VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN EERSTE SECTE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen.) AMSTERDAM — JOHANNES MULLER April 1911 VERHANDELINGEN KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN ISA SI SHS TErSBCEEES (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen.) DEES AMSTERDAM — JOHANNES MÜLLER April 1911 17 > ~ Ke p. f x Cd k % pe - i? \ É D ne 5 5 ‘#- 4 Lu al ay d Fe 4 x ) ï | r ES 5 U 4 ; x ? *« t Gedrukt bij Jou. ENSCHEDÉ EN ZONEN. — Haarlem. EN ELO UD: 1. M. Brückner. Ueber die Ableitung der allgemeinen Polytope und die nach Isomerphismus verschiedenen Typen der allgemeinen Achtzelle (Oktatope). Mit 2 Tafeln. 2. M. J. van Uvex. Algebraische Strahlencongruenzen und verwandte complexe Ebenen als Schnitte derselben. 2012 with fu + “Calton Ac demy of a Libra la Ei | Es - A Le so pel , 4 ” f 4 En . $41 A ‘ (4 = > # à { À : Verhandelingen der Konmklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). Deel X. N° 1. (Mit 2 Tafeln.) AMSTERDAM , JOHANNES MÜLLER. Maart 1909. Usher die Ableitung der allgemeinen Polytope und die nach [somorphismus verschiedenen Typen der allcemeinen Achtzelle (Ok tatope) VON Prof. Dr. M. BRUCKNER (Bautzen, Sachsen). Verhandelingen der Konmklifke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE). Deel X. N° 1. (Mit 2 Tafeln.) AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1909. Einleitung: Von den allgemeinen konvexen Polyedern, Das Problem der Bestimmung der allgemeinen konvexen Polyeder {mit nur dreikantigen Ecken) einer gewissen bestimmten Zahl von Begrenzungsflächen ist auf verschiedene Weise gelöst worden £). Am nächstliegenden ist die Ableitung der von 2 + 1 Flächen begrenzten Polyeder aus den als bekannt vorausgesetzten #-flachen durch die sogen. LMundamentalhonstruktionen 7), die wir im Folgenden einer kurzen Betrachtung zu unterziehen haben, ehe wir die Konstruk- tionen der allgemeinen Polytope erläutern können °). Sollen aus den allgemeinen z-flachen yp, alle p,,, abgeleitet werden, so schneidet man von den p,, durch eine Ebene eine, zwei, drei.... (benachbarte) Ecken einer Fläche ab, fügt also der Ober- fläche des p, ein Dreieck, Viereck, Fünfeck.... ein, wobei die Kantenzahlen einiger andrer Flächen des p, geändert werden. Es mögen die p, von der ersten, zweiten, dritten.... Klasse heissen, je nachdem die Begrenzungsflächen geringster Kantenzahl Drei- , Maer, -Fimf-.... ecke sind. Dann ergibt sich em p, ,,4 -erster Klasse, wenn irgend eine Ecke eines p, beliebiger Klasse durch einen dreiseitigen Schnitt entfernt wird; denn das yp, ,, enthält mindestens ein Dreieck, nämlich das neueingefiihrte (erste Fun- damentalkonstruktion). Die zweite Fundamentalkonstruktion zur Erzeugung der allgemeinen yp, ,, besteht darin, dass durch einen vierseitigen Schmitt eine Kante 4B des yp, entfernt wird. Nur die beiden Scheitelflächen in 4 und B erhalten dadurch in p,,,, je eine Kante mehr. Hieraus folgt: Die p, ,, zweiter Klasse sind durch die zweite Fundamentalkonstruktion aus allen p, von der zweiten *) Vergl. Brücxner, Vielecke und Vielflache, Leipzig 1900. S. 93. *) A. a. O: S. 84. *) Für die Polytope beziehen wir uns bes. auf P. H. Scuoure, Mehrdimensionale Geometrie, 2. Teil. Leipzig 1905. 1* 4 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. Klasse ab zu konstruieren, sowie aus den », erster Klasse, die nur ein Dreieck besitzen (man schneide eine Scheitelkante dieses Drei- ecks ab) oder zwei Dreiecke mit gemeinsamer Scheitelkante A B (man unterwerfe diese Scheitelkante der zweiten Konstruktion). Schneidet man zwei aufeinanderfolgende Kanten 48, BC einer Grenzfläche des y, durch ein Fiinfeck ab, so erhalten die beiden Scheitelflächen in 4 und C je eine Kante mehr, aber an Stelle der das Kanten- paar AB, BC enthaltenden Fläche tritt eine Fläche mit um eins geringerer Kantenzahl. Diese dritte Fundamentalkonstruktion zur Erzeugung der p,,, , dritter Klasse braucht offenbar die p,, erster Klasse nicht mehr zu beriicksichtigen und von den yp, zweiter Klasse kom- men nur solche Polyeder in Frage, bei denen die Scheitelflächen in A und C allein Vierecke sind, während die Fläche mit dem Kanten- zuge ABC mindestens sechskantig sein muss. Ueberdies sind zur Konstruktion der p,,, dritter Klasse sämtliche », dritter Klasse zu verwenden; aber auch dabei muss die Fläche mit dem Kantenzuge ABC mindestens sechskantig sein. Es existieren nun bekanntlich nur allgemeine Polyeder dieser drei ersten Klassen, da stets 3 fs + ? fa aes — 12 35 Ve mi 2e sein muss. Somit ist eine vierte Fundamentalkonstruktion nicht nötig; denn die Einführung eines Sechsecks erübrigt sich, da das dadurch zu erzeugende p,,‚, sicher Drei-, Vier- oder Fünfecke enthalten muss, also durch eine der 3 ersten Fundamentalkonstruk- tionen sich aus einem y, ergeben würde. °) Nur mit Rücksicht auf die Ableitung der allgemeinen Polytope betrachten wir noch weitere Schnitte der Polyeder. Im erster Linie kommen hier die Schnitte durch Ebenen in Betracht, die sich als Weiterführung der bisherigen drei Konstruktionen auffassen lassen, wenn nämlich ein Polyeder durch eine Ebene so geschnitten wird, dass u auf ein- anderfolgende von den A Keken eier Grenzfläche (pg 5 ist). Ein Polytop der zweiten Klasse besitze keine y, mehr, aber p, und Polyeder grösserer Flächenzahl. Ein Polytop ter Klasse besitzt keine py, p,,... p; + 2, Wohlaberp; , 3 | *) Das Beiwort allgemein ist künftig stets weggelassen. *) Vergl. meine ,; Elemente der vierdimens. Geometrie”. Zwickau 1894. S. 46. *) In Fig. 9 ist das Fünfeck À BCDG gemeinsame Fläche der beiden p*,; in den andern Figuren ist die gemeinsame Fläche schraffiert und für das innenliegende Polyeder ist die fünfeckige Fliiche mit dem Kantenzuge LIGAB bezw NMFBK aus dem hintersten Fünfeck der äusseren Umhüllungszelle bis auf eine Kante heraustretend vorzustellen. Oe SCHOUTEN Ons. ol °) Vergl. Elem. der vierdim. Geom. Taf. IL. Fig. 17. Die Diagramme der P, und P, sind dort auf den Tafeln gezeichnet. P; (Taf. I Fig. 8) ist das aus 5 Tetraedern gebildete „Simplex’’ (vergl. Scuourr a. a. O. S. 1) des R,. P,* (Fig. 134 auf Taf. II) ist ein Prisma aus p, als Deckraum; P,* (Fig. 144) ein Huf über p;. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S.W. 9 und weitere. Da unter den Grenzpolyedern eines konvexen P,, ein py das Vielflach höchster Flächenzahl sein kann (es sind dann noch p—1 Polyeder vorhanden, von denen jedes eine seiner Flächen mt dem p,., gemein hat) so kann em P, zur 1, 2, 8.. (p—4)-ten Klasse gehören. Es wird sich zeigen, dass für jeden Wert von p Polytope dieser sämtliehen Klassen existieren D und sich konstruieren lassen. Diese unsre nächste Aufgabe: Die Konstruktion sämtlicher Polytope P,, ‚ 4 aus den als bekannt vorauszusetzenden ?,, werden wir an den Diagrammen erläutern. Ist eine Heke eines Polytopes' P,, und sind 4,, 4,, As, 4, Punkte auf den 4 von A ausgehenden Kanten, so konstruiere man das Tetraeder 4, 4, 4, À, und tilge die innerhalb desselben lie- genden Teile jener 4 Kanten sowie die Ecke 4 selbst. Dadurch wird auf die 4 Polyeder in 4 die erste Polyederkonstruktion ange- wandt, d. h. von jedem wird eine Ecke abgeschnitten. Das neue Polytop P, ‚4, gehört der ersten Klasse nach obiger Einteilung an, denn es enthält mindestens das eine p, — 4, 4, 43 A4. Aus einem P,, (e, 4, /,p) beliebiger Klasse ergibt sich durch diese erste Polytopkonstruktion ein Polytop erster Klasse P, , , (e +3, kt-6, f+ 4, p+ 1). Da durch alle weiterhin zu besprechenden Konstruktionen die Zahl der Eeken um mehr als 3 erhöht wird, so ergeben sich die Polytope mit der Minimalzahl der Ecken durch wiederholte Anwendung dieser ersten Konstruktion. Es besitzt daher, weil für p — 5 auch e = 5 ist, ein P, das Minimum der Ecken e= 5 + (p—5). 3 = 3p—10, wie früher behauptet war. Ueber- dies leuchtet ein, dass zur Erzeugung der ?, , , erster Klasse diese erste Konstruktion auf súmt/iche P, zu erstrecken ist, und es sind alle deren Beken zu berücksichtigen. Ebenso wie bei Konstruktion der Polyeder in #, wird auch hier dasselbe P, ,, sich zuweilen aus mehreren ?, ergeben, ja in Folge der Symmetrie selbst mehrere Male aus demselben P,. Inverse d. h. spiegelbildlich-isomorphe Diagramme sollen dabei überhaupt als gleichwertig angesehen werden. De zweite Polytopkonstruktion. Ist A B eme Kante im Diagramm emes P,, so selen 4, 4, 4, und B,, 5, B, Punkte auf den übrigen je 3 von 4 und B ausgehenden Kanten, derart dass 4, und B, , A, und Bee A, und B, je auf Kanten derselben von den 3 Flächen liegen, die die Kante 4 B gemein haben. Diese 6 Ecken À; , A, 43, Bj, By, Bz sind die eines p,, das nach Tilgung der *) Man beachte den Unterschied der Klassenzahl der Gebilde in R, und R,. 10 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. Kante 4B und der innerhalb p; hegenden Kantenteile 4 4, u. s. w. als neues Grenzpolyeder dem Polytope bezw. Diagramme eingefügt ist. Dabei wird auf die 2 Scheitelpolyeder der Kante 4 B in A und B die erste Polyederkonstruktion angewandt; aus den 3 Polyedern, die die Kante 48 gemeinsam hatten, wird durch die zweite Polyederkonstruktion ebenfalls je ein Polyeder mit um 1 vermehrter Flächenzahl. Aus dem P, (e, 4, f, p) wird ein P,,, (64, k+ 8, f+ 5, p+ 1). Da diese zweite Polytopkonstruktion zu einem P, ,, mit mindestens dem eingeftigten py, führt, so-ist sie zur Ableitung der P, , , zweiter Klasse zunächst auf alle P, zweiter und höhrer Klasse anzuwenden. Zweitens aber noch auf alle die- jenigen P, erster Klasse die nur ein p, besitzen ; sowohl auf dessen Kanten selbst als Kanten 4 B, sowie auf seine Scheitelkanten , denn in beiden Fällen tritt an Stelle dieses p, ein p,. Endlich sind auch die P, erster Klasse zu berücksichtigen, unter deren Grenz- kôrpern nur 2 Tetraeder 4, 4, 4, 4, und B, B, B, B, mit der Scheitelkante 4, B, auftreten, wobei an Stelle dieser Kante 4; B, das neue y, tritt. Mit dieser zweiten Polytopkonstruktion ist die Eindeutigkeit der Konstruktionen schon erschöpft, da bereits für y, zwei verschiedene Typen existieren, d. h. die Polytope dritter Klasse ihren Charakter als solcher sowohl dem Vorkommen von gp, wie pg verdanken kön- nen. Es soll nun zunächst die Einfügung der Hu/fe p,', pz’... . p', genauer betrachtet werden und wir bezeichnen die dazu nötige Konstruktion als Polytopkonstruktion 3’, 4’. ..1). Es liege das Dia- gramm irgend eines ?, vor, das 2 Polyeder mit einem gemein- samen A-eck enthält. ~ + 2 aufeinander folgende Ecken dieses A-ecks selen €), @j, Ca, ---Cu—41> Cz, x41, Wobelim ungünstigsten Falle ep mit e,,, identisch ist. ?) (Allgemein sei u + 2 à, so dass noch weitere Ecken des A-ecks vorhanden sind). Man verbinde einen Punkt e,° auf e, e, mit einem Punkte e,° auf e, e,,, durch die Strecke e,* e,%, die also ganz innerhalb des Perimeters des A-ecks verläuft. Auf den noch verbleibenden je 2 Kanten von den Ecken Cy), Co... @ im Diagramm, die nicht dem A-eck angehören, fixiere man. die~Punkte cert a rae ac. RE Le so das die, Punkte-e, Le let ches, somedeunkier ee ae mere für sich je in einer Ebene durch die Kante e,* e,° liegen. Durch diese beiden (4 + 2)-ecke, die beiden Dreiecke e, le? e,3, ete, e,3 und die g-"1)/Miereckene Re Re aaeneme, En NCS ten One NE *) Es werde allgemein die Einfiigung eines p,’, p,”, PAUL... in das Diagramm durch die Konstruktion (n—3)’, (n—8)", (n— 3)UI,... geleistet. *) Verg). Fig. 13¢ für u —4. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 11 e.2_, Ck e, wird ein Huf p,,3 begrenzt, durch dessen Einfügung das Diagramm eines P,,,, entsteht.') Wir bezeichnen diese Kon- struktion als die Konstruktion y’. Aus dem Polytop P, (e, 4, f, p) entsteht durch sie ein ar en ei de JE Sarl) denn es ist e —e— ut (2-2), F—=k—(u—1) + (8% +3), während Flächen und Polyeder nicht verloren gehen, sondern nur neu hinzukommen. Bei Ausführung der geschilderten Konstruktion erleiden die beteiligten Polyeder des Diagrammes die folgenden Veränderungeu. Durch die dreikantigen Schnitte e,1 e,7 e% und Cnt e.” e,° wird von den beiden Scheitelpolyedern IT, und II, des Kantenzuges e, € ... ey eine Ecke abgeschnitten (erste Polyeder- konstruktion). Durch die wm — 1 Vierecke e,! e,7 e,? e,l u. s. w. werden die Kanten e, e&, ... von u 1 Polyedern Ie ehs I1,_,,, abgeschnitten (zweite Polyederkonstruktion), während die bei- den Polyeder A und A’, die das A-eck gemein hatten, der als p- te bezeichneten Polyederkonstruktion unterworfen wurden. Beachten wir jetzt, das die Polytopkonstruktion nur dazu dienen soll, einen Huf p, ‚3 dem P, einzufügen, so darf sie nur ausgeführt werden, wenn nach ihrer Erledigung das Polytop P,,, keine Polyeder ge- ringerer Fläichenzahl, also auch keinen Huf niedrer Flächenzahl be- sitzt, denn sonst hätte dessen Einfügung die höhere Konstruktion unnotig gemacht, Wir setzen allerdings Merbei die Brlediqung der Binfüqung aller Polyeder geringerer Flächenzahl überhaupt voraus. Es dient die Einfügung eines Hufes p,‚; sonach erst zur Ableitung der ?,,, peter Klasse aus den P, und es ist diese Konstruktion auf alle P, von der p-ten Klasse ab (die medern Klassen ausge- schlossen) anzuwenden. Nur von der (y — 1)-ten Klasse der P, sind noch gewisse Typen mit zuzuziehen, nämlich solche, die das A-eck in der geschilderten Weise im Diagramm besitzen, und bei denen die Polveder p,., lediglich lings des zu entfernenden Kantenzuges €,, Cz. ... Cy liegen, also eine Kante dieses Zuges, oder wenigstens eine der Beken e und e, besitzen. Das Maximum der Eckenzahl eines allgemeinen P, ist vorhanden, wenn alle begrenzenden Polyeder (p—l)-flache sind. Da ein (p—l)- flach 2p—6 Eecken hat, so besitzen die p Polyeder p (2»—6) Eeken und das Polytop, da dann jede Ecke vierfach gezählt ist, p (2p—6) p (p—3) _ 2. ii den ur - Eeken, wie oben angegeben wurde. Wir ‘) Fiir ~=1 und 2 sind die eingefiigten Polyeder ein p, und p,, und wir haben die schon erläuterte 1. und 2. Konstruktion. 12 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. beweisen jetzt den früher behaupteten Satz, dass für jeden Wert von p (> 5) Polytope existieren, deren Eckenzahl dieses Maximum erreicht, durch den Schluss von p auf p + 1. Es existiere das DC DES ON) EURE : Maximum M —= / a ~ für ein P,, und wir setzen voraus, dass ~ dann das Polytop einen Auf p bezeichnete Polyeder). »—1 besitze (das vorher mit A Die Zulässigkeit dieser Annahme wird sich zeigen. ') Auf diesen Huf wenden wir die Konstruktion 4° — y—3 an. Dies ist statthaft, denn die Fläche mit der Maximalzahl der Kanten des Hufes y’,_, ist ein (y—2)-eck; man kann also einen Kantenzug mit y—3 Ecken abschneiden, und zwar geschehe dies nach dem Schema a) der Ein- leitung. Der dem Polytopdiagramm dadurch eingefügte Huf hat dann 2 (y—38) + 2 = 2p—4 Keken. Das neue Polytop besitzt also sicher mindestens diesen einen Huf! Die Zahl seiner Ecken ist aber gleich der Zahl der Ecken des ursprünglichen Polytopes, vermin- dert um p—3 und vermehrt um 2 (y—3) + 2, d.h. es ist e = M + p—1, oder p (n—s de gek) ben eae fe ee aie ed age coy Cr EE 2 für p —p-+1, d.h. das neue P, ,, hat die Maximalzahl 47 der Eecken. Nun existieren für p = 5, 6, 7 Polytope mit der Maximal- zahl der Eeken und mit Hufen, also... u.s. w. Dass umgekehrt sämtliche Grenzpolyeder eines P,, ,, mit M’ Ecken p-flache sind, ist nach dem Vorhergehenden selbstverständlich. Für p = 5,6,7 existiert nur je ez Polytop mit der Maximalzahl der Eeken und es sind sämtliche Grenzpolyeder in diesen drei Fallen Hufe p, 4 Schon für p= 8 gibt es vier nach Isomorphismus verschiedene Polytope mit der Maximalzahl von 20 Eeken, und unter diesen wieder es, das lediglich von Hufen p,’ begrenzt wird. Solche Polytope gibt es für jeden Wert von p. Lam Beweise dieses Satzes betrachten wir das Polytop P,°, bezw. sem Diagramm (Vergl. Fig. 13). Sind €, e €3 €, @, unde, ee e, e, die beiden Fünfecke irgend eines beliebigen Hufes von P,°, so sind e, e, und e,° e, gemein- same Kanten je eines verschiedenen Dreiecks und Fünfecks. Die 4 Nachbarkanten dieser beiden Kanten, die nicht Scheitelkanten der beiden Fünfecke sind, sind stets Scheitelkanten der beiden Fünf- *) Damit ist matürlich nicht ausgeschlossen, dass überdies auch Polytope mit der Maximalzahl der Ecken existieren, unter deren Grenzpolyedern sich keine Hufe befinden. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 13 ecke eines benachbarten Hufes, und zwar die Scheitelkanten, die einem Dreieck und Viereck gemeinsam sind, so dass die 7 Drei- ecke im Diagramm derart eine geschlossene Reihe bilden, dass jedes eine Ecke mit dem folgenden gemein hat: ABIT —I KN —N'MO0—0'GCH—HDC—C LB PBFA. Daraus folgt, dass die dritte durch e, e, bezw. ey e; gehende gemeinsame Fläche der beiden weiteren Hufe in diesen Kanten stets ein Fünfeck ist. Die übrigen Kanten der Fünfecke des ersten Hufes sind somit stets Scheitelkanten der Fünfecke der Nachbar- hufe. Wendet man nun auf den Kantenzug e, e, e, e, die vierte Polytopkonstruktion an (auf das Polyeder die Konstruktion des Schema a) der Einleitung), so sieht man leicht ein. dass sämtliche in Anspruch genommenen Polyeder wieder zu Hufen werden !) und es ergibt sich ein neues Diagramm (Vergl. Fig. 49), das wieder denselben oben geschilderten Bau aufweist, wie das ursprüngliche. Durch die gleiche Betrachtung dieses und der folgenden Diagramme erschliesst man also, dass fiir jedes p ein Polytop aus lauter Hufen Pp existiert. Schhesslich ist auch noch durch Betrachtung des Diagrammes eines P, mit der Maximalzahl der Eeken zu zeigen, wie man aus ihm Diagramme von Polytopen P, ‚4 sämthcher eugehörender Klassen ableitet, womit deren Existenz bewiesen ist. An dem Hufe A= yp’, _, betmde sich der Kantenzug e,, €, €3, ...e Wendet man auf je 1, 2, 3 ... (p — 3) aufeinanderfolgende Ecken die Konstruktion 1, 2, 3 ...(p — 3) an, so erhält man p — 3 Polytope der 1., 2., 3... (p — 3)-ten Klasse, d. h. aller für P,,, vorhandenen Klas- sen der Polytope, denn es ist p — 3 — (p + 1) — 4. Wir kehren nun zurück zur Ableitung der P,,, dritter und höhrer Klasse aus den ?,. Dass die bisher betrachteten Konstruk- tionen 4’ der Einfügung von Hufen in die Diagramme nicht hin- reichend sein können zur Ableitung sämtlicher P,,,, geht schon daraus hervor, dass Polytope existieren, unter deren Polyedern sich keine Hufe befinden. 2) Als fernere Konstruktionen allgemeineren p—3 *) Die Abschneidung der Eeken e, und e, der Hufe in den Enden des Kantenzuges unterwirft diese der ersten Polyederkonstruktion in der gemeinsamen Ecke der beiden Fiinfecke; die Abschneidung von Scheitelkanten e, e, u.s.w. der Fünfecke eines Hufes durch die zweite Polyederkonstruktion führt aber stets wieder auf Hufe. *) Z. B. die (allgemeinen) regulären Polytope Z, und Z,,, (Scnourr, a. a. O. S. 207 und 213) — Hiernach sind auch die in „Elemente d. vierdim. Geom.” S. 40 etc. erläu- terten Konstruktionen zur Ableitung der Tetraederpolytope (Scnourr, a. a. O. S. 34) nicht hinreichend; denn sie sind nur die den bisher abgehandelten Konstruktionen der allgemeinen Polytope dualistisch zugeordneten. Der kundige Leser wird sich die weiteren Tetraederpolytopkonstruktionen leicht ergänzen. 14 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. Charakters, die wir mit 3”, 4”, ... 4" bezeichnen wollen, betrach- ten wir die Einfügung eines Prisma pus in das Diagramm des P,. Da seine Grund- und Deckfläche (4 — 1)-Ecke sind, so ist die Konstruktion folgendermassen auszuführen. Es sei'e, e, ...e, 1: eme gemeinsame Fläche zweier Polyeder A und A’ des Diagramms. Nimmt man auf den zwei von jeder der Eeken e ausgehenden weitern Kanten die Punkte el und e? an, so dass die je u + 1 Punkte ¢,1@,! 52. ely, unde,” 277) le? 1m emer Hheneile gen, so bilden diese beiden (4 + 1)-ecke und die g + 1 Vierecke de en Cya ein Prisma p ‚43, das dem Diagramm eingefügt ist. Die beiden Polveder A und A’ sind dadurch morphologisch nicht geandert, sämtliche dritte Polyeder an den Kanten e; e;,, sind der zweiten Polyederkonstruktion unterworfen. Aus dem P, (e, #, f, p) entsteht durch die Konstruktion #” ein P, ‚(e Hud 1,4 + Uu +2, geep) Dabei ist festzuhalten, dass eine Konstruction y” nur zur Erzeu- gung eines P,,, p'-ter (= 3, 4, 5...) Klasse auszuführen ist, also das neue Polytop keine Polyeder p, ; ; (oder niederer Flachen- zahl) mehr besitzt, oder mit andern Worten nur an den P, g-ter und höhrer Klasse und überdies an den P, (4 — 1)-ter Klasse, wenn die hierin noch vorkommenden p,,, durch die Konstruktion in Pu +3 übergehen. Dabei soll noch vorausgesetzt werden, dass die Konstruktionen 4° den pz” voranzustellen sind. Durch diese Bedin- gung wird die Anwendbarkeit von 4° bereits bedeutend einge- schränkt. Was nun die weiteren Konstruktionen zur Ableitung der Diagramme der P,,, vierter und hôhrer Klasse anbetrifft, 4) so wollen wir nur die Erzeugung der Polytope vierter Klasse noch betrachten, da sich von da aus das weitere Verfahren klar über- blicken lässt. Wir hatten bei den Konstruktionen 4° und y” gewisse ebene Kantenzüge e, e,...e, bezw. e,.e,...e,,: zweier Polyeder A und A’ mit gemeinsamer Grenzfläche ins Auge gefasst, die für m—=1,2,3 durch folgende einfache Figuren gegeben sind, durch deren Eliminierung und Ersetzung durch das beivermerkte Polyeder das P, in ein P,,, überging, und zwar in eins der am Ende p angezeigten Klasse: ê, CHAR —— 1 Klasse. cg e (ps) [BM = 2]; 7N (we) [p‚ = 2]; 2. Klasse. GERE 2 6, *) Die Polytope dritter Klasse sind erledigt, da nur der Huf p,’ und das Prisma p, existieren. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 15 e CZ MERE 1 3 SA (a Oe =k Eil ensen Klasse: Cg 2 e Für die Konstruktion der P,,, vierter Klasse kommen nun zunächst die beiden schon erledigten Polyederemfügungen in Frage, die durch die folgenden Figuren charakterisiert sind : COCA ey Ey / ! 1/4 1/4 NS dv = 4h ee, WD. le = 4] Co Ca ey . Weiter kann aber ein P,,, vierter Klasse dadurch erzeugt wer- den, dass in das Diagramm P, eins der drei noch verfügbaren Siebenflache p,"", p,", y. eingefiigt wird. Für diese Polyeder sind die der Konstruktion zu Grunde hegenden Kantenzüge die folgenden: €, GT 63 es 9 : 65 ; ; 3 e (gg), [WA]; (p7V), Lu = 4]; 4 €4 (7), [uy = 4]. (2) 2 a . 5 (2 a es Von den 3 Kanten der ersten Figur gehôren je 2 derselben Grenzfläche emer Polyeders des Diagrammes an. Von den Eeken €» Cz, €, gehen demnach noch 3 freie Kanten, von e, noch eine freie Kante aus. Bestimmt man auf diesen 10 Kanten die Punkte PR 6 Ch ee. En epe Und e+ ,s0: lässt sichvaus diesen 10 Punkten ein y"! konstruieren (vergl. Fig. 7) mit den Enr che cie yO) tene el en: D el, FAN = ONCE On) tad NE AN ee Ya ee zel. Das P, (e, &, f, p) wird durch Einfügung dieses D" zu einem Poy, (@+ 6,44 12, + 7,p + 1). Von den 3 Kanten der zweiten obigen Figur liegen e, e, und € Ez, SOWIE €) €, und e, e, je in einer Ebene eines Polyeders des Diagrammes. Auf den 10 freien Kanten dieser 4 Ecken setze man dier Punkte e1)c# ¢°,; el, es ele: els, €74, e° 80 fest, dass diese die Ecken eines 2," bilden, das dem Diagramm einzufügen ist. *) Die Konstruktion "2 ist entbehrlich. Denn hat sich ein gewisses P44 durch sie aus einem P, ergeben, so reduciere man dieses P,,, durch Anwendung der Um- kehrung von p'—2 auf dieses eingefügte p, in ein P,, das natürlich ein andres sein muss, wie das ebengenannte, denn die Konstruktion ”’ = 2 erhöhte die Eckenzahl um 4, k —2 jedoch nur um 3. Es wird sich also das durch p’ = 2 erzeugte P,,, bereits unter den mittels —2 gefundenen Polytopen finden. 16 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. (Vergl. Fig. 52* und den Text in $ 2). Es entsteht dadurch ein P‚ 44 mit derselben Formel wie vorher. Es ist kaum nötig, die Einfügung eines g,Ÿ in das Diagramm eines P, durch Benutzung der dritten der obigen Figuren, bei der die Kante e, e, nicht in der Ebene des Vierecks @, e, e, es liegt, zu erläutern. Das neue P,,,, besitzt aber hier die Formel P, , e@+5,4+10,f+6,9+ 1), da das Viereck e, e, e, e, bei der Konstruktion getilgt wird. Die oben gezeichneten Linearfiguren der Kanten eines Polyeders im Diagramme des P, sind nun nichts anderes , als die Deckkantensysteme der p, im Sinne von O. Hermes; *) und es lässt sich also die betreffende Konstruktion y so oft an dem Diagramme des ?, ausführen, als das zugehörige Deckkantensystem an den Polyedern des Diagrammes ausfindig gemacht werden kann. Abgesehen von dem mehrfachen Ergebnis desselben P,,, durch verschiedene Konstruktionen erfährt die Anwendung jeder eine Ein- schränkung durch die früher festgesetzte Folge der Emfügung der Polyeder p, nach ihrem oberen Index. Es ist nun leicht zu über- sehen, wie die Konstruktionen 2™, ul’, wv... (w= 5,6, 7..) mit den Deckkantenzügen der pg,y,... in Zusammenhang zu bringen sind. Wir erläutern jetzt den bisherigen theoretischen Teil durch die Ableitung aller allgemeinen Oktatope aus den bekannten finf allgemeinen Siebenzellen. § 2, Die allgemeinen Oktatope oder Achtzelle, a). Die Oktatope erster Klasse. Die Konstruktion u = 1, d.h. die Einfügung eines Tetraeders y, in die Diagramme der Sieben- zelle zur Erzeugung sämtlicher P, erster Klasse ist an allen Ecken der P, auszufiihren, so weit nicht schon ein Blick auf das Diagramm des P, zeigt, dass in Folge seines symmetrischen Baues eine Reihe von Eecken übergangen werden kann, da sich durch ihre Beanspruchung keine weiteren isomorph verschiedenen P, erge- ben können. Die Anzahl der Eeken, Kanten und Flächen der 2., sowie die Zahl der begrenzenden Polyeder p, sind zur Uebersicht in der folgenden 7abelle zusammengestellt, nebst dem Hinweis auf die Figur des Diagrammes. *) Vergl. Vielecke und Vielflache S. 97. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 17 bezeichnune uw. Figur. | e | & | f | p | 74 De PUR F2 | Klasse. P1 Fig. 9 112218] 7} 2) 2) 3;—| 1 Re Fig. 10 u. 10°) 1) 2) al 1 a |12} 24/19) TA PS Fig. 11 \ ae tee 3 | 2 Pt Fig. 12 18126120] 7/—| 2| 4/1] 2 P Fig. 13 Lalas arl 7[—)—) 7|—| 3 Das Diagramm Fig. 9 von P,' ist offenbar symmetrisch (natürlich ganz allgemein morphologisch aufgefasst) gegen die Ebene des Dreiecks 4 /Z und gegen die Ebene des Fünfecks CD HF FL. Es ergibt sich daraus sofort, welche Ecken, Kanten, Kantenpaare u.s.w. morphologisch gleichwertig sind, z. B. die Eeken ©, D; Deh, GAL: A BL Bs ist also die Konstruktion w = 1 nur an 3 Eecken auszuführen, z. B. 4, B, und C. Ersetzen wir diese Ecken durch die je 4 Ecken 4,, 4,, 4,, À, u.s. w., so ergeben sich die folgenden 3 Oktatope erster Klasse. Durch Tilgung von 4 entsteht das Achtzell P,* (Fig. 14), ein Huf über der Fläche & von D. !) Die Tilgung der Ecke B gibt das Achtzell P,? (Fig. 15), einen Huf über der Fläche 4 von p,'. Tritt an Stelle der Ecke Oda — CC, OC. C,, so ergibt sich der Huf P,* (ig. 16) über der Fliche 4 von p’,. Diese 3 Oktatope erster Klasse sind die einzigen vom Minimum e — 14 der Zahl der Eecken. Der symmetrische Bau des Diagrammes des Hufes Pz? ist am deutlichsten an Fig. 10" zu erkennen, in welcher die Ebene des Vierecks B £M L Symmetrieebene ist. Allgemein gilt: Die ge- meinsame Ebene zweier begrenzender dreidimensionaler Hufe eines vierdimensionalen Hufes ist Symmetrieebene des Diagrammes des Polytopes ?). Das Diagramm von P,? ist aber auch symmetrisch gegen die Ebene des Vierecks À H GJ, wie sowohl Fig 10 als 10° erkennen lässt. In Bezug auf diese beiden Symmetrieebenen sind die Ecken 4, C; G, H: J, K; D, F; bezw. A, D; B, B; C, F; L, M gleichwertig; woraus folgt, dass die Konstruktion g°— | an *) In den Figuren 14 u.s.w. der Diagramme der Oktatope ist den nicht durch die vorgenommene Konstruktion getilgten Ecken der Diagramme der P, derselbe Buchstabe belassen. Nur soweit sich die Art der begrenzenden Polyeder leicht aus der Figur der P, erkennen lässt, ist sie nicht besonders angeführt (vergl. hierzu auch die Haupt- tabelle am Schlusse). *) Dies leuchtet sofort ein, wenn man das Diagramm dadurch bildet, dass man die Hufe mit dieser Ebene aussen an einander setzt und dann homologe Ecken durch Gerade verbindet. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (Eerste Sectie) Dl. X N°. 4. 2 18 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U. S. W. 5 Eeken auszuführen ist, z. B. B, Z, C, G und /. Es ergeben sich jedoch nur die folgenden 3 Achtzelle erster Klasse. Durch Tilgung der Ecke B erhält man das Diagramm (Fig. 17) eines P,#, eines Hufes über einer Fläche @ von p,". Die Ersetzung der Heke Z in P,? durch das p, = Z, Ly Lg Li, gibt das Diagramm (Fig. 18) eines Hufes P,° über einer Fläche @ von p,". Tritt an Stelle der Eeke C von P.° das p, = C, C, CG, C,, so ergibt sich das Diagramm (Fig. 19) eines 2, allgememeren Charakters. Zwei y," haben das Sechseck C C, BL KH gemein, und über dem inneren gp," ist der Punkt D mit den Eeken 4 und G des untern (bezw. innern) und mit den Eeken Z und # des umhüllenden y," des Diagram- mes zu verbinden. Ersetzt man die Beke G in ?.? durch ein py, so ergibt sich ein mit Fig. 17 isomorphes Diagramm, wenn man das zunächst erhaltene in einen andern Grenzkorper projiziert. Die Ersetzung der Ecke / durch ein y, führt auf ein mit Fig. 18 isomorphes Diagramm. Um nicht zu weitläufig zu werden, sollen im Folgenden solche Ergebnisse isomorpher Diagramme von vorn- herein unberiicksichtigt bleiben. Die Symmetrieeigenschaften des Diagrammes Fig. 11 von 2, sind leicht zu übersehen. Bei Ersetzung der Ecke G durch das Tetraeder G, G, G, G, ergibt sich das einzige durch 4 = 1 aus P,3 zu erhaltende Achtzell P,’ (Fig. 20). Dieses P,7 ist ein wier dimensionaler Huf über einer Fläche 4 von p,". Das Diagramm des Siebenzelles P,* (Fig. 12) besitzt die Symmetrieebene der Flächen ZK MN und ZM N. Daher sind nur noch 5 Eeken zur Konstruktion g — 1 heranzuziehen, z. B. B, K,N,G,L; doch ergeben sich nur 3 neue Oktatope. Durch Abschneiden der Ecke Bin Fig. 12 mittels p, = B, B, B; B, ergibt sich das Diagramm allgemeineren Charakters (Fig. 21) eines P,® erster Klasse, das nur noch ein p, enthält. Die Ersetzung der Ecke AK führt zu dem Hufe P,° über einer Fläche y von Z.", dessen Diagramm Fig. 22 darstellt. Tritt an Stelle der Ecke VN in Fig. 12 em p,, so ergibt sich das Diagramm (Fig. 23) eines Hufes 2,1 über der Fläche B, eines py’. Ehe wir auf die Ecken des Siebenzells P,> (Fig. 13) die Kon- struktion = 1 anwenden, sei es noch einer genaueren Betrachtung unterzogen. Es ist nach Früherem einleuchtend, dass dieses P,° sieben isomorphe Diagramme ergibt, wenn man es der Reihe nach in jedes seiner 7 Grenzpolyeder p, projiziert. Seine Eecken sind zweierlei Art. Sieben Eeken werden von 2 Dreiecken, 1 Viereck und 3 Fünfecken gebildet, nämlich 4’, B’, C’, H’, 7’, N', O'. Die andern 7 Ecken D, #, F, G, K, L, M von 1 Dreieck, 3 Vierecken UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 19 und 2 Fünfecken. In jedem der sieben y, liegen diese Ecken verschiedener Art wie die durch e und e’ unterschiedenen Eecken des Sechsflaches in Fig. 2. Wendet man die Konstruktion # = | auf die Ecken derselben Art an, so ergeben sich isomorphe Dia- gramme, und es resultieren daher nur 2 durch Isomorphismus unterschiedene Oktatope. Um auch bei weitern Konstruktionen, die auf P,° anzuwenden sind, die Zuordnung der Achtzelle leichter übersehen zu können, seien die begrenzenden 7 Sechsflache py,’ einzeln bezeichnet: (vergl. Fig. 13). SP CODE TP GE . WAP ODE LE KT: = ACB RL RON AEE: IVS MT APMOG Ez; NOON I EG HD kK. VI=OHCLMUMN KD; Vil CHO VEL BF G. Das Achtzell PH mit dem Diagramme Fig. 24 ergibt sich durch Tilgung der Ecke Z von P,°. Die begrenzenden Polyeder sind hier: I SE IT a Il © Pr: Ne V ji VI GI NER gin und das neu eingefügte p, (L, Lo L, L,), wobei z. B. eg! bedeutet, dass das Polyeder IT des Siebenzells durch pg’ = 1 im Achtzell in ein Siebenflach p,'Y übergegangen ist, während I = p,’ andeutet, dass das Sechsflach I des Siebenzells als py,’ erhalten blieb. P,™ ist das Achtzell mit dem Diagramm Fig. 25, entstanden durch Ersetzung der Beke 4 durch ein p,. Die übrigen 7 Grenz- pomeder sid: lwp; wg; AIT © pe © NN = D; VI p,, Vil=p,. Hiermit sind die Oktatope erster Klasse er- schöpft und es existieren also deren zwölf mit 14 bis 17 Ecken; eins derselben hat 3p,, vier haben 2p,, während 7 nur noch ein Tetraeder unter ihren begrenzenden Polvedern besitzen. b) Die Oktatope zweiter Klasse. Um ein solches aus dem Sieben- zell P,1 zu erhalten, hat man die Konstruktion »’ = 2 nach den allgemeinen Erôrterungen nur auf die Kante CD in Fig. 9 anzu- wenden. Es ergibt sich ein vierdimensionaler Huf P,!° mit 15 Eeken über einer Flache @ von p,”, dessen Diagramm in Fig. 26 darge- stellt ist. Der Huf py, = C, ©, C, D, D, D, ist das durch die Kon- struktion an Stelle der Kante CD getretene Polyeder. Aus P,? ergeben sich 3 isomorph verschiedene Oktatope zweiter Klasse durch Tilgung der Kanten LA, LM, KI des Tetraeders, bezw. seiner Scheitelkanten KM und MF. ‘Tritt an Stelle der Kante LK das Fünfflach Z, Z, L, K, K, Kz, so ergibt sich das Qe 20 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. Achtzell P,'4, dessen Diagramm Fig. 27 zeigt. Die Ersetzung der Kante JM von P,? führt auf das P,!° (Fig. 28), einen vierdi- mensionalen Huf über der Fläche B, von p,’. Auf dasselbe Acht- zell führt die Konstruktion # — 2 an der Kante A/. Das Dia- gramm Fig. 29 ist das eines 2,16, das aus P,* sowohl durch Anwendung von w' = 2 auf die Kante KM als MZ resultiert. Wir haben hier einen vierdimensionalen Huf über einer Fläche @ von pz’. Das Siebenzell P,* ergibt nur durch Tilgung einer Kante wie ML ein Achtzell P,!%, das nicht mit bereits abgeleiteten isomorph ist. Das Polytop, dessen Diagramm Fig. 30 zeigt, ist ein Huf über einer Fläche 2 von y,” und zugleich ein vierdimensionales Prisma über pg. Wir wenden nun die Konstruktion u = 2 auf das Sieben- zell P,* an. Wegen der Symmetrie seines Diagrammes braucht sie nur auf die Kanten BC, CD, CK, KI, CG und GL augewandt zu werden. Wird die Kante BC von P,* durch das Fünfflach B, B, B, C, C, C, ersetzt, so ergibt sich das Diagramm Fig. 31 eines Oktatopes P,!8, das ein Huf über einer Fläche y von," ist. Die Ersetzung der Kante CD führt auf den Huf P, über einem Drei- eck à von p,'"". Das Diagramm zeigt Fig. 32. Ersetzt man die Kante CK von P,* durch das Fünfflach © ©, C, K, K, K,, so erhält man das Diagramm Fig. 33 eines P,?° allgemeineren Charakters. Der vierdimensionale Huf ,?! (Fig. 34) über einer Fläche y des p,’ ist erzeugt durch Anwendung von w'— 2 auf die Kante AJ von P,*. Die Ersetzung der Kante CG von P,* durch ein p, führt auf das Oktatop allgemeineren Charakters P,?*, dessen Diagramm Fig. 35 zeigt. Die Anwendung von g = 2 auf die Kante GZ von P,* end- lich ergibt das Achtzell ?,%* mit dem Diagramme Fig. 36. Um aus dem Siebenzell P,° durch die Konstruktion jp’ = 2 Achtzelle abzuleiten, ist zu beachten, dass die Kanten von Pie von dreierlei Art sind, je nachdem sie 2 Eeken e, 2 Ecken e’, oder eine Beke e mit einer Ecke e° nach der früheren Bezeichnung ver- binden. Es ergeben sich daher 3 durch Isomorphismus verschiedene Oktatope mit 18 Eeken. Durch Tilgung der Kante ZJ/ vom Typus e,e ergibt sich das Achtzell P9** (Fig. 37) mit den Grenzpolyedern D: I= gps Heep; Hog, IV wp; Vg ; Ven: VIe” und dem eingefügten py, (L, Lo L, M, M, M3). Bei Ersetzung der Kante OM durch ein p, ergibt sich das Dia- gramm Fig. 38 eines P,?°, das im übrigen von den Polyedern be- IV, grenzt wird: lwp; MWe; UI 7 IVES Ze ee bl ") In allen folgenden aus P,° abgeleiteten Diagrammen ist die obere Strichelung der Bekenbuchstaben weggelassen. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 21 VIvp,'; VIIæp,". Die Elimination der Kante ZC endlich er- gibt das Achtzell P,2 (Fig. 39) mit den Polyedern: Lev p, ; I~ ps HI, EE NRV en elv Mae Hiway; IV = pg oo pe Ub. und: dem Punt flach p, (L, Lo L, G, C, C,). Es haben sich somit im ganzen 14 Oktatope zweiter Klasse mit 15 bis 18 Ecken ergeben. D c). Die Oktatope dritter Klasse. Um diese Polytope abzuleiten, haben wir zunächst die Konstruktion gp’ = 3 zu beachten. Nach den allgemeinen Erôrterungen braucht sie auf die Siebenzelle 221 D D 7 und P,* nicht mehr angewandt zu werden, und von dem P,3 kommt nur ein Kantenzug in Frage, durch dessen Tilgung sämt- hehe p- in Sechsflache tibergehen. Tilgt man den Kantenzug M 1 A 5] 5 5 o in Fig. 11, so ergibt sich das Achtzell 2,27 mit 17 Eeken, dessen te) ? 5 8 ? Diagramm Fig. 40 zeigt. Es ist ein vierdimensionaler Huf über , an Fa A der Fläche Vi VON 7. À Auf P,* ist die Konstruktion g = 3 nur für solche Kanten- paare anzuwenden, bei deren Tilgung die beiden vorhandenen p, zerstört werden. Zur leichtern Uebersicht führen wir für die Grenz- polyeder von P,* hier die Abkürzungen ein: a il. (LH DIN K CG); bsp, QE AI NK BF); CE MALIN ROGGEL): =e Ae DAN i ED); ep (PENG LM): f= ps ABODHRG HE eG DI Ke). Wie die genauere Untersuchung zeigt, ergeben sich nur 3 neue isomorph verschiedene Achtzelle. P.?° (Fig. 41) entsteht aus P24, wenn der Kantenzug Z N A durch ein p, ersetzt wird. Die beiden Polyeder a und ec werden hierbei durch einen fünfseitigen Schnitt beide zu Siebenflachen p,”, nämlich) ap, I DH L, N,; EEEN G C) und cr (MEB KN: Lp Le Ko CG). Die Poly- eder 4 und d werden durch vierseitige Schnitte zu p,'Y, nämlich tap (NN, ME ATK, K BF) und dw py (MEAININ.; L, L, HD). Die Fünfflache e und g gehen durch dreiseitige Schnitte MP OUber CN ps MEAT Ls LG F)undg~p, UK, K BA; DC K,). Das Polyeder f bleibt das pe (A BCD; HG F #) und dassseingelügte py, ist p, (Ze K, K, NV, Los LN, K,). Hiernach sind die 8 Grenzpolyeder in dem Diagramm Fig. 41 leicht auf- *) Die Reihenfolge der Buchstaben der Ecken der neuen p ist im Ausschluss an die Figuren 2 bis 8 der Diagramme stets so gewählt, dass zunächst die Ecken der ,Grundflache” und dann die Beken des ,,Deckkantenzuges” geschrieben sind. 22 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. zufinden. Die Ersetzung pes Kantenzuges MZ Z A durch ein pe,’ er- zeugt ein 2,2% (Fig. 42) mit den begrenzenden Polyedern: bep (NM, Mo PBK; TA, Ay By); cw p (MU, NK BFM,; M, LEC); dep; (HDINL; MBA AM); epe (CFE E, Hy LM, Mo); for" (4 4 BOD; HE, B, FG); Vi Pe Ao VEMOS D) A, 5 À, TK); a = pe LNIDH;GCK): dazu das neu eingefügte p, (4, 4, A Hy M,;M, B A). Tritt an Stelle des Kantenzuges HDA ein p so ergibt sich ein Achtzell P,°° (Fig. 43) mit folgenden Polyedern: a Sp) (NL G CK IEDs Dy tah HH); beep (MEAN MANE dep (A, A Ti MN EE DALE D) Pep GER ACD ep, (LP GH Bee ie gehe (LI CD, Dia Ab): unde pe NLG Chay). Dazu das eingefügte », (4, A, 4 D, Ho; H, D, A,). Diese 3 Acht: zelle besitzen je 18 Eeken. Um aus dem Siebenzell P,° durch u’ = 3 Achtzelle abzuleiten, hat man zu beachten, dass die zweikantigen Züge wegen der zu unterscheidenden Eecken e und e° verschiedenartig gewählt werden können. E szeigt die Untersuchung, dass die folgenden Anordnungen auf neue isomorph verschiedene Oktatope führen. Der Zug e',e,e, 2. B. J’ KL (Kanten. eines Fünfeckes);, der Zug ¢,¢,e 2. B. A’ BL (desgl.); der Zug ¢,¢,¢ zB. A DAG (desgl.), sowie der Zug e,e,e z.B. GH’ D (Kantenzug eines Vierecks). Ein Zug e’,e,e’ tritt nur an Dreiecken auf, ist also zur Konstruktion unbrauchbar, und der Zug e,e,e der an Vierecken vorkommt (4. B. KLM) führt auf dasselbe Polytop wie eee. Es ergeben sich danach die folgenden 4 durch Isomorphismus unterschiedenen Oktatope mit 19 Eeken. Das Achtzell P,?! (Fig. 44), erzeugt durch Ersetzung des Kantenzuges 7’ K L, besitzt die begrenzenden Polyeder: l=p, (BCDEA; FGH); lp." (ABODH LT 1, ta hays Up LAFMN;K L LB); Iep; (LLAFMN;O0GEL); UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, US. W. 23 Voeg (OG FI, I, N; K, K, DH); VI oop! (ONK, K, DH; OLE M): VIL wp, (Lo CHOM L,; L, BFG); dazu das neu eingeführte y, (L, 73 / Ky Lo; Ly TT) Das Achtzell P,%*? (Fig. 45) entsteht aus P,? durch Ersetzung des Kantenzuges 4’ B’ L mittels des Sechsflaches Whey Cuts Liesl be ipa pas) Ses aie) Die übrigen Polyeder sind: Toye NGO NA AED: IS (BSA, EDC; An As TK); TT ~ (A, A, VEN CR ET IEC): IV wig” (A, IN ME As: Fa EG O); VS, WN OGET: KD H); Mite (OWL, LACH DIN, TS): MSS AO PSP GOM DL). Ersetzt man den Kantenzug 4’ BC’ durch das Sechsflach Pe (A, C, C, B A,; À, Bj C,) so entsteht das Achtzell 2, (Fig. 46) dessen übrige Polyeder sind: Loe pr" (Ay Ay Cy C, By; EGE DH); LA (B, A, AG C; LKIED) Hl wp," (4, A [NM FE, B, B, LK); IV op (A, INM FA; A, BGO); Vg (OHDKN;I#G); VI wp,\(OH 0,6, LM; NKDO,); VIL ~p,"\ (LM OHO, C; B, B, FG). Die Elimination des Kantenzuges GH’ D endlich durch das Sechsflach y, (G, D, D, H, G,; G, H, D,) führt auf das Achtzell P,** (Fig. 47) mit den weiteren Grenzkérpern : Lop AED, DOB. FG, GC: HJ; HS arate (ED, D, CB; IRE DN HE GKELBA: PMN): WY aa Ger LIV OG Gs BADEN VER OGG. LI Ke Die. D.); NES ene Ei, 0% NKD, Diy. WIN Sire el OE, H, CB TG. G,). Weitere Oktatope dritter Klasse können sich nun mittels der Kon- struktion u’ — 3 d.h. Einfügune eines Sechsflaches p,” ergeben. gung Pe g 24 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. Da nach Erledigung der Konstruktion das Polytop keine p, ent- halten darf, ebensowenig aber Polyeder geringerer Flächenzahl, so ist, da die Einführung des p, nur 4 Grenzpolyeder von P, mor- phologisch ändert, die Konstruktion nur anwendbar, wenn die drei weiteren Polyeder bereits p,” sind. Die einzige zulässige Konstruk- tion ist deshalb in dem Siebenzell P,? (Fig. 11) an dem geschlos- senen Kantenzuge / A £ M auszuführen, durch dessen Elimination die vier p, in pg übergehen. Das erzeugte P,*°, dessen Diagramm mit 16 Eecken Fig. 48 zeigt, wird also von acht pg gebildet und ist mit dem bekannten regwlüren Achtzell 5) aus 8 Hexaedern (Würfeln) isomorph. Damit haben sich in Summa 9 Achtzelle dritter Klasse mit 16 bis 19 Hcken ergeben. d.) Die Oktatope vierter Klasse. Die erste Konstruktion zur Ableitung der Achtzelle vierter Klasse aus den P,, nämlich y= 4, die in der Einfügung eines p,’ besteht, kann ebenso wie die noch folgenden Konstruktionen nur an dem Siebenzell P,° in Frage kommen, und ist an den Kanten des gemeinsamen Fünfecks irgend zweier begrenzenden p, auszuführen. Wir bezeichnen dabei die geänderten Polyeder in ?, wieder mit den entsprechenden Num- mern I, Il... VIL wie in P,° und nennen das neu hinzugefügte Polyeder VIII. _ Wählen wir als Polyeder A und A’ der allgemeinen Erörte- rungen die Polyeder I und VII von P,° mit der gemeinsamen Fläche BC H GF, so führt die Anwendung von w = 4 auf die 3 Kantenzüge B FGH, CB FG und FBC H' zu 3 isomorph verschiedenen Achtzellen. Die Ersetzung des Kantenzuges B’ FG H durch ein Siebenflach p, führt auf das Achtzell P436, dessen sdmtliche Grenzpolyeder pz’ sind (Fig. 49). Diese 8 Polveder sind: lwp, (ALD CB, Bos He Giddy He) IT © pr CAB D), NB ELA) IT Pr (CALKR LB; Bo; Fe Ai MND IV LA NME BAT 2G, G, 0); V & joe (O G, Go BIN; KDA, Hi) Bic Vip (OND DT. Hes CLM): VII © Pr (H, CLMOX ; GE, Bi Bs) ; Vill Cee, LG Hs GE Wie bereits früher erwähnt bilden die 8 Dreiecke der Polyeder im Diagramm eine geschlossene Kette, die in Fig. 49 kenntlich *) Vergl. ScuouTe, a. a. O. S. 202 und S. 207. UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 25 gemacht ist. Durch Anwendung der Konstruktion gw’ — 4 auf den Kantenzug CB FG in P,? ergibt sich das Diagramm Fig. 50 des Achtzells P,97, das von den folgenden Polyedern gebildet wird: iia. (AB, B, LKI EDC C), d.h. das äusserste, alle übri- gen Polyeder umhüllende im Dende II © p, AULA (ia, EG INGE el), das eine sechskantige Fläche mit dem vorigen gemein hat: in Fig. 50 von den nachfolgenden darüberliegenden verdeckt zu denken; TY: Pr (PAT, Poa OG, GE); Bop (CG. Goby Cr OD BA MS (Ge LN OGG. HDi). Wigs (MITE; CO: MN KDC): Villon: (CG. Gb BC PMO) und ME CO CL th Grn) Gu BNC); Die Ersetzung des Kantenzuges FB’ CH endlich durch ein 2, führt auf ein Polytop P,°5, dessen Diagramm Fig. 51 zeigt. Die begrenzenden Polyeder sind hier: lwp" (B, CH HF FR; AED; G); peut BLT A. BDO CG), Wap,’ (AB, BLKI, NME E): IV wp," (VME, F AI EGO; F); Ver" (KDH, H, ON; 1EG H,); Vi wp") (NK DH, H,0; MLC, CC); VII op," (B, F, F, Hy Hy C,; LM OG) und das sie im Diagramme alle umhüllende neueingeführte Polyeder VAT eet Wel Tipe Vee al iol CERTES Wendet man auf das gemeinsame Fiinfeck irgend zweier Grenz- polyeder A und A’ von P,° die Konstruktion gp’ = 4 an, so er- scheinen diese Polyeder unverändert wieder als p,’; es ergibt sich also kein Achtzell vierter Klasse. Die Konstruktion pg” — 4, mittels der ein y,"" in das Diagramm eingefiihrt wird, kann nur ein Tripel von Kanten wie die 3 von G ausgehenden Kanten G Z, GF GW des Diagrammes Fig. 13 entfernen, da nur dann die 3 Zwischen- flichen sämtlich mehr als dreikantig sind. Es führt aber diese Kon- struktion wieder auf PS Ein neues, isomorph von den bisherigen verschiedenes, Achtzell ergibt schliesslich noch die Konstruktion pm" = 4. Schneidet man ein Sechsflach p,‚z. B. V(O'G LI’ N’; K DH’) von ?.° durch eine Ebene so, dass der Kantenzug GHD K auf emer Seite dieser Ebene liegt, sämtliche übrigen Keken des py,’ aber 26 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. auf der andern Seite der Ebene, so entstehen aus dem Sechsflache zwei Siebenflache p,'\. Durch Elimination des Kantenzuges G Z D K aus dem Diagramme P-° und Ersetzung durch ein p," tritt also an Stelle des Polyeders V ein 2," (G, GE, AD; HOME Vergl. Fig. 52” und die Fig. 52 des neuen Diagrammes. Die übrigen Grenzpolyeder von P,° werden in folgender Weise verändert. Von dem Sechsflach I wird der Kantenzug GED durch einen fiinfkantigen Schnitt entfernt (dritte Polyederkonstruktion) und es entsteht em gy,” (ACB FG, G,; DD, A). Von dem Sechsflach IT wird durch die gleiche Konstruktion der Zug HD K abgeschnitten, und es ergibt sich das p‚ “(B AIK, K, L; CD, By B). Der zweiten Polyederkonstruktion, Abschneiden der. Kanten DA und GZ durch einen vierseitigen Schnitt, werden die beiden Sechsflache VI und IV unterworfen. Es entstehen die Sie- benflache VI vp“ (VK, D, HO;MLCD,;K); IV ~ p,* (MFAIN:; OG, BEG): Die erste Polyederkonstruktion d. h. Abschneiden der Ecken G und Æ durch ein Dreieck wird auf die beiden Sechsflache VIT und IL angewandt, und es entstehen die Siebenflache VII & y," (BFG,G,HC; DM 0G,)und hsp” (AT KK DB; FM Nee Hierzu kommt als achtes Grenzpolyeder des Oktatopes 2,% das eingeführte Siebenflach VIII = y," (K, D, G,G, #, Ko; Ko D, Ho Gs). In Fig. 52 sind die sieben aus den Polyedern von P,° entstande- nen Grenzkörper des Pz in das Siebenflach VIII projiziert. Die Konstruktion 4° — 4 kann kein Oktatop vierter Klasse er- geben, da das Abschneiden eines Kantenzuges von der Form wie sie hier vorgeschrieben ist, ein pg wieder in ein solches zurück- führt. Es haben sich also nur 4 Oktatope vierter Klasse und damit im ganzen 39 isomorph verschiedene Achtzelle ergeben, die mit ihren Begrenzungsstücken etc. in der am Schlusse folgenden Zadbed/e über- sichthch zusammengestellt sind. Natürlich sind mit den allgemeinen konvexen Achtzellen auch die Tetraederpolytope mit 8 Ecken bestimmt; aber die Figuren der Diagramme werden weniger übersichtlich. Was aber die weitere Konstruktion der Polytope ?,.aus den nun bekannten P, mittels der geschilderten Methoden betrifft, so zeigt sich bald, dass deren Anzahl bereits ganz bedeutend ist, und es darf wohl der Satz Cayleys wiederholt werden, mit dem er die Unterlassung der Ablei- tung der neuneckigen Trigonalpolyeder aus den achteckigen begriin- dete: ,,for although perfectly practicable, it would be no commen- surate advantage in doing so.” UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U.S. W. 27 TABELLE. e, k, f, D. Bez. Fig. Bs || Pe, || Pe, Be | Px opl, pV | 2 E EE ke BE Re MN Ee EE PR en =) = P,? Fig. 15 ee ms E— P, sc B EME Se el | 1 | Eene or east nl Ou CE ea 14 vi ae tene || ATP ae AE CE =d =: fee es ete Ne Ome ie a PÈRE | ON UN i ten) a) a È al 4 Do We NE SES RE ee | i | Pema oboe soled ee ES El EN ES Pulte t/t a B OE A la RE OR AGE OS NE! Elon 32 ) Pp“ Fig. 97 4 He |e 4 | 9 sp oe ee LE ee Pee a aie ZO eq COS CES ET des Bie Rie On a || pe Oats RON ES ER es CET B AA NE Se ae NE a | eve Be Oe taal |! ler ee || ER ER PE eee et jas |e re D Ns ea AE PNR EN OS PO le a call sonst aa NS #4 = Peer Wie aoe ee DP eect tye AE or po = der mm) 2) si) |) 1|=| 2] a] 2 TE EE OD AT eon | EO EC © AE EA DR RAON ES [ea eS | En Po DES en | | | | Pr aie OTe PO == eth es EE Re EE A NOTE) Se On NES Et ES en E36} pi Rie, 39 | | 1 | = | 2) | La 2 1-20: pi—8 P,. Fig. 41 | — | — | 3] 1 — | DN PIN es Ego na) ee ee pe as 43 D EN EE Ub syed EE = Se ON ies | pee Nie AME Ones DE, 0 ae ie 2 8 C= 9. k= 38 RE NO ESS = DR | A ers f=. p=8 EREN Oe RSS PPS OS OT le ee Roi id Eos | peo ete r= eel Eee) A #4 C= 20, Ht) P 7 Fig 50 4 | — 4|— | 4 Sp P, Fig. 51 | -— | —}|—}]—/] 2) — 2 4] — 4 D ne PEER En | 6| 2| 4 | | ae”, MBRÜCHNER :, Ueber die Ableitung der allgemeinen Polytope und die nach Isomorphismus verschiedenen Typen der allgemeinen Achtzelle( Oldatope) Tafel T. Fes. LES  Ar Fig: 23. nn 5 £ Verhand. Kon. Akad.v Wetensch. (1SSectre) DIX. [Bytel lith. PiMalder unm Leiden Tafel I] à MBRUCKNER: Ueber die Ableitung der allgememen Polytope und die nach Isamorphismus verschiedenen bypen der allgememen Achtzelle (Oktatope).’ Tatel IT. LS | Verhand. kon. Akad. v. Wetensch. (1£Sectie) DIX. JBytel tith. P Mulder inp Leiden. ae ETE st eN 23 Pia Ps Algebraische Strahlencongruenzen und verwandte complexe Ebenen als Schnitte derselben M. J. VAN UVEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL X. N°. 2. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. April 1911. PAIE, ire RATE. VAL Algebraische Strahlencongruenzen und verwandte complexe Ebenen als Schnitte derselben M. J. VAN UVEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE). DEEL X. N°. 2. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 191-0. LINE EPPENC Bekanntlich erhält man eine geometrische Darstellung der oc* complexen Zahlen w = # + iv, indem man jeder Zahl w denjenigen Punkt einer Ebene zuordnet, der in Bezug auf ein fest angenom- menes rechtwinkeliges Axenkreuz die Coordinaten #, v hat. Handelt es sich um eine geometrische Abbildung der oo* Zahlenpaare w, w’, so liegt der Gedanke nahe, den vierdimensionalen Strahlenraum heranzuziehen. In der vorliegenden Arbeit sollen die complexen Grössen w und w, in der oben erwähnten Weise, den Punkten zweier parallelen Ebenen [w] und [w'] zugeordnet werden, welche im Abstande 4 derart gestellt sind, dass die „reelle”” und ,,imaginäre” Axen der einen Ebene die orthogonalen Projektionen der analogen Axen der zweiten Ebene sind. Das Zahlenpaar (w‚w) möge alsdann durch die Gerade vertreten werden, welche die ,,Punkte’ w und w verbindet 5. *) Als ich bereits einen Teil der vorliegenden Arbeit beendet hatte, erfuhr ich durch eine Fussnote auf Seite 319 von Band III 2, Heft 3 der „Encyklopädie der mathema- tischen Wissenschaften”, dass Weierstrasz dasselbe Prinzip in seiner Arbeit über die Abelschen Funktionen angewandt hatte (Mathem. Werke. Heft IV). Allerdings fand ich in Weierstrasz: Vorlesungen iiber die Theorie der Abelschen Transcendenten , Sechzehntes Kapitel: Die Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art, S. 323, folgendes: »Die Eigenschaft des algebraischen Gebildes, dass zwei beliebige seiner Stellen ver- bunden werden können, ohne dass die Verbindingslinie einen willkürlich angenommenen Kreis von Werthepaaren kreuzt, kann man sich in folgender Weise geometrisch ver- anschaulichen: Man denke sich die Werthe von æ und die von y in zwei parallelen Ebenen durch Punkte dargestellt, und ein Werthepaar (x, y) durch den Strahl, welcher entsprechende Punkte der beide Ebenen verbindet. Eine stetige Folge von Paaren («, y) wird alsdann durch eine stetige Folge von Strahlen repräsentiert, die eine geradlinige Fläche bilden. Dann folgt aus dem vorhergehenden, wenn wir irgend zwei Strahlen s, und s, ins Auge fassen, dass es möglich ist, den Strahl s, so zu bewegen, dass er B 1* 4 EINLEITUNG. Wenn zwei Grössen w und w’ durch eine Funktionalbeziehung verkniipft sind, so werden einem Punkte w ein oder mehrere Punkte w zugeordnet. Jede Combination (w, w’), welche der Beziehung genügt, wird durch einen bestimmten Strahl dargestellt. Ist die Beziehung zwischen den Grössen w und w' algebraisch, so wird offenbar jeder Punkt von [w] mit einer exdhchen Zahl von Punkten w’ durch Strahlen vereinigt. Auf diese Weise wird aus der vierfach unendlichen Menge der Strahlen, welche ade Punkte von [w] mit a//ez Punkten von [w'] verbinden, eine zwei- fach unendliche Menge abgesondert, also ein zweidimensionales Strahlensystem, d.h. eine Congruenz. Eine algebraische Funktion DAD) wird daher repräsentirt durch eine algebraische Strahlencongruenz, deren Eigenschaften durch den Karakter der betrachteten Funktion und durch die Beschaffenheit der gewählten Abbildung bestimmt werden. Bekanntlich wird durch die Funktion w = f (w) eine conforme Abbildung auf die complexe Ebene [w] vermittelt, d.h. die Figuren in [w | sind in den kleinsten Teilen den ent- sprechenden Figuren in [vw] ähnlich. Eine durch den Punkt w beschriebene Kurve wird bestimmt durch ihre Gleichung p(w,v) = 0. Ist nun aber w’ durch die Funktion w’ = f (w) beständig ein Strahl des Strahlensystems bleibt und schliesslich in s, übergeht, ohne im Verlaufe dieser Bewegung jemals mit einem Strahle der Fläche zusammen zu fallen. Der bewegliche Strahl kann allerdings die Fläche schneiden, aber ihr niemals in seiner ganzen Ausdehnung angehören. Das Strahlensystem verhält sich ähnlich wie eine Ring- fläche, die z.B. durch einen erzeugenden Kreis nicht in zwei getrennte Theile zerlegt wird, auf der vielmehr zwei willkürlich angenommene Punkte stets ohne Uberschreitung eines solchen Kreises durch eine auf der Fläche liegende Linie verbunden werden kônnen. Der Gedanke, dass die von mir skizzirte Methode auch dem Genie Weierstrasz’ nütz- lich erschienen, übte freilich auf mich einen gewissen Reiz, obgleich ich es begreif- licherweise bedauerte, den Anspruch auf Priorität, sei es auch einem solchen Riesen abtreten zu miissen. Dass ich mich aber doch entschloss die von mir angefangenen Untersuchungen fort- zusetzen, dürfte gebilligt werden durch die Uberlegung, dass Weierstrasz obige Methode nur in einem sehr speziellen Fall angewandt hat, indess es sich in meiner Arbeit um einfachere und allgemeinere Problemen handelt. EINLEITUNG. ) auf w bezogen, so wird auch w = w + i’ eine Bahn beschrei- ben, welche einer Gleichung p u, v) = 0) entspricht, und die Abbildung der Bahn g genannt werden kann. Die Kurve g werde dann und wann mit dem Namen Objehtfurve, die Kurve y dementsprechend mit dem Namen £Bi/dhurve ange- gedeutet. Die conformen Abbildungen, welche durch Funktionen w’ == /(w) einfacher Natur veranlasst werden, brauchen jetzt nicht eingehend erforscht zu werden; sie sind ja schon griindlich erledigt. Es ist vielmehr unsere Absicht die conformen Abbildungen zu ermitteln, welche zusammenhangen mit Funktionen, die in Compl- ziertheit der Gestalt über die auf diesem Gebiete gewühnlich auftre- tenden hinausyehen. Die Forschung wird yon der oben dargelegten Methode wesent- lich unterstützt. Wie schon vorher bemerkt wurde, giebt jede algebraische Funk- tion zu eiver gewissen Strahlencongruenz veranlassung. Es hat jedoch nicht jede Strahlencongruenz die Eigenschaften, welche es ihr ermög- lichen die Darstellung einer Funktion zu sein. Bekanntlich wird eine Congruenz vertreten durch zwes Gleichun- gen zwischen den vier unabhängigen Parametern p,, po, 73.4 der Geraden, etwa durch D (Pi > Pas Pas Py) = 9, Ÿ (pi Pas Pas Py) = 0. Es lässt sich zeigen, dass von emer ,,Abbildungscongruenz”? (@, d) die Gleichung P = 0 willkürlich angenommen werden darf, dass jedoch die Funktion d — 0 zwei simultanen partiellen Diffe- rentialgleichungen geniigen muss. Für unseren Zweck ist nun folgender Satz von grösster Wich- tigkeit: Eine Congruenz, welche eine gewisse Funktion darstellt, vertritt zugleich eine Gruppe anderer Funktionen, die im allgemeinen eine verwickeltere Form aufweisen. Die Erläuterung dieses Satzes möge auf den sechsten Abschnitt verschoben werden, wo wir ausführlich darlegen werden, wie mit Hülfe einer nämlichen Congruenz mehrere Funktionen abgebildet werden können. Allein möchten wir, in Bezug auf die technische Analyse, welcher wir die zu untersuchende Congruenzen in den folgenden Abschnitten unterwerfen, hier betonen, dass das Haupt- 6 EINLEITUNG gewicht auf die Regelflachen fallt, die durch einen Congruenzstrahl erzeugt werden, wenn dieser beständig eine gewisse Kurve schneidet. Zum Schluss dieser Einleitung wollen wir eine Übersicht über den Inhalt der folgendenden Abschnitte geben. Den ersten Abschnitt widmen wir der Einführung einiger Coor- dinatensysteme, wie auch der Bezeichnung, welche wir im folgenden (môglichst consequent) anwenden werden. Im zweiten Abschnitte werden die einfachsten zwei Strahlen- congruenzen (wie zur Vorübung) analytisch untersucht, nämlich die Congruenzen, welche den Funktionen w' = c?: w und w' = w?:e angehören. Der dritte Abschnitt enthält die Darlegung einer verkürzten algebraischen Operation, welche uns die Rechnung im nächsten Abschnitte zu erleichtern ermöglicht. Im vierten Abschnitte werden die Congruenzen, welche die Funktionen w” = w" und w"— 1:w" vertreten, eingehend ana- lytisch behandelt. Im fünften Abschnitte wenden wir die im IV. Abschnitte erhal- tenen Resultaten, kurz gefasst, auf die Congruenzen an, welche die Funktionen # = w?, w'? = w? und w = 1 : w? repräsentiren. Der sechste Abschnitt bietet eine möglichst erschöpfende Uber- sicht über eine Methode, welche gestattet eine nämliche Congruenz für die Abbildung mehrerer Funktionen zu verwenden. Gern hatten wir wenigstens die einfacheren Congruenzen geome- trisch erörtert; der Kürze wegen haben wir diesem Vergnügen entsagen miissen. Daher sind alle Untersuchungen in analytischer Form dargestellt. Zur Vorbeugung etwaigen Missverstiindnisses sei es uns erlaubt zu betonen, dass wir nicht beabsichtigten: conforme Abbildungen zu untersuchen, sondern nur die Untersuchung conformer Abbildungen zu erleichtern. ERSTER ABSCHNITT. Wahl der Coordinatensysteme. Bezeichnungen. $ 1. In Betracht der folgenden Erôrterungen, welche von über- wiegend analytischer Art sind, ist es von grésster Wichtigkeit genau au überlegen, in Bezug auf welches Coordinatensystem wir unsere Gebilde durch Gleichungen bestimmen werden. Handelt es sich um die wahre Gestalt der Figuren, so liegt es nahe, ein nicht-homogenes Coordinatensystem zu verwenden. Betrifft es aber Eigenschaften, welche nur die gegenseitige Lage der verschiedenen Grundgebilde in Betracht ziehen, — wollen wir z. B. entscheiden, ob eine Kurve durch einen gewissen Punkt hin- durchgehe, ob dieser Punkt singulär sei, welche seine Tangenten selen, oder ob eine gewisse Ebene eine gegebene Gerade enthalte, von welcher Ordnung eine gewisse Regelfläche sei, — so bietet ein homogenes Coordinatensystem unschiitzbare Vorteile, besonders wenn seine Coordinatenebenen mit Ebenen zusammenfallen, welche in Bezug auf die zu untersuchenden Gebilde eme spezielle Bedeu- tung haben. Die wahre Gestalt ist natürlich dann massgebend, wenn wir wissen wollen, wie es steht um die Bildkurve einer gewissen Kurve, z. B. eines Kreises. Es sei z. B. diese Bildkurve eine Lem- niscate. Die synthetische Betrachtungen wiirden uns lehren, dass ein gewisser Kegelschnitt sich abbildet in eine biquadratische Kurve mit drei Doppelpunkten, von denen zwei überdies gewohnliche Punkte des abgebildeten Kegelschnittes sind. Wenn wir jedoch nachher die beiden letztgenannten Punkte mit den Kreispunkten identifizirt haben, ergiebt sich für den Kegelschnitt ein Kreis und für die trinodale Kurve vierter Ordnung eine Lemniscate. 8 WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. Wollten wir auch die Dimensionen dieser Figuren untersuchen, so würde die Anwendung eines nicht-homogenen Coordinatensystems zweckmässig sein. Bevor wir jedoch über die Dimensionen und die Gestalt der be- trachteten Figuren urteilen kônnen, müssen wir sie erst in Hinsicht ihrer geometrischen Eigenschaften vollständig durchforschen, und hier- bei kann ein homogenes Coordinatensystem Vorzügliches leisten. Es lässt sich jetzt vorhersagen, wie beide Systeme benutzt wer- den sollen. Da die Vorstellung der complexen Zahlen an ein rechtwinkliges cartesisches System geknüpft ist, werden wir beim Ansatz des Pro- blems uns eines triorthogonalen, nicht-homogenen Systemes bedienen. So bald die vorliegenden Gebilde auf dieses System bezogen sind, wollen wir ein homogenes Coordinatensystem heranziehen, welches wir so lange beibehalten, bis die erwünschten Figuren in rein geo- metrischer Hinsicht bekannt geworden sind. $ 2. I. Das triorthogonale cartesische System. Den Anfangspunkt legen wir in den Nullpunkt O der [w]-Ebene. Die ZAxe coincidirt mit der Normale von [w], welche die Nullpunkte O und O° von [w] und [w'] verbindet, und ist von O nach O’ gerichtet. Die Ebene z= 0 ist deshalb mit der Ebene [zw] identisch. Die X-Axe wird längs der Axe der positiven reellen Zahlen in [w] gelegt. Die Y-axe wird mit der Axe der positiven imaginären Zahlen zusammenfallen. Die Grösse w — u + w wird daher durch den Punkt abgebildet mit den Coordinaten LU, Nei ‘ DU Die Grösse w’ = wu’ + iv wird nun durch den Punkt vertreten der bestimmt ist durch ! T—U, VS zh: Eine durch w beschriebene Bahn bekommt deshalb die Glei- - chungen WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 9 während eine durch w’ erzeugte Kurve durch ro) p(æ, y) = 0, h. | mr Pz dargestellt wird. Der Strahl, welcher den Punkt w—=w + iv mit dem Punkte w =u —+ iv verbindet, wird somit durch e©=aut(l—a)u, y=aAv+tUl—a)v, oder, nach Elimination von A, durch he =u z+ u(h—a2), hy =v z +v(h—a2) gegeben. Die Kreispunkte der Ebene z= 0 (also auch der Ebene z = 4) werden mit / und J angedeutet. Bedenken wir, dass wir fortwährend mit den Combinationen ut iv, w Hiv, also a +-7y zu schaffen haben, so kann es uns nicht wundern, dass diese Kreispunkte im Folgenden eine bedeu- tende Rolle spielen werden. $ 3. IT. Die homogenen Coordinatensysteme. Wir wihlen a) ein festes Coordinatentetraeder Nip Deh ey WO: A, mit dem Kreispunkte I (2 — y — 0), À, mit dem Kreispunkte J (x + 7 — 0) zusammen fallt. Die Ecke X, legen wir in O, die Ecke X, in OU’. Die Gleichungen der Ebenen dieses Tetraeders in Bezug auf das thriorthogonale System sind daher AG ow oder a 0,05. ew 0), ad =O y —= 0, 2G X, x, PE) La == 0 D do. 8 — h ; RUE Oad, 20. 8 = 10 WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. Wir setzen nun a+ y ay 1 5 U — U Ay = 7 C h—z te =S ——3 2 h bn ZT 0 . h Hier ist c eine reelle Constante, über welche wir erst später verfiigen werden. Die Gleichungen der ehemaligen dte sind nun ROO der AOR ROD PR ANT UNE er De de ONE Mr. Eine zu Lw] und [ro] parallele Ebene wird daher durch La ET [4 Uy bestimmt. ; Da y = 0 die Ebene [w’] und g = w die Ebene [w] darstellt, werden wir gelegentlich die Ebene [w’l mit @,, die Ebene [w] mit w, andeuten; das Zeichen w, möge einer willkürlichen zu [w] und [w’] parallelen Ebene +, = pa, angehören. Die unendlich ferne Gerade der Ebenen z= #, welche wir ge- legentlich mit A, bezeichnen werden, hat somit die Gleichungen a = 0, 2, = 0. Dagegen wird die Gerade OO" durch dargestellt. Kine durch OO’ gelegte Ebene werden wir durch To = tr, bestimmen; sie wird auch mit ¢, bezeichnet werden; ihr Schnitt- punkt mit X, X, wird Z, heissen. WAHT, DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. lj Eine spezielle Bedeutung haben die Ebenen ¢,, wenn ¢ eine Einheitswurzel ist. Nennen wir die N-te Wurzel der Einheit 74, so wird offenbar die entsprechende Ebene Er, und ihr Schnittpunkt mit GEG Li, genannt. Unter diese speziellen Ebenen ragt die Ebene ¢,, d.h. die Ebene @ — ©, (die Ebene durch die reellen Axen) besonders hervor. Diese Ebene ¢, werden wir häufig nur mit ¢, ihren Schnittpunkt mit X, X, durch Z bezeichnen. Auch die Ebene ¢_, tritt öfters hervor (namentlicht im IT. Ab- schnitte). Sie bekommt dann und wann den Namen €, ihr Schnitt- punkt mit X, X, das Zeichen 4”. ¢_, oder € ist offenbar die Ebene durch die imaginären Axen. Eine willkürliche Gerade / ist durch ihren Schnittpunkt 4 mit [w] (@, = 0 oder w,) und ihren Schnittpunkt B’ mit [a] (7, = 0 oder w,) bestimmt. Es sei der Punkt 4 in w, durch L, Vo nat El a Lo La der Punkt 2 in ©, durch HA 72 =a == by 5 = == ba 5 La == ( Dy v4 festgelegt; die Gerade 4 B’ wird daher durch die Gleichungen iB = hy ls + b, La; 2 TS ne We vertreten. Ist der Punkt B’ vermöge einer gewissen Funktionalbeziehung dem Punkte 4 zugeordnet, so wird er nicht B’ sondern 4° genannt. Eine Gerade, welche einen Punkt P in ©, mit einem ihm zugeordneten Punkte P’ in ©, vereinigt, ist ein Congruenzstrahl. Es sei P durch © a5 = Se PA La Ve P’ durch æ. TRS , 12 WAUL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. bestimmt, so erhellt, dass der Congruenzstrahl PP’ durch pe a ES ay he To Do ty = Pa Dy dargestellt wird. Oft sind wir gezwungen den Unterschied zu betonen zwischen einem festen Congruenzstrahle und einem beweglichen, welcher z. B. eine Regelfläche erzeugt. In unserer Bezeichnung heben wir diesen Unterschied hervor, indem wir den festen Congruenzstrahl mit s, seine Spuren in ©, und ©, bez. mit S € — Se Se 0) und 8’ (A= a La on se nn dn = 0) den beweglichen Strahl dagegen mit p, g oder r, seme Spuren inw, mit P (p,,2), Q(g,, 4), PB (ry ro) in @p mit, PDP) A ; 9), (4, 5 % ) bezerchnien: Die Bestimmung einer Geraden / mittelst ihrer Spuren in @, und ©, wird hinfillig, wenn sie den beiden Ebenen parallel ist und diese deshalb in demselben Punkte der unendlich fernen Ge- raden A, schneidet. In diesem Falle wird eine Grenzbetrachtung erfordert um die Schnittpunkte mit ©, in ©, in der Rechnung verwenden zu können. Die in der Ebene ©, (#3; = ux,) befindliche Gerade /, sei durch Tae a ea aa did, =), da — Mv, gegeben. Es ist nun unsere Aufgabe sie mit U = Gt + %, By — Uy ts À by a zu identifiziren. Die Ebene x, = uz, werde vorläufig durch die Gleichung Wm , U ! de. Uy U U À My Wy À Ag Ly Oy dy 0, dargestellt, in welcher spiter CAN eee I gesetzt wird. Die Tatsache, dass die Schnittlime der Ebenen 2, — 0 und a, — 0 mit der Gerade Toast (oh (ee asia DEN WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 13 zusammenfallt, bedingt die folgenden Identitäten Bj Tj À By Vy À A3 Dy À A4 My + À (#2 — 43 dy di À do do + Ay Wy Fes Wy + À (> — 03 HET by ds) > =A, dE. 0 dt) ! 4 —— by v4). Vo Durch Elimination von A,, As, A, und À, ergiebt sich hieraus di A ay dy = — Hs 4 / ab, Had = — As (1) ! LA ’ th, Cp AR Li Cy == nc LA L / LA / a Oy Tab = — thy demnach ist / ! L / 9 43 À Mg ey CAN ee ee tied a, = —* 3 STE, a = ++ + do Oy — AU Ap do dj ay a , , , , eee aed bp by by Pe Med Nc ie a 1 = a ; , 2 = —) do ty, — a, do by U — ty do und daher ! , y , / / Dy hy hy ey bo a U dy ae re ; FD, 7 RE + 1 7 x U dz 1% 4 yy tg — A U Wegen der Relationen a,’ = 2, = 0 und ge, = — paz finden wir by by re a = — di 2 woraus hervorgehen würde / , LOU Eee ink, wenn nicht 4 ,@,b," und 4,’ alle unendlich gross waren, weil ihr Nenner null ist. In wirklichkeit jedoch wird dem Ausdrucke / , Oy i, == aN ein unendlich grosser Wert zukommen, und zwar von derselben . , L Ordnung wie a,,a,, 6, und by. Um dies zu beweisen und zugleich a, ,4,6, „0, und A zu bestimmen, setzen wir vorlaufig WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 14 By a, Mei ; be a S ==> Mo: Ersetzen wir in der zweiten Gleichung (1) 4,’ und 4,’ durch die hieraus fliessenden Ausdrücke, so folgt fy & A Mo do Uy — thy. Wir haben nunmehr dj Aj H Ap Up — a; Hi My U À Ho ty dg = + Oy, und bekommen also a — ete : Gy (My — Ho) is fy eg Oy — ay (A ue lo) Demnach ist bi =— wa Pa (Me % + ay) io aad ? aj (y — Ho) by = —- bg Ig = Meg (iy pT a) à di Go (le — (42) und schliesslich Le ay be — 4 b = (Ho des Se a4) (4 a + 4) (He ua Hi) Lj Cy Ag (My — Ho) Cen + 2) (Hy yy) di Gy (M, — Ho). Der unendlich grosse Wert von a,, a, b, , ba und A findet seinen Ausdruck in dem Faktor y, — gy des Nenners. Dieser Faktor ist tatsächlich null, weil 4, = u, = y. Wir setzen jetzt fy = + 9, =d In der Tat ist J eine unendlich kleine Grösse; wir dürfen sie WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 13) also zeben endlichen Grössen vernachlässigen. Mit Riicksicht hierauf finden wir für 4, a, 4, , 6, und A die folgenden Ausdrücke a ) 1 2 a, 0 ped, = By Ay MT 2 a, bid pe (may Fa) Ì 2 a d oe 2 2 CA d 9 Fe (u Ga IE a) Za, ad Setzen wir schliesslich dg SF dy TZ = do > LA ay ay do a PAD a = + 72%, a, a as 10 —— Te Pia ee 00 le eam 5 d ; wa, 4 bs == 4 = ape NUE. (443 + 4) do = d Es ist hieraus ersichtlich, dass A von derselben Ordnung unend- lich gross ist, wie a,, as, bj, und 5’, während überdies ihre Verhältnisse zu Tage treten. Ein Resultat eine Gerade betreffend, welche ©, und ©, im ÆEndlichen schneidet, und zwar o, in A (Gj. a); Wp in B Ga bj), kann sofort auf eine zu ©, und w, parallelen Gerade 4, (be- stimmt durch La, 2, = 0, æ, — ux,) übertragen werden, wenn nur die Grössen a,, &, 5, , by und A = a,b,’ — a,b,’ durch die oben abgeleiteten Ausdrücke ersetzt werden; nachher miissen wir noch überall J aus dem Nenner entfernen und schliesslich in die so erhaltene Gleichung d — 0 setzen. 16 WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. Die Gerade 7, schneidet X, X, oder A, im Punkte Zz, Die zu ©, und @, parallele Ebene ©, wird X, X, (OO) in einem Punkte X, treffen, die Gerade / in C,, die Congruenz- strahlen, gs Ts) ls PE MO PRES. Wir werden nunmehr eine andere Gruppe geometrischer Gebilde mit Namen versehen, welche ebenfalls in den folgenden Unter- suchungen eine bedeutende Stelle einnehmen, nämlich die Kegel- schnitte, welche durch die Punkte X, und X, hindurchgehen, also Kreise in Ebenen o,, parallel oder identisch mit [w] oder [w']. Später sollen auch Ebenen parallel mit [zw] und [w'] als Abbil- dungsebenen verwendet werden; es mögen daher die einfachsten Gebilde (Geraden und Kreise) dieser Ebenen zuvor erörtert werden. Em in ©, befindlicher Kegelschnitt Y, kann durch ts Bjo, og Ho, (ty Pia, + ey By ary) + vy (ay By 3 + ay Py 24) + + (& 2, a3? + 3 2) AED Va == hay vertreten werden. Die erste dieser Gleichungen verdankt ihre ziemlich verwickelte Form dem Umstande, dass sie so wohl für u — « wie für u = 0 die moglichst einfache Gestalt annimmt. In der Tat giebt u — a a) 1 7 9 lie je ee BD ly econ a = Ne IDs Ond z peas unde 0; (Bz Vy + Bots da + RBitots + Bo 23° = 0, Yo | La == OF Wie bekannt ist der Ort der Punkte, wo ein Congruenzstrahl durch die ihm unendlich benachbarten geschnitten wird, im Allge- meinen eine Fläche, die s.g. Mohkalfliche. Die demnächst zu untersuchenden Congruenzen sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Fokalfläche aus zwei Kegeln besteht, deren Spitzen mit den Kreispunkten der Ebenen [w] und [w | zusammen- fallen. Diese Kegel sollen Mokalkegel genannt werden; den Fokal- kegel, dessen Spitze in X, liegt, werden wir mit /,, den andren, dessen Spitze Y, ist, mit 4) andeuten. Die Congruenzstrahlen können somit als die gemeinschaftlichen Tangenten der beiden Fokalkegel Æ und 4%, betrachtet werden. WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 17 Ihre Berührungspunkte mit den Fokalkegeln sind die Brennpunkte. Der eine Brennpunkt hegt demnach auf #,, der andere auf #5. Die auf 4 befindlichen Brennpunkte der Strahlen », 9, 7, 8 werden “mit P.,, Qt, Spr die auf F, liegenden mit P,, 0, fp, Sp angedeutet. b) Bewegliches homogenes Coordinatensystem, dessen Tetraeder = cine solche Lage hat, dass =, mit X,, 5, mit X, zusammenfällt, während ZE, im Schnittpunkte 4, P,Q, R, S der Gerade /, bez. des Congruensstrahles », g, 7, s mit der Ebene © , und =, im Schnittpunkte 2’, P’, Q’, A, S” derselben Gerade mit der Ebene w liegt. Zwischen den letzteren und den vorigen homogenen Coordinaten giebt es sodann diese Beziehungen : / / Ed == Oy La Dh == Ds La DT mae: € de 2S) Ode! Zn 2 Lats La Th Ny sw. 53 = 23 | Ëg = T3 b4 — Tj Eik Die betreffenden Geraden / oder Strahlen p, g, 7, s werden daher durch & = 0, ë == 01 | bestimmt. Der Gerade X, À, (OO) kommen hier diese Gleichungen zu: Et GE + by Es Ur Ta + Py 83 FA Es mr ae Ea Jr ao Eg + Vo E4 = 0 | Ea + Pa bg + Po by = | Sollten wir später Gebilden begegnen, welche in obigem Ver- zeichniss fehlen, so werden wir ihre Bezeichnung môglichst zweck- mässig wählen. Zum Schluss dieses Abschnittes fügen wir eine schematische Übersicht der bisher angenommenen Bezeichnungen hinzu. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie) Dl. X. B 2 $ 4 BEZEICHNUNGEN. Namen. Triorthogonales Coordinatensystem A YZ Ebene der Punkte (Grössen) w: 2—0 . -. ee [wooden by B Fa À DD Me ae AEN Nullpankt: von we 0; 702 On, O i pee sa Oh cy OE ai 0’ WW w = u er w 6 Krespunkie der, Mbenen ZA nn ee { und J Unendlichferne Gerade in z=k . ... . ne Whenesdermreellen Azen ys e, oder € Schnittpunkt von e, oder & mit Ap. . >... | Br rte Ebene-der-imagimären-Axenz—0twu sur À E 4 MES “Schmtipunkt'vonrez modern emit Nes Ss. FE, 5008 Die N-te Wurzel der Einheit, oder Sega TN Bene durch 00 See ol ANT 5 ety Schmttpunkt von €} mabe. eo Sea FE, D — vy Ebene durch OO’, bestimmt durch 7 — ry cy J km oder = ty Tak Sn Schnittpunkt von fry iit Ser SS te eee ee Er, Festes homogenes Coordinatensystem A, 4, X, X, æ + iy | C= = em do — 5 h—z CET WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICINUNGEN. Joordinatentetraeder A, A, El X=); %=—0, X æ, = 0 Gleichung der Eb do = 0 29 LE] D — 0 be ES Vy == 0 LE] 9 Willkiirliche Gerade Schnittpunkt von / mit we Coordinaten von 4 Schnittpunkt von / mit © 0 Coordinaten von 2’ Gleichungen von /. Beweglicher Congruenzstral Schnittpunkt von p, g, 7 Coordinaten von P u.s.w. Schnittpunkt von », g, 7 mit ©. Coordinaten von P’ u.s.w. Gleichungen von p u.s.w. Pester Congruenzstrahl — . Schnittpunkt von s mit oz Coordinaten von S. Schnittpunkt von s mit ©, Coordinaten von S’ Gleichungen von s. Ebene durch X, X, (Ao). Gleichung von ©, . Schnittpunkt von ©, mit X, X,. x HER D, Oo 5, 2 2 38 S Gerade in ©, Schnittpunkt von /, mit A, X, (A er 0’ ene À, ie X, JEU 3 XG AG 1 > k = ile Mit Week Namen. ë 2e Oe oder OO LOO: , 1/0, oder|w’' |, oder a, Ge) TO A; To : l 19 We A Bo UE ma el 9 B , Lo Us — 05 5 by, 23 —0 Dy LA or LA do = A9 dat by Ly Cd ras, > 12e Q, Rk av. Ny, > Ca Va D' / 4 Ee OM / Vo 2d DC mh 0,u.s oa: =P 23 Py 2 | = pray + py § S zel u.s.W. 20 WAHL DER COORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. Namen. = - EE ze Gleichungen von ds. … 0 rard Tt u D= PL, oder / av = a, Vg zin by un ie VA Ly = Opty |= ae wenn tod CRE» LRO GE ENS wa, a 2% 1:80 20 1% ED an == = + —— ; IT jante J 1 dre + 3 a pee eae (23 + 4) 40 He a ne ae BUS Ton d ? aj ay à ist eine unendlich kleine Grosse. Kegelschnitt durch A, À, (also in o,). a Gleichungen von Y,,: zoe, & a, (283% in NON + does P52 + 238,24) + (cola, arr) =0 | et ae ee À e 1 à u ? a] 1 D Gleichungen: von Ÿ, . . . . . . da Lo ter, FU Lag Lars — 0] æ, — 0 \ # EN erie Bae ans Aes la Zn — 0 Fokalkegel, dessen Spitze in X,. . . F, EE EE) EE) EE) À . : . > Brennpunkt won: 2: 9, 7,8 au Pr, Qa, Ra, Sp, ; “TE 7 D ” DEN eet Megs baa Pr» Cp, lin, Spy, Bewegliches homogenes Coordinatensystem ©, =, 5, 5, Es EK 2,—4,P,0,8,8; =,=—B, P,Q, R,8. Substitutionsformeln : É = 2, — a4, — 0, #, EU DN — p, Li Eg = U Ad — by a Eo = U — Pos — Py 4 U.S Ww 53 = % 53 — % 2 54 — & fg — % ! Namen. EEE ee ie ig eal au Hebt 5 By = by + Pa bs + pg ne a= Sy Ei Ù Swe sey hungen von 7, PERS ue eg OORDINATENSYSTEME. BEZEICHNUNGEN. 21 ZWEITER ABSCHNITT. A. Die Congruenz, welche der Funktion angehört. DP : : § 1. Der Punkt (x, v) im [w], welcher die complexe Zahl w—u—+ iv vertritt, ist, wie im ersten Abschnitt angegeben, be- stimmt durch die Coordinaten u | pe Vv | y =d > 2 = (0) | oder u + ww | dy OT à ui —A0 a. ns - c Lg = iL v4 — | oder DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w'—#?:c. 23 Der Punkt (w’, v’) in [w'], welcher der complexen Zahl w’ = # + wv’ entspricht, ist angewiesen durch D =, Y === vy > Did | oder u — iv Uy — SS c LA Cr À 4 —4W B , 2 - Lg == 0 By Il oder Dy c LA Lo U — 10 Cy C — | La 0 Bezeichnen wir die homogenen Coordinaten dieses Punktes mit LA @,, Los &, (ts — 0), so können wir setzen TAN NN) SO & LA / pif YU 1 — > Uy (£ el , UP Uy C Die zwischen w = u + /v und w' = # + iv bestehende Beziehung ww = (uv + dv) (+ 0) = À giebt zu den folgenden Gleichungen zwischen den homogenen Coor- dinaten der Punkte w und w’ Veranlassung : L, à A SEE Ro da Dy und LORS | = == I. 24 DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w'=w?:e. Diese Beziehung, eine Umformung von (u — iv) W — iv) = (uw — 00) — 7 (uv + uv) = c geht aus der ersteren, (u + tv) (wu + io) = (ww — vo) Hi (uv + vo) = ce? hervor, weil e eine reelle Constante darstellt. Die Verwandtschaftsgleichungen 0 ' , a vy = Lo Lo — La Uy zeigen, dass die Punkte w und w’ einander in einer gwadratischen Verwandtschaft zugeordnet sind, welche, threr nicht-homogenen Dar- stellung nach, aus einer Inversion und einer Spiegelung um die reelle Axe zusammengesetzt ist. Der Punkt P in ©, wird (siehe I. Abschnitt) durch x æ 1 2 ; = Pi, = Po, %& = 0, La LA der entsprechende Punkt in ©, durch @ æ ike id 2 L =P» 5 = Pa, 23 —0 Uy CA bestimmt. Der Congruenzstrahl » = PP’ wird demnach gegeben durch , D =P, A Las | LA Vy = Pz d3 À Py Ve Die Verwandtschaftsgleichungen yp » / — > M Ÿ vy U, = Lo do bedingen die Beziehungen Pa De ie oder AVES | Pi ep, , ; 1 1 ele ER DIE CONGRUENZEN VON w'—c°:7 UND w —#?:0c. 25 : : F ; GS Die Gleichungen eines Strahles der Congruenz, welche w — — pe vertritt, bekommen daher diese Gestalt: 1 | U =P 43 + ne 7 (1) Il DN ne Pa $ 2. Bündelgrad (Ordnung) und Feldyrad (Klasse). Um den Bündelgrad zu bestimnen, betrachten wir in (1) 2, 7%, 23 und a, als feste Coordinaten, und suchen die Anzahl der Combi- nationen (@,, ), welche dann aus (1) hervorgehen. Die Gleichungen (1) zeigen in der Form 9 TP — #, p, Te = 9, | La Po” — Waat t= 0, | unmittelbar, dass ein Punkt (x, a, 23, æ,) (ewer Werte für p, und zwe, Werte für y, veranlässt; wir finden deshalb vier Combi- nationen (p,, 22), und somit vier Punkte P; diese Punkte P stützen die vier Congruenzstrahlen, deren Gleichungen den Bezie- hungen (1) entsprechen, weshalb sie in dem gegebenen Punkte (@,, %, 43, æ,) zusammentreffen. Wir folgern hieraus dass durch einen gegebenen Punkt wer Congruenzstrahlen hindurchgehen, wonach der Bundelgrad wer ist. Eine Ebene, mit der Gleichung By ULg 4 ie, tp =D, enthält einen Congruenzstrahl p, falls sie dem Ebenenbiischel ange- hôrt, welcher, mit p als Axe, durch die beiden Ebenen (1) be- stimmt ist. Hs ergiebt sich daher diese Identität : 1! l AG — a — By) = Ag Up Pots — 2) Pi Po did + hy dy == ay Py dt, und demnach : Rie A> 2g S dz; — MA + Ag Pg) = 4, À À oe 1 = 2 == 5 26 DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:% UND wl =w?:e. Die letzten zwei Gleichungen führen die Werte von y, und py herbei, welche den in der gegebenen Ebene liegenden Strahlen angehoren. Den Gleichungen ty Py A po % = 0, (2) BD ie Arbo D > — 0 genügen zwei Combinationen (p,, 22). Folglich liegen in der gege- benen Ebene zwei Congruensstrahle, und der Feldgrad ist zwei. $ 3. Die Fokalfläche. Ein Congruenzstrahl p wird bestimmt durch die beiden Gleichun- gen (1), von denen erstere eine Ebene durch X,, letztere eine Ebene durch À, darstellt. Erstere wird, wenn p, alle Werte durch- läuft, einen Kegel mit X, als Spitze umhüllen, dessen Gleichung sich ergiebt, wenn wir die Diskriminante der ersten Gleichung (1) gleich Null setzen. Man erhält dann » 2 peed HEI > — æ, Dg dy = 0. Der durch die Ebene 2, = p, 23 + p, "x, umhüllte Kegel ist also vom zweiten Grade und werde durch #, angewiesen. Der durch die Ebene #, = pa, +, ‘2, umhüllte Kegel #, wird dargestellt durch rs n 2 == Lo At, 2, = 0. Seine Spitze liegt in X,. Wir sind also zu der Einsicht gelangt, dass von den beiden Ebenen, welche p enthalten, die erste den quadratischen Kegel /,, die zweite den quadratischen Kegel #, berührt. Folglich ist der Congruenzstrahl » selber eine gemeinschaftliche Tangente der beiden Kegel } und J. Unsere Schlussfolgerung ist demnach: Die Strahlen der Congruenz, welche die Beziehung ww’ = c? ver- tritt, sind die gemeinschaftlichen Tangenten der beiden Kegel: 77 DT a za Hi. Or Ane, — 0) 0 | TA | 7 VEE nn Vine 2, Arse, Weil ein Punkt von # , bez. 4, zwei unendlich benachbarte Strahlen trägt, müssen wir A, und Æ, als die beiden Teile be- trachten, aus welchen die Moka/fläche zusammengesetzt ist. Die beiden Kegel werden deshalb nachher Zokalkegel genannt. DIE CONGRUENZEN VON w'—=c?:w UND w'—#": c. 27 Der durch die Fokalkegel bestimmte Büschel quadratischer Flächen wird dargestellt durch A, (@?—4aa,) +A, (29° — 42e) = 0. Das Gebilde dieses Büschels, für welches A, + A, = 0, hat die Gleichung ist somit in zwei Ebenen ausgeartet, welche zusammen die Schnitt- kurve vierten Grades der Kegel #, und #, enthalten müssen. Die Ebene €, mit der Gleichung 2 —%=— 0, trägt also einen Kegelschnitt e, welcher /, und #, gemeinsam ist. In gleicher Weise enthält die durch Dy + ly = 0 bestimmte Ebene ¢ einen Kegelschnitt e’, welcher ebenfalls beiden Kegeln angehört. “Der Schnitt der Vokalkegel #, und #, besteht also aus zwei Kegelschnitten e und e°, bez. in den Ebenen EES ARE ip susan ra CAL) if. CRT =e Beide Ebenen gehen durch X, X, und sind zu den Coordinaten- ebenen X, X, X, und X, X, X, harmonisch conjugut. Die Gleichungen (3) der Fokalkegel zeigen, das dieselben die | ORF. ue eae me benen z, —0 und a, = 0 berühren, und zwar berührt 4, die Ebene z,— 0, oder wx, längs X; Xz, die Ebene 2, = 0, oder Oo, längs À X,, während F, von we längs X, A}, von wo längs X, X, berührt wird. : § 4 Singulire Elemente. Eine Ebene heisst sxgwlür, wenn sie mehr als zwei Congruenz- strahlen, also deren eine unendliche Menge enthält. Die Coordinaten p, und y, der Spur P eines in der Ebene Cy By À dodo + dada À did = 0 liegenden Strahles, smd, wie aus $ 2? hervorgeht, bestimmt durch 28 DIE CONGRUENZEN VON w/=—=e?:w UND wl =w?:e. a Mi zi Po Me Ae = 0 (2) Gy Dy + Oy Py À UP Pa = 0 Die Ebene Lax =0 wird singulär sein, wenn diese beiden Gleichungen von einander abhängig sind. Durch Elimination von x, finden wir : aap + (a — ay” + ty tty) Py + aa, = 0. Es ist p, unbestimmt, wenn die Bedingungen a æ — 0, 2 2 3 a — ty” + aa, == 0, a, 4 — 0 erfüllt sind. Ihnen wird genügt 1° durch OE Var, und demnach (siehe (2) durch 1 by : da: hy — TE Ps sodass die Gleichung der Ebene diese Form annimmt: B — Poh, — — 2, = 0. Do Sie stellt deshalb (siehe (1)) die Berührungsebene des Fokalkegels Ff, dar, welche den Strahl p enthält, also die Ebene, welche » mit À, verbindet. Es zeigt sich somit, dass jede Ebene, welche einen Congruenz- strahl mit À verbindet, singular ist. Die in dieser Ebene befind- lichen Strahlen umhüllen offenbar den. Kegelschnitt, in dem der Fokalkegel #, die Ebene (p, X,) schneidet. Jede Ebene (py, A) trägt ein Strahlensystem zweiter Klasse, ist somit eine seaguldre Ebene zweiten Grades. In derselben Weise wird gezeigt, dass jede Ebene, welche einen Strahl mit X, verbindet, singular ist und ein Strahlengebilde zwei- ter Klasse trägt. Diejenige von den Ebenen 2 > 1 y ae Pa 3 — Paty Fa = 0, welche einen Strahl trägt, für welchen y, = 0 ist, ergiebt sich DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w’ =w?:c. 29 alsde Bhene #— 0, dh. 0; Auch die Ebene zj —\0;, oder 0, welche dem Werte p, — oo entspricht, gehört den oben ge- nannten Ebenen an. Die Ebenen we und ©, sind demnach auch singular; sie enthal- ten aber keine Strahlensysteme zweiter Klasse, wie wir demnächst zeigen werden. 2°. Der Abhängigkeitsbedingung genügt auch die Annahme welche die Ebenen oO 2, — & — 0, oder und Been 0), oder és liefert. Diese Ebenen haben wir schon in $ 3 als singuläre erkannt. Die in e befindlichen Strahlen umhiillen den Kegelschnitt e, die- jenigen in © den Kegelschnitt © Die singularen Punkte treten zu Tage, wenn wir in 1 U = py By A A Ll ] Vo — 5 da + Do Uy 9 für p, oder y, unbestimmte Werte verlangen. Es leuchtet sofort ein, dass p, unbestimmt bleibt, wenn gege- ben ist: Dy folglich ist der Punkt X, singulär. Ebenso finden wir, indem wir für p, einen unbestimmten Wert bedingen, dass À, ein singulärer Punkt ist. Auch die Punkte HEURE = wor D, — 7, — 0, bez. pj — Dj gilt, sodass wir über das Verhältniss y, :p im Ungewissen blei- ben, sind singulär. Da die Bilder von X, und X, auf X, X, hegen, werden die durch X, hindurchgehenden Strahlen in der Ebene wx, die sich auf X, stützenden Strahlen in der Ebene @ liegen. In der Absicht die Beschaffenheit der singulären Punkte A, und 30 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w’ —#":c. X, genauer fest zu stellen, wird es geniigen den Zustand in den Ebenen we und ©, zu erforschen. Ein Strahl » ist bestimmt durch seine Spur P in wo, welche ge- geben ist durch die Coordinaten I JE i > SS Va — Ù, LEE 2 ROR Wenn wir in den Gleichungen (1) p, und py durch diese Aus- drücke ersetzen, so finden wir 2 Dep NIA — Hi UI %y = O | Vasta Yo" V3 — Yu" % = 0 J Der Punkt 7 (2,, 2, #3, æ,), welcher den Strahl trägt, wird nun in den Punkt Q der Ebene ©, gelegt, sodass v, — 0 wird. ie Spur (4, , Yo, #3) in we ist in diesem Falle bestimmt durch Die S| Yi» Yo: Ys tin d Falle bestimmt durel fey a =" a 7 —— NAT Y3%s) ¥3 = 9, (Yo% — 3) Iz = 0. Diese Gleichungen liefern vier Punkte, 1° | NU —IY3% = 0, Fata Iz = 9; 9° | Yo, — Y3% = 0, | Y3 = 9; 3° | NU I= 0, SNL AS. (7, — 0, Lys = 0. Der erste Punkt hat die Coordinaten J STATE NEA, TE) hd 93 di #3 do und ist deshalb der Q’ entsprechende Punkt Q in wo; die Ver- bindungslinie 9 = QQ’ ist der Congruenzstrahl, welcher Q mit seinem Bilde Q' vereinigt. Der zweite Punkt ist X,; der zugehörige Congruenzstrahl durch Q ist also die Gerade Q' X,. DIE CONGRUENZEN VON #'— 62 :# UND #'—#2:0c. Bil Der dritte Punkt ist X,; der dritte Congruenzstrahl durch @ ist somit die Gerade Q X,. Der vierte Punkt hegt auf A,X, und ist bis jetzt unbestimmt. Um die Lage dieses Punktes genau zu erörtern, werden wir 7' nicht 7 dem Punkte Q’ von w, annehmen, sondern in der Nahe von Q’. Die Coordinate +, wird dann einen kleinen Wert haben. Die Coordinate 7, des Punktes, wo der Strahl wa trifft, wird dann freilich nicht Null sein, sondern ebenfalls einen kleinen Wert haben. Wir werden deshalb 4 nach Potenzen von +, : 2, entwickeln. Jz A 3 Setzen wir ) a. af — 2 N di und so ergiebt sich aus der Gleichung Ii I3% N° Pz — Y3° 4 = 0 zunächst dann aber eo (B Det ga EN Sa Bed. 24. a Die Gleichsetzung der Coefficienten gleicher Potenzen von > liefert 4H stort (2) === ff Os 4, æ, on d'A Die Lösungen sind fo) v ] l=a—, wonach 32 DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:¢ UND w'=w?:e. also für verschwindendes @: ates cae ae ey oder Y3 _ & LA Le v4 3 ==} by. tl sodass Y =r + ya? 5 und fiir verschwindendes x : ! ff oder DB ETES he Ebenso finden wir für das Verhältniss 7, : 7, zwei Werte, nämlich is ae ee ao. RE 9° CE: ~ — . Peer Die vier Spuren werden demnach bestimmt durch Combination ab 2 x oe N A € = 7 7 5 tee > 5 der beiden Werte für y,:y, mit den zwei Werten für ys : yo: Für den ersten Durchstosspunkt gilt somit VEN, Ya Ty LE) LOT Wir finden also den Punkt, der an der Grenze in den Q’ > zugeordneten Punkt Q übergeht. Für den zweiten Durchstosspunkt gilt ERE es KA di Is Lo DIE CONGRUENZEN VON æ —c2:# UND w —#? :c. 39 Bei verschwindendem #, fallt dieser Punkt zusammen mit also in X,. Die dritte Spur wird dargestellt durch Ys a I a, ene Yo Lo Dieser Punkt gelangt schliesslich in A. Die vierte Spur ist bestimmt durch Ja @ — — — , N a LE Yo do so dass man bat ne Yo do Bei verschwindendem 2, liefern die erste zwei Gleichungen frei- lich beide y, == 0, aber die dritte Gleichung besagt, dass das Verhältniss der Coordinaten y, und y, dem Verhältnisse der Coor- dinaten a, und 2 von Q’ gleich ist. Das heisst: der vierte Durch- stosspunkt liegt in der Ebene welche Q’ mit X, X, verbindet, also in dem Schnittpunkte von Q’X, mit X,X,. Der vierte Congruenz- strahl geht deshalb durch X,. Obige Untersuchung hat demnach ergeben, dass von den vier Strahlen, welche sich in einem Punkte Q von w treffen, der erste Q mit dem ihm zugeordneten Punkte Q, der zweite Q’ mit X,, der dritte Q’ mit X, , der vierte Q mit X, verbindet. Die vier Congruenzstrahlen durch Q’ in w, sind also die Geraden QA Ao QA In derselben Weise lässt sich zeigen, dass die vier Congruenz- strahlen, welche nach emem Punkte Q von w+ zielen, die Geraden gg QQ, QX, QA, und QX, sind. Wir haben also gefunden, dass die Geraden, welche einen will- kürhehen Punkt Q von ©; mit À, X, und X, verbinden, alle Congruenzstrahlen sind und dass dasselbe bei den Geraden zutrifft, Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie) DI. X. B 3 34 DIE CONGRUENZEN VON w=ec?:w UND w' =w?:e. welche einen beliebigen Punkt Q’ von w, mit X,, X, und X, vereinigen. Jetzt haben wir eine genaue Vorstellung von dem Zustand in den singuliiren Ebenen a, cna oe und in den singulären Punkten X,, x. under Wir schliessen, dass die Ebene ©: drei Strahlenbüschel mit X,, X, und X, als Scheitel trägt, während die Ebene w drei Strahlen- büschel mit A, A, und X, als Scheitel enthält. Der Punkt X, trägt zwei Strahlenbüschel, von denen der eine in we, der andere in ©, liegt. Der Punkt X, zeigt dasselbe wie X,. Der Punkt X, ist ‘Traiger eines Strahlenbiischels in ©. Der Punkt X, ist Mittelpunkt eines Strahlenbiischels in w,. Die obige Beweisführung wird dem Leser zweifellos etwas weit- läufig erscheinen. Wir wollen ihm unmittelbar beistimmen. In der Tat können bei dieser einfachen Congruenz die gefundenen Resul- tate auf bedeutend kürzerem Wege abgeleitet werden, und zwar am besten in rein geometrischer Weise. Wir bitten diese Betrachtungen lieber als Übungsbeispiel für die späteren verwickelteren Congruenzen denn als Muster eleganter Beweisführung aufzufassen. $ 5. Die axiale Regelflüche einer willkiirlichen Gerade 1. 4 sier æ æ Die Gerade / môge we schneiden in 4 & l=), =a Ce 0) A a : 3 da aX, , und w, in # — },,2 = I,’ A= 0) La AE Ihre Cidieuunber lauten sodann B =d + à a, / By == Ay a tr Oy Gy (6) Die Gerade / wird einen Congruenzstrahl p [welcher we in P (pi, Po) und ©, in P (p,, pg) trifft] schneiden, wenn sie mit p in einer Ebene liegt; deren Gleichung sei bi @, ) = Ag (#5 — Ay Lg — by’ a4) = 0. Diese Gleichung muss befriedigt werden durch alle Systeme (a, 29, 23,24), welche den Gleichungen A @ . ln vy = Pa Vo + VA v4 | Lo = Po Lo +. Po Uy | genügen. DIE CONGRUENZEN VON w ~c?:w UND #'— #2: 0. 95 Wir finden hieraus A, (Pi Ts HP Vy — au, —Ù 23) + Ay (Po da + Po da — Ay 2%, — 0) 4) =O, oder A1 Pr id) + a i ay) — 0! Die Cie AG RC) | folglich lautet die Bedingung für die Schneidung : L LA ! ld DE Er Pi FF ay Po re do Der eme Gh oder, vermöge der Relationen nm =1, py Pa = |: 1 ; 1 , — — hy, — — b, Lites © BL? ; Pa — U Dy ao oder endlich: DAGDELEN wa Ps ba) = Po (Po — ap) i Dr) Die Gleichung der axialen Regelfläche von / ergiebt sich, wenn wir noch Z, und y, aus den Gleichungen (1) des Congruenzstrahles und der Gleichung (8) eliminiren. Die Gleichung (8) schreiben wir in dieser Form: Da Pa Po — by pa pe? — py? + po” — (a, bg — ag by) Pa +a Pa — Dont Page >»... , (9) Aus den Gleichungen (1) folgt 2 Po Pa UML ene ie eg Lutte) La Po” == Lo Po — U4 Multipliziren wir (9) mit z,, so ergiebt sich die Gleichung MANEN he À NA en bj 23 py" Pa — Oy Ly Pa Py” — &3 Pr” 3 Pa LA L — (ar by — a, 6,) @, Py Po aida Pi — Ay Bz Po = 0: Wir erniedrigen nur ihren Grad mit Hülfe der Ausdrücke (10) und erhalten dann Bios 36 DIE CONGRUENZEN VON w' =c?:w UND w'—#x?: 0. VU ! , , 1 L bs Pipa Oy tips — Oy tbe ah — My or Bari Log / / — @, — (a, by — ay by) 5 Jy Po À U A3 Pa — Ag Ta Po = V oder (bo vr — bas — (arb — gba) Vai pag Hu + 4e + by a) 4- + (23 — ay 23 — by 4) py = 0. Setzen wir, der Kürze halber: 0 , ' 0 by av i b, do mr (a, by ES lo b, ) Lo = SA 5 | — a+ aa, + ba = Po, | a, NC Lo — Ay, — b,x, = Py, so erhalten wir Pep dBm Es ist nun unsere Absicht vier Gleichungen in p,, 7, und py Py aufzustellen, aus denen wir dann diese Grössen eliminiren kön- nen. Diese Absicht wird erzielt durch eine wiederholte Beniitzung der Ausdriicke (10). Durch Multiplikation mit 2, ~, wird (12) verwandelt in B, dz Pi Pa aes Zope Bi v3 Pi pa = 0. Ersetzung mittels (10) ergiebt 2, TA Pa Po — B, dy Pa + Bo di Pa — Ba dy + B as Pi Pa = 0, oder (Ba 2% + 23) Pa Po + Bo ap. — Ra da Pa — Bots = 0. (13) Multiplikation mit zp, würde uns geführt haben zu I 3 Po 8 (Ba > + Bo 23) Pa Po — Px @ Pa + Bie Po — Pray = 0. (14) Multipliziren wir schliesslich (13) mit ,7,, so bekommen wir 9 (Ba @ + By 23) 5 Pape? + Roi Pi Po — Rated Po” — Po @s%%4 Po 0: oder, mit Verwendung von (10), (2, ut, 3) do Pa Pa — (2; + À By) Vy Py + Bo Li Ly Pa Poe — — Bs, Py + Bar — Py v3.04 py = 0, oder endlich À = DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w —#°:c. 31 (Ps di Lo au Lo Li da +- B Lo La) Pa Pa — (B, Py ale B 2) DL Pi — Baan than +Ba=0. ..: (5) Durch Elimination von ~,,p, und mpg aus (12), (13), (14) und (15) erhalten wir die folgende Gleichung Ba Ba Ye ‚0 | Ps di == Bi La ep Ui Er B Uy a (oe LOM Pya + By as — st, » Pir es & Brie, De ae Oana = (Ba TC + By 1 3) v (Pz 2 ++ Ppa’) Pas Ca,” | Multipliziren wir die erste Reihe mit 2,+,, die zweite mit — a, die dritte mit —2,, und addiren wir sie zu der vierten, so ergiebt sich | Ci ON ET LEREN | | Gsus, Boa — Pz — Paz | 0 ER pe — Pa, : Bi ze == Ay | : on mn Se Valy (Bia + 2, La + Ba AA Nun ist wegen der Gleichungen (11) LA Bia + Ba + Bas = U Ag — au A3 — by UL — aa + ! 4 LA à L pe > LA 1 = . en D | Lot Volt — 0; a2, — (a, 0, —— a,b, 2, Zj — = |— dU + aa, — (4b, — ag hy) a4 12s, oder, wenn wir Uy Dy At (Op 050-9 D 0, ge <41 (16) setzen , Pias + Bot + Pye, = — Pow. . . . (17) Durch Substitution dieses Ausdrucks in das letzte Element der Determinante erkennen wir, dass A durch #, a, teilbar ist. Die Division durch 2a, ergiebt a By, Bearden: Ês a À 8 Lg P, dn Vn SA in kee Ba 10 (18) ee La À By Ca ISN Dis B, Ben 6, 3 | 0 =o Dr rr [en Dp = Bo | Weil @,, £>, PB und @) alle vom ersten Grade in z,, 29, 23, 24 sind, ist die Gleichung (18) vom sechsten Grade. 38 DIE CONGRUENZEN VON w'==ec?:w UND w —#*? :c. Wenn wir @,, 2, 8, und 8, durch ihre in (11) und (16) gege- benen Werte ersetzen, so sind die Coefficienten der Gleichung aus- schliesslich ausgedrückt in den die Gerade / bestimmenden Grössen M4, dy, 6, und 6, . Es hat sich aus dem Obigen gezeigt, dass die axiale Regelfläche emer willkiirliichen Gerade / vom sechsten Grade ist. Wir können die Gleichung dieser Fläche umgestalten, indem wir das Coordi- natensystem so abändern, dass die Kante, welche früher mit X, X, zusammentiel, jetzt in 7 == AB" gelegt wird. Die hierzu benötigte Transformation lautet De me TS) Lo == 55 + An Se, = Dg Ei Cc Die Ausdriicke für 2, 8,8, und 8, gestalten sich nun wie folgt B — by (a, — a 43) — bj (to — #3) = ame bo (& aif by Es) Te by (ë + by Ei) Ea by & iat by Le, 2, lue ë > B = it Bo = Ay (a, — by” 24) = re. by #4) == AE + U &,) — & (&5 + a, Es) — Ay bi — Ui So. Es ergiebt sich hieraus, dass alle Elemente der Determimante einen in & und & homogenen, linearen Faktor enthalten, so dass in der ausgearbeiteten Gleichung jedes Glied einen in £, und &, homogenen dzguadratischen Faktor enthalten wird. Daher wird die Substitution & — AZ, einen Faktor §,* absondern, oder auch: die Gerade / ist vierfach auf ihrer axialen Regelfläche. Den Schnitt dieser Fläche mit ©, erhalten wir, indem wir in die Gleichung (18) v, — 0 substituiren, wodurch die Gleichung Bs LE NES ED | B; a, + B Va) Lo HQE ioe | B, Lo + Bo Las 0 > BE, Vo» TE B, 0 , 0 , 0 DT Bo | DIE CONGRUENZEN VON #' — ce? :#% UND w =w?:e. 39 | Bs ae «red | ON C7 tie | — () 2, Lg + Bas, 0 > Lo | entsteht. Dieser Schnitt setzt sich also zusammen aus den drei Geraden Bo = 0, Bi — 0, Be = 9, bo oder Go Oey 0 oder und einer kubischen Kurve Dieser kubischen Kurve sind wir aber schon früher begegnet. Ihre Gleichung ist keine andere als die ae (9), wenn wir in dieser y, und y, durch a,: a7, und ay : +, ersetzen. Die Gleichung (9) stellte ja die More dar zwischen den Coordinaten p,, p der Punkte P, wo die auf /ruhenden Strahlen die Ebene ©, treffen. Es is daher selbstredend , dass die siimtlichen Spuren eine Kurve bilden, welche dem Schnitte von we mit der axialen Regelfläche von / angehôrt. so kommt Ersetzen wir p, und p, durch 2,: 2, und a: zo, een LS Te > 2m nL ay Á Nap mm Doti To — bre, Bin Weesie Co da — (dy Oo ag by) U By By F 9 © + di av La LE > My lo de — () . . © oi (1 9) a ai Diese Kurve geht offenbar durch die Punkte X,, X, und Az. Die Tangente in X, wird erhalten durch die Substitution 2, — A*,, welche einen Faktor +, absondert ; derjenige Wert von A, welcher abermals einen Faktor +, frei macht, bestimmt dann die Tangente. Dieses Verfahren wird darauf zu- rüekgeführt, dass wir den Coefficient der höchsten Potenz von a, betrach- ten, welcher, gleich Null gesetzt, eine in 7, und +, quadratische Form ergiebt. 40 DIE CONGRUENZEN VON w' —c? :% UND w' =—w?:c. Der erwahnte Coefficient ist hier by rar. Die Tangente in X, ist somit bestimmt durch b5 Bad — 0 oder rout. es z 3 es Se : a 1 Diese Gerade vereinigt X, mit dem Bildpunkte 2 @ — + — =, | By "16 We 1 B à DS der Spur bon in Vz Do Es zeigt sich in gleicher Weise, dass auch die Tangente in X, durch B hindurchgeht. Die Substitution z— 7, : 4 und z — 2#,:6, besagt, dass auf der Kurve liegt; die Substitution 2, = 423, % — 4243, dass die Kurve auch den Punkt 4 enthalt. Die kubische Kurve schneidet XX}, oder a, — 0, in den Punkten, welehe bestimmt sind durch Boh — (lo Lo Bee i) oder Lo La (Py — A, dg) — 0, also in den Punkten X, und X, und in dem Punkte 4,, wo die Gerade AX, die Gerade X, X, schneidet. Ebenso lässt sich beweisen, dass die Kurve und die Gerade X, 4 sich und die Gerade X, X, in demselben Punkte A, treffen. Die kubische Kurve weist also die folgenden Merkmale auf 1° sie enthält die Punkte X,, X,, X,, 4, B (Bildpunkt von B), A VAR AA) UN zi AA ATEA 2° Der Punkt £ ist der Tangentialpunkt von X, und X,. In der Figur 1 ist die betrachtete Kurve schematisch dargestellt. Den hier gefundenen Resultaten können wir noch hinzufügen, dass die Tangente in X, angewiesen ist durch UU — Ag ky = 0 oder DIE CONGRUENZEN VON w’ —c2:#5 UND w' —#?:0c. 4] Diese Gerade ist offenbar die axiale Projektion von- 4° (dem Bildpunkte in w, von A) aus der Axe X, X, auf die Ebene wa. Um die Tangenten in 4 aufzufinden, substituiren wir in (19) Dr at EN La = Eg À 4253 wodurch wir die Eeke des Coordinatendreieckes von X, nach A verlegen. Wir bekommen dann Ge by — by 5) Ei + a 53) (9 Ar lg E3) SS th =m 53) Ës zin == 5 (E5 + lo Es) En == (1: Indem wir den Coefficient von &,* gleich Null setzen, erhal- ten wir Oy Ay (bo Ei — by &) — Gé À Oy & 0, oder =i faa? Ei En by 52 Rn Die Ebene, welche diese Gerade mit / verbindet, schneidet ©, in einer durch dieselbe Gleichung dargestellten Gerade. Diese in ©, liegende Gerade enthält offenbar den Punkt 2 == (an: — 0) Zi | Eo = (Gem == by ) Ey | oder a) ! n Y= a, a { oe | ; Ly =S Fis Uy d. h. den Bildpunkt 4° in we von A. Es ist klar, dass die Tangente an der kubischen Kurve die axiale Projektion ist des Bildes 4’ von 4, aus der Axe / auf die Ebene wa. Nach diesen Darlegungen, den Schnitt in © betreffend, brauchen wir die Schnittkurve in w, nicht besonders zu betrachten. Sie wird offenbar, ausser den drei Geraden X, B, X, PB" und X, B’, aus emer kubischen Kurve bestehen, deren Gleichung sich aus (19) ergiebt, wenn überall a, und 5, a und 6, 2, und +, verwech- selt werden. 42 DIE CONGRUENZEN VON æ —c?:# UND w' =w?.e. Es liegt uns mehr daran die Doppelkurve auf der axialen Regel- fläche zu erörtern. Ein Strahl p hegt mit / in der Ebene À, (a > Ui Ve Fz b, dy) + À (Ze > Uy Vs = Ds v4) = () 3 (20) wenn = (0, À | — a), +G eee se a) + Cb) a | also, wenn À (Pr — %) + À (Po 2) = 1 E ] À, CSC 0. Ein Strahl 7 hegt in derselben Ebene, wenn den Bedingungen 0, (21) À (gi — &) + Ag — a) = 0, | npt) = 0. | Geniige geleistet wird. Der Strahl » schneidet den Strahl 7, wenn die folgende Glei- chung erfüllt ist (siehe (1)). (22) Ea GND Pi eis aces ane ] TM eee Il M 7 oder (21 — 91) (Pa — Yo) (Pi Ya — Pa G2) = 9. Da p, — 4 = 0 und ps — gs = 0 bez. angeben , dass die Strahlen p und g in derselben Ebene durch X, und X, liegen, was hier nicht der Fall ist, handelt es sich nur um die Bedingung Pa VA = pr VE . . . . . Bi . (23) DIE CONGRUENZEN VON # — c? : x UND w =w?:e. 43 Für den Schnittpunkt D von py und g hat man 1 1 Li — Pad OT Th hs An oe Pi qi I 1 mt + megane, | Po qo oder Ji = 1 | (mi 41) La Se Di AN 7 2 VE pa = ae Pa Ya also v U y a es 4 vs eee APT CAE) M Ce welche Gleichungen sich vermöge (23) vertragen. Aus (1) geht hervor 1 ale D= ue Di ei a a eters te oo RE. 0) Pa ga Pi AN 2 ] > 9 a Vy — be Uy, Vy, — P2 ale Ja Oye 5 2 Ë (26) Pe ge Dz Pe fz Falls ,, po, 91 und 9, auch den Gleichungen (21) und (22) geniigen, ist D der Schnittpunkt zweier Strahlen, welche sich beide auf / stiitzen; J ist demnach ein Punkt der Doppelkurve der axialen Regelfläche von /. Letztere Erôrterungen zusammenfassend, gelangen wir zu dem Schluss, dass der Punkt D der Doppelkurve, welcher sich in der Ebene Ay (@ — a ds — by’ @,) + À, (a — Aad — Og wv) = 0 (20) befindet, bestimmt ist durch fy LE enn 5) 44 DIE CONGRUENZEN VON # — 6? :# UND w — w2:c. Vy, TT HAE . . . . (24) wofern pi, Jo, 4 und 7, die Gleichungen A y= AN Paap) NC) à, (qu a) A (ga) = 0 . SE befriedigen. Der zweiten der Gleichungen (21) bez. (22) wird schon deshalb Genüge geleistet, weil (20) erfüllt ist. Um die Doppelkurve aufzufinden, müssen wir p,, pa, 91 und go aus den Gleichungen (21), (22), (23), (24), (25) und (26) elimi- niren; wir erhalten dann zwei Gleichungen in A,: As; eliminiren wir ferner A,: A, aus diesen und aus der Gleichung (20), so be- kommen wir zwei Gleichungen, in welchen neben den Constanten 4, dy, Oy, hj nur die Coordinaten auftreten ; sie stellen mithin Flächen dar, welche die Doppelkurve enthalten. Bevor wir dieses Verfabren erledigen, wollen wir zunächst die Anzahl der Schnittpunkte von / mit der Doppelkurve feststellen. Wenn der Punkt D auf 7 liegt, so schneiden die Strahlen p und 7, welche nun Z in demselben Punkte schneiden und mit / in einer Ebene legen, die Ebene we in zwei Punkten P und Q, welche mit der Spur 4 von / in einer Gerade liegen. Die Strahlen, welche den Punkt (a, 2,, #3, 2) gemein haben, treffen w in Punkten, deren Coordinaten y,, ps zu bestimmen sind aus 2 a / nr — By pi" — Ly Py + nr 0 a) Sil cia Dz Pa Lo Pa + t= 0. Zuerst formen wir das Coordinatentetraeder so um, dass die Kante, welche mit X, X, zusammenfiel, jetzt mit / coineidirt; und zwar mittels der Formeln ub + 46, tb &, By = by + ay Es + by Ens dz — San di = Er Weiter setzen wir dementsprechend für einen Punkt in we a 5 Sr (CR nm CO &3 E3 so das u. DIE CONGRUENZEN VON # =c?:¢ UND w —#?:c. 4.5 Dita > Us Bi Met A Obige Gleichungen gestalten sich nun wie folgt: Fr De 4 E3 (T4 | a)? 4 an cree Ea) 2) Ex OC | 6 Al, ba) 1k, oder ET sm =F ay Ex — by En) Ta “= CAD Bie Got does — by &,) mo Der Punkt, wo die Strahlen zusammentreffen wird auf /(£ — 0, £, — 0) liegen, wenn den Bedingungen Em an Gé bi En) m4 == (1 — a, by) E ET zie (Es — by Eman (1 — a, 6), = 0 . . (28) (eee saa =a b,) &,}= 0, {—a,%,+(1—a@b,)&,;=0. — 0 . 2) (21) genügt wird. Es seien c, und ¢, die Wurzel von (27), ¢ und ce, diejenigen von (28). Zwei der vier durch (27) und (28) gegebenen Punkte werden mit dem Punkte 4 (wofür 7, — 0, 7 — 0) in einer Gerade hegen, wenn man hat Ci C G ex. oder 7 [4 CA LT + Gime Beide Bedingungen werden zusammengefasst in der Gleichung (a Co <= GG) (ae On G5 ) == (i), oder 9 LA , 5 € € PACA ENC Gs C0 Oe Ce GG, == 0. 1 CC 1 C1 Co 1 C1 Cy = Cy Cy Cy oder 1) 13 / / 2 19 Gy Gj NEC — GA (@ + )— 0 oder endlich (ca ap Cy) Co Cp mn 64) Cy (C5 == Ca Ve — (). AG DIE CONGRUENZEN VON w’ —e2:% UND w' =w?:e. Die Beziehungen , Race FT ie / ] — y b i 5 a> i —— an z dE Ce ( Ee 71 ) & 5 3 : i} » QE Do I rn il == 5 bs 5 Co + =— és 2 6 hen KOE ( te CET Ë §3 bringen diese Gleichung in die Form (a, Es — GE) (1 — a, by) En — (Es — DE) (1 — a, 6,’) E, = 0: Wir finden also drei Werte für &:£,— #%:a,, welche die Ebenen bestimmen, welche die gesuchten auf / liegenden Punkte enthalten. Es ist £, — 0, oder ws, eine dieser Ebenen; sie giebt den Punkt 4. Dieser Punkt ist kein Punkt der Doppelkurve, zeigt sich aber hier, weil die Strahlen X, 4, X, 4 und X, À alle ihren Schnittpunkt mit wa in 4 haben. Die wirklichen Schnittpunkte von / mit der Doppelkurve befin- den sich demnach in zwei Ebenen durch X,X,, welche bestimmt sind durch ee, b,’) (as 3 — bi E) aL ve by) (a, 3 — by &,) — 0 (29) oder (4&3 — bE) VY 1 — abi = + (als — bE) V 1 — a,b. (30) Es liegen also auf / zwei Punkte der Doppelkurve. Diese is somit vom dritten Grade. Jetzt wollen wir die Doppelkurve analytisch bestimmen, indem wir das auf S. 44 entwickelte Programm ausführen. Wir ziehen zunächst das zweite Coordinatensystem heran. Die Ebene durch / wird jetzt dargestellt durch CVE Tee Mrs a der Schnittpunkt von y und g durch Ei Dn 2 (pa + gs) ds bip ga A NE on 5 SE Er D LEN also durch ae Pita be pu qu ee —— (32) MAAN DIE CONGRUENZEN VON w =c?:w UND w'—#?: 0. 47 _ a dg) = bp as P22 E, CAPM ine NEEN 1 | a = — SS SSS a 4) AN Pe Ya Aus den Gleichungen (21) und (22) ergiebt sich durch Addition MP À ga) — LA an + An (Po + go) — 2A, a = 0 oder MA + 9) + À + Yo) = 2 (Ar Aa). + (85) Durch Multiplikation findet man alsdann Me Pra — Av Ga + ga) + A — AP — — À ar (pa + go) Aya. . . . . (86) Weil in allen diesen Gleichungen die Grössen p, + 4,» + go, Ag und pg, auftreten, setzen wir M + AS 0 Pa À Ye = % und 1 AN = Pi = —3 [4 die Ebene welche den Schnittpunkt mit X,X, verbindet erhält somit die Gleichung BORNE Ne Potter © CO) Die Gl. (32) bis (36) gestalten sich nun wie folgt Er (hp kb), . . . . (88) OE) ENE Pee (40) A pi + Ang, = 2 (4 + A@),. . - . (AL) MM UR MA pe = Ag’ — Ag’ dy KP, + Ag’ ay” pe. (42) Das Eliminationsverfahren geht nun auf folgende Weise vor sich : y und y, werden mittels (BS) und (39) ausgedrückt in jz und in AS DIE CONGRUENZEN VON w’=c?: 0 UND w'—#?:0c. die Coordinaten; diese Ausdrücke für y, und y, werden in (41) und (42) substituirt; schliesslich wird y durch & : &, ersetzt. Aus (38) und (39) folgt oe Ei + (as mtb) E, BE, NS + (ay 4 m0) En Q = —— : BE, FA Durch Substitution dieser Werte für g und go in (41) erhal- ten wir 1 nn 4 2 2 by : À, 5 a oe by) & == A» = = ae = É = 20% + Aa 4), oder [As (ar pe — By) + Ag (aa pe — bo) E, — (A Er + Ao So) = 0, oder vermöge (31) Ay (ar pe — bo) + Ay (ap — by) = 0, und wegen (40) A (an 3 — Or Ei) + An (Go Es — bo E) =O . . (43) Ersetzen wir in (42) q, und gs durch ihre Ausdrücke, so folgt ay Es i À di \ pil (a, [4 Je bi) Ent 1s Ay a HE DE = Ar Er — Ag? ay {Ea + (Aa M+ by’) Ei} + Ar a pa &, oder MEM ay by En — AP ay Ey = AY En — Ar Go by En — Ay? Go bo, oder endlich M {ay Ey — (1 — ay by) B} = av? {ay Er — (1 — ey by’) &,} (44) Elimination von A, und a, aus (31) und (44) ergiebt schliesslich = F(a Es — by Bi) — à (@ Es — by £) = 0, . (45) Et Em Cm ele — Es (ala (1 abe) il =O. .,. (46) DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:7% UND w'=—w? :e. 49 Diese Gleichungen stellen zwei Flächen ® und ¥ dar, die sich in einem Gebilde schneiden, dem die Doppelkurve angehôrt. ® ist eme quadratische Flache, welche die Gerade (£, — 0, & = 0), oder 7, enthält, ¥ eine kubische Fläche, auf welcher / Doppelge- rade ist. Die Schnittkurve von ® und Y enthalt demnach die Gerade /, doppelt gezählt. Jetzt werden wir zeigen, dass die Fläche ¥ mit einem zweiten kubischen Gebilde, das aus dem Hyperboloid @ und einer durch / hindurchgehenden Ebene besteht, einen Büschel bestimmt, welchem noch eine derartige zerfallende kubische Fläche angehört. Zur besseren Ubersicht der Rechnung ersetzen wir die Coordi- natenebenen £, — 0 und #,— 0 durch zwei andere, gleichfalls durch X,X, gelegte Ebenen & — 0 und & — 0, für welche Es = & $5 — by En | EE REN Ne (47) daher 4,55 — U & ae Die Gleichungen @ = 0 und ¥ = 0 bekommen nun diese Gestalt: P= &> 5 Fr = Ei Es — > Y = (Gb, —G,b,) EE (an En — Go Ei) He + iC 25 by) oy a= (J =a, by )Es"| (as &; — dé) — 0. Beachten wir nun die Identität (Gb, — aar )Er E (QE, — ME) + (1 — a2/) E,? — (A — aby) 85" (QE, — Ee) = Ad a,b, )E, — a, (1 — aby’) Eo ENE ee) ++ (4,£,—a4£,)|&, VAUT ‘bs aime — 4202 )Es | — Eo | abs Ei = — a,b, )Eel |, und setzen wir, der Kürze halber, a,(1 — a, by) &, — a, (1 — a,b) En = V, ey Mis Ws Ela, & + (1 — anb,’) &,| — Ep lan bo &, + (1 — a, by’) &| = ©, so lässt sich diese Identität darstellen in der Form ¥=Vo+ WO. Die beiden quadratischen Flichen ® und © haben, ausser / Verhand, der Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl. X. B 4 50 DIE CONGRUENZEN VON w’ —=ec?:w UND w’ = w?: c. (&£, — 0, &, — 0), eine kubische Raumkurve gemein, welche, ver- möge obiger Identität, auch dem Durchschnitt von Y und & an- gehört. Wir schliessen, dass die Doppelkurve der axialen Regelfläche von /— AB der partielle Durchschnitt ist von Pi und oder, wenn wir & und & durch ihre in (47) gegebenen Aus- drücke ersetzen : ® = §, (a8, DE) E (aaa GE) 0 O =: — (a,b) — ab) 1S ln (= Da) (ay a by’ &,) oo — (1 — aba) (ara — bo Ei) & — 0, NE) Es ist sofort klar, dass die Doppelkurve die Ebene w., oder £, — 0, in den Punkten schneidet, welche bestimmt sind durch (a, Ex — Al) E, = 0, — (Ay by, — 420) Ei En Flan (dl — a by) Er — a, (1 — a4, by’) Ent EO. Es sind dies die Punkte X, und X, und der Punkt, welcher ausser 4, den Gleichungen UE — a, 8, = 0, — (Ay by’ — ab) Ey Ea + Lay (1 — ty’) Er — a, 1 — a, By) & | 8 = 0, also den Gleichungen al, — a, 8, = 0, — (416) — 4501) a, & + | a? (1 — a, by) — a? (1 — a,b) | €; = 0 genügt. Dieser Punkt ist kein andrer als der Schnitt von AX; (a, £, — — 4,8, — 0) mit der kubischen Kurve in we, welche der Spur der axialen Regelflache angehört. Es ist nun von Wichtigkeit, dass die Doppelkurve durch die Punkte X, und X, hindurchgeht und dass sie die Gerade / in zwei Punkten schneidet. Aus dieser letzteren Tatsache geht hervor, dass die Gerade / DIE CONGRUENZEN VON w’ —c?: 0 UND w' = #? : c. 51 aweimal mit zwei Congruensstralen zu einem Strahlenbüschel gehort ; wonach der Avengrad (Rang) der Congruenz mei ist. $ 6. Die axiale Regelfliche einer Gerade 1, welche X, X, schnerdet. Wenn die Gerade / die Gerade XY, X, schneidet, so gilt für die Coordinaten der Spuren 4 und 2° Ay lis ’ d Bier aes sodass ay bs. = DNO —— 0. In der Gleichung (18) der axialen Regelfläche sind nun @, B, B, und £, durch die folgenden Ausdrücke zu ersetzen (siehe Gl. (11) und (16)): b; = by (ta — 4), LB» = — & + di d3 + CR, 1 [Ey iy Co A ie By = a (ta, — 2,). Die Gleichung (18) nimmt somit diese Form an: ba (bere) —(@,—a,2;—b,'2,) ,+(@,—ta,v,—tb,2,) , 0 bi Urea (dry br vr ,—0 (te to) ‚F&L 0 a) H@r tart tb, 2,2, |}; b, lere) er —ù layer, Halas thy vi), —(@,—tav;—tb, @,) (50) —(a%—a23—b,'2,)23, 0 —(@r— bars tb, ee Ha ara te, arl dar») Die kubische Kurve in we bekommt nun die Gleichung (siehe (19) ; b, (ta, a> 45) Vy D Ts (zi ES 2) da + dj (a, — tay) Lae = We Die Wangente im Punkte X, bestimmt sich aus CAT tv, — 0 oder 2, ] A B 4* 52 DIE CONGRUENZEN VON w' = ce? ; # UND w' — w?: 0. Sie ist die axiale Projektion aus X, X, des Bildes der Geraden 4X, do = ta, auf die Ebene wa. Die Schnittpunkte der Doppelkurve mit 7 sind nun angewiesen durch (siehe (29)) (1 Ai by) (a, &3 ins by’ Ei) TE (1 ee a b,’) Ad (a, Ea by E) =) also durch (a, &3 —— by Ey ==). Die Doppelkurve schneidet die Gerade / zweifach im Punkte 0 Es = 0,). eN 0 Dieser Punkt ist in Bezug auf X, und X, dem Punkte A E> ay Es + by &, = 0, wo die Gerade / die Gerade X, X, schneidet, harmonisch zugeordnet. Die Doppelkurve wird nun bestimmt aus den Gleichungen (45) und (46), weil die Gleichung (49) entstanden ist nach Multiplikation mit dem hier verschwindenden Faktor a, bo — a, 6,’. Ersetzen wir in (45) und (46) a, durch 44, und 4, durch 4,7, so erhalten wir >= (& — 4) (abs EO, . NE, ve |a, À —(1—a, by’) Eil — Bier ta, by’) AN = 0. (54) i > © Die Ebene & — /£, — 0 schneidet den kubischen Kegel ¥ = 0 zweimal in / (&,; — 0, £, — 0) und einmal in der Gerade Xs 4 (Sali = 0, &, — 0). Die Ebene a, Es — by & 0 hingegen schneidet den Kegel ¥ = 0 in einer kubischen Plankurve, welche also in diesem Falle die Doppelkurve bildet. Der Kegel ¥Y — 0, dessen Spitze =,= A ist, geht durch die Punkte X, und X, und enthält die Gerade / als Doppelkante. On ws DIE CONGRUENZEN VON wz’ — €? : #0 UND w' =w?:c. Die kubische Plankurve ist demnach circular und hat einen Dop- pelpunkt auf ¢. Letzteres entspricht dem soeben erhaltenen Resultat, nach dem die beiden Schnittpunkte der Doppelkurve mit / zusam- mengefallen sind. § 7. Die axiale Regelfläche einer Gerade b,, welche X, X, schneidet. Die Gerade /,, welche in der durch ZX, X, gelegten Ebene Op (@3 = ma;) liegt, wird dargestellt durch did + U La; La, = 0, da — U. Trotz der unendlich grossen Werte von a, a», b, und 4 können diese Grössen doch verwendet werden, wenn wir nur, in Uberein- stimmung mit dem in I, Abschnitte Dargelegten, setzen X)dy Uy ae — J ) A, Up ay == — J 5 7 4 2,4) b, EE TTT me ? b ASS =. ; fe a do 6 d (Ma. &;) a AN ay bj Cl) by a pe Ee = Se feta à 7 , Za, bby 0 Die Ausdriicke @,, 2, (2, und 8,, welche in der Gleichung (18) der axialen Regelfläche auftreten, bekommen jetzt die folgende Gestalt (siehe (11) und (16): VE (4, @ + U) SE (4 A3 +- &,) 43 = ee En g P, £ EE mei TA Sr 4 (v3 — ay) do 2 iS 2 da, + &% (@ — La) [En — ; 5) ? 54 DIE CONGRUENZEN VON w = c?:w UND w' — w?: c. Oty Py + Oly ay + (ua, + &)æ, renten TO NIQUE ~ A. Ersetzt man 2, 6, 2, und B, in der Gleichung (18) durch diese Ausdrücke, und setzt man, nach Beseitigung der Nenner, d= 0, so findet man die Gleichung der axialen Regelfläche. Die kubische Kurve in we wird dargestellt durch (siehe (19)) M (a a + , Vy) My Vy Ly (a? — 2,°) ad a (aas + hy) Uy LyX 4 d d d | (ce @ + Aj do) Ay V3 =) 3 =e 2 Vy, — 0, oder Wee + dot Æ ass) + dits dits Æ (ds + & 2) a; = 0, (55) ti (0. Diese Kurve schneidet 1, X, (x, = 0, @, = 0) im Schnittpunkte L, von J, mit X,X, und in den Punkten X, und X,. Die Gerade be (Hy Py + ds + by Wy) + yy — 0} 0 | hat in Z, mit der Kurve zwei zusammenfallende Punkte gemein- sam, sie ist also die Tangente in Z,. Diese Tangente ist offenbar die Projektion von 4, aus X, auf wa. Die ‘Tangenten in X, und X, schneiden sich hier in Xs. Bei dieser Gerade /, haben wir, wo es sich um die Doppelkurve handelt, einen anderen Weg als im allgemeinen Falle gefolgten einzuschlagen. Wir haben ja damals mit den Coordinaten a, und as der Spur von / mit w, operirt, welche nun beide unendlich sind. Die betreffenden Rechnungen sind sonach hinfällig geworden, Wir werden deshalb, mit Beibehaltung der Methode, die Rechnungen so abändern, dass wir mit den Grössen a, a>, bj und 4, nichts mehr zu schaffen haben. Eine Ebene durch /, wird dargestellt durch (ar @ + + 4303 + ais) + Aa; — pa) =O . (56) Der Congruenzstrahl p wird dieser Ebene angehören, wenn man hat DIE CONGRUENZEN VON w'— c2 : w UND w' = w° : c. 55 ap À My Px + AJ À = ne or 57 cal 2 0) | el) Pie, Pe Der Strahl y wird in derselben Ebene liegen, falls gn Farla FJ Bj A 0, EE (DS Abia Papeete | OE die 9p Der Schnittpunkt von p und g ist also bestimmt durch die Gleichungen (24), (25) und (26). Es ist nun unsere Aufgabe die Grössen py, ps, 91, ge und A zu eliminiren aus dem System nat 25 di Pig a Lo D VE Fe (26) Ui 20e el ee fon oe ll hn ONE 00 Hy MG Pao Dips Air Ce A Dee ee Lt (OA) Hina io MM AN EE) Ha dd» + 4,0, + da, +-A(@;—pa,)—0. . (56) Die zwei Gleichungen, die wir nach der Elimination übrig be- halten, bestimmen dann zusammen die Doppelkurve. Addiren wir die Gleichungen (57) und (58), so finden wir dr (py + gi) + @ (po + go) + 2@+aA=—0.. . (59) Bringen wir die Glieder mit y, und g, nach der anderen Seite, so erhalten wir nach Multiplikation & Py i = Cs D> (a —- he (3 ie À) (Pr | q2) (CA A). (60) Dividiren wir die Gleichungen (59) un (60) durch y gi = py J, so bekommen sie die Form SPE 4e META) à Ain "Px Qo Pig > 56 DIE CONGRUENZEN VON w' — ce? : # UND w' —=w?:e. PB + 2 CZ ar Ay = 6 (a — a”) ae CACA À) P2 YJ» Pi Mit Verwendung der Gleichungen (24), (25) und (26) finden wir dd, + dd 4. 2 (a+ A) ay = 0. 2 | (a — af) @ + (as + A) & + (@ + A) a, = 0; letztere Gleichung schreibt sich, vermöge (61), auch also: 2 2 aj A (ao — ay") di (3 + A) Hy de — ra (aa, + Gas) = 0 a oder (dy + A) (mia, — a, a) + Za —a)e, —=0. . . (62) Durch Elimination von À aus (56), (61) und (62) ergiebt sich schhiesslich (a, vy + As Bd 9 4303) (d3 — Ui) — 2 (a2, a Uy lg + 4523 Judi) == 0 oder D, (ae, + & ay) (@ + uv) + 2 (ua Hd) — 0 (63) und [as (em, — as) + 2 (a — a) ay] (23 — mars) — — (dj di — &, do) (dy a, + dote + 2383 + av) = 0 oder Oy, (ar — ma) [aa + Hy ay + (ua, + &) ay] — — 2 (a, — a,’) (7; — pa,)a, = 0. (64) Die Gleichungen (63) und (64) vertreten nun die quadratischen Flächen ®, und ©,, deren Durchschnitt die Doppelkurve enthält. Weil die Gerade di di + At 0, | Bir) oder die Gerade XY, Z, auf den beiden Flächen liegt und keine Doppellinie ist, ist sie von dem Durchschnitt abzutrennen. Die Restkurve ist ein Kegelschnitt, welcher /, schneidet; er ist ein Teil der Doppelkurve. DIE CONGRUENZEN VON w’ — e2 : # UND w' = w? : ce. Di Die Ebene dieses Kegelschnittes bildet mit der Ebene durch /, und X, L, [d.h. mit der Ebene (/,, X3), deren Gleichung &, , + &,æ, + + (ua, + 4) 7, == 0 lautet) ein Element des Büschels quadratischer Flächen, welches durch ©, und Q, bestimmt wird. Es gilt nun die folgende Identität : 2 (ai — 4) [jn + cy @2) (es + vas) + 2 (HAs + a) vj | + + (43 + 4) [Cou By — thy By) le By + Ly By (nas + à) | — re) ur) ri] = = (au di + Gy Wy Je (ue, + ty) à]. (Cats + ey) (ou di — 3%) +- +2 (a2 — a2) (@, + pay) Setzen wir Gey By + Oy ay + (ua, + Ly) à, — (as À dy) (& da — den @y) 4 2 (on — ay") (@; + ua) = W, 7 Va, so gestaltet sich die Identitat wie folgt 2 (ay — ay) D + (ue + a) On = Vi: We. Die Ebene 7, verbindet Z, mit X3; die Ebene WV, enthält daher den Doppelkegelschnitt, welcher also dargestellt wird durch De — (di dy + Ao Vy) (@; + mes) + 2 (MH + a) a a, = 0, (63) Wi, = (az + Oy) (midi — 420) + 2 (a — 237) (es + ma) = 0.(65) Der Kegelschnitt geht offenbar zicht durch X, und X. Er schneidet /, im Punkte See (me; + ay)” + 4 ie (a — a») oH Zas (ae; + a) 5 eN 4). x 2 a (as + 4) À | By — Ua, 4? und X, X, im Punkte ay di = as Vy = 0 , | Li — 0 se: De (ei) der im Bezug auf X, und X, dem Punkte Z, harmonisch zuge- ordnet ist. 58 DIE CONGRUENZEN VON w’'=c?:w UND w' =w?:e. Der Doppelkegelschnitt wird zur kubischen Doppelkurve vervoll- ständigt durch die Gerade X,X,, weil die Doppelkurve ja die Punkte X, und X, enthalten muss. Dass À, X sich als Bestandteil der Doppelkurve herausstellt, ist auch daraus klar, weil jeder Punkt Y von X,Y, zwei Congruenz- strahlen YY, und YX, trägt, die beide mit X, X, identisch sind und /, schneiden. Falls 7, überdies X, X, schneidet, hat man Ras + & = 0, sodass die Grössen (2, (2, LB und 2 die folgenden Werte auf- weisen : a, met a) a Sn d 2 (od az Ly) Ap eo ï à 4 _ (3 ua )4o Bi 3 2 Ce Dr d Durch Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung (18) be- kommt man die Gleichung der axialen Regelfläche der Gerade 4, welche X,Y, schneidet. Da die Gleichung sich zwar ein Wenig vereinfacht, jedoch vom selben Grade bleibt, werden wir sie nicht ausarbeiten. Die kubische Kurve in we wird nun gegeben durch ke (rar + ey By) ay Bo Ts À A42) 23 — 0.. (060) Die Tangente in Xs ist bestimmt durch te) 3 hy By + ddr = 0; sie ist die axiale Projektion aus XY; 1, auf we von derjenigen Ge- rade in wo, welche das Bild der Gerade XZ, ist. Die Tangenten in den Schuittpunkten Z,, XY, und X, mit der Gerade X, X, convergiren alle nach Xs. Der Doppelkegelschnitt der axialen Regelfläche würde nunmehr bestimmt sein durch (siehe (63) und (65) DIE CONGRUENZEN VON w —ce2:# UND w' =w?:e. 59 an ®, ZE (a, ay + ay a) (23 + 777) — 0 5 Wi, = 2, + pa, = 0. Weil hier aber ®, die Ebene WV,’ enthält, ist diese Combina- tion unzulässig. Die Kurve ist jedoch ebenso gut bestimmt durch (siehe (64) Om — Cae Di SE ae Pe LS 2 (Cre Tk a) (CA + 777) Vy = 0, (6 7) Vie tan AO ak dk (68) Der Schnittpunkt mit der Gerade /, ist der Punkt Z, auf X, X,. Der zweite Schnittpunkt mit À, X, ist wieder, in Bezug auf X, und X,, dem Punkte Z, harmonisch zugeordnet. Im Vorgehenden haben wir die Fälle erörtert, wo die Gerade 7, auf welcher die Congruenzstrahlen ruhen, entweder willkürlich ist, oder eine besondere Stellung einnimmt, aber nicht in einer singuliren Ebene liegt. Der Grad der axialen Regelfläche war auch in allen diesen Fallen sechs. § 8. Die axiale Regelfliche einer Gerade l in &. Wir werden jetzt die axiale Regelfläche einer Gerade / in € betrachten. So bald die Gerade / in e liegt, ist die eine ihrer Gleichungen Ly — Vs — 0; für die Durchstosspunkte 4 und B’ gilt somit ONO en er ate en on | KO) Die Ausdsücke (2, LR, LR, Po gestalten sich nun in dieser Weise CG, — a5), 2, = b Bo Die Gleichung (18) lautet demnach LA (ay — aa, — 0 a), (@, — ax, — D a), | | a (a, Eu do). 60 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w —#?:c 6 (a, >) > —(a,—av,—b'a;) >+(#,—arv3—l'2,) > 0 VENEN 4) d'A (ay avs EAR bela») > Harbor) Lal — ars be) > b'2,(a,—a#)— —b'x,(a—ay) > | 2 avs b 2), RL (v,—aa;—b ‘@,) —2#,(@,—aa;—b'a,;) > 0 , bn ( Ly—AX3;—b a) > x, (ds AV» LEA) 5 a) Bezeichnen wir die vier Horizontalreihen mit &,, R,, À, und R,, so können wir die Determinante darstellen durch oder auch durch hy Nes in Arlen he R3 — a, À; To Rk, — 2, R, Tog Nennen wir die vier Vertikalreihen dieser Determinante A,, Jy, Ks, K,, sodass die Determinante sich schreiben lässt | | A’ — | ie ER Je K, > so ergiebt eine zweite Umformung | | . ‘== | Ki — a K,, K,, Ky + Ko + ho | = | FE Ky, Ks a | à Die Vertikalreihen A,’ und ZX, sind offenbar durch (x, — @,) teil- | bar. Wir setzen deshalb. | Ty. — (a, sue do) KE ne — (a, eae do) ee 2 mithin En re (æ do) | Os Ky, Ks, K, Eine dritte Operation liefert ! À on ES a Fol RANT a se = (a, — 2) | Ky", Ky", Ki’, Ke DIE CONGRUENZEN VON #'— 6? : # UND wo’ = 10°? = Cc. 61 Wir haben nun = Ky’ a K — a, K, 41 = ZZ = a D aD D 7 1 7 (@,— 23) K,— a, K, Ke == K,—x, Gs zE — == a — Vs CA Es Vy VY = Vs ; WE Ko Kad ty K, 8 Ta — dz Kt KK Ct it Bot Kia Ki) a _ BAK AeK, Ly Lo = DY aa Vs Die erste Umgestaltung giebt b (a,—2a») ,—(#,—aa,—0'2,) (aar be) , 0 | ay Pa arb) ; 0 — 2 +02 0,16 oo, H&A Ue, 4) eer ary dr) vera; l'es, 0 (aars Va) —b' a, (ts —22) »Æ(di — 2) U (P, — Lo) > —4(2, —2;) Es ist also B(x, — ap) 23 (@, — ax, — ba) | lel Ô a. SOLS IW — a; (7, — ax, — ba) — Ba, (4, — a) b (a, — 2) jé K? Kok, = 1 | — 43 (a — 2) Las, T3 ; Li — do La — By | — #3 (€, — 4) ee \ (dx, — b'a,) (a, — 23) ars — ba, De en a K3+ Pz Ky Dy === La (az; + 5 ay) (a, — 22) [ax +- Ba, = = ee (a, — 4) Ye a Dy = CA AL, Dz (a, a Ly) ADP, Ds | (aa, + Dot, — AX, 22)(4,— 22) \ 2,0, + TB, — Tito ll 62 DIE CONGRUENZEN VON w —c2:7% UND w' =w?:e. rene ne ee av “FER do it) oe) Ì AX; (®, — 2) "ne de, @, --- By | (#2 — bv) @ — a rahe Ly, — 0 a, az 24) (% — At, + 2a, ” i Ast oo Ay KG Ze = G ay ae Wy nr Che) {— 1 = fe es Bas) (a — 2) et ere ba, vy = Ws ads (a === >) Av; (— av, = 2 T,) (a, FE D) me: al, + 2 Vy, Wir erhalten daher schliesslich if ! b T3 + b dy, SE 1 ARS, i / , | —#3 AR #5 „ars a—b a, A = — (7, — 3) } ; — 0. (71) = Vs „Ag Vs NUE) un b y, 5AV2 ALg— ba 4,@ a, ea,—av 12» — a+ 2%, av, —- 2, Die axiale Regelfläche der in ¢ befindlichen Gerade / setzt sich demnach zusammen aus der doppelt zu zählenden Ebene ¢ und einer begwadratischen Yläche. Die kubische Kurve in ©, wird jetzt dargestellt durch (siehe (1 9) b (2 — 2) a By — 3 (4 == @) (a — %) ale ars (a — 2.) 0; und ist deshalb zerfallen in die Gerade wv "FER Vy — 0 > oder Le DA und den Kegelschnitt Va : ba Em) + a —= 0, . NM welcher durch X, und X,, aber wicht durch X, hindurchgeht. Die Tangente in X, ist angewiesen durch LA oder DIE CONGRUENZEN VON w’ =—c?:w UND w' =w?:e. 63 sie ist also die Gerade, welche X, mit dem Bilde B von B’ verbindet. Der Punkt B ist der Schnittpunkt ; D der Tangenten in X, und X,, also eas der Pol von À, X, in Bezug auf den Kegelschnitt Ya. Der Kegelschnitt > begegnet X, X3 (a, = 0) im Punkte X, und in dem Punkte, wofür- Lj = al’, s also in dem Punkte 4,, wo AX, die Gerade YX, X, trifit. In gleicher Weise zeigt man, das der Kegelschnitt Y. und die Gerade XX, sich und die Gerade XY, X, in demselben Punkte 4, schneiden. Es leuchtet ein, dass der Schnitt der biquadratischen Fläche mit we aus dem Kegelschnitte Ÿ und den beiden Geraden X, 4 und 4, 4 zusammengesetzt ist. Der Schnitt in ©, ist selbstredend gleichartig beschaffen. Die Doppelkurve ist jetzt bestimmt durch (siehe (45) und (46)) o = §,(aé,— 6’ {== g, (a&3— b 5) = = (Fe +) (af — b’&,) — ll), und PE lak, —(1 — ad) El — EF lag, — (1 —ad) El = — (&, Er £2) IAE Ë SR @ RE ab’) 7 —- £) Eil = 0. Sie besteht offenbar aus der Gerade Ey = Er a WE d.h. /, und dem Kegelschnitt ab, EO, | : | tels: CRE — (lh — ab) (2, = 5), — 0. | Le, Dieser Kegelschnitt enthält A, und X,, und trifft / im Punkte C,: KON | Ei ENE NU) afs — 6 rae) | Er schneidet die Ebene ¢ im Punkte 64 DIE CONGRUENZEN VON w'—=e?t:w UND w' —w?:e. oder ! 2 , ' , , 2 y= dy = Ë = ag; AR DE = a Pr Ea Ei b = i Ens oder endlich (75) Dies ist der Pol ZL der Gerade. /.@, = 2 = az, Gem Bezug auf den Kegelschnitt e (a — 2 = 42, 2). § 9. Die axiale Regelfliche eines Congruenzstrahles s. Die Gleichung dieser Fliche wird leichter auf direktem Wege als durch Umstaltung der Gleichung (18)) abgeleitet. Ein Strahl p schneidet einen Strahl s, wenn (siehe (23)) der Bedingung Di SAPO So. ss olin oc CROIRE genügt wird. So bald wir aus der Gleichungen 1 Ly = Py Ba = Ly 1 a) UE) — Po V3 + pa Vy und aus (76) die Grössen py, und y, eliminiren, sind wir schon im Besitz der Gleichung der zu untersuchenden Regelfläche. Aus (1) folgt at Wa — 4a; a, A (otis NC DEN 8 A ae _utWVar Ann Be PAPA Durch Substitution dieser Ausdrücke für y, und y, in (76) erhalten wir DIE CONGRUENZEN VON w =c?:w UND w'=w?:e. 65 Sy CA ae Ver — A, 3 45) — S» (25 ate We} —- A, da Di)» oder on CA TE. Sy WV; = ao Sy Wat EFR 4 Bs Vr, Se 8» 174 dn Fn A Ws CAE also ha Ly + 85 4° pace 2 Sy So Wy Vy == Se DE 4 = 4 se v3 Vy, + ge Ge Pp — As a, a + 2% 8, Va (a —A a, &%) @ — 4 23 2%), oder 2 2 2 : 2 SS, Lo — 9 (# = Sy )\@3 1, = Se Sy Sy Wa, Sas À V2 %,) (25 KCR 4 V3 Ly) > daher Sy 85 By ay — 48, (6,7 + ame, + Ale + 37? rx) = — SP Dy ey, À ce SU LW, kmi À, 3 So Do La, + ] 6 SS bs Dy oder, nach Division durch 4%,x,, Sy So (Sy dr So 25) (55 UNE Sy Lo) +- (8? == Sk ds Vy = 0. (7 7) Die axiale Regelfläche eines Congruengstrahles ist somit vom zweiten Grade. Die Fläche schneidet we in den Geraden Sp die 8,05 = 0; d.h. X38, und Sa da — Sad» = 0, oder der axialen Projektion aus X,X, auf wa der Gerade X, S°. $ 10. Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles in €. Befindet sich der Strahl in e, so ist 8, — s,; mithin geht (77) über in (a, — a) = 0. Das Hyperboloid is demnach in die doppelt zu zählende Ebene € ausgeartet. $ 11. Die amale Regelfläche einer Gerade m in we. Zum Schluss wollen wir noch die axiale Regelflache einer Gerade m in we einer analytischen Untersuchung unterwerfen. Verhand, de: Kon, Akad. v. Wetensch. (1e Sectie) Dl. X. 15) © 66 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'=w?:e. Eine Gerade m in we ist ein spezieller Fall einer Gerade /,, welche X,X, schneidet und in der Ebene ©, liegt. Es wird hier die Ebene dargestellt durch +, = 0, also ist DEN Substituiren wir diesen Wert für w in die Gleichungen, welche die Grössen B,, R,, 2, und @, bestimmen, so ergiebt sich (siehe S. 58) ER = (44 Fa + tz 23) Ay LA Br = — amd, A kB ST di Up » LA Bo = = dan ; wo 4 do ao — Tr Ersetzen wir in der Gleichung (18) 8,, @,, B, und B, durch diese Ausdrücke so finden wir Cy By tot als » dy > — lis 70 ees Ge HAHA) OL, V Vy, — nV Vy ‚(Ph A 3) dos eg oja) Uti, (A Ao tar), — VV, » id 0 Tets yf aya,” » ax oder, nach Division durch 2,’: di À da À as » by > ay ‚0 ee vj HLH A33) — Up Lp 5 eV, date = 33, dp ZR —= Li == U. By (Oey di + dodo À 33) — Ag U a À yg, LV ad! | 0 , — de U » La Substrahiren wir ferner +, mal die erste Horizontalreihe von der zweiten, und #2, mal die erste von der dritten, so finden wir aats Ha? do » a , 0| RE NS = ay — . Fa a, V3 Uy, > jy + 43, 0 > CA | 0 Us TUUT Be DIE CONGRUENZEN VON w'—=c?:w UND w' — #2: c. 67 Aus dieser Rechnung geht hervor, dass die axiale Regelfläche von m in we zerfallen ist in die dreifach zu zählende Ebene ox und eine kubische Regelfläche. Die Durchschnittskurve in we finden wir am leichtesten durch Substitution von #,— 0 in die Gleichung (78), wobei wir selbst- verständig den Faktor 7° weglassen. Die Substitution 7, — 0 liefert ey Vy -F ey, À thy @3, ty » ay ‘aly 0 sol) NÉ ani Le 0 0 , data + as, 0 ed 0 | 0 „0 ‚ 43 oder (ar À ey Vy À ads) (na Hr ads) (arte + axes) — 0. Nennen wir JZ, den Schnittpunkt von m mit X,X,, #, den- jenigen mit X,X,, JZ; denjenigen mit X,X,, so besteht die Schnittkurve mit * we aus der Gerade m nebst den Geraden / ie X,M, und X, M.. ns es Es sei G der Schnittpunkt von X, 47,, X/ ie AS und XM, welcher also bestimmt ist durch 4 ee UU = y= — 4,0, . . (79) My er K: re re = : : 3 5 Fie. 3. Die Schnittkurve mit ON wird ermit- = telt durch Substitution von #, — 0 in (78); man bekommt sodann | ey 2 <= Us, Ky » a ; 0 | 0 5 0 ’ a, da 9 a» | | == 0 A 0 > 4 av ; 0 > a | 0 y TUD, TU, 43 | oder (aay + ad) (azo Haa UH a 2225) = 0. Diese Kurve ist deshalb zusammengesetzt aus dem Bilde von X; 17, und dem Kegelschnitte p, welcher in w, der Geraden m in we zuge- _ordnet ist. Es sei ferner 77 der Schnittpunkt dieser beiden Linien. Der Punkt H wird nun bestimmt durch U 3 By = — do dz = (U — u) 25. (80) Die Doppelkurve der axialen Regelfläche Fig. 4. 68 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w' =w?:e. einer in ©, befindlichen Gerade Z,, bestand (siehe S. 56) aus der Gerade X,X, und einem Kegelschnitte, welcher durch die Glei- chungen (63) und (65) bestimmt ward. Wenn wir g einen unendlich grossen Wert erteilen, so gehen diese Gleichungen über in (a @ + aa + Zaza) a, = 0, des (at — date) + 2 (a — à) & = Der Kegelschnitt ist infolge dessen zerfallen in eine Gerade der Ebene we und in die Gerade ay, A + a + 2 gl, — 0, . . (81) az (Gy @, — dodo) + 2 (a — a), = 0. . NC Diese Gerade ist also die Doppelgerade 4, der kubischen Regel- fiche von m. Wir können diese Gerade 4 m auch durch die Gleichungen 9 9 a3 Coy i= Cae QS — = ee EE © 1 2 3 =e “hy by 4 (83) u as? — a,” do = TTT Ze Vs = er Vy, 5 ‘ 5 A (84) a a) dz darstellen. Aus dieser Form der Gleichungen ist es unmittelbar ersichtlich, dass die Gerade d,, sowohl den Punkt G wie den Punkt MZ’ enthalt. Diejenigen Punkte von d,,, wo zwei unendlich benachbarte Erzeu- genden (Congruenzstrahlen) zusammentreffen, sind die Zwickpunkte (Cuspidalpunkte). Dieselben liegen demnach auf der Fokalfliche. Die Ebene, welche durch (83) dargestellt wird, verbindet d,, mit X,; sie schneidet deshalb den Fokalkegel Æ,, (der durch die erste der Gleichungen (3) vertreten ist, in zwei Geraden durch X,, welche wir z und #° nennen werden. Eine kleine Rechnung ergiebt, dass die Gerade xz bestimmt ist durch d 3 Ly, EE Se — Zas (a +4) GE A) 4 und die Gerade »’ durch U v 3 C2 4 — 2a, (4 — &) iz (a — 4) as DIE CONGRUENZEN VON w =c?:w UND w’=w?:c. 69 Der Schnittpunkt A von # mit der durch die Gleichung (84) bestimmten Ebene ist gegeben durch ay Us (ED) — 24; (a in d)) 2 a (Hy == a) F3 (4 = 4)” Cae Der Schuittpunkt A’ von 7 mit derselben Ebene ist bestimmt durch Ui Lo d3 av, aS =: = =—. (86) — Zal) Hel) (& — x) dz Es zeigt sich also, dass der Punkt A in der Ebene ¢ (2, = 2,) liegt und dass der Punkt A” sich in der Ebene © (4, = — a) befindet. Weil Æ sich sowohl auf #, wie in e befindet, liegt dieser Punkt auf dem Kegelschnitte e in ¢, daher auch auf #. Der Punkt A’ befindet sich auf dem Kegelschnitte e° in ¢, somit auch auf 4. Die Gerade d,, schneidet also die Fokalfläche auf den Kegel- schnitten e und €. Die Schnittpunkte A und A’ sind die Zwick- punkte der Doppelgerade. Die Torsallinien sind die Congruenzstrahlen, welche sich auf K und A stützen. Die Coordinaten y, und y, der Spur 7, des durch A hindurch- gehenden Strahles sind bestimmt durch Mn ' 2 ; i V3 Pa RER di a +- Vy == 0 > V3 Py — ® P, + %, = 0, also in diesem Falle durch (ay + 22) py + 2 (en + &) asp + ys = 0, (es + 2) py’ + 2 (er HH) asp + aÿ = 0, woher 2 a 3 == (87) La dy + & a, at. de ja! 2 NE 1 Die Coordinaten genügen der Gleichung &, a, + 4,2, + 43,23 = 0 ; der Strahl schneidet ja die Gerade i, welche auf der Fläche die Rolle der einfachen Leitlinie spielt. 70 DIE CONGRUENZEN VON # ~c?:w UND w' —=w?:e. Der Torsalpunkt 7°, wird offenbar durch die Gleichungen (87), (88) und a, — 0 dargestellt. € Die Torsallinie ¢ von XK ist der Congruenzstrahl durch 7! nr? ihre Gleichungen lauten also: AT Hy (go) Vy, — CUS = =¢ (90) Fig. 5. di % ds Sie berührt den Kegelschnitt e im Punkte X. Der zweite: Torsalpunkt 7, ist bestimmt durch v4 as PA SSS — = 5 . . . (91) La dj — a, dy as Po 2, ol Ph (92) und liegt offenbar ebenfalls auf m. Die zweite Torsallinie # wird dargestellt durch a. ay a a, D = — —— a3 — Bn) ne on dy — U) te, Vs == {| = da dy, . . > . (94) und berührt den kegelschnitt ec’ im Punkte A’. Die kubische Regelfläche der in we liegenden Geraden ist hier- mit genügend erörtert. $ 12. Es soll jetzt die Regelfläche untersucht werden, welche durch die Doppelgrade 4, beschrieben wird, wenn m um einen CA do 5 Punkt 4 (= Ui — =a ee 0) rotirt. v2 Ws Da die Gerade m stets durch den Punkt 4 gehen muss, besteht zwischen den Grössen z,, æ&, und x, die folgende Beziehung hy Oy. = ey My eg =O Aal art ep Setzen wir, zur besseren Ubersicht , DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'—#2:c. via zl —= fy 5 (96) a — = 9,, (97) a so wird die Doppelgerade d,, bestimmt durch (siehe (81) und (82)) Cay Ode dg Ua, a oe. (98) Pa da — Pod + 2 (HY — oy) — 0 , . . . (99) während y, und », durch (95) verbunden sind, also durch Pi a, De Oe i oe 100) Durch Elimination von y, und y, aus den Gleichungen (98), (99) und (100) erhalten wir die Gleichung der durch 4 Regelfläche. Aus (98) und (100) gebt hervor erzeugten dy — 24,43 (p4 — = 5 5 Ay di = ay do FE: di + 2 ds Ms Ay di — A1 3 Ua == Setzen wir diese Ausdrucke für g, und g, in (99) ein, so fin- den wir d'A (CA A 2 453) + Ws (a, = ? a La) A, @, — A, do + 2 JE 9 (Zo on 2 Ay 23) id (2, Dr 2 di ds) ip UN oder | 9 d'A Ws =e 9 (45% Si Uy @y) v3 | (A54 Les di 25) + + 9 dr | ES Zie Si Dek + 4. (Aya, SS Aa) Bat 4 (— ae = dy) 23" — 0 , oder endlich Wad 3 — A, V3) (AV -— A, Ly) — — BA — ay —4 (aa, — Qa); + 4(a2— ay) v77|=0 (101) Diese Gleichung stellt also die Regelfläche (4,) dar, welche sonach vom dritfen Grade ist. Die Schnittkurve in we (+, — 0) wird gegeben durch (ide — Gy Wy Lg — Uy Lo @3) (au — UL) —= 0. . (102) Tie DIE CONGRUENZEN VON w’' =c?:w UND w =w?:c. Sie besteht aus der Gerade XY, 4 und einem durch X,, X und X; hindurchgehenden Kegelschnitt VY. Die Tangenten in X, und X, an dem Kegelschuitte begegnen sich offenbar im Punkte 4. | Die Schnittkurve der Regelfläche (d,,) in w, (w; — 0) wird durch die Gleichung Uy Vs (a, vy eee Uy ds) Es ae RE 2) Vy = 0 . . (103) vertreten. Diese Gleichung stellt eine kubische Kurve dar, welche durch die Punkte X,, X, und 4, (den Schnittpunkt von X, 4 mit X, X5) hindurchgeht, und in X, einen Doppelpunkt aufweist, deren Tan- genten X, mit den Punkten # und Z’ verbinden. Die Tangenten in X, und X, sind die Bilder von X,4 und X, 4. Sie schneiden sich in dem gleichfalls auf der Kurve liegenden Punkte 4’ (a, : &, — ear ID IDE Der Kegelschnitt > und die Gerade X, 4, welche zusammen den Durchschnitt von (d,,) mit we bilden, schneiden sich ausser X;, im Punkte B, wofür gilt a nd 9 ay da, Wy = 9 A3, dy = 0. . . . (104) Dieser Punkt 2B muss ein Doppelpunkt des Schnittes in ©, sein ; er ist also ein Punkt der Doppelgerade A der Regelfläche (d,,). Auch X,, der Doppelpunkt des Schnittes in w‚, liegt auf A. Die Doppelgerade A von (4,) wird daher durch die Gleichungen EN NA > oe dargestellt. Die einfache Leitlime ist mit dem Congruensstrahle a — 4d’ identisch, welcher 4 mit seinem Bilde 4’ in ©, verbindet. Diese Gerade wird ja durch jede Gerade d,, geschnitten, weil sie auf der axialen Regelfläche jeder Gerade » liegt. Eine Ebene 7 durch die einfache Directrix ist bestimmt durch A, (a V4 = ha? Ws — @y) + À (a do TT de da 2) = 0 "(bi oder À (dy % — Gy" 3) + Ag (Gat, — d'a ds) M + À i TIRE Substituiren wir diesen Ausdruck für +, in die Gleichung (101) der Regelfläche (4,), so folgt: DIE CONGRUENZEN VON Fe =c?:¢ UND w=w?:e. ike (A4 E Ap) (dd — Go dx V3 — 1233) (A, %, — UL) — GF it | À Ma, + A; As Ws a (A, he + À ay’) Ve | de lay? — ay — 4 (ads — dat) vj + 4 (a? — ay) ep) = 0. Diese Gleichung stellt die Gesammtheit der drei Ebenen dar, welche X, mit den drei Geraden verbinden, die V mit (d,,) ge- meinsam hat. Diese drei Ebenen schneiden ©, (4, — 0) in den drei Geraden, welche durch (A, + Ay) By do (ap — Ay Bx) — (A, @ + Az ay ay) (UY — vy) = 0 oder (ar B — 4520) (Aya, + Aw”) = 0 bestimmt sind. Den drei in V befindlichen Geraden gehôrt die einfache Direc- trix a an; diese wird aus X, durch die Ebene dy d'A ci Qs as si (Gi as di) d'y == 0 projektirt, welche w, in der Gerade a WV Sr Qs dy = 0 schneidet. Die projektirenden Ebenen der beiden anderen Geraden in VY schneiden w, deshalb in den beiden Geraden, welche zusammen durch À Bi + Ang = OF . . . . . (107) dargesteilt werden. Wenn die beiden in V liegenden Geraden zusammenfallen, ver- einigen sie sich in einer Torsallinie; auch die aus X, projektirenden Ebenen coincidiren dann, ebenso wié ihre Spuren in wy. In diesem Falle muss die Gleichung (107) offenbar zwei ewsammenfallende Geraden darstellen; dies trifft zu, wenn entweder A, == 05 oder As 0: | Es folgt vermöge der Gleichung (106) hieraus, dass die Kbenen Ay Vy — Ay 0, — U = 0 und 74 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'—#?:0c. di V4 —- Che Vs Vy == 0 — das sind die Ebenen (X,, a) und (X,, a) — die beiden Torsallinien fa und f, enthalten. Sie schneiden deshalb die Doppelgerade A in den Zwickpunkten A, und A. | Die Ebene (X,, 4) trifft A in einem Punkte, welcher bestimmt ist durch d'A dy d'3 La t hy > = = = —; 108 RANCE 1 ly” Ce Dieser ist also der Punkt K,. Der Punkt A, wird gegeben durch ay By d3 Ls Te 24, 24» 1 ay Der Zwickpunkt A, liegt offenbar auf dem Fokalkegel #, (a, = 42,2,), während , sich auf A, befindet. Wir kônnen die beiden Zwickpunkte auch als diejenigen Punkte auffassen, welche A ausser X, mit der Fokalfläche gemeinsam hat. Die Torsallinie 7, ist diejenige Gerade d,,, welche durch K, mt 2 hindurchgeht; sie ist daher, vermöge (98) und (99), durch 24% + 2? ap + 2 — 0, Zan arta — Fy) = 0, also durch AM + &P + l=), an — at + a3 (02 — 92) = 0, bestimmt, so dass man hat Soap A a ee Die Torsallinie ist somit mit der Gerade X, À, identisch und daher eine Kante des Fokalkegels 4. DIE CONGRUENZEN VON w —c?:# UND w'=w?:e. 75 Ebenso ist die Torsallinie 7, mit der Gerade XK, identisch und durch : d'A da dy En AAC 2 a, 1 di bestimmt. Der Schnittpunkt von /, mit a ist der eine Torsalpunkt auf der einfachen Directrix. Für diesen Punkt hat man offenbar Dy Pe Ep es ees (112) —_—— ae = e . . ~ Ce, ee CT a are, Derselbe ist der Punkt 4,, wo a den Fokalkegel #, berührt. Der zweite Torsalpunkt ist der Berührungspunkt 4, von a mit dem Fokalkegel Æ,; er wird durch ES AGA SO ED dargestellt. Wir sehen daher, dass die beiden Torsalpunkte mit den Brenn- punkten des durch 4 bestimmten Congruenzstrahles identisch sind. Mit dem Vorigen ist auch die Untersuchung dieser kubischen Regelfläche erledigt. Jeder Punkt 4 in wa bestimmt eine kubische Regelfläche (4,,), für welche a= AA die einfache Directrix ist, während die Dop- pelgerade A den Punkt X, mit dem durch d'A — 2 ay da , Ws — 2 Us ds, Ur, — 0 bestimmten Punkte £ verbindet. Wenn 4 alle Positionen in der Ebene ©, durchläuft, so beschreibt die einfache Directrix die Strahlencongruenz und die Doppelgerade den Strahlenbündel, welcher X, zum Scheitel hat. $ 13. Die Regelfläche der Congruenzstrahlen, welche auf einen durch die Punkte X, und X, hindurchgehenden Kegelschnitt ruhen. Zum Schluss werden wir die Regelfläche untersuchen, welche von denjenigen Strahlen erzeugt wird, die auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitt ruhen. Ein solcher Kegelschnitt befinde sich in einer durch X,X, hin- durchgehenden, mit w, bezeichneten Ebene U = (hy, 76 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w' —#?:c. Diesen Kegelschnitt werden wir mit Y, andeuten. Der in ©, befindliche Kegelschnitt 9, werde durch as Bs ay de + ay (frs + &3 Bas) + ay (@ Be =e 2 Bic) + LE (woor AB) = 000 ONE Big Mir aupres CO OA dargestellt. Die eigentümliche Form der en (114) ist im I. RE hit (S. 16) erklärt. Die Gleichung der Regelfläche wird ermittelt, indem man aus (114), (115) und den beiden Gleichungen (1) die Coordinaten U, 2, #3 und a, eliminirt; man erhält sodann eine Gleichung in y, und p,; diese ist die Bezichung, welche zwischen den Coor- dinaten y,, 2, der Spur P eines Congruenzstrahles p besteht, wenn dieser Strahl den Kegelschnitt schneidet. Eliminirt man ferner aus dieser Gleichung mit Hülfe von (1) die Grössen p, und p,, so be- kommt man die Gieichungen der zu untersuchenden Regelfläche. Die Elimination von +, giebt tes Pad d> + (hy By pe + 3 Ra) yy Je (a Ram + 43 Ry) dati +- + (co Ps” Hs) = 0, da — (Cn fe + 2 Ly» DR (vs je =) Ta Durch Elimination von 2 und +, und Beseitigung der Nenner erhält man a; Qs Pe py? Pa + (ay Ram + 5B») MP po + (eu Bs pa + as Pr) pape + SE a: Ps HP SIR a: Bs Pps =i (a Ps fe Ne a3 Po) Pr Pa ae + (Ba + afd) pr + (a; Bu + %3 Bx) P2 + &; 2=0) is oder Yo Be + Vai De + Yel Bs + Via À Ve Pe À Yo Ma Ya Poet Vesa Vo — Or Gaus) cee PA d'A a dy € P) Wy EEE Ly, And ps durch -—— Wenn wir nun p, durch av. Vv. 3 “3 ersetzen, so finden wir DIE CONGRUENZEN VON w’ ~c?: 0 UND w' =w?:e.- 11 [youre Vita Hr Yoda ds + Yo &3 | Pa Da + la da ds — Yoda di + zi YU — Yord + [V2 dits — otor + Ya 2 — Usa +- [Yo #5 ai CA <= Yo Ds Dn == Vote | U eer 18) Der Kürze wegen setzen wir Yo® ® FNU + Yoda Vo % = Gs, Vi %23—VoU% + Va B — Yeti — 6, Ye dada — Yot + Yr D — VL = ,, MDR Wan Ye) V0, À Yo = bo : ais) die Gleichung (118) bekommt nun die Form 632122 À Ooa + Up, + b= 0. . . . (120) Ebenso wie auf S. 36 die Gleichungen (13), (14) und (15) aus der Gleichung (12) abgeleitet wurden, kénnen wir nun aus (120) die folgenden Gleichungen herleiten: (0, Ui += b, @3) Pa Pa a (9,2 = Gp a3) Pi 030, D> om 6, 2, — 0. Ge) (032 À 9223) pipa — O31 + (ads + Oo) pa — 1% = 9, (122) (O3 24 2, == 0, a, Vz de 12,2, == do #3) Pi D> =] (0 a4 aie (A @3) di Pa — === (6, Vy + 6, a) Vy P2 + 6, Di = (). . A 5 (123) Durch Elimination von p,, p, und p, p, aus (120), (121), (122) und (123) bekommt man 6, ’ 6, ) 0, D do we ba + 6123 0223-00 EC > — Oe en [ba +, »— 03 74 1 Did + 00€ nt | ae, tres + br, Oz, (Or HO) — (Ogen HO) bz,” Indem man zu der vierten Horizontalreihe 2,7, mal die erste, — A, mal die zweite und — >, mal die dritte addirt, erhält man 6. > 0 > b, > Io A: = be les, 6,24 + NA EEN Oz, MT 6,2, == B30 b,0,,— 07, Da + boas eae Uae 0% 3 — (bot dit )3 — Oor, Hbo) Oos À arte CE 0309 Durch Einsetzung der Ausdrücke (119) für 6,, 9,, 6, und 4) findet man folgendes Resultat 78 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'— #2: 0. ld € 2 62, +- 6, Vy, = Yo Ws pe = Ya Ws V3 Vy, = Vo Ly V3 Vs, + Yo Vy Vi + / 2 mn 9 2 Fyz UW — Vols À V2 L3 di — Yala dr ” ! 2 2 — [Yo Vy V2 ——> Va dy CA +- Woy vs Vy SE V1 dy ] dy PN 2 / i. " NN ee (a Got, + 6,4, = [Yo 2, 23.— Yan En ar, pin | 23, 9 2 AS / D AUS 2 bre, + bar, + 0:2,æ, = 6.0, = Vo ts CHER. 71 DLL), = 295) Mya ya dr + Vos" or + = Yo: d'A VyVa 4 == Yous Vy he + Vy U CEA 7 ya vee + Vi ATEN ma 7 Vor. LA + Ya: Lg Li, ET vld À 6 9 2 peo) ty ayaa, Eee ae byes er 2 2 (2 , 2 2 — [Yo Mt yo Ad + Va Lot + Yo A | Be Setzen wir weiter, zur Erleichterung der Ubersicht, " Gras ; se GE e Gr le Yo ULB Ni Lt À Yo da Vi a = Va “a ? mann Mn if ej ) Jas, Mn Da Vo Bla ol Da NLA Yo da = Usp (124) 7 2 Dee poe ee ON GSS Yo Lite + Ve MU EN Lots + York = Ye, so können wir obige Gleichung, nachdem wir durch +.,? geteilt haben, in diese Gestalt bringen: oF » D » Oy bo 0,2, + Gas, 0,24 + 0025, — 93a, dre O32 + 0223, — 63% , Drs + 0623, — Ua | do de et 6, PTE ds > 6, Subtrahiren wir von der zweiten Horizonralreihe 2, mal die erste und von der dritten +, mal die erste, so folgt ” A= = 0. | LE ’ LE > A ’ do | hi | 6, da ; do V3 SR (6, d'A = 05 2) ares (Bo aie ba) | ge =0. 0,23, — (622 ar ô, 2), ie V3 à (9, Vy ie 9, 2) bo Si à 6, DIN au bs ) 6, Wir finden weiter Oje + O50 = (Yo UP + Ya 3 + ya Von + Yo Li) ds, By ty + Vs, — (ya mt Fr Yr Bida Ya aa + Vo Lax) Ze. Der Kürze halber setzen wir V2 Uda À Ya ds À Va dati + Yo dati = bs, (125) / 4 / Ya Uy Uy + Va d'A Uy, +- Yi Vs V3 + Yo 3 dy = 65, und erhalten nunmehr DIE CONGRUENZEN VON #'— 62: UND w —#w#°:c. 19 6% + 43a, = bras, Osa, +- 03 a, = ds 43; Oo 4 +. 6, a, = iS V2, bot + ha Substituiren wir diese Ausdrücke in die Gleichung der Regel- fliche, so erscheint sie nochmals teilbar durch z,. Nach Teilung durch 7, bekommen wir gleichfalls gilt — 6, Ws . | TN NE §,,— 4, 00 > — 6, FN TON (126) Die Grössen § sind alle in den Coordinaten vom zweiten Grade; demnach ist die Gleichung (126) vom achten Grade. Hieraus ergiebt sich, dass die Regelfläche der Strahlen, welche auf einen willkürlichen durch X, und X, gelegten Kegelschnitt y, ruhen, vom achten Grade ist. Es erhellt, dass der Kegelschnitt Y,, selber auf dieser Regelfläche eine werfache Kurve ist. Den Schnitt mit ws erhalten wir, indem wir in der Gleichung (126) +, = 0 setzen; die Grössen § bekommen sodann die folgenden Werte (siehe (119), (124) und (125)): bs = Yor % + V1 UL V2 %% + Yo 437, b= 11% % + NY 3”, \ 0, = Yo 223 + Ya 23, bo = Yo 23”, D ta (127) 6; = Yo U 23> bs = Yo % 22, 6, — Yo a, CA) + V2 Ui La > da = Yi UL JY Po Pa. | Die Gleichung (126) gestaltet sich nun folgendermassen : 5 + | , 2) DAS Le : on. Zn : Dee MPA Y 1% UAV 2% 223 Yo de" (Vy MAN dada (Yo dote 4323, Yo dx | ÿ a Ms ) 2 2 4 is ) hi. ==, fe ) a Ya do + Ye 73) #3 Owes ‚(ya Ta Ve V3 )@— Yo %%3 —(.(128) , [2 1 77 9 es =—| US & MUN v3) 23 AY, YAY Tao Yo 3 ‚— Yo Vas [2 5 2 Me, 5 : uv ’ . u à ; | 0 Ta Diy Cigale Vy 2 da OE @ Pol ot tm 80 DIE CONGRUENZEN VON w' =c2:w UND w' =w?:e. Es gelten noch die folgenden Beziehungen: Yo ANN \ Yi = lar Pz + 23 By), Ya = (a Bt + a3 B,), Yo = 4% Bs 4? + ag Bo, | eae oa ares Ya EN Yi a Pau + aR, , Ya = % Ps fe + a3 Py, Yo = 23 Ps, / und daher Yo + pe Yo > an Men 00 | (130) Ma Yet | Ye = MY - Mit Hülfe der Gleichungen (130) können wir die Gleichung (nach Teilung durch yy’) in dieser Form schreiben: 2 L/4 4 “ A A 3 5 f D TL 4 WY 3 Ny 5 uy ; 2 2 Yo Dar à Mad MY Mrs + Yo ds, (Yo MAN L)L3 (Yo VotV2 das 3 YW A Y 2) uy 4 à (MV Lo +Y2 Us) 23 > 70 & > (40 Ty V2 Van, tz 28f » 7 7 7 A 2205) jo el (Yo Di HY L3)23 ‚—(wYo dy: L3)U 2,0 v3 9 UX Mu 2 uv u Yo &3 > Yo #283 Yo M23 Ui Wir multipliciren die zweite Horizontalreihe mit z,, die dritte mit z,, und addiren dann >, mal die vierte zu den in dieser Weise erhaltenen Reihen; es folgt dann je Yo UVa Ys dy + Ya LU Yo 2, (Yo di + Ya " #3) @3 » (Yo Ls + Y2 dits + Yo #3) d3 > 0 , (Yo U + Yi "Wy 3 + Yo #3) Vz Yo U + Va dits Yo U3)L3 | Yo Dj > —Yo 23 ) (KY Lot yo T3) ‚dg ze (Yo 3 +Y2 2 a+ yo @3 M4 0 BE 0 Ni TE > Yo U4 V3 » VL Jetzt multiphiciren wir die erste Vertikalreihe mit a, und addiren zu der also entstandenen Reihe 7,4, mal die zweite, 2, 23 mal die dritte und y, z; mal die vierte Vertikalreihe. Wir finden nunmehr | DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'=w?:c. 81 1, (470 2 + Y1 "@3)@3 ‚(Yo da À V2 23)d3 A3 | 0, 0 (HY Ls Ys 2230 23) 2,0 =) 0,—(HY U + Yr DUH Yo L3) op 0 SOE 0, — yo 4% ‚Yo 13 VV oder mor yo or HY, es Yo 2) (Yo Co Vs 23 +0 0;7)=0, (131) wo, zur Abkürzung à Ed Yo Uy Ts nes C2 a UL Fute Vy vs Yo, By Bs - drente riete, (132) gesetzt wurde. Die Gleichung (128), welche nach Multiplikation mit ++ in die Form (131) gebracht ist, erscheint deshalb gleichberechtigt mit den folgenden drei Gleichungen: nie ” 2 72 71 2 PY U + Va ALs Yo #3 = 0, L/4 2 L/4 Id 2 MYo Py + Ya ia + Yo V3 In der Gleichung 11 — 0 erkennen wir die Gleichung (116), wenn in dieser y, und p, durch z,:#; und 2,: #, ersetzt sind. Die zweite der Gleichungen (133) stellt zwei Geraden durch X,, die dritte zwei Geraden durch X, dar. Der Schnitt von we mit der betreffenden Regelfläche ist deshalb aus einer biquadratischen Kurve IT = 0, zwei Geraden durch X, und zwei Geraden durch X, zusammengesetzt. Wir wollen nunmehr die Bedeutung der durch X, und X, hin- durchgehenden Geraden erforschen. Die Congruenzstrahlen, welche auf den in we befindlichen Geraden ——_ | (133) mm | M = Pis, U = 0 ruhen, liegen alle in der Ebene = pe, + : (134) La == 1 aw. = Dy, . . . . . . (D J A 1e Pa Ebenso liegen alle Strahlen, welche die Gerade 0 d'A = VA Dz > DV, == schneiden, in der Ebene Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch, (fe Sectie) DI. X. B 6 82 DIE CONGRUENZEN VON w!=c?:w UND #'— #2: c. L Li == VA Vs + as Vy. + A i : 5 5 (1 35) 1 Die Schnittlinie der Ebenen (134) und (135) ist auch die Schnitt- linie der Ebenen, welche den durch Addition und Substraktion von (134) und (135) erhaltenen Gleichungen di PA 91 v3 iy ee 1 ae und en en un PA . . CS AN entsprechen. Fiir die beiden Geraden, welche durch Yo U + Ni UL + Yo v3’ = 0 dargestellt werden, gilt 4 Ya ue 57 MAA 5 wed 1% u Die auf diesen Geraden ruhenden Congruenzstrahlen liegen dem- nach in den Ebenen, die sich in der Gerade T3 — May A li Yo % == Ya A — 0 (ee schneiden. Diese Congruenzstrahlen ruhen also alle auf der durch die Glei- chungen (138) vertretenen Gerade. Ersetzen wir yo und y,” durch ihre aus (129) hervorgehenden Ausdrücke, so bekommen die Gleichungen (138) diese Gestalt: V3 — MU, | a Bs a + (a, 2; == ENA @ = 0, oder BM: Br » 139 ax Ba + & Ba + & Bz. ) DIE CONGRUENZEN VON w!=c?:w UND w'=w?:e. 83 Diese Gleichungen stellen aber (siehe (114) und (115)) die Tan- genten in À, an dem Kegelschnitte Ÿ, dar, welcher alle die Regel- fläche erzeugenden Congruenzstrahlen trägt. Dieses Ergebniss ermôglicht uns folgendes zu behaupten : Wenn der bewegliche Congruenzstrahl längs dem gegebenen Kegelschnitte Y,, gleitet, wird sein Schnittpunkt sich dem Punkte X, in einer durch die Tangente in X, bestimmten Richtung nahern. Die Strahlen, welche in dem X, unendlich benachbarten Punkte des Kegelschnittes auf diesem ruhen, werden entweder in wa oder in w, liegen, und zwei Strahlen werden sich in ws, zwei in &, befin- den. Es sind nun die beiden in we befindlichen Strahlen, welche dem Schnitte der Regelfläche mit we angehôren. Die beiden anderen in we liegenden Strahlen, welche durch 4, gehen und durch Ub) Ag (ER MYo Us + Ya Lotz À Yo ® = 0 dargestellt werden, ruhen aus demselben Grunde in dem X, unend- lich benachbarten Punkte auf dem Kegelschnitte 9. Die beiden durch X, gehenden Geraden sind gleichfalls die beiden Tangenten an der Kurve II in ihrem Knotenpunkte X,. Analoges kann von den beiden Geraden durch X, behauptet werden. Der Schnitt der Regelflache mit ©, ist offenbar auf gleichartiger Weise zusammengezetzt. $ 14. Die Regeflläche der Congruenzstrahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten, in wx befindlichen Kegelschnitt ruhen. Wir wollen uns nunmehr mit dem Falle beschiftigen, wo der Kegelschmtt 7, in der Ebene we liegt, und demnach mt > zu bezeichnen ist. Wir haben nur in den obigen Gleichungen je x zu setzen. Der Kegelschnitt Ÿ, wird somit durch 9 dx dr d: Ay Uy D: Ay Vo d: Av, — 0 3 da da + 20 3 Fr 1 Uy Vy À do % |... (40) m0 dargestellt. Die Grössen erhalten nun die folgenden Werte (siehe (129)): MM g B 6* 84 DIE CONGRUENZEN VON w’=c2:0 UND w' =w?:e. One Way, Motte: Y2 = lu, Yo = WA, Ya = BS , Yo — Me , Na == Hs Ya — Pe , Yo Bel RE wo der Faktor 6; gestrichen ist. Die Ausdriicke 4 bekommen also die folgende Gestalt (siehe (1 19), (124) und (125)): 63 = u (aaa, + aa, 03-4 a 2,2, + av), 0, = — Ba + hy 3) &y, 6, = — pe (a3 @ + 423) Pi do = pa a”, (= — Wa ay, 0; = — put, 5 = pe %o Di, Di PACA Vy == dy 3) dy , 3 == n° (2a == Oy V3) My. Die Gleichung (126) der Regelfläche erscheint demnach in dieser Form lasts + ais dos + de, — (a HD) - (es + a 2), dt A= Te = — («#2 + as) , UV 1 — (yy HI) dit = — (as H & 3) U ‚— (ay, + UL) Vip an NRN CNN , ey Vy , ey Vy seo | oder, nach Teilung durch a;,': asta + Oe Py, ars —( 06 4 er) (rs nn 0) 77 Uy — (4, + 25) Ê ar, (M42 Lys) ey —= 0, (140 — (ad + 23) (Gti dos), AV, 1277 a3 > & » æ » & Die Regelfläche der Congruenzstrahlen, welche auf einem durch | X, und X, gelegten, in we befindlichen Kegelschnitt Y, ruhen, ist demnach vom werten Grade. DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:0 UND w'—#2?:c. 85 Setzen wir +, — 0, so finden wir NN En TEN 0 , 0 > 4 — (ar: +-2,2) , 0 , — (tros), Of 0 ane) aaa), 0 OT LE , hy , Oy >] oder > B (zr + dot) (yy + es) X (ane, ame + das + da) = 0. Der Schnitt mit ©, besteht also aus dem Kegelschnitt Ÿ, und aus den zwei Geraden, M welche X, und X, bez. mit den Punkten je x ye M, und M, verbinden, wo Y,, die Geraden Le Tihs X, X, und X, X; trifft, und sich im Punkte aa A schneiden. : ale . . . OF ein Der Schnitt in w, (v7; = 0) wird durch | As d U) ea aa a; d'A dy RTS a, Vs dr > as ie mao CAC LE OA 0 —= a. MW; = a, YU > a. Vy, ñ Qs Vs, a; > a, » ay ? ay oder waar) (eea) (Ayr, ame, tas, tax) —0 (142) dargestellt. Er ist aus dem durch X, und X, gehenden Bildkegelschnitte von Y., und zwei Geraden durch X, und X, zusammengesetzt. Der Pol von X,X, in Bezug auf diesen Bildkegelschnitt ist durch 1 2 te) D d'A Vy Wy, a, as CA bestimmt. Es ist offenbar das Bild 4’ des Punktes 4. Auf dieser Regelfläche giebt es noch eine Doppelkurve, welche 8 8 wir mit wenig Mühe bestimmen können. Ein Congruenzstrahl p (p,, po) schneidet Y,,, wenn der Gleichung BP HAP pe À do — 0. . . . . . (148) genügt wird. Ein Strahl g (91, go) tut dasselbe, wenn man hat 039492 À La Qa À da Qo À % — 0. . . . . . (144) 86 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w' =w?:e. Die Strahlen y und g schneiden sich, wenn der Beziehung AN = PY» : 5 5 à 4 ë N (23) genügt wird, während ihr Schnittpunkt durch a + ga DEN me ANRT 0 Fey (25) i Pat Dis a ee Te re Pa Ja if ] EE ee ee bestimmt ist. Es sollen die Grössen p,, ps, ga und g, aus den Gleichungen (148), (144), (23), (24), (25) und (26) eliminirt werden. Die Elimination van g, aus (144) und (23) ergiebt BP + Po + HP, + % Py — 0. . (145) Eliminiren wir y, aus (145) und (143), so finden wir ap gy? + en + DA 0 Hu) D — — oa (Pi À %) — % = 0, ; 1 à as + a, ze zigd (a, ?— 2?) on Tú 25 Pi 9 Pi % Pi Pi Od en ge ee a NN Mit Hülfe der Gleichungen (24) und (25) lässt sich diese Glei- chung also schreiben : ee v3 ae as ee ata) ae Den 0 2 ee Uy 4 v4 de oder 2 n ij 0 mn — hy = ty" as a ai ee ne EE — a," ZAG — A . e . . . ° . (147) Diese Gleichung stellt einen quadratischen Kegel #4, mit XA, als Spitze dar, DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w'—#?:c. 87 Hatten wir zuerst y, und g, elimimirt, so würden wir einen quadratischen Kegel 4, mit X, als Spitze gefunden haben, dessen Gieichung lautet: SL ENT ee (a? — az U — Oy Uj Vy lg — == ae — 0. . . e . ° . ‘ e (148) Der Kegel #, schneidet die Ebene +, = 0 in der Gerade X, X, und in der Gerade Zn Diet At — 0, d.h. in der Gerade X, M, Der Kegel #4, schneidet we in X, X, und in der Gerade a do À pda = 0, d.h. in der Gerade X, M,. Es haben die beiden Kegel 4, und #, daher ausser der Gerade XN, X, eine kubische Raumkurve gemein, welche die Punkte X, an X, und den Punkt 4 enthält, wo die Geraden X, 47, und A, M, sich schneiden. Der Kegel 4, schneidet 7, —0 (©) in X, X, und in der Gerade ) en = a, U + aia, — 0. Der Kegel 4, dagegen schneidet ©, in X, X, und in der Gerade Gy Hy À te da — 0. Der Schnittpunkt 2B’ dieser beiden Geraden, welcher durch a Uy = Lo do TTT CA Uy bestimmt ist, liegt auch auf der kubischen Raumkurve. Für diesen Punkt gilt CA a. Ve a: eS ee emt |!) Dy a Ay a, Ui a Lo pel ho Gh a ae eee ee V3 Gs #3 dg oder durch 88 DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w'=w?:c. Hone ANNE dy By À by &, — 0 bestimmt ist. Dieser Punkt B ist offenbar der Schmitt der Tangenten in X, und X, an Y,, also der Pol von X, X, in Bezug auf y. Es leuchtet ein, dass die hier betrachtete kubische Raumkurve mit der gesuchten Doppelkurve identisch ist. Wir haben also gefunden, dass die Doppelkurve der Regelfläche T., welche erzeugt wird durch die auf einem durch X, und X, gelegten, in we befindlichen Kegelschnitt Y_ ruhenden Strahlen, eine Aubische Raumkurve ist, welche X,, X,, den Schnittpunkt 4 von A, M, und X, #,, und das Bild B’ des in Bezug auf ÿ der Gerade X, X, zugeordneten Poles B enthält. § 15. De Regelfliche der Strahlen, welche sich stützen auf einen in Wx befindlichen durch X, und X, gelegten Kegelschmtt, in Bezug auf welchen X, der Pol von X, Xs ist. In diesem speziellen Falle ist der oben erwähnte Punkt B mit dem Punkte X, identisch. Wir haben offenbar a =—0,4,—0 zu setzen. Die Gleichung des Kegelschnittes lautet EN NA 0... 2 5 à CNE Die Regelfläche wird somit (siehe (141)) durch dsl + GDS, — did, — don, Oy dy — W322 sl , — dd , 0 ia — 43a, > — ds 5 UP RE) en a; 0 an sends oder durch wos Po (ap as + aa?) + af a (a + vas, + + CA de Fe Et a Bi) — 0 . . . . . . . (1 52) dargestellt. Der Schnitt in we wird durch DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w' —#?: 0. 89 3 (a; av do + a) 15) == (0) SN der Schnitt in wy) (43 == 0) durch Da neon AE (DB) angewlesen. Die Doppelkurve ist nun (siehe (147) und (148)) durch | 0 DO 3 15 ax Vy == ay dy — 0 , NP D 43 dy En Ay V3 2 gegeben. Wir können also vorläufig nur behaupten, dass die Doppelkurve in ein Gebilde ausgeartet ist, welches zum ‘Teil der Ebene oO, (43 + aya, — 0), zum Teil der Ebene ©, (aw; — aa, = 0) angehort. Substituiren wir in (152) ar; = — 434, so folgt Vako + thy Ui — Ul (an + ay a, = 0, oder zie (a, Ti 2) = (|): Die Ebene Wy, (wo + a,x”, — 0) schneidet demnach die Regel- fiche in den Doppelgeraden X,X, und X, #, deren letstere die Schnittlinie von ON mit der Ebene € ist. Die Substitution 2,2, — + «,a, giebt B (ed) — 0. Die Ebene w, (4,7; — &,, — 0) schneidet somit die Fläche in den Doppelgeraden X,Y, und X, #’, von denen die letztere die Schnittlinie von w, mit der Ebene © ist. Die kubische Raumkurve ist deshalb in drei Geraden, nämlich EN xX, Æ und X, £7 ausgeartet. AUS Regelfläche der Strahlen, welche auf einem durch X,, À, und X; gelegten Kegelschnitt ruhen. Zum Schluss wollen wir den Spezialfall erledigen, wo der Kegel- schnitt Y, den Punkt YX, enthält. In diesem Falle haben wir 90 DIE CONGRUENZEN VON w =c?:w UND x =w?:e. 24 => 0. Demnach lauten die Gleichungen des Kegelschnittes Ca By By À dd Ly À Oy La, — 0, Dr): (154) Die Regelfläche wird nunmehr durch ats + Botg a y ils, — (gj HA) — (yy JA) egy es (430 == 4,43) ? A Vr, > — ado „Als, == |— (aa, + 4423) » — Ut, : Aah, Cal, | CA ; a, : ay 0 dargestellt. Addiren wir +, mal die erste, +, mal die dritte und 2, mal die vierte Horizontalreihe zu der ersten, so finden wir, nach Tei- lung durch z,, | 0 SUBT — 4,032, da, + a, + aa, | — (43 @, + 4223), O30, TT UL , CA er — (4m +4), — bea, , AsV, ; a, | CA b a» : CA 5 0 | Addiren wir zu der zweiten Horizontalreihe +, mal und zu der dritten +, mal die vierte, so folgt 0 NE CAT AT > CATAUT , a, VY + CAT + CAT SS As V2 5 ay Vy + AsV, 0 ? Fa = 0 (1 5 5) == V3 5 0 > 4 di =F CAT ? > Bs 5 by ; a ? 0 Diese Gleichung ist vom dritten Grade und vertritt die Regel- fläche der Strahlen, welche auf dem durch X,, X, und X, geleg- ten Kegelschnitt ruhen. Vertauschen wir in (155) +, und a,, so erhalten wir die Gleichung (78); es ist ja auch der durch X,, X, und 4, hindurchgehende Kegelschnitt das Bild derjenigen Gerade in @), welche durch ay d'A == Ca) Ws = as Uy, — () | Vs = 0 gegeben ist. Die hier untersuchte Regelfläche ist also mit der axialen Regelfläche der genannten Gerade identisch. Für die Eigenschaften dieser Fläche dürfen wir somit auf die in § 11 gegebenen Darlegungen hinweisen. DIE CONGRUENZEN VON w' —c2:# UND w =u? :c. 91 $ 17. Die obigen analytischen Untersuchungen haben bis jetzt nur die rein geometrischen Eigenschaften der mit dieser Congruenz zusammenhangenden Gebilde erörtert. Es hegt nun nahe uns auch um die Gestalt dieser Gebilde zu kümmern. Diese Gestalt lässt sich freilich im Allgemeinen sehr bequem erkennen, wenn die Gleichungen der Gebilde auf ein rechtwinkliges Axenkreuz bezogen sind, und zwar mittels dieser Transformationsformeln : Ci ; æ vy Vs — —<— , 2 Z pan (156) hd La == —— ; 3 h Te In den vorliegenden Untersuchungen aber wiirde eine derartige Transformation der Ubersichtlichkeit der Gleichungen bedeutend schaden, weil eben die gewählten Coordinaten am meisten der Beschaffenheit der betreffenden Gebilde entsprechen. Wir ziehen deshalb die homogenen Gleichungen vor, und wollen aus ihnen die Gestalt der Figuren zu erkennen versuchen. Dies ist nicht schwer, indem die Tatsache, dass die Punkte X, und X, mit den Kreispunkten und die Punkte X, und X, bez. mit den Nullpunkten der Abbildungsebenen [w] und [7w’]| identisch sind, uns sofort tiber die Gestalt der Gebilde Aufschluss giebt. In dem Folgenden beabsichtigen wir nun die wichtigsten Gleichungen in Hinsicht auf die Gestalt zu deuten, wobei wir gleichfalls die Resultate allgemeiner Art kurz zusammenfassen werden. a). Der Feldgrad der Congruenz ist zwei, ihr Bündelgrad wer, ihr Axengrad zwei. Um über den Gang der Strahlen eine möglichst klare Vorstellung zu gewinnen, betonen wir, dass von den vier Strahlen, welche nach einen willkürlichen reellen Punkt zielen, stefs uur zwei reell sind. Dies ergiebt sich durch die folgende Uberlegung. Ein Strahl y ist reell, wenn er eine reelle Spur in wa hat, zg ee > : d.h. wenn die Grössen p, = + = ty = = conjugirt complex sind. 92 DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w'=w?:e. Es seien a, Y, 2 die Coordinaten von 7; so werden y, und pz, durch Boo ont eo mary i cag eg iim yee en ua c ER h as Pr hh? oder durch C (4 ss Zo) pr? rk h (CA +- Yo) Pa + C2o == 0, . B (HOM c(h — zo) ps — h(a — Yo) pe + % — 0 . . (158) bestimmt. Weil die Coefficienten der Gleichung (158) den analogen Coetti- cienten der Gleichung (157) conjugirt sind, so sind auch die Wurzeln von (158) den Wurzeln von (157) conjugirt. Nennen wir also die Wurzeln von (157) a, + if , a, + il, so sind die Wurzeln von (158) dy — if, , &— fn. Es ist demnach zweimal ein Wert von y, einem Werte von y conjugirt; daher sind von den vier Spuren der durch (a, Yo, 2) gehenden Strahlen zwei reell, d.h. nur zwei der vier auf (2, 7, Zo) ruhenden Strahlen sind reell. 6) Singuläre Ebenen sind: 1° die Ebene [w] mit drei Strahlenbüscheln, deren Scheitel in den Kreispunkten 7 und / und in dem Nullpunkte O liegen; 2° die Ebene [w’] mit drei Strahlenbiischeln, deren Mittelpunkte sich im Nullpunkte OQ’ und in den Kreis- punkten Z und / befinden; 3° die Ebene der reellen Axen (a, = 2) mit einem Strahlensystem der zweiten Klasse, welches einen Kegelschnitt e um- hüllt; die Gleichungen von e lauten Pao AFS —4chz—=0,| ij der Kegelschnitt e ist daher eine Æ//ipse, welche OX in O und O' Xin O' beriihrt und. deren Mittelpunkt mit dem Punkte h e— 05 70, z= 5: (159) DIE CONGRUENZEN VON w' — €? :x UND w =w?:c. 93 d. h. der Mitte von OO identisch ist; 4° die Ebene der imaginären Axen (@ — — 2) mit einem Strahlengebilde zweiter Klasse, welches einen Kegelschnitt e umhüllt; die Kurve e wird durch Wy Acts + A4 cz = 0 | Baia! (160) dargestellt, und ist eine Myperbel, welche OY in O, OY in O berührt und ebenfalls die Mitte von OO zum Mittelpunkt hat; 5°. jede Ebene, welche einen Congruenzstrahl mit einem der Kreispunkte Z oder / verbindet ; sie trägt ein Strahlengebilde zweiter Klasse, welches einen Kegelschnitt umhüllt. c) Singuläre Punkte sind: 1° der Punkt O mit einem Strahlenbüschel in der Ebene [7]; 2° der Punkt O' mit einem Strahlenbüschel in der Ebene [w']; 3° die beiden Kreispunkte Z und J in den Ebenen [w] und [w'] mit Strahlenbüscheln in diesen Ebenen. d) Alle Congruenzstrahlen berühren zwei imaginäre Kegel (Cylinder), die bez. in den Kreispunkten / und J ihre Spitzen haben. Die Berührungspunkte (Brennpunkte) der Congruenzstrahlen sind im All- gemeinen imaginär. Die beiden Cylinder bilden zusammen die Fokalfläche. Die Fokaleylinder sind durch (@t+yy Az(h—g) Ce h 161 (@—wy 42(h—2z) Soo, 9 : 9 == 0 Ge l angewiesen , sodass ihre Gesammtheit, die Fokalfläche, durch wtyy S8aez(h—z) , 162 (4 —2) c* TK KERN pe jae, 3 hi dargestellt wird. e) Die Fokalflache trägt zwei quadratische Doppelkurven, welche ihren einzigen reellen Bestandteil bilden. Der eine Kegelschnitt liegt in der Ebene (y = 0) der reellen Axen und ist mit der durch =e (162) We 4-40 —A4chz—0 | à 59 dargestellten Ellipse e identisch. 94 DIE CONGRUENZEN VON w —c2:x UND w =w?:c. Der andere Kegelschnitt liegt in der Ebene (@ = 0) der imagi- nären Axen und fallt mit der durch 22 AD 2 ky Ae Ache = 0) (160) o— 0.) bestimmten Hyperbel e’ zusammen. f). Die axiale Regelfläche einer willkürlichen Gerade /, die [w] in A und [w'] in B’ schneidet, ist eine Fläche vom sechsten Grade, auf welcher / eine wierfache Gerade ist. Zwei der vier Blätter sind aber stets imaginär. Der Schnitt in [w] enthält die drei Geraden 40, AZ und AJ und eine kubische Kurve (siehe (19) S. 39). Diese kubische Kurve ist circular und geht durch die Punkte O, A, und den Bildpunkt B der Spur B’ in [w’}. Der Punkt 2 ist Tangentialpunkt der Kreispunkte. < Die Tangente in O ist die axiale Projektion aus OO' des in [w | liegenden Bildes der Gerade O4. Die Tangente in 4 ist die axiale Projektion aus der Axe Z auf die Ebene [w] des 4 zugeordneten Punktes 4. Die axiale Regelfläche von / enthält eine circulare kubische Doppelkurve, welche / zweifach schneidet. Wenn die Gerade / die Gerade OO’ schneidet, so wird die Doppelkurve eine kubische circulare P/ankurve mit einem Doppel- punkt auf 4. Wenn die Gerade / (/,) den Ebenen [w] und [w’] parallel ist, und ihr Schnittpunkt mit der unendlich fernen Gerade der Ebenen [w] und [w'] mit Z, bezeichnet wird, so geht die kubische Kurve in [w| durch Z,, während ihre Tangente in diesem Punkte die Projektion von 7, aus O° auf [wl] ist. Der gemeinschaftliche Tan- gentialpunkt der Kreispunkte liegt nun in OQ. Die Doppelkurve ist hier aus einem Kegelschnitt und der unend- lich fernen Gerade der Ebenen [w] und [w’] zusammengesetzt. Die Richtung des Schnittpunktes dieser beiden Bestandteile ist zur Richtung von Z, rechtwinklig. Der Doppelkegelschnitt schneidet natürlich auch die Gerade /,. Wenn 4 der Ebene [w] parallel ist und überdies OO’ schneidet, so ergiebt sich die Tangente in O an der kubischen Kurve in [w] als die axiale Projektion aus OO' auf [w] derjenigen in [w'] liegenden Gerade, welche das Bild ist der mit /, parallelen durch O gehenden Gerade in [w], während die Asymptoten alle nach O convergiren. Die Doppelkurve ist jetzt aus einem der Ebene [7] parallelen Kegel- DIE CONGRUENZEN VON w — «2: UND # —#w#?: c. 95 schnitte und der unendlich fernen Gerade von [w | zusammengesetzt. g) Die axiale Regelfläche einer Gerade 7, welche in der Ebene der reellen Axen liegt, besteht aus der zweifach zu zählenden Ebene der reellen Axen und einer bigwadratischen Fläche, welche / als Doppelgerade trägt. Die kubische Kurve in [w] ist jetzt ausgeartet in die Gerade OX und in einen Kreis, dessen Mittelpunkt B der Bildpunkt der Spur B’ von / in [w’'] ist. Der Kreis und die isotrope Gerade 47 schneiden sich und die isotrope Gerade O7 im nämlichen Punkte A,. Ebenso treffen der Kreis und die isotrope Gerade A/ sich und die isotrope Gerade O7 in demselben Punkte 4,. Der Schmitt der Regelfläche mit [w] ist aus dem oben erwähnten Kreis und den beiden isotropen Geraden 47 und 4/ zusammengesetzt. Die Schnittkurve in [w'| hat offenbar dieselbe Gestalt. Auf der biquadratischen Fläche befindet sich noch ein Doppelkreis, welcher die Gerade / in einem Punkte C, schneidet. Der Kreis schneidet die Ebene der reellen Axen, ausser C,, noch im Pole Z von / im Bezug auf die Fokalellipse e. A. Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles s ist eine qua- dratische Fläche. Der Schnitt in [w] besteht aus der Gerade, welche O mit der Spur 8 von s in [w] verbindet, und aus der orthogonalen Projek- tion derjenigen in [w| liegenden Gerade, welche O' mit der Spur S° von s in [w'] vereinigt. 2). Die axiale Regelfläche eines in der Ebene der reellen Axen befindlichen Congruenzstrahles besteht nur aus dieser, doppelt zu zählenden Ebene. J). Die axiale Regelfläche einer in [w]| lhegenden Gerade wm ist vom dritten Grade. Sie trägt m als einfache Leitlinie. Der Schnitt in [zw] ist aus der Gerade m und aus den beiden Geraden ZM, und JM, zusammengesetzt, wo MZ, den Schnittpunkt von m mit OJ und #7, denjenigen von m mit O7 bezeichnet. Die beiden Geraden 7M, und JM, schneiden sich in einem Punkte G, welcher das Spiegelbild des Nullpunktes O in Bezug auf » ist. Der Schnitt in [w’| besteht aus dem Bilde derjenigen durch O gehenden Gerade, welche mit m parallel ist, und aus einem durch O gehenden Kreis #, welcher die Gerade m abbildet. Beide Linien schneiden sich, ausser OQ’, noch in einem Punkte ZH’. Die Doppelgerade d,, verbindet G mit A”. Die Zwickpunkte K und K’ sind die Schnitte von d, mit den Ebenen der reellen und imaginären Axen. Die Torsallinien t und ¢ sind bez. die Tangenten in Æ an der 96 DIE CONGRUENZEN VON w'=—=c?:w UND w' =w?:e. Fokalellipse in der Ebene der reellen Axen und in Æ an der Fokalhyperbel in der Ebene der imaginären Axen.. Die Torsalpunkte T,, und 7”,, sind die Schnitte von m bez. mit der reellen und der imaginären Axe in [vw]. . k). Wenn wir die Gerade » um einen Punkt 4 rotiren lassen, so beschreibt die Doppelgerade 4, eine kubische Regelfläche. Der Schnitt dieser Fläche mit [w | besteht aus der Gerade O4 und einem Kreis >, welcher durch O geht und seinen Mittelpunkt in 4 hat. Die Schnittkurve in [w']ist eine circulare kubische Kurve, welche in ©” einen Doppelpunkt hat, mit den Coordinatenaxen als Tan- genten. Ihre reelle Asymptote verläuft parallel mit O4. Der Tan- gentialpunkt der Kreispunkte ist dem Punkte 4 zugeordnet. Der Kreis Yz und die Gerade O4, welche zusammen den Schnitt in [w] bilden, treffen sich, ausser O, im Punkte B der Geraden O4, für welchen 4B — OA ist. Die Doppelgerade A der Regelfläche (4,) verbindet O' mit B. Die eimfache Leithnie von (d,,) ist mit dem Congruenzstrahle a = AA’ identisch. Die Zwickpunkte K, und Ky, sind die Punkte, wo A, ausser 0’, die Fokalflache trifft. Sie sind imaginär. Die beiden Zorsallinien f, und f, verbinden A, (auf #,) mit 1X, )omnd SG au) mites. XS): Die Torsalpunkte A, und A, sind die beiden Brennpunkte von a. Wenn der Punkt 4 die Ebene [w] durchläuft, so beschreibt A den Strahlenbündel O° und a die Congruenz. /). Wir wollen jetzt die Regelfläche betrachten, welche erzeugt wird durch die auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitt Y, tuhenden Strahlen. Dieser Kegelschnitt ist offenbar ein Kreis in einer mit [w] parallelen Ebene. Die betreffende Regelfliiche ist vom achten Grade und hat in den Kreispunkten von [w] vierfache Punkte. Der Schnitt in [w] besteht aus zwei Geraden durch J, zwei Geraden durch J und einer bicircularen biquadratischen Kurve, deren Tangenten in den Kreispunkten 7 und / identisch sind mit den Linien, welche diese Kurve zum vollständigen Schnitt ergänzen. Die beiden Geraden durch Z können auch als diejenigen Congru- enzstrahlen betrachtet werden, welche in dem / unmittelbar vor- angehenden Punkte auf dem Kreise Y„ ruhen; analoges gilt für die beiden Geraden durch J. m). Wenn der Kreis Y, in (wl liegt, und daher mit VY be- zeichnet werden muss, ist die Regelfläche vom vierten Grade, und hat die Kreispunkte von [w] zu Doppelpunkten. DIE CONGRUENZEN VON #w'— c2:#% UND w'—#w?:c. 97 Der Schnitt in [w] besteht aus dem Kreis 7%» und aus den beiden Geraden, welche die Kreispunkte Z und J bez. mit den Schnittpunkten J/, und MZ, von Yo mit OJ und O7 verbinden; M, I schneidet M,J in A. Der Schnitt in [w | besteht aus dem Kreis, der 9» abbildet, und aus zwei isotropen Geraden, welche nach dem Bildpunkte 2’ des Mittelpunktes B von Y» convergiren. Der Bildkreis von y+ hat seinen Mittelpunkt in dem 4 zugeordneten Punkte 4 Auf der Regelfläche liegt noch eine Aubische Doppelkurve, welche circular ist und durch die Punkte 4 und 2’ hindurchgeht. Jeder zu [w] parallele Schnitt ist eine bicirewlare liquadratische Kurve mit Doppelpunkt. Dieser Doppelpunkt ist die Spur der Doppelkurve in der Schnittebene. n). Falls der Mittelpunkt B von Yo in O liegt, ist der Schnitt in [w] aus dem Kreis Y. und aus der doppelt gezählten unend- lich fernen Gerade zusammengesetzt. Die Schnittkurve in [zw] besteht aus der doppelt zu zählenden unendlich fernen Gerade und aus dem Bildkreis von Ya. Die Doppelkurve ist hier in drei Geraden ausgeartet, nämlich in die unendlich ferne Gerade von [w], eine in der Ebene der reellen Axen befindliche, zu diesen parallele Gerade und eine in der Ebene der imaginären Axen liegende, zu diesen parallele Gerade. o). Wenn der Kreis Y> den Punkt O enthält, ist seine Regel- fläche vom dritten Grade. Sie ist mit der axialen Regelfläche der- jenigen in [w’] liegenden Gerade identisch, welche den gegebenen Kreis zur Bildkurve hat. Die Umformungen der Gleichungen in solche mit triorthogonalen Coordinaten sind hier fast gänzlich unterlassen, und zwar deshalb, weil die meisten Gleichungen dadurch viel weniger übersichtlich werden. Sollte es sich um die Dimensionen der Figuren handeln, so kann man die entsprechenden Substitutionen ausführen. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1e Sectie) Dl. X. B 7 98 DIE CONGRUENZEN VON w' =c?:w UND w'=w?:c. B. Die Congruenz, welche der Funktion angehort. § 1. In den folgenden Betrachtungen werden wir im Allgemei- nen die Reihenfolge der vorigen Abteilung beibehalten. Ein Punkt P in we sei durch der zugeordnete Punkt P’ in w, durch 14 ! æ æ 1 r Lo RN vd nn 0 Uy V4 bestimmt. Der Strahl PP’ wird alsdann durch ! D =P da À Pi Vas ? — 2 / 4 Vy = Py X3 À Pa La _ dargestellt. Vermôge der Ausdrücke B UW / go, = + = —— und y». = A ae c Di Ui gelten die folgenden Beziehungen Pi EN 1 PONS CRE) pt Di ce EU) ee poe (w— wy? Wir haben deshalb zu setzen He Om ie LE Poe wonach die Gleichungen eines der Congruenz von w’ = w?:¢ ange- hôrenden Strahles diese Form erhalten : 2 Li = Py % À Py ds» : SE Es 2 Vy = Pa Xz Pa a DIE CONGRUENZEN VON #'— c? : w UND w' =w?:e. 99 § 2. Bündelgrad und Feldgrad. Der Bündelgrad wird ermittelt, wenn wir in (1) die Grössen @,, #,, v, und a, als feste Coordinaten betrachten und untersuchen, wie viel Combinationen (p,, py) durch dieses Wertesystem be- stimmt werden. Wenn wir die Gleichungen (1) in der Form py a a di — 0] 2, Po" + dap — & = 0 | schreiben, so leuchtet sofort ein, dass ein Punkt (x, , #3, 23, 24) zwei Werte für p, und zwei Werte für p, anweist; wir erhalten demnach vier Combinationen (y, py). Diese bestimmen die Spuren P der vier Congruenzstrahlen, welche nach dem gegebenen Punkt zielen. Wir sehen also, dass der Biindelgrad vier ist. Eine Ebene, welche durch dy À Wy Vy À thy By À hyd, = 0 dargestellt wird, enthält einen Congruenzstrahl p, wenn sie dem Ebenenbüschel angehört, welcher p als Axe hat und durch die beiden Ebenen (1) bestimmt ist. Es gilt daher die Identät AC — Py 43 Dj Ui) + À (to — Po A3 — Po? Ui) = = dd À dodo hy Vy hy Uy, wonach M = &; À = &; — (Ay py + Ag po) = 4s, — (Aq py" Apr) = ary. Die letzten zwei Gleichungen bestimmen die Werte von », und Pz, welche den in der gegebenen Ebene liegenden Strahlen entsprechen. Den Gleichungen Cy Py À Hop + A3 = 0, | Oy fy À pi + &, — 0 | wird durch zwei Paaren (p,, p,) Genüge geleistet. Es liegen deshalb in der gegebenen Ebene zwei Congruenzstrahlen, dh. der Feldgrad ist zwei. (2) B 7% 100 DIE CONGRUENZEN VON w' =c?: # UND w' = #2: c. § 3. Die Fokalfläche. Von den beiden Gleichungen (1), welche zusammen einen Con- gruenzstrahl py bestimmen, stellt die erste eine Ebene durch X,, die zweite eme Ebene durch X, dar. | Wenn wir 7, alle Werte erteilen, wird die erste Ebene einen Kegel mit X, als Spitze umhüllen, dessen Gleichung wir erhalten, indem wir die Diskriminante der genannten Gleichung verschwinden lassen. Sie lautet deshalb D) Aaa, + vy = 0. r durch die Ebene z, — me ya, umhüllte Kegel ist daher Der durch die Eb 1 = 23+ py di g vom zweiten Grade; er soll mit /, bezeichnet werden. Der durch die Ebene 2, — pz; + pj, umhüllte Kegel wird 2 — P23 À Pr di 5 durch 4 Vs dy + vse = 0 dargestellt, und hat seine Spitze in X.. Aus dem Vorgehenden erhellt, dass die eine Ebene, welche den Congruenzstrahl » trägt, den quadratischen Kegel /,, die andere durch p gelegte Ebene den quadratischen Kegel /, berührt. Der Congruenzstrahl » ist demnach eine gemeinschaftliche Tangente der beiden Kegel #, und #. Wir gelangen also zu der Einsicht, dass die Strahlen der Con- gruenz, welche der Beziehung w' = w° : c angehôrt, die gemeinschaft- lichen Tangenten sind der beiden Kegel FO D 4 Vy dy + 23 = 0, | 3 DG Aang an = 0°] (8) Weil ein Punkt von Æ, zwei zusammenfallende Strahlen trägt, und dasselbe von einem Punkte von #, gilt, haben wir /, und F, als die beiden Bestandteile der Lokalfliche zu betrachten. Auch hier sollen diese Kegel Mokalkegel genannt werden. Die beiden Fokalkegel bestimmen zusammen einen Büschel qua- dratischer Flachen, welcher durch Ay (4 aa, + 3) + A; (4 aa, an a3) = 0 dargestellt wird. Das durch À, + A, — 0 angewiesene Gebilde hat die Gleichung (a Er: de) dr == 0. Diese Fläche ist also in zwei Ebenen ausgeartet, welche zusam- DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w' = w?: c. 101 men die biquadratische Schnittkurve von #, und #, enthalten müssen. Die durch vy dargestellte Ebene e trägt deshalb einen Kegelschnitt e, welcher sowohl #, wie #, angehört. Die Ebene we (>, —0) berührt die beiden Kegel in der Gerade X,X,. Wir sehen somit, dass die beiden Folkalkegel sich und wa längs XN, X, berühren und überdies noch einen Kegelschnitt e gemeinsam haben, welcher sich in der Ebene | A befindet Der Fokalkegel #, berührt die Coordinatenebene X, X, X, (7, = 0) in X,X,, während A, die Ebene X, X, X, (a, = 0) in X, X, berührt. Der Kegelschnitt e berührt deshalb die Gerade X, X, in X, und die Gerade X, Z in Z (1, 1, 0, .0). KO) À = | © $ 4. Singulare Wlementen. Eine Ebene ist singular, enthält also unendlich viele Strahlen , wenn die beiden Gleichungen din À Oy Dy + a, = 0, | ap + bey Py + di = 0 | eine der Grössen y, und p,, oder beide, unbestimmt lassen. Nach Elimination von y, finden wir chy (æ = &) Dy" == 2 ap a= (Gy a, a= ths") = 0. Die Bedingungen sind daher ay (y À &) = 0, Oy bs == 0 ? Bd, HU — Diesen Gleichungen wird genügt 1° durch Br Oe A wonach (siehe (2)) ey i thy: by, == 1: — pt — py’; die Gleichung der Ebene wird daher 102 DIE CONGRUENZEN VON w'—c? :% UND w' —#?:0c. Vy — Pr — Py &, = 0. Diese Gleichung (siehe (1)) stellt die Berührungsebene des Fokal- kegels #, dar, welche den Strahl » enthalt, also die Ebene, welche diesen Strahl mit X, verbindet. Wir erkennen also, dass jede Ebene, wae einen Congruenz- strahl mit X, verbindet, singular ist. Die in dieser Ebene befind- lichen Strahlen umhüllen offenbar den Kegelschnitt, in dem der Fokalkegel #, die Ebene (y, X,) schneidet. Jede Ebene (y, X;,) ist demnach eine singuläre Ebene mit einem Strahlensystem von der zweiten Klasse. Auf analoger Weise finden wir, dass auch jede Ebene, welche einen Strahl y mit X, verbindet, singular ist und ein Strahlen- system zweiter Klasse enthält. Betrachten wir besonders die Ebene (y, X,), in welcher der durch y, = bestimmte Strahl hegt, so erkennen wir (siehe (1)) in dieser die Ebene z,—0, d.h. wa. Die Ebene we ist also auch singulär. Wir werden das in ihr befindliche Strahlensystem später erörtern. 2°. Den Beziehungen zwischen den Grössen a, 4,, & und &;, welche y, unbestimmt lassen, wird auch genügt durch Diese Bedingungen liefern die Ebene &,— Lg = 0. Die Ebene ¢ ist also auch singular. Dies wurde bereits früher erkannt, als sich zeigte, dass die Ebene ¢ die beiden Fokalkegel im nämlichen Kegelschnitte e schneidet. Die singuliren Punkte werden gefunden duch die Uberlegung, dass in a = Ph ds + pa, (1) Ws = pr 3 + pe dr entweder », oder y, unbestimmt werden muss. Es leuchtet ein, dass y, unbestimmt ist, wenn V4 = Ui = dy — 0 5 der Punkt X, ist demnach singular. DIE CONGRUENZEN VON w’' =c?: 0 UND w' = w? : c. 103 Auf analoger Weise gelangen wir zu der Uberzeugung, dass auch X, ein singulärer Punkt ist. Wenn wir die Gleichungen (1) subtrahiren, so folgt Bi By (Po) las FF) . . . (5) Ein Strahl » ist durch p, und p,, also auch durch p, — p, und fy + po bestimmt. Wenn wir aber in (5) Li — 2 = 0, Za lic RO) setzen, so wird die Grösse y, — y, unbestimmt. MEE unkt Zi 7, 2 — 0, 2,0), d.h. der Punkt Z ist daher auch singular. Weil die Congruenzstrahlen die beiden Fokalkegel berühren, und die drei Punkte X,, X, und Z auf die Gerade X, X, liegen, während überdies die beiden Fokalkegel durch we längs X, X, bertihrt werden, so werden die Strahlensysteme, welche durch die singulären Punkte X,, X, und # gehen, in ihrer ganzen Aus- dehnung in we liegen müssen. Es sind deshalb Strahlenbüschel mit X,, X, und Z als Scheitel. Wir werden zunächst zeigen, dass diese drei Strahlenbiischel zusammen das ganze Strahlensystem bilden, welches sich in der singuliren Ebene we befindet. Ein Strahl p wird auch bestimmt durch seine Spur P in wo, welche die Coordinaten 1 4 / 1 YA , Yo , mi = 9 Js Jr hat. Wenn wir p, und ps bez. durch p,* und p,* ersetzen, so gestalten die Gleichungen (1) sich wie folgt: M = Pa° 43 + Us | /1 ! > —— Po 2 V3 + py Vy ; | oder L 2 , 2 Wi — Py 2) =P @ | / 2 9 | (do TE 2) — Po d3 - Die Substitution po = y : y, , Ps — y :ys lefert 5 / > J 3) = LA LA à 2 (Ye U — HU) = Ya Yu U3 > | / ! 9 ! ! 9 (Yu Po — Yo Ui) = Ya Yn Tj 104 DIE CONGRUENZEN VON w'— ec? : æ UND w — #2: 0. Wir legen nunmehr den Punkt 7'(7,, zo, #3, %), der den Strahl trägt, in einen Punkt Q der Ebene wa, so dass x, — 0 wird. Die Spur (4, Yo, 4%) in @, ist alsdann durch pur (Ya 2» Ju 0 A LA > À ‘ 2 ei : Ya (Ya A — Ya æj) = 0, Ya (Ya By aa Yo 23°) = 0 bestimmt. Diesen Gleichungen entsprechen wer Punkte, nl. : Vig aD) BAG) | Ya A Fi VAI U = 0 , ik? | / 2 / 2 Ys a Yo V3 — 0; 2 bene 9° | Yu Vz — Y2 da = 0, Yr ze Ue AOD; Mi eee. 9° | Ya di — Yi 2; =0, / Yr == 0; 1 4° Ja == 0 5 Vi. 0. Der erste Punkt hat die Coordinaten ! 2 / 9 Na a Jo To - 7 —— 5 > n —— 5 > Yi ey VY v3 und ist somit der Q zugeordnete Punkt Q’. Die Verbindungslinie g = QQ’ is der Congruenzstrahl, welcher Q mit seinem Bilde Q’ vereinigt. Der zweite Punkt ist X,; der zweite durch Q gehende Con- gruenzstrahl ist demnach die Gerade QX, Der dritte Punkt ist X,; der dritte nach Q zielende Congruenz- strahl ist also Q X,. Der vierte Punkt liegt auf X,X, und ist bis jetzt unbestimmt. Wie in der vorigen Abteilung ($ 4), wird auch hier der Punkt T'in der Nähe der Ebene we, angenommen, wonach die Grössen Ya ry, und y :y2 bez. nach Potenzen von a,: 2, und z, :’# ent wickelt werden. Wir setzen nun und PR ee ts a DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w' —=w?:e. 105 y=atBPetyo’+.... Man erhält dann aus (ya di — IN a) = WY vy die Gleichungen (y — a) = y ci und e+ G—De+ye +. Pate tye +. 0). Durch Gleichsetzung der Coefficienten gleicher Potenzen von z bekommt man mer 2a@—) =A), 2 € 2E Zj à Gj Die Lösungen dieser Gleichungen sind die folgenden: 5 _ (8? 1 4 — eo ? wonach @: 2 9 y=(G) Bah atd also für verschwindendes +: V2 CE CAT oder mo 106 DIE CONGRUENZEN VON w'—e2:7% UND w'—#w? :c. 2° x—0, B—0, =) daher mn ae sy oder se Ebenso finden wir für das Verhältniss y :7, zwei Werte, nl.: 1° Vi ge us 6 ae Die vier Spuren werden ermittelt, indem man die zwei Werte für 9 : n mit den zwei Werten für y : 4; combinirt. _ Die vier Spuren erhalt man also für verschwindendes + (e, — 0) aus net) -==(— VA Uy le Gah, 1, Ys (EN? anke UE dees wy 3° en Ga d'A Be 4° oder DIE CONGRUENZEN VON w’ — c? : x UND w' — #? : c. 107 Die vierte Spur ist demnach der Punkt ZÆ Die vier durch Q hindurchgehenden Strahlen sind also QQ’, QX,, QX, und QL. Von den vier Strahlen, welche auf dem in we liegenden Punkte Q ruhen, sind daher drei in we enthalten. Die Ebene ©, trägt also drei Strahlenbüschel von Congruenz- strahlen, deren Scheitel in X,, X, und / liegen. Auch hier haben wir, zur Vorübung, die Beweisführung etwas breit gestaltet. § 5. Die axiale Regelfläche einer willkürlichen Gerade 1. B ey . VY WV, Die Gerade / möge wx in 4 ( i pe 0) und v3 v3 : 7 CAT n= 1 a ©, in BP (= RO ie Une 0) schneiden. Vy, Vy Thre Gleichungen lauten demnach vy Uy V3 + b, Vs, ; | M a | (6) D Wenn / durch den Congruenzstrahl » (welcher wz in P (y, p)) und w, in P’ (y, ps) trifft) geschnitten wird, so muss (vergl. die analoge Stelle in Abteilung 4, § 5, S. 35) der Gleichung enn Le NEL) oder, vermöge der Beziehungen UNE 2 een Be <9 Pi Piter Pa Ds der Gleichung (Pz — @) (24° Em bi) = (Ps — 44) (pr Ei by) APS) genügt werden, indem diese die zwischen den Coordinaten y, und pz (der Spur P in wz) bestehenden Beziehung ausdrückt, falls der Strahl p die Gerade / schneidet. Die Gleichung der axialen Regelflache wird ermittelt, indem man aus den Gleichungen (1) und (8) y, und zp, eliminirt. Die Gleichung (8) lässt sich wie folgt schreiben : Pi Pr Pr Py — p+ ay py Hb pi bi pa (abo — a b,) = 0. (9) Aus den Gleichungen (1) ergiebt sich ‘ Uy py == — Vs + Us | (10) LPS = — Va + ®, | 108 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w' =w?: c. Multipliciren wir (9) mit 2, und ersetzen zp, und x,p durch ihre Ausdrücke (10), so finden wir (— & 4243 + By" wi) pa + @ — ts — by Wi) pa + + — aa, + ae — (ab — ah) à) = 0. Setzen wir, der Kürze halber, — @ + a2, + bya, = LR, La — A, Lo — by &, = LR, 3 . . (11) — By À Uy 2 — (A by) — A, by) & = Po. | so bekommen wir Po +- Ba Pa = oe — 0 he 5 à £ e (12) Wir versuchen wiederum mit Hülfe der Ausdrücke (10) vier Gleichungen in ,, ps und pp, aufzustellen, aus welchen wir diese Grössen eliminiren können. Multipliciren wir (12) mit z,p,, so finden wir Boop + Ritipipe + Oom = 0, oder mittels (10), — Bezig + Boa + Brapripr, + Bovi = 0, vi, paps an = 2,23 de Lo mn) Pa + Bas = 0. Ebenso erhalten wir durch Multiplikation mit w,p, schliesslich Bran + (— Bios + Bots) ps + Ba = 0. . (14) Endlich multipliciren wir (13) mit p,, wonach By @4 pa po +- (— Baes + Bot) Papa + Bre pr = 0, oder, nach Verwendung von (10), = (B SIN B.) Vz “ie Bo | Pa Pa Le Bi > PA a B, pa = 0. (15) Die Elimination von p,, ps und pp, aus (12), (13), (14) und (15) ergiebt die folgende Gleichung 0 » Be ae es Bo | nue Poe, A el EN, ‚Paar —0 a Be sal ‚— Bz: + Bots, Pat | —(B; nu B)æ, ae Poa, Pre, + ri an oder DIE CONGRUENZEN VON w'=e?:w UND w' =w?:e. 109 Wir ersetzen die zweite Horizontalreihe durch die Summe der zweiten und der dritten, und die dritte durch deren Differenz, und erhalten somit 0 > EL; ? Bi ? Bo | (B <= LB), ,— Bots Se Bots; — Pixs cle Bots; Bots sin Bz. = (BB), » — Poe; ie Bots, ai rra Boa, Rata — Pat si a, (Bi = (85) V3 SE Lori, 2, Vz > Boa, 0 | Wenn wir nun », mal die erste Horizontalreihe zu der zweiten addiren, so folgt 0 Ne Ne? 2 Bo (B +B) a, Pa, Bot: Pa =n Bit + Boz; Zn (Bi —B)æ; 3 — Boy + Pots, Bas — Ris; Poa — Bit ne — (©? + B)3 + Bot Ps C4) Pax ‚0 Nun ist Bot + Rate + Pors = — as + ads + by vn + Mt — God — bas — 803 + GX, — (by — yb, ) aa, = = |b,’ a, — ba, — (ad, — ai) 2} a, oder, wenn wir Bu bt — (4b, — ab) Bs. - : (16) setzen , CEA an Bras Bots Bates nn » (17) Substituiren wir diesen Ausdruck in die obige Gleichung, so erscheint diese teilbar durch z,. Nach Teilung durch +, erhalten wir 0 ’ Ba ? Py ? Bo N= Bi +6, ) Bo > Bo > B; =0. si (GB), > — Lx; hr, Bies Bes, Rx — B 12 (18) —(B1 + B)rs Bozi, Bz » Pra ‚0 Die Grössen 2), @,, B, und BR, sind alle linear in a, 2, 73, 2%; die Gleichung (18) ist demnach vom sechsten Grade. Wenn wir 8, £,, 2, und B, durch ihre Ausdrücke (11) und (16) ersetzen, so enthalten die Coefficienten der Gleichung (18) ausschliesslich die Grössen 4, a>, 6,, und 5, welche die Gerade / bestimmen. 0 D SAN of 0 —(Pi+P2)e3, Bit», Res, 0 110 DIE CONGRUENZEN VON w’ me @ UN Dito —=497 fe! Die axiale Regelfläche einer willkürlichen Gerade / ist offenbar vom sechsten Grade. Wie in der vorigen Abteilung werden wir die Gleichung (18) umgestalten, indem wir die Kante X, X, des Coordinatentetraeders in 4B'==/ legen, und zwar mittels der Transformation Ua = & + 483 on by Ens U = Es + 4,83 + by En, A Rn £a, dy = Er Die Gerade / wird nun durch by 0, | b> = 0 | dargestellt. Die Ausdrücke für 8), B,, R; und 2; werden nun Bo = — Ald — A) = Ay (wa — by %,) = — a,(& SPs 3) =. ay (&> a 4253) = — a Ei + a bo, Ba 1> Lo = En) ES by @ — a #3) — bi @ — Az ®3) = by (Ei =F by Ë;) ee br (& a by é) = by, Dew by En Alle Elementen der Determinante enthalten also einen in £, und & homogenen linearen Faktor. In der entwickelten Gleichung wird sich daher in jedem Glied ein in &, und &, biquadratischer Faktor vor- finden, wonach erschlossen wird, dass / auf ihrer axialen Regel- flääche eine wierfache Gerade ist. Den Schnitt der Regelfläche mit we finden wir, indem wir in (18) æ, — 0 setzen; wir bekommen dann Brand en DA Ar CR ns NOTA „Bor Bis | GAME | Ben ON he (Pt B, oder, da für +, — 0 die Beziehungen Py a. ie By #3 = — Bt + Rats = — Poa Bo + Bots = — Bim + Pra, = — Riz; DIE CONGRUENZEN VON #'— e2 : # UND w’ = w? : c. 111 gelten, 0 ’ 1 2 1 ? Bo 1 4 0 > 0 > Ps == (Bi + BR) Bi B | O Sass La, En Dy B Lo es Ui — dy, — do, 0 | 0. Der Schnitt besteht also aus den drei Geraden B—=0,B —=0,8 + —=0, oder Be Oe ot ee oder endlich AX ANG wee AT. und aus einer kubischen Kurve. Die Gleichung der. kubischen Kurve ergiebt sich aus (9) nach der Substitution y, = à, : #3 und p, = #, : #, (siehe zur Erläuterung Abt. À S. 39). Die Substitution liefert Di Uy — UL — hepa, + avy a, + by a, tz — b 22,7 — SF (a, Des — a, b,) Dee — 0. : 5 2 5 (1 9) Diese Kurve enthält die Punkte X,, X, und Z, aber nicht den Punkt X.. Die Tangente in X, ist durch do FES As da = 0 angewiesen; sie ist offenbar mit 4X, identisch. Ebenso fällt die Tangente in X, mit AX, zusammen. Der Punkt 4 gehört auch der Kurve an; er ist der gemein- schaftliche Tangentialpunkt von X, und Ay. Die Kurve trägt auch die Punkte, welche durch 2 Vn? u = bas, | € DMC Bo" = b, O3 » oder 112 DIE CONGRUENZEN VON w’ = e2 : 5 UND w' = w?:c. bestimmt sind; es sind also die vier in ©; dem Punkte B’ zuge- ordneten Punkte 25 -Bi Bi, Bs Die Tangente in 4 wird am leichtesten ermittelt, indem wir die Tetraederecke X, in 4 legen, etwa durch die Substitution a = EF Ga Én da = Er À ay Ss. | Diese giebt alsdann EEn HE) — HE + ay 5)” + (Oh — by Ba) En = Der Coefficient von £, gleich Null gesetzt, ergiebt Ca Cys oder Er a — by 82 on nn by Diese Gleichung kommt auch derjenigen Gerade in @ zu, welche die axiale Projektion aus / der genannten Tangente ist; diese Gerade geht offenbar durch den Punkt jo (a? EEK: bi) En f= (ay Ai b,) Ch oder Lay Li WV, Te OE wss d. h. durch den in w, liegenden Bildpunkt 4 von 4. Die Tangente in 4 an der kubischen Kurve in wa ist deshalb die axiale Projektion aus / auf we des Bildes 4’ von 4. Der Schnitt der axialen Regelfläche mit wo ist jetzt zicht dem Schnitt in we analog. Er ist nämlich eine Kurve sechsten Grades, deren Gleichung durch die Substitution +, — 0 aus (18) folgt, und daher lautet: 0 ? 2, > B, : Bo | Bi + B, se + B NE oa, k (Py FD Bi) æ, ; Bot == Bo : B, ee B d === VE 5 ( a) Boe, NONE Bz, , 0 DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:»% UND w' =w?:c. 113 In dieser Gleichung hat man (siehe (11) und (16)) By = au ut (aba — a,b) my, GB, = a, — ba, B, = — a + 4, za, B, = b, a, — b @, zu setzen. Statt in der hier skizzirten Weise die Gleichung der Kurve sechsten Grades A abzuleiten, wollen wir sie lieber dadurch zu erhalten versuchen, dass wir À durch einen Strahlenbüschel (7) in @) mit B’ als Scheitel und einen zu diesem projektivischen Kegelschnittbüschel » erzeugt denken. Die Zuordnung geschieht alsdann in der Weise, dass der Kegelschnitt » das Bild derjenigen Gerade x ist, welche die » entsprechende Gerade m (auf X, X,) schneidet. Eine Gerade m durch B’ in w, wird durch [Ay A == Mal — (u, By, Sq M 02) LT, 104 eine Gerade « durch 4 in we durch vd À Yade — (id + V2 Ap) 23 = 0 dargestellt. . Die Geraden x und m schneiden sich, wenn der Beziehung ee LD > genügt wird; wir können alsdann setzen: Vi Pf, PER NE Die Gleichung von x bekommt daher die Form Ha di > Mado — (li Ly À eg A) Bg = 0, und ihr Bildkegelschnitt v in ©, ist also durch Pa Wa HF je Vi ty — (Hy À 24») V % — 0, oder durch y= Pa U fey! Do + (a 202) Dj — 2B flag” fry did — tr (UH Mod) a4 By — 2 pu (pd +0) 22, = 0 bestimmt. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie) Dl. X, B8 114 DIE CONGRUENZEN VON w' =c?:w UND w' =w?:e. Die Substitution y= + dE, pe ee En, di = Ens | welche die Ecke X, nach B’ versetzt, giebt für m die Gleichung lr + aba = 0, und für 2: u (Er Je bi, En) =e Peo (E> == bo En) + (Hd a Ma) Ei — = per Ha (+ by A) (255 by &,)— 2 ba” (He + Hoda) (Er by ENE — — 2 u (tua =r feo) (Es + bE)E,—=0. Durch Elimination von 4, und pz, erhalten wir 2 (a F6 8) + Ga be Er eee CAD Se — 2 EE £5 (Geet En) (2 +6, En) — 2&,? (a,&,— a, &)” Gis 1E) Ei — 2E (éme) (fob, EO. . . . “io Saas ei Diese Gleichung stellt offenbar die Kurve À dar. Die Kurve À schneidet X, X, in den durch Er En JE £5" — 2E 2 A oder Er En (Er DR £) = 0 bestimmten Punkten, also zweimal in X,, zweimal in X, und zweimal in Z. Die Tangenten in X, sind durch (+ GE) + aot Ey? — Zar (Bs + By Ey) ki = 0 oder | [Eo + (0, — ay’) Ei} = 0 angewiesen, und demnach in der Gerade Eo + bo — as") E, = 0 oder No a. dd, == 0 DIE CONGRUENZEN VON w' — ce? : x UND w' — #2: c. 1845) zusammengefallen, also in der Gerade, welche À, mit dem Bilde A von À vereinigt. Wir folgern hieraus, dass X, ein Rückkehrpunkt ist, und dass seine Tangente durch 4’ geht. Es leuchtet ein, dass dasselbe auch von À, gilt. Die Punkte X, und X, sind auf der axialen Regel- fläche uniplanar. Jeder durch X,X, gelegte Schnitt hat in X, und X, Rückkehrpunkte. Die Kurve À berührt die Gerade X, X, in 4. Sie hat überdies in P°(£ = 0, £, — 0) einen vierfachen Punkt, dessen Tangenten bestimmt sind durch. Rele ni Oa À Em a aes a — 26, (a3E, — a 86) Ea — 2b, (and, — ay E)E?=0, oder Ua 6? ie Ci f Ea? — (aq 5; — 44 aie = 44," by £,? a oder BE Tb Er — (aa, — a, bo) = + 2 Vo ; le Ei So oder de EVE —BV 4) = mh — 4 &, 2° a (& We 2= 55 VAB) — do 5 sn di £a ? oder Die axialen Projektionen dieser Geraden aus / auf we werden durch dieselbe Gleichungen angewiesen. Sie tragen die vier Punkte = %+V 4%, | fo = (a + 142) É | oder Ciba +V 4, Dg, | Ly = + VA Las | welche mit den vier Bildpunkten Z, B,, B,, B, des Punktes B’ identisch sind. Die vier Tangenten im vierfachen Punkte 2” B 8* 16 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w' =w?:e. sind demnach die axialen Projektionen aus / auf w, der vier Bil- der von B’, oder der vier nach B' zielenden Congruenzstrahlen. Betrachten wir jetzt die auf der axialen Regelfläche befindliche Doppelkurve. Wir werden dabei demselben Gedankengang wie in der vorigen Abteilung folgen. Ein Strahl p liegt mit / in der Ebene Ay (da — 423 — by &) 4- Ay (2 — 423 — boj = 0, . (20) wenn die Identitat Ay (1 — as ++ (Ba — ba) + Az (wo — 00) ds ++ (DS — 67) ti} =0, und also die Bedingungen AW ee Ca) ie Ag Py >) — 0,| i ; ; 2d Ay (py? — bi) + Aa (pa — bi) = 0 | a erfüllt sind. Ein Strahl g liegt in derselben Ebene, wenn man hat A (ga — 4) + AiG ne 05 (22) Da (G1 — bi) + Age — br) = 0. Der Strahl » schneidet den Strahl 7, falls der Gleichung "1, 0, Pa Pr en —"1; 209,4 0, — 1, 95, 95° =S oder (Pa — ga) Ce — Go) (4 H 9) — (La + Ja) =10 genügt wird. Die Bedingungen p, — 4 = 0 und y; — g, = 0 betreffen den Fall, wo die Strahlen p und g in der nämlichen Ebene durch X, oder X, liegen; wir behalten daher nur die Bedingung Ba tdi Pr Thaene CONS Den Schnittpunkt D von p und g bestimmt man aus Ze nen 2 Va — 1&3 + Zi dy = 9123 + NX; De pal: 2 La = Prd3 + Pr U = Yon @3 + VERTE oder a à DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w' =w?:c. ay? (Di — 94) @; = — (mn — G1) (pa = VAES (Da — Go) #3 = — (Da — 2) (De += Yo) dr, also aus D = — (Mm + U1) & = — (Pr aga) Cre ie Pe) welche Gleichungen sich vermöge (23) vertragen. Aus (1) folgt weiter m= — Pa (pa + We +O em =—AN%,. + (25) By = — Pr (Pa + Yo) Pz By = — Pris - + (26) Wenn die Grössen pi, ps, g, und g, auch den Gleichungen (21) und (22) genügen, so ist D der Schnittpunkt zweier Strahlen, welche beide / schneiden; 2 ist alsdann ein Punkt der Doppelkurve der Axialen Regelfläche von /. Obigen Gedankengang zusammenfassend, kônnen wir behaupten, dass der in der Ebene Ay (@ — dits — br di) + Ag (@ — Qa; — Oow) = 0 (20) befindliche Punkt 2 der Doppelkurve durch NOs po ewe ey peri eid ore (20) PRES Da ao! NOMME I ER 0) n= Fwa td. . . (4 bestimmt ist, wenn pi, ~ g und g den Bedingungen NILE Ue eee Mi = im) + Mg mm) = 0... (29 genügen. Die Gleichungen der Doppelkurve erhält man, indem man aus (21), (22), (23), (24), (25) und (26) m, pe ga und g, eliminirt; wir bekommen dann zwei Gleichungen in A,: A, aus welchen wir mit Hülfe von (20) das Verhältniss À, : A, fortschaffen können. Es bleiben dann zwei Gleichungen übrig, in welchen neben den Con- stanten a, as, 6, und #4, nur die Coordinaten auftreten; sie stel- len zwei Flachen dar, welche sich in der Doppelkurve schneiden. Zunächst stellen wir die Anzahl der Schnittpunkte von / mit der Doppelkurve fest. 118 DIE CONGRUENZEN VON # — c° :x UND w'—#? : c. Wenn der Punkt D auf / liegt, so schneiden die Strahlen p und g, welche sich auf / treffen und mit / in eizer Ebene liegen, die Ebene we in zwei Punkten P und Q, welche mit der Spur A von / in einer Gerade liegen. Die Strahlen, welche nach einem Punkte (2,, 2, 23, æ,) zielen, treffen we in Punkten, deren p,-Coordinate durch a — 0, 2 Vy Pa = T3 PA und deren p,-Coordinate durch 2 My Po + V3 Po TETE do = 0 gegeben ist. Die Formeln a= Ea a a Es sp by En a, = Es + a, Ë3 + by Eus dj = Es, Ly — Er bringen die Kante X3 X, des Coordinatentetraeders nach /—= AB’. Diesen Bezeichnungen entsprechend, wird ein Punkt in we durch angewiesen, wonach = +, Pr = Te + Die Gleichungen (1) gestalten sich nun derart: En (Ta + se + (mi + a) — (Ei Far Ea + dE) = 0, E, (To a Ay) Pt E3 (To = a>) — (Es de Ay E3 a bo &,) = L: oder Sta [> hes |e eee mnt a Ce ee RL == | ETD =| (es a] 2 Gene ae | — 82 a = ul Wenn der Punkt, durch den die Strahlen gehen, auf /(&, = 0, £, = 0) liegen soll, so bekommen die Gleichungen in 7, und 7, die Form E Tr” Kes ain se) Fa (ai — b,') Ea == 0,|. 18080 Euro + (Es + 2@ 8) + (a — ba) Ei Onl NES 4 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'—#°: c. 119 Es seien c, und ¢, die Wurzeln von (27), ce, und €,’ die Wurzeln von (28). Der Punkt 4 ist durch T1 = Ù Fi To — 0 bestimmt. Es werden zwei der vier durch (27) und (28) angewiesenen Punkte mit 4 in gerader Linie liegen, wenn (vergl. Abt. 4S. 45) die Bedingung a dea) ene — 0 (ep + 6)? = 0 1 1) Co Co 1 (Co 2 erfüllt ist. Aus (27) und (28) geht hervor: 2 a C 1 DRIE = 1 a > EN le 4 : 2 a. C2 + © = tt » Cy Cy = ay’ — by’; 4 die obige Bedingung erhält also diese Gestalt: (aa — bo) (É3 + 2a E) — (a,” — by) (& + 2a, jr) Die Schnittpunkte von / mit der Doppelkurve liegen demnach in denjenigen zwei Ebenen durch X, X,, welche durch (29), oder durch (, + 2 a, &,) War — bg = + (& +2 a6) Wai —b, (30) bestimmt sind. Es befinden sich daher auf / zwei Punkte der Doppelkurve , welche somit, da eine durch / gelegte Ebene ausserhalb / einen Punkt der Doppelkurve liefert, vom dritten Grade ist. Wir wollen jetzt die Doppelkurve analytisch behandeln. Die Kante XX, des Coordinatentetraeders wird wieder nach == AB’ verlegt. Die Ebene durch 7 wird nun durch Mist air 42 52.— 0 dargestellt. Der Schnittpunkt D von p und ¢ ist durch 120 DIE CONGRUENZEN VON w =c?:w UND w' == #2: c. / 51 AR | — & 3 — b, (cM Re 7 V4 Na Qi — (Prat Ge also durch Eng a Fa) Ee Eo = = |Podo Go (Me x Ya) ar Ca] Sar CORNE) = = (ct Id) = — et go) En MEN) bestimmt. Aus den Gleichungen (21) und (22) werden durch Addition und Multiplikation die folgenden Beziehungen hergeleitet : ND + 4) + Ap (Po + 99) = LA G Aga). (85) und AP Dees Ada, (nm +9) + na = = Ap" Po Yo — Ag Gy (Po + Go) Æ Ag“ agt. - + (86) Wir setzen Pea ys Pa 72 = Vo; Pte Pe: wonach die den Schnittpunkt D mit 1, X, verbindende Ebene durch By = pag lu PONS LONG NON dargestellt wird. Die Gleichungen (32) bis (36) verwandlen sich nun in £=—@ tea, +36. . NN EE pa, +6) 2, UN ae foe one on ie Ce SO (Ay + Ag) H = Aa F A24), + - (41) Am Ay? ma, HA art = Ag? hy + Ag aag + Aa. (42) Durch Elimination von » aus (40) und (41) erhält man (a, T-A) Eg dB(A ¢, HA ape Oe Aus (38) und (39) folgern wir DIE CONGRUENZEN VON # — 62: UND w' =w?:e. 12 | a ë, <= (ua, ae b,) Er Py == 54 noue ae Hae E O53) Sa PS E, : Die Substitution dieser Ausdriicke in (42) ergiebt = at —A,? (pa, a b,’) Sa A Ha Ei tA abi == Ag Eg Ag” (mag +0, )E, 4- Ag” dy Ey + An an Ey, (44) oder A Ei in 6 Fi a”) Ei) a a,” (62 + ba ER 43°) Ee GE Zum Schluss wollen wir mittels (31) 2, und A, aus (43) und (44) eliminiren ; wir finden dann DE elen a Er Gy 59) Gy Ots ER 5 (49) MR Gy’ — 4,7) S4) — 17 lpt (ba 2°) 64 = 0. (46) Durch diese beiden Gleichungen werden zwei Flächen dargestellt, welchen die Doppelkurve angehört. ® ist eine quadratische Regelfläche, welche die Gerade / (£, = 0, & = 0) trägt. Ÿ ist eine kubische Regelfläche, auf der / Doppelgerade ist. Der Schnitt von ® und ¥ enthält also die doppelt zu zählende Gerade /. Ausserdem haben die beiden Flächen noch die Gerade AB (&, = 8, £, — 0) gemeinsam. Der Restschnitt ist demnach eine kubische Raumkurve. Wir setzen Es + 2a, 4, =| AY Fae eda ep eel a mithin 5 mk , Ie 2 (a, — aoe die Gleichungen ® = 0 und ¥ — 0 bekommen daher die folgende Gestalt : DS 258, 5150, Y= (a, Er ay) (5 CK. Eo) 5 & == + (Ge — a9") &,7 — B, — a,”) bal (6, — 4) = 0. 122 DIE CONGRUENZEN VON # =~c?:w UND w' =w?2:c Es gilt nun die Identität: 2 (a, — aq) (1 — 2) & Ea == {CG us Ay’) Be — (bi — a) 2) (Es — Es) = = (CA a as) &, — (Gi — a) El (&e Es —- E15) zin | == (&, mer 5) [&, [2 ay Er == (bo a ay) Ea) et Er [2 d Er le (Gr BEZ ay”) AN Setzen wir, zur Abkürzung, (G>' — ay) Er — (A En a) Éo —_ 7, a LE 12 En + (by) — ag”) Es] — §, (2 a, Ë =I (Gi — ay”) &| — 0, so nimmt obige Identität diese Form an: Y=Voeo4+ WO. Die beiden quadratischen Flächen ® und © haben, ausser / (&, = 0, 8, — 0), eine kubische Raumkurve gemein, welche ver- möge der Identität auch dem Schnitte von ¥ und ® angehort. Es ist demnach klar, dass die Doppelkurve der axialen Regel- fläche von /— AB" der partielle Schnitt ist von DEE — 5 — 0 und Oo = &, ETAT == (bo — dy’) Es] am” [2 a Ei + (bi — a,”) &| = 0. Wenn wir & und &, durch ihre Ausdrücke (47) ersetzen, so finden wir DE (3 + 2a, Ei) — Er (Ea + 24,8, = 0, . OS) O = 2 (a — ay) &, Ë ai (b, are ay’) (&3 == Za, Es) Ei — a (bu SR ay’) (&5 =p Zal) & = 0... CRE Die Doppelkurve schneidet wx (£, — 0) offenbar in den durch (5 Fa 55) Es — 0, 2 (ar — ay) Ei Ea + [bo — a) &, —— (b,' — a,’) En) §; = 0 bestimmten Punkten, also in den Punkten X, und X, und in dem Punkte, welcher, mit 4, den Gleichungen Eb De 2 (a — ay) 81 &> ate (> Ee ay’) A (4 TT a”) bo) Es — 0, DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:% UND #' — #2: 0. 129 oder E1 — EN 0, a 2 (a — 4») & == (dy TE Ay") — (A, = a)! &, = 0 genügt. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt von AM (§,—&,=— 0) mit der kubischen Kurve in we, welche dem Schnitt der axialen Regelflache angehört. Die Doppelkurve enthält die Punkte X, und X,. Aus der Tatsache, dass / die Doppelkurve in zwei Punkten trifft, geht hervor, dass / zweimal mit zwei Congruenzstrahlen einem Strahlenbüschel angehört; d. A. der Axengrad der Congruenz ist zwei. $ 6. Die axiale Regelfläche einer Gerade 1, welche X, X, schneidet. Falls die Gerade / die Gerade X, X, schneidet, hat man für die Coordinaten der Spuren 4 und B’ in we und a, wonach U Oy. od do by = 0. Die Grössen (2, LB, @, und &, der Gleichung (18) erhalten nun die folgenden Werte (Siehe (11) und (16) By = — au (ta, — a), Bi = a — aa, — bf a, Py = — a, + tas + th a, Ps = by (tay wie Vo). | | Die Gleichung (18) gestaltet sich daher wie folgt: | 0 @— 2, (laws + bia) A= ; Mt +6) (es + da) a, > — Lo lars tb, , > —a,(ta,—2@,) ’ , (ta 123 tb, ep) alde, —Q)4 ‘hs —(T4 Uzar la, — 2p) t,—( Il —t) (ads ATA , (@,—a,a,—b, Di 125 > / — (y —d) (@—a,22— bi aalter), , —_ Zia + wle) (a, lav, +th; a,)a, — (lj) | 10; ( Le) =0.(50) 0 | > 124 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w'=w?:c. Die kubische Kurve in we ist jetzt durch (siehe (19)) vole — Ly) — ay ( tery” — ay), À b, ‘(tary — arf = 0 (51) bestimmt. Sie enthält nun auch den Punkt X;, dessen Tangente durch ta, — do __— 0 oder do —— ta, gegeben, daher mit der Gerade X, 4 identisch ist. Die Schnittkurve A in ©, hat nun die Gleichung Eon (Es ty’ Sa)’ HE (Ea thy Ei) + ay" li VE — a 2 7e 5 (AS by En) (Ë zi tb,’ En) ra 2 ay Ey Ge EŸ € <= by Ei) Siene — Zar Er (18, — Ea) (So 4 ty 84) En = 0, welcher jetzt ebenso durch Ei rs by Ee Ë EE th, Er genügt wird. Indem wir die Coordinatenecke wieder von B’ nach X, zurück- führen, und zwar mittels der Formeln Ea — ba, E = do — thy, Er — di; so finden wir für À diese Gleichung: PENN DANE) 4 RENE (@_ — Uy a) or + (ay — by ay) 22° FU (tay, — A) U — TRE D 2 Ne 2 — 2 (a — by ay)” (2e — 1b, 2) aide — a (ar — thy ay)" (tay — ayy A — Zar (a, — bia) (ta, — mY dot = 0. Der Punkt X, erscheint hier als ein Doppelpunkt, dessen Tan- genten durch ‘ia De 2? + bis Bo FE 2 i by CA do = 0 5 oder Ba — a) = 0 dargestellt werden. DIE CONGRUENZEN VON w'—c?: UND w' =w?:e. 125 Der Punkt X, ist demnach ein Zwchkehrpunkt, mit der Gerade ae — 7-2 oz als Tangente; diese Gerade verbindet offenbar X, mit A. Die Doppelkurve der axialen Regelfläche wird nun die Ebene @) in den Punkten X,, X, und X, treffen. Ihre Schnittpunkte mit / sind nun durch (siehe (29)) t (ta, — D) (Es a 24 En) = (ar — b,') (£a == 2 ta E) =0 (52) bestimmt, während die Kurve durch DE (& + 2 a &,) — &, (S34 2 ta, &,) = 0, en (OS) O= 2a (1 — 2) & & + tb, — tay) (& CN) ey TS S(O Say + 2 ta, Ei) & = 0 Pag og a nn oa GO) dargestellt wird. Die kubische Doppelkurve ist hier, im Gegensatz zu dem ana- logen Fall in der vorigen Congruenz, noch immer eine Raum- kurve. Dies lässt sich erklären aus dem Umstande, dass die Punkte X, und X, in der jetzigen Congruenz zicht singular sind. § 7. Die axiale Regelfläche einer Gerade l,, welche X, X, schneidet. Die Gerade / werde jetzt in eine durch X, X, gehende Ebene gelegt, z. B. in die Ebene ©, (x, = ma,). Ihre Gleichungen seien di Vy = Oy Vo nn A; ©3 + ay Vy = OF T3 = Bd. Wenn wir in den in § 5 befindlichen Ausdrücken ao UM = À Tk, ies Oy A SS — z d A a yy ear oe a, a DATE je, (kas + Gy) Io NESW is Nn d 126 DIE CONGRUENZEN VON w ~c?:w UND w' =w?:c. setzen, so ist auf das unendlich werden der Coordinaten a,, as, 6, und 6, Rücksicht genommen. Die Grössen 6, 2, 2, und B, (siehe (11) und (16)) erhalten nun die folgenden Werte: 0 di À dot À (Mas + ae, (ee == 5) a Oa, — 4 (23 — LE) A > Bi = J Das — dd — a (@3 — A) Ay DE 2 d Be pe (ej da + By a) + (ha + dj) 23 ns J XM. Indem man diese Ausdriicke in die Gleichung (18) einsetzt und, nach Fortschaffung der Nenner, J = 0 setzt, so findet man die Gleichung der axialen Regelfläche von /,. Die kubische Kurve in we wird (siehe (19)) durch Mar) tee Hors + (pe (er on ++ ass) Halen [gag 0, oder d3 os 0 und eds + by ay? + | (ey a, + apo + 4323) + aa 23 — 0 (55) dargestellt. Die Kurve zerfällt also in die Gerade X, X, und einen Kegel- schnitt. Dieser schneidet X, X, in den Punkten daher in den Bildern desjenigen Punktes in w), welcher durch oder ay Uy + Lo Vy == 0, dr — 0 bestimmt ist; also des Punktes Z,, wo die Gerade /, die Gerade X, X, schneidet, wobei dieser als Punkt von «, betrachtet wird. Die Geraden 4X,, AX, und 47%, welche im allgemeinen Falle DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w' =w?:e. 127 die kubische Kurve in we zu einem Gebilde sechsten Grades er- gänzen, sind nun alle, weil 4 — JL, auf X,X, liegt, mit X, X, zusammengefallen. Ausserdem enthält die kubische Kurve die Ge- rade X, X, als Bestandteil. Der Schnitt der Regelfläche mit wz enthält also wermal die Gerade X, X, und einen Kegelschnitt. Die Schnittkurve À in w, wird (siehe S. 113) durch die Glei- chungen Ma Wa + Ho Vz — (U + faz a) W di = 0, ek By — by dy ae ! Ma VW, == b, Uy, also durch (#2 — 63 a) Wa men 0) Wa Sr (aa, — a2, + (arb) — abd) Wa = 0 dargestellt. Mit Verwendung der Ausdrücke für a, a, 4, 6, und A finden wir pce, VV a = am 2 += [a 4 == Gy de (ne, = Ch) a, V a = 0, oder, nachdem wir die Wurzelgrössen fortgeschafft, und durch x geteilt haben, [fe Cr an + they” do) ay — ends + hy @y (fey + ey) @ 4)” JP — =a 4 He de do a To D = 0. Der Schnitt À besteht daher aus der doppelt zu zählenden Ge- rade XX, und einer biquadratischen Kurve, welche die Gerade X, X, in den vier durch Ga + ae) = 0 bestimmten Punkten schneidet. Diese Schnittpunkte sind also in dem Schnittpunkt Z, von /, mit X, X, zusammengefallen. Die Kurve hat in Z, einen Doppelpunkt, dessen beide Zweige die nämliche Tangente X,X, haben, während die Kurve in Z, vier Punkten mit XX, gemein hat. Zur Auffindung der Gleichungen der Doppelkurve, müssen wir die Rechnung des allgememen Falles wiederholen, weil hier a,, a, b,, bj und A unendlich gross sind, und die Betrachtungen auf S. 116 und ff. hinfällig werden. Sie werden jetzt in der folgenden Weise abgeandert. 128 DIE CONGRUENZEN VON w' ~c?:w UND w —=w?:e. Eine durch /, gelegte Ebene wird durch dy À dd +- a3 @3 + aya, + A (23 — pas) = 0 dargestellt. (56) In dieser Ebene befinden sich die Strahlen » und g, wenn den Beziehungen a + op, a + A —0, Oy Jy} Oy Po" + ay, — A= 0 und da J + eGo + a3 + A ae: a Qi + & 99+ a A= 0 genügt wird. Der Schnittpunkt von y und g bestimmt sich aus Vi — Pa Qi Li; Vy = — Pi Q2 di ; v3 — — (py + 91) % lad ind 2) ©, Aus den Gleichungen (57) und (58) folgt ar (Pa + 9) + & (pa + 92) + 2 (@3 + A) = 0 und eu Pr Vi ds Pa Jo À % (as ANB de 9») Ir A), oder, vermöge (24), (25) und (26), (4, + dy) 23 — 2 (a3 + Da = 0, und U M= — thy” Dg — Oy (eg + A) ds + (as + AŸ ey Die letzte Gleichung gestaltet sich mittels (61) wie folgt: Ob, do) (ce. à santen Lee Lar on = Ma oder 2 (er a — thy” ds) + (da — ap) (as + A)a; = 0. (57) (58) (25) (26) (24) (39) (60) (61) — "0 (62) DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w'—#?: 0. 129 Die Elimination von A aus (56), (61) und (62) ergiebt schliess- lich (@ — vi) + ee, — ass) + U + yy + egg} Oey, ay, = oder 0 > Da J 4) By (wg — pos) les art (A, eije = 0, (63) und [2 (ya 2 4) + ( (ty — Gy) U a3} («3 — ps) — — (a, — à) (@, a, ++ & a, + aa; + &,2,)% = 0, 7 oder O,S 2 (eu A — à By) (es — Hi) — — (Gy — 4) led + ey Vy + (pes HU) Wi 3 = 0. . (64) Es gilt ferner diese Identität: pe (es — a) (a + a) 29 (13 — pes) + 2 las a + ae Æ (ue + ety) Wy} Mg) + 2 [2 (a, 22, — 20° ay) (ts — pes) — (2 — 40) le ©, + ay + (pes + vj) vl v5] = EE wt) (a, Jo) (aj — at) + (a? — ay”) pus —2 (@, — aq) (ely +a,)æ,], oder, wenn wir La == fa, ee Ou > 2 (ay + ty) (aj — ey Vy) + (a? — ety”) wars — =, CA — 49) (Ua —+ EN Wa setzen, je (a, En ay) De ste 2 O, (is Wy Die Ebene ©, schneidet ®, in den Geraden /, und X, Xa. Die Ebene W, schneidet die Fläche ®, in einem eee De = (a+ do) 3 (@— par) aa + ae, + (ua e,)a,\a,—0, (63) Wa? (ey + tea) (audi — 0d) + (a? — a) HT — — 3 (u, a a>) (Ade, + ar) eC, () 2 5 5 D (65) gegebenen Kegelschnitt, welcher die Punkte Y, und X, wicht ent- halt. Er schneidet /, in dem Punkte Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. X. B 9 130 DIE CONGRUENZEN VON w’ —c?:w UND w' —=w?:e. 4 a, (paas J- 4) a? mla — thy’) | di a oe CR 4 & (ai + ap) zen À a (arg Hau) — ju (ax — 4’) > : 4 d (a =e 4») aw Vy = Hi, und X,X, in dem Punkte UU — Bo —= 0, Dat Ee) Ee welcher Z, in Bezug auf X, und X, harmonisch zugeordnet ist. Die Doppelkurve, welche im allgemeinen Falle eine kubische Raumkurve ist, zerfallt hier in die Gerade X, X, und den obigen Kegelschnitt. Wenn die Gerade /, ausserdem X, X, schneidet, so gilt fa, + a = 0, wonach sich für die Grössen By, 24, > und BR, die folgenden Werte ergeben: Bee dd + by By 5 — a> ae Cty (23 — pay) js 1 Er ? 0 d 2 ae Gy (23 inl 727) is DRE: KAN en 02 à U pa À ao) pa eee Durch Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung (18) er- halten wir die Gleichung der axialen Regelfläche. Die kubische Kurve in wa besteht jetzt aus der Gerade XY, X, und dem Kegel- schnitte (siehe (55) S. 126) 9 € . wu at ha Hat) 0, . . (66) welcher durch X, hindurchgeht und in _Y, durch Ca Diet do — 0%, also durch die Gerade X, Z, berührt wird. DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?2:w UND w’=w?:e. Sul Die Kurve A sechsten Grades in ©, ist in die doppelt zu zählende Gerade X, X, und die biquadratische Kurve [oer (Gy? av, La oa, — (aa + a, a) Ap ar a) mar —0 (66a) ausgeartet. Diese Kurve enthält jetzt auch den Punkt X,,sogar als einen Doppelpunkt, dessen Tangenten durch am + aa) — Aa tt, ay ty = 0, oder (a, Ny FE a Bo) Sh 0 bestimmt und deshalb in der Gerade 2 0) ay U d. h. der Bildgerade von X; Z,, zusammengefallen sind. Der Punkt X, ist somit ein Rückkehrpunkt, dessen Tangente mit dem Bilde von X, Z, identisch ist. Die Doppelkurve besteht aus der Gerade X,X, und aus einem Kegelschnitte, welcher nun diese Gleichungen hat: b = (a + %) 23 (@3 — May) + Lr + ma) 2 — 0, (67) Wey 2 aa — Law + (ay — a) Mas — 0. : (68) Ihr Schnittpunkt mit Z, ist durch AC —%) av TTT 4 Lys À, ay pe (dj — ay) Vs == =) = A ay = Vy > Vs == Pay angewiesen, indess sie wieder X, X, in demjenigen Punkte trifft, welcher Z, in Bezug auf X, und X, harmonisch zugeordnet ist. Wir haben jetzt einige Fille zu erledigen, wo die Gerade / in einer singulären Ebene liegt, und ihre axiale Regelfläche somit von niedrigeren Grade ist. $ 8. Die axiale Regelfliiche einer Gerade l'in €. Wenn die Gerade / in e liegt, so lautet die eine ihrer Glei- chungen : B 9% ee DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w’=w?:e. vy DEN wonach die Durchstosspunkte 4 und B’ sich aus a, =a; = 4, =. ee bi Or oi a EN EENRERRSES bestimmen. Die Ausdrücke (2, P,, Py, B; erhalten jetzt diese Form: B =—a CA == da); 2, — ax, — b'a,, = — 2, + an, + bas, à Bs = b (vt, — 2%), PP I | sodass die Gleichung (18) sich verwandelt in 0 , — tar, tbe, à ae L— a > ag, de) : (2, +2,—2ar,—2b',)@,, (Large) dg (@,—#q) #4, — (2, —2,) (23 Haa,) , (a@,—aar,—b'x,) a : 2, —at,— ba, UW — A) — at, —29) , De —a3) oe @ arg Ve) @,+-a(@,—a@y) a, — 2,8, Haag HO) (Hao) | — («,—aa,— b'x,) a, ; 0 Wenn wir (2,-+@,) mal die erste Horizontalreihe zu dem Dop- pelten der vierten addiren, so wird diese durch (+, — a) teilhar. Teilen wir dann auch die zweite Horizontalreihe durch (4, — 3), so behalten wir 0 , — &,+ar,1 ba, ; ke _@- B) 1 nr ; ar: (a, +a,—2ar,—2b'a,)e, , (€g—av,—l'x,)2,—a (Lj Zo) @; (v,-+-aa,) , | Go Gti De i ear be, 44%) #4 RENE , , il (w,—aar,—l'a,) eha (@, —a@y) 24, — Zeg (ag HÔ @,) (@, Fay) vyhars tba, » — A (a, 4-22) Addiren wir jetzt — (zj +239), mal die zweite Horizontalreihe und a, mal die vierte zu der dritten, so folgt DIE CONGRUENZEN VON w'—=e?:w UND w' —=w?:e. 153 0 $ Dg ams | ba, ae Vo)” 1 Ds (40 > 2 27 — Bare, — UU Ba 2 By (za Jari) , (70700) f Bg À Ae, + LEE @, dlg bej, — à (2, — 2p) | LA Lx CE | == 2 @, (Lg ar) , —2 NA Ly + ats ba, — a tst 25) Schliesslich ersetzen wir die erste Horizontalreihe durch die Summe der ersten und vierten und die vierte durch ihre Differenz; wir bekommen alsdann: LA Bel GA ERE OR Sd ae, 2 a 2 Sli , > A’=2 (7, —2,)° = ou 1 Dua? om : Ai Nea mt 012," , By ( ee æ (Jaa oi do eco, AN 1 eee | Die axiale Regelfläche einer Gerade / in ¢ besteht also aus der doppelt zu zählenden Ebene € und aus einer bigwadratischen Fläche. Die kubische Kurve in wa wird jetzt (siehe (19)) durch (a do) dy Vs — (/ Ge aro 2») Vs = i’ (a ao à @) Di = 0 dargestellt. Sie ist demnach in die Gerade Vy — do = 0 3 oder und in den Kegelschnitt Yq : di Wy —— (a ale do) vs Se b De — 0 5 A . . (7 2) ausgeartet. Der Kegelschnitt VY. enthält die Punkte X, und_X,. Seine T'angente in X, ist durch Vy — Ak; = 0 bestimmt, also mit der Gerade X, 4 identisch. 134 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w =w?:e. Wir sehen daher, dass die Tangenten in X, und A, sich in 4 j schneiden, wonach 4 der Pol von X, X, in Bezug auf Yo ist. Der Kegelschnitt VY. wird durch seine Tangenten X, 4 und X, 4 zu dem biquadratischen Durchschnitt der axialen Regelfläche ergänzt. Die Kurve sechsten Grades À hat nun die folgende Gleichung : USE GS Se Ts = } Er En (Ei a 0 En) (É2 a= b En) 2 © En a= E) € ae b' 5) Ein GC 2 En (Ey — EE = D En) US oder EE ABE) ACER AE +-a?&,(&,—&,) [a EE — En) —2£(E, AUDE) 2676 PE tq oder endlich Er ED [181 & HO Er Se) a” SAE \a" Slib — 2 (Er DE) VE (ON Sie besteht also aus der doppelt zu zählenden Gerade X, und einer biquadratischen Kurve, welche den Schnitt der biquadra- tischen Regelfläche mit ©, bildet. Diese Kurve hat in X, einen Rückkehrpunkt, dessen Tangente durch 4¢ 2 4 ét (6 —a’)é,=—0, oder durch dd 2,—= 0 angewiesen ist, und deshalb mit der Gerade X, 4° zusammenfällt. Die biquadratische Kurve hat also in X, und X, Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich im Bilde 4° von A schneiden. Es leuchtet ein, dass die Gerade / in ¢ auf der biquadratischen Regelfliiche Doppelgerade ist. Neben dieser Doppelgerade besitzt die Regelfläche aber noch eine Doppelkurve, welche durch (siehe (45) und (46)) _ DE — 52) Ep + 2 a (Er — 5) & = aber en 1 Ere (2 — À) (ES — &, N= = — (&, — £)(&,6 + (© —@) (& + &) &,| = 0 : bestimmt wird. Sie ist demnach ein Kegelschuitt, welcher durch | DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND — #2: 0. haa Est 2ab,=0,| EE + 6 — a) (&, + &) & — 0 i (73) dargestellt wird. Dieser Kegelschnitt enthält die Punkte X, und X, und schneidet Zim Punkte C,: (74) Er trifft die Ebene es, ausser in C,, im Punkte oder @ = dy = Ë + aës aa D= = 205, Era Ed Ep also ; VA === Vs 15 3 Va (15 Dieser Punkt ist der Pol Z der Gerade / (2, = x, = aa, + bw) in Bezug auf den Kegelschnitt e: a, Au =a; +420, — 0. Wir kônnen noch erwähnen, dass die Tangente in C, an dem Doppelkegelschnitte die Gleichungen Ed &=0, Es zi 2aë, — 0 hat, und somit den Punkt Z° von X, X, enthält. $ 9. Die axiale Regelfliche eines Congruenzstrahles s. Auch hier soll die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles auf direkten Weg ermittelt werden. Ein Strahl p schneidet den Strahl s, wenn die Beziehung Dh, D re) gilt. Es sollen nun ~, und p, aus (1) und (76) eliminirt werden. 136 DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:» UND w'—#w?:c. Aus (1) geht hervor as ae Vas + Aa, La Pie 9 » sc n = vs Bi V Rs +- A Ws Vy Re CRE a «dy Die Gleichung (76) ergiebt also ut WW ar due, —a,+V af Aa ey (AN i ae Jz, Da, (Si —s2), oder + Va) ham F Va lan = — 2% da, also wy + due, + af + 4a.a,— 4 (8, — 8) U = — +2Yaei+4@ + a) 22a, + l6m 2, oder er HA oe AS) vj | =4a,;' +16 (@,+a,)vfa,t OA, oder endlich Wy)’ — 2 (8 — 8) en Ho) — (8% — 83)°a3’ + (8; — 8)" = 0. (77) (24 Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles ist also ein Hyper- boloid. Die Fläche schneidet ©, in den Geraden AE ee he sa} oder SZ, und dy nn Vy + (84 a, 89) V3 a 0, d.h. in der Gerade S, #, welche Z mit dem Punkte S,: Pi ae Ot a a OD verbindet, der mit S das Bild S”’ gemein hat. $ 10. Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles in e. Wenn der Congruenzstrahl s in ¢ liegt, hat man Sy = So ; wonach (77) sich in — Ket a ee. ee ee Il Il DIE CONGRUENZEN VON #'— ce? : 7% UND w'=w?:e. 137 Gr) = 0 verwandelt. Das Hyperboloid ist daher in die doppelt zu zählende Ebene e ausgeartet. Zum Überflusse bemerken wir noch, dass die Ebene ¢’ (a,-|-2,—0), welche in der vorigen Congruenz singular war, jetzt nicht singular ist. Auch die Ebene ©, ist nunmehr nicht singular. § 11. Die axiale Regelfliche einer Gerade m in wz. Eine in we befindliche Gerade w ist ein besondrer Fall einer Gerade ¢,, welche in der Ebene ©, liegt. Wir haben nl. jetzt B == Ce) zu setzen. Die Ausdrücke 2, LR, 2, und 2, gestalten sich nun (siehe S. 126) wie folgt: ! Bo — 434, , 2, ! Ps (id + 4,2, + 4343) dy, LA Oy By Uy » | WO sr” Dd do d Up Ersetzen wir Py, LB, BB, und 2, in der Gleichung (18) durch die obigen Wormen, so ergiebt sich OF … „Uit „Ut, eds CEA » As » HV Ee dy ass —(4— 4a," (Lys taie, (Hog) (AH), Etes asile, Lyin > did ‚0 oder, nach Teilung durch +: 0 ‚ ay de A dd, C2 ee > Br dodo das | 0 —(4— a), Alg Oey, Bog Ch Vy, (Heyy Go), —(@,-|- aaa, yay ND +40 Die axiale Regelfläche ist demnach in die dreifach zu zählende Ebene ©, und eine kubische Regelfläche zerfallen. =| 138 DIE CONGRUENZEN VON w' =c?2:w UND w' =w?:e. Der Schnitt in ws hat die Gleichung | 0 Mit. Neate 7 0) a, + &, , dz 4 Ut À dodo À nds | 0 0 „Ula, dos, 0 : Cr Gy) dy, dt», a, O oder ds (da dy + dde + aa) = 0. Kr ist offenbar ausgeartet in die Gerade m und in die doppelt zu zählende Gerade X, X.. Der Schnitt in ©, ist bestimmt durch 0 MGs: by > Us, a, + a, wea ne dz , UA + dde Le — (4 — di), ddr, — Up, (dits — dur) ay Eh As Ls > po, ay, 0 oder CDR a= da à + CAD ie 24 ds Lob, —2 Ui ds UU ~ di CDD) 0 . ( fi 9) Dieses Gebilde besteht aus der Gerade X, X, und aus dem Bildkegelschnitte y der in wa liegenden Gerade m. Der Kegelschnitt » berührt X,X, im Punkte andi a GR TL, 0, d.h. im Bildpunkte 47, des Punktes MZ,, wo m und X, X, sich schneiden. Die Doppelkurve der axialen Regelfläche einer in ©, liegenden Gerade besteht (siehe S. 130) aus der Gerade. X, X, und aus einem Kegelschnitte, welcher durch die Gleichungen (63) und (64) dargestellt ist ((65) wird hier hinfallig). Indem wir w — » setzen, erhalten diese Gleichungen die folgende Form : [Gus + das — 2 aa 2, = 0, (2 (ce? a — a,” vy) +- (a, — U) Hz ra) 2, — 0. Der Kegelschnitt ist offenbar in eine Gerade der Ebene wa und in die Gerade md DIE CONGRUENZEN VON # =c?:w UND w' —#?:c. 139 (% + &)a@3 — Zaza, = 0, +. te (EL) Zara — Za an + (a — a) aa, = 0 AU) A ausgeartet. Sie ist also die Doppelgerade d,, der m zugehôrigen kubischen Regelfläche. Man ersieht ohne Mühe, dass die Gerade 4, auch den Punkt M; enthält. Die Zwickpunkte, d. h. diejenigen Punkte auf #, wo zwei un- endlich benachbarte Congruenzstrahlen sich treffen, gehören natür- lich der Fokaifläche an. Die Ebene (81) trifft den Fokalkegel #,, ausser in X, A, noch in der Gerade Ge) AN A U EARN (ED) NR 0 Mr een oee WSO) 7 und den Fokalkegel #,, ausser in A, X,, in der Gerade D 29 1 2 (eo) Ds 2i¢,0, = 0) 2 se CI) 2 (a + a + aa —0.] . . . . (84) nt mit der Fokalfliche ist der Punkt M", der zweite ist mit demjenigen 3 ; J te) Punkte A identisch, welcher durch Der eine Schnittpunkt von 4 Ce + 4) x; — Zaza, — 0, |(S1) Ze + &)a, + aa, = 0, ; (83) 2 (a + &)as + 4323 = 0, | (84) oder av a 2 da C4 A angewiesen ist. Der Punkt A’ befindet sich daher in der Ebene Z, und zwar auf dem Kegelschnitt e. Die Zwickpunkte sind also die Punkte MZ, und XK. Es erhellt ohne Weiteres, dass die durch 47; gehende Zorsallinie mit der Gerade X, X, identisch ist, und dass die durch A gehende Torsallinie durch Vr — B — U = 0,| 2 (1) Dis — #3 fy — hy = 0, | 140 DIE CONGRUENZEN VON w'—c2. UND w'—#2: c. also hier durch as + ay)” py” + 2 tes (0, Ha) + af = 0,| (86) (Ha) py” + Lala, + aps + af = 0 oe bestimmt ist, wonach Ly 4, ee 0, Sh LT AE Pi as a a5 oe, ( ) HAS a Po = = — - x ° . . . . . (88) vs Es Diese Coordinaten genügen der Beziehung &, à, +- @,2, + 4323 —=0; der Strahl schneidet ja auch die Gerade m, welche die eimfache Leillinie der Fläche ist. Der Torsalpunkt 7 wird durch die Glei- chungen (87), (88) und x, = 0 dargestellt. Die Torsallinie ¢, welche durch A’ geht, ist der durch 7’ hin- durchgehende Congruenzstrahl, also 2 a. CA 3 | a, SSS a — OE. Eee . . . 89 a a, + a, = (a, + a) oe Gee 43 Ae : = —— @, en (OO É a, + a, 73 (a, + 4) a (A Sie berührt den Kegelschnitt e im Punkte X. Der zweite Torsalpunkt ist der Punkt MZ}, wo m die Gerade X, X, trifft, daher: y di + ddr = 0, NE (91) Die zweite Torsallinie ist, wie schon oben bemerkt wurde, mit der Gerade X, X, identisch. § 12. Wenn die in ©, befindliche Gerade m um eimen durch do ( = — Uy, en ds, dr == 0 . . . . . (92) vs T3 gegebenen Punkt 4 rotirt, so wird die Doppelgerade d,, eine ge- wisse Regelfliiche beschreiben. Weil die Gerade m stets den Punkt 4 enthält, sind die Coeffi- cienten &,, & und &; durch die Beziehung DIE CONGRUENZEN VON #'— 062: » UND w' =w?: c. 141 ay ay a, As t a. == 0 . . . . . (95) verknüpft. Wir setzen wieder u = Y, (96) a. a. — = 9, (97) a Die Doppelgerade 4, ergiebt sich alsdann (siehe (81 und ($2)) aus (4 == Pa) V2 Fae 24, — 0, . . ° . . . . (98) 29,7 a — 297% + (M — M); — 0, . . . (99) während die Grössen y, und g, (siehe (95)) verbunden sind durch Oren ra on ON SE A CRU) Es sollen jetzt, zur Ermittelung der durch 4, beschriebenen Regelfläche, gy, und y, aus (98), (99) und (100) eliminirt werden. Aus (98) und (100) folgern wir da + 2a,4, y= — -— (a, — Az) 23 | 0 D (a a Nia aI RE Die Substitution dieser Ausdriicke in (99) ergiebt 2 (a + 2 aa) a — Lap + 2 ma) 1 — — 2 le; + (a, + a.) wl (a — a) 23 = 0, oder (@ — @y) a3" JA (ayn — U) &3@, + 4 (aya — af) 2 — — (a, — 42) (23 + (ar Hao) ele —=0. . . (101) Diese Gleichung stellt die Regelfläche (4,) dar, welche offenbar vom dritten Grade ist. Der Schnitt in ©, wird durch { \®4 Ws Sea (a, =, 4) al 2 — 0 . . . (1 02) bestimmt. 142 DIE CONGRUENZEN VON w’=c?: w UND #'— #2: c. Er ist also aus der doppelt gezählten Gerade X, X,, und der Gerade 4% zusammengesetzt. Der Schnitt in ©, hat die Gleichung (as a, == ai Lo) Bi == 0. : . e . . (103) Er besteht aus der doppelt zu zählenden Gerade X, X, und aus der Gerade Di di Bo alg: dh XGA. Aus der Gleichung (101) erkennen wir, dass A, X, die Doppel- gerade A der Regelfläche ist. Die einfache Leitlinie ist natürlich der Congruenzstrahl a = AA’, welche 4 mit seinem Bilde 4’ in w, vereinigt. Sie wird ja durch jede d,, geschnitten, weil sie der axialen Regelfläche jeder 4,, angehört. Ein Punkt At +- À —— Oz Eis ee 0 vO der Doppelgerade A trägt zwei Geraden d,,. Eine Gerade 4, wird bestimmt durch die Liniencoordinaten gy, und y derjenigen Gerade m, auf deren axiale Regelfläche sie Doppelgerade ist. Aus (99) und (100) geht hervor, dass ein Punkt (104) zwei Paare (y,,#) bestimmt, also zwei Geraden m, und deshalb zwei Geraden d,,. Diese zwei Paare (g,, gg) sind durch me AP As =O NT NAN Ai Pa Ge 1H Ol oe ot gegeben. Die Elimination von y, ergiebt (Ar aa” A Arn Par Ay apr Ay Oer EOD) Die beiden hieraus fliessenden Werte von Ps coincidiren, wenn man hat d.h. im Punkte X, (2, — 0, zj — 0, w, = 0) ruhen zwei unendlich pep hd . DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w’ —#2:0. 143 benachbarte Geraden d,,. Der Punkt X, ist demnach ein Zwichpunkt. In derselben Weise zeigt man, dass auch X, ein Zwickpunkt ist. Indem wir A, — 0 setzen, finden wir aus (106) und daher aus (100) Pie. Die Torsallinie /,; von X, ist somit durch av. —$— 27%,=—0, ay 9 , RÉ | ae 0 9 a ar bi ag Ay oder durch (110) bestimmt. Die Gerade /, liegt in der Ebene 2, — 4, 23 — 43° #4 — 0 und schneidet den Congruengstrahl a (einfache Leitlinie von (4,,)) in dem Torsalpunkte 4,,: = is ae. Rs do a Ve av, Uy (I 19) —a4(4—2a) a Za, —1 Dieser Punkt 4, ist der Berührungspunkt von a mit dem Fokalkegel #5. Die Torsallinie /, verbindet also A, mit dem Brennpunkte 4, des Congruensstrahles a — AA. Die zweite Torsallinie (4) wird ebenso X, mit dem Torsalpunkte Aj, dem zweiten Brennpunkte von a, vereinigen. Thre Gleichungen sind 23 24%, = 0, | Ci) 2æ, — a Vx T— (()- | wihrend der zweite Torsalpunkt 4, durch VY Wy 3 Vy, = — nn si DCS) ay 4, (Za, — ay) Zar — | angewiesen wird. 144 DIE CONGRUENZEN VON w'—c?:# UND w’=vw?:e. Jeder Punkt 4 in we bestimmt eine derartige Regelfläche (4,,), auf der a — Ad die einfache Leitlinie, A, X, die Doppelgerade ist. Wenn wir 4 die ganze Ebene ©, beschreiben lassen, so wird die einfache Leitlinie die Strahlencongruenz erzeugen; die Doppel- gerade dagegen bleibt immer mit der Gerade X, A, identisch, während X, und X, sich stets als Zwickpunkte verhalten. $ 13. Die Regelfliche der Congruenzstrahlen, welche auf einem durch die Punkte X, und X, hindurchgehenden Kegelschnitt ruhen. Wir legen den Kegelschnitt Y,, auf welchem die Erzeugenden der zu untersuchenden Regelfläche ruhen, in die Ebene w,, PgR M; und geben ihm die Gleichungen ts Bay oo + a (@ R323 4 a, Lv) AC Be + a; By a4) ar (a) Be + os Poe) = 0, . . 2 Cee a (Vergl. I. Abschnitt, S. 20). Die Erzeugenden der jetzigen Regelfläche haben diejenigen Coor- dinaten (@,, 2), welche der durch Elimination von a, 2, a3 und æ, aus (1), (114) und (115) ermittelten Beziehung genügen. Die Elimination von >, liefert a; Ba + (a, Baja + ats Py) ay vy + (ei Bu + 3 Py) vy a + + (ao Ba? + a Ry) a” = 0, Uy = (Pit + Pr), Vy = (Polk + py) Xs. Durch Elimination von a und z, gelangen wir zu a Bip ps + ds Ps aps pa + %3 Bs pa px + (42 Bs ie H&P) +- + (ca EN + 43 Be + NCN Dot 4 Lp ae ACH) npt + (a Ba + a (24) pa + (Hy Ps ie + a; Bo) = 0, EA oder Yoi Px + Ys Ps Pat Vols Ba À Vs Pt Y2 Pe + Yo iet y A+ Yo EE Yo =O. . en Wir ersetzen nun p, durch pees ‚ps durch mi By, Pi und erhalten dann DIE CONGRUENZEN VON w'=—c?:w UND w'—#?: 0. 145 Lots — (a HY) 232 + Yo U Pa De + (Yo 243 + Y2 dr — = a BU Ni mnt Nid Ve asie vi | Pat Vouw Nana ty ma ty) z]—0. . . . . (118) Setzen wir, der Kürze wegen, YoU, — (Yi À Yo) 2324 + Yo U = 45, | Yot Fatra NW Bata Ya U — Vs; Votes HUD Yr 03.2, Ya Din Pie Yoda T2 À VU a À Ve Lod + Yo % = bp, | (119) so können wir (118) in der folgenden Form schreiben : 03 Pa Pa + Ooa + 6122+ Oo = 0. HT Gls OF Aus dieser Gleichung kônnen mittels (1) oder (10) drei andere Gleichungen in pip, ~ und p, abgeleitet werden (vergl. S. 77). Wir multipliciren (120) mit z,p, und erhalten dann 638 pa" Pa + bom + 24,22 + bots = 0, oder nach Verwendung von (10): — sta Pa Pa À 93% Pa — Bran + Doen HO aap + btp 0, oder (033 — 01 25) Pa Do + (6.23 — 0025) Pa — 032412 Oran — 0. (121) Ebenso, durch Multiplikation mit +, p, : (Oz 23 — 05) Pa Pa — 93 vp + (91 23 — 005) Pa — 4% = 0. (122) Schliesslich multipliciren wir (121) mit z,p,, wonach sich ergiebt (03 &3 — 64 vi) vi PaP + Oo 23 — Oo 70) din Pa — Oz Pe — _—§,%,2,7.— 0, also nach Benutzung von (10): — (0323 — 04 7) Papa Pa + (8303 — 84 25) ip À (0273 — 9) 25) wi, Pa Pa H + Oz tp 03.4, — 6,4, mp 0, oder (63 az — (6, + 05) 23 a, + Oy za | Pa — (03 23 — 0 23) do pa — — (0323 — Ova) vpe stat —=0 . . . . . (123) Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl, X. B 10 146 DIE CONGRUENZEN VON w'=c?: 0 UND w'—#w?:c. Wenn wir nun gp, # und p, aus (120), (121), (122) und (123) eliminiren, so bekommen wir die folgende Gleichung : LA 02 564 00 | ASS 053017, „0007, Ose > 024) 0 Odo, — 032 „Ours Ozn „02 16323 —(8,+62)a3e,4 boi", CA 944 )®,—(9 03 —B 92's) 830425 Indem wir + mal die erste, — #3 mal die zweite und — a, mal die dritte Horizontalreihe zu der vierten addiren, erhalten wir LE ‚ 0 ‚ Di 00 __ Paars, Ooo , O50 nn A —— == 0. 65.73 —0,, — br, , 0123 Oz, ,—b,2, Oz > (Oz, ie Gots) as, (Boa, == VAAR == 00425 == 012,23 Se boas Die Beziehungen (119) gestatten uns die folgenden Reduktionen auszuführen : Oizo O23 = — VP a3 VUL Ye Pain À Va Poy Yes as À + Va ULT Yo data À Yo dat = (Yade À V1 Vlg Yo PMA Yo Usti) ts Oz, Opr (yo À Yo 2203 Ya data À Yo dit) Us bytes bats + 0003 = YULE (YY) Ho UL — FYB Vyly FULLY UU di Va VUE — YULE + YUU ly —Y a Vy UF Ya BUD H FLES HULS Ly Yo lg dr + Yo Ds Vy (Yo Tito Ya "LV +Yo Vybz +o 3) ay. Der Kürze halber, setzen wir noch Va ado V4 das Yo Bl, 1 Yo Ld — Un, LA i/d uv Ye À Va Pols + Va MX, Yo CL, = 45, ie (124) ’ ” , u TN) Vo BX, + V1 Ms À Yo Pls + Yo ls = Oo. | Die Gleichung der Regelfläche erscheint also teilbar durch @,’; nach dieser Teilung ergiebt sich 63 ae , 6, > bo 033 — 012%, 6,03 — Oo %, — 3a > Wes — |; 63 #3 — V2, —Os 23 > 0, 23 — bo #%,, — 6,25 bo > 64 AE ; A À à | À DIE CONGRUENZEN VON w'=c?:w UND w' =w?:e. 147 Subtrahiren wir +, mal die erste Horizontalreihe von der zweiten und von der dritten, so folgt: eb 1 0, ? 6, > 6 Js a, A » — Oot 5 — (0524 a 6,23), — (6224 = LA) Ec + ga, — (Oa, == 0,73), — 002, 3 — (6,2, += 923) do > 6, > 6; ? I Eine kleine Reduktion ergiebt Bas + Bas = (— 718283 + Vo di — Ni Vs À Ni UX) Us 632% + 0423 = (— 24123 + Yo Bli Yo Bs À Ya Ts) Tr oder, wenn wir mn ? 4 a A) Seite He 2 ee Mn es —N 2223 À Yot NL TN LBA = 47» on 2] yp / q ? 4 ? 2 ee 9 yp SS Ó é q 5) Ya ds HVU Uy — Va %3 + Ya dada = 4g setzen , Û do + 0503 = 0744, 4 + 4; % = 03%, während wir oben gefunden haben: 0, do + G9 % = 0444, ba bo 73 = 0524: Wenn wir diese Ausdrücke in die Determinantengleichung ein- setzen, so erscheint diese abermals durch @,° teilbar; nach Teilung durch +,? bekommt man: ds, bo ; of , bo ed Be b, ) Go » O5 : bs | ; 2 = == 0. Ë . 5 126 ; ft fe fa ee | Oo, 04 45, de Die Grossen 4 sind alle vom zweiten Grade in den Coordinaten, wonach die Gleichung (126) vom achten Grade ist. Wir sehen somit, dass die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem willkürlichen, durch X, und X, gelegten Kegelschnitt Y,, ruhen, vom achten Grade ist; es leuchtet ein, dass Y, auf dieser Regelflache eine vierfache Kurve ist. Der Durchschnitt mit we wird ermittelt; indem wir in der Gleichung (126) 2, — 0 setzen; die Grössen § erhalten dann die folgenden Werte (siehe (119), (124) und (125)): B 10% 148 DIE CONGRUENZEN VON w’ — e2: x UND # —#? : c. 6, = Yo, bo = — Yo % 23; 6, = — Yo 2s, bo = Yo% 22; Og = VA + ae, | (127) HE NL nin VELE | 85 = Yo % % + Vi 2% % + Vo dot + Vo 23” | 6, = — (Yo 23 + Ye 23°), bg = — (Y%1 % 2% + Ni 23) | Die Gleichung (126) verwandelt sich daher in: Vos s— Yor, > Torres » Yos —Y0UL3 Yodad2 (Ya FY 2 ds) 3 (Yot Vo 23) —0. (128 Yl 5 (Vite Va 3), Vos (Vtt Va 3) | / / / 7 72 (ES) Vol» (Valo ys dan (Ya Yo Lal Vo lite Ya dits Ya ds Yoda Die Grössen y waren durch die folgenden Ausdrücke definirt: Yo = 43s, | N = P4;Ps, | Ya = Be; bs, U 2 Yo Sk % Bs, Val = (a spe + as), L (129) Yo = (a4 Ps + a3 Ps), | yi = Be BE + ab), Yo = u Bu + as Ps), Yo = (wos + as Po), aus welchen diese Beziehungen hervorgehen: Van Fo To Re ne ke (180) VA Ney A | Yo = BY: Vermôge (130) schreiben wir (128) in dieser Form: 2 ij 9 | a Yot: 3 > Yl „dt 3 Sri Yot 4@ 3 , Yot 4@ 2 / ! —YoU1L3 Yot? (EY 081 Y2 dar (HV 024492 23) 73 il ! , =— YP 3h MAN des VOA (Yot Hy 25) / / 9 VA Von, (MY ort V1 as (MY V2 da) YAHYA dat MY » das V0 dS DIE CONGRUENZEN VON w' =c?:w UND w =w?:e. 149 Wir multipliciren die zweite und die dritte Horizontalreihe mit wv, und addiren zu der neuen zweiten Reihe +, mal die erste, und zu der neuen dritten Reihe +, mal die erste. Wir erhalten dann | @3",—V 083 > Yous » 0, 0 UVA HUYS +7223), 0 ,—2 (Vos HY Le) 0 ? did», (MYo@+ V1 23) > (MY 0% +72 23) , YoUr2 2 > ? 2 PAY + HYota03 + V2 3) 2 1,2 M(Yo2 + PY 0% 203 + V1 dy) 2 ? ? y yp ‚| 4 ? ? Ys; ? 2 LOY MV. MY à MP3 FLY 2 7003 Yo ds Jetzt multipliciren wir die letzte Vertikalreihe mit + und addi- ren zu ihr: Y42, mal die erste, 2,4, mal die zweite und 4,4, mal die dritte Vertikalreihe; wir bekommen dann 2 V3 3 Vols —YoU1L3 OL 2 1,2 00.0 Yo MYot1E3 Yo 23), 0 =) 2 12 en Oslo +h 2034+ 23), 0 0 ! LA Bitos (PY 02 + Ya 3) > (MY + Ye L3)%2 PU oder ey WM (Yoa + MyoU Ls + Ve 2) Yot + KV o%2%3 + M1 23) = 0, (181) wo zur Abkiirzung 2 p 2 nep mM D, p 2m ERIK lp m2 U Vo 2) À MoU dd + MYM Lo ds Yi ds À Ye dr vs J + HYodid28 + Ps UU + M2 das + Yo % = 0 (132) gesetzt ist. Die Gleichung (128), welche nach Multiplikation mit +, in die Form (131) gebracht wurde, ist deshalb als die Gesammtheit der folgenden drei Gleichungen zu betrachten: i= 0; 2 à A Yol + LY0%183 + Vo d3 2 1 mM Lands Yot + MYoL2L3 + Vi ds = | sun ii RSS) 0. | Die Gleichung I = 0, welche den nicht-geraden Bestandteil des Durchschnittes darstellt, würde natürlich auch erhalten sein, wenn in (116) » und p, durch a,:a; und 2:23 ersetzt waren. 150 DIE CONGRUENZEN VON #'—e2:% UND w' =w?:e. Die zweite der Gleichungen (133) bestimmt zwei Geraden durch X,, die dritte zwei Geraden durch X;. Der Schnitt von wa mit der Regelfläche der Congruenzstrahlen welche auf einem durch X, und X, gelegten, sich in der Ebene ©; = px, befindenden Kegelschnitt Ÿ, ruhen, besteht also aus einer biquadratischen Kurve IT = 0, aus zwei Geraden durch X, und aus zwei Geraden durch X,. Auch an dieser Stelle wollen wir die Bedeutung jener Geraden zu erforschen versuchen. Die Congruenzstrahlen, welche auf der in w. befindlichen Gerade D — Pda, U = 0 ruhen, liegen in der Ebene 9 — a ‘7 2 yp Cres a Pewee EN Die auf t= 4%, == dD ruhenden Strahlen befinden sich in 2 Bi es IL LL CR NOR Die Ebenen (134) und (135) haben dieselbe Schnittlinie wie die Ebenen DJ) Li en ao 2a, =D FAB (MP +de . - (181) Fiir die zwei Geraden, welche durch Yo” + BY % % + Ve 73” = 0 angewiesen sind, gilt Di mile An = = Die Congruenzstrahlen, welche diese beiden Geraden schneiden, legen demnach in den Ebenen, welche sich schneiden in der Gerade DIE CONGRUENZEN . VON w'—c2:% UND w’=w?:e. 15] oder T3 — Mar, | aq : (138) Yoda À Ve di 0, | also, wegen (129), Li — UT, | a; 2,2, + (a Be + a, Bi) a, = 0, | oder V3 == Pay , | : (139) as Ps @, + 4 ENA + 43 6410; | Die fragliche Schnittlinie ist daher identisch mit der Tangente in X, an dem Kegelschnitt Y,, welcher alle Congruenzstrahlen trägt. Die beiden Geraden durch X,, welche dem Schnitte in w, ange- hôren, sind offenbar die Congruenzstrahlen durch den X, voran- gehenden Punkt von Y,, während die beiden Geraden durch X, die Strahlen sind, welche nach dem X, unendlich benachbarten Punkte von Y, zielen. Die beiden Geraden durch X, sind ausserdem die Tangenten an der Kurve IT in ihrem Doppelpunkte X,; dasselbe kann von den zwei Geraden durch X, behauptet werden. Der Schmitt in ©, fordert #,— 0; für die Grössen § finden wir daher die folgenden Ausdriicke : 6, = Yo a, BD = Yot + Va Us b= Nat + Yo Us = Yosh, + V1 id + Ve ds + Yo eH, be = Ut Yo Pod (127a) 05 = Yad + Yi UU D = Yo UL, O, = Yo 2223, ! 8 — Yo av Vy. 1 Indem wir diese Werte in die Gleichung (126) einsetzen, erhalten wir die Gleichung der gesuchten Kurve. Sie ist vom achten Grade und nicht ausgeartet, weil die Ebene w, keine singulären Eigen- schaften aufweist. 152 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w' =w?:c. § 14. Die Regelfliche der Congruenzstrahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten, in wx befindlichen Kegelschnitt ruhen. Der betreffende Kegelschnitt muss mit > bezeichnet werden. Wir haben ja in dem Obigen nur [4 = hi oO zu setzen, wonach der Kegelschnitt Y~ durch CANIN Ws + a, Vy 3 +- ay Vy V3 + aya — 0 5 Eur (140) angewiesen wird. Die Grôssen y sind nun definirt durch VO 35 Ya = #43, Y2 = Ms, Yo = 43, NY Id, a= ha, Vs = hs, Yo = hPa, w 9 Yo = [4 di) 2 wo der Faktor £, gestrichen ist. Die Ausdrücke 6 bekommen nun diese Gestalt (siehe (119), (124) und (125)): 63 = aa, 6, = aa, bi = waa’, db = Kaas, D, == (ar + yas) ar, D= (U + Aas) @,, Og = (stats + ty ay hy + a, v3 + Bas’), 6, = n° (eze + bys) dy, By == (say + 43) @y. Die Gleichung (126) der Regelfläche nimmt alsdann die folgende Form an: DIE CONGRUENZEN VON w/=ec?:w UND w'=w?:c. 155 2 2 2 2 Ad > dr ‚Dr » btn 2 2 ) ».\mn ) A 1 |U ED 5 (430-3) (Bon dors), ZA Es: 2 yy ? 2 yp 2 J > 21 EL > avy, , (ar) axes, Avy ? (CT Haga 3): | 9 € CL By, CT OCT == AV 3)Vy, b3V Vy == U URzj hey V 83 À ar) oder, nach Teilung durch 2;,': as » &) > & LA | ite, Cod, sas 4 À God; | = 0. UD, Utp ds , Koay ‚Udo À bys (141) lee, (ia, + ya's) zi, (ran + Ayes) a, aie, + A244 a; + mass + avy | Die Regelfläche der Congruenzstrahlen, welche auf einem durch XN, und X, gelegten und in we befindlichen Kegelschnitt Y~ ruhen, ist demnach vom wierten Grade. Der Schnitt in we (a — 0) wird bestimmt durch a ? a, , CA » a, 0,0 > Og By + by Ly, by + da EE 0, Nen a, v3, 0 > Xa Lo À by #3 | 9 oo , 0 , yy By À Oy ByD3 | Uda dt | oder (3 @ + dd) (as Vy + Hy A’) (Ag Vy Vy + Up U Py + Hy Mow, + Hay) — 0. Der Schnitt in we besteht also aus dem Kegelschnitte Y. und aus semen beiden Tangenten in X, und X,; diese Tangenten schnet- den sich in dem Pole B von X, X, in Bezug auf Y~. Hier erken- nen wir einen eigentiimlichen Unterschied mit der vorigen Con- gruenz, wo Ye durch die Geraden X,M, und X, #7, (siehe S. 87) zu einer biquadratischen Kurve ergänzt wird. Im Übrigen ist die Ahnlichkeit der Determinante (141) mit der entsprechenden in der Abteilung 4 auffallend. Die Schnittkurve in @, (@;—= 0) wird durch ie Ms dp » ay Vy > Ay Vy a, di > at ae) BOD: SUD | ee CREED Fuser 2 ? ? » f a] mn CA dy > CA ds ad 4 > a> a iT dr > a. a 1 dy bestimmt. Sie ist die Bildkurve von Yz. In X, und X, hat sie Rückkehr- 154 DIE CONGRUENZEN VON w'—c2:% UND w'’ =w?:e. punkte, deren ‘Tangenten X, und X, mit dem B zugeordneten Punkte B’ verbinden. Im Allgemeinen wird ein Schnitt mit einer Ebene durch X,X, in À, und X, zwei Rückkehrpunkte besitzen , deren Tangenten sich auf der Gerade BB schneiden. Wir bestimmen nun die Doppelkurve she sich auf der Regel- fläche befindet. Ein Congruenzstrahl p (7,, p,) schneidet Yo , wenn der Beziehung Cs Pa Pa + fn + ip + —=0, . |. . (143) ein Strahl g (g1, go) trifft Yo, wenn der Bedingung 3949 À di + MH G+ —=0 . . . (144) genügt wird. Die Strahlen p und g schneiden sich, wenn man hat Pa À Ga = Pr À Jos he 2 eN während ihr Schnittpunkt durch U = — Pa Ga du; | + Von Piotr RQ) D= — (Da + Ya) U = — (Po + Yo) % er bestimmt ist. Hs sollen jetzt aus (143), (144), (23), (24), (25) und (26) die Grössen 74, 2», g, und gj eliminirt werden. Die Elimination von g, aus (144) und (23) ergiebt kpn + AIN — bio À BDT Po + (a + 4) 94 + 2 = 0. (145) Durch die Elimination von p, aus (145) und (143) erhält man dz Pa Ga (Pa + G1) + 3 + ga) + Loan H ae (a + tty thy + Gh tts) (py > q1) F2 = 0. (146) Mit Hiilfe von (24), (25) und (26) schreiben wir ka dits + Oey Weg” — Web deg ay — (U + Oey Oly À Oy bg) a3 Vy TJ 0 ee ess a er ENEN Diese Gleichung stellt einen quadratischen Kegel 4, mit X, als Spitze, dar. Hatten wir zuerst p, nee g, eliminirt, so würden wir zu DIE CONGRUENZEN VON # =c?:w UND w' =w?:e. 19 or fy tes dd, + eg Vy — Dey bes Py, — (af + aa, + Mey es) zn À 2u = 0 (148) gelangt sein. Diese Gleichung vertritt einen quadratischen Kegel #, mit X, als Spitze. Der Kegel #, schneidet wo in X,X, und in der Gerade LA d'A + CA da = 0 B d. h. in der Tangente X,8B an Yo. Der Kegel # durchbohrt w… gleichfalls in À, X, und überdies in der Gerade tes Vy À dog = 0, d. h. in der Tangente X,B an Ye. Ausser der Gerade X, X, haben die beiden Kegel #, und #, offenbar eine kubische Raumkurve gemein, welche die Punkte X,, X, und B ae eee ee UME eend ()) enthält. Der Kegel #, schneidet w) in X,X, und in der Gerade Lo CA av =a Ay & Or — 0 > während der Schnitt von #, mit w, aus X, X, und der Gerade Why Ws Ly — by bv, = 0 zusammengesetzt ist. Der Schnittpunkt D dieser Geraden wird durch CAT do Uy, Gey Gey” le Bly hn bestimmt, liegt demnach auf der Gerade 2 dA xy welche X, mit dem Bilde B’ von B vereinigt. Die Doppelkurve der Regelfläche ist also eine Awbische Raum- kurve, welche die Punkte X,, X,, den Pol B von X, X, in Bezug 156 DIE CONGRUENZEN VON #'—c?:# UND w'—#?:c. auf Ye und den in w‚ auf der Gerade X, B befindlichen Punkt D enthält. Es erhellt, dass jeder Schnitt mit einer Ebene durch X,X, ausser den beiden Rückkehrpunkten X, nnd X, noch einen Dop- pelpunkt aufzuweisen hat. § 15. Die Regelfläche der Strahlen, welche sich stitzen auf einem in Wx durch X, und X, gelegten Kegelschnitt, wofür X; der Pol von À, À, ist. In dem vorliegenden Falle ist der Pol B von X, X, in Bezug auf Yeo mit dem Punkte X, identisch. Es gilt nunmehr die Gleichung von Ye ist daher XxX, Wy +- ar — 0. . . . . . (151) Die Gleichung der Regelfläche lautet jetzt (siehe (141)): da 0 40 » % 0 ’ a) ky, ? CAT ? 4, vs 0 A) Oy Beaks NE TES aay 9 9 | td”, Add, did, 34,2, À by as oder aa a Haas (av) — 2 aa) ae, — 4 dj (a, + ay) ea, + das a La =0 + ea Die Schnitte mit wo und ©, werden durch mans aa) —= 0; vit — % ay) = 0 dargestellt. Diese letzte Kurve besteht also aus emem doppelt zu zählenden Kegelschnitt, in Bezug auf welchen X, der Pol von X, Xs ist. Wir bemerken beiläufig, dass ein Kegelschnitt in ©, nur dann in einen in wg liegenden Kegelschnitt abgebildet wird, wenn er durch X, und X, geht und X, der Pol von X, X, ist. Die Doppelkurve ist jetzt durch Jm Dt I DIE CONGRUENZEN VON w’ —c?:w UND w' =w?:e. Pz (az — 40%) = 0, da (az — aow) = 0 bestimmt. Der eine ihrer Bestandteile ist die Gerade as — mt, = 0, | CA Vy a Ay Vy, = 0 > | welche in der Ebene ¢ liegt, und den Punkt X, trägt. Der andere Bestandteil der Doppelkurve befindet sich in #, — 0; er ist offenbar der Kegelschnitt De en dvd U —0, welchen wir oben als den Schnitt der Regelfläche mit w, erkannten. $ 16. Die Regelflüche der Strahlen, welche auf einem durch A, À, und X, gelegten Kegelschmitt ruhen. Zum Schluss wollen wir den Fall erledigen, wo Y. durch Xs geht; man hat dann zu setzen. Die Gleichung von Y= lautet nun Ca La D> + La ds + Mat — 0. . . . (154) Die Regelfläche entspricht der Gleichung L'ART BA 0 Ui Vy, 0 ‚ 3 MT Ay V3, Lo =) (155) Be Wy, dx da ds 0 » & da ares, (0,2, 2a, Wey Dy , Wy Dy Wo My By By À Hy 23) Diese Fläche ist tmmer vom vierten Grade, in Gegensatz zu dem entsprechenden Fall in der vorigen Congruenz, wo die Fläche in we und in einer kubischen Regelfliiche ausgeartet war. Dort war ja À, ein singulärer Punkt, während X} hier keine Singularitäten zeigt. Der Grad der Regelfläche eines Kegelschnittes in ©, wird nur dann herabgedrückt, wenn diese Kurve das Bild einer in ©, be- findlichen Gerade ist. Die Gleichung dieses Bildkegelschnittes ist dann LB, + Boes + B,r; — 0. Derselbe gehört also keiner der hier betrachteten Kurven an. 158 DIE CONGRUENZEN VON w'—e2:% UND w' —#2:c. Der Schnitt der Regelfläche (155) mit we wird durch (siehe S. 153) (43a == &, da) (&3 2 == 3) (U; U + dot, dj Sie 4, 2243) = 0 dargestellt. Die Schnittkurve in ©, hat die Gleichung Henn End 0 Bit, 0 av U, 12% ; A > #1 ; ; —=(0,.. . (A) dd, , 43% , O » & 22 0 > & UV, , Add , Adi Py und enthält demnach den Punkt X, (das Bild von X,). Die Doppelkurve ist jetzt durch he, = e200, + URS — Qe oe aya, — (a, + arr, = 0, . (1470) hy =e faa, Haars — Vado — aa, Ha), — 0 . (1484) angewiesen. Die kubische Raumkurve schneidet. jetzt we, ausser À, und X,, im Punkte B, die Ebene , aber in X, Die biquadratische Kurve in &, hat also in X, einen Doppelpunkt. Wenn der Kegelschmtt Y,, auf dem die Strahlen ruhen, in der Ebene w, liegt, haben wir nur B= 0 zu setzen. Die so erhaltene Regelfläche wird ganz und gar mit der Regel- fläche eines willkürlichen, durch X, und X, gelegten Kegelschnittes übereinstimmen. Die Ebene wo, ist ja zocht singulair und unter- scheidet sich daher nicht von einer beliebigen durch X, X, geleg- ten Ebene w,. § 17. Wie bei der Congruenz von w = c’:w, wollen wir hier abschliessen mit einer genaueren Beschreibung der Gestalt der be- trachteten Gebilde, ohne jedoch alle Gleichungen auf triorthogonalen Coordinaten zu beziehen. Wo diese Umformung erwiinscht ist, verwenden wir die folgenden Formeln: ati \ L— U Vy, = J 4 Ne ove... (LOON Wz eet En Ly = ; h Eine kurze Zusammenfassung der oben erhaltenen Resultate möge hier folgen. a). Der Feldgrad der Congruenz ist zwei, ihr Bündelgrad wer, ihr Axengrad zwei. Von den vier Strahlen, welche nach einem reellen Punkt 7’ zielen, sind stets nur zwei reell. Die Coordinaten y, und y, derjenigen Strahlen, welche sich in einem Punkte (7%, Y, 2) schneiden, erhält man aus C2y py — c(h — 2) m + 4 (@% + H)=90,. . (157) C2y Py Ei (4 Pat 20) P2 ar h (29 ES 10) = 0. . : (1 58) Die Wurzeln von (158) sind also den Wurzeln von (157) com- plex conjugirt. Von den vier Combinationen (@,, p,) giebt es daher zwei, für welche p, + p, und y,p, reell sind. 6). Singuläre Ebenen sind 1° die Ebene [wl (¢ = 0) mit drei Strahlenbiischeln, mit den Scheiteln in X,, X, und Z, d.h. in den beiden Kreispunkten 7 und J und in dem unendlich fernen Punkte X der reellen Axe; diese Strahlenbiischel sind also alle aus parallelen Geraden zusammen- gesetzt ; 2° die Ebene der reellen Axen (+, = a, oder y = 0) mit einem Strahlengebilde zweiter Klasse, welches einen Kegelschnitt e umhiillt. Dieser Kegelschnitt wird durch di = Ane, — 0, | Uy —— Vs > oder (4 — 2Ÿ | 4az | as En I = he P=, | oder 160 DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND #'— #?: c. 4 kæz + c( —2ÿ — 0, Caw dargestellt, ist demnach eine Æyper- bel, welche OO" in O' und OX in in X» berührt, wonach OX Asymp- tote ist, indess ihr Mittelpunkt mit g Poe y= Onzin zusammenfällt; 3° jede Ebene, welche einen Con- Fig. 10. gruenzstrahl mit einem der Kreis- punkte Z oder / verbindet; sie trägt ein Strahlengebilde zweiter Klasse, welches einen Kegelschnitt umhüllt. c). Singuläre Punkte sind 1° der unendlich ferne Punkt X> auf der reellen Axe in [w] mit einem Büschel paralleler Geraden in [vw]; 2° die beiden Kreispunkte / und / der Ebenen [w] und [w’| mit Strahlenbiischeln in der Ebene [wl]. d). Alle Congruenzstrahlen berühren zwei imaginäre Kegel (Cylin- der), von denen jeder einen der Kreispunkte Z und / als Spitze hat. Die Berührungspunkte (Brennpunkte) der Congruenzstrahlen sind im Allgemeinen imaginär. Die beiden Cylinder bilden zusammen die Fokalflache. Die Fokalcylinder haben die Gleichungen coma Ge Oe ER, | ) c Ier nn die Fokalflache ist demnach durch AND meh en At EE OR OU SE c° ch (Oe bestimmt. e). Die Fokalfliche hat eine quadratische Doppelkurve, welche in der Ebene (y — 0) der reellen Axen liegt und mit der durch Ahee + ch— 2) = 0, 159 0 (159) dargestellten Hyperbel e identisch ist. Pre ad eer naden DIE CONGRUENZEN VON w'==ec?:;w UND w'— w?:e. 161 Die beiden Fokalcylinder berühren ausserdem einander und die Ebene [w] in der unendlich fernen Gerade von [vw]. Diese bildet mit der Hyperbel e den reellen Bestandteil der Fokalfläche. J). Die axiale Regelfläche einer willkürlichen Gerade 7, welche [wo] in A und [w'] in B schneidet, ist eine Fläche sechsten Grades, mit der werfachen Gerade /. Zwei der vier Blätter sind immer imaginary. Der Schnitt von [w] mit dieser Regelfläche besteht aus den drei Geraden 47, AJ und AX, und aus einer circularen kubischen Kurve, welche durch Xz, durch 4 und durch die vier Bildpunkte B der Spur B’ von / in [w'] geht. Der Punkt 4 ist überdies der gemeinschaftliche Tangentialpunkt der Kreispunkte. Die Tangente in À ist die axiale Projektion aus / auf [w] des Bildes 4’ von 4. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve sechsten Grades À, welche in den beiden Kreispunkten 7 und / Rückkehrpunkte hat, deren Tangenten sich im Bilde 4’ von A schneiden. Die Kreispunkte sind uniplanare Punkte der Regelfläche. Jeder Schnitt mit einer zu [w] parallelen Ebene hat ja in J und / zwei Rückkehrpunkte. Die Kurve 2 berührt noch die unendlich ferne Gerade im Punkte X. der reellen Axe. Sie hat überdies in B’ einen vierfachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der vier nach B’ zielenden Congruenzstrahlen sind. Die axiale Regelflache von / besitzt eine cireulare kubische Dop- pelkurve, welche / in zwei Punkten trifit. Wenn / die Gerade OO’ schneidet, so enthalt der Schnitt in [wo] den Punkt O und wird daselbst durch O4 berührt, während die Kurve A in O' einen Rückkehrpunkt hat, dessen Tangenten mit O'A’ zusammenfallen. Die Gerade O0 gehort der Regelfläche in ihren ganzen Aus- dehnung an. Die Doppelkurve hat keine speziellen Eigenschaften aufzuweisen. Wenn die Gerade / (/,) den Ebenen [w] und [w'| parallel ist, so zerfällt die kubische Kurve von [w] in die unendlich ferne Gerade und in einen Kegelschnitt; dieser trifft die unendlich ferne Gerade in zwei Punkten, welche die Bilder des unendlich fernen Punktes Z, von /, sind. Der Schnitt der Regelflache mit [w] besteht aus dem erwahnten Kegelschnitte und aus der vierfach zu zählenden unendlich fernen Gerade. Die Schnittkurve À ist in die doppelt zu zählende unendlich ferne Gerade und eine biquadratische Kurve zerfallen, welche in Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. X. 13} alal 162 DIE CONGRUENZEN VON w’— e2 : w UND w' =w?: c. Lg einen Doppelpunkt hat, und daselbst mit der unendlich fernen Gerade vier Punkte gemein hat. Die Doppelkurve ist aus der unendlich fernen Gerade von [vw] und aus einem Kegelschnitt zusammengesetzt. Letzterer schneidet die unendlich ferne Gerade in einem Punkte, dessen Richting der- jenigen von /, normal ist; er schneidet auch die Gerade 4. Wenn /, mit [w] parallel ist und ausserdem OO schneidet, so enthält der Kegelschnitt in [w| den Punkt O; die Tangente in O ist mit /, parallel. Die Kurve A ist auch hier in die doppelt zu zählende unendlich ferne Gerade und in eine biquadratische Kurve zerfallen. Letztere hat in O° einen Rückkehrpunkt, dessen Tangente das Bild der mit i, parallellen durch O gehenden Gerade ist. Die Doppelkurve besteht aus der unendlich fernen Gerade von [w | und aus einem Kegelschnitt, welcher Z, schneidet und dessen Schnitt- punkt mit der unendlich fernen Gerade von [w] normal zu 4, ist. g) Die axiale Regelfläche einer Gerade / in der Ebene der reellen Axen zerfällt in diese, doppelt zu zählende, Ebene und in eine biquadratische Fläche, auf welcher / Doppelgerade ist. Die kubische Kurve von [wz] ist in die reelle Axe und in einen Kreis ausgeartet. Dieser Kreis hat semen Mittelpunkt in der Spur 4 von / in [w] und wird durch die beiden isotropen Geraden durch 4 zu dem biquadratischen Schnitte ergänzt. Die Schnittkurve in [w'] ist biquadratisch und hat in den Kreis- punkten Rückkehrpankte, deren Tangenten sich im Bilde 4’ von A treffen. Die Doppelkurve ist ein Kreis, dessen Ebene zu [w] parallel ist. Dieser Kreis schneidet die Ebene der reellen Axen in dem auf 7 befindlichen Punkte C, und in dem Pole Z von / in Bezug auf die Fokalhyperbel e. Die Tangente in C, ist den imaginären Axen parallel. h) Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles s ist eine qua- dratische Fläche, deren Schnitt mit [w] aus denjenigen Geraden besteht, welche bez. durch die Spur 8 von s in [w] und durch ihr Spiegelbild in Bezug auf die reelle Axe hindurchgehen, und dieser letzteren Axe parallel sind. Der Schnitt in [w'| ist eine Parabel, deren Axe mit der reellen Axe identisch ist. 1) Die axiale Regelfläche eines in der Ebene .¢ liegenden Con- gruenzstrahles enthält nur diese, doppelt zu zählende, Ebene. J) Die axiale Regelfläche einer in [w] befindlichen Gerade mm ist vom dritten Grade, und trägt m als einfache Leitlinie. ae OS D ee = 4 D ET wie _ eee Le DIE CONGRUENZEN VON w’=c?:w UND w'— #2: c. 163 Der Schmitt mit [w] ist aus der doppelt zu zählenden unendlich fernen Gerade und aus der Gerade m zusammengesetzt. Der Schnitt mit [w’| ist in die unendlich ferne Gerade und in den Bildkegelschnitt y von m zerfallen. Der Kegelschnitt ist eine Parabel, deren Axe derjenigen Gerade parallel ist, welche die durch O gehende, mit m parallele Gerade abbildet. Die Doppelgerade d,, ist zur Axe der Parabel y parallel; sie schneidet die Ebene der reellen Axen in einem Punkte A der Fokalhyperbel e. Der unendlich ferne Punkt 47, der Parabel y ist der eine Zwickpunkt; der andere ist Æ. Die durch MZ, gehende 7orsallimie ist mit der unendlich fernen Gerade von [w], die in A ruhende Torsallinie ist mit der Tan- gente in K an der Fokalhyperbel e identisch. Der erste Zorsalpunkt ist der unendlich ferne Punkt auf #. Der zweite ist der Schnittpunkt von m mit der reellen Axe. Die zweite Torsallinie kann also auch betrachtet werden als die aus dem Schnittpunkte von m mit der reellen Axe an e gelegte Tangente. Der zweite Zwickpunkt ist der Berührungspunkt dieser Tangente. k) Wenn wir die Gerade m um einen Punkt 4 rotiren lassen, so beschreibt die Doppelgerade 4,, eine Aubische Regelfläche. Der Schnitt mit [w] besteht aus der doppelt zu zählenden unend- lich fernen Gerade und aus der durch 4 gehenden, zu der reellen Axe parallelen Gerade. Der Schnitt mit [wl ist zerfallen in die doppelt zu zählende unendlich ferne Gerade und in die Gerade, welche OQ’ mit dem Bilde 4’ von 4 vereinigt. Die Doppelgerade A ist mit der unendlich fernen Gerade von [w] identisch. Die Zwickpunkte liegen in den Kreispunkten Z und J. Die einfache Leillinie ist der Congruenzstrahl a = AA. Die Zorsalpunkte sind die Brennpunkte 4, und 4, von a. Die Zorsallinien sind die Geraden JA, und JA, Beschreibt der Punkt 4 die Ebene [w|, so fällt die Doppel- gerade A immer mit der unendlich fernen Gerade zusammen; die Zwickpunkte behalten ihren Sitz in den Kreispunkten; die einfache Leitlinie a erzeugt die Strahlencongruenz. 2) Ein durch X, und X, gelegter Kegelschnitt VY, ist offenbar ein zu [w| paralleler Kreis. Wir haben also die Regclflache derjenigen Strahlen zu betrachten welche sich auf einem zu [vw] parallelen Kreise Y,, stützen. Diese Regelfläche ist vom achten Grade und had in den Kreis- punkten vierfache Punkte. B 11* 164 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c?:w UND w' = w?: c. Der Schmitt mit [w] besteht aus zwei durch 7, zwei durch J gehenden Geraden, und aus einer biquadratischen Kurve, welche in den Kreispunkten Doppelpunkte hat und daselbst berührt wird durch die Geraden, welche sie zu dem vollständigen Schnitte ergänzen. m) Die Regelfläche eines in [w] befindlichen Kreises + ist vom vierten Grade. Der Schnitt in [w] besteht aus dem Kreis Ÿ >; und seinen isotropen Tangenten. | Der Schnitt in [w'| ist eine biquadratische Kurve, welche in den Kreispunkten Rückkehrpunkte hat, deren Tangenten sich in dem Punkt B’ schneiden, welcher dem Mittelpunkte B von Y~ zugeordnet ist. Im Allgemeinen wird ein mit [w] paralleler Schnitt in den Kreis- punkten Riickkehrpunkte besitzen, deren Tangenten sich auf der Gerade BS treffen. Auf der Regelfläche befindet sich noch eine circu- lare kubische Doppelkurve, welche den Mittelpunkt B von Yo enthält, während ihre Spur im Endlichen in [w'] auf der Gerade O'B' liegt. Jeder mit [w] parallele Schnitt hat, ausser zwei Rückkehrpunkten in den Kreispunkten, noch einen gewohnlichen Doppelpunkt aufzuweisen. x) Wenn der Mittelpunkt B von Ye sich in O befindet, so ist der Schnitt in [w] aus dem Kreise Y~ und den beiden isotropen Ge- raden durch O zusammengesetzt. Der Schnitt in [w'] besteht aus einem Doppelkreise, dessen Mit- telpunkt in 0’ ligt. Die Doppelkurve ist in den letztgenannten Kreis und in eine der Ebene der reellen Axen angehörende Gerade zerfallen. o) Wenn der Kreis > durch O geht, so gehört die Gerade OO" der Regelfläche an. Die in [w’] befindliche Kurve hat ja in O' einen Doppelpunkt. Die, hier wicht ausgeartete, kubische Doppelkurve , enthält natür- lich die Kreispunkte, den Mittelpunkt B von » und den Punkt 0’. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem in [w’] befind- lichen Kreis ruhen, unterscheidet sich nicht wesentlich von der Regelfläche des Kreises 7. | Hiermit ist unsere Aufgabe, die Congruenzen von w’ = €: w und w'—w":c zu studiren, erledigt. Die Untersuchungen sind rein analytisch gehalten, weil sie in dieser Form am besten als Einführung in die späteren Entwickelungen dienen können. Die obigen Congruenzen lassen sich aber auch sehr bequem rein geometrisch behandeln; die betreffenden Entwickelungen finden sich in meiner Inauguraldissertation. 1) *) M. J. van Uven: Conforme Afbeelding door Stralencongruenties. | | DRITTER ABSCHNITT. Analyse irrationaler Kurvengleichungen. § 1. Nachdem wir im vorigen Abschnitte die zwei einfachsten abbildungsfähigen Stralencongruenzen erledigt haben, wollen wir uns nun beschäftigen mit den verwickelteren Congruenzen, welche den Funktionen i eo entsprechen, wo JV eine willkürliche rationale Zahl darstellt. Die hier in Frage kommenden Congruenzen gehôren zwei Rubriken an, für welche WV bez. positiv und negativ ist. Wenn J positiv ist, so soll die Congruenz parabolisch, wenn N negativ, Ayperbolisch genannt werden. Diese Namen sind offenbar den geometrischen Gebilden ent- nommen, welche den einfachsten Vertretern beider Gruppen, ww und we == 1 entsprechen. : : ; : oe es Im Allgemeinen wird M eine gebrochene Zahl sein, z.B. — Es n liegt also auf der Hand die folgenden zwei Typen zu untersuchen fo) / 1 5 ie. w Came ts | De DF NUE TER wo der Faktor c der Homogenität wegen eingeführt ist. $ 2. Ein Congruenzstrahl werde wiederum durch die Gleichungen By Di 2, | Pa Ly, | (1) / . . . . : . Vy = PL + Pr Va | dargestellt, deren Bedeutung hier nicht erklärt zu werden braucht. 166 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. Da die Grôssen p, und p, im Folgenden bez. den Ausdrücken m m ee + — : ; ; . pm " und x, ™ gleich sind, so leuchtet ein, dass wir uns zu be- schäftigen haben mit Gleichungen von der Form m m Ap,” ++ Asp, 7 +A, = 0, . > wo 4,, À, und 4, ganze Funktionen von y, und », darstellen. Von vornherein ist es klar, dass wir uns vorläufig auf Gleichun- gen von der Gestalt tle A Bint + Bar LB Sn beschränken können, weil die Form (2) hieraus durch die Substi- tutionen nr Nh Ja — 9, RE (4) erhalten wird. Setzen wir nunmehr eG. nt or an so verwandelt sich die Gleichung (3) in 1 1 (G 4)" ar (Cy go)” == Tees Uy welche, indem wir C, A As C42 = X, 5 a 5 D 2 (6) setzen, diese Gestalt annimmt: 1 si Kr EX LI—=0. OS Es empfiehlt sich, aus später zu erwähnenden Gründen, constante Coefficienten hinzuzufügen, wonach wir schliesslich zu 1 1 PGP PIF Pe gelangen, wo P,, P, und P, constant sind. Die durch diese Gleichung vertretenen Kurven heissen Kurven von Lamé. Durch Einführung homogener Coordinaten verwandelt sie sich in ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 167 1 al 1 2, a4” +- 12 2," + IA: as" = 0. Die Kurve ist daher #riangulür-symmetrisch. $ 3. Wir fragen zuerst nach dem Grade der Gleichung, welche aus 1 1 PX += P, Xo” Pi). SCE Ame (8) entsteht, wenn in dieser die gebrochenen Exponenten fortgeschafft werden. Betrachten wir X, und X, als nicht-homogene (7. B. rechtwink- lige) Coordinaten eines Punktes, dann stellt die Gleichung (8) eine gewisse algebraische Kurve dar, welche den Nullpunkt(X,—0, X,—0) nicht enthalt. Der Grad dieser Kurve stimmt überein mit der Anzahl der Punkte, welche eine durch den Ursprung gehende Gerade a = cX, . . . ° , 5 5 5 (9) mit ihr gemein hat. Die Substitution (9) in (8) ergiebt 1 1 1 JDDG LT — Pp: n tes, WER OPE RG) Peace 4 Da c” hier »-deutig ist, so gilt dasselbe von dem Ausdruck für X,; es ist somit klar dass, weil jeder Wert von X, vermöge (9) einen Wert von X, bestimmt, die Gerade X, = c X, ausserhalb des Anfangspunktes 2 Punkte mit der Kurve gemein hat. Weil sie 7x dem Coordinatenanfang Keinen Punkt mit der genannten Gerade gemeinsam hat, ist die Kurve vom 2" Grade. Wenn also in der Gleichung oder 1 sl Pei ee Pax” EP; 0 die gebrochenen Exponenten fortgeschafft werden, bekommt man eine Gleichung n° Grades in X, und X.. Mit welchen Exponenten treten nun die Coefficienten P,, P, und P; in der rationalisirten Gleichung auf? 168 ANALYSE [RRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. Zur Erledigung dieser Frage setzen wir zunächst PX, re NE == hi = DBs ° = . . (11) 3 wonach die Gleichung (8) sich also gestaltet: 1 1 TR re Or th. CONTES Durch Fortschaffung der gebrochenen Exponenten gelangt man zu einer Gleichung x** Grades in Y, und Y,, etwa zu (a, Y,” =F ay ES Y, = ay DAE vj =F ot 2 as Ys) se EG Vi Hb Yo? Vid LSI Her HD) TT) RE (A Y, + ky Y,) as = 0; et in welcher alle Coefficienten constant sind. Die Substitutionen (11) ergeben nun, nach Beseitigung der Nenner: (a, Pe 1: a dy, me CPE AG n—1 X, +. Pa 4- ar Xe) = + (, lee (n—1) Pt Oe +- by Pr (n—2) ioe pe Mare Xs + fae: + — b, AS ihn EG Ky — es a. +. (hy JDE pou EN +- ky fa BTE X,) + As Dn 0. (14) Hieraus geht hervor, dass die Coefficienten P,, P, und Ps in der ee 5 5 gten Lindgleichung homogen in der n> Potenz auftreten. A À 9 2 Setzen wir in (12) OR LA Se 93 VE so folgt 1 1 dl Nien ee Vis RER diese Gleichung bekommt nach Rationalisirung diese Gestalt : an tai d dd Haden ae ae bint Ae 7e ore See, ee Ft + kg)" + 73" =0. . . (17) Weil in (16) die Coordinaten #,, 9, yz involutorisch erscheinen, so wird auch die rationalisirte Gleichung (17) eine symmetrische Funktion dieser Coordinaten aufweisen. Man hat also ee Ee En ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 169 MAN a, a; / , , u =a = = = = =, u. S. W. Man hat daher Oe Gee + a B n(n—1) Dee nee Xe + Lea — OP Mie) + sa (a! Den Pit ZX, n—1 + we ie. oe Bee bi XG + D + ais 1 Pre Tee 1E) - A -|- a a De + a Pr Varie + APT = 0, (18) oder wenn wir setzen , (aP Ep n a P n(n=41) D: np n—1 a. _. me +- APM") + ip „ann n : n—1 î DP on. nP RE Feb 5 eN + CP, g 2" Beb, 2 Pa” ay" agg + ! =4 iA ze og SI eut, 3) +. + | ime ly Per 2,2," LP." Pee EE Mare CRUE (19) Diese ist also die Gleichung, welche man erhält, wenn in 1 1 1 Pipe Pape EE NP En CERN AIS "C2 0) die gebrochenen Exponenten fortgeschafft werden. Von vornherein ist es einleuchtend, dass die Endform (19), zu welcher man durch Rationalisirung von (20) gelangt, von der Bedeutung der P,, P, und P, unabhängig sein muss. Diese Form wird ja vollständig bestimmt durch die Art und Weise, auf welche die Coordinaten #,, #9 und >, verbunden sind. Wenn wir voraussetzen, dass P,, P, und P, homogene Polynomia MaGrades in z,, 4, und a, sind, so ist es klar, dass jedes Glied von (19) vom Grade rn? + à in den Coordinaten 2,, #, und +, sein wird. Handelt es sich um die Gleichung mi m Pr gt | Pep 0, © had Cl) 170 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. wo P,, P, und P, homogene Polynomia 7" Grades in #,,, und v, sind, so wird der Grad der rationalisirten Gleichung rn” + mn. Die obigen Betrachtungen lassen sich demnach in der folgenden Behauptung zusammenfassen: Die Gleichung m Pia” +- Pra + Pier =0; ONE in welcher P,, P, und Ps; homogene Polynomia r*" Grades in ay, æ, und «3 sind, wird sich, nach Beseitigung der gebrochenen ÆExpo- nenten, in eine Gleichung folgender Gestalt verwandeln: a (Py a" le Pere an == Pye 23) == a Ghee P, mi 0e == + me PE 2" BED +. Pe vas Are te + +- Vo Jae poe) i + pe Di ab a" gd +- PSP D gr ged 0, , . . ey Diese Gleichung ist vom Grade ra” + mn. § 4. Wir wollen nunmehr aus der Gleichung m m m Pa” + Par + Pas = einige Eigenschaften der durch sie dargestellten Kurve herleiten. Gelegentlich werden wir eine Coordinate gleich Null zu setzen haben; alsdann erfahren die Faktoren P,, P, und ?,, welche von allen drei Veränderlichen abhängen, gewisse Vereinfachungen. Mit (Pdi bezeichnen wir den Ausdruck, der sich ergiebt, wenn man 2—=0O in ?, substituirt; wir haben somit Ph ARR Es mögen zuerst die Schnittpunkten der Kurve mit der Gerade #3 = 0 bestimmt werden. Sie sind offenbar durch (P,)3a4” + (P2)3 72" = 0, oder Pm AE) a Oe ae (24) gegeben. ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 171 Diese Gleichung würden wir aber nicht erhalten, wenn wir z, — 0 setzten in der rationalen Gleichung, welche vom Grade mn in den Coordinaten (explicit) und vom Grade #° in den Faktoren eee und. Ist: Weil die Schnittpunkte der Kurve mit der Gerade 2; = 0 ein- mal keine anderen sein können als diejenigen, welche durch die Gleichung (24) bestimmt werden, und der Grad dieser Gleichung n mal zu niedrig ist, so muss die Substitution +, — 0 in der End- gleichung diese Gestalt haben : (CRE DA en (—1)" (PS He = On . s f (2 5) Während also die Gleichung (24) so viel Schnittpunkte mit æ,— 0 bestimmt als ihr Grad angiebt, so zeigt die Gleichung (25) dass jeder Schnittpunkt »-fach zu zählen ist. ollen wir somt die Punkte auffinden, welche die Kurve mit Woll t die Punkte auffinden, welche die K t der Gerade 3, —0 gemeinsam hat, so haben wir in der gegebenen ichung #0 zu setzen, die resultirende Gleichung rational zu Gleich gd tzen, d ltirende Gleichung rational machen und nachher jeden der durch letztere bestimmten Punkte n-fach zu zählen. Die Ghieder, welche man erübrigt, wenn man in der rationali- sirten Gleichung +, — 0 setzt, sind gerade die Glieder höchsten Grades in 2, und 2. Die obige Uberlegung ermöglicht uns diese Glieder zu bestimmen. Ihre Gesammtheit ist nl. mit der linken Seite der Gleichung (25) identisch. Die rationalisirte Gleichung hat somit die Form (Bg 24 — ID (Po) 2 + ¥ (Py, Po, Ps, a4, %2, 23) = 0. (26) So weit 2, und +, explicit in Ÿ auftreten, erscheinen sie höch- stens im Grade m (n—l). Falls ?,, P, und P, lineare Polynomia in 2,, #, und w; sind, etwa D ; hee D= Pu U À Po di + Pas ds, P= Py U + Pa da + Pa V3, Ps = Pa U Jr Laa dr + Pas 3, so gilt Ls = Pa di + Part, B) = Pu? + Pride, (P3)3 = Py di À Pod. 172 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. Die rationale Gleichung (21) ist sodann vom Grade n° +- mn, wihrend die Gleichung (24) vom Grade mt u ist. In diesem Falle hat die Kurve mit der Gerade 4, = 0 m-—+n verschiedene Punkte gemein, von denen jeder z-fach zu zählen ist. Wir setzen nun voraus, dass X3 (2, — 0, x, — 0) ein #-facher Punkt ist, wonach die Substitution do = Aa, k Faktoren +, absondert. Die höchste Potenz, unter der 2, er- scheint, ist demnach in der rationalen Gleichung um / niedriger als der totale Grad. Es muss also auch in der Gleichung (22) der Grad in a; niedri- ger als der totale sein. Wenn der Grad in +, demjenigen in «4 gleich wire, so wiirde er auch, wie oben gezeigt worden ist, nach der Rationalisirung diesem gleich sein. Umgekehrt: ist in mi nt m Pa" + Poa” + Poa” = 0 . . ‘ 5 (21) der Grad in a; niedriger als derjenige der ganzen Gleichung, so weist dieses auf einen vielfachen Punkt in X, hin. Zum Beispiel wählen wir m ni (aya, Hare Har ap)” + (aya, + a", + az 23)" + jo ee + (a3, Vy + Ox By) a," — 0. . . . . (27) : : é m Der Grad dieser Gleichung ist 1 + — - n In der Annahme Men ist der höchste Grad in +, nur = In diesem Falle ist X, also ein vielfacher Punkt. Die Tangenten in X, ergeben sich, indem man diejenigen Werte für A bestimmt, für welche durch die Substitution +, = Aa, einen oder mehrere Faktoren 2, abgetrennt werden. Die Gesammtheit dieser Tangenten wird offenbar ermittelt, indem man den Faktor der höchsten Potenz von 2, gleich Null setzt. ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 173 In dem obigen Beispiel ergiebt dieses Verfahren Deli Oy ln 0 EC) Simmtliche Tangenten in 4, sind somit in der durch die Glei- chung (28) bestimmten Gerade vereinigt. Es bleibt noch die Frage zu beantworten: welche ist die Ord- nung des singulären Punktes X3? Die rationale Gleichung enthält als Glied höchsten Grades in #3 me Tee Fra n à Der Faktor der höchsten Potenz von 2 ist deshalb 2," oder (a; a4 + as)". Wir schliessen hieraus, dass der Punkt X, ein #°-facher ist und dass sämmtliche #° Tangenten mit der Gerade GEE AA zl Ee) zusammenfallen. : Wir kénnen die Gültigkeit dieser Uberlegungen noch erweitern bis zu dem Falle, wo +,, 2, und », lineare Funktionen der Coor- dinaten y,, y. und y, sind. Die allgemeinste Form der gegebenen Gleichung, für welche die obige Betrachtung zulässig ist, lautet deshalb m Pier, 23, 3). (Oy en + by" @ 4 Oy” ye + r ni zi P, (21, 23, ds). (6, A zie by dz =F Os @3)" =e r m ii Bs (4; 2, 23). (b3 a dbs a+ 0" a3)" =0. . (29) 7 Als Beispiel wählen wir m m m n des + de)" — des + by as)" + (Aza, — 440) 23 = 0. (30) Machen wir diese Gleichung rational, so wird sie vom Grade mn + n°. Man erhält offenbar die höchste Potenz von #3, indem man in den Binomen @ + 4,2; und à, + boe; nur die Glieder mit #, beibehält. Die höchste Potenz erkennt man somit in 174 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. nt m Vy (Oy as)" — & (B a)" == (dd — A, a) @3”. l3 m Der Faktor von +," ist daher m m b, ny Lj ST byt a4 = 45 WV er, Qa Vy. Der Punkt X} ist auch hier singulär von der Ordnung x. Die höchste Potenz von +, ist ja nach dem Rationalisiren +,""; ihr Exponent ist mithin um x” niedriger als der totale Grad. Die Tangenten in X, bestimmt man jetzt aus m m bi" a b,” a, + Gd = 0, | 2 (31) oder m Ly Gis = Uy ien (32) Uy Bs re dy Es sind hier sowohl der Zähler als der Nenner z-deutig. Der Bruch kann also #° verschiedene Werte erhalten. Wenn entweder der Zahler oder der Nenner, oder beide (wie in diesem Bruche) unveränderliche Glieder enthalten, sind von den n° moglichen Werten keine zwei einander gleich. Da die rechte Seite von (32) z™-deutig ist, so stellt diese Gleichung x” verschiedene Tangenten durch X, dar. Wir folgern somit, dass der »”-fache Punkt X, 2° verschiedene Tangenten besitzt. Wollen wir untersuchen, ob ein gegebener Punkt ein gewöhn- licher oder ein vielfacher Punkt der Kurve ist, so ändern wir zuerst das Coordinatendreieck in der Weise ab, dass der fragliche Punkt zu einer Eeke wird; sodann untersuchen wir ob der höchste Grad, unter welchem die entsprechende Coordinate auftritt, dem totalen Grade der Gleichung gleich ist, oder hinter ihm zurück- bleibt. Im letzteren Falle liegt der Punkt auf der Kurve. Es ist nicht immer leicht herauszufinden, ob der Grad in #, niedriger ist als der totale. In dem herangezogenen Beispiel zeigte X, sich schon in der irrationalen Gleichung als em Punkt der Kurve. In anderen Fällen dagegen sind wir häufig gezwungen die gebrochenen Exponenten wenigstens teilweise zu beseitigen, damit der Grad in a, als niedriger als der totale erscheine. ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. 175 Diesen letzten Fall werden wir ebenfalls durch ein Beispiel erläutern. Wir wählen wieder die Gleichung : m 7 Lo (æ, + b, LN mel U, (To + by Pz)’ Die Schnittpunkte mit der Gerade 23 = 0 bestimmen wir aus 1 m = (a2, — a; 5) ag” — 04760) m m dl — UA —= 0, oder DRA Vg Ly My vy n Lo” = 0. Da der totale Grad nicht » +», sondern z(m +) ist, so sind die Schnittpunkte tatsächlich durch n m OE THEN TU ee oder n> nr m—n MNN ___ 2 By" (a, en eenn en en LD) angewiesen. Die Gerade 2, — 0 schneidet daher die Kurve x? mal in X,, x? mal in X, und > mal in den w—x Punkten, welche durch m—n mn VY Ei lo nn 0 gegeben sind. Es ist einer dieser Punkte durch Ca — Lo = 0 bestimmt. Wir wollen nunmehr die Ordnung der Singularität dieses Punktes erortern. Zuerst verlegen wir eine Ecke des Coordinatendreiecks in diesen Punkt, und zwar mittels der Formel Danae ene QE PH (82) wir finden somit m m @ +æ)@ + 4 2) — à, @ + + a) + nr + \(@ — 4) a, — a, 2, | oo OE oz aar eee (00) Der gegebene Punkt ist jetzt durch 176 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. a 0, Dld) bestimmt. Indem wir die hôchste Potenz von a, herausfinden wollen, haben wir darauf Acht zu geben, dass einige Glieder sich beim Rationa- lisiren aufheben. Wir schreiben zuerst die Gleichung (83) wie folgt me m m des + ay + 023)" = (a + 22 es + des)" Ha — es — as |æs", und potenziren die beiden Glieder mit 2; wir finden dann ay (a == By Je byes)” = a= Bo "(ay a biæs)" ais 1) Mm nt —(n= = Hulu + ay)’ (ar + & a)" | (@y— a,)a,— aay es HH /\n + |(a2 — a) & — ue "es", oder ve mas" Ma + bas) +. le dn ay HN Ambra as. J SEEN Eee ee + | (asana — a alas + +... +l(@— a) — "5", -oder endlich EC + bye) + a (ne Fmbi tt + ) m+n—-— + 1 (dy — a) & MR EE wo Z nur diejenigen Potenzen von 2, enthält, welche medriger 7 D sind als m-—-+-2—1 und » + x — —. 7 E m a ; Da wir m > u, also — >> 1 vorausgesetzt haben, und die beiden Glieder mit 2,” sich aufheben, haben wir nur die Glieder mit Piek vabettachten, In der auf Null reducirten Gleichung (34) ist der Faktor von SEAT m (as + bas) — ay + mb 23). Indem wir diesen Ausdruk gleich Null setzen, bekommen wir in der also entstandenen Gleichung m (a + 6,23) — (naz + mb,a3)=0 . . . (85) die Darstellung der Tangente im gegebenen Punkte. ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. UE Der totale Grad der Gleichung (34) ist wm + u, der Grad der rationalen Gleichung dagegen (um + x). Wir schliessen hieraus, dass die Tangeuten durch bn CA + b,æ) Er (na + mo, 3)\" — 0 bestimmt werden, und erkennen, dass der gegebene Punkt ein n-facher ist, und dass simmtliche » Tangenten in der durch (35) dargestellten Gerade vereinigt sind. Die Gleichung (35) lässt sich auch in dieser Weise schreiben : oder Aus diesem Beispiel geht hervor, dass man bei der Umformung darauf zu achten hat, dass der Coefficient der höchsten Potenz der betreffenden Coordinate explicit erscheint. § 5. Wir wollen diesen Abschnitt beendigen mit einer kurzen Wiederholung des allgemeinsten, in ihm gewonnenen Resultates. Hs sei gegeben die Gleichung m P, (a > dy , a). (by CAT — b, 8 dy + b, da La) n + —— Po (4,2, 43). On am + 0 do + b;" a +> Par, 2, 23). (Os a H- By a 03 2)" = 0, wo P,, P, und P; homogene Polynomia 7" Grades in den Coor- dinaten 2,, z, und a, sind. Durch Rationalisirung bekommt diese Gleichung den Grad mn + rn, Man findet die Schnittpunkte der durch sie dargestellten Kurve mit der Gerade X,X,, indem man z;—0 setzt, die erhaltene Gleichung rational macht, sie auf Null reducirt und nachher die linke Seite mit einer solchen Zahl potenzirt, dass der totale Grad zu ma Ara” wird. Wollen wir die Schnittpunkte mit einer willkürlichen Gerade bestimmen, so ändern wir das Coordinatendreieck in der Weise Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl. X. B 12 178 ANALYSE IRRATIONALER KURVENGLEICHUNGEN. ab, dass die gegebene Gerade mit einer Seite zusammenfällt; sodann wenden wir obiges Verfahren an. Um zu entscheiden ob die Eeke X, des Coordinatendreiecks ein gewohnlicher oder singulärer Punkt der Kurve sei, untersuchen wir, ob die höchste Potenz, unter welcher #, vorkommt dem totalen Grade der Gleichung entspricht oder uiedriger ist. Im ersteren Falle befindet X, sich wicht aut der Kurve, im letzeren woAl. Es ist hierbei häufig notwendig wenigstens einen Teil der gebrochenen Exponenten wegzuschaffen, damit wir der- jenigen Glieder los werden, welche beim Rationalisiren sich auf- heben. Hat man entweder in der gegebenen Gleichung, oder in einer von ihr abgeleiteten, festgestellt, dass der Grad in 2; um # niedriger ist als der totale, und ist der totale Grad (mn + 74°): MN, so schliesst man, dass X, ein //V-facher Punkt ist. Der Faktor (x,,a@,) der höchsten Potenz von a; (offenbar ein Polynomium #*° Grades in z, und z), bestimmt die # verschiedenen Tangenten in X,, von denen jede N-fach zu zählen ist, wonach sie tatsächlich durch oY (24, Bo) —= 0 dargestellt werden; d.h. X, ist ein 4N-facher Punkt mit # W-fachen Tangenten, deren Gesammtheit durch ® (a ’ Ly) == 0) dargestellt wird. Handelt es sich um einen willkürlichen gegebenen Punkt, so wird das Coordinatendreieck in der Weise transformirt, dass der gegebene Punkt zu einer ihrer Eeken wird, wonach die obigen Regeln angewandt werden. Den im Vorigen dargelegten Operationen liegt der Gedanke zu Grunde, dass eine Form extremen (höchsten oder niedrigsten) Grades nach Beseitigung der gebrochenen Exponenten von extremem Grade bleibt. Dieses Prinzip ergiebt sich am einfachsten aus der geome- trischen Deutung der Gleichung; diese ist ja unabhängig von etwaigen algebraischen Umformungen. LA VIERTER ABSCHNITT. rl NU Ur! mn Die Congruenzen von wr == "0" und ww Aie “= ç § 1. Es sollen jetzt die Congruenzen untersucht werden, welche den Verwandtschaften und w —=w “ec entsprechen. Die Congruenz, welche der Funktion SANTE QE 1 w = Ww c angehört, ist die typische parabolische Congruenz, während die Congruenz, welche die Funktion ! w= 10 C abbildet als Muster einer Ayperbolischen Congruenz betrachtet wer- den kann. Das hierzu erforderliche analytische Verfahren erleidet eine be- deutende Vereinfachung, wenn wir uns der irrationalen statt der rationalen Gleichungen bedienen können; mit Rücksicht darauf haben wir im vorigen Abschnitte eine Methode vorausgeschickt, welche uns ermöglicht aus ternären Gleichungen mit gebrochenen Exponenten die Eigenschaften der durch sie dargestellten Kurven zu erkennen. Jedes Glied der Untersuchung soll gleichzeitig für die beiden Congruenzen ausgeführt werden damit die Ubereinstimmung und der Unterschied zwischen ilmen um so deutlicher hervortreten. § 2a. Minfiührung in die parabolische Congruenz. Die parabolische Congruenz vertritt die Funktion B 12% 180 DIE CONGRUENZEN VON #7 — en—m wm UND wt wm — enn, oder 10 Not 00-02 rr Wir setzen voraus MENEN Mr SA. Uke tera Es sel w=u-+t+w, w —u iv. Ein Congruenzstrahl wird nun definirt als die Verbindungslinie des Punktes (@ =u, y =v, z— 0) der Ebene [w] mit dem Punkte @—w, 7 — ov der Ebene |w’]. Wir ziehen sofort das homogene Coordinatensystem heran, und setzen demnach (3) Es seien (zi, 2), a, 2; — 0) die Coordinaten desjenigen Punktes, der vermöge der Funktion (la) dem Punkte (4, &,, 23, 7, = 0) zugeordnet ist. Hieraus ergeben sich die folgenden Beziehungen ge Vos ONE: m wae mn m 3 à ° 5 4 (da) V4 da Vs Setzen wir noch fiir einen Punkt der Ebene [ w | oder Wx CAT > — =f, U ss es V3 a3 so ist es klar, dass ein Strahl der parabolischen Congruenz durch die Gleichungen m vase n U =P 23 + fy” Us m By = Pr Lz À Pr" U (6a) bestimmt wird. Durch Wegschaffung der gebrochenen Exponenten gelangt man zu : ie m n (da — py ds) = py” Us (æ, n (Ta) DIE CONGRUENZEN VON vn == ene pm UND wr wm —=emtn, 18] $ 24. Linfiihrung in die hyperbolische Cougruenz. Die hyperbolische Congruenz vertritt die Funktion oder De Ce TE GEELEN EN GG) Die Verwandtschaftsgleichungen zwischen den Coordinaten (2, 2», ©, &, = 0) (siehe (3)) emes in we liegenden Punktes und den Coordinaten (v,', 7’, v, , 2; — 0) des in ©, befindlichen Bildpunk- tes, lauten jetzt : / li , CA a Hip, = Vy 4 a =, i Dae. . . . . (46) Der Congruenzstrahl wird nunmehr durch d'A — Dr dy PA is vy | Pis +1 A (68) _m Wy —— 5 dy + De F dy | dargestellt. Diese Gleichungen gestalten sich nach Beseitigung der gebrochenen Exponenten folgendermassen : (a DIT ME D m == mae | R 6 6 k 2 SA ; : (78) (2 — Pn U3)" Po" = En”. | $ 3a. Der Biindelgrad und der Feldgrad der parabolischen Con- gruenz. Aus (7a) geht hervor, dass ein einziges Wertesystem (a, 22, #3, 4) m Werte für y, und # Werte für y, bestimmt, also m* Combina- tionen (74,72) anweist. Hieraus folgt, dass sich auf einem willkür- lichen Punkt im Raume #° Congruenzstrahlen stützen, oder m. a. W. : der Bündelgrad er parabolischen Congrvenz ist n°. Der in @, befindlichen, durch Py ay + Ba; + Ba — 0 ¢ : 5 5) dargestellten Gerade 4’ entspricht in ws eine Kurve D, deren Gleichung lautet : m Wt m Br” + Ba" + Bios" = 0. Diese Kurve ist, wie im III. Abschnitte dargelegt ward, vom Grade mun. 182 DIE CONGRUENZEN VON w— erm wm UND wo” wm — emtn, Eine durch 4 gelegte Ebene schneidet wz in der Grade a, welche die Kurve ré in ma Punkten P trifft, deren Bilder P’ auf 6’ liegen. In dieser Ebene befinden sich also mz Congruenzstrahlen PP’, oder der Feldgrad der parabolischen Congruenz ast mn. § 84. Der Biindelgrad und der Feldgrad der hyperbolischen Con- gruenz. : Vermöge (76) bestimmt ex Punkt (a, 2, 73, 7,) m+ u Werte für y, und m+ x Werte für p,, also (m + x) Combinationen (pi, po). Hieraus ergiebt sich, dass ein willkürlicher Punkt des Raumes (wm + 2) Congruenzstrahlen trägt, wonach wir behaupten können: der Bündelgrad der hyperbolischen Congrwenz ist (m +m). Wir denken uns wieder eine Ebene, welche ©, in der durch Bra + Bres HB, = 0 dargestellten Gerade 6’ schneidet. Dieser Gerade entspricht in we eine Kurve (2, welche die Gleichung _m _m _m Pie "+ Bo "+ Bia; "= 0 oder m ne m n Da == 0 m nt ye ey Ly n By n + B da n Ei + Ex Ta hat. Machen wir diese Gleichung rational, so wird sie vom Grade Qmn. Die Bildkurve P von Ÿ ist daher vom Grade 2mm. Die genannte Ebene schneidet we in der Gerade a, welche die Kurve PB in 2mn Punkten P trifft, deren Bilder P’ sich auf 4 befin- den. Die Ebene enthält also 2mm Congruenzstrahlen PP’, oder | der Feldgrad der hyperbolischen Congruenz ist 2mn § 4a. Die Fokalfläche der parabolischen Congruenz. Die Ebene m mb Epa ... CNRS welche den Congruenzstrahl » enthalt, geht durch X,. Wenn p, seine oo! vielen Werte durchläuft, umhüllt die Ebene (p, 2) einen Kegel mit X, als Spitze. Die Gleichung dieses Kegels erhalten wir, indem wir die Dis- kriminante der rationalisirten Gleichung (6a) verschwinden lassen. Wir finden alsdann DIE CONGRUENZEN VON ww — en—m wm UND w'uwm—cmtm, 183 (—1)" (m rn 1) ae n° Bz — mm Has DL” , 3 d (8a) Der durch die Ebene (y, X,) umhüllte Kegel ist also vom Grade m; wir wollen ihn mit #, bezeichnen. Der Congruenzstrahl p ist offenbar eine Tangente des Kegels 7. In analoger Weise zeigt es sich, dass jeder Congruenzstrahl auch einen Kegel /, berührt, dessen Spitze in X, liegt, und dessen Gleichung lautet: EEE te ee. (94) Der Congruensstrahl p kann also als eine gemeinschaftliche Tan- gente der beiden Kegel #, und #, betrachtet werden. Ein Punkt (a, 2, 23, 2,) bestimmt (siehe 64) m Werte für p,, trägt demnach m Berührungsebenen von #,. Die beiden Kegel sind deshalb von der Klasse #. Von den m Berührungsebenen, welche man aus einem auf 7, hegenden Punkte an #, legen kann, sind zwei zusammengefallen, und zwar in die Berührungsebene jenes Punktes. Derselbe Punkt trägt m Berührungsebenen an ZX, Von den m gemeinschaftlichen Tangenten sind also 2m paarweise zusammengefallen. Wir haben aus diesem Grunde den Kegel #, als einen Bestandteil der Fokal- fläche zu betrachten. Es erhellt sofort, dass der zweite Kegel, F,, der andere Bestandteil der Fokalflache ist. Die beiden Kegel Æ# und F, bilden daher zusammen die Fokal- fläche der Congruenz; also: die Fokalfliche der parabolischen Congruenz besteht aus zwei Kegeln FL, und F,, bez. mit X, und X, als Spitzen, von denen sowohl der Grad wie die Klasse m ist. Die Congruenzstrahlen sind die gemein- schaftlichen Tangenten der beiden Fokalkegel BF, und KF. Die Kegel F, Cr MT D Ag,” an Br Dr EE 0 und Mela Bi dj 0 berühren sich und die Ebene wz in der Gerade X, X. Die Ebene we (w,— 0) hat m mal die Gerade X,X, mit den beiden Kegeln gemein. Die Gerade X, X, ist eine #-fache Kante der beiden Kegel, während sämmtliche durch X,X, hindurchge- henden Blätter durch die Ebene wz berührt werden. Die beiden Kegel haben, wie hieraus hervorgeht, mx mal die Gerade X, X, gemein. 184 DIE CONGRUENZEN VON #w%— erm wm UND wt wr = cmtn, Weil ihr Gesammtschnitt vom Grade m ist, so wird der Rest- schnitt vom Grade (um — 7») sein. Jede der #— x durch mn me vy ii bestimmten Ebenen hat mit den beiden Kegeln dieselbe Kurve mn Grades gemein. Der Restschnitt ist deshalb aus w— x Plan- kurven "°° Grades zusammengesetzt, deren Ebenen durch Pi Tay angewiesen sind, wenn NO == ] Es ist klar, dass jede der » — # Plankurven auch von der #“*" Klasse ist. Der Berührungspunkt ?, des Strahles p mit dem Kegel /; (erster Brennpunkt von y) ist gegeben durch m dy = Pa Cz + m n Lys | mm Vy = Pa%3 + Pr” X, (m ny u) a n” v3)" as i— ] ye nm" Lo nm Lg. == 0 , also durch ed D ner he fd If eemes (104) mn MNN TT m Ti MEN CE é Pa Cup, er Sealing, ) Gi —n)p" mp, " — à Der zweite Brennpunkt P,. von p ist bestimmt durch d'A L Vy ae, Ws boe” Ly, : ( ik ] a) ; m mn m—n m—n (MH) Po es er De ) mp, ” 1 § 44. Die Fokalfläche der hyperbolischen Congruenz. Ein Congruenzstrahl p (71, ps) wird mit X, verbunden durch die Ebene By — Pit +P, "Cy oe yt Diese Ebene umhüllt bei veränderlichem », einen Kegel /,, mit 2 gel Ly a Sd ns le PT SOS Sons Ray), go Créé ere hd DIE CONGRUENZEN VON w'— ett wert UND w'uwm—emtn, 185 X, als Spitze, dessen Gleichung sich ergiebt, indem die Diskrimi- nante von (64) gleich Null gesetzt wird. Sie lautet somit: wm Tap Nn ny" a” = 0: | ale (68) Der durch die Ebene (y, X,) umhüllte Kegel #, ist daher vom Grade m + x. Der Strahl p ist offenbar eine Tangente an diesem Kegel /,, und gleichfalls an einem zweiten Kegel Z,, welcher durch MN ee a at Oe a sens (06) dargestellt wird, seine Spitze in X, hat, und auch vom Grade mn ist. Wie in § 4a, lasst sich auch hier beweisen, dass die beiden Kegel 2, und Z, von der Klasse 7 + x sind und zusammen die Fokalfläche der Congruenz bilden; wir behaupten daher: die Fokalflache der hyperbolischen Congrwenz besteht aus zwei Kegeln F, und Fy, bez. mit X, und X, als Spilzen, von denen sowohl der Grad wie die Klasse m+n ist. Die Strahlencongruenz ist die Gesammtheit der gemeinschafthchen Tangenten der beiden Fokalkegel F, und F,. Die beiden Kegel 7, und F, schneiden sich in einem Gebilde vom Grade (m + 2). Jede der m-+- x durch m + 1 m+ nt ad 4 — ds angewiesenen Ebenen schneidet die beiden Kegel in derselben Kurve vom Grade # + ». Der Schnitt der beiden Kegel zerfällt demnach in #—x Plankurven vom Grade w + und von der Klasse m + n; diese befinden sich in den Ebenen Vy = TH wenn. Tor 2 le Die Gerade X, X, trifft jeden Kegel m mal in X, und » mal in X, während w) in X, mit den beiden Kegeln # + », und os in À, mit ihnen # + » Punkte gemein hat. Es ist also X, ein m-facher Punkt, dessen Berührungsebenen in @) vereinigt sind, und X, ein »-facher Punkt, dessen sämmtliche Berührungsebenen mit ©, zusammengefallen sind. Der Brennpunkt P,, (Berührungspunkt mit #,) ist bestimmt durch 186 DIE CONGRUENZEN VON w— en—m pm UND w'” wm — emt, CAT = Pa da + PA de di , _m La = Pad HP "X%, n" mn Den ERA Can —- ye wee dj" ere 0 ; oder durch di oe do a, vs Les Ty ( t 08) m+n m+n m m m m+n? n } r 7 { n P n n n es +203 7 (mm HPP MD mp,” Pa Der zweite Brennpunkt, P, wird dargestellt durch A av; 44 14 1 = od 2 eer chap es 4 (1 1 b) m m+n m+n m m m+n * Git) pho Ul, a ap Mp,” > Nps De § 5a. Die singularen Elemente der parabolischen Congruenz. Singular ist 1°. jede Ebene, welche einen Congruenzstrahl p mit einem der Punkte X, oder X, verbindet, und somit durch eine der Glei- chungen (64) dargestellt wird ; eine solche Ebene, 7. B. (py, À) schneidet den Fokalkegel J, in einer Kurve die sowohl vom Grade # wie von der Klasse m ist; simintliche Tangenten dieser Kurve sind Congruenzstrahlen, da die Ebene (py, X,) den Fokalkegel #, berührt; die Ebene (p, X,) enthält also ein Strahlengebilde von der Klasse m; 2°. jede der Ebenen €, welche durch man? bestimint sind; in jeder dieser Ebenen liegt ja eine Kurve vom mr Grade und von der mw" Klasse, welche auf den beiden Fokal- kegeln liegt und deren T'angenten deshalb Congruenzstrahlen sind ; es enthält daher jede Ebene €, (r™—" — 1) ein Strahlenge- mon mn bilde von der Klasse m ; 3°. die Ebene we; wir werden zeigen, dass sich in dieser Ebene befinden zwei Strahlenbüschel bez. mit X, und X, als Scheitel und m—n Strahlenbüschel deren Spitzen mit den auf A, X, liegenden, durch "=*= »,"7" bestimmten Punkten £, zusammenfallen. Singuläre Punkte sind 1°. die Punkte X, und X,, jeder mit einem Strahlenbiischel In Wo; 2°. die Punkte #,,, jeder mit einem Strahlenbiischel in wa. m— a ds. | | DIE CONGRUENZEN VON #'°— em pm UND w'wm—cmtn, 187 Diese Aussagen wollen wir nunmehr beweisen. Wie im II. Ab- schnitt, betrachten wir die Congruenzstrahlen, welche nach emem in we liegenden Punkt zielen. Zuerst wollen wir einen Congruenz- strahl p durch die Coordinaten p, und p, seiner Spur P in wx bestimmen. In diesem alle hat der Strahl diese Gleichungen : 5 (124) =D, Da Pie, | oder ) EEND Eee Ui IL (a, — Py 25)" =P" v3", | (a, — pi 23)" ah. gy” La. | Setzen wir noch L / / YA / Y2 NS a [Ly ne Jt Yi so finden wir ? ! me INPUT UN Men Gays — hi) = 23" Ya" Yo , / ym m In mn (13a) Ea — Bifa)" = X3" Yo" Ya Befindet sich der Punkt P (2, 2, #3, 2) in wx, so haben wir æ, = 0 zu setzen, wonach wir erhalten: m ENE ™ ye — Ly Ha SU Yi Ya , | Teaser pate — Yo à _/m — n | oder ! = 9 Ve “Cg, Ed op, IO 0 PM — / / V4 m n (CHR if Oe Der” Yo re == Die Spuren P’ sind also bestimmt durch ay,” ar UT 2 0, | GEST ef Pa ya” pen 0, | JS, oder 18S DIE CONGRUENZEN VON v0’? nm pm UND w'% wm = enn, die 2” durch diese Gleichungen angewiesenen Punkte P” sind offen- bar die #° in ©, liegenden Bilder P’ des in wz liegenden Punktes P; es zeigt sich, dass von den m* Strahlen, welche nach einem Punkte P in we zielen, n? den Punkt P mit seinen n? in ©, be- findlichen Bildern P’ verbinden; O de Odi — 0, | ART ame == 0, | oder S re) | = diese Gleichungen bestimmen 2(m— 2) mal den Punkt X,; wir folgern hieraus, dass von den m? durch ? gehenden Strahlen, nn — x) mit der Gerade PX, zusammenfallen ; 2 , ! 3 7 OF ite Ya ia DE 23" Ya da OF Ja UT À zes 0, oder Tis — 0, | : /m—n je as n(m — 1) Strahlen verbinden also den Punkt P mit X; Ate a, "Mn S = ne = = | . die (a — x) übrigen Durchstosspunkte liegen alle auf der Gerade X,X,, sind jedoch vorläufig noch nicht völlig bestimmt. Die Lage dieser letzten Punkte ergiebt sich, wenn wir zuerst den Punkt Pin der Nähe von wx annehmen — sodass a, zwar nicht null, aber doch klein ist — und nachher den Abstand zu oz verschwinden lassen. Wenn >, klein ist, wird auch y, einen geringen Wert haben. 1 Wir entwickeln daher y, :7, nach Potenzen von (a, : @,)"~" und 1 Y, :g2 nach Potenzen von (ay: 2)" ”". Zu diesem Zweck setzen wir | - DIE CONGRUENZEN VON #w°— en—m y UND wwm— cmt+tn, 189 LA Yi @, ze === Y> pias == ad, Ya a I mn Fa und y = à + far + yar? + Ar +... + cam + an Die erste der Gleichungen (134) lautet alsdann: en m MN DER) =) 1 oder, nach Elimination von 7, [a+ for ya +. (Dr... Hour [== D. m = [et Part ya%+..taet..teamet. Ge) 4 Durch Gleichsetzen der Coefficienten gleicher Potenzen von x finden wir PA? = 29153 a” — gr Se É V4 i < PNT mar B == (m—n) gin-n-1 B Ce) à Ly xr m À : (A—1 Diet nn Ond SE =er (5) TP m— ne Q mn + sons 1 Diesen Bedingungen wird genügt durch 1° af NI . a == _ à Ly oder wir erhalten dann 190 DIE CONGRUENZEN VON #w— en—m om UND w'n em = em+n, y=) + hat tra... also für verschwindendes x oder me Oe NO =O Oe lr (©) M: 1 : TU 2 mn 205 8. Oy A UE Se == —) ; 3 wonach m m mn a mn m—n m—n a mn dr SSS av AN = | — d V3 : V3 2, Uy oder m—n n nin = es sei 7’ eine der (m_—z)®" Wurzeln von (5) und 7, “eine der (m—zn)'*" Wurzeln von + 1; wir haben alsdann weil m und m—n keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, so ist Tr", eine primitive Wurzel; wir können sie ebenfalls 7,,_,, nennen; der Ausdruck für y, : y, wird sodann dieser Ausdruck ist (m—z)-deutig. DIE CONGRUENZEN VON #6 — erm wm UND wr wm—emtn, 19] In analoger Weise finden wir für das Verhältniss y: y, zwei Ausdrücke, nl.: m j yn = as nm Ye st 1°. an GD (2-deutig), go ze jz fl ((z—n)-deutig). J2 Man erhält die m* Durchstosspunkte, indem man die m Ausdrücke für y,: y, mit den > Ausdriicken für y: 7, combinirt. Die Spuren sind demnach an der Grenze (7, = 0) bestimmt durch 1°- Yo =e où i : VY id. He dien Bunker De a Glad) 4 Ke. Cc TST 2 aN = Tymen T Dr 0 a ) d.h. 2(m—n) mal X,,. (15a) m Ya (Ne — == | — ; Yo To 3° Ne dn KL % \ d.h. 2(m—n) mal X,,. (164) OF zs = Tm=n r= 0, J2 / 4 \ 4°, a == Tm—n os . Ya d. h. (#—») mal jeder (17) Ys AE der Punkte Z,, Y2 Die (mx) auf X,X, liegenden, bisher noch nicht bestimmten Punkte sind also in Gruppen von (#—») in die w—x Punkte von zusammengefallen, welche gegeben sind durch mn m—n mn 44 1 v 2 ; (18a) La — dj 0. Von den m sich in P treffenden Strahlen verbinden daher 2° Geraden P mit seinen n” Bildern P’; x(m—zn) vereinigen P mit 192 DIE CONGRUENZEN VON w'n—cr—mwm UND w'r wm =entn, X,, nm—n) P mit X,. Die übrigen (m—n)? Strahlen verbinden P mit den m—n Punkten Z,,_, und jeder von ihnen muss (#”—z)- fach gezählt werden. Die Ebene we enthält demnach einen x(m—z)-fachen Strablen- büschel mit X, und einen »(#—»)-fachen Strahlenbiischel mit X, als Scheitel, während sie ausserdem noch m—z Strahlenbüschel enthält, von denen jeder einen der Punkte #,,,_,, als Scheitel hat und (m—zx)-fach zu zählen ist Die obigen Betrachtungen zusammenfassend, kônnen wir folgendes behaupten : Die parabolische Congruenz hat als singulare Ebenen: 1°. jede Hbene (p, X,) und (p, X,) mit einem Strahlengebilde von der Klasse w; 2°. jede der Ebenen Bo, mit einem Strahlengebilde von der Klasse m; 3°. die Ebene wx mit n(m—n)-fachen Strahlenbiischeln in X, und X, und (m—n)-fachen Strahlenbüscheln in jedem der m—n Punkte VAREN Jhre singularen Punkte sind 1°. X, und X, mit n(m—n)-fachen Strahlenbischeln in ©»; 2°. diem—n Punkte Be, mit (m—n)-fachen Strahlenbischeln in Wx. $ 56. Die singuliren Elementen der hyperbolischen Congruenz. Singular ist: 1°. jede Ebene, welche einen Congruenzstrahl » mit einem der Punkte X, oder X, verbindet, daher durch eine der Gleichungen (64) dargestellt wird, eine solche Ebene, z.B. (y, X,), schneidet den Fokalkegel /, in einer Kurve, deren Grad und Klasse beide m—+- 2 sind; weil die Ebene (py, X,) den Fokalkegel #, berührt, sind alle Tangenten jener Kurve als Congruenzstrahlen zu betrachten; die Ebene (y, X,) enthalt somit ein Strahlengebilde von der Klasse m + 7; 2°. jede der Ebenen Er, Welche durch mn mtn bestimmt sind; in jeder dieser Ebenen liegt ja eine Kurve, deren Grad und Klasse beide # + x sind; diese Kurve befindet sich auf den beiden Fokalkegeln, wonach ihre Tangenten als Congruenz- strahlen zu betrachten sind; es enthält demnach jede der Ebenen DANS GE = 1) ein Strahlengebilde von der Klasse m + 2; 3°. die Ebenen we und.w,. Wie in § 54 wollen wir auch hier die Natur der Singularität nachher erörtern. DIE CONGRUENZEN VON w’? — en—m pm UND w’?wom=entn, 193 Wir werden alsdann finden, dass w, drei Strahlenbüschel enthalt, deren Scheitel in X,, X, und X, liegen, während w, drei Strahlen- büschel mit X,, X, und X, als Scheitel trägt. Singuläre Punkte sind 1°. die Punkte X, und X,, jede mit einem Strahlenbüschel in we, und einem in wo; 2°. die Punkte X, und X,, bez. mit einem Strahlenbüschel in Oe und @p. Bei der Untersuchung der Singularität der Abbildungsebenen we und w, wollen wir den Congruensstrahl p auch hier durch die Coordinaten py,’ und p,’ seiner Spur P’ in ©, bestimmen. Der Strahl » hat sodann die Gleichungen ) 9 a | (126) / ? 5 PTE EEE Pi oder (ar — py %, a = @3"", | (2 = jy Ray Dae — T3 . | Setzen wir / y A Yo WS Jr 4 Ys so folgt (a4 ke — D, Ge Nn pm, mtn 1Y% Ya One 3 Yr ? (134) (CA coe BY) yo zE Bene , Wenn der Punkt P (x, 2, 23, æ;) in ©. liegt, wonach 2, — 0 ist, so erhalten wir die Gleichungen mm iy Pe PS ‘m+n wD A = dz Va » | ! ay" yn" = ary | oder ie CP Re TE) — Oe | ae CHT pie. ya) = 0. | Die Spuren P’ sind also bestimmt durch o ! PE : ay” yy" — ws! te | (TE SL Oa AO 0 | i oder Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie) Dl. X. Bets 194 DIE CONGRUENZEN VON w—cn-m wm UND vo” wm — emtn, die #° durch diese Gleichungen bestimmten Punkte P’ sind offen- bar die #° in ©, liegenden Bilder P’ des in we befindlichen Punktes P; wir schliessen also, dass von den (mw + x)’ Strahlen, welche sich in einem in we befindlichen Punkt P treffen, x? den Punkt P mit seinen #° in ©, liegenden Bildern P’ verbinden; 90 ! D. Oi ea , 2" Yo" À. Bs Vr WS 0 st | oder ’ Ye == 0 7 Yo” = 0; diese Gleichungen liefern ma mal den Punkt X,, weshalb von den (m+n) durch P gehenden Strahlen mz in der Gerade PX, ver- einigt sind; Ed Aa a "ie ren a 4 ie ws 0 : | oder yw" =0, | io = 0; | Wir ersehen, dass mz Strahlen P mit X, verbinden; Len Are Ya A 0, Fe RAT Due 0 : AE ee die übrigen #° Spuren befinden sich alle auf der Gerade X, X,, sind jedoch noch nicht genauer bestimmt. In der Absicht die Lage dieser letzten Punkte vollständig zu erörtern, legen wir (wie in § 5a) den Punkt P x die Nahe von wx, wodurch a, zwar nicht zul/, sondern Klein ist. Es ist dem- zufolge auch y; klein, weshalb wir das Verhältniss y: 7," nach 4 1 Potenzen von (+, : zj)” +” und Yx : Ys nach Potenzen von (a, : jn entwickeln werden. DIE CONGRUENZEN VON #w2— en—mypm UND wt wr —=ertn, 195 Wir setzen also Mn E? — 4 + rl Hy HHA. Han Die erste der Gleichungen (134) erhält somit diese Gestalt : 2; (y _— Nib — jan (= De oder, nach Elimination von y, ie Pt + yeh +... tat... +C¢—1)e+...]°= Bae exh ya. ae ce te Go Indem wir die Coefficienten der gleichen Potenzen von + ein- ander gleich setzen, finden wir al” 2 a” +n G Je +n a: |) a + On nld + re —À" G + JP aan Q este = 2 Diesen Bedingungen wird genügt durch he 1 — &" Cy CAT ; oder wonach B 13* 196 DIE CONGRUENZEN VON w'? = en—m wn UND w’? wm — emtn, m = (2) "+ Bo + 0% +. also für verschwindendes x w | 7 aes oder dieser Ausdruck ist n-deutig; OI Hr Sl ARN ne (c — 1}" — 0, oder m mal: CA |) Cor — 5 Ase c= wonach VENTE oder / LN 4 aan Be Ya av dieser eindeutige Ausdruck ist m-fach zu zählen. In analoger Weise finden wir für das Verhältniss 4, : g> zwei Ausdriicke, n.l. 1 See (m-deutig) , 2 x + (m-fach zu zählen). Ve Dy Die (m-+- 2) Spuren werden ermittelt, indem wir die wm + 2 Ausdrücke für y; :7; mit den m--2 Ausdrücken für y, : yy combiniren. Die Durchstosspunkte sind also an der Grenze (7, — 0) be- stimmt durch DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= erm wm UND whom =emtn, 197 y J 7 n | h v3 A: = (=) Ya 4 sm à , / vendere Bunlsten 2e sne sat (145) DN BEN = = | — ; J2 Vy Yi. @ A wh 9° Oe 5 Ya Uy m dh. evo mal..X,, = (150) J A (=) i == — Dj Yo Le ve / 1 5 Gl haan (= 3 mn Kk di ; Yd he. a, mal Assa … (1:65) 22 enr (m-fach), | 2 > 4 k a, . 4°, = (m-fach) , N d / Pe L A —= +4 (m-fach) , 4 2 Ws oder ON 7 TT — DE at TPE ak eG? lao) Yo Wy Die #° auf X,X, liegenden Punkte, welche bisher noch unbe- stimmt waren, sind offenbar alle zusammengefallen in den Punkt, wo die Gerade X,P die Gerade X, A, trifft; sie sind also als die Spuren von m* Strahlen zu betrachten, welche alle in der Gerade X,P vereinigt sind. Von den (# + ») nach P zielenden Strahlen verbinden also #° den Punkt P mit seinen #° Bildern P’, ma P mit X,, ma P mit X,, während m? Strahlen P mit X, verbinden. Analog können wir nachweisen, dass von den (m-- ») Strahlen, welche sich in einem in wo liegenden Punkt Q’ treffen, #° den Punkt Q’ mit seinen »? Bildern in we, mn Q mit X,, mn Q mit X, und #° Q’ mit X, verbinden. Die Ebene ©, enthalt, so schliessen wir, einent ##-fachen Strahlen- büschel mit X,, einen m-fachen Strahlenbüschel mit X, und einen m--fachen Strahlenbüschel mit X, als Scheitel. 198 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= erm pm UND w'wm— enn, Die Ebene w, dagegen trägt einen mz-fachen Strahlenbüschel mit X,, einen ma-fachen Strahlenbüschel mit X, und einen »?-fachen Strahlenbüschel mit X, als Scheitel. Das Obige kurz zusammenfassend, kommen wir also zu dem fol- genden Resultat: Die hyperbolische Congruenz hat als Singulare Ebenen : 1°. jede Ebene (p, X,) und (p, X,) mit einem Strahlengebilde von der Klasse m+n; 2°. jede der Ebenen ee mit einem Atrahlengebilde von der. Klasse m+n; 3°. die Were wo» mit mn-fachen Strahlenbiischeln in X, und X, und mit einem w-fachen Strahlenbischel in Xs; 4°. die Ebene w, mit mn-fachen Strahlenbischeln in sm und X, und mit einem W-fachen Strahlenbüschel in X,. Thre singularen Punkte 5224 1°. À, und X,, jede mit wn-fachen Strahlenbüscheln in we und Wo; X, mit einem W-fachen Strahlenbischel in wz; X, mit einem w-fachen Strahlenbischel in oo. § Ga. Die axiale Regelfläche einer durchaus willkürtichen Gerade in der parabolischen Congruenz. Wir wollen die Ave der Regelfläche mit /, ihre Spur in we mit A, ihre Spur in w, mit B’ bezeichnen. Jeder Punkt von Z trägt m? Congruenzstrahlen; die Gerade / ist demnach eine m°-fache Gerade auf ihrer axialen Regelfläche. Jede durch / gelegte Ebene enthält noch mz Strahlen; sie hat also mit der axialen Regelfläche diese ma Geraden und ausserdem noch die m*-fache Gerade / gemein ; der Gesammtschnitt ist deshalb vom Grade m? + mn = m (m + x), wonach wir zu diesem Schlusse gelangen : Der Grad der axialen Regelfliche einer willkürlichen Gerade in der parabolischen Congruenz ist m(m + n). Die Punkte 4 und B’ werden bez. durch d'A Ws As. = ie = = 0, 2 —— v3 3 d a. / 1 / 2 / Bio. Sijl ze) Vy Vy bestimmt. DIE CONGRUENZEN VON w= ce" UND w'um—entn, 199 Die Gerade / bekommt alsdann die Gleichungen Uy a did + b; Wy» 18 j (18) Ly = Anh, + by di: Ein durch ie | DNA Dv," æ | à DER EU | NU eee. (O0) We Vy = Pa ds + Pr" U | gegebener Congruenzstrahl p schneidet /, falls er in der Ebene Ay (@ — U & — by Ui) + Ay (@, — @ &; be) = 0 (19) liegt. Es sollen also y, und y, den folgenden Bedingungen Geniige leisten : A (pa =) = A; (Ps =d) —)0 M wi" —b,) in (p,"—b,) = 0, | aus denen, durch Elimination von A, und A,, die Beziehung Pm Na Te (204) hervorgeht. Die Gleichung der axialen Regelfläche ergiebt sich, indem man #, und p, aus den beiden Gleichungen (64) und aus der Gleichung (20a) eltminirt. Die Gleichung (20a) stellt, wenn y», und p, bez. durch 2:2, und #,:2, ersetzt sind, auch den geometrischen Ort derjenigen Punkte in ©; dar, durch welche Strahlen gehen, die / schneiden. Dieser Ort bildet demnach einen Bestandteil des Schnittes von wa mit der axialen Regelfläche. Für (204) lässt sich auch schreiben: rt nt (Pa— 42) je : ap + bob Po-— (Wbs — ad) = 0. (214) Wir ändern das Coordinatendreieck zuerst in der Weise ab, dass die Ecke X, nach A (2% = a, #3, 7 — a #,) verlegt wird. Solches geschieht mittels der folgenden Transformationsformeln : a = Ë + és) Ze EEP) La Bas 200 DIE CONGRUENZEN VON w'— en-m wm UND w' wm eontn, Setzen wir noch Ei 52 En T. > = To S 00 fs 0 5 a 8 ve A : Es d ) so haben wir Pi 1 a | ee ae Pa Ty Ad | Durch die Substitution dieser Ausdrücke für p, und p, in (20 a) bekommen wir mn ni ie a)" — Ti (To + a)” + mb, 7 = 0, . (25a) oder, wenn wir 7, durch £, : ë, und 7, durch &, : £, ersetzen, LL nt Se Ee zin di AE BER 2 (és = lo Za a (bj ei ar: Ard) Ee 0. (26a) Vermôge des im III. Abschnitte Dargelegten, erhält diese Glei- chung, nach Wegschaffung der gebrochenen Exponenten, den Grad a(m +n). Der oben erwähnte geometrische Ort is demnach eine Kurve vom Grade z(m + x). Weil der Gesammtschnitt der Regel- flâche mit we vom Grade m(m-+-x) sem muss, so wird die durch (26a) bestimmte Kurve zu dem vollständigen Schnitt ergänzt durch einem Gebilde vom Grade (w + x) (m— 1) = m? — n°. Zu den Congruenzstrahlen welche sich auf / stützen gehôren auch die Geraden 4X,, AX, und AF, In § 5a ist nachgewiesen worden, dass die Geraden AX, und AX, als n(m— n)-fache und jede der Geraden AM, als (wm —)- m—n m—n fache Congruenzstrahlen zu betrachten sind. Diese Geraden bilden also zusammen eine Figur vom Grade Qu (au — x) +-(m — n) (n—n)= == (m + 2) (m — x) = m* — n°. Es leuchtet ein, dass diese Figur die Kurve (26a) zum vollständigen Schnitt ergänzt. Wir haben also gefunden, dass der Schnitt der axialen Regel- fläche einer willkürlichen Gerade 1= AB mit wx zusammengesetet ist aus einer Kurve vom Grade wm-+n), ausserdem aus den je n(in—n)-fach zu zählenden Geraden AX, und AX, , und schliesshch aus den Mm —N, je (Mm —m)-fach zu zühlenden Geraden AE, ml Wir wollen nunmehr die in we liegende Kurve einer besonderen Betrachtung unterwerfen. Ihre Gleichung ist, wie wir ersahen, Ve mn E (E+ abs) — EEE QE) + Ge, — 4,2) 2," = OSE a DIE CONGRUENZEN VON w'— en-m wr UND wnwm—enmtn, 201 Wt Die höchste hierin vorkommende Potenz von &, ist &," (weil We m >n). Der Coefficient von &,” ist &. Es enthält also in der rationalen Gleichung der Coefficient der höchsten (##“°) Potenz von £, den Faktor £,*. Wir schliessen daher, dass die Tangenten in X, durch bo = 0 angewiesen sind, und kommen also zu der Einsicht, dass X, ein w-facher Punkt ist, dessen sämmtliche Tangenten in die Gerade AX, zusammengefallen sind. In derselben Weise lässt sich zeigen, dass X, ein w-facher Punkt ist, dessen Tangenten alle in AX, vereinigt sind. Die Schnittpunkte mit À, X, (£, — 0) ergeben sich (siehe III. Abschnitt) aus E, ae A AT == |) oder Est (Zaft ae! ak Ee = Op oder aa ese evi? pice, alee a) == ( : also in der rationalen Gleichung aus Ee BMG (Cree Ping tom —(} Hieraus folgern wir, dass die Kurve die Gerade X, X, schneidet: nm mal in dem (x-fachen) Punkte X,, 2? mal in dem (n?-fachen) Punkte XY, und x mal in jedem der m—z Punkte 4, MN Bevor wir die Punkte Z, untersuchen, wollen wir uns zuerst mue dem Punkte 4 (£— 0, €,= 0) beschäftigen. Die höchste Potenz von & in (26a) ist &,”. Der Coefficient von &,” ist OE De as Oy ee Ot ae Die Fangenten in 4 werden also durch ni we L mn We ay" Den a,” 51 = Ono On oder durch 202 DIE CONGRUENZEN VON w—çen-m om UND w'n wr — cmt, (bat en b 2 2 As n b,, bestimmt. Wenn wir das Coordinatentetraeder X, X, X, X, durch das Tetrae- der XX, 4B" ersetzen, und zwar mittels der Formeln a = &, an a Es +> by Ex ty = Er + a, 8, + by a Dan SSD | Ly, = fas (28) so wird die Gerade / durch Ei = 0, & = 0 dargestellt. Die Gleichung (27a) liefert sodann die Ebenen, welche / mit den in 4 an der Kurve in we gelegten Tangenten verbinden; die nämliche Gleichung (27a) weist auch die Spuren dieser Ebenen in @) an. Wir beachten nun, dass diese Spuren durch die Punkte gehen, welche gegeben sind durch i= ar by) En, | oder, wenn wir zu dem ursprünglichen Coordinatensysteme zurück- kehren, durch dy — d Vy» m Dd oder m m es di ‚TT — do di, CA Es erhellt aus dieser Form, dass diese Punkte mit den xz” in wy liegenden Bildern 4’ des in we liegenden Punktes 4 iden- tisch sind. Die durch (274) dargestellten Moenen vereinigen daher / mit den n Punkten 4’, wonach wir die in 4 an die Kurve in we gelegten DIE CONGRUENZEN VON w’?=c'—™ wm UND wwm—cemtn, 203 Tangenten als die amialen Projektionen aus / auf ws der n* Bilder A’ von A betrachten können. Das hiermit gewonnene Resultat lautet deshalb: Der Punkt A ist ein w-facher Punkt der Kurve in we. Seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus l auf wx der W in Wy lie- genden Bilder A’ von A. Dieses Resultat würde sich in geometrischer Weise ergeben haben durch die Überlegung, dass die Berührungsebenen an den Blättern der Fläche, welche sich in / durchsetzen, durch diejenige Congruenz- strahlen bestimmt werden, welche nach dem Berührungspunkte zielen. Wir wenden uns jetzt den Punkten /, zu. Weil diese Punkte n__n alle dieselben Eigenschaften haben, so genügt es einen von ihnen zu untersuchen; dieser Punkt werde mit Z, bezeichnet, und habe MERG oordimaten 2, — 72, 2 — 0 oder ETE, Ea 0. Zuerst verlegen wir die Ecke X, in Z mittels der Formel 5 = TE, = Ze Die Gleichung (264) verwandelt sich somit in rt WL (7 &, = E,) (& a a ee — & (TE, = oy > Ee + in + (by à — brb 5) SE OEE ee oe) Der Punkt £, ist jetzt durch Ê = 0, &, = 0, gegeben; wir haben demnach die höchste Potenz von &,, d. h. WL Wt “+4, ene zu betrachten. Der Faktor von &,” Mr — Mn MN = T (1 — 7 * )— 0, und verschwindet also, wenn rT” = I. Wir müssen daher die Gleichung rational machen, oder wenigstens einige der gebrochenen Exponenten vertreiben. Wir schreiben sie dazu folgendermassen : m mh mt g, (rE, HE, Hal)" = GEE) Em (0 —b, ‘T) £,—b,5,| En und potenziren nun mit ». Es folgt dann (rh té Jab)" = (ré HE)" (Ey + a Es)" + mn (n—/) m + ARE Ee (ë + ay 53) ik (bo) = by T) &,— by Zal et a en ep alin mn Sa tee oder 204 DIE CONGRUENZEN VON w'— erm wm UND ww — cmt, CP (ms Ei ele MER via Ce = belle = |t" EJ att TEEN HIE Hm ay Es A Jr D Mn M CAT han MERE) X bb TE — By El] Eg” +... MGD Die höchste Potenz von &, ist nun scheinbar &,”+”. Wenn aber die Gleichung auf Null reducirt wird, ist der Coefficient von &,'"~" gr meh ci! == oe (RÉ ee 1) == ( Hieraus ist ersichtlich, dass die höchste Potenz von &, tatsäch- lich nicht &,’"*”" sondern &,""*"~* ist (es ist ja m La — 1 > pp n weil — A). n Der Faktor von &,"t"~* in der auf Null reducirten Gleichung ist jetzt mt” TE +. QE) — mt” a,b; — nt", — = Tt (TM (E) +. a, &3) — mTa, E3 = Tt |m(& + a, &3) — mra, Ea — nb) |. Die Tangenten in #, sind demnach bestimmt durch m (& + ay Es) — mra, Ex — nl, = 0, oder y Mm(TA,— ap) Er 5 m — à also im ursprünglichen Coordinatensystem durch wi (TA, — Ap) re ut, WO <= oder (m — n) (TE, — E,) + m (ta, — a) E3 = 0. . . (814) Hatten wir die Gleichung gänzlich rational gemacht, so würde der Grad x(m-+-n) geworden sein und wicht m+n, wie die Gleichung (304) zeigt, aus welcher wir die Tangente (31a) be- stimmt haben. Die vollständig rational gemachte Gleichung würde deshalb für die Tangenten in 4, DIE CONGRUENZEN VON w7— en-m pm UND wt wm=emtn, 205 [(m —1) (ré &) == m (TA, — ay) El == |) geliefert haben. Wir schliessen demnach, dass der Punkt /, ein n-facher Punkt ist, dessen sämmtliche Tangenten zusammengefal- len sind in die Gerade, welche durch die Gleichung (314) darge- stellt wird. Diese Gerade enthält offenbar den Punkt 7, wofür GW) en a Es (CD =D) os in Wy — | oder Z == 2 = $3 5 . 5 - 5 (32a) ma, Mas — (nm — 1) Dieser Punkt 7' erscheint unabhängig von 7; er liegt daher auf der Tangente jedes Punktes #,. Ausserdem befindet er sich auf der Gerade d. h. der Gerade X, 4. Wir können somit den Punkt 7’ bestimmen als den Schmitipunkt der Gerade X, 4 mit der Tangente in einem der Punkte Z, z. B. im Punkte Z,5 der durch 7 —7,,_,— 1, also durch 2, — x, ange- wiesen ist. Die Tangente in /, hat die Gleichung (m — n) (&, — &) + may — a) E3 =O. . . (834) M= Indem wir die letzten Resultaten zusammenfassen, können wir den folgenden Satz aussprechen : Die m—n Punkte Wo, sind alle n-fache Punkte, von denen jeder n zusammenfallende Zangenten besitzt. Diese Tangenten verbin- den die Punkte E,,,_,, mit dem Punkte T, welcher sich im Sechmtt- punkte von X,A mit der Tangente (83a) in Fi (a, = 2) befindet. Zum Überflusse bemerken wir noch, dass der Punkt X, wicht auf der Kurve liegt (siehe (214). Wir wollen jetzt den Schnitt der axialen Regelflache mit w, betrachten. Indem wir die Spur P’ eines Congruenzstrahles p in w, durch a ; Lo Di sij == Hij 4 74 4. 206 DIE CONGRUENZEN VON w'?=cr-m wm UND ww = cmtn, anweisen, so wird der Congruenzstrahl durch n CAT = mind Vi, | (34a) n =p ty + pry ty * bestimmt. Dieser Strahl wird sich in der durch 7 gelegten Ebene (19a) befinden, wenn den Bedingungen nl n ss | À (1 ús) in À = a) = 0 Ma — di) + A, (2 —_0,)— 0, | also (nach Elimination von à, und A) der Bedingung 2 Dr Pe ee genügt wird. Wenn man nun p, durch a,: 2, und p, durch ze: >, ersetzt, so bekommt man die Gleichung des Ortes der Spuren der Con- gruenzstrahlen, welche 7 schneiden. Dieser Ort ist somit ein Bestand- teil des Schnittes von w) mit der axialen Regelfläche. Wir verlegen jetzt die Ecke X, des Coordinatendreiecks in die Spur B von / (a, = b #,, ©, = bs «‚), benutzen also die Transformation am = &, == CRETE | B= Bi 6,2, (36) ee | Überdies setzen wir nn ED woraus sich ergiebt Dkr ere at Pr = Ty + ba. Indem wir diese Ausdrücke in (35a) substituiren, finden wir n n (ma Si ee pen (T + bo)" — a / / TA a To oder DIE CONGRUENZEN VON w'n== erm wm UND w'wm—emtn. 207 n To (Ta + BOP — Ty (Te + Be Jam —- UT — 0. (394) Wir ersetzen nun 7, und 7, durch ihre Werte (37) und ge- langen sodann zu n NEE EEEN al — a EET — 0. (400) Diese Gleichung bekommt nach vollständiger Rationalisirung den Grad m(m + x), wonach der oben erwähnte Ort vom Grade mlm + 2) ist, also von demselben Grade wie die axiale Regelfläche. Hieraus geht hervor, dass der Schmitt der axialen Regelfläche mit @, nur aus der genannten, durch (404) dargestellten Kurve besteht. Die höchste Potenz von &, ist &,"; indem man ihren Faktor gleich Null setzt, erhält man (ë = b, Er Shs Be == 10; oder (ES + is B = dn En Die völlig ausgearbeitete Gleichung würde also für die Tangen- ten in X, (ES + b,' &,)" — a" ae — ( gegeben haben. Wir ersehen, dass X, hier ein #-facher Punkt ist, von dessen Tangenten je m in einer der z Geraden zusammengefallen sind, welche dargestellt werden durch (5, a by’ Ser don 0 oder Wm eee ee A) Es sind diese Tangenten offenbar die x Geraden, welche X, mit den »* Bildern 4’ von A verbinden. Die obigen Betrachtungen gestatten uns Folgendes zu behaupten: Der Schnitt der axialen Regelfläche mit wy) hat in X, einen mn-fachen Punkt, in dem je m Tangenten zusammengefallen sind mit 208 DIE CONGRUENZEN VON w'n =cr—™ wm UND wt wm — em+n, einer der M Geraden, welche X, mit den n° Bildern A’ der Spur A von l'in we verbinden. Dasselbe gilt in Bezug auf Xs. n Die höchste Potenz von &, ist &,’". Indem wir ihren Coefficient verschwinden lassen, finden wir fiir die Tangente in B’: vw rt bi” Ei bos Ë, == Ay A —— at, — 0, oder = ep Oe MN In Bezug auf das Coordinatentetraeder X, X, 4B’ wird / durch £,=0, §,—0 angewiesen und stellt (42a) die Ebene dar, welche die Tangente in B mit / verbindet, und auch die Gerade, in welcher diese Ebene die Abbildungsebene we schneidet. Diese letzte Gerade geht offenbar durch den Punkt E, ar a, Ez = Bre, | Ë 5 a, 53 — ae | welcher in den urspriinglichen Coordinaten durch n = Im mm == "A3, n SLD zb," a; dargestellt wird. Es vertreten diese beiden m-deutigen Gleichungen zusammen die m” Punkte B, in welche der in w liegende Punkt B’ auf wa abgebildet wird. Wir gelangen somit zu der Einsicht, dass der Punkt B' der Schnittkurve mit oe ein m'-facher Punkt ist, dessen Tangenten die axiale Projektionen aus | auf wo, der m° Bilder B sind, welche in we dem Punkte B' entsprechen. Die Gerade X, X, schneidet die Kurve in den Punkten, welche bestimmt sind durch Zo Ei QE Ë Er = 0, bt Bs (earn = 54 Ene) — 0, oder DIE CONGRUENZEN VON w— en-m wm UND w'r wm =emtn, 209 also in der rationalen Gleichung durch Ei mn Ee mn (&, mn £5 tis 0 Die in ©, befindliche Kurve schneidet daher X,X, mx mal im (mn-fachen) Punkte X,, mn mal im (#x-fachen) Punkte X, und m mal in jedem der Punkte 4, lm! Die Punkte Z, werden auch hier untersucht, indem man X, UL in einen dieser Punkte, nl. #, (bestimmt durch &,— r&,) verlegt, und zwar mittels der Formel E = 7, + &,. Die Behang (404) bekommt alsdann diese Gestalt: (rE, HEINE HED — Erk, HB 4 BETH + (a — rae, — ab =0. . . . (484) Der Punkt #, ist jetzt durch io bestimmt. Wir haben demnach die hôchste Potenz von &,, d. h. n rt mn n 14% Mao Em zu betrachten. Ihr Coefficient ist 7 — 7” — tm (r_m —1), kann, vermöge 7" = 1, also Null sein. Wir sind daher genötigt die Gleichung (344) umzuformen, und schreiben Erber HE Hb) Er (TE, HE) (Ertl Ei) + (a— a7 )§,— ala |E,”. Wir potenziren beide Seiten mit m und erhalten BR GS, op On Sa) (réa Sa) (a 1 Pa Sa) en Ae) en + m idem Zala; (81 de by &,) ™ (aa — AT) Er — a4, | Sym + == +. == (as — QT) 51 — a >|" Gi", oder Sane, n a. nr" 18, n— “(és a. b, La ) +. ‚| (TE, m +. mr Soe +... ne 4- Dan LE it | + mir En Por. (HE RON Le 1% eee ar nbs: … + (449) Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. X. | B 14 210 DIE CONGRUENZEN VON w— nm wm UND ww" = emtn, Der Coefficient der höchsten Potenz von &, (£,”*") ist, wenn die Gleichung auf Null reducirt wird , Tr! 40 et, rl = Tr" (1 le ren) == 0 Leas tee, et _n Tatsächlich ist also die höchste Potenz nicht £,”*” sondern ET" (es ist Ja m + 2 — == | ede a 1). n 5 M—n—— , Der Coefficient von &, ™ ist n £ m i 9 es werden also in der rationalen Gleichung die Tangenten in #, durch a, — 0 angewiesen. Es erhellt, dass #, ein z-facher Punkt ist. Da X,X, in HE, m Punkte mit der Kurve gemein hat, so ist es klar, dass die Tan- genten in #, alle in X,X, vereinigt sind und in Z, m Punkte mit der Kurve gemein haben. Wir gelangen also zu diesem Satz: Die Kurve, in welcher die axiale Regelfläche die Rbene wy schnei- det, hat in jedem der Punkte HE einen N-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in X,X, vereinigt sind. Die Tangente X, Xs hat in jedem der Punkte KH, m Punkle mit der Kurve gemein. mn Auch hier bemerken wir beiläufig, dass der Punkt X, sich nicht auf der Kurve befindet. Wir wollen jetzt die Punkte X, und X, als Punkte der Fläche etwas näher betrachten. Die in der Nähe von X, auf der Regelfläche liegenden Punkte gehören den Congruenzstrahlen an, welche ©, in der Nahe von 4, schneiden. Diese Congruenzstrahlen stützen sich deshalb auf 7 in der Nahe ihrer Spur 4 in we. Die nach einem Punkte X (@,, 2, 23, 2) zielenden Congruenz- strahlen werden durch die Gleichungen re A= me dy À Pa Ui, | (34a) bestimmt. Die erste dieser Gleichungen hefert m Werte für pm, , d.h. m . | | DIE CONGRUENZEN VON #—en-m y UND w'wm—emitn, 211 Geraden in ©, durch X,, auf welchen die Spuren P’ der Strahlen p liegen müssen; jeder Wert von py, bestimmt daher eine Ebene durch X und X,, in welcher ein durch X gehender Strahl p liegen muss. Die m Werte p,, welche aus der zweiten Gleichung (34a) folgen, bestimmen ebenfalls m Ebenen durch X und X,, welche einen solchen Strahl tragen. Wenn X in we liegt, hat man z,— 0, wonach die erste Glei- chung (34a) oder sich verwandelt in m v3 Pa" — "= 0. Es sind also # — x Werte von py, unendlich gross geworden; von den m durch X, X, gelegten Ebenen sind daher m— x mit @» zusammengefallen. Die übrigen 2 Ebenen verbinden X, mit den #° nach X in we zielenden Congruenzstrablen. Wenn X mit 4 identisch ist, so sind diese 2 Ebenen durch WES aah S10 is te meh Sa) bestimmt. Nehmen wir nun X in der Nahe von 4 an, so werden die x Ebenen nur wenig von der z Ebenen (454) verschieden sein, während die übrigen # — x Ebenen beinahe mit we coincidiren. Die Congruenzstrahlen, welche nahe bei AZ ausmünden und demnach die Berührungsebenen in X, an der Regelfläche bestim- men, befinden sich also an der Grenze (X = 4) in den Ebenen (4.54). Wir ziehen hieraus den Schluss, dass die Berührungsebenen in X, an der Regelfläche durch (45a) dargestellt werden; analog lässt sich zeigen, dass den Berührungsebenen in X, die Gleichungen (DN a oS 0s 2st (460) zukommen. In dem Schnitte der Regelfläche mit ©, sind X, und X, beide mn-fache Punkte. Da die Ebene ©, nicht singulär ist, so wird der Schnitt «, nicht wesentlich von dem Schmitt in irgend einer anderen durch XX, gelegten Ebene (x, = gw) verschieden sein. Jeder Schnitt mit einer Ebene 2, — x, hat also in X, und X, mn-fache Punkte, weshalb XY, und X, auch mn-fache Punkte der Regelfläche sind. Der Tangentenkegel von X,, welcher vom Grade B 14* 212 DIE CONGRUENZEN VON w’"—ecr—m wm UND w'r wm — enten, mn sein muss, ist in ma Ebenen ausgeartet, von denen je m mit einer der 2 Ebenen (46a) coincidiren. Der Tangentenkegel von X, vom Grade mx, besteht aus mz Ebenen, von denen je # mit einer der Ebenen (45a) zusammenfallen. Wir sind also zu den folgenden Satz gelangt: In der parabolischen Congruenz sind auf der axialen Regelfläche emer willktirlichen Gerade X, und X, beide mn-fache Punkte. Die Tangenten in A, befinden sich in mn Æbenen, von denen je m in einer der m Ebenen (46a) vereinigt sind, während die Tangenten in X, in mn Moenen liegen, von denen je m in einer der n Æbenen (45a) vereimgt sind. Die Ebenen (464) schneiden w, in den Geraden ae) CN a D. — — ( , in denen wir die Tangenten in X, an der Durchschnittskurve erkennen. Dieselben Ebenen durchdringen dagegen w, in den Geraden (v7, — 4723)" = 0. Diese Geraden sind alle in AX, vereinigt, welche Gerade die einzige Tangente in X, an der JERE SS TE war. Die Kurve in we hatte in À, einen #°-fachen Punkt. Ansen enthielt der Gesammtschnitt noch «(1m — x) mal die Gerade AX,, sodass X, in Bezug auf den Gesammtschnitt als ein 2° + # (m — 2) = mn-facher Punkt zu betrachten ist. Es gelten diese letzten Ergebnisse natürlich auch c.p. für X. Wir werden nun die Punkte Z, betrachten. min Diese Untersuchung soll nur mit einem dieser Punkte, n.l. mit dem Punkte Z,, vorgenommen werden. Da die Congruenzstrahlen , welche in Z, ausmiinden , dem Punkte- A entspringen, so haben wir aufzufinden, wo die Congruenzstrahlen, welche einem nahe an 4 liegenden Punkte Y entstammen, eine durch ZX, X, gelegte Ebene 2,— a, treffen. Es seien X (a, ,@3,@,) und Y (%,%,43,y,) zwet Punkte des Congruenzstrahles »; so bestehen die folgenden Gleichungen: — pas = py" B eo + + oy, EN — Prt; = DE ou on CAC m I, — 93 = Pas tw (OW) DIE CONGRUENZEN VON v'— ent om UND wr wm =emtn, 213 WL Yr = D5 Ya = Jo" Yu. wie ed Xe oe ee ACO OD) Aus (47a) und (49a) finden wir Dy Paes | Vas TAGs CA Ys wonach Ur Ya — U4 A ennn Ae 36a a ENT: 14) L3Y4 — MY und VM Pa Vs LE Vs YA Epe & VE (52 a) Vy L3Y4—_ Uy Y3 Aus (47a), (51a) und (52a) folgt sodann CS ee Oe ae € en Zo Vz Va — U1Y3 Vz — Li Y3 oder (Ya — & Ys)" = (aa Y3 — 34) GR Baile me (53a) In gleicher Weise lässt sich aus (48a) und (504) herleiten : (4 Y2 — dy)" = (rs — 3 Y2)" (@iY3 — Ya). (94a) Wenn wir Y festhalten und X beweglich denken, stellt die Gleichung (53a) m Ebenen dar, welche alle durch Y und X, gehen, während (54a) m durch Y und X, gelegte Ebenen anweist. Die beiden Gleichungen bestimmen zusammen die »° nach Y zielenden Congruenzstrahlen. Es wird nun der Schnittpunkt Y dieser Strahlen in einen Punkt gelegt, welcher sich auf / nahe an 4 befindet, und somit ange- wiesen ist durch N= 43 + OY, | Ya = Any, + bY Ys | Yu — PY3» | oder Yh = (a == by P)Y3> | 2 = (@ a by P)Y3 Yi == P/3, | (55a) wo o eine kleine Grosse darstellt. 214 DIE CONGRUENZEN VON w— çn-m wr UND ww = omtn, Um den-Zustand im Punkte #, (2, — Tæ,, 7, — #, — 0) zù studiren, verlegen wir die Coordinatenecke X, nach /,, und zwar mittels der Formel do = TH, + Do: Die Gleichungen der in Y zusammentreffenden Strahlen gestalten sich alsdann folgendermassen : Ci — BY)" = (3 — 341) (3 — 3), (53a) ne EA (Ty == Yo) — (Ta =e By) Ya) == = (Tu + @y) 3 — Ba (TY, + Ya) (is — 2395)" "3 (56a) der Punkt Y ist indess durch I= (a == bP) Ys > Cabine oe ale NON Ya = PYs ee | gegeben. Die Substitution (57a) liefert in den Gleichungen (53a) und (564) (ay Sp bip) Li pal" = [a4 — (4 == bip) |" (as — pa;)” OBE) (as + By par, — p(T a, +22)" = ra, Has — (a, + by’ Pil", — pars)". (59a) Diese Gleichungen stellen daher zusammen die Strahlen dar, welche nach dem nahe bei 4 auf / liegenden Punkte Y zielen. Thre Spuren in 2, — x, werden durch die Gleichungen (a ae by pa, Pli — EA — klas tis by p)ay\"(1 — pu)" "a," WOOD (as + pes — pire +)" = = [Ta + 22 — pas + 6, pal" (1 — pu)" "a; " . (61a) geliefert. Diese Spuren befinden sich in der Nahe von Z,, d. h. vom Punkte ae dr), wonach ihre Coordinaten z, und x, kleine Werte aufweisen wer- den. Wir setzen darum ie (62a) do = Az, | . wo z eine kleine Grosse darstellt, und erhalten somit: DIE CONGRUENZEN VON #w— en—m wm UND wi” wm — ern, 915 (CA + by P)z — PA (a ZS la, + b, pel” (1 ee pea a (a, + by’ pa — p(ta,--Az)|" =| HA past Do Pel (pa) gr, oder {— pa, + (a, + Ga pal" = la, — wa, + 4,'p)z\"(1 — pu)" ren, pra Hagdos p Apel" =| re (pa pabo pp "an, Indem wir diese Formen nach Potenzen von z entwickeln und Potenzen mit Exponenten grösser als 1 vernachlässigen, finden wir (—p}"73"" Hm — p)" Ka Rn mA — le" — u (a Gp), n= et —puÿ"= n mn 5 (— a ay m + m ( av pT) a: “@ ay bop ace Ap) @ Mm 1, = Aj — nT (ua, _ mb, p eos Ne” 21 ah pu)" nr mn Durch Teilung entsteht hieraus / — poy (a + Hp) mna bp 2 pT" "Hr Gre Tana mb, p—A)z also, wenn wir wieder z° vernachlässigen und die Relation 7°" = 1 beachten , — pra, Ji m (ay += bip) Taz ++ np (ua, + php — A)ayz = == — pra? + m (a, + b,'p — Ap) az + mp (a, + bp) rie, oder ma HO P)T Huppa HO p)—upA==mla bs ‘p)—mAp np i2(ay +-6,'p)r, also Ton Pie rl) — opr) on (m — 2)p A (63a) Es empfielt sich uns klar zu machen, wie weit wir der Lösung des vorliegenden Problems näher gerückt sind. Wir hatten als Sammelpunkt der Strahlen den Punkt Y gewahlt, welcher sich auf 7 in der Nahe von 4 befindet. In Bezug auf das Coordinatentetraeder #,X,X,X, werden die dem Punkte Y entstammenden Strahlen durch (58a) und (59a), ihre Spuren in a, — 2, durch (60a) und (614) dargestellt. Weil diese Spuren nahe an MZ, liegen müssen, setzten wir Bz und vz, —Az an, wo z eine kleine Grösse und A die Richtungsconstante der Gerade bezeichnet, welche 4, mit einer 216 DIE CONGRUENZEN VON win=—= tm wr UND win wt == enn, der betrachteten Spuren veremigt. Diese Verbindungslinie geht offenbar, wenn Y mit 4 coincidirt, die Spur also in #, fällt, in die Zangente in Æ, über. | Diese Richtungsconstante A haben wir mittels der Gleichung (63a) bestimmt. ; Weil der in (634) fiir A gegebene Ausdruck eindeutig ist, fallen simmtliche in der Nahe von /, liegeuden Spuren längs derselben Gerade mit Z, zusammen, m. a. W.: der Punkt Z, besitzt nur eine einzige Tangente. Die Richtungsconstante der Tangente stellt sich heraus, indem man in (63a) p—0 setzt. Wir finden alsdann == 100 2 wofern # endlich ist. Ist u dagegen unendlich gross, so ist pz, so lange p endlich ist, gross in Bezug auf m; der Ausdruck (63a) nimmt für ~=o , p==0 diese Form an: (a, — Tan A= — NU In allen Ebenen z;—=uw,, für welche gw endlich ist, d. h. in allen durch X,X, gelegten Ebenen, ausgenommen wx», wird die einzige Tangente in Z} durch A=, also vermöge (62a) durch 2‚—0 bestimmt; sie fällt demnach mit der Gerade X,X, zu- sammen. In der Ebene we aber liegt die Sache anders; in ihr wird die Tangente von Z; durch (as — Tay) n yee m—n also durch 5 (a, — Ta,)n (a, — Tay)n L ==, m—n m—n oder (a, — TM)n Ay TH, + a V3 == 0 . . . (64a) ’ MU 10 angewiesen. Durch die Transformation DIE CONGRUENZEN VON vw — tm w UND wwm—emtn, 217 M = Ë + % 83, @ = Er + 42 E3, T3 — § verwandelt sich diese Gleichung in (m —— 2) (& ré) ma — Ta) Ei): Es ist diese Gleichung mit der Gleichung (314) identisch , welche ja auch die Tangente in Z,; an der in we befindlichen Kurve darstellt. Die Gesammtheit der Tangenten in #, an den Schnittkurven aller Ebenen 2,—u+, findet man, indem man in (63a) durch æ:aæ, und À durch (#@7,—Ta,): a, ersetzt. Man erhält sodann 4 A, — TA, MV, ty — TH, = — 5 ~ nas Hime oder {0 Es befinden sich daher alle in EZ, an der axialen Regelfläche gelegten Tangenten in der Ebene we, welche hier so zu sagen sich in der Gerade (644) durchdringt. Im Schnitte mit ©, war /, ein »-facher Punkt. Es ist also MZ, auch ein z-facher Punkt in jedem Schnitt mit einer durch X,X, gelegten Hbene, daher auch ein z-facher Punkt auf der Regelfläche. Unser Schluss lautet demnach : In der parabolischen Congruenz sind auf der axialen Regelflüche einer willkirlichen Gerade die Punkte BH, alle n-fache Punkte. Die Tangenten befinden sich in w Ebenen, welche alle in wx zusam- mengefallen sind. Die Tangenten an der Schnitthkurve mit wx sind dagegen die Geraden, welche die Punkte BH, mit dem Schuitt- punkte von X, A und der Gerade (33a) verbinden (siehe S.- 205). Auf der Regelfläche liegt noch eine Doppelkurve. Jede durch : — | gelegte Ebene trägt ja mn Strahlen, die sich in ue Punk- ten schneiden. Diese Schnittpunkte gehören zwei x1cht-unendlich- benachbarten Erzeugenden der Regelfläche an, sind daher Doppel- punkte. Es leuchtet ein, dass die Doppelkurve mit einer durch / gelegten mn (mn — | ae - Ebene RE ts Schnittpunkte liefert, welche ausserhalb / liegen. 6 ~ 218 DIE CONGRUENZEN VON #7 — em wm UND wt wm = cmtn, Der Grad der Doppelkurve ist bekannt, so bald man die Anzahl der Schnittpunkte von 7 mit der Doppelkurve kennt. Im Folgenden wollen wir ein Verfahren darlegen, durch welches die Anzahl der Schnittpunkte bestimmt werden aux. Dieses Ver- fahren ist, falls m und zx kleine Zahlen sind, gewiss nicht das kürzeste; wenn aber m und x gross sind, so sichert die hierunter beschriebene Methode am meisten ein brauchbares Resultat. Es. sei C (as Yo; 93, 9) in Punkt der Gerade 4 ‘Nacht zielen #° Congruenzstrahlen p, welche als die Schnittlinien von m Ebenen durch CX, mit m Ebenen durch CX, bestimmt sind. Die m durch CX, gelegten Ebenen schneiden wa in # Geraden durch X,, welche durch — == Pa V3 Pr. gegeben sind, wenn p, der Gleichung (Yo — Boys)" — Po Ye =O NN geniigt. Wir denken uns den Punkt C in der Ebene +, = pa,, wonach Ver Zuerst ersetzen wir das Coordinatentetraeder X, X, X, X, durch das Tetraeder X, X, 4B’ mittels der Formeln Ys = M + Mat bi Yo = M + Co + by wi, Ft OS ae M= Td Up Pa = To + 4: Bedenken wir noch, dass C sich auf / (4 = y — 0) und in der Ebene #, = yy, befindet, so ist es klar, dass (65a) ersetzt wird durch (ba — HTI)" — (Ts + a)" = 0. . . . (674) Diese Gleichung hat m Wurzeln, welche wir mit (To); (To) ee ORD (ro) (To), (To), (To) LS CAN (Ton bezeichnen werden. DIE CONGRUENZEN VON #0 — erm wm UND w'wm—cmtn, 219 Die m durch CX, gelegten Ebenen schneiden we in # Geraden durch X,, welche durch CA — == PA Ms 5 gegeben sind, wenn y, der Gleichung (HR TT SOUS NES TE (680) genügt. Durch die Transformation (66) geht diese Gleichung in die folgende über: (by zee MT) = (mr, + By) 2 — 0. : ; ; (69a) Thre m Wurzeln werden durch (Taha (T)o, oF eg tees (7); (Ts (Firs (Ta) Pitt RE (Tin angedeutet. Die Spur P,,, eines durch C gelegten Strahles p,, ist nun durch die Coordinaten | Ti = (Ti) | 1 ae inlet A orme 1610 Pq To =: (a), | ( ) angewiesen. Ebenso ist die Spur P,, eines zweiten durch C gehen- den Strahles »,. durch rs T1 = (Tir Je = ~ end Ww rs? To = (To), bestimmt. Wenn C ein Punkt der Doppelkurve sein soll, so muss C zwei Strahlen yp, und p,, tragen, welche mit / in einer Ebene liegen. Ihre Spuren ?,, und P,, in we müssen dann aber mit der Spur A von / in einer Gerade liegen. Die Spur 4 ist durch à | / 0,| me A. SL el de To | gegeben, wonach die genannte Bedingung sich folgendermassen gestaltet : Fo), Fo, (To) Ww (To)s É oder 220 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= n= ont UND 90/7 wm = etn, (Ti), (me) (To) = 0.0. Tt ey In dieser Gleichung kônnen die Indices p und s einander gleich sein, ebenso die g und r. Ausserdem ‘kann p— 4, oder p= 7, oder 4 SMON Liese: Die Falle p —7 und g —s müssen hier abgesondert werden. Denn p=vr bedeutet, dass die beiden Strahlen p,, und p,, in derselben durch CX, gelegten Ebene hegen. Die Bedingung (73) fordert alsdann (zr), = (7:),, weshalb die Strahlen gleichfalls in der selben durch CX, gelegten Ebene liegen. In diesem Falle sind die beiden Strahlen also identisch und hiervon ist nicht die Rede. Ebenso würde g —s die beiden Strahlen zur Coincidenz bringen. Weil die Wurzeln von (67a) im Allgemeinen von denjenigen von (69a) verschieden sein, so haben die Beziehungen p = s, oder g =r, oder p= gq, oder r= s keinen Einfluss auf die folgenden Betrachtungen. Wenn wir alle Combinationen (73) ins Auge fassen, so lässt sich die Bedingung, dass C ein Punkt der Doppelkurve sei, aus- drücken, indem das Produkt aller Formen (7), (72), — (mr), (mo), gleich Null gesetzt wird. Dieses Produkt ist eine symmetrische Funktion der Wurzeln von (67a) und (674), daher auch eine Funktion der Coefficienten dieser Gleichungen, welche ausser a, de, 6, und & den Parameter » enthalten, der die durch X,, X, und C gelegte Ebene bestimmt. Die Gleichung I] (TA), (T2), = (mi), (7), | = 0 kann also umgestaltet werden in eine Gleichung Mu) = 0, welche die Werte des Parameters w für die Ebenen 2, = uz, liefert, welche auf 7 einen Punkt der Doppelkurve einschneiden. Weil die Umformung einer symmetrischen Funktion der Wurzeln zweier Gleichungen in eine Funktion der Coefficienten nur bei kleinen Werten von m und x zu leidlichen Rechnungen Veran- lassung giebt, wobei das Gelingen der Operationen überdies fast ganz und gar von einem Kniffe abhängt, so werden wir hierunter eine Methode geben, welche zwar etwas umständlicher ist, dafür aber weniger Kunstgriffe fordert. DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= cn—m om UND wint wm —emtn, 291] Wir werden die Gleichung (69a) in 7, mit ON es AY DN rae bea EE) und die Gleichung (67a) in 7, mit FAG ET eo er A 4175) bezeichnen. Beide Gleichungen sind von m‘” Grade. Ersetzen wir in (75) mr, durch w: 7, so erhalten wir AGL NP Real mda) Ihre Wurzeln sind alsdann durch av >, = (Ao) na) vo also durch / C2 (72) pq. ED bestimmt. Wenn (74) und (76) eine gemeinschaftliche Wurzel haben, so wird der Bedingung (7), (rs), oder D= (ar), (T2), (77) genügt. Die Eliminante von (74) und (76) ist ein Ausdruck, in wel- chem nur die Coefficienten von (74) und (76) auftreten; sie ist also eine Funktion nur von &, a,, bj, bo, ~ und 2. Indem wir die Eliminante verschwinden lassen und aq, ao, 4, bs, mm als Constanten betrachten, bekommen wir eine Gleichung in +, welche wir durch Cause. | | PU) darstellen werden. Jede Wurzel dieser Gleichung ist das Produkt (77) einer Wurzel von (74) mit einer Wurzel von (75). Die Coefficienten von (+) hangen nur von a, a, 4, bo und a ab. Hat nun ® (+) zwei gleiche Wurzeln, so ergiebt sich, dass 222 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—=en=m wm UND vw’ wn — emtn, ein Produkt (7;), . (ao), einem Produkte (7;),.(#2), gleich ist, eine Beziehung, welche eben durch die Gleichung (73) erfordert a Die Funktion ®&(z) hat offenbar zwei gleiche Wurzeln, wenn ihre Diskriminante verschwindet. Diese Diskriminante ist eine Funk- tion der Coefficienten von ®(v), enthält somit nur die Grössen a, Pied, NE : d>, Oy, 6, und y. Indem wir sie verschwinden lassen, erhalten wir eine Gleichung von der Form Dd (ar, a, by Os; 14) = 0. In dieser Gleichung sind a, &, 4,’ und 4,’ absolute Constanten. Daher ist diese Gleichung tatsächlich eine Gleichung in pz, Py Orte beton er Es erhellt, dass sie die Werte von u liefert, welche den Punkten C auf 7 angehôren, die auch auf der Doppelkurve liegen. Wir haben jedoch zu beachten, dass unter den Formen (7), (73), — — (7),(7,), auch diejenigen vorkommen, in welchen p = 7, oder =S vie Wenn p = r, also (7), = (7), ist, so wird die erwähnte Form (7), (ar). Tk (To)ol > Wenn aber sg, so fordert das verschwinden dieser Form, dass die Gleichung f(a) zwei gleiche Wurzeln habe. Hieraus folgt, dass der Gleichung (73) auch genügt wird durch diejenigen Werte von 4, welche zwei gleiche Wurzeln von /,(7,) — 0 liefern. Hs ist also die Diskriminante von /,(7,) ein Faktor von #{(x4). Ebenso ist die Diskriminante von /,(7,) ein Teiler von F(p). Wenn wir die Diskriminanten von /,(7,) und # (a) bez. mit g, (#4) und #, 2(H) be- zeichnen, so kônnen wir demnach schreiben P(p) = 9, (#). pale). L (4). Es ist selbstredend, dass die gesuchten Punkte C nur durch die Gleichung Vw) = 0 geliefert werden. Wir wollen beiläufig bemerken, dass wir beim Berechnen der Diskriminante von (>) zu einer Form gelangen werden, welche ein volkommenes Quadrat ist, weil wir durch Vertauschung der Indi- ces p mit 7 und g mit s die Bedingung (74), . (T2), — (71) . (To), = 0 DIE CONGRUENZEN VON #1 — en om UND ww —cmtn, 223 in die gleichwertige Bedingung (7,),.(7,), formiren. Der Ausdruck F(z) ist alsdann die Quadratwurzel aus der ursprünglichen Diskriminante. Da die Grösse g in ziemlich verwickelter Weise in den Coeffi- cienten von /,(7,) und /,(7,) auftritt, so dürfte es schwer sein im allgemeinen Falle den Grad von #'(#), py (#4) und (#4) zu bestim- men. Wir werden daher den Grad von W(x) nicht berechnen, sondern ihn nur mit JV bezeichnen. Es liegen auf / also V Punkte der Doppelkurve. Diese Kurve schneidet ausserdem eine durch / gelegte Ebene ausserhalb 7 in wa(ma— 1): 2 Punkten. | Der Grad der Doppelkurve ist demnach (74), (7), = 0 trans- mn(mn — 1) ES Es ist klar, dass die Doppelkurve die singulären Punkte X,, X, und /, der Regelfläche enthält. mn Die Schnittkurve der axialen Regelfläche mit emer durch XX, gelegten Ebene ©, (2; = pa,) hat in À, einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten je » ver- einigt sind in einer der 2 Geraden, in welchen die Ebene w, durch die 2 Ebenen (46a) geschnitten wird; in À, ebenfalls einen mx-fachen Punkt, dessen Tangenten die Spuren der 2 Ebenen (45a) in der Ebene ©, sind; in jedem der Punkte £4, einen #-fachen Punkt, dessen Tan- m=n genten alle in X,X, vereinigt sind (ausgenommen p = © ); im Schnittpunkte C, von / mit w, einen m-fachen Punkt, des- sen Tangenten durch die nach C, zielenden Congruenzstrahlen be- stimmt werden ; Doppelpunkte an den Stellen, wo ©, die Doppelkurve trifft. $ 66. Die axiale Regelfläche einer durchaus willkirlichen Gerade in der hyperbolischen Congruenz. Wie in § 6a wird die Axe der Regelfläche mit /, ihre Spur in @e mit 4, ihr Schnittpunkt in ©, mit B bezeichnet. Es gehen jetzt durch jeden Punkt von / (wm + x) Congruenz- strahlen, wonach / eine (m+ n)-fache Gerade auf ihrer axialen Regelfläche ist. In jeder durch / gelegten Ebene befinden sich noch 2mz Strahlen. Eine solche Ebene hat also mit der axialen Regelfläche diese 27 224 DIE CONGRUENZEN VON wt erm wm UND win om — emtn, Geraden und ausserdem noch die (wm + »)-fache Gerade / gemein ; der Gesammtschnitt ist demnach vom Grade (m+)? + 2m». Daher: In der hyperbolischen Congruenz ist der Grad der axialen Regel- Häche einer willkürlichen Gerade (m + n) + 2mn. Die Punkte 4 und 2’ werden auch hier durch A... =d; — = 0, “,=0, © 3 da A ! dy RO LT sel ee Uy Vi, angewiesen. Die Gerade / ist also durch V4 = ay V3 + br 2, , 18 By S= Arts by a, CHE = in durch m n a Bes Pe Pe! ola Wt n La = Paz + Pa "24 bestimmter Congruenzstrahl » schneidet 7, wenn er in der Ebene AG — a, 2 — b,' @,) + Ag (A3 — ap #3 — ba &4) = 0 (19) liegt. Die Coordinaten p, und p, haben somit den Bedingungen Ar — %) + Ag (Pg — ay) = 0, | m nt y / TN ! A, (Py Tie) = de (00e "— 6.) = 0 | zu genügen, woraus, durch Elimination von à, und à,, die Gleichung ni me ARE == WES Ds Pa . . TAC mn m D= 4 TA Bo a) Py” hervorgeht. Die Gleichung der axialen Regelfläche wird ermittelt, indem man aus den beiden Gleichungen (64) und aus der Gleichung (206) die Grössen p, und p, eliminirt. Die Gleichung (204) stellt, wenn wir y, und p, bez. durch DIE CONGRUENZEN VON w— cn-m wm UND sn wm = enrtn, 225 @,:v, und #,:#, ersetzen, auch den geometrischen Ort derjenigen Punkte von w, dar, nach denen Congruenzstrahlen zielen, welche Z schneiden. Dieser Ort ist demnach ein Bestandteil des Schnittes von we mit der axialen Regelfläche. Wir bringen (204) zuerst in die Form ve m Ca (2), m m we ba (2 — a) Gr — do) Py “Po — 0 sla) und verlegen alsdann die Ecke X, nach 4, und zwar mit Ver- wendung der folgenden Formeln dy = b+ 49 Ss, (22) mt, 5 en 5 — 9 E, USE E, To» (23) | 24 PI Sn Gy. Ge) Die Substitution dieser Ausdrücke in (219) liefert m NL» TA = Ci) Een (Oa ae b,’ 72) (7, an a)" (Ta zi ay)" = 0, . (256) oder, mittels (23), me nh Ey (Én + ay Ey" eye = CE Tin a, eye a Fa nt Ré ve) ame Dr (Ei a8) 0 . (266) Nach Fortschaffung der gebrochenen ÆExponenten wird diese Gleichung vom Grade z(2m + »). Der oben erwähnte Ort ist also eine Kurve vom Grade 2(2m + »). Der Gesammtschmtt der axialen Regelfläche mit ©, muss vom Grade (m + ») + 2mn sein. Die durch (264) gegebene Kurve wird daher zum vollständigen Schnitt ergänzt durch ein Gebilde vom Grade (m + 2) +- 2mn — n(2m + n) = mln + 2n). Zu den Congruenzstrahlen, welche / schneiden, gehören auch die Geraden AX,, AX, und AX. Nach § 56 haben wir die Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1e Sectie) Dl. X. B 15 226 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= en—m wm UND wit wm = emtn, Geraden AX; und AX, jede mu mal, die Gerade AX; m mal zu rechnen. Diese drei Geraden bilden mithin zusammen eine Figur vom Grade 2m mn == mm + 2n). Diese Figur ergänzt die Kurve (265) zum Gesammtschnitt in we. Wir ziehen demnach diesen Schluss: Der Schnitt der axialen Regelfläche einer willkürlichen Gerade 1= AB mt wx» besteht aus einer Kurve vom Grade nm <+n), den Geraden AX, und AX,, jede mn-fach gezihlt, und schhesslich aus der Gerade AX, w-fach gerechnet. Die Kurve in we werde nun einer eingehenderen Betrachtung unterworfen. Aus ihrer Gleichung: nt LIL EE > UE) 63% EE 0 a En Je LL m Fa Cs Ein bi E) (& 5 a Es)" (ae 4E) SUE (260) nn geht hervor, dass Sn die höchste Potenz von &, ist. Ihr Coef- mn vie ficient ist Er —6,'(£,-+-a,$,)"; daher werden die Tangenten in X, dargestellt durch OE == ay Es)" a.” Egn — 0 oder Bs "(Ee ole Aaa) — Ex" == 0, oder 0,7 mo ae De — 0, also in der rationalen Gleichung durch Gi,” Pye Sel, pek — 0. Wir schliessen, dass À, ein ma-facher Punkt ist, von dessen Tangenten je 2 in einer der m Geraden zusammengefallen sind. Es sind diese offenbar die Verbindungs- linten von X, mit den mm’? in wa liegenden Bildern B des in ©, befindlichen Punktes 27. Wir dürfen also Folgendes behaupten: Die Kurve in we hat in X, einen mn-fachen Punkt, von dessen Tangenten je n vereinigt sind in einer der m Geraden, welche X, mit den m° Bildern B von B' verbinden. Für X, gilt natürlich dasselbe. DIE CONGRUENZEN VON w’?—cr-™ wr UND wt wm —=emtn, 227 Die Gerade YX, X, schneidet die Kurve in den Punkten, welche durch mM (by, — by Sy) Er" So" = 0, also in der rationalen Gleichung durch COEF = Dee ne BE Lea) bestimmt sind. Es ist klar, dass die Gerade X, X, die Kurve mn mal im (mn-fachen) Punkte X,, mx mal im (#x-fachen) Punkte X, und x” mal in dem Punkte schneidet, welcher durch by Ei by 52 — 0 gegeben und mit dem Schnittpunkte B, von X,B' und X, X, iden- tisch ist. Wir wollen die Beschaffenheit dieses Punktes später erörtern. Zuerst wollen wir den Zustand im Punkte 4 erledigen. 2m nt Die höchste Potenz von &, ist £,*. Ihre Coefficient ist a,” £, — LIL ve mn — as" E, — (bo Ei — WE) ay” ay", wonach die Tangenten in 4 durch (LL nt vt vit a,” £4 — ay” Es — (by Ei — bi EN) U" a,” = 0, oder ee EE Zs SU ee een ous bestimmt sind. Durch die Umformung des Coordinatentetraeders À, 4, XX, in das Tetraeder X, X, 4B’ mittels der Formeln 1 2 di == Ë == Ui 83 == by En) et os) dz = &3, “= En, wonach / durch ë 0) & = 0 | gegeben ist, gewinnen wir die Einsicht, dass die Gleichung (275) auch die axialen Projektionen aus / auf ©, jener Tangenten in 4 0 te) darstellt. B 15% 228 DIE CONGRUENZEN VON #w— tm wm UND wo” win — etn, Die Gerade (274), als Gerade in ©, betrachtet, enthält den Punkt mn Sn (a, AET bi PR nt gy 00 am bs DE der im alten Coordinatensystem durch à © RQ we = | à À = angewiesen und deshalb mit dem Bilde 4’ des Punktes 4 iden- tisch ist. Weil der Ausdruck (274) »°-deutig ist, so ist 4 ein #°-facher Punkt; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus / auf wz der x? Bilder 4’ von 4. Wir sind also zum folgenden Resultate gelangt: Der Punkt A ist ein w-facher Punkt der Kurve in wo. Seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus l auf wa der W in wo liegenden Bilder A’ von A. Es ist in § 6a bemerkt worden, dass dieses Resultat auch in rein geometrischer Weise gewonnen worden kénnte. Auch hier hatten wir die Tangenten in 4 auffinden kénnen durch die Uber- legung, dass sie durch die nach 4 zielenden Congruenzstrahlen bestimmt sind. Untersuchen wir jetzt den Zustand im Punkte B,’ Wir verlegen zuerst die Ecke X, in B, mittels der Transfor- mation by / ba gi ot té. Die Gleichung (264) verwandelt sich alsdann in m HE Hald" QE +) Gob HE bah)" B+ + B/E Eady" G pee es sy" — 0. . (295) Der Punkt B, ist jetzt durch he à DIE CONGRUENZEN VON w'?—=c?-™ wm UND ww — em+n, 2929 gegeben. Wir müssen demnach die höchste Potenz von &, betrach- ten. Wir setzen voraus Men. 2m Die höchste Potenz von &, ist somit &,”. Ihr Coefficient ist £. In der rationalen Gleichung hat &,””" daher den Coefficient ae Der Punkt 2, ist also ein #°-facher und seine sämmtlichen 'Tan- genten sind mit der Gerade w oder CEA FT Ones — 0, . . 5 5 . (310) d.h. mit der Gerade, welche B,’ mit 4 verbindet, zusammen- gefallen. nt Da £, — 0 in (296) einen Faktor &”, also in der rationalen Gleichung einen Fakter &,’"" absondert, so hat die Gerade 4B,’ im #°-fachen Punkte B ma Purikte mit der Kurve gemein. Die obigen Uberlegungen lassen sich folgendermassen zusammen- fassen: Die Kurve in wx hat, für m>n, in dem Schnittpunkte B, von X,B mit X,X, einen w-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der Gerade AB, vereinigt sind; es hat diese Gerade in B, mit der Kurve mn Punkte gemein. kt X, gehört auch hier der Kurve in we an. Der Punkt X; gehôrt auch hier der Kurve 1 n Bei der Untersuchung von X, werden wir die Gleichung (214) verwenden, welche durch die Substitution m — a, : 3, py — % : % | sta kommt: diese Gestallt bekommt Mm m m pi (@ — APB)" Lj — 2 — 0243) V3" — rt m mr Fo LA (a, TG CA) RTE bi (5 = (45) Æ3)| a Lo” = 0. . (326) nt Die hôchste Potenz von #3, d. h. 2, ” hat nun den Coefficient nr ne UU —a,x,", sodass die Tangenten in X, bestimmt sind durch nt mn ai. dd — 0, oder a” a EET hy Ba aS 0 : also in der rationalen Gleichung durch 230 DIE CONGRUENZEN VON win — en—m om UND wr wm = rn, (a, a,” mn as" D) — 0. Der Punkt X, erscheint demnach als ein mz-facher Punkt, von dessen Tangenten je x in einer der m Geraden Cy ay (4 „ra sae Le vereinigt sind. Es sind diese, wie leicht ersichtlich, die m Bilder der in a befindlichen Gerade vy ay > a 2 a 2 welche mit X, 4 die Gerade X, X, im nämlichen Punkte 4, schnei- det, also mit X, 4, identisch ist. Daher: Die in wx legende Kurve hat in Xz einen mn-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m vereinigt sind in einer der m Bilder der Gerade X,A;, welche X, mit dem Scehnittpunkte Az von Ny X, und Ns A verbindet. Hiermit beendigen wir die Untersuchung der Schnittkurve mit wx. Während wir in der parabolischen Congruenz die Kurve in wo besonders zu erforschen hatten, so genügt es hier zu bemerken, dass die benen we nnd ©, fast gänzlich als gleichwertig zu be- trachten sind, wenn wir nur in den obigen Resultaten » mit z, A mit B’ und X, mit X, vertauschen. Es giebt aber einen Unterschied, und zwar dort, wo wir die Ungleichheit m > 2 betont haben. Dies war der Fall bei der Erle- digung der Beschaffenheit von 2, Zuerst wollen wir bemerken, dass die Kurve in ©, zum voll- ständigen Schnitt ergänzt wird durch die Geraden X, B’ und X, B’ welche beide ma-fach zu zählen sind und durch die #’-fach zu rechnende Gerade XB’. Aus diesem Letzteren geht hervor, dass auch der Schnittpunkt B, von X,B" mit X,X, ein #°-facher Punkt des Gesammtschnittes ist. Da B, auch ein #’-facher Punkt des in we befindlichen Ge- sammtschnittes war, so ist B,’ kein Punkt der Kurve in w‚. In we war dagegen 43, der Schnittpunkt von X,X, mit der m-fachen Gerade X,4, ein m?-facher Punkt des Gesammtschnittes. Es wird deshalb die Gerade X, X, mit der Kurve in ©, »°-mal den Punkt 4, gemein haben. Wir wollen uns nunmehr besonders mit diesem Punkt 4, beschäftigen. DIE CONGRUENZEN VON w'— erm wm UND wr wr =cnrtn, 231 Wenn wir in (266) a, durch 6’, a, durch 4,, & durch &, und m durch x ersetzen, so finden wir für die Kurve in ©, diese Gleichung : AE + bi zy Er 7 Riek (Ss (Bs =i by AE a Sa — (ay Ey — ay En) (Ey + dE)" (E+ by E, = 0 . (408) Indem wir die Ecke X, in 4, (a, à — a Ea — 0, &, mittels der Formel 0) verlegen a, nen so bekommt (404) diese Gestalt: Ei sauté) a bE +b; we) qu nn tp UBE HUE) QE HE + _ AU ECC Der Punkt 4, ist jetzt durch 2n gegeben. Die höchste Potenz von ag a si nicht &,"", sondern n nt AE m es 5 m mW 5 & Ihr Coefficient ist £, — EN £, ; also werden in der a 1 : rationalen Gleichung die Tangenten in 4, durch arts 5 ( bestimmt. Es erhellt, dass 4, ein mu-facher Punkt ist, und dass seme sämmtlichen Tangenten mit À, X, zusammengefallen sind. Da £,— 0 in (436) den Faktor &’, also in der rationalen Glei- chung den Faktor £,”” absondert, so hat X,X, in 4, mit der Kurve #* Punkte gemein, wie auch oben gefunden wurde. Also: Die Kurve in ©, hat in À, einen mn-fachen Punkt, dessen sümint- hehe Tangenten mit X, X, zusammengefallen sind. Die Gerade X, X, hat in À, mit der Kurve m° Punkle gemein. Im Übrigen weist die Kurve in ©, keine bemerkenswerten Ab- weichungen auf. Es ist jetzt unsere Aufgabe das Verhalten der Punkte X, und A, als Punkte der Regelfläche zu erörtern. 232 DIE CONGRUENZEN VON #w—en-m gp UND zo” wm = emtn, Es waren Y, und X, sowohl im Gesammtschnitte von we, wie auch in demjenigen von wo beide 2mz-fache Punkte. Sie waren nämlich #»-fache Punkte der in diesen Ebenen befindlichen Kur- ven, und trugen ausserdem noch mz-mal bez. die Geraden X, 4 und XA inorde nd AP vin Die Punkte X, und X, sind demnach auch auf der Regelfläche 2mn-fache Punkte und es ist jetzt die Frage, wie steht es um die Tangenten in diesen Punkten? Die Berührungsebenen in X, und X, werden durch diejenigen Congruenzstrahlen bestimmt, welche nach X, und X, zielen. Es entstammen diese Strahlen entweder dem Punkte 4 oder dem Punkte 27. Die Congruenzstrahlen, welche in einem Punkt X (ay, ay, @3, a) zusammentreffen, befinden sich in # + x durch XX, und in x +» durch XX, gelegten Ebenen. Wenn X in 4 liegt, so sind, sowohl von den m +» Ebenen durch XX, wie von den # + Ebenen durch XA, m mit we zusammengefallen. Die übrigen z durch X X, gelegten Ebenen sind nun durch Ba) af" 20 CR angewiesen, während die übrigen x durch XX, gelegten Ebenen durch (an dy de) a ==) ee bestimmt sind. Um dies zu beweisen würde es genügen die Be- trachtungen von S. 211 mit kleinen Abänderungen zu wiederholen. Die in X, an der Regelfliiche gelegten Tangenten sind also teil- weise in den zx Ebenen (465) aufgespeichert. Wenn wir X in B gelegt hätten, so würden von den # + x durch X, gelegten Ebenen 2 mit ©, zusammengefallen sein; die übrigen m waren alsdann durch CA ER b æ3)" bias = a Ba = 0 . . . . (45'd) angewiesen, die m durch BX, gelegten, nicht mit w‚ zusammen- fallenden Ebenen dagegen durch (25 = be Bi) ax a aa == OF . B . . (4676) Die in X, an der Regelfläche gelegten Tangenten befinden sich also auch teilweise in den m Ebenen (467). Der 2ma-fache Punkt Y, hat einen Tangentenkegel vom Grade 1 te) te) DIE CONGRUENZEN VON w'n — en—m y UND vw!” wm Semtn, 233 2mn, welcher dem Obigen nach in die x Ebenen (464) und in die m Ebenen (46'4) ausgeartet erscheint. Wir haben, wegen der Vertauschbarkeit von m und x, den Zu- stand derweise zu betrachten, dass wir die x Ebenen (464) jede für m und die > Ebenen (466) jede für x zählen. Diese Darlegungen gelten offenbar c. p. auch für X. Das Vorhergehende lässt sich also in dem folgenden Satz zusammen- fassen : In der hyperbolischen Congruenz sind auf der axialen Regelfläche einer willkürlichen Gerade X, und X, beide 2mn-fache Punkte. Die Tangenten von X, befinden sich in An Lbenen, von denen mn zu ie m in den n ÆEbenen (460) und die übrigen mn zu je n in den m Bbenen (46'6) zusammengefallen sind. Die Tangenten von X, liegen in mn Koenen, von denen mn zu je m in den n Lbenen (456) und die übrigen mn zu je n in den m Ebenen (456) vereinigt sind. Die Ebenen (464) schneiden we in der n-fachen Gerade By — dt — 0, d.h. in der Gerade AX,. Diese Gerade zählt also als Tangente am vollständigen Schnitte für mx. Sie ist auch tat- sächlich ein wx-facher Bestandteil des ausgearteten Durchschnitts- gebildes. Die Ebenen (4.6'6) schneiden ©, in den m Geraden 4,7," nl a3" = 0, oder 2:7, — 4, ”, dh. in den m Bildern von X, B. Diese, jede für 2 zu zählenden Geraden sind auch wirklich die Tangenten in À, an der Kurve in wa. Für A, und für die Ebene ©, kann man analoge Betrachtun- gen halten. Wir wollen jetzt auch die Punkte der Gerade X, X, einer ein- gehenden Forschung unterwerfen. Hs seien X (2, 2, #3, a) und Y (7, Yo. 73, 71) zwei Punkte des Congruenzstrahles p; alsdann werden die folgenden Bedingun- gen erfüllt: ni nant, © © « À (470 (@ — po 43) pa" tn ann a (80) de an. 4 Wa DA EN le EE (HOL Aus (476) und (495) folgt 234 DIE CONGRUENZEN VON #w%— erm wm UND ow! ot = Cm tn, Mt NM — Pas ne he A Vy Ya wonach CA q A Cy, 4 4 pS pes eld RE Uzi — V493 und Pi Pete, Vit His (520) Uy Vz u — &%,Y3 Aus (475), (516) und (526) geht nun hervor: mt ee ag ee) = Ma vna =) ele ae 2 V3 Y — U 93 V3 Ya —— Uy Y3 oder esp) tr (535) Gi — UI)" @ 3 — 23h) (193 In derselben Weise lässt sich aus (494) und (505) ableiten: (Pi Yo a 22 Yi)" (25 #3 — Ye) = (is — Ds PA) . (546) Indem wir Y festhalten und X beweglich machen, so stellt die Gleichung (534) mu, alle durch Y und X, hindurchgehenden Ebenen dar, während (544) m-—+n Ebenen anweist, welche Y und XN, enthalten. Die beide Gleichungen bestimmen zusammen die (an + x) Congruenzstrahlen, welche nach Y zielen. Wir legen jetzt den Punkt Y auf die Gerade XX, und setzen deshalb Ye 0, OS | Wan isle Is = Mag. Die Gleichungen (534) und (544) bekommen dadurch diese Gestallt: (— Le De Ro, ee (7 dy — ay cS san , R . (5 65) (— faa)" peg” oP == (ig ay — Hato) (BA) Soll einer dieser Strahlen die Gerade / schneiden, so muss den Beziehungen DIE CONGRUENZEN VON #1 — em pm UND wt wr —=entn, 235 di = ay V2 + On ee Vy — do d3 + by’ x, genügt werden, wonach wir erhalten: (— My)” Hz (ay 23 a biken = (di Mid: Dre . (585) (— fy)” ps (aa @3 + a) = (3 2 Pa)! (590) Indem wir aus diesen Gleichungen a; und >, eliminiren, erhal- ten wir eine Gleichung in w,:w#,, welche diejenigen Punkte auf X;X, bestimmt, denen Congruenzstrahlen entstammen, welche / schneiden. | Wir bemerken, dass ex Wert für paz: pa, mn Werte für das Verhältuiss 3: , bestimmt; wir schliessen somit, dass, wenn es überhaupt durch einen Punkt von X,X, Congruensstrahlen giebt, welche / schneiden, diese in der Zahl » +» vorkommen. Ein solcher Punkt von XX, ist daher ein (x + #)-facher. Aus (585) und (594) folgt WL VL bad, — pme = (— py)" TE (ay ay + by a), und à Pr ait p en m+n m+n f 4 ape [43 Oi — fy V3 = (— Py) [43 (aw + 4, a), also ye 5 ‘ VW nt PLATE - mn mn +1 à +n # M ae (— Ps) aie aA geet Sr sea Ne (He 5 _m DE Le cm n x m+n m+n +n + ÿ Pa Fr Hg a, Hg (— fy) eg” By oder PAPE Le LS rs zi Zn es Bi + (— pu) men at DE Hu)" 5 Lane ae (— um, rr, MEN y US “= 2m+n n mm m+2n 2m 2n = fs My À (— Ro = Go ey 3 Hire =) ou fag? Mai ba , daher mn nt nt HL Si Pl 3(04 7) + (ds —b,)—(— pay)" "pn : (ele 4000 —(. Wir finden demnach 230 DIE CONGRUENZEN VON wneer wm UND vo! wr = etn, ee ik gs = 0 und [ Ma(@—a,) + p(B 8") |" He)" us" (rb — abe)" En), (605) Die Gleichung g„”—0 weist m mal den Punkt X,, die Glei- chung ps" —0 2 mal den Punkt X, an. Dagegen bestimmt die Gleichung (605) m-—+t-x Punkte X, auf X,X,, denen Congruenzstrahlen entstammen, welche / schneiden, also mx Punkte der axiaien Regelfläche von /. Da jeder Punkt X, » + x Strahlen' der Regelfläche trägt, so ist er ein (#+-»)-facher Punkt. Es liegen daher auf X3X,, ausserhalb X, und X,, 2 Ex (m-—-n)- fache Punkte, welche durch (604) gegeben sind. Wenn man einen der aus (604) folgenden Werte 74, : 4, in die Gleichung (584) (oder (595) einsetzt, so findet man m--x2 Werte für av;:a,, welche die Punkte auf / anweisen, wo die dem X, entstammenden Congruenzstrahlen 7 schneiden. Die Punkte X, und X, sind nicht (w + #)-fache, sondern ma- fache Punkte der Regelfläche. Die Gerade A,X, hat ja mit der Regelfläche (x) + Qwn Punkte gemein von denen (%+%) sich in den #—-x (m + x)-fachen Punkten X, befinden, während die übrigen Uma in X, und X, liegen, also ma in X, und ma in X,. Die Punkte XY, und X, sind daher #»-fache. Wir wollen nun die Congruenzstrahlen studiren, welche der Nahe von X, entstammen. Ein Congruenzstrahl, welcher nahe bei X, verläuft, wird in der Nahe der Ebene ow. bleiben; wenn er ausserdem / schneiden soll, so muss er beinahe mit der Gerade X,4 coincidiren. Er wird alsdann ©, treffen in der Nahe von 4,, dem Schnittpunkte von À APR AA Die Congruenzstrahlen aber, welche nahe an 4, ausmünden, also ©, in der Nahe von X,4, schneiden, werden wa treffen in Punkten, welche auf den Bildern von X, 4, liegen, m.a. W.: die Punkte P in der Nahe von X,, die Strahlen tragen, welche, &, nahe an 4} durchbohren, müssen auf denjenigen Geraden X; P liegen, deren Richtungen derjenigen von X, 4; zugeordnet sind. Wir gelangen somit zu der Einsicht, dass die zu X, benachbarten Punkte der Kurve in we sich auf den Bildern von X, 43 be- finden müssen, oder auch: von den ma Tangenten in X} an der Kurve in we sind je > vereinigt in einem der m Bilder von X, 43. DIE CONGRUENZEN VON win=—= en—m wm UND w'rwm—entn, 237 Zu diesem Resultat sind wir auf S. 230 in analytischer Weise gelangt. Wir wählen jetzt für den Sammelpunkt Y einen zu X, benach- barten Punkt in we, und setzen demgemiiss Na = Pa V3 VE) Te, P2 43> Ya = 0 > wo p, und p, kleine Grössen darstellen. Die durch diesen Punkt Y (7, — pi, ~,= p,) getragenen Strahlen sind offenbar durch Pa (an — pas) = a", | po. (æ, ut Py ae) se 2" | | bestimmt. Sollen sie / schneiden, so muss pi (ads + Oy U — pas) = A, poe (as Xs = by Be px 2a) — Wy ; wonach 2 1 n at oder, wenn wir Py SS 7, P A Po == Top setzen , NR ! n n Giles ON lide D =: -, Op = Ce) SSL 2 a be a "p n daher . nt Wh Wt ve hi n--M + (a, n ds EE Ty n 4; )P n + (a, Ty TRUE To c; "\p n == () 5 ri mm mr ve 20 "FF Pa be — ay by )p" (ob — 094, Jp”. 238 DIE CONGRUENZEN VON w'?=c"'—™ wm UND wit won = emtn, ne Wir setzen voraus: m >>, wonach p" klein ist in Bezug auf p. In der Voraussetzung m > x können wir demnach annäherend setzen: ni mt m me oh gos Open MORE Die nach dem Punkte Y (p,=«,p, p,=cyp) zielenden Con- gruenzstrahlen sind durch a Ms ee | 2 oo = n n by OPO bestimmt. Wir wollen ihre Spuren auffinden in einer durch X, X, gelegten Ebene, welche wir durch Lg — Hz, Ly == Mt anweisen werden. Die Spuren sind alsdann gegeben durch mn mt 2 = (M3 Tip irs My lp mn mn eN E nl n Dy = (eg Top À Mado "Pp Ve Indem wir ihre Verbindungslinien mit 4, (494, — a, #3 = 0,7 = 0) durch & = Ala, — a, do) darstellen, ist A bestimmt aus WS A[ Hs (Gj a 4 )p + pu, (0, n a, — g, "app ap oder me vw p a ni IL la U vw cs hs (Fy dg — mu) "By (0, Mit Verwendung der Näherungsformel (614) erhalten wir M= eee: Nd 48 - (625) mn mn mn 1 Mg (Fy do — Top" + fy (GQ, "— 02 ”) DIE CONGRUENZEN VON #»7— en-m wm UND wt wm —ecmtn, 239 Wenn wir p= 0 setzen, wonach die Spuren in 4, hineinfallen, so stellt A die Richtungsconstante der Tangenten in 4, dar. Wegen >>, bekommen wir für p= 0: A= 0, wenn nur p,— 0. In allen durch X, X, gelegten Ebenen, für welche p,20, d.h. welche nicht mit we zusammenfallen, wird die Schnittkurve der axialen Regelfläche in 4, durch die Gerade A, X, berührt. Dagegen wird die Tangente in der Ebene wa (u, 0) durch 1 A= — = SSS SSS C9) [bs Ch Ay — To a, )P angewiesen; die Gleichung der Tangente lautet demnach dy ky == dy Ly = Die Tangente ist alsdann mit der Gerade X, 4, (oder X, 4) identisch. In der Tat enthält der Schnitt mit wa die Gerade X, 4 als Ausartungselement. Die Gesammtheit aller Tangenten in den Ebenen (a, = pj, By — Hz) wird ermittelt, indem wir in (625) yw, durch 2,:#, fe, durch z,:+ und A durch we: (as, — a, 29) ersetzen. Wir finden alsdann VL We mm ir n à n we A ed (Gj ag — ot)" 3 | (FQ 0,5 "Ma —P Für verschwindendes p wird dies v4 — 0. Alle Tangenten im Punkte 4, sind also in der Ebene we auf- gespeichert, welche sich so zu sagen in X, 4 schneidet. Da die mx durch X, gehenden Strahlen alle in 4, ausmiinden, so ist 4, ein wx-facher Punkt. Sämmtliche ‘Tangenten befinden sich in wa. Wir sind also zu dem folgenden Resultat gelangt : In der hyperbolischen Congruenz ist X, auf der avialen Regelfläche einer willkirlichen Gerade ein mn-facher Punkt, dessen Tangenten sich alle in der Ebene wx befinden, wihrend die Schniltkurve mit wx in X, durch die m Bilder von X, 4, beriihrt wird. Der Punkt 240 DIE CONGRUENZEN VON 7 — erm wm UND wt wr — entn, A, ist ebenfalls ein wn-facher Punkt; seine Tangenten sind alle in der Ebene we aufgespeichert, während der Schnitt in wx selber die Gerade A, X, enthält. Das Verhalten der Punkte X, und 2, auf die Fläche wird in gleicher Weise erledigt. Die Strahlen, welche dem Punkt X, entstammen, miinden in B,’ aus und umgekehrt. Die mz durch X, hindurchgehenden Strahlen liegen also in @». Die benachbarten Strahlen, welche ©, nahe bei X, treffen, schneiden ©, in Punkten, welche mit X, durch die x Bilder von XB, verbunden werden. Es lässt sich der Zustand in B, nicht ohne Weiteres durch Vertauschung von m und # aus dem in 4, herleiten, weil bei der Untersuchung von 4, die Ungleichheit m >> x besonders betont werden musste. Wir dürfen aber das Resultat übernehmen bis auf die Stelle, wo in (614) eine Näherungsformel abgeleitet wurde. Die (615) vorangehende Gleichung, in welcher noch nichts vernachlässigt worden ist, kann aber ohne Gefahr übersetzt werden. Wir finden sodann n n n n . n ob, — Gy “bon “0 Pp (ba Gein rt 1+ Eco) pet nt Es ist jetzt p klein in Bezug auf p”'; wir dürfen also hier setzen n 7 pi BO, = oe Ge (ab aes Dy ho Lt (635) Für A erhalten wir zuerst diesen Ausdruck: REE Re AS 1 14 — -——_, Er. Mr, (oa 6, — Co )P m +- De CA nn b, + au, Ts m 6) Vermöge (634) können wir nun schreiben: i A= 7 7 ’ /\° fey (Ty by — To) PH [43 (U 0x — a2 61) Unter der Annahme ,<0 finden wir für p= 0 (645) ; 1 — ’ 1\ 2 [43 (4 03 — a, 6,) DIE CONGRUENZEN VON #1 — en—m wm UND w'?wm—emtn, 241 æ d3 een. da À — TA by CU b, Do æ 65, av ae Un da — (a, On San Ay bi) Vs , oder by (@ — as) = by (Wo — a 23). Saimnithche Tangenten befinden sich also in der Ebene, welche XN, mit der Gerade AB, verbindet. Nur wenn die durch X, X, gelegte Ebene mit ©, zusammenfällt, liegt die Sache anders. Es ist dann w, — 0, wonach À — co). In ©, ist daher die Tangente durch by, i b, Vs = 0 angewiesen und also mit der Gerade X, B’ (oder X, B,/) identisch. Da diese Gerade auch in der Ebene X, 4B, liegt, liefert die Ebene ©, tatsächlich keine Ausnahme von den anderen durch X, X, gelegten Ebenen. Die letzten Resultaten lassen sich folgendermassen zusammenfassen : In der hyperbolischen Congruenz ist X, auf der axialen Regel- fläche einer willkirlichen Gerade ein mn-facher Punkt, dessen Tangenten alle in der Ebene wy liegen, wihrend die Schnillkurve mit wo in X, durch die n Bilder von XB, berührt wird. Der Punkt B, ist aber Mer ein w-facher Punkt (siehe den Schmitt mit wx), während alle seine Tangenten sich in der Ebene X, AB, (X,, U) befinden. Es befindet sich auf der Regelfläche noch eine Doppelkurve vom Grade 2mn(2mn — 1) 2 ne 2 wenn MV die Anzahl der Schnittpunkte von 7 mit der Doppelkurve anweist. Diese Anzahl MN lässt sich in derselben Weise wie bei der para- bolischen Congruenz bestimmen. (Siehe S. 218—223). Der Schnitt der axialen Regelfläche mit einer durch X, X, ge- legten Ebene ©, (a3 = ue;) hat in X, einen 2ma-fachen Punkt, in welchem mz Tangenten zu Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie) Dl. X. B 16 242 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= et wm UND 07% wr — emtn, je m in die Geraden zusammengefallen sind, in denen die Ebene w, durch die x Ebenen (464) geschnitten wird, während die übrigen mn Tangenten zu je x in den m Geraden vereinigt sind, in denen w, durch die m Ebenen (46/5) geschnitten wird; in X einen 2ma-fachen Punkt, in dem mv Tangenten zu je m in die Geraden zusammengefallen sind, in welchen die Ebene w‚ durch die » Ebenen (454) geschnitten wird, wihrend die übrigen mn Tangenten zu je x in den m Geraden vereinigt sind, in Dar On drek die m Ebenen (450) geschnitten wird; in A, einen ma-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der Geraden X,X, vereinigt sind (ausgenommen wenn de Ebene mit we identisch ist); in B, einen #-fachen Punkt, dessen Tangenten alle mit der Schnittlinie von ©, mit der Ebene X, 4B, (X,, 2) identisch sind; in C,, dem Schnittpunkte von w, mit / einen (m-- 2) eee Punkt, dessen Tangenten durch die (mw +)" nach GC, zielenden Congruenzstrahlen bestimmt werden ; Doppelpunkte in den Punkten, wo o, die Doppelkurve trifft. Falls die Ebene ©, mit einer der durch (604) gegebenen Ebenen zusammenfällt, hat der Schnitt noch einen (# + z)-fachen Punkt im Schuittpunkte X, von ©, mit X; X,. § Ta. Die axiale Regelfläche einer X,X, schneidenden Gerade in der parabolischen Congruenz. Wenn die Axe / der Regelfläche die Gerade X,X, schneidet, so treten einige neuen Higenschaften hervor, da X;X, auch ein Congruenzstrahl ist, und somit in diesem Falle der Regelfläche angehört. Weil die Gerade / mit XX, in einer Ebene liegt, so hat man han by di wonach zuerst mb ab 0.020, ON Die Gleichung (214) der in wz liegenden Kurve bekommt jetzt diese Gestalt (siehe S. 199): IL m (DP, — tay) p "—(y — 3) pa" + tb, p, — bp = 0. Ersetzen wir p, durch a,:a3; und p, durch a,:23, so folgt DIE CONGRUENZEN VON w’?—ecr-™ wm UND w'tawm—emtn, 248 mi nr m 1 (a, TR la, @s) ZA — (a, re AA) 3) Ws 4 +- b (fa, ae do) Vs if = 0. (8 34) Es leuchtet ein, dass X, ein Punkt des in we liegenden Schnittes ist. Die Tangenten in X, werden durch tt, A= OF . . . . . . (84a) also in der rationalen Gleichung durch (ta, LEZ Bo) = 0 dargestellt. Der Punkt X, ist demnach ein #’-facher, dessen simmt- liche Tangenten mit der Gerade (84a), d.h. der Gerade X, 4 zusammengefallen sind. m Die Substitution 2, — #, sondert in (834) einen Faktor x,” ab; die Tangente (84a) hat also in X, ma Punkte mit der Kurve ge- mein. Daher: Die Kurve, welche dem Schnitte von wx mit der axialen Regel- fliiche einer XX, schneidenden Gerade angehört, hat in X3 einen n-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in Xz A vereinigt sind; diese Tangente hat in X; mn Punkte mit der Kurve gemein. Die Gleichung (35a) verwandelt sich in 1m linn Ph De a Dn Pa {i tay oder n n (py TD tb,')p'" TE (py aa; Boye ar d (tp, —p,)= 0. Wenn wir ?, durch 2:2, undp, durch a,: x, ersetzen, so finden wir fiir die Gleichung des Schnittes in @: n Li n mo SNERT +. a, (ta, — à) a" =0. (854) XxX, erscheint hier als ein Punkt der Kurve. Der Coefficient der n nr höchsten Potenz von z,, d.h. z,!, ist 6,’(¢a,"—a,”). Die Tan- genten in X, werden somit durch n n oder B 16% 244 DIE CONGRUENZEN VON w’n=cr-m wm UND wa = emtn, Eat a, = 0, 02%, NOR also in der rationalen Gleichung durch (GE B nn Be — 0 bestimmt. Der Punkt X, is daher ein ##-facher. Von seinen Tan- genten sind je m in einer der # durch (86a) dargestellten Geraden vereinigt. Die Gleichung (864), oder ; m “2 — A » fa zeigt, dass es die z in wy liegenden Bilder der Gerade X, 4 sind. m Die Substitution +, = t” a, sondert einen Factor +, ab; die Tan- gente hat also in X, m? Punkte mit der Kurve gemein. Also: Der Schmitt von ©, mit der avialen Regelfläche einer X, X4 schneidenden Gerade, hat in A, einen mn-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m mit einer der n Bilder von X, À zusammenge fallen sind. Hs hat jede dieser Tangenten in XN, m°? Punkte mit der Kurve gemein. Wir wollen nun die Congruenzstrahlen untersuchen , welche durch einen Punkt von X, X, gehen und / schneiden. Wir wählen vor- läufig den Sammelpunkt Y iz der Mahe von X, X,, und setzen demgemäss Vi BELL VP ER Be (87) Ue Va Die m? sich auf Y stützenden Strahlen sind hier (siehe (53a) und (54a) auf S. 213) durch (va, — ps) (va, — 2) — (a — 2)" = 0, (88a) (Vat, — po 3)" (vay — 43) TP — (Pa A4 — 22)" = 0 angewiesen. Soll ein durch diese Gleichungen bestimmter Strahl / schneiden, so miissen die folgenden Gleichungen von einander abhängig sein: (va, 23 + vb, 24, — Pp, 23) (vay — 23)" — (pj &, — 4,2 — 6,24)" = 0, (tva,a@,+- tuba, Po %3) (ya Li) (por ta, , — 10, ‘L,) 1: Es ist klar, dass die Abhängigkeit erfordert : DIE CONGRUENZEN VON w%— onm wm UND wmwm—entn, 245 Par NL EN ina (BIZ) Wenn wir den Punkt auf X, X, annehmen, so ist p= 0, po = 0. Die Gleichungen (87) reduciren sich somit auf O0 Bo — (0) . Von den m Strahlen, welche nach einem Punkte von XX, zielen, fallen also x? mit X,X, zusammen. Wir schneiden die Strahlen (88a) jetzt mit einer durch X, X, gelegten Ebene Dy — fly 2, Li — Paid. Die Schnittpunkte (2, 2,2) mit dieser Ebene werden alsdann durch ne, pa — (wp — am)" = 0, (90a) TN Oa) (vay — faz pa &)" (fy — 3) (va, — fl Po @)" (My — py Ne ae mn — (li Pod angewiesen. Für die nahe an X, X, liegenden Schnittpunkte haben die Coordinaten 2, und z, kleine Werte. Wir wollen daher 2, nach 1 2 1 Potenzen von p, entwickeln, und zwar folgendermassen: m = (di Py > B pi), wo À >] vorausgesetzt wird. Die Gleichung (90a) giebt sodann (vat, — fs vip" PT Stipt "py" 0 (02a) Setzen wir nun Pi EEE 0, so folgt — 143 = 0 wonach jl yv also 246 DIE CONGRUENZEN VON w'— en—m wm UND wt wn — emtn, In gleicher Weise können wir aus (91a) herleiten: da — Ms Po av, y oder, mittels (89a), Ly = Ps Pi v y Die Gerade, welche den Schnittpunkt des Congruenzstrahles mit der Spur X, von X,X, verbindet, hat also die Gleichung Aus diesem Resultat geht hervor, dass in jeder durch X, X, gelegten Ebene die #° Tangenten des #°-fachen Punktes X, vereinigt sind in der Gerade, welche X, mit dem Schnittpunkte C, dieser Ebene mit 7 verbindet. Wir haben aber zu beachten, dass die obigen Betrachtungen hinfällig werden, so bald man hat fs —0; der obige Schluss gilt also tatsächlich für alle durch X, X, gelegten Ebenen, ausgenommen Wo. Betrachten wir jetzt den Zustand in w. Indem wir gy = 0 setzen, verwandelt (92a) sich in (vee, VB, PT DTT (pj — Be Nun liefert p, = 0 daher I= n CA) mt MEN _.— vm" Bi" py” a" ==!) wenn höhere Potenzen von p, niedrigeren gegenüber vernachlassigt werden. Aus dieser Gleichung schliessen wir dass 1 n(A —l)— m"»—1, oder o m rin n en Vv M4 = Mas DIE CONGRUENZEN VON #w'— en-m wr UND w'nwm—emtn, 247 oder wonach wir für a, finden: ae Se en U Sr m 1 Re Whe y" i In analoger Weise würden wir fiir +, erhalten m m COCO daher m Wp d'A In ow, so schliessen wir, sind die Tangenten in X, durch + mr æ : 4 — l" angewiesen, demnach mit den > Bildern von X, 4 identisch. Die oben gewonnenen Resultaten bekommen ihren Ausdruck im o folgenden Satze: Auf der axialen Regelflüche einer XX, schneidenden Gerade GJ 3 4 ist X, X, eine w-fache Gerade, deren Berührungsebenen alle ver- einigt sind in der Ebene, welche X, X, mit Ll verbindet. Nur in wo hegt die Sache anders: dort ist X, ein mn-facher Punkt, von dessen Tangenten je m in einer der mn Bilder von Xz A vereinigt sind. Der Schnitt der Regeifläche mit einer durch XX, geleeten 5 1 PAS) te} Ebene ©, (73 = u+,) hat, ausser den Singularitäten des allgemeinen Falles (siehe S. 223), noch einen #°-fachen Punkt im Schnittpunkte X, der Ebene ©, mit X,X,; die Tangenten in X, sind alle ver- / L 3 4» D l einigt in der Gerade, welche X, mit der Spur C, von / in w, verbindet (ausgenommen wenn w = 0). Die Ebene, welche X, X, mit dem Schnittpunkt S von / und Xs X, verbindet, hat in XY, — SS einen m?-fachen Punkt. Von den 3 Ay , L m Vangenten sind «° in der Schnittlinie der Ebene wm, mit der 8 P durch X,X, und / gelegten Ebene (+, = #,) zusammengefallen. Wir wollen uns noch besonders beschäftigen mit zwei Lagen von to) D /, welche für die axiale Regelfläche zu gewissen Eigentümhchkeiten D 5 D 248 DIE CONGRUENZEN VON #7—en-m wm UND wr wm = grtn, Veranlassung geben, nl. mit den Fallen, wo 7 entweder X, oder X, enthält. Zuerst betrachten wir den Fall, wo 7 durch X, hindurchgeht. Die Strahlen », welche aus einem Punkte P’ (pi, ps) von ©, entstammen, schneiden we in m” Punkten ?, welche durch gegeben sind. Die Coordinaten 7, und p, sind also beide m-deutig. Wenn wir einen der m Werte von 7, mit g, und einen der m Werte von p, mit g> bezeichnen und zwei m'*-Wurzeln der Ein- heit durch 7,, und 7, anweisen, so haben wir / PA = Tm VA ? Pr — Tm UE wonach Dye Ti ed a P2 Tm Q2 Es geschieht m mal, dass 7,,’—=T,,; daher liegen jedesmal m Bilder P von P’ in einer Gerade mit X;. Kine durch 7 (X, B) gelegte Ebene wird zwei Congruenzstrah- len p und g enthalten, wenn ihre Spuren P und Q in ws in einer Gerade liegen mit der Spur X, von / in wa. Durch die Spur 2’ von p in wg gehen nun m Con- gruenzstrahlen deren Spuren P, Q.... mit X, allineirt sind. Wenn also / in der Ebene (X3, p) liegt, so liegt / auch in der Ebene (X3, 7) u.s. w.; die Ebene, welche Z mit P’ verbindet, enthalt dem- nach » sich in P’ treffende Con- gruenzstrahlen. Wir ziehen den Schluss, dass in jedem Punkte des Schnittes der axialen Regelfläche mit ©, m Erzeugenden dieser Regelfläche zu- sammentreffen, wonach der Schnitt in w‚, eine m-fache Kurve ist. Der Schmitt in @), welcher im allgemeinen Falle eine Kurve vom Grade m (m +») war, ist jetzt eine #-fache Kurve vom Grade # + ». Überdies leuchtet ein, dass die Ordnung jeder Singularität m-fach erniedrigt ist. Es ist also jetzt X, ein z-facher Punkt, dessen DIE CONGRUENZEN VON #w'— en—m wn UND wr wm—entn, 249 Tangenten die Bilder sind der Gerade (früher X, 4), in der die durch / und X;X, gelegte Ebene die Hbene we schneidet, also der Gerade X, B,’. Es ist ferner B’ ein #-facher Punkt; da von den #° in ©, lie- genden Bildern B von B je m sich mit XY; in einer Gerade befin- den, werden sie aus / auf wo axial projicirt in nur # verschiedene durch B’ gehende Geraden , welche offenbar die Tangenten in B’ sind. Es ist À, nun ein z-facher Punkt, dessen Tangenten die x Bilder von À, 4, d.h. XX} sind. Diese > Bilder sind aber alle in der Gerade X, X, vereinigt, wonach alle Tangenten des z-fachen Punktes XN, mit X,X, zusammengefallen sind. Ebenso ist X, ein »-facher Punkt, dessen Tangenten alle in X, X, vereinigt sind. Die Untersuchung der Punkte /#, muss aber aufs Neue ange- fangen werden, weil der Coefficient der hôchsten Potenz von &, (E, an) in der Gleichung (44a) (S. 209) n (43 — 47) nie war. Dieser Coefficient verschwindet also hier, wo 4 — 4; —0; unser frühere Schluss wird somit hinfällig. Die Kurve in @, ist jetzt (siehe (85a) S. 243) angewiesen durch n n tr b ay) a Toe (7, — by’ a) ay m — () oder (a, =e ors 2)" VY Gi Oe) a De 001082) Indem wir y= Ta, + hy substituiren, finden wir (ra Fm — by! a)” a4" = (@— ba)" (ra + ay)", oder rl Ly m+n + mt —1 Bea —1 (x Ke b v) de gl orp oss = (2 — mb, a tr, Re nn a dant lp) at, LG — m7 b, ja tt te); die Tangente in Z, ist, vermöge 7”-"— 1, bestimmt durch 250 DIE CONGRUENZEN VON w— en—m om UND wt wm — grtn, Mm (@, — bz 43) — na, — mT by x, oder , m(8,3 —Tb,) IND ON ml also (m — n) (vj — Tj) —m(b, —7b))a,=0.. . (94a) Die Punkte Z, sind nun alle gewöhnliche Punkte. Ihre Tangenten sind in (94a) gegeben. Sie convergiren offenbar alle nach dem Punkt 7, : ay By Ly, À 0 eee 7 ! —— —— + 9 ° mb, mby mn (95a) welcher sich auf der Gerade X, B’ befindet. Die Kurve in we hat nun ihren #’-fachen Punkt 4 in X;. Ihre Gleichung lautet jetzt (siehe (83a), S. 243): m m m Ba — aa,” Abi %— le) =0.. COR Da die Rechnungen auf S. 203—205 ihre Gültigkeit behalten, so können wir in Bezug auf die Punkte “4, das dort gewonnene Resultat übernehmen wenn nur a —4,—0 gesetzt wird. Für die einzige Tangente im z-fachen Punkte Z; finden wir alsdann (siehe (314) TE —& = 0, oder Die Tangenten in den Punkten /, verbinden also diese Punkte mit La Die Uberlegungen, durch welche wir damals (S. 212 u. f.) die Berührungsebenen in den Punkten /, bestimmt haben, erfahren hier auch eine geringe Anderung. Aus der Gleichung (634) (S. 215) leo — Tart p(by — 701) (am — pn) (an — n)p NS folgte damals bei verschwindendem p für A DIE CONGRUENZEN VON w'—en—m om UND wt wm =entn, 251 ‘ale (4, — Ta) (m— Hpi) | (m — n)p jetzt aber (By — Ty’) (m— APH) >) N= MWe Pit die Tangente hat nun also diese Gleichungen : by — tb, | —— (ma, — pna), Mm —n Lo D DN Dy = Mag Bei verschwindendem p ist daher die Berührungsebene in #7, durch (m — n) (w, — Ta) — m (6, — TO) a, = 0 angewiesen. Es enthalten diese Berührungsebenen alle die Gerade # Ny Lj Vy r = = — 5 é 5 5 5 (9 94) mo, mbs m—n welche X; mit dem in ©, hegenden Punkte 7%, verbindet. Diese Gerade befindet sich offenbar in der durch / und %, X, gelegten Ebene. Die Punkte /, sind jetzt m-fache Punkte. Der Schnitt mit einer durch X, X, gelegten Ebene zeigt nun, verglichen mit dem Schnitte der allgemeinen Regelfläche, Abwei- chungen in den Punkten #, und natürlich in dem Schnittpunkte X, der Ebene w, mit X;X,, welcher auch hier ein #’-facher Punkt ist. Während im allgemeinen Falle die Tangente im #-fachen Punkte Z, immer mit X,X, zusammenfällt (ausgenommen in wo), vereinigen sich jetzt alle Tangenten des m-fachen Punktes 7, in der Gerade, welche #, mit der Spur 7, von ¢ in w, verbindet. Betrachten wir jetzt den Fall, wo / den Punkt X, enthält, so haben wir Oe = b, == 0. Die Uberlegung, welche uns im Vohergehenden zu dem Schlusse führte, dass die Kurve in wo m-fach ist, wenn / durch X, geht, ? 0 > 3 © bringt uns jetzt, wo Z durch X, geht, zu der Erkenntniss, dass die Kurve in we eine n-fache Kurve vom Grade » + x ist. Es ist X, auf dieser Kurve ein m-facher Punkt, dessen Tangen- o 2 D ten mit den m Bildern von X, 4, zusammenfallen. f 3 252 DIE CONGRUENZEN VON #— erm mm UND w' om —emtn, Der Punkt X, ist jetzt ein z-facher, so wie auch der Punkt X,. Auch der Punkt 4 ist ein z-facher; seme x Tangenten sind die axialen Projektionen, aus / auf wo, der ~ Geraden X, 4’. Die Gleichung der in ws befindlichen Kurve lautet (25 <=. as La). dy EE (a, = Uy #3)" Bo” == (DR Der Schnitt in ©, hat die Gleichung n n nt By ay” Did HF (God — A) 2” = 0. Hier ist X, ein w’-facher Punkt, dessen Tangenten alle in X, A, vereinigt sind. Da die Gleichung (63a) auf S. 215 hier zu demselben Resul- tate führt als im allgemeinen Falle, so werden die Punkte Z, die- selben Eigenschaften aufweisen als bei der Regelfläche der durchaus willkürlichen Gerade. Hieraus geht auch hervor, dass der Schnitt mit einer durch X,X, gelegten Ebene w,, ausser seinem x7-fachen Punkte X,, keine Abweichungen vom Schnitte der allgemeinen Regelfläche zeigt. § 76. Die axiale Regelfläche einer X,X, schneidenden Gerade in der hyperbolischen Congruenz. Auch hier gelten die Beziehungen. EEE b, Uy und M0 —a,b, = 0, .. ss _..4) 3 Da 7 mit XX, in einer Ebene liegt, so wird der Punkt 4,, wo 434 die Gerade X, X, schneidet, mit dem Punkte B’, iden- tisch sein, wo die Gerade X,X, durch X, B’ getroffen wird. Während wir in $ 64 (S. 239— 241) gefunden haben, dass auf der Fläche 4, ein ma-facher und B ein #°-facher Punkt ist, so werden wir nun in 4,= B, einen mu + n° = n(m + »)-fachen Punkt erkennen. Die in we liegende Kurve (siehe (325), S. 229) wird nun durch mn mnt nt IL dL nt (A a, 23)2," A ta, #3) a" 23" — b,' (fr — +) vi @" = 0 (835) dargestellt. DIE CONGRUENZEN VON #w— tm wm UND w'wm—cmtn, 253 Es ist, wie im allgemeinen Falle, X, ein mz-facher Punkt, von dessen Tangenten je x in einem der m Bilder von X, 4, = X,B' vereinigt sind. Die Kurve schneidet auch die Gerade X, X,, ausserhalb Y, und A, 2 mal in B, = 4,, während die Tangente AB, = X, 4 in B, mn Punkte mit der Kurve gemein hat. Ausser dem Zusammenfallen von B mit A, finden wir also im Schnitte von w, keine Abweichungen vom allgemeinen Falle. Der Schmitt in ©, wird (siehe (405), S. 231) durch n nt n 1" n n mb oer” (æ, 1b; Boo ae sa di (ta, Per eoa” — 0 (8 5 b) dargestellt. Der Punkt 4, = B, ist ein ma-facher ; seine sämmtlichen Tangenten sind in XX, vereinigt; es hat X,X, mit der Kurve m Punkte gemein. Die mx durch (604) (S. 256) bestimmten Schnittpunkte von Ns XN, mit der Regelfläche sind nun alle im Punkte 8 (a, — aa; + (6, — a, = 0, wo / die Gerade XX, schneidet, zusammengefallen. Die Fläche hat also in 8 (m-+-n) Punkte mit X,X, gemein. Auf der Fläche ist A,=B, ein wm--n)-facher Punkt; von den mn+n° Berührungsebenen, in welche die Tangentenkegel ausgeartet ist, fallen mn mit wx und W mit (X,, 0), d. h. (v= ter), zusammen. Die Gerade X,X, hat in A,=B, mit der Fliche w’+w Punkte gemein. Es schneidet X,X, die Fläche (mn) mal im Schmttpunhte S von 1. Der Schnitt mit einer durch XX, gelegten Ebene ©, hat nun auch in 4,=— B, einen x(# + »)-fachen Punkt, von dessen Tan- genten mu mit X,X, zusammengefallen sind und #° mit der Gerade, welche 4;— B, verbindet mit dem Punkte C,, wo / die Ebene w, trifft. Nur in wa liegt die Sache anders: dort ist nämlich X,; A= X; A, ein w'-faches Ausartungsgebilde, aber zwgleich die einzige Tangente im #-fachen Punkte 4,— B. Dass die neuen Eigenschaften bei der Ayperbolischen Congruenz nicht dieselbe Bedeutung haben als diejenigen bei der parabolischen, verdankt man dem Umstande, dass in der Ayperbolischen Congruenz die Gerade X, X, nicht, wie in der parabolischen, Congruenzstrahl ist. Betrachten wir jetzt den Fall, wo Z den Punkt X, enthält. Es ist nun jede Gerade in wz, welche X, trägt, ein Congruenz- strahl, welcher / schneidet. 254 DIE CONGRUENZEN VON #w— en-m wm UND 90/7 wn — emtn, Wir ersahen früher, dass jeder Strahl, welcher einen in wa lie- genden Punkt mit X, verbindet, ein m?-facher Strahl ist. Dies ist aber nur der Fall, wenn diese Gerade als ein durch den ausserhalb X, liegenden Punkt hindurchgehender Strahl be- trachtet wird. Wir sind dagegen auch zu der Eimsicht gelangt, dass X, man Strahlen trägt, welche eine willkürliche Gerade / in 4 schneiden (wonach u.a. sowohl] X, wie 4, mn-fache Punkte auf der axialen Regelfläche der willkürhichen Gerade sind). Wir sind also gezwungen jeden Strahl, welcher in wa hegt und X, enthält, wenn er als ein durch Xx gehender Strahl betrachtet wird, nur mn-fach zu zdhlen. Ebenso muss jeder in w‚ liegende X, enthaltende Strahl, als Strahl durch X, betrachtet, immer ma-fach gerechnet werden. Aus diesen Uberlegungen geht nun unmittelbar hervor, dass von der betrachteten Regelfläche die Ebene we mu mal abgesondert wird; es bleibt also eine Fläche vom Grade (m 4-2) + Uun — mn = = (m +n) + man. Auf der Restfläche sind nun X, und X, mz-fache Punkte. Ihre Berührungsebenen sind hier nur durch die Gleichungen (45'5) und (46'%) bestimmt. Die Fläche schneidet jetzt die Gerade X,X, ma mal in X, und (nm + x) mal in Xs. Auch hier (wie in der parabolischen Congruenz) ist die Kurve in wo eine m-fache. Der Gesammtschnitt in wo enthält mn mal die Gerade B X,, mn mal die Gerade B’ X,, »? mal die Gerade B’ X, und schliess- lich noch ein Gebilde vom Grade (m + 2)? 4+- mn — 2mn — à = — mln +»), welches offenbar eine »-fache Kurve vom Grade m + n ist. Indem wir in (850) a, = 0 und a, — 0 substituiren, finden wir, nach Teilung durch z,, . n n (a — by æ) wv,” — (2, — by a) CNE oder mn (a, a by Li) Ta" ET (Lp aa b,' Di) Lo = 0. . . (930) Die Schnittpunkte dieser Kurve vom Grade # +» mit X,X, sind durch Deo es ae weet = 0 bestimmt, oder, wenn wir 7} — 1 setzen, durch DIE CONGRUENZEN VON #0 — nm wm UND wr? wr =cmtn, 255 dy == Tin dy. Die Kurve schneidet deshalb X,Y, in den m +» Punkten Zo,» wo die singulären durch X,X, gelegten Hbenen ¢, die Gerade m+n X, X, treffen. Die Tangenten im Punkte Z, ergeben sich durch die Substitution Dy Ta, > ay wir finden somit Qs babes)" ay" = (Ta, == a = bj a)" (Ta, ae oe Nie > oder B mb, err gE nn MEERN (a) — bs dj) ne) +. 5 die Tangente in /, ist demnach durch / — mrb, x, = mx, — mb, x, + NA, oder M een 0D de WR OR 7m tn Dis also durch (m + 7) (ta, — a) + m6, — Tb), — 0 . . (946) angewiesen. Es convergiren alle diese T'angenten nach dem Punkte 77: a Lo av mr. (954) d mb, mb, mtn Die in we liegende Kurve wird jetzt durch m+n m+n m m m n rt (z, B * Van — (6, a — b 2) a," 2," — 0 : (965) dargestellt. Hs ist hier X, ein #(» »)-facher Punkt, dessen durch m+n mn CA M — do 4 0 , oder (ara pes De Ne — 0 256 DIE CONGRUENZEN VON w— en-m wm UND 20° wm = emtn, bestimmte Tangenten, in Gruppen von 7 mit denjenigen Geraden zusammenfallen, welche X, mit den m-—-x Punkten rs verbin- 2m+n den. Da a = r,,,4 einen Faktor a, " absondert, so hat jede Tangente in X3; z(Qm +7) Punkte, also ausserhalb X, keinen Punkt mit der Kurve gemein. Die Kurve wird zum vollständigen Schnitte in wa ergänzt durch m mal die # x in X, an die Kurve in w» gelegten Tangenten. Zum Schluss den Fall, wo 7 den Punkt_X, enthält, betrachtend, bemerken wir, dass die Ebene wo #7 mal abgesondert wird. Wir erübrigen wiederum eine Fläche vom Grade (# + x)’ + mu. Die Punkte X, und X, sind nun ma-fache. Von den Berührungsebenen sind je m in einer der x Ebenen (455) bez. (465) vereinigt. Der Schnitt in wa besteht aus maz mal AX,, mn mal AX,, n° mal 4X; und aus einem Gebilde vom Grade z(w + x), welches aus einer z-fachen Kurve vom Grade » + » besteht. Die Substitution bj —0, bj —0 liefert in der Gleichung (830), nach Teilung durch @,, m m (a — 4123) 2,” — (@,— 4223) 20" = 0, oder (a, — aa) 2," — (a, — cas) 2," = 0: > 2 eam Die Eigenschaften dieser Kurve sind denen der Kurve (936) analog. Der Schnitt in o, enthält eine Kurve vom Grade m? + 2 mn, deren Gleichung lautet : mn m+n n n n (dir 7e a,” — (ay © — a, 72) a,” OM =0. (960’) Diese Kurve entspricht volkommen der Kurve (964) in wa. Der Schnitt enthält noch die » + 2 in X, an dieser Kurve ge- legten Tangenten, jede z-fach gezählt. $ 8a. Die axiale Regelflüche einer X, X, schneidenden Gerade in der parabolischen Congruenz. Die axiale Regelfläche einer Gerade /,, welche X, X, schneidet, hat denselben Grad wie die axiale Regelfläche einer durchaus will- kürliehen Gerade. Da X,X, ein Congruenzstrahl ist, so wird diese Gerade jetzt der Regelfläche angehören und auf ihr eine vielfache Gerade sein. DIE CONGRUENZEN VON w’t=cr-—mim UND w'wm—cmtn, 257 Wie wir bereits im I. und II. Abschmtte ersahen, können wir in den meisten Fallen die der allgemeinen Regelfläche angehörenden Gleichungen aufrecht erhalten, wenn wir nur, statt der hier unend- lich grossen a,, a, 4, bs, setzen a4, Ay U =-+ LR D — ay My NEA y > d CNN WS Ge PLE) 44 do = x re (HUH Uy) a A—=a pe A1) Poets | A) ’ ata, . , MON) — pates ist, und d eine unendlich kleine Grosse darstellt. SAO, Die Gleichungen von /, lauten: dd À Mad À ad À a —=0, | . . . (97) da = vy. | . . . (98) Zuerst wollen wir wiederum die Kurven in we und &, untersuchen. Wir dürfen jetzt nicht die Gleichung (264) anwenden, weil das Coordinatendreieck hier in eine Gerade ausgeartet ist. Hs ist ja der Punkt 4, wo /, wa schneidet, mit dem Schnittpunkte Z, von i, und X, X, identisch. Wir haben also nur die Coordinaten a, 2, æ, zur Verfügung. Die Gleichung der in ws liegenden Kurve wird erhalten, indem wir in (21a) auf S. 199 », durch a: 2, und p, durch z,: x, er- setzen. Wir finden alsdann m m mn (@_ — Ay 3) ds "— (ai — UL) 73 i + bai — 4, %) oy as mtn n == (a, b, rae Ay b,') dz = 0. Durch die Substitution (96) bekommt diese Gleichung die fol- gende Form: m TRE m m à dw, + 4 Ae; En da, & My Us ty” pm a, di + &, do ay) a,” + d i d d > ; m+n + oat . ar, " =), oder Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) Dl. X. BAT 258 DIE CONGRUENZEN VON wn— ermm UND wt wma cmtn, mn me m | a, ay" Hod" + |e (By + aa + ax) + ax) ” Ja = 0. Die Kurve in ow, ist daher zusammengesetzt aus x? mal der Gerade X,X, und einer Kurve vom Grade mz mit dieser Gleichung : m mn mn ao + ea" + | (Hy @, + dis + 33) + aa a; " —0. (99a) Diese Kurve schneidet X, X, in den Punkten, welche durch m m ay a," + dd" il also in der rationalen Gleichung durch Las” De EE (— a Va MATE 0 2) Le = angewiesen sind. Von den ma Schnittpunkten sind also je z ver- einigt in einem der # Punkte n == == ——*) ris Or ay ay welche die m Bilder ZL, sind des Punktes Ly ay i as OL — (= 0 a a» oder d.h. des Punktes Z,, wo J, die Gerade X,X, schneidet. Die Rechnung zeigt, dass die Tangenten in Z,' von der Grosse des Verhältnisses m: x abhängen; wir verzichten aber auf eine Er- ledigung verschiedener Fälle, und unterlassen somit die Ermittlung dieser Tangenten. Der Schnitt in w‚ hat die Gleichung: n n n @— by a) De —@ — 4 22," (a yay) a” 5 m+n +> @, 6, — 4,0, ) Ne = 0. Indem wir die Substitution (96) ausfiihren, erhalten wir 4 DIE CONGRUENZEN VON #1 — en—m wr UND wwm—entn, 259 n U de paar, mn — Dye, 7, — Si d d n m+n MEG un) a =0, 4 re d (tir Dan, = ¢ d oder n n mn n t Lu" + am" ary" (os + de + Hi) + has les" = 0. Der Schnitt in @, besteht also aus mz mal der Gerade X, X, und aus einer Kurve vom Grade m’, mit der Gleichung n n m—n (a a" + ana,” a, ™ + aa, + aa, + (ua, + dj, = 0. (1004) Diese Kurve schneidet X,X, in den Punkten, welche durch aa + da = 0, also in der rationalen Gleichung durch (Gia aya 10 angewiesen sind. Es sind die #° Schnittpunkte mit X,Y, alle im Punkte Z, vereinigt. Da die Substitution die Gleichung (1004) verwandelt in nr n mr a a LA / pla” + a (— PR +)" fe + ae, + (Maes + a), = 0, VL mr und der Coefficient der höchsten Potenz von z, (nl. 24”) z, " ist so sind die Tangenten in Z, durch 2 NM an n) — () angewiesen. Der Punkt JZ, ist somit em m(m—z)-facher Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in X,X, vereinigt sind. Die Gerade X, X, hat in LZ, wm” Punkte mit der Kurve gemein. Weil die Ebene ©, mit jeder anderen durch YX, X, gelegten Ebene (ausgenommen wa) gleichwertig ist, so ist die Gerade X, X, auch auf der Fläche eine ma-fache Gerade. Der Schnitt in jeder durch X, X, gelegten Ebene w, ist vom Bi 260 DIE CONGRUENZEN VON #'— erm wm UND w'r wm = emtn, Grade m? und hat in Z, einen m(m—n)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in A, À, vereinigt sind. Nur in ows liegt die Sache anders. Der Schnitt in wa besteht aus 2m — 2) mal X,L, (= A, A), n(m— 7) mal X,L, (= X, XQ), (m—n) mal den #—» Geraden #,L, (—X;X,) und aus der Restkurve, welche hier auch noch x mal X, X, enthält. Der Ge- sammtschnitt in we enthalt demnach X,X, als eine 22(m—n) + + (m — nn) +n? = m?-fache Gerade. Die Ebene w,, in welcher /, sich befindet, trägt, ausser der m°-fachen Gerade /,, die ma-fache Gerade XX. Wir schliessen somit: Die axiale Regelflüche einer X,Xs schmeidenden Gerade enthält X,X, als eine mn-fache Gerade, deren Berührungsebenen alle mit wx zusammengefallen sind. In jeder durch XX, gelegten Ebene (ausser wa) ist der Rest- schnitt eine Kurve vom Grade #”, welche in Z, einen m (um — 7)- fachen Punkt hat; die Tangenten sind alle vereinigt in der Gerade XN, Ao, welche in Z, »° Punkte mit der Kurve gemein hat. Wir wollen jetzt den Fall betrachten, wo 4, durch X, oder X, hindurchgeht. Wenn die Gerade J, X, enthält, so haben wir oO) Die in ws liegende Kurve besteht alsdann aus der n”-fachen Gerade X,X, und einer Kurve, welche durch we mn aa” + | ce, wv, + (ue; He) aj " —0, oder (a) a!” — [ua ay + (ua HU) By)" vg" —" =S (101@) dargestellt wird. Sie ist eine »-fache Kurve ma" Grades, welche aber in m durch X, gehende Geraden ausgeartet ist. Der Schnitt in we besteht aus der mn-fachen Gerade X, X, und aus einer Kurve mit der Gleichung n mn oder [me gn B mi En (— jp Cz Lo —- (A +- 4‚) dk —=(), (1 02a) DIE CONGRUENZEN VON #w— tm pm UND w'wm—emtn, 261 Diese Kurve ist offenbar aus m nach À, convergirenden #-fach zu zählenden Geraden zusammengesetzt. Diese Resultate würden sich auch in folgender (rein geometrischen) Weise ergeben haben. Die durch X, gehende Gerade trägt # Berührungsebenen an dem Fokalkegel #,, von denen jede ein Strahlengebilde #"* Klasse von Congruenzstrahlen enthält. Diese m Ebenen bilden also zusammen eine axiale Regelfläche vom Grade m’. Ausserdem ist jede in we durch X, gelegte Gerade ein Con- gruenzstrahl. Indem wir eine Gerade PX, in we als einen durch P gehenden Congruensstrahl betrachten, ist sie zúm — x)-fach zu zählen (Siehe S. 191). Wenn wir nun P längs PX, sich X, nähern lassen, so werden die x? Bilder P’ in w, auch X, näher kommen; es werden die »° Strahlen, die P mit seinen in w, befindlichen Bildern P’ verbinden, schliesslich ebenfalls in X, ausmünden; es folgt somit, dass der Strahl PX, als Strahl in wz durch X, betrachtet, n(m — n) + n° —=ma-fach zu zählen ist. Wir sind demnach zu der Einsicht gelangt, dass ein Strahl PX, in We, als Strahl durch X, betrachtet, mn-/ach zu rechnen ist. Die Ebene we ist deshalb ein Bestandteil vom Grade ma der axialen Regelfläche einer durch X, gehenden Gerade. Der totale Grad dieser axialen Regelfläche ist somit #°— ma = m(m + 2). Der Schnitt in emer durch X, X, gelegten Ebene enthalt auch die Gerade XY, X, als eine mn-fache Gerade, und ausserdem die m7 m-fachen durch X, gehenden Geraden, in denen diese Ebene durch die m Berührungsebenen an dem Fokalkegel #, geschnitten wird. Indem wir die durch XY, gehende Gerade durch die Gleichungen | | | a i) Dz — Kay, | darstellen, müssen die Coordinaten des Punktes Y, welchem die Congruenzstrahlen entstammen (siehe S. 212, 213), den Bedingungen | | VER | genügen, wonach die Gleichung (544) (S. 213) diese Form bekommt: jd, a, mnt ud a, rn mn (— Bal % V,, = 2, ) — (un, + ue = 2; ) (Ma, Fr T3) 262 DIE CONGRUENZEN VON w— en-m wm UND 1017 om = emtn, oder er + (ue + ey) | (l'a per + (past ar)" (@3— 4)" =O. (1034) Es werden durch diese Gleichungen also m durch X, gelegte Ebenen angewiesen, welche die Congruenzstrahlen tragen, welche auf der durch X, gehenden Gerade ruhen; sie sind daher die m durch diese Gerade an den Fokalkegel #, gelegten Berührungs- ebenen. Indem man in (1084) vw, — 0 substituirt, erhält man (10i4), während man durch die Substitution +, = 0 die Gleichung (1024) bekommt. Daher: Die axiale Regelfläche einer durch X, gehenden Gerade (a > + + as 3 + aa, = 0, x; = Hw) besteht aus den m m-fachen Ebenen (103a) und aus der mn-fachen Ebene Wo. Die Regelfläche einer durch X, gehenden Gerade lässt sich natürlich aus dem Vohergehenden durch Vertauschung der Indices 1 und 2 ableiten. Einen anderen hesonderen Fall einer X,X, schneidenden Gerade bildet eine Gerade in we und eine Grade in @. Weil eine in we liegende Gerade sich in einer singulären Ebene befindet, so wird der Grad der axialen Regelfläche erniedrigt. Diesen Fall wollen wir bis nachher verschieben. Betrachten wir jetzt die axiale Regelfläche einer in ©, liegenden Gerade. Wir haben alsdann in dem Obigen nur Mm == ( zu setzen. Die Kurve in we wird nun (siehe (994)) durch m mi mi tt + aa,” o,¢@,% — O° . . 3 Gee dargestellt. Wir erkennen in dieser Kurve vom Grade ma die Bildkurve in we der in &, befindlichen Gerade ay Vy = CAT + a, Vy = 0. Der Schnitt in w, wird jetzt (siehe (100a)) durch (as + %,@, + aa)" = 0 angewiesen, und besteht, wie zu erwarten war, aus der #”-fachen Axe der Regelfläche. DIE CONGRUENZEN VON #w7— en—m wm UND w'wm—emtn, 263 Die Gerade X,X, wird wiederum auf der Regelfläche eine mn- fache Gerade sein. In we aber ist X, X, eine m-fache Gerade. Wenn die in w, liegende Gerade durch X, geht, so besteht die Regelflache aus den m Ebenen, welche (siehe (103a)) durch (a, Dy + CA De 2 (<= hy et a Te = (i) A (105a) dargestellt werden (jede m-fach zu zählen), und aus der mn-fachen Ebene ox. Dasselbe gilt c. p. für die axiale Regelfläche einer Gerade in @, durch X,. $ 86. Die amale Regelfläche einer X,X, schneidenden Gerade im der hyperbolischen Congruenz. Auch hier setzen wir ay a oe d 1 =_ — ao d H% Xo : b, = — cme ots BAUS) d | ga + a, . r wo a, — Ld ist, und d eine unendlich kleine Grosse be- 2 Oy by zeichnet. Die Gerade /, wird durch ay d'A + a, Ws zie CA d'a Si ay Ty — 0,| 5 c 5 (97) B WL, Wil eee a (98) dargestellt. Die Gleichung der in we liegenden Kurve war (siehe (324), 8. 229) mm mm (a, are ay T3) WM, i Ta — (2 Us 23) Lo” Be" rt we TE à 1, (@,— Q,23) ad ba (D — as)" zo” = (). . (320) Die Substitutionen (96) ergeben sodann 264 DIE CONGRUENZEN VON ww — ermm UND vw wn — mtr, day Se: a, AA Ze Ha dr, + ay Ay da 2 ze 5 Ui B3 à PC WA + A2) + (pes + ao nn 5 - Uy Lo” =— 0 > oder m men m m+n mom and LUL ay” A (cea, Ha )-H paarse," =0. (995) Die Kurve ist auch hier vom Grade x(2m—-n). Die Gerade X, X, wird hier nicht als Ausartungsgebilde abgesondert, weil sie nicht Congruenzstrahl ist. Die Kurve (995) hat in X, einen ma-fachen Punkt, dessen Tan- genten in der rationalen Gleichung durch Ur a” = 0 bestimmt werden. Sie sind also alle in X, X; vereinigt. m+n Da 2, — 0 in (995) den Faktor 2, ” absondert, so hat X, X, in À, a(m--n) Punkte mit der Kurve gemein. Für X, finden wir ein analoges Resultat; wir können daher Folgendes behaupten: Die in wz liegende Kurve hat in X, einen mn-fachen Punkt, dessen sämmthche Tangenten in XX; vereinigt sind; es hat diese Tangente in X, n(m+n) Punkte mit der Kurve gemein. In Xs hat die Kurve ebenfalls einen mn-fachen Punkt; seine Tangenten sind alle vereinigt in der Gerade X,X3, welche in X, mt der Kurve n(m+n) Punkle gemein hat. Die Gerade X, X, schneidet die Kurve (994) ausserhalb X, und X, noch #° mal im. Punkte (¢,z, + 4,2,—0;2,=— 0), dim Schnittpunkte Z, von Z, mit X,X,. men Weil p (aa, + &,@,) = — (ua, + &,)x, einen Faktor zz " ab- sondert, so ist die ‘l'angente in Z, durch fe (Hy ay + aa) + (has + &y) 3 = 0 angewlesen. Diese Gleichung wird auch ermittelt durch die Elimination von a, aus (97) und (98); die Tangente in Z, ist demnach die Projektion der Axe /, der Regelflache aus X, auf we. Also : DIE CONGRUENZEN VON #1 — en—m wm UND wt wit==enrtn, 265 Die Kurve in wx hat in L, einen w-fachen Punkt, dessen Tan- genten alle in der Projektion von |, aus X, auf wx vereinigt sind. Es hat diese Tangente in L, mit der Kurve wm--n) Punkte gemein. Wie im allgemeinen Falle hat die Kurve in X, einen mn-fachen Punkt. Die Tangenten sind durch a," x," —(— a) x," = 0 bestimmt und daher mit den m Bildern der Gerade X,L, identisch. Da wir uirgends die Ungleichheit m >> 2 angewandt haben, so können alle Eigenschaften der in ©, liegenden Kurve abgeleitet werden, indem wir im Obigen die Indices 3 mit 4 und m mit » vertauschen, während noch w durch 1 : zu ersetzen ist. Das Ausartungsgebilde, welches die Kurve in we zu einer Figur vom Grade (m--x) + 2mn ergänzt, ist aus mn mal der Gerade AX,, mn mal der Gerade AX, und wm’? mal der Gerade AX, zusammengesetzt. Weil 4 in LZ, auf X, X, ist angelangt, so besteht das Ergänzungsgebilde in we hier aus 24 mal der Gerade X, X, und ° mal der Gerade X, L,. Ebenso wird die Kurve in w, hier durch 2m” mal X,X, und n° mal X,/, ergänzt. Der Punkt Z, ist jetzt offenbar ein (# + x)-facher, sowohl des Gesammtschnittes in we als desjenigen in @. Von den (4 +») Zweigen durch ZL, in we sind ja #° in der Gerade Z, X3, 2mn in der Gerade X, X, und xz* in den z° Zweigen der Kurve in we vereinigt. Es ist Z, natürlich ein (w—X)-facher Punkt, weil er der (m-+-n)y-fachen Gerade /, angehôrt. Von den (#—<+») nach Z, zielenden Congruenzstrahlen fallen m mit LX; zusammen, 2mm mit X,X, (als Gerade von w, (zis — ew) betrachtet) und #° in ZX, Der Tangentenkegel in Z, ist somit in (mw +)" Ebenen ausge- artet, von denen #° mit ©, mn mit ©, (@—=pe,) und #° mit @, Zzusammenfallen. Die Punkte X, und X, sind, wie im allgemeinen Falle, 2mz-fache Punkte. Die Berührungsebenen in X, sind in zwei Gruppen, jede von ma Ebenen, verteilt; die eine Gruppe ist in we, die andere in @, vereinigt. Es gilt dasselbe vom Punkte 4. Die x? Tangenten im #--fachen Punkte Z, an der Kurve in wx sind die Bilder der Gerade X,Z,. Die nahe an JZ, liegenden Punkte tragen Strahlen, welche nahe bei X, ausmiinden. Weil sie Erzeugenden der axialen Regelfläche sind, so schneiden sich auch /, und hegen demnach in der Ebene, welche /, mit X, verbindet. Sie schneiden eine durch X, Ay gelegte Ebene in der 266 DIE CONGRUENZEN VON #°1— en—m wm UND w'? wm = enn, Nähe von Z, derart, dass die Gerade, welche diese Schnittpunkte mit Z, verbindet, mit der Spur dieser Ebene in der Ebene (X,, Z,) zusammenfallt. Eine solche durch X,X, gelegte Ebene trägt somit eine Kurve, welche in Z, einen vielfachen Punkt besitzt, von dem n° Lweige durch die Spur der Ebene (X,, Z,) berührt werden. Ebenso werden w° Zweige durch die Spur der Ebene (X,,/) berührt. Schliesslich werden 2m Zweige durch die Gerade X, X, berührt. Wir haben also folgendes : | Die axiale Regelfläche einer X,X, in L, sehneidenden Gerade le hat in X, und X, 2mn-fache Punkte, deren mm Beriihrungsebenen mit ©: und mn mit ©, zusammenfallen. Sie hat in L, einen (m + n)- Jachen Punkt, von dem m? Berührungsebenen vereinigt sind in (Xs, lo), n° in (A, Zo) und mn in der Klene ©, (v;= pa). Schhiesslich sind N3 und X, beide mn-fache Punkte, deren Verhalten nicht von dem im allgemeinen Falle abweicht. Betrachten wir jetzt besonders den Fall, wo /, durch X, geht. Die durch X, gelegte Gerade trägt # + Berührungsebenen an dem Fokalkegel 4. Weil von diesen jede ein (mw + »)-faches Strahlen- gebilde enthält, so gelangen wir zu einer Fläche vom Grade (x +2)’. Da jeder Strahl durch X, in we ein ##-facher ist (auch wenn er als Strahl durch XY, betrachtet wird), so müssen die Ebenen wx und w, beide als ein Bestandteil vom Grade mz angesehen werden. In dieser Weise bekommen wir für den Gesammtgrad (m + x) + + 2mn. Stellen wir die durch X, gehende Gerade durch Oy Ly + de, + ar, = 0, | Lz — Mi, oder V3 — Mr | dar, so haben die Coordinaten des Sammelpunktes Y (Siehe S. 233, 234) den Bedingungen - a. a Pass in 4 vas | a, Yas Y3 = MI1 zu genügen, wonach die Gleichung (544) (S. 234) diese Gestallt annimmt : DIE CONGRUENZEN VON wt? — en-m wm UND wt wt =orntn. 267 a. 4, a a, i ae Uy, — By)" (ua, + Haine a) a, 23) — (Ma, — De ta ) (— oder lea, + (ue, + aa)" lue, 2, + (fees + ae" — nr (— 107 a" +n CA Sat ae = 0 y ; k (1036) Durch diese Gleichungen werden (siehe S. 261, 262) die w + x durch /, an dem Fokalkegel Z, gelegten Berührungsebenen angewiesen. Die Substitution +, — 0 liefert ne | ao + (ua, + a) es)" —(— 1)” a," zj = 0; (1016) do diese Gleichung würde sich auch ergeben haben, wenn wir in (994) a — 0 gesetzt hätten. Unser Schluss ist nun: Die axiale Regelfläche einer durch X, gehenden Gerade (um, + + 43a + aa, — 0 ,x,— aw) besteht aus den mn (m+n)-fachen Ebenen (1036), aus der mn-fachen Ebene wx und aus der mn-fachen bene wy. Die Regelfläche einer durch X, gehenden Gerade hat jetzt keine Eigentümlichkeiten aufzuweisen. Die Falle, wo die Gerade in we» oder ©, liegt, werden an dieser Stelle nicht erörtert, da diese Ebenen singular sind. $ 9a. Die axiale Regelfläche einer sowohl X,X, wie X, X, schnei- denden Gerade, in der parabolischen Congruenz. Um die Eigenschaften dieser Regelfläche aufzufinden haben wir pur die Resultate von $ 7a und § Sa zu combiniren. Hine Gerade /, a, av > a, Ws —- CA V3 + ay Ly, == 0 5 gi schneidet auch X,X,, wenn man hat dz + &, = 0. Die Gleichung der in we liegenden Kurve wird alsdann (siehe 90 S. 258), ausser 7,—0, WL nv we Oy Wy" + ea" + Had + aas)ez " = 0. . (1040) Der einzige Unterschied mit der Kurve auf S. 258 ist, dass 268 DIE CONGRUENZEN VON wter wm UND wa == entn, die Kurve jetzt auch den Punkt X, enthält und sogar an dieser Stelle einen z°-fachen Punkt besitzt, dessen sämmtliche Tangenten mit X,/, zusammenfallen; es hat diese Tangente in X, mz Punkte mit der Kurve gemein. Die in «, liegende Kurve besteht nun; ausser der ##-fachen Gerade X,X,, aus der folgenden Kurve vom Grade m’: rt iL — NL vw aa + ds + (Hy My" + ay"), " = 0. . (1034) Diese Kurve hat, in Bezug auf die Kurve auf S. 259, die neue > D Eigenschaft, dass sie X, enthalt und sogar in X, einen #»#-fachen o 2 + + Punkt hat, dessen Tangenten durch n n hy 2" —— &, 2," — 0 angewiesen, und daher mit den 2 (m-fach zu zählenden) Bildern von X,Z, identisch sind. Die axiale Regelfläche hat dieselben Eigenschaften wie die Fläche von $ 8a. Es ist überdies X,X, eine #°-fache Gerade, deren Be- rührungsebenen alle vereinigt sind in der Ebene, welche X; X, mit /, verbindet. Nur in ©, ist X, ein ma-facher Punkt, von dessen Tangenten je m in einem der x Bilder von X, Z, vereinigt sind. In der durch 7, und X,X, gelegten Ebene liegt Z, als eine #?-fache Gerade. Ihr Schnittpunkt S=X, mit X,X, ist denn auch em m--facher Punkt. $ 96. Die anale Regelfläche einer sewohl X,X, wie X, X, schnei- denden Gerade, in der hyperbolischen Congruenz. Auch hier haben wir nur die Ergebnisse von $ 74 und § 84 zu vereinigen. Da /, jetzt X, X, schneidet, so ist pas + a = 0. Die in we legende Kurve wird nun durch m m+n m m+n m m a, LU, oie zo” ACH al 2) a,” 2" = 0 (1046) dargestellt. Das einzige Neue ist hier, dass die Tangente im Punkte Z, diesen Punkt mit X, verbindet. Im Übrigen weicht diese Regelfliche in keiner wesentlichen Hinsicht von der Flache von § 84 ab. DIE CONGRUENZEN VON win — en-m w” UND w'ywm—entn, 269 $ 104 Die amale Regelflüche einer in einer singularen Ebene ¢, liegenden Gerade, in der parabolischen Congruenz. Da die Ebene ¢,(wo7”"~” = 1) eine singuläre Ebene ist, welche ein Strahlengebilde m'* Klasse trägt, so wird diese Ebene, m-fach gezählt, von der axialen Regelfläche abgesondert. Die Restfläche ist also vom Grade m(m + u — 1). Von den #2? Strahlen, welche nach einem Punkte auf / zielen, liegen m in e¢,. Es liegen demnach auf der Restfläche, welche künftighin die axiale Regelfläche genannt werde, #/( — 1) Strahlen, wonach die in ¢, liegende Gerade / auf ihrer axialen Regelfläche eine m(m— 1)-fache Gerade ist. Der Schnitt der allgemeinen Regelfläche mit we besteht aus nm — nn) mal der Gerade AX,, u(m—n) mal der Gerade 4X,, (m—n) mal den #—» Geraden AL, (von denen jetzt eine der AN 7 Ebene ¢, angehört) und aus einer Kurve vom Grade x (mm + x). Da jetzt 4 auf X, 7, liegt, hat man ay == TQ, während der Umstand, dass 2’ auf X, #, liegt, zu der Bedingung by = Th, Veranlassung giebt. Die m—x Ebenen ¢, sind natürlich unter sich gleichwertig. Wi! Es genügt daher, dass wir / in eine dieser Ebenen legen. Der einfachen Rechnungen wegen werden wir voraussetzen, dass / sich in der durch : SUS ne tee 106) angewiesenen Ebene € befindet. Die Coordinaten von 4 genügen alsdann der Bedingung On dt ea ME nal ee CLOT) und zwischen den Coordinaten von B’ besteht die Beziehung id NN Pare, 5 = 4 CLOS) Es gilt offenbar auch Ct Ob Oe oe es € (0) Die Kurve in w hat (siehe (26a), S. 200) die Gleichung 270 DIE CONGRUENZEN VON w'»—=cr-mwm UND wa = emtn, m ni EE Hal)" — & (& Hal)" + 8 (E, — ££," — 0. (1100) Die rationale Gleichung ist durch (&, — &,)" teilbar. Dies lässt sich nachweisen, indem wir (1104) in dieser Form schreiben: ve we BCE + abs)" = EE +) — OE — EE". Durch Potenzirung beider Seiten mit 2 finden wir me EEE Hat En (Sitades) er (ee des) NE ER (Eteë)"" ira aaa 0 Ees oder So (Sh Ss) a eg ep Se) = Sater eae Biya ee Setzen wir, der Kiirze wegen, 1 = T(n—1) = nzin n— m == 0b Ere (Ea 45e) bs" (1) "Ei — §)" oy ae so geht die vorhergehende Gleichung über in En (81 25 aés)" — &," (E ai al)" = (Ea == 62) Bi oder m—n—1 EME mem EP) mab EME, —b Heat 4 (— DEN — EE" = (B —E)P . . Alla) Die beiden Seiten sind offenbar durch & — £, teilbar. Da der Grad der rationalen Gleichung das z-fache von dem von (11 1a) ist, so enthält die rationale Gleichung den Faktor (,—&,)". Hieraus erfahren wir, dass die Spur in we aus x mal der Ge- rade §&,—&,—0, d.h. X;#, und aus einer Kurve vom Grade n(m + n — 1) zusammengesetzt ist. Im Ganzen enthält der Gesammt- schnitt also, ausser dieser Kurve, 2(m—x) mal 4X,, n(m—n) mal AX,, (m—n) mal die Geraden Af, _ (ausgenommen 4/) und (mm — n) Hun —m mal die Gerade AP. Von der allgemeinen Regelfläche hatte sich die Ebene ¢ m mal abgesondert; in diesem Ausartungsgebilde ist somit die Gerade 47 m-fach enthalten. Die Restfläche schneidet demnach we in einer Kurve vom Grade nx(m+-x—1), in der x(m—~x)-fachen Gerade AX,, in der n(m—~n)-fachen Gerade AX, und in den m—»—1 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= erm pm UND w'wm—entn, 971] (m—n)-fachen Geraden ABS (T,,-»41), weshalb der totale Grad n(m En — 1) + Urn — u) + (m— xn) (nn — 1) =m(m—+-n — 1) ist. Da x Zweige im Punkte 4 der ursprünglichen Kurve in 4£ = X,4 vereinigt sind, so bleiben für die hier betrachtete Kurve in oz n’* —n —=n(rx — 1) Zweige übrig. Der Punkt 4 ist also ein x(z—1)- facher Punkt. Es fand sich dass X,, falls / die Gerade XX, schneidet, ein #”-facher Punkt ist, dessen simmtliche Tangenten mit X, 4 zusammenfallen, Im vorliegenden Fall, wo 4 sich auf X,/ befindet, sind von den x? Zweigen x in X, / vereinigt, wonach X, auf der Restkurve ein #(2— l)-facher Punkt ist, dessen Tangenten alle X, mit 4 (oder Æ\) verbinden. Der Punkt Z gehôrt jetzt der Kurve mocht an. Ubrigens können wir, in Bezug auf diese Kurve in wo, auf die Resultaten von S. 208 u. f. hinweisen. Der Schuitt in w, hat jetzt (siehe (40a), S. 207) die Gleichung EE + 0 EN" — & (Er HDE)" + alb — &) &" = 0. (1122) Von dieser Gleichung lasst sich zeigen, dass ihre rationalisirte Form den Faktor (£ — £)” enthalt, wonach geschlossen wird, dass der Schnitt in w, aus m mal der Gerade X, £ (= B' HE) und aus einer Kurve vom Grade m(m + — 1) besteht. Es erhellt, dass die m-fache Gerade X, £ der m-fachen Ebene ¢ angehört, welche von der allgemeinen Regelfläche abgesondert ist. Die Restfläche schneidet daher w, in der oben erwähnten Kurve vom Grade mlm +2 — 1). Es ist auf diese Kurve B’ ein m(m— 1)-facher Punkt, für des- sen Tangenten wir auf S. 208 hinweisen. Der Punkt X, ist nun ein mn — m — m(n— 1)-facher Punkt. Seine Tangenten sind in $ Ja auf S. 243, 244 erörtert. Da die Punkte X,, X, und i, Oman F 1) micht durch die Lage von / in e beeinflusst werden, so lässt sicht von der axialen Regelfläche (Restfläche) folgendes behaupten: Die axiale Regelfläche einer in © befindlichen Gerade ist vom Grade m(m—+n—-1). Sie hat in X, einen mn-fachen Punkt, von dessen Berührungsehenen je m in einer der n Æbenen (siehe (46a), 8.211) (RAPE =d = ON. 1: (180) vereinigt sind. Der Punkt X, ist ebenfalls ein mn-facher; von seinen Tangenten sind je m mit einer der n LMbenen (siehe (45a), S. 211). 272 DIE CONGRUENZEN VON w’?=cr-™ wm UND 1/7 wn — em+n, rd) a" of = ur ORNE) vereinigt. Die m—n—1 Punkte E, ; (T,,-n #1) sind n-fache td Punkte, deren Berührungschenen alle mil wz zusammengefallen sind. Die Gerade XX, ist nun eine wWu—1)-fache Gerade der Fläche, weil von den xz” Blättern der allgemeinen Fläche von $ 7a x mit s zusammenfallen. Wir können dies leicht ersehen, wenn wir bedenken, dass die x? Blätter in einem Punkte X, von X, X, durch die x? Congruenz- strahlen bestimmt werden, welche mit XX, coincidiren. Von den 2__y* übrigen Strahlen liegen #— x in jeder der m— Ebenen €; , also auch m—z in ¢. Da aber die Ebene ¢ m mal abge- 77U— 70 00 sondert wird, so müssen noch > Strahlen den x? entzogen worden, welche mit X, X, zusammenfallen. Auf der Restfläche ist also X, X, eine »(z— 1)-fache Gerade. Es sind alle Berührungsebenen in © vereinigt (Ausnahme in wo). Nur der Schnittpunkt S von 1 mt X, XN, ist ein mlm — 1)-facher Punkt. Wir sind jetzt im Stande die Singularitäten des Schnittes mit emer durch 4, X, gelegten Ebene w, zu bestimmen. Ein solcher Schnitt hat in X, und X, ma-fache Punkte, dessen Tangenten die _Spuren in ©, bez. der 2 Ebenen (1134) und der x Ebenen (114a) sind (jede » mal gerechnet). Die #—#— 1 Punkte Be (Tr sind #-fache Punkte, deren Tangenten alle mit X,X, zusammen- gefallen sind (Ausnahme in we). Der Schnittpunkt C, von 7 mit ou 1s ein m(m—1)-facher Punkt, dessen Tangenten durch die ausserhalb + liegenden, nach C, zielenden Congruenzstrahlen be- stimmt werden. Der Punkt X,, wo w, X3 X, trifit, ist ein 2(a—1)- facher. Seine sämmtlichen Tangenten sind in X, £ vereinigt (aus- genommen in @,). Schliesslich hat der Schnitt Doppelpunkte in den Schnittpunkten von wy, mit der Doppelkurve. Die Doppelkurve wird durch die Lage von / in ¢ wesentlich beeinflusst. Wir wollen sie daher besonders untersuchen. Die Gleichungen (67a) und (68a) sind hier identisch geworden. Ihre gemeinschaftliche Form ist fm=@6 — pr) — (r+ ay"=0. . (DE Es liefert diese Gleichung sowohl die Coordinaten 7, wie die 7,. Die Spur P eines Strahles p, welcher einem Punkte C von / in s entstammt, ist somit durch eine Combination (7, ,7,) zweler der DIE CONGRUENZEN VON #%— enn wm UND w'mm—entn, 273 m Wurzeln von (1154) bestimmt. Wir wollen diese Wurzeln mit GCN mn bezeichnen. Wir denken uns nunmehr zwei Spuren, nl. und Po ot Ty = Co» To = Cy. Die Gerade, welche P,, mit ?,, verbindet, hat alsdann die Gleichung E+f—G@+e)&—=0; + : « (1164) sie enthält also den Punkt Æ” auf X,X,, welcher durch @ + a = 0 bestimmt ist. Es giebt daher jede Combination (¢,, ¢,) zu einer durch 4’ gehenden Gerade Veranlassung. Es leuchtet ein, dass die m Spuren P,,, P,, P befinden. Die mm —1) ausserhalb X,/ liegenden Spuren werden nun mm — 1 Wie) Geraden PE sich auf XE mm aarweise mit EK’ verbunden durch P Wenn eme solche Gerade P,,P,,E durch 4 (4 = 0, § = 0) geht, so folgt aus (1164) Cia aes aie mt EEN KE ME) Sobald einem Punkte C von / zwei Strahlen p,, und p,, ent- stammen, deren Spuren ?,, und P,, mit 4 in einer Gerade lie- gen, so ist dieser Punkt C ein Punkt 2,, der Doppelkurve. Aus dem Obigen geht alsdann hervor, dass die Ebene, welche die zwei Strahlen p,, und p,, mit / verbindet, den Punkt E” enthält. Wenn also der Gleichung (117) genügt wird, d.h. wenn zwei Wurzeln von (Tr) = 0 (1154) sich nur durch das Vorzeichen unter- scheiden, so liegt ein Punkt der Doppelkurve auf 7, während die beiden durch diesen Punkt gehenden Strahlen sich in der Ebene (2, EL’) befinden. Wir haben nun zu untersuchen, für welche Punkte C auf / die Gleichung (117) erfüllt ist. Es ist (117) ein besonderer. Fall der Bedingung Verhand, der Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. X. B 18 274 DIE CONGRUENZEN VON w'n== en- m ym UND vn wen — entn, (ee 0 ar, li ite Re deren linke Seite eine symmetrische Funktion der # Wurzeln von Jm) = 0 ist, sich also ausdrücken lässt in einer Form, welche nur die Coethcienten von /(7) = 0 enthält. Weil die Coefficienten ausschliesslich yon den Constanten LD) und von der C kennzeichnenden Grösse u abhängen, so wird (118) sich darstellen lassen in der Form D2) — 0: « oon pa! to Wenn m und z grosse Zahlen sind, so kann es geschehen, dass die Umformung der symmetrischen Wurzelfunktion in eine Funk- tion der Coefticienten zu ausserordentlichen Schwierigkeiten Veran- lassung giebt. In diesem Falle können wir einer Methode folgen, welche zwar umständlich, aber von Kunstgriffen frei ist. Wir be- trachten alsdann die Gleichung fr) = 0, deren Wurzeln sich offenbar von den Wurzeln von f(t) = 0 nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Wenn nun /{— 7) = 0 und JT) = 0 eine gleiche Wurzel haben, so bedeutet dies Ca CU; Xx; Fig. 12. Man erhält alle Bedingungen c, ce, —0, indem man die Eli- DIE CONGRUENZEN VON w'n == erm ggn UND wt wm—entn, 275 minante von (7) —0 und f(—7)—0 verschwinden lässt. Es ist selbstredend, dass neben der Bedingung, dass ¢, von f(r) dem — 6, von f(—7) gleich sei, auch die Bedingung auftritt, dass c, von fr) dem — ec, von f(— 7) gleich sei, so dass in der Eliminante der Fall c, +c,—0 zweimal vertreten ist. Die Eliminante ist daher das Quadrat einer Funktion von a, 6 und pz. Aus dem Obigen erhellt ohne Weiteres, dass die axiale Regel- fläche von / in © harmonisch-symmetrisch ist in Bezug auf die Ebene ¢ und den Punkt £’ (welcher Æ£ in Bezug auf X, und X, harmonisch zugeordnet ist). Hieraus geht hervor, dass alle Geraden, wofern sie HL’ nicht enthalten, in Paaren vorkommen, deren Schnittpunkte sich in der Ebene € befinden. Es werden speziell die Verbindungslinien der Spuren P,,, P,. sich in Paaren anordnen lassen, deren Schnittpunkte auf X,Æ£ lie- gen. Wir ersehen hieraus, dass die beiden Geraden P und Leal aga GARE (Cp ur C,)E4 ar: (e, ES cs) Es NA (CCS SA Calr)53 = 0 alee GPU (c, re CIE an iG, en C)Es in (nes RER C,C)Ë3 = 0 sich in dem auf X,# liegenden Punkte G,,,,., schneiden; welcher durch Gore A à 7 = 6) = TT ze mu van = 83 bestimmt. ist. Wenn nun die Gerade P,,P,, 4 enthält, so ist dies auch mit PoP, der Fall. Es treffen alsdann im Punkte C auf / vier Strah- len zusammen, nämlich pps Pijp Und p,,, von denen die ersteren zwei mit / durch eixe Ebene verbunden werden, und ebenfalls die letzteren zwei mit / in einer Ebene liegen. Der auf / befindliche Punkt C, welcher diese Anordnung liefert, ist daher ein Doppelpunkt der Doppelkurve. Wir wollen ihn mit Ds bezeichnen. Wir können jetzt auch sagen, dass C ein Punkt D grs Sein wird, wenn der Punkt G mit 4 zusammenfallt. Es ist dies der Fall, wenn pars DC CU M NEE LAD) Hier kann » — s und 9 —7 sein. Dagegen kann weder p= gq oder —7 sein, noch s — 9 oder s— 7. Denn im Falle p —g würde die Gleichung (120) zerfallen in c, == 0 und c, —6€,, wonach s—=r; es würde demnach entweder der Strahl in 4 ausmünden, B 18* 276 DIE CONGRUENZEN VON #w%— en-m wm UND w’r wm — cmt, oder in irgend einem Punkte von XE, und dies ist ausgeschlossen. Nebst den Fallen, wo der Bedingung ChCs — Cyr =O (p,q,r,s alle wagdeich) genügt wird, haben wir noch die Falle zu betrachten, wo Epls—e —=0 (p,g und s alle ungleich). Das Produkt Il (¢, Cs — Cq Cr) aller Combinationen (120) ist offenbar eme symmetrische Funktion der Wurzeln von /(7) — 0 und somit eine Funktion von y. Es kommen in diesem Produkt auch die Fälle vor, wo p=g oder r—s. Die Gleichheit p—9 z.B. liefert den Faktor (¢,—e,), welcher verschwindet falls f (7) — 0 zwei gleiche Wurzeln hat. Ferner giebt py—s und g—7 zu c,2—c,2?=0 Veranlassung, also, neben c,—c, —0, zu c,+4-c, —0; doch ist diese Bedingung schon durch die Gleichung ®(j)= 0 (119) vertreten. Die Funktion von mg, welche das Produkt IT(c,c, — c, c,) ersetzt, wird ein Quadrat sem; wir setzen deshalb IN (Gc, cc) Pl. ae a Nach dem oben Dargelegten wird p(4) die Funktion (x) und die Discriminante d(4) von /(7)=0 als Faktoren enthalten. Wir können somit schreiben : 9 (4) =D). VW). Fz). . . . . (122) Die Gleichung Fu) 0. ew EEN wird nun diejenigen Punkte auf / anweisen, welche zu den Gleichungen Cp Cs —— Cy Cr = 0 oder Veranlassung geben. Auch hier wollen wir eine Methode angeben um (x) zu DIE CONGRUENZEN VON 0 — en-m wm UND wwm—cemtn, 2717 ermitteln, falls m und > so gross sind, dass die Umformung der symmetrischen Funktion scheitert. Wir betrachten daher die Gleichung 1D) =0. ze le Ce) Ihre Wurzeln sind durch Gon 7 T oder durch bestimint. Falls Az) = 0 und Ke) = 0 eine gleiche Wurzel haben, so muss die Beziehung oder erfüllt sein. Die Eliminante von /(7)= 0 und FC) = (0 ist ein Ausdruck, welcher, ausser von a und 4’, nur von 4 und @ abhängt. Indem wir ihn durch G(w) darstellen, so sind die Coefficienten Funktionen von 4. Die Wurzeln der Gleichung GET EP TRS OT (LR 0) sind die Produkte «=c,c, der Wurzelpaare von f(r) = 0. Weil diese Produkte auch die Quadrate der Wurzeln enthalten, so werden auch die Werte 2c,” der Gleichung (125) genügen. Es sind diese Werte aber auch die Wurzeln der Gleichung SV 2) = 0, wonach die Porm G@(v) den Ausdruck /(|/ 2) als Faktor enthalten muss. Wenn /(// +) = 0 rationalisirt wird, möge sie die Gestalt g(a’) = 0 annehmen. Wir haben alsdann 278 DIE CONGRUENZEN VON wen om UND wl? wm =emtn, G(a)\=9(@)- May: Vr et RRS Die Gleichung /(7)=0 liefert sodann die Produkte cc, u.s.w. Es leuchtet ein, dass die Coefficienten von g(w) und (+) noch ausschliesslich von abhiangen. Wenn (+) zwei gleiche Wurzeln hat, so weist dies auf die Gleichheit Py Brat DO hin. Die Diskriminante von 4(+) ist eine Funktion von &, nl. p(s). Diejenigen auf / hegenden Punkte C, welche durch pu) = 0 bestimmt sind, geben demnach zu.der Gleichung ¢,c,=c,¢, Ver- anlassung ; ihnen gehören somit die Punkte D,,,,,, und D,,. Den Uberlegungen von S. 276 nach, bemerken wir, das p(4) den Ausdruck ®(u) und die Diskriminante d(4) von f(T) = 0 als Faktoren enthalten muss; wir können also, wie dort, schreiben pu) = (2) d (4) - F(x). Die Gleichung UND bestimmt besonders die Punkte 2), Es befinden sich unter diesen Punkten auch die Punkte D welche die Gleichung Pq; {S? 2 Cy Cs ard Cq veranlassen. Obgleich das Verhalten dieser Punkte nicht von dem der Punkte D, verschieden ist, so wollen wir doch zeigen, wie wir sie von jenen trennen können. Wir bemerken, dass die Bedingung (12$) erfüllt ist, wenn die Gleichungen g(x)— 0 und (+) — 0 eine gleiche Wurzel haben. Indem wir die Eliminante von ÿ(x) — 0 und A(z) —0 von dem Faktor W(), der Diskriminante von /(m) befreien, erübrigen wir eine Form Q(4), welche, wenn gleich Null gesetzt, die Punkte D bestimmt. Pq, Is Wie wir ersahen, sind die Punkte D,,,,,s (daher auch die Punkte Dga) Doppelpunkte der. Doppelkurve, während die Punkte 2,; gewühnliche Punkte der Doppelkurve sind. PS ETS DIE CONGRUENZEN VON w!?—ecr—m gom UND w'wom—emtn, 279 Es sei ®(%) vom Grade 47, (4) vom Grade N in u. Es hegen alsdann 47 Punkte D,, und WV Punkte D,,., auf /. Die Doppelkurve schneidet daher / in MZ + 2/V Punkten. 2 mn (mn — 1) Da jede durch 7 gelegte Ebene noch ———,——— Punkte der Doppelkurve enthalt, so ist der Grad der Doppelkurve mn (mn — 1) UE Von der Doppelkurve lässt sich also folgendes behaupten : Die Doppelkurve auf der axialen Regelfläche einer in der Ebene s befindlichen Gerade / schneidet die Gerade l'in M gewühnhichen und N Doppelpunkten. Die Strahlen, welche den M gewühnlichen Punkten entstammen, liegen alle in der durch l und KE’ gelegten Ebene. Hier ist M der Grad der durch Umformung von IIe, + ej) = 0 erhaltenen Gleichung (gp) = 0, N der Grad der aus (ee, — ¢, ¢,) = 0 hergeleiteten Gleichung Y(u)—0. Der Grad der Doppelkurve ist mn (mn — 1) M+2N4 : 9 & Betrachten wir jetzt den Fall, wo / durch X, hindurchgeht, so ist der Schnitt eine m-fache Kurve, deren Grad im allgemeinen Falle » + ist. Es wird jetzt die m-fache Gerade X, 1 abgesondert, wonach wir eine m-fache Kurve vom Grade m-—-2—-1 erübrigen. Auf dieser Kurve sind X, und X, z-fache Punkte (siehe S. 249); ihre Tangenten sind bez. mit XX, und X, 4, zusammengefallen. Die Punkte E, (T Zl) sind alle gewöhnliche Punkte ; ihre m=n Tangenten convergiren alle nach dem Punkt 7° (siehe (954), S. 250). Der Punkt Æ gehort jetzt der Restkurve zicht an. Es ist ferner B ein (m— 1)-facher Punkt, dessen Tangenten die ausserhalb ¢ liegenden Bilder von X, 4 — X, E sind. Die in we, liegende Kurve hat einen 2(2— 1)-fachen Punkt in Ns; sie hat sonst keine Abweichungen von der obigen aufzuweisen. Die m—n—1 Punkte Er (r,, 1 # 1) sind auf der Flache n-fache Punkte. Ihre Tangenten liegen aber jetzt nicht in w,, son- dern in den Ebenen, welche Æ, mit der Gerade X, 7), (siehe m—n S. 250) verbinden. Der Punkt # gehört der Fläche wicht an. Es möge schliesslich die in liegende Gerade den Punkt X, ent- halten. In we befindet sich alsdann eine z-fache Kurve vom Grade m—n—1. Auf dieser Kurve sind X, und X, (x — 1)-fache Punkte, deren Tangenten bez. mit X,X, und X, X, zusammenfallen. Es ist X, ein (#— 1)-facher Punkt, dessen Tangenten die mm— 1 ausser- MU 280 DIE CONGRUENZEN VON w'n = en-m wm UND vo’ win = emtn, halb ¢ liegenden Bilder von X,Æ sind. Es ist 4 ein (7 — 1)-facher Punkt, dessen Tangenten durch die ausserhalb ¢ liegenden Congruenz- strahlen bestimmt sind. Die Punkte 4 (Tm —n À 1)‘ sind ge MIN wohnliche Punkte; ihre Tangenten convergiren in einem auf X, H befindlichen Punkt. Der Punkt Æ gehört der Kurve wicht an. Die in we hegende Kurve hat in X, einen m(m—~1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in X, £ vereinigt sind. Es weist übrigens diese Kurve keine’ Abweichungen auf. Auf dieser Regelfläche verhalten die Punkte /, sich nicht me NL anders als auf der allgemeinen Fläche. Nur der Punkt Z befindet sich zieht auf der Fläche. Der Schnitt mit einer durch À, X, gelegten Ebene ©, zeigt daher keine anderen Eigenschaften als diejenigen, welche bei der axialen Regelfläche einer willkürlichen in ¢ liegenden Gerade erwähnt sind. $ 104. Die axiale Regelfläche einer in einer singularen Ebene €, liegenden Gerade, in der hyperbolischen Congruenz. Die Ebene ¢, (7"*" = 1) ist singular und trägt ein Strahlen- gebilde von der Klasse xx; sie gehört also als Ausartungs- gebilde vom Grade # + » der axialen Regelfläche an. Die Restfläche ist somit vom Grade (a + x) (m—+-2— 1) + 2mn. Von den (z+ x)’ Strahlen, welche einem auf / in e, liegenden Punkte entstammen, liegen # + in der Ebene ¢,. Auf der Rest- fläche liegen deren do (m J- x)(m nn — 1), wonach / auf der Restfläche eine (m + x) ne een )-fache Gerade ist. Wo kein Irrtum droht, wird mit der axialen Regelfläche die Restfläche gemeint. Der Schnitt mit w. der allgemeinen Regelfläche besteht aus ma mal AX,, mn mal AX, »° mal der Gerade 4X, und aus einer Kurve vom Grade x(2m + #). Die m-fache Gerade AX, rührt von den #° Strahlen her, welche dem Punkte 4 entstammen und «©, in der Nähe von 4, schneiden. Durch einen Punkt 4 von XE, gehen » + » Tangenten der in der Ebene ¢, liegenden Fokalkurve. Von diesen Tangenten fallen m mit der Gerade AH, (—X,H,) zusammen. Es ist dies leicht ersichtlich, sobald man die Gleichung der Fokalkurve in Linien- coordinaten betrachtet. Die Tangente wird (als Congruenzstrahl in der Ebene 2,=Ta,= durch 11) peri) rer d =D] 4, dy — EE 0 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= en—m wm UND w'rwm—emtn, 98] dargestellt. Ihre Liniencoordinaten go, 3, 9, sind somit durch ) 4 UY PAIN = UE MRO ey Pa bestimmt, wonach (M PR (— es pz Pa” = 0 : d ; À ( 127) Der Punkt 4 (+, = az, a, — 0) wird offenbar durch die tan- gentiale Gleichung apo de 4 == 0, oder Ps = —— apo angewiesen. Durch die Substitution dieses Wertes in (28) findet man u. A. 4" —0; es sind also von den aus 4 an der Fokal- kurve gelegten Tangenten m mit der Gerade ag + 9; = 0, G = 0, oder 7, = 0,9, = 0, d. h. mit der Gerade 4H zusammen- gefallen. Wenn der auf / in e, liegende Punkt Y sich nahe an 4 befin- det, so trägt Y m Tangenten der Fokalkurve, welche in der Nahe von X, 4, liegen. Im Ganzen werden durch Y m? Strahlen gehen, welche w, nahe bei 1, (= As) schneiden. Von diesen #° Strahlen befinden sich also m in der Ebene &,. Wir schliessen demnach, dass von den wm? Geraden 4E, welche A entstammen, nur m genau in €; liegen, während die m(m— 1) übrigen sich urspriinglich ausserhalb ¢, befanden. Es wird aber von dem Gesammtschnitte in ¢, (mt + x) mal die Gerade AM, abgesondert; aus dem Vorhergehenden leuchtet nun ein, dass von diesen m—+t-n Geraden X,£, m dem Ausartungsge- bilde angehort haben, welches aus m? mal X,Z,( A4L,) besteht. Wir müssen also schliessen, dass Y,/, noch # mal der in we hegenden Restkurve entnommen wird. Die Restkurve, welche bei der willkiirlichen Gerade vom Grade m(2m + ») war, wird jetzt vom Grade n(2m + 2) —n =n(2m-+-n— 1) sein. Das Ausartungsgebilde, welches diese Restkurve zum vollstän- digen Schnitte von ©, mit der Restfläche ergänzt, besteht nunmehr aus mn mal AX,, mn mal AX, und m(m—1) mal 4 X,= X, E,. Hs ist somit der totale Grad n(2m + u — 1) + 2mn + m(m — 1) = = (m + 2) (m + n— 1) + 2m. 282 DIE CONGRUENZEN VON #— en-m wm UND w' wn =emtn, Wie in der parabolischen Congruenz, genügt es den Fall zu erörtern, wo / in der Ebene © (x —2) liegt. Die Coordinaten von 4 erfüllen alsdann die Beziehung und zwischen den Coordinaten von B’ besteht die Verbindung DRE wonach auch hier die Gleichung ui =d ==) gilt. Die in wz liegende Kurve (siehe (266) S. 225) hat jetzt die Gleichung in m gy (Ea += ge yee = En (E zin OENE Ty mn — D'(E — ENE, Hal)" (& Haf)" —0. . (1108) Die rationale Gleichung wird nun durch (&,— &)" teilbar sein; wir können dies in analoger Weise wie in § 10a auf S. 270 nachweisen. Die Kurve, welche vom Grade n(2m + x) war, ist daher zerfallen in 2 mal die Gerade X, E und eine Kurve vom Grade (2% + u — 1). Auf der allgemeinen Kurve in we ist À ein #'-facher Punkt. Es sind jetzt x Zweige in 4Z vereinigt und somit von der Kurve abgesondert. Die Restkurve hat also in 4 einen u(x — 1)- fachen Punkt; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus Z auf we der x(2— 1) ausserhalb ¢ liegenden nach 4 zielenden Strahlen. Der Punkt X, war damals ein mz-facher. Es sind aber jetzt von den mn Gweigen x in der abgesonderten Gerade X, Z vereinigt. Es ist also X, auf der Restkurve ein z(m— 1)-facher Punkt. Vou den ‘Langenten sind je % mit einem der ausserhalb ¢ liegenden Bilder von X,Z zusammengefallen. Der Punkt 4;=B, ist jetzt mit dem Punkte Z identisch. In $ 74, wo / die Gerade X3 X, traf, war 4,= 8B, ein #’-facher Punkt der Kurve in wo. Es wird offenbar jetzt ein 2(z— l)-facher Punkt sein, dessen sämmtliche Tangenten in X, Z vereinigt sind. Es hat diese Gerade in Z m(a — 1) Punkte mit der Kurve gemein. Die in wo liegende Kurve ist jetzt zerfallen in # mal die Gerade DIE CONGRUENZEN VON win== et wr UND w'ywm—entn, 283 X, # und in eine Restkurve vom Grade m(m + 2x — 1). Wir können zwar ihre Eigenschaften aus dem unmittelbar Vorangehenden ableiten, indem wir # und >», und die Indices 3 und 4 vertauschen, müssen jedoch bemerken, dass Z auf dieser Kurve ein #(m— 1)-facher Punkt ist und wicht ein m(z — 1)-facher, wie man erwarten könnte. Es lässt sich diese Abweichung wie folgt erklären. Im Falle der willkürlicheu Gerade zeigte sich, dass alle mn X, entstammenden Strahlen im Punkte 4, ausmünden, und umge- kehrt, wonach die Ordnung der Singularität von X} und 4 die nämliche war. Diese Higenschaft erhält sich stets aufrecht, auch falls von diesen Strahlen X, 4, welche in eine singuläre Ebene abgesondert werden. Wie sich oben ergab, liegen von den mu nach X, zielenden Strahlen nur # genau in €. Die übrigen #(#—- 1) Strahlen rühren vom auf der Restkurve in ©, liegenden Punkte Z her. Wir schliessen, dass der Punkt # auf dieser Restkurve ein 7 (#— 1)-facher ist. Siimmt- liche Tangenten sind in der Gerade X,X, vereinigt, welche in Z mm — 1) Punkte mit der Kurve gemein hat. Die Punkte X, und _X, erfahren selbstverstandlich keinen Einfluss von der Lage von / in €. Fatls 7 die Gerade ZX, X, (in 8) trift, Fa sich der Schuittpunkt S als ein (#—+ »)--facher Punkt der mische Es leuchtet ein, dass, wenn / in es liegt, der Tangentenkegel vom Grade (m x») von S in (m-t+ mn) mal die Ebene e und einen Kegel vom Grade (m +») (in + n — 1) ausgeartet sein wird. Der Schnittpunkt 8 von Z mit X;,X, ist also hier ein (m 4-7) (m +2 — l)-facher Punkt. Die Gerade / schneidet die in « befindliche Fokalkurve e in m + x Punkten Z,. Aus jedem Punkte Z, werden zwei zusammen fallendé Tangenten an e gelegt, also zwei coincidirende Congruenzstrahlen in e. Bei der Absonderung der Ebene ¢ wird jede an e gelegte Tangente eimmal der totalen axialen Regelfläche entnommen. Die mn in den Punkten Z, gelegten 'Tangenten funktioniren also noch einmal als Erzeugende der Restfläche. Sie schneiden XX, in m+n Punkten X, Die Gerade X,X, hat nun mit der Restfläche gemein: x (a — 1) mal den Punkt X, a (x — 1) mal den Punkt X,, (we + 2) (m—+-2— 1) mal den Punkt S, und eixmal die Punkte X,, zusammen also nm — 1) Hm (un — 1) + (nm Hz) (on Han — U) Han Han = = (im + 1) (on En — 1) + Zn Punkte. Wir haben nun die folgenden Resultate aufzuweisen : Die axiale Regelfläche einer in der singulären Ebene ¢ liegenden Gerade ist vom Grade (m+-n)(m+n—1)+2mn. Die Punkte X, und 0 284 DIE CONGRUENZEN VON w'"=—= en wm UND wt wm = cmt, X, sind beide ?mn-fache Punkte; die Tangenten in X, befinden sich in 2mn Koenen, von denen mn zu je m in einer der n Lbenen deja) — 27" = 0;.. LANCE A (siehe (465) S. 232) wad die übrigen mm zu je nin einer der m Ebenen bMa Va) = 2" = 0. eee vereinigt sind; die Tangenten in X, sind in derselben Weise über die Ebenen a” (es — ar) — 2 =O, ., NON) und b'(a — ba) — 2 — 00... NN verteilt. Der Punkt X; st ein wm—1)-facher Punkt, dessen Tangenten sich alle in Wx befinden. Der Punkt X, dagegen ist ein m(n— 1)- facher Punkt, dessen Tangenten alle in «©, liegen. Der Punkt E ist nun ein (2mn—m—n)-facher Punkt; wm — 1) Berührungsebenen sind Ut We, WMN—1) mm € verenigt. Der Schnittpunkt S von L mit X,X, wt ein (m+n)(m-+n—1)-facher Punkt. Die Axe U ist eine (m-- n)(m-++ n-—1)-fache Gerade. Der Schnitt in einer durch X,X, gelegten Ebene ©, hat in X, und X, 2ma-fache Punkte, dessen Tangenten die Schnittlinien von w, mit den oben gegebenen Ebenen sind; er hat im Schnittpunkte von / mit w, einen (m +2) (mm + u — 1)-fachen Punkt, dessen Tan- genten durch die ausserhalb ¢ liegenden Congruenzstrahlen bestimmt sind. Der Punkt Z7 ist ein (Qmu — m — 7)-facher Punkt, von dem n(m— 1) Tangenten mit X, X, und #(#— 1) mit der Schnittlinie von @w und € zusammenfallen. Der Schnitt hat Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Doppelkurve. In Bezug auf die Doppelkurve dürfen wir hinweisen auf das am Ende von § 104 Dargelegte. Der Unterschied ist nur, dass die Gleichung /(7)= 0 eine andere Gestalt aufweist. Betrachten wir jetzt noch den Fall, wo / den Punkt X, oder X, enthält. Wenn / durch X; geht, so wird die Ebene we ma mal abgesondert. Man erübrigt eine Fläche vom Grade (u + 2) (mm + u — 1) + ma, auf welcher X, und X, mn-fache Punkte sind. Die Gerade X,X, schneidet die Restfläche m(z—1) mal in X,, DIE CONGRUENZEN VON #— en-m wm UND w’?wm—entn, 285 (m + 7) (in + n — 1) mal in X, und exmal in den # Schnittpunkten X, der Tangenten, welche man in den m ausserhalb X, liegenden Schnittpunkten von / mit der Fokalkurve e an dieser legen kann. Die in w‚ liegende Kurve ist identisch mit der #-fachen Kurve (siehe (936), S. 254) (a, AE 5 Dy)” a," ele (23 ml b gj Dt Be Li — do Diese ist vom Grade w—2—1 und schneidet X,X, in den mul Punkten M, x (Turin 1); die Tangenten in diesen VL n Punkten convergiren alle nach 7’ (siehe (954), S. 255). Die in we liegende Kurve hat nun in X, einen #(m + n — 1)- fachen Punkt; seine Tangenten verbinden X, mit den m--2— l Punkten Bes, (Erin), Es haben diese Tangenten in X, n(2m-—+-n—1) Punkte mit der Kurve gemein. Ubrigens haben wir keine Abweichungen aufzuweisen. Wenn / in ¢ den Punkt ZX, enthält, so wird die Ebene @o ma mal abgesondert. Wir erübrigen eine Fläche vom Grade (m + n) (un + n — 1) + mn, auf welcher À, und X, ma-fache Punkte sind. Die Gerade X, X, schneidet die Fläche z(m — 1) mal in X,, (m + 2) (m+-n— 1) mal in X, und exmal in den x Schnittpunkten X, der Tangenten, welche in den # ausserhalb X, liegenden Schnitt- punkten von / mit der Fokalkurve e an diese gelegt werden. Die in we befindliche Kurve ist in eine z-fache Kurve vom Grade m + » — 1 ausgeartet. § lla. Die axiale Regelfläche einer in © liegenden Gerade /,, welche X,X, (2 /7) schneidet, 77 der parabolischen Congruenz. Weil jede durch # hindurchgehende Gerade in ws ein Congruenz- strahl ist, so wird die Ebene wz ein Bestandteil der Regelfläche sein. Um zu erledigen, wieviel mal we abzusondern ist, haben wir nur zu untersuchen, wieviel-fach ein Strahl in ©, durch Z ist, wenn er als Grenzlage eines ausserhalb wa liegenden Strahles betrachtet wird, oder, was dasselbe ist, wieviel ausserhalb ©, liegende Strahlen sich in einer willkürlichen durch / gelegten Ebene befinden Diese Anzahl wird ermittelt, indem wir die Bildkurve einer in wx liegenden durch # gehenden Gerade betrachten, und unter- suchen, wieviel Punkte eine in ©, liegende, durch Z gehende Gerade ausser Z mit dieser Kurve gemein hat. Die Bildkurve der durch 286 DIE CONGRUENZEN VON #w/— en—m wm UND wt wt =entn, Ly ae AR angewiesenen Gerade / wird durch dargestellt, oder wenn wir Vy = di À dy setzen, durch 1 Nn rt (æ, + oe == 2, me -|- Az," : also durch n 4) mn | m n Ugg, AI vn — (4 CR NET AS 2/7 oder LL (m—1) Els n—1 7 ! An m „EL me Art MORTE EE ne NULS Le mm Ps Hieraus ergiebt sich, dass, da die höchste Potenz von a, d. h. a," zi den Coefficient +," hat, der Punkt Zein »-facher ist, Eine durch Æ gelegte Ebene enthält daher mz—n = (m— l1)u Strablen ausserhalb we. Es sind somit x Strahlen in die Schnittlinie der Ebene mit we gefallen. Es leuchtet ein, dass von der ursprünglichen Regelfläche die Ebene x x mal abzusondern ist, wonach man eine Restflache vom Grade m(a—--n—1)—an = (m--n)(m—1) erübrigt. Es ist also in jedem Schnitte mit einer durch X,X, gelegten Ebene die Gerade X,X, ~ mal der in $ 94 und § 10a hergeleite- ten Kurve zu entnehmen. Die Resultaten von § 9a und § 10a wirden am einfachsten combinirt, indem man in § 9a fp a aaa el einsetzt. Die Gleichung des in we befindlichen Schnittes ist als- dann, nach Teilung durch x, (siehe (1044), S. 262), m mt m—n a,” cee 2" — (a, ces 2)rs * = (. ; é (1284) Nach Rationalisirung erscheint diese Gleichung teilbar durch DIE CONGRUENZEN VON ver mm UND win wm —cemtn, 287 (my). Die Kurve vom Grade mz ist nun in die #-fache Ge- rade XM und eine Kurve vom Grade (m—l) zerfallen. Diese hat in X, einen #(#—1)-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangen- ten in X;/ vereinigt sind. Es hat diese Tangente ausser X, keinen Punkt mit der Kurve gemein. Der Punkt / gehört der Kurve nicht an. Die in w, liegende Kurve besteht jetzt aus der 2(m—1)-fachen Gerade X,X, und aus einer Kurve vom Grade m(m—1). Die Gleichung n rn M= Nl AN En ds Si ea" = Cs Va, € == 0 . . (1294) erscheint ja nach Rationalisirung teilbar durch (@,—ea,)”. Es ist auf der Fläche X,X, eine 2(m—1)-fache, X,X, eine n(a— 1)- fache Gerade (Siehe weiter § 8a, $ 9a, § 10a). § 114. Die axiale Regelfliche einer in © liegenden Gerade 1,, welche XX, (ix [’) schneidet, #2 der hyperbolischen Congruenz. Wir haben hier die Ergebnisse von $ 94 und $ 104 zu verschmelzen. Die Schnittkurve in we hat die Gieichung (4, ——%x;) m mtn m mtn mm Das nr rl) a,” 10 (1285) Nach Rationalisirung wird sie teilbar durch (2, —æ,)". Wir erübrigen also eine Kurve vom Grade u(2m Ju — 1). Übrigens unterscheidet diese Regelfläche sich nicht wesentlich von der in $ 104 erörterten Fläche. § 12a. Die axiale Regelflüche eines Congruenzstrahles in der parabolischen Congruenz. Die Ebene, welche einen Congruenzstrahl s mit X, verbindet, ist singulär und trägt ein Strahlengebilde von der Klasse m. Es ist diese Ebene (s, X,) daher als ein Bestandteil m*" Grades der axialen Regelfläche zu betrachten. Aus denselben Gründen ist auch die Ebene, welche s mit X, vereinigt, als Bestandteil m‘" Grades zu betrachten. Aus dem Obigen geht hervor, dass wir eine Fläche vom Grade mm +-n — 2) erübrigen. Von den #° Strahlen, welche sich in einem Punkte von s treffen, ist s selbst ein Exemplar; # — 1 andere liegen in der Ebene (s, X,), noch m— 1 andere liegen in der Ebene (s, X); es liegen deren also ausserhalb s auf der Restfläche m?— 2 (m — 1)— 1 =(m— 1). Der 288 DIE CONGRUENZEN VON w’?—=cr-m wm UND ww — emt, Strahl s ist demnach auf seiner axialen Regelfläche eine (um — 1)- fache Gerade. Der Schmitt von we mit der allgemeinen Regelfläche besteht aus nn —n») mal der Gerade A X,, n(m — u) mal der Gerade 4 X,, (m — 7) mal den m—~za Geraden AL, ‘und aus einer Kurve m—n vom Grade x(m-+ 2). Der Fokalkegel 7, hat in X, X, eine z-fache Kante, deren sämmtliche Berührungsebenen in ©: vereinigt sind. Die Ebene (s, X,) schneidet also Æ, in einer Kurve mm" Klasse, welche in X, einen z-fachen Punkt hat. Die x Tangenten in X, sind alle in X, 8 zusammengefallen, wenn mit S die Spur von s in ws bezeichnet wird. Diese x Geraden X,S können als die Grenzlagen von x Geraden betrachtet werden, welche einem auf s nahe bei S hegenden Punkte Y entstammen und überdies die Kurve #* Klasse berühren. Weil letztere auf der Fokalfläche liegt, so sind die x Tangenten Congruenzstrahlen. Wir stoszen hier auf einen Unterschied mit dem Falle, wo es sich um eine willkürliche Gerade / handelt. In diesem Falle sind die aus einem nahe bei 4 liegenden Punkte Y an die in der Ebene (7, X,) befindlichen Kurve gelegten Tangenten eben zicht Congruenz- strahlen, da die Ebene (/, X,) nicht singular ist. Die x Tangenten SX, erscheinen also als Congruenzstrahlen nur dann, wenn wir uns dem Punkte S längs einem Congruenzstrahle s nähern. Sie gehôren somit den xm — u) Geraden AX, sonst nicht an, wer- den deshalb jetzt der in we liegenden Restkurve entzogen, deren Grad demnach um 2z erniedrigt wird und also den Wert x(a u — 2) erhält. Die Ebene (s, X,) ist im Ganzen m-fach abgesondert, SX, daher dem Gesammtschnitte in we m mal entnommen. Wie oben gezeigt wurde, werden von diesen m Geraden SX, » der Rest- kurve entzogen, und somit m—n den x(m—n) Geraden SX,, welche urspriinglich dem Ausartungsgebilde angehôrten. Das Aus- artungsgebilde enthält also jetzt (~—1)(m—z) mal die Gerade SX, und (2—1)(m—z) mal die Gerade SX). Unser Schluss ist demnach, dass die Restflache, vom Grade mn +-2—2), die Ebene we schneidet in (x — 1) (m — x») mal der Gerade SX,, (2 — 1)(#—x) mal der Gerade SX,, (m—z) mal den m—n Geraden SH, und in einer Restkurve vom Grade nn + n — 2). Da die Spur 8’ von s in @ eines der Bilder von 8 ist, so haben wir Uy =S, As = So, m m 6 ; 5 4 ( 1 30a) / b, Sy > UN == SEA DIE CONGRUENZEN VON w— tr om UND w'wnm—cntn, 289 Die in we liegende Kurve hat (siehe (262), S. 200) die Gleichung nt mi VL BET 1)" — Ellef 8,83)" HE 1" &) 8" = 0. (1314) Wir bringen diese Gleichung in die Gestalt : W Wh ni nt t WL ni En (Er == 84 83)" == 8 Sieg, Siep == 82 82)" a= Si Soa 5 und potenziren die beiden Seiten mit 2, wonach sich ergiebt m(n—1) m nt ee (Ei ae Si Bolk NS." Ei S55 : (Car 84 Sa) ™ Ean Teas Si So” Er Zan = m(n—1) m ANR ee Lys" ie (+8283) ‘ fe EE + 4°” En ae Es zeigt sich, dass die Glieder mit £,"£,” und &,”" &,” verschwin- D ? 1 3 2 3 den, wonach die ganze Gleichung durch > teilbar wird. > D al Cy) Die rationale Gleichune ist also teilbar durch &,"&,", womit D 1 IE) ausgedrückt wird, dass von der urspriinglichen Kurve xz mal die D te) Gerade SX, und # mal die Gerade SX, abgesondert wird. Es erübrigt somit eine Kurve vom Grade z(m + — 2). Der Punkt X,, wird jetzt ein (a — 1)-facher, dessen ‘langenten 1) te) alle noch mit SX, zusammenfallen. Ebenso wird X, ein «(u — 1)-facher Punkt sein, dessen Tangenten 2 te} alle sich in SX, vereinigen. Der Punkt S ist jetzt ein (2 — 1)--facher, weil von den ursprüng- lichen #° Zweigen » mit SX,, x mit SX, zusammengefallen sind, während ein Zweig (da s selbst Congruenzstrahl ist) unbestimmt geworden ist. Ubrigens hat die Kurve in we keine besonderen Eigenschaften aufzuweisen. Die in wo liegende Kurve wird jetzt (siehe (404), S. 207) durch rn mt n n § (84 + ag E)" — (eue 8," &,)" + (sp Ei — 45) SE =0 (1824) dargestellt. Nach Rationalisirung erscheint diese Gleichung teilbar durch &,'"&,'"; es wird somit der ursprünglichen Kurve # mal die Gerade S’ X, und m mal die Gerade S’ X, entnommen, wonach eine Restkurve vom Grade m(m + x — 2) übrig bleibt. Es ist auf dieser Restkurve X, ein m(x — 1)-facher Punkt, von dessen Tangenten je m X, mit einem der ausserhalb S’X, hegenden Bilder von S verbinden. Ebenso ist X, ein m(x — 1)-facher Punkt, von dessen ‘langenten je m in eine der x—1 Geraden zusam- Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch: (4° Sectie) Dl. X. B 19 290 DIE CONGRUENZEN VON wn— tm pn UND w'r wm — cmt, menfallen, welche X, mit den #(*— 1) ausserhalb S'X, liegenden Bildern von § verbinden. Der Punkt S” ist ein (m— 1)’-facher; seine T'angenten sind die axialen Projektionen aus s auf wo, der (m — 1) ausserhalb (s, X,) und (s, X) liegenden nach S’ zielenden Congruenzstrahlen. Ubrigens haben wir nichts wesentlich Neues zu vermelden. Von den Punkten XY, und X, als Punkten der Fläche lässt sich bemerken, dass beide mn — 1)-fache Punkte sind. Die Tangenten in À, befinden sich in #(#-—1) Ebenen, von denen je m zusam- menfallen in die #— 1 Ebenen (siehe (46a), S. 211) (5 een So de) p> nt Sar ie — ed EE (1334) Vs a So da y goe Ly, 7 m wobei für s,” im Nenner die der Spur S” von s in @, entsprechende n-te Wurzel von s,”" einzusetzen ist. Die Tangenten in X, sind in m(z—1) Ebenen aufgespeichert, von denen je m zusammenfallen in die #— 1 Ebenen (siehe (45a), rege al) m (2 — 423)" — 8 m Ly tz A La — 81 L3 — Ui m wo s," die Spur 8’ bestimmt. Der Schnitt mit einer durch XX, gelegten Ebene ist eine Kurve vom Grade mlm d-u— 2), welche in X, und X, m(u — 1)-fache Punkte aufweist. Von den Tangenten in X, sind je m in einer der n—l Schmittlinien von w, mit den »— 1 Ebenen (1834), von denen in X, sind je m in einer der »— 1 Spuren in w, der #—1 Ebenen (134a) vereinigt. Die Kurve hat im Schnittpunkte S, von s mit w, einen (#—1)- fachen Punkt, dessen Tangenten durch die (#— 1) nach &, zie- lenden Congruenzstrahlen bestimmt werden. Ferner besitzt die Kurve in den #—»# Punkten ZX, n-fache mn Punkte, deren sämmtliche Tangenten in we aufgespeichert sind, während die Tangenten in we die Punkte Z verbinden mit mn dem Schnittpunkte von X,8 und der Gerade MEE) +ms—s)é—=0 . . (1350 (siehe S. 217). | > DIE CONGRUENZEN VON w’?~er-m wm UND wt ein —=enmtn, 29] Die Kurve hat schliesslich Doppelpunkte in den Schnittpunkten von w, mit der Doppelkurve. Wir wollen diese Doppelkurve näher betrachten. Die Gleichungen Th aa Oe yc. Gs kc ee (EA) und JAT) Re nc, CED) welche zusammen die Spuren der Strahlen bestimmen, welche sich in einem Punkte von s schneiden, haben jetzt bez. die Wurzeln oO und 7, — 0. Die durch Fortschaffung dieser Wurzeln entstandenen Gleichun- gen wollen wir mit SAGE Oe Weer At ee 7406) A NS RE IN andeuten; sie sind nun vom Grade m— 1. Nachdem wir die Gleichungen (136) und (137) an die Stelle der Gleichungen (74) und (85) gesetzt haben, können wir das Verfahren von § 64 wiederholen. Weil die Zahl m jetzt um eins erniedrigt ist, so wird auch die Doppelkurve einen niedrigeren Grad aufweisen als im allgemeinen Falle. § 12%. Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles 7% der hyperbolischen Congruenz. Die singuläre Ebene, welche den Congruenzstrahl s mit X, ver- bindet, enthält ein Strahlengebilde von der Klasse m-—- x. Sie bil- det demnach ein Bestandteil vom Grade » + der axialen Regel- fläche von s. Ebenso wird dieser axialen Regelfläche (7 + x) mal die Verbindungsebene (s, entnommen. Die Restfläche ist daher vom Be tle (nbn? + mn — Um H- 1) = (nm + 2) (nm + n —2) + mn. Zu den (#—+») Strahlen, welche nach einem Punkte von s zielen, gehören, ausser s, noch m 4 — 1 Strahlen in (s, X,) und m+n —1 Strahlen in (s, X), wonach deren nur (m+ x) — — 2(m + n— 1)—1 = (a + 2 — 1) auf der Restfläche liegen ; hier- durch erscheint s auf seiner axialen Regelfliche als eine (m + x — 1)*- fache Gerade. Der Schnitt der allgemeinen Regelflache mit we setzt sich aus mn mal der Gerade AX,, mn mal der Gerade AX,, m* mal der Gerade AX. und aus einer Kurve vom Grade n(2m ñ) zusammen. 3 B 19* 292 DIE CONGRUENZEN VON w'n== tm wm UND ww = ent, Die (+ x) Strahlen, welche nach einem auf s in der Nahe von der Spur #8 in we liegenden Punkte Y zielen, treffen die Ebene @ in (4 +») Punkten, deren gegenseitige Lage hierneben (für m= 3, 7 —2) Skizamtnsts Nahe bei X, liegen mx Punkte (D), in der Nahe von X, befin- den sich mx Punkte (II); nahe bei S; (dem Schnittpunkte von X, S mit À, X,) liegen #° Punkte (HI). Ferner hat man noch x? Punkte, welche nicht in der Nahe von X,X, liegen, und denen S’, die Spur von s in @), angehort. Wenn Y in S gelegt wird, so fallen die ma Punkte (J) mit X,, die mu Punkte (ID mit X, und die m* Punkte (IID) mit S; zusammen. Schon fee Y mit S vereinigt wird, enthalt die Ebene (s, X,), also die Gerade S” X,, m Punkte (D nd die Ebene (s, X,), also die Gerade 8’ X,, m Punkte (ID). Die Ebene (s, X,) trägt deshalb m Strahlen, ne also m mal die in we liegende Gerade SX,. Von den mx Strahlen SX, bleiben demnach nur w(u — 1) übrig. Ebenso entnimmt die Ebene (s, X,) dem Schnitte » Strahlen SX,, wonach von den mz Strahlen SX, nur m(z— 1) erübrigt werden. Da die Ebene (s, X,) im Ganzen eine (m + »)-fache ist, so wird, ausser m mal der Gerade SX, als Ausartungselement, noch x mal diese Gerade der Restkurve entzogen; auch SX, wird x mal von der Restkurve abgesondert. Der Punkt 8, welche auf der Restfläche ein (m+ x — 1)-facher ist, trägt noch m(x — 1) Strahlen SX,, (x — 1) Strahlen SX,, m? Strahlen SX, und (2-1) Strahlen, weloke S mit seinen ausser- halb S’X, und 8S’ X, liegenden Bildern verbinden. Die inwe befindliche Restkurve ist jetzt vom Grade #(2mn)—?n = n(2m+nu—2). Wenn wir in der entsprechenden Gleichung ((265), S. 225) des allgemeinen Halles Fig. 13. Qa, == Sys Qs — Sos m m |. . . ’ . (1306) bi ee 8 ns DE ij n einsetzen, so folgt DIE CONGRUENZEN VON 0 — en—m w UND w'wm—emtn, 293 m m ni ne Er (Er ie CAE EP ann, Eo (& == 8 Ë By” ba - = TE EG +a)" Et mb)" =0. (1310 Indem man diese Gleichung in die Gestalt m m mi m eo ME, (§, oe S ae és" JE st 5, (Ea == Sy GG == Sa Zon = m m m ons né (Se + Sy Ey” Er == a EE Te “5 y" (Ea So ave bringt und nachher beide Seiten mit 2 potenzirt, erhalt man min — 41) m m(n—1) HS)" Er (Ent 183 ion ss Se eq Sp (Er 453) Ui Soo) BO Le, —- TRA n WE + Sie Naa & + Ss) 52) KA — Se LS, m Bi Ge + Sioa Es + m(n—1) mn —1) HAS "TS | Sien ae (§,+8 Ei) Ets) 53) QE, UE EE eee Es erhellt, dass die Glieder mit &,”&,7" und £&,"£" verschwin- den, sodass die Gleichung durch &,&, teilbar wird. Die rationale Gleichung wird daher durch £"E, vom der ursprünglichen Kurve ist somit z mal die Gerade SX, und m mal die Gerade SX, abgesondert; die Restkurve ist demnach vom Grade n(2m +- 2) — 2n — n(2m + n— 2), wie auch oben ge- funden ist. Von dieser Kurve lässt sich nun bemerken, dass X, ein 2(m— 1)- facher Punkt ist, von dessen Tangenten je ~ in einer der m— 1 Geraden vereimigt sind, welche X, mit den (# — 1) ausserhalb SX, und SX, liegenden Bilder von S’ verbinden. Ebenso ist X, ein m(m—1)-facher Punkt, von dessen Tangenten je x zusammenge- fallen sind in einer der #— 1 Geraden, welche X, mit diesen (m—1) Bildern von S” verbinden. Der Punkt S ist ein (#— 1)-facher Punkt; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus s auf wa der ausserhalb (s, X,) und (s, X,) liegenden nach S zielenden Congruenzstrahlen. Falls man hat » >>», besitzt die Kurve in 8, (dem Schnitt- punkte von X, 8° mit XX) einen n-fachen Punkt, dessen simmt- liche Tangenten in der Gerade SS, vereinigt sind; es hat diese Gerade in S, mit der Kurve ma Punkte gemein (siehe S. 229). Der Punkt XY, ist, wie früher, ein ##7-facher Punkt, von dessen Tangenten je z in einem der Bilder der Gerade X, 5; zusammen- gefallen sind, die X, mit dem Schnittpunkte S, von SX, und X, X, verbindet, n teilbar sein; 294 DIE CONGRUENZEN VON #'— em om UND win api == ein, Die Kurve in ©, unterscheidet sich nur im Verhalten des Punk- tes S;. Es ist dieser Punkt, für m > x, ein mn-facher Punkt, dessen Tangenten alle mit X, X, zusammengefallen sind; die Gerade X, X, hat in S; #° Punkte mit der in wo liegenden Kurve gemein (siehe SD) Die Punkte X, und X, sind jetzt auf der Fläche {214% — (mn + 1)|- fache Punkte. Die Tangenten von X, liegen in 2mu —(m +») Ebenen. Von diesen Ebenen sind m(z—1) zu je m in einer der n— l Ebenen ni (ty — 82 @3)" 8, 7 rn ==) 40004 NSE in ni do FE So Vs a Sj di, nt vereinigt, wo s, ” die eine der beide Coordinaten von #° darstellt; von den übrigen sind je x in einer der #—1 Ebenen mi (25 AE 8 n B) Sip re VD 2a" =00. . i we zusammengefallen; die Grosse s, ” hat sowohl im Zähler wie im ~ Nenner die oben erwähnte Bedeutung. Die Tangenten von YX, befinden sich teilweise in den #—1 m-fachen Ebenen, welche durch me (Bir da) ed 0 . EE _m n m dargestellt werden; es bedeutet s, " die andere Coordinate von #7. Der andere Teil ist in den w— l z-fachen Ebenen nt 5 n Mo —M mM (a, — 4 " &)" & V3 == 0" à 0 2 _m rt dy EE Sy V3 Des Sy Ly m enthalten; s, ” hat wieder dieselbe Bedeutung wie in (1349). Ausser der (w—»— 1)-fachen Gerade s und der Doppelkurve vom erniedrigten Grade, hat die Regelfläche keine neuen Eigen- schaften aufzuweisen. DIE CONGRUENZEN VON &w— en-m mg UND w'wm—emtn, 295 Der Schnitt mit einer durch X,X, gelegten Ebene w, hat jetzt in X, und X, |2mn—(m--xn)\-fache Punkte. Von den 2m — (m + ») Tangenten in X, sind #(#— 1) zu je m in einer der # — 1 Spuren der Ebenen (1334) in ©, vereinigt, von den anderen z(m — 1) sind je z in einer der #—1 Spuren der Ebenen (133%) in ©, zusam- mengefallen. Analoges gilt für die Tangenten in 4. Im Schnittpunkte S, von s mit ©, hat die Kurve einen (+ n— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten durch die ausserhalb (s, X,) und (s, X,) hegenden nach #, zielenden Strahlen bestimmt werden. Die Punkte X,, #, und S, verhalten sich in derselben Weise wie im allgemeinen Falle. Die Doppelkurve ist auch hier von niedrigerem Grade. Waren früher /,(7,)—=0 und /,(7,)=0 vom Grade # + x, so sind nun die durch Fortschaffung der Wurzeln 7, — 0 und 7, = 0 erhaltenen Gleichungen s,(7,)==0 und s,(7,)=0 vom Grade man. $ 13a. Die axiale Regelflüche eines in einer singularen Ebene ¢, liegenden Congruenzstrahles, 77 der parabolischen Congrvenz. Der Strahl s gehört nun drei singulären Ebenen an, n.l. den Ebenen ¢,, (s, X,) und (s, X,). Jede dieser Ebenen enthalt ein Strahlengebilde "°° Klasse. Die Restfläche ist somit vom Grade mln + n) — 3m = mn + n — 3). Es liegen ausserhalb der Ebenen (s, X,) und (s, X,) (m— 1} Strahlen, welche nach einem Punkte von s zielen. Von diesen be- finden sich #— 1 in ¢,; denn durch diesen Punkt gehen m in ¢, liegende Strahlen, von denen s einer ist. Es liegen demnach ausser- -halb der Ebenen (s, X,), (s, X,) und €, (m— 1) — (m7 — 1) — (m — 1)(m—2) Strahlen, wonach der Congrnenzstrahl s auf seiner axialen Regelfläche eine (mm — 1)(m— 2)-fache Gerade ist. Im allgemeinen Falle trägt die Ebene we #(m — 2) mal die Gerade AX,, mn — n) mal die Gerade AK, (mm — #) mal die mw — x Geraden Ak, und eine Kurve vom Gerade x(m-- x). mn Dem in $ 104 und § 124 Dargelegten entsprechend, lässt sich bemerken, dass die Ebene (s, X,) (#œ—») mal SX,, die Ebene (s, A) (m—n) mal SX, und die Ebene ¢, (mi —») mal die Gerade SH, dem Ausartungsgebilde entnimmt, während die Ebene (s, X,) n mal SX,, die Ebene (s, X,) » mal SX, und die Ebene €, » mal SH, von der Restkurve vom Grade n(m-—-x) abtrennt. Die Restfläche des in €, befindlichen Congruenzstrahles s hat also mit we gemein: (n— l)(m—n) mal SA, (2 — 1) (wm — x) 296 DIE CONGRUENZEN VON wter wm UND wt ot = ern, mal SX,, (mr — x) mal die wm — x — 1 Geraden SH, (raed und eine Kurve vom Grade x(m + x — 3). Auch hier wollen wir nur die Ebene € (a = >,) betrachten. Die Gleichung der zu untersuchenden Kurve wird ermittelt indem wir in (26a) (S. 200) | a, = U —=S, (1884) bi = b, — Ses elnsetzen. Wir bekommen alsdann VL £,(&, :3€,)" —€,(€, dE)" +5" (€; EE =O Diese Gleichung erscheint nach Rationalisirung teilbar durch EM EN(E —E,)"; auch in dieser Weise wird für den Grad der Restkurve der Wert 2(m--2—3) ermittelt. Es sind auf dieser Kurve X, und X, x(a— 1)-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten bez. mit SX, und SX, zusammenfallen. Der Punkt S ist ein (2 — 1) (u — 2)-facher, weil von den (7 — 1) in § 12a erhaltenen Zweigen noch »—1 in #7 gefallen sind. Die Tangenten werden durch die (2 — 1) (z—2) ausserhalb e, (s, À) und (s, X) liegenden nach & zielenden Congruenzstrahlen bestimmt. Der Punkt # gehört der Kurve zicht an. Die Kurve hat in X, noch einen u(x — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle mit A, 8 — X, / zusammenfallen. Die in ©, befindliche Kurve wird ermittelt, indem man in (404) (S. 207) die Substitution (1384) ausführt; man erhält sodann 11 nt n Elst EE (Est ET (EEE OE Diese Gleichung weist nach Rationalisirung den Faktor &,/"E,"(£ —E#,)" auf, wonach die Restkurve vom Grade m(m + u — 3) ist. Auf dieser Kurve ist X, ein. m(u — 1)-facher Punkt, von dessen Tangenten je m in einer der #— 1 Geraden vereinigt sind, welche X, mit den #(w — 1) ausserhalb S’X, liegenden Bildern von S ver- binden. Ebenso ist X, ein m(u — l)-facher Punkt; von seinen Fan- genten sind je m mit einer der # — 1 Geraden zusammengefallen, welche XY, mit den #(x— 1) ausserhalb 8” X, liegenden Bildern von S verbinden. Der Punkt S” ist ein (#— 1) (m — 2)-facher; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus s auf wy der (#7 — 1) (mw — 2) DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= erm w UND wr on —entn, 297 ausserhalb €, (s, X,) und (s, X,) liegenden nach #” zielenden Con- gruenzstrahlen. Der Punkt X, ist ein m(x— l)-facher Punkt, von dessen Tan- genten je m in einer der 2—1 ausserhalb XY, Z liegenden Bilder von X,# vereinigt sind (siehe § 7a, S. 244). Die Punkte #, (r_, 1) erfahren keinen Einfluss von der Lage der Axe s. Der Punkt Z gehôrt auch dieser Kurve wicht an. Es sind auf der Regelfläche X, und X, #(# — 1)-fache Punkte; für ihre Tangenten dürfen wir auf § 124 verweisen. Die m—n—1 Punkte #, (r, ,7 1) sind z-fache Punkte ; mn ihre Berührungsebenen sind mit we zusammengefallen. Der Punkt Z gehört der Fläche nicht an. Es ist XX, eine »(» — 1)-fache Gerade; alle Berührungsebenen sind in € vereinigt (Ausnahme in wo). Der Schnitt mit einer durch X, X, gelegten Ebene ©, hat in X, und X, ma — 1)-fache Punkte, deren Tangenten in § 124 angege- ben sind. Er hat in den #—n—1 Punkten Ey (nn F 1) n-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten mit X,X, zusammengefallen sind (Ausnahme in wo). Die Kurve hat im Schnittpunkte #, von s mit w, einen (m— 1)(m— 2)-fachen Punkt, dessen Tangenten durch die (#— 1) (wm — 2) ausserhalb €, (s, X,) und (s, X,) liegen- den nach #, zielenden Strablen bestimmt werden. Ferner hat die Kurve im Schnittpunkte X, von X,X, mit ow, einen u(x — 1)- fachen Punkt, dessen Tangenten alle mit %, 4 zusammengefallen sind (Ausnahme in @,). Schliesslich haben wir noch Doppelpunkte aufzuweisen in den Schnittpunkten von w, mit der Doppelkurve.. Hinsichthch der Doppelkurve können wir bemerken, dass wir wie in § 104 zu verfahren haben. Nur müssen wir beachten, dass die Gleichung (Tr) = 0 (S. 272) jetzt eine Wurzel += 0 hat. Nach Teiling durch 7 erhalten wir eine Gleichung ni—n vit CU) ede ER AE PME LA) welche vom Grade m— 1 ist. Diese Gleichung wird nun in derselben Weise behandelt wie in § 12a die Gleichung (T7) — 0. Der Grad der Doppelkurve erscheint noch niedriger als damals. $ 136. Die axiale Regelfliche eines in einer singulären Ebene €, liegenden Congruenzstrahles, 7 der hyperbolischen Congruenz. 298 DIE CONGRUENZEN VON w'"=—=er mor UND wo’ win = grtn, Der Grad (um +») + 2mn der allgemeinen Regelfläche wird um Bm Hu) erniedrigt, weil s jetzt in drei singulären Ebenen e,, (s, X,) und (s, X,) liegt, von denen jede ein Strahlengebilde von der Klasse m-—+-a trägt. Die Restfläche ist somit vom Grade (a +- 2) (in + — 8) + 2mn. Da von den (m-+-x) nach einem Punkte von s zielenden Strahlen nur (m+ a—1)(m-+-2— 2) ausserhalb der drei singulären Ebenen liegen, so ist der in ¢, befindliche Congruenzstrahl auf seiner axialen Regelfläche eine (um - 2 — 1) (m- — 2)-fache Gerade. Der Gesammtschnitt der allgemeinen Regelfläche mit we setzt sich aus ma mal AX,, mn mal AX,, m mal AX; und einer Kurve vom Grade (2m +») zusammen. Dem in § 104 und $ 124 Ge- fundenen entsprechend, erschliessen wir, dass dem Ausartungsgebilde m mal SX, durch (s, X,), m mal SX, durch (s, X,), m mal SX, durch ¢, entzogen wird. Die Restkurve ist demnach hier vom Grade n(2in = 2 — 98). Wir wollen auch hier nur die Ebene € (x, —#,) betrachten und setzen dementsprechend (1385) Die Gleichung (265) (S. 225) erhält sodann diese Form: IL m m nr Ei CF nn § 53) je Le ar E> Er + § A et a 7 BK Eis coen sE)” E48 £)" =0. . (39%) Nach vollständiger Fortschaffung der gebrochenen Exponenten erscheint die Gleichung teilbar durch &," &"(&,— &,)", sodass wir wiederum zu dem Schluss gelangen, dass der Grad der Restkurve n(2m +-n —- 3) ist. Es sind nun auf dieser Kurve X, und X, „(mw — 1)-fache Punkte; fiir ihre Tangenten diirfen wir auf § 124 (S. 293) verweisen. Der Punkt S ist ein (x — 1) (x — 2)-facher ; seine Tangenten sind gleichfalls leicht zu bestimmen. In Bezug auf die Punkte 8/=Z und X, dürfen wir das in $ 106 Gefundene heranziehen. Die Kurve in , bedarf jetzt keiner näheren Untersuchung. Man achte aber auf das Verhalten von 8,= #. Auf der Fläche sind X, und X, |2mx — (w + »)}-fache Punkte ; DIE CONGRUENZEN VON #'— en-nt on UND w'tun =entn, 299 ihre Tangenten sind in § 12% (S. 294) genügend erörtert. Ubrigens haben wir nur das in $ 104 Darlegte zu wiederholen. Der Schnit mit einer durch 4, X, gelegten Ebene ©, ist ebenso gänzlich bekannt, wenn wir nur die Ergebnisse von $ 104 und § 124 verschmelzen. Die Doppelkurve ist auch hier von niedrigerem Grade. Statt der Gleichung /(7) = 0, welche vom Grade # + war, ope- riren wir jetzt mit der Gleichung s(7) = 0, deren Grad m + — 1 ist. $ 144. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene «> liegenden Gerade, in der parabolischen Congruenz. Es gehen durch jeden Punkt 4 von der in we liegenden Gerade lo mm—n) Strahlen AX,, n(m—~n) Strahlen AX, und (m— ny Strahlen 4/7, . Die Ebene we wird somit als ein Bestandteil m—n vom Grade 2n(m — x) + (m — 2) =m? — n° der axialen Regelfläche entzogen. Die Restfläche ist also vom Grade m(m + x) — (an? — n?) = = mn Fn = n(m + à). Die Gerade /, ist auf ihrer axialen Regelfliche #°-fach, weil in jedem Punkte 4 #° ausserhalb ©, liegenden Strahlen sich auf ihr stützen. Da die Gerade /> einen besonderen Fall der Gerade /, bildet, welche X, X, schneidet, n.l. sofern w— oo zu setzen ist, so können wir unmittelbar bemerken, dass der Schmitt in ©, durch m == N dw, + % a, + axes) 23 " == 0 (siehe (99a),S. 258) dargestellt wird, welche Gleichung nach Ratio- nalisirung lautet : Gatse Na TN). Damals (siehe S. 258) war schon nz? mal die Gerade X, X, abge- sondert. Jetzt wird ausserdem abermals #(%—») mal YX, X, bei Seite gestellt, sodass der Gesammtschnitt aus mz mal X, A, und nm mal der gegebenen, durch Goddamn Or A. (AQ) dargestellten Gerade /, besteht. Der Schnitt in ©, war (siehe S. 259) aus mx mal der Gerade X,X, und aus einer Kurve vom Grade #° zusammengesetzt, deren Gleichung für ~= = lautet: 300 DIE CONGRUENZEN VON w'n==erm pn UND w' on —=entn, Nn M= n n (æ, Di + a, To + 4, he Ly, We 0 , und welche demnach aus w(m — ») mal der Gerade X, X, und aus einer durch rt n n wao 1 2,0," dant) sn leer gegebenen Kurve vom Grade ma besteht. Der Gesammtschnitt in ©, ist somit aus #° mal X, X, und der Kurve (1484) vom Grade mx zusammengesetzt. Weil aber schon (m”— 2”) mal X,X, in der (m° — #°)-fachen Ebene we enthalten ist, so schneidet w, die Restfläche in x? mal X,X, und in der durch (1434) angewiesenen Kurve vom Grade mn. Diese Kurve ist die in wy liegende Bildkurve der in wx befind- lichen Gerade (142). Die Kurve (1434) schneidet X,X, in den durch n "1. 5. mt ay a, + 4) Vy = 0 ; oder a, a," — (— LE By Bs gegebenen Punkten. Es sind diese offenbar die x Bilder Z; in wy des Schnittpunktes Z, (aya + a,x,—0) von Z mit X, Xs. In jedem dieser 2 Punkte bat À, X, m Punkte mit der Kurve gemein. Wir wollen nunmehr das Verhalten eines solchen Punktes 4, festzustellen versuchen. Es ist einer der Punkte 4, durch mm n . Oy d — (—=) di» dr == 0 Oho, bestimmt. Wir verlegen die Coordinatenecke X, nach diesem Punkte L, indem wir mi ley It 1 dy = (— —*) Vy + Ws > setzen und diesen Ausdruck für +, in der folgendermassen : vn nv nl Gy By!" Oey Dy" hs DIE CONGRUENZEN VON 2% — en wm UND win ont == mn, 301 geschriebenen Gleichung (1434) substituiren. Wir erhalten sodann mn L | u n | nm n ? == a, 1e) Ly + TA | ng ay apt = a, Da" j 2 oder m n nr n a n = : (— a5)" e =) a, + as | = (a, oe + CA D) , 2 also mn) m I a n Oy n n=! In | a)" er) arte + +") = À a, a) | nim — 1) n = Ce oi + in hm a, m ae + Se —- ae ee oder A do)" (— D> Es ist in dieser Gleichung 2, ” die hôchste Potenz von 2, min — 4) n(m—A) n ES i ; à n dM D ee n(m—1) nt MR À rid a : ; 7e (weil ja — <1); ihr Coefficient ist @,'", also in der rationalen Glei- m chung 2,”. Die Punkte Z; sind daher z-fache Punkte, deren simmtliche Tangenten in X,X, vereinigt sind. Es hat diese Gerade in jedem Punkte Z; m Punkte mit der Kurve gemein. In derselben Weise lässt sich zeigen, dass die Kurve die Gerade ro) 2 X,X, (bez. X,X,) in den w Bildern Z, (bez. Z,) des Schnittpunk- 24 1 4 1 2 tes Z, (bez. £,) von Z mit X,X, (bez. X, X,) schneidet. f 2 Do 1 3 Es ist jeder der Punkte Zi (bez. Z,) ein »#-facher; seine sämmt- hehe Tangenten sind in XX, (bez. X, X,) vereinigt, welche Gerade D 24 1 1 D dort m Punkte mit der Kurve gemein hat. Auf der Fläche ist X,X, eine #°-fache Gerade. In der nicht- 1 2 singulären Hbene w, ist ja X,X, eine x-fache Gerade. Dies ist in Ubereinstimmung mit dem Umstande, dass durch den Punkt Z, von / x Strahlen hindurchgehen, welche alle mit X, X,, und zwar in der Ebene we zusammengefallen sind. Sämmtliche Berührungs- ebenen der x-fache Gerade sind daher mit we vereinigt; es hat diese Ebene mit der axialen Regelfläche mx mal X, X, gemein. Der Schnitt der Regelfläche mit einer durch XX, gelegten Ebene «©, trägt, ausser der #’-fachen Gerade X, X,, eine Kurve t 8 1 «Ly 302 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= ett on UND wo!” ont — enn, vom Grade mx, welche in den 2 Punkten Z; #-fache Punkte be- sitzt, deren Tangenten alle in XX, vereinigt sind. Die Punkte Z, sind auch z-fache Punkte der Fläche. Wenn die Gerade 7, den Punkt XY, enthalt, so ist sie durch Ws — ha, darzustellen. Die Coordinaten y, und p, der Spur in we» jedes Strahles p müssen daher der Bedingung p= hp, geniigen. Die Gleichungen (64), nt a —— n 7 Dits Di Es m Do = Plz À po" &, liefern jetzt m m ha, — dy — (4 — hk"), pa “4 , nt in VAL Bi — do = (a == k) 831» wonach ds dy Lo Wi PPT ere —(k—k" a, Nach Elimination von y, ergiebt sich m m (Æ tt D nl (ha, A5 Zare Den — (— 1B (4 a, Sr, dy) Oe (1444) Es stellt offenbar diese Gleichung die axiale Regelfläche dar. Diese Gleichung ist aber z-deutig und vertritt demnach verschie- dene Regelflachen, von denen jede vom Grade + + ist. Die ursprüngliche Fläche ist also in 2 Regelflächen vom Grade m +» ausgeartet. Eine solche Regelfläche enthält X,X, als eine z-fache Gerade, DIE CONGRUENZEN VON win== ern wm UND w'uwm—emtn, 303 während siimmtliche Berührungsebenen in we zusammengefallen sind. Auch die Gerade XX, ist eine #-fache; ihre Berührungsebenen sind alle in der Ebene #2, — +, — 0, d.h. in der durch X, und le gelegten Ebene vereinigt. Die Doppelkurve der axialen Regelfläche einer in we liegenden Gerade kann nicht in derselben Weise untersucht werden, wie früher geschah. Es ist hier ja von einer Spur der Gerade in ox gar nicht die Rede. Wir können hier folgendermassen verfahren. Ein Punkt P von / ist durch bestimmt. Die x? Bildpunkte P’ von P sind durch ! ! LA La = Pi Inda, Lo Po Tn Va m m angewiesen, wo p, einen der Werte y,",7, einen der Werte p,” und 7, und 7, #-te Wurzeln der Einheit darstellen. Die Verbindungslinie zweier Punkte P’ wird durch , ean) di — Pa En Va = Lo — Pr Fn LV Pa Fa — Tr Ve = De Gg Gr Tie) Vy, gegeben. Wenn diese Gerade den Punkt Z, trägt, so gehen durch P zwei Strahlen, deren Verbindungsebene die Gerade /o enthält. Die Bedingung, dass diese Gerade Z, trage, findet ihren Aus- druck in Un > Uy == dj: — di, D= 0}; wonach sich diese, Beziehung ergiebt : ay nr” FO Ca age | pa (En en ) oder CIN Gr, Ten 50) En CIN GA =| Tete) also a,” pa" (m, Az te = (a) py” Ce as ZA Der Relationen 304 DIK CONGRUENZEN VON voir — em gom UND zo'n wm — gt, Ty = Ta == Den je EK ET A er Pr ‘== py", ps" == wegen, finden wir ne NOR > Yp; HORS à À js (1454) | Der Punkt P muss sich auf / befinden, daher ap + Hy Po + B 0, oder a, Pi + a; y Pe Die Substitution dieses Ausdruckes in (1454) hefert i He! i T)" — ae = a) ay Py un a wf Erik oder aad =H "(LD (1462) Weil (1 — 7)" und (1 —r,’)” beide »-deutig sind , so stellt (1464) tatsächlich #° verschiedene Gleichungen dar, jede vom Grade m in yy. Es liegen demnach auf /, eine gewisse Zahl der Punkte P, welche zwei mit / in einer Ebene liegende Strahlen tragen. Diese Punkte ? sind daher Schnitte von / mit der Doppelkurve. Von den xz” verschiedenen durch (1464) vertretenen Gleichungen, ist eine identisch, n.l. diejenige, für welche 7,—1 und 7, =1: Es geschieht ferner noch (2 — 1) mal, das tT—T,’, so dass u — 1 Gleichungen (1464) von dieser Form sind: die (— 28) = "zy Dik == — (4, Wa 5 Balke Diese Gleichung bestinmt m Punkte P, von denen jeder offen- bar ein (z— 1)-facher ist. Die »—1 Gleichungen, für welche 7,—1, 7 #1, ergeben (a, py + as)" = 0 oder Po" === 0 ' DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= ermm UND w'rwm—emtn, 305 d.h. den Schnittpunkt Z, von /» mit A, X,, während die x —] Gleichungen, in welchen 7,41, 7} — 1 ist, pr == () liefern, also den Schnittpunkt Z, von / mit XX. Ausser diesen Gleichungen giebt es noch %°— 3 (x — 1) — 1 — = 2 — 3n + 2 —(n — 1) (x — 2), deren jede m verschiedene Punkte Paliefert. In dieser Weise lässt sich also die Anzahl der Schnittpunkte von le mit der Doppelkurve feststellen, daher auch der Grad der Dop- pelkurve, weil die Anzahl der ausserhalb 7» in einer durch 4, | 3 mn(mn — 1) . gelegten Ebene liegenden Doppelpunkte ie ist. Für -diesen Grad finden wir PURE xa ce AN , mna(mn — 1) vite = DR ma(mn + 2 2n — ap mna — 1) 5 mn) + 5 = § 144. De axiale Regelfliche einer in der Ebene wx liegenden Gerade, in der hyperbolischen Congrvenz. Jeder auf / in we» liegende Punkt 4 trägt mx Strahlen 4%,, mn Strahlen AX, und #° Strahlen AX. Die Ebene wz ist dem- nach ein Bestandteil vom Grade mw(m + 2x) der axialen Regelfläche. Die Restfläche ist somit vom Grade (m + 2)’ +- 2mn — m(m + 2n) = = n(2m + n). Auf dieser Restfläche ist /. eine n*-fache Gerade. Eeemoge (odie Gerade X,X, in Z,, X,X, in L, und XX, in ZL; schneiden. Wir denken uns einen Punkt P, welcher sich längs Z bewegt. Die #° Bilder von P werden, wenn P in Z, kommt, alle in X,, wenn P in Z, kommt, alle in X, vereinigt sein. Die Geraden LE, X, und Z, X, befinden sich deshalb auf der Restfläche. Da jeder Strahl in we durch À, oder durch X, ein #»-facher ist, so sind die Geraden Z, X, und ZX, als ma-fache Elementen des Schnittes in w. zu betrachten. Der Schnitt in we besteht daher aus #° mal der durch dy Ly = Wy By HU — angewiesenen Gerade /,, und aus mz mal den Geraden 4, X, Graz; — 0) und ZX, (@,2,-+ U; — 0). . Wenn der längs /- bewegliche Punkt ? in Z, kommt, so werden alle Bilder von ? in X, fallen. Die Gerade X, Z, ist demnach eine n-fache Gerade der Fläche. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch, (fe Sectie) Dl. X. B 20 (142) 306 DIE CONGRUENZEN VON w'n—=cr—m pm UND w'r wm — cm+n, Der Schmitt mit w‚ enthält jetzt, ausser der 2™-fachen Gerade XN, Lj, eine Kurve vom Grade 2mu, welche die Bildkurve der in w» liegenden Gerade / ist und durch n n n um "+ ds aa, = 0, oder durch n n n n n n a, Dae sind + 4, Di dip + a, Di D = 0 B K (1436) dargestellt wird. Diese Gleichung würde sich auch ergeben haben, wenn in § 84 f= eingesetzt wire. Es ist X, ein ma-facher Punkt; seine Tangenten werden durch n n Had + a0," = 0, oder durch Si + CA ay angewiesen; sie sind offenbar zu je m mit einem der x Bilder von XL, = =) zusammengefallen. T3 a, Der Punkt X, ist ebenfalls ein ##-facher; von seinen Tangenten sind je m in den > Bildern von X, Z, vereinigt. Auch der Punkt X, ist ein mga-facher; von seinen Tangenten sind je m mit den 2 Bildern von X, £3 vereinigt. Auf der Fläche sind X, und X, wz-fache Punkte; die Tangen- ten befinden sich bei jedem Punkte in mn Ebenen, von denen je m in einer der x Ebenen zusammengefallen sind, welche X, Z, (bez. X,Z,) mit ihren u Bildern X,Z,’ (bez. XZ’) verbinden. Es ist Z, natürlich ein z°-facher Punkt. Die Strahlen, welche in der Nahe von Z, ausmünden, entstammen nahe bei X, liegenden Punkten. Die Congruenzstrahlen münden in w. auf der Gerade Z aus; sie befinden sich also fast in der Ebene (Z, X,). Die Berüh- rungsebenen des n™-fachen Punktes Z; sind somit alle in (x, X,) vereinigt. Der Schnitt mit einer durch X, X, gelegten Ebene o, ist eine Kurve vom Grade z(Qm +), auf welcher X, und X, mun-fache Punkte sind und Z, ein »”-facher Punkt ist. DIE CONGRUENZEN VON w’t?=cr—™ wm UND wt wm =emtn, 307 Die Tangenten in X, und X, sind die Schnittlinien von ©, mit den oben genannten Ebenen durch X, bez. X,. Die Tangenten von Z, sind in der Schnittlinie von w, mit der Ebene (/., X,) vereinigt. Wenn die Gerade / den Punkt X, enthält, so zerfällt die Fläche noch weiter. Indem wir / durch Vs = VL darstellen, so muss für jeden Strahl » der Fläche der Bedingung Pr = hp genügt werden. Die Gleichungen (64), hefern jetzt am ee Sn ha, = Vy, = (Æ = k Da, Pa ve 3 m m k 7 CAT BEE da = (k LE hes PA , wonach 7 ka, A > PA = _m ard A—k Ma, und Durch Elimination von p, erhält man m m (ha, ed Bo)” van n ay eS) De), == (— ie (Æ re 7 rt n Ha Ui. (1445) Diese Gleichung ist wiederum z-deutig und vertritt daher x Regelflächen, jede vom Grade m + x. Die Punkte XY, und X, gehören nun der Fläche nicht an. Die Ebene wa ist der oben behandelten (aligemeineren) Fläche B 20% 308 DIE CONGRUENZEN VON win=—=etr=m wm UND 90/7 wm = em+n, mr mal entnommen. Die Restfläche vom Grade z(w + ») erscheint als eine z-fache. In Bezug auf die Erôrterung der Doppelkurve auf der axialen Regelfläche einer in wz liegenden Gerade /-, genügt es auf die vollkommene Analogie mit der entsprechenden Untersuchung in der parabolischen Congruenz zu weisen, welche den Schluss von $ 14a bildet. § 15a. Die amale Regelfläche einer Gerade X;E, in der ! « m==N parabolischen Cougruenz. Die Gerade X, 7, befindet sich in zwei singulären Ebenen, dd nl. in den Ebenen we und ¢,. Der Grad der Regelfläche wird daher um %°— u” +- mm erniedrigt. Wir haben in der Gleichung (l44a) (S. 302) 4=7,,_, einzu- setzen. Wir wählen /=1. Die erwähnte Gleichung lautet alsdann (1 —7,)"~" (@ — 2)" 23 =D" — 2)" ay". (1470) Eine dieser Gleichungen (nl. 7, — 1) hat die Form \ @ — 2)" a," = 0. Hieraus ist ersichtlich, dass der ganzen Fläche m mal die Ebene € angehôrt. Ausserdem wird die Ebene wz noch z mal abgesondert. Wir erübrigen also #— 1 Regelflächen vom Grade # + u. Es enthält jede XX» als eine »-fache Gerade mit w als ein- ziger Berührungsebene. Die Gerade X,X, ist auch eine z-fache; sie hat auch nur w, als Berührungsehène. Die Doppelkurve wird in derselben Weise bestimmt, wie am Ende von § 144 angegeben ist. Wir haben nur zu beachten, dass a, — —a, und æ;,—0 ist, wonach (146a) übergeht in Pa” — 0. Der Punkt X} ist also der einzige, welcher einer näheren Be- trachtung bedarf. Die x? nach X, zielenden Strahlen fallen alle mit X, X, zusammen. $ 155. Die axiale Regelfläche einer Gerade X; be in der m+n ; hyperbolischen Congruenz. Die axiale Regelfliche der Gerade Ay Er z. B. der Gerade Xs, welche in wo liegt und durch X, geht, zerfällt in 2 Flächen vom Grade m--x, von denen jede durch die Gleichung (1446) DIE CONGRUENZEN VON wn=—=er=m ggn UND wrom =entn, 309 dargestellt wird, wenn nur #— 1 substituirt wird. Die Gleichung lautet deshalb: (ay — 2) (7, — 2)" = (—1)" (1 —7,,)"t" 25” a. (1476) Für 7, — 1 bekommt man n (a, — zt — 0. Diese Fläche besteht aus der (wm + »)-fach zu zählenden Ebene e. Es war auch schon von vornherein klar, dass die singuläre Ebene (+ 2) mal abzusondern ist. Was aus der Doppelkurve wird, ist leicht ersichtlich, wenn wir beachten, dass nur X, Strahlen trägt, welche mit X, # in einer Ebene liegen. $ l6a. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte ruven, im der parabolischen Congruenz. Wir haben früher ($ 8a, S. 261) gefunden, dass ein in wz lie- gender Strahl durch X,, wenn er als Strahl durch X, betrachtet wird, ##-fach zu zählen ist. Ebenso ist ein Strahl, welcher in wz hegt und durch X, geht, als Strahl durch X, mn-fach zu rechnen. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte ruhen, wird somit alle Strahlen durch X, in we» und alle Strahlen durch X, in we enthalten, wonach der Grad der Regelfläche eines willkürlichen Kegelschnittes um 2mn ermedrigt werden muss. Da die Regelfläche eines willkürlichen Kegelschnittes vom Grade 2m(m + ») ist (der Kegelschnitt ist ja in seiner Ebene eine #”-fache Kurve und jeder der mz in dieser Ebene befindlichen Strahlen ist als Bisekante des Kegelschnittes doppelt zu zählen), so wird der Grad der Regelfläche eines durch X, und X, gelegten Kegelschnittes 2m(m + n) — 2mn — 2m” sein. Dieser Kegelschnitt, welcher mit VY, bezeichnet werden soll, ist auf seiner Regelfläche eine #”-fache Kurve. Die Ebene ©, von y, hat demnach ausser Y, nichts mit der Fläche gemein. In § 8a (S. 261) haben wir gesehen, dass von den nach einem nahe bei YX, liegenden Punkte zielenden Strahlen je m mit einer von m durch X, in w, gehenden Geraden zusammenfallen. Ebenso sind von den nach einem nahe bei X, liegenden Punkte zielenden Strahlen je m in einer von m Geraden durch X, in we vereinigt. Die Strahlen, welche den X, und X, auf Y, vorangehenden Punkten entstammen, bilden also ein Ausartungsgebilde vom Grade 27 310 DIE CONGRUENZEN VON wenn UND wt wm — emtn, in we. Da jedoch die Ebene we schon 2mx mal abgesondert ist, so enthält die Restfläche in wx noch m (m-—vn)-fache Strahlen durch XY, und m (m—n)-fache Strahlen durch X,, welche daher zusammen eine Figur vom Grade 2m(m—~zn) bilden. Diese Figur wird zum vollständigen Schnitte vom Grade 2»° ergänzt durch eine Kurve vom Grade 27. Wir sind also zu der Einsicht gelangt, dass die Regelfläche eines durch X, und YX, gelegten Kegelschnittes 7, die Ebene we» schnei- det in einer Kurve vom Grade 2m” und in m (m— 7)-fachen Ge- raden durch X, und m (m—vx)-fachen Geraden durch X,. | Wir wollen den Kegelschnitt Y, durch tz Ps ay 2, — & (4, Bas + %3 sz.) + do (ce Ps 23 + 43 Pi Ti) + (st Pa fo) 0, ees Di MP, OS IN LICE darstellen. Die Tangente in X, wird angewiesen durch as Bye Ha Pa; + & Bras = 0, | ts = ps | Die einem nahe bei X, liegenden Punkte entstammenden Strahlen, welche in wx liegen, werden (siehe § 8a, S. 261, 262) durch as B” — (— Iga, By a2 + (ma Ps + &3 By) zi" ej" "== 0 (1508) gegeben ; man erhält diese Gleichung, indem man in (1034) (S. 262) æ, — 0 einsetzt. Es bestimmt diese Gleichung die m (m— »)-fachen Geraden durch X,, welche mit den aw (mm —»#)-fachen Geraden durch X, und der Kurve vom Grade 2»x den Gesammtschnitt bilden. Die m (m—n)-fachen Geraden durch X, sind durch ay Bas" —(— 1)” a, B,æ ss CLAS aa a 8,)as|" 2,” “== (la) angewiesen. Die Kurve vom Grade 2m ist der Ort der Spuren P (pi, p») der Congruenzstrahlen », welche Y, schneiden. Die Gleichung dieses Ortes werd ermittelt, indem man aus den Gleichungen (148), (149) und (64) die Coordinaten 2, 2, 23; und x, eliminirt. Man bekommt alsdann : m m m a, 2 (up =p PO) (Mp, + po") AN pa") (ua, 2; + % 2) = rt + (Ma + Do") (ua 2; + 43 LB) 2 CAN te Sp 0E DIE CONGRUENZEN VON w’?=er—m wm UND w'n wm = emtn, 311 oder ds; 4" poo” + mas Psp" pe mp") + pa Bs pipe + + (24, RB, a; ie) py” + (ce B; + &; 2)” In + wwe, + 452) 0, + pue, Bs + «3 Bi) p2 + (4 P; + #32) = 0, oder m m m m m Yoni” pe" =o wi” po a pp”) SO dh, Wp” ai m an De" na ay ae 0, elo ea) wo also Vo = %3 Ps, Yo — MA; Yo — Hal, Ya = pa, Ps + a fl, V2 — BH EN + a, Bi, (153) 2h = pe (aat) PB, a= a. B), OD — (pe, Ps + 43 B), Wa Wd 2; + 4, = wo ist. Ersetzt man in (152a) p, durch 2:2; und pg, durch a: 23, so folgt m m m m mn Um — Nn) mm Yea” a" Lys (@,” D A 2") Pz ” <= Yo Ly 4223 nt Vie ey” = m m 2n—n 2m —n 2m Ya" 2" + A2 HE + V2 B23 + 3 2," = 0. (1544) Es stellt nun diese Gleichung die Kurve vom Grade 2mm dar, welche mit den Geraden durch X, und_X, den vollständigen Schnitt in wa bildet. Die Punkte X, und X, sind mn-fache Punkte. Die Tangenten in X, sind bestimmt durch m m—n m Yolo” +yoaa % ya" —0, . . (1554) oder me MN Yo Xa" = — (Yo 2 = Vie also durch Yo (ij (— i Ve (yo. do + Va da) La it == ( 4 312 DIE CONGRUENZEN VON #7 — çn-m wm UND w't wit — em+n. .Beachten wir die in (153) gegebene Bedeutung von 7, Yo und V1, so erscheinen diese Tangenten identisch mit den Geraden durch X,, welche dem Gesammtschnitte angehören (siehe (1504). In derselben Weise ersehen wir, dass die genannten Geraden durch X, (1514) auch die Tangenten in X, an der Kurve sind. Als Tangenten in A, und YX, sind aber die Geraden (1504) und (15la) »-fach zu rechnen. Mit anderen Worten: die Tangenten in X, (bez. Y,) an der in we liegenden Kurve sind die Congruenzstrahlen, welche sich in dem X, (bez. X,) vorangehenden Punkte auf Y,, stützen. Wenn wir bedenken, dass Yo == Yo Te u Yo» | Yi PE (1564) Ya = KY2> | so lässt sich die Gleichung (1544) folgendermassen schreiben : m = mn Cod ? "Yo 222 4 ey 2” (a en Kats” +2 2") an Hy — mea, A Aus dieser Form erhellt, dass die Substitution (1554) den Faktor 2m æ,", also in der rationalen Gleichung den Faktor +" absondert; die ‘l'angenten von À, haben daher dort 2” zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein, enthalten demnach ausser X, keinen Punkt der Kurve. Ebenso lässt sich zeigen, dass von den Tangenten X, alle Schnittpunkte mit der Kurve in X, vereinigt sind. Der Schnitt der Regelfläche mit ©, wird ermittelt, indem wir aus den Gleichungen (148) und (149) von Y, und aus den Gleichungen n=” ZA + py à Vi, dt —P2 7 3 py dr die Coordinaten 2,, 2), @; und a, eliminiren. Wir finden alsdann ce; 2; (py + Ben me (os + 4 Pa D a= (py + py D) (072 Bs + ak; Vere (pry! pp") (pads Bg ++ ey Ra) + (4? a3 By HB) = 0, oder OE id DIE CONGRUENZEN VON #0 — erm om UND w'twmaemtn, 3138 n n n VL dts Bapa Pa + ue By (py po ++ py" pa’) pe Bap” ps + + (Me, B: + 3 2) py, + (ey ce zin 3 (Bs) D> + (ue 2, os Lpi” + (ae, Bs + a; (0) p pe == (ua BE Py) = also, vermöge (153), nm nm n Vo Ps + Yo (Pr Pa Pi "Dy D + vom" pel” + ya + Yop! + A eM ir ee, amy ol GLP (MED) Wenn wir nun Dr durch FANS und D durch Do Dr ersetzen, SO 1 1 4 2 2 k bekommen wir mn n n 2m—n) Yo B D, = Vo (a, a + ET np) ) Li, me = je Dy es Lo m 23 mn + Ya Dad + n 2m—n n 2n—n + V2 do di + Va 2 Das Es amet + 73,0, = 0. (1584) Nach Rationalisirung bekommt diese Gleichung den Grad 2m’. Sie stellt den Gesammtschnitt der Regelfläche mit ©, dar. Es ist diese Kurve zugleich die Bildkurve der in ©, legenden Kurve man ersieht dies am leichtesten wenn man darauf achtet, dass die Gleichung (1574) aus der Gleichung (1524) ermittelt werden kann, n n wenn iiberall p, durch y" und p, durch p,” ersetzt wird. Die Kurve von Grade 2m? in ©, hat in X, und X, #°-fache Punkte. Die Tangenten in X, sind durch n mn Votre dote ay, oe, — Ol. (1094) oder durch (Yo Lo aa v4 2)" [res Cc De DE 2. n a” iS ( 4 (1604) bestimmt. Von den #° Tangenten in X, sind also je m in eine der m Geraden (1604) zusammengefallen. Mit Benutzung von (153) verwandelt sich (1604) in la Be + (Ace, Bs + a, Cyaan mus Gc! ee hel CHE Mrt == 0 p (1 6 la) Die Regelfläche der Strahlen, welche auf der in X, an 7, gelegten Tangente ruhen, besteht (siehe $ Sa, S. 261, 262) aus den m Ebenen 314 DIE CONGRUENZEN VON #0 — en=m wm UND wr wm = enn, Le Ba ay + (ue Bg + ag Bai)" — —(— lapt Ba" lue, Be, + (ue, + 38) wal (wpa) "TO. Der Schnitt dieser m Ebenen mit ©, (4, — 0) erscheint gerade zusammengesetzt aus den m m-fachen in A, an der Kurve in ©, gelegten Tangenten. Dieses Ergebniss ist im Einklang mit der Vorstellung, nach der die in ©, nahe bei X, liegenden Punkte denjenigen Strahlen ange- hören, welche sich in den X, vorangehenden Punkte auf dem Kegelschnitte Y,, stützen. Mit Hülfe von (1564) lässt sich die Gleichung (158a) folgender- massen schreiben : m—n 7 a ) 2 Yos H Yo LU" + Ne) (es A ir 7, a) aa 0 n m—n 7 In der rationalen Gleichung sondert daher die Substitution (1594) den Faktor 2m” ab; es erhellt somit, dass die Tangente in X, alle ihren 2m° Schnittpunkte mit der Kurve in X, vereinigt hat. Analoges lasst sich von den Tangenten in X, behaupten. Auf der Fläche sind X, und X, m?-fache Punkte, von deren Berührungsebenen je m in einer von m Ebenen zusammengefallen sind. Es bilden diese # Ebenen die Regelfläche der Strahlen , welche auf der in X, (bez. X,) an Y, gelegten Tangente ruhen. Der Kegelschnitt Y, selbst ist auf seiner Regelfläche eine m-fache Kurve. Es befindet sich auf der Fläche noch eine Doppelkurve, deren Untersuchung dahingestellt bleiben môge. § 166. Die Pegelflüche der Strahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte ruhen, in der hyperbolischen Congruenz. Die Regelfläche der Strahlen welche in der Ayperbolischen Con- gruenz auf einem willkürlichen Kegelschnitte ruhen, ist vom Grade Um + x) + 4mn, weil der Kegelschnitt in seiner Ebene eine (m+ n)-fache Kurve ist und überdies noch zweimal durch jedem der 2mu in seiner Ebene liegenden Strahlen geschnitten wird. Sobald der Kegelschnitt die Punkte XY, und X, enthält, werden die Ebenen wo und ©, abgesondert, weil jede durch X, oder X, in we oder w gelegte Gerade ein Congruengstrahl ist. Da eme durch X, in ws gehende Gerade als ein ma-facher Strahl betrachtet werden muss, auch wenn X, als Sammelpunkt gewahlt DIE CONGRUENZEN VON w'— en-m wm UND wum—emtn, 315 ist, so wird die Ebene wa 2mn mal abgesondert. Ebenso wird die Ebene ©, 2mn mal der Flache entnommen. Die Restfliche eines durch XY, und X, gelegten Kegelschnittes ist daher vom Grade Um + 2)’ +- Aman — 2 X 2mn = Um + ny. Auf dieser Restfläche ist der Kegelschnitt selbst, welche mit Y,, bezeichnet werden soll, eine (m--~x)-fache Kurve. Die Ebene ©, von Y, enthält somit ausser 7%, keinen Bestandteil der Fläche. Von den (#—») einem nahe bei X, liegenden Punkte Y ent- stammenden Strahlen befinden sich (7 +2) in we und (2 +2) in wp. Wenn Y sich lings der Gerade Pa do + Pad py, = 0, | ds — MO dem Punkte X, nähert, so sind (siehe § 88, S. 267) von den Geraden in wa je m in einer der mx Geraden ne NE TL — (4p; + ps) @3|" — aon ae D RE) zusammengefallen, während von den Strahlen in w, je z in den mn Geraden B (PrZo + (p31 Pa) Zij — (—1)™ py” ua, 0 vereinigt sind. Wenn wir Y auf den Kegelschnitt Y,, also auf die Tangente in X legen, so haben wir (siehe § 16a, S. 310) DL Bs ; P3 = &) Bs, , Pr: LB | zu setzen, wonach die sich auf dem nahe bei X, auf Y,, stiitzenden Strahlen, wofern sie in we liegen, durch Wy" | pets Ps ao + (ue 23 4- & By) zo)" —(—1)" a," Ba" 0,(1500) und, wofern sie in ©, liegen, durch vo les Bi, + (pa, ee + æ,f, A \m_( aera TOE Oz rl 0 (150 D) bestimmt sind. Die Strahlen welche dem nahe bei X, auf Y,, liegenden Punkte ent- stammen, sind natürlich durch Gleichungen bestimmt, welche wir erhal- ten, indem wir in (1504) und (150%) die Indices 1 und 2 vertauschen. 316 DIE CONGRUENZEN VON w'— nm wm UND wr wm — em, Der Schnitt in ©; wird offenbar die Geraden (1504) und die entsprechenden Geraden durch X, enthalten. Von diesen 2(m-- x) Geraden ist jede eine m-fache, wonach das Ausartungsgebilde des Schnittes in we vom Grade 2m(m--x) ist. Man erübrigt also eine Kurve vom Grade 2(m-- 2)? — 2m(m + 2) = Lal + 1). Es sei 4 ein Schnittpunkt dieser Restkurve mit 4, X;, so liegt das Bild von 4 in X,; die Gerade AX, ist daher ein Congruenzstrahl , welcher sich in einem Punkte von ws auf der Kurve stützt, also eine Erzeugende der Regelfläche. Er muss aber alsdann mit einer der Geraden (1506) identisch sein. Die m-+ Schnittpunkte der m—+-n m-fachen Geraden (1504) mit A, X, sind demnach gleichfalls die Schnittpunkte dieser Gerade X,X, mit der in we liegenden Restkurve. Letztere schneidet somit X,X3, ausser X,, # mal in jedem jener #—x Punkte. Dasselbe gilt offenbar auch von den Geraden durch X,. Der Schnitt in «©, enthält jetzt eme Kurve vom Grade 2m(m-- ») nebst den Geraden welche X, (bez. X,) verbinden mit den mn ausserhalb X, (bez. X,) legenden Schnittpunkten von XX, (bez. X,X,) mit der Restkurve; als Ausartungsbestandteil ist jede Gerade n-fach zu zählen. Wir wollen jetzt die Gleichung der in we liegenden Kurve her- leiten. Sie wird am leichtesten ermittelt, indem wir in der Gleichung (152a) überall das Vorzeichen des Exponenten — umkehren, wonach sich ergiebt : nn nt mn m Yol An % zie Yo (ay ” Dy Wi Po ©) + Yo MP + Yi Di ae zi TUE Ya a + Ya Da + Vs + 0, oder m+n m+n m+n m m men m m ” n ne Raa EST eh n Ana Yo Pa Pa sie VP Po" + Yo Pa” Pe IVO Hasan mn mn m +70 a" Fm "IHV Fm +r=0, (1525) wo die Grössen y durch (153) bestimmt sind. Wenn wir jetzt p, durch 2,:2; und py, durch 2, : +, ersetzen, so finden wir m+n mon mn m m m+n / 7 / FA j Vo” ay n Be n y æ n Gan +42 Dae Ls n 23 + 1 mm m+n m+n m+n m m+ 2n + 304" de" ay t+ Yo Gye aay aa Lya Dg 0 + m mn 2(m-+n) bya," a * +78, We Oo ue Gr (EO DIE CONGRUENZEN VON 20° — en—m wm UND w'mm—emtn, 317 Diese Gleichung stellt die fragliche Kurve vom Grade 2u(m + ») dar. Die Tangenten in X, sind durch m men mm m mn n Vo. Vs & + Va. Lo Le == Sth AL 3 4 = 0 m+n angewiesen. Die Schnittpunkte mit X, X, sind durch a, " == 0 und m mn n m mn nere Oe 55) bestimmt. Vermöge der Relationen (153) sind diese Gleichungen abhängig, woraus wir schliessen, dass die Tangenten in X, die Gerade YX, X, in denselben Punkten treffen wie die Kurve. Es ist X, ein wm + z)-facher Punkt. Von seinen Tangenten sind je m zusammengefallen in einer der # + Geraden, welche durch (1554) bestimmt werden. Letztere Gleichung verwandelt sich nach Rationalisirung in die Form (1505). Die Gleichung (1545) lässt sich auch folgendermassen umstalten : min En en yn m+n (Yo Vy + Va Vs "x 3 == Yor; ” ) Yo d'A = Va z V3 23 A) a LL vt aR AO) a,” 2” TAD oder We VL m+n m m+n Hn Wi 9 1 n PE aed oh (Vo Y3 — 11 V2) & Ly 3 Yo aa a V1 CONTE TT Yo dy HAE m mn ; fl = — Yo % , ai V2 "Qs + VY 0&3 É oder endlich m mn me (Yo da SE Ya 3) 2," = [Yor B) nn % U p|, wenn me of 1 V2) 22" vy p mn m : mn Là Va" Fyz Bz + Vods gesetzt wird. Durch Potenzirung mit » bekommen wir (yo ya) a” = m En = (= If [yo” Peel + ayy Ly ng La n p +.. + dy 318 DIE CONGRUENZEN VON w'n==en—m wm UND wr wm = emtn, oder (Yo 2 =» Va £3)" Uy nas (— 1) Yo. Daar — m (m+n)(n—41) = (— Lhe [nyo a,” v3 n p + dt mt pr ; Die linke Seite dieser Gleichung ergiebt, wenn gleich Null ge- setzt, die mx Tangenten in X,, welche ausserdem die Gerade Xs X3 (a, — 0) in denselben Punkten wie die Kurve schneiden. Wenn man die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve verlangt, und dementsprechend die linke Seite gleich Null setzt, m so wird in der rechten Seite ein Faktor 2," und eine in #, und æ, homogene Form vom Grade m ++ 1 abgetrennt. In der rationalen Gleichung vom Grade (u + x) würde alsdann der Faktor 7,” und eine in 2 und >, homogene Form vom Grade n(m a+ 1) abgesondert sein. Es hat demnach jede Tangente in X, daselbst (#7 + x +-1) Punkte mit der Kurve gemein, und in ihrem Schnittpunkte mit X,Y, m Punkte. Die Gerade X,X, dagegen hat in X, »(# +») Punkte und in simmtlichen übrigen #+% Schnittpunkten x(# + x) Punkte, also in jedem Schnittpunkte x Punkte mit der Kurve gemein. Hieraus geht hervor, dass die Schnittpunkte von X,X, mit der Kurve n-fache Punkte sind, deren simmtliche Tangenten nach X, conver- giren, und dass diese Gerade XX; in einem solchen Schnittpunkte m Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Zustand auf XX; und in X, ist dem oben Dargelegten völlig ähnlich. Die Kurve in w‚ unterscheidet sich, nach der Vertauschung von m mit 2, der Indices 3 und 4, und von g mit 1: wg, nur in sofern von der in we liegenden Kurve, dass jede der in X, gelegten Tangenten jetzt in ihrem Schnittpunkte mit X,X, x Punkte mit der Kurve gemein hat, während die Gerade XX, in einem solchen Punkte m Punkte der Kurve trägt. Ein solcher Schnittpunkt ist also wie- derum ein »-facher Punkt, dessen Tangenten aber nunmehr alle mit XX, zusammenfallen, welche Gerade dort m Punkte mit der Kurve gemein hat. X, und X, sind auf der Fläche (m-+2)’-fache Punkte. Die Tangenten von X, befinden sich alle in den » + x Ebenen, welche die axiale Regelfläche der in X, an Y, gelegten Tangente bilden. Diese Ebenen (siehe § 84, S. 267) entsprechen der Gleichung [3 23 a, + (Me, Bs =e as P,) 2, a [Aas LB; La + (HG B; + ts LR) aa)” ET es (—1 A mr +n ex +n (23 En pr) RUES 0. DIE CONGRUENZEN VON w'—en-m wm UND w'rwm—emtn, 319 Wenn man die Indices 1 und 2 vertauscht, so bekommt man die Gleichung der » +» Berührungebenen von Xs. Der Kegelschnitt 7, ist auf seiner Regelfläche eine (mw + »)-- fache Kurve. Es hegt auf der Fläche noch eine Doppelkurve , welche hier nicht untersucht werden soll. § 17a. Die Regelfliche der Strahlen, welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte, in Bezug auf welchen der Pol von X, X, sich auf X, X, befindet, 77 der parabolischen Congrvenz. In dem vorliegenden Falle hat man Gj, — 0), dr Ol, 2,=0, B,— 0, wonach die Gleichungen des Kegelschnittes lauten: as 8; a @ La fief +a,f;z—0, By AN Di LD ee eee eee GoD) Die Gleichung (1504) der in X, an der Kurve in we gelegten Tangenten verwandelt sich daher in By ey (lye a= 0, 64a) Die Tangenten in X, sind jetzt durch Boge (rte A (1657) bestimmt. Weil die Grössen >, Y und y, hier Null sind, während 15 29 A le man Yo — Yo — yo hat, so wird die in wa liegende Kurve durch m m m mn 2m—n) 2m "a ay" ju Dy ‘a +-a2,")a3 Haas " +n" =0 (1662) 0 dargestellt. Es sind hier von den m verschiedenen in X, gelegten Tangenten x mit X,X, und von den m in X, gelegten Tangenten n mit X,X, zusammengefallen. Die Gerade X, X3 (bez. A, A3) hat jetzt in XY, (bez. X,) mit der Kurve 2m Punkte gemein. Die in ©, befindliche Kurve hat nun die Gleichung n n mn nn 2(m—n) ma pla Hee, ” Hare, Dé He Oe (LG) 0 320 DIE CONGRUENZEN VON #—en-m wm UND wt wn — emtn, Von den # verschiedenen in X, (bez. X,) gelegten Tangenten sind jetzt # mit XX, (bez. X, X,) zusammengefallen. Die Gerade X,X, (bez. X,X,) hat in X, (bez. X,) 2m? Punkte mit der Kurve gemein. Von den m verschiedenen Berührungsebenen des Punktes X, (bez. X,), als Punkt der Fläche betrachtet, sind 2 in X,X,X, (bez. X, À, X,) vereinigt. Ubrigens ist kein Unterschied zu erwähnen. $ 174. Die Regelfläche der Strahlen, welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte, in Bezug auf welchen der Pol von X,X, sich auf X,X, befindet, 77 der hyperbolischen Congruenz. Auch hier hat man == OR #0 Sie Bi der Kegelschnitt ist demnach wiederum durch die Gleichungen (162) und (163) angewiesen. Die in X, an der Kurve in we gelegten Tangenten sind jetzt durch fee ga << (— ig Dn == 0 i : : (1 645) bestimmt, während die in X, an der Kurve in w‚ gelegten Tan- genten durch Dn ane (— in ee peers == 0 5 5 5 a 645) dargestellt werden. Übrigens behalten die Darlegungen von $ 164 ihre volle Gül- tigkeit. § 18a. Die Regelfläche der Strahlen, welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte, welcher X,X, schneidet, 7x der parabolischen Cozgruenz. Wenn Y, die Gerade X;X, schneidet, so gilt a — 0, Bo > 0; also v3 = 0. Der Kegelschnitt ist jetzt durch DIE CONGRUENZEN VON w— en—m om UND won wt =erntn, 321 Brit + ay (ess + &0,a,) + à, (4 Pyar, + Ba) = 0, | (168) 2, = pr, | (169) angewiesen. Diese besondere Lage hat auf die Gleichungen der Berührungs- ebenen in den Punkten Y, und X, keinen Einfluss. Sie macht sich nur darin bemerklich, dass X,Y, jetzt eine #°-fache Gerade der Regelfläche ist. Die in we liegende Kurve wird jetzt durch IL 1 pt nn MEN 20m—n) Dod oe Yo (as + Mid Ty Made ” = me mW 2m—n 2m—n hotes pate" na " ya ni) 100) bestimmt. Es hat diese Kurve in X, einen #’”-fachen Punkt, dessen Tangenten durch / / Yi 4 Yo y=, oder (ud, B; = a P,) a sig (cl, Ps aie te; Ry) as =) 47 0) gegeben sind. Sämmtliche #° Tangenten sind also in der Gerade (171a) vereinigt, welche die Spur in we ist der Ebene, die X, X, verbindet mit der im Schnittpunkte X, von X, X, mit Y, an dieser gelegten Tangente. Die in w‚ liegende Kurve hat nun die Gleichung n n mn n 2(1m—n) Yoda + Yo (ws ae ap B On) ay” Yo "a en n nn n 2m—n air Va Uy A Yaa + Yr Hin QUE pe ye vo,” ==. (1724) Sie hat in X, einen mz-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m vereinigt sind in emer der x Geraden Yr U zen Yo % = dh. in den Bildern der in X, an der Kurve in wa gelegten Tangente. Die Berührungsebenen der -fachen Gerade X, X, sind alle mit der durch X,X, und die Tangente in X, an Y, gelegten Ebene msammengefallen. Nur in ©, bilden, den obigen Betrachtungen entsprechend, die Tangenten in X, eine Ausnahme. Verhand. der Kon, Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. X. Beil 322 DIE CONGRUENZEN VON #2 — en-m pm UND 20" wm — cn, § 18%. Die Regelfliche der Strahlen welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten Kegelschnitte, welcher X,X, schneidet, 2” der hyperbolischen Cozgruenz. Auch hier gilt dy = 0, On U also wonach der Kegelschnitt durch die Gleichungen (168) und (169) vertreten wird. Wie bei der parabolischen Congruenz, hat diese besondere Lage keinen Einfluss auf die Berührungsebenen in den Punkten X, und X,. Sogar die Gerade XX, giebt in ihrem Verhalten zu keinen Singularitäten Veranlassung. Die in we liegende Kurve, welche jetzt durch m+n m+n m+n m m mtn Yo Ly n Lo n y a, n ae 23 + > a” B, n 23 + m+n m+n men m mn m m+2n + yo (a, 7 + ay n ) 23 n La" 23 ni + y ds" 23 n + 20+) dsg =O 311106, OISE dargestellt wird, unterscheidet sich auch nicht wesentlich von der- jenigen im allgemeinen Falle. $ 19a. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten, in «> befindlichen Kegelschnitte 77/62, in der parabolischen Congruenz. Wir dürfen die obigen Bezeichnungen benutzen, wenn nur = | 8 gesetz wird. Der Kegelschnitt, welcher mit 7% angedeutet werden soll, hat die Gleichungen bs By Ly + by, + mas + % a7 — 0, . . (173) dy == 0. . . . . (174) Zuerst bemerken wir, dass die Fläche dieses Kegelschnittes noch weiter ausgeartet ist. Da jede in we durch X, oder X, verlaufende Gerade jetzt VY en DIE CONGRUENZEN VON w'n=—=en=m pm UND w'r wm —=entn, 323 zum zweiten Male schneidet, und als ein x(m— »)-facher Strahl zu- betrachten ist, so wird die Ebene wz aufs Neue 2u(m —- x) mal abgesondert. Ausserdem schneidet jede (#—»)-fache durch einen der #—x Punkte /, gehende Gerade den Kegelschnitt zwei- WL} mal, wonach aus diesem Grunde die Ebene wiederum Wm — ») mal der Fläche entzogen wird. Im ganzen wird die Ebene we also 2n(m — n) + Um — un) == 2m(m—n) mai von der Fläche abgetrennt. Die Restflläche ist somit vom Grade 2m? — 2im(m—n) — 2mn. Es ist auf dieser Fläche Y… eine #°-fache Kurve. Die Schnittkurve in we wird zu einer Figur vom Grade 2% durch ein Ausartungsgebilde vom Grade 2u(m— 7) ergänzt. Hs besteht dieses aus „(wm —%) durch X, und x(m#—») durch X, ge- henden Geraden. Die n(m—x) durch X, (bez. X,) gehenden Ge- raden sind alle in die in X, (bez. X,) an Yao gelegte Tangente zusammengefallen. Die in w‚ liegende Kurve ist die Bildkurve des Kegelschnittes Ya. Ihre in den Coordinaten p, und gp,’ geschriebene Gleichung lautet: n n n n My. Tin ! Im CNI pe m + hy py mn + hy P» m + 4 == 0 : also in den Coordinaten #,, &, und a, ausgedrückt: n n n n n n 2n CA Die: By +. a, De a” == CA Boa De == LS Dies = 0. - (1 154) Es hat diese Kurve in X, einen #»#-fachen Punkt, dessen Tan- genten durch Cas dg ere nn (lt 00) bestimmt und demnach zu je m mit einem der # Bilder der in X, an Ye gelegten Tangente identisch sind. Analoges gilt von den Tangenten in A. Die Schnittpunkte mit XX, werden durch die Gleichung n nt n (4, zn <= ae”) æ = 0 geliefert. Die Gerade X, X, schneidet also die Kurve mz mal im mn-fachen Punkte X, und noch m mal in jedem der x Bilder 47; des Schnittpunktes MZ, von Ye mit X, X3. Diese x Punkte MZ sind n-fache Punkte, deren sämmtliche Tan- genten mit X,X, zusammengefallen sind. Der Punkt M, trägt ja n° Strahlen, welche zu je x die Ebene w‚ in den x Bildern M,/ B 21* 324 DIE CONGRUENZEN VON #1 — gm wm UND volt wm = emtn, treffen. In der Nahe der Punkte MZ,’ befinden sich also » Punkte der Kurve; m.a. W. diese Punkte sind »-fache. Es sind auf der Fläche X, und X, ma-fache Punkte. Von den Berührungsebenen im X, (bez. X) sind je m vereinigt in einer der 2 Ebenen, welche die in X, (bez. X,):an Ye» gelegte Tangente mit ihren 2 Bildern in w‚ verbinden. Die » Geraden, welche den Punkt 47, (bez. 42,) mit seinen 2 verschiedenen Bildern 47, (bez. J/,/) verbinden, sind »-fache Geraden der Fläche, deren Berührungsebenen alle in der Ebene Xs X, X, (bez. X, X, X,) vereinigt sind. Der Schmitt der Regelfläche mit einer durch 1, X, gelegten Ebene ©, ist eine Kurve vom Grade 2mu, welche in X, und AX, mn-tache Punkte hat, deren Tangenten die Spuren in wz der Be- rührungsebenen in X, und X, sind. Die Punkte, wo die Ebene w, die Geraden M, M} (bez. M, Ms’) schneidet, sind z-fache Punkte, deren ‘Tangenten im der Gerade X, À, (bez. À, A) vereinigt sind. Auch hier wollen wir die Untersuchung der Doppelkurve un- terlassen. § 194. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem durch X, und X, gelegten, in ©. befindlichen Kegelschnitie rufen, in der hyperbolischen Congruenz. Auch hier ist einzusetzen M= ©, wonach der Kegelschnitt 7%. durch die Gleichungen (173) und (174) vertreten wird. Die Fläche ist auch hier weiter ausgeartet. Jede in we durch X, gehende Gerade schneidet ja Ÿ zum zweiten Male und zwar als ein m-facher Strahl. Ebenso ist jede in w» durch À, gehende Gerade nochmals als ##-facher Strahl zu rechnen. Ausserdem ist jede durch X, in we gehende Gerade ein #°-facher Strahl; sie schneidet VY. zweimal. Die Ebene ©, ist also im Gan- zen abermals 2m + 2m? == (in +- x) mal abzusondern; die Rest- fläche ist somit vom Grade 2m +)" — 2m(m—+- n) = 2n(m + 2). Es ist auf dieser Fläche Ÿ> eine x”--fache Kurve. Es möge Ye die Gerade X,X, in M, und die Gerade XX in J/, schneiden. Die Geraden 47, X, und M, X, sind Erzeugende der Regelfläche, weil sie Punkte von Y/ mit ihren Bildern verbinden. Da 4, X4 DIE CONGRUENZEN VON w’?=cr-™ wm UND w'rwmemtn, 325 und MX, als Geraden durch XY, und X, in we ma-fache Strahlen sind, so wird der #--fache Kegelschnitt y. zum vollständigen Schnitte vom Grade 2x(m-—+t-n) durch die ma-fachen Geraden XM, und Xs M, ergänzt. Der Schnitt in w, besteht aus der Bildkurve vom Grade 27 von Ye und aus a #-fachen, durch jeden der Punkte X, und X, gelegten Geraden, welche nachher bestimmt werden sollen. Die in ©, liegende Bildkurve hat in p, und p, die Gleichung n n 1 D n dp Ds, mn +. aL, Dy m + aby Do, mn + En = 0 : oder nL n n rt GD + Cin -|- AND EEn CA = 0 4 also in den Coordinaten z,, 2, und a: n n n 2n nt TL VL Oy ay yd ap ey ee Bae Oe LT DO) Die Tangenten im m-fachen Punkte A, sind durch nt rt LINE == ay zijd === () angewiesen; von ihnen sind offenbar je m in einem der a Bilder der Gerade X, 47, (siehe oben) vereinigt. Ebenso sind von den Tangenten in X, je # in ein der x Bilder von XM, zusammengefallen. Die in ©, liegende Kurve schneidet X,X,, ausser mn mal in X,, m mal in jedem der » Punkte rt LU @ By Es Ba OY. . . . 2 (1766) Die x Geraden, welche diese Punkte mit X, verbinden, sind Congruenzstrahlen und befinden sich auf der Fläche. Sie sind die n-fachen Geraden, welche dem Gesammtschnitte in ©, angehôren. Ausserdem sind sie als die x Bilder der in X, an Ÿ> gelegten Tangente zu betrachten. Ebenso sind die x» Geraden, welche X, verbinden mit den x m-fachen Schnittpunkten von X,X, mit der Kurve in @,, z-fache Geraden der Fläche; sie sind auch die » Bilder der in X, an Ye gelegten Tangente. | Der Gesammtschnitt in ©, besteht deshalb aus der Kurve vom 326 DIE CONGRUENZEN VON #w—en-m wm UND 40/7 wm — em+n, Grade 2mn, den x »-fachen Geraden (1765) durch X, und den z entsprechenden z-fachen Geraden durch X,. Die Schnittpunkte der in ©, liegenden Kurve mit X,X, und X,X, sind z-fache Punkte, deren Tangenten bez. mit XX, und X,X, zusammenfallen. Es hat jede dieser Geraden in einem Be- rührungspunkte m Punkte mit der Kurve gemein. Auf der Fläche sind X, und X, x(m--xn)-fache Punkte. Ihre Berührungsebenen sind in zwei Gruppen verteilt; die erste Gruppe enthalt mz Ebenen, deren je m vereinigt sind in einer der 2 Ebe- nen, welche die Gerade X, 47, (bez. X, M.) mit ihren » Bildern verbinden; die zweite Gruppe enthält #* Ebenen, deren je x zusam- menfallen mit emer der x Ebenen, welche die an Y~ in X, (bez. X,) gelegte Tangente mit ihren * Bildern in ©, verbinden. Der Schmitt der Regelfläche mit einer durch XX, gelegten Ebene ist eine Kurve vom Grade 2u(m +), welche in X, und X, n(m + »)-fache Punkte hat. Die Tangenten in diesen Punkten sind die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen von X, (bez. X,). Auch hier möge die Doppelkurve ausser Betracht bleiben. § 20a. Die Regelfläche der Strahlen, welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten, in wa befindlichen Kegelschnitte, in Bezug auf welchen X, der Pol von X, X, ist, 77 der parabolischen Congruenz. Es gilt hier JAE Die Gleichungen von Ye sind Us Bj Ay Ap 2° =O, 2. EEK ben nh 4 Die Regelfläche ist wiederum vom Grade 2m und. trägt Va als eine #°-fache Kurve. Die in ©, liegende Kurve wird durch ie ai a, dx” tes -{- CA on == 0 5 oder m mm a, £ CA Wy ae (— 1)” ay” Di — 0 . . . (179a) dargestellt, und besteht demnach aus x m-fachen durch X, und X, ge- legten Kegelschnitten, in Bezug auf welche X, der Pol von X, X, ist. DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= tm wm UND w'wm—emtn, 327 Die Punkte 47, und M, sind jetzt bez. in X, und X, gelangt; so auch die Bildpunkte MZ, und MZ. Die Verbindungslinien 47, M, und 4, M/,' sind also mit den Geraden XX, und YX, X, identisch geworden. Diese Geraden ergänzen, als „(wm — )-fache Strahlen, den n’-fachen Kegelschnitt Yx zu einem Gebilde vom Grade 2u. Die Fläche hat in À, und XY, wx-fache Punkte, deren Berüh- rungsebenen alle in-X, X;X, (bez. A, X, A) gefallen sind. Der Schnitt der Fläche mit einer durch X, X, gelegten Ebene w, ist eine Kurve vom Grade 2mn, welche in X, und X, mn-fache Punkte hat; ihre Tangenten sind in X,X, X, (bez. X, X, X,) zusam- mengefallen. § 206. Die Regelfläche der Strahlen, welche ruhen auf einem durch X, und X, gelegten, in w… befindlichen Kegelschnitte, in Bezug auf welchen X, der Pol von X,X, ist, 72 der hyperbolischen Congruenz. Wiederum hat man und für Y~ die Gleichungen (177) und (178). Die Regelfläche ist vom Grade 2x(m Jm) und enthält Y. als eine %-fache Kurve. Die in &, befindliche Kurve wird durch n n 2n Gy ay U HAP == 0, oder mm nr IL do LL, — (— 12 ao? OE 0100) dargestellt. Auch hier ist diese Kurve in 2 #-fache durch X, und X, gelegte Kegelschnitte zerfallen, in Bezug auf welche X, der Pol von NX ist. Diese Kurve wird durch die 2#°-fache Gerade X, X, zu einem Gebilde vom Grade 2u(m + x) ergänzt. Die Gerade X, X, ergänzt, 2mn-fach gezählt, den n?-fachen Kegel- schnitt Ÿ zum vollständigen Schnitte in ox. Die Gerade X, X, ist auf der Fläche eine 2n7-fache Gerade mit wa als Berührungsebene. Die Fläche hat in X, und X, z(m + »)-fache Punkte, von deren Berührungsebenen mx mit wy und n° mit we zusammengefallen sind. $ 2la. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem durch X, , X, und X, gelegten Kegelschnitte ru/en, in der parabolischen Congruenz. 328 DIE CONGRUENZEN VON w’?=cr—mym UND w'? wr = enn, In diesem Falle gilt wonach Ys durch UU Le À HA, ds À dde; — 0, . . . (180) a,=0. . “Ni angewiesen ist. Die Regelfläche ist vom Grade 2mx und trägt VY als eine »’-fache Kurve. Der in wz liegende Schnitt ist, ausser dem x#--fachen Kegel- schnitte Y», aus den z(m—z)-fachen in X, und X, an Y» gelegten Tangenten zusammengesetzt. Die in ©, liegende Bildkurve hat nun die Gleichung n n 1 ni 1 n à n aeta tty ay” a da a == 0 LEE) Sie hat ausserdem in X, einen wx-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m in ein der a Bilder der in X; an Y~ gelegten Tangente zusammengefallen sind. Die x Punkte 47; und die x Punkte JZ,’ sind jetzt alle in X, gefallen, weil die beiden Punkte 47, und JZ, in X, gelangt sind. Es ist X,X, jetzt eine »’-fache Gerade auf der Fläche. Alle Berührungsebenen sind in der durch X,X, und die in X; an Vo gelegte Tangente bestimmten Ebene vereinigt. Der Schnitt der Regelfläche mit einer durch YX, X, gelegten Ebene ©, ist jetzt eine Kurve vom Grade 2mz, welche, ausser den oben erwihnten ma-fachen Punkten in X, und X,, in X, einen a-fachen Punkt hat, dessen siimmtliche 'Tangenten vereinigt sind in der Schnittlinie von ©, mit der Ebene, welche X,X, und die in X, an Ye gelegte Tangente enthält. $ 216. Die Regelfläche der Strahlen welche auf einem durch X, , X, und X, gelegten Kegelschnitte 77/67, in der hyperbolischen Cozgruenz. Wie in $ 21a, hat man auch hier dp 0. Da der Kegelschnitt Ys jetzt den Punkt X, enthält, so ist jede durch X, in we verlaufende Gerade nochmals ein #»-facher Strahl (siehe S. 254) welcher den Kegelschnitt schneidet. Die Ebene wa wird somit mz mal abgesondert, wonach man eine Fläche vom Grade 2n(m—--2)—mn = n(m + 2x) erübrigt. Daher verschwinden die mu-fachen Geraden À, A3 und XX 1m vollständigen Schnitte DIE CONGRUENZEN VON w'n== tm wm UND wum—ctn, 329 von we. An deren Stelle tritt die Gerade, welche den X, auf Y vorangehenden Punkt mit seinem Bilde vereinigt, ma-fach gezihlt, weil jeder Strahl durch X, in we wa-fach zu rechnen ist. Der Schnitt in wa enthält somit den #'-fachen Kegelschnitt > und die mn-fache Gerade, welche X, verbindet mit dem Bilde des X, auf Ye vorangehenden Punktes. Die Bildkurve in ©, wird ermittelt, indem man in (1755) nt æ, — 0 einsetzt und nachher durch z,” teilt. Man findet alsdann rt rt n CNE =e IN EN (1820) Diese Kurve vom Grade mz geht weder durch X,, noch durch Be uoco durch Mr Sie berubrt; XA, (bez. X,X,) in den 7 n-fachen Punkte, deren Verbindungslinien mit X, (bez. X,) die Bilder der in X, (bez. X,) an Ye gelegten Tangente sind. Diese Verbindungslinien , jede z-fach gerechnet, gehôren auch dem Gesammt- schnitte in w, an. Es sind auf der Fläche X, und X, nun »”-fache Punkte. Die Berührungsebenen bilden jetzt nur die -zweite Gruppe des allge- meinen Falles (siehe S. 326). Der Schnitt der Regelfläche mit einer durch X, X, gelegten Ebene Ou ist jetzt eine Kurve vom Grade x(# + 2%), welche sowohl in X, wie in X, emen #-fachen Punkt hat. Die Tangenten in diesen Punkten sind die Spuren in ©, der Berührungsebenen. $ 22. In Bezug auf die Regelfläche der Strahlen , welche einen durch X, und X, gelegten, in wy befindlichen Kegelschuitt schneiden, dürfen wir, für die parabolische Congruenz, auf den allgemeinen Fall hinweisen, während in der Ayperbolischen Congruenz die Ergeb- nisse von $$ 194, 206 und 214 nur durch Vertauschung von » mit 2 und der Indices 3 und 4 abzuändern sind. § 23. Wir wollen nunmehr eine kurze Übersicht über die in diesem Abschnitte erhaltenen Resultate geben, und zwar so, dass die Bedeutung der Punkte X, und X, als Kreispunkte dabei her- voetritt. Zuerst möge aber betont werden, dass von den #° Strahlen, welche in der parabolischen Congruenz nach einem ree//en Punkte zielen, nur # reell sind, während von den (# + #) Strahlen , welche sich in der hyperbolischen Congruenz in einem reellen Punkte treffen, deren » x» reell sind. 330 DIE CONGRUENZEN VON w'n=—= erm wm UND wt wm —em-tn, Ein Strahl, welcher einem reellen Punkte entstammt, ist selber reell, wenn er die Ebene wa ebenfalls in einem ree//en Punkte trifft. Soll ein Punkt (+, y) in der Ebene wz oder [w] reell sein, so müssen die Coordinaten p, = (+ + wy):e und p, = (4 —iy):c conjugirt complex sein. Die Strahlen, welche nach einem reellen Punkte (@,, zj, 23, «,) zielen, werden durch ihre Spuren in we bestimmt, deren Coordi- naten y, und y, in der parabolischen Congruenz den Beziehungen TP" —@ — 30) =0, . . . (1834) Ey Pa — (do — A33) = 0, . . : (840 und in der Ayperbolischen Congruenz den Bedingungen n'a can) =O, . - CBee Po” Aa — #3 Po)" — 2" = 0 . . . (1846) genügen. In diesen beiden Fallen sind 2, und a, weil der Sammel- punkt reell ist, conjugirt complex; die Coefficienten der Gleichung (1844) (bez. (1844)) sind also conjugirt complex in Bezug auf die entsprechenden Coefficienten der Gleichung (188qa) (bez. (1855). Wir wollen die Gleichungen (1834) und (1830) in der Form fr) = 0): EN und die Gleichungen (1844) und (1849) in der Form PU) =D 2 PNR zusammenfassen. Wir ersehen daher in den Gleichungen (185) und (186) zwei Gleichungen vom Grade JV, während die Coefficienten von (186) den entsprechenden Coefficienten von (185) conjugirt sind. Aus Letzterem geht hervor, dass auch die Wurzeln von (186) den Wurzeln von (185) conjugirt sind. Indem wir nun die Wurzeln von (185) durch N= Hi Yo = % Hip... yy = 4x + 1B y darstellen, müssen wir diejenigen von (186) mit 2, = a, — ip, d, Ni AS dy = Gy — iN bezeichnen; in diesen Ausdriicken sind die Grössen æ, und 2, offenbar reell. DIE CONGRUENZEN VON #w— çn—m pm UND w'rawm—emtn, 331 Es giebt nur MV reelle Combinationen (y,, d) oder (p,, po), nl. diejenigen, für welche / = #. Die MN Wurzelpaaren (p,, pa), welche in we reelle Punkte anweisen, sind demnach Yi Cy, (Yo. 0) (Ys) 0) Gran Ys dy) Wenn es noch eine solche Combination, z. B. (y,,d)) gäbe, so würde man haben a —i 2, == a, — il, wonach a, = a). > B, = Be > also Mai > Ni ) d, = ns jede der Gleichungen (185) und (186) würde alsdann zwei gleiche Wurzeln haben. In Folge dessen würde aber die Anzahl der ver- schiedenen Combinationen nicht vergrössert werden. Denn hat ei (74) = 0, also auch (2) —0, # gleiche Wurzeln, so giebt es ausserdem noch MN andere Wurzelpaare, welche einen reellen Punkt anweisen. Die # gleichen Wurzeln bestimmen alsdann nur einen einzigen reellen Punkt. Wir können somit Folgendes behaupten : Von den N° Strahlen, welche durch die Gleichungen (185) und (156) angewiesen werden, sind, falls der. Sammelpunkt reell ist, nur N reell. Wir haben also nur Nw bei der parabolischen und N= m + x bei der #yperbolischen Congruenz zu setzen, um den vorliegenden Satz zu beweisen. Dieses Resultat entspricht der Tatsache, dass die Beziehung In 10 == ‚nm we einem Punkte w'—# +iv in [w’] m Punkte w—#—+iv in [wl] zuordnet, während mit einem Punkte w—#—+iv in [w] deshalb nur 2 Punkte w= wu +-iv' in [w’] übereinstimmen, weil von den m reellen durch den Punkt w gehenden Strahlen m—x in der Ebene Lee | liegen. 392 DIE CONGRUENZEN VON n= tm wm UND wr a = cmt, Ebenso liegen bei der hyperbolischen Congruenz, welche der Beziehung / w n we == ce” +n angehört, von den mtx einem reellen Punkte w von [wl ent- stammenden reellen Strahlen m in [w], wonach der Punkt w nur mit m reellen Punkten der Ebene [w'| verbunden wird; diese Be- ziehung ordnet ja einem Werte von w 2 Werte von w’ zu. Von den wm +» reellen Strahlen, welche nach einem reellen Punkte w’ von [w’] zielen, befinden sich x in [w’]; der Punkt w wird also nur mit m reellen Punkten der Ebene [w] vereinigt; auch dieses Ergebniss entspricht der gegebenen algebraischen Gleichung. Die Sammelpunkte, welche sowohl zu gleichen Wurzeln von Ti:(”1) = 0 wie zu gleichen Wurzeln von /,(~.)=0 Veranlassung geben, tragen zwei zusammenfallende Berührungsebenen an dem Fokalkegel /, und ebenfalls zwei zusammenfallende Berührungsebenen an dem Fokalkegel #, sodass sie sich auf der Schnittkurve dieser Fokalkegel befinden müssen. Die auf der Schnittkurve der Fokal- kegel liegenden Punkte sind also als Verzweigungspunkte zu be- trachten. In einem solchen Punkte werden eine gewisse Anzahl von reellen Strahlen sich durch stetigen Ubergang nach ihrer Coin- cidenz in eine gleiche Anzahl imaginärer Strahlen verwandeln, und ungekehrt. Der Axengrad der parabolischen und hyperbolischen Congruenzen ist die Anzahl der Schnittpunkte einer willkiirlichen Gerade mit der auf der axialen Regelfläche dieser Gerade liegenden Doppel- kurve. Es sei u der Bündelgrad, v der Feldgrad der zu betrachtenden Congruenz. In einer durch / gelegten Ebene V legen Strahlen, welche / in y Punkten P schneiden. Durch jeden Punkt P gehen noch (4 — 1) andere Strahlen, welche mit 7 (u — 1) Ebenen WV bestim- men. Der Ebene / werden also v(g — 1) Ebenen W zugeordnet. Es liegen in einer durch / gelegten Ebene / zwei Strahlen die sich auf / schneiden, wenn eine Ebene W mit einer entsprechenden Ebene V zusammenfällt. Da die Verwandtschaft (v(~@— 1), v(u — 1)) der Ebenen 7, W 2v{u—1) Coincidenzen aufweist, so geschieht es 2v(u—]1) mal, dass eine Gerade / mit zwei Strahlen zu einem Strahlenbüschel gehört. Unter diesen 2v(@—1) Fällen giebt es aber noch, welche für unseren Zweck keine Bedeutung haben. DIE CONGRUENZEN VON w/n — tt wm UND w'tawm—cmtn, 333 In den beiden Arten von Congruenzen ist der Bündelgrad das Quadrat der Zahl 47, welche sowohl] den Grad wie die Klasse eines Fokalkegels anweist. Die beiden Fokalkegel werden durch / in 247 Punkten R& ge- schnitten. In einem solchen Punkte # smd 247 Strahlen s,...#y paarweise zusammengefallen. Die Ebene 77 welche / mit s, verbindet, bestimmt eine Ebene W welche auch s, liefert, also eine Coincidenz der Verwandtschaft der Ebenen V, W. Diese Coincidenz ist aber für uns von keiner Bedeutung, da die Verbindungsebene der beiden zusammenfallenden Strahlen s,, d.h. die Berührungsebene an dem Fokalkegel, die Gerade / nicht enthält. In jedem Punkte #& müssen also MZ Coimcidenzen, und daher im Ganzen 2M*— 2 Coincidenzen gestrichen werden. Wir erübrigen also 2v(~— 1)—2 w= Uv — pp —v) Coincidenzen. Da von diesen jede doppelt in Betracht kommt, so geschieht es in der Tat nur (py— gp —v) mal, dass Z mit zwei Strahlen einem Strahlenbüschel angehôrt, m. a. W.: der Avengrad der Congruenz ist N= ww. Bei der parabolischen Congruenz hat man also N = m*, mn — Mm’ — mn, bei der Ayperbolischen Congruenz aber N = (m + a)’, 2mn — (m + ny? — Quan. DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ HU, ‘4 Dee Ww Der Bündelgrad ist m°. Von den m? nach einem reed/en Punkte zielenden Strahlen sind nur m reell. Der Feldgrad ist mn. Der Azengrad ist N = mn. m* — mn — m*. Die Fokalfliche besteht aus zwei Cylindern Æ und £,, deren Spitzen in den Kreispunkten der Abbildungsebenen [zw] und [w'] liegen. Von diesen Cylindern ist sowohl der Grad wie die Klasse m. Die Congruenzstrahlen sind die gemeinschaftlichen Tangenten der beiden Fokaleylinder Æ und #5. Die Fokalcylinder haben mit der Ebene [w] m mal die unend- lich ferne Gerade gemein. Es ist diese unendlich ferne Gerade eine z-fache Kante der beiden Cylinder, die also mx mal die unendlich ferne Gerade gemein haben. Von den isotropen Geraden durch den Nullpunkt O° von [w'] ist jede eine (% — »)-fache Kante auf einem der beiden Cylinder. Die Fokalcylinder haben in O° m Punkte mit der Gerade OO' gemein. Die Fokalcylinder durchbohren sich noch in » —» Plankurven vom Grade m und von der Klasse m, welche in den m—z Ebenen B: liegen; zu diesen Ebenen gehört immer die Ebene der m—n reellen Axen. Singulire Ebenen sind: 1° jede Ebene, welche einen Congruensstrahl mit einem der Kreispunkte verbindet; sie enthält ein Strahlengebilde von der Klasse m; 2° jede der Ebenen ¢, mit einem Strahlengebilde von der Klasse m7; DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ mn fe w n oO” = cr + nm Der Bindelgrad ist (m + n)?. Von den ( +-#)* sich in einem reellen Punkte treffenden Strahlen sind nur m + x reell. Der Feldgrad ist 2mn. Der Axengrad ist N = 2mn. (m +n)? — 2mn — (m + n)?. Die Fokalfliche ist aus zwei Cylindern /, und #, zusammen- gesetzt, deren Spitzen sich in den Kreispunkten der Ebenen [vw] und {w’] befinden. Von diesen Cylindern ist sowohl der Grad wie die Klasse m—-n. Die Congruenzstrahlen sind die gemeinschaftlichen Tangenten der beiden Fokaleylinder Æ und #,. Von den durch den Nullpunkt O° von [w'! gehenden isotropen Geraden ist jede eine #-fache Kante auf einem der beiden Cylinder. Von den durch den Nullpunkt O von [w] verlaufenden isotropen Geraden ist jede eine z-fache Kante auf einem der beiden Cylinder. Die durch die Gerade O0" gelegten isotropen Ebenen haben mit den Fokaleylindern bez. (w + #) mal die isotropen Geraden durch O und (m +») mal die isotropen Geraden durch OQ’ gemein. Die Fokalcylinder schneiden sich in # 4x Plankurven, deren Grad und Klasse m + n ist, und welche sich in den # + » Ebenen Sa befinden; zu diesen Ebenen gehört stets die Ebene der reellen Axen. Singulire Ebenen sind: 1° jede Ebene, welche einen Congruenzstrahl mit einem der Kreispunkte verbindet; sie enthält ein Strahlengebilde von der Klasse m + x; 2° jede der Ebenen e, J Klasse m + x; mit emem Strahlengebilde von der m+n 330 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, 10/7 = cr-m wm, 3° die Abbildungsebene [w] mit »(w» — »)-fachen Strahlen- büscheln in den beiden Kreispunkten und (# — #)-fachen Strahlen- büscheln in jedem der » —%x Punkte Z _, wo die Ebenen Sr, die unendlich ferne Gerade treffen. NU Singulire Punkte sind: 1° die Kreispunkte in den Abbildungsebenen mit (mm — )-fachen Strahlenbüscheln in der Ebene [7]; 2° die m—n unendlich fernen Punkte 7, mit (#—»)-fachen DC Strahlenbüscheln in der Ebene [w|. Die axiale Regelfläche emer durchaus willkirlichen Gerade 1. Der Grad ist mm x). Die Gerade / ist eine m-fache Gerade. Die Kreispunkte in [w] und [x] sind wa-fache Punkte; ihre Tangentenkegel sind völlig in Ebenen zerfallen. In jedem der Kreis- punkte sind von den mz Berührungsebenen je in einer der Ebenen (45a), bez. (46a) (siehe S. 211) vereinigt. Die m—=n Punkte Zr sind alle z-fache Punkte; die Tan- 1 — N genten befinden sich in 2 Ebenen, welche alle in die Ebene [w | zusammengefallen sind. Birdie mhz, an der in [w] befindlichen Schnittkurve ge- m—-n legten Tangenten verweisen wir auf diese Kurve. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’" wm — omtn, 391 3° die Abbildungsebene [zw] mit mz-fachen Strahlenbüscheln in den beiden Kreispunkten und einem m?-fachen Strahlenbiischel in dem Nullpunkte O; 4° die Abbildungsebene [w] mit #»-fachen Strahlenbüscheln in den Kreispunkten und einem #*-fachen Strahlenbiischel in dem Nullpunkte O'. Singulire Punkte sind: | 1° die Kreispunkte der Abbildungsebenen mit mz-fachen Strah- lenbüscheln in [w] und ma-fachen Strahlenbüscheln in [w']; 2° der Nullpunkt O von [w] mit einem m°-fachen Strahlen- büschel in [2]; 3° der Nullpumkt OQ’ von [w’] mit einem #°-fachen Strahlen- büschel in [w']. Die amiale Regelfläche einer durchaus willkürlichen Gerade 1. Der Grad ist (+2) + Yun. Es ist Z eine (m-x)}-fache Gerade. Die Kreispunkte in [w] und [w’] sind 2mz-fache Punkte; die Tangenten jedes dieser Punkte sind über 2x Ebenen verteilt, von denen mx zu je m in einer der x Ebenen (455), bez. (464) (siehe S. 232), und ma zu je * in einer der m Ebenen (454), bez. (464) vereinigt sind. Der Nullpunkt O von [w] ist ein ma-facher Punkt, dessen sämmt- liche Tangenten sich in der Ebene |] befinden. Für die in O an die in |w] liegende Schnittkurve gelegten Tangenten verweisen wir auf die für diese Kurve erhaltenen Resul- taten. Der Nullpunkt O° von [w’] ist ebenfalls ein ##-facher Punkt; alle Tangenten befinden sich in der Ebene [w']. Für die in O' an die in (w | selbst liegende Kurve gelegten Tangenten verweisen wir auf hierunten. Der unendlich ferne Punkt 4,, wo die durch O und 7 gelegte Ebene die unendlich ferne Gerade von [w] schneidet, ist, unter der Voraussetzung mw >, ein #»-facher Punkt, dessen Tangenten alle in [w] legen, während der Schnitt in [w] selbst die Gerade OA, enthält. Der unendlich ferne Punkt B,, wo die durch O' und / gelegte Ebene die unendlich ferne Gerade von [wl] trifft, ist, falls > u, ein #-facher Punkt, dessen sämmtliche Tangenten sich in der durch O' und 7 gelegten Ebene befinden. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1¢ Sectie) Dl. X. B 22 335 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, 20/1 = nm gn, mn(mn— 1) Die Doppelkurve ist vom Grade W + tot aten N die Anzahl der Schnittpunkte mit /, also den Axengrad andeutet. Der Schnitt der Regelfläche mit der Ebene [w] besteht aus einer Kurve vom Grade (mm Jz), aus den durch die Spur 4 von / in [w] gehenden isotropen Geraden, jede „(mm — #)-fach gezählt, und schliesslich aus den m—wz Geraden, welche 4 mit den Punkten Be verbinden, jede (mw—x)-fach gerechnet. Die in [w] hegende Kurve hat 1° in den Kreispunkten #°-fache Punkte, deren Tangenten alle nach 4 convergiren ; 2° im Punkte 4 einen z’-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der #° Bilder von 4 sind; 3° in den #—» Punkten Er. $ n-fache Punkte, deren simmtliche Tangenten vereinigt sind in den #—» Geraden, welche diese Punkte mit dem auf OA liegenden Punkte 7’ (82a) (S. 205) ver- binden. Der Schnitt. der Regelfläche mit der Ebene [w'] ist eine Kurve vom Grade m(m-- 2). Diese Kurve hat 1° in den Kreispunkten ma-fache Punkte, von deren Tangenten je m zusammengefallen sind in eine der x Geraden, welche diese Kreispunkte bez. mit den xz” Bildern von 4 verbinden; 2° im Schnittpunkte B’ von 7 mit [w'] einen #”-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der m* in [w] liegenden Bilder von B’ sind; 3° in den m—n Punkten Be n-fache Punkte, deren sämmt- liche Tangenten mit der unendlich fernen Gerade vereinigt sind ; es hat diese Gerade in jedem Punkte 4, m Punkte mit der Kurve gemein. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’% wm — emtn, 339 Es liegen auf der Gerade OO" noch m--x durch (608) (S. 236) bestimmte (m-—-n)-fache Punkte. Daya (9 Fe 1) 2mn(2mn à me AC N die Die Doppelkurve ist vom Grade NA Anzahl der Schnittpunkte mit /, also den Axengrad anweist. Der Schnitt der Regelfläche mit der Ebene [w] besteht aus einer Kurve vom Grade u(2m +»), aus den durch die Spur 4 von / in [w] verlaufenden isotropen Geraden, jede wx-fach gezählt, und endlich aus der Gerade O4 (= OA»), m°-fach gerechnet. Die in [w] legende Kurve hat 1° in den Kreispunkten mn-fache Punkte, von deren ‘Langenten je x in einer der m Geraden vereimgt sind, welche die Kreis- punkte bez. mit den #° Bildern B der Spur B’ von / in [w'| verbinden ; 2° im Punkte 4 einen #-fachen Punkt, dessen Tangenten die axlalen Projektionen aus / auf [w] der x’ Bilder von 4 sind; 3° im Punkte O einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten je x vereinigt sind in einem der m Bilder der Gerade, welche O' mit dem unendlich fernen Punkte 4, verbindet; 4° im unendlich fernen Punkte B,’ einen v?-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in 4 convergiren; die Gerade 4B, hat in B, mn Punkte mit der Kurve gemein (vorausgesetzt: m > 2). Der Schnitt der Regelfläche mit der Ebene [w'] besteht aus einer Kurve vom Grade mu + 2%), aus den durch die Spur B’ von 7 in [w’] gehenden isotropen Geraden, jede wz-fach gezählt und schliesslich aus der Gerade 0° B’ (=—O' B), »#°-fach gerechnet. Die in (w’] befindliche Kurve hat 1° in den Kreispunkten wx-fache Punkte, von deren Tangenten je m vereinigt sind in einer der x Geraden, welche die Kreispunkte bez. mit den #° Bildern 4’ der Spur 4 von Z in [w] verbinden; 2° im Punkte B’ einen w’-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der m* in [w] liegenden Bilder von B’ sind; 3° im Punkte O° einen »»-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m zusammengefallen sind in ein der x Bilder der Gerade, welche O° mit dem unendlich fernen Punkte B, verbindet; 4° im Punkte 4, einen ma-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; es hat diese Gerade in 4, »° Punkte mit der Kurve gemein (voraus- gesetzt Ist m >> x). B 22% 340 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w7— cr—m ym, Der Schnitt der Regelfläche mit einer ew den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist vom Grade m(m +) und hat 1° in den Kreispunkten »#-fache Punkte, deren Tangenten die Spuren in ©, der Berührungsebenen der Kreispunkte sind; 2° im Schnittpunkte C, von ©, mit / einen m?-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf ©, der wm? nach C, zielenden Congruenzstrahlen sind; 3° in den #—» Punkten 4, n-fache Punkte, deren Tangenten mr alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind (Ausnahme in [w]); 4° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von w, mit der Dop- pelkurve. Die axiale Regelfläche einer Gerade 1, welche OO schneidet. Ausser den Eigenschaften, welche die Regelfläche der willkürlichen Gerade / aufzuweisen hat, können wir noch Folgendes erwähnen : Die Gerade OO ist auf der Regelfläche eine »”-fache Gerade, deren sämmtliche Berührungsebenen vereinigt sind in der Ebene, welche OO' mit / verbindet. Für die in O' an die in [w'] liegende Kurve gelegten Tangente verweisen wir auf hierunten. Die in [w] befindliche Kurve hat ausserdem in O einen #--fachen Punkt, dessen Tangenten alle in OA ver- einigt sind; diese Gerade hat in O mn Punkte mit der Kurve gemein. Die in [w'] liegende Kurve hat noch in O' einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten je » ver- einigt sind in einem der x Bilder von O4. Jede dieser Tangenten hat in O' »° Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt in einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene wy, hat im Schnittpunkte Y, von w, mit OO' einen #-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in X, C, vereinigt sind (Ausnahme in [w'|). at | DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, 20°7 wm — cmt”, 341 Der Schmitt der Regelfläche mit einer ew den Abbildungsebenen arallelen Ebene ©, ist vom Grade (m—-+ x2) 2m» und hat f = 1° in den Kreispunkten 2mz-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen der Kreis- punkte sind; 2° im Schnittpunkte C, von w, mit Z einen (#—+»)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf w, der ’ D t (m-+-n) sich in OC, treffenden Congruenzstrahlen sind; 3° im Punkte 4, einen ma-fachen Punkt, dessen sämmtliche 3 ’ Tangenten in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind (voraus- gesetzt ist m >>»; Ausnahme in [w]); 4° im Punkte B, einen x7-fachen Punkt, dessen Tangenten alle zusammengefallen sind in die Schnittlinie von ©, mit der durch O' und 7 gelegten Ebene (vorausgesetzt ist m > x); 5° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Doppel- kurve. Wenn o, mit einer der # +x durch (604) (S 236) bestimmten Ebenen zusammenfällt, so hat die Schnittkurve noch einen (m + »)- fachen Punkt in der Spur X, von OO' in a,. Die axiale Regelfläche einer Gerade 1, welche OO" schneidet. Neben den Eigenschaften der Regelfläche der willkürlichen Gerade lässt sich noch Folgendes bemerken: Der Punkt 4,=8, ist ein #(m—<+2)-facher Punkt. Von den mn n° Berührungsebenen, in welche der Tangentenkegel ausgeartet ist, fallen ma mit der Ebene [w] und #° mit der durch OO' und / gelegten Ebene zusammen. Die unendlich ferne Gerade hat in 4,=8B, mit der Fläche m+ n> Punkte gemein. Die mt (m—+-xn)-fachen Punkte auf OO sind jetzt in dem (m +-n)-fachen Schnittpunkte S von / mit OO" vereiniet. Die in [w] liegende Kurve hat jetzt in 4,= 8B, einen #’-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in 44,= AB, zusammengefallen sind; diese Gerade hat in 4,— B mit der Kurve mx Punkte gemein. Die in [w'] befindliche Kurve hat nun in 4,= B, einen ma-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; diese Gerade hat in A;=B, mn Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt in einer ew den Abbildungsebenen parallelen Ebene ©, hat in 4;=B, einen nm + »#)-fachen Punkt, von dessen Tan- genten mx in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind und »° 342 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w'* = erm wm, Die axiale Regelfliche emer durch O gehenden Gerade 1. Wir haben hier die folgenden Eigentiimlichkeiten zu erwähnen: Die Punkte #, sind jetzt »-fache Punkte auf der Fläche. Die Tangenten befinden sich alle in den Ebenen, welche die Punkte Free mit der Gerade ¢ (954) (S. 251) verbinden. Die in [w] liegende Kurve hat nun in O einen #-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten mit der Spur der durch 7 und OO’ gelegten Ebene in [w] zusammen- gefallen sind. Die in [w’'] befindliche Kurve ist in eine m-fache Kurve vom Grade m-t-n ausgeartet. Diese hat 1° in den Kreispunkten z-fache Punkte, deren Tangenten alle in den durch O’ gehenden isotropen Geraden vereinigt sind; 2° im Punkte B’ einen m-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [{w'] der m Geraden OB sind, welche O mit den in [w] liegenden Bildern von B verbinden; 3° in den Punkten 4, gewdhnliche Punkte, deren Tangenten convergiren in den Punkt 7, (95a) (S. 251); 4° im Punkte O° einen z-fachen Punkt, dessen Tangenten die Bilder der Gerade OB, sind. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w hat in den Punkten 4, _, z-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten mit den Spuren der Ebenen (4, _, ¢) in ©, zusam- n? mengefallen sind. Ubrigens sind keine Abweichungen vom vorhergehenden Falle zu erwähnen. Die axiale Regelfläche einer durch O' gehenden Gerade 1. Der einzige Unterschied mit der Regelfläche einer willkürlichen, OO’ schneidenden Gerade ist, dass die in [w] legende Schnitt- kurve jetzt in eine z-fache Kurve vom Grade m- x zerfallen ist. Sere 4 : DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’" vom — cmtn, 343 mit der Gerade, welche 4,= B, mit dem Schnittpunkte C, von w, mit / verbindet (Ausnahme in (wl). Die axiale Regelfliche emer durch O gehenden Gerade 1. Von der allgemeinen Regelfläche wird jetzt die Abbildungsebene [w] mu mal abgetrennt. Es erübrigt eine Fläche vom Grade (m + 2) + man. Die Gerade OO’ schneidet nun die Fläche (wm + 7)? mal in O und ma mal in 0’ Die Kreispunkte sind jetzt ma-fache Punkte; ihre Berührungs- ebenen sind zu je 2 zusammengefallen. Die in [zw] liegende Kurve hat nun in O einen n(m-—+-2)-fachen Punkt, von dessen Tangenten je x vereinigt sind in einer der mx Geraden welche O mit den mn Punkten Z,,,, verbinden. Die in [w'| befindliche Kurve ist in eine m-fache Kurve vom Grade 7% + zerfallen. Diese Kurve enthält jetzt mocht die Kreispunkte, wohl aber die mja Punkte Z,,,; die Tangenten dieser Punkte convergiren alle nach dem Punkte 77 (956) (S. 255). Die Kurve hat ferner 1° in B einen m-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] sind der m (zu je m mit O gerad- linig liegenden) in [w] befindlichen Bilder von B; 2° in O' einen »-fachen Punkt, dessen Tangenten die x Bilder der Gerade OB, sind. Der Schmitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, ist eine Kurve vom Grade (m +») +-mn und hat in den Kreis- punkten mx-fache Punkte, deren Tangenten zu je 2 zusammenge- fallen sind. Im Übrigen haben wir, im Vergleich mit dem vorhergehenden Falle, in Bezug auf die Singularitäten keine Abweichungen zu constatiren. Die axiale Regelfläche einer durch O' gehenden Gerade 1. Die Ebene [vw] wird jetzt mn mal abgesondert. Es erübrigt somit eine Fläche vom Grade (m + x) + ma. Die Gerade OO’ schneidet die Fläche (# +») mal in O' und mn mal in O. Die Kreispunkte sind nun ma-fache Punkte; die mn Berührungs- ebenen sind zu je m in x Ebenen zusammengefallen. 344 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w'” = cr—m wm, Diese Kurve hat 1° in den Kreispunkten »#-fache Punkte, deren Tangenten alle durch 4 hindurchgehen ; 2° im Punkte 4 einen z-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der x Geraden O'/’ sind; 3° in den m—axn Punkten 4, gewühnliche Punkte, deren Tangenten alle in 7 (32a) (S. 205) convergiren; 4° im Punkte O einen m-fachen Punkt, dessen Tangenten die m Bilder von O'A, sind. Die in [w] liegende Kurve hat in QO einen m*-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in O'A, vereinigt sind. Die axiale Regelfläche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade L,. Diese Regelfläche enthält die unendlich ferne Gerade der Abbil- dungsebenen als eine ma-fache Gerade, deren Berührungsebenen alle in [w] vereinigt sind. Der Schnitt in [w] besteht aus der #’-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade mz. Diese Kurve schneidet die unendlich ferne Gerade x mal in jedem der m Bilder des unendlich fernen Punktes Z, auf ¢,, als ein Punkt von (w | betrachtet. Die in [w’] befindliche Kurve ist aus ma mal der unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade #° zusammen- gesetzt. Diese Kurve hat mit der unendlich fernen Gerade nur den Punkt L, gemein. Dieser Punkt Z, ist ein mlm — )-facher; sämmt- OAN Sm DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, 90°7 wm — emtn, 345 Die in [w] befindliche Kurve ist in eine #-fache Kurve vom Grade # +-» ausgeartet. Die Eigenschaften dieser Kurve entsprechen völlig denjenigen der m-fachen in [w | liegenden Kurve vom vorigen Falle. Die in [w’] liegende Kurve hat nun in O' einen m(m-+-n)-fachen Punkt. Sie entspricht übrigens der in [w] befindlichen Kurve des vori- gen Falles. Die axiale Regelflüche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade U, Diese Regelfläche hat in den Kreispunkten 2mz-fache Punkte, von denen mz Berührungsebenen mit [w] und die mz übrigen mit [w'] zusammengefallen sind. Der unendlich ferne Punkt Z, auf 4, ist ein (# + x)’-facher Punkt, von dem wm’ Berührungsebenen in der Ebene (O, 4), 2° in der Ebene (0", /,) und 2ma in der zu den Abbildungsebenen parallelen, die Gerade /, enthaltenden Ebene ©, vereinigt sind. Ubrigens hat man keinen Unterschied mit dem allgemeinen Falle aufzuweisen. Die in [w] liegende Kurve hat 1° in den Kreispunkten ma-fache Punkte, deren Tangenten alle in die durch O gehenden isotropen Geraden zusammengefallen sind; diese isotropen Asymptoten haben in den Kreispunkten #(# + ») Punkte mit der Kurve gemein ; 2° im Punkte Z, einen #°-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der Projektion von /, aus O' auf [w] vereinigt sind; diese Tan- gente hat in Z, #(m—n) Punkte mit der Kurve gemein; 3° im Punkte O einen mn-fachen Punkt, von dessen T'angenten je 2 in ein der m Bilder von OZ, zusammengefallen sind. Die Kurve wird zum vollständigen Schnitte ergänzt durch 27 mal die unendlich ferne Gerade und #° mal die Gerade OL, Die in [w’] befindliche Kurve hat 1° in den Kreispunkten ma-fache Punkte, deren Tangenten alle in die durch O' verlaufenden isotropen Geraden zusammengefallen sind; diese isotropen Asymptoten haben in den Kreispunkten m(m-—-2) Punkte mit der Kurve gemein ; 346 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w'" = cr—m ym, liche Tangenten sind mit der unendlich fernen Gerade zusammen- gefallen, welche in Z, mit der Kurve #* Punkte gemein hat. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, besteht aus der unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade m’, welche in Z, einen m(m—zx)-fachen Punkt hat; sämmtliche Tangenten von Z, sind in der unendlich fernen Ge- rade vereinigt, welche in Z, wm” Punkte mit der Kurve gemein hat (Ausnahme in [w]). Die axiale Regelfläche einer durch einen der Kreispunkte gehen- den Gerade. Diese Regelfläche ist ausgeartet in mn mal die Abbildungsebene - [w| und m mal die m Berührungsebenen, welche durch die gege- bene Gerade an den zu ihr parallelen Fokalcylinder gelegt werden konnen (siehe (103a), S. 262). Die axiale Regelfliche einer in der Abbildungsebene | w' | liegenden Gerade. Es ist diese Gerade ein besonderer Fall von Z,, nl 4. Die Kurve in [w] ist jetzt die Bildkurve der in [w | gegebenen Gerade. Die in [w’] liegende Kurve ist in die #”-fache gegebene Gerade ausgeartet. Die axiale Regelfliche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade t,, welche die Gerade OO schneidet. Ausser den Eigenschaften der allgemeinen Regelfläche, lässt sich Folgendes erwähnen : Die Gerade OO ist auf der Fläche eine #?-fache, deren sämmt- liche Berührungsebenen in der durch OO’ und /, gelegten Ebene vereinigt sind (Ausnahme in [v)). Die Regelfläche enthält noch die unendlich ferne Gerade der Abbil- dungsebenen als eine ma-fache Gerade, deren Berührungsebenen alle in [w] zusammengefallen sind. Der Schnitt in [w] besteht aus 2m mal der unendlich fernen DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w'# win = cm+n, 847 2° im Punkte Z, einen #”-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der Projektion von /, aus O auf [w'] vereinigt sind; diese Tan- gente hat in Z, m(m-t-x) Punkte mit der Kurve gemein ; 3° im Punkte O' einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m in ein der » Bilder von OZ, zusammengefallen sind. Die Kurve wird zam Gesammtschnitte ergänzt durch 2m mal die unendlich ferne Gerade und x? mal die Gerade O'LZ,. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, hat in Z, einen (#+-»)-fachen Punkt; von den w° + Zuma Ju” Tangenten in Z, fallen #* mit der Spur der Ebene (O, /,) in w,, n° mit der Spur der Ebene (0’, Z,) in ©, und 2ma mit der unend- lich fernen Gerade zusammen. Die amale Regelfliche einer durch einen der Kreispunkte gehen- den Gerade. Diese Regelfliiche ist zusammengesetzt aus mx mal der Ebene [w|, mn mal der Ebene [w'] und (m--x)-mal den m-+-2 Berührungs- ebenen, welche durch die gegebene Gerade an dem zu ihr parallelen Fokalcylinder zu legen sind (siehe (1034), S. 267). Die axiale Regelfliche einer in der Abbildungsebene {w' | liegenden Gerade. Weil die Abbildungsebene [w’] in dieser Congruenz singular ist, so wird die axiale Regelfläche zerfallen. Wir wollen daher die Untersuchung verschieben. Die axiale Regelfliiche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade 1,, welche die Gerade OO' schneidet. Die Regelfläche hat, ausser den allgemeinen Eigenschaften , noch diese, dass von den 2mn Berührungsebenen der Kreispunkte mz in [w] und mn in [w'} fallen. Es ist Z, ein (m+ »)-facher Punkt; m° + x2? Berührungsebenen sind in der durch /, und OO’ gelegten Ebene vereinigt, 2m in der zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w,, welche die Gerade /, enthält. Die mu (m-+-x2)-fachen Punkte auf OO’ sind wiederum im (mn + »)-fachen Schnittpunkte S’ von /, mit OO" vereinigt. Der Schnitt in [vw] besteht aus der m°-fachen unendlich fernen \ 348 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w' = cr—m wm, Gerade und aus einer Kurve vom Grade mn, welche die unend- lich ferne Gerade # mal in jedem der m Bilder von Z, (als Punkt von [w | betrachtet) schneidet. Die Kurve hat weiter in O einen »#*-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in OZ, vereinigt sind; diese Gerade hat in O ma Punkte mit der Kurve gemein. | Der Schnitt in [w’] ist aus der »»-fachen unendlich fernen Gerade und aus emer Kurve vom Grade »* zusammengesetzt. Letztere hat in Zy einen m(m—x)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; diese hat in Z, m? Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer ew den Abbildungsebenen parallelen Ebene ow, besteht aus der #»»-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade m’, die in Z, einen m(m— »)-fachen Punkt hat; sämmtliche Tangenten von Z, sind in der unendlich fernen Gerade vereinigt, welche in Z, m* Punkte mit der Kurve gemein hat (Ausnahme in [wl). Der Schnittpunkt X, der Ebene ©, mit OO ist ein z°-facher Punkt, dessen sämmtliche Tangenten mit der Gerade X, Z,, zusam- mengefallen sind (Ausnahme in {w’]). Die axiale Regelfläche einer in der Ebene © der reellen Aven hegenden Gerade 1. Die allgemeine Regelfläche ist zerfallen in die m-fache Ebene € und eine Restfläche vom Grade m(m + u — 1). Es ist / auf der Restfläche eine m(m — 1)-fache Gerade. Die Kreispunkte sind mn-fache Punkte; von ihren mn Berüh- rungsebenen sind je m in 2 Ebenen ((113a), bez. (114a), 8. 271, 272) vereinigt. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’" wm == emtn, 349 Gerade, aus m mal der Gerade OZ, und aus einer Kurve vom Grade u(2m + 7). Diese hat 1° in den Kreispunkten mn-fache Punkte, deren Tangenten alle in den durch O gehenden isotropen Geraden vereinigt sind; diese isotropen Asymptoten haben in den Kreispunkten (#7 + x) Punkte mit der Kurve gemein; 2° im Punkte Z, einen z-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in OZ, zusammengefallen sind; diese Tangente hat in Ly nm + n) Punkte mit der Kurve gemein ; 3° im Punkte O einen wa-fachen Punkt, von dessen Tangenten je z in einem der » Bilder von OZ, vereinigt sind. Der Schnitt in [w’] besteht aus 2mz mal der unendlich fernen Gerade, aus #° mal der Gerade O'Z, und aus einer Kurve vom Grade m(m-- 2x). Letztere hat 1° in den Kreispunkten wz-fache Punkte, deren Tangenten alle in den durch O' gelegten isotropen Geraden vereinigt sind; diese isotropen Asymptoten haben in den Kreispunkten #(m +) Punkte mit der Kurve gemein; 2° im Punkte Z, einen m?-fachen Punkt, deren Tangenten alle in O'L, zusammengefallen sind; diese Gerade hat in Z, mlm + ») Punkte mit der Kurve gemein ; 3° in O' einen #x-fachen Punkt, von dessen Tangenten je » in einem der x Bilder von OZ, vereinigt sind. Der Schmitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat in Z, einen (# + »)-fachen Punkt. Von den m? +- 2mn + x? Tangenten in Z, fallen m* + nx? mit X,Z, und 2ma mit der unendlich fernen Gerade zusammen. Die amale Regelfläche einer in der Wbene © der reellen Aven legenden Gerade 1. Die allgemeine Regelfläche ist in die (m + »)-fache Ebene ¢ und eine Restfläche vom Grade (m 4-7) (u + n — 1) + 2mx ausgeartet. Es ist / auf der Restfläche eine (m + x) (m + x — 1)-fache Gerade. Die Kreispunkte sind 2#%-fache Punkte. Von den 2mn Berüh- rungsebenen sind ma zu je # in # Ebenen ((1134), bez. (1145), S. 284) und ma zu je » in m Ebenen ((118'5), bez. (1146), S. 284) vereinigt. 350 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w'n== en—m wm, Die »m—n — 1 Punkte Fa, (Tm-n # 1) sind #-fache, deren Berührungsebenen mit [w] zusammengefallen sind. Die Gerade OO ist eine n(m— 1)-fache, deren sämmtliche Berührungsebenen in © vereinigt sind (Ausnahme in [w’}). Der Schnittpunkt S von 7 mit OO ist ein m(m — 1)-facher Punkt. Der Schnitt in [w] besteht aus den zwei u(m — #)-fachen durch die Spur 4 von / in [wl gelegten isotropen Geraden, aus den m—n—1 (m — n)-fachen Geraden AB, _ (r,_,-1) und aus einer Kurve vom Grade u(m + x — 1). Diese hat nn 1° in den Kreispunkten »?-fache Punkte, deren Tangenten alle nach 4 convergiren; 2° in A einen u(n — 1)-fachen. Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [wj der nx(w—1) ausserhalb © lie- genden Bilder 4’ von 4 sind; 3° in den #—#—1 Punkten #, _ (t,,_,4 1) »-fache Punkte, deren Tangenten zusammenfallen mit den m— x — 1 Geraden, welche diese Punkte mit dem auf 4 liegenden Punkte 7’ ((32a), S. 205) verbinden ; der Punkt Z gehört jetzt der Kurve zicht an; 4° im Punkte O einen z(z — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der reellen Axe vereinigt sind. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve vom Grade m(m + — 1). Sie hat 1° in den Kreispunkten ma-fache Punkte, von deren Tangenten je m vereinigt sind in den 2 Geraden, welche die Kreispunkte bez. mit den x” Bildern von 4 verbinden; 2° im Schnittpunkte B’ von [w'] mit / einen m(m— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus 7 auf [w'] der m(m—1) ausserhalb ¢ liegenden Bilder B von B’ sind ; 3° im Punkte O’ einen m(z — 1)-fachen Punkt, von des- sen Tangenten je m mit einem der x—J1 ausserhalb e le- genden Bilder der zu [w] gehôrenden reellen Axe vereinigt sind ; 4° in den Punkten Zo (r»-, 1) #-fache Punkte, deren DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, vo!” wm — cmtn, 301 Der Punkt O ist em z(m — 1)-facher, dessen Berührungsebenen alle in [w] vereinigt sind. Es ist O' ein m(m—1)-facher Punkt, dessen Tangenten sich alle in [w | befinden. Der Punkt # ist ein (mw -+-2)(~-— l)-facher; von seinen Berüh- rungsebenen liegen m(z— 1) in [w] und x(x — 1) in © vereinigt. Der Schnittpunkt S von / mit OO" ist ein (mw + x) (mu + 2 — 1)- facher Punkt. Der Schnitt in [w] besteht aus den zwei wx-fachen durch die Spur 4 von / in [w] gelegten isotropen Geraden, aus der m(m— 1)- fachen reellen Axe und aus einer Kurve vom Grade (2m + x — 1). Diese hat 1° in den Kreispunkten #x-fache Punkte, von deren Tangenten je x vereinigt sind in einer der m Geraden, welche die Kreis- punkte bez. mit den m? Bildern B der Spur B’ von / in [w] verbinden ; 2° in A einen «(2 — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der z( — 1) ausserhalb € liegenden Bilder 4’ von 4 sind; 3° in O einen xz(m — 1)-fachen Punkt, von dessen Tangenten je x in einem der #—1 ausserhalb ¢ legenden Bilder der zu [w'] gehörenden reellen Axe vereinigt sind; 4° in Z einen u(x — 1)-fachen Punkt, dessen sämmtliche 'Tan- genten in der reellen Axe vereinigt sind; diese Gerade hat im unendlich fernen Punkte Z (2 — 1) Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt in [w’] besteht aus den zwei mz-fachen durch die Spur B von / in [w'] verlaufenden isotropen Geraden, aus der n(n —1)-fachen reellen Axe und aus einer Kurve vom Grade mm + 2n — 1). Letztere hat 1° in den Kreispunkten #»#-fache Punkte, von deren Tangenten je m in einer der 2 Geraden vereinigt sind, welche die Kreispunkte bez. mit den #° Bildern A’ von 4 verbinden; 2° in B einen m(m— l)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axlalen Projektionen aus / auf [w'| der m(m— 1) ausserhalb © lie- genden Bilder B von B’ sind; 3° in O' einen m(u— l)-fachen Punkt, von dessen Tangenten je # in einem der #—1 ausserhalb e liegenden Bilder der zu [w] gehörenden reellen Axe vereinigt sind ; 4 in Z einen m(n— l)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle 352 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, #7 — en—m ym, Tangenten mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind ; diese Gerade hat in jedem Punkte Er, M Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade m(m + x — 1) und hat 1° in den Kreispunkten ma-fache Punkte, dessen Tangenten die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen der Kreispunkte sind ; 2° im Schnittpunkte C, von ©, mit 7 einen m(m— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf w, der m(m—1) ausserhalb ¢ liegenden nach C, zielenden Congruenz- strahlen sind ; 3° in den #—#—1 Punkten A, (r,_,< 1)#-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten in die unendlich ferne Gerade zusam- mengefallen sind (Ausnahme in |v}); 4° im Schnittpunkte X, von w, mit OO" einen (x — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle zu den reellen Axen parallel sind ; 5° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Doppel- kurve, für deren Erörterung wir auf das in § 10a (S. 272 u. f.) Dargelegte verweisen. n Die axiale Regelfläüche einer in der Ebene © der reellen Aven liegenden, durch O gehenden Gerade 1. Der Unterschied mit der unmittelbar vorangehenden Regelflache ist zunächst, dass alle Berührungsebenen der m—x2—J1 Punkte Ey) (Tn-n #1) diese Punkte mit der Gerade OT, (siehe S. 251) verbinden. Die in [w] liegende Kurve hat in O einen #(#—1)-fachen Punkt. Die in [w’] befindliche Kurve ist in eine w-fache Kurve vom Grade m-+-x—1 ausgeartet. Diese hat DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w'" got — cnt, 353 mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind; diese Ge- rade hat in Z mm—1) Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene o, ist eine Kurve vom Grade (u + 4) (u + n — 1) + 2mn und hat 1° in den Kreispunkten 2mz-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen der Kreispunkte sind ; 2° im Schnittpunkte C, von / mit ©, einen (m + x) (m + n — 1)- fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf w, der (m + x) (m-+-2—1) ausserhalb ¢ liegenden nach C, zielenden Congruenzstrahlen sind ; 3° im Punkte Z einen (m +7) (u — 1)-fachen Punkt, von dem mn — 1) Tangenten in der unendlich fernen Gerade und x(7 — 1) in der Schnittlinie von ©, und € vereinigt sind; 4° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Doppel- kurve, für welche wir auf § 10a (S. 272 u. f.) hinweisen. Die axiale Regelflüche emer in der Ebene ¢ der reellen Axen hegenden, durch O gehenden Gerade 1. Von der vorhergehenden Regelfläche wird jetzt mz mal die Ebene [w] abgesondert. Wir erübrigen alsdann eine Fläche vom Grade (m--n) (m—-n—1)+-mn. Auf dieser Fläche sind die Kreispunkte mn-fache. Die Gerade OO' schneidet die Fläche m(—l) mal in O0”, (m—-n)(m--n—1) mal in O und eimal in den m Schnittpunkten X, der Tangenten, welche man in den ausserhalb O liegenden Schnittpunkten von / mit der Fokalkurve e an letztere legen kann. Die in [w] tiegende Kurve hat in O einen „(0m +» — 1)-fachen Punkt; seine Tangenten verbinden O mit den mnl Punkten Bens (Tin A1); diese Tangenten haben in O 2(2m-—-n—1) Punkte mit der Kurve gemein. Die in [w’| befindliche Kurve besteht aus einer m-fachen Kurve vom Grade m--n—1. Diese schneidet die unendlich ferne Gerade in den »#—»—1 Punkten Ex, Tman À 1); die Tangenten dieser Punkte convergiren alle nach dem Punkte 7 ((954), S. 255). Die Kurve hat noch Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie) Dl. X. B 23 354 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, 10/1 — cr—m wrt, 1° in den Kreispunkten z-fache Punkte, deren Tangenten in den durch O° gehenden isotropen Geraden vereinigt sind; 2° im Punkte B einen (#—1)-fachenu Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der nn A) ausserhalb € liegenden Bilder von 2’ sind; 3° in O' einen (~—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die ausserhalb ¢ liegenden Bilder der zu [w] gehörenden reellen Axe sind. Der Schnitt in einer ew den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, zeigt nur einen Unterschied in den Tangenten der m—a—1 Punkte #, | (T»_,7 1), welche jetzt alle nach der Spur der Gerade 07 in ©, convergiren. Die amiale Regelfliche einer in der Ebene € der reellen Aven liegenden, durch O' gehenden Gerade 1. Diese Regelfläche weicht nur ab in dem Schnitte mit [w], wel- cher in eine »-fache Kurve vom Grade m-+-n—1 ausgeartet ist. Diese in [w] hegende Kurve hat 1° in den Kreispunkten »-fache Punkte, deren Tangenten in den durch O verlaufenden isotropen Geraden vereinigt sind ; 2° in A einen (#—1}-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus 7 auf [w] der »(2—1) ausserhalb e liegenden Bilder von 4 sind; ? . 3° in O einen (m—-l)-fachen Punkt, dessen Tangenten die aus- serhalb ¢ liegenden Bilder der zu [w’] gehôrenden reellen Axe sind. 4° in den Punkten M, Tin Á 1) gewühnliche Punkte, deren mn Tangenten sich alle in einem ne auf der reellen Axe treffen ; te) der Punkt Z gehört der Kurve wicht an. te) Die in [w/] liegende Kurve hat einen m(m— 1)-fachen Punkt in O O', dessen Tangenten in der reellen Axe yereinigt sind. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w'n wm = emtn, 355 1° in B einen (#—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der m(m—1) ausserhalb ¢ liegenden Bilder von 2° sind; 2° in O/ einen (x—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die 2— 1 ausserhalb ¢ liegenden Bilder der zu [w] gehörenden reellen Axe sind. Der Schnitt in einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade (4-4) (un 4-2 — 1) Ha. Sie hat in den Kreispunkten mz-fache Punkte. Die aæiale Regelfliche einer in der bene © der reellen Aven liegenden, durch O' gehenden Gerade 1. Von der allgemeinen Regelfläche wird nun mn mal die Ebene [w'] abgesondert. Es erübrigt eine Fläche vom Grade (m—-n)(m + na —1)+-mn. Auf dieser sind die Kreispunkte mz-fache Punkte; ihre mn Be- rührungsebenen fallen zu je m zusammen. Die Gerade OO’ schneidet die Fläche z(m—l) mal in O, (m—+-n)(m-+-n—1) mal in O' und xz mal in den xz Schnittpunkten X, der Tangenten, welche man in den > ausserhalb 0° liegen- den Schnittpunkten von Z mit der Fokalkurve e an letztere legen kann. Die in [w] liegende Kurve besteht aus einer z-fachen Kurve vom Grade m-+-x—1. Diese schneidet die unendlich ferne Gerade in den m-+-n—1 Punkten Penn (Tin Z 1); die Tangenten con- vergiren nach einem Punkte. Die Kurve hat noch 1° in A emmen (7 —1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der #(#—1) ausserhalb ¢ liegenden Bilder von A sind; 2° in O einen (m— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die m— 1 ausserhalb e liegenden Bilder der zu [w’] gehörenden reellen Axe sind. Die in [w’] liegende Kurve hat in O einen m(m + — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten O° mit den m--2x—1 Punkten 4, B 23% 306 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w'* = c%—m qm, Der Schnitt in einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w zeigt keine Abweichungen. Die axiale Regelfiüche einer in der Ebene © der reellen Axen hegenden und zu diesen parallen Gerade U. Von der allgemeinen Regelfläche von / in e wird jetzt x mal die Ebene [w] abgetrennt, wonach eine Fläche vom Grade mm An 1)—n = (m-+-n)(m—1) erübrigt wird. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist jetzt eine nm — 1)-fache Gerade, deren sämmtliche Berührungsebenen in [w | vereinigt sind. Die in [w] befindliche Kurve besteht aus der 2(m— 1)-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade x(m— 1). Diese hat in O einen av(z— 1)-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der reellen Axe zusammengefallen sind; diese Gerade hat ausser O keinen Punkt mit der Kurve gemein. Der Punkt # gehôrt der Kurve zicht an. Der Schnitt in [w'| ist aus der z(w — 1)-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade m(m— 1) zusammenge- setzt. Diese hat in # einen (m — 1)(m —»)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; diese Gerade hat in # m(m—1) Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, besteht aus der u(m — 1)-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade #{m — 1), welche in # einen (%—n)(m—1)- fachen Punkt hat. Sämmtliche Tangenten von /’sind mit der unend- lich fernen Gerade zusammengefallen; letztere hat in W m(m— 1) Punkte mit der Kurve gemein. Die axiale Regelfläche eines Congruenzstrahles s. Die allgemeine Regelfläche ist zerfallen in die zwei #-fachen Ebenen, welche s mit den Kreispunkten verbinden, und in eine Restfläche vom Grade m(m + — 2). Es ist s auf der Restflache eine (m — 1)-fache Gerade. Die Kreispunkte sind jetzt m(z— l)-fache Punkte; von ihren Berührungsebenen sind je m mit einer der 2—1 durch (1834), bez. (134a) (S. 290) bestimmten Ebenen vereinigt. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w'” om =cmtn, 307 (Tn4nZ 1) verbinden; diese Tangenten haben in O' m(m—+- 2u — 1) Punkte mit der Kurve gemein. Der Schmitt in einer ew den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade (u + 2)(m + n — 1) + mn. Die Kreis- punkte sind #»-fache Punkte. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene © der reellen Aven legenden und zu diesen parallelen Gerade !,. Auf dieser Regelfläche ist W jetzt ein (m + )(m +» — 1)-facher Punkt, von dem mm — 1) 4 (u — 1) Berührungsebenen mit € vereinigt sind und 2mm mit der Ebene w,, welche /, enthält. Von den 2ma Berührungsebenen in jedem der Kreispunkte sind mn in [w] und ma in [w'] vereinigt. 0 Die in [w] liegende Kurve hat in Z einen (7 — 1)-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der reellen Axe vereinigt sind. Die in [w'] befindliche Kurve hat in W einen m(m— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der reellen Axe vereinigt sind. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat in # einen (m—+-x)(m-—+-x— 1)-fachen Punkt. Von diesem fallen mm — 1) + (u — 1) Tangenten mit X, Z und 2mn mit der unendlich fernen Gerade zusammen. Die axiale Regelfliche eines Congruenzstrahles s. Die allgemeine Regelfläche ist ausgeartet in die zwei (i +- #)- fachen Ebenen, welche s mit den Kreispunkten verbinden, und in eine Restfläche vom Grade (a + #)(m + u — 2) + 2ma. Der Strahl s ist auf der Restfläche eine (# + » — 1)--fache Gerade. Die Kreispunkte sind hier {2w»7— (mt + 7)|-fache Punkte; von ihren Berührungsebenen fallen (x — 1) zu je m in # — 1 Ebenen (1330), bez. (1346), S. 294) und »(w— 1) zu je x im m—1 Ebenen ((133'6), bez. (1340), S. 294) zusammen. 398 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, ww’ = cn—™ qm, Übrigens weicht diese Regelfläche von der allgemeinen nicht ab. Nur die Doppelkurve ist von niedrigerem Grade (siehe S. 291). Der Schnitt mit [w] ist ausgeartet in die (#— 1)(m—a2)-fachen durch die Spur S von s in [w] gehenden isotropen Geraden, in die mwn (m—vn)-fachen Geraden S 4, und in eine Kurve vom Grade n(m — u — 2). Diese hat 1° in den Kreispunkten z(x — 1)-fache Punkte , deren Tangenten mit den durch 8 gelegten isotropen Geraden identisch sind; 2° im Punkte S einen (z—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf [w] der (~— 1) ausserhalb der durch S” in [w’] gehenden isotropen Geraden liegenden Bilder von 8 sind; 3° in den m—vx Punkten #, _ »-fache Punkte , deren Tangenten alle zusammengefallen sind in den #—x Geraden, welche diese Punkte mit dem auf OS befindlichen Punkte 7 ((82a), S. 205) verbinden. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve vom Grade m(m--2— 2). Sie hat 1° in den Kreispunkten (#7 — I)-fache Punkte, von deren Tangenten je m die Kreispunkte mit den 2(z—1) ausserhalb der durch S° gehenden isotropen Geraden liegenden Bildern von & ver- binden ; 2° im Punkte S” einen (m— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf [w’] der (w — 1)? ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von 4” sind; 3° in den m—z Punkten Heen n-fache Punkte, deren sämmt- liche Tangenten in der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind, welche in jedem der Punkte 4, _ m Punkte mit der Kurve gemein hat. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, 7 st — cmtn, 309 Ubrigens sind keine Abweichungen zu constatiren. Nur von der Doppelkurve ist der Grad erniedrigt worden (siehe 291, 295). Der Schnitt in [w] besteht aus den m(z— l)-fachen durch die Spur 8 von s in [w] gelegten isotropen Geraden, aus der m-fachen Gerade OS und aus einer Kurve vom Grade x(2m + # —2). Diese hat 1° in den Kreispunkten z(# — 1)-fache Punkte, von deren Tangenten je 2 vereinigt sind in einer der #— 1 Geraden , welche die Kreispunkte mit den ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bildern von S’ verbinden; 2° im Punkte #' einen (2— 1)--fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf {w] der (2 — 1)’ ausserhalb den durch S’ in [w | gelegten isotropen Geraden liegenden Bilder von S sind; 3° im Punkte O einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten LA je w vereinigt sind in den m Bildern der Gerade O'S,, welche O mit dem unendlich fernen Punkte der Gerade OS verbindet ; 4° im Punkte #8; -(Schnittpunkte von O'S’ mit der unendlich fernen Gerade) einen #°-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der Gerade 85, zusammengefallen sind; diese Gerade hat in S, mn Punkte mit der Kurve gemein (Voraussetzung ist m >> 2). Der Schnitt in [w’] besteht aus den z(w — l)-fachen durch die Spur S” von s in [w’] gehenden isotropen Geraden , aus der #°-fachen Gerade O'S’ und aus einer Kurve vom Grade m(m + 2u — 2). Diese hat 1° im den Kreispunkten m(x— l)-fache Punkte, von deren Tangenten je m vereinigt sind in emmer der #— 1 Geraden, welche die Kreispunkte mit den ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bildern von S verbinden; 2° im Punkte $” einen (wm — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf [w] der (m— 1) ausserhalb den durch S gezogenen isotropen Geraden liegenden Bilder von S’ sind ; 3° im Punkte O' einen mz-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m vereinigt sind in einer der x Bilder der Gerade OS, welche O mit dem unendlich fernen Punkte S, der Gerade O'S’ ver- bindet; _ 4° im Punkte #, (unendlich fernen Punkte auf OS) einen mn- fachen Punkt, dessen sämmtliche 'Tangenten mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind; diese Gerade hat in S, #° Punkte mit der Kurve gemein (vorausgesetzt ist m > 7). 360 DIK PARABOLISCHE CONGRUENZ, wi" = en -m wm, Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade m( +» — 2). Diese hat 1° in den Kreispunkten w(u — 1)-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen an der Fläche sind; sie sind zu je m in x—1 Geraden vereinigt; 2° im Schnittpunkte S, von s mit ©, einen (#—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf ©, der (m— 1)" nach S, zielenden, ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Congruenzstrahlen sind; 3° in den m-—x Punkten LJN n-fache Punkte, dessen Tan- genten mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind (Ausnahme in [w]); 4° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Doppel- kurve, welche auch hier von niedrigerem Grade ist als im allge- meinen Falle, und für deren Erledigung wir auf S. 291 verweisen. Die axiale Regelflüche eimes in der Ebene © der reellen Aaen liegenden Congruenzstrahles s. Die Regelfläche der willkürlichen Gerade ist jetzt zerfallen in die zwei m-fachen Ebenen, welche s mit den Kreispunkten verbin- den, in die m-fache Ebene ¢, und in eine Restfläche, welche offen- bar vom Grade m(m-—-2— 3) ist. Auf der Restfläche ist s eine (»— 1)(m— 2)-fache Gerade. Die Kreispunkte sind m(n— 1)-fache Punkte; ihre Berührungs- ebenen sind bei der vorhergehenden Regelfläche beschrieben. Die m—n—1 Punkte #, (7,-nA1) sind z-fache; ihre Be- rührungsebenen sind in [w] zusammengefallen. Die Gerade OO’ ist eine (x — 1)-fache Gerade, deren Berührungs- ebenen alle in e vereinigt sind (Ausnahme in [w']). Der Schnittpunkt 8, von s mit OO ist ein (m— 1)(m— 2)-facher Punkt. Die Doppelkurve ist wieder von niedrigerem Grade als im vorigen Falle (siehe 8. 297). n Der Schnitt in [w] ist zerfallen in die (z—1)(m—an)-fachen, durch DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, ww! sm = etn, 301 Der Schnitt in emmer 2% den Abbildungsebenen parallelen KEbene : 1 Op ist eine Kurve vom Grade (am + 2) (m n — 2) + 2 mn. Diese hat 1° in den Kreispunkten (2u — (m— »)\-fache Punkte, von denen | | ? mn—1) Tangenten zu je m in #— 1 Geraden und (wm — l) zu je 2 in m—1 Geraden vereinigt sind; diese Tangenten sind die Schmittlinien von w, mit den an der Flache gelegten Beriihrungs- [- O D ro) ebenen; 2° im. Schnittpunkte S,, von s mit w, einen (m-+-2— 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf ©, der , 8 : ee (m—n— 1) nach #, zielenden, ausserhalb der singulären Ebenen hegenden Congruenzstrahlen sind; 3° im Punkte S, einen ##-fachen Punkt, dessen Tangenten, für 3 ? to) » men, alle mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind ; 4° im Punkte $, emen #”-fachen Punkt, dessen simmtliche Tan- genten in der Schnittlinie von ©, mit'der durch O' und s geleg- ten Ebene zusammengefallen sind (vorausgesetzt ist 2 > »); 5° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von w, mit der Doppel- kurve, welche auch hier von niedrigerem Grade ist als im allge- meinen Halle. Auch hier verweisen wir auf S. 291, 295. Die axiale Regelfliche emes in der Hbene © der reellen Aven legenden Congruenzstrahles s. Die Regelfläche der willkürlichen Gerade ist jetzt ausgeartet in die zwei (m--x)-fachen Ebenen, welche s mit den Kreispunkten verbinden, in die (#—-»)-fache Ebene ¢ und in eine Restfläche, welche demnach vom Grade (7% + x) (m + n — 8) + 2mn ist. Auf der Restfläche ist s eine (m # —1)(m + x — 2)-fache Gerade. Die Kreispunkte sind |2mx— (m + »))-fache Punkte; für ihre Berührungsebenen verweisen wir auf die vorige Regelfläche. Der Punkt O ist ein „(mw — 1)-facher Punkt, dessen Berührungs- 0 ebenen alle in [w] vereinigt sind. Der Punkt O ist em m(u — l)-facher Punkt, dessen Tangenten sich alle in (w | befinden. Der Punkt Z(=#,= 8) ist em (#7 + x) (x — 1)-facher; von seinen Berührungsebenen sind m(z—1) in [w] und #(*— 1) im € ver- einigt. Der Schnittpunkt Sj von s mit OO ist ein (m—+-2— 1)(m--n—2)- facher Punkt. Die Doppelkurve ist von noch niedrigerem Grade als im vorigen Falle (Siehe S. 297, 299). Der Schnitt in [w] besteht aus den m(u— l)-fachen, durch die 362 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, sn = cr-m wm, die Spur 8 von s in [w] gelegten isotropen Geraden, in die m—x—1 (m—xn)-fachen Geraden SH, (7,,-,4 1) und in eine Kurve vom Grade n(m-—--n—38). Diese hat 1° in den Kreispunkten z(x— l)-fache Punkte, deren Tangentén alle in den durch S gehenden isotropen Geraden vereinigt sind; 2° im Punkte # einen (2—1)(m— 2)-fachen Punkt, dessen Tan- genten die axialen Projektionen aus s auf [w] der (z—1)(m—2) ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von # sind; 3° in den Punkten Hr, (Tn-n #1) n-fache Punkte, deren Tangenten alle nach dem Punkt 7 (324), S. 205) convergiren ; der Punkt Z gehört der Kurve nicht an; 4° in O einen »(2—1)-fachen Punkt, dessen simmtliche Tan- genten mit der reellen Axe zusammengefallen sind. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve vom Grade m(mJ-u— 8). Diese hat 1° in den Kreispunkten #(7—1)-fache Punkte, von deren Tan- genten je m in einem der x—1 ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von & vereinigt sind; 2° in # einen (#—1)(m——2)-fachen Punkt, dessen Tangen- ten die axialen Projektionen aus s auf [w] der (m—1)(m—2) ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von & sind ; 3° in den Punkten #, (7, 1) »-fache Punkte; ihre Tan- genten sind zusammengefallen in der unendlich fernen Gerade, welche in jedem Pankte Z, m Punkte mit der Kurve gemein hat; i= ni der Punkt Z gehört der Kurve nicht an; 4° in O' einen m(z—1)-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m in einem der »—1 ausserhalb ¢ liegenden Bilder der zu [w] gehôrenden reellen Axe vereinigt sind. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, ist eme Kurve vom Grade w(m—n—3). Diese hat 1° in den Kreispunkten m(z— 1)-fache Punkte, dessen Tangenten die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen dieser Punkte sind ; 2° im Schmttpunkte S, von s mit ©, einen (m—1)(m—2)- fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, 907 wm = emtn, 363 Spur S von s in [w] gehenden isotropen Geraden , aus der im(m—1)- fachen reellen Axe und aus einer Kurve vom Grade 2(2m-—+-n—3). Diese hat 1° in den Kreispunkten x(m—1)-fache Punkte, von deren Tan- genten je « vereinigt sind in den m—1 Geraden, welche die Kreispunkte mit den ausserhalb der singulären Hbenen liegenden Bildern von S’ verbinden; 2° im Punkte 8 einen (n— In —2)-fachen Punkt, dessen Tan- genten die axialen Projektionen aus s auf [w] der (2—1)(2—2) ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von # sind; 3° im Punkte O einen #(#—1)-fachen Punkt, von dessen Tan- genten je z in einem der #-—1 ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder der zu [w’] gehörenden reellen Axe vereinigt sind ; 4° in # einen #(x—1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle mit der reellen Axe zusammengefallen sind; diese Gerade hat in Z ma — 1) Punkte mit der Kurve gemein. ‘ Der Schnitt in (w’] besteht aus den #(#—1)-fachen durch die Spur S’ von s in [w’] gelegten isotropen Geraden, aus der u(x — 1)- fachen reellen Axe und aus. einer Kurve vom Grade m(m-+-2n— 3). Diese hat 1° in den Kreispunkten m(”z—1)-fache Punkte, von deren Tan- genten je m vereinigt sind in den x»—1 Geraden, welche die Kreis- punkte mit den ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bildern von S verbinden ; , 2° im Punkte S’ einen (#—1)(m—2)-fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf [w’] der (m— 1m —2) ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von SS’ sind; 3° im Punkte O' einen m(z—1)-fachen Punkt, von dessen Tan- genten je m in einem der »—1 ausserhalb € liegenden Bilder der zu [w] gehôrenden reellen Axe vereinigt sind; 4° in # einen m(n—1)-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen sind; diese Gerade hat in Æ m(m—1) Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade (mn) n—3)—+ mn. Diese hat 1° in den Kreispunkten {2m2—(m-—-2)|-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen dieser Punkte sind; 2° im Schnittpunkte #, von s mit w, einen (u +2 — 1)(m+-nu— 2)- fachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus s auf 364 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, vw = en—m wm, w, der (m—1)(m—2) ausserhalb der singulären Ebenen liegenden nach #, zielenden Congruenzstrahlen sind; 3° im Schnittpunkte Y, von ©, mit OO' einen u(n — 1)-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in die Gerade X, zusammenge- fallen sind (Ausnahme in [w’}); f 4° in den m—n—I1 Punkten #, (Tn #1) z-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten in der unendlich fernen Gerade ver- einigt sind (Ausnahme in [vw)}); 5° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von w, mit der Dop- pelkurve. ia Die axiale Regelfliche einer in der Abbildungsebene {w] liegenden Gerade lo. Die allgemeine Regelfläche zerfällt hier in (m—”) mal die Abbildungsebene [w] und in eine Restfläche vom Grade u(m + x). Die Gerade /„ ist auf dieser Restfläche eine #°-fache Gerade. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist ebenfalls eine #--fache Gerade. Wenn Zo die unendlich ferne Gerade in Z, schneidet, so sind die » Bilder Zj von Z,, als Punkt von [w] betrachtet, z-fache Punkte auf der Restfläche; ihre Berührungsebenen sind in der Abbildungsebene [w] vereinigt, welche mit der Fläche mz mal die unendlich ferne Gerade gemein hat. Die Doppelkurve wird in der auf S. 308 u.f. gegebenen Weise bestimmt. Der Schnitt in [w] besteht aus der #°-fachen Gerade /- und aus der mn-fachen unendlich fernen Gerade. Der Schnitt in [w’] besteht aus der #°-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade mn, der Bildkurve von lo. Die Kreispunkte Z und J gehören dieser Bildkurve wicht an. Die x Bilder Zj von Z,, als Punkt von [w] betrachtet, sind n-fache Punkte; die Tangenten sind alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt, welche in jedem der Punkte Z; m Punkte mit der Kurve gemein hat. Wenn /, die isotrope Gerade OJ in Z, und die isotrope Gerade OT in ZL, schneidet, so sind die 2x bez. auf O'/ und OJ liegen- den Bilder Z, und Z, n-fache Punkte, welche alle die Gerade DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, 2010 w — em+n, 365 w, der (m—+-w—1)(m—+-n—2) ausserhalb der singulären Ebenen legenden nach #, zielenden Congruenzstrahlen sind ; 3° im Punkte Z einen (m 4 #)(2 — 1)-fachen Punkt, vom dem mn — 1) Tangenten mit der unendlich fernen Gerade und z(x — 1) mit der Gerade X, Z zusammenfallen ; 4° Doppelpunkte in den Schnittpunkten von ©, mit der Dop- pelkurve. Die axiale Regelfläche einer in der Abbildungsebene |w\ liegenden Gerade ls. Die allgemeine Regelfläche ist hier in #(# + 2x) mal die Abbil- dungsebene [w] und in eine Restfläche vom Grade n(2m + x) aus- geartet. Die Gerade /, ist auf dieser Restfläche eine x-fache Gerade. Die Kreispunkte 7 und J sind ##-fache Punkte ; ihre Tangenten befinden sich in mz Ebenen, die zu je m in x Ebenen vereinigt sind. Wenn / die isotropen Geraden OJ und O7 bez. in Z, und L, schneidet, so verbinden diese » Ebenen die Geraden Z, 7 und L,J bez. mit ihren x» Bildern in [w/]. Der Punkt O' ist ein w»-facher Punkt, dessen Berührungsebenen alle in die Ebene [w] zusammengefallen sind. Der Punkt O gehört jetzt der Restfläche zicht an. Der Punkt Z,, wo 4» die unendlich ferne Gerade schneidet, ist ein #-facher Punkt, dessen Berührungsebenen alle in der durch O' und /, gelegten Ebene vereinigt sind. Die Gerade O'Z, ist eine »°-fache. Für die Doppelkurve verweisen wir auf S. 303 u.f., 308. Der Schnitt in [w] besteht aus der x’-fachen Gerade /, und aus den #»-fachen Geraden Z,/ und Z,/ (siehe oben). Der Schnitt in [w'| ist zerfallen in die x?-fache Gerade O'L, und in eine Kurve vom Grade 2muz, die Bildkurve von /. Die Kreispunkte / und J sind ma-fache Punkte; von ihren Tan- genten sind je m bez. in ein der a Bilder von JZ, und JZ, zusammengefallen. Der Punkt O’ ist ebenfalls ein ##-facher; von seinen Tangenten sind je m in einem der 2 Bilder von OZ, vereinigt. 366 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, vin — tm wm, O'T bez. OJ als Tangente haben; diese Geraden haben in jedem der Punkte Z und Z, m Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer eu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, besteht aus der xz-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve vom Grade mz. Diese hat in: den 2 Punkten Z, a-fache Punkte, deren sämmtliche Tangenten in der unendlich fer- nen Gerade vereinigt sind. Die awiale Regelfläche einer in der Abbildungsebene | w | liegenden, durch O gehenden Gerade lx. Die gerade erörterte Fläche zerfallt jetzt in » Regelflachen vom Grade m-- ax. Jede dieser Regelflächen enthält die unendlich ferne Gerade als eine #-fache Gerade, deren sämmtliche Berührungsebenen in [w| vereinigt sind. Die Gerade OO’ ist ebenfalls eine z-fache; ihre Berührungs- ebenen sind alle in der durch O’ und Zo gelegten Ebene zusam- mengefallen. Die Gleichungen dieser Regelflächen findet man in (1444) (S. 302). Der Schnitt mit [7] ist zerfallen in die #-fache unendlich ferne ‘Gerade und in die »-fache Gerade Zo. Der Schnitt in [w’] ist aus der »-fachen unendlich fernen Gerade und aus je einem der Bilder von Ze», jedem m mal gezählt, zusam- mengesetzt. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, enthält die z-fache unendlich ferne Gerade und eine Kurve vom Grade m, welche in X, einen #-fachen Punkt hat; alle seine Tangenten sind in X,Z; vereinigt. Die axiale Regelfliche der in [w] liegenden reellen Axe. Von den xz gerade betrachteten Regelflächen vom Grade # + ist eine jetzt in m mal die Ebene e der reellen Axen und 2 mal die Abbildungsebene [w] ausgeartet. Die anderen x—1 Regelflächen zeigen, in Bezug auf das Vor- hergehende, keine Abweichungen. Ihre Gleichungen sind in (147a) (S. 308) gegeben. Von einer wesentlichen Doppelkurve ist nicht mehr die Rede. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, vo’ wm — em+n, 367 Der Schnitt mit einer eu den Abbildungsebenen paralellen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade n(2m-+-x). Diese hat in den Kreis- punkten ##-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen sind. Der Punkt Z, ist ein x*-facher; seine Tangenten sind alle in der Schnittlinie von ©, mit der durch O' und 7% gelegten Ebene vereinigt. Die axiale Regelfläche emer in der Abbildungsebene [w] liegenden, durch O gehenden Gerade lo. Die gerade beschriebene Regelfläche ist hier in mz mal die Ebene [w] und in x Regelflächen vom Grade # + ausgeartet. Keine dieser Regelflächen enthält jetzt die Kreispunkte. Auf jeder dieser Flichen ist 2, eine z-fache Gerade mit veränder- lichen Beriihrungsebenen, die Gerade O'Z; eine »#-fache mit der Ebene (O', /.) als einziger Berührungsebene (diese Ebene hat mit der Fläche m mal O'Z,; gemein); eine der x Geraden OL; ist eine m-fache mit veränderlichen Berührungsebenen ; schliesslich ist die entsprechende Gerade OZ, eine z-fache mit [w] als einziger Berührungsebene. Die Gleichungen dieser Regelflächen findet man in (1444) (S. 307). Der Schnitt in [w] besteht aus x mal der Gerade Z und m mal der axialen Projektion OZ; aus OO' eines der Bilder von Ze. Der Schnitt in [w’] zerfällt in 2 mal die axiale Projektion aus OO" von 7» und in # mal ein der Bilder von /, (das nämliche wie oben). Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade # x, welche in Z, einen z-fachen Pankt hat, während die Tangenten vereinigt sind in der Gerade, in der w, die Ebene (O’, /~) schneidet; es ist Z; ein m-facher Punkt, dessen sämmtliche Tangenten in der Schnittlinie von w, mit der Ebene (OO'Z,) vereinigt sind. Die axiale Regelfliche der in [wl liegenden reellen Axe. Von den » Regelflächen. vom Grade » +», deren Eigenschaften wir gerade erörtert haben, ist eine jetzt in die (# +-»)-fache Ebene e der reellen Axen ausgeartet. Die übrigen »—1 Regelflächen verhalten sich in analoger Weise wie die oben behandelten. Ihre Gleichungen findet man in (1474) (S. 309). 368 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w't=cr—m wm, Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zw den Abbil- dungsebenen parallelen Kreise ruhen. Von der einem willkürhichen Kegelschnitte angehôrenden Regel- fläche, welche vom Grade 2m(m-- x) ist, wird 2mn mal die Abbil- dungsebene [w] abgetrennt, sodass wir eine Restfläche vom Grade 2m? erübrigen. Auf dieser Regelfläche ist der Kreis selbst eine #°-fache Kurve. Die Kreispunkte sind m’-fache; in jedem dieser Punkte sind von den Berührungsebenen je m in einer der m Ebenen vereinigt, welche die axiale Regelfläche der im Kreispunkte an dem Kreise gelegten Tangente, d.h. der durch den Mittelpunkt des Kreises gehenden isotropen Gerade, bilden. Der Schnitt in [w] ist zerfallen in die x(m—x)-fachen Spuren der Berührungsebenen in den Kreispunkten und in eine Kurve vom Grade 27. Die Kreispunkte sind auf dieser Kurve ma-fache Punkte; von ihren Tangenten fallen je 2 mit einer der m genannten Ausartungs- elementen zusammen; jede dieser Tangenten hat in einem Kreis- punkte 22 Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt in [w'] ist eine Kurve vom Grade 2m’. Die Kreispunkte sind #”-fache Punkte, von deren Tangenten je m in den m Spuren der Berührungsebenen der Kreispunkte ver- einigt sind; jede Tangente hat in einem Kreispunkte 2m” Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade 2m’, welche in den Kreispunkten m°-fache Punkte hat, während die Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen der Kreispunkte sind. Die Regelfläche der Strablen, welche auf einem eu den Abbildungs- ebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf OO liegt. Diese Regelfläche weicht von der vorigen nur im Folgenden ab. Von den m verschiedenen Berührungsebenen der Kreispunkte DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’” wm = mtr, 369 Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zw den Abbil- dungsebenen parallelen Kreise ruhen. Die Regelfläche eines willkürlichen Kegelschnittes ist vom Grade 2(m + 2) + Am. Dieser Fläche wird hier 2»x mal die Ebene [w] und 2»x mal die Ebene [w’] entzogen. Die Restfläche ist daher vom Grade Um +- n)?. Auf dieser Fläche ist der Kreis selbst eine (w + x)?-fache Kurve. Die Kreispunkte sind (m—-n)?-fache; in jedem dieser Punkte sind von den Bertihrungsebenen je # + x vereinigt in einer der mn Ebenen, welche die axiale Regelfläche der im Kreispunkte an den Kreis gelegten Tangente, d.h. der durch den Mittelpunkt des Kreises gehenden isotropen Gerade, bilden. Der Schnitt in [w] ist ausgeartet in die m-fachen Spuren der Berührungsebenen in den Kreispunkten und in eine Kurve vom Grade 2n(m + »). Die Kreispunkte sind x(m + »)-fache; von ihren Tangenten sind je wz mit einem der wm + genannten Ausartungselementen zu- sammengefallen; jede dieser Geraden hat in einem Kreispunkte am + n + 1) Punkte mit der Kurve gemein. Die Schnittpunkte der # + a durch den Kreispunkt 7 gehenden Ausartungselementen mit der isotropen Gerade OJ/ sind z-fache Punkte der Kurve; ihre Tangenten fallen ebenfalls mit den ge- nannten Ausartungselementen zusammen, welche im diesen Berüh- rungspunkten m Punkte mit der Kurve gemein haben. Analoge Betrachtungen gelten in Bezug auf die Schnittpunkte der durch / gelegten Ausartungselementen mit OZ. Der Schnitt in [w’] wird am leichtesten ermittelt, indem wir in den Ergebnissen des in [w] befindlichen Schnittes die Zahlen m und 2 und die Abbildungsebenen [w] und {w’] vertauschen. Die Schnittpunkte mit OJ sind jetzt »-fache Punkte; ihre Tangenten sind mit OJ vereinigt, welche in jenen Punkten # Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Schnitt mit einer ew den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade Um + #)°, welche in den Kreis- punkten (m +- »#)*-fache Punkte hat, während die Tangenten die Schnittlinien von ©, mit den Berührungsebenen der Kreispunkte sind. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungs- ebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf OO liegt. Die Abweichungen dieser Regelfläche von der vorigen sind nicht von wesentlicher Bedeutung. Verband. der Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) DI, X. B 24 370 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, 2° = em wm, sind je 2 mit den durch OO’ gelegten isotropen Ebenen zusammen- gefallen. Im Schnitte mit [w] sind dementsprechend von den m Ausartungs- elementen durch jeden Kreispunkt x mit einer durch OQ gehenden isotropen Gerade zusammengefallen. Analoges gilt von dem Schnitt mit [w/] und mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w,. Die Regelfläche der Strahlen, welche ruhen auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise, der OO schneidet. Die Abweichungen von der Regelfläche des willkürlichen zu den Abbildungsebenen parallelen Kreises sind diese, dass die Gerade OO" jetzt eine »?-fache Gerade der Fläche ist, deren sämmtliche Berührungsebenen OO’ mit der an den Kreis im Schnittpunkte X, des Kreises mit O0" gelegten Tangente verbinden (Ausnahme in [w’]). Dementsprechend hat die in [w] liegende Kurve in O einen n°-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten vereinigt sind in der _ Schnittlinie von [w] mit der genannten Berührungsebene von OO’. Die in [w | hegende Kurve hat dagegen in O' einen mz-fachen Punkt, von dessen Tangenten je z in einem der Bilder der in O an der Kurve in [w] gelegten Tangente vereinigt sind. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem %% der Abbil- dungsebene [w\ legenden Kreise ruhen. Die oben betrachtete Regelfläche zerfällt jetzt in 2m(m— ») mal die Abbildungsebene [w] und in eine Restfläche vom Grade 2mm. Auf dieser Restfläche ist der Kreis eine »?-fache Kurve. Die Kreispunkte sind nun #»#-fache Punkte; von ihren Berüh- rungsebenen sind je m vereinigt in einer der x Ebenen, welche bez. die in den Kreispunkten an den Kreis gelegten Tangenten (die durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufenden isotropen Geraden) mit ihren z Bildern verbinden. Wenn der Kreis die isotrope Gerade O7 in 47, und die isotrope Gerade OZ in 47, schneidet, so sind die x Geraden, welche M, (bez. M) mit seinem x auf O'J (bez. U'T) liegenden Bildern ver- binden, z-fache Geraden der Fläche, deren Berührungsebenen alle mit den durch OO' gelegten isotropen Ebenen zusammengefallen sind. Der Schnitt in [w] besteht aus dem »?-fachen Kreise und aus seinen #(#—x)-fachen Tangenten in den Kreispunkten. Der Schnitt in [w’] ist die Bildhurve des Kreises; sie ist vom Grade 2m und hat 2 _— DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, vw” a = cmtn, 3 Die Regelfliche der Strahlen, welche ruhen auf einem zw den Abbildungsebenen parallelen Kreise, der OO' schneidet. Auch diese Regelfliche weicht in keiner wesentlichen Hinsicht ab von der des willkürlichen zu den Abbildungsebenen parallelen Kreises. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem 7 der Abbil- dungsebene |w| liegenden Kreise vuhen. Die oben betrachtete Regelfläche ist jetzt ausgeartet in 2#{w + #) mal die Abbildungsebene {w] und in eine Restfläche vom Grade Zalm + 1). Auf dieser Fläche ist der Kreis eine n?-fache Kurve. Der Kreis möge die isotrope Gerade O7 in M, und die isotrope Gerade O7 in 47, schneiden. Die Kreispunkte sind nim + »)-fache Punkte; von ihren Berüh- rungsebenen sind mn zu je m vereinigt in den x Ebenen, welche die Gerade M/,/ (bez. MJ) mit ihren x Bildern verbinden, während von den übrigen x? je » vereinigt sind in einer der x Ebenen, welche die im Kreispunkte an den Kreis gelegte Tangente (die durch den Mittelpunkt des Kreises gehende isotrope Gerade) mit ihren # Bildern verbinden. Der Schnitt in [w] ist aus dem »?-fachen Kreise und aus den ma-fachen Geraden M,Z und 47,7 zusammengesetat. Der Schnitt in [w’] ist zerfallen in die 2x n-fachen Bilder der in den Kreispunkten an den Kreis gelegten Tangenten und in eme Kurve vom Grade 2mn, welche die Bildhurve des Kreises ist. Letztere hat B 24* 372 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, vw!" = en—m wm, 1° in den Kreispunkten mn-fache Punkte, von deren Tangenten je m in einem der xz Bilder der in den Kreispunkten an den Kreis gelegten Tangenten vereinigt sind; 2° in den » Bildpunkten MZ, von 47, und in den » Bildpunkten M, von M, n-fache Punkte, deren Tangenten alle mit 0'J, bez. OJ zusammengefallen sind; diese Tangenten haben in jedem der Punkte MZ’, bez. M," m Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit emer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade 2m, welche in den Kreispunkten mn-fache Punkte hat; ihre Tangenten sind die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen in diesen Kreispunkten. Die Punkte, wo ©, die 2x Geraden 47, 47; und AZ, /,' schneidet, sind #-fache; ihre Tangenten fallen mit den durch X, gelegten isotropen Geraden zusammen. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem % der Abbil- dungsebene [wl legenden Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt O ist. Die Regelfläche ist vom Grade 2mm und enthält den Kreis als eine x-fache Kurve. Die Kreispunkte sind mz-fache; ihre Berührungsebenen sind alle in die durch OO’ gelegten isotropen Ebenen zusammengefallen. Der Schmitt in [vw] besteht aus den #(»—»)-fachen durch O gehenden isotropen Geraden und aus dem #’-fachen Kreise. Der Schnitt in [w'| besteht aus x m-fachen concentrischen Kreisen, deren Mittelpunkt in O' liegt. Der Schnitt mit emer zw den Abbildungsebenen parallelen Kbene w, ist eine Kurve vom Grade 2mz, welche in den Kreispunkten mn-fache Punkte hat; ihre Tangenten convergiren alle nach X,. Die Regelfliche der Strahlen, welche ruhen auf einem 7 der Abbildungsebene [wl liegenden Kreise, der O enthält. Diese Regelfläche weicht nur sofern von der des willkürlichen in {w] legenden Kreises ab, dass OO jetzt eine #°-fache Gerade ist, deren simitliche Berührungsebenen vereinigt sind in der Ebene, . welche die in O an den Kreis gelegte Tangente aus O' projizirt (Ausnahme in [w’}). Der Schnitt in [w] besteht aus den früher genannten Elementen. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ, w’? a — cm+n, ote 1° in den Kreispunkten mz-fache Punkte, von deren Tangenten je m in einem der > Bilder von 47,7, bez. M,J vereinigt sind; 2° in den 2 Schnittpunkten von OJ mit den x durch / gehenden Ausartungselementen und in den xz Schnittpunkten von O'/ mit den n durch J gehenden Ausartungselementen z-fache Punkte ; ihre Tan- genten fallen mit den Geraden O'/, bez. O'7 zusammen ; diese Geraden haben in jedem Berührungspunkte > Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit emer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade 2n(m-t-x), welche in den Kreis- punkten „(mm + »)-fache Punkte hat; ihre Tangenten sind die Schnitt- linien von ©, mit den Berührungsebenen der Kreispunkte. Die Megelfläche der Strahlen, welche auf einem 7 der Abbit- dungsebene [wl liegenden Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt O ist. Die Regelfläche ist vom Grade 2u(m +») und enthält den Kreis als eme #°-fache Kurve. Die Kreispunkte sind #(m + »)-fache ; von ihren Berührungsebenen sind ma mit [w’] und #° mit [w] zusammengefallen. Der Schnitt in [w] ist zerfallen in die 2mz-fache unendlich ferne Gerade und in den x?-fachen Kreis. Der Schmitt in [w’] besteht aus der #°-fachen unendlich fernen Gerade und aus « m-fachen concentrischen Kreisen, deren Mittel- punkt in O' liegt. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade 2u(m + x), welche in den Kreis- punkten z(# + »)-fache Punkte hat; ihre Tangenten sind alle mit der unendlich fernen Gerade zusammengefallen. Die Regelfliche der Strahlen, welche ruhen auf einem % der Abbildungsebene |w] legenden Kreise, der O enthält. Der Regelfläche eines willkürlichen in [7] liegenden Kreises wird jetzt mn mal die Ebene [w] entzogen, wonach man eine Fläche vom Grade 22(m + x) + ma erübrigt. Die Kreispunkte sind nun #°-fache; ihre Berührungsebenen sind diejenigen der zweiten Gruppe. Der Schmitt in [w] besteht aus dem #*-fachen Kreise und aus der mu-fachen Gerade, welche den O auf dem Kreise vorange- henden Punkt mit seinem Bilde verbindet. 374 DIE PARABOLISCHE CONGRUENZ, w’" = cr—m wm, Der Schnitt in [w’] hat nun in O' einen ma-fachen Punkt, von dessen Tangenten je m veremigt sind mit einem der x Bilder der in O an den Kreis in [w] gelegten Tangente. Der Schnitt mit einer ew den Abbildungsebenen parallelen Kbene ow, hat jetzt in X, einen #°-fachen Punkt, dessen Tangenten alle in der Schnittlinie von w, mit der Berührungsebene von QO" ver- einigt sind. DIE HYPERBOLISCHE CONGRUENZ w’” wm — entn, B) Die in [w’] liegende Kurve ist vom Grade mw, sie ist die Bi/d- kurve des in [w] liegenden Kreises. | Diese Bildkurve enthält weder die Kreispunkte noch den Punkt O’. Sie trifft die durch OQ’ gehenden isotropen Geraden jede mal in # »-fachen Punkten, deren Tangenten mit diesen isotropen Ge- raden zusammenfallen. Die Verbindungslinien der Berührungspunkte mit den gegeniiber- liegenden Kreispunkten gehören dem Gesammtschnitte in [w’] an. Der Schnitt mit einer zw den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve vom Grade z(m 2x), welche in den Kreis- punkten #*-fache Punkte hat. Hiermit sollen die Untersuchungen der parabolischen und der hyperbolischen Congruenz beendet werden. Freilich sind nur die Regelflächen von sehr speziellen Gebilden erörtert worden; wir glauben aber mit den Vorangehenden ausreichen zu kônnen, weil unser Hauptzweck nicht eine möglichst vollständige Sammlung von Regelflächen war, sondern vielmehr eine Übersicht der Methode, nach der diese Regelflächen gelegentlich untersucht werden könnten und deshalb, wie zur -Erläuterung, nebenan einige Anwendungen dieser Methode. Im folgenden Abschnitte wollen wir zwei besondere parabolische und eine besondere hyperbolische Congruenz studiren, nl. die, welche den Beziehungen w = cu, w° —= cu und w = ew angehören, und deren Erledigung durch die Analyse der Gleichun- gen dritten Grades bedingt wird. FUNFTER ABSCHNITT. ABTEILUNG A. Die Congruenz, welche der Beziehung ww entspricht. $ 1. Allgemeine Wigenschaften. Mit Hinweisung auf das im vierten Abschnitte Dargelegte, be- merken wir zuerst, dass man in dieser parabolischen Congruenz hat WS enk Der Bündelgrad der Congruenz ist also 9, ihr Feldgrad 3, ihr . Avengrad N = 15. Von den 9 nach einem reellen Punkte zielenden Strahlen sind 3 reell. Die Fofalfläche besteht aus zwei imaginären Cylindern, deren Spitzen sich in den Kreispunkten Z und / der Abbildungsebenen befinden. Die Gleichungen dieser Fokalcylinder lauten : Aa? +27 2 a=0, I 428 +27 a, —0. Se Die Abbildungsebene [w] (x, — 0) ist eine Inflexionsebene für beide Cylinder; die Tangente ist mit der unendlich fernen Gerade identisch. Die Cylmder durchbohren sich noch in 2 kubischen Plankurven, welche in den Ebenen der reellen und imaginären Axen liegen. Die beiden Kuryen haben im unendlich fernen Punkte Z, bez. 2” (oder #_,), einen Wendepunkt, dessen Tangente mit der reellen, bez. imaginären Axe von [w] identisch ist, und im Punkte O' einen Rückkehrpunkt, dessen Tangente mit OO’ zusammenfillt. Die Gleichungen des Congruenzstrahles p sind hier DIE CONGRUENZEN VON w' —=e-?2w5, w?—c-1%3 UND wv’ =e w-2. 311 = Pi 23 À pi %, | = Pot, psa, | (a) Der Brennpunkt P, des Strahles py ist durch WV Ws da dr, 5 n= 3 = 5 = ee EE Ao NCE SRO) SCT Sat ea) der Brennpunkt Pj. durch a do 3 Uy Ne = == = de es a (107) 2 vm — py’) Di nih Te bestimmt. Singulire Hbenen sind 1° jede Ebene, welche einen Strahl p mit einem der Kreis- punkte verbindet; sie enthält ein Strahlengebilde 3“ Klasse, dessen Einhüllende eine kubische Kurve mit einem Rückkehrpunkt ist; 2° die Ebenen z, — + 2,, d.h. die Ebenen der reellen und imaginären Axen; sie tragen jede ein Strahlengebilde 3" Klasse, dessen Einhüllende mit der kubischen Fokalkurve identisch ist; 3° die Abbildungsebene [w] (7, — 0) mit Strahlenbüscheln in den Kreispunkten und in den unendlich fernen Punkten der reellen und der imaginären Axe. Singulire Punkte sind 1° die Kreispunkte mit Strahlenbüscheln in [vv]; 2° die unendlich fernen Punkte der reellen und imaginären Axen in [w] mit Strahlenbiischeln in [vw]. Von den 9 Strahlen, welche nach einem Punkte von [w] zielen, fallen 4 mit den durch diesen Punkt gehenden isotropen Geraden zusammen, 2 mit der durch diesen Punkt zu der reellen Axe parallel gelegten Gerade, 2 mit der durch diesen Punkt zu der imaginären Axe parallel gelegten Gerade. Der 9° Strahl verbindet den Punkt mit seinem in [w’] befindlichen Bilde. Die in [wl liegenden isotropen Geraden müssen, als Strahlen durch die Kreispunkte betrachtet, je 3-fach gezählt werden. § 2. Die axiale Regelfläche einer durchaus willkirlichen Gerade |. Der Grad dieser Regelfläche ist 3(3 + 1) = 12. Es ist / auf ihrer Regelfläche eine 9-fache Gerade. Es sei 4 (a,, 4) die Spur von Zin [w], B (G,’, 6.) die von 7 in [w]. Der Schnitt mit [w | besteht aus den 2-fachen durch 4 gehenden 378 DIE CONGRUENZEN VON w'—c—2w5, w'?=—=etw3 UND w' =c3 w=2. isotropen Geraden, aus den 2-fachen durch 4 parallel zu den reellen und imaginären Axen gelegten Strahlen und aus einer Kurve Aten Grades. Diese hat in Bezug auf das Coordinatendreieck 4 /J die Gleichung 65 (Ei ae ay a) aux Ei (Es + ay Es) = (Gy Ei — bi 5) Eÿ = 0.16%) Diese Kurve 4°" Grades ist circular. Die in den Kreispunkten gelegten Tangenten treffen sich in 4. Die Kreispunkte sind Wende- punkte. Der Punkt 4 liegt auf der Kurve und hat als Tangente die axiale Projektion aus / auf [w] des Bildes 4’ von 4. Die Punkte # und 7° gehören der Kurve auch an; ihre Tan- genten convergiren nach dem Punkte 7', der durch pe SS ae E a E De oder OY JEP TS ie oh ae (Ga) A4 a 2 angewiesen ist. Der Schnitt mit [w’] ist eine Kurve 12%" Grades, deren auf das Coordinatendreieck B°7J bezogene Gleichung lautet: EE + dr Er EEn Hbo E) + (ay Ei, — a 5») ae 0, oder [ES (à = br En — Zi (Es sE bo) Ei) se (a, E1 — a E) EP a + 27 Er Er (a, &, — ay E) (ë aE by En) (E zi by &,) EO Die Kreispunkte sind hier 3-fache; ihre Tangenten sind mit den durch A’ gehenden isotropen Geraden identisch. Der Punkt 2B’ ist ein 9-facher; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus / auf [w’] der 9 Bilder B von B’. Da von dieser 9 Bildern nur 3 reell sind, so sind auch von den 9 Zweigen durch B’ nur 3 reell. Die unendlich fernen Punkte der reellen und imaginären Axen gehören der Kurve als gewôhnliche Punkte an; ihre Asymptoten fallen mit der unendlich fernen Gerade zusammen, welche in den beiden Punkten je 3 Punkte mit der Kurve gemein hat; diese DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2 3, w2?—c 1x3 UND w =c3w-2. 319 Gerade ist also eine doppelte Wendetangente und die unendlich fernen Punkte der Axen sind Wendepunkte. Auf der Regelfläche sind die Kreispunkte dreifache. Die Berüh- rungsebenen des Kreispunktes /(X,) sind in der Ebene D yy Hi = D, WA ta BO) die des Punktes J (X,) in der Ebene a — Uy V3 — HU 0 . . . . . (9a) vereinigt. Sie sind offenbar die Ebenen, welche den Strahl «= 44° mit den Kreispunkten verbinden. Die unendlich fernen Punkte der reellen und imagimären Axen sind gewöhnliche; ihre Berührungsebenen sind mit der Ebene [w| zusammengefallen. Die Doppelkurve dieser Regelfläche ist vom Grade W + 3 = D 3 — 18. § 3. Die axiale Regelfliche einer Gerade 1, welche OO schneidet. Diese Regelfläche enthält OO" als eine exfache Gerade, für welche alle Berührungsebenen mit der durch 7 und OO’ gelegten Ebene zusammengefallen sind. Es sei Dy — Uy die Gleichung der durch / und OO’ gelegten Ebene; man hat alsdann (siehe IV. Abschnitt $ 7a, (81) und (82), S. 242) Ds dz qu ee ibe 1 a Gi, b>, — a, 6; — 0). Die in [w] hegende Kurve hat nun die Gleichung . (Lp a ta, ds) re rd (a, ET. Uy #3) Lo = b (ta, CES de) Zie — 0. (104) Sie hat in O einen Wendepunkt, dessen Tangente O mit 4 verbindet. Die Gleichung der in [w] befindlichen Kurve lautet jetzt al 1 1 CE NN abe) + ay (ta, — &2) a, =0, oder 380 DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2w3, w'?=c-1w3 UND w' =c3 w—2. [(@,— th, di) vm — (a, — d'a) x, as (ta, — ay)? a, |’ EI 27 ay &y &y — thy a) ab a) (ta, — 2) =O. (11a) Diese Kurve hat in O' einen dreifachen Punkt, dessen Tangenten in der Bildgerade (2, = f°,) von OA vereinigt sind; diese Tan- gente hat in O° 9 Punkte mit der Kurve gemein. Der Schmitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat, ausser den Singularitäten des allgemeinen Falles, einen gewöhnlichen Punkt in der Spur X, von OO in ©, ; die zu X, ge- hôrende Tangente ist die Schmittlinie von w, mit der durch Z und O0" gelegten Ebene. Wenn 7 den Punkt O enthält, so zerfällt die in [w] liegende Kurve in 3 mal die Kurve 4°" Grades, deren Gleichung ist (7, — 6, #,) 2, —(@, —6, 2,°2,=—0. . . . Ge Die Kreispunkte sind gewöhnliche; ihre Tangenten convergiren in 0". Die unendlich fernen Punkte der reellen und imaginären Axen sind gewöhnliche; ihre Tangenten werden durch (a, + a) —8(b Eb, an =—0 . NE dargestellt; sie schneiden die Gerade O' B’ im Punkte 75, welcher durch a, Lo di eo dela” soy SC Br Shey ee gegeben ist. In der Kurve, welche dem Schnitte von [w] angehôrt, und durch Wy Oy? — a By? + (Ga — br %) a; = 0 dargestellt wird, ist der gewöhnliche Punkt 4 in O gefallen; seine Tangente ist die Schnittlinie von [zw] mit der durch OO’ und / gelegten Ebene, also die orthogonale Projektion von / auf [w}. Die unendlich fernen Punkte der reellen und imaginären Axen haben, als dreifache Punkte der Fläche, jeder nur eine Berührungs- ebene, und zwar bez. Ma a) — 36, Eu) 0.7 A ie Diese Ebene verbindet Z, bez. E’, mit der Gerade O7: DIE CONGRUENZEN VON w'—=e-?w3, w’2?=c-1w3 UND wv’ = cw-2. 381 4 dy a, Sa) = pp? == = . © c 5 7 (14a) 30, 30» 2 Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w hat jetzt ausser dem gewöhnlichen Punkte X, zwei dreifache Punkte in den unendlichen fernen Punkten der Axen; ihre 'Tan- genten sind vereinigt in den Schnittlinien von w, mit den Ebe- nen (134). Wenn / durch O° geht, so bleibt die in [w] liegende Kurve vom 4°" Grade. Ihre Gleichung ist (wd) — (mr A) = 0. .°. . (150) Sie hat in O einen dreifachen Punkt, dessen Tangenten die Bilder sind der orthogonalen Projektion von / auf [w']. Der Schnitt in [w'] hat die Gleichnng a 1 1 Bar — me + (Qnty — a), —0, oder [ma —aÿa, (as — ar) wi +27 or ro (agar — de) = 0. (16a) Der Punkt O' ist hier ein 9-facher; seine sämmtlichen Tangenten sind in der orthogonalen Projektion von Z auf [w/] vereinigt. Die unendlich fernen Punkte der Axen zeigen dasselbe Verhalten wie im allgemeinen Falle. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, weist also, ausser seinem gewöhnlichen Punkte X,, keine Ab- weichungen mit dem Schnitte der allgemeinen Regelfläche auf. $ 4. Die amale Regelflüche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade ly. Der Grad dieser Regelfläche ist, wie im allgemeinen Falle, 12. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist jetzt auf dieser Fläche eine dreifache Gerade. Es sei die Gerade 7, gegeben durch a di - Coy Ly | 433 +, | UN lela) Ly (Lb, a so (18) Der Schnitt in [w | besteht aus 9-mal der unendlich fernen Ge- rade und aus einer kubischen Kurve, deren Gleichung ist aa Haas + | (ay ay + das + 43223) + aa 23 — 0. (19a) 382 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2 03, w?—c1%3 UND w' = cw—2. Die Kurve schneidet die unendlich ferne Gerade in den 3 Bil- dern des unendlich fernen Punktes Z, von /,, als Punkt von [w'] betrachtet; die Tangenten dieser Punkte convergiren alle nach dem der Kurve zicht angehôrenden Punkte O. Der Schnitt in [w’] besteht aus der dreifachen unendlich fernen Gerade und aus dieser Kurve 9" Grades: 1 1 1 PAC a + a a”) ae + dd + a, À (ua, HU) a, = 0, oder wara, + paf aby arg” + ea + 2,2, + (ua, + ay) Bs] — — QT af 06, ay ary Wy" less + do, + (ua, +) zj) = 0. (204) Sie schneidet die unendlich ferne Gerade nur im unendlich fernen Punkte Z, von /,; dieser Punkt ist ein 6-facher, dessen sämmtliche Tangenten mit der unendlich fernen Gerade zusammen- gefallen sind; diese Gerade hat in Z, 9 Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, enthält ausser der 3-fachen unendlich fernen Gerade eine Kurve geen Grades, welche in Z, einen 6-fachen Punkt hat; sämmtliche Tangenten von Z, sind in der unendlich fernen Gerade vereinigt (Ausnabme in (wl). Wenn die Gerade 4, den Kreispunkt Z(X,) enthält, wonach a — 0, so besteht die axiale Regelfläche aus der 3-fachen Ebene [w] und aus den dreifachen durch Z, an den Fokalcylinder #, ge- legten Berührungsebenen. Letztere sind durch [ay + (pas Oey) arg” f= a (kot + (ua, + ey) 73} (@3— fay) = 0 (21a) angewiesen. Wenn 4, sich in der Abbildungsebene [w’] befindet, wonach m —0, so finden wir für die in [w] liegende Kurve am tar tun =0, . °°. . 2 ee Sie ist die Bildkurve der in [w’] liegenden Gerade. Der Schmitt in [w'| ist jetzt aus der 3-fachen unendlich fernen Gerade und der 9-fachen Gerade /, zusammengesetzt. Wenn 4, eine isotrope Gerade (durch /(X,)) in [w'] ist, so zerfallt die Regelfläche, ausser der 3-fachen Ebene [w], in die 3 dreifachen Hbenen, welche der Gleichung DIE CONGRUENZEN VON w'—c—2 x, w’?=c-1w3 UND w’ = Bw-2. 383 Gate) Lada; Or oh MAN (230) entsprechen. $ 5. Die axiale Regelfläche einer zu den Abbildungsebenen parallelen Gerade 1,, welche OO schneidet. Man hat hier pa, + a, — 0. Die in [w] liegende Kurve hat nun die Gleichung da aa) pd Jee) —0. . . (24a) Sie ist vom 3°" Grade und hat in O einen Wendepunkt; die Wendetangente (@,a, + 4,7, — 0) ist zu der gegebenen Gerade parallel. Weil die Tangenten der 3 unendlich fernen Punkte JZ,’ sich in O treffen, so sind diese Punkte sextactische und ist die unendlich ferne Gerade die harmonische Polare des Wendepunktes ©. Die kubische Kurve hat demnach in O einen Mittelpunhtt. Die in [w’} befindliche Kurve 9°" Grades wird nun durch [war ary ary’ + aa + (au + ae) |? — — Zip a ma (Ga, + bas) = 0 . . - (25a) dargestellt. Die Kurve hat in O’ einen dreifachen Punkt, dessen simmtliche Tangenten vereinigt sind im Bilde der parallel mit /, verlaufenden Gerade OL, Die Regelfläche hat noch OO’ als eine einfache Gerade, wonach der Schnitt mit ©, in X, einen gewöhnlichen Punkt hat. $ 6. Die axiale Regelfläche einer in der Kbene © der reellen Aven liegenden Gerade. Die Eigenschaften der Regelfläche einer in ¢’ liegenden Gerade werden aus den der vorliegenden Fläche durch Vertauschung von a, mit — 2, hergeleitet. Die axiale Regelfläche einer in ¢ liegenden Gerade ist aus Smal dieser Ebene und aus einer Restfläche 9" Grades zusammengesetzt. Die Gerade / ist auf dieser Restfläche eine 6-fache. Die Kreispunkte sind 3-fache Punkte; ihre Berührungsebenen sind in den Ebenen (8a) und (9a) vereinigt, wo a, = a, — a ein- zusetzen ist. 384 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w3, w’2?=c-1w3 UND w' —c3w—2. Der Punkt £” (a, = —a,) ist ein gewühnlicher; seine Berüh- rungsebene ist die Ebene [7]. Die Gerade OO’ gehört der Restfläche nicht an, Dagegen ist der Schnittpunkt S von / mit OO’ ein 6-facher Punkt. Der Schnitt in [w] besteht aus den zwei 2-fachen durch die Spur 4 von / in [w] gelegten isotropen Geraden, aus der ein- fachen durch 4 parallel zur imaginären Axe verlaufenden Gerade und aus einer Awbischen Kurve, deren auf 4 // bezogene Gleichung lautet : So (Er <= afs) ST Er € = als) in 5 (ë = §,) a ay Se. f oder EEE HE) 3058+ —a)EF—=0. . (264) | Diese kubische Kurve ist circular; die isotropen Asymptoten convergiren in 4; dieser Punkt gehört aber der Kurve wicht an. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe liegt nicht auf der Kurve, wohl aber der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe; die Tangente in diesem (gewöhnlichen) Punkte geht durch den Punkt 7. Der Punt O gehört auch der Kurve wicht an. Der Schnitt in [w'] ist eine Kurve 9%" Grades. Ihre auf BJ bezogene Gleichung ist BEDE) — 4 Et TE) + ab — $8." _ ee oder EE V'E,) EE +6'E,)-+a"(E,—8)&, HAT EEE (EVENE VE) Er) __ 0 Cie Sa) + oder endlich [EEE HE) HO (Ey? + & & + EN) Er — a? (&, — EP EP — — 27a’ &° EEE + EN (E, + PA (27a) Die Kreispunkte sind 3-fache, deren Tangenten in die durch das Bild A’ von A gehenden isotropen Geraden zusammengefal- len sind. | Die Spur B’ von / in [w’] ist ein 6-facher Punkt; seine Tan- DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2 ws, w'? —=e ws UND w'— ce w-2. 385 genten sind die axialen Projektionen der 6 ausserhalb der zu [| gehörenden reellen Axe legenden Bilder von Z7. Der Punkt O° gehört der Kurve wicht an. Der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe ist ein Wende- punkt, dessen Tangente im Unendlichen liegt. Der Schnitt mit emer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene - Oy ist eine Kurve 9" Grades. Diese hat in den Kreispunkten 3-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien sind von ©, mit den Ebenen (Sa) und (9a), (wo a, — a, — a einzusetzen ist). Der Schnittpunkt C, von / mit @, ist ein 6-facher Punkt, dessen ‘Tangenten die axialen Projektionen aus 7 auf [zw] der 6 ausser- halb der Ebene der reellen Axen liegenden, nach GC, zielenden Congruenzstrahlen sind. Der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe ist ein Wende- punkt, dessen ‘Tangente die unendlich ferne Gerade ist (Aus- nahme in (wl). Die Kurve hat ausserdem Doppelpunhte in den Schnittpunkten von w, mit der Doppelkurve. Da / in einer singulären Ebene liegt, so wird der Grad der Doppelkurve erniedrigt; wir wollen ihn somit auf direktem Wege zu bestimmen versuchen und fragen zu diesem Zweek nach der Anzahl der Schnittpunkte mit Z. Wir operiren nun mit der Gleichung (siehe IV. Abschnitt, Senge rs. 27 2)) fm =O — HT) —(m+a=0,. - . (289 oder w+ Bam + (Ba + p)T + (a — 0) = 0. Die Punkte, wo / die Doppelkurve schneidet, sind zunächst die Punkte 2,,, welche die Bedingung G, 4 6, — 9 veranlassen. Wir haben also die folgende symmetrische Funktion der Wurzeln zu betrachten (cs de C2) (ca sin C3) (Co zin 3), == 0, oder Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) Dl. X. B 25 386 DIE CONGRUENZEN VON w’ = e-2w3, w2=c1wv3 UND w = 32. cr ty + ce + a + ee + cfa + ce + 2qec,—0, also (ae + C4 €3 + €203) (a + © + C3) — C4 Cz €3 = 0. Wenn wir über die Beziehungen GG es = — 8a, Ca Co + Ce; + GC = Ba + p, Ci Co C3 == — (a — 8’) verfiigen, so verwandelt sich die Bedingung in — 3a(38a° + 14) + (a — 0) — 0, oder 8a? + 5 a8 ae ee = Dieser Wert von 2 bestimmt auf / den einzigen einfachen Schnittpunkt D,, der Doppelkurve. Die auf / befindlichen Doppelpunkte D,,,,.. der Doppelkurve sind hier aus der Bedingung 2 te Drost, = 0 zu bestimmen; wir haben uns daher mit der folgenden symmetri- schen Funktion der Wurzeln zu beschäftigen : (Qe Ca) (oies — BS) (AiG Ca) — (5 oder Za Ca — E3C 0103 — 0, also (C4 Co + €403 + Co Ce)” — Cy C2 03 (a EC + C3) = 0, oder (3a° + pg)’ — Via (a —b)—0..... EN Hieraus finden wir p=—8e4+ 3r;al/ a —#8,. . . . (81a) wo 7, eine der 3°" Wurzeln aus der Einheit darstellt. DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2 w3, wl? —c—1»% UND wl = uw. 387 Die Gleichung (30a) (oder (314)) bestimmt die 3 auf / liegen- den Doppelpunkte der Doppelkurve. Die Doppelkurve hat somit BOX 3 -- 1 —7 Punkte mit / gemein. Jede durch / gelegte Ebene liefert noch 3 ausserhalb / liegende Punkte dieser Kurve. Der Grad der Doppelkurve ist demnach We 9 = 10, Auf der axialen Regelfläche einer in der Kbene © der reellen Axen befindlichen Gerade liegt eine Doppelkurve 10" Grades. § 7. Die axiale Regelfläche einer in der Kbene der reellen Aven liegenden Gerade, welche durch O geht. Der Unterschied mit der vorhergehenden Regelfläche ist dieser, dass der Schnitt in [w’] jetzt in eine 3-fache Kurve 3°" Grades zerfallen ist. Diese vertritt also einen Bestandteil 9 Grades der Doppelkurve. Der übrige lineare Teil ist mit der zu [w] gehörenden imaginären Axe zusammengefallen. Alle Schnittpunkte von / mit der Doppelkurve sind ja, vermöge (294) und (314), im Punkte O vereinigt. Ausserdem ist der Strahl OZ, d.h. die in [w] liegende imagi- naire Axe, ein 2-facher, wonach auch 4” der Doppelkurve angehört. Die Gleichung der in [w] liegenden Kurve ist mat da) lef =0. . . . . (82a) Die Kreispunkte und der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe sind Wendepunkte, deren Tangenten alle in O convergiren. Die 3-fache in [w] befindliche kubische Kurve wird durch (1 nn 2 5) Es a (&> dE lj DEN Ei bo == also durch Ei & (Ei de Zo) Sn b (A == Ei Es Si Sr) ë, URE Re (SZ) dargestellt. Sie enthält die Kreispunkte und den unendlich fernen Punkt der imaginären Axe; die isotropen Asymptoten treffen sich in O'. Der Punkt B’ ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten durch Sie ei Ss — 0 EN (Aid) bestimmt sind. Die Tangente des unendlich fernen Punktes der imaginären Axe geht durch den auf der reellen Axe liegenden Punkt 7): B 25% 388 DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-203, w'? —=e tw? UND w'=c3 w-2. La % HY az ae ane ve A (854) Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 9-ten Grades, welche in den Kreispunkten 3-fache und im unendlich fernen Punkte der imaginären Axe einen Wendepunkt hat, mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. $ 8. Die amale Regelfliche einer in der Ebene der reellen Aven liegenden Gerade, welche durch O' geht. Die in [vw] hegende Kurve bleibt hier eine einfache und behält also dieselben Higenschaften wie im allgemeinen Falle. Die in [w'| befindliche Kurve hat nun die Gleichung a a 4 Vy 4 5 ETE V4 Dae + a (a, re à lo one Lm 0 ER 2 di aa da oder la, wo (a, + 22) — (or — ay) a + 27a ax, —0. (86a) Der Punkt O' ist ein 3-facher, dessen Tangenten in der reellen Axe vereinigt sind. Der einfache Schnittpunkt von / mit der Doppelkurve ist jetzt durch p— oe wee 4 angewiesen, die doppelten Schnittpunkte dagegen durch Um = 34 (— 1 +75). Einer von ihnen wird durch ~ — 0 bestimmt und ist also mit dem Punkte O° identisch. Die Doppelkurve ist noch immer vom 10" Grade. $ 9. Die axiale Regelfliche einer in der Ebene der reellen Aven legenden und zu diesen parallelen Gerade 1,. Die Fläche ist vom S'" Grade. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist eine Doppelgerade. Die in [w] liegende Kurve ist aus der unendlich fernen Gerade und aus einem Kegelschnitte zusammengesetzt. DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2 v3, w°?—c-1%3 UND w'—cw 2. 389 Wir haben in $ 5 einzusetzen. Die Gleichung (244) verwandelt sich alsdann, nach Teilung durch a, — #,, in Co oy dn ea = Oe i, | (OBA) Der Mittelpunkt dieses Kegelschnittes befindet sich in ©. Die in [w'| befindliche Kurve ist ausgeartet in die 2-fache unendlich ferne Gerade und in eine Kurve 6° Grades, welche durch pr Eur Rte, —0 . (699 dargestellt wird. Diese Kurve hat im unendlich fernen Punkte der reellen Axe einen 4-fachen Punkt; alle Asymptoten sind in der unendlich fernen Gerade vereinigt, welche dort 6 Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, enthält die 2-fache unendlich ferne Gerade, nebst einer Kurve Gen Grades, welche auch in dem unendlich fernen Punkte der reellen Axe einen 4-fachen Punkt hat, dessen 'Tangenten alle in der unendlich fernen Gerade vereinigt sind; diese hat in ihrem Berührungspunkte 6 Punkte mit der Kurve gemein. Wir werden jetzt den Grad der Doppelkurve bestimmen. Weil hier a— x und = gilt, so ist die Untersuchung von Neuem anzufangen. Kine durch /, gelegte Ebene wird jetzt durch 2 oe Ae ip 0 . . © = (40) dargestellt. Zwei Strahlen » und g der Regelfläche lefern einen Punkt der Doppelkurve, wenn ihre Spuren P und Q in [we] mit Z in einer Gerade liegen, also wenn man hat Pg = QG — 2 = — À. : . 8 : (41) Die nach einem Punkte 390 DIE CONGRUENZEN VON w’ — c-2 3, w'? = c71%8 UND w=ew?. der betrachteten Gerade zielenden Congruenzstrahlen schneiden [7 | 1 ) “tp j ; 7 DES ala za à in Punkten P (p,, p,), für welche gilt: Ppke, p= Py + Po. Die beiden Coordinaten einer Spur P eines solchen Strahles in le] sind also durch zwei der drei Wurzeln von + ue— p= 0 7... OR bestimmt. Wenn wir die Wurzeln von (424) mit ¢,, ec, und ec; bezeichnen, so gelten, vermöge (41), die folgenden Bedingungen: C, — Co = ¢, — 6g, 65 — & = 6, —G , Cy — Cy = 03 — Ca, Cy — Co = 6; — 0; GC = t + 0, U.S. W. ; es ist also entweder ec, — c, oder «à cs; = 20, .u.s:w. Da c, — c, unzulässig ist, so erübrigen wir die Bedingung (co + 6, —)26,) (¢ 4-2, 2) ER = 2) 0 oder Ue, Fe ae) — De, ea ac eye) (6, ke Hea) Pet also, vermöge (424), p=0. ee (3 ee Der durch p = 0 bestimmte Punkt, d.h. X,, ist somit der ein- zige Punkt, nach dem zwei mit der gegebenen Gerade /, coplanäre Strahlen zielen, also der einzige Schnittpunkt von /, mit der Dop- pelkurve. Die Wurzeln der entsprechenden Gleichung (42a), d.h. der Gleichung 2 + pe— 0, sind offenbar DIE CONGRUENZEN VON w’ =c2 v3, wl? —c—1x3 UND w'—c3w—2, 391 6 == 0 5 Co == —- DAT Ca = — VAE Die 9 nach X, zielenden Strahlen sind also bestimmt durch noemde iT in yo Per Con pe (Pr 02 Vac; (== Tes en eG, Wijd RR none ge ir 00 Pi ) | 2 { | LD CL) À (Do == C3 Po == Ci [ps == Co [Po == Ca Es leuchtet ein, dass sowohl die Combination (2°,7°) wie die Combination (3°,4°) der Bedingung (41a) genügt. Man hat für (2°, 7°) On A Qi Ak also AE] =x, und für (3°, 4°) Beste 1 Qi AW, also A= Wp. Der Punkt X, erscheint somit als ein Doppelpunkt der Doppelkurve. Jede durch /, gelegte Ebene, schneidet [w] in einer Gerade des Strahlenbiischels (#7), also in einem Congruenzstrahle. Diese Ebene enthält also noch 2 andere Congruenzstrahlen, welche sich in einem Punkte der Doppelkurve schneiden. Die Schnittpunkte in [w] dürfen nicht in Betracht gezogen werden, da die Ebene [w] schon der totalen axialen Regelfläche entzogen ist. Kine durch 4, gelegte Ebene enthält also ausserhalb Z, einen gewohnlichen Punkt und auf 7, einen Doppelpunkt der Doppel- kurve; diese ist also eine kubische Kurve mit einem Doppelpunkte, also eine Awbische Plankurve. Eine leichte Rechnung zeigt, dass diese Plankurve sich in der Ebene der imaginären Axen befindet. $ 10. Die aviale Regelfliche eines Congruenzstrahles s. Die Restfläche ist vom 6'" Grade. Der Strahl s ist auf seiner Regelfläche eine 4-fache Gerade. Die Kreispunkte gehören nun der Regelflache ach? an. Die Punkte Z und 4” sind gewöhnliche, deren Berührungsebenen in die Ebene [w] zusammengefallen sind. Der Schnitt in [w] ist ausgeartet in die beiden 2-fachen reellen und imaginären Axen und in einen Kegelschnitt, dessen Gleichung ist: 392 DIE CONGRUENZEN VON w'— c—2 w3, w’?=c—1 w3 UND vw = w. E> Glan Sy En — Ë, (Es ae sE) an Ci Ei == 5 5) Es be 0 É1 Eo Ls oder Er Er +- 3 (8 & — 8, &,) & + 3 (s,°— 8.) § = 0. (Ada) Die Spur S (§& = § — 0) von s in [w] gehört dieser Kurve nicht an. Die unendlich fernen Punkte des Kegelschnittes sind die Punkte Found Z° der Axen. Der Kegelschnitt ist demnach eine recht- winklige Hyperbel, deren Mittelpunkt der Schnittpunkt von OS mit der Gerade Oe) a 3 (84 — 82) £3 = 0 ist, und somit durch £ 2 Ee ad OS, 38, — 2 i) gegeben wird. Die in [w’] legende Kurve wird durch i a : Pi Bisa roe Ge) pe Galea ee) ea Er E (Es LE MD 0 &1 Sa : also durch [Ei — En + 284 82 (8 51 — 8 85) EF — (Nm Sy 64) (és Le) EN (So 4 — 4E) EO. (46a) dargestellt. Der Punkt 8” ist ein 4-facher; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus s auf [w] der 4 auf der Fliche befindlichen nach S" zielenden Congruenzstrahlen. Die unendlich fernen Punkte der reellen und imaginären Axen sind Wendepunkte, deren Tangenten im Unendlichen liegen. Der Schnitt mit einer zu der Abbildungsebenen parallelen Ebene og ist eine Kurve 6%" Grades. Diese hat im Schnittpunkte 8, von s mit w, einen 4-fachen Punkt, und in den unendlich fernen Punkten der reellen und imaginiiren Axen Wendepunkte, deren Tangenten im Unendlichen legen. | Wir wollen jetzt die Doppelkurve in Betracht ziehen. DIE CONGRUENZEN VON w'— 243, w’? =c1w3 UND w'—cw 2. 393 Die Gleichungen s, (7,) = 0 und s,(7,) = 0 vom IV. Abschnitte (§ 12a, S. 291) haben hier diese Gestalt: & (m=, + 3s,7,-+ (Bs Fu) =O, . . (47a) 8; (7) = mi + 35,7, (85 + u)—0. . . (48a) Die Schnittpunkte der Doppelkurve mit s werden (siehe 8, 220) durch die Gleichung Il (Ti) (To), rj (Ti), (To) | — 0 bestimmt. Bezeichnen wir die Wurzeln von s,(T;) —0 mit €, und e und die von s, (mo) — 0 mit €, und ¢,’, so wird die Bedingung: (eon ere (Gey —&% G) =, oder (G + Ci Ÿ Cy Cy — Cy (Co Since 0 diese Gleichung lässt sich, vermöge (47a) und (48a), umformen in Bin AIS teren Pearse PCL) Der Schnittpunkt von s mit der Doppelkurve ist daher mit der Spur S” von s in {w’] identisch. Die 9 Bilder #, #,, 55... 8; in [w] von S sind bestimmt durch A en Ce S, T1 Da So S, Te ST Se A Ole ECE S;, Sy > T3 Sa 3 Ss T3 81 2 82, 5 T3 8, 83, 55 T3815 Ta Sy, Ss Ta 8, 738 Hieraus folgt, dass S mit S, und 8, in einer Gerade liegt, womit auch in geometrischer Weise nachgewiesen ist, dass S” der Doppelkurve angehort. Die Spuren in [w] der 9 Strahlen (s, p,, »,.. .p.), welche nach einem auf s liegenden Punkte C zielen, befinden sich auf 3 durch X, und 3 durch X, verlaufenden Geraden. 394 DIE CONGRUENZEN VON w' — «—2y3. w'2—c—1x3 UND w' — 3 w-2, Die zwei Punkte P; und P, werden auch mit S in einer Gerade sein, wenn PPP, mit SX, also P, mit S zusammenfällt, d. h. wenn € zwei zusammenfallende Strahlen trägt. Wir schliessen hier- , aus, dass auch die beiden Brenn- X, punkten #, und S, auf der Dop- pelkurve liegen. Auf s befinden sich also 3 Punkte der Doppelkurve. Jede durch s gelegte Ebene enthält ausser s noch zwei Strahlen, welche einen Punkt D der Doppelkurve lie- fern. Daher: Die Doppelkurve ist eine rationale Raumkurve 4°" Grades, welche s als Trisekante hat. § 11. Die axiale Regelfläche eines in der Ebene der reellen Aven lie- x. genden Congruenzstrahles s. 2" Die Regelfläche ist vom 3°" Grade und trägt s als Doppelgerade. Der unendlich ferne Punkt #” der imaginären Axe ist ein ge- wöhnlicher, dessen Berührungsebene mit [w] zusammenfällt. Der Schnitt in [w] besteht aus der 2-fachen Gerade 82” (durch S zu der imaginären Axe parallel) und aus der Gerade &, + & + 888; — 0, Fig. 14. oder da pay À 808 00 . - ON Die Gerade SZ" ist offenbar die Torsallinie /; die Gerade (50a) ist also die eixfache Leitlinie, und 8 ist der eine Zwickpunkt von s. Der Torsalpunkt 7 von # ist der Schnittpunkt der Gerade (504) mit der durch & + &, — 0 dargestellten Torsallinie ¢, also mit dem unendlich fernen Punkte # der imaginären Axe identisch. Die zwei Strahlen py; und p, (siehe Fig. 14), welche sich in einem Punkte C auf s stiitzen und nicht mit s in einer der sin- gulären Ebenen liegen, sind die zwei Erzeugenden der kubischen Regelfläche, welche sich in diesem Punkte C der Doppelgerade s schneiden. Weil s, py, und p; immer durch ¢ verbunden bleiben, rücken die Strahlen y,, 2%, ~;, ps, also ins Besondere p, und y; zusammen, falls py; —»,, also falls der auf s liegende Punkt C DIE CONGRUENZEN VON w' = e—2w5, w'? =e w3 UND w'—cw 2. 399 zwei zusammenfallende Tangenten an der Fokalfläche trägt. Dies geschieht, wenn C der Schnittpunkt S, (nicht der Berührungspunkt S) von s mit der Fokalflache, oder, was dasselbe ist, mit der kubischen Fokalkurve in © ist, Dieser Punkt S, wird durch {) AR NS En ee OET 7) bestimmt und ist offenbar der zweite Zwrichpunkt auf s. Der fragliche Strahl p, durch S, schneidet [w] auf der reellen Axe in einem Punkte P,, fiir welchen man hat av lo —— V2, oder lo En == £. = — 5 S 53: p Ê : 5 : (524) Der Punkt P, hegt natürlich auf der emfachen Leitlinie (504) und ist der zweite Torsalpunkt. Der Schmitt der Regelfliiche mit [4° | ist offenbar die Bildkurve der einfachen Leitlinie und wird demnach durch = 1 dik +- ta == Sn — 0 , oder @ a Es a) — 27 mana — 0, . . (53a) oder auch durch (& ae £) ae gs (Ge TE ë 8 in En) En — 0 . (94a) dargestellt. Aus (544) geht hervor, dass S’ ein Doppelpunkt ist, dessen Tangenten durch DE ts Die ee ee (554) angewiesen sind. Der unendlich ferne Punkt #” der imaginären Axe ist ein Wen- depunkt, dessen Tangente im Unendlichen hegt. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine kubische Kurve, die im Schnittpunkte #, von s mit 396 DIE CONGRUENZEN VON w! = c—2 x, w2— 01 UND w =v. w, cinen Doppelpunkt bat und im unendlich fernen Punkte i’ ye der imaginären Axe einen Wendepunkt, mit der unendlich fernen Gerade als Wendetangente. Wenn wir für s die Gerade OO wählen, so ist die kubische Regelfliche ausgeartet in die 3-fache Ebene der imaginären Axen, welche die kubische Fokalkurve trägt. § 12. Die axiale Regelfläche einer in der Abbildungsebene |w| legenden Gerade lx. Die Fläche ist vom 4 Grade und trägt Z, als eine einfache Leitlinie. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist eine ein- fache Erzeugende der Regelfläche; ihre Berührungsebene fällt mit [we] zusammen; diese Ebene hat mit der Hläche 3 mal die unend- lich ferne Gerade gemein, welche also eine Inflexionskante der Fläche ist. Der Schmitt mit [zw] besteht also aus der eizfachen Gerade Z und aus der 3-fachen unendlich fernen Gerade. Die Gerade / werde durch da an Lies Eds =O Lan rt wee ed dargestellt. Der Schnitt in [w’] besteht jetzt aus der einfachen unendlich fernen Gerade und aus einer kubischen Kurve, deren Gleichung lautet : 1 1 1 ao À aies + aa, = 0, oder (aa, + aa, + aa) — Waar armoe, — 0. (57a) Diese Kurve hat die unendlich ferne Gerade und die durch QO’ gehenden isotropen Geraden als Wendetangenten. Die auf diesen Geraden liegenden Wendepunkte sind bez. durch / ‘ B Ls bise u di + Br Ws — 0 > Jie ee CEA + 2 Pe = 0 à Loen U ae ae a= 0 bestimmt. Sie sind bez. die in [w’] befindlichen Bilder der Schnitt- punkte Zj, Z,, Z, von 7» mit der unendlich fernen Gerade und den beiden durch O verlaufenden isotropen Geraden. DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2 3, w2=c-1 03 UND w'—cw-2. 397 Die Strahlen Z, Zj und ZZ, sind Inflexionskanten mit den durch OO’ gelegten isotropen Ebenen als Inflexionsebenen. Auch die Gerade £,2Z,, d.h. die unendlich ferne Gerade, ist, wie schon bemerkt wurde, eine Inflexionskante; ihre Inflexionsebene fallt mit [w] zusammen. Vermoge des auf S. 302 u.f. Behandelten, hat /-hier (wo # —1) keinen Punkt mit der Doppelkurve gemein. Jede durch /, gelegte Ebene enthält von der Doppelkurve 3 Punkte ausserhalb Z und keinen auf /-. Diese Doppelkurve ist daher eine Awbische Raumkurve. $ 13 Die axiale Regelfläche einer in der Abbildungselene || legenden Gerade 1, welche durch O geht. Wenn wir die Gerade Z durch Vs — ke, darstellen, so ist die Gleichung ihrer axialen Regelfläche (siehe (144a), S. 302) A — AY (ha, — a,)@,’ + (a — 2), — 0. . (58a) Auf dieser Fläche 4 Grades ist das Bild 7’ von /,, Ka ls eine 8-fache Gerade. Diese Gerade enthält somit sämmtliche Dop- pelpunkte. Die Fläche schneidet [w] in 3 mal der unendlich fernen Gerade und in der einfachen Gerade /. Die Ebene [w'] wird getroffen in der einfachen unendlich fernen Gerade und in der 3-fachen Gerade 7’, der Bildgerade von Jn. Die Gerade OO' ist eine einfache Erzeugende der Fläche. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene wy enthält die unendlich ferne Gerade und eine #wbische Kurve, welche durch X, geht und im unendlich ferien Punkte Z, von / einen Lüchkehrpunkt hat, dessen Tangente im Unendlichen liegt. $ 14. Die axiale Regelfläche der zu [wl gehörenden reellen Ave. Diese Fliche ist in die 3-fache Ebene der reellen Axen und in die Abbildungsebene [w] zerfallen. $ 15. Die Regeflläche der Strahlen, welche auf einem zu. den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen. 398 DIE CONGRUENZEN VON w! = c—2 w3, wl? —= e1w3 UND w' =e w—2. Die Vliche ist vom IS" Grade und trägt den Kreis als eine 9-fache Kurve. Der Kreis werde durch abad, Cn afd) Herodes Ha sas) + (Bars Hans) — 0, | (59) V3 — bey (60) dargestellt. Wir setzen noch Yo 4383, Vo — MEL Vo — M Ps | V1 = Mal, + ak, Yo = MB; + es On, | n= p(B, +18), — Au B; +- 21), | | Ys = K&B; + a Bo. Die Ebene [eo] wird in einer Kurve 6%" Grades und in 3 2-fachen durch jeden der Kreispunkte gelegten Geraden geschnitten. Die Kurve in [w] hat diese Gleichung: (61) vor es + Vo (Wty aay ay’ Yo Ulo +1 a2; À Va es i JY Mts + Va Aes’ + yat; = 0... . (62a) Die 'Tangenten der Kreispunkte, welche auch die Ausartungs- elementen des Gesammtschnittes bilden, werden durch Yots + ta Vito) % =O... . oem und Yo di se (yo @ = 2.23) a;' = 0 2 11 (Gea) bestimmt. Diese Tangenten haben ausser ihren Berührungspunkten keine Punkte mit der Kurve gemein. Die in |w] liegende Kurve hat offenbar in den Kreispunkten 3-fache Punkte, und ist somit tricircular. Der Schnitt mit [w’] ist eine Kurve 18°" Grades, deren Glei- chung lautet 1 1 } 4 4 Vote + Vo WL + d'a) di + Yo U ta + Vite, == de ge 5 4 5 + ya,a,+ Va or un + Yo Wo or +y,a¢@2=0, . (65a) | bo Ole oder, nach Rationalisirung , DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2w3, wl? == et w3 UND w'—c3w 2. 399 MY PAY 2s) vr FR Yeter) arty HR yo vari HY (PAV AsV Yi yat) | — 27 WOW Ya" YoY a) Aa (ya Ya Vos) Yo UA + (YY YY) Yoo HVL + VAY 6) Pe HYoYotta Hylas Yala )X PAY 2 LY sn) Uti + PY Ar FY 2s) oa + OY) Mya HY hPa Var AY eat yad =(). (66a) Die Kreispunkte sind 9-fache. Von den Tangenten von Z sind je 3 in einer der 3 Geraden (Dodo + Vie) + Yo Mma, = 0 vereinigt, und von denjenigen von J je 3 in einer der 3 Geraden Yom + Ya) + Yo Mey = 0. Jede dieser Tangenten hat alle ihre Schnittpunkte mit der Kurve in ihrem Berührungspunkte vereinigt. Auf der Fläche sind die Kreispunkte 9-fache; von ihren Be- rührungsebenen sind je 3 bez. in einer der 3 Ebenen Dot + Viv)’ + Yo Yo % + Vis) (es — ma) == 0 (67a) und Yom + Yo) + Yo (yo À + Y2%) (@3— ma) =O (68a) zusammengefallen. Diese Ebenen bilden bez. die Regelfläche der Strahlen, welche auf den durch den Mittelpunkt des gegebenen Kreises Y,, gehenden isotropen Geraden ruhen. § 16. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf O0" liegt. Wir haben im Vorhergehenden hie oy eae (2, einzusetzen, wonach der Kreis durch CAC si CAT CTP aa a Bot =D AN" 27169) Bz = Hdi RAD | > | = dargestellt wird. Die in [w] liegende Kurve ist jetzt durch 400 DIE CONGRUENZEN VON w’ = 6-2 3, w’? = ec-1 03 UND wv! =c3 w—2. me ++ a (we + 2) a, 2,0; + pa, a, av + Ys Ds = 0 Giles Yo bestimmt. Die Tangenten der Kreispunkte, welche zugleich die Ausartungs- elemente des Gesammtschnittes bilden, sind jetzt durch ARS A= els) == 01... ne | und Bilar SBO oe Vat 2 angewiesen. Hiner der Brennpunkte der Kurve liegt also in O. Die Gleichung der in [w’] befindlichen Kurve lautet: 1 1 2 1 1 4 Pv + pue + af a) + paf vi a, + . 0, = 0, AP) 0 oder [Myo ves (ae = nn ea ay Ss (Votes 4 VU QT ay rs an Yo vai He Ypo + Yaa) ey — Yot yaw) [yo zr per des pray ay Horst vai) ] — 0. (75a) Von den 3 verschiedenen in; jedem der Kreispunkte gelegten Tangenten ist eine mit einer durch ©’ verlaufenden isotropen Ge- rade zusammengefallen, wonach O' ein Brennpunkt der Kurve ist. Von den 3 verschiedenen Berührungsebenen jedes Kreispunktes ist eine mit einer durch OO' gelegten isotropen Ebene zusammengefallen. Wir können also OO' als eine Brennlinie der Fläche betrachten. § 17. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, der OO' schneidet. Wir haben nun a) — VE = OF mithin N= 0 einzusetzen. | Die Gleichungen des Kreises sind also DIE CONGRUENZEN VON w'—c-2x5, w'2?=c-1w3 UND w'—c3w—2, 401 3 B52, 2, —— vy CHA = NCN = Vy (My (Gees + a CIE) == ()), = Ne IT NS?) Se oe EN Es ist OO" hier eine einfache Gerade der Regelfläche. Die in [vw] befindliche Kurve hat nun die Gleichung Vows vs zie Yo % Vy (a° zi dj) ws: = Yo %1 Vals | VU Ls de Yet 23° ++ Va aye cn LU. (7184) Sie hat in O einen gewöhnlichen Punkt, mit Mi ya di, oy woh kl 1 00) als Tangente. Diese Gerade ist die Schnittlinie von &, mit der Ebene, welche GO mit der in X, (dem Schnittpunkte des Kreises mit OO’) an den Kreis gelegten Tangente verbindet. Die in [w'] liegende Kurve wird jetzt dargestellt durch 1 1 1 = Yo a Ws + 7 (a, 2 + a, À do) v in, + Vo, as 3 2 Sr ee oy 4 wv 1 d hi + Ys a: 2 v JA = 5 a ee EN A rn) oder [it ots + na) aie JH Yo + Yen) Loan JW Yo da de dx + (Yo 24 + Vida, + Vaaza) | — 27 ys Yo aa X X | VV Uber À V1 V2 (Vos 2 À Va U U Fr V2.2 My) UH À Yo (Yo da da À Va da &y + Ve de 25) (2? (Vote + N ay) Vy vy (ya oti) a + po yo am À H+ Co #4 da À Va di di yo) | 00s Pane (Sa) Diese Kurve hat in O' einen 3-fachen Punkt; seine einzige Tan- gente ist 4 a n'ai + ye af =0, oder Sm Em a = EI TS 217) also das Bild der in O an die Kurve in [w] gelegten Tangente. Die Berührungsebenen längs OO’ sind alle in die durch 00 und die Tangente von X, gelegte Ebene (79a) zusammengefallen. Verhand. der Kon, Akad. v. Wetensch. (de Sectie) Dl. X. B 26 402 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w?, w'2=c-1w3 UND w' = c3w—2. § 18. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem in der Ab- bildungsebene [wl liegenden Kreise ruhen. Die vorhergehende Regelfläche zerfällt jetzt in 12 mal die Ab- bildungsebene [w] und in eine Fläche 6%" Grades. Auf dieser Restfläche ist der Kreis eine éinfache Kurve. Wir haben nur im Vorigen g = 0 zu setzen, und finden alsdann für die Gleichungen des Kreises Gi do + Mas + & aa; + a 2, — 0, (83) +) (84) Ly Der Schnitt in [w] besteht nun, ausser dem Kreise, aus seinen isotropen Tangenten, jede doppelt gezählt. Die in [w'| liegende Bildkurve des Kreises in [w] hat nun die Gleichung 1 LA 4 3 n SE) De 3 76 a dti a, + da 2, + aaa + aa Co] Kens cs| © — 0, . Cag oder (ea a, + af aa, + ya, a, + a dé) — — 27 (& a — a a) di do ae (EA by — thy 43) CA @ dy a a zi) + 4 ty a3 (a9 a, do Hbo or + a 2,07, Ho w)| — 0. (86a) Die Kreispunkte sind 8-fache; ihre Tangenten sind in den ein- zigen Bildern der isotropen Tangenten des Kreises vereinigt. Die in [w | liegende Kurve schneidet die isotrope Gerade O'/ 3 mal im 3-fachen Punkte J und noch 3 mal im Bilde M,’ des Punktes J7,, wo der gegebene Kreis die Gerade OJ schneidet. Der Punkt MZ,’ ist ein Wendepunkt, mit 4, J = OJ als Tangente. Analoges gilt für JZ). Auf der Fliche sind die Kreispunkte 3-fache; die Berührungs- ebenen in J (bez. /) sind alle 3 zusammengefallen in die Ebene, welche die isotrope Tangente des gegebenen Kreises mit ihrem Bilde verbindet. Die Geraden M, JZ, und M, M, sind Inflexionskanten , mit den durch OO’ gelegten isotropen Ebenen als Berührungsebenen. Der Schnitt der Regelfläche mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine tricirculare Kurve 6‘ Grades. Die Schnittpunkte von w, mit den Geraden MZ, M, und J, M; sind Wendepunkte. | DIE CONGRUENZEN VON w' —=e?w?, w°?—c-1»3 UND w’ —c3 w-2. 403 $ 19. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene [wl liegenden Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt O ist. Mier gilt ii ee —— wonach der Kreis diese Gleichungen hat: BE me —=0,).. : . « (8%) HO et an A TER Die Regelfläche ist wiederum vom 6" Grade und trägt den Kreis als eine exfache Kurve. Die isotropen Geraden, welche, doppelt gerechnet, auch dem Gesammtschnitte in [w] angehören, gehen jetzt durch O. Die in [w’| legende Kurve hat die Gleichung (CRIE ENT ML (BO) Der Schnitt in [w’| besteht also aus dem 3-fachen Bi/dhreise (89a) des gegebenen Kreises. Der Bildkreis hat semen Mittel- punkt in 0". Die Regelfliche hat in den Kreispunkten 3-fache Punkte, deren Berührungsebenen alle in den durch OO’ gelegten isotropen Ebenen vereinigt sind. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine tricirculare Kurve 6°" Grades, deren sämmtliche Brenn- punkte in X, vereinigt sind. $ 20. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene [wl liegenden Kreise ruhen, der O enthält. Jetzt ist a, — 0 einzusetzen. Der Kreis wird also durch | > A.V Vo == Lo U V3 4 Li Vy 3 == (90) RON AE ea CRE) dargestellt. Auch diese Regelfläche ist vom 6 benen Kreis als eine einfache Kurve. en Grade und trägt den gege- B 26% 404 DIE CONGRUENZEN VON w'—=e-?2w3, w2=cw3 UND »' = c3 w-2. Der Schnitt in [vw] besteht, ausser dem Kreise, aus dessen iso- tropen 'Tangenten, jede doppelt gezählt. Die Gleichung der in [vw] liegenden Bildkurve ist jetzt 5 Ay Sr > ry 2,28 Be shi ay v. oy are —— ==) . . (92a) oder (aa + aa, a, + af va) — Wara a vf x a, — 0. (98a) Der Punkt (ist hier ein 3-facher; seine sämmtlichen Tangen- ten sind vereinigt im Bilde der in O an den Kreis in [w] gelegten Tangente. Der Schnitt mit emer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine tricirculare Kurve 6° Grades, welche in X, einen ge- wohnlichen Punkt hat; seine Tangente ist die Schnittlinie von ©, mit der Berührungsebene von OO’, welche diese Gerade mit der in O an den Kreis gelegten Tangente verbindet. ABTEILUNG B. angehört. $ 1. Allgemeine Kigenschaften. In der vorliegenden parabolischen Congruenz hat man DRO Der Bündelgrad der Congruenz ist also 9, ihr #eldgrad 6, ihr Axengrad N = 39. Von den 9 nach einem reellen Punkte zielenden Strahlen sind nur 3 reell. Die Fokalfliche besteht aus zwei imaginären Cylindern, deren Spitzen sich in den Kreispunkten / und / der Abbildungsebenen befinden. Diese Fokaleylinder haben die Gleichungen (14) Die beiden kubischen Cylinder haben die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen als Rückkehrkante, mit der Abbildungs- ebene [w] als Berührungsebene. Die Cylinder schneiden sich ausserdem noch in eer kubischen Plankurve, welche in der Ebene der reellen Axen liegt. Diese Kurve hat im unendlich fernen Punkte der reellen Axe einen Riick- kehrpunkt mit der zu [w] gehôrenden reellen Axe als Tangente. Sie hat noch in O' einen Wendepunkt mit OO' als Tangente. Die Gleichungen des Congruenzstrahles y lauten : 406 DIE CONGRUENZEN VON w'—c—2w%, w’2=c—1w> UND w'— cw-2. mof co Vy» | CAT = fh) da = PA 3 (26) Ly =p, u3+ py” a. | Der Brennpunkt P, des Strahles » ist durch zen Gn er. ve Dis — 27°) Px BPD der Brennpunkt P,, durch 7 a, 2 Ly SE == 4 Z a == zt == = 5 . . (46) Pa” Pel —2p,") 37 bestimmt. Singulire Ebenen sind 1° jede Ebene, welche einen Strahl p mit einem der Kreispunkte verbindet; sie enthält ein Strahlengebilde 3'" Klasse, dessen Ein- — hüllende eine kubische Kurve mit einem Rückkehrpunkt im Kreis- punkte ist ; 2° die Ebene 2, — 2,, d.h. die Ebene der reellen Axen; sie trägt ein Strahlengebilde 3°" Klasse, dessen Einhüllende mit der kubischen Fokalkurve identisch ist ; 3° die Abbildungsebene [w] (x, — 0) mit Strahlenbüscheln in den Kreispunkten und im unendlich fernen Punkte der reellen Axe. Singuläre Punkte sind 1° die Kreispunkte mit Strahlenbüscheln in [7]; 2° der unendlich ferne Punkt der reellen Axen mit einem Strah- lenbüschel in [|]. Von den 9 Strahlen, welche nach einem Punkte von [w] zielen, fallen 4 mit den durch diesen Punkt verlaufenden isotropen Ge- raden und eer mit der durch diesen Punkt zu der reellen Axe parallel verlaufenden Gerade zusammen. Die übrigen 4 Strahlen verbinden den Punkt mit seinen 4 in [w’] legenden Bildern. Von diesen 4 Bildern sind nur 2 reell. Als Strahlen, welche den Kreispunkten entstammen, sind die in [| hegenden isotropen Geraden 6-fach zu zählen. $ 2. Die axiale Regelflüche einer durchaus willkiirlichenGerade 1. Der Grad dieser Regelfläche ist 3(3 + 2) = 15. Es ist / auf ihrer Regelfläche eine 9-fache Gerade. Es sei A(a,, a») die Spur von / in [w], B'(b,, 6) die von / in [w’]. DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2w3, w'?=etuw3 UND w =—c3 w-2. 407 Der Schnitt in [w] besteht aus den 2-fachen durch 4 gelegten isotropen Geraden, aus der einfachen durch 4 zu der reellen Axe parallel verlaufenden Gerade und aus emer Kurve 10°" Grades. Diese hat, bezogen auf das Coordinatendreieck A//, die folgende Gleichung: BE + ay 8)? EE + a + WE WEE =O, oder [EE == NY Ea) + AE a Ay Es) — (be E — by 5) El CR — 4 Be Se (Er == di UE == Ay Es) OL ee 000) Die Kreispunkte sind 4-fache; ihre simmtlichen Tangenten sind in den durch 4 gehenden isotropen Geraden vereinigt. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein Rückkehr- _ punkt, dessen Tangente durch Ei § + 3(a, — a2) 53 = 0 angewiesen ist; sie enthält den Punkt FRANCE == = D) 53 > DAT oder C4 a: < AE 2. RA 00) Uy as Der Punkt 4 ist ein 4-facher; er hat als Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der sich in 4 treffenden Congruenz- strahlen. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve 15* Grades. Ihre auf B'// bezogene Gleichung lautet ETA EDE Ge PURE) LE —a E)£ —0, oder [EE HO EN — £49 Er + By! £4)” + (ao 5 — & Fe)? EPP + aie 27 ba 55° (ay 5 nn So (5, + b, ; Ee (& = or Er ae = 0. (76) Die Kreispunkte sind hier 6-fache; von den Tangenten sind je 3 in den durch die 4 Bilder 4 von 4 verlaufenden isotropen Geraden vereinigt. | vo 408 DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2 3, w'2=c—!w3 UND w' =c3 w-2. Der Punkt B’ ist ein 9-facher; seine Tangenten sind die axialen Projektionen aus / auf [w'] der 9 in B convergirenden Congruenz- strahlen. Von den 9 Zweigen sind nur 3 reell. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein Rückkehr- punkt, dessen Tangente im Unendlichen liegt. | Auf der Regelfläche sind die Kreispunkte 6-fache. Die Berüh- rungsebenen des Kreispunktes /(X,) sind in den 2 Ebenen a oO Lg AA + dy" %—=0, . . . . (BB) diejenigen des Kreispunktes J/(X,) in den 2 Ebenen 3 Bisel Batata Gy Erg don : vereinigt. Sie sind offenbar die Ebenen, welche die 4 Strahlen a= AA mit den Kreispunkten verbinden. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein uniplanarer Doppelpunkt, dessen Berührungsebene mit [+] zusammenfallt. Die Doppelkurve dieser Regelfläche ist vom Grade W + 15 == Sob. § 3. Die axiale Regelfläche einer Gerade L, welche OO" schneidet. Auf dieser Regelfläche ist OO" eine 4-fache Gerade; sämmtliche Berührungsebenen sind in der Ebene, welche OO' mit / verbindet, vereinigt. Es sei Vy —- le v 1 die Gleichung der durch / und OO’ gelegten Ebene. Wir haben alsdann (siehe IV. Abschnitt § 7a, (81) und (82), S. 242) Due Ee b, ay a, 06» — a,b, = 0. Die in [w] legende Kurve hat nun die Gleichung 3 3 == (Gea dane + hy’ (ta, — à) 2 = 0, tol co (ts — ta, v3) % oder \(@5 a ao la, #3)" Di + (a Te ay Dx) ye ears Dis (ta, dx 2) Dal Dr — 4 vj 2 (ao — ta, 43) (vj — a, 43) = 0. . (106) DIE CONGRUENZEN VON w'—c—2u%, w°2—c-1x3 UND w' =c3w-2. 409 Diese Kurve hat in O einen 4-fachen Punkt, dessen sämmtliche Tangenten mit der Gerade O4 zusammengefallen sind; diese Gerade hat in O 6 Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt in [w'] wird durch 9 2 > (ay a tb, @) a3 Er (4 — line @;) a? + di (és + do) vy 3 = 0 5 oder [Cr bb Hi) ae (but) a (te, — a) dx | NE + Mi De oe Dn (2 | ON 25) (a == by Bi)? (fa, RE 2) Ed 0 (1 ] 6) dargestellt. Diese Kurve hat in O einen 6-fachen Punkt, von dessen Tangenten je 3 mit den 2 Bildern von O4 zusammengefallen sind ; jede dieser Tangenten hat in O' 9 Punkte mit der Kurve gemein. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat, ausser den Singularitäten des allgemeinen Schnittes, einen 4-fachen Punkt in der Spur X, von OO in w‚; die Tangenten dieses Punktes sind in die Schnittlinie von ©, mit der durch / und OO gelegten Ebene zusammengefallen. Wenn / durch O geht, so ist die in [w] legende Kurve zer- fallen in 3 mal die Kurve 5°" Grades, deren Gleichung lautet : (@ => Os 2.) Ei Fa (a ae UP Or Ly = 0. . . . (1 25) Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in O° treffen. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein gewohnlicher; seine Tangente ist durch Mita 3(6, —b N= 0 . . ... (186) angewiesen; sie schneidet die reelle Axe im Punkte 7}: Ed oe ea A (UD) Die in [wo] befindliche Kurve wird jetzt durch A) 3 5 BA — ddr Jb, (ta, — ay) 23 — 0, oder 410 DIE CONGRUENZEN VON w’=c-2w?, w'2—c-1%3 UND w' — 3 w—2, [aay + x, — b,? (ta, — 2) eg — Aar a —0 (156) dargestellt. Der 4-fache Punkt 4 ist nun in O gefallen; seme Tangenten sind alle vereinigt in der Schnittlinie von [w] mit der durch OO' und / gelegten Ebene, also in der orthogonalen Projektion von / auf [w]. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein 3-facher Punkt auf der Fläche; seine einzige Berührungsebene ist die Ebene CA = Bp) —— 3 (bi —— by’) dy = 0 > . . . el 30) sie verbindet jenen Punkt mit der Gerade O7: Er Doh alo dd Shh nen et Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat jetzt, ausser dem 4-fachen Punkte X,, einen 3-fachen Punkt im Unendlichen auf der reellen Axe; die Tangenten daselbst sind in der Schnittlinie von w, mit der Ebene (130) vereinigt. Wenn die Gerade / durch O' geht, so zerfällt die in [w] befind- liche Kurve in eine 2-fache Kurve 5” Grades, welche durch (2 — ae a3)" a, — (7, — a, B) a =O 5’) bestimmt. ist. Sie hat in O einen 3-fachen Punkt, dessen Tangenten die 3 Bilder sind der orthogonalen Projektion von / auf [w']. Die Kreispunkte sind jetzt Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in 4 treffen. Der Punkt 4 ist ein Doppelpunkt; seme Tangenten sind die axialen Projektionen aus / auf [w] der 2 Geraden OA. Der Schnitt in [w | hat die Gleichung 9 2 2 2 3 Qa Lady = vas Haa — ama = 0, oder [aes — 27) + (a — ae) en | +27 vrare (at — dt») = 0. (165) Der Punkt O' ist hier ein 9-facher; seine sämmtlichen Tangenten sind in der orthogonalen Projektion von Z auf [w'] vereinigt. _ Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe zeigt dieselben Eigen- schaften wie im allgemeinen Falle. DIE CONGRUENZEN VON w'—=e?w?, w2—c 1% UND w'—cw-2, 411 Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, zeigt ausser ihrem 4-fachen Punkte X, keinen Unterschied mit dem Schnitte der allgemeinen Regelfläche. $ 4. Die axiale Regelfliche einer zu den Abbildungsebenen paral- lelen Gerade t,. Der Grad dieser Regelfläche ist 15. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist hier eine 6-fache Gerade. Wir wollen die Gerade 4, durch dao + apa + Aga Haa, — 0, gE AANEEN (ED) da = Vy . . . (1 8) darstellen. Der Schnitt in [w] besteht aus 9 mal der unendlich fernen Ge- rade und aus einer Kurve 6°" Grades, deren Gleichung ist 3 3 1 av + Gey By” + fe (hy U + Hoo + Hg) + aile — 0, oder Lam Jaren Me ar, av) Has) ej Aa a ra —0.(196) Die unendlich ferne Gerade schneidet diese Kurve 2 mal in jedem der 3 Bilder Z,’ des unendlich fernen Punktes Z, von /,, als Punkt von [w’| betrachtet. Eme leichte Rechnung zeigt, dass die 3 Punkte Z,’ gewohnliche Punkte sind, alle mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. Der Schnitt in [w'] besteht aus der 6-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve 9°" Grades, welche durch 2 i PAC a + dd) ae nn hy By À dd = (Ue, 2 &)æ — 0, oder (wara, + ware oo + lea, + aay, + (ue, + a), P — — 27 pla aa a a, ea, + aa, + (ue, Ja) wl — 0 (206) dargestellt wird. Der unendlich ferne Punkt Z, von /, ist em 3-facher. Sämmt- hehe Tangenten sind in der unendlich fernen Gerade vereinigt, welche daselbst 9 Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene A12 DIE CONGRUENZEN VON w'—c-2u, w'2 —=etw? UND w' =e w-2. w, enthält, ausser der 6-fachen unendlich fernen Gerade, eine Kurve 9" Grades, welche in Z, einen 3-fachen Punkt hat, dessen sämmtliche Tangenten im Unendlichen liegen (Ausnahme in {w)). Wenn die Gerade 7, durch den Kreispunkt Z{X,) geht, wonach a, — 0, so besteht die axiale Regelfläche aus der 6-fachen Ebene lee] und aus den 3 dreifachen durch 7, an den Fokalcylinder 7, gelegten Berührungsebenen; letztere haben die Gleichung rt + (us + Oly) ay] SF (AH) 73) (rs — pas) = 0. (216) Wenn /, in der Abbildungsebene [w'] liegt, wonach u = 0, so finden wir fiir die in [w] befindliche Kurve die Gleichung 3 3 3 da + ea + 4,077 = 0, oder (ee Di = Oe Ly Fr | a, ie Serre A ihe Le B 25° = 0. . (226). Sie ist die Beldkurve 6" Grades der in [w | hegenden Gerade. Der Schmitt in [v’] besteht jetzt, ausser der 6-fachen unendlich fernen Gerade, aus der 9-fachen Gerade 4, selbst. Wenn die Gerade /, eine isotrope (durch /(X,)) Gerade in [w'] ist, so zerfällt die Regelfläche, ausser in die 6-fache Ebene [wl], in diese 3 dreifachen Ebenen: (em Lau) lj =O... EDE $ 5. Die axiale Regelfläche einer zu den Abbildungsebenen paral- lelen Gerade U, welche OO schneidet. Es gilt hier fea, + &, — 0. Die in [w] hegende Kurve wird jetzt durch eo 3 3 au aa; + part Ha) = 0, oder lea + aa — (aa, + wor) a — Ada) aa — 0 (246) dargestellt. Sie ist vom 6°" Grade und hat in O einen 4-fachen Punkt, dessen simmtliche Tangenten mit der durch O zu /, paral- lel verlaufenden Gerade zusammenfallen. Die Kurve 9°" Grades in [w'] ist jetzt durch Cr er Ver DIE CONGRUENZEN VON w'—c—2w3, w?—c-1x3 UND w'—cw-2. 413 [ 4° oe dy Ly 4 u de De PA + (a, ay + a, a) Jer oo 27 RCE GAS eee (a, dy ei a, Bo)? — 0 . . (2 56) bestimint. Diese Kurve hat in O° emmen 6-fachen Punkt, von dessen Tan- genten je 3 in einem der beiden Bilder der zu /, parallel verlau- fenden Gerade OZ, vereinigt sind. Ausser den Higenschaften des vorigen $, ist noch zu erwähnen, dass OO" eine 4-fache Gerade ist und dass der Schnitt mit w, demnach in A, einen 4-fachen Punkt hat. $ 6. Die axiale Regelfliche einer in der Wbene der reellen Axen liegenden Gerade 1. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Axen liegenden Gerade / besteht aus 3 mal dieser Ebene und aus noch einer Regelfläche vom 12'" Grade. Auf dieser Restfläche ist / eine 6-fache Gerade. Die Kreispunkte sind G-fache; ihre Berührungsebenen sind in den Ebenen (84) und (94) vereinigt, wo noch a, = 4, = a zu setzen ist. Die Gerade OO" ist eine Doppelgerade der Fläche und zwar eine Rückkehrkante; ihre Berührungsebene ist die Ebene der reellen Axen. Der Schnittpunkt S von / mit OO ist ein 6-facher Punkt. Weder der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe noch der- jenige der reellen Axe gehört der Fläche an. Der Schnitt in [wl besteht aus der 2 zweifachen durch die Spur 4 von / in [wl] verlaufenden isotropen Geraden und aus einer Kurve 8" Grades, deren auf 4// bezogene Gleichung lautet : je, 3 3 Sahid af — bata) HE DE, Ei So oder (Er En SH Eene 4 (5, + 62) ea ENE NE Hal) + EXE, HEN 0E — EEF — 0. (260) Die Kreispunkte sind 4-fache; ihre Tangenten convergiren alle nach À. Der Punkt 4 ist hier ein Doppelpunkt; seine Tangenten sind durch @— EP 2@+ 52 Td 6E = 0 angewiesen. AÏ4 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w?, w!'2=c-1 v3 UND wv! =c3 w-2. Der Punkt O ist ein Rückkehrpunkt mit O4 als Tangente. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe gehôrt der Kurve nicht an. Der Schnitt in [w] ist eine Kurve 12%" Grades, deren auf BT J bezogene Gleichung lautet : : ST) ee + oP +a EE See oder [Er EDEN Er EO Ei) +a i= = En has ie +2 TEE ES Ei EE, PEEN EEn) EN ee, oder endlich [Er En 20 A EE Eo)Ea + OEP Eb, + bo by — dE — bo) Ey Al OEE (ie 0 PDC ae DE) =0. . . (276) Die Kreispunkte sind 6-fache; von ihren Tangenten sind je 3 in den durch die Bilder 4 von 4 verlaufenden isotropen Geraden vereinigt. | Die Spur B’ von / in [w'| ist ein 6-facher Punkt, dessen Tan- genten die axialen Projektionen der 6 ausserhalb der zu [w] ge- hörenden reellen Axe liegenden Bilder von B’ sind. Der Punkt O ist ein 8-facher; seine sämmtlichen Tangenten sind vereinigt im ausserhalb der zu [w'| gehörenden reellen Axe liegenden Bilde der reellen Axe von [w], d.h. in der imaginären Axe von [w']. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 12" Grades. Diese hat in den Kreispunkten 6-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von @, mit DE Ebenen (88) und (95) (wo a, =a, =a) sind. Der Schnittpunkt C, von / mit w, ist ein 6-facher Punkt, des- sen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der 6 aus- serhalb der Ebene der reellen Axen liegenden nach C, zielenden Congruenzstrahlen sind. Der unendlich ferne Punkt der imaginären Axe gehört der Kurve nicht an. Der Schnittpunkt XY, von ©, mit OO ist ein Rückkehrpunkt, dessen Tangente die reelle Axe ist. Die Kurve hat ausserdem Doppelpunhte in den Schnittpunkten von w, mit der Doppelkurve. DIE CONGRUENZEN VON w'—=e-2w3, w’2==c-1w3 UND w'’=c3 w-2. 415 Wir wollen zunächst den Grad dieser Doppelkurve bestimmen. Unseren Ausgangspunkt bildet die Gleichung (siehe IV. Abschnitt, Sala, SS) 2:72) fM=6 — pr) —(T+aÿ —0, . . . (286) oder pa 2 Ga pd?) T° ae (Za? de 2 pb’) 3 + (a? zen 52) =— Vermôge des in Abt. 4 (S. 385, 386) Dargelegten, werden die Schnittpunkte D,, von / mit der Doppelkurve durch die Bedingung (Cy Cy se Cy C3 4 Ca C3) (Cy = Co | C3) C4 C2 C3 — O geliefert. Nun gilt hier oF Ca TG = — (3a — x”), Cy Cy + 03 + 0903 = 30° + 2 wub, C4 Cy C3 = — (a — 8”); wir finden also diese Beziehung: — (8a— jp?) (da + Ul) + (a — 6?) — 0, oder 2 bu Bau — Oa — (8a? + 6°) = 0. . (290) Diese Gleichung bestimmt die 3 Werte von u, welche den 3 gewohnlichen Schnittpunkten von / mit der Doppelkurve angehôren. In Abt. 4 (S. 386) haben wir gleichfalls gefunden, dass die auf / befindlichen Doppelpunkte D, sind durch (C4 Co + C1 €3 + © D) UE 24 = Go 0 also hier durch der Doppelkurve angewiesen (Ba? +. 2 40' — (a? — 6”) (8a— pÿ = 0, oder (a? — 8”) w® — Da (a — 6”) pt + SU H Ia (Ba + 6?) pw? + SE age i orb Oe et GLD oder auch durch 416 DIE CONGRUENZEN VON 2! =c-2w3, w’2=c—1w3 UND w' ==? au? 9 Ki Q 2 Se 1 ae 9 * B — da—=-— Tj wo 7; eine der 3°" Wurzeln der Einheit darstellt. Die Gleichung (304) (oder (314)) bestimmt die 6 auf / liegenden Doppelpunkte der Doppelkurve. Letztere hat somit 2<64-3=15 Punkte mit 7 gemein. Jede durch 7 gelegte Ebene trägt 6 Con- gruenzstrahlen, also ausserhalb 7 15 Punkte der Doppelkurve. Der Grad der Doppelkurve ist demnach 15 + 15 = 30. Also: Auf der avialen Regelfliche einer in der Ebene der reellen Aven hegenden Gerade liegt eine Doppelkurve 30°" Grades. § 7. Die axiale Regelfliche einer in der Ebene der reellen Aven hegenden Gerade, welche durch O geht. Die in [{w'] liegende Kurve ist jetzt in eine 3-fache Kurve 4 Grades zerfallen. Diese vertritt sonach einen Bestandteil 12" Gra- des der Doppelkurve. Es erübrigt also eine Doppelkurve 18"" Grades. Die Gleichung (294), welche die gewöhnlichen auf / befindlichen o ’ D Punkte der Doppelkurve hefert, nimmt für a = 0 diese Gestalt an: (29/4) während die Doppelpunkte der Doppelkurve jetzt durch ee el 0 und mm Sb eus vn RER bestimmt sind. Auf 7 liegen also 3 einfache und 3 Doppelpunkte, welche zusammen 9 Punkte der Doppelkurve vertreten. In jeder durch / gelegten Ebene befinden sich daher ausserhalb 7 9 Punkte. Die Gleichung der in [zw] liegenden Kurve 8" Grades lautet: me — 2b" a2. (@ + a,)a;° + 6% (a, — @,) 2° = 0. (826) Die Kreispunkte sind A-fache, deren Tangenten alle nach O con- vergiren; diese Tangenten haben in ihrem Berührungspunkte 6 Punkte mit der Kurve gemein. Es ist O ein Rückkehrpunkt mit der reellen Axe als Tangente. Die 3-fache Kurve 4°" Grades in [w'] wird durch aie ens DIE CONGRUENZEN VON w’=c-—2 5, w'2—c-1w3 UND w/ = ce w-2 417 Er oe + 2 De, 55 (& == 5) Er +- 6” (Sie Ei & == 2) Ei = 0 (330) angewiesen. Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in 0" schneiden. Der Punkt B ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten durch ZP ee eae eee re AGH gegeben sind. In Bezug auf das Coordinatendreieck O'7/ lautet (330): md — 30 aaan + 30 (a, Ho) — 0. . (335) Hieraus geht hervor, dass O' ein gewöhnlicher Punkt ist, mit der imaginären Axe als Tangente. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 12"° Grades, welche in den Kreispunkten 6-fache Punkte, in C, (auf /) einen 6-fachen, und in YX, (auf OO’) einen Doppelpunkt hat. § 8. Die axiale Regelfliche einer in der Ebene der reellen Aven hegenden Gerade, welche durch O' geht. Die in {w] liegende Kurve zerfällt hier in eine 2-fache Kurve 4% Grades, deren Gleichung lautet (4 = 0): Er & — 34° Ë E> Ea — À (Er ai 5o) ae = 0. - (26/0) Sie hat in den Kreispunkten Riickkehrpunkte, deren Tangenten durch 4 gehen. Der Punkt 4 ist ein gewöhnlicher, dessen Tangente zu der imaginären Axe parallel ist. In Bezug auf O7J ist die Gleichung By Ly — 2 aa, ala, + wo) as + ae? + aa, + 2,7) 237 = 0. (260) Sie zeigt, dass O ein Doppelpunkt ist, dessen Tangenten durch ay + did + ay = 0 bestimmt sind. Die in [w'| liegende Kurve hat jetzt die Gleichung lay” Lo FR a (CA ES aye vores re 27 a’ Di Ly Di = 0. . (3 66) Der Punkt O’ ist ein 6-facher, dessen Tangenten mit der reellen Axe zusammentallen. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. X. B 27 418 DIE CONGRUENZEN VON w' —=e?2w3, w’2=c-1w3 UND ' —c3 w—2: Die Kreispunkte sind 6-fache; ihre Tangenten treffen sich in den 4 Punkten A. Die Doppelkurve ist zerfallen in eine 2-fache Plankurve 4°" Grades in [w] und in eine Kurve 26" Grades. Die einfachen Schnittpunkte von 7 mit der Doppelkurve sind aus jp = © und = : a a a Ne SERRES die Doppelpunkte auf / dagegen aus pw? = 0 und pee — Dan? 41 27a —0 © ONCE bestimmt. Die Restdoppelkurve hat also 2 +-2 X 6 — 14 Punkte auf Z. Jede durch / gelegte Ebene enthilt’ daher noch ausserhalb 7 12 Punkte der Doppelkurve. § 9. Die amale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Aven legenden und zu diesen parallelen Gerade t,. Die Fläche ist vom 10" Grade. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist eine A-fache Gerade. Der Schnitt in [w] ist zerfallen in 6 mal die unendlich ferne Gerade und in die Kurve 4" Grades, für welche (ap + a,a,+ Le Hw) Hp (a — 2) a3 = 0. (386) Die Kreispunkte gehören dieser Kurve zicht an. Die Kurve schneidet die unendlich ferne Gerade in den ausser- halb der reellen Axe liegenden Bildern des unendlich fernen Punktes der reellen Axe, als Punkt von [w’] betrachtet. Die Schnitt- punkte sind gewöhnliche; sie haben ihre Tangenten im Unendlichen. Der Punkt O ist ein Rückkehrpunkt mit der reellen Axe als Tangente. Die in [w’] befindliche Kurve ist ausgeartet in die 4-fache unend- lich ferne Gerade und in eine Kurve 6°" Grades, welche durch DIE CONGRUENZEN VON w'—c-2%3, w'2—c-1%3 UND w'—c3w-2. 419 (a, — 22) + (ar Hm) — 27 ua xx — 0 (396) dargestellt wird. Diese Kurve hat im Unendlichen auf der reellen Axe einen Rückkehrpunkt, dessen Tangente im Unendlichen liegt und daselbst 6 Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Punkt O’ ist ein 3-facher, dessen sämmtliche Tangenten in der imaginären Axe vereinigt sind. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, enthält, ausser der 4-fachen unendlich fernen Gerade, eine Kurve 6‘ Grades, welche im unendlich fernen Punkte der reellen Axe dasselbe Verhalten zeigt wie die Kurve in [w’]. Der Punkt YX, ist ein Rückkehrpunkt, dessen T'angente zu den reellen Axen parallel ist. Wir wollen nun den Grad der Doppelkurve bestimmen, und weisen somit auf das in Abt. 4 § 9 (S. 389 wf.) Dargelegte. Eine durch /, gelegte Ebene wird durch da —&@ + À(as — ua) =0 . . . . (40) dargestellt. Zwei Strahlen y und g schneiden sich in einem Punkte der Doppelkurve, wenn man hat De ie NAN) Fiir die nach einem Punkte a do v3 == == == y P P jk zielenden Strahlen sind die Spuren P (»,, 2) bestimmt durch 3 aL Wee: + pr, 3 Bim ee dee die beiden Coordinaten p, und y, sind also Wurzeln der Gleichung — pe + 2pue—p—0 . . . . (425) Die Bedingung (41) liefert nun 2 (er À C2 H- Ca) — 9 (ue 4 C163 + C203) (C4 += Co ++ C3) + 27¢,¢,c, = 0, also, vermöge (425), 490 DIE CONGRUENZEN VON w' = c-2 03, wl? —= ef w3 UND w'— 2 w—2. 2° — 18 pp? + 27 p — 0, oder yea Sie oi ty NN Diese 2 Punkte sind einfache. Wir.wollen nunmehr zeigen, dass EF, wofür p= ©, ein Doppelpunkt der Doppelkurve ist. Die Ebene (40) schneidet [w] in der Gerade und [win der Gerade La — Lo — Apa, — 0. In dieser Ebene befindet sich der Congruenzstrahl p (m,, p»), wenn man hat : Pa M er En INS EC lee | go pi — pi = Na; aus diesen Gleichungen folgt durch Elimination von p, 1824 es MORALE Pi ere Pie ein 3 Pile AAA „rog Ein Wert für A liefert 4 Werte für p,, d.h. in einer Ebene (40) befinden sich 4 Congruenzstrahlen, also 6 Punkte der Dop- pelkurve, ausserhalb 4, Die Ebene 2, — wa, wird durch A= w bestimmt, und liefert demnach == oo. Alle Strahlen sind mit der Gerade X, X, zusammengefallen. Wir setzen nun 1 A= A wonach die obige Gleichung sich verwandelt in IN pd NASA À") pi HBN (EL wa) pi + GA (1— pa), + AL = Ay 0 Wenn die durch 4, gelegte Ebene beinahe mit 2; — pa, = 0 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w3, w?—=c 1x3 UND w'= Bw-2. 421 zusammenfällt, wird sie durch einen klemmen Wert von A’ bestimmt. Wir dürfen alsdann in den Coefficienten A’ neben den Zahlen vernachlässigen. Wir erhalten daher angenähert Mp LS Ldap? + GA + 1 = (BAY BAY + 10. Diese Gleichung zeigt, dass von den 4 in der Ebene (4) lie- genden Strahlen je 2 mit XX, zusammenfallen, wonach Z ein Doppelpunkt der Doppelkurve ist. Auf /, befinden sich somit 4 Punkte der Doppelkurve; weil jede durch /, gelegte Ebene deren noch 6 ausserhalb /, trägt, so ist der Grad der Doppelkurve 10. Also: Auf der vorliegenden Regelfläche liegt eine Doppelkurve 10" Grades. $ 10. Die axiale Regelfliche eines Congruenzstrahles s. Die Restfläche ist vom 9°" Grade. Der Strahl s ist auf seiner Regelflache eine 4-fache Gerade. Die Kreispunkte sind beide noch 3-fache Punkte. Der Punkt / ist ein uniplanarer Doppelpunkt, dessen Tangenten sich in der Abbildungsebene [zw] befinden. Der Schnitt in [zw] zerfällt in die beiden einfachen durch die Spur 8 von s in [w] verlaufenden isotropen Geraden, in die ein- fache reelle Axe und in eine Kurve 6" Grades, deren Gleichung ist EE HoE) — BE + mob + GE EDER &, 55 oder F7 AE a E>) a 3 (8 +8) À 5583 + 3 (sE, 27 815) Ee + 2 Ge — A(E, + 54 aay (5 al Sy Ea) = 0. 2-1. » (440) Die Kreispunkte sind hier Richhehrpunkte, deren Tangenten sich in S treffen. Der Punkt S ist ein gewöhnlicher, seine Tangente ist durch 9 3 3 sE — 4 & = 0 bestimmt; sie verbindet S mit der axialen Projektion des ausser- 3 halb der singulären Ebenen liegenden Bildes #8” (a, = — s,?a,, 3 a, == TT Se Br) von S, 422 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w3, w'2—=0c-1»3 UND w'—c3w72. Der unendlich ferne Punkt # der reellen Axe ist ein Rück- kehrpunkt, dessen Tangente durch Sia 86 — sf; = 0 ONE) bestimmt ist. Die in [w’] liegende Kurve hat die Gleichung Soler ae se aS eal (Go sae Se) ee (Sa 1 — & &) Ea Sires co | no ==), oder 3 3 [&, En (Er — &s) ap 2 (85° Er — 8,” Er) &, + 384 82 (8 Ei — 84 52) EXP ag 3 3 — 27 (82 & — 152) (Er aa 54° En) (Ea sie sE) £,— 0. (465) Die Kreispunkte sind hier 3-fache; ihre Tangenten sind bez. durch 3 ais 2 8, &,)° UK oder 3 (@ + 8/2) = 0, und oh (Er nl Zen) Ne oder 3 @ + 8 a) = 0 bestimmt; sie vereinigen sich alle in den beiden durch den Punkt 3 3 S" (a — —s2a,, 2 — —s,;a,) gehenden isotropen Geraden. Es is S” eines der 4 Bilder von &. Der Punkt S” ist ein 4-facher; seine Tangenten sind die axialen _ Projektionen aus s auf [w] der 4 auf der Fläche liegenden, nach S" zielenden Congruenzstrahlen. Der unendlich ferne Punkt der reellen Axe ist ein Rückkehr- punkt, dessen Tangente im Unendlichen liegt. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, is eine Kurve 9°" Grades, die im Schnittpunkte #, von s mit w, einen 4-fachen Punkt hat und im unendlich fernen Punkte der reellen Axe einen Rückkebrpunkt mit der unendlich fernen Ge- rade als Tangente. DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2w3, w°?—c-1%5 UND w'—cw-2. 423 Wir wollen uns jetzt mit der Doppelkurve beschäftigen. Die Gleichungen s,(7,) = 0 und s,(7) = 0 vom $ IV. Abschnitte (§ 12a, S. 291) haben hier diese Form: 3 a (mr) = Ti + (Bn — pr + 852+ 28) 0, (478) 3 (Ts) = m2 + (3% — p}m, + (382 + Las) — 0. (486) Die Schnittpunkte von s mit der Doppelkurve werden (siehe S 221, 393) durch die Gleichung (a + a) Ca Cy — OC (Co + Cy)” = 0 angewlesen. Vermöge (476) und (484) giebt es also die folgende Bedingung : 1h al 1 1 [2 [2 (sy = Sy Se =p 8) je + 3 (Si + 55) (a = 8) pe mi 1 1 6) 5} SIP Gf SIS oe nas ss | — 10 (496) Ausser dem Schnittpunkte S’ von s mit [w |, welcher durch u = 0 bestimmt wird, befinden sich auf s noch 4 andere Punkte der Doppelkurve. Wie bei der vorigen Congruenz lässt sich hier zeigen dass die beiden Brennpunkte von s ebenfalls der Doppelkurve angehören. Es trägt s also im Ganzen 7 Punkte der Doppelkurve; da jede durch s gelegte Ebene ausser s noch 5 andere Congruenzstrahlen trägt, welche sich in 10 Punkten schneiden, so enthält eine solche Ebene im Ganzen 7 + 10 = 17 Punkte der Doppelkurve. Daher: Auf der axialen Regelfläche eines Congruenzstrahles liegt eine Doppelkurve Vi" Grades, welche s in 7 Punkten trifft. § 11. Die axiale Regelflüche eines in der Ebene der reellen Aven hegenden Congruenzstrahles s. Die Regelfläche ist vom 6"" Grade und trägt s als eine Dop- pelgerade. Die Kreispunkte sind 3-fache. Der unendlich ferne Punkt /# der reellen Axe gehört der Fläche nicht an. Es ist OO' eine Doppelgerade ; simmtliche Berührungsebenen sind in der Ebene der reellen Axen vereinigt (Ausnahme in [w'|). Der Schnitt mit [w] besteht aus den einfachen durch die Spur S von s in {w]| gehenden isotropen Geraden und aus einer Kurve 4 Grades, welche diese Gleichung hat: 424 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2w3, w2—c-1#3 UND w' =c3 w—2. LE LES mr En Js Ee EEE — EP Sn oder Er Es — 68°&, & Ea Fit As? (&, = ta) ES — 3s" Es = 0, (506) oder auch B Us — 2 sa, olm + a) a, + (an — a) a; = 0. (505) Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in S’ schneiden. Der Punkt S gehört jetzt der Kurve zicht an. Der Punkt O ist dagegen ein Rückkehrpunkt, dessen Tangente mit der reellen Axe zusammenfällt. Der Schnitt in [w'] hat die Gleichung 2 2 ÿ 8 NEEN — & (6 PE) He — 8) Ss EEE — &) = 0, oder 3 3 3 [E, Ey + 28°(§, +5 En) Er == 38°F, | — 2 15 (E1+- sE) (Eo <È PE), = 0, (536) oder auch 3 [aa ds (Hape — 27s eere, — 0. . (546) Die Kreispunkte sind auf dieser Kurve 6'°" Grades 3-fache Punkte; 3 3 ihre Tangenten treffen sich alle im Punkte 8” (a, =— s’a,, à p= 8), welcher mit S” dem Punkte S zugeordnet ist. Es ist S’ ein Doppelpunkt, den Tangenten 8’ mit den PE Projektionen der ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Bilder von §” verbinden. Der Punkt O° ist ein 3-facher, dessen Tangenten alle in der imaginären Axe vereinigt sind. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 6°" Grades, welche in ane Kreispunkten 3-fache Punkte hat, im Schnittpunkte S, von s mit w, einen Doppelpunkt und im Schnittpunkte X, von OO’ mit w, einen Riickkehrpunkt, dessen ‘l'angente die reelle Axe ist. DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2w3, w'2=c—1 w3 UND w'—cw-2. 425 Weil s in der singulären Ebene der reellen Axen liegt und daher die kubische Fokalkurve berührt, so hat jede durch s ge- legte Ebene 2 zusammenfallende Strahlen in s. Es trägt diese Kbene also noch 4 Strahlen ausserhalb s welche sich in 6 Punkten schnei- den. Die Ebene hat daher ausserhalb s 6 Punkte mit der Doppel- kurve gemein. Die Gleichung, welche die 2 ausserhalb der singulären Ebenen liegenden Strahlen bestimmt, welche nach einem Punkte C von s zielen, lautet: 1 EO + (Bs — WH (85 + 2 us) — 0. Die beiden Spuren werden durch und bestimmt. Die Bedingung, dass die Verbindungslinie dieser Spuren durch $ gehe, hat also diese Form: Ge 0, oder 8 — u — 0, wonach ie ACER Es liegen daher auf s 2 Punkte der Doppelkurve. Diese ist also vom Grade Rig 15: 6 + 2 =8. Sie bildet mit der Doppelgerade s und der Doppelgerade OO" eme Doppelkurve 10°" Grades, woraus hervorgeht, dass die Regelfläche hier vom Geschlecht nw// ist. Also: Auf der axialen Regelflüche eines in 8 hegenden Congruenzstrahles s liegt eine Doppelkurve vom 8" Grade, welche s in 6 Punkten trifft. Wenn für s in e die Gerade OO’ gewählt wird, zerfällt diese 426 DIE CONGRUENZEN VON w!=c—2w3, w’2=c—-1w3 UND w' 3 w-?2. Regelfläche in die 3 mal durch OO" gelegten isotropen Ebenen. § 12. Die awiale Regelfliiche einer in der Abbildungsebene [w] liegenden Gerade lx. Die Fläche ist vom 10" Grade und trägt Z als eine 4-fache Gerade. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist hier eine A-fache Gerade; sämmtliche Beriihrungsebenen sind vereinigt in der Ebene [w], welche mit der Fliche 6 mal die unendlich ferne Ge- rade gemein hat. Diese 6-fache Gerade bildet mit der 4-fachen Gerade Z den Schnitt 10°" Grades in [w]. Der Schnitt in [w] besteht aus der 4-fachen unendlich fernen Gerade und aus der Bildkurve 6°" Grades von Ze. Wenn die Gerade Z durch dro À dt byt, == 0 OE dargestellt wird, so ist die Gleichung der Bildkurve lis ) 2 a or + aa, + aa — 0, oder (ara Haan Haa) — War de ar a a? — 0. (578) Die 2 Punkte, wo diese Kurve die unendlich ferne Gerade schneidet, sind die Bilder Z; in [w’| des unendlich fernen Punk- tes Z, von le (@, a +- 44 — 0). Die beiden Punkte JZ,’ sind Rückkehrpunkte, mit der unend- lich fernen Gerade als 'Tangente. Die Bildkurve schneidet die Gerade OJ (+, — 0) in den 2 Bil- dern Z,' des Schnittpunktes Z, von /» mit OJ. Die beiden Punkte ZL, sind Rückkehrpunkte mit O'/ als Tangente. Ebenso sind die beiden Punkte Z (die Bilder des Schnittpunktes Z, von /» mit OI), wo die Bildkurve O’/ schneidet, Rückkehrpunkte mit 07 als Tangente. Die 2 Geraden ZL, und die 2 Geraden Z,Z, sind alle 4 Rüchkehrkanten der Regelfläche; ihre Berührungsebenen fallen bez. mit den beiden durch O0" gelegten isotropen Ebenen zusammen. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, besteht aus der 4-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer Kurve 6' Grades, welche in den beiden Punkten Z,’, in DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2w3, w'? —e1»3 UND w'—c3w—2. 427 den beiden Schnittpunkten von w‚ mit den Geraden Z, Z; und in den beiden Schnittpunkten von w, mit den Geraden ZZ, Riick- kehrpunkte hat, deren Tangenten bez. mit der unendlich fernen Gerade und mit den beiden durch den Schnittpunkt X, von ow, mit OO" gelegten isotropen Geraden zusammenfallen. Von der Doppelkurve ist zu bemerken (siehe S. 303 u. f.), dass sie keinen Punkt mit /, gemein hat. Weil jede durch /„ gelegte Ebene 6 Strahlen und somit 15 Punkte der Doppelkurve enthält, so ist der Grad der Doppelkurve 15. Also: Auf der awxialen Regelfläche einer Gerade lx in [w] ue eine Doppelkurve 15° Grades. $ 13. Die axiale Regelflüche einer in der Abbildungsebene |w| hegenden Gerade lo, welche durch O geht. Wenn wir die Gerade Z durch Dr darstellen, so werden die beiden Bestandteilen ihrer axialen Regel- flache (siehe (l44a), S. 302) durch 1 3 RO A) (hay — an) a + (Pay LO ee) und Hair eee eae na) 0, 68) augewlesen. Auf jeder dieser Flachen 5% Grades ist ein der 2 Bilder / von Ze 3 Kv, == Vs zE 0 5 Vs = () 4 bez. 3 ho, + ds == 0 , dl == 0 eine 3-fache Gerade. Auf den beiden Flächen sind noch die unendlich ferne Gerade, die Gerade OO' und /, Doppelgeraden. Hieraus folgt, dass es ausserhalb dieser Geraden keine Doppel- punkte giebt. Die beiden Flächen schneiden {w] in 3 mal der unendlich fernen Gerade und in 2 mal der Gerade /o. 428 DIE CONGRUENZEN VON w'— e-2w3, w'? =e1w3 UND w'— 63 #2. Die Ebene [w'] wird getroffen in der 2-fachen unendlich fernen Gerade und in den beiden 3-fachen Geraden 7’. Eine zu den Abbildungsebenen parallele Ebene w, schneidet jede der 2 Flächen in der 2-fachen unendlich fernen Gerade und in einer kubischen Kurve, welche im unendlich fernen Punkte Z,’ des zugehörigen Bildes / von / einen Rückkehrpunkt hat, dessen Tangente im Unendlichen liegt. § 14. Die axiale Regelfläche der zu [w] gehörenden reellen Ave. Von den 2 oben betrachteten Flächen 5‘ Grades ist die eine in 3 mal die Ebene der reellen Axen und 2 mal die Abbildungs- ebene [w] ausgeartet. Die andere Fläche 5°" Grades hat die Gleichung 8 2 (@, — 2) dé — (a + a) a = 0. Sie enthält die imaginiire Axe von [w’] als eine 3-fache Gerade, die unendlich ferne Gerade, die Gerade OO’ und die reelle Axe von [w] als Doppelgeraden. § 15. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen. ; Die Fläche ist vom 18" Grade und trägt den Kreis als eine 9-fache Gerade. Der Kreis werde durch a Rae a4 Re, ae) +2, (3-2 Bar) + (abs + at )—0, | (59) Dz = My (60) dargestellt. Wir ziehen noch die folgenden Bezeichnungen heran: Yo = dels, Yo = Mes Pr Yi = Rad Had, Yo = Me Ps + af, (61) y= (he, Rs + 439), y: = (ma, B; + 2h), Y2 = Wad; + a; By. Die Ebene [w] wird in einer Kurve 12" Grades und in 3 einfachen durch jeden der Kreispunkte gelegten Geraden getroffen. Die Kurve in [w] hat die Gleichung 3. 3 3 3 1 3 3 3 3 Dre pen Gy, Me ne 22 2,2 voor ey + Vo (+ ayay ay + Vo Udy VA ds + Votre / 2 vAn BEND gas Hy Mts + Yo 28 + 323 = 0, oder DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2 w3, w2?—c-1»3 UND w'—c3w2. 429 [Yo By ay? — 24°23 (Yo Lo + Vie) — 2 3 (Yo ey + Vos) + + (Yo vo À V4 @1®3 + Yo drds + ys) es | — Aan, ay? a” X XV At W223) (Vo at) YolYo date + Yi Utah Ya Lag ++ Vars) | =0. (620) Die Kreispunkte sind 6-fache; von ihren Tangenten sind je 2 in eine dieser 3 durch /(X,) gelegten Geraden 3 4 Yo@r + Yo ta + Via De le; oder Vato Bat Ht = Ur (ET) und in eine dieser 3 durch /(X,) gelegten Geraden Yo — (Yo + Yar) 220 . . . (64) zusammengefallen. | Diese Geraden sind überdies, als ex fache betrachtet, die Aus- artungselemente des Gesammtschnittes von [7]. Diese Tangenten haben ausser ihren Berührungspunkten keinen Punkt mit der Kurve gemein. Der Schnitt in [w’] ist eine Kurve 18" Grades, deren Glei- chung ist aly 2 2 Voie + Yo was + a3 De Lanta Lo DOS = Yo Pf, | 2 3 + Na ae eG a as Due —_ oe (002) oder eoa + adt + Ba, + ya) ara, Hytter? + (Yo 1% 84, Vol 2X1, +7344 )° | — 27 (yo Yoyo) U Ur hy X Dd \ (YY 7073) Yo LLL + (Va %2 YY) ya FV + Vds Va) we H + Yo Volta JVD + Yoo + Yad) X X [u Yot + Vit) u ay eli pe (Yola Yot) Ly & + OY ky Vy ye an YA JUH Vota + 30) =O. . (666) Die Kreispunkte sind 9-fache; von ihren Tangenten in / sind je 3 in eine der 3 Geraden ANG ln NA pee (Yoda + Nat) + Yo 22 % = 0, von denen in J sind je 3 in eine der 3 Geraden a1 Ye B) aie Yo 2 ey — 0 430 DIE CONGRUENZEN VON w' = c—2 w3, w'? —c1»3 UND w'— e3 w—2, zusammengefallen; jede dieser Tangenten hat alle ihre Schnitt- punkte mit der Kurve in ihrem Berührungspunkte vereinigt. Auf der Flache sind die Kreispunkte 9-fache; von ihren Berüh- rungsebenen sind je 3 bez. in eine der 3 Ebenen (Yoda + V1) + Yo (Yo Lo + Yr 23) (es = ko) = 0, (675) und Yot + Yet) + Yo Yo A + Y223) @3 — mas) = 0 (688) zusammengefallen. Diese Ebenen bilden bez. die Regelfläche der Strahlen, welche auf den durch den Mittelpunkt des gegebenen Kreises verlaufenden isotropen Geraden ruhen. $ 16. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf OO liegt. Wir haben im Vorhergehenden a == 0, ae Bi = 9, B, 0 einzusetzen, wonach der Kreis durch a: Bs a za ie a, Ps a5” + % Bot = 0, Le NEED GE 12727 v . (70) dargestellt wird. Die in [w] liegende Kurve ist jetzt durch 2 [ay ary — ray ay (rho) (ua eert 423 > 123 23 — 0 (716) 0 0 4 bestimmt. Die Tangenten der Kreispunkte, welche zugleich die Ausartungs- elemente des Gesammtschnittes bilden, sind jetzt durch By (a od) — ON se und ae (a + jh 43) == 0 . e 2 . . (730) angewiesen. Es sind also 4 Brennpunkte in O vereinigt. DIE CONGRUENZEN VON w! = c—2w?. w!2?=c—1 v3 UND w'—c3w-2. 431 Die Gleichung der in [vw] befindlichen Kurve lautet: 2 = vs 2 1 DA) 2 Aa + une Ha aan + af x ee + 2 Die OD) 0 oder [PY ey ay (@ + d2 +- wa) J (Yom + Va) + + 27m yo V3 Ut Yo Ya Mote + Ys (pute + Ysa) Dj — Yord ya Nm yo vr a (ae, La, + mi) (yo Yai) || = 0. (156) Die Tangenten der Kreispunkte sind jetzt durch By (do + fe vr) = 0 und avy (es + a) = 0 bestimint. Auch hier fallen 4 Brennpunkte in O° zusammen. Von den 3 verschiedenen Berührungsebenen jedes Kreispunktes sind 2 mit emer durch OO’ gelegten isotropen Ebene zusammen- gefallen. Die Gerade OO’ kann also eine 4-fache Brennlinie ge- nannt werden. § 17. De Regelfläche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, der OO schneidet. Wir haben nun & == 0: EE) mithin VEE 0 einzusetzen. Die Gleichungen des Kreises sind also te, B50 a + a4 (4,303 + aa) + wol Ors + dia) = 0, | (76) eens Cra) Es ist OO" hier eine 4-fache Gerade der Regelfläche; die Be- rührungsebenen längs OO" sind alle vereinigt in der Ebene, welche OO mit der im Schnittpunkte Y, von OO’ mit dem Kreise an diesen gelegten ‘Tangente verbindet. Die Kurve in [w] hat nun die Gleichung 432 DIE CONGRUENZEN VON w'=e-2w3, w'2— c—1»3 UND w' —c3 w—2, [yer es Clo des) — 22390 Ut Yara) (yo ro ts Ya ets) ag P— SOA 2 72 - — 42223 [Yor +03) (Yo B+ Vds) — Yo Vo Mado + Va ads + Yo Lois) | =0. (786) Sie hat in O emen 4-fachen Punkt mit Vit tym = 0. … +. 2 NO) als einzige Tangente. Die Gleichung (795) stellt auch die Berührungsebene von 00! dar. Die in [w’] befindliche Kurve hat jetzt die Gleichung 9 2 Yo%1® + Yo one aya. Dad ET ay Pay) a ENEN Ne 2 2 Mes in in Ve 5 5 5 (806) oder [ue Yord yar) CP 2 yo Var) ws Uy yo or zo an + Yot + Nat Yot 5) — 27 yi Ye ay ay @y VV dr HY Yoma Vind yaron) a + Yo Yola + 18184 + Yo®o®s) Le (Vote + Yai) vay, + : Hu (you yer) ts My Yo UL Un (Yost. az Wi Yooh „=O. (816) Diese Kurve hat in O’ einen 6-fachen Punkt, von dessen Tan- genten je 3 mit den 2 Geraden 2 2 Yau + Yo 2, = 0, oder Wy A Vo ty =O net NC d.h. mit den 2 Bildern der in O an die Kurve in [w] gelegten Tangente (795) zusammenfallen. § 18. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene {w] liegenden Kreise ruhen. Die vorhergehende Regelfläche zerfallt jetzt in 6 mal die Abbil- dungsebene [+] und in eine Fläche 12‘" Grades. Auf dieser Restfläche ist der Kreis eine 4-fache Kurve. Indem wir im Obigen 4 — oo einsetzen, so finden wir für die Gleichungen des Kreises : Oy By By + dits + mat Tuts —=0, | . . (83) U, = 0. . . (84) Der Schnitt in [w] besteht nun, ausser dem Kreise, aus seinen isotropen Tangenten, jede doppelt gezählt. DIE CONGRUENZEN VON w!=c-2 03, wl? =e2w3 UND w =e w-2. 438 Die in [w’] liegende Bildkurve des Kreises in [w] hat nun die Gleichung 9 = + do Ti TE ? 0 (854) DES | po 2 3 Sr Haar 2 glen Li À oder (4,5 0,0? La qe Harmes + ar) — — 27 (Gye, — a) va) | (cé Oh, — Ohy 0b ;) (ds ay” yy’ À Mod) À + Oy tts (as vray + aaa, + aa x + ajax) — 0. (866) Die Kreispunkte sind auf dieser Kurve 12°" Grades 6-fache Punkte; von ihren Tangenten sind je 3 in ein der 2 Bilder jeder isotropen an den Kreis gelegten Tangente zusammengefallen. Die isotrope Gerade OJ schneidet die Kurve 6 mal im 6-fachen Punkte J und ausserdem noch 3 mal in jedem der beiden Bilder M, des Punktes M,, wo der gegebene Kreis die Gerade OJ schneidet. Die beiden Punkte J/, sind Rückkehrpunkte, mit OJ als ge- meinschaftlicher Tangente. Analoges lässt sich von den beiden Punkten M, behaupten. Auf der Fläche sind die Kreispunkte 6-fache. Von den Berüh- rungsebenen von J (bez. J) sind je 3 vereinigt in einer der Ebenen, welche die isotrope Tangente des Kreises mit ihren 2 Bildern verbinden. Die beiden Geraden M,M, und die beiden Geraden 47, M, sind Rückkehrkanten, mit den durch OO’ gelegten isotropen Ebe- nen als Berührungsebenen. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 12°" Grades, die in den Kreispunkten 6-fache Punkte hat. Die Schnittpunkte von ©, mit den Sete M, M; und J, sind Rückkehrpunkte. $ 19. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene |w] liegenden Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt O ist. Hier gilt wonach der Kreis diese Gleichungen hat: dd da + av; — 0, PER EE ET Dr CSA Re Verhand. der Kon. Akad, vy. Wetensch. (te Sectie). Dl. X. B 28 434 DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2 3, w'2—c—1%3 UND w' =c3 w—2. Die Regelfläche ist wiederum vom 12° Grade und trägt den Kreis als eine 4-fache Kurve. Die isotropen Geraden, welche, doppelt gerechnet, auch dem Gesammtschnitte in [w] angehôren, gehen jetzt durch O. Die in [w'] liegende Kurve hat die Gleichung (a af af Eau) —= 0: ar RP Der Schnitt in [w'] besteht also aus der 3-fachen Bildkurve 4” Grades (894) des gegebenen Kreises. Diese Bildkurve ist selbst wiederum aus 2 Kreisen 174 ay 2 / Mi at noe 2 NON ae zusammengesetzt, welche beide ihren Mittelpunkt in OQ’ haben. Die Regelflache hat in den Kreispunkten 6-fache Punkte, deren Berührungsebenen alle in den durch OO' gelegten isotropen Ebenen vereinigt sind. Der Schnitt mit emer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 12° Grades, welche in den Kreispunkten 6-fache Punkte hat; sämmtliche Brennpunkte sind in X, vereinigt. § 20. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene [w] liegenden Kreise ruhen, der O enthilt. Jetzt ist elnzusetzen. Der Kreis wird also durch Ge dy a À dd ds À hy; — 0, | tere AGES Dl | 1e MEN (91) dargestellt. Auch diese Regelfläche ist vom 12" Grade und trägt den ge- gebenen Kreis als eine 4-fache Kurve. Der Schnitt in [w] besteht, ausser dem Kreise, aus dessen iso- tropen Tangenten, jede doppelt gezählt. Die Gleichung der in [w’] liegenden Bildkurve ist jetzt à 19 2 DR ; aal +. ona? dar a 0, . ., Ge oder DIE CONGRUENZEN VON wo! =c—2w?, w’2?=c— ws UND w'—cw-2. 435 (as a a je CD + ky di) TR 2 Fi Oe dd Ti By di = Op (9 30) Der Punkt O ist hier ein 6-facher; von seinen Tangenten sind je 3 in die 2 Bilder der in O an den Kreis in [w] gelegten Tan- gente zusammengefallen. Die Gerade OO’ ist jetzt eine 4-fache der Fläche; sämmtliche Berührungsebenen sind vereinigt in der Ebene, welche OO’ mit der in O an den Kreis gelegten Tangente verbindet. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 12°" Grades mit 6-fachen Punkten in den Kreispunkten; sie hat noch einen 4-fachen Punkt in X,, dessen sämmtliche Tangenten in der Schnittlinie von ©, mit der Berüh- rungsebene von OO’ vereinigt sind. B 28% ABTEILUNG C. Die Congruenz, welche der Beziehung angehort. § 1. Allgemeine Ligenschaften. Dem in IV. Abschnitte Abgehandelten entsprechend, bemerken wir zuerst, dass man in der vorliegenden Ayperbolischen Congruenz hat me ven = 1, Der Bündelgrad der Congruenz ist also 9, ihr Fe/dgrad 4, ihr Azengrad N = 23. Von den 9 nach einem reellen Punkte zielenden Strahlen sind nur 3 reell. Die Fokalfliche besteht aus zwei imaginären Cylindern, deren Spitzen sich in den Kreispunkten Z und / der Abbildungsebenen befinden. | Die Gleichungen dieser Fokalcylinder lauten Aa — 212$ x, — 0, Am — Taza, = 0. | eo Die Cylinder haben die Gerade O7 (bez. OJ) als Inflexions- kante, mit [w] als Berührungsebene, und die Gerade 0'7 (bez. O'/) . als Rückkehrkante mit [w] als Berührungsebene. Sie durchbohren sich in 3 kubischen Plankurven, welche sich befinden in der Ebene der reellen Axen und in den beiden durch DIE CONGRUENZEN VON w'—c-2%5, w?—c-1»3 UND w'—cw-2. 437 a” + mar, + x,” = 0 oder Y= a 41/03 bestimmten Ebenen, welche die Ebene der reellen Axen unter 60° schneiden. Die 3 kubischen Fokalkurven haben alle einen Wendepunkt in O und einen Rückkehrpunkt in O7. Die Gleichungen des Congruenzstrahles » sind nun D = Pit; AP, (20) #9 . . . . . wl La = Pod + Py Ly. Der Brennpunkt ?, des Strahles p ist durch avy do aw. 3 44 4 = 3 = nt zE = 5 = om . - (3c) 2p Fm Sum 2 MP der Brennpunkt P, durch CAT A Wa dy (Ac) 5) Ce Ar aoe TN EG RE 3) Pa pi + 2 ps <2 Pi Po bestimmt. Singulüre Ebenen sind 1° jede Ebene, welche einen Strahl y mit einem der Kreis- punkte verbindet; sie enthält ein Strahlengebilde 3° Klasse, dessen Einhüllende eine kubische Kurve mit einem Rückkehr- punkt ist; 2° die Ebenen #° — + — 0, d.h. die Ebene der reellen Axen und die beiden Ebenen y = + > |/ 3; sie tragen jede ein Strahlen- gebilde 3** Klasse, dessen Einhüllende mit der kubischen Fokalkurve identisch ist; 3° die Abbildungsebenen [vw] und [w’] mit Strahlenbüscheln in den Kreispunkten und in den Nullpunkten. Singulare Punkte sind 1° die Kreispunkte mit Strahlenbiischeln in [w] und [w’]; 2° der Nullpunkt von [w] mit einem Strahlenbiischel in [2 |; 3° der Nullpunkt von [w'] mit einem Strahlenbüschel in [w']. Von den 9 Strahlen, welche nach einem Punkte von |] zielen, fallen 4 mit den durch diesen Punkt gehenden isotropen Geraden zusammen, 4 mit der Gerade, welche diesen Punkt mit dem 438 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2 3, w?—c-1»3 UND w'— c3w—2. Nullpunkte verbindet; der 9" Strahl vereinigt den Punkt mit seinem in [w’] befindlichen Bilde. Von den 9 Strahlen, welche nach einem Punkte von [w’] zielen, fallen 4 mit den durch diesen Punkt gehenden isotropen Geraden zusammen, einer mit der Gerade, welche diesen Punkt mit dem Nullpunkte verbindet; die übrigen 4 Strahlen vereinigen den Punkt mit seinen 4 in [w] befindlichen Bildern. Von den 4 in [w] liegenden Bildern eines reellen in [w'] befind- lichen Punktes sind nur 2 reell. $ 2. Die axiale Regelfläche einer durchaus willkirlichen Ge- rade |. Der Grad der Regelfläche ist (2 + 1 + 2 X 2 — 183. Es ist / auf ihrer Regelfläche eine 9-fache Gerade. Es sei A (&,a) die Spur von / in [w], B (b,,6,) die von Z in [w’]. Der Schnitt in [w] besteht aus den 2-fachen durch 4 gehenden isotropen Geraden, aus der 4-fachen Gerade O4 und aus einer Kurve 5'" Grades. Diese hat in Bezug auf das Coordinatendreieck AIJ die folgende Gleichung : Eras di Es) Ea — E (8 + a Es) En — Re (0 Ei bi En) (&4 + ay Es) (Es == ay Ea) = 0. "00 Diese Kurve hat in den Kreispunkten Doppelpunkte, deren Tan- genten sich in den 4 in [w] liegenden Bildern B des Punktes B’ treffen. Der Punkt 4 ist ein gewohnlicher; seine Tangente ist die axiale Projektion aus / auf [w] des Bildes A’ von 4. Der Punkt B, wo die Gerade O'R’ die unendlich ferne Gerade schneidet, ist ein gewöhnlicher Punkt der Kurve; seine Tangente verbindet B, mit À. Auf das Coordinatendreieck O/J/ bezogen, lautet die Gleichung der Kurve: (C2 LS di da) xr De (2 = da 23) Dy Be" EE TETE [bs (a, ates ay ds) LES by’ (25 = Qs &æ3)| a 2 = 0. . (5'e) Hieraus ist ersichtlich, dass OQ ein Doppelpunkt ist, dessen Tangenten die Bilder der durch O° zu OA parallel verlaufenden Geraden sind. Der Schnitt mit [w’] besteht aus den 2-fachen durch B’ gehenden | DIE CONGRUENZEN VON »w'—c-2u3, w'2=c-!w3 UND w'—cw-2. 439 isotropen Geraden, aus der einfachen Gerade BO und aus einer Kurve 8‘ Grades, deren Gleichung lautet: At 4 EE tag En (Sot by LE EP (HE aS) NE by LP (§+ Vo 1E) ==), = oder ee een ek ene Cate Ehbo § )F PQ 1 Er gy (E, aie by &,) (Eo a by En) En = (Te) Auf dieser Kurve sind die Kreispunkte Riichhehrpunkte, deren Tangenten sich im Bilde 4° von À treffen. Der Punkt B’ ist ein 4-facher, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w'] der 4 Bilder B von B’ sind. Wenn wir das Coordinatendreieck 2° 7.7 durch das Dreieck 0 7J ersetzen, so verwandelt sich die Gleichung (7c) in La) ae, Hobo ay) ar (ao (er — by a) — ar (Do &,) "aie P— FR. 4 Dp Bo Bi mC i be) (a, FE" swt — 0. . ° (7c) [Ces Der Punkt O° erscheint also als ein Rückkehrpunkt, dessen Tan- gente mit dem Bilde der Gerade OB,, d.h. der durch O zu O’B" parallel verlaufenden Gerade zusammenfällt. Der unendlich ferne Punkt 4, von O4 liegt auch auf der Kurve; er ist ein Rückkehrpunkt mit der unendlich fernen Gerade als Tangente; diese Gerade hat in 4, 4 Punkte mit der Kurve gemein. Auf der Regelfläche sind die Kreispunkte 4-fache. Von den Berührungsebenen des Kreispunktes /(X,) sind 2 mit der Ebene de (Ar Ord Ot 0 ee tn (80) zusammengefallen ; die anderen 2 werden durch bs (4 et by. Ze Et Di = . . . . (8'c) angewiesen. Von den Berührungsebenen des Kreispunktes /(X,) sind 2 mit der Ebene de (@% — U 23) —& = OMe ies doe ACO) zusammengefallen ; die anderen 2 werden durch 440 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c—2w3, w?—c-1»3 UND w' — 03 w-2. oO (ay ER: bi 2): iF Lee as 0 . . . . . (9e) angewiesen. Der Punkt O ist auf der Fläche ein waip/anarer Doppelpunkt mit der Abbildungsebene [wl] als Berührungsebene. Der Punkt 4, ist ebenfalls ein uniplanarer Doppelpunkt, dessen Berührungsebene mit [w] identisch ist. Der Punkt O/ ist ein uniplanarer Doppelpunkt, dessen Berüh- rungsebene mit der Abbildungsebene [w'] zusammenfallt. Der Punkt B, ist aber ein gewöhnlicher Punkt, dessen Berüh- rungsebene B, mit / verbindet. Auf der Gerade OO’ liegen ausser den 2 Doppelpunkten O und O’ 3 dreifache Punkte der Fläche; sie werden durch be Vy Ma bestimmt, wenn 3: w, der Bedingung [Ms (ai — à) + Bin — 09) — Bs a (be — di) = 0 genügt. Die Doppelkurve dieser Regelfläche ist vom Grade W + 6 = § 3. Die axiale Regelfliche einer Gerade 1, welche OO' schneidet. Hier sind die Punkte 4, und B, zusammengefallen. Der Punkt 4, B, ist jetzt ein 3-facher Punkt. Es sei do = ta, die Gleichung der durch / und OO’ gelegten Ebene; man hat alsdann bz tua; TE — Es b, ay Uy Do EEN Qs ae — 0. Die in [w] legende Kurve hat nun die Gleichung (a, a sy ay ds) Pi ds == (23 re ta, #3) De ts EE bi (éæ, ae Bp) Bi == Ws (dl 0e) In Bezug auf die Singularitäten weicht diese Kurve von der- jenigen des vorigen $ nicht ab. DIE CONGRUENZEN VON #'— 62 «3, w'? =c-1w3 UND w'—cw 2. 441 Auch dem von der in [w’] liegenden Kurve Gesagten braucht nichts hinzugefügt zu werden. Ihre Gleichung ist [Car — ha) aa, + (a EE, 4 VY do (a, b, aN (@, Pr 4D; D) Oe = 0. . . (1 le) tb Ly) BD, di (fa, = 2) 4 Dlt =—* Die 3 dreifachen Punkte, wo die Flache des vorigen § die Ge- rade OO schnitt, sind hier vereinigt im 9-fachen Punkte # (a, — a) a; + U —b,)a,—= 0, oder Git Oy Li 0E wo die 9-fache Gerade / die Gerade OO’ schneidet. Wie schon oben bemerkt wurde, ist der Punkt 4, — B, ein 3-facher; von den 3 Berührungsebenen, in welche der Tangenten- kegel ausgeartet ist, fallen 2 mit [#} zusammen und eixe mit der durch 7 und 4,;= 8, , d.h. mit der durch OO’ und / gelegten Ebene. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen hat in 4; = B, mit der Fliche 5 Punkte gemein. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, hat nun auch in 4,= B, Tangenten zwei mit der unendlich fernen Gerade zusammenfallen und die dritte 4,— B, mit dem Schnittpunkte C, von ©, mit / verbindet; letztere Gerade enthält auch den Schnittpunkt X, von oO, mnt OÙ. Ubrigens sind keine Abweichungen zu constatiren. Wenn / durch O geht, so wird die Abbildungsebene [7] 2 mal abgetrennt. Es erübrigt sonach eine Fläche 11'" Grades. Auf dieser sind die Kreispunkte Doppelpunkte, deren Berührungsebenen durch (Se) und (9c) gegeben sind. Die Gerade OO’ schneidet jetzt die Fläche 2 mal in O’ und 9 mal in O. Die in [w’] liegende Kurve ist in eine 2-fache kubische Kurve einen 8-fachen Punkt, von dessen zerfallen, mit der Gleichung (a GE By. 2) di EE (Bo TH? b, 25) dy — 0. . . (1 2c) Sie schneidet die unendlich ferne Gerade in den namlichen Punkten wie die 3 singulären Ebenen durch OO’; die Asymptoten convergiren nach dem Punkte 7) 442 DIE CONGRUENZEN VON w' = c—2 w3, w'2=c-1w3 UND w' —= 3 w—2. Die in [w] befindliche Kurve ist durch (2° — a,*) v7 — (6, a, — ba) vera —0 . . (15e) bestimmt. Der Punkt O ist jetzt ein 3-facher, dessen Tangenten sich in den singulären Ebenen befinden und je 5 Punkte mit der Kurve ge- mein haben. Wenn / durch QO’ geht, so wird die Abbildungsebene [#’] 2 mal abgesondert. Es erübrigt wiederum eine Fläche 11%" Grades. Auf dieser sind die Kreispunkte Doppelpunkte. Die Gerade OO’ schneidet nun die Fläche 2 mal in O und 9 mal in O”. Der Schnitt in [zw] ist ausgeartet in die 2-fachen durch 4 ge- henden isotropen Geraden, in die 4-fache Gerade O4 und in die einfache kubische Kurve, welche durch (a Ta a #3) x,” TT (do PS do @3) Don = 0 . . (15’e) dargestellt wird. Diese schneidet die unendlich ferne Gerade in den Schnittpunkten der singulären Ebenen; die Asymptoten convergiren nach dem Punkte Ghee 3 Der Punkt O ist em Doppelpunkt, wie im allgemeinen Falle. Die in [w'] liegende Kurve hat nun die Gleichung [ (2° + Ls) vy "=e (a, A PE d 2) di 2) ET 4 a, aS 2 = 0. (1 6c) Der Punkt O’ ist em 6-facher; von seinen Tangenten sind je 2 mit emer der 3 Geraden zusammengefallen, in welchen die singu- laren Ebenen die Ebene [w'| schneiden. § 4. Die axiale Regelfliche einer zu den Abbildungsebenen paral- lelen Gerade 1,. Der Grad dieser Regelfläche ist, wie im allgemeinen Falle, 13. Es sei die Gerade 4, gegeben durch UD + a2, À ts À dim — 0, | (EI) Liu Ee: DIE CONGRUENZEN VON »w =c—2 w3, w'?— c-1w3 UND w’ =c3w-2. 448 Thr unendlich ferner Punkt sei Z,. Der Schnitt in [w] besteht aus 4 mal der unendlich fernen Ge- de taus Ay mal der Gerade, OL; :d.1. der durch “Ozu 7, parallel verlaufenden Gerade, und aus einer Kurve 5'" Grades, deren Gleichung lautet : aar as Har es Hel À Ho) + (ua + Oy) jj wy — 0. (19) Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in O treffen. Der unendlich ferne Punkt Z, ist em Wendepunkt; seine Asymp- tote wird durch Pe (4,2 + 420) + (HA) + Lj) = 0 bestimmt, ist demnach mit der Projektion von /, aus O° auf [wl identisch. Es ist OQ ein Doppelpunkt, deren Tangenten die Bilder von O'L,, d.h. der durch O° zu /, parallel verlaufenden Gerade sind. Der Schnitt in [w'] besteht aus der 4-fachen unendlich fernen Gerade, aus der einfachen (durch O' zu /, parallel verlaufenden) Gerade O'/, und aus einer Kurve 8°" Grades, welche durch dns „a = Vues 77 1 | lea, + Ga, + (pa, + &,) 2; aa — 0, oder fear Di == raw os — — ax + CAT > +( [a = &, a,\" TA do lk Es = 4 Ps ‘Gy Ly Dita, —— 0 . . . . . (20c) dargestellt wird. Die Kreispunkte sind Riickkehrpunkte, deren Tangenten daselbst 6 Punkte mit der Kurve gemein haben und sich im Doppelpunkte O' treffen. Der unendlich ferne Punkt Z, ist ein 4-facher, dessen sämmt- liche Tangenten in der Gerade Oy dy À xd À (ua; + aa, = 0, d.h. in der Projektion von /, aus O auf [w'] vereinigt sind; diese Gerade hat in Z, 6 Punkte mit der Kurve gemein. Auf der Regelfliche sind die Kreispunkte 4-fache. Von ihren Berührungsebenen fallen 2 mit [w], 2 mit [”'| zusammen. 444 DIE CONGRUENZEN VON w'— c-2w3, w'? —çc1x3 UND w'— «3 w—2, Der Punkt Z, ist ein 9-facher, von dessen Berührungsebenen 4 mit der durch /, und O gelegten Ebene, exe mit der durch /, und O' gelegten Ebene, und 4 mit der Ebene w, zusammen- fallen. | Die Punkte O und O0’ sind beide Doppelpunkte, deren Ver- halten nicht von dem auf der allgemeinen Regelfläche abweicht. Wenn J/, den Kreispunkt Z(X;) enthält, wonach x — 0, so besteht die axiale Regelfläche aus den zweifachen Abbildungsebenen [æ] und [w'] und aus den 3 dreifachen durch /, an den Fokal- cylinder #, gelegten Berührungsebenen. Letztere werden durch [Ao aa (72 = 4) C7 [Ua = (Us, =P a,) 3) aa a (23 — ue) = 0 (22e) dargestellt. $ 5. Die axiale Regelfläche einer zu den Abbildungsebenen paral- lelen Gerade 1,, welche OO" schneidet. Man hat hier paz + &, — 0. Die in [w] liegende Kurve hat nun die Gleichung vy as + aa af + (ea, + bao) v7 — 0. . (24c) Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in O treffen. Der Punkt Z, ist ein Wendepunkt, dessen Tangente ebenfalls durch O geht. Der Punkt O ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten die Bil- der der durch O' zu /, parallel verlaufenden Gerade O’Z, sind. Die in [w'] befindliche Kurve wird jetzt durch Que ae twa we (ama) wa — Amara wa —0 (25c) dargestellt. Das einzige Neue ist hier, dass die Tangenten des 4-fachen Punktes £, auch alle durch 0’ gehen. Auf der Regelfläche is Z, wiederum ein 9-facher Punkt; es sind jetzt 5 Berührungsebenen mit der durch /, und O gelegten Ebene und 4 mit der Ebene w‚ zusammengefallen. § 6. Die aviale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Axen hegenden Gerade |. DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2 w3, w'? —c 13 UND w'—cw-2 445 Die durch OO’ verlaufenden singulären Ebenen waren 1° die Ebene der reellen Axen, 2) die Kbenen y — = 2// 3. Wir wollen uns beschränken auf die Erledigung der axialen Regelfläche einer in der Ebene der reed/en Axen liegenden Gerade. Diese Regelfläche besteht aus 3 mal der Ebene dieser Axen und aus einer Restfliiche 10"? Grades. Es ist / auf dieser Restfläche eine 6-fache Gerade. Die Kreispunkte sind 4-fache; ihre Berührungsebenen sind durch (8e), (Sc), (9c) und (9’c) angewiesen, wo noch Rate b,' | einzusetzen ist. Der Punkt O ist ein gewöhnlicher mit [{w] als Berührungs- ebene. Der Punkt O’ gehört dagegen der Fläche wicht an. Der unendlich ferne Punkt Z(— 4,— B) ist auf der Fläche ein gewöhnlicher Punkt mit [w] als Berührungsebene. Der Schnitt in [w] besteht aus den 2-fachen durch die Spur 4 von / in [wl] verlaufenden isotropen Geraden, aus der 2-fachen reellen Axe und aus einer Kurve 4°" Grades, deren Gleichung lautet : ACER QE) Es — EE = ags) $5 —0 (Er — &)(&, + abs) (& ae afs) 22g ere 2 oder (Er HErEot-5o)H2alErHE)Enta'En ED (E,4+-a83)"(§54+-a&s)" = 0. (260) Diese Kurve hat in den Kreispunkten Doppelpunkte, deren Tangenten sich in den 4 Bildern B der Spur B’ von / in [w] treffen. Die Kurve enthält weder den Punkt 4 noch den Punkt Z Der Pankt O dagegen ist ein gewöhmlicher Punkt; dies wird ersichtlich, wenn wir die Gleichung auf das Coordinatendreieck 0// beziehen. Sie bekommt alsdann diese Gestalt: Dorm — (a + ma, + 20) 23 Hal + a)aÿ = 0. (260) Die Tangente von O fällt also mit der imaginären Axe zu- sammen. 446 DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2 w3, w'?=—=e1w3 UND w' — c3 w—2. Der Schnitt in [w'] besteht aus den 2-fachen durch die Spur B von / in [w'| gehenden isotropen Geraden und aus einer Kurve 6'" Grades, welche dargestellt wird durch EE OE Er EEE z,) ë, ali Ebb Ee (So AL EE =0, oder BEHEE Er EVEN EE) (Er +H Es) (Ey PET MERE PEL tHE NE, +08) 9 EC oder auch (54? 8e 87) + DE 1-2) PE Ha Er Bo) (Er TE) (E EE) Er HOEN Er HOEDEN Er HOE) + So (EHD El = 0. (270) Die Kreispunkte sind auch hier Rückkehrpunkte; ihre Tangenten treffen sich im Bilde A’ von A. Der Punkt 2’ ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w’] der ausserhalb der Ebene der reellen Axen liegenden nach B’ zielenden Congruenzstrahlen sind. Der Punkt Z ist ein gewöhnlicher; seine Tangente liegt im Unendlichen. Der Punkt O' gehört der Kurve wicht an. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene ©, ist eine Kurve 10°" Grades. Sie hat in den Kreis- punkten 4-fache Punkte, deren Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Ebenen (8c), (8'c), (9c) und (9c) sind (wo a = =f, <==) Der Schnittpunkt C, von ow, mit / ist ein 6-facher, dessen Tangenten die axialen Projektionen aus / auf [w] der 6 ausserhalb der Ebene der reellen Axen liegenden, nach C, zielenden Congru- enzstrahlen sind. Der unendlich ferne Punkt # der reellen Axe ist ein gewöhn- licher Punkt, mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. Die Kurve hat noch Doppelpunkte in den Schnittpunkten von w, mit der Doppelkurve. Auch hier wollen wir den Grad der Doppelkurve bestimmen. Die Gleichung f(r) = 0 hat hier diese Form: FR + a) — (ua +5) + +1 =0, (20) oder DIE CONGRUENZEN VON w'— c—2w3, wl? =c4w3 UND w'—cw 2. 447 jem +. (2 wa — 6)? + (ua — 26) ar — (db — 1) = 0, wonach 2 wa — bd” q ae Ca zie = = — ; u (ua — 2 6")a CC ete CAC ele 4 = 7 D ee Ni | Ci Cy C3 ——— — — 7 Die Punkte 2,,, welche, wie wir in der Abt. 4 dieses Abschnit- tes ersahen, durch (cu © == C1 C3 ain C2 C3) (C4 ae Co == C3) — U Cy C3 = 0) bestimmt sind, ergeben sich somit hier aus der Gleichung — 4(2 wa — 9) (ua — 20) — pa — 1) _ 3 0, ad also aus Pee) und 2u AD + lu adt =0 . . (29%) Die auf / liegenden Doppelpunkte der Doppelkurve, welche durch (GC À 403 À Cy 63)? — C4 CaCa (ea + Ca + Ÿ = 0 angewiesen werden, ergeben sich demnach aus a (wa — 26) u + (ab — 1)(2 wa — OY ——> ES a == ae — = = SSS SS 0. [a also aus De == 00 und aut + Za (26 — Au + 19 Lw — — Jab (eb HB) —b (ab —1)—0. . (309 Hs ist leicht ersichtlich, dass die Lösung p — oo, welche den Punkt 4 liefert, weder für die einfachen Schnittpunkte noch für die Doppelpunkte Bedeutung hat. Es erhellt alsdann, dass auf 448 DIE CONGRUENZEN VON w'— c—2 w3, w'? — 013 UND w' — 03 w—2. / 2 einfache und 4 Doppelpunkte der Doppelkurve liegen, welche also zusammen 10 gewöhnliche Punkte vertreten. Da ferner jede durch / gelegte Ebene noch 6 gewöhnliche Punkte der Doppel- kurve trägt, so ist der Grad dieser Kurve 10 + 6 = 16. Also: Auf der avialen Regelfliche einer in der Ebene ¢ befindlichen Gerade liegt eine Doppelkurve 16 Grades. § 7. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Aaen legenden Gerade, welche durch O geht. Von der vorhergehenden Regelfläche wird nun 2 mal die Ebene [w| abgetrennt, wonach wir eine Fläche 8" Grades erübrigen. Die Kreispunkte sind jetzt Doppelpunkte; ihre Berührungsebe- nen werden durch (8’c) und (9’c) angewiesen. Die Gerade OO’ schneidet die Fläche 6 mal im Punkte O und einmal in den beiden Schnittpunkten XY, der Tangenten, welche man in den ausserhalb des Wendepunktes O liegenden Schnitt- punkten von / mit der kubischen Fokalkurve an letztere legen kann. Der Schnitt in [w] besteht aus der Kurve 4°" Grades, deren Gleichung lautet: (z° Us ) 23 —— b (a, ERA Lo) dr Loe 0 az) a D 4 oder bape? — (af + ua da) =0. . . (2) und aus ihren im Doppelpunkte O gelegten Tangenten x,” + di do + Ds — 0 5 jede 2-fach gerechnet. Der Schnitt in [w/] besteht aus den 2-fachen durch B’ gehenden isotropen Geraden und aus dem 2-fachen Kegelschnitte, welcher durch (a, ad b' a CAT ET (2, —— db 2) do > dj LE do oder a + a,a, + #7 — UO (a + m)a, + 0°27 =0 . (330) dargestellt wird. Dieser schneidet die unendlich ferne Gerade in den nämlichen Punkten wie die singulären Ebenen ay + dde JA = 0. DIE CONGRUENZEN VON w'— 62 w3, w'? —c1x3 UND w'—c3w—2. 449 Die Asymptoten treffen sich im Mittelpunkte di Lo Br ee 8 4 CT RE SE Der Punkt B ist ein gewöhnlicher Punkt. In Bezug auf B'/J ist die Gleichung EHUBDE B VEDE gy mi Er ij oder Se sa (Es sie ON (380) Hieraus folgt, dass die Tangente von B’ durch Soy ONS ee ote es sa (owe) bestimmt, somit zu der imaginären Axe parallel ist. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 8" Grades, welche in den Kreispunkten Dop- pelpunkte hat; ausserdem hat sie Doppelpunkte in den beiden durch u Jud + 2 = bestimmten unendlich fernen Punkten. Die Doppelkurve enthält jetzt den 2-fachen Kegelschnitt in [w”|. Es zeigt sich nach der Substitution a — 0 in (29c) und (300), dass jetzt die 2 einfachen auf 7 liegenden Punkte der Doppelkurve durch gE) unde = ©; und die 4 Doppelpunkte durch pi == © bestimmt sind. Die Lösung w =o, welche den Punkt O hefert, wird hinfällig. Die Lösung u = 0 liefert den Punkt B’, welcher dem 2-fachen Kegelschnitte angehôrt. Der übrige Teil der Doppelkurve hat also keinen Punkt mit 7 gemein. Da eine durch / gelegte Ebene aus- ser ihrer durch © gehenden Spur in [vw] nur einen Strahl ent- halt, so ist, ausser dem 2-fachen Kegelschnitt und den 2-fachen isotropen Geraden durch B’, von einer Doppelkurve gar nicht mehr die Rede. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. X. B 29 450 DIE CONGRUENZEN VON w’ = c-2w5, w’2=c-1w3 UND w' — 03 w—2. § 8. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Aven liegenden Gerade, welche durch O° geht. Von der Regelfläche des $ 6 wird nun 2 mal die Ebene [w'] abgetrennt. Wir erübrigen also wiederum eine Restfläche 8" Grades. Auf dieser Flache sind die Kreispunkte uniplanare Doppelpunkte, deren Berührungsebenen die Ebenen (8c) und (9c) sind. Die Gerade OO’ schneidet die Fläche eixmal im Punkte O, 6 mal im Punkte O’ und eiama/ im Schnittpunkte der Tangente, welche man in dem ausserhalb des Rückkehrpunktes 0° liegen- den Schnittpunkte von 7 mit der kubischen Fokalkurve an letztere legen kann. Der Schnitt in [w] besteht aus den 2-fachen durch 4 gehenden isotropen Geraden, aus der 2-fachen reellen Axe und aus dem einfachen Kegelschnitte (a, — an) ay” — (a, — aay) a == (). Li — Lo oder (7? + aide + 2?) — alan EL M); — 0. . . (260) Dieser Kegelschnitt enthält O und wird daselbst durch die ima- ginäre Axe berührt. Der Punkt 4 gehört der Kurve wicht an. Die unendlich fernen Punkte liegen in den singulären Ebenen. Der Schnitt in [w’] enthält die Kurve 6" Grades, deren Glei- chung ist | co 3 ASE 23) B —a a, — To) a By i (a, == Li — Lo oder a' (a,— LE) BD 2 We (as + 2) BLA (ur + Blad Re pine 0 > (3 6c) und ausserdem die Tangenten von O’, jede einfach gezählt. Der Punkt O’ ist ein 4-facher, von dessen Tangenten je 2 in einer der Spuren der singulären Ebenen oe? + aa, + a7 = 0 vereinigt sind. Die Kreispunkte sind Doppelpunkte. Der unendlich ferne Punkt Z der reellen Axe ist ein gewöhn- licher Punkt mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. DIE CONGRUENZEN VON w! =c—2w3, w'?—c1»3 UND w'—cèw-2. 451 Die eintachen Schnittpunkte der Doppelpunkte mit / werden jetzt (wo 6 — 0), durch 2 a die Doppelpunkte aber durch 8 3 geliefert. Die Lösing y — 0 giebt den Punkt O0". Dieser Punkt ist hier aber nicht zulässig. Auf / befinden sich deshalb ein gewöhnlicher und ein Doppelpunkt. Jede durch 7 gelegte Ebene enthält noch 4 Strahlen, also 6 Punkte der Doppelkurve, deren Grad demnach 8 + 6 = 9 ist. $ 9. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Aven liegenden und zw diesen parallelen Gerade 1,. Die Fläche ist vom 10°" Grade. Die in [w] liegende Kurve wird jetzt (w, — — «,; siehe (19), S. 443) durch RAR ceo (ie) tit OL Loe ee (SSC) dargestellt. Die Kreispunkte sind Riickkehrpunkte, deren Tangenten sich in O treffen. Der Punkt O ist ein gewöhnlicher mit der imaginären Axe als Tangente. Die in [w] befindliche Kurve hat (siehe (20c), S. 443) die Gleichung (a, — 2) ap 2) — Qu (ou + 2)a,2,¢$ + pia? = 0. (39c) Die Kreispunkte sind Rückkehrpunkte, deren Tangenten sich in O' schneiden. Der Punkt Z ist ein gewöhnlicher Punkt, mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. Der Punkt O’ gehort der Kurve nicht an. Die kubische Gleichung, welche die sich auf /, schneidenden Strahlen hefert, ist hier ene el aan, TUE) 452 DIE CONGRUENZEN VON w! =c-—2w3, w'2=c-1w3 UND w' — c3 w—2. Die Bedingung 2 (6, + C2 F3) — 9 (400 À C463 + C2C3) (on + Ca 4 63) + 27010263 = 0 gestaltet sich hier folgendermassen : Et 2 2p 27m re oder P == T3 0 . . . . . (43¢) wo 73 eine 3° Wurzel der Einheit darstellt. Es befinden sich also auf 4, 3 Punkte der Doppelkurve. Jede durch /, gelegte Ebene enthält deren ausserhalb 7, noch 6, wonach der Grad der Doppelkurve 3 + 6 = 9 ist. $ 10. Die amale Regelflüche eines Congruenzstrahles s. Die Restfläche ist vom 7'" Grade. Der Strahl. s ist auf ihrer Regelfläche eine 4-fache Gerade. Die Kreispunkte sind nun auf der Fläche gewühnliche Punkte ; ihre Berührungsebenen sind bez. durch Up= — 8303 + 8 ay und = 2» Ly = — 4%, + 84 7% bestimmt. Der Schmitt in [w] ist in die 4-fache Gerade OS ($== Spur von s in [wl) und in eine kubische Kurve ausgeartet. Letztere wird durch (8° LT Nees Sy" £5) En En + 28,8, (8 ay ai 8E) Bae (8,7 — 82) E53 a= + (Aer — 8,") 8 Er — (A5 — 8°) 8; El £5” + 2 81 8,(8;?-— 8") £57 = 0 (Ade) dargestellt. Die Kreispunkte sind gewöhnliche; ihre Tangenten treffen sich im Punkte Vy _— oe on V3 ; (45e) Vo = = So d3 , DIE CONGRUENZEN VON w' = c—2u5, w’? —=c 1x3 UND w'—cuw2. 453 welcher, zusammen mit S, der Spur S’ von s in [w’] entspricht. Der dritte unendlich ferne Punkt ist der Punkt sE — 8) &, 05 d.h. der Punkt 8, im Unendlichen auf O'S’; die Tangente dieses Punktes geht durch S. Der Punkt & selbst gehört der Kurve wicht an. Der Punkt O ist ein Doppelpunkt; seine Tangenten sind die zwei Bilder der Gerade O’S,, welche O' mit dem unendlich fer- nen Punkte #, auf OS verbindet. Der Schnitt in [w’] besteht aus den einfachen durch 8’ gehenden isotropen Geraden, aus der einfachen Gerade O'S’ und aus einer Kurve 4" Grades, deren Gleichung ist [sisa (828, — 8450) + |82(sy’— 2 8°) Er 8 (8; — 285") El Er 288,862? — == 81°85 (8, Ë == 7) (S2° Eo ar Ei) En ==. (OE) Die Kreispunkte gehören dieser Kurve zicht an. Die unendlich ferne Gerade schneidet die Kurve 4 mal im Doppel- punkte Si. Der Punkt S” ist ein gewohnlicher; seine Tangente ist die axiale Projektion aus s auf [w | des Punktes (456). Der Punkt O° ist ein Rückkehrpunkt, dessen Tangente das Bild von OS, ist. Der Schnitt mit einer zu den Abbildangsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 7‘ Grades, welche im Schnittpunkte #, von s mit w, einen 4-fachen Punkt hat. Die Kreispunkte sind gewöhn- liche. Der Punkt S, ist auch ein gewöhnlicher; seine Tangente verbindet S, mit #,. Der Punkt #, ist ein Rückkehrpunkt, mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. Bei der Untersuchung der Doppelkurve bemerken wir, dass die Gleichungen s, (7,) = 0 und s, (zr) = 0 jetzt die folgende Form haben: 84 (T4) = psp mi + (2 ws? — 1)74 + (us — Ue, — 0, (470) 8 (To) = PS? TS + (2 us — 1)7, + (us — 2)8, = 0. (480) Die Schnittpunkte von s mit der Doppelkurve, welche durch (a + 6)" Gy — Oe (4 &)* = 0 bestimmt werden, ergeben sich also hier aus [4 — 100 und 454 DIE CONGRUENZEN VON w' —=e-2w3, w?—c-1»3 UND w'—c3w—2. Aere WA (EP eu — 2 — Du DE Weil die Lösung x — @ (welche den Punkt 8 liefert) nicht zulässig ist, so giebt es auf s 2 gewöhnliche Punkte der Dop- pelkurve. Auch die beiden Brennpunkte sind als solche zu betrachten. Im Ganzen befinden sich daher auf s 4 Punkte der Doppelkurve. Da jede durch s gelegte Ebene noch 3 andere Strahlen trägt und also 3 Punkte der Doppelkurve enthält, so ist der Grad dieser letzteren 4t3=7. Auf der Regelfläche eines Congruenzstrahles s liegt eine Doppel- kurve 7°" Grades, mit s als. Quadrisekante. $ 11. Die axiale Regelfläche einer in der Kbene der reellen Aven liegenden Congruenzstrahles. Die Regelfläche ist vom 4°" Grade und trägt s als Doppel- gerade. Die Kreispunkte sind gewdhuliche, ihre Bertihrungsebenen sind durch À —2 La = — st, + 82, Cy = — SU, =| TE y angewiesen. Der Schnitt in [w] besteht aus der 2-fachen reellen Axe und aus dem Kreise Ebo 2 Ole; 4 Saou 8S 65 SOL, cs ICONE dessen Mittelpunkt im Punkte &, — 2, — — se, liegt. Der Kreis enthält den Punkt OQ und wird daselbst durch die imaginäre Axe berührt. Der Schnitt in [w’] ist zusammengesetzt aus den beiden durch S’ gehenden isotropen Geraden und aus einem Kegelschnitte s*(&, — E) — 28°(&, = Ae 6, == 0, CAES, Diese Kurve berührt die unendlich ferne Gerade im Punkte Z. Sie ist offenbar eme Parabel, deren Axe mit der reellen Axe iden- tisch ist. Der Schnitt mit emer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine circulare Kurve 4‘" Grades, deren Brennpunkt sich befindet im Schnittpunkte von ©, mit der Gerade a= 27, — = — 83 + 57%, DIE CONGRUENZEN VON w’ — ec ?2w3, w?— c—1 3 UND w =c3w-2. 455 Die Kurve berührt noch die unendlich ferne Gerade auf der reellen Axe. Der Schnittpunkt #, von s mit w, ist em Doppelpunkt. Die Gleichung s(7)—0 hat hier diese Gestalt : sm) = ps’? + (2 us" — 1) 4 + (ws? — 2)s = 0. Die Schnittpunkte von s mit der Doppelkurve werden durch die Bedingung CG 0", also hier durch 2 ps? — 10 oder Il Free à se geliefert. Die Doppelkurve hat also nur einen Punkt mit s gemein. Da jede durch s gelegte Ebene nur noch 2 Strahlen, daher nur einen Punkt der Doppelkurve trägt, so ist die Doppelkurve ein Kegelschnitt. § 12. Die axiale Regelfläche einer in der Abbildungsebene |w| legenden Gerade lo. Die Fläche ist’ vom 5" Grade und trägt / als eine e/nfache Leitlinie. Die Kreispunkte sind Doppelpunkte, deren Berührungsebenen zunächst in Betracht kommen. Es möge Z die unendlich ferne Gerade in Z,, die isotropen Geraden OJ und O7 bez. in Z, und Z, schneiden. Der Schnitt in [w] besteht nun aus der Gerade /, und aus den 2-fachen Geraden Z,/ und ZJ. Die Gerade /, werde durch at tt Ota 0. . . .: (96) dargestellt. Der Schnitt in [w’] ist zusammengesetzt aus der einfachen durch O' zu / parallelen Gerade O'Z, und aus der Bildkurve 4°" Gra- des von Ze. Diese Bildkurve hat die Gleichung d 1 ey 72 we ay CAT + Lo V2 = a. Uy, == () > oder 456 DIE CONGRUENZEN VON w! = c— w3, w2?— c-tw3 UND wv’! = w—2. (a ads — Ui UU U Do) —44 a a, a0, = 0. (57c) Diese Kurve hat in den Kreispunkten Riickkehrpunkte, deren Tangenten die Bilder von ZZ, und JZ, sind. Es ist OQ’ ebenfalls ein Rückkehrpunkt; seine Tangente ist das Bild der durch O zu 7, parallelen Gerade OZ,. Die Berührungsebenen der Kreispunkte sind die Ebenen, welche IL, und JZ, bez. mit ihren Bildern verbinden. Der unendlich ferne Punkt Z, von / ist auf der Fläche ein gewohnlicher, dessen Berührungsebene / mit O’ veremigt. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine Kurve 5°" Grades, welche in den Kreispunkten Rück- kehrpunkte hat, deren Tangenten die Schnittlinien von w, mit den Berührungsebenen sind. Der Punkt Z, ist ein gewohnlicher. Es ist hier 2 — 1, wonach sich auf Z kein Punkt der Dop- pelkurve befindet. Weil jede durch / gelegte Ebene 6 Punkte der Doppelkurve trägt, so ist diese vom 6" Grade. $ 13. Die axiale Regelfliche einer in der Abbildungsebene [w] liegenden Gerade lx, welche durch O geht. Es sel L, = he, die Gleichung der Gerade Zo. Die Gleichung der axialen Regelfläche ist nun (siehe (1444), S. 307) (ka, — 2) (h Po, — 2) — (hk ar, — 0, oder KP (ha, — ay) (a, — ha) — (hk? — lag a, = 0. . (58e) Die durch 2, — la — 0, 23 —0 dargestellte Bildgerade 7° von J, ist die Doppelgerade dieser Aubi- schen Regelfläche. Die Gerade Zo selbst ist die eixfache Leitlinie. Die Ebene [w] enthält ausser /„ noch die 2-fache Gerade d.h. die durch O zu der Bildgerade / parallel verlaufende Gerade; DIE CONGRUENZEN VON w! =c-2w3, w2—c—-1w3 UND w'—cw-2. 457 diese ist offenbar eine Zorsallinie. Der zugeordnete Zwickpunkt ist der unendlich ferne Punkt Z; auf /; der Torsalpunkt ist O. Die durch OO’ und 4, gelegte Ebene ha, mn lo —= 0 a hat mit der Regelfläche die Gerade 7. und 2 mal die durch O' zu l parallel verlaufende Gerade gemein. Letztere ist demnach die zweite Zorsallinie. Der entsprechende Zwickpunkt ist O'; der Torsalpunkt ist mit dem unendlich fernen Punkte Z, von /. identisch. Eine zu den Abbildungsebenen parallele Ebene enthält eine kubi- sche Kurve mit Zj als Rückkehrpunkt und XZ; als Rückkehr- tangente. Die Kurve hat noch einen Wendepunkt in Z, mit X,, Zo als Tangente. Die axiale Regelfläche einer in [w'| liegenden Gerade, welche durch O' geht, besteht aus diesen 2 kubischen Regelflächen: Æ (ha, ae Lo)” (@, mp Vik do) + (Æ Vi EN 1} da DE = 0 und hha, — a (4 + V km —kV E+ 1¥ 2,02 = 0. Ihre Eigenschaften sind denen der vorigen Regelfläche analog. § 14. Die axiale Regelfliche der zu [wl gehörenden reellen Axe. Diese Fläche besteht aus der 3-fachen Ebene der reellen Axen. Die axiale Regelfläche der zu [w'| gehörenden reellen Axe ist zerfallen in die 3-fache Ebene der reellen Axen und in die kubi- sche Regelfläche oa + 2) — Saga = 0. § 15. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen. Die Fläche ist vom 18" Grade und trägt den Kreis als eine 9-fache Kurve. Der Kreis môge durch ant, ae Pire 2) re Buts + ds) Holds Hari) = 0, | (29) Dz MEL (60) dargestellt werden. Wir benutzen wiederum die folgenden Bezeichnungen : 458 DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2w3, w?2—c-1x3 UND w' = ce w-2. Yo = 4, Yo = Mas, Yo — Ka, V1 = Mas — ed, Yo = Ms RB; — à 2, , ey yi = pe (pe, Bs — af), Yo = Bee, Bs — af), Ys = WH — 43 Py. Die Ebene [w] enthält eine Kurve 6" Grades und 3 zweifache durch jeden der Kreispunkte gelegte Geraden. Die Kurve ist gegeben durch Yo war + N'a ad Yq Baye, Yo Wy 5 À Yo (M1? 4-22) BY + + Vrai ts Yates {Yol =O. . . (6209 Die Tangenten der Kreispunkte sind durch Yo be + Ya do ay + Yo ts =O Ge und Yo te + Ve Oe ay Le = Oe AEN angewlesen. Diese Gleichungen bestimmen ebenfalls (siehe (61)) die Schnitt- punkte der Kurve bez. mit den isotropen Geraden OJ und OZ. Die Geraden (63c) (bez. (64c)) haben im 3-fachen Punkte J (bez. J) 4 Punkte mit der Kurve gemein und berühren diese noch in den Schnittpunkten mit OJ (bez. OZ). Der Schnitt in [w'| besteht aus einer Kurve 12°” Grades und aus 3 einfachen durch jeden der Kreispunkte verlaufenden Geraden. Die Gleichung der Kurve 12%" Grades lautet: sd 3 3 Sy ae me ay DE LA À ya aa is ae a En a Yo Ge ee Nec 10 EX due 22 De ya —=0 a . ee oder ETATS DTA Ten VoH Yai) — (Yo 24 + V2 8) Halo at Ya | ay Yo 241 As Ve Va Von) Hint — 0 OP (66e) Die Tangenten in den 6-fachen Kreispunkten ergeben sich aus 2 12 € , (Yo, + YA) do — Yo ® = 0. . . . (630) und (Yo, + Vrai) MH — Yo A =O or (GR DIE CONGRUENZEN VON w’ =c-2w3, w?—c1»%3 UND wv’ —cw-2. 459 Diese Gleichungen liefern (siehe (61)) auch die Schnittpunkte der Kurve bez. mit den isotropen Geraden O'7 und O'Z. Diese Punkte sind alle gewöhnliche Punkte und haben die isotropen Geraden als Tangenten. Die Geraden (63'c) (bez. (64'c)) haben im 6-fachen Punkte 7 (bez. /) 8 Punkte mit der Kurve gemein und enthalten noch die Punkte, wo die Kurve die Gerade 0'J (bez. O'T) schneidet. Auf der Fläche sind die Kreispunkte 9-fache; von ihren Berüh- rungsebenen sind je 3 bez. mit den Ebenen (Yo 718%) (Yo & + Vis) + Yo (es — me) = 0 . (670) und (Yo®s E Yot) (Yo 1 + Vas) + Yo (3 — Pay) = 0 . (680) zusammengefallen. Diese bilden bez. die Regelfläche der Strahlen, welche auf den durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufenden isotropen Geraden ruhen. § 16. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu der Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt auf OO" liegt. Wir haben nun Gri a 0 Bi=05 2 —0 einzusetzen, wonach der Kreis durch ts Bs a, + Bts + a,PR,a,°>—0, | . . (69) do = Ar | à e (70) bestimmt 1st. Die in [w] liegende Kurve hat jetzt die Gleichung Waes + - Vy By es Fw He) a, | ds —O0- (ite) 0 Die Tangenten der Kreispunkte, welche zugleich die Kurve zum Gesammtschnitte ergänzen, sind nun durch pos | Ba — 0 ° . . . B 5 (7 2e) po + B — 0 . . . . . . (730) angewiesen. 460 DIE CONGRUENZEN VON w'— c~-2w3, w'? —c 1x3 UND w'—= 63 w—. Die Gleichung der in [w’] befindlichen Kurve ist oren oS mar + Dr Te Enz oe + ee daa Hwa — 0, (7460) 0 oder Lea do (Yoda do + Yaa) — yo er Han HY UT — A un Vs die — US nt ee Die Tangenten der Kreispunkte ergeben sich aus BU di — 0, und a? cr Med — 0. Die Berührungsebenen der Kreispunkte an der Fläche sind pas + (es — pu) = 0, und pa? + (a — pa = 0. 4 17. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem zu den Abbildungsebenen parallelen Kreise ruhen, der OO schneidet. Es gilt hier a) — 0 , 5, — 1) > mithin Y3 = 0. Die Gleichungen des Kreises sind also dts (25a 2 + diese, + est) Hole Bars Haf) = 0, | (76) Di (77) Die in [w] befindliche Kurve hat nun die Gleichung Yo MP + Vi U vy’ vy À Yo U Lo ds + Yo (ri + ay") wy? + + aies + Na hs + YoRse = 0. . . . (180) Die Tangenten der De behalten ihre Gleichungen (63e) und (64c). Die in [w’] legende Kurve wird durch DIE CONGRUENZEN VON wo’ = «23. w'?—c 1x5 UND w'— c° w-?. 461 Votes 1404 1 Vota) — |l yo ar Vo wi) Haal yo tad V1 vd | H Yo & 4 P— — ál Ye, vo OE EE ESE) dargestellt. Die Tangenten der Kreispunkte sind auch hier durch die Gleichungen (63’c) und (64’c) angewiesen. $ 18. Die Regelfliche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene |w] legenden Kreise ruhen. Die vorhergehende Regelfläche ist zerfallen in 12 mal die Abbil- dungsebene [w] und in eine Fläche 6" Grades. Auf dieser Fläche ist der Kreis eine einfache Kurve. Es gilt hier u — », wonach der Kreis durch ds By By By, ds | Oy yg + dot = 0, peat (83) Cis MIE (CES) bestimmt. ist. Wenn der Kreis die isotrope Gerade OJ (bez. O7) in M, (bez. MZ) schneidet, so besteht der Schnitt in [w] aus dem gege- benen Kreise und aus den 2-fachen Geraden /M, und JM. Der Schmitt in [w/] besteht aus den einfachen isotropen Geraden Uy Uy bs U — 0 und 2 2 a di SE, a3 Vy, —— 0 und aus der Bildhurve A" Grades des Kreises. Diese Bildkurve hat die Gleichung 1 1 al 1 1 CA dy 2 do 2 —- UV, 3 Vy, 2 +- CA do a Vy, 7 + ay Dr == 0 ’ (8 Dc) oder 2 2 2 2, 212 2 ny [a Vds — by Uil a2 23%, + a3 Vy, ] nn À (do — it) Li Loi — 0. (86e) Die Kreispunkte sind Rickhehrpunkte, deren Tangenten durch 2 2 a Vs => ay Uy, —— 0 und 9 9 rp dy dy — ay U = Ù gegeben, sonach mit den Bildern von ZM, und JM, identisch sind. Die Bildkurve berührt die durch 0° gehenden isotropen Geraden 462 DIE CONGRUENZEN VON w' —=e-?w3, w'2—c-17%% UND w! —c3 w-2 in den Punkten, wo die Ausartungselemente diese Geraden treffen. Auf der Fliche sind die Kreispunkte 3-fache; von den Berüh- rungsebenen von Z (bez. /) sind 2 zusammengefallen in die Ebene, welche ZM, (bez. JM) mit ihrem Bilde verbindet; die dritte Ebene verbindet die in J (bez. J) an den Kreis gelegte Tangente mit ihrem in [w | liegenden Bilde. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene wy ist eine tricirculare Kurve 6'*" Grades. $ 19. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf einem in der Abbildungsebene \w] liegenden Kreise ruhen, dessen Mittelpunkt O ist. Man hat jetzt ay == 0 5 a, == 0 : wonach der Kreis diese Gleichungen bat: Adi da Hej — 0, | . . . . . (87) m0. | : : . See Die Regelfläche ist wiederum vom 6" Grade und trägt den Kreis als eine exfache Kurve. Der Schnitt in [w] besteht aus der 4-fachen unendlich fernen Gerade und aus dem einfachen Kreise. Die Fläche schneidet [w’] in der 2-fachen unendlich fernen Ge- rade und im 2-fachen Bildkreise des in [w] gegebenen Kreises. Die Gleichung des Bildkreises lautet Re VY do Er ae Bie = 0. . . . . . (8 9c) Der Mittelpunkt ist O’. Die unendlich ferne Gerade der Abbildungsebenen ist eine Dop- pelgrade der Fläche, Die Kreispunkte sind 3-fache ; von ihren Berührungsebenen fal- len 2 mit [w’] und eine mit [w] zusammen. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, besteht aus der 2-fachen unendlich fernen Gerade und aus einer circularen Kurve 4" Grades. $ 20. Die Regelfliche der Strahlen, welche ruhen auf einem in der Abbildungsebene [w] RÉ Kreise, der O enthält. Jetzt hat man AY UE DIE CONGRUENZEN VON w’ —=e-?w3, w'? —c 1x3 UND wv’ =cw-. 463 Der Kreis hat die Gleichungen Cs By By A Cy ay da À 0, 2a, — 0, ER (ED) Pi 0: eerd ALONE) Die Ebene [w] wird 2 mal abgetrennt. Es erübrigt also eine Fläche 4° Grades, welche den Kreis als eine einfache Kurve trägt. Der Schnitt in [w] besteht aus dem gegebenen Kreise und aus der 2-fachen Gerade, welche O mit dem Bilde des O vorange- henden Punktes verbindet, also aus der Gerade De di Re ay” M2 == 0. Die in [w’] liegende Bildkurve ist ein Kegelschnitt und wird durch (arm Lao, — aa, — Aar aaaz, — 0 . (93e) dargestellt. Er wird durch die Geraden 2 2 de do LA dr, == und u U ET as” U — 0 zu einem Gebilde 4°" Grades ergänzt. Diese Geraden schneiden bez. die isotropen Geraden OJ und O7 in denselben Punkten, wo die Bildkurve letztere berührt. Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene w, ist eine circulare Kurve 4°" Grades. SECHSTER ABSCHNITT. Funktionen, welche in Bezug auf ihre conforme Abbildung mit den parabolischen und hyperbolischen Congruenzen zusammenhangen. $ 1. Im vorliegenden Abschnitte werden wir eine Übersicht lie- fern über die Art und Weise, in welcher die Strahlencongruenzen bei der conformen Abbildung von Funktionen zu verwerten sind. Betrachten wir zunächst die einfachste Funktion, nämlich die lineare Beziehung w—=ywdb, wo y und 4 ree// gedacht werden. Wir setzen NS ya und erhalten somit w = y(w—2). Indem wir w’, w und a als Vek- toren auffassen, ist die reelle Grösse a ein der X-Axe der reellen Zahlen paralleler Vektor. Der Vektor (w—da) ist die Ge- rade, welche den Punkt a(x —= a, y = 0) mit dem Punkte w@= u, y = v) verbindet. Weil - eine reelle Zahl ist, so ist der Vektor w’ in der Ebene [w'] zu dem Vektor (w—a) in [w] paral- lel; dabei ist der Tensor von w’ dé en = das y-fache von dem ‘Tensor von (w — 4). FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN, U.S. W. 465 Demzufolge schneidet die Verbindungslinie ww’ die Verbindungs- linie 40° in einem solchen Punkte C, wofiir a0: OC =1:7. Hieraus ist sogleich ersichtlich, dass C ein fester Punkt auf der festen Gerade 40° ist. Jeder Congruensstrahl ww der Funktion w’ = 7 +4 zielt also nach diesem festen Punkte ©, welcher sich in der Ebene der reellen Axen befindet. Also: Die Funktion w=yw+t b wird vertreten durch einen Strahlenbiindel, dessen Scheitel C in der Ebene der reellen Aven liegt. § 2. Es handelt sich nunmehr um die Frage, wie eine nämliche Congruenz zur Abbildung mehrerer Funktionen dienen kann. Es sei 4 der Abstand der Ebenen [w] und [vw’]. Wir legen eine Ebene [WW | parallel zu den Ebenen [w] und [w’], in einem Abstande pA von der Ebene [vw]. Ein Congruenzstrahl ww’ schneidet die neue Ebene | W] in einem Punkte W— Ui, und zwar so, dass zwischen den Vektoren w, w’ und W der folgende Verband besteht: W — w w] — = 9 I= ee wonach je W = po +(1—puw. . (1) Indem wir eine zweite Ebene | W”] / parallel zu [w] und [w'] legen, in / einem Abstande p’/ von [w], so gilt w) J für den Vektor des Schnittpunktes — W'—U + iV" dieser Ebene mit dem Congruenzstrahle ww’: ee P= 67 22 (Ep yw RN ©) Die Grössen w und w’ mögen durch die Funktion CeO oe ese al Jan (8) Verhand. der Kon. Acad. v. Wetensch. (te Sectie) DI. X. B 30 466 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND verknüpft sein. Alsdann sind auch die Grössen W und W' durch eine gewisse Beziehung PHW Oz einander zugeordnet. Die Gestalt der Funktion ® wird ermittelt, indem man aus den drei Gleichungen W = pw + (1—p)w, W'=pu + ( — pv, pa, w) — 0 die Grössen w und w’ eliminirt. Da aus (1) und (2) folgt Les de PIRE à PA Ce are Jaca ks pp so liefern (3) und (4) o(W, W)=9y : (ee er Setzen wir noch ze —& oe : US, Port PME wonach £ —= & oe ae aie Pam RS so verwandelt sich (7) in pW—pW' (pd —1)W—(p—1) Es Gel (4) (5) (6) (7) (8) (9) D(W, W)=qp(aW + — a) WW HL) W7. (10) Wir wollen nunmehr die Punkte W um eine Strecke d ver- schieben, wonach wir einen Punkt erhalten, dessen Affix WV durch WWI bestimmt ist; sodann wollen wir alle Vektoren # in demselben dns tell PES HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 467 Verhältniss y vergrössern, wonach wir zu Punkten gelangen, deren Affixen durch w= yW gegeben sind; im letzteren Falle haben wir also o—=y(W + 2) oder UW RES OE fa ac ADT) À Wenn wir in derselben Weise mit den Punkten w’ verfahren, so bekommen wir ein durch w= (W' Hd) bestimmtes Punktsystem 7’; im Letzteren hat man daher ES PAN AR eK a) Me 2 Die Ausdriicke, welche in (10) erscheinen, werden somit folger- dermassen umgeformt : =H) = LE —/ 4 aWt-(1—a)W = Sn lad —- (1 — od), Y ois ’ / 7 Le es 4 / IN Al RO me oe ED edt (1 —a)d). of he Indem wir jen ae TE he led (1 a) d| =e, 2 56 (13) a’ 7 les ñ 1 ! , ! rec y” == (i WI ze, | setzen, verwandelt sich die Gleichung (10) in p (a, 1) == (aw + bu’ + C, aw un Ow = c’) == (), (14) Hieraus ersehen wir, dass die Funktion p aus der Funktion p hergeleitet werden kann, indem die Veränderlichen w und w’ von p durch ganze lineare Formen dieser Grössen ersetzt werden. Die Gleichung p(w,w') — 0 möge auch durch die Kurve ver- B 30% 468 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND treten worden, welche durch diese Gleichung in den Cartesischen Coordinaten w, w’ dargestellt wird; diese Kurve wollen wir als das Diagram von (vw, w') = 0 bezeichnen. Wir können. alsdann Folgendes behaupten: Das Diagram von § (we, w)—=0 wird aus dem Diagram von g(&w,w) = 0 durch eine projective Transformation hergeleitet, bei der die unendhch fernen Gebilde im Unendlichen bleiben. Von dieser affen Transformation bildet die Verschiebung nebst Drehung einen besonderen Fall. In diesem Falle ist nämlich a= cos}, D= sing, a = sin 0, b= cos 6. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt werden, so setzen wir a= preost, b= — pr sind, c= pa, dB end? a= prsin§, = pr cos §, DEN Durch die Substitution dieser Ausdrücke in (14) gestaltet letztere sich in Po, ©) =p (7 cos 6 —r'w'sin 0 A), p (rw sin 0 + 1'w' cos 4 HM], wonach w = p (rw cos 6 — rw sin} + A), | w= p{r® sin 0 + r'W'cos6 +2). | | ge Der Übergang vom Diagram von g(w,w)— 0 zum Diagram von $(%,w') besteht also zuerst in einer Verkleinerung der Coor- dinaten w und w' bez. im Verhältniss 1 :p und 1: p’, sodann in einer Verschiebung (A, A’) und einer Drehung um 4, und schliess- lich in einer Verkleinerung der zuletzt erhaltenen Coordinaten bez. im Verhältniss 1:7 und 1:7’. Dies sind die Operationen, welche ein gegebenes Diagram in ein anderes umformen, das derselben Strahlencongruenz entspricht. In den Beziehungen (13) sind alle Grössen &, a’, y, y’, d und d’ reell gedacht, wonach auch a, a, 5, 6’, ce und c’ reell sind. Umgekehrt: setzen wir p, p, A, A, r,r und 6 als reell vor- aus, so werden auch a, 4, c, a, 6 und c’ reell sein; da ferner die Gleichungen (13) in &, @&, y, y, à und 2’ linear sind, so werden auch diese Grössen reelle Werte bekommen. Wir schliessen, dass jede reelle ‘Transformation (16) durch reelle Operationen mit den Abbildungsebenen und den in diesen befindlichen Kurven dargestellt werden kann. HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 469 Damit die Operationen mit den Abbildungsebenen und den in diesen befindlichen Kurven reell seien, genügt es, dass & und @’ reell sind. Wenn y und y’ complex sind, so bedeutet dies, dass eine durch den Punkt @ bez. mz’ beschriebene Kurve nebst ihrer ähnlichen Vergrösserung noch eine Drehung erfährt, während com- plexe Werte von d und 0 einer zu der Axe der reellen Zahlen mcht-parallelen Verschiebung entsprechen. Wir sind also im Stande mit einer Strahlencongruenz Operati- onen zu bewerkstelligen, welche imaginären Transformationen des Diagrams entsprechen (z. B. die Multiplikation einer Coordinate mit einem imaginären Faktor). Diese Eigenschaft ermöglicht uns aus dem Diagram ein anderes herzuleiten, welches zwar in rein geome- trischer, nicht aber in metrischer Hinsicht dem ursprünglichen Diagram verwandt ist. Betrachten wir z. B. die Ellipse und die Hyperbel, welche, auf ihren Axen bezogen, durch die Gleichungen a ant a en a bo a dargestellt werden. Es erhellt, dass wir die Ordinaten der Ellipse nur mit |/—1 zu multipliciren haben, um die Hyperbel zu erhalten. Dieses Verfahren wird aber jetzt ausser Betracht bleiben, weil die Anwendung dieses Prinzips für jede Art von Kurven eine andere ist. $ 3. Die Gleichung ¢ (w,w’) — 0 kann noch weitere Umstal- tungen erfahren, ohne dass die Strahlencongruenzen aufhôren ihre Dienste zu leisten. Zuerst bemerken wir, dass die Coordinaten % und # durch ge- wisse Funktionen in Coordinaten w, und #, übergeführt werden können. Wenn w und # der Beziehung pw, w)=plam How +c, aw +bw +c)—=0 genügen, so werden w, und #, durch die Beziehung 470 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Pr (Wy, 3) = paf (wi) + bf’ (es) be, df (wi) Hbf Wi) He ]—=0 (17) verkniipft sein. Um die conforme Abbildung dieser Funktion +, zu ermitteln betrachten wir zuerst eine durch die (complexe) Coordinate 7, beschriebene Kurve [w,|. Die entsprechende Bahn [7%] der Coordi- nate 7% ergiebt sich alsdann vermittelst der Congruenz w = f(w,). Wenn wir diese Bahn, nôtigenfalls nach Verschiebung, Vergrés- serung und Drehung, in die erforderliche Abbildungsebene (Paral- lelebene) der Congruenz 9 (w,w') — 0 legen, so werden wir die Kurve [#'] von #' (eventuell in verschobenem, verkleinertem und gedrehtem Stande) in einer anderen Abbildungsebene, jedoch in der nämlichen Congruenz, auffinden. Die Bahn [w'] von # wird schliesslich durch die Strahlencongruenz 7’ = /'(w,) in die Bahn Le] von w, umgestaltet. Es ist alsdann diese Kurve [w‚] in Pir, wi) = 0 der Bahn [w,], von welcher wir ausgingen, zuge- ordnet. Noch allgemeiner verfahren wir, wenn wir jede Funktion als die Beziehung zwischen zwei Abbildungsebenen einer anderen Funktion betrachten. Hs sei z. B. gegeben: dau, Ham Ha, bw, + 0% + 4) = 0, (18) mit dieser Beziehung zwischen w und %': g(aw How +c, aw+bw +e)—0. . . (19) Durch die Elimination von @ und w’ findet man die Beziehung V,@,,0,)=0, .. , 2 > SEEN welche noch allgemeiner als die oben hergeleitete ist. Wenn wir in diesem Falle die conforme Abbildung von W, (wi, 1) = 0 erörtern wollen, so betrachten wir eine Kurve [w‚ | als die Bahn der Coordinate w, Durch Verschiebung, Vergrösse- rung und eventuelle Drehung verwandelt sich diese Bahn in eine neue, welche in eine Abbildungsebene der Congruenz d (w, w’) zu legen ist; es befindet sich alsdann in einer anderen Abbildungs- ebene eine Kurve, welche nach Verschiebung, Vergrösserung (und Drehung) in die Bahn [w] von w übergeht. Indem wir nun diese Bahn [@], nötigenfalls umgeformt, in die Congruenz g(w,w)=— 0 legen, so finden wir in einer anderen Abbildungsebene, nach even- HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. AT] tueller Umstaltung, die Bahn [#] von #. Diese Bahn wird schliesslich mittels der Congruenz W’(w, wv’) = 0 in die Bahn [w‚| von w, umgeformt. Die zuletzt erhaltene Bahn ist sodann die Bildkurve der Bahn [w,] von w, in der conformen Abbildung der Funktion U, (w,, wi) = 0. Es leuchtet ein, dass wir in dieser Weise mit Hiilfe immer neuer Congruenzen fortfahren können. Das schwierige ist hierbei die gegebene Funktion 4, (w,, w,') = 0 so zu zerlegen, dass sie die Anwendung von Strahlencongruenzen einfacher Funktionen ermôglicht. $ 4. Im Folgenden wird nur von parabolischen und hyperbolischen Congruenzen die Rede sein; sie gehören, wie wir ersahen, den Funktionen an. Es wird sich zeigen dass wir mit Hülfe dieser Congruenzen die conformen Abbildungen einer ziemlich ausgedehnten Gruppe von Funktionen zu ermitteln im Stande sind. Wenn wir zuerst den allgemeinen Fall des vorigen $ ins Auge fassen, so sind, falls nw parabolische Congruenzen in Betracht kommen, den Funktionen W,U’ und ¢ die folgenden Gestalten zu verleihen vwwj=w wt = 0, W'(w, w') = wo” — vw” = 0, p(w, www = 0. Wir setzen voraus, dass immer die Bedingungen m>n,m>n, MSN erfüllt sind. Indem wir den Funktionen ~, U’ und ¢ in (18) und (19) die obigen Formen erteilen, finden wir fw, w)= (qu, +46 + aw)” — (bw, + 66 + 4)" = 0, (21) I (wo, @)= (a wi HAW Ha" — (Ge, HOW + 6))"= 0, (22) Fw‚w)=law db + 0" (adw bw +c)" =0. (23) 472 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Die Elimination von w und @ ergiebt im Allgemeinen eine Glei- chung vom Grade mm’ M in w, und w,’, d.h. es ist W, (w, wi) = 0 im Allgemeinen vom Grade #w M. Da m,m' und M alle grösser als 1 sind, so wird der Grad von &, durch eine Zahl mit drei Teilern angewiesen. Gleichungen, deren Grad unteilbar ist, oder nur zwei Faktoren hat, können somit in dieser Weise nicht ana- lysirt werden. Wir wollen deshalb nunmehr untersuchen, in welchen Fallen diese Methode einen Grad für , liefert, welcher weniger Faktoren enthalt. Zuerst setzen wir und ändern die Bezeichnungen der Coefficienten folgendermassen ab: Fi, 23,25) = (Pri + Zn psts)"—(4 SE A33 4523)" #5" "—0,(24) uF ‘(@ 2,245 A2 Br +p, di tps 25)" —(9 gtr +9 „Dit q PART “"=0,2 5) Fas,2,,2;)—(P. sta P + P 5) — (Que Vi Q:25)™. NOs 6) Wir betrachten jetzt 2,,2,,273,7, und a; als die auf das Fünf- zell X, X,X,X,X; bezogenen Coordinaten eines Punktes in einem vierdimensionalen Raume. In diesem Falle stellt f(x, ,æ;) — 0 einen Raum m'™” Grades dar, welcher aus Ebenen zusammengesetzt ist, die alle die Gerade X, X, enthalten. Die Ebene A (D= 1% + pat + P52; = 0, Q= VER + 733 +- Ws es = 0 ist eine z-fache Ebene dieses Raumes; sämmtliche Berührungsräume sind mit dem Raume (9) = 0 zusammengefailen. Die durch (p)—=0 und #,—0 bestimmte Ebene 6 ist eine (m — n)-fache Ebene, deren Berührungsräume alle in +, — 0 ver- einigt sind. Aus demselben Grunde stellt f'(x, a,, 23) = 0 einen Raum vom Grade m' dar, welcher besteht aus Ebenen, die alle die Gerade X, A3 tragen. Die Ebene A x (P)=h Bh 0, (g°)= ge & + u + Gs a; = 0 HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 473 ist eine, n' -fache Ebene dieses Raumes, deren simmtliche Berüh- rungsräume in dem Raume (4) = 0 vereinigt sind. Die durch (p') = 0 und a; = 0 angewiesene Ebene 0° ist eine (m’ —n’')-fache Ebene, mit &, — 0 als einzigem Berührungsraume. Schliesslich bestimmt / (a, a,, æ,) — 0 einen Raum 47° Grades, welcher aus Ebenen zusammengesetzt ist, die alle auf der Gerade X, X, ruhen. Die Ebene A i CNS ER ORR ad | (Q= Ae + Q a, + Wa — ist eine N-fache Ebene dieses Raumes, deren Berührungsräume alle im Raume (Q) = 0 zusammengefallen sind. Die durch (P) = 0 und x, = 0 bestimmte Ebene © ist eme (W—V)-fache Ebene, deren sämmtliche Berührungsräume in 2, — 0 vereinigt sind. Die Elimination von 2, und +, bedeutet in geometrischem Sinne eine Projektion aus der Gerade X,X, auf die Ebene X,X,X; der vierdimensionalen Kurve, welche die drei Räume / — 0, f =0 und F— 0 gemein haben. Die gemeinschaftliche Kurve ist vom Grade ww M. Wenn die Gerade X,X, nichts mit dieser Kurve gemein hat (wie im allge- meinen Falle), so ist der projizirende Raum und deshalb ebenso die in der Ebene X, XX, befindliche Projektionskurve vom Grade mm M. Wenn aber die vierdimensionale Kurve einige, entweder einfache oder vielfache, zusammen y einfache Punkte vertretende Punkte mit der Gerade X,X, gemein hat, so ist der Grad der Projek- tionskurve mm’ M—xp. Die Gerade XX, wird durch die Gleichungen 1 =) Lj = Ag = dy = 0 angewiesen. Indem man diese Ausdrücke in (24), (25) und (26) substituirt, erhält man Pa 3 = 0, Dral Lt tine Soll es einen Schnittpunkt der Schnittkurve mit X,Y , geben, so muss er durch eine der obigen Gleichungen bestimmt sein. 474 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Der Fall, wo allen Gleichungen identisch genügt wird, d.h. wo Da = Pr = Pz = P,= 0 ist, ist hier ausgeschlossen, weil alsdann die Gleichung F(a, 7, 7;) = 0 in die beiden Gleichungen 7,” ‘= 0 und (Q,2; + Qa + a)" = Pia", oder Qa, + Q,a, + + Q.a,—V/ Pr My — 0 d.h. in a¥-N—0 und N lineare Bezie- hungen zwischen v;, 2, und a; zerfallen würde. Es sind also die folgenden drei Fälle zu unterscheiden : I. der Schnittpunkt S ist durch ds = 0 bestimmt; man hat alsdann 0, —Oeund B Il. der Schnittpunkt S” ist durch Pr angewiesen; es gilt sodann pr Orund Pe "0; HI. Der Schnittpunkt S” ist durch | Ps fe + P,z, = 0 gegeben; es giebt alsdann die Bedingungen Onde: I. Im ersten Falle lauten die Gleichungen : "à (2,23, Ds) = (Ma — pairs + 55)" = (CA + {323 + 95) 5 TT = 0, ST (2, Bis Bs) = (Pz da + ps 2)" — (Yo to + ques + gs es)" a" — 0, Fes, vi, 25) =(P323 + Pa) — (Q325 + Q, dr + Q; 2)" PA = Ox Da weder /’ = 0 noch / = 0 die Coordinate a, enthält, so kön- nen diese Gleichungen auch die Flächen vertreten, in welchen die Räume /’ = 0 und # = 0 den Raum a, = 0 schneiden. Wir haben sodann zu erforschen, wie sich der Punkt X, als Punkt der Schnitt- kurve der Flächen f’ = 0 und F# — 0 verhält. Die Flache 7’ = 0 wird durch die Ebene #,— 0 in der (m'’—~n’)-fachen Gerade X,X, berührt; die Ebene 2; — 0 berührt die llen F0 imvder (M— N)-fachen Gerade X, X,. In der Nahe von X, sind die en folgendermassen umzugestalten : HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 475 n' nn pe pla = (a + qe tale)" 2, NOMEN Pia; + Poes = (Q523 + Qa + A; ve) ms Me MA Es erhellt, dass p, >, verschwindend klein wird wie g,”" a," , N a und dass Pz, sich der Null nähert wie Qa; M, Die Elimina- tion von #, aus n° mn! In’ mn Pa VL, == — Un (2 Vs und NME Pa = Q" a, ™ oO ergiebt alsdann eine Beziehung zwischen v, und 23, welche zu betrachten ist als die Darstellung der Projektion der Raumkurve auf a, 0 in der Nahe von X,. Die erwähnte Elimination liefert mv n' m M N M Lm nl m—n' PTE N ay Tie N à Bo N oR oder DT (M—N) Q, Nm —n De Lo m'(M- N) — M(m'—n' Oy (MN) Mn’) T3 Es ist jetzt die Frage, welche von den Exponenten w(M — N) und M (m'—vn’) der grössere ist; wir gelangen also zu zwei Fällen. A. m N > Mn, wonach m(M—N) < M(m'—2’). Der Punkt X, ist ein m’(M/— N)-facher mit 2 — 0 als Tangente. Auf der Raumkurve ist XY, sodann ebenfalls ein »(M/ — N)- facher Punkt. Die beiden Räume f— 0 und # = 0 durchbohren sich in einer Fläche, welche die Gerade X,X, als eine m/(M— N)-fache Gerade trägt. Betrachten wir jetzt den Schnitt des Raumes f= 0 mit dem Raume 2, = 0 (welcher zicht ein Berührungsraum ist), so finden wir für die Schnittfliche (3.23 + D525)” — (9323 + 954) 5" " = 0; diese Fläche besteht also aus m durch die Gerade X, X, gelegten Ebenen, deren keine die Raumkurve berührt, weil #,—0 die einzige Tangente in X, ist. Jede der m Ebenen hat in X, m(1/— N) Punkte mit der Raum- kurve gemein. Der Punkt X, ist also im Ganzen als ein mm (M—N)- 476 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND facher Punkt der in a, = 0 befindlichen Raumkurve, daher auch der vierdimensionalen Kurve zu betrachten. Im Falle A finden wir demnach fiir die Ordnung des vielfachen Schnittpunktes Y, von Y,X, mit der Schnittkurve bk = mm (M— N), wonach der Grad des diese Kurve aus X3X, projizirenden Raumes ist mmM — pu = mm M — mm (M—N) = mu NV. B. m'N < Mn, wonach m'(M — N) > Mm’ — 2’). Der Punkt X, der in a; = 0 liegenden Projektionskurve ist jetzt ein Mm’ —n’)-facher. Die Uberlegungen des vorigen Falles führen uns hier zum Schluss, dass die Ordnung des vielfachen Punktes X,, als Punkt der vierdimensionalen Schnittkurve betrachtet, ist B= mM (m' — 1). Demnach ist der Grad des projizirenden Raumes mm M — jp = mm M — mM (m' — nl) = mMr. II. Im zweiten Falle gilt | a 10 RE Nr Die Gleichungen der Räume sind nunmebr F2, U5) = pat + Da)" — (que + ques + ga) as" = 0, ST (2 ds &5) = (Pa dat Data Ds 25)" (goa Uy +95 5) as" ~" =0, nee Nr M Nice Fos, o,o) = (Pia + Ps v5)" — (Q3x3 + Qa Qs) as" Nl. Est ist X, jetzt ein vielfacher Punkt der vierdimensionalen Schnitt- kurve. Wir können die Betrachtungen des vorigen Falles ganz und gar wiederholen, wenn wir nur m’ und x’ bez. durch m und 2 ersetzen. Also: A. mN > Mn. Der Punkt X, ist ein m(M — N)-facher. Der projizirende Raum ist vom Grade min’ N. B. mN < Mn. Der Punkt X, ist ein #/(m—»)-facher. ~ > HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 4 Der projizirende Raum ist vom Grade m Mn. II. Der dritte Fall ergiebt px = 0 und p, = 0: Die Räume haben jetzt die Gleichungen: va (21, da, #5) = (Ziæ nn je (gi Uy Se 7303 == Y5 Cale os Ps vn Bs) = (pn + ps 8)" — (good Qu + gs U5)" a" = 0, Pas, 2, vj) = (Past Pray Pas)" (Gora Qa, + Ge) a "= 0. Die Gerade X, X, gehört in ihrem ganzen Umfang sowohl dem Raume f/=0 wie dem Raume / = 0 an. Es giebt wiederum zwei Falle, nl. A. | mn > mn. Die Gerade X,X, ist als Schnittlinie der beiden Räume eine mm’ —n')-fache; siimmtliche Berührungsräume sind mit +, — 0 zusammengefallen. B. mn mA. Die Gerade XY, X, ist eine #(#—x)-fache, deren Berührungs- räume alle in +, — 0 vereinigt sind. Weil der Raum Æ— 0 weder den Raum 2, — 0 noch den Raum a2 — 0 berührt, so schliessen wir, dass im Falle A der Échattpunkt S —0 mit A,X, (woftr gilt z, — 0, 4,0, —0, Pia; + Pia, — 0) ein mM(m' — n’')-facher Punkt und im Falle B ein mm’ M(m— n)-facher Punkt der vierdimensionalen Kurve ist. Der Grad des projizirenden Raumes ist also im Falle 4 mMn', im Falle B m Mn. Es sind hiermit alle Fille erledigt, wo eine Funktion W (w,, 5,17) = 0 durch die Elimination von 2, und a, aus den Gleichungen f= 0, 7 —0 und # = 0 erhalten ist. Wir ersahen, dass im allgemeinen Falle der Grad von Ÿ mm’ M ist, in besonderen Fallen aber wm’ NV, mMn', oder » Mn werden kann. 478 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Jedenfalls enthält, weil x, #° oder NM den Wert 1 haben kön- nen, die Zahl, welche den Grad anweist, mindestens zwei Faktoren. Gleichungen deren Grad unteilbar ist, können in dieser Weise noch ebensowenig zerlegt werden. M. a. W.: Wenn eine Funktion Wy, (w,, wi) a) von unteilbarem Grade gegeben ist, so kann diese nicht entstanden gedacht werden durch die Elimination von @ und w’ aus JG, D) = (at + ZB + ay)” — (6,0, + bw + bo) = 0, FT (wy ,@)= (aw + we + ay)" — (6/0, + 60 +6)" = 0, FORT are LÉ D (es wire denn, dass F(w, 2’) in M linearen Gleichungen zerfiele). Weil unser Hauptziel ist die Gleichungen zweiten und dritten Grades zu untersuchen, deren conforme Abbildung mittelst para- bolischer und hyperbolischer Congruenzen studirt werden kann, so werden wir, so bald wir nach der Elimination zu Gleichungen von teilbarem Grade gelangen, unsere Untersuchung abbrechen. Falls #— 0 eine lineare Gleichung ist, können wir mittelst ihrer @ in f =O durch w ersetzen, wodurch weder der Grad noch die Gestait von /” eine Anderung erfährt. Es handelt sich also darum, die Gleichungen f Ws, ©) = (us + AV + a)” — (bu, + 6% + 4)" =0, (27) f wy) =(ajuw, + dw Ha)" — (bw + 6 + by)" = 0 (28) zu betrachten. Zuerst wollen wir die Bezeichnungen abändern, indem wir setzen wodurch unsere Gleichungen sich verwandeln in: Sata) = (pet pat Pes)" UA Ys + gun) 2 "= 0, (29) SF (@253,04)= (pox! @. tps est CT ln CEE zeta) By" 0. (30) Die Fläche f= 0 ist ein Kegel mit X, als Spitze; die Glei- chung /’ — 0 stellt einen Kegel mit X, als Spitze dar. Auf dem Kegel f= 0 ist die durch HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 419 Pad Pts + Pit =O, 9) = ge + 93% + 1% = 9 gegebene Gerade 7 eine z-fache Kante, mit der Ebene (7) = 0 als einziger Berührungsebene. Die Gerade ¢ ((y)=0, a, — 0) ist eine (#—»)-fache Kante mit #, = 0 als einziger Berührungsebene. Der Kegel /’ = 0 hat die durch J (2°) = pr & € Pz ®3 + hau = 0, (g)=g % + 3 @3 + IN 2, = 0 bestimmte Gerade 7/7’ als eine wv-fache Kante, deren sämmtliche Berührungsebenen in (g) = 0 vereinigt sind. Die Gerade ¢’ ((#)) = 0, a = 0) ist eine (m’ — n’)-fache Kante, deren einzige Berührungsebene x, — 0 ist. Die Elimination von a; aus (29) und (30) bedeutet geometrisch: Projektion aus XX; (z. B. auf x, — 0) der beiden Kegeln gemein- samen Schnittkurve. Die Raumkurve, in der f — 0 und /’ = 0 sich schneiden, ist vom Grade mm’. Falls X} dieser Kurve zicht angehört, ist auch der projizirende Kegel vom Grade mm’. Durch die Elimination von D aus (27) und (28) erhält man also im Allgemeinen eine Glei- chung in w, und w, von feilbarem Grade; wir brauchen daher diesen Fall nicht weiter zu betrachten. Wenn X, beiden Kegeln angehôren soll, so muss die Bedingung D; = und p, = 0 erfüllt sein. Wir haben alsdann die folgenden Gleichungen zu be- trachten SF (@45 23,25) = (Dr + Did)" — (ge + 9323 + ge) ee" = 0, F'@, La, @3) = (Pr da À Pad)" — (ques À ges + Ga) a," == 0. Die Ordnung der Singularität von X, ist nunmebr A für mn’ > mn mm — à), B. » mn < mn m (m — 2), C » mn —= mh m (nm — n°) = m' (m — à). Da die Fälle 4 und B nicht wesentlich verschieden sind, wol- len wir uns nur mit den Fallen 4 und C beschäftigen. Im Falle 4 ist der Grad des projizirenden Kegels 3 / mn , 480 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND im Falle C ist dieser mn = mn. Bevor wir die Gleichungen f= 0 und /’ = 0 eingehender be- trachten, wollen wir zuerst die folgende Coordinatentransformation bewerkstelligen : ma + Pit =I; Pat + ML, = Yo, Le irae ET Uy = Ya» woher die Gleichungen diese Gestalt annehmen: I Gio = Ot (OH a C343 == Ys) Ya" = 0, (31) ACEP Y3> V4) = aH (C> Yo ae C3 Y3 + U) Ie op = 0. (32) A. mn > mn oder e is he n ñ ga" == (6% + C343 + AVW Hi oo err me m'n! Ia" = (Cryo + Csys + CI), ES MT re EN Die Elimination von y, ergiebt m mn nv mn om Om C3 yo (ci => CY) Y n | =} ye CR? Le VDI ai PACE oder m mn mmm! mn age C3, (et VAUT == eVa" I den C3 CP ROD (35) Es zeigt sich, dass der Grad dieser Gleichung ma’ ist, und zwar am leichtesten, wenn wir einen Strahlenbüschel durch die nicht auf der Kurve liegende Coordinatenecke Y,(y.—= 0, y, = 0) legen. Die Substitution . Va = AY: ergiebt me mn m m m el nn” — C3 (1 + Ca) Ys "== C3 Ry (CA = Cy) yn" s oder m m J mn Cs 4" = les (ny Fr CI) Iet GRA — e3 (Ca! A + ya > also HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 48] Je C3" Y1" = lez ap + (C3 on + 3 av — Gye, A— C36, ) Yi) IT mm Ein Wert von A bestimmt 7 Werte für A”, und ein Paar a (a, a”) liefert m Werte für y,:y,, wonach ein durch Y, gelegter Strahl mx’ Schnittpunkte mit der Kurve gemein hat. Die Gleichung (35), wenn geschrieben in der Form MT mt ay n ( > = | m—n Nee OM EN € BH HUNT Ce Yo À (Caen — CO) Hal In "—C3Yo" Ya —0,(36) me zeigt uns, dass die höchste Potenz von y, den Exponent — hat, ; n wonach Y, ein zn’ (- — a — (yon — m'n)-facher Punkt ist, des- i ñn sen sämmtliche Tangenten mit y, — 0 zusammengefallen sind; es hat diese Gerade in Y, mx Punkte mit der Kurve gemein. Unser Schluss ist, dass die Elimination von y, aus (31) und (32) eine Gleichung in 7,, #> und y, veranlässt, welche eine Kurve vom Grade mn’ darstellt, während die Gerade y, — 0 diese Kurve nur im einzigen ((ma’ —m'n)-fachen) Punkte Y, trifit. In der urspriinglichen Fassung lautet dieser Schluss : Damit eine Funktion di (w,, wi) = 0 vom Grade wn’ als durch die Elimination von @ aus ST (wy, ©) = (aw, + wy” — bw, + 6% Hb) =0, VAC DES (aw, + ay)" — (Or wr +- Um +60)" 0 entstanden zu betrachten sei, ist es nôtig (nicht ausreichend) dass mn >> mn sei, und dass das Diagram von U, nur den (mu — m'n)- fachen unendlich fernen Punkt der w’-Axe mit der unendlich fernen Gerade gemein habe. Von den Kegelschnitten kommen nur die Parabeln in Betracht, von den kubischen Kurven nur die, welche im Unendlichen auf der Axe der Ordinaten einen Wendepunkt oder einen Rickhehrpunkt haben, dessen Tangenten mit der unendlich fernen Gerade zusammenfällt. Wir wenden uns jetzt dem Falle C zu. | m mn’ C. mn = mn oder — = —. VI) VIM : Es sei p der grösste gemeine Teiler von # und x, p’ derjenige i; / NI 7 ; von # und ». Man hat alsdann Verhand. der Kon, Akad. v. Wetensch. (4e Sectie) Dl. X. Bes 482 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND MPM, NPV, if / / if m= f'n, Mp, HU IRN Ay He wo me einen unhebbaren Bruch darstellt. y Die Gleichungen (31) und (32) lassen sich nun folgendermassen schreiben : YP! — (ga + Cage + Yd) ga) = 0, GE — (Coo + CLI Coys)? YP UM 0, oder UO V Den + 6343 + Ys)’ gi =9,. . (87) Vins V1) (CoH + CsY3 + Gi) gi = 0. . . (88) Wir haben also y Gleichungen (37) mit py’ Gleichungen (38) zu combiniren. Unter allen diesen Combinationen, wollen wir nur die- jenige behandeln, wofiir pater ay ea Wir finden alsdann nach Elimination von y, (siehe (35)): Iz lv [4 la C3 Ys" —C3 (4 À Can) Ya” = C3Y2” — CaCa + CI) Ja ” > oder 7 72 lv U — cy’ + |— C3 C1/4 = C3C2 Yo + (¢3¢4 — Ca! Cy) à) HUE 0. (39) Diese Gleichung ist nach Rationalisirung vom Grade py. Durch die Elimination von y, aus (31) und (32) finden wir also, in der Annahme mn’ = m'n, pp Gleichungen (39) vom Grade py. Da wir im Allgemeinen solche Gleichungen, wie (31) und (32), wo m und x, oder m’ und x unter sich teilbar sind, ausser Be- tracht lassen, so handelt es sich um zwei Gleichungen (31) und (32), wo m—m = und #—# =y ( und v unter sich unteil- bar). Durch die Elimination von 7, ergiebt sich alsdann eine Glei- chung von der Form (39), welche eine Kurve vom Grade py darstellt. Die Schnittpunkte dieser Kurve mit y, — 0 werden durch HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 483 Kk Kk C3 Ya — 34) = 0, oder C3” me} yat = 0 bestimmt. Die Gerade y, — 0 hat also an y Stellen einen y-fachen Schnittpunkt mit der Kurve. Um das Verhalten dieser Schnittpunkte zu erörtern verlegen wir eine Coordinatenecke in einen dieser Punkte, setzen aber vorher / Cz — Valens C3 == oe, wonach (39) sich verwandelt in (4 [4 lv VAE Ya = YA y + AVN — Co Ya Yo (GV — 6, Yo) Ia) Ya? =O, oder 1 EE / yyy == GA 4 of + y 1) y y le, Ya — Co VA Yo +- fe—v an CAs C4 V2) Ya) Ya ” RER Jetzt setzen wir / Yi Ya = V2 Yo = Ya » und bekommen sodann eve!) Va y + yet + ue Va y ol -|- vry Dy, y »< (=o x ley yo ya — Cr yat À (Cry — en ya Yn ode Der Exponent der höchsten Potenz von y, ist nun entweder kv m— 1, oder u — y = 7 4 5 a) a > 1, oder 2 > 2y; es ist yal die höchste Potenz VON Yo. Der Punkt Y,’ (y = 0, y, = 0) ist ein v-facher, dessen simmt- liche Tangenten vereinigt sind in y, =0, d.h. in der Verbin- dungslinie dieses Punktes met Y,. Es hat diese Tangente in ihrem Berührungspunkte ~—y Punkte mit der Kurve gemein. B 31* 484 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND BV RL b) EC <1, oder, d < 2y; Tesisthys » die höchste Potenz von Yo. Der Punkt Y ist jetzt ein (mw — v)-facher, dessen Tangenten alle mit y, — 0 zusammengefallen sind; diese Gerade hat im Be- rührungspunkte » Punkte mit der Kurve gemein. €) ——— —= ], oder pg = 2»; also u — 2, y = 1, wonach (39) lautet : 12 1 ge Arr A ul VE ip C3 1 e3ga + \—C3 a À C3Co Yo + (C304 Cz alm =O, und demnach einen Kegelschnitt darstellt. Wir wollen diesen Fall nicht weiter erledigen, da wir zunächst die quadratische Gleichung eingehend erörtern werden. Die letzten Ergebnisse zusammenfassend, können wir behaupten, dass die durch die Elimination von y, aus (31) und (32) erhaltene Gleichung bei der Annahme m= m' =p, n= n =v eine Kurve vom Grade yy darstellt, welche für jz > 2v mit der Gerade y= 0 ja v-fache Punkte gemein hat, deren einzige Tangenten sich alle in Y, treffen und in ihren Berübrungspunkten je 4 — y Punkte mit der Kurve gemein haben, dagegen für vy < uw < 2v mit der Gerade y, — 0 w (p — v)-fache Punkte gemein hat, deren jeder y; = 0 als Tangente mit v-fachem Contakte hat. Übersetzen wir dies in die ursprüngliche Fassung, so folgt: Für Behandlung mit der Strahlencongruenz wf = w’ vermöge der Gleichungen (31) und (32) kommt in Betracht: 1° für uw > Qv ein Diagram vom Grade py, welches im Unend- lichen y v-fache Punkte hat, die sich aus einer Binomialgleichung ergeben, und deren Asymptoten alle nach dem Ursprung convergiren ; 2° für y <{ uw << 2» ein Diagram vom Grade uv, welches im Unendlichen y (pg — v)-fache Punkte hat, welche durch eine Bino- mialgleichung bestimmt werden, und deren sämmtliche Tangenten im Unendlichen liegen, und eine v-fache Berührung aufweisen. $ 5. Wir wollen jetzt die Darlegungen des vorigen $ nur auf hyperbolischen Congruenzen anwenden. Wir haben demnach den Funktionen ~, U’ und g diese Formen zu erteilen: V (w, wv’) = vw" wr — 1 — 0, Vw, vw’) = ww" — 1 Mig N A ll | y (w, w') =w —— HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 485 Die Funktionen /, f° und # erhalten somit die folgende Gestalt: ST (we, ©) = (Qu, Ham Ha)" bw, + 8% Hb)" —1=0, (40) SF ws B) (au + TE + ao)" (By wy + bw + byy"—1=0, (41) Fw w)= (am +60 + 0)” (amd bo + CN — 1 = 0. (42) Wir setzen voraus men, man, MEN. Die Elimination von @ und @ ergiebt im Allgemeinen eine Gleichung vom Grade (wm + x) (u + x) (M + N) in w, und w‚’, d.h. es ist d,(w,,«,) — 0 im Allgemeinen vom Grade (m + 2) (m’ + x)CM + WV). Der Grad ist sonach eine Zahl mit drei Teilern. Es handelt sich wieder um die Frage, in welchem Falle dieser Grad ernie- drigt wird. Wir bringen zuvor die Gleichungen (40), (41) und (42) in diese Form: Ste) =P + P33 + pis)" (que À 4303 À 9540)" — 2," =0, SE) = (pret pla, bps es)" (guest ques + 4s 2e5)"—a"t"=0, Pasi) = (Pars Pie, +P A5) "(Que st Qa Qx:) Ma eas) Es stellt f= 0 einen Raum vom Grade m + dar. Die Ebene (7, = 0, (p) = 0) ist eine m-fache und hat (y) = 0 als einzigen Berührungsraum. Die Ebene (@, = 0, (9) = 0) ist eine z-fache und hat (7) = 0 als einzigen Berührungsraum. Die Betrachtungen betreffende /’ = 0 und # = 0 sind völlig analog. Es fragt sich auch hier, ob die Gerade X,X, einen Punkt mit der vierdimensionalen Schnittkurve gemein hat. Der Raum / = 0 schneidet X,X, im (# + »)-fachen Punkt X,, wenn nicht 7, — 0 oder 9; — 0. Ist y, = 0, so ist X,X, eine m-fache Gerade von f — 0; 9: — 0, ergiebt X,X, als eine z-fache Gerade. nn man sowohl p, = 0 wie 9, — 0 hat, so kann f — 0 in We zohl py, = 0 gj 0) hat, | HA m + linearen Gleichungen 7,2, + 7,2, zerlegt werden. Der Raum /’ = 0 schneidet XX, im (w + w’)-fachen Punkt REP wenn nicht y, = 0 oder g, — 0. Hat man y, = 0, so ist XX, eine m-fache Gerade; g, — 0 macht X,X, zu einer #’-fachen Gerade. 486 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Ist. gugleich.y, — Ov und tg Ope so ast PO ee Gleichungen 75 2 + 75 #5 — 0 zu zerlegen. Der Raum F— 0 trifft X,X, M mal in S(P3as + P,x, = 0) und MV mal in 7(Q;2; + Qe, = 0). Ist P; =, so ist X, ein M-facher Punkt; für Q, — 0 wird X, ein N-facher Punkt; P, — 0 ergiebt X, als einen M-fachen Punkt; Q, — 0 macht X, zu einem N-fachen Punkte. Wenn 8 mit 7! identisch ist, so hat man P, 10, == Pon Setzen wir P;2, + Poa, — gs, so Ist Qz; + Q, a, —pyz, wonach die Gleichung #— 0 in M + N Gleichungen Ry; + Ra, = 0 zu zerlegen ist. Die Berührungsräume coincidiren niemals. Schneiden die Räume sich in X}, so sind die Bedingungen Ds 0 oder. — 0 und Pr 0 oder; 0 zu erfüllen. Die Combination p,—0, P; = 0 ergiebt X, als einen #47 (m' + n’)- fachen Punkt. Der projizirende Raum ist nun vom Grade (m +- 2) (at) Ha YM HN) Mt) 2’) = Ha N + nM +a). Diese Zahl hat mindestens zwei Faktoren. In derselben Weise finden wir, dass auch die anderen zu X, gehörenden Combinationen, und ebenso, dass alle zu X, gehören- den Combinationen Zahlen von mindestens zwei Teilern veranlassen. Wenn der Schnittpunkt mit S identisch ist, so ist dieser Punkt ein mm M-facher. Der projisirende Raum ist alsdann vom Grade (m +- 2) (m' +n’) M-+- N) — mm M, also mindestens vom 7'*" Grade. Auch dieser Fall findet deshalb für uns keine Anwendung. Wir schliessen daher, dass auch hier keme Gleichung von nie- drigerem Grade abzuleiten ist. Wir wollen uns deshalb mit den zwei Gleichungen fr, ©) = (qu, + 46 + a)" (bw, + 6% Hb)" — 1 —0, (43) f (wl, ©) = (a/v) + Uw Ha)" (b/w + 0m Hb)" —1—0 (44) beschäftigen, oder mit den homogenen Formen Lists) = (Dirt Pts tei)" (Its 4&4)" a), (45) f (2s 2, 2) — CNE NEO (CAS gs) a +" = 0. (4 6) “le te ‘ct de hd A ee à HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 487 Die Fliche 7 — 0 ist ein Kegel mit X, als Spitze. Die Gerade (() = 0, æ,— 0) ist eine m-fache Kante mit (p)— 0 als einziger Berührungsebene. Die Gerade ((7)= 0, x, — 0) ist eine z-fache Kante mit (9) = 0 als einziger Berührungsebene. Analoges ergiebt sich für 7 = 0. Die Schnittkurve ist vom Grade (w — x) (nm + x’) Wir fordern wiederum, dass X, auf dieser Kurve liege. Dann hat man die Bedingungen fs =) oder gs — 0), und Di — Orodet gar 0: Die Combination p, = 0, p; = 0 giebt X, als einen wm -fachen Punkt. Der projizirende Kegel ist alsdann vom Grade (m +- 2) (ul H- n°) — mm! = mn’ + m'a + an’. Behalten wir die Annahme men, mn, so leuchtet ein, dass die Combination y3 = 0, y; — 0 eine Pro- jektionskurve vom niedrigsten Grade liefert; dieser Grad is wenig- stens 3. Wir wollen diesen Fall eingehend betrachten. Fur ps — 0, y; — 0 lauten die Gleichungen: Fo 23, wa) = (Pa + Pat)" (Grey + 933 + qe) u == 0, SF (@a5 25, va) = (py do + pr U)" (oa + G33 + Gi a)" nr Die Coordinatentransformation Ae + Didi = hs Meo na =: bmm y = Vr verwandelt die obigen Gleichungen in die folgenden: jd (as Ya Uw) =H (am += C343 4 Cai) — gtr mn (A) F pasa 93) = 92" (Coa À 6393+ ay) — Ia "= 0. (48) Die Elimination von y, liefert 7 n C391 Ya 488 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND m m+n’ m mn mom : ER Dee / RE PC D +t lezer — C3€2 Yot (Ca €,— CC) Halm Yo” = 0: (49) Diese Gleichung stellt eine Kurve vom Grade mu’ + m'n Hun’ dar. Der Punkt Y, ist ein m’n-facher; seine Tangenten sind mit der Gerade y, — 0 zusammengefallen, welche in ihrem Berührungs- punkte Y, (x »')x Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Punkt Y, ist ein »#-facher, während seine Tangenten in der Gerade y, = 0 vereinigt sind; diese Gerade hat in Y, (m-—-2)a’ Punkte mit der Kurve gemein. Die Gerade Y, Y, schneidet die Kurve ausserdem x’ mal im Punkte mm ! / C3641 — C364. = 0, Yi = 0. a ve Dieser Punkt ist ein zz -facher; seine einzige Tangente ist durch Lu y / / C3491 — C302 a À (C5 Cu — 6304) Ys = 0 angewiesen; diese Gerade hat, falls w'x > ma’, in ihrem Berührungs- Punkte (u + 2’)a Punkte und falls mz’ < mn, (m + x)x° Punkte mit der Kurve gemein. Der Punkt Y, ist ein ww- oder ein wx'-facher, je nachdem mn < mn oder m'n > mn ist. mm À. mn mn, oder 7 A oa 2 der Punkt Y, ist ein m’n-facher; seine Tangenten sind in y, = 0 vereinigt, welche in ihrem Berührungspunkte Y, ma’ Punkte mit der Kurve gemein hat. LA We We B. mn > mn, oder — > —; n n der Punkt Y, ist em wa-facher; seme Tangenten sind in y, = 0 vereinigt, welche in ihrem Berührungspunkte Y, ax Punkte mit der Kurve gemein hat. (2 mn = Mn, oder — = — = - Wir nehmen wiederum an, dass % und y unter sich unteilbar sind. Die Gleichang (49) erhält diese Gestalt: & (ety CNE uk : 0 / ! / RE vy EE C31" Ye” eg Ia [es C191 — C302 Yat (cs — C5Cu Wal Ha = 0. (50) HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 489 Die Kurve ist vom Grade (24 + y) ». Der Punkt Y, ist ein w-facher; seine Tangenten sind durch (4 72 y Ld nj Ca — Cfa —=0, oder Cy Val mar CS volt — 0 bestimmt und demnach zu je » in y Geraden veremigt. Die Rech- nung weist nach, dass jede dieser Tangenten in Y, p(v + 1) Punkte mit der Kurve gemein hat. Die Gerade Y, Y, schneidet die Kurve noch im v’-fachen Punkte ! ’ Ca Cy Jar Cala Yo = 0,4, =O, dessen Tangente durch C3 a — C302 Ja + (C3 Cn — C304) In = 0 angewiesen wird, und in ihrem Berührungspunkte (4 + v)v Punkte mit der Kurve gemein hat. Indem wir unsere Ergebnisse kurz wiederholen, dürfen wir sagen, dass durch die Elimination von y; aus (47) und (48) eine Kurve vom Grade wx + wu + nn’ entsteht, welche in Y, einen mn-fachen Punkt hat mit y, — 0 als einziger Tangente, während diese Gerade in Y, (w’ + #)x Punkte mit der Kurve gemein hat, — welche in Y, einen ma’-fachen Punkt hat, dessen y, — 0 die einzige Tangente ist und in ihrem Berübrungspunkte Y, (m ++ x) x Punkte mit der Kurve gemein hat,— welche auf Y, Y; noch einen / c 5 at MU Wt an -fachen Punkt hat, dessen einzige Tangente für — > — (maw, ñ i ! ! mn m ana m 4 fir — << — (mw—+x)z, und für ——-, — - (uw + v)v Punkte mn D D y mit der Kurve gemein hat, — und welche schliesslich in Y,: — / We Wt : 5 i falls — > —, einen m’n-fachen Punkt hat, dessen einzige Tangente 1 1 in 0 ist und in Y, mit der Kurve mz’ Punkte gemein hat, — il TA 5 fans 5 J ; AME falls — < —, einen ##-fachen Punkt hat, mit y, = 0 als einziger À 1 ‘Tangente, während diese in Y, mit der Kurve #'x Punkte gemein / 7 ie nt 122 : , : B hat, — falls — — — — —, einen py-fachen Punkt hat mit u ver- mn y 490 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND schiedenen v-fachen Tangenten, deren jede in Y, mit der Kurve mv + 1) Punkte gemein hat. Oder, in der ursprünglichen Fassung : Die Behandlung mit den Strahlencongruenzen ww" — 1 und ww" — 1 vermöge der Gleichungen (43) ‘und (44) ist anzu- wenden auf: ein Diagram vom Grade mz’ +- mn + nn’, das im Unendlichen auf der w'-Axe einen w/x-fachen Punkt hat mit der w-Axe als ein- ziger Asymptote, während diese in jenem Berührungspunkte (u + n')a Punkte mit dem Diagram gemein hat, — das im Unendlichen auf der w’-Axe einen mn'-fachen Punkt hat, mit der w’-Axe als einziger Asymptote, welche in diesem Berührungspunkte (mm + 2)’ Punkte mit dem Diagram gemein hat, — das im Unendlichen noch einen : mm a an'-fachen Punkt hat, dessen Tangente fur — > — (w + xx, für hom UL , / m m Mm m : —<— (mw +n)a und fir —-=> |= ze (4+ v)y Punkte mit ” n n n y dem Diagram gemein hat, — und das schliesslich im Ursprunge: — o o [A m HAUTE } falls — > —, einen m’n-fachen Punkt hat, dessen Tangenten alle 1 1 mit der w-Axe zusammenfallen, welche in diesem Berührungspunkte , UZ 5 à We : mn Punkte mit der Kurve gemein hat, — falls — < —, einen n n mm -faehen Punkt hat, dessen Tangenten alle mit der w’-Axe zusam- menfallen, während diese in dem vorliegenden Berührungspunkte ; 5 ng einen 8 Mead ae. gv-fachen Punkt hat, von dessen Tangenten je v in 4 Geraden ver- einigt sind, welche durch eine Binomialgleichung bestimmt sind, und deren jede im Ursprunge (yv + 1) Punkte mit der Kurve gemein hat. mn Punkte mit der Kurve gemein hat, — falls $ 6. Wir wollen schliesslich gewisse Combinationen von /yper- bolischen und parabolischen Congruenzen betrachten. _ Es sind, bei drei gegebenen Funktionen f= 0, /’ — 0 und “— 0 zwei Voraussetzungen möglich, n.l zwei Funktionen para- bolisch und die dritte hyperbolisch, oder zwei Funktionen hyper- bolisch und die dritte parabolisch. Aus dem Vorhergehenden wird ersichtlich sein, dass in Bezug auf die Erniedrigung des Grades des projizirenden Raumes, die drei Funktionen f—0, /’ = 0 und #— 0 gleichbedeutend sind; wir haben uns also nur mit zwei Killen zu beschäftigen. | HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 491 Diese Untersuchung wird hier nicht eingehend beschrieben wer- den, weil sich dabei kein neues Moment darbietet. Es genüge zu bemerken, dass die vielfachen Ebenen der hyperbolischen Räume niemals mit denjenigen der parabolischen Räume den Berührungs- raum gemein haben, wonach die Singularität eines eventuellen Schnittpunktes auf X3X, immer von niedriger Ordnung bleibt. Diese Ordnung ist 2. B. mM(m'—n’'), oder m’ Muz), u.s.w. Der Grad des projizirenden Raumes ist jedenfalls noch immer eine Zahl mit mindestens zwei Teilern. Wir lassen demnach diesen Fall ausser Betracht und wenden uns dem Falle zweser Funktionen , einer Ayperbolischen und einer parabolischen, zu. Es sei gegeben fw, )=(aw H aw Ha)" Gw+be+6)"=0, (1 I (wy, 0) = (a(w + wo Ha) (Ge bw + by)" =0, (52 oder in homogener Form Les) (part Pata Pit)" (gra ge 3 no) —a,"*"—=0, (53) SF (@2583 85) = (Py Cops ts HP di)" —(Gx MAGs Est Qu ds "ay" —"=0. (54) Soll jede dieser Flächen den Punkt X, enthalten, so muss den Bedingungen P= 0 ? Ps = 0 oder den Bedingungen VE = 0 5 Ds, = 0 „genügt sein. Weil die Zahlen m und x gleichwertig sind, so dürfen wir uns auf einen dieser Falle beschränken. Wir setzen also voraus Pz = 0 > ps — 10! Durch Coordinatentransformation gelangen wir zu te] D 4 == a à AU BA Syta) =H aa + Ya + Ys)" — IH = 0, (55) FS (Yrs Ys) be (C7 + €343 À Cay) Ya" —0. (56) Die Elimination von 7. ergiebt VUE nr nt mo MN LUE GU Yo” + (c'e ga— C302 Yo (C'Cy— Caen) Val Ha Ya Chyi ” =0. 492 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Diese Kurve ist vom Grade ma + mn (weil > x und m>x ist, so ist der niedrigste Wert dieses Grades 3). Der Punkt Y, ist ein x (m' — n’)-facher; seine einzige Tangente ist y, — 0; sie hat in Y, mn Punkte mit der Kurve gemein. Der Punkt Y, ist ein w'-facher; seine éinzige Tangente ist #1 = 0, welche in Y, ma +- mn Punkte mit der Kurve gemein hat. Der Punkt Y, gehort der Kurve nicht an. Wir behaupten daher: Für Behandlung mit den Strahlencongruenzen ww" = 1 und w ==", vermöge der Gleichungen (51) und (52), kommt in Betracht: ein Diagram vom Grade mn’ + m'n, das im Unendlichen auf der w-Axe einen 7 (m’ —7’)-fachen Punkt hat, mit der unendlich fernen Gerade als einziger Tangente, während diese im vorliegenden Berührungspunkte m’n Punkte mit dem Diagram gemein hat, — oder das im Unendlichen auf der w-Axe einen ma'-fachen Punkt hat mit der w-Axe als einziger Tangente, während diese in ihrem Be- rührungspunkte mz’ + mx Punkte mit dem Diagram gemein hat. $ 7. Der Vollständigkeit wegen haben wir noch den Fall eizer Gleichung f — 0 zu erörtern, wo w durch w‚ ersetzt wird. Be- trachten wir zuerst die parabolische Gleichung F wy, w,!) = (aan, + d'un! Fa)" — bo, + Foi HI = 0. Das Diagram ist offenbar eine Kurve vom Grade m, welche im Schnittpunkte der Geraden aw, + a’w,' + a, = 0 und bw, + bw, + + 6)=0 einen z-fachen Punkt hat, mit letzterer Gerade als einziger Tangente, — und welche im unendlich fernen Punkte der Gerade aw, + aw, + a) = 0 einen (#—»)-fachen Punkt hat, mit der unendlich fernen Gerade als einziger Tangente. Dagegen weist eine hyperbolische .Gleichung, z.B. ST (wy, wi) = (a, Hawi + aq)” (bw, + bw + bo)" — 1 =0, als Diagram eine Kurve vom Grade # + x an,, welche im unend- lich fernen Punkte auf aw, + aw, + a = 0 einen m-fachen Punkt hat, mit dieser Gerade als einziger Tangente, während die Ge- rade bw, + dw, + 6 — 0 die einzige Asymptote eines z-fachen unendlich fernen Punktes ist. § 8. In den vorhergehenden Paragraphen haben wir die Frage erledigt, welchen Bedingungen das Diagram von W, (wi, w,) = 0 geniigen muss, damit diese Gleichung zu einer Erörterung mittels HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 493 emer oder zweier parabolischen oder hyperbolischen Strahlencongru- enzen geeignet sel. | Es leuchtet ohne Weiteres ein, dass wir das erhaltene Diagram noch um einen willkürlichen Betrag verschieben und jede der Coordinaten in einem willkürlichen sogar imaginären Verhältnisse vergrössern dürfen. Alle einem solchen Diagramme aufgelegten Bedingungen sind überhaupt einer Vergrösserung jeder der Coordinaten fähig, während bei der Coordinatentransformation von +, in y, das Prinzip der Verschiebung schon herangezogen ist. $ 9. Die Gleichung zweiten Grades. Wir wollen, auch im Folgenden, die verschiedenen Gleichun- gen der geometrischen Eigenschaften ihrer Diagrammen nach un- terscheiden. Statt w und w’ werden wir uns nachher häufig von 2 und y bedienen. Betrachten wir zuerst die Gleichung der Paratel. Es sei gegeben (az + by) + ae + by + 0 —= 0. Wir erkennen in dieser Gleichung unmittelbar die Form (aw + aw + a)" — (bw + bw Hb)" = 0 (siehe S. 492); wir benutzen deshalb die Strahlencongruenz kw = w’, wo der Faktor 4% der Homogeneiteit wegen eingefiihrt ist. Wir setzen nun Ber y=, da + dy + Cy = hw. Die Transformation 1 En by Ca deel Ped ate E A, by — ay by / dj Ca / —— Se = = 4 — F y an Ty 494 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARALOLISCHEN UND a, has ; . / b, — hbo ergiebt ar + hy =e, ale + by =w, wonach , Of w— bw’ LR Ay by) — a bo waw Y = 5 > Ay by — ay by oder ay by ay bo , do à | — b sp [2 > bo ESF. by bo =F bo bo CR by / / ! a bo dj b Soa ao do see A ey dj — Up ay — 4 dy — do Setzen wir noch dj bo do bo it do UN ar Q Bp ht 5) 7 = B > Der (00 a — dy — bh NUE CG a om ; ’ > ie » bo Er by a— a wonach LA 1 0 A b 7 b 1 P; ia > I TEA q; Lie 2/0 A — do so folgt æ = ag = pu + (1—p)w, g = Ry = qu +(— ge. In dieser Weise ist die gegebene Gleichung der Congruenz kw’ = w? angepasst. g Die hier angewandte Rechnungsweise wiirde scheitern, wenn die Grössen p und g unendlich gross wären, oder wenn eine der Grössen z und 3 unendlich gross oder null würde; die Bezie- hungen HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. bo — y — 0, a — Ui == 0, LA Mb) — ay by = 9 dürfen also nicht erfüllt sein. Die letzte Gleichung bedingt LA do a a hb à 495 sie würde besagen, dass die Gleichung der Parabel zwei parallele Geraden darstellte; dies ist aber ausgeschlossen. Den Gleichungens 6; 4 und a, =a, oder. dj — 46, und a, = ka, kann vorgebeugt werden, indem man einen anderen Wert für 4 wählt; auch hierin braucht also keine Schwierigkeit zu liegen. Beispiel. Man fragt nach der Bahn von y, wenn w die reelle Axe beschreibt. Aus / HA — 4% — Ë, A LA TOC, wo £ und « beide reell sind, folgt, dass auch 2 die reelle Axe beschreibt. Die Ebene von a” wird in der Hohe p# parallel zur Abbildungs- ebene [w] gestellt. Den Bezeichnungen in homogenen Coordinaten entsprechend , haben wir alsdann Vs h—z i he vy, 2 p kh == Die Ebene von y’ wird durch 2, — ya, = 0 angewiesen, wenn y sich ergiebt aus 496 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Diese Regelflache besteht aus der 2-fachen Ebene der reellen Axen, aus der einfachen Abbildungsebene [w] und aus der kubi- schen Regelfläche (siehe S. 126, & — 1,4 —— 1,4, — a, — 0) Ce) es — DH) — pe) (2a, — (a — paar) 0. Der Schnitt dieser Fläche mit der Ebene +, — yx, besteht aus der unendlich fernen Gerade und aus dem Kegelschnitte (@ — a) — 2 (v — pe)” (ans Hr) — (2 y — pr) (v — u) D — 0h der also in cartesischen Coordinaten durch vy 71 EE EDEL ne D Le) oder 3 Y =2m(e 1) dargestellt wird. Die Bahn von y” ist daher eine in Bezug auf die reelle Axe symmetrische Parabel. Die Transformationen y = By’ Le ae vergrössern diese Parabel gleichformig und verschieben sie längs der reellen Axe, wobei sie in Bezug auf diese Axe symme- trisch bleibt. Also: die Bahn, welche die Ordinate y beschreibt, wenn @ die reelle Axe durchläuft, ist aus einer in Bezug auf die reelle Axe symmetrischen Parabel, aus der reellen Axe selbst und aus der unendlich fernen Gerade zusammengesetzt. Wenn wir also in der Gleichung (q¢+hyytaethytoe= 0 die Abscisse + alle reelle Werte von + oo an durchlaufen lassen, so werden jedem Werte von a während einiger Zeit reelle Werte von y entsprechen, und zwar so lange, bis die 'langente der y-Axe parallel geworden ist; in diesem Augenblicke verlässt die Ordinate in ihrer complexen Ebene die reelle Axe und bewegt sich weiter lings einer Parabel. So bald 2 einen unendlich grossen Wert erhält, ist die Tangente HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 497 wiederum der y-Axe parallel geworden; die Ordinate verlässt sodann die Parabel und kehrt (lings der unendlich fernen Gerade) zu der reellen Axe zurück. Indem wir dieses Verfahren wiederholen, dür- fen wir die Ordinate, wenn sie zum zweiten Male die Parabel betritt, lings dem anderen Teil dieser Kurve fortbewegen, wonach sie abermals (längs der -unendlich fernen Gerade) in die reelle Axe gelangt. Bei dieser Wiederholung dürfen wir auch die reellen Werte der Abscisse den anderen reellen Werten der Ordinate zuordnen. In Fig. 1S (hinten angefügte Figurentafel) sind die entsprechende Punkte der Diagramparabel und der Bahn der Ordinate durch über- einstimmende Ziffern angewiesen. Jeder Punkt der Diagramparabel, d.h. jede Combination (+, #) wird natürlich durch einen Strabl vertreten; dieser Strahl umhüllt, sofern der reelle Teil des Diagrams beschrieben wird, einen Kegel- schnitt in der Ebene der reellen Axen; sobald der Punkt (+, y) aber den reellen ‘Teil verlässt, betritt der Strahl die kubische Regelfläche. Auch hierbei können wir dem Strahle eine stetige Bahn anweisen. Wir wollen jetzt die Gleichung des Mittelpunktskegelschnittes erledigen. Durch eine Verschiebung lässt sich der Mittelpunkt stets in den Ursprung verlegen. Wir werden auch ausschliesslich diese Lage betrachten. Es sei also gegeben ae + 2 byay + ey? + 0, = 0. Falls die Gesammtheit der quadratischen Glieder in reelle Fak- toren zerlegt werden kann, ist die Behandlung sehr einfach. Wir betrachten alsdann die Gleichung (ax + by) (ar + by) —? = 0, wo a, 6, d, 6 und c reelle Werte haben. Wir setzen nun det by = w, aa + Vy—=w", and können offenbar die Congruenz ww — c anwenden. Wir finden sodann Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. X. B 3 bo 498 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND bw — bw’ Die ab — ab — aw aw NZ 2 ab —4b oder om 2 — sl w+ cate w beb Aid bbs ab — dd —a a 4 —y= w Ww’. eS) ete: Tee} GER ICO ER Cure He res TN; —.0 a wonach — ia reg Aer TE so bekommen wir ax = pw + (1 —plw, y = fy — ge HU. Diese Zerlegung der gegebenen Gleichung wiirde scheitern, wenn eine der Grössen p und g unendlich gross wäre, oder wenn eine der Grössen « und B unendlich gross oder null würde; es gälte dann eine der Beziehungen | 0 —b=0, oder a -—a=—Q)0, oder ab’ —ab=—0. Diese letzte Bedingung ist aber niemals erfüllt, da sie ausdrückt, dass das quadratische Glied ein Quadrat ist. Die Gleichung # — 4 —0 oder a’—a=0O kann beseitigt werden, indem man z. B. der Gleichung diese Form verleiht: HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 499 a b ; ' 3 —-@+-y )(paxv by) — c’ = 0. G i) + poy Damit ist die Gleichung der Hyperbel zur Anwendung der Con- gruenz ww = c’ geeignet geworden. Beispiel. Man fragt die Bahn von + und y, wenn der Punkt (7, y) der Schnittpunkt ist der Hyperbel mit den reellen Geraden eines Strahlenbiischels mit reellem Scheitel P(X, Y). Um diese Frage zu lösen, wollen wir zuerst untersuchén, wie eine reelle Gerade durch eine Strahlencongruenz dargestellt wird. Die Gerade möge durch w = Yy(w— Up) angewiesen sein, wo y und w, reelle Grössen sind. Wir haben auf S. 465 gefunden, dass die lineare Funktion mit reellen Constanten durch einen Strahlenbündel vertreten wird, des- sen Scheitel C in der Ebene der reellen Axen liegt und zwar auf der Gerade, welche den Punkt W, (wofür w = w, gilt) mit O' verbindet. Die Lage von C auf dieser Gerade wird durch die Beziehung HNG 0 C= ay bestimmt. Ist w= X, w = Y (X und Y reell) ein der linearen Gleichung genügendes System, so muss der Strahl X Y nach dem Punkte C zielen. Umgekehrt, soll w = y (20 — 4) eine Beziehung sein, welche durch w= X,w' = Y erfüllt wird, so muss der Scheitel © sich auf der Gerade XY befinden. Das System (X, Y) weist in gewöhnlichen cartesischen Coordina- ten einen reellen Punkt P an, w’ = y(w— vo) eine reelle Gerade. Die Bedingung, dass (X, Y) auf der Gerade w’ = y(w — w) liegen soll, wird also ersetzt durch die Forderung, dass © sich auf XY befinde. Alle reelle Geraden w' =v (w — wo), welche sich in P(X, Y) treffen, werden also vertreten durch die Gesammtheit aller Strahlen, welche auf XY ruhen, oder auch: jeder, reelle oder imaginäre, Punkt Q (w= £,w —y), welcher mit P durch eine reelle Gerade verbunden wird, wird durch einen auf XY ruhenden Strahl dargestellt. B 32* 500 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Soll ein solcher Punkt Q(&,y) überdies einer anderen Kurve angehôren, so muss die Gerade £y zugleich ein Strahl derjenigen Congruenz sein, welche die Gleichung der gegebenen Diagram- kurve vertritt. Also: die Gesammtheit aller, reellen oder imaginären, Punkte einer gegebenen Kurve, welche mit P durch eine reelle Gerade verbunden werden, oder auch: die Gesammtheit aller Schnittpunkte der gegebenen Kurve mit dem reellen durch P gelegten Strahlen- büschel wird dargestellt durch alle Strahlen der zugehörigen Con- gruenz, welche auf der (in der Ebene der reellen Axen liegenden) Gerade XY ruhen. Es ist also unsere Aufgabe für die genannte Congruenz die axiale Regelfläche der Gerade XY zu bestimmen. Wir wollen jetzt dieses Prinzip anwenden auf die Congruenz von (aw + by) (d'r + by) — © = 0. Durch die Transformation ! ! æ Y l= — y= a Ÿ re wird diese Strahlencongruenz übergeführt in die von 4 2 INES Die Gerade XY verwandelt sich in die Gerade, welche den Punkt X’ der #’-Ebene (z= p#) mit dem Punkte Y’ der y-Ebene (2 = gh) verbindet. Diese Gerade XY” schneidet die Ebene [vw] in einem Punkte 4(w — 4) und die Ebene |[w’] in einem Punkte Bp ==-B Vermöge der herbeigeführten Substitutionen sind 4 und B durch Aa B=aX+UY bestimmt. Die axiale Regelfläche einer in der Ebene der reellen Axe lie- genden Gerade wurde auf S. 62 (Gl. (71)) abgeleitet. Wir haben in der dort gefundenen Gleichung (71) nur a durch 4 und 4 durch B’ zu ersetzen, und erhalten sodann die Gleichung der hier in Frage kommenden Regelfliche. Diese Gleichung lautet : HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 501 | B 5 Ars Be, ALT TE 1 INET } le 5 | Teed > A CALE) > À d3 » UT B Vy — () 7 ETR) 3 ‚ dea, ‚Bu, , Av; | Aa; — Bw, > (a, Hr) — AL ks fi Av, + 2, MANETTES. Aa, == DD, oder, nach Reduktion: Vi dy att dat B’x,),0 ‚0 di Hay? (4: Bo) 5 Oy Vo 5 — 22; ñ 2 A( L 12,—B v,)@s =) , 0 , B , (Arts Bo, UA m- UAB 2 ti , 0 ) —( Aas B), SL LD Bo +(a +@y)(A’v3+a4)— ZALA wr ABU) Die Bahn von 2 befindet sich nun in der Ebene dz — MU; wenn ed, Drin die Bahn von y liegt in der Ebene LA == VL, 5 wenn Indem wir diese Werte für +, in die obige Gleichung einsetzen und ausserdem ov NY + Vs = TT C 21y | Wol ae C / dij = (= p oder g) setzen, bekommen wir die bez. durch # und y’ beschriebenen Kurven. Beide sind drcirculare Kurven A“ Grades mit einem Doppelpunkt. Dieser Doppelpunkt C,, bez. C,, ist der Schnittpunkt der Gerade 45’ il 502 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND mit der Ebene von a’, bez. y’; er befindet sich auf der reellen Axe. Die beiden Kurven sind symmetrisch in Bezug auf die reellen Axen. Die Bahnen von + und y zeigen dieselben Eigenschaften. In Fig. 19 (hinten angefügte Figurentafel) sind dargestellt : a) die Gerade AB’ mit der Fokalellipse in der Ebene e, 6) die Diagramhyperbel mit den Transversalen durch P, c) die Bahn von a’, d) die Bahn von y’. Die entsprechenden Punkte dieser Figuren sind durch die näm- lichen Zaffern angedeutet. Im Allgemeinen ist ein imaginäres y einem imaginären + zugeordnet. Wenn y’ im Doppelpunkte C, seiner Bahn die reelle Axe trifft (also y’ reell ist), so ist die durch P gelegte Gerade senkrecht zur. y-Axe. Zu diesem Werte von y gehôren zwei imaginäre Werte von 2’. Die Bahn von a’ hat einen isolirten Punkt C,; dieser entspricht derjenigen durch P gelegten Gerade, welche auf der z-Axe senk- recht steht, und deren Schnittpunkte mit der Hvperbel somit die- selbe Abscisse haben. Auch hier dürfen wir sowohl 2 wie y einer stetigen Bahn fol- gen lassen. Die reellen Schnittpunkten werden durch die den Fokalkegel- schnitt umhüllenden, in der Ebene der reellen Axen liegenden Strahlen vertreten. Sobald der Scheitel C des eine durch P gehende Gerade dar- stellenden Strahlenbiindels in seiner Bewegung längs 42° innerhalb des Fokalkegelschnittes gelangt, giebt es aus C keine reelle Tan- genten an dieser Kurve. Im Augenblicke, wo C den Fokalkegel- schnitt trifft, verlässt der Strahl die Ebene der reellen Axen und betritt die biquadratische axiale Regelfläche von AB’. Wenn der Punkt P innerhalb der Diagramhyperbel liegt, so liefert jede durch P gelegte Transversale zwei reelle Schnittpunkte ; die Gerade 4B’ liegt alsdann in ihrer ganzen Ausdehnung ausser- halb des Fokalkegelschnittes, sodass aus jedem ihrer Punkte zwei reelle Tangenten an diese Kurve zu legen sind. Die axiale Regel- fliche von AB’ ist alsdann maginär, wonach auch die durch w und y beschriebenen biquadratischen Kurven verschwinden. Wir wollen uns nunmehr der Erorterung der Gleichung einer Ellipse zuwenden. Wir bringen sie in die Gestalt a + 2 cos Bay + ÿ = oder HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 203 (w+ p@+e pe, und setzen noch a ery —— pia. | w+ ety = —w'; p wir sind also zu der Beziehung ww! = C° zurückgelangt. Für æ und y finden wir die Ausdrücke ei pw — eil pw HA — . . — usin 2 kl pw — pw J 27 sin 2 . Wenn wir mit den beiden Ausdrücken in derselben Weise ver- fahren wollten wie in den vorigen Fallen, so würden wir bei der Behandlung von 2 imaginäre Werte für p erhalten, welche doch für unsere Darstellungsweise unbrauchbar sind. Der Wert von g bei y ist aber reell; wir finden nl. Die Grosse 7 ist sodann aus 22 p sin de one Le bestimmt. Hieraus ergiebt sich bei gegebenem w der Wert für zy, welcher durch Drehung der ganzen y-Ebene um seinen Nullpunkt, durch : : Ste einen Winkel — 5, in den Wert von y verwandelt wird. Ist umgekehrt der Wert von y, oder die Bahn von y gegeben, se Ae . T so drehen wir diese(n) zuerst durch einen Winkel + — um den / Nullpunkt und vergrössern ihn (sie) nachher im Verhältnisse 1 zu 504. FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Wir erhalten alsdann den Wert oder die Bahn der Grosse Pear: , 2ipsinf jee ot rie re welche(r), in die Ebene z= gh gelegt, die ent- = sprechenden Congruenzstrahlen bestimmt und somit auch die Werte oder die Bahn von w (und w’). at Es handelt sich nun darum, die zugeordneten Werte oder die Bahn von + zu finden. Zu diesem Zweck ziehen wir zwei neue Veränderlichen 7 und 7’ heran, welche durch M= el W , © — ei w' bestimmt sind. Weil diese Grôssen auch der Beziehung ——/ 9 ww =C genügen, so haben wir uns mit derselben Strahlencongruenz zu beschäftigen, oder auch, indem wir die Grosse w in [w] durch te) ? eine Drehung um den Winkel — (2 durch die Grosse @ ersetzen, so stimmt in derselben Congruenz mit @ eine Grösse @ in der Ebene [w'| überein, welche der Beziehung mn . / D — ef w genügt. Es ist jetzt > bestimmt durch durch —Zipsi ee en ta Ce TE In der Congruenz mm — ce? finden wir alsdann in der Ebene 2 — ph für einen gegebenen Wert (Bahn) von % den entsprechenden 2 psin R Wert (Bahn) von 2; wenn wir diese(n) im Verhältniss 1 zu SU HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 505 Sh te T verkleinern und nachher die #-Ebene um einen Winkel + 5 & drehen, so erhalten wir den fraglichen Wert (Bahn) von a. Die obigen Uberlegungen lassen sich folgendermassen zusam- menfassen : Um zu einem gegebenen Wert (Bahn) von y den zugeordneten Wert (Bahn) von > zu finden, haben wir 1° den Wert (Bahn) von y im Verhältniss 1 zu ——— zu vergrossern ; ; : T 2° diesen Wert (Bahn) um einen Winkel + 5 zu drehen, wo- ~ nach wir den Wert (Bahn) der Grosse 7 erhalten ; 3° den Wert (Bahn) von y in die Ebene z = 94 zu legen, in der Congruenz von ww — €, und die Punkte (Bahn) zu bestim- men, wo die sich auf den Punkten y stiitzenden Strahlen (die Regelfläche der Bahn von y”) die Ebene [zw] schneiden ; 4° die Werte (Bahn) von # um einen Winkel — 3 zu drehen , wonach wir die Werte (Bahn) von 7% erhalten ; 5° die Strahlen (die Regelfläche der Strahlen) zu bestimmen, welche den Punkten 7% entstammen (auf der Bahn von 7 ruhen); 6° diese Strahlen (diese Regelfläche) mit der Ebene z= ph zu schneiden, wodurch die Werte (Bahn) von 2 sich ergeben ; T 7° die #-Ebene um einen Winkel + zu drehen, und die so ~ pate 2 psin 2 erhaltenen Werte (Bahn) im Verhältniss 1 zu —>——— zu verkleinern, wonach wir die Werte (Bahn) von 2 bekommen. Wir können noch über p verfügen; jedoch dürfen wir nicht p=-+ 1, oder p——1 setzen. Wir wählen p so, dass 2psinf 1 Beet EAN wonach p sich ergiebt aus der Beziehung p— 2psin B — 1 —0, also p—sinB +11 + sin’ B. OE AA ADS) Durch diese Wahl von p verschwindet die Vergrösserung und die Verkleinerung in den Ebenen von & und y. | 506 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND | Es erhellt, dass der Wert (58) von p unbrauchbar wird, wenn sin — 0 ist. Es ist dann aber cos (2 = + 1, wonach die linke | Seite der gegebenen Gleichung der Ellipse ein Quadrat wird, und die Gleichung somit in zwei lineare Gleichungen zu zerlegen ist. Wir bemerken noch, dass wir für p und g dieselben Werte erhalten haben; die Ebenen von # und y’ fallen daher zusammen. Wiirde diese Coincidenz eventuelle Schwierigkeiten veranlassen , so kénnen wir für p einen anderen Wert wahlen; wir dürfen als- dann für die Bestimmung von y den einen Wert (58) nehmen, und für die Bestimmung von « den anderen. Bevor wir zu einem Beispiel übergehen, haben wir noch zu untersuchen, in welcher Weise die Frage der Schneidung des Diagrammes mit den Strahlen eines reellen Strahlenbiischels in die- | sem Falle zu lösen ist. Der Scheitel des Strahlenbüschels sei durch REA = 04 angewiesen, wo X und Y reell sind. Die diesen entsprechenden Werte W und JV, sind aus pere Ve p Wy =A EE Rey bestimmt. Ein Punkt (@, y) der Ellipse wird in den Ebenen [w] und [w'| durch pw = a+ el? y pw wae | vertreten. Wenn dieser Punkt (&,y) mit dem Scheitel (XY, Y) durch eine reelle Gerade verbunden wird, so gilt die Beziehung y — Y = max — À), wo wm reell ist. Ubersetzen wir sie in eine Beziehung zwischen den Punkten der benen [w] und [w’], so finden wir REEN p (wo —W,)=—(1 + me Pe X), woraus sich durch Teilung ergiebt HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 507 pw W) 1 + mei LA == — == ev, p(w —Wy) l+me-i Hieraus folet, dass p(w — W) und p~'(w' — W,) gleiche Mo- duln haben. Wenn wir noch po = w,, pW = W,, | ! RL, De ho WR ed NN UN setzen, so bekommen wir mod (us — Wi) = mod (uw, — Wy). Ausserdem sind W, und WW, conjugirt complex. Aus diesen Bedingungen folgt nun eine Bahn für den Punkt w, und eine solche für den Punkt w,. Um diese Bahn zu ermitteln, legen wir zuerst die Ebene [7 | in die Ebene [w,]; überdies ersetzen wir jedes w, durch seinen conjugirt complexen Wert wy. Es fällt Wo mit W, zusam- men, also A eal ae Die Punkte w, und «, lie- gen nun mit dem Nullpunkt in einer Gerade und sind ihre gegenseitigen Inversionen in Be- zug auf den Kreis Y mit Ra- dius c. Bekanntlich sind zwei Punkte, welche durch Inversion in Bezug auf den Kreis Y zusammenhan- Fiz. 20. gen, zu betrachten als die Schnitt- punkte einer durch den Nullpunkt (Mittelpunkt von Y) Gerade mit einem Orthogonalkreise von Y. Die Bedingung gehenden mod (w, — Wi) = mod (vw, — W,) fordert nun, dass diese Punkte auch auf einem Kreise mit W, als Mittelpunkt liegen. Der geometrische Ort der Punkte w, und w,” ist somit der Ortho- gonalkreis von Y, dessen Mittelpunkt W, ist. 508 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Wir haben also den Ort der Punkte w, gefunden. Durch gleich- formige Verkleinerung im Verhältniss 1 zu p, mit dem Nullpunkt als Abnlichkeitspunkt, erhalten wir für den Ort der Punkte w den rie : Orthogonalkreis (w) des Kreises, dessen Radius — und dessen Mit- P telpunkt ist. Die Bahn von y’ erscheint nun als die Schnittkurve. der Ebene 1 neue. 5 ANA Tas p — sin B + V/ 1 sin? P) mit der Regel- fiche der Strahlen, welche auf dem in der Ebene [w] liegenden Kreise (w) ruhen; die Bahn von y wird erhalten, indem man die Bahn von y’ um den Winkel —5 dreht. ‘Um die Bahn von z zu bekommen, müssen wir zuerst den Kreis (w) durch den Winkel — (2 um den Nullpunkt drehen , bis er in die Lage (w) gelangt, sodann die Regelfläche bestimmen der Strahlen, welche auf (w) ruhen, und schliesslich die Schnittkurve dieser Flache mit der Ebene 2 = php — i À À — 4) um den Winkel + = drehen. Boispiel 1. Man fragt die Bahn von y, wenn + die reelle Axe beschreibt. Wir betrachten also die reelle Axe in der Ebene z = ph. Die Bahn von 2 = x ist alsdann die imaginäre Axe. Die axiale Regelfläche der in der Ebene z = pA liegenden ima- ginären Axe, also der Gerade 2 Le l—~p ES Vy Hay (= ns =>) zerfällt in die Ebene der imaginären Axen und in eine Fläche 4%" Grades, auf welcher die gegebene Gerade eine Doppelgerade ist und die Kreispunkte Doppelpunkte sind. Die biquadratische Fläche schneidet die Ebene [w] in der 2-fachen unendlich fernen Gerade und in einem Kreise, dessen Mittelpunkt mit dem Nullpunkte identisch ist (siehe z.B. S. 54). Die durch den Punkt % beschriebene Bahn besteht demnach aus der imaginären Axe, aus der unendlich fernen Gerade und aus einem Kreise, dessen Mittelpunkt im Nullpunkte liegt, und dessen Gleichung lautet : kama + æÿ = 0, oder HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 509 u +- ia — p° È. Weil reelle Combinationen (w,4) complexe Werte von 7 und 7’ liefern, so ist dieser Kreis, welcher mit /' bezeichnet werde, die Abbildung der reellen Punkte der Ellipse. Dieser Kreis ändert sich nicht bei der Drehung + 2, welche auszuführen ist um die Bahn von w zu erhalten. Die auf /’ ruhenden Strahlen schneiden die Ebene von y wie- derum in der imaginären Axe, wonach die entsprechende Bahn von y die reelle Axe ist. Von grosser Bedeutung ist aber die Bahn der complexen Werte von y, welche zu reellen Werten von 2 gehôren. Diese Bahn rührt von der imaginären Axe in der Ebene [7] her. Die imaginäre Axe der 7%-Ebene entspricht in der #-Ebene einer Gerade, welche den Winkel —+ (2 mit der imaginären Axe bildet, deren Gleichung somit lautet: æ cos R + y sin B = 0. Wenn wir sie durch dd + 2,0, — 0 darstellen wollen, so haben wir zu setzen e—8 ee a, == —, 4 = Die axiale Regelfläche dieser Geraden ist ein Hyperboloid, des- sen Gleichung sich ergiebt, indem man in (78) (S. 66) &, — 0 einsetzt und nachher durch a, teilt. Man findet alsdann da Oly (ly a + &, a) (Ha, + das) — (U — a) aa, = 0. Wenn diese Gleichung in cartesische Coordinaten übergeführt wird, verwandelt sie sich in CREER (a cos B+ y sin 2) (w cos B— y sin B) = pin 26 -2(e—h). Diese Regelfläche schneidet z — g/ in der Kurve (æ cos (B + y sin 2) (a cos Ê — y sin RP) = esin 22 - g(g — 1), oder 2 2 DR MES MES 7 oa 4csin*B-g(g—1) AccosB- g(g— 1) ak: also in einer Hyperbel, welche die reelle and die imaginire Axe als Axen hat. 510 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Diese Hyperbel ist nun die Bahn von y. Die en von y wird | ermittelt, indem man jene Kurve um den Winkel 5 dreht. Man findet sodann 2 2 7 us 4 nes, Ac?sinB-g(g—l) Acsi B:g(g—1) Beispiel Il. Man fragt die Bahnen von + und y, wenn der. Punkt (+,7) der Schnittpunkt ist der Ellipse mit den reellen Ge- raden eines Strahlenbüschels mit reellem Scheitel P(X, Y). Nach dem auf S. 506 u. 507 Dargelegten, haben wir nur noch die Regelfläche zu bestimmen der Strahlen, welche auf dem Ortho- gonalkreise (w) ruhen. Da der Radius > dieses Kreises durch 9 r? = (mod WP — a Fe angewiesen ist, und man hat pW—X + chy, also Pp (mod WY = (X + cos PB YŸ + sin? B Y? = X°? + 2 cos R X YH Y?, so finden wir für die Gleichung von (+) (w)=v + v°—2 PET u — ie vt ef — 0. Setzen wir, der Kürze wegen, X + cos B Y=cReos 0, sin Y=cRsnO, so lässt sich die Gleichung bringen in die Gestalt 9 GV, Vy À My ay ds + Ay Vo V3 ie a,v,°—= 0, WO HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 511 CNE di phe, a, = — phe'®, cie il Die Gleichung der fraglichen Regelfläche in dieser Form finden wir in (141) auf S. 84. Die Bahn von y’ ergiebt sich nach der Substitution +, = — p? a. Die vorliegende Regelfläche ist vom 4°" Grade und trägt eine circulare kubische Raumkurve (kubischen Kreis). Der Schnitt mit einer zu den Abbildungsebenen parallelen Ebene ist demnach eine Kurve 4°" Grades, welche in den Kreispunkten Doppelpunkte und ausserdem noch einen Doppelpunkt hat. Die Rechnung weist nach, dass der Schnitt mit der Ebene eine solche biquadratische Kurve ist, dessen Brennpunkte symme- trisch in Bezug auf die imaginäre Axe liegen. Ihre Coordinate sind (1 + 7 1+ & D nee sin ©. Der Doppelpunkt im Endlichen liegt auf der imaginären Axe und ist durch Or u 2pchsin® 8 | bestimmt. : Se T RENE Durch Drehung durch den Winkel + > verwandelt sich diese Kurve in eine congruente, welche jetzt aber symmetrisch in Bezug auf die reelle Axe ist. Hs ist diese Kurve die fragliche Bahn von y. Die Bestimmung der Bahn von + bedarf nach diesem Beispiel keiner besonderen Erläuterung. Wir wollen uns nunmehr besonders mit dem Falle beschäftigen, wo die Axen der gegebenen Ellipse mit den Coordinatenaxen zusanmenfallen. Durch Vergrösserung der Coordinaten ist zuerst die Gleichung in die des Kreises 512 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND @ + y° = e oder Hie — ip) = À zu verwandeln. Wir haben also hier wonach p gegeben ist durch p=14+]2. Wenn wir jetzt a die reelle Axe beschreiben lassen, so durch- läuft 7 den Kreis ye ae p= pv? und die imaginiire Axe, also w denselben Kreis und die reelle Axe. Die axiale Regelfläche dieser letzteren besteht aus der Ebene der reellen Axen; es beschreibt daher y’ die reelle und y die imaginäre Axe, m.a. W.: mit reellen Werten von z stimmen ent- weder reelle oder rein imaginäre Werte von y überein. Das Problem der Schneidung mit einem Strahlenbüschel liefert nach dem oben Erörterten nichts Neues. Nur können wir bemer- ken, dass der Punkt W jetzt durch pV=X+1Y bestimmt ist, so dass die Lage des Punktes W, — pl in der Ebene [w] dieselbe ist wie diejenige des Scheitels P in der Diagramebene. § 10. Wir gehen jetzt über zur Gleichung dritten Grades. Es handelt sich zuerst darum, zu erforschen, wie eine Gleichung dritten Grades in der in $ 4, 5, 6 und 7 dargelegten Weise entstehen kann. Wir erinnern uns, dass eine Gleichung in w, und w‚ , deren Grad eine wuteilbare Zahl ist, 1° entweder unmittelbar gegeben war, 2° oder durch die Elimination einer Grosse 7@ erhalten wurde. Die dem 1'" Falle angehörenden Gleichungen waren HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 513 A. Fy (wy, wy) = (au + au + ay)” — (bw, + bw, + 85) = 0, B. Few, wy) = (a, + aw! + a)” (bw, + d'un + 4)" —1 = 0. Die Gleichungen des 2°" Falles ergaben sich durch die Elimi- nation von # aus den folgenden Paaren: | Gus, ©) = (Qu, + 20)" — (ba a + bw + by) —0, mm OF oe 1 1 _ (eG Tron! Panay T — In’ 5 i Bante lie (wi ,wW) = (aw, Hao) — (6, wv, 1-6 WG) = 0, anon D (f(y, 0) = (ar wi + Go — (Fy ++ Bid by = 0, UF (oy, D) = (Go Habo HD by = 0, mit drei Unterfällen, n.l. Deur, DE Di. pu —2y, d.h. we, n= E PACE (ar ver + dy)” (vu + 6D - by)" —1=0, mm fo) = (qo, u, m >n, pp > y gelten muss, so folet, dass wir Aubische Gleichun- gen in den folgenden Fällen erhalten: AS Arend — 1e Abr B nn CC, m=3,2=1,"=2,2=1; Co n=2, 2=1, WS nik D p=8, y =] (also D E niemals ; F pl, n= ; G = eee Indem wir C, mit C, gleichwertig achten, da Vertauschung der Grös- sen w, und #, zulässig ist, so erübrigen wir die folgenden 7 Typen: Fo wow )=(awi + aw, Hao) — (bw, + bw," + by) = 0; Fy (w,,00y)=(a, + dwi Hao) — (bu, + Uw, Hb) —0; Fr (wy, wai) = (aw, + aux + a) (bw, + bw, + 6)—1=0; Fo (wy, 1 =F (qu, -+-a)°—b(a,w, H- ed (Orr +8) +b(b, wr +5))=0; Pols, wy =O (aye hao) bau wi ag YB (b 00, bo) Hol wi + by) = 0; Poor, wy )= (6b, 0, Hbo) — bbr wr + bo) (arr Hao) (a wor’ Ha) + Si Daw, ai do Fa Ld) 0; Few, wi) = 06 (Qu, + a) (aw, Ha)? + HI (Orr Hb) — bb wi +) (ae, + a) —F = 0. Durch Verschiebung des Anfangspunktes sind diese Gleichungen D O 5 in die folgenden einfacheren Formen zu bringen, wo noch w, durch w,,w, durch y und die Coefficienten durch andere ersetzt sind. F, (0,9) = (aa + by) Hee + dy =0; F, (2, y)= (ae + by) ee dy) = 0% Fr (ep) = (aw + by (ca + dy) — e = 0; Le, 9)= a? + by? + cw +d=0; INCH) DS + by’? Hee + dy +e=0; Re en -+ bay’ + cay + de + ey =0; Fe, y) = axg + be + cy +d=0. Wir werden von diesen Kurven nach einander die kennzeich- nenden Eigenschaften ermitteln und nachher untersuchen, durch welche Transformationen eine gegebene kubische Kurve in eine der obigen Typen umgeformt werden kann. A, F(æ, y) = (ae + by) + ca + dy =0 HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 519 Diese Kurve Æ, hat im Ursprunge einen Wendepunkt mit der Gerade CH —- dy == (() als Tangente. Sie hat ausserdem im Unendlichen auf der Gerade ax + by = 0 einen Richhehrpunkt mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. A, Fae, y) = (ax + by) L (ca + dy) == (I) Diese Kurve #, hat im Ursprunge einen Richkhehrpunkt, mit der Gerade cz == dy = 0 als Tangente. Sie had noch im Unendlichen auf der Gerade ax + by = 0 einen Wendepunkt, mit der unendlich fernen Gerade als Tangente. B F(a, y) = (ar + byy (ce + dy) —e = 0. Diese Kurve /,, hat im Unendlichen auf der Gerade av + by == |) einen Zichhehrpunkt mit dieser Gerade als Tangente. Sie hat noch im Unendlichen auf der Gerade Cady — 0 einen Wendepunkt mit dieser Gerade als Tangente. C Fe, y)= aù + by + ex +d=0, oder, fir 0 — — ]; YY = ax Hee + d. Diese Kurve 4, ist symmetrisch in Bezug auf die a-Axe und hat emmen Wendepunkt im Unendlichen. Sie hat auf der v-Axe einen Doppelpunkt, wenn die Bedingung AEH 97 ad = 0 B 33% 516 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND erfüllt ist. In diese Kurve lässt sich jede kubische Kurve durch eine projektive Transformation umformen. D Fey) = a by’ Hee + dy +e—0, / Oder utd — wae D Jy Her + dy +e— 0. Diese Kurve #, hat drei unendlich ferne Punkte, deren Rich- tungen durch eine Binomialgleichung bestimmt werden. Die Asymp- toten convergiren alle nach dem Anfangspunkt. Dieser liegt auf der Kurve von Hesse, während eine der Geraden, in welche sein Polkegelschnitt ausgeartet ist, im Unendlichen liegt. Auch diese Kurve kann durch eine projektive Transformation aus jeder kubischen Kurve erhalten werden. Sie hat einen Doppelpunkt, wenn (4+ 4@+ 2727 = 64 a’. F F(a, y) = aa’y + bay’? + cary + de + ey = 0. Diese Kurve #, hat drei reelle unendlich fernen Punkte, deren zwei colangential sind. De Asymptoten der cotangentialen Punkte fallen mit der z-Axe und der y-Axe zusammen. Der Anfangspunkt liegt auf der Kurve. G F(a, y) = aay’ + ba + ca +d= 0. Diese Kurve /, ist symmetrisch in Bezug auf die z-Axe. Sie berührt die unendlich ferne Gerade im unendlich fernen Punkte der a-Axe und hat einen Wendepunkt im Unendlichen auf der y-Axe, mit dieser Axe als Tangente. Sie hat einen Doppelpunkt im Unendlichen, wenn DEN), und einen Doppelpunkt auf der +-Axe, wenn der Bedingung 4 bd = © genügt wird. is dem Vorhergehenden shee dass wir eine kubische Kurve HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. DAV unmittelbar mittels der hyperbolischen und parabolischen Congru- enzen analysiren können, wenn sie, xô/igenfalls nach Verschiebung, einer der obigen 7 Typen angehört. Jede andere kubische Kurve ist, wenn sie nicht als Ausartungs- bestandteil eines Typus höheren Grades betrachtet werden kann, erst durch eine projektive Transformation auf einen der vorigen Typen zurückzuführen. Weil die projektive Transformation im Allgemeinen nötig ist, so wollen wir die Kurven vom Geschlecht 1 alle in den nämlichen Typus überführen, und zwar in die Kurve #,, deren Gleichung lautet: gp = aù Her + d. Zuerst wird die Coordinate y mittels der Transformation yay in eine Grosse y verwandelt, und diese durch die Verschiebung Lr d in eine Grosse y”, welche alsdann mit @ verbunden ist durch die Beziehung y —=ar + er, oder Sollte a + c — 0 sein, so ersetzen wir @ durch pz. Die Grosse y”, welche durch 4 02 Y 1, =—=s— 4 ac bestimmt ist, ergiebt sich aus dem Schnittpunkt der Ebene 2 — p/, wo a == _—a— . ac ist, mit dem Strahl, welcher in der Congruenz Lt =d 3 dem Punkte 2 entstammt. 518 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Wir beschäftigen uns also mit der Congruenz , 3 WU, wo der Homogeneiteitsfaktor ce gleich 1 gesetzt ist. Uberdies nehmen wir an, dass æ derart vergrössert ist, dass a tek Zuerst wollen wir die Bahn von y erforschen, wenn x die reelle Axe beschreibt. Aus der Gleichung folgt schon sofort, dass diese Bahn aus der reellen und aus der imaginären Axe besteht. Zweitens wollen wir untersuchen, welche Bahn + durchläuft, wenn y die reelle Axe beschreibt. Wenn y sich längs der reellen Axe bewegt, so durchläuft y’ ebenfalls die reelle Axe, also auch y. Die entsprechende Bahn von a ist alsdann (siehe (38a) S. 389) durch wy + its + ay + pa,’ = 0 bestimmt, wo also durch 3 we — yf = - — 0. Der übrige Teil der Bahn von z ist die reelle Axe. Die Bahn von + besteht deshalb aus der reellen Axe und aus einer Hyperbel, deren Axen mit der reellen und mit der imagi- nären Axe zusammenfallen und deren Asymptoten mit der reellen Axe einen Winkel von 60° einschliessen. Ist — positiv, so schneidet die imaginäre Axe die Kurve. a Drittens wollen wir erörtern, welche die Bahn von + ist, wenn y die imaginäre Axe beschreibt. Wenn y die imaginäre Axe durchläuft, bewegt y” sich längs der reellen Axe, ebenso y”. Die Bahn von @ ist demnach mit der des vorigen Falles identisch. Viertens wollen wir die Bahn von 2 bestimmen, wenn y in ihrer Ebene die Gerade i PE HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 519 y=rigy durchläuft. Die Gleichung dieser Gerade lautet in homogenen Coordinaten: a ety 1+igd oat rn 0 Ly 2 — 1—itg) Die Bahn von y — 7° ist alsdann durch Tt phi d.h. durch æ sin ? à — y cos ? à — 0 angewiesen. Die Grosse y = y —d beschreibt sonach die Gerade æ sin à à — y cos 2 à + dsin 4 — 0, oder 9 d'sin 2 6 ae ; 23; & ŒSIN x taie it — ia, ev + æ, = 0, p wonach (siehe S. 381) Oyen à 6 5 RS & O SUR à a lie 2, a == — 18, wa, + a, — ——— , p= ———= @ p ade Diese Bahn befindet sich in der bene z=p/, oder #3 = En == c ay c == #4, mithin pg — -- a a Die axiale Regelfläche dieser Gerade schneidet die Abbildungs- ebene in der kubischen Kurve (Gl. (19a), S. 381) ao + 4,2) À pa, + aa.) + (ua, + af = 0, oder ie 2 (@ + iy)? ie (ari) +“ bei (aw +-1y)—1e?¥ (@— iy) | + a 2 dsin 2 Ÿ a 0, oder auch 520 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND x sin2y—3 ay cos2y— 3 ay? sind cosQ 4 (wsin 2 — eos) + | a dsin 2 Ÿ Ci a uu 0. Die Asymptoten dieser kubischen Kurve convergiren alle nach dem Nullpunkt, welcher somit ein Punkt der Hessischen Kurve ist. Die Gesammtheit der Asymptoten wird dargestellt durch ie—2i dy — eri 8 eS 0 , oder durch id 42 kor) 3 id 2 also, wenn wir G== 71.6050 > 7 = r Sin © setzen, durch QT. dh: EE Tit aes ES Ti Die Asymptoten schliessen einen Winkel von 60° ein, und eine von 2 d . . . . ~ ihnen bildet mit der reellen Axe den Winkel ae Wenn wir tg 2 L — 2 setzen, so lässt sich die Gleichung der kubischen Kurve folgender- massen schreiben: BLA) — A PB hiet) il Hieraus erhellt, dass, wenn die Bahn von y den Strahlenbüschel um den Nullpunkt beschreibt, die Bahn von x einen Büschel kubischer Kurven durchläuft. Setzen wir noch gb =t, RS ET CCS PNEU TT Oe HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 521 wonach / der Parameter des in der y-Ebene befindlichen Büschels darstellt, so sind die beiden Parameter ¢ und À verknüpft durch die Beziehung ; 27 A EE, i Soe oder AP+2¢—A=0; hieraus folgt, dass ein Wert ¢ einen Wert A bestimmt, aber ein Wert A zwei Werte 4. Die niimliche kubische Kurve in der z-Ebene gehört ja auch zwei auf einander senkrechten Geraden an. Sämmtliche kubische Kurven schneiden die reelle Axe in den Punkten, fiir welche im Diagram y = 0 ist. Schliesslich wollen wir antersuchen, welche Bahn + beschreibt , wenn y einen Kreis um den Nullpunkt als Mittelpunkt durchläuft. Hs sei dieser Kreis gegeben durch EAR, oder VY Vs = whi Da — 0. Die Bahn von y — y" ist alsdann ebenfalls ein Kreis mit dem Nullpunkte als Mittelpunkt. Ihre Gleichung ist d'A Ws se Vie Zi —— 0 ; oder et y= ft, Die Bahn von vy” = y" —d ergiebt sich nun aus @tdpty= RP, oder va + d(a, + à) a, + (A — Rey = 0. Wenn wir diese Bahn in die Ebene z= ph legen, so erhält sie die folgende Gleichung : ned dle ded) jd ABI = 0, pe während 522 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Lae ne Maem cen sag CHS P Indem wir noch diese Gleichungen mit den Gleichungen (59), (60) und (61) auf S. 398 identifiziren, zeigt sich, dass wir Yo = 1, d Ta V2 À. de. = oe und sonach zu setzen haben. Die Regelfläche der Strahlen, welche auf dem in der y’-Ebene befindliche Kreise ruhen, schneidet die +-Ebene in der Kurve 6%" Grades (siehe (62a), S. 398) 9 a PLL 4- Pa? +) Matos ee tad S — rd HU je ee (a, a) a3 le eee 1 — a + Ho DE | oder EE 3) EHD R* ane Be a= er dE Diese Kurve ist tricircular. Von den 9 Schnittpunkten der in den Kreispunkten gelegten Tangenten sind höchstens 3 reell. Diese befinden sich auf der reellen Axe. Sie sind (siehe (634) und (64a)) durch av’ + er + d = 0 angewiesen. Sie liefern also diejenigen Werte von @, für welche y null wird. ae ; HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 528 Die Brennpunkte bilden den einzigen reellen Bestandteil der Ausartungsfigur, welche die obige Kurve 6'" Grades zum Gesammt- schnitte der Regelfläche ergänzt. Die Schnittpunkte der Kurve mit der #-Axe sind aus 5 Ie ; 2 d Bs c 5 2 cd ae JE Zn in en nine Le lien ae eh) a a a a a a oder durch (aa? + ce + dÿ — R' = 0 bestimmt. Wir bemerken wiederum, dass dem Arische/ concentrischer Kreise um den Nullpunkt in der y-Ebene ein Büschel tricircularer Kur- ven 6°" Grades entspricht, dem die 6-fache unendlich ferne Gerade angehôrt. Sämmtliche Elementen des Büschels haben in den Kreis- punkten die Tangenten gemein. Dieser Büschel ist also zugleich eine Schar. Der Parameter des Büschels concentrischer Kreise ist 2°, der- jenige der Kurven 6" Grades ist ZR Hinem in der y-Ebene lie- genden Kreise ist also eine in der a-Ebene liegende Kurve 6" Grades zugeordnet, während eine in der z-Ebene liegende Kurve 6'" Grades mit zwei Kreisen in der y-Ebene übereinstimmt, deren jedoch einer imaginär ist. Ein Strahl des Strahlenbüschels um den Nullpunkt schneidet einen Kreis des concentrischen Kreisbüschels in zwei Punkten y, welche jedoch entgegengesetzten Werten von y entsprechen. Ver- möge der gegebenen Gleichung liefern beide dieselben drei Werte für z. Es gehört jedes Element des Büschels kubischer Kurven zu 2 Strahlen des in der y-Ebene befindlichen Strahlenbüschels, welche zusammen mit einem Kreise des Kreisbüschels 4 Punkte y also 6 Punkte + bestimmen. Aus diesem geht hervor, dass jede kubische Kurve des Büschels jede Kurve 6" Grades der Büschelschar in 6 reed/en Punkten schneidet, so lange die genannten 4 Werte für y ausschliesslich imaginire Werte fiir 2 bestimmen. Von den 18 Schnittpunkten einer kubischen Kurve mit eine Kurve 6°" Grades sind also immer wexigslens 12 imaginär. Wir beendigen diese Betrachtungen mit der Bemerkung, dass, weil der Strahlenbüschel und der Büschel concentrischer Kreise in der y-Ebene sich rechtwinklig schneiden, auch die kubischen Kurven und die Kurven 6° Grades orthogonale Trajektorien sind, und ausserdem die +-Ebene in elementare Quadrate einteilen. 9 24 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND Bevor wir die Erorterung dieser kubischen Gleichung schliessen, wollen wir uns noch kurz beschäftigen mit der Frage nach der Anzahl der Zweige des Diagrammes, und nach dem Geschlecht dieser Kurve. In der gegebenen Gleichung y = aù Hee + d wird die Bedingung dreier reellen Schnittpunkte mit der z-Axe durch die folgenden Ungleichheiten angewiesen : 48 + 2Tad? <0 für a >0, und 4c? +. 27 ad > 0 für a < 0. In diesem Falle enthält demnach die Kurve zwei Zweige. Dagegen giebt es nur einen Zweig, wenn 4c? +- 27 ad? >0 für a>0, und A Had <0 für a< 0. Ein Doppelpunkt ist vorhanden, falls A? +- 27 ad? = 0. Wenn es zwei Zweige giebt, so müssen, falls + die reelle Axe beschreibt, die beiden Werte von y zuerst reell, dann imaginär, dann wieder reell und schliesslich wieder imaginär werden. Mit dieser Bewegung von y ist ebenso eine bestimmte Bahn von y’ verbunden; y’ beschreibt zuerst die positive, dann die nega- tive, nachher wieder die positive und endlich wieder die negative Seite der reellen Axe, während die Bahn von 4” erhalten wird, indem man die Bahn von y’ einen Betrag d in der positiven Rich- tung verschiebt. Wenn @ sich längs der reellen Axe bewegt, so umhüllt der Congruenzstrahl in der Congruenz a’ = a’ die Fokalkurve 3'* Klasse in der Ebene der reellen Axen. Diese Kurve hat im Nullpunkte der +'-Ebene einen Riickkehrpunkt mit der Verbindungslinie der Nullpunkte als Tangente. Ausserdem befindet sich im Unendlichen auf der reellen Axe ein Wendepunkt, dessen Tangente mit der reellen Axe der z-Ebene zusammenfillt. Weil einem positiven @ ein positives # entspricht, so darf zwischen den beiden Abbildungsebenen kein reeller Teil der Kurve HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 525 liegen. Wir erhalten somit eine Kurve, wie in der Fig. 21 (hinten angefügte Figurentafel) skizzirt ist. Wir wollen den Abstand der Abbildungsebenen der Einfachheit wegen der Einheit gleich setzen. Die Gleichung der Kurve (der v sos og 2 = Einhüllenden von TE ) lautet alsdann: A 2) ER ra OR. Gt (9) Eine neue Abbildungsebene (y), in der Höhe z= ph = p = a —a, wird die Ebene der reellen Axen in der Gerade ate 2 — a schneiden. In dieser Abbildungsebene wird auf der reellen Axe der Nullpunkt 6’ der y'-Ebene in den Punkt gelegt, welcher im Abstand d auf der negativen Seite von der z-Axe entfernt ist. Die reelle Axe der y-Ebene wird daher durch =U dargestellt, und der Nullpunkt 0’ dieser Ebene durch a | — d, a. ” & | Indem wir für die reelle Axe a < 0 oder a > 1 wählen, so wird der Ausdruck AGt+ 27ad? — A4 (1 — aÿ + 27ad. . . (60) einen positiven Wert erhalten für @< 0, wenn und einen negativen Wert für a > 1, wenn A =| 3 dE Eme De : ala Wenn wir O' auf der Kurve angenommen hätten, so würden wir MO a) 2 d? — — 91 a (siehe (59)) bekommen haben. Hieraus geht hervor, dass wir eine Kurve mit zwei Zweigen 526 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND erhalten, wenn der Nullpunkt 0’ der y-Ebene innerhalb der Fokal- kurve angenommen wird. Eme Kurve mit exem Zweige finden wir offenbar, wenn wir den Nullpunkt O' ausserhalb der Fokalkurve legen. Eine rationale Kurve wird sich aber ergeben, sobald wir den Nullpunkt O° auf der Fokalkurve wählen. Dass das Vorhandensein zweier Zweigen mit der Lage von 0’ innerhalb der Fokalkurve zusammenhängt, lässt sich auch folgender- massen nachweisen. Wir denken uns drei zu der z-Axe parallele Geraden, die eine, Z,, unterhalb der z-Ebene, die zweite, /,, zwischen den Abbil- dungsebenen, die dritte, 7,, oberhalb der +-Ebene. Die Gerade /, schneidet die Kurve in zwei reellen endlichen Punkten 4, und B,, die Gerade 7, schneidet die Kurve nicht im Endlichen, die Gerade Z, trifft die Kurve in den reellen endlichen Punkten 4, und Bs. Ein Punkt P, auf einer dieser Geraden, /,, wird durch den Abstand py, von P, zum Schnittpunkte von /, mit der z-Axe ange- wiesen ; dieser Abstand wird in derselben Richtung positiv gerech- net wie die Punkte der reellen z-Axe. Wir stellen uns auch noch vor, dass der Congruenzstrahl über die Fokalkurve rollt, und zwar mit der Anfangslage (@ = + a, a =-+ 0). Für den Schnittpunkt P, des Strahles mit 7, wird nun gelten — 70 Pa €, bis der Berührungspunkt in B, angelangt ist, wo p, = 4- Indem der Strahl weiter rollt, nimmt y, wiederum ab, bis der Berührungspunkt (nach zweimaligem Durchgang durch das Unend- liche) in den Punkt 4, gelangt ist, wo p, = a, = — &. Nachher nimmt y, wiederum zu und erhält schliesslich den Wert + oo. Es erhellt, dass P, die Strecke 4, B, dreimal zurücklegt. Befindet sich nun ©’ auf Z, innerhalb der Kurve, d.h. cxnerhalb der Strecke 4, B,, so passirt der Punkt P, dreimal den Punkt O'. Anfangs ist y’ negativ, von — an, also y imaginär; dann wird y’ positiv (in maximo = 0'B,), daher y reell; nachher wird y" wiederum negativ (in minimo 0'A,), also y wieder imaginär; und schliesslich wird y’ wieder positiv, bis + so, daher y wieder reell. Das Diagram hat demnach zwei Zweige. Wenn O’ auf A ausserhalb der Strecke A, B, läge, so würde P, nur exmal den Punkt 0’ passiren, es würde VA somit nur eimmal ; î HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 527 das Vorzeichen wechseln und y nur e/amal von imaginir reell werden, wonach das Diagram nur einen Zweig hätte. Wenn der Strahl über die Fokalkurve rollt, so durchläuft sein Schnittpunkt P, mit 4, diese Gerade von + » an bis — w ofne Rückkehrpunkte. Falls O° also auf Z liegt, wird P, nur einmal den Punkt 0’ passiren, so dass jeder zwischen den reellen Axen liegende Punkt O' einem einteiligen Diagram entspricht: Der Schnittpunkt P, des Strahles mit / wird sich längs / be- wegen, zuerst von + oo an bis B}, dann zurück von B, bis A, und endlich wieder zurück von 4, bis — oo. Die Strecke A, B, wird deshalb auch hier dreima! zurückgelegt. Ein @mnerhalb der Strecke A,B; angenommener Punkt Q wird demnach dreimal von ZP, durchlaufen. Eimem solchen Punkte 0’ entspricht ein zweileiliges Diagram. Ebenso leuchtet ein, dass ein ausserhalb der Strecke 4 B, auf /, befindlicher Punkt O' einem einteiligen entspricht. Mit diesen Darlegungen wollen wir die Untersuchung der erwähn- ten Gleichung dritten Grades und gleichfalls diesen Abschnitt ab- schliessen. Obgleich nur wenige Gleichungen 3°" Grades und gar keine Gleichungen höheren Grades behandelt sind, dürften die herbei- geführten Beispiele zu einer weiteren Anwendung der hier gefolgten Methode ausreichen. ERRATUM. S. 217 Z. 5 von oben lies: (m— x) (,—7&,) u.s.w. statt (m 4-2) (&—T&) u.s.w. U t i. ‘ | fi 1 ’ = by A i +! SS Br | Y 4 J SA y # CZ a ( : ’ ae " ae 5 à A hp P . ‘ ‘ 5 : du: % . rl En Î ï i 1 4 Me Le Ur i} ant i ei _ Î ‘ . ee ose be vv 2 à : + 5 i r i “ a 2 * + 8 RL n # * j ‘ ' à ’ ‘ ¥ : ‘ t ‘ } n x 4 - f il Fr > Puce GEDRUKT BIJ —o JOH. ENSCHEDE EN ZONEN o— HAARLEM | ALIF ACAD OF SCIE JUIN 1853 Il 1000 NCES LI I 602 i