Summe der Reihe

{=0 ist für x = kji, (Ä = 0, ±1, ±2, ...), dagegen ^{2k + \U-J^: ist für 2kjt<x<2{k + \)jt, daß also die durch diese Reihe dargestellte Funktion das folgende Bild bietet

I

Fig. 7.

^) Mehr oder weniger ausführliche Darstellungen der Theorie findet man in fast allen größeren Lehrbüchern der Differentialrechnung (insbesondere dem S. 2 genannten von H. v. Mangoldt, Bd. 3, 2. Aufl. (1920), 8. Abschn.). Als Einzeldarstellung sei auf H. Lebesgue, Le^. sur les series trigonometriques, Paris 1906, und die besonders elementare Introduction to the theory of Fourier's series von M. Böchey, Annais of Math., Bd. (2) 7 (1906), S. 81—152, hingewiesen. Besonders eingehend ist die Theorie dargestellt in E. W. Hobson , Ihe theory of fonctions of a real variable and the theory of Fourier series, Cambridge 1907, und in H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1921. — ^) Daß man J ÜQ statt ÜQ schreibt, geschieht lediglich aus Zweckmäßigkeitsgründen.

199.

§49. Fouriersche Reihen. — A. Die Eulerschen Formeln.

339

Und ebenso werden wir sehen, daß

0 ist für x = k7t, dagegen

71

* sin (2 w + 1) a;

«=1

2n-hl

- für 2kjt<x<{2k + l).t und

für (2 Ä + 1) ."t < a; < 2 (Ä + 1) jr ,

und daß die dargestellte Funktion also etwa das folgende Bild liefert:

A

-2JZ

o

Jl

2ji

Fig. 8.

Beidemal besteht das Funktionsbild aus getrennten (beiderseits nicht ab- geschlossenen) Strecken und isolierten Punkten.

Aber gerade der Umstand, daß durch so einfache trigonometrische Reihen wie die eben genannten ganz unstetige und „zusammen- gestückte" Funktionen dargestelk werden können, hat im Anfang des 19. Jahrhunderts einen Hauptanlaß dazu gebildet, den FunktionsbegrifT und damit überhaupt die Grundlagen der höheren Analysis einer ge- nauen Revision zu unterziehen. Wir werden sehen, daß die trigono- metrischen Reihen die meisten der sogenannten „willkürlichen" Funk- tionen darzustellen vermögen i), und daß sie also ein in dieser Hinsicht den Potenzreihen weit überlegenes Werkzeug der höheren Analysis bilden.

1) Der Begriff der „willkürlichen" Funktion ist natürlich kein fest um- rissener. Man meint damit im allgemeinen Funktionen, die nicht durchweg durch ein und dieselbe geschlossene (d. h. die Anwendung von Grenzübergängen vermeidende) Formel gegeben werden können unter ausschließlicher Benutzung der sogenannten elementaren Funktionen, — meint also insbesondere Funk- tionen damit, die aus verschiedenen Stücken solcher einfacheren Funktionen zusammengesetzt erscheinen, wie die oben im Text als Beispiele gegebenen oder wie die folgenden für alle reellen x definierten Funktionen:

f{x)^k

f{x) = x'^~k"~k

f\x)^xh J (Ä

in Ä^Ar<Ä-fl

0, +1, +2,

fi-){

X für rationale x,

usw. — Vgl. jedoch dazu die S. 318, Fußnote, durch Grenzübergänge dargestellte „willkürliche" Funktion. Erst seit man erkannt hat, daß auch eine solche ganz „willkürliche" Funktion durch eineyi (noch relativ einfachen) Ausdruck,

22*

340 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Nur beiläufig können wir erwähnen, daß das Anwendungsfeld dieses Werkzeugs keineswegs auf das Gebiet der reinen Mathematik beschränkt ist. Ganz im Gegenteil: In der theoretischen Physik bei der Untersuchung periodischer Bewegungen, also vor allem in der Akustik, Optik, Wärmelehre, wurde man zuerst auf solche Reihen geführt; und in seiner Theorie de la chaleur (1811) hat Fourier gewisse trigonometrische Reihen zum ersten Male etwas gründlicher unter- sucht, — freilich ohne daß er eins der grundlegenden Resultate ihrer Theorie schon gefördert hätte.

Welche Funktionen können nun durch trigonometrische Reihen dar- gestellt werden, und wie findet man die Darstellung einer gegebenen Funktion, falls sie überhaupt möglich ist?

Um zur Beantwortung dieser Frage einen Weg zu eröffnen, nehmen wir zunächst einmal an, wir hätten eine bestimmte Funktion f{x) durch eine überall konvergente trigonometrische Reihe dargestellt:

f{x) = i ^0 + ^(^n COS ^^^ + ^^n Si" ^^^'•

M = l

Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dann auch f(x) notwendig periodisch mit der Periode 2n, und wir können daher unsere Betrachtung auf irgendein Intervall der Länge 2n be- schränken. Wir wählen für alles folgende das Intervall 0 ^x ^27i, — von dem wir übrigens noch den einen Endpunkt weglassen dürften.

Die Funktion f[x) wird dann in diesem Intervall durch eine konvergente Reihe stetiger Funktionen dargestellt. Wir wissen, daß trotzdem f{x) unstetig sein kann, daß es aber gleichfalls stetig sein muß, wenn die Reihe in dem genannten Intervall sogar gleichmäßig konvergiert. Für den Augenblick wollen wir auch dies noch voraus- setzen, r*

Es sei also die Reihe

la^-^ 2]{a^^cosnx -{- h^^s'mnx) in 0^x^27t

71 = 1

gleichmäßig konvergent^) und habe f{x) zur Summe.

Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich ein Zusammenhang zwischen f[x) und den einzelnen Koeffizienten a^ und b^, den schon Euler vermutet hat. Es gilt darüber der folgende

wie eben jetzt unsere trigonometrischen Reihen oder andere Grenzübergänge, dargestellt werden kann, sah man sich gezwungen, in ihr wirklich eine Funktion und nicht ein Flickwerk aus mehreren anzuerkennen.

1) Wegen der Periodizität von cos,x und sin;»; ist sie dann von selbst für alle X gleichmäßig konvergent.

200. §49. Fouriersche Reihen. — A. Die Eulerschen Formeln. 341

Satz 1. Unter den gemachten Voraussetzungen ist für n^O, 1, 2, ... 200.

'In. . 'i^

a^ = 1 Jf{x) cos nx dx, bn ^ - J /(^) sinnx dx,

(Eulersche Formelny).

Beweis. Aus den Elementen her ist bekannt, daß für ganz- zahlige p und ^ (^ 0) die folgenden Formeln gelten^): 2.-r [ = 0, für ^4=^

a) J cospx-cosqxdx l^ ^, im p = q > 0 0 [ = 2 TT, für ^ = ^ = 0

2.-T

b) j cospx- sin qxdx =0

0

Y . . . \ =0 im p=\=q und p = q = 0

c) \ smpx ' smgxdx i ' i ^ ^ [ = 71 für ^ = ^ > 0.

Multipliziert man nun die nach Voraussetzung in ^ ^x ^^n gleich- mäßig konvergente Reihen für f\x) mit cospx, so wird dadurch die Gleichmäßigkeit der Konvergenz nicht gestört, da ja auch die Reste der Reihe nur mit cospx muhipUziert und also ihrem Betrage nach nicht vergrößert werden. Man darf daher (s. 195) nach dieser Multi- plikation gliedweis von 0 bis 2jr integrieren und erhält dann sofort

^^%- J cospxdx für /) = 0,

2.1

^ fix) cospx dx

0 2.t:

a ' J cospx-cospxdx für p > 0,

also in beiden Fällen

J f[x) cospx dx;

denn alle übrigen Glieder der Reihe Heferten bei der Integration den Wert 0. Ebenso liefert die Multiplikation der vorausgesetzten Reihendarstellung von f(x) mit sinpx und die nachfolgende Integration sofort die zweite der Ettlerschen Formeln

1

b =' J f (x) sinpx dx.

^) Diese Bezeichnung ist eine mehr konventionelle; geschichtliche Be- merkungen gibt H. Lebesgue, a.a.O. S. 23, und in großer Ausführlichkeit A. Sachse, Versuch einer Geschichte der trigonometrischen Reihen, Inaug.-Diss. Göttingen 1879, sowie P. du Bois-Reymonä in seiner Entgegnung (Tübingen, 1880) auf die vorgenannte Schrift.

2) Nach den bekannten Additionstheoremen hat man nur das Produkt der beiden im Integranden stehenden Funktionen in eine Summe zu verwandeln (z. B. cospx-cosqx = l [cosip —q) ;*; + cos (/? -^q) x\), um dann unmittelbar inte- grieren zu können.

342 XI- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Der Wert dieses Satz 1 ist zunächst noch durch die zu vielen Voraussetzungen beeinträchtigt, die wir zur Durchführung des Beweises machen mußten, und er sagt insbesondere noch nichts darüber aus, oh denn eine vorgelegte Funktion überhäuft in eine trigonometrische Reihe entwickelbar ist, und welchen Wert in diesem Falle die Koeffi- zienten haben.

Immerhin weist uns der Satz auf folgenden Weg: Es sei f{x) eine ganz beliebige im Intervall 0 ^x ^27i definierte Funktion, die dort nur im Riemannschen Sinne integrierbar sein soll. Dann haben jedenfalls die in den Etilerschen Formeln auftretenden Integrale einen Sinn und liefern bestimmte Zahlen a^ und b^. Diese letzteren haben also unter der alleinigen Voraussetzung der Integrierbarkeit von f[x) ganz bestimmte Werte. Wir nennen die so erhaltenen Zahlen la^, a^, a^, ... und b^, b^, ... die Fourierkonstanten oder FourierJcoeffizienten der Funktion f(x). Mit ihrer Hilfe kann man nun jedenfalls die Reihe

OD

2 ^0 + ^{^n COS ^ :^ -|- b^ sinnx)

n = l

ansetzen, d. h. hinschreiben, ohne damit schon etwas über ihr Kon- vergenzverhalten aussagen zu wollen. Diese Reihe nennen wir (also ohne Rücksicht auf ihr Konvergenzverhalten und auf ihre etwaige Summe) die durch f{x) erzeugte Fourierreihe oder kurz die Fourier- reihe von f[x) und schreiben in diesem Sinne

1 *

f{x) ^ «0 + ^'(cfn ao^nx + bn ^innx) ^),

was nur dahin zu verstehen ist, daß aus der ledighch als integrierbar vorausgesetzten Funktion f(x) mit Hilfe der Eiilersohen Formeln gewisse Konstante a^^ und h^ gewonnen wurden und dann die obige Reihe hingeschrieben worden ist.

Die Herkunft der Reihe in Verbindung mit dem Satz 1 läßt nun allerdings die Hoffnung einigermaßen begründet erscheinen, daß sie konvergiert und die Funktion f{x) zur Summe hat.

Das ist aber im allgemeinen leider nicht der Fall. (Beispiele werden wir sehr bald kennen lernen.) Vielmehr braucht die Reihe weder im ganzen Intervall noch auch nur an einzelnen Punkten zu konvergieren; und wenn sie es tut, so braucht ihre Summe nicht - fix) zu sein. Aber es ist nicht ohne weiteres zu sagen, wann das eine und wann das andere eintritt; und gerade dieser Umstand macht die Theorie der Fourierreihen auf der einen Seite zu einem nicht ganz einfachen Gegenstande, — macht sie auf der andern Seite aber auch außer- ordentlich reizvoll, weil hier ganz neue Probleme auftauchen und weil

*) Das Zeichen „'-v/" hat hier natürhch nichts mit dem 40, Definition 5, eingeführten Zeichen für „asymptotisch proportional" zu tun. Verwechslungen sind nicht zu befürchten.

^00. § 49. Fouriersche Reihen. — A. Die Eulerschen Formeln. 343

wir auf eine, wie es scheint, wesentlich neue Fundamentaleigenschaft der Funktionen stoßen, nämlich die: eine konvergente Fouriet-rsihe zu liefern, deren Summe die Funktion selber ist. Und es gilt dann weiter den Zusammenhang dieser neuen Eigenschaft mit den andern — der Stetigkeit, der Monotonie, der Differenzierbarkeit, der Integrierbar- keit usw. — zu klären. Konkreter gefaßt tauchen also die folgenden Fragen auf:

1. Ist die Fourierreihe einer gegebenen (integrierbaren) Funktion f{x) für gewisse oder für alle Werte von x in 0 ^x ^2ji kjnvzrgent?

2. Hat die Fourierreihe von f{x) im Falle der Konvergenz den Wert f{x) der erzeugenden Funktion zur Summe?

3. Ist die Konvirgenz der Fourierrsihe, falls sie in allen Punklen eines Intervalles a ^ x ^ ß stattfindet, dort eine gleichmäßige ?

Und da es weiter auch denkbar wäre, daß man auf einem andern Wege als über die £^w/ßyschen Formeln gleichfalls zu einer trigono- metrischen Entwicklung gegebener Funktionen gelangt, so werfen wir gleich noch die folgende weitere Frage auf:

4. Kann eine integrierbare Funktion, die überhaupt eine trigono- metrische Entwicklung gestattet, deren mehrere besitzen, insbesondere also noch eine andere neben der eventuell durch die Eulerschen Formeln gelieferten Darstellung durch die Fourierreihe ?

Auf alle diese Fragen ist es nicht ganz leicht, Antworten zu geben, und Vollständig ist bis heute noch keine von ihnen beantwortet. Es würde uns zu weit führen, alle vier Fragen dem heutigen Stande der Wissenschaft entsprechend zu behandeln. Wir wollen uns vor allem den ersten beiden zuwenden, die dritte gelegentlich streifen und die vierte ganz bei Seite lassen^).

Mit den nunmehr eingeführten Bezeichnungen können wir den Inhalt des Satz 1 auch so aussprechen:

Satz la. Wenn eine trigonometrische Reihe in 0 ^ a; ^ 2 jr gleich- mäßig konvergiert, so ist sie die Fourierreihe der durch sie dargestellten Funktion; oder — was auf dasselbe hinauskommt — so sind ihre Koeffizienten die Fourier konstanten ihrer Summe^).

Daß die Fourierreihen einer integrierbaren Funktion nicht zu konver- gieren braucht, werden wir weiter unten sehen; und daß sie auch im Falle

') Doch sei bemerkt, daß die 4. Frage unter sehr allgemeinen Voraus- setzungen dahin beantwortet ist, daß zwei in 0<Ar^2jr konvergente trigono- metrische Entwicklungen nicht dieselbe Funktion darstellen können, wenn sie nicht völlig miteinander identisch sind. Und ist dann die durch sie dar- gestellte Funktion f (x) über 0 . . .2:1 integrierbar, so sind ihre Koeffizienten die Fourierkoeffizienten von f{x); vgl. G. Cantor (J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 72, 1870, S. 139) und P. du Bois-Reymond (Münch. Abb., Bd. 12, 1876, T. Abt., S. 117).

^) Diese Summe ist dann eo ipso eine in 0^Ar<2jr, also überall, stetige Funktion.

344 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

der Konvergenz nicht den Wert von f {x) zur Summe zu haben braucht, folgt ja schon daraus, daß zwei verschiedene Funktionen f^{x) und /!, (at) sehr wohl genau dieselben Fourierkonstanten haben können; denn zwei integrierbare Funk- tionen liefern schon dann dieselben Integrale (und also auch dieselben Fourier- konstanten, und also auch dieselben Fourierreihen), wenn sie — ohne ganz übereinzustimmen — , z.B. nur für alle rationalen Werte von x denselben Wert haben (s. § 19, Satz 18). Auch daß die Konvergenz in den Konvergenz- intervallen keine gleichmäßige zu sein braucht, können wir schon jetzt sehen.

denn die Reihe 2j ist tiberall konvergent (s. 185, 5) und würde, falls

die Konvergenz z.B. in -l^x-^^l gleichmäßig wäre, nach 193 dort eine stetige Funktion darstellen müssen. Das ist aber, wie wir schon S. 338 be- tonten und weiter unten S. 362 beweisen werden, nicht der Fall.

Diese wenigen Bemerkungen zeigen schon, daß die aufgeworfenen Fragen nicht ganz einfacher Natur sind. Wir folgen in ihrer Be- antwortung zunächst dem Vorgange von G. hejeune-Dirichlet, der in seiner Arbeit $itr la convsrgence des series trigonometriques ^) den ersten wesentHchen Schritt zur Erledigung der aufgeworfenen Fragen getan hat.

B. Das Dirichletsche Integral, Wir greifen zunächst die erste der aufgeworfenen Fragen, die Konvergenzfrage an: Soll die durch eine gegebene integrierbare Funk- tion f{x) erzeugte Fourierreihe i«o+ y^{a^cosnx-\-b^smnx), in der also a^^ und h^^ die durch die Eulerschen Formeln gelieferten Zahlen bedeuten, für x = x^^ konvergieren, so muß die Folge ihrer Teilsummen

n

^n K) = 1 «0 + -T («V COS vXq + b^ sin v x^)

r = l

für n-> -{- oc einem Grenzwert zustreben. Die Feststellung nun, ob dies eintritt oder nicht, wird oft dadurch möglich, daß man s^^{x^^ folgendermaßen durch ein bestimmtes Integral darstellt: Für v^l ist r?,, cos vx^ -)- b^ sin j^a;^

= - f f{t) COS vtdtl COS vx^-^ I f fU) sin vt dt \ sin vx^

= - J f{t)-cosv(t ~x^)dt'')

und also die Teilsumme

K w = 9T / rto^^ + ^ / m cos (/ - x^) dt -f .

2:

2^0

+ \Sm'Cosn{t-x^)dt

2 jr

= n / ^W • fi + '''''' (^ ~ ^o) + COS 2 (/ - .g + ••• + cos n(t- x^)\ dt

1) Journal f. d. reine u. angew. Math., Bd. 4 (1829), S. 157. '-') Zur besseren Unterscheidung von dem festgehaltenen Punkte Xq be zeichnen wir von jetzt ab die Tntegrationsveränderliche mit /.

!S01. §49. Fouriersche Reihen. — B. Das Dirichletsche Integral. 345

Das Entscheidende ist nun, daß man jetzt die in der eckigen Klammer stehende (n 4- l) - gliedrige Summe geschlossen angeben kann, denn es gilt für beliebige z=^2kjr, beliebige a und positiv-ganze m die Formel

cos (fi ~ ^) 'j- cos (« -~2z) ^ ,.. -\- cos (« + m:^) = 201.

f

sin [a -{- 2fn-[- l^j — sin ( « + ö" J sin m. ^ • cos [a -[- ni + 1 -|- ) 2 sm - sm -

aus der sich durch Spezialisierung viele analoge herleiten lassen-).

r

1

Nach ihr ist (für (^ =- 0, z = t ~ x^, m ^^ n

.^ ^ cos (/ — x^ -^ . . . -f- cos n (t — Xq) j sin (2 n + 1) ^^^- - sin^-^ sin (2 w + 1) ^ '^

-ö +

2 sm — ^ 2 sm ^-

^) Beweis. Bezeichnet man die linksstehende Summe mit C,^, so ist 2 sin ;^ • C„, = ^!' 2 sin ^ cos (cc — j-^)

= J^ ! - sin (cc -f 2 r- 1 f. ) - sin Uc -- 2V+ 1 --^

sin ( cc - 2 m - 1 -

^ / ■ z

— 2 sin m „ • cos ( a -f m -f 1 ;^

Übrigens gilt die obige Formel auch noch für z — 2k:i, wenn man dann unter den rechtsstehenden Quotienten deren Grenzwert für z 'y2kn;, also den Wert in cos cc, versteht.

■-') Wir nennen späteren Anwendungen zuliebe die folgenden:

1. - - -f f^ statt ci liefert: sin (cc -[- ^) r sin (cc f 2 ^) + . . . -f- sin (cc — niz)

sm /;/. ~~- • sin I i/ — m -f 1 -^1 ;

sm ^

sin w ^^ cos m |- 1 -

2. u =0 liefert : cos^- cos 2z-j-. . . — cos;n^ =

sm ^

sm W-- -sin m -f 1- - o :i ,. r ■ • r. , . 2 2

ö. cc = ~ liefert : sin z — sin 2 z -t . . . ~ sm mz -_ -

2 . 2

sin

ferner:

346 XI, Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern

und folglich

t — x^ Sin

2

Endlich kann man auch dies noch ein wenig umformen. Die Funk- tion f{x) braucht nur in 0 ^x ^27i definiert und über dies Intervall integrierbar zu sein. Letzteres bleibt sie, wenn der Funktionswert f{2 7i) irgendwie abgeändert wird (vgl. § 19, Satz 17). Wir setzen ihn = /"(0)und dann allgemein für 2kn^x^2{k^\)n, (Ä= ± 1 , ± 2, ...) stets

f(x) = f{x— 2k7l).

Dann ist f(x) für alle reellen x definiert und zu einer Funktion mit der Periode 2 n geworden. Für eine solche mit 2 7i periodische Funk- tion (p[x) ist aber (nach § 19, Satz 19) bei behebigem c und c' stets

2.-r c-\-2ji 271 ß ß + 2jT

] cp{t)dt= J cp{t)dt=j cp{c'~\-t)dt und J(p{t)dt= J qi{t)dt,

0 c 0 '< (1 + 2 TT

und da nun der Integrand in (a) eine solche Funktion ist, so hat man auch

2. sin(2« + l) 2"

Sn W = 2 . / ^(^0 + 0 1 ^i •

sm 2-

Zerlegt man endlich dieses Integral in die beiden Teile von 0 bis n und von n h\s 2 7i und ersetzt im zweiten / durch — /, so wird zu- nächst dieser zweite Teil (nach § 19, Satz 25)

-2.-7 sin(2M-f- l)i.

sm

ß

also gemäß der obigen Bemerkung über } ff(t)dt wieder

+.-r sin(2w + l)

sm

Ai. z = 2x, a — y-x liefern:

smmx-cos {y -{- mx)

cos {y -I- x) -f cos 0' -f 3 Ar) -I- . . . -i- cos {y ^2 m—l-x) = ^.^ ^

h. z = 2x, a= ^' ^y — x liefern analog:

sin mxsin {y + mx)

sin (y -f ;ir) + sin 0 4- 3 AT) ^- . . . + sin (7 -f 2 w - 1 • ;>;) ^^^ ^

1) Für t = XQ ist, wie schon einmal betont, unter dem sin-Quotienten die Zahl 2«+l zu verstehen, die man für t -> x^^ aus ihm erhält.

'SOS. § 49. Fouriersche Reihen. — B. Das Dirichletsche Integral. 347

so daß nun

wird, was endlich noch, wenn man t durch 2 t ersetzt, auf die Form

gebracht werden kann. Dies ist das Dirichletsche Integral^) für die Teilsummen der durch f{x) erzeugten Fourierreihe. Diese letztere wird also dann und nur dann in x^ konvergieren, wenn unser Dirichletsch.es Integral für n->oo einem Grenzwert zustrebt.

Nehmen wir die zweite Frage (S. 343) nach der Summe der sich möglicherweise als konvergent erweisenden Fourierreihe hier gleich mit hinein, so können wir also sagen: Die durch f{x) erzeugte Fourierreihe ist dann und nur dann an der Stelle Xq konvergent mit der Summe s[x^, wenn für n-^00 die Differenz

gegen 0 strebt, in der s^ (x^) das oben aufgestellte Dirichletsche Integral bedeutet. Aber auch diesem Ergebnis kann man eine für das weitere noch günstigere Form geben, indem man die Zahl s (xq) auch in die Form eines Dirichletschen Integrals kleidet. Wegen

1 sin(2w+l)-^ -^- + cos / -f cos 2 ^ -f- . . . -|- cos nt ==

. t sm-

ist nämlich

''"sin(2w4-l) ^

J

sin-g-

2

— dt=7i,

oder also, wenn wir dieselben Umformungen vornehmen, wie bei dem allgemeinen Integral:

(b) 2|-isin(2« + l)^^^_^_

^ ^ :ii ^ sin t

^) Als Dirichletsches Integral bezeichnet man jedes Integral von einer der Formen

sinÄ/ ,, , r . . sinkt

/sinnt /. sm fit

348 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Multipliziert man diese Gleichung mit der Zahl s[Xq), so wird schließlich

5„ K) - s (^o) = - J L "2 ^^o)J sin^ "^ ^

und wir können nun als erstes wichtiges Ergebnis den folgenden Satz aussprechen:

208. Satz 2. Dafür, daß die durch eine integrierbare {also beschränkte),

mit 2 71 periodische Funktion f{x) erzeugte Fourierreihe im Punkte Xf^ konvergiere und die Summe s{x^ habe, ist es notwendig und hin- reichend, daß für n ->-{•■ oo das Dirichletsche Integral

2 pT ., . sin(2w + l)^ ,

7t *Jj ^ ^ "^ Sin t

gegen 0 strebe, in welchem zur Abkürzung

! '— ^— — ^—-^ — s(x)\ = (p (t; x)

gesetzt worden ist.

Durch diesen Satz sind zwar die Fragen 1 und 2 noch keineswegs in einer Weise erledigt, die in konkret vorliegenden Fällen die Antwort lieferte; aber es ist jedenfalls eine wesentlich neue Angriffsmöglichkeit zu ihrer Er- ledigung geschaffen. Und dies gilt sogar noch für die dritte der S. 343 auf- geworfenen Fragen. Denn Satz 2 kann sofort zu dem folgenden verschärft werden:

Satz 3. Die etwaige Konvergenz der Teilsummen 5„ (x) gegen s [x) wird dann und nur dann für alle x eines Intervalles cc^x^ß eine gleichmäßige sein, wenn nach Wahl von e^O sich ein N — N {e) so angehen läßt, daß

— wlt\ x) ^^ dt <C

^ J ^ ^ ^ ' ein ü

0 sm/

ausfällt für alle ny- N und alle x tn cc -^x^ß . ''

Ehe wir nun den Satz 2 zur Aufstellung unmittelbarer Konver- genzkriterien für Fourierreihen ausnützen, wollen wir ihn noch in verschiedener Weise umformen und vereinfachen. Dazu beweisen wir zunächst einige scheinbar etwas abliegende Sätze, die aber auch an sich ein erhebliches Interesse beanspruchen:

Satz 4. Ist f{x) integrierbar , so haben seine Fourierkonstanten konvergente Quadratsun Beweis. Das Integral

eine konvergente Quadratsumme ^ (a^ + b^) .

n = i

2:t _ „ -,2

/ [f{l) — H i^r cosvt-\- by sin vt)j dt

^03. § 49. Fouriersche Reihen. — B. Das Dirichletsche Integral. 349

hat einen nie negativen Integranden und ist daher ^ 0. Anderer- seits ist es

= J W)T di—^ ^Wvj f{t)cosvtdt] — 2 2:[brJ f{t) sin vt dt]

0 0 0

+ / [Z{a, cosvt + br sin vt)f dt

0 2.-T

= I [/"Wr^^- 27ii:al- 27i2hl-\-7iSal-^nZhl = S[mfä,t-nS{al^bl),

0

wobei die Summen stets von v = 1 bis v = n zw erstrecken sind. Da nun dieser Ausdruck nicht negativ ist, so ist

v=l ^ 0

Und da hiernach die Teilsummen der in Rede stehenden Reihe (mit positiven Ghedern) beschränkt sind, so ist die Reihe, wie behauptet, konvergent.

Ganz speziell enthält dies den folgenden

Satz 5. Die Foimer konstanten («J und (bj einer integrierbaren Funktion bilden je eine Nullfolge. — Und hieraus folgt nun in ein- facher Weise weiter der

Satz 6. Ist \p (t) im Intervall a ^t ^b integrierbar, so strebt stets

b

An = J ^ (t) Gos nt dt > 0

und

b

Bn=^ J^^(t) sinnt dt > 0.

a

Beweis. Liegen a und b beide nicht außerhalb eines Inter- valles der Form 2qjt ^t ^2{q -{- l)7t, so setze man f{t) = ip{t) in a ^t ^b und f{t) = 0 in den übrigen Punkten des erstgenannten Intervalles und definiere f(t) für alle übrigen reellen t durch die Be- dingung, daß es die Periode 2 7t haben soll. Dann ist aber

b 2.-r

A^ ^^ J yj[t) COS ntdt = J f{t) cos ntdt = Jia^^

" a 0

und ebenso B -^nb^^, wenn a^^ und b^^ die Fouri erkonstanten von

von f[t) bedeuten. Nach Satz 5 streben also die A^ und .ß„->0.

Erfüllen a und b nicht die eben gemachte Annahme, so wird sich

das Intervall a <t <b in endUch viele Stücke derart zerlegen lassen,

350 ^I- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

daß jedes einzelne dieser Stücke eine solche Annahme erfüllt. Dem- gemäß erscheinen A^^ und B^^ in endlich viele Summanden (von fester Anzahl) zerlegt, deren jeder mit w^oo gegen 0 strebe. Also- tun dies auch die A und B selber^).

n n /

Mit Hilfe dieses wichtigen Satzes 6 -) kann man die Konvergenz- frage beim Dirichletschen Integral weiterhin vereinfachen.

Ist zunächst 0 < ^ < y beHebig gewählt, so ist die Funktion

^^ ^ sin^ sin/

in d ^t ^ '2 integrierbar und es strebt also — bei festem d —

(c) py^ {t) sin{2n-\~l)tdt~>Q.

8

Daher hat das in Satz 2 genannte Dirichletsche Integral dann und nur dann für w->oo den Grenzwert 0, wenn — bei festem, aber an sich behebigem ^ > 0 — das neue Integral

mit wachsendem n gegen 0 strebt. Da in dies letzte Integral nur die Werte von f[xQ ± 2 t) in 0 ^ / ^ ^, also nur diejenigen von f[x). in Xq — 2 ö ^ X ^ Xq -\- 2 d eingehen, und da ^ > 0 behebig klein gedacht werden kann, so enthält dies merkwürdige Ergebnis zugleich den folgenden

204, Satz von JRiemann^), Das Konvergenzverhalten der Fourierreihe

von f{x) in x^ hängt nur von der Natur von f{x) in der Umgehung von Xq ah. Diese darf dabei heliebig klein gedacht werden.

Zur Erläuterung dieses besonders eigenartigen Satzes sei noch folgende Konsequenz desselben hervorgehoben: Man betrachte alle ipöglichen (in 0 . . . 2:?r integrierbaren) Funktionen f{x)^ die in einem Punkte Xq des Intervalles- 0 ... 2 .T und einer, wenn auch noch so kleinen und bei jeder dieser Funktionen auch verschieden kleinen Umgebung desselben übereinstimmen. Dann sind die Fourierreihen aller dieser Funktionen — mögen sie außerhalb der genannten

^) Dieser wichtige Satz 6 wird anschaulich-plausibel, wenn man sich den Verlauf der Kurve ip{t) cos nt für ein hohes n gezeichnet denkt: Greift man ein kleines Teilintervall a . . . ß heraus, indem yj (t) nur eine geringe Schwankung hat (also annähernd konstant ist), und wählt man nun n so groß, daß cos nt in diesem Intervall schon viele Schwingungen macht, so wird die Kurve ■yj{t) cos nt während des Intervalles a . . . ß ungefähr gleich viele und gleich große positive wie negative Flächenstücke umschließen, das Integral also nahezu 0 sein.

-) Natürlich kann man Satz 6 auch ohne den Umweg über Satz 4 ganz direkt beweisen, doch ist Satz 4 ein gleichfalls sehr wichtiger Satz der Theorie, wenn wir ihn auch in der Folge zufällig nicht weiter anwenden werden.

3) Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, Hab.-Schrift, Göttingen 1854 (Werke, 2. Aufl., S. 227).

^05. §49. Fouriersche Reihen. — B. Das Dirichletsche Integral. 351

Umgebungen von Xq auch noch so verschiedenartig sein — entweder sämtlich konvergent oder sämtlich divergent und haben im ersten Falle sämtlich die- selbe Summe 5 {xq) (die dabei = oder =4= /' W ^^^^ kann).

Nach diesen Zwischenbemerkungen formulieren wir noch einmal das Kriterium, das wir nunmehr an Stelle des Satzes 2 setzen können.

Satz 8, Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Fourierreihe von f{x) in x^ 7nit der Summe s[xq) konvergiere, be- steht darin, daß nach Wahl eines beliebigen positiven d < -,.- das-

Li

Dirichletsche Integral

2 /• X sin (2w-f 1)^ ,,

mit wachsendem n gegen 0 strebt ^).

EndHch kann man noch leicht zeigen, daß in dem letzten Inte- granden der Nenner sin t einfach durch t ersetzt werden kann. Denn die Differenz des dadurch entstehenden Integrals vom alten, also das Integral

-'/9'(''-^o)[ii^,-}!-sin(2» + l)/rf/

Strebt nach Satz 6 mit wachsendem n eegen 0, weil -^ in

^ ^ ' sm^ t

0 < t ^d stetig und beschränkt ^) und also integrierbar ist.

Wir können somit schließlich sagen:

Satz 9. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Kon- 205. vergenz der Fourierreihe einer mit 2 n periodischen und im Intervall 0 . . . 2 JT integrierbaren Funktion f{x) im Punkte x^ gegen die Summe s (x^)

besteht darin, daß nach Wahl eins beliebigen positiven ^(<?-) die

Folge der Integralwerte

2 f . . . sin(2n + l)« ,^

n Q z

eine Nullfolge bildet. Dabei hat (p[t;Xg) die in Satz 2 angegebene Be-

^) Die ev. Gleichmäßigkeit der Konvergenz können wir jetzt nicht mehr ohne weiteres überschauen, weil wir nicht wissen, ob das oben betrachtete Integral (c), welches bei jedem festen x = Xq mit wachsendem n gegen 0 strebt, dies auch gleichmäßig tut für alle x eines bestimmten .r-Intervalles, Tatsäch- lich ist dies für jedes Ar-Intervall der Fall, doch wollen wir hierauf nicht weiter eingehen.

-) Denn es ist dort -; = — • = -^ -f . . . , was für

sm / ^ ^ ^2 ^ ^ 6 '

t -> 0 selbst gegen 0 strebt.

352 ^I- Kap. Reihen mit verilnderlichen Gliedern.

deutung. Oder auch darin, daß nach Wahl von e r^ ■ 1 sich ein positives

ben lassen, sin (2 n -'- 1 ) t

d < -^ und ein N > 0 so angebet! lassen, daß für alle n > N stets

I -J "P^^'^o) t dt <e

ausfällt •^).

C. Konvergenzbedingungen.

Nun sind die \^orbereitungen soweit gediehen, daß die Konver- genzfragen 1) und 2) von S. 343 selbst in Angriff genommen werden können. Sie sind durch die vorangehenden Untersuchungen vollständig auf das folgende Problem zurückgeführt:

Es liegt eine in O^t-^d integrierbare Funktion (p{t) vor; welche weiteren Voraussetzungen m'iß diese noch erfüllen, damit die Folge der Integrale

hei wachsendem k einem Grenzwert zustrebt, und welches ist dann dieser Grenzwert^)'::

Da bei diesen Integralen ^ einen zwar festen, aber an sich beheb ig kleinen Wert haben darf, so ist das Verhalten von q) {t) — vgl. den Satz von Riemann 204 — nur unmittelbar rechts von 0, also' etwa in einem Intervall der Form 0 < / < ^1 f< 5) , für die Beantwortung dieser Frage maßgebend. Wir können also auch fragen: Welche Eigenschaften muß qn (t) rechts von 0 besitzen, damit der fragliche Grenzwert existiert}

Unter den vielen Bedingungen, die man als hierzu ausreichend gefunden hat. sind es besonders zwei, die wegen ihrer großen All- gemeinheit für die meisten Zwecke ausreichend sind und mit deren Darlegung wir uns hier begnügen wollen. Das erste ist von Dirichlet in seiner oben (S. 344) genannten, für die 'Theorie der Fourierreihen durchaus grundlegenden Arbeit aufgestellt worden und hat die erste exakte Konvergenzbedingung dieser Theorie geliefert. Das zweite rührt von U. Dini her und ist 1880 gefunden worden.

206. 1. Die niHchletsche Regel. Wenn (p{t) rechts von 0, — d, h.

also in einem Intzrvall der Form 0<t<d^{-^d) — monoton ver- läuft.- so ist der fragliche Grenzwert der Integrale vorhanden, und zwar ist

lim Jh = lim ~ J f/ (t) ^'" "^ dt cp^.

1) Man mache sich genau klar, daß die zweite Formulierung wirklich dasselbe besagt wie die erste, obwohl das f) erst nach der Wahl von k bestimmt zu werden braucht.

2) Für / 0 soll im Integranden die Zahl k bedeuten.

^) Die Bemerkung, daß es genügen würde, wenn k durch ungerade ganze Zahlen hindurch > — :>c wächst, führt zu keiner Vereinfachung.

^06. § 49. Fouriersche Reihen. — C. Konverg-enzbedingungen. 353

wenn man mit cp^ den unter den gemachten Annahmen sicher vorhandenen {rechtsseitigen) Grenzwert lim cp{t) bezeichnef^).

Beweis. 1) Es ist zunächst

hm J ' --dt = j ^ dt = -^.

Daß dieser Grenzwert vorhanden ist, daß also das an zweiter Stelle genannte Integral konvergiert, folgt einfach daraus, daß nach Wahl

von e > 0 für irgend zwei Werte x' und x" , die beide > — sind,

(nach § 19, Satz 26)

und also

bleibt. Nun sahen wir S. 347, Gleichung (b), daß die Integrale

.-T

r2 sm(2n -1)/

n J ein /

(j Sin t

seits bilden die Zahlen

für n = 0,1, 2, ... stets =r= "L sind. Es strebt also auch i ^ "" . Andrer-

(vgl. die S. 351 durchgeführten Betrachtungen) nach Satz 6 eine Null- folge. Also streben auch die Integrale

K = ',. -',.=/ "~~^ ät-^~.

Da aber auch

^'"11 c 2 sin t

).

0

/ '^'ät

ist, so bedeutet dies gerade, daß der oben genannte Grenzwert den

Wert — hat.

stets

2) Nach 1) gibt es also eine Konstante K' , so daß für alle x>0

!^-dt\^K'

^) Denn rf (t) ist, weil integrierbar, sicher beschränkt und nach Voraus- setzung in 0 < / < d^ monoton. — Übrigens braucht (f^ sticht ^- (p (0) zu sein.

Knopp, Unendliche Reihen. 2-3

354 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

bleibt, — und folglich auch eine Konstante K (— 2 /C'), so daß für beUebige 0 ^a :^h stets

i a I

bleibt.

3. Ist nun e > 0 gegeben, so wähle man die positive Zahl d' ^d^ so, daß für 0<t^d' stets

bleibt. Setzen wir dann die Integrale

2 / . . sin Ä ^ ,

so strebt 7^—/,/ nach Satz 6 für k^-^cc gegen 0, und wir können k' so groß wählen, daß für k > k' stets /, — /^'l < | ausfällt. Weiter ist aber

und da hierin der letzte Summand

0 /.' sin / , , 2 /• sin k t , ,

^ 0 ■^ 0

strebt, so können wir k^ > k' so groß wählen, daß für k > k^^ stets

j:"-<po\ =

1 7 '"

I

,y 2 /• sin Ä / , ^ £

Z f Sin Ä ? , , ji ^ <-

bleibt. Auf den ersten Summanden J^' von (d) endlich wenden wir den zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung an (§ 19, Satz 27), welcher für ein passendes nicht negatives Ö" < d' liefert r

Und da nun hier das letzte Integral - J' '''" dl ist und also nach

k,S'

2) seinem Betrage nach < K bleibt, so gilt für den ganzen ersten Summanden /,." aus (d):

Fügt man die drei Ergebnisse dieses Absatzes gemäß /^ = [J^ — J^) _^ j^" _|_ J^" zusammen, so lehren sie, daß nach Wahl von £ > 0 stets k^ so bestimmt werden kann, daß für alle k > k^^ stets

\J.-n'£\J.~ /; I + 1 A" i + i /."' - n I ^ 3 • ; = «

bleibt. Damit ist die Behauptung in vollem Umfange bewiesen.

!S06. § 49. Fouriersche Reihen. — C. Konvergenzbeding-ungen. 355

2. Die Dinische Regel. Wenn lim 99 (t) = cp^ existiert und wenn für alle positiven t <C ö die Integralwerte

\ i 9^ (0 ~ 9^0 i ^i

unterhalb einer festen Schranke bleiben'^), so existiert lirn /^ und ist = cp^.

Beweis. Da das oben genannte Integral bei zu 0 abnehmendem x monoton wächst, aber beschränkt bleibt, so hat es für t->0 einen Grenzwert, den man kurz durch

0 ^

bezeichnet. Ist dann e > 0 gegeben, so kann man ein positives d' < d so klein wählen, daß

ist. Setzen wir dann wieder, wie beim vorigen Beweise,

A.' ^~lcp{()''-^dt und /; = j: + /;",

so strebt zunächst (/,. — J^) nach Satz 6 gegen 0 und es kann k' so groß gewählt werden, daß für k > k' stets |/^ — /,/| < ~ bleibt. Weiter aber sahen wir vorhin, daß bei passender Wahl von k^ > k' auch

<5'

j ,„ 1 ^ r-sin Kl

0

bleibt für alle k > k^. Und da endUch

"0-

^ 0 '^ I ü ^

ist und also gemäß der Wahl von d' gleichfalls .,: ^ ausfällt, so ist genau wie beim vorigen Beweise für k > k^ wieder

iJic — nl <«'

womit auch die Richtigkeit der Dinischen Regel bewiesen ist.

Aus ihr lassen sich noch leicht die beiden folgenden Regeln ableiten:

1) Kürzer: Wenn das (bei 0) imeigentliche Integral f '-^l^-^ — —' dt einen

0 ^

Sinn hat.

23*

356 XI- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

3. Die Lipschitzsche Regel. Wenn zwsi positive Zahlen A und a existieren, so daß rechts von 0 — etwa in 0 <t < d^(^d) — stets

\(pit)-cp,\<A.f ist, so streben die Jj,^(Po^)- Beweis. Es ist

'' t '^ Ci

T X

also für alle positiven r < (5^ unterhalb einer festen Schranke gelegen, so daß infolge der Dmtschen Regel in der Tat J^-^fp^ strebt.

4. Regel. Wenn (p' (0) existiert"^) und also lim ^ (^) = ^^ == ^ (0)

vorhanden ist, so strebt wieder Jj^^^o"^ (f (0) • Beweis. Wenn

Um i(^m

t^ + 0 ^

existiert, so bleibt dieser Quotient in einem Intervall der Form 0 < / < c^^ beschränkt, etwa seinem Betrage nach stets < A . Dann ist aber eine Lipschitz-Bed'mgung mit « = 1 erfüllt und es strebt also J^-xpo- Ganz unmittelbar ergibt sich endlich noch der folgende

Zusatz. Läßt sich (p (t) in zwei oder irgendeine feste Anzahl von Summanden so zerspalten, daß ein jeder von ihnen de7i Bedingungen einer der vorangehenden vier Regeln genügt, so ist wieder lim cp {t) = (p^

vorhanden und es streben die mit der Funktion q? (t) angesetzten Dirich- letschen Integrale Jj^-^-fpo-

Diese Regeln lassen sich ganz unmittelbar auf die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion f{x) übertragen, die wir uns von vorn- herein im Intervall 0 ^ x < 2 ti gegeben und für alle übrigen reellen x durch die Festsetzung >'

f(X ±2 7.) = f{x)

erklärt denken. Soll nämlich die durch f{x) erzeugte Fourierreihe in

x^ mit der Summe s{Xq) konvergieren, so muß nach Satz 9 (205)

die Folge der Integrale

2 r , sm(2n + V)t In = - J ^ {^' ^o) — ^-1 ^^

Jl Q

eine Nullfolge bilden, wenn (p {t; x^) die Bedeutung

9^ (^' ^o) = I [fi^o +20 + fi^o - 2 0 - s K)]

1) Die „Lipschitjz-Bedingung'' , daß \(p (t) ~ (Pq\ <A -t'' bleibt bei t->0, hat von selbst zur Folge, daß lim cp (t) ^r. (pQ existiert.

2) Es genügt, wenn cp' (0) als rechtsseitige Ableitung 99' (+ 0) existiert, da es ja auf die etwaigen Werte von ip (t) für t ^ 0 gar nicht ankommt.

207. §49- Fouriersche Reihen. — C. Konvergenzbedingungen. 357

hat. Diese Fassung des Kriteriums lehrt zunächst noch über den Riemannschen Satz 204 hinaus, daß das Verhalten von f(x) weder unmittelbar rechts von Xq noch dasjenige unmittelbar hnks von x^ für sich allein irgendeinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten der Fourierreihe von f(^x) in x^ hat. Es kommt vielmehr nur darauf an, daß das Verhalten von f{x) rechts von Xq in einem gewissen Zusammen- hange mit demjenigen links von x^ stehe, derart nämlich, daß die Funktion

cp(t)^cp {t; x^) = I [f{x^ + 2 0 + f{xo - 2 tj] - s (x^), die für die Existenz des Grenzwertes der damit angesetzten Dirichletschen Integrale J^ (206) notwendigen und hinreichenden Eigenschaften besitzt^). Welches diese Eigenschaften sind, weiß man nicht. Doch Hefern uns die oben entwickelten vier Regeln für die Konvergenz Dirichletscher Integrale ebensoviele sehr weittragende hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Fourierreihe einer Funktion f{x) in einem speziellen Punkte a;^. Alle jene Regeln verlangten zunächst, daß für ^->-4-0 die Funktion

^(^t)==qj{t;x,)==l[f{x, + 2t)-^~f{x,-2t)]-s{x,) einem Grenzwert q)^ zustrebe. Und wenn die Fourierre\h.e in x^ kon- vergieren und dort die Summe s {x^ haben soll, so muß 99^ = 0 sein. Da gegen diesen selben Grenzwert dann auch die Dirichletschen Inte- grale streben werden, so haben wir zunächst als gemeinsame Voraus- setzung für alle jetzt aufzustellenden Regeln: Der Grenzwert (g) \im\[f[x,-{-2t)-^f\x,~2t)\

soll existieren. Sein Werts (:Vq) wird im Falle der Konvergenz der Fourier- reihe von fi^x) in Xq dann auch die Summe dieser Reihe angeben. Deren Konvergenz wird nun gesichert sein, wenn die Funktion

<p{t) = <p (t; x„) = 1 [f(x„ + 2 () -f f (.T„ - 2 t)] - s (x,) als Funktion von t aufgefaßt die in einer der obigen vier Regeln genannten Bedingungen erfüllt. Wir nehmen demgemäß an, daß die folgenden beiden Voraussetzungen erfüllt sind:

1. Voraussetzung. Die Funktion f(x) ist in i) -^ x < 2 n definiert 207. und integrierbar, und für alle übrigen reellen x durch die Festsetzung

f{x) = f{x^2k7T), k^ ±1, ±2, ...,

erklärt.

2. Voraussetzung. Der Grenzwert

hm\[f{x^-{- 2t) ^ f{x^- 2t)], ^>+o

^) Man definiere z. B. f [x) rechts von Xq ganz beliebig (doch integrierbar in einem Intervall der Form Xq <ix <iXQ-{- d) und setze dann m. Xq — d <ix <CXq etwa f (x) = 1 — f (2 Xq — x), so erweist sich die Fourierreihe von f(x) in Xq kon- vergent mit der Summe J-. (Beweis etwa mit Hilfe der nachfolgenden Dirich- lelschen Regel 208, 1.)

358 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

bei dem x^ eine beliebige, aber weiterhin feste reelle Zahl bedeutet, ist vorhanden und sein Wert mit s{Xq) bezeichnet, so daß die Funktion

cp{t) = <p{t; x^) =-- 1 \f{x^ + 2 0 + f{xo - 2 0] - ^ W den {rechtsseitigen Grenzwert) lim ^ (/) = o besitzt.

unter diesen gemeinsamen Voraussetzungen gelten die folgenden vier Kriterien für die Konvergenz der Fotirierreihe von f(x) im Punkte x^: 208. 1. Die Dh'ichletsche Regel Wejtn cp (t) in einem Intervall der Form

0<t<d^ monoton verläuft, so ist die Fourierreihe von f{x) in x^ konvergent und ihre Stimme hat den Wert s[Xf^'^)

2. Die ninische Regel. Wenn nach Wahl einer festen (an sich beliebigen) positiven Zahl 6 die Integralwerte

z

für alle 0 < r < ^ unterhalb einer festen Schranke bleiben, so ist die Fourierreihe von f(x) in x^ konvergent, und ihre Summe hat den Wert s{x^.

3. Die Lipschitzsch^ Regel. Das gleiche gilt, wenn an Stelle der Beschränktheit der Integralwerte die Existenz zweier positiver Zahlen A und a gefordert wird, so daß für alle 0 < t < d

J99(oi<^-r

bleibt.

4. Regel. Dasselbe gilt, wenn an Stelle der Lipschitz- Bedingung nur gefordert wird, daß cp (t) in 0 eine rechtsseitige Ableitung besitzt.

Der Gebrauch dieser Regeln wird noch durch die folgenden Zu- sätze beträchtlich erleichtert:

Zusatz 1. Läßt sich f(x) in zwei oder irgendeine feste Anzahl von Summanden zerspalten, deren jeder die gemeinsamen beiden Voraussetzungen erfüllt und darüber hinaus in einer Umgebung eines Punktes x^ den Bedingungen je einer der vorangehenden Regeln ge- nügt, so erfüllt auch f[x) die Voraussetzungen 1 und 2 und die JFownVreihe von f[x) wird in Xq mit der Summe s [xq) konvergieren.

Zusatz 2. Im besonderen genügt es, wenn f(x) die Voraus- setzungen 1 und 2 erfüllt und nun die beiden Funktionen

9^1 (0 = /"(^o + 2 /) und cp,{t) = f{x,-2t) einzeln den Bedingungen je einer unserer vier Regeln genügen. Auch dann ist die Fourierreihe von f(x) in Xq konvergent und hat s{xq) zur Summe.

^) Im Falle ihrer Konvergenz in Xq hat die Fourierreihe von f{x) also dann und nur dann den dortigen Funktionswert /" (atq) zur Summe, wenn der in der 2. Voraussetzung geforderte Grenzwert s{xQ) = f{xQ) ist. Entsprechend bei den folgenden Regeln.

208. § '^0- Anwendungen der Theorie der Fourierschen Reihen. 359

Zwei ganz spezielle, aber für alle Anwendungen besonders wichtige Fälle merken wir noch in den beiden folgenden Zusätzen an:

Zusatz 3. Die von f{x) erzeugte Fourierreihe wird an jeder Stelle Xq konvergieren und auch den dortigen Funktionswert ({xq) zur Summe haben, an der f{x) stetig und in deren Umgebung f{x) monoton ist^).

Zusatz 4. Die von f{x) erzeugte Fourierreihe wird an jeder Stelle x^ konvergieren ^md auch den dortigen Funktionswert f{x^ zur Summe haben, an der f{x) differenzierbar ist^).

§ 50. Anwendungen der Theorie der Fourierschen Reihen.

Die im vorangehenden entwickelten Konvergenzregeln zeigen, daß sehr allgemeine Klassen von Funktionen durch ihre Fourierreihe dargestellt werden. Wir wollen dies nun durch eine Anzahl von Beispielen erläutern.

Die zu entwickelnde Funktion f {x) muß stets in 0<;v<2jr gegeben sein imd die Periode 2jr besitzen: f[x + 2ji) = f{x). Dann erhält man im allgemeinen die zugehörige Fourierreihe in der Form

cc

1 Uq + y {a„ cos nx-i-b,, sin nx) .

In besonderen Fällen aber können die sin- oder cos-Glieder auch fehlen. Ist nämlich f{x) eine gerade Funktion, ist also

f{-x) = f{:27t-x) = f{x)

(das Kurvenbild ist dann in bezug auf die Geraden x — kji (k — 0, + l, "2, . . .) symmetrisch), so ist

b„ = - - f f(x) s\nnxdx = ~- ( -\ f = 0 ,

wie man sofort erkennt, wenn man im zweiten der beiden Teilintegrale x durch —X ersetzt. Die Fourierreihe von f{x) reduziert sich dann also auf eine reine cos-Reihe. Ist andrerseits f{x) eine ungerade Funktion, ist also

f{-x) = f(:2^-x)=^-f{x)

1) Aber die Konvergenz findet nach Zusatz 2 auch schon statt, wenn f {x) sowohl links von x^ als auch rechts von at^ monoton verläuft; und die Summe der Reihe ist dann das arithmetische Mittel aus den (sicher vorhandenen) rechts- und linksseitigen Grenzwerten von f{x) bei x^:

5(^o) -H/'(^o + 0)+/'(a'o-0)],

wenn mit f{xQ-r^) «nd f{xQ-<d) die Grenzwerte von f{x) für x^x^t^ bzw. x^X(^ — 0 bezeichnet werden. Es ist also s{xq), kurz gesagt, gleich der Mitte des Sprunges von f{x) an der Stelle Xq.

-) Aber auch hier genügt es nach Zusatz 2 wieder, wenn die rechts- und linksseitigen Ableitungen einzeln vorhanden sind. Ja es genügt schon, wenn die in der vorigen Fußnote genannten Grenzwerte /"(a-q + O) und f{xQ — 0) existieren und nun die (einseitigen) Ableitungen

Ä^ + O ^ Ä^ + 0 ">

existieren. Auch dann konvergiert die Fourierreihe von f{x) in Xq und hat die in der vorigen Fußnote genannte Summe.

360 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

(das Kurvenbild ist dann in beziig auf die Punkte x = k.i (Ä = 0, + 1, + 2, . . .) sj-mmetrisch) so ist

1 r

f(x) coi II X dx = 0

wie man ebenso leicht erkennt, und die Fourierreihe von f{x) reduziert sich nun auf eine reine sin-Reihe.

Ist nun eine beliebige Funktion F {x) in a<x^b vorgelegt, so kann man sie demgemäß auf drei verschiedene Arten zur Entwicklung in eine trigonometrische Reihe zurechtmachen.

1. Art. Man schneidet aus dem Intervall a . . . b, falls seine Länge ^2jr ist, ein Stück a^x <Ccc'r27t von der Länge 2ji heraus, verschiebt den Null- punkt der Abszissen nach u vmd erhält so eine in 0<;v<2.t definierte Funktion f{x). Diese setze man durch die Bedingung f (x~-^ 2 ji) ^ f (x) perio- disch über die ganze ;\r-Achse fort^). Ist ö a<2jr, so setze man f{x) im Intervall b<x<Ca + 2ji konstant ^-^ F {b) und verfahre dann wie soeben 2).

2. Art. Man definiere genau wie eben mit Hilfe der gegebenen Funktion F{x) eine Funktion f{x) in O^x^ji (nicht 2jr), setze in jt^x£2ji nun /" W = /" (2 --T^ — '1') und definiere f{x) für alle übrigen x durch die Periodizitäts- bedingung.

3. Art. Man definiere f(x) in 0 < a; < .t wie eben, setze /'(jr)-^O, aber in ji<Cx^2.T jetzt f(x) ^ —f(2jt — x) und definiere dann f (x) für die übrigen X wieder durch die Periodizitätsbedingung.

Die auf diese 3 Arten aus der gegebenen Funktion F (x) hergestellten und nunmehr zur Erzeugung einer Foitrierreihe geeigneten Funktionen unter- scheiden wir als fi{x), f\{x) und f^{x) . Während f^{x) sicher eine reine cos- Reihe, f.^{x) sicher eine reine sin-Reihe liefert, wird f-y(x) in der Regel eine Fourierreihe der allgemeinen Form liefern (nämlich nur dann nicht, wenn fi{x) von vornherein schon gerade oder ungerade ausgefallen ist).

Da unsere Konvergenzregeln die Konvergenz nur in solchen Punkten x^ zu erkennen gestatten, für die

■ lim },[f(x,-^~2t)~rf(xo-^^] t->+o

existiert, so wird es ratsam sein, an den „Flickstellen" 2 äjt unserer drei Funktionen f(x) den Funktionswert noch dahin abzuänd*e?rn, daß man

f{0)'^-fCik^)--- lim -l[f{x)+f{2jt-x)]

setzt, falls dieser Grenzwert vorhanden ist. (Dies ist sicher bei f^{x) der Fall und liefert die neue Festsetzung fg (0) = /"g (2 A.t) = 0 ) . Ist er nicht vorhanden, so kommt es auf den Funktionswert f{2k:x) gar nicht an, da wir ja dann die ev. Konvergenz der Fourierreihe mit unsern Mitteln doch nicht erkennen können. — Aus einer entsprechenden Erwägung heraus hatten wir auch schon oben f^iji) 0 gesetzt. —

^) War & — a>>2.-r, so gelangt hierbei ein Stück der Kurve y = F {x) gar nicht zur Darstellung. Will man diesen Übelstand vermeiden, so ändere man einfach den Maßstab auf der a^- Achse so, daß das Definitionsintervall

von F (x) nun die Länge 2. t' bekommt, d. h. man ersetze x durch -— — x .

-) Oder man gebe wieder durch Maßstabsänderung dem Definitionsintervalle von F [x) die genaue Länge 2.t.

I

209. §50. Anwendung-en der Theorie der Fourierschen Reihen. 3(51

Wir gehen nunmehr zu konkreten Beispielen über. I.Beispiel. F{x)~a^O. Hier wird 209.

/"i (x) —f^{x) — a, während

{=^- 0 zu setzen ist für x = 0 und ji , - - a » " V ,, 0 < ;ir < jr ,

= ~ a n » » 5, ji <ix <C2ji .

Für alle drei Funktionen sind ersichtlich die Dirichletschen Bedingungen in jedem Punkte (einschließlich der Flickstellen) erfüllt. Die erhaltenen Entwick- lungen müssen daher überall konvergieren und die Funktionen darstellen. Für f^{x) und f„{x) werden aber diese Entwicklungen trivial, weil sie sich auf das konstante Glied i a„ = a reduzieren. Für /g (x) dagegen erhält man

bn=-- j fs{^)sinnxdx^-~ f sinnxdx—^ f smnxdx = ~^ tsinnxdx

=^ 0 für gerade n ,

4a , ^ für ungerade n .

Die Entwicklung lautet also

/. / X 4a \ . sin 3;»r sin hx

A (") = — L^'" ^ + -3 - + —5— + .

oder

, sin 3 £c sin 5 oc

7C .

-=+7^ In 0<a?<;r,

- 0 in 0 und n ,

= _ in ;r < a? < 2 ;r

Damit ist das zweite der S. 338/9 gegebenen Beispiele vollständig begründet und die Summe dieser merkwürdigen Reihe, deren Konvergenz uns nichts neues

ist (s. 185, 5), ermittelt!). Für ^ ^ f^ y » o ^efert sie die folgenden

speziellen Reihen, von denen uns die erste schon aus einem ganz andern Zu- sammenhange heraus bekannt ist (s. 122):

i-l+4-i+

71

3'5 7' •" ~4'

1,1 1 1,1,1

7t

5 7 11 ' 13 ' 17 ^^ "3

5 "^7 11^13 +•

71

1) Dieses und die folgenden Beispiele finden sich meist schon bei Euler. Viele andere sind von Foiirier, Legendre, Cauchy, Frullani, Dirichlet u. a. ge- geben worden. Man findet sie bequem zusammengestellt bei H. Burkhardt, Trigonometrische Reihen und Integrale, Enzyklopädie d. math. Wiss., Bd. IIA S. 902—920.

362

XL Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

/;

HZ

2. Beispiel. F{x) ax. Hier ist

ax in 0-<;v-C2;t, TT in 0 und 2 ti .

''^^^\--a(:2:r-x)\n .t<A'<2.t,

{:- ax in 0 -:^ AT << ^T , --0 in 0 und jr , ^ — a (2 TT — Ar) in jt •< at << 2 -t

Nach leichten Rechnungen liefert die Entwicklung- von f^

210. (a) sin:.+ ^^'^"+^"^"-^^"/ "-...,

[ =^^ "" *''' in 0 < ;:c < 2 ;r

in 0 und 2 ;r ,

wodurch insbesondere das erste Beispiel von S. 338/9 vollständig begründet ist. Und ganz ähnlich liefert die Entwicklung von /"g

(b) sin X

sin 2 a? sin 3 a? sin4a7

Dagegen liefert uns /!_, {x) die Entwicklung

(c)

cos oc cos 3 05 cos 5 x

1-

5-

8 4

7T.r 3v-r- "4" ^ 8

0^ in 0 < .r : ti ,

in yT , oc~ TT in ;r a; < 2 ;r i)

in 0<x<7t,

in yT < AT < 2 yT .

Die erste dieser Entwicklungen liefert für x ' wieder die bekannte Reihe für — , die letzte für x 0 die uns gleichfalls schon bekannte Reihe (137)

1

1 11

8'

3-2 52 '72 aus der man sofort die früher (136) auf ganz anderem Wege bewiesene Gleichung

1 1 1 :t-

1 + 2. +3. +,.+•••=- -6-

herleitet. — Der Vergleich beider Ergebnisse zeigt, daß in 0 < a; ^ jr die Funktion x die beiden FoMncrentwicklungen gestattet

211.

-f

sin 2 X sin 3 AT

+

3

71 4 r cos X cos 3 X cos 5 x

¥-■^1 1^ +"1F'~ "^ 5--'

••J

ein besonders merkwürdiges Resultat.

1) Oder

!x .

- in ~ jt 2

= 0 in -f .T

<a:<^

!S13. § 50. Anwendungen der Theorie der Fourierschen Reihen. 363

Um in die Bedeutung dieser Ergebnisse noch besser einzudringen, tut man gut, sich die Bilder der Funktionen f{x) und einiger zugehöriger Approxi- mationskurven zu skizzieren. Wir müssen das dem Leser überlassen und machen nur auf die folgende Erscheinung aufmerksam:

Die Konvergenz der Reihe 210 c ist eine für alle x gleichmäßige, nicht so dagegen bei den Reihen 210 a und b, da ja deren Summen bei 0 bzw. ti un- stetig sind. Bei jener schmiegen sich also die Approximationskurven in ihrer ganzen Ausdehnung an die durch die Grenzkurve gelieferte Zickzacklinie an, während das entsprechende bei (a) und (b) nicht der Fall ist und nicht der Fall sein kann. (Vgl, hierzu 216, 4.)

3. Beispiel. F{x)^- cosax {a beliebig, doch =f- 0, + 1, + 2, . . .) i) . a) Wir wollen hier zunächst die Funktion f^{x) bilden und setzen dem- gemäß

,, , , i ^^ cos ux in 0 <x <jt t \X) ■\ —

^ ^ ^ \ = cos a (2 :i — x) in jt < at < 2 .t ,

so daß wir eine durchweg stetige Funktion erhalten, die nach der Dirichlet- schen Regel dann auch eine durchweg konvergente Fourierreihe erzeugen wird, welche die gewählte Funktion darstellt und eine reine cos-Reihe sein muß. Hier ist

jt a„ =- 2 j cos ax cos nx dx ^ j [cos {a-^n) x -\- cos {u — n) x] dx , 0 6

also, da a keine ganze Zahl sein sollte:

2 u sin a tc

i-r

a" — n-

Daher wird in 0-^x^2ji die Funktion fl (x) , oder also in —ji^x<-r:t die Funktion cosfi^^r durch die Reihe dargestellt:

sin oiTt

cosax

7t

1 2a 2 a

s ä cos a" ^ -^ ~ cos 2 a? — f

212.

Für X ^'-^ 31 bekommen wir hieraus die früher aus ganz anderen Quellen her- geleitete Entwicklung 117

cos, ujT 1 2 a 2 a

% ctg aji

sin an a oc" — P c^^ — 2'^

Damit sind wir in den Kreis der Entwicklungen des § 24 getreten. Natürlich

kann man auch die andern dort hergeleiteten Reihendarstellungen aus unsern

neuen Quellen direkt gewinnen. So liefert z. B. 212 für ;i; 0 die Entwicklung

7t. 1 2 a 2 a 2 a

sin an a a" — \" ar — 2" a^ — 3'^ • • • '

und wenn man hiervon die vorangehende ctg -Entwicklung abzieht, so er- hält man

1 — cos an an 4 a 4 a 4 a

sin an 2 a"^ — ]-' a^ — 6'^ a'^ — 5- ' ' " '

usw.

b) Machen wir uns ebenso aus F{x)r-cos,ax eine ungerade Funktion /g [x) zurecht, so ist

{= cos a X in 0 < at < .t , = 0 in 0 und n, r-: — COS a{2 n — x) in jr < at < 2 tt

^) Weil sonst die cos-Entwicklung trivial wäre.

364 ^I- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

zu setzen. Und hier darf a auch eine ganze Zahl sein, ohne daß wir ein triviales Resultat erhielten. Die Koeffizienten &„ erhält man durch leicht aus- zurechnende Integrale und mit ihnen schließlich die in 0 < x <^ji gültigen Entwicklungen :

213. a) für ^4=0, -1, --2, ...

1 + cos a .^ r 2 . , 6 . o , 10 . ^ , 1 cos ax = i sm x + ^r^; sm S x + — ^ sm 5 at + . . .

Jl Li—«-' ö" — «" b" — Ci'' J

1 — cos a 7t r 4

sin 2 X -f- — ., sin 4 ;v +

7t 12" -«2 42 -ß-

ß) für (X ^ -^ p ^--- ganze Zahl

cos px

— 7 sin X 4- ^rz ^ sin d x 4- . . .\ , falls p eerade ist,

% V\-p- ?>"-p^ J ' ^ ^

4 r 2 4 1

^ 1 -— ^ sin 2 A' + -^ „ sin 4 at + . . . , falls /? ungerade ist.

TT L2"-' — /j- 4^ — /?" J

Aus allen diesen Reihen kann man durch Spezialisierung von a und x ungezählte numerische Reihen herleiten.

4. Die Behandlung der Funktion jP(a?) = sin a JC führt zu ganz ähnlichen Entwicklungen.

5. Wird die Funktion F(;<;) :^ — log (2 sin — j für die cos-Entwicklung zu- rechtgemacht, so findet man die in 0 < ;tr < jt gültige Darstellung

, COS 2a? , COS So? , , /„ , i»

214. coso^ + — 2— + —3— + . . - log (^2 sin -

Hier muß jedoch durch eine besondere Untersuchung gezeigt werden, daß das Ergebnis gültig ist, obwohl die Funktion in der Umgebung der Punkte 0 und 2 7t nicht beschränkt ist.

6. Beispiel. F (at) = /'^ + e~"*, a =[= 0 , soll in eine cos-Reihe entwickelt werden. Es ist also zu setzen

^ ^ ( F{x) in 0<x<7t

F (^ 7t — x) in 7f^x-^2 7t.

Nach Ausrechnung der sehr einfachen Integrale für die Koeffizienten a„ erhält man, gültig in —Tf^x'^-^-Tt,

215. o "= o 5 5 cos dc + -^ .^ cos 2 a? - + . . . .

Setzt man hierin z. B. a; ^ jt und ersetzt dann 2a% einfacher durch t, so er- gibt sich nach einfachen Umformungen — gültig für alle ^ =j= 0 —

1 1 1

t 2

X 1

also eine „Partialbruch-Entwicklung" jener merkwürdigen Funktion, für die wir in § 24, 4 schon die Potenzreihenentwicklung gewonnen hatten.

Verschiedene Bemerkungen.

Gerade die Tatsache, daß die trigonometrischen Reihen außerordentlich umfangreiche Klassen von Funktionen darzustellen vermögen, macht die Frage nach den Grenzen dieser Leistungsfähigkeit doppelt interessant. Wie schon

216.

§ 50. Anwendungen der Theorie der Fourierschen Reihen.

365

betont, kennt man die notwendigen und hinreichenden Bedingungen nicht, der eine Funktion genügen muß, wenn sie durch ihre Fourierre'ihe soll dargestellt werden können. Man ist vielmehr gezwungen, hierin eine wesentlich neue Grundeigenschaft der Funktionen zu sehen, denn alle Versuche, sie direkt aus den andern Grundeigenschaften der Funktionen (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit usw.) aufzubauen, sind bisher gescheitert. Wir müssen es uns versagen, dies im einzelnen durch Ausführung entsprechender Beispiele zu be- legen, möchten aber doch einige der hierhergehörigen Tatsachen kurz zur Sprache bringen.

1. Eine Vermutung, die man ganz naturgemäß zuerst haben wird, ist die, 216. daß alle stetigen Funktionen durch ihre Fourierreihe dargestellt werden können. Dem ist nicht so, wie zuerst du Bois-Reymond an einem Beispiel gezeigt hat (Gott. Nachr. 1873, S. 571).

O jrZJT f5 m

Jü	2jT	3Jc	VJü 5jr	6Jt 7Jl
10	9	10	9 70	9 10

8X9JI 9 10

JZ

Fig. 9.

2. Daß andrerseits zur Stetigkeit die Differenzierkeit nicht hinzuzukommen braucht, zeigt das Weierstraßsche.^) Beispiel der gleichmäßig konvergenten trigonometrischen Reihe

^a'* cos &" TCx 1=1

(0 < a < 1 , ö > 0 ganz, a6 > 1 - ;] n) ,

die also die Fouri er ve'ihe. ihrer Summe ist (s. 200, 1 a), welche eine stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion darstellt.

3. Ob es stetige Funktionen gibt, deren Fourierreihe überall divergiert, ist zurzeit noch unbekannt.

4. Besonders bemerkenswert ist eine Erscheinung , die nach ihrem Ent- decker als Gibbssche Erscheinung bezeichnet wird-) und bei der Reihe 210a zuerst festgestellt worden ist: Die Approximationskurven Sn{x) schießen in der Nähe von x~Q sozusagen über das Ziel. Genauer: Bezeichnet man die Ab-

1) Abhandlungen zur Funktionenlehre, Werke Bd. 2, S. 223. (Zuerst be- kannt geworden 1875.)

2) /. W. Gibbs in: Nature, Bd. 59 (London 1898/99), S. 606. — Vgl. auch T. H. Gronwall, Über die Gibbssche Erscheinung, Math. Annalen, Bd. 72 (1912),

S. 228.

366 XI- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

szisse des größten Maximums der Kurve y 5«(^), das zwischen 0 und rt liegt ^), mit ^,^ und seine Ordinate mit rj^j so strebt ^„->0, aber rj^ nicht, wie man es

erwarten sollte, ->-^, sondern gegen einen Wert g, der =—1,089490... ist.

Das Grenzgebilde, das die Kurven 5„ (x) approximieren, enthält also außer der Funktion 210 a noch eine Strecke der Ordinatenachse zwischen den Punkten mit den Ordinaten ~ g, die um fast 9^/^ länger ist als der Sprung der Funktion. In Fig. 9 ist die nie Aproximationskurve für w = 9 im Intervall 0 . . . jr ausge- zeichnet und für ;/ 44 in ihrem Anfangsteil dargestellt.

§ 51. Produkte mit veränderlichen Gliedern.

Liegt ein Produkt der Form

n=l

vor, dessen Glieder Funktionen von x sind, so werden wir ganz ent- sprechend wie bei Reihen ein Intervall / als ein Konvergenzintervall des Produktes bezeichnen, wenn für alle Punkte x desselben nicht nur sämtliche Funktionen (^{x) definiert sind, sondern zugleich auch das Produkt selber konvergent ist. So sind z. B. die Produkte

i(>^::)'i(-3.j('-K-i)«:-),i(i-i-„^),...

für jedes reelle x konvergent (s. 127, Satz 7) , und dasselbe gilt von jedem Produkt der Form 77(l-f a„Ar), wenn 2'a„ entweder eine absolut konvergente oder eine solche nur bedingt konvergente Reihe ist, bei der 2'a,j- absolut kon- vergiert (127, Satz 9).

Für jedes x aus / hat dann das Produkt einen ganz bestimmten Wert und es definiert dort also eine wohlbestimmte Funktion F(x). Wir sagen wieder: das Produkt stelle in J die Funktion F[x) dar, oder F(x) sei dort in das Produkt entwickelt. Und die Hauptfrage ist wie damals: inwieweit übertragen sich die wesentlichen Eigenschaften [Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw.) der Glieder f^^{x) auf die dargestellte Funktion F(x). Auch hier wird die Antwort lauten, daß dies in weitestgehendem Maße der Fall ist, solange die auftretenden Produkte gleichmäßig konvergieren.

Wie die Gleichmäßigkeit der Konvergenz bei Produkten zu defi- nieren ist, ist ja im Anschluß an die entsprechende Definition bei Reihen fast selbstverständlich, da es sich ja in beiden Fällen im wesentlichen um Funktionenfolgen handelt (vgl. 190, 4). Doch wollen

7t 3 TT 5 TT .

1) Die dortigen Maxima liegen bei a' = — r-—- , — :— r , — r— r, • • -, i^md

2it 4jt das erste von ihnen ist das größte. Die Minima liegen bei x =^ -, — ,

218. § 51. Produkte mit veränderlichen Gliedern. ^ 367

wir die der damaligen 2. Form der Definition (191, 4) entsprechende hierher setzen:

Definition. Das Produkt //( l -f- ^ (a;) ) heißt in einem Intervall J 'ZU . gleichmäßig konvergent, wenn nach Wahl von e > 0 sich eine Zahl N so wählen läßt, daß nun für alle n > N, alle k'^l und alle X aus J stets

! (1 + 4+1 W)(i + 4+.{^)) ... (1 + fn^ui^)) - 1 ! < ^

bleibt^).

Auf der Grundlage dieser Definition ist es nicht schwer zu zeigen, daß mutatis mutandis die Sätze des § 47 auch für unendHche Pro- dukte gelten^). Wir wollen die Ausführung der Einzelheiten hiervon indessen dem Leser überlassen und nur einige etwas weniger weit- gehende Sätze beweisen, die aber für alle unsere Anwendungen voll- kommen ausreichen werden und den Vorteil bieten, uns zugleich Kriterien für die Gleichmäßigkeit der Konvergenz eines Produktes zu liefern. Es gilt da zunächst der

Satz 1. Das Produkt 11(1 -{- f^^{x)) konvergiert gleichmäßig in J 218, und stellt einß dort stetige Funktion dar, wenn die Funktionen f^{x) in J sämtlich stetig sind und dort die Reihe 2 \ f\^ (x) | gleichmäßig konvergiert.

Beweis. Wenn 2\f^^[x)\ in / konvergiert, so ist nach 127, Satz 7 dasselbe mit dem Produkt n{l-^f^^{x)) der Fall; es kon- vergiert dort sogar absolut. Die dargestellte Funktion heiße F[x). Nun wählen wir m so groß, daß für alle x aus J und alle k^l stets

i4+iWl + i/«^+.W| + .-. + JL+,WI<i

bleibt — was nach Voraussetzung möglich ist — , und betrachten das Produkt

« = ?«+!

^) Diese Definition schlieJSt die der Konvergenz mit ein. Setzt man die letztere voraus, so kann man vom „Rest" r^ {x) = (l + /"»+! {x)) (1 +fn+2{x)) . . . des Produktes sprechen und definieren : 77 (1 — /„ (x)) soll in / gleichmäßig konvergent heißen, wenn für jede aus / entnommene, sonst ganz beliebige Punktfolge (at,,) stets Vn (at«) > 1 strebt.

•^) Setzt man JT (1 f f^ {x)) - P,„ {x) und JJ (1 + f,, W) = Fm (^), so er- v = l v = m + l

gibt sich z. B. die Stetigkeit von F {x) in Xq ganz leicht aus der Gleichung

F{x)-F (x,) ^. P^ {x) . F„, (x) - P„, (x,) F,„ (x,)

- [P>n (x) - P,« (x,)] F„, (x) r [F„, (x) - F„, (x,)] P^ {x,)

368 X^- Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

dessen Teilprodukte wir mit p^{x), u :> m, bezeichnen. Die durch dasselbe dargestellte Funktion heiße F^{x). Nun ist aber (vgl. 190, 4)

Fm = Pm+l + (Pm+2 " Pm+l) + " ' + (Pn ~ P n-l) + • • •

^^ Pm+l "I Pm+\ ' fm+2 i Pm+2 ' 'm+S ~T • ' • ~r Pn-i ' ' n "T * * * '

d. h. -F,„(x) läßt sich auch — was ja nach § 30 selbstverständlich ist — , durch eine unendliche Reihe darstellen. Diese ist aber in J gleichmäßig konvergent. Denn für n > m ist erstlich

>„|^(l+!/-„,J)-(l + !/-„+,|)...(l + |f„|)<.'»'^'-^ ''"'+^'+-<.<3. und andrerseits

■ ll4WI

nach Voraussetzung in / gleichmäßig konvergent. Also strebt die Folge der Funktionen p^^{x) gleichmäßig in / gegen F^^^, so daß damit das Produkt U {l -{- f^^ix)) als gleichmäßig konvergent er-

n = m + l

kannt ist, — eine Eigenschaft, die durch das Davortreten der ersten m Faktoren nun nicht mehr gestört wird.

Nach 193 aber muß nun F^(x) eine in / stetige Funktion sein, da ja die GHeder der sie darstellenden Reihe dort sämdich stetig sind. Dasselbe gilt dann auch von der Funktion

F(x) = (! + /■.(;.))... (1 + /■„, (X) ) F,„ (x) , w. z. b. w.

Ganz ähnlich beweist man den

Satz 2. Sind die Funktionen f^{x) sämtlich in J differenzierbar und ist dort aiiß3r der Reihe 2:\f^^{x)\ auch noch die Reihe 2'|/,/(a;)| gleichmäßig konvergent, so ist dort auch F(x) differenzierhar; und für die Ableitung hat man in jedem Punkte x aus /, in dem F(a;)=|=0 ist, die Reihen dar Stellung

P\^) ^ fn\

Beweis. Man kann den Beweis ganz analog führen, wie den des vorigen Satzes; doch wollen wir hier, um auch andre Angriffs-

^) Ist g{x) in einem speziellen Punkte x differenzierbar und dort gix) 4=0, so nennt man den Quotienten ^ -^- die logarithmische Ableitung von g {x) , weil

d

er = -- log j g{x) ; ist. Ist g{x) ^ g-i^{x)-gc,{x) gui^) > so ist bekanntlich

falls die g^{x) sämtlich in dem betreffenden Punkte x differenzierbar sind.

219, § 51. Produkte mit veränderlichen Gliedern. 369

methoden kennenzulernen, den Beweis mit Hilfe der log- Funktion führen. Wir wählen dazu m jetzt so, daß für alle x aus /

und also speziell für alle n > m

l4WI<i

bleibt. Dann ist dort nach 127, Satz 8 auch die Reihe

absolut konvergent. Die daraus durch ghedweise Differentiation ge- wonnene Reihe

ist dort sogar gleichmäßig (und absolut) konvergent. Denn weil I /"n W I < I i^t, bleibt I 1 + f^^{x) I > l und also j YJ^jr^^-^ | < 2, so daß die Gleichmäßigkeit der Konvergenz von 2J\fJ[x)' diejenige der letzten Reihe nach sich zieht. Also ist (nach 196)

wenn wie vorhin ]J (l + f^^(%)) = F^^ und also 2^ log(l -f /'„(^))

= \ogF^(x) gesetzt wird. Da endlich

Fix) = (1 + f, ix)) . . . (1 + fjx)) ■ F„Xx) ist und der letzte Faktor rechterhand sich in / nun als dift'erenzierbar erwiesen hat, so ist dort auch F [x) differenzierbar. Ist überdies F(^x)=^0, so ergibt sich aus der letzten Gleichung nach der in der vorigen Fußnote genannten Differentiationsregel sofort die Behauptung.

Anwendung-en. !S19

1. Das Produkt

n = l ^ " '^

ist in jedem beschränkten Intervall gleichmäßig konvergent, weil

• \ --^ AT - • V — ^

n- \ ' — n-

eine dort ersichtlich gleichmäßig konvergente Reihe ist. Es definiert also eine durchweg stetige Funktion F (x) . Diese ist aber auch differenzierbar^

denn auch ^ \ fn (x) '\ = 2\x\ ^— y ist in jedem beschränkten Intervall gleich- mäßig konvergent. Also ist für alle x^O, +1, -2, ...

F'{x) 1 , V 2x

F [x) X M=l x^ — w- Nach 117 bedeutet dies aber, daß

F'(x) (sin^x)'

-— -^ = JT Ctg .-IX = -^-. ^-

F[x) siriTCX

Knopp, Unendliche Reihen. 24

370 XI. Kap. Reihen mit veränderlichen Gliedern.

ist. Aus

~F\~~F~ fTf^ "

folgt aber, daß auch

d (F,

= 0 oder also F,^c-F, dx \ F J

d. h. hier

CO / 2 ■

sin-nx — c-x- j[[\ ~ ^

ist, wenn unter c eine passende Konstante verstanden wird. Diese bestimmt sich nun einfach dadurch, daß man die letzte Gleichung durch x dividiert und x-^0 rücken läßt. Dann strebt die linke Seite, wie die Potenzreihe für die sin-Funktion lehrt, ->7r, die rechte aber ->c, weil das Produkt an der Stelle ;f = 0 stetig ist. Also ist c = % und

nJl ^ n2j

2. Für cos7r;k^ findet man nun ohne neue Rechnung

sin 2 TT ;^ 2^^-//(l--7^^,) ^f 4ä?2

COS JTX : - -—. ^- —. „ .- ^"^ i/ 1 1 ö

3. Das sin -Produkt liefert für spezielle x wichtige numerische Produkte.

Z. B. für x^-^
■ -f-^(>-^)	7t -ß-f{2n-\){2n-\-\Y 2 n = A 2m • 2.11 /
oder also
7t 2.2-	4-4-6-6-8-8 ...
2 1-3 •	3 • 5 . 5 • 7 • 7 • 9 . . .
(Wallissches Frodukt)^)
Da hiernach auch
,-.(t)"(I)-	*■■ \2k- \I 2Ä+''i 2
ist, oder also
2 4 6 1 ■ 3 ■ 5 ' ■■	2A 1 /-
strebt, so erhalten wir zugleich die	merkwürdige Beziehung
(-ir( \	n / \i7tn
für den Koeffizienten von x'^ in der	• Entwicklung von — , -r-
	Vi-;.

1) Dies Produkt, die gleich nachher in 2. und 4. besprochenen, ferner das merkwürdige Produkt 257 und viele andere grundlegende Produktdarstellungen rühren von Euler her.

2) Arithmetica infinitorum, Oxford 1656. (V'gl. S. 212, Fußn.)

219. Aufg-aben zum XL Kapitel. 371

4. Die Folge der Funktionen

(s. 128, 4) vertritt nicht unmittelbar ein unendliches Produkt der Form 71(1 +/■« (x)), zumal //-fl +-^j nach 125, Satz 3 u. 4 divergiert. Aber nach 127, Satz 10 geschieht diese Divergenz in der Weise, daß

'-f)(>-^l)-(^-v)-^'('^^^-^"'

ist. Wegen 128, 2 bedeutet dies gerade, daß

w

(^)

für w ^ Oü einem wohlbestimmten endlichen und von 0 verschiedenen Grenzwert zustrebt; — letzteres natürlich nur, falls x =^ 0, ~l, —2, Hiernach ist auch

lim .^ = r(x)

für jedes ;i;=|=0,— 1,-2, ... eine wohlbestimmte Zahl. Man nennt die hier- durch definierte Funktion von x die Gammafunktion. Sie ist von Euler (s. o.) in die Analysis eingeführt und gehört neben den elementaren Funktionen zu den wichtigsten. Die Untersuchung ihrer weiteren Eigenschaften liegt jedoch außerhalb des Rahmens dieses Buches. (Vgl. indessen noch S. 423/24.)

Aufgaben zum XL Kapitel.

I. Beliebige Reihen mit veränderlichen Gliedern.

154. Es bedeute {nx) die Differenz zwischen rix und der zunächst bei nx gelegenen ganzen Zahl, aber stets den Wert + i- , wenn nx gerade in der

Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen liegt. Dann ist die Reihe V ^^^' für

^^ n^

alle X gleichmäßig konvergent. Die dargestellte Funktion aber für x =^ -^-— i , (p, q ganze Zahlen), unstetig, für irrationale x stetig.

155. Wenn a„->0 strebt, so konvergiert

^ / sin w AT \ 2 y.a„-x

^- \ nx )

gleichmäßig für alle x. Ist dies auch noch für an~l der Fall?

156. Die Produkte

-) 77(i + (-ir^)> b) 7Z"-os^,

c) ir(l+s-^-^-)> d) 77-(l + (-l)^sin-^'

konvergieren gleichmäßig in jedem beschränkten Intervall.

157. Die Reihe, deren Teilsvmimen die Werte 5;, {x) = ~ haben, kon-

i. -\- X vergiert für jedes x. Ist die Konvergenz in jedem Intervall eine gleichmäßige? Man zeichne die Approximationskurven.

24*

372 Aufgaben zum XI. Kapitel.

158. Eine Reihe Ifjx) von stetigen /jjst/iüew Funktionen ist sicher gleich- mäßig konvergent, wenn sie eine stetige Funktion F {x) darstellt. (Vgl. S. 332.)

159. Ist y in jedem Intervall gleichmäßig konvergent? Ist

die dargestellte Funktion stetig?

160. Beim Beweise von 111 lag eine Situation folgender Art vor: In einem Ausdruck der Form

F {n) = «0 (w) + a^ (w) + . . . + a^ (w) + . • • + a^^ {n)

strebt für jedes feste k das Glied au{n) mit wachsendem n gegen einen Grenz- wert ccfc. Gleichzeitig nimmt die Anzahl dieser Glieder zu: pn^OO. Darf dann geschlossen werden, daß

cc

lim F (n) = 2j <^fc n->-QO Ä=0

ist, falls die rechtsstehende Reihe konvergiert? Man zeige, daß dies sicher erlaubt ist, falls für jedes k und alle n

konvergiert. Man formuliere den entsprechenden Satz für unendliche Pro-

^uJ5te_ (Vgl. hierzu Aufg. 15, wo solche gliedweisen Grenzübergänge nicht

erlaubt waren.)

161. Die beiden Reihen

x^ X* x^ x'^ x^

x^ x^ , x'^ , X' .r* , ,

sind beide für 0 :^ a; < 1 konvergent und haben für x — + 1 dieselbe Summe -?^log2. Wie verhaltend sie sich für ;v^ 1 —0. — Wie liegt es für Ar^-f-1 +0 bei den beiden für x^l konvergenten Reihen

162. Die Reihe V ^ 7-77- ist in 0<;\r<l konvergent.

"*^* _iLm 2w— 1 2n J .,— —

Welche Summe hat sie? Ist die Konvergenz eine gleichmäßige?

163. Man zeige, daß für a' -> 1 + 0

a) lim{l-x)2]-^^^\,

ist.

b) lin,riJj-j4^1^^C (s. 17«, 1) 164. Man zeige, daß für a^ -> 1 — 0

a)	00 n = l	(_l)«-x n	X"	1 ■'2	log 2
l+x"
b)	(1-	n-l	•l)"-^i	x"	1 -^2	log 2
c)	(1-	00	-1)«-^-	nx"	_>. _	1 4

n=l Strebt.

219. Aufgaben zum XI. Kapitel. 373

165. Die Reihe, deren Teilsummen s„ (x) = ^— sind, gestattet über

ein Intervall, das in 0 endet, keifie gliedweise Integration. Man zeichne die Approximationskurven.

II. Fourierreihen.

166» Darf man von der Reihe 210 a durch gliedweise Integration zu den folgenden übergehen:

In welchem Intervall sind diese Gleichungen gültig?

167. Man leite ebenso aus 210 c die Gleichungen

. * sin (2n~l)x jix , .

^cos(2w — l)Ar jt f ji \, ^ ^ „,

") £-jk^ = 48 (t - ^) (-■' + 2 — 2 .^) .

Was würden die nächsten Integrationen ergeben? In welchen Intervallen gelten diese Darstellungen?

168. Man leite aus 209, 210 und den in den vorigen Aufgaben ge- gebenen Gleichungen noch die folgenden her und bestimme die genauen Gültigkeitsintervalle :

cos Bat cos5;t^ , jt

a) cos X h — -g + • • . = ± -^ ,

cos3;*r cos 5;ir jt f ji^

b) oos^ ^-- + -Ei + --- = yU

sin3;ir sinS^r orx f Ji^

e) sm. 3— + ^, + ----t[-T

usw. 169« Man leite aus 215 neue Darstellungen her, indem man x durch Jt — X ersetzt oder gliedweis differenziert. Ist diese letztere Operation erlaubt? Wie lauten die neuen Reihen?

170. Wie lautet die sin-Reihe, wie die cos -Reihe für e**? Wie lautet die vollständige Fown'ßf entwicklung für e^'^^? Man zeige, daß die letztere die Form

^ «0 -j- &i sin X — a^ cos 2x — b^sinSx -\- a^ cos 4 ;v + ög sin 5 Ar -f . . . hat mit positiven ay und bv

171, Sind X und y positiv aber <<jr, so ist

/ Jl X

^ sin nx cos ny

2 2 ' ^^^^^ ^>y^

-- — — , falls X = y ,

— Y ' f^iis X <cy .

374 XII- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

172« Man berechne die Integrale

iL . ^ .

'2 sm^r , c sin AT

/2 sm AT , , /- sin AT — d;*r und a:

X ix

„ „ 'X .

V J X

(Das erste ist =1,37498..., das zweite -1,8519... .) 173» Für alle x und alle n ist

i . sin 2 AT sin «AT ! ^ ^^sin^r

sin ;^f H h • • • H < ■ dx ,

1 2 " ! 5 ^

und die rechtsstehende Schranke kann dabei durch keine kleinere ersetzt werden. (Vgl. die vorige Aufgabe.)

(Weitere Aufgaben über spezielle Fourierreihen findet man noch beim nächsten Kapitel.)

XII. Kapitel.

Reihen mit komplexen Gliedern. § 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen.

Nachdem wir im 1. Kapitel alle für den Aufbau des Systems der reellen Zahlen wesentlichen Begriffsbildungen eingehend besprochen haben, bietet die Einführung weiterer Zahlenarten keine prinzipiellen Schwierigkeiten mehr. Und da die (gewöhnlichen) komplexen Zahlen und das Rechnen mit ihnen dem Leser bekannt sind, so können wir uns hier mit der kurzen Erwähnung einiger Hauptsachen begnügen.

22>0, 1. In § 4 hatten wir bewiesen, daß das System der reellen Zahlen keiner

Erweiterung mehr fähig und überdies das einzige System von Zeichen sei, welches den an ein Zahlensystem von uns gestellten Forderungen genügt. Nun liegt in dem System der komplexen Zahlen trotzdem ein solches System von Zeichen vor, das als ein Zahlensystem angesprochen wird. Der Wider- spruch, der hierin zu liegen scheint, ist leicht behoben. Denn die Charakteri- sierung des Zahlbegriffes war, wie wir schon auf S. 31, Fußn. 2, betonten, eine in gewissem Sinne willkürliche : Wir hatten eine Reihe von Eigenschaften, die uns an den rationalen Zahlen wesentlich erschienen wareh, zum Range charakte- ristischer Eigenschaften von Zahlen überhaupt erhoben, und der Erfolg gab uns insofern Recht, als wir wirklich ein — und im wesentlichen nur ein — System schaffen konnten, welches alle diese Eigenschaften besaß.

Will man also noch anderen Systemen den Charakter eines Zahlsystems zusprechen, so muß man hiernach notwendig- die Liste der in 4, 1 — 4 von uns aufgestellten charakteristischen Eigenschalten verkleinern. Da entsteht dann aber die Frage, welche dieser Eigenschaften wir am ersten fallen lassen könnten, welche also bei einem System von Zeichen allenfalls fehlen dürfte, ohne daß man diesem deswegen schon den Charakter eines Zahlensystems absprechen müßte.

2. Unter den Eigenschaften 4 eines Systems von Zeichen wird man am ersten auf die Anordnungs- und Monotoniegesetze verzichten können, ohne befürchten zu müssen, daß es dadurch den Charakter eines Zahlensystems durchaus verliert. Diese haben nach 4, 1 ihre Quelle darin, daß von zwei verschiedenen Zahlen des Systems die eine stets kleiner als die andere, diese größer als jene, genannt werden kann. Läßt man diese Unterscheidung fallen.

220. §52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen. 375

ersetzt vielmehr in 4 die Zeichen < und > sinngemäß beide durch =|=, so zeigt sich, daß den so geänderten Bedingungen 4 noch ein anderes, allgemeineres System von Zeichen, nämlich das System der gewöhnlichen komplexen Zahlen^ genügt, daß ihnen aber kein anderes von jenem wesentlich verschiedenes System von Zeichen auch noch zu genügen vermöchte.

3. Demgemäß ist das Sj^stem der (gewöhnlichen) komplexen Zahlen ein System von Zeichen — die man bekanntlich in der Form x-\-yi annehmen kann, wenn hierin x und y reelle Zahlen sind und i ein Zeichen ist, dessen Handhabung durch die eine Festsetzung i- - — 1 geregelt ist — , für deren Ge- brauch die Grundgesetze der Arithmetik 2 ausnahmslos in Gültigkeit bleiben, wenn in ihnen die Zeichen < und > sinngemäß durch =j= ersetzt werden. Man sagt darum kurz: Mit den komplexen Zahlen kann (von der eben ge- nannten Einschränkung abgesehen) formal ebenso gerechnet werden, wie mit den reellen Zahlen.

4. Die komplexen Zahlen können in bekannter Weise (vgl. S. 7) den Funkten einer Ebene umkehrbar eindeutig zugeordnet und so durch sie ver- anschaulicht werden: Der komplexen Zahl x-ryi ordnet man den Punkt {x , y) einer ^ry- Ebene zu. Jede Rechnung läßt sich dann geometrisch verfolgen. Statt AT-fyi durch den Punkt {x ^ y) darzustellen, ist es oft vorteilhafter, sie durch eine gerichtete Strecke (den Vektor) zu veranschaulichen, die mit der von (0, 0) nach [x ^ y) führenden Strecke gleichgerichtet und gleichlang ist.

5. Komplexe Zahlen bezeichnen wir weiterhin durch einen einzigen Buch- staben: z, ^, a, &, ...; und diese sollen, wenn das Gegenteil nicht ausdrücklich gesagt ist oder aus dem Zusammenhang unzweideutig hervorgeht, weiterhin stets komplexe Zahlen bedeuten dürfen.

6. Unter dem absoluten Betrag j^j der komplexen Zahl z = x-\-yi versteht man den nicht-negativen, reellen Wert ^x'^-^y'^^ unter ihrem Arcus (arc ^) einen

derjenigen Winkel 99, für die gleichzeitig cos <^ = — - und sin ^ = -^ ist. Für

das Rechnen mit den absoluten Beträgen gelten ungeändert die Regeln 3, II, 1 — 4, während die 5. ihre Bedeutung verliert.

Da man hiernach mit den komplexen Zahlen im großen und ganzen genau so operieren kann wie mit den reellen Zahlen, so wird auch der überwiegende Teil aller bisherigen Entwicklungen sich in ganz analoger Weise im Bereich der komplexen Zahlen durchführen bzw. auf ihn übertragen lassen. Nur diejenigen Betrachtungen, bei denen die Zahlen selbst (nicht bloß ihre absoluten Beträge) durch < oder : > verbunden wurden, nur diese werden ausfallen oder sinngemäß geändert werden müssen.

Um uns trotz dieses parallelen Verlaufs nicht zu Wiederholungen zwingen zu lassen, haben wir vom 2. Kapitel an hei allen Definitionen und Sätzen, die wörtlich bestehen bleiben (und zwar, von einigen kleinen, gleich zu erläuternden Abweichungen abgesehen, einschließlich Beweis), wenn man die darin auftretenden beliebigen reellen Zahlen durch beliebige komplexe Zahlen ersetzt, das Zeichen ^ herangesetzt, und wir können nun in einer kurzen Skizze alle vorangegangenen Entwicklungen noch einmal durchfliegen und die im Gebiet der komplexen Zahlen notwendigen Änderungen dabei erwähnen. Auch auf die etwas abweichende geometri- sche V eranschatilichung werden wir mit ein paar Worten eingehen.

376 ^11- l^ap. Reihen mit komplexen Gliedern.

Die Detinition 23 bleibt ungeändert. Eine Zahlenfolge wird jetzt durch eine Folge von (ein- oder mehrfach zählenden) Punkten in der Ebene veranschaulicht. Ist sie beschränkt (24, l), so liegt keiner ihrer Punkte außerhalb des Kreises mit dem (passend gewählten) Radius K um 0.

Die Definition 25 der Nullfolge und die über solche Nullfolgen geltenden Sätze 26, 27 und 28 bleiben völlig ungeändert.

Die Zahlenfolgen [z„) mit

sind Beispiele von Nullfolgen, deren Glieder nicht sämtlich reell sind. Man veranschauliche sich genau die Lage der entsprechenden Punktmengen und beweise^ daß es sich wirklich um Nullfolgen handelt.

Die in § 7 gegebenen Definitionen der Wurzel, der allgemeinen Potenz und des Logarithmus machten wesendich von den Anordnungs- sätzen der reellen Zahlen Gebrauch. Sie lassen sich daher in der vorliegenden Form nicht im Bereich der komplexen Zahlen durch- führen. (Vgl. dazu später § 55.)

Der grundlegende Begriff der Konvergenz und der der Divergenz einer Zahlenfolge (39 und 40, 1) dagegen bleibt wieder ungeändert bestehen, die Veranschaulichung von z^^C^) ist jetzt aber diese: Wenn man um den Punkt 'Q einen Kreis mit dem behebigen (positiven) Radius s beschreibt, so läßt sich stets eine (posidve) Zahl n^^ so an- geben, daß alle Glieder der Folge (2:J, deren Index n > n^ ist, inner- halb jenes Kreises Hegen. Es gilt also wörtlich die Bemerkung 39, 6 (I.Hälfte), wenn man als e-Umgebung einer komplexen Zahl C den eben angegebenen Kreis versteht.

Bei der Aufstellung der Definiüonen 40, 2, 3 fanden die Zeichen < und > wesentliche Verwendung; sie können daher nicht unverändert beibehalten werden. Und obwohl es nicht schwef wäre, ihren Haupt- inhalt ins Komplexe hinüber zu retten, lassen wir sie ganz fallen, be- zeichnen also im Komplexen alle nicht konvergenten Folgen unter- schiedslos als divergent'-).

1) Für komplexe Zahlen und Zahlenfolgen bevorzugen wir weiterhin die Buchstaben ^, C, Z , ...

-) Man könnte die Zahlenfolge (2„), falls nur |^-„i->-^00 strebt, als be- stimmt divergent mit dem Grenzwert oo bezeichnen oder von ihr sagen^ sie strebe oder divergiere (oder selbst: sie konvergiere) gegen oo. Das wäre eine durchaus sinngemäße Festsetzung, wie sie auch in der Funktionentheorie tatsächlich üblich ist. Doch bedeutet es natürlich eine kleine Inkonsequenz gegen die im Reellen benutzte Ausdrucksweise, wenn z. B. die Folge der Zah- len (— l)"w als bestimmt oder unbestimmt divergent bezeichnet werden muß, je nachdem sie als komplexe oder als reelle Zahlenfolge angesprochen wird. Und obgleich dies bei einiger Aufmerksamkeit nicht stört, so wollen wir diese Definition hier doch nicht benutzen.

221

§ 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen.

377

Die Sätze 41, 1 bis 12 und die wichtige Gruppe 43 von Sätzen bleiben einschließlich aller Beweise wörtlich ungeändert.

Die wichtigsten dieser Sätze — 43, 4 und 5 — wollen wir nun, da wir inzwischen mit den unendhchen Reihen vertraut geworden sind, hier noch einmal in der schon 44, 10 angedeuteten Erweite- rung und für komplexe Zahlenfolgen aussprechen:

Satz 1. Es sei {^o' ^i> ' ■ •) ^^^^ Nullfolge und die Koeffizienten 221, der Matrix

(A)

«'2 0'

«02 = «12

fc2:

' '^On'

' «1«'

• a,

mögen den beiden Bedingungen genügen:

(a) In jeder Spalte stehen Null folgen, d. h. hei jedem festen w > 0 strebt

^kn "^ ^- f^^ k -> CO.

(b) Es gibt eine Konstante K, so daß die Summe der Beträge beliebig vieler Glieder einer jeden Zeile, also für jedes k^O und jedes w > 0 die Summe

'kn

K

y^^kn^n

■ i«fcol + i«fcii + •••- bleibt. Dann ist auch die Folge der Zahlen

V = «fco^o + «/ci^i-r

eine Nullfolge^).

Satz 2. Strebt z^^ -> C und erfüllen die a^^ außer den Bedin- gungen (a) und (b) des Satzes 1 noch die weitere, daß für k -> oo

(C) ^,= ^«.H-1

n=:0

strebt^), so konvergiert auch die Folge der Zahlen

K = «fcO^O + «/cl^l + • • • = ^^kn^n ^ ^-

»=0

(Anwendungen dieses Satzes s. besonders bei 233 und in § 62).

Von den beiden Hauptkriterien des § 9 verlieren wir leider das 1., das uns bisher gerade die meisten Dienste geleistet hat. Auch von dem zweiten Hauptkriterium können wir den Beweis nicht auf

1) Wegen (b) ist ^^ = 2^«^,, absolut konvergent und folglich, da die z^ eo ipso beschränkt sind, auch die Reihe ^a],n^n = Zk absolut konvergent.

378 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

den Fall komplexer Zahlenfolgen übertragen, da in ihm dauernd von Anordnungssätzen Gebrauch gemacht wurde. Trotzdem werden wir sogleich sehen, daß das 2. Hauptkriterium seihst — und zwar in seinen sämtlichen Formen — ungeändert auch für komplexe Zahlenfolgen gültig bleibt. Den Beweis kann man auf zweierlei Arten durch- führen: Entweder man führt den neuen (komplexen) Satz auf den alten (reellen) zurück, oder man schafft sich für den Beweis des neuen Satzes die notwendigen neuen Grundlagen, indem man die Entwicklungen des § 10 auf komplexe Zahlen überträgt. Beide Wege sind gleich leicht gangbar und sollen kurz angegeben werden:

1. Die Zurückführung der komplexen Zahlenfolgen auf reelle ge- schieht in der einfachsten Weise durch Zerlegung ihrer Glieder in ihre reellen und imaginären Teile. Setzen wir z = x 4- i v und C = ^-\-ir), so gilt der die Konvergenzfrage bei komplexen Zahlen- folgen vollständig auf das entsprechende reelle Problem zurückführende

222. Satz 1. Die Zahlenfolge (-s^«) '- Ki + ^>„) i^t dann und nur dann

gegen ^ = ^-\-irj konvergent, wenn die reellen Teile x^^ > ^ und die imaginären Teile y^^ ^ t} konvergieren.

Beweis, a) Wenn ^„ -> ^ und y^ > 7] strebt, so sind {x^^ ~ ^) und (y^ — Tj) Nullfolgen. Dasselbe gilt dann nach 26, 1 auch von i{y^ — rj) und nach 28, 1 auch von der Folge

K - ^) + «■ (y„ - n)^ d. h. von {z^^ - c).

b) Wenn z^^'Q strebt, so ist ' z^.^~ 'C\ eine Nullfolge; da ande- rerseits

I ^„ - ^ i ^ I ^„ - C und yn-v\<\^n-^\ ist^), so sind nach 26, 2 auch {x^ — |j und [y^^ — tj) Nullfolgen, d. h. es strebt sowohl

Damit ist alles bewiesen.

Hieraus folgt schon unmittelbar der unser Ziel bildende

Satz 2. Atich für die Konvergenz einer komplexen Zahlenfolge {z^) sind die Bedingungen des 2. Hauptkriteriums 47 notwendig und hin- reichend, — daß nämlich nach Wahl von e '::■ 0 sich immer n^ so angehen lasse, daß für irgend zwei Indizes n und n' , die beide > n^ sind, stets

I ^n' — ^n I < f

ausfällt.

*) Der reelle Teil x ^"^{z) einer komplexen Zahl z hat nicht größeren abso- luten Betrag als diese ; ebenso der imaginäre Teil y = ^ (^) . Denn es ist

x^\

^ < ;r- + y-, also

<:v/;

i

223. § 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen. 379

Beweis, a) Ist die Folge (zj konvergent, so sind es nach dem vorigen Satz auch die (reellen) Folgen (xj und {yj. Nach 47 wird man also, wenn e > 0 gegeben ist, n^ und n^ so wählen können, daß

I Xn' — Xn\ < -^ ist, falls fi uud n' beide > n^ sind, und I y^, _ y^ I <; _ ist, falls n und n' beide > n,^ sind.

Ist dann n^ größer als w^ und n^, und sind n und w' beide > n^, so ist

I ^n' — -^n I = I (Xn' — A;„) + i (y^' — yn)\

£\Xn' - Xn I + i yn' - y^ j < I + |- = 6.

Die Bedingungen unseres Satzes sind also notwendig.

b) Genügt umgekehrt [zj den Bedingungen des Satzes, ist also bei gegebenen e > 0 immer n^ so bestimmbar, daß | z^^' — z^^ \ < e ausfällt, sobald n und n' beide > n^ sind, so ist für diese selben n und n' (nach der letzten Fußnote) auch

I Xn' ~ Xn\ < e und I yn' ~ yn\ < e- Nach 47 sind dann aber die beiden reellen Folgen (x^) und (y ) konvergent, so daß nach dem vorigen Satz auch (^ ) konvergieren muß; die Bedingungen des Satzes sind auch hinreichend.

2. Direkte Behandlung der komplexen Zahlenfolgen. Bei reellen Zahlenfolgen bildeten die Intervallschachtelungen das häufigste Hilfs- mittel für unsere Beweisführungen. Im Komplexen können uns die Quadratschachtelungen dieselben Dienste leisten:

Definition. Q^, Q^, Q^, ... sei eine Folge von Quadraten, deren ^'Z^. Seiten wir uns der Einfachheit halber sämtlich parallel zu den Achsen denken. Ist dann jedes von ihnen ganz im Vorangehenden enthalten, tmd bilden die Längen ihrer Seiten Z^, l^, . . . eine Nullfolge, so sagen wir, es liege eine Quadratschachtelung vor. Von einer solchen gilt der

Satz. Es gibt stets einen und nur einen Punkt, der allen Qua- draten einer gegebenen Quadrats :hazhtelung angehört. (Prinzip des innersten Punktes.)

Beweis. Der linke untere Eckpunkt von Q^^ heiße a^^-\-ia^^ und der rechte obere Eckpunkt b -\-ibn. Ein Punkt z = x -[- i y gehört dann und nur dann dem Quadrat Q^^ an, wenn gleichzeitig

ist^j Nun bilden aber infolge der Voraussetzungen die Interv^alle

^) Durch diese Aussage sind zugleich diejenigen Größenbeziehungen rein arithmetisch festgelegt, die wir in Satz und Definition 336 in geometrischem Gewände aussprachen.

3g0 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

T ^^ a .h auf der Achse des Reellen, und ebenso auf der Achse

J n n n

des Imaginären die Inteivalle Jn = cini • • -Ki je eine Intervallschach- telung, und es gibt also auf jener nur genau einen Punkt | und auf dieser nur genau einen Punkt irj, der allen diesen Intervallen ange- hört. Also gibt es auch nur genau einen Tunkt C = i -\~ i 'i], der allen Quadraten Q^ angehört.

Nunmehr können wir Definition 52 und Satz 54 ins Komplexe übertragen:

224. Definition. Ist {zj eine beliebige Zahlenfolge, so heißt 'Q ein

Häufungswert derselben, wenn nach Wahl eines beliebigen e>0 die Beziehung

für unendlich viele n {insbesondere also: oberhalb jeder Zahl n^ noch mindestens für ein n) erfüllt ist.

Satz. Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt mindestens einen Häu- fungswert (BolzanO'Weierstraßscher Satz^)).

Beweis. Ist etwa stets \z\ < K, so zeichne man das Quadrat Q^, dessen Seiten durch +K und ±iK parallel zu den Achsen laufen. In ihm liegen alle z^, also jedenfalls unendlich viele. Q^ ist durch die Achsen in 4 kongruente Quadrate geteilt. In mindestens einem von ihnen müssen wieder unendhch viele z^ liegen. (Denn lägen in jedem von ihnen nur cndhch viele, so lägen auch im ganzen in Q^ nur endHch viele, was doch nicht der Fall ist.) Das erste Viertel dieser Art, das wir antreffen'-), nennen wir (J^. Mit diesem verfahren wir ebenso, d. h. wir teilen es wieder in 4 kongruente Teile und nennen es das erste seiner Viertel 2), in dem wir unendlich viele Gheder von {zj antreffen, Q^ usw. Diese wohlbestimmte Folge Q^, Qj^,Q^,... bildet eine Quadratschachtelung, denn die /?„ liegen ineinander

und ihre Seiten bilden eine Nullfolge, weil die Seite vonQ^ gleich 2 Ä"--^„

ist. Ist nun C der innerste Punkt dieser Schachtelung^), so ist C ein Häufungspunkt von (2J. Denn wird e >0 gegeben und m so ge- wählt, daß die Seite von Q kleiner als ^ ist, so liegt offenbar das

ganze Quadrat Q^ in der e-Umgebung von C- Mit ihm liegen dort also auch unendhch viele Gheder von (z„). Also ist C ein Häufungs- punkt der Folge (^^j, dessen Existenz somit bewiesen ist.

1) Vgl. 54.

2) Wir denken uns die 4 Viertel etwa so numeriert, wie man dies bei den 4 Quadranten der ;i;>/ -Ebene gewöhnlich zu tun pflegt.

3) Das Verfahren zur Erfassung dieses Punktes entspricht genau der im Reellen oft benutzten Halbierungsmethode.

^25. §52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen. 381

Nunmehr können wir ganz analog wie unter 63 die Gültigkeit des 2. Hauptkriteriums für komplexe Zahlenfolgen noch einmal, jetzt aber ohne Benutzung der „reellen" Sätze erweisen:

Satz. Die Folge {zj ist dann und nur dann konvergent, wenn 225, nach Wahl von e> 0 sich n^ so angehen läßt, daß für alle Indizes n und n\ die beide > n^ sind, stets \ ^n' — ^n\ < ^ ausfällt.

Beweis, a) Wenn -?„ -> C strebt, also (^„ — C) eine Nullfolge bildet, so kann n^ so bestimmt werden, daß

i ^« - ^ I < I ^^^ ^^^^'^ I ^»' -^\<^

.ausfällt, sobald n und n' > n^ sind (s. Teil a) des Beweises von 47). Dann ist für diese n und n' auch

\z„-z„.\£\z„.-C\ + \z„-i:\<e.

Die Bedingung ist also notwendig.

b) Ist umgekehrt die e -Bedingung erfüllt, so ist {zj sicher be- schränkt. Denn ist m > n^ und n> m, so ist doch

d. h. alle z^^ mit n> m liegen im Kreise mit e um z^^^ . Ist also K größer als jede der Zahlen \ z^\, \z^\, . . ., \ z^_^ \A^m\ + ^^ ^^ ^^^ ^^^^ alle n stets \z^^\ < K.

Nach dem letzten Satz hat also {z^) mindestens eine Häufungs- stelle C- Gesetzt nun, es gäbe noch einen zweiten Häufungswert .^' =4= C^ so wähle man

was > 0 ist. Wie groß dann auch n^ gewählt wird, es gibt — nach der Definition 224 des Häufungspunktes — stets ein n > n^, so daß 1^^^ — C| < €, aber ebenso auch ein n' > n^, so daß \z^' -- i:'\<e ist. Es gibt dann also oberhalb jeder noch so großen Zahl n^ ein Paar von Indizes n und n', für die

I ^n' - ^n i > «

ist^), entgegen der Annahme. Es muß also C der einzige Häufungs- punkt sein, und es liegen außerhalb des Kreises mit e um ^ nur «ndhch viele z^. Wird dann das n^ passend gewählt, so ist für n>n^ stets \z^-^\<e und es strebt also z^~>'C. Die Bedingung des Satzes ist auch hinreichend^).

^) {Zn' - ^n) = (C' - C) + {Zw - n + {^ - 'n) ,

also

2) Wir können also auch sagen: Eine Folge (^„) ist dann und nur dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und nur genau einen Häufungswert be- sitzt. Dieser ist dann zugleich der Grenzwert der Folge.

382 Xn. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

§ 63. Reihen mit komplexen Gliedern.

Da eine Reihe ^ a^^ mit komplexen Gliedern selbstverständlich wieder nur die Folge ihrer Teilsummen bedeuten soll, so ist durch das Vorangehende die Grundlage für die Erweiterung unserer Theorie schon geschaffen.

Entsprechend 222, 1 haben wir also zunächst den

226. Satz. Eine Reihe ^ a^^ mit komplexen Gliedern ist dann und nur dann konvergent, wenn die Reihe ^9f?(ß^J und die Reihe ^^(aj der reellen und der imaginären Teile der Glieder für sich konvergieren. Und sind deren Summen bzw. s' und s'\ so hat 2 a^ die Summe

Und gemäß 222, 2 und 225 bleibt das 2. Hauptkriterium (81) für die Konvergenz unendlicher Reihen in all seinen Formen unge- ändert bestehen, und mit ihm behalten auch die daraus hergeleiteten Sätze 83 über das Rechnen mit konvergenten Reihen ihre volle Gültigkeit.

Da sich ebenso an Satz 85 nichts ändert, werden wir auch bei Reihen mit komplexen GHedern eine absolute und eine nicht absolute Konvergenz unterscheiden (Def. 86).

Hier gilt ähnlich wie oben der

227. Satz. Die Reihe 2'a„ mit komplexen Gliedern ist dann und nur dann ab- solut konvergent, wenn die beiden Reihen 2'9fJ(a,j) und 2';3(a„) ihrerseits absolut konvergieren.

|^|.!^i^! + |y|,

Der Beweis folgt einfach daraus, daß für jede komplexe Zahl z = x-\-iy- die Abschätzung gilt

\y\

Auf Grund dieses einfachen Satzes erkennt man weiter, daß es auch bei- Reihen mit komplexen Gliedern nicht auf die Reihenfolge dieser Glieder an- kommt, wenn die Reihe absolut konvergiert (Satz 88, 1).

Ist aber die Reihe 2" a„ nicht absolut konvergent, so muß entweder 2' 9t (a„) oder 2';3(^n) bedingt konvergieren. Durch eine geeignete Umordnung der Glieder kann dann jedenfalls die Konvergenz der Reihe zerstört werden, d.h.: Auch bei Reihen mit komplexen Gliedern hängt die Konvergenz, falls sie keine abso- lute ist, wesentlich noch von der Reihenfolge der Glieder ab. Wegen der Über- tragung des Riemannsohen Satzes § 44 auf Reihen mit komplexen Gliedern. \^\. die Bemerkungen auf der nächsten Seite.

Da nun die Erkennung der absoluten Konvergenz eine Frage über Reihen mit posiüven Gliedern ist, so ist hiermit die gesamte Theorie der Reihen mit positiven Gliedern auch zur Untersuchung von Reihen mit komplexen Gliedern nutzbar gemacht: Alles was wir über absolut konvergente Reihen mit reellen Gliedern bewiesen haben, ist auch für absolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern brauchbar..

227. § 53. Reihen mit komplexen Gliedern. 3g3

Sehen wir dann beim Durchgehen der weiteren Paragraphen des II. Teils von den Potenzreihen zunächst noch ab (§ 18 bis § 27), so kommen weiterhin erst wieder die Entwicklungen des X. Kapitels für eine Übertragung auf Reihen mit komplexen GHedern in Frage.

Da hier die Abelsche partielle Summation 182 rein formaler Natur ist, gilt sie einschheßhch des Zusatzes 183 natürlich auch für komplexe Zahlen, und mit ihr das unmittelbar darauf gegründete Konvergenzkriterium (184). Auch die spezielleren Fassungen dieses Kriteriums können wir sämthch übernehmen, wenn wir nur an der 220, 5 getroffenen Übereinkunft festhaken, daß eine als monoton vorausgesetzte Zahlenfolge eo ipso reell ist. Bei den Kriterien von du Bois'Reymond und Dedekind fällt auch diese Vorsicht noch fort: sie gelten wörthch und ohne jede Einschränkung auch für be- liebige Reihen der Form ^ a^^b^^ mit komplexen a^ und b^^.

Der Riemannsche Satz (§ 44) dagegen ist ein spezifisch „reeller" Satz. Denn wenn eine Reihe 2J a^^ mit komplexen Gliedern nicht ab- solut konvergiert, so ist dies nach 227 auch mit mindestens einer der beiden Reihen ^?R{aJ und 2'3(äJ der Fall. Durch eine pas- sende Umordnung können wir also nach dem Riemannschen Satz zwar erreichen, daß eine dieser beiden Reihen ein vorgeschriebenes Konvergenzverhalten bekommt; da aber zugleich die andere Reihe in genau derselben Weise umgeordnet wird, so ist nicht ohne weiteres zu übersehen, welche Wirkung diese Umordnung auf diese andere Reihe und somit auf 2^a^^ selber hat. — In neuerer Zeit ist indessen gezeigt worden, daß wenn 2Ja^^ nicht absolut konvergiert, sie durch eine passende Umordnung in eine wieder konvergente Reihe ver- wandelt werden kann, deren Summe je nach Lage des Falles ent- weder in der ganzen Ebene oder nur auf einer besümmten dort ge- legenen Geraden behebig vorgeschrieben werden kann^).

Die Sätze 188 und 189 von Hertens und Abel über Reihen- multiphkation (§ 45) bleiben wieder einschheßlich Beweis wörtlich bestehen. Bei dem letzteren müssen wir uns allerdings — da wir die Potenzreihen noch übersprungen haben — vorläufig auf den 2. (CßSflfo sehen) Beweis allein stützen (vgl. später 232).

Damit sind wir aber auch schon im Besitze des ganzen Apparates,

^) Es gilt also der das Umordnungsproblem in gewissem Sinne abschlie- ßende sehr schöne SatZ: Der „Summenbereich" einer Reihe 2 an mit kom- plexen Gliedern — d. h. die Menge der Zahlen, die man als Summen der wieder konvergent ausfallenden Umordnungen von 2'«„ erhalten kann — ist entweder ein bestimmter Punkt oder eine bestimmte Gerade oder die ganze Ebene. Andere Fälle können nicht vorkommen. Ein Beweis findet sich wohl bei P. LSvy (Nouv. Annales, Bd. (4) 5 (1905), S. 506); in einwandfreier Darstellung aber erst bei E. Steinitz [Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme, J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 143 (1913), Bd. 144 (1914), Bd. 146 (1915)].

384

XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

der zur Beherrschung der Reihen mit komplexen Gliedern notwendig ist, und wir können sogleich zu seinen wichtigsten Anwendungen übergehen.

Vorher wollen wir nur noch als Anwendung und Ergänzung dieser Be- trachtungen das folgende sehr weitreichende Kriterium herleiten.

228. Kriterium von Weierstraß'). Ist die Reihe 2! ^n w«j7 komplexen Gliedern vor-

gelegt und kann "=^

"«+1 ^ i a„

a A„

mit beliebigem komplexem a, mit Xy-l und beschränkten A^ gesetzt werden"^), so ist sie dann und nur dann absolut konvergent, wenn 9fl (a) > 1 ist. Für '3i(a)^0 ist die Reihe stets divergent. Wenn 0 < 91 (a) < 1 ist, so sind die beiden Reihen

2:1««- n=0 konvergent'^).

Beweis. 1. Es sei a wenn stets \An\<K bleibt, a

hi+i

und

n=0

«+1

-i- j r

<

und zunächst ^ ^ 91 (a) > 1 . Dann ist

±1^1 + ^

n i n^-

also, wie man sofort nachrechnet, von einer Stelle ab sogar

wenn 1< ß' < ß ist. Nach dem Raabeschen Kriterium ist hiernach die Reihe 2" 1 a„ j konvergent.

2. Es sei jetzt 9J (a) ß<l- Dann ist

> 1-

ß K

und folglich die Reihe 2* | a„ j nach dem Gaw^ischen Kriterium 172 divergent. 3a. Ist sogar 9fi(a) --/5<0, so lehrt die letzte Ungleichung, daß von einer Stelle an

«n 1

ja nur A.

1 _ ^ _ ^+1\ zu setzen. Das Wesentliche an den Voraus-

1) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 51 (1856), S.29; Werke I, S. 185.

2) Ein solcher Ansatz kann natürlich stets gemacht werden ; man braucht a a,+;

n ttn ■

Setzungen ist auch hier wieder (vgl. Fußnote zu 166), daß bei passender Wahl von ;. die A^ beschränkt ausfallen. — Wesentlich dasselbe ist es, wenn

«n+i ' ^ ^'■

mit l >■ 1 und beschränkten ß„ gesetzt werden kann.

3) Bezüglich der Reihe Sa^ selber hat A. Pringsheim gezeigt (Archiv d. Math, und Phys. (3) 4, 1902, S. 1—19, spez. S. 13-17), daß sie für 91 (a) < 1 auch stets divergent ist. Der Beweis ist etwas mühsamer und die Tatsache selbst wird von uns nicht gebraucht. — Eine weitere genaue Untersuchung der Reihe l'a„ selber für 0^9t(«)<l gibt J.A.Gmeiner (Monatshefte f. Math. u. Phys. Bd. 19, 1908, S. 149—163).

228.

§ 53. Reihen mit komplexen Gliedern.

385

ist, daß also die Glieder der Reihe 2'a„ ihrem Betrage nach niemals mehr abnehmen. Daher muß jetzt 2'a„ divergieren. 3b. Wenn m{a)=ß = 0, also

«« n

ist, so rechnet man leicht nach, daß nun

, a

a„

= 1

All

gesetzt werden kann, wenn l' > 1 die kleinere der Zahlen 2 und l ist und wenn die An eine wieder beschränkte Zahlenfolge bedeuten. Es ist also, wenn c eine passende positive Konstante bezeichnet,

> 1

.,>o,

etwa für alle w>m. Hieraus folgt durch Multiplikati(

««	«m+i		a„
»m	«OT		««-1

- >n (1

>

i/(i

C„,> 0.

Hiernach ist also für alle n> m stets- \a„\> C,„-i a,„ . Die a„ streben also nicht nach 0, so daß 2'a„ wieder divergieren muß (vgl. 170, 1).

4. Ist endlich 9fl (a) = ^^ > 0, so ist noch die Konvergenz der beiden Reihen

und 2' (- 1)« a,,

^ I «« - ««+1 i zu beweisen. Jetzt ist aber wie bei 1. von einer Stelle an

-^±1 I < 1 - ^'^ an 11

mit

so daß die | a^ \ von dieser Stelle an monoton abnehmen und demgemäß gegen einen bestimmten Grenzwert ^0 streben. Folglich ist

a) nach 131 die Reihe J'da«! - !«„ + J) konvergent und hat überdies von einer Stelle an positive Glieder. Nun ist aber

1 ^^ + ^ a„

!«M + 1

<

ß'

und weil hier der letzte Bruch für n > + Oü den positiven Grenzwert ^ hat,

so bleibt der linksstehende Quotient von einer Stelle an < als eine passende Konstante A. Nach 70, 4 ist dann aber mit 2:: {\an\ - 'an+i\) auch die Reihe

^"l^/i — «w + il konvergent. — Man kann aber

b) sogar genauer zeigen, daß a„ > 0 strebt. Denn aus

a„

..^ 1 _ ^

n

{n > m)

folgt wieder durch Multiplikation

V ml \

m 4- 1

1 -

ß'

n — l

Und da hier die rechte Seite für n > + oo gegen 0 strebt, so muß (vgl. 170, 1) auch a„->0 streben. Daher können wir in der Reihe

Knopp, Unendliche Reihen.

k = 0

386 ^11- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

— eine Reihe, die als Teilreihe von :r(a„-a,j + i) gleich dieser nach a) absohti konvergiert — die kleinen Kammern nach 83, Satz 2, Zusatz fortlassen, denn mit a„ strebt auch \an\ -flan+ij ->0. Damit ist dann aber auch die Konvergenz von 2'(— l)"«« vollständig bewiesen.

Mit Hilfe dieses Satzes kann man nun leicht noch den folgenden weiteren beweisen, der uns bald nützlich sein wird: 2^9» Satz. Wenn wie im vorigen Satze

an+i _ -, _ « _^ i ^ beliebig, /. > 1 ,

""«7 « »^''' ' \ (^«) beschränkt

gesetzt werden kann, so ist die Reihe Sa„z'' für \z\<l absolut konvergent, für \z\>l stets divergent und für die Punkte der Peripherie \z\^--\ ist die Reihe

a) absolut konvergent, falls 91 (a) > 1 ist,

b) bedingt konvergent, falls 0 < 9fl (t^) < 1 ist, — außer möglicherweise für den einen Punkt -? = -f 1 ^) »

c) divergent, falls 9fl (a) < 0 ist.

Beweis. Da

a„z-

strebt, so sind die auf \z\:^\ bezüglichen Behauptungen sofort als richtig er- kannt. Für 1^1 = 1 ist die Behauptung a) eine unmittelbare Folge der durch den vorigen Satz gesicherten Konvergenz von 2^ ] a„ j . Ebenso ist die Behaup- tung c) eine unmittelbare Folge der vorhin bewiesenen Tatsache, daß in diesem Falle \an\ für alle n von einer Stelle ab oberhalb einer positiven Schranke bleibt.

Ist endlich 0 < 91 (a) < 1 und ^ ={= + 1 , so ergibt sich die Konvergenz von I an z^ nach diem Dedekindsohen Kriterium 184,3. Denn wir hatten beim vorigen Satze bewiesen, daß 2" |a„ - a„ + J konvergiert und a„ -> 0 strebt; und daß die Teilsummen von Z z^ für jedes (feste) von + 1 verschiedene z auf der Peripherie \z\^\ beschränkt sind, folgt ja einfach daraus, daß für alle n

bleibt.

l-^« + M^ 2

\-z | = |1

§ 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen.

Unter einer Potenzreihe verstehen wir auch jetzt eine Reihe der Form Sa^z"", oder allgemeiner der Form 2a^^{z-z^f, in der nun die Koeffi"zienten a^ sowohl wie die Größen z komplexe Zahlen sem

dürfen.

Die in den §§ 18 bis 21 entwickelte Theorie dieser Reihen bleibt dabei in allem wesentlichen ungeändert. Wir können uns daher bei der Übertragung der damaUgen Entwicklungen ganz kurz fassen.

Da die Sätze 93, 1 und 2 völlig ungeändert ihre Gültig- keit behalten, so gilt zunächst das gleiche von dem Hauptsatz 93 selber welcher über das Konvergenzverhalten der Potenzreihen im

1) Mit Hinzuziehung des in der vorigen Note erwähnten Pringsheim^chen Resultates kann man hier genauer sagen: außer für z- +'[.

230. §54. Potenzreihen. Analytische Funktionen. 387

Reellen Aufschluß gab. Nur die geometrische Veranschaulichung ist hier eine etwas andre: Die Potenzreihe 2 a^^z'^ konvergiert — und sogar absolut — für alle z, die im Innern des Kreises mit y um 0 liegen, und divergiert für alle außerhalb desselben gelegenen Punkte. Dieser Kreis wird dann kurz als der Konvergenzkreis der Potenzreihe bezeichnet, — und der Name Radius für die Zahl r ist nun erst voll verständlich.

Über die Konvergenz auf der Peripherie des Konvergenzyfermes läßt sich ebensowenig etwas Allgemeines aussagen, wie über die Konvergenz in den Endpunkten des Konvergenzintervalles im Falle reeller Potenzreihen. (Die sogleich folgenden Beispiele werden zeigen, daß das Verhalten ein sehr verschiedenartiges sein kann.)

Auch die übrigen Sätze des § 18 behalten ihre unveränderte Gültigkeit.

Beispiele.

1. ^ z^; r ^ 1. Im Innern des Einheitskreises konvergiert die Reihe und S30. ihre Summe ist dort . Auf dem Rande, d. h. für \z\ = l, ist sie überall

divergent, denn z" strebt dort nicht -> 0 .

z"

2. ^-^; r = 1^). Diese Reihe ist auch noch in allen Randpunkten |^1 = 1

(absolut) konvergent.

z^

3. >' — \r = \. Die Reihe ist sicher nicht in allen Randpunkten kon-

^^ n

vergent, denn für z =^- \ bekommen wir die divergente Reihe V — . Sie ist

''-^ n

aber auch nicht in allen Randpunkten divergent, denn für z = — \ bekommen wir eine konvergente Reihe. Der Satz 229 des letzten Paragraphen lehrt sogar genauer, daß die Reihe in allen von -f- 1 verschiedenen Punkten der Peripherie \z'- ^ \ bedingt konvergiert, denn es ist hier

a„ n — \ 1

an—i n n

Dasselbe Resultat erhält man auch unmittelbar aus dem Dirichletschen Kriterium 183, 2, denn 2^ z" hat beschränkte Teilsummen, falls ^ =^ -[- 1 , aber |^i — 1 ist

(vgl. die letzte Formel des vorigen Paragraphen), und — strebt monoton — r ~ ^ " ^^^ '^^^ Konvergenz aber nur eine bedingte.

4. y.- — ; r — 1. Diese Reihe ist in den 4 Randpunkten +1 und +i

^-^ 4 w ~~

divergent, in allen andern Randpunkten bedingt konvergent.

gegen 0^). Wegen ^

^) Hat 2"a„2" reelle Koeffizienten (wie meist im folgenden), so hat diese Potenzreihe natürlich denselben Radius wie die reelle Potenzreihe 2anX".

-) Endlich kann man diese Konvergenztatsachen auch aus 185, 5 ent- nehmen, indem man die Reihe in ihren reellen und imaginären Bestandteil zerlegt.

25*

388 -Xn. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

5. Für yj—r ist y = -f cx). Für Zw! ^" ist r = 0; diese Reihe ist also nirgends

n !

konvergent außer in ^ = 0 .

2k 2 Ä + 1

6. Die Reihen J(-l)^y^ und J?(- 1)* ^ sind beständig

k=o v^^^ Ä=o i^Ä + iji

konvergent.

7. Eine Potenzreihe der allgemeineren Form 2^ a^ (z — Zq)'* konvergiert absolut in allen inneren Punkten des Kreises mit r um Zq, und divergiert außer- halb desselben, wenn r den Radius von 2 a„ z" bedeutet.

Ehe wir nun weiter auf die Eigenschaften der Potenzreihen ein- gehen, schalten wir ein paar Bemerkungen ein über

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

Wenn auf irgendeine Weise jedem Punkte z eines Kreises ^ ein Wert w zugeordnet ist, so sagen wir, es sei uns in diesem Kreise eine Funktion w = f (z) der komplexen Veränderlichen z gegeben. Die Zuordnung kann dabei in der mannig- fachsten Weise geschehen (vgl. die entsprechende Bemerkung für den reellen Funktionsbegriff, § 19, Def. 1); im folgenden wird aber der Funktionswert fast immer durch eine explizite Formel aus z berechnet werden können, oder wird die Summe einer konvergenten Reihe sein, bei der nun die Glieder explizit gegeben sind. Zahlreiche Beispiele werden wir sehr bald kennen lernen; im Augenblick denke man etwa an den Wert w , der jedem z im Innern des Kon- vergenzkreises einer Potenzreihe als deren Summe zugeordnet wird.

Die Begriffe des Grenzwertes, der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion, die uns hier wieder vor allen andern interessieren, werden im Prinzip genau so festgelegt, wie im Reellen: <99| 1. Definition des Grenzwertes, Ist die Funktion w = f{z) für alle Punkte z

' einer Umgebung des festen Punktes t definiert i), so sagt man, es sei

lim f(z) = oj

oder es strebe

f{z)->co für z^C,

wenn nach Wahl eines beliebigen « > 0 ein 8 = 8 (s) > 0 so angegeben werden kann, daß für alle z, die der Bedingung 0 < |^ - C| < ^'genügen, stets

\f{z)-oi\ < £ ist. Oder wenn — es kommt dies auf genau dasselbe hinaus 2) — jede gegen C konvergierende Zahlenfolge {z„), deren Glieder in der genannten Umgebung von C liegen und von C selbst verschieden sind, eine gegen co konvergierende Folge von Funktionswerten Wn — f {^n) hefert.

Wird f (z) nicht in allen Punkten einer Umgebung von C betrachtet, sondern nur in denjenigen, die z. B. auf einem bestimmten in t endenden Kurvenstück oder einem Winkelraum mit der Spitze in C Hegen 3), so sagt man, es sei limf{z) = CO oder es strebe f(z) -> co bei Annäherung von z -> C längs jenes Kurven-

1) Im Punkte C selbst braucht f{z) nicht definiert zu sein, sondern also nur für alle z, die einer Bedingung der Form 0 < |^ — Ci <^ genügen. Das 8 der obigen Definition muß dann natürlich < g gedacht werden.

2) Beweis wie im Reellen.

3) Oder allgemeiner: die einer Punktmenge M angehören, für die C ein Häufungspunkt ist.

231. § 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen. 389

Stücks oder imierhalb jenes Winkelraumes^) , wenn die obigen Bedingungen wenigstens für alle nun noch dabei in Betracht kommenden 2 erfüllt sind.

2. Definition der Stetigl^eit. Ist die Funktion w^f{z) in einer Umgebung

von 'Q und in 'Q selbst definiert, so sagt man, es sei f \z) in diesem Punkte C stetig, wenn

lim f(z)

vorhanden ist und mit dem Funktionswerte f(^) in ^ übereinstimmt, wenn also fi^)'>f(C) strebt. (Was Stetigkeit von f (z) in C bei Beschränkung von z auf ein durch t gehendes Kurvenstück und auf einen Winkelraum mit seiner Spitze in C^) bedeutet, ist nach 1. nun selbstverständlich.

3. Definition der Differenzierbarkeit. Ist die Funktion w = f{z) in einer Um- gebung von C und in C selbst definiert, so heißt sie in ^ differenzierbar, wenn gemäß 1. der Grenzwert

lim m-^Q

existiert. Seinen Wert nennt man die Ableitung von f{z) in C und bezeichnet sie mit f (^) . (Auch hier können der Beweglichkeit von z wieder Beschrän- kungen auferlegt werden )

Mit diesen wenigen Festsetzungen über die allgemeinen Funktionen einer komplexen Veränderlichen müssen wir uns begnügen. Das vertiefte Studium derselben bildet den Gegenstand der sogen. Funktionentheorie, eines der um- fangreichsten Gebiete der neueren Mathematik, auf die hier des genaueren einzugehen natürlich nicht der Raum ist*^).

Diese Erklärungen genügen nun vollauf, um die wichtigen Ent- wicklungen der §§ 20 und 21 auf Potenzreihen mit komplexen Gliedern zu übertragen.

In der Tat gelten die dort gegebenen Entwicklungen ausnahmslos auch für unsern jetzigen allgemeineren Fall, wenn wir dort nur sinn- gemäß statt „Konvergenzintervall" überall „Konvergenzkreis" setzen. Nur dem Satz 5 (unter 99) können wir hier kein Analogon an die Seite stellen, weü wir den Integralbegriff für Funktionen komplexen Argumentes nicht eingeführt haben. Das alles ist so einfach, daß der Leser bei der nochmaligen Durchsicht dieser Paragraphen keine Mühe haben wird, sie so zu lesen, als oh dort von vornherein von Potenzreihen mit komplexen Gliedern gehandelt würde.

Ein paar Bemerkungen sind höchstens bezüglich des Abelschen Grenzwertsatzes 100 und Satzes 107 von der Umkehrung einer Potenzreihe nötig. Bei dem letzteren wurde nämlich die Konvergenz der Reihe y + /^o y^ + • • • und damit auch die Konvergenz der den

^) Oder: auf der Punktmenge M.

2) Oder allgemein: auf eine Punktmenge M mit Häufungspunkt in ^.

3) Zur kurzen Orientierung über die wichtigsten Grundlagen der Funk- tionentheorie sei auf die kleinen Heftchen des Verf. „Funktionentheorie, I. Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie, 2. Aufl., Leipzig 1918; II. Teil: An- wendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie, 2. Aufl., Leipzig 1920" (Sammlung Göschen, Nr. 668 u. 703) hingewiesen.

390

XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

Bedingungen des Problems genügenden Reihe y -\- h^y' ^r • ■ • ^^^ ^^r relle y erwiesen. Das ist aber ersichtlich ausreichend, denn damit ist ja dargetan, daß diese Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius besitzt, — und das genügt.

Bezüglich des Ahelsc\iQn Grenzwertsatzes aber läßt sich hier sogar entsprechend der größeren Bewegungsfreiheit von z — mehr be- weisen als damals, und darum wollen wir noch einmal auf ihn eingehen:

Es sei 2"^^ 2" eine gegebene nicht beständig konvergente Potenz- reihe mit positivem Radius. Dann bedeutet es zunächst genau wie damals keine sachUche Einschränkung, wenn wir annehmen, daß dieser Radius gerade = 1 ist. Auf dem Rande ihres Konvergenzkreises 1^1 = 1 liege wenigstens ein Punkt z^, in dem die Reihe noch konvergiert. Auch hier dürfen wir annehmen, daß z^ den speziellen Punkt + 1 bedeutet. Denn setzen wir, falls Zq=^ -^ 1 ist

n f

^n ^0 = ^n .

so ist ^a^z"" eine Potenzreihe, die gleichfalls den Radius 1 hat und die nun in dem Randpunkte + 1 konvergiert.

Der damals gegebene Beweis, bei dem nun alles „komplex" ge- lesen werden kann, lehrt dann den

232. Satz. Hat die Potenzreihe ^a^z"" den Radius 1 und ist sie in dem Randpunkte + 1 des Einheitskreises noch konvergent und ist etwa 2a = s, so ist auch

lim {2^a^z'') = s,

wenn sich z längs des positiv-reellen Radius von 0 her der Stelle _|_ 1 nähert^). — Wir können jetzt ohne Schwierigkeit mehr beweisen:

233. Erweiterter AbeJscher Grenzwertsatz. Unter den Voraussetzungen des vorigen Satzes bleibt die Beziehung

\im {2 a^z'')=-s

auch dann noch gültig, wenn z bei der Annäherung an -\- 1 nur auf einen Winkelraum be- schränkt wird, der von irgend zwei [festen) Strahlen gebildet wird, die von + 1 *'^ ^^^ Innere des Einheitskreises dringen (s. Fig. 10).

Den Beweis wollen wir ganz unabhängig von den damaligen Betrachtungen lie-

Fig. 10.

1) Wir haben hier also einen Grenzwert der oben 244, 1 genannten spezielleren Art vor uns.

^33. § ^^- Potenzreihen. Analytische Funktionen. 391

fern, so daß wir hierdurch zugleich einen dritten Beweis des Abel- sehen Grenzwertsatzes bekommen: Ist z^, z^^, . . ., z^, . . ., eine beUebige Zahlenfolge, die in dem genannten Winkelraum liegt, und mit wachsen- dem k gegen den Randpunkt -f- 1 rückt, so ist zu beweisen, daß

strebt, wenn wie damals 2' (^^^-s" = /"(;?) gesetzt wird. Wählt man aber in dem Toeplüzschen Satze 221, 2 für die Zahlen a^^ die Werte

und wendet ihn auf die nach Voraussetzung ->s strebende Folge der Teilsummen s,^ = «^ + ^i + • • • + ^^n ^^' ^° liefert er unmittelbar, daß mit wachsendem k auch

J (1 - ^.) ■ 4 • s.. = (1 - ^J • i K zl = ^aX = f (%)

n=0 M=0 n=0

~>s Strebt. Damit wäre schon alles bewiesen, sofern die gewählten Zahlen a^,^ die Voraussetzungen (a), (b) und (c) von 221 erfüllen. Daß aber (a) erfüllt ist, ist wegen Zj.'>l evident, und die Zeilensummen sind = ^^ = (1 — Zk) ZK=^ 1' so daß auch (c) erfüllt ist. Die Be-

M = 0

dingung (b) endlich verlangt, daß eine Konstante K existiere, so daß für jeden Punkt ^ = ^^, =|= + 1 im Winkelraum (oder eines beliebigen sektorförmigen Teiles desselben, der seine Spitze in + 1 hat)

bleibt, -~ was auch der Fall ist^). Damit ist alles bewiesen. — Diese

1) Es wird also (s. Fig. 10) verlangt : Wenn z=\-q (cos <p-\-i sin (p) ist und hierin

''P\^(Po<-- ^^^ 0 < ß ^ ßo < 2 cos99o bleibt, so gibt es eine nur von cp^ und Qq abhängige Konstante A = A {(p^, Qq), so daß für alle genannten z stets

i-l^i =

bleibt. — Beweis. Wir wählen, was zum Beweise ausreicht, g^^coscp^ und o

werden zeigen daß A =■- das verlangte leistet. In der Tat lautet dann die

' cos^^o

Behauptung, daß für 0 < ^ < cos cp^ und \(p\<fPo

1 — y/ 1 — 2 ß cos (p ^-Q^ cos (Pq

oder

- 2 Q cos cp -\- Q^ < - Q cosrpQ + \ q'^ cos^ (Pq

ist. Vergrößert man aber hier die linke Seite, indem man cp durch (p^ und q" durch QCOscpQ ersetzt, so würde es genügen zu zeigen, daß

- p cos 9?o < - O cos (Pq + A Q- C0S2 (Pq

ist, — was aber gewiß der Fall.

392 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

Erweiterung des^6^/schen Grenzwertsatzes auf „komplexe Annäherung'^ oder „Annäherung im Winkelraum" rührt von 0. Stolz^) her.

Damit sind die sämtlichen Sätze der §§ 20 und 21 — mit ein- ziger Ausnahme des Satzes über die hier nicht definierte Integration — auf den Fall komplexer Größen übertragen. Insbesondere gilt dadurch als festgestellt, daß eine Potenzreihe im Innern ihres Konvergenz- kreises eine Funktion komplexen Argumentes definiert, die dort stetig und differenzierbar ist — und letzteres ,,gliedweise" und befiebig oft — , und die somit diejenigen beiden Eigenschaften besitzt, die man in erster Linie für alle Anwendungszwecke von einer Funktion verlangt. Deswegen und wegen ihrer sonstigen großen Bedeutung für die weitere Entwicklung der Theorie hat man einer Funktion, die sich für die Umgebung eines Punkte z^ durch eine Potenzreihe -Sa^^z — z^Y darstellen läßt, einen besonderen Namen gegeben. Man sagt, daß sie sich in z^ analytisch oder regulär verhalte. Da sie sich dann nach 99 von selbst auch in jedem andern inneren Punkte des Konvergenz- kreises analytisch verhält, so nennt man sie kurz eine in diesem Kreise analytische oder reguläre Funktion'^).

Alle Sätze, die wir über Funktionen bewiesen haben, die durch Potenzreihen gegeben waren, sind Sätze über analytische Funküonen. Von diesen heben wir, weil für das Folgende besonders wichtig, nur die folgenden beiden noch einmal besonders hervor. !S34. 1. Sind zwei Funktionen in ein und demselben Kreise analytisch,

so ist es (nach § 21) auch ihre Summe, ihre Differenz, ihr Produkt und ihr Quotient; letzteres aber natürlich nur in den Punkten, in denen die im Nenner stehende Funktion nicht == 0 ist.

2. Stimmen zwei in einem und demselben Kreise analytische Funk- tionen in einer wenn auch noch so kleinen Umgebung des Mittelpunktes über ein, so sind sie dort völlig identisch (= Identitätssatz für Potenz- reihen 97).

Außer diesen beiden, uns lediglich der Form nach neuen Sätzen wollen wir noch den folgenden wichtigen Satz beweisen, der über den Zusammenhang zwischen den Beträgen der Koeffizienten einer Potenzreihe und dem Betrag der durch sie dargestellten Funktion einige Auskunft gibt:

1) Zeitschrift f. Math. u. Phys., Bd. 20 (1875), S. 369. In neuerer Zeit hat die Frage nach der Umkehrbarkeit des Ahelschen Grenzwertsatzes den Gegen- stand zahlreicher Untersuchungen abgegeben, also die Frage, unter welchen (möglichst wenig verlangenden) Bedingungen für die a„ aus der Existenz des Grenzwertes von f {z) bei z^\ (im Winkelraura) auf die Konvergenz von I a„ zurückgeschlossen werden kann.

2) „Analytisch" oder „regulär" in einem Kreise t heißt hiernach eine Funktion einfach dann, wenn sie durch eine in diesem Kreise konvergente Potenzreihe dargestellt werden kann.

235« §^^- Potenzreihen. Analytische Funktionen. 393

Satz. Ist f{z) = ^ a^[z — z^f für \z — z^ < r konvergent, so ist 235

n = 0

M

wenn 0 <C g < r ist, und wenn M eine Zahl bedeutet, die von j f(z) | längs der Peripherie \z — Zfy\ = Q nirgends übertroffen wird. {Cauchy- sche Abschätzungsformel.)

Beweis^). Wir wählen vorerst eine komplexe Zahl rj, deren Betrag = 1 ist, für die aber stets >y^ 4= 1 ist, welchen ganzzahligen Exponenten auch q'^0 bedeuten möge^). Nun betrachten wir für einen bestimmten ganzzahligen Exponenten ^ ^ 0 die ganz spezielle Funktion

a {z)^a-{z- z^f

und bilden ihre Werte im z =^ z^-^- q-yj'', v = 0, 1, 2, Bezeichnen

wir diese kurz mit g^, g^, g^, ..., so ist für w ^ 1

§^0 + ^1 + • • • + ^n-l = ^-Q'- --—k

und also

g'0 + ^l + -. ■+Sn-\

^2 j^ ^ a 1

Und da hier rechterhand alles außer dem Nenner n feste Werte hat, so streben mit wachsendem n diese arithmetischen Mittel

n

Für ^ = 0 würde es sich um die idenüsch konstante Funktion g{z)^ia handeln, für welche dann auch die Mittel

g'o + g'l + • • • + Sn-x ^ „

streben, denn der Quotient ist ja jetzt für jedes n stets = a. Be- trachtet man endlich die etwas allgemeinere Funktion

^) Der folgende sehr schöne Beweis rührt von Weierstraß her (Werke II, S. 224) und stammt schon aus dem Jahre 1841. Cauchy (Memoire lithogr., Turin 1831) bewies die Formel auf dem Umweg über seine Integraldarstellung von f{z). Daß überhaupt eine Konstante M mit der im Satze verlangten Eigen- schaft existiert, ist ja fast selbstverständlich, da 2'!a„j-^" konvergiert und also die Folge | «„ | • ß" beschränkt ist.

2) Solche Zahlen rj gibt es natürlich, denn ist rj — co^ (ajc)-\-i sin {u 71)^ so ist fj*^ =^ cos {q an) -\-i sin {qa 31) \ und dies wird niemals =1, wenn man a irra- tional wählt.

394 XII- ^^V- Reihen mil komplexen Gliedern.

bei der / und m feste ganze Zahlen ^ 0 bedeuten, und bildet man die analogen arithmetischen Mittel

n

(bei denen also wieder gr = g (-s^o + ^ ^f) ' ^' = 0,1,..., gesetzt ist), so streben diese nach den beiden vorweg behandelten Fällen er- sichtlich ^b^. Weiß man überdies, daß die Funktion g(^z) für alle z des Kreises \z — z^^\ = q ihrem Betrage nach niemals größer als die Konstante K ist, so ist auch stets

1 n ' = n

und folglich auch

•b„£K.

Nach diesen Vorbemerkungen ist nun der Beweis des Satzes ganz einfach: Es sei p eine bestimmte ganze Zahl ^0. Da 2^\ajQ^ kon- vergiert, kann nach Wahl von e > 0 die Zahl q > p so bestimmt werden, daß

ist. Dann ist erst recht für alle \z — Zq\ = g

n=q + l

und also für dieselben z

ii«„(«-^o)"i<^ + ^'

n=0 1

wenn M die im Satz genannte Bedeutung hat. FolgUch ist auf dieser Peripherie 'z — z^l = q stets

-"»_+. (^-^o)^	• + ~T- + «? + «*'+i (^
	<M+^
	= 0^

^q{^ - ^o]

q-p\

Hier steht aber eine Funktion zwischen den Absolutzeichen, wie wir sie eben behandelt haben. Die dabei gewonnene Abschätzung j^ol ^^ lautet jetzt

und da £>0 beliebig war, so muß sogar (vgl. Fußnote zu 41, l)

M

sein. w. z. b. w.

S35. § 55. Die elementaren Funktionen. — I. Rationale Funktionen. 395

§ 65. Die elementaren analytischen Funktionen.

I. Die rationalen Funktionen.

1. Die rationale Funkton w == ist für jeden von -|- 1 ver- schiedenen Mittelpunkt z^ in eine Potenzreihe entwickelbar:

l-Z 1_^^_(^_^^) 1-Zq ^ Z-Zq n = o{\-Zo)

1-Zq

und diese Reihe ist konvergent, wenn \z — Zq\ < \l ■— Zq\ ist, wenn also z näher an z^ hegt, als es der Punkt + 1 tut; m. a. W. der Konvergenzkreis ist der durch den Punkt + 1 gehende Kreis mit dem Mittelpunkt Zq. Die Funktion y— y ist also in jedem von -f 1 verschiedenen Punkte der Ebene analytisch.

Bei diesem Beispiel machen wir noch flüchtig auf folgende Erscheinung aufmerksam, die in der Funktionentheorie prinzipielle Bedeutung gewinnt: Wenn die geometrische Reihe Sz"", deren Konvergenzkreis der Einheitskreis ist, nach dem Tay/oyschen Satz um einen im Innern des Einheitskreises ge- legenen neuen Mittelpunkt Zj^ entwickelt wird, so könnten wir nach jenem Satz mit Sicherheit nur behaupten, daß die neue Reihe mindestens in demjenigen Kreise konvergiert, der den Mittelpunkt z^ hat und den Einheitskreis von innen berührt. Jetzt sehen wir, daß der Konvergenzkreis der neuen Reihe sehr wohl über den alten hinausreichen kann. Dies wird nämlich immer eintreten, wenn z^ nicht gerade positiv reell ist. Ist z^ negativ reell, so wird der neue Kreis sogar den alten völlig einschließen. (Vgl. Fußnote zu 99.)

2. Da eine ganze rationale Funktion

«0 + V + ^2^^ + • • • + ^^^"'

als eine beständig konvergente Potenzreihe angesehen werden muß, so sind diese Funktionen in der ganzen Ebene analytisch. Also sind auch die gebrochenen rationalen Funktionen

ZQ^-aiZ-\- . . . -^amCi^ bo + b,z-{-...-hb„,b'^

in allen Punkten der Ebene analytisch, in denen der Nenner nicht ==0 ist, — also überall mit Ausnahme von endlich vielen Punkten. Ihre Pot'enzreihenentwicklung in einem Punkte z^, in dem der Nenner ==1=0 ist, ergibt sich folgendermaßen: Indem man in Zähler und Nenner 'z durch ^o + (^ " ^o) ^^^^^^^ ^^^ '^^^^ Potenzen von {z - z^) umordnet, erhält die Funktion die Form

'bJ-\- b,' (i^^^^JV^^^^^i^ - ^oT in der unserer Annahme gemäß % +0 ist. Nun kann nach 105, 4

396 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

die Division ausgeführt und der Quotient in die verlangte Potenzreihe der Form Zc^{z — ZQf entwickelt werden i).

II. Die Exponentialfunktion.

Die Reihe

i+t!+2t+--+:ti+-

ist eine beständig konvergente Potenzreihe und definiert also eine in der ganzen Ebene reguläre Funktion, oder wie man kurz sagt, eine ganze Funktion: jedem Punkte z der Ebene ist eine wohlbestimmte Zahl w als Summe dieser Reihe zugeordnet.

Diese Funktion, die für reelle Werte von z den gemäß Defini- tion 33 erklärten Wert von e' zur Summe hat, benutzt man zweck- mäßig dazu, um die Potenzen der Basis e (und dann weiterhin auch gleich diejenigen einer beUebigen 'positiven Basis) für alle komplexen Exponenten zu definieren:

236. Definition. Für alle reellen oder komplexen Exponenten wird die

Bedeutung der Potenz e' eindeutig durch die Gleichung

- ^2 n

e^ = 1 4- - -I- - 4- 4- — 4-

festgelegt. Ist dann weiter p eine beliebige positive Zahl, so soll unter p' der eindeutig durch die Formel

p'' = e

«log p

festgelegte Wert verstanden werden, wenn hierin \ogp den in 36 defi- nierten {reellen) natürlichen Logarithmus von p bedeutet^). (Für eine nicht positive, also negativ reelle oder nicht reelle Basis b läßt sich die Potenz b" nicht mehr eindeutig definieren; doch vgl. dazu S. 407).

1) Ein anderer Weg ist der, daß man zunächst die gegebene rationale Funktion in Partialbrüche zerlegt. Sie erscheint dann als Summe endlich vieler Brüche der Form

A A / \

a

die man nun, wenn Zq =^ a ist, nach 1. einzeln in Potenzreihen der Form 2" ^„(^—^0)" entwickelt. — Bei dieser Methode erkennt man noch, daß der Radius der ent- stehenden Entwicklung gleich dem Abstände sein wird, den Zq von dem nächst- gelegenen derjenigen Punkte hat, in denen der Nenner der gegebenen Funktion verschwindet.

^) Man beachte, wie weit man sich mit dieser Definition von der ele- mentaren Definition „;»r* ist ein Produkt von k Faktoren, die alle =x sind", entfernt hat. — Im Augenblick ist noch gar nicht zu erkennen, welchen Wert z. B. 2* hat; er ist aber jedenfalls durch die obige Definition eindeutig fest- gelegt.

238. § 5^- ^^^ elementaren Funktionen. — IL Exponentialfunktion. 397

Da eine Potenz mit komplexen Exponenten von sich aus gar keine Bedeutung hatte, so durfte man sie erklären wie man will. Maßgebend für die Wahl einer bestimmten Erklärung können dabei nur Zweckmäßigkeitsgründe sein. Daß die eben gegebene Erklärung eine durchaus zweckmäßige ist, hegt in der Formel 91, Beispiel 3 begründet, die, weil auf Grund einer allgemein gültigen Reihenmulti- plikation bewiesen, nun auch für beliebige komplexe Exponenten

gelten muß:

e«i . e^2 = e*i+«2 237.

und folglich auch

Dieses wichtige Grundgesetz für das Rechnen mit Potenzen bleibt also jedenfalls erhalten. Es liefert uns zugleich den Schlüssel zur weiteren Erforschung der Funktion e'.

1. Berechnung von e'. Für reelles y ist 238,

= cos y -\- i sin y und folglich iür z ^ x -\- iy

e^ = e^'+^v = e"" • e'v = e"" (cos y + i sin y) , eine Formel^), mit deren Hilfe man nun bequem den Wert ,von e^ für jedes komplexe z bequem berechnen kann.

Darüber hinaus aber gibt uns diese Formel eine bequeme und vollständige Einsicht in die Werte, die die Funktion e^ in den ver- schiedenen Punkten der komplexen Ebene hat (kurz: in ihren Werte- vorrat). Wir heben die folgenden Tatsachen hervor.

2. E$ ist \e^\ = e^^"^ = ß*. In der Tat ist \e*y\ = | cos y + ^ sin y| = V cos^ y A- sin^ y = 1, also |e*| = |ß*| • |ß*> = f^^, weil e"" > 0 und der zweite Faktor = 1 ist. Ebenso ist

arce^ = ^{z) = y,

wie gleichfalls aus der eben benutzten Formel 238, 1 abzulesen ist.

3. e' hat die Periode 27ti, d.h. es ist für alle z

^z ^ ^z + 2jri ^ ^z+-2kni^ (k^O , gauz);

denn wenn z um 27ii vermehrt wird, so vermehrt sich sein imaginärer Teil y um 277;, was nach 1. und § 24, 2 keine Änderung des Wertes von e' hervorbringt. Alle Werte also, die e' überhaupt anzunehmen vermag, nimmt es schon in dem Streifen — tt < ^{z) = y ^ 71 an

i) Euler, Intr. in Analysin inf., Bd. 1 (1748), § 138.

398

XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

t	\
o
	-jzi

Fig. 11.

oder in irgendeinem Streifen, der aus diesem durch eine Parallel- verschiebung um 2k n in der Richtung der ;y;-Achse erhalten werden kann. Jeden dieser Streifen bezeichnet man als einen Periodensir ei fen; Fig. 11 veranschaulicht den zuerst genannten unter ihnen.

4. e^ hat auch keine anderen Perioden, ja sogar genauer: wenn für zwei spezielle Zahlen z^ und z,^ die Gleichung

e^i = e.ü2 besteht, so muß

sein. In der Tat folgt zunächst, daß. ßZ.,-zi ^— i sein muß. Ist aber

^z ^^ ^x+iy ^^ gx (^cos y -^ ismy) = 1,

so ist nach 2. zunächst £?*=!, alsa X =^ 0. Dann ergibt sich weiter

cos y -]- i sin y = 1 , d.h. cosy=l, siny = 0,

also y = 2k7i, und folglich z ^= z^ — z^ = 2kni, w. z. b. w.

5. e' nimmt im Periodenstreifen jeden Wert w =^ 0 ein und nur einmal an; oder: die Gleichung e' = w^ hat bei gegebenem w^^O' in jenem Streifen eine und nur eine Lösung.

Ist w^ = R^ (cos 0^ -f- i sin ^J mit R^> 0, so ist z^ = log R^ + i <P^ wegen 6^i = ^\ogRr^i<i\ ^ ^^ (^os ^^ -\- i sin ^^) = w^ jedenfalls eine Lösung von ^^i = w^ . Nach 3. sind dann auch die, Zahlen

^, -f 2k7ii (k = 0, ± 1,, ± 2, ....)

Lösungen derselben Gleichung, und nach 4. kann es außer diesen keine andern geben. Hierin kann man nun aber k stets auf eine und nur eine Weise so wählen, daß

— 7i< J(z^ + 2kni) ^ -\-7i wird, — w. z. b. w.

6. Den Wert 0 nimmt e'^ nirgends an; denn nach 237 ist

e^-e'

1,

so daß niemals e'^ = 0 sein kann.

7. Aus 238, 1 erhält man noch die besonderen Werte

e^^i= 1,

^Jll =:

1,

= 1,

240. § öö- ^^^ elementaren Funktionen. — IIL cos z und sin ^. 399

III. Die Funktionen cos^ und sin;?;.

Auch bei den trigonometrischen Funktionen kann man ihre be- ständig konvergenten Potenzreihenentwicklungen dazu benutzen, um sie für alle komplexen Werte des Argumentes zu erklären.

Definition. Die Summe der hesiändig konvergenten Potenzreihe 239»

bezeichnet man mit cosz, die der hesiändig konvergenten Reihe

z z-" z'^ f^ /^+^

17 ~ sr + "5! i- • • • + (~ ^f (2'kT^\ ~^ '"

mit sinz, — - und zwar für jedes komplexe z.

Wir haben nur wieder zu prüfen, ob diese Definitionen zweck- mäßig sind, d. h. ob die durch sie erklärten in der ganzen Ebene analytischen, also ganzen Funktionen dieselben Grundeigenschaften besitzen, wie die reellen Funktionen cosa; und sin a:. Daß dies wieder in vollstem Maße der Fall ist, wird durch die folgende Zusammen- stellung ihrer Haupteigenschaften belegt:

1. Es gelten für jedes komplexe z die Formeln 240.

COS ^ + ^ sin ^ = e'^ cos jsj — / sin ;?; = e -*^ ,

aus denen weiter

COS ^ = —- V Sin ^ =

2i

folgt [Eulersche Formeln). — Der Beweis ergibt sich unmittelbar, indem man beiderseits die Potenzreihen einsetzt, die die betreffenden Funktionen definieren,

2. Es gelten auch für komplexe z die Additionstheoreme cos {z^ + z^ = cos Zj^ cos z^ — sin z^ sin z^ , sin [z^ -}- z^) = cos Zj^ sin z^ + sin z^^ cos z^ ; denn nach 237 ist zunächst

i{zi+Z2) _^ izi iz2

also nach 1.

cos {z^ + z^) + i sin [z^ + z^)

= (cos z^ -j- i sin z^) (cos z^ + i sin z^

= (cos Zj^ cos z^ — sin z^ • sin z^) + i (cos ^^ sin z,^ -\- sin z^ cos z^).

Ersetzt man ^^ und z^ durch —2:^ und — z^ und beachtet, daß cos ^r eine gerade, sin 2: eine ungerade Funkfion ist, so ergibt sich eine ent- sprechende Formel, bei der nur beiderseits der Faktor i durch —i ersetzt erscheint. Addition und Subtraktion beider liefert dann die Additionstheoreme.

400 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

3. Dadurch, daß die Additionstheoreme für unsere beiden ganzen Funktionen formal die gleichen sind wie für die Funktionen cos x und sinx des reellen Argumentes %, ist nicht nur die Berechtigung für die Bezeichnung dieser Funktionen als cosz und sin 2: hinreichend erbracht, sondern zugleich gezeigt, daß d^er gesamte Formelapparat der sogenannten Goniometrie, der doch aus den Additionstheoremen hergeleitet wird,^ ungeändert weiter bestehen bleibt. Insbesondere gelten also die Formeln

cos-2f -}- sin -2: = 1, cos 2 -^ = cos -js: — sin '-^2,

sin 2 -2: = 2 sin z cos z, usw.

ungeändert auch für jedes komplexe z.

4. Auch die Periodizitätseigenschaften der Funktionen bleiben im Komplexen erhalten, denn auch sie sind ja nur eine Folge der Addi- tionstheoreme:

cos (z -f- '-^ ^) = cos z • cos 2 TT — sin 2: • sin 2 TT = cos z sin (z -^ 2n) = cos ^ • sin 2 tt -}- sin 2 • cos 2 71 = sin ^.

5. Die aus dem Reellen her bekannten Nullstellen von cos z und sm z sind auch im Komplexen die einzigen'^). In der Tat, soll cos2 = 0 sein, so muß nach 1. notwendig 6?*«^= —e~*^, oder

und also

sein. Nach 238, 4 findet dies dann und nur dann statt, wenn

2iz — 7zi'=2kjii oder also z = {2 k -{- l) -^

ist. Und soll sin^ = 0 sein, so muß nach 1. jetzt e^^ ^ e~*^ oder e^*i = l, also 2iz = 2kni, z = k 71 sein, w. z. b. w.

6. Es ist dann und nur dann cos z^^ = cos .^^ , wenn z^^ ±z^-^2k7i ist, — also unter denselben Bedingungen wie im Reellen. Ebenso ist dann und nur dann sin z^ = sin z.^ , wenn z^ = Zj_ -{- 2 k jz oder = 71 — z. 4- 2k7i. In der Tat folgt aus

1) Oder also: Die Summe der Potenzreihe !-.- + ... ist dann und nur

= 0, wenn z einen der Wert' — und analog für die sin -Reihe.

dann = 0 , wenn z einen der Werte (2 A -f 1) .. » Ä = 0 , + 1 , + 2 , . . . , bedeutet

f

240.

55. Die elementaren Funktionen. — III. cos z und sin z.

401

nach 5., daß entweder ^L_~^^ oder -^— ^^^^^ ^^^^ mv\^-^ und

ebenso folgt aus

sin z^ — sin 2:^ = 2 cos ^^~^-^ sin ^^ ^^ ^" = 0

nach 5., daß entweder ^— ~^'^ muß, w. z. b. w.

oder

(2^ + 1)-^ sein

7. cos 2: z/w^ sin^f nehmen im Periodenstreifen, d. h. i% Streifen ~ 71 <^{z) -^ -\- n, jeden komplexen Wert w an, und zwar hat dort jede der Gleichungen cos^^ze; und sin2 = z£; genau zwei Lösungen, wenn w =^ + 1 ist, dagegen nur genau eine Lösung, wenn w = + \ ist.

Beweis. Soll cos2: = z£; sein, so muß e^^ -]- e''^'^ = 2w oder e*'' = w -{-^ w'^ — 1 sein. (Hierbei soll V r (cos (p -\- i sin (p) eine der

Zahlen r 2 (^cos ^ -[- z sin |-j bedeuten, deren Quadrat den Radikanden

-ergibt.) Da nun sicher w^'Vw'^~l=^0 ist^), so gibt es eine komplexe Zahl z' mit — ^j: < c- (^'j ^ _|_ ^^ füj. ^ie e''' -= w -{- V^^^ . Setzt man — iz' = 2, so ist z eine Zahl, für die

~ 71 < 'tR {z) :^ ^ 7t und 6'»* = z«; + V t^'

1 oder cos z

w

ist. Die vorgelegte Gleichung hat also unter allen Umständen minde- stens eine Lösung im Perioden- streifen. Nach 6. gibt es aber dann und nur dann eine zweite davon verschiedene Lösung z im Perioden- streifen, wenn z =^ 0 und 4= n, I also ze' =1= + 1 ist.

Ganz analog verfährt man mit der Gleichung sin2: = ze;. Bei die- ser überzeugt man sich noch leicht, daß stets eine und nur eine Lösung dieser Gleichung in dem in Fig. 12 nicht schraffierten Teile des Pe- riodenstreifens Hegt, wenn diesem die stark ausgezogenen, nicht aber die gestrichelten Teile des Randes zugerechnet werden (s. u. VI).

Fig. 12.

^) Denn da w^ — \ :=^ w" ^ s,o ist auch ^J w- — \ ^ + w.

Kn

opp, Unendliche Reihen.

26

241

402 XII. Kap. Reiben mit komplexen Gliedern.

IV. Die Funktionen ctg;s; und tg;5J. 1. Da cos 2 und sin 2: in der ganzen Ebene analytisch sind, werden auch die Funktionen

cos z i . sin 2

cte z = -. — und tg 2: =

^^ sm2 cos^

in der ganzen Ebene regulär sein, außer in den Punkten kn bzw. (2^ + l)v-, iri denen sin z bzw. cos 2: verschwindet. Ihre Potenz- reihenentwicklung könnte man durch Ausführung der Division der cos- und sin-Reihe gewinnen. Da diese Operation rein formaler Natur ist, muß sie jetzt dasselbe Ergebnis haben, wie die in § 24, 4 durch- geführte Division im Reellen. Es ist also (s. 115 und 116)

jfe=i

(2Ä)!

Auf Grund von 94 und 136 sind wir jetzt auch in der Lage, den ge- nauen Konvergenzradius dieser Reihen anzugeben: Der Betrag des Koeffizienten von z-^ in der ersten der beiden Reihen ist nach 136

Die (2Ä;)^^ Wurzel hieraus ist

C2Ä)! (2.T)2*'-in2^*

1 2^/

die Summe y~\ bezeichnet wird. Da diese aber für alle yfe =- 1, 2, ... zwischen 1 und 2 gelegen ist (denn für k=\ ist

sie ='^, für alle andern h kleiner, doch > l);'so strebt 6

2*/ o2*i?" 1

2k/

V

(2k)l 71

so daß nach 94 der Radms der ctg-Reihe = n ist. Ähnlich ergibi sich der der tg-Reihe als ~.

2. ctg z und tg z haben die Periode n. denn cos z und sin z wechseln beide nur das Vorzeichen, wenn z um 71 vermehrt wird. Auch hier kann genauer gezeigt werden, daß aus

ctg z^ = ctg z,^ und ebenso aus tg z^ = tg z^ stets ■ z^ = z,-{-k7i (Ä-0, ±1.^.-.)

folgt. In der Tat folgt aus

cos z^ cos^o _ sin {z^ — Zj) ^^S^i "~ ^^^^^2 = sinz, sin 2., ~ sin^-^-sin ^-^ '

241« § 55. Die elementaren Funktionen. — IV. ctg z und tg z. 403

daß sin(^2 ~ -2^1) = ö' ^^^o z.^ — z^ = k7i sein muß; und ebenso er- gibt sich die Behauptung bezüglich der zweiten Gleichung.

3. Im „Periodensireifen'', d. h. im Streifen — -^ < 9*^ (-?) ;^ + ^

nehmen ctg z und tg z jeden komplexen Werl te» =f= + ^ genau einmal an, w = +i werden gar nicht angenommen. Soll nämlich ctg z ^= w sein, so muß, wenn e^^'^ = il, gesetzt wird,

■i r- - = w oder C == — ~. • C — 1 w — i

Da nun w =^ :h i sein sollte, so ist ^ eine bestimmte von 0 ver- schiedene komplexe Zahl; es gibt daher (nach II, 5) ein z' mit

z' — ^ < S (^') ^ ^' ^^^ ^^^ ^^' = C ist. Für ^ = — j -^ ist dann

— 2 < 9^ W ^ Y ^^^ ^^S^ = z^>

d. h. z ist eine Lösung der letzten Gleichung im vorgeschriebenen Streifen. Nach 2. kann dort keine zweite Lösung liegen. Daß end- lich die Gleichungen ctg 2:= ±i gar nicht lösbar sind, erkennt man daraus, daß ihr Bestehen die Gleichung

ctg2^+ 1 =-0

zur Folge hätte, die wegen cos^^: -]- sin-^: r= 1 tatsächüch für kein z gültig sein kann. — Für tgz verfährt man ganz analog.

4. Auch die in § 24, 4 abgeleitete Partialbruchzerlegung für die ctg -Funktion bleibt ungeändert für alle komplexen z bestehen, die von 0, ±1, ib 2, ... verschieden sind (und ähnlich die Zerlegungen von

Xgz^ — — usw.). In der Tat kann die ganze dortige Entwicklung,

ohne auch nur ein Wort zu ändern, „komplex gelesen" werden^). Es ist also insbesondere für alle obengenannten z

nzag^z = 1 + . i [^4,7 + .y = 1 + 2.^ -„l^-i^^- Da endlich

7lZCtg7lZ = tJZZ -.- _^^

71Z

»..« —IT!?

ist, so erhält man hieraus, wenn man 2i7iz einfach durch z ersetzt, noch die Entwicklung

1) Gerade um dies zu ermöglichen, hatten wir damals einige Abschätzungen (Z.B. die S. 198 und 199, Fußnote 1 erwähnte) etwas anders gemacht, als es im Reellen erforderlich war.

26*

404 XW- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern,

oder also die Entwicklung

— gültig für alle komplexen z, die von 2kni, {k^O, ganzzahlig), verschieden sind. Damit ist auch die Gültigkeit der S. 364 gewon- nenen besonders merkwürdigen Parüalbruchzerlegung auf komplexe z erweitert und zugleich der wahre Zusammenhang zwischen dieser und der ctg-Zerlegung aufgedeckt, der bisher als ein mehr zufälliger erschien.

V. Die logarithmische Reihe. In § 26 sahen wir, daß für \x\ <1 die Reihe

n = \ "

die zur Exponentialfunküon ey — 1 inverse Punküon darstellt, d. h. wenn man y in die Reihe

y+lT+lT + ---

einsetzt und die (sicher erlaubte) Umordnung nach Potenzen von x vornimmt, so reduziert sich die neue Reihe einfach auf x. Diese Tatsache muß — weil rein formaler Natur — auch noch für kom- plexe Größen bestehen bleiben. Es ist daher auch für alle 1 2 | < 1

e^ — 1 = z oder e"^ =1 -\- z, wenn w die Summe der Reihe

rr. / 1\« — 1

{L) w=Z^^^

n = l

bedeutet. Wir benutzen nun auch im Komplexen die folgende 242. Definition. Es soll a ein natürlicher Logarithmus von c, in Zeichen

a = log c

genannt werden, wenn e'^ = c ist.

Nach II, 5 können wir dann zunächst sagen, daß jede von 0 verschiedene komplexe Zahl c einen und nur einen Logarithmus be- sitzt, dessen imaginärer Teil zwischen — jt ausschließlich und + n einschUeßlich gelegen ist (der Zahl 0 aber kann nach II, 6 auf keine Weise ein Logarithmus zugesprochen werden). Diesen eindeutig bestimmten Wert wollen wir genauer den Hauptweri des natürhchen Logarithmus von c nennen; denn neben ihm gibt es noch unendlich viele weitere Logarithmen, da neben ^« = c auch ß«+2*--rt ^ ^ ist. Ist also a der Hauptwert des Logarithmus von c, so sind auch die Zahlen

a^2k7ii (k'^0, ganzzahlig)

!243* § 55. Die elementaren Funktionen. — V. log" z. 405

als natürliche Logarithmen von c zu bezeichnen. Man nennt sie ge- nauer seine Nebenwerte ^). Nach II, 4 kann es außer diesen Zahlen a-]- 2kTii nun keine weiteren Logarithmen von c mehr geben.

Nach diesen Festsetzungen können wir nun jedenfalls sagen: Die obige Reihe (L) liefert im Einheitskreise einen Logarithmus von [l -\- z). Wir beweisen nun aber gleich genauer den

Satz. Die logarithmische Reihe w= ^- — - — <?" liefert im Ein- ^i4S.

n = l ^

heitskreise einschließlich aller seiner von — 1 verschiedenen Randpunkte den Hauptwert von log (l + ^) •

Beweis. Es ist

wenn 2: = y (cos cp -^ i sin 99) gesetzt wird. Man erkennt nun leicht, daß dieser imaginäre Teil bei konstant gehaltenem cp ^) von 0 bis zu

dem Summenwerte der Reihe sin 99 ^r-^ -\ ^— ^ 1- . . . sich

monoton ändert, wenn r von 0 bis 1 (einschließlich) wächst. Setzt man ihn nämlich für den Augenblick = f(r), so ist

j.f / \ ^ / ^ \w-i • M-1 1 _ / 1 \ sin 99

^ W = 2;/- 1) ='"»?'•'- = - 7 s (t+-J = r+ 2-ci^-7 ■'

und da hier der Nenner positiv ist, so hat f (r) bei festem (p =^ k 71 ein festes Vorzeichen für alle 0 << r < 1, — womit unsere letzte Be- hauptung schon bewiesen ist. Unser imaginärer Teil erreicht also, da er für y = 0 den Wert 0 hat, seine äußersten (positiven bzw. negativen) Werte für r = 1, und es ist also dieser imaginäre Teil seinem Betrage nach nicht größer als der Betrag der Summe

Ui-i)

n—i Sinn (p n

und liegt also nach 210 zwischen — — und -\~ ^ (mit Ausschluß

beider Grenzen), so daß die logarithmische Reihe wirklich den Haupt- wert von log(l -\- z) zur Summe hat^).

^) Ist c positiv reell, so stimmt der Hauptwert von log c mit dem früher (36, Def.) definierten (reellen) natürlichen Logarithmus überein.

2) Wir dürfen uns 9? =j= ä jt denken, da uns für die damit ausgeschlossenen reellen z der Inhalt des Satzes schon von früher her bekannt ist (vgl. die vorige Fußnote).

ä) Bei der nötigen Vorsicht kann man dies nach 98, 2 auch unmittelbar aus der logarithmischen Reihe selbst ablesen.

406 X^I- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

VI. Die arcsin-Reihe.

Wie wir unter III , 7 sahen, hat die Gleichung sin w = z bei gegebenem komplexen ^ =4= + 1 stets genau zwei, und für 2 = 4:1 stets genau ßzW Lösung im Streifen — TT < 91 (zu) <C 4- tt . Da die beiden Lösungen (nach IIT, 6) ent- weder Spiegelbilder in bezug auf den Punkt -f — oder den Punkt — - sind,

so können wir genauer sagen: Die Gleichung sinw^z hat bei beliebig ge- gebenem komplexen z (einschließlich + 1) stets genau eine Lösung im Streifen

-2 <^(«^)^+ 2' wenn man von diesem Streifen noch die unterhalb der Achse des Reellen ge- legenen Teile des Randes wegläßt (vgl. Fig. 12 , wo die nicht zum Streifen zu zählenden Randteile gestrichelt, die andern stark gezogen sind). Diese für jedes komplexe z eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung sin w — z wird der Hauptwert der Funktion

w = arc sin z

genannt. Alle übrigen Werte sind nach III, 6 in den beiden Formeln

{arc sin z-\-2k tc % — arc sin z-\-1k% enthalten. Man kann sie die Nebenwerte der Funktion nennen. Für reelle | ;»^ | ^ 1 liefert die Reihe

1 x^ 1-3 X''

^3 yb

die Umkehrung der sin-Potenzreihe y — q", + fj !-.•••

Genau dieselben Erwägungen wie unter V. bei der logarithmischen Reihe lehren nun, daß auch für komplexe \ z\<.\ die Reihe

"' = "+2ir + 2T4¥ + ---

w ^ die Umkehrung der sin-Potenzreihe w — ^ -f • • • ist. Sie liefert daher jeden-

falls einen der Werte von arc sin 2. Daß sie gerade den Hauptwert liefert,

folgt hier einfach daraus, daß für j ^ | < 1 , 2 =4= + 1 »

1 U|3 1.3 \z\^ I 9fi (arc sin 2) I ^ j arc sin 2 I ^ I 2 I -f -^ U^ + 2^4 * 5 "^ ' ' *

=r arc sin ] ^ ! ^ arc sin 1 = ^r

u

ist, — eine Bedingung, die eben nur von dem Hauptwert erfüllt wird.

VII. Die arctg- Reihe. Die Gleichung tgz£;=^ hat, wie wir aus IV, 3 wissen, bei gegebenem 2 ^= + t stets eine und nur eine Lösung im Streifen — -^ < 91 (m^) < + V ' ^^" nennt sie den Hauptwert der Funktion

w = arctg z , deren sämtliche anderen Werte dann (nach IV, 2) durch die Formel arctg z-\-k'jt erhalten werden. Die Gleichungen tg 2 = + i aber haben überhaupt keine Lösung.

244. § 55. Die elementaren Funktionen. — VI. arc sin z. VII. arctg z. 407

Fast wörtlich dieselben Erwägungen wie soeben lehren nun wieder, daß

für i ^^ 1 < 1 die Reihe

"8 ^5"

(A) w -^ z — -TT —

eine der Lösungen der Gleichung tg w -- z liefert. Daß es gerade der Haupt- wert von SLTCtgz ist, daß also der reelle Teil der Reihensumme zwischen

- — (ausschl.) und + ^ (einschl.) liegt, und daß dies auch noch für alle | ^ j = 1

gilt, die von -r i verschieden sind, erkennt man auf Grund der beim Loga- rithmus durchgeführten Betrachtungen folgendermaßen:

Die Summe w der Reihe (A) ist, wie man durch Einsetzen der log -Reihen sofort erkennt, für alle von ^i verschiedenen j^l^l

= u^= log{l-i-i z) - — log (1 - iz) ,

wobei unter den beiden Logarithmen deren Hauptwerte zu verstehen sind. Daher ist

gt (w) = i S log (1 + i2) - -i- S log (1 - iz) ;

und da hier (nach 243) Minuend und Subtrahend zwischen — — - und + —

liegen , so liegt ^ (w) zwischen — ] und - --- , — jedesmal mit Ausschluß

beider Grenzen. Die Reihe (A) stellt also sicher den Hauptwert von arctg^ dar, solange \z\-^l und z-^ ±i ist, w. z. b. w.

VIII. Die Binomialreihe.

Von den im Reellen behandelten besonderen Potenzreihen bleibt nun allein noch die Binomialreihe

für den Fall zu untersuchen, daß die auftretenden Größen — außer der Varia- blen X also auch der Exponent a — komplexe Werte annehmen. Wir beginnen mit der

Definition: Unter dem Hauptwert der Potenz h"^ , in der a und b öe- 244. Uebige komplexe Zahlen bedeuten, von denen mir 0^=0 angenommen wird, soll der durch die Formel

eindeutig festgelegte Wert verstanden werden, wenn hierin log & dessen Hauptwert bezeichnet. — Wählt man für log & einen seiner übrigen Werte, so erhält man auch weitere Werte der Potenz, die man als deren Nehenwerte bezeichnen kann. Ihre Gesamtheit wird durch die Formel

gerade einmal geliefert, wenn hier log 6 seinen Hauptwert hat und k alle ganzen Zahlen ^ 0 durchläuft. '

Bemerkungen und Beispiele.

\. Eine Potenz &^ ist hiernach im allgemeinen unendlich vieldeutig, doch besitzt sie stets einen und nur einen Hauptwert.

408 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

2. So bedeutet z. B. i^ die unendlich vielen (übrigens sämtlich reellen) Zahlen

unter denen e " der Hauptwert der Potenz z* ist.

3. Die Potenz h"" wird nur dann nicht unendlich viele Werte haben, wenn

^'^•''"^" (Ä = 0,±l,±2,...)

nur endlich viele Werte liefert; und dies wird dann und nur dann eintreten, wenn ka fürÄ = 0,2:l,±2, ... nur endlich viele wesentlich verschiedene Zahlen liefert. Dabei sollen (nur für den Augenblick) zwei dieser Zahlen dann und nur dann wesentlich verschieden heißen, wenn sie sich nicht bloß um eine ganze (reelle) Zahl unterscheiden. Das ist aber, wie man sofort sieht, dann und nur dann der Fall, wenn a eine reelle rationale Zahl ist; und die Anzahl der „wesentlich verschiedenen" Werte, die k-a in diesem Falle annehmen kann, wird dann durch den (kleinsten) positiven Nenner angegeben, mit dem a ge- schrieben werden kann.

' P -

4. Speziell hat hiernach b^ ='V b genau p verschiedene Werte, von denen ein ganz bestimmter als Hauptwert ausgezeichnet ist, wenn p eine ganze po- sitive Zahl ist.

5. Die Anzahl der verschiedenen Werte von b^ reduziert sich nach 3. und 4. dann und nur dann auf eins, wenn a eine reelle rationale Zahl mit dem Nenner 1, also eine reelle ganze Zahl ist. Für reelle ganzzahlige Exponenten (aber auch nur für diese) bleibt also die Potenz nach wie vor ein eindeutiges Symbol,

6. Ist b positiv und a reell, so ist der früher als Potenz ö* definierte Wert jetzt der Hauptwert dieser Potenz.

7. Ebenso ist der durch 236 eindeutig festgelegte Wert von e^ und p^, (/?>0), jetzt genauer der Hauptwert dieser Potenzen. An und für sich hätten beide Symbole nach unserer letzten Definition bei komplexen z unend- lich viele Werte. Nichtsdestoweniger soll an der Übereinkunft festgehalten werden, daß unter e^ und bei positivem p unter p^ immer der durch 336 erklärte Wert, also immer nur der Hauptwert verstanden werden soll.

8. Die folgenden Sätze werden uns lehren, daß es sinngemäß ist, die Potenz &" auch dann noch zu definieren, wenn & = 0, aber 9? (a) > 0 ist. Man legt ihr dann (eindeutig) den Wert 0 bei.

Nach diesen Vorbereitungen beweisen wir nun den folgenden weitgehenden

245, Satz. Für beliebige komplexe Exponenten a und beliebige komplexe \z\<i\

ist die Binomialreihe

£(:)-.-i+(?)^H-(i)^-^+...+(:)^"+...

konvergent und hat stets den H auptwert der Potenz {\ -\- z)^ zur Summe^).

Beweis. Die Konvergenz ergibt sich wörtlich ebenso wie im Falle reeller z und a (s. S. 201), so daß wir nur die Behauptung über die Summe der Reihe zu beweisen haben. Wenn man aber für reelle |;vj < 1 und reelle cc

die Reihe

X c_ ]\n-l a X- AT« = a log (1 + x)

1) Abel, J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 1 (1826), S. .Sil,

246. § 55. Die elementaren Funktionen. — VIII. Die Binomialreihe. 409

in die Exponentialreihe g^ = 1 -f y + Z_ a_ . . . einsetzt und die (nach 104) sicher erlaubte Umordnung nach Potenzen von x vornimmt, so muß man die Potenz- reihe für ß«l«g(i+^) = (1 +;,)«, also die Binomialreihe^ f "") ^" erhalten. Tun

wir, zunächst rein formal, dasselbe, indem wir uns a komplex denken und z statt X schreiben, setzen wir also

n=l ^ .=0^^'

ein und ordnen wieder nach Potenzen von z um, so erhalten wir zunächst

noch ohne Rücksicht auf die etwaige Konvergenz — notwendig wieder die Reihe

Ihre Summe müßte also = e«l°g(l+^) = (1 +^)« sein — und hier wären für den Logarithmus und also auch für die Potenz deren Hauptwert zu nehmen — , wenn wir noch nachweisen können, daß die ausgeführte Umordnung erlaubt war. Das ist aber nach 104 sicher der Fall; denn die Exponentialreihe ist

beständig konvergent und die Reihe a N^tl-I"^'^« bleibt für U|<1 konvcr-

gent, wenn wir a und alle Glieder der Reihe durch ihre absoluten Beträge ersetzen. Damit ist der Satz in seinem vollen Umfange bewiesen.

Bemerkung. Trennt man in (1 +^)" Reelles und Imaginäres, so gelangt man zu einer ziemlich kompliziert ausschauenden, von Abel herrührenden Formel, die immerhin zeigt, ein wie weitgehendes Resultat der eben bewiesene Satz ausspricht und der uns auch einen Weg zur Berechnung der Potenzen (1 + ^)" liefert : Ist z = y (cos 9? -f i sin 99) und a = ß + iy, 0 < r < 1 , rp, ß, y reell, so ist zunächst, wenn

1 -f -3" = i? (cos $ + z sin 0) gesetzt wird,

i? = Vi + 2 j' cos 9? H- y2 ^ $ = Hauptwert von arctg — - ^^"^ i)

1 4- y cos 99 ' und mit diesen Werten nun

(1 ^ ^-j « = g (/?+ y »■) [log Ä+ »• 0]

= Rß.e-r ^^ fcos {ß^ + y logA') -^ism{ß<P + y logÄ)] . Für den Fall i-3'|<l ist durch den Satz 245 und die eben angefügte Bemerkung die Frage nach der Summe der Binomialreihe vollständig beant- wortet. Es bleiben nur noch die Punkte der Peripherie \z\=^\ zu betrachten. Aus dem Ahelschen Grenzwertsatz in Verbindung mit der Stetigkeit des Haupt- wertes von log(l+^) für alle von —1 verschiedenen j^-j :g 1 und der durch- gängigen Stetigkeit der Exponentialfunktion, ergibt sich da zunächst sofort der

Satz. Überall, wo die Binomialreihe auf dem Rande j^j = 1 des Einheit s- ^^^^ kreises noch konvergiert, außer möglicherweise in z— — l, ist ihre Summe nach wie vor der H auptwert von (l-f^)".

Die Feststellung, ob und für welche W^erte von cc und z die Binomial- reihe auch noch auf dem Rande des Einheitskreises konvergiert, bereitet nach den Vorbereitungen, die wir in § 53 (hauptsächlich zu dem jetzigen Zweck)

^) $ ist also zwischen — — und -f — zu wählen.

O Li

410 XII, Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

getroffen haben, keinerlei Schwierigkeiten. Es gilt darüber der folgende, die ganze Frage noch einmal zusammenfassend beantwortende

S47« Satz. Die Binomialreihe^j i ^]^" reduziert sich für reelle ganzzahlige

ß> 0 auf eine endliche Summe und hat dann den (eo ipso eindeutigen) Wert (1 -rz)"', speziell den Wert 1 für cc = 0, (auch für z ^ — 1). Ist cc von diesen speziellen Werten verschieden, so ist die Reihe für \z\<l absolut konvergent und für ] ^^ | > 1 diver- gent und weist in den Randpunkten z =1 des Einheitskreises das folgende Ver- halten auf:

a) für 9t (a) > 0 ist sie in allen diesen Randpunkten absolut konvergent;

b) für 91 («)< — ! ist sie in allen jenen Randpunkten divergent;

c) für — l<9?(a)<0 ist sie in z= — \ divergent, in allen anderen Rand- punkten des Einheitskreises dagegen bedingt konvergent.

Die Summe der Reihe ist hierbei im Falle der Konvergenz stets der Hauptwert von (1+^")" speziell =0, wenn es sich um den Punkt z = ~l handelt.

Beweis. Setzen wir (-1)" ( ^ ) =«« + i, so können wir unmittelbar den

Satz 229 anwenden, denn es ist

cc ,

nj n — {a + l) . a + 1

a

n-l

und es kann somit die Richtigkeit der Behauptungen a), b), c) unmittelbar ab- gelesen werden. Nur der Punkt z = -l, also die Konvergenz der Reihe

bedarf einer besonderen Untersuchung. Hier ist aber einfach

a\_^cc {a- l)(o:-2) 2/ Y i'- 2

l-{l) + (2)-(3)-(— )

und allgemein, wie man durch Induktion sofort bestätigt:

^)+(,")_+...+(_,r(:)Hi-c.)(.-.)...(i-:-

d. h. die Teilsummen unserer Reihe sind den gleichstelligen Teüprodukten des Produktes H" f 1 - — 1 gleich. Das Konvergenzverhalten dieses Produktes ist

aber sofort zu überschauen. Denn ist

l. <i^{a)^ß>0, so wähle man ß' gemäß 0<ß'<ß. Dann ist von einer Stelle ab, etwa für alle n>m,

1 - "= i < 1

n

also

.-ä(-.^i) ■(-:)!<(-'.)(-. -^-T

1-^

n

247. §56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. 411

woraus nach 126, 2 abzulesen ist, daß jetzt die Teilprodukte und folglich auch die Teilsummen unserer Reihe ^0 streben. Die Reihe ist also konvergent mit der Summe 0^). Ist aber

2. m{c^) = -ß<0, so ist

il-^l>14-^,

I n i n

woraus wieder durch Multiplikation folgt, daß

ist und also -> + cX) strebt. Die Reihe ist jetzt also divergent. Ist endlich

3. 9ft(a) = 0, etwa a = iy mit 7^.0, so ist die n^^ Teilsumme unserer Reihe

und daß diese Werte für n->-\- OO keinem Grenzwert zustreben, kann man in

unserm Zusammenhange am schnellsten folgendermaßen erkennen: Wegen

[iyY der absoluten Konvergenz der Reihe 2'(-^l ist nach § 29, Satz 10

i+^)('+'i)-(^ + f

*>(l + f+,

Wächst nun w -> + oc, so strebt hier die rechte Seite ersichtlich keinem Grenz- wert zu, sondern liefert eine Folge von Punkten, die um den Einheitskreis im mathematisch-positiven Sinne und in immer kleineren Schritten herumlaufen, ohne zur Ruhe zu kommen. Wegen des asymptotischen Zusammenhangs gilt dasselbe auch von der Folge der linkstehenden Teilprodukte. Also ist unsere

Reihe 2{—\y{^\ auch für ^{a) = 0 divergent. Damit ist Satz 247 in allen

Teilen bewiesen, das Konvergenzverhalten der Binomialreihe für alle 2 und cc ermittelt und ihre Summe in allen Konvergenzpunkten „geschlossen" an- gegeben.

§ 56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz. Weier straßscher Doppelreihensatz.

Die grundsätzlichen Bemerkungen über Reihen mit veränder- lichen Gliedern

yfni^)

n=0

sind wesentlich dieselben wie im Reellen (s. § 46), nur daß an die Stelle des gemeinsamen Deünhionsintervalles jetzt ein Gebiet treten

1) Die Konvergenz der Reihe S {— 1)" f ^ J folgt ja schon aus 228 und ist

für 91 (a) > 0 sogar eine absolute. Daß ihre Summe dann aber = 0 ist, ergibt sich erst wie oben.

412 XII- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

wird, als welches wir der Einfachheit halber ■ — und auch für die meisten Zwecke ausreichend — einen Kreis wählen. Wir setzen dem- gemäß voraus:

1. Es gibt einen Kreis \z — -2:^|<r, in dem alle unsere Funk- Honen f(z) definiert sind.

2. Für jedes einzelne z des Kreises \z — Zq\ < r ist die Reihe

n = 0

konvergent.

Dann hat für jedes z dieses Kreises die Reihe ^f„{z) eine ganz bestimmte Summe, deren Wert also eine Funktion von z (im Sinne der Definition von S. 388) sein wird. Wir schreiben dann etwa

n=0

Bei solchen durch Reihen mit veränderlichen GHedern dargestellten Funktionen treten nun genau dieselben Probleme auf wie in § 46 und 47 für den Fall reeller Veränderlicher. Während es aber im Reellen für die Theorie und ihre Anwendungen von größter Bedeutung ist, den Funktionsbegriff in seiner vollen Allgemeinheit zu verwenden, hat sich dies im Komplexen nicht als wertvoll erwiesen. Man beschränkt sich hier vielmehr als für die meisten Zwecke ausreichend auf analytische Funktionen. Wir verlangen demgemäß noch:

3. Alle Funktionen t\^{z) sollen in dem Kreise \z — ZQ\<r ana- lytisch sein, sollen also durch je eine Potenzreihe mit dtm Mittel- punkt Zq darstellbar sein, deren Radius hei allen mindestens gleich der einen festen Zahl r ist.

Wir sprechen dann kurz von lieihen analytißeher Funktionen^), und die Hauptfrage, um die es sich bei solchen Reihen handelt, ist jedesmal diese: Ist die dargestellte Funkticn F [z) wieder eine im Kreise \z — ZQ\<r analytische Funktion oder nicht? Genau wie im Reellen läßt sich hier durch Beispiele belegen, daß dies ohne weitere Voraussetzungen noch nicht der Fall zu sein braucht. Dagegen läßt sich das gewünschte Verhalten von F{z) erzwingen, wenn man wieder

1) Auch hier gilt (vgl. 190, Bem. 4) die prinzipielle Bemerkung: Es kommt sachlich auf dasselbe hinaus, ob man von Reihen mit veränderlichen Gliedern oder von Funktionenfoli;en handelt. Die Reihe 27'„ {z) ist mit der Folge Sq (-?), s^{z),... ihrer Teilsummen gleichbedeutend, — und eine solche Folge von Funktionen

ist umgekehrt gleichdeutend mit der Reihe Sq{z) -\- {s^ {z) — Sq{z)) -\- Der

Einfachheit halber sprechen wir im folgenden alle Definitionen und Sätze nur für Reihen aus; für Folgen wird sie sich jeder dann leicht selbst formulieren können.

I

240. §56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. 413

(vgl. § 47, 1. Absatz) voraussetzt, daß die Reihe gleichmäßig konvergiert. Wir stützen uns dabei, in fast wördicher Wiederholung von 191, auf die

Definition (2. Form) i). Eine Reihe 2f,^{z), deren Glieder sämtlich 2^H, im Kreise \z ~ Zq\ <r definiert sind und die daselbst konvergiert, heißt in dem kleineren Kreise \z — Zf^\ -^q <Cr gleichmäßig konvergent, wenn es nach Wahl von e > 0 stets möglich ist , eine Zahl N > 0 so zu bestimmen, daß für alle n > N und alle z im genannten Kreise \z — 2q\ ^ Q stets

i/;+i(«)+/;+.w + --- + ;=!''„(^)i<«

bleibt.

Bemerkungen.

1. Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz bezieht sich hiernach stets auf alle Punkte eines Kreises. Doch kann man selbstverständlich auch andre Gebiete, ja auch Linienzüge oder irgendwelche unendliche Punktmengen M zugrunde legen, die dem Kreise \z — ZqI^v angehören. Die Definition bleibt sachlich dieselbe.

2. Hat die Potenzreihe 2 a^ (z ~ Zq)'^ '^^^ Radius r und ist 0 < o < r, so ist die Reihe in dem (abgeschlossenen) Kreise \z — Zq\ Kg gleichmäßig kon- vergent. Beweis: wörtlich wie S. 322.

3. Ist r der genaue Konvergenzradius von Z an{z ~ Zq)*^, so braucht die Reihe in dem Kreise \z — Zq\ Kr nicht gleichmäßig zu konvergieren. Beispiel: Die geometrische Reihe; Beweis: wie S. 323.

4. Genau wie damals erkennt man, daß unsere Definition mit der folgen- den völlig gleichen Inhalt hat:

3. Form. Zfn{z) heißt m \ z — Zq\Kq {oder in der Punktmenge 9Jl) gleich- mäßig konvergent, wenn nach Wahl einer ganz beliebigen, diesem Kreise {oder dieser Punktmenge) entnommenen Zahlenfolge (Zn) die zugehörigen Reste r^ {z„) stets eine Null folge bilden.

Auch die 4. und 5. Form der Definition (S. 324) bleiben völlig ungeändert, und es erübrigt sich darum wohl, sie hier besonders zu formulieren.

Dagegen ist eine so eindrucksvolle Veranschaulichung der gleichmäßigen bzw. ungleichmäßigen Konvergenz einer Reihe wie im Reellen hier leider nicht möglich.

Nunmehr können wir schon den angedeuteten Hauptsatz formu- lieren und beweisen:

Weierstraßscher Doppelreihensatz'-'): Es sei die Reihe 349.

k = 0

^) Diese Definition entspricht der damaligen 2. Form. Die 1. Form 191 kann hier forgelassen werden, da sie uns nur für die Einführung, nicht für den Gebrauch des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz wesentlich schien.

2) Werke, Bd. 1, S. 70. Der Beweis stammt aus dem Jahre 1841.

414 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

vorgelegt. Jedes ihrer Glieder fj^ (z) sei mindestens für \z — z^ < r analytisch, so daß die Entwicklungen^)

f,{z) = «r» + af\z -z,)+... + a^iz - zj + ■■■

f,{z) = «i" + 4'\z - z„) + . . . + «:«(. - zj + ...

4 (z) = « •*' + al% -z,) + ... + «„<*> (z - zj' + ...

existieren und sämtlich mindestens für \z — Zq\ < r konvergieren. Endlich sei die Reihe ^ f^{z) gleichmäßig konvergent im Kreise \ z — Zq\ -^ Q und zwar für jedes q <Cr, so daß die Reihe insbesondere überall im Kreise \z — Zq\ <r konvergiert und dort eine wohlbestimmte Funktion F{z) darstellt. Dann läßt sich zeigen:

1. Die spaltenweis unter einander stehenden Koeffizienten liefern konvergente Reihen:

i:af = ^„, {n fest, =0, 1, 2...).

Ä = 0

2. 2!A,^^{z — Zq)'' ist für \z — z^^\<r konvergent.

n = 0

3. Es ist für \z — Zq\ < r

^AJz~-zJ'=.-if,{z) = F(z).

n=0 k=0

4. Für \z — Zq\ < r und für jedes v = 1, 2, . . . ist

F"'\z)=2f!.'-\z).

k = 0

Bemerkungen.

1. In etwas unschärfere Worte gekleidet besagt der Satz in erster Linie: Eine gleichmäßig konvergente Reihe analytischer Funktionen stellt wieder eine analytische Funktion dar. Sodann: Unter den im Satz genauer präzisierten Voraussetzungen „darf" man unendlich viele Potenzreihen gliedweis addieren. Endlich: Eine gleichmäßig konvergente Reihe analytischer Funktionen „darf" man beliebig oft gliedweis differenzieren.

2. Die Voraussetzung, 2'4(^) solle für jedes Q<r in \2-ZQ\<r gleich- mäßig konvergieren, ist z.B. für jede Potenzreihe 2* c„ (^ - ^o)" erfüllt, die den

Konvergenzradius r hat. Ebenso auch z. B. für die Reihe ^ mit >'= 1;

vgl. dazu § 58, C.

3. Die erste unserer 4 Behauptungen zeigt, daß der jetzige Satz nicht etwa einfach als Anwendung der Markoffschen Reihentransformationen bewiesen werden kann; denn bei dieser wurde die Konvergenz der Spalten vorausgesetzt^ hier wird sie aus den übrigen Voraussetzungen gefolgert.

1) Der obere Index an den Koeffizienten a^*^ gibt also die Nummer der Funktion in der vorgelegten Reihe, der untere seine Stellung in der Entwick- lung derselben an.

249. §56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. 415

Beweis. 1. Es werde ein positives Q<Cr festgelegt und e' > 0 gewählt. Dann gibt es nach Voraussetzung ein k^, so daß für alle k' > k > k^ stets

bleibt. Hierbei soll s^ = s,. (z) = /q (-2^) + • • • + 4 {^) gesetzt sein. Die Funktion Sj^'(z) — Sj^(z) ist aber eine bestimmte Potenzreihe, deren n^^^ Koeffizient

— an -T CLn -^ . . . -\- an

ist. Nach der C^wcÄyschen Abschätzungsformel 235 gilt für diesen die Abschätzung

(a) an + ^n + . . . + ßn I < -^ (^ fest) .

Da hierin q und n fest gewählte Zahlen sind, so steht rechterhand eine Zahl e, die durch passende Wahl von e jeder positiven Zahl gleich gemacht werden kann^). Nach 81 ist also — immer bei festem n — die Reihe

dn -f- CLn -r • • • -r «n "T • • • ==-" 2j ^n

k=0

konvergent. Ihre Summe heiße A .

2. Es sei jetzt M' das Maximum von | S;fe^+i(<2;) | längs der Peri- pherie \z — Zq\ = Q^). Dann ist für alle k > k^ längs dieser selben Peripherie

I h(^) 1 £ i 5*0+1 W ^ + I hi^) - 5ä„+iW \<m'-{-8' = m.

Nach der Cauchyschen Abschätzungsformel ist also für jedes feste n = 0,l,2,...

i (0) I (1) I I {k)\ ^ M

und dies ohne Rücksicht auf den Wert von k. Daher ist auch und folghch 2!A^^{z — z^y für \z — Zq\<q konvergent. Da aber ^

11 = 0

nur der Beschränkung < r zu sein unterworfen war, so muß diese Reihe sogar für \z — Zq\ < r konvergieren. (Denn wenn z ein be-

^) Oder: Es sei «>0 gegeben. Wird dann das positive Q<Cr und die ganze Zahl n ^ 0 irgendwie gewählt und nun s' = e-g'' gesetzt, so kann k^ wie oben gewählt werden, und es ist dann für Ä' > Ä > Ä^ stets | ajf +^^ + . . . + ajf ^ | < f, was nach 81 die Konvergenz von 2 a^^^ für das gewählte n und somit, da dieses beliebig genommen werden durfte, für jedes feste n'^0 zur Folge hat.

^) Isr, (z) 1 ist längs der genannten Peripherie stetig und besitzt dort also ein wohlbestimmtes Maximum.

416 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

stimmter der Bedingung | ^ — ^^ | < y genügender Punkt ist, so kann man sich das q stets so genommen denken, daß auch noch I 2: — jsTq I < ^ < r ist). Die durch sie dargestelhe Funktion heiße für den Augenbhck F^ {z); sie ist der Definition gemäß eine in \z — ZQ\<r analytische Funktion.

3. Daß nun F^{z)^-:^F [z) und insbesondere also auch F (z) eine analytische Funktion ist, erkennt man so: Der w*^ Koeffizient der

k Potenzreihe F^{z) ~ y^ f,.{z) ist ersichthch

r = 0

= ^,^ - {aT + «//^ + . • . + «n'O . (^ = 0, 1, 2, . . .) , also nach der Abschätzung (a) für k > k^ seinem Betrage nach ^ ~ . Daher ist für k > k^ und | ^ — 2:^ | < ^

F, {z) -i/;(.) , ^ ^' ■ (1 + ^^^ + L^»^ + .

,,_0 ^ Q 9

dies ist aber für alle \z — z^, ^q' < q seinerseits

<,'(i + _^: + C + ...) = 6'--^->.

Da dieser letzte Wert — bei festem q <C Q < r — durch passende Annahme von f' jeder positiven Zahl e gleich gemacht werden kann, so ist nach der letzten Abschätzung für alle \z — Zf^\-^Q

Fi{^)=Zfv{z), also =^F{z),

r = 0

Da aber q und q nur der Bedingung g' <i g < r unterworfen waren,

so muß (s. o.) diese Gleichung für jedes z des Kreises \z — Zq\ <C r richtig sein.

4. Auch in dem Schema ,

/•;(.) = af + 2«f (^ - z,) + Satiz - z.f + ... f/iz) = «r» + 2«.f (2 - z,) + 34'Hz - ^of + ■ • .

A, + 2A,(z^z,) + 3A, {z~zj- + ...

konvergieren die spaltenweis untereinanderstehenden Koeffizienten gegen die darunterstehenden Werte und ganz ähnlich wie unter 3. ist hiernach für \z — Zq\ :^ g' < g < r nni alle k > k^

\F'{z)~2f{z)\£e'[x + 2^j + 3^^ + ..]=.'.-^^.

Also ist dort — und aus denselben Gründen wie soeben sogar für alle \z — Zq\ <r —

p'{z)=if:iz).

k = 0

S50. §57. Produkte mit komplexen Gliedern. 4|7

Macht man den entsprechenden Ansatz mit den v^^"^ Ableitungen, so erhält man ganz ebenso, daß für \z -- Zq\ <r

F''\z)=-^fl^\z) (^=1,2, ...fest)

ist, d. h. daß die durch gliedweise ^-malige Differentiation gewonnene Reihe 2 fk\z) in dem ganzen Kreise dort die r^^ Ableitung von F {z) liefert.

Reihe 2 fk\z) in dem ganzen Kreise | ^ — ^^ j < ^^ konvergiert und

Bemerkungen.

1. Der Ausführung einiger besonders wichtiger Beispiele ist der über- nächste Paragraph gewidmet.

2. Daß die Gleichmäßigkeit der Konvergenz gerade für ein Kreisgebiet vorausgesetzt wurde, ist für den wesentlichsten Teil des Satzes gleichgültig: Sind die Glieder der Reihe 2 f-,.{z) in einem irgendwie geformten Gebiete *) analytisch, und läßt sich um jeden Punkt Zq desselben ein Kreis \z — Zq\<() so angeben, daß er auch noch zum Gebiete gehört und die Reihe in ihm gleichmäßig konvergiert, so stellt sie ebenfalls eine in dem betreffenden Gebiet analytische Funktion F {z) dar, deren Ableitungen durch gliedweise Differen- tiation gewonnen werden können. — Auch hierfür werden in § 58 Beispiele ausgeführt werden.

§ 57. Produkte mit komplexen Gliedern.

Wir haben die Ausführungen im VII. Kapitel so gehalten, daß alle Definitionen und Sätze, die sich auf Produkte mit „beliebigen" Gliedern beziehen, unverändert ihre Gültigkeit behalten, wenn die Faktoren komplexe Werte haben dürfen. Insbesondere bleiben also die Definition 125 der Konvergenz und die anschließenden Sätze 1, 2 und 5 einschließ- lich des Beweises völlig ungeändert bestehen. Auch bei der Defi- nition 127 der absoluten Konvergenz und den anschließenden Sätzen 6 und 7 ist nichts zu ändern. Ein Zweifel bezüglich der wördichen Übernahme ins Komplexe könnte dagegen bei Satz 8 aufkommen. Doch kann auch hier alles „komplex gelesen" werden, wenn wir nur übereinkommen, unter log(l-f a^) den Hawpiwert des Logarithmus zu verstehen, sobald n hinreichend groß ist. Da man hier etwas vorsichtig schließen muß, führen wir den Beweis aus:

Satz. Das Produkt 77 (l -f a^) ist dann und nur dann konvergent, 250. wenn die Glieder a^ eine Null folge bilden und wenn die hinter einem passenden Index m begonnene Reihe

Vlog(l+a„).

n = 'm+l

^) Auf eine strenge Definition eines Gebietes kommt es hier nicht an. Im folgenden handelt es sich dabei immer nur um das Innere von Flächen- stücken, die von endlich vielen Geraden oder Kreisbögen begrenzt werden, insbesondere um Kreise und Halbebenen.

Knopp, Unendliche Reihen. 27

418 XU. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

deren Glieder die Hauftwerte von log(l — a^) sein sollen, konvergiert. Hat sie die Summe L, so ist überdies

Eil + "J = (1 + «i) (1 + «.) • • ■ (1 + "J-"'' ■

n = l

Beweis, a) Die Bedingungen sind hinreichend. Denn ist für n> m stets | a^ \ < | und ist die mit den Hauptwerten angesetzte Reihe 2! ^^S (l + ^,j konvergent, so streben ihre Teilsummen s^^,

n = m + l

n > m), gegen einen bestimmten Grenzwert L und folgUch (s. § 55, II und 42, 1)

e'^ = (1 + «.. + i) (1 + ^n + .) •••(!+ «J -> ^^ also insbesondere gegen einen Wert, der =|= 0 ist. Also ist das Pro- dukt gemäß Definition 125 konvergent. Und daß sein Wert der an- gegebene ist, ist nun auch unmittelbar zu sehen.

b) Die Bedingungen sind notwendig. Denn ist das Produkt kon- vergent, so kann nach Wahl eines positiven e, das wir uns < 1 denken, n^^ so bestimmt werden, daß für alle n^n^ und alle ^ ^ 1 stets

I ^ 1

bleibt. Dann ist insbesondere für alle n > n^ stets ^„ | < g^ < 2 und die Ungleichung \aj <\ also gewiß von einer passenden Stelle m (^ wj an stets erfüUt. Weiter folgt aber, daß bei Benutzung der Hauptwerte des Logarithmus i) für dieselben n und k stets

(a) i V log (1 + a,) I < e

^ ii'=n-fl I

bleibt und also die Reihe y log (l -f a,J konvergiert. Denn da für

M = W + 1

V > n^ stets \ay\< ^ war, so ist für diese v auch

(b) • |log(l-4-a,)|<^ ^) und ebenso für alle n^n^ und alle ^ ^ 1

!log[(l + «„ + J •••(! + ^„ + fc)]|<^- Folghch ist für eine jedesmal passende ganze Zahl q '*)

(c) |log(l+«„ + J + log(l + «„ + ,) + --- + l^g(l + ^„ + ,) + 2^^*|<«^

1) Die Logarithmen sollen im folgenden stets die Haiiptwerte bedeuten.

2) Denn für \z\< { ist

liog(i-f.)i^i.| + ^- + ...<!^! + ki^ + .--Ylq7|<2l.|.

3) Denn der Hauptwert des Logarithmus eines Produktes braucht nicht gleich der Summe der Hauptwerte der Logfarithmen der Faktoren zu sein.

251. ^ 57. Produkte mit komplexen Gliedern. 419

und es bleibt nur zu zeigen, daß q immer = 0 genommen werden muß. Halten wir ein bestimmtes n^n^ fest, so ist dies aber für k = l nach (b) gewiß der Fall. Dann muß es aber auch iür k = 2 so sein. Denn da in

log(l + a„ + ,) + log(l + a^^^) + 2q7ii jeder der beiden ersten Summanden nach (b) seinem Betrage nach < e ist und nach (c) auch der Betrag der ganzen Summe < e sein soll, so kann q nicht eine von 0 verschiedene ganze Zahl sein. Aus den entsprechenden Gründen folgt nun ebenso, daß auch bei ^ = 3 die ganze Zahl ^ = 0 sein muß, und man bestätigt dies für jedes k dann leicht durch Induktion. Damit ist alles bewiesen.

Auch der auf die absolute Konvergenz bezügliche Teil des Satzes 8, daß also

CO „

die Reihe 2J log (1 + « J und das Produkt # (1 + a )

n=m+l n=m+l

Stets gleichzeitig absolut oder nicht absolut konvergieren, läßt sich ganz unmittelbar ins Komplexe übertragen und ebenso bleiben die Sätze 9--11 in § 29 und 30 gültig, denn auch für komplexe a^, die ihrem Betrage nach < J sind, bleibt die Tatsache bestehen, daß in

^og(l + aJ = a^^ + ^^.aJ^ die '&^^ eine beschränkte Zahlenfolge bilden, — denn es ist für \z\ <^

log(l+.) = ,+ [-^ + |-^ + ...].,^ .

und hierin bleibt für die genannten z der Betrag der eckigen Klammer ersichtlich < 1 .

Endlich bleiben auch die Bemerkungen über den allgemeinen Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten — weil rein formaler Natur — ungeändert bestehen.

Beispiele.

1- iZ^lH ) ist divergent, denn da 2'ia„{2= ^ konvergiert, so ver- 251.

halten sich nach § 29, Satz 10, die Teilprodukte

die rechte Seite liefert aber für « = 1,2,... eine Punktfolge, die auf der Peri- pherie des Einheitskreises liegt und diese in immer kleineren Schritten unauf- hörlich umkreist. /?„ strebt also keinem Grenzwert zu. (Vgl. S. 411.)

sondern diese kann sich um ein Vielfaches von ^iti von jenem unterscheiden

So ist z. B. log i = —— , ^ 2 '

werte genommen werden

So ist z. B. logi = -— , aber log (i-i-i-i) = log 1 = 0, wenn überall die Haupt-

420 ^li- Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

2 7^ w(m + 1) + (1+^) ^ _ . ^g^^ j^j^,^ f ij^^gt für das nte Teilprodukt /ion(n + l) + (l-0

sofort den Wert , , ,— , was ->— 1 strebt.

1 -(w+l)i '

3. Für ein I^!<1 ist JJ {\ -\- z^") =^ , denn die (absolute) Kon-

n = 0 ^~^

vergenz des Produktes steht nach 127, 7 außer Frage und für das wte Teil- produkt hat man

(1 -^)-(l +^) (1 +^') (l +^^) . • . (1 +^"^") - 1 - ^'"''"^ was -> 1 strebt.

Bei Produkten, deren Glieder Funktionen einer komplexen Ver- änderlichen sind und die also die Form

n = l

haben, beschränken wir uns, wie im vorigen Paragraphen bei den Reihen, wieder auf den einfachsten, aber auch wichtigsten Fall, daß alle f^{z) in ein und demselben Kreise \z — Zf^\<r analytisch sind (d. h. eine dort konvergente Potenzreihenentwicklung besitzen) und daß das Produkt in diesem Kreise konvergiert. Es stellt dann in demselben eine wohlbestimmte Funktion F(2:) dar, von der man auch umgekehrt sagt, sie sei in das Pvjduk entwickelt worden.

Wir fragen nach brauchbaren Bedingungen, unter denen die durch ein solches Produkt dargestellte Funktion F {z) in dem Kreise U _ ;j^ j ^r sich wieder analytisch verhält. Für die weitaus meisten Anwendungen genügt hier der folgende

25!2. Satz. Wenn die Funktionen f^[z), U^(z), ..., f^{z), ... sämtlich

mindestens in dem (fes.en) Kreise \z — Zf^\<r analytisch sind, wenn ferner die Reihe

n = l

für jeies positive g <r in dem kleineren Kreise ; 2 — ^^ | ^ ^ gleich- mäßig kjnvergiert, so is' auch das Pr > uk: /7( i + fjz)} in \z — Zq\ <r konvergent uni s'.ellt eine dort wieder ana'yische Funktrn F{z) dar. Der Beweis geht fast wörtlich wie der Beweis des Stetigkeitssatzes 218, 1. Um nämlich die Konvergenz und den analytischen Charakter des Produktes in einem bestimmten Punkte z^ des Kreises \z — ZQ\<r zu zeigen, greifen wir ein g heraus, für das \z^ — Zq\ < g <r ist und zeigen beides gleich für alle z des Kreises j^: — ^o|<^. Da aber 2'|f„(2)| für alle \z-z^\<g gleichmäßig konvergiert, so ist das Produkt 77(1 + 4 (2) j dort gewiß auch konvergent (sogar ab- solut). Wir wählen nun m so groß, daß für alle n>m und alle \z — Zq\ ^g stets

ogg, § '^7. Produkte mit komplexen Gliedern. 421

und also

! A.«i = 1(1 + /„+i(^)) ■•• (1 + 4(2))i ^.l^"+'«i + - + i^'''''i < 3 bleibt. Genau wie S. 368 ergibt sich nun, daß die Reihe

fm + l + {Pm + 2 ~ Pm + l) + " ' + (Pn " Pn-l) + • ' "

in I ^ — -^0 I ^ ^ gleichmäßig konvergiert. Und da alle Glieder dieser Reihe in \z — z^ < r analytisch sind, so stellt sie selbst nach 249 eine

in \z — Zq\ <C Q analytische Funktion F^^^ (z) dar. Dann ist aber auch

F(z} = nn + f„ W) = (1 + /-iW) •■ ■ (1 + /„W)-F„(z)

n=l

eine in diesem Kreise, also speziell in z^ reguläre analytische Funk- tion. Da aber z^ in \z — Zq\ < r beliebig gewählt war, so ist F{z) eine in dem ganzen Kreise 1^: — «sf^l < y analytische Funktion, w. z. b. w. Aus diesen Entwicklungen können wir noch zwei Sätze ent- nehmen, der uns ein Analogon zum Weierstraßschen Doppelreihen- satz liefert:

Satz 1. Un^er den Voraussetzungen des vorigen Satzes kann die 253. Potenzreih enent wie kling von F(z) durch gliedweise Ausmultiplikation des Produkes gewinnen werden. Oder genauer: Da f^,f^,... sämt- lich in Poienzreil.en entwickelt ar sind, die für \z ~ Zq\ < r konver- gieren, so ist dasselbe auch mit dem {endlichen) Produkt

Pui^) = II (1 + fA^)) der Fall. Es sei dort etwa

P,M = ^<*' + Af-(z - z,) + Af-{z - z,f + ... + A^^.[z - z,f + .... Dann existiert für jedes {festgehaltene) n = 0, 1, 2, ... der Grenzwert

hm Af^A^^, und es ist

F{z)=^ 11(1 + f,(z)) =-- yjA^iz- zj\ k=i «=o

Beweis. Mit der beim vorigen Beweise gebrauchten Reihe

Pm+l ~r (Pm + 2 ~ Pm + l) \~ • - •

ist auch die Reihe

P,{z) + [P,[z) - P.iz)] + ... + [P^{z) - P^_,{z)] + ...

in l-^ — -^oi^^ gleichmäßig konvergent^). Die Anwendung des Weierstraßschen Doppelreihensatzes auf diese Reihe gibt aber genau den obigen Satz.

^) Denn ihre Reste unterscheiden sich von denen der vorigen Reihe nur durch den gemeinsamen Faktor P„, (2), der für alle z des Kreises \z — Zq\^q^ als eine in diesem abgeschlossenen Kreise stetige Funktion, beschränkte Werte hat.

422 XIL Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

Endlich können wir hier auch einen ganz ähnhchen Satz, wie J218, 2, über die Ableitung von F (z) beweisen:

Satz 2. Für jedes z in 'Z—Zf^\<r, für das F {z) ^ {) ist, isl

d. h. die rechtsstehende Reihe ist für jedes solche z konvergent und liefert den linksstehenden Quotienten, also die logarithmische Ableitung

von F{z).

Beweis. Es war die Darstellung

F{z)^-P^{z)-^{P^ß)-P^{z))-^...

im Kreise \z — Zq\:^q <Cr gleichmäßig konvergent. Nach 249 ist für alle \z — Zq\ < r

F'{z) = P,'{z) + {P,'(z)-P,'(z)) + ...,

d. h. aber es strebt dort

P'^{z)~>F\z).

Ist nun in einem speziellen Punkte F (z) =j= 0, so sind dort auch alle P^(^z) =^ 0 und nach 41, 11 strebt daher

Pn'i^) F'{z)

Pn{z) ^ F{Z) '

Wegen

ist dies aber genau der Inhalt unserer Behauptung.

Beispiele. !254 ^' ^^* ^^« irgendeine absolut konvergente Reihe mit konstanten Gliedern,

so stellt das Produkt

n = l

nach 252 eine in der ganzen Ebene reguläre Funktion dar. Ihre beständig konvergente Potenzreihenentwicklung lautet nach 253

1 + A^z , A^z' +A^z^ + . . . + ^fc/ + . . ., wenn

^i = J«A. ^'2= Z «;.,•«;.,, ^3= J «;.,•«;.. -«As, ...

QO

gesetzt wird. Hierbei sollen die Indizes l^, X^, . . ., h unabhängig voneinander alle natürlichen Zahlen durchlaufen, nur der Bedingung gehorchend, daß K<h<'-<^^ bleibt. Die Existenz der mit ^i, ^g) • • • bezeichneten Reihen- werte ist dabei durch den Satz 253 selbst gesichert; auch überzeugt man sich

254. § 5^- t'rodukte mit komplexen Gliedern. 423

leicht, daß es dabei auf die Reihenfolge der Summanden nicht ankommt. — Die Anwendung dieses Satzes hat schon Euler^) und später C. G. J. Jacobi^) zu einer Fülle der merkwürdigsten Formeln geführt.

2. Es ist

sin 7rz = 7TZ ■ fl (1 —

und das rechtsstehende Produkt in der ganzen Ebene konvergent. Der Be- weis ist wörtlich derselbe wie der 219, 1 für reelle Veränderliche gegebene.

3. Setzt man im vorigen sin-Produkt z = i, so erhält man

« = 1 V oder also

CO / ^U

TtiH [V^r ^,

(Vgl. dagegen die sehr leichte Berechnung von TZ^U — "2)' 1^^^ ^O 4. Die Folge der Funktionen

n ! n konvergiert für jedes z der ganzen Ebene. In der Tat ist

z\ ( ^ z\ ( ^ , z

Da aber nach 127, Satz 10

ist, so ist damit die Behauptung schon bewiesen. Der Grenzwert, wir wollen ihn K{z) nennen, ist überdies dann und nur dann =0, wenn z einen der Werte 0,-1,-2,... hat. Schließt man diese Werte aus, so ist für alle übrigen z auch

vorhanden. Die durch diesen Grenzwert dargestellte Funktion der komplexen Veränderlichen z. welche nur 4=0, 1;— 2, ... gehalten werden muß, ist die sogen. T-Funktion, die wir S. 371 schon für reelle Argumente definiert haben.

Wir wollen noch zeigen, daß K {z) eine in der ganzen Ebene analytische (also ganze) Funktion ist. Dazu genügt es, zu zeigen, daß die Reihe

K {z) = g^{z) ^r {S,^{^') - S^i.^))"- • ' ■ + {^n^') ^ S„_,i^))-^ - - ■

in jedem Kreise z <q gleichmäßig konvergiert. Nun ist aber

1) Introductio in analysin inf., Bd. 1 (1748), Kap. 15. -) Fundamenta nova, Königsberg 1829.

424 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

und da es eine Konstante A geben muß, so daß für alle j^=l, 2, 3, ... und alle iz\<g stets 'g^X^)]^^ bleibt i), da ferner (nach S. '275 Fußnote)

n J n n^

gesetzt werden kann und hierbei &„{z) für alle genannten z und alle « = 2,3, ... unterhalb einer festen Konstanten B bleibt, so ist für alle diese z und n

-«2'

wenn unter C eine passende Konstante verstanden w rd. Nach 197 folgt hieraus aber die gleichmäßige Konvergenz der Reihe für K (z) im Kreise !^|^^ und nach 249 auch der analytische Charakter von K (z) in der ganzen Ebene.

^) Es sei 1^1^^ und w >• w ^ 2 o . Dann ist

„.(, = .(i-^A)...(i + ^).(,._A_)...(,^^).„-. i^aV^ ^_,^i_y /i^^"" ■•■'""«'■'")., ^^^^'■•••'"'^

1 / \ m

z \ z

wenn log ^ 1 -^ ) = u — gesetzt wird. Da nun hierin wegen I —

<2-

(vgl. S. 419) stets \Vv\'£\^i^^9^ ist, so bleibt der letzte Faktor stets (d. h. für

2 -^' alle \z\^Q und alle « > mj < e ^ =^3, ebenso bleibt der zweite Faktor (s. S. 287) stets unter einer festen Schranke A.-^. Und da auch der erste Faktor stets unterhalb einer festen Schranke J^ bleibt, so bleibt für alle \z\'^_q und alle w>m auch stets \g„(z)\-£A^-A^-A^. Da nun die Funktionen jg-ii^jl, ..., !g»i(^)| für alle \z\-£^q ihrerseits beschränkt bleiben, so ist die oben behauptete Existenz von A gesichert.

Wird z auf einen Kreis £ beschränkt, in dessen Ipnerm und auf dessen Rande z =^ 0, - 1 , - 2, . . . und überdies \z\ <q ist, so ist für n > m

1 1

	..-it.-	1 . \ */w+l .+ logn — -. n ; (w+12	Vn
	" n2
M
m)

Und hieraus liest man genau ebenso ab, daß auch eine Konstante A' existiert,

— / - < A' bleibt für alle « = 1,2,. gn (^)

so daß in ^ stets

255. § 58. Reihen analytischer Funktionen. — A. Dirichletsche Reihen. 425

§ 58. Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen.

A. Dirichletsche Reihen.

Unter einer Dirichleischen Reihe versteht man eine Reihe der Form

Hier sind die Reihengiieder — als Exponentialfunktionen — in der

ganzen Ebene analytisch. Es wird sich also hauptsächUch darum

handeln, festzustellen, ob und wo die Reihe konvergiert, bzw. gleich- mäßig konvergiert. Hierüber gilt der

Satz 1. Jeder Dirichleischen Reihe enisfricht eine reelle Zahl A — 255, die Segen. Konvergenzabszisse der Reihe — mit der Eigenschaft, daß die Reihe konvergiert oder divergiert, je nachdem

)K [z] > l oder 9t [z) < k

ist. Dabei kann auch /=--=— c\. oder -- -f oo sein, in welchen Fällen die Reihe beständig bzw. nirgends konvergiert. Liegt der letztere Fall nicht vor und ist X' > k, so ist die Reihe sogar in jedem Kreise gleichmäßig konvergent, der in der Halbebene 9? (2)^/ liegt, und sie stellt also nach dem Weiersiraßschen Satze 249 eine in der ganzen Halbebene '?^{z) > l reguläre analytische Funktion dar^-^).

Der Beweis geht ähnhch vor wie bei den Potenzreihen (vgl. 93). Wir zeigen zunächst, daß, wenn die Reihe im Punkte z^ konvergiert, sie auch in jedem Punkte konvergieren muß, für den 9? [z) > di (z^) ist. Da aber

n

11 •'0 M'S Zq

ist, so genügt es, nach 184,3 zu zeigen, daß die Reihe

konvergiert. Setzt man aber (bei festem Exponenten)

' nJ ' 11 '

^) Oder allgemeiner eine Reihe der Form ^"'— oder der Form ^a^^e'^-n^^

Pn

in der die p^ positive, die ^j beliebige reelle monoton gegen -f- OC wachsende Zahlen bedeuten.

2) Die Existenz der Konveygenzhalbebenen bewies J. L. W. V. Jensen (Tid- skrift for Mathematik, Bd. (5) 2 (1884), S. 63); die Gleichmäßigkeit der Kon- vergenz und damit den analytischen Charakter der dargestellten Funktion zeigte E. Cahen (Annales Ec. Norm, sup., Bd. (3) 11 (1894), S. 75).

426 XII- ^^V- Reihen mit komplexen (iliedern.

SO bedeuten die i^^^ eine jedenfalls beschränkte Zahlenfolge, — denn sie streben, wie man sofort erkennt ^(2 — ^fj^). Ist etwa stets 1 1^ \ < A, so sind die Glieder der letzten Reihe

A

Wenn also '^(z — Zq) > 0 ist, so ist sie tatsächlich konvergent.

Durch Umkehrung folgt aus diesem Satze: Wenn eine Dinchlei- sehe Reihe für z = Zj^ divergiert, so divergiert sie auch in jedem Punkte mit kleinerem reellen Teil. Und wenn nun die vorgelegte Dirichletsche Reihe weder überall noch nirgends konvergiert, so ergibt sich die Existenz der Grenzabszisse 2 (ähnlich wie bei 93) folgender- maßen: Ist z ein Divergenzpunkt und z' ein Konvergenzpunkt der Reihe, so wähle man eine reelle Zahl x.^ < ^{z') und eine zweite reelle Zahl y^ > 'Siiz"). Dann wird die Reihe für z = x^ wieder diver- gieren, für z = y^ konvergieren. Auf das auf der reellen Achse ge- legene Intervall J^ = x^.-.yQ wende man nun wörüich wie in 93 die Halbierungsmethode an, — der dadurch erfaßte innerste Wert A wird die gesuchte Grenzabszisse sein.

Ist nun weiter X' > X (für / = — oc darf also /' irgendeine reelle Zahl sein) und wird z auf ein Gebiet G beschränkt, in dem ^M{z) ^ // und \z\ ^R ist — G v^ird also im allgemeinen die Form eines Kreis- segmentes haben — , so ist unsere Reihe dort sogar gleichmäßig kon- vergent. Wählen wir nämlich, um dies zu zeigen, einen Punkt z^, für den X<'Si{z^<X' ist, so ist zunächst wieder

-^ 2 ~ '^ Zc ..Z — Z.-,

n

1) Allgemeiner bemerken wir gleich: Ist i^i < .1 i;nd ,«' <^, und setzt man den Hauptwert von

so bleibt der Faktor ^, welcher von z und w abhängt, für alle zugelassenen z und w unterhalb einer feste^i Konstanten. — Beweis. Es ist

(1 + zf ^ ^«;log(l + ^) __ ^w(z+vz^), j^it ^ ^ „ ^. 4. I _ f ^ . . . . Für alle U|^2 ist also j»?! <1 und in

ist daher der Wert der vorhin mit 0 bezeichneten eckigen Klammer

wie man sofort sieht, wenn man in dieser eckigen Klammer alle Größen durch ihre Beträge, sodann \r]\ und ^ ' durch 1 und endlich | w \ durch R ersetzt.

r

^55. § 58. Reihen analytischer Funktionen. — A. Dirichletsche Reihen. 427

Da nun ^/-^ eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern ist, so genügt es, nach 198,3 zu zeigen, daß

1 ^1

für alle z des genannten Gebietes gleichmäßig konvergiert. Es ist aber, wenn v^ir noch X' — ^{z^ = ^ (> 0) setzen.

Auf Grund der in der letzten Fußnote gegebenen Abschätzung (oder auch direkt, indem man [\ + 1)"' ^ ,^'-"'H'^^] „ach Potenzen von (z — z^ entwickelt) erkennt man nun, daß es eine Konstante A gibt, so daß für alle z unseres Gebietes und alle n=l, 2, 3, ... die rechterhand zwischen den Absolut-Zeichen stehende Differenz ihrem Betrage nach

n bleibt. Da dann die ganze rechte Seite der letzten Ungleichung

A

bleibt, und da wegen 1 1 ^ -r die Faktoren — in G gleich-

mäßig beschränkt bleiben, so ist damit nach 198, 3 die gleichmäßige Konvergenz der Dirichletschen Reihe in dem behaupteten Umfange dargetan und also insbesondere allgemein bewiesen, daß die Dirich- letsch&ii Reihen innerhalb ihrer Konvergenzhalbebenen analytische Funktionen darstellen.

Aus

1 n

vh'

,^-2e

ergibt sich sofort, wenn eine Dirichletsche Reihe im Punkte z^ absolut konvergiert, so tut sie es auch in jedem Punkte z, für den ^{z) > 9?(2q); und umgekehrt: wenn sie in z^ nicht absolut konvergiert, so kann sie auch in keinem Punkte z mit ^{z) < "^[Zf^ absolut konvergieren. Hieraus ergibt sich nun ganz ähnhch wieder der

Satz 2. Es gibt eine ganze bestimmte Zahl l (die auch =-|-oü oder = — oü sein kann), so daß die Dirichletsche Reihe zwar für iR{z) > l, aber nicht mehr für ^{z) < l absolut konvergiert.

Es ist selbstverständlich X ^l; darüber hinaus gilt aber über die gegenseitige Lage der Geraden ^(z) = X und ^(z) = l der

428 XU. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

Satz 3. Es ist stets l — X<1.

Beweis. Ist ^"^ ^ konvergent und 9? (2) > gft (^q) -f 1 , so ist

yj — absolut konvergent, da

I ^'1

1*7^0

und ^Jt (z — Zq) > 1

ist. Damit ist schon alles bewiesen.

256. Bemerkungen und Beispiele.

1. Wenn eine Dirichletsche Reihe weder überall noch nirgends konver- giert, so ist die Situation im allgemeinen die, daß auf eine Halbebene 9ft (^) < A der Divergenz ein Streifen A < 9f{ (^) < / bedingter Konvergenz folgt. Die Breite dieses Streifes ist aber höchstens = 1 und auf ihn folgt eine Hulbebene 'i!f{(z)'^l, in der die Reihe absolut konvergiert.

2. Leichte Beispiele lehren, daß / — A jeden Wert zwischen 0 und 1 (beide einschließlich) haben kann, und daß das Konvergenzverhalten auf den Grenz- geraden $R (^) ^-- 2 und fSi{z)f-l je nach Lage des Falles verschieden sein kann.

1 2"

3. Die beiden Reihen V und V- bieten einfache Beispiele für

^2".w^ ^n'

eine beständig konvergente und eine nirgends konvergente Dirichletsche Reihe.

4. ^— hat die Konvergenzabszisse /. 1 und stellt also eine in der

n^ Halbebene 9i (<?)>> 1 reguläre analytische Funktion dar. Sie wird als die Riemannsche ^-Funktion bezeichnet (s. 197, 2, 3) und in der analytischen Zahlentheorie wegen ihres Zusammenhanges mit dem Problem der Verteilung der Primzahlen (s. u. Bern. 9) verwendet^).

5. Ähnlich wie sich bei den Potenzreihen der Radius aus den Koeffi- zienten ablesen läßt (Satz 94), kann man auch bei den Dirichletschen Reihen die Lage der beiden Grenzgeraden aus den Koeffizienten ablesen. Es gilt darüber der

Satz. Die Konvergenzahzisse l der Grenzgeraden der Dirichletschen Reihe y - wird stets durch die Formel geliefert

lim - log

+ au+2 + • • • + «t» i

I

X

in der x stetig über alle Grenzen wachsen soll und zur Abkürzung

ßW^M und [e^] = v gesetzt ist. Ersetzt man die a„ durch ihre Beträge \ an \ , so liefert dieselbe Formel die Grenzabszisse l der absoluten Konvergenz"^).

6. Eine gedrängte Übersicht über die wichtigsten Ergebnisse der Theorie der Dirichletschen Reihen findet man bei G. U. Hardy und M. Riesz, Theory of Dirichlet's Series, Cambridge 1915.

1) Eine eingehende Untersuchung dieser merkwürdigen Funktion (wie auch beliebiger Dirichletschen Reihen) findet man in E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig 1909, 2 Bände.

2) Bezüglich des Beweises muß auf die Note des Verfassers ,,Über die Abszisse der Grenzgeraden einer Dirichletschen Reihe" in den Sitzungsberichten der Berliner Mathematischen Gesellschaft (X. Jahrgang, 1910, S. 2) verwiesen werden.

257. § 58. Reihen analytischer Funktionen. — A. Dirichletsche Reihen. 429 7. Die durch gliedweise Differentiationen aus einer Dirichlei^chen Reihe P(^)=2j~z ^^tstehenden neuen Dirichleischen Reihen

i-^f U — -^- (^fest)

n=l

müssen — als unmittelbare Folge des Weierstraßschen Doppelreihensatzes — dieselbe Konvergenzabszisse haben wie die ursprüngliche Reihe und in der Konvergenzhalbebene die Ableitung f'-^- (z) darstellen.

8. Nach 255 kann die durch eine Dirichletsche Reihe dargestellte Funk- tion um jeden innerhalb der Konvergenzhalbebene gelegenen Punkt als Mittel- punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden. Die Entwicklung selbst liefert

00 1

der Weiersfraßschc Doppelreihensatz. Soll z. B. C{^) "= ^ — um Zq'-^^2 ent- wickelt werden, so hat man für k = 2, 3 , ...

und dies gilt auch noch für k = l, falls man unter logO 1 die Zahl 1 versteht. Daher ist für m > 0

A .__. i- y^°^"^

-lÄ k^

{n fest) ,

was nun die gewünschte Entwicklung

n=l liefert.

2_ <^, log"^

y, \ ^ fc'2

(--2r^^ + li^i)(.-2) + .

9. Für 9? (z) > 1 haben

cc I I

die Reihe ^, — ^ und das Produkt JJ 257

»— 1 n^ 1 —p~^

tn welch letzterem p die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, ... durchlaufen soll, stets denselben Wert, stellen also beide die Riemannsche ^-Funktion i;{z) dar {Euler, 1737; s. Introd. in analysin, S. 225).

Beweis. Es sei ^ ein bestimmter Punkt mit 91 (^) = 1 + 5 > 1 . Dann steht die absolute Konvergenz von Reihe und Produkt in diesem Punkte nach Bem. 4 und 127, 7 außer Frage. Es handelt sich nur darum, die Gleich- heit ihrer Werte darzutun. Nun ist aber

und wenn man diese Entwicklungen für alle Primzahlen p^N miteinander multpliziert — unter A'' eine vorläufig feste natürliche Zahl verstanden — , so ist dies (endliche) Produkt

P<^ l-p~' f^m^ n = N + ln^

wenn hier durch den Akzent am Z angedeutet werden soll, daß von der hin- geschriebenen Reihe nicht alle, sondern nur gewisse Glieder auftreten. Hierbei haben wir von dem elementaren Satz Gebrauch gemacht, daß sich jede na-

430 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

tiirliche Zahl ^2 auf eine und nur eine Art als Produkt von Potenzen ver- schiedener Primzahlen darstellen läßt (wofern als Exponenten nur ganze Zahlen len > 0 zugelassen werden). Hiernach ist

/ 00 1

n=N+l^

und da hier rechterhand der Rest einer konvergenten Reihe steht, so strebt dies ->0 für iV-> + oo, womit die Gleichheit der Werte des unendlichen Pro- duktes und der unendlichen Reihe schon bewiesen ist.

10. Nach der vorigen Nummer ist für 9fl(^)> 1

^y^) p p "^ p''' n = l n'

wenn hierin ^ (1) :-. 1 , ^ (2) -^ - 1 , /t (3) - - 1 , // (4) - 0 , ^a (5) . - 1 , ^ (6) .- + 1 ,. ... und allgemein ^(m) = 0, +1 oder —1 gesetzt wird, je nachdem n durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist, oder nur aus einer geraden, oder nur aus einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen besteht. Diese Darstel- lung lehrt zugleich, daß für U{z)>\ stets C (^^) + 0 ist. Die eigentümlichen Koeffizienten ^ (w) heißen die Möbiusschen Koeffizienten. Die Aufeinanderfolge der Ziffern 0,4-1,-1 in der Folge dieser Zahlen /< (w) gehorcht keiner ober- flächlichen Gesetzmäßigkeit.

11. Da C{z) y für 31 (2) > 1 absolut konvergiert, so kann man durch

Ausmultiplizieren (t (z)Y bilden. Ordnet man (was nach 91 erlaubt) die Produkte der Glieder wieder nach wachsenden Nennern an, so erhält man

tiw-i; ^

1

wenn man mit t„ die Anzahl der Teiler von n bezeichnet. — Diese Beispiele mögen genügen, um die Bedeutung der ^-Funktion für zahlentheoretische Pro- bleme erklärlich zu machen.

B. Fakultätenreihen.

Unter einer Fakultätenreihe (erster Art) versteht man eine Reihe der Form

(Y) y -^^^

die natürlich nur dann eine Bedeutung hat, wenn2r=f=0, —1, —2,... ist. Die Konvergenzfragen, zunächst geklärt von Jensen, werden voll- ständig erledigt durch den folgenden

258. Satz von Landau^). Die Fakultätenreihe (F) konvergiert — von den

Punkten 0, — 1, — 2, ... abgesehen — überall da und nur da, wo die „zugeordnete'' Dirichletsche Reihe

* a

n = l n"

1) über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen, Münch. Ber. Bd. 36 (1906), S. 151—218.

258. §58. Reihen analytischer Funktionen. — B. Fakultätenreihen. 431

konvergiert. Und sie konvergiert in jedem Kreise gleichmäßig und nur in solchen, in denen diese es tut, wofern weder im Innern noch auf dem Rande dieser Kreise einer der Punkte 0, — 1 , — 2, . . . gelegen ist. Beweis. 1. Wir zeigen zunächst, daß aus der Konvergenz der Dirichletschen Reihe in einem bestimmten von 0,-1, — 2, ... ver- schiedenen Punkte z die Konvergenz der Fakultätenreihe in dem- selben Punkte folgt. Da aber

n ! Un a„ 1

ist, wenn g^^ (z) dieselbe Bedeutung hat wie in 254, Beisp. 4, so ge- nügt es nach 184, 3 zu zeigen, daß die Reihe

1 1

(^) Sn

+ 1

^1 \Sn&-Sn + li')\

konvergent ist. Da aber — 7-^ mit wachsendem n einem endlichen

Grenzwerte, nämlich dem Werte r{z) zustrebt, so bleibt dieser Faktor (bei festem z für alle n) beschränkt, und es genügt daher die Kon- vergenz der Reihe

n = l

zu beweisen. Das ist aber schon in 254, Beisp. 4, geschehen.

2. Daß umgekehrt aus der Konvergenz der Fakultätenreihe die der Dirichletschen folgt, ergibt sich genau so, da es nach 184, 3 wieder nur auf die eben benutzte Konvergenz von Z \g^{z) — g^j^^[z)\ ankommt.

3. Es sei jetzt ^ ein Kreis, indem die Dirichletsche Reihe gleich- mäßig konvergiert und der keinen der Punkte 0, — 1, — 2, . . . in seinem Innern oder auf seinem Rande enthält. Dann soll gezeigt werden, daß dort auch die Fakultätenreihe gleichmäßig konvergiert. Nach 198, 3 kommt dies wieder darauf hinaus zu zeigen, daß

yj

gn + l i^) - Sn(^)

in ^ gleichmäßig konvergiert. Von ^' jg„ + i W — g^W! ist uns dies nach 254, 4 schon bekannt. Und da in der dortigen Fußnote auch gezeigt ist, daß eine Konstante A' existiert, so daß für alle ^ in ^ und alle n

gni^)

bleibt, so ist schon alles erforderliche dargetan.

4. Daß umgekehrt die Dirichletsche Reihe in einem Kreise Ä gleichmäßig konvergiert, in dem die Fakultätenreihe es tut, folgt nach 198, 3 sofort aus der daselbst gleichmäßigen Konvergenz der Reihe

^i^n + i W ~ ^uW*' ^^^ ^^ 254,4 bewiesen wurde.

432 ^^^- Kap. Reihen mit komplexen (Gliedern.

Beispiele.

1. Die Fakultiitenreihe

'^ 1

t^\ 2" + 1 0 (^r -]- 1) . . . (^ + ^) konvergiert in allen (von 0, — 1 , . . . verschiedenen) Punkten der ganzen Ebene, da die Dirichletsche Reihe

^ 1 \^ -

nt:i2" + ^..;^ ersichtlich beständig konvergent ist. Wegen

X X x-\-\ xix-YV) .._! ^ 2! __ ,1 Ä^!

X x{x-\-\){x^1)' •••' X ' x{xr\)...{x-\-K)

entsteht die vorgelegte Fakultätcnreihe einfach durch die EmUy^q^x^ Transfor- mation 144 aus der Reihe

x". (- 1)'' 1__ 1 ,1

„T'o xA^yi x ,r -^ 1 ;v -f 2

2. Ganz leicht findet man auch (vgl. S. 258), daß

J_ 0! 1! , ^ l*^-ll)L 4.

'^ 'z{z^\) ^ (^ -f ]) (^ -1- 2) " ■ ■ ■ ~ z(z^- iT. .' .7^ f m) ' also

Zum Beweise hat man nur die Glieder der rechten Seite nacheinander von der linke Seite abzuziehen. Nach dem wten Schritt erhält man

^"(^+l)(^-f2)...(^-f w) z-n'' z{z-\-l)...{z-^n)

was für 9?(2')>0 nach 254, Beisp. 4, gegen >0 strebt, falls « -> OO wächst. (Stirling, Methodus differentialis, T.ondon 1730, S. 6 ff.)

C. Lambertsche Reihen.

Als Lamberlschc Reilic bezeichnet man eine Reihe der Form

2" ■" 1 —Z"

^'«.mIv/)

n=l

Fragen wir hier wieder zunächst nach dem genauen Konvergenzbereich der Reihe, so ist dabei zu beachten, daß für jedes z, von dem eine positiv ganzzahhge Potenz ^^ 1 ist, unendHch viele Glieder der Reihe sinnlos werden. Die Peripherie des Einheitskreises muß daher für die Konvergenzlrage ausscheiden und wir müssen getrennt die Punkte innerhalb und außerhalb des Einheitskreises untersuchen. Hier gilt nun der die Konvergenzfrage schon vollständig erledigende

^) Eine ausführlichere Behandlung dieser Reihenart findet man in der Arbeit des Verfassers: Über Lambeytschc Reihen, Journ. f. d. reine u. angevv. Mathem., Bd. 142 (1913). S. 283—31-1.

^59. § 58. Reihen analytischer Funktionen. — C. Lambertsche Reihen. 433

Satz. Wenn 2a^ konvergiert, so konvergiert die Lambertsche Reihe !259. für jedes z, dessen absoluter Betrag von 1 verschieden ist. Ist dagegen Za^ nicht konvergent, so konvergiert die Lambertsche Reihe in genau denselben Punkten wie die „zugehörige" Potenzreihe ^ci^^^ — wofern nach wie vor | -^ | < 1 gehalten wird.

In jedem Kreise £, der einschließlich seines Randes in einem der Konvergenzgebiete der Lambertschen Reihe liegt tmd keinen Punkt vom Betrage 1 enthält, ist die Konvergenz überdies eine gleichmäßige.

Beweis. 1. Es sei ^a^^ divergent. Dann ist der Radius r von 2a^z^ notwendig ^ 1 und wir haben zunächst zu zeigen, daß die Lambertsche^ Reihe und die zugehörige Potenzreihe für jedes \z\ <Cl gleichzeitig konvergieren oder divergieren, und daß auch die Lam- bertsche Reihe für ^ > 1 divergiert. Nun ist

i;«„^"=2-«,.r^„-(l-^") und

2'«,

^l—z"" ^' " 1 — z*' Nach 184, 3 genügt es also, die Konvergenz der beiden Reihen

2-1(1 - /^ + i) - (1 — ^")| =2\z" - /' + i| = jl - z\-2\z"\

und

1 1^

2

1 —

für l^-j < 1 zu beweisen. Hiervon ist aber das erste evident und das zweite eine Folge der Bemerkung", daß für !2:| < 1 von einer Stelle an 1 — ^""l > I ist.

Würde aber die Lambertsche Reihe für ein z^ mit l^:^! > 1 kon- vergieren, so hieße dies, daß die Potenzreihe

0

für z ^= Zq konvergiert. Sie müßte dann nach 93, Satz 1 auch für .? = -|- 1 konvergieren, was dann auch die Konvergenz der Reihe

0 0

zur Folge hätte, die doch nach unserer jetzigen Annahme divergiert.

Daß endlich für alle \z^q <ir die Konvergenz der Lambertschen Reihe eine gleichmäßige ist, folgt sofort aus der Abschätzung

und der entsprechenden Eigenschaft der Reihe 2^'a^^z^^\.

Damit ist für den Fall einer divergenten 2^ a schon alles bewiesen.

Knopp, Unendliche Reihen. 28

434 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

2. Ist nun^a^^ konvergent, hat ^«^^2" also einen Radius ;' ^ 1 so ist die Lambertsche Reihe jedenfalls für jedes |<2:| < 1 konvergent, und sogar gleichmäßig für alle | -^ ; ^ ^ < 1 •

Ist aber l^i > ^' > 1, so ist

2^«.. T^ = - 2«.. - 2-«,. "--'V •

und da j— ^ -7 < 1 ist, so sind die weiteren Behauptungen auf die

vorigen zurückgeführt, und somit alle Teile des Satzes bewiesen.

Da hiernach im Falle der Konvergenz von 2J a^ ein äußerst ein- facher Zusammenhang zwischen der Reihensumme in einem Punkte z

außerhalb des Einheitskreises und derjenigen in dem Punkt — der- selben besteht, genügt es, wenn wir uns weiterhin mit dem innerhalb des Einheitskreises gelegenen Konvergenzgebiet beschäftigen. Dieses ist also, je nachdem ^«^ 2:" einen Radius y < 1 oder ^1 besitzt, der Kreis \z\ < r oder der Einheitskreis \z\ < 1. Der Radius dieses wohl- bestimmten Konvergenzkreises heiße r^.

Da nun weiter die Glieder der Lambertschen Reihe für \z\ < r^ reguläre analytische Funktionen sind und da für jedes positive Q < r^ die Reihe in \z\:^q gleichmäßig konvergiert, so können wir den W eierstr aßschen Doppelreihensatz benutzen, um die Potenzreihenent- wicklung der durch die Lambertsche Reihe in \z\ < r^ definierten Funktionen zu bekommen. Es ist

«^ -y— = «^ ^ + ^1 ^^ + <^i -2^^ + ^1 ^^ + ^1 ^^ -]- aj^ z^ ^ a^ z' -\- . . . a.-, :p-^-^ = a^z'^ + a.2 z^ + ^^^^ + • • •

^3 izrj^ - . «3 ^' + ^3 ^' + • -

und alle diese Potenzreihen dürfen wir gliedweis addieren. Nun tritt eine bestimmte Potenz 2" in der ^^«^ Zeile dann und nur dann auf, wenn n ein Vielfaches von k, oder also k ein Teiler von n ist. Daher wird der Koeffizient von z'' gleich der Summe aller derjenigen a,. sein, deren Index v ein Teiler von n ist (einschließlich 1 und n selber). Wir drücken dies durch die Symbolik aus:

^,. = 2«/)-

d/n

Sprich: Summe aller Ua, für die d ein Teiler von n ist.

!360. § 58. Reihen analytischer Funktionen. — C. Lambertsche Reihen. 435

Beispiele.

1. a„ = 1. Dann ist An gleich der Anzahl der Teiler von n, die wir (wie 260« in 257, Beisp. 11) mit t„ bezeichnen wollen, und

00 2" °c

2; 1315 -i;^»^" (!^i<i),

„fii-

M = l

= ^ + 2^2-j-2^3^3 2* + 2^« + 4^ö + 2^' + 4^8 + .

In dieser merkwürdigen Potenzreihe sind die Glieder ^«, deren Exponent eine Primzahl ist, dadurch ausgezeichnet, daß ihr Koeffizient = 2 ist. Wegen dieser verführerisch nahen Beziehung zu den Primzahlproblemen hat diese spezielle Lambertsche Reihe (meist schlechtweg als die Lambertsche Reihe bezeichnet i) früher eine große Rolle beim Angriff auf jene Probleme gespielt. Doch hat sich auf diesem Wege nichts wesentliches ergeben.

2. a„^n. Dann wird An gleich der Summe aller Teiler von n, die wir mit Tn bezeichnen wollen, so daß also für 1 ^ | .<< 1

n=l J- —'i n = l

^*^i ;;!= Urn ^''^z + S z^ + 4 z^ -{-7 z'+ 6 z^+ 12 z^ +

3. Die Beziehung An^ 2J^d ist eindeutig umkehrbar, d. h. bei gegebenen

d/n An lassen sich die a„ auf eine und nur eine Weise diesen Bedingungen gemäß bestimmen. Und zwar ist

d/n \«

wenn /u {k) die in 257, Beisp. 10 definierten Mö&msschen Koeffizienten bedeutet, die nur die Werte 0, + 1 und - 1 haben können. Diese Tatsache hat zur Folge, daß nicht nur jede Lambertsche Reihe in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, sondern daß auch das Umgekehrte stets auf eine und nur eine Weise möglich ist, wenn die Potenzreihe für z^O verschwindet, wenn also Aq = 0.

4. Ist z. B. ^1=1 und sind alle übrigen A„ = 0, so ist

Un = f.1 (n)

und man hat die merkwürdige Identität

^=I]f^in) '"-, ■ \z\<\.

n=l ^~^

5. Ebenso findet man die für j^r] << 1 gültige Darstellung

z ^ z"^

wenn 93 (n) die — von Euler eingeführte — Bedeutung hat, die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen unter den Zahlen 1, 2, 3, . . . , w — 1 anzugeben.

6. Wird ^ a^ -^ — f[z) und ^ «„ ^" = g (^) gesetzt, so wird, wenn

» = i ^-^ n = l

man in dem Entwicklungsschema der Lambertschen Reihe auf S. 434 (was erlaubt ist) nach Schräglinien zusammenfaßt:

/"(^) = g(^) + ^(^^) + --- = i^(^")-

m=l

^) /. Lambert, Anlage zur Architektonik, Riga 1771, Bd. 2, S. 507.

28*

436 XII. Kap. Reihen mit komplexen Gliedern.

7. Für a„ = (-l)«-S -^, =(-ir-^>^ ^ >7 ' ^ ^~-V~~ ' == "" ' '•• erhält man so der Reihe nach die folgenden für | ^ ! < 1 gültigen merkwürdigen Identitäten, bei denen die Summation stets von n = 1 an zu erstrecken ist.

b) l"« 1-1-7" =^(r-=7»?

/ — l — z" — 1 — a z^

8. Da bei den letzten Identitäten in d) und e) rechts eine Reihe von Logarithmen aufgetreten ist, so ergibt sich von hieraus ein leichter Zusammen- hang zwischen gewissen Lambertschen Reihen und unendlichen Produkten. So ist

77(1-2")=--'^"' n^it w = -y—,,

/ 1)«— 1 z"

n{\+z-) = e^ mit ze; = j;-— ^^— 1^7^

9. Als interessantes numerisches Beispiel sei noch dieses erwähnt: Setzt man m,, = 0, «i = 1 und für >i > 1 stets w„ - m„_i + w^.o» so erhält man die sogen. FihonaccischQ Zahlenfolge (vgl. 6, 7)

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Es ist dann

wenn mit L {x) die Summe der Lambertschen Reihe ^ .. _ „ bezeichnet wird^). Der Beweis beruht auf der leicht zu beweisenden Tatsache, daß

«,= "^ (v = 0,l,2,...)

gesetzt werden kann, wenn a und ß die Wurzeln der quadratischen Gleichung ;»r2 - AT - 1 = 0 sind. (Vgl. Aufgabe 114.)

1) E. Landau, Bull, de la Soc. math. de France, Bd. 27 (1899), S. 298.

260. Aufgaben zum XIL Kapitel. 437

Aufgaben zum XII. Kapitel^).

174. Es strebe ^•^ ^ ^ und &„ ^ 6 =4= 0. In welchem Ausmaße kann dann auf &/'*-> &^ geschlossen werden?

175. Es strebe ^-^ -> OO (d. h. also \Zn\-^-\- OO) . In welchem Ausmaße kann dann auf

■>(■+;)

b) Zn-\z'"-lJ->l0gZ

geschlossen werden?

176. Der Hauptwert von z* bleibt für alle z beschränkt.

177. Ist

SO strebt 2„ -> 0 oder >-0, je nachdem 91 (-?) > 0 oder <0 ist. Wie verhält

sich {z^) für ^(z) = 0}

178. Es seien a, b, c, d vier Konstante, für die ad — bc =^ 0 ist, und es sei Zq beliebig. Man untersuche die Zahlenfolge (zq, z^^ z^, . . .), die rekursiv durch die Formel ^ ^ i a

^«+i = .XTd' « = 0,1,2,...

definiert ist. Welches sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen

dafür, daß [z^) oder ( — ) konvergiert? Und wenn keine von beiden Folgen

konvergiert, unter welchen Bedingungen kann für einen Index p wieder Zp = Zq sein? Wann ist die Folge identisch konstant?

179. Es sei a =|= 0 gegeben, Zq beliebig gewählt und für w ^ 0

1 / a

gesetzt. Dann konvergiert die Folge {zn) dann und nur dann, wenn ^r^ nicht auf dem Mittellot derjenigen Strecke liegt, die die beiden Werte von yja ver- bindet. Ist diese Bedingung erfüllt, so konvergiert Zn gegen den nächst- gelegenen dieser beiden Punkte. Welches Verhalten zeigt (^„), wenn Zq auf dem genannten Mittellot liegt?

180. Die Reihe 2J •- konvergiert für kein reelles a, die Reihe

yj ; für jedes reelle o^ =4= 0.

^n^ + '^.logn ^

181. Hat bei festem z und geeigneter Bestimmung des Logarithmus

1- • . . H log (z-fn)\

einen Grenzwert?

182. Für jedes feste z mit 0 < 91 (-?)< 1 ist 1 1 1 n^-']

lim vorhanden. (Vgl. Aufgabe 135.)

^'^2''^S''^""^n' 1-^J

1) Hier sind, wenn das Gegenteil aus dem Zusammenhang nicht unzwei- deutig hervorgeht, alle Zahlen als komplex anzusehen.

438 Aufgaben zum XII. Kapitel.

183, Die Funktion (1 —^)- sin (log- j läßt sich für j^i<l in eine

Potenzreihe Za^z*" entwickeln, wenn für den Logarithmus der Hauptwert ge- nommen wird. Man zeige, daß diese Reihe für j^rj = 1 noch absolut konvergiert.

184, Wenn z aus dem Innern des Einheitskreises „im Winkelraum" gegen -> -f 1 strebt, so strebt

a) \ - z J^ z* - z^ -^ z'^^ - + . . . -> -—;

b) a-z)[l+z + z'-^z^ + ...f->~;

c) — 1_[. + ^^ + /^+.^'+...]->.-^-. log-i- ^"^SP

\ — z

d) {\-zf+^[z + 2'^z'' + ^fz^-i-.,.]-^r{p^\)\

falls der rechtsstehende Grenzwert existiert, die 6„ positiv sind und 2'6„ di- vergiert.

185, Man untersuche das Konvergenzverhalten der folgenden Potenz- reihen auf dem Rande des Einheitskreises:

®) ^~T^ — ■2^"? wenn e^ dieselbe Bedeutung wie in Aufgabe 47 hat. ■'"^ n log n

186, Ist 2a„z^ für |ir|<<l konvergent und ist für alle diese z die Summe der Reihe ihrem Betrage nach ^ 1 , so ist 2*1«^!^ konvergent und < 1.

187, Die folgenden Potenzreihen

^^^~	'
c) 2'(-	^^ 2Ä-1	>
e) l'C-	n«
^ (n-^l)(n	+ -'^)
o•^ V.	z"

d) 2;(-i>

oi;m) .„

h) 2; .11

haben sämtlich den Einheitskreis zum Konvergenzkreis. Auf dem Rande der- selben sind sie im allgemeinen, d. h. mit eventuellem Ausschluß einzelner Punkte, auch noch konvergent. Man suche ihre Summe mit Hilfe der ele- mentaren Funktionen geschlossen darzustellen, trenne Reelles und Imagi- näres, indem man ^' = »'(cos at + « sin ;ir) setzt, und schreibe die gewonnenen trigonometrischen Entwicklungen nieder, und zwar getrennt für r <; 1 und r=l. Für welche x sind diese konvergent? Welchen Wert hat ihre Summe? Sind es die Fourierreihen dieser ihrer Summe?

Aufgaben zum XII. Kapitel. 439

188. Welche Summen haben hiernach die Reihen

cos nx cos ny cos nx sin ny

^) 2. :^ ; b) 2J ;

. v-,sin nxsin ny

c)2; — -^—A

und die weiteren 3 Reihen, die man erhält, wenn man den hingeschriebenen Reihengliedern das Vorzeichen (— 1)" gibt.

189. Verfährt man mit der geometrischen Reihe 2"^" wie in Auf- gabe 187, jedoch r < 1 lassend, so erhält man die Darstellungen

, * „ 1 —rcosx

a) y r^ cos nx ^^ :, -;

^Q 1 —2rcosx-^r'^

b) >; y" smnx — .

^1 1 — 'Zr cosx + r-

Man leite aus ihnen die weiteren Entwicklungen her

* cosnx ^

C) y -rz r- = cos 2 ^ ,

..^iC-^cos;^)«

d) J',-^"-^-sin2;. « = l(2cos;^)«

und gebe die genauen Gültigkeitsintervalle derselben an.

190. Bei Aufgabe 187 a wird man u. a. die Darstellung " r" . fr sin x

y — sin nx = arctg ■.

,. ^ W \ 1 — y

n=:l erhalten. Aus ihr leite man die Entwicklungen

cos X,

a) ^ (— 1)" ■*■ r^ sin" x • sin nx ^-=^ arctg (r -f ctg ^) — ( 7, ^

P?, cos'* AT sin nx ■x

her- und bestimme die genauen Gültigkeitsintervalle.

191. Man stelle die genauen Konvergenzgebiete der folgenden Reihen fest

^ ^ z + n

r 1 \ z

^Z-Pn Pn Pn- riogn]

0 2^:^

		b) 2:i-::,„,
		Pn'
2"-	-1-	1 N [loglog»]

bei denen (^„) eine positive monoton ins Unendliche wachsende Zahlenfolge sein soll.

192. Man beweise die Gleichungen

1+2«

- == y-z"--. z'^ ^^

a)2r~-.=2^' !_,,..

2«-l

bei denen die Summation mit w = 1 beginnen soll.

440 Aufgaben zum XII. Kapitel.

193. Dem Satz von Landau (271) entsprechend gilt der folgende: Die

Dirichletsche Reihe J^(— l) -" einerseits und die sogen. Binomialkoffizienten-

n^

reihe 2J^n[ ) andrerseits sind stets gleichzeitig konvergent und gleichzeitig

divergent.

194. Für welche z gilt die Gleichung

n=0

195. Man stelle das genaue Konvergenzgebiet der folgenden Produkte fest: a)iT(l-l). b)JT(l-l--l)!

c) 77(1+/''+^) d) Jj(l + n2^");

e)iT(i-,-^A f)n!(i + 4)(i-'''

1-W'

7i / \ M

Z,

2„. - 2 \z„l n\z

g) n\(l--^]e , vvenn {.-„j-^ + Oü strebt

ni}-{)^ ^)M^

(-1)'

196. Man bestimme mit Hilfe des sin-Produktes die Werte der Produkte

für reelle x. Das zweite von ihnen hat den Wert

2 ,2 [coshyp {7t X \/2) — cos [Ttx \/2)] . Gilt dies auch noch für komplexe Werte von x7

197. Die Werte der Produkte 195 i) und k) lassen' sich mit Hilfe der T*- Funktion geschlossen angeben.

198. Es ist

199. Mit Hilfe des sin-Produktes bzw. der ctg-Partialbruchzerlegung lassen sich die folgenden Reihen und Produkte geschlossen auswerten, in denen X und y reell sein sollen:

n= — I

§59. Allg-emeine Bemerkungen über divergente Reihen. 441

XIII. Kapitel.

Divergente Reihen.

§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Reihen.

Die Auffassung von dem Wesen der unendlichen Reihen, wie wir sie in allem Vorangehenden, insbesondere in § 11 dargelegt haben, ist vergleichsweise neuen Datums. Denn ein strenger und einwandfreier Aufbau der Theorie war erst möglich, nachdem der Begriff der reellen Zahl geklärt war. Aber selbst wenn man es gelten läßt, daß dieser Begriff und mit ihm irgendein allgemeines Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen, etwa unser 2. Hauptkriterium, als von fast axiomatischer Natur ohne Beweis einfach anerkannt wird, so ist immer noch die Theorie der unendlichen Reihen viel jüngeren Datums als ihr ausgiebiger Gebrauch und als die Entdeckung ihrer schönsten Resultate etwa durch Euler und seine Zeitgenossen, oder gar schon durch Leihniz und Newton und deren Zeitgenossen. Diesen boten sich die unendlichen Reihen in der natürhchsten Weise als Rechnungsergebnisse dar, drängten sich ihnen sozusagen auf, wie z. B. die geometrische Reihe 1 -\- x -^ x^ -\- . . . als nicht abbrechendes Divisionsergebnis von 1 : (l — x), die Taylorsche Reihe und mit ihr fast alle Reihen des VI. Kapitels durch das Prinzip der Koeffizienten- vergleichung oder aus geometrischen Erwägungen heraus. Es wurde also nicht, wie wir es in unserer Darstellung getan haben, das Symbol der unendlichen Reihen geschaffen und nun mit ihm gearbeitet, sondern die unendlichen Reihen waren da, und es galt sich mit ihnen auseinanderzusetzen.

Daher lagen Konvergenzfragen im heutigen Sinn diesen Mathe- matikern zunächst noch ganz fern^). Und so ist es nicht zu ver- wundern, daß z. B. Euler die geometrische Reihe

l+^ + ^^+--- =

\-x

auch für x = —1 oder x = — 2 noch gelten läßt und also unbe- denklich

1-1 + 1-1 + -.-. =i ')

1 - 2 + 2^- 2^+ -... = i

1) Vgl. die Bemerkungen S. 290.

2) Diese Gleichung tritt schon bei Jak. BernouUi (Posit. arithm., S.Teil, Basel 1696) auf und wird von ihm als „paradoxen non inelegans" bezeichnet. Näheres über die heftige Fehde, die sich hieran anschloß, findet man in dem S. 99 genannten Buche von R. Reiff.

442 XIII. Kap. Divergente Reihen.

setzt, und entsprechend etwa aus ( j =l-^2x~\-3x'^-\-... die

Gleichung

1 - 2 + 3 - 4 +-...- i

herleitet und vieles andere mehr. Freilich hielt die meisten Mathe- matiker jener Zeiten eine instinktive Scheu von solchen Ergebnissen ab und ließ sie nur solche Resultate anerkennen, die auch in unserm heutigen Sinn richtig sind. Aber eine klare Einsicht in die Gründe, warum das eine Ergebnis anerkannt wurde, das andere nicht, fehlte ihnen damals noch.

Es ist hier nicht der Raum, auf die sehr lehrreichen Auseinander-- Setzungen zwischen den Mathematikern des 17. und 1 8. Jahrhunderts über diesen Punkt einzugehen-^). Wir müssen uns damit begnügen, festzustellen, daß Euler eine unendliche Reihe stets dann gelten ließ, wenn sie sich auf natürliche Weise durch Entwicklung eines analy- tischen Ausdrucks einstellte, der seinerseits einen bestimmten Wert besaßt). Dieser letztere wurde dann in jedem Falle als Summe der Reihe angesehen.

Es ist klar, daß diese Übereinkunft keine strenge Grundlage hat.

Wenn z. B. die Reihe 1 — 1 + 1-— 1-] ... auch in der einfachsten

Weise aus der Division von 1 : (l — x) für x = -- 1 entsteht (s. o.), und also = | zu setzen wäre, so ist doch nicht einzusehen, warum nicht dieselbe Reihe auch aus ganz andern analytischen Ausdrücken sollte entstehen können und auf Grund solcher anderweitigen Ent- stehung nun auch einen andern Wert erhalten müßte. In der Tat entsteht die obige Reihe auch aus der Funktion fix), die für x > 0 durch die Dirichletsche Reihe

dargestellt wird, für x == 0 oder aus

für X = 1. Aui Grund der letzteren Entstehung müßte 1 — 1 + • • • = | gesetzt werden und bei der andern ist nicht ohne weiteres zu sehen, was f{0) für einen Wert haben mag. Er könnte jedenfalls von + | verschieden sein.

Das Eulersche Prinzip ist also jedenfalls unsicher, und nur der ungewöhnliche Instinkt Etilers für das mathematisch Richtige hat ihn

1) Näheres in R. Reiff, a. a. O.

2) In einem Briefe an Goldbach (7. VIII. 1745) sagt er geradezu: „ • . . so habe ich diese neue Definition von der Summe einer jeglichen seriei gegeben : Summa cujusque seriei est valor expressionis ilHus finitae, ex cujus evolutione illa series oritur".

§ 59. Allgemeine Bemerkung-en über diverg-enle Reihen. 443

trotz der ausgiebigen Benutzung solcher divergenten Reihen davor be- wahrt, falsche Ergebnisse zu zeitigen^). Erst Cauchy und Abel klärten den Konvergenzbegriff und verwarfen alle nicht konvergenten Reihen; Cauchy in seiner Analyse algebrique (1821), Abel in seiner Arbeit über die Binomialreihe (1826), die sich schon ausdrücklich auf das Cauchysche Werk stützt. Beide haben sich erst zögernd zu diesem entscheidenden Schritte entschlossen 2), doch erschien er schließ- lich beiden unvermeidlich, um ihre Schlüsse zu lückenlos scharfen zu machen.

Wir sind heute in der Lage, das Problem sozusagen von oben her zu überschauen; und da werden die Dinge sofort klar, wenn wir uns erinnern, daß das Symbol der unendlichen Reihen, wie oft be- tont, von sich aus keinerlei Bedeutung hat noch haben kann, sondern daß ihm eine solche erst von uns durch freie Übereinkunft gegeben wird. Und diese Verabredung besagte, daß die unendliche Reihe ledighch ein anderes Symbol für die Folge ihrer Teilsummen sein sollte. So nahehegend und naturgemäß nun auch diese Festsetzung ist und so eng sie sich auch an die Entstehung der unendlichen Reihen (etwa als Entwicklung eines Ausdrucks in eine Summe von immer mehr und mehr Summanden) anschließen mag, so ist die Festsetzung doch unter allen Umständen als eine willkürliche zu be- zeichnen, und sie könnte auch durch ganz andere ersetzt werden. Nur die Zweckmäßigkeit und der Erfolg ist hier entscheidend, ob die eine oder die andere Festsetzung vorzuziehen ist; in der Natur der Sache selbst, d. h. in dem Symbol „^'^^Z' einer unendlichen Reihe liegt kein bindender Anhalt dafür vor.

Daher ist die Frage sehr wohl berechtigt, ob die (wenigstens stellenweis beträchtHche) Kompliziertheit der Theorie der unendlichen Reihen nicht etwa darauf zurückzuführen ist, daß unsere — wenn auch scheinbar noch so naheliegende — Deutung des Symbols „2!a " doch eine ungünstige ist. Denn in der mannigfachsten Weise könnte man andere Festsetzungen treffen, unter denen dann — vielleicht wenigstens — sich auch zweckmäßigere fänden. Wir geben zunächst das folgende erste Beispiel für eine solche anders geartete Überein- kunft bezüghch der Deutung von „^'ß^^": Wir setzen wie bisher

1) Vgl. dagegen S. 126, Fußn. 1.

2) Man vergl. hierzu bezüglich Cauchy das Vorwort zur Analyse alg^briqut, wo es u. a. heißt: Je me suis vu force d'admettre plusieurs propositions qui paraitront peut-etre un peu dures, par exemple qu'une serie divergente n'a pas de somme. Und bezüglich Abel seinen Brief an Holmboe (16. I. 1826), in dem es heißt: Les series divergentes sont, en general, quelque chose de bien fatal, et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune demonstration. — Übrigens hat sich auch schon /. d'Alembert 1768 in ähnlichem Sinne geäußert.

444 XIII. Kap. Diverg-ente Reihen,

betrachten aber nun die Zahlenfolge

, So -f 5i + . . . + -S«

-»- „ + 1 (» = 0,1,2,....)

und definieren: Dann und nur dann, wenn s^ einem Grenzwert s zu- strebt, soll Za^ „konvergent" mit der „Summe" s heißen.

Wir prüfen ganz kurz die Zweckmäßigkeit dieser Festsetzung. Zunächst, wenn s ->s strebt, wenn also die Reihe im alten Sinne konvergent ist^) und die Summe s hat, so strebt nach 43, 2 auch Sn^ s. Dies besagt aber, daß der neue Konvergenzbegriff mit dem alten nicht nur nicht in Widerspruch steht, sondern ihn als speziellen Fall enthält, d. h. jede Reihe, die im alten Sinne konvergent war, würde es auch im neuen Sinne sein. Der neue Begriff leistet aber tatsächlich mehr. Denn ist 2'«„ die oben mehrfach genannte Reihe

				2;(-i) ;i — 0	n	1 — 1	+ 1-	1 +	...,
so	ist	'o-	= 1,	Si = 0, 8^=--	= 1,	•••'^n	l+(	2	und also
	Sn	'.=	^0 +	Si + . . . + s„ » + 1	Jn^	+ 1) + ^ 2(.	r(l+(- ^+1)	1)1 =	1 1 l+(-	-ir
	2^ 4 (w	+ 1)

Hier strebt also s^ -> | und wir hätten durch diese Festsetzung die

Reihe 1 — 1-fl [-••• zu einer „im neuen Sinne konvergenten"

Reihe mit der Summe J gemacht. Das wäre eine durchaus ein- wandfreie Festsetzung. .^-WoO ^^--^^^-^'^

Durch diese beiden Feststellungen hätte dieser neue Konvergenz- begriff schon eine beträchtliche Zweckmäßigkeit bekundet, und man könnte auf ihm als Grundlage eine entsprechende neue Theorie der unendlichen Reihen aufbauen. Selbstverständlich könnte man noch in mannigfach andrer Weise einen „neuen Konvergenzbegriff" ein- führen und ihn auf seine Zweckmäßigkeit hin pi'üfen. Wir werden das gleich nachher noch an einigen Beispielen erläutern. Doch wollen wir uns von vornherein klarmachen, welche Eigenschaften ein solch „neuer Konvergenzbegriff" haben soll, damit wir seine Einführung als zweckmäßig anerkennen können.

1) Sobald man verschiedene Konvergenzbegriffe bei Reihen einführt, würde die Gefahr von Mißverständnissen entstehen. Bei dem Begriff der Integrier- barkeit, wo etwas Ähnliches vorliegt, pflegt man durch Hinzufügimg einer Initiale dieser Gefahr vorzubeugen. So spricht man von Funktionen, die inte- grierbar (R) oder integrierbar (L) sind, je nachdem man Integrierbarkeit im Riemannschen Sinne oder im Lebesgueschen Sinne meint. Ebenso könnte man hier eine Reihe (y3)-konvergent oder (iV)-konvergent nennen, je nachdem sie im alten oder in dem oben als Beispiel eingeführten neuen Sinne konvergent ist. Doch werden wir gleich sehen, daß man diese Verwechselungsgefahr auf andere Weise vermeidet.

§ 59. Allg-emeine Bemerkungen über divergente Reihen. 445

Da wäre zu allererst zu verlangen, daß der neue Begriff mit dem alten nicht in Widerspruch steht. Denn unser bisheriger Kon- vergenzbegriff bei den unendlichen Reihen war ein viel zu natur- gemäßer und hat sich in viel zu hervorragender Weise bewährt, als daß von einer Deutung des Symbols ,^2 a ", die mit ihm im Wider- spruch steht ^), Nutzen zu erwarten wäre. Sondern: Eine Reihe 2 a^, die im alten Sinne konvergent war, muß es auch — und zwar mit ungeänderter „Summe" — bleiben, wie immer man den Konvergenz- begriff etwa definieren mag. Das ist die Hauptforderung, die wir als '^Fermanenzbedingung bezeichnen wollen. Doch müßte man weiter wohl

verlangen, daß z. B. aus der „Konvergenz" von yja, auch diejenige

n=0 "

von ^a folgte, und daß, wenn s und s' ihre Summen sind, s = aQ-\-s

n = l

sei; müßte wohl auch verlangen, daß man „konvergente" Reihen gliedweis addieren darf und einiges andere mehr^).

Solche Forderungen sind natürhch nicht völlig unerläßlich; aber je mehr von solchen naheliegenden Forderungen ein etwaiger neuer Konvergenzbegriff erfüllt, desto zweckmäßiger wird er uns erscheinen.

Endlich aber: damit die Einführung eines solchen neuen Begriffes sich lohnt, muß es Reihen geben, die im alten Sinne divergent waren. _ im neuen aber „konvergent" sind, — wie dies bei dem oben als Beispiel eingeführten neuen Konvergenzbegriff bezüglich der Reihe ^(—1)^ der Fall war. Und wir können dann gleich sagen: Je mehr (im alten Sinne) divergente Reihen bei der neuen Fassung des Be- griffes zu konvergenten werden, desto vorteilhafter wird es sein, diesen neuen Begriff einzuführen.

Unter diesen Gesichtspunkten wollen wir nun einige neue Arten, dem Symbol S a^ eine Bedeutung beizulegen, näher untersuchen. Doch sei im voraus schon betont, daß keiner dieser neuen Konver- genzbegriffe unserm bisherigen an Bedeutung gleichkommt. Um daher ^ die Benennung der Begriffe zu vereinfachen, ist es vorteilhafter, unter einer konvergenten unendhchen Reihe Z a^ nach wie vor allein das zu verstehen, was wir bisher darunter verstanden haben, und für et- waige neue Festsetzungen auch neue Namen einzuführen. In dieser

Beziehung setzen wir fest: Wenn dem Symbol „^«„" durch irgendein neues Verfahren (wie etwa das vorhin beschriebene) ein Sinn und ein

1) Die also z. B. einer im alten Sinne konvergenten Reihe mit der Summe s eine davon verschiedene Summe 5 ' zuspräche , oder sie als divergent bezeichnete.

2) Welche Forderungen der bezeichneten Art als zweckmäßig anzusehen sind, ist von G. Doetsch in seiner Inaug.-Diss. „Eine neue Verallgemeinerung der ßore/schen Summabilitätstheorie", Göttingen 1920, genauer diskutiert worden.

446 XIII. Kap. Divergente Reihen.

Wert s beigelegt wird, so wollen wir die Reihe durch dieses Ver- fahren summierhar nennen mit dem Werte s, oder auch einfach — weil gar kein Mißverständnis zu befürchten ist — m>it der Summe «. So können wir auf Grund des vorhin beschriebenen Verfahrens sagen:

Die Reihe 1 — 1 + 1 ^ . . . ist summierbar „durch die Methode

der arithmetischen Mittel erster Ordnung" mit der Summe |, oder etwa kurz (s. S. 444, Fußn.): sie sei (M l)-summierbar mit der Summe | ^). Wir gehen nun daran, weitere Beispiele für „Summierungs- verfahren" zu geben, d. h. für anders geartete Methoden, dem (aw sich — es sei dies erneut betont — bedeutungslosen) Symbol 2 a^ einen Sinn beizulegen:

1. Art {Verfahren der arithmetischen Mittel). Wenn wir nach Bil- dung der Teilsummen s^ und der arithmetischen Mittel 1. Ordnung

,„'=^o+_^,±:.:+f. (» = 0,1,2,...)

statt sogleich nach einem etwaigen Grenzwert der s,^ zu fragen, erst erneut die Mittel

n + 1

(n = 0, 1, 2,...)

bilden und nun erst nach dem Grenzwert der Folge [$„) fragen, so kann man definieren: Die Reihe I. a^^ heiße (M 2)-summierbar^) mit der Summe s, wenn s^ -> s strebt.

Man sieht sofort, daß diese Methode die vorhin beschriebene der (M 1)- Summierbarkeit und damit die gewöhnliche Konvergenz als Spezialfall enthält, also die Permanenzbedingung erfüllt, andererseits aber weiter reicht als jene. So ist z. B., wie man ziemlich leicht nachrechnet, die Reihe

J (- 1)" (m + 1) - 1 ^ 2 + 3 - 4 + 5 - -}- . . .

n=0

(M 2) -summierbar, — aber nicht (M 1)- summierbar oder gar konvergent — mit der Summe J- ») . Denn die s'^ sind für «- 0, 1, 2„ i . . der Reihe nach ^ 1, 0, I, 0, 1 , 0, 4 , . . .; die sj^ -v streben also keinem Grenzwert zu, während nun s" -> \ strebt.

Geht man auch bei den s!,' noch nicht zur Grenze über, sondern bildet erst

W4-1

{n = 0, 1, 2,...)

1) Werden verschiedene Verfahren zur Summierung benutzt, so unter- scheidet man sie voneinander durch eine dem Worte summierbar beigefügte Initiale.

2) Genauer also: Summierbar durch die Methode der zweimaligen Bildung arithmetischer Mittel.

3) Der S. 442 genannten paradoxen Eulerschea Gleichung liegt also doch ein tieferer (rein arithmetischer) Sinn zu Grunde.

§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Reihen. 447

und allgemein

.{r-l)j_(r-l)

(r) -"O ' ^1

5; ' -^

s„ ■■=

n^l

{n = 0, 1, 2,...)

und es strebt nun (bei einem bestimmten r) s^ -> 5, so können wir analog definieren: Die Reihe S a^^ heiße {M r} summierbar mit der Summe s, wenn Sn^ ^s strebt^). Jedes dieser Verfahren (mitr= 1, 2, . . .) enthält die vorangehenden und damit den alten Konvergenzbegriff, den man als dem Index r = 0 entsprechend ansehen kann, als Spezial- fall in sich und jede ist, wie einfache Beispiele lehren, umfassender als die vorangehende.

Die Prüfung, ob und inwieweit diese Summierungsmethode die übrigen oben aufgestellten Zweckmäßigkeitsforderungen erfüllt, müssen wir dem Leser überlassen.

2. Art (Cesärosches Verfahren)^): Wir bilden wieder die Teilsummen von ^a^^, bezeichnen sie aber jetzt mit S,f^ = s^ == a^ -\-a^ -f- . . . -j- « und setzen dann weiter

w = 0, 1, 2, y= 1, 2, ..

5r +sr +. Sf +5'" +.	..+5»' =sr
:::::::::::::;■ f
	■ + si-'' = s^'

und untersuchen für ein bestimmtes r das Konvergenzverhalten der Folge

c(r)

'n -\-r

^«^-7~W w = 0, 1, 2,

und definieren nun: Die Reihe Z a^ heiße (C r)-summierbar mit der

Summe s, wenn (bei festem r) die Folge On^ -> s strebt^).

Daß auch dieses Verfahren die Permanenzbedingung erfüllt, wird uns der Satz des § 60 lehren und über das Verhältnis dieses Verfahrens zum voran-

^) Arithmetische Mittel dieser Art sind zum ersten Male von O. Holder (Math. Annalen, Bd. 20 (1882), S. 535) für die Theorie der unendlichen Reihen nutzbar gemacht worden; man nennt sie darum auch Höldersche Mittel.

2) Bull, des sciences math., Bd. (2) 14 (1890), S. 114. — Verf. hat die Cesarosche Methode in der Weise verallgemeinert, daß r eine beliebige reelle Zahl > — 1 sein darf (Inaug.-Diss., Berlin 1907, S. 46, und Sitzungsber. d. Berl. math. Ges., Bd. 7 (1907), S. 1).

^) Genauer: Summierbar mit der Summe 5 nach der Methode der Cesäro- schen Mittel yter Ordnung. (C 1)- und {M 1)-Summierbarkeit sind hiernach iden- tisch. Ebenso (C 0)- und {M 0)-Summierbarkeit, die beide als identisch mit der bisherigen Konvergenz anzusehen sind.

448 ^m- K^P- Divergente Reihen.

gehenden, vgl. den dortigen Äquivalenzsatz. Beispiele für dieses Verfahren — wenigstens für den Fall r = l , in welchem es mit dem vorangehenden identisch ist — werden wir in jenem Paragraphen genauer kennen lernen, so daß sie sich im Augenblick erübrigen.

3. Art (Abelsches Verfahren). Ist ^a^ vorgelegt, so betrachten wir die Potenzreihe ^a^^x" und nennen die Reihe H a^^ nun {A)-summierbar mit der Summe s, wenn der Radius dieser Potenzreihe > 1 ist und wenn

hm (2'«,^%") = s «->i-o ist.

Infolge des Abelschen Grenzwertsatzes erfüllt auch dieses Verfahren die Permanenzbedingung, — ist aber weiter als diese, da z.B.

2J (- ly _- hm (2^ (-1)%") ^ hm ^- = i

n=0 *->l-0 X >1 ^ ^ ^ ^

zu setzen ist. Ebenso wird nach dieser Methode

zu setzen sein, weil

^(_l)«(« +^) .« = (j-}-^)'"'- .^ strebt ftlr . ^ 1 _ 0.

In § 62 werden wir auch sehen, daß dieses Abelsche Verfahren i) das Höldersche und das Cesärosche als Spezialfälle enthält und also das wirksamste aller bisher genannten Verfahren darstellt. Man kann es auch in folgende Form kleiden: Man bilde die Teilsummen s„ von 2'a„ und setze die Potenzreihe Zs„x" dadurch in Vergleich zur geometrtschen Reihe Sx'', daß man den Quotienten

2" AT«

für ;»; -► 1 - 0 untersucht. Strebt er einem Grenzwert s zu , so soll Z a^ nun (yi) -summierbar heißen mit der Summe s. Das ist offenbar dasselbe, da der hin- geschriebene Quotient =:2'a„Ar« ist (vgl. 102). Diese Auffassung macht die Entstehung des folgenden, zunächst etwas fremdartig erscheinenden Verfahrens begreiflich :

4. Art {Boretsches Verfahren). E. Borer-) sucht dem Ahelschexi Verfahren, welches doch nur zum Ziele führen kann, wenn ^ a^^x'' oder Ss^x"" mindestens den Einheitskreis zum Konvergenzkreis hat dadurch eine größere Wirksamkeit zu verleihen, daß er in ganz ana- loger Weise die Reihen

Vs """ und v^_"

1) Es ist natürlich nicht von Abel als solches geschaffen, stützt sich aber so unmittelbar auf den Abelschen Grenz wertsatz, daß es gerechterweise nach ihm benannt werden muß.

2) Sur la sommation des series divergentes, C. R. de l'Acc. Paris, Bd. 121 (1895), S. 1125 — und in vielen späteren Abhandlungen. Eine zusammen- fassende Darstellung gab er in seinen Legons sur les sdries divergentes, Paris 1901.

§ 59. Allgemeine Bemerkung-en über divergente Reihen. 449

und ihren Quotienten — oder also das Produkt

e-' ■ ys

für :^ -> -J- 00 untersucht. Strebt es dabei einem Grenzwert zu, 50 soll 2 a^^ nun {B)- summier bar heißen mit der Summe s.

Nehmen wir etwa, um dieses Verfahren ein wenig zu erläutern, zunächst

X

wieder 27«« = 2J (- 1) , so ist s„ = 1 oder == 0, je nachdem n gerade oder un-

n = 0

gerade ist. Also wird

— "" n\~ "^ 2! ' 4! '^■*' 2

und es handelt sich um den Grenzwert

Um e-'-.^'t^"':,

der offenbar = 1 ist. 2^(— 1)'^ ist also auch (J5)-summierbar mit der Summe \. Dies Verfahren erfüllt auch die Permanenzbedingung] denn ist 2'a„ im alten Sinne konvergent, strebt also 5„->5, so ist diese Reihe auch (ß)-sum- mierbar mit der Summe 5; denn es ist

"^ ■ S^n-^A - S =-^ e— . Z{Sn~ S).- ^ n = 0 ^5/ M = ü »!

und wählt man bei gegebenem e > 0 ein m so groß, daß für n > m stets

I -s« — s j < ~- bleibt, so ist der Betrag dieses Ausdrucks für positive x

< ß-^ • 2; ^^n - s\—<e-^ . Z .^Sn~ s\- -~~ Ar -T- •

Da aber für ^r ^ + oo des Produkt von e— ^' mit einem Polynom mten Grades -> 0 strebt, so kann i^ so groß gewählt werden, daß für ,r > |^ dieses Produkt

<< - ist. Dann ist der Betrag des ganzen Ausdrucks ■< t und somit unsere Behauptung bewiesen i) .

Ohne auf dieses Bovelsohe Verfahren näher einzugehen, wollen wir doch betonen, daß es wesentlich wirksamer ist als das ^öe/sche — und also auch als das Cesa^'osche und Höldersche — -'), und daß es doch noch als ein ver-

^) Auch dieser Satz ist in dem S. 377 formulierten allgemeinen Satze als Spezialfall enthalten.

CO

^) So ist z. B. die geometrische Reihe 2J (— 1)" «" hir 0 ^ a < 1 konver-

n=0 gent im alten Sinne ; für a = + 1 ist sie summierbar nach allen 4 bisher be- schriebenen Verfahren und jedesmal mit der Summe |- . Aber nach dem Borel- schen Verfahren ist sie auch noch für alle a y^ 1 summierbar und jedesmal mit

1 1 j_('_l\«a''+i

der Summe . In der Tat ist s„ = l — a-ra- — f-...4-(— 1)"«"= ' - -^

1 -f-« 1 +a

und für x^ + csd strebt nun

X"

1 . a ,_,... 1

s,,

ia + l) X

nl 1 ^ a 1 -^ a l-fa

Man erkennt sogar, daß alles dies schon gilt, wenn nur 9t (a) > — 1 ist.

Knopp, Unendliche Reihen. 29

450 XIII. Kap. Divergente Reihen.

hältnismäßig- naheliegendes bezeichnet werden muß. Auch ist sein Gebrauch noch vergleichsweise einfach.

5. Art {Erweitertes Borelsches Verfahren.) Statt wie eben die Exponentialreihe selbst zu nehmen, benutze man die wirksamere Reihe

in der r eine feste ganze Zahl > 1 bedeuten soll. Man untersuche also für a; -> + Oü den Quotienten der beiden Funktionen

y] s } — ri und

oder, was auf dasselbe hinauskommt, das Produkt

rn

n=o {yn)\ und nenne die Reihe 2a^^ nun [B y)-summierbar mit der wSumme s, wenn es dabei dem Grenzwert s zustrebt.

Durch dies Verfahren (für r --= 2) ist z. B. sogar die Reihe 1 ! - 2 ! + 3! - 4! ^ 5 ! — ^ . . . summierbar, trotzdem die zugehörige Potenzreihe 2" (— 1)'*~^ n \ x'* nirgends konvergiert (s. 230, 5). Ihre durch diese Methode bestimmte Summe ist -.0,40365...^).

Der gemeinsame offene oder etwas versteckte Grundgedanke aller be- schriebenen Verfahren ist der, daß den Gliedern der Reihe 2 an variable Faktoren zugeteilt werden, die die Reihe konvergent (im alten Sinne) machen und dadurch den Einfluß der fernen Gliedern zunächst herabdrUcken, die aber allmählich gegen 1 steigen und so schließlich doch alle Glieder zur vollen Wirksamkeit heranziehen. So ist z. B. bei der (.1/ 1)- oder (C 1)-Summierbarkeit

und man sieht hier deutlich, wie die einzelnen Glieder immer stärker, bis zum vollen Gewicht, herangezogen werden, wenn n wächst' Bei der (^)-Summier- barkeit sind es die Faktoren at", welche den Einfluß der fernen Glieder herab- mindern (da X <C\ ist), die aber diesen Einfluß immer stärker werden lassen, wenn ;r -> 1 wächst. Auch das ßo)'e/sche Verfahren läßt sich so interpretieren, nur daß bei ihr die Teilsummen, nicht die Glieder der Reihe, in Erscheinung treten. Am deutlichsten ist dieses Prinzip zur Grundlage der folgenden Me- thode gemacht :

6. Art (Le Roy's Verjähren'^) . Es sei x ein positiver echter Bruch und

n = 0 ^J

sei konvergent für alle 0 ^ ;tr < 1 . Die Summe dieser Reihe (im alten Sinne) ist dann eine Funktion von x in dem genannten Intervall ; strebt sie für ;(^ -> 1 — 0

1) Dieses merkwürdige Resultat findet sich schon — obwohl auf ganz anderen Wegen gefunden — bei Euler. (Opera posthuma Bd. 1, S. 547).

2) Sur les series divergentes, Annales de la Fac. des sciences de Toulouse, Bd. (2)2 (1900), S. 317.

§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Reihen. 451

einem Grenzwert s zu, so heiße 2'a„ nun {R)-summierbar mit der Summe s. Die Methode ist analytisch weniger leicht zugänglich und darum von ge- ringerer Bedeutung.

Von äußerlich ganz anderer Art ist das folgende Verfahren, das wir als letztes skizzieren wollen:

7. Art (Eulersches Verfahren.) Wir sahen 144, daß, wenn von den beiden Reihen

I]{~lTa^, und yj^

die erste konvergiert, so konvergiert auch die zweite und Uefert die- selbe Summe. Nun zeigen aber einfachste Beispiele, daß die zweite Reihe sehr wohl konvergieren kann, wenn die erste es nicht tut.

Beispiele.

1. Wenn a„ z= 1 , so ist a^ ^ l , zJ^a^- 0 für k>l. Die beiden Reihen lauten also

1-1 + 1-1 + -... und .^- + 0 + 0 + 0 + ...

2. Ist für n - 0, 1, 2, . . .

an

so ist J a„ - 1 , — 1 , — 1 , . . .

und für k>2. A^an= 0, 0, 0, ...

Die beiden Reihen lauten also

1 - 2 + 3 - 4 + - . . . und .i. _ i + 0 + 0 + . . . .

3. Ebenso findet man aus a,^ = {n + l)'*^, daß J a^ — 7, A^ üq^ 12, A'^ÜQ^- — ^ und für ä>3 stets A^ a^ Q ist. Die beiden Reihen lauten also hier:

1 _ 8 + 27 -64 + -....-= i:_|a- ._2_^«^.|_0 + 0 + ... . Daraufhin nennen wir eine Reihe ^(—1)"«,, nun (E)- summierbar

n = 0

CO ^^ ^

mitder Summe s, wenn ^ T+i^ ^^ alten Sinne konvergiert und die

Ä— 0 2 Summe s hat.

Unser damaliger Satz 144 besagt dann jedenfalls, daß dieses Verfahren die Permanenzbedingung erfüllt, und die eben gegebenen Beispiele zeigen andrerseits, daß es bedeutend umfassender ist.

8. Allgemeinste Summation. Die gemeinsame Struktur aller be-

XI

schriebenen Summationsverfahren ist diese : Ist die Reihe ^ a^^ vor-

n=0

gelegt und sind s^, s^, s^, ... ihre Teilsummen, so bilde man aus ihnen mit Hilfe der Matrix (vgl. den Satz von Toeplitz, 221)

04) = KJ, (^.n^ 0,1,2,3,...),

29*

452 ■ XIII. Kap. Divergente Reihen.

von der wir voraussetzen, daß sie die Bedingungen (a), (b), (c) der Sätze 221 erfüllt, die neue Folge

V = ^fcO^O + «fcl^l + ^fe2^2 + • • • + «fe,S» + . . . (^ = 0, 1, 2, . . .)

und untersuche deren Konvergenz^). Fällt sie konvergent aus und strebt etwa s^'^s, scr nenne man die vorgelegte Reihe («^ J-summier- bar'*^) und sehe s als ihre Summe an. Auf Grund des genannten Satzes erfüllt dies Verfahren jedenfalls die Permanenzbedingung. Sein ^,Konvergenzfeld" aber, d. h. die Gesamtheit der Reihen ^a„, die auf eine konvergente Folge (s^') führen, wird je nach Wahl der Matrix (<^^J verschieden ausfallen.

Mit der Aufzählung dieser Verfahren müssen wir uns begnügen**). Auch ist es nicht unsere Absicht, nun in ihr genaueres Studium ein- zutreten; wir müssen uns vielmehr mit der Bemerkung begnügen, daß sie alle schon eingehend nach verschiedenen Richtungen untersucht worden sind. (Literatur s. u.). Insbesondere ist — wenn auch noch keines- wegs in allen Einzelheiten — festgestellt, inwieweit sie die oben S. 445 genannten Zweckmäßigkeitsforderungen erfüllen und inwieweit auch noch andere bei gewöhnlichen konvergenten Reihen gültige Sätze (z. B. solche über Multiplikation und Division von Reihen, über die Zulässig- keit von endUch vielen Änderungen, u. a.) ihre Gülügkeit behalten. Die Untersuchungen sind dann weiter auf divergente Reihen mit ver- änderhchen Gliedern ausgedehnt worden, in welchem Falle dann auch die „Summe" von einer VeränderUchen abhängen und die Frage nach ihrer Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. auftauchen wird, deren Be- antwortung dann genau wie im Falle der Konvergenz die Einführung des Begriffs der gleichmäßigen Summierbarkeit wünschenswert macht. Des weiteren haben sich die Untersuchungen darauf bezogen, welche von zwei Methoden die wirksamere ist, ob sich also ihre Konver- genzfelder ganz oder teilweise decken, und ob, fallß zwei verschiedene Verfahren auf ein und dieselbe Reihe anwendbar sind, ihr durch beide dieselbe „Summe" zuerteilt wird oder nicht.

Zum Schluß sei noch bemerkt, daß wir hier nur aus mehr äußer- lichen Gründen von der Summierbarkeit von Reihen gesprochen haben. Ganz allgemein aber wird man eine Zahlenfolge {x^, x^, . . .), die im alten Sinne nicht konvergiert, in einem neuen Sinne konvergent nennen, wenn die Reihe x^ + {x^ — x^) + {Xo — ^i) + • • •. die ihr

1) Die Operation, durch die man aus der Folge (s„) und der in der Äten Zeile der Matrix (A) stehenden Folge (a^o- «fci' • • •) ^^^ ^^^ V bezeichnete Größe herleitet , bezeichnet man kurz als Komposition der Folge {sq, Sj , . . .) mit der Aten Zeile von (A).

2) D. h. summierbar bei Benutzung der Matrix {a^^J = {A).

3) Eine weitere sehr schöne Methode gab M. Riesz an: Une methode de sommation, C. R. de l'Acc. Paris, Bd. 152 (1911), S. 1651.

§ 60. Die Summierung durch arithmetische Mittel. 453

nach 67, 7 entspricht, in dem betreffenden Sinne summierbar ist. Eine unendliche Reihe und die Folge ihrer Teilsummen und umgekehrt eine Folge und die unendliche Reihe aus ihren Differenzen sind eben sachlich ganz dasselbe.

Aus der schon sehr reichhaltigen Literatur über diesen Gegenstand seien folgende Werke und Arbeiten — außer den im vorangehenden schon zitierten — genannt:

T. /. Fa. Bromwich, An introduction to the theory of infinite Series, London

1908, Kap. n. (Behandelt hauptsächlich das Borelsche und Cesärosche

Verfahren.) G. H. Hardy, Theorems relating to the summability and convergence of slowly

oscillating series, Proc. of the London Math. Soc, Bd. (2) 8 (1910), S. 30L G. H. Hardy und S. Chapmau, A general view of the theory of summable

series, Quarterly Journ., Bd. 42 (1911), S. 181. 5, Chapman, On the general theory of summability, with applications to Fourier's

and other series, ebenda, Bd. 43 (1911), S. 1. G. H. Hardy und /. E. Lütlewood, The relations between Borel's and Cesäro's

methods of summation, Proc. London Math. Soc. Bd. (2) 11 (1912), S. 1.

E. Ricotti, Sülle serie divergenti sommabili, Giornale di matematiche, Bd. 48

(1910), S. 79. B. Ottolenghi, Somma generalizzata, ebenda, Bd. 49 (1911), S. 233. O. Perron, Beitrag zur Theorie der divergenten Reihen, Math. Zeitschr., Bd. 6

(1920), S. 286—310. G. Doetsch, Eine neue Verallgemeinerung der Borelsc\\en Summabilitätstheorie,

Inaug.-Diss., Göttingen 1920.

F. Hausdorff, Summationsmethoden und Momentfolgen I und II, Mathemat.

Zeitschrift, Bd. 9 (1921), S. 74 und S. 280. Während der Drucklegung des vorliegenden Buches endlich erschien das Heft II, C 4 der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften : L. Bieberbach, Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Vari- ablen, welches ein mit genauen Literaturangaben versehenes Referat über die Summierungsverfahren enthält.

§ 60. Die Summierung durch arithmetische Mittel.

Von allen Summierungsverfahren, die wir im vorangehenden kurz angegeben haben, sind die beiden ersten — und besonders die bei beiden identische Summierung durch arithmetische Mittel 1. Ord- nung — durch ihre große Einfachheit besonders wertvoll und sie haben sich auch für die mannigfachsten Anwendungen als besonders zweckmäßig erwiesen. Wir wollen daher auf diese beiden Verfahren — und auf diese allein — noch etwas näher eingehen.

Da beide äußerlich eine gewisse Verwandtschaft aufweisen, so liegt die Frage hier besonders nahe, ob sie sich in ihrer Wirksamkeit voneinander unterscheiden oder nicht, ob also eine Reihe, die durch das eine Verfahren summierbar ist, es auch stets durch das andere

454 XIII. Kap. Divergente Reihen.

sein muß oder nicht. Diese Frage entscheidet der folgende vom Verfasser^) und von Schnee^) herrührende

Äquivalenzsatz. Ist eine Reihe 2a^^ für ein bestimmtes r {M r)- siimmierhar, so ist sie für dieses r auch (C r)- summierbar und umge- kehrt, und beide Verfahren liefern für die Reihe dieselbe Summe.

Auf den nicht ganz einfachen Beweis dieses Satzes wollen wir hier nicht eingehen^), betrachten es aber doch auf Grund dieses Satzes nicht als eine sachliche Einschränkung, wenn wir uns weiter- hin nur mit der leichter zu handhabenden Summierbarkeit (C, r) be- schäftigen.

Hier gilt zunächst, ähnlich wie wir es schon bei der Hölderschen Methode zeigten, der

Satz. Ist eine Reihe {C r)- summier bar mit der Summe s, so ist sie auch {Cr-\~ l)-summierbar mit derselben Summe s.^)

Beweis. Es ist

5(f+i) 5 <'') 4-5 <'') + ... +5i''>

('l[f're)+('r)+-"+TTr

und nach dem Cauchy-Toeplitzschen Satze (44, Bem. 4 und 5) folgt unmittelbar die Behauptung.

Ist nun r die kleinste Zahl, für die -Sa^ noch (C r)- summierbar ist, so sagt man auch, die Reihe sei genau durch die Mittel r^^^ Ordnung summierbar-'').

Beispiele für (C y)-Summierbarkeit.

1. 2J {— 1)" ist (C l)-summierbar; s = |. Beweis s. o. S. 444.

n = 0

2. ^ (- 1)" T" 1" ^^ ist (C /> + !) -summierbar; s = — L_ . Beweis durch direkte Ausrechnung der S^'^^^ **) . ^,

1) Inaug.-Diss., Berlin, 1907, S. 19.

2) W. Schnee, Math. Ann., Bd. 67, 1909, S. HO.

3) Einen besonders schönen Beweis dieses Aquivalenzsatzes gab 7. Schur (Math. Ann., Bd. 74 (1913), S. 447); ein anderer findet sich in der am Schluß des vorigen Paragraphen genannten Arbeit von F. Hausdorff.

*■) Dieser Satz lehrt speziell, daß die (C r)- Summierbarkeit die Permanenz- bedingung erfüllt (vgl. S. 447).

ö) Auch nennt man die Reihe dann y-fach unbestimmt; doch rührt diese Bezeichnung von veralteten Anschauungen her.

«) Mit Benutzung der Ausführungen von S. 463 ergeben sich die 5^^^ in diesem Falle als Koeffizienten von x" in

1-x) ' [l+xj ^^\ p

woraus dann alles weitere leicht folgt.

§ 60. Die Suuimierung- durch arithmetische Mittel. 455

3. Die Reihe ^ (- 1)'^ (« -f 1)^-^ =: 1 - 2^"^ + 3^"^ - 4^"^ + . . . ist

»=o

2^ — 1

(C ^)-summierbar mit der Summe s — B^ , falls ^ >> 1 .

4. Die Reihe ^ -f- cos x + cos 2 x -}-... -{- cos nx -{- . . . ist (C 1)- summierbar mit der Summe 0, falls x^2k7C ist.

Beweis. Nach 201 ist für n - 0, 1, 2, . . .

sin {n + -j X s„ = ^ 4- cos X -f- cos 2x ~{- . . . -}- cos nx =

2sm-2-

und also

l f X X x\ ^^"'(^ + 1)|-

So+s^ + ... + Sn= j l^sin -- +sin3 — + . . . + sin (2 li -fl) ^^j = ^

2sin-^^ 2sin2

und folglich

5o + 5i + . . . + 5„

W + 1

< »

2 sm^ —

Bei festem ;»r =4= 2 Ä tt strebt aber der letzte Quotient mit wachsendem n gegen 0, womit schon alles bewiesen ist. — Hier haben wir ein erstes Beispiel einer summierbaren Reihe mit veränderlichen Gliedern. Die durch ihre „Summe** dargestellte Funktion ist =: 0 in jedem Intervall , das keinen der Punkte 2 Ä tt enthält. In den ausgeschlossenen Punkten ist die Reihe bestimmt divergent gegen + cx) !

5. Die Reihe sin ;tr + sin 2 at + sin 3 ;v -f . . . ist für ;v ^ Ä tt ersichtlich kon- vergent mit der Summe 0. Für x=^k7t ist sie nicht mehr konvergent, wohl aber

1 X '^)

(C l)-summierbar und ihre „Summe" ist dann — ctg -^

^ ^ cos(2m + 1)|-

Beweis. Es ist s„ ^ sin a; -f . . . + sin nx ■-= — ctg — —

2sm-

woraus dann ähnlich wie in 4. der Beweis folgt.

6. cos;v + cos 3Ar + cos 5Ar+ . . . ist (C l)-summierbar mit der Summe 0, falls X =^ k'jt ist.

7. sin AT + sin 3 AT + sin 5 AT -f ... ist ebenfalls (C l)-summierbar und hat

die Summe — -^ , falls a; 4= Ä tt ist.

2 sm AT '

8. \-\-z-\-z^-\- . . . ist für \z\ = \ noch (C 1)- summierbar mit der Summe

, falls nur ^ =|= + 1 ist. Die Beispiele 4 und 5 ergeben sich hieraus

durch Trennung von Reellem und Imaginärem.

Daß durch gliedweise Addition oder Subtraktion zweier summier- barer Reihen wieder eine solche entsteht und daß sich dabei auch

1) Das Bild dieser Funktion weist also an den Stellen 2k% „unendlich große I Sprünge" auf.

456 XIII. Kap. Divergente Reihen.

deren Summen addieren bzw. subtrahieren, ist so leicht zu sehen, daß wir es nicht weiter ausführen. Ebenso, daß „endhch viele Ände- rungen'' (s. 82, 11) auf die Summierbarkeit keinen Einfluß haben, und daß sich dabei die Summe genau so verändert, als ob die Reihe konvergent wäre.

Die Multiplikation unendlicher Reihen, die bei der Forderung der Konvergenz der Reihen eine recht komplizierte Theorie erfordert, erledigt sich wesentlich einfacher, wenn man nur die Summierbarkeit der Reihen verlangt. So können wir das beim 2. Beweise des Satzes 189 gewonnene Resultat jetzt so aussprechen:

Satz. Das Cauchysche Produkt zweier konvergenter Reihen mit den Summen A tmd B ist stets summier bar mit der Summe A- B.

Dieser schöne, von Cesäro herrührende Satz ist einer der Aus- gangspunkte einer systematischen Theorie der divergenten Reihen, da er zum ersten Male an einem schlagenden Beispiele den Nutzen des Summierungsbegriffes zeigte: Ein Sachverhalt, der bei ängsthchem Festhalten des Konvergenzbegriffes sehr undurchsichtig und schwierig war, ließ sich durch Zulassung des Summierbarkeitsbegriffes in ein- heitlicher Weise erschöpfend erledigen.

§ 61. Anwendung der (C 1)-Summierbarkeit auf die Theorie der Fourierschen Reihen.

Abgesehen von dem greifbaren Vorteil aller Summierungs- verfahren, der darin besteht, daß viele unendliche Reihen, die wir bisher als sinnlos verwerfen mußten, nunmehr einen brauchbaren Sinn bekommen und daß dadurch also das Anwendungsfeld der unendlichen Reihen sehr erhebhch erweitert wird. Hegt das theoretisch außer- ordentUch befriedigende dieser Verfahren darin, daß verworrene und undurchsichtige Sachverhalte nun plötzlich von äußerster Einfachheit werden. So sahen wir schon, daß die schwierige und bis heute noch nicht völlig geklärte Frage nach der Gültigkeit der Cauchyschen Multiphkationsregel

2'a,^-^&„ = 2\a,b^^ + a, 6„_, + . . . + aJ,V)

eine äußerst befriedigende Antwort zuläßt, sobald man Summierbar- keit an die Stelle der Konvergenz zulässt.

Aber die in diesem Sinne vielleicht schönste und auch praktisch bedeutungsvollste Anwendung der (C 1)-Summierung ist diejenige.

1) D. h. die Frage, was für notwendige und hinreichende Bedingungen die linksstehenden Reihen (außer ihrer Konvergenz) noch zu erfüllen haben, damit auch die rechtsstehende Reihe konvergiert und zwischen den Summen aller drei die obige Gleichung besteht.

457

die L. Fejer von ihr auf die Theorie der Fourierreihen gemacht hat^). Hier sahen wir (S. 357), daß die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen, unter denen die Fourierreihe einer inte- grierbaren Funktion konvergiert und die gegebene Funktion darstellt, äußerst schwierig ist. Insbesondere weiß man z. B. nicht, was für notwendige und hinreichende Bedingungen eine an einer Stelle x^ stetige Funktion dort noch zu erfüllen hat damit ihre Fourierreihe in diesem Punkte konvergiert und den betreffenden Funktionswert dar- stellt. Wir haben in § 49, C verschiedene Kriterien dafür kennen ge- eint; aber sie hatten alle nur den Charakter hinreichender Bedingungen. Lange vermutete man auch, daß jede in x^ stetige Funktion f(x) eine Fourierreihe besitzt, die dort konvergiert und die Summe f(xQ) hat. Erst durch ein Beispiel von dit Bois-Reymcnd (s. 216, 1) wurde diese Vermutung zuschanden. Die Fourierreihe einer in x^ stetigen Funktion kann dort tatsächlich divergieren'^).

Noch schwieriger wird die Frage, wenn wir — als zunächst wohl geringstes Maß an Voraussetzungen über f{x) — nur verlangen, daß die (integrierbare) Funktion f[x) an der Stelle x^ je einen rechtsseitigen und einen Hnksseitigen Limes ([x^-^-O) und f{x^ — 0) besitzt. Was für notwendige und hinreichende Bedingungen muß die Funktion f[x) dar- über hinaus noch erfüllen, damit ihre Fourierreihe in Xq konvergiert und die Summe | [f{xQ + 0) + /{x^^ — 0)] hat?

Wie betont, ist die Fra.ge noch keineswegs beantwortet. Aber dieser verworrene und undurchsichtige Sachverhalt wird nun aufs be- friedigendste geklärt, wenn man an Stelle der Konvergenz die Summier- barkeit -^ und zwar genügt schon die (C l)-Summierbarkeit — der Fourierreihen in Betracht zieht. Es gilt nämlich (wie dort) der folgende schöne

Satz von Fejer, Besitzt die in0^x^2 7i integrierbare Funktion f(x) an einer Stelle x^ dieses Intervalles die beiden Grenzwerte ([x^ -f- 0) und f{xQ~ OY), so ist ihre Fourierreihe dort stets (C 1)- summierbar mit der Summe | [f{xQ -f- 0) + fix^ — O)] ^).

^) L. Fejer, Untersuchungen über die Fourierschen Reihen, Math. Annalen, Bd. 58 (1903), S. 5L

-) Heute gibt es einfachere Beispiele als das genannte. Z. B. hat L.Fejer ein sehr schönes und durchsichtiges Beispiel gegeben (J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 137 (1909), S. 1).

3) Nach unsern früheren Verabredungen war /* (2 jr) = /" (0) zu setzen und die Funktion nun periodisch in die sämtlichen Intervalle 2 Ä jr < ;v < 2 (/? -f 1) tt fortzusetzen. Es ist demnach /^(O + O) als rechtsseitiger Limes in den beiden Endpunkten 0 und 2 Ji anzusehen; ebenso /'(2.-r — 0) als der linksseitige Limes an diesen beiden Stellen.

*) Auch hier ist es wieder eigentlich gar nicht nötig, daß die Grenzwerte lim f{xQ -^t) = f(xQ+ 0) und lim fix^ -t)^f{x^- 0)

458 XIII. Kap. Divergente Reihen.

Beweis. Ist

^ «0 + 2^ (*« ^^^ W ^0 + ^n Sin^ ^o) »1=1

die Fourierreihe von f{x) an der Stelle x^. so hatten wir S. 344/46 für die w** Teilsumme derselben gefunden :

2.-r

.-r

2 r2-. r./ , ^A , /./ ^.Msin(2 M + 1)^

|j"i[fK + 20 + A%-2 0]

sin t

dt

(w = 0, 1, ...).

Folglich ist für w = 1, 2, . . . ^0 + Si + • . . + s„_i

Nun war nach 201, 5 für t =^ kn

- sin^ n t

sin/ -f sin3/ + ••• + sm(2^ — 1)/ = "^hTT '

und dies gilt auch noch für t^kji, wenn man dann unter dem rechterhand stehenden Quotienten dessen Grenzwert für t->k7i ver- steht, welcher ersichtlich 0 ist. Folglich ist^)

«0 + "^1 + • • • + ^"-1

On-l =

n

=„^fii/(^«+2*)+/-(..-2*)i(^:^^/r^f

nn

In der Tatsache, daß in diesem Integral — man nennt es kurz das Fej ersehe Integral — im Gegensatz zum Dirichletschen Integral der

kritische Faktor ^^^^ im Quadrat auftritt und also nur einerlei Vor- sm/

zeichen haben kann und daß überdies der Faktor - davor steht, liegt das Gelingen des weiteren Beweises begründet. Sind nun die beiden Grenzwerte ({Xq + 0) und ({x^ — O) oder auch nur (s. Fußnote 4 der vorigen Seite)

lim 1 \f(x„ + 20 + f(x„ - 2 /)] = s (x,) = s

t^ + 0

vorhanden, so behauptet der Fß/^rsche Satz einfach, daß o^^s strebt.

einzeln existieren, sondern es wird schon genügen, wenn

lim -^[/'(;»^o + 0 + /'(^o-0: -^W <->+o vorhanden ist. (Vgl. hierzu S. 357, oben.)

1) Wir bezeichnen hier die arithmetischen Mittel der s„ mit a„ -= ö„ (x) statt mit s„'-s„'(a;), um Verwechslungen mit der Ableitung auszuschließen.

§ 61. (C 1)-Summierbarkeit der Fourierreihen. 459

Dazu bemerken wir zunächst, daß

*J \sint / 2

0

ist, denn der Integrand ist seiner Entstehung nach

und jeder Summand dieser Summe Hefert, wenn man ihn von 0 bis — integriert, den Wert - , denn es war ja

^'"^ ^ si^7 ~ = 1 + 2 cos 2 / + 2 cos 4 ^ + . . . + 2 cos 2 (i' - 1) ^ 1) .

Daher kann

2 fä /sin niy ., ,

*2 /sin w^ \ sin ^

_2_ p r/X^o±20±A^o_^2j) _ ^1 ^ ^sin^j ^^

und also

sin t 0

gesetzt werden. Nach Voraussetzung strebt hier der Ausdruck, der in der eckigen Klammer steht, ->0 für ^^ -|- 0. Damit also o^_^ oder o^->s strebt, genügt es, dies zu zeigen:

Wenn cp (t) in 0 . . . ~ integrierbar ist und der Bedingung lim (^ (j!) = 0 genügt, so strebt bei wachsendem n '

Af^(,).(!!!L^y,,.0.

0

Das ergibt sich nun tatsächlich durch allereinfachste Abschätzungen. Wegen (p[t)->0 kann man nämlich, wenn e>0 gegeben wird, ein

positives ^ < — so besümmen, daß für 0 < ^ ^ ^ stets \(p {t)\ < -n

bleibt. Dann ist

\i. L(^t)- i'^y dt\ <^- ^ j i^y dt <^,

\n7t J ^ ^ ^ Vsin// r=2 w;r«^Vsin// 2'

'0 '0

da ja das letzte Integral einen positiven Integranden hat und also kleiner bleibt, als das von 0 bis — erstreckte Integral über denselben

^) Man kann diesen Integralwert auch aus dem Fef Syschen Integral selbst ablesen, indem man es auf die Funktion f{x) = l anwendet, für die Uq -^ 2 ist und alle andern Fourierkonstanten = 0 werden.

460 ^III- Kap. Divergente Reihen.

Integranden. Andrerseits gibt es eine Konstante M, so daß in 0 <t <^ stets \(p{t)\< M bleibt. Folglich ist

I 2 r2 /A /sin»A2 ^ ^2M ;r 1

V sin ^ / — n 3t 2 sin-ö

Und da hier alles außer n feste Werte hat, so kann man n^ so groß nehmen, daß für n > n^ dieser Ausdruck seinerseits < y bleibt. Dann ist aber für diese n stets

\on-i — s\<e

und es strebt also o ->s. Damit ist der Fejersche Satz in vollem Umfange bewiesen^).

Zusatz 1. Ist f(x) in dem abgeschlossenen Intervall 0 ^x ^27z stetig und ist überdies f{0) = f{2 7i), so ist die Fottrierreihe von f{x) für jedes % stets (C 1)- summierbar mit der Summe f(x). Denn nun sind die Voraussetzungen des Fejerschen Satzes gewiß für jedes x erfüllt und man hat stets | [/"(a: + 0) + f{x — O)] = f{x). Dabei denken wir uns wie immer, die Funktion f(x) in den Intervallen 2kjt ^ ^ ^ 2 (^ + l)^> ^ = +l,H;22, ..., durch die Forderung der Periodizität /'(a;) = /'(a;— 2 Ätt) festgelegt.

Wir behaupten nun weiter:

Zusatz 2. Unter den Bedingungen des vorigen Zusatzes ist die für alle x bestehende (C 1)- Summierbarkeit sogar eine für alle diese x gleichmäßige, d. h. die Folge der Funktionen o^(x) strebt für alle x gleichmäßig gegen f{x), oder also: Nach Wahl von e>0 läßt sich eine Zahl N so angeben, daß für alle n > N ohne Rücksicht auf die Lage x stets .'

bleibt^).

Beweis. Wir haben nur zu zeigen, daß man die Abschätzungen des vorigen Beweises so durchführen kann, daß sie für jede Lage von X gelten. Nun ist aber

<p(t) = ,pit, x)^l[f(x + 2t) - f{x)] + Uf{x - 2t) - f{x)];

1) Beiläufig sei noch erwähnt, daß die Approximationskurven y = o^ (x) die Gibbssche Erscheinung (s. 216,4) nicht aufweisen (L. Fejär, Math. Annalen, Bd. 64 (1907), S. 273).

2) Das Entsprechende gilt übrigens auch in dem allgemeinen Satz von Feßr für jedes abgeschlossene Intervall, in dem f (x) stetig ist.

§62. Anwendungen der (C r)-Summierbarkeit. 461

und da f(x) als durchweg stetige und periodische Funktion auch für alle X gleichmäßig stetig ist (vgl. § 19, Satz 5), so kann man, nachdem € gegeben ist, ein ^ > 0 so bestimmen, daß für alle |^| < ^

\f{x±2t)-f{x)\<^

bleibt, — und dies für jede Lage von x. Dann ist aber auch — ohne Rücksicht auf die Lage von x — für diese t stets

\9^{t)\ = \(p{t,x)\< und also wie vorhin

s

e

Ferner ist f(x) als durchweg stetige und periodische Funktion auch beschränkt. Ist etwa stets \f{x)\<K, so ist, wie man sofort sieht, stets, d. h. für alle t und alle x,

\cp{ty = \<p{t,x)\<2K

und also ganz ähnlich wie vorhin

njt i ^ ^ ^ V sin W ==

sin W I = w sin^b

Nun kann man wirklich eine Zahl N so bestimmen, daß dieser letzte

Ausdruck für alle n^N stets < -^ bleibt. Für diese n ist dann also

|(7„_i — s| < €, SO daß sich tatsächhch, wie behauptet, dem gegebenen e eine Zahl N so zuordnen läßt, daß für alle n >N und ohne Rück- sicht auf die Lage von x stets

• - K(^)-f(^)\<e

bleibt.

§ 62. Anwendungen der (Cr)-Summierbarkeit.

Noch an einem andern markanten Beispiele wollen wir die Be- deutung der (C r)-Summierbarkeit zeigen: Der Abelsche Grenzwertsatz (100 u. 233) besagte, daß, wenn die Potenzreihe 2! a^x"^ den Einheits- kreis zum Konvergenzkreis hat und im Randpunkt -f 1 desselben mit der Summe s noch konvergiert, auch der Grenzwert

(a) lim [Za^x'^) existiert und = s = I! a^^

462 XIII. Kap. Divergente Reihen.

ist^). Nun lehren aber einfachste Beispiele, etwa die geometrische

Reihe 2'f— Da;" = -—, daß der linksstehende Grenzwert existieren

^ ' 1 ■\-x

kann, ohne daß die rechtsstehende Reihe konvergiert. Gerade dies gab ja Veranlassung zur Definition der „(^)-Summierbarkeit", die wir S. 448 besprochen haben. Es entsteht nun die Frage, ob man in solchen Fällen, in denen also Z a^^ divergiert, die Existenz des ge- nannten Grenzwertes doch irgendwie aus der divergenten Reihe un- mittelbar erschließen kann. Einen ersten Schritt in dieser Beziehung bedeutet ein Satz von Frohenius'"^), welcher in unserer jetzigen Ausdrucksweise besagt, daß es schon genügt, wenn 2'a„ nur (C 1)- oder (M 1)- summierbar ist, um auf die Existenz des Grenzwertes (a) schHeßen zu können. Sein Wert ist dann wieder gleich der „Summe" von 2a . Oder kürzer: Aus der iC 1)-Summierharkeit mit der Summe s folgt stets die (A)-Summierbarkeit mit derselben Summe. Gerade dieses Frobeniussche Resultat ist wohl der erste Anlaß ge- wesen, sich gründlicher mit den divergenten Reihen zu beschäftigen, und im Anschluß an Frobenius hat auch Holder seine Mittel s^^^ ein- geführt und allgemeiner gezeigt, daß schon aus der [M r)-Summier- barkeit die (A)-Summierbarkeit — und wieder mit derselben Summe — folgt.

Wir wollen im folgenden das Entsprechende und, mdem wir auch die Variable komplex annehmen, noch ein wenig mehr, für die (Cy)-Summierbarkeit zeigen. Auf Grund des zu Beginn des Para- graphen genannten Äquivalenzsatzes kommt tatsächUch beides auf dasselbe hinaus. Wir beweisen also den folgenden

Satz. Ist 2a^ eine (C r)- summier bare Reihe mit der Summe s, so ist ZaJ' mindestens für \z\<\ konvergent und es gilt für die da- durch in \z\<\ definierte Funktion f{z) die Beziehung

lim f{z) = s,

d. h. der linksstehende Grenzwert ist vorhanden und hat den Wert s, und zwar nicht nur für positiv-reelle, gegen + 1 wachsende Werte der Variablen, sondern bei beliebiger „im Winkelraum" {vgl Fig. 10, S. 390) erfolgender Annäherung der komplexen Veränderlichen z an -f 1.

Der Beweis läßt sich, ebenso wie der des Satzes 233, mit Hilfe des Toepiitzschen Satzes 221 ganz unmittelbar erbringen. Wir wählen wie damals eine beliebige, im Winkelraum liegende, gegen + 1 strebende Punktfolge {z^, z^, . . ., z^^, . . .) und haben nur zu zeigen.

1) Entsprechend, wenn 2'fl„;v" einen beliebigen (endlichen) Radius hat und in einem beliebigen Randpunkt des Konvergenzkreises konvergiert. — Obige Formulierung bedeutet sachlich keine Einschränkung.

2) J. f. d. reine u. angew. Math., Bd. 89 (1880), S. 262.

§ 62. Anwendungen der '(C r)-Summierbarkeit. 463

daß f(z^) -> s strebt. Wenden wir aber den genannten Toeplitzschen Satz auf die Folge der Zahlen o^ = S^'^ ' C ^ 0 ^^' ^^^ i^ ^^^^ Voraus- setzung ->s konvergieren, und benutzen die Matrix {a^J, für die

ist, so liefert er sofort, daß auch die Folge der Zahlen Ok = l«.„-a„ = (1 - ^,Y^' i Sf. 4' - s

«=0 n-0

Strebt. Es ist aber (nach 102)

(1 - .,)'+' i s!r4 = (1 - .,)'. 2^ sr" ..;=.,.

Also strebt /"(^J -> s. Damit wäre also schon alles bewiesen, wenn wir noch zeigen, daß die gewählte Matrix die Voraussetzungen (a), (b) und (c) der Sätze 221 erfüllt. Wegen ^^.^-1 ist dies für die Voraussetzung (a) evident; und wegen

A,. = i"^.,. = (1 - ^r' -if: >."-(i-^.r' j(- 1)" r 7 %:

ist auch (c) erfüllt. Die Bedingung (b) endhch verlangt die Existenz einer Konstanten K', so daß für alle k

Z\a,J,^[^^r^--] <K\

Nach den Erwägungen von S. 391 leistet dies aber ersichdich die Konstante K' = K^^^ , wenn K die dort festgelegte Bedeutung hat.

Für f = 0 haben wir hierin genau den S. 391 durchgeführten Beweis des y4öß/schen Grenzwertsatzes in der Stolzsch^tn Verallge- meinerung. Für r = 1 ergibt sich die obengenannte Frobentussche Verallgemeinerung dieses Grenz wertsatzes^), und für r= 2, 3, ... er- geben sich entsprechend weitere Stufen der Verallgemeinerung, wie sie im wesenthchen von 0. Holder herrühren^) — mit (M r)- statt (C y)-Summierbarkeit und mit radialer Annäherung statt solcher im Winkelraum — und wie sie in der bewiesenen Form (wenn auch

^) Froheniiis bewies sie 1. c. nur für radiale Annäherung. 2) Math. Ann., Bd. 20 (1882), S. 535.

464 XIII. Kap. Divergente Reihen.

mit ganz anderem Beweise) zuerst von E. Lasker^) und A. Pringsheim^) ausgesprochen worden sind.

Die weiteren Anwendungen der (C r)-Summierbarkeit führen meist zu tief in die Funktionentheorie hinein, als daß wir hier aus- führlicher darauf eingehen könnten. Doch möchten wir es uns nicht versagen, zum Schluß noch, ohne auf die Beweise einzugehen, über eine Anwendung zu berichten, die zu besonders schönen Ergebnissen geführt hat. Es ist dies die Anwendung der (C r)-Summierbarkeit auf die Theorie der Dirichletschen Reihen.

Die DirichletschQ Reihe

K-l)"-' «1

war für alle z konvergent, für die 9J(^)>0 war, für alle andern

divergent. Im Punkte 0 aber, wo es sich um die Reihe y!{~^T'~

11=1 handelt, ist sie (C l)-summierbar mit der Summe |; im Punkte —1,

OD ^

WO es sich um die Reihe ^'(— l)"" n handelt, ist sie (vgl. S. 446)

n=l

(C 2) -summierbar mit der Summe |; und die S. 455, oben, gemachten

Angaben lehren, daß die Reihe für ^ = — (r ~ 1) noch (C r)- summierbar

2*^ — 1 ist mit der Summe '- B , welchen ganzzahligen Wert > 2 auch r

y r

haben mag.

Diese Eigenschaft nun, außerhalb ihres Konvergenzgebietes 9t(^)>0 für ein passendes r noch (C r) - summierbar zu sein, be- schränkt sich nicht auf die genannten Punkte, sondern man kann mit verhältnismäßig einfachen Mitteln zeigen, daß unsere Reihe für alle z, für die 'Si{z)> —r ist, noch (C r) - summierbar ist. Und zwar ist die Ordnung dieser Summierbarkeit genau = r für'alle der Bedingung

-r <'ä{z)£-{r-i)

genügenden Punkte z, die einen leicht zu erkennenden Streifen der :?-Ebene erfüllen. Der Konv3rgenzgrenzgeniden gesellen sich also Grenzgeraden für die Summierbarkeit der verschiedenen Ordnungen zu, und zwar ist hiernach das Gebiet, in dem die Reihen summierbar von höchstens r^^"" Ordnung sind, die Halbebene

di(z)>-r (r = 0, 1, 2,...).

1) Philosoph. Transactions, London, Bd. 196 A (1901), S. 431.

2) Acta mathematica, Bd. 28 (1904), S. 1.

(2 \ ^1

1 I ■ C(^), wenn c (2) = y - die Riemannsche 2' ) n=l n^

C- Funktion bezeichnet. (Vgl. 256, 4, 9, 10 u. 11.)

§ 62. Anwendungen der (C r)-Summierbarkeit. 465

Während also früher nur jedem Punkte der rechten Halbebene Wi{z) > 0

eine „Summe" der Reihe y] ^ — ^^ zugeordnet wurde, wird jetzt

jedem Punkte der ganzen Ebene eine solche Summe zugeordnet, durch die Reihe also in der ganzen Ebene eine Funktion von z definiert. Ganz ähnhch nun, wie im Konvergenzgehiet unserer Diric hl etschen Reihe, läßt sich nun weiter zeigen, daß diese Funktionswerte auch in dem Summierbarkeitsgebiete — also in der ganzen Ebene — eine analytische Funktion definieren. Durch unsere Reihe wird also eine ganze Funktion definiert^).

Ganz ähnliche Summierbarkeitsverhältnisse weist nun im allge- meinen jede Dirichletsche Reihe

71 = 1

auf. Neben die Konvergenzgerside 9? (2) = ;t oder 2^, wie wir nun lieber schreiben wollen, weil Konvergenz mit (C 0)-Summierbarkeit gleichbedeutend ist, treten noch die Grenzgeraden 9fl (z) = A,. für die (C y)-Summierbarkeit (r = 1, 2, . . .). Sie sind charakterisiert durch die Bedingung, daß die Reihe für m{z) > 1^ von höchstens r^'' Ordnung summierbar ist, während dies für kein z mit 9^ (z) < l^ mehr der Fall ist. Es ist natürUch 'k^>,K>.K>. • -^ ^^^ ^^^ ^r streben daher entweder -> — oo oder gegen einen bestimmten endhchen Grenzwert. Bezeichnen wir diesen in beiden Fällen mit A, so ist die vorgelegte Dirichletsche Reihe für jedes z mit ^(z)> Ä bei passender Wahl von r noch (C r)- summierbar, und ihre Summe definiert eine in diesem Gebiete reguläre analytische Funktion. Ist Ä endlich, so wird die Gerade ^(z) = A als die Summicrbarkeits-Grenzgerade bezeichnet. Diese Anwendungen der Summierbarkeitstheorie auf die Dirichlet sehen Reihen rühren von H. Bohr"") her. Wir müssen es uns leider versagen, weiter darauf einzugehen.

1) Hieraus folgt dann ziemlich leicht über die Riemannsche C- Funktion das wichtige Ergebnis, daß auch die Funktion C (^) - ^ZT, ^'"^ ^'''''^ ^''''^'

ti/Oi'i ist.

2) über die Summabilität Dirichletscher Reihen, Gott. Nachr. 1909, S. 247 und Bidrag til de Dirichletske Räkkers Theori, Dissert., Kopenhagen 1910.

30

Knopp, Unendliche Reihen.

466 Aufgaben zum XIII. Kapitel.

Aufgaben zum XIII. Kapitel.

200. Man beweise die auf S. 455, oben, ausgesprochene Behauptung, daß 2 _ 2^-1 _j_ 3^-1 _ 4^-1 4_ _ _ (C/j)-sumraierbar ist mit der Summe

falls ^>1 ist. (Anl.: Die Reihe ^'-^2^+,.=^'- + ... = -^ ist für /<0 kon-

e^ + l vergent; ihre {p — \f^ Ableitung liefert für ^ -> 0 den gesuchten Wert.)

201. Die Reihe \ +2z -\-^z'^ -\- 4:Z^ + . . . ist in allen Punkten der Peri- pherie des Einheitskreises, außer in + 1 , (C 2) -summierbar mit der Summe

Y7 ^- Durch Trennung von Reellem und Imaginärem ergibt sich z. B.

\i — z)

1+2 cos X -\-?> cos 2 ;v + 4 cos 3 ;r + . . . =

2 . • o^ 4 sm- -

cos AT 4- 2 cos 2x f 3 cos Sat + . . . = , u. a.

4 sin2 ^

202. Ist (a„) eine positive monotone Nullfolge und wird

«0 + «1 + ^2 + ••• + «« = ö« gesetzt, so ist

&0 - &i + &, + &3 + - . . . .

(C 1)- summierbar mit der Summe s ^^ ^ S {— ly a„.

203. Setzt man 1 -f —-)--_ -f ... ^ -= hn, so ergibt sich nach der

vorigen Angabe

Ä, - Ä2 + A3 - Ä, + . . . --: 1 log 2 und ähnlich ,

log 2 - log 3 + log 4 - + ... = 2 log y .

204. Ist 2"«« konvergent oder (C 1) -summierbar mit der Summe s, so ist die folgende Reihe stets konvergent mit der Summe s:

^ «1 + 2^2 + .. . + ««,,

"»^J ^(^^TT) = ^-

205. Ist Hun als (C 1)- summierbar bekannt und ist Znan" konvergent, so ist auch Zttn selber konvergent.

206. Von dem Froheniusschen Satz gelten auch die folgenden Erwei- terung€n: Ist ^ «„ (C 1)- summierbar mit der Summe s, so strebt für 2 -> + 1

(im Winkelraum) auch

2^ a^z" -> 5 und 2j ^w^" "*"^ n=0 n=0

Aufgaben zum XlII. Kapitel. 457

und allgemein für festes ganzzahliges p> l

V

,p

2j Cln^ -> S. M=0

Dagegen braucht 2'a„/^' nicht mehr -> 5 zu streben, wie an dem Beispiel

n = 0 für reelle ;\; -► 1 - 0 gezeigt werden soll. (Anl. : Das Maximum von / - f' und der Wert von /, für den es eintritt, rücken mit wachsendem n beide von links her->+ 1.)

207. Ist eine reelle Reihe 2'a„ nicht (C 1) -summierbar, aber l'a^x" für 0 ^ ;(? < 1 konvergent, so läßt sich nach Wahl von s > 0 ein 6 > 0 so an-

geben, daß für alle ;;; in 1 _ ^ < ,v < l die Summe von 2J ^n^" zwischen y.

s

n = 0

und // + £ liegt, wenn mit h und fi die untere bzw. obere Häufungsgrenze von

Sq + Si + -.. + s„ .

— ; bezeichnet wird.

w-f 1

208. In Anschluß an den Fejärschen Satz soll bewiesen werden, daß bei den dort betrachteten arithmetischen Mitteln o„{x) die Gibbssche Erschei- nung nicht eintritt. (Vgl. S. 460, Fußnote 1.)

30*

Literatur.

(Einige grundlegende Abhandlungen, zusammenfassende Darstellungen und

Lehrbücher.)

1. /. Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, Lon-

don 1711 (verfaßt 1669).

2. John Wallis, Treatise of algebra both historical and practical with some

additional treatises, London 1685.

3. Jakob Bernoulli, Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque

summa finita, mit 4 Fortsetzungen, Basel 1689 — 1704.

4. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748.

5. L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi infini-

torum ac doctrina serierum, Berlin 1755.

6. L. Euler, Institutiones calculi integralis, Petersburg 1768/69.

a-ß

7. C. F. Gaiiß , Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1 -f - — x

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8. A. L. Cauchy, Cours d'analyse de l'ecole polytechnique. P* Partie. Ana-

lyse algebrique, Paris 1821.

. „ • -I ^^ mim — '[) „

9. N. H. Abel, Untersuchungen über die Reihe \ -\- — x -\ —-^ — x- -\- . . . .,

1 \ • Li

Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd. 1, 1826, S. 311—389.

10. P. du Bois-Raymond, Eine neue Theorie der Konvergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Journal für die reine und an- gewandte ^Mathematik Bd. 76, 1873, S. 61—91.

\\. A. Pringsheim, Allgemeine Theorie der Divergenz und Konvergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Mathematische Annalen Bd. 35, 1890, S. 297—394.

12. A. Pringsheim, Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse, En-

zyklopädie der mathemathischen Wissenschaften Bd. I, 1, 3, Leipzig 1899.

13. E. Borel, Le^ons sur les series a termes positifs, Paris 1902.

14. C. Runge, Theorie und Praxis der Reihen, Leipzig 1904.

15. O. Stolz und A. Gmeiner, Einleitung in die Funktionentheorie, Leipzig 190.").

16. A. Pringsheim und /, Molk, Algorithmes illimit^s de nombres reels, En-

cyclopödie des Sciences Mathematiques Bd. I, 1, 4, Leipzig 1907.

17. T. /. I'A. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series

London 1908.

18. A. Pringsheim und G. Faber, Algebraische Analysis, Enzyklopädie der

mathematischen Wissenschaften Bd. II, C, 1, Leipzig 1909.

19. N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, Leipzig 1909.

20. £. Fabry, Theorie des series ä termes constants, Paris 1910.

21. A. Pringsheim, G. Faber und /. Molk, Analyse algebrique, Encyclopedie

des Sciences Mathematiques Bd. II, 2, 7, Leipzig 1911.

22. O Stolz und A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik Bd. II, 2. Aufl., Leipzig

1915.

23. A. Pringsheim , Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre Bd. I, 2,

Leipzig 1916.

Autoren- und Sachverzeichnis.

Die Zahlen geben die Seiten an.

Abbildung 32.

Abbrechen (eines Dezimalbruches) 242.

Abeim, 121, 203,205,207,274, 282ff., 291, 294, 299, 306, 312, 334, 383, 408 ff., 443, 448.

Abelsche partielle Summation 304,383.

Abelscher Grenzwertsatz 169 f., 229, 337, 390ff., 461 ff.

Abgeschlossen 18, 155.

Ableitung 156 ff.

Abschätzung, der Reste, s. Restab- schätzung.

Abschätzungsformel, Cauchysche 393.

Absolute Konvergenz einer Reihe 129 ff., 382.

eines Produktes 216 ff., 419.

Absoluter Betrag 6, 7, 375.

Adams, J. C, 176, 249.

Addition 5, 29, 31.

— gliedweise 44, 66, 128. Additionstheorem der Exponentialfunk- tion 141, 183.

— der Binomialkoeffizienten 202.

— der trigonometrischen Funktionen 399.

Ähnlich 9.

Änderungen, endlich viele, bei Folgen 44, 66, 90.

— bei Reihen 125. d'Alembert, 443.

Alternierende Reihen 124, 243, 255,307. Arnes, L. D. 238. Analytische Funktionen 392. Annäherimg im Winkelraum 390 ff. Anordnung nach Quadraten 86.

— nach Schräglinien 85. Anordnungssätze 5, 28. Approximationskurve 319. Aquivalenzsatz von Knopp und Schnee

454. Archimedes 6, 99.

Arcus 375.

arcsin-Funktion 205 ff., 406. arctg-Funktion 205 ff., 406. Arithmetische Mittel 68 f., 446. Arzelä, S. 332. Assoziationsgesetz 5.

— bei Reihen 125. Asymptotisch gleich 64.

— proportional 64. Ausmultiplikation von unendlichen Pro- dukten 421.

Auswertung der Reihensumme 223 bis

266. geschlossene 226—234.

Bedingt konvergent 133, 220. Berechnung, numerische 241 — 259.

— von e 244.

— von jt 245,

— der Logarithmen 247 ff.

— der trigonometrischen Funktionen 251.

— der Wurzeln 250.

Bernoulli, Jak.-andjoh, 16, 62. 98, 124,

231, 441. Bernoullische Ungleichung 16.

— Zahlen 175 f., 195, 231 ff. Bertrand, J. 274. Beschränkte Folgen 14, 42, 75.

— Funktionen 152.

Beständig konvergent 146, 174, 428.

Bewegung von x 153.

Bieberbach, L. 453.

Bild 32.

Bildungsgesetz 13, 35.

Binomische Reihe 182, 407—411.

Binomischer Lehrsatz 47, 182.

Böcher, M. 338.

Bogenmaß 56.

Bohr. H. 465.

Bolzano, B. 82, 86.

470

Autoren- und Sachverzeichnis.

Bolzano-Weierstraßscher vSatz 3S0.

Bonnet, O. 274.

Boortnann, J. M. 186.

Bord, E. 312, 445, 448 ff.

Brigg 250.

Bromwich, T. J. Fa. 453.

Brouncker, W. 99.

Burkhardt, H. 361.

Cahen, E. 282, 425. Caj'ori, F. 814. Cantor, G. 2, 343. ~ M. 11.

Dedekindsches Axiom 24, 32.

Catalan, E. 240.

Cauchy, A. L. 17, 68, 70, 82, 91, 99,

108, 111, 112, 115, 117, 131, 141,

142, 148, 178, 188, 212, 277, 286,

361, 443. Cauchysche Abschätzungsformel 393. CawcÄyscher Grenzwertsatz 68. CawcÄysches Produkt 141, 171, 450. Cauchy- Toeplitzscher Grenzwertsatz

70 ff. Cesäro, E. 284, 309, 312, 383, 447 f. Chapman, S. 453. cos 190ff., 370, 399 ff. ctg 194 ff., 402 ff.

Darstellung reeller Zahlen 224. Dedekind, R. 2, 39, 306, 336, 383. Dedekindscher Schnitt 38, 39. Definitionsintervall 152. Dezimalbruch 111, 142 (s. a. System- bruch). Dicht 11. Differenz 29, 237. Differentiation, gliedweise 330. Differenzenfolge 83. Differenzierbarkeit 156, 389.

— einer Potenzreihe 166.

Dmi, U. 220, 274, 282 ff., 285, 294, 299, 302, 332, 352, 355, 358.

Dirichlet, G. Lejeune- 132, 306 ff., 319, 335, 344, 352, 358, 361.

Dirichletsche Integrale 344—352.

— Definition 347.

— Reihen ,308, 337, 425-430,442,464 f. Disjunktive Kriterien 113, 300. Divergenz 62, 96, 153, 376.

— bestimmte 62, 96, 153, 376.

— unbestimmte 63, 96, 153.

— eigentliche 63. Division 6, 30, 45.

Division, gliedweise 66.

— von Potenzreihen 172, 174 ff.

Doetsch, G. 445, 453.

Doppelreihensatz 413.

du Bois-Reymond 82, 91, 293, 296 f.,

306, 336, .341, 343, 365, 383, 457. Duhamel, J. M. C. 277. Dyadischer Bruch 37, 41.

e 78, 186 f., 244. Einheitskreis 387. Eins 9.

Einzigkeitssatz 21. Eisenstein, G. 172. ElHot, E. B. 306. Endlich viele 13, 15.

Änderungen, s. Änderungen.

Entgegengesetzt 29.

Ermakoffsches Kriterium 288 ff., 302.

^-Umgebung 18.

Eudoxus 6, 9, 25, 32.

Euklid 6, 18, 65.

Euler, L. 1, 99, 185, 196, 203, 212, 231,

237, 259, 287, 290, 370, 423, 429,

436, 441 f., 446, 450 ff. Eulersche Formeln 341, 399.

— Konstante 287.

— Reihentransformation 237 ff., 255.

— Zahlen 233. Exhaustionsmethode 65. Exponentialfunktion und -reihe 113,

141, 183—190, 396ff. : Fabry, E. 259. \ Fakultätenreihen 430 ff. Fehlerabschätzungen 242ff.

Fibonnacci 436. Fourier, J. B. 340, 361. Fouric rkoeiiizienten, -konstanten 842, 348, 349. j Fouriersche Reihen 337—366, 342,

456—461. ' Frohenius, G, 176, 462 f.

Frullani 361. ! Funktion 151, 388. i Funktionen, analytische 392. j — einer komplexen Veränderlichen

.388 f. ! — einer reellen Veränderlichen 151 bis 162.

— elementare 181—208.

— elementare analytische 395 — 411.

— rationale 181 f., 395.

— trigonometrische 190—200, 251.

Autoren- und Sachverzeichnis.

471

Funktionen, willkürliche 339. — ■ zyklometrische 205 ff. Funküonenfolgen 317, 412.

Gammafunktion, -produkt 219,371,423. Gauß, C. F. 1, 108, 169, 280 ff. Geordnet 5, 28. Gerade Funktion 164. Geschichte der unendlichen Reihen 99- Gibbssche Erscheinung 365, 460. Glaisher, J. W. L. 172. Gleichheit 26.

Gleichmäßig- beschränkt 334. Gleichmäßige Konvergenz 316 — 326, (Definition) 321, 411-417.

— — von Dirichletschen Reihen 333, 426 f.

— — von Fakultätenreihen 431.

— — von Fouri er reihen 333, 343, 348. von Lambertschen Reihen 433 f.

— — von Potenzreihen 322.

— — vonunendlichenProdukten367ff.

— Stetigkeit 155.

— Summierbarkeit 452. Glieder eines Produktes 212.

— einer Reihe 94.

Gliedweise Grenzübergänge 326 — ^332, 414 (s. a. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Differen- tiation, Integration).

Gmeiner, J. A. 4, 384.

Goldbach 442.

Grandi, G. 127.

Gregory, J. 62, 206.

Grenze (untere, obere) 90, 91, 152.

Grenzkurve 319.

Grenzübergänge, gliedweise (s. gliedw. Gr.).

Grenzwert einer Folge 60, 97, 388.

— einer Funktion 152.

Grenz wertsätze s. Abel, Caiichy, Toep-

Utz. Gronwall, T. H. 365. Grundgesetze der Anordnung 5, 28.

— der Arithmetik 5, 31.

Hadamard, J. 148, 291, 293, 306.

Hagen, J. 174.

Hahn, H. 2.

Halbierungsmethode 37.

Hansted, B. 172.

Hardy, G. H. 309, 314, 428, 433.

Häufungsgrenze 88.

Häufungspunkt, -stelle, -wert 84, 380.

Häijfungspunkt, kleinster und größter

^7ff. Haiiptkriterium, erstes (für Folgen) 75.

— U (für Reihen) 105.

— .iweites(für Folgen) 79— 84,378,381. (für Reihen) 121 f.

— drittes (für Folgen) 92. H^'-ptwert 404, 407. HiMsdorff, F. 453, 454. Kermann, J. 124. Hubert, D. 10.

Holder, O. 4, 447 f., 462 f. Holmboc 443. Hypergeometrische Reihe 281.

Identisch gleich 13.

Identitätssatz für Potenzreihen 163.

Induktionsgesetz 6.

Infinitär 14, 44, 90, 98.

Inhalt 161.

Innerster Punkt 21, 379.

Integral, bestimmtes, 158ff.

— unbestimmtes 157. Integralkriterium 286, 302. Integration, gliedweise 168, 328. Integrierbarkeit, Riemannschc 158 f. Intervall 18.

Intervallschachtelung 19 ff. Isomorph 9.

tTacobi, C. G. J. 423. Jacobsthal, E. 238, 256. Jensen, J. L. W. V. 70, 72, 425. Jones, W. 246. Jordan, C. 14.

Kennziffer 55.

Kettenbrüche 100.

Knopp, K. 71, 238, 389, 432, 447, 454.

Kommutationsgesetz 5, 10.

— bei Reihen 131.

— bei Produkten 221. Komplexe Zahlen s. Zahlen. Komposition 452.

Konvergente Zahlenfolgen s. Zahlen- folgen. Konvergenz 60, 96, 153.

— absolute 129 ff.

— bedingte und unbedingte 133.

— bessere und schlechtere 255, 271 ff. Konvergenzabszisse 425. Konvergenzbereich 146. Konvergenzhalbebene 425. Konvergenzintervall 146, 316.

472

Autoren- und Sachverzeichnis.

Konvergenzkreis 387. >

Konvergenzkriterien für Fourier^che Reihen 348, 351—359. i

— f. Folgen 75, 79 ff. I

— f. gleichmäßige Konvergenz 332 bis 337.

— f. Reihen 105-112, 121, 274—282, 286, 288, 305 f.

— f. R.mitbeliebigen Gliedern 121, i':?.

— f. R. m. komplexen Gl. 384.

— f. R. m. monoton abnehmenden Gl. 115, 116, 286, 288.

— f. R. m. positiven Gl. 111, 112. Konvergenzradius 146. Konvergenztheorie, allgemeine Bemer- kungen zur 290—297.

— Systematisierung der 297—302. Kowalewski, G. 2.

Kreisfunktionen 56; s. a. trigonom. F. Kriterien s. Konvergenzkrit. Kriterienpaare 300.

Kronecker, L. 123. Kummer, E. E. 240, 300, 302. Kummersche Reihentransformation 240, 253.

Lagrange, J. L. 290.

Lambert, J. H. 432 ff.

Lambertsche Reihen 432—436.

Landau, E. 428, 430, 436.

Länge 161.

Lasker, E. 464.

Lebesgue, H. 160, 338, 341, 444.

Ledert 240.

Legendre, A. M. 361.

Leibniz. G. W. 1, 62, 98, 124, 185, 207,

307, 441. Le Roy. E. 450. Livy, P. 383. Limes 60.

— unterer und oberer 88.

— inferior und superior 88. Linksseitige Differenzierbarkeit 156.

— Stetigkeit 154. Linksseitiger Grenzwert 153. Lipschitz, R. 356, 358. Littlewood, J. E. 453. Logarithmen 54 ff., 189, 203 ff., 404 ff.

— Berechnung der 22, 189, 247. Logarithmische Kriterien 274—277.

— Vergleichsskalen 271. Loewy, A. 2, 4, 10.

Lücken im System d. rat. Zahlen 3 ff. Lückenlosigkeit der Geraden 24.

Machin, J. 246.

Malmsten, C. /. 308.

Mangoldt, H. v. 2, 338.

Mantisse 55.

Markoff, A. A. 235, 257.

Markoffsche Reihentransformation 236, 257, 414.

Mascheronische Konstante 287.

Mercator, G. 99.

Mertens, F. 312, 383.

Meßbar 161.

Mittag-Leffler, G. 1.

Mittelpunkt einer Potenzreihe 151.

Mittelwertsatz, 1., der Differentialrech- nung 157.

— 1., der Integralrechnung 160.

— 2., der Differentialrechnung 161. Möbiussche Koeffizienten 430, 435. Monoton 15, 42, 75, 155, 256. Monotoniegesetz 5.

Morgan, A. de 274. Multiplikation 6, 29, 45.

— gliedweise 66, 128.

— unendlicher Reihen 139 ff.

— von Potenzreihen 171.

Häherungswert 224. Napier, J. 55.

Natürliche Zahlen s. Zahlen. Nebenwerte 404, 407. Neumann. C. 15. Newton, J. 1, 99, 185, 203, 441. Nicht-absolut konvergent 130,382,419. Nirgends konvergent 146, 428. Null 9.

Nullfolgen 15 ff. ,^2 ff., 56—60, 68, 71. Numerische Berechnungen 75, 223 — 266, bes. 241—259.

Offen 18. Ohm, M. 176, 312. Oldenburg 203. Olivier, L., 118. Orstrand, C. E. van 179. Oszillieren 96, 98. Ottolenghi, B. 453.

Partialbruchzerlegungen elementarer Funktionen 196—200, 229, 363 f., 403 f.

Partielle Integration 161.

— Summation, Abelsche 304, 383. Periodenstreifen 398, 401, 403. Periodische Systembrüche 36.

Autoren- und Sachverzeichnis.

473

Periodische Funktionen 193, 397 ff. Permanenzbedingung- 445. Perron, O. 100, 453. ji 192 ff., 224.

— Reihen für 207, 208.

— Berechnung von 245. Postulat des Eudoxus 9. Potenzen 46—54, 407. Potenzreihen 146—151, 162—179, 386

bis 394. Primitive Periode 193. Primzahlen 13, 429 f., 435. Pringsheim, A. 2, 4, 81, 91, 167,282ff.,

290, 292 f., 295—302, 306, 312, 314,

384, 464. Problem A und B 74, 100, 223 ff. Produkte 80.

— unendliche 99, 211—221.

— mit beliebigen Gliedern 215 — 221.

— mit komplexen Gl. 417 — 424.

— mit positiven Gl. 212—214.

— mit veränderlichen Gl. 366, 420 ff. Punktfolge 13.

Pythagoras 11.

Quadrate (Anordnung nach -n) 86, 410. Quadratschachtelung 379. Quotientenkriterium 112.

Baahe, J. L. 277.

Rademacher , H. 309.

Rationale Funktionen 155, 181 f., 395.

— Zahlen s. Zahlen. Rationalitätsbereich 6. Rationalwertig 26.

Rechtseitige Differenzierbarkeit 156.

— Stetigkeit 154. Rechtsseitiger Grenzwert 153. Reelle Zahlen s. Zahlen, Reguläre Funktionen 392. Reiff, R. 99, 127, 441 f.

Reihen, alternierende 124, 243, 255.

— analytischer Funktionen 412.

— binomischel82,200— 203,407— 411.

— divergente 441 — 465.

— geometrische 106.

— harmonische 77, 107, 110. - — hypergeometrische 281.

— logarithmische 203 ff., 404 ff.

— mit beliebigen Gliedern 121 — 142, 308—314.

— m. komplexen Gl. 382 — 417.

— m. monoton abnehmenden Gl. 114 bis 119, 286—290.

Reihen mit positiven Gl. 105—120, 267—303.

— m. veränderlichen Gl. 145,316—366, 411—417.

— trigonometrische 307, 317.

— unendliche 93.

(s. a. Dirichleische R., Fakultätenr.,

Lambertsche R.) Reihensumme s. Auswertung d. R. Reihentransformationen 234 — 240, 253

bis 259. Restabschätzungen 242 ff., 252. Reziprok .30. Riccotti, E. 453. Riemann, B. 158 f., 310, 350, 357, 383,

444. Riemannsche ^-Funktion 428, 464 f. Riemanvscher Umordnungssatz 310. Riesz, M. 428.

Saalschütz, L. 176. »

Sachse, A. 341.

Scherk, H. F. 283.

Schlömilch, O. 116, 279, 312.

Schnee, W. 454.

Schnitt 38, 39.

Schräglinien (Anordnung nach Sehr.)

75, 85, 140, 435. Schranke 14, 152. Schröter, H. 196. Schur, J. 454. Schwankung 152. Seidel, Ph. L. v. 323. Sierpinski, W. 312. sin 190 ff., 370, 399 ff. sin-Produkt 370. Spaltensummen 137. Steinitz, E. 383. Stetigkeit 154 f., 389.

— einer Potenzreihe 163, 166. Stieltjes, Th. J. 232, 294, 312* Stirling, J. 234, 432.

; Stokes, G. G. 328.

. Stolz, O. 4, 37, 70,72,82,302,392,463.

j Streifen bedingter Konvergenz 428.

I Substraktion 5, 29.

I — gliedweise 45, 66, 128.

I Summationsbuchstabe 94.

I Summe 29.

— einer Reihe 96 f. Summenbereich 383. Summierbar 446.

Summierbarkeits-Verfahren 446 — 452. Grenzgerade 465.

474

Autoren- und Sachverzeichnis.

Summierung durch arilhmet, Mittel 453—456, 461—465.

— von Dirichleischen Reihen 464 f.

— von Fourierreihen 455. Sylvester, J. J. 172. Symbolische Gleichung- 175. Systembrüche 35 ff.

Tangens 194 ff., 402 ff. Taylor, B. 167. Taylorsche Reihe 167. Teiler, Anzahl der 430, 435.

— Summe der 435. Teilfolge 43, 87. Teilprodukte 99, 212, 218. Teilreihe 111, 135. Teilstück einer Reihe 122.

— folge 122. Teilsumme 94, 218. Toeplitz, O. 70, 451, 462 f. Toeplüzscher Grenzwertsatz 70, 377. Trigonometrische Funktionen 190 — 200,

251, 399-404.

Umkehrbar 156, 176.

ümkehrung von Potenzreihen 176,389-

Umordnung von Folgen 44, 66.

— von Produkten 221.

— von Reihen 131 ff., 310, 383. Umordnungssatz, großer, 137, 230. Unbedingt konvergent 133, 220. Uneigentliches Integral 161 f. Unendlich klein 17. Unendlich viele 13. Ungerade Funktion 164. Ungleichheit 27. Ungleichungen 6, 7. Unitätssatz 164.

Veranschaulichung 18, 376. Verdichtungssatz, CawcÄ^'Scher 115,289. Vergleichskriterium l.und2. Art 108 f.

267 ff. Vergleichsskalen, logarithmische 271 ff.

Vieta, F. 212.

Vivanti, G. 332. Vollmonoton 256. Vollständigkeitssatz 32. Vollständigkeitspostulat 33.

Voß, A. 314.

Wallis, J. 18, 37, 212. Wallissches Produkt 370. Weierstraß, C. 1, 86,323, 332, 384, 393. Weier Straß scher Doppelreihensatz 413. Wert einer Reihe 96. Winkelraum, Annäherung im 390 ff. Wurzelkriterium 111. Wurzeln 47, 250.

, Zahlbegriff 8, 31.

i Zahlen (s. a. Bernoiällische Z., Euler- sche Z.).

— irrationale 21 ff., 34.

— komplexe 374—381.

— natürliche 3.

— rationale 3 ff., 34.

— reelle 26, 31, 34, 39. Zahlenfolgen, komplexe, 374—381.

— konvergente 60 ff., 64—73.

— rationale 12 ff.

— reelle 41. Zahlengerade 7. Zahlensystem 8, 26, 31. Zahlkörper 6. Zehnteilung 22, 47. Zeilensummen 187.

t-Funktion, Rieman^sche 428 ff., 464.

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

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