Digitized by the Internet Archive in 2009 with funding from University of Toronto http://www.archive.org/details/verhandelingen18akad VERHANDELINGEN KONINKLIJKE/)AKADEMIE WETENSCHAPPEN. ACHTTIENDE DEEL. MET PLATEN. AMSTERDAM, CG VAN DER PO:ST. 1879. 610290 Ntone rn BMS ria N BNO EO Wi VAN HET ACHTTIENDE DEEL. D. BIERENS DE HAAN, rers OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFBRENTIAALVERGELIJKINGEN UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING, H. A. LORENTZ, over HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. P. BLEEKER, CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÎLE MAURICE, (Avec trois Planches.) D. BIERENS DE HAAN, Over HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. P. BLEEKER, sur QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. (Avec deur Planches.) ÉNUMERATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INGDITES. (Avec trois Planches.) ee se ä, IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. DOOR D. BIERENS DE HAAN. Ll. Onder de methoden tot behandeling van gewone differentiaalvergelijkingen met twee veranderlijken behoort ook eene reeds lang bekende, maar toch zeer merkwaardige, wanneer zij tot algemeene uitkomsten voert; die methode namelijk waarbij het geldt, uit eene aan- genomen integraalvergelijking de overeenkomstige differentiaalvergelijkingen op te sporen. In dit opstel zullen enkele zulke integralen worden behandeld, die bestaan uit het pro- dukt van machten van veelledige stelkundige uitdrukkingen. 2. Neem voor de integraal aan Ejay oP (oFay tb Pee ee een (A). Daaruit volgt 14 ay D 1 Hb, — 1e Paay"? ahar+d, of (pF 9) + (pa, + gay + (pb, + 90)] + [lap +049) Hp H Paay (pan Hqarb))y' — 0. 1 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 2 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Vergelijkt men dit met de differentiaalvergelijking (Ar + By 40) +(A,z + By + C)y=0,..... ee. (L) zoo is A =p g, B=pa, + qe, C=pb, +4, A, =ap +a,q, B, = W+ g)aas, C,=pab, + qa. Daaruit volgt AFB AB aa, =j le Tn EE (1) dus zijn a en a, de wortels der tweedemachtsvergelijking Aa (At Bat BO eee eee (12) Verder is al — 0, =gbla— a), C‚—a, C=pb, (a—a,), aA — A, =g (a—a,), A —a, d=p(a—a,), aA B =pl(e—a,), Ba, A=qgla—a,); waaruit volgt NEE AO Bad nd qd | a—û| a, ad, a C—C —_C —aC — al Ee hee LN (1e) 3. Deze oplossing gaat niet door, zoodra 4 == 0 wordt; alsdan is tevens By =O FDO CREE ENEN (LI) Er blijven dus over B=(a,—a)p, C=(b,—b)p, C, == (at, —a,b)p. Dus aC—C;, =bB en a,C—C, =5, B; dus zn en p=) wanneer men a en a, willekeurig aanneemt; of als men a en p willekeurig aanneemt, > Ln ‚Ee, b, ne â =j te Dit ER 4. Evenzeer worden naar (1?) p en g onbepaald, als a, —=a is; dan volgt uit (le) (A, + B} =4AB,, of ook (A,—B)® =A(AB,—4, B)... (IIS) UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 3 De betrekkingen tusschen de coëfficiënten worden nu echter Am=ptg, B=(ptga, C=pb, +2), A, =p tga, Bi (P+ ge. C,=al B? BC ee, a he mi) A A waardoor aan de bovenstaande vergelijkingen wordt voldaan, Verder wordt B A5—C CA, 8 in oe CER D= BER Pee (3) waarbij de 4 en 6, geheel willekeurig blijven. 5. De oplossing van N°. 3 houdt op geldig te zijn, zoodra ook Eman OCARINA EI TN od d (LV) maar naar de laatste der vergelijkingen (2%) wordt dan «a, == a, en komt men dan tot het geval van N°. 4. Men houdt dan over C= (6, —5) p, 6, == 4 (4, —b)p; dus abs Toe. } nin 4E BEET OA 6-0 ADO OROROT EOD (4) terwijl hier de 5 en 5, onbepaald blijven; of als men 4 en p willekeurig aanneemt, C IEA (42) C p 6. Men neme vervolgens voor de integraalvergelijking aan (2*HRZazy by + Zer + 2dy He) (2° + Za, ry H-b,7* 4 Zer + Qdy He, —= P;. (B) waaruit volgt 5 EMO HEMD Hd) y' ren Wray He) + L(a,a Hb,y Hd) En z* + 2Zazy by Ser ddy te aA Zaryhby HRe t Uy He, of , ple' +(2a, + a)a'y + (5, Haaj) eg’ Habyt + (ed Ze) + H(d, Hac, Ha )Zey + (Ladd be) H(e,H Lee) Hac, H Zed)y Hee} + Hale + (la Ha)a'y 4 DH Laa)eyt Habu? He +20) + + (d hae, Ha e)Zey H(Za,d Hbe)y' + (e + Zee)e + (aje + 2e,d)y Hee} + ty'[p(aa'4 (aa, HD y H(ab, +La Dey Uy + (Zac, Hd) + + (ad, Ha, dHbe)Zayj + (2d, H5,dy? H (ae, + Ze,d)a H (be, + 2ddi)y Hde,} + Hala" dt (Zaa, +b)a' y H(a,bHZab)ey" bly + (Zaye Hd) + Hlad, Had + De)Zan (2d bd) (ae Led) H (bie + 2dd,)y Hd,e} ] —0. 1 4 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Vergelijkt men deze uitkomst met de algemeene differentiaalvergelijking van denzelfden vorm (da 43 Baryt3lay + Dy 4 Er + 2Fay + Gy + He + KylL)4 (Az + 3B ay + 3Cay + Dyt + Ea’ + 2bay + Gy Het Kg Lly =O. (V) zoo is hid A =patar 35 = p(2a, Ha) 4 gite Ha), 3B, = plaa, +6) + g(Zaa, +6), 3C == pi + Zaa,) +q(b + Zea), 301 = p(ab, + 24,6) Hale, b +245), D= pab, + ga, b, D= pbb, +qbb, E==p(e 42e) Hale, 2e, BE, =—=pl(tac, 4d) +4 (La,e dd), PF == p(d, +ae, + a,e) + q(d + ae, +a,e), FE, =plad, Ha, dt be) tolad, Had Hb,e), G == p(lad, +b,e) +glla,d +be), G=pl2id +b,d) +9 (25, d +bd), H== ple, + Zee) + qle + Zee), H,= plaa + Zed) +9 (aje + Zed), == plae, + Zed) + g(a,e + 2e,d), K=plba + 2dd) +9 (bie + 2dd)), L==pee, + 9c,e; L,=pde +gd,e. Hieruit volgt vooreerst en vervolgens uit 3 (BA) = (aai) (q—p), 3 (CE) = (bd) (90), 5 (CD) — (a brard) (q—P), daar aby—ab — b (aa) —a (lb) = bj (a—aj) —a (L—l1), (B—Ay)b2(C—Bja=lhD en (BA) -2(C—B)ja=li-D; waarvan de som geeft, als men de waarde van a + aj invoert, (C—B) (3 BH Ai) + 2(Cr—D) A DIS Rae oosoeo: 5ó + bi (B=A) (57) en daaruit 1 (3(C4B B(8 BA) D) A24 C ng Dot) Ee (5°) 4! A } UB—Ai)4 zoodat a en a, de wortels worden van de vergelijking 3 BA) (GD) A24 BASE dje DEE he (54) BA ds UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 5 en en ó van de volgende _(C—B)BB+ A) + 2(O—D)A A 5 =S Ve e « « ee e s 5e . 8 En 4D, ) Uit dezelfde vergelijkingen volgt verder _ dida eh Aa— A; ad} À Es (ms | et ale Ta ke Te TE (5/). _8 AB me NS En Van de acht waarden 4, B, C, D, 4}, B, C‚, D,, zijn er nu zes gebruikt; er blijven daar= tusschen dus nog twee betrekkingen over. Daartoe kan men de volgende gebruiken. Vooreerst is + b)alatn + 015) =(a—ai)b en (5 Hb) (abi + ab) = — (a—ai)hn ; 3 + D ZA UH hPanlath Hal) (6 4 bi)la + ai) (ab F arl)=— bl (a +01) — daa} na invoering der gevonden waarden dus, daar ab, + ajb —= is, geeft hun produkt B, (3 B — Ai) —2C Ar — {O1 — D) A (Bi) De (BC 4 DGB HAN((C—B)EB + A} -AC1—D)A} + A(3CHD (BA) + +Df(3 B + Ai) (BA) —S A{B1 (3 B—Aj) —2 A1 C—(C1—D) 4A}] == 0, … (4). 2((C— Bi) (3B + Aj) — 2(C,— DJA} Ten tweede geven de reeds gebruikte vergelijkingen eZ B + D ohms et TT hi en ab, +ab= EE Verhef deze beide tot de tweede macht; dan geeft haar verschil D +30? L/C—- D\* 4.aa.bih= en den (% End bi)’ — 4 bla}, of wederom 8 Di B di EEC EU {| BÀ, le Ga (B (3 B — Aj) —2 AL C—(C —D)A} = (3 + Dj — 6 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Nu is verder F —E, Bin: =d —d + ae—ae, Laad +be—ba; Did mid en hieruit kan men d en d, oplossen F-B G-Fi F-E G-f (ar-a)d = Zn - + (by-aay)e(h-at)e,, (ar) == La- (bran )e(d-a ai)Cr pq (DS di | dl Substitueert men deze d en J, in de waarde van Gi, zoo is {pt — aardi) H(Ut-9)(Bir—a0) Fer (hb) H (0) —aa1b)}= FE GF 18 + Hp +20) Hp + 05 p—q Dad of daar (p +29)Dj + (2p +q)b=3(CH2B—2Aaar) en (pH 2g)an +(Wp +qat=3h is, als men de laatste der (5/5) gebruikt, =— Gila — a) — e{(C Ed 2B—? Aaa) bj — Ca} —a{(C + 2B,—2 Aaay)b— Ca} == = TE [GAAB (FE) OH (G FC +2 B? Aaa]. ON Ds mes Evenzoo geeft de waarde voor Z c(dj + Aay——2da)—e (di + Aa—2Aaj) = —(a—a)E; en nu kan men ec en cj oplossen, daar (A1 + B)(Bi — 0)—(C—D) A, AB C+ 2Bi—2Aaa == — li abi —ad MD =S is, na substitutie der waarden gevonden voor aj adi 3e [ {(A,+B)(B— C)—(C—D) AM6B (Bi O)HA(C—D)}—3BO(A B |= = 3(Ar—B) El {(A+B) (B — C)— (CO —D)A} b— Ci (Ar Bal + H(A 2Aa + Aaf {— Gi (A — BH (F—E)2 O1} (A1 — B) + + UG) (A + BB — CO) —(C— DA} }, 3e ((Ar+BB—C)(C—D)A}{EB(B—O)HA (C—Di)} —3BO(Ar- B']= — 3 (Ar BEL (Ar HBB —C)— (Ct — D) A} — GA Ba] + + (Ar 2Aat Aa) f {— Gi (Ai — B) + (FE) OA B) + + (GF) (Ar + BB CO) —(C— D) HA}. (52) UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. Hf Substitueert men dit in de vergelijkingen voor d en dj, dan komt er, na invoering der vh abad waarden voor ——, ——— en (b + li), a—aj a—áj 3d (A—B)[ ((A1+B(B1—C)(C —D)AGB(B C)+A(C-D1)}-3B C1(41-B)'|— | =U(U—E)a(G—F)[(A+B) (BO) —(C1—D)A}(GB(B-O)+A(C-D)J— | —8BO(41-Bj +3E(A1-B(C-D)| {((41+-B)(B-C)-A(C-D)} 0-1 4-B)| + +[(—G(d—B)H(F—E)2 OA B) AGF) (Art BBC) (CDJA) ) [U(A—B—2B+2C(3B+Ai) HC DAA} — | 2 A(C—BI)HAO-D)D|, ek 3d(A—B)[((A+B(B—O)—(C1— DJA 6 B(Er—C)HA(C—D1)}-3BO (A4 B ee (EE) (GF) [(d0 HB(B-C)-(C-D)A) {6 B(B-C)HA(C-DI)J— —3BO(A-B)' |+3E(4,-B) (C-D)[ (41+ B) (B1-C)-A(G-D)| a=-0(41-B)| + +[ {GA B HEEG} BUG —F)((A+B)(Bi-C)(C1-D)4)] | ((lAr—B—2B+2C)(3B+Ai)H(C— Dj (4 A+Ar)} ar — (2A1(C-Bi)+A(C-D)} ij De beide overige vergelijkingen, die behalve de a en b, slechts de c en d bevatten, G=p(tad Hbo) +glZard Hbo). eenn (°) en B=pltaa dd) glace d).....e (a) zijn dus wederom twee voorwaardensvergelijkingen. Eindelijk volgt uit de waarden voor L en Za pe Te (59 p eh —ead l e—L dln E EEEN zt (5%) Be g eh —ad d waarin de noemer gevonden wordt uit de volgende vergelijking. TE, rad (Ar + B(B-C)-(C-D)A}[2(G-F) ((41-B-2 Di +2C(3B+ A1) + H(C—D(4 AHA} UPE) (GBB —C)HA(C— Dy} —3 El ABD) + + (d1=-B{-G(A1-B)H(F-E)2O}{(d1-B-2B+2OHBBH A1) H(C-D(AA Hi) } + +6BO(F-E)(41-B |X [ ((41 HB (Br—C)-(C—D)4} LCD) HBG) + +B{—G (Ar — B) + (F— E)2 (Ar — BH HCA HBB C}—(O—D)A}(G FU ASB) (BCA (C4+01-D-Di)}— —(41—B(—G,(41—B) + (FE) 2 G} (241 (C—B)) + A(C—D)) + 3 (A1 B) (LB(G—F)—EC-D)} | x [2 (CAH B)(B1-C){C1—D)A} (BE(B-C)-A(G-H)} + +AA BG (AB) + (FE) 20) —3 0 E(4,—-B)'], waarin Q == {(A1 4 B)(B—C)}—(C,—D)4}{6 B(B1—C) +A(C—Di)}—3B OA —B) is. 9 8 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Er blijven dus nog vier voorwaardensvergelijkingen over, JI SDS OLB a otâtarora oe 0 u Ovore arosa o nie (e) K=plaer + Zed) + glaze FH Zerd),. «oee ee (Á) Kh Ur gedi —eid), eee ee eee ee ee (9) 1E DME WON Deed od ed ve dd dre doe (4). 7. Het vorige geldt niet, wanneer A= 0 is. Omdat in dat geval a + «1, bb, ab + a1d en ó + bj + 4aa, niet oneindig mogen worden, is tegelijk dr SB A 0 DiN DEC ONE CE OGEN Omdat nu q == —p moet zijn, wordt het stel bruikbare vergelijkingen 3 B — (aa—a)p, G == {QUadh—ard) +(hie—ber)}p, A= (ber-Hie)p, 8C=(h—0) 7, H=(e—e)p, A= (bd—hd) Pp, D=(ah—ab)p, K == (lara) Ue ed) jp, Hi ={(aer—ae)— ed —e1d))p, E == (a—e)p, L == (ce—ae) p, Kij == (ber—bre) p, F=(d—d)p, Er {2(aa—ae) + (d—d)}p, D= (derde) p. Hieruit volgt vooreerst 8Ca-D--=3Bb, 3 Ha-F-Ej=53 Be, 2bu-G-l=3 Bd, 3Ha-K- = 3 Be, b) Ca-D= 35 bi, 8 Eay-F-E=8 Be, 2 Fa-G-A= 8 Bd, 3 Haji —=3 Be; ú ( ) en daaruit wederom A= (bea bie)p == {BCF + Ei) —2 DE}: A(a—a)p, == (bdhdp= {BCG HL) —2 DF}: Aa —a)p, Ki=(ba-tho)r= {ZCK + Hi) —2 DH}: 4(ar—a)p, KH = A(edj—ad)p=e (E(G + B) FE + Bj}: (ae) ps L =(ca—aep= (E(K + Hi) H(F + E)}: 4 (a, —a) ps Lj = (dea—dhep= |F(K + H)_H(G + Fi) (4 (ar—ajp. Als men nu in elk dezer zes vergelijkingen (o7—a)p — 8 B substitueert, ontstaan er zes voorwaardensvergelijkingen. Derhalve blijven er slechts negen vergelijkingen over voor de bepaling van de elf onbekende grootheden; en het vraagstuk is derhalve onbepaald. 8. De uitkomsten van N° 6 zijn evenzeer ongeldig, zoodra Aj = Bis. Alsdan geeft 5 4 Z1 —B (CBB + (Cr-DA=0 en p= adj dus omdat ne (3B HA)" (B-Ai)—8A( B, (3B—A1)—2CA —{C1—D)A} DP En 4 A (B— Ai) UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 9 in den regel niet verdwijnt, moet p==q zijn. Dit geeft dadelijk A=B, B=b, O=D, E=F, A=G, Ak; ....(VD) zoodat aan de eerst gevonden voorwaardensvergelijking wordt voldaan. Men houdt nu over dA=?2p, F=(dtd,H2aatZaep, D,=2bbp, B=(a+aj)p, G=(tad +Zarddbe Hbep, Gi=3(bdi +hd)p, SC =(b+b, ++aaj)p, euh Kim (be, +het 4dd)p, D=(ab; +a,b)p, =(ae Hare Hedi +2Zeid)p, Li =(datd,ep. E=3(e +ei)p, = (ce Heep, Vooreerst is 2D (aa) = (U Hhj)a —(aby Haib)=(bHhja — WE 2D (ar—a) bi =(b + bj) a — (ab, +ab)=(b +4) a ET haar produkt geeft DE ì rr =—bhj{(a Hai) —4aa}, 2D OAh aa UH) (a+ of, als men 6C 2B D bn Ann ie eer bb n= substitueert, 3C 2 2BD/3C DD en (Care) aa — (fre) + Tt Eend): | SAC OE een in BR etn ee (7) 6C 2B. Et — daa, bh = IW | Bovendien is hier l D= AEN ne lead ee In IA De et (14) Dit geeft ons DN Al © 2 med 4d + 2(ae, + ac), ne = 2 (ad) + ard) + (ber + bic), waaruit volgt F G —2(a—a)d= Pai ne” + (b—4at)an + (bj — taa)e, id F 6 2(a—a)d, — grat Hb 4aape + (ln — dart)e; NATUUEK. VERH. DRR KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 10 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN en hiermede geeft de waarde van Gi, 4 2 AF 8 5 2 —(a—aj) = — (bb) + rd) H (blj-b + Aa arbAat bieb bi- + 4aarbi-4ar?b)e. 2E Nu kan men uit deze en de vergelijking —- —e + a de c en cj oplossen, ï A 2E (Ul)" + Haa) (ah—abj}e =S VH) + Hala 5} + \ 4G 4 2 G ze F4 (©) Eni (abad) — (bb), | 2E meh an (76) {U 6) In 4, (a—a;) (a ba 5} Oq= et (li (1—bi) Ed k [441 (a bj —a1 6) == | AG 4E ZG | gg CD teha) + Eh): | en hiermede worden de vorige vergelijkingen voor d en dj 4Fa—2G \ 2 ((4-01)? + 4(a-ar) (a B-an b)} (ama) d= EN {4-D)* + 4 (amai) (a bar b)} + 8E 4G Ar 2G 17 (aZ—arb) (a-a)b + {da (aoj) — (b-D1)} Gy) nn) rt zet} (72) 2 G—4 Fa, 2 {(b-b1)? + 4 (a—ar)(aby-a bj} (aman) A = {(4-A1)® + 4 (aa) (abi 5)} — 8E 4G aF 2G == Rd) (aar) —{ Aay(a-ai)—(b-l1)} Gen )_— nn | Verder leveren de waarden van ZL en Li Die 2 Li e—lL d Ed—lra 4 edad” 9 EE Te el va ten er teke fNanike sKentn d 5 A eh —ad ie e Derhalve blijven er over als voorwaardensvergelijkingen Ln (ee) — L (dd) rpl ee et ERROR Tekst © ef c dh | d ú a) Bied ada zoa) Oe (ba) edad ih — gE ET LE B) edi—C1 d UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 11 9. Eindelijk heeft men nog het geval te onderzoeken, dat de vergelijking (54) twee ge- lijke wortels a —a, heeft: alsdan wordt de noemer in de waarden van pen q nul. Uit de waarde voor p—g, in de laatste der vergelijkingen (5/) gevonden, volgt dan NE er VD Verder zullen alsdan de waarden der wortels 5 en bj der vergelijking (5°) mede nul tot noemer verkrijgen. Laat ons dus zien, wat de coëfficiënten ons geven bij onze onderstel- ling a, = a. A=p+g, SBi= pb gh +(p + 9)2a?, SB = Bap +9), 8 =palhin +25) + gab + 24), 3C = ph 4 Qb + (p + 9) 2a?, D= (p +9) bn, D=(pbì +4b)a, Etapa + ge) + (pd + qd), E =p(e + Zei) + q(a + 2e), A =(ptpald + di) + pien + qhre, F =ph Had (p+pele He), =pllbd + bd) + a(2bid + bd), G=peln +gba + Zalpd + qd), Hi =alpa + ge) + 2peard + gedi), H== pla + Zee) + q(e + 2ecj), Ki =plbe + 2dd) +q(he + 2 dd), K =2(ped +gerd) +alpa +ge), In =pda +gde. L =peen +qae, Dadelijk verkrijgt men en tevens AD AD ht SBA pt Hat) HH 2); waaruit volgt 32 D 2 B: ne tE a D,. Omdat nog 5bj = ri is, worden 5 en 4} bepaald als wortels der vergelijking REE ABS D D le geren. Rn (82) Verder is (» A eN / p nn en y= Br nd el Pd 12 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN terwijl de vergelijkingen voor C en Ci de voorwaardensvergelijkingen geven D AD 2 B° 3C=— Nee EE el ue (ele ter iete Uwe de rkieuds nie Weten, id a B ze ik (a,) 3 C 2AD 4 B° 2 rk ne A dOr 0 (b,) en hiermede wordt voldaan aan de voorwaarde, die uit de vergelijking (54) zoude volgen, BBF A) (BA) SAB IEB Ay (Ct DARO of naar (VIID, GALERIE SAN Or DIE AG EANB NCR O MENNE: (ab) Vervolgens is GAF + 2Hamclpb + ag —2gbi) + alg + 4ap—2plb); verbindt men deze met de waarde van Z, zoo komt er _ e+ 9)(G UM +2E a) E(qb + ta'p—?pb) \ 8(b—bijpg + (Za —b — bj) (4 —#°) | VAD 2B° B sSB'\ ABD (sars = Ni Neen Ei zl Bt +] B 3BD 2BD (AB* A RD ; sal 5 ER! pel Tt 2) AE ) (82) „Boh Aeg) LOGA 2e) La 3(b—bi)jpg + (Za —b—bi) 2 (9° —p°) RAD 25° BE) SB?\ 48D (34b-3B- Se + (eere Hul G Br Dn +D] | 5 En 3 B, D EED AB? A Br saf 5 — mtd Ee al Pad A B Daarop geven £ en Gj Al (ban —bg)— pgb d = ik (p-D(G2AH2 Fra) H B{-Aa (p=) 4 (bb) (p-g)- EE Gip-(2p+ pe Pp Da 3 (b— bj) p 1 zE (Za? ze bb) 2 (q: en 2) (bp-b1g) }: (Ahr) — rgb) = GRH 2 Ha) Ba (pg) H(bHDi)(p-0)-(bp=l1g)} nd rt) BE bpg + (Zat bb) 2 (q* —p") } UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 13 of na herleiding, 6BD AD ABD D AD AB: 2D Ef ek k (22 mig AU ls emt 5 5 Je | en. D Ent FBE, „(38 2 El D EE En Le ze end B A° ì Te (Se B A°N\A A A 431 4 DEDEN ABAD 2B° AD A SB (5 A i 5 B ti 6BD AD? ABD D AD AB a 5 rt Keeler) [eat 5 Sraa) (3B1 D 2B° GEN an Ee na D EEE B) 2D/3B, ee) nl ra B | 1 A B AA B 4 Bnn A ’ 3BiD 2BD 4B? AD \/2B2 AD A 45 en 6 3 es IE | ie 4 ) 5 B Ne en hierbij blijven als voorwaarden de vergelijkingen voor G en Z G=pbie +qbatZalpd +qd), ……...... wo & B Valge + pa) + (pd Hgd)........ en (6°) Eindelijk volgt uit de vergelijkingen voor L en Zi, 1 Be Ld 1 Ld—lie e= ed NS se, MENE NSR (8%) geh —ad Pp eh—ad waarbij de vier voorwaardensvergelijkingen EE SDE GO ACE enten ee et en Et fe) K=2(ped +qed) Halma +ge),........... (d) Hi=alpe, + ge) + (pad +ged), «ee (e‚) Ki=pbatghed2ddd;...... Npe er (fs) waar men ook voor de beide middelste stellen kan K— Ha==2(ped, + ged) Aace, ee (73) KH =(2p—g) ed, + (29 —p)e,e RAN IONA 2 (43). 10. Zij de integraalvergelijking (Hay tbP (2 Hay Hb (2 Hay Hbo) (2 + ary Hbo) =P; . . (C) dan is 1 ' l n t ' en Eat + a,y Adel Hir staag. …— rtaytb mtaytb, ztay tb, zt ay + b, 14 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN of p(lHay!)[a*H (a, + a, H 49) 27 H(a,2,Harag dosa) apt Ha, ag aa HP H(0, bs Hb) de (a, ba Ha, bs + a,b, Had; Habo H0,be) ay + (a, aabgHa,ash H03035,)4 + Hb ba Hbo Da + Ba bi) + (a, ba De Haa bebe + aad, bu HD, ba ba] Hala!) [a® + (as Haa + 0)a? ij H (ag Haza + ozayey Haza ary? H(bs Hb Hbo) + H(aabg + aab + agbg H asb Haba Habg) ay + (agasb + agabg + asabo)y’ + H(babs + bob + Dg b) ar H+ (ag bah Hag beb + abab3)y + bobsb] +r(1Ha2y!) [a° H (as He Ha) ay + (aga Haga Haar) egt + azaargs H(bstb tbe + H(asb + agbi + abs Hali +ambshabley (agar Hasard + mabg)y + + (bsb + bsbij + bbij) + (asbby + abgba + arbsb)y + b3b bi] Hs(lHasr)[a® H (u Har Hag) a?y H (aar Haar Haag) ry? Haar arg? + (bb Hba)r + +(abi + abe + arb + ar ba + aah + aah) vj + (aarba Haal + a21b)i + Hb Hbb2 Hb bo) a + (abbo Harbby + arbbi)y + 40152]. Daar deze moet zijn van den vorm (Aa +3 Ba?yt3Coy? + Dy Ea Ury H Gy 4 Hat Ky + Ida + (Ara 43 Bie? HBO pH Dy + Eu +2 Frey + Gyra; Kin +Li)dy — 0, IX) heeft men daartoe det et 8B =— p(a, Ha, +a,) +q (0, + as Ha) + (a, Ha Ha,) + s(a Ha, + 43); 30 == p(a, aa Ha ag-haseg) + q (azagtasa Haga) Jr(ag a Haza, daa,) Hslaa, Haa, +a,a,)s D= pa, agt, + gagaga + ragaa, +saa, as, E =p(biHba tbe) +0 (ba + ba HB) Hr (ba HB Hb) HSE Hb, In, 2E =p (a, ba Ha, 03+ ab, Hag bg + a3b, Has ba) + (abs HagbtasbeHasbtabeta b3) + +r(asb + asb, Habs + ali Hai bsHarb) + slabet abatarb Har be +azbHag bg), G == pla,a,b, + ar a3h, + anas b,) + g(asagb + ag abs + aza ba) +-r(ashbj +agzarb +aarbs) + + s(aar bo + a aah) + 47 09b), Hp (bi ba bibs + babs) + q (babs H bob Hbab) + r (beb HbabrHlbi) + (bn d-bbat bibs), K == pla babs + aabg bg + az bj be) + g(aabs b + ag bob + ababg) +r(aghb, +absh, +arb3b) + hs (abi bz + ar bby + a2b bj), L==pbibabs + 7bab3b Hr b3bbi 4 sb bj da, A= pad qa drag + sas, 8B,= palm Hag + 3) + qarlas Has Ha) J ras (ag Ha Ha) +sas(a Ha, Hap), 80, = palaas + aag + aga3) + gar (azag Haza + asa) + rar(aga Haza, + aa) + sas(aa, + aag + aj 43), D,== paajazas + qa asaza + razagaar + saga ar ag, UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 15 E‚ — pals + be + ba) +9 ar (ba + Za Hb) H raa(Da 4 Hb) + vab ha + bi), 2E, — palar ba Hay bs Haan Has bs Hast +asba) + g ar(aabs +asb Hash Hash Hube +abs) + +ras(asb + as bj + absHabj Harbs + ab) + sas(abj Haba ab Harbe +azb +-42b1), G, == pa (ay aabs +arasbotasasb) + qa (agashHagabs +asabs) +rag(agabj +agarb Haars) + +sas(aar ba Haagh) + aj ab), H‚= palbiba +bibsHbabs) +gar (babs HbabHbab)Hras'bsb +bsb + bbij) + sas(bbi +bbo +b1be), K‚ — pa (alas + aohilgtasbibe) + qa, (aabsb + asbab +abab3) + ras(asbj Habs/ + arbsb) + +sas(abjòs + ar bb, + a2bb)), L, == pabi babs + gar bobsb + r aa ba ba + sas b bi ba. Vooreerst volgt dadelijk SB+ A, GA í =—=a da + as + ag, Ie =aa Haag Haag + ara + ara3 + az as, í TC) D4+3C, D (9) TR = 4443 + aajag + aasas + aj az ag, 7 aes; zoodat a,aj, 29,03, de wortels zijn der vergelijking Aat —(3B + Aja? + (CH B)3at—(DH3C)atHD=0..... (9e) Vervolgens is achtereenvolgens SBAa=p(—ata ta, as) +7 (ag Hag) Hr (as + ar) + sla, + ap), Aa" —3 Ba + 3C — p(ajaz + aras +4 @a4z + a*—aas—aas) Hg arty + rasa, + Sarda, je (9% Aa’-3 Ba +3Ca-D= Pp (araga + ajaga Hosaga + a*—a) a°—ag a°—ag a*—aj 4343) — ) =p (a—aj) (a— ag) (a—as) ; derhalve zl Aa*— 3 Ba? + 3 Ca — D Ei (a—aj) (a—a3) (a—as) en evenzoo (9e) fés Aay°—3 Bay" +3 Cay-D) Aag°-3 Bas” +3 Cag-D Aas°—3 Bas° +3 Cag-D ee ee re (ar-a) (aras) (armas) * 7 (aso) (agar) (arran) (ag-a) (as=a,) (asas) Bij de beschouwing van ons twintigtal vergelijkingen, ziet men dat telkens, als men in het algemeen voor eene letter X stellende, Xa—Nj neemt, de p geëlimineerd wordt ; even- zoo bij Xa Xi, Kag—N, Kag—X, worden de q, 7, s geëlimineerd. 16 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Nu is 3a'(Aa—Aj)—6a( Ba Bj)—3(Ca— Cj) = sf Aa—(A, + 2B)a + (2B4-O)a—Cif= =g(a- a) (egag-aag-aag + a°) + r (a-as) (azay-aag-aa, + a°) + s(a-ag)(arag-aar-aag Ha')= =(q +1 8) (aai) (aag) (a—as) = (A—p) (a—ai) (a— az) (a—a3) = == A(@— aj) (a—ag) (a—as) — Aa° + 3Ba*—3Ca—D, met toepassing van de uitkomst (96). Evenzoo is a (Hali) — Za (Fafi) + (Ga— Gi) = q(a— ai) (azag—aat—aas + ab + + r(a—ag) (agar—aag— aar + A2)b + (a—az) (arag—aar— aag + a?)U; en dit geeft nu „EELDE (Af Ga SAE PER GE op dezelfde wijze vindt men (9) La (Ei 2Par + (ZM + Gar Gi ; _ 1Za tja (RAF G)as-Gi 18 Aard H2B)ar H(2B HC) °° 3 dag (dr H2Bas H(2BH Cas-O,’ 1 Hag — (Ei + 2 jag + (ZA + G)as— Gi TS Aaf—(A + 2B)us® + (2B, + Ojee bs En hiermede zijn de twaalf grootheden a, aj, ag, ag, sq, 7 8, 0, Ui ba, bs gevonden. Er blij= J 5 ven dus acht der twintig vergelijkingen, als voorwaardensvergelijkingen over. Deze zijn vooreerst de niet gebruikte H=, K ==, es EL Kh =, Diver de r(alk Maar bovendien moeten er nog twee bestaan tusschen de gebruikte grootheden Z,F,G.E,/, Gi. Schrijven wij deze daartoe in den vorm E=bi(p drs) baloe) + bep Hg Hr) + bg Hr + 8)p 2E — bi (p (aa + 23) + r(a3 Ha) + sla + 45)} bef (an + a3) F9 (as Ha) Hslatan)} + Hba (plan + a)Hg (agt a) + (aar) + Og (as + 08) + 7(astar) Hs (arhas)}, G == bi(pazog + raga 4 sla ag) bo (plarag + Qasa Hsaar) + bs (p araa + qaza + raa) + +6 (qagas F-rd3di + S a1 03), Er Ilpar + rag + sag) + belpa + qa: + sa3) + bs (pa + gi + rag) + b(qar H raa + 803), 2 (welasHa3)Hraglaga) Hsaslata2)} + bs {palar Has) Hgarlaga) Hsas(a Ha)} + Hlsfpalen aa) +aarlaaha)Hraglaha,)}U{gar(en+as)+raalason)+ saslartos)}, Gr Ilp Ar oasa Hal F0 Hs) aag H lalp + q + r)aanas HU Fr + s)enasas UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 17 De eliminatie moet hier dus twee determinanten geven, beide gelijk nul. Vorm daartoe de matrix Iste kolom. 2de kolom. pre Ptgte pazas + rasa 4 saas paas + qasa saar pa tras + sas patqa sas (pr + s)aagas (pq + 5)aajas plaa Has) + r(as + a) Hs (a + a) Pla + ag) + q(as Ha) + e(a + aa) Palas Has) +ras(as +a) Hsas(a Has) | pa(at as) Hg ar (agHa)Hsas (eta)) 3de kolom. 4de kolom, 5de kolom. p+r gtrte rn Paas +gaza draa gaas + ragar + sa az —_G patga tras qa + ras + sa, —A pHqHr)aaras (a Hr + 8)a azag — Pla H a2) + q (as Ha) + r(a Hai) 7(aa Hag) Hr (as Har) Hela, Has) |F Pala Has) + garlas Ha) Hras(a Ha) | garlasdas)HraglasHar)Heas(ar Has) | —2 Fi Tel alle drie eerste kolommen op bij de vierde, dan wordt deze S(p rr 5) —8A, P (agts-Farag Harde) 4 9(asaagatazas) H r(asa HaarHajag) + s (aasHaar Haas) =3C, S(pa 4gar +rasHsag) =d, palasagHaragHa,4s) +gar(aas Haag Hazag) +ras(aag Haar Haag) +sag(aag Haar HAics)— 3C1, Up(ar Has Has) + 29 (as Hasta) + 2r(as Hadar) + Lela Ha Has) =6D, 2pala Has Has) +Pgar (as Hasta) HZ ras(astador) + Lsalada Has) —6B. Vermenigvuldig de Iste, 2de en 3de kolom met a,,as,a; tel dit alles op bij het produkt van ag met de 3de kolom; dan wordt deze Plan + aa + 3) + (as Has Ha) Hr (as Ha Ha) Hela Ha, Has) —sD, 3 (parogas + gagaga + ragaay + saaja3) =—=8 D, pala + ag Has) + qa (as Has Ha) + ras (as Hat a)) + sagla + a Has) —=öbì, 3(paayagas Hg ar azaga + razasaa + $434 aj ag) =D, % (plaraaHaa,Hazas)Hqlagag HagaHaga) + r(asa-hasa, Haar) Hs (aar Haagta,ag)} =6 C, U palarag +a1as +-4373) + (agagHagaHaga)+ras(osaHagar Haar) +saglaa) Haay 010a)}= 6. Tel de 1ste, 3de en 4de kolom bij het produkt van (—2) met de 2de kolom ; deze wordt daardoor 3 NATUURK. VERH, DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 18 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3r =3r, plazas + azag— aj 23) + (apa Haars — Rasa) + r (age Haar + 0703) Hslaag Hajar Zan) = er mA den 8D sE Sr 4; as A ag? Br az == 7 A3, palagzg + A79 — Zaag) + gar(aag Hagag — Zaza) Hrag(aga Haar Hayes) Hsaglaag Harde — Zaar) =d —3(4—r) De Aag p (Zaag —a) + q (Zas —a—as) + 2r(a Jas Hay) + (Zag —a—ai) = SB + 4 == Bas(d—2r) —3B + rd, pal(las—as—a) +garlZag—a —as) + 2rag(a Has Hay) tSas (Zara) = SB 4 == 8 a2{A, —2ra,)—3 Bi + 3ra, ne Vermenigvuldig nog de 2de, 3de, 4de kolommen met —Za,, ag, a, en tel alles op bij het produkt van a, met de eerste kolom, dan wordt deze p(ar—Zaghas) Hg (—Zarasta) rar Hasta)Hs(am—Zagta) =3B Baldr), RN 8 raa as BT p (aa, —RZaag Haag) +q(— Zar agdads Haza) Hr (agaydazag Haga) + slager — Rag Hast) == ö) B: — 342 {Ai ij 42), Di 8 raads Qs a pl—ajas J2azag—a373) (Agg aag Zaag) H2r(ajag Haa, aag) J-s(Zaaj— aaa —ea)= 6 + D 3D Ir C; 30 Edd, Aa, Mar A Ag pal—azaad 2ajag-aat3) +qar(—agas-aag J- Zaag) H2raslarag Haar Haag) Hsag(Zaay-atg-aag)= 2 sa Drang San == Û Ze r) + 87 Fi 5 Nu is reeds alles tot a, en 7 teruggebracht. Ter vereenvoudiging trekke men nog a, maal de 2de kolom van de 1ste af, dan wordt deze eindelijk B— Az A, ed Cas + TD Bj —as Ai, D Ren Ci Ag + =, dg UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 19 3B4A D(A 3 2rD BHA —as(A—2r) Has arte AD nnen. It d Aa, as’ 4 CH Dj Dr—(A—2r +1) Ch A-——á4r C— _—_ 6 EE en + (2 3 Bi # r) ee a, 1 E Di az’ ’ 3B EE: mn vraa dr) + Bras (Cr en Leng t A A dag 3B 4 A C+ D —8 ant nr tral Br TE Ser at pa, P, aa wanneer men de vergelijking (92) toepast. Om nu onze determinanten te verkrijgen, neme men de vier eerste regels en stelle daarboven telkens den 5de2 en den Gden; dan vermenigvuldige men met ag* om de breuken te verdrijven; eindelijk telle men — 5 Xx den 2den regel bij den 3den en 5den regel, — az x den 2den regel bij den 4den, 5 B A» en (z ag en den 2den regel bij den 1ster; en herhale dezelfde bewerking bij de tweede determinante. Op die wijze verkrijgt men as(3AB +3B + Ai) Has? |(Aas-Bjas{(2 ABas— |[(2Aas— [(24Rar—- \ (3AC+9BA—3B HA BH (3B*4-4,B-| (3B+41)}| (3BE+ALE- | (C+Bi)6r}-as (2AD+3AO + 24C)}as’, az, —2 AF) Jas, 8Ch—(DH20)3r} + AD, (A—Ar +2), mi Ba EA, 2 ADB, A, AB, Ce) A Cast HA Das’ +A Di, aa— BD [(Cas-D)ag, | ADa2*— BD, | Cas'-Di, | AGast—DE, Cas — (di + L)as +Bi} A, 0, (-Baz4Bj)A, |—Aaa + Ar, | (-EaoHE))A, —dACas + ADa+(AB— BD), | Crag— Di, (A Ag B) Di, Cras me Di, AGjaa— ED, en as" (3 A? + (3B + Aj)r) + 40° (a2d1-3B))| (2 A Bast — (2 Aas d |{2A Bast {6 AB + AA, —(C+Bi) 6 r} aa’, —(3B*+AB-| --2 Bl (8BE+-AE- Í —a{3 AC H3B*H A, B— 2 A C)} ag, —(38+41)} —2AHi) Jas’, {D45 C)5r} +AD(3A—SBr), ag’, 5 (— Aas+ B) A, #, A B, A, A HB, (e,) ACas*+A Dag +A Dag B D,, (a20-D)az, A Das +BD,, Cas — Di, A Gas?-Di B, Cast — (Ar + Bart Bi} As, |0, (-Bas+B‚)A,, | -Aas*+d,, | (Zag HZ)A, —ACas* + ADrar (AB BD), | as —D,, (Aras-B) Do, | Crag— Di, | AGhas-ED,, | 3 20 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN waarbij ter wille van de duidelijkheid de regels door komma’s en de kolommen door vertikale lijnen zijn gescheiden, en verder ter herleiding der eerste gebruik is gemaakt van de herleiding en zE ae GE Sp Ser) Et, 3B tad gaf + ZAjr S Dr (A —2r+41)C, De | BBA en A + 32 4 hr 2r— 1)C + Di(A—Ar) =—e(25 Je or el 2D430-8 tar { SCH 9B- | +D(A-Ar-2), waarvoor weder van (9%) is gebruik gemaakt. De determinanten (6,) en (c‚) bevatten nu slechts de az en 7, die later door middel van substitutie uit (9%) en (9°) verdwijnen. 11. Deze oplossing gaat niet door, wanneer A —=0 is. Tengevolge van de vergelijkin- gen (9) moet dan ook 3B + A1 =0, C+ Bj =0, D 430 =0, D=0 zijn; men kan dus 41, Bi, C en D, als afhankelijke betrekkingen beschouwen. Gebruikt men dan de onderstelling 4=0 =p 4 q + r + $ om de s overal te elimi- neeren, zoo behoudt men 3B — plas —a) + q(as— ai) + r (as — as), 8C —=p(as— a) (ar + aa) + q (as — az) (a + az) Jr (as —a2) (a + aj), D= p(es—a)arag + glas — ar)aas Hr (as — az) aan, B == p(bs—b) + q (bs —bi) Hr (b8—!2), 2F =p {(es—a) (0 + Da) + (Dab) (aa + «2)} nd g{(as=—ai) (4 + Lo) + (Lg — bi) (2 + «3)} — + r{(as— 2) (b + ba) H (ds — ba) (a + a1)}, G — p{(as—a) (abe + aabr) + (be—b)aa 12} + 9 (agar) (ala + 020) + (babi) 20} + tr (lana) (aha Han) + (le — U) cn), H == p(bs—b) (li + be) + q (ba — bi) (Db H a) + 7 (bs — ba) (b + bi), K — p{(ls — 4) (ar ba + aabi) + (as — a) babi} + q((bs—bi) (a beh 225) + (ag—arjb de} + Hr (Os — Da) (abj Han b) H (as — 02) bla}; L == p(bs— b) bi ba Hg (bs — bi) bla Hr (bs — ba) bn Erp { (abs 480) — (as —a) (la + bo) } +9 { (an bg — as bj) — (as— an) (b + ba) } + + r {(aobg— a3 bo) — (ag — aa) (b + Zi) }s 2=p { (abg=a3b)(ar + ag)(ag-a)(a1be +427) } +4 {(anbs=a3)1)(aH 02) — (as-ar)(abe + agb)} + tr {(aabg— ag Dg) (a Ha) — (as— 2) (ab + A1 bj} » Gi= plals— asl) araa Ho (arg — az bj) aan H- r (ag bg — 03 bg) a aj, UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 21 H,= pi (abs—asb) (UH ba) — (ag — a) babe} Hg (ande — as bi)(b H ba) — (as— ar) dba} + Fr {ag bs — as ba) (b H bi) — (as—a2) bla}, Kj=plals —asb)(ar ba + a2bj) Hg (ar bs —a3 by) (ala + aa bj Hr (agbs — ag Da) (a bn + 016) Li == plabs— as 5) bn Ja + q (ars — 43 bi) bbs J- r (aa bs — ada) b br Hieruit volgt Ba) == plas —a) (Ui + ba +5) + 9 { (as — ai) (b + ba) + abs — abn — ay bs + ash} + Hr (as— ag) (Db HH) H abs — aba —aah, + as ba}, UFa-F)) =plas—a)(atn + abs Hale Harbi Hat + ab) + Hg {(as— ar) (abh Zala HasB) + (at az) (alg —ala — ar be Has bi)}+ + r{(as—ag) (ad + Zah + arb) + (a + an) (abs —a bz — aas + a3da)}, Ga, =plas-a)(aart, Haash +129) Hgal (agar) (ala Haa)) + (a bg-abi-ars +ash)as} + + ra{(as—as) (abi Fab) + (als —abo—arbs + aso) an | ; en verder (Ea—BEj)a—? (Fa —F;) == p (as — a) (ali — amb — ab — a1 fs — a) — — 4 {(as— on) (alah a2b) + as (abs — abi ads 43 b) }— —r ((ag—ar)(ab, + 210) + an (ala — aa — abe + as bo) Jo (Baja -2(FaF‚j} a + (Ga — Gi) = p(ag— a) (2°b —aajb—aard + a 426) = == p b(ag —a) (a2— 4) (an — 4). Maar ook is 3 (Ba — 0) = p(as — a) (a — a3 — aj) — gas (az — aj) —r aj (as — 2), (Ba—C)3a + D =plas—a)(a* —aja —aza + a, 43); zoodat men tot de beide uitkomsten geraakt 3Ba*—3Ca dt D - An Ean hel 4 EEE PE (10) (as — a) (a, — a) (ar — 4) en Nn 2Fja +(2MH Ga (104) 5 3 Ba*—3 Cat D Wegens de symetrie van onze vergelijkingen is het duidelijk, dat men hieruit 4, 52, bs verkrijgt door a te veranderen in aj, ag, 43; evenzoo g, r en s door in den teller van p dezelfde verandering te brengen, en dan voor den noemer te schrijven (as —aj) (ag—a;) (a—ai), (ag—aa) (a, —as) (a—a,), (ay—ag) (ar—ag) (a —a3). Er blijft nu slechts over, om de a te bepalen. Daartoe heeft men 3(Ba + C) == plag—a)(a Ha, Has) + 9 (az —ay) (ag + Za) Hr (ag —a3) (a + Za), 22 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Ka—Ki=plag—a) larbab Haagh Habiba) +q{(ag—ar)alba + (abs-ab-arbsHastr)(abs +a2b)}H dr {(ag—arjabb, + (abg—ala—agbstasbe)(05j +015) }, Lal pb bablas—a) + qbbglabs— abj— abs az la) + rb bla bg — a boa Hasle); waardoor vervolgens (EaZi)—8 Bb =p (as) (bi + beb) Has) (Ue) Halg at arde Haa} + + r (ag — aa) (bj —b) + abg—alba—asbg + as ba}, UFa— Fi) 3(Ba H Ob == plag—a)lal Hats + abs + ash, — ab) + q{(as—aj) (Za By — ab) + (aag) (a bg a bi — an bg das li)} + Hr ((ag—ag) (Za bj —ab) Hatan) (aba be— aa bs as ba)} ; derhalve — {((Ea—E)—6 Bihat {2(Fa—F)—(Ba + C)3b} =plas— a) (ar be + aal) + + g{ (as — arabe + ag (a bs —abj — abs + a8bi)} + + r{(ag—asab, + ar (abs —abe— agbg + 43b2)}; en eindelijk (Kaki) +[ (Bai) —6 Blija (2(Fa— Fij(Ba + 0)35} \b=p (as— aja br bat a + q aba (abs —abj— abs + ds bi) +rabilabs — aby—azbg + as be) — (La — Lj) 5 of rangschikkende naar 5 s(Ba 4 Ob 2{(Fa—F)H3 Bajb + ((Ee-Ej)a +(Ka-Kij}b (Lala =0, dat is volgens (102) 8(Ba 4 Of Ea —(E + 2F)a' + (UA + Ga Gi} — —_{(Wa—Fi) +3 Ba}(3 Bat —3Cat D)(Da'— (A 42 F)at HU Fipa Gi} + 4 (Baja (Ka-K)3Ba—3Ca 4 DP (Ba — (A2 Fa +(2 AH Gai} (La Lya BB =3 Ca IDO EN REENER (10%) eene tiendemachtsvergelijking voor a. Er blijven hier, behalve de oorspronkelijke waarden A=, A=—3B, Bb, 3C=—-D, D= 0, «« « « (as) nog de twee voorwaardensvergelijkingen Jil Ei ==) Oh fd CSP OE ORO De (be) UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 23 die nog niet gebruikt zijn. Er moet echter nog eene worden opgespoord, die men op de volgende wijze vindt. H Eb plbs—b) (bj + beb) 4 (bs — bi) ba + 7 (bs — bo) by, LE (H—EIb — p(bs —b) (bi ba — bi b— ba — Lb) — pls — (be — b)(bj —b). Derhalve (3Ba* -3 Ca + D)(4s—4) (ba—b) U15) = (Bb — Hb + L) (as —a) (a—a) (ar—a), . (c4) waarin nu de gevonden waarden van de a en 5 te substitueeren zijn. 12. Evenmin geldt de oplossing van 8 10, als a —= aì is. Volgens de vergelijkingen (10) en (102) is dan ook 4 —= 5), q =P, zoodat men heeft A=2gtrde, SB —27(a; Has + a3) + r(2a, + as) + s(2ai + 43), 8C —= 2q(aras + ajas + aaa3) + r(ar* + Zagar) + sar? + Zasa;), D= Zgaragas + rar as + sar“ as, B =2g(bi + be + ba) + r(Ub HD) + e(2bi + ba), AF = 29 (ar boHarls Hast Hash Hash ala) + 2r (ag HarlaHarbi) +2s(arn HarbeHaali), G=2g(arasbs + arasla + azast)) + r(2 Arash, + ar ba) + e(Zarash + a1° bp), H == 29(bils + bibs + babe) Hr (Us + U) H e(2 bj be + b7), K == 2g(arbabs + asbbs + agbibe) + r(2arbibs + asbi) + a(Zar by be J ap bi”), L=2gbi babs + rbi bs + sb? ba, A=?2gar + ras + sas, SB 2galar + as + as) + ras(Zar + az) + saz(Zai + as), 3Cj=2ga,(azas + ara + azas) 4 raslZajas + a?) + 2sas(Zaj ag + aj”), D= 2gaazas + ra,?azas + sar asag, Em 2garh + ba Hbo) + ras(2li H- bi) + sas (2 + ba), Mm bgarlards Habes + ash, + asbs Hast, Hands) + Zras(asb + ar be + ar bij + 2eas(asb) + aj bo + a, bi), == 2ga (aande + arash, + azas bi) +ras(Zarashn + ar” ba) + sag(Zay aah, + ar” bo). Hi 2gar (bile + bibs + babe) + raa(2b, bs + h1°) + saa(2biba + b®), Kj= Zar (ar babs + arb; be + az Di ba) + raa(Za,bilg + as bi?) + sas(2 ar bi bo + an bi°), D= 2gabidsbs + ragln* bs + sas bi ba. Men leidt nu achtereenvolgens af 24 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN ES za ta tas EED rt za + 2a1as +- ds as, => LEN atas dus EN nnen ED at za (a + a) + ad ran == aj (ag + 43) + 2 ar (aza3), — REE Substitueert men de az + ag en azag uit de beide uiterste in de beide middelste vergelij- kingen, zoo is 8 Aa*—2 (3 B + Ai) n° + 3 (C Ee Bija — Di == 0, ze (A16): 2Aar*—(3B + Aja’ + (DH3C)ar 2D =0; ( ) twee vergelijkingen, die beide kunnen dienen ter bepaling van aj. Men kan ze echter door eliminatie telkens herleiden, en verkrijgt dan GB + Aat —6(C + Bar +3(D +3 atd g 4Aa—3(8B + Aar + 6(C + Bi)a—(D +30) =— (BA(CH Bi) —(3B 441) 3aP + {BB + A) (C+ en +16A4D, —(3B +4) (D +3) =0, (16AD— (BBH A) (D +30}? ((CHB)(DH3 CO) — (3 BHA) Di} 6 1 24(CH Bi) Di —3(D +30) =0; (112) [6 AD—(3B4A)(D+3O)} ((3B+ Aij (C+ Bi) — (D+-30)2 4} — —3(SA(C4+Bi) — (3 BAD} (CHE) (DH 3) —(3B +4) Di} Joan = [27 {8 A(CH Bi) — (BBH A1)°} {SCC + B) Di (DH 3 O)2} — —{16AD—(3B + 4) (D 43016 AD (BBH A) (D +3 CH en A ani — {16 AD —(3BH 4) (D 4-30) {16 AD — (BB +4) (D + 3 O)} Jan = = | 6{(C+Bi)(D+-3 O1) — BBA)? D| {16AD,—(3B4Ai) (D430)} — —18{(3 BH 4) (C+ B) (D43C)2AHS(CHB) DD 430)}} / (11?) Beide laatste vergelijkingen geven nu de aj, en daarenboven, na deeling, eene betrekking, die er noodzakelijk tusschen de coëfficiënten bestaan moet. Heeten die vergelijkingen Pa — Q, Pia = Q, zoo moet zijn UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 25 Voor de aj heeft men hier nog Aaz*—(3 B + Aj)as® J- (C - B)3 a— (D + 3 C) az + D, = 0, CON (11°) en dezelfde geldt voor ag; terwijl ook de beide vergelijkingen (11) voor a, aan de (11°) voldoen, zoo als behoorde, want deze geven daarvan de twee, thans dubbelen, wortel. Verder is 6B— 3 Aar =2gl—a + Zas 4 Zag) Hr (a, HZ a3) + s(aj + 202), 8 Aa —6 Ba, +3C=2g(aj —aj az —aj ag + az a3): dus 8 Aar —2Ba, + C ENE 2 (ay —a2) (a — 43) Nog is SB Aag= gla Has) +r(2aj — az Hag) + Zsa, Aar —3 Bag 430 =2gajag tray +2azay — Zaza) Hag? — az 43) +307”, Aa —3 Bag? +3 Cay D —=r(ay?ag + Za, azag == Za) ag? + ag® — ag? ag — Aj A3) = = r(az—a3) (ay — 42)*, waaruit ; terwijl _ Aas’ 8 Bas +3Cag—D (ag — 43) (ay — az)? 3 terwijl evenzoo $ = erdee $ (as — 42) (a, — 43)? A Nu moet nog de 5, gezocht worden; daartoe heeft men da, — dj =r (aj — a2) + # (aj — a3), 8 Ba, —3 Bj =r(aj—ag) (243 +43) + s(aj —a3) (aj + 43)» 8Cay—30j=r(a, —ap)(aj Hagar) Hela, — 23) (ay° + 24341), Ea, —Bj=r(aj—a9) (2D + b3) + s (aj — ag) (2 bj + ó2), Fa, —F=r(aj— ag) (agt + arbg +41 di) + s(a1 — 23) (agt) + a da + 2101) Gaj —Gj=r (ay — 2) (Za ag + a1?bg) + 5 (aj — ag) (2 a) 227 + 21° ba); waaruit nu wordt afgeleid (Lar-Byay-(Fay-F) =r(a,—aa) (ary — gbi) +e (ay—ag) (aya) =r (erraa)Pi(arraa) + hs (aj — ag) bj (aj — 23), (Aa, — 4)Bar— 3 (Ba, — Bij) = (r + 5) (aj —a3)(a1 — 25)» en dus, na deeling, 1 Za Et Da A AE (117) 3 day? — (dj + Ba + Di bj= NATUURK. VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL XVIII, 26 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Evenzeer nog Fay Fa (Gay Gj) =r(ay— ap) (ay ij — ar ag bi) + s(ar— 03) (bj — 7 a bj, 8 (Ba, — Bay — (Cay) =r (aj — ap) (ay? — aj ag) + s (a — 3) (ar — aj 0), en dus, als men deze op elkander deelt, 1 PaP (At Gat Gi 3 Ba? -BtOath Dn Beide waarden voor 4} leveren nog als voorwaardensvergelijking BEat (BE +BF+BE+CHja’ + +(BF +BB + BF CE CFC jat (CB OF HBC) th = APart (AR HAAG HAP HBD) a+ H(AG HA FAG BA BG+BI) a? GH BG HB + Bia + (be) waaruit nu door eene der vergelijkingen (11) tot (11%) de aj moet worden geëlimineerd. Voor Zg heeft men weder 1 Baf (E42 Mar + (LMH Gag — Gi 9 vee sten (AE) 3 Aaf — (Aj +2 Ba + (UB + Oa, — Ci lg = waaruit de Zg wordt afgeleid door a, te vervangen door ag. Deze a, en ag moeten dan later worden geëlimineerd. Verder heeft men nog als voorwaardensvergelijkingen HI K=, Dis HS: N= ln == . Peg o ((@s)) 13. Eindelijk kan nog a=—aj (dus ook b==b; en p==g) en tegelijk az =ag (dus ook bz==bg en s==r) zijn; in dat geval heeft men 4=2(q 47), A= ga drag, 3BR=2g(a, +249) + 2r(2aj +09), 3Bj=2g ar (ar + 243) + 2Urag(Zaj + 43), 3C—=2 gla? + Vaag) H2r(larHLaj00), 32 gar (ast 2702) + 2rag (ay 4 24743), D=2gaj ag? + rar ag, D= gaar H2ray ag, E20 (bj + 2b3) + 2r(2D + bo), B=2garlby + 259) + rag (26) + bo), 2EAg(arbgrooh +aaho}+Arlagbrtarbgtarbi), LA Agar(anPgregbrtoole)+Arag(agbtanbgtard), G=2g(Zajagho+aa?bi)+2r(Zaragn abe), Gr2galLajagbytagtb)) +2raglZajaoh +4-41°b3), H=20 (2 bla Hbo) H2r(2bjlo tb), MMT 2gar (2 bib bo?) + rag (Ubi bo + bi°)s K=2g(arba?+2aahiba)+Lr(Zorbibotagbi®), Kr 2garledpt+2agbbo)+ 2rag(Zarbiba+agbj°), L=2gbjbe + rb bo, Io =2ga bib? + rag br be: UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING, 27 Alsnu is 3B 4 Ay=(artadtlgter), (CH Bj) =2(q +7) (ay + daj ag + 09”), a VR dj Aj == 1 + dg gn Lo 2 A 8 42 derhalve zijn a, en aj de wortels van de vergelijking 8 Ata? —4A(3B + Aj)a {12 A(C +4 Bj) —(3 BH Aj)?} =0..... (12) Verder is L L L zr 2qbgt2rbj, B (lbo) (gtr) = (bg) A, Hb bg) bbl tr)=b bad; 0102 bb bbs zoodat (bj Za) en (by +43) de wortels worden van de vergelijkingen N/ 1 L NT en (z- gs) en Wort bide) HIBA OH) 4D 1”2 AN HUP AE (bh b)PH (AH— ER) (b Hb) (HEAD =|" " "129 Nog moeten q en r worden bepaald. Aag— A; Ada (129 nnn Vern Rems se sle ale ne ers : ee) U (23 — 41) Hier komen voor als voorwaardensvergelijkingen, behalve de niet gebruikte, D-,2F=,G=,Kk= Sh D= lis. (a,) nog twee andere, die men aldus vindt, 3B—3Ay=dg—r)(ag —a), (C—Bi)=g— rag ar”), 3D—BC=Ag-r)(aj—ag)arag; waaruit 0 BEE GD _8(C4+B) (GB +4) nee a TE a PT naar de vorige vergelijkingen (a). 14. Op dergelijke wijze kan men ook differentiaalvergelijkingen der tweede orde opsporen, die eene gegeven integraalvergelijking zouden hebben. 4 28 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stel deze bijv. als in $ 2 (eday tbpPlehaytbyf=P;.....e ene (A) dan is achtereenvolgens pledagtb)(l Hay) +gle dagt D)(l Hay) =0, Pt)(lHay)(l Hay) olet agtbdey +gletagtbdag! =0, of Pt DUH (eta) Haag?) {pabrt gard (pat gade gea} =0. Deze moet nu den vorm hebben AS By dy? H(DAHErtFyg'=0;. ee (Xx) en daartoe moet zijn A=pdg, D=pab, +gab, B pleo), Si ar C =(p + q) aa, —= F =p gaa. Hieruit leidt men af Loy B Gar an= 3 dus a en aj de wortels van Aa? — Bat C=0;.{ verder E— Aa, Aa— E Dn q= ON IA RN re Of OO Hr aj adj Nu blijft er alleen D over ter bepaling van de 5 en bj: het vraagstuk is dus onbepaald. Men vindt echter korter Al El Ea Ln ESD a Aj a— dj a dj a— U} 15. Deze oplossing gaat niet door, als g== aj. Men heeft dan A=pdg, D=alpb; +96), Be=(p +9) 24, E=(p + 9)a, C=(p +9) @?, = F=(p ge. Dus E B 2C == Sn ne els ele eo Nie mfe nn eral eke 14 LT mk B’ oe UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING, 29 waaruit als voorwaarden, Maar D moet nu alleen p, q, a, en %} leveren, zoodat de onbepaaldheid van het vraag- stuk in het oog springt. Maar nu wordt ook (X) B? 1 : en eren (XI) eene volkomen differentiaal van de eerste integraalvergelijking n 1 1 Cyy aa nde) fee ALT Tra aneh et emee sels (XI) 16. Neem verder als integraalvergelijking (2? HZazy by der 2dy HeP (a HZayzy li HZart2diyte)! =P « (B) van 8 6; en differentieer deze tweemaal, ple? Haeg big Hee hZdiyhe{(e Hayte) lar tby td) + 4glet hazy by ter 2dyto)(e Haghe) Hlartbiy ddy) =O, Upd D{e Har He) Hlaetbiydd)y} {e +ey He) + (az +iydd)y} + Hoet Laeytbireet2diyte) (lay H(atby)yHardbydd)y}t HglettarytbyttLerd dy) Ha Ha Hlf) Hae Hy), of (Bp)? H{(par Haa) Hp tD)laHa))2ey + (bi Hal) (od g)aa} st + {pa +ge) Hw De He) }2r + (pd: 0d) + (p +) laa Hare }2y + {wa Ha) Hp DZee}l Hof (pe Haga) Hw to)le Ha} + + {(ot0)ZaarH(pt-0) (Zaar HoH)}2er + (pebyHaad) Hp) (ab) ra10)} 29+ +{2(wacr Hgar) + (pH )lae Hare +d Hd) 22 + H{WUpady+gard)(p+)(ady Hard Hber bie} 2H(p zer Haar) + +Ha)(ed +1) |+ Hy (wb 4abi)H(pH0)2aar} et + (part dga) Hp +0)(al+ab)} Zag +9bbig 4 (pbatabe) Hpto)led Hard} 2eH((pbd, +914) HH) bd} gh + {(pbertghie) Hip) 2dd} rp haane +25) + pt0)Zaa} ey +{plab, + 22,5) HQ (arb + Zab)}ry? + wd 9) + H{ptae Hd) Hgl2ajehdi)} a? + {padi Hher Had) + 9lardHbjehad)}2eyt +{p(2bd, + Ad) +al2bjd 4 bd) + (place, + 2ejd) + glare + 2ed)}e + H{plbe + 2ddy) Halbe +2dd)}I + (pdr Had e)] —=0. 30 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Onze differentiaalvergelijking moet dus den vorm hebben (B Bze2 F3 pH Gag? +2Hget2K3g tlg) + Uy (Baart Foayt Gy Har Kogt bo) + HI (Ae HAB 2e + Li) + (XI) Hy (Aa3H Bay d Cay? 4 Dye Eat 2Fay Gy tHedKytl)=0; zoodat men heeft 4A=patgaj, E=pbtgbn Hetgeen, = B, B=pbHant(pto)tea, Jh =pab gab + (wp + g)(abj + 216) = C, C =parbtgabi td (ptg)len Hard) | Gi =w +06 =D, D—(p+0)bö Hi =(pbar Haghe) tw +) (edi tard) =F, E=?(paadgae) Hod aqd, Ki == (pbditgbrd) + (p9)(bd + bid) =G, F —pbatghetwptoladHad), [Lj =pber Habre tp +) dd =K, G=pbdi gld + (op +9) (bd + bj d)s He pan +qaet2lpadtacd), K=pbe +abie t pto) dd, L =pde +qdie, | Bj =(pa tga) Hp +9) (a +a) Ea Fy=(p + 0)(b Hb + daa) BG [F3 =patratptg)leta), Gy=(pabi +qab) + (p + 9) (ab) +215), Gs=pbi gb tet zaa, Hy = WUpaer Hqare) H(p+9)(acr Haye tdtdj) =EFK3, | Hapert) wtg)letei), Ey= Up a dj+q 11) +(p+9)(adj +ard+ber+bic), K3= wdd) (paer Here), Lg =(paa +aaje) + (p + 9) (edi Herd), Lg (per +90) + wt-9) Zee. Vooreerst heeft men in dit geval de voorwaardensvergelijkingen 1 DB FC, GD; HF, KG, OK, ba (84 4E), Fy B G3, HBA Ka. (a) Uit het voorgaande leidt men verder af 3A— Fy Up— gaa), B Ag pb bi), Gp Cw) — nb). Maar b(a— a) —a(b—bj) =aby— th, blaar) dh) =abj ad, « « (©) dus (B A— F3) == 2(B—G3)a == (Gy (), (3 A— F3) nh 2(B— Gar =2(G— CO); UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 31 waarvan de som geeft At, B (8 A — F3) (b + bi) — 4(G3 —C) = 2 (B — Gj) (a + aj) =(B— G3) dus 4E (GC) + (B G3)(A HF) b+bj= En | Es (3 d — fs) D ‚ terwijl 5b, in is; 3 zoodat b en b, de wortels zijn der vergelijking BA—F)EL B (HEs(G3 — CO) H(B— Gj) (A + Fi)} Bo + D= 0. . (15) Wij gebruikten reeds A+ HF; 2 Es S= (ada); bovendien is B+G ns = b + bj Ken daa, waaruit volgt, naar de bovengevonden waarde van b + b), IB4+G 2A Gs + B(A—H3) —2 Es (Gy — C) B + A) s + B( : 3) s (Cg 4 Es 2 Ey(5A— F3) zoodat a en a) de wortels zijn van LESA) at (AH 3) (BIT) + {2AGyHB(A— Fa) —2E3(G9—C)} — 0. (152) Uit de waarden voor A en Zg leidt men dan af des Bik Ea—A ner TT Tusschen de coëfficiënten A, B, C, D, Go, Es, Fy en G3. die ons gediend hebben voor de betrekkingen (15), (15°), (15%), moeten nu nog twee voorwaardensvergelijkingen bestaan. Vooreerst vindt men, door substitutie van (a+a)), aa, en 55. UHP AP B(4-F) +213’ G3-C)H24G3 SAF, ‚A-F3 )2_(ataj2-4aa, | ST) (GO HB-G) AF FJ ADE GAF) 0) (B-G3)f OH Nog geven de identische vergelijkingen (a), na vermenigvuldiging met (p—g), 32 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN vermenigvuldigt men ze, en voert men de waarden van aaj, ata, en bb, in, zoo komt er, na vermenigvuldiging met 2 Z3 (3 4— F3), (BAP) —2 Hs (Gy C) HRA Oa} (B CH (BAP) (A+Fi) (B G)(G3— C) + + (3 4A— F)(Go—C)? =2 D(3 A— F3)° etcele ste sstel js tritelte Keke elke del wite Me (bo) Om nu de volgende coëfficiënten te bepalen, vindt men pdtgdh=Elpaantga), aqdApdi=ks— (pt g)(ae Hac); waaruit Pd SPEK ae HPI Are GLD Gn) PP) =p Eg Eg Hac lpgp?!) + mel pi”). ee Men heeft hiermede pg) [L—wbea + 2%] =p — (ad + 01) = (Esp Bg)a + (Eo—Kag)ar + aop) pet (Ep tga} Harel) + 29)a— gai}, en (Lap Bq)at(Ep—K3q)a p zee (pb—pa(Zptpaarphelgii gar — (wt 2g)ea}. Maar ook is Hy == (2p 4-4) + e(p + 29), derhalve Ksp—= Ega + (Ep K3g)a r_{ 8 q) Ep 39) lt Haar =ep(b— a?) + eq (bi —a®. (Dt Uit beide laatste vergelijkingen kan men c en cj oplossen. Kap-Eq)at-(Ep-K: (errata Bopldeten oP ED pt, (Kap-Bq)at-(Ep-K. Up)” 2OPO- legt) F- mea En nu eenmaal ec en ej gevonden zijn, heeft men uit (b), omdat p +g= #3 is, 1 rEp—Kaq en — Bq dS aerlLptg)—aeg |, de ear elpt2g) |. « (15%) UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 33 Behalve de coëfficiënten Z, #, Hs, K3, die ons gediend hebben, blijven er nog G en Kz over als voorwaardensvergelijkingen, G=(2ptgldHpt2g)hd, Ko (3ptgadt (p30) ar dHEslber bie). « « (do) Ten slotte geven de coëfficiënten Lg —2 Eyeey=pe, +qe en L=dpe +dige eden lr eld eee(dB2) q dd, dd Eindelijk houdt men nog als voorwaardensvergelijkingen over H ==, K ==) JEN nete en en een te er (eo) die nog nergens gebruikt werden. 17. Deze oplossing geldt nu wederom niet in het geval, dat #; == 34 is, Maar dan is 34 — F3 — 2(a— aj) (pg). Dus is of a — aj, of p =— q; omdat de eene gelijkheid de andere niet ten gevolge heeft, Stel dus vooreerst aj — a; dan wordt Eet 20, Gy =alpbi +46) + (p + ga(b +61), B =pbtgn + (wp +9) 2e, Kz — Zap, +94) Hp) {old Hd) Her Fie}, C=alpb4aglnt(ptgalb Hij), Lo =alpe + ge) (Hg) (ed; Hed), D= (p+9)bó, Es=p+g E =talper dae) +pdtgd, Gy =p Halte +9) 2e, F =pbatabiet(ptgaldt+di), Hiper dage (pH 9)le Hej), G=pbh + gld Hw Ho) (bd Hd), Ky =p Had (p +0) (e Hera, Ha alpa Hage) H2(padtged), Ly =pe det (p 40) Zee K=pbe, 4 qbe td (p +9) 2dd, L =pde, +qdje, Vooreerst is Daarna heeft men G C+ G D + 2 (Pp +4) (b HA), dus the NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL XVIII, 34 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN derhalve zijn ben bj de wortels der vergelijking 3E? —(C+G)ERH3AD=0 eee (162) Omdat C— Gs je C— Gs, Ád == (pn —g) (L— bj) IS, nn Te maar Dein dus C—G: B. CG 3 2 3 2 = |A 5 ien 1 — EEN 16% 2 ll rs A Ed hee waarbij de twee voorwaardensvergelijkingen B rend 1443 C+ Go By Gy itetitmd Bl ge + Ee (230) 5 k Gies BG) dus A(B— 3) =E3(C — Ga)... « (Do) Verder is 2E Hah Epl tad) Fodad=tr DA tot2gdd, en G=(2pt bd Hp H20) ds waaruit volgt A \ ERR Bizet de (Hij e= | l C— Gs A : 5 (3 4 nn al (B—0)d EN {C— Gy—3 A(b—b)} d, ä see (0) Á OD: A 2) Cn ON n\t ( +) bh) A= Go: OE A À | Cdi (CG 43 A00 | L —=—__ (34 zot om de d en dj te bepalen. En nu kan men aldus voortgaan. 1 L eta= GEen: (Ks (pd 2d}, patie= (rdt 0d}: UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING, dus 1 e- Dem, Wood +10), B 0d +00) = | 35 1 - =p El (po[pd (etl). wetn (L04) ! q p—g)a= En LE (pd + gd} — Te (Ks — (pd +qd)} = Ì 8 =P + 2d}, | waaruit e en cj volgt. Men behoudt hierbij de twee voorwaardensvergelijkingen F ==, Ks me Velten epe ee» dep en Seen (cz) Eindelijk is 1 pat gem Lj (+ 9) (ed + e1d)}, pda +gqde=l, dus d ge (dd) =D Bled + dd, Eh AE PN (16°) pe (dd)= b—— (U — Bled + 010)}; waarbij nog als voorwaarden overblijven de vergelijkingen Es IE v/ enke kt VPE KAD TR en (10) 18. Zij ten tweede q — p; dan heeft men A=p(a + aj), Gy=2plab + 410), B=p(b + bj) + 4paa), Ky =Sp(lad, +ajd) +2p(be +bje), C =3plab, + 41), Ig =plaer + aje) + 2p(ed, + ed), D=?2pbbj, Ey =p, E =2p(ac Hare) + p(d + di), Gp =p U HW) + 4paa, F =plbe, + bje) + 2plad, + aj d), Hs = 3p(e + ej), G =3p(bd, + hd), Ka mpd + di) + 2p(aa + 10) He p(ae + are) + 2plerd + edi), Is =p(e + ej) + Apee. K=plbe + be) + 4pdd;, L=p(de + dje), 5* 36 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Vooreerst hebben wij de voorwaardensvergelijkingen Ey —= Ch by li Gs = B, Ag dige daad o (Cn) en dan dadelijk Vervolgens is C—3 Baj =3pbi(a—a) —12paar?, C—3Baj + 6 Bgaar? —3p bj (a — a) (17) Derhalve UCB Bajt6 Lzaaj?) == 3 Esby(a—aj), dus ook 2(C—3 Bay 6 Lj a a2jb — 3D (a—aj)- Door hare substitutie in C geeft deze 4 C(a—ai) (C— 8 Baj + 6 Ez aar?) — AalC—3 Bay + 6 Bzaar®)? + 9 Ez Day (a — 41)? of, daar UA. Ee d 2 = | == == == == ee CALI) 3(a + aj), u F. aj, dus a— aj E 1 door eliminatie van « Clt} C3 En + Ida Oa) = 2A \ A 2 = —a)(C 3e, +124 at ap HOL) eek 0) 5 3 eene zevende machtsvergelijking om aj te vinden, die echter in eene zesde machtsvergelijking 5 2 AC? overgaat, wegens het verdwijnen der termen 5 3 Daaruit volgt dan 2 A Hi Ar Ohe d 10 vore 5 Draad oor do (ue) Tanden terwijl de 4 en bj nu door middel van (17%) kunnen worden bepaald. Vervolgens is SK 2G LL = 9 en bd Hd ZI Kym plad; +ajd), dus adi H+ayd=2 7. 5 UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 37 dus 2 2 (aait (LF —Ka)b Ga}, (babi) di {Gar Bh (LF—Kg)}. « (172) 3E3 3; Maar ook is Ne 2 Hs ZK 3 =p(be, + bje) dus bate Ent 3 dus 2 2 be (lg (LK SP), ba ES FP) — bg}, « (17%) J Mg t 3 met de voorwaardensvergelijkingen E=, UGS EN AE CEST (Zi) Verder nn e, en ln dje, dus 5 2 ddie (Us —2BeedL}, (Ader U (Bg 2Been)d) (U) met de voorwaardensvergelijking H ==. 19. Het aangevoerde moge volstaan. Er bleek daaruit wederom, dat eene kleine veran- dering in de integraal-vergelijking eene grootere in de differentiaalvergelijking ten gevolge kan hebben. evenzeer als dit verschijnsel ook omgekeerd plaats heeft. í Ë: in 1 er % te A Is erts Singes Dial: EE ent 4 t ï : - Ei ne nn Da AAubalihl TNA REA 7 ASR TT Te a: _ et OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHE[D VAN HET LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. DOOR H. A. LORENTZ, De electromagnetische theorie van het licht, die in 1865 door MAXWELL * werd opgesteld, heeft sedert, vooral door de proeven van verschillende natuurkundigen over het specifiek induceerend vermogen der isolatoren, een hoogen graad van waarschijnlijkheid verkregen. Ofschoon ik het zeer goed mogelijk acht, dat bij ver- andering onzer begrippen omtrent de electrische verschijnselen ook de theorie van MAXWELL eenigszins moet worden gewijzigd, geloof ik toch, dat het hoofdbegin- sel er van, de onderstelling namelijk, dat de lichttrillingen bewegingen zijn van denzelfden aard als de electrische stroomen, moeijelijk in twijfel kan worden ge- trokken. Het kwam mij daarom wenschelijk voor, de gevolgen dezer theorie, die nog slechts gedeeltelijk met de ervaring zijn vergeleken, verder te onderzoeken. Niet alleen zal men daardoor de waarde der theorie beter kunnen beoordeelen, maar als deze juist is bestaat er ook kans, dat het onderzoek der lichtverschijn- selen ons in de kennis der electrische werkingen iets verder kan brengen. In de volgende bladzijden heb ik vooreerst, na een korte uiteenzetting der theorie van MAXWELL, de lichtbeweging beschouwd in een isotroop medium met * MaxweLL, Phil, Trans. for 1865. Treatise on Blectricity and Magnelism, IL. p. 383. 6 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 2 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET moleculaire structuur. Daardoor heb ik formules verkregen ter bepaling van den samenhang tusschen de voortplantingssnelheid van het licht en de dichtheid en samenstelling der middenstoffen en deze uitkomsten zijn vervolgens met de metingen der brekingsindices vergeleken. Bovendien is bij dit onderzoek ook de dispersie van het licht ter sprake gebracht. DE ELECTROMAGNETISCHE THEORIE VAN HET LICHT, S L. Het uitgangspunt der theorie van MAXWELL is de onderstelling, dat onder den invloed eener eleetromotorische kracht in de deeltjes van elken isolator de beide electriciteiten kunnen worden gescheiden. Dit verschijnsel draagt den naam van diëlectrische polarisatie en kan wiskundig geheel op dezelfde wijze behandeld worden als de magnetische polarisatie, die door een magnetiseerende kracht wordt opgewekt. Wanneer namelijk eenig deeltje aan de eene zijde positief, aan de andere ne- gatief electrisch is, dan hangt de electrostatische werking, die het naar buiten, op afstanden, die zeer groot zijn ten opzichte der afmetingen van het deeltje, uitoefent, geheel af van zijn electrisch moment, waarbij dit laatste in richting en grootte op dezelfde wijze bepaald wordt, als het magnetische moment van een deeltje in de theorie van het magnetisme. Wanneer verder diëlectrische polarisatie is opgewekt in een medium, dat als volkomen doorloopend mag beschouwd worden, dan kunnen de electrische mo- menten van een volume-element dr aan eenig punt P, in de richtingen van drie (onderling loodrechte) assen der z, 4, z worden voorgesteld door &dr, ndr, Cdr, waarbij & 7,5 niet van dz afhangen. Men noemt deze laatste grootheden de componenten der diëlectrische polarisatie in het punt Jas 8 2. Stelt men zich nu in een middenstof een willekeurige doorloopende di- electrische polarisatie voor, dan kan men de electromotorische kracht * bereke- pen, die daardoor in een uitwendig punt wordt uitgeoefend. Men vindt dan, dat, wat de werking naar buiten betreft, de diëlectrische polarisatie (£, n, 5) kan vervangen worden door eene gewone verdeeling van vrije electriciteit over de * D.w.z. de kracht, werkende op een eenheid positieve electriciteit, LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 3 door den isolator ingenomen ruimte en over het grensvlak S daarvan *. Daarbij moet de dichtheid over de bedoelde ruimte (++) RENE Re deo BARS sea (00) de Òy Òe en de vlaktedichtheid aan het grensvlak (al eb) ne sees gean (2), zijn, wanneer wij onder a,,e de richtingsconstanten verstaan der aan S naar de zijde van het medium getrokken normaal, dat wil zeggen de cosinus der hoeken, die deze normaal met de positieve assen vormt. Ook bij de berekening der electromotorische kracht in een inwendig punt mag men de diëlectrische polarisatie (E‚n, £) door de ladingen (l) en (2) vervangen, wanneer men slechts voor zulk een punt aan de uitdrukking electromotorische kracht een dergelijke beteekenis hecht als die, welke gewoonlijk aan de uitdruk- king magnetiseerende kracht voor het inwendige van een gemagnetiseerd medium wordt gegeven, en welke met de polaire definitie der magnetiseerende kracht van THOMSON overeenkomt . $ 3. De theorie der diëlectrische polarisatie berust nu op de onderstelling, dat voor een isotropen isolator de diëlectrische polarisatie in elk punt dezelfde rich- ting heeft als de electromotorische kracht (X , Y, Z) en evenredig daaraan is, Z00- dat men mag stellen E=eX, n=e VZ, NAR OET ORDERS DGN waarbij e een van den aard der stof afhankelijke constante voorstelt, Men heeft werkelijk aangetoond, dat door deze onderstelling de invloed kan verklaard worden, dien de isolatoren bij de electrostatische verschijnselen uit- oefenen. Tevens bleek daarbij, dat het specifiek induceerend vermogen K van eenig medium M ten opzichte van het luchtledige $ met de constante € verbon- den is door de betrekking * Verg. de overeenkomstige stelling voor de magnetische polarisatie (maxweLL, Electr, and Magn. IL. S$ 385, 386). 4 Verg. THOMSON, Papers on Electrostatics and Magnetism, SS 479, 517 (en ‘t biïvoegsel bij de Inatste 8), MAXWELL, Electr, and Magn., S$ 395—400. $ Het getal K geeft aan, hoeveelmaal grooter de capaciteit van een condensator is, wanneer de ruimte tusschen de bekleedselen met het medium M is gevuld, dan wanneer zij luchtlelig is. (Hierbij is ondersteld, dat het eene bekleedsel het andere geheel omringt). 6* 4 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET als €, de constante der diëlectrische polarisatie is voor den aether, die in de luchtledige ruimte voorkomt. Daar men nu KX proefondervindelijk kan bepalen, kan men dus de verhouding der waarden leeren kennen, die 1 +47e in ver- schillende middenstoffen heeft, maar omtrent de waarde van e‚ laten ons alle electrostatische verschijnselen geheel in ’t onzekere. 8. 4. Om thans de door MAXWELL omtrent den aard van het licht opgestelde hypothese te leeren kennen, stellen wij ons voor, dat in de deeltjes van een homogeen, isotroop, niet geleidend medium M door eenige oorzaak een di- ëlectrische polarisatie is opgewekt en onderzoeken, hoe deze in den loop van den tijd moet veranderen. Wij nemen daarbij aan, dat het medium M zich tot in het oneindige uitstrekt, maar met ’t oog op het volgende hoofdstuk zullen wij ons voorstellen, dat er hier en daar holten in voorkomen. Im de overigens ledige ruimte Him die holten kunnen dan nog deeltjes liggen, waarin even- eens electrische momenten bestaan. Eindelijk onderstellen wij, dat de diëlec- trische polarisatie in het medium M steeds doorloopend is. Wanneer wij nu de vergelijkingen (3) ook nog voor een veranderlijke di- electrische polarisatie laten gelden, dan hebben wij daaraan nog slechts de be- trekkingen toe te voegen, die X, Y,Z als afhankelijk van den toestand van het medium voorstellen. De electromotorische kracht F' bestaat echter uit verschil lende deelen, die wij achtereenvolgens zullen beschouwen. $ 5. Een eerste deel dezer kracht (X, , Y,, Z‚) is van electrostatischen oorsprong. Bij de berekening er van kan men ie RE polarisatie (&, 7,5) in het medium M vervangen door de gewone electrische ladingen (1) en (2) over de door het medium ingenomen ruimte en over de oppervlakken S der holten. Is nu p‚ de potentiaalfunctie voor deze ladingen, dan is in elk punt van M en eee) sl k k Np A 5E Ee Te VE (5) in elk punt binnen een holte Nop U dze ek TROM (6) en aan een der oppervlakken $ [e (E) 142 [ (Et En (EE) ]=twastortee. 0 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 5 In de laatste vergelijking zijn de waarden der differentiaalquotienten aan de binnenzijde van S door accenten van die aan de buitenzijde onderscheiden. Is verder , de potentiaalfunctie voor de binnen de holten aanwezige elec- trische momenten, dan is voor eenig punt van M INTI EE IN OO TRR (8) en men heeft Ò(@, +.) Ò (Pp, + Pa) Ò Pp, + pa) — 5 na Z TE ae ee eee Rens sn md 5 (0) S 6. Wanneer met den tijd t de diëlectrische polarisatie verandert en dus de electriciteit in de deeltjes van het medium in beweging verkeert, dan zal uit de verandering dier beweging in elk punt een eleetromotorische kracht der inductie voortvloeien. Laat vooreerst in eenige molecule de hoeveelheden electriciteit +e en —e be- staan, ieder in een punt opeengehoopt en laat deze in de richting der «z-as over een afstand ò van elkaâr gescheiden worden, zoodat de positieve electrici- teit zich aan de zijde der positieve « bevindt, dan is het electrisch moment van het deeltje m, =ed. Laat verder het positief electrische deeltje in de richting der positieve z-as de snelheid », het negatief electrische in de tegengestelde rich- My 1Ö d ting de snelheid #’ hebben, dan is 7 = 0 trv', dus — eee!) Wij on- derstellen nu, dat het deeltje +e, ten gevolge van zijne beweging, dezelfde wer- kingen uitoefent als een element ds van een stroomgeleider in de richting der z-as, waarvoor, als # de stroomsterkte is, (die wij hier en in ’t vervolg in elec- trostatische maat uitdrukken), #ds =evw is. Evenzoo nemen wij aan, dat het deeltje — e, ten gevolge van zijne snelheid v', dezelfde werkingen uitoefent als een stroomelement, waarvoor ids==ev' is en dat dezelfde richting heeft, als het zooeven genoemde*. Uit een en ander volgt, dat de beweging der beide elec- triciteiten in de beschouwde molecule gelijk staat met een stroomelement, waar- s ; dm. voor ids =elv+v)j= Ti Is. * Dit zijn onderstellingen, daar zich misschien bij een gewonen electrischen stroom deide elec- triciteiten bewegen en het niet geheel zeker is, dat de beweging van slechts ééne electriciteit de- zelfde werkingen uitoefent. Intusschen pleiten hiervoor de door HELMHOLTZ meêgedeelde proeven van ROWLAND, Pogg. Ann. Bd. CLVIII, 6 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Gemakkelijk kan men het hier gezegde uitbreiden tot het geval, dat ook in de richtingen der y — en z— as electrische momenten in de beschouwde mo- lecule bestaan. Kortheidshalve zullen wij daarbij, als ds een element van een stroomgeleider is, dat met de assen de hoeken a,/%, vormt, en waarin de stroomsterkte d is, de grootheden ids. cosa, ids. cosf?, ids. cosy de componenten van het stroomelement noemen. Het blijkt dan, dat een deeltje, waarin het veranderlijke electrische moment (1, #1, m.) bestaat, dezelfde wer- kingen uitoefent als een stroomelement met de componenten dm, dm, dm, aante ent WEN abe Aat beren Me 0 DE GEEA Ci) Hieruit volgt dan verder, dat de verandering der diëlectrische polarisatie (E‚n‚£) in het medium M gelijk staat met een electrische strooming met de componenten dE dx a Us VET; ww — : rs en a (11) S 7. Om nu de hierdoor uitgeoefende inductie te berekenen moeten wij de wet der inductie voor stroomelementen kennen. HELMHOLTZ, wiens onderzoek * over de bewegingsvergelijkingen der electriciteit wij hier grootendeels volgen, heeft aangetoond, dat men voor de electromotorische kracht der inductie in eenig punt Q@ in de richting h, voortvloeiende uit een verandering der stroomsterkte # in een element Js van eeu stroomgeleider, mag stellen pe ed dt’ wanneer ids l—k dr GW DNG eo deo 0 eee L2 cos (ds, h) + 5 ids (L2) is. Hierbij is # de afstand van eenig punt van ds tot Q, terwijl 4 en £ con- stante grootheden voorstellen. De eerste heeft men uit de waarnemingen afge- * Hermuourz, Ueber die Bewegungsgleichungen der BElectricität in ruhenden Leitern, Creme's Journal, 12 (1870) LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 7 leid, maar alle tot nog toe volbrachte proeven laten de waarde van k geheel onbepaald. S 8. Zoeken wij thans de inductie in eenig punt Q (r,9,2), die het gevolg is van de stroomverdeeling (11) in het medium M. Daartoe beschouwe men u‚v‚w als functiën der coördinaten #'‚y',z' en lette vooreerst alleen op de elec- trische strooming binnen een element dz’ dy’ dz' — dr aan het punt P (z', 9’, #)), op een afstand r van Q liggende. Men kan die strooming vervangen door drie stroomelementen, die de richtingen der coördinaatassen hebben. Berekent men dan door de formules der vorige $ voor elk dezer stroomelementen de electro- motorische kracht der inductie in Q in de richtingen der assen, dan verkrijgt men door optelling de werking van het element dr en vervolgens door inte- gratie die van het geheele medium M. Op deze wijze vindt men daarvoor de componenten dU, Pe òW € 2, A3 4° Î z AE Ay, dZ wanneer dr. enz. ... .(14) lkr òr dr dr U,= sf gn IN 2 amar naos gesteld wordt. Men kan hierbij de integratie ook over de geheele ruimte uit- strekken, daar toch binnen de holten u —=v =w — 0 is. $ 9. Bij de berekening van U, door middel van de vergelijking (14) denken wij ons vooreerst rondom (} een gesloten oppervlak B geconstrueerd en zoeken de waarde U’,, die de integraal aanneemt, wanneer zij slechts over de buiten dat oppervlak liggende ruimte A wordt genomen *. Wij zullen dit in het ver- volg aanwijzen, door aan de integraalteekens den index (A) toe te voegen. Stelt men nu ì u | òr òr òr lt A EN Lb En — ND d ab pi Ar he 5) d GG dan is klaarblijkelijk Ss ® Bij eenige der volgende herleidingen moet men in ’t oog houden, dat 4 de geheele ruimte buiten B is, de holten er onder begrepen. 8 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET De grootheid ®,’ kan in drie integralen gesplitst worden, die men resp. naar 2, y , 2 partieel kan integreeren. Men verkrijgt aldus voor W,' vooreerst een integraal Z over de ruimte A, ten tweede integralen over de eben S en B en eindelijk dergelijke integralen over het „oneindig ver verwijderde grens- vlak der ruimte.’ Wij zullen nu aannemen, dat de electrische bewegingen òf alle op eindigen afstand plaats hebben, of althans bij vergrooting van 7 zoo snel afnemen, dat de laatste integralen verdwijnen. Hebben nu de aan de op- pervlakken S en B naar buiten getrokken normalen # en v resp. de richtings- constanten a,b,c en a (?, y, dan wordt Pf frenttetemas | [rerterermesn ooo ( Hierin is relletje (4 \dr Ay Òz of, wanneer men van (11) en (5) gebruik maakt, Men kan de hier voorkomende integraal nog transformeeren door een bekende uit het theorema van GREEN volgende stelling *. Men vindt dan, als men weer de integralen over het grensvlak der ruimte weglaat, iegl || Bardr=g À ni ( Pan dB + (4) dt nòt òv 1) Òp vi | ie jes Brengt men nu deze waarde in (17) over en let men daarbij op de betrek- kingen (ll) en (7), dan blijkt het, dat de integralen over de oppervlakken S ; 2 E wegvallen. Neemt men verder in aanmerking, dat Ar — — is, dan verkrijgt ze men P,' == W,' + P,'", wanneer òp 1, 4 ale %* Men zie b.v. GRINWIS, Wisk. theorie der wrijvingselectriciteit, p. 26, 3e Stelling. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 9 en we jd 29 | Pp, nl Ar mT jan ffren + re +r0an wordt gesteld. Ten slotte wordt : A ke Chau Pr aan nn br Red (19). $ 10. Om nu de grootheid U, te vinden hebben wij slechts de grens te zoeken, waartoe (19) nadert, als de afmetingen van het oppervlak B onbepaald mn 1 afnemen. Daarbij blijkt het vooreerst, dat de grootheid > O tot grens heeft *, wanneer althans in het punt @ v‚v,‚w‚p en de differentiaalquotienten er van eindige waarden hebben. Ten tweede merken wij op, dat blijkens (18) #,” de potentiaalfunctie is voor een (volgens de wet van NEWTON werkende) massa, : g ED f 1e É die met de dichtheid RE Tr over de ruimte A verspreid is. Derhalve is B : $ hein . s Cs de door deze massa in Q in de richting der z-as uitgeoefende attractie L en de grenswaarde van die grootheid zal de attractie zijn voor het geval, dat niet alleen de ruimte A, maar de geheele ruimte met een massa van de ge- noemde dichtheid gevuld is. Ook in dit geval kan men echter de attractie uit oP OP De de en, wanneer wij in ’t vervolg de integralen weer over de geheele ruimte nemen, P= ve B ode AO EE : : a: ld 2) zimmer ETA EBEN „e * Het gemakkelijkst is dit aan te toonen, wanneer men aan het oppervlak B den vorm van een om Q als middelpunt beschreven bol toekent, waarvan de straal p tot O nadert. In elk der de potentiaalfunctie afleiden. Is deze hier #,, dan is dus Lim. Eindelijk heeft men òw, termen, waaruit bestaat, treedt dan een factor o of o* op, vermenigvuldigd met een groot- heid, die bij het afnemen van p eindig blijft, zoodat elke term 0 tot grens heeft. NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL XVIII. 10 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET en stelt men evenzoo offer mf || Zar Eb (22) EN 2 1d NT: 2 Deli on RE ip SS dan wor dt Natuurlijk gelden deze vergelijkingen zoowel binnen eenige holte als voor een punt van het medium M. S. 11. Daar blijkens het bovenstaande #,, U, B, W, als de potentiaal- fanctiën kunnen beschouwd worden van massa’s, die met de dichtheden L Ò9 SA 06 : aans verspreid zijn, volgt uit de vergelijking van POISSON Ò m1 AE die A Fi iP (24) AUy=—4ru AB 4m, Aj daw ..e. (25) AD dr Up= 4nu lk > =—t lk 1 mu + ( \ Dt AN uv + ( EE Ae earn NEE See) dzdf is. Eindelijk volgt nog uit (21), (22), (23) en (24) ò Ui d Zi 7 ‘ Sn Ne yy 2==ë Ee rt eN ie SA "dz rs zee r3 de Door integratie bij gedeelten gaat de laatste term na eenige herleiding over ò 4 in — SE! , Derhalve is dt V W dr earn AO ae NOD 1 nn Tan (27) De dn de RY S. 12. Evenals wij hier de inductie berekend hebben, die het gevolg is van LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 11 de veranderlijke diëlectrische polarisatie in het medium M, kunnen wij ook die berekenen, welke uit een verandering der in de holten aanwezige electrische momenten ($ 4) voortvloeit. Zijn daarbij U», V>, Wo de functiën, die met Ja, U, V,, Wi overeenkomen, dan zijn de componenten dezer laatste inductie ò U, ALE òW A AAE ren Rij on ej (28) dt d/ dt en voor elk punt van het medium M gelden de met (26) en (27) overcenko- mende betrekkingen d° pz d° Pz d° pz —= (lk) —= (lk) A EC A Uy={( ) er dt’ A Vz=(l Pt ( BET (29) Orte AED Zg EE (30) AE òy dz df * Laat in het punt (z', y', 2!) van een der holten een molecule P geplaatst zijn met het electrische moment (mz, my, mz) en laat pp) de daarbij behoorende potentiaalfunetie in een punt Q@,y,2) op een afstand r van P zijn. Noemen wij eveneens Uig), Va)» Wp) de aan- : . d d dmz\ . deelen in U,, V,, W,, die bij het stroomelement (5e 5 En ITE ) in de molecule P ($6) behooren. Dan is volgens (12) dm: 1 lk dd Un == ( a(p) dt ET 2 dz | dmz òr dm, òr dmz Zl Ee von dE Se dus, daar A 8 had 2 — 0 en —=— is, Ar 5 18 a (1 k Ò (Ume ol) dmy . del EE dm; Ke 5 nd ne, di dz! dt ày dt òz/ 8 ed Md Nu is echter Ò° 12) A Uyp = (1) == « zo) — ( ) ordt Zalk eene vergelijking vindt men ook voor elke andere molecule P en men vindt dan de eerste van (29) door deze alle op te tellen. Ook de andere vergelijkingen (29) en (30) worden door eene dergelijke beschouwing verkregen. 7% 12 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Uit (13) en (28) volgt ten slotte voor de componenten van het tweede deel der electromotorische kracht W zn, n=, n__n) 8. 13. Er blijft thans nog een derde deel der electromotorische kracht ter be- schouwing over. Het is namelijk mogelijk, dat onder den invloed der electrische bewegingen in de binnen de holten liggende deeltjes magnetische momenten (mz, m,, m‚) worden opgewekt en eveneens in het medium M een magnetische polarisatie. Zoodra dit het geval is zal de verandering van dezen magnetischen toestand weer in elk punt een electromotorische kracht der inductie ten gevolge hebben. Zijn nu A, g,v de componenten der magnetische polarisatie (dus À d z, ud Tr, v d r de magnetische momenten van een volumeelement d 7), L, M‚, N die der magnetiseerende kracht, dan moet voor elk punt van het medium Nib et OM one Nana Ene (32) zijn, waarbij & een constante is. S 14. De magnetiseerende kracht G bestaat echter uit twee deelen. Het eerste deel is een gevolg van den magnetischen toestand zelf en heeft tot componenten C Ò (7 p) c eel) mrt) wr) (SS) dz OE dz als xj de magnetische potentiaalfunctie is, die bij de polarisatie À, w, ) in het medium en zz die, welke bij de momenten (mz, my, m-) behoort. Daarbij is dan voor elk punt van M dÀA Au Av Amt lS + 5 ss) za =0, OTR EADE Dd De (34) welke vergelijkingen met (5) en (8) overeenkomen. 8 15. Ten tweede wordt door de boven beschouwde electrische bewegingen een magnetiseerende kracht uitgeoefend, die men door middel van de bekende wet van BIOT en SAVART kan berekenen. Volgens die wet is namelijk de magne- tiseerende kracht G,, die door een stroomelement ds (met de stoomsterkte 7) aan het punt P (w', 4’, 2) in een punt @ (w, y, 2) wordt uitgeoefend, dids sin (r,ds) r2 G= LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 13 Deze kracht is gericht volgens een loodlijn op het vlak, dat men door ds en r kan brengen, terwijl men op bekende wijze kan aangeven, naar welke zijde van dit vlak die loodlijn moet worden getrokken. Om nu zonder dubbelzinnigheid de componenten van Gyop te stellen is het noodig, de keus van ons coördinatenstelsel nader te bepalen. Wij stellen daar- omtrent vast, dat een wenteling van de positieve z — naar de positieve y-as (over een rechten hoek) in richting met de beweging der wijzers van een uurwerk overeenstemt, wanneer de beschouwer zich aan de zijde der positieve z-as bevindt. Zijn dan e, , y de hoeken, die ds met de positieve assen vormt, dan zijn de componenten van G, * JJA +4), ed Le \ = R el à End | ne | Il ee wanneer kj = — ids cos (3 en (;) ‚ enz. de \r is. S 16. Passen wij nu het zoo even gevondene toe, om de magnetiseerende kracht te berekenen, die door de stroomverdeeling (w, v, w) in het medium M in eenig punt @ (re, 4, 2) wordt uitgeoefend. De electrische strooming binnen een element dr aan het punt P (re, y', z') staat gelijk met een stroomelement met de com- ponenten wdr, vdr, wdr en de daardoor uitgeoefende magnetiseerende kracht kan ò dus uit (35) onmiddellijk worden gevonden. Daarbij wordt dan 4 = —vdr 5 G) 2 en deze grootheid is dus de attractie, die in @} in de richting der z-as zou wor- den uitgeoefend door het element dr, wanneer dit een stof met de dichtheid v bevatte. ® Bij de berekening van deze grootheden kan men gebruik maken van de omstandigheid 1 f . P dat 3 rds sin (r,ds) den inhoud van den driehoek voorstelt, die de tot basis en Q tot top heeft, en dat men dus de componenten van G, vindt, door de projectiën van dezen driehoek op 8 2Ai de coördinaatvlakken met er te vermenigvuldigen. 14 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Bij het integreeren over de geheele ruimte, zooals dit voor het zoeken der ge- heele magnetiseerende kracht noodig is, levert dus & de attractie in Q in de genoemde richting op voor het geval, dat een stof met de dichtheid v over de geheele door het medium ingenomen ruimte verspreid is. Nu is echter voor deze stof blijkens (22) 8, de potentiaalfunctie, zoodat # bij de bedoelde integratie ò ® EE oplevert. Evenzoo geeft f bij de integratie TE ‚ zoodat de com- Z/ d Ô HEN REL W ponent der gezochte magnetiseerende kracht in de richting der z-as A an ze 3 ar GZA 3 A A of, blijkens (23), A AEL wordt. De andere componenten zijn A [——— | ‚ DH ) 5 ] IJ \Òz y dE De U 97 e Se en als men nog op dezelfde wijze de magnetiseerende kracht be- y òz î rekent, die door de electrische bewegingen binnen de holten wordt uitgeoefend, dan vindt men voor de componenten van het tweede deel van G zj ACE EPN In zj Lj EI sd dz dy } od De òz jo (U U, (7 V, ee, REE ht et. (36) dy de S 17, Om nu eindelijk de inductie te vinden, die uit een verandering van den magnetischen toestand ontstaat, beschouwen wij vooreerst een deeltje P in het punt (', 4, 2) met het veranderlijke magnetische moment (mr, m,, m,). Bij de berekening der daardoor uitgeoefende werking kan men het moment mz in de richting der z-as vervangen door een oneindig kleinen cirkelstroom in een vlak door P evenwijdig aan het y z-vlak gebracht. Het middelpunt daarvan moet in P liggen en tusschen den straal g en de stroomsterkte # moet de be- trekking bestaan, terwijl eindelijk de richting van den stroom met die eener wenteling van de positieve z- naar de positieve y-as moet overeenstemmen. Om nu de werking van dezen stroom in een punt @ (#,4,2) in de richting der z-as te vinden kan men van de formule (12) gebruik maken. Men berekene namelijk (voor 4 de richting der g-as nemende) de grootheid g voor een element van den cirkelstroom en integreere dan over de geheele uitgestrektheid daarvan. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 15 Daarbij levert de laatste term van (12) O op, daar hij een differentiaalqnotient naar s is, zoodat men slechts de grootheid ids SRC ERE ter Ie, AA (35) 7 heeft te integreeren. Wij trekken nu in het vlak van den stroom uit P een lijn evenwijdig aan de z-as en bepalen de plaats van een punt P' van den cirkel door den hoek w, dien PP’ met deze lijn vormt, waarbij een draaiing in de richting van den stroom als positief beschouwd wordt. Dan is Js == gd, cos(ds,y)= cos @ en, daar de eirkelstroom oneindig klein is, 1\ J8 als 1 1 \ T . | r 7 Er! mernlee @ TSE d 5 tr Dr. osn + \ Dz . Q COS 0. Pp In de laatste vergelijking wijst de index p de waarden in het middelpunt aan. Men substitueere de aangegeven waarden in (35) en integreere tusschen de grenzen @ —=0 en @ —= 2x. De uitkomst is dan dan wordt 16 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET en de electromotorische kracht der inductie, door den cirkelstroom, of door het moment mz in Q in de richting der y-as uitgeoefend is WP WR df dl dz , : B: Ee ò ag Et Evenzoo is de inductie in de richting der z-as — A SE terwijl die in de J richting der r-as 0 wordt. Op gelijke wijze kan men ook de inductie berekenen, die door de momenten my, en me wordt uitgeoefend en men vindt aldus voor de totale inductie, behoo- rende bij het deeltje P, de componenten en ne eo (EE) dt df \ dz Ò òf \ Az òy | Ee dy RS dz 5e My Mz : 5 waarbij nog M —= ar Oee RTS gesteld. Hierbij valt nog op te merken, dat @, M,R de potentiaalfunctiën in @Q zijn voor massa’s m,, m,, mz in het punt P geplaatst. S. 18. Wanneer thans in het medium M de magnetische polarisatie (À, g, v) bestaat en in de deeltjes binnen de holten de magnetische momenten m‚, m,, mz zijn opgewekt, dan kunnen wij, om de daardoor in eenig punt (w, 4, 2) uitge- oefende inductie te berekenen, op elk magnetisch deeltje de beschouwingen der vorige S$ toepassen. Let men op de beteekenis van @, M,N, dan kan men de uitkomst onmiddellijk uit (39) afleiden. Laat namelijk &, ®,, N, de potentiaalfunetiën zijn voor massa’s, die over de door het medium ingenomen ruimte resp. met de dichtheden À, w, v zijn ver- deeld, en laat evenzoo &, My, Ny de potentiaalfunctiën zijn voor het geval, dat men aan elke molecule binnen de holten resp. de massa’s m,, my, m, toekent, dan zijn de componenten van het derde deel der electromotorische kracht Aen (ANR + No) on ò (Dy + Mo) A ò | ò(& + Po) zn ò (Dy + Ro), òt | òy Òz E dr f dz òr _{f _,ò (CM + Mo) ot + &) | KA | TE ee (40) Uit de voor &, D, Ni, Lo, Mo, No gegeven bepaling volgt nog voor elk punt van het medium M Afj=— And, A M= Anw, AN dar, mee (4e A= 0, AM OR A enn LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 17 terwijl men bovendien gemakkelijk kan aantoonen, dat EMM òr + dy zn dz DE Ms . Ns dend == en Re Se cf CAE 42 A1 en ee 5 zE Se Xe (42) is. S 19. Wij hebben thans de totale electromotorische en magnetiseerende kracht leeren kennen en voor elk punt van het medium moet nu 5 vd 7 „Att Xi, Zenit Ft Po thd (48) À 73 yv Ë zh + Lo, zt Ms, En N, + Ns ECH NT EC (44) zijn. Men kan intusschen uit de verkregen vergelijkingen nog andere meer een- voudige afleiden. Vooreerst volgt uit (43) A EN CPL EENES | ETA (45) y 2 \Ò7 de dy de dy dz Nu is echter blijkens (9) ARE dy dz blijkens (31) en (36) 925 ATy sds òy Ch Ne en tengevolge van (40), (41), (42) en (43) ò Z3 ò Y3 ò? (EHL Ò (DM + Mo) (Ny + No) A) dE A TA PRE 2 dy dz TRT oeh (41 + z) òÀ ò Zi NES =d Pd: Te Tr ee 1 SP Ten NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 18 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Substitueert men deze waarden in (45) en let men daarbij op de eerste der ver- gelijkingen (44), dan komt er OE òn Pre) De ON Ó Òt 5 dE TL land duw | evenz s AG Ne 0 oor s os oi or 1 en evenzoo is me En Pp (1) Oa dre { l-H4Ard òvy en ONO, O4 OZ, EE RE) vcor welke grootheid wij kortheidshalve P zullen schrijven. dz V] z Men neme daarbij in aanmerking, dat volgens (9), (5) en (8) Ge Oe HEt de | dy òz =— A (pi + 92), volgens (31), (27) en (30) ON NO eZ SED ede dr en blijkens (40) òX3 òY SE 92) Oa dy dz is. Men vindt dan, als men pj + pz — p stelt, DES Di AIS n dp = ANDES 0 DIG od 506 0 II) Òz dy dz RE Ee Even als hier met (43) kan men ook met (44) te werk gaan, waarbij men op (33), (36), (26), (29), (27), (30), (LL) moet letten. Er komt dan rv Òu dp dE OAN OP el En 2 | 4 ) ET ee: LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 19 als == X1 Ee A2 is. Eindelijk is nog blijkens (5), (8) en (34) Ap=AnP Pe elke tte enne ene nein (LV) OAD KOK == 4 EE Sf Ge AN et ti Elimineert men z uit de laatste vergelijking en (46), dan verkrijgt men | UE LNE (v) de Òy de en de vergelijkingen (I)—(V) bevatten nu nog slechts &, n, 6, À, &‚ v, p. $ 20. Wanneer het medium M geheel doorloopend is, dan gelden deze ver- gelijkingen in elk punt en zijn, zooals reuMmoLTz heeft aangetoond, voldoende, om En, 5, À u,v en pals functiën van plaats en tijd te bepalen, wanneer men er nog de voorwaarde aan toevoegt, dat deze grootheden op oneindigen af- stand verdwijnen. Stelt men nu kortheidshalve (+ Ar 4) (1 + 47e) 5 ear: (47) Arnell Jánd) At =R, 1 dan kan men uit (D—{(V) nog de volgende vergelijkingen, die alleen &, #, & bevatten, afleiden: 2 oP Dn )P 2E P SER ne nfe ME E, AE beige 5 ‚ (48 òt” òz òt- Òy òt- dz en) Hiervan wordt b. v. de eerste verkregen door de derde en tweede der verge- lijkingen (I), naar y en z gedifferentieerd, van elkaâr af te trekken en uit de verkregen vergelijking eerst met behulp der eerste van (III) « en v en vervol- gens door middel van (II) en (IV) p te elimineeren. S 21. Nu hebben de vergelijkingen (48) volkomen denzelfden vorm als de vergelijkingen, die de oneindig kleine verplaatsingen &, n, & der deeltjes van een veerkrachtig vast lichaam als functiën van plaats en tijd bepalen, en hieruit volgt, dat de electrische bewegingen in onzen isolator met de bewegingen der g* 20 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET deeltjes van zulk een lichaam overeenkomen. Op dezelfde wijze dus, als zich in veerkrachtige lichamen een verstoring van het evenwicht naar alle zijden met eindige snelheid voortplant, moet dit ook in een diëleetrisch medium met een verstoring van het electrische evenwicht het geval zijn. Verder is het bekend, dat in elastische lichamen een regelmatige voortplanting van transversale en longitudinale trillingen mogelijk is, en op dezelfde wijze moeten zich ook in den isolator transversale en longitudinale electrische trillingen, d. w. z. periodieke veranderingen der diëlectrische polarisatie, kunnen uitbreiden. Voor de voort- plantingssnelheden dezer transversale en longitudinale trillingen vindt men dan resp. rd ] GV ISS A ALERTE mr hen EE ) 5 4 ‚… (49 R A Ane(l +Az 9) R A Anek 5e) Hierbij valt nog op te merken, dat bij de transversale electrische trillingen overal P —0, bij de longitudinale dd DE it 0E Jy dz dz OZ Òe Òy overeenstemming daarmede is dan ook (verg. (D)—(V)) bij de eerste trillingen p= 0, bij de laatste À —u—=v=— 0. S 22. Wanneer men de waarde der in (49) voorkomende constante 4 uit electromagnetische metingen wil afleiden, zou men deze eigenlijk in de volkomen ledige ruimte moeten uitvoeren. Men verricht ze echter in de lucht en wanneer nu deze voor diëlectrische en magnetische polarisatie vatbaar is, zal de werke- lijke waarde A van de waargenomen waarde A' verschillen. HermrorLtz heeft = 0 is. Im aangetoond, dat dan d' Vl Hamer! (Ll +40) is, wanneer een 9 de voor de lucht geldende constanten zijn. Wanneer echter in de lucht diëlectrische polarisatie kan opgewekt worden, dan moeten ook in deze middenstof de boven besproken electrische bewegingen kunnen plaats hebben. Om dan de voortplantingssnelheid Vo’ der transversale trillingen in de lucht te verkrijgen, moet men in (49) e=, Ù — Óo stellen. Let men bovendien op de boven aangegeven waarde van 4, dan komt er 1 Vo 0 Zj Cte s | oren 60 An eg se se S 23. Nu heeft men reeds lang opgemerkt, dat de grootheid op weinig LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 21 na overeenstemt met de voortplantingssnelheid van het licht. Deze overeenstem- ming kan verklaard worden, wanneer men twee onderstellingen maakt, nl. ten eerste, dat in werkelijkheid het licht uit transversale electrische trillingen be- staat, en ten tweede, dat de constante £,° zoo groot is, dat men de omgekeerde waarde er van ten opzichte van de eenheid mag verwaarloozen, waardoor (50) N l in Vo = Fr overgaat. Op de eerste hypothese berust de door MAXWELL opgestelde electromagneti- sche theorie van het licht. Neemt men deze aan, dan wordt ook de bijonder- stelling omtrent de waarde van #’ noodzakelijk. Nu is echter uit de metingen van - : : : 14 Azre het specifiek induceerend vermogen ($ 3) gebleken, dat de verhouding Ee, 0 voor vaste lichamen en vloeistoffen aanmerkelijk grooter dan de eenheid, voor gassen en voor den vrijen aether van de luchtledige ruimte zeer weinig van | verschillend is. Daaruit, in verband met het omtrent e, gezegde, volgt, dat voor alle middenstoffen e zoo groot moet zijn, dat de omgekeerde waarde ten opzichte van de eenheid mag verwaarloosd worden. S 24. Hieruit kan men een merkwaardig verband afleiden, dat er tusschen den brekingsindex van een diëlectrisch medium en zijn specifiek induceerend vermogen bestaan moet. Wanneer nl. # de absolute brekingsindex van eenig medium (met de constanten € en Gj is en wanneer men met Vo, eo Ôo de voortplantingssnelheid van het licht en de constanten der diëlectrische en mag- netische polarisatie voor den vrijen aether aanduidt, dan is volgens (49) € 1 + 47e Wegens de groote waarden van e en e‚ mag men nu — — — ——— stellen, € 1 + Ant eg welke laatste verhouding niet anders is dan het specifiek induceerend vermogen K van het beschouwde medium met betrekking tot het luchtledige ($ 3). Ver- der is het uit de waarnemingen gebleken, dat voor alle isolatoren J + 477 & zoo weinig van 1 +4 42 verschilt, dat men voor de verhouding dezer groot- heden gerustelijk 1 mag stellen. Wij verkrijgen dientengevolge de eenvoudige betrekking Pm Batens pn a ne es (b1) Uit deze vergelijking blijkt intusschen, dat de electromagnetische lichttheorie, 22 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET zooals zij hier is ontwikkeld, geen verklaring kan geven van de kleurschifting. MAxweLL, die het eerst de vergelijking (51) afleidde, is dan ook van meening, dat deze slechts voor oneindig lange lichtgolven geldt, „because these are the only waves whose motion can be compared with the slow processes by which whe determine the capacity of the dielectric.” Verscheidene natuurkundigen hebben werkelijk de waarde van K voor ver- schillende isolatoren met die van »? voor oneindig lange golven vergeleken en daarbij de vergelijking (51) over het geheel bevestigd gevonden *. JÜE OVER DE LICHTBEWEGING IN EEN ISOTROPE MIDDENSTOF MET MOLECULAIRE STRUCTUUR. S 1. In het voorgaande hebben wij ons het medium, waarin de lichtbewe- ging plaats heeft, als volkomen homogeen en doorloopend voorgesteld. Voor den lichtaether bestaat er tot heden geen grond, aan de juistheid dezer opvatting te twijfelen, maar bij alle andere middenstoffen moet men, om den invloed van dichtheid en samenstelling te leeren kennen, met de moleculaire structuur re- kening houden. Wij zullen daarom thans de electrische bewegingen in een stelsel moleculen beschouwen, maar ik moet hierbij reeds vooraf opmerken, dat het ons niet zal gelukken, dit vraagstuk volledig op te lossen, maar dat wij ons met een eerste benadering zullen moeten tevreden stellen. Niet alleen toch zijn wij bijna ge- heel onbekend met het eigenlijke wezen der moleculen en van de electrische bewegingen, die er in kunnen plaats hebben, maar het vraagstuk wordt nog veel moeilijker door de omstandigheid, dat men de ruimte tusschen de moleculen als met aether gevuld moet aanmerken, waarbij dan onze onbekendheid met de wijze, waarop de moleculen in den aether liggen, nieuwe zwarigheden oplevert. Dat werkelijk de aether tusschen de moleculen aanwezig is, zal men wel bij de gassen niet kunnen betwijfelen, daar toch de eigenschappen dezer lichamen bij toenemende verdunning geleidelijk in die van den vrijen aether overgaan. Maar ook bij vaste lichamen en vloeistoffen zou men op moeilijkheden stuiten, * GrBsoN en BARCLAY, Phil. Trans. 1871, p. 573; BOLTZMANN, Pogg. Ann, Bd. 151, 153, 1555 SCHILLER, Pogg. Ann, Bd. 152; srLow, Pogg. Ann, Bd. 166, 158. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 23 wilde men de ruimte tusschen hunne deeltjes als ledig beschouwen. Het zou dan moeilijk zijn in te zien, waarom de voortplantingssnelheid van het licht in deze lichamen steeds kleiner is dan in het luchtledige en bovendien is het mij gebleken, dat dan bij veranderingen in dichtheid de brekingsindex veel meer zou moeten veranderen, dan het geval is. Eindelijk wijst ook de invloed, dien de beweging der middenstoffen op de lichtverschijnselen uitoefent, op de aan- wezigheid van den aether tusschen de moleculen der lichamen. Of en op welke wijze de eigenschappen van den aether door de aanwezigheid der moleculen veranderd worden, is ons geheel onbekend. Wij zullen hier de zeer eenvoudige onderstelling maken, dat — behalve misschien in de onmiddel- lijke nabijheid der deeltjes — de eigenschappen van den aether dezelfde zijn, als in het luchtledige, dat met name de constanten € en & de waarden hebben, die wij vroeger met & en 9 hebben aangeduid. Zijn eerst de gevolgen dezer onderstelling met de ervaring vergeleken, dan blijve het aan later onderzoek overgelaten, te beslissen, of men misschien betere uitkomsten kan verkrijgen, door aan den aether eenigszins andere eigenschappen toe te kennen. $ 2. Wij kunnen ons nu rondom elke molecule een kleinen bol $ gecon- strueerd denken, zoodat daarbuiten de aether de bovengenoemde eigenschappen bezit. Omtrent de eigenschappen der binnen dezen bol gelegen stof kan men dan zeer verschillende onderstellingen maken. Het eenvoudigst werd de zaak, wanneer men mocht aannemen, dat in het middelpunt M van den overigens ledigen bol S een enkel deeltje geplaatst is, en dat daarin door een electromotorische kracht (X, Y, Z) een electrisch mo- ment (m‚, my, me) in de richting van die kracht en evenredig daaraan en even- zoo door een magnetiseerende kracht (L, M, N) een magnetisch moment (mz, my, mz) wordt opgewekt. Als z en #' constanten zijn zou men dan mogen stellen me=XX, mex?, IE te ma ele on ee (U) m-=xL, m,—=xM, U eN ENC) Om verder de werking van het deeltje naar buiten te leeren kennen, zou men behalve de werking dezer momenten ook nog de inductie en de magnetiseerende kracht moeten beschouwen, behoorende bij een stroomelement in M met de com- ponenten dmz dm, dmz - es tere ae de ed bl dt dt dt 6) ’ Zooals wij later zullen zien komt ook bij andere onderstellingen omtrent den 24 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET inhoud van den bol S alles op hetzelfde neer, als wanneer in het middelpunt een enkel deeltje geplaatst was. Wij zullen ons daarom voorloopig tot de be- handeling van dit geval bepalen. S 3. In den onbegrensden aether hebben wij ons dus thans een aantal bol- vormige holten S en in het middelpunt van elke daarvan een stoffelijk deeltje (molecule) voor te stellen. Voorloopig zullen wij daarbij aannemen, dat al de deeltjes en eveneens al de holten aan elkaâr gelijk zijn. Bovendien maken wij nog een onderstelling omtrent de magnetische eigen- schappen der deeltjes. De ondervinding heeft geleerd, dat men slechts een zeer kleine fout begaat, door voor elke isoleerende stof de vatbaarheid voor magne- tische polarisatie gelijk aan die van den vrijen aether te stellen. In overeen- stemming hiermede zullen wij aannemen, dat het moment, dat door een mag- netiseerende kracht in eenig deeltje wordt opgewekt, gelijk is aan het moment, dat daardoor in den bol S ontstaan zou, indien deze slechts aether bevatte. Wanneer echter in dit laatste geval op den bol de uitwendige en over de ge- heele uitgestrektheid van S& even groote magnetiseerende kracht (L, M, N) werkte, dan zou in elk punt van den bol een magnetische polarisatie ontstaan met de componenten Na lig 00 Ltd 1450 en deze zou naar buiten dezelfde werking uitoefenen als een magnetisch moment in het middelpunt met de componenten 4 4. 4. ze To gd 320 ern nn rn Nn EN 4, 4. Wap 1 Fz, 145720 5 waarbij g den straal van den bol voorstelt. %* Daar ook dà, g‚ v over de geheele uitgestrektheid van den bel dezelfde waarden hebben, oefent deze magnetische polarisatie dezelfile werking uit als een verdeeling van vrij magnetisme over het boloppervlak met de dichtheid ad 4óp +ev (a, b, e zijn de richtingsconstanten der naar buiten getrokken normaal). De daardoor in een inwendig punt uitgeoefende magnetiseerende 4 t SES kracht heeft echter de componenten ir, en re voegt men hierbij Z, M, N, dan verkrijgt men, als men op (4) let, voor de componenten der totale magnetiseerende kracht NT CER ‚ zooals het geval moet zijn. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 25 Wij zullen dus in het vervolg voor elk deeltje HNE et 370 do Lm ek ek A ae | Pin VE Wi, . . . . Mis 8 (5) 4 1 +579 stellen. S 4. Wanneer nu in de deeltjes van het stelsel electrische bewegingen plaats hebben, zullen zich ook van elke molecule uit dergelijke bewegingen in den aether voortplanten, die aan de vergelijkingen (D)—(V) van het vorige hoofdstuk voldoen, wanneer men daarin voor € en &, &9 en 9 stelt. Het is nu de vraag, deze bewegingen en de terugwerking ervan op de in de holten geplaatste mole- eulen te onderzoeken. Beschouwen wij daartoe vooreerst een enkel deeltje P, gelegen in de holte 5 in den overigens doorloopenden aether en laat daarin een electrisch moment mz in de richting der z-as bestaan. Laat verder de wijze, waarop dit moment met den tijd verandert, worden aangegeven door de vergelijking Ur OH oostkant Deb SLEE RIE (6) Trekken wij door P een lijn L evenwijdig aan de z-as, dan is het gemakkelijk aan te toonen: vooreerst, dat de electromotorische kracht F, door het deeltje in eenig punt @ van den aether uitgeoefend, overal een richting heeft, gelegen in het vlak, dat men door @ en L kan brengen, terwijl de door P uitgeoefende magnetiseerende kracht G loodrecht op dat vlak gericht is; ten tweede, dat in twee punten @ en Q, die op een door P getrokken rechte lijn op gelijke af- standen van P liggen, zoowel F' als G gelijk zijn, maar dat F in @ en @’ dezelfde, daarentegen G in de beide punten tegengestelde richting heeft; cin- delijk, dat PF en G dezelfde waarden hebben voor alle punten van een om L als as beschreven cirkel. Het is nu waarschijnlijk, dat de diëlectrische en magnetische polarisatie, die in den aether worden opgewekt, resp. dezelfde eigenschappen zullen bezitten, als zooeven voor de electromotorische en magnetiseerende kracht werden aan= gevoerd. Verder ligt het voor de hand, aan te nemen, dat door het deeltje P zoowel transversale als longitudinale trillingen in den aether worden opgewekt. Wij zullen nu vooreerst twee dergelijke bewegingstoestanden zoeken, die tevens aan de bovengenoemde voorwaarden voldoen. NATUURK. VERH. DER KONINKL AKADEMIE. DEEL XVIII. 26 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET $ 5. Bij transversale trillingen is (IL, $ 21) p= 0, terwijl men uit de verge- lijkingen (D, (HI) en (V) van het vorige hoofdstuk gemakkelijk vindt l ò?À 1 du 1 dv ON Au == : V == Tse Vo? dt / Vo? dt? Vo? dt DO GD (7) == waarbij V, wederom de voortplantingssnelheid der transversale trillingen in den aether is. De eerste van deze vergelijkingen wordt verkregen door de tweede en derde van (IID, resp. naar z en y gedifferentieerd, van elkaâr af te trekken en daarbij (Ll) en (V) in aanmerking te nemen. Zoeken wij nu vooreerst een functie wj, die voldoet aan de vergelijking Aw 1 dwi 1 v3 Vint dt en slechts afhankelijk is van # en van den afstand » tot P. Dan is dw, 2Ò wr = re A dr Or dr” zoodat (8) wordt d2 Wi 2 Ò wy 2e l d2 Wi 972 NO Vo? dt?’ of, na vermenigvuldiging met r, (Wir) 1 (er) àr? Vo? A) t? Hieraan voldoet, gelijk men weet, als F' een willekeurige functie Is, (2 1 wrm Pli) of wilt): EER (9) Uit deze oplossing der vergelijking (8) kan men dan verder door differentiatie naar de coördinaten andere afleiden *. Derhalve voldoen aan de vergelijkingen (7) de waarden ) A 1 ae dz Òy * De oplossingen der vergelijking (8), die aldus verkregen worden, gaan voor Vo == over in de harmonische bolfunctiën, die aan de vergelijking Ap, 0 voldoen en door differentiatie 4 uit — worden afgeleid. r LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 27 die zoo gekozen zijn, dat aan de vergelijking (V) van het vorige hoofdstuk en tevens aan de in de vorige S gestelde voorwaarden voldaan is. Uit de vergelijkingen (III) volgt nu verder, daar p —=0 gesteld is, wanneer men met het teeken 'F' een functie aanduidt, waarvan F' de afgeleide is, en LEEN 0 MRC if ENOS Tt TE Bada) Ie an |} L DA ri r 1 2 rl r =|! tt nn = en jd Az Ag den ( zl. 5 REET rl: el welke waarden met die van À, w, werkelijk een juiste oplossing van het stelsel vergelijkingen (D)—{V) uitmaken. Natuurlijk komt men tot een eveneens juiste oplossing, wanneer men al de aangegeven waarden met een zelfden constanten factor vermenigvuldigt. Aldus kan men de volgende waarden verkrijgen, waarbij 'F — f‚ en dus F—=fi' is gesteld. Hier is f‚ het functieteeken uit (6), f‚’ de afgeleide functie van fi. B PAI an Sano) eik Gm ò2 r1 r A2 rl Is daler 5). jerre 7) (A) Mi ò rl r Sis n ED f ef jj Penn =d eN Ef E zAOn (oh ( ei x atnto | = Deze vergelijkingen, waarin « een voorloopig onbekende constante grootheid is, stellen den eersten bewegingstoestand voor, dien wij zullen beschouwen. S 6. Bij longitudinale trillingen is (I, $ 21) A =w =v == 0 en aan de ver- gelijkingen (D, (III) en (IV) van het vorige hoofdstuk wordt dan voldaan door De vergelijking (lI) geeft dan verder, wanneer wij onder Vo de voortplantings- snelheid der longitudinale trillingen in den aecther verstaan, RER TET 1 Nu voldoet aan deze vergelijking de grootheid p= „fi e-5) op dezelfde 0 g 28 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET wijze als (9) aan (8) voldoet, terwijl ook hier door differentiatie naar de coördi- naten juiste oplossingen worden verkregen. Aan de bewegingsvergelijkingen wordt derhalve voldaan, wanneer wij stellen pta fh 5) On Boal nl) in sG nl Sl DE Pasa! leid en waarbij /? een constant getal is. Bij de keus van dezen tweeden bewegingstoe- stand is wederom op de in $ 4 gestelde voorwaarden gelet. Wij zullen nu aantoonen, dat men werkelijk a en (2 zoo kan bepalen, dat (A) en (B) te zamen den bewegingstoestand voorstellen, die door het deeltje P in den omringenden aether wordt opgewekt. S 7. Verbeelden wij ons daartoe vooreerst den bewegingstoestand (A) uitge- strekt over de geheele ruimte buiten den bol S en zoeken wij de electromotori- sche en de magnetiseerende kracht, die ten gevolge daarvan in eenig punt werken. Wij zullen daarbij de waarden (A) ter onderscheiding van (B) van den index ‚ voorzien en het middelpunt P van S tot oorsprong van ons coördina- tenstelsel kiezen. Zooals wij in het vorige hoofdstuk zagen is het ter berekening van de elec- tromotorische en magnetiseerende kracht voldoende, de functiën pj, Ui, Bj, Wi, Pe, MN, Ni, Ki — die wij hier door dezelfde letters zonder index zullen aanduiden — te kennen. ò Ei Ò ò51 Wat vooreerst p (Ll, $ 5) betreft, merken wij op, dat — SE RAR Se + En 0 is en dat dus alleen aan het boloppervlak S vrije electriciteit optreedt. Wanneer a, b, c de richtingsconstanten der aan dit oppervlak naar buiten getrokken nor- maal zijn, dan is de vlaktedichtheid aan ’t oppervlak o =— (ali + bm + cl): of, volgens (A), wanneer wij kortheidshalve voor f, e=) fi, schrijven, d 9? 92 \rl 92 \e1 omelet “art eeeanen[;Al= aol hi). Stelt men dus aan ’t boloppervlak — voor r=g — 2òrl ross nij=0, EB LL EOS 0) LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 29 welke grootheid nog slechts t als veranderlijke bevat, dan is de vlaktedichtheid aan dat oppervlak os =aa €. Wanneer echter vrije electriciteit met deze dicht- heid over het boloppervlak verdeeld is, dan is de potentiaalfunctie buiten den bol en er binnen S 8, De grootheid U (I, $ 10) is de potentiaalfunctie voor een massa, die met de dichtheid — over de ruimte buiten den bol S verspreid is. Daaruit volgt, dat buiten den bol en er binnen ANU Eee erk heeht MORAIS a (4) moet zijn, terwijl overal, met name aan het boloppervlak, zoowel u als de eerste differentiaalquotienten ervan doorloopend moeten zijn. Bovendien moet u op on- eindigen afstand verdwijnen, wanneer, zooals wij steeds onderstellen, ook &, snel genoeg afneemt bij aangroeiing van 7. Zij nu F(t) een functie, waarvan f,(t) de afgeleide is, dan wordt aan de voorwaarde (13) voldaan door de functie d ò \rl r Wen Velg + 3) Alt olfenkekiehtelte ORnet (19) Immers dan is 1 dU, d2 d2\ rl d r ò Ei Uyan nd. Td | == rn A Ui Vor òf atalan tga) ENTAK Jl BT Stellen wij nu voor de werkelijke waarde van u buiten den bol U= U, + Uy, dan moet dus AU, == 0 zijn, Bovendien moet u» buiten S doorloopend zijn en op oneindigen afstand verdwijnen, daar U en U, deze eigenschappen bezitten. 30 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Men vindt gemakkelijk ‚ed Bn en nee Czn nl Cn En Ie OT An Ne Stelt men derhalve aan ’t boloppervlak — voor r=g — jn 1 Ì One te 5 ' AN tants In | A, en Meente (1,6) 8 7 td her dan wordt aan dat oppervlak u, A4 (1 — 84°) + a B. Wanneer dan nu binnen den bol 1 A B Br ONE LER (17) 9 U =d wordt genomen, dan is U} aan ’t oppervlak doorloopend en, wanneer men ook binnen den bol voor de totale waarde U —új + U, schrijft, volgt uit de conti- nuiteit van W aan ’t oppervlak ook die van U,. Daar bovendien blijkens (17) AU, =0 is volgt uit (14) ook A u, == 0. Verder moet aan ’t boloppervlak ook het differentiaalquotient van y naar de normaal # doorloopend zijn. Daaruit volgt, wanneer wij de waarden der diffe- rentiaalquotienten aan de binnenzijde van S door accenten van die aan de bui- tenzijde onderscheiden. ò U ) — ke dn ae Ò” dz dz en hier is het tweede lid uit (15) en (17) bekend. Stelt men nu voor 7 =g ò (1 IL letten ten va tij= 4, eine ANALE) 3 el n= B, LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 31 dan verkrijgt men ee nn Òa De functie U, moet dus zoowel binnen als buiten het boloppervlak aan de ver- gelijking van LAPLACE voldoen, en bovendien overal eindig en doorloopend en op oneindigen afstand — 0 zijn, terwijl de eerste differentiaalquotienten aan de vergelijking (19) zijn gebonden. Nu weet men echter, dat de eenige functie, die aan deze voorwaarden voldoet, de potentiaalfunctie is voor een massa, die met de vlaktedichtheid | —alj 44) LE ENE C) a (2 a FE AA) Ba? 1 zl Over ono ODA rOrd 0 20 = 5 BED + oe (20) over het boloppervlak verdeeld is. Deze potentiaalfunetie kan gevonden worden door middel van de uit de theorie der harmonische bolfunctiën bekende stelling, dat de potentiaalfunetie voor een massa, die met de vlaktedichtheid c (34? — 1) (e constant) over het boloppervlak verdeeld is, buiten den bol de waarde 322 1 6 4 1 en 7 Q* les) en er binnen de waarde Ee Ba? —7?) heeft. Door hierin a (2 : 2 Ee (Faa) te suùstitueeren verkrijgt men de potentiaalfunctie, behoo- rende bij den eersten term van (20). Die, welke bij den tweeden term behoort, is gemakkelijk aan te geven, daar deze term over het boloppervlak constant is. Voegt men bij de aldus voor Uy gevonden waarde die van U, die reeds werd aangegeven, dan vindt men, dat buiten den bol ef ò® rl r Teenie Ba? 1 1 Tr EE 04 =A—A' || S= Tee) u=a.4z Vo Ee ze), + rl en „5 „) + ee B n (21) en er binnen umer At Aje) Hel +BO TOE (22) moet zijn. Hierbij valt nog op te merken, dat wel is waar de functie #, door het op p. 29 gezegde niet geheel bepaald is, maar dat toch de bovenstaande vergelijkingen voor u volkomen bepaalde waarden opleveren. Want van twee functiën, die beide f, tot afgeleide hebben moet het verschil constant zijn en men vindt ge- makkelijk, als men op de waarden van 4 en 4 let, dat de waarden van u niet veranderen, wanneer men aan £) een constante grootheid toevoegt. 32 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET S 9, Evenals wij hier U berekend hebben kan men ook de grootheden 3, W, P, E, M,R, y bepalen, die blijkens het vorige hoofdstuk alle als poten- tiaalfunctiën zijn te beschouwen. Daar de wijze van berekenen geheel dezelfde is als de boven gevolgde zal ik mij tot het meêdeelen der uitkomsten bepalen. Men vindt voor een punt buiten den bol 2 rl r DE 3 ay See We 5 Cue SNES ZEE nd vt ezels ek Et (23) de rl r 1 2 3 4z IND Sne ASA a al nl oled d Pa PBT Hac EVE Ln, RP EN e=; NS NE AN een id does AL == «4m Ad.4rnV, Se al A |+a.4za og „5 de R herten (25) ENEN zer ENE f s4L N «An Adr Vo SE AC al a. 4n Ado en en voor een inwendig punt Beele 4) en. Beagle At 43e (0) ee wenen eee ne m2 50 ni Mand) Bz, N= an AI By ...e.e.. (23) $ 10, De electromotorische kracht, die nu ten gevolge van den bewegings- toestand (A) optreedt, bestaat blijkens het vorige hoofdstuk uit vier deelen, waarvan de componenten achtereenvolgens zijn a) On len ne dz òy dz ò U B d WG b nd Ee ) Ò4 AF, de dz 1 EE 1 Open: d FP ARI IN e) ze Eene Derk Dn LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 33 d) AS ) ad (EE), pc om de dt \d, de òt\de Òer dt \dr Òy Zoeken wij door middel van deze uitdrukkingen eerst de electromotorische kracht in eenig punt van den aether buiten den bol S. Wij zullen daarbij sommige deelen dier kracht bepalen door electrische momenten en stroomelementen op te geven, die dezelfde werking uitoefenen. Stilzwijgend wordt daarbij ondersteld, dat die momenten en stroomelementen in het middelpunt P geplaatst en even- wijdig aan de z-as gericht zijn. De vergelijking (11) geeft volgens a) een electromotorische kracht, gelijk aan de electrostatische kracht, die zou behooren bij een moment Verder volgt blijkens b) uit de eerste termen van (21) en (23), daar 1 ge EO En GE ei bn EVER is, een eleetromotorische kracht met de componenten 51 ZI 1 (U) eo(l + 477) eol 4 Ard)’ eol Hdd) COT De tweede termen van (21) en (23) geven een electromotorische kracht gelijk aan de electrostatische werking van een moment Eindelijk levert de derde term van (21) een electromotorische kracht op, gelijk aan de inductie, die zou worden uitgeoefend door een stroomelement wanneer men bij de berekening dier inductie door middel der vergelijking (12) van het vorige hoofdstuk slechts het eerste deel van g in aanmerking nam. Daarbij valt op te merken, dat dit eerste deel van q geen electromotorische kracht in de richtingen der y- en z-as zou opleveren. Verder geeft volgens c) de eerste term van (24) een electromotorische kracht, gelijk aan die, welke men uit het tweede deel van qg voor het stroomele- ment (ec) zou vinden, zoodat wij de inductie van dit stroomelement in haar ge- heel hebben. 10 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 34 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET De tweede term van (24) geeft echter een electromotorische kracht gelijk aan de electrostatische werking van een moment B’ 1 9 AET: (14) o°*. A Ee soes (43) Eindelijk verkrijgt men nog uit de eerste termen van (25) volgens d) een elec- tromotorische kracht met de componenten dr Po dro Ar Po SS EEN: AE zal HA) tn nn an Ca) en uit de laatste termen dier vergelijkingen een werking gelijk aan die van een moment S 11. Vatten wij het gevondene samen, dan hebben wij dus ten gevolge van den bewegingstoestand (A) in elk punt van den aether een eleetromotorische kracht, die uit drie deelen bestaat. net Het eerste deel — (bj) en (by) — heeft tot componenten À, me ee 0 0 0 Het tweede deel is gelijk aan de electrostatische kracht, die zou worden uit- geoefend door een moment D in P, wanneer wij onder D de som der groothe- den (aj), (da), (d3) en (aj) verstaan. Het derde deel eindelijk is gelijk aan de inductie, die men zou hebben, wan- neer in P een stroomelement ag? B bestond. Daar verder blijkens $ 9 y= 0 is, zijn de componenten der magnetiseerende kracht (L, $ 16) a rel ee dz dy) Òz dz)’ Ò7 Òz Men vindt hieruit, dat deze kracht in elk punt van den aether uit twee deelen À B 55 bestaat, waarvan het eene de componenten a Dn heeft, terwijl het 20 0 0 andere deel gelijk is aan de magnetiseerende kracht, die bij het stroomelement (b) zou behooren. Uit het bovenstaande volgt, dat, wanneer wij thans in P in de richting der z-as een electrisch moment — D plaatsen (dat alleen electrostatische werking LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 35 uitoefent) en evenzoo een en — ag? B, de componenten der pen À yv eleetromotorische Brol pd 5 en die der magnetiseerende kracht …—, >» En € € Dn 5 op worden, zoodat dan de bewegingstoestand (A) werkelijk bestaan kan. Met an- dere woorden, om dezen bewegingstoestand te onderhouden is in P het moment — D en het stroomelement — a g° B' noodig. S 12. Hetgeen wij tot nu toe gevonden hebben geldt in het algemeen, hoe groot ook de straal g der holte S moge zijn. Wij zullen thans echter zien, wat er van de grootheden — D en — ag? B' wordt, wanneer wij dien straal zeer klein stellen. Neemt men de waarden van C, A, A’, B, B' in aanmerking, dan vindt men na ontwikkeling 4 2 L 1 5 5 1 , els 51 zap fg —A20*,47 2 Ze mi / D= mied a re ovl: red edo been At Dr EN tao |+ S(1 1 SR ME MAT . ot }resmenganvd gft, Ek Hor |= =d (rts ti) fende tn) hi grAve)s Ee 3 Eh rvan), —a man e(t), in welke uitdrukkingen f,, fy, enz. de waarden van fi (-í) fv (— all enz. voorstellen. Deze functiën kunnen echter volgens het theorema van TAYLOR in reeksen naar de opklimmende machten van 5 ontwikkeld worden. Zoo is b. ve 0 h=h(t) rn (é) th enz, en door deze waarden in de voor — D en — ag? B' gevonden he oa over te brengen, verkrijgt men in de eerste termen met fj ON af (4), enz, in de tweede daarentegen termen met f)' Ons zh ‘(t) enz. als factor. ORE 36 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Nu mogen wij veilig aannemen, dat de straal g der holte zoo klein is, dat gedurende den tijd 7 = a dien de transversale trillingen noodig hebben, om in den aether den afstand v af te leggen, de functiën fi (t), fi (t), enz. slechts uiterst weinig veranderen *. Daar dan echter n fi ) juist de aangroeiting van fi) gedurende den tijd 7 voorstelt mag men die ne ten opzichte van fi £) verwaarloozen. Des te meer reden bestaat er om ook T— fl (t) en de ter- men met de hoogere differentiaalquotienten weg te laten, Dn men in de uit- drukking voor — D slechts de termen met f, (f) behoeft te behouden. Evenzoo blijft in —ag? B slechts fi (t) over. Neemt men bovendien in aanmerking, dat An PVE Omme D= AEN GE == Mr, IKS 5 DTe dr fi ee dt is, dan wordt S 8 d Sn AN dl mp —ao B =a Ee oiekkenten att elie (29) \3 € omt S 13. Zoeken wij thans de eleetromotorische kracht, die tengevolge van den bewegingstoestand (A) in eenig punt (r, y, 2) der holte werkt. Vooreerst volgt uit (12) een eleetromotorische kracht met de componenten == 0, 0 Hij Evenzoo verkrijgt men wit (22) en (26) de componenten WEN ò (3 0D a. — (Ba? —1?) 42 — — a. Á 0 c 8 vk) JL B) KA 3 EN (Cara). 5Q df \Q 5g òf (e De componenten der electromotorische kracht, die uit (27) volgt, zijn 1 dB 1 dB’ rand dB BAI RAFI) arg PADS kegs e A(k—1 nette PE Dre Ang dd. * Bij enkelvoudige trillingen is dit het geval, wanneer p slechts zeer klein is vergeleken met de golflengte. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 37 en eindelijk die, welke men uit (28) vindt Door middel van de waarden C, A, A, B, B’ vindt men dus de componenten der gezochte electromotorische kracht en wanneer men nu in aanmerking neemt, dat g en dus binnen de holte ook zr, y, z, r zeer klein zijn (verg. de vorige S), dan kan men in de uitkomst een aantal termen verwaarloozen. Het blijkt dan, dat men aan de eleetromotorische kracht in elk punt der holte de richting der ras en de overal gelijke grootte 8 1 OIS EL DEAD ENOR DEE (30) 3 e . Ze peas S d° mz mag toekennen. (Hierbij zijn termen verwaarloosd, die den factor dT 72 bevatten.) Uit de in $ 9 meêgedeelde waarden volgt eindelijk nog voor de componenten der magnetiseerende kracht in eenig punt der holte 4. d d 0, DE se A. sd , 3 dt 3 dt de CD S 14. Op dezelfde wijze, als wij hier met (A) zijn te werk gegaan, kan men ook met den bewegingstoestand (B) handelen. Men vindt dan, dat men, om de- zen te onderhouden, in P een electrisch moment 8 B 5 z + =| Are PNA (32) en een stroomelement 4 dme mmm // enn ae al ze neme wr Paid Wi ee ete Sd 33 ô 5 dt BE) moet plaatsen. Bovendien werkt ook tengevolge van (B) in elk punt der holte een electromotorische kracht in de richting der z-as en de grootte daarvan is 38 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET (Bij de zie van (32), (33) en (34) zijn grootheden weggelaten, die resp. 2 d2 me 0? dm, L dm, g,£ 5 EL de factoren VEE JE Sj RPT OV ar De componenten der magnetiseerende kracht eindelijk, die door den bewegings- toestand (B) in eenig punt der holte wordt uitgeoefend, zijn bevatten.) 4, z dm, 4 4 dmz 5 0, nt Á — 5 OTT eee eeN oe (Ob) Pas en er 39) S 15. Uit het thans gevondene blijkt, dat ter onderhouding van de bewegin- gen (A) en (B) in het middelpunt P der holte het moment (e+ 95 z+ sle en het stroomelement 4 id Ux dt (2a— ft). moeten geplaatst worden. De formules (A) en (B) zullen dus de door de molecule P opgewekte bewegingen voorstellen, wanneer de zooeven aangegeven uitdruk- kingen gelijk zijn aan het moment mm» en het menemen, Se ‚ die werkelijk in het deeltje bestaan. Derhalve moet e+ Dlints) == en Raf) gr =l zijn. Aan deze vergelijkingen wordt voldaan door gm TE, Ba re (36) An (L algen) 4(l + 7780) en hiermede zijn de electrische bewegingen, die zich van de molecule P uit in den aether voortplanten, geheel bekend *, * Laat men z, tot O naderen, dan moet natuurlijk hetzelfde ook met de componenten der dië- lectrische polarisatie in den aether het geval zijn. Toch naderen dan volgens (36) « en B niet r tot 0. Maar voor e= 0 wordt V‚= Ve en dus in de formules (A) en (B) f, (5) = 0 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 39 S 16. Wij gaan thans over tot het geval (S 3), dat in den aether een aantal holten bestaan en dat in het middelpunt van elke daarvan een deeltje met een electrisch moment (mm, m,, m.) bestaat. De grootheden mm, m,, m- zijn daarbij als afhankelijk van den tijd en van de plaats van het deeltje te beschouwen. Elk deeltje zal nu weer, op de boven onderzochte wijze electrische bewegingen in den aether opwekken, maar deze bewegingen zullen zich nu niet meer onge- stoord voortplanten, maar herhaaldelijk door de grensvlakken der holten worden teruggekaatst. Wij zullen intusschen in de volgende SS aantoonen, dat men, wanneer de holten zeer klein zijn, de totale beweging in den aether op de vol- gende eenvoudige wijze kan verkrijgen. Men stelle zich voor, dat bij het moment m- van eenig deeltje P bewegingen in den aether behooren, die nog steeds door de vergelijkingen (A) en (B) be- paald worden. Eveneens verbeelde men zich, dat bij de momenten m, en m- van dit deeltje bewegingen behooren, die geheel met de zooeven genoemde overeen- komen, zoodat in de uitdrukkingen daarvoor dezelfde constanten « en (3 optre- den. Zij P de geheele bewegingstoestand, die aldus bij het deeltje P behoort. Om den totalen bewegingstoestand Q in den aether te verkrijgen heeft men dan slechts aan te nemen, dat bij elke molecule bewegingen behooren, die met P overeenkomen, en dat de constanten « en /? voor alle deeltjes dezelfde waar- den hebben. Hierbij valt op te merken, dat de bewegingen P in den aether, die bij eenig deeltje behooren, nu niet meer geheel door dat deeltje worden opgewekt, maar dat daaronder ook bewegingen begrepen zijn, die, van de andere moleculen af- komstig, door het grensvlak der holte, waarin ’t beschouwde deeltje ligt, zijn teruggekaatst. [et gevolg daarvan zal dan ook zijn, dat de constanten « en 2 thans andere waarden dan (36) aannemen. S 17. Om nu de momenten en stroomelementen te vinden, die ter onderhou- ding van den bewegingstoestand Q noodig zijn, en om tevens de terugwerking van Q op de moleculen te leeren kennen, verbeelden wij ons vooreerst de bewe- ln) f(t). Verder is dan A L f 0, zoodat men voor de waarde van Z in (A) ook kan schrijven ezel, fs ov Joegt men nu de waarden (A) en (B) bij elkaâr, dan komt er U E=latBigelih} s=etorrhOl, stal sh0] Pr en voor 19—=0 verdwijnt ook de hier voorkomende factor z + f. 40 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET gingen P, die bij eene molecule P behooren, uitgestrekt over de geheele ruimte buiten de holte, waarin dit deeltje ligt. Om dan deze bewegingen te onderhou- den, is, zooals uit het in $ 15 gezegde is af te leiden, in P een electrisch mo- ment noodig met de componenten (etat | (a + 2) | get zo) e+ lS akg jee. (37) en een stroomelement met de componenten 0 ER à OER 4 à de On E oen Es DE’ (La—f?). 8 Sr SE (Za—f?). B (2a— fl „ (85) Zijn werkelijk dit moment en stroomelement in P aanwezig, dan zijn de com- ponenten der eleetromotorische en magnetiseerende kracht in eenig punt van den aether resp. 5 Le 5 kj, 2) 2E) waarbij de index p aanwijst, dat wij met 60 6 0 Do A Ìo de bewegingen P te doen hebben. Verder vindt men uit S$ [3 en 14 voor de componenten der electromotori- sche en magnetiseerende kracht, die tengevolge van de bewegingen P in eenig punt der holte werken, resp. Nr Miz +). En. En (a4B).grin CME mere 9) en … 4 Ì Ò 42 Ò 72, de 1 Ò 72 Ò 7 Nrd. Sd eee ! dee Garn ze D4 de (a + (2) A sle or) 4 re were Eee S 18. Laat nu al de bewegingen P, bij de verschillende deeltjes behoorende, te gelijk bestaan en nemen wij vooreerst nog aan, dat de bij elk deeltje behoo- rende beweging over de geheele ruimte buiten den bol S, waarin het liet, is uitgestrekt. Dan hebben wij ook binnen elken bol S nog een diëlectrische en een magnetische polarisatie, waarvan de componenten, die wij &, #5, A, gel, wv! zullen noemen, verkregen worden door Zé, Zn óp ZS Âm Eten Ev te nemen over de bewegingen P, die afkomstig zijn van al de deeltjes, met uit- zondering van het in den beschouwden bol zelf geplaatste. Om nu al de bewegingen P te onderhouden, zijn in het middelpunt van elken LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 41 bol het electrisch moment (37) en het stroomelement (38) noodig. Wanneer deze werkelijk bestaan, is het verder niet moeilijk de eleetromotorische en magneti- seerende kracht aan te geven, die binnen eenigen bol S werken. De eerste kracht bestaat uit het deel (39), afkomstig van de bewegingen P, die bij het in S zelf geplaatste deeltje behooren en uit een tweede deel met de componenten A , En dat afkomstig is van de bewegingen, die bij de overige trillingsmid- 0 0 0 delpunten behooren, en van de in die punten geplaatste momenten en stroom- elementen (37) en (38). De componenten der electromotorische kracht, die uit deze oorzaken te zamen voortvloeit, zijn dus 5 eer BG j dS, =S +, tie ern ed. (a +7 ste af (a + 9) me PR (a+/3) ae Gees 1) Evenzoo vindt men voor die der magnetiseerende kracht Ò mz KL d. Ì / Òmr Ò mz ze =nA.—ly* — Sn — mt (e+). ee lr Sel tn, (4 )grd ml: 2e) En Ò ay Òmr\ NN een) Aran did Ba DE Gt 42 (a + 7). zrd. ij. sp rd (42) S 19. Om eindelijk den bewegingstoestand @ ($ 16) te verkrijgen heeft men nog slechts de binnen de bollen S voorkomende diëlectrische en magnetische polarisatie (E, 7, 5), @, u’, »/) weg te laten. Zooals ons later zal blijken mag men aan de componenten daarvan over de geheele uitgestrektheid van eenigen bol S dezelfde waarden toekennen. Het ge- volg daarvan is, dat men gemakkelijk voor de binnen S voorkomende diëlectri- df H 1 sche polarisatie, stroomverdeeling Ër. Ee on en magnetische polarisatie de grootheden p, U, B, W, enz. kan berekenen, waaruit men dan, zoo voor een uitwendig als voor een inwendig punt de door den bol uitgeoefende electromo- torische en magnetiseerende kracht kan afleiden. Men vindt op deze wijze, dat de werking, door den bol naar buiten uitgeoefend, ook zou kunnen verkregen worden, wanneer slechts in het mudgelpnnt een leste moment 2’, een stroom- elen sen een magnetisch moment m’ geplaatst waren. De tnt dezer drie grootheden zijn resp. fz + 2 hs rl + (lr. an, BIO Hopla òt ret Utr „55 Re ne (4,3) NATUURK VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL XVIII. 42 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET bs) OBE ORDE 174 1, DIE stee We BAER â 4 4 rd os À, id o° u, kad ov, waarbij nog valt op te merken, dat men, wegens de kleine waarde van g (verg. S 12) voor (43) ook eenvoudig de grootheden 4 4 4 E 8} rel) 5 3 Es 3 570 En zen, z7e5 mag stellen. Wanneer wij thans den hier beschouwden bewegingstoestand binnen de bollen S weglaten, maar tevens in het middelpunt van elken bol de momenten 1’, m’ en het stroomelement s° plaatsen, dan ondergaan de electromotorische en de magnetiseerende kracht, die in eenig punt van den aether werken, geen veran- dering. Voegt men derhalve bij m’ en s’ nog de grootheden (37) en (38), dan kent men voor elke holte het electrische moment, het stroomelement en het magnetische moment, die in het middelpunt geplaatst moeten worden, om den bewegingstoestand @ te onderhouden. Zal dan deze laatste kunnen bestaan, dan moeten de aldus berekende grootheden gelijk zijn aan het electrische mo- ment (Me, My, M‚), het stroomelement Ee ee ed en het magnetische mo- ment (mt, my, mz), die werkelijk in het middelpunt aanwezig zijn. Dit is het geval, wanneer voor elk deeltje S (a + 3) 5 "+ zm ne SE = mz, 5) € bj fe eee ed | (a + 5) (or tje nd Nn == My; ne 5) 1 4, (a +) 5e — zm +0? É == mz, 3 € B) js 4 Jamz 4 328 Òme \ mm | Nl 4 Òm, 4 gd Òmy Ra) 57 Save 0 SE RON IT ed er 10 oven (2) Ade ee en: LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 43 4 4 À 4 f zr N= me zr == my zeer — see eve enen) is. $ 20. Beschouwen wij ten slotte nog de electromotorische en de magnetisee- rende kracht (X/, Y, Z)) en (L/, M’‚, N), die binnen eenige holte S door al, wat er buiten ligt, worden uitgeoefend. Wanneer wij vooreerst den bewegings- toestand (E, 1/, C', », w/, 1»/) binnen alle bollen, behalve den beschouwden, door de in de vorige $ aangegeven electrische en magnetische momenten en stroom- elementen in de middelpunten vervangen, dan heeft dit op de in $ 18 beschouwde electromotorische en magnetiseerende kracht binnen S geen invloed. Bovendien hebben wij dan, tengevolge van («), (3) en (44) den invloed door de werkelijk in die bollen geplaatste momenten en stroomelementen uitgeoefend, behoorlijk in rekening gebracht. Om derhalve de krachten (X%, Y’, 2), (L/‚, M, N°) te ver- krijgen hebben wij nog slechts van (41) en (42) de electromotorische en de mag- netiseerende kracht (X”, Y”, Z") en (L”, M', N") af te trekken, die door den bewegingstoestand (&, 1’, £, à, wl, v') binnen den beschouwden bol zelf voor- komende, worden uitgeoefend, S 21. Nu vindt men op de in $ 19 aangegeven wijze OE Nh EN BETEN Ct PR lS dw òy/ rele, FTT ld 5ell+: zals al 15) Ke grE grs tst [0 5 dt Daar g en dus ook 7, , y, z zeer klein zijn (verg. $ 12) mag men echter van de vier termen, waaruit X” bestaat, den tweeden en den derden ten opzichte van den eersten verwaarloozen, zoodat 4. ze òrv PAN DEEEE ' Ed 2 ——_ lide ral dt 15) en eveneens 4 Ì TR er à hl DA PERES dh LE mda 7 (- Di oe) VA 5 +37 (» Di x on wordt. Verder vindt men JEVE. ò5 _ òn\ 4 4 DE 06 Wand _ — lam — en | ee mid +374 y iik M gr +57 [ yr —e,) 4 AE 2E) N' ma — ee REN le Beg ale5, S5el’ UN 44 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET en volgens het in de vorige S$ gezegde wordt eindelijk = (a + 5). ee ar prEgrals Er) enz. …… .… (45) BERN brallen) Aal EPT | +; sek bet seal ee) rale Dé er) em 0) do dé In het middelpunt der holte (voor # — y =2==0) worden deze uitdrukkingen Xp = (a + 7). at zE, enz. HR Up= zint ke enz. S 22. Nu wij aldus de eleetromotorische en de magnetiseerende kracht gevon- den hebben, die tengevolge van de beschouwde electrische bewegingen op een der in ’t middelpunt der holten geplaatste deeltjes werkt, kunnen wij de laatste vergelijkingen opstellen, waaraan de beschouwde bewegingen voldoen moeten. Blijkens het in $8 2 en 3 gezegde moet nl. voor elk deeltje x[(e + 2).3 gr te Je zal] 8 4 zet Dorgttgrij= en oorden . (7) x[(a +2). tg tgetlen | en ie Er) zg do 1 4 zo w 4 Eeken la, k 1452) 3 5) =S 9 4 5 4 oger) em: DOO RONROR ROM OG 105 (47) 1 + 570 zijn. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 45 De laatste vergelijkingen drukken echter dezelfde voorwaarde uit als (44). Daaruit volgt, dat aan alle voorwaarden van het vraagstuk voldaan wordt, wan- neer men slechts m,, #1,, m- zoodanig als functiën van de coördinaten en den tijd en & en /? als constanten bepaien kan, dat aan («), (9) en (y) voldaan is. Immers, dan zijn door middel van de vergelijkingen (A) en (B) en de andere daarbij behoorende ook à’, wf, v' bekend en (44) en (47) leveren dan dezelfde waarden van mz, my, mz Op. S 23. Wij zullen nu bewijzen, dat aan de vergelijkingen («), (2), (y) werke- lijk voldaan kan worden, wanneer zich in het stelsel moleculen transversale electrische trillingen voortplanten. Daaronder verstaan wij in het algemeen elken bewegingstoestand, die voldoet aan de vergelijkingen en = 0, dz dr ij dz he ee a (C) ad, Fn “ly Iz A mz ve ge’ Am =y DR A m: Ve oe Hierbij hebben wij ons den oorsprong der coördinaten in een willekeurig ge- kozen punt voor te stellen, terwijl V de voorloopig onbekende voortplantings- snelheid der transversale trillingen is. Zij me=fil2,#,2,t), myefzle, ns zt), Mme = falen, zt)... (45) eenig stel waarden, dat aan de vergelijkingen (C) voldoet, waarbij wij zullen aannemen, dat f,, fs, fz doorloopende functiën zijn, die ot alleen op eindigen afstand een van O verschillende waarde hebben, of althans bij toenemenden af- stand zeer snel afnemen. Trachten wij dan de waarden van &, x/, 5 te bere- kenen binnen eenige holte S, waarvan ’t middelpunt P de coördinaten #’, 4, / heeft en noemen wij daarbij 5’, 1)’, 5’ de waarden, die men verkrijgt, door al- leen de transversale trillingen in rekening te brengen, die in den aether worden opgewekt, evenzoo E/%, no, Ey de waarden, die uit de longitudinale trillingen voortvloeien. Wij zullen bij deze berekening nog aannemen, dat bij den overgang van mo- lecule tot molecule de electrische momenten mm, m,, me slechts uiterst langzaam veranderen, hetgeen klaarblijkelijk bij de lichtbeweging het geval zal zijn, wan- neer de golflengte l, vergeleken met den onderlingen afstand der deeltjes, zeer groot is. Men kan dan om het punt P als middelpunt een bol B met een straal beschrijven, die zeer groot is vergeleken met den onderlingen afstand der deel- 46 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET tjes, maar toch zoo klein, dat voor de binnen B gelegen moleculen de momen- ten 1m, m, me slechts zeer weinig van die van het deeltje P verschillen. De grootheid £’ bestaat dan uit twee deelen, waarvan het eene 81) afkomstig is van de buiten B, het andere &/5) van de daarbinnen gelegen moleculen. Het- zelfde geldt van #1’, 1’, Ez, 19, Cz. S 24. Om nu vooreerst &,'a) te berekenen merken wij op, dat de straal g der holte S zeer klein is ten opzichte van den afstand van P tot alle buiten B gelegen deeltjes, zoodat wij Ea) over de geheele uitgestrektheid van S even groot kunnen stellen en dus slechts de waarde in het middelpunt P (x', 4’, 2’) hebben te zoeken. Is dan @ eene molecule, die op een afstand r van P in het punt (w, y, 2) ligt, dan vindt men door middel van de formules (A) het aandeel, dat het mo- ment 1, dezer molecule voor Z1'(a» m'a» Cr oplevert. Door letterverwisseling worden ook de aandeelen gevonden, die bij de momenten #/, m, van @ behoo- ren en men verkrijgt aldus voor en deel van 81’), dat bij het deeltje @ behoort, Er (4) A SE LC fi (- In Api lts SE JE fa (e YJ, 2 tz) zin 3 r 3 r\ SF ot f3 de. Ir 2 de —aÂA E fi (= Is, 2 dn dub grot (4.9) Bee 3 d° de d2 E E d2 Ò2 de Hierbij is A= 5 ET terwijl wij A TE == Dr ais De zullen stellen. Om nu wit (49) Ea, mas Ci(a) af te leiden moet men over al de buiten B gelegen moleculen (} sommeeren. In plaats daarvan kan men echter ook over de ruimte 4 buiten B integreeren. Men kan nl. deze ruimte in een aantal even groote geheel gesloten vakken verdeelen; zoodat in elk daarvan eene molecule ; 1 Stk ligt. De inhoud van elk vak is dan —, als p het aantal deeltjes in de ruimte- p eenheid voorstelt. Verder mag men, tengevolge van het in $ 23 gezegde, de functiën fi, fr, f3, 1 over de geheele uitgestrektheid van eenig vak als constant beschouwen, zoodat hetzelfde ook met de funetie £ het geval is, die het tweede lid van (49) uitmaakt. Daaruit volgt, dat men door over eenig vak de integraal eff Fdr te nemen (dr =daedydez) juist de grootheid £'(/) voor de in dat vak geplaatste molecule verkrijgt. Daar hetzelfde ook voor de andere vakken LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 47 geldt, verkrijgt men voor £1(« Pp | | jj nr dr, waarbij de index (4) aanwijst, dat de integraal over de geheele ruimte A buiten den bol B moet genomen worden. Derhalve is Ei (a) zen ere) ve Gh (= Is 2, tr] zi Lt (z Js 2 —)] 3e Ar] en ff fartrl ZN + Lnlan: zi d ere [falinlenet—}}e=er Ee Ig. ® (50) S 25. Om Z, te vinden kan men van de volgende beschouwing gebruik ma- ze! r ze ken. In de grootheid — f, (=r AL —) komt z op twee wijzen voor, nl. voor- 7 0 £ 3e Ò rl eerst in 7 en ten tweede daarbuiten. Wanneer wij nu onder SE A het wer- ELT 3 : ; 5 JAN kelijke differentiaalquotient naar z verstaan, onder B) - n] daarentegen het Ki r differentiaalquotient, dat men verkrijgt, door r als standvastig te beschouwen, dan is aal (ss) HARSR ks == SE n— se 2]. dus drd [5 n= Be JE A =aalsfik Men vermenigvuldige deze vergelijking met dr en integreere over de ruimte 4. Daarbij kan men in de laatste integraal van het tweede lid de integratie naar R Ì Ten Ee e uitvoeren, zoodat deze term {daar — f‚ op oneindigen afstand verdwijnt) slechts pe een integraal over het boloppervlak B oplevert. Wanneer a’, b, c° de richtings- constanten zijn der aan dit oppervlak naar buiten getrokken normaal, dan vindt men op deze wijze U aelnal af (2) Endert ffen-e2 Even als wij hier een vergelijking gevonden hebben voor het eerste deel van /, 48 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET kunnen wij ook met het tweede en derde deel te werk gaan en wij verkrijgen dan door optelling ee Í Í | 5 nld En +15)Lo)jer+ Í Í of fate fi) B. 62) Nu is echter bij de eerste integraal de functie onder het integraalteeken niet 1 (Omz O2 Ò mz p anders dan de waarde, die SS n er é r\dz Òy ie Òz Vo en daar nu de eerste der vergelijkingen (C) overal en ten allen tijde moet gel- den, is de eerste integraal in (52) = 0. In de tweede integraal van die formule kan men wegens de kleine waarde van den zo EE r ï r straal R van B de functiën f) le, Zil fa (20,2 t a) fs (ent) | voor den tijd t— — aanneemt, en ontwikkelen. Uit het theorema in reeksen naar de opklimmende machten van ï 0 van TAYLOR volgt b. v. r Òr 72 Ò mr p: fi (ennt) Tae + DVP 02 — ENZ, dus hi $ r\ 1 1 Òxr JE r_ Ò mr — d | == Mr —- enz. 7 1 (es 2, v) De Vo y 2 Vo? De e Op deze wijze verkrijgt men 1 DIE ò7 l l Òr( Or Ò My ÒMz len G myke me Ee Ke Sr ror De [ 5 (amb me m)dBt Te ri De +6 De He DP es enz. . (53) Zijn nu x,y,z de coördinaten van eenig punt van het boloppervlak ten opzichte van assen, door P evenwijdig aan de oorspronkelijke gebracht, en duiden wij de waarden in P door den index p aan, dan is in (53) NV EAN Ò 2,\ Mz = (mo)p + X == ard B + z 5e) + enz, òz Jp Òy /p Ò2 Jp terwijl men ook m,, m, in dergelijke reeksen kan ontwikkelen. Bij de integratie verdwijnen nu de termen met de eerste differentiaalquotienten van LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 49 Me, My, Mm. Wegens het in $ 23 over R gezegde mag men ook de termen met De de tweede differentiaalquotienten verwaarloozen. Bij enkelvoudige lichttrillingen R 9 zijn nl. die termen van de orde 7) ten opzichte van die, welke (m,), enz. zelf bevatten. Ten slotte wordt dus, daar «== 5 b 5 7 en, in het mid- 1 Ac delpunt P, pr “ris eb iede Dr “RE (off van + mo, f fevan En oor fra | of ò 7 4 oee EEEN (54) S 26. De integraal 7, in (50) kan men op twee wijzen transformeeren. Voor- 1 8 : eerst kan men op 55 fi (=s at) dezelfde redeneering toepassen, die òz AK Vo jj r : Er wij boven voor zh (5 zt Zi bezigden. Men verkrijgt daardoor 0 salad E terwijl men, door (51) naar z' te differentieeren, de betrekking ebt) male nz] vindt. Telt men beide vergelijkingen bij elkaâr op, dan komt er na omzetting zel tl= (55) rr) — (2) Cha] + EI en hieruit volgt (IJ BNEe+ND A gen NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII, 50 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Op dezelfde wijze kan men nog twee vergelijkingen opstellen, waarbij in plaats van de differentiaalquotienten naar » en #’ resp. die naar y en ‚zen voorkomen. Telt men vervolgens de drie verkregen vergelijkingen bij elkaâr op, dan komt er in ’t eerste lid juist Z; men heeft dus ae ff belt + (as) + + (55) (En]ar + + jes zE (e+ el) erf fe sent Ta Snes 4 55) In de eerste integraal is de functie onder het integraalteeken voor eenig punt Ee Q klaarblijkelijk niets anders als de waarde, die — Amr voor den tijd DE % 0 in dat punt aanneemt. Men mag er dus blijkens (C) de de voor stellen, die L dm, rv? #2 zoodat de eerste integraal in (55) 1 ò2 rl r\ a == et || d Vv? Hi dz2 E fi (» Y, t ml T wordt. Bij de berekening van de beide laatste integralen in (55) kan men op een dergelijke wijze te werk gaan als bij de behandeling der in de vorige $ voor- komende integraal over het boloppervlak B. Het blijkt dan, dat men in de laatste integraal van (55) voor fi (m‚)p in de plaats mag stellen, zoodat deze integraal den vorm “in dat punt op hetzelfde oogenblik heeft en deze i Ss mz DE fi - 7 ni al Seen En 5 oe), ie aanneemt. Deze grootheid is echter — 4 zr (m,),. Eindelijk kan men aantoonen, 20 ‚ @ * In het bijzondere geval, dat f, (e, Ys Za ) als een product van twee factoren kan wor- 0 pe den voorgesteld, waarvan de eene slechts w,y, 2, de andere slechts t — Yv. bevat, gaat de verge- 0 lijking (55) in een vorm over, dien men ook uit het theorema van GREEN kan afleiden. De be- werking, waardoor wij (51) verkregen, verandert dan in de gewone partieele integratie. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 51 dat de eerste der in (55) voorkomende integralen over het boloppervlak ten op- zichte hiervan kan verwaarloosd worden, zoodat men voor (55) verkrijgt 1 NE ni (s ne bm) ]dr + 4m tele (56) Men kan in de tweede plaats 7, transformeeren door middel van de vergelijking ii [ À (es ú ile zr 5 E fh (- 9,3, 1) (verg. de formules (8) en (9)). Hierdoor wordt fl ainlanne 4) Le De (A) pe Rid Mio | en men kan deze vergelijking bezigen om uit (56) de nog voorkomende integraal te doen verdwijnen. Dan wordt 7 ws 4. 7 (me)p En d. Vi A (me)p APT: Vo? ue nk? ve Ee V LD: waarbij » = SD den absoluten brekingsindex van het medium voorstelt. Substi- Bere: òA tueert men eindelijk de voor 4, en gevonden waarden in (50), dan ver- Òz RE krijgt men y 4 4 ar p (m 4. n° 2 Benraad aap mdp S… « (61) 3 n—1l 8 n— S 27. Beschouwen wij thans de grootheid £4), die afkomstig is van de bin- nen den bol B gelegen deeltjes. Daarbij valt op te merken, dat als @ een dezer deeltjes is, de straal g der holte S ($ 23) misschien niet meer mag verwaarloosd worden ten opzichte van den afstand PQ. Het gevolg daarvan is, dat de waarde van het aandeel 5’), dat @ voor &’) oplevert, niet meer over de geheele uit- gestrektheid van S& dezelfde is. Zoolang intusschen g niet al te groot is, zal men voor eenig punt /”’ binnen de holte kunnen stellen ‚ ld ‚ ò Ld ) ' Ld ) ' n= EN Xx Lt dy Gr E op + u Lr) + enz, LE D2 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET waarbij de index p de waarden in P aanduidt, terwijl x, y, z/ de coördinaten zijn van P' ten opzichte van assen, door P evenwijdig aan de oorspronkelijke gebracht. Blijkens (49) is dus Era Sn Er hijs be Bd DE Ë sij et el eo] + em … 69 „lin -AE nl waarbij voor alle differentiaalquotienten de waarde in P moet genomen worden. Deze uitdrukking moet men dan verder sommeeren over al de moleculen @, lneslhge il : die binnen B liggen. Hierbij kan men nu op zn — fa, —f3 dezelfde ontwikke- AOP line als in $ 25 toepassen en het blijkt dan, En men, als in de uitkomst ter- l (58) voor fi, fr, fz de grootheden (me), (M,)p, (=p in de plaats mag stellen. Het komt er dus slechts op aan, in het algemeen de som À : Te (R 2 men verwaarloosd worden, die ten opzichte van (57) van de orde 5) zijn, in EE òa’® dy” de datie G) te bepalen, waarbij a, b, c willekeurige getallen zijn. Daarbij maken wij gebruik van de omstandigheid, dat de moleculen isotroop verdeeld zijn. Is dit het geval, dan moet de grootheid S niet veranderen, wanneer men aan de assen andere richtingen geeft, of, wat op hetzelfde neêrkomt, wanneer men de assen onver- anderd laat, maar aan al de deeltjes Q, met behoud van hun relatieven stand een wenteling geeft om een door ? getrokken as. Geeft men op deze wijze aan de deeltjes 4 verschillende standen, dan zal S ook gelijk moeten zijn aan de ie Ee rr head grootheid, die men verkrijgt door in (59) voor elk deeltje — te vervangen door 5 1 5 : LE waarbij dit somteeken betrekking heeft op de verschillende standen van dit deeltje. Men neme nu 4 zeer groot en zorge, dat de verschillende standen van elk deeltje Q gelijkmatig over een om P als middelpunt beschreven bolop- Ee 1 pervlak verspreid zijn. Dan gaat >= em functie van een massa, die met overal gelijke dichtheid over het zooeven ge- voor dat deeltje over in de potentiaal- LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 53 noemde boloppervlak verdeeld is. Daar nu de differentiaalquotienten dier poten- tiaalfunetie in / O0 zijn, is ook S — 0 en Ey — 0. In (57) hebben wij der- halve de totale waarde van &,. S 28. Het bovenstaande onderzoek wordt eenvoudiger, wanneer men mag aan- nemen, dat ook voor elk deeltje @, dat binnen B ligt, de afstand PQ zeer groot is, pane met g. Dan wordt nl. (58) 51) 1 Dl ee Ben Ln) ki de’ at ef Aln} of, wanneer men weer voor f,, fo, f3 (9te)p, de (m)p stelt, f 1 3x? 3 51 == Ullr — 5 + = | + Uy. E Sk Miz» 2 eta engeik ere (60) « r Me r na waarbij x, v‚ z de coördinaten van @ zijn met betrekking tot de door # ge- brachte assen. Nu levert de vergelijking (60) bij het sommeeren O op, niet alleen, wanneer de middenstof ten opzichte van alle richtingen, maar zelfs, wanneer zij slechts met betrekking tot drie onderling loodrechte hoofdrichtingen dezelfde eigenschap- pen bezit, zooals dit bij de kristallen van het regelmatige stelsel het geval is. Kiest men nl. de assen evenwijdig aan de en dan moet 1 3x? y° 1 3 z? At et) . Ae : vb xy Xx en dus —0 zijn, daar de som dezer drie uitdrukkingen 0 is. Dat ook 5 == E zi == () is behoeft wel niet nader te worden aangewezen. Wanneer dus de afmetingen der deeltjes vergeleken met hun onderlingen af- stand klein zijn, dan moeten de kristallen van het regelmatige stelsel dezelfde optische eigenschappen bezitten als de volkomen isotrope lichamen. S 29. Op dezelfde wijze als &’ kan men ook Ey berekenen. Hier is volgens de den E (eres vj Alke” ok „Aal vet; AD en men vindt hieruit door beschouwingen, die geheel met de in 8 25 meêge- deelde overeenkomen, A Es (4) ET Sa (a) == (Dee 3 np (ur) s 54 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET terwijl weer E55) — 0 wordt. Ten slotte is dus 4 2 2 EE +5 mep (m)p ( 5 as + ) enz. n-—l of, wanneer men 4. 12 2 ad Ors +4) = KENG aks (GI) stelt en den thans overtolligen index p weglaat, Ë' == q mm n —q my ACI a voórE eten (62) S 30. Substitueert men nu deze waarden in de vergelijkingen («), dan volgt uit elke daarvan, wanneer men resp. door 1, 1, mz deelt 8 ME = => 5 EEMS hoo oe de 63 eh (gort) tres (3) Evenzoo verkrijgt men uit (/}) en (y) de betrekkingen 4. Bafdjin tirol dana eeen een (6,4) en 8 4 1 0? — — SPE 0 gana (OP egt loet) es 5 (65) Daar wij dus drie vergelijkingen hebben tusschen a, /? en q (uit welke groot- heden men dan door middel van (61) » en dus V kan bepalen) kan werkelijk de onderstelde bewegingstoestand bestaan, terwijl tevens alle nog onbekende grootheden berekend kunnen worden. Men vindt bij die berekening 8 ERE € 8 — 7 E0° en + e An & Ie + ö 3 2 x x a G= zg == ee nnn (66) l + 47e, 12 77 1 + Are, waaruit vooreerst blijkt, daar toch eg een zeer groot getal is (L, $ 23), dat de amplitudo der in den aether opgewekte longitudinale trillingen vergeleken met die der transversale uiterst klein is. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 55 Uit (61) volgt nu verder n. +2 1 q n-—l LH 4 teg 7 ECP 3 n° +2 s en daar nu althans grooter dan 1 is, mag men hier de breuk — eK 1 + Are) verwaarloozen en dus schrijven 8 en ONE 12 ar ret |- —) + 2 "242 q 1 z jgz 6 etl n-l 4 4 ij o ml zp Lt dre) [are 25) +5) : 47e Stelt men nog den hier voorkomenden factor == 1, dan wordt F 1 + Lt 7 € 5 1 5% 3 0 TE rn Tj nt 2 1 Ô go x nen > de Is nu d de dichtheid van het medium en m de massa van een der deeltjes, ' d : 5 dan is p —— en uit de zoo even verkregen vergelijking volgt m nl BRE an Ae Me Ne ad etedf) wanneer men kortheidshalve df 8 hd (BF At) AEG k= 5 3 5 B 4 Se). 860 stelt. Wanneer de dichtheid der stof verandert, maar de deeltjes daarbij dezelfde eigenschappen behouden, dan blijft blijkens (68) ook k onveranderd. Derhalve d el E moet dan volgens de hier gegeven theorie het quotient — — — constant blijven. 12 4 2)d 56 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET S 31. De constante z, die in de verkregen formules voorkomt, moet steeds een zoodanige waarde hebben, dat # > 1 en dus k positief wordt. Nu kan men voor (68) schrijven 8 + Are, o° 4 €) 47 €) % mn "8 H8me g? 8 77e) “ 348ze en daar nu 3 + 47 ep 8 71 € 4 7 Eo + 87e is, kan k slechts positief zijn, wanneer herken Sne S 77 €9 (69) 4 7 € x 3 87e) On A is en dus teller en noemer in (68) positief zijn. Daaruit volgt dan, dat wanneer x toeneemt (al het overige gelijk blijvende) ook k grooter wordt. Tengevolge van (D) is echter zoodat vooreerst kd< l moet zijn en bij toeneming van # en k hetzelfde ook met ” moet gebeuren. Eindelijk volgt nog uit (69) en (66), dat a tusschen O en moet liggen. 9 7 S 32. Bij al het voorgaande werd de in $ 2 gemaakte onderstelling volge- houden, dat in het middelpunt van elke holte S een enkel deeltje aanwezig is. Wij hebben thans nog aan te toonen, dat de verkregen resultaten ook door- gaan, wanneer men omtrent de stof binnen de bollen S andere onderstellingen maakt. Men zou b.v. kunnen aannemen, dat elke holte S geheel gevuld is met een homogene stof, waarvoor de constante «,‚ der diëleetrische polarisatie een andere waarde heeft dan voor den aether, terwijl de constante der magnetische polari- satie nog steeds #, is (verg. $ 3). Wanneer nu buiten den bol S alles hetzelfde is gebleven als bij het voorgaande onderzoek, dan zijn de componenten der uit- wendige eleetromotorische en magnetiseerende kracht, die op den bol werken, LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 57 door de formules (45) en (46) bepaald (waarbij weer het middelpunt P van S tot oorsprong van het coördinatenstelsel moet gekozen worden). Verwaarloozen wij nu vooreerst die deelen van deze krachten, die niet over de geheele uitge- strektheid van & dezelfde grootte en richting hebben, dan mogen wij voor die componenten in elk punt van S de waarden stellen, die zij in het middelpunt hebben, en die wij vroeger met X}, Yy, Z,, enz. hebben aangeduid. Veranderden nu deze grootheden niet met den tijd, dan zouden binnen den bol een diëlectrische en een magnetische polarisatie worden opgewekt met de componenten € / A ; Tee n= Fo, == 7 Zp,-- « (71) kort ge Et ne hete Dj Ô > 7 hare en ee Vm NN, .. (72) 145700 ld 57 do le Stellen wij ons voor, dat deze polarisatiën ook nog bestaan, wanneer, zooals bij ons vraagstuk het geval is, X,, Y,, Zo, Lo, M‚/‚ Ny, met den tijd veranderen en zoeken wij de totale electromotorische en magnetiseerende kracht, die dan in eenig punt binnen S werken. Wij hebben daartoe slechts aan (X„’, Y,, Zi’), (L‚, My, N‚) de eleetromotorische en magnetiseerende kracht toe te voegen, die tengevolge van (11) en (72) zelf werken. De componenten der eerste kracht zijn echter (verg. S 21) 4 t du dy 1 4 dy dÀ — _nAle yn —- =rAle stEtzr ê ; | nde (25 ae + arbre) eene 1D 4 4 l dl dr 4 4. dE dö grit zals). prtutgralei ee): gert grafein (8 e \ Laten wij dus voorloopig ook hier de krachten weg, die niet over de geheele uitgestrektheid van & dezelfde waarden hebben, dan worden de componenten 15 NATUUBK VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 58 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET 4 : 4 der totale eleetromotorische en magnetiseerende kracht resp. a TA 4 h 4 eh 4 fi 4 4 klar De get Zp —zÂt Lios — 374 My, — 37 + Ar, of, ne AN EL Ee en) 9 do IJo (72) voorgestelde toestand werkelijk binnen den bol bestaan kan. Deze polarisatiën oefenen echter (verg. $ 19) naar buiten dezelfde werking uit als een electrisch moment, een stroomelement en een magnetisch moment in het middelpunt P met de componenten 3 als men op (71) en (72) let, al ‚ zoodat dan de door (7L) en 1 d A 4 ae Pe Eee Ge zr Dn 7 Xp’, enz, TT Kip \, enz, EE Jp, enz. Lt dan Lana te Het is gemakkelijk, hieruit af te leiden, dat alles op hetzelfde zal neerkomen, als wanneer in het middelpunt een enkel deeltje geplaatst was. Voor dat deeltje moet dan echter zijn, terwijl bovendien de reeds vroeger aangenomen vergelijking (5) moet gelden. $ 33. Wij moeten intusschen, voor wij hiervan zeker zijn, nog onderzoeken of. de eleetromotorische en de magnetiseerende krachten, die wij verwaarloosd hebben, een merkbaren invloed kunnen uitoefenen. Daartoe zullen wij nagaan, welke toestand door deze krachten binnen den bol S wordt opgewekt en ver- volgens de werking, die de bol ten gevolge van dien toestand uitoefent, verge- lijken met die der in de vorige $ beschouwde polarisatiën. Nu volgt uit (45), (46), (73) en (74) voor de componenten der verwaarloosde electromotorische en magnetiseerende kracht 4 4 du dy’ 4 2 du dv 76 ale lS ee ide CM Ziske daite venae el ( amat hes Ge d L/ dm dm, 4. dh dn L dö dn nen EE af Sr ad Ai ed zld nn „l de ri ma a ane ) LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, DJ Blijkens (72) en de in $ 21 aangegeven waarden van L,, M‚, Np is A=, , , — En r : 4 H= Wd, vv’, zoodat de componenten (76) verdwijnen. Verder is mr = ze 8, 4 + pe p Air my = lik dl N, Mez == en let men bovendien op de vergelijkingen (62), dan kan men voor de eerste der componenten (77) schrijven Te Á Erle Dg tl (kn of, volgens (64) a | dm: dm; anAro ly a |. Ke ce ê dt dt Hieruit volgt voor de componenten der magnetische polarisatie, die door de magnetiseerende kracht (77) binnen den bol S wordt opgewekt, al dm. dm af dm, dm « ( dm dmz 4nAdo.— —_z|, An AO ener | 47490. — y= |. n 0 (17, z | 7 0 eo en) 7 0 PE ETT re) (78) en het is nu alleen de vraag, welke werking hierdoor wordt uitgeoefend. Nu ontstaat uit de gevonden polarisatie geenerlei magnetische werking, maar slechts een inductie. Om de electromotorische kracht daarvan te zoeken kan men weer de bij (78) behoorende grootheden £, M, N (L, S 18) berekenen. Men vindt dan, dat de bedoelde eleetromotorische kracht in een punt buiten S gelijk is aan de electrostatische kracht, behoorende bij een electrisch moment in P met de componenten 16 dm, 16 d? m, 16 d? mm ano A2. E an? A2. — an??? 9. $ ie en Diggs Ta Aal PT TB sense nn Let men nu op de waarde van « ($ 31), dan is het gemakkelijk in te zien, 8 / Vee dat dit moment uiterst klein (van de orde (í) is, vergeleken met het moment Omz, my, ms). Daar men evenzoo kan aantoonen, dat de door (78) in een punt van den bol zelf uitgeoefende electromotorische kracht ten opzichte van Ks Y,, Zj zeer klein is, zijn werkelijk de in de vorige $ buiten beschouwing ge- laten krachten zonder merkbaren invloed. i lesjes 60 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET $ 34. Uit (75), in verband met (67), verkrijgen wij thans n—l d. 8 An (ej — 0) 2 in en 0 n° +2 5) 3 4 Arle + 2 &) Was nu & =&, dan kwam men klaarblijkelijk tot het geval van den doorloo- penden aether terug en werkelijk wordt dan ook » —= 1. Stelde men daarente- gen € ==, dan zou men den brekingsindex verkrijgen voor het geval, dat de deeltjes als volkomen geleidende bollen met den straal e mochten beschouwd worden. Men zou dan vinden n— 1 EO RE DME We en hier stelt het tweede lid het gezamenlijke volume voor der in de ruimte- eenheid aanwezige moleculen. $ 35. Wij zullen eindelijk nog het geval behandelen, dat de geheele bol S gevuld is met aether, die dezelfde eigenschappen bezit als buiten den bol, maar dat daarin nabij het middelpunt P eenige deeltjes geplaatst zijn, die met vrije electriciteit zijn voorzien en door een uitwendige electromotorische kracht kun- nen worden verschoven. Nemen wij ter vereenvoudiging aan, dat slechts een dezer deeltjes A ver- plaatst kan worden en dat de andere (b. v. tengevolge van hunne zeer groote massa) als onbewegelijk beschouwd kunnen worden. Laat het deeltje A met een hoeveelheid electriciteit +e zijn toegerust en laat de algebraïsche som van de ladingen e der andere deeltjes 4 — © zijn. Laat eindelijk, wanneer men deze ladingen als massa’s beschouwt, het zwaartepunt der laatste deeltjes in het punt P liggen en zij dit tevens de evenwichtsstand van 4. Wanneer dan nu de electromotorische kracht X, (verg. $ 32) in de richting der z-as op den bol werkt, dan ontstaat vooreerst in den aether een diëlectri- sche polarisatie en tengevolge daarvan treedt vrije electriciteit op aan het op- pervlak van S en in de onmiddellijke nabijheid der electrische deeltjes. Zij X, de electromotorische kracht, in de richting der z-as door de eerstgenoemde vrije electriciteit in P uitgeoefend en stellen wij dat A in de genoemde richting ver- plaatst wordt en wel over een afstand c (X, + X}), waarbij c een constante is. Wij onderstellen hierbij, dat die afstand vergeleken met g zeer klein is en dat hetzelfde ook geldt van de afstanden, waarop zich de deeltjes 4° van het middelpunt bevinden. Dan kan men aantoonen, dat tengevolge van de electro- motorische kracht X,’ als zij constant is de volgende toestand in den bol ontstaat. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 61 Het deeltje A wordt verschoven over den afstand 1 4 , aren nr ESR (0) ce (: 430) (a J- 4 77 €) Tzr In de onmiddellijke nabijheid van A treedt tengevolge van de diëlectrische po- Aen 3 c en 47 € : larisatie in den aether een hoeveelheid electriciteit — — ——— e, evenzoo in IL + 4 7 En ze e 5 , . 470 £9 de nabijheid van een der deeltjes A’ een hoeveelheid — — — — —e op. De ï + 4 77 € totale vrije electriciteit in A en A’ bedraagt dus = A SE (80) ee EO 1 + 47e) 1 + 477 €9 Evenzoo ontstaat tengevolge der diëlectrische polarisatie in den aether aan het buitenoppervlak van & vrije electriciteit met de vlaktedichtheid Ce € (1 + 4770) + —« 28 J vom 4, \ ce 8 Ee LEN (L 4 4778) + —.= 89 D) 033 Door deze laatste wordt in elk punt binnen den bol een eleetromotorische kracht d GEE N 5 4 5 in de richting der z-as uitgeoefend met de grootte X, = mik Bovendien oefent de vrije electriciteit (80) in elk punt een electromotorische kracht (X, Y, Z) uit. De diëlectrische polarisatie in eenig punt van den bol wordt dan bepaald door de vergelijkingen Ë == € (Ap + Aj En X), Ik me En D' G NE En // bestnr e Taken . (82) Om aan te toonen, dat werkelijk de hier beschreven toestand door X, wordt opgewekt, merken wij vooreerst op, dat, als men uit (82) voor eenig. punt aan het boloppervlak de diëlectrische polarisatie loodrecht op dat oppervlak afleidt, daarvoor juist ao gevonden wordt, zooals het geval moet zijn. Verder vindt men gemakkelijk, dat ook aan de voorwaarde d=e (X, + Xj) voldaan is. Werken ook de electromotorische krachten Y/ en Z, in de richtingen der y- en z-as, dan ontstaan ook hierdoor dergelijke toestanden in den bol, als de boven beschouwde. 62 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Wanneer eindelijk ook nog de constante magnetiseerende kracht (L/, M‚/, N‚/) werkt, dan ontstaat weer de magnetische polarisatie (72). Door dergelijke beschouwingen als in $ 33 werden gebezigd kan men weer bewijzen, dat het hier gezegde ook doorgaat als A, enz. met den tijd veran- deren en dat ook hier de verwaarloosde deelen van (45) en (46) zonder merk- baren invloed zijn. $ 36. Beschouwen wij thans de werking van den bol naar buiten. De elec- trostatische werking behoorende bij den door X,' opgewekten toestand hangt af van de electriciteit (80) en van de lading (SI); zij is dus gelijk aan de wer- king van een electrisch moment ed 4, Ll + Are, B) in P in de richting der z-as. Stelt men derhalve 4 8 nT 0 Ell + tre) Heef1 +5) 3 A 4, CE (1 4Sme A Ame) Sne \ B) 0 3 dan werkt de door de kracht (X,, Y„, Zj) opgewekte verdeeling van electri- citeit op dezelfde wijze als een electrisch moment in P met de componenten Mme AK; Hen ln me == kh. Bij de berekening van de inductie en de magnetiseerende kracht, die door de electrische bewegingen binnen den bol worden uitgeoefend, splitse men de diëlec- trische polarisatie (82) in de beide deelen 5} 0 (Xp + Xi) en Er=erX, sen bk 5 OE ; na=8oY, Co ==eZ. Nu is de werking van de strooming — dezelfde als die df van een stroomelement ND ORDe 5 Dore Ho doa or oel) RES ALE mi in P in de richting der z-as. Om verder de werking der strooming ( PET xe c (UA (U te leeren kennen construeere men om P als middelpunt een bol &', zoo groot, dat hij alle electrische deeltjes bevat, maar toch zeer klein ten opzichte van S LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN., 63 (verg. de vorige $). Voor de ruimte tusschen S en S’ kan men dan 8, 1, Ea voor elk punt aangeven en dus ook de gezochte werking berekenen. Daar die berekening vrij omslachtig is, vermelden wij alleen, dat zij tot het resultaat voert, dat de bedoelde werking mag verwaarloosd worden, als S zeer klein is. dE, ds, De binnen S', òf ò4 AU alsmede de werking, die uit de beweging van A voortspruit. Nu is het wel moeilijk, in de onmiddellijke nabijheid van het deeltje A, dat zich door den aether heen beweegt, de electrische strooming aan te geven, maar dit levert geen bezwaar op, daar de straal van S’ zeer klein is teu opzichte van den afstand tot elk buiten S gelegen punt. Zijn nl. z, y, z de coördinaten van eenig electrisch deeltje e binnen S’, dan werkt dit als een stroomelement de dy dz 2 : . (e Er. ep e el en men mag dit stroomelement zonder merkbare fout in het middelpunt P plaatsen. Derhalve werkt de geheele bol S' als een stroomelement % d d ü . in ? met de componenten jen ze prk Men berekene nu de hier wb ùt { voorkomende sommen voor de vrije electriciteit (80) en voor die, welke tenge- volge der polarisatie Ex #5 2 binnen S' aan dat oppervlak So. en voege het aldus verkregen stroomelement bij (84). Past men dergelijke berekeningen ook toe op de bij Y,, Z‚’ Pro ende elec- trische bewegingen, dan vindt men ten slotte, dat de electrische strooming binnen ' dme dm, dm . TN F7 eel in £. Daar eindelijk de magnetische polarisatie binnen den bol dezelfde werking uitoefent als in $ 32, komt ook nu weer alles op hetzelfde neer als wanneer in P een enkel deeltje penhalst was, mits men daarvoor de vergelijking (83) laat gelden. Door substitutie in (67) wordt nu verder Er blijft dus nog over de werking der strooming S dezelfde werking uitoefent als een stroomelement n—l de ce a EE de NE | n- + 2 Ì + Ane’ waarvoor men ook wegens de groote waarde van £g mag schrijven des (85) n° +2 BE Het is ons dus gebleken, dat bij twee zeer verschillende onderstellingen omtrent 64 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET de binnen de holten S gelegen stof de resultaten van S 30 geldig blijven en ik acht het zeer waarschijnlijk, dat hetzelfde ook bij andere onderstellingen het geval zal zijn. S 37. Keeren wij dan thans weer terug tot de onderstelling van $ 2 en ma- ken wij daarvan gebruik om den brekingsindex voor een mengsel van twee stoffen te bepalen. Laat voor een deeltje der eerste stof @j, #1, #z(1)» %y(l)» ®z) de grootheden voorstellen, die wij vroeger @, #, mz, wy, me noemden, terwijl voor de deeltjes der tweede soort go, 2» mz(2), Mya), me(z) een overeenkomstige betee- kenis hebben. Laat verder in de ruimteeenheid p, deeltjes der eerste en pj deel- tjes der tweede soort voorkomen en nemen wij aan, dat de functiën mea), mai?) enz. overal vo doen aan de betrekkingen Mae) =S SMz(A)s My(2) =S S 1y(1), Ma?) SS SM)» waarbij s een voorloopig onbekend standvastig getal voorstelt. Verbeelden wij ons eindelijk, dat alle deeltjes bewegingen in den aether opwekken en laat deze voor de deeltjes der eerste soort door de constanten aj, en %, voor die der tweede soort door de constanten «> en % bepaald worden. Op dezelfde wijze, als wij vroeger de vergelijkingen (a) gevonden hebben, ver- krijgen wij thans voor een deeltje der eerste of tweede stof resp. de vergelijkingen 4 \ (a + (%) Ge Wis el mea) + z U gE == mei hi 50 Bo Sá n 0 (e’) (eo + (2) 5 ml el mig + TOE = ma terwijl aan (/}) en (y) de vergelijkingen 4 Òmar) 4 ÒE Aman) Bon fl) re teng e=, ee De A Dé RS B. 4 „ 0) 4 zE Òme(a) Ten KET RT en a) 4 1 5 (art (B) et met ( nt | or Aal) D) 5 € rl 4 ge) seerde dede (HE) (ast Bs ). sam + E 7L + — jes =S mr) 1” Az LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 65 beantwoorden. Hier is telkens van de drie vergelijkingen, die op de x-, y en z-as betrekking hebben, slechts de eerste neergeschreven. Wanneer nu zoowel mezi), my(1), mz) als meso), my(2), mee) aan de vergelijkin- gen (C) voldoen, dan vindt men binnen eenige holte, onverschillig of daarin een deeltje der eerste of een der tweede stof geplaatst is, E == Q mri), enz, als 4 QE a 4. 2 2 : +) tgene it ) gesteld wordt. Door substitutie in («’), () en (y/) verkrijgt men dan de vol- gende zes vergelijkingen ter bepaling der onbekenden aj, (3, «3, (%5, s en n. 3 1 4 alan to) + prat en ate ereuattalje te 0 (86) k 0 a) 1 4 (ant Blgr te) tje ed, OI ECI a (867) 0 $ 4 4 Ba) prdrer Q=N, TN ENEN (87) (2 as — (73) 5 rr el, OENE en een eine e (877) (a, + 7). 57+ (5 ztje tn Nt en ($3) 3 aa HD gr + (5 atlete LA AR (88°) 5) €! 8 vt) S 38. De oplossing dezer vergelijkingen kan zeer eenvoudig worden aangegeven. Verbeelden wij ons nl. dat de deeltjes der tweede stof werden weggenomen en dus in de ruimteeenheid alleen p, deeltjes der eerste stof overbleven, en noemen wij ’ , . . ee,’ 7) de constanten, waardoor dan de bewegingen in den aether bepaald zouden e e Je 4 nj 2 Y worden, », den brekingsindex en stellen wij verder prm (en 755 EE za =q : n° dan zouden de grootheden «', (%/, , aan vergelijkingen eben. sa met (63), 14 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 66 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET (64) en (65) overeenkomen. Vergelijkt men echter die vergelijkingen met (86), (87) en (88), dan blijkt het, dat 4 = js P == By’, Q= n e, emie Montens vel Velvet KON moet zijn. Laat evenzoo «5, (75, no betrekking hebben op het geval, dat de ruimteeen- : : …4 „nod 2 heid slechts p, deeltjes der tweede stof bevatte en zij TE (es = 1e 7 LH B) == t ng” dan volgt uit de vergelijking van (86), (87), (88’) met de drie betrekkingen, die ter bepaling van as’, (%/, q, zouden dienen, “y= ao’, Ps == Bs Tie flopt fo a De de U of oo b Daar nu door de formules van S 30 a’, (35, gj, da, (35, qo bekend zijn, is het- S 1 1 Q @2 2, Ya In, zelfde ook met «ej, (1, co, (35, s, Q (en dus ») het geval. Wegens de groote waarde van e, en de daaruit volgende kleine waarde der , , by Ax B Ae verhoudingen ——, =S, —, — mag men voor @, q1 en qz stellen , = [441 4) Aj Ag ned 2 4, en et Q=apma- + 5 TPS ag ’ B) n—Ì b) nz 1 m2 4. 2 no + 2 (pin 0 Pr TD 1 gra no? En Hieruit volgt, als men op (89) en (90) let, u | me —Ì | me — | nr — 5) == 9 Se 098= le), re EEEN, Ee Ae dus Bij deze vergelijking moet men in ’t oog houden, dat #, en #, de brekings- indices der gemengde stoffen zijn bij de dichtheden, die zij in het mengsel heb- ben. Deze zijn echter aj d en a, d, wanneer d de dichtheid van het mengsel is en wanneer de gewichtseenheid daarvan uit de hoeveelheden a, en az der beide- LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 67 stoffen bestaat. Wanneer wij de constante k, die in $ 30 werd ingevoerd, voor Dn : . st m—1 de beide stoffen met k, en k, aanduiden, dan is dus, blijkens (D), 5 Se — a, kj d, “ p’ na — 1 „Sy akad, zoodat (91) wordt == 4} k, ad dg ks. qd Derhalve moet ook voor het mengsel =k bij veranderingen van d nn —l (n? + 2)d constant blijven en men heeft de eenvoudige betrekking Kin k, + az ka pen Wonverei sie volke dens efe ere Pets (Ei) Het is niet moeilijk, dit resultaat tot mengsels van meer dan twee stoffen uit te breiden. Wanneer kj, ko, kg, enz. op de met elkaâr gemengde stoffen betrek- king hebben en a), 42, ag enz. de hoeveelheden dier stoffen zijn, die in de ge- wichtseenheid van het mengsel voorkomen, dan is in het algemeen voor het mengsel k == aj k; + a2 ka + 03 k3 + ENZ vate td at tene a re) Men kan hieruit bovendien afleiden, dat de verkregen formules ook doorgaan, wanneer de met elkaâr gemengde stoffen zelve mengsels zijn. $ 39. Het verdient ten slotte opgemerkt te worden, dat de in dit hoofdstuk verkregen resultaten in verband met die, waartoe men geraakt bij een bereke- ning van het specifiek induceerend vermogen van een medium met moleculaire structuur, weêr de vergelijking (51) van het vorige hoofdstuk bevestigen. Men had dan ook, van deze laatste uitgaande, de formules (D) en (E) eenvoudiger kunnen afleiden. Daar echter de bedoelde vergelijking in het vorige hoofdstuk slechts voor volkomen homogene middenstoffen is bewezen, kwam mij de hier gevolgde handelwijze strenger voor. Wij hebben daardoor niet alleen het aandeel leeren kennen, dat bij de licht- beweging aan de moleculen en aan den aether toekomt, maar wij zijn ook in staat gesteld, om den invloed der moleculaire discontinuïteit te beoordeelen. (Men zie het volgende hoofdstuk.» Bovendien schijnt mij de hier ingeslagen weg ook te kunnen leiden tot een theorie van den invloed, dien de beweging der mid- denstoffen op de beschouwde electrische bewegingen uitoefent. La% 68 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET JUDE DE DISPERSIE VAN HET LICHT. S 1. De in het vorige hoofdstuk afgeleide resultaten konden alleen verkregen worden in de onderstelling, dat zoowel de straal g der holten, alsook de onder- linge afstand ò der moleculen zeer klein zijn ten opzichte van de golflengte /, / 2 Ò g zoodat termen van de orde (5) en 5) konden worden verwaarloosd. Strikt genomen zullen dus onze uitkomsten alleen voor oneindig lange golven kunnen gelden en zullen zij voor eindige golven nog een correctie moeten ondergaan. Daar nu deze correctie afhankelijk van de golflengte wordt, zou men kunnen verwachten, langs dezen weg tot een verklaring der dispersie van het licht te kunnen geraken. Om na te gaan, of dit het geval is, zullen wij thans den invloed onderzoeken, \2 C . \ . .… dien de termen van de orde ( 7 ) op de verkregen uitkomsten hebben, waarbij wij ter vereenvoudiging zullen aannemen, dat g zeer klein is ten opzichte van \2 Ò en /, zoodat wij de termen van de orde é) mogen blijven verwaarloozen. Verder zullen wij onderstellen, dat de moleculen van het medium even ver van elkaâr verwijderd zijn, als dit bij de gassen onder de normale omstandigheden van temperatuur en drukking het geval is. Kent men aan de gasdeeltjes een eubische rangschikking toe, dan is volgens VAN DER WaaALs * hun gemiddelde afstand onder die omstandigheden ongeveer 0,0000025 m.M. Stelt men nu voor de golflengte (in ’t luchtledige) 0,0003 m.M. (wat ten naastebij voor de lijn R in het ultraviolette spectrum het geval is), dan zouden op een golflengte nog ongeveer 120 deeltjes liggen en dit aantal zal natuurlijk bij vaste lichamen en Nt vloeistoffen nog aanmerkelijk grooter worden. Hieruit blijkt, dat de breuk 7 steeds zeer klein is en tengevolge daarvan neemt, zooals wij zullen zien, ook de boven besproken correctie slechts een zeer gering bedrag aan. $ 2. De boven omtrent g gemaakte onderstelling heeft tengevolge, dat het geheele onderzoek der SS 1-—22 van het vorige hoofdstuk onveranderd kan blijven. Wij hebben dus slechts &, #, & te berekenen en om deze grootheden % VAN DER Waars, Over de continuiteit van den gas- en vloeistoftoestand, p. 105. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 69 binnen eenige holte S te vinden is het wederom voldoende voor elke molecule Q de waarde te zoeken, die zij in ‘t middelpunt P (#, 4’, 2) dier holte ople- vert en vervolgens over al de moleculen @ te sommeeren. In het vorige hoofdstuk vonden wij voor het aandeel, dat @ in &, oplevert B == zal hj lens) + ri Galanst- al ia Eh (- Hat v) —& w[ ner at Te NRE (1) en het bleek dan verder, dat men, althans voor die deelen van het medium, die niet te dicht bij ? zijn gelegen, 25’, door een integraal kon vervangen. Daartoe verdeelden wij de ruimte in een aantal even groote gesloten vakken, die elk eene molecule bevatten. Wij konden dan het tweede lid van (1), dat wij in ’t vervolg door F zullen aanduiden, over de geheele uitgestrektheid van eenig vak als constant beschouwen en daaruit volgde, dat men 8) kon ver- } í 8 vangen door de integraal p fj Í Í Fdrdydz, genomen over het vak C,, waarin de molecule @ geplaatst is. Zoodra wij nu echter Ò en dus ook de afmetingen van het vak C, niet meer ten opzichte van / verwaarloozen, zal men, zelfs als P @ zeer groot is, de groot- heid F niet meer over het geheele vak als constant mogen beschouwen. Toch is het ook dan nog mogelijk 28’, door een integraal te vervangen. S 3. Onderstellen wij daartoe, dat de deeltjes van het medium een regelma- tige cubische rangschikking bezitten, zoodat bij behoorlijke keuze der coördinaat- assen, in elk punt met de coördinaten ad, bÒ, cò een deeltje ligt, wanneer slechts a, 5, e geheele getallen zijn. Wij kunnen dan voor C, een kleinen cubus nemen, die om @ als middelpunt met de ribben evenwijdig aan de coördinaat- assen beschreven is, en waarvan de ribbe de lengte Ò heeft. Duiden wij dan de waarde van eenige veranderlijke in @ door den index g aan en stellen wij voor eenig punt binnen C, kortheidshalve TD =Xy II SY» 22 = Zy dan verkrijgt men door toepassing van het theorema van TAYLOR òf AD 4 òA 1 d2 F\ 1 ò2 Fr Fk es 2 zy? ) helenense (el aal eak ke 1 (FP là zl dr om 2 xX __ ETAT. nz. hs aai 1 (azoy), +7e{ ï er 4. elen), +° 10 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET 1 1 5 derdydz= dr en integreere ò5 ò5 over den cubus C,. Daarbij vallen alle termen weg, die een oneven macht van X, y, of z bevatten en men verkrijgt, als men ook die weglaat, waarin de zesde en hoogere differentiaalquotienten van F' en de factoren ò®, Ò5, enz. voorkomen, Men vermenigvuldige deze vergelijking met 1 ee l gf fran + gran tip aam=n zegg Def, (3) Hierbij wijst het teeken AA aan, dat de bewerking, die door A wordt be zl 5 me tweemaal achtereenvolgens op F’ moet worden toegepast, terwijl A= is gesteld. Geheel op dezelfde wijze verkrijgt men ook, als wederom de zesde en hoo- gere differentiaalquotienten van F’ worden weggelaten 1 l, à 1 ‚| arer=san + aar.. RE LE. (3) of NAFAE SUA AF jre Ee MERANER (4) of Ard Onee inene) oBmenkeke ne oo oo (B) Elimineert men nu uit (2), (3), (4) en (5) de grootheden (A £),, (A A #1, (Aaf) dan verkrijgt men en kn ile Bennen (ff met Mee | Ais D) (f 5 F42A5 F)dr. (6 Ez 175 Hi 6 DE 5 ide T 4 5760}. „ese Aa F)dr.. (6) In het tweede lid staan hier slechts de drie eerste termen der oneindig voort- loopende reeks, die men door voortgezette ontwikkeling voor #, verkrijgt. Van die reeks zijn ook de volgende termen integralen over den cubus C,; zij bevat- ten achtereenvolgens de zesde en hoogere differentiaalquotienten van Fen de factoren Ò3, Ò?, enz. S 4. Denken wij ons om P als middelpunt een cubus geconstrueerd met de ribben evenwijdig aan de coördinaatassen en zoeken wij 2 81’) = &1'{«) voor alle moleculen @, die buiten dezen ecubus liggen. Wij hebben daartoe slechts voor LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 11 elk dezer deeltjes eene vergelijking op te stellen, die met (6) overeenkomt en vervolgens op te tellen. Wij verkrijgen dan 1 var Et (If kay= Fdr -—-—. | Re se ö e BeKindk ol eha) Hb ACER IN “7#5760 HAAR Agde en) Hier moeten de integralen, zoo als door den index wordt aangewezen, genomen worden over de ruimte A, die uit al de vakken C, bestaat. Klaarblijkelijk is dit juist de geheele ruimte buiten een cubus B, die om P als middelpunt met de ribben evenwijdig aan de coördinaatassen beschreven is. Voor de halve ribbe van B heeft men dan waarbij m eenig geheel getal voorstelt. Om nu de tweede en volgende integralen in de vergelijking (7) te vinden, kan men gebruik maken van de omstandigheid, dat bij elk dezer grootheden de functie onder het integraalteeken uit een som van differentiaalquotienten be- staat, zoodat men (daar F en de differentiaalquotienten ervan op oneindigen afstand verdwijnen) door partieele integratie de integralen over de ruimte A kan herleiden tot andere, die over het oppervlak van den cubus 2 moe- ten genomen worden. Voor dat oppervlak kan men echter, als het getal m niet te groot is, gebruik maken van de in S 25 van het vorige hoofdstuk voor | r 1 5 Ì r „f (- Nat v‚) „hs (« „at zE 7/3 (- nat el aangegeven reeksont- wikkeling, waarbij men slechts de termen behoeft te behouden, die de tweede afgeleiden van mm, m 8\2 „‚ Me, bevatten en in de uitkomst termen van de orde G) opleveren. Op deze wijze heb ik gevonden dm, ,P 1 92, Dn — € de r 9, D= ‚3 NEEN A Ífere «| 6,34 + 045 Ame + 5,05 — 8,54 7e rn waarbij voor de differentiaalquotienten de waarde in ? moet genomen worden. Ook de grootheid Lj GAAF H2Azf)dr (4) 12 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET heb ik op dezelfde wijze berekend. Het is hier echter niet noodig de uitkomst geheel meê te deelen, maar wij kunnen volstaan met de opmerking, dat deze grootheid den vorm — G aanneemt, waarbij G de tweede differentiaalquotienten we van me, my, m, bevat en onafhankelijk van c is. Door substitutie in (7) verkrijgen wij thans 1 a Ò2 mz òP 1 dmr ss Fdt =| 0,26 — 0,02 — 0,21 — 058 Sne ne hd ll dz? se A desen Vo? 5e d a 1 Ì nne ECTO OLON OD GOO Soet eg ao oe (9) (nt) \ hed waarbij van G’ hetzelfde geldt, wat boven omtrent G werd opgemerkt. De ter- men der reeks, die hier niet zijn neergeschreven, bevatten in den noemer mach- l ten van mz + 1 S 5. Het is nu duidelijk, dat in (9) de term DE PRET G' en alle volgende mt el 2 / des te grooter worden, naarmate men voor mm een kleiner getal neemt. Dit kan ons ook niet verwonderen, wanneer wij op het ontstaan dezer termen letten. 5 . Ee G' b.v. is afkomstig van die termen in de ontwikke- (- + ;) ling van S 5, die de vierde differentiaalquotienten van Fen de vierde macht van Ò bevatten. En als men op de waarde (1) van F' let, dan is het gemak- kelijk in te zien, dat deze termen (vergeleken met de voorgaande) een des te grooter bedrag aannemen, naarmate de afstand P @ kleiner wordt. Het zal nu altijd mogelijk zijn, » zoo groot te kiezen, dat in (9) de term a | Ee EE Ht derzoeken, hoe groot mm daarvoor zijn moet, kan men van de volgende beschou- De grootheid Gen de daarop volgende mogen worden verwaarloosd. Om te on- wing gebruik maken. Wanneer wij achtereenvolgens m —=0, 1, 2, 3, enz. stellen, dan verkrijgen wij een aantal cubi B, door wier oppervlakken de ruimte in eubische lagen verdeeld wordt, zoodat de gele eubische laag van P af gerekend het verschil is LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 13 van twee cubi,‚ waarvoor resp. m == 4 — 1 en m — 4 is. Past men dan de ver- gelijking (9) achtereenvolgens toe op de ruimte buiten deze beide lichamen, dan verkrijgt men door aftrekking > Ei) — zij jre=f = en GEENEN ZP ete. (10) (4e L (: il waarbij de integraal over de beschouwde eubische laag en eveneens 2 &'() over de daarin aanwezige moleculen moet genomen worden, Men kan echter voor de eerste cubische lagen 28’) en |J free ook door rechtstreeksche berekening vinden, waarbij de reeksontwikkeling van $ 25 van het vorige hoofdstuk wederom goede diensten bewijst. Ik vind op deze wijze voor de eerste, tweede en derde cubische laag resp, e Me òP 0% Ò mr E 3,66 — — 12,74. 5 185 Ame + 366 5 mm =bin= 5 [° 10 Lek « Ò2 me òP l dm, TE Fdtr =| —0,95 — 1,08 rt 4,10 — — 12,69. |, LI i - de? Add dz Vo? òt ] - ENE L « dm òP l Òr cr Ell Al des D € ” ee . Zug) f [ver 335 rn — 027 Ame 0530055 De Fe (1) «a dm, òP l d2mr 5 En == 6 31 — — 35,39 .— Si (4) Ö EE 2,1 A mr In 8, de Js, Vo? rd 5 m òP } 1 ò2 5 [free =Sl- 100 ST — 216 Ams + 5,38 DPT el! BO sedEen oe Se) = in= zL- 2,85 TE 3,24 Am, + 12,56 - 38,08, zr 5] zfffre r= 5 [-— 2,56 id — 324 Amr + 12,57 4 — 38,08 zj de Vergelijkt men deze uitkomsten met (10), dan blijkt het, dat reeds voor de 15 NATUURK VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL XVIII. TA OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET tweede en derde cubische laag de term met G' en de daarop volgende zonder ; E : En dm, invloed zijn, wanneer men im de coëfficienten van Da’ enz. slechts een nauw- TL keurigheid tot in de eerste decimaal verlangt. Daaruit kan men besluiten, dat hetzelfde van de overeenkomstige termen in de vergelijking (9) geldt, wanneer men deze toepast voor de ruimte buiten de derde cubische laag en dus m —= 3 k « E stelt. Want de coëfficienten van 5 G' en eveneens die van de volgende termen worden dan in (9) slechts weinig grooter of aanmerkelijk kleiner dan in (10) voor de tweede of derde cubische laag. Voor de laatste wordt b.v. in (10) de 96 5 5 ante coëfficient van 5e terwijl de overeenkomstige coëfficient in (9) voor m=3 1225 4 100 PED : : 19 — 1295 wordt. De daarop volgende coëfficienten worden in (9) alle kleiner, dan in (10. Ten overvloede heb ik mij nog door rechtstreeksche berekening overtuigd, dat a 1 de term <. — — G' in (9) voor m == 3 mag verwaarloosd worden. 0) NE (» + ;) Wij hebben derhalve voor de geheele ruimte buiten de derde der beschouwde lagen : Ee 1 E p Ò° mr 1 Ò mr zu pf freier ne > 0,02 Ame — 0, le TE lan) Binnen de eerste dezer lagen blijft nog een kleine ruimte over, in welke geen enkel deeltje Q geplaatst is. Berekent men echter de waarde van 5 a Í Fdr, wanneer de integratie wordt uitgestrekt over deze ruimte met uitzondering van een oneindig kleinen om P als middelpunt beschreven bol 8', dan verkrijgt men ee 0 1 mp z [fre =f Ss med 0,52 Se — 159. rte zoodat voor de bedoelde ruimte s 1 ò ma zdf freres de 05E + 15 ee „(15) 7 1 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 15 S 6. Door de vergelijkingen (1l)—(15) bij elkaär op te tellen verkrijgen wij in het eerste lid 4 1 í nd E&i — 58 Fdr ’ waarbij de integraal over de geheele ruimte buiten den bol B’ moet genomen worden. Voldoen nu de electrische trillingen wederom aan de vergelijkingen (C) van het vorige hoofdstuk, dan kan men bij de berekening van deze integraal denzelfden weg volgen als in SS 24—26 van dat hoofdstuk en men verkrijgt l , 2 dan ook, daar — — p is, dezelfde uitkomst. Dus is Òs 1 We 4 n° +2 zl rar=e gere en uit de samenteliing van (11)—(15) volgt ten slotte n° EE 5 4 Ei = lili DE De ag 8e 189 == N e T Te Daar, zooals wij in het vorige hoofdstuk zagen, &/ zelf reeds uiterst klein is ten opzichte van &’, kunnen wij de kleine correctie, die de vroeger voor &’ gevonden waarde zou moeten ondergaan, ve buiten rekening laten. Wij vinden dus 4 l A2 E=— zele tm 16 0, 16 Am,—l, Be a YE | (UG) en dergelijke uitdrukkingen zijn nu ook gemakkelijk voor #’ en £’ op te stellen. S 7. Laat thans den bewegingstoestand bepaald worden door de vergelijkingen PE meme (tte) my, = 0, mz — 0, waarbij 7' den oscillatietijd voorstelt en a en p constanten van bekende betee- kenis zijn. Substitueert men deze waarden in de vergelijkingen voor &’, n°, £’, dan blijkt het, dat de betrekkingen (62) van het vorige hoofdstuk nog gelden, wanneer men slechts a 4 med fa. sr "1,89 — 0,18 72) stelt. 16 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET In de uitkomsten, die wij in $ 30 van het vorige hoofdstuk verkregen heb- 2 2 nd 2 n- + 2 ben, heeft men dus slechts — — ï doornen n= n ò? — Ba (1,99 — 0,16 2°) te ver- En TE) vangen en hieruit volgt, wanneer wij het tweede lid der vergelijking (67), dat onafhankelijk van de golflengte is, kortheidshalve door C aanduiden Pt 2 ò? EEE (1,89 Ol Gra NE BEAP) nl 2 Stellen wij nu, dat voor oneindig lange golven de brekingsindex van het be- schouwde medium #, == 1,5 is, dan moet no + 2 (@ == LL == 8,4 no —Ì zijn. Met behulp van deze waarde kan men dan uit (L7) den brekingsindex voor eindige golflengten bepalen. Stelt men daarbij ($ 1) rie En dan verkrijgt men ongeveer » — 1,5-—0,0002. Het blijkt dus, dat de brekingsindex met afnemende golflengte een weinig kleiner zou moeten worden, zoodat men uit de hier medegedeelde beschouwingen in geen geval de waargenomen dispersie zal kunnen afleiden. Maar bovendien valt de invloed der moleculaire discontinuiteit zoo klein uit, dat hij gerustelijk buiten rekening mag worden gelaten. Immers, de boven gevonden uitkomst wil zeggen, dat, tengevolge dier discontinuiteit, bij een medium, waarvan de deeltjes zoover van elkaâr verwijderd zijn, als bij een gas, en waarvoor toch ongeveer n==1,5 is, de brekingsindex voor oneindig lange golven en die voor de lijn A in het ultraviolette spectrum eerst in de vierde decimaal zouden verschillen. Ik besluit hieruit, dat men bij de lichtbeweging de moleculaire discontinuiteit mag verwaarloozen, zooals wij dit in het vorige hoofdstuk gedaan hebben. SS. Er is nog eene omstandigheid, die voor deze zienswijze pleit. Wanneer de moleculaire discontinuiteit werkelijk aanmerkelijke wijzigingen in de uitkom- sten van het vorige hoofdstuk noodzakelijk maakte, dan zou uit de boven afge- leide formules volgen, dat die wijzigingen niet voor elke voortplantings- en trillingsrichting hetzelfde bedrag zouden moeten hebben. Zoo zouden zich b. v. transversale trillingen in de richting, die den hock tusschen de z- en y-as mid- den door deelt, met verschillende snelheid moeten voortplanten, al naarmate de trillingen evenwijdig aan de z-as of loodrecht daarop waren gericht. Het medium zou dan een eigenaardige dubbele breking moeten vertoonen. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, TT Nu kan men een regelmatige cubische rangschikking der deeltjes verwachten bij de kristallen van het regelmatige stelsel; de inwendige structuur is daar althans zoo, dat deze lichamen niet in alle richtingen, maar slechts met betrek- king tot drie onderling loodrechte, dezelfde eigenschappen bezitten *. Deze kristal- len mag men echter althans met groote benadering als optisch isotroop beschou- wen en wanneer er een regelmatige dubbele breking van de boven bedoelde soort bestaat is zij stellig zeer zwak . Het verdient nog opgemerkt te worden, dat in de vroeger aangenomen undu- latietheorie de moleculaire discontinuiteit — hetzij men deze wil opvatten als een discontinuiteit van den aether zelven, of als afwisselingen in de dichtheid, naarmate men een punt beschouwt, dat op grooteren of kleineren afstand van eene in den aether geplaatste molecule gelegen is — zeer goed van invloed kon zijn. Want die theorie neemt aan, dat de op eenig aetherdeeltje werkende kracht uitgaat van de andere deeltjes, die er het naast bij zijn gelegen en dan kan men verwachten, dat elk gemis aan continuiteit of homogeneiteit in den aether zich in de voortplantingssnelheid van het licht en wel het meest bij kleine golflengten moet doen gevoelen. Het komt mij echter voor, dat deze theorie moeilijk zal kunnen verklaren, waarom de kristallen van het regelmatige stelsel optisch isotroop zijn. S 9. Wanneer wij intusschen de electromagnetische theorie van het licht aan. nemen, dan blijft er, naar ’t mij voorkomt, niets anders over, dan de oorzaak der dispersie in de moleculen zelve van het medium te zoeken. En men kan inderdaad tot formules geraken, waaruit een kleurschifting volgt, wanneer men uitgaat van de onderstelling, dat in zulk een molecule, zoodra er een electrisch moment in wordt opgewekt, tevens een zekere massa in beweging wordt ge- bracht. ® ‘Tengevolge daarvan hebben deze lichamen ook niet in alle richtingen denzelfden elastici- teitscoëfficient. Men zie hierover WorprMaAr Vorar, Bestimmung der Plasticitätsconstante des Stein- salzes, Pogg. Ann. Ergiünzungsband VII, p. 214. 4 Men heeft wel bij kristallen van het regelmatige stelsel afwijkingen van de isotropie aange- troffen, manr deze schenen dan verklaard te kunnen worden uit een niet volkomen regelmatigen bouw. Of er dus misschien een uiterst zwakke dubbele breking, zooals de in den tekst bedoelde, bestaat, is nog niet beslist. De proeven van Bravais, waardoor bewezen werd, dat in een richting loodrecht op de octaëdervlakken der kristallen geen merkbaar verschil in de voortplantingssnel- heid van stralen met verschillende trillingsrichtingen bestaat (Comptes rendus, Tome 32, p. 112 leeren hieromtrent niets, daar juist in die richting volgens de boven ontwikkelde theorie dat verschil 0 moet zijn, 78 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Nemen wij, om dit te doen zien, vooreerst wederom aan, dat elke molecule in het middelpunt eener overigens ledige holte S in den aether ligt. Wij hebben vroeger ondersteld, dat het moment (m-, #1, m-), dat in zulk een deeltje door een eleetromotorische kracht (X, Y, Z) wordt opgewekt, steeds wordt bepaald door de vergelijkingen ir Mx = 4 X, my = # JA ON TSN ee de (18) Thans zullen wij echter beproeven, ons een voorstelling te vormen van hetgeen er eigenlijk in de molecule plaats heeft. Verbeelden wij ons daartoe in de molecule eenige deeltjes, die met vrije elec- triciteit zijn toegerust en door een uitwendige electromotorische kracht onderling verplaatst kunnen worden. Laat eenvoudigheidshalve slechts een dezer deeltjes A, dat van een lading + e voorzien is, bewegelijk zijn, en laat de evenwichts- stand van A samenvallen met het zwaartepunt der andere deeltjes, wanneer men de electrische ladingen daarvan als massa’s beschouwd. (De algebraïsche som dezer ladingen is natuurlijk — e.) Bevindt zich dan A in zijn evenwichts- stand, dan is het electrisch moment der molecule 0. Zoodra echter A in de richtingen der assen de verplaatsingen z, y, 2 heeft, bestaat in de molecule een moment met de componenten mm, ex, my, == EY, M‚ —= CZ. Wij zullen nu aannemen, dat, als 4 verplaatst is, de andere deelen der mo- leeule een kracht op A uitoefenen, die steeds naar den evenwichtsstand ge- richt en evenredig aan de verplaatsing is. De componenten dier kracht kunnen dan door — ge, — 94, — 92 worden voorgesteld, waarbij g een positieve con- stante is. Werkt bovendien de constante uitwendige electromotorische kracht (X, Y, Z), dus op A een kracht (e X, e Y, eZ), dan zal er evenwicht bestaan, zoodra » — „5 y Se WZ - Z is. Het moment, dat dan in het deeltje is opgewekt, wordt dus bepaald door de vergelijkingen (18), wanneer men slechts stelt. Laat echter thans de kracht (X, Y, Z) veranderlijk zijn en het deeltje 4 in beweging verkeeren, zooals dit bij de lichtverschijnselen het geval is. Dan is de totale kracht, die op eenig oogenblik op A werkt, eX—g1, eY—gy, eZ—ge Jans LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 19 en als x de massa van het deeltje is, dan wordt zijne beweging bepaald door de vergelijkingen Pe dy = d°z 07 handed ed Bra EN Hg eZgst RO) Beschouwen wij nu alleen een periodieke beweging met den oscillatietijd 7. Dan kan men stellen 27 En nen 7 pie manera) TE cos 7 + #3). ks 5 DS dr dn? waarbij a), 43, 43, Pi, Po) Ps onafhankelijk van t zijn. Daar dan ne d°y An? dz 4? nn en nea? is volgt uit (19) e e € = X == J5 — 4. a 4An?u 4 47? ue d An? u ORT JE EET Stelt men dus 2 ACT An” u ENT welke grootheid onafhankelijk van fis, dan gelden nog steeds de betrekkingen (18). Het geheele onderzoek van het vorige hoofdstuk blijft nu verder onveranderd, maar men zal blijkens (20) voor # een des te grootere waarde in rekening moe- b , An?u . ten brengen, naarmate 7’ kleiner wordt (zoo lang ten minste 7 > De is). Daar echter, zooals wij zagen (II, S 31), „ des te grooter wordt, naarmate # toeneemt, moet dan de En toenemen, als di kleiner wordt, zoodat * Wanneer op het deeltje A ook een weerstand werkt, die af hankelijk is van zijn snelheid, dr dy dz tat’ dt mules een absorptie van het licht afleiden en in made daarmeê wordt ook de wet der dispersie gewijzigd. dan treden in deze vergelijkingen ook termen met op. Men kan dan uit die for- 80 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET mule daarvoor vindt men door de waarde van « (20) in de vergelijking (67) van het vorige hoofdstuk te substitueeren; aldus wordt B n° 2 AR 0 eG nr (A 2D waarbij 4, B, C, D constanten voorstellen en / de golflengte in het lucht- ledige is. S 10. Tot een dergelijke uitkomst geraakt men ook, wanneer men van de on- derstelling uitgaat, dat ook de bollen S met aether gevuld zijn en dat nabij het middelpunt eenige electrische deeltjes geplaatst zijn, waarvan er zich een door den aether heen kan bewegen. In S 35 van het vorige hoofdstuk werd dan alles bepaald door de grootheid ec, maar men kan nu door een dergelijke redeneering als boven werd gebezigd aantoonen, dat c afhankelijk van den oscillatietijd moet worden, zoodra het bewegelijke electrische deeltje aan een zekere massa ge is gebonden. Men verkrijgt dan weer en substitueert men deze waarde in de vergelijking (85) van het vorige hoofd- stuk, dan neemt deze den vorm ne == 1 1 ned 2 Ge aan, waarbij P en @ onafhankelijk van de golflengte zijn. Dit schijnt wel de eenvoudigste dispersieformule te zijn, die men uit de electromagnetische licht- theorie kan afleiden. Het is niet onwaarschijnlijk, dat zich in een molecule meer dan één bewe- gelijk eleetrisch deeltje bevindt en men kan ook omtrent de krachten, waardoor deze deeltjes naar hun evenwichtsstand terug worden gedreven, nog verschillende onderstellingen maken. Het boven gezegde maakt het echter waarschijnlijk, dat ook bij andere onderstellingen de in het vorige hoofdstuk ingevoerde constante x en dus ook » des te grooter zullen zijn, naarmate T' en / afnemen. Welken vorm de betrekking tusschen ” en / aanneemt hangt van de onderstellingen af, a LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 81 die men omtrent den aard der moleculen maakt. De vergelijkingen (21) en (22) zijn slechts een paar voorbeelden der betrekkingen, die men op deze wijze kan verkrijgen. S 11. Wat intusschen vooral dient opgemerkt te worden is dit, dat, zoolang men slechts licht van een bepaalden trillingstijd beschouwt, de Beed x als constant mag worden aangemerkt en dat dan ook de nen van het vorige hoofdstuk eend ee Voor elke waarde van 7’ moet dus bij veranderingen in dichtheid En constant blijven en evenzoo moeten de betrekkingen tus- schen den brekingsindex van een mengsel en die der bestanddeelen ervan on- veranderd blijven bestaan, wanneer men slechts al deze brekingsindices voor dezelfde lijn van het spectrum neemt. Ten gevolge van dit laatste kan men nu ook de dispersieformule van een mengsel uit die der bestanddeelen afleiden. Wanneer wij b.v. voor enkelvou- dige stoffen de formule (22) toepassen, dan volgt voor een mengsel van twee stoffen uit de vergelijking (91) van het vorige hoofdstuk Daar, zooals wij later zullen zien, de brekingsindex van sommige scheikun- dige verbindingen bij een ruwe benadering op dezelfde wijze uit die der be- standdeelen kan berekend worden, als wanneer deze met elkaâr vermengd zijn, wordt ook voor verbindingen een dergelijke formule als (24) waarschijnlijk. Dat men overigens die formule ook door een andere kan vervangen, die b. v. uit (21) is afgeleid, behoeft wel nauwelijks vermeld te worden. S 12. In de onderstaande tabellen vindt men eenige uitkomsten vereenigd, die ik bij de vergelijking der formules (22) en (23) met de ervaring verkre- gen heb. De eerste formule kan eigenlijk alleen voor enkelvoudige stoffen gelden. Maar wanneer voor een samengesteld lichaam de dispersie niet te groot is, mag men zonder groote fout de formule (24) door (22) vervangen. Ik heb nu deze laatste 16 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 82 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET toegepast op eenige lichamen, wier brekingsindices ook door CHRISTOFFEL en KerreLeER zijn berekend. CurrstorreL bezigde daarbij de bekende formule no VR VAL Vl KrrreLER daarentegen de vergelijking n= n—l=a Hierin zijn «@ en (2 constanten, terwijl A en / de golflengten in den vrijen aether en in het medium zelf voorstellen. In de volgende tabellen vindt men onder N, #, en nz de brekingsindices, zooals zij waargenomen en door CHRISTOFFEL en KeErrELER berekend zijn *. Verder is n° de brekingsindex, berekend naar de formule (22), waarbij de stra- len B en G voor de bepaling der constanten zijn gebezigd. Voor de golf- lengten heb ik gebruik gemaakt van de door VAN DER WILLIGEN in de Archi- ves du Musée Teyler, Vol. III. tegenover p. 70, meêgedeelde tabel, waarin als eenheid der golflengte 10-7 m.M. is aangenomen. Phenylhydraat (DALE en GLADSTONE). No: W 2 1,5220 1 da =1,52197 P = 3,2823 A, — 0,07966 + Î = 0,03894 + log Q = 6,68710 N Ne Nn: Nr Nn: n' Nn’ B| 1,5416 — — —= C| 1,5433 1,5436 — 3 1,5436 — 3 1,5437 — 4 D\ 1,5488 1,5492 — 4 1,5491 — 1,5493 — 5 E\ 1,5564 1,5566 — 2 1,5566 —=Ë 1,5569 — 5 F\ 1,5639 1,5634 + 5 1,5633 „ts (6 1,5635 + 4 G\ 1,5763 == En ak H| 1,5886 1,5880 J- 6 1,5877 + 9 1,5874 + 12 * Al deze waarden zijn ontleend aan KErTELER, Beobachtungen über die Farbenzerstreuung der Gase, p. 86. j Uitgedrukt in tienduizendste Par, duimen. Hates NA SESo B SRS 5 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, Water (VAN DER WILLIGEN) Temperatuur 16°,58 C. P =4,9198 No: V 2 —=1,32445 Ào — 0,04874 pe 1,3306 1,3314 1,3333 1,3355 1,3374 1,3408 1,3436 Ne 1,3330 1,3371 no: w/ 2 =1,4599 do — 0,06035 1,4705 en 1,4715 | 1,4716 14744 | 1,4745 1,4184 | 1,4783 1,4817 | 1,4818 1,4882 en 1,4939 | 1,4938 1 + a —1,32447 £ = 0,030075 Nn: Na 1,3312 + 3 1,3329 13351 + 3 1,337 1 1,3439 log Q —= 6,61010 Terpentijn (FRAUNHOFER). 1 + a — 1,459911 B = 0,031420 Uk (nds dE B te ib IhudiATe8 SS ENT +1 | 1,4937 Nn n' + 2 1,3312 + 4 1,3329 + 4 1,3352 + 3 1,3371 — 3 1,5459 P= 3,6530 log Q — 6,53235 Flintglas NO. 13 (FRAUNHOFER). No: 2 —=1,6092 do — 0,07570 1,6277 en 1,6297 | 1,6297 1,6350 | 1,6349 1,6420 | 1,6419 1,6483 | 1,6482 1,6603 ae 1,671 1,6711 1 + « = 1,608935 BB — 0,034461 0 | 1,6296 + 1 | 1,6349 +1 | 1,6419 + 1 | 1,6482 0 | 1,6708 0 | 1,4716 0 | 1,4745 Ee Ae ATEA O | 1,4818 +2 | 1,4937 P — 2,8908 log Q = 6,53157 1,6296 1,6350 1,6421 1,6484 1,6706 83 Nn! 16% OP OP Bae DO LO Fi se Ome 84 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Het blijkt wit deze uitkomsten, dat de afwijkingen bij de formule (22) wel iets grooter zijn dan bij de beide andere, maar toch klein genoeg, om bij een eerste benadering (22) te mogen toepassen. Bij de gassen gaat (22) over in de vergelijking (25), die door KerTEveR juist naar aanleiding van zijne metingen voor deze lichamen werd opgesteld. Want daar hier „ slechts zeer weinig van de eenheid verschilt, zoodat men de tweede en hoogere machten van #— 1 mag verwaarloozen, kan men voor het eerste 2 ; 1 : lid van (22) Ee 1) schrijven, terwijl aan den anderen kant in (25) het produet Â/ door de tweede macht der golflengte in het luchtledige mag vervan- gen worden. Ook de formule (23) heb ik op een enkel geval toegepast, nl. op de brekings- indices van zwavelkoolstof, zooals ze door VAN DER WILLIGEN bepaald zijn *. Men vindt in de volgende tabel onder 1 verschillende lijnen van FRAUNHOFER aangegeven naar de notatie van VAN DER WILLIGEN, onder [Ì den waargenomen. brekingsindex » voor 189,75 C., onder III de verschillen #'— #, waarbij »' door VAN DER WILLIGEN berekend werd met behulp van de formule n'— 1,583671 + 1483490 A—? + 786867 (LOP A—* + 79422900 (10)P AP, en eindelijk onder IV de verschillen #” — #, waarbij #” berekend is door de formule (23) met de constanten P,=3,19972 ; _P,= 44,6870, log Q@, —6,103390; log Q, — 8,487845. Om deze constanten te bepalen heb ik evenals vAN DER WILLIGEN de stra- len 1/3, 144, 40 en Bla gebezigd, waarbij alleen, om een betere aansluiting te verkrijgen, de waargenomen brekingsindex van 40 met 0,00011 werd ver- minderd. Ik moet intusschen doen opmerken, dat men de vier constanten niet scherp bepalen kan, want bij een voorloopige berekening, waarbij de brekings- index van 40 niet was gewijzigd vond ik P,=—=3,48363; Py = 20,8700; log Q, — 6,657048; log , —= 8,065316. Il IH. HI | IVE 1. IL. II, IV. | In II, II, 1% 18 (3,60995 |— 1/4 1| 14e |1,62885 ol} ol 40 |1,67818 |— 5 |—11 Ba |1,61316 |+ 8/4 8} 22e |1,64174 |H 2) A 5 ag 1,68011 [+114 5 4B |1,61615 |+ 5|H Al 27a |1,64440 |— 1) 2f 438 |1,69295 |+ 3) — 4 B |1,61945 |J 5/4 Al 34 [1,65879 |— 1} 1| 46 |1,6915 — Ij— À 11 |1,62508 |— 2|— 2 369 |1,66697 | —15|—16f Sla | 1,70112 |+ 1 0 * Archives du Musée Teyler, Vol. IL, Tabel A, tegenover p. 62. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 85 Ten slotte zij nog opgemerkt, dat de formule (23) in het gebruik zoo lastig is, dat zelfs dan als hare theoretische juistheid bewezen was (wat volgens SS 9— 11 niet het geval is), de formule van CAvcuy als een veel gemakkelij- ker interpolatieformule kon behouden blijven. TN: OVER DE BETREKKINGEN TUSSCHEN DE BREKINGSINDICES EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. S 1. De formules, die ons het theoretisch onderzoek voor den samenhang tusschen den brekingsindex en de dichtheid heeft opgeleverd, moeten thans nog met de ervaring worden vergeleken. Wij zullen daarbij tevens over een paar andere formules spreken, die men heeft gebezigd, om dien samenhang uit te drukken. De eerste is de bekende vergelijking die het eerst uit de emissietheorie werd afgeleid, maar, zooals Hoek heeft aan- getoond, ook uit de vroeger aangenomen undulatietheorie kan verkregen worden. De tweede der bedoelde formules, nl. it Sn == const, MA eet el Sdoe Sns fe Pee tees keke ke (B) die in de meeste gevallen beter met de werkelijkheid overeenstemt dan (A), is, voor zoover mij bekend is, nooit langs theoretischen weg verkregen. Bij de gassen is het verschil # — 1 zoo klein, dat men, althans bij de nauw- keurigheid, die men gewoonlijk in de meting van den brekingsindex bereikt heeft, de tweede en hoogere machten ervan mag verwaarloozen. Dientengevolge n° — 1 n° +2 wordt n° — 1 == Zn =— 1) en == 5 (n — 1), zoodat zoowel de formule (A) als onze formule IE ee A eh 0 OMEN ‚ (C) 1 (n° + 2d 86 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET in de vergelijking (B) overgaan. Gelijk men weet is echter uit de metingen van Bror en ArAGo de juistheid dier vergelijking gebleken, terwijl KertELeER * heeft aangetoond, dat zij voor elke bepaalde golflengte doorgaat. In den laatsten tijd heeft Mascarr j de vergelijking (B) aan een uitvoerig onderzoek onderworpen. Hij leidde uit zijne proeven af, dat de betrekking, die er bij constante temperatuur tusschen den brekingsindex en de drukking H bestaat, bij elk gas kan worden voorgesteld door de vergelijking n= CH (B ee (1) waarbij C en B constanten zijn. Aan den anderen kant mag men naar de proeven van REGNAULT stellen d=CH(l+B'H) (C° en B' constant). Volgens (B) zou dus Ji) Jij moeten zijn. Het volgende tafeltje bevat voor een aantal gassen de uit de proeven van REGNAULT en MascARr volgende waarden van B'.10* en B.10%, waarbij als eenheid van drukking die van een kwikkolom ter hoogte van 1 M. is aan- genomen. Lucht. N. 0. H. Co. GORMIEN: Oe NEN O NNCEN SISON B10% | + 12,0} + 7,2| 4 16,5 | —4,8 |+ 38 |H 87| 4 830| 4 20| 4 316| +338 BLOM 47,2 IB EBG E08, Beten SSI Jer ASD Mascarr gelooft de afwijkingen (met uitzondering van kooloxyde en stikstof- oxyde) aan de waarnemingsfouten te mogen toeschrijven. Het verdient hierbij opgemerkt te worden, dat, zoodra de metingen nauwkeu- rig genoeg zijn, om de grootheid B te leeren kennen, ook de tweede macht van n—l niet meer verwaarloosd mag worden en dus de formules (A), (B) (C) niet meer in elkaar overgaan. * Kerierer, Beobachtungen über die Farbenzerstreuung der Gase, p. 44. F Annales de VÉcole normale 2e Série, VI. Pogg. Ann, 153, p. 149 en Beiblätter, 1, p. 257. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 87 Wanneer wij de termen BCH? en C° H° behouden, maar de termen BC? H* enz. verwaarloozen, dan volgt uit (1) n2—l 2 1 TE zCHjI+B- 50 zoodat volgens onze formule (C) 1 B=B—=6 6 sl Ee 4 d zou moeten zijn. Nu is 5 C.10* bij de meeste der onderzochte gassen iets klei- ner dan 1, bij een enkel (b.v. CN») bijna 2 en wanneer men dus B. 104 door 1 2 (B — d C) 10* vervangt, wordt de afwijking van B'.10* bij de meeste gassen iets, hoewel zeer weinig, grooter. Eindelijk zij nog opgemerkt, dat de afwijkingen (met uitzondering van N en N, 0) dien zin hebben, dat de brekingsindex bij samendrukking iets minder toeneemt, dan volgens (C) het geval zou moeten zijn. Mascarr heeft ook den invloed onderzocht, dien een temperatuursverhooging op den brekingsindex uitoefent. Hij besluit uit zijne proeven, dat bij lucht, H‚N,N,0, C0,, 50, en Co Ny de brekingsindex bij verwarming sneller af- neemt, dan de formule (B) aangeeft. Berekent men b.v. door middel van die formule uit de verandering van » den uitzettingscoëfficient, dan vindt men voor lucht 0,00382 in plaats van 0,00367. Voor de lucht komt echter V. v. LANG * tot een tegengesteld resultaat. Neemt men voor den brekingsindex der lucht bij 0? C 1,0002945, dan volgt uit (B), wanneer men voor den uitzettingscoëfficient 0,00367 stelt, voor 100° » = 1,000215, terwijl dan volgens v. LANG » — 1,000228 is. Men ziet, hoe volgens dezen na- tuurkundige de brekingsindex bij verhitting iets minder afneemt, dan uit de formule zou volgen. S 2. Men heeft slechts voor een enkele vloeistof, namelijk voor water de toe- neming van den brekingsindex door samendrukking onderzocht, maar des te grooter is het aantal bepalingen omtrent den samenhang tusschen den brekings- index en de temperatuur. Wij zullen eenige dier bepalingen met de formule (C) vergelijken, maar moeten daarbij al dadelijk opmerken, dat men geen volkomen overeenstemming zal mogen verwachten. Vooreerst toch is bij de afleiding dier ® Pogg. Ann., 153, p. 448. 88 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET formule aangenomen, dat, al verandert de dichtheid, de moleculen zelve onver- anderd blijven, maar dit is niet zeer waarschijnlijk. Ten tweede hebben wij on- dersteld, dat de aether tusschen de moleculen dezelfde eigenschappen heeft, als in het luchtledige, maar dit is misschien, als de deeltjes een groot deel der ruimte opvullen, niet meer het geval. Verder is het mogelijk, dat de gewone wetten voor de electrische werkingen op afstanden, zoo klein als die der vloei- stofdeeltjes, niet meer doorgaan. Eindelijk kan men zich nog voorstellen, dat de kracht, die zich tegen het scheiden der electriciteiten in eenig deeltje verzet, niet meer geheel van dit deeltje zelf, maar ook gedeeltelijk van de omringende uitgaat en zoodra dit het geval is moet de grootheid k (IL, S30) die wij tot nu toe als constant beschouwden, van de dichtheid afhankelijk worden. S 3. Ik heb vooreerst de uitkomsten onderzocht, die WüLLNER * voor een aantal vloeistoffen en mengsels ervan verkregen heeft. Hij bepaalde voor ver- schillende temperaturen, die gewoonlijk beneden 40° C. bleven, de dichtheid d en de brekingsindices 7, z,n, voor de drie lijnen H,, Hg, H‚, van het water- stofspectrum. Het bleek daarbij, dat binnen de gekozen temperatuurgrenzen d, nz, ng, ny als lineaire functiën van de temperatuur T konden worden voorge- steld. In tabel IL. vindt men d, #2, #, op deze wijze aangegeven en tevens den constanten term A der dispersieformule van CavcHy. WürLLNER bezigde voor de 15 eerste vloeistoffen deze formule met twee, voor de overige met drie termen. ll d Ny ny A Glycerine a... …………… [1,23454—0,000630 T[1,453177—0,000265 T.f1,465064—0,000267 T/1,443978—0,000263 T. 1,18598—0,000557 #f1,426172—0,000231 #/[1,437604—0,000233 #[1,417306—0,000229 w 1 Water; 3,7 glycerine a... U A B v ‚ [1,11500—0,000444 „{1,389760— 0,000185 »|1,400239—0,000187 »/1,381627—0,000183 UE 050 4 …. |1,07549—0,000365 #|1,369600—0,000154 #|1,379567—0,000L56 w/1,361916—0,000152 wv Water... ......vvevere 1,333138—0,000099 »f1,342290—0,000099 w|l,326067—0,000099 „ Glycerine d,....... ……. |1,25073—0,000635 #/1,463651—0,000270 #|1,475732—0,000272 1/1,454262—0,000268 w „{1,442453—0,000292 „|l,454235—0,000206 #/1,433253—0,000259 wv 1 Alcohol a; & 2 glycerine ó. n 4 je ADE 1,14155—0,000660 1,07420—0,000725 0,99748—0,000750 „}1,428029—0,000305 „|Ì,411538—0,000330 „|1,439160—0,000310 „[1:422213—0,000336 1,419385—0,000301 1,403238—0,000325 1 „ 5 EEEN - } (0,93710—0,000505 #|1,398365—0,000356 v|L,408848—0,000363 |1,390209-—0,000350 Alcohol a Josee 0,81281—0,00085 #|1,368431—0:000389 /1,378158—0;000395 #|1,360860—0,000384 Verzadigde Grosse: L,96816—0,001153 #[1,509257—0,000288 »|1,528169—0,000291 #|1,494538—0,090286 1 Water; 3,997 verz... chloorzinkoplossing. } 1 Water; 1,996 verz. Enon snlosnded 1 Water; 0,9998 ve) setö chloorzinkoplossing. Zwavelkoolstof. ...….…....…..«« 1 Alcohol 4; 3,955 zwavel- koolstof 5 2,12836 » . „ 05 U 0 TEENS Aleohol”Bie Aire se sistelsjels ete 1 3 1,68519—0,000992 1,52457 —0,000382 1,36623—0,000793 1,29366—0,001506 1,14913—0,001373 ‚ [L,08013—0,001294 0,99533—0,001178 0,81328—0,00085 * Pogg. Ann, 133, p. L. „{1,460379—0,000266 „}1,433093—0,000258 /[1,404593—0,000250 „[1,634066—0,000750 „|1,551274—0,000678 „|1,512477—0,000626 „|1,465695—0,000560 „|L,368431—0,000359 „11,476405—0,00C268 „}1,447567—0,000261 „|1,417494—0,000252 „[1,692149—0,000850 „[L,594015—0,000750 }1,547691—0,000680 „|1,492206—0,000590 Ed " I ” m „ 1,447911—0,000265 1,421859—0,000256 1,394583—0,000249 1,601500 —0,000754 1,526409—0,000646 1,491031—0,000593 1,449166—0,000544 „|1,3878158—0,000395 „/1,361141 —0,000389 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 89 S 4. Gewoonlijk past men de formules (A) en (B) alleen voor den brekings- index A van stralen met oneindige golflengte toe en ik heb daarom vooreerst de boven voor die grootheid aangegeven waarden met de formules (A), (B), (C) vergeleken. Daarbij heb ik den volgenden weg ingeslagen. Wanneer voor eenige temperatuur 7, de dichtheid dj en de bedoelde eon- stante do is, dan zou volgens de formule (C) voor elke andere temperatuur 7' A2 —1 Ag —l d dg —1 erinb ret inbe en NE) A22 AP Hl do AP +2 moeten zijn, waarbij q de vermindering in dichtheid voor een temperatuursver- hooging van 1°C. voorstelt. Is nu 7'— T, niet te groot, dan kan men uit deze vergelijking A afleiden in den vorm eener reeks, die naar de opklimmende de machten van d (T — To) is gerangschikt. De eerste termen daarvan zijn Ag zb (A 2 —_1)(3A4,*—2)( A 2 FEE Ben 22) ln nj de En A0? +2) De (27)? . (2) Nu is de grootste kt die A, in tabel IT ooit aanneemt, 1,6015 en dan wordt de coëfficiënt van ze (T — To) 0,215, terwijl voor alle kleinere waarden van Ay ook die breuk kleiner wordt. Verder is bij alle onderzochte stoffen id 0,0012. Wanneer wij nu bij elke stof voor 7, de gemiddelde temperatuur 0 nemen, die bij de proeven van WürLuNer voorkomt, dan is 7’ — 7) nooit groo- ter dan 12%. Uit een en ander volgt, dat de laatste term in (2) steeds minder dan 0,215 x (0,0012)? x 12%, of minder dan 0,00005 moet bedragen. Daar men nu B. de proeven van WücLneR toch alleen van de vierde decimaal geheel zeker is* kunnen wij gerustelijk in (2) den laatsten term weglaten en dus 4 als een lineaire functie van 7' beschouwen. De vermindering van d voor een temperatuursverhooging van 1°C. zou dan volgens de formule (C) (Ag? — 1) (4? + 2) CA 6 40 do moeten zijn en kan dus uit de waargenomen waarden van Ao, gen d berekend worden f. Evenzoo kan men die vermindering ook uit de formules (A) en (B) ® WürLNEB, t. a. p.‚ p. 30. f Eigenlijk kan de formule (C) slechts voor de absolute brekingsindices gelden, maar ik heb mij overtuigd, dat men, door bij vaste lichamen en vloeistoffen de formule toe te pussen op de brekingsindices ten opzichte van de lucht in de berekende vermindering daarvan slechts fouten verkrijgt, die gerustelijk verwaarloosd mogen worden. 17 NATUURK VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL XVIII, 90 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET berekenen. In tabel IT vindt men naast de waargenomen waarde der bedoelde vermindering ook de aldus berekende waarden. Ik heb daarbij alleen in de eerste kolom de getallen voluit opgegeven en in de volgende het decimaaltee- ken en de nullen weggelaten. Bij elke stof is tusschen haakjes de voor To genomen temperatuur aangegeven; het zou overigens slechts een klein verschil maken, als men eenvoudig 7, 0® had gesteld. mr: Bere- Bere- Waargenomen. En re — ber. ne ee (A) (C). CITES Eoo oo oa aac (200 0,000263 260 8 1 Water, 3,7 glycerine a. . . . (200) f 0,000229 223 6 MA Tl 7 (20°) | 0,000183 170 13 1 ms 05 „ (ZOOP IOO OON 156 16 Clcerme Doro are so (200) £ 0,00026S 266 2 1 Alcohol a; 4 glycerine 4 . (20°) } 0,000289 286 B) U ‚2 „” . (200) f 0,000301 322 |— 21 Ne 0,998 . (200) f 0,600325 342 | 17 1 3 ‚ 0,4997 ‚ (200) f 0.000350 976 |— 26 Aledll Ze so ao 4 . …. (200 f 0,000384 419 |— 35 Verzadigde opl. van chloorzink (309) f 0,000286 340 — 54 1 Water; 3,997 # „ (259) f 0,000264 303 |— 89 1 „ :1,996 » # mp (25°) | 0,000256 278 |— 22 1 7 5099987 # _» _ (25°) | 0,000249 258 — 9 Zwavelkoolstof. . …... (150) f 0,900754 860 — 106 1 Alcohol 4 8,955 zwavelkoolstof (200, | 0,000646 146 — 100 Ln Ha2ssbt nn (209) | 0,000593 688 |— 95 1 / ‚1,051 „ (20°) | 0,000544 611 — 67 Daar de dichtheid van water niet door een lineaire functie van de tempera- tuur kan worden voorgesteld kon voor deze vloeistof de boven aangegeven weg LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 91 niet worden gevolgd. Ik heb daarom uit de voor 10° waargenomen waarde van A die voor 20° en 30° berekend, waarbij voor de dichtheid de bepalingen van Korp zijn gebezigd. Men vindt de uitkomsten in tabel LIL. BEL A. Berekend volgens (C). Waaru. — ber, Berekend volgens (B). Berekend | T : | Ius Waargenomen. volgens (A). | Bee 10° 1,32508 200 1,32409 309 1,323 10 — 47 — 58 1,32467 1,32396 — 58 — 86 1,32380 —ó2 | 1,32456 — 70 | 1,32368 Bij de beoordeeling van bovenstaande uitkomsten moet men in ’t oog houden, dat de metingen den brekingsindex stellig tot in vier decimalen nauwkeurig geven. Nu treden echter in tabel II bij elk der drie formules (A), (B) en (C) tusschen de waargenomen en berekende vermindering van A voor 1°C. ver- schillen op, die grooter zijn dan 0,00001. Daaruit volgt, dat, wanneer men uit de waarde van A voor een bepaalde temperatuur de waarde afleidt voor een temperatuur, die slechts 10°C. hooger is, deze van de waargenomen waarde reeds in de vierde decimaal zal afwijken. Dergelijke verschillen vindt men ook in tabel II. Wij kunnen dus besluiten, dat geen der drie formules in volkomen overeenstemming is met de werkelijkheid. De formule (A) voert steeds tot een te kleine verandering van den brekings- index en wijkt meer van de waarheid af‚ dan de beide andere vergelijkingen. De afwijkingen klimmen bij (A) zelfs tot 29 pCt. van de waargenomen ver- andering van 4 (bij de mengsels van glycerine en water). Van de formules (B) en (C) is voor glycerine en water de laatste, voor alcohol, chloorzinkoplossing en zwavelkoolstof de eerste het best met de ervaring in overeenstemming. In procenten van de waargenomen verandering van A uitgedrukt, is de grootste afwijking in tabel IL bij beide formules 19 pCt.; zij komt voor bij het laatste mengsel van water en glycerine voor de eerste, bij de verzadigde eùloorzink- oplossing voor de laatste formule. Bij zwavelkoolstof geeft de formule (C) bij een temperatuursverhooging van 10° C reeds verschillen in de derde decimaal; bij de andere vloeistoffen kan zij, evenals de formule (B) bij een eerste benadering worden aangenomen, wanneer men slechts voor een klein temperatuurinterval een overeenstemming tot in de derde decimaal verlangt. 7E 92 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Bij alcohol, chloorzinkoplossing en zwavelkoolstof wijken de waargenomen waar- den van de door de formule (C) berekende in dien zin af, dat de brekingsindex minder verandert dan volgens de formule het geval zou moeten zijn. Bij het water is het tegengestelde het geval. In het vervolg zullen wij kortheidshalve een afwijking in den eersten zin negatief, die bij het water positief noemen. In overeenstemming met het bij deze laatste vloeistof opgemerkte vindt men ook bij de mengsels daarvan met glycerine een positieve afwijking, die met het watergehalte toeneemt. Evenzoo openbaart zich de invloed van het water hierin, dat de negatieve afwijkingen bij de chloorzinkoplossingen des te kleiner worden, naarmate zij meer verdund zijn. 5. Volgens de in het vorige hoofdstuk meêgedeelde beschouwingen moet onze formule (C) voor elke bepaalde golflengte gelden. In tabel IV heb ik naast de waargenomen vermindering van #a en #, voor 1° C. de vermindering aan- gegeven, die aan de formule (C) zou beantwoorden. Bij de berekening daarvan is steeds voor 7, dezelfde temperatuur genomen als in tabel II. Evenzoo vindt men in tabel V voor het water de waargenomen waarden van na en ny voor 20° en 30° vergeleken met die, welke uit den brekingsindex voor 10° door de formule (C) zijn berekend. VE VERMINDERING VOOR 1° CG. VAN ne Ny Waargeno- | Bereke-{ Waarneming | Waargeno- | Bereke- |Waarneming men. ning. {— berekening. men. ning. — berek. GEMS Bo s ooo oo on 215 | — 8 1 Water; 3,7 glycerine a ...« 235 | — 2 1 ns ” Do Bed 180 | + 7 1 nn 055 ” ao ® 144 | + 12 Glycerine 5 ne eee ee Oe en AD 1 Alcohola; 4 glycerine b. ... 503 | — 1 út „ 0) ” EI 840 | — 30 l ” s 0,998 w 361 | — 25 l ” , 0,4997 » 897 | — 34 INedholear voverovaorars 00 5 442 | — 417 Verzadigde chloorzinkoplossing. … » 369 | — 78 1 Water; 3,997 verz. chloorzinkopl. 827 | — 59 Ir RE 7 ” ; 298 | — 87 Lb » 509993 ” 215 | — 23 Zwavelkoolstof .....--- 1032 | — 182 1 Alcoholb; 3,955 _ zwavelkoolstof. 867 | — 117 1 ” s 2,12836 ” 5 186 | — 106 1 vaas O STe 3 . 682 | — 92 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 93 Ne WATER. Na Ny E Waargenomen. | Berekend, fed : Waargenomen. Berekend. ged ; 100 1,33215 1,34130 20° 1,33116 1,33162 — 54 1,34031 1,34076 — 45 300 1,83017 1,33071 — 54 1,33932 1,33982 — 50 S 6. Voor die vloeistoffen, welke in tabel II een negatieve afwijking ver- toonden, blijkt hetzelfde ook uit tabel IV. Vergelijkt men echter de verschillen waarneming— berekening, die wij voor A, na en ny gevonden hebben, dan blijkt het, dat de bedoelde negatieve afwijkingen des te grooter worden, naarmate men den brekingsindex voor een kleinere golflengte beschouwt. In overeenstemming hiermede vertoont ook glycerine in II een zeer kleine positieve, maar in [V een negatieve afwijking. Wij besluiten dus, dat bij glycerine, alcohol, chloorzink- oplossing en zwavelkoolstof oorzaken bestaan, waardoor de brekingsindex bij verwarming minder afneemt dan volgens de vergelijking (C) het geval zou moeten zijn en dat deze oorzaken bij de meest breekbare stralen den grootsten invloed hebben. Maar zelfs bij het water schijnen dezelfde oorzaken te bestaan. Want de af- wijking bij deze vloeistof is wel ook in tabel V positief gebleven, maar wordt des te kleiner naarmate de golflengte afneemt. Het verdient hierbij opgemerkt te worden, dat de afwijking bij het water wer- kelijk negatief wordt, wanneer men de verandering beschouwt, die de brekings- index door samendrukking ondergaat. JAMIN * kwam tot het resultaat, dat die verandering de formule (A) volgt. Wanneer hij namelijk uit de waargenomen verandering van ” door die formule den coëfficient van samendrukbaarheid ze (voor 1 atmospheer) afleidde, verkreeg hij voor gewoon gedestilleerd water pe — 0,0000500, voor luchtvrij water w — 0,0000511, terwijl volgens GRASSI voor 0? C. w = 0,0000504 is. Intusschen doet Mascarr f, die de proeven van JaMiN herhaald heeft, opmerken, dat de temperatuur bij die proeven waarschijn- lijk ongeveer 15° is geweest en dan is volgens Grassr w — 0,0000471. Mas- CART vindt voor de genoemde temperatuur uit zijne optische proeven door middel ® Ann. de chim. el de phys. 3 Série, T. 52, p. 163. Ft Pogg. Ann, 153, p. 154. 94 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET van (A) w = 0,0000518, door (B) « = 0,0000453, terwijl de formule (C), op die proeven toegepast, uw == 0,0000401 oplevert. Men ziet hieruit, hoe in elk geval bij samendrukking de brekingsindex minder varieert, dan volgens onze formule het geval zou moeten zijn. Terwijl dus het water in negatieve richting van de formule (C) afwijkt, wan- neer de dichtheid bij constante temperatuur verandert, schijnt het, dat de posi- tieve afwijking, die wij in de tabellen III en V opmerkten, op rekening van de temperatuursverandering moet gesteld worden. Ik bedoel daarmeê, dat waar- schijnlijk die afwijkingen niet rechtstreeks aan een verandering in dichtheid zijn toe te schrijven, maar veeleer aan een verandering, die de moleculen bij temperatuursverhooging ondergaan, in dien zin, dat de grootheid # (LL, $ 2) voor eene molecule niet constant is, maar bij verwarming afneemt. Voor deze op- vatting pleit ook het gedrag van water beneden 4° C. JamiN * heeft aange- toond, dat ook dan de brekingsindex afneemt bij verwarming, ofschoon deze hier van een inkrimping vergezeld gaat. Nu kan men zich zeer goed voorstellen, dat de boven bedoelde verandering der moleculen ook beneden 4° plaats heeft, zoodat ook dan z bij verwarming afneemt. Het is dan verder zeer goed moge- lijk, dat deze omstandigheid van meer invloed op den brekingsindex is dan de inkrimping, en zoodra dit het geval is zal bij verwarming, ondanks die inkrim- Ping, de brekingsindex afnemen. À Eindelijk merken wij nog op, dat de positieve afwijking bij het water boven 20° bijna ophoudt, zooals hieruit blijkt, dat in de tabellen [IL en V de ver- schillen waarneming— berekening voor 30° slechts weinig grooter zijn dan voor 20°. S 7. Verschillende natuurkundigen hebben een zoo groot aantal bepalingen der brekingsindiees van vloeistoffen verricht, dat wij nog slechts eenige dier metingen als voorbeeld kunnen aanvoeren. Men vindt in tabel VI de uitkom- sten van eenige berekeningen naar aanleiding van metingen van HOEK en OUDEMANS }, DALE en GLADSTONES en LANDOLT **, In de eerste kolom is be- halve de naam der vloeistof ook die der waarnemers en tusschen haakjes de lijn van het spectrum aangegeven. De als berekend opgegeven waarden van den brekingsindex zijn door de formule (C) afgeleid uit den brekingsindex voor de laagste der opgegeven temperaturen. Bij die afleiding is gebruik gemaakt van, de door Kore #f bepaalde dichtheden. > * Comptes rendus, 43, p. 1191. + Hoek et OupeMans, Recherches sur la quantité d'éther contenue dans les liguides, p. 66. ) S Dare en GLADSTONE, Phil. Trans. 1863. S* LaNpoLT, Pogg. Ann. 117, p. 353; 122, p. 545. Fr Würrner, Experimentalphysik, Bd. III, p. 19 (derde uitgave). LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 95 VI. Brekingsindex. Brekingsindex. T Nan Ber. kfn Waargen, Es Azijnzuur 100/ 1,3776 rl 400}1,3621/1,3608| 13 (H) | 24°/1,3830/1,3826| 4 (D) 700| 1,3465| 1,3433) 32 280| 1,3814/ 1,3807| 7 | Propionzuur E 180) 1,5960 Benzoëzuur 100/1,5107 Kad 500|1,4921! 1,4904 (Hy) | 24°/1,3936/1,3931) 5 (D) 1009) 1,4688 es 47 250/1,3920/1,3911 9 Zuringzuur | 10? Las 169, 1,4073 ie pk 600) 1,3927/1,3904! 23 (He) | 209/1,4057/1,4056| 1 ol 1,£ 260 G : (D) 1100/ 1,3697/ 1,3646| 51 AE ais 260/ 1,4034 1,4030/ 4 F L 220 1,3540 (A) | 31°/1,8500/1,3491| 9 Mierenzuur 409/ 1,3456/ 1,3441| 15 aethyl | D en G 220 1,3694 (H) | 31°/1,3652/ 1,3642/ 10 400 B vereaAd 18 160/ 1,4186 200/1,4169/ 1,4168| 1 260} 1,4143| 1,4142| 1 60/1,3579 120/ 1,3844/1.38431 1 200/ 1,3298/ 1,3293| 5 (HL) (H‚‚) Aldehyde L 230,5) 1,5003 (A) [36° |1,4918/1,4915) 3 489 |],4841/1,4825| 13 60| 1,3480 (H‚) | 12°/1,3443| 1,3442| 1 200/ 1,3394/ 1,3391| 3 Joodaethyl D en G 230,5) 1,5420 (H) |36° |1,5326/1,5323| 3 160/ 1,5412 (H‚) | 209/1,5392/1,5388| 4 480 [1,5250/1,5227| 23 Jittere 260| 1,5361/1,5353| 8 amandelolie L____—|— | L 160/ 1,5796 (A) [23° [1,4806/1,4794) 12 (H,) | 200) 1,5775/1,5770| 5 390 |1,4703/1,4656{ 17 260/1,5742/1,5782| 10 Benzol ' | at D en G os 1,5305 | (H 230 15225) 1,521 14 | ne | 2,5108/ 1,5091 K7 96 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Men ziet, hoe ook bij al deze vloeistoffen de brekingsindex bij verwarming minder afneemt, dan volgens de formule (C) het geval zou moeten zijn. Met uitzondering van amylaleohol en aldehyde zijn ook weer die negatieve afwijkin- gen des te grooter, naarmate de golflengte kleiner wordt. Wij moeten eindelijk nog over het gedrag der vaste lichamen spreken. Fr- ZEAU* was de eerste, die de veranderingen bepaalde, welke de brekingsindex daarvan door verwarming ondergaat. Hij vond, dat bij glas van St. Gobain, bij gewoon en zwaar flintglas de brekingsindex voor het natriamlicht bij ver- warming toeneemt. Bij vloeispaath neemt de brekingsindex bij een tempera- tuursverhooging af‚ terwijl die van kroonglas zoo weinig verandert, dat het niet is uit te maken, of hij af- of toeneemt. De uitkomsten van FrzeAU zijn uit de waarneming der interferentiestreepen (ringen van NeEwroN) bij dikke platen afgeleid, maar zij zijn later ook door rechtstreeksche metingen, o. a. door VAN DER WILLIGEN f bevestigd. Het meest uitgebreide onderzoek echter, dat mij over dit onderwerp bekend is, is dat van BAILLES). Deze natuurkundige bepaalde rechtstreeks den brekingsindex voor verschillende lijnen van het spec- trum bij ver uiteenliggende temperaturen. Van alle onderzochte lichamen ver- toonden alleen vloeispaath, kalialuin en klipzout voor alle lichtstralen een bre- kingsindex, die bij temperatuursverhooging afneemt, op dezelfde wijze als dit bij de oen het geval is. Beschouwen wij vooreerst het vloeispaath. BAILLE voren voor dit lichaam de volgende brekingsindices: Lijn van het spectrum. 140, 990, Verschil, Li(e) (im de nabijheid van B) 1,432575 1,431559 — 1016 H, (samenvallende met C) 1,482651 1,431639 — 1012 IN ae ni 13 „ D) 1,433272 1,432288 — 984 En 5 ze HE) MM36083 1E A3DIL TO MEDE Lijn van ’t koperspectrum nabij G 1,438994 1,438287 — 7071 Volgens Barre bedraagt de fout in de brekingsindices hoogstens 5 eenheden der laatste decimaal. Hoe groot de fout in de bepaling der hoogste tempera- tuur kan geweest zijn is moeilijk aan te geven. De vergelijking van de hier meêgedeelde uitkomsten met die van Fizeau valt vrij bevredigend uit. Voor * Fizeav, Pogg. Ann. 119, p. 87. f VAN DER WirwiGeN, Archives du Musée Teyler, Vol. 1, p. 68, Vol. Il, pp. 191, 192, 195 197, 198. S Bare, Recherches sur les indices de réfraction (Thèse prés. à la Fac. des Sc. de Paris, 1861). LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN, 97 de natriumlijn is volgens Barre de vermindering van den brekingsindex voor 19 0,0000120. Fizrauv vond voor die vermindering uit zijne eerste proeven 0,0000136 en, zooals Barre opgeeft, uit latere proeven O ‚0000110. Daar volgens Kore de lineaire uitzettingscoëfficiënt van mean 0,0000207 is *, kan men uit den brekingsindex voor 14° dien voor 99° door middel der formule (C) berekenen. Dit geeft voor de vijf gebezigde lichtstralen de vol- gende uitkomsten : Waargenomen, Berekend. Waarneming berekening. Ti: 1,43156 1,42997 159 He 1,43164 1,43004 160 Na 1,43229 1,43066 163 Ho 1,43518 1,45540 178 Cu 1,43829 145634 195 De afwijkingen zijn dus weer negatief, evenals wij dit bij alle vloeistoffen met uitzondering van water gevonden hebben en zij zijn ook weer des te grooter, naarmate de golflengte kleiner wordt. Evenals bij de vloeistoffen moeten Ras ook bij het vloeispaath oorzaken bestaan, die, alleen werkende, den brekings- index bij vermindering van dichtheid Boden doen toenemen en die des te meer invloed uitoefenen, naarmate men licht van een kleinere golflengte beschouwt. Deze oorzaken Abe ook nog bij het vloeispaath overwogen door die, welke bij de afleiding der formule (C) in rekening zijn gebracht, zoodat de brekings- index nog steeds bij verwarming afneemt, maar toch zijn de negatieve afwij- kingen, vergeleken met de waargenomen verandering van #, grooter geworden (zoodat zij zelfs die verandering overtreffen). Dit blijkt ook uit de volgende beschouwing. Volgens de formule (C) zou de brekingsindex voor de meest breek- bare stralen het meest moeten afnemen. Dit is bij de vloeistoffen ook het geval, ondanks de negatieve afwijkingen, die juist voor die stralen het grootst on Maar bij vloeispaath zijn de afwijkingen reeds zoo groot geworden, dat de bre- kingsindex voor de meest breekbare stralen juist het minst afneemt. Dit laatste is volgens de metingen van BAiLLe ook voor kalialuin en klipzout het geval. Ik vermoed daarom, dat voor deze lichamen ook al het voor vloei- spaath gezegde geldt, maar zen dit niet op de proef stellen, daar mij de uit- zettingscoëfhicient niet bekend is. Men kan zich nu zeer goed voorstellen, dat de oorzaken, die, alleen werkende, ® Ik heb deze opgave ontleend aan Fizeav, t. a. Ps p. 1. 18 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 98 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET den brekingsindex bij een vermindering in dichtheid zouden doen toenemen, geheel de overhand verkrijgen. Werkelijk neemt volgens FIZEAU, VAN DER WirriGeN en BarLLm bij verschillende soorten van flintglas en volgens den laatsten natuurkundige ook bij kiezelrijk kroonglas (crown chargé de silice), diamant, blende en senarmontiet de brekingsindex bij verwarming toe. Daarbij verdient opgemerkt te worden, dat VAN DER WILLIGEN en DAILLE gevonden hebben, dat die aangroeiing des te grooter is, naarmate de golflengte kleimer wordt. Nu zouden volgens de formule (C) de indices moeten afnemen en wel het meest voor de kleinste golflengten. Voor deze zijn dus wederom de afwij- kingen het grootst, geheel in overeenstemming met hetgeen wij bij de vloei- stoffen gevonden hebben. Eindelijk vindt BaruLr voor gewoon en zinkhoudend kroonglas (erown de zinc), dat de brekingsindex voor groote golflengten bij verwarming afneemt, maar dat deze afneming des te kleiner wordt, naarmate men kleinere golf- lengten beschouwt, om eindelijk in een aangroeiing over te gaan, die dan verder naar de violette zijde van het spectrum toeneemt. Het zal wel overbodig zijn aan te wijzen, hoe ook hier de afwijkingen, wat de richting en de afhankelijk- heid van de golflengte betreft, met die bij de vroeger besproken lichamen over- eenstemmen. Juist deze omstandigheid, dat de formule (C) zoowel bij vloeistoffen als bij vaste lichamen op dezelfde wijze van de ervaring afwijkt, schijnt mij er voor te pleiten, dat door die formule het vraagstuk van den samenhang tusschen nen d gedeeltelijk juist is opgelost. Maar bij de afleiding van (C) moeten nog omstandigheden zijn verwaarloosd, die op den brekingsindex den reeds meer- malen vermelden invloed hebben. Eenige omstandigheden, die hierbij misschien in aanmerking kunnen komen, heb ik in $ 2 aangewezen, maar ik zal het thans niet wagen, deze aan een nader onderzoek te onderwerpen. $ 9. Wij kunnen de formule (C) ook nog op de proef stellen door den bre- kingsindex van eenige stoffen in vloeibaren en gasvormigen toestand te verge- lijken. Ik heb daartoe uit den brekingsindex voor het natriumlicht in den eersten toestand door middel van de formule dien voor den tweeden toestand af- geleid voor het geval, dat de drukking 760 mM. en de temperatuur 0° bedraagt. (Voor die dampen, waarbij dit geval niet te verwezenlijken is, hebben de op- gegeven brekingsindiees de beteekenis, dat men er door (A), (B) of (C) in de onderstelling, dat de wetten van BoyLe en GAY-LUssac gelden, den brekings- index voor werkelijk voorkomende gevallen uit kan afleiden). Zie hier de ver- kregen uitkomsten. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 99 Vloeibaar Gasvormig Dichtheid n Dichtheid ” ten opzichte Waargenomen. Berekend. der lucht Water: sil . 1 (4) [1,3345 (4°) WürLNer ; 0,622 | 1,000261 Jamry * (1,000249 Zwavelkoolstof f 1,2702(15°,6) | 1,6308(15°,6) BApeN Powerr} 2 644 1,00150 Duron |1,00144% Aether. .. . « 0,7166(20°) |1 3529 (20°) LANpoLT 2,580 | 1,00153 » 1,00151 Zwaveligzuur . | 0,482! (1 3384 KerrEvEn } 2,216 \i:dooese D 1,000605 | 1,0006S6KerreLen) Ook bij den overgang van den vloeibaren tot den gasvormigen toestand neemt de brekingsindex hier dus minder af, dan volgens de formule (C) het geval zou moeten zijn. S 10. Eindelijk kan men nog voor zwavel en phosphorus de brekingsindices in den vasten toestand vergelijken met die van den damp, welke laatste door Le RouxS bepaald zijn. Voor vaste zwavel is de brekingsindex (voor roode stralen) 2,053, de dicht- heid 2,065. Daar nu voor zwaveldamp de dichtheid (ten opzichte van de lucht) 6,617 is, volgt uit de formule (C) voor den brekingsindex van den damp (bij 09 en 760 m.M.) 1,0032. Evenzoo vindt men voor phosphorusdamp 1,0020, waarbij voor de dichtheid in vasten toestand 1,823, voor den brekingsindex 2,106 en voor de dichtheid van den damp 4,355 is gesteld. Le Roux vindt voor zwavel- en phosphorusdamp resp. » — 1,001629 en n — 1,001364, zoodat wij hier afwijkingen van de formule (C) zouden hebben in tegengestelde richting als bij de vroeger onderzochte lichamen. Het komt mij echter voor, dat de uitkomsten van Le Roux een belangrijke correctie moeten ondergaan. Bij zijne proeven bevond zich nl. binnen een prisma de damp der onderzochte stof, daarbuiten atmospherische lucht, terwijl zoo binnen als buiten atmospherische drukking en dezelfde hooge temperatuur t heerschten. De proeven leverden nu onmiddellijk den brekingsindex N van den ingesloten damp met betrekking tot de omringende lucht op. Le Roux stelt nu, dat die brekingsindex onafhankelijk van f is, en dus de gevonden waarde ook geldt voor het geval, dat zoowel de lucht als de damp bij een tem- peratuur van 0? en een drukking van 760 m.M. genomen worden. Door dan * Jamin, Aan, de chim. el de phys. 38° Série, T. 52, p. 171. f Kerreven, Beobachtungen über die Farbenzerstreuung der Gase. S Le Roux, Ann. de chim. et de phys. 5° Série, 1. 61, p. 385. 18* 100 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET de bedoelde waarde met 1,000294 (absolute brekingsindex der lucht voor 0O® en 160 m.M.) te vermenigvuldigen werd het boven opgegeven getal verkregen. Nu is echter de hier gemaakte onderstelling niet juist. Integendeel kan men uit de formule (B) gemakkelijk afleiden, dat de onderlinge brekingsindex van twee gassen bij een temperatuursverhooging (als de drukking onveranderd blijft) moet afnemen. Ik geloof dan ook, dat men uit de proeven van Le Roux den gezochten absoluten brekingsindex #, van den damp voor 0® en 766 m.M. op de volgende wijze moet afleiden. Zij n‚ deze brekingsindex voor f® en 760 m.M., #'‚ de absolute brekings- index van de lucht onder dezelfde omstandigheden, dan is Verder is, als « den uitzettingscoëfficient van de lucht voorstelt, die bij deze berekening ook voor den damp wordt aangenomen, volgens de formule (B) — of een der formules (A) en (C) — 4 0,0002 94. NE — Ee id at no == 0E 3 Te dus, daar de hier voorkomende breuken zeer klein zijn ng — 1,000294 lat no = 1,000294 + (N—1) (1 Hat). Ne lt De door Le Roux berekende waarde is echter n', — 1,000294 N= 1,000294 + (N — 1), zoodat no — 1,000294 == (1 — 1,000294) (L + af) moet zijn. Stelt men nu, bij gemis aan andere opgaven omtrent de temperatuur, voor f het kookpunt der onderzochte stoffen (resp. 400° en 290®), dan vindt men uit de door Le Roux opgegeven waarden van # voor zwavel #, = 1,00359 en LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFPEN. 101 voor phosphorus „»j —= 1,00250. De afwijkingen van de door de formule (C) uit den brekingsindex in den vasten toestand berekende waarden hebben derhalve weder dezelfde richting verkregen als bij de vroeger onderzochte lichamen. Overigens zal men ook op de aldus berekende waarden van „, niet te veel moeten vertrouwen, daar het mij twijfelachtig voorkomt, of bij de proeven van Lr Roux wel alle lucht in het prisma door damp was vervangen. Hierdoor kan intusschen #, slechts te klein uitvallen, zoodat de afwijkingen van onze formule de zooeven gevonden richting behouden. S 11. Wij hebben eindelijk nog na te gaan, in hoeverre de formule, die wij in de vorige hoofdstukken voor den brekingsindex van mengsels hebben opgesteld, met de werkelijkheid in overeenstemming is. Die formule kan in den volgenden vorm worden geschreven. Wanneer van twee stoffen de brekingsindices », en #3, de dichtheden d, en d, zijn en wanneer voor een mengsel, waarvan de gewichts- eenheid uit de hoeveelheden a, en a, dezer stoffen bestaat, de brekingsindex n en de dichtheid d is, dan is nl me —l sn ng —1 A dane (n° + 2d Ln? + 2d, Pm? +24 Evenals deze vergelijking bij (C) behoort, behooren bij (A) en (B) de formules en Voor gasmengsels zijn #,, #3 en » zoo weinig van de eenheid verschillend, dat de beide eerste formules in de derde overgaan, die, gelijk men weet, door de metingen van Bror en ARrAGo bewezen is. Anders is het met de vloeistoffen gesteld. Wij zullen zien, dat daar de drie formules tot verschillende uitkomsten voeren, die intusschen geen van alle volkomen juist zijn. Hierbij valt nog iets op te merken. De in de vorige SS onderzochte veran- deringen in den brekingsindex gingen, met een enkele uitzondering, van een temperatuursverhooging vergezeld. Men zou daarom de afwijkingen, die wij tusschen de formule (C) en de ervaring gevonden hebben, aan een verandering der moleculen met de temperatuur kunnen toeschrijven. Was dit juist, dan zou er kans bestaan, dat de formule (C') doorging, wanneer men slechts 102 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Mi, Ng en n, dj, dj en d alle bij dezelfde temperatuur nam. Blijkt het nu, dat ook dan nog afwijkingen voorkomen, dan is het tevens waarschijnlijk gemaakt, dat men, om tot een geheel juiste theorie te geraken, mog iets anders dan een verandering der moleculen met de temperatuur in rekening zal moeten brengen. Voor het water blijkt dit trouwens reeds uit de proeven over de verandering van den brekingsindex door samendrukking. E 8 12. Ik heb de drie formules (A), (B), (C'), vooreerst weer vergeleken met de metingen van WüLLNER, waarvan de uitkomsten in tabel I zijn vereenigd. In tabel VIL vindt men naast de waargenomen waarde van 4 voor 20° C. voor elk mengsel die aangegeven, welke uit de waarde van A (bij dezelfde tempe- ratuur) voor de beide gemengde stoffen door middel van de formules (A°), (B), (C°) zijn afgeleid. AAL Berekend Berekend | Berekend ee Í volgens oe | volgens ES & 5, aarn. = aarn, Ee (B) = ber. | CS) be CHBEnE Horas Sá aoe 1,4387 1 Water; 3,7 glycerinea ... .f1,4127|1,4186|— 9|1,4138|— 6f1,4127 0 1 Dg ” . …..l1,8780|f1,8790 | — 10f1,8782| — 2|1,8778| + 7 ie pen hes ee 1143580 TSS IS «9 db ESSE Waters es barones et kansen shi 1,3241 Glycernend Bnn en: 1,4489 1 Alcohol a; 4 glycerine b.fl,4275[1,42738 | + 2f1,4275 Of1,4276 | — 1 1 2 7 |1,4184|1,4129 |+ 5|1,4130| + 4|1,4129| + 5 ir Ss Oros |1,3967 |1,3962| + 5|[1,3962*| + 5[1,3961|+ 6 li 4 oon et: |1,3°32|1,3884|— 2|1,3838|— 6|1,8841|— 9 Alcohol. an Annen nn 1,8532 Verzadigde oploss. van chloorzink , | 1,4888 1 Water; 3,997 verz. geeKE) 1,4426 [1,4138|— 12 | 1,4430 | — 4f1,4420| + 6 van chloorzink 1 # 5 1,996 verz. oplossing 3 p de | 1,4167 [1,4168|— 1|1,4155| + 12 |1,4142 | 4 25 1 # 5 0,9998 verz. oplossing ae (je : aQ7 8 van chloorzink de WE ia A dele 1 Zwavelkoolstof. ......=* 1,5564 ht 3,955 zwavelkoolstof + f 1,5135 | 1,5202 | — 67 f1,5160|— 25 [1,511 | + 24 ” RUS S6 ” 1,4792f1,4576 |— S4f 1,4824 | — B2| 14768 | H- 24 5 ” En MOEN / „| 1,4853 f 1,4463 | — 80f 1,4418 | — 50 | 1,4361 | + 22 Aleoholibate tan nete eed 1,8554 %* WürLNER geeft hiervoor 1,3966 op. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 103 Tabel VIII levert op dezelfde wijze een vergelijking van de formule (C') met de metingen voor de stralen H, en Hr. VII. Glycerine a 1 Water; 3,7 glycerine. . . 1 ] verschillen optreden. biep eie w-bljmdelwi eig Ph | » pele 10 ” En NV RREER Stee he . Eren ant AE NN CE Alcohol; 4 glycerine. „ Pk ” 1e 50,998 » » :0,4997 ‘» : Alcohol (a en 5} Verzadizde chloorzinkoplossing. . 1 Water; 3,997 verz. chloorzinkopl. I4 Ld Zwavelkoolstof Aleohol ; 3,955 Id Ld ‚ 1,996 ‚ 0,9998 ‚ 2,12836 ‚ 1,03111 id u id n Ld EN ae AE ad Pe ej zwavelkoolstof. . . Waar- Na | Berekend. genomen. | 1,4479 14216 1,3861 1,3665 1,3512 1,4585 1,4366 1,4219 1,4049 1,3912 1,5607 1,5035 1,455 1 1,4279 1,3996 1,6185 1,5377 1,500 L,4545 14214 1,3855 1,3660 1,4365 1,4216 1,4044 1,3922 1,4543 1,4252 1,3976 |1,5348 1,496 9 Waarn. — ber. dt + en oe + - 29 31 1,4519| + 26 Uit tabel VII blijkt, zooals reeds werd opgemerkt, dat formules geheel juist is, daar toch tusschen den waargenomen en den berekenden brekingsindex voor de mengsels in de vierde, soms reeds in de derde decimaal n, Waar- genomen. Berekend. — ber. 1,4597 1,4329|1,4327| + 2 13965 | 1,3957 1,3764 | 1,3759 1,3403 1,4703 1,4483 | 1,4480| + 3 1,4330|1,4327| + 3 1,4155 |1,4152| + 3 1,4016 [1,4027 | — 11 1,3703 1,5224 1,4710|1,4700| + 10 1,4423|1,4393| + 30 14125 |[1,4101| + 24 1,6752 ++ 1,5790|1,5754| + 36 1,5341 [1,5304| + 37 1,48041 1,4773 | + 31 geen der drie gebezigde Alleen bij een ruwe benadering kan men, zooals ver- 104 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET schillende natuurkundigen dit gedaan hebben, de empirische formule (B) aan- nemen, maar men kan dan ook nagenoeg even goed onze theoretische formule (C') laten gelden en dat zoowel voor oneindig lange als voor kleinere golf- lengten. De afwijkingen, die de formule (C°) van de werkelijkheid vertoont, zijn niet meer aan zulk een eenvoudigen regel onderworpen, als die, welke wij vroeger bij het bespreken der formule (C) aantroffen en men kon dit ook niet verwach- ten, daar de vermenging van twee stoffen een veel ingewikkeider verschijnsel is, dan de dichtheidsverandering van ééne stof. Intusschen verdient het op- merking, dat, blijkens de tabellen VIT en VIII de afwijkingen des te grooter worden, naarmate men lichtstralen met een kleinere golflengte beschouwt. (Alleen een paar mengsels van aleohol en glycerine maken hierop een uitzondering, maar men kan misschien op de kleine veranderingen, die de bedoelde afwijkingen hier bij verandering der golflengte ondergaan, slechts weinig staat maken). En deze omstandigheid geeft eenigen steun aan het vermoeden, dat de afwijkingen, die zich bij de formule voor de mengsels voordoen, aan dezelfde of dergelijke oorzaken moeten worden toegeschreven, als de vroeger besproken negatieve afwijkingen van de formule (C). S 13. Eindelijk heb ik de formule (C’) nog vergeleken met eenige bepalingen van VAN DER WILLIGEN voor mengsels van zwavelzuur en water, alcohol en water en voor oplossingen van chloorcaleium, chloornatrium en chloorammonium. Ik heb daartoe door middel van de genoemde formule uit den brekingsindex van water en van het mengsel met het grootste gehalte aan zwavelzuur, alcohol, enz, F>) pl dien der andere mengsels afgeleid. Stelt men b.v. de grootheid GEE ad voor N ) dé water door %}, voor watervrij SO, Ha door kg en voor eenig mengsel van beide stoffen door k voor, dan is, volgens (C°), wanneer dit mengsel p pCt. SO, H bevat ( p\ p hl NE nl Cpu a NNS \ oo) # + roo * 1E Op (5) hg ed hi DN . wanneer men — — C stelt. Deze grootheid heeft nu voor alle mengsels 100 van zwavelzuur en water dezelfde waarde. Om die te bepalen kan men gebruik maken van den brekingsindex voor het mengsel met het grootste gehalte aan SO, H, en men kan vervolgens uit de aldus bepaalde waarde van C voor de mengsels # en „” afleiden. Op dezelfde wijze kan men ook te werk gaan bij de overige bovengenoemde stoffen. Men vindt in de tabellen IX—XIII de uitkomsten dezer berekeningen voor de lijnen D en H van FRAUNHOFER, LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 105 Bij de mengsels van zwavelzuur en water doet zich nog een eigenaardigheid voor. Wanneer men, met water te beginnen, het gehalte aan SO, Hs grooter laat worden, dan nemen de brekingsindices eerst toe, om voor een gehalte van 84 à 85 pCt. een maximum te bereiken en vervolgens af te nemen. Ofschoon nu de formule (C') weer niet volkomen juist blijkt te zijn, voert zij toch, zooals uit tabel IX blijkt, tot een dergelijk verloop van de brekingsindices, hoewel de dichtheid d geen maximum vertoont, maar steeds bij toeneming van p grooter ee wordt. Het bedoelde verschijnsel hangt hiermeê samen, dat de grootheid voor het mengsel met het grootste gehalte kleiner is dan voor water. Het ge- volg daarvan is, dat de constante C in de vergelijking (3) negatief wordt, en 14 24d dat dus & bij toeneming van p steeds afneemt. Nu is echter #? AT Neemt dan, bij toeneming van p, k af en d toe, dan is het mogelijk, dat voor een bepaalde waarde van p het product d en daarmede » een maximum wordt. Dit zou natuurlijk nooit kunnen plaats hebben, wanneer k£ en d in gelijken zin veranderden. Ook bij de mengsels van alcohol en water heeft iets dergelijks plaats, als bij die van zwavelzuur en water. Hier is % des te grooter, naarmate het alcohol- gehalte toeneemt, maar d neemt daarbij af, zoodat beide grootheden ook hier in tegengestelden zin veranderen. Overigens moet niet verzwegen worden, dat ook de formules (A) en (B) tot een dergelijk verloop van den brekingsindex voeren, als het hier besprokene. IX. MENGSELS VAN ZWAVELZUUR EN WATER. T' = 180,3. orn” Dichtheid. ar D. a H, En NE 0 0,9987 | 1,33327 1,34317 4,460, | 1,0284 | 1,3386 | 1,3386 o | 1,8494 |1,8493 | + 1 23,29 „ | 1,1669 | 1,3620 |1,3623 | — 83 | 1,3732 |1,3755 |— 8 38,78 „ | 1,2920 | 1,3808 | 1,3808 o [ 13924 |1,3924 0 56,25 » | 1,4588 | 1,4031 |1,4042 |— 11 | 1,4l5l |1,4162 | — 11 71,97 # | 1,6343 | 1,4247 |1,4266 |— 19 | 1,4370 |1,4390 | — 20 81,41 » | 1,7450 | 1,4360 |1,4384 | — 24 | 1,4484 |1,4509 | — 25 85,94 » | 1,7577 | 1,4381 |1,4400 |— 19 | 1,4504 | 1,452 | — 21 88,97 „ | 1,8123 | 1,4367 |1,4398 | — 31 | 1,44s5 |1,4622 | — 34 94,72 „ | 1,8324 | 1,43168 1,44347 19 NATUURK VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL XVIII. 106 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET De brekingsindices zijn ontleend aan de Archives du Musée Teyler, Vol. I, Ta- bel BB tusschen p. 116 en 117. De dichtheden zijn berekend uit de gegevens van Tabel C, in hetzelfde deel, tegenover p. 116. Bij die berekening is het gemiddelde genomen van de dicht- heden, die elk mengsel bezat vóór en nadat het tot de proeven over de breking gediend had. Alle dichtheden zijn aangegeven met betrekking tot die van wa- ter bij 0? C. als eenheid. Im de volgende tabellen echter is als eenheid de dichtheid van water bij 4° C. genomen. Voor de dichtheid van het water zelf is, zoo in Tabel IX, als in alle volgende, gebruik gemaakt van de opgaven van JouLy (WürLNeR, Experimentalphysik III, p. 72). NC MENGSELS VAN ALCOHOL EN WATER. 7 — 230,0. (Archives du Musée Teyler, Vol. II, Tabel B, tegenover p. 208). Gehalte aan 5 B Straal D. Straal H, RIESton Dichtheid. zl 5 Waar- Waarn. Waar- genomen. genomen. Waarn. 1,33278 1,34319 38,8 0/, 1,3569 1,3577 1,3680 — 1áé 53,9 1,3613 1,3623 | — 10 1,3725 — 18 86,8 » 1,3634 1,3634. 0 1,8747 — 9 98,9 „ 1,36070 1,37198 XT. OPLOSSINGEN VAN CHLOORCALCIUM. 7’ —= 240,0. Saale ian Dichtheid. | Sal Di der à Waar- as Waarn. Waar- Ba Waarn. genomen. genomen. 0,9974 1,33264 1,34309 16,75 0, | 1,1435 1,8739 | 1,3729 | + 10 1,3870 | 1,3856 | + 14 24,88 „ | 1,2241 1,3968 | 1,3956 | + 7 1,4106 | 1,4095 | + 11 81,79 » 1,2970 1,4161 14150 | + 1 1,4318 1,4302 | + 16 40,64 „» | 1,3995 1,44313 1,46035 | LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 107 De dichtheid en brekingsindices der zoutoplossingen, die in deze tabel en in de beide volgende voorkomen, vindt men in de Archives du Mus. Teyler, Vol. II, Tabel B, tegenover p. 236. De brekingsindices van het water zijn ontleend aan de Archives, Vol. 1, Tabel V (kolom IV), tegenover p. 238. XII. OPLOSSINGEN VAN CHLOORNATRIUM. 7’ = 250,75. Tm De Gehalte aan . fl Straal D, Straal H,. Na CI. Dichtheid n ” Waar- Waarn. Waar- }_Waarn. genomen. | Ber, | — ber. genomen, Ber. | — ber, 1,33248 | 0 0,99697 1,34293 8,65% | 1,05794 | 1,3470 | 1,3470 0 1,3585 0 15,85 » | 1,11194 | 1,8598 | 1,3597 | + 1 1,3722 didl 16,61 „ | 1,11745 | 1,3612 [1,3609 | + 3 | 1,8738 TE 20,78 » | 1,15019 | 1,3687 | 1,3685 | + 2 1,3818 | 21,69 » | 1,15785 | 1,8705 |1,3708 | + 2 1,3836 0 22,78 » | 1,16781 | 1,3726 |1,8725 | + 1 1,3862 Iene 26,58 „ | 1,19845 | 1,37963 1,39365 XII. OPLOSSINGEN VAN CHLOORAMMONIUM 7’ — 26°,30. Straal D. Straal H. n Ber. Gehalte aan NH, CI, Dichtheid, Waar- elan Waarn. Waar- | BRS — ber. | genomen. 0 0,99684 | 1,53243 1,34288 9,72% | 1,02597 | 1,3510 |1,3509 1,3629 |1,3627 | + 2 11,79 » | 1,03202 | 1,3550 |[1,8549 | +1 | 13672 |1,3669 | + 3 14,51 » | 1,04004 | 1,8602 [1,3601 | +2 | 13727 |1,3726 | + 1 19,58 „ | 1,05364 | 1,3695 | 1 3596 10827, ol BERDE —1 19,68 „ | 1,05399 | 1,3698 | 1,3698 o | 13830 | 1,3830 0 24,88 „ | 1,06757 | 1,37941 1,39347 19% 108 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Ook in deze tabellen ziet men de afwijkingen tusschen den waargenomen en den berekenden brekingsindex, zoodra ten minste het bedrag ervan eenigszins aanmerkelijk is, voor de meest breekbare lichtstralen de grootste waarde aanne- men, geheel in overeenstemming met het in ’t laatst der vorige $ uitgesproken vermoeden. Dit vermoeden wordt ook nog hierdoor bevestigd, dat in Tabel IX de berekende waarde van het maximum van den brekingsindex te hoog is, want dit strookt geheel met het vroeger verkregen resultaat, dat de brekingsindex bij vermeerdering der dichtheid minder toeneemt, dan volgens onze theorie het geval zou moeten zijn. Ook bij de mengsels van alcohol en water treden afwijkin- gen in denzelfden zin op als bij die van zwavelzuur en water, ofschoon in tabel X juist het mengsel met den grootsten brekingsindex geene afwijking voor den straal D vertoont. Tot dergelijke uitkomsten komt men ook, wanneer men uit de gegevens van tabel XII door middel van de formule (C°) den brekingsindex van vast chloor- natrium berekent. Ook voor de oplossingen dezer stof geldt nl. een vergelijking van den vorm (3) en men heeft daarin slechts p — 100 te stellen, om de groot- heid # voor watervrij chloornatrium te vinden. Kent men dan nog d voor het vaste keukenzout, dan kan men „ berekenen. Nu is volgens HoEK en OUDE- MANS * bij 15° C, voor het klipzout d — 2,162 en ik vind hieruit voor den straal D „1,596. Volgens de metingen der genoemde natuurkundigen is echter „== 1,544, zoodat ook hier de theorie een te groote waarde oplevert, wanneer men uit den brekingsindex eener stof in den eenen toestand den bre- kingsindex voor een anderen, dichteren toestand afleidt. S 14. Door verschillende natuurkundigen is aangetoond, dat men den bre- kingsindex van een aantal scheikundige verbindingen op dezelfde wijze uit de samenstelling berekenen kan, als dit bij mengsels mogelijk is. Zoo is b. v. door ScHRAUF eene met (A) overeenkomstige formule, door LANDOLT en DALE en GLADSTONE eene vergelijking, die als een uitbreiding van (B') is te beschouwen, op verbindingen toegepast. Iets dergelijks kan men nu ook met de formule (E’) van het tweede hoofdstuk beproeven, ofschoon men, nu deze reeds voor mengsels niet geheel juist is, ook bij verbindingen wel in geen geval iets anders dan een ruwe benadering kan verwachten. Ik heb daarom slechts de brekingsindices van een aantal verbindingen van koolstof, waterstof en zuurstof, die door LANDOLT j onderzocht zijn, met de bedoelde formule vergeleken. Men vindt in * Hork et OUDEMANS, Recherches sur la quantité d’éther contenue dans les liguides, p. 31. f LaNporr, Pogg. Ann. Bd. 122, p. 545 en Bd. 123, p. 595. LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 109 tabel XIV naast de door LANpoLT gemeten brekingsindices voor de lijn « van het waterstofspectrum die aangegeven, welke door de formule berekend zijn. Daarbij ben ik op de volgende wijze te werk gegaan. Wanneer de con- k (n° + 2)d wordt voorgesteld, dan is volgens de formule (E') van het tweede hoofdstuk voor een verbinding, waarvan de gewichtseenheid de hoeveelheden a,, as, az der drie elementen bevat, voor koolstof, waterstof en zuurstof resp. door kj, ky en 3 n2—1l (nt + 2d == 4j ki + ag kg LE 43 3 avater le: Levente mene (4) Bestaat nu de molecule dezer verbinding uit p, atomen C, ps atomen H, ps; atomen O, dan is het moleculair gewicht P=1l2p, + pe + 16p3 en men heeft 12p; Pe? A= ns _ 16éps P ren î 43 P Stelt men dus 12%, =lc, hy — ly en 16k3 — lo, dan gaat de formule (4) over in | _ Pile + pola + pslo (n° + 2)d P Ter bepaling van lo, ln en lo leveren nu de waarden van ” en d voor elke «der onderzochte stoffen een vergelijking op en ik heb de waarden van Ze, lz7 en lo bepaald, die het best aan al die vergelijkingen voldoen. Die waarden zijn lc= 3,045; lUn= 0,796; lo —— 1,830 en deze hebben dan verder voor de berekening van » gediend. Ter vergelijking bevat de laatste kolom van tabel XIV de waarden, die door Laxport berekend zijn. Hij bezigde daarbij de formule n—l plc + pola + pzlo 6 rn (6) die als een uitbreiding van (B) kan beschouwd worden en waarin Ic= 5,00: !g == 1,30; /'o = 3,00 gesteld werd. 110 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET Tabel XIV. 5 Brekingsindex Formule. Dichtheid, BE Boo aar (6) Methylalcohol ..... C HO |-0,7964 1,328 1,324 1,328 Aethylalcohols. tu. C‚, He O | 0,8011 1,361 1,361 1,362 Propylaleohol. .…... Cs Hs O | 0,8042 1,379 1,381 1,381 Butylaleohol mene C‚ Hi O | 0,8074 1,394 1,395 1,395 Amylaleohol®t vn aante C; HO | 0,8135 1,406 1,407 1,403 Mierenzuur.. CEO etl 1,369 1,359 1,361 ACO ZUUD enen enen CAE OE Oo 1,370 1,371 1,371 Eropionzuur Anse C, He Os | 0,9963 1,385 1,389 1,388 Boterzüurs ner, tee C‚ Hs Os | 0,9610 1,396 1,400 1,397 Valeriaanzuur ..... C; Ho Os | 0,9313 1,402 1,405 1,402 Capronzuut.esse ns « Cs Hz Os | 0,9252 1,412 1,416 1,412 Oenanthylzuur ..... C, His Oz | 0,9175 1,419 1,423 1,418 Azijnzuur methyl ... | OER 0 0,9053 1,359 1,350 | 1,352 Mierenzuur aethyl . . . 0,9078 1,358 1,351 1,353 Azijnzuur aethyl. ... C‚ Hs O, | 0,9021 1,371 1,373 1,373 Boterzuur methyl ... Cs Hio Os | 0,8976 1,387 1,588 1,387 Mierenzuur amyl. .. . | 0,8816 1,396 1,394 1,392 Boterzuur aethyl. ... Cs Hie O, | 0,8906 1,394 1,399 1,396 Valeriaanzuur methyl . 0,8809 1,393 1,394 1,392 Valeriaanzuur aethyl. . C;‚ H‚4 O, | 0,8674 | 1,395 | 1,397 | 1,395 Valeriaanzuur amyl . . Cio Hao Oz | 0,8581 1,410 1,418 1,409 Aldehyde.nf ot buses Ca Hai Ov fs0;7810 ofn 1,330 11380 326 ACStOnartg rebel C Hs O | 0,7931 1,357 1,350 1,353 Maleralh seen sene send Cs Hw O | 0,7995 1,386 1,382 1,381 Aethylaether ...... C, Hi O | 0,7166 1,351 1,346 1,349 Azijnzuur anhydride. . Cr He Osnis0836 1,588 1,393 17394 Aethyleenaleohol. .. . C‚, He Os | 1,1092 1,425 1,433 1,426 Glycerine si ennn: Cs Hs Os | 1,2615 1,471 1,488 | 1,471 Melkzuares … toets ; Cs He Os | 1,2427 1,439 1,448 1,439 LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. Hib In deze tabel vertoonen de door (5) berekende waarden groote afwijkin- gen van de waargenomene, zoo groote zelfs, dat de empirische formule 6) tot betere uitkomsten voert. De richting der afwijkingen komt intusschen wederom met die overeen, welke wij vroeger in verschillende gevallen gevonden hebben. Want over het geheel levert onze formule in tabel XIV de kleine indices nog te klein en de groote te groot op, hetgeen overeenstemt met de omstandigheid, dat onze theorie bij verandering van dichtheid tot een te groote verandering van den brekingsindex voert. Men kan eindelijk nog beproeven, uit de brekingsindices der verbindingen die van de elementen C, H en O in vrijen toestand af te leiden. Zoo zou b.v, volgens de hier ontwikkelde theorie voor koolstof, als d de dichtheid is ) Lt led n° En ieeten zijn. Berekent men nu op deze wijze den brekings- 1 — TD lcd index van diamant, dan leidt men uit den brekingsindex van koolstof bij dicht- heden, zooals zij die in de onderzochte verbindingen heeft, dien in een dichteren toestand af, zoodat als de afwijkingen ook hier dezelfde richting als boven zullen hebben de berekende waarde te hoog moet uitvallen. Berekent men daarentegen uit de waarden van /z en lo den brekingsindex van vrije waterstof en zuur- stof, dan zal men in dat geval te kleine uitkomsten moeten verkrijgen. Wer- kelijk is een en ander het geval, zooals blijkt uit de volgende getallen. Brekingsinder. Dichtheid. Waargenomen. Berekend. Diamant . . . 3,55 2,43 (ScHRAUF) 5,3 Waterstof. . . 0,06927:773 1,000138 (Dvroxe) 1,000107 Zuurstof . . . 1,10561:773 1,000272 , 1,000246 Hoewel er dus nog zeer veel ontbreekt aan onze kennis van den samenhang tusschen den brekingsindex en de scheikundige samenstelling geeft de richting der gevonden afwijkingen toch eenigen steun aan het vermoeden, dat, zoodra de oorzaken dier afwijkingen bekend zijn bij de dichtheidsveranderingen van ééne stof en bij de vermenging van meerdere stoffen ook de brekingsindices van de hier onderzochte verbindingen nauwkeuriger zullen kunnen berekend worden. Bleek het op deze wijze, dat werkelijk de brekingsindex dezer verbindingen op dezelfde wijze uit de samenstelling berekend kan worden als dit bij een mengsel het geval is, dan zou men dit het best kunnen verklaren door aan te nemen, dat evenals in elk deeltje van twee met elkâar gemengde stoffen, zoo ook 112 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID, ENZ. in elk atoom eener scheikundige verbinding een electrisch moment kan worden opgewekt. Het mag intusschen niet verzwegen worden, dat zich bij sommige verbindin- gen afwijkingen van onze formules voordoen, zooals zij bij mengsels niet wor- den aangetroffen. Zoo kan men bij gasmengsels de brekingsindices door een der samenvallende formules (A), (B'), (C*) berekenen, maar dit is niet meer mogelijk bij een aantal verbindingen van gassen, al zijn zij ook zelve gasvormig. Trouwens, al neemt men aan, dat in elk atoom eener verbinding een elec- trisch moment kan worden opgewekt, dan behoeft nog de brekingsindex van zulk een lichaam niet dezelfde te zijn, alsof de atomen eenvoudig met elkaâr vermengd waren. Het eerst laat zich dit verwachten in die gevallen, waar de atomen eener molecule vrij ver van elkander staan, op afstanden niet veel kleiner dan de onderlinge afstand der moleculen. Maar zoodra de atomen op zeer kleinen afstand van elkaâr geplaatst zijn, zal men waarschijnlijk eene correctie in rekening moeten brengen, die uit de onderlinge werking der bestanddeelen eener molecule voortvloeit, en natuurlijk met de structuur der laatste ten nauwste moet samenhangen. Eindelijk is het nog mogelijk, dat ook positieve of negatieve electriciteit van het eene atoom op het andere kan overgaan, of dat de reeds met positieve of negatieve electriciteit toegeruste atomen (men denke aan de theorie der electro- lyse) ten opzichte van elkaâr verplaatst worden, en men zal dan ook hiermede. bij het onderzoek der lichtbeweging rekening moeten houden. OREERIB U DON A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DRE MAURICE. (Avec 3 fiaures). AANMERKING bij p. 32. Op de volgende bladzijden is de inductieconstante door A, de grootheid, die door (16) werd ingevoerd, door A aangeduid. De laatste letter had ook behooren gebezigd te worden op p.p. 30 en 31 overal, op p- 32 in de vergelijkingen (23) en (26) en in plaats van de laatste 4 in de vergelijkingen (25). DUyLIUIE UILIGAILUI IVLEL, wpinepneius rasciatus BIKr, “ 6 pantherinum Smith. 5 merra Bl. 2 : variegatum Smith. * Scolopsides personatus CV. * Pseudoscarus aeruginosus Blkr. * Lutjanus marginatus Blkr. ' £ spilonotus Kner. Sparus laticeps Blkr. Cheilinus chlorurus Blkr. * Cantharus emarginatus CV. ò trilobatus Lac. Tetragonoptrus (Linophora) auriga Anampses coeruleopunctatus Rüpp. Platyglossus (Hemitantoga) centriqua- drus Blkr. * Epinephelus Playfairi Blkr. Blkr. „ _(Linophora) Mertensii Blkr. (Rabdophorus) trifasciatus Blkr. 20 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 2 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L’ÎLE MAURICE. Tetragonoptrus (Chaetodontops) fas- Gnathanodon speciosus Blkr. ciatus Blkr. Rhombotides matoides Blkr. n (Lepidochaetodon) unima- e triostegus Blkr. culatus Blkr. Acanthurus strigosus Benn. * Parupeneus macronema Blkr. Balistes (Balistapus) aculeatus Blkr. Eupomacentrus ater Blkr. Platophrys pantherinus Blkr. Pseudomonopterus (Pterois) volitans Hemirhamphus far Rüpp. Blkr. Carassius auratus Blkr. * Agriopus melanosoma Blkr. Saurida nebulosa Val. * Bcheneis remora L. * Paradiodon maculifer Blkr. Carangus melampygus CV. * Tetraodon Honckenii Bl. Les quatorze espèces, marquées d'un asterisque, sont nouvelles pour la econ- naissance de la faune de Maurice. J'en déeris ici quatre; Epinephelus Play- fayri, qui me paraît identique avec le Serranus Sonneratii Playf. (nec CV); le Pseudoscarus spilonotus Kner, qui n’était connu jusqu’ie1 que des fles Viti; VEupomacentrus ater, qui probablement ne diffère pas du Pomacentrus ater Lién., enrégistré dans le Catalogue of Fishes parmi les espèces douteuses; et enfin l’Agriopus melanosoma, la seule des espèces qui me paraît inédite. J’ajoute encore la figure des trois dernières espèces, et 'énumération de toutes les espéces de poissons actuellement connues de l’île Maurice, au nombre de 471. Epinephelus Playfayri Bkr. Epineph. ecorpore oblongo compresso, altitudine 33 circ. in ejus longitudine absque, 44 cire. in ejus longitudine eum pinna caudali; latitudine corporis 2 eire. in ejus altitudine; capite 3 cire. in longitudine corporis absque, 3% circ. in longitudine corporis cum pinna ecaudali; altitudine capitis 15 circ, latitudine capitis 23 circ. in ejus longitudine; oculis diametro 5 cire. in longitudine ca- pitis, diametro 8 cire. distantibus; linea rostro-frontali convexiuscula; rostro et ossibus suborbitalibus minutissime squamulatis; maxilla antice utroque latere canino curvato, intermaxillari mandibulari longiore; maxilla superiore post ocu- lum desinente, postice leviter squamulato, squamulis vix conspicuis; praeoper- eculo rotundato margine posteriore non emargipato denticulis numerosis angula- ribus ceteris non majoribus; suboperculo interoperculoque leviter denticulatis; operculo spinis 3 media eceteris subaequalibus longiore; linea laterali mediocriter et regulariter curvato apice curvaturae anterioris spinae dorsi 8“ opposita; squa- CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÎLE MAURICE. 3 mis corpore ciliatis, angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 100 circ. infra lincam latera- lem in series 90 cire. transversas dispositis; squamis 45 circ. in serie transversa basin pinnae ventralis inter et pinnam dorsalem, 8 vel 9 lineam lateralem inter et spinam dorsi 6® vel 7”; squamis regione scapulo-postaxillari squamis mediis lateribus paulo majoribus; cauda parte libera paulo breviore quam postice alta ; pinna dorsali spinosa spinis medioeribus validis anterioribus 2 ceteris breviori- bus sequentibus postrorsum longitudine vix acerescentibus posticis 24 circ. in altitudine corporis, membrana inter singulas spinas sat profunde incisa non lo- bata; dorsali radiosa dorsali spinosa altiore radiis longissimis 2 et paulo in al- titudine corporis; pectoralibus obtusis capite absque rostro paulo brevioribus sat longe ante analem desinentibus; ventralibus acutiuscule rotundatis capitis parte postoculari paulo brevioribus, caudali obtusa rotundata pectoralibus paulo bre- viore; anali spina media spina postica conspicue fortiore et longiore oculo duplo fere longiore, parte radiosa dorsali radiosa non humiliore; colore corpore fusces- eente-rubro vel fusco; capite lateribus ocellis parvis confertissimis aureis quasi reticulato pinnis nigro marginatis; ventralibus aurantiacis dimidio apicali fuscis; pinnis ceteris fuscis; dorsali spinosa superne dilutiore; dorsali radiosa et anali ocellis sat numerosis aureis et vitta extramarginali auriantiaca. B.7. D. 9/15 vel 9/16. P. 2/16. V.1/5. A.3,9 vel 3/10. C. 1/15/1 et lat. brev. Syn. Serranus Sonnerati Playf., Fish. Zanzib. p. 3 tab. 3 fig. 1? (nee CV. nec. Day). Hab. Mauritius. Longitudo speciminis descripti 152”. Rem. Par la physionomie et par la couleur du fond du corps et des nageoires Vespèce est voisine de l'Epinephelus argus, mais elle a le corps moins trapu, le profil plus convexe, la ligne latérale moins fortement et plus régulièrement cour- bée, les petits ocelles de la tête beaucoup plus nombreuses. Je n'y vois pas de vestiges des ocelles bleus qui ornent dans l'argus le corps, les nageoires paires et la caudale. Si le Serranus Sonneratii des Fishes of Zanzibar est en effèt de la même espèce, il est à noter que la description de M. Playfair ne parle que de 85 écailles dans la ligne latérale et d'un bord préoperculaire faiblement échancré. Nl yv est dit aussi que le sousopercule et l'interopercule sont „entire”’ que les pectorales atteignent l'anale, que la 2° épine anale n'est que „scarcely stronger” que la troisième, ete. — La figure montre un poisson à corps plus trapu et à profil moins convexe mais va au reste assez bien à l'individu que j'ai devant moi. 20% 4 CONTRIBUTION  LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. Fseudoscarus spilonotus Kner, Ueb. n. Fisch. Mus. Godeffr., Sitzb. K. Ak. Wiss, LVIII p 31; IV Folg. n. Fisch. Mus. Godeffr. ib. p. 352 tab. 9 fig. 26. — Fig. Pseudoscar. corpore oblongo compresso, altitudine 33 circ. in ejus longitudine; latitudine 24 cire. in ejus altitudine; capite acutiusculo 4 circ. in longitudine corporis; altitudine capitis 1 et paulo, latitudine capite 2 fere in ejus longitu- dine; oculis superis, diametro 54 circ. in longitudine capitis, diametro £ circ. a linea frontali remotis, diametris 2 circ. distantibus; linea rostro-dorsali, ore elauso, vertice et rostro convexa, ante oculos concava; rostro convexo absque maxilla superiore oculo minus duplo longiore; naribus distantibus parum con- spicuis parvis subaequimagnis; maxillis roseis superficie laevibus margine libero plurierenulatis angulo oris dente unieo medioeri extrorsum spectante, superiore, tota fere, inferiore dimidio basali tantum labiis obtectis; labio superiore interno symphysin versus cum labio externo (rostrali) coalito; squamis genis triseriatis serie superiore ceteris majoribus serie media 7, serie inferiore 4 vel 5 limbum praeopereuli inferiorem tegentibus; squamis lateribus 25 in serie longitudinali ; linea laterali singulis squamis maxime arborescente; pinna dorsali spinis flexi- libus subaequiiongis corpore plus triplo humilioribus, parte radiosa parte spinosa paulo altiore postice angulata; pectoralibus acute rotundatis capite absque maxilla superiore non vel vix brevioribus; ventralibus acute rotundatis capite absque rostro brevioribus; anali dorsali non humiliore postice angulata; caudali capite absque rostro paulo longiore, truncatiuscula angulis acuta; colijore corpore su- perne olivascente lateribus dilutiore, inferne roseo-vel livide-margaritaceo; iride purpurascente margine pupillari aurea; labio rostrali, genis et praeoperculo pul- chre viridibus, rostro superne regione interoculari et fronte fusco-violaceis; vit- tula interoculari margaritaceo convexitate antrorsum spectante; squamis dorso antice et lateribus antice singulis guttulis 2 ad 5 parvis rubris; pinnis impari- bus roseis, dorsali superne et anali inferne late coeruleo marginatis; dorsali media altitadine vitta longitudinali viridescente postice ex ocellis contiguis com- posita, basi spinae 4% macula nigro-violacea; caudali superne et inferne late violascente vel coerulescente marginata; pectoralibus violascentibus superne pro- fundioribus; ventralibus pallide roseis. B. 5. D. 9/10 vel 911, P. 212. V. 115. A. 3|9 vel 310. C.1/11/1 et lat. brev. Hab. Mauritius. Longitudo sspeetminu deseripti 225". Rem. Cette espèce appartient au groupe du genre à mâchoires roses armées CONTRIBUTION  LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 5 de dents latérales et couvertes en grande partie par les lèvres, à écailles des joues trisériales et à épines dorsales égales. Je ne puis la rapporter à aucune des espèces connues. Elle se fait aisément reconnaître par les ramifications nom- breuses de la ligne latérale, par son marque rostro-frontal noirâtre, par les gout- telettes rouges des écailles de la partie antérieure du trone, par les joues d'un beau vert, par la bandelette médiane de la dorsale, et la tache noirâtre sur Vécaille recouvrant la base de sa quatrième épine, ete. L'espèce n’était connue jusqu'ici que de la mer de Candavu. Eupomacentrus (Brachypomacentrus) ater Blkr. (Fig.) Eupomac. (Brachypom.) corpore oblongo compresso, altudinine 2 circ. in ejus longitudine absque, 2} circ. in ejus longitudine eum pinna caudali; capite 44 cire. in longitudine corporis; linea rostro-frontali ante oculos convexiuscula ; oculis diametro 3 et paulo in longitudine capitis; squamis capite superne usque ante nares extensis; ossibus suborbitalibus conspicue serratis posterioribus squa- matis; osse praeorbitali incisura nulla ab ossibus suborbitalibus ceteris distincto, oculi diametro minus duplo humiliore, inferne non emarginato; dentibus maxillis compressis truncato-submarginatis apice contiguis vel subeontiguis; dentibus pharyngealibus multiseriatis apice quam basi non gracilioribus oblique compres- sis vel rotundatis non curvatis, inferioribus in thurmam triangularem lateribus non emarginatam dispositis, serie posteriore apice obtusis rotundatis; praeoper- culo margine posteriore conspicue serrato, limbo posteriore et inferiore alepidoto, supra limbum inferiorem squamis longitudinaliter triseriatis serie superiore ceteris minoribus; operculo spinis 2 parvis distantibus inferiore superiore fortiore; sub- operculo edentulo; squamis trunco 28 circ. in serie longitudinali, 13 vel 14 in serie transversa quarum 3 (2f) supra lineam lateralem; linea laterali sub dimi- dio dorsalis radiosa posteriore interrupta; pinna dorsali dense squamata dorsali spinosa dorsali radiosa minus duplo longiore, spinis postrorsum longitudine sen- sim accrescentibus posteriore capitis parte postoculari longiore, membrana inter- spinali medioeriter incisa; dorsali radiosa dorsali spinosa multo altiore obtusius- cule rotundata radijs 6° et 7° ceteris longioribus ; pectoralibus obtusiuscule rotun- datis, capite vix brevioribus; ventralibus paulo post basin pectoralium insertis acutis, radio 1° producto capite longiore; anali dense squamata spina 2* valida capitis parte postoculari longiore, parte radiosa dorsali radiosa forma et longi- tudine subaequali sed ea paulo humiliore obtuse rotundata radiis mediis ceteris longioribus; caudali tota fere squamata sat profunde emarginata lobo superiore 6 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L’ILE MAURICE. acutiusculo inferiore acutiuscule rotundato longiore capite non breviore; colore corpore pinnisque nigricante; iride fusca vel profunde violacea; vittulis vel gut- tulis corpore pinnisque conspicuis nullis. B.6. D. 12/16 vel 12/17. P. 2/17. V.1/5. A. 2/13 vel 2/14. C. 1/13/1 et lat brev. Syn. Pomacentrus ater (Pomacentre noir) Lién., Dix. Rapp. Soc. Hist. nat. Mau- rit. p. 34. Hab. Mauritius. Longitudo speeiminis uniei 120”. Rem. Ne pouvant pas consulter le Rapport cité, je ne puis que supposer que espèce décrite doive être celle publiée par Liénard et trouvée à la même loca- hté. M. Günther la place parmi les espèces douteuses, mais individu que j'ai devant moi est une forme bien distincte, voisine de ’Eupomacentrus (Brachy- pomacentrus) albifasciatus. Agriopus melanosoma Blkr. (Fig.) Agriop. corpore oblongo compresso, altitudine maxima (spinam ventralem inter et spinam dorsi 7) 2f ad 23 in ejus longitudine absque, 3 et paulo in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine corporis 2} circ. in ejus altitudine; capite acuto 34 ad 3} in longitudine corporis absque, 34 cire. in longitudine corporis cum _pinna caudali; altitudine capitis 1? circ, latitudine capitis 24 cire. in ejus longitudine; oculis diametro 48 cire, in longitudine capitis, dia- metro 1 fere distantibus; orbita superne granulosa inferne antice spinula vix conspicua; suborbitalibus regione temporali et suprascapulari granulosis; linea rostro-frontali valde eoncava; naribus oculi diametro 4 cire. distantibus patulis rotundis inferioribus superioribus conspicue majoribus; rostro acuto oeculo lon- giore; osse praeorbitali oculi diametro altiore, multo altiore quam lato postice granuloso; maxillis subaequalibus, superiore valde protractili, sat longe ante oeulum desinente; dentibus maxillis bene conspicuis pluriseriatis gracilibus acu- tis leviter curvatis; praeopereulo obtuse rotundato dimidio superiore magna parte granuloso, dimidio inferiore radiatim rugoso; operculo subradiatim rugoso; cute trunco spinulis vel granulis nullis sed transversim dense rugosulo-striata; aper- tura branchiali sat longe supra basin pinuae pectoralis desinente; linea laterali parum curvata e tubulis simplicibus distantibus composita; cauda parte Libera duplo cire. longiore quam postiee alta; pinna dorsali partem spinosam inter et radiosam sat profunde emarginata; dorsali spinosa dorsali radiosa triplo cire, CONTRIBUTION  LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE, 7 longiore, spinis anterioribus praesertim validis, 4%, 5° et 6e ceteris longioribus al- titudine corporis vix plus duplo capitis parte postoculari non brevioribus, spinis 2 antieis subaequilongis oculo duplo vel plus duplo longioribus, spinis 2 posti- eis spina 1* duplo et spina 5° triplo cire. brevioribus; dorsali radiosa duplo circ. longiore quam alta, obtuse rotundata; pectoralibus et ventralibus acutiuscule rotundatis, pectoralibus ventralibus paulo longioribus capite absque operculo non brevioribus; anali aeque alto circ. ac longa obtuse rotundata, dorsali radiosa paulo altiore sed multo breviore radio 1° spina rigida oculo breviore; cau- dali capite duplo circ. breviore; caudali capite duplo circ. breviore, emarginata angulis rotundata; colore corpore pinnisque nigricante-vel violaceo-fusco; iride violascente-fusca margine pupillari aurea; genis et operculis et regione scapulari maculis aliquot distantibus polymorphis albidis. B.5. D. 18 12 vel 18/13 (bifid.). P.9 (omn.simpl.) V.1/5 (bifid.). A. 3/5 bifid./1. C. 1/10 bifid./1 et lat. brev. Hab. Mauritius. Longitudo speciminis unici 285’. Rem. L'Agriopus de l'île Maurice est le plus voisin de l'Agriopus leucopoe- eilus Rich, mais dans cette dernière espèce le corps est plus régulièrement ovalaire et le tronc varié de taches blanchâtres et foncées, les nageoires n'y sont pas non plus uniformément coloriées, la première épine dorsale n'est pas plus longue que l'oeil et mésure deux fois dans la seconde épine, les épines dorsales postérieures sont relativement plus hautes, les pectorales composées de huit rayons, anale sans épine osseuse, etc. Les Agriopus doivent former, dans la famille des Scorpénoïdes, une sous- famille, caractérisée par la fente branchiale ne s’étendant pas jusqu'à la base de la pectorale et separée par conséquent par un isthme très large de celle du côté opposé. La diagnose de la famille doit done être modifiée par rapport à la nature de l'orifice branchial. La sousfamille ne comprend que les espèces, au nombre de huit, décrites jusqu'ici comme des Agriopus, mais qui probablement appartiennent à deux ou trois genres. Le genre Gnathanacanthus me paraît le plus voisin des Agriopus, mais ap- partient aux vrais Scorpéniformes par sa fente branchiale se continuant sous la gorge. 8 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÍLE MAURICE. Fnumération des espèces de poissons actuellement connues de Vîle Maurice. Carcharioidei. 1. Cynoecephalus (Scoliodon) acutus Blkr — Carcharias (Scoliodon) acutus MH. 2. Triaenodon obesus MH. Lamnoidei. 3. Alopecias vulpes Bp. Scyliioidei. 4. Seyllium afrieanum MH. 5. 5 pantherinum Smith — Seyllium africeanum var. pantherina Günth. 6. 4 variegatum Smith — Seyllium africanum var. variegata Günth. Centrophoroidei. 7. Euprotomierus Labordii Gill. Günth. = Laemargus Labordi. MH. 8. Tristius brasiliensis Gill, Günth. = Scymnus brasiliensis QG — Leius fe- rox Kner. Torpedinoidei. 9. Narcacion marmoratus Blkr — Torpedo marmorata Rud. 10. 5 fuscomaculatus Blkr—= Torpedo fuscomaculata Pet. Hajoidei. 11. Dasybatis asterias Blkr — Raja asterias L, 12. Leiobatis polylepis Blkr — Trygon polylepis Blkr. 13. Taeniura Meyeni MH. Myliobatidoidei. 14. Aetobatis narinari MH. 15. Dicerobatis Kuhlii Günth. — Cephaloptera Kuhli MH. Scaroidei. 16. Scarichthys auritus Blkr. — Scarus naevius ONE 17. 5 coeruleo-punctatus Blkr. 18. Callyodon viridescens Rüpp. 19 Pseudoscarus ghobban Günth. — Scarus ghobban Forsk. aeruginosus Blkr — Scarus aeruginosus CV. maculiceps Peters. capitaneus Günth. — Scarus capitaneus ONE caudofasciatus Günth. eyanescens Blkr = Scarus maculosus Lac. CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE, 9 25. Pseudoscarus maculosus Günth. — Scarus maculosus Lac. 26. 5 harid Günth = Pseudoscarus mastax Blkr. 27. 5 pyrrhostethus Blkr = Scarus pyrrhostethus Rich. 28. 4 pulchellus Blkr — Scarus pulchellus Rüpp. 29, 5 scaber Blkr. = Scarus scaber CV. 30. 5 spilonotus Kner. 31, himbawensis Blkr? = Scarus erythrodon CV. 32. je taeniurus Blkr — Scarus taeniurus CV. 33. 5 variegatus Blkr == Scarus variegatus CV. 34. venosus Blkr. — Scarus venosus CV. Labroidei. 35. Choerops robustus Blkr. = Xiphochilus robustus Günth. 36. Pteragogus taeniops Pet. 37. Trochocopus opercularis Günth. 38. Cossyphus axillaris CV. == Labrus axillaris Benn. 39. E atrolumbus CV. 40. 5 anthioides Günth. = Crenilabrus anthioides Benn. = Cossyphus zos- terophorus Blkr. 41. 4 bilunulatus CV. 42, 5 diana CV. 43. : leucostictieus Günth. — Labrus leucosticticus Benn. 44, maerurus Günth. == Labrus spilonotus Benn. = Cossyphus maldat CV. 45. Berne fasciatus Günth. — Tautoga fasciata CV. 46, 8 melapterus Günth. 47. Anampses coeruleopunctatus Rüpp. 48, 4 diadematus Rüpp. — Anampses lineolatus Benn. 49. u geographicus CV. 50. 7 viridis CV. DL. Gomphosus coeruleus Lac. 52. à varius Lac, — Gomphosus fuscus CV. 53. Stethojulis strigiventer Günth. — Julis strigiventer Benn. 54. Julis Abhortani CV. 55. pe Commersonii CV,== Julis bicolor CV. 56. e dorsalis QG == Julis semifasciatus. CV. 57. me Lamarr CV. 58. jn trilobata CV, —= Julis formosus, quadricolor, aeruginosus CV, = Ju- lis bicatenatus Benn. 59. ne Matthaei CV, 21 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII, CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE I’ÎLE MAURICE. . Julis umbrostigma Rüpp. — Julis Souleyeti CV. . Platyglossus (Platyglossus) marginatus Blkr — Julis annularis K.V.H. (Güntheria) scapularis Blkr — Julis scapularis Benn. — Julis Lesche- naulti CV. (Hemitautoga) centiquadra Blkr — Julis hortulanus, decussatus CV. (Halichoeres) chloropterus Blkr — Halichoeres chloropterus Blkr. ” ” „ . Hemicoris caudimacula Blkr — Julis caudimacula QG. == Ceris caudimacula Günth. 68 cingulum Blkr — Julis cingulum CV. . Coris aygula Lac. — Julis coris CV. Cuvieri Günth. — Julis Cuvieri Benn. — Julis stellatus CV. erythropterus Blkr == Julis erythropterus CV. ” ” . Hologymnosus semipartitus Blkr — Coris semipartita Günth. d fasciatus Lac. — Julis annulatus et doliatus CV. „ Cymolutes praetextatus Günth. = Julis praetextatus Günth. . Anampsodax Lienardi Blkr. „ Labroides dimidiatus Blkr. . Cheilio inermis Rich. — Cheilio auratus, eyanochloris, fuscus CV. „ Cheiliopsis bivittatus Steind. . Novaculichthys taeniurus Blkr — Xyrichthys taeniurus OV. . Hemipteronotus immaculatus Blkr — Novacula immaculata Val. 5 tessellatus Blkr — Novacula tessalata CV. . Xyrichthys pavo CV — Xyrichthys pavoninus CV. „ Epibulus insidiator Cuv. „ Cheilinus arenatus CV. chlorurus Blkr — Cheilinus decacanthus, guttatus Blkr. punctatus Benn. — Cheilinus punchilatus CV. fasciatus CV. radiatus Blkr — Cheilinus Commersonii Benn —= Cheilinus diagram- mus CV. 5 trilobatus Lac. — Cheilinus sinuosus QG. Percoidei. „ Priacanthus carolinus CV. hanirur CV. — Priacanthus fax CV. „ _ Odontanthias borbonicus Blkr — Anthias borbonius CV. == Serranus Telfairi Benn. „ Aulacocephalus Schlegeli Blkr. „ Centropristes savonaceus Val. CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÎLE MAURICE. 1 94. Serranus filamentosus CV. == Serranus mitis Benn. — Anthias filamentosus Günth. 95. Variola louti Blkr. = Serranus punctulatus CV. 96. Epinephelus argus Blkr = Serranus myriaster CV. = Serranus guttatus Pet. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104, 105. 106. 107. 108. 109. 110. EEL, 112. 113. 114. 115. 116. LEE 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. „ angularis Blkr =— Serranus angularis CV. — Serranus celebicus Blkr. miniatus Blkr = Serranus miniatus. multinotatus Blkr. — Serranus multinotatus Pet. mystacinus Blkr — Serranus mystacinus Poey, Günth. eylindricus Blk — Serranus cylindricus Günth. erythraeus Blkr — Serranus erythraeus CV. fasciatus Blkr == Serranus marginalis, oceanicus CV. flavo-coeruleus Blkr — Perca flavopurpurea Benn. = Serranus bor- bonieus QG. formosus Blkr — Serranus formosus CV. leopardus Blkr — Serranus spilurus CV. == Serranus zanana CV. lutra Blkr = Serranus lutra CV. merra Blkr == Serranus faveatus, hexagonatus CV. morrhua Blkr = Serranus morrhua CV. Playfayri Blkr = Serranus Sonnerati Playf. nec CV. Retouti Blkr. rivulatus Blkr — Serranus rivulatus CV. salmonoides Blkr == Serranus salmonoides CV. unicolor Blkr = Serranus unicolor Lién. variolosus Blkr. = Serranus variolosus. TE maculatus Blkr — Pleetropoma maculatum CV. „ melanoleucus Blkr == Plectropoma melanoleucum CV. Grammistes ocellatus Blkr == Grammistes compressus Lich. ” orientalis Bl.Sch. Therapon (Datnia) farna Blkr = Therapon servus CV. Moronopsis caudavittatus Blkr = Dules caudavittatus CV. „ ”„ fuscus Blkr —=Dules fuscus CV. rupestris Blkr — Dules rupestris CV. Amia aurita Blkr —= Apogon auritus CV. „ „ n frenata Blkr == Apogon frenatus CV. Apogon vittiger Benn. taeniopterus Blkr —= Apogon taeniopterus Benn. variegata Blkr — Apogon variegatus Val. semiornata Blkr — Apogon semiornatus Pet. Bend macrodon Blkr == Cheilodipterus octovittatus CV. re 12 CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE LÍLE MAURICE. 130. Pomadesys hasta Blkr — Pristipoma hasta, Commersoni CV. tn en argyreus Blkr —= Pristipoma argyreum CV. 132. 2 punctulatus Blkr —= Pristipoma punetulatum Rüpp. 133. Plectorhynchus crassispina Blkr. — Diagramma crassispinum Rüpp. 134. 4 gaterina Blkr —= Diagramma gaterina CV. 135. a griseus Blkr. —= Diagramma griseum CV. 136. 5 orientalis Swns. — Diagramma pica CV. 137. Scolopsis frenatus CV. 138. 5 personatus CV. 159. hs phacops Benn. 140. Etelis carbunculus CV. 141. Lutjanus analis Blkr — Diacope analis CV. 142. À bengalensis Blkr — Diacope octovittata CV. 143. B duodecimlineatus Blkr — Diacope duodecimlineata CV. 144. 5 coeruleovittatus Blkr. = Diacope coeruleovittata CV == Diacope angulus Benn. 145. 8 fulviflamma Blkr == Diacope fulviflamma, monostigma CV. 146. 5 marginatus Blkr = Mesoprion marginatus CV. 147. 5 octovittatus Blkr — Labrus octovittatus Lac. 148. Aphareus furcatus Günth. = Aphareus coerulescens, rutilans CV. 149. Latilus argentatus CV. 150. Gnatodentex aurolineatus Blkr — Pentapus aurolineatus CV — Dentex ly- cogenis Benn. 151. Gymnoecranius griseus Blkr — Dentex griseus Schl. 152 5 rivulatus Klunz. — Dentex rivulatus Rüpp. 153. Dentex fiuamentosus — Dentex (Heterognathodon) filamentosus Steind. 154. Lethrinus nebulosus CV — Lethrinus centurio, esculentus CV. 55 5 mahsena CV. 156. Sparus bifasciatus Blkr — Chrysophrys bifasciata CV. 157. n coracinus Blkr — Chrysophrys coracinus CV. 158. 5 sarba Forsk — Chrysophrys sarba, chrysargyra OV. 159. 5 filamentosus Blkr — Pagrus filamentosus CV. 160. " laticeps Blkr — Chrysophrys laticeps CV. = Pagrus laticeps Steind, 161. Sargus auriventris Pet. 162, Cantharus emarginatus CV. 163. Caesio coerulaureus Lac. 164, Diapterus oyena Blkr == Gerres oyena CV. 165 À filamentosus Blkr — Gerres filamentosus CV. 166. 167. 168. CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÏLE MAURICE. 13 Bogodoidei. Ambassis Commersoni CV. = Ambassis maecranthus Blkr. gymnocephalus Blkr — Ambassis Dussumieri CV. Cirrhitoidei. Cirrhites marmoratus Blkr — Cirrhites maculosus Benn —= Cirrhitichthvs maculatus Günth. „ Paracirrhites arcatus Blkr —= Cirrhites arcatus CV. einetus Blkr — Cirrhites fasciatus Benn. (nec CV.) Cirrhites cinctus Günth. n Forsteri Blkr — Cirrhites pantherinusCV = Cirrhites Forsteri Günth. ” „ ?Cirrhites.... Lién. „ Cirrhites punctatus CV. „ Oxycirrhites typus Blkr. Chaetodontoidei. . Pimelepterus cinerascens Day — Pimelepterus altipinnis CV. = Pimelepte- rus tahmel. ‚ Platax terra Cuv. — Platax arthritieus, orbicularis CV. E vespertilio Cuv. — Platax Blochii, Ehrenbergii, guttulatus CV. „ Tetragonoptrus (Linophora) auriga Blkr = Chaetodon auriga Forsk. — Chac- todon setifer Bl, n ( 5 ) Mertensi Blkr — Tetragonoptrus chrysurus Blkr — Chaetodon chrysurus Desj. E ( ) vagabundus Blkr == Chaetodon vagabundus L. (Rabdophorus) Blackburni Blkr — Chaetodon Blackburni Dess. s ( ) trifasciatus Blkr — Chaet. trifasciatus M. Park.= Chaet. vittatus Cuv. = Tetragon. vittatus Bl. (Chaetodontops) melanotus Blkr — Chaetod. dorsalis Rwdt. = Tetragon. dorsalis Blkr. ee ( B ) fasciatus Blkr —= Chaet. lunula CV. —= Tetra- gonoptrus lunula Blkr. n ( „ _?? ) pulcher Blkr —= Chelmo pulcher Steind. (Oxychaetodon) falcula Blkr? — Chaet. dizoster CV. = Tetragon. dizoster Blkr. i ( ) lineolatus Blkr. —= Chaetodon lineolatus CV. 5 (Lepidochaetodon) Kleini Blkr — Chaet. Kleini Bl. — Chaet. vi- rescens CV, — Chaet. flavescens Benn. n ( à ) unimaculatus Blkr — Chaet. unimaculatus Bl. ä (Tetragonoptrus) mitratus Blkr = Chaetodon mitratus Günth. 14 191 192. 193. 194. 195. 196. 197. TSJER 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. Tetragonoptrus (Fetragonoptrus) miliaris Blkr=Chaetodon guttatissimus Benn. Coradion merlangus Blkr?—Chaet.festivus Desj.=Tetragonoptrus festivus Blkr. Megaprotodon strigangulus Blkr — Chaet. strigangulus Sol. = Tetragon. stri- gangulus Bl. Hemitaurichthys zoster Blkr — Chaetodon zoster Benn. — Tetragon. zoster Blkr; an. — Hemitaur. polylepis Blkr? Taurichthys macrolepidotus Blkr — Heniochus macropelidotus CV. } monoceros Blkr —= Heniochus monoceros CV. Chelmon rostratus Cuv. Prognathodus longirostris Blkr = Chelmon rostratus CV. Holacanthus.... Lién. diacanthus Günth. — Holacanthus dux Lac. trimaculatus Lac. 5 eaudovittatus Günth. = Genicanthus caudovittatus Blkr. Aecanthochaetodon imperator Blkr — Holacanthus imperator Lac. hi nicobariensis Blkr —= Holacanthus nicobariensis Bl. Zanclus cornutus CV. Pempheridoidei. Pempheris mangula CV. == Pempheris nerogallica CV. Pseudoch: omidoidei. Plesiops nigricans Rüpp. Sciaenoidei. ” ” „ Pseudosciaena? aurata Blkr — Pogonathe doré Comm. — Sciaena ? aurata Blkr. Sillaginoidei. . Sillago sihama Rüpp. — Sillago acuta Cuv. Mutloidei. .‚ Upeneus sulphureus CV. vittatus CV. == Upeneus bitaeniatus Benn. ” . Mulloides mauritianus Blkr = Upeneus mauritianus Benn. f flavolineatus Blkr — Upeneus flavolineatus CV. . Parupeneus bifasciatus Blkr — Mullus bifasciatus Lac. cherserydros Blkr = Mullus cherserydros Lac. = Upeneus oxyce- phalus Bl. eyclostomus Blkr = Upeneus eyclostomus CV. = Upeneus immacu- latus Benn? eyprinoides Blkr = Upeneus eyprinoides CV. luteus Blkr == Upeneus luteus CV, CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE LÍLE MAURICE. 15 219. Parupeneus macronema Blkr == Upeneus macronema CV. 220 5 pleurostigma Blkr. = Upeneus pleurostigma Benn. —= Upeneus Bran- desii Blkr. 221. e multifasciatus Blkr — Upeneus trifasciatus. Osphromenoidei. 222. Osphromenus olfax Comm. (introd.). Cichloidei. 223. Tilapia mossambica Blkr — Chromis mossambicus Pet. Pomacentrodei. 224. Prochilus chrysogaster Blkr — Amphiprion chrysogaster CV. 225. ì fusciventer Blkr —= Amphiprion fusciventer Benn. 226. 2 polymnus Blkr = Amphiprion xanthurus CV. — Prochilus xanthu- rus Blkr. 227. Pomaecentrus (Pomacentrus) pavo Lac. 228. ( : ) coeruleus QG. an. = Pomacrentrus pavo Lac. ? 229. Bunomaanten: (Eupomacentrus) lividus Blkr = Pomacentrus punctatus, sco- lopsis QG. = Pomacentrus taeniops, pristiger CV. 230. À (Brachypomacentrus) ater Blkr — Pomocentrus ater Lién, 231. Tetradrachmum arcuatum Cant. = Dascyllus aruanus CV, 232. ee trimaculatum Blkr — Dascyllus unicolor Benn. 233. reticulatum Blkr —= Pomacentre gros-yeux Lién — Tetrades et Das- eyllus xanthosoma Blkr. 234. Glyphidodon (Glyphidodon) coelestinus CV. — Labrus sexfasciatus Lac. 235. ä ( = ) septemfasciatus CV. 236 n (___„ _) sordidus Rüpp. —Glyphidodon gigas Lién. 237 À ( S ) sparoides CV. 238. 8 (Hegastes) Dickii Blkr = Glyphisodon Dickii Lién. 239. Glyphidodontops antjerius Blkr =Glyphidodon antjerius K.V.H. 240, Chromis axillaris Blkr— Heliases axillaris CV. Berycoidei. 241. Beryx lineatus CV. 242, Holocentrum aurolineatum Lac. 243. 5 diadema Lac. 244, B diploxiphus Günth. 245 : macropus Günth. 246. 5 rubrum Rüpp. 247. Ô sammana CV. 16 248. 249. 250. 251. 252. 253. 254. 255. CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ÎLE MAURICE. Holocentrum spiniferum Rüpp. — Holoecentrum leo CV. Myripristis axillaris CV. 5 hexagonus CV. 5 japonicus CV. 5 kuntee CV. 5 lina CV. 5 seychellensis CV. K vittatus CV. Scorpaenoidei. 256? Sebastichthys nematophthalmus Blkr — Sebastes nematophthalmus Günth. 257. 258. 259. 260. 261. 262. 263. 269. 270. 2 272. 213. 214. 215. 216. Parascorpaena mauritiana Blkr == Scorpaena mauritiana CV. Scorpaenopsis gibbosus Blkr — Scorpaena nesogallica CV. = Scorpaenopsis nesogallica Heck. Pseudomonopterus (Pterois) antennatus Blkr = Pterois antennata CV. 5 (___„ _) kodipungi Blkr — Pterois kodipungi Benn. (__„ ) volitans Blkr = Pterois volitans CV. 5 (Dendrochirus) zebra Blkr — Pterois zebra CV. Amblyapistus taenianotus Blkr — Apistus taenianotus CV. = Tetrarogetae- nianotus Günth bi . Minous monodactylus CV. . Ägriopus melanosoma Blkr. Crossodermatoidei. 5, Caracanthus unipinna Blkr — Miecropus unipinna Gr. Synanceioidei. „ Pelor filamentosum CV. 3. Synanceia verrucosa Bl.Schn. == Synanceia brachio CV. Trigleidei. Corystion orientale Blkr == Dactylopterus orientalis CV, Syngnathoidei. Hippocampus comes Cant. Camelopardalus Biane. guttulatus Cuv. — Hippocampus moluccensis Blkr. 5 ramulosus Leach. = Hippocampus filamentosus H. Clocq. Doryichthys Valenciennii Günth. = Doryichthys brachysoma Blkr —= Choe- roichthys Valenciennei Kp. = Choeroichthys brachysoma A. Dum. 5 excisus Kp. Syngnathus conspicillatus Jen. — Syngnathus fasciatus Gr. =Syngnathus haematopterus Blkr. »” ’ 297 299? 300. 301. 302 303. 504. 305. 306, 307. 298. CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE VILE MAURICE. 17 „ Syngnathus pelagicus Osb. „ Solenognathus polyprion Blkr. Solenostomatoidei. 9. Solenostomatichthys paradoxus Blkr _ Solenostoma paradoxum Lac. . Bleekeri — Solenostomus Bleekeri A Dum. Parapercioidei. „ Parapercis punctulata Blkr= Pereis punctulata CV. 82. Caulolatilus? doliatus Blkr—= Latilus dohatus CV. . Malacanthus Hoedti Blkr. e latovittatus QG. = Malacanthus taeniatus CV. Gobioidei. 5. Culius fuscus lkr —= Eleotris Mauritianus Benn. — Eleotris nigra CV. „ Sievopterus lagocephalus Blkr= Sieydium lagocephalus CV. „ Buchoristopus Koelreuteri Gill. = Periophthalmus Koelreuteri CV. „ Glossogobius giuris Blkr — Gobius giuris HB. filosus Bikr —= Gobius filosus CV. ” ). Awavus personatus Blkr — Gobius personatus, grammepomus Blkr. „ __ocellaris Blkr —= Gobius ocellaris Brouss. pallidus Blkr = Gobius pallidus CV. 2 Lienardi Blkr = Gobius coeruleus Lién. — Gobius Lienardi Blkr. ? Commersoni blkr — Gobius niger Lac. — Gobius Commersoni CV. „ n Rd „ >. Paragobiodon echinocephalus #lkr —= Gobius echinocephalus Rüpp. „ Gobiodon rivulatus Günth. = Gobius rivulatus Rüpp. Bathygobius coalitus Blkr — Gobius coalitus Benn. punctillatus Blkr = Gobius punctillatus, fuscus Rüpp. = Gobius nebulopunctatus CV. e soporator Blkr = Gobius soporator CV. (habit. maurit. vera?) Amblygobius semicinctus Blkr == Gobius semicinctus Benn. — Gobius pa- pilio, phalaena CV. Gobius rubrotaeniatus Lién.—Gen.? Euchoristopus Koelreuteri Gill. — Periophthalmus Koelreuteri CV. Sieyopterus lagocephalus Gill. — Sieydium lagocephalus CV. Polynematoidei Trichidion paradiseus Blkr — Polynemus paradiseus L. (nee. Bl) indieus Blkr — Polynemus indicus Shaw. n „_ plebejus Blkr = Polynemus plebejus Brouss. = Polynemus lineatus Lac. „ sexfilis Blkr. — Polymus sexfilis CV. 22 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII, 18 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L’ÎLE MAURICE. Mugiloidei. 308. Mugil axillaris CV, 309. _ „ _eoeruleomaculatus Lac. 310. Agonostoma dobuloides Günth. — Nestis dobuloides CV. Sl „ __ Telfairi Benn. = Nestis cyprinoides CV. Atherinoidei. 312. Atherina pinguis Lac. = Atherina affinis Benn. — Atherina pectoralis CV. 313. _ „ punctata Benn. Sphyraenoidei. 314. Sphyraena Commersonii CV. 315. _„ __Dussumieri CV. 316. _„ obtusata OV. Scombervidei. 317. Cybium Commersonii CV. Kiphoidei. 318. Histiophorus gladius Lac. = Histiophorus indicus CV. Carangoidei. 319. Caranx crumenophthalmus Lac. == Caranx mauritianus QG. 320. Carangus carangus Blkr = Caranx xanthopygus OV. 321. 5 melampygus Blkr —= Caranx melampygus CV. 322. 5 sansum Blkr — Caranx sansum Rüpp- 323. Gnathanodon speciosus Blkr — Caranx speciosus CV. 324? Nomeus Gronovij Günth. = Nomeus Mauritiù CV. — Nomeus maculatus Val. Coryphaenoidei. 325. Coryphaena hippurus L. —=Coryphaena chrysurus Lac. Echeneoidei. 326. Echeneis remora L. Lichioidei 327. Seomberoides sancti Petri Blkr — Chorinemus mauritianus, moadetta, sanctì Petri CV. 328. Trachynotus Bailloni CV = Trachynotus quadripunctatus CV, Psettoidei. 329. Monodactylus argenteus Blkr — Psettus rhombeus CV. Equulcidei. 330. Leiognathus edentulus Blkr = Equula ensifera CV, 5 fasciatus Blkr = Equula fasciata CV. CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE ’'ILE MAURICE. 19 332. Leiognathus parviceps Blkr = Equula parviceps CV. 333. u splendens Blkr —= Equula splendens, gomarah CV. 334. : Gazza minuta Blkr == Equula dentex CV. Aulostomatoidei. 335. 5 Aulostoma chinense Lac. Teuthioidei 336. Teuthis Abhortani Günth. = Amphacanthus Abhortani CV. 337. „ nebulosa Günth. = Amphacanthus nebulosus QG. 338. „ __ vermiculata Günth. = Amphacanthus vermiculatus CV. Acanthuroidei 339. Acanthurus strigosus Benn. 340. Rhombotides Dussumieri Blkr —= Acanthurus Dussumieri CV. 341. 3 guttatus Blkr —= Acanthurus guttatus Bl.Schn. 342. sd Lamarrii Blkr = Acanthurus Lamarrii CV. 343. à gahm Blkr — Acanthurus gahm CV. 344, n leucosternon Blkr — Acanthurus leucosternon Benn. = Acanthu- rus Delisianus CV. 345. é matoides Blkr — Acanthurus Blochii, annularis CV. = Acanthurus xanthopterus CV? 346. : triostegus Blkr —= Acanthurus triostegus Bl.Schn. 347. _ ? an Harpurus? lunulatus — Acanthurus lunulatus Lién. 348. P == Acanthurus plagiatus Pet. 349. Harpurus Desjardini Blkr == Acanthurus Desjardinii Benn. 350. 2 5 le el 352 n 353 = 354. Naseus gemmatus Blkr — Acanthurus gemmatus CV. rhombeus Blkr — Acanthurus rhombeus KM. = Acanthurus flaves- eens Benn. — Acanthurus scopas, altivelis CV. suillus Blkr —= Acanthurus suillus CV. Rüppelli Blkr = Acanthurus velifer CV. — Acanthurus Rüppell Günth. brevirostris CV. 355 „ _lituratus CV. 356. „__ tuber Comm. — Naseus Vlamingii CV. 351. k unicolor Lién. = Axinurus dipeltis Val? 358. „ __unicornis Günth — Naseus fronticornis CV. 359. „ __ punctulatus CV. Balisteoidei 360. Balistes lima Benn. 22 20 CONTRIBUTION À LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE ÎLE MAURICE. 361. Balistes (Parabalistes) fuscus Blkr — Balistes fuscus Lac. — Balistes reticu- latus Hols. — Balistes (Pseudobalistes) chrysospilus Blkr. 362. sn 5 ) viridescens Blkr — Balistes viridescens Lac. 363. „ _(Canthidermis) auromarginatus Blkr — Balistes auromarginatus Benn. 364. „ _ (Balistapus) aculeatus Blkr —= Balistes aculeatus L. 365. 5 (_„ __) bursa Blkr == Balistes bursa Lac. 366. # (__„ _) cinereus Blkr = Balistes cinereus Benn. — Balistes arcu- atus Bl.Sehn. 367. 5 (__„ _) emetus Blkr = Balistes rectangulus Bl.Schn. 368. 5 (__„ __) eonspicillum Blkr == Balistes conspicillam Bl.Schn. 369. 7 (C__„ __) frenatus Blkr — Balistes mitis Benn. SHD 5 (__„ _) niger Blkr == Balistes niger du Park = Balistes arma- tus Lac. ST: 5 (__„ __) verrucosus Blkr —= Balistes verrucosus L. 372. Erythrodon niger Rüpp. — Balistes niger Lac. 373. Leiurus stellatus Bikr — Balistes stellatus Lac. 374. Amanses scopas Blkr — Monacanthus scopas Cuv. 315. Liomonacanthus pardalis Blkr — Monacanthus pardalis Rüpp. 376? Monacanthus Dumeri Holl. Sr 5 Freycineti Holl. = Balistes Freycineti Cuv. 378. Pseudomonacanthus hippocrepis Blkr — Monacanthus hippocrepis Holl. 319. Oxymonacanthus longirostris Blkr = Monacanthus longirostris Cuv. 380. Pseudaluteres nasicornis Bikr —= Aluteres rhinoeeros Holl. Chironecteoidei. 381. Antennarius bigibbus Günth. —= Chironeetes tuberosus Cuv. = Antennarius unicornis Benn. 382. 5 coccineus Günth. — Chironeetes coccineus Less. Garn. 383. $ Commersonii Cant. — Chironectes Commersonii CV. 384. 3 hispidus Cant. — Chironectes liphotes CV. 385. 8 histrio Günth. — Chironectes scaber Cuv. 386 5 maculatus Desj. 387. marmoratus Günth. — Chironectes nesogallicus CV. 388. 5 pinniceps Comm. Blennioidei. 389. Petroskirtes barbatus Pet? — Blennechis à dorsale élevée Lién. 390. 5 marmoratus Blkr = Blennechis marbré Lién. 391. Salarias arenatus Blkr? — Salarias striatus QG, CV. 392: 5 castaneus CV. CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 21 393. Salarias quadricornis CV. 394. $ Dussumieri CV. 395. e striatomaculatus Kner. 396. Tripterygion elegans Peters. Ophioidei. 397. Fierasfer parvipinnis Kp. 398. . acus Brüm. Pleuronecteoidei. 399. Platophrys (Platophrys) pantherinus Blkr == Rhombus parvimanus Benn. 400. e ( je ) pavo Blkr. 401. Achirus marmoratus Lac. — Pardacherus marmoratus Günth. 402. Solea tubifera Pet. Chacoidei. 403. Plotosus arab Blkr —= Plotosus lineatus CV. Cyprinoidei. 404. Carassius auratus Blkr == Carassius thoracatus CV.== Cyprinus mauritius Benn. — Cyprinus Maillardi Guich. (introduct). 405. Gen? — Leuciscus nesogallicus CV. Sauridoidei. 406. Synodus myops Blkr. = Saurus myops Cuv. 407. Saurida (vel Saurus) Saurus à galon rouge Lién. 408. „ __ nebulosa CV. = Saurus à bandes et taches Lién. 409, „ _tumbil Val. 410. Synodus varius Blkr. = Saurus synodus Val. 411. Myctophum hians Rich. = Scopelus rotatus Les. Scombresocioidei 412. Scomberesox saurus Flem. = Scomberesox scutellatus Les. CV. 413. Mastaccembelus choram Blkr == Belone erocodilus Les. Cuv. 4147 platurus Blkr — Belone platura Rüpp. 415. Hemirhamphus erythrorhynchus Les CV, 416. ä far Rüpp. —= Hemirhamphus Commersonii CV. 417. se Georgi CV. 418. 5 unifasciatus Rang. 419. Exocoetus evolans L. 420, An speculiger CV. 22 421. 422. 423. 424, 425. 426. 427, 428. 429. 430. 431. 432. 433. 451. CONTRIBUTION  LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. Pseudoclupeoidei. Chanos salmoneus CV.==Chanos arabicus Lac. = Chanos mento CV, = Lutodeira chanos Rüpp. „ __Lubina CV. Conorhynchus glossodon Blkr. = Albula bananus CV. == Butirinus glosso- dontus Rüpp. Elops saurus L. = Elops machnata Forsk. Megalops ecyprinoides Blkr. — Elops cyprinoides Gm. Clupeoidei. Chirocentrus dorab CV. Spratelloides delicatulus Günth. —= Clupea delicatula Benn. Stolephorus Commerrianus Lac. = Engraulis Brownii CV. Engraulis brelama CV, Engraulis nesogallieus Benn. Clupea? mauritiana Benn. Clupea (Harengula) Jussieui Blkr == Clupeonia Jussieui CV. Alosa argyrochloris CV. Angwuilloidei. Muraena mauritiana Blkr == Anguilla mauritiana Benn. — Anguilla Johan- nae Günth. 5 labiata Blkr — Anguilla labiata Pet. Congeroidei. . Conger marginatus Val. —= Conger altipinnis Kp. Ophisuroidei. . Leiuranus colubrinus Blkr — Liuranus semicinctus Günth. „ Pisoodonophis cancrivorus Kp. ? — Conger flavipinnatus Benn. „ Brachysomophis crocodilinus Blkr== Ophisurus crocodilinus Benn. Grrmnethoracoidei. . Gymnothorax? aulopterus Blkr == Muraena auloptera De Fil, fimbriatus Blkr — Muraena fimbriata Benn. = Gymnothorax isin- gleenoides Blkr. flavimarginatus Blkr — Muraena flavimarginata, bilineata Rüpp. isingleena Blkr — Muraena isingleena Rich. meleagris Blkr== Muraena meleagris Sh. = Thyrroidea meleagris. mauritianus Blkr == Muraena mauritiana Kp. == Muraena flavi- marginata Kp. pardalis Blkr — Muraena pardalis Schl. Petelli Blkr — Muraena nubila Rich. (specim. Maurit.). b)) ” CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 23 447. Gymnothorax pseudothyrsoidea Blkr —= Muraena pseudothyrsoidea Blkr. 448, 4 Reevesii Blkr — Muraena Reevesii Rich. 449, k. tagenodeta Blkr — Muraena tagenodeta Rich. 450. jn tessellatus Dlkr. — Muranae python Kp. 451. Echidna variegata Fost. — Muraena nebulosa Ahl. = Muraena variegata Rich. 452. zl zebra Blkr —= Gymnomuraena zebra Shaw — Muraena molendina- ris Benn. 453. Gymnomuraena concolor Blkr—= Uropterygius concolor Rüpp. 454, 8 tigrina Blkr — Ichthyophis tigrinus. Orthagoriscoidei. 455. Orthagoriscus lanceolatus Lién. Triodontoidei. 456. Triodon bursarius Reinw. Tetraodontoidei 457? Dicotylichthys punctulatus Kp. 458. Paradiodon hystrix Blkr = Diodon hystrix L. 459. a maculifer Blkr — Diodon maculifer Kp. 460. Canthagaster Valentyni Blkr? — Rhynchotus Gronovii Blkr. 461. Crayracion hispidus Blkr = Tetrodon hispidus Lac. 462, 3 immaculatus Blkr == Tetrodon immaculatus Lac. —= Tetrodon sor- didus Rüpp. 463. n lineatus Blkr —= Tetrodon lineatus Bl. 464, 5 nigropunctatus Blkr — Tetrodon nigropunctatus Bl.Schn. 465. stellatus Blkr == Tetrodon calamara Rüpp. 466, Tetrodon lagocephalus. L. 467, p Honeckenii Bl. Ostracinoidei. 468. Ostracion (Acanthostracion) arcus Blkr — Ostracion cornutus Bl (nee L). 469. 6 ( n ) Fornarini Blkr —= Ostracion Fornarini Bianc. 4710. = (__Ostracion _) punctatus Lac. 471. e ( s ) tetragonus L. == Ostracion cubicus L. La Haye, Novembre 1877, ketel Ll nan ti AT ief Id des Elja u def ek orla val oe real rame MANET riokstoradeh: vrek lijn Wee kij Kou EN a dist En onsteking 4 cede) no Ar erk Alane art oib Een. ê vri fi DD ntt jn pit ge elf Rad A id jm tan ied Ero: za iran afdoet Al rd dâ e at tds ; vooreen e vit jans if. ESD URS JA he le abon hl. nl kc E Kl en wl nókoif „lite In f Zi Reds en ERS LA en prij Re NAE 0) Gat Te EU nere sail irak ä Eu at! hege! Es ik (ree Lr ver uitten rend ag bt Blaat nod workirnadrre tper itse fit oane Ue ek 1 art _ EE k ef aft f nairiié 83 Ui vikbe alit dT ze lS ir Mie en jj Stamllarne MOD ph il pven wl rie [tar al ie Nils ronnie nd ado0 ster „dk ’ : A ' ige Le Te alt) u EE Tik eN a in: r MY IE ELN de Ne _i fs ris ut ke j e ì en ä ds ak i gi) barste NRD Dn WAP Ie Ld hd id 4 De Fe tiiank B De Thee si aad k e ln n ZG DN Ee PF VODPOD EE ° Lo ETA KL) Mid zodurg yopemg A prjouo jg [op vojdrode 1 Ap dpd] ed MAX 1440 AVV NOM (1 HUIAMHAALVN NATUURK VERH D. KON AKAD. DEEL XVIII PL II. p Cc SD) p ; IPIS g pt MJ) / Darhgppmeentns EN é Dn de OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. DOOR D. BIERENS DE HAAN. Mmmm EAS 1. Wanneer men een onderzoek wil beginnen over de eigenschappen van eenige integraal, hetzij bepaalde, hetzij ook onbepaalde; of evenzeer, wanneer men in beide gevallen de bepaling der waarde op het oog heeft; altijd behoort tot de meest bruikbare methoden, die, waarbij de integraal wordt gedifferentieerd naar eene standvastige, die in de functie onder het integraalteeken voorkomt. Som- tijds is het mogelijk, daarbij eene uitdrukking te vinden voor eene herhaalde differentiatie, hetzij in rechtstreekschen, hetzij in wederkeerigen vorm ; en dan zijn de stellingen voor herhaald differentieeren van veel belang, die echter slechts voor enkele eenvoudige functiën gelden. Voor de elliptische integralen waren zulke uitkomsten nog niet bekend; hetzij wat de eerste differentiatie, hetzij wat het herhaald differentieeren betreft naar den modulus, die daarin voorkomt. Een ander onderzoek voerde mij tot de behandeling van deze vraag voor de eenvou- dige integralen, waarin de /1—p?sin?r voorkomt, en verder voor de overeen- komstige, die /1 + p"s/n°» bevatten. 25 NATUURK. VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL XVIII. 2 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN 2. Men vindt vooreerst Z d dl el sin z Ward Bode de opm | Here de) dp) A TR 0 0 0 d id Ey Eee ETA Pipi d is sar eed 2 sin vda k (p ) (p° ) EE sin? E AE l —p sin: Tt Vp? sin 0 0 Ten einde deze en dergelijke uitkomsten weder tot elliptische integralen te herleiden, beschouwen wij de integraal zsintr de Ap.) 0 naar de gewone beteekenis A (p 2) = /1—p sins. Hierin moet vooreerst 5 on- even zijn, —2b +1; anders toch heeft men te doen met rationeele goniometri- sche integralen, en met met elliptische integralen. Evenzeer moet a even zijn —=2a; want voor a oneven, —2a +1, dan konde men in de integraal Tr sintar.sinede Re 5 Vl — p? sin’ ) ie cost =y stellen, zoodat er kwam COST EEL —y) dy N (lpg eene gewone irrationeele stelkundige integraal. Voor zulke a —2a, en b— 2b +1 kan men nu aldus te werk gaan. Omdat hier de methode van het integreeren bij gedeelten niet gemakkelijk of rechtstreeks tot het doel voert, moet men eene zekere, geschikte functie gaan differentieeren, en wel naar het volgende algemeene beginsel, waarbij y en 2 beide functiën van « zijn. 2 zoeken, en dat men daarbij niet slaagt met de toepassing van het integreeren “dar Dn > Stel dat men voor de onbepaalde integraal | d „_ eene herleidingsformule wil NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 3 5 PE stie bij gedeelten; dan differentieere men de functie —— ; en nu geeft de logarith- TE mische differentiatie d yatle' yet! z! ke Lr [ HZ vz} at1)y'z eye” dd (lined) ye == B [ey'z—0y 212 Hy ehye! er (pee) |. Zoodra men nu er in slagen kan, om den veelledigen factor in het tweede lid dezer formule te ontwikkelen naar opklimmende machten, hetzij van y, hetzij van 2, waarbij dan ook 4° of 2? in den regel voorkomt, kan men deze methode toepassen. Want nu wordt door integratie naar z het eerste lid een geïntegreerde +! vorm, Tj * en in het tweede lid verkrijgt men eene reeks van eenige integra- len derzelfde soort; men kan dus daaruit gemakkelijk eene herleidingsformule zamenstellen, In ons geval verkrijgen wij langs dezen weg d nn Lr. Eil; sindatl p. cos COST sint zt Qsine COS LEE (l—p'sin z—À 1 _ mm (mn (lp? sine En A rn Oz) —p sin z =p lee+ 1) eos" sr — sin? 2} (l—p* sin?) + (25— 1) p' sine, cosa |= sin? TEN ril (2e) 2 (ah 1) sin? (Lp? sin’ 2) (Lb Ip’ sin? # (L-sin*e) |, en, als men in het tweede lid do veelledige grootheid tusschen de vierkante haakjes naar de machten van (l—p'sin°z) rangschikt, sintatl r,cosmj 1 sin? vil dz EE Pp sin opd pr (lp? sin 2)/H4 [Ba 9D! oi 2) + + ((R—p)(b—1) — (1p')a} (lp sin 2) — (lp) (261). (7) of, wanneer men diezelfde veelledige grootheid rangschikt naar de machten van sin° r, A £L.CO8r sin?a, dr (l-p'sine)ot TO vr ( al) ((Lp7)(ek1) )-p “,}2sin' Lr(Za-2h+3)p sinker 1 (7) 23% 4 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN waaruit blijkt, dat men zijn doel heeft bereikt. De eerste herleiding ({?) toch geeft, als men naar # tusschen de grenzen O en # integreert, en de laatste integraal in het tweede lid oplost, omdat de gedifferentieerde grootheid in het eerste lid voor „=0 verdwijnt, z sin rda 1 [ sin?a+l p ‚cos a (L—p' sin” of +} (lp?) (26 —1) (A-—p? sin 2)? 0 Tr sin “rde 2 sin“rde RE um Za 3 = —p'sin ap  aa zoe) (Lp sin zi +22) jn | 0 werkelijk eene herleidingsformule, waarin de veranderlijke parameter, hier de exponent in den noemer, telkens met de eenheid verminderd wordt. Evenzoo kan men de tweede herleiding (y) gebruiken. Omdat echter de in- tegraal, die de hoogste macht van sin? bevat, hier tot factor onder het in- tegraalteeken zoude hebben sin?e+*z, moet men eerst de a door a—2 vervan- gen; dan integreeren tusschen de grenzen O en « van #, waarbij weder de term in het eerste lid voor e= 0 verdwijnt; en vervolgens de laatste integraal in het tweede lid oplossen. Langs dien weg verkrijgt men z sintrde 1 pn EDE (l—p?sin ett (Zal) p lp" sin” 20 0 1 D 2512 ej Den Ee r sintaArde Sl H(A Hp) (a +1) 7 Wi) Pep ) | apart wederom eene herleidingsformule, waarin nu echter de parameter, die telkens met twee afneemt, hier de exponent van den teller is, De eerste formule (I) heeft tot eindintegralen, voor b= 1, 2 sind Vp? sin’ 7 r Í sin tarde / Ip’ sin” en 0 Wilde men deze door de andere formule (II) bepalen, zoo heeft men als eind- integralen voor a= l en a = 0, JT T f sieraza —p' sin z)tk en fera swart, 0 0 NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN, 5 En hiervan vindt men dadelijk Tt [vra E(p.x), niee le Voen ustelten vile kie ne Keel ee 1e (1) 0 = dr (PONNE RRT NL Ve DE Vim arndor oortidartenk (ee 2 V lp sin r EE @) û sin rde z)(l—_p' sin?) 1 == del (p.e)-Elp.v)l. ...(3 ae Lp sin z =y Vp" sin? x 5 „Í Ee p »)] 3) 0 Ten einde nu nog de vierde te vinden, gebruike men de herleidingsformule (II) voor a= 2, en voere daarbij de waarde van de integraal (3) in; zoo wordt z sintrdr ATA sie Sp' [p°sinz.cos a/1—p sin HUP) Pp.) Alp) E(p.)|,. (4) en daarmede wordt dan z ene bn T_ lp? sin? z sin dr / Lp" sin’ tr = Em MALEN ede == V lp sin’ » ij 0 Kl EE SE —P" sint .C08 EV 1—psin z + (lp?) F(pe) — (12°) E(p.2)|. (5) Voor de eerste formulen aan het hoofd dezer paragraaf geeft nog de herlei- dingsformule (I) voor a=1l, b=l r sin rdr sins. dino 1 r surdr Ri A De ET ae nn sun rd ERA VI-p? sin? a Vl-psin’ TE D DVI pr | W1-p'sin z), 5 0 of, door middel der integralen (3) en (5), 1 gen 1 + (Lp?) sin r me) LT psinz.cosr— (lp?) F'(p.r) + w.o). en (6 3. Deze uitkomsten zijn nu voldoende, om de eerste formulen van de vo- 6 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN rige paragraaf nader uit te rekenen; zij geven toch, door middel der integra- len (3) en (6) d Te (p )= zoelen) — Pp ’) |, KORN E EEOMDNN OEEEL OG: A BEP ‚ (a) Rd En NR GN ee nn D(L) Lap 1 —_p°) F(p.x)— VI a p sin 2 „cos |; ‚ (6) of indien wij de symbolische notatie der achtereenvolgende bewerkingen invoe- ren, hetgeen hier zeer eenvoudig aangaat, 2 d ” mmm Á p 2e en ee EE BEND AET ted (e) + (L—p?)sin et [ + 2p dn F(p. DATE [ew 5) Van sin # „cos« |. nehe Melde (d) 4. Op dezelfde wijze kan men de integralen behandelen, die onder het integraal- teeken de functie y/1 + p" six bevat; dan beginne men het onderzoek bij de twee eenvoudigste vormen d z d ll GE de sin « EN era re dp’) | EA Up?) | VI peins 0 0 Daartoe stelle men in de herleidingsformulen (I) en (II) —p® in de plaats van p°; zoo worden deze 2 sn Ardr = 1 [ sin?atly,ecose di (LA plsin adt (Rb—ID(L Hp) (Lp sin oft sin?4xda sintarde E{EHDODt [regret Opamp (LI) 0 0 (Beb jp Lb (Lp sin tt sinte tarde z sin2tirde en nd _— RN OL % : aoe IV mn B 1 4 p sin’ een * Be | (A +p a (EV 0 1 [ sin2a—3.cose er ‘ NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. waartoe dan verder behooren de volgende eindintegralen, waarbij voor de her- leiding, waar noodig, de substitutie » = Eos gebruikt, [vrm el AVA 4 p' mj dy VL + p°)_—p' sin y = 0 kr Pr Sn er) ENG, verf UN Ees z sin y= lln) de ‚)} (1 Fer dz Ld dy 1 td dy pe en ET TET. ri } VI + p sin a Ale + p cos y VI +p es dl jn Tk Ape ida EN EE Ee) ER EE (8) Lp VL Hp AE + p nrd 1 tz) _—l EEN tE dr fel ze Erkend, -dr= al de. idp' ein VL Hp sur VI pisinke p Vl 4-p? sine 0 0 0 of, na invoering dezer integralen (7) en (9), Sel 2 rl 7 Tp Me! +p' ae on ber -rí WEET VEE } 0 Ten einde te kunnen voortgaan met het opsporen van de volgende integralen, wende men zich tot de herleidingsformule (IV), en stelle daarin a = 2, 4 —= 0; dan verkrijgt men, na invoering der integralen (S) en (9), Tr gintrdr ee r snrdar z 1, ede maan ERE AE [te Vl4psin?r Sp? V 14 prsin? hui +-pPsin’r 1 Tp LH p? + p? tems | Peins. cos / | + 14 Dal p? sin® af Beene ve a ed ‚ His La atv Ind var and ARCO Thans is men in staat gesteld, om de waarde te bepalen der integraal Vl+p? 8 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN tsin?e + p? sint sin 2rdaT1 Jp? sin? eZ en DE VL + p? sin? 0 0 4 ee ' Lp? sin? » sin? Tr! Epl sin .c08 ES LE dn Ean ft er Ae u See Pl baeri VAD 2 d pa waarbij de overbrenging der integralen (9) en (10) den factor (1 + p?) invoerde, die derhalve wit de grootheid tusschen de haakjes konde verwijderd worden. Daarop geeft de herleidingsformule (III) voor a= l en b=l rt snrde 1 [ sin° cos” the sin ede == —_2(l+ Vlpsin% lp? p) T Ke Ge ( Bf sin de! 1 Zeine |, Vl+p?sin? W+ p?sin?e / á 0 0 die weder door de invoering der pas gevonden integralen (9) en (11) overgaat in 2 sintedz Dn 1 [ 14 (Ll 4p2)sin? rz p°sina.eos VE PI 2 1 ETE 1 2 p p L p 0 Pele EA pr ne I al bet =| Es) ben eig Vl+p? AD VIE? Vldp? 2 ) Ee 5. Deze uitkomsten kunnen nu strekken tot het vinden der gezochte differen- tiaalformulen voor de integralen, die hier met de elliptische integralen overeenkomen. Men verkrijgt toch naar de Len (7) en (8), wanneer men naderhand van ge integralen (9) en (12) gebruik maakt, zl? | Ln \! d [ EN TS Lp |E nn =d de LapBsintr if dlp?) [EP Pe jr WEP Wl+p? J a p“sin’=3 Jp \ 1 Een eli Ze A 5 == Zip a kever Vr? [re pt EA 8 Alas zr reel res ) GELE z stade 1 Ë + (1 4 p?) sin? « p? sin. cos | VA psi? 2pVIAprt VIApsine VHP) _ Ë EES et EEEN [4 Be bend Park ‚ Bt Jen NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 9 waaruit men besluit tot den symbolischen vorm ) Pp an LE ES Briels lele) ls 5) rie) zi) ii ee EE (c VTE PET vre rc d te, valle): DE )= Pr „LH 4p?)sin? 7e El —= =d =P | B | re 2 + VI + p2sin?: + pp? sin? r Ei — prsine.cos. el). (4) Vl+p® waarbij eene zekere overeenkomst met de vorige symbolische formulen (c) en (d) miet te miskennen is. Wanneer men echter ter bekorting stelt el ed _E nn Sart gets (Ö) VI +z?| Vld ? zl eed hel En, Vl Hp? VI +p2 en daarop de differentiaalquotienten in de eerste leden van de formulen (e) en (f)‚, als die van een produkt uitwerkt, verkrijgt men achtereenvolgens wia Sn VIFA Pp Ural: derhalve l 1 VIF? Len Te en al pe oe PT Td (en) Evenzeer Beinn SBN CH derhalve led an LLL?) sin?a Pein corr TA prt 0 en 24 Reg Vl4p?d(p?) VI VI pE sin? NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 10 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN of d nek (Hp?) sin? M= 2 ep? sinc.cose/ 1 Ap (140) EF. Te In rn | -(D En hieruit besluit men wederom tot den symbolischen vorm der formulen d ME) 2 — [i2prltp hr BB Ak et ee ER enen (71) d 14 (LH p?) sin? me jl EE == VI Pe psine.cose Tp (LH) Zi. (lj) 12 pl? el) en die schijnbaar eenvoudiger zijn dan de vorige symbolische differentiaalformulen (g) en (%), en mede eenige overeenkomst vertoonen met de formulen (e) en (d) van $ 3. ; „_d nr? Ì 6. De bewerking E —2p? zel op de elliptische integraal der tweede soort d d ee) toegepast op de integraal der eerste soort, levert wederom eene integraal der toegepast, levert eene integraal der eerste; en de bewerking È + 2p? 1 tweede, afgezien van een factor ze een goniometrischen term; dit volgt uit de symbolischen formulen (c) en (d) van $ 3. Het ligt nu al dadelijk voor de hand om op de elliptische integraal van iedere soort zoodanige bewerking toe te passen, dat er wederom eene elliptische integraal van dezelfde soort ont- staat; hierin slaagt men op de volgende wijze, wanneer men de symbolische bewerkingen (c) en (d) van $ 3 achtereenvolgens toepast, d d stu L-p2)| 1-22 || 1-2p? Elp.o)=Blp.o-p?sing.cose WI-p ent plee zo 5 Zee Edet oel Oe { en L ; = Ep.r)—sine.cosz \—(l—p")V lp? su ee ooo oto - (C P-2) Ì (Ap) Ip? sine + nn (2) wanneer men hierbij acht geeft op het ontstaan van den goniometrischen term in de formule (d', dat is op de integraal (6) in $2. Zoodra men toch eenige wet wil opsporen, is het meestal nuttig van de latere herleidingen af te zien, en op te klimmen tot den oorspronkelijken vorm; en ook hier zal blijken, dat deze oor- NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. LI spronkelijke vorm voor de volgende bewerkingen het meest geschikt is. Uit deze (5) volgt nu verder d d 1—2p? lp? 12 p? —) Bte 75) € lan d(p?) a Ee ESC 1 sin? a = F(p.t)— Pains [2 lp? sin? z es ee pd)? 4 a liabre Vl p? sin? ; TT lp? sin? à : er 14 p I = F(p.2)—sinz. cosa jp 1-pFsin?e + AI: | . (£ lp? sun? z Vi—plsir () en wederom 2 Te 2p? 12 en tte dlp? zl dank pinten zl OTA jee: din A(l-p?)tsin?r 24 p? 3 cos? x = v Lp'sin?e VI-pein? VI-pein? | Lap? Apt (3+p°(l-p? lp? mid ms a ge zel) VI-pisin? e Vl-p?sins® vlpein® =E(p vrprinsene) (T-SpW I-pZein + =Elp.r)-sinz anaf Ip?+3EN/ 1-psin?et— waarbij nu de bewerkingen op de elliptische integraal der tweede soort toege- past, hetzij eene integraal van dezelfde, hetzij eene der eerste soort voortbrengen, ne van den goniometrischen vorm, die hier telkens bestaat uit eenen factor p'sinr.coer, en eenen anderen, die die is van /1 — p? sir. Hetzelfde kan men even zoo goed bewerkstelligen End opzichte van de ellip- tische integraal der eerste soort, en verkrijgt alsdan achtereenvolgens een sin lp 142? ae P(n.r)= E(p.r0)—p? sin. coen (vrt, 5 4) Zane 1 = Bp) sine coo Í— (Lp) 1 Ip? sin? re rk One (d) d — 2 p? ink 1 E Pt pr) [L+2p zj) Fe. 2) = 14 p? Vl—pisinkes WVW Iplsüde Á fs Pps) in ons| + (k) IL d 7 hin [ep En lm pl: APT Lip? lpt (B+-p?)( lp? Lp? =E = 1=-703+805W 1_rndeindrt —= |) (par-sinz. one} v+3p*W 1—p?sin?e pins pon 5 Tp 1 24% 12 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN Het is niet moeielijk, uit deze verkregen formulen tot meer algemeene uit- komsten te geraken. Noem daartoe de bewerkingen d d(p?) d d(p?) pep? Bite lbh en [ip Je orto (7) en zij in het algemeen @(#) eene rationeele functie van de wortelgrootheid WV 1—p?sin°e; dan volgt rechtstreeks uit de formulen (#), (#) en (%), (d), (x) en (4), [QPQ... QPQE(p.2) =F(p.rt) Hsinv.cosr. ble), (7%) [P.QP... QP.QEp.2)= Elp.) Heiner. ble (IJ) PEOP ene GRE (pe) El (prin EE SCOR LINDE) ene (ka) [QP.Q .…. PQPIEFtp.ay= F(p.) HF sint.cost. ble). «……. -« . (ks) Maar langs dezen weg ziet men niet in, wat de algemeege vorm van de functie ® (7) worden zal, en de vergelijking dier funetiën zoo als zij in de formulen (4), (a), (1), lj) voorkomen, geeft hier geen licht; ook niet, wanneer bij het uit- werken der bewerkingen, de gelijknamige termen niet bij elkander telt, zoo als hier boven is geschied, maar ze gescheiden houdt, onder gedurige toepassing der duidelijke herleidingsformule p? sin? 1—(l_—p? sin? 2) 1 1 EE en han V1—p? sin? a Vl—p?sin? TÔ V1l—p? sin? tT V lp? si? Do ni) ten einde de grootheid tusschen de vierkante haakjes, in het tweede lid, telkens tot functie van alleen VI p? sin? te herleiden. Zoodra men echter later overgaat tot compleete elliptische integralen, dus tus- schen de grenzen O en Za genomen; dan wordt dit bezwaar geheel opgeheven, omdat alsdan de $(#) in het geheel niet meer voorkomt. Zij zelve kan toch nimmer oneindig groot worden, en de factor sina „cos wordt gelijk aan nul, zoowel voor rv 0, als voor #= Ja; vandaar dat die laatste term in de vorige formulen ge- heel verdwijnt. 1. Wanneer men nu dezelfde beschouwingen wil toepassen op de difterentiaal- formulen, die in 8 5 voorkomen, stelle men eerst ter bekorting Ten niel. zl 4e) vore) VIa Vla+p? 2 j NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 13 1 é p ) / Pp 3 | DES / IN Er ns CONTR Hek PCT (% Ar bres WATER à ) dan verkrijgen de formulen (g) en (%) den vorm 12 Der Pl VE 5 cn (91) [ d ze rs d sin° x ate Dannes —_— Meren je eN bd en | == 1 + p?] Li + 2 FP, = Ey} p° zine. cos ber Fra: + V1 4 p? sin rl Eek ee 1 =E,tsinr. cos [(1 FP Ip sin 2 — Dn =E,Hsinz cos P (2), « (') V1+4-p? sin z . . . . SRT waar de # (#) uitdrukt eene rationeele functie van de wortelgrootheid 14 p°sin?a. Past men deze bewerkingen, vice versa, nog eenmaal toe, zoo verkrijgt men d zn IS el AN Ti En indi (7 [+ #2) E KLAPTE E 2p 15) E, = Ey + sinz.cosx P (2), « . (/) [1—2p? SE [1 + p?] ba: en |£ —= Fo Hesinz.cosr (ze). «…..-- (u) d (vp?) Pp d (p?) en 2 e “ . Wanneer men toch de aangewezene bewerkingen ten uitvoer brengt, en overal, waar noodig, de herleidingsformule p* sin° z (14 p2sin? 2)—1 1 1 ve BE: d) toepast, dan verkrijgt men telkens in het tweede lid een goniometrischen term, die sinz.cosx tot factor heeft en waarvan de andere factor een rationeele vorm van WI + p?sin°r, dat is eene WP (#) is. Maar nu kan men ook doorgaan met de achtereenvolgende toepassing der vo- rige bewerkingen; voeren wij daarbij gemakshalve wederom symbolen in, dan kan men de Q uit (x) behouden, maar moet de P uit (£) vervangen worden door d (1 FP 42 =P BAE EEEN EN Op die wijze verkrijgt men dan hier [P-Q-P: rs Q.P,-Q] Bs == Ey Ed sine. cos 2 Pe) Ce IER IK aes BRNO (4) 14 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN OBR OMEN Hors Bottelsin ee cot Pie) TE (4) [Q.P.Q... PQPIJE = PL REACTIE A) Enielour dend eel vend (az) (P.QP,... PQPIA =E 4 SU DINCO SEEC) ee (ma) Ook de formulen (91) en (Aj) geven gereede aanleiding voor eene overeenkom- stige behandeling; maar daarbij heeft men dan andere bewerkingssymbolen noo- dig. Noem deze hier d 122 Near MD LE EE es dd a Ere nk @) [lt er +) Al=s, Sen Tre (8) 1 +72 d (p?) dan heeft men vooreerst B AR mare dE (71) 14 (L4-p?)sin?e plsine.cosr prsina.cosa f sin? er Bibi Eeen es 1 Zin? |= [SA Ei WL dp?sin?e Wl+4p? k V1+4p? Wir Ve Rake sin@.cost 1 =d (1 2 3 sint be Eb sina. cost P(x);. (A del VI (AH) 1 Hp? sin Te nel 1e () IJ) wanneer men onder ® (e), even als boven, wederom eene rationeele functie van V1+p'sine verstaat. Bij de herhaalde toepassing dezer bewerkingen, over en weder, komt er daarop vooreerst [S-R]H = Bj sine scoort Pied, en earn es . (%) RST EN= Er Fin. cos Be) Ee (o) en vervolgens, geheel algemeen, [SRS ...RSRIB =H eino.cor (el, or. (2) [RSR..…. RSRIB = Fl + sinoscorr Pe ennen. (wa) ISR AREN Lj ele cos Aaen ee (o)) [SRS UNSERE Ein Ee HU (09) Een groot bezwaar van al de formulen in deze paragraaf, is, dat zij allen eene zekere functie W («) van 1 + p° sin? bevatten, waarvan de wet vooralsnog NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 15 onbekend is. Zoodra men echter later tot de grenzen O en 4 overgaat, zoodat p an) wordt dit bezwaar weggenomen, omdat dan die functiën van onbekende zamenstelling niet meer voorkomen wegens den factor sinz.cosz, die evenzeer voor w = 0, als voor z= Ja verdwijnt. 8. Men kan echter tot geheel andere, niet minder belangrijke, uitkomsten ge- raken, door de vergelijking (a) nog eens naar p? te differentieeren ; en daarbij gebruik te maken van de reeds gevonden eerste differentialen naar de formulen (a) en (5). Aldus verkrijgt men de elliptische integralen compleete worden met den modulus ( d —l ie nd! E 1 ar lp [Ep 2) —F(p 2] LET lr hier id an EPU Pp) Xx 1 4 (lp?) sin? V lp? sin’ sin 1H(1-p?)ein?e plsine.cos: zelle ni eer he DE Esra Aer TT En ene EDEL p°) en H(l—p2)sin?r sine. cost ze F(p. z)— 4p(l- E(p 2) za WI? sin? PE) e 4 p? (Lp?) de psinz.cosr — (lp?) F(p.r) + E(p.r) |= - ») en verder, door middel van de formule (a), ten einde de overgebleven F (pz) te elimineeren, de ER d _1(1—p?) sin? sinz.cosr ET 2 ne po) | NE Elp.z TE NEET d (p°) Fri) 7 Apt (lp?) Vip sin? 4pil—p?) — 1 H(l—p2)ein er sinz.cosz nne (pr) He AE PETE Tp Tap (lp) Vl—p?sin?rz 4p'(l—p?) en hieruit ie ten slotte 1 (1 — p2) sin? r Ai (ln == - — SINE .COET = ( m{ L Ja == =d im ET 2(o tT 1E lll V1—p?sin? z sin? z LAK AD, mj ES ; Ien — VI zn p*sin® z EEN PCOB En te (nen aile ee IT mj ve ne (p‚) — r waarbij met voordacht is afgezien van de nadere herleiding van den goniometri- schen term, zooals die in de formule (#) is toegepast. Want nu kan men ge- makkelijk n—2 maal differentieeren, het eerste lid volgens het theorema van LEIBNITZ, en het tweede lid naar de bekende formuleu (zie o. a. mijn Overzicht der Differ. Rekening, blads. 33, 34). 16 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN IA dr del 5 | == ens EN) OA EAN: te 1 EEC mn: a Ap? (1 ) zr H(n—2) 4 (1—2p?) dp gn 2(n— 3) A Or mr dt da? 4 (Ll — pz? — 24 (—1) Dee In ( p°) dlp zer n ) TO E(p.s) dr? ze d Ees en Ln? L d—3 — sin? == SiNT. COST [eine É En je ee : sin? r J= APP VI psila APT VI sie dr? 1 d—3 1 sind. cos al dn |. E (pr VT p? sin? Zl (pr B/I pen? al of wel, na herleiding, d” dl du? [4 p° (lp?) aart A {n—l)—(22—3)p°} der + {1 BET Te „|£w 2 (12 12 PR sin? 7? I= I—3 gn 16 sin? o)n—3 gn Ul p sin?) EE: 2n3(l—p? sin? 2) Je En — sin Sr. cos 17-32 == sind x. COST Spr grt ETD EARN 0 Rek (lp? sin? zy qu? { ( + p?) } Ten einde voorts de vergelijking (b) op dezelfde wijze te behandelen, schrijve men haar kortheidshalve d 1 1 E(p.z AET Te waar dus 14 (Lp?) sin? a sina, cosr R=— VI =pZsn?e 2(l—p?) genomen werd; dan verkrijgt men, door nog eens naar p? te differentieeren, d Fi Ep lp: Ela Er RS E( ap?) (px) = d(p Lt) 2pAl 2)? (p-e) ile Un 9 2p? F(p.« VF) De —p? pe) + 1 ee E —_F( == in BRU 2 if poe) Fp.rj} = dR 1, 1 1 12? 1 ner E(p En dp?) 2p aan 4 Da Eik apt Ap (l-p?) 9 Dy Ups l—p?)? asen dR ! 3 1 Esen = eik F(p.x)— Jak to brdenbensd® („) a d(p°) 7 2? 4, va — p2) 2 AL p2)° wer dn NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 17 — Sin £ . COST et (3d? apt) (lp? sin? 1) +2 1? (1-p? sin? #)°} + AU PVF (lp) (ap? sin? 2) 42 (1-7) (1-p } Zp 12 p? —Flpar)= ne Bp). ee eee eee ( BE) Cap 10 je Gebruikt men nu de formule (5) weder, om uit (r) de E(p.2) te elimineeren, zoo verkrijgt men dlp d Lt p°(l-p?) d(p?) 12 pn 12? rar Li (p.2)= gt (fps Dern Lm OA gr Ee a app (lp?) Ap?) 2AL-p) | NG dR aL 1—_3p? R+ Td(p) 2p2(l—p?) p 4 pl — 12 EB waaruit wederom wordt afgeleid 1 dR Apel —p? HI) 1 |F (p ej AP(l) HUN R= (tp? gr + As] lt sint. CO8 T E ’ 5 ppp OH) + e= Sint.CosT = VI Parr Gein? (1 -—p? sin? 2) HUL — pr sin?) (73) Bij deze herleidingen is in de laatste vergelijking (72), even als bij (71), gebruik gemaakt van de volgende uitkomst EEE Neen dn 1 + (1 — p?) sin? z — sin? © 7 il : — sin is d (p?) APT prin Ll psinte lp 2 p?sin?e| = heinen, 1 + (1— p?) sin? z 2 H(1 —3p?) sin? + (1 —p?) sint PP) Ip? sin? 21 — pO) (1 —p Bain) [Lp (lp) sine} — BINT. COST ZZAN =p? —(2—3p?— pt (lp? zin? A1 ein?) MV pn pe (2—Sp?— pil? zin? 2) (Lpi z)2}. En nu kan men er toe overgaan, om de vergelijking (rs) n—?2 maal te differen- tieeren met behulp van het theorema van LEIBNITZ bij het eerste lid, en der boven aangehaalde formulen bij het tweede lid; deze bewerking levert ons dan het volgende 25 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 18 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN da! et ML2p) nn + ln?) (rn —3)4 apa Pig ARD je HE) (B) dl el 4A(l—2p? enn du? en d(p2)—? ee dr? sin? « Ì Cg ZE SÛL COS RTT DAN EE Ee dp Valen pa VL p? sin? z es ids A) f 2 del 1 dn? il +2 du} NN =EEINT COST EE Ee Or Ô apylyrpsne dp "I= psine dp waaruit men na herleiding verkrijgt dl an? EE 4 (w— I(1—2p?) Ten ee en Inr Gesina 1 ( —lr-212-2( sin?) 5 (ly 812 (sin? jr3 SN |= gu—l{l —p2sin? ot oral — p? sin? zr: 4 23 lp? sin? 2) Eb er Z=ZSÛNT.COST Ì 2 —sinx.cost v(s zin?ayr 23/2 Le, 2Up(s PÀ 2 2 = (rsin?o(2n-3)(2n-5) 4 (2-5) (l-pZsin?e) +2 1-pPsin?e)?} == gr (lp? sin? wi _ sint Se.cos re Den (An—3)H {(QUn—3) (2u —5)— (Uu lp} sin? HAptsintr]. . (8 (Lp? sin? ) pee Jp 4 9. Laat ons trachten, dergelijke algemeene differentiaalformulen af te leiden voor de overeenkomstige integralen van S 5; beginnen wij daartoe met den laatsten vorm der uitkomsten (ej) en (fi). Differentieeren wij de vergelijking (e‚) nog eens naar p?, zoo komt er Pe DeEdpe 1 d d 14 2pt 9 Tr 4 L rn 5 EE E 5 E- 2 Ì == ar L Ad Dt dp?) p*(l4p?) zpltp?)ldp?) dp?) 2p (1 4p?) 1 1 jL(l p?)sinx nf Ì ee | (BiB) p singes / Tap?-Fi (Lp) I= Tale) 2p°1 el Lr a Vl4-p? sin? 5 ko ig EEn ] 142p? Ee L Ll H-p?)sin?e Bil) = pn ESA 2p(Lt mi 5) Aps(1 +4 AL Dd : p°sin woo p |. . (4) V1 Hp? sin? v Daar nu de #, uit den tweeden term van het tweede lid verdwenen is, en al- leen voorkomt in den eersten term aldaar; en daar die eerste term naar de vergelijking (ej) zelve juist NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 19 14-2p° d p (1 + p*) d {p) AN tot waarde heeft, zoo geeft het overbrengen daarvan in het eerste lid eos 5 1+2p? BH EE nl id EC since Tr d(p°) pe (l4-p?) d (p°, Ap?(l 4p°j VL + p? sin? « waaruit dadelijk volgt EV Hg pe + HPO + TP tie sin? © == —sinz.cost | + p? EEE AET () eene uitkomst, die men nu weder gereedelijk „—2 maal naar p? kan differen- tieeren; bij welke bewerking eenerzijds het theorema van LEIBNITZ, anderzijds de boven aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren te gebruiken zijn. Langs dien weg komt men tot deze uitkomst drel é di | Up ppp) (BAP DEN dr-3 A En dr 1 +p22 241 +42 +3pt KAMPEN (n-2)A(LH4p2+3pt) telen 3)(n-4)4.6— A(1+3p2+2pt 2) == pu (1+3p?+ ne Seit + (n-2 4(3+4p Doei E ip? EE ET a (nn Kare 4 dip?) d-2 5 appr? | als P het tweede lid van de vergelijking (t,) voorstelt, dus sin? 1 P = (— sins .co8z) WI +4 p) + p°) VI DIEP: + VI + pp? sin? r Ten einde van deze uitdrukking het #—2 differentiaalquotient ten opzichte van p? te bepalen, is men gedwongen, zijn toevlucht te nemen tot het theorema van LEIBNITZ; en daartoe vindt men achtereenvolgens 25% 20 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN _dt sin? _ 1 ante |= d (p?)° Pen dE d de sin?e del su? D5: Re ELW? (oinZa)k _(—L)P IE Ui(gin’z)t2 WE mr ti |= a Vlapsme d per 1pisin A 4p sin eht SQL Hp? sin? a (-ljksin®ke IEM an (ils. 14/2 Eer Zh Weme (lp sin) (Lp?sin?o)ets 24 eene ZAL p? sin?)trk | 1(l-2htp')ein ec}, dak 2 dk 1 (—l jei8 Je-—k—/2 VIE = dpi? p Up BV + pt Hp? gnd (L e p?) nk 2 zoodat nu algemeen is de? h=n2 (7-9, I= lsin?%a, 14-12 Vyh-8 | -k-3f2 gt sing. oz” en (AH (1-2h4-p?) sin? je Apr? k=0\ £ an psi? yet A AE 3 kn? ERE n—2\ 1-2 Ink 32 sink Hip, vos 1 H(L-— Zh 4 p?) sin? o a a Pf pre (LF prent ajtet en hierdoor wordt de vergelijking (w) na eenige herleiding 5 5 de del [tp (lp); gn OR LA nsi du? dr—8 {An 2) [rn (2434) — (BH 50) a ID A(n 2): mnl  > Je Ni À neel =[ ip +7) er HA(L Ap) (Un —3) pr H(n-— 1) (1 Ee ee ein da—3 ae OL 44 (0 —2 [ap Sd(22 —3) (Lp ms Tp = ttl ie De D= k=n-2 In—2\ 142 IAR ink ly gosa 1 + (lk Hp?) gin =E (lt El TK in A EE ve ed) 1=0 NE LE here CL Hp? sin?e)t4 waarin de tweede vorming van het eerste lid geschied is met het oog op de straks af te leiden algemeene differentiaalformule (w‚) voor de andere functie F,: op die wijze toch wordt eerst het verband tusschen beide formulen zichtbaar. Ten einde nu de overeenkomstige vergelijking (f}) op dezelfde wijze te kunnen behandelen, schrijve men haar eerst in den volgenden vorm p es d SÙ De CO8L SIN © F == es d (p°) Rn V1+ Pp Er tp? sin’ w NUENEN zl, 7 NN EE AT je HVL + pe sin kn opt 2 Epe ° (fi) NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 21 dan komt er, wanneer men, even als boven, nog eens ten opzichte van p? dif- ferentieert, d’ — gin #08 1 sin? r VEE sinv.cosx { sint 7: sin? r | ee ed he pi arr 2. ep | V L+pisin: rid Lpi e Wp? VIspsine Vl+psie 1 14 2p? id 1 d dE, rk TE re 2pt 1E opn atd ETET ) 24de) ' — ÛNL. CO8T sint z sin® x Ur nn (l EE == +1 ei EDA Fpreinz Pi Hp sin r vi 1 14-2p* 1 : dE A (E—- 2 ET LE ae) 1 ade NT COST sin r De en 1 i ls dede Vla ne n= rl nee en dente app)! =sinz.corr| , sintz (l-b) sir WIE l „A+2p')-A4p)+L nn Te +8 RE Se ee 19 Ap ee) Vl+peins 5 Vl-p'ein ie ie 2p' À 4piil + p?) : Ten einde hieruit nog de overgebleven ZE, te elimineeren, telle men naar de formule (f‚) bij Ted sint „COST sin° v gE NS 0 UL + 77) ee LWB, p dp) * Peer VIpeinr UIA et Aps(l+p?)f dan komt er, na berleiding, d p l d __ _ —sinr.cosr sint z (149?) sin’ « end 1 E EE EET eN een enn Cr en ET gaven dE dp’) 5 pp) APV 1+p HT ä V1lapreine deel Ap (Lp?) E waaruit verder dadelijk volgt d° d ] 4 pt (1 4 (1 SN DAAD A+ + IJA sint ef sin = essen Garri Wa Vrai. . (vj) Hierbij valt reeds dadelijk op te merken, dat de symbolische bewerking van het eerste lid overgaat in die bij de vergelijking (t) wanneer men in (wi) de p? en lp’ onderling verwisselt; men ziet dadelijk dat eene dergelijke verwisseling, dat is van p° en 1—p’, bij de vorige overeenkomstige vergelijkingen (p‚) en (7) niet opgaat. Wil men nu uit deze differentiaalformule van de tweede orde eene FS. . W) 22 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN algemeene differentiaalformule afleiden, dan moet men eerst het tweede lid der vorige vergelijking (v,), wat betreft den factor tusschen de haakjes, in een an- deren vorm brengen, meer geschikt voor het algemeene differentieeren naar p°; men vindt alzoo achtereenvolgens p sint z (u ie E sin rt , s nn al Asir == VL + p? sin’ z)° 4 ) Hp sin z ine in sin? r sin? z | BT | Ee gn DE an Uk dant dn 2 in == Vlapsin® V(lep?sino)) V1l4p sine WV L+p sine ee 7) +p SN 7 sin’ © 1 TE Beh —2/1 Hp sin ov EES Pr vase den Je . e (v3) VA Hp sine VI p' sin sin? Differentieer nu #—2 maal naar (p°), zoo wordt nl a? Ì d-2 d d App?) (1-24 (2+3p —2)(n-3)4(2-+67)——S avg (W AP ee EE) en Pe) u) En pr) 1 n-8 tE (a2) (n-3)(n—4) . tn del dr? + 2 A(L+-2p? (EED) Ie ett (2) (14277) py? ds Deen dp?) d-2 dp)? +3 (n-2)(n-3) . 4 — waarbij @ het tweede lid der vergelijking (vj) voorstelt, en wel zoo, dat de tweede factor tusschen de haakjes den vorm (vz) heeft verkregen. Men heeft dus (CAE E en en ne SML COT ee ee in? ||. dp)? dp? yr? B le V 1a4-p'sin? Pe Vl Hp? sine ne ] Ten einde deze door middel van het theorema van LEIBNITZ te bepalen, heeft men eerst dh : ad ND ) ne 2 app VEP Er Rd 7 Dr gj EP ne Eg (—1)#-2 14-2/2 (1 ye 21k-2/2 (PP (2A—3) HAL H72)} = ern TOL pt ZEN Hp?) NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCPIE DAARVAN. 23 dk — sin? z 1 5 zus \ jr dp PETE en us dek 1 dk? 1 ri 4 Ten en Zin rd == dp AW Tp sine dp 1 pine 0 ema Viap +-p?sin° (leek gin zje-kl (Ir? Ink 2(gin"a)r-k-2 lee 3jn-k-3/2(sin) je k-3 i Eene gk 1 Hp? zin? zyrk-ts rik Ten B(1 Hp? sin? otk sE En | set zeke (Lr? n-k3/2 we Dr a guak(l 4p? sin? zo) kk St -(Qn-2h-B(2Un-2h-5)sin'a+(2n-Uh-5)(1+p'sin'e)H2(Ltp'ein'e)'}= [(2n-2k-3)((2n-24-3(2n-24-5)+(Un-2h-1)p? frein e+2ptsinte]; zoodat eindelijk wordt dn? kn n— g\ Ink 3/2 LE (— II” (sin? Deme == RS 2 (U) pp? TOEN sin. Ro dl Ie ZL PL point | ( )p?} X A WAn U) {Un kB) (UnUh—5)H(Un- Zl) pjeinte pt sint «}; en hiermede verkrijgen wij ten slotte voor onze differentiaalformule (w) Apt(L HP) zer + ap? (n{ CH3) EH 7 - onl ph So sE dr 8 dl =p" (lFp°) t d(p?)r—! F[LHbn2) {(n-2) 1 4-p?) 4 (2n-5) 7 it — 2) Km EV == dsl’ Fi Jn=k3/2 |k2 gin nk dd cos T° zl} LS Ee hdi. zzo\ & fRTL Hp (LH pgin?)jn kt (Ank 3) (Ln Uk - 5) HF (Unk 5)p hein e + 2Uptsintr]; ……....(wW ) )p Pp (w‚) dy oa +40 {2n = hg (n—2) Bi RR (2h—5)p* } (Un 23) waarbij wederom het eerste lid door eene kleine herleiding zoo veranderd is, dat de straks vermelde overeenkomst met de formule (vj) gemakkelijker in het oog springt. 10. De schijnbaar meer zamengestelde vergelijkingen (e) en (f) kan men op dezelfde wijze behandelen; zoo als men zien zal, geven zij tot meer eenvoudige uitkomsten aanleiding. Schrijven wij ze daartoe in den volgenden vorm 24 OVER HET DIFFERENTIERREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN Ld zz E E F\ = = / d(p?, lm Dn hi AE (1) d l jk DS | == 5 EE: Eee p°sinr.cosr— (1 +p°)F) + Et = d(p°) 2p ü Hp WI + p? sin? Sind. COST sin” x il il TE EE + posinte |E Es... (f' nd kan he | 2p? 2E +”) 2 (£) waarbij nu de vormen Ey en F5 van de formulen (#) en (%) zijn ingevoerd; zoodat die beide vergelijkingen in dezen vorm met de andere vergelijkingen (c) en (d) tamelijk wel overeenkomen. Differentieert men nu deze vergelijkingen nog eenmaal naar p?, en voert men daarna dezelfde vergelijkingen wederom in, zoo komt er achtereenvolgens voor de eerste de pt nn ar apt la an Tr 1r 1 sinw.cost sin® © LLN hl 1 slee Is Zeine) PEN |: tape TE) an En l4p?sin?e VE ) 2p° A) 4 omdat nu bij den term tusschen de vierkante haakjes in het tweede lid, de 1 nd E term op F, geheel verdwijnt, behoeft de #, alleen uit den eersten term van dat tweede lid te worden geelimineerd. Dit geschiedt zeer eenvoudig door middel van de vergelijking (e); telt men toch bij le pd (p°) 22 ee (E—£), zoo komt er 12 1 @ (Ll 4 p)—l sind „COS © ( sin? x ne roer en en Ep? sin? « d(p°)? 2 + p? d (p?) 2, Api (1 H- p?) 2 Ap? (1 4-p?) VI Hp sne + VI TP Sin z). of, na eene aangewezen herleiding, sin? © d zeer [ár Jp OPOE oat Al Jp? 5 5 | |Bs=tine zor; HWI) . {i) Wi 4 psin® NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 25 waaruit verder, wanneer men deze vergelijking #—?2 maal naar p° differentieert, de algemeene differentiaalformule volgt pn #2 | 4 p? 2 2) (n—3). 4.2. 5 PAH) gr + DAL 4 20° Ee et nl Om APT dl 2 —Á) Ai lie Ey = + Are AU) = or : d"—2 1 dr—8 | ZS. core | vin UNIE Pane OPTIE TIE » dat is 4 p? (1 4 1) + (2 4 (7 1} Ee nele ( p.(l + p?) Er ER + 4{(r—l) n—8)?} zo +1 an d(py == sins e.cosr ae eme CE mr Em md |= En D(L Hp sintjn 3 gu8(l + p2 sin?) ES sin?n—le,eose 13/2 (1 + p2gin2 or Zn? {l(@n—5—p?)sin?e}. «eee (4) Ten einde verder op dezelfde wijze de functie F, te behandelen, noeme men kortheidshalve den eersten term in het tweede lid van de vergelijking (f) sinr „cosa Ll 4 (1 + p°) sin" w ZL Hp?) VI pP sin? sin rv „COST sin° x 20 4?) WI ET sin ; i en differentieere vervolgens die vergelijking (f') nog eenmaal naar (p°), zoo ver- krijgt men d? d 1 l +2 1 l E nn gen de ES LEE R-—lh+ zl + ES En: Eh). (2) dp) Sap) pt ° Alp Capl opt °° p\ EE zals 2p Ee, )2p Daar nu echter in den eersten term van het tweede lid is d dh ars 1 (1 + p?) sin?» sin® r - 1 je wnd 8 d(p°) (AHP) TH pZ sin? el 1 F(lHp)sin er 14p? Lp? sin? a — gin rt „CO8 T rec nnn Sr (1 HB pan J (LH p°)° sint} == TAL HPT Pam RU r) — gint. CO8T ee (lp (2432 pl pRsin?e) +(L4-pPj (Lt prsin?e)?) Tat O+) WT pen? enne dei 26 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. 26 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN & en dus, na substitutie in de vorige vergelijking, Je 1 1 +27 1 1 F‚=P EE ee 1} dts ï Ki IE DE APL) | AAL =p”) lin Sin © COS T 2 Btpt ein?) +21 4022 Zeina. en )(2-Bp2p(L-pZsin?e) + UL) (Lt p?sin? eh (zj) Daar in de coëfficiënt van My de beide laatste termen elkander opheffen, moet slechts de eerste term worden verdreven, om de MW» geheel te elimineeren. Tot dat einde telle men bij de vorige vergelijking (2) 1422 d Epe E 142p? Ae 1422 PAH) dp) PT pl pd? °° 2pllp) Plan) ? zoodat men verkrijgt dp?) * pla) * 2 \2pt' Apt Apt(l4p2) 2p*(l 4 p?) Ì lie p? 5 14 3p? } R =P Rt en As + ij) ab (ss Ta (1 Hp?) A ps (1 4-p?) ot 1(p?) EPE en hieruit leidt men verder af d [422 2) HLH + Ds dp _ Seen LD?) HL prin?) (LH) (LH prein?)?}= neee en en a int. cost RN Ee En = s{— 14 (lp?) (LH prsin? ee) +22 (1 + p? sin? x)°} = Tr p Liu? u = Elf Hp? sin? a) HALF p?sin?)?}. . ..e « « « « « « (22) VI + p? sin? Thans kan men overgaan, om deze differentiaalformule #—-2 maal te differen- tieeren, waarbij men weder gebruik heeft te maken van het theorema van LEIB- NITZ, en van de reeds vroeger aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren. Langs dien weg komt men dan tot de volgende uitkomst NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 27 al dr? 4 p? (1 2 in— 2) 4(1 — 2) (n—3) 4.2. == p( ENT Hin 2) AL 4 27°) aw! E(n—2) (n—3) TE Term dn? E 4(L + 272) + (n—2) AND d(p d (p?)"—! d(p?yr— dn? Ee dp?) ‚ 8 del L dr? 1 +2 Ss sin? r be rr ver N dp 14 pEsin?r dp 1 pPsin? dlp?" WI El waaruit verder na herleiding volgt —l det Er (L4-p°) zt DH te eID + Dr jn J Ee (-] pel pr sin?)rl (- | pz 1 n-Usin?)r? 2 (-1 r-31n- sin? )-3 ==8int.COsT | EC TN EV TE 23 gn=l(1ApPein? ojrh 22 AL tp?sin?o)r%: 2n8(l4-ptsin?z)r— Ne 1" bainz.cosr(sin?,"-°1"-3/2 , ER (Qn-3)(2n-5)sin?w-+(2n-5)l+pPsin?e)+2(1l+pein?e)?}= (-Ijtdain?r Sr. cost Us B (aL + p? sin? PE) am gn? Ee 3) ((2n-3) (225) 4: 2n-Ì )p°} sin? + 2ptsinte].. (aa) 11. Laat ons ter toepassing van enkele der vorige formulen, nog het derde differentiaalquotient ten opzichte van p° afleiden van de beide elliptische integra- len der eerste en tweede soort. Zij daartoe in de vergelijking (q) n= 3, zoo is sin3 & „cos g-£ |E Ll ne > Vd Ae Rnd me —— ad t 12 LE De d(p?) 7 Vl—p?sun?r adt (Ee ie d3 [Ogg + 42e) Daarbij Be uit de vergelijkingen (p) en (0), overeenkomstig, sinx.cosr 1(1l-p?)sin?r 2 EP mond en BDT mee rent e sFloe)- gan me VI=psim?r 4p? (1 —p?) ne ze zee. z)— F(p z)}. Wanneer men deze bij de eerste optelt, en dan door 4p° (1 —p?) deelt, verkrijgt men dî 345 —l6pt 467 Ap —__E(p.2)= — MOP ESE Bp) -— PTP (p 7) BP (p.2)— BPL?) P(p-2) sin Tr „CO8T cos 7 Tp? bain r PT ES SS DLP) 1 painte). «(ab 8 p+(l—p?)? Vi=pPaitr PET sin? z r hi p) p ik (&5) 26% 28 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INPEGRALEN Vervolgens neme men #—3 in de vergelijking (s), dan is [ertu—p? dd VL ld ee de U) vt) = ii LE (p2)2 5 Ji (par? d En ed El Stu a. Cost n SRS REN Nv NN EE RE 3 {3e H (Ll p?sin er) + 21 prin a). Evenzeer volgt nu uit de vergelijkingen (r) en (b) achtereenvolgens d? 23 p? 12 p? — 8(l— 29? F(p.d)= 8 (lp Pp Dn Elp.) — SINT. COST dps (lp? 1-_p? sin? z° {-p?)— BoA port) (Lp? sin? zo) H 2 (Lp?) (lp? sin w)5} | q d Fi dins Prat 5) 2.2) SINT. COST Á : nn (L-pFsin?)} | 9 | —Ap)Fp eo) + Elpa)p L p”) WZ ir ( p Vl-p? sin x ple”) Door middel van deze vergelijkingen verdwijnen de twee laatste termen uit het eerste lid; wanneer men daarop door 4p? (1 —p?) deelt, komt er d3 82372 +23p* 2423 sina.cose j 3(L—p°) 5 gia VR dj : Z Ep Dn Ek d(p?; Snep) 8 pe (L—p°)? Srl —p?)? IW 1—p?sin?r (3 4 p)(l—p®) 942 pt 32 ptp Bee EIN AE SN Aer eee ge VI psi ae VI —p sin? a ( par p )V1 pent (a ) 12. Wat betreft de elliptische integralen van de derde soort, bedenke men, dat zij slechts van die der eerste soort verschillen door den factor (4 — 7 sin” a)! onder het integraalteeken; daar deze factor geene p bevat, hebben de bewerkin- gen van de vorige paragrafen daarop geen invloed; en is men derhalve voor deze integralen der derde soort teruggevoerd tot de vergelijkingen voor de functie F(p.z). Vervolgens kunnen wij nog het integreeren ten opzichte van de standvastige p? beproeven, maar dan verkrijgen wij, door verwisseling in de orde van het integreeren, hetgeen hier geoorloofd is, lp. Ee dPMW/ Tani be me DE Zil AES de dr) ad af PV l-p? sin =| (ds PT l-p?sin =| V l-pisin” a sin’ 0 0 0 4 A ae (aps : ppm Din? 2 Lain? de jee ) wo=| af | dea Vl—pisin == | Vl p?sin eN, 5 J VW I-p?sn sin 0 NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 29 Beide uitkomsten zijn ondoorloopende integralen, omdat de functie onder het integraalteeken voor de benedenste grens x= 0 een eindigen teller bezit, terwijl daarentegen de noemer, sin°r, nul wordt. Langs dezen weg kan men dus niet tot bruikbare uitkomsten geraken. 13. Veel eenvoudiger worden de vorige uitkomsten, wanneer men de integralen tusschen de grenzen O en # neemt, waardoor zij tot bepaalde integralen worden. In dat geval toch worden de vergelijkingen (a) en (5), (c) en (d) d 1 27 E(p) = zp LD NT Br BAG (A) 1 in On EP) (B) [iep Er 5 lew= VOREN ae Neary, entend. (C) [i— ap Te Fo) zE. Erne CA (D) Bij de vergelijkingen (e) en (f), (4) en (kh) wordt | OD ” \i= lp | É BE E à EN B rem id vee Te ek rg): = rl Jm nl ge) = rl p \: Li Vip PD ì | ri Tamer Ae zoodat zij leveren p_\ l Er rie: |= py Ip? el vd Ek UP) VIP? Wip) PP VIP Wip d 1 p 1 har mel EE == eN WN Me EE [ +2p IE En En 3) Kd res) (H) 30 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN terwijl verder uit de volgende vergelijkingen (e‚) en (f‚), (g,) en (hy) wordt afgeleid drente) ia eleanienler eld) Aaf [22 40”) zo) ) == 5 el al Rn OR Tee (Gi) [u 422 +72) ET EN F sl ZLD E ZE =;) REEN (EL) Behouden wij de notatiën voor de bewerkingen Lp? B ek G)Ken Bn NC dan geven de vergelijkingen (#3) en (%), (k9) en (ks) [IPO OPOE D= (13) LOP GROEN DE (Li) [P:QPN ee POPNE De Ape (Ks) LOEPION POPE N= ADE en Ee (Ks) terwijl bij het behoud der notatie d NDE == Richtte see en de vergelijkingen (l,) en (5), (um) en (my) geven, omdat hier wordt, ern p == WA zz) iam a ogenen alek (u) V1l+47 VT p 1 1 Í p | A Sorteer 56 lot ” 8 VI Jp? WI + p? ( D [P.QP,... GPW IFE ril „z| Ln L rQP, 1 1 +7 ee + (Lj) NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 31 p 1 p MP: ) p = See) (Q.PQ...QP.Q] vrselnss) ele 5) 1 U À p (Q.P.Q Ù en P.QP.] lr F slr I= =; . (M‚) Pp En mins Vrrs li) 0) En eindelijk, indien men de bewerkingsnotatiën FPIOE Le. et 2e + #5) Ton EN Creer ne suse () Feel 422 +72) am. To (E) behoudt, leidt men uit de vergelijkingen (#) en (#2), (01) en (0) af [SRS ... RSR] aen) — Mn nst ores (NJ) [RSR...RSRJE Pd EE EE 5) EN (N3) [RSR... SRS]F VE A en 5) Ae 0E = (O}) [SRS ... SRSJF band — Ar a nete. 30 lt (O3) Verder leveren de vergelijkingen (p) en (pj), (r) en (71) zoos fend BL) Pp) (BDE) (P) [era p? ES 4 4(1 —p?) a ie + 1|£ WAO on le (P‚) D= 23) F)— 212) EP) «(B (apa is dd djle TFT NE (Ri) 32 _ OVER HET DIFFERENTIECREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN en de meer algemeene differentiaalformulen (q) en (s) Lp? (1-2) me nl) (2n-3)/?} + {1-4 (u-2)?) In De ik (p)=0,.(Q) dp? n—l Me MDP zn BDP = 0 P) 2 d E Le (lp ) dp? Vervolgens genaderd tot de vergelijkingen (f) en (f), Ww) en (w‚), komt er naar de formulen (Ò,) en (e) PB oi Pp Le "feld las spra CH) Pe NE r-@) [420 +7 Pt OH: Dt 1E il =t HE, (T‚) rillen) TEEN F (AS TD eeN} d(p?2 ae 4 pil a VTE te) VIP (V) E USL E pr WE ah ir = (V) Ê E art Te Vi EF GERE Mende ì en naar de meer algemeene differentiaalformulen (4) en (1) id —l [ap Ot?) En CEE nr Ere En EE HLH Aln PnP (BL Hp? Ulf BEE [4r° Ben huid (@n—3)(L 4 p°) + ( La Pen i5 Ee Dn HP) Hr deld =0...(W) Even zoo geven de volgende vergelijkingen (z) en (w‚), (2) en (zj), wanneer men de formulen («‚) en (#,) gebruikt, 3 L L Ë 25 = — PE ) VEE ind lln merk Na) Kane Pae: jn NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 33 a z d° [sta Hess +: (Lp? EE E ISES: Ent Tl eb el etor( ‚|E tn || dp VIa? WW Ip” Tp | Vltp? Li 14-p? ee Ee 7 ELTA (7 ok pf ijle: en de meer algemeene differentiaalformulen (4) en (aa) [eral +, hsl HU 4 272), d(p°) _l [srate +4 (eenig + EN TTE Er WIFrt Pare NEO En EN Me (Y) Jun? 4 (n—1)(L +2 p?) ar (A(n — 1) (n—2) + IJ re [42° LH) De 1 É p eN NS Ne NE BEM REN AE AA be tp? En il (AA) Ten slotte geven de waarden (ab) en (ac) nog hier 1 Sn nd dì 1 FP) ((8—23 p? + 23 pf) E(p) —(LH242—3pt)F(p)]. «(AC d (py? (p) speur p zi 7%) (p) ( + ) rv) (»)] ( ) Men had alle formulen van deze paragraaf, ook rechtstreeks, en op zich zelve beschouwd, veel gemakkelijker kunnen vinden, als men de integralen (1) tot (12) tusschen de grenzen O en Am neemt, en deze als punt van uitgang neemt voor de volgende beschouwingen. 27 NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL XVIII. ip eh Mid af he AES deren Í Ey Mi OA U sin eeh if bij. gn vet es = ® h a “ y En à te OE AN, ti p EE ‘ d % ks 6 od % ATTEMA sah NUE: Ik Felder ak A 5% s s k iL n 8 = 1 p E as mmm WE ' En | ride BA, ” Er . Ee id = mn em en ft ri ien rh Niint | pedo de pe zen Areno Os sijnde, 6l wire aeta atd edi r a eenenl Bikes pr Eel MESEN Kik Knal 9 bef AMA eon TA CS 8 ROL red Et | DE BIER Er OE NOOT Ae zEerg tl Ni, d 6 ; lek Jaustireg ate Mand Gi, vi braken Al MA rd en nantes oi iuber ahd el rra oe ln HA Kee CLE PS ai nd RARA AM ARAI aes SUR QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG, PAR P. BLEEKER. Depuis le dernier recensement des espèces de poissons de Chine *, d'après le- quel leur chiffre ne montait pas encore à 900, plus de cent espèces ont été ajou- tées à cette faune, résultat qu'on doit surtout aux recherches de MM. Günther et Sauvage. Tout récemment, dans un envoi de poissons indéterminés, faisant partie des collections du Muséum Zoologique de Hambourg, je trouvai 72 espèces recueil- lies en Chine, dont 21 sont nouvelles pour sa faune. Par cet envoi je suis à même de porter le nombre des espèces actuellement econnues de Chine à plus de 1030. Les espèces du Muséum de Hambourg sont les suivantes. Celles marquées d'un astérisque, n’étaient pas connues jusqu'ici de Chine. Je n'en trouve indiquées les localités precises que pour une vingtaine, presque toutes d'eau douce et trouvées à Shanghai. Cinq seulement me paraissent inédites, sav. Pseudosciaena polyactis, * Mémoire sur la faune ichthyologique de Chine; et Addition à ce Mémoire. Nederl. Tijschr. Dierkunde 1872. IV p. 113 et 232. 28 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVII. 2 SUR QUELQUES ESPECES INEDITES OU PEU CONNUES DE Acanthocepola oxylepis, Cyclocheilichthys sinensis, Salmo leptosoma et Salmo pomatops. Cynoecephalus (Scoliodon) maecrorhynchus Blkr = Trygon zugei MH. * Pseudoscarus aeruginosus Blkr. el ia rivulatus Blkr. Julis melanochir Blkr Epinephelus fasciatus Blkr. 8 merra Blkr. Siniperca chuatsi Gill. — Hab. Shanghai. Lateolabrax japonicus Blkr. Caesio coerulaureus Lac. Scolopsis margaritifer CV. Synagris hypselosoma Blkr. — Hab. Shanghai. Lutjanus chirtah Blkr. E a chrysotaenia Blkr. * Pseudosciaena polyactis Blkr. — Hab. Shanghai. Upeneus tragula Rich. Parupeneus multifasciatus Blkr. Glyphidodon coelestinus CV. * Hemiglyphidodon plagiometopon Blkr. % Pseudosphromenus opercularis Blkr. — Hab. Shanghai. Ophiocephalus striatus Blkr. 5 a lucius K. V. H. — Hab. Shanghai. Scomber janesaba Blkr. * Caranx crumenophthalmus Lac. * Selaroides leptolepis Blkr. Gempylus coluber CV. — Hab. Shanghai. * Trichiurus japonicus Blkr. Acanthocepola oxylepus Blkr. Theuthis virgata Günth. Balistes (Canthidermis) oculatus Blkr. Mugil cephalotus CV. *___„ ceramensis Blkr. „___haematochilus Schl. Solenostomus serratus Gall = Fistularia serrata Günth. Polvcaulus elongatus Günth. Lepidotrieha Burgeri Günth. Bostrychus sinensis Lac. % POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. 3 Odontobutis obscura Blkr. — Hab. Shanghai. Glossogobius giuris Blkr = Gobius giuris HB. Actinogobius ommaturus Blkr. Boleophthalmus peetinirostris Rich. * Pseudorhombus polyspilus Blkr. * Achirus pavoninus Lac. Pelteobagrus calvarius Blkr. — Hab. Shanghai. Plotosus arab Blkr. Clarias magur CV. Misgurnus anguillicaudatus Günth. Carassius auratus Blkr. — Hab. Shanghai. * Cyelocheilichthys (Cyelocheilichthys) sinensis Blkr. Sarcocheilichthys sinensis Blkr. — Hab. Shanghai. Pseudogobio rivularis Blkr. — Hab. Shanghai. Saurogobio Dumerili Blkr. Rhodeus sinensis Günth. — Hab. Shanghai. Acanthorhodeus taenianalis Güntb. — Hab. Shanghai. Leuciscus idellus Val. — Hab. Shanghai. Parabramis bramula Blkr. — Hab. Shanghai. Culter brevicauda Günth. — Hab. Shanghai. Hypophthalmichthys molitrix Blkr (mec. Blkr Mém. Cypr. Chin.) * Hab. Shanghai. nobilis Blkr (nec Blkr, Mém. Cypr. Chin. — Hab. Shanghai. ” * Saurida nebulosa Val. * Salmo leptosoma Blkr. „ __pomatops Blkr. Dussumieria acuta Val. Clupea (Harengula) fimbriata Blkr. Coilia elupeoides Günth. — Hab. Shanghai. Exocoetus bahiensis Rang. — Hab. Shanghai. obtusirostris Günth. — Hab. Shanghai. * Parexocoetus mento Blkr. ad * * * Après avoir pu examiner les vrais Hypophthalmichthys molitrix et nobilis, je suis d’avis, que les espèces, décrites et figurées sous ces noms dans le „Mémoire sur les Cyprinoïdes de Chine” sont des espèces distinctes, qui méritent de reprendre les noms que leur avait déjà appliqué Guichenot, le molitrix du dit mémoire étant le Dabryi Guich. et le nobilis le Simoni Guich. 28% 4 SUR QUELQUES ESPECES INÉDITES OU PEU CONNUES DE Muraena japonica Blkr = Anguilla bostoniensis Les. sec. Günth. Pisoodonophis cancrivorus HG. Monopterus javanensis Lac. Chonerhinos * naritus Blkr = Xenopterus auritus Günth. Tetraodon ocellatus Günth. Siniperca Muatsi Gill, Proc. Ac. Phil. 1862 p. 16; Kner, Zool. Reiz. Novara, Fisch p. 15 tab. 1, fig. 3. Siniperca corpore oblongo compresso, altitudine 3 fere ad 38 in ejus longitudine absque, 32 ad 4 et paulo ejus longitudine eum pinna caudali; latitudine corpo- ris 2 ad 28 in ejus altitudine; capite acuto 24 ad 3 fere in longitudine corporis absque, 3 ad 3% in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis 1£ ad 13, latitudine capitis 2} ad 34 in ejus longitudine; oculis diametro 43, 5 ad 6 in longitudine capitis, diametro 2 ad ? distantibus; linea rostro-frontali rostro convexa vel convexiuscula, fronte concava; rostro acuto absque maxilla oculo paulo breviore; naribus ante pupillam perforatis anterioribus valvula elevata claudendis; maxilla superiore maxilla inferiore conspicue breviore, post oculi marginem posteriorem desinente, 24 circ. in longitudine capitis; dentibus parvis, intermaxillaribus symphysialibus ceteris longioribus, vomerinis in thurmam triangularem, palatinis utroque latere in vittam elongatam antiee quam postice latiorem dispositis; squamulis capite regione posttemporali, opereulo et suboperculo tantum; praeoperculo postice conspicue serrato, angulo et inferne spinis 4 inferioribus 2 ceteris fortioribus deorsum et paulo antrorsum directis; operculo spinis 2, superiore obtusa, inferiore pungente; linea laterali valde ecurvata; squamis angulum aperturae branchialis superiorem inter et ba- sin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 130 circ, infra lineam lateralem in series 120 circ. transversas dispositis; squamis serie transversa * Le nom générique n’a pas été adopté dans le „Catalogue of Fishes, puisque, selon l'auteur, le genre, bien que le premier nommé par moi, n'aurait pas été décrit ou caractérisé. Le fait cst que, en Van 1854 déjà (Natuurk. Tijdschr. Ned. Ind. VIL p. 259), j'ai indiqué le genre Chonerhinos dans les termes suivants: „trechtervormige verdieping ter plaatse der neusopeningen, met verheven randen; lange rug- en aarsvinnen; zichtbare zijlijn; ongekielde rug” (loco narium depressio in- fundibuliformis marginibus elevatis; pinnae dorsalis et analis elongatae; linea lateralis conspicua; dorsum non carinatum). POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSEUM DE HAMBOURG. 5 85 circ. spinam ventralem inter et spinam dorsi anteriorem, 25 circ. apicem ecurvaturae lineae lateralis inter et spinas dorsi medias; pinna dorsali : parte spinosa dorsali radiosa duplo cire. longiore, alepidota, spinis validis mediis ceteris longioribus oeulo duplo cire. longioribus, postica radio Le duplo cire. breviore; dorsali vadiosa basi squamata, dorsali spinosa paulo altiore, obtuse rotundata; pectora- libus obtuse rotundatis capitis parte postoculari paulo brevioribus; ventralibus peetoralibus paulo brevioribus acutiuscule rotundatis, spina valida sulcata oculo paulo longiore; anali basi squamata, spina media ceteris et oculo sat multo longiore, parte radiosa vix humiliore obtuse rotundata; caudali obtuse rotundata capitis parte postoculari vix ad non breviore; colore corpore superne violascente- viridi vel olivascente, lateribus aureo-argenteo; iride viridi-violascente margine pupillari aurea; vitta oculo supra operculo-dorsali nigricante; spinas dorsales praemedianas attingente trunco maculis magnis nigricante-fuscis irregularibus et inaequimagnis ex parte vittas vel fascias transversas efficientibus; pinnis flavis, imparibus maculis et guttis nigris irregulariter pluriseriatis. B. 7. D. 12/14 vel 12/15. P. 2/14 vel 2/15. v. 1/5. et 3/9 ad 3/11. C. 1/15/1 et lat. brev. Syn. Perca chuatsi Basil, Ichth. Chin. bor, Nouv. mém. Soc. impér. Natur. Mosc., X. Ichth. Chin. bor. p. 218 Tab. 1 fig. 1; Canestr. Syst. Percoid. Verh. 2.6. Ges. W. X. p. 30 cubi gen. nov. indie. Perca chuantsi Basil, ib. p. 218 tab. 2 fig. 1. Siniperca chuantsi Gill, Proc. Ac. Phil. 1862 p. 16. Plectroperca Berendtii Pet, N. Percoidgatt, Monatsb. k. pr. Ak. wis, 1864 p. 121. Siniperca matraki Guich. Hab. China (Shanghai); Japonia. Longitudo 4 speciminum 208” ad 340.” Rem. Ler Siniperca chuatsi et chuantsi ne forment qu'une seule espèce, le chuantsi ne représentant qu'une variété ou variation à corps moins raccourci et à dos moins élevé. J'ai devant moi quatre individus, deux du chuatsi de 235” et 340” et deux du chuantsi de 208” et 314” de long, mais je ne puis y découvrir aucun caractère essentiel qui justifiait leur séparation spécifique. Fseudosciaena polyactis Blkr. — Tab. 1 fig. L. Pseudosciaena corpore oblongo compresso, altitudine 4 cire, in ejus longitudine absque, 5 cire. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine corporis 6 SUR QUELQUES ESPPCES INEDITES OU PEU CONNUES DE 1} eire. in ejus altitudine, capite obtusiusculo 3} cire, in longitudine corporis absque, 4} circ. in longitudine corporis eum pinna caudali; altitudine capitis 12 circ, latitudine ecapitis 2 cire. in ejus longitudine; oeulis oblongiusculis, diametro 32 circ. in longitudine capitis, diametro 14 cire. distantibus; linea rostro-frontali rostro convexa fronte convexiuscula; linea interoculari convexa ; naribus ante pupillam perforatis, rostro convexo obtusiusculo oculo paulo breviore, apice ante pupillae partem inferiorem sito, non ante os prominente, margine libero incisura et apice poris eonspicuis nullis ; maxillis subaequalibus, superiore inferiore vix breviore, sub oculi margine posteriore desinente, minus quam 2 in longitudine capitis; maxilla inferiore utroque latere symphysin versus poro parvo conspieuo:; dentibus maxillis antice pluriseriatis lateribus pluri-ad biseriatis, dentibus intermaxillaribus serie vel seriebus internis minimis, serie externa medioeribus eonieis distantibus portrorsum longitudine sensim deerescentibus antieis subeaninoideis; dentibus mandibularibus serie vel seriebus externis minimis, serie interna conicis medioeribus distantibus inaequilongis postrorsum longitudine accressentibus posterioribus intermaxillaribus serie externa poste- rioribus non brevioribus symphysin dente curvato subeaninoideo; rictu valde obliquo; osse praecorbitali sub medio oeulo oeuli diametro longitudinali duplo eire. humiliore; praeoperculo limbo oeuli diametro vix graciliore, margine libero postiee et inferne leviter denticulato; operculo spinis 2 debilibus non vel vix pungentibus; lobo suprascapulari lato eonspieue dentato-fimbriato; linea laterali parum curvata, singulis squamis tubulo postiee valde arborescente notata; cauda parte Libera aeque longa circ. ac postice alta; squamis capite ex parte eyeloideis, trunco etenoideis; squamis angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis 60 circ. in linea laterali, supra lineam lateralem in series 70 circ. infra lineam lateralem in series 60 circ. transversas dispositis ; squamis serie transversa 29 circ. basin pinnae ventralis inter et dorsalem spinosam, 5 vel 6 circ. lineam lateralem inter et spinas dorsales anteriores et medias; pinna dorsali partem spinosam inter et radiosam usque ad basin fere incisa; dorsali spinosa corpore plus duplo humiliore, sat multo longiore quam alta, spinis gracillumis rigidiuseulis 30 et 40 ceteris longioribus capitis parte postoculari brevioribus; dorsali radiosa dorsali spinosa triplo cire. longiore et non vel vix humiliore, basi tantum squamata; pinnis pectoralibus acutis et caudali romboideo-acuta capite non vel vix brevioribus; ventralibus acutis ecapite absque rostro brevioribus; anali obtusiuscula convexe basi squamata dorsali radiosa altiore et corpore paulo minus duplo humiliore, longitudine plus quam 5 in longitudine dorsalis radiosae, spinis gracilibus 2%. oeulo breviore radio 10. triplo circ. breviore; colore corpore superne grisea vel coerulescente- POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSEUM DE HAMBOURG. ii viridi, lateribus et inferne argenteo; iride flavescente, pinnis flavescentibus, imparibus fusco plus minusve arenatis. B. 7. D. 9—1/36 vel 9-1/37. P. 214. v. 1/5. et 2/9 vel 2fw. C. 1/15/1 et lat. brev. Hab. China (Shanghai). Longitudo speciminis unici 280", Rem. Cette espèce est voisine du Pseudosciaena amblyceps Blkr. d’Amoy (Ned. T. Dierk. IL. p. 143) mais dans Famblyeceps, déerit sur 6 individus de 126” jusqu'à 295’, la dorsale n'est soutenue que par 33 rayons, les pectorales et Y'anale y ont un rayon de moins et la tête y wesure presque 5 fois dans la longueur totale. J'y trouve encore le museau plus court et muni d'un grand pore, 55 écailles dans la ligne latérale, 75 rangeés transverses d’écailles au dessus de la ligne latérale, huit rangées d'écailles entre la ligne latérale et les épines dorsales antérieures, etc. HemieLyPuimoporN Blkr. Dentes: maxillis biseriati, serie externa compressi, ineisivi truncati, pharyngeales minutissimi superiores in thurmas oblongo rotundatas, inferiores in thurmam trans- versam oblongo-quadratiusculam dispositi. Os pharyngeale inferius quadrangulare margine posteriore convexo. Corpus oblongum. Rostrum superne squamatum. Ossa suborbitalia et praeoperculum scabriuscula, operculum angulo spinula unica. Squa- mae trunco 28 circ. in serie longitudinali. Pinnae: impares radüs productis nul- lis, dorsalis spinis 13 et radiis 13 ad 15, parte spinosa parte radiosa plus duplo longiore membrana inter singulas spinas profunde incisa; analis radiosa dorsalis radiosa longior, radijs 14 ad 16; caudalis leviter emarginata. Rem. Le type, établi comme sousgenre de Glyphidodon, mérite une place comme genre distinct. Les dents aux deux mâchoires, décrites comme unisériales, sont en effet bisériales, mais celles de la rangée interne très grêles, pointues, beaucoup plus courtes que celles de la rangée externe et inter salées entre ces derniéres, ne s’observent qu'à l'aide d'une loupe. La scabrosité des os sousorbitaire et du preo- pereule indiquent son affinité avec les Pomacentres, mais le type est Éminem- ment caractérisé par la dentition pharyngienne, par Yos pharyngien inférieur quadrangulaire à branches latérales très-raccourcies et élévées, par les dents pha- ryngiennes très-petites et innombrables formant un velours très-fin. Le type a sa place naturelle à côté du genre Dischistodus, dont il se distingue par la den- 9 SUR QUELQUES ESPRCES INEDITES OU PEU CONNUES DE tion pharyngienne, par la tête plus haute que longue, par l'écaillure du museau, et par les échancrures de la membrane de la dorsale Épineuse. La seule espèce connue est assez voisine du Dischistodus prosopataenia. Hemiglyphidodon plagiometopon Blkr. Mém.Pomac. Ind. arch. Ind. p. Il; Atl. Ichth. tab. 410. Pomac. tab. II, fig. 4. Les deux individus de Chine mésurant 135” et 158”, se distinguent de ceux de [Insulinde par un rayon de moins à la dorsale et aux pectorales. Ils ont le préorbitaire fort raboteux, les scabrosités du bord des sousorbitaires et du préo- percule assez prononcées et la 2° épine anale plus faible. L'anale molle est un peu plus longue que la dorsale molle, mais je retrouve ce caractère aussi dans les individus indo-archipélagiques. Acanthocepola Blkr. — Tab. 2, fig. 1. Acanthocepola, corpore elongato valde compresso altidunine 7£ circ. in ejus lon- gitudine absque, 84 circ. in ejus longitudine eum pinna caudali; latitudine cor- poris antice 2 fere in ejus altitudine, usque ad apicem caudae sensim diminuente; eapite obtuso convexo 72 circ. in longitudine corporis absque, 84 circ. in longi- tudine corporis cum pinna caudali; duplo fere altiore quam lato, paulo longiore quam alto; oeulis diametro 34 cire. in longitudine capitis, diametro £ circ. dis- tantibus; linea interoculari rectiuseula; rostro eonvexo oeulo plus duplo breviore, apiee ante pupillam sito; naribus ante mediam pupillam perforatis; maxillis subae- quilongis; superiore usque ante oculum adseendente et sub pupillae parte poste- riore desinente; dentibus maxillis distantibus inaequilongis conicis obtusis ca- ninis vel caninoideis nullis, intermaxillaribus utroque latere 16 circ, mandibula- ribus utroque latere 10 eirc.; rietu valde obliquo; praeoperculo obtuse rotundato, limbo sat lato alepidoto, ante limbum squamis in series 9 circ, transversas dispo- sitis, margine libero superne crenulato, angulo et inferne dentato, dentibus spi- naeformbas inferioribus distantibus deorsum speetantibus; operculo superne squa- mulis deeiduis; squamis capite superne nullis, trunco sessilibus non ciliatis sed margine posteriore libero acutangulis et medias lateribus praesertim incisuris tri-ad septem-partitis; seriebus squamarum regularibus, longitudinalibus subhori- zontalibus, transversis obliquis antrorsum descendentibus; squamis angulum aper- turae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis in series 160 circ. transversas dispositis; squamis 40 circ. in serie transversa initium pinnae analis POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. 9 inter et pinnam dorsalem; linae laterali usque sub radio dorsali 4° vel 5° valde adscendente, porro lineae dorsali maxime approximata; pinnis imparibus conti- nuis; pinna dorsali supra angulum opereuli incipiente corpore plus duplo humi- liore postrorsum altitudine sensim accrescente; pectoralibus obtusis capite absque rostro brevioribus; ventralibus ante basin pectoralium insertis pectoralibus bre- vioribus, acutis radio 1° subfiligero; anali sub apice pectoralium et sub radio dorsali 9° cire. incipiente dorsali paulo humiliore; caudali acuta capite non vel vix breviore; colore corpore pulchre roseo maculis vel fasciis conspiecuis nullis; iride flavescente; pinnis roseis vel flavescente-roseis, verticalibus fusco vel nigri- cante marginatis, maculis distinctis nullis. B. 6. D. 78 + A. 70 + A. 12 = D. A.C. 160 circ. omn. simpl. P. 2/16 apice fiss. V. 1/5 fiss. Hab. China. Longitudo speciminis descripti 145”. Rem. L'espèce tient le milieu, par ses formes, entre 1’ Acanthocepola abbreviata et 'Acanthocepola Krusensterni. Elle est remarquable par les dents obtuses plus ou moins tronquées ou arrondies aux deux mâchoires et par la forme des écail- les, qui ont le bord postérieur divisé en trois jusqu'à sept points dont la mé- diane est toujours la plus forte. L'Acanthocepola Krusensterni a le corps plus allongé (hauteur 10 à 11 fois dans la longueur totale), la tête plus petite (10 à 11 fois dans la longueur totale), les dents acérées et les intermaxillaires plus nombreuses, le bord libre des écailles indivisé, etc. Loxylepis ne peut pas être non plus eonfondu avec l'abbreviata *, où les dents sont aussi plus longues, plus pointues et plus nombreuses, les épines préoperculaires plus fortes et les écailles arrondies. L'espèce de Chine indiquée par Swainson (Nat. hist. Fish. IT. p. 402), sous le nom de Cepola variegata, ne peut pas être non plus loxylepis, puisqu'il en est dit dans la description, du reste trop superficielle, que la forme du corps * Le Cepola abbreviata CV. est établi sur deux dessins, laissés par Mertens et Kuhl et Van Hasselt, et qui probablement ont rapport à deux espèces distinetes, puis qu'il en est dit que les nombres comptés par Mertens sont — D. 156. A. 76. P. 18; nombres qui sont traduits sur le dessin original de Kuhl et Van Hasselt — D. 72. A. 68. P. 12. — J’entends, sous le nom d’ab- breviata, l'espèce figurée sous les yeux des derniers naturalistes, et dont je possède uu individu trop mal conservé et trop mutilé pour permettre une comparaison rigoureuse avec l’oxylepis. C'est probablement aussi cette espèce publiée par Cantor sous le nom de Cepola abbreviata (Cat. Mal. Fish. p. 178.) 29 NATUUEK. VERH DER KONINKL AKADEMIE. DEEL XVIII. 10 SUR QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE n'y présente pas „d'obvious difference from the Cepola rubescens”, ce qui fait penser que cette espèce doit être plus voisine du Cepola Schlegeli que de l’Acan- thocepola abbreviata auquel la rapporte Cantor. Une autre espèce de Chine, le Cepola hungta Rich, n'est connue que par une figure et paraît plus voisine de Y'Acanthocepola Krusensterni Blkr que de l'oxylepis. Le Cepola abbreviata Day (Fish. Ind. p. 324 tab. 68 fig. 4) enfin me paraît distinct tant de l'abbre- viata CV. que de l'oxylepis, ayant le corps plus allongé et la tête plus courte * M. Day en donne la formule des rayons — D. 67—74. P. 19. A. 67—74, mais ni eelle des dents mi celle des écailles et ni aussi la forme des dents et des écailles. Il paraît que les espèces de la famille des Cépoloïdes sont assez nombreuses. Celles qu'on trouve dans les auteurs sont généralement encore mal connues, et les descriptions dressées souvent sur des individus uniques et d'une conservation imparfaite laissent beaucoup à désirer. Une révision des espèces sera nécessaire dès qu'on pourra disposer de matériaux plus nombreux et bien conservés. Cyelocheilichthys (Cyelocheilichthys) sinensis Blkr Tab. 1 fig. 2. Cyeloch. (Cyeloch.) Corpore oblongo compresso, altitudine 3 et paulo in ejus longitudine absque, 4 circ. in ejus longitudine eum pinna caudali; latitudine cor- poris 24 circ. in ejus altitudine; capite acuto 3} circ. in longitudine corporis absque, 4 circ. in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis 12 cire, latitudine capitis 2 fere in ejus longitudine; linea rostro-dorsali nucham inter et frontem rectiuscula vel eoncaviuscula, nucha leviter eonvexa; oculis dia- metro 35 cire. in longitudine capitis, paulo plus diametro 1 distantibus ; diametro $ cire. in capitis parte postoculari; membrana palpebrali iridis partem externam tantum tegente; antice et superne quam postice latiore; distantia rostri apicem inter et nucham 2 in distantia occiput inter et radium dorsalem posticum ; fronte inter oculos depressiuscula; rostro conico acutiusculo oculijo breviore vix ante os prominente; naribus ante pupillae partem superiorem perforatis orbitae multo magis quam rostri apici approximatis, posterioribus anterioribus majoribus valvula * La discription dit „length of head 6 to 7 in the total length”, mais la figure représente la tête beaucoup plus courte et mesurant presque 9 fois dans la longueur totale. La description de M. Day est prise peut-être sur une espèce différente de celle qui à servi de modèle à la figure publiée et qu'on pourrait nommer provisoirement Acanthocepola Dayi. POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. 11 subelaudendis; osse praeorbitali oblongo-trigono, minus duplo longiore quam alto, margine posteriore subverticali convexo, apice acutiusculo antrorsum spectante, dimidio inferiore crista longitudinali subhorizontali percurso; osse suborbitali 2° oblongo-tetragono antice quam postiee altiore, duplo cire. longiore quam alto, osse praeorbitali duplo cire. humiliore; maxilla superiore maxilla inferiore longiore verticaliter deorsum valde protractili, vix ante oeulum vel sub oculi margine an- teriore desinente, 3% circ. in longitudine capitis; rictu parum obliquo; cirris gra- cilibus supramaxillaribus quam rostralibus longioribus oeulo duplo circ. brevio- ribus; maxilla inferiore symphysi tuberculo conico obtuso; labiis medioeribus teretibus, transversim rugosis; operculo latitudine 1% circ. in ejus altitudine, mar- gine inferiore rectiusculo; apertura branchiali sub praeoperculi margine posteriore desinente; dentibus pharyngealibus uncinato-subcochleariformibus 2.3.5/4.3.2, in- ternis 2 vel 1 serie majore conicis apice acuminatis facie masticatoria concava nulla; osse scapulari trigono apice leviter rotundato ; dorso elevato angulato ventre altiore; ventre post pinnas ventrales rotundato non carinato; cauda altitudine minima plus quam 2 in longitudine capitis ; squamis dimidio libero et vulgo etiam dimidio basali longitudinaliter striatis, 35 vel 36 in linea laterali, 1l in serie transversa dorsalem inter et ventrales infimis quarum 5 vel 54 supra, 34 infra lineam lateralem, 10 vel 11 in serie longitudinali occiput inter et pinnam dor- salem, ventre infimo longitudinaliter triseriatis serie media postrorsum magnitu- dine sensim acecrescentibus posticis iis seriebus lateralibus majoribus linea laterali vix curvata antice tantum parum declivi vix infra lineam rostro-caudalem descen- dente, singulis squamis tubulo simplice notata; pinna dorsali supra ‘basin ven- tralium incipiente acuta emarginata corpore paulo humiliore, minus duplo altiore quam basi longa, spina crassa postice dentibus valde conspicuis serrata capite non longiore 3% cire. in longitudine corporis absque pinna caudali; peetoralibus et ventralibus acutis subaequilongis capite absque rostro paulo brevioribus, pectora- libus ventrales subattingentibus, ventrales analem non attingentibus; anali acuta emarginata, dorsali minus duplo humiliore, duplo cire. altiore quam basi longo radio simplice tertio gracili basi tantum ossea; pinna caudali basi tantum squa- mata, profunde incisa lobis acutis capite non brevioribus? (mutilatis) ; colore cor- pore superne viridi, inferne argenteo; iride flavescente; pinnis flavescentihus; dorsali superne et caudali postice fusco arenatis. B. 3. D. 4/8 vel 4/9. P. 1/17. V. 1/9. A. 3/5 vel 3/6. C. 7/11/6 circ. Hab. China. Longitudo speciminis descripti 150” circ. Rem. Cette espèce est fort voisine du Cyclocheilichthys (Cyelocheilichthys) ar- 29% 12 SUR QUELQUES ESPÒCES INEDITES OU PEU CONNUES DE matus Blkr mais bien distincte par les cinq rangées longitudinales d'écailles au dessus de la ligne latérale, par sa tête qui est relativement plus longue, par sa queue moins haute, etc. C'est la seule espèce du genre, jusqu’iei connue, de Chine. Pseudogobro rivularts Blkr, Mém. Cyprin. Chin. p. 23 tab. 5 fig. 1. Syn. Gobio rivularis Bas, Ichth. Chin. bor, Nouv. Mém. Soc. Nat. Mosc. X p..231. Tylognathus sinensis Kmer, Zool. Novara Fisch. p. 354 tab. 15 fig. 5. Pseudogobio sinensis Günth., Cat. Fish. VIT p. 175; Rep. Coll. Fish. Chin. Ann. n. h. 4t ser. XII p. 247. Rem. Dans ma description citée il s'est glissé une erreur d’impression, le nombre des écailles y étant donné „—= 55 ou 56” ee qui doit être lu 35 ou 36. La longueur de individu décrit n’était aussi que de 75" et non de 175 ” comme Pa fait 'imprimeur. J'ai devant moi un individu parfaitement conservé de 125'” de long. J'y trouve le corps un peu plus haut, la tête et le corps couverts par des taches foncées plus nombreuses et la dorsale plus régulièrement arrondie. On n’y voit plus rien de la tache caudale moirâtre. Ces particularités ont été aussi trouvées sur les adultes par M. Günther. Acanthorhodeus taenianalis Günth., Rep. Coll. Fish. China, Ann. nat. hist. 4°° sér. XII p. 247. — Tab. 1 fig. 3. Acanthorh. corpore subrhomboideo eompresso, altitudine 2; circ. in ejus lon- gitudine absque pinna caudali; latitudine corporis 34 circ. in ejus altitudine; capite obtuso 44 cire. in longitudine corporis absque pinna caudali; altitudine capitis 1 et paulo, latitudine capitis 13 fere in ejus longitudine; oculis diametro 3 cire. in longitudine capitis, diametro 1! circ. distantibus, diametro 14 circ. in capitis parte postoculari; linea rostro-dorsali rostro truncatiuscula, supra oculos concava, nucha valde convexa; linea interoculari convexiuscula; naribus ante pu- pillae partem superiorem perforatis posterioribus anterioribus majoribus valvula elaudendis; rostro obtuso truncato, apice ante oculi partem inferiorem sito, oculo breviore, non ante os prominente, antice verruculoso; osse praeorbitali subpen- tagono apiee sursum spectante angulis antero-inferiore et posteriore rotundatis; osse suborbitali 29 quadrangulari duplo cire. longiore quam alto; osse suborbi- tali 30 osse suborbitali 20 multo latiore minus duplo longiore quam alto mar- POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSEUM DE HAMBOURG. 13 gine inferiore valde convexo; maxilla superiore vix ante maxillam inferiorem prominente, medioeriter oblique antrorsum protractili, ante oeulum desinente, 4 circ. in longitudine capitis; maxilla inferiore cochleariformi symphysi tuberculo nullo; rictu parvo obliquo; cirro supramaxillari rudimentario vix conspicuo; labiis medioeribus; suleo infralabiali symphysin attingente; operculo laevi multo minus duplo altiore quam lato, margine inferiore convexo; dentibus pharvngealibus uni- seriatis 5/5 compressis leviter uncinatis margine interno plurierenulatis ; osse sca- pulari obtuse rotundato; dorso elevato angulato; cauda parte libera paulo lon- giore quam postice alta; squamis 35 vel 36 in serie longitudinali, 13 in serie transversa spinam dorsalem inter et pinnam ventralem quarum 6 (57) supra lineam lateralem, 15 in serie longitudinali occiput inter et pinnam dorsalem ; linea laterali vix eurvata singulis squamis tubulo simplice notata; ano medio pinnas ventrales inter et analem perforato; pinna dorsali basi caudalis triplo magis quam apici rostri approximata radio postico radiis analibus subposticis oppositis, spinis medio circ apicem rostri inter et basin caudalis insertis, basi 2} in longitudine corporis absque pinna caudali, plus duplo longiore quam alta, corpore triplo circ. humiliore, antice quam postice multo minus duplo altiore, obtusa, convexa, spinis anteriore rudimentaria, 2% et 3? membrana gracili inter- media, 2* gracili spina 3°® non multo breviore, 3* valida ossea capite absque rostro non multo breviore; pinnis pectoralibus acutis capite absque rostro non vel vix brevioribus ventrales non attingentibus; ventralibus paulo ante dorsalem insertis, acutiusculis, pectoralibus non brevioribus, analem non attingentibus; anali sub medio pinnae dorsalis incipiente, capite longiore, dorsali humiliore, duplo cire. longiore quam antice alta, acutangula, vix emarginata, spina 1* ru- dimentaria occulta, spina 2* gracili spina 3* non multo breviore, spina 3* ossea valida spina dorsi 3* paulo breviore; caudali (mutilata); colore corpore superne viridescente, inferne argenteo; iride flavescente; pinnis flavescentibus vel roseo- hvalinis, imparibus plus minusve fusco arenatis, anali arenam fuscam inter macu- lis dilutioribus longitudinaliter biseriatis, margine inferiore alba, vitta intramar- ginali fusca profundiore. B. 3. D. 3/17 vel 3/18. P. 1/11. V. 2/7. A. 3/14 vel 3/15. C. 1/17/1 et lat. brev. Hab Shangai. Longitudo speciminis unici absque pinna caudali (?). Rem. Cette espèce est voisine, par la formule de l'écaillure et de la nageoire dorsale, de lAcanthorhodeus macropterus Blkr, mais le dernier est bien distinct par le profil rostro-nuchal qui n'est point concave, par le museau non tronqué, 14 SUR QUELQUES ESPECES INÉDITES OU PEU CONNUES DE par la forme moins raccourcie du tronc, par la tête relativement plus petite, par deux rayons de moins à l'anale, et deux de plus aux pectorales, etc. Le taenianalis est remarquable par la membrane entre la 2e et 3° épines dor- sales, qui, bien que peu large, permet la divergence des épines. Salmo (Salmo) leptosoma. — Tab. 2, fig. 3. Salm. (Salm.) Corpore subelongato compresso, altitudine 5 cire. in ejus longi- tudine absque, 58 cire. in ejus longitudine eum pinna caudali; latitudine corpo- ris 24 cire. in ejus altitudine; capite compresso 44 circ. in longitudine corporis absque, 5 et paulo in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis 12 cire, latitudine capitis 28 circ. in ejus longitudine; oculis diametro 43 circ. in capitis parte postoculari, diametro 1' circ. distantibus; carina rostro-occipitali conspicua; linea rostro-dorsali nucha et rostro convexa fronte et vertice rectius- eula; linea mandibulo-ventrali reetiuscula; linea interoculari convexa; naribus ante pupillam perforatis subaeguimagnis; rostro oculo non longiore apice non emarginato ante oculi partem inferiorem sito convexo obtusiusculo ; maxillis aequi- longis non hamatis, superiore sub oculi margine posteriore desinente, 2 et paulo in longitudine capitis; osse supramaxillari quadruplo cire. longiore quam lato postiee oblique ovatim rotundato; dentibus medioeribus, intermaxillaribus utroque latere 4 vel 5 postrorsum longitudine paulo accrescentibus, supramaxillaribus pos- terioribus quam anterioribus majoribus mediis quam ceteris brevioribus, mandi- bularibus inaequilongis anterioribus quam ceteris majoribus et magis distantibus; vomere capite brevissimo latiore quam longo bidentato, corpore dentibus irregu- lariter subbiseriatis ; dentibus palatinis postrorsum longitudine vix decrescentibus, utroque latere 15 eire.; dentibus lingualibus utroque latere 3 distantibus sub- aequimagnis eurvatis; dentibus basi linguae nullis; dentibus pharyngealibus pau- ciseriatis conicis acutis curvatis ossibus suborbitalibus posterrioribus oculi dia- metro paulo gracilioribus; praeoperculo irregulariter sublunariter rotundato, limbo inferiore conspicuo nullo; operculo latitudine maxima 12 cire. in ejus altitudine, angulo posteriore angulo suboperculi antero-inferiori quam angulo operculi supe- riore propiore; suboperculo vix post operculum prominente triplo circ. longiore quam alto; squamis eaudalibus squamis medio lateribus paulo majoribus; squa- mis angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 135 circ. infra lineam lateralem in series 120 circ. transversas dispositis; squamis serie transversa 40 circ. pinnam dorsalem inter et ventrales, 20 circ. initium pinnae dorsalis inter et lineam lateralem, 10 circ. dor- POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSEUM DE HAMBOURG. 15 sum caudae mox post adiposam inter et lineam lateralem; squamis 65 circ. in serie longitudine occiput inter et pinnam dorsalem; linea laterali recta singulis squamis tubulo simpliee notata; cauda parte libera duplo fere longiore quam pos- tice alta; pinna dorsali radiosa medio oeuli marginem anteriorem inter et basin pinnae caudalis posita, radio 1° apiei rostrì quam basi caudalis, adiposae autem quam apice rostri propiore, paulo altiore quam longa, capitis parte postoculari paulo breviore, acuta, vix emarginata; dorsali adiposa post analem inserta, plus capitis longitudine a dorsali radiosa remota multo altiore quam basi longa; pectoralibus et ventralibus acutis, pectoralibus capitis parte postoculari paulo lon- gioribus apice totae pinnae longitudinis a ventralibus remotis; ventralibus mox post medium dorsalis radiosae insertis capitis parte postoculari non longioribus, apice anali quam earum basi propioribus; anali dorsali radiosa paulo breviore sed non humiliore, altiore quam longa, acuta, emarginata ; caudali capite absque rostro non breviore, radijs mediis quam angularibus duplo fere brevioribus, extensa la- tiore quam longa leviter emarginata angulis acuta; colore superne chalybeo- viridi vel fuscescente-viridi, inferne argenteo maculis nullis; iride flavescente- aurea; pinnis dilute violascentibus fusco plus-minusve dense arenatis; dorsali radiosa membrana maculis aliquot sparsis profundioribus. B. 11. D. 3/10 vel 3/11. P. 1/12. V. 2/8. A. 3/8 vel 3/9. C. 1/11 et lat. brev. Hab. China. Longitudo speciminis descripti 345”. Rem. Je ne retrouve pas cette espèce dans les auteurs. Elle appartient au groupe à 120 à 140 rangées transversales d’écailles, à une vingtaine de rangées d'écailles entre la première dorsale et la ligne latérale et à 10 à 12 de ces ran- gées entre la base postérieure et la ligne latérale. Elle se fait remarquer par la forme très-comprimée du tronc et de la tête, par la forme convexe du museau et par son profil inférieur presque droit, et sa diagnose est facilitée par les pro- portions de la tête, de la mâchoire supérieure, de lopercule et du sousopercule, des pectorales, de la dorsale et de l'anale, etc. Salmo (Salmo) pomatops Blkr. — Tab. 2 fig 2. Salm. (Salm.) corpore subelongato compresso, altitudine 45 circ. in ejus lon- gitudine absque, 55 circ. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine cor- poris 2 et paulo in ejus altitudine; capite compresso, 4 et paulo in longitudine corporis absque, 5 et paulo in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis 1} circ, latitudine capitis 25 ad 2} in ejus longitudine; oculis diametro 16 SUR QUELQUES ESPÈCES INEDITES OU PEU CONNUES DE 33 in longitudine capitis, 2 circ. in capitis parte postoculari, diametro 1 tere distantibus; carina rostro-occipitali nulla; linea rostro-dorsali nucha, fronte et rostro convexa vertice tantum rectiuscula; linea mandibulo-ventrali econvexa; linea interoculari rectiuscula; naribus ante pupillam perforatis subaequimagnis; rostro oculo breviore apice non emarginato ante oculi partem inferiorem sito, convexo obtustusculo; maxillis non hamatis, superiore inferiore paulo longiore, ante oculi marginem posteriorem desinente, 23 cire. in longitudine capitis; osse supramaxillari minus triplo longiore quam lato, postice obtuse rotundato; den- tibus medioeribus, intermaxillaribus utroque latere 6 vel 7 postrorsum longitu- dine paulo acecrescentibus, supramaxillaribus posterioribus quam anterioribus pauio majoribus mediis quam ceteris brevioribus, mandibularibus inaequilongis anterio- ribus quam ceteris majoribus et magis distantibus; vomere capite brevissimo la- tiore quam longo, corpore dentibus irregulariter subbiseriatis; dentibus palatinis utroque latere plus quam 20 anterioribus subbiseriatis ; dentibus lingualibus utro- que latere 3 distantibus subaequimagnis curvatis; dentibus basi linguae nullis; ossibus suborbitalibus posterioribus oeuli diametro duplo eire. gracilioribus; prae- operculo regulariter obtuse rotundato, limbo inferiore conspicuo; operculo latitu- dine maxima 1 et paulo tantum in ejus altitudine, angulo posteriore ab angulo ejus superiore et ab angulo suboperculi antero-inferiore aequidistante ; suboperculo post opereutum prominente triplo fere longiore quam alto; squamis caudalibus squamis mediis lateribus vix majoribus; squamis angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 140 infra lineam lateralem in series 130 circ. transversas dispositis; squamis serie transversa 43 cire. pinnam dorsalem inter et ventrales, 22 circ. initium pinnae dorsalis inter lineam lateralem, 10 vel 1l dorsum caudae mox post adiposam inter et lineam lateralem; squamis 70 circ. in serie longitudinali occiput inter et pimnam dorsalem; linea laterali vix ecurvata singulis squamis tubulo simplice notata; cauda parte libera multo minus duplo longiore quam postice alta; pinna dorsali radiosa medio oculi marginem anteriorem inter et basin pinnae caudalis posita, radio 1° apiei rostri quam basi caudalis adiposae quam apici rostri propiore, paulo altiore quam longa, capitis parte postoculari non breviore, acuta, leviter emarginata; dorsali adiposa post analem inserta multo altiore quam basi longa; pectoralibus acutis capite absque rostro paulo longioribus apice multo minus totius pinnae longitudinis a ventralibus remoto; ventralibus acutiuscule rotundatis sub radiis dorsalibus posticis insertis capitis parte postoculari vix lon- gioribus apice anali quam earum basi duplo circ. propioribus; anali dorsali ra- diosa breviore et humiliore, altiore quam longa, acuta, emarginata; caudali capite absaue rostro non breviore, sat profunde emarginata lobis acutis, radiis mediis POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSEUM DE HAMBOURG 7, quam radijs angularibus duplo circ. brevioribus; colore corpore superne chalybeo viridi inferne argenteo; iride flavescente, margine orbitali fusca; operculo angu- lam posteriorem versus macula rotunda fusca; trunco maculis conspicuis nullis; pinnis flavescentubus vel aurantiacis, imparibus fusco plus minusve arenatis, dor- sali radiosa dimidio inferiore maculis parcis fuscis biseriatis, caudali postice le- viter fusco emarginata. B. 11 vel 12. D. 3,9 vel 3/10. P. 1/13. V. 2/8. A. 3/8 vel 3/9. C. 1/17/1 et lat. brev. Hab. China? Longitudo speciminis descripti 160”. Rem. Cette espèce aussi me paraît inédite. Elle appartient au même groupe que la précédente, présentant les mêmes formes et environ la même formule des éeailles, qui cependant sont un peu plus nombreuses. L'individa déerit ne mesu- rant en longueur que presque la moitié de celle de celui du leptosoma, plusieurs différences peut-être ne tiennent qu'à l'âge. Il est à moter cependant que dans le pomatops le corps est plus trapu et moins comprimé, les yeux plus grands, la mâchoire supérieure plus courte, le maxillaire plus large, les postorbitaires moins larges, l'opereule plus large, les ventrales implantées plus en arrière sous la dorsale, la caudale beaucoup plus échanerée, etc. J'y trouve encore un rayon de moins à la dorsale et un de plus aux pectorales, et une tache ronde et brune vers langle postérieur de l'opercule, tache qui pourrait bien être carac- téristique pour l'espèce. Je trouve cette tache sur une figure (Notes on Some Fig. of Japanese Fishes, Jap. exped. tab. 10 fig. 3) publiée par M. Brevoort sous le nom de Salmo leucomaenis, mais qui doit être fort différent du leucomaenis de Pallas, au-moins si le poisson rapporté par M. Günther à cette espèce (Cat. Fish. VI p. 145 fig. capit.) est en effet identique avec lespèce de Pallas. Je trouve cependant tant de différences entre la figure publiée par Brevoort et Y'individu décrit ci-dessus, que si au-moins la figure est un peu exacte, elle ne peut pas représenter l'espèce actuelle. J'y trouve le corps plus allongé, la tête plus petite, la mâchoire supérieure plus longue, les yeux plus petits, la première dorsale im- plantée plus en avant et convexe, les ventrales insérées sous le milieu de la pre- mière dorsale, etc. Le poisson faisait partie d'un envoi de poissons de Chine, mais il n'y est pas indiqué positivement, que la Chine est sa véritable patrie. La Haye, Nov.-Déc. 1877. 30 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVII. . „i seg 4 úî PUREE 4 Ek ENNE Nes hus: am Th ÉNUMKÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT GONNUES DU- JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INGDITES. PAR P. BLEEKER. L'énumération suivante est le résultat d'un recensement nouveau des espèces enregistrées jusqu'ici comme appartenant à la faune ichthyologique du Japon. Dans la liste, publiée en 1860 *, le nombre des espèces de poissons du Japon fut porté à 461, ou, abstraction faite de celles reconnues depuis n'être que des doubles emplois, à 447. Depuis cette époque plusieurs auteurs, Kaup, Kner et MM. Gill, Brevoort, Steindachner et Günther, ont fait connaître beaucoup d'autres espèces du Japon. Moi-même aussi j'ai pu Yy ajouter quelques unes, et tout réecemment encore je trouvai quelques espèces nouvelles pour la même faune parmi les poissons, dont Administration du Musée Zoologique de Hambourg a bien voulu me confier la détermination f. Par toutes ces recherches des derniers temps, le chiffre total des espèces actuellement connues de l'empire du Japon * Zesde bijdrage tot de kennis der ichthyologische fauna van Japan in Act, Soc. Scient. Ind. Neerl. VII, f Les espèces japonaises trouvées dans envoi du dit Muséam sont au nombre de 13, dont six sont nouvelles pour la faune du Japon et trois iuédites. La description et la figure de ces wois espèces font partie de cet article. sl NATUURK. VÉRH. DER KONINKI. AKADEMIE, DEEL XVII. 2 ÉNUMEÉRATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT monte à presque 550. J'aurais pu augmenter encore ce nombre en y comptant plusieurs espèces, figurées dans l'ouvrage japonais de Kurimoto * intitulé Kwoo-wa gio-bu (Description des poissons de l'illustre Japon) dont je ne connais que la première partie qui traite des poissons d'eau douce, mais bien que j'aie pu y reconnaître plus de vingt espèces, ce qui indique que leurs figures méritent quelque confiance, jy trouve une trentaine d'autres, fort imparfaitement repré- sentées dont la détermination rigoureuse n'est pas possible et que par conséquent il serait hasardé d’introduire dans la science. La liste suivante énumère les espèces sous les dénominations que j'ai cru adopter comme conformes à l'état actuel de la science, et je n'y ai ajouté que les synonymes sous lesquels elles figurent dans les ouvrages et les mémoires publiés sur le même sujet. Des espèces sans indication d’habitat la localité japo- naise n'a pas été notée par les auteurs. La connaissance de la distribution des espèces dans empire Japonais laisse encore beaucoup à désirer, et d'un grand nombre on ne connaît ni la localité pré- eise ni même l’île. On sait eependant que les côtes de la partie septentrionale de Nippon et celles de Jezo nourrissent beaucoup d'espèces qui n'habitent pas les latitudes méridionales de l'empire et qui appartiennent à des genres et même à des familles qui ne se retrouvent pas sur les côtes de Sikok et de Kiusiu, dont la faune ichthyologique marine porte encore une empreinte tropique fort prononcée. Les parties méridionales de l'empire sont beaucoup mieux connues que ses latitudes boréales, et bien qu'il n'y aurait pas lieu de s’étonner si les re- cherclies ultérieures aux différentes îles tripleraient le nombre des espèces con- nues, il est probable qu'on trouvera les formes nouvelles les plus nombreuses et les plus remarquables à Nippon et à Jezo. * Cité dans la „Neuvième notice sur la faune ichthyologique du Japon, Versl. Kon. Ak. Wet. Afd. Natuurk., 2de Rks, III, p. 2381—252.” Je dois à M. le professeur J. Hoffmann à Leide, uue traduction de cet ouvrage. Les descriptions n’ont aucune valeur réelle et ne peuvent pas aider à faire reconnaître les espèces figurées, mais elles en indiquent les noms japonais, les localités et les usages. J'apprends par cette traduction que l'espèce d'Ophiocephalus, cité dans la notice susdite, n’habite pas les Îles du Japon et que Kurimoto n'en avait vu que quelques individus rapportés vivants de Chine. bo CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INEDITES. 3 SPECIES PISCIUM JAPONICAE HUCUSQUE COGNITAE. Carchartoidei. . Cynocephalus (Prionace) japonicus Blkr — Carcharias (Prionodon) japoni- eus Schl. ï (___„ __) melanopterus Blkr — Carcharias melanopterus QG — Hab. Kiusiu (Nagasaki). . Triakis scyllium MH. —- Hab. Sikok (Simoda). . Mustelus manazo Blkr — Mustelus vulgaris Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „ Galeus japonicus MH. „ Cestracion malleus Gill. = Zygaena malleus Risso. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Seyllioidei. ‚ Seyllium Bürgeri MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „ Crossorhinus barbatus MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Lamnoidei. . Oxyrhina glauca MH. „ Isurus cornubicus Gr. — Lamna cornubica Flem. Heterodontoidei. . Heterodontus zebra Gr. = Cestracion Philippi MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). Notidanoidei. 12. Heptanchus indicus MH. Spinacoidei. 13. Spinax acanthias Flem. — Acanthias vulgaris Risso. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 14. Centrophorus squamulosus Günth. — Hab. Inosima. fb, + foliaceus Günth. — Hab. Inosima. Squatinoidei. 16. Rhina japonica Blkr — Squatina japonica Blkr = Squatina vulgaris Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Pristiophoroidei. 17. Pristiophorus serratus MH. — Pristiophorus cirratus MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 31% ÉNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT Rhinobatidorder. . Rhynchobatus djeddensis Cant. — Rhynchobatus laevis MH. . Rhinobatus (Syrrhina) annulatus MH. — Rhinobatus (Syrrhina) polyophthal- mus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5 (Rhinobatus) Schlegeliiù MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Torpedinoidet. L. Narcine timlei MH. . Astrape japonica Schl. —= Torpedo (Astrape) japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Rajoidei. 23. Dasybatis kenojei Blkr — Raja kenojei Bürg. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 24, 5 Meerdervoorti Blkr — Raja Meerdervoortii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 25. je isotrachys Blkr — Raja isotrachys Günth. — Hab. Japonia me- ridionalis. Frygonoidei. 26. Leiobatus akajei Blkr = Trygon akajei MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 27. 5 Kukli Blkr = Trygon Kukli MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 28. 3 Zugei Blkr — Trygon zugei MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 29. 5 nuda Blkr — Trygon nuda Gunth. — Hab. Japonia. 30. Urolophus cruciatus Gunth = Urolophus aurantiacus MH. 31. Platyrhina sinensis MH. 32. Pteroplatea japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Myliobatidoidei. 33. Myliobatis tobijei Blkr — Myliobatis aquila Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 34. Dicerobatis japonica Blkr —= Cephaloptera japonica MH. Chimaeroidei. 35. Chimaera monstrosa L. — Hab. Goto, Jezo. Scaroidei. 36. Pseudoscarus ovifrons Blkr — Scarus ovifrons Schl. — Hab. Kiusiu (Naga- saki); Nippon (Jedo). 37. Callyodon japonicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Labroidei. 38. Cirrhilabrus Temminckii Schl. = Cirrhilabrus Schl. 40. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPECES INEDITES. 5 ‚ Duvmaeria japonica Blkr. = Crenilabrus flagellifer Schl. - spilogaster Blkr — Crenilabrus spilogaster Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 41. Novacula dea Blkr — Xyrichthys dea Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 42. Cheilio inermis Rich? — Cheilio ramosus Jen. — Hab. Lew-Chew. 43. Pseudolabrus rubiginosus Blkr — Labrus rubiginosus Schl. 44. Hemigymnus fasciatus Günth. — Tautoga fasciata Cv. — Hab. Japonia ? 45. Gompherus fuscus Val. — Hab. Lew-Chew. 46. Julis cupido Schl. 47. _„ quadricolor Less. — Hab. Sikok (Simoda). 48. _‚ lumaris Val. — Julis lutescens Brev — Hab. Napha, Lew-Chew. 49. Platyglossus (Parajulis) poecilopterus Blkr = Julis poecilopterus Schl. — Halichoeres poecilopterus Blkr — Hab. Kiusiu (Simabara). 50. Platyglossus (Parajulis) pyrrhogramma Blkr — Julis pyrrhogramma Schl. = Halichoeres pyrrhogramma Blkr. . Harpe oxycephalus Blkr — Cossyphus oxycephalus Blkr. 2. Semicossyphus reticulatus Schl. = Cossyphus reticulatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). . Choerops japonicus Blkr — Cossyphus japonicus Blkr — Labrus japonicus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). . Choerops anchorago Pet. — Choerops maecrodon Blkr. Percoidei. _ Priacanthus benmebari Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). a dubius Schl. 8 japonicus Schl. ‚ Pseudopriacanthus niphonius Blkr — Priacanthus niphonius Cv. — lab Kiusiu (Nagasaki ; Nippon (Jedo). 59. Caprodon Schlegelt Blkr = Caprodon Schl. 60. Glaucosoma Bürgeri Rich. 61. Siniperca chuatsi Gill — Plectroperca Berendti Pet. 62. Aulacocephalus Temmincki Blkr = Aulacocephalus Schl. 63. Centropristes hirundinaceus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 64. Epinephelus aka-ava Blkr. — Serranus aka-ava Schl. — Hab. Kiusiu (Naga- saki); Nippon (Osaka). 65. ’ ura Blkr == Serranus ura Cv? = Serranus ara Schl. 66. e areolatus Blkr — Serranus areolatus japonicus Schl. 67. - awoura Blkr = Serranus awoara Schl. — Hab. Japonia ; Lew Chew. 6 ÉNUMERATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT 68. Epinephelus dermopterus Blkr — Serranus dermopterus Schl. 69. diacanthus Blkr =— Serranus diacanthus Cv — Serranus tri- maculatus Blkr (nec Cv) — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 10. 5 epistictus Blkr — Serranus epistictus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). gat NE. Kawamebari Blkr — Serranus Kawamebari Schl. 72. 5 fasciatus Blkr — Serranus marginalis Cv. — Hab. Sikok (Simoda). 13. s latifasciatus Blkr = Serranus latifasciatus Schl. 14, n nebulosus Blkr — Serranus moara Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 15. 5 poecilonotus Blkr = Serranus poecilonotus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 16. 5 semipunetatus Blkr — Serranus semipunctatus Cv — Perca septemfasciata Thunb.? 1de E susuki Blkr — Plectropoma susuki Cv = Serranus oetocinctus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Susuki). 18. 8 fasciato-maculatus Pet. — Serranus trimaculatus Cv — Epine- phelus japonicus Krus. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 107 4 triremenara Blkr — Serranus triremenara Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Bonin ins. Prst Lloyd). 80. 5 urodelus Blkr — Serranus urodelus Cv. — Hab. Lew-Chew. 81. Paracanthistius leopardinus Blkr — Plectropoma leopardinum Ov. 82. Diploprion bifasciatum K. V.H. — Hab. Kiusiu (Nagasaki, Simabara). 83. Amia lineata Blkr — Apogon lineatus Schl. 84. 85. ” bj 86. 87. 88. 89. 90. „ nigripinnis Blkr — Apogon nigripinnis Schl. fasciata Gill. — Apogon novemfasciatus Cv. Schlegeli Blkr — Apogon novemfasciatus Schl. (nee Cv.) semilineata Blkr — Apogon semilineatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). quadrifasciata Blkr — Apogon quadrifasciatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). carinata Blkr — Apogon carinatus Schl. = Apogonichthys carinatus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). glaga Blkr — Apogon et Apogonichthys glaga Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 91. Aecropoma apogonoides Blkr — Aecropoma Schl. 92. Lateolabrax japonicus Blkr — Labrax japonicus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). 93. Niphon spinosus Cv. — Hab. Jesso (Jeso). CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INEDITES. Zó 94. Therapon (Datnia) oxyrhynchus Blkr — Therapon oxyrhynchus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki; Sikok (Simoda). 95. 5 (Pelates) quadrilineatus Blkr — Pelates quadrilineatus Cv 96. Histiopterus acutirostris Schl. 97. î typus Schl. 98. Hapalogenys maculatus Rich. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 99. 5 nigripinnis Rich. — Pogonias nigripinnis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 100. Pleetorhynchus cinctus Blkr — Diagramma einetum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). LOL. 5 pictus Blkr — Diagramma punctatum Cv = Diagramma poecilopterus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo). 102. 5 pertusus Blkr — Perca pertusa Thunb. —= Diagramma Thunbergii Cv. 103. Parapristipoma trilineatum Blkr — Perca trilineata Thumb. — Pristipoma japonieum Cv — Diagramma japonieum Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 104. Etelis oculatus Blkr — Serranus oculatus Cv = Elastoma oeulatum Swns. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 105. Aprion Sieboldi Blkr — Chaetopterus Sieboldi Blkr. 106. Lutjanus christat Blkr — Mesoprion annularis Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 107. js bengalensis Blkr — Diacope octolincata Cv Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). L08. 5 malabaricus Blkr — Diacope Calveti Ov. Schl. — Hab. Japonica. 109. z sparus Blkr — Mesoprion sparus schl. 110. : Russelli Blkr — Mesoprion Russelli Bkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). BELG B vitta Blkr — Diacope vitta Schl. = Mesoprion Ophuijsenti Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 112. Banjos tvpus Blkr = Anoplus banjos Rich. — Anoplus Schl. 113. Synagris hypselosoma Blkr — Dentex hypselosoma Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 114. 5 Thunbergii Blkr — Dentex Thunbergit Cv. 115. Gymnoeranius griseus Blkr — Dentex griseus Schl. — Hab. Kiusiu: (Nagasaki). 116. Dentex sinensis Blkr — Dentex setigerus Uv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 117. Latilus argentatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 8 ÉNUMÉRATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT 118. Scolopsis kurita CV. lit d inermis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 120. Lethrinus choerorhynchus CV. — Hab. Japonia? 121. se Güntheri Blkr — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 122. 5 haematopterus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Lew-Chew. 125. 3 nematacanthus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 124. Sparus aries Blkr — Chrysophrys aries Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki.) 125. _„ cardinalis Blkr — Chrysophrys cardinalis CV. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 126. _„ __ major Blkr — Chrysophrys major Schl. 127. _„ _Schlegeli Blkr — Chrysophris Schlegeli Blkr ex parte. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 128. „ _datnia Blkr — Chrysophris Schlegeli Blkr. ex parte. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). (2E tumifrons Blkr — Chrysophrys tumifrons Schl. 130. Emmelichthys Schlegelii Rich — Erythrichthys Schl. 131. Hoplegnathus fasciatus Rich. — Scarodon fasciatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda); Nippon (Kaminoseki). 132. 5 punctatus Rich. =— Karodon punctatus Schl. 133. Diapterus equula Blkr — Gerres equula Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 134. 5 japonieus Blkr — Gerres japonicus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Embiotocoidei. 135. Ditrema Temmincki Blkr — Ditrema Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Jesso (Hakodadi). Chaetodontoidei. 136. Pimelepterus cinerascens Day — Pimelepterus indicus K. V. H. 137. Girella melanichthys Blkr — Melanichthys Schì. — Melanichthys crenidens Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 138. Microcanthus strigatus Swns. — Chaetodon strigatus Laupd. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Kaminoseki). 139. Atypichthys strigatus Günth. — Helotosoma servus Kp. 140. Caeriosoma Sieboldi Kp. — Caeriosoma Kp. 141. Taurichthys macrolepidotus Blkr — Henioehus maecrolepidotus CV. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Lew-chew. 142. Tetragonopterus (Tetragonopterus) aureus Blkr — Chaetodon aureus Schl. (nee Bl) — Hab. Kiusiu (Nagasaki). CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 9 143. Tetragonoptrus (Linophora) auriga Blkr — Chaetodon nesogallicus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 144. (Rabdophorus) modestus Blkr —= Chaetodon modestus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Kaminoseki). 145. Chaetodontoplus septentrionalis Blkr —= Holacanthus septentrionalis Schl, — Hab. Kiusius (Nagasaki). 146. Platax teira Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 147. _„ _ vespertilio Cv. Hypsinotoidei. 148. Hypsinotus benhatatate Blkr — Hypsinotus Schl. — Hab. Kiusiu (Omura). Pempheridoidei. 149. Pempheris moluca Cv. 150. Parapriacanthus Ransonneti Stend. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Cirrhiteoidei. 151. Cirrhitichthys aureus Blkr = Cirrhites aureus Schl.— Hab. Kiusiu (Nagasaki). 152. Cheilodactylus (Goniistius) zonatus Blkr — Cheilodactylus zonatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 153. ö (___„ __) quadricornis Blkr — Cheilodactylus quadricor- nis Günth. Sciaenoidei, 154. Pseudosciaena? japonica Schl. —= Sciaena japonica Schl. 155. 9 Schlegeli Blkr — Corvina sina Schl. (nec Cv.) — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). 156. 5 cuja Blkr — Corvina cuja Cv. 157. Ks (Bairdiella) acanthodes Blkr. Mus. Hamburg. Sillaginoidei. 158. Sillago japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Scombropiformes. 159. Scombrops cheilodipteroides Blkr — Scombrops Schl.—Hab. Kiusiu (Nagasaki). Mulloidei. 160. Upeneus dubius Rich. — Mullus dubius Schl. 161. - bensasi Rich, = Mullus bensasi Schl. — Upeneoides bensasi Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 32 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. ÉNUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT „ Upenexs subvittatus Blkr — Mullus subvittatus Schl — Upeneoides sub- vittatus Blkr. sulphureus Cv. —= Upeneoides sulphureus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5 vittatus Cv. — Upeneoides vittatus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). . Mulloides japonicus Blkr — Upeneus japonicus Cv. n pinnivittatus Steind. „ Upeneichthys? chrysopleuron Blkr Mullus chrysopleuron Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 8. Parupeneus pleurospilus Blkr — Upeneus pleurospilos Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). A spilurus Blkr — Upeneus spilurus Blkr.— Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5 indicus Blkr — Upeneus Russelli Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Pseudochromidoider. . Cichlops eyelophthalmus M.Tr. — Cichlops japonicus Gill. Pomacentroidei. . Prochilus polymnus Blkr — Amphiprion japonicus Schl. — Amphiprion chrysargyrus Rich. — Amphiprion chrysopterus Ov. 5 frenatus Blkr — Amphiprion frenatus Brev, — Prochilus ma- erostoma Blkr?? — Hab. Lew-chew. ‚ Pomaeentrus (Pseudopomacentrus) trilineatus Blkr? — Pomacentrus dorsa- is Gill. „ Glyphidodon (Amblyelyphidodon) trifasciatus Blkr — Glyphidodon smaragdi- nus Brev. — Hab. Lew-chew. 3 (Glyphidodon) coelestinus Cv. . Paraglyphidodon melas Blkr? =— Glyphisodon violaceus Brev. — Hab. Lew-chew. 3. Chromis notatus Blkr — Heliases notatus Schl. Berycoidei. ‚ Holocentrum rubrum Rüpp — Holocentrum albo-rubrum Lac. 5 spinosissimum Schl. — Hab. Japonia ; Lew-Chew. . Myripristis japonicus Cv. — Ostichthys aureus Lacep. d. ap. Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Monoeentrioidei. Monoecentris japonicus Bl. Schn. — Gasterosteus japonicus Houtt. = CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPECES INEDITES. 11 Scinaena japonica Thunb. — Monocentris carinata Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda); Nippon (Kaminoseki), Cottoidei. 183. Cottus pollux Günth. — Hab. Japonia (Otarranai). 184. Centridermichthys japonicus Steind. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 185. ke intermedius Gir. — Cottus intermedius Schl. — Hab. Jesso (Jeso). 186. A uneinatus Ger. — Cottus uncinatus Schl. 187. Hemilepidotus Tilesii Cv. — Cottus hemilepidotus Tiles. — Hab. Kuril, Sagalien. 188, Pseudoblennius anahaze Blkr — Pseudoblennius pseudoclinus Schl. = Pseudoblennius percoides Günth. — Hab. Kiusiu (Omura). Chiroidei. 189. Agrammus Schlegelii Günth. = Labrax agrammus Schl. —= Chirus agram- mus Rich. 190. Chirus hexagrammus Cv. — Labrax hexagrammus Pall. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). 191. Grammatopleurus lagocephalus Gill.= Chirus lagocephalus Pall — Hab. Kuril. 192. Octogrammus Pallasi Blkr — Labrus octogrammus Pall. = Chirus octo- grammus Günth. — Hab. Kuril. 193. Labracoglossa argenteiventris Peters (an hujus loei?) — Hab. Yokohama. Scorpaenoidei. 194. Scorpaena (Parascorpaena?) miostoma = Scorpaena miostoma Günth. — Hab. Yokohama. 195. Sebastichthys marmoratus Blkr — Sebastes marmoratus et albofasciatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). 196. 5 inermis Blkr — Sebastes inermis Schl. — Hab. Jesso (Hakodadi) ; Nippon (Jedo). 197. 8 pachycephalus Blkr — Sebastes pachycephalus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 198. 8 ventricosus Blkr — Sebastes ventricosus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 199. eN oblongus Blkr — Sebastes oblongus Günth. — Hab. maria interiora. 200. Sebastichthys maecrochir Blkr — Sebastes macrochir Günth. — Hab. maria interiora. 32 ENUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT . Scorpaenopsis cirrhosus Blkr == Scorpaena cirrhosa Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Î AD neglectus Blkr — Scorpaena neglecta Schl. 203. Pseudomonopterus (Pterois) lunulatus Blkr — Pterois lunulata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda); Nippon ‘Kaminoseki). (__„ ) volitans Blkr —= Pterois volitans Cv. ” . Apistus alatus Cv. =— Pterichthys alatus Swns. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda). 5. Prosopodasys depressifrons Blkr — Apistus depressifrons Rich. „ Amblyapistus taenianotus Blkr — Apistus taenianotus Ov. . Gymnapistus rubripinnis Gill. — Apistus rubripinnis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). „ Minaus pusillus Schl. = Aploactis pusillus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „ Aploactis aspera Rich, — Aploactis Schl. —= Synanceia (Aploactis) aspera Rich. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Synanceioidei. „ Pelor aurantiacum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), Omura. „_ japonieum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). ‚ Synanchia erosa Swns. == Synanceia erosa Lacep. Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Haminoseki). Platyeephaloidei. 214. Platycephalus asper Cv. 2 Do DO 5 fuscus Cv. 5 guttatus Cv. — Platycephalus erocodilus Voy. Krusenst. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). é indicus Blkr — Platycephalus insidiator Blkr, Schn. — Hab, Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). 5 japonieus Tiles. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5 maecrolepis Blkr. — Hab. Kiusiu ( „ À Meerdervoortii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). # punctatus Cv. — ab. Kiusiu (Nagasaki). El rudis Günth. — Hab. Yokohama. né spinosus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ee japonieus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5. Parabembras curtus Blkr — Bembras curtus Cv. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 13 >. Bembrops caudimacula Stnd. {. Hoplichthys pusillus Blkr — Hoplichthys Langsdorsfii Cv. = Aspidophorus pusillus Langsd. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Prigloidei. „ Trigla kumu Less. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „ __ hemisticha Schl. . Lepidotrigla Bürgeri Günth. — Trigla Bürgeri Schl. — Hab, Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). „ Lepidotrigla stonuchii Stnd. „ Prionotus japonicus Blkr. — Hab. Kiusiu ‘Nagasaki). 233. Corystion orientalis Blkr — Dactylopterus orientalis Schl. = Dactylopterus japonicus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 234. Peristedion orientale Schl. — Hab. Nippon (Jedo). Aspidophoroidei. 235. Hippocephalus japonicus Swns. — Cottus japonicus Pall. — Hab. Japon, Kuril., Sagalien. 236. Brachyopsis rostratus Gill. — Agonus rostratus Tiles. — Hab. Japon, Kuril., Sagalien. 237, Agonus laevigatus Tiles. — Aspidophorus laevigatus Cv. — Hab. Japonia, Sagalien. Syngnathoidei. 238, Hippocampus antiquorum Leach? == Hippocampus brevirostris Schl. = Hippocampus japonicus Kp. 239. n longirostris Schl. 240. 8 coronatus Schl. — Hab. Nippon (Jedo). 241. à Mohnikei Blkr. — Hab. Nippon (Kaminoseki). 242. ne hystrix Kp. 243. Acentronura gracillima Kp. — Hippocampus gracilissimus Schl. 244. Gastrotokeus biaculeatus Heck. 245. Halicampus koilomatodon Blkr =— Syngnathus Koilomatodon Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). 246. Trachyrhamphus serratus Kp. =— Syngnathus serratus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 247. ” intermedius Kp. — Syngnathus intermedius Günth. — Hab. Japonica ? 248. Syngnathus Schlegeli Kp. — Svngnathus tenuirostris Schl. (nec Rathke). ENUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT Maecrorhamphoidei. „ Centriscus japonicus Günth. Aulostomatoidei. 250. Aulostoma chinense Cv. —= Fistularia chinensis Schl. Fistularioidei. 251. Solenostomus serratus Gill. = Fistularia serrata — Fistularia immaculata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki; Nippon (Kaminoseki). Gasterosteoides. 252. Aulichthys japonicus Brev. 253. Gasterosteus obolarius Cv? == vide figur. japon. — Hab. Jezo; Jetsigo; Lac. Biwako; sec. Kurimoto. Carangoidei. 254. Caranx trachurus Lac. — Selar japonicus Blkr — Caranx trachurus ja- ponicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 2557 „ __ torvus Jen. — Selar torvus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 256. Decapterus maruadsi Blkr — Caranx maruadsi Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 251. 5 muroadsi Blkr =— Caranx muroadsi Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 258. Carangus carangus Cv. — Caranx mala Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 259. 7 hippos Blkr? —= Caranx hippos Günth ?= Caranx flavocoeruleus Schl. 260. Citula ciliaris Blkr — Blepharus indicus Cv. Schl. — Carangoides ciliaris Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 261. _„ armata Rüpp. — Caranx ciliaris Cv. Schl. — Carangoides armatus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 262. _„ _equula Blkr — Caranx equula Schl. — Carangoides equula Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Serioloidei. 263. Seriola aureovittata Schl. AOL intermedia Schl. 265. __„ __quinqueradiata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 266. __ „ __purpurascens Schl. — Seriola Dumerilij Russ. sec. Günth. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Scomberoidei. 267. Seomber auratus Houtt. Cv. (spec. dub.). CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 15 268. Scomber japonicus Houtt. Cv. (spec. dub.) 269. 8 janesaba Blkr — Scomber pneumatophorus minor Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 270. : saba Elkr — Secomber pneumatophorus major Schl, — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 271. = scombrus (japonicus) Schl. 272. tapeinocephalus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 273. Deen tapeinosoma Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 274. Pelamys thunninus Blkr — Thynnus thunnina Cv. 275. d pelamys Blkr — Thynnus pelamys Cv. 216. - japonicus Blkr — Thynnus orientalis Schl. 277. = sibi Blkr —= Thynnus sibi Schl. 278. 5 macropterus Blkr — Thynnus macropterus Schl. 279. Sarda orientalis Blkr — Pelamys orientalis Schl. 280. Cybium chinense Cv. 281. „ __niphonium Cv. — Hab. Nippon. 282. Acanthoeybium sara Gill. — Cybium sara Benn. — Hab. Lew-Chew. 283. Lepidopus tenuis Günth. — Hab. Imosima. Trichiuroidei. 284, Trichiurus japonicus Blkr — Trichiurus lepturus japonicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Xiphioidei. 285. Histiophorus orientalis Schl. — Hab. Japonia austro-occidentalis. Echeneoidei. 286. Leptecheneis naucrates Gill. — Echeneis naucrates L. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 287. Echeneis albescens Schl. 288. : brachyptera Lowe — Echeneis pallida Schl. Lichioidei. 289. Elacate nigra Günth. — Elacate mottah Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 290. Naucrates ductor Cv. — Naucrates indicus Cv. 291. Scomberoides Sancti Petri Blkr — Chorinemus Sancti Petri Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 292, tol Blkr — Chorinemus tol Cv. — Chorinemus orientalis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 293. Psenopsis anomalus Gill. — Trachinotus anomolus Schl. — Psenes anoma- lus Blkr, — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 16 294. 295. 296. 297. 298. 299. 300. 301. 307. 308. ÉNUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT Psettoidei. Apolectus niger Cv. — Stromateus niger Bl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Stromateoides aculeatus Blkr — Stromateus punctatissimus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Coryphaenoidei. Coryphaena hippurus L. — Coryphaena japonica Schl. — Hab, Japonia austro-occidentalis. Veliferoidei. Velifer hypselopterus Blkr — Velifer Schl. Zeoidei. Zeus japonicus Cv. — Zeus faber japonicus Schl. — Hab. Kiusiu (Naga- saki); Sikok (Simoda). Zenopsis nebulosus Gill. —= Zeus nebulosus Schl. Equuloidei. Leiognathus nuchalus Blkr — Equula nuchalis Schl. — Hab. Kiusiu (Na- gasaki). " rivulatus Blkr —= Equula rivulata Schl. — Hab. Kiusiu (Na- vasaki). Lampridoidei. „ Mene Anna-carolina Lac. — Mene maculata Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Teuthioidei. 3. Teuthis aurantiaca Blkr — Amphacanthus aurantiacus Schl. an var. spec. sequent. ? „ fuscescens Blkr — Centrogaster fuscescens Houtt. = Amphacanthus fuscescens Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5 aibopunctata Blkr — Amphacanthus albopunctatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Aecanthuroidet. . Rhombotides fumosus Blkr — Etsgilus fumosus Brev. — Hab. Lew-Chew. Naseus scalprum Blkr — Prionurus scalprum Cv. — Hab. Kiusiu (Navasaki). 5 unicornis Günth. — Naseus fronticornis Comm. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INEDITES. Id Triacanthoidei. Triacanthodes anomalus Blkr — Triacanthus anomalus Schl. — Hab. Kiusiu 309. (Nagasaki). 310, Triacanthus brevirostris Val. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Balisteoidei. 311, Balistes (Balistapus) conspicillum Blkr — Balistes conspicillum Cuv. — Hab. Goota. 312. h ( s ) undulatus Blkr — Balistes lineatus Bl.Schn. 313 „ ___(Balistes) capriscus Gm. L. — Hab. Japonia (Mus. Hamburg’. 314. Monacanthus komuki Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Kaminoseki). 315. cirrhifer Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). 316. e japonicus Cuv. = Balistes japonicus Tiles. 317. Paramonacanthus Broekii Blkr — Monacanthus Broekii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 318. 5 oblongus Blkr —= Monacanthus oblongus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 319. el modestus Blkr — Monacanthus modestus Günth. — Hab. maria interiora. 320. 3 trachyderma Blkr — Monacanthus trachyderma Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 391, Pseudaluteres nasicornis Blkr — Alutera nasicornis Schl. 322. Aluteres monoceros Cuv. = Alutarius Berardi Less, — Alutera cinerea Schl, Polynematoidei. 323. Trichidion plebejus Blkr = Polynemus plebejus Bronss. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Sphyraenoidei. 324. Sphyraena japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 325. 4 jello Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 326. k nigripinnis Schl. 327. = obtusata Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Atherinoidei. 328, Atherina Bleekeri Günth. = Atherina japonica Blkr (nec Houtt). — Hab. 329. 330. Kiusiu (Nagasaki). Mugiloidei. Mugil haematocheilus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „japonicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki, Simabara). NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL XVIII. 18 342, 5 ÉNUMKRATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT Cepoloidei. Cepola Schlegeli Blkr — Cepola Krusensternii Schl. fig. nee deser. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ? marginata — Cepola marginata Cv. „ 7 limbata — Cepola limbata Cv. Acanthocepola Krusensterni Blkr — Cepola Krusensternii Blkr (Schl. ex parte). — Hab. Kiusiu (Nagasaki). mesoprion Blkr — Cepola mesoprion Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). n Lophoteoidei. Lophotes Capellei Schl. Uranoscopoidei. 1. Uranoscopus asper Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). oligolepis Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ì bieinetus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Guathagnus elongatus Gill — Uranoscopus elongatus Schl. = Ichthysco- pus elongatus Blkr. „ . Tehthyscopus inermis Swns. — Uranoscopus inermis Cv. Parapercioidei. Parapercis pulchella Blkr — Perecis pulchella Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). sexfasciata Blkr —= Percis sexfasciata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). ” Callionymoidei. „ Callionymus altovelis Schl. — Hab. Kiusiu (Ohomura). 5 Huguenini Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). N longecaudatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). S lunatus Schl. Reevesii Rich. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Richardsonii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). valencienneri Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). Variegatus Schl. inframundus Gill spec. ? Gobioidei, Odontobutis obseura Blkr = Eleotris obscura Schl. — Hab. Kiusiu (Na- gasaki), in fluvüis. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPECES INÉDITES. 19 354. Culius oxycephalus Blkr —= Eleotris oxycephalus Schl. — Hab. Nippon (Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto. 355. Gymnogobius macrognathus Gill —= Gobius macrognathus Blkr. — Hab. Nippon (Jedo), in fluviis. 356. Glossogobius brunneus Gill —= Gobius brunneus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in ostiüs fluviorum. 357. 5 olivaceus Blkr — Gobius olivaceus Schl. — Hab. Nippon (Jedo), in mari. 358. Ctenogobius gymnauchen Blkr — Gobius gymnauchen Blkr. — Hab. Nip- pon (Jedo), in fluviis. 359. Arentrogobius Pflaumi Blkr —= Gobius Pflaumi Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in mari. 360. 8 Yokohamae Blkr = Gobius Yokohamae Günth. — Hab. Yokohama. 361. Cryptocentrus Knutteli Blkr = Gobius Knutteli Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in mari. 362. 5 ? castaneus Blkr — Gobius castaneus O’thangness. — Hab, Kiusiu (Nagasaki). 363. Acanthogobius flavimanus Gill = Gobius flavimanus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), Nippon (Jedo); in mari et ostiis fluviorum. 364. Synechogobius hasta Gill — Gobius hasta Schl. 365. Chaenogobius annularis Gill. — Hab. Jesso (sin. Hakodadi). 366. Rhinogobius similis Gill. 367. Pterogobius elapvides Blkr — Gobius elapoides Günth. 368. el virgo Gill — Gobius virgo Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in mari. 369. Amblychaeturichthys hexanema Blkr — Chaeturichthys hexanema Elkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon orientalis. 370. Parachaeturichthys polynema Blkr —= Chaeturichthys polynema Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); in mari. 371. Pridentiger obscurus Gill == Sieydium obseurum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in fluvüis. 372. Periophthalmodon modestus Blkr =— Periophthalmus modestus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio-marinis (et Jedo sec. Kurimoto). 3713. Boleophthalmus pectinirostris Rich. — Boleophthalmus Boddaerti Schl. (nec Cv). — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio-marinis. 374. / Boddaerti Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio- marinis. 33% 388. 389. 390. BL, 392. 393. ÉNUMEÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT „ Odontamblyopus Lacepedii Blkr — Amblyopus Lacepedii Schl. — Hab. Kiusiu (Fizen, Omura). „ Luciogobius guttatus Gill. Blennioidei. . Petroskirtes japonicus Blkr. — Hab. Nippon (Jedo). 4 elegans Stnd. Centroblennioidei. 9. Clinus polyactocephalus Brev. = Blennius polyactocephalus Pall. — Hab. Jezo (Hakodadi). . Bumesogrammus hexagrammus Gill —= Stichaeus hexagrammus Schl. — Hab. Kiusiu (Simabara). . Centronotus erassispinis Gill — Gunnellus crassispina Schl. 5 nebulosus Gill —= Gunnellus nebulosus Schl. — Hab. Kiusiu (Sin. Mogi). 5 subfrenatus Gall. 5 dolichogaster Gill — Blennius dolichogaster Pall. — Hab. Jezo (Hakodadi). . Dietyosoma Bürgeri v. d. Hoev. — Dictyosoma Schl. — Hab. Kiusiu (Si- mabara); Nippon (Kaminosaki). Chironecteoidei. >. Antennarius marmoratus Günth. —= Chironectes marmoratus Cv. — An- tennarius raninus Cant. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). eS tridens Blkr — Chironectes tridens Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Lophioidei. Lophius setigerus Wahl. —Hab. Kiusiu(Nagasaki). Maltheoidei. Halieutea stellata Cuv. — Lophius stellatus Wahl. — Hab. Kiusiu (Na- gasaki); Nippon (Kaminoseki). Brotuloidei. Brotula multibarbata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Sirembo imberbis Blkr — Brotula imberbis Schl. — Hab. Kiusiu (Naga- saki, Omura); see. Kurimoto etiam Nippon (Osaka). „grandis Günth. — Hab. Nippon (or. merid. Jedo). Brotella armata Kp. — Brotula armata Schl. 394, 395. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 21 Gadoidei. Motella pacifica Schl. Lotella phycis Blkr = Lota phycis Schl. = Lotella Schlegelii Kp. Maeruroidei. ‚ Oxymacrurus japonicus Blkr — Maecrourus japonicus Schl. — Oxyeephas japonicus Kp. — Hab. Kiusiu (Omura, Simabara). 2 macrochir — Macrurus macrochir Günth. — Hab. Inosima. ? parallelus — Macrurus parallelus Günth. — Hab. Inosima, „ ‚ Maeruroplus? leptolepis = Coryphaenoides leptolepis Günth. „ Coryphaenoides longifilis Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo). altipinnis Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo). nasutus Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo). asper Günth. „ „ ” ‚ Lepidorynchus villosus — Coryphaenoides villosus Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo). Ateleopoidei. . Ateleopus japonicus Blkr — Ateleopus Schl. — Hab. Kiusiu (Omura). Halosauroidei. . Halosaurus affinis Günth. — Hab. Japon. meridion. Pleuronecteoidei. ‚ Chaenopsetta olivacea — Hippoglossus olivaceus Schl. — Hab. Kiusiu (Na- gasaki); Nippon (Osaka, Jedo). Wolff Blkr — Rhombus Wolff Blkr. — Hab. Kiusiu (Na- gasaki’. _ Pseudorhombus cinnamomeus Blkr — Rhombus cinnamomeus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). oligodon Blkr — Rhombus oligodon Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). oligolepis Blkr. — Rhombus oligolepis Blkr. — Hab. Kiu- siu (Nagasaki). n ‚ Platophrys (Platophrys) myriaster Blkr — Rhombus myriaster Schl. = Rhomboidichthys myriaster Blkr. n ( 5 ) grandisquama Blkr — Rhombus grandisquama Schl. ‚ Heteroprosopon cornutus Blkr — Platessa cornuta Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 5. Clidodermo asperrimum Blkr — Platessa asperrima Schl. 22 ÉNUMERATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT 416. Pleuroneetes Yokohamae Güuth. — Hab. sin. Yokohama. 417. - variegatus Günth. — Platessa variegatus Schl. Soleoidei. 418. Brachirus japonicus Blkr — Aesopia japonica Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 419, 3 zebra Swns. — Aesopia zebra Kp. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda). 420. Achirus japonicus Schl. — Solea japonica Günth. 421. Paraplagusia japonica Blkr — Plagusia japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). 422. = marmorata Blkr — Plagusia marmorata Blkr. 423. Aphoristia orientalis Blkr, Mus Hamburg. Chacoidei. 424. Plotosus arab Blkr — Plotosius hmeatus Schl. — Plotosus anguillaris Lac. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Siluroidei. 425. Leiocassis longirostris — Liocassis longirostris Günth. 426. Pseudobagrus aurantiacus Blkr — Bagrus aurantiacus Schl. — Hab. Kiusiu (Satzuma, Higo, Kuruma); Nippon (Jedo), in fluvis. 427, Arius ocellatus Blkr — Silurus maculatus Thunb. (an — Arius arius Val.?). 428. Parasilurus japonicus Schl. — Silurus japonieus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki, Satzuma, Higo); Nippon (Jedo); in fluvus. Gonorhynchoidei 429. Gonorhynchus abbreviatus Schl. Cobitioidei. 430. Botia curta Günth. — Cobitis curta Schl. — Hymenophysa curta Blkr. 431. Cobitis taenia L. — Cobitis taenia japonica Schl. — Hab. Nippon (Jedo) sec. Kurimoto. 432, Misgurnus dichachrous Günth. = Cobitichthys dichachrous Blkr. — Hab. Nippon (Jedo). 455. 5 enalios Blkr = Cobithychthys enalios Blkr. — Hab. Nippon (Kaminoseki, Jedo). 454. 5 anguillieaudatus Günth. — Cobitis rubripinnis et maculata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 435. ij polynema Günth. — Cobitichthys polynema Blkr. — Hab. Nippon (Jedo). 436. 437. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPRCES INÉDITES. 23 Cyprinoidei. Carpio vulgaris Rapp. — Cyprinus conirostris, haematopterus, melanotus Schl. —= C. flavipinnis K. V. K. (sec. Günth.) — Hab. Kiusiu Nippon (Jedo). Carassius auratus Blkr — Carassius Cuvieri, Bürgeri, grandoculis, Langs- dorfii Schl. (sec. Günth.). — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). „ Pseudogobio esoeinus Blkr — Gobio esocinus Schl. — Hab. Nippon (Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto. . Acheilognathus intermedius Blkr — Capoëta intermedia Schl. — Hab. Nippon (Bizan) sec. Kurimoto. melanogaster Blkr an — Acheilognathus lanceolatus Blkr? — Hab. Nippon (Jedo). lanceolatus Blkr — Capoëta lanceolata Schl. limbatus Blkr — Capoëta limbata Schl. „ 3. Paradheilognathue rhombeus Blkr =— Capoëta rhombea Schl. — Hab. Nip- pon (Jedo, Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto. 444, Hemibarbus barbus Blkr — Gobio barbus Schl. — Hab. Nippon (Osaka), sec. Kurimoto. 445. Gnathopogon elongatus Blkr — Capoëta elongata Schl. — Rasbora (Ben- gala) elongata Blkr. 446. 5 gracilis Blkr — Capoëta gracilis Schl. — Rasbora (Bengala) gracilis Blkr. 447. Sarcocheilichthys variegatus Blkr — Leuciscus variegatus Schl. 448. Pseudorasbora parva Blkr — Leuciscus parvus Schl. — Hab. Nippon, fluviis omnibus sec. Kurimoto. 449. pusilla Blkr — Leuciscus pusillus Schl. — Hab. Nippon (Jedo). 450. Leuciscus hakuensis Gill. — Hab. Lacus Hakou. 451. Barilius minor Blkr — Leuciscus minor Schl. == Opsarius minor Blkr; sec. Gthr ead. spec. ac seq. — Hab. Nippon (Jedo) Oomi in lacu Biwako. 452. „ _ macropus Blkr — Leuciscus macropus Schl. — Opsarius macro- pus Blkr; sec. Gthr ead. spee. ae seq. — Hab. Nippon (Province. Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto. 453. „ _ platypus Blkr — Leuciscus platypus Sehl. — Opsarius platypus Blkr. — Hab. Nippon ‚Jedo), sec. Kurimoto. 454. „ _?eoreënsis Blkr — Leuciscus coreënsis Val. — Opsarius? co- reënsis Blkr, — Hab. Japonia?; Korea? 455. B Sieboldi Blkr — Leuciseus Sieboldi Schl. = Opsarius Sieboldi Blkr. 456. „ _ TFemmincki Plkr — Leuciseus Temmincki Schl, = Opsarius Tem- mineki Blkr, — Hab. Nippon (Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto. 24 457. 458. 459. 460. 461. 462. 465. 464. 465. 466. 467. 468. 469. 410. 41. 4712. 413. 414. 4715. 4716. AUT. 478. 479. ENUMERATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT Opsariichthys uncirostris Blkr — Leuciseus uncirostris Schl. — Opsarius uneirostris Blkr. Pseudoperilampus typus Blkr. — Hab. Nippon (Jedo). Cypronodontoidei. Aplocheilus latipes Blkr — Poecilia latipes Schl. — Hab. Nippon (Jedo), fluviis et orizetis. Fundulichthys virescens Blkr — Fundulus virescens Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); in fluvis. Scombresocioidei. Seombresox saira Brev. — Hab. Sikok (Simoda). Mastaceembelus annulatus Blkr — Belone gigantea Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Lew-Chew. k schismatorhynchus Blkr — Belone gracilis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Hemiramphus sajori Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ’ occipitalis Gill. an — Hemiramphus Gernaerti Val? 5 japonicus Brev. — Hab. Lew-Chew. Exocoetus agoo Schl. — Exocoetus oligolepis Blkr? — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Sauridoidei. Synodus Synodus Bl. Schn. =— Saurus lucius Schl. — Hab. Kiusiu (Si- mabara). 5 myops Blkr — Saurus trachinus Schl. Saurida tumbil Val. — Aulopus elongatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Aulopus japonicus Günth. Hab. Yokohama. Salangichthys mierodon Blkr — Salanx microdon Blkr. — Hab. Nippon (Jedo), in fluvüs. Salmonoidei. Salmo orientalis Pall.? — Hab. Jezo (Hakodadi). Perryi Brev., sp. dub. — Hab. Jezo (Hakodadi). leucomaenis Pall.? — Hab. Jezo (Hakodadi). spec.? Brev. Exp. Jap. Fish. p. 277 tab. 10 fig. 1. — Hab. Jezo ” (Hakodadi). „__maerostoma Günth. — Hab. Yokohama. Plecoglossus altivelis — Salmo (Pleeoglossus) altivelis Schl. Hypomerus olidus Günth. =— Osmerus japonicus Brev. — Hab. Lezo (Hakodadi); Japonia orientalis, sec. Kurimoto. 496. 497. 498. 499. 500. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 25 Pseudo-clupeoidei. „ Conorhynchus glossodon Blkr —= Albula bananus Cv. „ Elops saurus L. — Hab. Kiusiu (Nagasaki. Clupeoidei, „ Chirocentrus dorab Cuv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ‚ Etrumeus micropus Blkr — Clupea micropus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). ‚ Spratelloides gracilis Blkr — Clupea gracilis Schl. — Hab. Jap. austro- occidentalis. 5. Clupea (Harengula) melanosticta Blkr — Clupea melanosticta Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). s (Harengula) zunasi Blkr — Clupea korval Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo,; in mari et fluviis. . Misha elongata Blkr == Clupea melastoma Schl. — Pellona Schlegelii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). . Engraulis ringens Jen.? — Engraulis japonicus Schl., Blkr al. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). . Stolephorus japonicus Blkr — Engraulis japonica Günth. ” indicus Blkr — Engraulis Russelli Blkr. ‚ Coilia nasus Günth. —= Collia nasus Schl. „ Dorosoma nasus Blkr —= Chatoessus nasus Val. 5 punctatum Blkr — Chatoessus punctatus Schl, — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo). Bathythrissoidei. „ Bathythryssa dorsalis Günth. — Hab. Inosime. Anguilloidei. „ Muraena bostoniensis Les. — Anguilla japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo), in fluviis. Synaphobranchoidei. Synaphobranchus bathybius Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo). Synaphobranchus affinis Günth. — Hab. Inosima. Congroidei. Conger vulgaris Cuv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). „ _ japonicus Blkr (Mus. Hamburg). Ophisoma anago Blkr = Conger anago Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 8d NATUURK. VERH DER KONINKL AKADEMIE. DEEL XVIII. ÊNUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT 5O1. Muraenesox bagio Pet. —= Conger hamo Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda); Nippon (Osaka). 502. Nettastoma parviceps Günth. — Hab. Nippon (or. Jed. mer.). 503. Ophisoma? myriaster Blkr — Anguilla myriaster Brev. — Hab. Hakodadi. 504. 5 heterognathus Blkr — Myrophis heterognathus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 505 k megastoma Blkr — Congromuraena megastoma Günth. — Hab. Inosima. 506. Myrus uropterus Günth. = Conger uropterus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Ophisuroidei. 507. Leptorhynchus serpens Blkr — Ophisurus serpens Lac. — Ophisurus ma- erorhynchos Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sokok (Simoda); Nippon (Kaminoseki). 508. Mystriophis rostellatus Kp. — Ophisurus porphyreus Schl. 509. Ophisarus colubrinus Rich. —= Muraena annulata Schl. 510. Ophichthys cephalozona Blkr. DI. ä urolophus Günth. — Conger urolophus Schl. 512. en stenopterus Cope. 513. Gymnothorax albimarginatus Blkr — Muraena albimarginata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). D14. A Kidako Blkr — Muraena Kidako Sehl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda) ? 515 5 pardalis Blkr — Muraena pardalis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 516 5 similis Blkr — Muraena similis Rich. D17. Priodonophis reticularis Blkr — Muraena minor Schl. — Priodonophis minor Blkr. — [ab. Kiusiu (Nagasaki). Orthagoriscoidei. 518. Orthagoriscus mola Bl. Sehn. 519. À truncatus Flem. — Orthagoriscus oblongus Schu. Tetraodontoidei. 520. Diodon tigrinus Cuv., Schl. 521. Paradiodon novemmaculatus Blkr — Diodon novemmaculatus Schl. — Hab. Kiusiu (Omura); Sikok (Simoda). CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPRCES INEDITES. 27 522. Crayracion firmamentum Blkr —= Tetraodon firmamentum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 523. Ne lineatus Blkr — Tetraodon lineatus Schl. 524. Tetraodon alboplumbeus Rich. 525. 5 sceleratus Forst Gm. L. — Tetraodon argenteus Lac. — Te- traodon bicolor Brev. — Hab. Kiusiu (Nagasaki; Sikok (Simoda). 526. Ss inermis Schl. — Hab. Kiusiu (Simabara). 527. n brunneus Brev. — Hab. Sikok (Simoda). 528. k lunaris Cuv. — Hab. Japonia austro-occident. 529. e ocellatus Osb. Rich. 530. nl pardalis Schl. 531. ps oblongus Bl. — Tetraodon poecilonotus Schl. Tetraodon ni- veatus Brev. — Hab. Sikok (Simoda). 532. é porphyreus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 533. el rubripes Schl. — Tetraodon xanthopterus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 534. E stietonotus Schl. — Hab Kiusiu (Nagasaki). 555. vermiculatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 536. Oanthopaater grammatocephalus Blkr = Tetraodon grammatocephalus Schl, 531; 5 rivulatus Blkr — Tetraodon rivulatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Ostracionoidei. 538. Ostracion (Acanthostracion) arcus Blkr — Ostracion cornutus L. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). 539. 5 ( = ) concatenatus Blkr — Ostracion concatenatus Bl. 540. s ( 8 ) cornutus Blkr — Ostracion cornutus L. = Ostracion diaphanus Bl, Schn. — Hab. Kiusiu (Nagasaki). Dal. ( 3 ) gibbosus Blkr — Ostracion turritus Forst. — Hab. Nippon (Kaminoseki). 542, 5 (Ostracion) tetragonus L. =— Ostracion cubicus Bl. — Hab, Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda). 543. Aracana aculeata Günth. — Ostracion aculeatus Houtt. — Ostracion stic- tonotus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Kaminoseki, Jedo). Polyodontoidei. 544. Psephurus gladius Günth. — Spatulara angustifolium Kp. 34 28 ENUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT Myzrineoidei. 545. Bdellostoma Bürgeri Gir. — Heptatrema ecirrhatum Schl. — Hab. Kiusiu (Simabara). Petromyzontoiden. 546. Petromyzon japonicus V. Mart. — Hab. Nippon (Jetzigo) sec. Kurimoto. Caprodon Schlegeli Blkr, Verh. Bat. Gen. XXV. Nal. Icht. Jap p 12; Kp Bemerk. über Caprodon. en Ned. T. Dierk. Ip. 19. Syn. Caprodon Schl. Faun. Jap. Poiss. p. 64 tab. 30. Anthias Schlegel Günth. Cat. Fish. I p. 92. Je trouve un individu de 295" de long parmi les poissons du Museum de Hambourg, mais trop mal conservé pour en donner une description détaillée. On ne eonnait jusqu'ici cette espèce que par la description et la belle figure qu'en a publiées M. Schlegel et par quelques notices de Kaup. La dentition intermaxillaire et mandibulaire est bien rendue sur la figure de la Faune du Japon et celle de la bouche interne bien indiquée par Kaup. Sur individu du Museum de Hambourg je trouve neuf rangées transversales d'écailles au devant du limbe préoperculaire. La moitié basale de toute la dor- sale et de l'anale est couverte d'une dense couche d'écailles. Les Écailles du trone sont fort obliques et jen compte environ 56 rangées transversales tant au-dessus qu’au-dessous de la ligne latérale. La figure de la Faune du Japon les veprésente trop nombreuses tant au-dessus qu’au-dessous de la ligne latérale. Le groupe des dents vomériennes est pyriforme à pointe dirigée en arrière; ceux des dents palatines et pterygoidiennes ont presque la même forme que ce- lui des dents vomériennes mais sont moins larges et plus pointus, les palatins, du double environ plus grands que les pterygoidiens ayant leur pointe dirigée en arrière et les pterygoidiens leur pointe dirigée en avant; le groupe des dents linguales, présentant un ovale oblong, oecupe presque toute la langue. Les dents pharyngiennes sont minces et pointues. L'oesophage est large et se continue dans un estomae eylindrique sans renflement. Tout Yoesophage et la plus grande moitié antérieure de l'estomae ont la mu- queuse densément couverte de longues villosités un peu raides et pluridivisées CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INEDITES. 29 à divisions coniques très-pointues et inégales. La plupart de ces villosités ont environ la longueur d'un demi diamètre de loeil, mais elles deviennent plus courtes vers le milieu de lestomac. Dans la moitié postérieure de l'estomac les villosités sont remplacées par de larges plis longitudinaux et élevés qui s'étendent jusqu'au pylore. Je ne trouve pas même de vestige d’appendices pyloriques, organes manifestement superflus par immense surface muqueuse re- préséntée par les plis et les villosités oesophago-stomacales. Je trouve comme formule des rayons: B. 7. D. 10/20 vel 10/21 P. 1/15. V. 1/5. A. 38 ou 3,9. C. 1/15/1 et lat. brev. Fseudosciaena acanthodes Blkr. Tab. 1. Pseudosc. corpore oblongo compresso, altitudine 3} circ. in ejus lorgitudine absque, 43 circ. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine corporis 2 fere in ejus altitudine; capite acutiusculo 3% circ. in longitudine corporis absque, 43 circ, in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis 1 et paulo, latitudine capitis 2 fere in ejus longitudine; oculis circularibus diametro 4 et paulo in longitudine capitis, diametro 1 cire. distantibus; linea rostro-frontali rostro convexa fronte rectiuscula; naribus ante pupillae partem superiorem per- foratis; rostro oculo breviore, acutiusculo, apice convexiusculo ante pupillam sito, non ante os prominente, utroque latere et antice medio interne incisura brevi, antice medio supra incisuram marginalem poro vel fovea parva parum conspi- cua; maxilla superiore maxilla inferiore paulo longiore, sub oculi dimidio poste- riore desinente, 2f circ. in longitudine capitis; maxilla inferiore symphysin ver- sus poris 4 bene conspicuis; dentibus maxillis antice pluriseriatis lateribus pluri- ad biseriatis; dentibus intermaxillaribus serie vel seriebus internis valde parvis serie externa conicis medioeribus distantibus postrorsum longitudine sensim de- erescentibus caninoideis nullis; dentibus mandibularibus serie vel seriebus exter- nis valde parvis confertis, serie interna conicis medioeribus distantibus inaequi- longis dentibus intermaxillaribus serie externe brevioribus symphysin versus den- tibus 2 ad 4 paulo majoribus et magis curvatis; dentibus pharyngealibus conicis acutis, inferioribus serie interna ceteris multo longioribus; rietu valde obliquo; osse praeorbitali sub oculo oculi diametro plus duplo humiliore; praeoperculo limbo bene distineto oculi diametro duplo circ. graciliore, margine posteriore denticulis serrato angulo dentibus 2 vel 3 majoribus validis spinaeformibus in- feriore ceteris longiore deorsum spectante; operculo angulo spinulis 2 debilibus vix pungentibus; osse suprascapulari denticulato ; lobo suprascapulari membranaceo eiliato nullo, linea laterali mediocriter curvata singulis squamis tubulo vulgo 30 ENUMERATION DES ESPRCES DE POISSONS ACTUELLEMENT simpliee notata; cauda parte libera aeque longa circ. ac postice alta; squamis rostro genis operculisque eycloideis, capite superne et trunco ctenoideis, prae- operculo ante limbum sat regulariter transversim Ó- vel 7-seriatis, opercularibus superioribus opercularibus ceteris conspicue minoribus, nuchalibus et dorsalibus anterioribus lateralibus et caudalibus minoribus, lateralibus mediis quam latera- libus anterioribus et caudalibus minoribus; seriebus squamarum trunco longitu- dinalibus subhorizontalibus, transversis subverticalibus; squamis angulum aper- turae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam latera- lem in series 63 circ, infra lineam lateralem in series 53 circ. transversas dis- positis; squamis serie transversa 24 cire. basin pinnae ventralis inter et pinnam dorsalem, 8 vel 9 lineam lateralem inter et spinas dorsales medias; pinna dor- sali partem spinosam inter et radiosam usque ad basin incisa; dorsali spinosa vix longiore quam alta spinis gracilibus rigidis ex parte pungentibus 3° et 4° ce- teris longioribus 14 circ. in altitudine corporis et capitis parte postoculari con- spicue longioribus; dorsali radiosa dorsali spinosa 14 cire. tantum longiore dor- sali spinosa humiliore basi tantum squamata, antiee quam postice humiliore corpore duplo cire. humiliore; pectoralibus et ventralibus acutis et caudali trun- cata subaequilongis capite absque rostro non ad vix brevioribus; anali non con- vexa acutangula dimidio basali squamata dorsali radiosa triplo circiter breviore, spina 2% validissima capite absque rostro vix breviore radio 1° et spina dorsì longissima non vel vix breviore; colore corpore superne griseo-vel coerulescente- viridi, lateribus et inferne argenteo; iride flava margine orbitali fuscescente ; pinnis flavescentibus, 1mparibus fusco plus mrinusve. B. 7. D. 10—1/24 vel 10—1/25. P. 2/14. V. 1/5. A. 2/8 vel 2/9. C. 1/15/1 et lat. brev. Hab. Japonia. Longitudo speeiminis uniei 225. Rem. L'espèce appartient au groupe pour lequel M. Gill a proposé le nom de Bairdiella et doit être voisine du Corvina ronchus Cv. des côtes Atlantiques de VAmérique, mais celui-ci a les yeux plus petits, le museau notablement plus long, la seconde Épine anale plus courte, l'espace interoculaire plus large, etc. Le Bairdiella armata Gill des côtes pacifiques de l’ Amérique centrale en paraît plus voisin encore, mais il en est dit que la 4° épine dorsale mesure environ deux fois dans la longueur de la tête et il présente en outre des formules un peu différentes. CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INKDITES. 31 Aphoristia orientalis Blkr, Pab2 Ae 1. Apkor. corpore lanceolato, altitudine 33 circ. in ejus longitudine; capite linea anteriore obtusiusculo rotundato; 5} cire. in Jongitudine corporis, vix altiore quam longo; oeulis sinistris contiguis, diametro 8 cire. in longitudine capitis, superiore conspicue ante inferiorem prominente, inferiore supra angulum oris sito; rostro 5 circ. in longitudine capitis, unco brevissimo subnullo parum cur- vato longe ante oculos desinente; naribus latere oculari posterivribus superioi- bus regione prae-interoculari perforatis membrana elevata lata claudendis, ante- rioribus inferioribus tubulatis; naribus latere anophthalmo distantibus foramini- formibus posterioribus anterioribus majoribus membrana elevata claudendis ; angulo oris rostri apici quam angulo operculi plus duplo magis approximato; labiis nec fimbriatis nee crenulatis; squamis utroque latere etenoideis, latere sinistro oculum inter et angulum operculi in series 25 transversas oblique anteversum descenden- tes dispositis; 90 circ. in serie longitudinali angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis, 40 circ. in serie transversa initium pinnae analis inter et pinnam dorsalem ; squamis mediis lateribus squamis ce- teris paulo majoribus; pinnis dorsali et amali corpore quintuplo ad sextuplo humilioribus, dorsali sat longe post apicem rostri supra oeulum anteriorem in- cipiente; ventrali unica, non cum anali unita; caudali obtusiuseula rotundata, capite duplo circ. breviore; colore corpore latere oculari fuscescente viridi ; regione operculari medio fascia diffusa transversa fusca; trunco fusco profundiore diffuse nebulato et transversim subfasciato; pinnis fuscis, ventrali tantum flavescente ; iride viridi-aurea; colore latere anophthalmo albido, pinnis dimidio libero fus- cescente. BE dao Cr dt A BO =D. C.A 198. VA Hab. Japonia. Longitudo speciminis unici 188. Rem. L'Aphoristia du Japon doit être voisin de ornata des Antilles, mais il a la tête plus longue, le museau relativement plus court et se distingue aussi par la ventrale libre non réunie X Yanale. La formule de l'ornata est donnée un peu différemment (D. 96, C. 10. A. 80. — L. lat. 95) mais cette différence à elle seule peut bien n’avoir pas de valeur spécifique. Je trouve les narines bien développées. Les supérieures de la region préinteroculaire sont assez lar- ges, mais entourées d'une large membrane au milieu de laquelle on arrive, par un examen attentif, à trouver une ouverture assez large. Les narines inférieures. 32 ENUMERATION DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT du côté oculaire sont assez distantes du bord maxillaire et prolongées en tube simple. Les narines du côté aveugle sont de simples trous dont cependant le postérieur est beaucoup plus grand que lantérieur. Les deux espèces sont congénériques avec lespdce type du genre Plagusia de Browne, le nom de Plagusia devrait reprendre droits sur celui ses d’ A phoristie. Conger japonicus Blkr. Tab. 2 fig. 2. Cong. corpore elongato antice eylindraceo postice compresso, altitudine 22 circ. in ejus longitudine; capite acuto 8 circ. in longitudine corporis aeque alto circ. ac lato, triplo cire. longiore quam alto; rostro acutiusculo convexo apice parum carnoso, 4! ad 45 in longitudine capitis, aeque longo cire. ae basi lato; oculis diametro 65 cire. in longitudine capitis; naribus posterioribus ante medium ocu- lum perforatis patulis, anterioribus rostri apici approximatis brevitubulatis; osse supramaxillari subhorizontaliter expansili triangulari, sub oculi margine anteriore desinente ; labiis medioeribus parum carnosis; rietu sub oeuli dimidio posteriore desinente, 3 circ. in longitudine capitis; maxilla superiore maxilla inferiore sat multo longiore; dentibus maxillis parvis confertis eonicis obtusiusculis, nasalibus et vomerinis conicis acutis leviter curvatis, maxilla superiore antice tantum bi- seriatis serie interne rudimentariis medio et postice uniseriatis aequilongis; maxilla inferiore dentibus biseriatis serie interna quam serie externa multo bre- vioribus, serie externa subaequilongis; dentibus nasalibus triseriatis dentibus ce- teris longioribus; dentibus vomerinis antiee 4- ad 5- seriatis in thurmam trian- gularem oeulo non longiorem dentibus nasalibus contiguam postrorsum graciles- eentem dispositis; apertura branchiali semilunari oculi diametro longiore, in dimidio corporis inferiore sita; trunco pinnam analem inter et aperturam bran- chialem capite duplo longiore et 25 cire. in longitudine caudae; cauda media ejus longitudine trunco antice vix humiliore postrorsum sensim gracilescente ; linea laterali tubulis simplieibus subeontinuis notata; pinna dorsali antiee et medio ecorpore duplo eireiter postiee corpore minus duplo humiliore vix ante apicem pectoralis imeipiente; peetoralibus capite duplo cire. brevioribus obtuse rotundatis; anali antiee in 3* quinta totius corporis parte incipiente, dorsali humiliore; eaudali oculo breviore; colore corpore superne olivascente, inferne dilutiore; iride flava; pinnis flavescentibus. B. 8. D. 260 cire. C. 12 cire. A. 110 cire. =D. OG. A. 442 cire. PI 15. Hab. Japonia. Longitudo speciminis unici 336". CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPECES INÉDITES. 33 Rem. Cette espèce est bien caractérisée par sa dentition, par son profil rostro-frontal convexe, par la longueur relative de la tête et de la partie préa- nale du tronc, par la longueur des pectorales, par la largeur des orifices bran- chiaux, etc. Lerobatis (Frygon) nuda Blkr, Tab. 3 Leiobat. corpore disciformi, disco latiore quam longo (longitudine 14 circ. in ejus latitudine), antice acuto, linea rostro-pectorali econvexiuscula anticee tantum coneaviuscula; pinna pectorali angulo posteriore obtuse rotundata; capite longi- tudine 34 circ. in latitudine disei maxima; rostro acutiusculo 43 circ. in lati- tudine disei superne medio sulco longitudinali gracili; oculis diametro 5 eirc. in longitudine rostri, diametris 3 circ. distantibus; foramine temporali subtrian- gulari oeulo multo majore; valvula nasali anteriore rictum non attingente, non ciliata; rictu sinuoso latitudine 2 circ. in longitudine rostri praeorali; velo post- maxillari superiore fimbriato; fundo cavitatis oris papillis conspicuis nullis; dentibus maxillis obtusis planis; disco ubique laevi granulis plane nullis; cauda disco multo minus duplo longiore laevi, granulis vel spinulis nullis, membrana libera nulla, parte postspinali anteriore inferne utroque latere carinata, postice in tertia ejus parte anteriore, spina rostro longiore; appendicibus genitalibus ventrales non superantibus, conicis, non valvatis; colore corpore superne pro- funde olivaceo, inferne albido marginem disci versus aurantiaco; cauda antice superne olivaceo-fusca inferne albida, postice tota fusca. Syn. Prygon nuda Günth., Cat. Fish. VIII p. 476 (mec syn). Hab. Japonia. Latitudo speciminis masculini descripti 198”. Rem. L'individu déerit repond très bien à la diagnose du Trygon nuda. M. Günther yv rapporte le Tenkee thioidraki de Russell (Fish. Corom. fig. 5) et la figure que Müller et Henle ont publiée sous le nom de Trygon walga, mais il me paraît fort douteux que ces figures aient rapport à la même espèce puis- qu'elles représentent une forme à disque plus long que large et à bord antérieur fort concave et une queue notablement plus courte. Il paraît qu'il y a plus d'une espèce du genre à disque parfaitement lisse. —- Si les individus cités par M. Günther sont en effet de la même espèce, elle habite aussi les côtes de Sin- gapore et de I'Inde. Hagae Comitis Calendis, Novembris 1877. 35 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII. tre Tha Her ee mas L4en nt Wir Pen SU Ei d eli. Ad 8 N à (Ee Id j wek / ni sm KA he rake zij p ed j xe _ i _ hi sf weken ie sf ET Whe be Ln sg D Ì fn ' Pi] Mie in pn pa rs dr odf REN Er pads ® „ 8, ' Lie * N B E Ri 1 _ r RAET | „il 1 ' PRE LD! = Á it D be De: 2 | ï 17 rd al dr i - | br A À - í …, Almen je ze d A! Kef El ri _ tal rie ntg Se na iS : pe 1 Let ne " B ben s er In de ieks Eet K, Kh L per 5, ij ne j : Y bd hy 3 za 1 ij EN ee i oak: _f Re, TN KA har ee, U, 1 id | 8 j Ee Doc PENN vent Ed n _ e ) â . p dr id k i } w i b k hik ® Sil k n € Eel Ô ' 1 fi fi ' pa n MIAX 1230 OVHY NON ONVHY3A ALIAS (4 ID WP) VOP VOLA PG Dy DDI gl (/L jar Jardt nie 71 MLA UNI rodutg > "Id ” 6 ë ‘NOdyP AT SNOSSIOd UIA raul î AANG BLEEKER, POISSONS DU JAPON. Tab. 2 Ligt P Bleeker dir d ef 4 Huur ar oren. Or, arterosteng otrtartud ep er Papen Merenti VERHAND 7” AKAD DEEL XVIiN. “MIAX 1240 OVHV NON ONVHUIA pi ) V, Sepp PID A tt Ôthg DD CHK er} Ed ie} LS, = = toóutgd a NLIUIY We ATH iS GDI IG UC ‘NOdV AT SNOSSIOd ‘© OEL À NR Q Akademie van Wetenschappen, 57 Amsterdam. Afdeeling voor A49 de Wis- ne Natuurkundige d1.18 Wetenschappen Verhandelingen Î A sical ” Applied Sci. Senals PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET ‘mmm UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY mmm ‚_ STORAGE An