Charlier, Carl Vilhelm Ludwig

Untersuchung über die allgemeinen Jupiter-Störungen des Planeten Thetis

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HIST SCI «68

KONGL. SVEiNSKA VETEN3KAPS-AKADEM1ENS HANDLINGAR. Bandet 22. N;o 2.

UNTERSUCHUNG

DIE ALLGEMEINEN JUPITEE-STÖRUNGEN

DES

PLANETEN THETIS.

C. V. L. CHARLIER.

BEI DER KÖNIGL. SCHWEU. AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGEREICHT DEN 15 SEPTEMBER 1886.

STOCKHOLM. P. A. NORSTEDT & SÖNER.

Pria 5 kiouor.

^1:5j2s

Af Kongl. Svenska Vetenskaps- Akademien utgifna skrifter.

(Ouvragea publiea psr l'Acadömie Eoyale des Sciences de Suede.)

Kongl. Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar. I:a Serien, arg. 1739—1854, in 8:0.

2:a Serien, arg. fr. 0. m. 1855, in 4:o.

Första Bandet, iüisin büftet. (1855.) Füllst. 6 Rdr 25 öre: *) Om Fiskyugels ntveckling af Carl J. Sundevai-l. (med 5 tatior) (24 sid,) Om phonetiska boksläfver af Carl J. SuNDEVALL. (med 3 tabcUer) (68 sid.) Föräök tili nppstallning och beskrifniug af de i Sveiige fuDua Trjphonider

af Aug. Emil Holmgeen (154 sid.)

Om de iakttageUer öfver Vattenhöjdens och Vindaine» förändringar, soin uyligeu blifvit vid ätskilliga fyrbaksstationer kring Sveriges kuster till- vägahragta; jemte tabellarijka sammandrag af observatioDerna för äreu 1852—55; af A. Erdmann, (med 2 taflor) (58 sid.)

Andra haftet. (1856.) FolUt. 6 Rdr. Försök tili uppställniiig och beskrifuing af de i Sverige funna 'fryplionider;

af Aug. Emil Holmgren. FortsiittDing. (med 2 taflor) (90 sid.)

Om Terrestra RefraktioDS theorie af D. G. Lindhagen (46 sid.)

Beskrifaing üfver Dalkarlsbergs jernmalmsfält ati Nora Socken och Oreb] o

Län, af A. Eeüsiann. (med 14 taflor) (44 sid.)

Om justeriogeu af rikslikare-skUpuudets kopier (10 sid.)

Andra Bandet. Första haftet. (1857.) Füllst. 6 Rdr. Om äggets lüge ioom ovariet hos de phaaerogama Texterna, af J. G.

Agardh. (med 1 tafla) (12 sid.)

Ben magoetiske inclinations periodiske forandriuger, af Cur. Hansteen.

(med 1 tavle) (22 sid.)

Kritisk framst. af fogelarterns uti äldre ornith. arbeten-, af C. J. Sundevall. 1. Maseum Carlsoaiannm. 2. Le Vaillant, Oiseaux d'Afrique (60 sid.) Kafferlandets Dag-fjärilar, iasamlade Eren 1838—1845 af J. A. WaHLBEEG, beskrifoa af H. D. J. Wallengren (56 sid.)

5. Om de bSda snmmorna S (a; + i'A) ,

( -l)(a;+(7ij för reela

Pris: 1,75. 2.50.

3,00.

1,50.

4,50.

0,50.

0,50. 0,75. 1,75. 1,76.

u-valörer, af E. G. Björling (18 sid.) 0,50.

Bidrag tili läran om den Kristallografiska Isomorfio och Dimorlin, af

A. E. Nordenskiöld (22 sid.) 0,75.

Andra haftet. (1858.) Füllst. 6 Rdr 25 öre. Bidrag tili Rio Janeiro-trakteus Hemipter-fauna, I; af C. StÄL. (84 sid.) 2,00. Försök tili uppställuing och beskrifuing af de i Sverige fanna Ophicoider,

af Aug. Emil Holmgren (158 sid.)

.Aualyser af atmosferisk luft i Stockholm, af J. F. Baus . ... (14 sid.) Zoologiska Anteckniugar under en resa i södra delaine af Capiandet Jren 1853— 18Ö5, af J. F. ViCTORIN. ür den aflidnes papper samlade och ordnade af J. W. Grill. (Med 1 tafla) (62 sid.)

Tredje Bandet. Första haftet. (1859.) Füllst. 6 Rdr 25 öre. Bidrag tili kännedomeu om Skandinaviens Amphipoda Gammaridea, af

Ragnar M. Bruzelius. (med 4 taflor) (104 sid.)

Om Differential-Eqvationers Integrering, af C. J. Malusten. (94 sid.) Analytiska undersökningar af Svenska Mineralier, utförda pä Upsala Universitets Laboratorium för Mineral-Kemi och med tillämpning nf theorien om Polymer Isomorphi, sammanställda af E. Walmstedt. (20 sid.) Undersökningar i högre .\lgebran jemte nigra deraf berocnde Tbeoremer

i üeterminant-theopien, V. von Zeipel (32 sid.)

Om Jasteringen af tvä nya Rikslikare för Svenska Längdmittet. af N. H. Selandeb. Fab. Wkede. Er. Edlund (13 sid.)

5,25. 0,50.

4,..o. 2,7. ^.

Andra haftet. (1860.) Follst. 10 Rdr 50 öre. Bidrag tili Rio Janeiro-traktens Hemipter-Fauna, II; af C. Stal. (75 sid.) Skandinaviens Fjädermott (.\lucita Lin.), beskrifna af H. D. J. Wallen- gren (26 sid.)

Bidrag tili kännedomen om Krnstaceer, som lefva i arter af siegtet

Ascidia L.; af T. Thorell. (med 14 taflor) (84 sid.)

Om Insekternas extremiteter samt deras hnfvad- och mnndelar; af C. J.

SUHDEVALL. (med 4 taflor) (92 sid.)

F'örsök tili nppstallning och beskrifuing af Sveriges Ichneumonider. Tredje Serien. Fam. Pimplariae; af Aug. Emil Holmgeen. (76 sid.) Bidrag tili kännedom om Salpetersyrligheteus föreningar med enatomiga baser; af Johan Lang (40 sid.)

Fjerde Bandet. Första haftet. (1861.) Füllst. 6 Rdr. Stadier öfver Nutidens Koprogena Jordbildniogar, Gyttja, Torf och Mylla;

af Hampus von Post (60 sid.)

Ett försök att bestämma de af Aristoteles omtalade Djurarterna; af Carl J. Sundevall. I. luftandande djur, eller klasserna: Däggdjur,

Foglar, Reptilier och Inaekter med Arachnider (148 sid.)

Uodersökuing af Fayeska Kometens baua; af Axel Möller. (90 sid.)

■^•^fi&>fA^ii\^fr'\:iK»iaia'aM^

0,75. 1,25. 0,50.

2,00.

1,00. 4,50. 3,50. 2,50. 1,50.

Ii75.

3,75. 2,50

Andra Hiiflet. (1862.) Füllet. 4 Rdr.

4. Komparatiouer niillan Struves Dubbcl-Toisc och den för Sv. Vet.-Akad. räkiiiug förfardigade kopiau af deusamina; af D. G. LiNDHAGEN (10 sid.)

5. Geogratiska Ortbestämuiii^'ar pä Spetsbergen af A. E. Nordenskiöld, beräkuade och sammanställda af D. G. Lindhagen (48 sid.)

6. Geognostiska iakttageUer under eu resa tili Spetsbergen är 18(}1; af C. W. Blomstkand. (med 2 taflor) (46 sid.)

7. Geogratisk och Geoguostisk Beskrifuing öfver Nordöstra delarne af Spets- bergen och HiulopcuStrait; afA. E. Nordenskiöld. (Med Karta). (26 sid.)

Femte Bandet. Första Haftet. (1863.) Füllst. 5 Rdr.

1. Anteckiiingar tili en Mouografi öfver Vüxtfamiljcu Valeriaue«, 1. Vale- rianella, Hall, af Thorünv 0. B. N. Krok. (med 4 taflor). (106 sid.)

2. Om de Trausceudeuta Funktiouerua Z (a) och Ga jemte uträkniog af deras värden för flera värden pä a; af C. F. Lindman (18 sid.)

3. Eu Grupp Formler, som beröra de Elliptiska Fuuktiouema af första slaget; af GÖRAN Uillner (20 sid.)

4. Heterocer-Fjärilar, samlade i Kafferli^ndet af J. X. Wahluerg, beskrifiia af H. D. J. Wallengeen (84 sid.)

Andra Haftet. (1864.) Füllst. 4 Rdr 50 öre.

5. Om salpetersyrligheteus föreningar med na^ra platiiiuba»cr samt med ethylamin ocb tetramethyl-ammouiumoxid; af Johan Lang. (18 sid.)

ti. 1. Om multipla integralers transformatiou; af llj. Holmgeen. (40 sid.)

7. Nägra platiiiametallers chlorider i deras förhällaude tili salpetersyriiga salter; af Johan Lang (10 sid.)

8. Bestämning af nägra Fuuktiouers bügre derivator samt af ätskilliga dermed sammanhängande definita integraler; af C. F. Lindman. (30 sid.)

9. Om de Frauuhoferska^linierna jemte teckning af den violetta delen af solspektrum; af A. J. Anüström och R. Thalen. (med 2 taflor). (8sid.j

10. Pyreneernas Mossvegetatiou i Luchons omgifningar; af J. E. Zetti ii- STEDT (52 sid.)

11. Om differentialkalkyleu med iudices af hvad natnr som helst; af Hj. Holmgren (84 sid.)

Sjette Bandet. Första haftet. (1865.) 4 Rdr 50 öre.

1. Monographia Salicum, 1. Auetore N. J. Andeesson. (med9taflor). (IHOsid.)

Andra haftet. (1866.) Füllst. 5 Rdr 50 öre.

2. Om Vegetationen i de högländtaste trakterna af Smäland; af J. E. Zktterstedt (38 sid.)

3. Om definita integraler mellan imaginära gränsor;afC.J. Malusten. (18sid.)

4. Bidrag tili kännedomen om ammoniakaliska Kromföreuingar; af P. T. Cleve (32 sid.)

5. Anteckniugar tili Spetsbergens Geografi; af N. DuN^B och A. E. Nordenskiöld. (med 1 karta (16 sid.)

6. Om Trias- och Jura-försteniugar fräu Spetsbergen; af G. Lindström. (med 3 taflor) (20 sid.)

7. Utkast tili Spetsbergens geologi; afA.E. Nordenskiöld. (m.2kart.)(36sid.)

8. Förberedande undersökningar rör. utförbarbeten af en gradmätning pS Spetsbergen; afN. DuNEE o. A. E. Nordenskiöld. (med 1 karta) (20 sid.)

Sjunde Bandet. Första haftet. (1867.) Füllst. 5 Rdr.

1. Bidrag tili käunedomen om Islands bergsbyggnad; af C. W. Paijkull. (med 1 karta) (50 sid.)

2. Lichenes Spitsbergenses determiuavit Tu. M. Fries (54 sid.)

3. Anteckniugar om djnrlifvet i Ishafvet mellan Spetsbergen och Grönland; af A. Quenneestedt (med 3 taflor) (36 sid.)

4. Bidrag tili kännedom af Pleuronektoidernas ntveckling och byggnad; af A. W. Malm, (med 2 taflor) (28 sid.)

5. Beskrifniug p4 eu apparat för registrering af observationer pä luflens temperatur, fuktighetsgrad och pression; af A. G. Theorell. (med 2 taflor) (12 sid.)

6. Om nägra derivator af den Gros'ska Piatinabasen; lists Afdelningen; afp. T. Cleve (22 sid.)

Andra Haftet. (1868.) Füllst. 5 Rdr 50 öre.

7. Om nigra derivator af den Gros'ska Plutiuabasen ; 2:dra Afdelningeu; af P. T. Cleve (22 sid.)

8. Bidrag tili kännedomen af Spetsbergens Alger, jemte tillägg; af J. G. Agardu. (med 3 taflor) (38 sid.)

9. Sur l'int^gration de l'iquation diffirentielle.

(«, + b^x + c^x^) ^^ -h (a, -I- 4,x) ^ + a,>3/ = 0 ; par

Hj. Holmsren (58 sid.)

10. Bestämning af vigtförbillandet mellan det Svenska sk&lpundet och den Franska kilogrammen; af E. Edlund (32 sid.)

11. Hcmiptera Fabriciana. Fabricianska Hemipterarter efter de i Köpenbamrj och Kiel förvarade typeiemplaren, grauskade och beskrifua af C. Stäl. l-.sta afdelningen (148 sid)

Ittonde Bandet (1869). Füllst. 12 Rdr.

1. Hemiptera Fabriciana. Fabricianska Hemipterarter, efter de iKöpeuhamn och yarade typexempl., grauskade och bcskr. af C.Stal. 2:aafd. (130 sid.)

3,uo. 0,75. 0,75. 2,00.

Ü,5u, 1,00.

1,00 1,00.

2,00.

4,50,

1,00.,

0,7 6.'

1,00. 3,50 1.25.

3,00.

1,00

1.50. 1.25.

2,50.

1,50,

1.25

Ü,.',0,

1,60, 1,0«.

3,ug.

KONGL. SVEN3KA VETENSKAPS-AKADEMIENS HANDLINGAR Bandet 22. Nr. ?..

UiNTERSüCHUNG

DIE ALLGEMEINEN JUPITER-STÖRUNGEN

PliÄNETEN THETIS.

C. y. L. CHAKLIER.

Hi;l DER KÖNIG!,. SCHWED. AK.\DK.MIK DKR WISSEN.SCIH.\FTF,N" EINGEREICHT DEN IS SEPTEMBER 18 86.

STOCKHOLM, 1887.

KONOL. BOKTRYCKEKIKT. P. A. NOBSTETIT & .^^(^NFtU.

Di

'ie rasch anwachsende Zahl der kleinen Planeten zwischen Jupiter und Mars ll'isst es als mehr und mer wünschenswerth erscheinen, die jedes Jahr wiederkehrenden Berechnungen ihrer speciellen Störungen durcli Anwendung ihrer allgemeinen Stürungsausdrücke ersetzen zu können. Um dieses Ziel zu erreichen bedürfte es der Kenntniss einer Bahn, die von der wahren Bahn des Planeten immer nur um kleine Grössen abweicht, und die in den letzten Jahren gemachten Untersuchungen geben wirklich eine Möglichkeit an die Hand solche Bahnen anzugeben, noch ist es aber bequemer sich mit einer Bahn zu begnügen, die für eine beschränkte Zeit den Ort des Planeten darstellt. Die Methode, die man gewöhnlich benutzt, ist die von Hansen in seinen bekannten Abhandlungen »Auseinandersetzung etc.»'): seine Wahl der Koordinaten, welche die Störungen in sehr zusammengedi'ängter Form darzustellen erlaubt, und überdiess <ji-osse Glieder nur in einer einzio:en Koordinate giebt, seine Methode zur Entwickelung der Störungstuidvtion, die, schon von Uauchy gegeben, zuerst von Hansen ihre jetzige für numerische Rechnung geeignete Form erhielt, und endlich seine einfachen aber für den Rechner so angenehmen Methoden jeden Schritt der Rechnung zu kontrolliren ; das sind die Vorzüge, die zusammen den Hansenschen Methoden einen so hohen Werth geben.

Die schwierigste Aufojabc bei der Berechnung allgemeiner Störungen liegt in der Entwickelung der Störungsfunktion; ich habe in dem Folgenden einige Methoden angegeben,

C O' oP CO'

die wenigstens in vielen Füllen denen von Hansen vorzuziehen sind; die eine ist nur eine kleine Modifikation von der Hansenschen, die es aber erlaubt die Koefficienten der Entwickeln ngen aus Tafeln zu nehmen, was die Rechnung bedeutend verkiirzt; die andere ist darin eigenthümlich, dass die Glieder von derselben Ordnung in Bezug auf die Excen- tricität gleichzeitig berechnet werden, wobei ich einige berühmte Untersuchungen von Gauss nhav die Transformation von elliptischen Integralen benutzt habe.

Nachdem die Störungen berechnet sind, bleibt noch eine beträchtliche Arbeit übrig: flas Tabuliren derselben, welche Arbeit kaum geringer ist als diejenige, die für das Berechnen der Störungen erforderlich ist. Die Ursache, \variuu die Störungsausdrücke so schwer zu verwerthen sind, liegt hauptsächlich darin, dass dieselben Funktionen von zwei Argumenten sind, Avelchen Cbelstand ich dadurch vermeide, dass ich, einige von prof. Gylden gegebene Resultate benutzend, die Störungsausdrücke nach den \'ielf'achen zweier Argumente umordne, von denen dafi eine während eines halben Undaufes des Planeten konstant ist, übrigens aber sich sprungweise verändert; die Störungen werden dadurch auf so wenige Glieder gebracht, dass das Tabuliren unnöthig wird.

') Der vollstäudifje Titel lautet: Auseinandersetzung einer zweckmässig-eu Methode zur Bereeluuuig der absoluten Stöninsteii der kleinen Planeten von P. A. Hansen. 3 Abhdl.

Entwickelung der Stöniiigsfiiiiktioii.

1. Ausser der Sti'nnmgsf'uiiktiuii müssen verschiedene I)ifferential(|ii()tienten derselben in Reihen entAvickelt werden. Bei der Theorie von Laplace hatte dies keine Sch^vierigkeit, da seine Methode zur Entwickehuig der Störungsfiuü'Ction gestattete diese Dift'erentiahinoti- enten direkt durch Differentiation zu erhalten; in der Methode von Hanskx ist dies aber nicht der Fall'); Hansen hat indess gezeigt, dass die erforderlichen Ausdrücke sich aus den negativen ungeraden Potenzen des Abstandes zwischen dein störenden und dem gestörten Körper zusammensetzen, und die eigentliche Schwierigkeit liegt daher nur ilariu diese letztern zu lulden.

Be\or Avir zui' iMitwickelung derselben übergehen, senden wii- einige l>enu'i'kuiigen über die Entwiekelung von periodischen Funktionen voraus. Es sei/'(y, i/') eine eindeutige eint'achperiodische Funktion der beiden Veränderlichen (p und ^|^, wenn wir für einen Augenblick '/' 'ds konstant annehmen, so lässt sich bekanntlich f{(f, V) f'"' alle \\ CrThc von '/ zwischen zwei parallelen Streifen durch die folgende lleihe darstellen

(1) f{,f, V')- V ^'„{ip),,""!

( I *) l'M') --- l^ I f(<f, H)e ' '•"id(p

wie man augeid)licklich findet, wenn man die beiden Seiten von (1) mit c ""fihf nudti- plicirt und ilann intt'grirt: wir bekommen denuiach fiu' '/'«(V) den folgenden Ausdruck

(■_>) <i:xii') -V «'';''''"""

(2*) «'"'^.r I 'KWe -■•"■'• d>p.

Wenn beide inTegratii)nen sieh ausführen lassen, so ist die Aufuabe gelosi : wemi aber mu' die eine, oder sogai- keine derselben durch bekamite Funktionen ausdrüekliar ist, so

') Nf.wcomh luit irezeisrt wie nuui ;incli hei Ainvcnihiiiir ili'i' Haiisciisclii'ii KiHirdiiuitrii die l)irt'i:rcnli;ili|Uijtioiiteu wirküpli ;iiis (|i-r Knt.wicki'luii<r ilrr Störuim'st'iiiiktioii ;iblcitcii kann. Astroiioinioal l'apcrs. \'nl. III, Pait. I.

KONGL. SV. VET. AKADEMIKNS HANDLINGAli. BAND 22. N:() 2. 5

liisst sich doch iiiuiuT der Wcrth der Iiitc;>i'ale mit Amvciiduiig von Iiitcrpolatioiismethoden beliebig genau finden. Wir nehmen an, dass, für einen l)estimmten Werth von i/' , *„(iA') nacli der Formel (1*) bereclmet ist; in (2), unter der Form

gescln'iebcii, setzen wir suceessive statt e''f' die jij:ten Wurzeln der Einheit, d. h. 0,

2. ..•(/> — 1) — i^tatt ip und addiren die Resultate, dann ist

/' ' /' ' P

Z

gvi.p ^ Q

wenn nicht /' <Mne Vielfache von p ist, mithin

Wenn der Fehler in '' unter der Grenze g liegen muss, so können wir mitliin <i aus der roruieJ

m a"^ - ^^1\i^',:h' '""r{k ---- 1, 2, . . . /j .)

bfi'cchnen, wenn nur die willkülirliche Zahl p so gewiddt ist, dass die Sunnne

s = a -\-a _, -\- . . . -\- n -f-a ., -\- . . .

kleiner als q ist; wenn wir aber Noraussetzen, dass ilii' lleiiie (2) ziemlich rasch konvergirt, und zudem p innner grösser als m annehmen, so kann man die Summe .s auf ihr grösstes «ilicd reduciren, und also p aus der Bedingung

*-^^ ^,!-;.^.'^

Iii'stinnnen, was auch durch die Unn-leichlieit

^2 I I fif^ V'V ~ '^"'f " *'" "'■'"■]«/yr/V' < .</

au>gcdrückt werden kann.

Aus den ]> vci-schiedenen Werthen von 'f',M'k) können p Koefficienten a berechnet werden, ^\■eIm nran mu' dafiir sorgt, d;iss die Bedingung (4) für alle hier in Betracht kommenden Werthe von in erfüllt ist; dieser Umstand ist von Gewicht, da wir später >ehen werden, dass bei der Fntwickelung der Störungsfiudvtion <f und if> so gewidilt werden kijnncn, dass aus einem einzigen System \(in ^Vcrthen xon '1',XH') alle (dieder

h CHAKLIEli, UNTERSUCHUNG UBEK JUPITERSTORUNGEN DES PLANETEN TIIETIS.

derselben Ordnung- in Bezug auf die Bahnexc-eiitricitäteii und Neigungen gleiehzeitig be- rechnet werden künneii.

i. Wii- haben gesehen, dass die Entwickehmg der Störungsfunktion im Wesentlichen von der Entwickelung der negativen ungeraden Potenzen des Abstandes zwischen den beiden Planeten abhängig ist; Avir werden uns daher vor allem mit dieser Ent^vickelung beschäftigen. Wenn r den Radius vector des gestörten, ?■' den des störenden Körpers bezeiclmet, und // der Winkel zwischen beiden, so ist zunächst der Abstand ^ durch die Formel

^^ =- ;■■- + /•'- — irr' cos H

gegeben; cos H drücken wir zuerst durch die wahre Anomalie der Planeten aus

cos H = cos (/+ n) cos (/' + //■) + sin (/+ Tl) sin ( /" + B) eos /

wo die Bedeutung von JT, II' und / die gewöhnliche ist; diese Formel giebt. wenn man cos(/'-l-^) etc. entwickelt und die Bezeichungen

A' — cos n cos II' -^ .sin 71 sin II' cos / ß' — — cos II sin H' -\- sin II cos H' cos / C ^= sin H cos H' — cos II sin H' cos / D' = sin Tl sin U' 4- cos II cos H' cos /

benutzt

cos H ^^ A cos f cos f -\- B' cos/' sin f — C" sin/cos/' -|- D' sin /^'sin f. Mittelst der bekannten elliptischen Formeln

- cos / = cos « — e a

r . .

- sin t = cos f sin f a

führen wir hier die e.xcentrische Anomalie ein und bekommen dann

■ , cos H =- Aee — Ae cos t — Ae cos s' — Be sin *' -1- O' sin «4-/4 cos « cos * an

-f- B cos « sin *' -|- C sin « cos t' -^ D sin * sin *', wo wir der Kürze wegen gesetzt haben

A' ^ A , B cos (p' = B , C cos ip' ^ C , D cos ip cos (f'^D. Wir erhalten dann für den Abstand den folgenden Ausdi-uck

-j = 1 + (r -\- y- + {a'e- — 'IccAee

(5) ] + ( — '■If + -IfteA) cos * — -IcteC .sin « -\- hj^ cos 2* -f-

I -f- ( — ice'-e -j- -IcceA) cos *' + iaeB sin *' -\- W'e' cos 2*' —

I — '2ct\^A cos s cos *' -j- ß cos « sin «' — C sin £ sin *' -|- D sin * sin *'] ,

wo « = — und e, e die Bahnexcentricitäten bedeuten. a

KONGL. SV. VET. AKADKMIENS HASDLINGAK. BAXU 22. X:0 2. 7

3. Die Form (5) worden wir als Ausgangsfonnel bei der Entwickelung der nega- tiven Potenzen von <i/ wühlen, wobei übrigens die Formeln (1) und (2) zur Anwendung kommen, in dem wir zuerst den Fall betrachten, wo

gesetzt werden. Wir gelangen dann zu den Methoden, die Cauchy und Hansen für die

Fntwickelung der Störungst'uiiktion aufgestellt liaben ^), und wir werden dieselben hier

kurz aus einander setzen, um zu zeigen, wie die Rechnungen nach denselben am

einfachsten ausgefülirt werden können. \\\v schreiben also den Ausdruck (5) für

iJr

rm um

I I in die folgfendi' Fori

( — 1 — D — J'i cos «' — /:/„ sin t'-\- i«'V'- cos 2*' ,

wo D, )\ und lif, Funktionen mir von * sind. \'on dieser Form ausgehend wird die Entwickelung der negativen Potenzen von z/ zwar (jhne SchAvierigkeit ausgeführt, in den meisten Fällen ist aber eine andere Vei-fahrungsweise Norzuziehen. Setzen wir

/i =fcosF li,, = ./' sin F so dass

{] = D — f c(.s ( F— *■) + i«V-' cos 2«'

so wird

[^ - \_D - f cos (F — 6') + \a'e' cos 2*'] " '' =

Da e hier sehr klein ist, siejit man sofort, dass es vortheilhaft ist nach den Potenzen des letzten (iliedes zu entwickeln; also

1 .V a'-e' cos 2*'

U/ 4 ^+2^

[Z;— /cos (F— 4')>- . [D —f cos {F— 4')] 2

, .*.(.v + 2) «V* cos' 2s' . _

-4 1

16 [D— /cos(F— 4')] 2

wo m;in im Allgemeinen nur die zwei ersten Glieder zu berücksichtigen braucht; für die Jupiterstörungen beträgt das zweite Glied (für 5=1) nur einige Zehntel einer Bogen- sekunde, sein Maximum ist

«V'

4 sin \"[a{l — e)— \ — ef

') Catjchy hat seine Methode in einer schönen Reihe von Abhandlungen in »Comptes EendtiS" Tom. XIX und XX dargestellt: dieselbe ist weiter entwickelt von PuiseüX: »Sur les inegalites ii lougues periodes du mou- vement des Planstes» und BourgeT: »Memoire sur le developement de la fonction perturbatrice» in Annales de l'Observatoire de Paris. Tome VII.

8 CHAULIEK, UNTüRSUCIIUNT, Cl5El{ .ILPITEUSTÖKINGKN »ES PLANETEN THETIS.

Es handelt sich also jetzt iiui- iiiu die Entw iekeluiiü' von Fnnktioneu von lU-r l\)rui [D— /eos(F— O] '»

und zwar ist es bei der Berechnung der Störungen erster Ordnun«;' nur nütliii: die Fidle .« = 1 und ,« — ?> zu berücksichti<!;en.

Indem wir mit l; eine nur von \ al)hän^i<^e ("onstante bezeichnen, setzen wir jetzt

(6) k, [D —f cos {F — *')]- '-'2 = V /^',/'os n V

V = F— *■,

wo für die Koetticienten /i ohne Schwierigkeit Rekursionst'ormeln der folgenden Form aufgestellt werden können

1 0 1

wodurch die Berechnung dieser Koefficienten n>u- \-on den Werthen von // und ;^ ab-

0 I

hiingig wird {b„, Cn etc. hängen in bekannter Weise von n ab); man brauclit in dei- Tli;it nur fi zu berechnen, was keine Schwierigkeit darbietet. Nach (6) ist

(1) k, [" dV

0 2nj ]f D — f cosV

— TT

271 V D J ]/l+d' — 2d'cosr

gesetzt haben, ß ist also ein elliptisches Integral erster Gattung; seine Berechnung ge- schieht vielleicht am einfachsten nach einer von Newcomb beiuitzten Methode: wenn wir mit M (a, h) das Gaussische aritmetico-gcometrische Mittel bezeichnen, so wird erstens

D M{l — d\ l-f-t))

Weini wir die Landexsche Transformation benutzen, ist aber

M{a, li) = M{h{a + 6) , Üb) , und wemi wir diese Formel zwei Mal anwenden und d statt f) einfiihren. so wird also

KONGL. SV. VET. AKADEMIEN« HANDLINGAK. BAND 22. N:(1 2. 9

(7) /?" = 1/1 + ^"' . ^^ _ ^AX

« V ^ iJ/(fcos(9, cos'lö) VZ) cosMöfcosö'

wo low iV", wenn t)^*).?.), erst in der sechsten Deciniale sich von log 2 unterscheidet; derselbe ist v(mi Newcomb tabulirt worden. ^)

4. Zwar lassen sich nun die /y-Koefficienten nach dieser Methode sehr schnell be- rechnen, wenn man die von Hansen mittelst der Rekursionsformel

erhaltenen Kettenbruchs-entwickelungen lienutzt. Es giebt aber ein noch bequemeres Mittel,

lan Ijr

diese Koefficienten zu erhalten; man Ijraucht niunlich nur ß' unter der Form

n 2.T

D

cos nVdV j[l + d' — 2t)' cos F]>-

zu schreiben um sogleich zu linden, dass, abgesehen von einem konstanten Faktor die Koefficienten [i nichts anders sind als die aus Mecanique Celeste bekannten Koefficienten, die durch die Reihe

[1 — 2<)' cos (f + 1)'^]— ' = \b -\-h cos <f-\-h cos 2y + . . delinirt sind. Eine Vergleichung zwischen dieser Reihe und (6) giebt in der That

^ ^ ' '^ '2 cos 'W ]/D' •■ =

Für diese Koefficienten b hat Runkle in ^^Smithsonian Contributions to knoidedge

Vol. IX» ') eine ziemlich ausführliche Tafel gegeben; dieselbe fasst zwar nur die Fälle

.>'=!, s = 3 um, und die ß' müssen desswegen besonders berechnet werden, welche Rechnung

aber sehr be(iuem nach den gewöhnlichen Hansenschen Formeln ausgeführt werden kann. ) Da die Runkleschen Tafeln nicht zu diesem Zweck aufgestellt sind, kann man auch nicht erwarten, dass dieselben die in jeder Hinsicht möglichst grösste Bequemlichkeit hier ge- währen können; es würde daher für die Astronomie von grossem Nutzen sein, diese Tafeln

zu erweitern und ß uinnittelbar in Tafeln zu bringen, was keine Schwierigkeit darbietet,

da der Faktor cos ~'" AÖ VZ)"*, mit welchem man die Runkelschen Koefficienten multiplici- i'cn muss, um zu den Hansenschen zu übergehen, sehr nahe konstant ist. Schon mit An- wendung der Tafeln in ihi-er jetzigen Form geschieht aber die Entwickelung der Störungs- funktion viel schneller, als wenn man ohne Anwendung derselben die Hansensche Methode benutzt.

') Newcomb: Development of the peHwbative function p. 69. Astrouoiiiical Papers vol. III Part. I.

-) Neiu Tables for determining the values of the coefficients in the perturbative function of planetari/ motioti,

tvhich depend upon the ratio of the mean di-Hancef! by .Ton. D. Runkle. ') »Aii.ieinanderset'tinff etc.» p. 1.57.

. Vet. .Mi.i.i. Handl. B. 22. N:i

10 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JIPITERSTOKUNGEN DES PLANETEN THETIS.

5. \\ ir habfii also gesehen, dass die Cauchy-Hanseiisclie Methode zur lüitwickehinir der Störungst'unktion unmittelbar aus (2) erfolgt, wenn man

M ' '^) ^ j-

setzt, was als eine zweekmässige Wahl betrachtet werden kann, da J nach ((i) wie eine sehr einfache Funktion dieser beiden Veränderlichen dargestellt ist. Dass diese Bestim- mung von (f und ip jedoch nicht immer die beste ist, werden wir sogleich ersehen. Mit Anwendung der Formel (1) erhält man zuerst die Entwickelung

j = CMO + CM'.) ^-«'.^ '/ + C,{ip,^ cos -Kf + . . . + 5, (v'o) ^ii' <p + ^A^': ^i" -'y) + • • • ,

wo wir. um die Integrale (1*), welche die Koetticienteii C,,, C\ etc. darstellen, berechnen zu können, für i/' einen gewissen numerischen Werth angenommen haben; wenn successive gesetzt wird

	•H	•In	, -In
!' = 0,		9	. (p — \).-'
	V	i>	V

erhalten Avir also für jeden Koetficienten C und »S ein System von p ^^ erthen, aus welchen väv diese Koefficienten als Funktion von W darstellen können, d. h. 6^*"^ , C'^' etc. in den Entwickelungen

/-, / \ /-,(0t 1 /-JO) , „(Ol , , 1 ^,(0) . . ,-,10) . .

C„(i/;) = C -\-C cost/z + C cos -21/' + . . . 4-.S smU' + .S sin2U'4-... CAh') = Ö'' +6*" cosV' + C*" cos2«' + ...+^S-"^ ^\y,rpj^s^'' sin2i/' + ...

^M') = Cs o~^^s 1 ^^^ ^~^^s - *^'-'*" -"^ + • • ■ + '\ 1 ^"' ^' + '5, , •''1" :^"' + • • •

bestimmen können. Wäre es nun möglich durch eine passende Wahl von i/' »»d <f zu bewir- ken, dass alle Glieder in der Störungsfunktion, die in Bezug auf die Bahnexcentricitäten und die gegenseitige Neigung von der Ordnung null sind, in C„(^') enthalten wären, alle Glieder von der ersten Ordnung in CM') ^^^^ ^M') i'- *• ^-i *'J würde man in der Ent- wickelung von den negativen Potenzen der Entfernung nach den Vielfachen \o\\ <f nur eine sehr kleine Zahl von Gliedern mitzunehmen brauchen; eine solche Wahl ist aber möglich. Wir erinnern uns nämlich eines bekannten Teorems, die Entwickelung der Störungsfunktion nach den Vielfachen der mittleren Anomalie betreffend : dass, wenn g und cf die mittlere Anomalie des gestörten und des störenden Körpers bezeichnet und R ^= die Störungs- funktion

(A) R - V V ^' • ■' - ^ * - H.?-j/) ,

so ist P'' in Ikzug auf die Bahnexcentricitäten und die gegenseitige Neigung von der Ordnung / — /. Man sieht augenblicklich ein, dass dieses Teorem unverändert gilt, wenn

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLIXOAR. BAND 22. NO 2.

11

man g und </' gegen zwei neue Wn-änderliche vertauscht, die sich von jenen durch Glieder unterscheiden, die demselben Gesetze (A) folgen, d. h. wenn man z. B. die Entwickelung nach den Vielfachen der wahivn oder der excentrischen Anomalie betrachtet; schreibt man

also (das obige Teorem wird unverändert, wenn man R gegen vertauscht)

a (0) , (0) , , (Ol , .

~,= c -j-e cos (* — * ) + f cos 2(* — *)+...

1 (0) . , ,, 1 (0) . , .

4-s sm (* — *) + « sui 2(* — *)4-...

+ '". „I '■. cos (* — t)-\-c cos 2(* — ^ ) -|- . . . cos * -f"

-\-s sni (i- — * ) + «. ., sm 2(* — *) -j- . .

-|- (', , + f oos (* — * ) + c cos 2(* — t ) -|- . . . sm ^ -f-

+ *■. sin (t — * ) H- -s _ sm 2(i — * ) -|- . . + etc.

so sind alle Koefficienten c und s, die denselben oberen Index haben, von derselben Ord- nung in Bezug auf die Excentricität und die Neigung, mithin alle in der ersten Reihe von der nullten Ordnung u.s.f.

6. Stellen Avir nun diese Resultate mit den finiheren Untersuchungen zusammen, so zeigt es sich leicht, dass man in (1)

l/' = € — *' (f) =^ t' oder *

setzen muss, um die Entwickelung von . auf die kleinste Zahl von Gliedern zu bringen.

Es ist dabei gleichgültig ob man 5p = * oder <f = «' setzt. Wir werden die letztere Wahl treffen. Wir haben also nur zunächst zl als eine Funktion von *' — * und *' darzustellen. Demnach haben wir

cos e = cos (* — i') cos *' — sin (* — *') sin «' sin i — sin (* — *') cos *' -\- cos (* — «') sin «' cos 2« = cos 2(« — «') cos 2fc' — .sin 2(« — *') sin 2*' 2 cos « cos *' = cos (« — *') cos 2«' — sin (* — «') sin 2*' -\- cos (f- — *') 2 cos e sin *' = sin (« — «') cos 2f' -|- cos (f — s') sin 2* — sin (^ — *') 2 sin * cos t' = sin (« — «') cos 2*' -|- cos (f — «') sin 2*' -|- sin (* — *') 2 sin s sin t' — — cos (* — *') cos 2«' -f- sin (« — *') sin 2*' + cos (« — *')• Dann nimmt die Formel (5) folgende Form an

Ö'

1 + (c- -f A e-^ 4- kye'' — i(cAee -\- (c(Ä + D) cos (* — i') — (c{B + C) sin (* — f) +

+ [ — 2« V + 'laeA — {e — ceeA)'l cos (* — *') — ae'C . 2 sin (* — *')]cos *' + + [icceB -{-{e — cee'Ayi sin (* — •?•') — r(e'C . 2 cos (* — *')] si" *' ~\~

+ Ü«V' + W- cos 2(* — i') + «(^ — D) cos (* — i')+«(5— C) sin (* — *')] cos 2*'+ + [4«V' — ie' sin 2(^ — O — «{A — Z))sin (* — *') + «(£— C)cos(i — i')]sin2i'.

12 CHARLIEE, UNTEKSUCHUKG CliKR .lUI'ITEH.sTi )RUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Um hier die Grösse der verschiedenen (ilieder beurtheilen zu können, ist es iioth- wendig einige Zusammenstelhmgen von A, B etc. zu untersuchen. Zuerst bemerken wir, dass bis auf Grössen zweiter ( )rdnun^ in Bezug auf dii- Kxcentricität A und A\ B und B' etc. zusammenfallen; da es sich nur um rntersuchungen über die genäherte Grösse handelt, so können wii- mithin A . ß' etc. statt A, B etc. in Betracht ziehen. Es folgt aus der Detinition dieser (^>rnsseii p. (i dass

A -\- D' — cos {n — n') . 2 cos '\1

A — D = cos {n -\- 7i') . 2 sin 'hl

B'-\- C = sin (.T — TT') . 2 cos V

ß' — 6" - — sin (.T + .^') . 2 sin %I

Aus diesen Zusammenstellungen folgen jetzt einige intressante Resultate. Mit An- wendung der Bezeichiuuigi'n

( /; ^-- l-j-fr' + ir' + AfrV— 2fW.4 + «(.4 + Z>)cos(* — *') — «(5 + 6')sin(t — *')

I — Fjcosil/^ — «V -|- «e-J — (e — de'A) cos (* — *') — «eC sin (* — «') (9) I — r^ sin M=-- neB -{-■ {e — ae'A) sin (i — *') — aeC cos (* — *')

I r, cos 2 iV-- i«V- + \e^ cos 2(* — *') -f c([A — D) cos (* — *') + ct{B — C) sin (^ — *') I r'ä sin '2N^ i« V — k' sin 2(^ — *') — r/( ^ — D) sin (* — ^') + «( ß — C) cos (* — *')

^\■ird

(10) (-) = 1], — 2r, cos (f' - .17) + r, cos 2(*' — .V) .

Aus (6) sieht man unmittelbar ein, dass /^, \on der Ordnung der Excentricitäten ist: mittelst der schon erhaltenen Werthe von A -\- D'. etc. bekommen wir ferner die folgenden genidierten Werthe von /", und }\

i I\, =^ 1 + «" + 2« cos (« — i' -{-TT — n')

(9*) I r, cos 2A'' = A«-e'- -f- .k- cos 2(t — * ) H- 2« sin 'i/ cos (* — *' + .t + n')

I / 2 sin 2iV = i«'e'" — if " sin 2(i — «') — 2ff sin 'U sin (* — t -\- n -\- .^') .

f^ ist also von der nullten ()rdnung, f^ von der Ordmuig des Quadrates der Bahn- excentricitäten und der gegenseitigen Neigung. Diese Eigenschaft ist von Gewicht, da dieselbe uns erlaubt, eine Transformation zu benutzen, ^\■elche von G.\rss bei Gelegenheit einer Berechnung der sekularen Störungen angewandt wurde.

7. Wir werden nun die Entwickelung der negativen Potenzen der Entfernung in der Eorm betrachten, die sich aus der vorhergehenden Untersuchung als nöthig erwies. Erstens bemerki^n wir, dass es hinreichend ist die Entwickelung von

zu untersuchen, da die erforderlichen Difl'erentialquotienten (wenn von den Störungen erster Ordnunü- die Rede ist) sicli durch diese Potenz der Entfernung ausdrücken

KONGL. SV. VET. AKADEMIEXS HANDLIXGAR. BAND 22. N:0 2. 13

lassen'). Wir wählen also für t — e' einen gewissen konstanten ^^'ertll und stellen uns die Aufgabe, die Koefficienten in der Entwickelung

( 10) [r, — 2r^ cos (*' M) + /; eos 2 (i—N)] ~ J = V C„ cos «*' + V 'S« sin ni^

zu bestimmen, wo

cos m^dd

\'-h\

(11)

[T^ — n\ cos (e' _ jJi) + r, cos 2(*'— xV]* 1 r sin w-'dc

i. . _ 1 I sm Ji^; «t

2^j [T; — ^r, c^«^— M )"+ r, cos 2(4' —

iVr]i

Lm diese Integrale zu berechnen, kann man zwei verschiedene Wege einschlagen: entweder entwickelt man den Nenner nach Potenzen von /^,, was immer möglich ist, da wie wir schon gesehen haben A von des ()rdnung des (Quadrats der Excentricität ist; oder bringt man die Integrale auf die Xormalforra der elliptischen Integrale, da man sogleich sieht, dass sich dieselben auf diese Form reduciren lassen. Das erstere Verfahren, das bei der Hansenschen Form der Entwickelung von so glücklichem Erfolg ist, erscheint aber hier nicht so \-ortheilhaft, da T^ auch das Quadrat der Excentricität des gestörten Körpers enthält, welche im Allgemeinen ziemlich gross ist; dagegen wird die zweite ^Methode sich hier als sehr passend erweisen").

Wie man Integrale von der Form (11) auf die Xornialform bringen kann, hat Gauss mit seiner gewöhnlichen Eleganz in derselben Abhandlung^) nachgewiesen, in Avelcher zum ersten Mal das s. g. aritmetisch-geometrische Mittel in die Analyse eingeführt Avird. Die Untersuchungen von Gauss, die das Berechnen der secularen Störungen beabsichtigten, sind später von Hill besonders aus dem Gesichtspunkt numerischer Rechnung fortgesetzt worden, und zwar hat er für die Rechnung sehr einfache und praktische ^lethoden ange- geben und dieselbe durch Hülfstafeln erleichtert*). Solche Tafeln findet man auch in einer späteren Arbeit von M. 0. C. Callandreau, welcher überdiess gezeigt hat, wie man alle Glieder, die von der Lage des gestörten Körpers allein abhängen (d. h. alle Glieder von der Form ein g)'^ m), berechnen kann ^). Da diese Tafeln nur beabsichtigen, das Berechnen der sekularen Störungen zu erleichtern, so kommen dieselben in der jetzigen Untersuchung

') Vergleich « Auseinander seUung etc.» Art. 30.

-) AVenu es uöthig wird in (10) mehr als .3 Glieder uiitzuuehmen {n grösser als 2), so ist es vielleicht bequemer

eine andere Methode anzuwenden, die der von C'auchv (C'omptes Rendus Tome XX) analog ist. ■') Determinatio attractionis i/tiam in punctiwi qiiodvis positionis datce e.verceret planeta, si ejus massa per

totaiii orbitdm nitione teinpovis i/uo singiihu partes descibuutur imi foruiiter esse/t dispertita. (Werke. Bd.

III. p. 331.) *) On Gauss Method of cornjuiting secular perturbations, u-itli an application to ilie action of Venus on Merciir

b;/ George W. Hill (Astronomical Papers Vol. I). •*) üak'ul des rariations se'o.daires des Clements des orbites par M. 0. C. C.a.ll.\.xdrf..vu (Annalcs de l'Observatoire

de Paris Vol. VXIII).

14 CHARLIKR, UNTERSrCHTTNG ÜBER JUPITERSTÖRUNOEN DES PLANETEN THETIS.

zwai* zu keine7- Anwendung, dagegen werden wir gelegentlich viele Bemerkungen und rntersuchungen in den besprochenen Abhandlungen uns zu Nutze machen').

Zunächst werden wir di(! Form von ( | etwas verändern, indem wir setzen

Uo -= r„ — r, cos2 N

(12) ''i = ^1 cos M , ^^ — 1^2 cos 2 N

I ;._ = Tj sin M, Ä, = 1\ sin 2 .V

mithin

(13) I j — y{^ — ia^ cos *' — 2>?i sin *' -|- 2^^ ^-^^^ ''*' H~ ^"^2 ^os *' sin *' .

(14)

^'^ = h\0 '"'"*'''*'

•^« = ^[(5) ^"'"*'^^*'

und führen dann mit Gauss statt i' eine neue Veränderliche T durch die Gleichungen

[H cos k — tt-\- u' sin T -\- a" cos T

(15) i/ sin *' = /:^ + ß' sin T + Z^" cos T

I // = / + / sin r+z" cos r

ein (wenn man Exponentialgrössen einfühi-t, so sieht man dass diese Substitution der Trans- formation zweiten Grades entspricht). Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, die Koefficienten

|v 2

« «' etc. so zu bestimmen, dass, nach Einführung von T statt «', 1 1 die folgende Form annimmt

(16) Ä*!'^) =i— L'sin'r— Z"cos'T.

Es wird sich zeigen, dass L, L und L" als die Wurzeln einer Gleichung dritten Grades dargestellt werden können, wo die Koefficienten rationale Funktionen von den :< und den ^ sind; um die L zu berechnen braucht man desshalb die Werthe von «, «' etc. nicht zu kennen.

Die Koefficienten «, « etc. sind einigen Bedingungen unterworfen, die von dem Transformationsproblem unabhängig sind. In der That folgt aus (15) die identische Gleichung

[« + «• sin r+ u" cos Tf + [H + ß' sin T + ß" cos TY — [y + /' sin T -\- y" cos T]' = 0 ,

wovon die folgenden H Bedingungsgleichungen hervorgehen*)

') In Comptes Reudus Aug. 1886 hat Halphen eiue Methode gegeben, die Integrale ohne Anwendung der

Gaussischen Substitution auf die Normalforra üu bringen. -) »Determinatio attractionin . . .» p. .3.3.5.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

15

(16*)

ß" -^ii" — r" = 1

««' -\- lifi —yy' = 0

««" + 1¥" — n' = 0

u'a' + /yyy — ;/;-" = 0

und mit Hülfe derselben wird erhalten

(17)

j — 1 =. (c[l cos *' + i^H %\x\ *' — yH \ sin T = ctH cos *' -\- ß'H sin *' — ;''// 1 cos T ^ fi"H cos t -\- /■»'"Hsin *' — j'"ir .

Diese Werthe vun sin T und cos Z" in (16) ingesetzt, indem wir gleichzeitig statt der linken Seite von (16) die rechte von (13) benutzen, geben uns die noch erforderlichen 6 Gleichungen zur Bestimmung der 12 Grössen «, «', «'; ß, ß, ß"; y, y', y"; L, L, L".

(18)

Lß^- — Lß- — Lir^ = h ' Ly^ — L'y- — L"f'' = :^, — h Laß — Lfc ß — L"c:"ß" — k., Lccy — L'd'y' — L'ti'y" =--- '\ Lßy— Lßy' — L'ß'y" ^ /,

Die Grösse /; in der drei ersten dieser Gleichungen bezeichnet eine Konstante, die beliebig gewählt wei'den kann: wir könnten zum Beispiel /; = 0 setzen, werden aber erst später über diese Grösse verfügen. Zur Bestimmung von L, L und L entnehmen wir mit Gauss der Gleicliungen (18) die folgenden di-ei

I

ebenso II

und III

Lcr — Z'«'- — L'a"- = '■la -\- h Laß — L'a'ß — L"ce"ß" = /^, Lciy — L'a'y" — L"ct"ß" == .y,

Lß' — Lß^ — L"ß"-' = h Lßce — L'ß'ci' — L'ß'a" — /.., Lßy — Lßy—L'irf-^k^

Ly- — L'y'- — L"y"^ =^ ;^„ — h Lya — L'y'a' — L'y'n" = ,y, l Lyß— L'y'ß — L"y"ß" ^ /,

Multipliciren wir jetzt die drei Gleichungen in der ersten Gruppe mit «, ß, — y, die der zweiten Gruppe mit />', a, — y, und endlich die Gleichungen III mit — /, a, ß, und legen dann die Resultate zusammen, indem wir aut die Bedingungsgleichuogen (16*) Rücksicht nehmen, so erfolg-t

16 CHARLIEK, UNTERSUCHUNG ÜBEK .TIPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

— Lu = «(2^„ + /t) + fi>-., — /'^,

— Ly = «^, + /?/., ~ /'(.^o - //) .

Da die Wn-the ('■ = /i = y — 0 nicht ziil;issi<r sind, so folgt hioi'aus

I /, ,X + /t, — /-, =0.

i ^, ,^-, ,/> — ;^., + //

Wenn wir auf analoge Weise verfahren, um uns eine Gleichung fi'ir L' zu ver- schaffen, so ergiebt sich für die Bestimmung desselben dieselbe Gleichung wie für L, und ebenso für L". L, L und L" sind also die drei Wurzeln einer und derselben (Tleichung dritten Grades

(19) j >'•., x + h, — ;., 1=0.

Aus dieser Gleichung wird eigentlich nur ,/-)-// bestimmt, wir sehen aber mit Hülfe

von (16) dass der Ausdruck für I |" unverändert bleibt, wenn L, L\ L" gleichzeitig mit

einer Konstante vermehr werden, und wir können daher, Avie schon fi'üher bemerkt, will- kührlich über h verfügen; es wäre zum Beispiel möglich h so zu bestimmen, dass (19) die Wurzel a: = 0 hatte; und also

W\f] =Z — L"cos^T.

Da diese Annahme aber keinen wirklichen Vortheil erbietet, setzen wir einfach A = 0, und erhalten also für x die (Tleichung

(-20)

oder

(21) .,(., + 2;.J(ar — ;.J+4r+'i>+2;^) — x;(x-^„)— 2^,/,;i, = .

Da man hier verlangt, dass nicht lun- ( die Form

H\'^\ = L — L sin 'T — U cos -T

annimmt, sondern auch dass fin- L, L und L" reele Werthe herauskommen sollen, so ist es nothwendig zu untersuchen, ob wirklich alle Wurzeln der Gleichung ("20) reell sind.

KONGL. SV. VKT. AKADEMIENS HANDLINGAB. BAN1> 22. N:ü 2.

17

Iti dem Problem, welches Gauss in »Detenm?iatin Attructionis etc.» behandelte, vei-eint'achte sich die Gleichung (21), so dass es ihm möglich wurde zu zeigen, dass in diesem Falle wirklich immer reelle Werthe für L, L' und L" herauskamen. In dem vorliegenden Falle ist dies aber nicht möglich zu beweisen. Eine Veränderung in der angewandten Me- thode wird jedoch zum Ziele führen.

8. Indem wir zu der Form (11) dei- zuuntersuchenden integrale zurückkehren, führen wir daselbst eine neue Veränderliche

(22) u =- *' — S

ein; wenn wir noch die P)ezeichnungen

(23)

V)enutzen, so wird (28)

?'= l

cos nudu

2jiJ [r„ — 2r, cos [u — M-\- .V] + r, cos 2u]'

sin niidu

M) 1 / Sin nudu

" ~2^J jT;'— 2r, cos [u — M+N]^

r^ cos 2m] '»

(7„ = cos nNI — sin nNI "

n n

Sn =^ COS 7iNI -j- sin nNI Dann wenden wir die Gaussische Substitution auf I und / an. Da nun

(-) = r„ — -ir, cos [u — M + xV] + r, cos 2w

ist, so zeigt uns eine Vergleichung mit (13) dass wir hier unsere früheren Resultate un- mittelbar benutzen können, wenn wir nur vertauschen

^0 gegen r„ — T,

i(^ » Tj cos {M — xV)

-i, .. Tj sin {M — N)

^2 » r^

K .. 0 ; wir bekommen also zur Bestimnung der neuen L, L und U statt (20) die neue Gleichung x-^ -ir^, 0, — /; cos (1/ — N) \

(24)

0, X, — Tj sin {M— iV^) = 0

r, cos (3/ — .V), f , sin [M— N), x — l], -f r„ I

oder

(25) x{x + 2r,) (w — /; + /;) + r^ '.,• + 2r, -r„ sin %i\f — N) =^ o,

was man auch unter der Form

r,'cos'iM-N) , < sin ^(i/-iV) ^ ^ ,p_^

schreiben kaiui.

K. Vet. Akad. Hamll. B. 22. N':o 2.

18 CHARLIEB. UNTERSUCHUNO ÜBEK .UTinTERSTÖRUNGEN UES PLANETEN THETIS.

Es hat nun keine Schwierigkeit zu zeigen, chiss die Wurzeln der Gleichung (25) wirklich alle reell sind, wenigstens unter der Voraussetzung, dass die Excentricitäten der Planetbahnen und ihre gegenseitige Neigung als kleine Grössen zu betrachten sind. Erstens zeigt das Zeichen des letzten Gliedes in (25), dass es immer eine reelle nicht positive Wurzel giebt; um die Grösse derselben wie die der übrigen Wurzeln zu bestimmen, stel- l.'u wir folgende Werthe zusammen {P bezeichnet die linke Seite in (25))

Pur X = — 2r„, ist P ^ — '^^i^^2 *-'"J'* '(^'-^ — ^^"'' mithin negativ

„ .v^- Ö " P-- 2r,2r^ sin =*(!/— .V) " positiv

„ x = h^o » P = negativ

» .V = r„ — Tg .) P == positiv.

Mithin ist es erwiesen, dass (25) drei reelle Wurzeln iiat, von denen eine negativ und ihrem numerischen Betrage nach kleiner als 2/2 ist: noii den zwei übrigen, die beide jto- sitiv sind, liegt die eine sehr nahe 0, die andere unterscheidet sich wenig von F^.

Es ist kaum nöthig zu erwähnen, dass jetzt

j H cos u = (i -\- u' sin T -\- cc" c-os T

(26) H sin n = ß-\- /i' sin T + ß" cos T

\H =/ + /'' sin T + /'" cos 2'

9. Aus diesen Gleichungen bekommt man

(27) Hdu = + dr ,

Tind dann

(3)

3/ • ^» ^ ^ \hä] ■ ^^" - [z-L'sin-^r-i;'cos^r]'A '

(IT

wo man das Zeichen plus nimmt, wenn -r- positiv ist, und minus, wenn dies nicht der ^ du

Fall ist; in beiden Fällen bekommt man

ffcos l/rt\', rfcos 1 H-dr

j UnH I3! ^^" ^ j Lsin'^l [Z^Z^in^rI-Z,"cos^r]^'

— n — -T

wo wir noch statt cos nu und sin nu die Ausdrücke (26) einzusetzen haben. Jetzt ist also

+ 71 (c) 1 /' cos nuH^dT

I

271 j [L —

L'sm'T—L"cos'TY/'

(,) __\^ C sin nuH^dT

" ~ 'inj [L — L sin ^T — U cos -r]'= "

— ,T

Indem \vir die Ausdrücke (26) für sin u und cos u berücksichtigen, sehen wir sogleich, dass, wenn n > 2, die obigen Integrale im Allgemeinen elliptische Integrale der

KONGL. SV. VET. AKADEMIEN8 HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

19

dritten Gattung werden; dagegen können wir für n<2 die Integrale auf die elliptisclicn Integrale der zwei ersten Gattungen zurückführen. Da ferner die drei Integrale

k

TdT

[['-	L'mn'T—rcos'Ty/^
+ n	sin TdT
	L' siu'T— L" cos 'TY^'
r"	sin 2' cos 2'dT

J[L — L sin 'T— L" cos 'T]V,

gleich Null sind, so ist es eitdeuchtend, dass für n < 2 alle Integrale dieselbe Form haben, nämlich

/ a cos '1 -\- b Sil

j[Z — rsin^r^^^z^

Wenn wir also die Bezeichnungen

a cos 'T -f- b sin "Z" [L — L sin 'T— L" cos^'^y/.

rfr.

(28)

einführen, so wird

(29)

J_ 1-

2nj[(i: — Z')si

cos ''TdT

)sin'r+[i> — r'jcos^r]'/^

+ 71

1 r sin ^TdT

±n J [{L — L) sin 'Z + (Z — Z") cos ^r]'/.

und wir brauchen nur die rf und a zu bestimmen. Aus (26) ergiebt sich zuer.st

(30)

0 ^Y' +;-', ff - ;-- +/-

0 0

,)^'^^ßy +/r/', o^'^^ßY +/?y

v(o)

J»)

0 ^. a" -\- cc ' a =^ er -|- « ^

_(/y^^ +/^'"), -(/^^' +/^'^)

<)•'*= 2(«p'4- a"ir), ff^*' = 2(«/^ + (t'/f) .

Die Werthe von y', y'^ etc.,' welche man braucht, um die rechten Seiten obiger Gleich- ungen durch r^, Tj, T^, L, L' und L" auszudrücken, lassen sich aus (18) tinter Berück-

20

CHAKMKK. UNTKHSUCIllJN«; ÜBEH .lUPITKRSTÖKUNGEN DES I'LANETEN THETIS.

siohtigiing von (16*) berechnen. Bezeichnen wir mit 1) das Produkt der Differenzen zwischen den Wurzehi von (24), so wird nach Einführung dieser Werthe

i>/''- L{-ir.. -f L')(L — /;•) — 2L"(2r., + L"){L — D + D 0 - '

Dff^;^= 2L'(2/; + L')(L — U) — L"(2r, + r){L — L)-^l>

DS['^^ r, cos (M— iV)[L'iL — L") — -lUiL - L')]

Dof= r, cos iV/— N)[2L'{L — L") — L"(Z. — L')]

DS^^^=. r, sin (M— .V)[2n + A )(^ — L") - 2(2/; + L"){L — L)]

WU r, sin {.\r— N)[2{2i\ + /;)(L — />") — (2/; + L'){l — L)

Dd

de)

+

+

{L-D

{L - L)

L\r,, — /; — H) — r sin Vi — N)(2 + ^)

- 2i"(r„ — r, — i') + 2r; sin -(;¥— .v)(2 + '

?/.■(/; - n - L') - 2r; sin '(M N){2 + ^')

- L"{r„ - r, - L") + r;sin ^(.l/ - N)(2 + ^^) Dj;_*'= rj sin 2{M— N)[L — U — 2(L — L')]

i)ff*;^= r sin 2{M— N)[2(L — L") - (L ~ L')\ D = (L - L')(L — L"){L - L") .

Die Entwickelung wird etwas übersichtlicher, wenn man, vermöge der Gleichungen

r, cos(>/— iV) , r^cofi{M-~N) , „ r^ cos {M—N) ,.

2/; + z •^' 2r„ + i' ^' 2r„4-x" '^

N)

r^ sin (M-N) r, sin(if-iV) ■ .„ ^ ^^ sin (if- x, ; , P I ■ ^ Z' ' L" '' ''

die man leicht aus (18) ableitet, alle die obigen Koefficienten durch j'*, y' "nd y'' aiis drückt.

Man findet dann

(31)

ä^'^=^r^cos\{M—y)

'*"= i;cos(i¥— .V)

/'

2r, + z "^ 2r3 + i"

L2r, + L ^ 2r, + rj

M Vergleiche Hill: »On 0'a«.s« Method etc.« p. 326.

KONGI.. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

d^'^^ r sin(3/— .V)

1 ' ^

21

(31)

a*^''= r, sin (J/ — jV)

()•*'=' =r' cos '(.¥—.V)

L' 1 '

— r\s,in-{M—N) o^'^ ^r cos '{M—N)

— r[ sin '{M — iV)

L, ^ L'

{2r,-{-Ly ' (2r, + r')

^2 -r J^n,

{2r,-\-Ly ' (2r,, + L')

/2

v + 1-

.]

z(2r,+x) ' z"(2r,+x

^y'—^ y- ]

z(2r,+i)^r(2r, +r)J

' - r sin 2{M— X)

S 1 ^

wo y*, /'^, j'"^ durch die Gleichungen

IDy" = mr, + L){L — L")

(31*) i)/"= = — Z"(2n + r')(X - L')

1 /^ =/ + /"^ + l bestimmt sind.

10. Nachdem die <)' und a berechnet sind, l)leibt uns luu- übrig die beiden Integrale F und Q (28) zu evahiiren, was vielleicht am schnellsten nach Gauss' Methode unter Anwendung des aritmetisch-geometrischen Mittels ausgeführt werden kann; gesetzt

► ird

hi

- L — L\

cos 'TdT

In J [in cos

[m^ cos 'T -f- n^ sin ^7" |''j sin -TdT

os'T+n'sin-ri'V

Berechnen wir nun successive

m = -(m + n) , n' = V?,

i" ^ -(m' 4" «') ) '*" = V«« V , u. s. f.

22 CHARMKU, LNTER8UCHUNG ÜBEK .lUPITERSTÖKUNÜKN DES PLANETEN THET[S.

dann

^ =^ —■, *• ^ — , ^ == —TT, etc. m ni m

und mit ,« die Grenze, der sich m, )n\ m" etc. [oder ?;, »', n" etc.] nähern, d. h. das aritmetisch-geometrische Mittel zwischen 7?; und n. verstehen, so ist')

^'^^' ^ 2mV ■ 2nV

Hinsichtlich der Berechnung der Wurzeln der Gleichung dritten Gi-ades (25) ist endlieh nur zu bemerken, dass dieselbe immer nach der trigonometrischen Methode, die man gewöhnlich benutzt, wenn alle Wurzeln reell sind, sehr bequem ausgeführt werden kann.

Wenn man nur beabsichtigt, die Störungen erster Ordnung in Bezug auf die Massen zu berechnen, so genügt es im Allgemeinen, die Glieder bis zur zweiten Ordnung inclusive in Bezug auf die Excentricität und die Neigung zu berücksichtigen. Alle für diesen Fall erforderlichen Ausdrücke sind also oben angegeben. \\'enn man aber die Störungen noch genauer berechnen will, so sind auch die Fälle zu untersuchen, wo man durch die Gaussische Transformation auf elliptische Integrale dritter Gattung geführt wird. Diese Untersuchung müssen vnr aber zu einer anderen Gelegenheit aufschieben.

Die Differentialgleichungen der Bewegung.

11. Da ausser den Störungsformeln für die von Hansen angenommenen Koordinaten auch die Formeln für die Störungen der elliptischen Elemente zur Anwendung kommen, führen wir um der Vollständigkeit willen eine Herleitung der angewandten Differential- gleichungen hier desto lieber an, als dieselbe sehr kurz ist.

Es mögen x, y, z die auf irgend ein festes Koordinaten-System, dessen Origo mit der Sonne zusammenfällt, bezogenen geradlinigen Koordinaten des gestörten Körpers sein, dessen Masse wir mit m bezeichnen. Die mit einem Striche bezeichneten Buchstaben seien dieselben Grössen in Bezug auf den störenden Körper, l^ die Einheitskraft

ft = /:-(l + ni)

T^ = X^ -^ ./ 4- --': ^= - U — xY 4- (y — y'Y + (2 — zf

1 _ .x-j;' + yy + zz

Q = 7

\-\-m

•) Gauss' Werke III. p. 35.5.

KONGL. SVENSKA VET. AKADEMIENS HANDLINGAK. BAND 22. N:0 2. 28

dann sind ,r, y, ^ durith das folgende iSystein von Differentialgleichungen bestimmt

d'x 1 ux <^ii

dt-' ~ r' ' ?x

'fl i •"! __ „^

dt "^ r' "' ?y

d'^z . fiz T^ii

dt^ + ^-^Tz-

Statt die Bewegung des Körpers auf ein festes Koordinaten-System zu beziehen, können wir ein solches benutzen, das selbst in Bewegung ist; stellen wir noch die Bedingung fest, dass in diesem bewegliehen Systeme die ersten Differentiale der auf dasselbe bezogenen Koordinaten allein von der Ortsveränderung des Planeten im Raum, und nicht von der Veränderung des Koordinatensystems abhängen, so zeigt es sich, dass es unendlich viele Koordinatensysteme dieser Art giebt, die aber alle den gemeinschaftlichen Charakter haben^ dass ihre Bewegung stets um den Radius vector als die augenblickliche Drehungsachse geschieht '). Wenn wir von diesen Systemen dasjenige wählen, dessen XY-Ebene stets die zwei auf einander folgenden Radien vectores des Planeten enthält^), so bekommen wir die Hansenschen Koordinaten, deren Differentialgleichungen

dt ^ r' ~"*"?Z

d'Y , uX dSi

dt^+r^^"?Y

ilcn zwei ersten voriger Seite ähnlich sind. Führen wir hier Polarkoordinaten ein

= r sm (•

bekommt man

dt'

(38) „,„,.

I dt ff

dt -= I,

die wir mit Hülfe der Lagrangeschen Methode der Variation der Konstanten integi'iren. Zunächst bekommt man

idv , — dr 1 /,« . , ,

') Diesen Satz findet man zuerst in einem Briefe von Jacobi an Hansen ausgesprochen (C. G. J. Jacobis

Mathematische Werke Band 11 p. 341), welcher Brief übrigens viele interessante Bemerkungen über die

Hansenschen Teorien enthält. '-) Wie benutzen die Gelegenheit um zu bemerken, dass man nicht unwesentliche Vortheile gewinnen könnte,

wenn man das Koordinatensj'steni, so wählte, dass die xy-Ebene durch den Radius vector so wohl des gestörten,

wie des störenden Körpers ging, ') In diesen wie in den folgenden Formeln ist es unnöthig die Bedeutung der Buchstaben zu erklären, da die

Bezeichnungen die in der Astronomie allgemein gebräuchlichen sind.

24 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITEKSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Wir erhalten rlaiiii aus (33)

(34)

dt' ~^Zv'

dr Wenn man den Ausdruck für - (luadrirt, und zu dem Resultate die folo;ende

tlt

1 1 = e~ cos ^{v — -i)

Gleichung

addirt, so bekommt man

;;(IT +(:--')'-'■

welche Gleichung durch Differentiation giebt

Indem wir jetzt bemerken dass (/ = i' — -i)

e^ sin y = e' — (^^ — 1

dp ^^ '2p dr d'r _ de dt ,u dt dt'- "~ "^^dt

iiiitliiu

/u\dt} wL \r '

fiUt' ' r\r

p _ r r a

[cos/ + cos*],

so bekommen wir aus (35) unter Berücksichtigung von (33) und (34)

de Die Gleichung

giebt

= \,up sin t^ \- cos t -+- cos *)- -X-

^ ■' Cr ■ r dv]

- — \ = e cos {v — n)

l dp de . , . ß:n

— f- =^ -r COS t -f- e sm t-r ' r dt dt ■' ' •' dt

d. h. unter Berücksichtigung der früher erhaltenen Werthe für -j- und —

— cos / sin/-^^ h (sin 7+1 — cos/ cos «)

es ist aber

9r

l — cos f CO?, t =

dv

a sin e r sin /

mithin

(37)

KONGL. SVENSKA VET. AK AnEMIP:NS HANDLINGAK. BAND 22. N:() 2. 25

dn ,—

12. Die drei Gleichungen (;M), (36; und (37j bestinnnen nun die \'anation der- jenigen Elemente, die wir für unseren Zweck zu kennen brauchen. Die obigen Gleichungen sind zuerst von Enckk gegeben ') und von ihm zur Berechnung dei- Variation der Ele- mente benutzt: wir werden dieselben anwenden um die Dift'erentialgleichungen der Hansen- schen Koordinaten darzustellen. Bezeichnen wir wie f'riiher mit r die wahre Länge in der beweglichen Bahnebene, mit r den wahren Radius vector; die Aufgabe sei zwei Grössen z und /' so zu bestimmen, dass ?• und r aus dem folgenden Systeme von Gleichungen sich berechnen lassen

(38)

"n- ~h f'd — * — «'y sin «

tan ',!i— ^„) -- \/Ü-^ tan U V 1 — «'o

p„

r = r(l-hi'),

wo wir mit ?;„, c,, etc. konftnntf^ Klcmente bezeichnen.

Es ist aber auch möglicli (liesi'll>eii /• und r aus den für die Zeit t oskulirenden Elementen ??, c etc. zu bestimmen und zwai- unter Anwenduiiiic der Gleichungen

nt +

(39)

tan \{v — 71) = \/^ ^^" '" *

1 V 1 — ''

- = 1 -f- f cos {v — n)

Indem wir nur die erste Potenz der störenden Kräfte berücksichtigen, d. h. »' und {z — t) wie kleine Grössen betrachten, deren Quadrate und liöhere Potenzen vernachlässigt werden können, ist es sehr leicht die Dift'erentialgleichungen zur Bestimmung von *' und c aufzustellen.

Untersuchen wir zuniichst die fiinktion r.

Wenn wir die l)ei(len (Tleichuiigen

^ - 1 -f (> cos (r — .^) r

^^= l-^,„oos(r-.^J

') Berliner :istr. Jahrbuoh 18:i)^ p. .SdO tV.

K. Vet. Akad. Haiiril. B. 22. N:o 2.

'2H CHARLIEK. UNTKRSUCHUNO CUEH .H'l'ITHK'STÖÜlJNGKN DES PLANETEN l'HETIS.

Miil i'inaiider dividirrn und zur Alikürzunu' setzen

P = p. -f 'V

e - ,/„ + r» n = n,| -|- <).7 , iiideui wir auf die (irleiclninu

?•

Urieksielit nehmen, (M'ludten wir :i\ii;('nlilieklicli

i)p r eos /., r sin / .,

~t de — e'''-i ,

P P i

oder, weiui wir die exceutrische Anomalie eintidncn.

(40)

P P l

<)/> cD.s 4 — e f sin * .,

^ p 1—''" VI—*'"-

Mfin bekommt aber, wenn man

- = l -\- e cos (r — n) r

nach allen eingehenden Orössen differentiirt,

1 dp ^de , . , dn

-~- = cos t T ~r sm te-^

r dt ■ dt ' ■' dt

und weim wir auf diese (jleicliung liücksicht nehmen, und (41) nach ••• ditt'ercntiiren, so

wird also

, ^, df . i>'e edn

(42) -7- == sin « 2 — cos B-

di- 1 — e- y'i

e

was die Diflerentialgleichun«' für ^ ist. W'ii- bemerken aber, dass man v ebenso wohl ohne Integration aus (41) b(u-echnen kann.

Ihn zu der Dift'erentialgleichung ff'n- z zu gelangen, setzen wir

z=^t+Sz datm wii'd erstens

dv _df _df (Iz dt ~~ dt ~ dz ' dt mithin

do dz _ ,1t dt df '

dz

KOMGL. SV. VET. AKADUMIENS HANDLINGAH. KAM) 22. N:() 2.

es ist aber

dv _ \fip df _ \, <'/>*„

dt ~ ?■* ' dz ~ r' '

also

dt ]/py ' -p

oflor, wenn wir den Ausdruek (40) f'üi- /' einführen,

dd: oder

dt ' i> j) p

(43) 'j' = — H + (c-os s — t)- , .+ .sin s - .

i/f p 1 — e- ]f\— e^

13. Da wir die Störungsfunktion und ihre partiellen Ableitungen in Reihen ent- wickeln werden, die naeh den ^"iclfachen der excentrischen Anomalie * fortschreiten, so wird e.s nothwendig, in den gegebenen Differentialausdrücken f- statt t wie die unab- hängige ^'eränderliche einzuführen. Gleichzeitig werden wir mittelst der (jleichung

lDi2 1 :\ii. c'sini :ii2

r Dr a\'\ —('■ 3* Vi _ e' ?'•

X mit -. ersetzen.

Setzen wir also in (34), (36) und (37)

7idt = -dt , a

fuhren da statt dp mittelst der Formel

da _ dj) 1 2edc a p 1 — e'

ein, so bekommen wir mit Anwendung der Gleichungen

cos <fi sin /' — e cos f sin « == sin *

cos (p cos f -\- e sin /sin * — <'()S (f cos i-

ohne Schwierigkeit die folgenden Differentialgleichungen zur Bestimmung der Kiemente a, e und n

28 CHAKLII'.K, rNTERSUCllUXG ÜßHK JllMTERSTÖRLNCKN DES l'LANETKN THETIS.

da , ,0i2

(/* CS

(44)

de r •. I ^ 1 1 T «^"^ I

- = r — ie -\- 2 Ciis f — \e cos 2'-Ja-- +

e-r — cos a:

cos y

(-2 + -4-)-

\ ' cos (f '

u f. — A ä" si" -*

'/ ' 'cos <f

1 *^ I

h ., + CI>S *

"cos -(f

i — , cos '>>■ 'cos (/

Ein Blick auf die (Ilcichungcn für äz und *' zeigt uns sogleich, dass die Ausdrücke für dieselben sich etwas vereinfachen, wenn man setzt

(45)

r =

l—e'

(46)

dt

dndz

dB

— f +i^y4- J'cosi + rsin*

(1 — e cos *) .

Wir bemerken noch, dass man '■ ohiie Integration lickommen kann, mit Anwendung der Gleichung

da

(47)

— (cos * — e)y — /" sin «

Zur Kontrolle dient die (xleicluniLr

dndz (da \, .

-r- = i '.e 1 — iy (1 — e cos «) .

dt ^' n ' '

14. Zum Schluss ein Paar Worte über die Störungen der Bahnebene. Wenn (f die Rotationsgeschwindigkeit um den Radius vector, Z eine gegen die augenblickliche Bahnebene senkrechte Richtung: bezeichnet so ist

n ^Si ^ cos (f oZ

Statt (f selbst berechnet Hansen dessen Komposanten längs der Knotenlinie und der in der Ebene der Bahn liegenden dagegen senkrechten Richtung, von welcher jene mit der Störung der Inklination, diese mit der Störung der Knotenlänge mit sin i raultiplicirt

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. X:0 2.

29

zusammenfällt. Die fraglichen Komposanten (mit cos i multiplicirt) bezeichnet Hansen mit den Buchstaben (/ und p, so dass nämlich

p = sin i . do) cos i q =^ äi cos i

Gewöhnlich hat man aber statt der obigen Elemente die Komposanten längs der Achsen der Planetenellipse benutzt, wobei man dieselbe Bezeichnung p und q für die Komposanten benutzt hat; die Formeln werden aber in diesem Falle einfacher; in der That wird

= (f sm / = sin / a

dp _ It

dq ,, n .

-r = <p cos / = cos / (ir

dt ^ ' '-

cosy

n cos (f

oder wenn * eingeführt wird

(48)

dp . ?i2

-r- = sin * ar rr— ds Ol-

\ dq . , dSi

cos <f ~ = (cos * — e) ar ^r— , \ ^ dt ' dr

V

und wenn man mit v die Breitenstörune bezeichnet und u == - . s setzt, so wird endlich

(49)

q cos (f . sin t — p (cos * — e)

15. Um alle Formeln, die sich auf die Differentialgleichungen der Störungen beziehen,

zusammenofestellt zu haben, füoen Avir noch die Ausdrücke für ü, -:r- und x-;;. hinzu ') ° '^ er cZ

(50)

ii2

Dß

.{^-m

'■(•

i^

{H)

b ^ ~ ^\^] " '"' 41') '"' *-^' + '''- + ^^^

(/) =^sin/(^) sin(/ + 7i')

*) Auseinandersetzung. I. p. 120.

30 CHARMER. INTERSrCHUNO ÜBF.K JlFrTKKSTÖRUNCiKX DKS PLANETEN THl.TIS.

Einführung des Gyldensclien Argumentes Ä,„.

16. Bekanntlich ist die Form, duirli welche Hanskn die Störungen endgültig niis- drückt, die folgende

F^y y [«. /■', rlcosiie — i'V,-{- \ \ [/, i\ .v] sin (i* — i"F) V = ,u{t — c) + c.

Da die obige Reihe nach den \'ielt'achen zweier Argumente t und F fortschreitet, die sich beide mit * verändern, so ist est sehr beschwerlich aus der obigen Reihe einen numerischen Wertli \on /' zu berechnen, der einem gewissen Werth von * entspricht;

hieraus entsteht die Nothwendigkeit die Störungen zu tabuliren. Wenn man aber . i'^'

" c: sin

nach den \'ielfachen von >■ entwickeln könnte, so würde F nach den Vielfachen von i- allein fortschreiten, in welchem Falle das Tabuliren im Allgemeinen gerade als unnöthig ei-achtet werden konnte, jedenfalls bei Weitem nicht so viel Ai'beit erfordern würde. Es war daher ein bedeutender Fortschritt, als Gylden 1868 nachwies, dass man sehr konvei'gente Reihen für cos, Mi und sin,«'- in dem Falle wo u irrational ist, finden kaini, wenn man sich nur auf Werthe von * beschränkt, die zwischen

71 71

in -f- ~ und m — ,

liegen, wo m eine beliebige ganze Zahl bedeutet.

Mit Hülfe dieser Reihen ist es jetzt möglicli. statt der obigen Form für F die fol- gende zu Vjekommen

(52) F= V V ['. i', c] ("OS {is — i"Ä'„,) -f V V [/, i, s] sin (« — iXn.)

wo

Xm — ," [mn — c] + (■'

wo also Xm unter einem halben Umlauf des Planeten konstant ist; statt (52) schreiben wir besser

(53) F = C*"^ 4- C^""* cos * + d"" cos -J^ + . . . + 5*"" sin * + -S""^ sin 2* + . . .

"12 IS

WO C , C , etc. für Vi -\- '>t<tn — ; absolute Konstanten sind. Während man mit Ol 2 2

Anwendung von (51) im Allgemeinen wenigstens 100 Glieder mitnehmen muss, sind in

(53) ungefähr 15 Glieder hinreichend. Für jeden der Koefficienten C bekommt man

die Form

KONGL. SV. VET. AKAOKMIENS HANDLINGAH. BAND 22. N:o 2. 31

( . — (j -f-ff COS A,„ -\- g cos iAm -j- . . . 4" ' '^i" -^m ~r " •'*i" '^^m + • • • und ciiiu jihnliche F"ormcI für N .

Bevor wir zur Bcstiimiuin<r von [/. /', ' , //„ and //„ als Funktionell von \i, i, ' 1

üliergehen, werden wir die Keihcn für sin ,u,v und cos nx herleiten. In einem Aufsatz in den Vei'handlungen der Akademie der Wissenschaften in Stockhohn \ hat der Verfasser eine allgemeine Methode gegeben, nach der man verschiedene Entwickelungen dieser Funk- tionen und anderer verwandten bekommen kann. In dem besprochenen Aufsatz (in dem Folgenden mit M bezeichnet) ist eine dieser Reihen für cos//a' und sin w.i' angegeben; wir bemerken aber dass, wenn wir dieselbe untt'r der Form

cos ittx

y Cm cos mx -\- y 2I)„ sin

schreiben, so nimmt iii alle ganzen Zahlwerthe an; es wäre natürlich \ ortheilhaft, solche Reihen zu haben, die nur die geraden oder nur die ungeraden Vielfachen des Winkels enthielten; dass dies in der That möglich ist, zeigen die Gyldenschen Reihen für die be- sprochenen Funktionen, da in diesen Reihen alle' Koefficienten mit geradem Index ver- schwinden.

Um zu diesen und ähnlichen Reihen zu kommen, werden wir zuerst eine Trans- formation von {M. 4) vornehmen. Wir gehen nicht wie dort von einer Reihe (il/. 1) für die zu untersuchende Funktion aus, die zwischen 0 und n (xültigkeit hat, sondern wollen

71 71

— - und -|- _^ als Grenzen des Gültigkeitsbereiches der Reihen") wählen. Die Ausdrücke für die Koefficienten in der Entwickelung sind leicht zu erhalten, und wir finden, dass jede

71 71

Funktion /(.r), die zwischen + ~ und — , die Grenzen inklusive, eindeutig und endlich

ist (und deren Maxima und Minima einander nicht unendlich nahe liegen), zwischen den genannten Grenzen mittelst der Formeln

(54) f{x) = iC„ + ^'i sin .r -\- C, cos 2x -\- t\ sin ?)X + . . .

(55) f{x) = D, cos ,;• + D, sin i>,/' + D, cos 3a.- + . . . darstellbar ist, wo ')

') Ell iiietod att föröka konvergenten hos en triijonometrisk serie. Öfversigt af Koiigl. Vetenskaps-Akadeiniens Förhandlingar 1^86. N:o 5; Übersetzt in Bulletin Astronom/qae pnblie par M. F. Tisserand. August 1886.

-) Dass diese Veränderung in dem jetztigen Falle nützlich ist, ist nicht schwer einzusehen. Wenn wir z. B. für cos i.i.r eine cosinus-Reihe aufsuchen, die zwischen O und /T gültig ist, so rauss dieselbe Reihe auch zwischen O und — .ecosfix darstellen, da cos i«,r eine gerade Funktion ist; suchen wir dagegen eine Reihe für dieselbe

Funktion zwischen den Grenzen + — und „, so wird dieselbe Reihe im Allgemeinen nicht cos jUx

ausser diesen Grenzen wiedergeben. ^) Vergleiche GYLüfeN: Relationer nullun coniner orh ainer for irnitioiiehi ciiikhtr p. .").

32 CHARI.TER, UNTKRSUCHUNO ÜBER Jl'PITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

(54*)

ivxdx

(55*)

^Cin =- jf{x)cofi2r

+ — |C2„+, = l/(.r)siri(2«+l).rr/.r

TT 2

-i)2n - l/(j) sin 2vxdx

2

T-Dan 4 1 =- |/(.r) cos (2n + \)xdx .

^'on diesen Reihen ist die erste (54) für alle Werthe gültig, die zwischen -\- - und — .^

liegen und auch für diese Grenzen selbst, dagegen gilt die letzte Reihe mir zn-ischen flen ijeiiannten Grenzen, wenn nicht

/tih'i-?)-»^

da aber die jetzt zu untersuchenden Funktionen diese Bedingung nicht erfüllen, und es bei Anwendungen für astronomische Zwecke von wesentlicher Bedeutung ist, dass die Reihen für die Grenzen selbst gelten, so werden wir uns nur mit der ersten Form (54) beschäf- tigen und dieselbe auf die EntAsäckelung von cos i(x und sin ,ux anwenden.

(56)

cos JUX TT sm ,u^	4^ 71	1 , cos 2x cos \x 2,„^'+2' — ,tt^ 4* — ,«'-■■■
sin ju^ COS «^	4,w n	sin x sin 3a; \y — fji^ 38_„2±---J

(57)

Da diese Reihen aber sehr schwach konvergiren, wenden wir auf dieselben das in ii/i?? Metod att förökn konvergensen etc.» angegebene Verfahren an, um uns mehr konver- gente Reihen zu verschaffen.

Wenn wir zuerst die i leihe für sin ^wo; ins Auge fassen, so müssen wir versuchen nach dem in der besprochenen Abhandlung aufgestellten Prinzipe, einige willkürliche Grossen ß^, ß^ etc. so zu bestimmen, dass die Entwickelung von

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 22. N:0 2. 33

Sin fix

n COS «IT

Z^ß^"'^ sin -h 27»

möglichst konvergent ausfällt. Da die fragliche Entwickelung nur die Sinus der ungeraden Vielfachen von x enthalten kann, setzen wir

(58) lil^ _ y 2/?<^' sin 2mx ^ V r/"' sin (2n + 1)^- COS (M-^ T^\ T^

mithin nach (54*)

2"2« + 1 - ^ ^^"|(2n + 1)' — «^ ~^Z^4m- — (2n ■-[- l)^j

oder, wenn

(59) (— lySmß^^ = Ym {m = l, 2 r) ,

« + ^^ W izl^— -^ V ^

(60)

2^«-i (2r2 + l)' — ,«' ' / .(2n4-n^— 49».-

[(2n + 1)^ — ,a^[(2n + 1)^— 2^ . . . [(2n + 1)= — 4rT

(60*) [{2n + lY - 4p']n'P) = [(2n + 1)^ - ,«^nC(2n + 1)^ - 4m'] .

Die Koefficienten / sollen nun so bestimmt werden, dass der Zähler in (60) sich auf eine Konstante reducirt; wir erhalten dann ein System von r linearen Gleichungen, welches wir mit Hülfe der Determinante {M. 13) auflösen. Der Werth von y, den wir so be- kommen, ist

*'n(i-a

(61) yp-i-i)"

1 ii_ \r — p \r-\-p

^ 4p2 ' '

mithin nach (59)

ir)

(62) K>-^

u n((i-£)

I ^ _Afl jr — in |r -j- m ■im-

Den Zähler in (60) können wir auf eine einfachere Form bringen. Das von m unabhängige Glied in H*''* ^ welches wir mit 0 bezeichnen, ist nach (60*), wenn p nicht gleich Null ist,

K. Vet. Akad. Hand.. B. 22. N:o 2. 5

34 CHAUMER, UNTEHSUCHUNG ÜBER JUPITERSTüRUNGKN DES PLANETEN THETIS.

0 4p

für [j gleich Null aber

n'

(_l)r ,. j^ 2^

Indem wir also den Zähler in (60) mit kuCAft) bezeichnen, unter k eine noch unbestimmte von ,« unabhängige Grösse verstehend, so wird

kuCr{/u)

iy22r.,

J_

,"'r,

Mittelst der Formel (61) sieht man aber augenblicklich ein, dass y^ eine ganze rationale Funktion von ," von dem Grade 2r — 1 ist, so dass die rechte Seite in dem obigen Aus- druck selbst eine ganze rationale Funktion von fi, und zwar höchstens von dem Grade 'Ir -\- 1 ist. Cr{u) also höchstens von dem Grade 2?'. Wenn man aber jn ^ + 2p {p — \, 2, . . . r) setzt, so verschwinden alle ;' ausser /;,, welche Grösse gleich ± 4p wird. Hieraus findet man

Cr{± 2p) - 0 ; (p = 1, 2, . . . r)

Da wir aber schon gezeigt haben, dass Cr(,") eine ganze rationale Funktion höchstens von dem Grade 2r ist, und wir von dieser Funktion 2?' einfache Nullstellen kennen, so muss Criß) eben von diesem Grade 2r sein. Wir sind nun berechtigt zu setzen

(63)

und dann wird

endlich nach (60) (64)

CAft) =

	u'	'	ir			,«']
1 -	~ 2^"	1 -	"?		i	~4?.

7:^2« + 1

k = (_!)'• + 12-'-+ '!?• ir ,

(— l)-- + ".uCrj/u)

22r + X 'r \r

(65)

Die Gleichungen (62) und (64) bestimmen also die Koefficienten in der Entwickelung y ßj sin (2?z -|- \)x -\- y iß "^^ sin •2mx .

sin fix

COSfl^

Auf vollkommen ähnliche Art kann aus (.56) die folgende Entwickelung für cos,M.r hergeleitet werden:

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLIXGAR. BAND. 22. N:0 2.

,S5

(G6)

cos sin

— - = 7 « ' cos 2/1^ + > 2/5 "^ cos (2m + l)x ,

^vo et und ß in ähnlicher Weise, wie « und ß , zusammenofesetzt sind.

h2 2m + 1 ' 2b + 1 2n' =

Durch Einführune: der Bezeichnungen

(67)

2i2n + 1 = ( 1 )'■ * "

22r + 2|,, U

n[(2?z+ir-4m^

2J2n

n Ir — n \r -\- n

(68)

»Sä« + 1 = cos ,«-«2« + 1

52„ = cos ,M-2Ä„

nehmen die Gleichungen (65) und (66) resp. endlich folgende Formen an

(69)

und

(70)

: ,UX = y S„ Si

bn = COS jU- ^ ^ ■ P«

£c.

COS ,Ma; = 7 t » cos 7ia; .

1 =0

19. Wir werden noch die Reihen für sin ,ux und cos^ä' aufstellen, die man durch Dift'erentiation oder Integration aus (69) und (70) erhält; nur müssen wir zuerst unter- suchen, ob es auch zulässig ist, jene Operationen mit den obigen Reihen vorzunehmen. Eine derartige Untersuchung zeigt uns, dass sowohl (69) wie (70) differentiirt und inte- grirt werden können, dass aber nur (69) bei der Integration eine neue trigonometrische Reihe giebt.

Durch Dift'erentiation bekommt man

36 CHARLIER, UNTEKSUCHUNO ÜBER .lUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

(71)

,u cos fix

(72)

iiiid durcli hitegration von (69)

(73)

— y nSn cos 71X

u = 1

,u sin fix = y nCn sin nx ,

_y.us.

cos f«x = S,. -\- y ' — - cos nx

Die Integrationskonstantc S„ bestimmen wir dadurch, dass wir x ^ - setzen, dann wird o - - u 2 ^

\ =^ cos fi~ — > ~z— = cos fi^ 1 — / ^P-^"

n = 1 |_ '1 = 1

und eine Diskussion dieser Gleichung zeigt uns leicht, dass ganz einfach (74) i'o = cos ,"^C,-(^) .

20. Durch die Kombination von einer Reihe für cos fix mit einer für sin fix, können wir eine Reihe für e'""" herleiten. Wenn wir an dieselbe diejenige Forderung stellen, die wir schon an die Entwiekelung für cos,«c« und sin fix gestellt haben, dass nämlich — von einer endlichen Zahl von Gliedern abgesehen, — entweder nur gerade oder nur ungerade Vielfachen des Winkels vorkommen sollen, so sind wir darauf beschränkt, entwed(>r (69) mit einer von der Reihen (71) und (73), oder (70) mit (72) zu kombiniren. Da aber die durch Differentiation erhaltenen (71) und (72) weniger konvergent als die übrigen sind, die Konvei'genz von (73) dagegen durch Integration vergrössert worden ist, so wird es am vortheilhaftesten, für die Entwiekelung von e'^" (69) und (73) anzuwenden. Schreiben wir diese Entwickehuiir unter der Form

(75)

so ist also

gV — 1|«Z

=£.,

V - mx

ffo = cos fl^Gr(fl)

		11
1	+
:		11 ft
1
		11

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 22. N:0 2. 37

Die eben erhaltene Reihe, w-ie auch (69) und (73), sind dieselben, die Gylden für die Entwickelung der betreffenden Funktionen aufgestellt hat. ')

Die rechte Seite von (75) stellt nur in dem Falle die Entwickelung von e'/'^ dar,

wenn x zwischen + - und : liegt. Setzen wir aber

2 '2

mithin statt (75)

(76) ßV"^."^ - e'""^V^T V(_ 1)"'"(>„(^V^^« ,

so erhalten wir eine Keihe, die für jeden beliebigen ^Yel■th von « gültig ist, wenn nur m

so gewählt wird, dass

n n '

-<e — m.T< + -.

21. Die Aufgabe, die wir uns im Anfange dieser Abtheilung gestellt haben: die Störungen von der Form (51) auf die Form (52) zu übertragen, ist jetzt nicht schwer zu lösen. Da

V — ,"(« — c) + c,

so giebt uns die Formel (76) zuerst

(77) e - V^=^' ^' = e - V^^-'a. V (_ ^^'^n g^y^ri„e

Am ^ .u{mn — c) -\- c.

mithin

(77*)

oder

(77**)

gV - i(.-. - i'v) ^ g- V - liX V^ (_ l)""'(>J^'''eV - m + n)e

cos {is — { V) - V( — l)'""ö^j\oS [{i-^7l)S—i'X,n]

sin (ii — i V) = V ( — iT^o'' sin [(/ + n)s — {XJj .

Diese Reihen, in (52) eingesetzt, führen auf die Form (53) über; die neuen Koefficienten \i, i\ ''} sind mit den alten durch die folgende Gleichung verbunden

(78) i'''';(=£^.-t'^';]'

wo

A. = (- lW'\

*) (69) und (7.3) sind gegeben in ^ Relationer mellan siner och cosiner etc.»; (75) findet man in tEn metod för den analytiska härledningen af de smä planeternas relativa störingan. Ofversigt af K. Vet. Akad. Handl. 1874, I.

88 CHARLIER, UNTERSVCHl'NG ÜBER JUPITERSTÖRLXGEX DES PLANETEN THETIS.

Da clk' Koofficieiitcii [/, i\ . fi'ii' m uvradc und für m luiiicmde verschiedi-ii siii<l.

inuss inau also zicei Rcilifii von der Form (53) berechnen; was zwar die lleelinun<i- etwas umständlicher macht, übrigens aber fast in keiner Hinsicht die Vortheile verkleinert, die man durch Einführung des Argumentes Xm gewinnt.

22. Die Einführung des Gvldenschen Argumentes kann entweder vor der Integra- tion oder nach derselben geschehen: wir werden die gegenseitigen Vorzüge und Nachtheile dieser beiden Verfahrungsarten auseinandersetzen. Unter /' eine beliebige Störungs- grösse verstehend, denken wir uns dieselbe durch die Hansensche Endforiuel

(79) di Z—/^ '-''"'

V --- fi(i- — <:•) + c'

dargestellt, und desgleichen auch unter der Form, die man durch Einführung des Argu- mentes Xm erhält

,80) f=£,|,-,,-,:l:;:„.-,.v,.).

Das Integral von (79) hat die Form und von (80)

/• = a, +^|/, i\ l\ _ Z (^* - ^'^'») '

wo C und Cm die Integrationskonstanten sind, deren letztere von m abhängig ist. Der Integrationsprozess geschieht scheinbar viel einfacher nach (80) als nach (79), indem wir bei Anwendung der ersteren Gleichung nur ganzzahlige Divisoren benutzen, wogegen in (79) fast alle Divisoi'en irrationale Zahlen sind. Hierzu kommt noch, dass bei der Inte- gration von (80) alle Glieder verkleinert, wenigstens nicht vergrössert werden, bei der Integration von (79) aber einige Glieder durch das Vorkommen kleiner Divisoren wesent- lich vergrössert in dem Integrale erscheinen. Man muss sich aber dann fragen: hat das Vorkommen solcher kleinen Divisoren auf die Integration von (80) gar keinen Einfluss? Eine Untersuchung zeigt uns, dass dieselben in Cm versteckt liegen; um die Frage näher zu erörtern setzen wir zuerst

/-£/■:'■ '■'+£■'■:'■'■'•

wo

äff

mithin

, - i{i, i', c} cos (is — iXm) ,

(81) /'•"- C+j/', i', c\smlie-{X'm]

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HAXDLIXGAR. BAND 22. N:0 2. ,39

und

(81*) /■;'' '^ = S^^' — [i, t, S} cos [iS — iXn,] ■

dann ist

c.^^[c;;:; '+<:;■•].

Beschäftigen wir uns ZAierst mit der Bestiinninng von C . . Wenn wir ??i gegen

in — 1 vertauschen, so gehen die Koefficienten [i, i\ c} in andere über (da dieselben für ni gerade und für in. ungerade verschieden sind), die wir [i, i\ c]^ nennen wollen, mithin wird dann

Ai, ■') ^ü^ ''1 '(» Wenn wir

(82) /^' '''= C;^:^^,+ U, i', c], sin [ü - iX^-,]

71 . .T

i = mn — - = [in — 1):^ -\- ^^

setzen, so müssen wir aus (82) denselben Werth für /' ' bekommen wie aus (81); mithin ist

C''' -\- [i, i, c\ sin [imn — i- — iXr,^ = C ._ -\- [i, i\ c]^ sin [imn — i- — iXm — \\ d. h. wenn wir den Werth von Xm berücksichtigen und die Bezeichnungen

jT, = i"(,«c — c) — i-

T - r. + iiin (i = {i — i'u ) n einführen,

&lll^— Cj'jl^,, = [i, i, c], sin [T, + m«] — [i, i, c] sin [T + ma] also

C;;'; ''l^- C|^; :2 „ - [i, i, c} sin [T, + (m - 1 )«] - {i. /', c], sin [T + {m - 1)«]

)der durch Addition

,('■, i') ^(i, i')

2)

+ 1^ i, c}.,[sin (T., + »kO — sin {T -\- m — 1)«)]

(83) Cj^-;' - Cj^^ ^, = |/, i\ c-|[sin (n + {m - 1)«) - sin (T + ;»«)]

In dieser Gleichung vertauschen wir m gegen m — 2, m — 4, etc. bis m = 2 (wir nehmen m gerade an = 2n), und erhalten daim, indem wir alle die so erhaltenen Gleich- . ungen addiren, mit Hülfe einer bekannten trigonometrischen Formel

(84) 6';;';'=C;';;V{t, i; c] iL^[sin(7;+n«)-sin(T+(n + l)«)]

+ {i, i', c}, ^ [sin {T, + (n + 1)«) - sin {T + n«)]

— Tn — a» (T— r ,7 —

^ — : - : — C(* T^-"

J^^ T-rr^

ant; 5i

-vjaisrr gaara. ^^nH sr^ -^RarEet Ar infepsii Qgrhimgsn ä

-imzi^efteii.

ji^r-iiiae ±Gn3ii

T

^xasssaxtsii "varsKasei;.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. NO 2.

41

muss man die Zahl p (vergleiche p. 6 Formel (4)) wählen, um diese Genauigkeit in der Entwickelung der negati\en Potenzen der Entfernung zu erreichen.

Es sind die Gleichungen (44), (46) und (50), welche uns die Lösung der ersteren dieser Aufgaben vermittehi. Bezeichne mit ff^ den grössten Fehler, der in clen Koefficien-

ten der Entwickehing von ,"l^) vorkommen darf, mit i\ den grössten Fehler, den </, in

den Störungen der mittleren Anomalie erzeugt.

Der grösste Faktor, mit welchem wl A multiplicirt werden kann, ist o; bei Ausfidi-

rung der doppelten Integration wird derselbe mit {i — ifi)' dividirt; mithin ist

[i-i^tY '

Wenn ')j gegeljen ist, wird also o\ nach dieser Formel berechnet; es ist natürlich beson- ders in solchen Fällen von Wichtigkeit &i zu berechnen, wo i — lu sehr klein ist; bei Thetis kommen Glieder vor, bei denen

1

i — m =^ — , 60'

und die Formel zeigt uns, dass die Fehler in solchen Gliedern iii,"(-i| bei der Integration 10800 Mal vergi'össert werden.

Keine Glieder in 1^1 werden durch eine solche doppelte Integration vergrössert;

nennt man den Fehler in .""1-^1 «^V.. i^t^ den grössten entsprechenden Fehler in der mitt- leren Anomalie d\, so zeigt uns eine ähnliche Discussion, dass wenn wir nur die Glieder langer Periode betrachten

,J-^1

d„ -

Nachdem wir also die grössten Fehler, die in den Koefficienten der Entwickelung von . und .| vorkommen dürfen, bestimmt haben, bleibt uns noch die zweite Unter- suchung übrig, niimlich zu bestimmen, wie gross man p wählen soll, wenn die Fehler in den besprochenen Koefficienten unter den Grenzen a^ und g„ liegen sollen.

24. Indem wir zu diesem Zwecke zu der früher gegebenen Entwickelung der Störungs- funktion zurückgehen, erinnern wir daran, dass die Koefficienten der Entwickelung (10) die Eigenschaft besassen, dass der n*' Koefficient alle Glieder von der n'^" Ordnung in Bezug auf die Excentricität enthielt. Wenn wir also von diesen Gliedern eine so grosse Anzahl n mitnehmen, dass das ?i'* Glied unter der Grenze g liegt, so müssen auch

K Vet. Akad. Handl. B. 22. N:o 2. o

40 CHAULIER, UNTERSUCHUNG ÜBER .ILPITEUSTÜHUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Auf ähnliche Weise erhält man

(85)

c-U, i') (.(i.'"), ,. ., 1 Sinn«. , . , , 1 , ,-,

[/, i, sl ^— [cos [T. + (« + 1 )«] - cos {T + na)] sin a

Die Konstantenbestininiung für »i ungerade ') geschieht ebenfalls ohne Schwierigkeit mit Hülfe der Gleichung (84); wir brauchen dieselbe nicht auszuführen.

Diese Gleichungen (84) und (85) lehren uns, welchen Eintluss die kleinen Divisoren auf die Konstantenbestimmung haben; wir brauchen uns nui' des Werthes für «

« = (i — i\it)^

zu erinnern, um die Analogie mit der Integration \ on (79) einzusehen. Wäre i — i/t exakt gleich Null, so würden die obigen Gleichungen die folgende Form haben

-,0', i) __ p(i, t')

c:::'^ &:::'+ nK.

S,' . = S,\ -\- nlis ,

(in) (o) ' ° '

wo -snr unter Kc und Ks zwei von n luiabhängige Konstanten verstehen.

Durch die eben gemachte Untersuchung sind wir also zu dem Resultate gekommen, dass die Schwiei-igkeit, die bei der Integration von (79) durch das Vorkommen kleiner Di- visoren auftritt, unter Anwendung der Form (80) zuerst bei Bestimmung der Integrations- konstanten zum Vorschein kommt; die Form (80) hat jedoch den Vortheil, dass die grossen Zahlen, die in (79) durch den Integrationsprozess erzeugt werden, und daselbst mit einem Cosinus oder sinus multiplicirt sind, in (80) dagegen in Konstanten vorkommen, die nur für jeden halben Umlauf des Planeten abgeändert werden müssen.

Wir halten es jedoch für bequemer das Gyldensche Argument erst nach der Intt' gration einzuführen, A\-ie dies auch bei der Berechnung der Thetis-Störungen geschehen ist.

über die bei den yerscliiedeneii Theilen einer Störungsrechnnng zn beo-

baclitende Genauiglieit.

23. Bevor wir zur numerischen Berechnung der Thetis-Störungen übergehen, wer- den wir einige Bemerkungen über die Genauigkeit vorausschicken, die man bei solchen Rechnungen überhaupt zu beobachten hat. Die Untersuchung wird in z^^•ei Theile zerfallen: 1) t ber die Genauigkeit, mit welcher man die Entwickelung der negativen un- geraden Potenzen der Entfernung zu kennen braucht, wenn die Fehler in den Störungs- aus'drücken unter einer gewissen im Voraus bestimmten Grenze liegen sollen; 2) Wie gross

') In »Grunddragen af en vietod för heräkningen af absoluta störingar, med hufvudsakligt afseende pä de smä planeternas banor». Bihaiig tili K. Svenska Vet Akad. Handl. 1874, p. 22* hat Gyldeii Ausdrücke für die Integrationskonstanten gegeben, doch uuter einer anderen Form als oben.

KONGL. SV. VET. AKADEMIEXS HAXDLINGAR. BAND 22. NO 2.

41

muss man die Zahl p (vergleiche p. <3 Formel (4)) wählen, um diese Genauigkeit in der Entwickelung der negativen Potenzen der Entfernung zu erreichen.

Es sind die Gleichungen (44), (46) und (50), welche uns die Lösung der ersteren dieser Aufgaben vermitteln. Bezeichne mit a^ den gi'össten Fehler, der in den Koefficien-

ten der Entwickelung von ," J \orkonimen darf, mit f', den grössten Fehler, den o'j in

den Störungen der mittleren Anomalie erzeugt.

Der grösste Faktor, mit welchem ,u\ A multiplicirt werden kann, ist o; bei Ausfüh"

rung der dopy^elten Integration wird derselbe mit {i — i,«)" dividirt; mithin ist

3

[i — iyY '

Wenn f), gegeben ist, wird also o^ nach dieser Formel berechnet: es ist natürlich beson- ders in solchen Fällen von Wichtigkeit a^ zu berechnen, wo i — iii sehr klein ist: bei Thetis kommen Glieder vor, bei denen

und die Formel zeigt uns, dass die Fehler in solchen Gliedern in/n^l bei der Integration 10800 Mal vergi-össert werden.

Keine Glieder in I .1 werden durch eine solche doppelte Integration vergrössert:

nennt man den Fehler in .««"(. a., und den gi'össten entsprechenden Fehler in der mitt-

lei'en Anomalie d-^, so zeigt uns eine ähnliche Discussion, dass wenn wir nur die Glieder langer Periode betrachten

()'..

t-il

Nachdem wir also die grössten Fehler, die in den Koefficienten der Entwickelung von . und I .1 vorkommen dürfen, bestimmt haben, bleibt uns noch die zweite Unter- suchung übrig, nämlich zu bestimmen, wie gross man p wählen soll, wenn die Fehler in den besprochenen Koefficienten unter den Grenzen ffj mid o„ liegen sollen.

24. Indem wir zu diesem Zwecke zu der früher gegebenen Entwickelung der Störungs- funktion zurückgehen, ei'innern wir daran, dass die Koefficienten der Entwickelung (10) die Eigenschaft besassen, dass der n*' Koefficient alle Glieder von der n'^" Ordnung in Bezug auf die Excentricität enthielt. Wenn wir also von diesen (jrliedern eine so grosse Anzahl n mitnehmen, dass das n'^ Glied unter der Grenze o liegt, so müssen auch

K Vet. Akad. Handl. B. -22. N':o 2. o

40 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER .(IPITEHSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Auf ähnliche Weise erhiilt man (85) 5;:;;'' = S|';;V {i, i\ s] ^^-f [cos (n + n.) - cos {T + {n + 1)«)]

- ['■ , i, s\ '^l^^ [cos [T, + (« + 1 )«] - cos {T + na)] .

Die Konstantenbestimmung lür in ungerade ') geschieht ebenfalls ohne .Schwierigkeit mit Hülfe der Gleichung (84); Avir brauchen dieselbe nicht auszuführen.

Diese Gleichungen (84) und (85) lehren uns, welchen Einfluss die kleinen Divisoren auf die Konstantenbestimmung haben; wir brauchen uns luxr des Werthes für «

a = (i — i\u)n

zu erinnern, um die Analogie mit der Integration \on (79) einzusehen. Wäre i — i,ii exakt gleich Null, so würden die obigen Gleichungen die folgende Form haben

(2n) (0) '

S,l ^ = S,' -\- nK, ,

{in) (0) '

WO wir unter Kc und lu zwei von n unabhängige Konstanten verstehen.

Durch die eben gemachte Untersuchung sind wir also zu dem Resultate gekommen, dass die Schwierigkeit, die bei der Integi-ation von (79) durch das Vorkommen kleiner Di- visoren auftritt, unter Anwendung der Form (80) zuerst bei Bestimmung der Integrations- konstanten zum Vorschein kommt; die Form (80) hat jedoch den Vortlieil, dass die grossen Zahlen, die in (79) durch den Integrationsprozess erzeugt werden, und daselbst mit einem Cosinus oder sinus multiplicirt sind, in (80) dagegen in Konstanten vorkommen, die nur für jeden halben Umlauf des Planeten abgeändert werden müssen.

Wir halten es jedoch für bequemer das Gyldensche Argument erst nach der Inte- gration einzuführen, -nie dies auch bei der Berechnung der Thetis-Störungen geschehen ist.

Über die bei den verschiedenen Tlieilen einer Störungsrechnnng zu beo- bachtende Genauigkeit.

23. Bevor wir zur numerischen Berechnung der Thetis-Störungen übergehen, wer- den wir einige Bemerkungen über die Genauigkeit vorausschicken, die man bei solchen Rechnungen überhaupt zu beobachten hat. Die Untersuchung wird in zwei Theilc zerfallen: 1) Über die Genauigkeit, mit welcher man die Entwickelung der negativen un- geraden Potenzen der Entfernung zu kennen braucht, wenn die Fehler in den Störungs- aus'drücken unter einer gewissen im Voraus bestimmten Grenze liegen sollen; 2) Wie gross

') In »Grunddragen af en metod för bernkningen af absoluta störingar, med hufvudsakligt afseende pä di- sma planeternas banor». Biliaiig tili K. Svenska Vet. Akad. Handl. 1874, p. 22 hat Gylden Ausdrücke für die Integrationskoustanten gegeben, doch unter einer anderen Form als oben.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. NO 2. 41

muss man die Zahl p (vergleiche p. 6 Formel (4)) wählen, um diese Genauigkeit in der Entwickelung der negati\en Potenzen der Entfernung zu erreichen.

Es sind die Gleichungen (44), (46) und (50), welche uns die Lösung der erstereii dieser Aufgaben vermitteln. Bezeichne mit o^ den gi'össten Fehler, der in den Koefficien-

ten der Entwickelung von I^A-zA vorkommen darf, mit f)'i den grössten Fehler, den o', in den Störungen der mittleren Anomalie erzeugt.

Der grösste Faktor, mit welchem ,«( .1 multiplicirt werden kann, ist o; bei Ausfüh- rung der doppelten Integration wird derselbe mit (i — ijn)' dividirt; mithin ist

3

\i — i\uY

Wenn i\ gegeben ist, wird also o^ nach dieser Foi-mel berechnet; es ist natürlich beson- ders in solchen Fällen von Wichtigkeit o^ zu berechnen, wo i — i/u sehr klein ist; bei Thetis kommen Glieder vor, bei denen

und die Formel zeigt uns, dass die Fehler in solchen Gliedern in/H^l bei der Integration 10800 Mal vergi'össert werden.

Keine Glieder in (^| werden durch eine solche doppelte Integration vergrössert;

nennt man den Fehler in ,««" -^ o". , und den grössten entsprechenden Fehler in der mitt- leren Anomalie c)^, so zeigt uns eine ähnliche Discussion, dass weini wii- nur die Glieder langer Periode betrachten

"•! — A 7, (}-, ■

i — i'it

Nachdem wir also die grössten Fehler, die in den Koetticienten der Entwickelung von . und . vorkommen dürfen, bestimmt haben, bleibt uns noch die zweite Unter- suchung übrig, nämlich zu bestimmen, wie gross man p wiihlen soll, wenn die Fehler in den besprochenen Koetficienten unter den Grenzen a^ und ö., liegen sollen.

24. Indem wir zu diesem Zwecke zu der früher gegebenen Entwickelung der Störungs- finiktion zurückgehen, erinnern wir daran, dass die Koefficienten der Entwickelung (10) die Eigenschaft besassen, dass der n'* Koefficient alle Glieder von der n'^" Ordnung in Bezug auf die Excentricität enthielt. Wenn wir also von diesen Gliedern eine so grosse Anzahl n mitnehmen, dass das n'« Glied unter der Grenze o liegt, so müssen auch

K Vet. Akad. Handl. B. 25. N:o 2. n

42 CHARLIER, ÜXTERSUCHUNG ÜBER .TUPITERSTÖKUNGEN DES PLANETEN THKTIS.

alle die folo-enden (rlieder, die veniaehltissigt sind, unter derselbe Grenze '*' fallen. Ge- setzt also

(86) l(jJ - ks[l\ — 2I\ eos {*' — M) + I, cos 2(i' — ^V)]-' ^ = V ^J*'*e^'^^"'' ,

so wei'den wir n so s'ross wählen dass

B = o

und dies für alle Werthe von *' — i- (da B eine Funktion von diesem Argumente ist).

Da die Koefticienten B elliptische Integrale sind, die man nicht leicht diskutieren

kann, so werden wir dieselben in Reihen entAvickeln, indem wir gleichzeitig einige ei'leich- ternde Veränderungen vornehmen. Da es nur von dem genäherten Werthe dieser Koefficienten die Rede ist, so bemerken wir zuerst, dass /"j, welche Grösse von der Ord- nung des Quadrates der Excentricität ist, in (86) vernachlässigt werden kann, so dass mithin

j '1^1' ^ [r„ _ 2r, cos (*' — iV)]-'- = = V ^r cos n(i' — N)

(87)		c;)	==[n	— 2
ist.	Schreiben	^vir
(88)
so wird mithin.	weil	;^< 1
		k	aV	= /•. ~-k.

ir^ -1.

ii'^'T U -1-^^ — 2;^ cos (6' — N)']-

' 0 J

wo h die schon fi'üher besprochenen Laplaceschen Koefficienten sind. Für diese Koef-

ficienten hat man bekanntlich folgende Reihenentwickelung

, ^(n) _ s . .9 -|- 2 . g -f 4 . . ■ g + 2n — 2 ,.J, , g(.s-|-2n) ^^ , ■'U - 2.4.6...2/Z • '^ r + 2M.(n + l)'' +

. s{ß H- 2) . (g -I- 2n)(g 4- 2n + 2). "^ 2M . 2 . (n -t- l)(n + 2) '

Diese Reihe können wir bei dieser Untersuchung auf ihr erstes Glied reduciren, und also nach (87) schreiben

+ ...

(89)

„(«) _ k, s.s-|-2.g-|-4...s-|-2n — 2

2 . 4 . 6 . . . 2n

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2. 43

wonach der ürössto Wertli \()n n — ?«,■ aus der Unoleichheit

ks s . s -}- 2 . s -{- 4 . . . s -\- 2ns — 2

(<'*^»*) r'^ ' 2.4.6

x"- < o

ohne Schwierigkeit bestimmt werden ivann. Man muss sich nur erinnern, dass ^ eine Funktion von *' — * ist, und dass man in (89*) den grössten Werth für ^ einsetzen soll. Nachdem iis aus (89*) bestimmt ist, so erhält man, wie aus (4) leicht hervorgeht,

(89**) 2^ = -Ins ,

welche Formel die Zahl p, bei Anwendung der Hansenschen Methode zur Entwickelung der Stöi'ingsfunktion, giebt. Die Lösung der Ungleichheit (89*) muss im Allgemeinen in der Weise geschehen, dass man für n« successive die Werthe 1, 2, 3 etc. einsetzt, bis man ein Resultat, das kleinei- als a ist, erhält. Eine obere Grenze für n«, d. h. auch für ;j, kann man etwas einfacher sich auf folgende Weise verschaffen. Nach der Formel Non Wallis ist bekanntlich

1 . 3 . . . 2?i — 1 _ 1 -

2 . 4 ... 2« y,"^

wo /> eine positive Grösse, die mit - ofes'en Null konvergirt, bezeichnet.

Wenn wir in (89*) s = 1 setzen, so sieht man also, dass wenn ?;, so gewählt ist, dass

so ist a fortiori

k, 1 . 3 . . . 2w. — 1

vT;. ^74:T^„^- «"'<"■

Aus (90) bekommt man also immer eine obere Grenze für «j ; die Bedingung (90) kann auch unter der Form

(90*) Hl log K \ log «j < log^Vr^TT

geschrieben werden ^).

') lu »Annalef de V Observatoire de Paris» Tome VII p. 189 hat Püiseux eine ähnliche Formel zur Bestim- mung von /) gegeben. Da er aber von Cauchys Form der Entwickelung ausgeht, so werden immer die Werthe von ;/, die aus seiner Formel folgen, zu gross, und lassen sich nur in dem Falle benutzen, wo es von der Berechnung eines einzigen Gliedes in der Störungsfunktion die Eede ist. Die Formel ist auch zu diesem Zwecke von ihm aufgestellt.

44 CHAKLIER. UNTERSUrHUX(; ÜBER .TUFITEK.STURUNGKN DES PLANETEN THETIS.

Für .s — o erhält intiii die analoge Formel

(91) n, log ^ + A log «3 < log - ~7^ " •

Tm Allgemeinen wählt man p zu gross. Wie wenig man in der That gewinnt, Avenn man die Zahl p vergrössert, kann man aus dem folgenden, numerischen Beispiel sehen. Es waren in der folgenden Rechnung folgende 16 Werthe einer Funktion F(w) eines gewissen Winkels (o gegeben, die für Werthe von w, die über den Umkreis gleichförmig vertheilt sind, gelten

— 0,58868,	0, 49744,	— 0,48463,	0,53369,
— 0,69924,	— 0,90.n?8,	— 1,14424,	1,37860,
1,56651,	1,6720S,	■ — 1,67560,	— 1,57915,
I,40i51,	1,1 8 433,	— 0,95443,	0,74722,

wo y (0) = — 0,58868, 1 1 1 = — 0,49744 etc. Hier ist also p = 16. Schreiben wir

8 I'(^J) = \Ci, -\- C] cos CO -\- C2 cos -loj -\- . . . -\- ,s, sin oj -\- .s^ sin 2o) -)-... , so geben die obigen Werthe von Y folgende Werthe für die Koefläcienten c und s

p -= 16

Co H 17,03531

Ci — -\- 3,90826 «1 == + 2,82625

Cg = 0,10291 s:.2 =^- 0,12289

C3 = -|- 0,00307 .«3 — -j- 0,00521

C4 = 0,00017 S^ = — 0,00042

0- — O,(J0n01 «5 — -|- 0,00069

Würde man aber nur 8 von den Werthen von 1 gekannt haben, und zwar diejenigen die

71

ft> = 0, CO ^=^ ~ etc. entsprechen, so wiirde man folgende Werthe derselben Koefficienten bekommen haben

Co",= 1 7,03554

Cj — -f- .^>, 90824 ,?, = -|- 2,82632

("., = 0,10282 S., ^ — 0,12292

Cj = -|- 0,00308 .S3 =- -|- 0,00512

C< == 0,00017 K^ — 0,00000

Der grösste Unterschied zwischen diesen Zahlen und den frühern beträgt nur 0,00042; und derselbe kommt nur in einem einzigen Koefficienten vor, nämlich s^, den

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANIJLINGAR. BAND. 22. N:o 2. 45

man, wenn }) gleich 8 ist, nicht bekommen kann. Wenn ein Fehler von 0,ooü42

zulässig ist, so gewinnt man mithin gar Nichts durch das Berechnen der Werthe l'lo) » r(f ) etc.

Bei der Berechnung der Thetis-Stöi'ungen ist es hinreichend, /> = 8 zu setzen, ausser

bei den Gliedern langer Periode, bei deren Berechnung es nothwendig ist, p den Werth 16 zu ertheilen.

46 CHARLIER, l'NTERSrCIIUNG ÜBER .lUPITERSTÖKl'NGEN DES PLANETEN THETIS.

Numerische Rechnung.

1.

Die foloeuden Elemente der Thetis, die den Störuno^si-echnunffeii zu (.Triinde o:ele<j:t sind, habe ich direkt aus dem Berliner Jahrhuch für das Jahr 1885 genommen, nachdem Herr Prof. Tietgen in Berlin giitigst dieselben hat untersuchen lassen, und liinreichend srenau gefunden.

@

Thetis.

Epoche und ( )skulat.ion 1883 Mars 14,u. Berl. M. Z. c ^ 280°. 27'. 26' ,2 71-= 262 . 27.30 ,5]

ö= 125 . 11. G ,5 Mittlere .Equin. und Kklipt. 1880,o. i= 5.36.39 6,) ^= 7 . 29. 3 ,0 log a — 0,:i'.)3ü7'.'.

Hierzu füge ich noch die \\'erthe von n und e

log n = 2,960398 log e = 9,1 1478.1.

Die Jupiterselemente sind den Leverriersc/ien Tafeln in »Annales de l'observatoire de Pari,s» Tome XII entnommen. Dabei sind die beiden grossen rngleichheiten langer Periode und die sekularen Glieder in den Jupiterstörungen berücksichtigt worden. Die Elemente sind für diselbe Epoche, wie die Thetis-Elemente l^erechnet, und auf dasselbe iEquinoctium reducii-t.

Jupiter.

Epoche und Oskulation 1883 Mars 14,o. Berl. M. Z. c = 75°. 24. 18 ,2 n ^ 12 . 46 . 49 ,o 1

Ö' -= 99 . 12. 4U ,0 Mittlere .Equin. und Ekhpt. I880.(i. i'= 1 . 18.35 ,o| y'= 2 .46. 52 ,9 log a = 0,7i()?5o

log n =^ 2,i7.is:is

log (' 8,ü8Ä'.tti3.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR, BAND 22. N:0 2. 47

Für die Jupitersmasse habe ich tolgeudeii Werth angewandt

1

m = .

1047,42

In Bezug auf diesen Werth mag Folgendes bemerkt werden. Nachdem der von Newton für die Jupitersmasse angenommene Werth V loe?» obgleich von Laplace bestätigt und eine grosse Wahrscheinlichkeit zugelegt'), durch die Untersuchungen von Airy, Encke, Bessel u. A. als unrichtig erkannt wurde, haben die neueren Bestimmungen alle viel grössere Wei'the gegeben, die um V1047 schwanken. Eine kleine Unsicherheit ist aber noch übrig, und zwar weichen besonders die Wei'the, die man aus den Planetenbeobachtungen bekommt, von einander ab; me aber Leverrier in seinen Untersuchungen über Saturn*) bemerkt, muss man indessen eine sehr lana:e Reihe ßeobaehtunofen haben, bevor man aus den Planeten- Störungen einen zuverlässigen Werth der störenden Masse bekommen kann. Desswegen habe ich einen mittleren Werth der mir bekannten Massenbestimmungen durch Beobachtungen

der Satelliten angfenommen.

renn in =	1	so ist nach
Airy	«2^ -	- 1046,77 Sat.	IV.	Gewicht 1.
Bessel		1047,88 4 Sat.			» 2.
Jacob		1047,5 4 Sat.	IV.		» 1.
Schur		1047,23 4 Sat.			2.

Mittel 1047,42

log ,"2|. = 3,02ül2l.

Aus den angegebenen Werthen von n und n, erhält man

n

fl = =- 0,327672. 72

Aus diesem Werthe geht es hervor, dass die kleinsten Divisoren niedriger Ordnung 1 — 3,", 2 — 6 ,ti etc. folgende Werthe haben:

1 3 ," -^ 0,016984

2 6 ,« = 0,033968

3 d lU — 0,05U952

Um die übrigen kleinen Divisoren zu entdecken, entwickeln wir ,u in Kettenbruch

1

3 + 1

2 + 1

1 + etc. Der nächste Divisoi', der sehr klein ist, ist also

und dann 1^- 58 ,a ^ - 0,ou50

58 — 177 u —- + 0,0025, die aber ohne Bedeutung sind.

') Exposition du sijstime dti Monde p. 228.

''■) Annales de l'observatoire de Paris Tome XII p. A. 69.

48 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER .U'PITEKSTÖIU'NGEN DES PLANETEN TIIETIS.

Mittelst der Gaussischen Gleichungen (H. 107) ^) finde ich

^ - 33°. 19'. 28, 5

•Z' - 7 . 22 . 43 ,5

/ - 4 . 28 . 13 ,6

// = 129 . 53 . 50

IT' = 240 . 14 . 41 ;

dann aus den Formeln

k cos K = cos / sin // , l\ sin K^ =^-- sin Tl

k sin K = cos ß , / j cos K.^ ^^ cos 1 cos W

4' = /^ cos (il— AT); B = /i-j sin (H— K,)

C'= k sin {TI—K) D' = k, cos (TI—K,)

A ^ A, B B cos y, C = C cos y, Z) cos y cos y

a ß =^ — .

a

K - - 240°. 10 . 10 log /,• -- 9,99900:1 K' = 240 . 19 . 11 log k, -= 9,990675

log A = 9,53.St)8:.'„ log B ~ 9,970970,,

log C — 9,9fi75it;,i log Z) =-- 9,538I9S„

log « - 0,323178.

Mit Hülfe dieser Grössen berechne ich weiter aus den Gleichungen

p sin P ^ 2«'- — 2(1 A

e

p cos P -Ice B V sin r = 2« C ü cos V — 2« Z).

sin W =^ p — iir

sin

IC cos IF -- f cos ( V — P) io\ sin W^ ^ ü sin {V — P)

//•j cos JFi ^^ 2ff" cos P.

e

i?i 1 +«■'' — ?«-<?-

y, - «'^ '

P - 129°. 37'. 19' log p -= 0,790550

V ~ 249 . 35 . 20 log v — 0,619885

ir= 119 . 49 . 21 log w -- 0,6?i79i

TFi = 120 . 14 . 24 log u; -=■ 0,6vio85

R^ = 5,11387 loo- Y_^ - 8,01SV8?.

') H. bedeutet Hansens: "Auseinatiderfetctini/ einer :ireckmässige;i Methode etc.».

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLIXGAR. BAND 22. N:0 2.

Endlich geben die Formeln

/sin {F— P) = IC sin (« + 11') — ep /cos (F — P) = w, cos (t + irj

D — R^ — 2ö cos s + e' cos ^« + ^y cos F

f

49

sin V

D

; <J' = tan Ai/'

.4 - Z) cos -!</' ; /?' =

sin ^AV'

cos ip

die folgenden Werthe von /', F, D, ()', ^4 luid ß^ für 8 Werthe von «, die gleichförmig über den Umkreis vertheilt sind.

Tab. I.

£	F—e	log/	logß	s	log -4	log^=
O	256°.i7'.07"	0.5+7154	0,710098	0,397978	0.646244	9,274605
45	260 .29 .32	0,607640	0,728541	0.457846	0,645891	9.42360"
9°	258.15.26	0,664836	0.750771	0,522026	0,646113	9.573559
'35	252.13.31	0,6954.55	0,764966	0>55934>	0,646746	9,658313
i8o	245 .00 .20	0,691058	0,762828	0,553850	0,646636	9,645892
225	239 .26 .25	0,649881	0,744491	0,504454	0,646031	9.533>8'
270	239 .c6 .30	0,583177	0,720523	0,432658	0,646003	9,362302
315	246 .24 .30	0,532299	0,706228	0,384532	0.646338	9.^39356

4.

Diese Zahlen habe ich einer doppelten Kontrolle unterworfen. Zunächst berechne ich die Grössen h, K etc. aus den folgenden Gleichungen (H. 149)

k sin Ä' ^ cos / sin n , Ic^ sin K\ = sin TI

k cos K = cos Tl k\ cos K\ =^ cos /cos 11

p sin P==2- — icck cos {n — K) e

p cos P — ict cos (pk^y^ sin {Jl' — K\)

V sin T^' = 2« cos ^'k' sin (IL' — K)

V cos F= 2« cos 5p cos (p'k\ cos (H' — K\)

w' sin TF' — p — 2- sin P

e

w cos TT" = v cos ( F — P) iv\ sin TT''j = v sin (F' — P) w . COS TT' , = 2- cos P

R'= 1 -f f,2_2e«;

K. Vet. Aka.l Handl. Bd -ja. X:o i. 7

50 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

welche geben

K^ 129°. 58. 58" K\ = 129 . 48 . 40 P'= 60.12.45 V ^ 110 . 15. 47 W - 49 . 55 . 35 W\^ 50.20.35

log U ■— 9,999221

log Ä; , = 9,999457

log p = 0,98555i

log V == 0,622920

log w' — 0,621799

log w\ = 0,021071 5,395.i7.

Mit Hülfe dieser Zahlen hal^e ich dann die Wevthe von

[^'

berechnet für die

Fälle, wo e' = 200° med * = 0°, 45° etc. gesetzt wird. Dabei kommen die folgenden (ileichuno;en zur Anwendung

/ sin {F — P) = W sin (*' + W) — e'p f cos (F — P) = W\ cos («' + W\)

'/\ = R — 2« V cos *' + ""e^ cos V -|- ef cos F

-j = y, —f cos (« — F) + e'' cos '«.

i

(jdeichzeitig habe ich, für dieselben Werthe von « und *, | — I aus der folgenden Gleichung hergeleitet

1-| = D — /" cos («■ — F') + i/. cos 2*'.

Die Resultate sind hier unten angegeben; die erste Zeile enthält die aus der letztern Formel erhaltenen Zahlen

'	0	45	90	135	180	225	270	315
.og(^r	0.502058 0,502062 — 4	0,808788 0.080X18	1,031202 1,031197 + 5	0,966955 0,966951 + 4	0,777367 0,776364 + 3	°-4537i5 0.453715 0	0,226047 0,226051 1 — 4
Kontrolle Diff	0,808786	0,980826

Da aber diese Kontrolle zur Entdeckung möglicher Fehler in den Grössen "P, */', /, Tl

. . . , /z4\^

und H nicht führen kann, so habe ich, für *' = 200° « — 45°, — auch nach den fol-

> a '

srenden Formeln berechnet

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

51

tan h- = cot [45° — i^] tan ht ; tan hv ~ cot [45° — h(f'] tan |s'

r = a(l — «cos *) u = 71 — ö -(- t' tan (i — ö) == tan u cos i

tan /? =^ sin (^ — 6) tan 2 X = r cos ß cos ^ y = r cos /? sin -i 2 = r sin ß

r = a(l — e' cos «) ?< = 71 — ö ~h v' tan (/ — 6) = tan w cos i

tan /?^ = sin {}• — 6) tan i X = r cos /?" cos ^' y' = ?■' cos ß sin A' 2' = r sin /?

j^-(x-^r+(y-.yr+(^--^'r

Diese Formeln geben

= 0,808790,

welche Zahl mit der früher erhaltenen übereinstimmt. Ich bin desswegen berechtigt anzunehmen, dass in der Bei'echnung von /, D, ^ etc. kein merklicher Fehler sich ein- sjeschlichen hat.

Ich setze nun

[1 + d' — 2d' cos {s — i^)] - ' = = ib^'^ + ^l!^ cos (*' — F) + b\'^ cos 2(* — F) + . . .

212 h

[1 + d' — -2dcos (*' — i?')] -'. = hbl'' -\- hl'^os {s' — F) + 6l'\'os iit' — F) + . . .

2 2 2

und berechne die Koefficienten / aus Runkles Tafeln in Smithsonian Contributions fo Knowledge Vol. IX, für die 8 in Tab. I erhaltenen Werthe von d.

Tab. II.

log d

%''

i	£ = 0	45	90	135	180	225	270	315
0	0.3>5SS'	0,326198	0.334991	0,340821	0,339904	0,332329	0,323242	0,318230 !
I	0,02778	0,03774-	0,05077	0,05966	0,05829	0,04693	0,03330	0,02579
z	9.90598	9,91710	993166	9,94160	9,94006	9,92736	9.91214	9.90377
3	9,828392	9.84.0107	9,855464	9,865960	9,864336	9.850934	9,834886	9,825066
4	9.7701	9.7834	9.7994	9,8101	9,8085	9.7946	9,7780	9,7690
5	9'7263	9.7386	9.7548	9.7658	9,7642	9,7500	9.7331	9.7238
6	9,6889	9.7014	9.7178	9,7292	9.7»74	9.7 '30	9,6958	9,6864
7	9.6570	9.6697	9.6863	9.6978	9,6959	9,6815	9,6640	9.6546
8	9,629	9.642	9,659	9.670	9,668	9.654	9.636	9,627
9	9,605	9,618	9.635	9.646	9-644	9,630	9,612	9,602

52 CHARLIEK, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Tab. Ul.

loff <r* - 'i'i '6'','

'	f = 0	45	90	135	180	225	270	315
o	0.31806	0,32350	0,33016	0,33441	0,33376	0,32826	0,32113	0,31694
I	0,46825	0,46526	0,46149	0,45902	0,45940	0.46260	0,46658	0,46886
2	0.55645	0,54980	0,5418g	0,53663	0,5374»	0,54420	0,55255	0,55727
3	0,618264	0,610338	0,600160	0,593341	0,595831	0,604596	0,614555	0,619851
4	0.6665	0-6575	0,6459	0,6381	0,6393	0,6493	0,6615	0,6683
5	0,7060	0,6963	0,6837	0,6751	0,6765	0,6874	0,7006	0,7080
6	0,7398	0,7291	0,7158	0,7069	0,7082	0,7>97	0,7338	0,7421
7	0,7684	0,7576	0,74H	0,7344	0,7359	0,7478	0,7624	0,7707
8	°.79+9	0,7831	0,7661	0,7589	0,7603	0,7727	0:7883	0,7975
9	0.8175	0,8056	0,7882	0,7808	0,7823	0,7950	0,8105	0,8202

Die Tafeln könnten etwas bequemer aufgestellt werden, so dass man z.B. unmittelbar

6'"' erhielte. Endlich muss bemerkt werden, dass die b,, für i = 6, 7, 8, 9 nicht in den

Runkleschen Tafeln in dem Falle, wo <)'<0.45, zu finden sind; ich habe desswegen ftir d' > 0,38 und < 0,45 durch Extrapolation eine 4-stellige Tafel für diese Koefficienten ent- worfen.

Setzen wir nun

-^^[D — /'cos («' — F)] - '/. = i/(i) sin 1 .' ^

cc m

sin

sin

p[D —/cos (£' — F)] - '^ - il/c)

^^[D —/cos («■ — F)] - ''. - i/(5), äin 1

und schreiben die Entwickelung von M'''^\ M^^^ und i/^"*' unter der Form

IM

"^ = V/?r' ^•'^ *'^*' " ^') {n^l, 3, 5),

3(1)

so werden (p. 9) /?. und ß. , aus den eben erhaltenen b, und 6, mittelst der folgenden

' ' 2 2

Gleichungen berechnet

KONGL. SV. VET. AKAPEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

53

^1 =

sin 1"

Wir bemerken noch, dass A sehr nahe konstant ist, was eine frühere Bemerkung (p. 9) bestätigt.

Die so erhaltenen Werthe von ß sind in den folgenden Tafeln enthalten

Tab. IV.

log/?

i	e = 0	45	90	135	180	225	270	315
0	1,387643	1,394467	1,403149	1,408662	1.407800	1,400528	'.39>455	1,386275
I	0,69573	0,76673	0,83663	0,87518	0,86958	0,81796	0,73766	0,67877
2	0.17379	0,30681	0,43520	0,50480	0,49474	0,40121	0,25265	0,1416g
3	9,696061	9,890533	0,076698	0,176832	0,162308	0,027599	9,811534	9,647907
4	9.*377	9,4946	9.7383	9,8687	9,8499	9,6741	9.3909	9,1767
5	8,7936	9,1104	9,4114	9,5721	9.5470	9.3323	8,9820	8,7165
6	8,3561	8,7340	9.0921	9,2831	9.2553	8,9981	8,5809	8,2640
7	7.9241	8,3630	8,7783	8,9993	8,9673	8,6694	8,1852	7,8171
8	7.496	7,996	8,468	8,720	8,683	8,345	7,794	7.374
9	7.072	7,632	8,162	8.443	8.403	8,023	7.405	6,934

Tab. T.

log/?

,(3)

.	e = 0	45	90	135	180	225	270	315
0	1,53604	1,59656	1,67491	1,72778	1,71958	1.65186	1,56972	1,52398
I	1,28608	1,39904	1,52393	1.60007	1,58862	1,48902	•.35'3i	1,26083
2	0,97370	1,14430	1,32202	1,42536	1,41004	>.27345	',07343	0,9341g
3	0,635819	0,865556	1,097988	1,229742	1.211839	1,036661	0,771581	0,581694
4	0,2839	0,5734	0,8614	1,0222	0.9987	0,7842	0,4547	0,2151
5	9.9233	0,2729	0,6169	0,8069	0,7793	0,5251	0,1299	9.8397
6	9.5569	9,9664	0,3667	0,5864	0,5544	0,2602	9.7993	9,4588 .
7	9,1814	9,6557	0,1100	0,3615	0.3255	9.99 '2	9,4640	9.0723
8	8,8117	9,3420	9,8524	0,1337	0,0933	9.7189	9,1261	8,6840
9	8,4342	9,0251	9,5922	9,9033	9.8587	9,4440	8,7844	8,2917

Um diese Werthe zu kontroUiren setze ich

s' — F^O,

54 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

dann wird:

JVj/(3) = V/f ',

deren rechte Seite aus den Tafeln IV und V, deren linke direkt berechnet werden muss. Tab. VI. Kontrolle.

	e = 0	45	90	135	18Ü	225	370	1 315
i^<"	I9",4.29	21,581	24.465	26,499	26,177	23,602	20,622	19,002
i3l"'	19 ,430	21.585	24.477	26,530	26,207	23,611	20,623	19,004
Dief.	— I	— 4	— 12	— 31	— 30	— 9	— I	— 2

Tab. VII.

Kontrolle.

	E = 0	45	90	135	180	225	270	315
i-^ß"'	53".6o	73.4>	106,71	"35.38	130,65	95.95	64,09	50.17
iV	53 62	73.5-	107,20	136,51	131,58	96,22	64,12	5°.'7 i
Di£f.	— 2	— 10	— 49	-1,13	-93	— S7	-3	-0

Die obigen Differenzen scheinen in einigen Fällen zu gi-oss zu sein; man bemerkt aber leicht, dass dieselben nicht einen Rechenfehler andeuten. In der That, da alle

a(n)

Koefficienten fi. positiv sind, so muss immer

Mr>^//."\

da man nämlich nur eine endliche Zahl von /^-Koefficienten berechnet hat. Daher kommt es, dass alle Differenzen in den obigen Tafeln negativ sind. Es ist leicht zu zeigen, dass alle die vorhandenen Differenzen ganz einfach dadurch erklärlich sind, dass wir nicht die

ß. für ^>9 berechnet haben. In der That ist es aus der Formel (8) ersichtlich, dass

Ä von derselben Ordnung wie d' ist; mithin ist annähernd

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS IIANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

55

Nach diesem genäherten Gesetze kann man die Koefficienten ßi», ßn etc. bei-echnen, und dadurch ein Urtheil über die Genauigkeit der Rechnung bekommen. So wird z. B. für s = 135" nach dieser Formel

ß\(, — 0",015

Ai = 0 ,009

/?]2 = 0 ,005

ßii = 0 ,003

/?i4 = 0 ,001

und die Summe dieser Glieder 0",033 ist, während Tab. VI eine Differenz von 0",03i gab. In derselben Weise kann man sich überzeugen, dass die übrigen Differenzen auf keinen Rechenfehler hindeuten.

Dass man wirklich die Werthe von ß _ mit Hülfe der p.

ß etc. nicht zu kennen braucht, habe ich

Nachdem die ß . und ß. mit Hülfe der Runkleschen Tafeln erhalten sind, be-

(5) .

rechne ich ß . mittelst der folgenden Gleichungen (H. 157)

3/

,(ä) a(5)

'"V-i)/C.

Tal). VIII.

log/?

(5)

'	, *=1	45	90	135	im	2-25	•-'70	315
0	1,80240	1,94852	2,13292	2.25492	2,23614	2,07917	1,88415	'.77280 1
I	1,69159	1,87013	2,07973	2,21313	2,19282	2,01997	".79331	'.653*5
2	1.49232	1,71841	1,96900	2,12202	2,09896	1,89883	1,62282	1,44177
3	1,24589	1,52518	1,82288	1,99971	'.97334	1,74083	1,40836	1,18191
4	0,9702	'-3054	'.6539	1,8644	1,8249	',5569	1,1649	0,8922
5	0,6746	1,1023	1,4678	1,6972	1,6633	1,359»	0,9044	0,5821
6	0,3644	0,8153	1,2700	J.5443	1,4662	I,I4»7	0,6251	0,2572
7	0,0423	0,6589	1,0615	1,3469	1,3050	0,9253	0,3415	9,9' 81
8	9.7268	0,2827	0,8510	1,2003	1,1078	0,6829	0,0318	9,5742

56 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERSTÖRÜNGEN DES PLANETEN THETIS.

Tal). IX. Kontrolle.

	e = 0	45	90	135	180	225	370 1	315
^/^l"	H7"4	250,0	459,3	681,4	638,0	385,0	198,2	132.'
i3f'"	148 ,c	249.7	469.5	70Z.3	66o,s	392.'	'99,3	132.+
Di£f.	— 0 ,6	+ 0.3	— 10,2	— 20,9	- ".5	- 7.«	— 1,1	-0,3

Ein paar kleinere Fehler werden durch die Kontrolle angedeutet; sie haben aber keine Bedeutung, da die Fehler in ß^^^ um ein Tausendstel verkleinert in l^j Obergehen.

Die Formel (p. 52)

4- -X

>i/u) =- V//;"' cos i(fc' — F)

schreiben wir nun unter der Form

iM^n) = V /öfj"' cos i{F— *) . cos i{i'— i) + V /?5"' sin i{F— *) sin /(«'— «). Setzen ^nr also

l, C I ^

so sieht man gleich, dass die F-Funktionen nur von « abhcängen. Ihre W'erthe für « — 0*, 45°, etc. bezeichnen wir mit F^, Fi,.. F.. Indem wir der Entwickelung von F die Form

F = \ i[cn cos ne -|- s« sin n*]

geben, so erhalten Avir mit Hülfe der Formel (3), zur Bestimmung der Koefficienten in dieser Entwickelung, die folgenden Gleichungen

B- =	Co + C,-\-C, +..
V^ 1 „ m	^1 + <-': + C9 + . .
2^-1. cos - =	Ci + Q+'^i„ + • •
V 1 1' rSn	^3 + t'5+Cli + --

KONGL. SV. A'ET. AKAUEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

57

£

}'• cos VTI

^^4+'0+0„ +

N ^r,. sin '— = .«j 4- 5-, + .<;, + . .

I

1 r Sin 4

Zi^^"" 4

4

0 = 2.., + 0 + s,, +

Wenn wir also berechtigt sind s^\ .«., etc., c^, c,. etc. gleich Null zu setzen, so können wir aus diesen Gleichungen die übrigen Koefficienten berechnen. Um diese Berechnung zu machen setzen wir

(0 . 4) - i; + i\ (s) - i; - \\

(1.5)^]-, + }; ü) ^Y,-Y„

(2 . 6) = i; + ]; (I) ^Y,-Y,

(3 . 7) == J; + }; (?) =Y,-Y-,

(0 . 2) - (0 . 4) + (2 . 6) (1 . 3) = (1 . 5) + (3 . 7) («) := (0 . 4) — (2 . 6) Ö) -(1.5)-(3.7); dann wird

■2{c, + 2cJ - (0 . 2) 2(r, + C3) - (S)

2(c„ — 2c,) -(1.3) 2(0i — 03) = [(i) — (3)] cos 45°

4c, = (0 . 4) — (2 . 6) 2(.*, + s.^ = [(i) + (4)] cos 45°

As, = (1 . 5) — (3.7) 2(.., — s,) - (i) .

Die Rechnung kaim am bequemsten nach dem folgenden Schema ausgeführt werden

y„		1', 1',	1,
i\		y> I'e	)';
(0.4)	(1	.5) 1	c, = (S)
(2.6)	(3	.7) 1	-'.=(.0
(0.2)
(1.3)
c„ = Summe
2c< = Diff.
(J)		(il	(?)
I» cos 45		(?'	S cos 45
c, = Summe		D = Diff.	.., = Summe
Cj = Diff.		S = Summe	»3 = — Diff.
log n
		log .S

K. Vet. Akad. Handl.

58

CHARLIEH, UXTERSUCHUXG ÜBER .TUPITHRSTOIUNGEN DES l'LANETEX THETLS.

Die Rechnung ist eine sein- ange.nehne, und erfordert nur einige .Minuten. Mit An-

Avendung dieses Schemas hal)e ich für die Koefficienten in der Entwickelung der verschie- den V folgende ^^'(■^Tll(■ erhalten.

Tab. X. -!/•''

r

yii)

Y

i-r

y.

+ I9g,"83i9 — l7",oi8

— 2 ,3i68| + 1,33601 + 3 ,903! + 2.822 + 0,0575 — 0,0120 — 0,102 — 0,109

— O ,00301 — 0,0082 + O ,002 1 + 0,004 + O ,0033 O.ooco o ,000 ; 0,000

— 45 ',886

+ 3 '777 — 4.06O

— O ,123 + 0,091 j -r O ,006 4- O ,005 ] 0,000 j + O ,011

-•3 ,355 I

+ ' .367 I -3.3»! + 0,411 — 0,015

o ,000

0,000

O ,002

0,000

n",4So ,

3 .392 —0.989

O ,416 — 0,010

o ,016 — 0,005

O ,ooO 0,C00

0 1 2 3 4	yd) -^ 3, c	yd) -i-d) ^3.3 ■' 4, c	n?.	yd)
_	0 ..	c	«	e .s
+ 6'', 12 706 — 2 ,12281 + 0 ,39466 — 0 ,03067 -i- 0 ,00241	+ 0,10545 — 0,18856 + 0,02369 0,00000	+ 3 '.39075 + 0 .«6 — 0 ,02841 -^ 2,04069 + 0 ,404 0 ,19387 ; 0,39254 0 ,262 + 0 ,02343 + 0.03093 -1- 0 ,040 — 0 ,00044 0,00000 — 0 ,004	+ 1.031 — O.Z34 + 0,011 0,000	— 2",886 + I ,090 — 0 ,234 + 0 ,020 — 0 ,001	l".220 — 0,437 + 0 ,463 + 0,258 — 0 ,085 0,047 — 0 ,003 0,000 + 0 ,003	— 0,408 + 0,227 -0,050 . 0,000 1

	n?.	1 yd) yO) Y^^^ y<"
	c	\ '
0 I z 3 4	vs 0 N »n 0 1 ir 1 q q "o 0 0 0 0 + 1 + 1 +	— 0,448 )- 0,087 + 0,012 0,000	+ 0",2837 - 0 ,2787 T 0 ,1614 — 0 ,0391 + 0 ,0025	0,1311 + 0,0005 + 0,0063 0,0000	- o",46o6 -0 .1533 — 0 ,0004 + 0 ,0181 — 0 ,0047	-r 0",145 1 + 0,2782 j — 0 ,023 + 0,157 — 0,1556 1 — 0 ,034 —0,089 + 0,0382 + 0 ,023 + 0,021 0,0000 — 0 ,006 0,000	— 0",i9o j + 0 ,161 — 0,018 1 — 0 ,089 + 0,033 [ + 0 ,021 — 0,022 i — 0 ,002 0,000 1

		51?.		n:\			yd) ■'s, c		i-';,\
	:	.'	c	.'		<•	•'	.-
0		0' ,105		0",03.		_	4.	0 ,004		+	0 ,049
I	+	0 ,077	—	0,022 , —	0 ,019	—	0,079	—	0 ,023 ' -	0,034	—	0 ,034 ' +	0,022
2	—	0 ,042	+	0,03. ~	0 .037	+	0,042	+	0 ,006 1 +	0,016	+	0 ,015 —	O.0Z8
3	+	0 ,011	+	0,022	0 ,021	—	0,009	—	0 ,015 !	0,000		0 ,000 , -r	0,014
4	+	0 ,002		0,000 +	0 ,006		0,000	+	0 ,004 1	0,000	-	0 .00. ,	0,000

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLIKGAR. BAND. 22. N:u 2.

59

Tab. XI.

3/(3)

	A-(3) U.c		^•(3) ■'l.c		y^.'s	J-(3)	1 y(3) 1
	c 1	»		c \	»	c	c s	c	* 1
o	+	1 342",428		-8". 565		— 2ii".786	- 99".484	- 85".;-9	^^
I	—	36 .0.4	+	20,533		23 .398 -	9.452'	r 32 ,671 — 27,149	+ 16 .455 —27,754	— 30 ,263	-3.989
2	+	2 .353	—	2.49«	—	2 .638 —	0.365	— ' -935 + 3361	— 0 ,029 + 5,261	+ 5 ,215	— OSio
3	-	0 ,128	+	0,181	+	0 ,212 —	0,006	- 0 ,081 — 0,259	— 0 ,107 — 0,448	— 0 ,463	- 0,151
4	+	0 ,011	0,000		0 ,013	0,000.	— 0 ,012 0,000	+ 0 ,009 0.000	+ 0 ,025	0,000

0	^•(3) S.e	l-(3>	y<3) ' i.c		J-(3)		K'^c
c s	i c sc .<	0 1	. 1	c	s
+ 63",303i5 - 34",95844	_l_	r,753!	_	-38'-.. 3 5	_	— 19' .-61
I	-25 ,.761.	+ 3,18886 |— 2 ,45062	+ 2I.57567 +	4 .7141 -t	13.413	+ 16 ,148 —	6,807	+ 8 ,353	— 6,948
2	+ 5 .44347	— 2,836141— 2 ,48465	— 5,26611 —	4 .005 —	3.580	- 3 .702 -	4127	- ' .594	+ 4,107
3	— 0 ,59623	+ 0,53906 + 0 ,53118	+ 0,55181 +	0 ,956 -	0.345	+ 0 ,346 —	0929	— 0 ,053	— 1,040
4	+ 0 ,05552	0,00000 — 0,04325	O.ooocc —	0 ,113	0.000	— 0 ,010	0,000	+ 0 ,053	0.000

	Yll		\-(3)		J-(3)	rl	1 )	Y[	}
	c 1	s		c	«	c l s	c 1	s	' !	s
0	+	4".27;		5".5ii		8'. 828		- 3".235	__.	- 4 '.250
I	-	6 ,2851 —	6.687	-	5 -388 —	2.397 -	3 .299	+ 5-363	— 0 ,674	+ 3-459	- 3 -622	- 0,274
z	+	4 .227] +	1,516	*	3 .206 --	0.053 +	0 ,018	- 3.206	— 0 ,767 ■	— 2,060	— 2 ,064	+ 0.780
3	—	0 .9>7 +	0,045	—	0 .914 -r	0.413 +	0 .425	-1- 0,861	+ 0 ,604	+ 0.543	-r 0 .542	-0.546
4	+	0 ,226	0,000	+	0 ,148	0,000 —	0 ,130	0,000	- 0 ,174	0,000	— 0 ,069	—

0 I 2 3 4	y(S)	T-(3)	1 y-(3) 1 y(3)
c s	c »	c sie s
— 2",583 + 2 ,066 — I ,086 + 0 ,220 + 0 ,003	■ - o".So3 -^ O'.dSi — 0,527 — 0 ,366; — 1,905 — 0 ,603 + 0,951 + 0 ,950!+ 1,075 + 0 ,809 — 0,533 — 0 ,600 — 0.239 — 0 .465 0.000 + 0 .177 0 000 ^ 0 ,134	--^- . r.;6+ — 0,908 j — 1 ,005 + 0,434 ' ■*" 0 ,429 — 0,034 + 0 ,013 0.000 — 0 ,058	+ 0,657 - 0,803 ~ 0,407 0,000

«0

CHARLIE R. UNTERSUCHUNG ÜBER .lUl'lTERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

.1/'^'

o	V-(ä) O.c	y(5)	y(5)		ifl		y(5)	1
c s	c	- ^ !	s	c		s	c 1	'
H 89,-'.9	-367',2 —	— 720". 0		-427".5		+ 368,2	.
I	— 2l6 ,2 1 + 122,3	+ 105 ,7 ' + 13,9 ;	- 186 .+ -	-iil,^	^ 108 ,2 1 —	136,.	— 158,8	- 3.. !
2	+ 2J ,2 1 - 30,5	— 21 ,2 + 2,4	- 18 .1	33.5	- 3 ,> +	38.8	+ 36,4	— «0,8
3	- 1 ,4 , + 3.9	+ 2 .7 — l,,o	+ 0 ,7 1 -	- 4.5	— I ,8 1 -	5.»	- 5.0	+ 2.9 1
4	0 ,0 0 ,0	— 0 .3 0,0	0 ,0	0,0	- 0.5 '	0.0	~ 0,5	0,0 1

0 I 2 3 4	y<-^;, Yf,	Kl	>fl	yf^
c s c \ s	s	,:	c »
+ 33'"-9 — 152 .7 + 38 ,2 - 5 .3 + 0 ,2	+ 3', 3 - 23.5 + 5.7 0,0	- •83'-. - 30 .0 - >5 .5 + 8 ,0 — 0 ,9	+ «11,3 — 36,6 — 0,0	— 36'.. + 24 ,7 + 80,9 — 28 ,9 — 26,5 + 9 -3 + 3.' — I .6 0,0	- 238",7 + «'4 .3 — 28 ,2 + z ,1 + 0 ,6	- 5i,3 ^ 341 - 9.7 0,0	— 143,6 + 67,0 ' -53.7 - '4.0 ' - 33.4 — 0.3 - 10,4 - l.i 0,0

0 I 2 3 4	■5'(ä) ^5. J	y(ö) 1 y-(ä)	i1!'c ^t".
. ! .	c 1 . c ! .	c s c 1 »
- 29 .2 — - 45 - — 46 .6 — 44,9 — 45 .4 .- 32 ,7 ^11,0 - 28 ,4 — 9 ,7 - 0,1 — 8 .2 — 2 ,0 0,0 - I ,1	- 74"-. - 32"-c - 16.7 - 3' .; - 45.4 -7-2 — 1,1 - 0 ,4 — 30,0 ' — 7 ,2 ^ 4,' + 5 .5 ^ 9.4 ' + 5 ,8 0,0 ; — 2 ,3 0,0 — 2 ,5	^ 31.8 - 34 .6 + 1,3 — 19,0 — 20 ,0 + 8,2 + 6,4 - 5 .4 — 5.5 1 — 0 ,9 0,0 1

0 1 3 4	-^z yz
c ' . 0 1 .-.
- 27",7 i " 9''.: + 22 ,3 — 6,9 — ■ 2 ,5 — 11 ,3 + 11,4 1 + 10 ,0 + I .3 - 6,7 j - 7 .3 + 0 ,7 , 0,0 1 + 2 ,6	- '9-5 + H.7 - 3.3 0,0

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. X:0 2.

61

Es ist nicht schwer, eine Kontrolle für diese Rechnungen zu finden; wir werden aber zuerst die obigen Entwickelangen in eine andere Eorm transformiren, bemerken nur verläufig, dass die Kleinheit des letzten Gliedes c^ schon eine Garantie für die Richtigkeit des Resultates ist.

9.

Nachdem wir also für Vc und Ys die Entwickelung nacli den Vielfachen von * er- halten haben, nämlich

i . 0 ' I . 1

r"^ =. ^c^''^'" + &"['' COS i + C;"^" cos 2t + . . . + C' "■' ^in ^ + u"/ sin 2* + . . .

An)

,,(•') ■

-.(n).

= i5 +5 cos * + .S cos 2?: + . . . + 6^ sin * + .S. sin 2i -|- ...

1 . C -1.0 ' i . 1 ' i . S ' ' ( . 1 ' I . 2

so bringen wir den Ausdruck für M^"^ \x 5(3, auf die folgende für Rechnung beguemere Form

.)/(«) = V V 6',-^ ,. cos (ii — ü') + / / '^V, ,■ sin (/* — i't') ,

wo i und i' ganze Zahlen sind, von denen i' nie negativ wird. Die Reihen, die ich so erhielt, sind in den folgenden Tafeln enthalten.

Tal).	XIII.
C, l'		.1/(1)			JiC3)			J/(5>
		,..:,..	sin.		n.s.		,in.	oös. sin.
0 — 0	_	I99",g3i9		_	}342".428			+	I895.9
I — o	—	2 ,3168		+ 1.3360	—	36 ,014	+	ZO.533	—	216,2	+ 122,3
2 — 0	4-	0 ,057		— 0,012	+	2 .53	—	2,49	+	23,2	- 30.5
3 — c	—	0 ,003		— 0,008	—	0 .13	+	0,18	—	'.4	+ 3.9
— 2 — I		—		+	0 ■+:	—	0,07	+	7r.	- 0,3
— I — I	—	0 .'93	+ 0,231	—	6 ,00	+	2.30	—	54.6	- 15.7
O — I	+	7 -963	— 0,599	+	50 .55	-	42.12	+	238,8	— 200,3
1 - I	—	17 ,018	+ 45,886	-	78 ,56	+	211,79	—	267,2	+ 720,0
2 — I	—	0 :I57	— °.955	—	3 .75	—	23,22	—	27,4	-172,5
3—1	—	0 ,011	+ 0,01 +	+	0 ,72	+	'•57	+	'2,3	+ 20,5
4-«		—		—	0 .05	—	0.09	—	1,8	- 1.7
— I — 2	+	0 ,016	+ 0,031	—	0 ,26	^	0,91	-	4.7	-f 10,1
0 — 2	-r	0 ,0,6 i	— 0,827	+	0 ,-8	—	10,47	—	7.7	- 75.*
1 —2	+	2 .356	+ 6,7.3	+	20 .44	+	58,01	+	105.,	-r 294,9
2 — 2	—	13 .355	-11,480	-	99 .48	-	85,58	-	427.5	— 368,2
3 — 2	+	0 ,378	+' 0,070	-	12 ,46	'	2,5.	+	111,3	+ 22,7
4-2		i	j	-	0 ,84	+	0,05	—	"3.9	+ 2,4

6-2 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBKR .lUriTERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THI.Tl.S.

'-■	Mo>	.!/<=>		M	(0)
COS.		C03.	sin.	COS.	sin.
0-3	— o",o6i6o	— 0,047 ' 2-	— I", 14804	— 1,07024	- 10,4	- >3.7
•-3	+ 0 ,78710	+ 0,38243	+ 10 ,70958	+ 5.3"79	+ 74.8	+ 39.0
2-3	— 4 .16350	— 0,07704	-46 ,75.78	— 0,72924	— 264,0	— 1.3
3-3	- 6 ..2-,	-3.39°-	+ 63 ,303	-34.958	+ 33 '.9	-183,2
4-3	— 0 ,0821	+ 0,1339	— 3 ,600	+ 5,648	- 4'-4	+ 61,3
S-3	- 0 ,0021	+ 0,0053	^ 0 ^177	- °.3 5»	+ 1,6	- 8,0
1-4	+ 0 ,08:-	-0,03:	+ 1 .88	— 0,69	^ J9.0	— 5.2
2-4	— 0 ,520	+ 0,468	- 8 ,,3	- 7.28	— 63,0	+ 54-7
3-4	+ 0 ,841	— 2,121	+ II ,52	-Z9>56	+ 76.0	— «95-J
4-4	+ 0 .436	+ 2,886	"*■ 5 ^75	; + 38,13	+ 36.0	+ 2.38.7
5-4	-0 ,033	— 0,059	— 2 .09	! - 2.-3	— 26,6	- 33-4
6-4	— 0 ,011	— 0,009	+ 0 ,12	+ 0,12
- — 5	-c ,015	+ 0,100		- 1.96	- 0.4	+ 20,0
3-5	— 0 ,172	— °=454	- 3 -"	- 8,33	— 24,5	- 66,0
4-S	+ 0 ,911	+ 0,808	+ «5 .04	+ '3.^3	+ 111,8	-i- 100,2
5-5	— I ,220	— 0,252	— 19 -76	— 4.27	- "43.6	- 29,2
6-5	-r 0 ,015	— 0,008	+ I ,67	— 0,66	+ 22,1	— 7.'
7 — 5			— 0 .08	— 0,12
3-6	— 0 ,077	- 0.024	I w75	— 0,838	- 17.6	- 9.6
4-6	+ 0 ,31-	0.000	-i- 6 ,412	— 0,071	+ 58,+	+ 0,7
5-6	-0 ,557	+ 0,284	- «0 :75>	+ 5.696	- 9°.8	+ 48.2
6-6	+ 0 ,28+	— 0,461	+ 5 o-'>	— 8,828	+ 45.7	— 74.»
7-6	0 ,000	+ 0.022	— 0 ,025	+ 0,902	0,0	+ 14,8
4-7	+ 0 ,045	— 0,042	- I ,.5	— 1,08	+ 11,3	- 11,8
5-7	— 0 ,067	+ 0,178	— ' -55	+ 4.1=	— '5.+	+ 39.0
6-7	— 0 ,04.1	— 0.318	— ° -95	- 7.08	- 8,5	- 66,4
7 — 7	+ 0 ,145	+ 0,190	+ 3 ,^3	+ 4-23	+ 32.0	+ 39.0
8-7	— 0 ,04.1	— 0.004	— 0 ,40	— 0,16	- 5.9	— 2,8
5-8	0 ,020	— °.04)	- 0 ,46	+ 1,-3	+ 4,6	+ 14.0
6-8	— 0 ,084	— 0,068	— 2 ,16	— 1.90	- 23.0	- 2' +
7-8	+ 0 ,156	+ 0,041	+ 3 .97	-i- 0,89	+ 41,8	+ 9-4
8-8	— 0 ,105	-r 0.031	- 2 ,58	+ 0,80	— 27.7	- 9.7
9-8	0 ,002	— 0,003	4- 0 .16	— 0,16		—
6-9	— 0 ,029	0,000	- 0 ,97	— 0.02
7-9	+ 0 ,034	— 0,031	+ I ,61	— 0,86
8-9	— 0 ,04s	+ 0.068	— I ,26	+ I.9>		—
9-9	+ 0 ,004	— 0,049	+ 0 ,08	- 1.36		—

KONGL. SV. VET. AKADEMIEXS HANDLINGAK. BAND 22. X:0 2.

^:i

Eine sehr gute Kontrolle, so wohl der letzten Transformation, wie der ganzen mechanischen (^\adratur (d. h. der Tafeln X, XI, XII) wird gewonnen, indem wir aus der obigen Tafel XIII für t = 0 Ji^'», .1/(3) und ^l/'s) berechnen, was einfach dadurch geschieht, dass wir die Summe der Zahlen in jeder Abtheilung [d. h. die Summe aller (rlieder mit demselben Index i'] nehmen; die so erhaltene Reihe

J/(") =. „^^ -)- a, cos (— >■') + a, cos (— 2^') + . . . -^ h^ sin (— *') + b., sin (— 2»:') + . . .

muss mit derjenigen identisch sein, welche man erhält, wenn man in

M(n) ^ y 4//"^ cos i{k' — J^

* = 0 setzt; (1. ii. wir haben

(ti =■ 8/^. cos iF b,=^ — 8//"' sin iF

wo F ^ 256". 17'. 07" (Tab. I), und die Z^." aus den Tafeln IV, X, VIII zu nehmen sind.

Tab. XIV.

i -= 0.

-i'		J./<	)	Ji(3)	37(5)
cns.	sin.	ros. ' sin.		cos.		sin.
o	+ -	'95".307		+ 1Z74",85		-f	i507".o
I	—	9 ,406	+ 38,57«	- 36 ,57	+ i5o,3>	—	92 ,7	-f	38>.4
2	—	10 .589	— 5,4-93	-- 66 ,86	- 34.62	—	222 ,0	—	"3.3
3	■ +	2 ,608	— 29,933	+ 22 ,65	- 26.13	-f	92 ,5	-	105,9
4	+	0 ,800	+ '.>34	+ 8 ,93	+ 12,43	+	4< .4	+	59.6
5	—	0 ,470	+ 0,194	- 6 ,26	+ 1,69	—	34 .6	+	18,0
6	—	0 ,033	— 0.178	- 0 ,63	- 3.H	—	4 .3	—	20,1
7	+	0 ,044	-f 0,022	+ I ,48	+ 0,03	+	'3 ,5	-	3.0
8	—	0 ,015	+ 0,042	- 0 ,,5	+ 0,76	—	4 .3	f	".7
9	—	0 ,058	— C,OI2	- 0 .54	- 0,33			-

und mit Hiilfe der Tafeln I, IV, V, VIII bekommt man zur Konti'olle:

64 CHAKLIER, CNTER.SUCHUNC, ÜBER .rUPITERSTüRlNGEN DES PLANETEN THETIS.

Tab. XV.

Kontrolle.

MW	itf(3)		M	5)
-'■'		,.OS.	.„.		.:...	.in.		eos.	sl„.
o	+ .	>95'.514		^	iZ74".87		+	i507".^
1	—	9 .413	+ 38,568	—	36 .65 j	+ 150.17	-	93 -2	+ 382,0
z	—	10 ,592 1	- 5.496	"	66,83 '	— .34-6°	—	220 ,0	-'I4.4
3	+	2 .61+	- 29,922	+	22 ,76	— 26,04	-	92 ,8	-- 106,4
4	+	0 .792	+ 1.136	+	8 ,88	+ 12.57	+	43 .^	+ 60,8
5	—	0 ,4.64 ;	+ 0,184.	—	6 ,04	- 1,22	—	35 .^	+ ■ 13,6
6	—	0 ,024 '	— 0,180	—	0 ,38	— 2.86	—	2 .4	— 18,4
7	+	0 ,06+ j	+ 0,008	+	I .20	+ 0,13	-r	8 ,8	+ 0,8
8	-	0 ,ooS	+ 0,024	-	0 ,18	+ 0,48	-	I ,6	+ 4.0
9	—	0 ,058	— 0,008	—	0, .8	— 0,12			,

Da ich nur eine Genauigkeit von einer Bogensekunde in den Ausdrücken für die Störungen beabsichtige, so ist diese Übereinstimmung eine sehr befi'iedigende. Die Diffe- renzen zwischen den Zahlen in Tab. Xl\ und XV entstehen übrigens nicht aus Rechen- fehlern, sondern kommen von den in XIII vernachlässjoteii Gliedern.

10.

Aus J/'*', M^^\ J/'-^* erhält man die negativen Potenzen des Abstandes zwischen den Planeten durch die folsendcn Formeln

^il

Jl

.!/('>— -p^ cos 2t' . .¥(3) 4«

,t/^f,^j^j ^ .1/(3) _ ^ COS 2t'i/(»i , oder durch Zahlen ausgedrückt

^ /^j = 3j(i) — 0,u(.ü-.'iM 2 cos 26' . i/(''

"il) ^ ^^^'^ ~ 0,00088? 2 cos 21-'. 1/(5^ .

Die zweiten Glieder dieser Gleichungen können nicht sehr gross werden. Ihre höchsten Werthe betragen nur 0" .101 und 0" . 790 resp., und kommen bei dem Argumente — 2s' vor. Die Ausführung der obigen Multiplikationen habe ich mit Hülfe der Crelleschen Tafel ofemacht.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HAN0LINGAU. BAND

22. N:(> 2.

65

Tab. XVI.

0 — o

1 — o

2 — O

3-0

-2 —

- 1 —

3-

4 —

1 2 j

2 — 2 3-2

4-2

■1—3

0-3 1-3 2-3 3-3 4-3 5-3

0-4 1-4

2—4

3 -4

4 — 4 5-4 6-4

— 2 ,3229 + O ,086

— O ,007

O ,000

— O ,169

-t 7 .948

— 17 ,019

— O ,144

— o ,030 O ,000

O ,000

— o ,085

-r 2 ,366

— '3 .353

+ ° .375

O ,000

O .0068

— O .07672

T o ,81033

— 4 .16236 6 ,1277

— o ,086

+ 1,3186 + 0,014

0,000 + 0,296

— 6,611 + 45,8»7

— °>955 + 0,004

0,000

0,000

— 0,827 + 6,719

— 11,481

+ 0,079 0,000

— 0.0002 + 0,06473 + 0,32011

— 0,0707

— 3.3««7 + 0,130

0	,081	— 0,048
0	.490	- 0,494
0	,838	— 2.121
0	.434	+ 2,886
0	,033	- 0,059

+ 5342" -41 5

— 36 ,106 + 2 .730

— o ,226

+ o .49

— 5 -76 + 50 ,25

— 78 ,58

— 3 .5^ + ° .43

— o .01

— o ,07

— O ,01

+ 20 ,61

— 99 .44 + «2 .39

— o ,87 + O ,156

- 1 ,3588

+ '° .9454

— 46 ,7^74 + 63 ,3140

— 3 .70

O ,^3 « .79

7 .75

11 ,44 5 .7> 2 ,01 O ,08

+ 20,282

— 2,167 + 0,161

— 0,23 + 2.93

— 42,29

+ 211,77

— 23,22 + 1.73

— 0,14

+ 1,02

— 10.47 + 57.91

— 85,60 + 2,68

— 0,16

+ 0,083

— 0,8935 + 4,6852

— 0.5936

— 34.9' 82 + 5.56

— 0,32

+ 0,13 ; — 0,95 j + 7,60

— 29.57 ! + 38.>3

+ 0.'9

3 — 4- 5- 6-

7-

1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6 7-6

4-7 l-l 6-7 7-7 8-7

5-8 6-8

6-9 7 — 9 8-9

9-9

0,001 I -T- 0,100

— 0, 1 9 1 j — 0,444

+ 0,911 ; + 0,808

I,220

+ 0,015 0,000

-0,252

- 0,008

0,000

0,000 ! 0,0c o + 0,013 ' + 0,007 — 0,08 1 I — 0,0 1 5

+ 0,315

-0,557

+ 0,284

0,000

0,000

— 0,061

— 0,041

— 0,011 + 0,284

— 0,461

H- 0,022

0.000 + 0,178

— 0,318

+ 0,13

— 3.40 + 15.07

— 19.77 + 1,67

— 0,11

— 0,05 + 0,33

— 1,84 + 6,38

— 10.73 + 5.53

— 0,06

+ i.os

— 1,42

— 0,97

1.96

+ 0,145	+	0,190	+ 3.^3
— 004I	—	0,004	— 0,40
0,000		0,000	+ 0,54
0,000		0,000	— 2,20
+ 0,156	+	0,041	+ 3.97

— 0,105 + 0,031 I — 2,58

— 0,002 -0,003 I "*" 0,16

0,000 ! 0,000 — 0,97

0,000 ! 0,000 I + 1,61

— 0,045 +0,068 j — 1,26 + 0.004 I — 0,049 ' + 0,08

	8,17
+	I3.>9
-	4.30
—	0,60 1
-	0.16
—	0,03 1
-f	0,20 1
-	0,67
—	0,28
+	5.7»
—	8,8 1
+	0,90
—	1.17
+	4.' 5
—	7.08
+	4.5'3
—	0.16 1
+	1.09 1
—	1.83
+	0,89
+	0,80
—	0,16
—	0,0»
-	0,86
+	1,9«
	1,36

In dieser Tafel .sind alle (rlieder mit autgenoinmeii, die grösser als eine halbe Bogen- sekunde sind, oder die nach der Integration diesen Werth erreichen können. Um diese letztere Bedingung erfüllen zu können, bin ich genöthigt gewesen einige Glieder, die man durch die vorige Kechnung nicht bekommt, besonders zu berechnen. Diese Glieder sind diejenigen, die den Argumenten — '^ — 3*', « — 6*'. 2* — 6«' entsprechen.

K. Vet. Akad. Haiidl. B. 22. N:o 2. "

6fi

CHARLIER, UNTERSUCH UNO ÜBER JUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

11.

Um die partiellen Ableitungen der Störungsfunktion zu erhalten, rauss jetzt ,««"(^1 Tnit den folgenden Faktoren niultiplieirt werden

F.

l^

sin 1

„ sm lir \ . " \al

deren Entwickeluugen nach den V^ielfachen von * und a' die folgende Form haben F^ = [9,587/.33] + [8,iC7iü] 2 COS * -f- L6,f>8i)]„ 2 cos 2* +

-|- [S, 384(13] 2 cos ( — *') + [6,469] 2 COS ( — 2s') F., = [7,l93-j] + [8,?(Mii7]„ 2 cos (— 6') -f [7,!i628] 2 sin (— *') ,

wo die eingeklammerten Zahlen I.ogaritmen sind.

Die Ilesultate dieser »mechanischen» Multiplikationen theile ich hier nicht mit; dagegen werde ich die Kontrolle für die Rechnung niederschreiben. Diese wurde der Art angestellt, dass dieselbe! Multiplikation mit denjenigen Reihen ausgeführt wurde, die man für « = 0 erhält, und die man aus Tafel XVI durch Addition der Zahlen in den verschiedenen Ab- theilunofen bekommt.

Taf. XVII.

i --^ 0

		F,Xfia^	{IJ		Kontrolle.	"	f\x.ua	■(i)'		Konirolle.
si„.	sin.		COS.	sin.		CO». sin.
0	+	,Il6',o6		+	,Il6".oo		+	U".4°		+	H".4i	i
I	—	20 ,32	+ 63,30	-	20 ,29	+ 63,27	-	3 .75	+ 3.93	-	3 .75	- 3.93
2	—	27 .44	— "7.49	—	27 .50	— 17,4'	—	I .4';	— 2.61	—	I ,48	— 2,61
3	+	10 ,82	— IO,2o	+	10 .72	- 10,26	-	I .4.	-0,34	+	■ .38	— 0,36
4	+	3 •41	+ 5,80	^	3 .4"	- 5.71	+	0 ,03	+ 0.68	-r	0 ,02	+ 0,66
S	—	2 .76	+ 0,61	—	2 ,80	+ 0.66	_	0 .26	— 0,08	—	0 .32	— 0,04
6	-	0 ,04	- '-74	—	0 .20	— 1.73	+	0 .09	— 0,09	+	0 ,05	-0,11
7	+	0 ,83	+ 0.16	+	0 .82	+ 0,15		0 .02	+ °!07	^	0 ,04	+ 0,06
8	—	0 ,,3	+ 0,32	-	0 .38	- 0.05	-	0,07	+ 0,06	-	0 ,02	+ 0,03
9	~	0 ,21	-0,0,	~	0 ,20	- 0,1+	+	0 ,02	+ 0,01	+	0 ,01	-0,0, j

KONGL. SVENSKA VET. AKAIIEMIENS HANDLINOAR. BAND 22. N:0 2.

Weiter igt

67

-f-^.H:)-M3)-<^)

dZ

F..^u.^(^f + U),

a-\ r ' n a

"'-^CT- :-'"</+"•'■

Die Entwickelung von (//) und (/) erfordert zuerst die Ausdrücke für ,m«T— i und

-. — .cosH in * und «. Der letztere Ausdi'uck ist uns von p. 6 bekainit a a

. — . cos H ■= Aee — Ae cos * — Ae cos * — Be sin * — Ce sin * -I- a a

-\- A cos « cos * -|- B cos « sin s — C sin « cos t -\- D sin * sin *' oder bequemer dargestellt

E, S	r T a a	. cos Fl
COS.	sin.
O O	Aee'	_
I — o	--Ae	+ Ce'
— 1 — I	\U - D)	— i(B- C)
O— I	— Ae	+ Be
I — I	+ i(A + D)	- ÜB + C)

Schreiben wir weiter die Entwickelung von i -] unter der Form i—,\ =^ {l -\- e cos *')"■'= y Mn cos ?zt',

(i8 OHARLIKU, UNTERSUCHUNG ÜBER .lUPITERSTÖRUNGEN DES IT/ANETEN THETIS.

SO kann man U'iclit finden, dass die Koeffic.ienten A^,, A^, A^ folgendo» Ausdrücke haben

^«- h— ^.'''W,' ^

3e'^

^3, .1,, etc. sind aber nicht so einfach, und ich habe deswegen diese Koefficienten nach einer anderen Methode berechnet; gesetzt

so ist

9»

qn

An

A„-,

(n + 2)

A„ ^-^ A„ q, q., . .<j„.

In unserem Falle wird

1^1 = [0,3141 1] + [9,I65:]„ cos t + [7,852] COS 2*'+ [6,4ö8]„ cos 3*'+ [5,<>2l cos 4i'

Tab. XVIII.

f, *	^ .-.-,. C03 H
COS.	sin.
0 o 1 o — I — I o—\ I — I	-i o".i94 + O ,746 — 0 ,009 + 2 ,001 - 15 .360	+ 2,001 + 0,165 - 5.4'6 + 4'>4i8

und hiernach bekommt man folgende Entwickelung von (H) und (/)

KONGI.. SV. VET. AKADEMIENR HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2. 69

Tab. XIX.

			(Ä)		{I)
	COS.	sin. ' COS. 1	sin.
0 0		io'	,488			+ i0",732
I o	+	I	,876		— Z.OOI
— 1 — I	—	o	,11		+ 0,17
0— I	+	Z	.05		- 5.45	— 3 .04		+ 3.45
I — I	-	•5	• 5^		+ 4».57
— 1—2		o	,00		— O.Ol
o — z	-	o	.1+		+ °.39	+ 0 ,Z2		-0,25
I — z	+	I	.'3		- 3.03
-1-3	-	0	,0001		+ 0,0008
0-3	+	o	,0071		— 0,0192	— 0 ,oio6		+ 0,0122
'-3		0	,0546		+ 0,1 46X

welche Entwickelunsfen in gehöriffer Ordnung- kontrollirt worden sind.

12.

Die Werthe, die ich mit Anwendung dieser Tafeln für die Koefficienten der Ent- wickelung der Störungsfunktion und ihrer partiellen Ableitungen gefunden habe, sind in der folgenden Tafel zusammengestellt.

Tab. XX.

..^'		0 ß		'"' Öl-
	COS.		COS.	sin.	cos.	sin.
0 — 0	+ i	Z0O",3i9		+ i29",5o8		+ i 2",59,
I — 0	-	4 •'99	+ 3.330	- 7 .536	4 4,123	- 3 .271	+ 2.65S
2 — 0	+	0 ,o?6	+ 0,014	+ 0 ,363	- 0,0.3	+ 0 ,162	— 0,493
3-°	-	0 ,007	— 0,007	— 0 ,033	— 0,017	— 0 ,009	-r 0,028
— I — 1	—	0 ,05	+ o,,3	- 0 ,38	+ 0.53	- 0 .75	0,00
0 — 1	+	5 ,90	— 1,16	+ 3 ,88	— 4,20	+ 2 .49	-r 0,21
1 — I	—	I ,50	+ 4.3^	- S .30	+ 14.57	— 0 ,48	+ 1.45
2 — I	-	0 ,14	— 0,9 s	— C ,12	- 3-2 ■	- 0 .78	-Z.3.
3-'	-	0 .03	0,00	- 0 ,14	+ o,,5	+ 0 ,17	+ O..5
— I — 2		0 ,00	— 0,01	+ 0,11	+ 0,16	— 0 .06	+ 0.10
0 — 2	+	0 ,06	— 1,22	- 0 ,56	- 2,11	+ 0 ,63	— '■39 1
I — z	+	I ,24	+ 9.75	+ 5 .83	+ 15.4'	+ 0 .79	-r 4,22
z — z	—	'3 .35	— 11,48	- 30 ,09	- 25.9°	— 0 ,86	— 0,65
3-2	+	0 ,37	+ 0,08	+ ' .63	+ 0,49	+ I ,34	-. 0,02 j
4-2		0 ,00	0,00	— 0 ,07		— 0 ,11	+ 0,06 1

70 CHARl.IER, UNTERSUCHUNG ÜBER .lUPITERSTÖRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

l l'		a fi							. (^Sl
"'dz
	COS.		,i,.	i""^ Sh,.	,i„.
— ' — 3	^	o",oo69		0.00 10		O",o279	+ 0,0420	+	0",oo83	-t- 0,0169
0 — 3	-	0 ,0838	+	0.0839	-	0 .2936	— 0,0468		0 .1059	— 0,1567
1 — 3	+	0 ,8649	+	0.1753	+	2 .5786	+ O1802		0 .8833	- 0,6698
2 — 3	—	4 .■624	—	0.0707	-	12 .2967	-r 1,2509	—	2 .5063	— 0.41 1 1
3-3	+	6 ,1277	—	3.3887	+	20 .0974	— 11,0892	' +	0 ,580-	— 0,3883
4 — 3	—	0 ,09	+	0.13	—	0 .56	+ 0,06		0 .26	+ 0,65
5-3		0 ,00		0,00		0 .00	- 0,,5		0 .00	0.00
1-4	+	0 .08		0,05	+	0 .28	- 0,32		0 ,22	— 0,02
2 — 4	—	0 .49	-r	0.49	—	• -45	-r 2,18		0 .78	+ 0,44
3-4	_;_	0 ,84	—	2,12	+	2 -53	— 8.66	+	0 ,71	-1.25
4-4	+	° .43	+	2.89	+	1 ,84	+ 12,38	+	0 ,10	+ 0,41
5-4	—	0 ,03	—	0,06	—	0 .23	— 0,37	—	0 .28	— 0.26
2 — 5		0 ,00	+	0,10	+	0 ,22	+ 0,40	_	0 ,05	-0..9
3-5	-	0 ,19	-	0.44	-	' .19	— •■99		0 .12	— 0,61
4 — 5	+	0 ,91	+	0,81	+	4 -73	+ 3-59	-r	0 .54	^ 0.60
5 — 5	—	I ,22	—	0,25	—	6 .48	— 1,40	—	0 .28	— 0,01
6-5		0 ,00		0.00	-^	0 ,21	- 0,09	-	0 .17	-0,09
1-6		0 ,000		0.000	—	0 ,0J2	- 0,009		0 ,000	0,000
2-6	-1-	0 ,013	+	0,007	-r	0 .091	^ 0.019	•^	0 .020	+ 0,031
3-6	—	0 ,081	—	0,015	—	0 .475	- 0.,o7	—	0 .,33	— 0,100
4-6	+	0 .3>5	—	0,011	-t-	' -737	— 0.307	+	0 ,382	-r 0,065
5-6	—	0 ,56	+	0,28	—	3 .:6	+ 1.9:	—	0 ,40	+ 0,158
6-6	+	0 ,28	-	0.46	-	I ,84	- 2,91		0 ,05	-0,14
7-6		0 ,00		0,00	—	0 ,02	— 0,23	+	0 .01	-1- 0,10
4-7		0 ,00		0,00	+	0 ,23	- 0,38		0 ,10	— 0,06
5-7	—	0 .06	+	0.18	-	0 ,26	+ 1.25	-	0 .12	+ 0,18
6-7	—	0 ,04	—	0,32	—	0 ,40	— 2,20		0 ,01	-0.23
7-7	+	0 ,14	-1	0,19	+	I .07	+ 1,42		0 ,05	+ 0,04
8-7	—	0 ,04		0,00	+	0 ,11	+ 0,05		0 ,CO	0,00
5-8		0 ,00		0.00	+	0 ,18	+ 0,39		0 ,00	0.00
6-8		0 ,00		0,00	—	<^ -74	- 0.53	-	0 .06	— 0,11
7-8	+	0 ,16	+	0.04		I ,26	+ 0,18	-r	0 ,13	+ 0,04
8-8	—	0 ,10	^	0,03		0 ,86	- 0.25		0 ,00	0.00
6-9		0 ,00		0,00	—	0 .30	+ 0,02
7 9		0 ,00		0,00	+	0 ,49	— 0,32
89	-	0 .04	+	0,07	-	0 .39	+ 0,67
9-9		0 ,00	-	0,05	+	0 ,01	— °.47

Nach der schon mehrmals angcwaiidten Methode wurden diese Rechnungen kon- trollirt und richtijj befunden.

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAK. BAND 22. N:0 2. 71

13.

Da bei den Intearvationeii « die unabhängige \ evänderliche ist, so müssen wir in den obigen Reihen luv i2 etc., * gegen * vertauschen. Dieser Übergang wird in zwei Abtheikingen ausgeführt werden. In der ersteren werden wir g statt *' einführen. Be- zeichnen wir eine beliebige der obigen Reihen mit F, so setzen wir also

jP = > > (/, f, r) cos («■« — it)-\-\ \ («',/,. 5t) sin (ü — it) unter der Form

t' ^/ / ((«. * , c)) cos (i* — /// ) + / / {ii, i, s)) sin {is ■ — ig).

Weiui wir mit / die gewöhnliche Besselsche Transcendente \) erster Art bezeichnen, so werden die neuen Koefficienten durch die folgende Gleichung gefunden

((.■, .-, :i)=(,; ,, ;i /•!-(,■, ,-+1, ;)^t-'^;,;;+(.. .-+2, :)'4-'4';±...

wo ^ =- !<e .

Die Koefficienten I werden sehr bequem nach der folgenden von Hansen gegebenen

Methode berechnet"). Man setzt

/ = i'x {{ = 1, i>, 3 . . .)

l' , /' I' .

+ etc.

' l^^l^2=' l^2^^

(k == 5, 4, . . 1

3

Pi..i

so wird 1. =

', IhPilh

') Man rauss bemerken, dass diese Trauseeudeiite unter den Analysten in zwei verschiedenen Bedeutungen genommen wird; bezeiohncn wir nünilich mit / ' die selbe Funktion nach Bessels eigener Bezeichnungsart,

so ist /*' = /['•■'.

^) Bessel (Werke I. \i. 1U3) und Lommel {Theorie der Besselschen Funktionen) haben Tafeln für diese Funk- tionen gegeben. Da dieselben aber nicht sehr ausgedehnt sind, so ist die Hansensche Methode viel bequemer.

^) Zur Kontrolle habe ich /, wie /, aus :>FyrstäUiga Ilandtabeller titgifna afN. Ekholm, C. V. L. Ch.vrlier och K. L. Hagström berechnet.

72 CHARLIKR, UNTERSUCHUNt; ÜBKR .lUl'l TKRSTÖRUNGEN DE8 l'I.ANETEN THETIS.

Die so erhaltenen Werthe sind in der tblirenden Tutel enthalten

1 z'^''

los; ^' 8,38'.93;<

1 !	2.	3.	4.	5.	H.	1 7.	8.	9. j
o	9.999^4	9.6979	9,52058	9,3938	9,2946	9,2125	9.'4i3	9,0804	1 1 9,0248
'	8.38+80	8,3844	8.38179	8,3819	8.3818	8,3803	8,3786	8,3768	8-3745
2	6,4687	6.770	6,9432	7.070	7,166	7.244	7.3'o i	7,366	7.416
3	4.2-'	4.98	5.3^8	S.S8	5.87	S.93	6,064 1	6,178	6,280
4		—	—	—	—	4.49	4.69	4,86	5.01

Diese Berechnunof wurde in der Weise kontrollirt, dass I, besonders gei-echnet wurde. Da die Koefficienten 1 nur von der Excentricität der Jupitersbahn abhängen, so hat noan

auch darin eine Kontrolle, dass die Werthe derselben bei verschiedenen Rechnern nicht sehr verschieden sein können.

Mit Hülfe der Tafel XXI wurden nun folgende Werthe für die \\i, i, jj erhalten.

Tab. XXII.

t. g'		»	SÄ ■de			ar	8ß 3r	«'	dz
		COS.	sin.	COS.	sin.	COS.	sin.
0-0		O",ooo		_	+	29",32o		+ \ z".47o		__
I —0	+	3 .228		+ 4,161	—	7 .399	^ 3.783	3 .i+'		- 2,623
2 — 0	-	0 ,074		— 0,179	+	0 ,366	+ 0,065	+ 0 .181		— 0.4-37
3-°	—	0 ,014		+ 0,014	—	0 ,030	— 0,021	— 0 ,013		+ 0,024
I — I	_	0 ,13		- 0,0s	—	0 ,38	+ 0,52	- 0 ,75		0,00
0 — I		0 ,00		0,00	+	3 .9>	— 4.10	+ 2 ,46		+ 0,28
I — I	+	3 .8s		+ ',56	—	5 .58	+ 13,86	- 0 ,51		+ 1,25
2 — I	—	" .79		— 1,00	+	' .33	- I.9S	— 0 ,74		— 2,28
3-'	—	0 ,02		+ 0,09	—	0 ,20	+ 0.12	+ 0 II		+ 0,15
-1-2	-,	0 ,01		0,00	+	0 ,IO	+ 0,17	— 0 ,08		+ O.IO
0 — 2		0 .00		0,00	—	0 .45	— 2,21	T- 0 .70		-1,38
I — 2	+	9.8.		— 1,20	+	5. 5°	+ 15.09	+ 0 .72		-1- 4.»o
2 — 2	—	22 .95		+ 26,10	—	29 ,14	- 26,02	- 0.70		- 0.68 -
3-z	+	0 ,98		H- 0.22	+	0 ,17	-^ 1.28	+ I ,30		+ 0,05
4-2	—	0 ,04		- 0.03	—	0 ,03	- 0,19	0 ,09		+ O.Ol 1

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 22. N:0 2.

73

	,iß 1		3ß	,dSi
		1t		"'■ 9r	" dz
*. 9
1 COS. 1	sin.	COS. '	sin.	1 COS. '	sin.
-1-3	-r C",OOII	-r 0,0069	_	o",o328	— 0.0333	+ o",oo48	-r 0,0216
0-3	0 ,0000	0,0000	—	0 ,3156	— 0,1520	— 0 ,0728	— 0,2216
«-3	+ 0 ,9784	— 0,9111	-	2 ,8134	+ 0,9652	+ 0 ,8951	-f 0,8728
2-3	— I ,3441	+ 9.4736	-	'3 .5407	— 0,2146	- 2 ,4603	— 0,4838
3-3	- 9 .4934	— 18,0964	+	19 ,8207	— lC,i8o8	+ 0 ,5733	— 0,2673
4-3	— 0 .59	+ 0,50	-	0 ,72	- 0,53	— 0 ,27	+ 0,61
1-4	— 0 ,01	— 0,14	+	0 .48	— 0,28	+ 0 ,28	+ 0,03
2-4	-f 0 ,89	+ l.s:-.	-	2 .43	+ 2,20	' ° .94	+ 0,39
3-4	— 6 .88	- 3.89	+	4 'J	- 9.'3	+ 0 ,75	— 1,19
4-4	+ 11 ,01	- '.»5	+	1 .^4	+ 11,87	+ 0 ,01	+ 0,39
5-4	- 0 ,15	— 0,56	-	0 ,56	— o,,8	- 0 ,25	— 0,26
2 5	+ 0 ,28	-r 0,13	+	0 ,02	+ 0,61	— 0 ,13	40,23
3-5	— > .95	+ 0,21	-	0 ,77	— 2,84	- 0 ,03	-0.72
4-5	+ 4 .3'	- 3.57	-	4 .59	+ 4.78	+ 0 ,49	+ 0,64
S-5	- « .45	+ 5.62	-	5 .94	— 1,68	- 0 ,25	— 0,06
6-5	+ 0 ,40	+ 0,24	—	0 ,04	4- 0.32	+ 0 ,17	— 0,07
I —6	0 ,000	0,000	—	0 ,009	— 0,011	0 ,000	0,000
2-6	^ 0 ,045	— 0,019	+	0 ,103	+ 0,082	+ 0 ,009	+ 0,054
3-6	— 0 ,247	+ 0,289	-	0 .585	— 0,408	— 0 ,140	-0,182
4 — 6	+ 0 .4*5	— 1.683	+	2 .^43	+ 0,280	+ 0 ,425	+ 0,149
5-6	+ 1 ,09	^ 3.52	—	3 -84	+ «.47	- 0 ,41	+ 0,12
6-6	— 0 ,40	— 1,69	+	I ,89	— 2,49	+ 0 ,07	— 0,11
7-6	0 00	0,00	—	0 ,20	— 0,46	0 ,00	+ 0,09
4-7	0 ,00	0.00	+	0 ,51	- 0,37	+ 0 ,15	— 0,06
5-7	+ I ,05	+ 0.7 5	—	0 ,79	-f 1,40	— 0 ,18	+ 0,20
6-7	— 2 ,24	— 0,01	■^	0,0.	- 2.45	0 .00	— 0,23
7-7	- « ,23	- 0,77	+	0 ,80	+ 1,32	+ 0 ,02	+ 0,04
8-7	— 0 ,08	- 0,.5	^	0 ,27	0,00	0 ,00	0,00
9-7	0 ,00	— 0,16
5-8	0 ,00	0,00	+	0 ,09	+ 0,62	0 ,00	0,00
6-8	— 0 ,17	0,00	—	0 ,70	- 0,9,	— 0 ,06	— 0,11
7-8	+ 0 ,50	1,22	+	I ,29	+ 0,48	+ 0 ,13	+ 0.04
8-8	+ 0 ,,4	+ 0,79	-	0 .73	+ 0,10	0 ,00	0,00
6-9	0 ,00	0,00	-	0 .43	- 0,13
7-9	0 ,00	0,00	4-	0 .73	- 0,25
8-9	+ ° .55	^ 0,49	-	0 .5 3	+ 0,69
9-9	— 0 ,44	0,04		0 ,01	— 0.+5

Diese Transformation \vurde kontrollirt, indem ich in XX s — 0 setzte, und dann mit der so erhaltenen Reihe dieselbe Rechnung ausführte. Das Resultat muss dann mit der aus XXII für * — 0 erhaltenen Reihe identisch sein. Diese letztere ist

K. Vct. Akad. Handl' B. 22. N:o 2. 10

CHARLIKH, rNTERSUCHUN(; ÜKER JUPITERSTÖKUNGEX DES PLANETEN THETIS.

Tab.	x\	III.
j ü		9Ä "^
,	os.-~t-- 1			— -	eosV"	|-	sin.	COS.
		Sin.		«111.
0		&\-b			^.	'5 "'94	'		- \ 3",676		_
I	-r	86,55 1	^	0,60	_	0 ,92		- 8,42	- 0 ,56		— 0.60
2	—	l6 .25 1	+	25,09		23 85	i	-11.23	- 1 ,85		-2.30
3 '■	—	lO ,71 1	—	9.03	+	8,09		— 10,03	— I ,33		- 0-53
4	^	4 .86	-	4.31	+	3 .97		- 4.40	- 0 .15		— 0.64
5	-	' .59 1	^	2,63	-	2 .06		-i- 1.19	- 0 .25		+ 0.02
6	-	0 ,91	-	0,42	■"	0 .39		- 1.54	— 0 ,04		+ 0,13
7 j	—	0 ,04	—	0.04	^	D ,80		— 0,10	— 0 .01		-0,03
1 8 1	-r	0 .47	-	0.43	~	0 ,05		+ 0.29	- 0 .0-		— .06
! 9 ,	+	0 ,11	+	0,i6	-	0 ,22	J	— 0,14

Die Koiitn^llt; ,<2rab Tab, XXIV.

			«in.		"-	dr			,1	1j !
		COS.		sin.		,•„..
0	+	6". 576			4.	I5".202		_	—	.3".678	—
I	+	86 ,60		+ 0,61	—	0 .93		- 8,44	+	0 .57	— 0,61
z	—	16 ,23		+ 2S,II	—	23 .85		— 11,23	+	1 .85	+ 2,32
3	—	10 .79		— 9.03	+	8,09		— 10.03	—	I ,30	+ 0,56
4	+	4 .94		- 4.36	+	3 -89		- 4.48	-	0 ,16	— 0,65
5	-r	' -59		+ 2.63	-	2 ,13		+ 1,22	+	0 ,26	0,00
6	+	0 ,95		+ 0,46	—	0 .40		- '53	—	0 .04	-^ 0..3
7	—	0 .04		— 0.06	'-	0 ,74		— 0,12	+	0 .01	— 0,04
1 8		0 .51		- 0,32	~	0 ,01		+ 0,30	+	0 .07	— 0,07

0,05

14.

Niichdein wir die obige Form für die partiellen Ableitungen der Störungstunktion erhalten liaben, werden wir nun in denselben y gegen- f vertauschen. Schreiben wir daher F in der folgenden Weise

F =- V V [*'. «"' '•] fo-'? («■* — i V) 4" / / ['. i\ •''] sin (i^ — i V)

KÜNGL. SV. VET. AKADEMIEN» HAKDMNGAK. BAND 22. >:0 2.

75

so müssen wir diese neuen Koettieienten [i, i\ c] und [?', i, .s] durch die früheren {{i, i\ c)) und ((?', i', .<))) ausdrücken. Man findet leicht, dass dieselben durch die folgende Fornnel bestimmt sind

+/•'[((, -3, ,,:))-((,■+...,•.;;))]

+ etc. wo 7"*', i'" etc. wie vorher die Bessei-schen Transcendenten bezeichnen und

Mit diesem Werth von /

log Ä — 8,320195

berechnete ich zuerst das folgende System \on Werthen der /^-F"unktionen.

Tab. XXY.

log /.,. log/ = 8,329195

k	'•'=1	'•	%	4.	1 i ö.	\ <5.	'	■-.	\\,
o	9,99880	9,99921	9,99822	9,99683	9-99503	999283	9.99025	9.98725	■ 998384 \
I	8,329'	8,6297	8,80542	8.729-	9.°^57	j 9->o38	9,1694	9.2259	9,2754 j
2	6,357	6.959	7,3110	7,560	7,754	1 7.9"	8,044	8,159	8,260
3	4,209	5.112	5,640	6.0.5	6,305	i 6,542	6,742	6.916	7,068
4	—	—	.3.34	4'34	4-7 3	j 5-05	v3i	5-5 5	S-75 1
5		—	—	—	—	—	—	4.08	4,33

Da 1 ,. sehr nahe eins ist, so ist es bei der Rechnung bequem die Multiplikation mit diesem Fiiktor nacli dem folgenden Schema auszuführen

/■(('■■■■:;))-(('■ --ai+K--!]«'-.-;:!!-

Die transtormii'tiMi lleihen für ^ t*t'\ smd:

7fi CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER .JUPITERSTORUNGEX DES PLANETEN THETIS.

Tab. XXVI.

i, y	aß "37		3ß		a«
C08.	sin.		COS.	sin.		COS.	sin.
O — 0				29',32o		+	2-.470	_
I — o	+ 3',22g	+ 4.161	-	7 :399	+ 3-783	—	3 ,*4i	+ 2,623
z — o	+ 0 ,074	— 0,179	+	0 ,366	+ 0,065	+	0 ,igi	— 0,437
3 — 0	— 0 .CI4	+ 0,014	+	0 .030	— 0,021	—	0 ,013	- 0.024
— I — I	— 0 ,13	- 0,05	—	0 ,46	+ 0,61	—	0 ,80	0,00
0— I	— 0 ,08	— 0,03	+	4 .02	- 4.38	+	2,46	- 0,26
I — I	+ 3 =87	- 1.58	—	5 -52	+ '3.82	—	0 ,46	+ 1,30
2— I	— 0 .71	— 0,97	-T	..2.	— 1,66	—	0 .75	— 2,26
3-'	— 0 ,04	+ 0,07	—	0 ,17	+ 0,08	+	0 ,10	+ 0,10
— I — 2	+ 0 ,02	0,00	+	0, 12	+ 0,27	—	0 .11	- 0,16
0—2	— 0 .44	+ 0,0«	-	0 ,71	- 2,87	+	0 ,67	- 1,56
I — 2	-r 10 .77	- 2,31	+	6 ,-7,	+ 16,07	+	0 ,78	+ 4.'7
2 — 2	-22 .53	- 26,00	—	28 ,85	-25,38	—	0 ,72	— 0,50
3-2	+ 0 ,02	+ '.33	-	I ,41	+ 0,19	+	1 ,28	-r 0,02
4 — 2	— 0 ,02	+ 0,01	—	0 .05	- o,33	—	0 ,09	+ 0,01
-«-3	+ 0 ,0031	T 0,0046	+	0 ,0591	— 0,0216	+	0 ,01 13	^ 0,0375
0-3	— 0 ,0647	+ 0,0788	—	0 ,5204	— 0,2162	—	0 -1343	— 0,2761
«-3	+ I ,0403	— '.5497	+	3 .6889	+ 0,9443	+	1, 0452	-^ 0.8854
2-3	— 0 ,6711	+ 10,5338	-	'4 ,5739	+ 0,4972	+	2 .4301	— 0,4080
3-3	— 9 ,5008	— I7.4SIO	+	'8 .9164	— 10,1851	+	0 ,4330	— 0,3347
4-3	— I ,20	— 0.64	+	0 .5^	- 1,18	—	0 ,24	+ 0,59
1-4	— 0 ,11		+	0 ,66	— 0,49	+	0 ,36	0,00
2-4	+ I ,51	+ 1,82	—	2 ,71	+ 2.97	—	0 ,98	- 0,49
3 — 4	— 7 ,86	- 3.63	+	3 -78	— 9,88	+	0 ,67	— 1,19
4 — 4	+ >o ,35	— I.Si	+	' .5^	+ 11,03	+	0,09	- 0,3,
5-4	+ 0 ,76	- 0,67	+	0 ,68	+ 0,88	—	0 .25	- 0.23
2 — 5	+ 0 .50	+ 0,09	+	0 ,12	+ 0,92	—	0 .13	^ 0,30
3-5	- 2 .34	+ 0,61	—	0 ,28	- 3.^6	—	0 ,09	— 0,76
4-5	+ 4 ,22	- 4,07	■^	5 .09	+ 4,61	+	0 ,52	- 0,58
5 — 5	— 1 ,06	+ 5.>8	—	5 .40	— 1,21	—	0 ,22	- 0,01
6 — 5	+ 0 ,27	+ 0,78	-	0 ,64	^ 0,16	+	0 ,>5	— 0,07
1-6	— 0 ,007	+ 0,004	—	0 ,027	— 0,024		0 ,000	0.000
2-6	+ 0 ,079	— 0,069	-f.	0 ,192	+ 0,134	+	0 ,029	- 0,077
3-6	— 0 ,282	+ 0,523	—	0 ,877	— 0,415	—	0 ,194	— O.I91
4-6	+ 0 >M5	— 2,079	,	2 .654	+ 0,017	+	0, 453	- 0,108
5-6	+ > ='75	+ 3.465	—	3 .736	+ 1,789		0 ,361	+ 0,155
6-6	— 0 ,253	— 1,221	+	' ^393	- 2,327	+	0 ,023	— 0,104
7-6	— 0 ,042	— 0,185	+	0 ,209	- 0,764	•i-	0 ,00g	+ 0,079

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 22, X:0 2.

77

f, ^■							,3ß
C08.	sin.	COS.		sin.	COS.		sin.
4-7	— o'\i7			— 0,11	-r 0",62	1	- 0,58	- o",i8		— 0,09
5-7	+ I ,36			+ 0.73	— 0 ,68		+ 1,69	— 0 ,16		+ 0,22
6-7	— 2 ,22			+ 0,21	— 0 ,22			- 2.39	— 0 ,02		— 0,21
1-1	+ 0 .90			- 0.75	+ 0 .72			+ 0,95	■+ 0 ,02		+ 0,02
8-7	+ 0 ,07			+ 0,04	+ 0 .39		+ 0,17	0 ,00		0,00
5-8	0 ,00			0,00	+ 0 ,22			+ 0,75	0 .00		0,00
6-8	- 0 ,25			+ 0,27	— 0 ,89			— 0,86	— 0 ,08		— 0,11
7-8	+ 0 ,+7			- 1.32	+ I .23			+ 0,31	+ 0 .12		+ 0,02
8-- 8	T 0 ,22			-( 0,57	- 0 ,5.			+ °,I7	0 ,00		0,00
9-8	0 ,00	t	+ o.,3	— 0 ,10			0,00	0 .00		0,00
6-9	0 .00	j	0,00	- 0 =57			— 0,06
7-9	— 0 ,10		— 0.28	+ 0 ,72			— °-44
8-9	+ 0 .62		+ 0,48	- 0 .37			+ 0,70
9-9	- 0 .33	1	+ 0,05	— 0 ,08			— 0,30			1

Um diese Transformation zu kontrolliren hat Hansen so verfahren, tlass er in XXII * = 90° setzt und dann dieselbe Transformation an diesen Reihen ausführt. Die so erhaltenen Rei- hen müssen dann mit dem aus XXVI für ^ --= 90° erhaltenen Resultate übereinstimmen.

Diese Methode habe ich auch an die Transformation von ar v^ benutzt. Die Anwendung

derselben ist aber sehr peinlich und unbequem; ich habe mich daher einer anderer Me- thode benutzt. Wenn wir nämlich in der Formel

[,-..'.:]==y;-'((;,;.;:)) + /;;;[((,-i,,,::))-((.+ i, ,,;))] + /;f^[((;-ä, .,:)) + ((; + ., ;,;))]

+ . . .

successive «, i-\-\, * -[- 2, etc. und / — - 1, i — 2, etc. statt i setzen, so wird

-f etc.

78

oder

CHARLIEU, UXTKUSUClIUNn ÜBER .JUriTERSTÖlil NGE.X DES l'L.XN ETE.N IHI'.TIS.

+<x«'- '■■■•>•+ ■•

=v

[!';• + i,';^^,C:+..]

Wir kiHiiicii ;ils() (liesell)t' IJccIiniiiiu', die an ciiu'iu ciiizcliici: (ilicd ausj^ctidirt \vird, auch auf die Suuune einer jeden AbtlK'ilunir in XXII austühi'en, und werden daiui als Kesultat die Summe der verschiedenen Al)thei]uni;en in Tab. XXVI l)eki)mmen. Um al)er die von Hansen gemachte Bemerkung zu vermeiden, dass nändich hv\ dieser .\rt zu kontmlliicn alle Multiplikationen mit /<", /'■" etc. nicht auf die Kuntrullc einwirken kiiuiien, so ver- gleiche ich nicht unmittelbar diese Endreihen mit einander, sondern fiihrc ülcichzeitisr die Rechrmng für die einzelnen Glieder und für die Summe derselben aus, ganz wie e.s bei einigen Rechnungen bei Anwendung der ^lethode der kleinsten (-Quadrate gebräuchlich ist. Dadurch wird jeder Schritt der Kechnung besonders kontrollirt, und die ganze llcchnimg sehr angenehm. Folgendes ist ein Beispiel der Verfahrungsweise für i — ^1.

-0-4.	0-3.	1- 3.	2- 3.	3-3.	4-3.	Ö-3.	i;-3.	-	KwiilrolU.
+ O.OOI I + 0,0020	0.0000 — 0,0624 — 0,0027 + 0,0004	+ 0.9784 — 0,0040 + 0,0856 — 0,0194	— 1,3442 + 0,0055 + 0,6688 — 0.0012	— 9-+934 + 0,0388 — 0,0482 + O.OOIO	-0,5900 , + 0.0024 — 0,6063 — 0,0027 '	- 0,0377 - 0,0194	— 0,0012 — 0.0004	— 10,4481 + 0.0427 — 0,0002 — 0 0426 0.0000	— 10,4481 + 0,0425 0,0000 — 0,0428 0,0000
+ 0,0031	— 0.0647	+ 1,0406	— 0,6711	-9. ,008	— I.l<;66	-- 0.0571	- -0.0016	- 10,4482	- 10.4484

Die Zahlen in der ersten Reihe .sind aus Tal). XXII genoninien: die zweite ist die Mul- tiplikation dieser Zahlen mit /, — 1, die dritte mit /,. u. s. f.: die letzte Zeile enthält

dieselben Operationen an die Summe der ersten Reihe ausgeführt. Dieselbe Methode ist in vielen anderen Theilen dei' Störungsrechnung anwendbar, man kann dieselbe einfacli so forinuliven, dass man, bei Au.sfiihrung einer O]ieration an eine (irup])e von (Tleidern, die- selbe (Operation an die Smaine derselben durchführt.

1.'),

Fülircii wir die Bezeiclinung-en

J/, ^- (1 + tg ^y?)[ — Se + 4 cos * — c cos 2'-] .V, = (1 + tg ^<f)[2 sin s — e sin 2fc]

M, = -2(2 + tg -w) sin * '-5- sin 2*

^ cos (f

.V.= —

cos '(f

cos « -1 V, cos 2'-

cos '(f

KONGL. SV. VET. AKADKMIKNS HANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

79

ein, so sind (vergleicht' p. 40) die Störungen in a, ti und e nach l-'jnt'ührung von 1' und /' durch die folgenden (rleichungen bestinnnt

,3 fürt ds df

-', ■ = 1/, a^ -f- iVi ar - di dt ' or

dT ,^ 3X> ?i2

T ^ i^.. 'i ^ + -V., ar ^ ds - c>* " er

Die Multiplikation mit M^, }\\ etc. brauche ich nicht hiei- niitzutheileii; die Ausdrücke für die Differentiale der Störungen sind:

Tab. XXVll.

		it		dY	dr
e, V 1		dt		dt	dt
•■-•	MU.	COS.	sin.	cns.	.i„.
0 — 0			^	i20".826		t27".772
I —0	- 9".684	-12.483	-	0 .738	+ 28,198	- 29 ,835	- 1.178
2 — 0	— O ,Z22	+ °-537	+	2 ,640	- 0,874	+ 0 ,930	+ 2,727
3-0	-r 0 ,04.2	— 0,042	+	0 ,116	+ 0,217	— 0 ,217	+ 0,122
— 2 — I	0 ,00	+ 0.15	+	0 ,65	+ 0,63	+ 0 ,72	— 0,90
— I — I	+ 0 .39	+ 0,09	-	5 .74	— 4,60	- 4 ,48	+ 5,62
O— I	+ 0 ,24	— 4-74	+	21 ,24	+ 8.41	+ 8 .89	— 22,08
I — I	— M ,61	+ 2,9,	—	0 .33	+ 0,21	- 6 ,44	T 5,53
2 — I	+ 2 ,.3	— 0,21		6 ,20	— 1,96	+ 2 ,74	- 6,2+
3-'	+ 0 .12	0,00	+	0 ,92	- 0,5.	+ 0 ,50	- 0,89
— 2 — 2	0 ,00	0,00	-	0 .47	— 0,17	— 0 ,12	— 0,40
-.-2	— 0 ,06	0,00	-	5 ,61	+ 1.49	+ ' ,43	+ 5>49
0 — 2	+ 1 .32	- 0,24	+	46 ,36	— 15,06	- 15 ,02	^ — 40,82
I — Z	-32 .3'	+ 6,93	—	73 .9»	+ 80,77	+ 80 ,79	+ 70,71
2— 2	+ 67 -59	— 7^'Oo	+	>4 -55	— 4,03	+ 6 ,81	-r- 8,65
3-2	— 0 ,06	— 3.99	"-	19 ,40	+ 22,75	— 23 ,17	~ 20,12
4-2	+ 0 ,06	- 0,03	+	0 ,34	+ ',45	~ I ,46	- 0.38
~ 1-3	— 0 ,0093	— 0,0138	-	0 .4843	+ 0,9333	1 I ,0186	+ 0,4805
0-3	+ 0 ,1941	— 0,2364	+	3 .'+»7	— 8,4289	- 7 ,4576	— 2.9913
1-3	— 3 ,1209	+ 4.549'	+	0 ,1183	+ 38,9094	+ 38 ,1108	— 0,4890
2-3	+ 2 .0133	- 31,6014	—	28 ,1205	— 58,2182	— 52 ,733*	+ 30,2658
3-3	+ 28 ,5024	+ 51.3530	-	I ,7409	+ II,<i68o	— 10 ,8542	+ 3,0824
4-3	+ 3 .59	+ I.9'	—	8,47	- '5-7^	+ '5 .94	— 8,69
5-3	0 ,00	0,00	"-	1 ,2g	— 0,86	+ 0 ,86	— «,17

80 CHARLIEH, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERSTÖRUNCiEN DES I'LANETEN THETIS.

t, V		dl' de	dr de
,.o..	>i„.	,■0.			.,„.
0-4	o",oo	0,00	] l",02	- ",56	- '".*3	+ 0,81
»-4	+ O ,33	+ 0,81	+ 7 .29 ■	+ 7.07	+ 6 ,57	- 7.'3
2-4	- 4 .53	- 5.46	- 27 ,40	-11,50	- 10 .74	+ 26.65
3-4	+ 23 -04	- 10,89	+ 35 .»5	- 2,19	- 5 .93	- 30,42
4-4	-3' .°S	+ 4,56	- 7 .>3	- 5.^4	+ 1 ,29	- 9.37
5-4	— 2 ,28	- 2,01	+ 9 ,01	~ 1-3'	+ 1 ,4"	- 9.55
6-4	0 ,00	0.00	^ 0 :79	— 0,67	+ 0 ,46	T 0,69
'-5	0 ,00	0,00	+ 2 ,32	+ 0,14	+ 0 ,02	- 2,29
2-S	- I ,50	- 0,25	— 8 ,85	+ 3,10	4 3 .09	+ 8.54
3-5	+ 7 ,02	- 1,83	+ '4 .43	— i4.>o	'4 .'3	-12.75
4-5	— 12 ,66	•^ 12,21	- 6.5, ,	+ 17.47	+ 15 ,12	+ 1.35
5-5	+ 3 -'S	— '5.54	+ 5 ,96 •	- 3.05	+ 5 .99	+ 3.29
6-5	— 0 .81	- 2.34	- 1 ,01	+ 4.67	— 4 ,88	- 0.93
7-5	0 ,00	0,00	+ 0 ,45	- °.35	— 0 ,94	+ 1,42
0-6	0 ,000	0,000	0 ,000	+ 0,040	+ 0 ,02-	+ 0,024
1-6	0 ,000	0,000	-r 0 ,306	— 0.429	- 0 ,420	- 0.334
2-6	- 0 ,237	~ 0,207	— 0 ,918	+ 2,267	+ 2 .244	+ 1 ,007
3-6	+ 0 ,846	- 1.569	+ 0 ,454	- 7.537	- 7 .254	— 0,239
4-6	- 0 .735	+ 6,237	- 4 .135	4- 12,013	+ 10 ,381	- 5.482
5-6	- 3 .5=^5	— '0.395	— 2 ,825	- 7.838	— 1 .809	^ 3.020
6-6	+ 0 .759	+ 3.663	- 2 .590	+ 3.988	- 3 .6>°	- 1.633
7-6	0 ,000	0,000	+ I ,8.5	— 1.049	+ I ,023	+ 2,035
8 — 6	0 ,000	0,000	- 0 ,623	+ 0,199	— 0 ,117	- 0,620
3-7	0 ,00	0,00	— 0 ,69	— 0,67	— 0 ,62	-r 0,58
4-7	0 ,00	0,00	- 4.57	+ 2,16	+ 2 ,05	- 4,66
5-7	— 4 ,08	- 2,19	- 6 ,90	+ 1,09	+ 0 ,12	+ 7.35
6-7.	+ 6 ,66	- 0,63	- 4 .60	- 1,56	— 2 .93	- 1.42
7-7	— 2 .70	+ 2.15	- 2 ,07	- 0,22	— 0 ,61	- 2,50
8 — 7	— 0 ,21	— 0,12	- 0 ,So	— 1,10	- 0 .45	- 0,83
9-7	0 ,00	4 0,42	— 0 .03	- 0,39	' ~ 0 .:3	0,00
4-8	0 ,00	0,00	-r 0 ,81	— 0,28	— C ,22	- 0,75
5-8	0 ,00	0,00	- 1 .43	+ 1.63	^ I ,58	+ 0.78
6-8	+ 0 .75	- 0,81	-r 0 ,63	— 3-90	— 4 ,06	- 1-97
7-8	— I ,41	+ 3.96	; + 0 ,84	- 1,83	^ I ,86	— 0,24
8 — 8	— 0 ,66	— 1,71	! + 0 .54	- 1.35	+ I ,-i	+ 0,70
9-8	0 ,00	— °.39	i + 0 ,24	- 0,5,	— 0 ,64	+ 0,41
6-9	0 ,00	0,00	' - 0 .74	+ 0,32	- 1 .25	^ 0,49
7-9	+ 0 ,30	+ 0,84	+ 2 ,11	^ 0,87	- I ,80	- 1,86
8-9	— I ,86	- ».44	' — 0 ,97	+ 0,19	- 0 ,02	+ I.IO
9-9	- 0 ,99	- 0.15	1 -i- 0 ,66 1	+ 0.54	- 0 ,56	- 0,56

KONGL. SV. VET. AKADF.MIENS IIANDLINGAR. BAND 22. N:0 2.

81

16.

Für j) und q, welche die Bn-itenstörungen geben sollen, habe ich folgende Reihen bekoninien, die mittelst der Formeln

dq , . ?i2

cos (f^ == (cos * — e) ar ^r.

berechnet sind.

Tab. XXVin.

dp dt

e, r		dq cos<j»-— dB	dp de	«, y	dq CO» CO-	dp de
! ''' ■ 1	.■0. !	sin.	COS. sin.	COS.	sin.
0 — o	— 23".79i 1		— i2",6o8		0-4	+ 0,21	0,00	0,00	— 0,21 j
I — 0	+	2 .o«7	+ 0,204	— 0 ,134	+ 1,250	I -4	-0.57	+ 0,28	+ 0,28	+ 0,51
2 — O	-	I ,770 '	- 1:^43	+ ' .330	-1,695	2-4	+ 0.64	— 0,69	— 0,62	— 0,09
3~°	+	0 ,199	— 0,140	+ 0 ,134 1	+ 0,196	3-4 4-4	— 0,56 + 0.17	+ 0,61 -0,78	— 0,10 1 + °.5o	— O.S5 + 0,42
— 2— I	—	0 ,48	0,00	0 ,00 '	+ 0,4g	5-4	+ 0,06	+ 0,21	— 0.18	+ 0,03
— I — I	+	> .4«	+ 0.09	+ 0 ,09	-«.^5
O— 1	—	I ,09	+ 0,69	+ 0 ,71	— 0,20	'-5	— 0,06	+ 0,17	+ 0,17	0,00
1 — I	-f	0 ,9s	-1,26	— I ,26	+ 1,63	2-5	— 0,05	-0,45	— 0.41	+ 0,06
2 — 2	—	0 ,12	4- 1,06	— 0 .66	-0..35	3-5	+ 0,21	+ c.s»	+ 0,14	— 0.32
3-'	—	0 ,38	— 1,18	+ l ,17	— 0,36	4-5 5-5	-0,25 + 0.37	-0,50 + 0,28	+ 0,40 -0-34	+ 0.07 + 0,18
— 2—2	—	0 ,07	+ 0.18	+ 0 ,.8	0.90	6-5	— 0,15	0,00	+ 0,01	-0,13
j — 1—2	+	0 ,33	-0,95	- 0 ,91	-■0,31
0 — 2	+	0 .24	^2,56	- I .9:	— 0,46 ■	1-6	+ 0.12	+ 0,04	+ 0,04	+ 0,11
1—2	—	0 ,21	^-1,85	+ 0 .53	-0,73	2-6	+ 0,293	— 0,114	— 0,103	— 0,224
1 2 — 2	+	I .15	+ 2,25	- 2 ,14	-0,27	3-6	— 0.37	-0,13	+ 0,01	+ 0,08
3-2	—	0 ,65	— 0.38	+ 0 ,38	-0,38	4-6	+ °,'i^	— 0,04	+ 0,18	+ 0,22
1 4-2	+	0 .67	0,00	0 ,00	+ 0,66	5-6	— 0,2c	— 0,02	— O.II	0,20
-1-3	—	0 ,IO	— 0.18	■^ 0 ,17	+ 0,10	3-7	+ 0,09	0,00	0,00	0,09
i 0-3	+	0 .64	+ 0.54	+ 0 ,44	— 0,60	4-7	— 0,11	+ 0,12	+ O.II	+ 0.09
•—3	—	1 ,5219	— 0,5108	— 0 .0539	+ 1,1617	S-7	+ 0,10	— 0,18	— 0,07	+ 0,10
2 — 3	+	I ,23	+ 0.35	— 0 ,64	+ 0,31	6-7	' — 0,08	+ 0,15	— 0,10	— 0,10
3-3	—	1 .47	+ 0,13	+ 0 .33	— '•'3
4-3	+	0 .33	-0,25	+ 0 ,17	+ 0,30
5-3	-	° .«3	+ 0,30	— 0 ,30	-0,13

K. Vet. Aksd. Handl, B. 22. N:o 2.

11

82 CHARLIER. INTERSLCHUNG ÜBER JUPITERSTÖHUNGEN DES PLANETEN THETIS.

17.

Die obigen Differentiale führen nach Integration zu tV)lgcii(lcn Wortht-n für die Störungen, wo wir nur bemerken, dass

2<)'g

2ec)>T

r

vr^

Tab. XXIX.

f, V		-	2 0	T	r
COS.	sin.	COS.	eiu.	cos.	sin.
O — 0				+	I0",403.£			+	I3",886.£
1 — 0	+	I2",483	- 9.684	—	28 ,198	-	0,738	-	I ,178	—	29,835
2 — 0	-	o ,268	— 0,111	+	0 ,437	+	1,320	-	I ,363	+	0,465
3-0 ■	+	0 ,014	+ 0,014	—	0 ,072	+	0,039	—	0 ,041	—	0,072
— 2 — I		0 ,00	0,00	+	0 ,27	—	0,z8	—	0 ,39	—	0.3,
— I — I	+	0 ,11	— 0,29 - °-73	+	3 ,46 25 .66	:	4,32 64.81	i	4 ,23 67 ,39	+	3.37
0 — I	+	0 ,27	—	27,-3
I — I	+	7 ,06	- '7,27	—	0 ,32	—	0,49	—	8 ,22	—	9,5g
2— I	—	I .74	+ 1,27	+	» ,'7	—	3,71		3 ,-3	+	1.64
3-1	+	0 ,08	+ 0,04	+	0 ,19	+	0,3+	—	0 .33	+	0.19
— 2 — 2		0 ,00	0,00	_	0 ,06	-	0,18		0 .'5	+	0,05
— 1 — 2		0 ,00	- 0,04	+	0 ,90	+	3-39	+	3 .32	—	0.86
O — 2	—	0 .37	— 2,01	—	22 ,98	—	63, »3	—	62 ,30	+	22,93
I — 2	—	20 ,10	- 93,74	—	234 .35	—	214.45	-	205 ,-5	+	234,40
2 — 2	+	58 ,0.	- 50,23	+	3 ,°o	+	10,82	—	6.43	+	5,06
3-2	+	I ,70	- 0,03	—	9 ,70	—	8,27	+	8 ,58	-	9,88
4-2		0 ,co	- 0,02	—	0 ,43	—	0,10	+	0 ,1»		0,44
-1-3	-	0 ,01	0,00	+	0 ,47	-r	0,24	+	0 ,24	—	0,5»
0-3	—	0 ,240	— °,'97	—	8 ,574	—	3.>97	—	3 ,043	+	7,586
'-3	—	273 ,735	- 183.755	—	2290 ,94	+	6,97	+	28 ,79	+	2243,92
2-3	+	3' .073	+ 1,800	+	57 ,246	—	27-651	--	29 .760	—	51.852
3-3	—	25 .46	+ '4,>3	—	5 -74	—	0.86	—	• ,53	—	5,38
4-3	—	0 ,63	+ 1,19	+	5 .21	—	2,gi	+	2 .88	+	5,28
5-3		0 ,00	0,00	+	0 ,22	—	0,32	+	0 ,32	+	0,21
o — 4		0 ,00	0,00	—	I ,19	+	0.78 r	-	0^,62	+	0,94
1—4	+	2 ,61	— 1,06	+	22 ,75	—	23,46	—	22 ,9+	—	21,14
2-4	^	7 .9*	- 6,57	+	16 ,68	—	39,76	—	38 ,67	—	I.V58
3-4	—	6,45	+ 13.64	+	I ,30	+	20.88	+	18 ,01	—	3,5«
4-4	—	1 ,69	- «'54	-i-	' .95	—	2.65	+	3 .48	-	0,48
5-4	—	0 ,54	— 0,62	+	0 ,36	+	2.44	—	2 ,59	+	0,38
6--4		0 ,00	0,00	+	0 .'4	+	0,17	—	0 ,15	+	0,10

KONGL. SV. VET. AKADEMIEN» HANDLINGAU. BAND 22. N:0 2.

83

— ^^ e, V	■ 2 a	r	.
COS.	sin.	COS.		COS.	sin.
i — 5	O",oo	0,oo	+ 0".22	- 3.63	- 3 '.59	- 0.03
2 — 5	+ 0 .75	— 4.'5	- 8 .57	- 24:47	— 23 ,62	+ 8.55
3-S	+ « .34	+ 5,16	+ 10 .36	+ 10,60	+ 9 .37	— 10,38
4-5	-5 .17	-5.36	— 7 .40	— 2,76	— 0 .57	+ 6.40
5 — 5	+ 4 ,62	+ °.95	+ 0 ,9,	+ '-77	— 0 ,98	+ 1,78
6-5	+ 0 ,54	-0,19	— 1 .07	- 0,23	+ 0 ,21	— 1,12
7-5	0 .00	0,00	— 0 ,17	+ 0.08	— 0 ,26	— 0,18
0-6	0 ,00	0,00	+ 0. 02	0,00	+ 0 ,01	— 0,01
1-6	0 .00	0,00	— ° -4+4	— °.3'7	- 0 ,346	+ 0.43 5
2-6	— 6 .094	— 6,976	-66.73	— 27,02	— 29 ,64	+ 66,05
3-6	+ 1 ,52	+ 0,82	+ 7 -»89	+ 0.439	+ 0 ,231	- 7,015
4-6	-3 .07	— 0,36	- 5 -91	+ 2,03	+ 2 ,70	+ 5.>04
5-6	+ 3 .43	— I.16	+ 2 ,58	— 0.93	— I ,00	— 0,60
6-6	— 0 .91	+ 0,19	— 0 .99	— 0,64	— 0 ,40	— 0,89
7 — 6	0 ,00	0,00	+ 0,2.	+ 0,36	— 0 ,40	+ 0.20
3- 7	0 ,00	— 0,03	+ c .95	— 0.99	— 0 ,82	— 0,88
4-7	0 ,00	0,00	— I .27	+ 2,73	+ 2 ,73	+ 1,20
5 — 7	+ 0 .81	-'.51	— 0 .40	- 2,59	— 2 ,7,	+ 0,04
6-7	+ 0 ,17	+ 1,80	+ 0 ,42	+ 1,26	+ 0 ,38	— 0,79
7-7	— 0 ,48	-0,57	— 0 ,05	- 0.45	+ 0 .53	- 0.,3
8-7	+ 0 ,02	— 0,04	+ 0 ,10	+ 0,14	- 0 .,5	+ 0,08
4-8	0 ,00	0,00	+ 0 .20	+ °.59	^ 0 .54	— 0,16
5-8	0 ,00	0,00	— 0 .68	— 0,60	- ° .33	+ 0,66
6-8	+ C ,24		+ 1 ,15	-^- 0,19	+ 0 ,57	— 1,20
7-8	— 0 ,90	— 0,52	— 0 ,42	+ 0.19	+ 0 .05	+ 0,42
8-8	+ 0 ,32	— 0.12	+ 0 .25	+ 0,10	- 0 ,,3	+ 0,32
6-9	0 ,00	0,00	— 0 ,10	— 0,24	— 0 ,16	- 0,41
7-9	— 0 ,21	+ 0,07	— 0 ,21	+ 0,52	-t 0 ,46	+ 0,44
8-9	+ 0 ,28	-0,37	— 0 >o4	— 0,19	— 0 ,22	0,00
9-9	+ 0 ,02	+ 0,16	— 0 ,09	+ 0,11	— 0 .09	— 0,09

Ein bemerkenswerther Umstand fallt hier leicht in die Augen, nämlich eine sehr ein- fache Relation zwischen den Koefficienten in der Entwickelung von I und von r. Man kann dieselbe so foi'muliren, dass

[i, i\ c] in Y sehr nahe ~ — [i, i', s] in r, wenn /'<{'

» » » » » = -(- [i, i', s] » » » / > i' und

[i, i', s] » » » » ^ -j- [i, i\ c] » » » i < i'

» » » » » = — [i, i, c\ » » » i > i'

Man kann a yriori zeigen, dass wirklich diese Relationen im Allgemeinen stattfin- den müssen. Dieselben sind von Gewicht, erstens weil man mit deren Hülfe auf etwaige Rechenfehler aufmerksam werden kann, und zweitens weil gerade durch diese Relationen

84

CHARLIEK, UNTKKSUCHUNG UI3ER JlTriTERSTORUNGEN DES PLANETEN THETIS.

die Ausdrücke für die Störungen der Hausenschen Koonlinaten auf viel ki'nv.ere und mehr zusamiuengedrängte Form gebracht werden, als die Elementenstörungen, da diese letzteren bei der Berechnung der vorigen sich gegenseitig aufheben. Es scheint mir dies einer der grössten \'ortheile der Hansenschen Koordinaten zu sein.

Die grössten Glieder der obigen Störungsausdrücke sind diejeidgen, welche dem Ar- gumente « — 3 F entsprechen, und also langer Periode sind. Von diesen werden die Glieder — 273",735 und — 183",755 in den Störungen der halben grossen Achse später noch einmal mit dem kleinen Divisor 1 — 3,« dividirt und werden dadurch Glieder von ausserordentlicher Grösse in den Störungen der mittleren Anomalie erzeugen. Dies ist nicht mit den Störungen der Excentricität und der Perihel-Länge der Fall; dagegen sind die jn denselben vorkommenden Glieder — 229U",!t4 und -|- 2243'V'2 desswegen von grossem Gewicht, weil dieselben zu Gliedern von nahe derselben Grösse in den Störungen der mitt- leren Anomalie und des Radius Vectors Veranlassung geben, welche (Glieder dieselbe Periode haben, wie die Umlaufszeit des Planeten und desshalb auf kürzere Zeit merkbar werden, als die besprochenen Glieder langer Periode.

So grosse Glieder wie diese kommen natürlich nicht in den Störungen der Bahnebene, d. h. in p und q, vor, obgleich auch hier die kleinen Divisoren merkbar werden.

Tab. XXX.

£, V		C03 o>q			P	e, V	COS lOq	P
	COS.		sin.		COS.	sin.	COS.	sin.	COS.	sin.
o — o		I",895.«			—	l",304.£		0-4	o",oo	— 0,16	— C",i6	0,00
I —0	—	0 ,204	+	2,o«7	-	1 ,250	— 0,134	1-4	+ 0 ,90	+ 1,83	+ I ,64	— 0,90
2 — 0	+	0 ,621	—	0,885	+	0 ,847	-r 0,665	2-4	+ I ,00	+ 0,93	+ 0 ,13	— 0,90
3— o	+	0 ,047	+	0,o56	—	0 ,065	+ 0,045	3-4	— 0 ,36	-0.33	+ 0 .33	— 0,06
— 2—1		0, 00	+	0,2I	+	0 ,22	0,00	4-4	+ 0 ,29	+ 0,06	— 0 ,16	+ 0,19
— I — I	+	0 ,07	-	1,06	-	0 .94	— 0,07	5-4	— 0 ,06	+ 0,02	~ 0 ,01	- 0,05
O — I	+	2 ,10	+	3.33	—	0 ,61	-2,17	>-s	+ 0 ,27	+ 0,09	0 ,00	- 0,27
I — I	+	I ,87	+	1.46	—	z .42	-1,87	2 -s	+ I ,25	— 0,14	-0 ,,7	-1,13
2 — I	—	0 ,63	—	0,07	+	0 ,21	— 0,39	3-S	-0 .43	+ 0,,5	+ 0 ,24	+ 0,10
3-1	+	0 ,07	—	0,14	+	0 .13	+ 0,44	4-5	+ 0 ,15	— 0,11	— 0 ,03	+ 0,17
— 2 — 2	+	0 ,07	+	0,03		0 ,00	— 0,07	5-5	— 0 ,06	+ 0,11	— 0 ,05	— 0,10
— 1—2	—	0 .57	—	0,20	—	0 ,19	+ 0,55	1-6	+ 0 ,05	+ 0,12	+ 0 ,12	— 0,05
O — 2	+	3 .9'	-	°,37	—	0 ,70	-3.01	2 — 6	+ 3 .36	+ 8.63	+ 6 ,59	-3.03
1 —2	+	5 .37	—	0,61	+	2 ,12	+ 1.54	3-6	— 0 ,12	— 0,36	-0 ,08	+ 0,01
2 — 2	—	I ,67	+	0,86	+	0 ,20	-1.59	4-6	+ 0 ,02	+ 0,16	— 0, II	+ 0,09
3-2	+	0 ,16	—	0.27	+	0 ,16	+ 0,16	3-7	0 ,00	+ 0.13	+ 0 ,,3	0,00
4 — 2		0 ,00	+	0,20	—	0 ,20		4-7	— ^0 ,07	— 0,06	-0 ,05	+ 0,06
-1-3	-	0 ,09	+	0,05	+	0 ,05	+ 0,08	5-7	+ 0 ,07	+ 0,04	— 0 ,04	— 0,03
0-3	+	0 .55	—	0,65	+	0 ,61	— 0.44
'-3	+	30 .07	-	89,61	-	68 ,40	-3.17
*-3	—	0 .34	+	1,21	—	0 ,30	— 0,62
3-3	—	0 ,06	—	0.73	+	0 ,56	+ 0,16
4-3	+	0 ,08	+	0,11		0 ,10	— 0,06

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:o 2.

85

18.

Aus den Elementenstörungen sind nun (p. 38) die Störungen der Hansenschen Koordinaten in folgender Weise zusammengesetzt

3 d'a I 1 V I V- in-

— r ./ ' + * "-öS * + ' sin «

dniz IT

2-r- = I Sin f- — 1 cos f- eis

(1 — ecos*)

-. — cos <f{j . sin f: — /)(cos * — e) .

Ich habe mit Hülfe dieser Gleichung'en folgende Entwickelung für ?ii>'z, v und

erhalten.

Tab. XXXI.

	1		Sz						u
e, V									cos	'
	COS.		sin.		COS.	sin.		COS.		sin.
0 — o		29",73g.f				0",679.£		+	l",67i		_
I — 0	+	i8 ,758	+	28,690	—	6 ,718	+ 5.876	—	I ,03	—	0,66
1 — o	—	13 ,«86.£	+	IO,325.£	—	5 ,2o6.«	— 6,943.«	—	0 ,i69.£	—	1,895.«
2 — 0	-	0 ,360	+	0,334	—	0 ,222	+ 0=055	—	0 ,24		0,00
Z — O	+	0 ,452.£	—	o,339.£				+	I ,304.«
3-0	—	0 .002	—	0,013	+	0 ,002	+ 0,003		0 .00
— 2 — I	—	0 ,0Z	.-	0,01	+	0 .01	— 0,01	—	0 ,03		0,0
— I — I	+	0 .55	+	0,10	+	0 ,38	— 0,6 1	+	1 ,63	+	0,02
O— I	+	26 ,89	+	26.40	+	2 =34	+ 0,62	+	2 ,86	—	0,21
I — I	+	129 .59	+	S2,>3	-	18 ,58	+ 46.39	-	1 ,81	—	2,40
2 — I	-	I ,61	+	0,54	-	I ,32	+ 1,40	+	0 .37	+	1,56
3- >	—	0 ,10	—	0,13	+	0 .04	0,00	—	0 .05	—	0,04
— I — 2	+	0 ,10	+	O.Ol		0 ,00	+ 0,07	+	0 .13	—	0,31
O — 2	+	4 .78	—	^^3o	+	0 ,73	+ 6,11	—	1 ,16	—	4>40
I — 2	+	436 .5«	—	«",35	+	39 ."	+ '03>49	+	I .14	+	5,^9
2 — 2	+	116 ,65	—	«3y.«8	+	83,51	+ 74,88	—	0 ,94	+	»,54
3-»	—	5 ,^9	+	5."	+	0 ,13	— 0,4g	—	0 ,3»	—	0,02
4-2	—	0 .02	+	0,01	—	0 ,01	0,02	+	0, 02		0,00

86

CHAKLIER. UNTERSUCHUNG ÜBER JUl'ITF.KSTOHUN'GEN DES PLANETEN THETIS.

«, r		nSz			,.		cos
	003.		sin.			sili.	!	siu. 1
-'-3	+	O ,33		0.54	+	0 .12	+ 0,02	- 0 ,34	— 0,04 {
0-3		0 .oo	—	4.16	+	12 .21	- 5.67	— 45 .03	-«3.59
'-3	+	0942 .2	—	6545,0	+	317 .81	+ 122,67	+ 34 .z-	-^ 0,57
2-3	—	31 .og	—	2175.56	+	112 .05	— 8,62	+ 44 .^5	+ 16.65
3-3	■ +	9 -^7	+	89.09	-	12 .22	- 6,4.	+ 33 -44	- 0,09
4-3	—	0 .11	—	0,81	+	0 ,06	+ 0,14	+ 0 -54	0,00
5-3	-	0 ,01	-	0.02		0 ,00	0,00	— 0 -35	0,00
0-4	—	0 .0+	—	0.36	—	0 .30	^ O.IO	+ 0 ;o7	0,00
1-4	—	' -34	—	5. '5	—	2 .60	+ 2,00	+ 0 ,77	- 0,17
z-4	4-	42 .05	+	41.93	-	16 .72	+ '7.87	+ 0 ,11	+ 0,99
3-4	+	15 ,31	+	5,30	—	4 -41	+ 10,70	- 0,3g	+ 0,70
4-4	-	4 .47	+	0,i6	-	0 .37	- 3.15	— 0 ,03	— 0,07
5-4	+	0 .16	+	0.03	—	0 .08	- 0.03	0 ,00	0,00
« -5	—	0 ,12	+	0,03	+	0 ,01	+ -0.33	0 ,00	— 0,10
2-5	+	23 ,21	+	2,10	-	0 .18	+ 5.84	— 0 ,11	+ 0,2g
3-5	+	«4 -41	—	5.49	+	2 .9.	- 8.43	+ 0 ,14	+ 1,04
4-5	—	2 ,71	+	2,86	—	I .91	— 1,82	— 0 .11	— 0,16
5-5	+	0 ,34	—	1.09	+	0 .86	+ 0,21	0 .00	0,00
6-5	-	0 .09	—	0.15	+	0 ,03	- 0.03	—
0-6	—	0 .03	—	O.Ol		0 ,00	0,00	0 ,00	0,00
1-6	+	I .93	+	0,32	+	0 ,18	— 0,67	+ I ,05	— 0.17
2-6	+	212 ,91	—	178.36	+	8 ,48	+ 6,41	+ 0 ,61	— 0,28
3-6	+	26 .25	-	62.36	+	3> .91	+ 13.54	— 7 .49	+ 3.H
4-6	-	0 .92	+	4-47	-	I ,51	— 0,07	4 0 ,14	— 0,03
5-6	—	0 .34.	—	1,05	+	0 -75	— 0,41	—	—
6-6	+	0 ,12	+	0,22	—	0 ,17	+ 0,17		—
2-7	—	0 .2 +		0.00	—	0 ,05	+ 0,13		—
3-7	+	0 .03	-	0,01	—	0 .02	0,00	+ 0 ,02	0,00
4-7	+	0 .4.6	+	0.40	-	0 .)i	+ 0,28	0 ,10	- 0,05
5 — 7	-	0 .59	-	0,25	+	0 ,19	- 0,42	+ 0 ,03	0,00
6-7	+	0 ,37	—	0.02	+	0 ,02	+ 0,29	—	—
7-7	—	0 .09	+	0.05	—	0 ,05	~ 0.07	—	—
4-8	—	0 .09		0,00		0 ,00	— 0,05
5-8	—	0 ,14	-i-	0,06	—	0 ,04	— 0,16	—	—
6-8	+	0 ,06	—	0,14	+	0 ,10	+ 0,08	—
7-8		0 ,04	+	0.«3	—	0 ,10	— 0,03

Intei'essant sind diese Störungen durch die gi'ossen Koefficienten, die den Argumenten * — 3F und 2« — 3F entsprechen. Unter den mir bekannten Fällen, in denen man die allgemeinen Störungen eines kleinen Planeten nach der Methode von Hansen berechnet

KÖNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 22. N:o 2. 87

hat, giebt es kein einzige)', wo die Koetlicienteu eine so Ijedeutende (irösse erreicht haben. Die Ursache derselben liegt, wie schon erwähnt ist, in dem \'orkommen eines kleinen Divisors 0,iM7, der bei der doppelten Integration das entsjn'echende Glied in der Entwicke- lung von Si 10800 Mal vergrössort. Das grösste Glied, welches 4°35' beträgt, ist haupt-

sächlich durch diese doppelte Integration aus dem (jliede l",54!t7 (p. 92) in a ^- erzeugt.

Bei dem Auftreten eines so grossen Gliedes in den Störungsausdrücken kann man, unter Anwendung von der Hansenschen Methode, oder überliaupt \on Methoden, die von einer EntAvickelung nach den Potenzen der Massen ausgehen, eine sehr grosse Approximation nicht erwarten, sogar wenn man die Störungen höherer Ordnung berücksichtigt. Ich habe es daher als eine nützliche Arbeit betrachtet, die Störungsausdrücke zweiter Ordnung zu berechnen; um so mehr, als mir bekannt ist, dass die Berechnung der absoluten Störungen der Thetis nach der Methode von Gylden schon unter Bearbeitung ist. Jedenfalls müssen die erhaltenen Reihen wenigstens als Interpolationsformeln betrachtet werden können, und fiir eine ziemlich lange Zeit das Berechnen des speciellen Störungen über- flüssig machen.

19.

Es bleibt noch die Bestimmung der Integrationskonstanten übrig, welche in der Weise geschehen muss, dass die Störungen für die Epoche gleich NuU sind. Ich bezeichne nun die Integrationskonstanten auf folgende Weise:

Die Konstante in — - mit C, in p mit C^

Y	» 6*2	» cos <fq n 6*5
r	» C,	» nSz » Cy ;

wo ich unter Cg die Konstante, die bei der Integration der Gleichung für nd'z p. 85 hinzugefügt werden muss, verstehe. Die Integrationskonstante in *' werden wir später ohne besondere Berechnung finden. Mit Hülfe der Tab. XXIX und XXX finde ich zuerst

C,-=-\- 251 ",62 C, -= + 50",Ö7 a, = -\- 1054 ,58 C; == + 74 ,78 C^ = -\- 2406 ,19

welche Konstanten zu den Ausdrücken für nd'z und . folgende Glieder hinzufügen

cos i ° ^

ndz = Cg + Ci* — Cs cos i + \eC^ cos 2« + [— eC\ + C\ — ie'CJ sin * — \eC^ sin 2« — = Cß + 254",«?,^? + 2406,19 cos * — 78",:u cos 2« + 1012",86 sin « — 34",34 sin '2t = C^e — 6\ cos A + Cj sin 2 = + 6",5.s7 — 50", 57 . cos * + 74",7S sin * .

cos i Und dann findet man

C7ß = 4" 5625",58

88

CHARLIKR, UNTERSUCHUNG ÜBER .(Ul'ITERSTÜRUNGEN DES PLANETEN THETIS.

Nach llinztit'üüuiiji' dieser Glieder niniint der von T' uiiablirms'ig'c Tlieil vdm nth und

. folo^eiide Ft)rm an. wo wii- «jlcichzeiti"- die veränderte Form von >' hinsetzen. Wir

cos^ ^ p p

werden .soirleich sehen wie dieselbe entstanden ist.

Tab. XXXII.

							a
«, y						cos i
COS.	sin.	COS.		sin.	COS.	1	sin.
o — o	4- 5625"-58		— I38",o4			+ 8",25 •		1 1
0 — o	+ 221 ,88.«		— 0 ,679.«			— 0 ,169.«
I — 0	+ 2424 .95	+ l°4'.55	- 534 .0'	+	1208.97	— 51 .60		+ 74.>»
I —0	+ 13 ,886.*	+ 10.325. c	- 5 ,206.«	—	6,943.«	+ I ,304.«		- 1,895.«
2 — 0	- 78 .70	- 34,67	0 ,22	+	0.05	- 0 ,24		0,00
2 — 0	i- 0,452 .f	— 0,339.«	0 ,00		0,00	0 ,00		0,00
3-0	0.00	— 0,01

20.

Es ist nicht leicht, für das Integrationsresultat eine bequeme Kontrolle zu finden. Ich habe deswegen alle Rechnungen doppelt ausgeführt; überdies habe ich zur Kontrolle f mit Hülfe der Gleichunff

— 2»'

:^ da , 1 .. , „ 1 ,

-2T + 2^* + *^'*^^' + '

sni '■

1 ')a , 1 ., d7id: ■2 n^-2 dt

l^a 1 .

2T + 2''

berechnet, was eine sehr gute und zwar durchgreifende Kontrolle darbietet, da in derselben alle die berechneten Störungsausdrücke zur Anwendung kommen. Die Entwickelung welche ich somit für >' erhielt, war die folgende

Tab. XXXIII.

•e, V	V	«, V	V	«, V	V
COS. sin.	COS. ] sin.	COS. 1 sin.
0 — 0 0-0 1 — 0 1 —0 2 — 0 3-0	+ ^29,0 16 — 0,678.« — 6,703 — 5,206.« — 0,222 + 0,002	+ 5.885 + 6,943.« — 0,058 — 0.002	-'-3 0-3 '-3 2-3 3-3 4-3	+ 0,,7 + «2,24 + 334.33 + 1112,06 - 12,53 + 0,06	+ 0,02 + S.67 + 123,08 — 8,62 + 6,41 + 0,14	1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6 7-6	+ 0.19 + 8,34 + 3'.9» — 1,64 + 0.77 - 0.23 + 0,03	— 0,63 + 6,51 + 13.70 — 0,08 — 0.29 + 0.20 + 0,19

KONGL. 8VENSKA VV/T. AKADEMIEN« HANDLIXGAH. BAND 22. N:0 2.

89

e, V	)	■	i, 1'			«, 1'	,.
COS.	sin.	COS.	sin.	COS.	sin.
— 2 — 1	0,00	0,00	-1-4	+ 0,06	+ 0.04
— I — I	+ 0,36	— 0,56	0-4	- 0,32	+ 0,08	2-7	— 0,01	+ 0,04
O — 1	i- 2,34	+ 0.74	1-4	- 2.97	+ 2,, 5	3-7	— 0,04	+ 0,06
I — I	-18,59	+ 46,4 s	2-4	- 16.79	+ 17.84	4-7	— 0,28	+ 0,28
2 — I	- 1,34	+ 1,40	3-4	- 4.45	+ 10,69	5-7	+ 0,20	-0,42
3 •	+ 0,01	— 0,05	4-4	— '3.39	- 3.'^	i 6-7	0,00	+ 0,29
			5 — 4	— 0,11	— O.Ol	7-7	-0,05	— 0,08
— 1 — 2	-T 0,02	+ 0,04	'-5	0.00	+ 0.+3	4-8	0,00	+ 0,02
O— 2	+ 0,34	+ 6,09	2—5	0,00	+ 5.84	i 5-8	— 0,03	-0,14
I —2	-r 38,11	+ 103,48	3-5	+ 2.96	+ 8.74	1 6-8	+ 0,16	+ 0,05
2 — 2	+ 83,20	+ 74>6ä	4-5	- '.93	- 1.54	7-8	-o,,3	— 0,03
3 — 2	+ 0,22	— 0.49	5 — 5	+ 0,85	+ 0,18	8-8	-r 0,05	0.00
4-2	— 0,01	— 0,08	6-5	+ 0,3g	- 0,15

Die Übereiu.stiinmung- zwischen clie.ser Tabelle und Tab. XXXI ist eine befriedigende. Auf einer einzigen Stelle ist die Differenz von Bedeutung, nämlich für das Argument s — SV, wo Tab. XXXI + 317,81 und Tab. XXXIII + 334,33 giebt; die Differenz beträgt hier also .5 Procent des ganzen Betrages des Gliedes. Es ist mir unmöglich gewesen, die Ursache dieses Unterschieds zu linden. Jedenfalls kann dieser Fehler keinen wesentlichen Einfluss auf das Resultat ansüben. Vielleicht wird es mir bei einer zukünftigen Revision der Rech- nung möglich, die Ursache aufzulinden.

^lit Hülfe dieser Kontrolle erhalten wir auch den Werth der Integrationskonstante, die in dem Integrale der Differentialgleichung für /' (p. 102) auftreten soll. Die Inte- grationskonstanten in (I, i und r, die nicht in XXXIII berücksichtigt worden sind, fügen noch folgende Glieder hinzu

— iCj — -WCo — ÄG'2 cos 4 — \C\ sin f =■• — 1.52",."ij — ')-27",l'0 . cos * -(- 120o",on sin « .

und in dieser Weise habe ich die zweite Kolumne in Tab. XXXII erhalten.

21.

Wie es schon ]). 2 bemerkt wurde, werde ich, um das l)escliwerliche Tabuliren zu

vermeiden, die ol)igen Reihen füi- ruh, f luid — ; durch Einfüliruni;- des (Tvldensclien

" cos l

Argumentes transformiren. Indem wir die Bezeichnungen

K. Vet. Akad. Hand.. B. 22. N:o 2. 12

90 CHARLIER, rXTERSUCHUXG ÜBER JLinTERSTüRUNGEN DES l'LANETEN THETIS.

ci")- (>-4*:)(>-r:)

o, ^ ^ i- i)^- (7l=-() 1 '> ^

P..--n\2-n i2 + n(" = l' ^^

(2)

,<t = Pn COS l,U

0 '■ 2

^•Pn

11 \ ' n

1 + ''-

n

; &_ „ ^ — ^s„

i^i

einführen, so ist erstens

J2)

Schreiben wir weiter die Ausdrücke für die Störungen F unter der Form

F—/ y [i, i', c}cos(z* — -/'A'„.) + / / {'' '"' sj sin («i — i'X,,,)

so sind, wie wir (]). 37) gesehen haben, die neuen Koefficienten durch die folgende Gleicluuig gegeben

Ä„ = (— l)""'a^

Für die Koetticienten o,, habe ich folo-ende ^^'erthe bekonuiien

Tab. XXXIV,

KONGL. SV. VET. AKADEMIEXS IIAXDLINGAR. BAND. 22. X:0 2. 91

loo- cr„

„	1=1	•2	•■!	4	5	')	7	8	9
1 o	9,92500	9,65092	8,27891	9,37801«	9,36317»	8,40673»	9,37827	9,36076	8,63184
1 f 2	9,04101»	9,16270«	8,08806«	9,48000	9,84320	9,99318	9,93209	9,80984	8,94819
— 2	8.89742	8,86718	7,62072	8,79750«	8,84054«	7,92582«	8,94359	8,93842	8,23097
+ 4	8,0973«	8,1650«	5,3788»	8,2878	8,4263	7,6140	8,8027«	8,8616«	8,3017«
i -4	8,0259	8,0212	5,1608	7,9922»	8,0483«	7,1465«	8,1807	8,1802	7.4815
+ I	9,56971	9,8868	9,998030	9,99003	9.72934	8,67277	9.56198»	9,52625»	8,76862a
— 1	9,27419»	9,20535«	7,93094«	9,08862	9,11308	8,18500	9,18685»	9.17718«	8,46195«
+ 3	8,60241	8,68617	7,50565	8,85568»	9,03238«	8,27468»	9.62349	9.78995	9.98340
-3	8,50717«	8,49333»	7,26013«	8,45240	8,50008	7.59328	8,6206»	8,61829«	7.71647»
+ 5	7,4054	7,4649	6,3022	7,5632«	7.6857«	6,8530»	7.9984	8,03760	7.4242
— 5	7,3496«	7,3495»	6,1291«	7,3301	7,3902	6.4923	7,5808»	7,5318«	6,8359»
+ 7	6,2094«	6,2484«	5,0853«	6,3343	6,44» 5	5.4917	6,7002»	6,7310«	6,0872«
-7	6,1687	6,1767	4,9627	6,1683»	6,2343«	5,3411»	6.3957	6,3892	5.6971
+ 9	5.459	S-503	4,32	5.566«	5,667«	4,809«	5.91	5.930	5.276
— 9	5,426«	5,439»	4,'3»	3-439	S.507	4,62	5,67»	5,670»	4,981»

Diese Wevthe habe ich mit Hülfe der leicht erhaltenen Gleichunsf

kontrullirt.

X"

Die Einführung des Argumentes Xm geschieht nun ohne Schwierigkeit; nur muss man bemerken, dass man nun, statt einer Reihe, zwei erhiüt, von denen eine für m gerade, die andere für m ungerade srilt.

Tab. XXXV.

»t gerade.

					^	i
«, -v„	«Sz			cos i
COS.	sin.	COS.	sin.	cos.	sin.
0—0	+ 5625",58		— 138",o4		- 8",25	__ '
0—0	+ 221 ,88.«		— 0 ,679.£		— 0 ,i69.£	1
I —0	+ 2424 .95	+ '04'.55	- 534 .°'	+ 1208,97	— 51 ,60	+ 74,12
I —0	— 13 ,886.£	+ io.325.£	— 5 ,206.£	— 6.943.£	- 1 ,3o4.£	- I.895.£
2 — 0	- 78 ,70	- 34-67	— 0 ,22	+ 0,05	~ 0 ,2+	C,oo
2 — 0	+ 0 ,452. £	— 0,339.£	0 ,00	0,00	0 ,00
3-0	0 ,00	— 0,01

1)2 CHAKLlEli, LXTEKSLCHLXG CliKH .lUPITEKSToRCXGIiN DES PLANETEN THETIS.

m g-erade.

		u
£, X.		fl	Jj		T	cos i 1
	eo9.		siu.		COS.		8iu.	COS.	sin.
— 4— 1		3".i5	_	0,20		O",o6		C,o9		__
-3-1	-	o ,28	+	0,40	+	0 ,28	—	°,+?	— o",o6
— 2 — I	+	2 .44	—	0.79	—	0 .83	+	',52	-^ 0 ,18	- 0,09
— I-I	-	3 .84	+	4.07	+	3 ,<8	-	5-3'	- 2 ,65	+ 0,26
O— 1	+	70 .84	+	41.48	—	4 ,86	■^	17,69	+ 1 ,37	- ..24
+ I — I	+	'°3 .44	+	39. '^	—	16 ,53	+	39.39	- I .79	- l.+o
+ 2—1	—	23 ,68	—	7,22	+	2 ,56	—	7.58	+ 0 ,80.	- 1.74
+ 3-1	+	9 .57	+	3.06	^	I ,26	-	3-37	- 0,32	— 0.58
+ 4-1	—	3 .'9	—	1.34	4-	° .5«	—	1.37	+ 0 ,.3	+ 0,16
+ S-1	+	1 .35	+	0,46	-	0,15	+	0,53	- 0 ,03	— 0,02
+ 6-1	—	0 ,31	—	0,11	+	0 ,03	—	0,09
-4-2	+	I ,20	—	0,2g	+	0 ,10	+	0,21		+ 0,04
-3—2	—	5 .82	+	1,18	-	0 ,56	—	0,99	- 0 ,05	- 0.24
— 2 — 2	+	i8,+,	—	3.«8	+	0 .59	^	3,09	+ 0 ,33	+ 0.65
— I - 2	—	54 .03	+	7.05	—	I ,09	—	6,66	- 1 ,05	- 4,-S
0—2	+	321 ,31	—	76,68	+	18 ,40	+	71,56	+ ° .45	+ 1,93
+ 1—2	+	285 ,30	-	159.=^!	+	8' .75	+	103,12	+ 0 ,03	+ 4.25
+ 2 — 2	—	2' .54	—	37,55	+	31 ,24	+	16,99	— ° ,93	— 0,49
+ 3-2	+	10 ,91	+	15.^1	—	10 ,48	—	4,81	+ 0 ,16	+ 0,28
+ 4—2	—	4 .1'	—	7,22	+	4 ,92	+	2.32	— 0 ,08	— 0,11
+ 5-2	+	C ,54	+	4,04	—	2 .19	-	1.29	+ 0 ,02	0,00
+ 6-2	+	0 ,41	—	1.3'	+	0 ,78	+	°,57	—
+ 7 — 2	—	0 ,31	+	0.35	—	0,19	—	0,17	— —
-6-3	-	0 ,13	-.	0,20		0 ,00	-		—
-5-3		0 ,uo	+	0,03		0 ,00			—
-4-3	+	2 .19	—	3,32	+	0 ,06	-	0,02
-3-3	—	0 ,01	—	0,06	+	0 ,26	+	0,02	— 0 ,i6	- 0,05 1
-2-3	+	39 .40	—	59,89	+	0 .97	+	0.39	- 0.33	+ o.,3
-' -3	—	'34 .12	-r	190,67	+	12 .27	-	409	-45 ."	- 13-48
0-3	+	10899,41	—	16453,, 2	+	303 ."4	^	122.43	+ 32 .78	+ o.is
+ «-3	+	176 ,91	-	2482,52	+	III3 .83	—	6.43	+ 44 .70	+ 16.70
+ 2-3	—	93 ,00	+	188,49	+	6.30	+	5,19	+ 33 ,65	- 0,36
+ 3-3	+	45 .87	-	48,01	—	8 ,44	+	0.83	- I ,01	— 0.12
' 4-3	-i-	27 ,26 0 ,26	+ +	20,30 4,08	+	4.16 2 ,02	+	0,31 0,05	— 0 ,50	+ 0,07
+ 5-3	+ 0 ,06
+ 6 — 6	-	I .49	+	2,35	-	0 ,02	-	0.03	— 0 ,06
+ 7-3		0 ,00	+	0,29	—	0 ,.5
+ 8-3	+	0 ,10	—	0.:6		0 ,00
-3-4	—	0 ,iS	-	0.20	+	0 ,03	-	0,03
-2-4	+	0 ,83	■r	I,ii	—	0 ,20	-	0,20	— 0 ,04
— 1-4	—	3 .'4	—	4,8.	+	0 ,04	—	0.37	+ 0 ,2g	— 0.12

KONGL. SV. VET. AKADEMIEX.S HANULINGAK. BAND.

22. x:o 2.

93

m gerade.

f, -V„,	■ nSz	.	u cos (■
	1		sin. !
	'•"*'• ' ^'"•	(•08.		COS.
0-4	T 10", 32	-r 7.68	— 7"-04	+ 6.j6	+ 0".7 5	-r O.IO
+ 1-4	+ 43 -59	+ 41.01	-'5 -97	+ 19.27	-0 ,19	+ 1.16
+ 2 — 4	+ 2 ,40	- 5.74	— 0 ,44	+ 15.24	— 0 .29	+ 0,37
+ 3-4	- 2 -45	+ 4-33	— I ,21	- 3-35	+ 0 ,12	— 0,10
+ 4-4	+ 0, 42	- 2,, 4	+ 0 ,46	+ I-04	— 0 ,03	- 0,05
+ 5-4	- 0 -35	+ 0.90	— 0 ,20	— 0,60		0,02
+ 6-4	+ 0 .32	- 0,25	+ 0 ,05	+ 0,3'
+ 7-4	— 0 .20	+ 0,04	— 0 .01	— 0.16
-3-5	— 0 ,11		—	— 0,03	—
-2-5	+ 0 ,56	+ °-09	—	+ 0,08	—
-1-5	- 2 ,19	- 0,37	+ 0 ,10	— 0.16	—	— 0,07
0-5	+ '4 -49	+ 2,17	- 0 -50	+ 3-29	— 0 ,10	-r 0,04
+ 1-5	+ 2Z .83	— 3-04	+ 2 ,16	+ 9-II	+ 0 ,05	- 0.91
+ 2-9	+ 0 43	- 1.32	+ 0 ,lg	+ .',92	+ 0 .03	+ 0.39
+ 3-5	- 1 .51	+ 2,33	1 ,12	— 2,02	— 0 .10	— 0,28
+ 4-5	+ I .00	— 2,21	+ 1 ,31	+ 1,20	+ 0 ,06	+ 0,15
+ 5-5	- 1 .47	+ 1.00	— 0 ,62	— 0,68	—	— 0,08
+ 6-5	+ 0 -45	— 0.48	+ 0 -3»	+ 0,37	—	+ 0-04
+ 7-5	— 0 ,Z2	+ 0,21	- 0 ,15	— 0->7
+ 8-5	+ 0 -09		+ 0 ,05	+ 0,03
-3-6	— 0 ,14	-r 0.,3			—
-2-6	+ ° -79	- 0,7,	+ 0 ,01	+ 0,03	— 0 ,02
- 1-6	— 2 ,00	+ 3.42	+ 0 ,15	- 0-73	+ 0 ,99	— 0,16
0-6	+ 209 ,20	-•74.38	+ 7 -71	+ 6,02	+ 0 ,79	-0.35
+ 1-6	+ 35 M	— 69,86	+ 3' -85	+ '3-65	-7 -38	+ 3.08
+ 2 — 6	— 5 -06	+ 6,04	— 0 .22	+ O-40	— 0 ,21	+ 0.12
+ 3-6	+ 2 ,19	— '-97	— 0 ,01	— 0,64	+ 0 .20	— 0.08
+ 4 — 6	- 1 ,27	+ 0.61	+ 0 ,29	+ 0.31	— 0 .11	+ 0.05
+ 5-6	+ 0 ,69	— 0,09	— 0 ,29	— 0,02	+ 0 ,06
+ 6-6	— 0 ,19	— 0,06	+ 0 ,,3	+ 0,05	— 0 ,03	•
-7-6	+ 0 ,03	+ 0,07	- 0 ,06
-1-7	— 0 ,10			+ 0,05
0-7	-- 0 ,11			+ 0,09
+ 1—7	+ 0 -35	+ O-19	— 0 ,12	+ 0,09	— 0 ,02	— 0,02
+ 2 — 7	+ 0- 04	+ 0,24	— 0 ,20	+ 0.08	— 0 ,08	— 0,04
+ 3-7	- ° .45	- 0,38	+ 0 ,30	- 0-35	~ 0 ,07	+ 0,02
+ 4-7	t- 0 ,67	+ 0,19	- 0 ,.5	-r 0,45	— 0 .03	— 0,01
+ 5-7	- 0 ,42		+ 0 ,05	- 0.30	- 0 .03	+ 0.01 '
+ 6-7	- 0 ,25			+ 0,18		— 1
+ 7-7	- C -'S			— 0,11

94 CHARLIER, UNTERSUCHUNG ÜBER JUPITERS'l'ÖRUNGEN DE.S PLANETEN THETIS.

Tab. XXXTI. m ungerade.

									cos i
l ', -V.,.		II	^2
	COS.		SID.		COS.		sin.	COS.		sin.
0 — o	_	5625".58			-	l3S".-,4			- '^".1 ;
0— o	+	221 ,88.£			—	0 .679.4			— 0 .169.1		—
I —0	+	2424 ,95	+	1041.55	-	534 -o'	+	208.97	— 51 ,60	+	74",' 2
i — o	—	13 ,886.£	+	10,325.«	—	5 ,2o6.£	—	6,943«	+ 1 .304.4	—	I ,895.«
2 — 0	—	78 ,70	—	34-67	—	0 ,22	+	0,05	- 0 .24		0 ,00
2—0	+	0 ,452.£	—	o,339.£		0 ,00		0.00	0 ,00
3-0		0 ,00	-	0,01		•			—
-4-1	—	0 .43	—	0,46	-	0 .CO	—	0,11	0 ,10
— 3 — 1	—	3 ,08	—	J,7i	+	0 .10	—	C,53	— 0 .26
— Z— I		8 -34	—	5,03	+	0 ,37	—	',72	— 0 ,88	+	0 ,09
- I-I		23 ,68	-	•5,37	+	I ,54	-	5,89	+ 0 ,49	+	0 ,30
O-I	—	i; ,20	+	2,82	+	9 ,08	—	16.97	+ 3 .35	+	0 ,54
-f I — I	+	114 ,76	+	48,64	-	'4 ,67	+	38,57	— 0 ,99	—	2 ,64
+ 2- I	+	25 ,i8	+	12,28	—	4 ,42	+	9,84	+ 0 ,26	+	0 ,88
+ 3-'	+	10 ,71	+	4,26	—	I ,62	+	3,93	—	+	0 ,,4
+ 4-1	+	4 •3'	+	1,98	—	0 ,67	+	1,61	—	—	0 ,02
+ ?-!	+	J ,37	+	0,62	—	0 ,23	+	0,45	■ —	+	0 ,02
+ 6-1	+	0 ,27	+	0,'3	—	0 ,05	^	0,11	—
-4-2	—	1 :3 +	+	0.44	—	0 ,11	—	0.39	—	+	0 ,08
— 3 — 2	—	6 .96	+	2,+8	-	0 .8+	-	2.03	+ 0 .05	+	0 ,18
— 2 — 2		23 -6+	+	8,68	—	3 -^i	—	7.05	+ 0 .03	+	0 ,61
— I — 2		72 ,71	+	28,39	—	10 ,3,	—	23,36	+ 0 ,83	+	2 ,41
O — 2	-	350 -95	+	111,42	-	42 ,0+	-	87.88	— I .21	-	6,33
+ I —2	+	107 .06	+	48,21	—	46 .69	—	10,34	+ 1 .09	+	0 ,45
+ 2—2	+	126 ,68	—	84,69	+	43 M	—	50,95	— 0, 09	+	I ,23
+ 3-2	+	48 ,67		28,65	+	16 ,36	+	19,63	- 0,26	+	0 ,48
+ 4-2	+	21 .37	—	12.86	+	7 ,40	+	8.62	— 0 ,06	+	0 ,23
+ 5-2	+	7 -83		4-44	_^	3 ,02	+	3.39	— 0 ,04	+	0 ,10
+ 6-2	+	2 ,03	—	',53	+	0 .96	+	1,01			—
+ 7-2	+	0 ,21	-	0,25	+	0 ,19	+	0.17
-6-3	+	0 ,13	-	0,20							—
-S-3		0 ,00	—	0,03		•					—
-4-3	—	2 ,19	+	3,3^	—	0 ,06		0,02			—
-3-3	+	0 ,01	+	0,84	—	0 ,26	—	0.02	+ 0 ,16	+	0 ,05
-2-3	—	39 ,9^	+	60,09		> ,33	-	0.53	+ 0 .77	+	0 ,21
->-3	—	133 ,90	+	2«4,59		20 ,05	—	7-09	+ 44 ,27	+	•3 ,48
0-3	—	10898 ,65	+	16506,26		329 ,9»	-	121,99	-35 -56	—	0 ,98
+ 1-3	+	238 ,83	+	1851,40		1101 .45	+	10,91	— 44 ■"	—	16 .69
+ 2-3	+	91 ,82	—	27«, "5	+	36 .06	—	5-47	- 32 .35	+	0 .18
+ 3-3	+	45 ,83	—	87,77	+	10 .44		0.43	+ 0 .53		0 ,12
+ 4 — 3	+	25 -oo	—	38,4:^	+	5 -'^	+	0.23	+ 0 .90	+	0,07
+ 5-3	+	0 .1 +	—	3.82	+	2 .02	+	O.Ol	+ 0 .22		1
+ 6-3	+	I ,+9	-	2,4'	+	ü ,02	+	0,03	+ 0 ,06
+ 7-3		0 .00	—	0.29	+	0 ,'5
+ 8-3	—	0 ,10	+	0,16		•			'

KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAK. BAND. 22. N:0 2.

m ungerade.

95

						U	1
e, X,„	nOz				009 i
eo9.	sin.	COi.	sin.	C09.	sin.
-3-4	+ 0",I2	+ 0,04	- 0",i3	+	0,11
— 2 — 4	+ 0 .77	+ 0,29	— 0 ,62	+	0,56	+ 0",og
-1-4	+ 2 .14	+ 1,87	- 1 ,80	+	J.99	+ 0 ,18	+ 0,02
0 — 4	r 14 ,92	+ 17,82	- Z ,94 j	+	4,26	- 0 ,73	+ 0,50
+ I —4	+ 33 -71	- 35.35	+ 0 ,01 1	—	13.77	— 0 ,41	— 0,66
+ 2-4	- 25 ,18	— '4.'4	+ 8 ,24	—	15.2+	+ 0 ,21	— 0,89
+ 3-4	- 4 :6l	- 6,21	+ 3 .59	—	>.99	+ 0 ,16	— 0.22
+ 4-4	- 3 .56	- 3.20	+ I ,82	—	1.76	+ 0 ,03	- 0,13
+ 5-4	- 1 ,63	- 1.5^	+ 0 ,86	-	0.82	—	— 0.06
+ 6-4	- 0 ,58	- 0.57	+ ° .33	-	0,29	—
+ 7-4	- C ,12	— 0,14	+ 0 .09	—	0,06
-3-5	+ 0 ,11			+	0,03	—
-2—5	+ 0 ,68	+ 0,01		+	0,24	—
— 1 — 5	+ 2 .79	+ 0,11	+ 0 ,06	+	1,08	—	— 0,01
° — S	+ «7 .71	+ 0.93	+ 0 ,14	+	4.75	— 0 ,06	+ 0,36
+ 1 — 5	- 2 ,65	— 4,68	+ • .95	+ ■	2.47	+ 0 ,15	+ 0,91
+ 2 — 5	- '4 .9'	+ 4.32	- 2 ,76	—	7.16	- 0 ,,3	— 0.71
+ 3-5	- 4 .65	- 1.3'	+ I ,96	—	1.58	+ 0 ,04	— 0,18
+ 4—5	- 3 ,'o	+ 0.37	- 0 ,37	-	1,22	+ 0 ,02	-- 0,11
+ 5-5	- 2 .13	+ 0,2«	— 0 ,16	—	0,58	—	— 0,06
+ 6-5	- 0 .55	+ 0,12	— 0 ,08	—	0.23	—	+ 0.02
+ 7-5	— 0 ,14	+ 0.05	- 0 .03	—	0,05
+ 8-5			— 0 ,01	+	0,01	—
-3-6	+ 0 ,16	- 0.,3	—	-	-—	—
-2-6	+ 0 ,91	- 0.77	4 0 .05	+	0,03	+ 0 ,02
-I -6	+ 6 ,02	- 3.30	+ 0 ,47	—	°.4;»	+ I ,01	— 0.16
0-6	+ 210 ,00	- 176.74	+ 8 ,91	+	6,60	+ 0 ,41	— 0,21
+ 1-6	+ 15 ,76	— 52.92	+ 3° .99	+	I3.°5	— 7 .44	t 3,10
+ 2-6	- 7 .60	+ 11,86	— 3 .20	—	0,86	+ 0 .45	— 0,18
+ 3-6	— 4 .25	+ 3.°7	— 0 ,13	-	0,84	+ 0 ,16	— 0,08
+ 4 — 6	- 2 ,05	+ 2,61	- 0 ,77	—	0,07	+ 0 ,11	— 0,05
+ 5-6	- 0 ,97	-r 1,15	— 0 ,29	—	0,10	+ 0 ,06
+ 6-6	— ° .39	+ 0,46	- 0 ,13		0,05	+ 0 ,03
+ 7-6	— 0 ,11	+ 0,13	— 0 ,04	-
-1-7	^ 0 ,10			-	0,05	• —
0-7	— 0 .37			+	0,09	—
+ 1-7	— 0 ,21	- 0,,5	+ 0 ,10	-	0,03	+ 0 ,06	T 0.02
+ 2-7	+ 0 ,56	+ 0,46	— 0 ,38	-	0,42	— 0 ,10	— 0,04
+ 3-7	— ° .53	— 0,06	+ C ,02	—	0.35	— 0 ,01	— 0,02
+ 4-7	+ 0 ,.5		+ 0 .03	—	0,2I	— 0 ,01	+ 0,01
! + 5-7	0 ,02		— 0 ,03	—	0,02	- 0,0.	— 0,01

96

CHARLIER, UXTERSUCHU.VG ÜBER .TUPITEKSTÜKUNGEN DE.S PLANETEN THETIS.

Diese Koefficienteii sind naeh der p. 78 angewandten Methode kontrollii-t wui'den,

wie überhaupt die ganze Rechnung nach dem dasell)st gegebenen Verfahren ausigefiihrt

worden ist. Die Kontrollen, die ich für diese Transformationen erhielt, sind in den fol- genden Tafeln zusannnentiestellt.

Tab. XXXVII.

i-adt

■'	»	Sz		'■			« cosi
COS.	sin.		COS.	sin.	COS.		sin.
I	- I55":30	S8,+i		I7''.i;	'- 4"--f	> -'.9j		— i.i6
2	+ 552 -6»	- 258-34	+	J23 .54	+ •83.95	— I .11		+ 2,18
3	+ 10910 ,19	— 18640,98	+	1430 .36	+ 126,25	+ 66 ,70		+ 3,80
4	- 51 58	+ 4'>95	-	24 .49	+ 27.49	+ 0 ,60		+ 1,42
5	34 .97	- 1,67	+	I ,72	+ 12.95	— 0 ,06		+ 1,10
6	-r 240 ,06	— 236.90	+	.39 >56	+ 19.07	— 5 .71	1	+ 2.66
7	+ 0 ,03	+ 0,21	—	o„5	+ 0,21	— 0 ,04		0,00

Tab. XXXVIII.

m gerade. Kontrolle.

''	nSz	,.		cos i
COS.	sin.	COä.	sin.	COS.		sin.
1	+ iS5",^9	88,67	- 17".' 2	+ 47.79	- 2".96		- '.25
2	+ 5?2 ,62	- 258,37	+ «23 .47	+ 183.93	— I ,12		+ 2,09
3	+ I09I3 .29	— 18642,89	+ 1430 .42	+ 126,19	- 66 ,:■		+ 3.67
4	51 ,66	+ 41.97	- 24 ,4.	+ 27,57	+ 0 ,56			• 1.44
3	+ 35 .01	- 1.70	+ I ,69	- '2,95	— 0 ,06			+ 1,06
6	+ 240 .04	— 236,84	+ 39 .61	+ «9:03	- 5 .67			-^ 2,66
7	— 0 ,01	0,,7	- 0 ,23	+ 0,21	— 0 ,04			0,00

Tab. XXXIX.

m ungerade. « = 0.

,■		Jz	V		COS i
COS.	sin.	C-nS.	sin.	.in.
1	+ 95".84	+ 58.39	- 10", 58	+ 29,30	-r r',83	— 0,70
z	— 141 ,86	+ 66,54	- 3« .64	- 47.29	+ 0 .35	— 0,64
3	-10671 ,53	+ 18233,80	- 1399 .26	- 123.49	-65,24	-3.58
4	— 50 ,66	- 4'.>5	+ 23 ,99	+ 26,99	— 0 ,48	-1.42
5	- 6.09	- C.25	— 0 ,30	- 2,25	-r C ,02	— 0,16
6	+ 217 ,48	— 214,66	+ 35 .86	+ 17.27	- 5 .'9	+ 2,42
7	^ - 0 ,,3	- 0,29	— 0 .29	+ 0,29	— 0 ,06	0,00

K'iNdL. .SV. Vr.T. .XK.XDKMIKN.-^ IIANDMNG.^H. I!.\N1)

22. NU 2.

Tab. XXXX.

iii iiii^era(k'. Koiitrulle.

1 i nä.	'•	cos i
'•OS. sin.	!
1 - 9f .S- 58.47 2 — 141 .86 - 66.43 3 — 10674 -67 + 1*^235.67 4 — 50 .62 — 41,11 5 — 6 ,15 1 + 0,28 6 - 217 .48 - 214,56 7 — 0 ,13 4 0.25	- 10', 5 8 - 29.47 — 31 ,63 — 47.35 -1399,20 - 1Z3,43 + 23 ,9, - 27,c. - 35 -93 + '7.25 — 0 ,29 - 0,27	- l".84 - 0 .34 - 6; .25 - 0 .54- - 0 ,02 - 5 •'3 - 0 .c6	— 0,75 — .1-59 — 1,42 — 0.18 — 2.42 O.oc

IVi praktisclicr Anwemlmig (■in])ticlht Fun 11 zn schveibcn

<icli, die (il)i<rcii llcihcii unter der tolüendeii

F =- C'„ + 6\ cos >■ + C, cos !>* + ... + N, sin h + ,s; sin 2* +

wo die (irössen (' und 5 Funktionen nur von A,„ sind, und iils(j wahrend eines halben rmlaufes des Planeten konstante Werthe haben. L^a die Ausdrücke die.ser Koefficienten, nach den Vielfachen von X« entwickelt, aus den gegebenen Reihen durch eine sehr ein- fädle Rechnung erhalten werden, so ist es unnöthig, dieselben hier abzudrucken. Icli bemerke mn-, dass man am beiiuemsten verfährt, wenn man gleichzeitig mit dieser Rech- nung Glieder von der Form C . ^, C^ . s cos f-, S, . t sin *, 6\ . * cos 2*, C, . * sin 2* nach den Vielfachen von * entwickelt, was leicht mit Hidfe der Gyl^^'^n**'^'!''" Reihe für * ge- schehen kann.

Um die praktische Furni, die man durcli Einführen des Argumentes Am für die Störungen l)ekommt, mit einem Beispiel zu beleuchten, theile ich hier den Ausdruck für «»)>. im Falle m = 2, mit:

?i(h

—	IMH",-
+	ik; ,-	cos *— 4S3,	.' sin *
+	Kl ,'	eos 2^ + 233,	siTi 24
—	2(; ,	cos 3* — 75,	> sin 3*
+	'1 ,'	cos 4* -|- 4.),	' sin 4"^
+	2 ,"	cos 5* — 2,	1 sin .')*
+	• ,'■	cos (ii -|- 3,	1 sin (^l■

— I) ,J cos 7*

0,.-> sin li- .

K. Vet. Akad. Hanrtl. ß. •>■!. N:o 2.

13

98 ClIAKLIER, UNTERSUCHING i"BER Jl P1TEK8TÖIU NGEX DES l'LAKETKN THETIS.

Durcli dii- zii\(>rkornineiide (Tt'fälligkt'it des Herrn l'rof. Tiet.ien in Berlin ist es mir möglich gewesen, die erhaltenen Ausdrücke der Störungen mit den von dem eben abgestorbenen I):r Maywald erhaltenen si)eciellen Störungsausdrücken zu \ergleichen. I)a die grössten Stönuigcn in der Perilielii-Länge \orkamen, theile ich das Resultat der \'er- »■leichung zwischen dem aus Tab. XXIX erhaltenen \A'erthe des F mit dem von Dir May- wald erhaltenen mit.

Tab. XXTX giel)t für ISS.'i Dec. S.n

7'= 201",:. Dagegen erhält D:r Maywald aus der speciellen Stnrungsrechiuuig

r= i7r,4.

Die Differenz ist, wie mir scheint, nicht gi'össer, als man es bei einem Planeten erAvarten könnte, der, wie Thetis, Störungen hat von der Ordnung der Excentricität «U-r Keplerschen Ellipse.

h

■^. Om Vesterfjöllands Cambriska och siluiiska aflagriDgar; af J. G. 0.

LiNNAESsoN. (med 2 taflor) (90 3id.) 2,oo.

3. Jodgaseus absorptioBSspektium; af RoB. Thalen. (med 3 taflor). (12 sid.) 1,00.

4. Flora fossilia Alaskaua. Fosaile Flora von Alaska; von Osw. Heee.

(mit 10 Tafelu) (42 sid.) 3,00.

5. Bidrug tili küunedomen om Beeren Eilands och Spetsbergens Insektfauna;

-■V. E. Hoi.MGKiiN ' (56 sid.) 1,50.

6. Recherche« experimentales sur la marche d'inteusite des courants d'inductiou voltaique; pur K. S. Lemström. (avcc 4 plauches) (86 sid.) 2,50.

7. Die miocene Flora und Fauna Spitsbergens ; vou Osw. Heer. Mit einem Anhang über die Deluvialen Ablagerungen Spitsbergens. (mit 16 Tafeln) (98 sid.) 5,oü.

8. Magaetiska observatiouer under Svenska Polareipeditiouea Sr 1868; af

K. S. liEMSTRÖM , (48 sid.) 1,25.

9. Meteorstensfallet vid Kessle den 1 Januari 1869; af A. E. NoRDENSKiÖLD.

(med 2 taflor) (14 sid.) 1,00.

10. Omelektriciteteusomkosmiskkraft;afK. A.Hoi.MGUEN. (medltafla).(46sid.) 1,50.

11, Metcorologiska iakttagelser, anstallda pJiiJee;-eii £i/a«rf viutern 1865 — 1866 al" S. ToBiESEN, och iuom Norm l'olarhafcet sommaren 1868 af F. W. v. Otiek och L. Palander; meddelade af .\. E. Nordenskiöld (20 sid.) 0,75.

Nionde Bandet (1871, 1$72). Füllst. 20 Rdr.

1. Euumeratio Hemipterorum. Uidrag tili cn förteckning ofver alla hittills kända Hemiptera, jemte systera. meddel. l:a afd., af C. STÄt, (232sid.) 4,oo.

2. HvaUljuriSveriges Museer är 1869; af A.W. Malm. Med 6 tafl. (104 sid.) 4,00.

3. Undersökning af Planeten Pandoras rörelse; af A. MÖLLER (122 sid.) 3,oü.

4. Om salthalteu i hafsvattnet utmed Bohuslänska kosten; af L. F. Ekman.

Med 1 tafta (44 sid.) l.oo.

5. Fossile Flora der Biireu-Iusel; VON Oswalu Heer. Mit 15 Tafeln. (51 sid.) 5,00. ij. .\ Dcfcriptiou of the Anthozoa perforata of Gotland; by G. Lindsteöm.

With 1 Plate...: (12 sid.) 1,50.

7. Gcoiiuostiska och palfeontolologiska iakttagelser öfver Eophytonsandstenen

i Veslergötlaud ; af J. G. O. Linnaksson. Med 5 taflor (19 sid.) 2,50.

ö. Skandinaviens Neuroptera; af H. D. J. Wallengken. l:a Afdcln. Neu-

roptera planipennia (76 sid.) 2,00.

9. Oni geometriska ytor, af A. V. Bäcklunu (64 sid.) l,so.

lU. Bidrag tili künnedomcn af den jordmagnetiska iotensiteten och ir.kliiia-

tiooen i mellersta och tödra Sverige af G. Lundouist (5(j sid.) 1,50.

11. Om Nerikes hifvegetation; af P. J. Hellbom (91 sid.) 2,00.

VI. On the gcology of the North-Easteru West India Islands; By P. T.

Clevk. With 2 plates (48 sid.) 1,50.

13. Beäkrivelse af de pa Fregatten Josephines Expedition fände Cumaceer;

af G. 0. Saks. Med 20 lavier (57 sid.) 5,00.

14. Kecherches sur la force Älectromotrice dans le coutact des m^taux et sur

la modificatioudecetteforceparlachaleur; parE.EuniND. Aveclpl.(44sid.) 1,50.

15. Om clektriciteten soni kosmisk kraft. II; af K.-^.HoLliGKEN. 2:a h.(123id.) 0,75.

Tionde Bandet (1871). Füllst. 12 kr.

1. Forsök att teoretiskt bestämma krutets verkan i kanoner; af Fab. Weede. Med 8 taflor (42 sid.) 3,"0.

2. Om Arseuikeus snlfurer och deras föreningar; af L. F. NiLSSON. (85 sid.) 2,0U.

3. Teori för algebraiska eqvationers rötter; af 0. F. E. Björling. Med

3 taflor (53 sid.) 2,00.

4. Euumeratio Hemipteroi>um. Bidrag tili enförteckningöfveralla hittills kända Hemiptera, jemte systematiska meddelanden. 2:aafd.; af C. StÄl (159 sid.) 3,00.

5. Om aläöndriugen af vhxtslem Uli kropparne hos familjen Polygoiiete Juss;

• af P. G. Theorin. Med 1 tafla (39 sid.) 1,00.

6. Om |iroportiouen mellau köuen bland de födde oeh inom den stäende befulkuini;en, med hünsyn tili Sverige och dess .provinsiela olikheter; af

Fe. Th. BiKG. Med 3 taflor (40 sid.) 3,oo.

7. Descriptioii d'un miit^orographe (Srepistrenr imprimeur construit aux frais

du Gouvernement Suedois; par A. G. Theoeell. Avec 3 planches. (10 sid.) 2,00.

8. Bidrag tili käuuedomen af Grönlands Laminarieer och Fucaceer; af J. G. Agaedh (31 sid.) 1,00.

9. On ammoniacal Platinnm Bases; by P. T. Cleve (107 sid.) 2,00.

10. Sveriges Podurider; beskrifna af T. Tullbkrg. Med 12 taflor (70 sid.) 4.50.

11. Floridan Brvozoa, collected by Count L. F. DE Pourtales, described by

F. A. Smitt. Part. I. With 5 plates (20 sid.) 2.50.

12. Jordmagnetiska bcstämningar i Sverige nnder Sren 1869—1871; af Ro- BEKT Thale.v. Med 2 taflor (80 sid.) 2,00.

13. Observationer üfver jordmagnetiska horizontalintensiteten och Inklinationen

inom Vesterbotten uch Lapplaod; af L. A. Foessman (26 sid.) l,oo.

Elfte Bandet (1872-1876). Füllst. 25 kr.

1. Om summation af periodiska funktioncr; af H. Gylden (15 sid.) 0,75.

2. Enumeratio Hemipterorum. Bidrag tili en förteckning öfver alla hittills kän- da Hemiptera, jcmtesystematiskameddelandcn; afC.STAL.3:eafd. (163sid.) 4,no.

3. Mikrometrisk beslänuiing af 104 stjernor inom stjerngruppeu 20 Vulpe- cuIk; af Dr IIekman Schultz. Med 1 karta (78 sid.) 3,00.

4. Floridan Bryozoa, coilccled by Count L. F. de Pourtales, described

by F. A. Smitt. Part 11. With 13 plates (83 sid.) 5,00.

5. Beskriveläc af syv uye Cumaceer fra Vestindien og det Syd-Atlantiskc

.^ Ocean; af G. 0. Sars. Med 6 Tavler (30 sid.) 3,oo.

•••Om Cumaceer fra de störe Dybder i Nordishavet; af G. O. Saks. Med

«Javier - (12 sid.) 2,00.

'uäes sur li;s Echinoid^cs; par S. LoviN. Aveo 53 planches et explications.

• (91 sid.) 18,00.

V-trici: tun som kosmisk kraft. III; af K. A. Holmgken. Med

(43 sid.) 1,50.

9. Integration af vissa i störingstheoriu förekommaude differeutialformler;

af Hugo Gylden (95 >id.) 2,oo.

Tolfte Bandet (1873). Füllst. 15 kr.

1. Euumeratio Hemipterorum. Bidrag tili en förteckning öfver alla hittills kän- da Ilemipterajemte systematiska meddelauden; afC.STAL. 4;eafd. (186»id.) 3,5u.

2. Bidragtillkunuedomenal'Sverige3klimat;af E. Edlund. Med2kartor(17sid.) 2,00.

3. Beiträge itur SteinkobKuüora der arctischeu Zoue; von 0. Heku. Mit

6 Tafeln (11 sid.) 2,ou.

4. Om Spectra tillhörande yttrium, erbiam, didym och lanthan; af T. R. Thalän. Med 1 tafla ...'. (24 sid.) 1,00.

5. Undersökningar öf. metallen berylliumsföreDingar;af A. Attekbeug 38sid.) 1,00. 6- Die Kreideflora der arctischen Zone, gegründet auf die vou den schwe-

discheu Expeditionen von 1870 und 1872 in Grönland und Spitzbtr^'en gesammelten Pflanzen; von 0. Heek Mit 38 Tafeln .\bbildnngen (138 siJ.) 7,oo.

7. Observations raiteorologiques de lExpedilion arctique sn^doise 1872 — 1873, redigees par A. Wukandek. Avec 1 planehe (120 sid.) 2,00.

8. Theorie des phenomtnes ^lectriques; par E. Edlund (73 sid.) 1,60.

9. Vexillaria speeiosa, N. Sp. Ett bidrag tili .^ppeiidiculariornas analomi;

af G, Eisen. Med 3 taflor (15 sid.) 1,5(>.

Trettoude Bandet (1876). Füllst. 20 kr.

1. Bidrag tili käuuedomen am Peunatulidslägtet Renilla Lamk; af G. Eisen.

Med 3 taflor (15 sid.) 1,50.

2. Nachträge zur miocenen Flora Grönlands, enthaltend die von der schwe- dischen Expedition im Sommer 1870 gesammelten miocenen Pflanzen;

von Oswald Heer. Mit 5 Tafeln (29 sid.) 2,50.

3. Om Pennaiulidslägtet Unibellula; Cuv.; af JosuA Lindahl. Med 3 taflor (22 sid.) 1,75.

4. Ueber eine vollständige geometrische Darstellung einer Gleichung zwischen

zwei veränderlichen Grössen; von C. Y. E. Björli.ng. Mit 1 Tafel (40 sid.) 1,75.

5. Descriptions of several European and North- Africau spiders; by T. Tuo-

RELL (204 sid.) 7,75.

6. Descriptions des Echinides terfiaires des lies S:t Barthelemy et Angoilla

^ par M. CoTTEAU. Avec 8 planches (48 sid.) 4,00.

7. Musei et Hepaticse Spetsbergenses. Bericht über die Untersuchung der Moosflora Spitzbergens und Beeren-Eilands während der schwedischen Expeditionen 1864 und 1868 und Verzeichniss der dort gesammelten Arten; von S. Berggren (103 S.) 4,00.

8. Undersökning af mossfloran vid Disko-bugten och Anleitsivikfjorden i Grönland; af S. Berggren (46 sid.) 1,80.

9. Astronomiska observationer under den svenska arktiska expeditionen 1872 —

73. I.Tids- och ortbestämningar, sammanställdaaf Aug. WijKANDEE(558id.) 2,25.

10. Nederbördsmängdeu i Sverige, härledd ur de vid Statens meteorologiska stationer under ären 1860 — 1872 anställda iakttagelser; af K. Rubenson.

Med 5 taflor — (29 sid.) 2,50.

11. Observationer öfver vattenhöjden vid Sveriges knster, bearbetade af L. A. Foessman. Med 1 tafla (23 sid.) 1,25.

12. Dispositiosynoptica MesoleiornmScandinavise: auct. A. E. Holmgeen (51 sid.) 2,00.

13. Musci et Hepaticse Finraarkiie circa sinnm Altensem crescentes; auctore

J. E. Zetterstedt (42 sid.) 1,50.

14. Musci et Hepaticse Gotlandise; auetore J. E. Zetterstedt.. .. (42 sid.) 1,50.

15. Observations magniliques, faites pendant l'expedition arctique eo^doise en 1872—1873, ridigies par Aug. Wijkandee. I (121 sid.) 4,50.

Fjortonde Bandet. Första haftet (1876). Fällst. 18 kr.

1. Bidrag tili Skandinaviens Helrainthfauna I; af P. Olsson. Med 4 taflor (35 sid.) 2,00.

2. Recherches sur le Phascolion Strombi (Mont.); par Hj. Theel. Avec 3 planches (32 sid.) 2,00.

3. Bidrag tili Sveriges fossila flora; afA. 6. Nathokst. Med 16 taflor. (82 sid.) 5,50.

4. Euumeratio Hemipterorum. Bidrag tili en förteckning öfver allahittillskän-

da Hemiptera, jemte systematiska meddelauden ;afC.STAL.5:te Afd. (162sid.) 4,50.

5. Beiträge zur fossilen Flora Spitzbergens, gegründet auf Sammlungen der Schwedichen Expedition vom Jahre 1872 auf 1873; von Osw. Heer. Mit einem iViihang: Uebersicht der Geologi des Eisljordes und des Belsoundes vom Prof. A. Nordenskiöld. Mit 32 Taf (141 sid.) 10,00.

Andra haftet (1876). Füllst. 12 kr.

6.. ContribatioDs to the Actinology of the Atlantic Ocean; by G. Lind- ström. With 3 plates (26 sid ) 1,75.

7. MSnads- och Srsmedia af temperaturen pS Statens meteorologiska sta- tioncr under Sren 1859—1872; af R. Rube.vson (22 sid.) 0,75.

8. Memoire sur l'Elpidia. Nouveau genre d'Holoturies; par Hj. Tiieel.

Avec 5 planches (30 sid.) 2,S5.

9. Untersuchung über die Wärmeerscheinungen in der galvanischen Säule,

Hud über die elektromotorichen Kräfte; von E. EniOND (24 sid.) 1.25.

10. Om storleken af temperaturens dagliga vtration i Sverige; af R. Ru- benson (33 sid.) 1,00.

11. Den hithörande handlingenhar afförekommenanledningblifvitpostponerad.

12. Sibiriens land- och sötvattens mollusker I; af C. A. Westeblund. Med

1 tafla (111 sid.) 3,00.

13. Om Sveriges vigtigare diabas- och gabbro-arler; af A. E. TÖEKS- BOHM ._. (fiB 8id.) > 50.

14. Om trias-försteningar frSn Spetsbergen ; af P. Öbkrg. Med 5 laflor il9 sid.) 2,00.

15. Observations magn^tiqnes, faites pendant reipedilion arctique so^doise

en 1872-1873. II; par A. Wijkanueu. Avec 14 planches (53 sid.) 5,50.

Femtonde Bandet (1877). Fällst. 35 kr.

Iryologica montium Kuanehcig et liuUebcrg, uuctore J. £.

tnT (35 sid.)

ling af Planeten Pandoraä rörclse, andra ardclnin^en, af Axel

■ .. (230 8id.)

lile Pflanzen von Nowaja Semljs, von Oswald Heeh. Mit 1

1 .JUl __ (6 »id.)

ur miocenen Flora von Sachalin, von Oswald Heer. Mit 4

ln~iJl (11 9id.)

des anrores bor^ales observ^e» en Siii^dc depnis le XVI^i aiicie iinnOe 1877 y coinprise, röiligi par 11. Kubenson. T^ partie

M99) , , (184 sid.)

. ecMas niorpbologi, af J. G. Aoaiidii. Med 33 tn&or... (199 sid.)

aeM)ligochtct^ eolleoted dnrinj; the Swcdish expeditions lo tbe

|o rBions io the years 1870, 1875 and 1876, by Gustaf Eisen.

\ le^lates C49 sid.)

'■'. Sextonde Bandet (1S78). Füllst. 18 kr.

urchöi «ur l'indootiou unipolnire, i'dlectrieit^ atiiiosphiriqne et l'aurore

ble. p'ar E. EdI-u.vü (36 sid.)

rsigt öfver de af svenska eipeditionerna tili Novaja Semlja och »ei 1875 och 1876 insumlade hafsmollusker, af WtiHELM Leche.

,1' t^or (85 sid.)

»nOMdes pol.vchete8 des raers de la Nonvelle-Zemble, par Hj. THfcBL.

4 oRncbes ? (75 sid.)

\f: Uli Xordvestra Sibiriens insektfauna, Heniiptera Heteroptera, in- nder eipeditionerna tili Obi och Jenisci 187G och 1877, för-

f John Sahlbeko (39 sid.)

aus Sibirien und Nowuju Semlja, eingesammelt von der eiliajten Expedition im Jalire 1875, beschrieben von Doclor L. KocK.

'ein (136 sid.)

ing af badgytjan ml Marstrand, af N. P. Hambero (32 sid.)

lg nl Sveriges fossilu flora. II. Floran vid Höganäs och Helsing-

A. G. Natuoust. Med 8 taflor (53 sid.)

Sjuttonde Bandet (1879). Füllst. 30 kr. 50 örc

Bahn tiues materiellen Punktes, der sich unter dem Kin- B einer Cenlralkraft von der Form: '-J- + /t, i' bewegt. Von H. GvL-

(67 sid.)

'äge zur Kenntniss der arctischen Diatomeen, von P. T. Cleve und

Iriinow. Mit 7 Tafeln nebst Erklärungen (181 sid.)

Sveriges Hydrachnider, af C. J. Nei;man. Med 14 taflor (123 sid.) ag tili Nordvcstra Sibiriens insektfaana. Coleoptera, insamlade under ditionerua tili Obi och Jenisei 1876 och 1877, fürtecknade af JoUM

,BEBG. I. Med 1 tafla (115 sid.)

tagen af författaren.

ographia .Vrthoniarum Seandinavise, auctore S. .\i.Hau[ST. (69 sid.)

Adertonde Bandet (1880). FulKst. 25 kr.

logue des aurores boreales observöes en Suide depuis le XVl:me jusqu'Ä l'annie 1877 y comprise, ridig^ par R. Rubenson. 2:de

e (18UO-1877)

itrhge zur fossilen Flora Grönlands von Dr Oswald Heer Prof.

6 tafeln

tagen uf forfuttaren.

optera insamlade under den Nordenskiülilska eipeditionen 1875 p&

a öur vid .Norges uurdvestkiist, pä Novaja Semlja och ön Waigatsch

t vid Jcniaej i Sibirien, af Fk. W. Maki.in

jome new and little known diatoms, by P. T. Cleve. With 6 plates les integrales d^fini^s des fonctions d'une Variable complei. Par

N UlLLNKE

spir if MÜgra evertebrerude djur m. m. och derns pulieoutologiska deli^. Af A. G. Nathohst, Med 11 taflor. [ed öfverHÜttniug tili Franska spriiket:

loire sur quelques traces d'animunx sans verti;bres etc. et de leur ie paleontologique par .A. G. Naihoust

>'ittonde Bandet (1881). Första haftet. 20 kr.

aflryck af medusor i Sveriges kuinbriska lager, af A. (). .\athorst.

6 tatlor (34 sid.)

la r^sistance electrique du vide. Par E. Edlund . (18 sid.)

lien über den Bau und das Wuchsthuni des Hummerspanzers und Molluskeuschalen. Von TvcHo Tullbkbo. Mit 12 Tafeln (57 sid.) reticiilarian Rhizopoda of the Ciiribbcnn Sea. By .A. GoKs. iLitea (150 sid.)

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4,00. 14,00.	1. 2.
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Bihang	tili	K. Svenska Vetenskaps-	Akade	mien
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Receusio critica Lepidopterornm Mnsei l.ndovicse Ulricse, qnse deseripsit Cauolus a Linnk. Auetore P. 0. Cur. Aurivillius. Cum tabula colorata (188 sid.) 6,75.

Nlttonde Bandet (1881). Andra haftet. 26 kr.

On the Silurian Gastropoda and Pteropoda of Gotland, by G. Lindström

Wilh 21 plates (250 sid.) 14,75.

(Jii Püurlalesia a Genus of Echinuidea, by Sven l.oviN. With 21 plates (95 sid.) 13,00.

Tjiigonde bandet (1882 och 1883). Första haftet. 22 kr.

Uecherches snr le passage de l'electricitö & travers l'air rardli^. Par E.

Edlund (20 sid.) 1,00.

Contribntions i la flore fossile du Japon. Par A. G. Nathobst. Avec

16 planchea '.. (<)2 sid.) -9,60.

Jordmagnetiska bestämningar i Sverige ander &ren 1872 — 1882. Af RoB.

TliAL^N. Med 1 tafla • (66 sid.) 2,00.

Zur Anatomie der Beckenregiou bei Insectivora, mit besonderer Berück- sichtigung ihrer morphologischen Beziehungen zu derjeüiiicu anderer

Säugethiere. Von Wilhelm Leche. Mit 10 Tafeln (113 s.) 9,00.

Se Band 20. Hafte 2.

Nya bidrag tili käonedomeo om Spetsbergens karlväiler och dess växt- geogiafiska förbällanden. Af A. G. Nathohst. Med 2 kartor. (88 sid.) 4,00. Sur la grandeur de l'inductiou unipolaire de la terre. Par E. £dli;nd

(14 sid.) 0,50. Tjngonde bandet (1882 och 18S3). Andra haftet. 22 kr.

The Algse of the arctio Sea. -A survey of the ^peoies, togcther with au exposition of the general chaiacters und tl c dcvcinpnient of ihe flora. By F. R. Kjellma.n. With 31 plates ' (344 sid.) IH.oo.

Se Band 20. Hafte 1.

Nonlands li.fvar. Af P. J. Hellbom (131 sid.) 3,50.

Report ou fragments of fossil fishes tVom the palseozoic strata of Spitz- bergen. By E. Ray Lankesteu. Wiih 4 plates (7 sid.) 4,00.

Tjugnförsta bandet (1884 och ISS.i). Första hiiftet. 50 kr.

V. IJuNiKowsKi, Emil. Ueber Permo-Carbon Schwämme von Spitzbergen.

Mit 2 Tafeln (18 sid.) 1,75.

DuN^B, N. C. Sur les Etoiles h spectre de la troisiime classe. Avec

une planche (137 sid.) 6,50.

Hjeltström, S. A. Om nederbördens förändringar inom Sverige under

sommarhalf&ret. Med 2 taflor (IJO sid.) 2,C0.

Lindman, C. Om postflorationen och dess betydelse sisom skyddsmedel

för fruktanlaget. Med 4 taflor . (81 sid.) 4,75.

ßovALLius, C. Contributions to a monograph of the Amphipoda Hy- periidea. Part 1: 1. The families Tyronidse, Lanceolidfe and Vibilidee.

With 10 plates , (72 sid.) 6,00.

Fkistedt, K. Bidrag tili kiinnedomen om de vid Sveriges vestra kust

lefvande Spongiae. Med 4 taflor (56 sid.) 3,75.

WiREN, A. Om circulalions- och digestionsorganen hos Aunelider af familjerna Ampharetida:, Terebellidae och Amphictenidse. ^Hed 6 taflor

(58 sid.) 5,60. Sjutt, f. A. Kritisk förleekning öfver de i Riksmusenm befintliga

Salmonider (290 »id.) 25,00.

Med 6 taflor och 13 tabeller i särskildt hafte. Folio.

Tjugruförstn bandet (1884 och 1885). Andra haftet. 24 kr.

TuoKELL, T. and Lindsteom, G. On a silurian Scorpion from Gotlaud.

Wilh 1 plale (33 sid.) 2,00.

Edlund, E. Recherches sur la foroe clectromotricc de l'itincelle dlec-

trique (14 sid.) 0,7.1.

Leche, W. Ueber die Süugethier-G.ittung Galcopithecus. Mit 5 Ta- feln :.:^.'. (92 sid.) 5,60.

Wille, N. Bidrag til Algernes physiologiske Anatorai. Med 8 Tavler

og flere tabeller (104 sid.) 7,50.

Appellöf, A. Japanskii Cephalopoder. Med 3 taflor (40 sid.) 2,2.'>.

Nathobst, A. G. Nouvelles ubservutions snr les traces d'animaux et autres ph^noin^ncs d'origine purement mccanique diicrits comme ■ A1-

gues fossile»'. Avec 5 planches (5'< sid.) 8,00.

AUBlviLlliJS, Chk. Revisio monogrnphica .Microceridarum et Proto-

mantiniirum. Försök tili en monogratisk bearbetning af Curculionid-

grnpperna Microcerida; och Piotomantiua;. Med 10 taflor ... (87 sid.) 8,60.

Stertagen af författaren.

van't Hopi", J. H. h'i'in de l'equilibie chliiiique .l;ins Tctal diluc, gu-

zeux Ott dissous . (Ö8 sid) 2,90.

Iiäft. ... 10,011. 11 :e ßaiulft.

i^our r^tranger s'adresser k

Rudolph Hartman, Leipzig.

13,00. 12:e 10,00. 15,0.1. 8,00. 12,00. 15,00.

B. Frledlftnder & Sohn, Bei-liu.

P. A. Norstedt Ä S^

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