VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN BERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen.) DEEL XII Met 16 platen en 2 tabellen. AMSTERDAM — JOHANNES MÜLLER 1915—1919 California Academy of Seiences RECEIVED BY EXCHANGE oF 1 VAN . WETENSCHAPPEN EERSTE SECTIE 1 2 Da 4 é i 2 Viskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - < pa Weerkunde en Ingenieurswetenschappen.) 4 ' td aes 2 B DEEL XII | wt Oly / mr: Met 16 platen en 2 tabellen. à af EJ 4 ; : f } ‘a | à € cs | : 8 4 {| | { KE / CIT FINE F An * Tan _ AMSTERDAM — JOHANNES MULLER ares 19119197 KR: a Gedrukt bij Jon. Exscrapé EN Zonex. — Haarlem. x ER SE vaN Oss. Die regelmässigen ele Polytope höherer | Art. (Mit 6 Tafeln). ie (Verschenen October 1915). 8. P. H. Somoure. Analytical treatment of the polytopes regularly derived à from the regular polytopes, published by J. Carpinaar. ; | (Verschenen April 1916). inte 8. B. P. Moors. Suite à V,, Étude sur les formules servant à calculer des | valeurs approximatives d’une intégrale définie.” a: | (Verschenen Augustus 1917). 4. Apert P. Maruews. The value of a of vaN per Waars’ equation and the nature of cohesion. Verschenen November 1917). : ee ne 5. L. E. J. Brouwer. Begründung der Mengenlehre unabhängig vom | a logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil. Allge- ery. ¢ meine Mengenlehre. , (Verschenen Maart 1918). 6. J. A. Scuourex. Die direkte Analysis zur neueren Relativitätstheorie. oh (Verschenen Februari 1919). re, 7. L. BE. J. Brouwer. Begründung der Mengenlehre unabhiingig vom zi logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Zweiter Teil. Theorie der Punktmengen. (Verschenen Maart 191 9). | a 4 : ie Lp | py i POLY! a d A" re r Her OPE HORERER ART So. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 1. | (Mit 6 Tafeln). ee | ss ek : AMSTERDAM. E JOHANNES MULLER. 3 | October 1915. PULYTOPE HOHERER ART Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. | (BERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 1. (Mit 6 Tafeln). ! AMSTERDAM. x JOHANNES MULLER, OWS DIE REGELMASSIGEN VIERDIMENSIONALEN POLYTOPE HÔHERER ART. VON Ss, MAN OSS. In einer früheren Arbeit (Das regelmässige Sechshundertzell u s.w. Verh. 1° Sectie. VIT n°. 1. 1899) habe ich die Konvexen Polytope mittels ihrer Projectionen auf die Ebenen und Räume eines ortho- gonalen Systems, abgebildet und so den Methoden der darstellenden Geometrie zugänglich gemacht. Hier soll diese Aufgabe für die Polytope hôherer Art erledigt werden. Nebenbei unternehme ich es die von Scurarm (‘Theorie der vielfachen Kontinuität) und von EH. Hess (Polytope höherer Art. Marburger Sitzungsberichte Mai 1885) bestimmten Artzahlen an meinen Projectionen näher zu prüfen. 1. ALLGEMEINE ‘TaxoRie. Wir bezeichnen die regelmässigen Polytope mit dem Schläflischen Symbole m n p. Zum richtigen Verständnis dieses Symbols sei in Erimnerung gebracht, dass mn ein regelmässiges Polyeder bezeichnet, dessen n-seitige Grenzpolygone 2 an # in je einer Polyederecke zusammen stossen, und m np ein Polytop dessen Grenzpolyeder m n sich p an p um je eine Kante lagern; weiter, dass das Symbol m n p auch zu deuten ist als die Angabe dass die in einer Polytopenecke zusammenkommenden mn dort ein Vielkant bilden, dessen Basis ein np; schliesslich, dass mit °/, ein sternartiges Fünfeck be- zeichnet wird. Wir stellen jetzt die beiden untenstehenden Tabelle zusammen. LATE (GA + 1)% (A+ t—)$% (GA HDE AA MAT d aio ie | SAY A AN (A+)? ace mA: POLYTOPE HÔHERER ART. I | | SAFT AE Salet | BA(CA HEE sAGA—Dt | | Ue |S Sees el ee ml ln 6 DIE REGELMASSIGEN VIERDIMENSIONALEN Die erste dieser Tabellen zeigt alle formell môglichen Falle mn p. Die Anordnung der Symbole zeigt eine Symmetrie in welcher das Prinzip der Dualität zum Ausdruck kommt. Die Symbole m n p und p n m bezeichnen nämlich zwei zueinander reziproke Gebilde. Das in sich symmetrische Symbol m n m entspricht einer autorezi- proken Figur. Die zweite Tabelle zeigt für jedes m n p das leicht zu bestim- mende Verhältnis */, von Kante und Radius. Einander entspre- chende m np und °/, sind in entsprechende Fächer der Tabellen eingesetzt. In dieser Weise erhalten wir: Die konvexen Polytope: 333, d04 u. 433, 343, 335 u. 533. 2°. Den von Hexaedern ausgefüllten dreidimensionalen Raum 434. 3°. Die dem imaginären Gebiete des (Euklidischen) Raumes R, angehôrigen Gebilde 435 u. 534, 353, 535. 4°. Die reellen, dem soeben genannten sehr nahe verwandten Gebilde: 43°/, u. °/934, 3°/,3, 51,35. Es sind aber die Gebilde keine geschlossenen Polytope, denn zwei Kanten, die cine Eeke mit den Enden einer Hauptdiagonale des entsprechenden Basispolyeders verbinden, sind Sehnen eines grossen Kreises der umschriebenen Hypersphäre. Die entspre- chenden Verhältnisse */, zeigen aber, dass diese Kanten keine Seiten eines regelmässigen Polygons sind. Es führt daher das Aneinanderreihen der Grenzpolyeder nie zu einer geschlossenen Figur. 5°. Die zehn mit den 335 u, 533 zu emmer Familie gehörigen sternartigen Polytope 33°/, u. °/,33, 35°/o u. °/,53, 53°), u. °/,35, 3°/,5 u. 52/23, 57/25, °/25°/o. Die Ordnungszahl ihrer gemeinschaftlichen Bewegungsgruppe ist 7200. (s. meine Abhandlung ii. d. Sechshundertzell 1. c.). Zur Bestimmung ihrer kennzeichnenden Zahlen ag, a,, a, ag benützen wir folgenden allgemeienn Satz. Wenn G die Ordnungszahl der Bewegungsgruppe eines m n p 1S es mn die des Grenzpolyeders, Go, die des Basispolyaeders, so sind: POLYTOPE HÔHERER ART. 1 Wir finden dann: ap a, Ag dz ‘fr 335 120 120 1200 600 4(—1+ V5) 533 600 1200 720 120 1(8 — 45) p2 33°/, 120 120 1200 600 i1(14 5) 5/933 600 1200 720 120 1(8+1/5)p2 53/2 120 720 720 120 (1+ p43) 5/35 120 720 720 120 + (1 + //5) 35°/, 120 720 1200 120 L(— 1+ p/5) 51253 120 1200 720 120 1 3° /25 120 720 1200 120 ta +/)/5) 5/23 120 1200 720 120 1 5°/25 120 720 120 120 +(—1 +5) JTE 120 720 120 120 411+ //5) Aus dieser Tabelle geht hervor: 1°. Dass, mit Ausnahme des °/,33, der mit 533 die Ecken- gruppe gemein hat, alle sternartigen Polytope die Eckengruppe des 335 haben. 2°. Dass 53°), 35°/2, 55/25 mit 335, 51285, 35/25, °/25°/o mit 33°/» 5/53 mit 5°/,3 das Kantengerüste gemein haben. Schliesslich noch folgende Bemerkung. Ordnet man die Symbole in zwei Reihen: 335, 53/2, 3/59 52/25, °/253s 533 33/00 °/235, 35/59 °/a5 fas 5°/23, °/233 so sieht man, dass die in diesen Reihen einander entsprechenden Elemente durch die Substitution (5°/,) in einander transformiert werden. Das heisst: Wenn irgend eins dieser Gebilde vorliegt, so geht das durch (5°/,) Transformierte aus demselben hervor, wenn man, mit Erhaltung aller Verbindungen, die 72 Zehnergruppen, welche die Beken bilden, S [12], 7) alle zugleich so in sich transformiert, dass aus jedem Cyklus erster Art ein Cyklus zweiter Art hervorgeht. II. Unsere PROJECTIONEN. 1. Die Tafel [V] mit ihrer Deutung als Abbild des 335, S. [5], soll als ursprünglich vorliegend gedacht werden. ") Die von | | eingeklammerten Angaben beziehen sich auf meine oben citierte Abhandlune. 8 DIE REGELMÄSSIGEN VIERDIMENSIONALEN Die oben erwähnte Operation (5°/,) erwies sich an den Projec- tionen dieser Tafel als leicht ausführbar, und lieferte sofort die Punktgruppe der Tafel I, welche nur in der Notation von der Ursprünglichen verschieden ist. Indem nun bei der Transformation des 335 in cin 33°}, das an S [5] Erôrterte dem Wortlaut nach ungeändert, aber mit ent- sprechend transformiertem Sime, auch für das 33°/, gilt, war es leicht das zugehörige Kantengerüste herzustellen. Es liegen nun die zwei in den Tafeln [ V] und T abgebildeten und durch die Operation (5°/,) in einander transformierbaren Gerüste vor. Es wäre leicht von diesen Gerüsten ein Fadenmodell herzustellen. Dazu soll man die S[5] angegebenen Gebilde I,, D, L, (ID) als Stützgebilde concentrisch um den Punkt 1 stellen, und die Verbindungen in der an genannter Stelle vorgeschriebenen Weise anbringen. Das Modell würde dan zeigen, wie man das Gerüste aus dem im Unendichen in der Achse 1—l hegenden Punkt sieht. Wir haben diese zu dem zweiten Gerüste gehörigen Stützgebilde in der Tafel TIT gezeichnet. Die einander entsprechenden Tafeln [IV] und II, welche bezw. dieselben Gerüste als [V] und I vorstellen, nur in anderer Lage, werden oft nützlichen Dienst leisten; eine gleichzeitige Betrachtung der 'Tafeln wird die Einsicht in die Figuren sehr erleichtern. Es kommt nämlich öfters vor dass gewisse zu suchende Configurationen in der emen Tafel schwer aufzufinden sind, während diese in der anderen auf der Hand hegen. Die zwei vorliegenden Gerüste sollen jetzt mit Polyedern ausge- füllt werden. Es kann dies auf vier verschiedene Weisen geschehen : 1°. mit Tetraedern 33. » D- Dodekaedern 53 bezw. °/38. SA 1 - Ikosaedern 35 ,, 3/2. 4°. „ I,- Dodekaedern 5/2 „ 125. (Wir bezeichnen mit D- und I,- Polyedern solche, welche ihre Keken in den mit D bezw. mit I, aequivalenten Gebilden haben, und deuten sie näher mit ihrem Schläflischen Symbole an). Je nach der Ausfüllung erscheint dann das vollständige Bild 1° des 335 bezw. des 33°/, 25 53)» 21935 OM 33” /s ‚ 3/90 ) K5/ K 5 ko /2 | 5°/55 ‘ 25°] mnd POLYTOPE HÔHERER ART. 9 Die Tafel IV zeigt für die sub 2°, 3° und 4° genannten Polytope die in der Eeke 1 zusammenstossenden und auf einer 1,-Basis (2—13) stützenden Grenzpolyeder. Nur die Hälfte ist gezeichnet. In der zu °/,35 gehörigen Figur ist deutlichkeithalber eine Fiinfzahl nach-l verlegt. 2 Wir haben zunächst, die zu °/,53 und 5/,3 gehörigen Tafeln V und VI zu erklären. Es sei vor allem darauf hingewiesen, dass die betreffenden Poly- tope, die Punktgruppe mit den vorigen gemein haben, nnd dass für beide “/,==1 ist. Sie müssen deshalb auch dasselbe Kanten- gerüste zeigen. Weiter geht aus ihren Symbolen */,53 und 5%/5 hervor, dass die Operation (5°/,) je das eine in das andere transformiert. Hieraus lässt sich schliessen, dass, wenn man in die zwei vor- liegenden durch die Operation (5°/,) in einander transformierbaren Panktgruppen, die Kanten a—R entsprechend einsetzt, zwei zu einander kongruente Gerüste erscheinen müssen. Wir sind nun so verfahren : In V haben wir die Punktgruppe der Tafel [V], in VI die der Tafel IT wiedergegeben; dann, aus den sechsseitigen Projectionen der Tafel IL ersehend, dass die Verbindungen 1 — D (13 — 34) die Länge R haben, die Kanten wie folgt angebracht: von ] nach (14—33) LX 20 — 20 Kanten he (52 — 18). C2 The). D= BO, 5 if à URN Be d 5 jj EL REN TE OO ? 5 OO SOON ob 60) 1, % eee Sy ey AEN IO OF == 6004 i 3 Ripe: AG) BO) nai 0 A i a ne 2 1 Gh F 5 On Er 0 A ae he AS) (06 NL 520 4 td CD LO EON ¥ PRET M) De Soe po LNG ODA (AGE Op LDC AS oe . 4 SEA OE AEGON 5 3 RE PE en 5 ; te AES 2e SOON FA (84 — 45) ,, —(34— 45) 6X 5— 30 ,, 5 8 » —(2—138) 12x 5— 60 , 10 DIE REGELMÄSSIGEN VIERDIMENSIONALEN von — (14 — 33) nach — (14 — 33) 10 X 6 — 60 Kanten » —(14— 33) , —(2—13) 20X 3— 60 , + : 5 — 1 JOD IE » —(2—13) , —(2—13) 6X 5— 30 ,, Es lassen sich nun diese Gerüste auf zweierlei Weise mit Dode- kaedern ausfüllen, nämlich: V mit I,- °/5 oder mit I,- 5/, VIS Eni 5 oat ed ed Entsprechend zeigt dann: V das °/s53 oder das 5°/,3 RAD D/s ne In V (5/9) sind zehn, an der Ecke 1 liegenden 5/, a Nellie NEC EN Bn Ed À 5/25 durch schwere Linien angedeutet. III. Din ARTzAnLEN. Das 335/. Schon Schläfli, der dieses Gebilde entdeckt und eingehend studiert hat, hat gezeigt, dass es einen 19 1-fachen Mantel hat. (l. c. S 126). Wir könnten den Schäflischen Beweis leicht Satz für Satz an unseren Projectionen verifieren, wir ziehen es aber vor die Art des Polytops von Neuem zu untersuchen, und zwar auf folgender Weise: Wir wählen irgend ein Grenztetraeder, das sich durch einfache Lage auszeichnet, 7. B. das Tetraeder 7568, dessen Raum senkrecht auf einer Projectionsebene steht, (s Taf. IT rechts oben). Es zeigen sich dann sofort diejenigen Strahlen welche diesen Raum und, vielleicht, das Tetraeder selbst durchsetzen von selbst. Es sind dies nämlich die Strahlen nach den Eecken, deren Projection auf die genannte Ebene links vom Tetraederraume liegen. Diese Ecken lagern sich in Schichten welche dem Tetraederraum parallel laufen. Strahlen, welche den Eeken solcher Schicht entsprechen, befinden sich bezüg- lich des Tetraeders in gleichartiger Lage. angen wir an mit den Strahlen nach den Eeken des Tetraeders. Wir erhalten dann mit jedem Strahl einen Schnittpunkt; aber diesem Punkte kommt nur die Multiplicität 7/,, zu, denn es gehort zu 20 Tetraedern welche um diesen Punkt einen 7-fachen Mantel bilden, entsprechend der Art des Basispolyeders 3°/2. Betrachten wir jetzt einen der 12 Strahlen nach den Ecken der ersten Schicht, z. B. den Strahl nach — 15, der, vielleicht, eine Kante des Dreiecks 568 trifft. Dass dies in der tat der Fall ist lasst sich leicht nachweisen, wenn wir alle vier Projectionen betrachten. POLITOPE HÔHERER ART. Jl Es ergiebt sich dann, dass der genannte Strahl die Kante 6 — 8 schneidet. Ein solcher Schnittpunkt zählt ?/;, denn um jede Kante gehn 5 Tetraeder 2-mal herum. Jetzt ein Strahl der zweiten Schicht; wir wählen dazu den Strahl nach 34 der gewiss das innere der Seitenfläche trifft, denn der Kreis 84, 41, 44 ist sicher kleiner als der Kreis — 15, —18, — 32, — 20, —23, —31 dessen entsprechenden Strahle die Kanten schneiden. Ein solcher Schnittpunkt zählt 1/,, weil an jeder Seitenfläche 2 Tetraeder hegen. Nur haben wir auch die Gewissheit, dass die 26 übrigen Strahlen das Tetraeder im Innern treffen. Wir finden also „dass jedem Tetraeder die (reducirte) Anzahl AX Tao +12 X 2/5 + 12 X 1}, + 26 = 3881), Schnittpunkte zukommt. Den sämtlichen 600 Tetraedern also 600 X 381/,. d.h. auf jeden der 120 Strahlen fallen 600 X 381/, =O Schni kte. 120 chnittpunkte Das 55°/2. Ein Blick auf die Tafel [ V] belehrt uns dass das D- Dodekaeder 53 (14—34) Schnittpunkte liefert: a. mit den 20 Strahlen nach semen Ecken, ARR dE ig zE Den Erstern kommt die Multiplizität 7/,) zu, die Letztern sind einfach. Also ist für jedes Grenzpolyeder die reduzierte Anzahl: 20 X T0 + 13 — 20 Dies ist eben die Artzahl, weil es ebensoviele Grenzpolyeder als Strahlen gibt. Auch diese Zahl wurde schon von Schläfli bestimmt. (l. c. S. 134). Das °/,35. Betrachten wir das Dodekaeder 5/3 (1433) Tafel el Der Strahl nach — 1, geht durch den Mittelpunkt. 20 Strahlen gehn nach den Ecken, 12 Strahlen treffen die zu je fünf sich in einem Punkt schnei- denden Kanten. Der erstgenannte Strahl liefert einen 7- fachen Schnittpunkt. Die zweitgenannten liefern je einen 1/,) Punkt. Die letztern je einen 5 XL oder einfachzählenden. x DIE REGELMASSIGEN VIERDIMENSIONALEN Die reducirte Anzahl der Schnittpunkte : ote | ee erg bestimmt hier wieder die Art des Polytops. Das 35°/2. Das Ikosaeder 35 (2—13) Tafel [IV]. [V] wird getroffen: von dem Strahle nach 1 in dem einfachen Mittelpunkt, von den 12 Strahlen nach den Keken in we vihlenden Punkten. Das Polytop zeigt sich also 4- ter Art. Das °/,53. Tafel V. Hier wird das Dodekaeder */,5 (2—13) getroffen : vom Strahl nach 1 in dem 3- fach zihlenden Mittelpunkt und von den 12 Strahlen nach den Ecken je in einem 1/,. Punkt. u =) Das Polytop ist also 4- ter Art. Das 5/25. Tafel [IV], [V] Dodekaeder 5°/, (2— 13) L Strahl trifft den 3- fachen Mittelpunkt 12 Strahlen die 3/,, zählenden Weken. Das 5°/,5 ist also 6- ter Art. Das °/,5°/.. ‘Tafel 1, IL Dodekaeder °/,5 (2—13). Der Strahl nach — 1 trifft den 3- fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34—45) das ebenfalls 3- fache Innere. Die 20 Strahlen nach (—14— — 33) gehn durch die zu je 3 emem Punkt sich schneidenden Kanten. 12 Strahlen gehen nach den */, zählenden Ecken. Es ergibt sich also als Artzahl: 3+12«K3+20K 3K 24+ 12 X À = 66. Das 3°/,5. ‘Tafel I, Il. Ikosaeder 3°/, (2—13). Der Strahl nach —1 trifft den 7- fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34—45) treffen das 3°/, je in einer Ecke des Kern-35. Indem soleh ein Punkt zu 5 Seitenflächen gehört, zugleich aber in einem Gebiet liegt das von einer Fünfzähl an einer 3°/-Ecke liegender Seitenflächen zweimal umhüllt wird, kommt ihm die Multiplizität °/, + 2 zu. Die 20 Strahlen nach (—14—-33) treffen die Punkte wo die Kanten sich zu je drei schneiden. Ein solcher Punkt zählt 3 X2. Schliesslich gibt es noch die 12 Strahlen nach den 3/,, zählenden Eckpunkten des Polyeders. POLYTOPE HÔHERER ART. 1! Die reducirte Anzahl Schnittpunke : 7-12 X % + 20 X 9, 4+8= 76 liefert wieder die Art des Polytops. Das 5°/,3. Tafel VI. Dodekaeder 5°/, (2—13). Der Strahl nach — 1 trifft den 3-fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34 — 45) treffen ebenfalls das 3-fache Innere des Polyeders. Die 20 Strahlen nach (— 14 — — 33) treffen die */, zählenden Punkte wo die Seitenflächen zu je drei zusammentreffen. Schliesslich noch 12 Stralen nach den 7/,, zählenden Eeken: TON NE CS NET RTE Das 5°/,3 ist also wie das zu ihm reziproke 3°/5 von der 16-sten Art. Es bleibt nun noch das eine, sehr komplizierte Polytop °/,33 zu behandeln übrig. Ich behalte mir vor auch dieses Gebilde näher zu studieren. | 20 Oct. 1913. Zalt-Bommel iis Sept. 1915 J NEV. ao. ERRATUM. In Taf. I, IJ, UI, links oben steht: °/,3° soll sein: ?/,3 Ci ts Gt oe noch hinzuzufugen: 3°/, In Taf. III, J, noch zu ziehen: die Kanten 4 5 und 9 10. ae’ 7 ee À 7 L L | 273 9438 | RH (14V5) 25% 5.1. VAN OSS. „Die regelméassigen vierdimensionalen Polytope höherer Art” SN A NP A LT PNY La Pp a5 YY ZT px IE EN WZ AS ape, NZ St RU ZS SIN Saut DS Ja Verhand. Kon. Akademie v: Wetensch. 1° Sectie DI XII, N°1. Fr D SZ VAN OSS. „Die regelmassigen vierdimensionalen Polytope höherer Art ! #4] Sx SY, ee IP TS \ BVAS / ¥ Ÿ 7 7] PS PASS Or Nite 7 Zo) CA NS AL « Cu A aN SAN SCANS NI WZ XP J mK) Lex À Sf N aye à ANT A N Ne TZ Ves. Ss IN CZ ZA dl 4 LK) à Oxy \ RTE SET Ne SE D A D 2 x \Z if SAN NY A Dt AN SH KA LNA. Va EJ AN TA Z] —7 77 — ip. — ws \ AV ran MKT À V ZN V RA SS na Dad | LX. ar EU AS TT SA SK <7 De D BEN x Verhand. Kon. Akademie v- Wetensch.1© Sectie Dl_X1,N° 1. ERR ar DA EN kb od XX YW 1 K WV V7 /N Verhand. Kon. Akademie v Wetensch.1° Sectie DL XII N°1. SL VAN OSS. Die regelmässigen vlerdimenstonalen Polytope höherer Art.’ JBijtel ith. PT Mulder &Z™ orn Leiden SIVAN OSS. Die regelmässigen vierdimensionalen Polytope höherer Art ! IR=-%2(1:V5) %35 TR-% (1:15) 325 | TR=%(1+V5) td Verhand. Kon. Akademie v. Wetensch.1° Sectie DL XTII.N° 1. A ER is (Zz É SRE AT fs ONE FA 3 BSS ATX = SE Ag sZt PUBLISHED BY ‘ apace, J'CARDINAAL, = Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). / DEEL XII. N°. 2 ns AMSTERDAM. N 4 À =: JOHANNES MÜLLER FX a 3 April 1916. ee 44 10 eN r es A lr Tanks j Analytical treatment af ihe polytopes … regularly derived from the regular polytopes. ei (Section V) BY THE ATE ROM, He SCHOUTE —. PUBLISHED BY Pror. J. CARDINAAL. ~~ Aes ee mda ares à . , Le VE Wir 7 À 4 ‘ Rd 7 Te Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 2. AMSTERDAM. JOHANNES MÜLLER. 1916. EE ACCES Section I—IV of Dr. P. H. Scaourr’s great treatise on this subject have been inserted in the transactions of the Academy Vol XI—3 and 5. He was engaged in finishing it by writing out the fifth and last section when his sudden and much lamented death prevented him from giving the final touch to his creation. Fortunately the manuscript was found amidst the deceased’s papers. Though it bore the character of a concept, still the plan was quite ready and it revealed the rigor and lucidity which characterise all Scrourr’s scientific works. So it might well serve for the final redaction. In the meeting of the Academy of Jan. 29, 1916 I gave a short account of the manner in which this redaction was performed and of the great part that Dr. W. A. Wrrrorr had in it; so I now have only to repeat my thanks to him. . J. CARDINAAL. ol treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes. Section V: POLYTOPES DERIVED FROM THE EXTRA POLYTOPES. A. Introduction. 114. We remember, that in the general introduction of this series of memoirs a classification in five sections was given. According to the author’s intention the fifth section should have te deal with the extra regular polybedra and polytopes. Hence the object of this section will be to investigate the polyhedra deduced from the icosahedron (or dodecahedron) and the fourdimensional polytopes deduced from C,, and from Cho, (or C99): As to the nets that can be deduced from C,,, since these nets can be deduced at the same time from the cross polytope we refer to Section III, #, art 78—84 and Table VII. Now a difficulty is arising in consequence of the want of a general theorem relating to the symbols used for the coordinates, as we are compelled to use more than one symbol for the same polytope. Obviously it is a priori not impossible to find a method which allows us to find the condition necessary for the symbolical representation of a polytope by two, three or even more symbols. Yet, as a satisfactory result of these attempts is dubious, we prefer a method which follows closely the geometrical operations, by means of which the polytopes are defined: 1 Ge: B. The Icosahedron-family. 115. The following table contains the symbols of the polyhedra of this family considered as deduced from the Icosahedron, Z, and from the Dodecahedron, D, the symbols used by Mrs. Srorr and the characteristic numbers (numbers of vertices, edges and faces) : Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. 1° Sectie Dl. XI N°. 2. B 1 -2 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY Characteristic numbers. Symbols ; (vertices) | (edges) | (faces) I=) ces Di a eae 30 20 TAN DE a PE 90 32 6 T= DD) 120 62 ee I= GMS ey eae OEE 62 ce, I= ce, D— ID | 830 60 32 be le D = Dee 30 12 ce e [= e, D== tD 60 | 90 32 116. We prefer the isocahedron to the dodecahedron te deduce the other polyhedra of the family, as its coordinates can be represented by a single symbol. When the length of the edge is supposed to be — 4, this symbol is FRE AD PR where e is written for V5 and: 2 indicates, that all the even permutations of the coordinates must be written, each of them successively with positive and with negative sign (pentagonal hemiedry). All the polyhedra of the family have the symmetry of the icosa- hedron, from which they are deducible, and thence will have coordinate-symbols of the form [ ]: 2. Only if two of the coordinates be equal, the indication: 2 may be omitted. The coordinates of the vertices of ¢, J, e, 7 and’ eeN obtained from those of / by adding to them the components of the prescribed displacements along the axes of coordinates. These displacements have in the case of e, for each vertex the directions from the origin of coordinates to the nuddle-points of the adjacent edges, in the case of e, to the centres of the adjacent faces. The coordinates of the vertices of a contracted form, ce, 7, ce, Æ or ce, el, are obtained from those of the uncontracted form by substracting from the coordinates of each vertex those of the 1cosa- hedronvertex from which it was deduced by expansion. ‚Zand ce, / may be considered to be the primitive forms of the family. From these the others are obtained by composition, i.e. by suitable addition of the coordinates | of the vertices of two or three of them. So e, J is obtained from es I from’ ce, I and ce", Hence the polvhedra 7, ce cer andre, Toner Jando" ce 2 I e, € £ rom ce, 7, “ce; L and 7 DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 3 117. The polyhedron ce, 7 is similar to the convex polyhedron whose vertices are ‘the middle-points of the edges of the original icosahedron. This polyhedron must be enlarged in such a ratio that the length of its edges becomes equal to that of the edges of the original icosahedron. Now the distance of the middle-points of two adjacent edges of an icosahedron is half the length of an edge, and the coordinates of the middle-point of an edge are obtained by dividing the sum of the corresponding coordinates of the two terminal-points by 2. Hence the coordinates of the vertices of ce, 7 are obtained by simply adding the corresponding coordinates of the terminal-points of all the edges of /'). In this manner two symbols of coordinates of ce, Zare found corresponding with the two types of edges of / with respect to the system of coordinates. We may determine only one vertex of each type and deduce from it a coordinate-symbol according to the rule of pentagonal hemiedry. The computation of the coordinate-symbols now becomes : yi 2, l+e. 0 I —2,1-+e , 0 cay peepee ei Be POP DER 6 vertices ; Cog Petes Te ely 8.3 24" eee Total... 80 vertices. The total number of vertices may be controlled by means of the table of art. 115. 118. ‘The polyhedron ce, Z is similar to the convex polyhedron whose vertices are the centres of the faces of 7. This polyhedron must be enlarged in such a ratio, that the distance between two adjacent vertices becomes equal to the length of the edges of the icosahedron, 1. e. — 4. | The coordinates of the centre of a face of Z are obtained by adding the corresponding coordinates of the vertices of the face *) The same rule holds to find the cej-form of any polytope whose faces are triangles. More generally the coordinates of the vertices of the ce,-form of a polytope, whose limits bi +4 are simplexes, are obtained by adding the corresponding coordinates of the vertices of all the limits /, of the polytope. 4 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY and dividing the sums by 3. It is clear, that, in order to get a polyhedron similar to ce, /, the division by 3 may be omitted. ~The auxiliary polyhedron so defined will be specified in the follow- ing computation by ce, 7’. First we compute the vertices of ce, 7’ (two types): Lee T.l+e, Oee va ed 2, l+e 1 0 ,—2,1+e oe i ly ek IT dy Le se vf Qe oe eg A ate 1 le, Onn 2 ceren dte, 3 Le, draw Since the faces of J now considered have two vertices in common, the vertices of ce, /’ deduced from them are adjacent. Their dis- tance will be found to be 2 + 2e. Hence to obtain the coordinates of the vertices of ce, Z, those ‚of ce, /’ must be multiplied by 4 2 ae 2e Two coordinate-symbols are found : Bae NS A UR Bn ee Ce ener a 10! 18 Les GN 12 vertices; DONNEES TE ES Ne, Bee 18 Le Ce Poe gla gel de TUE RENEE 8 RUE Total... 20 vertices. 119. To deduce e, / by composition of ce, J and Z we must add to the coordinates of each of the vertices of ce, Z those of each of the adjacent vertices of 7, i.e. of each of the vertices of I from which it is obtained in art. 117. We omit however those additions which would produce a vertex included in a coordinate- symbol already obtained. DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. D cel One ze... 0 YA 2 , 1+e ,0 PE A ee a Oe, 0]: DE an de 12 vertices; ea, i, 2,3+e ,l+e Pi 7 Nee ee oe ae 0 Sere oe | Leo... Mites ra | Hs ope , L+e Vi (5 A 2 B TE Be MJ Lal: At ANR SE Total... 60 vertices. 120. The deduction of e, I from ces T and J is effected in the same manner as that of e, J from ce, TI and 7: ce, T Deal re ve ere nO. 5. 2 Ee Ee ODE De 12 vertices; Ceres ee Ono = € fe OM, Lhe e I inet deeld Fern Blerk, en 0 Ne Al els Bede Total... 60 vertices. 121. To obtam ce, e, J from ce, J and ce, Z we must add to the coordinates of each of the vertices of ce, Z those of a vertex of ce, obtainable from two of the three vertices of / from which the vertex of ce, / can be formed. Instead of the coordinates of a ce, /-vertex however we prefer to write separately the two icosahedron-vertices from which it can be obtained by addition: ce, é I [oe | 2e Ges ADNR Le Oe a sel eee A —2 ee vee. bir eae ENS Ce; OL. En Or; BE Bel Bee COL 1 ee eee val cies | TA 2 vy en rtp0 Aak 0 ern EE Gelée À [8+e, 44e, 24 22]: dre . 60 verti 122. Finally the polyhedron e, e, Z is obtained by the compos of ce, I, ce, T'and J or, by an identic transformation, of ce, and Z. For this we add to the coordinates of each’ of the v of ce,e,/ those of one of the two vertices of 7 used to d it in the preceding article. cer enh Bte 5 2 Ore TE ACO Onin cet [44+ RER © Ce ed Bte, DOEN VA 0 > CRIE SE ET [de , A, A +322 eee 24 ceres f 02 , 0 , 5 8e Vn OPE as get 19099 6 LA 24 ce el 3 He, 4+ 2e , 2 Ze TEN Eh A ee 1 | Geol (3. e, Did 3¢ 5-2 42 7 egg, EN Be) Ae ete Uh CRE AR , l+e | e, eT [8e 0 He AI Se 24 3 4 Total... 120 vertices, — DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. | 4 128. The following table contains the coordinate-symbols of all the polyhedra of the icosahedron-family and the numbers of vertices represented by them. The symbols of each of the polyhedra are arranged according to the greatest commensurable part of the coordinates. The ordinate with this greatest commensurable part has been placed first in every symbol. pM he ers kt Le not nO Jaeden | 19 Pm aie ta en iif e 2 ul [(2-+2e, 0 > 2H OT 6 Ces I [Be , 2 ARNE LEN ee 12 [de ,l+te , 1+el 8 20 et PBase, Voy 2 24 EBD se QUE, Te 20 1604 PRE de Dome PA RUN ES 60 bak Pees) Dale op 0-0 12 PE oh von 24 BER ien PA PU 2 1s, 24 G6; Co À [6 42e, 3de , 2 (5 + 8e , 2 E 0 [4+ 2e , 2 + 2e ,3+e y vS OO vo 22 Dor 2 — NE [RE Sex 3e , 4 [6 + 4e 2 WNA IES de par a Dese a Bl vo cw = . ew 5 ID LO ew © 2 = # 8 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY C. The characteristic numbers of the C,,-family. 124. The determination of the characteristic numbers bears direct relation to the results of the researches of Mrs. Srorr contained in the list of the limiting bodies (Table I) and the incidences (Table HI). We obtain the number of vertices of the new geo- metrical creations from the table of incidences, that of the limiting bodies and limiting faces from the list of the limiting bodies; finally the number of edges is deduced from Eurer’s theorem 1). We begin by applying the principle of expansion and then proceed to the contraction. 125. Forms e, C,,, e Ooy, €, O1: As the circumpolyhedsemems Cy, is the cube, it is evident, that 8 edges, 12 limiting faces, 6 limiting octahedra meet in a vertex. Accordingly the limiting bodies of vertex import of e, Cox, ea Co, €, Gy, are respectively C, CO, O. So the number of the vertices is 8, 12 and 6 times 24, viz. 192, 288, 144 2). We deduce from the limiting bodies (24 /0 and 24 C for e, Cy; 24 RCO, 96 P, and 24 CO fore, Coys 240, 96 Pl, Some 24 O for e, C,,) for the numbers eh: limiting bodies and faces consecutively 48, 240 for e, C,,; 144, 720 fore, C,,; 240, 672 for es C4. So the complete ical is 045. WEE 296. ee e, Ga (AOR BOL LORE en Cu: (288) SG DON EC, CAS DTO A 126. Forms e, e, C,,e, €; Cogs En En Opus Eenes Coy. Lhe names of vertices „of ee Ce 0 = — 576; Of €,-6 Co,» 24 SNE of eg 63 Cox 24r—= 576. For eee, O5, We obtain 48 r — 1152) For the limiting bodies and faces the numbers are respectively AZ}, 1 20'\ Mor. ete, Coys 240 OAD 8, é, C,, and e, e Can 240, 1392 for e, & e, ae The complete result is *) We remember, that the author gave in his „Mehrdimensionale Geometrie” II, art. 19—20 p. 60—64, the formula of Eurer’s theorem for 2 dimensions, and that his symbol is (e, k, f, ») for the number of vertices (e), edges (4), faces (f) and limiting bodies (7). 2?) Another shorter expression is: for ej Coy twice the number k of Co4; for eo Coq thrice the number /; for es C4 six times 7; as we see by considering the vertices of ej Co as extremities of the displaced edges of Coy, ete, DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 9 oger alge ASS; 120 1144); 1 ON 6 1440 1104 , 240); 52 es Coa | Brenes Co MDD por R04 epa NBO 240: 124 Forms ee, Oos, ce C,,, ce, Cy. In these polytopes there is coincidence of two vertices of each edge (ce, C,,), three vertices of each face (ce, C,,) or six vertices of each octahedron (ce, Ch). So the number of vertices will be 4. 192, 1. 288, 4. 144, viz. 96, 96, 24. This, in combination with the hmiting bodies, (24 CO, 24 C for ce, C,; 24 C, 24 CO for ce, C,,; 24 O for ce, Cp) gives: M (06 288-940, 48); Ce» Cy, ce, Oo, (2408, VOOr NDE DA) 1087 Forms ce € C,, ce, €, Coy, GED eg Coa, CE Cy ea Cons By the application of the principle of contraction we obtain a trans- formation of the bodies of body-import CO, 40, RCO, ¢CO into tC, CO, C, tC. Consequently 6 f, 247, 247, 48 r are trans- formed into 3f, 12r, Sr, 24r, leading to 288, 288, 192, 576 vertices. The limiting bodies enable us to complete the symbols (48 4C once ec, Cos, 2400, 96 P,, 24 BCO for ce, e, CG; 240, 24 #0 for ce,e, C4; 24 {C, 96 P,, 24 7CO for ce, eve, Co): Ge eas (288: ; Di Ot, ay oan as 48) ; cer 85 Cy, (288 , 264 TAO SAA)E Geo en Ca C92: s 384%, 240° ; 48) ; ce Ses Coa (rt One TR SO ay TAD. D. The coordinates of the Coy-family. 129. The C,, from which the other polytopes of the family will be deduced, is supposed to be referred to a rectangular system of coordinates with axes passing through the centres of opposite limiting bodies. ‘The vertices are then represented by a single coordinate- symbol. Let the length of the edge be = 2V2; then this symbol is found to be Pe were’) 0 0), 10 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY The primitive polytopes of the family, from which the others may be deduced by composition (cf. art. 116) are G,, ce, Gy, ce Cy, and ce, C,:; the latter three being respectively similar to» the convex polytopes whose vertices are the middle-points of the edges, the centres of the faces and those of the limiting bodies of RC As a consequence of the self-reciprocity of the Cj, we know, that ce, C4 is again a C,,, placed however in another position to the system of coordinates than the C,, from which we started. Denoting by C,4 this second C,, we have the identities: 24 — Cz Cos ce, Cay = Ce Oog à ge = Coa 5 eg Cy = 24 Similar identities exist between the polytopes deducible from these by composition. Three of these polytopes are deduced from the primitive ones by a symmetrical composition. They may be derived either from C,, or from C,, by the same operations and will be obtained but once in the following investigations. They are Ce es Cy, , deducible by composition fe / from’, „Oo Mandat y Y Cas — Ces Op Gy, „ce: Che » Cy Ca 3 y > 2 > / 1 ww U à / « 0 ENGE Ci Ce es Cae Oan CE, Cy > Gey Coy MOTEN Each of the other polytopes of the family is obtained in two different positions relative to the system of coordinates: Rd Cr Cp Ce e Coe On a Adeco ces € Cy, = COL Aen CC, Co, » Clg Coy Cy. Cog = Ces Cy ss Cos » Cla Cy; ce, Cs Cy = Cp Coa on cer Ca in ee Cages CAEN Cs Ooyen ta ap VWE Com and Ce 24 ; ce, Co C3 Coa = €, Co Cos 5 ‚a tE Cos » Cl Cy, » CO: 04 ; a. = Cola ly, » Coq » Ce Coa \n C03 Cog’ es ae Cy ela Cn 5 Cox 00) Ula Ee REEN | | | DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. ij 130. Since the faces of C,, are triangles, the coordinates of the vertices of ce, Cj, are obtained by adding the coordinates of the extremities of each of the edges of C,, (cf. art. 117, footnote). So one single symbol is found representing the vertices of ce, CG. E00 Cos Bn 0 ber Cou Pe ae, Oe ahs ee 96 vertices. 131. We obtain the coordinate-symbols of ce, CG, by first determining the coordinates of two adjacent vertices of an auxiliary polytope ce, C’,, obtained by adding the corresponding coordinates of the vertices “of the faces of 'C,, (Cf. art. 118). ag: EAK BSO Bites 0 Bie bp, RROD S90 Ge RW, WO m0 Ged ne 4 it 0 The distance of these two vertices is found to be = 4. Hence the coordinates of the vertices of ce, C’,, must be multiplied by $V 2 to obtain those of ce, C4. Two coordinate-symbols are found: Le] “4 y! à 9 ee Oey CPR , Ù aCe mo og Vice Nei MS 4 vertices; re Cox ‘iy * ig A ARE te de MOVIE PVR a AR Dh. 89 bi » Total. . 96 vertices. 132. In the same way we may determine the coordinates of ce, Cy, by introducing an auxiliary polytope whose coordinates of vertices are the sums of the corresponding coordinates of the vertices of each of the limiting bodies of C,,. As the. limiting bodies are octahedra, however, we may take the sums of coordinates of two opposite vertices of each of them, 12 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY So we determine the following vertices of the auxiliary poly- tope ce, C4: | 13. Gien baat eee ge Cops eo MAN Or OU KO thy Dari RE AT The vertices of the two octahedra used here are: le. (2,2 (2,0, 0: 2) (ORO EDE 2e. (2,2,0,0), 0,0,2,2), 2,0,2,0) , ©) CNE (2°02 0, 2 eee: They have the face (2,2,0,0) 2,0,2,0) @ On common. Hence they are adjacent limiting bodies of C,,, and the vertices deduced from them are adjacent vertices of ce, C’y,. As their distance is found to be — 4, the coordinates must be- multiplied by $V 2 to obtain those of ce, C’y,. Two coordinate-symbols are found : WEN cone 3 24 ces Co, - [22 OUNPMONEENRU IEEE 5 vertices; AANGE 2 | 2) eee ce, Cy, [| V2 VO Ne ee 16 = Total... 24 vertices. 133. We now proceed to the further deduction of the coordinate- symbols of the polytopes of the C,,family. The polytope e, Cy, is obtained by composition of ce, O4 and C4 (one symbol): ce, Co, Ay, nd 1 6 6 ij Os Deel EO, WO 2 SUOMI RE 192 vertices. ,0, 0), (2, 2, 0, OY, (2,052, 0), (2,000 ee ne ns DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 13 134. The polytope e, Qj, is obtained by composition of ce, Ch, and Coa: 0: ND Ve Ver VI 4 nes eee ee ex: Coa [2 + 3V/2 ,2+V2 , V2, V2].:. 192 vertices; Co DUAL OVB, VBL 0 24 2 4 > 2 ’ 0 , 0 En Co, [2 + 22, 24+ 22, AN OR. 2406 de Total... 288 vertices. 135. The polytope ce, e, Cy, is obtained by composition of ce, Co, and ce, Co. Instead of a ce, C,,-vertex however we make use of the two Cog-vertices from which it can be obtained by addition. D VR MO LV C;, SS: RE oer, Sef Y © Gs 2 epee Al WA ei a Va 2 V8), 005 vereen B NR Va 0 B Oe à, 0 0, 0 on OE ce, Cy Cy, [4+2Vv2,2+2V2 ,242V2, OPE ye a ak Total... 288 vertices, 136. The polytope e, e, C,, is obtained by composition of ce, €, Cy, andel (or ce, C,, ce Co, and C,, cf. art. 122). ce, er Con 4+38V2,2+ V2,2+ V2,V2 2 ‘ 2 : 0 uO Cy, (6+ 8V2 ,4+ V2,2+ V2,V2].. 384 vertices; / 6 ¢ ¢ © ¢ ¢ AG C6, ly Ong 4+2V2,242V2,2+2V2, 0 C 2 2 0 > 2 ? een O4 (6+ 2V2, 4422, LHV: Ww mn Gd Le 192 MOE Total... 576 vertices. 14 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY 137. The polytope e, C,, is obtained by composition of LICE and C,: Vs Ces Oan DA EN 0 Le DER LED) Si DRE VAE A Sati ed) | ez Ca [2+2V2, 2 se OP AEO MER ART: vertices ; ces Ong ae ME NLD NE Cie De th, 2 UREN en Cy, [PM RIVE, Woe VI ON Total. 144 vertices. 138. The polytope ce, e, C,, is obtained by composition of ce, Cy, and ce, C,,. The coordinates of the ce, C,,-vertex are again replaced by those of the C,,, from which they can be obtained by addition, 10 U D +) ces Ong VD ET SCD EREN "Un RMR eh CU Cs dt ls PORN ce, ea Cy, [4+ 2V25 2 3 2 , 0 |. 96 veren > y ) dr: REY 2 ces Oo, V9 PORN A D] . Gh 2 ied, G 2 oes Ae ce es Oy [4+ V2, 2 EVER VE ANS Total... 288 vertices. PAM US k : U 139. The polytope e, e, C,, is obtained by composition of ce, e, Ch, and: C0. CC ln EN $+- 2V 2 2 : 2 en Ce 2 2 OER eea Gy [6 +2V2 4 2-5 0-19 EEE es Ga (6+ V2, AEVS, 21V2) Vije SSA Total... 576 vertices. DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. Do 140. The polytope ce, e, C4 is obtained by composition of ce, €, and ee, Co : Peer ey ee! 0,0 ) 0 Oe eV V2 Ve, Ve Peeve Va Va À Ma]...7. 64 vertices; gen Cha ee ND NZD PO DOME En Var, V2, V2 Me B WV, 2V/2 WIJ... AE Sr Re V0", vo, ty Ge Ca Se 2, 1 AS 2V 2 eG te, Gar (av? ae, ave, var. Gd. otal >. 192 ol 141. The polytope ee, Co, is obtained by composition of Cen Eg C,.and Co : Ce x Coy et v2 = AI EAD 2 2 B 0 24 ie ets éme, (21+5V2 ,24 V2, V2, V2]... 192 vertices; Cy C3 Ong ME, SOD SAND MD gl ZU, Be Ln tad PRO aoe, Ce Aye VOE 212 VB 102, COM Bae FBV TE: LS 0 ES, A/B eve om Rie eae gee ee te ay NE BVO nu BVR. WL LOR ey Total... 576 vertices. : | FIRE sme AT 142. The polytope ce, ee, Coq 18 obtained by composition of cezes Co, and ce, C,,. The coordinates of the ce, C,,-vertex may be replaced by the two G,,-vertices, from which it can be obtained. 16 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY ceren Ch, 5V2 Wal OE PCT lo Re Cs DN ce, eze Ch, [AH5V2, 24V2 , 24+V2 , V2 ].. 192 vertices; Cyl, Cs AVD 2V2 WA, UV 6 BO Ge CE on 2 101400 CNRC ce, eze Ch, [4AHAV2,2H2V2,2E2V2, 2V2]. . 19220 cees Co, 3V2 3V 9) TJ By Oe ay 2 0. Dn ve ty DS | ce, Enea Oy [4H 3V2, IHV, 9.438, Vel OE 143. The polytope certes. Cr and Ohe Ip P_P | À, NA 9 /¢ Ge, E99 Cha AVR ee yee 1 >) Cos ve ON Total... 576 vertices. is obtained by composition of kV, V2 Oe Wee vo all Siel —_ w | [6 +5V*: ei 03 Coy Ce ex Cox 4--4V 2 , B) ~ J 24 J a d , 2+V2,V2]. 384 vertices; 212V2,2V2 OAD Tml ~ we = ed vo 1 ei €203 Coy 21-2VD, VR] S84 aaa ce Cpl, Cha 4+3V2,248V2,248V2, VZ Er 20, 2 eee On, [6+8V2,44+3V2 24312, 2]... $64 Total... 1152 vertices. ° 144. The following table contains the coordinate-symbols of the polytopes of the C by each of them. y tamiy and the numbers of vertices represented 1 C24 ce, Cy, Ce Cog Ces C, 4 1 e, Coa ea Cog 1 Cees Cy 4 2) 1 Ce, Ca Con DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. EB Rave (2+ V2 [4 + 3V2 [4+ 2V2 ” [6H 3v2, [6 Love, [2 + 2v2 ARE LE +4 (aS) se Ww wo > 2 2V2 Verhand der Kon. Akad. v. Wetensch, 4° Sectie Dl. XII N° 2. HE 2) sm “are » 0 | V2] > 0 | ee Do 18 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY | de, en OL BV, Men Va er PAVE Va Va avan | EE 0 A SVO En en Orik MD 52, 2 IMD VEN TEN 2 HAV2, 32, Ve SVR [2+ 38Vv2,248V2,-.38V2 , VAER ee Cy, [do eve Boe yee [4+ 4V2 ,2+2V2,242V2, 22] [4+3V2,243V2,213V2, V2] ej0263 Op, [6+5V2,4+ V2,2+4+ V2, V2] [(6+4V2 ,44+2V2,2+2V2, 22] 2+.38V2, V2] [6 1 V0 a ae K. The characteristie numbers of the Ci007/ mil. 5 \ . a > my ” 1 “thd 145. Forms e, Cono, € Goo > €3 oo Lhe number OLENE is consecutively 24, 37, Ar, viz. 1440, 3600, 2400. After this we consider the limiting bodies (600 47, 120 Z for e, Goo: 600 CO, 720 P,, 120 LD for e,C,,,; 600 7, 1200 PME 120 D for ez Ooo) and obtain for limiting bodies and faces 720, 3600 for e, C9: 1440, 8640 for e, Coos 2640, 7440 for es Oooo - This gives Caso (PO 120 M2 OE 600) ; Cy Con (1440 , 4340 6 00E 720); > Coon (3600 , 10800 , 8640, AALO GUESS (2400 , 7200, AIO 20 TUE 146. Forms ¢, @, Cggo ee Cho > Cas Cano Me CC RE number of vertices is given by the relations 67, 127, 127, 24r, viz. 7200, 7200, 7200, 14400. By the consideration ofMthe limiting bodies (600 #0, 720 Pz, 120 Z1 for e, e Coop; 600 27; 1200 P,,°720 P;, 120 RID tor ee, Cono; 600,CO, MR DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 19 con 600r- 50, 12000 Past W207 ys 120 ¢ZD for e, ee, Cp) We obtain consecutively for the limiting bodies 1440, 2640, 2640, 2640 and for the faces 8640, 13440, 13440, 17040. This gives 20 Pigs 120:4D for eea C, Be Coo (1200, 14400 , 8640 , 1440); BREN Ooo ¢ 12005-18000, «13440, - 2640); see Ooo :( 7200 , 18000 , 13440 , 2640); € 66; Coon (14400 , 28800 , 17040 , 2640). fay Borms ee, Cono. 65 Cenos €€3 Coco The numbers of vertices are 1. 1440, 4. 3600, 4. 2400, viz. 720, 1200, 600. By the consideration of the limiting bodies (600 O, 120 7 for ce, CG: 600 7, 120 LD for ce, Goo: 120-D for ce, Capo) “we obtain: for the limiting bodies 720, 720, 120 and for the limiting faces 3600, 3120, 720. This gives . ete PO 2600,” 3609: , 720) ; uly 2 al200 5 8600, , 8120 , . 720); eee OOO. 1200 vr 720. 190). ORS Ce era an.) CGC, Cony, Ceres Con. ee Cana: By the c-operation the bodies of. body-import 70; #7, CO, 10, are transformed into #7, O, 7, 47, and accordingly 6/7, 127, 12r, 24r become 37, Gr, 47, 127 leading to 3600, 3600, 2400, 7200 vertices. By the consideration of the limiting bodies eee 20d! tor ceres Coops 600 0,, 1200) P,, 120, ALD TOUT I20-4D for ce, ete 600 67, 1200 PS, 120 ITD for ce, ee; Coo) We obtain for the limiting bodies 720, 1920, 720, 1920 and for the limiting faces 4320, 9120, 3120, 9120. This gives for ce 14 Ge Ger Esso MOOD 17200}: 4820, 1720); Geren. reson) se 109002 9120: 2 1920), gee ZOOs A 800: BIO, ei eee ta, M IE OO 14400 | 9190, 1920) F. Zhe coordinates of the Oxo -family. 600. 149. To deduce the coordinate-symbols of the polytopes, of the Ceoo-family we may choose as the ,,patriarch” (art. 48) of the DE 20 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY family either the Coy or the C,,, neither of which however can be represented by a single coordinate-symbol. We choose the Cooo> as it seems to be the simplest one. When the length of the edge is assumed to be = 4, the Gy can be represented by three coordinate-symbols 1) 0] roer spela e Hoi MO 96 (le, l+e ,; 14e, 14e] where e = V5 and : 2 denotes pentagonal hemiedry (cf. art. 116). The numbers on the right side are the numbers of vertices tepre- sented by each of the En 150. From Coo we first deduce. the other primitive forms of the family “ce, Co, te ANd cen Cop Gon: Since the faces of Cy) are triangles, the coordinates of the vertices of ce, C59 are obtained by adding those of two adjacent vertices of Coo (see art. 117, foot-note). Six coordinate symbols are obtained. ?) Gun CEDEO Coa See ed TE Came DD, 0 66; Cono lame pi Ter EN D {Te RENTE. 96 Cono De ETE 0 Goo: STE Ne Rnd , 0 [6 + 2e , 24 2e , (CAPTER Or 1 48 Ooo 38 Le a ORNE ce 1 Cgon. LO + 28, Ef enn ts CN 192 *) P. H. Scuoute. Mehrdimensionale Geometrie II, § 7, art. 69, p. 209. P. H. Scuoure. Regelmässige Schnitte und Projectionen des Hundertzwanzigzelles und Sechshundertzelles im vierdimensionalen Raume. Verh. der Kon. Akad. v. W. te Amsterdam. Eerste sectie. Deel If, n°. 7. Tabelle I A. E. L. Eure. The semiregular Polytopes of the hyperspaces (Dissertation, Groningen 1912) § 15, p. 23; Table E, p. 28 (multiplied by + (5 +e)). *) Eure. Diss. § 15, p. 24, Table A; § 16, p. 31 Table (multiplied by 5 + e). H, the last six symbols DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 21 Ben Pore keren, 2 D MIE ee |; Dons 2 ce, Coop [4 + 2e , 4 + 2e, ee io 96 w Seo eee GE Fre, 0 ON: Céoo nele 4 ee, Te, 0]: 2 96 MeeR 0 ne Bene ee le a e oenen deel el : 2 192 720 151. In the same manner, the limiting bodies of Cog being tetrahedra, we find the coordinates. of the vertices of ee Cano bY adding those of three adjacent vertices of Co, (vertices of a same face) (see art. 117 foot-note). Ten coordinate-symbols are obtained. 1) Beno 22e), 0 : 0 g 0 Pen eeu Lh ey 2 , 0 iy ore, Le 4, —2 i () Cy Con [8+ 4e , 2+ 2 , 0 ; OE) 48 Coon 2 + 2e, 0 . 0 . 0 Con «3S te., lte., 2 Pion ee u, 2 : () , lte ees Cono [St 4e, 8+ e -, 2 , l+e]}: 2 192 on PC bee Che, 1 Le Seno Sonra Bee 2 wen) Pinos — Sarens 0 fl es ee . Cy Coy LT + 8e , 24+ 2% , 4+ 2% , 3 Hel: 2 192 7) Eure. Diss. § 15, p. 26, the first ten symbols of Table C (multiplied by 2); § 16, p. 29, Table F. EE Gn Oh oo EO desde de ae 3+e A esa Dn ‘ 0 i 4 Coo Dune > 2 a Ces C0 LOS Se Stena nn ee (00e. 97 € bnn MD L + 6 RE cen Osyy (7 + 8e , 5 + dé 9° 0 ces Co (tee Se, CCR, Choy Bn CR, ieee CS 9 sa ee De 2 s 82 5 een, [6 22. GE eN | | 1200, 152. To obtain the coordinate-symbols of ce, Cog we first deduce an auxiliary polytope, ce, Coo, whose vertex-coordinates are obtained DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 23 by adding those of four adjacent vertices of Coo, (vertices of a same limiting tetrahedron). The coordinates of the vertices of ce, Chop are to be multiplied by such a number that the edge of it acquires the length 4. The length of the edge of ce, Coop (= distance of the first and the second vertex of ce, Co in the following computation) is found to be — 2 + 2e. Hence the multiplier required is 4 (e — 1). Seven coordinate-symbols are obtained. 1) ete Oy 0e, 0 | 0 Cano ge ,l+e, 2 ; C0 3 +e 0 el ee NT NN ee Se B ,.5 Le ne de, bele le 5 1 +el 64 oc 2+ 2e , 0 : 0 ; 0 600 dte , Idee , 2 8 0 ee de ed eee 72 06 C500 ste , 2 F 0 l —e Ce, Opn, 10 de , 4 + 2e , 4+ 2e , 4 + 2e Creat 4 oe, Sa -e > Bes, Be | 64 Cano l+e ML e le ,-lte 600 dE CE CARS ? 0 Coo 2 ple LLC 0 Re eer ee, 0 ces Cg) 7+ 8e,7 pier demo dre 4 c De - : Ce Usp | 4 + 2e, 4 + 2e , 4 + Ze, be] 64 à 2 eh eee JE H. Senoute. Regelmässige Schnitte und Projectionen, Tabelle III, © (ces C’ggo). Er, Diss., $ 15, p. 27, Table D: S 16, p. 32; Table K (cé; G'500)- 24 ANALYTICAL TREATMENT OF 1N D Ces C600 l+e , l+e THE POLYTOPES REGULARLY +e, 1 +e 2 0 SR oh 1+e SEE > 116 ; 2 2 pete le, He enr NED ide, 8 + 4e, 4+ Zeste [4+ ,6+2e,3+e¢ ,1+e]: 2 192 3 +e fe Lata ) 2 ; 0 3de , 0 A ber an Ake Bie ne UD ‚14e ,—2 lte., 2 D Be Me EU 10 + 4e , 3e „78e, 10 [58e ,1+e ,4+2, 0 | 22 96 8e ,l+e , 2 à wie Al 8de ,Il+e ,—2 PU l+e ,3+e , 0 à 9 le ,3+e , .0 EN , 8t4e,8+4e, 0 | [ 6+ 2e , 6 + 2e 0 ie 24. 600 153. We now proceed to deduce the coordinate-symbols of the other polytopes of the family by composition of the primitive ones. Ae ; fe nt Deduction of e, Oso, by composition of ce, Cgog and C0: C 1 1 “600 1 ( ce 600 e, ( if 1 ~600 sen Tee Ne 0 he ERR eK) 0 0 Kie SA 2 D: Tas 96 5 Se aa eee 2 0 ste ,lte , 2 0 Br 4c, 2e 0 jn 6+ 2e , 2+ Ze 0 0 SR er. 0 lo sd de 2 O> EE 96 ce; C600 Ceoo €; Coo ce, C00 Ceo0 154. Deduction of e, Coo by composition of ce, C (721 Y €éy Cano 2 1 600 1 ces C600 600 D 1 es C00 DERIVED 6+2e, 3e, [9 + 8e , 62e, EU ns FROM THE REGULAR POLYTOPES. l+e l+e 2 + 2e l He 0 no + e 9 ’ , D+e ME ET , l+e > > > [9 + 38e , 4 +-2¢ , 3e , l+e A + 2e l He [7 + 3e, be , 8de , 5 + de 4 + 2e Le He ‘ 2 ee 4 4 Note [8 + 2, 5+e , 9 by 5 + de 4 + 2e 3—+e [7 zj 4-+ 2e, 3e , 1 3e 2 + 2e I =e [7 + Se, Ae, Te , ee a) eae dr 2 — 2e BERNIE "eme Poe Ra > 38e, 44+ 2¢ , 2+ Le): Bide Ode 0 2 + 2e 2, 2 +2 [Il + 5e , Bie, Diss. 9) 15 tp. 25. DO Loire de 0 0 0 2 RE NN Table B. to 1 600 ue ot 192 192 192 96 96 192 192 1440 ANG. Cana) 2 600° 96 eee a) Coo C00 € C0o at ce Coo C600 Fe soo ces Cog Coo £a "goo Len C0o Cooo es Ceoo > i ces Ceog Ce00 Cy Ceog ces Ceog Ceoo ea Csoo ce Csoo Co - il es C600 F Sed Anse. AE Chr Ben, dese 3de , "à [ll + 5e , 5+e 1de, 2 ve laden, Ie [ 8-+ 4e , 3 + 8e 7 + 3e , 2 +2e ste , l+e [10 + 4e , 3 + 3e 1+8e , 2+2e 3—+e , 0 [10 + 4e , 2 + 2e 5 + 8e , 5+ 3e 14e , l+e [ 6+ 4e , 6 +4e 5 + 3e , 5 + 3e 3de. , le Ls A 6142 oe 14e , 1+e [ME Be GMa. ces Ceoo Cé00 es Ceog ce Coo Coo Cy Ceag } Cy Coo Cooo : 1 es Ceoo 0 1 ces Cegg Coo D Ÿ ea Cog f gl Cain Cyo0 1 es Ceo 1 C 600 es Ë f 600 Ces C ( “600 1 600 1 1 € Cong ce, C600 i C600 1 ex C0 = 1 Cy C00 1 Ceo0 DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 4+ 2e, le 2 0 6 + 2e 3+e , db Be; vld > > [ 9 + 3e 6 + 2e 2 ? 6 + 4e , b + 3e , 3+e 2 > 6 + 2e 4 + 2e bee > > 8e de » 0 | de 2 5 + 8e > a Me 0 le erg Oe yearly ye ie Sr AE TN rde TE IN g 3 Le or nk lte [12 + 4e , 6 + 2e 0 2 + 2e] 9 8e ng , ote lee fle ede’. ene Er DT EE 2 Bé le |, 2 0 [10 + 4e ,6+4e, 2 de | 7+ 3e,5+38e, 0 J 2 ie et veo ei, 0 : 2 #8 Hide , 8-+-4e, 0 fae] 7+ 8e,3+e 2 , l+e , 4 + 2e , 8 +e 8 0 Cig, (ie mare we : 12 w to es 27 192 192 192 96 192 192 192 28 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY ces Cog 7+3e,3+e ,6+2, 2 Coo lte , 2 oe de Ne es Cog | 84e, bte , 9H 8e, 2 |: 2 ce Csoo 62e , 6+ 2e ; 6+2e, 0 Cooo Biel Oana Ls oes 2 B 0 Con 1 84 de , T+ de , 8+ ae, O 1152 96 3600 155. Deduction of ce, e, Cp by composition of ce Oog and — ce, Opo and of ee Coop by composition of ce, ¢ Cono GEN In the addition applied to find a coordinate-symbol of ce, eg Goo we replace the vertex of ce, Coo) by the two. vertices of Cop from which it can be deduced, and after that we again add the coord- inates of each of these two vertices successively to obtain the coord- inate-symbols of e, e, Co: ces Coon. MO Aen Mee RE: NON Ci Send Coo DE AE is 2 hd ce Gy ono TBE e, 8de 2 ION ee Conn [15+9E, 3430, 2 , O 4:2 96 €, > Coy [16+8e, 44+4e, 4 , 0 4:2 96 C6, OE ee ome 0 Del Croo Senne Ne Cano: Sr Ge) En Conn LA Oe Aen 0 AO 48 ee Co Lite, bose, 92 ORS 96 ee nne chan am CONS) MSA, Or ae ee ee te Csoo Cran ae Ies 2 ze Ung) C6, 5 Cega MISE Te , 42e, 4 Lee he 2 192 €, € Og (15+9e, 4e, 4 ,1+e ]:2 192 € €, Coo, (16-+8e, 5+8e, 6 ,1+e ]:2 192 Cy Coo Cooo soo DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. REN Co (138+ Te. Ci Cy Coon (15+9e , €, € Coo [16+8e , ces Coo Ceoo Ceo0 Bebe (1 4-4-G6e , ee Ooo L17+ 7€, ei € Cooo 1747 , ces Coo Coo Coo eee Ceo (Li be, €, € Oooo L12+-6e , €, €, Coo [144-6€ , ces Coo Coo Coo ce, € Céoo L11+5e , €, €, Coo L12+-6e , ee, Coon L14+-6€ , ces Ceog Y Ce00 Cooo Bene, Chan [13-+-5e , ee, Coo) [16+6e, ee Coon L16+-6e , BEde Ste „2 : , l+e LEE ERO re VERT RER He be Due 2e | bte , 2 „22e Iers: 02 78de] 8—de , Bte , 2 ,lte Beede 62 0 Se , 2 , O ‚le 62e, 4 ,2+2e] 13e, 6 ,2+2e] 8+2e, 4 ,3+8e] 7+38e, 2+2e , 442e , 3+e Ite , Ite , Ite ,1l+e e+e, le , 2 0 4+de , 7+38e ,4+2¢]: DDC 4 S+4e 2 53e] : b+5e, 9+38e, 4+4-2e]: 18e, 2--2e , 4-+2e , 3+e Ite , I+e le ,l+e Se Re 0 , 1+e 2 3L3e, 64e , 612%]: 4+4e, de, +3]: 38e, 7-+5e,8-+2e]: 13e, 24e, 4+2e , 3+¢e See UD td nelle 0, idee +; S He TEL Bet 5e | 4+4e, 9+3e,5+e |: 33e, 8+4e,7+e |: Oo 0 we 09 DD 192 192 192 29 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 30 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY ‘ ces Go + DÉSENMDEÈRE Worse eue + Gap. See eg Me CIE ae Goot BEL, 0 cé Con | 95e ;* T+be , 62e , 4267/2500 2 €, Cooo [1046e, 8+6e, 13e, 53e): 2 PS 192. ee, Cooo (12-+-6e, 8466, 8+2e,4+2e]:2 192 Cen Coo 948, Ide, 3e , de Con nl Cn ERD Goo IES IR ce to loon [9de J-Ébe OUP eee | 96 €, € Coy L12+-6€ , 10+6e, ie ‚ate ]:2 ) 192 1 Ce» Conn Oe, Dende ee ee Co It ee Coo ae , le, 2 | ce, € Ogg (10-H4e Tbo TeBe Den ee, Ooo [11--6e,. 86e, 8-+4e, 8+8e]:2 192 €, Cy Cioo (138-+-5e, 8+6e, 9+38e, 2+2e]: . 192 ©O CCS 6--2e ; 58e , 4+2e ,1l+e. Coo Ier ee = Cgoo 2 Be gable MONO ce, € Ooo [ 94-86", 94-be., 6446/9200 20 MOD ee Coy [10-46 , 10-66, Abe, 33e]: e €, Oso (1148e, 12+6e, Abe, 22e): 192 192 Do DP ces Cogn 02e, 58e, 42e, le Goo Ste ee 600 2 ‚ She gee ee ce, en Chop [1143e, Obe} Asen EE €, €, Coo (14de, 10466, 93e, 1e |: e €y Con, [13 +86, 12466, 8+4e,1+e |:2 Oo 192 192 w DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. D Pee, Arde, 10. le De Me: 2,570 ee : dese; 0 ore; 6-40, 0 », Ife. |]: BRE, |18-Ge, 7+be, 2 ,l+te |: Ce» Ceo 93e, 4+2¢ ; 0 ‚le en AN RER ee ee eS, 50: Te ce, Cy Og [15+5e, 7+8e, 2 ,2+42¢e] eC; Cy Cae [1S+6e 3 S4e , 4 , 22e] : Meee erie oe. ee. Se, de cons SEs el (2 , V0 0, le , 2 Ce, Ea Chop [15+5e , 42e, 62e ,5+e |: 8,0 Ooo, [18E6e, 42e, 1430, 7-Le |: B Sie 0 , » Eno oe; lEe , 2 70 Croo Ste , le , —2 atd) Genes Croo LLS 5e,- 7+5e; 0 ‚72 €,€, Ci (1666, Sibe, 2 , 2 | ces Cog 78e, 5-+38e , 0 2 oei dn 2 7 10 Coon 1e , 38-+e , 0 2 ce, Cy Cog L115e , 95e, 2 4 | €, € Coy) [144+-6e,10+6e, 4 , 4 | ee, Coon (12+6e ,12+6e, 2 Ge] LR La æ 0e dd vo 96 192 192 96 192 31 192 192 192 192 192 192 192 32 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY —_— ce Csoo Coo Coo ce, & Cong €; € C500 Ci Cs Cooo cy C600 Ceo0 Ce00 ce, € Cegg €, € Coo [14+6e, €, © C600 Ce C600 1 Coo 1 G 00 o 2] U ED Ce00 e‚ € Coop if ee, Coop 19 f ces C600 Y 600 ( 1 “600 48e VB IG Let 9 ne: : Bae ees oF kl ME SAAN Ee 2 Sn [18-H6e , 42e, 98e, 4 Tc 00 (16+6e, 5+8e,11+38e, 4 1:2 192 [16+6e, 42e, 10+4e, ]:2 1 78e : ab ete Re k ate lske |, D AU 1e OMS EE RE TR , [ll+be, 6-Û8e, 11-86, 2 ]:2> aa 7+38e,18+38e, 2 .]:2 (12+6e, 84%, le, 2 1:2 192 7+3e , 3de , 62e, 2 Ste , 0 AEN A [Ae re GEEA) [U -Föe , 6e 10446 AOT lait, she Moser Eleme 192 [12+6e, Te ,13+5e, 4 ]:2 192 6-+2e , 62e, 6+2e, 0 3—e Ite , 9 AI 2 nn 0 ON U cé, 2 Opo (LIES6, 10046 NO NON RUES €, € Coy, (14+4e,114-5e,114+38e, 0 ]:2 96 €, Co Cg, (18+-8e , 18+-5e,10+4e, 0 |:2 96 3600 4200 ee 156. Deduction of e, C, Y ces Csoo (0 ° “600 Ÿ Zeit 600 1—+38e, 2 + 2e Lose, er ien 3 600 l He 0 } a pue by composition of ces Osog and Co : , L+e à 0 , le 0 > 64 192 ab ke » DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 33 ces Cog Pre AE et, le ,l+te Cioo Ber lade, 2 a 0 M [10 4- 4e 2 2e L 3 Let ,1 he]? 192 ce, Cong fae, Cao 2+ 2e, 0 ; este Oy: 2 dé vo ate ; 0 0 Bes Cano 7+ 8e , 2 , ote, 0 Ceo oer nt jee or? MeO ae. Be cb ee Oer 2 96 TAI 7 + de , 2 ee aS 0 Cao 3—+e , 0 pode tee 2 AE 0 2 ao, 2 |] 192 ges Cho DA 3e, 3He „3de ,3 He : Coo | be, Res „le, We ez Coo | OH 4e, 4+ 2e, 4+ 2e , 4 + 2e] 64 gea Cano DH se, 3de ,3+e „3 He Cay Dre, eve |; 2 or Ea Croo [ 8t4de,4+ 2% ,5+e Mr Ota Ovi lege 192 PU Ake, Ate 2 Coe Bee Mie she , 1 de Ea Ooo | 5 8e , 5+ Be, 5 + 8e, 3 He | 64 f LIE) Dh Pp …) Gem C 00 42e , 4+- 2e , 4+ 2, 2 p) Céoo DE cees bc 0 B Opa [At Be tb A NR AE 192 ges Oron At 2e, 62e, 3de , 1e C500 ere den Ide € Ceo | D+ Be, 14e, 4 + 2e, 2 + 2e]: 2 192 Verhand. der Kon, Akad. v. Wetensch. 1e Sectie Dl. XII N°. 2, B 3 “34 ANALYTICAL TREAT Lae. Oba she it ces Cong Ceo0 ez Csoo ces Csoo C600 es Csoo ces Ceog Coo #4 C00 ce Csoo C00 es C00 ces C600 Coo ez C600 Ge} C00 Ceo0 e3 C600 ces Cong Coo ez Ceoo 157. Deduction of ce, e, Oso, by composition of ce, Cog and ce, Cog) and of e,:e3 Oog by composition of ce, es Coop and Coo. The arrangement of the computation is the same as that of the — deduction of ce, & Chop and e, & Co (art. 155). GE Ed À Eee Een ook | ETS eae ‚spe Py ths!) Fern ae Ait, Ge, Bek 2 B nn nae [6d Qe y, De dee 5 Se lek AED Beg Almen: olde GED [84 aes TAI Eze Ma be een Le the ea nae ea ae ac ge [ S+de, he, she TA DH 8e, 1e Ade, 0 ae! a Serie SE Ee men [6 + 4er, B en aides aie i 6.5.2: 6 Hemel sit o> 2 fel Se HOUR 0 [ 94:82, 48e Hr OAN DA 2400 cs Cong Ceo0 Coo Y ce, €3 C600 e Es Osoo €, 63 Cooo LL ces Csoo Y 600 Ceo0 1 ce, €, ( 7800 DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 7+-3e , 2+2¢ , 3e , [12+6e , [14+-8e , [15+-%e, (18-Lbe , €, Es Coo) L16+-6€, ) € €; ces Ceog / Coo 1 Ceo0 ce, €3 C600 Coo [16+ 6e 3e, fia 6e-, €, 23 Coo L14+-Se , €, C3 Coo L19 +7, 1 ces Cog ( ( 1 600 i 600 { ce, € Cogg €, Es Coo ( CG 00 f Céoo 19 / Ces E600 1+38e , oe , ate , [13+5e , [16+6e, 1+3e, 22e , BIE", Ie , lte ,l+e Brel 2-0 Pa 0 22e, 3e Se ie 212, Be ,1+e ]: g+se, bte ,1 3 —+-e 5 0 0 veglekse jet 2 0 Ite ,-2 2 5-+-3e 0 A DER UE CRE 2 Be 0 0 0 0 0 le 2 3 de ; 2 | 1 OZ 5 ce, €3 Cong [12+-6e , 2 JA (eg C3 Coo ee Co (15e, [14-L8e , oo OO to 30 192 192 192 192 192 192 96 96 192 ad 36 _ ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY: — ge Canoe eee PE ne NN A Ooo STe ee Vere) Ee eo We Os SE ce, ex Onno ILS HeDers OPEN Gab 2er 222, den €, 3 Coo [16+6e, 42e, 8+2e, 2 ]:2. €, 63 Coop (16-+6e, He , 7+8e, 4 ]:2 | CRC UC Dede, NOTE Ve Core Co Alte pepe dae eee Orn) a 6 me MIE ER 2 a) certe, Cool Otsen bast Oerend e‚ es Coo, [10H6e, 6+4e, ÎH3e, 53e): €, 63 Coo (12-60, 6+4e, 8+2e,4+2e]: vo oo co Ono RCE EP RS EME ti = Coo Were 0 be See A RS 00 PR NT eee ee ce: en Con Te bedden wegee €, €; Ooo (14-+6€, S+e , 548e,8+2eE]: €, Es Con [(14-+6e, T+e , 4+2e, del: 09 © Ce, Cony Aen apes, 7 eae Coo A al Cao TIE EE ce, e3 Coon [| SH4e, 6+44e , 74+3e ,3+e |: €,€; Con [ 9+5e, Be, 8+4+4e,442e]: €, € Cy [11+5e, 7+5e, 9+3e,3—e |: we & © Gero Are NACRE TE Coo. REE en On Tel VO RER ce; en Oog || 14-8e, 98e 82-42 RN ge 0, 192286 12 40 8 hes eee € 63 Cio | SH4e, 13e, 1de, NOM Os € fo Co) DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 37 Be Cago : 4-26; 6+2e, 3+e ,l+e Con dee ; le ,l+e DU como ne, 0 DC | 84e 4 Ba 4e, 62e 22e] 192 €, 03 Coo [ 94de, 9+5e, 7+3e,3+8e] 192 @, Es Coo) (11-+5e, 9+5e, 8+2e, 2+2e]: 2 192 ee. ee, Oer nee. , le No OE sy 2 C500 2 Re re Ite , 0 | pl itse, IA den, 42e, 8e i 2 192 eC ena 0 602,46 >, le Ce ee ee ET de Ce ee a CU 2 | D 0 Doit 04e, 4426 44-22 | 192 ee Oo, [ Ibe, tbe, 5L3e,5138e] | 192 €, 63 Con, | Hoe, 13+5e, 4+2e,6-+2e]:2 192 nl tre 00 2e Bte „1de DRE le fon | Cran ASE AR lues At Pe 0 MST EAN Dies lie :2 190 €, Es Coo L12+4e, 11-+5e, S+2Ze, 1e |:3 . 192 €, 63 Coy (11+38e ,18+5e, 13e, 1e ]:2 192 D Ml Nue let. le Cyo0 Poe was ape =, cliche “le CAN AE teeta REP Pee il ote WO Ag 5 PS 2 pe: 9 192 C, 63 Con [| St4e,11-+56€, 644e ,3+3e] : 2 192 Ci 63 Coon | 94-8e , 13- Le. 64e, 2+2e]:2 192 is ye am AU vy Ris 38 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES ° be Cogn Attent de one Cino Se hekken SD EN Osoo Ie > 3e ? 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(10-+-4e,10-+4e, 2 is ee ee, Co 118 be, L10e, 4 , 2 | co) 39 48 96 96 nue 3600 5200 158. Deduction Oldeenen Cane DY composition of ces Coa, and Gey Coo, and of ee Cory by composition of ce, es Cy, and Cao: ces Ug, 18e, Ite , le ‚le Coo are +e , 2 0 SE en 0 be 2 nn ae MATOS bee Ces €3 Cony [16+6e , 4+2e , 44%e ,442e] 64 C2 3 Coo) (19+7e, 5+8e, 6+-2e, 44-2e}: 2 192 ces Croo 78e, Ite , Ite ,1+e B 0 0 Geaen oe RAN Sy Pee 5,2 Croo de PUR Une le €€, Ca Cong L15- Te , Bte , 242 ,442%]:2 199 Co C3 Cis [17+9e , se , 2 2e > 4+2e] . 2 192 C2 03 Cg (18+8e, 38+e , 3+8e,6+-2e]: 2 192 eze; Cy. [18+8e, 5+e 2 192 2126 ,5-+8e]: uk EN fee ay. Zi | APE AA D < 5 ee In : NER re ke : CE 40 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES ce Og, 78e, M 2 ; 3de, Go Se EE Cp Oa Ot eae MERE E | Cine a ae 0 , vibe Ta (ey Ea Ogoo (16+6e , 34e TEE RD J: ee Os Torie, Aide, 9186: 0 1.8) aie » @ 03 Coon [19Hie, 84e , St4e, 2 J:8 © Ces Croo 1786; 2 Cones ees tae CON Ses ee ene AMEE EE Re 2 OR? 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Deduction of ce, eg Ex Coo, by composition of Genes O) 3 600 ) and a; Coo and of € es Cog, by composition of ce, & ex Coo and Coo. Cees Croo 66e , 42e, 442%, 4+2¢ Ooo ee hen x 2,2 a Con Saen, 0 EN. 2 CC; Cy C3 Ooo 2: 2-++-8e , d+ 3e , lieden 6H-2Ze |: 2 192 6 €, CC; BEA [25 +9e , 64e 3 9+-3e 5 62e] : 2 192 Or € à a : 616263 Cg) (25-+9eE , 5H3e, S-H4e, S+-2e]:2 192 € 12 44 ANALYTICAL TREATMENT OF THE ee REGUL: 00,4 Cony Wte Mo Le “2e | Coo 22e 5 0 NRC 5 ; Coco Doe EEE EU Oe B \ : ce, 663 Cony [20+4+-10e, 3e , 3+8e, 6-+2e]: €, E20; Coo L22+ 12e, 8+e , 3+3e, 6+2e]: €,€,€;Cgo) (28+1le, 3+e , 44+4e, 8+2e]: Cy Osoo 15H76 , Bte , 242, 4+42e Cao 2526, Ona Dead boo PSE a Ge LANCE Cs Onan [204102 , 5de , 2+2e, 5+38e]: e ese; Croo L22+ 18e, bte , 2+2e, b+3e]: €,€,€, Cooo (28 + Ile, +e , 2+2e, 6H4e]: Ce eg Capo Lotte 7 8e CI RENE ee Ono Ste. 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The following table contains polytopes of the C! at Coo “600 AUS NE tes ,RGESE, 2 -family. ae eves, 0 : I ra 0 RE = PSG El erts 0 | te 96 192 192 192 ] 192 | nuire 7200 14400 the coordinate-symbols of the 52 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGU ce, Conn. [6 + 2c, 8 der, 25%. 1,3 +e Je Rad 192 (6+ eee Dat te F5 8e gn 0: olden RE Qe ae gt EEN [A + 2e , 4 + 2e DIET PSN [4 + 2e , 8 He Ee ADE eee el Org 9 Be”, A Zen Wee ee [94 83e, 3de ,38+e ,3+e ] [8 44e, 3 He 2 ile. | ae [8 +de , 2 + 2e 0 se Wings 112 [T+8e, 6+2%e, 2 ,„8Hel: 2 [7 + 3e , 5 + 3e 0 8 eee [7+ 8e,4+2% ,3+e¢ ,242%]:2. 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[204106 [20+8e [20-+-Se [20+8e [19--7e [19+-7e [19+-7e [18-+-8e [18+-8e [18+-8e [17+-7e LE Te hijle [17 4-7e [174-7e [16+-8e [164-8e [16+4-8e [1648e [16-+-8e [15+-7e [15-+-7e [15-+-7e [15+-7e [15-+5e [15-+-5e [14-++-6e _ [144-6e 00 [18+-7e [13+7e ? ki 2 > id at-de , EE ne), 10-6e , 9+-3e , 138--7e , 13- de , Tbe: ; 19=250e,, 11+7e , 10+4e , 5e , 15--5e , 14-+6e , Sue % 10+-6e , 15+5e , 14++-6e , 13+7e , 10+4e , 95e, 154-5e , 13--7e , 13#+-5e , ll+7e , 14+6e , 138+7e , 13--Te > 11+7e 13tle , 13+-5e , 12+4e , 11+5e 10+6e 9+-32 , 8+4de , 11+3e 10+4e 93e , 8+-6é , . . “ 5e > ” 5] 2+-2e] : 3+-3e] : 22e: 4-36] 3 Dan. ule i-+3e] : 64e] : 5+3e] : 3e |: 6+-4e] : A ] : 9--3e]: 8+-2e] : 7+-5e}-: 64e] : 7+-3e] : 6-+-2e] : 5e |: 7+5e] : 64e] 3 10-+4e] : 82e] 8 95e] 2 7+3¢e] 9 Je ] ? 33e] : 4+2e] : 5+3e] 10--6e]r: we wo D WW © © © wo DO ww UO vo WO & Ww UO W wo wo Ww 2 UI © © 2 © 09 UO D wo 59 192 192 96 192 96 192 192 192 96 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 192 7200 192 192 192 192 192 192 192 192 192 60 ANALYTICAL TREATMEN’ LOF THE zin REGULARLY cs 244100 » Sde, Te , 31 8e] F284-Ie see , 009 11.1 SHER [238+-lle , 8+4e , 6 ‚Selk: [28+lle „ SH2e, 8+e , 4+4e : Fos Le Te of dt SR [284 le „ Te , 22e , 64e}: F284 9e , 1345 gh Gh [23+9e ,12+6e, A, 3848¢] : [23+9e , 11+ 7e Botho ERA 82e , -8-+-4e] : (234+9¢ , 104e 1094. TABA [22412 , 8+2e , 2 » ABe): [22H-12e, 78e, 4 + sate ye: 2+12e , 644%, a hss oT ze Wee BEL, SB Ade: BABe Bet, Baebes +8e , 15+5¢ , 5+e , SH4el: 2 ae A + mann Ge ledi) = ics) — — ws) & WO UW WD WUO WO WO © WO wd w ue rat WS WW WO 8e , 14+8e , al es 8e , l4+6e ,. 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Met 2 tabellen. | ee - AMSTERDAM, JOHANNES MULLER | Augustus 1917. — ei ED 0 st | Etude sur les formules servant à calculer des valeurs approximatives d'une intégrale définie. . (étude insérée dans les „Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, fe Seetie, Deel Xl, N°. 6). PAR Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII N°. 3. Met 2 tabellen. AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. 1917. Pa: V4 eid, 293) | Suite à l'Etude sur Jes formules servant à calculer des valeurs approximatives d'une intégrale définie, (ÉTUDE INSÉRÉE DANS LES MÉMOIRES DE ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES D’ AMSTERDAM. PREMIÈRE Súrie. Vor. XI. N. 6.) SEC TIGN EV: Remplacement de la Table B par une nouvelle Table. § 29. Les Tables, destinées à servir aux mathématiciens, comme par exemple celles dont il est question ci-haut, les Tables de logarithmes et autres du même genre, doivent avoir pour qualité primordiale d’être absolument exactes, de façon à ne présenter aucune faute pouvant avoir une influence quelconque sur le résultat à calculer, ensuite elles doivent être faciles à consulter, complètes et suffisamment étendues. On m'a remarqué que la Table B n’est pas complète, parce que elle ne contient pas de formules pour les nombres pairs d’ordon- nées et parce que là du j'ai essayé ($ 19) d'augmenter l’exactitude des formules, en apportant de légères modifications aux abscisses de Gauss, arrondies à deux décimales, il existe dans les déductions de ces corrections une lacune qui laisse dépendre quelque chose d'un choix heureux. Reconnaissant la justesse de ces observations j'ai calculé de nou- veau toutes les formules de la Table C, qui suit, en remplaçant les déductions citées ($ 19) par celles du $ 30 (ci contre), en ajoutant ce qui manque à la Table B; ensuite j'ai introduit quelques modifications qui, selon moi, augmentent la valeur de la Table et favorisent la facilité de son usage. La marche des travaux pour la composition de la nouvelle Table a été la suivante: Pour développer les formules pour 2m ordonnées on a pris les m abscisses de Gauss de la Table 4, arrondies à deux décimales; de ces abscisses en deux décimales on a isolé la première et on a calculé quelle devrait être sa longueur si en conservant les autres 4 SUITE À L’ETUDE SUR LES FORMULES SERVANT À CALCULER abscisses arrondies, on porte à zéro le premier des termes de correc- tion appartenant à la formule d’approximation de ces 2m ordonnées. La valeur de cette première abscisse est déterminée par un nombre, contenant une quantité indéterminée de décimales; mais ce nombre — est également arrondi à deux décimales et forme maintenant avec les autres abscisses arrondies d'après Gauss un groupe d’abscisses que j’apelle le groupe 1. Ensuite on isole la deuxième abscisse arrondie et on opère exacte- ment de la même façon que pour la première; on obtiendra ainsi le groupe 2. | On agit de même pour toutes les abscisses arrondies, de sorte qu'on aura finalement pour chaque formule pour 2m ordounées, m groupes d’abscisses parmi lesquelles on doit faire un choix. On prendra pour la Table C le groupe d’abscisses dont le premier des termes de correction est le plus petit. Les abscisses arrondies de Gauss ont été prises à priori comme base du calcul, parce que si elles étaient appliquées sans restriction, les m premiers termes de correction de (19) seraient, chacun en particulier, égaux à zéro, et qu’ ainsi on peut s'attendre que, si on emploie des abscisses qui diffèrent moins que 0.005 de lunité de longueur de celles de Gauss et qu'on développe d’après ces abscisses une formule d’approximation les # premiers termes de correction de la dernière formule, bien que n'étant pas absolument égaux à zéro n'en différeront pas beaucoup et dans tous les cas moins que si l’on avait appliqué m autres abscisses arrondies à deux décimales. La justesse de cette hypothèse a été confirmé au cours des calculs qui ont servis à établir la Table C. Dans le développement des formules pour un nombre impair d’ordonnées on n’a pas cherché la plus grande précision, parce que ces formules ne doivent servir qu’ à contrôler le résultat obtenu par la formule des 2m ordonnées et à déterminer le degré d’exacti- tude de ce résultat. En effet pour chaque formule d’un nombre impair d’ordonnées, on a applique exactement les mêmes abscisses que pour la formule précédente pour 2m ordonnées, en y ajoutant l’abscisse a, = 0. Une telle formule pour (2m -- 1) ordonnées est toujours plus exacte que la formule immédiatement précédente pour 2m ordonnées, de sorte que, des séries ininterrompues de figures égales, comptées de la figure des unités, que les résultats calculés d’après les deux DES VALEURS APPROXIMATIVES D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE 5 formules, ont en commun, on peut déduire une approximation qui est exacte jusqu’ à la dernière figure. $ 30. Etant donné, que par la nature du problème, on connait (m—1) abscisses des 2m points de la ligne y — f(x) par lesquelles doit passer une courbe parabolique approximative et qu’on est libre de donner à l’abscisse restante 2, la longueur qu’on veut, on demande de fixer la longueur de cette abscisse et les valeurs de PR, de telle façon que le premier des termes de correction de la formule d’approximation soit égal à zéro. Solution. I reste donc à déterminer l’abscisse #, et les m valeurs de #2, soit en tout (m + 1) grandeurs; nous pouvons par consé- quent établir, d’après (19), + 1) termes de correction, chacun en particulier, égal à zéro et au moyen des (m + 1) équations ainsi formées résoudre les (m + 1) inconnues. Nous avons donc les équations Snes Seon Be RES AT a," hi, Se Bo Rk, => ete = Dae Ry, = 1 (4 Je DD 0 ee Je) vp) ie) @ refer es © Velvet ure Wye we u Ve Voie elie ere e nh 2n—4 Iml 1 dy mk À 4. a mk Bs +. ats + Bake I, ne = 1 27 Dress =i a 2m— an 2 yes ae 2 Rk, td oe 2 he 504 LE 2 € € ‘ 4 ‘ a," R, Bont 1 ME Hi Tins <= Cae PS SE 19 | Fe SPA) | | de R, qui sont déjà connues de (22). Qu'on pose maintenant S; — la somme des m carrés figurant en (75): ees 2 : Ly tm AN EE Fe CB ot REA AEN (76) S, — la somme des produits, deux à deux, de ces m carrés et ainsi de suite, finalement S, = le produit (continu) de ces mêmes # carrés; alors ces carrés peuvent être considérés comme les racines de l'égalité OP — 8, GE +S, @y" (= TS à (a?) + SON. Gh) Si nous additionnons les équations sous (75), après avoir multiplié la derniére par 1, l’avant dernière par — $,, et ainsi de suite, donc 5 ame : 7 = > Se = , la ae epee be Semen. la. 1 par (— 1)” 8,,, et qu’on ajoute les termes avec le méme R, on obtiendra, en relation avec (11): PE 1 2 1 Laer one Me 2 x A Gr mo Mons nt ia AS seed (IJ 1 2n—2 1 = ES —1 2m—1 a te > — ame >" ? S;. D = Wire ee e Dip? Cameos + (5 1) i Am—1.p ait ayn tae. ae @ gene? S, a is peet #, NEE gen + 1)" 7474 oP END" S= 0.......° (78) Si on isole de (76) le carré ay, les autres (a#—1) carrés PAYER être considérés comme les racines de l'équation Bret Sip EH Si, ne al nin sian sur dje! Shy aie À et si on multiplie cette équation par (@—a@,) on aura une équation identique à (77), d’où l’on peut déduire Ke | 8 + > UV IL NS UNS oileloie ere vate ue Sea Q Sper Tis lp *m—2.p + Sant ? ns RC) > i, SE Vy Sale ? Si on substitue ces valeurs des seconds membres pour #,. #,, ... 15, dans (78), on trouve après quelque réduction: Par une même argumentation ee § 22, on trouve également LA Se 1 Sin =e 2, > 38 1 2 2 5 Ve NE ET ? es Ss 1 i 3} BSE RE | nye) Dt > nn y 5 2 3 4 AB, = 8,2, i oat JL a et ainsi de suite; d'où Von peut aisément calculer les valeurs de Si 52 etc. Quand le groupe d’abscisses, qui sera employé pour la Table C, sera connu, on calculera les # valeurs de #, pour la formule pour un nombre pair d'ordonnées, d’après (22), et pour la formule pour un nombre impair, d'ordonnées d’après (25) et (26). Finalement on aura, d’après (17): I, = fk, YN =e i By (yo zi 94») un 5 lij (9 + LISA 7 “y ede” a” ad Manana mre A „oo SIN Os TABLE C. 14 Ve y +2 LT, = 0.5 (yo + ya). Ee | h | 1, = 0.0091 1613 1589 y +0 RNA H3 — 0.438. I, = 0.8255 3418 8034 1880 | XH —— 0, Hy =r N3 == 0.43. I, = 0.0050 4215 9389 12714 HUE À; eed | BE == T, = 0.2244 3965 1874 0171 G +——— y—4 y — 3 y — 2 y A y + 2 y +3 y +4 l bl Re EE eee IT, = — 0.0155 6618 4387 538 + 0.0802 8162 7843 03% A 4193 4205 (y_ +94»). B 0.1744 6581 1965 8120 (73 4-45) 0.8225 4606 2165 4393 (y_,+ 74.) + 0.1749 3285 8139 9971 (ys +740). Lys) + 0.1957 1726 8053 9158 (y_5+-y,5)+ 0.0798 4308 0072 0761 (y_ ya). = 0.47. + 0.2337 0304 1236 1056 (y,+ y12) + 0.1937 9842 3114 6260 (y_3 + 43) + Ad Ia) per Ar sar Bere Ab tes, do no EEE BEM as WOE nan RTS AIT sa TABLE C (suite). Y= Oy — 4 Yao y—2 i y+3 y+4 y+5 | | | ds == 0.09, À; == 0.26, À, == ( I, = 0.1775 8932 51310220 + 0.1119 2905 59499281 4 PAL It LL x =0, x, = 009, x, = 0.26 ' I, = 0.0251 3676 3589 2752 + 0.1649 7567 0037 838: + 0.0501 3111 5639 02! y=6y—5 yk y—3 y—2 y+2 y+3 yt4 ytd y+6 I i | Ltd lw, = 0.07, 1, SOR I,= 0.1445 0935 OTS OMEN + 0.0965 1616136678) + 0.0304 0211 8918 SOE y—6 y y—‘i y—3 y—2 wl y+2 y+3 y+4 y +5 y +6 . I, = 0.0179 2177 4939 0385 + 0.1477 1718 063186! + 0.0844 2868 1441 43% 90: = OAS. | (yo yas) + 0.1607 8268 3155 2685 5306 (y 4+ 445) + 73 (ga + y) + 0.0496 9893 5763 5290 6496 (y_, + 45). = 0.40, x; = 0.48. 1 + 0.1620 0046 6594 3564 4351 (ya + yo) + 86 (y_s t+ 733) + 0.1103 2436 5934 1461 1036 (y_4 + y) + 18 (Ys + 745). Hs = 04, Le = 0.49. . 5841 (y_ + y) + 0.1447 7126 2221 Aie 164 7856 (yad 443) + 06 0471 (y_, + 711) + 0.0838 0110 7372 4227 4774 0884 (y_5 + 745) + — 0.34, x; = 0.48, x — 0.49. | 8698 y + 0.13825 9151 3523 5941 6219 2606 (y_, + yo) + 156 1568 (y_3 + 443) + 0.0950 4621 3079 9708 1741 4542 (y_4 + 15) + )69 8579 (y_, 4-45) + 0.0302 5552 3853 6116 8065 S056 (y_¢ + 446) à ve rb, AN DER WAALS DUAN IN BY ALBERT P. MATHEWS, Professor of the University of Chicago. 7 7 j / Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE). ee, The | _ DEEL XII. N°. 4. : ee 3D | | À Amf AV ' AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. November 1917. à Q 44} 1971 à BOMEN Le DER WAALS’ ROUATION THE NATURE OF COHESION ALBERT? MATHEWS, Professor of the University of Chicago. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). RER ie NUE DEEL XII. N°. 4. | AMSTERDAM, a JOHANNES MULLER. : | 1917. € The true value of ”a” of Van der Waals’ equation and the nature of cohesion. | BY À. P. MATHEWS. (The University of Chicago, Chicago. December, 1916.) In a recent paper in the Proceedings of the Amsterdam Academy, VAN Laar 4) has severely criticised the law I have discovered expres- sing the mass factor of the cohesional attraction of the molecules, in other words van DER Waats’ constant a, in terms of the gravitational attraction and the number of valences in the molecule. This law is of such significance and is so important that its basis in fact, upon which it rests, must be scrutinized very closely. The, criticism of any student of the subject is to be welcomed, therefore, altho the tone in which van Laar has expressed his criticism is to be regretted. It is evident that he bas misunderstood a portion at least of my work, for I cannot believe that he has intentionally misrepresented what I have done, altho the misrepresentation appears to me to be inexcusable. I am, nevertheless, glad of the opportunity his attack has given me of presenting the additional evidence which I have obtained since the publication of my first papers, evidence which, I think, removes many of the grounds of criticism of my former papers and establishes much more firmly the law of cohesion announced therein. The principal result of my work has been the discovery that van DER Waats’ constant, a, is equal to NW? (mt X Val/M)®. In this equation m is the gravitational mass of a molecule; Æ is the gravitational constant; Val the number of valences; M the molecular weight; and MN the number of molecules in the volume of gas or liquid for which « is computed. This 1) Van Laar: Proceedings, Koninklijke Akademie van Wetens. te Amsterdam, 18, 1916, p. 1235. D 1* 4 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ Py extremely interesting relationship holds, I believe, everywhere, at least in all normal substances, from hydrogen on the one hand to such complex substances as methyl butyrate and diisoamyl on the other. It appears to me to mean, simply, from one point of view, that the cohesional attraction is the gravitational attraction inten- sified in the immediate vicinity of the molecules by the action of the valence electrons. It thus confirms an opinion expressed some time ago, | believe by Lord Kunvin, that cohesional attraction is gravitational attraction intensified in some way in the immediate vicinity of the molecules. We may also, however, as I shall point out later in the paper, look at the matter the. other way around and regard gravitational attraction as that part of the cohesional attraction toward which the molecules and ether happen to be trans- parent so it can penetrate them. é This equation may also be written in this way: a= WV? C MX Valÿ®, in which the constant C is the gravitational mass factor of two molecules of unity molecular weight and valence raised to the two thirds power, or (m?%)’?. C has the value of 3.201 X 10” when a is expressed in dynes. MN for a gram mol 15202002 QD After the appearance of my papers +) van LAAR announced that if he assigned arbitrary values to the various chemical elements it was possible by addition to compute the square root of a for various substances. The additivity of a had been sought by many observers, by Sutherland among the first, by Kizuman, by Lmpuc and AMaGar and others also, but before the publication of my paper no one had found a general method applicable to all kinds. of compounds. Van Laar’s *) method is simply to assign arbitrary values to carbon, nitrogen, oxygen, chlorine and the other elements. These values multiplied by the number of atoms there are of that particular kind in the molecule, when added to the sums derived in a similar way from the other atoms, give the square root of a. However in this simple form the law would not hold, so it became necessary to assume further that the arbitrary values were not always the same for any element, but that carbon, for example, sometimes had zero value, and sometimes various other values depending on the kind of carbon compound, whether ring or ali- 1) Maruews: Journal of phys. chem., 17 pp. 154, 181, 252, 320, 331, 337, 481, 520, 603, 1913; Jour. chim. physique, 12, 1914, p. 428. Jour. phys. chem., 18, p. 474, 1914; 20, p. 554, 1916. Science, 56, p. 92, 1912 (Preliminary statement). 2) VAN Laar: Proceedings, Konink. Akad. te Amsterdam, 18, 1220, 1916; Jour. chim. phys., 14, 1916, p. 3. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 5 phatic, etc. These various values are also quite unexplained. They help us not at all in understanding the real nature of cohesion. But the real point at issue between van LAAR and myself is not whether a is additive or not, for I had already shown that it was additive before the publication of his work. The question is as to the real value of a. Van LAAR computes a by applying a correction to the ordinary method of computing from VAN DER Waats’ equation, which has been solved on the basis of the con- stancy of a and 6. The values of a he secures by this method agree with mine in only a few instances and in the more complex substances. In general they are-10—20 °/, lower than the values computed by the methods I have found. They differ from my values particularly in the simpler substances where for example in hydrogen his value is about 150°/, lower than the value I assigned to a of hydrogen. They differ from my values in such a way that if van LAAR is right then the law correlating cohesion with the valences and molecular weight, the law I have announced, cannot be true. And it follows, also, that if my values of a are correct, then his empirical rule, even with the secondary assumptions he has made, can no longer be applied. Van Laar’s work and mine are entirely incompatible. The whole question at issue between us is, therefore, the real value of @ in all these different substances. I have sought, therefore, to determine this constant accurately. I have found several different methods of computing a some of which are quite independent of van DER Waats’ equation. These methods give at least an approximate determination of the constant. I shall present them in a moment. They show indubitably, in my opinion, that the law I have announced is a true law, and that the values of a computed by the method of van Laar are in error in nearly all cases by from 10—30°/, and in some cases by 100 °/). Only exceptionally do they happen to be approximately in harmony with the values computed from the latent heat of vapori- zation, the latent heat of expansion, from the surface tension, or in other ways. Before discussmg these methods in detail, however, I wish to answer briefly a few of the criticisms van Laar has made of my work 4). ; 1) In a foot note on page 1229 of his paper van Laar gives the impression that the law correlating cohesion, or rather the value of a of vaN per Waars’ equation, with the number of valences in the molecule, had also been suggested by Walden and Swinne. He says „Walden and Swinne, Zeit. f. phys. Chem., 82, 289 (1913) cursorily mention the partial additivity of the specifie molecular cohesion, that is of « or «/V?. They too — like Mathews — seek connection between the values of and the sum of the effective valencies.” 6 THE TRUE VALUE OF « OF VAN DER WAALS? I may say at the outset that the connection between the product of the molecular weight by the number of valences and the value of a was discovered empirically. I had no preconceived ideas on the subject, and I tried a great many possibilities, among them the very one adopted by van Laar, before I found what I believe to be the true relationship. I was confronted at the start with the difficulty of knowing what was the real value of a, a difficulty which all have experienced who have studied the question. I felt it necessary to find a method of computing a which should be entirely independent of any assumption as to the value of the other constant 6, free in other words. of any assumption of whether 6 was constant, or varying with the volume. The method I adopted was to compute a from the surface tension. This was the method originally suggested by that great English physicist, ‘Homas Youre, in his classical paper on cohesion and capillarity. He expressed in that paper the relation between cohesion and sur- face tension. It is the formula: s— Kr/3, where Æ is the cohesive pressure, represented afterwards by van per Waars as a/V?, and r is the radius of action of the vohesive attraction. s is the surface. tension energy per unit of surface. I took r to be a single mole- cular diameter, as this is its most probable value, and I assumed the Jaw to hold at absolute zero, for the reason that it was more convenient to go to the end, and it is apparent on the face of it that the law can only hold at temperatures where the cohesion in the vapor may be entirely disregarded. These assumptions are both This is a fair example of van Laar’s method of criticism. This foot note plainly states that Walden and Swinne had also suggested that a of van per Waars’ equation was dependent on the number of valences, and it implies accordingly that there was nothing particularly novel in my suggestion. As a matter of fact Walden and Swinne do not. mention a of van DER Waars’ equation in the place cited. They are dealing with the specific cohesion, so called, which they express as is customary with the letter a2 They say “a,? means the specific cohesion at the normal boiling point.” “The molar cohesion Ma? is for normal liquids at the boiling point 7, eine wesentlich additive,Grösse, wenn auch mit konstitutivem Hinschlag; das Analoge gilt für die normalen Siedetemperaturen, Te setzen; hier bedeutet En die Summe der Valenzen der in den betreffenden Verbindungen Beide Grössen, Ma,? and T,, lassen sich aneenihert der , Valenzzahl” sn proportional 5 Ca 5 +) vorhandenen Elemente. (Eigentlich kann diese Formulierung nur für die C, H, O und N enthaltenden Stoffe aufrecht erhalten werden; bei M ist » gleich 1, bei O- gleich 2, bei N- gleich 3 und bei €- gleich 4)”. They then go on to show that really Ma,? is propor- tional to the sum of the square roots of the atomic weights. The specific cohesion of which they speak and which they designate by «? is not at all the factor a of VAN DER Waars. It is, as a matter of fact, simply the height to which a liquid rises in à capillary tube of 1 m.m. radius. All that they say’ about its relation to valence is that quoted, so far as I could find. Moreover their paper was published in 1913. My first papers antedated this, having been published in 1912 and February 1913. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 7 well founded. This law of Youne’s, as I found afterwards, is simply a special case, at the limit of absolute zero, of the well known Eötvös surface tension law, and the calculation of a can just as well be made from Eötvös’ law at ordinary temperatures, as I shall show in a moment, but I did not know that this was the case when I published my first paper. The values of @ which were thus obtained from Youne’s law, were on the whole some- what higher than those generally computed for a assuming that a and 6 are constant, and particularly they were higher in the diatomic gases. In making this calculation I had to make use of the Eötvös constant, C, in the equation: sV7* — C(T,—7). I supposed that C was practically the same constant for all non- associating substances, at, any rate for all normal substances with more than three atoms in the molecule. This assumption is not in reality true, but in making it I was following the opinion of Hötvös and Ramsay and Shields. I took as the mean of the constant the value 2.19. Eôtvôs gave 2.27 and Ramsay and Shields about 2.12. With this value of the constant I found a for the 26 substances of which the critical data ware most accurately known, namely the substances studied by S. Youre. With these values of a I tried to find out what it was in a molecule which determined its value of a, and after many unsuccesfull attempts the importance of valence occurred to me and on trying I found that these values of a gave a constant in each case when divided by the two thirds power of the product of the molecular weight and the number of valences. The only important deviations were iodobenzene and brom- benzene, substances in which the critical data had been determined by extrapolation over a wide temperature interval, and were pre- sumably on this account less certain than in the other substances. Further study showed that the constant I had thus found, when a was for a single pair of molecules, was nothing else than the value (m,7k)? of a substance of molecular weight of unity and with one valence; », being the gravitational mass and # the gravita- tional constant. This permitted me to write the value of a in the more general form given at the beginning of this paper: a = N° (m?K X Val(MY". In making this discovery there was no juggling with the valences at all, as van LAAR implies. Everywhere carbon was tetravalent, oxygen bivalent, hydrogen monovalent. The only elements of uncertain valence were C7, F1, Br, I. These might have 1, 3, 5, or 7. valences. It was impossible to know which to take. So I followed the most recent determinations of the valence by Pascal taking Æ7 as monovalent and C/as trivalent. These values 8 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ gave good agreements. Br and / were provisionally also taken as monovalent, but | have since found that elemental bromine is at least trivalent, and I do not doubt that when we have accurate critical data iodine will be found, often at least, to be more than monovalent. Tin was tetravalent as it is supposed to be. I was not content, however, to base the law I had discovered, which appeared to me to be of fundamental importance, on these 26 substances, but I tried to compute a for all the substances of which I could find some, or all, of the critical data. For 45 other substances of fair complexity, in many of which I had to calculate’ the critical density or the critical temperature, I found the same mean value of the constant when a was divided , by the product of the molecular weight and valence raised to the 2/3ds power. There were some wide deviations, due to the uncer- tainty of the critical data, but the mean constant was the same, and the majority of substances gave a constant not deviating more than 2—3 °/, from the mean. I calculated, also, the critical data from the surface tension measurements of other substances, and found again good agreement, altho the calculations involved many assumptions. I found chlorme compounds nearly everywhere in agreement, were chlorine always trivalent. Only in a few cases was a better agreement secured if one or more atoms of chlorine were monovalent, but I did not doubt that this was but an appearance and was due to the inaccuracy of the critical data. Sulphur was found everywhere to be hexavalent except m SO, where it was tetravalent. Sulphur is generally supposed to be tetravalent, divalent or hexavalent. I found no divalent sulphur except possibly in car- bonyl sulfide. Nitrogen had the valence numbers usually attributed to it. The main difficulty was when I attempted to find the value of: a for the simple gases A, N,, Os, CO, CO, and CH= ies value of a@ was very uncertain. The critical data of nearly all were very imperfectly known, but fortunately this uncertainty has now been removed for all but Z. I knew of no way of computing a for these gases except by using van pur Waats’ equation and making certain assumptions which might, or might not, be true, but I found some empirical ways of computing from the latent heat and surface tension of the liquified gases. Among other methods I assumed that 6,, the volume of the molecules at the critical tem- perature, was always 24,, 4, being the minimum volume at absolute zero. In this I was following the fact that in many substances 6, was known to be about 77/2, /, often being nearly 4 7,, anda suggestion by van pER Waats that the volume of the molecules Pe, EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 9 when relieved from pressure, or 4,, is 25. This assumption gives, when combined with the assumption that the density at absolute zero is S times the critical density, S being the critical coefficient, RT,/P.V., the result: a = ((8&, — 8 + DIS —2)) PVZ. Van Laar criticises this method, and no doubt correctly as I have al- ready pointed out elsewhere. The assumptions are not exactly true either of them. The values it gives for a are too high, in the simpler substances especially, but in reality they are not so far wrong for many substances. 4, instead of being 24, is, in reality, about 1.8—1.9 6, and in a great many cases d, is actually very nearly Sd. By using these various methods of computing a for these simple gases I found the law discovered in more complex substances would hold if we assigned 2 valences to the molecule in //,, N., O, and CO, and 4 or-5 valences to CO,. That H, and N, should have each 2 valences was expected, but that O, and CO should have 2 was surprising. I concluded that, on the whole, it seemed to me probable that such a simple rule as that correlating cohesion and gravitation would hold everywhere, if it held at all, and that while in these two or three simple gases the number of valences necessary to ascribe to the molecule was surprising, yet if the law were true we must accept them. These exceptional substances, it will be noticed, all contain oxygen, a very’ significant fact. There was no juggling with the valences at all. [ can see no reason why carbon should not be univalent and oxygen also. Carbon is known to be di, tri, and tetra-valent, so why not univalent? Oxygen is di and tetravalent; and is oxygen not univalent in the peroxides? A juggler is one who conceals how tricks are accomplished. There was no concealment of the fact that these substances were excep- tional; in truth I discussed their apparent exceptional position more than its importance deserved. As regards the hexavalence of sulphur, even in M,S, it may be pointed out that so eminent a physical chemist as G, N. Lewis has recently proposed that sulphur is everywhere hexavalent, and if so good a chemist as Lewis makes such a suggestion we should not be surprised if we actually find that this suggestion is correct, and that sulphur is hexavalent in some locations in which, as in 72,8, one would not at first expect it to be. The greatest interest attached to the argon group of gases. If it is true that cohesion depends on valence, then these gases since they have cohesion must have, sometimes at any rate, valence electrons attached to their atoms. This seems perhaps, at first thought, improbable, and I fear for the effect of this information on van Laar when I tell him that Lewis has recently suggested that these BO THE TRUE VALUE OF «a OF VAN DER WAALS’ gases are actually octovalent! That valence electrons may be attached to the atoms of these gases is, I believe, a fact and not a theory. How are we to explain the conduction of electricity im neon and argon and the existence of positive helium and krypton atoms, unless their atoms have the power of picking up and losing elec- trons, without decomposing? It is the characteristic of the valence electrons. in contrast with the electrons in the nucleus of the atom, that they are reversibly displaceable without disrupting the atoms. Neon and argon conduct the current unusually well and Sir J. J. ‘'nomson has shown that helium may lose one or two electrons and occur as singly or doubly charged atoms and krypton may lose at least four. The fact that these atoms have little combining power is no proof that they have no valence. Chemists have not given up hunting for compounds of these: gases, and I cited the fact that the solubility of xenon in water is so great as to indicate some kind of union between the water and the gas. That the number of valences found from the cohesion should be fractional is easily explicable if the number of valence electrons attached to the atoms is not fixed. Some atoms may have none. Perhaps in the case of helium only a few atoms are charged and as a result the cohesion is so reduced that the computation gives a fractional number. How otherwise shall we explain the fact that while in hydrogen, oxygen, nitrogen, and carbon dioxide there is a steady advance in @ with the molecular weight, yet in helium, which is twice as heavy as a hydrogen molecule, cohesion is so vastly less that this gas is the most difficult to liquify of all that are known? Or consider on the other hand metallic mercury. The cohesion and affinity are so low that mercury exists in the vapor. as separate atoms. How naturally this is explained by the law of cohesion I have found, where the cohesion is shown to depend upon the ratio of the number of valences to the molecular weight! In mercury we have one of the heaviest of the elements with but a single valence so that the ratio of Pal] WE is very low and the cohesion is also low. With this brief reply to some of the points raised by van LAAR, we may proceed to discuss the real point at issue, and to show what the real value of a is. This will show the real basis of fact of the law I have found. 6 I. THE REAL VALUE OF a. The first step to be taken in the solution of the problem of the nature of cohesion is the. determination of the real value of a er AO # EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. jat of vaN pER Waars’ equation. Obviously nothing can with any cer- tainty be said concerning the additivity of a, or its relation to such properties of molecules as their gravitational mass and number of valences, until we have a method of determining, approximately at any rate, the real value of a. This is a difficulty all have felt who have worked with the van per Waats’ equation, or who have studied a. There are five or six methods I have used to determine this constant and the results are given in detail in the following pages. The first two methods depend on van per Waars’ equation, but the others are independent of it. The first method is to start out with an assumption as to the condition of things at the critical temperature. Obviously from the law of corresponding states, there is something which all substances must have in common at the critical temperature. The only difficulty is to know what that common condition is. As we know that in many substances 4, is very nearly /,/2 the first assumption which suggests itself is that in all substances at the critical temperature 6, is always 77/2 or very nearly that. That is, the molecules always accupy the same proportion of the total space. This assumption, Ï may say at once, is not true, but it is very nearly true for many different substances, in fact it is approximately true for all except the Simplest gases, such as nitrogen and hydrogen. It is interesting to see, also, how closely the value of « computed on this basis agrees with the real value. The first method, then, of computing a is by the assumption that 6, — /,/2.03. This was the value computed by VAN DER Waars for CO, assuming a constant but 5 variable with the volume. The second method is the correct method and rests on the probability that at the critical temperature a/ is always 6.5 PV. Here we make an assumption, which I hope to be able presently to substantiate, that it is not a fixed relation of the volumes of the molecules to the total volume at the critical temperature which is common to all substances, but in reality it is the partition of energy. Always in all normal substances the same fraction of the kinetic energy is used in overcoming internal pressure and the same fraction for exerting the external pressure at the critical tem- perature. This assumption I believe to be true, and it is the second method for computing a: a/V,2 = 6.5P,. The third and fourth methods are from the internal heat of vaporization. I have found two equations from which the calculation - can be made, namely those of Mills and Dieterici. The fifth method is to compute a from the total heat of ro) - THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS vaporization by means of a modified equation of Crompton and of Dieterici. Namely, L—=[V./V.—6,)|RT Ln d/D). This gives the value of 6, and by substitution in van pER Waats’ equation at 7’,, a may be found. The sixth method is from the surface tension, which is the direct measure of the cohesion. The relation between cohesion and surface tension is given by the formulae of Young and Eétvés. The seventh method is to compute a from the pressure of a gas or liquid when it is heated while the volume is kept constant. It is obvious that this rise of pressure will be less the greater the internal pressure or cohesion. By holding the volume constant the distance between the molecules does not change and so there is no change of the cohesion with temperature, provided, of course, that the mass factor of the cohesion does not change with the temperature. So we may find a from the expression (7d¢P/dT), when the volume is the critical volume. None of these methods involves any assumption as to the other constant # and they are in every way preferable. it appears to me, to the method of van Laar who has used solely a computation made from van DER Waats’ equation. The latter is first solved on the basis that « and 6 are both constants and then a correc- tion, of a hypothetical nature made to it. I have never felt any reliance on this method and the results obtamed by it are not to be compared in reliability with the values found from these direct measurements in the way I have indicated. We may preface our work with the statement that a for any substance is constant and does not vary with temperature, except as it is affected by association of the molecules or their dissociation. — There is no variation if the molecule remains intact. This opinion, which has been almost consistently upheld by van DER Waats, is shown to be correct by the Eôtvôs surface tension law. a is the mass factor of the cohesion; the factors it contains are shown in this paper; and there is no more reason for assuming that it varies with the temperature than for assuming that gravitational mass varies with the temperature. Van pur Waats has shown the im- possibility of a varying with the temperature in the manner supposed by Crausrus; and this work, showing that a depends only on the number of molecules, their gravitational mass and number of valences, clearly supports his conclusion. On the other hand 4 clearly varies with the volume, and probably also, tho to a less extent, with the temperature. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 13 a. Calculation of a assuming that b, = V,/2.03. While this relationship is only an approximation, and probably does not hold everywhere, I have computed what the value of a would be were it generally true. The results are given in column 2 of Table 2. (P, + af?) (V, — 4) = RT: hence a = 2.03 R7,V,/1.03 — PV. The critical data used in the calculation, unless otherwise stated, are those of S. Youne. A comparison of the results in column 2 with the values of « computed from the gravitational attraction and the number of valences given in column 8 shows the truly remarkable agreement between them in the case of all complex substances down to and including the triatomic gases. Nitrogen and the diatomic gases give, on this assumption, somewhat lower values of a than are tel from the gravitation, but I think it probable, from the evidence to be stated presently, that this is due to the fact that in these gases 6, is nearer /’,/1.9. 1 might add for purposes of comparison, that VAN Laar’s calculation of « makes 6, in complex substances about 7,/2.1 and in the diatomic gases about /,/2.5. The asso- ciating substances, methyl and ethyl alcohol and acetic acid and water, diverge from the values calculated from weight and valence as was to be expected. The divergence of iodobenzene and brom- benzene may be due to the critical data not being quite right, 6. Calculation of a from the formula: a=6.5 PV. The second method of.computing a from van per WAALS’ equation seems to me the most simple and reasonable of all the methods proposed, and that it is correct for at least all the complex substances, and probably for the simple diatomic gases also, is shown by the fact that the values thus computed are, on the whole, supported by the computations from the surface tension and the latent heat. The assumption made here is that in all non associating substances with compressible molecules at the critical temperature the ratio of the internal to the external pressure is either exactly, or very nearly a constant. This assumption appears to me to be entirely probable and I shall in a moment adduce evidence of its truth. There is something which all substances have in common at. the critical temperature. That something might be the relation of the volume occupied by the molecules to the total volume, but it appears more probable to me that it would be that the energy is divided 14 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ in the same proportion between the internal and external pressure at the critical point. In other words it is the energy distribution which is the same in all substances at the critical temperature. At absolute zero, in the solid, the ratio of A, the internal pressure, to P, the external pressure, is infinity. On heating, at first the kinetic energy is used in overcoming cohesion. As the temperature rises the "external pressure, the vapor pressure, increases and the internal pressure decreases. And at the critical temperature that state is reached in which the ratio of internal to external pressure is always a certain constant, namely 6.5. Certainly some kind of a ratio exists between the internal and external pressure at the critical point, for in helium the external pressure is only 5 atmospheres; in hydrogen it is 12; in pentane it is 33; and in water it is 200 atmospheres. The. internal pressure, or the cohesion of these substances, takes the same order, being lowest in helium, and highest in water. Nor is it likely that the greater or less volume occupied by the molecules in different substances at 7, will effect this ratio, for the correction of 5 applies to both pressures equally and so presumably will not effect their ratio. Even in the case of substances which associate, such as water, acetic acid and so on, I consider it not unlikely that this ratio will hold also and that K,, the internal pressure at 7, will also be equal to 6.5 P. Only in these substances it is possible that we have in addition to the cohesional attraction between the mole- cules, such as is found in all substances, an additional attraction, perhaps of a chemical nature, and it is this latter factor which causes their association. In such a case K,, the internal pressure, would be equal not only to a/V,?, but to this amount increased by the unknown attraction. At any rate we can regard the matter in this way for the present at least. That the ratio A,/P, is approximately or exactly 6.5 in all sub- stances I shall now proceed to show. In the first place it may be recalled that I found that the ratio X,/P, was equal to SC’, where C’ was the constant in Dieterici’s equation: L —# = CRT Ind) D), and S the critical coefficient. 1) The values thus found for K,/P, varied from 6.14—7.28 in some 27 substances, the mean being 6.63. This is certainly a wide variation, but the variations were not of a regular character, and they may have been due to the fact that Dieterici’s equation is not exactly true, or that there may 1) Marnews: Jour. phys. Chem., 20, 592 (1916). EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 15 be some other complicating circumstances. This value a/V?P, is equal to GRE 1. For this fraction van pur Waars 2) cal- culated for CO, the value of 5.7 but this was obtained by the differentiation of Biot’s formula for the saturated vapor pres- sure, log P= 4 + Ba + Cf’, and it has been shown by Mims 2) that this gives a value for (AP/JT'), from 10—20°/ too low. If we increase 5.7 by. 15°/, it makes 6.55. The second method of finding X/P, is the following: We may find what the ratio (X, + P)/K, is from the ratio of the total latent heat of vaporization, Z, to the internal latent heat of vaporization, Z— Æ, as the critical temperature is approached. The total heat of vaporization, L, is made up of three parts: (1) the external work done, which is equal to P(/ —v): (2), the work done against cohesion, which is equal to va(l/v — 1/7); and (3), the heat rendered latent by the expansion of the molecules or their change in energy as they pass from the liquid to the vapor, or Z The internal latent heat is the total heat, Z, less the external work, or #, hence we have Thien; RCS Date UZ EER TE ee (1) Now as the critical temperature is approached Z becomes smaller and smaller and it will vanish before the other two portions of the latent heat vanish, because as the conditions of the vapor and liquid become more nearly alike there will be less and less difference between the molecules in the two states. Since they are already under great internal forces, they will be less affected as the critical temperature is neared by the difference in internal pressure in liquid and vapor than are the cohesion and pressure energies. Hence as the critical temperature is approached the limiting value of the ratio L/(Z — #), which at the critical temperature has the inde- terminate form 0/0, will be D V2 gy ee ee au (2) a de The value of this fraction should be in all cases 7.5/6.5, or 1.154, if a/V — 6.5 P,. I have computed the value of this ratio 1) Van per Waars: Proceedings, Amsterdam Academy, 3. 583 (1901). 2) Mitts: Jour. phys. Chem., 8, 593, (1904). 16 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ of LI — WH) close to, or but a short distance from, the critical temperature, for 25 substances of Youna’s: of very different kinds. I have not been able to compute it close to the critical temperature in all cases, but as a rule it has been calculated at from 5° to 10° from the critical. In some cases I have been unable to find data close to the critical and have had to compute the ratio 20—60° below the critical. The value of the ratio does not vary more than one or two per cent for a considerable distance, 40°—50°, below the critical. At low temperatures, however, the value of the ratio will be lower than close to the critical. One cannot usually employ the values closer than 3°—5° of the critical, for the reason that the pressure as computed by Bior’s formula is slightly high close to the critical temperature, as Minis has shown. The result will be that the ratio will be too high close to the critical temperature, as L— HB will be too low. To show the general trend of the ratio of L/(L— #) 1 have computed methyl acetate, SCZ, and benzene for several temperatures. There is a slow advance in the constant as is to be expected up to the critical temperature. Methyl acetate / | vi | L—E | IL — B) 100 Bes JA URL 200 COS CPE LPS 220 34.87 BORE ENT 230 20.99 deal 9 233 15 SHO 1.163 233.7 0 | Benzene 80 |) 95,45") dso TU HOT 140 8989 PTS 4 1.128 220 62.24 53.8 don 260 43.89 37.56 1.166 280 27.43 23.45 170 288.5 | 0 | 0 SnCl, 100 LES TT 60 1 1.092 200 24.57 21.59 1138 240 20.86 18.15 1.149 260 18.50 | 16.02 1.155 280 15.60 08-245 20 TNS 318.7 0 | 0 | EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. hi TABLE 1. Test of relationship that (P, + a/V,2)/(a/V.2) = LIL — B) (at Oye 5/6. fy== ll. Substance Pl tf L | L—E | L\L—F) Peopentane 1%. 4.0. 18: ALS Al 27 85.89 |" 1: 166 BRAM a3 okay. 195 denied. OSI ETC Dusopropyl : .:.. 220 fon erde Les 9D. | 1/68 EGTE A PRE 230 ABe ROM LB. 98 Dal GP, BRADS! se 260 685 reld De EBT OL jn be EL LO Lu 290 Oor OO IEC 606) LAT Pisobutyl :. ..."..: 274 2.8 |14.94 12:89 | 1.149 Methylsformate. :- |) 200 | 14/1 | 38,80 33.18 | -1.169 Ethyl formate . .... 230 Arn 22e TON Pele 68 Methyl acetate... . 250 ahs | ce OD ES 1459 Methyl propionate. . | 256 l'A 2 FO M ADS" | 1:15 Ethyl acetate...... 247 FA UMA EL Oe Ae Eeken A ag A Propyl formate ....|| 260 180 BL ORE Nee LE al 1157 Methyl butyrate . . | 270 | 11.8 | 26.96 | 23.48] 1.148 Methyl iso-butyrate . | 265 2.55| 14.53 | 12.61 | 1.152 Ethyl propionate . . . | 270 2.9 116 65-1) 13:64: | 1.148 Propyl acetate... 275 Pe MIN whee ek ae Odes 150 Flexamethylene ....|| 279 E07 AE 7 eh MOE 70 HÉBenzène |) oi... 280 6:55} 20 282" T7298" Pol 268 MOPTIZEME 2. eu. 280 8-5 «|-27:43 |. 23.45 |, 1.166 GEBenzene /:.,-.. 270 BI 27) 69.66 AD BON E48 Bn Bengene … . 11270, 127 27) AA aA 98. OL 1140 LS hp dra SLI BBO Bou. 161 tene a Il 260 SL LOS EE OUR TETE MG tet ee HSO Stee LOGO PEES AD JL LOU Mem 4186 An inspection of Table 1 shows that the ratio of Z/(Z— Æ) does indeed approach a constant value some three or four degrees below the critical temperature. The mean value is 1.158 which is about 0.4°/, higher than I had expected, or the value of 1.154 which is the ratio of 7.5/6.5; but the constancy of this ratio must be regarded, I think, as on the whole satisfactory. The maximum devia- tion from the mean, disregarding Br-Benzene, is not more than 1 °/,. From these figures we discover two important facts. First that Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. XII N°. 4. D 2 18 THE TRUE VALUE OF « OF VAN DER WAALS’ the ratio of the internal to the total internal and external pressure is indeed a constant for all these diverse substances, ranging from inorganic substances, such as SzC/,, with five atoms in the molecule, to complex substances like octane with 26 atoms, and embracing a variety of different kinds of organic compounds. The ratio of the total pressure to the internal is 1.158. From this we can find the ratio of the internal to the external pressure. We have 9 Le ame == 1.158: Hence P,=0.158a/V2. Hencea—6.83P V2 al V2 sei At will be noticed that an error of 0.1 °/ in the ratio Z/(Z—#) becomes an error of 1 de in the ratio of a/P.V,?.. And inasmuch as the Biot formula gives too high a calculated value of P close to the critical temperature and this has the result of making L/(Z—Z) a little too high and so a/P,¥,? a little too low I have increased the value 6.33 to 6.5 in my calculations. This gives a value of a more nearly that calculated from the surface tension and in other ways and is I believe more correct. The mean value from the determinations by SC" was also higher than 6.33 and was actually 6.63. 6.5 is just about the mean of these two values. Moreover, if we take Sas 3.75, when 4, is just V,/2, then 6.5 + 1 beco- mes 7.5 and this is just twice 3.75. The relation between some of these values has been pointed out by Drerrrrer 1). Among the twenty five substances of which the ratio of the internal to the external pressure has just been computed there is no example of a triatomic or a diatomic gas. But I shall show in a moment that the triatomic gases, at least, probably also have this same ratio. Before taking this up, however, FE will point out that if the derivation of the ratio of the internal to the external critical pressure which I have made does not seem sufficient, exactly the same result is secured from Direricr s equation ?) and that of Crompton 9). Crompron observed that the total heat of vaporization or Z was very nearly equal to 2 AT» ie D). Im place of 2 we will substitute what is in reality, I believe, its real value of /,/(/,—#,). Huncn we have: L == (V/V —b)) R ly {d/D). And for the internal latent heat, L— HB, we have according to Disrxricr: L— Y= CRT In (d/D);. Dividing one by the ape we obtain: L DE AV, —b, ) RTI in RAED ay Was (3) UID UR T'En,(d) D MT Cs 1) Dirrertcr: Wied. Annalen d. Physik, 12, 144 (1903). 2) Disrericr: Annalen d. physik, 25, 569 (1908); 12, 144 (1903). 5) Crompron: Proc. Chemical Society, 17, No. 235, 1901. ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 19 But C’ is equal to a/RT,V,, and IVb) RTV. fa from 3 Re Best al Fe VAN DER Waars’ equation is equal to ale Herer ON eo P, A POR ACT ARR NP TE I 4) A similar result was arrived at by Diererici'), namely, that a]V,?= 6.4 P, and in the following way. He started with two results, namely, that of Young that in many normal substances S is equal to 3.7. Then he proved experimentally for CO,, pen- tane and isopentane that (4P/dT)T, = 2 R/V … The only assumption which will harmonize these two results is that 4/72? = 6.4 P,. LP Herer ( PAT En It might be pointed out here that L/(Z—/), according to van Laar ought not to be the same in all substances, as we have found it to be. He finds for example that f° = RI, /(P,(V.—b,) = 1+a,/PV 2 =8y. Now y he thinks varies from 0.6 in H, and 0.5 in helium to 0.9 in the more complex substances. He does not believe that a is independent of the temperature. The calculations just made lend no support to this view of van Laar. They indicate that Sy should everywhere be equal to 7.5. [ wish now to show that even the triatomic gases come approxi- * mately to this same ratio of 7.5, that is the ratio of (KE PDP. We will start with Crompron’s equation of the total latent heat modified in the manner just stated, namely : | i a L = (VJ V.—b,)) RT In, (JD) (5) Substituting at 7, the value (P, + 4/7?) for RT‚/(V—b,) we have, at the critical point: L = — V. V, 6 In (d/.D) erde (6) At other temperatures we have (P, HalVDV. di 7 TIn, (d/D) (7) 1) Drerericr: Wied. Annalen d. Physik, 12, 144 (1903). ae Atag now tat Ka NNI 5. Piz, ha SE TI red D. But P, FT, = RIS a i A ' ah aN | = ee Tin (iD) 4 ASR Ke D Theretore SALES cag RS FT La, (GID) 0 En COR a 4 í ST : BF ik | For most substances for gram mol quantities 7.5 % about 2 À, or since À in calories is about 2 the proc Re: be about 4. Since 7.5/8 = V,/(V.—4,), V [be is seen to MP to 7.5/(1.5— 48). So from this relationship 6, is easily d rat as (7.5—S8) //1.5. Wor most substances, in which Ss ke, from 3.75, 6. will be Bey ea V “2 We will now test the relation: x SL pene EED ae en \ which we have used as a tee ES only En true D. an exact constancy of 7.5 is not to be expected. N,O P,= 71.66; T,— 309.5 (CArposo and ARNI); de if (VIRTARD) MISE 80506! | vi 7 | deed ss D 253 66.90 | 0.998 0.044 | 6.88 273 59.50 0.890 .081 15 293 43.25 | 120 AR ; SO, (P,° 77.65; T,, 157015; der AIEE ‘4 13 91.87 1.4338 0.0044 6 . Oar ee EEE 303 80.5 1.3520 PONS 6.89 PE 335 68.4 1.2425 | ‘0364 6.90 248 273 295. 3038 393 453 513 533 553 373 423 473 533 553 273 353 413 453 463 466 323 413 453 493 503 506 CO,» 88.59 L | d D 12.23 L.110 ‚044 | 57.48 905 … | 1099 04| 31.80 | FAO ITS CONS F670 46.00 | 1.4765 | .006083 42.08 | 1.8902 | . 01639 35.40 | 1.2470 | .05249 25.56: | 1.0444 | .1464 20.07 | 0.9409 | .2146 10.43 | 0.7684 | .3597 Methyl butyrate. S = 3.903. T7268. 8068, 10038 68.82 | .7415 | .01168 HT a |). 608300203268 84.44 | .5166 | .1091 LARC Se ee SO Ether. 8S = 8.814. | 92:52 | 18621 000827 850 | 26402 0455 | 55.63 | .5385 | .04488 al 4066 1135 OPS et AP SG 6e GPA | 11.864) :3800 |.2012 Methyl acetate. S= 5.943. 100.34 | .8939 | .002212 TOASKE B 02454 61.00 | .6671 | .05682 Adele 1416 ZOL 12028 ive ees | 2595 3 (os) =? OD ~ Jy = ey GO = I ~~ OO JS ‚39 .38 „00 zal - cs Cl-Benzene. S.= 3.776. 1.12786 200 0G ass 9224 | .01023 .8672 | .02145: é .1835 | .04921 7.49 69° 68. 62. 52. 89 96 89 56 dsopentane. Le Tak Ra 83.41 | .6196 |.002344| 6 WAN So 5760 | 0018070 SAL 227, |. 42067 ASB 94-65 | 3408 >) gga ieee 210.48 | 2857+ A LETA 82071 276 U en asl BE N-Pentane. S=3.762. W 85.76 | 6165 - 002451 | 6 69.94 | .5371 101626 52.39 | .4604 | .0476 85.01 | 586721000085 24.68 | .8445 | 1269. 15.66 | .3065 | .1609 6.55 | .2640 | .2005 N-Octane. S— 3.864. | 71.43 [| .6168 | .003247 64.75 | .5772 | .008591 39.14 | .4364 .| .06228 28.26 Jade B MOOR Sara 19.10 | „3365 | .1346 Benzene. S— 3.755. 95.45 | .8145 | .002732 82.82 | .7440 401176. 74.62 |- .6906 | 02487. 68.81 | ..6605 | .03546 54.11 | 60 | Sagas 43.82 | .5828 9038 27.43 | :4514 | .1660 | Miel | Sep ae MALTE à pi, Tren CARE) me Pe EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. - 23 SW Gh, eS == 3.755. ‘4 Bond DEEE S73 31.76 | 2.0186. | .005747 | 7.18 423 28.38%) 1.8772 | 02028 | 7.31 473 2457 | 7294 06459 | 7.43 ls US lb 8bT à | 1083 (OE) 533 18.50 | 1.4747 | „1520 7.54 553 Vo ARS 2160s 1771150 An ‘examination of the foregoing figures shows that the equation of Crompton is not entirely true, for in general the value SZ/ART LIn(d/D) is never in any substance quite constant, but in all it shows a fairly uniform course, being somewhat lower at the lower temperatures, rising to a maximum and then declining again near the critical temperature. In a few substances it is more constant, namely in iso-pentane, pentane and benzene. These are the sub- stances, to be sure, of which the density is most accurately known. On the whole, however, the equation is approximately true. The value of the constant comes very close in many substances to the expected value of 7.5 and this in widely different substances, ranging from benzene, to nitrous oxide and carbon dioxide. In octane, methyl butyrate and methyl acetate it is somewhat higher ranging in octane from 7.70—8.38. On the other hand SO; is lower than it should be. With these exceptions the agreement is certainly fair with our expectation and shows that the ratio of K,jP, must be nearly, if not exactly, 6.5 in triatomic gases as well as more complex substances. There is no indication, L think, of any general trend m the constant with an increase in molecular complexity. Pentane is little if any higher than #,0. The evidence from this source bears out, then, the determinations of the ratio of X,/P, from the ratio of the total to the internal latent heat near the critical temperature. It ought also to be true, if the foregoing is true, that near the limit of ne critical temperature "dP | eee ee 10 (11) BE dT At the critical temperature this ought to be equal to 7.5, but on testing this on two or three substances, the ratio Z : P(V—v) was 24 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ more nearly 6.8 than 7.5 even in isopentane quite close to, within a fraction of a degree of, the critical. The reason for this is, I presume, that dP/d7 close to the critical temperature is always too small since the Biot formula gives too high a value for P here. ‘The error appears twice, then, making the latent heat too low, and P too high close to the critical, so that the calculated ratio is always lower than 7.5 and lower than it ought to be. We have then to calculate the value of a the formula a — 6.5 PV. The computations are given in colum 3 of Table 2, and I have also plotted the results in figure 1, log a being there plotted against the logarithm of the product of the molecular weight by the number of valences. The values, with one or two excep- tions, fall along a straight line, and it is clear that af this method of computing a is correct, and I see no reason to doubt its correctness, there is no question that a is dependent on the product of the molecular weight by the number of valences. I do not know why 4/7? should always be equal to 6.5 P,. That is I do not know what the significance of this constant of proportion, 6.5, is. As it may help someone else to discover the significance of this, [ may mention one other fact I have disco- vered, namely, that at about 0.94 7° in the saturated vapor PV becomes exactly equal to a/V and at the same time the ratio of (PV + a/V’): RT becomes equal to 1.154, that is equal to 7.5: 6.5, or the ratio (P,-+-a/V.2): a/V2. At that point, also, V/(V—6) becomes equal to 1.154. This holds certainly in widely different substances from CO, to the substances of Young. I do not yet see the significance of these relations. We have then at 0.94 7, the following: 2 PV = 1.154 RT; and #7/PV — 1.733. This factor, 1.733, corresponds to the critical coefficient S. 1.733 is the con- stant C” Dieterici found in his equation: L— #= 1.733 RT Ln, (d/D) in the case of substances where 6, = V,/2. If S is 3.75 then SC should give us K,/P, and 3.75 X 1.733 is 6.5. But I do not understand the significance of these facts. In associating substances such as water and ethyl alcohol the value of a calculated by this formula is always larger, and some- times very much larger, than the value calculated from the mole- cular weight and number of valences assuming these to be normal. The cohesion of associating substances is, for some reason I do not understand, greater than expectation from the theoretical number of valences. hese substances appear to have an additional cohesive attraction. Perhaps this is of a chemical nature. A EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 25 i c. Calculation of a from the internal latent heat of vaporization. This method has already been described 1). There are three for- mulas for the internal latent heat of vaporization from which one might expect to make the calculation but only two of them actually permit that this be done. hese formulas are those of Mills, Dieterici and Albertoni. Mills equation is: LB PD) (12) Dinrerici’s equation is | L—H = CRT Ln,(d]D) (13) And ALBERTONIS is | LE = & (d°— DF)—R D(4—D)/d (14) a may be determined from these formulas in the following way. If the internal latent heat represented only the heat necessary to overcome cohesion, then £— should be equal to the difference in cohesive energy in the liquid and vapor, or /—/ should equal a(l/o—1/7). As a matter of fact some of the internal heat goes into the molecules so that generally Z—V is larger than the diffe- rence of cohesive energy in the liquid and vapor. But as the critical temperature is approached the differences between the molecules in liquid and vapor become less and less and at the critical temperature L—F must be precisely equal to a(1/e—1/V) and this should be equal to the right hand terms of the three equations just mentioned. Herer we would have from Mirns’ equation a(1/v—1/V) = p’ (dB DU); from Dixrerrcrs we would have: a(1/v—1/V) = CR] End] D) and from Axprrronr's: a(1/v—1/V) = ad ?—D*”)— 2 Dd—D)/d, in all cases at the critical temperature. Of course at the critical temperature (1/v—1/7) and Ln,(d/D) become equal to zero, but the ratio has a definite value and at the limit, the critical temperature, we have respectively from the three equations: From Mitts 2): a= M1302" (15) From Drereriot %) : a= RTV, (16) 1) Matnews: Journal of phys. chem., 20, p. 554, 1916. 2) Minus: Phil. Mag., (6) 22, 97 (1911). 3) Drerericr: Wied. Ann., 25, 569 (1908). 26 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ From ALBERTONI 1) : | a= 45 M?. d2"/3—RM? (17) If these three formulas were correct then the value of a computed from them should of course be the same. But all three are in part at least empirical. The formulas of Minis and Dirrerict give values for a which, on the whole, are quite similar, altho seldom identical, and I have used both of these equations for computing a. AIBERTONIS equation gives always a value of a which is 10—20°/, too low and this amount lower than either of the other equations. For example a for ether from ALsrrront’s equation has the value 15.31 X 10! in place of the value of about 18.87 from Dixrerier and 19.34 from Minis. The other methods of determining a show that the proper value for ether is about 19.12 X 102. With benzene, ALBeRtoni gives 18.12, whereas the others give from 19.17 to 20.78. ALBERTONTS equation gives a very accurate determination of —WH except close to the critical tempe- rature. Close to the critical temperature it agrees remarkably well with the value of L—/# which) one calculates using the figures for the vapor pressure, or P, calculated by Bror’s formula. Now it is known that Bror’s formula does not give the proper value of P close to the critical temperature. Consequently ALBERTONI’s equation, which accurately follows Brov’s, breaks down close to the critical point, just as Bror's does and cannot be used to calculate a at the limit of the critical temperature for this reason. We get too low a value for a if we use ALBERTONIS equation, just as we AA dP | à do if we compute a from er derived from Bror’s formula. It dT, will be recalled that P,+-a/V,? is equal to (7 dP/dT'), at the critical temperature. If we determine dP/d7' at 7’, by differentiation of Bror’s formula the value of /P/d7 thus found is from 10—200/, too low so that « is also this amount too low. Bror’s and ALBERTONIS equations, while permitting a very accurate calculation of P, and so of Z—V, at other temperatures, do not, then, give reliable results close to the end of the curve and cannot be used for that reason at the limit. As regards the other two equations each is at least partially empirical and it is clear from the fact that they do not give exactly the same results that one or both are only more or less close approximations to the truth. The values 1) ALBERTONI: Jour. de Chim. Phys., 13, 379 (1915). “EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 27 , calculated by them are, as will be seen, in very good agreement, however, except in a few instances with calculation of a from the surface tension and in other ways, and they give at least an approximation, as close as we can get at present, to the real value of a. This calculation is also quite independent of the value of the other constant 6. The values of a calculated by these two formulas are given in columns 4 and 5 of Table 2. It will be seen that on the whole they agree well with the values calculated in other ways except in the case of octane and the heavier esters, where the values thus calculated from the internal latent heat are higher than expectation. On the basis of the relation that 42/47 at the critical temperature is equal to 2 2/F, Muns has computed another value for his constant 4’; and the values of a calculated from the formula using this value of jw are more nearly those computed from the gravitation, but this relationship of dP/dT = 2 R/V, can only be justified when 4,— 7/2. It may be that some decomposition close to the critical temperature makes the latent heat of vaporization somewhat high in those substances of a high critical temperature like octane. On the other hand there may of course be some other explanation. d. Calculation of a from the surface tension. This method I have discussed more at length elsewhere ©. We may compute a from the surface tension by means of Tuomas Youne’s formula, making the calculation at absolute zero; or we can determine it from Eötvös’ constant. The law of Youne is in reality only the law of Hotvés at absolute zero, the temperature at which the cohesion of the vapor can be completely neglected. I found that C, the constant in Eötvös’ law had the value: C= adJ3 MNS T. Eötvös’ law is: 78 = TT). Cis deter- mined by experiment; s is the surface tension in dynes per cm ; A7 is the molecular weight; d, is the density at absolute zero; 7, the critical temperature; and 2%, the two thirds power of the volume of a gram mol of the liquid. The density at absolute zero may be cal- culated from the relation: (d—D)/4, = (Z,—7)/7)'". In computing a from the surface tension it must be remembered that many of the determinations of surface tension are made by the capillary rise method and that the errors in this method all tend to make s low. Also the determination of the surface tension by this 1) Maruews: Journ. phys. chem., 20, 567 (1916). ) pay » ZU, K / 28 ; THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ method involves the assumption that the angle of contact is zero and, while this is undoubtedly very nearly true at low tempera- tures, the angle has a finite value at higher temperatures. The correction, if made, would have the result of increasing the surface tension. The surface tension of all the liquified gases given in the table, except that of SO,, were determined by the capillary rise method and are hence to be regarded as mimimum values. In SO, the tension was measured by the ripple method. In most of the other cases cited the tension was measured by the drop weight method, and I have used the results of Morean 4) and his col- leagues, but I have corrected his results by the method of Lonn- STEIN 7) and Harkins and Humpuery*). In interpreting the values of a found in this way it must also be borne in mind that if there is any association in the liquid the effect is to reduce the value of (, for the reason that the number of molecules does not then remain a constant but is reduced by the association. This again will in some cases make the value of a lower than it really is. In general then the values of a determined by the surface tension are apt to be lower, rather than higher, than the true values. The fact that C is constant over a wide range of tem- perature shows that van per Waars constant a is also constant as he has maintained, but which has been doubted by others. I may mention, also, in this connection that if the density at absolute zero was really equal to Sd,, where 4, is the critical density, the constant C would have the value ascribed to it in my paper on the Internal Pressure of Liquids of C= K,R/3P.N"", where JV is the number of molecules in a gram mol and &, is a/V2. If K,/P, were constant in all non-associating substances and had the value I have assigned to it of 6.5, then C would be the same in all normal substances and it would have the value of 2.14, which is very close to the value found for it in many substances. However as d, is not always equal to Sd,, this value of C is not always the same, but is lower in the simple gases and higher in the more complex substances, ranging from 1.60 to 2.23 or perhaps still higher, The values of a calculated from the surface tension are given in column 6 of table 2. Their agreement and disagreement from the other methods of calculation will be readily perceived from the table. 1) Morcan et al: Journal of the Amer. Chem. Soc., 33, 34, 35, (1911), (1912), (1913). 2) LounsreinN: Zeit. phys. chem., 64, 686 (1908); 84, 410 (1915). 3) Harkins and Humpnery; Jour, Amer, Chem. Soc., 38, 228 (1916). EQUATION AND THE NATURE OF COHESION, — 29 e. Computation of a from the equation of Ramsay and Young. The computations of a by the methods already noted may be checked by computing a for a few substances from the value of the pressure of a liquid or gas when heated under constant volume. Ramsay and Youre !) found that the pressure could then be represented by the formula p= 47— a. This 4 and a are not the constants of van prr Waats’ equation but a is in reality a/V 7 wid 6 is dP/d7' at the critical temperature. It will be recalled that 7, (dP/d7), is equal to P, + a/V,2. The value of (AP/AT), found in this way is about 10—20°/, higher than that of dP/dT calculated from Bror’s formula for the vapor pressure showing that the latter is incorrect. Van per Waats found for example that: te 7) calculated from Bror’s formula gave in the case of CO, the value of 6.7. This is 12 °/, too low. It should be 7.5. To return to Ramsay and Youne’s equation, the constant a for pentane and isopentane, *) when computed from the value of 6, was 162,890 mm. Hg. From this using the 4, determina- tions of Youre we compute van DER Waars constant a for isopentane to be 20.06 and for »-pentane to be 20.88 X 1012. The mean value is 20.47 104%. This, as will be seen, is prac- tically identical with the computation from the gravitation and valences and is much higher than van Laar’s value. For ether, the value of Ramsay and Youne’s constant a was 174,816 mm. Hg. With d, of ether 0.2625 this gives for a of van DER WAALS the value of 18.52 X 1012. This is about 3°/, lower than most of the values found for a of ether by other methods, but is far nearer my values than van Laar’s. For CO, AmaGar ®) gives dP/dT for /, as 1.72 atmospheres. From this with P, 12.9 and d,—= .464 we calculate & to be 4.11 X 10! which is about Af, lower than my value of 4.29, which is also the value originally en to a of CO, by van per Waars. But 4.11 is 15 of. higher than VAN Laar’s value of 3.56. In every case, therefore, ak calculation of a by this method bears out the calculations by the latent heat and other methods already described, and they equally show that *). Ramsay and Youre: Phil. Mag., 33, 435 (1887). *) Rose Innes and Youne: Phil. Mag. 5th Ser, 47, 353 (1899). Youre: Stoich- iometry. Rose Innes: Phil. Mag., 44, 76 (1897). Phil. Mag., 45, 103 (1898). 5) AmaGar: Ann. de Chim. et Phys, 6, 29 (1893). 1 30 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ VAN Laar’s values are incorrect. These values are compared in Table 2 column 7. Jf. Computation of a from Van der Waals’ equation when b is separately determined by means of a modified Crompton’s equation. I will here simply call attention to this method without calcu- lating the values as they are the same as the values calculated from the latent heat in other ways. Here, however, we make the calcu- lation from the total latent heat and not from the internal latent heat as in Mints’ and Disrericrs equations. Crompron’s equation is: L = 2 RT In, (d/D) From this equation Minis gets the result that 7(¢P/d7), = 2 RT/V,. Since T, (dP/dT), is equal to P,+-a/V,2, which is equal to RIN —b) it is clear that in place of 2 we should have VJ —b,). From the latent heat we may hence calculate 0, and from the value of 4, thus found we may get a by substituting in VAN DER Waats’ equation at the critical temperature. I have computed pentane at 170° by this method. The result was that V,/8, came out 2.016. This gives a of 20.84 X 102 dynes for a gram mol. This agrees closely with a determined for pentane in other ways as shown in table 2. In the case of octane the agreement is not so good. In x-octane at 220° 5, is found to be only V,/1.89 whereas V’,/2.02 is required. This value of V/1.89 for 6, would give for a, 43.25 X 101? which is nearly that given by Duinrnrici’s equation from the internal latent heat and much higher than most of the other methods. I have not calculated any other substances but I suppose they would agree very well on the whole with the calculation from Minus’ and Divrerrcrs equations. It will in this respect bear out the other computations, From this equation combined with Dinrmrici’s we have at once V/V —b,) = 1/8 + al RTV, = 1/S + C'. For many substances S is about 3.75 and C’ is 1.733 so that 1/S + C'= 2. Putting this equation of Crompron’s in this form makes it more easily understood. As is shown later on, Log a= K’' (V.—b,)[b¢. HS | db. Log a’ tion thus becomes: L = (A'V,/6, Log a) RT Ln, (d/D). In a perfect From this we get for the value of /’,/(/,—4,) The equa- ; | EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 31 gas Z should be equal to 27’ Zn, (d/D). The correctional term will be seen to include the cohesion in Log a and also the compressi- bility of the molecules in the term 7/4. A’ is of course a constant of proportion. g. a as computed by van Laar. In order that the values computed by van Laar for a may. be readily compared with those found by these various methods they are given in Column 9 of Table 2. To express his figures in dynes for gram jwol quantities, in place of the units he uses, I have multiplied the square of the value of Wa given under the heading „found”’ in his paper, by the factor 4.925 X 104, this being the square of the ratio of the number of molecules in a gram mol to the number in Ll c.c. of gas under standard conditions, multiplied by the factor for converting atmospheres to dynes per cm?. Il. DETAILS OF CALCULATIONS. 1. Hydrogen. The determination of « for hydrogen is extremely important from the theoretical point of view, for the valence of hydrogen is always unity.. (a). Determination from the formula: @ = 6.5 P.V,?. Critical data of A, according to A are ae Zoe Pe bong, — 0089 According to Burin 7, — 31.9; P,, 11. P, is evidently lower than 15 atmospheres, since S, or 27',/P, pa with Dewar’s figures would be 2.88, an impossibly low figure, lower than helium, which has less cohesion. With Burre's figures combined with 4, = 0.033 S would be 3.901, an impossibly high figure, since this is higher than S in very complex substances. S of hydrogen probably will be found between Me, or 3.12; and O,,. where S is 3.42. I have accordingly taken as the most probable figure for P, the mean between Drwar’s and Burre's figures, or 13 atmospheres. This would make S equal to 3.30. With P,= 13 and d, = 0.033 a = 0.319 X 10°. With P, taken as 11 atmospheres it would be 0210 SC FOL, (6). Determination from the surface tension of liquid hydrogen. Either form of the formula may a used, namely: a = 3 HN'°T Old; or a= 3 SV PNB MT79/d—D)(L,—TY*. C is Eötvös constant; it is equal to 1.464 (Onwes). s7° at 7’ (ABs) 14.88° is 25.137 ergs. d, calculated from the density at 14.83° by the formula d.d — D) = CCI — T'))*® is 0.09395. Solid H, at 13° Ans, on THE TRUE VALUE OF & OF VAN DER WAALS’ has a density of 0.077 (Dewar). d, at 14.83° is 0.07631. M = 2,014 Nat = BAGe x 10 Tr 31.95: feet aie a= 0.254 X 10’? In this calculation the density of the vapor, D, at 14.83° was neglected. If it has any appreciable effect on the calculation neglecting 2 will make « smaller than it really is. Moreover the surface tension was measured by the capillary rise method and this gives generally a value lower, rather than higher, than it ought to be. Herer 0.254 is to be regarded as a minimum value for a. The true value is certainly not lower than this and it probably is higher, but we cannot say how much higher. Conclusion: From the surface tension we have ‘a equal to 0.254; | and from the pressure-volume formula, 0.270 or 0.319, more probably the latter. The true value for a certaimly lies between 0.254 and 0.319 X 101, but it cannot yet be said just what the value is. From the gravitation and valences by my formula, a is computed as 0.298 X 10", which would appear to be certainly not very far from its real value. In this calculation 2 valences were assumed to be present in the molecule; the formula used was a = N*(m*k X Val|M}". The value for a computed by van LAAR and used in his calculations was 0.126 X 1012. This value is certainly 100°/, below the true value for a. It is probably still more in error than this. Furthermore the value he adopts for a gives for 6, the figure V,/2.56. This as I shall point out presently is impossible, for the reason that the molecules of hydrogen are more compressible than those of pentane, not less. On the other band the value for @ computed by my rule from the gravitation and valences appears to be very close to the true value. The correction which van Laar has made, the factor y, to the computation of a by the ordinary van pur Waars method, is clearly shown, I believe, to be a correction which is directly contradicted by the facts, since the calculation of a by the usual VAN DER Waars’ formula without this correction gives a value not so far from the truth as that of van Laar’s method. To save repetition it may be stated here that in all the caleu- lations which follow the number of molecules in a gram mol has been taken to be that found by Millikan of 6.062 10?° so that the value of MN? is 8.463 X 10%.-The computation for a by the valences and molecular weight has been made by the formula: a—=1.1763 X 10! (MX Valÿ®. This is identical with the for- mula a = N*(m*k X Vall My* the factor 1.1763 XX 10 heme equal to WV? multiplied by the factor (#44) where m, is the mass of a molecule of unity molecular weight and unity valence. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 59 2. : Nitrogen. Na. (a). From the surface tension, a= 3MN'#7,C/d,. Or by the formula already given in the case of Hydrogen. C (Baly and Donnan) BRD; 1 — 28; NI MR 463 X 107; 7, 125.96 (Abs); d,, calculated by the same formula as used in hydrogen is 1.104. d, of ‚ MN, at 20.5° Abs. is 1.0265 (Dewar). This is the temperature of boiling M,. For comparison oxygen at 20.5° Abs. has a density of 1.4526. Its density at absolute zero is computed to be 1.531. If the density of MN, at absolute zero is 1.104 then a= 1.58 X 10". oe tam to == 6 IPP 33.494 a is ie 28 VO kis OO. Oe ie Or ne a — 1,74 X 10”. @, From a — 2.08 BTV/1.08 — PVA. a — 1,58 X 1012. Conclusion. We have the values 1.58, 1.74, 1,58 X 10'? as the three found values. The surface tension value of 1.58 is certainly, for the reasons already stated in the case of hydrogen, a minimum value. ‘The value of « for nitrogen is certainly higher than 1.58. It may be as high as 1.74. From the gravitational mass and the valences, taking two valences to the molecule, « is computed to be 1.72 X 10, which: is probably not far from its true value. In assuming nitrogen to be monovalent here, it may be pointed out that as chemists have supposed nitrogen to be monovalent, di, tri, penta, and hepta valent in different compounds, there is as good reason for taking it monovalent as for assuming it to be di, or tri, valent. If it is monovalent, as it appears to be, the agreement between the value of a computed from the gravitational attrac- tion and that from the pressure volume formula is perfect. Van Laar’s value for W, is 1.83 X 101%. This is certainly 20°/, too low, if we accept the minimum value computed from the surface tension of 1.58 as correct. If 1.72 is the correct value, as I think, then he is 30°/, too low. It is clear that computing from the valences and the gravitation we obtain here as in hydrogen a much better agreement with the real value of a than by van Laar’s method. ‘The same objection applies to the value of 1.33 for MW, as to the low figure for hydrogen: it makes 6, too small. JV, like hydrogen, is more, not less compressible than pentane, and 6, must accordingly be larger than /”,/2 and not smaller. D. Oxygen. 0. (a). From the formula: a= 6.5.PV 2. P,— 49.71 (Onnes, Dors- MAN and Horsr). d, is 0.4299 (Marnras and Onnes). M is 32. TORA GEAN AE a — LSI X 10", Verhand. der Kon. Akad, v. Wetensch. (1e Sectie) Dl. XII N°, 4, D 3 MOVIES de LE EEN ee Ve Wk Ee AO TA a RL FIRE og AE CRD tte RUE FL x 34 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ (4). Surface tension. a — 8M N'°7,C/d, Donnan). NP is 8.463 X 107, 7, — 154.25; d, is 1.531 computed from d,/(d — D) = (TT, — TP a= 1.58 X 10'?. It may also be calculated from the second formula given in hydrogen. At —208° s is 18.85 dynes. d is 1.2398; D is 0.0019. The densities are from Baty and Donnan. sV?? is 160.3 ergs.... a=1.58 X 102 Conclusion. The value of 1.58 from the surface tension is cer- tainly a minimum value. The true value is probably higher than — this. The value 1.81 is probably not far from right. a computed from the gravitation with 2 valences in the molecule is a= 1,88 X 10, a value nearly -4°/, higher than the figure computed from, the pressure volume formula. Were there 4 valences in the molecule. of course the computed value of a would be much higher still. If there are but 2 valences in the molecule, ‘and by valenes is probably meant negative electrons, the agreement is fair. The value adopted by van Laar is 1.33 X 1012. This is from 20—40 °/, too low, showing again that his method of computing a is wrong: 4. Carbon monoxide. CO. (a). @=2.03 RIV/1.03 — PV P, = 34.60; die (Carposo). 7’, = 134.3 Sr M= 28; Vi AO a — 1,70 < 102 Di BEP VE er... EN a — 1,85 X 10” (ch dd sol NB MTI (d—D)(T,—TŸ® s, the surface tension, by Baty and Donnan at — 203° — 12.84 dynes. ú d= .8474; Disneglected. 7,—7'= 64.3. ule M = 28. sv" = 132.260 series eee a — 1.813 X 10” We have then for the value of a 1.70, 1.85, 1:81 X 102, Probably 1.85 is near the true value. If there are two valences in the Ha a computed from the gravitation and valences is 1,72 X 1072. With four valences it would be 2.73 X 10122. Van Laar’s value is 1.41 X 10 a value which, like the others, is at least 20 °/, too low. 5. Methane. CH) (a). a — 6.5 PV P,=45.6; 7, — 190155 AS OREN SDE —=19 4.5 (CARDOSO), Re a='2.92 > 10 4(0), “4 ROS RIJ /1.08 PV? CE a= 2,68 X 10” EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 35 These are the only two values I have been able to calculate. The value from the gravitation with 8 valences to the molecule, a= N? (mh X Val MY" — 2.99 X 101”. Van Laar’s value is 2.21 which again is 20°/, too low. 6. Mitrous oxide. NO. (a). a= 2.03 RT.V./1.03 — PV 2. P, = 71.65; T, = 309.5 (Carposo and Arni) d, = 0.454 (Virrarp) S = 8.658. FO AT te ee Ores Do a — 4,24 X 10”? EPE eN EN, a — 443 X 10” (ODa = Hp! 4.185 X 1017/3428. w= 88.3.. a — 4,01 X10” Pee CU BP! = AN rare a = 3,77 X 10° (e). a = 3sv MN TB) (d— D(L TB. sat — 24° = 9.92 dynes (VERSOHAFFELT). d=— 1.0254; D= 0.417; sv?? =121.59 a — 4.10 X 10!? The mean of these various values is 4.12 X 1012 but in view of the fact that one is so extremely different from the others we may omit 3.77 and the mean is then 4,20 X 10'? which I think is probably not many per cent from the true value. If there are 4 valences in the molecule, the oxygen being biva- lent the nitrogen monovalent the value computed would be 3.59, If there are five valences then the value is 4,29 X 10°? which agrees well with the found value. Van Laar’s value is 8.56 which is again evidently some 20 °/ too low. The’ computations indicate that there are 5 valence electrons in the molecule. 7. Carbon oxide. CO. . VA mma 2.03 RT,V,/1.03— PV 2. bold Pr S= 3.59; V,=95.42; d,—.461.... à — 4,29 X 10” B a=6.5 Aa NS MS. en | a — 4,37 X 10! Gr @= M7 /3d/". = BA Me a= 432 X 10” (a. 60 RLY nO ae ae LD RS CUT a — 4.27 X 10” (). a=OMN'®d,1,/d, d, = 1.725; NP = 8.463 X 107; Cof liquid CO, by Eütvôs D va We nd Bet PR A MAL En a — 4,61 x 10” of LI 1) The factor 4.185 X 107 in the (c) formula has generally been omitted in the for- mula as written in the pages which follow, but it has of course always been used. It is the factor for converting calories to ergs, the value of #’ being given in calories. D 3* 56 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ (f). a= 8 sv? 77" NUE M[(d — D\(T.— TY*®. From Verscaar- ' Fent’s surface tension measurements by capillary rise method at— 24.3°: s= 9.21 dynes; d=1.005; D= ONCE ORE a= 3.55 10” Mean of Verscnarrezr and Eötvös computation 4.08 X 10", (9). a = Va, d being the constant of Ramsay and Youne’s equation expressing variations of pressure with changing temperature while volume is constant. dP/dT = 1.72 at- mospheres (AmaGar). d, = 0.464...... a=411 X 10” These results are very consistent with the exception of Hétvés’ and Verscuarrerr's determinations of the surface tension. I think in general that Hotvos’ method of determining the surface tension gives a result which is higher than any other method. On ‘the other hand the capillary rise method often yields too low a result, so a determined from Verscnarreur’s observations is too low and that from Eötvós is somewhat high. The mean of all these is 4.23 X 10” but I believe the actual value may be a little higher, say 4.29 X 102. This is exactly the value which vAN per Waaïs 4) assigned to it in his work on the Continuity of Liquids and Gases. He there gives the value of .00874 for a. This computed for dynes and gram mol quantities is 4.29 X 1012, If we now compare this value : with that computed from the molecular weight and number of valences, we find an exact agreement if CO, is given 5 valences to the molecule; but if we take the number of valences usually assigned, namely 4 for the carbon and two each for each oxygen atom ma- king 8 in all, the value of a would be 5,86 X 10'*, which is too high. Carbon monoxide, oxygen gas and carbon dioxide all appear to be exceptional. For these gases to agree with the general law of the dependence of cohesion on the valence electrons it is necessary that fewer valences be in the molecule than is generally believed. I think it probable that CO, and 4,0 really only have 5 valence electrons in their molecules and that in CO, and CO the carbon has lost three of the valence electrons it usually has. If there were 4 valence electrons in the molecule « would be com- puted as 3.69 X 10! and this is obviously too low. CO, is there- fore an exception to the law I am attempting to establish, unless it can be shown that it really has 5 valence electrons. The value vAN LAAR assigns to a is 3.56 X 101? which again is seen to be far too low, 20°/, lower than 4.29 which is the true value. 1) Van ver Waars: La Continuité des Etats Gazeux et Liquides. Paris, 1894. p. 118, EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. - 37 8. Acetylene. C,H,. CS OT 0e PY EP, = 61.6; d, = 0.2806; Ti 908.05 Vo == 1272; M= 26. (Carposo and HSA WM) eu, ANP TER ee a — 4.91 X 10"? ROPE A PT Ne DIE ee. a — 5,16 X 102 The mean of these two is 5.04 X 1012. Van Laar gives the value of 4.35 X 1012 which is probably many per cent too low. If there are 10 valences in the molecule we compute by the for: mula a — 1.1763 X 10H(H X Val), which is the easiest way of making the computation from the gravitational attraction and the number of valences 4,79 X 10'? which is somewhat lower than either of these values but which agrees better with them than does vax Laar’s. If acetylene were acetylidene one carbon being bivalent, then there would be 8 valences and a still lower value would be found. If there were 11 valences to the molecule « would be computed as 5.11 X 101? which agrees better with the found value. I have not been able to find the surface tension or latent heat of liquid acetylene to make the computation from them. 9. Ethylene. CH. ere — 203 LL NOS PF. Po 282.0 5) Pe ==50.65 (Cardoso and Arni). = 28; V,=133.3; d,=0.21 (Cainteret and Maruias). S= 3.43.... a= 5.26 X 10” CP PO Pid EE Ee NE eee ON a= 5,93 X 10!2 The mean of these two values is 5.59 101%. It think it pro- bable from the low value of S and the lack of agreement of these two computations that perhaps the critical density should be a little higher. Dewar gives 0.32 for d,, but this is obviously too high since it makes S over 4. The value 5.59 agrees very well with that computed from the valences and molecular weight. Taking 12 valences to the molecule « is computed to be 5,69 X 10'2. Van Laar’s value is 4.44 X 1012 This is again as usual too low being in fact over 20 °/, too low. I could not find data for the surface tension and latent heat calculations. 10. thane. GR (a). a 2,03 ATOS PV NP, —'48.85: T — 305.1 (Carposo and Brrr). I could not find the critical density of ethane, so I have assumed S to be 3.55. This gives V, — 144.85. With these values..... a= 6,19 X 10” (OM We) ER UE UN PNEUS a — 6,71 X 10 From the molecular ot and valences, ali La valences t the molecule, a is computed to be 6.60 X 10”, which agrees vel well with the value from the (4) formula. Van LAAR gives fi the value 5.33 X 108 again about 20 °/, below these values. PA: Pure Cha (a). a= 2.03 RIIV, 1.03 — PVS. T, == Ale Pie 10; 0.578 (Permaron); VY, = 123.7; M= SE MOO a EEE HA a= 7.28 > B ELINE ve | ey eh re, (©. 4=8MN'"* CT,/d,.. C = 2.02 (Jonnson and je | McInrosn). S = 3.64. d, taken as Ad; 2% d, = 2.056. NRR SEEN A= ris These values agree irl el The mean is 7.40 X 1072. El are 6 valences in the molecule a computed from the valence | molecular weight would be 6,65 X 10'*; if there are 7 valences, a aie k be 7,37, which is practically the mean value found; with 8 va enc a Here be 8.06. Chlorine TEE else is ay so t eae tae of a. on the valence TEE be shr the computation shows 7 valences in the chlorine molecule. might interpret this to mean that in a chlorine molecule one chlor cou atom is oxidized to its maximum and has lost 7 negative electro . while the other has its maximum number of 7. Of course actually 8 it is to be presumed that they will be distributed between the two atoms. A similar result is found in bromine. The formula might be written as follows: vd DES ae 4 — 4 AEN . CIC a is © © (©) are Van Laar’s value for C/, is 5.85. This is very much worse than the computation from the valences assuming each atom to bé tri valent so that there are 6 valences to the molecule. It is about 20 oe below what I believe to be the true value. If we com- pute a from van per Waazs’ equation by the usual method of a = 27 12/64 X 2737 P, we find the value 6.38 X 1022; vue is certainly nearer the true value than van Laar’s. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION, 39 12. Sulphur diowide. NO, (a). a= 2.03 RT7,/1.08 — PV. P,= 77.65; T, = 4.30 (Car- poso and Ber). d,— 0.52 (Caicrerer and Marntas). V.= 123.07; d= 0.513 by Carposo, 1912. M — 64. The computations have been made with the density 0.52. I did not find CArposo’s value until some time after- asin Es EER tts oe ieee a= 7.48 X 10" ie) EO RE Aa AE EE on EE a — 7,75 X 102 (©. a=p'M? 4.185 X 107/3 4%. pl = 85.5. à — 7,56 X 10 Ml WO =O ers Mat WAAR A a — 7.50 X 10” (e). a = 3 sv" MN TP /(d — D) (T, — TP s— 33.29 dynes at — 25° (Grumacu by | capillary waves); sv?? — 407.05. ergs. d at — 25° = 1.4968 Lance); D is neg- legteds inl EURE a os A Fete a= 7,84 X 10'° The mean of all these values is 7.62 X 10. a computed from the weight and valences in the usual way with 8 valences in the mole- cule, 4 to sulphur and 2 to each oxygen atom, is 7,53 X10'? which is in excellent agreement with the found values. The value computed by van Laar is 6.74 which is as usual too low, being in fact some 12 °/, too low. With the usual formula of a = 27 7,°/64 X 273°P, we compute 6.63. It is clear that the computation from the number of valences and molecular weight gives a correct value and the method of van Laar does not. 13. Methyl formate. C,H,0,. eg — 2.038 ATV 1.03 PV. 7, = A8i; P, = 45.0380 MiG: ASUS — 228,90) a 11.86 X 10" CP an a LR Res a — 11,54 X 10" Gee — M74 4.185 X 1078 77. u 119.86 Le Pr 8 Sec rare a= 12.14 x 10” RAC = Os cote a eee 2 a — 11.28 X 10” (e). a — 3 MNT .C/d,. C= 2.00 (Morean and SCHWARTZ) d, — 1.337. MN! as before. a — 11.10 X 10” The mean of these results is 11,54 VAN Laar gives 11.91. The calculation from van per Waats’ on the assumption that 6 and a are constant (40.2371) gives 11.67. The correct value is evi- dently about 11.50. The calculation from the molecular weight and valence number with 16 valences, i.e. SC valences, 4H valences and 40 valences, gives 11.45 X 10'? in perfect agreement. Van Laar’s value is here about 4°/ too high. 40 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ 14. Bromine. Bry. (a). a=38 MNT, Old. I have only a single determination for Br, made from the surface tension. C is equal to 2.115 (Morgan and Dagan, corrected after Lounsrrin method.) 7, = 575; P, not given. M — 159.84. d,, calculated from d at 0°C. of 3.187 by. formula = TTE, is 3.99.0 wus = 12,49 X 10"? This value is to be regarded, however, as only an approximation, but it is probably not very far wrong. If we caleulate a from the molecular weight and valences with 6 valences to the molecule we have 11.44 10%; if, like C/,, it has 7 valences, then the calcu- lation would give 12.68 which is in good agreement with the fore- going computation from the surface tension. This would mean 7 valencé electrons in the molecule. 15. Carbon bisulphide. CS. (a). @= 2.038 RIJ /1.03— PIF. P, 128% 7,046 .3924 (Cited from GOrLDHAMMER who gives it as Ba- TELLS figure). M/— 76. These make $— 3.176 which is clearly too low. There is evidently some error in the critical data and it is probably in the critical density which should be higher. However using these data a= 14,56 X 10” Oe e056 PIE IN AN AE a — 18.00 X 10” This great variation between the (a) and (4) formulae shows that the critical density is not high enough. If S were 3.6, which is probably nearer its true value, the first formula would have given 13.14 and the second 14.00. Or P4189. X 103 HE HN 3004) or a — 12,35 X 10” Qig 2 ORL. CO ET 516. EEN a = 13.33 X 10” (e). a= 3 MN" T,C/d,. d, = 1.6776 (KÔRBER, Ann. Physik, 37) C = 2.08 (Ramsay AOE MAOMON ib. LL, bs a a — 13.07 X 10” In ‘view of the uncertainty in the critical density, which enters into each of the formulae except the surface tension, we shall have to depend chiefly on the latter. The mean of all the determinations, except the very aberrant one of 18.00, is 13.33 and as this is not very different and a little larger than the surface tension value, the surface tension having been determined by the capillary rise method, it is probably close to the true value. At any rate it is EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 41 _ the best which can be done until the critical density is redeter- mined. The value calculated from gravitation, taking sulphur as hexavalent, so that there are 16 valences in the molecule, is 13.40 < 10'°, This is in entire agreement with the mean of 13.33. I may say that sulphur, so far as J have been able to compute it, is always hexavalent except in SO,. VAN Laar’s value for US, is 12.14 X 101? which is much lower than the true value. The value from van DER Waars equation of 0.02316 would be 11.40 which is still lower. From the latent heat of expansion of liquids Lewis has calculated 10.23 X 1012. I think there must be some error in this calculation as usually Lewis’ method makes 4 a little high. 16. Methyl acetate. CHO. (a). a = 2.08 RTV//1.08 — PV? P,= 35,212 mm. Hg; T, = 506.7; de 398007 2076... a= 16.6010 RG aa CRT A eee oe wr RP tn hj Ur a — 16.47 X 10" (6). a —p'M?4.185 X 107/3 d°P. p'— 108.8. .a — 16.73 X 10” EA CR NC UBA dels atte alle ots a — 17.11 X 10” (e). a — 3 MNP T,C]d,. C—2.11 (Morcanand Scawartz corrected according to Lonx- STEIN) M = 74. d, calculated in usual CE RES OR EED a= 1574 X 10” These values show considerable variation, but the mean is 16.54 X 10 which is the most probable value which can be given. With 97 — 74 and 22 valences, a is calculated by my formula to be 16.28 X 10'? which is in excellent agreement with the mean. VAN LAAR gives 15.77 which is fairly close to my value. The usual approximate value given is .03206 or 14.07 X 101? when calcu- lated into the other units. In this case, as in one or two others preceding, vAN LAAR’s correction is in the right direction but not quite large enough. 17. Lthyl formate. C,H, O,. (a). a = 2.03 RPV/1.03— PP? T,— 508.2; P, = 35,535 mmHg; de 82382; V,=228.96.. a= 16.60 X 10” OIG een ONY AT Lt ae ME NO a rc a — 16.14 X 10! (0). ae MEIS rg TNT RE a= 17.38 X 10” (AMAR OO eb LAS es ren, a — 16.91 X 10” (Ce PMN TAG as ROTE (aa (Ac DE SE Le ed ne gas a= 15275 10? The mean of these values is 16.46 X 10!2. The value calculated from the valences and molecular weight is, as ‚before, 1628 d is in good - agreement. LEON LPO © LA 5 - f : a fs" 18. Ether. C,H,,0. (EE CARR 03 RLV /1. 08—PV2. P, = 97. 060 mn. Wy: vs 2625; 7. = 466.8; V, ORIG NUE a — 18,70 X FR to GA and WiLus, ae P,is 36.28. With this number....... a= 19248 X (b} La == ODP V, with Youna’s value of P...... a= 18.64 X I Mc): MBL. pe =103.8; M— 74... a= 19.34 XM (GNT CREVER] OA oS RSR (e). a=3 MN"? T,0jd, d, =1.0066; C—2 an TON); 2.27 (Bütvôs). a = 18,82 (R. and A.); 19.78 (EG (/). We have also, in this case, the determination from | Ramsay and Youre equation of the pressure under. stant volume of 18,52 X 10". | There is considerable variation in these numbers. The meat the two surface tension measurements is 19.30. Ramsay and Ast determination was by the capillary rise method and is probabl little low ; Eötvös was by a reflection method and may be a little h The mean of all is 19,02. I think this is probably not far from true value. @ computed from the molecular weight and valene with 28 pens to the molecule, is 19,12 X 10°, which i is In ve 19. n-Pentane. C‚ Ho. (a). @= 2.03 RI V/1.03 —PV?. P, ey RU Has cove; 1470.2; 7; = 309.9422. AOB oe Ger NE a — 20,90 x10"? | (ce). a=pM?)3 48, ps — 110.0. M=72... a —921.05 X 1020 ‘ (Oe GO Were == 1.707... rr a — 20,69 X 102 i (ea Smaeranstormula Pb Ta Seg D: sa PORC OT LT CNE a — 20,88 X 1022 1 could not find the surface tension of pentane. | a These figures agree very well among themselves. The mean is 2 20.84 X 10". which is probably very close to the true value. ‘The bt HE calculation of 4 from the molecular weight and valences, with 32 oe valences in the molecule, gives the value 20.52, which is in good . agreement with these values. Van Laar gives the value equivalent _ to 19.12 K 1012 which is 8 °/, below 20.84.. PA EN err Wehe eee ‘rede B DES ire wd ‘ A # EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 43 ge | De! 20. Iso-pentane. CH... É pela) @ —=2.08RTV,M.08— PVE M=; P,—95.018mmHy.; Peo AOS: ig: 23438; V,— 307.8 a= 20.06 X 10” 4 LR PER ne D TE a ate a — 20.47 X 10” 3 Md Ee. a = 20.08 X 10°? À ene CRE CPS Ms lus. a — 19,88 X 10'? À (e). a = a V?(P=ÿT— a) d =162.890mm.Hy. à = 20,06 X 102 he The surface tension “was not found. The mean value is 20.11 X 10'?. | If 20.84 is the value of a for z-pentane-and 20.11 for iso-pentane, the mean of the two is 20.47, which is almost exactly the value calculated from the gravitation (molecular weight) and number of valences of 20,52 X 102; van LAAR finds for isopentane the value corresponding to 19.12 which is 5 °/ lower than 20.11. 21. - Benzene. C,H,. (a). a= 2.03 RLV /1.03 — PV 2. P, = 36.395 mm. Hy. ; T= DOP: Dd, BOD SPOR nst a = 20.40 X 10” SO RET A TE SAN Te a — 20,15 X 10 (c): a = p'M?/3 12. M = 78; pu = 109.23... a == 2048 X 10” ‘ FE TN ORE RE KC == OO ARO get a= 19.17 X 10” (d). a=3 MN'°7,C/d,. C= 2.16 (Moreanand DAGHLIAN, correc- ted according to Lonnsrern) d, = 1.1464 a = 20.95 X 10” The mean value is 20.23 X 102. Evidently 19.17 is too low. If we omit this the value would be 20,49 X 10'?, which is probably near 2 the true value. The calculation from the molecular weight and number of valences by the usual formula: a = 1.1763 X Lot (MSC Val), with 30 valences in the molecule requires that a should de 20.73 X 10'°, which is very close to the mean value when 19.17 is omitted. Van Laar’s value is one corresponding to 18.72 X 101? which is obviously too low. 22. Fluor-Benzene. C, H,, FT. (a). a =2.03 RT,V,]103— PV. P,= 33.912 mmHg; d, = “9541. oa NN a OI VANNES Se a — 21.60 X 10” (AMIS ar Ou 85.65. a= 22.00 XIE ole Been OS da oe Peek de es a — 24.18 X 10” É ie RARE a A PROPRES kg 5 N re Ee 44 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ (e). a—3 MN'FT.C/d, d, — 1.3392 when calculated as usual from the formula d,— (d— DENN — TB. C, cal- culated from Morean and Dacurran (Journ. Amer. Chem. Soc., 33, p. 680, 1911) without correction according to Lonnsrrin makes C= 2.160. From this a = 21,99 X 102. If we substitute the proper C for benzene of RicHarDs and Coomss in place of that of Ramsay and Aston used by MorGan and Dacuiran, C would be 2.181 and this would make « = 22,21 X 10”. There is in the case of fluor-benzene a wide variation in the values of a calculated by these different methods, from which I believe we may infer that probably the critical data need some revision, It would appear as if the critical density were a little greater than it ought to be. The first two methods give a concor- dant result of a mean of 21.55. The latent heat formulae give a mean value of 23.09. From the surface tension determinations of Morean and Daenitan by the drop weight method using their results uncorrected by the LorNsrerN method we have 21.99, which by the substitution of Ricnarps and Coomss’ value for C in place of that of Ramsay and Astron for Benzene, is raised to 22.21. This value cannot, I think, be very far in error. It is possibly still a little low as the Lonnsrur correction generally has the effect of raising the surface tension values. The value calculated for a from the molecular weight and valences, taking 30 valences to the molecule, fluorine being consi- dered to be monovalent, is 23.81. This is about 7°/, higher than the surface tension value and higher than any other determination except that from the latent heat by Drerericrs formula. It is ji ope above the mean value. One would expect that fluorine would be more than monovalent, but it may be mentioned that Pascal by his method of measuring the valences also found fluorine to be monovalent in fluorbenzene. The agreement, therefore, in the case of fluorbenzene is not so good as in many other substances, but whether this is due to the fact that there are fewer valences in the molecule than we usually assume to be there, or whether it means that the critical data need some revision, I do not know. In any case the determination from the valences and molecular weight is only 6—7 °/, different from the mean and lies between the extremes of the values found. On the other hand van Laar’s value, which corresponds to 17.90 10™, is certainly 20°/, in error. ep zn ware: EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 45 23. Hthyl acetate. C, Hs Os. (a). a — 2.03 RL‚V,/1.03 — PVZ. T,— 528.1; d, = .3077; Pi 20.01 mm- Hy; Ve = 286... A= 92138 x 10% aa OE Ue a ore Re eR ame a= 20.47 X 10" Oe a MISE. = 88.06; w —98.0.. a — 23.28 X 10°? ARGENT a = 22.56 X 10'? Bra =S M NYT, Cd. 02:16 “(MokeaN and ScHwARTZ, LOHNSTEIN) d, = 1.2161 a= 20,78 X 10'2 Ramsay and Aston found for C at — 89.2° the value 2.24. This would give for a the value 21,54 X 10'2. These results do not agree very well, but their mean is 21.68 X 102. a computed from the valences and molecular weight, with 28 valen- ces in the molecule, namely 16 for carbon, 4 for the oxygen and 8 for the hydrogen, is 21.46 X 10'?. This is in excellent agreement with the mean value. Van LAAR gives for a, when computed to dynes in gram mol quantities, the value 20,49. 24. Propyl formate. C,H, Og. (aa = 2.03 #7,V/1.03 — PV 2.7, = 531.85; P,— 30.460 mn Hg. d,= .80938; VV, 254.90... a= 21.79 x 10" RE OE ERA ale © Sens EP. a — 21.37 X 10” ew 2/3 dE MBS OS TI a == 23,88 X 10! NRE OTE a — 22,57 X 10° (e). a=3 MN T.C/d,. C—2.11 (Ramsay and ASTON OT TO EEE, a = 21,56 X 10 !? The latent heat values are much higher than the other three and bring the average to 22.12 X 1012. The value required from the valences and weight is 21,46 if there are 28 valences in the mole- cule. This agrees well with the three values other than the latent heat values, but is considerably lower than the latter. 25. Methyl propionate. C,H, Oy. (a). 42.03 k7,V/1.03 — PV P, = 80.032; d, — .8124:; WSS OO Eb Fr 2819 a— 21.32 < 10” Gy eae A DE 1 RS RARES a — 20.68 X 10” (ES PUS TEEN NAS EN a — 23,27 X 10" GQaa== Only De a = 22,42 X 102 (e). a=3 MN! a GRANGE 2.18 (Morean and Scuwarrz corrected after Loenstemganelhodjp. e.d, a — 21.11 X 10” mean is 21.96. This Is in fair rent with the wie 2 by the computation from Fr weight and valences, the other cases 28 valences. Van Laar’s value for « ds from which a is computed as 19.91 X Aie. "RE again _dedly below pe is is : 26. Carbon tetrachloride. CCl, “i (a). a =2. 03 REVI. 03 — P,7.2. 7, = 556.15; Pp, = d, = .5516; V,=275.8. M—153.8 a = 21.68 a (0). a=6.5 P (©). a=p'M?]34;". pl = 44.29 ue 153.8. a — 921.57 (RTE M= LOOT, va a= 227) ©. a=3 w® MNT Pd — D)(T, — IJE. 3 W ALDEN ae SwinNe at, 21° s = 25.85 _ dynes; sv? — 544.91 ergs. 7,—T= 969.15°. d= 1.5920; D disregarded: men Phe mean of these values for a is 21.82 X 10%, This is in agreement with the computation from the molecular weight myniber of valences, counting chlorine as trivalent so that there 16 valences in the molecule, of 21,44 X 1012. Van Laar’s va corresponds to 19.69 X 101. Lewis calculates from the latent of expansion of the liquid a still higher value of 22.64 xa 27. Hexamethylene. CH. if (a). a= 2.03 RT.V./1.03 — P, V2. P,= 30.260 mm. Hg; Te iy MOO Oo hops), = Oa ee a= 24.04 X ir CORE ENEN ON SS. a= 2473 X | ; (e). a—=pM?/3d". M—S4 > p = 103.63.. a= 24.21 X 107 a DCE GOA So a — 23.91 X 102 (e). Surface tension not found. | END These values agree pretty well. The mean is 24.23 X 10%. This. 1% wed is in excellent agreement with the value calculated from the mole- Le cular weight and number of valences of 24,30 X 10", there being AB 36 valences in the molecule. | de Van Laar’s value is, for a #2 .211, which corresponds to WT 19.53 X 102, a value which is much too low. His computed value is still lower. NA D AE. PAPE at 2 fs OT NE à AC RO AN aie D i ea dk a eee “- Mae / | cy “~~ EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 47 28. n-Hexane. CA, re (a). a =2.08 RLV/1.03 — PV 2. T, — 507.8; P, —22.510 mm. Hg.; d, = .2344; V, = 366.9... a= 26.50 X 10” AEN KANE EE a — 26,26 X 10”? (c). a—uM?/3d/}; W—1028 M=86.... a — 27.90 X 102. AC ET AU ne a= 27,15 X 10'? (e). a —3 MN'PT,C]d,. C=2.11 by Durorr and RUB DRIOM de us OUR PP ern dome re a = 25.79 X 10!° C— 92.27 according to Morean and Crazar, corrected by Loun- STRIN. This would give for a the value 27,75 X 10°. The mean of all these values is 26,91 X 10. The value of a computed from the molecular weight and valences with 88 valences is 25.90 X 10'?. This is about 4 °/, lower than the mean. The value computed by van Laar is 24.92 X° 101? which is about 9 °/ below the mean, and is certainly too low. | 29. Di-isopropyl. C,H, 4. (a) a= 2.03 RT.V:/1.03— P,V.2. 7,500.35; P,— 93.360 mm. Hg.; d= 0.2411; -V,—=356.7.. a — 925.30 X 10" | ES ET EN NEN OER RARE a — 25.70 X 10!” Dean MIS M — 86. je — 97258 V2 va = 250102 UE ODE SAY NRC I RS AT et ae a = 25.61 X 10'° (e). Surface tension not found. These values are very consistent. The mean is 25,64 X 10'2 which is very close to the value 25,90 X 10” calculated from the molecular weight and valences. The mean of the values of a for x-hexane and di-isopropyl is 26.27 which is only about 1.4 °/, higher than the computation from the gravitation and valences. Van Laar computes the same value as for hexane, namely 24.92 which is only about 3°/, lower than the mean value for di-isopropyl. 30. Chlor-benzene. C,H, Cl. (a). a= 2.03 RTV/1.03 —PV2. T.= 632.2; P.= 33.926; d.—,8654; 7.— 307.8. M=112.45 a — 27,62 X 10” (NPA AN EE CT AR CE EEE a — 27.84 X 10” CREME ON PUS AE TEE". a — 28.10 X 10” CAN A ND ni: a — 27,74 X 10” (e). a = 3 sv? MNP Td — D) (T,— TY”. At 52.2° Warpen and Swinnz give for sv?” the value 631.93. 7, — 7 = 307.0°; Daussmeelsced md d07 13... 0. a = 27.26 X 10!° TE ENT AE GEORG AP EN ; SPA AN LE 48 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’: These numbers agree very well among themselves and they leave little doubt that the true value for a is close to the mean value of 27.71 X 107. The computation from the molecular weight and valences, taking chlorine as trivalent so that the total number of valences is 32, is almost exactly this number, namely 27.62 X 10”. A better agreement could not be wished. Van Laar’s value is as usual wrong, im this case being too high. He gives what corres- ponds to, 29.38 & 10 as the value of a. 31. Methyl butyrate. C, Hg Os. (a). @= 2.03 RPV /1.038 — PV 2. T, = 554.2; D= 26.050 mm.Hg.; d,—=.3002; V,=339.7... a= 26:86 X 10¥ (Oy pa OND OMIS ERN a — 26,07 X 10? (ce). ap M?/3 478. p'—91.31. M—102.. a= 29,56 x A0 (MRC AS CEA SAUTER ONE a = 28.57 X 10” (ea SMN DCH. de 1.1820. CD (MORGAN and SCHWARTZ.) . , ., 2... a = 26,98 X 10” The mean of these rather irregular values is 27,61 X 10’. The value calculated from the molecular weight and the number of valences, taking, the number of valences as 34, is 26,96 X 10°, which is almost exactly the value calculated from the surface tension, but which is between 2 and 3°/, lower than the mean. Considering the variation in the values as calculated, the agreement must be consi- dered as satisfactory. VAN Laar gives the value of 0.245 fora À which computed into the other units and for a gram mol makes 26.34 X 1012 in this case not very much below the real value. 32. Methyl iso-butyrate. CH, „Os. (a). a=208 RLS /1.03 — PIP. T) = 540.55; Li AAE oilers Ie DION a — 26,07 x 10" (ON ENA a — 25.58 X 10” (e). a == we MBA. u —81.18 M102... a 2808 EN CAES LUN OO CREER CE TEN a — 27.62 X 10” DBMN D di 1.1780 OSR between 100° and 132.5° (Ramsay and ASTON) EN Ees à 0) | 5: NRR a = 26.76 X 10" Again the latent heat formulae give a high value and do not agree very well among themselves. The mean value of all is 26,94 X 10”. This is almost exactly the value required by the computation from the molecular weight and 34 valences of 26.96 X 10". Van Laar’s computed value is. very close to this, being also 26.34. (ea EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 49 33. Propyl acetate. CHO. (a). a 2.08. RT.V,/1.08 — PVA T— 549.2; P, — 25.227 mos de — .29b1; V,—= 345.0... a — 2706 X 10” ER ee new a — 26,01 X 10” We MES Eu 98 T2... et. a — 30,45 10” SORT. = VOn0e ee. a — 29,16 X 10” Da SMN OR Cid dl l19; C= 2238 (Morean and Scuwartrz). M — 102.. a= 26,93 X 10” Here again the latent heat values are much higher than the others and do not agree very well with each other. Omitting the very high value of 30.45 the mean is 27,29 X 10'* The computa- tion from the molecular weight and valences requires the same value as for methyl butyrate, namely 26.96 X 10" which is only about 1°/, lower than the mean and almost exactly the value calculated from. the surface tension. Van Laar’s value is 26.27 X 1012 which is not so far as usual from the truth. 34. Ethyl propionate. CHO. oe — 2.03 RAT V /1.038—P.V 2. 7, = 6455; LP 25.217 mm.Hg.; d,—=.2965; V,=— 844.0... a= 26.80 x 10” LL + SR RP RE en nn el a — 25.86 X 10” (0). a =p! M2/3d2", wo =91.59; M—102.. a — 29,22 X 10” OREN Be a = 28,69 X 10” Gea o MN PT Ca, d,—1.163; C—2.23 (Morean and Scuwartz corrected accor- ding to Lonnsrern and Harxins).... a= 27.12 X 10” The mean of these values is 27.54 X 10°. The value required by the molecular weight and valences, is 26.96 X 1022. This is about 2°/, below the mean. : 35. Stannic chloride. SnCl,. kde: OS RT, Vfl. 03 — PV? Br 20.01 9 mm. Hg Wd ede 149 ges — 351. a= 29.48 X 10” (DE AEN LE ENE a 30,07 X 10” re Md bl — 260.8 a — 30,69 x 102 ea CRIE EE A A NES a = 30.12 X 10'2 .(e). a = 3MN8T,C]d, C = 2.20 (Kisrrarows- ORE a à Le «0 a = 30,50 X 10% The mean of these values is 30,17 X 102. The value of 4 com- puted from the molecular weight and number of valences, chlorine Verhand. der Kon. Akad. y. Wetensch. (4¢ Sectie) Dl. XII N°. 4, * D 4 50 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ being trivalent so that the number of. valences in the molecule is 16, is 3047 X 10, a figure in very good agreement with the others found. Van Laar gives a value corresponding to 27.19 X 1012 which is again, as so often, too low. 36. Brom-benzene. C,H, br. (a), 0 ==2.08 RT V,/ 1.08 — PV 2° T=61-- P = sn mm. Hg.; d, = .4853; V, = 323.4.... a — 30,80 X 10” Or eave: A ee ee a — 3146 < 10” (ce): a=pM°}3d". p'= 55.317 M—156.96 a 8081204108 ND OR EME NN E60: AE a — 3048 X 10'2 (e). a—3 MN'*T, Cd. This calculation was made from the uncorrected result of Morean and DaGnriAN by the drop weight method. At 59.7° sv®” was found to be 704.4 ergs. d was 1.4438. D was neglected. 7, — T'was 337.3. This gives a= 30,72 X 102 ‘The mean of these various values is 30,77 X 10!?. The value requi- red by the computation from the molecular weight and the valences, taking bromine as monovalent, so that there are 30 valences in the molecule, is 33,05 X 10". The value 30.77 would correspond to only 27 valences in the molecule. This appears then to be a real exception to the rule correlating cohesion with gravitation and valence number. It may be, however, that it is only an apparent exception. The critical data of brom-benzene had to be determined by extrapolation over a long distance. They are not, therefore, very reliable. In the case of the surface tension we have to use the uncorrected measurements. The effect of the LonnsreiN correction is generally to raise the surface tension measurement, but it is not likely to raise it 7—8 °/ The value 31.46 found from the 6.5 2,72? formula is only between 3—4°/, too low. It is quite possible that correction of the critical data would bring it into line. VAN Laar’s value for a *? is .242, which gives for a the value 25.70 X 10%. This as will be seen is very much below the mean value of 30.72. oiv Hepiane, ACTE (a). a = 208 RIJ /1.03 PV T 53085, PEER e mmHg; d,—=.2841; V,—= 427.17... a= SE COMEN ES ENEN DS a — 32,30 X 10” (ec). a=pM7/3 a7", u — 98.64; M — TOO, a sheep ae (Aa ORD Ge EIA a a — 34.80 X 10” (e). Could not find surface tension of heptane. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 51 As usual the latent heat values give higher results than the others. The mean of all is 34,04 X 10'?. The required value of a, if there are 44 valences in the molecule and the molecular weight 100, is 3158 X 10°, which is a little more than 2 °/, lower than the lowest of the preceding values and about 7 °/, lower than the mean. I was unable to find, in a somewhat hurried search, any determi- nation of the surface tension of heptane. Van Laar’s value corres- ponds to 27.64 X 1012 which is about 20°/ below the mean found value. 38. Zodo-benzene. CHE I. id 2.05 RIV 1.08 BVA MET; P, = 38.912 mm.Hg.; d,=.5814; V.=350.6... a — 35.88 X 102 De RNA RES a — 36,97 X 1022 en 2 — u M?/3 de MS 208.85; pf — 43.0] 3609 1022 Wa — ORI. Cr OS Teas: ce ER a= 35.48 X 10” (e). a= MNP sv? T22/(d — D) (7,— TY"! From Morean and DaGHIIAN at 59.6° ww — 925.73 from which sv?” is calculated as 822.7 ergs. d= 1.7691; D is neglected; T,— T is 388.4; without correction according to Louy- STEIN this makes a= 36.49 X 10°. In making this calcu- lation by Morean’s method it is assumed that the con- stant for benzene is 2.121. If in place of this we use the value of Ricuarps and Coomgs it would raise the value of a about 1 °/,. The mean value of all is 36.18 X 10. This mean value is between 9 and 10°/, below that which we calculate for a from the mole- cular weight and the number of valences, assuming that iodine is monovalent, so that there are 30 valences in the molecule. The value required with 80 valences is 39.34 X 102 With the (4) form- ula, namely where a= 6.5 PV, and from the surface tension the found value is about 6—7 °/, too low. The value 36.49 10! would be the required value if there were 27 valences in the mole- cule in place of 30. Todobenzene is just about as divergent from the theoretical as is brombenzene. Here, as in brombenzene, the critical data are uncertain to some extent as they had to be deter- mined by extrapolation over a long interval, over 100 degrees, in fact. Decomposition occurred on heating the iodobenzene. It will be noticed that we have to use the critical temperature even in cal- culating the value of a from the surface tension and the other critical data in the other cases. So I do not feel that we can D 4* 52 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ consider these substances to be real exceptions to the valence rule, particularly as chlor-benzene and benzene agree so perfectly. Fluor- benzene, however, was also somewhat below the calculated value. It may be that these substances are real exceptions, or that they have fewer valences by one or two than we think in their mole- cules, but the excellent agreement of chlorbenzene makes me believe that probably the critical data are not quite right. Van Laar’s value for iodobenzene is hopelessly wrong. He gives for Va the value .261; which recalculated for dynes and gram mol quantities makes 29.89 X 1012, This is between 15 and 20% too low. 39. n-Octane. CH, 8: (a). a — 2.03 RIVM 08 —P.V2. D= 560 P= eee d, — .2327; V,— 489.9; M—114.. a— 3002 WE Dar PET ee a — 37,94 X 102 (Ce). a, MANS OE ee a — 44,46 X 10% (d), a = CHAT Gb RTE € a = 43.10 X 10 (e). a — 508 3 MNS T?8/(d— D)(T, — TY". The capillary constant according to Scuirr at 110° is 4.23. From this the surface tension, s is 25.99 dynes. d is .6260. sv? is 834.9 ergs. D is disre- garded. d, is .9119. From this we compute. Je ae at eer a — 40,50 X 10” I also computed a trom Ramsay and Aston’s surface tension data at 15.5°, this -gave” for @ “the svalile>. sees a — 40,67 X 10% There is a great variation, a variation of fully 15 “ae between the highest and lowest values. The latent heat formulae both give a high value. Mills has suggested that there is some decomposition at the high temperatures, the critical temperature being nearly 300° C. The mean value is 41.14, or if we omit the two high values of the latent heat we have 39,39. The value of a computed from the molecular weight and number of valences by the usual formula, taking 50 valences to the molecule, is 37.54 X 10%. This is close to the value computed from the second of the above for- mulae, but nearly 8°/ lower than the surface tension which is usually a minimum value. It will be noticed in a moment that the isomeric substance, diisobutyl, is much nearer the theoretical value. It hardly seems probable to me that the true value is much below EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 53 39, and it may be higher, in spite of the lower value obtained by the second formula. It may be possible that there are some extra valences, and in support of this it may be said that octane behaves chemically somewhat as if it were an unsaturated compound. On the other hand it has also occurred to me that possibly the valences are not strictly additive. Here we have at least 50 valence electrons in the molecule. Now it may be that several valences together might produce a little greater effect, electro-magnetic, or cohesive, than an equal number taken separately. However that will have to be determined by further work. The only indication of this possibility is that there is apparently a slight tendency for the computation from the molecular weight and valences to be a little low as the number of the valences in the molecule increases. But whether this is a real tendency or only apparent due to the empirical latent heat formulae giving less good results in the more complex substances, or to slight decomposition as the critical tem- perature gets high, cannot at present be said. We have then as a general result in octane to record that the determination of a by the formula 6.5P,/,* gives a result in agreement with that calcu- lated from the molecular weight and number of valences, but that the other methods yield results, one of which is 15 °/, above the required value. Van Laar’s value for a‘? is .276, which calculated in the units I have used is 83.42 X 1012. This, as will be seen, is very much lower than any of the values found. 40. Dusobutyl. Cy Hg. Me 2 03 PT 1:08 P FT = 549.8; d,= 2866; P, = 18,660 mm.Hy.; V, — 481.8... a — 37.65 X 10” Un DN GEDE a a — 37.54 X 102 (ee MNM VAs —=87.12.. w= 11.56 X 10! LU CE NN RCA CRE SOIF PPS a — 39,95 X 10!2 (Ca sn 3 MN Pid, (0,— 1). At 107.4° 8— 11.82 dynes (Scutrr). sv?’ = 383.3 COS w= OL OG de — Sd. ——- 9014; en eee SATA Get a ee PER a — 39,95 X 10° The mean value of all is 39,33 X 102. The required value com- puted from the molecular weight and the number of valences, there being 50 valences in the molecule, is 37,54 X 102. This is exactly the value calculated from the second of the above formulae but is between 4 and 5°/, lower than the mean. The agreement between the found values and that computed from the weight and 54 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ valences is much better than with the isomerie octane. The results from the latent heat are not so divergent here. It may be noted that the dusobutyl upon which these determinations were made, does not appear to have been a pure substance, or else it slightly decomposed on standing as Youre and Minis have remarked. The critical data, however, were probably not seriously affected by this circumstance. Van Laar gives for diisobutyl no value, but one computes from his formula the value a!” = .288; which translated into the other units would be 36.39 X 1012 which it will be noticed is only 3 or 4°/, below that required by the computation from the molecular weight and valences. It is, however, more divergent than mine from the values actually found. Al. Dusoamyl. Cons (a). a=3 MNP sv? TNA — D(L TS. 7, = bio T = A402. dat OC: =.7418. s— 28.072 dynes 767.3 ergs. D disregarded. M = 142.18. Surface ten- sion by Morgan and OWEN..... ... &= 52199008 I could not find the critical pressure and density of this sub- stance. This value of « is not very different from that calculated from the molecular weight of 142.2 and the valences, there being 62 valences in the molecule. The value of a required by the latter computation is 50,20 X 10", which is only some 4 °F, below the value computed from the surface tension. This is the most complex substance I have calculated. ‘This gives a total range of valences from 2 in hydrogen to 62 in diisoamyl, and a range of molecular weights from 2 to 260.8 in stannic chloride. I think this is a sufficient diversity of substances and a sufficient range to establish the general applicability of the law relating cohesion to the valences and molecular weight. I have, however, calculated from the surface tension three other substances which are also complex. 42. Mesitylene. Cy Ho. (a). a = 350" MNP PIT, —T7)d,. From Morean and THOMSSEN, wor? at 23.5° is 812.61. This gives for sv°° the value 722.2. ergs. 7, is calculated to be 640.7°. Mis 120.1. d, calculated by the formula: d= .8746 — .000817 is .8556. d, by the same formula is calculated to be 1.0958. 7.—T is 344.2. This gives for a the Value: NE ze TENEN a= 37.41 X 102 EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 55 The value calculated from the molecular weight and with 48 valences is 37,82 X 10° in agreement with the value computed from the surface tension. 43. Cymene. C, o 4: ea si MN STE Dd, M = 134.1. 7, calculated is 651.6°. d= .862 — .0008044(€— 11.99) we (Morean and THoussen) is 785.20 which is equal to 697.8 ergs = "8. 7. — 7 is 319.15. d= .8235. fis 59.45°. d, calculated from the above formula is 1.0912. With these values a = 44.44 X 10" a calculated from the molecular weight, 134.1, and the valences, 54, is 44.03 X 10°, which is in agreement with the value calculated from the surface tension. ‘There is no indication in these last two calculations but what the valences are strictly additive in their effect. AA. Diphenylmethane. C3 Ho. The past several agreements have been so good, between the values calculated from the surface tension and those from the mole- cular weights and valence numbers, that one might think that one would always have so good an agreement. I have appended, there- fore, a computation of diphenylmethane, in order to melude all the computations I have made and to show that one cannot always expect so good an agreement. Here we have 64 valences and a molecular weight of 168. This would lead us to calculate by the formula a = 1.1763 X 10 (168 X 64)" the value a = 57.33 X 1072. From the surface tension, however, we calculate a much higher value. At 59° MorGan and THomssex give wo?? = 1171.26. From this we calculate sv*° = 1041 ergs. ¢, is computed by Morean and THomssen to be 497° which would make 7! — 770. d= 1.0126 — 0.0007914(4— 11) =.9746. d, = 1.2365. Hence by the formula given in cymene we compute: a= 63.16 X 10, which is about 9°/, above the other value. However as both 7, and d, have been extrapolated from a great distance, no great reliance can be placed upon them. I may say that Durorr and FrrepericH found the constant C of Eötvös to be 2.25 in this substance between 108 and 210°. This would give the value 59,80 X 10" for a which is only 3---4°/, higher than the computation from J/ and the valences. It is of interest to compare the values of a in these more com- plex substances, computed in the usual way from the critical temp- 56 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ erature and pressure, with the values computed from the molecular weight and valences. | have accordingly taken the values of a given by Guyer and Marrer (Comptes rendus, 133, 1901, p. 1288) for a few of these compounds and computed them in dynes, in place of atmospheres, and compared them with the values computed from the valences and weight. The result was as follows: a, Gure and} acomputed | Mol. Wz. Substance Mauer, in | from valence | X Va- dynes. and weight. lences. Naphthalene, Cg H3.... |40.31 x 10° | 39.40 X 10| 128 « 48 Duren Cry Zn 45.96 X 10°} 44.03 X 10”) 142 X 54 Diphenyl,, Cn aten 53.51 X 10/50.64 « 10”) Tod Diphenyl methane, C,, Æ, | 59.03 X 10° | 57.33 10"| 168 X 64 The agreement is on the whole very good, but it will be noticed that the computation of a by the formula a = 27 77/64 273? P, gives in these complex substances a value of a somewhat higher than that computed from the valences and weight, while with the simple substances it gives a value somewhat lower. Ill. DISCUSSION OF RESULTS. The foregoing calculations are all brought together for easy com- parison in Table 2. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 57 TABLE 2. Values of « for gram mol quantities in dynes multiplied by 10—12. (1) GQ Terre he |) © | oro | er faorran es ° D ME = Re 5, =) 5 ES ‘s a ae Ep no 3 Dre le ee oc) ee ae Sia SOS eae Belly A EN RS > we cea Uses pa LA (ss SUS esi he AT de TE ae ey PIL 5 à = Il = Se B FER = AMEN LE NS PR i lee gl 5 | > onlin ete) ner ORNE ROE Dc ces te hl B® EREN et ent 319 254 298] 126 2 2 INTPROP AR 1258) MT 1.58 IR NES SRI 2 OBR ere: 1.60| 1.81 1.56 1.88 | 1.33 | 32 2 Carbon monoxide . LOI sh 1.81 OA 28 2 Methane... o262. 5 263: |— 2.92 Zea) ey eee G 8 Nitrous oxide ...:... 4.21} 4.90 | 4.32) 4.18] 4.02 4.29 |. 3.56 | 44 5 Carbon dioxide ..... AN OR) || AES a Be BE AEOS LEDE ED) I EES el 5 Acetylene ......... 4.91] 5.16 4.79 | 435 | 26 10 Ethylene ...:...... 5.26| 5.93 5.69 | 444 | 28 12 Re... 6.19| 6.71 6.60 | 5.33 | 30 14 Ghlorimens. 2... 3. 7.28| 7.66 1.27 (SD: Bon 0 7 Sulphur dioxide . eG Seon (Ora Onl neo 7.53 | 6.74 | 64 8 Methyl formate..... 11.86 11.54 | 12.14] 11.88) 11.10 11.45 | 11.91 | 60 16 BODE. cen ors 12.49 12.68 159.9 a Carbon bisulphide .. f 14.56 | 18.00 | 12.85 | 13.33 | 13.07 13.40 |12.14 | 76 16 Methyl acetate. 16.47 | 15.80 | 16.73 | 17.11 | 15.74 16.28 | 15.77 | 74 22 Ethyl formate ..... 16.60 | 16.14 | 17.38 | 16.91 | 15.27 16.28 74 22 Wiltes se REE 18.70 | 18 64 | 19.34 | 18.87] 19.30 | 18-52) 19.12 |17.40 | 74 28 n-Pentane ......... 20.68 | 20.90 | 21.05 | 20.69 20.88 | 20.52 |19.12 | 72 32 ISospentane eV... … [20.06 20.47 |20.08 | 19.88 20.06 | 20.52 | 19.12 | 72 32 Benzene........... 20.40 | 20.69 | 20.48 | 19.17 | 20.95 20.73 | 18.72 | 78 30 Fluor benzene...... 21.51] 21.60 | 22.00) 24.18 | 22.21 23.81 | 17.90 | 96 30 Ethyl acetate...... 21.38 | 20.47 | 23.23 | 22.56 | 20.78 21.46 | 20.49 | 88 28 Propyl formate...... 21.79 | 21.87 | 23.33 22.57 | 21.96 21.46 | 20.49 | 88 28 Methyl propionate .. | 21.32] 20.68 | 23.27 | 22.42) 21.11 21.46 | 19.91 | 88 28 Carbon tetra-chloride | 21.68 | 22.54 | 21.57 | 21.27 | 22.06 21.44 | 19.69 | 153.8 | 16 Hexamethylene..... 24.04 | 24.73 | 24.21) 23.94 24.30 | 16.18 | 84 36 PO NACRANE Jen aen 26.50 | 26.26 | 27.90 | 27.15 | 26.77 25,90 | 24.93 | 86 38 Ditsopropyl i.e... 25.30 | 25.70 | 25.96 | 25.61 25.90 | 24.92 | 86 38 Chlor-benzene . .. 21.62 | 27.94 | 28.10 | 27.74 | 27.26 27.62 | 29.38 |11245) 32 Methyl butyrate.... | 26.86 | 26.07 | 29.56 | 28.57 | 26.98 26.97 |26.34 1102 | 34 Methyl iso- buat, 26.07 | 25.58 | 28.68 | 27.62 | 26.76 96.97 | 26.34 | 102 94 Propyl acetate... 27.06 | 26.01 | 30.45 | 29.16 | 26.93 26.97 | 26.29 | 102 34 Ethyl propionate. 26.80 | 25.86 | 29.22 | 28.69 | 27.12 26.97 | 26.34 | 102 34 Stannic chloride . 29.484 30.07 | 30.69 | 30.12 | 30.50 30.40 | 27.19 | 260.8 | 16 Brom benzene... ... [380.80] 31.46 | 30.81 | 30.48 | 30.72 33.05 | 25.70 156.96, 30 ep tame nn 32.84 | 32.30 | 36.23 | 34.80 31.58 | 27.64 |100 .| 44 Todo benzene..... 30.88 | 36.97 | 36.09 | 35.48 | 36.49 | 39.34 | 29.89 | 203.85} 30 Aa-Octane ws... 39.72 | 38.95 | 44.46 | 43.10 | 40.50 | 81.54:| 36.39 | 114 | 50 Witsobuty ler gee: 37.65 | 37.54 | 41.56 | 39.95 | 39.95 | 37.54 | 33.42 | 114 50 ÿ ru SA ere coms! HOT 5 50.20 142.2 | 62 MES mn 37.41 | 31.82 12010 48 Omen 4444 | 44.03 134.1 | 54 Diphenyl methane . 63.16 | | 57.33 168 | 64 58 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ TABLE 2a. Values of « in atmospheres and for a volume containing the same number of molecules as 1 c.c. of a gas at 0° C. and 760 mm. pressure. The values in this table are obtained from those m Column 8, Table 2, by dividing the latter by 4.923 X° 104. One atmosphere being 1.0132 X 10° ergs for a c.c., and the number of molecules in a gram mol being 6.062 L0?° and in de.c. of a gas under standard conditions 2.75 X 101°, (6.062 1023/2715 > LOENEN 1.0132 X 106 equals 4.923 & 10". Hydeosens bnr „0006053 | Fluor benzene....... . 04836 INUGFOBEN ee en „003494 | Ethyl acetate. . . „04359 OXVEEM ee „003819 | Propyl formate....... .04359 Carbon monoxide... .003494 | Methyl propionate.... .04859 Methane "tt „006073 | Carbon tetrachloride... .04355 Nitrous. oxide..." .008714 | Hexamethylene....... . 04936 Carbon: dioxide "008714 | pahlexane tae on ee .05261 ACCLYIÈNE PERTE „0097307 Diisopropy le PEER .05261 Rhene RP .01156 Cortbenzene eee „05610 ÉTRADE nan ee „01341 Methyl butyrate...... .05478 COTE res .01497 Methyl isobutyrate.... .05478 Sulfur dioxider< ers) Bropyl acetaten me „05478 Methyl formate . ,.. .02325 Ethyl propionate . . ... .05478 BROUMME. 2.2. seeker „02576 Stannie chloride... a: Carbon bisulfide.... .02722 n-Fleptahe OS .06415 Methyl acetate..... „05507 Brom. benzene, 4778 „06718 Ethyl formate..... .03307 n-Octanes Tara see ee „07625 BUNDE x She „03884. Disobutyl eee „07625 ni Bentane ss =. 454: „04168 Todo, benzEne re 07991 BONNE es st. „04168 Meésitylene Penn „07682 Benzene esn <0 „04211 Cymene ij nen „08944 Diisoannyl seen 1, LOTO Diphenyl methane.... .11645 Having these values all before us we may compare them in Table 2 and thus see whether the values computed from the molecular weight and the number of valences by the formula: a = N* (m*k X Val/My* do, or do not, agree closely with the values found from the surface tension, from the internal latent heat of vaporization and from the critical data on the basis that a=6.5 PV. The values computed from the gravitation and valences are in column 8 and right alongside of them in column EQUATION AND THE NATURE’ OF COHESION. 59 9 are the values given by van LAAR. A comparison between colomn 3, where a is computed by the formula 6.5 P.V2, with the gravita- tional formula in column 8 shows the remarkable agreement between them. There can be no doubt that if these values of a are correct then the law is sustained that cohesion is a function of the mole- cular weight and the number of valences. In order to make this remarkable agreement at once apparent to the eye | have plotted in Figure 1 the logarithm of the product of the molecular weight by the number of valences on the abscissa ‘against the logarithm of a as given in column 3 of Table 2 as ordinate. I have included also for the sake .of completeness two or three substances in which a is determined solely from the surface tension. Such substances are bromine, diisoamyl, cymene and mesi- tylene; in all other cases except CS, the values of a are those in column 3. The actual values of the logarithms used in the plot are given in table 3. I have used in these computations of log (M X Val) always the usual valence numbers. Carbon is always tetravalent except in CO, hydrogen univalent, chlorine trivalent, fluorine monovalent, sulphur tetravalent in SO, but hexavalent elsewhere, oxygen always divalent, tin tetravalent, and nitrogen monovalent. It will be seen at a glance that with the exception of CO, O,, CO, and V,O the values fall right along a straight line from hydrogen to diisoamyl. There has been no juggling with the valences at all. The valences used have been those ascribed to the elements by chemists. Figure 1 should be perfectly convincing to all that the law I have discovered showing the dependence of cohesion on gra- vitation and the valence electrons is a true law. I have included in this list not only all the normal substances in which the critical data have been accurately determined but even some substances of which the critical data are still somewhat uncertain. TABLE 3.1 (p. 60) Values of Log a and Log (M X Valence) used in plotting figure 1. Log a | (Log MX Val) Val XK M 7 he RS ER CE 11.486 0.6021 NC) NRA RE EME Hz ee 271 7482 2 X 28 CNE RER 12.258 | 2.1072 4 X 32 DORE CREME ON Er 12.267 2 .04922 4 X 28 CDN Ae esd TES 12.465 2.1072 8 X 16 DD pte A ONE TE 12.690 2.2455 4 X 44 OO ees iy ect ee ae 12.640 2.5465 | 8 X 44 60 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ . Bi te SRE er: Ethylstormaten=.-. es: Methyl acetate: s.r: BAUER eter Benzene. 25 24 a Propyl=formaten mm Hihyl acetaten Methyl propionate . .... OC een NI LAN Élexamethylene. ete nsHlexane. AA UNE ve D'USOPFOP EE ER REE Chlor-benzene. . . .1. .... Methyl butyrate.....:. Methyl isobutyrate. . . .. Propybacetates ee ec Ethyl propionate...... UROL RS os teen, Sr re Hebe piAne Ant Gene HOCIADE MINE LPS ee Dinso butyl Eken | Mesitylene ee re Cymener re ENTER Diop Eee re | Log -a 12 12 12: 12 13. 13 13. 13. 13. 13. 13. 13. WS Là. 18 15: 13. 13% lee, IS 13 157 13. 113 serif 884 .889 062 .096 125 208 199 270 320 SI 1 8158 | 330 Poll 316 308 393 419 410 .445 416 408 .415 "LS 478 .509 „590 „074 KON .648 122 Log (M X Val) .4150 2.6232 „6290 „1093 ‚9823 ‚9819 „0849 . 2116 .2116 . 3164 „8625 . 3625 . 3692 .3916 .3916 .3916 oot .4806 ‚5143 ‚5143 165061 „5401 „5401 „5401 ‚5401 „6204 „6434 „1509 CO) „1608 . 8598 . 9452 2 Ce GI CO D UO © © AS C9 Val X M 10 X 26 14 X 30 6 x LO 8 X 64 16 < 60 6 X 159.84 16 E60 22 X 74 22 X 74 28 X 74 32 te 32 X 12 30 X 78 28 X 88 28 X 88 28 X 88 16 X 153.8 36 X 84 38 X 86 88 X 86 32 X 112.45 34 X 102. 34 X 102 34 X 102 34 X 102 16 X 260.8 44 X 100 50 X 114 50 X 114 48 X 120.1 54 X 134.1 62 X 142.18 The agreements between the values computed from the valences and molecular weight with those computed from the critical pres- acy ite æ 1) In GSy I have used for a the mean value of 13.33 X 1012 in place of a as com- puted by the formula: a=6.5 PeVe? since the latter value is plainly erroneous owing to the critical density being wrong. Bry, mesitylene, cymene and diisoamyl have a deter- mined from the surface tension. Oxygen is taken everywdiere as bivalent, hence the exceptional position of some of the oxygen compounds. C/ and Br are everywhere com- puted as trivalent. Cannon and tin are tetravalent, except G in CO, where it is divalent. S is hexavalent except in SO» where it is tetravalent. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 61 sure and volume and in other ways are too numerous to be a matter of chance. It is certainly not a matter of chance that if we compute the value of a of benzene from the gravitational mass of the molecules and the number of valences we arrive at the figure 20.73 X 10” dynes for a gram mol, whereas the various ways of deter- mining this value directly from the surface tension, from the latent Sn Presse ni O857 1214 1571 nqg28 2.285 2642 300 3.357 3714 404 heat and in other ways show the same results, 1. e., 20.40, 20.69, 20.48, 19.17, 20.95 X 10%. Or if we compute the cohesion of a different kind of substance, ethyl ether, from the gravitation and valences we find it to be 19.12 X 10” dynes; whereas from the latent heat, from the surface tension, from the critical data, from the behavior of the gas when heated under constant volume we 62 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ compute closely similar figures, namely, 18.70, 18.64, 19.20, 19.34, 18.87, 19.30, and 18.52. Or if we take an aliphatic compound, one of the best investigated, z-pentane, from the gravitation and valences we compute 20.52 10" dynes, and in these other ways of determining a we have: 20.68, 20.90, 21.05, 20.69, 20.88. This close agreement is not chance. In the case of an ester, a com- pound of still another type, methyl propionate, from the gravitation and valences we compute the value of a of 21.46 10” dynes. And in these other ways of direct determination we have: 21.32, 20.68, 23.27, 22.42, 21,11. We can pass even to a totally dif- ferent type of compound, an inorganic compound having entirely different chemical elements in it, stannic chloride. From the valence and molecular weight we compute a as 30.40 > 10% dynes; and from the direct and indirect measurements we have the values: 29.48, 30.07, 30.69, 30.12, 30.59. Does anyone think that it is chance which brings such an agreement to pass? Van Laar reproa- ches me for haying taken chlorine to be trivalent, but the trivalence of chlorine is better established than any other valence number and this valence alone will agree with the computation in all chlorine compounds of which the critical data are accurately known. The independent investigation of the valence of chlorine by a totally different method by Pascat shows chlorine to be trivalent. The refractivity of chlorine compounds also shows that chlorine is more than univalent. So in choosing three valences for the number for chlorine I have chosen the best substantiated valence number. Even in so complex a substance as diisoamyl with 62 valences in its molecule and a molecular weight of 142 we compute for a the value of 50.20 * 10"; and from the surface tension it is found to be 52.79 X 10". The product of the molecular weight and the number of valences in this substance is 8.804. Now let us turn from this most complex of the substances examined and go straightaway to the lghtest and simplest substance, elemental hydrogen. Its critical temperature is 32° Abs, whereas that of diiso- amyl is computed to be 675°. The product of the molecular weight and the number of valences is 4, as contrasted with 8.804. Now if we calculate a of hydrogen from the valence and molecular weight we have 2.98 & 101 dynes. From the surface tension of liquid hydrogen we compute its cohesion to be as a minimum 2.54 X 1011 dynes and from the critical data by the formula a= 6.5 PV? it is found to be 3.19 x 10™. Chance does not produce results like this. It is true that here and there there are deviations from the expected values amounting to as much as 8 to 9 °/, in the most ON EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 63 extreme cases. But it is significant that excepting the oxygen com- pounds of doubtful valence, these deviations occur in those com- pounds, namely iodobenzene and brombenzene, in „which the critical data are most uncertain. We have the best agreement in benzene, isopentane and pentane, substances of which all the data are most accurately known. It is clear that the law of the dependence of the mass factor of cohesion on the gravitational mass and valence is substantiated. The factor a of van per Waats’ equation may be computed from the molecular weight and number of valences, if these be known, as accurately, or indeed more accurately, than in any other way. Cohesional attraction is thus shown to be gravitational attraction intensified in the immediate vicinity of the molecules by the action of the valence electrons. That cohesion should be of this nature is very probable. It is certain that a has in it the factor N°, W being the number of molecules in the mass of liquid or gas for which a is given. This follows from the fact that @ varies as the square of the volume of the fluid taken and hence as the square of the number of molecules. That the molecular weight is one of the factors in a has been believed by most students, for a advances steadily in homologous compounds as the molecular weight advances. It is the number of valences which is the other factor, the importance of which I have discovered, altho SUurHERTAND, before me, suggested that possibly the valences were of importance; but he could not prove it and he afterwards thought that the gravitational mass played no part in cohesion. In this he was wrong. It seems to me that the facts that I have adduced suffice to prove the truth of the law I have formulated. I trust that the additional evidence which I have thus been able to adduce as to the true value of a may remove all doubts as to the validity of a law which so simply and so naturally correlates such puzzling phe- nomena and which enables us to predict the cohesion of any sub- stance if only we know the molecular weight and the number of valences. Or if we know the cohesion which enables us to deter- mine the number of valences in the molecule, a matter of the greatest importance in the study of the laws of refraction in the study of magnetism and of chemical constitution. It has besides the very great advantage of enabling us to calculate a with at least approximate certainty, so that we can proceed to calculate 4, the other constant which expresses the volume of the molecules, and we may discover how it varies with temperature and pressure. When 64 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS this is known many obscure physical and chemical phenomena will perhaps become as clear as day. On the other hand nearly all of van Laar’s values in column 9 of Table 2 are seen to be hopelessly wrong. Upon these values he has sought to base such far-reaching conclusions as that sometimes atoms contribute to the cohesion and sometimes they do not, as for example carbon in methane and tin in stannic chloride, which are not supposed by van Laar to play any part in the cohesion. This conclusion is thus shown to be entirely unfounded. Sometimes it is true his values of a happen to come somewhere near the real value of a, but usually they are 10—20 °/, low and in some cases, as in hydrogen, they are at the very least 100 °/, too low. There can be no doubt, I think, that the method which van LAAR has used is not a reliable method. Most of the arbitrary values he has assumed for the various elements by the addition of which he hopes to compute the square root of a are, therefore, erroneous. We may now consider very briefly the seeming exceptions. They are, as is usual with exceptions, exceedingly interesting and illumi- nating. Of the 44 substances three, or possibly four, have been found to be, apparently at any rate, marked exceptions to the rule. These substances are O,, CO, N,0 and CO,. We might add to them SO,, since this would be exceptional if the sulphur is hexa- valent, as we have found it to be in other compounds. It is not exceptional, however, if we consider the sulphur here to be tetra- valent, as most chemists believe it to be. In all of these compounds we find fewer valences than we had expected. To make them con- form to the law we have to take in O, two, instead of four valences; in CO, two in place of four; in CO, five in place of eight; and in SO, eight instead of ten, if the sulphur is hexavalent. It will be noticed, further, that these substances are all very simple substances containing only two or three atoms to the molecule. This might raise the suspicion that our methods of calculating a in these simple substances were erroneous and that a should really be larger; but that this suspicion is unwarranted is shown by the fact that the equally, simple substances hydrogen and nitrogen are cor- rectly determined by these same methods, and also by the fact that in SO,, at any rate, the calculation from the surface tension and latent heat shows that the values of 4 ascribed to SO, are correct. There can be no doubt that in CO, the value of à is correctly determined. heir exceptional position is not due, therefore, to any mistake im the value of a. It will be noticed also that at least two of these substances, namely SO, and CO,, are what may be called anit at EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 65 »polar” substances in the way suggested by G. N. Lewis, in dis- tinction from such compounds as methane or the hydrocarbons. It is highly significant that all of these exceptional substances contain oxygen. It is true that in the case of the esters, in which we also have one carbon atom in union with oxygen, these substances do not appear to be exceptional. That is: in the case of the esters we have about the correct value of & if we consider each carbon atom to be tetravalent and the oxygen divalent. But even in these cases if we examine column 3 in which a is determined by the formula a— 6.5 PV we see that in general the values in column 8 are somewhat lower than those of column 8 which have been computed on the basis of the larger number of valences. The difference is not very marked, and the other methods of computing a in the esters bring the average value up to the expected value. I formerly thought that the esters had more valences than they should have and that this was due to the oxygen being in one atom tetravalent. This conclusion was based on the earlier computations of the value of a and it is not borne out by this work if we take the mean value of & as determined in all the methods. Since the mean values of a agree with the expectation on the basis that all the carbons are tetravalent and the oxygen bivalent we cannot consider them exceptional. At the same time I do not feel sure that when we have a more accurate method of determining a from the latent heat of vaporization, it will not be found that there are two valences less in the molecule than is indicated in table 2. With this digres- sion we may now return to O,, CO and CO,. It may be stated in the first place that there is no theoretical objection to these compounds having fewer valences than chemists have usually ascribed to them. There is no other way than this, so far as I know, of accurately determining how many valences there are in their mole- cules. So they may have the number of valences, that is the number of ‘valence electrons, which will make them no longer exceptional. There is no evidence against this assumption. In O, the oxygen may indeed be monovalent; in CO both the carbon and oxygen may be monovalent; there is no evidence that they are not. In fact in ozone, in peroxides and in oxygen we may be dealing with mono- valent oxygen. As I have suggested elsewhere it may be for this very reason that oxygen in these substances, or at least in some of them, has different magnetic properties than oxygen in other compounds. It is well known that elemental oxygen is strongly magnetic, whereds compounds containing oxygen, with the possible exception of CO, are not magnetic but diamagnetic. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (Je Sectie) Dl. XII N°. 4. D5 66 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ There is, however, another consideration which may throw some light on the cause of the possibly exceptional position of these sub- stances, and why they have in their molecules fewer valences than we expected to find there. These valences are probably nothing else than the valence electrons. This to be sure introduces a some- what different idea of valence than that with which I started. At first I believed, or assumed, that the chemical attractions between the atoms were electrostatic in nature. The valences thus became both positive and negative. Accordingly I supposed that the number of negative valence electrons in the molecule would be only one half the number of total valences found by this method. It has, however, since been suggested by Ramsay and G. N. Lewis, and I believe still earlier by Sutherland, that the atomic attractions were electromagnetic and not electrostatic. If this is the case then the valence numbers we have found, or which we are using in our computa- tions, are in reality only the negative valence electrons. When we find 16 valences in a molecule, it means that there are 16 valence electrons in that molecule. This view, it seems to me, has a great deal in ats favor and we may provisionally adopt it. At any rate. it helps us very much in understanding the exceptional position of these few compounds. Perhaps those compounds which are called polar” have in them atoms which have lost some of their negative electrons. CO, and SO, at least would be such compounds and to a less degree perhaps CO might also be called polar. Now it is the essence of an “oxidation, according to the modern view, that there is an exchange of electrons, the substance or atom oxidized losing one or more electrons and the substance oxidizing acquiring them. If we examine the exceptions from this point of view they are of great interest. We find that the oxidizing substance, O,, has in its molecule only two negative electrons, whereas each atom should have two and the molecule is, therefore, entitled to four. It is two negative electrons short, and it would be for this very reason that it has oxidizing powers. In CO and CO, the carbon has been oxidized. That means that the carbon atom has lost some of its usual negative valence electrons. It usually has four such electrons, but in the act of oxidation it has lost some of them and the oxygen has gained them. Thus in CO the carbon atom has been completely stripped of its valence electrons and there are only two in the molecule, namely those attached to the oxygen. Or at any rate there are but two such electrons left. Possibly the oxygen and carbon share them between them. Of course we cannot say just where they are in the molecule. It it possible that the carbon has f EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 67 one and the oxygen one. Perhaps it is for the reason that the oxygen here as in O, has but one negative electron that it unites with the hemoglobin of the blood to form the carbon monoxide hemoglobin, just as oxygen unites to make oxy-hemoglobin, which has so similar a spectrum. In CO, we find by this method an agreement between the values of a computed from the surface tension and in other ways with that computed from the weight and valences, if we assume 5 valences that is 5 electrons in the molecule. In this case as in CO we would assume that one valence electron remained attached to the carbon atom and that each oxygen atom was reduced, that is each had its full complement of two negative valence elec- trons. Carbon dioxide does not unite with hemoglobin in the way oxygen does or as CO does. The oxygen is evidently in a different state; moreover, altho we have here two atoms of oxygen, just as we do in O,, yet this compound is diamagnetic and not at all para- magnetic as is O,. This again would suggest a difference in the state of the oxygen in the two cases. Similarly in SO, we have also too few negative electrons if the sulphur be considered hexa- valent. It is an interesting fact that in all other compounds of sulphur for which I have computed the cohesion, with the single possible exception of carbonyl sulphide, sulphur is found to be hexavalent. This is in entire agreement with the sugges- tion of Lewis that the maximum valence of sulphur is six, and there are six valence electrons. In SO, we find only 8 valence electrons. Evidently when the sulphur was oxidized by the oxy; gen the latter relieved it of 2. valence electrons. It is in this way, perhaps, that polar compounds are produced. Here we would have sulphur with 4 valence electrons, and each of the oxygen atoms with 2. We may represent these compounds graphically in the following way arranging the electrons somewhat in the manner suggested by Luwis (see Figure 2, next page). T have put the electrons representing the valences beneath the atoms, instead of between them as Lewis does, to suggest that the atoms may place themselves in such a way that the valence electrons are rotating in parallel orbits and do not necessarily lie between the atoms. A further study of other so-called polar compounds will be of great interest and will’ perhaps show the truth or erroneous cha- racter of these suggestions, but this will have to be deferred until a shall have been determined for other such substances. It will however be remarked that there is no evidence of any such oxida- D 5* perhaps have ben een Figure 2. ‘Representing ‘the molecular structure of wt On. CO, CO», SO» and NoO with the number of valence clectrons called for by the cohesion. ee CQ eu 0» CO (2 scan (2 valences) (5 sles) SO NOE 96066666 : OSS 505 NO (8 valences) (5 valences) IV. THE RELATION OF a TO THE OTHER CONSTANT The rather simple and interesting relationship appears to if we compare the values of a computed from the gravitation valences with’ the value 7, — 4,, that Log a= Æ'((7, — That is: the ratio of the space between the molecules to the within the molecules at the critical temperature is proportional t the logarithm of a. For Le constant K ih have taken the : v b, ÉLYdrogen eenn HA 80 Nitrogen: se meen Ja RO Benzene... ¢ 2. es ae 7:12. 300% Carbon tetra-chloride... V,/2.00 Methyl butyrate...... Vino ON Octane... y, .. eee V [2.02 Drscamyl nt Een V‚J2.03 The other substances of the table will come in between the extreme values. It will be seen that, if this formula is correct, 4, is, indeed, for nearly all substances quite close to the value of /”,/2. The for- mula is, however, purely empirical. It seems a not improbable relationship. and is certainly very nearly true, I think, if it is not exactly true. _ There is one point in this relationship, however, which*deserves r L 1 EQUATION AND THE NATURE OF COHESION, 69 a brief consideration, since it is diametrically opposed to common assumptions. It will be noticed that in hydrogen and nitrogen ó,, by my figures for a and by the foregoing rule, makes a larger fraction of VY. than in such substances as octane. In one case we have 7,/1.86 and in the other //2.02. Now all are agreed, I think, that this fraction will approach /,/3 more closely the more incompressible and unchangeable the molecule is. And it will deviate from this in the opposite direction the more compressible the mole- cule. If the molecules were incompressible and constant in volume then it should be, if a is constant, that 4, — V,/3. Now it has been generally assumed that the simpler molecules, such as nitrogen and hydrogen, will be less compressible and more constant in volume than the more complex molecules such as octane. For example van Laar, while assuming that in most substances b, is about 7,/2.1 as in benzene, believes that in hydrogen 4, = V,,/2.5. I believe the view is erroneous that hydrogen and oxygen have less compressible molecules than octane. I believe that just the reverse of this is true and that these simple gases will deviate more, rather than less than octane from the condition which should apply to rigid molecules. It must be remembered that in these gases the cohesion is very low, so that the pressure on the molecules is greatly less than on a molecule of octane. For example at the critical temperature of hydrogen the external pressure being, say, 13 atmos- pheres, the total internal and external pressure will be 7.5 times this, or 97.5 atmospheres. In octane the external pressure is 25 atmospheres and the total internal and external is 187.5 atmospheres. Moreover the pressure within the molecule due to the atomic cohe- sion must be very much greater in octane than in hydrogen. It is with molecules just as it is with liquids, the greater the internal pressures the less compressible are they. ‘The atoms must hence be closer together in octane than in hydrogen and the molecule of hydrogen will be actually more compressible, not less compressible than octane. Consequently octane will behave more like a gas with incompressible molecules than will hydrogen. Possibly the monatomic gases will be exceptional to the rule that the lower the cohesion the more compressible the molecules. One. would anticipate that they would be exceptional unless the atoms are more compressible than we think. The following calculation shows, I think, that the molecule of hydrogen is in reality far more compressible than that of octane, and not less compressible. This is shown by a comparison of the volume occupied by hy- 70 THE TRUE VALUE OF « OF VAN DER WAALS’ drogen atoms when they are in the state of molecular hydrogen and when they are in the condition of hydrogen in a molecule of octane. It may be shown that in the latter case they occupy less volume and are hence less compressible than in the former. The density of elemental hydrogen at absolute zero may be calculated from the den- sity of .0763 at 14.83° Abs. by the formula d = d, ( (7, — 7)/7,)'® | to be 0.094. From this the volume of a gram mol, or V,, will be 21.29 c.c. In octane there are 18 hydrogen atoms or 9 gram mols in a gram mol of octane. The density of octane at absolute zero 1s computed to be 0.9119, computed in the same manner as _the density of hydrogen. From this the volume of a gram mol of | octane at absolute zero is 125.0 c.c. If the hydrogen had the same volume in octane as it has in elemental hydrogen it would occupy the space of 9 X 21.29 c.c. or 191.6 c.c. But the whole volume occupied by the 8 carbon atoms and the 18 of hydrogen is only 125.0 c.c. or in other words only 0.65 of the space which would be occupied by the hydrogen alone if the atoms were not greatly compressed. Since the hydrogen atoms in octane are so com- pressed that they occupy only half the space that they do in hydrogen itself at absolute zero, it follows that they must be under tremendous intramolecular pressure in the case of octane, a pressure enormously greater than in the case of elemental hydrogen. As they are already greatly compressed in octane it follows that a molecule of octane must be far less compressible than one of hydrogen, not more compressible. The value for a gives us, therefore, a value of 6. for hydrogen which indicates that the molecule of hydrogen deviates more from that of a gas with incompressible molecules than does octane, and this appears to me to be in entire consonance with what is shown to be the case, namely that the atoms of hydrogen | do occupy less space in the molecule of octane than in hydrogen and must therefore be more rigid in the latter case. A similar relationship will be found, 1 do not doubt, for oxygen and nitrogen gas, the atoms in these gases also occupying more space than they do in molecules having far greater. cohesions. It seems to me not impossible that the large amount of heat liberated by hydrogen and oxygen when they unite to form water represents the heat liberated when this compression of the atoms occurs. Their volume is reduced and heat is liberated just as happens when a gas is condensed. How great this compression is in the case of water may be seen from the fact that a gram mol of water occupies at the tempe- rature of 4° C. the space of only 18 c.c. and at absolute zero its volume is presumably less than this. There is a gram mol of hydro- sn ae, MET Sr Re Me a \ EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. dt ‘ gen in a gram mol of water and yet hydrogen alone at absolute zero would occupy the space of 21.3 c.c. One half a gram mol of O, at absolute zero occupies the space of 10.12 cc. So the total volume of a gram mol of water if the atoms occupied the same space as they do in the elements at absolute zero should be 31.4 e.c. It is actually only a little more than half this amount. One can imagine the enormous cohesional pressure which must exist within the molecule to condense the atoms in this fashion. It is no wonder that the formation of water from the elements liberates such an amount of heat, for this heat assuredly expresses the amount of this compression or reduction of volume. V. THE CONSTANCY OF a. It has been a matter of dispute whether the constant a was con- stant, or whether it was a function of the temperature. VAN DER Waars has strongly supported the idea that it is constant and independent of temperature, except in so far as temperature may influence association, or what he terms, “quasi-association”. On the other hand Crausius and others have considered a to be a function of temperature and have modified the characteristic equation on this basis. Van Laar has recently expressed the opinion that a is not constant but varies with the temperature. His computations of the additivity of a are based on a, that is a at the critical tempera- ture. The foregoing pages contain, L believe, the indubitable proof of the correctness of van per Waats’ view that a is constant. This proof is furnished by the fact that as long as association and dissociation do not occur C in Eötvös’ surface tension law is a constant. I have found the true value of this constant, namely, ad] 3 MNT, in which d, is the density at absolute zero. This is, besides, the law of Tomas Young. This law of Youne’s states that the surface tension energy is one third the total cohesive energy of a layer of particles as deep as the range of molecular cohesive attraction. It holds only at absolute zero at a point where the eohesion in the vapor can be entirely neglected. The complete law for all temperatures is that of Eütvôs. Tomas Youne’s law has to be multiplied by the fraction (7, — 7)/7, to make it a complete expression holding at all temperatures. This converts it to the law of Eütvôs. The fact that we can compute a from the surface tension in non-associating substances at all temperatures and that we find it to be the same value, proves that @ is constant in non-associa- ting substances. We get the same value of a in each of these sub- 72 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ stances whether we compute « from the critical data, at a tempe- rature of from 200° to 300° C., or from the surface tension determinations made at temperatures even as low as zero or in some cases 20°—30° below zero. The constancy of a is thus established, in my opinion. If asso- ciation or dissociation occur with a rise of temperature, then indeed a will not be constant, since all the factors which are included in a change if association takes place, namely, the number of the molecules, or MV, the molecular weight and the number of valences. VI. THE RELATION OF COHESION TO MAGNETISM. . What is the significance of the fact that the cohesion depends upon the valence electrons and that without valence there will be no cohesion ? Can the significance be anything else than that the cohesion is electro- magnetic and that in consequence cohesion is closely related to magne- tism? Or rather that perhaps magnetism is only cohesion made apparent in certain substances at more than molecular distances? I can see no other interpretation of these facts than this, and I have in an earlier paper pointed out some of the reasons which have seemed to me to point clearly in this direction. Like Sutherland I hesitated for some time whether the significance is that cohesion is electro-static or electro-magnetic, but the peculiar and exceptional position of oxygen, carbon monoxide and dioxide and one or two other sub- stances, seems to me to indicate with entire definiteness that what I have called valence is the number of negative electrons. If this is the case there can hardly be a question here of electro-static attraction, since the cohesion is due in all cases to the negative electrons. hese will only attract electro-magnetically and not electro-statically. I have come to the opinion, therefore, that the cohesional attraction is indeed magnetic in nature and that the: cohesive mass is electro-magnetic just as is the gravitational mass. We see indeed the remarkable resemblance between magnetism and cohesion. Each extends ordinarily but a single molecular diameter for the reason that the orientation of the molecules is haphazard. They neutralize each other’s magnetic fields or cohesive fields. So we can discover magnetism and cohesion in most substances only in the immediate neighborhood of the molecules. It is only in a few substances that the molecules or atoms are of such a nature that they do not neutralize each other’s magnetic fields, but they reinforce them and in these substances the attraction may be easily perceived at distances more than molecular. EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 73 Cohesive mass and gravitational mass are thus of the same nature; each is magnetic in nature; but the cohesive mass is far greater than the gravitational, for the gravitational, which is the effect of the atomic nucleus, is reinforced by the action of the valence elec- trons. ‘These relatively great cohesional masses of the molecules cannot be perceived at more than molecular distances, perhaps because the effect added by the valences is absorbed either by the ether or by the surrounding molecules. Possibly we shall have in the future a table of cohesional weights of the elements comparable with the gravitational weights. These cohesional weights will give us perhaps a periodic table of the elements which will be no less, interesting than the usual periodic table. Van pur Waats’ equation is the scales of molecular dimensions by which we may weigh the molecules and determine their real or cohesive mass and not simply that part of the mass which is able to penetrate matter and space. — I have sought to find in the laws of attraction of magnets some- thing which would be similar to the law of attraction of molecules. The only relationship of this kind which I have been able thus far to find is the law correlating the weight which a horse-shoe magnet will support and the mass of the magnet. The relationship exists in this case that W, the weight supported, is proportional to the two-thirds power of the mass of the magnet, or W = aM"? From this it would appear, since they act also proportionaly to the two- thirds power of their masses, that the molecules behave like little magnets, as has been suggested by Sutherland. Here we have the two-thirds power of the mass just as in the molecules we have the two-thirds power of the molecular weight. The valence in the different horse-shoe magnets of iron will, I suppose, remain constant. VII. THE RELATION OF COHESION TO CHEMICAL AFFINITY. he cohesion of molecules is thus shown to be electro-magnetic and magnetism is probably cohesion. If we now go within the molecule, do these same forces exist? Is what we call chemical affinity simply the cohesion of the atoms, and has it in it the saine factors as those of molecular cohesion? Is chemical affinity electro-magnetic also, and not electrostatic as it has so long been supposed to be? Is the suggestion of Sutherland correct that what we call cohesion is simply the chemical attraction extending a short distance from the molecule? Or if we turn it about, is the cohe- 74 THE TRUE VALUE OF « OF VAN DER WAALS’ sion which holds the atoms together in the molecules simply the intense cohesional attraction, the magnetism, which shows itself also between molecules? This suggestion has indeed been made in the last paper of Sir Wicrram Ramsay, published in the Royal Society. In that paper he suggests that atoms are bound together to make molecules not by the electro-static attraction between positive and negative atoms, but by the electromagnetic attractions due to the movements of the negative valence electrons, and he makes a model showing the position that light spheres take up with regard to each other when each has a current running about it in a „position corresponding to the path of an electron revolving about an atom. Assuredly this cohesional field of which we have been speaking is due to the action of all the atoms with their electrons of which the molecule is composed. If it is intense on the imme- diate outside of the molecule it would seem that it must be vastly greater in the interior of the molecule. Will it not be sufficient to hold the atoms in a close ‘union in the molecule? It seems to me that it must. Why then should we, until we are driven to it, assume that the atoms are held in the molecule by any other force than that of their cohesion which is of a magnetic nature? But why, if this is the case, should the molecules break apart at one point rather than another? The manner in which the cohesional attraction varies with the distance we do not know, but certainly it is at a rate greater than the inverse square of the distance. So the cohesion in the interior of a molecule must be much greater than between the molecules. The discussion of this question will have to be left to the future. I wish only to raise the question here as one: of the interesting results of the discovery of the nature of cohesion, or rather the discovery of the factors influencing cohesion, namely the valence electrons in the molecule. It is certain, however, since the attrae- tion of atoms to make molecules is due to the valences, and since, as wé have shown, the cohesional attraction is also due, in part at least, to the valences, and without the valences there is neither chemical union nor cohesion, that certainly cohesion and chemical affinity must have much in common, if indeed they are not iden- tical. If this is true, valence and atomic weight must be of fun- damental importance in chemical affinity, and indeed evidences are not lacking that this is the case. It surely is no mere coin- cidence that water, which has so great a heat of formation, and in which what we call chemical affinity is so great, has also such an enormous cohesion, so that its critical temperature is over 300° EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 75 and its critical pressure 200 atmospheres. I do not wish to consider this possibility further in this paper, for it will require a far more extended consideration than can be given it here, but in connection with the ideas which follow it opens to our eyes a vista of orderly beauty and simple symmetry of things as they are. VIll. THE COHESION OF ELECTRICITY. In closing this paper I should like to raise one other question, and that is the cohesion of electricity itself. I have never even seen it alluded to, but surelv it must exist. If the atoms are built of electrons, then the negative electron is the simplest particle of matter. The electron has mass, the amount being dependent on the velocity of its motion. A single electron would not presumably have any cohesion, for it has no valence electrons revolving about it. But suppose we have two electrons revolving about each other, then the condition, it appears to me, will be changed and these two elec- trons will have cohesion. For each electron becomes the valence electron of the other and we shall then have cohesion as well as gravitation between them. How large will this cohesion be and will it be large enough to overcome their electrostatic repulsions when the two charges are close together? We can compute the amount of this cohesion if we assume that the same relations exist as in the cohesion of molecules. It may be computed from the relation a= N?(m*k X Val/M)". For such a pair of electrons V becomes unity and drops out; m, the mass, may be taken in relatively slow moving electrons as Wear that of a hydrogen atom, so that the atomic weight becomes 1/,,,. The valence, Vad, is unity so that the factor Val/M becomes very large. The electrical charge is enor- mous compared with the mass. This factor is larger than for any other substance. hen if the attraction is inversely as the fourth power of the distance two electrons at the distance of 1 & 107. cms., which is about the radius of the nucleus of an atom, will attract each other with a cohesive force of 22.48 dynes. In this calcu- lation the mass of the electron, wm, is 9.704 X 107% grams, and k is 6.66 X 107%. The valence is unity. If the attraction varies inversely as a higher power than the fourth, which is quite possible, then the attraction will. be larger. The electrostatic repulsion, taking the electron charge as 4.77 X 107" electrostatic units, if the same law holds within such minute distances as at greater distances, would be 22.75 dynes. In other words the attraction and repul- sion would be equal. But if the charges were closer together, or 76 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS’ if the cohesion varied inversely as a higher power of the distance than the fourth, or if the mass was greater than this, owing to the faster movement of the electrons, then the cohesion would be greater and the electrons would cohere. If the electron is moving so fast that its mass is 4/,5)) that of a hydrogen atom then the cohesion at 1 x 10% cms. distance, disregarding any centrifugal effect of their revolution, would be 32.02 dynes; the repulsion would be only 22.75 dynes. They would cohere. The interesting conclusion appears, if our reasoning and assumptions are correct, that if two electrons come sufficiently close together, they will cohere. It may be in this way that the nuclei of the atoms are built up and the valence electrons captured and held by the atoms; and we do not have to assume any positive electricity in the nucleus to explain how the negative electrons are held together. Thus we have passed from the cohesion of molecules to the cohesion of atoms to make molecules, and to the cohesion of elec- trons to make atoms. What then is the relation to that cohesion of masses which extends throughout space, the attraction of gravitation? IX. RELATION OF GRAVITATION AND COHESION. The numerical relation of cohesion and gravitation is given in the formula a = N?(m?k X VallMŸ". This formula shows that what is called cohesion is but the gravitational attraction intensi- fied in the immediate neighborhood of the molecules by the action of the valence electrons. I do not yet see the significance of the exponent two-thirds. This would seem to imply the importance of the density of the lines of force, which would suggest that these lines of force are repelling each other. Leaving this point for the future we can look at the matter the other way around and in- stead of considering cohesion as intensified gravitation we can with . equal right consider gravitation to be simply the cohesional attrac- tion from which one element has been absorbed, namely the effect produced by the valence electrons. For some reason this element cannot reach farther than the next layer of molecules. Whether this is because it is absorbed by the ether as van per Waars suggested, or whether it is because it is absorbed by the first molecule it encounters, | am not sure, but from the relation of cohesion to magnetism we might assume perhaps as more probable the latter possibility. For some reason then it seems that the effect produced on the gravitational attraction by the valence electrons cannot pene- trate other molecules and so it is shut off by them. The idea occurs ea ae, , EQUATION AND THE NATURE OF COHESION. ee to one that possibly the molecules of magnetic substances are trans- parent to this cohesional attraction and propagated to a distance the cohesion becomes recognizable to us as magnetism. Gravitation thus becomes simply the cohesional attraction from which the effect of the valence electrons has been absorbed. It is like light seen through a colored glass; not all the light can pass. The molecules might be likened to suns shining with an invisible and intense light which we call cohesion. But while luminous itself each molecule cuts off the light from the molecule behind it letting through only a portion. That which comes through would correspond perhaps to polarized light, or light from which one element had been absorbed, and is what we call gravitation. EGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE VABHÄNGIG VOM LOGISCHEN SATZ VOM __AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN VON \ \ De. L. E. J. BROUWER Erster Tur: ALLGEMEINE MENGENLEHRE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 5. (4 RTS | à AMSTERDAM JOHANNES MÜLLER |; | Maart 1918. LEON fi ] 4 4 1€ 4 AS eee Te, ee ndi vien HOT aa Ea UE aa i fee of ie al tal ÉTAT af re nn ‘ Pd Ee ard Non MP ANT ‘ ry’ on den 7 ee à DER RMENGENLENRE Dr. L. E. J. BROUWER PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT AMSTERDAM, Erster Ter: ALLGEMEINE MENGENLEHRE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 5. AN AMSTERDAM à 5 JOHANNES MÜLLER ae 1918. | à A if Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster ‘Teil: ALLGEMEINE MENGENLEHRE. e , Le Pie Kardinalzahlen. Der Mengenlehre liegt eine unbegrenzte Folge von Zeichen zu Grunde, welche bestimmt wird durch ein erstes Zeichen und das Gesetz, das aus jedem dieser Zeichen das nächstfolgende herleitet. Unter den mannigfachen hierzu brauchbaren Gesetzen erscheint das- jenige am geeignetesten, welches die Folge € der Ziffernkomplexe Meee 4, 5... erzeugt. Eine Menge ist ein Gesefz, auf Grund dessen, wenn immer wieder ein willkürlicher Ziffernkomplex der Folge € gewählt wird, jede dieser Wahlen entweder ein bestimmtes Zeichen, oder nichts erzeugt, oder aber die Hemmung des Prozesses und die definitive Vernichtung seines Resultates herbeiführt, wobei für jedes x nach jeder ungehemmten Folge von x — 1 Wahlen wenigstens ein Ziffern- komplex angegeben werden kann, der, wenn er als z-ter Ziffern- komplex gewählt wird, mocht die Hemmung des Prozesses herbei- führt. Jede in dieser Weise von der Menge erzeugte Zeichenfolge (welche also im allgemeinen nicht fertig darstellbar ist) heisst ein Element der Menge. Die gemeinsame Entstehungsart der Elemente einer Menge MZ werden wir ebenfalls kurz als die Menge M bezeichnen. Wenn verschiedene Wahlfolgen immer zu verschiedenen Zeichen- folgen führen, so heisst die Menge indwidvalisiert. Die Bestimmungsgesetze endlicher Zeichengruppen sowie unbe- grenzter Zeichenfolgen von der Art der Folge ¢, bilden besondere Fälle von Mengen, deren Elemente von den einzelnen Zeichen gebildet werden. Die Menge der Ziffernkomplexe von ¢ werden wir mit 4 bezeichnen. Mengen und Elemente von Mengen werden mathematische Enti- läten genannt. | Unter einer Species erster Ordnung verstehen wir eme Eigen- Bei + schaft, welche nur eine 7 Patate Entität besitzen kann, in wele he ü: Falle sie ein Æement der Species erster Ordnung genannt wird. [ Mengen bilden besondere Fille von Species erster Ordnung. — Unter einer Species zweiter Ordnung verstehen wir eine | schaft, welche nur eine mathematische Entität oder Species erst nung besitzen kann, in welchem Falle sie ein Æement der zweiter Ordnung genannt wird. | In analoger Weise. definieren wir Species n-ter Ordi ein belichiges Element von A repriisentiert. Zwei Species M und A heissen kongruent, wenn weder jedem Elemente von M verschiedenes Element von M_ von jedem Elemente von M verschiedenes Element von MV e» kann, anders ausgedrückt: wenn jede fiir die eine Species liche Eigenschaft auch für die andere Species unmôglich ist sind M und J, wenn sie beide einer dritten Species F4 sind, auch einander kongruent. Wenn überdies jedes net von M ebenfalls Element von heissen M und N Aalbidentisch. Wenn schliesslich auch jedes von WV ebenfalls Element von M ist, so heissen JZ und M iden Die Species, welche diejenigen Demets umfasst, welche. zur Species M wie zur Species V gehören, heisst der Durchse / von M und J, und wird Ann, mit DM, N). Der Du schnitt zweier Mengen braucht keine Menge zu sein. — Tak Die Species, welche diejenigen Blemene umfasst , welche nt- weder zur Species J/ oder zur Species V gehören, heisst die Ver- einiqung von M und JN, und wird be mit S(4Z, N). Die Vereinigung zweier Mengen ist wiederum eine Menge, die Ver- + einigung ZWeler idividialnaerier Mengen braucht he keine indi- Zwei Species MZ und A heissen e/ementefremd, wenn pels i 4 1 3 | vidualisierte Menge zu sein. Element existieren kann, das sowohl zu MW wie zu MV gehôrt. nm Die Species 47 heisst eine Tei/species der Species N, wennjedes — Element von M ebenfalls Element von JV ist. Lässt sich überdies — ein Element von JV angeben, das zicht Element von MZ bs. SO heisst MZ eine echte Teilspecies von AN. Sind 47” und 4/7” elementefremd, und S(M', 7") und Akon gruent, so sagen wir, dass MV sich aus MZ’ und M” zusammensetet, und nennen JM’ und MM” Komplementürspecies voneinander in NM. Sind 47" und JZ" elementefremd, und SM’, M”) und N iden- tisch, so sagen wir, dass V in MZ’ und JZ’ zerlegt ist, und nennen : M" und M" konjugierte Zerlegungsspecies von N, und sowohl 4Æ ‘ wie JZ” eine ablrennbare Teilspecies von NW. | 1 SA sd > LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. \9 In analoger Weise wie den Durchschnitt und die Vereinigung von zwei Species, definiert man den Durchschnitt und die Ver- elnigung einer willkürlichen Species von Species. In analoger Weise wie zwei Komplementärspecies in A resp. zwei Zerlegungsspecies von JV, definiert man eine Species von Komplementärspecies in JV resp. eine Species von konjugierten Zer- legungsspecies von JV. Wenn. zwischen zwei Species MZ und WV eine eineindeutige Beziehung hergestellt werden kann, d.h. ein Gesetz, welches jedem Elemente « von #7 ein Element (2 von MN zuordnet in solcher Weise, dass dabei jedes Element von M emem und nur einem bestimmten Elemente von MZ zugeordnet wird, so schreiben wir M > N, und sagen, dass A7 un MN dieselbe Müchtigkeit oder Kar- dinalzahl besitzen, oder gleiehmtchtig sind. Die Menge der Ziffern- komplexe 2, 3, 4,.... ist z. B. gleichmächtig mit der Menge der Ziffernkomplexe 1, 2, 3,.... Wenn jedem Hlemente « von M ein verschiedenes Element (2 von À zugeordnet ist in solcher Weise, dass die Species der (2 mit N identisch ist, so heissen 47 und WV #albgleichmächtig. Kine indi- vidualisierte Menge ist z. B. halbgleichmächtig mit der entsprechen- den Species ungehemmter Wahlfolgen. Eine Species Z heisst endlich, wenn sie mit der Menge der Ziffernkomplexe eines gewissen Anfangssegmentes der Folge gleich- mächtig ist. Kime Species U heisst wrendlich, wenn jedes Element von 4 einem verschiedenen Elemente w von U zugeordnet werden kann. Im Falle dass die Elemente w eine mit 4 gleichmächtige abtrennbare Teilspecies von U bilden, heisst U reduzierbar unendhch. Es existiert kein Grund zu behaupten, dass jede Menge oder Species entweder endlich oder unendlich sei. Dagegen steht fest, dass eine Species nicht gleichzeitig endlich und unendlich sein kann, und zwar auf Grund des folgenden Satzes : Haupteigenschaft der endlichen Species, Mir jede Herstellungsweise der eineindeutigen Beziehung zwischen einer endlichen Species E und der Menge der Ziffernkompleae eines Anfangssegmentes von €, kurz: fiir gede Zihlungsweise von B, wird dasselbe An fangssegment von © benutzt. Beweis. Seien zwei Zählungen von / gegeben, von denen die ,erste’ das Anfangssegment 1, 2, 3,... 7 von € benutzt, während die andere (als „neue Zählung’’ zu bezeichnen), nicht weniger als 1, 2, 3,... 7 benutzt. Die Zählung, in welche die erste Zählung durch Verwechselung der Elemente, denen bei der ersten und bei 6 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM der neuen Zählung die Ziffer 1 zugeordnet ist, übergeht, werden wir als „zweite Zählung” bezeichnen. Alsdann benutzen die erste und die zweite Zählung dasselbe Anfangssegment von , während bei der zweiten und bei der neuen Zählung die Ziffer 1 demselben Elementé von Z zugeordnet ist. Die Zählung, im ane die zweite Zihlung durch Verwechselung der Elemente, denen bei der zweiten und bet der neuen Zählung die Ziffer 2 zugeordnet ist, übergeht, werden wir als ,dritte Zihlung’’ bezeichnen. Alsdann benutzen die erste und die dritte Zählung dasselbe Anfangssegment von ¢, während bei der dritten und bei der neuen Zählung die Ziffern 1 und 2 je demselben Elemente von # zugeordnet sind. In dieser Weise fortfahrend, gelangen wir schliesslich zu einer „letzten Zählung”, welche einerseits dasselbe Anfangssegment von €, wie die erste Zählung, also das Segment 1, 2, 3,... 7 benutzt, andererseits die Ziffernkomplexe 1, 2,...7 je demselben Elemente von Z zuordnet, wie die neue, Zählung. Hieraus folgern wir hinsichtlich der neuen Zählung, dass, nachdem wir die Ziffernkomplexe 1, 2,... 7 den- jenigen Elementen von M zugeordnet haben, denen sie bei der neuen Zählung entsprechen, die Menge / erschôpft ist, d.h. dass die neue Zühlung dasselbe Anfangssegment von € benutzt wie die erste Zühlung, w. z. b. w. , Auf Grund der Haupteigenschaft dürfen wir die Kardinalzahl einer endlichen Species mit dem letzten Ziffernkomplex der Folge €, der bei der Zählung der Menge benutzt wird, bezeichnen. Die Kardinalzahl einer Species ohne Element heisst 4/7 und wird mit 0 bezeichnet. Aus der Haupteigenschaft folgt unmittelbar, dass exe echte Weil- species einer endlichen Species MW nicht mit WW selbst gleichmächtiq sein kann (die entgegengesetzte Annahme führt nämlich sofort auf einen Widerspruch). Insbesondere kaun eine endliche Species nicht gleichzeitig unendlich sein. Sei U eine reduzierbar unendliche Species; U, die abtrennbare, mit A gleichmächtige Teilspecies; e,, e&,°e,,.... die Elemente von U,; U, die zu U, in U konjugierte Zerlegungsspecies. Indem wir e, mit &, & mit e,, usw., und jedes Element von U, mit sich selbst korrespondieren lassen, erzeugen wir eine emeindeutige Beziehung zwischen U und einer echten Teilspecies von U. Mithin gilt der Satz: Jede reduzierbar unendliche Species U enthilt mit U gleich miichtige echte Teilspecres. Das einfachste Beispiel einer unendlichen Menge bildet die Menge A selbst, deren Kardinalzahl wir mit a bezeichnen werden. Species, LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 7 welche diese Kardinalzahl besitzen, heissen abzählbar unendlich, sodass folgende Aussage gilt: Jede unendliche Species enthüll eine mit einer abzihlbar unendlichen halbidentische Teilspecies. Einfache Beispiele von abzählbar unendlichen Species lassen sich in mannigfacher Weise. angeben. Die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen (d.h. genau genommen, die Menge der diese Zahlen bezeichnenden Zeichenkomplexe) erscheint als abzählbar unendlich, wenn wir diese Zahlen nach steigenden absoluten Werten ordnen.-Die Species der rationalen Zahlen + erscheint als abzählbar unendliche Menge, wenn wir jede dieser Zahlen als Wurzel einer bestimmten, Gleichung pa + 49 —0 (in welcher » und g môglichst kleine ganze Zahlen sind und positiv ist) betrachten, und diese _Gleichungen nach der Summe der absoluten Werte von py und q ordnen. Um zu beweisen, dass auch die Species der algebraischen Zahlen eine abzählbar unendliche Menge ist, verstehen wir unter dem Grade einer algebraischen Zahl 6 den Minimalwert der Grade der algebraischen Gleichungen mit ganzen Koeffizienten, welche 4 als Wurzel besitzen, und unter den Koeffizienten einer algebraischen Zahl § vom Grade n, die Koeftizienten derjenigen § als Wurzel besitzenden algebraischen Gleichung / (a) =¢, 2" He, a+... +, ‘= 0, in welcher c, positiv ist und alle Koeffizienten möglichst kleine ganzzahlige Werte besitzen. Diese Koeffizienten von §@ sind ein- deutig bestimmt; wäre nämlich § Wurzel von zwei verschiedenen Gleichungen (a) =a" + à, a +... .+ a, = 0 und d (+) =a" + 6, a '+...+ B, — 0 mit rationalen Koeffizienten, so wäre sie auch Wurzel der Gleichung © (@) — U (x) = 0, deren Grad kleiner wäre als ». Die Species der algebraischen Zahlen erscheint nunmehr als abzählbar unendliche Menge, wenn wir diese Zahlen nach stei- genden Werten der Summe von ihrem Grade und den absoluten Beträgen ihrer Koeffizienten ordnen. Eine Species heisst abzühlbar, wenn ein Gesetz existiert, das jedem ihrer Elemente einen verschiedenen Ziffernkomplex von £ zuordnet. Sie heisst insbesondere zäükh/bar, wenn das Gesetz erlaubt, von jedem Ziffernkomplex von ¢ zu entscheiden, entweder welchem Elemente der betreffenden Species es zugeordnet ist, oder dass es keinem Elemente der betreffenden Species zugeordnet ist. Eine Species s heisst awszählbar, wenn jedem Elemente « einer gewissen Teil- species 4, von À ein Element (2 von s zugeordnet ist in solcher Weise, dass die Species der (2 mit s halbidentisch ist. Ist überdies A, mit À identisch, so heisst s durchzihlbar. Ist schliesslich auch die Species der (2 mit s identisch, so heisst s aufzdhlbar. . Bereich ein Gebiet. Lässt sich für zwei willkürliche Quaden Um ein godes hcicl einer sübibaren Species zu ze schieken wir folgende Definitionen voraus: Wi wählen in der Ebene ein none Koordinaten Bekpunkte sa Koordinaten hed Jedes der Qu: x, zerlegen wir in vier kongruente homothetische Teilquadra und Here in dieser Weise fortfahrend, Quadrate x3, x4, Unter einem Quadrat x verstehen wir ein Quadrat x, zn kürlichem v. Unter einem Bereich verstehen wir eine solche § dass sich zu jedem Quadrat x’ des Bereichs eine endliche M von ebenfalls zum Bereiche gehörigen Quadraten x angeben 1 welche x’ vollständig einschliessen. Lässt sich überdies von Quadrate x angeben, entweder dass es von einem bestim Anfangssegmente des Bereichs überdeckt wird, oder dass keinem Anfangssegmefite des Bereichs überdeckt wird, so hei Bereichs entscheiden, ob sie sich durch einen vom Bereiche deckten Streckenzug verbinden lassen, so heisst der Bereich / ziert. Lassen zwei it pe ( Nor deate x des Bereichs sich einen vom Bereiche überdeckten Streckenzug verbinden, so der Bereich einfach. Wir denken uns nun einen differenzierten Bereich 2, und asser aus der entsprechenden Quadratspecies diejenigen Quadrate x fort, — welche sich mit einem vorangehenden (d.h, einem früheren Pr En komplex von € zugeordneten) Quadrate x von (2 durch einen. ee B überdeckten Streckenzug verbinden lassen. Die übrigbleibenden Quadrate bilden eine zählbare Species x’, x”, x”,..., und jedes ie pas, Quadrat x) bildet zusammen mit denjenigen Quadraten x von f, a welche sich durch einen von 2 überdeckten Streckenzug mit x0) ver- ré 1 binden lassen, einen in 2 enthaltenen einfachen Bereich. Wir haben __ 1 mithin den Satz, dass jeder differenzierte Bereich in eine cühlhare "Le Species von einfachen Bereichen zerlegt ist. as Die Species der Paare von Ziffernkomplewen von € ist eine abzählbar unendliche Menge; wir brauchen, ‘um dies einzusehen, diese Paare nur nach der Summe der zugehörigen ganzen Zahlen zu ordnen. Hieraus folgt, dass eine Species welche in eine abzählbar unend- | EP TN LES liche (bzw. abzählbare, zählbare, auszählbare, durchzählbare, auf- 1 zählbare) Species von abzählbar unendlichen (bzw. abzählbaren, zählbaren, auszählbaren, durchziihlbaren, aufzählbaren) Mengen aM zerlegt ist, ebenfalls eine- abzählbar unendliche (baw. abzählbare, | zählbare, auszählbare, durchzählbare, aufzählbare) Menge ist, a poise Gy Gy es. die reelle-Zahl ae . oi 4 + i etl aces L. 4 kad FPS rt ey eas ND a c po NE \ ÿ | x i 4 $ z : 5 à L 4 BN Mf granny Wee abyss TABLES Say je Ee a HA % VOM Feu DRITTEN. x je Menge C nicht dé — RER ist, so besitzt sie Ween | ie sich leicht zeigen lässt, analog wie die reduzierbar unendlichen "ACER EE lengen, mit C gleadhaiiechtie echte Teilmengen. Lassen wir der pee von positiven ganzen Zahlen a, a, 43.... die reelle Zahl al Idar qui À pu Fr À go tata week Ress. a entsprechen, so -erscheint C als Erzeugungsmittel der reellen Zahlen - gwischen 0 und 1, inklusive 1, aber exklusive 0. Ordnen wir jeder trie I | 1 | ge DE Gs Cae NA LE Ch zu, so erscheint C als Erzeugungsmittel der reellen Zahlen zwischen 0 und 1, exklusive 0 und 1. Hieraus folgt unmittelbar, dass C sich schliesslich auch als Erzeugungsmittel aller recllen (positiven und negativen) Zahlen, inklusive 0, deuten lässt. Lassen wir der i 7 Fundamentalreihe Br Mp Gi... die „reelle Zahl entsprechen, so erscheint die Menge C als Erzeugungsmittel der Irrationalzahlen zwischen 0 und 1. Die Species C, der Gruppen von x unbeschränkt fortgesetzten Folgen von zu € gehörigen Ziffernkomplexen ist eine Menge der- selben Kardinalzahl wie die Menge C. Um dies einzusehen, braucht man nur dem Elemente a, a, 43 a,... von C das Element . . di Opr Cont: . > ayn+2 done: PLIS oneens el di dia ete © [aie 10 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM zuzuordnen. In dieser Weise bestimmt man gleichzeitig eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten eines z-dimensionalen Kubus und den Punkten eines geraden Liniensegmentes (aus wel- cher unmittelbar eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten des »-dimensionalen Cartesischen Raumes und den Punkten der geraden Linie folgt). Diese Beziehung ist aber zicht stetig: wenn man z. B. (bei konstanten a,, ... Gis Anas Antas +++) Anya abwech- selnd gleich 1 und 2 wahlt und 4,,, unbeschränkt wachsen lässt, so bekommt man auf dem Liniensegmente eine gegen einen einzigen Punkt konvergierende Folge von Punkten, im -dimensionalen Kubus aber eine wicht gegen einen einzigen Punkt konvergierende Folge von Punkten. Auch die Species C, der unbeschränkt fortgesetzten Folgen von unbeschränkt fortgesetzten Folgen von zu € gehörigen Ziffernkom- plexen ist eine Menge der Kardinalzahl c, wie man sofort erkennt, wenn man dem Elemente a, a 43 4,... von U das Element von C0 a, Ug Uy aq sel ele Pia sie aie + che nn Ke A von €, entsprechen lässt. Zwei Species 47 und A (und ebenso die betreffenden Kardinal- zahlen m und x) heissen ägwivalent, wenn einerseits jedem Element von M ein verschiedenes Element von NV, andererseits jedem Element von WV ein verschiedenes Element von 47 zugeordnet ist, eine Rigen- schaft, welche wir auch durch die Formel m = » ausdrücken. Wenn einerseits jedem Element von 47 ein verschiedenes Element von M zugeordnet ist, andererseits aber kein Gesetz existieren kann, das jedem Elemente von MN ein verschiedenes Element von MZ zuordnet, so schreiben wir m < x oder # >m, und sagen, dass JV (resp. ») grosser ist als M (resp. mw) und dass MZ (resp. wm) kleiner ist als M (resp. 7). Wenn wir nur wissen, dass jedem Elemente von M ein ver- schiedenes Element von MN zugeordnet ist, so schreiben wir auch mn, oder x >», obgleich in diesem Falle nicht notwendig eine der Relationen m << und m — x zu gelten braucht. Folgende Eigenschaften sind evident: 1. Die Relationen m—n, m>n und mn und n>p folgt m >p. Wenn man nämlich jedem Elemente von 47 ein verschiedenes Element von ? zuordnen könnte, so könnte man weiter auf Grund von zp auch jedem Elemente von M ein verschiedenes Element von V zuordnen. 4. Aus men und n >p folgt m>p. Wenn man nämlich jedem Elemente von J/ ein verschiedenes Element von P zuordnen könnte, so könnte man jedem Elemente von JV ein verschiedenes Element von 47, also auch ein verschiedenes Element von P zuordnen. Eine Species 17 (bzw. ihre Kardinalzahl m) heisst einer Species N (baw. ihrer Kardinalzahl x) #bergeordnet und wir schreiben mn, wenn jedem Elemente « einer gewissen Teilspecies 47, von M je ein Element £ von MN zugeordnet ist in solcher Weise dass die Species N' der 2 mit MN halbidentisch ist. Ist überdies WV’ mit N identisch, so heisst die Species JZ (bzw. ihre Kardinalzahl m) der Species WV (bzw. ihrer Kardinalzahl x) superponiert, und schrei- ben wir m >. Ist schliesslich auch J/, mit M identisch, so sagen wir dass WV (bzw. ») von MZ (baw. m) überdeckt ist, und schrei- ben m > x. Wenn die Species M des Species WV übergeordnet ist, die Species N aber unmôglich der Species M/ übergeordnet werden kann, so heisst JZ (baw. w) von grösserem Umfang als N (baw. »), und schreiben wir m> 2. Wenn sowohl m+n, wie nm, so heissen 47 und A (baw. m und x) von gleichem Umfang, und schreiben wir m = x. | Folgende Eigenschaften sind leicht zu beweisen : 1. Die Relationen man, m>n und’ n>m schliessen ein- ander aus. 2. Aus mn undn>p folgt mp. Sei nämlich W' die Species der Elementen von MZ zugeordneten Elernente von MV, und P° resp. P" die Species der Elementen von M resp. W’ zugeordneten Elemente von P. Wenn nun ein von jedem Elemente von ?” verschiedenes Element von P’ existierte, so wäre es einem Elemente von WV zugeordnet, das eine für die Elemente von WV’ unmögliche Eigen- schaft besässe, was der Kongruenz von MN und JV’ widerspricht. Es kann mithin kein von jedem Elemente von P” verschiedenes Element von P’ existieren, d.h. P” und P’ sind kongruent. Weil aber P und P’ ebenfalls kongruent sind, so sind schliesslich auch P und P” kongruent, also halbidentisch, w. z. b. w. 8. Aus m—n und np folgt mp. 4. Aus mn und np folgt mp. Wenn nämlich p > » wäre, so wäre wegen „> p auch am, was mit m > unverträglich ist. kes fae N aber unmôglich der Species A7 superponiert werden kann so wäre wegen mn Gen p>n, was mit 2 >p en é Wenn die Species M der Species V superponiert ist, die Specie heisst M chow, m) von grosserer ro als N (baw. rs lich von V og nv werden kann, so heisst u (bzw. nod grosserem Gewicht als N (baw. ») und schreiben wir m> a. Wenn sowohl # > u, wie x > m, so heissen JZ und WV von gl n Zn, so heissen J/ und MN von ER Gewicht, und sce wir m Zu. Folgende Higenschaften leuchten unmittelbar ein : La 1. Die Relationen mn, men und nm ebenso wie Relationen mn, m>n und n>m schliessen einander aus. 2. Aus mn und n>p folgt mp. Aus m>n und n folgt m =p. 8. Aus mn und n~p folgt mp. Aus mn und n= folgt mp ; 4. dus mn und np folgt mp. Aus m>n und n> folgt m> p. 5. Aus m>n und asp folgt mp. Aus m>n und n> folgt m> p. Um ein Beispiel aquivalenter Species herzustellen, definieren wir auf der geraden Linie Intervalle x in analoger Were wie oben i der Ebene Quadrate x, verstehen unter einem Intervalle a, die Ver- — einigung von zwei aneinander grenzenden Intervallen x,71, und aa unter einer stetigen Funktion einer zwischen O und 1 schwankenden | fl Veränderlichen ein Gesetz, welches jedem zwischen 0 und ages shit enthaltenen, mit x, zu bezeichnenden Intervalle x ein mit A, ars bezeichnendes Intervall A zuordnet in solcher Weise, dass anein- ander grenzenden x, teilweise übereinander greifende À, und imein- ander enthaltenen x, ebenfalls ineinander enthaltene à, entsprechen, | und dass die Breite der A,,mit der Breite der entsprechenden a gleichmässig gegen Null konvergiert. Weil sowohl die x, wie die A eine abzählbar unendliche Species bilden, so lässt sich jeder stetigen Funktion der genannten Art ein verschiedenes Element der Menge C zuordnen. Sei andererseits a, 4, 4, ... ein Element d von { % 1 hl L PTE Te hd dst “mf oy i. LL | LADE Nij ees 8 EPL RE - ANG MEN T° ho ax a Sats Aten 4 | | LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 13 C, verstehen wir unter 7, das zwischen a, = 55 + Matin + 7 by eh Ben Dee Ju Has “ee Es ds Ie sneed und a, ie HD enthaltene Intervall, und ordnen wir für gegebenes y allen Intervallen (x,), das Intervall 4, als A, zu, so erreichen wir, dass jedem Elemente d von C eine verschiedene stetige Funktion der genannten Art entspricht, sodass die Species S der stetigen Funktionen einer zwischen O und 1 schwankenden Veriinderlichen der Menge C fiquivalent ist. Ausserdem sind die Species S und C, wie man leicht einsieht, von gleichem Umfang und von gleicher Ausdehnung. Die Menge C ist grösser als die Menge A. Kin Gesetz, das jedem Elemente g von C ein Element 4 von 4 zuorfnet, muss nämlich das Element 4 vollständig bestimmt haben nach dem Bekanntwerden eines gewissen Anfangssegmentes ¢ der Folge von Ziffernkomplexen von 9. Dann aber wird jedem Elemente von C, welches & als Anfangssegment besitzt, dasselbe Element 4 von 4 zugeordnet. Es ist mithin unmôglich, jedem Elemente von C ein verschiedenes Element von 4 zuzuordnen. Weil man andererseits in mannigfacher Weise jedem Elemente von A ein verschiedenes Element von C zuordnen kann, so ist hiermit der aufgestellte Satz bewiesen. 2. Die Ordinalzahlen. Eine Species heisst geordnet, wenn zwischen je zwei als verschieden erkannten Elementen & und 6 der Species eine solche als orduende Relation ‚zu bezeichnende asymmetrische Relation im einen oder im anderen Sinne definiert ist, welche, wenn wir sie im einen Sinne durch „a < 6” oder „a vor 6” oder „a links von 6’ oder „b >a’ oder ,b nach a’ oder „b rechts von a’ und im anderen Sinne durch „a > 8” oder „a nach B” oder „a rechts von b” oder „6 a,,, für jedes so heisst - eine fallende Fundamentalreihe von M. '¥ Zwei steigende Fundamentalreihen mit den Elementen a,, ly, baw. 4,, 4,... von M heissen ewsammengehörig, wenn zu jed y ein 4, >a, und zu jedem 4, ein a, > 4, angegeben we kann. In analoger Weise definiert man zusammengehorige falle Fundamentalreihen. | Seien a,, a, ... die Elemente einer steigenden Fundamentalr £ von M, und a, ein solches Element von JZ, dass a, 6 angegeben werd kann, so heisst a, Grenzelement von 7. In analoger Weise definier man Grenzelemente elen Fundamentalreihen von M. Grens auch ee von uy , Die geordnete Species 47 heisst überall dicht zwischen thren Ble dief menten a und b (a < b), wenn zwischen zwei willkürliehen, als: von- B einander verschieden und weder vor a, noch nach 4 liegend erkannten — Elementen y und g von M andere Elemente von M liegen. FM "2 Die geordnete Species 7 heisst #herall dicht im weiteren Sinne oder kurz wberall dicht, wenn zwischen zwei willkürlichen, von. % einander vergchiedenen Elementen p und g von MZ andere Elemente von Mf liegen, und wberall dicht im engeren Sinne, wenn sich überdies ein Element von JZ angeben lässt und sowohl rechts wie links von einem willkürlichen Elemente von 47 andere Elemente von M liegen. Die geordnete Species MZ heisst xiryends dicht zwischen thren Elementen a und b (a < 6), wen zwei willkürliche, als voneinander verschieden und weder vor & noch nach 4 liegend erkannte Elemente p und g von M (p< g) die Eigenschaft besitzen, dass es zwei als. voneinander verschieden und weder vor p noch nach g legend erkannte Klemente > und s von MZ gibt, welche ein #reies Jntervall bilden d.h. zwischen denen keine anderen Elemente von 47 liegen. ce: oh” is je gec ee pees M vs Babi, dicht, wenn zwei will- che voneinauder peeves Elemente p und Pe von ses ( ? ee 9) le ne p noch nach g liesend erkannte A HAE r und s von M ‚ welche ein freies Interval bilden. Ribic geordnete BF aes M heisst perfekt, wenn sie ant in sich 4 it wie abgeschlossen ist. een nämlich a,.. a, b, bas SAM ap dla, ces (Oy Te) zwei willkürliche Elemente von C, so liegt zwischen ihnen das Element LE AC (ca + 1)..., sodass die Menge wberal! dicht ist. Versuchen wir weiter eine ‘hatdumehbikele von geschlossenen Intervallen 7,, ,... zu bestimmen, von denen 2,,, für jedes y in 7, enthalten ist, und, welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. Seien a,.. br ie und: ap.) er ie. (Origa ea die, Bhdelemênte von 1, so besitzen die Endelemente eines willkürlichen 7, dasselbe Anfangssegment a,..a,, während 5,4, für die weiteren 7, nicht zunehmen und ¢,,,, für die weiteren 7, nicht abnehmen kann. Solange nun 6,41 und ¢,,,, dieselben voneinander verschiedenen Werte behalten, gehört das Element a,.. 4,(c,,4 + 1) 111... zum entsprechenden ,; damit man mithin sicher sei, dass dieses Element nicht zu allen 1, gehört, muss sich ein gewisses 7, angeben lassen, für welches entweder 4,,, abgenommen oder c¢,,, zugenommen hat. Weil die- selbe Schlussfolgerung sich beliebig wiederholen lässt, muss sich ein weiteres 7, angeben lassen, für welches 6,4, == 6,44 = 4,,, geworden ist, dessen Endelemente also dieselben ersten 2 +- | Ziffernkomplexe Betlem | Belen yids Ned, nO, cer BRE AO iin Cuba ae Wiis yi 41 > Cn4my1) diese Endelemente, so können wir in derselben Weise, wie wir aus der Folge a,..a, die Folge a4,..4,,, her- geleitet haben, aus a,.. 4,4, zu einer weiteren Folge a, .. anp gelangen, und, in dieser Weise fortfahrend, eine unbegrenzt fort- ‘setzbare Folge a, 4... konstruieren. Das von dieser Folge dar- gestellte Element von C gehört nun aber zu allen ,, womit wir m einem Widerspruch gelangt sind, und die betrachtete geordnete Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) Dl. XII. E 2 x jedem He dj. -a, von “Edie reelle Zahl et A algeschlossen Geant Dino, -Schliesatich a a ; a, a) dy... Grenzelement der steigenden Fundamentalreihe AIA 2405 ay (ag + 1) 111. a8 Gy Gy (ag + 1) Id Se die Menge sich auch als a sich dicht emu hat | Ein Belspiel einer wirgends dichten, perfeklen Menge w det von! der. Vereinigung der Menge C und der Menge endlichen Folgen von zu € gehörigen Ziffernkomplexen, - wenn + bne ge 3a 1 gare Tee get und jedem Elemente a, a az... von C die reelle Zahl Dn? eN zuordnen, und sodann die Menge © (C, B) ordnen auf Gr n natürlichen Rangordnung der RAR de reellen Zahle geschlossenen Intervall mit den Endelementen a, . .@, Or41- My +G,) ONE Bj ear Orga. Ont, > Cnr) gehören nämlich mente are, Beak les: a dans = Vy zwischen ¢ keine weiteren Elemente legen , sodass die Menge nirgends q ist. Versuchen wir weiter eine l’undamentalreihe von geschlo Intervallen 7,,7,,... zu bestimmen, von denen 2,44 für je y U i, enthalten ist, und welche kein gemeinschaftliches Element besitze Seien ay. An 0,441. - (baw. a, ..4,) und a, 4, Cnyye> Ons Se die Endelemente von 7,, so Fun e die Endelemente eines w kürlichen ‘7, dasselbe Anfangssegment a, . Oy, während bi die weiteren 7, nicht zunehmen oder verschwinden (wohl. entstel und c,,, für die weiteren 7, nicht abnehmen kann. Solange 6,4, nicht existiert, gehört das Element a; ..4, zum entsprechende Ei i,, und solange 4,,, und c,,, dieselben one a e verschiedener Werte behalten, gehôrt das Element a,..a, (c,,4 + 1) 111 dieser beiden Elemente nicht zu allen 7, gehört, muss sich ein | gewisses 7, angeben lassen, für welches 4,,, existiert, während, falls — nek immer bec aus entweder 4,,, abgenommen, oder’ legend 8 zugenommen hat. Weil dieselbe SR ee. sich beliebig wieder- — RER holen lässt, muss man ein weiteres 2, ethan konnen, fiir welches — Fe ers: bran = = Cr = 4,4 geworden ist, dessen Endelemente also die Form a, 5 Um En Oe (bzw. a, a dra) und a, . -lytm C nml: oe be- 2 ne sitzen. Indem wir mit diesem Intervall in derselben Weise ver- fahren wie mit 2, und diesen Prozess unbeschränkt fortsetzen, Bree erzeugen wir eine unbeschränkt fortsetzbare Folge a, ag 43.., Ed PER ANR ow Ne eo teal fey OF M AUSG CHLOSSE NEN DRITTEN. tiek AS PE j zi a hi gehariges Element datafile aia wie er zu einem Widersprach gelangt sind, und die à geordnete Menge als ee erkannt haben. ich ist das Element dj My Az. Grenzelement der steigen- undamentalreihe Oy 3 Gj Ags A, Ay Azie, und das Element : 4, Grenzelement der fallenden Fundamentalreihe Ay anal 2; a,.. a,3;..., womit die Menge sich als in sich dicht estellt hat. | oi Wir werden zeigen, dass jede abzählbar unend-. che, im engeren Sinne überall dichte geordnete Species die Ordr- i alzahl n besilet. Bei M die gegebene diet Species, m,, mg, M3,... ihre nente, Æ die auf Grund der natürlichen Rangordnung geordnete nge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1, Kes Mae dar Ma ihre Elemente, wobei die Indizes auf Grund einer (z.B. nach S. 7 ze + hergestellten) eineindeutigen Beziehung zwischen Æ und der Folge ‘ee bestimmt sind. Dem Elemente m, ordnen wiv das Element 7, ee su; sodann dem Elemente 7, dasjenige mit m’, zu bezeichnende AN Element m, mit möglichst kleinem Index v, das zu m, dieselbe os, ~ ordnende Relation besitzt, wie 7, zu 7,; sodann dem Elemente ie ke om, (welches mit m, oder mit », identisch ist, je nachdem wir mp Es _ schon benutzt haben oder nb dasjenige mit 7’ zu bezeichnende Element 7, mit môglichst kleinem Index v, das zu r, und 7, die- _selben ordnenden nnen besitzt, wie m’; zu m, und m’,; sodann _ dem Elemente 7’, (dh. dem noch nicht benutzten Elemente 7, mit Be __möglichst kleinem Index ») dasjenige mit #/, zu bezeichnende Ele- 7 ment m, mit môglichst kleinem Index », ail ZU My 5 m', und mw’, die- _ selben meadi Relationen besitzt, wie 7’, zu 7,, 7, und 73. Indem Py wir in dieser Weise fortfahren, bestimmen wir zwischen M/ und ZX En _ eme solèhe eineindeutige Beziehung, welche die beiden Species als zn _ ähnlich erkennen lässt. oa Eine geordnete Species heisst differenziert geordnet, wenn beziig- lich zweier willkiirlicher Elemente @:und 6 entweder Sicherheit erlangt werden kann, dass zwischen ihnen kein weiteres Element liegt, oder ein zwischen a und 4 liegendes Element angegeben werden kann. Wir werden zeigen, das jede abzühlbar unendliche, differenziert geordnete Species M .sich als abtrennbare Teilspecies emer geordneten Species der Ordinalzahl y auffassen lisst. Die obige Konstruktion einer eineindeutigen Beziehung zwischen M und Z lässt sich nämlich auf diesen Fall erweitern, wenn wir vl E 2* Oe 20 nur derd astaat dass in M ; zu einem oneonsbonen gon die erforderten ordnenden Relatondt besitzendes Element m ar ein solches Element der Species JZ hinzufügen. Die Menge 7 der endlichen Ternalbrüche zwischen | 0 un ‘ (exklusive 0 und 1) der Form | POMC ETN oa cs kr ge a Je RN in ihrer natürlichen Rangordnung besitzt, wie man unm einsieht, die Ordinalzahl 2. y. Man hat nun den Satz abzühlbar unendliche geordnete Species S, von der jedes Elen entweder rechtes Hndelement eines freien Intervalls ist, wi a spitere Elemente existieren und zwischen a und einem will | spüteren Blemente andere Llemente legen, oder linkes End au eines freien Intervalls ist, während zu a frühere Elemente ew und zwischen a und einem willkürlichen früheren Elemente Elemente legen, besitzt die Ordinalzahl 2. y. Man kann nämlich nach der obigen Methode zwischen der Sp der freien Intervalle von 7' und de Species der freien Inte von S eine eineindeutige Beziehung herstellen, welche die Intervallspecies als ähnlich erkennen lässt. Die Ordinalzahl der Menge C, geordnet auf Grund der n wes ©. lichen Rangordnung der entsprechenden reellen Zahlen zw 0 und 1 (diese also inklusive | aber exklusive 0), wird mi nnd die Ordinalzahl 1 +-$, mit $& bezeichnet. Es besteht der jede geordnete Species P, welche gn: solche abzählbar un liche, im engeren Sinne überall dichte Teilspecies M enthält, dass À zwischen je zwei Llementen von P Hlemente von M liege, dass die Species der vor einem willkürlichen Elemente p von P liegenden Ele- — mente von M eine abtrennbare Teilspecies von M ist, welche entweder — elementlos ist, oder wenigstens ein bestimmbares Element besitzt, wd aut dass zu jeder der Ordnungseigenschaft genügenden Fundamentatreihe 0 von Relationen ,,nach” oder „nicht nach” zu den Wlementen von M. | ein diese Relationen erfüllendes Element von P konstruiert werden à : 1 kann, besitzt die Ordinalzahl 3. FA Die Species A7 lässt sich nämlich nach dem obigen Verne auf die der natürlichen Rangordnung entsprechend geórdian nand ie D der endlichen Dualbrüche zwischen 0 und 1 ähnlich abbilden. Wenn wir nun jedem Elemente y der Menge © (#,C), wo Cim obiger Weise geordnet ist und Z nur ein einziges, allen Elementen von C vorangehendes Element besitzt, desole Element « von P zuordnen, welches zu den Elementen von 47 dièselben Relationen Fr A is de nain oen EN DRETTEN 5 oder Saige nach” tats wid y zu den ere. __Blementen von D, so erzeugen wir eine eineindeutige Beziehung om vischen SB, Can. P, welche diese beiden Species als ahnlich fa darstellt. + ' | er ae long S werden wir en die Menge der Ter- dd jedes s, entweder die Ziffer 0 oder die Ziffer 2 gewählt den darf, und die Ordinalzahl der auf Grund der natürlichen ngordnung geordneten Menge S werden wir mit & bezeichnen. 5 gilt der Satz: jede nirgends dichte geordnete Species P, deren cies I der freien Intervalle abzählbar unendhch und im engeren P und ein willkirliches Intervall à von I mit dem linken Pndele- nent i, und dem rechten Bndelement i, sich entscheiden lüsst, ent- a eder dass p vor à, d.h. nicht nach ù, oder dass p nach 1, d.h. en nicht vor tg liegt, und zu jeder der Ordnungseigenschaft genügenden } _Fundamentatreihe von ordnenden Relationen zu den Intervallen von TI ein diese Relationen erfüllendes Element von P konstruiert werden kann, besitzt die Ordinalzahl &. A ¥ Die Species Q der Endelemente der freien Intervalle lässt sich _ nämhch auf die obige geordnete Menge 7° von endlichen Ternal- a brüchen äbnlich abbilden. Wenn wir nun jedem Elemente y von _ # dasjenige Element « von P zuordnen, welches zu den Intervallen yon J dieselben ordnenden Relationen besitzt, wie y zu den ent- sprechenden freien Intervallen von 7, so erzeugen wir eine ein- . eindeutige Begiehung zwischen S und P, welche diese beiden Species als ähnlich darstellt. * Als Beispiel einer Species P der letztgenannten Art können wir '. wählen die Menge G der Fundamentalreihen 2, 2, 23... Ny Ny NZ. von solchen positiven na Zahlen, von denen die erste nicht © grôsser als #,, die zweite nicht grösser ‘als z,, die dritte nicht grösser als #3, usw. ist, wenn wir diese Fundamentalreihen auf B: Grund der natürlichen Rangordnung der entsprechenden reellen _ Zahlen 8 1 io (2x, te & 4) a TNO (23 DES Ti | ordnen. Alsdann entspricht jedes Paar von Endelementen eines Intervalles von / einem aus den Zahlen 7 Rs el) ae tal aats me? Pose a (22, —1)(2n9—1) oies Re + € ed gebildeten Zahlenpaar, wo 2, nicht grôsser als 2,,..., 2, if grösser als 2,:4, 2, aber nicht grösser als 2,—1 ist. Aus der à da chen Beziehung zwischen dieser Menge P und der Menge , gern Wir beiliufig, dass die Mengen G,,, », ‘ el: 2 ng. ve mächtig sind. SEA a Pere 07 wohlgeordneten Ordinalzahlen. Die wohlgeordneten Species sind geordnete Species, wele Grund folgender Annahmen definiert sind : : 1. Eine Species ohne Element oder mit einem einzigen ist eine wohlgeordnete Species, und wird insbesondere eine genaunt. ‘i 2. Aus bekannten wohlgeordneten Species saan se geordnete Species hergeleitet durch die beiden erzeugenden tionen, welche in der Addition von zwei bzw. von einer Funde | | alreihe von bekannten wohlgeordneten Species bestehen. 1) _ hs nt Species, ya bei der Herstellun arts Dre von 7 Diejenigen eo Uit welche bei der letzten erzeugenden Operation von # eine. gespielt haben, heissen konstruktive Unterspecies erster Ordnung und werden durch einen Index » voneinander unterschieden, also mi F, und Æ, baw. mit Æ,, Fo, Fa. _. bezeichnet. Die konstruktiven _ Uierspenies erster -Ordnung einer F, heissen /onstruktive Unter — ee zweiter Ordnung von F, und werden mit #, und Fy bzw. 1) Jede wohlgeordnete Species lässt sich ebenfalls mittels der beiden erzeugenden Ope rationen zweiter Art herstellen, welche zu einer bekannten wohlgeordneten Species ein einziges Element bzw. eine Fundamentalreihe von bekannten wohlgeordneten Species addieren. Wenn nämlich die Konstruktion sowohl von £, wie von & sich auf die beiden erzeugenden Operationen zweiter Art zurückführen lässt, so lässt auch die Addition von £ zu E, d.h. die Konstruktion von & + £9, sich ‘auf die beiden erzeugenden Operationen zweiter Art zurückführen. Und wenn die Konstruktion jedes & (v = 1, 2, 3,..,) sich auf die beiden erzeugenden Operationen zweiter Art zurückführen lässt, so lässt auch die oo «2 Addition von © & zu &, d. h. die Konstruktion von © &,, sich auf die beiden erzeu- y=2 y=1 genden Operationen zweiter Art zurückführen. à Vi we Bis pe m2 nd 2 Be. . ae py binn boteichnet Jode Vie ne i Me mm d z, ees ‘tt ebenfalls für £,° Ma Es Et, ne wenn sie jedes & bewiesen ist, ebenfalls für £, gilt. ~ alsdann ist Has Eon = SA 1 zn un Pre aes + Fi Eu 45 Ge Jatt Ha tie Vn? + Fu. Yn3) Ak ects cr nas pot alsdann ist ‘ Sat = (n) = eni) pe Eion = E Pvt tE (Fn OEE SN Ya h en gant) 1) B + z Es. AO ee n= kl ds ; à RE Um eine wohlgeordnete Species Æ# als Summe von einer 5 lichen Zahl oder einer Fundamentalreihe von wohlgeordneten S aes welche heine konstruktiven Unterspecies von F sind, species ¢ diet Ordnung : von F in eine on oder abzählbar unendliche Summe von Teilspecies ,7, zerlegt, deren jede entweder eine konstruktive Unterspecies erster‘ Ordnung van a ist, oder durch Assoziation von solchen entsteht; die erste konstruktive Unterspecies — erster Ordnung von ¢, welche zu „7,4 2 gehört, werde als y Schnitt- Je species von‘ bezeichnet; die auf Grund der Rangordnung in BS a geordnete Species von allen in # vorhandenen Schnittspecies muss — Fe Maer Glen: gewiihlt sein, oder eine solche Fundamentalreihe on dass vor einer ao À Emi PANNE von ee der ¢ anf diejenigen either Unterspecies von #. ragen , welche die ¢ als Unterspeties enthalten, und in dieser eise fortfahrend, schliesslich eine Zerlegung von F in eine Summe von FC), welche keine konstruktiven Unterspecies von Æ sind, und Unterspecies von F genannt werden, erlangen. Indem wir denselben Prozess auf die #“ anwenden und in dieser Weise beliebig fortfahren, gelangen wir zu mannigfachen auf Grund der sb beiden erzeugenden Operationen möglichen neuen Hrzeugungsarten “ 4 = if, } ke “fs Ki “ gee on F. ‚À a Wem F, F’ und F” wohlgeordnete Species sind, und F— F'+ FP", en ne F' ein En oder ein Abschnitt gon Li ys ein | en ein Element besitzender Rest nt 4 ein echter _ _Absehnitt von F; der zugehörige Rest ein echter Rest. Aus der Definition der wohlgeordneten Species folgt, dass die _ Summe einer endlichen Zahl oder einer Fundamentalreihe von wohl- _ geordneten Ordinalzahlen wieder eine wohlgeordnete Ordinalzahl ist. Weil, wie man leicht einsieht, das Produkt von zwei elemente- fremden wohlgeordneten Species A, und /, wieder eine wohlgeord- D 1 9 nete Species Æ. FH, ist (aus Fy wird nämlich eine mit #.F, ähnliche Species erhalten, indem man die Elemente von /, durch mit Æ ähnliche Species ersetzt, sodass mit der Erzeugung von F, eme Erzeugung von F,./, parallel läuft), so haben wir weiter, dass das Produkt einer endlichen Zahl von wohlgeordneten Ordi- nalzahlen ,, R,..P, wieder eine wohlgeordnete Ordinalzahl Bi -Bo...R, ist. Weil mit einer neuen Erzeugungsart eines will- kürlichen (3, eine neue Erzeugungsart von (2. (2,...@, parallel läuft, so liefern verschiedene Erzeugungsarten der (2, gleiche Ordi- nalzahlen (3.2... B,,. Sei æ eine kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl, @ eine will- . kürliche wohlgeordnete Ordinalzahl. Alsdann wird die Potenz af, in welcher « das Argument, B der Zæponent heisst, auf Grund der folgenden Festsetzungen definiert : wenn ie B de a so. ist "A wenn, D= 8, auf Grand dr zn zweiten eraougenden Say ’ La ae pe. = a + ah. ita = te, wetten, A | Aus diesen Bennen folat, dass af wiederum ¢ sierte wohlgeordnete Ordinalzah! EEL Es sei == Bu. Vint Hs ae. ee \ auf Grund der ersten re Operation, te ; Pant = Poet ten =, und es sei die ae / ” oa abn vj = a Va: Id. u? Vs dite SA Alsdann CAR [/4 Bi Fa Par: CP | + (B Val on de Bus : 2) = 0 und wir RER ‘ [4 1/4 nn = Pigs Vad an. ve = Pi Ve nl. a Vas It, 3 = Rr vd, (a? Meme akon vin?) = af ge hy Es sei . IE, CR Ve à B: lid vzt auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, und reen 72 k B, Vm? == Bye Vn? +- B We eV yp? und es sei die Formel ay. igo ce, | bewiesen. Alsdann ist pt Lo Ti CE Bu. » + Pi vp) + (8 Vs YmD zij > Bae: vi y=p+ UR Sn Vin le Fe Yin? 1% A Ee tok 4 Sy RAR z By, 5 in? ln 3 m? Æ A Ym? . gr Go z Py, + Vy Parme) (a: rab, af Vin. Pa Vas Ving, oe des vorstshenden canon den Satz, pas für BE EL £", =). ae", auch wenn (B und B keine konstruktiven Unterzahlen 52% auf ve ee zweiten erzeugenden Operation, und ; Bes re ce R=) fe 5 5 Br, EE E ie vint al (pe) à Se oe fa | +5 ln. ‘ Inst Sn B. Wis) Se . — Alsdann ist auf Grund des eben bewiesenen Satzes gleich u e Vn, i A und auf Grund der Definition des Potenzbegriffes gleich "it tem oes AC V4 Fees Es sei ese re / RR Ba in = B. VA à EME auf Grund der ersten erzeugenden Operation, weiter ds By a È j ye RN 4 à , n) 0 _ FRE B. nt Ee Vis Yl? und D GAREN È je Vin? zl und es sei die. Formel bewiesen. Alsdann ist CRE = > a tot + (Br vt + Ps 2) Te = n=l ù ge (he) 7 Z LE Yn? k=1 | Fe | und wir haben | à rn) oo N = Py vd FO Ze d n= nt abn tm = PE Inl. af. Im = LE FAO) ® (n) ve Pa. A 1 By, Vin? (auf Grund der Definition des Potenzbegriffes) Indem wir nun anfangen mit der Herstellung der letslen ides struktiven Unterzahl hüchster Ordnung von & mitted der zweiten erzeugenden Operation, und sodann mittels der ersten erzeugenden _ pe ti den Satz, dass ra p= po, oP = af zi , n=1 pet g. nue ey ur +e" Mat’) +...., auch wenn die keine kon- tiven Oniegaghlen von F sind. a zu laieien wohlgeordneten Ordinalzahlen fii ey Weil ver- dene Erzeugungsarten der Faktoren eines Produktes gleiche rdinalzahlen jat pis Produkt liefern, so führt auch die Konstruk- don von ef auf Grund von verschiedenen RARES von & ZU pu wohlgeordneten Ordinalzahlen. niels der induktiven Methode beweisen wir noch den Satz : Cd ee af. ty: ae)” ae ar und CE wt af = bewiesen. Alsdann ist k a? = autre ewe) We i tee (PY. (UP — COUR = (af). | 3 Es sei weiter y — 2, auf Grund der zweiten erzeugenden y=1 À _ Operation, und es seien die Formeln det aia mithin auch die Formeln , | 3 En BE yy e (aP)y=" — a v=l bewiesen. Alsdann ist 7 oo Ee, af we on A Nd ie PAR hak?) Ze gr + Pro, A(a°T3) zt Es = (of La). AD) +(e), A He : Ey, > (at) = (ay. PET - Sätze : net. Insbesondere gilt diese Eigenschaft, wenn jedes A0) ein Z _jedem ements von Funter Erhaltung der ordnenden Relatione | Mittels der induktiven Methode beweisen wir eet at Ei is Bin Geselz, welehes i einer ne dneten Spies i oder eine in Fvor 70 eue konstruktive Unterspecies se #) pe bestimmt sicher eine endliche Zahl n und eine zugehörige hons tive Unterspecies F©, welcher es, die Hemmung des Prozesses 2 2 von F ist, und -hieraus folgern wir unmittelbar die Unmôgli verschiedenes Element eines echten Abschnittes 7 von F zuzuordn 2. Jede wohlgeordnete Species ist zählbar. Mithin ist die Speci derjenigen Ziffernkomplexe, welche als Indizeskomplex eines al konstruktive Unterspecies aufgefassten Hlementes auftreten, eine. sodass ew jeder wohlgeordneten Species eine zählbare veran von endlichen Liffernkomplexen gehört, welche die HAE be dass jedes Gesetz, welches in thr einen Liffernkomplew z' best und jedem schon bestimmten Ziffernkomplex 2) entweder die Hem des. Prozesses, oder einen vor 2) liegenden Ziffernkomplex 2+) zuord: sicher eine *endliche Zahl n und einen zugehörigen Ziffernkomp 2”, dem die Hemmung des Prozesses zugeor det ist, bestimmt. — Wen die wohlgeordnete Species #” einem echten Abschnitt ¢ wohlgeordneten Species /'” ähnlich ist, so schreiben wir 7” = as 9 oder PF" > F’, und sagen, dass PF’ grösser ist als F’, und dass ae hae F' kleiner ist als F”. Schreiben wir noch F” = 7", wenn F' mots | F" ähnlich sind, und F’< PF’ oder F" > F", wenn Æ einem Abschnitte von PF’ ähnlich ist, so gelangen wir, indem wir di Folgerung des obigen Satzes | beriicksichtigen, sofort zu dn fol- ses Eigenschaften: ae A 3 . Die Relationen F’ << FE" und F' > F' schliessen einander aus. 4 Aus F< F" und F' PF + G4 aus. 6. Die Relationen FF" und GG” schhessen zusammen die Relation F + G> FY + G" aus. Wenn jedem Elemente der wohlgeordneten Species F” ein ver- schiedenes Element eines echten Abschnittes der wohlgeordueten st PRE cies F7 tue Erhaltung der node Relationen tugeordnet so schreiben wir 17 F, und sagen, dass Fr hae Hi F’ > F', wenn jedem Ele- . i von F' unter Erha ace der ordnenden Relationen ein ver- chiedenes Element von Æ”. “nugeordnet ist, so gelten folgende ee den ARE Ordinalzahlen: des ersten Bereichs ver- en wir die endlichen Ordinalzahlen, inklusive 0. Weil jeder _ eine gewisse ARRET Ordinalzahl’ des ersten Bereichs. _ Eine wohlgeordnete Species « heisst vol/stündig induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven _Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in der Form a, + rz dar- stellen lässt, wo 7, eine Ordinalzahl des ersten Bereichs besitzt, _ wäbrend a, entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmente eine Ordinalzahl > besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder _ Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = # + B +... die betreffende Fundamentalreihe 7 bezug auf den ersten Bereich wollstindig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine Fundamental- reihe v,, %,... existiert, für welche OT nicht fortfallen , oder ein solches 7, angegeben werden kann, dass a, für m > A fortfällt, zweitens im letzteren Falle entweder eine Fundamentalreihe M Mee (My > My) existiert, fiir welche ns Ent 2° nicht fortfallen, oder ein solches x, angegeben werden Be dass 7 Fr, für 4 m > ng fortfallt. . Eine wohlgeordnete Species « heisst wabestimmt induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruk- tiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in der Form uw, + 0, dar- stellen lässt, wo o, eine Ordinalzahl des ersten Bereichs besitzt, während w#, entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmente unbestimmt induzierbar ist, Ah. pee PB: Pa... existiert, für welche My, AR oder ein solches x angegeben werden kann, dass Fi für fortfällt. k F | = Bezeichnen wir diejenigen wohlgeordneten hd welche | a Zulassung als Urspecies nur von Species mit einem einzigen Ele a nicht von Species ohne Element, erzeugt werden, als vollstdnd wohlgeordnete Species, und ihre Ordinaleabien als vollstindige w geordnete Ordinalzahlen, so sixd alle vollstindigen wohlgeordn . Species unbestimmt induziert in bezug auf den ersten Bereich. ie Die vollständigen wohlgeordneten Species x sind offenbar ae weder endlich ate abzählbar unendlich und besitzen folgende ke ee Ne F . Bs exishiert entweder ein letztes Element, oder eine sole: ho Hundamentalreche von Elementen e,, e,,..., dass zu jec bd bi Elemente e von » ein nach e liegendes Element e, bestimmt werden kann. 2. Jeder echte Rest von x besitzt ein erstes Element. : Ro Fok 8. Jedes Element e von x, mit Ausnahme des ersten, | AAC entweder ein pe vor hergehendes Re oder ist Grenze aby wit näinlich k—=a, kr, WO r, Pb Rest von 3 welcher e als erstes lenient besitzt, so ist Satz 3 eine unmit bare Folge des auf a, angewandten Satzes 1. a A. Jedes Element von x, mit Ausnahme des (aten falls solches ewistiert, besitzt ein nächstfolgendes Element, wie am. e fachsten mittels der induktiven Methode eingesehen wird. (5 | . 5. Die Species derjenigen wohlgeordneten Ordinalzahlen, welche 1 kleiner sind als eine gegebene vollstindige wohlgeordnete Ordinaleahl | B, besitzt (wenn sie nach der Grosse ihrer Elemente geordnet und OAN mit hinzugerechnet wird) die Ordinalzahl 2. Zwischen den Elementen 4 ia und den echten Abschnitten einer wohlgeordneten Species der Ordinal- LS zahl @ besteht nämlich eine solche eineindeutige Beziehung, dass, wenn — das Element e, zach dem Elemente e, liegt, der Abschnitt a, grosser als der Abschnitt a, ist. Die wohlgeordneten Ordinalzahlen des ersten Bereichs mit Aus- — nahme von 0 sind offenbar kondensiert und vollständig, und je zwei von ihnen sind vergleichbar, d.h. sie sind entweder einander — gleich oder eine von ihnen ist grösser als die andere. Die Summe | Wee pen Unter einer wohlgeordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom ade Null verstehen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten Be Unter einer wohlgeordueten Ordinalzahl des zweiten Bereichs . _Grade Pp (p eine nicht verschwindende endliche Ordinalzahl) pe i a, + 0”. dg +... 0". a, _wo jedes Ps eine wohlgeordnete Ordinalzahl i ersten Bereichs, 3 _jedes a, eine nicht BAREN endliche Ordinalzahl und » der …_. Maximalwert der p, ist. Alsdann dürfen wir annehmen, dass jedes 4 pu , ‘aay: und, eS Vz der Grad von £,, kleiner ist als der Grad von @2, falls die cn vom Grade 0 sind, die Fundamentalreihe £,,, (2u, 4 Lr2,. … in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierbar ist. À Die Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich vollstündig | induzierbaren Fundamentalreihe von Ordinalzahlen des zweiten Bereichs | ist entweder w® oder wiederum eine Ordinalzahl des zweiten Bereichs. ¥ Jeder Abschnitt einer Ordinalzahl des zweiten Bereichs ist wiederum | eine Ordinalzahl des zweiten Bereichs. Man sieht dies am einfach- sten ein, wenn man den Satz für die Ordinalzahlen (~—1)-ten Grades als bewiesen annimmt, und hieraus seine Gültigkeit für die Ordinal- zahlen n-ten Grades folgert. Mithin ist der zweite ebenso wie der erste Bereich wohlgeordneter Ordinalzahlen ununterbrochen. Eine wohlgeordnete Species « heisst vollstindig induziert in bezug auf den zweiten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven . Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form «+ 7, bringen i Verhand. der kon, Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) Dl. XII. E 3 ; . ‘zahlen von ry Le Tr LM vollständig induzierbar in be us lässt, wo 7’, eine raita Hey zweiten pérael besitzt, wä a; entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmer Ordinalzahl > we besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder dung der zweiten erzeugenden Operation #— 2 oe Bd. betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den zoen Hedon ol stindig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine solche Fundamental reihe »,, %,... existiert, dass a, Ur ys .… nicht fortfallen, ein solches x angegeben werden He dass ap, fir m > n fält, eweitens im letzteren Falle die Conde ee der Ord den zweiten Bereich ist. nà Unter einer wnbestimmten wohlyeordneten Ordinalzahl des 2 Bereichs vom Grade Null verstehen wir eine wohlgeordnete zahl des ersten Bereichs. Unter einer unbestimmley wohlgeo Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade p (p eine nich ve schwindende endliche Ordinalzahl) verstehen wir eine wohlgeoi Ordinalzahl > w?, aber <’t'. Die Summe von zwei unbesti wohlgeordneten Ordinalzahlen (2, vofn Grade », und £, vom pz ist offenbar eine unbestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl, Grad gleich der grösseren der Zahlen py, und », ist. Eine Fundamentalreihe (2, @,,... von unbestimmten Or zahlen des zweiten Bereichs heisst wabestimmt induzierbar in auf den zweiten Bereich, wenn entweder jedes 2, vom Gra und die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den ers Bereich unbestimmt induzierbar ist, oder ein solches 2 angegeb werden kann, dass für » > m der Grad von £,, kleiner als” ; Grad von f, ist, oder aber eine Fundamentalreihe £,,, LB... mit Be nicht verschwindenden Graden existiert, für welche die Grade ent-_ weder unbeschränkt wachsen, oder einander gleich sind, wihrend © für m zwischen v, und »,,, der Grad von £,, kleiner ist’ als der Grad von (4, Die Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich — : oe an unbestimmt induzierbaren Fundamentalreihe von unbestimmten Ordinal- Ke zahlen des zweiten Bereichs ist entweder > w oder wiederum eine unbestimmte Ordinalzahl des zweiten Bereichs. BER Kine wohlgeordnete Species & heisst wnbestimmt induziert in bezug — auf den zweiten’ Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form u; + ox bringen lässt, wo o, eine ite Ordinalzahl des zweiten Bereichs : besitzt, während w,’ entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmente eine Ordinalzahl = w® besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation : à Maximalrange n. Die wohlgeordneten Ordinalzahlen des dritten _ Bereichs mit Ausnahme von U sind offenbar kondensiert und voll- _ständig. Weiter gelten folgende Higenschaften, von denen die zweite EN _ dass jedes pin < py, ist. we à. | PA i, | +. Bed de bee A in au auf We zweiten Bereich unbestinmt induzierbar ist, d.h. entweder eine pee op; “3 Ce etes: deren hen ee ee ; dass Up, für mo a n fortfallt, behead die Pat: Ae AGE unbestimmt induzierbar in Ordinaall en von op, me nee ne | Je den wohlyeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom ange Null verstehen wir die wohlgeordneten Ordinalzahlen des iten Bereichs. Unter den wohigeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Range 1 verstehen wir die Zahlen : . elias ones dE Mods FE Er die», TA ee des dritten Bereichs vom eine unmittelbare Folge der ersten ist: 08 1. Je zwei Ordinalzahlen des dritten Bereichs sind vergleichbar. 5: 2. Bei der Ordinalzahl wa, +.. di wn. a, darf man annehmen, a Diese Sätze begriinden wir, indem wir den ersten für Zahlen, deren Rang < w ist, mithin den zweiten für Zahlen, deren Rang - Eat. nt ts Eh PE) Oe Pr [ > wa irae si [ 5 wa he 8 [2 we, a, | nn N il vel : v=t + 7 de Pi. = une be n = © Li it Ew, denk ps y=1 à | welcher Ausdruck als Produkt von zwei Zahlen des dritten Ber wiederum eine Zahl des dritten Bereichs ist. Also gilt folgender Satz: Eine Potenz, deren Argument und Ft zum dritten Be gehören, ist ebenfalls eine Zahl des dritten Bereichs. Mg Eine Fundamentalreihe 2, £,,... von Ordinalzahlen des dr Bereichs vom Range 0 heisst vollstindig induzierbar in. bezu i. den O-ten Rang, wenn sie vollständig induzierbar in bezug au zweiten Bereich ist. < 3 Ee Eine Fundamentalreihe (2, £,,... von Ordinalzahlen des di Bereichs, deren Maximalrang » nicht übersteigt, heisst vo//st induzierbar in bezug auf den p-ten Rang, wenn erstens eine so steigende Fundamentalreihe y,, v,,... existiert, dass die Expon P'yp Rs... der Anfangsglieder von (2, B,,,... entweder bes dig wachsen, oder einander gleich sind, während für m zwis y, und y,,, die Exponenten von @,, kleiner sind als @,,_, zwe n Int im ersteren Falle die Fundamentalreihe £,”, 2,... (in der jedes LP, — Ps, während 2,“ = £,,) vollständig induzierbar in | bezug auf den Ze -ten Rang ist, drittens, falls alle £, zum ersten À Bereich gehören, die Fundamentalreihe R,, P,,41,.-. he induzierbar in bezug auf den ersten Bereich ist. Eine Fundamentalreihe (2, £,,... von Ordinalzahlen des dritten — Bereichs heisst vo//stündig induzierbar in bezug auf den dritten Bereich, wenn erstens eine solche steigende Fundamentalreihe 1} SE existiert, dass die Ringe von (2, (2... entweder beständig — wachsen oder alle gleich sind, während für # zwischen », und y,,, der Rang von 8. kleiner ist als der Rang von £,, ge zweiten — im letzteren Falle die Fundamentalreihe (2, @,.. vollständig induzierbar in bezug auf den p-ten Rang ist. Die Summe einer in bezug auf den dritten Bereich volsta induzierbaren Fundamentalreihe von Ordinalzahlen des dritten Bereichs ist entweder ¢ = w + we + we +..., oder wiederum eine Ordinal- zahl des dritten Bereichs. SA . Jeder Abschnitt einer Ordinalzahl 2 des dritten Bereichs ist wiederum 4 p ke È a Li nl EN > Bed RAA EREN) + st, LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSEN EN DRITTEN. 39 eine Ordinalzaht des dritten Bereichs (Gilt nämlich innerhalb des dritten Bereichs der Satz für Bo und By;*>se gilt er, “falls &=f, +2, auf Grund der ersten erzeugenden Operation, eben- falls für (2; und gilt der Satz für jedes 2, so gilt er, falls pea = f, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, ebenfalls y=1 für @). Mithin ist der dritte ebenso wie der erste und zweite Bereich wohlgeordneter Ordinalzahlen ununterbrochen. Eine wohlgeordnete Species a heisst vodlstindig induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form a,” + r,” bringen lässt, wo r,” eine Ordinalzahl des dritten Bereichs besitzt, während a’, entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmente eine Ordinalzahl > ¢ besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwen- dung der zweiten erzeugenden Operation P= A, + F, +... die betreffende Fundamentalreihe i bezug auf den dritten Bereich vollstindig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine solche Fun- damentalreihe »,, »,,... existiert, dass CEE CEE .. nicht fort- fallen, oder ein solches 7 angegeben werden kann, dass a», für m >>n fortfallt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe der Ordinalzahlen von 7p), 7"p, yt vollständig induzierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. Unter einer wabestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des dritten Bereichs vom Range Null und vom Grade m verstehen wir eine unbestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade m. Unter einer wadestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des dritten Bereichs vom Range p und vom Grade m (p und m nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen) verstehen wir eine wohl- geordnete Ordinalzahl, welche gleichzeitig w”' gtt > 0" (p+1 Buchstaben w) und Zw° (p—1 Buchstaben w) ist. Die Summe von zwei unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahlen LR, (vom Range p, und vom Grade m,) und @, (vom Range p, und vom Grade m,) ist, wenn y, und p, nicht beide verschwinden, eine unbestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl, deren Rang und Grad der grösseren der beiden Zahlen yt aa w (2, + 1 Buchstaben w) und w’ (pj + 1 Buchstaben w) zu entnehmen sind. Eine Fundamentalreihe £,, 2,,... von unbestimmten Ordinal- zahlen des dritten Bereichs, welche alle den (nicht verschwindenden) Rang p und dl Grad am besitzen, heisst wnbestimmt induzierba bezug auf den dritten Bereich, wenn entweder eine solche endlich Ordinalzahl 4 existiert, dass jedes (2, As wh SA (p + 1 Buchstaben «) : ist, oder eine solche Fundamentalreihe Rs B... und eine so Fundamentalreihe Jh, hg, von unbeschränkt wachsenden endlic Ordinalzahlen definiert werden können, dass 2, für led a PRE Je Re jes p +1 Pachatseen w) — ist. Eine Fundamentalreihe (2, f,,... von unbestimmten O zahlen des dritten Bereichs (wo £, den Rang p, und den ( m, besitzt) heisst wabestimmt induzierbar in en auf den Le Bereich, wenn entweder jedes (2, vom Range 0, und die betref Fundamentalreihe in bezug auf den zweiten Bereich unbes » induzierbar ist, oder ein solches 2 angegeben werden kann, dass m > n der Rang, oder bei gleichem Rang der Grad, von £,, kle als der Rang bzw. Grad von £,, ist, oder aber eine solche Fundam reihe 8,,, B,,,... mit nicht verschwindenden Rängen existiert, das: m zwischen », und »,,, der Rang oder bei gleichem Range der G von (2, kleiner ist als der Rang bzw. Grad von @ dass von de Yat À «LA as R,. entweder die Ringe unbeschränkt wachsen, oder die Rang einander gleich sind und die Grade unbeschränkt wachsen, oder sowohl] de Ränge wie die Grade einander gleich sind, und dass im letzten Falle die Fundamentalreihe der (2, unbestimmt indu- 5 zierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. Die Summe einer in bezug auf den dritten Bereich unbestimmt induzierbaren Fundamen- talreihe von unbestimmten Ordinalzahlen des dritten Bereichs ist entweder > € oder wiederum eine unbestimmte Ordinalzahl des dritten Bereichs. es | Eine wohlgeordnete Species ¢ heisst uabestimmt induziert in bezug — auf den dritten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form wv, + 0," bringen lässt, wo o,” eine beat bicité Ordinalzahl des dritten Bereichs besitzt, während wv,” entweder fortfällt, oder jedes ihrer echten Endsegmente eine Ordinalzahl = + besitzt. Dies wird erreicht, „wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F= F, + F, +... die betreffende Fundamentalreihe 7x bezug auf den dritten Bereich unbestimmt induzierbar ist, d.h. entweder eine Fundamentalreihe Or 0" Figs deren Ordinalzahlen unbeschränkt | sende Ränge boston en eine Fundamentalreihe #” u Fy? u Fy? welche nicht fortfallen, existiert, oder ein solches 2 angegeben werden kann, dass Ur, für m > n fortfallt, während die Fundamental- r je der Ora balies Yon 0” FPE 0” Br.) unbestimmt indu- | _ zierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. bus “In vorigen haben wir gesehen, wie zur endlichen Bezeichnung von zj w wohlgeordneten Ordinalzahlen zweïerlei Elementarsymbole benutzt hl eden, nämlich Zahlsymbole, welche je eine bestimmte wohlgeordnete _ Ordinalzahl repräsentieren, und Verhaiipfungssymbole, welche je eine 7 aus einer beliebig vorgegebenen endlichen Gruppe von wohlgeord- ___meten Ordinalzahlen eine neue wohlgeordnete Ordinalzahl hedde Methode repräsentieren. Zur Bezeichnung der Zahlen des ersten _ Bereichs genügten dabei das Zahlsymbol 1 und das Verknüpfungs- _symbol a Aion zur Bezeichnung der Zahlen des zweiten Bereichs kamen das Zahlsymbol w und das Verknüpfungssymbol der Multiplikation hinzu, während die weitere Hinzunahme des Verknüpfungssymbols der Potenzierung die Bezeichnung der Zahlen des dritten Bereichs erlaubte. Sodann eröffnete das Zahlsymbol € ae die Möglichkeit der Bezeichnung auch über den dritten Bereich -2 “fi Ni - | co ‚€ | hinausgehender, jedoch unterhalb & = Le" (v Buchstaben €) liegen- p \ Er v=1 der wohigeordneter Ordinalzahlen. Indem wir auf den Kalrban syste- matischer Theorien von über den dritten Bereich hinausgehenden Zahlbereichen verzichten, beschränken wir uns nunmehr darauf, ein Beispiel eines Verknüpfungssymbols anzugeben, welches die Bezeich- nung.von Zahlen grösser als ¢, erlaubt. - Wenn « eine kondensierte und 2 eine willkürliche wohlgeordnete 3 Ordinalzahl ist, so- definieren wir das. Symbol {¢, (| durch die folgenden Festsetzungen: {&, 0] =a; {æ, 1} = 4; wenn {x, (2) für jedes kondensierte « als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz {¢, | — « existiert, so ist fa, B+ 1) = {a BMP = je, BH fe, B} A[ la, 8" #617, sodass auch {&, {8 + 1] für jedes kondensierte « als kondensierte wohl- geordnete « Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz le, B +1) —x existiert; wenn @=— 6, +6, auf Grund der ersten erzeugenden Operation und sowohl |, 8} wie [x, 2] für _ jedes kondensierte « als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahlen definiert ist, und überdies die Differenzen |a, (2,| — x und |e, 2) —u- it existieren, so ist (a, B) = le, Bl, Bol = le, Bl +-[lle, Bl, Bol — N — {x, RB}], sodass auch |e, (| für jedes kondensierte « als Fe : - nad) kn : : ne e fé Ly ; fe SET x LE Re He vs 4 ere i ipa, eee ee LA 42 vi zweiten erzeugenden UE und |z, 2) für jedes » A À kondensierte + als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl defini ist, und überdies die Differenz |a, (2, — « existiert, so ist |¢, | = = le, P| + [le (B, HB) — le, BI] + Cle, (B, + Bp + B) ' — |e, (2, + R,)}]+..., sodass auch fz, P| für jedes kondensie . « als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, überdies die Differenz |w, 2} — x existiert. Auf Grund dieser Definition -beweist man, in derselben w Pa wie die analogen Eigenschaften der Potenz &, zunächst dass, BHB le, A= le, PLH [le PL 61 — le, PID auch wen 2 und £’ keine konstruktiven Unterzahlen von @- sind, und sodan “weiter dass, für 2 — El, | le, P| = |e, [ci + [le, (2 + 8") nik — le, BI + [le, (6 + B+ P| — le, (BH OON +. wenn die 2% keine konstruktiven Unterzahlen von (2 sity w hieraus folgert man wieder, dass die Konstruktion von |a, 2} Grund von verschiedenen Brzeugungsarten von R zu gleichen wo i geordneten Ordinalzahlen führt. Auch zeigt man, mittels der induktiven Methode an der Hand der erzeugenden Operationen von (2, leicht, dass für cin. best B und ein willkürliches kondensiertes «, die Konstruktion von. | le, Pl auf Grund von verschiedenen Erzeugungsarten von a zu le res wohlgeordneten Ordinalzahlen führt. Wie weit man inzwischen die Einführung neuer Elementarsymbole zur Bezeichnung wohlgeordaeter Ordinalzahlen auch fortsetzt, so lässt sich doch die Species der eingeführten Symbole in jedem Stadium als endlich betrachten, weil jede Definition einer Fundamentalreihe Ty, Gys: NON Symbolen auf die Definition eines einzigen, auf ein eliebiges Element von 4, d.h. auf eine beliebige endliche Gruppe von Zahlen 1 bezogenen Syrabeles ¢ hinauskommt; diejenigen Zusammensetzungen der eingeführten Symbole, welche wohlgeord- nete Ordinalzahlen darstellen, bilden mithin eine abzählbar unendliche Species, von der übrigens mehrere Elemente dieselbe Ordinalzahl repräsentieren können. Hieraus folgern wir die Unmöglichkeit, ein System ¢ von Elemen- tarsymbolen einzuführen, das die Darstellung a//er wohlgeordneten Ordinalzahlen erlaubt. Sei nämlich @, die von der der endlichen Zahl y entsprechenden Symbolzusammensetzung von ¢ dargestellte Ordi- es grö und deshalb nicht qe einer Symbohammenetng von a gest es werden. 7 en de Ordinalzahlen nicht aufzählbar ist. Weil andererseits jeder endlichen vollständigen wohlgeordneten Ordi- ahl den entsprechenden Ziffernkomplex der Folge € und jeder = idlichen volt A wohlgeordneten Ordinalzahl die Ziller | 2: Relativitatsth “oA: SCHOUTEN: = “ _ Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 6. , 24 | AMSTERDAM, ee | Ze JOHANNES MULLER. a pie É „Februari 1919. ct ON, “ (ts ie neueren Relativitäistheorie ‘I A. SCHOUTEN. oF ne 7 (EERSTE SECTIE). Bs) et | DEEL XII. N°. 6. Ene 18 On AMSTERDAM, 8 JOHANNES MÜLLER. 1918. . Die direkte Analysis zur neueren Relativitätstheorte. EINLETTUNG. Die meisten Autoren, die sich mit der*einfachen Relativitäts- theorie befassten, haben das Bediirfnisz gefühlt die Rechnungæmit Koordinaten auch auf diesem Gebiete durch eine direkte Analysis zu ersetzen. Bekanntlich verwendete Minkowski 1} dazu die Cayrrry’sche Matrizenrechnung, und haben nach ihm ABRAHAM 2), SOMMERFELD ®), Frank #), und Laur) nach Analogie der gewöhnlichen Vektorana- Iysis eine Anzahl Bezeichnungen geschaffen, deren Gesamtheit als vierdimensionale Vektoranalysis bekannt ist. Wirson und Lewis‘) haben diese Bezeichnungen weiter ausgearbeitet und vervollständigt. JABNKET) hat eine kurze übersichtliche Darstellung gegeben, welche auch die Beziehungen zur GRASSMANN’schen Ausdehnungslehre beleuch- tet. Wamrscu §) ist einen anderen Weg gegangen. Seine Binäranalyse verbindet die binären Formen mit den Hamiron’schen Quaternionen und mit den Kugelfunktionen des vierdimensionalen Raumes, und er gewinnt in dieser Weise ein System, dessen Rechenregeln aus den Syzygieen der binären Invariantentheorie erhalten werden können. 9) Für die allgemeine Relativitätstheorie, bei welcher Kovarianz bei beliebigen Transformationen gefordert wird, ging man nun wieder zur Koordinatenmethode zurück, und es wurde zunächst nicht ver- sucht auch hier eine direkte Analysis zu begründen. 10) Zwar haben sich PiNsreiN und Grossmann vom Anfang an einer vektoranalytischen *) 08.1. *) WARS nr L02: gert. PLD. 10:3; 121. j Jons Bist. 16166: 5 °) Vgl. 16.9, ein Verzeichnisz der Arbeiten von Warusen über Binäranalyse findet sich zum Teil dort, zum Teil 14.2. *) Vel. S. 52 und 58. *) Die Zahlen beziehen sich auf das am Schlusz befindliche Litteraturverzeichnisz. F 1* 4 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Terminologie bedient, bei der Rechnung verwenden sie aber den absoluten Differentialkalkül von Rrcer und Levr Crvrra, und dieser Kalkül kann bekanntlich nur mit den Bestimmungszahlen rechnen, wenn auch in einer abgekürzten Weise, nicht aber mit den Gröszen, selbst. Da nun eine Grösze sowohl kovariante als kontravariante Bestimmungszahlen hat und dazu noch oft die mit V—g multipli- zierten Bestimmungszahlen verwendet werden (Volumtensoren), eine und die selbe Grösze also in vier verschiedenen Formen àuftreten kann, wird die Rechnung oft so kompliziert, dasz die allgemeine — Relativitätstheorie der einfachen gegenüber als besonders schwer mathematisch zu bewältigen erscheint. Diesem Uebelstande tritt bei den .verschiedenen Autoren stets mehr das Bestreben entgegen die Resultate der Rechnung möglichst in kovarianter Form zu bringen, und es ist hier insbesondere eine Arbeit von Fokker Ì) zu erwähnen. Die logische Fortbildung dieses Bestrebens ist die Verwendung einer direkten Analysis, da diese überhaupt nur die kovariante Form kennt. Zwar ist es eine verkehrte Illusion die Koordinatenrechnung stets und überall durch eine direkte Rechnung ersetzen zu wollen, eine gute direkte Analysis kann aber in manchen Fällen die Rech- nung befreien von Komplikationen, die nicht der Sache selbst an- haften, und die Resultate in eine Form bringen, welche die ‘Theorie dem Verstiindnisz und der Vorstellung weiterer Kreise zugänglich macht. Besonders wäre dies von einer direkten Analysis zu erwarten, welcher es gelänge die kovariante Differentiation, die sich bisher nur mit der ziemlich umständlichen Curisrorrer/schen Symbolik be- wältigen liesz, in einer einfacheren Weise dar zu stellen. J. B. Sraw ?) und F. June *) sind schon in dieser Richtung tätig gewesen. ®) Nun liegt die Schwierigkeit bei der Bildung einer direkten Analysis nicht bei den Multiplikationen, die sich leicht definieren lassen, sondern gerade bei der Differentiation. Diese Schwierigkeit kann aber vollständig beseitigt werden durch Einführung der Begrifle: ,,geodütisch milbewegtes Koordinatensystem” and ,, Produht idealer Vektoren’’. Das kovariante oder kogrediente Differential ist eben nichts anderes als ein Differential in Bezug auf ein solches mitbewegtes Koordinatensystem, und wenn der Fundamentaltensor als ideales Vektorquadrat geschrieben wird, läszt sich dieses Diffe- rential sehr ginfach in einer Vektorformel angeben. Der Operator- kern V erhält dann eine, neue Bedeutug, behält aber in dieser a) Vol. S. 52 und 53. zen rk GOL: *) 17 87-1844 = bt res Pog earn y PCNA Ets. Ds Sore Ge inst ia ve VAT. a ee ee, DE hee ER Pe CE à vra and ae te à PA def * RELATIVITÄTSTHEORIE. 5 æ neuen Bedeutung súmtliche Eigenschaften des alten V , insbesondere die algebraische Vektoreigenschaft, mit der einzigen Ausnahme, dasz das vektorische Produkt von V mit sich selbst, v X{ v, nicht mehr stets identisch Null ist. | | l Wird v mit dieser erweiterten Bedeutung eingeführt, so entsteht _ die gewünschte Analysis, die für viele Fille Vereinfachung der Rechnung herbeiführt. Die Ableitung des Rimmann-Curisrorven’schen _ Tensors, welche bisher eine „wegen ihres Umfanges berüchtigte ___Rechmung” !) erforderte, gestaltet sich in einer Weise, die einfach und leicht geometrisch interpretierbar ist, während die elektro- ____magnetischen Feldgleichungen und die Impuls-Energiegleichung der einfachen Relativitätstheorie ohne ihre Form zu ändern unmittelbar für den allgemeinen Fall giltig werden. Die allgemeine Kovarianz wird also erreicht durch blozse Aenderung der Bedeutung von v. Ein besonderer Vorzug der direkten Methode dürfte sein, dasz die nicht invariante Grösze V—g nur bei Rechnungen, bei denen der Fundamentaltensor variiert wird, verwendet wird, und sonst weder bei der Rechnung noch in den Formeln auftritt. Auch die Ableitung der Gleichungen aus einem Variationsprinzip wird einfacher un _übersichtlicher, wie an einigen Beispielen gezeigt werden soll. Die praktische Verwendung einer direkten Analysis, d. h. das wirkliche Rechnen wit derselben, ist nun, insbesondere in den Differentiationsformeln, nur möglich, wenn sémtliche Umformungs- regeln dem Rechner stets unmittelbar zu Gebote stehen. In dieser Beziehung erfüllen die bestehenden Systeme die Anforderungen der Praxis nicht. *) Bei allen Autoren, auszer bei Warrsen, dem ja prinzipiell die Syzygieen der binären Invariantentheorie zu Gebote stehen, fehlen Rechenregeln, bei allen aber treten sie in einer solchen Form auf, dasz das Anschreiben aus dem Gedächtnisz aus- geschlossen und nur tabellarische Verwendung möglich ist. Es soll daher im ersten Abschnitte zunächst das auf gruppentheoretischer Grundlage berechnete System 42%, angegeben werden, welches die bestehenden vierdimensionalen vektoranalytischen Systeme umfasst und a) Das Selbe gilt auch für die gewöhnliche Vektoranalysis. Sämtliche v enthaltende Formeln, die in der Ginns’schen Form der Vektoranalysis jede für sich bewiesen werden, und dort lose nebeneinanderstehend nur tabellarischen Gebrauch zulassen, können nicht nur mit Hülfe der allgemeinen Formel mit einem Schlage bewiesen werden, sondern lassen sich auch mit Hülfe einer Ueberschiebungsregel *) aus dem Gedächtnisz sofort anschreiben, wenn diese Form ersetzt wird durch das auf gruppentheoretischer Grundlage berechnete System AR. Erst dann erlangt die Vektoranalysis ihren vollen Wert für das praktische Rechnen. *) Hessenperc, 17. 5. S. 190. 2) 16. 8. S. 249, 17. 7. S. 575, 18. 1. one r 4 of ri LA via Ean Mn (ey a \ Ps RP PAST DOS TEE TRES ‘ ’ eS i Bee 3 à te 6 DIE DIREKTH ANALYSIS ZUR NEUEREN N ergänzt, und dessen Rechenregeln nach der Ueberschiebungsregel aus dem Gedächtnisz angeschrieben werden können. ®) Dieses System wird dann im zweiten Abschnitte der Behandlung der vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Maszbestim- mung zugrunde gelegt. Als besondere Ergebnisse dieses Abschnittes treten hervor : der Beweis für die Gültigkeit der drei mit dem Gausz’schen und Srokes’schen Satz im A, korrespondierenden Integralsätze für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Maszbestimmung. der Begriff des geodetisch bewegenden Bezugssystems, dessen Bewegungsmöglichkeiten die Mannigfaltigkeit, auch hinsichtlich der möglichen Eimbettung in Mannigfaltigkeiten höherer Dimensionenzahl vollständig bestimmen. . 3°. die einfache Ableitung der geometrischen Bedeutung des 4 Riemann-Curistorret’schen Affinors vierter Hauptordnung K und der für di& Relativitätstheorie wichtigen Tensoren zweiter Hauptordnung 2 2 K und G. "Im dritten Abschnitte wird die entwickelte Methode ange- wandt auf die Variationsprobleme der neueren Relativitätstheorie. Durch Variation des elektromagnetischen Potentials entsteht das erste Maxwerr’sche Gleichungssystem, und virtuelle Verrückung der geladenen Materie ergiebt die mechanisch-electrische Bewegungs- gleichung. Durch Variation des Gravitationspotentials wird die Feldgleichung der Gravitation gewonnen. Es ergiebt sich ein Zusam- menhang zwischen der neuen ErnsreiN’'schen Konstante A und der Berücksichtigung nichtincohärenter Massen. Die mechanisch-elek- trischen Bewegungsgleichungen können durch Anwendung des Opera- tors V Î aus den Feldgleichungen der Gravitation gewonnen wer- den. Die zuerst von Hireurr hervorgehobene Abhängigkeit dieser Gleichungen dürfte darin ihren einfachsten mathematischen Aus- druck finden. In dieser Arbeit werden, dem particularen Zwecke entsprechend, grundsätzlich nur vierdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet. Die Methode ist aber selbstverständlieh auch für eine beliebige Dimensionenzahl x brauchbar. Es braucht dazu nur das System ZX} zugrunde gelegt zu werden. nao a) Der Wert der vielen ausgezeichneten Arbeiten anderer Autoren auf diesem Gebiet soll durch diese Bemerkungen natürlich in keiner Weise herabgedrückt werden. Die Erschaffung der invariantentheoretisch begriindeten Systeme ist dem Verfasser überhaupt nur durch eingehende Beschäftigung mit diesen Arbeiten und Verarbeitung der in den- selben niedergelegten Resultaten möglich geworden. d 4 7 » 4 RELATIVITÄTSTHEORIE. iz I. DAS ZAHLENSYSTEM Re, DER ORTHOGONALEN GRUPPE IN VIER GRUNDVARIABLEN. ? Höhere Gröszen und ihre Zahlensysteme. ~ Unter einer Grösze verstehen wir mit I’. Krein den Inbegriff einer Anzahl Bestimmungszahlen, die sich bei den Transformationen einer in gewissen Grundvariablen gegebenen Gruppe „in sich” trans- formieren, d. h. sich so transformieren, dasz bei einer T'ransfermation die neuen Bestimmungszahlen rein als Funktionen der alten und der Parameter der Transformation ohne Verwendung irgend welcher fremder Parameter gegeben werden können. Eine Grösze hat also nur Bedeutung in Bezug auf ganz bestimmte Gruppen und kann bei anderen Gruppen als solche verschwinden. Die Orientierungs- weise, d.h. die Transformationsweise der Bestimmungszahlen bei verschiedenen Gruppen ist das einzig wesentliche an einer Grösze, die geometrische Deutung, die in verschiedenen Weisen erfolgen kann, hat erst an zweiter Stelle Bedeutung. Haben zwei Gröszen bei einer bestimmten Gruppe dieselbe Orientierungsweise, so sind sie in Bezug auf diese Gruppe gleichartig. Sind überdies die Bestim- mungszahlen proportional und ist die Gruppe eine Untergruppe der linearen homogenen, so sind die Gröszen bis auf einen Zahlen- faktor in Bezug auf diese Gruppe gleich. Auch die Gleichheit und Ungleichheit von Grészen hangt also von der zu Grunde gelegten Gruppe ab und kann bei verschieden Gruppen verschieden sein. Zu bestimmten Klassen von Gröszen gehôren höhere komplexe Zahlen- systeme, die sich, wenn die vorgelegte Gruppe gegeben ist, nach einem vom Verfasser in 1914 angegebenen Prinzip 4), in eindeutiger Weise berechnen lassen, und direkte Analysen bilden, mit deren Hülfe es möglich ist mit den Gröszen selbst ohne Verwendung ugend eines Bezugssystemes zu rechnen. An anderer Stelle ?) werden die Systeme berechnet für Lineargröszen bei der linearen homo- genen Gruppe und fünf ihrer Untergruppen für eine beliebige Anzahl Grundvariablen. Von diesen Systemen bildet das zur ortho- gonalen Gruppe für vier Grundvariablen gehörige, 22, die Analysis der Lineargröszen der einfachen Relativitätstheorie. Es ist der Zweck dieser Arbeit diese Untersuchung auszudehnen auf höhere Gröszen und auf die allgemeinere Gruppe, welche der neueren Relativitäts- theorie zu Grunde liegt. oi" EMA genen Cae t y chs Gane aaa : (1) vu vie Fees ay 5 de = = Puy Ly, nd a nf = und als Gog Zahl ER RENE: | Ce ele a srk Zu der zu (1) kontragredienten Transformation : Byes sing dit LA , 1 (3) EN = Bin a ; alt Fe = ayy, & : i | gehören in der selben Weise Æoxtravariante Grundelemente | irene: : (4) V= zo 6’: *). % _ Werden nur diejenige Transformationen der Gruppe be welche die kwadratische Form : und folglich auch: invariant lassen, so bilden diese für sich die or/ogonale cra Ls à die acl onthonimareuenh ist, Aad hen der also der Unterschied uwisc deer Gruppe bis auf einen “ahlenfaktor gleich @,’. Wir setzen diesen - Faktor einfachheitshalber gleich 1, und führen die Bezeichnung ein 4 Te (5) . 1, sea en i pe % i, — €, — €, | % id i, EN ya € | et i; — 0; = 0% ra Wir legen die or thogonale Gruppe zu Grunde, deuten die Grund- | variablen als nicht-homogene rechtwinklige Koordinaten und nennen — ein Grundelement Vektor. Die orthogonale Gruppe enthält dann alle Drehungen und Spiegelungen bei festgehaltenem Ursprung. # a) Die Einheiten e selbst transformieren sich kontragredient, die Kinheiten e’ kogredient. à Pen ISTHLBORIE. i Pr tir r die Binheiten i verwenden wir tenue allgemeine Indizes : hs at j=l,. ‚4 3 BAE _ verstehen wir die Grösze mit.den 4” Bestimmungszalen : ) = ra à Lie ORNE Tt? 28 Me = he s = ‘ . jet tt ip = LEA LE med Ty, à | aviekt. Jede Grösze v, die sich als Summe von allgemeinen Produkten yon p und nicht weniger als y Vektoren dar Bellen läszt heisat Affinor, | oder Grösze, p -ter Hanpto dnung. Die einen Produkte heiszen die D hanten von vo. Jede Grösze Yv kann als ein Produkt von _p dealen Vekloren ) V, ,.. > Vp geschrieben werden, deren Bestim- mungszahlen den Gleichungen : dl p (9) %4;, Do, + ert Aer Vijg a Uj. 2% es! ti) Bi tie. : genügen. Die p Faktoren in jeder Konstituante von V können in p/ verschiedenen Reihenfolgen geschrieben werden. Sie bestimmen E Pp D i 48 dann die p/ Zsomere von V, v selbst einbegriffen. Jedes Isomer kann mit Hülfe derselben idealen Vektorfaktoren dargestellt werden. Unter symmetrisches Produkt © von Va... .,Vo: gun, a a)-In 14.2 wurde fiir die allgemeine ne oe! das Zeichen — verwendet und o— für die umgekehrte Verknüpfung: vo- w —w —ov. Einfachheitshalber ist’ hier O gewählt. Für die seltener vorkommende Umkehrung werde o— verwendet. — b) Bei F. June *) heiszen sie Polyaden. c) Ideale Vektoren sind zuerst angewendet von Wagtscu *). Thre Bestimmungszahlen sind die Symbole der von Warrsen und Werrzennöck erweiterten Aronhold-Clebsch’schen . Invariantentheorie. Der Gebrauch dieser Symbole beruht auf den 1913 von R. WEiTzENBÜCK *) bewiesenen „ersten Fundamentalsatz’, nach welchem dieselben zur Darstellung sämtlicher rationaler Kovarianten ausreichen, (Vgl. S. 28 und 31 Fuszn. b)). 1) 17. 8. *) 06. 1, S.-259. >) 13,4. 10 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN a PE A PERS RIRE 7 verstehen wir die Summe sämtlicher Isomere von Y dividiert durch p/. Jede Grösze, die sich als Summe solcher Produkte von p und nicht weniger als p Faktoren schreiben läszt, ist eine symmetrische Grösze, oder Zensor, p-ter Hauptordnung, sie heiszt auch Grösze p-ten \ . ve Hauptranges, und wird geschrieben *Y. Unter a/lernierendes Produkt ~ von Va...» Vo: MT, verstehen wir die Summe sämtlicher gerader (zu geraden Permu- tationen gehöriger) Isomere vermindert mit der Summe sämtlicher ungerader Isomere, dividiert durch p/. Eine Grösze, die in bestimm- ten Faktoren symmetrisch oder alternierend ist, heiszt stellenweise symmetrisch bez. allernierend. Jede Grösze, die sich als Summe solcher Produkte von p und nicht weniger Vektoren darstellen läszt, ist eine allernierende Grösze p-ter Hauptordnung, sie heiszt auch p-Vektor (Monovektor oder kurz Vektor, Bivektor, etc.) oder Vektor p-ter Hauptstufe, und wird geschrieben „v. Offenbar ist p <<. Ein a-Vektor hat eine einzige invariante Bestimmungszahl und heiszt auch Skalar. dns Symmetrische und alternierende Gröszen können als Potenz eines idealen Vektors geschrieben werden : a: (10) i. ES GT Die Bestimmungszahlen, dieses Vektors genügen dann den Gleichungen : a! (11) CET TEE bez. : (12) WW = Dj... Bei einer alternierenden Grösze ist ihre Multiplikation also aztikom- mutativ. Gehören zwei ideale Zahlen zur selben Grösze, so heiszen sie zu einander edealeigen, sonst idealfremd. Die Verknüpfungen idealer Zahlen mit gewôhnlichen oder idealfremden Zahlen sind die der gewohnlichen Zahlen, während der Rechnung braucht man also die Idealitit oder Realität nur da zu beachten, wo Verknüpfungen idealeigener Zahlen auftreten. Eine Grösze, die sich als o, © oder = Produkt von realen Vektoren schreiben läszt, heiszt einfach, jede andere zusammengesctet. Mit Hülfe der idealen Faktoren kann jede zusammengeselzte Grösze wie eine einfache behandelt werden. Z RELATIVITÄTSTHEORIE. 11 Kommt ein idealer Vektor v in seiner Definitionsgleichung p mal fi vor, so heiszt er p-faltig. Irgend ein Produkt kann offenbar nur dann | reale Bedeutung haben, wenn es y gerade mp mal enthält, wo m - eine ganze, Zahl ist. Ist m > 1, so ist es zur Vermeidung von Mehr- deutigkeiten nôtig # gleichberechtigte Symbole Y,,....,v,,einzuführen, die während der Rechnung auseinander zu halten sind, und sich als gegenseitig idealfremd verhalten.”) Ein ähnlicher Sachverhalt liegt bekanntlich in der CruBscu-AronNmoup’schen Invariantensymbolik vor. Das Zahlensystem R} der Lineargrüszen.”) Unter Lineargrösze verstehen wir jede Grösze, welche die rota- tionale Orientierungsweise einer alternierenden Grösze hat. Zu den Lineargrôszen der orthogonalen Gruppe in vier Grundvariablen gehört das Zahlensystem Z? mit den 16 Einheiten.j,,..., iyo... Woar i, 4,1 und den Rechenregeln: : 13)1, x i= LOC oi, io ia a fos, x = —lm Xim=in > Lx - bi = — 1 i, .i;=1°) ee ig X is EX bi — i, nl ig hl = Na ii ip = — i, - Grien im ti het a= eg ide — Lite — th ip ig = ig X in =i5-i = Ip + ly = ~— Ig * Ip = Ip Is in = — | isa aide Say Lah evel. CNE PE M = - Le h . CE … Nicht angegebene Verknüpfungen sind Null. Das System enthält fünf Gröszenarten, Vektoren, Bivektoren, Trivectoren und die Skalare 1 und I, sowie vier Multiplikationen, die shalare., die veklorische X-, die erste mittlere Ÿ und die zweite mittlere *°). Die Multiplikation *, a) Beispiel s. S. 17. hb) Die Ableitung der Systeme R‚ erfolgt 18.1. Vergl. auch 17.7. n(n — 1) a Ds ek s 5 > c) In den Systemen R}, ist i, . i, =(—1) Zn verg le dls d) Die Beifügung ,cycl. 1, 2, 3, 4” bei einer Formel bedeutet, dasz die Elemente 1, 2, 3, 4, durch jede gerade Permutation (vgl. S. 10) ersetzt werden dürfen. e) Der Index 2 ist hier einfachheitshalber fortgelassen, vergl. 18. 1. „ DIE DIEKE ANALYSIS ZU werden. Von hier an verstehen wit also unter | she 4) Iv=—vl1,I,v=,v1l,1,v=—,v1, Il die { Produkte, und schreiben die adlyemeinen Produkte — | Tov:, vole Gers. a Die Summe | =. + X + *-+ x ist eine associative Multi | tion, die sedenionische"). Für das sedenionische Produkt ei Einheiten gilt, dass Verwechslung zweier benachbarter ungle Haltoren mit Zeichenwechsel erlaubt ist (Wechselregel), währer (15) ARR RES PES PES PO Kee (Substitutionsreges Da “A Resultat der oben angegebenen nicht Null erzeuge Verknüpfungen von Kinheiten stets dem sedenionischen Produkt Faktoren gleich ist, gestatten diese beiden Regeln dieses Resu sofort ohne Gedächtniszarbeit anzuschreiben, ge, | be sa (16) in 96 ht, bte bt ee . Zur Bestimmung des M ultiplikationszeichens führen wir den Be, Ucberschiebungsnummer ein. Es sei die Überschiebungs nummer € agi Produktes zweier Einheiten gleich der Anzahl gemeinschaftlicher Indizes. Es gilt dann folgende Regel“). Sind die Stufenzahlen, d.s. die Anzahlen _ der Vektorfaktoren“), der Faktoren derart, dasz es nur eine migliche | Be Überschiebungsnummer gicht, so korrespondiert -| mit *, z. B.: 8 Übersch.nummer: 1 eme EME A (17) 2 Pe PAR 3 Los 11 = fost 4 L'EST Giebt es zwer mögliche Uberschiebungsnummern, so korrespondiert _ 1 bei der höchsten mit . und bei der niedrigsten mit X, falls a) Dies hangt zusammen mit der Identifizierung des ons II mit 1, vergl. 14. 2. S. 41 und 18. 1. b) In Bezug auf die sedenionische Multiplikation bilden die 16 Einheiten ein sogenanntes ursprüngliches associatives System vierter Ordnung, nach Sylvester System der Sedenionen genannt. Zu den Lineargrészen der orthogonalen Gruppe in » Grundvariablen gehört allgemein ein System RJ mit 2" Kinheiten und associativer Multiplikation. Durch Zerlegung ; 2 1 à entstehen die Teilmultiplikationen. Ein Produkt zerfallt höchstens in a bez. ha Teilprodukte für n gerade bez. ungerade. Für x —1 + 4 p —q, q=0,1, 2, 3, giebt es p vektorische und p skalare Multiplikationen und für » = —1 + 4» —s, s=0,1, 2,3, » mittlere. Näheres siehe 18. 1. c) Diese Regel ist ein besonderer Fall der allgemeinen Uherachisbunperieates auf S. 24. d) Vergl. S. 29. Suufenzeh ne re EER beide Sh 2 sind, Fr Falle ist correspondenz “umgekehrt, z. B.: Ah -| lox -| I; mögliche ond a _so korres- diert -| bei der isohstef mit ., bet der mittleren mit + und der niedrigsten mit X, z. B: Un. : f 2 lg ida = da. Ts I in ig Pt 0 oe tig = ip in Walen. Tabelle giebt eine Übersicht: Die Gröszen | (20) Mb Pala lin, ine kl Cyel. 1e Sa La. sedenionisch multipliziert mit ihrer Brgänzung (rechts) 1 erzeu ee . der einzelnen Summanden verstanden. Wird in einem Produkt e der Faktoren durch seine Ergänzung ersetzt, so geht auch das dukt in seine positive oder negative Ergänzung über. Das zeichen ist nach der Wechselregel zu bestimmen. Ist der gewa Faktor zweiter Hauptstufe, so geht dabei . in X und Xin über, z. B.: - | gs. Li Eek. Ps = IE XX is = — Ii, =i. 6) (UW. uv) zw (UE XV X ow*=—I | X ov”) I | : X ot = EX TD Xa wt (u X,V*) Kw. In allen anderen Fallen bleiben die Multiplikationszeichen er- halten. “) Setzen wir: ~ L2 (22) LE Ao eames 1 oe == he 13 == Im ly =— il, oder allgemein : (23) = If RE id soe sind die Rechenregeln invariant bei Ersetzung von i durch Ÿ und gleichzeitiger Ersetzung von i’ durch —i. Die Einheiten ij, und I bleiben dabei unverändert. Zwischen i und I’ besteht also eine komplizierte Art Dualität®). Diese Dualität kann in eine gewöhn- liche umgesetzt werden durch den Uebergang zu den neuen Einheiten : 7 a) Dies findet seine Ursache darin, dasz für Verkniipfungen, die bei der rotationalen Gruppe gleich sind, dieselben Zeichen gewählt sind. b) Dualitiiten dieser Art treten auch bei Guassmanx stets auf in Systemen mit gerader Anzahl Grundeinheiten. 15 * (25) Xh Xhi EXhb=—-bXb=is= ip i, b = +1 i, i= — miei, Xi, Ied CUIR eg == Ie hdmi. =de; ho lain ii=—i; i, Aa lee =i . ., ., . . er . . ‘ 9 © in ed . ic | : Lim AE: Cycl 943; Menn === — 1's: ED 1g ts = ie 2 l'y Dual: ij —— Wi, =i, = — 1, 3 ee Re ré : me Il Mar xe leg sls | H—+ —H Motte —=— Is —ly; listé ten; te*is=—tae =o te Li 3 nb ied ne Hir = ie ls ; ti ln er HRS SL und es besteht gewohnliche Dualität zwischen i; und j”. Unter den Einheiten ist jetzt aber i, bevorzugt. Diese Bevorzugung ist gerade die, welche auch in der Relativitätstheorie stattfindet. Es ist bemer- kenswert, dasz die rein mathematische Forderung, die bestehende Dualität, welche die einzige bei der orthogonalen Gruppe existi- erende ist”), in den Rechenregeln der Einheiten zum Ausdruck zu bringen, gerade zu einer solchen direkt physisch verwertbaren Bevorzugung führt. ?) Die freien Rechenregeln des Systemes R?. Die vom Bezugssystem freien Rechenregeln sind unabhängig von der Wahl der Einheiten, und können aus der Associativität von | abgeleitet werden. Für Produkte von Vektoren lauten sie °): a) Vgl. fiir die bei den verschiedenen Gruppen existierenden Dualitäten 17. 7. S. 570 sowie 18. 1. x b) Die Einheiten i,, is, ds, dos, is, dje, I und 1, mit den Multiplikationen ., x , X 1 (zwischen ij und ix) und * (zwischen ijk und ix) bilden gerade das System A der gewöhnlichen Vektoranalysis mit polaren und axialen Vektoren, und zwar mit dem rich- tigen Vorzeichen des skalaren Produktes. (Vgl. 17. 7 S. 577 und 18. 1). c) Für den Ueberschiebungsfaktor siehe S. 24. L = ri + = WY eo > kiek dl. K er C ky we Se DIE DIRE] Übersch. | Übersch. Faktor | Nummer @) (x! i | A E der, axb=an b=— Grüsse zweiter Haute a. b — Skalar in 1 Taxa 2 a.(bXe)= (a. DA D) DAME Ae 4 a. (bed) =(ahe).d =abed =Skalar in I aX (bed) = (a. b)ex à + (a. GRACE | a(bede)=(a. bede —(a. e)bde+.. . (a XD) X (eX d) =abed (a Xb) (eX d)=(b.c)axd—(b. waxes. (a xb). (eX d) = (b.¢)(a.d)—(b. d)(a. ok (aXb). (ede) =(b. ade. (a Xb) X (ede) =(b. c)(a. Det. (ab) (edef)=(b. ¢) (a. deit. (abe) (def) =(e. d\(b.c)aXf+.. (abe) (def) =(e. n)(b.e)(a.f)+.. (abe) (defg) =(e. d)(b.e) (a. Det. CARE e)(e. ht g) (a. Wt a (26) A N PREP HR Wr NH Hi mi a N © Die Rechenregeln für Trivektoren a’, b’ ete. sind, der besteh : Dualitit zufolge, gleichlautend. “) Sämtliche Formen gelten ¢ au zusammengesetzte Gröszen, die Vektoren haben dann nur Bedeutung. Beispiele einiger Produkte. Als Beispiele seien folgende Produkte angeführt: (27) a.b— a, 6, Lab, + a, b; Fa (28) a IK De (a, bo — do b,) is + etc. «TG eo dp (29) PDE 0, im +f ete. ALT An À (30) a.(bXe)=(a,8, +... + ayb)e—Geyt-...+aye)d (31) oN: gM aa in ‘PSE Hi Vos Wo3 — V34 34 — Vag Wie a) Für mehrfaktorige Produkte von Bivektoren bestehen Rechenregeln , die nur Bivek- toren enthalten, sie künnen aus den angegebenen abgeleiteit wer den und werden im fol- genden “nicht be mutzt. *) AT Soi, d8 ds B az ig + Ys Was in — — Vo Wig bg — Oja jg 1g + ete. = 1 av. x. w= = ies, — Vis Wo4 T Via Woz à Vo Wia — Vos 13 + Uz4 Wia) I Beispiel der Einführung idealer Vektoren. Als Beispiel der Einführung idealer Vektoren schreiben wir die fi chen Bivectoren # P=AXr S=t Xu Potenzen der idealen Vektoren p bez. 8: +4 Pe me : PRES 8,8; — 0 36) pp; = EN sab (Great) 3,8 = —8,5,= 1), (¢,4,—7,u,) AC : : BM MR € Sr aen Das skalare Produkt von op und ,S ist: | Gl a (37) LA AE es (Qu 2 — Yon) (4 My — ty vj) — eyel. = Re 5 = — 4 p, Py 8 8. — cyel. = — 2 (p. 9). re Eine Zweideutigkeit tritt hier noch nicht auf. Man kann aber _ nicht in derselben Weise das Produkt ,p.,p darstellen : (88) gp - P= — 2. pW =— Ap, po po m — vycl-ete., _ da man von dem Ausdruck rechts nicht mehr in eindeutiger Weise _ gu den realen Gröszen zurückkehren kann. In der ‘lat, berück- sichtigt man zuerst die Gleichung (39) Bi = UV if Gr — > SAVE so ergiebt sich richtig : (40) —4p, py Py Po -— cyel. = — (4; 73 — Jp 7)? — eycl., Es berücksichtigt man dagegen zuerst die Gleichung p,p, = a 0, so entsteht oe falsche Resultat: (41) — Ap, PaP, Pa — cycl. = 0. Verhand. Kon. Akad. v, Wetensch. (1° Sectie) Dl. XII. F 2 ‘ HAS ed 12 DIE DIREKTE ANAL! Die Zweideutigkeit wird aufgehoben durch Bfr 4 Zw gleichberechtigter Vektoren p und Ls Es ist dann: (48): opp Sep. P == — 4 pi Pa mn Pa ete., und dieser Ausdruck hat nur einen einzigen realen Wert. Geometrische Deutung einiger Produkte. von bestimmter Richtung, ‘und mit einem bestimmten durel ; Pfeil angegebenen Richtungssinn, aber von übrigens unbestim Lage, es Länge dem Meals des Vert (44) VONT gleich ist. Ein einfacher Bivektor ,V läszt sich darstellen durch einen Te einer Ebene von bestimmter Flächenrichtung, und mit einem stimmten durch einen Drehpfeil angegebenen Richtungssinn, | von übrigens unbestimmter Form und Lage, dessen Pla dem Mot RSA (45) ste MV | > Zs Fa gleich ist. Das vektorische Produkt zweier Vektoren y und w ; der Bivektor ihres Parallellogrammes. Der Drehsinn wird ieee die W Abb. 1. Vektorisches Produkt zweier Vektoren. Folge v w bestimmt (fig. 1). Ein zusammengesetzter Bivektor kann in verschiedenen Weisen als Summe zweier einfacher Bivektoren ge- schrieben werden, und stets als Summe zweier Bivektoren, deren ed seiner abn: valli rc und beide haben den- Modulus. Abb. 2. Vektorisches Produkt dreier Vektoren. au Ein Trivektor sv eed sich darstellen durch einen Teil einer Hyperebene von bestimmter Hyperflichenrichtung, und mit einem _ bestimmten durch einen Schraubpfeil angegebenen Richtungssinn, aber Abb. 3. Der Hyperschraubsinn des Quadrivektors t uy W, bestimmt . FA durch die Reïhenfolge der Faktoren. von übrigens unbestimmter Form und Lage, dessen Inhalt dem Modulus (46) 30m TT V ah 3V x 3V gleich ist. Das vektorische Produkt dreier Vektoren ist der Trivektor te F 2* il ihres Spates. Der Schraubsinn vie durch de ie Reihenfolg d 8 "toren bestimmt (fig. 2). Ein Vektor oder Trivektor ist senkr : 7 zu seiner Erginzung und hat denselben Modulus. | unbestimmter Form und Lage, dessen Inhalt dem Modulus (47) | 40m = Vv aY | gleich ist. Das alternierende Produkt vierer Vektoren ist der Q | vektor ihres Hyperspates. Der Hyperschraubsinn wird durel Reihenfolge der Faktoren bestimmt (fig. 3). S js Das skalare Produkt eines Vektors v mit einem einfachen Abb. 4 Skalares Produkt eines Vektors mit einem einfachen Bivektor mit Modulus 1. tor ,W mit Modulus 1 ist die um 90° gedrehte Projektion dieses Vektors auf die Ebene des Bivektors. Ist der Vektor erster Faktor, so bestimmt der Drehsinn des Bivektors den Sinn der Drehung (fig. 4), im anderen Falle ist der Sinn umgekehrt. : Bekanntlich findet eine allgemeine Drehung in vier Dimensionen _ um zwei gegenseitig vollständig senkrechte Ebenen statt. Sind „v und „w Bivektoren mit Modulus 1 in solchen durch den Ursprung gehenden Ebenen und ist x der Radiusvektor, so kann eine infini- RELATIVITATSTHEORIE. oe tesimale mit ,V und „w gleichsinnige Drehung über 49 um ,V und über 4} um ,W dargestellt werden durch die Gleichung (48) “r=r+r.,v dd +r.,wd4 Sind zwei einfache Bivektoren „v und W vollständig senkrecht zu einander, so ist: (49) as Os sa ko 0 |, und das vektorische Produkt ist der Quadrivektor des durch 2V und,W bestimmten Hyperspates. Sein Modulus ist ,v,, ,w,. Sind ,V und ,W halbsenkrecht zueinander, so haben sie eine Richtung gemein, es ist (50) oV-oW=0 ,29YX2W—=0 , und das mittlere Produkt stellt einen Bivektor dar, der zu ,V und ,W halbsenkrecht ist, und dessen Modulus gleich „v, sw, ist. Liegen ,V und ,w in derselben Ebene, so ist (51) ov Wit NK: und das skalare Produkt ist gleich —,v,,,#,, wenn die beiden Drehsinne übereinstimmen. Ist „v einfach und „w beliebig, so kann ,W stets geschrieben werden als Summe von drei Bivektoren, ein einfacher in der Ebene von ,V, ein zusammengesetzter halbsenkrecht zu ,V und ein einfacher vollständig senkrecht zu ,v. Hat ,v den Modulus 1, so lautet die Zerlegung von „w infolge des associativen Gesetzes für + : (52) .W=—(,.V..V) W=—(.V1,V) LW = —9V IV LW) = = — VOV. pW) — oV * GV * pW) — 0 V OV XW). Die geometrische Deutung der übrigen Produkte, die ebenso _ einfach ist, bleibe dem Leser überlassen. ~ Die skalaren Ueberschiebungen höherer Gröszen. Zur Erlangung einer Regel, welche das ohne Gedächtnisarbeit anschreiben sämtlicher freier Regeln (26) gestattet, wenden wir uns zunächst zu den Produkten hôherer Gröszen. Sind einige Gröszen verschiedener Hauptordnung als Produkte idealer Vektoren gegeben, so können aus den idealen Faktoren mit Hülfe der Multi- plikationen ©, 4, ©, . und X neue Gröszen gebildet werden, die orthogonale ganze simultane Kovarianten der gegebenen Gröszen sind. ®) Die einfachsten Verknüpfangen dieser Art sind die Ueberschiebungen. Unter i-te (gegenliufige) skalare Ueberschiebung ‘ der als geschrie- benen Produkte idealer Vektoren Gröszen a) Dasz alle ganze orthogonale Kovarianten in dieser Weise gebildet werden können ist Inhalt eines Satzes, der mit dem ersten Fundamentalsatz der symbolischen Methode der Invariantentheorie korrespondiert, und an anderer Stelle bewiesen wird, (53) seul. BE ARE verstehen wir die Grösze: Pp Pp + (54) NEW == (Npe Wijd Vp-its EWI) Vin Vol We Aa Die nullte skalare Ueberschiebung ist offenbar mit dem algeme Ke Produkt identisch. Unter 7-fe (gegenläufige) alternierende skalare Ueberschiebung ? À verstehen wir ferner : # (55) viw=(v, M): Moer MT Man Ko MN Die nullte alternierende skalare Ueberschiebung zweier alternierend n Ee ist Ro mit dem alternierenden Produkt identi sten alternierenden skalaren Three identisch, wenn die HF toren von gleicher Hauptordnung sind, Mes die Differenz der Hauptor dungen 1 ist. Die skalaren Ueberschiebungen kônnen auch nach anderen bestimmt angegebenen Faktoren gebildet werden, die angegebenen gegenläufigen sind aber für unsere Zwecke die wichtigsten. Sämtliche i bases sind distributive Verknüpfungen dre also Produkte. Für die skalaren Ueberschiebungen gelten offenbar folgende 28 Hauptregeln : à D 1. Jede zweite oder höhere Ueberschiebung, bei der zwei sym- — metrische Faktoren des einen mit zwei leenen des anderen Faktors verknüpft werden, ist Null. Insbesondere ist also: (56) ty 2 ow = 0. ; CRU en a se = ? i (57) (a: iv iy wu 1 w)= ur vw, insbesondere ist also: - Pp p Pp (574) Guy) w= ut (tw =utv!w. Allgemein gilt: 58 prgNe r (98) nicy? iw) = (uv tw, insbesondere ist also: ; - Pp Pp (58a) uitw) = aw? w 3. Sind v? und w? als ideale Potenzen sos symmetrische Gröszen, so ist: (59) vei w == VEEN CO ow) We CE = (VW) vS ee | De A SMA: TUE” | Benso i ist für alternierende Gröszen : bk Ww! = —yify.... {v.(v.w) w}.. Fans = pirat hd a w) wit je Then (VW) vei wt eee hie Di (v : w)' wu Wa -V(V.W) =—(V.W)V “Infolgedessen ist: 6 NV? NEC Lee EE: … Die lineare homogene Transformation von Vektoren und Bivektoren. a Die erste skalare Ueberschiebung eines Affinors zweiter Haupt- 5 ordnung mit einem Vektor: — Lio Eu v= pty | F stelt eine lineare homogene Transformation dar. Schreibt man 2 | | op = Pele led à worin die p und leichberechtigte ideale Vektoren sind, so ist die D qs _ korrespondierende Transformation des Bivektors »W=W, w: eN: __(W‚ und We sind ideal): ai WIG AG =p, (D2 : Wi) X Qi Qo « Wo) = : = Pa X Qs (Do Qe) * (W2 Wi) = . ee (66) | = — (Pi X Qi) Pe X Ge) * (Wi X We) — (Pi X Qs) (Pa X Qe)? 2W _ Der Affinor vierter Hauptordnung + (PD: X 4) (Po X d), der in den beiden. ersten sowie in den beiden letzten Stellen alternierend ist, korrespondiert also mit einer linearen homogenen Transforma- tion von Bivektoren, bei der einfache Bivektoren stets in einfache übergehen. Offenbar korrespondiert jeder Affinor der Form FX 8) (t XU) worin T,‚, S, f und a ideale Vektoren sind, mit einer linearen homo- | + TR = Backbone oder, wenn (67) rr X 9) EX U) =(t XW) (r X8), als Bivektortensor bezeichnet werden. Nicht jeder Bivektoraf in abe mit einer 4 de ea Dazu ist | mit dieser bat Eigenschaft läszt sich irate + (p X 4 (p X q) und der zugehôrige reelle reale Tensor zweiter Ordnung ist d 44 0 p=. er. Für die Theorie der höheren Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Ma: bestimmung sind die Bivektortensoren wichtig, da der Riema Christoffelsche Affinor eine Grösze dieser Art ist. ès Die Ueberschiebungsregel. *) Die alternierenden skalaren Ueberschiebungen sind wonden wichtig für die freien Rechenregeln (26). Jedes ., X, í oder 4,46 Produkt zweier alternierender Gröszen ist nämlich bis auf einen RE Zahlenfaktor der alternierenden Ueberschiebung der Faktoren gleich. ae Dieser Faktor, der Ueberschiebuagsfaktor, hat den Wert (€) Di wenn p und g die Anzahlen der Faktoren sind und 7 die Über ar schiebungsnummer, und ist also der Anzahl der Terme des aus- geschriebenen Produktes gleich. (Vgl. S. 6). Bs ist aber nicht nôtig den Veberschiebungsfaktor zu kennen, da dieser gerade einen solchen Wert hat, dasz sämtliche verschiedene Anordnungen je einmal gezählt im Produkt auftreten. Dadurch ist es möglich ohne diesen Zahlen- … faktor zu verwenden und also ohne Gedächtniszarbeit sämtliche Regeln sofort anzuschreiben, wenn nur die Ueberschiebungsnummer des Produktes bekannt ist. Diese Nummer ist folgendermaszen zu be- stimmen. Sind die Stufen (Anzahlen der Vektorfaktoren in den Fak- toren) p und g und die Hauptstufen ‚und g’, so ist die höchste Ueberschiebungsnummer u die kleinste der Zahlen p und g und die Anzahl der Ueberschiebungen v um 1 gröszer als die kleinste der Zahlen p'und 7. Die Veberschiebungsnummern sind also #,....,u—v—+1. Für x = 4 ergiebt sich daraus folgende praktische Regel: Giebt es nur eine Ueberschiebung, so korrespondiert diese mit der Multiplikation Ÿ, giebt es zwei Ueberschiebungen, so korrespondiert a) Näheres siehe 18, 1. A RELATIVITATSEEEON. à die höehste mit .,- und ‘is niedrigste mit >, wenn die Anzahl der Vektorenfaktor in heiden Faktoren < 2 ist oder in heiden > 2, im anderen Falle ist die Korrespondenz umgekehrt. Für drei Ueber- … schiebungen korrespondiert die höchste mit ., die mittlere mit x und _ die medrigste mit X (vgl. S. 12). _ Aus dem Umstande, dasz die höchste alternierende Ueberschie- bung der höchsten gewöhnlichen gleich ist, folgen einige Regeln für die Produkte von Lineargröszen die sich in den folgenden Ab- schnitten als wichtig erweisen werden (vgl. S. 16): Teg eee nd A KE Me ee Pas db RR 0d (68) ax ,b—3a'.b A 4b—12,a 2b 5 « . Das System Ri und die einfache Relativitätstheorie. _ Verschicdene Autoren über die einfache Relativitätstheorie haben - 7 Fragmente des Systemes 2} aufgefunden und verwertet. Bei ABr4- HAM, SommerretD, Frank und Laur !) treten im ganzen fünf multi- _ plkative Verknüpfungen auf, und von diesen werden zwei durch Einführung des zu einem Bivektor „v gehôrigen ,,dualen” Bivektors, _. (dualer Sechservektor, in unserem System — I,y = — ,v J), verdop- pelt”). Wrrson und Lewis?) haben auf diesen Grundlagen fortgebaut und erreichen alle Multiplikationen bis auf drei”). Alle Ableitungen beruhen auf Analogieen mit der gewöhnlichen Vektoranalysis, und die erhaltenen Multiplikationen sind keine Teile einer associativen Multiplikation. Infolge dessen können die freien Rechenregeln nicht nach der Ueberschiebungsregel ohne Gedächtniszarbeit sofort ange- schrieben werden, sondern lassen nur tabellarischen Gebrauch zu. Auch sind nicht sämtliche Regeln vorhanden und sind die Namen a) Das Verhältnisz von ,v und-—J,v ist keine eigentliche Dualität. In der einzigen bei der orthogonalen Gruppe wirklich existierenden Dualität i, i’ (vgl. (25)), ist ths ; nicht dualistisch zu Li; sondern zu sich selbst. b) Auf das Fehlen dieser drei Multiplikationen sowie auf die Beziehungen zu einem Sedenionensystem hat zuerst J. B.*Snaw 3) aufmerksam gemacht. Sign oon eit: aa 2) 10. 3, 19. 1. | EE pe wes A DIE DIREKE ANALYSIS ZUR. NEUEREN "à skalar und vektorisch nur nie und. nicht wie / bestimmten Prinzip, über die vorhandenen Multiplikationen vertei So kommt auch die Dualität j, i’ nicht zum Ausdruck, sogar nich bei Wirson und Lewis, obwohl diese Autoren Einheiten et T i, i, dp, 1, verwenden. Der Graszmann’schen Ausdehnungslehre liegt zunächst die lineare homogene Gruppe zugrunde, und insofern — eae sie bis auf don en mit dem sr A S’, (vergl. S. 30 und 31 Fussn. ©) Durch Verwendung der Ergän- ming (vergl. S. 14) entsteht die innere Multiplikation, ele Anwen- — dung auf die rotationale Gruppe ermöglicht. Auch für diese Gr uppe gestattet die Ausdehnungslehre nur “iabeligrisches Gebrauch der Rechenregeln. Nachstehende dualistisch geordnete 'abelle giebt ei Uebersicht der bei einigen Autoren vorkommenden Produkte. ©) Graszmann. Wilson —Lewis. Sommerfeld, Laue, etc. + [a b] +axb axb= je + [ab] vektorisches Produkt. + [a | b] —a.b ; a. b= + (ab) skalares Produkt. — +[a,b]| +a X,b aX ,b=,¢ +Le=[a,b*] vekt. Prod. mit — dualem Bivector. + | [a | ,b] +a.,b a pe —[a,b] vektorisches Produkt. Be AR +la=tal | +kha=tak|al=—la=b*) VE js sk a,b] +axX,b a. ,b=,¢ oe : “ nr are + TRE eh aX,b=,e |S|+1,e—{(a,b*) skal. Prod.mit + [a,b] +,aX,b |axX,b=,e DIE dualem Bivector. A+ i= Je ‘S| a,b] vekt. Produkt. (Mie). — [a | ,b] —,a.,b a. b= E\— (a,b) skalares Produkt. — +1,a=+4,a1 |+ka—+,aklal=1,a=,b#*)£S) —,b=+,a*. en je == kk=—1 | Gags cal à | lé ee tia=+aljika=—+,ak|al——_I1,a=b*) „a ‚b=,e ; ai +[|..a | bl 58 sb 24 X,b=e ‘ 4 lS | „bj +,a.,b Mee 4 —[ | ,4 | .b] AK DP | Das System A umfasst die existierenden Fragmente, es enthält alle Multiplikationen, die von Lineargröszen zu Lineargröszen fübren, und dürfte, der einfachen Behandlung der Produkte mit Hülfe der Ueberschiebungsregel wegen, für den praktischen Gebrauch besonders a) Jedes Produkt ist durch ein Beispiel angegeben, für die Multiplikationen ist die Schreibweise der verschiedenen Autoren verwendet, für die Gröszen aber überall die hier gefolete Schreibweise. Nur der duale Bivektor ist mit dem üblichen Stern bezeichnet, während k den kommutativen Skalar von Wirson und Lewis andeutet. Bei den mit *) bezeichneten Produkten ist die Korrespondenz mit den anderen Systemen eine mangelhalfte, da diese Systeme den nichtkommutativen Skalar I nicht enthalten. 2) 18. 2. i _ geeignet sein. Von Anwendungen wird hier abgesehen, da diese ed _ sich von selbst in den beiden folgenden ‘Abschnitten ergeben. SAS / . Die Faltungen. Unter (skalare) Æalfung") der als Produkt idealer Vektoren ge- Pp schriebenen Grösze à — a,...a, nach den Faktoren aj, a, jh verstehen wir die Grösze: (a; . à) ay CR CAE is a; 4 aly he at e à; aj +4 aise « a . Eine Grösze kann auch nach mehreren Paaren gefaltet werden, und jede skalare Ueberschiebung ist offenbar eine mehrfache Faltung des allgemeinen Produktes der Faktoren. Skalare Faltungen können, der bestehenden Dualität wegen, auch gebildet werden, wenn die Gröszen als Produkte von realen oder idealen Trivektoren gegeben sind. Die vektorischen Ueberschiebungen hoherer Gröszen. Unter i-le vektorische Ueberschiebung +, einer alternierenden q Grösze „A mit einer allgemeinen Grösze b = D,....b,,p Hi <4, verstehen wir die in den ersten p +-7 Faktoren alternierende Grösze q TA (69) Sb (a De br De D,,...,D, heiszen die ergänzenden Faktoren, Die Ueberschiebung kann auch an der anderen Seite gebildet werden und auch ‘für den Fall, dasz die Faktoren als Produkte realer oder idealer Trivek- toren gegeben sind. Der Haken des Multiplikationszeichens zeigt stets nach der Seite des Faktors, dem die ergänzenden Faktoren entnommen werden. Für vektorische Ueberschiebungen gelten offen- bar folgende Hauptregeln: _ 1. Eine vektorische Ueberschiebung ist stets Null, wenn zwei der ergänzenden Faktoren gegenseitig symmetrisch sind. Ef 20 Arn ef SL Ae, milk: (70) AES), insbesondere also« q q (T1) ni (bi (ax a)b=—=0 q a 2 (a 4 b) — 0 q a— (a 4 b) =.0: eee hrs tend Af SA, Bil: a) Vergl. S. 31. ie nd Sc D di 0 (72) Ga) ~=%a (b= j=, b+ Das mit den Ueberschiebungen und Faltungen erweite ys R} nennen wir Æ?,. Die theoretische ho der Systeme gründet sich auf der an anderer Stelle zu beweisenden Bigens vermittels Dn Multiplikationen o und . „bleiten lis Ex tische Bedeutung beruht auf der Ueberschiebungsregel, wel Rechnen ohne Tabellen ermöglicht. Gs. Die Zerlegung eines Affinors zweiten Hauptordaung. — Jeder Affinor zweiter Hauptordnung ab kann in drei ? zerlegt werden, den Sk£alarteil: © (73) __ Sab=4/,(a. b)2e, wo: (74) Pe Sai sl. ET La den Bivektortei!: (75) Bab=ax von „a und b, p+i=i (85) ba bab, 7 Hit BE 4 je Für diese Ueberschiebungen gelten die S. 27 angegebenen Ree PE und die zu diesen Bes dualistischen. HA a) Älmliche Verkniipfungen treten auf bei E. Mürren!) und F. June *) auf und heiszen_ Me dort mehrfaltige Multiplikationen. ; b) Die Zeichen der skalaren Überschiebungen des Systeme AR? und si sind eleich ge- nommen. Dies kann keinen Anlasz zu Verwirrungen geben, Bre man sich stets dar- über Rechenschaft giebt in welchem System die Rechnung erfolgt, d. h. welche Gruppe den Betrachtingen zu Grunde liegt. Beim Ubergang zur orthogonalen Gruppe gehen die skalaren Überschiebungen von Sl, in die von R° über. Mgt RELATIVITÂTSTHEORIE. 31 ‘Auch nach anderen bestimmt angegebenen Faktoren können Ueberschiebungen gebildet werden. : . 5 Pp q r Unter skalare Faltung einer gemischten Grösze, z. B. a bed’ e nach den Faktoren D und d’ verstehen wir die Grösze badyace. . ~ Jede skalare Ueberschiebung kann durch mehrfache Faltung des allgemeinen Produktes der Faktoren erhalten werden.”) Das mit den Ueberschiebungen und Faltungen erweiterte System S° nennen Do wir Sje. a Auch die freien Rechenregeln von Sj lassen sich, wie die von % in systematischer Weise angeben.°) Da das System 8; hier nur 4 ‘ yoriibergehend verwendet zu werden braucht, geben wir nur einige q der wichtigsten Regeln an: a À b = Grosse zweiter Stufe 2 “Vis a A b’ = Skalar in 1 À a\(bve)=abce—abe je ‘ &A(b'AC)— (a Ab) — (ane) D’ | (86) a A(be d)— a bed =abed = Skalar in E ‘ a À (b° € d) — (a À b’) © à d + … AAD Ede) — (a À b’) de’ + RL (anbìnend=abed=abed (an b)A(e’ nd’) —=(baAe’) (and) —(bad’)(aane”. etc. (Vergl. (26)). Wird nun die Form: Bay ES uy XX Seed =a BAO a) Dieser Faltungsprozes korrespondiert mit dem aus der Invariantentheorie bekannten Faltungsprozes der linearen homogenen Gruppe und mit dem Verjüngungsprozesz Einsrein’s.*) b) An anderer Stelle wird dies bewiesen fiir si. Die Formeln korrespondieren bis auf Vorzeichenänderungen und die Nichtidentifizierung von I mit 1 mit Formeln der Grass- mannschen Ausdehnungslehre (ohne innere Multiplikation), können aber im Gegensatz zu diesen infolge ihrer associativen Abstammung ohne Gedächtniszarbeit mit Hiilfe einer Ueberschiebungsrègel angeschrieben werden. Dies gilt, wie dort kezeigt wird, insbesondere für die komplizierteren Fille, die sogenannten Miiller’schen Formeln und ihre Erweite- rungen. Hierauf beruht die praktische Bedeutung der Systeme st. Ihre theoretische Be- deutung griindet sich auf die an anderer Stelle zu beweisende Kigenschaft, dasz sich alle speziell-affine Kovarianten einer gegebenen Reihe von Gröszen aus den idealen Vektor- faktoren dieser Gröszen und einer beliebigen Anzahl Faktoren E und E’ vermittels der Addition und der Multiplikationen o und /\ ableiten lassen. 3) 16. 7. S. 23. und damit aios. Ug"! Xu Xy, wo g“ den durch | g | dividierten Minor von g,, darstellt, 1 riant erklärt, so sind die Koeffizienten dieser. Formen Bestù mungszahlen eines ko- bez. kontravarianten Tensors zweiten Range: (87) En seh = as 0.6. AN. ist es nun das Selbe ob ‘die Eigenschaften meen eines srt I Gröszen bei der Gruppe, die 2e invariant läszt, betrachtet werden, die lineare homogene Gruppe. Nun giebt es 4 Site en Einheiten 1, 1 so dasz: à | (88) 8 Fe i? +. un + i,’ 29” =i,” iy os it und ebenso kann man Sätze angeben, so dasz; eee In Bezug auf die Bestimmungszahlen 1, 2, 3, 4 und 1’, 2’, 3, 4 zn ist aber de Gruppe, die °g invariant läszt, die orthogonale Gruppe, — a und das System 2? musz sb aus S,' in Verbindung mit os he vorgehen können. Die Verkniipfungen VE Ne ae sind nun in der Tat identisch mit den skalaren Produkten yv . wund — Vv’. W in einem System 2} mit den oe L.-- «> Le ls. dg, und ebenso sind y,..7V, bez.W, IV DS tisch mit alternierenden marae: ia demselben ‘System, Werden also diese Verknüpfungen, aus denen sich nach (26) alle anderen ableiten lassen, eingeführt, so geht 8,’ bei der bei der orthogonalen Gruppe erlaubten Identifizierung von i mit i’ über in Fj. Da die freien Rechenregeln von den zu Grunde gelegten Einheiten unäb- hängig sind, entstehen stets dieselben freien Rechenregeln, unab- hängig davon welche nichtspezialisierte Grösze 2g man einführt. 7g und *g’ werden identisch und gleich: (90) Bt Mt Se VE a) In der auf S. 8 gemachten Annahme erfüllen die Einheiten e , e’ selbst diese Be- dingung. 4 ah akan 4 gas oak nl Fe jets | ae RELATIVITÄTSTHEORIE. HAE € 33 2 Für die urspriinglichen Einheiten gilt: E. tee ; 0 für w+ v el (91) Cx . ey == gt’, Cu . Gy = Jus Cu . e, 1 Ls Le ey und: (92) e, = ee, 0’, E A es TE es €, Cy E und diese Kinheiten bilden also sogenannte reciproke Vektorensitze Der Unterschied zwischen Kogredienz und Kontragredienz ist infolge _ der Adjungierung von ?g verschwunden, es giebt nur noch eine Art Gröszen, jede Grösze kann aber entweder in @ oder in e’ oder in Ï ausgedrückt werden, und bekommt dann kovariante bez. kontra- variante bez. orthogonale, d. h. zu sich selbst kontragrediente Bestimmungszahlen®). Es ist zu beachten, dasz die Ersetzung von S, durch -das einfachere System ZX? erlaubt ist, solange °® fest gegeben ist. Aendert sich *g, so geht die zu Grunde liegende orthogonale Gruppe in eine in Bezug auf andere Einheiten ortho- gonale über, und während der Aenderung liegt also nur die lineare homogene Gruppe zu Grunde, der Unterschied zwischen Kogredienz und Kontragredienz tritt wieder ein, und es gilt nur #4. “Operatoren und Operatorkerne. Ist x’ der Radiusvektor, so transformieren sich bekanntlich die Bestimmungszahlen des einfachen Operatorkernes erster Diffe- ù ù x À “rentiationsordnung : at ù ù 6, dx“ ar A0 a ra (93) v= Bos ——,j=1,..., 4, bet dx; der orthogonalen Gruppe. V hat also die a/gebraischen Eigenschaften eines Vektors, dazu aber auch noch differentiierende, also analy- tische. Mit irgend einer beliebigen Multiplikation + bildet v einen wie dië eines Vektors. Das Selbe gilt für p Operator. 1) Zu jeder Grösze a gehört in derselben Weise ein Ope- ratorkern : p ; a : ù (94) yi 28 OR mens da, ip a) Vgl. Fusznote a) zu S. 41. *) Der Unterschied zwischen Operatoren und Operatorkerne wird in der gewöhnliohen Analysis auszer Acht gelassen, weil es dort nur eine Multiplikation und daher zu jedem Kern nur einen Operator giebt. Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie) Dl. Xif F 3 mit derselben Orientierungsweise als 4 Allgemein ist offen x a » Id 2 p ee (95) 7 A BE Für eine Grösze à gilt natürlich bal Chen à ee Fir die Anwendung der Operatoren gilt folgende egel de Pine Gleichung mit ones ist richtig, wenn die Kerne ie den algebraischen Regeln folgen, und zweitens links ee jn _dieselben Gröszen differentuerend beeinflussen. ; Anschlieszend an den Gebrauch der gewöhnlichen Arold wir fest, dasz die differentiierenden Eigenschaften sich ering zur nächstfolgenden schlieszenden Klammer. D, ie Wirkt ein Operator V — auf ein beliebiges Produkt belieb : Gröszen, so ist zunächt mit Hülfe des distributiven Gesetzes abzu a’ ‚4 r ro qu 2 q r | (96) velbre)vrlb se) +. 2(b 30), ie sie B q 2 is . LE] . wo V, nur auf D und v, nur auf © differentiierend wirkt. es nun zwei Multiplikationen —e und =p, 80 dasz allgemein, ar ; pq r alle Gröszen der Orientierungsweise von a, D und €: (97) ar (bre) =(asb)ee, so ist: ; p : fa Wy ae (98) v, ¢(b pe) =(v gh) ve und . 4 q r q Fe r (99) velh 26) = (he v) ee, ze wo e die Umkehrung von — ist. (D V) ist ein zwsammengesetzter Operatorkern. Gilt für — und — allgemein: p ees pr q (100) i he) = Ch oe) eee so kann auch der zweite Term rechts in der einfacheren Form: z q (as 5 72 q Dee verbrede b geschrieben werden. Auch andere Umformungen sind möglich, exis- “. d | geschrieben werden ——: Pp d'a? ne: ‘ ie p dh B (105) | dar =dh. 4 da? 4 dsten tak CAT E “4 esondere gut tur V Rh à FL db (106 <3 = dÌ (106) dx Ty dh. Die Rechenregeln für die Differentialoperatoren folgen also alle aus den Rechenregeln für die Gröszen. Für eine Analysis, mit der wirklich praktisch gerechnet werden soll, ist es also von der gröszten Wichtigkeit diese Rechenregeln stets vollständig aus dem Gedächt- nisz anschreiben zu können, da der Gebrauch von Tabellen sehr unpraktisch und zeitraubend ist. Als Beispiele in Æ? seien berechnet : (107) a) V.(VXW)—=(V.V)W—(W.V)V—(V.W)V HE (V.v)w. DVLCY EN) NEEN NV WEN = = (V1,v).w—(V X WV BIN Dés hat also die Bedeutung ue Differentialquotienten und kann - (107) © v! oen nat ok Ln A) Ae al nvt VVI = ha à ea ihe 2¥). a a hee ea d) (YW = AEM P= 1 2, da i 7 aus (58a): | ye und aus (71) unter Berücksichtigung der Identitat v X Vv = à | valve Xn 0. L d 8 à Pp A Ny Ae Lu) ve (y LVW Ve. .V, + ete. n=0. | A vane (VV V‚) 0 Va} V3-- Vp pete. ! Linien-, Flächen-, Hyperflächen- und Bep ue im R Die Raumelemente seien in folgender Weise angedeutet B Linienelement ds ‘ Flächenelement dr, ft AE Hyperflächenelement ,m de , ,m* Ren ‚sm Raumelement — lar. of, ,m und n sind Gröszen mit Modulus 1. Für das Linienintegral eines Skalars über eine geschlossene Kurve (110) Mn Le à Prde= 1] GPX viede und daraus folgt en für eine beliebige Multiplikation as (111) pa eee v) = hae [itt x hde ; und ee 9 D Pp a) [aa——[otvyade——2] tv a) dc), (112) Ss Ca Ca 5) [aaa 2413] ,f* Av a) de"). a) Nach (81) *). b) X ist kommutativ, vgl. S. 29, (81) und (83). e) Nach (68). d) Nach (21b). e) Nach (69). f) Vergl. S. 59, (II 122). g) Nach (68). h) Nach (68) und (107d). - *) Vergl. Lave 11. 2 S. 86. > er wats ‘eine beliebige det s AU Fläche teil die Drehrich- von of ist die Richtung der Integration, und also bestimmt ch einen von innen nach dem Rand zeigenden Richtungssinn, st durch den Richtungssinn der begrenzenden Linienelemente ds. ie aus (111) und (68) hervorgehende Formel: os pre v=—[of. V). cer erie ee =|. fv Xv)de k or respondiert mit dem Stokes’ schen Satz im dreidimensionalen Raum. vs Für das Flächenintegral über eine geschlossene Fläche gilt: me 13) hip vod —If 1 X V)p du, ey jé id daraús ‘folet on as [pie [am à or BS and insbesondere : am fac = [gm X vad =—1212{ n+ wales. w ist eine beliebige durch ¢ begrenzte Hyperfläche und der _Schraubsinn von ,m ist bestimmt durch einen von innen nach ¢ zei- _ genden Richtungssinn gefolgt durch den Drehsinn der begrenzenden _ Flächenelemente „f dc. oy Für das on über einen zusammenhängenden Raum- À teil gilt: Ê à fampde=—f ape 1frer 4 ! ; [ude [ene T und daraus folat allgemein : Pp p à a) [mpade——| dy) adr (117) mt r Pp p 5 [ne ade=|v pad A EES [0] C2 a) ,f.v ,,mXv und Iv korrespondieren bis auf Vorzeichen- und Systemunterschiede mit den Symbolen der Polarableitungen vierter, dritter und zweiter Stufe v,, v, und v, von F. June. *) 1) 10.5, | ist und insbesondere : MN UMR ee (118) " Wat Pp p D | n à de —| vaar. Da aus (1174) hervorgehenden Formel: (EOWA ee Ju.vde=[o. var korrespondiert mit dem Gausz’schen Satz im dreidimensionalen R Tr ist der durch w begrenzte Raumteil, und der durch die des Einheitssystems featgeleate Hyperschraubsinn von [ war ds UE einen von innen nach w zee Riek n ist also nach auszen KERA Die mure (109) Be mit Hülfe der angegebenen Integralsätze bewiesen werden. — II. DIE ANALYSIS ZUR ALLGEMEINEN RELATIVITATSTHEORIE. Die Urvariablen und die Vektoren @ und €. Die oo* Werte 4 unabhängiger Variablen, die Urvariablen a, : A=a,...,d, bestimmen eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit X,. Ein er Wertsatz heisze Punkt. Die 4 Gleichungen: bt * (1) gein Ad bestimmen, bei veränderlichen c, 4 Hyperflächenschaaren, die sich in den Parameterlinien der Urvariablen x, welche 4 Æyperkon- gruenzen bilden, schneiden. Bei infinitesimaler Verrückung des Punk- tes a sind die Incremente >? die Bestimmungszahlen des durch a und a+ dax, A — a,...,d bestimmten Linienelementes. Wer- den 4 neue unabhängige Urvariablen eingeführt: Ze (2) BEN EME x); 1 Nach (68). Zz 0; A, b= Ay... dy RELATIVITÁTSTHEORIE. © 39 so transformieren sich die da linear homogen und also nach der ; Tabelle (13), wenn man für (2, einführt Î É, Das Linienele- tH ay ment kann also als ein kontravarianter Vektor im Sinne des vorigen Abschuittes aufgefasst werden: (3) aX = dz’ e’,, APR * und die von einem und demselben Punkte ausgehenden Linienele- | mente sind demnach Gröszen eines Systemes Sr. *) . Jedes System von Urvariablen ordnet jedem Punkte ein System 3 von 4 Vektoren €’, zu. Zwischen zwei Vektoren kann nur ein . Grôszenvergleich angestellt werden, wenn sie zu demselben Linien- - element gehören. Zwei zu demselben Punkte von X, gehörige Vek- toren verschiedener Richtung sind vorläufig der Grösze nach unver- gleichbar, und zwei zu verschiedenen Punkten von X, gehörige Vektoren sind noch #berhaupt unvergleichbar, da ihre Bestimmungs- zahlen sich bei (1) wohl beide linear homogen transformieren, der Unterschied zwischen diesen Transformationen aber von den ganz beliebigen Funktionen 7, abhängig ist. Werden aus den Bestim- mungszahlen von zum selben Punkt gehôrigen Vektoren Bestim- mungszahlen von höheren Gröszen gebildet, so gilt das über die Vergleichbarkeit Gesagte auch für diese höheren Gröszen. Linfihrung des Fundamentaltensors. Es sei jetzt die kwadratische Differentialform Eus dat da | Juv | = —9#0 fest als Invariante gegeben. Die g,, seien stetige beliebig oft diffe- renzierbare Funktionen der +4. In jedem Punkte sind dann der kovariante Fundamentaltensor (4) - B =D Ju Cy & und der kontravariante (5) g —2ge,e, bestimmt. °g werde als Potenz der gleichberechtigten (vergl. S. 11) idealen Vektoren a, D, €, ..:. geschrieben: (6) B Met a) Es liegt kein sachlicher, sondern nur ein historischer Grund vor, das Linienelement gerade als kontravariant auf zu fassen. Die Wahl ist gleichgültig. À Rd, tj Se a a = aes x Sg = Sn a) | +, err Es gilt offenbar für jeden Vektor y: Lan ; hi (8) ie Re ies Io oder : (9) v=a(anhb) (Dy). ’ _w ausser @, , A=a,...d, die Schreibweise ein : mn: auch mit (6) und (7). (7) Ween: swept ae’: ok ite hr Führen wir nun allgemein für jeden realen oder idealen | (10) | W — 22 1 W — A (a AW). und ebenso für jeden realen oder idealen Vektor u’ Ca Fy AE . ., di (11) UE U AA BL so sind (10) und (11) infolge (8) mit einander ver erin infolge der evidenten Identität | (12) ac) Th + eC be a) Es laszt sich (9) dann schreiben: (13), vV=(VAa) a. Die gegebene Differentialform ist: ih a i ae À Diese Form ist als Kwadrat einer idealen Linearform zu shen (15) BIJ (NOS di und diese Linearform ralen als vollständiges Differential eines _ idealen Skalars DENDE bk Bai AN EX = la, de da dar Wird von jetzt an jeder Satz gegebener Gröszen erweitert durch — Hinzufiigung des fest angenommenen Fundamentaltensors *g, so gesellen or zu den aen vorhandenen Eigenschaften der Gröszen die Eigenschaften in Bezug auf °g, und das für die Gröszen in einem bestimmten Punkte Bie System Sj, geht nach S. 32 in 2°, über. (16) a, = a) E Bei Einstein: ge” = g?* of I up ’) Se ) 16,7 S. 29, é EN is «~~ Gar ¢ RELATIVITÂTSTHEORIE. 41 Wie im vorigen Abschnitte dargelegt ist, verschwindet dann der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen und es bleibt 7. B. bei einem Vektor v, der jetzt stets ohne Accent geschrieben werde, nur der Unterschied zwischen den Bestimmungs- zahlen, die gehören zu @’,, zu €, oder zu irgendwelchen orthogonalen Einheiten i,, für welche gilt: (17) $= g=rij $ J Da offenbar ’g ! v = y, folgt: j=l,..., 4. = (18) V = (& - va. Die Formeln (13) und (18) werden sich weiter unten als be- sonders wichtig erweisen. Wir schreiben: (19) Vonne Ed, A= 4,...,d + ONE A und für das Differential dx: dX = = de, 0, = Ede’, =de AS nd fe Teen ae Dabei ist zu bemerken, dasz die dv, und dv, im Gegensatz zu den J te] dx? keine exakten Differentiale sind, und 2, sowie 2, daher für 2 J sich keine Bedeutung haben. ”) | Durch die Einführung des Fundamentaltensors ist die Môglich- keit gegeben Vektoren im selben Punkte der Grösze nach zu ver- okto} gleichen und ihre Winkel zu bestimmen. Es ist (20) (21) | FN vw (22) cos (V : W) = Um Wy, Für die Vektoren @ und e’ gilt insbesondere (vergl. S. 32): (23) (e= pen On IJ (ON) =O a = In | (ES Tru 24 ps (2, €,) = = ( ) C ( A» Up ) Vy" git Wan Ju a) HessenBerG *) hat wohl zuerst ausdrücklich darauf hingewiesen, dasz die Unter- scheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen unnötig ist, und damit die volle Konsequenz gezogen aus einer Bemerkung von Riccr und Levi Civira *). Auch HessenperG gelangt zu den Vektorensystemen e und e’, aber in einer ganz anderen Weise. Vgl. S. 52. b) Solche Differentiale verwendet auch HessenBerG. *) cos (@’a > e’.,) = 1) 17, 5 S. 196. OL 1 S. 144: S. 20 *) 17. 5 S. 205 a ES il . Es ist zu beachten, dasz der Unterschied zwischen kovari und kontravarianten Gröszen nur verschwindet, wenn ?g fest gege ist. (Vergl. S. 33). Wird °g verändert, so tritt während c Variation de Unterschied wieder auf, und es AE dann nu System Sj, Für die Vektoren und höheren Gröszen in einem bestim Punkt gelten alle im vorigen Abschnitte abgeleiteten esi Ausnahme der Differentiationsformeln. Denn letztere setzen die tigkeit X, voraus, und diese Vergleichbarkeit besteht bis hier nu | op | | ma Skalare. Nur dx, dp und Skalar darstellt, haben schon eine Bedeutung. Für die partiellen Differentialquotienten der idealen Skala und a* nach den av führen wir neben der gewöhnlichen auc Bezeichnung ein: ) Rod (26) Se = Oy à ee = 4, A = de Es ist dann: ¢ a (27) Arm = ‘ghee = Mya, aber im allgemeinen: > A (4 (2 8) a fa da a? nicht wie a, ein partielles Differentialquotient eines idealen ae Skalars ist. | Das Differential eines Skalars p kann auch in den nicht ciale Differentialen dx, oder da, ausgedrückt werden. Die Koeffizienten — nennen wir die partiellen „Ableitungen ”) nach +, bez. a;: A= j= 1,...,,4 dp + N (29) dp == oe dre = ae 02; a) In der Relativitätstheorie ändert sich 2g nur wenn das Gravitationspotential variiert wird. Wird die Raumzeitwelt als starr gegeben gedacht, so kann übrigens einer solchen Variation nur eine mathematische aber keine physisch wirkliche Bedeutung beigelegt werden. b) Ableitungen dieser Art treten auch auf bei HESSENDERG. ’) 1) 17, 5 S. 209. Ro Ly LEE 4 aes Es ist dann im allgemeinen : ie 31 Ain FU; fy Aye ey | 5 Orthogonalnetze und Orthogonalsysteme. Zn Bena in jedem Punkte von X, 4 gegenseitig senkrechte Richtungen | als stetige Funktionen des Ortes gegeben, so bestimmen gee ein Be Gsthogonainete, welches von 4 Hyperkongruenzen von o* Kurven 43 _ gebildet wird, die sich in jedem Punkte senkrecht schneiden. Wer- sie den die Vektoren i in jedem Punkte nach den Richtungen dieses à Netzes orientiert, so sind die dz; die Komponenten von dx nach | 5 diesen Richtungen. Da y, — 4,4, — 0 für j # ist allgemein: AR AEG ù PRE Eer Ad Lin EEN Le, iERD 7 Sind simtliche 4 Souk cea flächennormal, so bestimmen sie ein Orthogonalsystem. Werden die Urvariablen in Bezug auf die PB erflächen dieses Orthogonalsystems gewählt, so werden die e} gegenseitig senkrecht und €,’ hat De Richtung als @‚. Es wird Do also goe —g#—0 für Ap, und infolgedessen ist in diesem nn: +4 Falle : a | : Pre ù Arle EN CC À "LS . (83) ayy au = Sp Jaw TT An Guy = — Ga Or à En ak 4 ae Die Christoffel schen Sn ; oa À ; Da: ek NE ) 2 : & % | x fe = Any Ao + Au dry ‘oN | 0 vo is te (34) + | = Ay de Se ay Aou ; AE 4 st j ee. he == — Aue Uy — dy Aye à Be Ë folgt für das bekannte Christoffelschen Symbol [©]: oan (35) Be = Any Ag = Ayu as “a a) Die Gröszen ajt ax sind identisch mit den „coefficients de rotation” yjx von Riccr und Levi Crvrra *). Thre ioe Bedeutung ergiebt sich aus der Gleichung: a; ay = A Paso d th 2av(a.i,)=i,i?vi,. *) 01. 1 S. 148, Aus due Gleichung folgt tir (36) PE" (VJ = spa, „a ay ba, =a a Da offenbar | | | oe (87) tt à ist: | (55) und infolgedessen gilt stets: (39) | se Ae ==) \ ad UV ARS ores + a nées : "Fr whe x aoe be = & & I | = Q F Die geodätische Linie. se Die Gleichung einer geodätischen Linie lautet: (40) ie be sf a= 6 ned ot AO IS Ren . 1-4 und es ergiebt sich daraus in bekannter Weise durch Ausfü der Variation die Gleichung : | a f d dx? wy dE da | | Glia MARS AN ER welche Gleichung infolge (37) identisch ist mit: d dx? da de’ 4 ee | GAS ENS Gd ds ds nie U qe ds oder : , ddr da, dek de’ À À ad gn rang) nn AA ne 5 da ds ds d dat da, dx ~ = @ dar Sie Bre Me ih gs ne ds + À Ge ae oder d ax 41 dE in EE CEE " ds (a D> dX Nun ist ae der in jedem Punkte der geodätischen Linie in der Richtung der Tangente gelegene Einheitsvektor, und die Gleichung besagt also, dasz eine bestimmte Differentialfunktion dieses Ein- heitsvektors entlang der geodätischen Linie verschwindet: ‘ dx 2 € de | Ve (42) a d(a En 0 - a ad(a.v) ° = fragen nach der geometrischen Bedeutung dieses Ausdrucks. Da derselbe a zweimal enthält, und tiberdies nur Vektoren und | keine Bestimmungszahlen, ist zunächst klar, dass die Bedeutung ‘ q eine reale und von jedem Bezugssysteme unabhingige sein wird, Zur yr näheren Ergriindung beziehen wir uns auf ein Orthogonalnetz ®, B das so orientiert ist, dasz in dem betrachteten Punkte P die j Kurve _ die Richtung der Verrückung angiebt. In P sei der Vektor v, und a 0 sei ein Punkt auf der / Kure durch P in einer Entfernung da; ‘2 von P. Es ist dann: (43) adW.1)—ade,= aba, de kN "4. ‘a Führen wir nun im Punkte Q die Vektoren ein: 4 : (44) ‘I, F0 i, —ad(a. i,) a i, tue > ay; de, a i, pa a ve Py , / a — Fa, a; de, À, , = Nr AS ’ B, dann sind diese Vektoren wnabhdngig von jedem Bezugssystem eiz- ‘ ie re deutig bestimmt, und es ist: (45) ‘ik im = hh = 2 a, Ay; da; i). (ln — > a, iby dev, L) == 4 für k=m ma id I, dr (a, a A sa Un dj) de; = i,. at, aac to » ktm, i a da nach (32): (46) ay am; ae Un Qi; == 0, und die Vektoren ‘I sind also wiederum gegenseitig senkrechte Ein- __ heitsvektoren. Die Bestimmungszahlen des Vektors v in Q in Bezug ie auf das System i sind: (47) ont doy =m, + EST de el QUE seo 1 taht 5 und die Bestimmungszahlen », ae Vektors in Bezug auf das System ‘i ergeben sich aus der Erwägung, dasz die Transforma- tion (45) selbstkontragredient ist und also die Transformation der Bestimmungszahlen mit der Transformation (45) der i identisch ist: a) Man kann die Rechung auch für ein System e’ durchführen. Ist dann Q ein Punkt auf der a-Kurve durch P in einer Entfernung da* von P, so sind in Q die Vektoren ‘e’ —e —ad(a. e’,) " einzuführen. (48) KON io Voen Ea dy de, Bi; kN Nun ist aber: | Bes ae (49) ad(a.v)= > (a, A, LE dv, + a, 1), Er Ay dev) =. a =f i, (do, — = a, Ay; dee, me a denn a, a, = 0 für HAA die Fanktion ad@. v) és a zusammen fillt. - Das geodiitisch bewegte Bezugssystem. ein geodütisch bewegtes Koordinatensystem. Ist die } -Kurve aan so ist nach (42): und die j Achse des Systems gleitet also, immer die Richtung ¢ Tangente behaltend, an der Kure entlang. Dabei wird ein (2 — | fach-orthogonaler Streifen gebildet. Jede nicht geschlossenen geodä sche Ties einer hôheren Minnigtattickess UNS also nicht nur | jedem ihrer Punkte eine Richtung, sondern auch um sich herum eine k m2) 4e Orientierung, die durch eine der © ? (a — 1)- fach-orthogo> a nalen Streifen der Linie dargestellt werden kann. “) An Geoditisches Differential und Differentialquotient. Die Funktion ad(a.v) ist das Differential von v in Bezug auf ein geodätisch mitbewegtes Koordinatensystem. Wir nennen daher diese Funktion das geodätische Differential von v und schreiben: GEAR dv =ad(a.v). \ a) T. Levi-Crvita hat schon 1917 *) in einer Arbeit, von der mir in folge der Zeitum- stände erst nach Fertigstellung dieses Manuskriptes durch freundliche Vermittlung ein — Abdruck in Händen kam, der Begriff des Parallellismus im einem allgemeinen Raum gebildet. Das geodätisch ine Bezugssystem nimmt nacheinander Lagen ein, die im Sinne Levi-Crvrra’s parallel sind, und der Begriff der geodätischen Bewegung ist also in dem Begriff des Parallellismus Beilen’ Die Beziehungen des kovarianten Differentials zu einem geodätisch mitbewegten Bezugssystem, und die grundlegende Bedeutung, welche die Bewegung eines solchen Systems für die geometrischen Eigenschaften des Raumes hat (vel. I 67 bis 69) sind aber Levi-Civita noch nicht bekannt gewesen. RELATIVITATSTHEORIE. 47 Ein Miszverständnisz kann nicht entstehen da dy bis hier noch überhaupt keine Bedeutung hatte (vergl. S. 39). Es ist zu beachten, dasz die Bestimmungszahlen von dv in Bezug auf @‚, e’, und ji, micht dv,, de? und dv, sind, da de,, de’, und di, im allgemeinen zicht Null sind. Bei. Einführung dieses Schreibweise ergiebt sich für das auf S. 45 verwendete Bezugssystem ‘i in Q: (52) sy ‘iy a. i, Tj di. ev In derselben Weise definieren wir: (53) | vV=v(a.v)a. ; VV ist der Affinor, welcher durch skalare Ueberschiebung mit dx das geodätische Differential dy erzeugt, und kann also als geodä- tischer Differentialquotient aufgefaszt werden : (54) sr In der Tat ist: (55) dr'yvv=driva.wa=idr. vla. vla=ada. v). Allgemeiner sei noch für eine beliebige Multiplikaton — definiert: (56) V V—{v(a.v)—a. Wird à konstant, so bekommen dy ,v v und vy — v wieder die einfache Bedeutung des vorigen Abschnittes. (Vergl. S. 57). Da in einem Raume mit euklidischer Maszbestimmung à 4 (à . Y) die Bedeutung des gewöhnlichen Differentiales hat, bewegt sich das geodätisch bewegte System in einem solchen Raume zu sich selbst parallel. Daraus ergiebt sich eine einfache geometrische Deu- tung für den allgemeineren Fall. Zu jeder nicht besonderen Kurve k in einer beliebigen #-dimensionalen Mannigfaltigkeit X,, die in irgend einem höheren euklidischen Raum eingebettet ist, läszt sich nämlich eine entwichelbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit Y,, kon- struieren, die X, entlang # berührt. Es ist nun das Selbe, ob das Bezugssystem im Raume X, oder im Raume Y,, der Kurve entlang geodätisch bewegt wird. Im euklidischen Raume Y,, ist aber diese Bewegung vollstandig bestimmt. Da die geodätische Krümmung dp RSE von # in X,, bekanntlich der gewöhnlichen Kriimmung ze Ven Ein Ys s gleich ist, dreht sich also das Bezugssystem beim Fortschreiten längs ds gerade über den Winkel dd zurich. Ist z. B. X, eine Kugel- fliche und # ein Kreis auf derselben, so dreht sich das Bezugssystem beim vollstandigen Durchlaufen der Kurve um einen Winkel: 48 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN O O (57) RE A tice | wenn O den Flächeninhalt der umschlossenen Kugelkappe darstellt und > den Radius der Kugel. Wird der Mantel des Rotationskegels, der die Kugel in # berührt, auf der Ebene abgewickelt, so geht die geodätische Bewegung in eine Parallelbewegung über. Beigehende Abbildungen eines Modelles der Kugel und des entwickelten Kegelmantels mögen den Sachverhalt veranschaulichen (Abb. 5). “) Abb. 5. Geodätisch bewegtes Bezugssystem auf einer Kugel. Die mechanische Deutung der geodätischen Bewegung. In einem dreidimensionalen Raume mit beliebiger Maszbestimmung kann sich ein endlicher starrer Körper im allgemeinen nicht bewegen, und auch die an verschiedenen seiner Punkte wirkenden Kräfte können nicht zusammengestellt werden, da sich zu verschiedenen Punkten gehorige Vektoren nicht ohne weiteres vergleichen lassen. Hat aber a) Wee Wunsch des Herrn T. Levi Crvira berichtige ich hier einen Fehler auf S. 13 seiner Arbeit über den Begriff des Parallellismus *) (vergl. 8, 46), der gerade dieses Beispiel betrifft. Es wird nämlich dort geschlossen, dasz das Bezugssystem sich nach einem voll- ständigen Umgang überhaupt nicht gedreht hat. Der Fehler ist verursacht durch die Verwechslung von cos und cot in einer Formel. 1) 17. 9. f RELATIVITATSTH EORIE. 49 _ innerhalb seiner Oberfläche in erster Annäherung als euklidisch auf- 3 _gefasst werden. Es kann gezeigt werden, dasz er dabei gemachte Z Fehler für die Resultante der Kräfte en Ordnung 95 An für das ‘ _resultierende Moment die Ordung dé hat. Gilt in dem betrachteten _ Raume eine Mechanik mit dem does. dx wo k die Kraft und m die Masse ist, (die zweite Differentiierung _ ist natürlich eine geodätische), so ist die Bewegung des Körpers _ gegeben durch die Gleichungen : : (58) ; k=m ed dx 2 dx | M +E=kX r — He ag XP, wo K, und M, Kraft und Moment darstellen, die von den elasti- schen Deformationen während der Bewegung herrühren und r den Radiusvektor (Ordnung des Fehlers Jd?) in Bezug auf den Schwer- punkt. Waren =k Xr und M, Null, so wäre die Bewegung des Kôrpers also eine geodätische. Gelten in dem betrachteten Raume aber solche elastischen Eigenschaften, dasz die Spannungen von derselben Gröszenordnung (in Bezug auf 3) sind als die Deforma- tionen, so läszt sich zeigen, dasz K, von der Ordung d* und M, von der Ordnung d’ ist. K, kann also vernachlässigt werden, M, aber hat dieselbe Ordnung als das Trägheitsmoment, und die Be- wegung eines Kôrpers nähert sich also unter diesen Voraussetzungen fir =k xX r=O0 bei Verkleinerung der Abmessungen zicht der geodätischen “). In anderer Weise ist es aber möglich die geodätische Bewegung mechanisch zu realisieren. Erstens a man statt einer massiven Kugel eine mit Masse belegte Kugelschale nehmen. Bei konstanter Flächendichte dieser Belegung ist das Trägheitsmoment dann von der Ordnung d. Zweitens kann man einer kleinen massiven Kugel stets eine so grosze Winkelgeschwindigkeit erteilen, dasz die Anderung der Richtung des Drallvektors durch das Moment der elastischen . _ a) Die entgegengesetzte in einer vorläufigen Mitteilung *) geäuszerte Meinung sei hier- mit zurückgenommen. Die dort gezogenen Schlüsse, betreffs einer möglicherweise infolge der nfcht-euklidischen Masshestimmung auftretenden Abweichung in der Präzessionsbewegung, werden davon nicht berührt. Die Veranlassung zu einer eingehenderen Prüfung der Be- wegungseleichungen verdanke ich einer Korrespondenz mit Herrn H. A. Lorentz. en Ee Verhand, Kon. Akad. vy. Wetensch. (te Sectie)DI. XII, F 4 der Körper einen sehr kleinen Durchmesser,d, so kann der Raumteil ie vernachlissigbare eet geodätisch. Die Kombat drei kleinen Gyroskopen mit gegenseitig senkrechten Achsen | also ein beim Fehlen äuszerer Momente praktisch geodät wegtes mechanisches System. Für mehrdimensionale Mam keiten gelten ähnliche Überlegungen. Eine mechanische Reali des geodätisch bewegten Bezugssystemes in irgend einer faltigkeit heisze Kompaszhörper. “) Die invarianten Higenschaften eines Raumes können offer _ die Bewegungen eines Kompaszkör pers voliständig bestimm Die geodätische Kriimmung der Bahnkurven der Punkte paszkörpers ist von der Ordnung 9, während alle Punkte Gröszen von der Ordnung d? gleiche Wege durchlaufen. | vie = 4 = Da für die Currstorrer’schen Symbole die Gleichungs und (36) gelten und für das Hrssex8rrG’sche Symbol | {9 (60) en ks | | is | da = © aka, da” Kovariante und Kogrediente Differentiation. während ferner : dy Oe y Ò Un y (614) loa = + dy ZA vy = — dy ZA Vy Ch Ò z, gek em Ÿ HA dYNE dur DE IE oe (618 NGD AE SE EUES (61e) (dV), = do) + Lana, Dy det =d — = Au a. vds Le | list die geodätische Differentiation his auf den Ort der hinzutretenden — a) Für gewöhnliche Flächen kann das geodätisch mitbewegte Bezugssystem manchmell 4 durch einen dreidimensionalen Mechanismus realisiert werden. Ein Foucault’sches Pendel | welches irgend einem Breitenkreis entlang die ruhend und kugelförmig gedachte Erde — umkreist, bleibt stets zu einem geodätisch mitbewegten Koordinatensy stem orientiert und 3 das Selbe gilt, wenn das Pendel irgend eine beliebige Kurve auf der Oberfläche durch- : läuft. Auch vai Hilfe eines Differentialrades liesze sich ein zweirädriger Mechanismus konstruieren, welcher, rollend über die Oberfläche geführt, in jedem Punkte das geodä- | tisch mitbewegte System anzeigt. 4 b) Letztere Wendung, sowie auch die characteristische Benamung ,,Kompaszkôrper” ver- — danke ich einer Koenen ‘mit Herrn A. D. Foxxer über das Manuskript der vor- liegenden Arbeit. Herr Foxker hat in einer gleichzeitig in den Verslagen der. K. Akad. v. Wet. erscheinenden Note *) die Bewegungen eines kleinen Körpers näher betrachtet. CROMURSRE: d) Nach (56), (38) und (39). e) Nach (51), (38) und (39). Sil SOs, bdiofitan Differential HsspyBure’ s 3). Dies gilt auch für höhere röszen. Die hinzutretende Stelle hängt sich bei der kovarianten ferentiation rechts an, bei der geodätischen dagegen Jinks, da der - Operator V, wie üblich, nach rechts differentiierend wirkt. Die. ie lealen Vektoren a gestatten eine einfachere Darstellung dieser _Differentiationen, sowie der allgemeineren DANS (56). ‘a Tne he: Die Lai ER Symbolik, ~ ie ~~ 5 ys “Die dargestellte Methode ist einer von H. Mascuxn ausgebildeten po *) verwandt. Unsere idealen Zahlen a, 6,.... sind mit den + Mascuxe’ schen Symbolen /', f?,...\ identisch. Masonite verwendet S aber nur die Bestimmungszahlen und bildet also keine direkte Analysis. . _Damit hängt wohl zusammen, dasz er dem kontravarianten Funda- ja _mentaltensor keine eigenen Symbole zuordnet, und infolgedessen zj nur mit Determinanten der f arbeiten kann. Seine Formeln werden dadurch komplizierter und enthalten stets von x und —g abhängige « ‘à Konstanten. Statt (13) und (18) treten z.B. die Formeln: (OR ff u) =D, Aa... d, ‘3m worin: “+ ij FER 4 ENS DONS we ae (3 EOV =g | so jo | Be . Le, 5 und die bekannten drei Differentialparameter 4,p, A,p, V(p, 4) 2 Pe | sind in beiden Schreibweisen : a | 1 LES me (64 Ap == (V p zE : re % ( ) 12 Cv p) : (V 2) (n NE 1)! (ps) ke 1 RSS Eur « (65) ApHVvV.V~) = PRES NT ED) u . 1 k ket (66) v(p,9)=(V p).(V9) a tee (g.f) 8 PE *) Rreer und Levr Crvrra O1. 1, S. 138. À *) HessenserG 17. 5, S. 208. 5) 99 1,8. 9, 17. 5, S. 200. +) 03. 2. F 4* Die Vektoren @ und €’ sind bei anderen Autoren noch in ei in Bezug auf die idealen Zahlen a, von der unsrigen grundy schiedenen Weise aufgetreten. Da (67) Ay Uy = Ju und “andererseits (68) Ces = Iw kann man das Maschke’sche Symbol 7, — a, direkt mit e’,, id zieren und als Vektor auffassen. Dieser Gedanke rührt von L. In her. 5 Mit Hülfe der e’, bestimmt er Lineargröszen höherer Sti und beweist, dasg für diese Grôszen die Regeln der Grassmann’sche Ausdehnungslehre gelten. ®”) Umgekehrt keta dann aus diesen Re die für Dateren Ehle Sätze abgeleitet werden. kovarianten Lineargroszen und Gröszen höherer Ordnung : goes Ingold nicht. J. B. Shaw 2) hat auf die Resultate von Maschke v Ingold fortgebaut. Er gelangt auch zu kovarianten Lineargrösze Aad zu einer kovarianten Erweiterung der Bedeutung yon vi Die Hessenberg'sche Methode. 3 G. Hessenberg, der schon in 1899 3) besonders durch Einführan des kogredienten Differentials eine Behandlung der EE in fal abgekürzter Weise gab, welche die Evans der Formeln direkt ersichtlich macht, hat kitrzlich 4) eine wesentlich auf geome- trische Betrachtungen beruhende Methode zur Ersetzung des schwer- 3 fälligen Formelapparates der ‘Theorie der quadratischen Differen- tialformeln angegeben. Diese geometrischen Betrachtungen führen ihn zu den reciproken Vektoren @ und @ und zwar direkt für den allgemeineren Fall, wo auch die de? keine exakten Differentiale sind. Er stellt sich aber nicht die Bildung einer direkten Analysis als Ziel, und arbeitet zwar mit Vektoren, aber nur mit den Be-. a) Bei der ig: 8 zugrundegelegten gruppentheoretischen Auffassung eines Vatan könnte dieser 3eweis kürzer gefasst werden. Es genügt darzutun, dasz die e en Vektoren in . dem dort angegebenen Sinne sind, um die Giiltigkeit des Systems sl welches eine Er- ni? weiterung der Grassmann’schen Ausdehnungslehre ist (vergl. S. 29 bis 31), sicher zu stellen. nd OR 488 200 =) MI xO RELATIVITÂTSTHEORIE = tw 53 stimmungszahlen der höheren Gröszen. Werner führt er keine idealen Vektoren ein, statt dessen aber gewisse Differentiale von Vektoren, welche nicht invariant sind und nicht die Orientierungsweise eines Vektors haben, und die er als Quasi-Vektoren bezeichnet. Durch Zerlegung der Differentiale der Bestimmungszahlen des Fundamen- taltensors ensteht ebenso ein Quasitensor, der ,,Orientierungtensar”. Die Art dieser Zerlegung bestimmt welche Linien der Mannigfal- tigkeit X, die ,,geradesten” sind. Erst durch die Bedingung, dasz die ,,geradesten”” Linien auch die „kürzesten” sind, wird der Orien- tierungstensor eindeutig festgelegt gynd geht der allgemeinere Ansatz, wenn auch die de” exakt genommen werden, in den gewöhnlichen Fall über. Geometrisch bedeutet die Einführung des Orientierungs- tensors, dasz in der z-dimensionalen Mannigfaltigkeit X, em aus 2 Hyperkongruenzen bestehendes Netz ausgebreitet wird. Statt des geodätischen Differentials tritt dann das Differential in Bezug auf das so entstandene Bezugssystem. Die analytische Bedeutung ist, dasz bei allgemeiner Wahl des Orientierungstensors das Invarian- tensystem zweier Formen betrachtet wird. Die Methode von HF. Jung. F. June hat kiirzlich+) eine systematische Behandlung von Grössen höherer Ordung auf Grassmann’scher Basis gegeben. Dabei ist es ihm gelungen die „leldableiting”’ Vy für beliebige Koordinaten _zu definieren. Er verwendet die Vektoren e und €’; die Gleichungen (23) und (24) sowie die aus (35) und (36) hervorgehenden Bezie- hungen : 6 Afk es de, 5 jAaul de”, F = Rel pen er oe © sind ihm bekannt. Er arbeitet aber, soweit dem Verfasser bekannt, bis auf einige sehr kurze Andeutungen in einer früheren. Arbeit ?), stets nur in emer Mahnigfalligkeit X, mit euklidischer Massbe- stimmung, und gelangt so weder zum Beweise der allgemeineren Gültigkeit seiner Formeln, noch zum Begriffe des geodätischen Differentialquotienten Vy. Ideale Elemente treten bei ihm nichtauf. “) ) 17. 8, 18. 4. *) 10.5, S. 384 und 389. a) Aus einer Korrespondenz mit Herrn Jure ist mir inzwischen hervorgegangen, dasz Herr Jure die allgemeinere Giiltigkeit seiner Formeln kannte, und fiir sich selbst schon zur Behandlung des allgemeineren [alles gelanet war. (Verel. 8. 72). Auch teilte er mir eine von ihm gefundene Gleichung mit, die, ohne Verwendung von idealen Elementen, mit meiner Gleichung (120) auf S. 59 korrespondiert. Geodütische Differentiation von Produkten. ex Aus dem Umstande, dasz das geodätische , Differential ein wohnliches Differential ist in Bezug auf ein geodätisch mitbeweg Bezugssystem, sowie auch aus (18) und (51), folgt fiir Prod realer oder idealer Vektoren: (70) dv. Pipe sheer BOR (@, . Vp ai de AD vp (vet. oy) = LV (ev). pv = aes und für ein Produkt zweier beliebiger Gröszen : Berg p q P | (72) IV ePW=dV ew VvedW p q Pp q P 4 y 45 p q q 4 | TV NEW (V MN wenn -e, —, — und — die S. 34 angegebene Bean a ) bleiben die im vorigen Aschnitt ang hg Regeln für Anverdo auf Produkte gelten. nicht mehr aile, da das Differential sich in beiden Fallen auf ri zwei verschiedene Inicremente d,x und d,x beziehen kann: Das a geodätisch mitbewegte System ist dan nicht in beiden Millen das Selbe und erst eine nähere Betrachtung kann lehren, ob auch in 2 je diesem Falle die Regeln des vorigen Abschnittes gültig bleiben. | (Vergl. S. 58). à Mit Hülfe der idealen Vektoren à ist e$ möglich jeden Lt gen Faktor eines allgemeinen Produktes in ein skalares Produkt aufzunehmen und beiseite zu schaffen : (74) Vie WSV ON VAN een und es ergiebt sich daraus eine einfache Formel für das geodäti- sche Dire eines allgemeinen Produktes: dp (75) VM Vo WV VANS 6 1) (76) VV... -V = ENV) AMV en aie MOON | . LV) = EV CV; ‘ a}? (V2. ee V1 à Vj41- . a wy .V,) = 2V (V; . Hee LVS. ai Vin a Vu. at ers Pp | Pp VvV=a(a.v)v, man kann also auch V in ein skalares Produkt aufnehmen an eine gewiinschte Stelle bringen, sodasz sich die Formeln Gat: ra 4e. oS < Vo = ER Vi. OM a AB MOV IVe Mp ch ID ; ZA Va: Vin |. V) Vi Vie. «Vos | SABRE si ANS 2) V EN: : Vole ae 4 Vi: Ca -Vj-4 | (@- V) Vy} Vu: . Vp D Mens pq p 4 SP ee Bs ed (83) VYW—(VYW+AV(A.V)W—A |A VY)W+VA: vw). | Us 4 FE : d . | ~ . Die zweckmässige Anwendung dieser Formeln giebt der Rechnung _ eine besondere Geschmeidigkeit. > | | : Die von *g unabhiingigen Differentiationen. > ae | Infolge (612) ist: ; ù Un ù Uv r (84) (FX We = GE 5 a4 3 5 * > . D . und 7 X v, oder allgemeiner v + Y, ist also von °& unabhängig. . 5 5 Whee _Daraus geht hervor, dasz ebenso V & Vv und V . ;v, oder allgemeiner sp Pp V&V und và v, von °@ unabhängig sind. Denn es ist z.B.: mee VX NV = VOX Va NDVN) DS Va NID Va) XV Für diese Differentiationen gelten also alle Regeln des vorigen Ab- _schnittes, namentlich ist auch (vergl. (1 109): PT ve dE LTO, 4 6) vv AN, (59) EXP arm IN (PX 7 = 0. Jk a Die Diferiat he os hontravarianten Beatin von Vektoren und Bivektoren. - 3 Da nach (25): (89) | I=y—j B= >, ist nach (I 20) und (I 68): | os (90) vvv Vier à und daher : (91) re — 7 0. „yo. Infolge der Unabhängigkeit von v.v* von °g ist also: ex (92) vraie Iig Voge Ebenso ist: (93) V.ov=Iv X :v* = IV XI en == : EE BS Gran + ete. = 0 2 2 0 En É CN AR ee und daher® 1 (94) Vv" VPE AT. (A Schliesslich ist: 95) VK sv=—IvV x= ae, | (= lr Ne 0 a me 3 Wise Ee ver apy Ga yg OH Ne und infolgedessen: 1 DIT TRE | 96 7 1 in ED EE —_ n pay É bod Veel = 9 Aly G wr AE Mack Geoditische Differentiation des Fundamentaltensors. Da der Fundamentaltensor in Bezug auf ein geodätisch mit- bewegtes Koordinatensystem konstant ist, folgt: 5 (97) da =a da+da a—0. Ferner ist: É FL crs on ine — dbb=daa=0 ada — 0: ao ._ dX (Va) a = aa, _folgt noch : EE Ke’, dr und Xe, de durch d; bez. d, bezeichnet, so ist für jeden realen Sider idealen Skalar p: _Ebenso ist, wenn de? und dee von "+", (103) dix = de (0's de) A= Ay, dat de à = dy de Xe VRON p= 05, Mehrfache Differentiation. Werden die Differentiqle zu zwei verschiedenen Verrückungen ED de In p =d ap. ., 2 unabhängig sind: Für einen Vektor ist aber: “ded ¥ = 4, [Id (a.m)a. HE (104) — (a.b) bd. d, (a.v) + bd, (a. v) d (a. b) = =ad,d,(a.v) + bd, (a.v) 4, (a.b), und demnach, bei Einführung des Zeichens D,,, DE De N = (de dy — dd) V = hd, (A.V) de (a) — Dd, (a.v) d, (a.b) = (105) = d, (A.V) de A — dd, (A.V) La — == vid ada dad, al." Infolge (99) ist ferner: (de da à) a = d;, a du a= 0 (106) (dede Da + dada = 0 (Dy. MDA=—Aaadatdada, und ebenso:. a) Ist ein Affinor Null, so sind seine sämtlichen Isomere, die ja alle dieselben Be- stimmungszahlen haben, ebenfalls Null. b) Auch HessexeerG *) verwendet den Operator Dy, c) Nach (51). x 917.070, 202. (07) 8 à Dit =d,ad,a—d,ad, a. woraus unter Berücksichtigung von (105) folgt: (108) Diar == NR Dye a) — (a.V) Dy a, welche Gleichung auch aus den Identitaten: — an (109) vl OD aly) =D 1118 abgeleitet werden kann. Da, wie einfach bewiesen wird, allgemein: Ê CE Dau G w) =H Dn. v)w + Y Du W De es À Ke. gilt für jede Grösze v: Xe p (II) DV == 2 Var Ver Var (OMR D) Vine Verschwindet also der ‘Affinor à D,, a, «so ergiebt der Operator D,, stets Null. / \ Der Affinor K Es fragt sich, welche Grösze verschwinden musz, damit jeder Operator D,, für beliebige Richtungen d, X ,d,X Null erzeugt. Dazu sei bemerkt, /dasz: | (112) vVVv¥=V|V(@.¥v)aj) =v Iv (a. v) (a.b)} b= = Yes und ebenso: V (118) (Fo v)v —{{(v o- v)(a.v) (a. b) + v (a. b) v (a. nie worin e- das Zeichen der umgekehrten allgemeinen Multiplikation | ist, und daher infolge (105): (114) dxdx XV) =d KK |V (a. DV (av) MEE vo ov(a.b) b = (d (a. D) d, (a. Vv) — a, (a. D) de (a. Vv) D= Da V- In einfacherer Weise ergiebt sich allgemein: (1B) rd) KERS vvv —d,x! AT dd vd! vn = ud ¥ de X19V, (116) dy xd,x*7(Vo F)V—dd,V — dy dyX° vv, woraus durch Subtraktion unter Berücksichtigung von (103) und bei Einführung des Zeichens „v für 2v < v hervorgeht: 2) 17.519208. ia ¥ A p Go Ven RO a ge | GX AX NV = Dy V wi v zusammen mit K pete Null wird. "Die Ungleichheit von VV und Vo v wird im Falle K = 0 Fr dadurch hervorgerufen, dasz die Einheiten i, des rechten _ Faktors v bei der zweiten Differentiation keine Konstanten sind. _ Ueberhaupt sind. sämtliche in einem Produkt auftr etenden Faktoren V 3 als wesentlich verschieden zu betrachten, solange K nicht identisch. _ Null ist. An Stelle von (I 109) treten also z.B. die Formeln: ms 5 p p (121) VA AY) = 4/2 LV Wird die wesentliche Verschiedenheit der nacheinander wirkenden Kerne V beachtet, so bleiben die im vorigen Abschnitte dargestellten Regeln für die Behandlung 4 dieser Kerne auch in dem homplizier teren _ Falle gültig. Gi Einige Formelx für Mehrfache Differentiationen. Mit Hilfe des idealen Vektors a können die auf S. 36 (I 109) nur angedeuteten Entwicklungen vollständig ausgeschrieben werden : p 4 (122) AU de Ev v)'a vi. NEER Nr Moe me eve wet 2 r VV De VR Va Vi BV» Vpn oe - vivo =} GV vi): ALES A PE POPE ee Ni Durch SA Differentiation eines Skalars p entsteht : (123) dp ap ; ee OUR in i dp ; Chace. vb. va. a a dx! 24e NE AR he etc., | x E oe 5 ; ae : | and durch wiederholte Differentiation eines Vena fs en d fs (124) ps Ws Da = =vv=b(b.vjv= bach ds | de Py bai ada. vs a=VVV=che. vy 3: en Y) ; dv =ed[(e.b)d(b. Dada. DJ ev —debad ve. yb. "A. ax: etc. Wir wollen nun zeigen, dasz der Sat : (125) rie ae Sea scher Ne für vier A vgl. S. a auch für ef dn De (126) iy dr =| sen dada derde =j in der Annahme, dasz rd g = 1 ist wind dasz die a-Linien be begrenzende Hyperfläche w immer nur in zwei Punkten schneiden. En te Sind », und p, die Werte von » in den Schaar einer CRUE Linie, und gehört p, zum gröszten Wert von a”, so Ist: sig a op ; (127) [ss dt [ ca’ dav dv" (ps — Pp»). ie - a) Nach (79) und (101). Ar Ke + A arr Kin ri Vert, nach der Voraussetzung auf S. 38: sm de = ee! dede dat+.... €’, €, €, @, in dieser Reihenfolge den Hyperschraubsinn I bestimmen. Ebenso ist in einem Punkte von 7 mit einem ederen #° Wert: à SM dw = — 6 ,e, €, da’ da’ da +... 30) Cs dw = Pere OF. ede da da = Ide dx dx je und demzufolge : as fy = dr = I] re, an de = | re, ‚nde. __ Wird diese Formel auf die kontravarianten Bestimmungszahlen eines __ Vektors v angewandt: Ÿ (ei 32) | ee Ë dr = [er en nh dw, so ergiebt sich bei a = 033) fev [nv aw Nun ist im allgemeinen 1, es lassen sich aber immer andere Urvariablen einführen, sodasz p/ 7 = ] wird. Das Resultat ist aber invariant und also von den eingeführten Urvariablen un- ; abhängig. Auch schneiden die a-Linien im Allgemeinen « in mehr ~ als zwei Punkten. Dann kann aber 7 immer so zerteilt werden, dasz die Bedingung für jedes Teilgebiet gilt. Die Integrale über die gemeinschaftlichen Begrenzungshyperflächen heben sich dann bei der nachfolgenden Summierung in bekannter Weise auf. Der Beweis ist also auch für den allgemeinsten Fall geliefert. In ähnlicher Weise wird bewiesen : EN 2 a € ks (134) |as.v=—ef t° DR PT == ZE KN) de und : 3 (135) | fev do — {qm x V).9V dw = — I | MX V).,V dw ist in einem: Paste der Siesta w ae einem höheren “ LA * Die allgemeineren Formeln (I 111), (1 114), (1 117) gelten aber AT A NT de “je « En à gelegt hat. Nach (I 57a), (1 68) und (133) ist nämlich: (136) RE ee ra, LEA be nicht mehr, de wohl Skalare : in ve: spondiert mit dn Sroxes’ fe ce im dre Für einen allgemeinen dreidimensionalen’ Raum ist ‘diese | bewiesen von Riccr.*) Aus (133) läszt sich in einfacher V Satz ableiten, welcher Lorgx1z *) seinen Betrachtungen zu während nach (I 1076): | De 13%) v.GM'e)—(6',M. e,—(7 Xe)? dti „Me, da v Xe, nach (84) identisch Null ist. Es geht Ben | wuszte Satz hervor: (138) jan: n) . a M). a Invarianten Gröfzen dar. “ Eigenschaften besonderer Orthogonalnetze. (139) — Ay A, = — A; Ay a ee he Ist die Hyperkongruenz 7 überail normal auf eine Hypertachen | = schaar, so kann fiir i, geschrieben werden ù (140) i= 9 Vp, hd wo g und py Funktionen der 2 sind. Es ist dann: df (141) vi NPN An eine in allen Indizes 4,447 symmetrische Grösze, da vp sym metrisch ist und Vp die Richtüng von 4, hat. Demuutolge à ist: (142) bh Vi ih v4 tf es oder: (143) qr, Aj — Ay Uy. Sind sämtliche Hyperkongruenzen eines Orthogonalnetzes flächen- normal, so bildet das Netz ein Normalsystem. Wird zu den Kurven Oe 2) 16.4 S. 1401. him y TÂTSTHEORIE. ca Es Me Fe ire Hyperflächen einer flichennormalen Hyperkongruenz eine Urva- E _riablg a* gewählt, so ist: ie 144) / ex ==, GNP > e, 5 Cy == 0 ; AZ A. In derselben Weise wie oben wird dann gezeigt : ee (15) Gudy = Oy,» fh VA, ; > und ebenso : ; | i ie (146) dite aen B _ Sind sämtliche Kurven einer Hyperkongruenz 7 geodätisch, so TA ist nach (42): in A à : Bee > Ei has?) (Aj. dij = — Ar; a; — A): À Ss Wird zu den Kurven einer geodätischen und zu einer bestimmten ; - Jd Z … 2 Jab Hyperfläche normalen Hyperkongruenz eine Urvariable 2* gewählt so = dass? = 0 die Gleichung der Hyperfläche ist, so ist auf dieser Fläche: Bays e'. (148) dit ee 64.05, = 0 » AFM, 4 =! und daraus folgt : (149) + Ga Au = px a) 8 AZM. Wird für Urvariable +* die von der Hyperfläche #* = 0 aus ge- 9 d 4 à UE 5 ee a 9 5 T Aar U lees ee 0 + ax aa = \)y = 0. 4 ~~ Da aber die g,,, AAm auf der Hyperfläche 32 = 0 Null sind, | bf # sind sie stets Null, und die Hyperflächen von 2 sind daher überall À 4 normal auf die gegebene Hyperkongruenz. Daraus folgt der Satz: al Bilden die Parameterlinien einer Urvariablen eine geodütische und À 62 normale Hyperkongruenz, und fallen die Parameterhyperflichen mit AL den normalen Hyperflächen dieser Hyperkongruenz zusammen, so ZN bleiben die Parameterhyperflächen erhalten, wenn man diese Urvariable durch die entlang der Parameterlinie von einer bestimmten Parameter- hyperfläche aus yemessene Bogenlänge ersetzt. ") a) Ist überdies ve’, —0, d.h. geht die Richtung der Tangente an einer a-Kurve durch geodätische Bewegung stets wieder in eine solche Richtung über, so ist: ER ey, Cy 2 V ely 0), 0', 2 ¥ (AO) a =a, jy —0, : und infolgedessen : Lo” û Ju dx? Das Linienelement läszt sich also schreiben: ds? = xÀ aig Juy ce, in welcher = tay Uy + Au Gay = 0. Formel # und y über alle Indizes auszer A zu summieren sind und yyy von «À unab- hängig ist, FN Ist ein Vektor y als stetige Pen der vride ar geben, so nennen wir die Aenderung dieses Vektors beim bewegten Kn oe ie geodiitische ede ae vin Teme auf s. Diese Aenderung von A bis B ist Ho Integral des re Differentials : pen ne Prod Wegen von 4 nach B gehorigenia : schen Aenderungen nicht gleich: me (151) a lel gleich, so sind sie es fiir jede Wabl, und das Integral von d über die geschlossene Kurve verschwindet. Verschwindet 2s Integral ri jeden Vektor y, so nennen wir die Kurve cindeut orientiert. Jede geschlossene g geodätische Linie auf einer Fläche offenbar dieser Art. Wird durch eine geschlossene Kurve eine Fläche gelegt, und das Flichenstiick in beliebige Teile zerlegt, sc Ee, ist die Rire offenbar eindeutig orientiert, wenn sämtliche _Be- maf 4 grenzungskurven der Flächenteile es sind. Bd A Wir betrachten also EE ein Flächenelement mit pe, vier cl +4 Eckpunkten 22, 2% + da”, a* + da? + da, a +d wr, Sn hs , d. Das Integral von dy vom ersten bis zum dritten 5 Danaa: = über die eine Seite: a AVtavtadv und über die andere Seite: hytavitdav $ Die beiden Endstellungen unterscheiden sich also um: jr (152) Dig N REX 2 NV OY d, x ils KX 4 aN 9V al (a. Vv) “| d x xd, x” 2 KC 4 Y °) A 24 Le ee ® ES À” K: vdo, a) Nach (117). : b) Nach (120). c) Nach (119) und (I 56). | | nd diese Grösze. ist imnbhingig von v Null, wenn k Null ist. Ke überall Null, so ist demnach jede infinitesimale und infolge- lessen auch jede endliche geschlossene Kurve in X, eindeutig orien- ;.”) Das geodätisch mitbewegte Koordinatensystem hat dann bei à Rückkehr im Punkte 4 stets wieder die Anfangsstellung, ur nabhiingig von der Wahl von s, und es gieb® infolgedessen zu jedem Koordinatensystem in A in jedem Punkte von X, ein einziges orrespondierendes Koordinatensystem. Für das durch diese Koordi- systeme gegebene Orthogonalnetz gilt: (153) di; = 0 ER PAR à und jede Hyperkongruenz des Netzes ist also geodätisch. Da ebenso: (154). vi—(Va)a— 0, Nu allgemein: 2 # 155) 4 An à ik Te » Mah hk = Mes aoe 8 “und jede Hyperkongruenz ist also auch normal. Als Urvariablen _ künnen demnach nach S. 63 die von einem bestimmten Satz von .4 Hyperflächen aus gemessenen Bogenlängen der Parameterlinien verwendet werden, und es wird Ho \ — (156) Whe ‘ gh m,v=a, ..,d RP und. infolgedessen : à ae dS Ed | Die Vektoren e@, €’ und i werden gleich, es besteht in X, eine ____euklidische Maszhestimmung, und sämtliche Formeln gehen zurück auf die Formeln des vorigen Abschnittes. 4 8 . Kist der Riemann-Christoffel sche Affinor. Denn, nach (119) ist | À (58)- K—(Gvbhhb—2|v{AeXv(b.e)]ab, 4 | _ odef; wenn zur gröszeren Allgemeinheit kovariante und kontra- } 4 Fr A variante Vektoren verwendet werden: + 159 K—(vb)b—2ivaAac) X v(bae) ab. Der Riemann-Christoffel’sche Affinor: Ò | Ò SE d | (1 60) Gan + da” (CAC Es De alm) — 5 (a 0 "0 -Gotuy bb y) _ | * a) Dieser Beweis ist nicht streng, da auch mit infinitesimalen Flächenteilen von anderer Gestalt Rechnung gehalten pecan miiszte. Der Kiirze wegen ist yon einem strengen Beweis Abstand genommen. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl. XII. 2 F 5 kann aber in die te Tate Babiva rex ere a gebracht werden, und es ist also: — : ee ha | ih BA ET jt: AE Ve (161) bg Game Los. vj Nen * | : Da aber bekanntlich: : a Cr ai Conus = px ka ui F ist K mit dem Riemann-Christoffel’schen Affinor ident entsteht durch Faltung nach dem zweiten und is Tensor zweiten Hauptranges: } (163) iet 2K —(v'a)a, Klean oder mit Verwendung von kontravarianten Vektoren: . vR (164) ’K = vanc)bv(bre) JAAT v (dae) bv are”) EV) (VO (VAC) / und durch nochmalige Faltung: hi) (165) K—(.v!a).a, (MT oder mit Verwendung von kontravarianten Vektoren: (166) K=|¥ (ane) HI DAO AA IVDAC)AD|IV(a Ve? ve (VAC) (VAC). k Der Skalarteil von °K ist: Ki | | JKG und der Deviatorteil: Lu K — 1 X’g. Für den Tensor: (167) 2G = ?K — 1}, K?g, der denselben Deviatorteil hat als ?K, aber einen Skalarteil mi nt- gegengesetztem Vorzeichen, gilt bekanntlich die wichtige Tdentitiit } : HT M (168) a a) Tabelle der Bezeichnungen bei einigen Autoren: |. EINSTEIN LORENTZ | HiuBerT HERGLOTZ, Biancut. — 4 | : x K | Jor BP ony Cuypo Kuypo (uy, pa) *K |. By Guy Kuy — Ku | | 1 Er 3 2G | — Guy ae Ve [Vg K \uy Guy K | K er LUE RELATIVITÂTSTHEORIE. 67 4 Die geometrische Bedeutung von K. 4 . / Der Affinor K ist ein Bivektortensor, und kann also als Potenz eines idealen Bivektors geschrieben werden : 5 4, (169) K= kok 4 Geometrisch stellt K eine lineare homogene Transformation von Bivektoren dar. Das Flachenelement af de geht vermöge dieser Trans- formation über in den Bivektor: : (170) . oF de = Gf? ,k) gk de und ein Vektor y erfährt nach (152) bei der Bewegung der Rand- kurve entlang in Bezug auf das geoditisch mitbewegte Bezugssystem nach einem Umlauf die Aenderung: (171) dok de LV Im allgemeinen ist ,F ein zusammengesetzter Bivektor und die relative Bewegung von V ist also eine allgemeine Drehung, zwei Ebenen, die vollständig senkrecht auf einander stehen. Wird oF in zwei gegenseitig vollständig senkrechte einfache Bivektoren zerlegt, so sind die Ebenen der Pre die Ebenen dieser Bivek- toren. (Vergl. S. 20 und 21) Stellt aber K eine ‘Transformation dar, die einfache Bivektoren wieder in einfache überführt, so ist ,F ein einfacher Bivektor, und die Bewegung ist eine Drehung parallel der Ebene von ,F, bei der alle Richtungen, die senkrecht auf ,F stehen, in Ruhe bleiben. In diesem Falle gehört die Bivektortrans- formation zu einer Vektortransformation, und es existiert also ein realer Tensor p?— q’, so dasz: 4 (172) K = + (p X q) (DP X 4). Die geometrische Bedeutung von K. Wir betrachten einen beliebigen singularitätenfreien Flachenteil g und ihre Randkurve s. Ueber die Mannigfaltigkeit X, werde ein a) Vergl. S. 24. Die Existenz difes Tensors wird auch gefordert, wenn es möglich sein soll die Mannigfaltigkeit X, in einen euklidischen fiinfdimensionalen Raum ein zu betten. (Vergl. S. 74) Die Dimensionenzahl des kleinsten umfassenden euklidischen Raumes wird durch die Bewegungen des Kompaszkörpers vollständig bestimmt ist. Es gilt der an anderer Stelle ") bewiesene Satz: Die Dimensionenzahl des euklidischen Raumes, in wel- chem eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Anderung ihrer- Maszverhältnisse unter- gebracht werden kann, ist höchstens der um » vermehrten Anzahl der ,,Freiheitsgrade” des Kompaszkörpers gleich. 1) 18. 2. F 5* Oribozttelnete LA iy Lee Ten ausgebreitet, me 2-Fläche zusammenfallt. Berni Fortschreiten entlang d ae streche dy dreht sich i, in Bezug auf das geodatisch a, Bezugssystem, und die geodätische sarap ie: von 7 bet (173) | Wi, = ds ik Bg Der Vektor di, liegt im allgemeinen nicht im Jonge Biise pe don Projektion auf diet, Rte hat aber die Richt F ae i, und ist gleich i, multipliziert mit He (Ne (174) i, - (sv i) =i, ds? vi: i Dieser Ausdruck stellt also die Projektion des Winkels YU und i, + di, auf de dar. Wir nennen diese Projektion hi projektierte geodätische Drehung bei der Verriickung ds. a näheren Wahl von i, und i, ist sie nur scheinbar abhän me ; für das gedrehte System i, ab di, lässt sich KR (I 48) stets (175) ij 4+ di, = 1, pie et + wah ‚jl, richtung von a LENS Das Integral der projektierten schen Drehung über s ist: (177) fi ds? a) iy hfe PE oder nach dem erweiterten Stokes’schen Satz (134): A178) fiads*v i= —2 fiv XIE DD Hh de — EN * =— [0K XD) dr + FSV do) A(N i): a At — (Vi) a (VL) afde Nun ist of =i, X i, und es ist also: ; | (79) fixes? vip =— [KS Alde + ist vb) di VED EA Le ME) à | K°.f.f ist die Rimmann’sche Krümmung des geometrischen Ortes der geodätischen Linien, welche die Fläche ¢ im betrachteten Punkte .\ k + berühren, oder, wie wir kurz sagen wollen, die erzwungene Krümmung ‚on ¢. Dagegen nennen wir (i, £ V à). (1? Vv i) — (li ! Vv i). (ib V i) À _ Das Linienintegral der auf einen singularititenfreien Flichenteil à a projektierten geoditischen Drehung über die Randkurve s ist dem ENE. pe iii Flächenintegral der Summe der erzwungenen Kriimmung id der Eigenkrümmung von ¢ über s gleich. li Die Summe der erzwungenen Kriimmung und der Eigenkrümmung WE ist die totale Krümmung oder Krümmung im gewöhnlichen Sinne an ~ von ¢ als zweidimensionale Mannigfaltigkeit für sich betrachtet. Die D: _ projektierte geodätische Drehung ist der gewohnlichen geodätischen | à _ Drehung in dieser Mannigfaltigkeit gleich. Nd _ Erzeugt geodätische Bewegung der Flächenrichtung von ¢ entlang : oa 4 ¢ stets nur zu a gehôrige Flächenrichtungen, so fehlen in den letzten Faktoren von vi, und vi, die Binieiten i,. ond. 1,”). Die Pe erunmang wird dann Null, und die Fläche ist _geodätisch 5 Wird dagegen KS = 0, so verschwindet die erzwungene Krümmung. xt In einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit X, geht die projek- _ tierte geodätische Drehung über in die gewöhnliche geodätische - Drehung, und da allgemein: 4 , 4 4 4 4 MED ML ii iK 1,1, Ki ii —K'ii ii, . r Ae . KJ s En ke s e er. F- RE = Kid ba = 0, = geht die Grüsze K *,f,f über in: 4 4 M eet)” KL LE = — 2 “hishh +i iii +bbhbl +, - Je 5 ee al AR ek \K‘abba=— LK. 4 it gilt also der erweiterte sae sche Satz: di Die totale Drehung des geoditisch mitbewegten Bezugssystems beim Duychlaufen einer geschlossenen Kurve s, die keine singuliren Stellen einschlieszt, ist (dem negativen Lanienintegral der geoditischen Drehung über s und) dem Oberflächenintegral der Kriimmung — À K über den von s begrenzten Flächenteil gleich. Die Drehung gilt als positiv, wenn ihr Sinn mit dem Umlaufssinn entlang s übereinstimmt. 3 we . q a). Kehren die F1 ächenrichtungen von a bei jeder beliebigen geodätischen Bewegung nur in sich selbst zurück, so hat der Kompaszkörper nur noch zwei „Freiheitsgrade” (vgl S. 67) und X4 kann dean jedenfalls in eine sechsdimensionale euklidische Mannigfaltigkeit untergebracht werden. dike: 2,819. 70 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN f a . on Die Abbildung 5 auf S. 48 zeigt die Bewegung des Kompaszkérpers ___— beim Durchlaufen eines Kreises auf einer Kugel. Nebenstehende Abbildung 6 zeigt die Bewegung beim Durchlaufen eines geschlos- senen Weges auf einer pseudosphärischen Fläche und auf einem _ hyperbolischen Paraboloid. Der Richtungssinn der Drehung ist auf diesen negativ gekriimmten Flächen in der Tat dem Umlaufsinn entgegengesetzt. | | Abb. 6. Bewegung des geodätisch bewegten Bezugssystems auf einem hyperbolischen Paraboloid und auf einer pseudosphärischen Fläche. Bei Einführung der zu den Urvariablen 2‘, 2” gehörigen Einheiten 2 e,, @, resultiert der bekannte Ausdruck für die Kriimmung: 4 4 (182) —4 plea Xe, Xe) Ke Xe), Oy) pi —(e,’ x ee Le Oe es > (Ge C e,) K Jaa Iv ED Jav ba ba Wählt man in einem Punkte von X, vier senkrechte Richtungen i,,1,,1,,1, so besteht für jede der sechs Riemann’schen Krüm- mungen der durch diese Richtungen bestimmten Flächenrichtungen ein Ausdruck der Form (vergl. (181): 4 — 1}, Kidd, Hi Li + iii, + 1,1 1 1) RELATIVITÄTSTHEORIE. al Die Summe dieser Krümmungen ist also gleich: 4 (183) —1iK‘abba=— ik und infolgedessen unabhängig von der näheren Wahl der vier Rich- tungen. — 1/, A ist die mittlere Kriimmung der Flächenrich- tungen im betrachteten Punkte. \ Die geometrische Bedeutung von °K und °G. Wählt man in einem Punkte von X, eine bestimmte Richtung z. B. i,, und betrachtet man drei gegenseitig halbsenkrechte Flächen- richtungen 12 , 13 , 14 , die 1 enthalten, so ist die Summe ihrer Riemann’schen Krümmungen: | h (184) — K° (i, i, i, i, = i, i, i, i, sin i, i, i, i, =e i, i, Ld) ze —{(,va)a À bh tvtalafi i =—"K 7 Li, und diese Summe ist also unabhängig von der näheren Wahl der drei anderen Richtungen 2 , 3 , 4 , und giebt eine unmittelbare geometrische Deutung des 'l'ensors *K. Ebenso giebt es drei Flächen- richtungen, 23, 34, 42, die 1 nicht enthalten. Die Summe ihrer Krümmungen ist infolge (183) und (184): (185) a 1 K+ °K 2 i, 1, = ae Kg — 7K) à i, L = "Gt 5 1 i, Diese Summe ist ‘also ebenfalls von der näheren Wahl der Rich: : tungen 2, 3, 4 unabhängig und giebt eine unmittelbare geome- trische Deutung des Tensors °G. Diese Resultat rühren von Hurerorz her“). Nennen wir die Summe der drei ersten Kriimmungen die mittlere Krümmung um j,, die der drei letzten die mittlere Krüm- mung senkrecht auf i,, so lassen sich die gefundenen Tatsachen folgendermaszen aussprechen : Die Summe der mittleren Kriimmungen um einen Hinheitsvektor À, und senkrecht auf i, ist gleich — 1], K. Die Differenz der mittleren Krümmungen um i, und senkrecht auf i, ist die negative doppelte 2 2 G (vergl. S. 28) zweite Ueberschiebung des Kriimmungsdeviators —— 2 mit dem Tensor i, i. a) 16. 10. mit dem Fundamentaltensor 2g’ = a” = hb” TE & er : oF , Sie : te Rest: dte “Mannigtalipkoie. Xx, in einer Mannigfa den darin die Parameterlinien der ‘Urvariablen a, a, » gewählt, dasz sie für 2 — 0° ganz in X, fallen, ae / Parameterlinien von 2° ch auf X, stehen, so ha den Punkten von X, die Form: (86) @) gab, dd 0 b) a, — a während : (187) Mit jedem Wert von 2° korrespondiert eine ddr \ faltigkeit X, und die g,,, À, u = = 4,...4, sind also als Fun 4 von a auf zu fassen. Die zu X, Ae Y, in Punkten vo hörigen RIEMANN-CHRISTOFFEL" schen Affinoren sind nagh (18 (188) Kn vwo X vbo @ Xb zn (189) ks os de x b) Die in À, liegende Komponente von K’ läszt sich in vier zerlegen (vergl. (1874) und (167c)): 8 (190) abe@ebat K’ = oh oer we | x D) ik ek (asl) X 9 (be) dn + v(a.c) X v(bre) + + v (aed) Xv Be) a a) Es sei nochmals daran erinnert (vergl. S. 6), dasz siimtliche Ableitungen | deren LE direkten Analysis m. m. für beliebiges » gültig bleiben, wenn auch die Darstellung sich in dieser Arbeit, dem partikularen Zwecke ner en im Allgemeinen auf nâ beschränkt. | w b) Liegt v in X4, so ist vv die in X4 gelegene Komponente von v' y. Dies gilt auch wenn Y; durch Y, ersetzt wird. Hat Y, euklidische Maszbestimmung, so ergiebt sich hier ein Weg um von dem gewöhnlichen Differentialquotienten zum Begriffe des geodätischen Differentialquotienten zu gelangen. I. Juna hat diesen Weg gefolgt. (Vgl. 8. 53.) — ¥ i Pas an ety ib, mach sop und (1874) identisch Null sind, | Zat ’ sjen 2e) X v (D. fa xD. 4 PS Kk x Die Geestig ist nach (139) und (18 65) gleich : , Es 2g" ay a b er EzAp À Finn wir also für tere athe Tv (A . @,) a die Schreib-" Ve ~~ 1 - Nn Ò h— EV Ste, e, 2 dz? und es läszt sich dieser vierte Teil schreiben: 2 (p X q)(p X @) Der zweite nd dritte Teil sind gleich, da sie durch Verwechs- lung von à und D auseinander hervorgehen. Die (xAj)-Bestim- mungszahl des zweiten Teiles ist gleich: ) I we 9 9, sk | da de” und Vergleichung von (191) und (194) lehrt also: (194) TT 29" a ah mie 7 ele ly = log” (195) abed@chatK’ = K — 2(p X mx) Setzen wir nun voraus, dasz die Parameterlinien von 4° geodá- tische Linien sind und 2° die auf diesen von X, aus gemessene Bogenlänge, so ist: ‘ tee , > F< Fe. , (196) pe 2 I” =ÿe—=1;a =d, und @, wird ein Einheitsvektor. Die Grösze (97) ve MOA E00, 0 Ne UN i gk. 2% À à DIE DIREKTE ANALYSIS ZI ZUR NEUEREN | enthilt dann keine Komponenten in €, €,, e, e, oder e, eu. à a,...,d, da einerseits : (198) RN 8 dt Rae "ie = 0; (199) aed, = de ad. =}, eh ne: und andererseits infolge (196): (200) ER did = 0: Infolgedessen ist: (201) ve = © (area ih. 2h ist der zweite Fundamentaltensor der Flächentheorie, und | ] ist die Verallgemeinerung der Gauss’schen Gleichungen fiir Krümmungsmass 5). Anwendung der Identität (120) lehrt: à 4 | < / (202) » 6, — K" e, A. und dies ist die Verallgemeinerung der MarNArpr-Copazzt ’schen Cler 4 chungen 2). Setzt man in (195) K’ = ia so ergiebt sich, dasz zur als S. 24) existiert, wenn -Y, euklidisch Le und dieser Vektorte ne dann bis auf einen Zahlenfaktor mit dem zweiten Fundamentaltensor identisch ist. Aus dem Umstande, dasz ein Bivektortensor für 2 >> ge, of den eventuell vorhandenen Vektortensor im Allgemeinen eindeutig | g bestimmt, folgt der Beez’sche Satz, dasz em X, sich in einem | euklidischen Ya, für x > 2 im Allgemeinen nicht verbiegen laszt. Setzen wir dagegen voraus, dasz die g,,, w —=a,...., d, von 2 unabhängig Ba so wird °h = 0, und X, ist also euklidisch | wenn Y; euklidisch ist. Nur ein euklidischer X, kann also in einem euklidischen Y,,, eine Bewegung ausführen, die in jedem Punkte senkrecht zu X, gerichtet ist und bei der die Massbestim- mung erhalten bleibt *). + ‘ a) Für n=3 folgt daraus, dasz „der Raum” bei einem statischen Gravitationsproblem euklidisch ist, wenn keine Materie vorhanden ist. Serini *) hat das Theorem bewiesen für diesen Spezialfall, bei welchem auch g’¢¢ von æd unabhängig wird. Vol Zz. B. 99 20821602: 4 ; AVE 7 B 99 KNS MOO ») 18. 5. RELATIVITÄTSTHEORIE. 15 HI. ANWENDUNGEN. \ Die Weltfunktion. Es sei im folgenden: M7, die materielle bez. elektrische Ruhedichte. — par. das Ruhevolumen. m, e die Masse bez, Ladung von 47. Vv’ =® der Einheitsvektor der Bewegung (Vierergeschwin- digkeit). F der Vektor der pro Volumeinheitangreifende Kraft (Viererkraft). ! d der Vektor des elektromagnetischen Potentials. M — 2 v X q der elektromagnetische Bivektor. dr das natürlich gemessene vierdimensionale Volum- element. Bekanntlich ist: 1 m mds e eds CO DRE TA d'A BE NET UT (2) Po UT = mdy / apd == eds; Da wm, e, ds und dr bei Aenderung der Urvariablen invariant sind, sind p, und ¢, invariant. Im Gegensatz zu m und e sind p, und s, aber von °g abhängig, da Aenderung von *g Aenderung der Maszbestimmung und folglich Aenderung der Messresultate ds und dr mit sich bringt. Mit Hülfe von p, und ¢, bilden wir folgende Vektoren : Ww =—p,V , der kontravariante Vektor | der. materiellen B ate ae “ W—’g"w, der kovariante Vektor | Bewegung. (4) 4 if: A , der kontravariante Vektor | der elektrischen =*gtp’ , der kovariante Vektor | Strömung. ie diese ie sind invariant, aber von °g abhängig. In- folge (3) ist: (5) pW ME NM NM Die Weltfunktion Z bilden wir in folgender Weise: À (6) I= ++ + + : schreiben wir: ada > ST (po) hat also de Bedeutung eines Korrektionsliedes. d 0) | | 3 La 1/4 @oM ? ,M jk ist der von es os (Re systems Tech in in: (8) | L, = L, =— fo uo a j 4 a vom elektromagnetischen Felde her 5): - und Le Ist be von ScHWARZSCHILD spiiter von TR CLONE weerd re L, ist bis auf einen Zahlenfaktor mit der Krümmung Æ ides | 1 (11) ee Ga PRE À So lange °g nicht variiert wird, existiert kein Unterschied zw kovarianten und kontravarianten Gröszen, T und F sind ide und für 7x’ und p’ kann geschrieben werden ZX bez. p. Es sei jetzt die Variation des Integrales . ‘Wath + für verschiedene Falle berechnet. a) G. Mir*) hat gezeigt, dasz alle un . Simultankovarianten von p, ,M, und w~ sich aus MON. ,M° EMS | (pe eml*)* .p, ÔW.ME} ,p.w und (p! sad (wt meid berechnen lassen. ) 171, S, 151. *) dd. 1, SLOG, LOANS RATE: *) Lorentz 15. 1, 8. 1082, DOS NSA 5) 16. 3, S.-845. emer. 1070; ci) on VTS EU KS US ek, 4 und de À Le ne ete unverändert , a L,, L, und dr. Für Z, gilt: XO XD = 22 (v X D? rs Bie. : = M v X0q = — pv. CMI + aCe oM). dd. Bj FAR Tan dL, gilt: add ; | Tnfolgedessen Her ; : ae Of Lar =f ha + Ia) dr = [uv Ca! Mart La + 2 (RM). qdr + #p.0qér. a He Ist à q auf der Begrenzungshyperfläche von 7 Null, so verschwin- 5 det nach (IT 133) (Gauss’scher Satz) der erste Perit bei der Inte- + re * gtation. Stellen wir nun die Bedingung: st heide 05) d{ dr = f( + 1dr =0, 5 ta fi as so ergiebt sich nach dem Variationsprinzip : 6 (16) p——v'M, das erste Maxwurr’sche Hee Die infolge (II 93) evi- dente Identität: => HE Rae | à (17) vit, Iv XX —=IvXvxg=0 | bildet das zweite Maxwerr’sche System. 5 J + § Virtuelle han der elektrisch geladenen Materie dl 9 Die Variation sei gegeben durch eine Verriickung 3x der even- | tuell elektrisch geladenen Massen. Das elektromagnetische und das k Gravitationspotential bleiben konstant, und En Ps, Li and dr: Für dZ,, gilt: } 4 j 3 (18) OL. EN 0) == é DY 0 — ACO NW OR | a 9 P (Po) =P (Po) 9 p CTA hen =. P (Po) a 4 ‘Ge TAR w.dw a + a) Nach (I 107). 4 an *) Lorentz 15. 1, S. 1083; Trestinc 16. 3, S. 846; Fokker 17. 2, 8. 1072, 1074, + *) Lorentz 15. 1 S. 1077, Foxrer 17. 2 S. 1073, Lorentz 16. 4.8. 478. x Infolge (3) ist: £533 ee HEN ax Dre Bp tee (19) dw=dp Vv In = Ferner ist bei der betrachteten hee : (20) ‚Bd! var tax vox, und infolgedessen : > ; eye tos % 2 2 AE (21) dig dT vd TA VIE Schliesslich ist : | (22) br SOR vri elv VINS Der erste Teil von d Po rührt direkt der Verrückung h zweite Teil von der Divergenz der Verrückung v.d Xx, dritte Teil entsteht durch die Längenänderung des a a infolge des Umstandes, dasz bei der Verrückung nicht p, aa § dern m = pole konstant ist. ds Es ist also: + Wi (23) dw ROKR HTI oder, da v ein Einheitsvektor ist, und infolgedessen : ri (24) Om vvdxtvv= VVOX VX VOX OT auch : (25) OW—=—RÔIX VV PVEN) — —_VÄX.V pep, V(V.d X) = —WwW(V.dx)+w voix —2x!v y. Infolge der Kontinuitätsgleichung : (26) v.W—0 ist also: (27) Jw=v.(wXdx)=2v'(w xX dx) a) Nach*(107a). NC Wee A ib KU SANT N ALAN CAF CPE MP oe ls 4 Wik: À Fee "re Bide a: de ie a r RELATIVITÄTSTHEORIE. 79 id es ist demzufolge : je 9? jew. Iv (W X dx) en. xx CICR \— ie —2 | x Ow) w| Da p ein Einheitsvektor ist, ist infolge (4) und infolge der Kontinuitätsgleichung : (29) v.p —0 in derselben Weise wie für W abzuleiten : (30) p= vig xox) — 27s x). Für JZ, gilt also: £ (31) nt AC enk AK BAAS X 9 x) — , Rav. XIX) q| +2 (9 XD PXI = == vi pale pdx. Stellen wir nun die Bedingung: (32) of barf dr = 0 D und ist dx auf der Begrenzungshyperfläche von dr Null, so ver- schwinden nach (IL 133) bei der Integration die ersten Terme von (28) und (31), und nach dem Variationsprinzip ist: (33) XP tw He p)=0 oder : (34) WOO) + PMO. Dies ist die mechanisch-elektrische Bewegungsgleichung. Beide Terme der linken Seite dieser Gleichung lassen sich als Divergenz eines Tensors schreiben. Da — — ein Einheitsvektor ist, gilt nämlich : (35) EI oder : LT ir dé (36) und daraus ergiebt sich: und infolgedessen: (37) y, Fr RE D" | re (xu) =— or. v) 2 Gay is Bd =—w. AR (y. ew w5 38 { i El GD rt Et dE) ze kn w)' Ww Da nun: 4 (39) omne een rei Po ® (po) DORE P (Po) (Vv Ww). W tw if ist also: | (40) ne . (v X ® HORS Met (Po) ANS. | bes | Sat} @ (Po) nan Po Pp (p)) *g | ad Der Tensor: | i ww ; 5 (41) DP) ET =O 0) — pa (Ro) *B den wir einfachheitshalber schreiben : Ee iP pe T, en geht in ziber in: ww 43 AE (45) Le x Für den zweiten Term der linken Seite von (34) gilt infolge a (44) ep? M=—.2(71.M)tM © i ae Na oder infolge (17) und unter Berücksichtigung van (I 82) und (I 1070 a) Nach (I 1075). pb) Dieser Term darf wegen (26) einfach zugefügt werden. c) Infolge (37). ; « {TAN Len seen AA RELATIVITATSTHEO LER ee B ‘ 45) ppt M= (VMM (WMD LME = — LGM 19 Der Deviator \ (46) PD =uDM!.M) ist der elektromagnetische Energietensor. Die mechanisch-elektro- magnetische Bewegungsgleichung (34) läszt sich also schreiben: (47) ver ep) 20) Der Vektor — v ‘D stellt die Kraft K. (Viererkraft) dar, die als »äussere” auftritt, wenn nur die elektromagnetische Seite der Erschei- nungen betrachtet wird, ebenso — V1? die in den mechanischen Bewegungsgleichungen auftretende „äussere” Kraft K,,. Die elektro- magnetische und die mechanische Bewegungsgleichung lauten also: (48) a) K, =—v!°D, 0) K,, —= ZV! ar. Werden beide Seiten der Erscheinungen zugleich betrachtet, so verschwindet jede „äussere” Kraft. Es ist bemerkenswert, dasz die erhaltenen Gleichungen (16), (17), (45) und (48a) dieselbe Form - haben wie die der einfachen Relativitätstheorie. Der Unterschied besteht nur darin, dasz die Differentiationen geodätische sind, und eben durch diesen Unterschied wird die’ Kovarianz bei beliebigen Transformationen erreicht. ln Andere Deutung der virtuellen Vi errickung der Materie. Die virtuelle Verrückung der Materie kann noch in anderer Weise gedeutet werden. Geht der Punkt P durch die Verrückung dx’) über in Q, so besteht in Q eine andere Maszbestimmung, d.h. ein anderes Gravitationspotential, und ebenso ein anderes elektro- magnetisches Potential als in Q. Da a (49) (AN) =d 'V dx’, ist die Anderung von ds: D 2 — ( fx’ 3 1 7122 2 MTL en (50) dd — (4x FOX 1 V Ge ee = dy x — de Dr A ete oy 20 IAR INK ENEN ee oder nach (II 103): a) Einstein 16.2, 16.7, vergl. auch Lorentz 15.4 S. 1086, Trestine 16.3 S. 847. b) Da wir Aenderungen des Fundamentaltensors vornehmen wollen, müssen in diesem Paragraphen kovariante und kontravariante Gröszen auseinandergehalten werden. Verband. Kon. Akad. vy. Wetensch. (1° Sectie) Dl. XII. F 6 Le VARY, PAL (51) dde 2 (4x dx 1v dx’) Lg DAAK VL Ox’ 1g), 3 Der Wert eines kovarianten Vektorfeldes, z. B. q, in Q ist a q+ dx’!vq, das skalare Produkt von q mit irgend einem ke 4 . Linienelement ZX’ hat sich also in Q geändert um: (52) ATAR) — 9 Qt + d'à = LH — dx . [dx *vq+(wdx’)'q} BRD. Sind s, t’ und w beliebige andere ko- bez. kontravariante Vektor- à In felder, so ist ebenso: > Se (a. = SER ER _(53) dq'u)=uèx vg ger vu Ot uw WINE AEK Ev u’) 22E) Wir betrachten nun eine scheinbar ganz andere virtuelle Ande- à a rung der Welt. Die Materie bleibt an thet Stelle, in jedem Punkte erteilen wir aber dem Fundamentaltensor *g- und allen ko- und kontravarianten Vektorfeldern, z. B. Q und t’, die Zuwächse: DRE OW (0X 1 7g) (54) dg—=dx {va rd)! dg | Qt =d vt — tva x. Da | (55) Probe 1 Ist: . (56) des = gid und infolgedessen : (Gi Bree A EN Berechnet man nun die skalaren Produkte irgend zweier in dieser : Weise geänderten ko- oder kontravarianten Vektoren mit einander oder mit dx’, wo nötig under Verwendung des geänderten Fun- damentaltensors, so zeigt sich, dasz die Anderungen dieser Produkte genau mit den in (53) angegeben identisch sind. Die beschriebene Anderung ist also von der virtuellen Verriickung der Materie über dx’ cx keiner Weise zu unterscheiden. Denn die Zustandsgroszen der Materie, die Maszbestimmung, die Grösze aller aller Vektoren und ihre Lage in Bezug auf einander und in Bezug auf jedes Linienelement dX’ sind jetzt in P genau dieselben wie | bei der Verrückung der Materie in Q. Zufolge der gleichen Masz- bestimmung können also die in den beiden Fällen auftretenden Teile heit. Die en, von *g, °g’ und q ist also eine andere Art die virtuelle Verrückung der Materie zu be- oh eiben, und zwar als eine virtuelle Verrückung der Felder über dx’ bei ruhender Materie. Variation ue Gravitationspotentials 7: ¢ Die Variation sei al durch den Zuwachs dg? des kontra- _ varianten Pandadon eni) Das Differential dx’, die Weltlinien der Massen und der Ladung und das Potential q bleiben konstant. Der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Grôszen y stelt sich ein, und die Maszbestimmung ändert sich. Da CA Ge NEKAF x OG uv et Ò Guy mengde AC RE ea ist: 3 , ee D. (60) dps Ied gg gd, und infolgedessen : E (61) ddr =d de"... de =DE dr. | Für den speziellen Fall, dass dg’ eine virtuelle Verrückung _ des Gravitationsfeldes über — 0X’ vorstellt, geht dieser Ausdruck über in: 3 (CE | ddr —(v'à x’) dr | Für d(Zdr) gilt: (63) — d(Li dr) — d | D(p) dr | =D (p)Ö po dr HD (ps) d dr = rire p (Po) d (L, dr) a | P (po) au Po P (po) | d dr. | Zur Bestimmung des ersten Teiles bringen wir p,dr in die Form: (64) — APE Po dt = mds. Da nach (55) und (56) d°g = — °g "9 °g’ tg ist und m von *g’ unabhängig ist, folgt unter Berücksichtigung von (3) und (43): a) Hirperr 15. 2. Einstein 16. 2; 16. 7 S. 43; 17. 1 S. 151. Lorentz. 16. 4, S. 470; 15. 1, S. 1086; Forrer. 17. 2, S. 1072. : d RGS , (6%) N ets wpd dr. ek "4 a + HR (65) | Lay eee. ied dr. Der zweite Teil ergiebt: (66) 19 (pe) — po (p.)| d dr = — pie vrat (pol 2S und die Variation von y dr ist Ne u Für den speziellen Fall, dass J°g’ eine virtuelle Verr Gravitationsfeldes über — dX’ stel geht dieser Ausdruc (68) Did) =P? ev ox) | = NES = =v Cg am yt ive gm ne oder bei aa ae der Hoang wiederum | Zur Bestimmung der Variation von ee) Den wir ideale Potenz m?== n°. Da q konstant ist, sind M, m konstant. Es ist dann: ff q (Oera P= —1/, e(t’) (tn) (mab?) (bn). ——1},#\mn) sf 5 daher: Me dL, = — og DS mm n)?3%g | = M aS } mn]? 3 = | 1}, MEM POE | und infolgedessen : de (72) 3 (L, ae) = fy » (MEAD — 1), GM? Me) y “= id a= Al ae EE AT. Pr Für den speziellen Fall, dasz J°g’ eine virtuelle Verrückung des Ki. Gravitationsfeldes über — dx’ darstellt, geht dieser Ausdruck über in: J (73) à (1, dt) = = VA CD 13 x) ED Diese Gleichung wird inderselben Weise abgeleitet als (69). RELATIVITÄTSTHEORIE. 85 in die Form: (74) Eide Sep toad = mov qér eq td’. __hängig. Die Variation von Zydr ist also Null. Die Variation von 1 (75) L, dr = > Kdr virtuelle Verrückung des Gravitationsfeldes über — JX’ darstellt. Es ist dann: (76) KAN’ tv K. Da aber nach (II 168): . (77) NOR) ie Ce OT EG = 0, Ist: | EK =O Ev KO) = (78) Ant REN) IKE (V0 dx)) = : ZV CSE) + °K ? 072". Der bei der Integration nichtverschwindende Teil von dK ist. also in diesem speziellen Falle gleich °K ? 9 2g’. Das nämliche oil, wie in derselben Weise gezeigt wird, wenn d’& die Form hat: (79) - dg = — eg’ iv)u dx, worin ¢ eine beliebige stetige Funktion des Ortes ist. Zu irgend einer beliebigen Variation de” können nun aber in einem Gebiet, in welchem *g’, als Funktion des Ortes betrachtet, nur „gewöhnliche” Stellen aufweist, stets 10 Variationen dx’ und 10 Ortsfunktionen ¢, 7 — 1,...., 10 gefunden werden, so dasz (80) dg = — Fe ("tV) v Ox’. Unter diesen Voraussetzungen gilt also allgemein, dasz der bei der Integration nicht verschwindende Teil von dX gleich °K ? d °g’ ist. Man kann diese Tatsache noch in einer anderen Weise zum Ausdruck bringen. Da oh dK = 0K 27g’) = RTG KOS, kann. man sagen, dasz d°K ? ’g’ derjenige Teil vôn d XK ist, der bei der Integration verschwindet. x Zur Bestimmung der Variation von Zy dr bringen wir diese Grésze — In diesem Ausdruck sind sowohl e als q als JX’ von 7g unab- ‘bestimmen wir zunächst für den besonderen Fall, dasz dg’ eine oP aps ra’ rianten Gröszen wieder aufheben. Dieser Ausdruck wird i in (86) 7, +D+! GQ — Infolge (61) did nun, „wenn der verschwindende Te auszer acht, gelassen wird: 3 (82) d(Kdr)= CK — a ims)" so ran 26? de dr Für den speziellen Fall, dasz d’g’ eine virtuelle Ve des Gravitationsfeldes über dx’ darstellt, geht dieser über in (83) .d(Kdr)=—2Vv! CG 19X)+ ae PO tx atd wenn wir den Unterschied zwischen kovarianten und — Weise abgeleitet als (69). iV ÿ: Stellen wir nun die Bedingung | (84) HE für beliebige Variationen von 22’, so ergiebt sich aus ol ) (72) und (82) bei Anwendung des erweiterten Gaus? schen atz (85) Fond, Lg —0, mn die Feldgleichung des ado oil Fur a= 0, ?T = 77, entsteht die Feldgleichung | in ihr fachsten gestalt : pit or om ein nach seinen pres ane per ad geschlossenes Kontinnum auffassen zu können. pay Wird nun die Nichtincohärenz durch Einführung des von Lorentz eingeführten Zusatgliedes in der Formel (7) für Z, beriicksiehtigt so entstéht nach (42) ohne Eintührung von À: (87) — vg D'(p)°T, + D +6 =: - Es tritt also ein Zusatzglied — v°g auf, und °F, bekommt einen Faktor — ®'(p.). Für den von Ernsrxin betrachteten Fall ist nun — '(p,) konstant und das Korrektionsglied hat also gerade die von Einstein gewünschte Gestalt. Die Uebereinstimmung zeigt sich am besten wenn die BEinsrein’schen Gleichungen *) in der Gestalt: an 151: 00 RELATIVITÄTSTHRORIE. 87 (88) SK =x ST, — a’g DK = — x: DT. verglichen werden mit den hier abgeleiteten in der Gestalt: (89) S°K = — x 8D (p) T, —vx°g DK = x DO'(p,) T. für den Fall à = 0, *D = 0. Die Rechnung scheint also zu ergeben, dasz das Erxsren’sche Zusatzglied nicht eme willkürliche durch unser tatsächliches Wissen nicht gerechtfartigte Erweiterung der Feldgleichungen “) ist, sondern eng zusammenhängt mit der Berück- sichtigung nicht incohärenter Massen. Es sei noch auf eine merkwürdige Analogie gewiesen zwischen den Gleichungen (85) und den Deformationsgleichungen eines elas- tischen Mediums. Ist in drei Dimensionen der Tensor der Spannung °$ 2 und der Affinor der Deformation V, so ist: (90) SS= KSV DS=KDV, worin K, und K, die zu den Deformationen nullter und zweiter Ordnung gehörigen Elastizitätskonstanten des Mediums sind. ?) Schreiben wir nun ?Z für die Summe von °T', °D) und PARLE so % laszt sich (85) in die Form bringen: à ] (91) SL SK D= DK. Die a ee abgeleitet aus den Feldg thiol gen der Gravitation. Die Variation von q und die virtuelle Verrückung der elektrisch geladenen Materie ergaben nach (47) die mechanisch-elektromag- netische Bewegungsgleichung : (92) — vir + °D) — 0 und die Variation des Gravitationspotentials ergab nach (85) die Feldgleichung der Gravitation: @) SDA: b) 14. 2 S. 225. (94) und ebenso: (95) ea entsteht oi aus oy pede ie hat Hinserr à diese The mucrst her A Pre u See ï Fe, Fa ‘ Virtuelle Ve ervey des Feldes. Wir betrachten jetst die 8, 82 beschriebene TE Ven der Felder über — JX. Sehen wir ab von den bei der egr tion verschwindenden Teilen, so ist nach (62), (69), (73) und (# infolge der Verrückung des Gravitationsfeldes : AN Ie de al) | | (Ly dr) =(v'°T)' 0x 8 ee Ode) = (0 17D) dx : I (Ly dr) = — 0 Wide) | CO) ox = 0. Bei der Verrückung des Peldes dq ist nach (12) und age ch Te dr\—=0 à C SR de ht (97) d(L, dr)= (Vt .M).2 q , i Ly drie 0, und diese beiden Variationen heben sich infolge (16) auf. Es resultiert also die Impuls-Hnergiegleichung + 8 (98) vier +?D) — 0. H. Wer”) hat wohl zuerst ausdrücklich darauf hingewiesen, dasz die Impuls-Energiegleichung der Ausdruck dafür ist, dasz das a) 15. 2. b) 17. 3 S. 121. ; W) (ea a de. ld ce ae RELATIVITÄTSTHEORIE. 89 _HamrwroN'sche Prinzip insbesondere bei denjenigen Variationen erfüllt ist, die einer virtuellen Verrückung des, leldes entsprechen. “) Zusatz, die neueste Weyl’ sche Theorie betreffend. Sind zwei verschiedene Fundamentaltensoren °g — a? — ga}? —... und “g = 4? = 7; ==... gegeben, und sind die zugehörigen ge- ometrischen Differationssymbole d, V und ‘d, ‘V, so ist bei Anwen- dung auf einen Skalar: (99) do =de Vip == ND. Für. die Differentiation eines Vektors gilt aber: (100) QON= de va dV 22 NVI =d JAK VEV) Z=dv — XV 7 V(z' à) a dy’ =dy + dx’ VAV!) =d —dX Vv 'zvz aa und - ebenso: (101) Vyv=vv+viav@a'z)z=VV—Vizviaiajya : VW=VvV Ev''av(atz2z—vyv —v''zv(z tae Der wegen (II 84) in den beiden ersten Stellen symmetrische Affinor 3 Mf 3 (102) A AVE SN ermöglicht also den Ubergang zwischen den beiden Differentiationen : - 3 (103) a) ‘dy = dy — A’? v dx’ ks ’ ‘dy’ nn dy’ + AX? Vv 2 A 3 5) Wv ZE vv: 6) 3 VEN ENS A a) Die abgeleitete direkte Analysis ist in diesem Abschnitte nur angewandt auf die Berechnung der mechanisch-electromagnetischen Grundgleichungen aus dem Variations- prinzip. Es ist gerade dieser schwierigste Teil gewählt um das System einer Kraftprobe zu unterwerfen. Einfachere Anwendungen kommen als für sich verständlich nicht zur Sprache, und eine systematische Darstellung der Einstein’schen Relativitätstheorie ist dann auch nicht angestrebt. Der Übergang zu den Koordinatengleichungen wird nicht gemacht, es sind zu diesem Ubergange natürlich die Einheiten i,, i,, §,, 1,, auf S. 15 zu verwenden. b) Ein gemischter Affinor sei angegeben durch einen aus Punkten und Kommazeichen zusammengesetzten Index, der die Stelle der ko- und kontravarianten idealen Faktoren angiebt. c) Diese Formeln sind eine Erweiterung der bekannten Formeln (II 61) und gehen in diese über für den Fall dasz *g zu einer euklidischen Maszbestimmung gehört, (,v a) a — 0, und allgemein gan= 1; Gau =O, AFR, A, =d end gewahlt wird. els EV à I. ard = Werkers x “worn: dasz sie nicht nur unabhängig sind vom Bezugssystem cad auch | Im sn Fall, du SE ea (104) CUS oh eck de worin ¢ eine beliebige Funktion des Ortes darstellt, berechn leicht dasz : 4 es. 3 ‘ ë (105) A’ —1/, (a. s)b°a —1/,saa —1,asa = = (b's?— bab’ a —abb’a)'s, oe (106) slag Sah — vie. Der Affinor (107) B Fo (b'a?— baba ere a ist offenbar bei der Transformation (104) invariant. Infolg ist nun: | N 4 (108) a) ‘'dV.= N—B'°SsvAXx a 5) Ee tere ere Bilden wir nun bei einem deaphenes Vektor q die Funktion (109) a) ay B tg var b) viv=vv Bgv so sind dies ein Differentialquotient und ein Differential vo vo in Bezug auf-ein mitbewegtes Bezugssystem, dessen Maszeinh sich transformieren nach der Formel A fa à A DE TOPS = id —i, —di+B'"°qidx, j=1.. ee bé a Die Funktionen (109) haben nun die bemerkenswerte Eiscné ii noch invariant bei der Transformation : | he (111) gop ee a ayo = Qs denn bei dieser Transformation gehen d* y und v*y über in: 4 4 . (112) dv Bis var +B"(q+svax = dv B qvax 4 \ 4 v vB "sv Bq tv VV+B"*qv. andlage bt sich nun die neueste WavL’sche hg 5. q wird mit dem elektromagnetischen Potential- gerekt à Somer Aus ar ergiebt sich dann z.B. sofort die zweite rc ‘ ~ a ae aufgefasst eee kann ist, d*y — dy, bei Anderung LE von a stellt sich aber ein elektromagnetisches Potential ein. Karak- cristisch is die neue Theorie ist , dasz das geodätisch bewegte iy û A | nur. seine Richtung He ele auch seine Grösze ändert, da d* i, in , ao im Gegensatz zu di, im allgemeinen nicht mehr stnktecht Ne a i, i. } Die erste Aufgabe De direkten Behandlung diéser neuesten — Theorie ist die Erforschung der formalen Gesetze von d* und v*. oe 18. 7. 1699. 1901. 1903. 1906. 1908. LOUE vo vo . Ricer G. Del teorema de Stokes in uno spazio q . ScrwarzscHiLD. K. Zur Blektrodynamik Gott. Nach es a tre dimensioni ed in coordinate generali Atti Ven. 25. 2 (96—97) 1536—1589. Hxssexgerc. G. Ueber die Invarianten linearer und « dratischer Differentiaformeln und ihre Anwendu die Deformation der Flächen. Acta Medema 121—170. BIANCHI. Vorlesungen über Differentialgeometrie 1° Aufl. Dtsch. von M. Lukat. a Riccr. G. und Levi .Civrra. T. Méthodes de ; différentiel absolu. Math. Ann. 54 (01) 125—20 (03) 126—131. ME hee Mascuxe. H. Invariants of differential duantite Chica ï Univ. Press (03). ES Waerser. E. Ueber mehrfache Vektoren und ihre Pro dukte sowie zo Anwendung in der Elastizitätstheorie Mon. f. Math. u. Ph. 17 (06) 241—280. he Minkowski. H. ‘Dic Grundgleichungen für die ak (1 tromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Gott. xe Paha (08) 53—111. Math. Ann. 68 (10) 472—525. ve Apranam. A. Sull’ elektrodinamica di Minkowski. Rend. | di Palermo 30 (10) 33—46. Sommerrenp. A. Zur Relativitätstheorie. Ann. d. Ph. 32 (10) 749—776, 33 (10) 649—689. Lewis. G. N. On four dimensional vectoranalysis, and its application in electrical theory. Proc. Am. Acad. 46 (10) 165—181. de AE VOL UP APET | LITTERATUR-VERZEICHNISZ, 2 d Ixcorp. L. Vector interpretation of symbolic differential _ parameters. Trans. Am. Math. Soc. 11 (10) 449—474. . Juna. F. Die eds verschiedener Stufe und ihr Zusammenhang. Wien. Ber. 119 (10) 377—392. . 1. Frank. Pa. Verhalten der electromagnetischen Feld- gleichungen gegenüber linearen Transformationen der | Raumzeitkoordinaten. Ann. der Ph. 35 (11) 599. . Laun. M. Das Relativitätsprinzip. Braunscheig, Vieweg. 2 1. Wuson E. B. und Lewis. G. N. The space-time manifold of relativity. Proc. Am. Ac. 48 (12) 390— 508. fi 1. Warrsor. B. Quaternionen und binäre Formen zu den Minkowski’schen Grundgleichungen der Elektrodynamik. Wien Sitz. Ber. 122 (13) 503—513, 1095—1106. 2. Saw. J. B. The Wilson and Lewis Algebra for four- dimensional space. Bull. of the int. assoc. for prom. the study of quat. (13) 24—27. on 9 x 8. Suaw. J. B. On differentiel invariants Amer. Journal Dur : | 35 (13) 394—406. : bine © F A. Wuirzunnécx. R. Beweis des ersten Fundamentalsatzes der ee symbolischen Methode. Wien. Sitz. Ber. 122(13)153—168. 4 ! 1914. 1. Erysrem. A. und Grossmann. M. Entwurf einer ver- ke allgemeinerten Relativitätstheorie und emer Theorie der à Gravitation. Zeitschr.f. Math.und Phys.62 (14) 225—261. ‘ 2. Scnourmen. J, A. Grundlagen der Vektor und Affinor- ; analysis. Leipzig, ‘Teubner. 3. Mürrer. B. Eine Weiterbildung der Graszmann’schen Aus- dehnungslehre im Sinne der Invariantentheorie. Jahresb. ‘ d. D. Math. Ver. 28 (14). 1915. 1. Lorenrz. H. Het beginsel van Hamilton in Einstein’s theorie der zwaartekracht. Versl. Kon. Akad. v. Wet. ; WSL 4 2415) 10785089. 2. Hitperr. D. Grundlagen der Physik Gott. ser (15) 895—407. 1916. 1. Enysrem. A. Eine neue formale Deutung der Maxwell’- schen Feldgleichungen der Elektrodynamik. Sz. Berl. Akad. (16) 184-188. 2. Einsrein. A. Hamiltonsches Princip und allgemeine Relativitätstheorie. Sitz. Berl. Akad. (16) 111]—1116. 3. TRESLING. J. De vergelykingen der electronentheorie in‘ | een gravitatieveld van Einstein afgeleid uit een variatie- principe. De dus is funktie der electronenbeweging. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 25 (16) B44—848, Qt OT . LoRENTrz. . Warrscu. B. Quaternionen und binäre Formen zu d . Wantscu. E. Binäranalyse des vierdimensionalen Raum . Ensren. A. Die Grundlage der allgemeinen Relativitäts- . Scnouren. J. A. Ueber eine neue Theorie der Systeme 244—260, 328. . Scuourmn. J. A. Ueber das Verhältnisz der Vektor- aaa . Hererorz. G. Zur Kinsteinschen Gravitationstheorie. Leips. . Erysrery. A. Kosmologische Betrachtungen zur allge- 4 . Fokker. A. D. De virtueele verplaatsingen van het . Weyn. H. Zur Gravitationstheorie Ann. d. Phys. 54 (17) . Lorentz. H. Over Einstein’s theorie der zwaarték oi . HessenBere. G. Vektorielle Begründung der Differential- . Janyxe. E. Zur Theorie der vierdimensionalen Vektoren . Senouren. J. A. Over de direkte analyses der lineaire . June. F. Die Feldableitung in allgemeinen Koordinaten. . Lævr-Crvira. F. Nozione di parallelismo in una varietà H. Over Einstein’s eee der zwaartekracht ne Versl. Kon. Akad. v. W. 24. 2. (15—16) 1389—1402 1759—1774, 25 (16—17) 468486. Minkowski’schen Grundgleichungen der Elektrodynam Wien Sitz. Ber. 125 (16) 1083—1091, 1651—166 Wien. Sitz. Ber. 125 (16) 1625—1650. theorie. Leipz. J. A. Barth, 16, Ann. der Phys. 49 (16). direkter Rechnung und ihre Bedeutung für die mathe- matische Physik. Arch. der Math. und Phys. 25 (ie Affinoranalysis zur Binäranalyse. Jahresber. d. Deutch. Nat: Math. Ver. 24 (16) 382—389. Ber. 68 (16) 199—208. ies meinen Relativitätstheorie. Berl. Sits. Ber. (17) 142—152. electromagnetische en van het zwaartekrachtsveld bij de toepassing van het variatiebeginsel van Hamilton. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 25. 1 (16—17) 1067—1084. S. 117—145. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 25. 2 (16—17) 1380—1396. geometrie. Math. Ann. 78 (17) .187—217. Á und Dyaden. Arch. der Math. und Phys. 26 (17) 23—35. grootheden bij de rotationeele groep in drie en vier grondvariabelen. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 26 (17) 566—580. Wiener Sitz. Ber. 126 (17) 1438— 1488. qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana. Rend. di Pal. 42 (17). LITTERATUR-VERZEICHNISZ. 95 1. Scnovren. J. A. Über die Zahlensysteme der rotationalen Gruppe. Nieuw Archief voor Wiskunde. Deel XII. 2. Scnouren. J. A, Over het aantal graden van vrijheid van het geodetisch meebewegende assenstelsel en de om- vattende euklidische ruimte met het geringste aantal afmetingen. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 27 (18) 16—22. 3. SCHOUTEN. J. A. Over het ontstaan eener praecessie- beweging tengevolge van het niet euklidisch zijn der ruimte in de nabijheid van de zon. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 27 (18) 215—220. A. June. F. Zur Ableitung der Schwerefeldgleichungen. Phys. Zeitsch. 19 (18) 61—66. 5. Serint. R. Euclideita “dello spazio completamenta moto nella relatività generale di Einstein. Rend dei Lincei 27 (18) 235—238. 6. Fokker. B. D. Over hetgeen in niet-euklidische ruimten beantwoordt aan eene verplaatsing evenwijdig aan zichzelf en over de Riemanniaansche kromtemaat. Versl. Kon. Akad. v. Wet. 27. (18) 363—376. Wey. H. Gravitation und Electrizitat. Sitz. Berl. Akad. (18) 465—480. . ~ DRUCKFEHL ERVERZEICHNISZ. di @ Br ares Ob 8 Formel (3) steht ze = 2 ¢,, #’,- zu, lesen # == Sau a. y y . 26 43 Zeile 3 steht 1,2, zu lesen — Uy. Zeile 8 von (25) links, steht —i’,, zu lesen Ì Zeile 10 von (25) links, steht — np — iz, zu lesen dritte Spalte der Tabelle Zeile 2, 11 und 17, steht €, zu lesen ec in derselben Spalte Zeile 6, steht D, zu lesen .b. Fuszn. a) steht ii? Vi, zu lesen i, i,? V i,. INHALTSVERZEICHNIS. . Beikung iT ec ns e= nn ur efl 1—6 Erster Abschnitt. Das Zahlensystem Ki, der orthogonalen Gruppe in vier LE TT Île DR et RICE ESS ER PRE" RE . 1—388 Hohere Gröszen und.,ihre, Zahlensystemes. 2... mu, 50,17 Die allgemeine, symmetrische und alternierende Multiplikation der orthogonalen ‘Genpas ren sede ied cae eden B Das Zahlensystem Æ? der Lineargröszen ................. 11 Die freien Rechenregeln Mese Systemes: Miss sn. 15 Beispiele einiger Produkte........... AN PAIE PE TR reen 16 Beispiel der Einführung idealer Vektoren’ ED EEE 17 Geometrische Deutung einiger Produkte 2. ...:..,..... 18 Die skalaren Uberschiebungen hôherer Grôszen............ 21 Die lineare homogene Transformation von Vektoren und Bivektoren . . ... RAM PR © eS PE MTS 23 Die Überschiebungsregel . . . . .. PAS PARMESAN CHENE à SEL 24 Das System Z und die einfache Relativitätstheorie Ne 25 ET EE en Etn TARN AE te 21 Die vektorischen Uberschiebungen höherer Gröszen . ....... 21 Die Zerlegung eines Affinors zweiter Hauptordnung........ 28 gas system 9% der, bincargrüszen ve DUN PEER RE Ut 29 Operatoren aud OPEREERT eee Te 33 Linien-, Flächen-, Hyperflächen- und Raumintegrale im #,.. 36 Zweiter Abschnitt. Die Analysis zur allgemeinen Relativititstheorie........ 38—74 Die Utvariablen und -dies Vektoren @ und. @ > tn an. 38 Einführung des Fundamentaltensors . ................... 39 „Orthogonalnetze und Orthogonalsysteme .… tte 43 Pre Christel seken: Symboles 5% Zaris ER eee 43 Me seotshiseche. BAM Menden en us nn eur Ad Bas: scodatiach bewerte Bezagsysiem aon. "Nimes SS 46 Geodätisches Differential und Differentialquotient . ......... 46 ie Masohke sche Symbole eee oe eas Lee. 51 = INHALTSVERZEICHNIS. Die Methoden von L. Ingold und J. B. Shaw........... Die Hegsenherg' sche MEGA Le, 5... tee ee ee Die Methode won Fe dame Seo. i... Ge Geodätische. Differentiation von Produkten............... Die von 2g unabhängigen Differentiationen............... Die Differentiationsregeln der kontravarianten Bestimmungs- zahlen-von Vektaten und Bivektoren.. ......% 2ae~ eee Mehrfache Differenbiahons.. oct. ma 4 . Der Afiinor We erga te oP LPO ae Binige Formeln für mehrfache Differentiationen........... Linien-, Flächen-, Hyperflächen- und Raumintegrale....... Eigenschaften besonderer Orthogonalnetze................ | Der Riemann-Christoffel’sche”"Affinor Gij 00-2. 22 ee 4 Die geometrische Bedentung von KK... cn em Te Die geometrische Bedeutung von K....... ed rn Die geometrische Bedeutung von ?K und *@............ Der zweite Fundamentaltensor “hl. 4... .... on oet ne Dritter Abschnitt. Anwendungen, EETL EE veen, PATTES 75—91 Die Weltfunktion jail te tava de ies 3s. Ash Ee Se Variation des elektromagnetischen Potentials .......... ah Virtuelle Verrückung der elektrisch geladenen Materie...... Andere Deutung der virtuellen Verrückung der Materie... Variation des Gravitationspotentials,.... 44 + este ver ed Die Bewegungsgleichungen abgeleitet aus den Feldgleichungen Zusatz die neueste Weyl’sche ‘Theorie betreffend .......... Litieraturverzechnisz oO. soc oe eee ore ee 92—95 Dr. L. E. J. BROUWER PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT AMSTERDAM. Zwerrer Tur: THEORIE DER PUNKTMENGEN. 4 4 rs Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam ee |. ŒERSTE SECTIE). s / DEEL XII. N°. 7 2 aw ee SEPT TR D > > AA à x F ae gS j a“ AMSTERDAM r 4 JOHANNES MÜLLER Maart 1919. Dr. L. E. J. BROUWER PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT AMSTERDAM. a Zwerrer Tur: THEORIE DER PUNKTMEN NGEN. : BE Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam os (eel ats 3 Leni bof jh (EERSTE SECTIE). ; RSC" DEEL XII. N°. 7. | | | : a | AMSTERDAM M SENS JOHANNES MÜLLER 1919. Begründung der Mengenlehre unabhängig N 43 Um fa ® ; | FA LS vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. . = Ne Zweiter Teil: THEORIE DER PUNKTMENGEN. 1. Die Grenzpunkte. Für die folgenden Betrachtungen wird die Menge 4, der Paare _von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen einer geordneten Menge der Ordinalzahl y als gegeben angenommen. Diese Menge #, werden wir des kürzeren Ausdrucks wegen durch die Menge der- jenigen Punkte der Ebene, deren rechtwinklige Cartesische Koor- dinaten endliche Dualbrüche sind, repräsentieren. Dementsprechend wird unsere Terminologie öfters der Vorstellung der Ebene entnom- men sein, obwohl sie sich begrifflich ausschliesslich auf die Menge 4 bezieht. | Unter emenr Quadrate À, verstehen wir das System der Kckpunkte eines die Vereinigung von vier (nach S. 8 des ersten Teiles defi- nierten) Quadraten x, , , bildenden Quadrats. Die Species der Quadrate A besitzt offenbar die Kardinalzahl &, und kann als eine Fundamen- talreihe 4’, 2”, A”,... geordnet werden. Unter einem Punkte der Ebene verstehen wir eine unbegrenzt fortgesetzte Folge von Quadraten A, deren jedes im Innengebiete des nächstvorangehenden enhalten ist. Wenn zwei Punkte P, und P, die Eigenschaft besitzen, dass in jedem Quadrate von P, ein Quadrat von P, und in jedem Quadrate von- P, ein Quadrat von P, enthalten ist, so sagen wir, dass P, und P, zusammen fallen. Eine Punktspecies, von der je zwei Punkte zusammenfallen, ‘heisst eine puuktierte Species. Wenn das Quadrat 4, des Punktes P, und das Quadrat 7, des Punktes P, ausserhalb voneinander liegen, so heissen P, und P, örtlich verschieden. Eine Menge, von der jedes Element einen Bunkt der Ebene darstellt, heisst eine ebene Punktmenge. Die Species der Punkte der Ebene ist offenbar eine ebene -Punktmenge; ihre Kardinalzahl ist c. In derselben Weise, wie Punkte der Ebene und ebene Punkt- G 1* sionale Punktmengen definiert werden. 1) Weil dieselben aber im folgenden ausser Betracht bleiben, so werden wir einen Punkt d a Ebene auch kurz als Punkt und eine ebene Punktmenge auch ku als Punktmenge bezeichnen. < ; Wenn für jedes » nach jeder ungehemmten Folge von nl Wahlen n die Species derjenigen A die, als #-ter Ziffernk 1 plex gewählt, zicht die Hemmung des Prozesses herbeiführen, weder endlich oder abzählbar en ist, so heisst die bezüglie Punktmenge zwumeriert. a Wenn für die Elemente der Species M die Higenschaften a u a, einander kontradiktorisch gegenüberstehen, d. h. wenn jede di die beiden Eigenschaften mit der Ausschliessung a priori der and äquivalent ist, während die Species derjenigen Elemente von M, | welche die Eigenschaft «,‚ bzw. a, besitzen, mit M, bzw. M, me zeichnet wird, so sagen wir, dass AZ sich ronte spaltet in ‘ - M, und M,, und nennen M, und M, konjugierte Spaltwngespacies — a von M. 3 Die Species M der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge pe 4 sich kontradiktorisch in die Species 47, derjenigen Wahlfolgen, bei 3 denen von einer gewissen Wahl an jedesmal nur für einen einzigen — Ziffernkomplex keine Hemmung des Prozesses stattfindet und die Species M, derjenigen Wohlialges, bei denen unendlich oft fiir wenigstens einen von dem gewählten verschiedenen /iferakomplex. keine Hemmung des Prozesses stattfindet. Wenn die ee der ungehemmten endlichen Wahlfolgen von M in solcher Weise in die AD der M und M,, nicht aber M,, und die Species der A, angehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen zerlegt ist, dass jede der Species M, und J/, mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge identisch ist, so sagen wir, dass JZ eine i”nere Abbrechung erster Ordnung aulasst und nennen M, die izere Appendie und M, die innere Kohärenz von M. In diesem Falle se¢zt M sich auch aus M, und M, zusammen. Sei JZ die Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge und (2 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Alsdann definieren wir die. mit J/(2) zu bezeichnende B-te innere Kohürenz, die mit (8)M zu bezeichnende f-le innere Adhürenz und die mit [|Z zu bezeichnende 1) Die Bezeichnung „Punkt der geraden Linie”, bzw. „Punkt des » dimensionalen Cartesischen Raumes” ist schon ‘S. 10 des ersten Teiles einmal gebraucht worden, aber in einem von dem hier definierten verschiedenen Sinne. — dr EN * | SE EEE manken à. de LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. : 5 B-te innere Appendix auf Grund der folgenden Festsetzungen: M(0) ist identiscli mit. MZ; wenn JM(0) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulässt, so ist M(1) mit der innern Kohärenz von (0) identisch; wenn 4/(@) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulässt, so ist (@)M mit der innern Appendix von 4/(@) identisch; wenn eine willkiirliche wohlgeordnete Ordinalzahl < (2 mit B bezeichnet wird, so ist [(2]J/ mit der Vereinigung aller (2)47 identisch; wenn P=, +2, auf Grund der ersten erzeugenden Operation, und A eine innere Abbrechung f-ter Ordnung und J/(,) eine innere Abbrechnng R,-ter Ordnung zulässt, so sagen wir, dass M/ eine innere Abbrechung B-ter Ordnung zulässt und bobines {A7(2,)| (25) mit ME): wenn ESP, auf Grund der zweiten erzeugenden Opera- —\ tion, und Æ/(£, IE Bd) für jedes y eine innere Abbrechung B,-ter Ordnung zulässt in solcher Weise, dass die Species der unge- hemmten endlichen Wahlfolgen von MZ in die Species der M und [@, |Z, nicht aber M(@,), die Species der MZ) und[, | {IZ(P,)}, nicht aber (LR, + R,),.... und die Species der DOME), ML, + LR), ..| angehörigen Rp ett endlichen Wahlfolgen zerlegt ist und DDM Ps), MB, + Py), ....) mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge ‘endian ist, so sagen wir, dass JZ eine innere chute B-ter Ordnung zulässt mak es OUR), MR, + Be), ....} mit MP). Diese Definitionen sind offenbar un- abhängig von de Erzeugungsart von 2. Wenn M eine innere Ab- brechung P-ter Ordnung zulisst; so setzt M sich aus MR) und [P| zusammen. Wenn zwei Punktspecies Q und Z die Eigenschaft besitzen, dass jeder Punkt von Q mit einem Punkte von Z und jeder Punkt von R mit einem Punkte von Q zusammenfällt, so sagen wir, dass Q und À zusammenfallen. Wenn wir eine Punktspecies, in welcher nur Quadrate, deren Seitenlänge unterhalb eines gewissen Maximums bleibt, auftreten, als uaiform bezeichnen, so leuchtet sofort ein, dass jede Punktspecies mit einer uniformen Punktspecies und jede Punktmenge mit einer uniformen Punktmenge zusammenfällt. Wenn wir weiter eine Punktspecies, in welcher für jedes y die y-ten Quadrate von allen Punkten die gleiche Seitenlänge besitzen, als gleichmissig bezeichnen, so gilt der Satz, dass jede uniforme Punktspecies mit einer gleichmissigen Punktspecies und gede uniforme Punktmenge mit einer gleichmissigen Punktmenge zusammenfallt. Sei nämlich m, die maximale Seitenlänge der von den y:ten Wahlen der BEGRÜNDUNG DER MEN aH ML LT 0 | ERE OL CEE irm Panktspecies Q erzeugten Quadrate ana Ms pis f: ] YY solche Fundamentalrejhe, dass My < ge Alsdann erhalten wi AL mit Q zusammenfallende gleichmissige Punktspecies #, indem zunächst in ae nur die en vaten usw. Quadrate ae besitzt. ns pose je zwei verschiedene nes ee einer ne 4 é lich individualisiert. | Wir sagen, dass zwei Punktspecies Q und 2 értlich überes men, wenn weder ein von jedem Punkte von # örtlich verschie Punkt von Q, noch ein von jedem Punkte von Q értlich vers dener Punkt von existieren kann. Kk Zwei Punktspecies Q und ZX heissen drtlich kongruent, w weder ein Punkt von Q, dessen Zusammentallung mit einem Punk von À unméglich wäre, noch ein Punkt von 2, dessen Zusamme fallung mit einem Punkte von Q unmöglich wäre, existieren ka Wer kein mit einem Punkte der Punktspecies S zusamm fallender Punkt der Punktspecies Zl existieren kann und Sh, mit der Punktspecies Q örtlich kongruent ist, so sagen wir, das sich aus Z und 8 örtlich zusammensetzt und nennen ZX und örtliche Komplementirspecies voneinander in Q. a Die Species der mit Punkten der Punktspecies Q zusammen- _ fallenden Punkte heisst die ergänzende Punktspecies oder kurz die — Brgänzung von Q. Eine mit ihrer Ergänzung identische. Punktspecies F heisst eine ganze Punktspecies. 3 Wenn ein Quadrat des Punktes P im Innengebiete des Quadrates — g enthalten ist, so werden wir sagen, dass P in g enthalten ist. à F Wenn alle Punkte der Punktspecies Q in einem bestimmten Quadrate g enthalten sind, so nennen wir Q eine geschränkte Punkt- 4 species. Die im folgenden in Betracht kommenden Punktspecies und x Punktmengen werden ohne ausdrückliche Erwähnung des Gegenteils als geschränkt vorausgesetzt werden. Re Der Punkt P heisst ein Limespunkt der Punktspecies Q, wenn in jedem Quadrate von P ein Quadrat eines Punktes von Q enthalten ist. Der Punkt P heisst ein Grenzpunkt der Punktspecies Q, wenn in jedem Quadrate von P zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von Punkten von Q enthalten sind. fl 7 Se bad LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. NES Ein Punkt von Q, der gleichzeitig Grenzpunkt von Q ist, heisst ein Kondensationspunkt von Q. Wenn das Quadrat g des Punktes P kein Quadrat eines Punktes der Punktspecies Q in seinem Innern enthalten kann, so heisst P ein von Q freier Punkt. 4 Wenn das Quadrat g des Punktes P die Eigenschaft besitzt, dass je zwei in g enthaltene Quadrate von Punkten von Q wicht ausserhalb voneinander liegen, so heisst P ein von Q unbegrenzter Punkt: Ein zu Q gehöriger, aber von Q unbegrenzter Punkt heisst ein isoherter Punkt von Q. Wenn jeder Punkt der Ebene von der geschränkten Punktmenge ma unbegrenzt ist, so fallt x mit einer solchen Punktmenge zusammen, zu deren Kardinalzahl h eine endliche Kardinalzahl k > h gefunden werden kann. Sei nämlich K das Quadrat, in dem die Punktmenge Tr, welche wir als gleichmässig voraussetzen dürfen, enthalten ist. Wir betrachten die Menge p derjenigen Punkte, deren erstes Quadrat g, ein willkürliches von ganz oder teilweise überdecktes Quadrat A,, deren zweites Quadrat g, ein willkiirliches im Innern von g, enthaltenes Quadrat A,, deren drittes Quadrat 7, ein willkürliches in g, enthaltenes Quadrat à, usw. ist. Wenn jeder Punkt von p von + unbegrenzt ist, so muss man bei der Erzeugung der Punkte von p nach einer endlichen Wahlfolge 47 fester Kardinalzahl m die Sicherheit erlangt haben, dass nach einer weiteren endlichen Wahl- folge der von 47 abhängigen Kardinalzahl m, ein Quadrat g erzeugt wird, innerhalb dessen je zwei Quadrate von Punkten von m wicht ausserhalb voneinander liegen. Mithin liegen, wenn wir das Maximum von m, mit m’ und m Hm’ mit m” bezeichnen, je zwei im selben von K ganz oder teilweise überdeckten Quadrate 25,4 enthaltene Quadrate von Punkten von 7: zicht ausserhalb voneinander. Wir bestimmen nun eine solche Zahl y, dass die Seitenlänge der von 1 : AV * N 7 ii = den v-ten Wahlen von 7 erzeugten Quadrate 9, << oan FA ist, lassen von den Quadraten g’,, (welche offenbar von einer zählbaren Wahlspecies erzeugt werden), diejenigen fort, welche nicht ausserhalb aller vor- hergehenden liegen, und weisen jedem der mit g’, zu bezeichnenden übrigen zu: erstens ein solches Quadrat À,,1, dass zunächst die Mittelpunkte der beiden Quadrate einander möglichst nahe liegen, während im übrigen der Mittelpunkt des letzteren Quadrates môglichst grosse Koordinaten besitzt, so dass je zwei verschiedenen Quadraten g, zwei verschiedene Quadrate À, zugewiesen werden; zweitens denjenigen Punkt P” von 7, der erhalten wird, indem wir nach der 7’, erzeugenden Wahl immer minder den crea idhes Ziffern- komplex von F4 wählen. Die Kardinalzahl der Punkte P" bezeichn wir mit 4, die endliehe Kardinalzahl der von K ganz oder teilw: überdeckten Quadrate A, mit 4. Alsdanu ist 4 <# und; Punkt von 7 fällt mit einem Punkte P’ zusammen, womit uns Behauptung bewiesen ist. Dieselbe Schlussweise führt mit einer geringen Abänderun RE Resultat : Wenn teens Punkt der rd von der di rn n=? A Punktspecies zusammen, dass eine endliche Kardinalzahl k > Junden werden kann. Re Es existiert kein Grund zu behaupten, dass diese Eigens auch für andere ce RE Zat bzw. Punktspecies oe hens wire die Aussage, hab jede ini geschre Punk = species notwendig einen Grenzpunkt besitzen müsse, vollständig unberechtigt. | k: Eine Punktspecies Q, von der jeder Punkt Kondensationspunk ist, heisst iz sich dicht. dede Wenn jeder Limespunkt der Punktspecies Q mit einem Punk von Q zusammenfällt, so heisst Q abgeschlossen. Der Durchschnitt einer Species von abgeschlossenen ganzen Species ist wiederum eine — abgeschlossene ganze ee eres his Punktspecies, welche sowohl in sich dicht wie abgeschlos- sen ist, heisst perfekt. a Kine Punktspecies Q heisst im Bereiche (2 wberall dicht, wenn in jedem von 2 vollständig überdeckten Quadrate à ein Punkt von. Q enthalten ist. | aa Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche (3 nirgends dicht, on +. innerhalb jedes von (2 vollständig überdeckten Quadrates A ein. weiteres Quadrat A liegt, in dem kein Punkt von Q enthalten # sein kann. c Die (offenbar ganze) Species der Limespunkte der Punktspecies Q heisst die Abschliessung von Q. Jeder Limespunkt der Abschlies- — sung von Q gehört zur Abschliessung von Q. Eine abgeschlossene Punktspecies lässt sich auch als eine Punktspecies, deren Abschlies- sung und Ergänzung identisch sind, definieren. Die (offenbar ganze) Species der Grenzpunkte der Punktspecies Q heisst die Ableitung von Q. Jeder Grenzpunkt der Abschliessung _ von Q, sowie jeder Limespunkt der Ableitung von Q ist ein Punkt SE a bee _LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. eg . \ der Ableitung von Q. Auf Grund der letzteren Eigenschaft ist die Ableitung einer Punktspecies eine abgeschlossene Punktspecies und lässt eine perfekte Punktspecies sich auch als eine Punktspecies, deren Ableitung und Ergänzung identisch sind, definieren. Die Species der Kondensationspunkte der Punktspecies Q heisst die Kohdrenz von GQ. Eine in sich dichte Punktspecies lässt sich J auch als eine mit ihrer Kohärenz identische Punktspecies definieren. Eme in sich dichte Punktspecies ist in ihrer Ableitung als ‘Teil- species enthalten, und diese Ableitung ist perfekt. Die Species der isolierten Punkte der Punktspecies Q heisst die Appendie von Q. Die Punktspecies Q spaltet sich kontradiktorisch in ihre Appendix und ihre Kohärenz. Die Abschliessung der Punkt- speciés Q spaltet sich kontradiktorisch in die Ableitung von Q und die Ergänzung der Appendix von Q. Sei (2 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definieren die mit Q(B) zu bezeichnende Q-te Kohdrenz der Punktspecies Q auf Grund der folgenden Festsetzungen: Q(0) ist identisch mit Q; QI) ist identisch mit der Kohärenz von Q; wenn 8 — f, + #, auf Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist Q(@) = |Q) (Lp); wenn co (=~, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist vl UL =D |L). AB, + Bo), AR, + LH Rs), |. Diese Definition ist offenbar unabhängig von der Erzeugungsart von 2. Weiter ver- stehen wir unter der GB-/ex Adhürenz (R)Q von Q die Appendix von Qf) und wenn eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl < (2 mit bezeichnet wird, so verstehen wir unter der (-ten Appendix [P]Q von Q die Vereinigung aller (2)Q. Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht die beiden folgenden Siitze: Für jedes R spaltet Q sich kontradiktorisch in Q(@) und [B]Q. Sei nämlich @ — > 2, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation; VA wir nehmen an, dass für jede Punktspecies Q und für jedes » be- wiesen ist, dass Q sich in Q@,) und [£,]Q, mithin auch in © [£,]Q, [ENEN LENAB HB +... HBN und UB +... + 8) kontradiktorisch spaltet; tm sodann weiter einzusehen, dass Q sich ebenfalls in QZ) und SL, 18, [2,] [Q(B, )}, [Ls] FAB, + BR), .. À kontradiktorisch spaltet, bemerken wir, dass zu jedem Punkte P von Q, für den die Zugehörigkeit zu Q(B) a priori-ausgeschlossen ist, ein solches y angegeben werden kann, dass die Zugehörigkeit 6] : zu QA, + B, zi fi 2) ebenfalls fiir P a priori ausg shaman nist, a, Sei 2 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definieren die 1 Q) zu bezeichnende P-te Ableitung der Punktspecies Q auf Gri der folgenden Festsetzungen: Q® ist identisch mit der Absch sung von Q; Q™ ist identisch mit der Ableitung der Abschliessu von Q, d.h. mit der Ableitung von Q; wenn B= B, + Fe a Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist Q® = (a) wenn A =e, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, v=1 A ist QO =D, Qt) QT +R, |. Diese Definition is offenbar unabhängig von der Erzeugungsart von (2. Jedes Qe) is eine RARE ganze Punktspecies. Für jede kondensierte wohl geordnete Ordinalzahl @ ist Q® mit QY(@—1) identisch. ? Die induktive Methode liefert unmittelbar den Beweis der beiden folgenden Sätze: uted Für jedes ist Q(B) uls Teilspecies in Q®) enthalten. 4 Für jedes L ist eine willkiirliche in Q als Teilspecies enthaltene in sich dichte Punktspecies ebenfalls in Q”) als Teilspecies enthalten. Ô Wenn eine solche wohlgeordnete Ordinalzahl @’g bekannt ist, NS dass QF © perfekt ist, so heisst QE) die finale Ableitung von Q. vn Wenn eine Punktspecies sowohl eine finale Kohürenz, wie eine x finale Ableitung besitet, so ist erstere in letzterer als Teilspecies enthalten, wie unmittelbar daraus folgt, dass die finale Kohärenz in sich dicht ist. Wir sagen, dass die Punktmenge zr eine Abbrechung erster Ord- nung zulässt, wenn die zu 7 gehörige Wahlmenge in solcher Weise in eine Menge von Punkten von (0)r, nicht aber Punkten von m(1) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkteu' von 7(1) ange- hörigen Wahlen und eine #berfhüssige Wahlmenge p (dies soll besagen, << — dass jeder Punkt von 7 mit einem von nicht zu p gehörenden Wahlen erzeugten Punkte von 7 zusammenfällt, während jede auf eine Wahl von p folgende Wahl ebenfalls zu p gehôrt) zerlegt ist, dass (O)zr . mit einer von der ersten Wahlmenge erzeugten Punktmenge (Om LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. Il VA oder [1}r, und 7(1) mit einer von der zweiten Wahlmenge erzeug- ten Punktmenge 7(1) zusammenfällt. Wenn die Punktmenge m eine Abbrechung erster Ordnung zulässt, so setzt sie sich aus (Om und 7(1) örtlich zusammen. Wenn wir nämlich die von den zecht zu p gehörigen Wahlen von 7 erzeugte Punktmenge mit 7 bezeichnen, so fällt jeder Punkt von 7 mit einem Punkte von 7 zusammen und muss deshalb, wenn er mit keinem Punkte von (O)m zusammenfallen kann, mit einem Punkte von 7(1) zusammenfallen. Mithin kann kein Punkt von 7 existieren, für den sowohl mit einem Punkte von (0)a wie mit einem Punkte von +(1) Zusammenfallung unmôglich wäre, d. h. für den Zusammenfallung mit einem Punkte von @{(0)r), r(1)| unmöglich wäre. Weiter sagen wir, dass jede Punktmenge eine Abbrechung O-ter Ordnung zulässt und wenn (2 eine wohlgeordnete Ordinalzahl ist, so sagen wir, dass die Punktmenge m eine Abédrechung R-ter Ord- nung vulässt: erstens wenn @=,-+ 6, auf Grund der ersten erzeugenden Operation und 7 eine Abbrechung 3 -ter Ordnung und (2) eine Abbrechung £,-ter Ordnung zulässt, in welchem Falle Ir(B, (BR) mit 7(8) und STE lr, [Py] |r(2;)|{ mit [Br bezeich- foe] nen; zweitens wenn 2 — ZE, auf Grund der zweiten erzeugenden val Operation und r(@,-+...+ 6,4) für jedes v eine Abbrechung L-ter Ordnung zulässt in solcher Weise dass die zu 7 gehörige Wahlmenge in eine Menge von Punkten ven 7 und von [£, |r, nicht aber Punkten von z(@,) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkten von 7(@,) und von [Ce (ar (BD, nicht aber Punkten von m(@, + Le) angehörigen Wahlen, ...., eine Menge von Punkten von 7(@) angehörigen Wahlen und eine übherflüssige Wahlmenge zerlegt ist, ene [Br mit einer von der ersten Wanted erzeugten Punktmenge (2 Jr, [2] Ir(8,)} miteiner von der zweiten Wahlmenge erzeugten Punktmenge [@,]{r(2,)},..., und 7() mit einer von der vorletzten Wahlmenge erzeugten Punktmenge 7(£) zusammenfällt, in welchem Falle wir SIL Jr, [B, + Br... | mit [Br bezeichnen. Wenn die Punklmenge + eine Abbrechung L-ter Ordnung zulüsst, so selzt sie sich aus [Br und x(P) örtlich zusammen. Wenn m eine Abbrechung £’,-ter Ordnung zulässt und 7(£°,) in sich dicht ist, so sagen wir, dass 7 eine vollständige Abbre- chung malasst. Wenn die Punktmenge m eine vollstindige Abbrechung zulässt und die wohlgeordnete Ordinalzahl Ê kondensiert ist, so ist jeder Punkt von (yr Grenzpunkt von (Om, wie in folgender Weise mittels der on von 70) liegen en so dass innerhalb Sades | nds 4 legenden Quadrates von P zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von (0)r liegen und demzufolge P Grenzpunkt von (0). ist. Es sei nun £— £, +2, auf Grund der ersten erzeugenc e Operation und es sei der fragliche Satz sowohl für 2, und 2, w für jedes 2, und jedes 2, bewiesen. Alsdann ist jeder Punkt v ‘x (Br = (OMEN = (0) BB = (BHr(B} Grenrpunkt | von? (0)|7(2,)} =(8,)r und jeder Punkt von (f,)r Grenzpunkt von (© mithin jeder Punkt von (Br Grenzpunkt der Ableitung von. und demzufolge Punkt der Ableitung von (0)r. Es sei weit re B= zp, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation und es val der fragliche Satz sowohl für jedes (2, wie für jedes B, bewiesen. Meda ist jeder Punkt P von (R)r Grenzpunkt von zr, also von — 3 Sr, r()|, besitzt aber ein Quadrat g, innerhalb dessen kein — Paar ausserhalb voneinander liegende Quadrate von 7(@) liegen kann, so dass innerhalb jedes neh 4 legenden Quadrates von P zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von [ 2 }7, mithin zwei — ausserhalb voneinander liegende Quadrate von Punkten der Ablei- — tung von (0)r liegen und demzufolge P Grenzpunkt von (0)r. ist. Wenn die Punktmenge m eine ek erster Ordnung zulüsst, — so fält (Om mit einer zühlbaren, örtlich individualisierten Punkt- menge zusammen. Sei nämlich -, die zählbare Menge der zu (Om, nicht aber zu 7(l) gehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen, — 7, die ebenfalls zählbare Teilmenge von (0)r, welche entsteht, wenn jedes Element von ;, derweise fortgesetzt wird, dass immer wieder _ der erstmögliche für (0)r zugelassene Ziffernkomplex von € gewählt wird. Alsdann fällt jeder Punkt von (Or mit einem Punkte von We 7, zusammen. Weiter besitzt ein willkürlicher Punkt P von 7, ein Quadrat g, innerhalb dessen nicht zwei ausserhalb voneinander lie- gende Quadrate von 7, liegen können, so dass ein w illkürlicher Punkt P’ von z,, der auf End der Zählbarkeit von 7, auf P folgt, ein solches Quadrat g’ besitzt, dass P mit P zusammenfallt oder von P örtlich verschieden ist, je nachdem g’ innerhalb oder nicht innerhalb g liegt. Indem wir mithin die Punktmenge 7, zunächst nach ihrer Zählbarkeit ordnen und sodann von ihr jeden mit einem vorangehenden zusammenfallenden Punkt fortlassen, erhalten wir eine ôrtlich individualisierte und noch immer zählbare Punktmenge 7,, mit der 7, und demzufolge auch (0)7 zusammenfallt. D AR ER T'en : Ge à 7 Ce LA en + > : _LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 13 Wenn die Punktmenge m eine vollstündige Abbrechung zulüsst und sich in solcher Weise drtlich zusammensctzt aus einer in sich dichten _Punktmenge p und einer von p freien und keine in sich dichte Teil- menge enthallenden Punktmenge 5, dass die zu m gehörige Wahl- menge in eine Menge von zu a, nicht aber zu p gehörigen Wahlen, eine Menge von zu p gehörigen Wahlen und eine überflüssige Wahlmenge zerlegt ist, so fallen einerseits p und (fz), andererseits ¢ und [@'-]r zusammen. Wenn wir nämlich die von den zicht überflüssigen ‘Wahlen von + erzeugte Punktmenge mit 7 bezeichnen, so fällt jeder Punkt von 7 mit einem Punkte von 7 zusammen; wenn nun ein Punkt von 7(@,) mit einem von einer zicht Punkten von p angehörigen Wahl von 7 erzeugten Punkte zusammenfiele, so würde ein solches Quadrat g von r(£',) existieren, innerhalb dessen kein Quadrat von p läge, so dass die in sich dichte in g enthaltene Teilmenge von æ(£',) der Voraussetzung entgegen mit einer Teilmenge von ¢ zusammen- ‚fielc. Weiter ist jeder Punkt von [£',1]r frei von 7(6',), mithin von p, so dass für hinreichend grosses y die y-te Wahl des mit diesem Punkte zusammenfallenden Punktes von 7 nicht zu p gehören kann und demzufolge zu ¢ gehören muss. Hieraus folgt, dass jeder. Punkt von („Jr mit einem Punkte von ¢ zusammenfallt und in derselben Weise zeigen wir, dass jeder Punkt von ¢ mit einem Punkte von [LR Jr zusammenfällt. Wenn die Punktmenge m eine vollstindige Abbrechung zulüsst und sich dadurch ürtlich zusammensetzt aus einer in sich dichten und mit jeder sie als Teilmenge enthaltenden in sich dichten Teilmenge von a zusammenfallenden Punklmenge p und einer von p freien Punkt- menge co, dass die zu m gehörige Wahlmenge in eine Menge. von zu a, nicht aber zu p gehörigen Wahlen, eine Menge von zu p gehö- migen Wahlen und eine überflüssige Wahlmenge zerlegt ist, so fallen einerseits p und (Px), andererseits ¢ und [RIT zusammen. Eine Punktspecies heisst Zimitierbar, wenn eine mit ihrer Abschliés- sung zusammenfallende Punktmenge existiert. | Wir sagen, dass die limitierbare Punktspecies Q eine Begrenzung L-ter Ordnung zulässt, wenn eine mit Q zusammenfallende, eine Abbrechung @-ter Ordnung zulassende Punktmenge existiert. Wir sagen, dass die gleichmässige Punktspecies Q, deren »-te . . de 1— . Ps . . . Quadrate die Seitenlänge 2” fn besitzen, satalogisiert ist oder eine Katalogisierung 0-ter Ordnung wulasst, wenn ¢,, &,,... eine solche ) , 1 92 Fundamentalreihe von nicht abnehmenden endlichen Zahlen ist, dass ¢, für hinreichend grosses x jede Grenze übersteigt und für MY ER À ak Ti à ee » 2 op T& Ee y ie = ke hen a x GE we pales f LS jedes > eine solche endliche Menge s, von Quadraten Au, geben werden kann, dass jedes nicht zu s, gehôrige Quadrat 2 MEt u 5 dem es eine Entfernung < de besitat. Jede katalogisierte Punktspecies ist limitierbar. Um dies z weisen, bezeichnen wir die Menge der Quadrate von s, ganz 0 Fundamentalreihe 2,, %,..., dass ‚> Bn, + 4 und kor , ieren zu einem willkürliehen Quadrate g, von £,, zwei konzentris Quadrate g’, und g’,, deren Seitenlänge 3 baw. + der Seitenl von g, beträgt. Alsdann können wir nach einem durch die | die y,, bestimmten Verfahren mittels Betrachtung von Bik sich als eine Funktion (vy) von v festlegen lässt, mit Siche feststellen, eutweder dass alle Punkte der Abschliessung 2 von ausserhalb g’, liegen, oder dass zu Rin g’, enthaltene Punkte_ hören. Indem wir diejenigen Quadrate g;, für welche der le Fall vorliegt, als Quadrate #, bezeichnen und der Reihe nac Quadrat #,, ein Quadrat 4, usw. in solcher Weise dass jedes ihnen im Innern des vorangehenden liegt, übrigens aber willkürl wählen, erzeugen wir eine mit À zusammenfallende Punktmenge 4 Mit Rücksicht auf das weitere sorgen wir überdies daf dass fy, 4 Mn, + 5, bestimmen p = Pv) durch die Forderunger : Mare und Fg >p,, +6, konstruieren noch ein drittes — mit g, konzentrisches Quadrat g',, dessen. Seitenlänge 22 der Seiten- linge von g, beträgt und rechnen g, dann und nur dann zu den # wi x wenn s,, teilweise innerhalb 9”, liegt. Dieselbe Schlussweise liefert den Beweis des folgenden Satzes: — Wenn für jedes n eine endliche Menge s, von Quadraten ry, defi — niert ist in solcher Weise, dass jedes Quadrat von 8,1 wm Innern eines Quadrates von s,. enthalten ist und a, Fy,... eine solche — Fundamentalreihe von nicht abnehmenden endlichen Zahlen darstelit, dass c, für hinreichend grosses n jede Grenze übersteigt, während zu jedem — Quadrate von s, für jedes positive m ein Quadrat von Sam ext- ‘a stiert, von dem es eine Entfernung < = besitzt, so ist die Species — 1 R der in jedem s, enthallenen Punkte mit der Abschliessung einer hatalogisierten Punkispecies identisch. kj) 1) Aus dem obigen Satze lässt sich, wenn wir einen Limespunkt von in der endlichen Quadratmenge k enthaltenen Punkten als zu k gehdrend bezeichnen, weiter folgern: LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 15 Wir sagen, dass die katalogisierte Punktspecies Q eine Katalogi- sierung erster Ordnung zulässt, wenn o,, c',,... eine solche Fandamentalreihe von nicht abnehmenden endlichen Zahlen ist, dass a, für hinreichend grosses z jede Grenze übersteigt und die Quadrat- menge s, für jedes 2 in zwei solche Quadratmengen s’,, und 18n zerlegt ist, dass zu jedem Quadrate von %, ein einen Grenzpunkt von Q enthaltendes Quadrat von s, existiert, von dem es eine Entfernung [2 1 2 à FA van < ~~ besitzt, und in keinem Quadrate von ,s, ganz oder teilweise 2 überdeckenden Quadrate à, ein Grenzpunkt von Q enthalten sein kann. Wenn überdies für jedes # jeder in einem Quadrate von 18n enthaltene Punkt von Q isoliert ist, so sagen wir, dass Q eine isolierende Katalogisierung erster Ordnung mlasst. Hierbei dürfen wir annehmen, zunächst dass ¢, , durch die Menge der Quadrate von » deckenden Quadrate À, ersetzen. , ganz oder teilweise über- kn je enen Sn, teil weise innedbalb det niche eee ne x beziiglichen g,”” liegt, so brauchen wir nur einerseits die auf Wa zweiter Kategorie folgenden, 4% erzeugenden Wahlen, anderersei die Wahlen pe Kakepotio als thertiinte zu betrachten. Sei R', R’,... eine zoldhe mit # zu ae oe Pundame talreihe von din schenken von katalogisierten Punktspecies, d jedes ihrer Elemente im vorangehenden als Teilspecies enthalten ist Alsdann dürfen wir annehmen, erstens dass für jedes a die Za w, und ¢, für alle R” gleich sind, zweitens dass die zu RY bs gehörige Quadratmenge + s,0 +1 für jedes z und jedes y eine en rh i der fiir sans n und jedes y in NS steen Punkte Taaie à ist, 7st auch ihrerseits mit der Abschliessung einer katalogisierten — Punktspecies, nämlich mit der Species Æ%) der für jedes 2 in sen enthaltenen Punkte, identisch.- ES die Punktspecies Q eine Kataloginier ung RES ito ord hg sierung 2-ter Ordnung zulässt: erstens, wenn 2 = P, + R, auf Grand ~ der ersten erzeugenden Operation und Q eine Katalogisierung baw. | BE isolierende Katalogisierung £,-ter Ordnung und QE) eine Katalo- EE gisierung bzw. aats: Katslo ane £,-ter Ordnung zulässts zweitens, wenn B= Er, auf Grund der zweiten erzeugenden Opera- v=1 va tion und Qi Bet) fiir jedes v eine Katalogisierung baw. isolierende Katalogisierung ,-ter Ordnung zulässt, “he dié 2.24 Fundamentalreihe Q”, qe), QU + 2), ... induzibel ist. Wenn Q eine Katalogisierung bzw. isolierende Katalogisierung M L'o-ter Ordnung zulässt, und Qo) perfekt ist, so sagen wir, dass _ Q eine vollständige Katalogisierung bzw. vollstindige isoherende Katalogisierung aulasst. | 1) Weil nämlich RH) einerseits mit der Species der für jedes » in s (#1) enthal- tenen Punkte identisch ist, andererseits in der mit der Species der für jedes » in Pa, enthaltenen Punkte identischen Species at = Teilspecies enthalten ist, so ist gern) 7 auch mit der Species der fiir jedes n in Ds”, s, 4) enthaltenen Punkte identisch. QO) wie jedes QE) als Abschliessung einer katalogisierten Punkt- species dargestellt werden. Wenn Q eine isotierende Katalogisierung L-ter Ordnung zulüsst, 80 liisst überdies die entspr echende nine So eine Abbrechung mc ter Or dnung zu. Wenn nämlich B==8B, auf Grund der zweiten Verd SA tin Operation, während jedem # ein solches $&, entspricht, _dass 3,1 t+ Bs +) für jedes positive w mit 3, (t---+es,) identisch ba und d, die grössere der beiden Zahlen 5,7 und $, a) darstellt, so ist die Menge der Quadrate 471+: +84, x für jedes positive ee [a mit der Menge der Quadrate AGREE -+4,) identisch. Es kann vorkommen, dass eine katalogisierte Punktmenge 7 eine _ vollständige Abbrechung zulässt, ohne dass für eine mit ihrer Ab- _schliessung zusammenfallende Punktmenge dasselbe zutrifit. Sei z. B. katalogisierte und abgeschlossene Punktmenge, dass keine vollstän- dige Abbrechung einer mit ¢ zusammenfallenden Punktmenge exi- stiert, und + die Menge der Mitten der oberen der X-Axe parallelen Seiten der Quadrate der zu ¢ gehörigen Quadratmengen s,. Als- dann ist + katalogisiert und lässt eine vollständige Abbrechung zu; 46 eine mit ihrer Abschliessung @(¢, +) zusammenfallende Punktmenge vorkommen, dass die zu einer katalogisierten Punktmenge 7 gehörige Punktmenge S, eine vollständige Abbrechung zulässt, ohne dass für eine mit + zusammenfallende- Punktmenge dasselbe zutrifft. Sei z. B. oes ¢ eine solche auf einem Liniensegment / der X-Axe liegende Punkt- a menge, dass keine vollstandige Abbrechung einer mit ¢ zusammen- Pi. fallenden Punktmenge existiert, und - die Menge der Mitten der “4 oberen der X-Axe parallelen Seiten derjenigen Quadrate À, deren à Mittelpunkt auf / liegt. Alsdann fällt @(x, =) mit einer solchen 4 katalogisierten Punktmenge + zusammen, dass keine mit 7 zusam- menfallende Punktmenge eine vollstäfdige Abbrechung zulässt; die zugehôrige Punktmenge 8; dagegen lässt eine vollständige Abbre- chung zu. a Jede perfekte Punktspecies Q, welche wenigstens einen Punkt d enthält, ist der Menge C (vgl. S. 9 des ersten Teiles) dguivalent, und zwar (übrigens analog wie im Falle der S. 13 des ersten Teiles betrachteten Species S)-äuch dann, wenn wir für Punkte den Begriff … , ,,verschieden” im Sinne von „örtlich verschieden”’ auffassen. Erstens TN Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie). Dl. XII. ‘ G 2 Bd Q eine Ra pte Ws Or dnung 7 Du, so kann sowohl æ eine solche auf einem Limensegment / der X-Axe liegende, lässt aber keine vollständige Abbrechung zu. Umgekehrt kann es es de: Punkte der Ebene. sale ‘enthält Q welche mit einer mit der Menge G,,, __ (vgl. 8. 22 des ersten gleichmächtigen, örtlich individualisierten Punktmenge zusam fällt, und die Menge G,>%. __ ihrerseits eine mit C’ gleichmacl Teilmenge, so dass auch jedem Element von C ein Punkt vo in solcher Weise zugeordnet werden kann, dass zwei verschiedene Dieselbe Higenschaft gilt auch für jede Punktspecies, — eine perfekte Punktspecies als Teilspecies enthält. Seien Q’ und Q” zwei katalogisierte Punktspecies. Alsdann | wir annehmen, dass für jedes x die Zablen yu, und o, für Qu Q" gleich sind. Wenn 7,, 7,,... eine solche Fundamental von nicht abnehmenden endlichen Zahlen ist, dass 7, für hinrei grosses > jede Grenze übersteigt und die Quadratmenge DO, # für jedes » in zwei solche Quadratmengen 4% und #,® zerl ist, dass zu jedem Quadrate von 7, für jedes positive m ein Qua ur fe + Ll ae von #,.,% existiert, von dem es eine Entfernung < ote M für ae positives y kein Quadrat von ne an ein Le: einander Hagens \ | Von zwei in bezug aufeinander katalogisierten Punhtspecies ist der Durchschnitt der Abschliessungen mit der Abschliessung einer hatalogisierten Punktspecies identisch. Im Kalle der obigen Punkt- species Q’ und Q" ist dieser Durchschnitt nämlich mit der ee a der Punkte, welche für jedes » in 7, enthalten sind, identisch. — Die Abschliessungen zweier wn eu 4 aufeinander hatalogisierter — uy a Punktspecies besitzen gemeinsame Punkte oder nicht, je nachdem die entsprechende Quadratmenge 4% ein Element besitzt oder nicht. Eine Punktspecies Q ui zusammenhängend, wenn zu je zwei beliebig vorgegebenen Punkten P, und P, von Q für beliebiges — x eine endliche Folge P,, P,, P',,.../P',, P, von Punkten von ~ Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate 2, enthalten sind. 1} Diese Quadratmenge braucht nicht jeden Punkt zu enthalten, der sowohl in ¢,, wie in 4”, enthalten ist; sie enthält aber diejenigen Quadrate a, welche sowohl ein Quadrat von s', wie ein Quadrat von s’,, ganz oder teilweise überdecken. Jedes Quadrat von OU en ln 41) ist im Innern eines Quadrates von D(1',, {",) enthalten. Ons "+ 1 had ÿ VOM AU GRSCHLOSSENEN partie ik tink goles von noue À hé es Ee, wenn zu je zwei beliebig Was eg Quadraten g und g, der Species eine endliche Folge ,, 9’, 93,---9n» > von Quadraten der Species bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende einander teilweise überdecken. Zu jedem grössten zusammenhängenden Bestandteile (2 der zu einer katalogisierten Punktspecies Q gehörigen Quadratmenge 4, lässt sich entweder ein solches m angeben, dass kein Quadrat von bam im Imnern eines Quadrates von 4, liegt, oder es lässt sich feststellen, dass für jedes positive m ein Quadrat von 4,,,, im Innern eines Quadrates von 4, liegt. Im ersteren Falle nennen wir B einen unwesentlichen, im letzteren einen wesentlichen zusammen- _hängenden Bestandteil von /,,. , Der Zusammenhang einer katalogisierten Punktspecies Q ist der Eigenschaft äquivalent, dass für ae n die entsprethende Quadrat- menge {, nicht zwei wesentliche zusammenhängende Bestandteile aufweist und hieraus folgt unmittelbar weiter, dass der Zusammen- hang einer katalogisierten Punkispecies der Eigenschaft üquivalent ast, dass thre Abschliessung nicht in zwei je wenigstens einen Punkt enthaltende, in bezug aufeinander katalogisterte Abschliessungen von katalogisierten Punktspecies zerlegt werden oder sich aus solchen zusammensetzen kann. Der Durchschnitt R@) einer induziblen Fundamentalrethe k', R’,. . von zusammenhäüngenden Abschliessungen von katalagisierten Punkt- species ist ebenfalls zusammenhingend. Wenn nämiich irgend ein 4, (n) mehr als einen wesentlichen zusammenhängenden Bestandteil enthielte, so könnte À n) nicht zusammenhängend sein. Weil mithin AUD) für jedes z nicht mehr als einen wesentlichen zusammen- hängenden Bestandteil enthält, so ist die Species A@) der für jedes nin 4, En) enthaltenen Punkte zusammenhängend. Eine Punktspecies Q heisst 2/sammenhängend zwischen zwei ihrer - Punkte P, und P,, wenn für beliebiges # eine endliche Folge P,, P',P,,...P%, P, von Punkten von -Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate A, enthalten sind. Eine Species von Quadraten A heisst zwsammenhdngend zwischen zwei in thr enthaltenen Punkten P, und P,, wenn eine solche endliche Folge 4,4, d'o,...4n, 4) von Quadraten der Species bestimmt werden kann, dass P, in g, und P, in 7, enthalten ist, während je zwei aufeinanderfolgende Quadrate der Folge einander teilweise überdecken. G 2% rh weiter, ais der toe zwischen P, und Hs einer hatalo- pisierten Punktspecies der Bigenschafi daan ist, dass ihre Ab schliessung nicht in zwei in bezug anfeinander katalogisier schliessungen von katalogisierten Punktspecies, von denen die eine 1 und die andere P, enthält, zerlegt werden oder sich aus sol zusammensetzen kann. , Khe Der Durchschnitt Re) einer induziblen Pundamentaineihe R, Rt von zwischen P, and P, zusammenhiingenden Abschliessungen hatalogisierten Pt ist ebenfalls zusammenhiingend zwis P, und P,. Wenn nämlich irgend ein 1, En) keinen zwischen P, Pe zusammenhangenden Bestandteil enthielte, so kônnte Rea zusammenhängend zwischen P, und P, sem. Weil mithin 4, En) E jedes > einen zwischen P, ie P, zusammenhängenden Bestand teil enthält, so ist die Species Re) der für jedes » in 4,° enthe tenen Punkte zusammenhängend zwischen P, ‘und P,. i ‘ 2. Bereiche und innere Grenzspecies. ÿ # . Den Quadraten eines nach S. 8 des ersten Teiles defimerter Bereichs 2 fügen wir folgende Quadrate ‘A hinzu: ie 1. Wenn zwei Quadrate x’ und x” von 2 eine gemeinsame Seite s der Lange / besitzen, dasjenige Quadrat A der Seitenlänge | = Mittelpunkt mit an A ypyaa te von s zusammenfällt. … . Wenn eine Seite des Quadrates x’ von (2 eine Seite s der x rae Z des Quadrates x” von (2 als Teil enthält, dasjenige Quadrat — À oe Seitenlinge /, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkte von | s EE Ne ig 3. Wenn in einem Punkte P drei oder vier Quadrate x von L zusammenstossen, dasjenige Quadrat A, dessen Mittelpunkt in P liegt und dessen Seitenlänge der Sica des kleinsten der in ve ne Oublie gleich ist. {ee En Die ursprünglichen Quadrate x von (2 zusammen mit den obigen | neu hinzugefügten Quadraten A werden wir als die Ziegelguadrate des Bereichs (2 bezeichnen… Die Species der je zu einer endlichen Menge von Quadraten von (2 gehörigen oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Species / | wir ch k 7 Jeder Beit rak mid emer numerver es neen zusammen. het “Un dies zu beweisen, zerlegen wir die Quadrate von in solcher, _ Weise in als Quadrate zweiler Ordnung von zu bezeichnende, von- oo Ziegelquadrate von @ zerlegte Quadrate x, dass die Seiten- fae 43 __längen der innerhalb eines willkürlichen Ziegelquadrates z von (2 etende Quadrate zweiter Ordnung von 8 höchstens & des Massstabes von z, d.h. des Minimums der Seitonlangen von 2 a den zteilweise « » = überdeckenden Ziegelquadraten betragen, im übrigen aber möglichst — gross sind. Aus den Quadraten zweiter Ordnung von f leiten wir _ die Ziegelquadrate zweiter Ordnung von R in derselben Weise her, _ wie wir aus den Quadraten von @ die Ziegelquadrate von (3 her- geleitet haben. Sodann leiten wir der Reihe nach für jedes » aus den Quadraten und Ziegelquadraten »-ter Ordnung von 2 die Quadrate und Ziegelguadrate (x +-1)-ter On dnung von [2 in derselben Weise her, wie wir aus den Quadraten und Ziegelquadraten von (2 die Quadrate und Ziegelquadrate zweiter Ordnung von (2 hergeleitet haben. Indem wir der Reihe nach für jedes » ein Ziegelquadrat a-ter Ordnung von @ in solcher Weise, dass jedes dieser Quadrate im Innern des vorangehenden liegt, übrigens aber willkürlich wahlen, oe erzeugen wir eine numerierte Punktmenge +g, welche mit @ zusam- LA vs menfallt. Sei nämlich die Quadratfolge 7, g,,... ein Punkt P von Bp. . a 4 Wir bestimmen eine möglichst kleine derartige Zahl #,, dass g, im . d Innern eines Ziegelquadrates a, von (2 liegt und vom Rande von gl 4 a eine wenigstens + des Massstabes von a, betragende Entfernung 5 a besitzt. Sodann bestimmen wir eine möglichst kleine derartige Zahl a Uy, dass g, im Innern eines Ziegelquadrates a, zweiter Ordnung à ie von & liegt und vom Rande von a, eine wenigstens + des Mass- ï Al stabes von a, betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser 3 + Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit wegen +} a für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von a, möglichst gross | wählen, erzeugen wir eine Quadratfolge a,, 4, ,..., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt von mp darstellt. ‘g Sei Æ ein willkiirliches Quadrat x,. Der Einfachheit halber wollen LA e 5 i 5 d : : as : wir im weiteren je zwei Quadrate x der gleichen Seitenlinge wie Le , samt den zu ihnen gehörigen Punkten der ne, deren recht- À #, samt den zu ih gehörigen Punkten der Ebene, de ht = winklige Cartesische Koordinaten endliche Dualbriiche sind, ihrer À Kongruenz entsprechend identifiziert denken, worin, weil die von uns betrachteten Punktspecies als geschränkt vorausgesetzt werden, keinerlei Beschränkung liegt. [ZA Seien x’, x’, x'”,... die Quadrate des Bereichs 2. Sei Z das ns Minimum der Seiten à yon ze x ei und MU, di mee derjenigen te von Z der RE 1, welche von keu der Quadrate x’, x",... xt) überdeckt werden. Die Species der f jedes » zu M, poling Punkte bildet eine abgeschlossene gan Species #4 — K(f), welche wir das Komplement von B nennen werden. Ebenso werden wir @ als das Komplement K(k) von | bezeichnen. Wenn wir die Species der Punkte der Ebene kurz als # bezeichnen, so sind (2 und k Komplementürspecies voneinander in s Wenn A(R) mit einer katalogisierten Punktspecies zusammenfällt, — so nennen wir (2 komplementür katalogisiert. Insbesondere ist_ a jedes Gebiet ein komplementär katalogisierter Bereich. ‘a B Die Vereinigung einer endlichen Menge sowie einer Fundamenta reihe von Bereichen ist wiederum ein Bereich. ze Die endliche Bereichmenge B heisst drchsichtig, erstens wen von B überdeckt wird, zweitens wenn kein Quadrat x existiere kann, das von jedem Elemente von B überdeckt wird. oth Der. Durchschnitt einer durchsichtigen endlichen Menge von Be- reichen jällt entweder fort, oder ist wiederum ein Bereich. k Unter einer inzern Grenzspecies verstehen wir den Durchschnitt — [einer Fundamentalreihe 2,, @,... von Bereichen. Wenn I wenig- zo stens einen Punkt enthält, so dürfen wir annehmen, dass jedes Quadrat von (2,,, von 2, überdeckt wird. Jede mit einer hatalogisierten Punktspecies zusammen fallende innere Grenzspecies fallt mit einer Punktmenge zusammen. Um dies zu _ beweisen, konstruieren wir in der oben angegebenen Weise die. Ziegelquadrate von 2, und zu einem -willkiirlichen Ziegelquadrate g, von (2, zwei solche konzentrische Quadrate 7, und g’,, dass die : bel Entfernung des Randes von 4, bzw. 9’, vom Rande von g,, + baw. jg des Massstabes von g, beträgt. Alsdann können wir nach einem bestimmten Verfahren mit Sicherheit feststellen, ex/weder dass alle Punkte von J ausserhalb 7, liegen, oder dass zu I in g', enthal- tene Punkte gehören. Im ersteren Falle bezeichnen wir g, als wa- wesentliches, im letzteren Falle als wesentliches Ziegelguadrat von 2. Sodann zerlegen wir die Quadrate von £, in solcher Weise in als modifizierte Quadrate von |, zu bezeichnende, von keinem, Ziegelquadrate von 2, zerlegte Quadrate x, dass die Seitenlängen der innerhalb eines willkürlichen Ziegelquadrates z, von £, liegenden modifizierten Quadrate von (2, höchstens -E des Massstabes von 24, betragen, im übrigen aber méglichst gross sind. Aus den modifi- zierten Quadraten von (2, leiten wir in der oben angegebenen Weise ae nier mA so ate und ie sterne ate und vedienen Ziegelguadrate von RP, Die Menge 7; derjenigen Punkte, welche erzeugt werden, indem der Reihe nach für jedes x ein _solches _ wesentliches Ziegelquadrat von Ba gewählt wird, dass jedes dieser Cele _ Quadrate im Innern des vorangehenden liegt, füllt mit I zusammen. Sei nämlich die Quadratfolge fi, o,.. «em Punkt P-von J, so können wir eine möglichst kleine derartige Zahl x, bestimmen, dass g, im Innern eines wesentlichen fiegelquadrates a von 2, liegt und vom Rande von a eine wenigstens 4 des Massstabes von xy 0 sise Entfernung besitzt. Boat können wir eine möglichst _ kleine derbitigé Zahi ny Destine dass ,, im Innern eines wesent- _ lichen Ziegelquadrates ag von B, hegt und vom Rande von de eine wenigstens -1 16 des Massstabes von a, betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit wegen für jedes » die Koordinaten des Mittelpunktes von. a, möglichst gross wählen, erzeugen wir eine Quadratfolge a, a, _ a3,..., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt von zr, darstellt. il _ Unter einer dussern Grenzspecies verstehen wir die Vereinigung A éiner solchen Fundamentalreihe hy, hg, von Komplementen von Bereichen (2, @,..., wo 4, = KM, M...) ist, dass jedes © M,,,, ein #,, als Teil enthalt. Wenn dabei jedes 4, mit der Abschlies- sung einer katalogisierten Punktspecies identisch ist, so heisst 4 kouso/i- diert. Gleichzeitig mit der äussern Grenzspecies A wird eine innere Grenzspecies J = O2, R,...) definiert, welche wir das Komple- ment K(A) von A nennen werden. Ebenso wird 4 als das Komple- ment K(I) von I bezeichnet werden. Es existiert kein Grund zu behaupten, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von inneren Grenzspecies wiederum eine innere Grenzspecies oder die Vereinigung einer endlichen Menge von äusseren Grenzspecies wiederum eine äussere Grenzspecies, nicht einmal sogar, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von Be- reichkomplementen wiederum ein Bereichkomplement sei. ~ a 4 Sei + eine vollständig abbrechbare Punktmenge. Wir dürfen | annehmen, dass 7 uniform ist. Die Punktmenge m(@'„) bezeichnen 3 wir kurz mit 7,, die auf Grund von S. 12 Z. 19—17 v. u. mit| 6’, ja bzw. [P-—y]\r(y)| zusammenfallende zählbare, örtlich individualisierte Punktmenge mit 7, bzw. ,7,. Zu jedem Punkte P eines (@)r kann nach einem bestimmten Gesetze ein solches »,, ein solches £ hier asie Punkte "palit ick eine ntfs | ten Quadrate von P besitst. Die Species der je in einem baw. (zp + m)-ten es pn gi bzw. fn me eines Punktes P bildet einen Bersiok B. Den orci bezeichnen «wir, mit, 3%, bzw. „05, a inneren enal ci DA Bor) DB Ba re), DB's 05 HOGER ond DG", (8 eit) dete Reihe nach ‘ee I’. De aR ; 1”,. Se. P ein Punkt von 7”, dessen Zusammenfallung mit a Punkte von [@',|r unmôglich ist. Wenn P im Quadrate ;4,, ei Punktes K von (Om enthalten wäre, so könnte P für hinreiche grosses 2 nicht in (2, und nur dann in ng, enthalten sein, w H wit A zusammenfiele. Dann aber müsste auch ? mit K zus: menfallen, was der Voraussetzung widerspricht, so dass P in ken Quadrate ;9,, eines Punktes K von (0)7 enthalten sein kann. V within P für jedes z in ,@”, enthalten ist, so ist P ein Pun! von 7” ; Und analog lässt Hen unter Heranziehung der induktiv Methode beweisen, dass 2 Gn Punkt von 7x, d h. von I’ is Wenn wir nun den Durchschnitt von 7” und der Abschliessur von 7(P',) mt 2, OR P',|r| mit S und S(R‚m) mit 7' beze nen, so kann kein Punkt von 7” existieren, dessen Zusammenfal lung mit einem Punkte von S unmôglieh wäre. Mithin kann er „esch kein Punkt von /” existieren, dessen Zussen mit | einem Punkte von 7 unmöglich wäre, so dass J” wad T örtlich kongruent sind. Weil aide 1" eine mit m ürtlich kongruente Punktmenge, nämlich @(r;, 7,) als Teilspecies enthält, so ‘können wir folgenden Satz formulieren: Zu jeder vollstündig abbrechbaren Punktmenge m existiert eine innere Grenespecies, welche mit der Vereinigung von m und einer hit der Abschliessung der finalen Kohürenz von m ürtlich kongruent ist und — eine mit m örtlich kongruente Punktmenge als Teilspecies enthält. Und im besonderen: Zu jeder vollstindig abbrechbaren Punktmenge m, deren finale Kohürenz fortfallt, existiert eine mit m örtlich kongruente innere Grenzspecies. Sei J = D(L, B,,...) eine wenigstens einen Punkt enthaltende TN _ LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSHNEN DRITTBN. — 25 in sich dichte innere Grenzspecies. Sei g ein Quadrat eines Punktes P von J. Alsdann ist innerhalb g ein in f, enthaltenes Quadrat z von P bestimmt, innerhalb z zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate g, und g, von Punkten P, und P, von 7, innerhalb _jedes 9, (v= 0, 1) ein in f@, enthaltenes Quadrat z, von P,, mner- i halb jedes z, zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate 4, | und 9, von Punkten P,, und ?,, von Z, innerhalb jedes g,,, (v, 4 — 0, 1) : ein in 2, enthaltenes Quadrat 2, von P,,, usw. Die Menge der 4 Quadrate z,, ER (æ eine willkürliche ganze positive Zahl, jedes 4 v;, — 0 oder 1) bestimmt eine mit der Menge G,,, . gleichmäch- tige, örtlich individualisierte Teilspecies von /. Hieraus folgern wir in genau derselben Weise wie S. 18 für die perfekten Punktspecies, et. dass jede wenigstens einen Punkt enthaltende in sich dichte innere _Grenzspecies der Menge C üquivalent ist. Dieselbe Eigenschaft gilt auch für jede Punktspecies, welche eine wenigstens einen Punkt enthaltende in sich dichte innere Grenz- species oder eine mit einer solchen zusammenfallende Punktspecies als Teilspecies enthält. Fine vollstündig abbrechbare, mit einer innern Grenzspecies I zusammen fallende Punktmenge 1 fallt entweder mit einer zählbaren Punktmenge zusammen oder ist der Menge C ügmvalent. Zunächst dürfen wir nämlich annehmen, dass # uniform ist. Sel weiter, im Falle dass 7(@’;) wenigstens einen Punkt enthalt, / als der Durch- schnitt der Bereiche (2, @,,... definiert und £', für jedes 2 der von der Species der je in einem z-ten Quadrate eines Punktes von (@';) enthaltenen Punkte gebildete Bereich. Alsdann bildet für jedes a der Durchschnitt von 2, und £”, einen Bereich 8°, und QP, B°,, ...) eine in J als Teilspecies enthaltene innere Grenzspecies /°, welche ihrerseits wieder eine leicht definierbare, mit der Menge &,,. . gleich- mächtige, örtlich individualisierte Punktspecies als Teilspecies enthält. Sei & die Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies, s, für jedes x eine solche Menge von Quadraten A, , dass jedes Quadrat von s,,, im Innern eines Quadrates von s, enthalten und die Species der in jedem s, enthaltenen Punkte mit ZX identisch ist, 7 eine zählbare Punktmenge und 7, die Menge der auf Grund der Zählbarkeit von + den Ziffernkomplexen 1, 2,...x von zuge- ordneten Punkte von 7. Die Species der von jedem Punkte von 7, örtlich verschiedenen, in s, enthaltenen Punkte bildet einen Bereich .B, und. der Durchschnitt ©(R,, B,,...) eine innere Grenzspeciës 1, welche mt der Species der von jedem Punkte von m örtlich ver- schiedenen Punkte von R vdentisch ist. solcher ‘th eise bé der 7 ereinigung zweier sais Punktmen; ze und a” zusammenfallt, dass jeder Punkt von T' von ‚jedem Pr von mw’ örtlieh verschieden ist, so fallen T und T° Je mit innern WE zusammen. Te innere God el ist, wie ‚ folat sale Die Species derjenigen Punkte einer innern Grenzspecies I, a von jedem Punkte einer konsolidierten üussern Grenzspecies A or verschieden sind, ist mil einer innern Aer enzspecies I’ identisch, 3. Der Inhalt der Punktspecies. Sei, für jedes ganze positive v, 2, — es ge wo a, cine ga positive Zahl ist. Wir sagen, dass die mit 7 zu bezeichnende Finds 1 talreihe 2%, %,... eine limitierte Folge bildet, wenn jedem ga positiven j ein solches y zugeordnet ist, dass [4,2 — à] < ATH fiir ies nicht negative a. Die Begriffe gleich” » „grösser’” u kleiner” in bezug bot limitierte Men sowie der Begriff „lim tierte Folge von limitierten Folgen)’, sind ohne weiteres klar. gie Wenn der Inhalt der ersten v Quadrate eines Bereichs & mit i, bezeichnet wird und %, /%,... eine limitierte Folge Ien heisst B messbar und i der Inhalt von £. Sei, für jedes ganze positive v, JZ, eine endliche Menge von REE = HI el der zur Ben senen Quadratmenge M, ke M, LE W enn den sede zj La ZU u, gehôrt und Sie Fa Inhalte 7, der MZ, eine limitierte Folge 7 bilden, so heisst das Be. Ji reichkomplement 4 = Q(M,, M,,...) messbar und i der Inhalt von #. Zu jedem messbaren Bereichkomplemente k vom poner Inhalte i und jeder ganzen positiven Zahl p ewistiert eine in k als Teik species enthaltene messbare Abschliessung einer katalogisierten Punkt- species, deren Inhalt grösser als 1 ee ist. Wenn wir nämlich — fe mit ¢ bezeichnen, so enthält die Fundamentalreihe 47,, A7,,... Av . el PNM TA NT LOT VC AVE bs its ES K we hee is eraf N ; d 13 Ne . t _ LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 27 i Kd 4 £ eine solche Teilfundamentalreihe MZ, M,,,... (Ty > 74), dass i ae, %. ,—tr,|< & für jedes positive A. Wenn wir J/,, kurz mit Z, be- _ zeichnen und von jedem Z, die Durchschnitte mit denjenigen Innen- gebieten von Quadraten z,, deren Durchschnitte mit Z, einen Inhalt < 2e, besitzen, fortlassen, so bleibt ein Rest ,Z, übrig. Wenn wir von jedem ,Z, die Durchschnitte mit denjenigen Innengebieten von Quadraten x,, deren Durchschnitte mit ,Z, einen Inhalt < Ze, be- sitzen, fortlassen, so bleibt ein Rest ,Z, übrig. Wenn wir von jedem ,/, die Durchschnitte mit denjenigen Innengebieten von Quadraten x,, deren Durchschnitte mit „ZL einen Inhalt < 2e, besitzen, fortlassen, so bleibt ein Rest ,/, übrig. In dieser Weise fahren wir fort. Alsdann ist die Species der für jedes v zu ,Z, ge- hôrigen Punkte ein mit der Abschliessung einer katalogisierten Punkt- species identisches, messbares Bereichkomplement 4,, dessen Inhalt in der Tat grösser als Arsen ist. Weil für 7 > ps leicht eine in 4, als Teilspecies enthaltene, wenig- stens einen Punkt enthaltende perfekte Punktspecies angegeben wer- den kann, so gilt weiter, dass jedes messbare Bereichkomplement 4 positiven Inhaltes eine wenigstens einen Punkt enthaltende perfekte oa Teilspecies enthilt. b- Belen £ =S DOMME ac.) cums Bs DOM M anak vk, ve jedes M',,, zu M’, und jedes ”,,, zu M”, gehört, zwei Bereich- _ komplemente. Wir bezeichnen S(M',, M') mit A", und das Be- reichkomplement 4" = Q(M"",, M”,,...) als das vereinigende Be- reichkomplement von k und #”. Wenn 4 und #” beide messbar sind, | so ist, wie sofort ersichtlich, auch 4” messbar. Unter dieser Annahme FS wählen wir für p eine willkürliche positive ganze Zahl und für », eine 1 ER J + 7 “1 Ig 8 solche positive ganze Zahl, dass [2,41 — 7, ] < EE und [7"), ad 5, | ; =, Ÿ oa . , . 2] “2 u : ass te ä Ce ae für jedes positive A. Sei À eine solche zu M", gehörige | opt und A”, nicht berührende endliche Quadratmenge, dass die Diffe- by L/4 . fi CE renz der Inhalte von 4”, und S(M',, 2) weniger als Rien beträgt. Le OP 4 Wenn wir SX”, R)mit N°, SW, V’,) mit NV, und DM, NET ad mit 4 bezeichnen, so ist 4 ein sowohl in #” wie in der Vereini- gung von # und #” als Teilspecies enthaltenes Bereichkomplement, dessen Inhalt grösser als 7” — =, ist. Weil dieselbe’Beweisfithrung 9 ~ Die Fi ereinigung einer den Zahl à von pe Bereic hi menten ki, k’,... K° enthält als Teilspecies ein messbares Bere komplement, cesses Inhalt dem Inhalte des vereinigenden Bere / komplementes von h', &°,... #09 beliebig nahe kommt. Wenn für eine äussere Grenzspecies A e= Qhy; tga orl jec messbar ist und die Inhalte 4, der /, eine limitierte Folge # i bilde so heisst 4 messbar und à der Inhalt von A. Wa Sei 4) = DML), I, OM .) ein für jedes v bestimmtes mess Bereichkomplement. Wir en an, dass JZ ,40) für jedes m und j y zu M,,() gehört und dürfen weiter annehmen, dass [5,,,,0) — Zom für jedes m, jedes » Sw und jedes positive A. Wir bezeich das vereinigende Bereichkomplement QV LOT Tate von | hk’... .k) mit 46) und nehmen an, dass die Inhalte /,, Z,,... von # k",... eine limitierte Folge bilden. Weiter verstehen wir unter J,,,\ NW, 6) weniger als 5 om beträgt und der Durchschnitt von J,,,) 1 m MA”. für kds 5 m und jedes » zu N,,”) gehört. Wenn wir Durchschnitt von WV, und 4%) mit pt) und die russe Dar D LE Pa) mit g™ bezeichnen, so sind 4, = SA, 4”, und A, Sy 9,9») zwei inhaltsgleiche úussere Chen von denen die erstere, welche die vereinigende üussere Grenzspecies der ifr Fundamentalreihe #, #”,... genannt wird, die Vereinigung von k’, k’,... als Teilspecies enthält und die letztere in der Vereinigung von #",4",... als Teilspecies enthalten ist. D. h. wir haben bewiesen: — Die Vereinigung einer Fundamentalreihe F von messbaren Bereich- à komplementen, welche die Higenschaft besitet, dass die Inhalte der vereinigenden Bereichkomplemente ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge bilden, enthäll eine mit der vereinigenden äussern Grenzspecies von I inhaltsgleiche üussere Grenzspecies. Eine Fundamentalreihe Æ von äusseren Grenzspecies bestimmt eine Doppelfolge von Bereichkomplementen. Wenn wir diese Doppel- folge als eine einfache Fundamentalreihe lesen, so ist einerseits die Definition der wereinigenden üussern Grenzspecies von F ohne weiteres klar, andererseits lässt der vorstehende Satz sich unmittelbar wie folgt erweitern: ou die Bigenschaft besitzt, dass sie Inhalte der on üusseren Grenzspecies ihrer Anfangssegmente eine line te Folge bilden, enthilt eine mit der vereinigenden dussern enzspecies von Prinhaltsgleiche äussere Grenzspecies. Sei 4 = SH, #,...), wo ) = DUM, M,0),...) eine mess- bare äussere Grenaperes Wir dürfen siueNiien. dass M,, für _jedes m und jedes » zu 47,641) gehört. Sei 7) der Inhalt von 40) und z der Inhalt von 4. Zu Aie 46) lässt sich dem obigen ge- Aalen von #, h",... eine mit A inhaltsgleiche äussere Grenz- species darstellt. Mithin gilt der Satz: ____Jede messbare üussere Grenzspecies enthilt als inhaltsg PEER Teil- species eine konsolidierte, also mit einer Punhtmenge ge Add dussere Grenzspecies. Eine Punktspecies Q heisst messbar, wenn für jedes ganze posi- tive v ein solches m,, zwei solche endliche Mengen a’, und a’, von zur reduzierten Ebene # gehörigen Quadraten x,, und ein solcher _messbarer Bereich 2, bestimmt sind, dass ein willkiirlicher Punkt des Durchschnittes d’, bzw. d’, von a’, bzw. a’, mit dem Komplemente #, von 2, zu Q gehört bzw. unmôglich zu Q gehören kann, während der Inhalt # von £, kleiner als . 11 uw 1 . fe Summe der Inhalte 7, -und 2’, von a’, und a“, grösser als | Ur ist. Der Durchschnitt 4, von d', und a’, ist ein messbares Bereich- komplement, der keinen Punkt, also erst recht keine messbare Ab- A schliessung positiven Inhaltes einer katalogisierten Punktspecies ent- | halten kann, besitzt mithin für jedes w und jedes » den Inhalt Null. Hieraus folgern wir zunächst, dass der Durchschnitt a,, von a’, und ; ve F I I : a’, für jedes jz und jedes v einen Inhalt < a + a besitzt und & sodann erstens, dass die mit 7 zu bezeichnende Folge 7,, #,,... und die Folge 7”,, i’,,... limitiert sind und eine Summe gleich 1 besitzen, zweitens, dass bei der vorstehenden Definition angenommen & fi 1 Ms und zusammen aes Qin B vollständig über der NE, _derartige messbare konsolidierte üussere Grenzspecies A’, und A} dass, wenn Q in mehr als einer Weise der Messbarkeit de genügt, die entsprechenden limitierten Folgen 7 gleich sind. bezeichnen diese limitierten Folgen als den Znhalt von Q. _Offenbar werden von dieser allgemeinen Inhaltsdefinition i dere Falle geliefert durch die vorausgeschikten Definitionen Inhaltes von messbaren Bereichen, Bereichkomplementen und | seren Grenzspecies. s Wenn wir die Species derjenigen Punkte, welche unméglicl Q gehören können, mit C(Q) bezeichnen, so ziekt die Messbark: von Q die Messbarkeit von C(Q) nach sich. Für die umgekeh Aussage liegen keine zureichenden Gründe vor. | Zu jeder messbaren Punktspecies Q vom Inhalte à existieren Inhalte i und 1—i, dass ein willkiirlicher Punkt von A, zu € gehört und ein willkürlicher Punkt von A’, unmôglich zu Q gehé: ren kann. fée Zum Beweise dieses Satzes bezeichnen wir S(@,, B,u1,...) 0 L°,, das Komplement von 2°, mit 4°,, Da’ ys hy) tnt ey, Da, orn a mit f,, D(e,, fs) mit 5, Alsdann ist se: ein messharer Bereich, dessen Inhalt 2°, kleiner als ist. Weiter ist der Durchschnit Pr 2 wird, aber für irgend ein positives A von Qya',, dys. Aysa) | weder ganz noch ee überdeckt wird, ein messbares Bereich- AiG Kampen das keinen Punkt enthalten kann, mithin den Inhalt a messbares Br ME ie ist, während e, und 4, gleiche Inhalte ; $ y SR besitzen, so dass der Inhalt von 4, grösser als 7, — ans ist. Die, y— äussere Grenzspecies @(4,, 4,,...) ist somit messbar, besitzt den ig Inhalt # und enthält eine messbare konsolidierte äussere Grenzspecies A’, vom Inhalt 7 als Teilspecies. Genau analog wird Aq bestimmt. Punktspecies der geforderten Art können auch wie folgt herge- stellt werden: Der Durchschnitt eines willkürlichen Quadrates x, das von a, weder ganz noch teilweise überdeckt wird aber fiir irgend ein positives A von a’,,, überdeckt wird, mit dem Komple- ment von @(B, B,.;) ist ein messbares Bereichkomplement, das: 0 keinen Punkt enthalten kann, mithin den Inhalt Null besitzt, so und de Déirens der Inhalte von d, und dem ru * ‘Bereichkomplemente von d’, und d°,,, kleiner ale de ist. Weil mithin die Inhalte der vereinigenden Bereichkomplemente der An- fangssegmente der unie von méssbaren Bereichkomple- ae "1, @y,.-. eine limitierte Folge bilden, so kann eine in Sd, d',...) enthaltene, mit der vereinigenden äussern Grenz- species von d,, d,,... inhaltsgleiche, messbare konsolidierte äussere Grenzspecies A, bestimmt werden. Der Inhalt ° von 4°, kann nicht < à sein. In analoger Weise konstruieren wir eine in Sd’, EE) enthaltene, mit der vereinigenden äussern Grengspecies von @",,d"5,. . . _ inhaltsgleiche, messbare konsolidierte äussere Grenzspecies 4’, deren Inhalt %” nicht < 1—+ sein kann. Wenn nun % + %" > 1 wäre, so würde ein messbares Bereichkomplement positiven Inhaltes exi- _ stieren, das sowohl zu 4’, wie zu A”, gehörte, von dem mithin ein willkiirlicher Punkt einerseits zu Q gehörte, andererseits unmöglich zu Q gehören könnte. Aus diesem Widerspruche folgt also, dass oe und — 1% ist. - _Umgekehrt folgt aus der Definition der Messbarkeit in ihrer ursprünglichen Form unmittelbar: Wenn zu einer Punktspecies Q zwei derartige messbare üussere Grenzspecies A', und A", der Inhalte u t und 1—4 existieren, dass ein willkürlicher Punkt von A, zu Q a gehört und ein willkürlicher Punkt von A unmöglich zu Q gehören kann, so ist Q messbar und besitzt den Inhalt 1, Seien ,Q und ,Q zwei messbare Punktspecies: Sei za”, der Durch- schnitt von ‚a, und ,a’,, 4, eine solche zu „a, gehörige und ya’, nicht berührende endliche Quadratmenge, dass die Differenz der Inhalte von @(a’,, 345) und za, = Sa, 6) weniger als — A gy beträgt, „2, die Vereinigung von ‚2, und ,f,, 34, das Komplement | : 1 3 von 42, Alsdann ist der Inhalt „7, von „2, kleiner als = und ~ . die Summe der Inhalte 57’, und „7, von 34, und za, grösser als “J Fos während ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes ad y | bzw...d', von za, baw. za’, mit 3h, zu SQ, ,Q) gehört bzw. un- L möglich zu SQ, ,Q) gehôren kann. Hieraus folgt auf Grund der Messbarkeitsdefinition in ihrer ursprünglichen Form, dass auch SQ, ,Q) messbar ist. Mithin gilt der Satz: Die Pc à einer schen: ist wiederum eine messbare Punktspecies. In analoger Weise wird bewiesen: Der Durchschnitt einer endlichen Zahl von messbaren Punks 5 ist wiederum eine messbare Punktspecies. : Im Falle der Vereinigung zweier elementefremder messbarer species ,Q und ,Q ee der Inhalt des Durchschnittes von 4 1 i 4, nicht grösser als —— ;> mithin 3/y nicht Kleiner als 0, Fo HA ee sein. Weil somit Pieter. 2 und Re a of 43109 abo ate eae Rye) Folgen sind, so besteht der Satz: * Inhalt der Vereinigung einer endlichen sie von el na messbaren is Q’, Q”, der crane Don NN „Ge, ij x 10 en Ste Teiles von ya’, wicht grösser als A mithin ROn ve | M: 1 grösser als dad y+ maar und nicht kleiner als 47, — 37’, sein, Hi 24 aus folgt, dass „44, 40... und 04 — 434, do paren ‘lots limitierte Folgen sind, Web wir mithin die Species heerden Pun von /Q, welche unmôglich zu 7' gehören können, als die Differen von ,Q und 7’ bezeichnen, so besteht die Eigenschaft : | Ha Wenn die messbare Punktspecies Q” eine Teilspecies der messbaren Punk tspecies QQ! ist, so ist auch die Differenz von QW und Q” mes und ihr Inhalt gleich der Differenz der Inhalte von Q und Q Sei ,Q, ,Q,.. . eme solche Fundamentalreihe von messbaren Punkt- species, dass die Inhalte ‘, 2, %,.., von ‘Q—,Q, 2Q = Sd GEN 3Q = SQ, ,Q, ,Q),... eine limitierte Folge 4 bilden. Wir be mech pen CQ) oO: 3 mit “Q, die Nérhiate derjenigen An on für welche » = 1, "2,..: mm und 2=p dy pr pv tm—l, mit “Pd, den Durchschnitt deren CRE für welche un und p + y + pv mnl, mit "a", das md Bereichkomplement * derjenigen ,d’,, für welche » — 1, 2,...m unda = pp, 1 Mas: pty+tm— 1, mit “PZ. Wenn > 74 — um JH En ptm>p+ 2, so ist der Inhalt des vereinigenden Bereichkom- plemrentes von gi pm 0 pm md dom 4e also "erst Teo 9 ps eraus folet, dass a _jedes p auch die Inhalte von ‘a’, *’a’,.. ., „sowie die Inhalte von “a”, Pa”... limitierte Folgen bilder so dass jedem p ein ee m, und ein solcher messbarer Bereich 70° kis 1 se Inhalt kleiner als DE bestimmt werden kann, dass jeder nkt des Durchschnittes von ”’#?4" mit dem Komplement ?#" von i Haut De 54, gehört. Wenn — wir weiter © ‚2, mit’ v>1.n>p+v N v>1,n>p+v l SP’, °°) mit. rg bezeichnen, so ist der Inhalt von 72’ kleiner 1 gr der Inhalt von ’6 also kleiner als = _ Weiter kann zu jedem p eine solche zu "»?a’ gehörige endliche Quadratmenge "»’a, bestimmt werden, dass die Differenz der ve 1 (5 A kürlicher Punkt des Durchschnittes von »’a’, mit dem Komplement PE von PP zu "rQ gehört. hi” Nunmehr sind für “Q alle Messbarkeitsbedingungen erfüllt, denn Pp bestimmt, dass ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes von £a baw. "Pa" “mit dem Komplemente ’% von "8 zu °Q gehört x4 ae unmôglich zu “Q gehören kann, während der Inhalt von ’@ kleiner als —— und die Summe der Inhalte von 7?a,’ und "»?a’ Qp—2 0 fs LT ee: grôsser als 1 — —— ist. Wir sind also zu folgendem Resultat gelangt: ‘54 AXE gp Seng Wenn F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Vereinigungen ihrer Anfangssegmente eine = » 4 hmiherte Folge à bilden, so ist auch die Vereinigung von F messbar und thr. Inhalt gleich 1. keen In analoger Weise wird bewiesen: a Wenn F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Durchschnitte ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge à bilden, so ist auch der Durchschnitt von F mess- bar und sein Inhalt gleich à A Es “En iy... eine Er bide: welche me a Ist. : Inhalte von ”»?a und "»?a’, weniger als —— beträgt und ein will- itr jedes p —2 sind ein solches "»”a,’, ein solches ”»”a” und ein solghes ' a : statt fir jedes n” lies für. “jedes 1 a ire : statt „von der Menge’ ’ hes „von einer unbe- | grenzten Wahlfolge” j à : statt „eines gewissen’’ lies „eines gewissen eventuell fortfallenden”’ statt „von Quadraten” lies „von Elle nicht überdeckenden Quadraten” : statt „> lies „> (und gleichzeitig 2)” HEBE "Mes © ans gleichzeitig es LT GEDRUKT BIJ —o JOH. ENSCHEDE EN ZONEN o— HAARLEM = EPS TO